в. МАГНУС, А. КАРРАС, Д. СОЛИТЭР
К01МБИНАТ0РНАЯ
ТЕОРИЯ ГРУПП
Представление групп
в терминах образующих
и соотношений
Перевод с аггглийского
Д. И. МОЛДАВАНСКОГО.
А. А. ФРИДМАНА,
Ю. И. ХМСЛЕВСКОГО
Под редакцией
М. Д. ГРННДЛИНГЕРА
Ш1
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ОИЗИКО МАТЕМАТИЧПСКОЙ ЛИТЬРАТУРЫ
Москва 1974

617. 1
М 12
УДК 519.4
COMBINATORIAL
GROUP THEORY:
Presentations of Groups in Terms
of Generators and Relati ons
WlLHELM MAGNUS
Courant Institute of mathematical sciences
New York University
ABRAHAM KARRASS
Adelphi University
DONALD SOLITAR
Adelphi University
INTERSCIENCE PUBLISHERS
A division of John Wiley & Sons,
New York, London, Sydney
1966
lno>
(C) Перевод на русский язык. Издательство «Наука», 1974.
М 20203 >- 065
053 @1)-74 ^^'^^

СОДЕРЖАНИЕ
предисловие редактора 5
Предисловие 7
X л а в а I. Основные понятия 9
1.1. Введение 9
1.2 Построение группы по образующим и определяющим словам 20
1.3. Фундаментальные проблемы Дэна 32
1.4. Определение и элементарные свойства свободных групп 41
1.5. Преобразования Тице 56
1.6 Граф группы 63
Глава 2. Факюр-группы и подгруппы 77
2.1. Фактор-группы 77
2.2. Вербальные подгруппы и приведенные свободные группы .... 80
2.3. Представления подгрупп. Метод Рейдемейстера — Шрейера ... 92
2.4. Подгруппы свободных групп • . • . . ПО
Глава 3. Преобразования Нильсена 126
3.1. Введение 126
3.2. Редукционный процесс 127
3.3. Фактор-группа по коммутанту 149
3 4 Тест для изоморфизма HV2
3.5. Группы Ф^ автоморфизмов свободных групп 172
3.6. Свободные автоморфизмы и свободные изоморфизмы 179
3.7. Группы кос и группы классов отображений 182
Глава 4, Свободные произведения и свободные произведения с
объединенной подгруппой . . , ¦ 190
4.1. Свободные произведения 190
4.2. Свободные произведения с объединенно"! подгруппой 207
4.3. Теоремы о подгруппах 236
4.4. Группы с одним определяющим соотношением 202
Глава 5. Коммутаторное исчисление 300
5.1. Введение 300
5.2 Коммутаторные тождества 301
5.3 Нижний центральный ряд 305
5.4. Свободно порожденные градуированные алгебры 311
5.5. Отображение свободной группы в алгебру Л {Z, г) 320
6.6. Элементы Ли и теоремы о базисах 328
5.7. Нижний центральный ряд свободной группы 347
5.8. Некоторые приложения 360
V
•

4 Содержание
5.9. Тождества , , . . 3G8
5.10. Формула Беикера — Хаусдорфа 378
5.П. Степенные и коммутаторные соотношения 383
5.12. Проблема Бернсайда. Показатели Зи4 390
5.13. Проблема Бернсайда для показателей е>4 396
5.14. Топологические аспекты 398
5.15. Свободное дифференциальное исчисление 403
Глава 6. Обзор современных исследований .,.••..« 407
6.1. Проблемы слов, сопряженности и другие алгоритмические
проблемы 407
6.2. Присоединения и вложения 41Л
6.3. Многообразия групп 417
6.4. Произведения групп 421
6 5. Аппроксимируемость и хопфовость 42f'
Литература 433
Список обозначений и сокращений 449
Предметный указатель , . 452

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Предлагаемая читателю книга является первой в мировой
литературе, посвященной систематическому изучению групп, заданных
образующими и определяющими соотношениями. Такие группы
возникли в связи с конкретными и важными задачами топологии»
сохранившими свое значение до наших дней. В то же время всякая
группа может быть задана с помощью образующих и определяющих
соотношений. Этим определяется значение излагаемого в книге
материала для теории групп вообще.
В отличие от общей теории групп, оперирующей с понятиями
элемента, подгруппы, фактор-группы, отображения групп,
основными объектами при изучении групп, заданных образующими и
соотношениями, являются слова в групповом алфавите, отношение
эквивалентности между словами, а также свойства слов,
инвариантные относительно различных преобразований. Анализ таких свойств
и отношений приводит к характерным для этого направления
комбинаторным методам, откуда, в частности, происходит название книги'
Многие важные вопросы теории групп удалось решить пока только
в рамках комбинаторных методов. Достаточно указать классические
результаты Нильсена — Шрейера о свободных группах и результаты
HjBHKOBa — Адяна о пер1юдическцх группах. Все это свидетель
ствует о важности и плодотворност!! комбинаторных методов в тео
рии групп.
Большое внимание уделено в книге классическим проблемам тож
дества, сопряженности и изоморфизма. Как известно, эти и многие
другие алгоритмические проблемы теории групп являются алгорит
мически неразрешимыми. Поэтому понятен интерес авторов к фак
гическому решению этих проблем в случаях, когда такое решение
вoз^южнo, Изложение в книге соответствующих методов и результа
тов явится стимулом для дальнейших исследований в этом направ
леиии.

предисловие редактора
Книга написана ясно, строго, но не формально. Идеям и связям
отдается приоритет перед техникой. От читателя требуется минимум
сведений из теории групп. Знаний в объеме университетского курса
алгебры вполне достаточно. Большую ценность для читателя
представляют многочисленные задачи, порой весьма трудные. Каждая
глава вплотную подводит читателя к кругу нерешенных проблем и
вызывает естественное желание попробовать свои силы в их решении»
что представляется приятной особенностью данной книги.
Главы 1, 2 переведены А. А. Фридманом, главы 3, 6 —Ю. И. Хме-
левским, главы 4, 5 —Д. И. Молдаванским.
Переводчики и редактор перевода сочли возможным, не делая
специальных оговорок и примечаний, устранить ряд неточностей и
погрешностей, вкравшихся в текст оригинала, а также заменить
некоторые термины и обозначения на принятые в нашей литературе.
Пополнен также список литературы, в основном за счет работ,
опубликованных уже после выхода книги в свет.
В процессе перевода авторы любезно прислали редактору ряд
исправлений, за что мы выражаем им нашу искреннюю благодарность.
М» Д. Гриндлингер

Посвящается
памяти
МАКСА ДЭНА
1878-1952
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге излагается та часть общей теории групп, которая
связана с заданием (представлением) группы образующими и
определяющими соотношениями. Именно таким образом задаются
группы, возникающие в некоторых топологических проблемах, и первый
серьезный вклад в эту часть теории групп был сделан Пуанкаре,
Дэном, Тице и другими топологами. Название «Комбинаторная
теория групп» говорит о частом употреблении комбинаторных методов,
являющемся характерным для этого направления.
Предполагается, что книга послужит учебником для
начинающих аспирантов, знакомых с элементами теории групп и линейной
алгебры. Первые две главы довольно элементарны и содержат
значительное количество задач. Задачи не всегда являются простыми,
но приводимых указаний обычно достаточью, чтобы сделать их
такими. Некоторые интересные результаты формулируются в виде
задач; эти результаты используются в тексте лишь со специальными
оговорками. (Читателю стоит просматривать задачи даже в том
случае, если он не хочет решать их.)
Излагаемый здесь материал не слишком сильно пересекается с
содержанием книг по теории групп А. Г. Куроша и М. Холла. Такие
разделы, как преобразования Нильсена (глава 3), свободные
произведения, свободные произведения с объединенной подгруппой
(глава 4), коммутаторное исчисление (глава 5), излагаются здесь более
подробно, чем в книгах Куроша и Холла.
Все теоремы, занумерованные числами, доказываются полностью.
Тем не менее некоторые результаты мы приводим без
доказательства; это делается в тех случаях, когда оригинальное доказательство
является длинным и выходит за рамки основного содержания
книги. Такие результаты либо сопровождаются именем автора (напри-

о Афсдисловне
мер, теорема Грушко), либо нумеруются буквой и числом (например,
теоремы с N1 по N13 о преобразованиях Нильсена или с Т1 по Т5
по топологическим аспектам).
Начиная с третьей главы, мы старались приводить ссылки на
статьи и монографии, относящиеся к обсуждаемому вопросу.
Обычно такие ссылки собраны в конце каждого раздела под заголовком
«Ссылки и замечания».
Шестая (и последняя) глава содержит краткий обзор некоторых
недавних исследований. Вряд ли необходимо говорить, что мы и не
пытались дать полный обзор. Мы, с сожалением, сознаем наличие
\и1огих пробелов. Некоторые методы и результаты, равно как н
ссылки, могли вообще ускользнуть от нашего внимания.
В течение ряда лет мы получали советы и критические замечания
от многих математиков, и мы весьма обязаны как нашим коллегам,
так и нашим студентам. Мы признательны также Национальному
Научному Фонду, который рядом субсидий, предоставленных Нью-
Г'Ьркскому и Адельфийскому университетам, облегчил сотрудниче-
ciii : i .lOpOB.
Эта книга посвящена памяти Макса Дэна. Мы хотим видеть в
эгом нечто большее, чем просто выражение благодарности одного
из авторов — ученика Дэна. Стимулирующее влияние идей Дэна
па изучение групп, заданных образующими и определяющими
соотношениями, осуществлялось не только посредством его
публикаций, но и в беседах и личных контактах; оно было много более
значительным, чем это может показаться при чтении его статей.
В 1923 году в докладе (который был мимеографирован и широко
распространен, но нигде не опубликован) Дэн указывал на важность
изучения вполне инвариантных подгрупп. Его настоятельные
утверждения о важности проблемы слов, сформулированной им более
пятидесяти лет назад, подтвердились сейчас сверх всяких ожиданий,
Нью-Йоркский университет Вильгельм Магиус
и Адельфийский > ниверситет Авраам Каррас
Декабрь 1965 г. Дональд Солитэр

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
и. Введение
Изложение специальных разделов теории групп представляется
уместным начать с повторения определения группы. Напомним, что
группа (О, •) есть непустое множество G элементов а, Ь, с,... с
бинарной операцией •, удовлетворяющей следующим четырем постулатам:
I. Для каждой упорядоченной пары а, b элементов из G {а Ф b
или а = Ь) однозначно определен такой единственный элемент с ^ G,
что
а- Ь^с A)
(с называется произведением а и Ь\ мы часто опускаем точку nnniucM
просто аЬ = с),
II. Операция • ассоциативна, т. с. для любых э.1ехМентов а, Ь, с
из G имеет место
{ab)c=^a{bc), B)
III. В G существует такой элемент 1, что
а . 1 = 1 . а ==г а, C)
где а — произвольный элемент изО. (Элемент 1 называется (^C//я///|ш
или нейтральным элементом группы G.)
IV. Для любого элемента а из G существует такой элемент а~\
что
а . а"' == а""^ • а = 1 D)
(а~^ называется обратным к а),
Саедует отметить, что мы не предполагаем операцию •
коммутативной, т. е. равенство
а * b ^ b ' а E)
может Fie иметь места для некоторых а, b из G. Если E) справедливо
для каждой пары а, b из G, то группа (G, •) называется
коммутативной или абелевой.
Постулаты I и II позволяют определить произведение п
последовательных элементов ^ь «2, •.•» ^л» не зависящее от
распределения скобок; например,
(^1^2) (^3^4) = ((^1^2)^3) ^4.
В частности, если ai = а2 = ... = а^ == а, то произведение
^< • «2 ... а^ обозначается через а'\ Используя постулаты III и 1\',

10 Гл. 1. Основные понятия
МОЖНО распространить определение а''' на случай, когда п является
нулем или отрицательным целым числом; именно, полагаем а^ = I
и а-" «= {a-^^Y Д-^тя положительного целого числа п. Отсюда легко
следует, что а'" • а^ = а'"+" и {а''')" = а"''' для всех целых чисел т, п.
Группа (G,0 содержащая такой элемент а, что каждый элемент g
из G является степенью а (т. е. gf = а" для некоторого целого /z),
называется циклшгеской с образующим а. Группа целых чисел
относительно сложения (здесь целое число нуль является нейтральным
элементом, а аР- обычно обозначается через па) является примером
циклической группы; действительно, в качестве образующего можно
взять число 1 (или —I). Другим примером циклической группы
является группа комплексных чисел I, —1, /, —i относительно
умножения; здесь образующим может служить число I (или—0»так
как 1 == /^, i = 1^, —1 =t^, —i = М. Разумеется, не всякая
группа является циклической. В самом деле, если gi «= а"^^ и g2 = а^\ то
т. е. любые два элемента циклической группы G перестановочны;
тем не менее существуют неабелевы группы, например, группа
подстановок трех символов. Более того, не всякая абелева группа
является циклической; например, четверная группа Клейна,
элементами которой являются функции /i {х) = X, /2 {^) = —^.
/з(л:) =—и fi{x) = г » Q в качестве групповой операции
рассматривается суперпозиция функций — абелева, но не циклическая.
Циклическая группа G имеет особенно простое строение: она
определяется (с точностью до изоморфизма) порядком своего
образующего а, т. е. таким наименьшим положительным числом п, что а" =»
^ I (если из а" = I следует л = О, то мы говорим, что а имеет бес-
1сонечный порядок). Элементы циклической группы G можно
представить степенями а, а умножение в G определяется правилом а"^ • а'^ ««
^ ^т-ь-п (справедливым в любой группе) и соотношением а^ «= 1,
где г — порядок элемента а. Например, если b — образующий
порядка двенадцать циклической группы В, то
Более того, из соотношения Ь^^ = 1 следует, что группа В
исчерпывается элементами 1, Ь, Ь^, Ь^ Ь^, 6'\ Ь^, Ь\ fc^, 6^, 6^^, й^Ч
Действительно, поскольку В — циклическая группа с образующим Ь,
каждый элемент ее можно представить как ft" при некотором целом л.
По правилу о делении с остатком п ^ I2q + s, где О < s < 12.
Отсюда
Определение группы S как циклической группы, образующий
которой имеет порядок 12, более экономно, чем задание ее таблицей

1.1. Введение II
умножения: действительно, ведь таблица умножения группы В
состоит из 144 элементов.
Четверная группа Клейна V функций Д (х) ¦- х, /г W *=« —^у
f^ (х) вг— , /4 W *= относительно операции суперпозиции не
имеет единственного образующего. Тем не менее ее можно породит1>
функциями —л; и ^J'»'^' ^- каждый элемент группы V является
некоторым «произведением» (суперпозицией) этих двух функций. Если а
обозначает —л:, а b обозначает— , то а^ =« 1, 6^ «« 1 и а6 = Ьа\ здесь
роль I (нейтрального элемента группы V) играет, очевидно, функция
/i {х) « X, Существуют ли другие алгебраические соотношения
(содержащие лишь операцию суперпозиции), которым удовлетворяют
элементы а и 6? Очевидно, да. Ибо элементы а и 6 удовлетворяют и
таким соотношениям, кака^ «= а, {abY = 1. Однако эти соотношения
можно вывести из первых трех. Например, abab ^^ а{Ьа)Ь ^
«= а (аЬ) b следует из аЬ == Ьа, и а (аЬ) b «« а'^Ь^ = 1 . 1 «= 1
следует из а^ = 1 и Ь^ = 1. Мы сейчас покажем, что на самом деле
каждое алгебраическое соотношение между элементами а и b можно
вывести из соотношений а^ «= 1, 6^ == 1 и аЬ ^ Ьа (и общих свойств
группы, таких, как а • а^^ = 1, а • 1 = а).
Пусть
а^'6^^ ... а'^Ф =. а^^Ь'^ ,.. аЧ'^ F)
— алгебраическое соотношение, выполняющееся в группе V при за"
мене а на —х и 6 на— . Соотношение F) эквивалентно соотношению
а^'Ф .,. a'^rb^^'sa'^''^ ... Г^'а"^^ =. 1. G)
Из соотношений а^ =» 1 и 6^ »= 1 имеем а = (а^) а-^ = 1 • а*"^ = а-^
и, аналогично b ^ Ь-К Поэтому G) эквивалентно соотношению, в
котором все показатели неотрицательны; более того, ввиду тех же
равенств каждый показатель в этом соотношении можно считать
равным нулю или единице. Так как в любой группе а^ = 6^ = 1, то
степени с нулевыми показателями можно вычеркнуть. Далее,
используя соотношения аЬ ^ Ьа, а^ ^ 1, 6^ = 1, равенство G) можно
привести к виду
а' . 6''- 1, (8)
где 8i и 62 мог^т принимать значения О или 1. Но если ei или 82
равно 1, то левая часть соотношения (8) превращается в а, 6 или аЬ,
что соответственно обозначает ф\ нкции —х, — или из группы У,
а не нейтральный элемент х. Поэтому 8i «= 82 = О и соотношение (8)
Имеет вид 1 = 1. Выполняя проделанные шаги в обратном порядке,

12 Гл. 1. Основные понятия
МЫ выведем соотношение F) из соотношений и^ = I, Ь- =^ I и
аЬ== Ьа.
Таким образом, четверную группу Клейна можно описать как
группу, порожденную двумя элементами а и 6, удовлетворяющими
соотношениям а^ = 1, Ь^ = 1, «Ь = Ьа, и такую, что всякое другсе
соотношение между элементами а и b можно вывести из этих трех.
Более того, произвольная группа, обладающая дв)мя образующими
с и d, связанными соотношениями с^ = \, сР = \, cd = dc w такая,
что все остальнРзЮ соотношения между end выводятся из этих трех,
изоморфна четверной группе Клейна (см. теорему 1.1).
Аналогичным образом, группа Sg подстановок трех символов х,
у, Z порождается З-циклом (л:, у, г) и 2-циклом (х, у). Если а
обозначает 3-цикл, а b обозначает 2-ц[(кл, го Sg порождается элементами
я и Ь, удовлетворяющими соотношениям а^ '^ \, Ь^ = I, аЬ = Ьа^,
Более того, можно также показать, что всякое соотношение между
аиЬ выводимо из этих трех соотношений (см. задачу 6 (а)). Наоборот,
произвольная группа, порожденная двумя элементами с w d,
удовлетворяющими соотношениям 6^^ = 1, d^ == 1 и cd = dc^, и такая,
что всякое соотношение между cwd выводимо из этих трех, изo^юpф-
на группе 2з (см. теорему 1.1).
Описание группы посредством ^июжecтвa образующих и
множества определяющих соотношений между этими образующими, т. е.
таких соотношений, из которых выводимы все остальные, называется
заданием (представлением) группы. Таким образом, циклическую
группу порядка 12 можно задать одним образующим b и множеством
определяющих соотношений, состоящим из одного соотношения 6^- ^
- 1; четверную группу Клейна можно-задать двумя образующими
а, b и соотношениями а^^ 1, Ь^^ 1, аЬ ^ Ьа в качестве
множества определяющих соотношений; группу подстановок трех символов
можно задать двумя образующими а, b и определяющими
соотношениями а^ = 1, Ь'^ = 1, аЬ = Ьа^.
Прежде чем идти дальше, мы обобщим предыдущие примеры ив
то же время уточним введенные понятия, в частности, такие, как
«алгебраическое соотношение», «выводимость соотношения из
данных соотношений».
Пусть а, Ь, с, ... — различные символы; введем также новые
символы а-^ й~^ с~^ ,.,
Словом W в символах а, Ь, с,... ^) называется конечная
последовательность
/i, /2 fn-u fn^ (9)
где каждое fv есть один из символов
а, Ь, с, ,.. , а~\ Ь~\ с~\ •». ;
длиной L {W) слова W называется натуральное число п,
М В отечественной литературе вместо «слово в символах а, Ь, с,...»
употребляется термин «слово в (групповом) алфавите а, <2~"^ Ь, Ь"^, с, с~^^..,».—17рил1.перев.

1.1. Введение 13
Для удобства мы вводим пустое слово длины нуль и обозначаем
2Г0 через 1. Если мы хотим точно указать с[1мволы, входящие в W,
го пишем W (а, 6, с, ...)» подразумевая при этом, что W составлено
не только из символов а, 6, с,..., но и из «обратных к ним» а~^ Ь~\
с--',... ^).
Обычно последовательность (9) записывают без занятых, т. е.
3 виде
hh ... fn-ifn* A0)
Для краткости блок из п последовательных символов а обозначают
а^, а блок из п последовательных символов а~^ — через а-'^]
например, слово a^b^b-^a-^c-^ совпадает со словом aaabbb~^a~^a-^c~K
но отлично от слова а^Ьа-Ч~^,
Таким образом, аа-^ является словом в «символах» а длины 2;
аЧа-^Ь-^Ь есть слово в символах апЬ длины 7; Ь^с~- — слово в
символах йу b н с длины 4, оно является также словом из символов b и с
длины 4; 1 есть слово в символах а, b пс длины О,
Обратным словом W"^ для слова W, заданного в A0),
называется слово
f Лп""-1 . . . /2Г', A1)
где если fv есть а или а~^ то /7^ соответственно есть а~^ или а;
аналогично для символов 6, Ь~\ с, с~^,... Обратным для пустого
слова считается оно само.
Например:
(ш-1)-1 =^^ аа-\ {aaba~~^b-'b~'by' - b~'bbab~'а"'а~\ \~' ^\.
Очевидно, что L {W) ==^ L (W-^) и (W7-i)-i == ^^^
Пусть W — слово /1/2 ... /^ и (/ — слово /1/2 ... fr- Произведением
WU слов W н и называется слово /1/2 ... /,/1/2 ... fr-
Очевидно, что {WUr^ - U~^W^^ и L {WV) ^ L {W) + L ([/).
Слово используется для представления формального
произведения элементов группы точно так же, как полином с целочисленными
коэффициентами употребляется для представления формальной
алгебраической комбинации элементов из некоторой области
целостности. Аналогично тому, как переменным данного полинома можно
приписывать значения из области целостности и вычислять
значения полинома в этой области, символам из данного слова можно
приписывать значения элементов из некоторой группы и вычислять
значение слова в этой группе.
Если дано отображение а символов а, 6, с, ... в группу G,
причем а {а) =» g*, а ф) ^ h, а (^) «= /г,..., то мы говорим, что
^) Далее наряду с выражением «слово в символах а, Ь, с,...» употребляется в
качестве синонима «слово из символов а, Ь, с?, ...» или более краткое «слово из а, 6,с,...»,
з^слово в а, 6, с,...».— Прим. перев.

14 Гл. 1. Основные понятия
{относительно а) а определяет g, b определяет Л, с определяет
А,.,., а-^ определяет g-^^ Ь~"^ определят h-^ с^^ определяет fe"~^ ¦..;
далее, слово W, заданное A0), определяет элемент
eiS2 ... Sn^xen. A2)
где f^ определяет gv; этот элемент обозначают W (g, Л, А,,,.); пустое
слово 1 определяет нейтральный элемент 1 из G.
Очевидно, что если слова U и V определяют элементы р и q
группы G, то и-^ определяет р-^ и UV определяет pq.
Если каждый элемент группы G определяется некоторым словом
Б символах а, 6, с,.., , то символы а, Ь,с,,,, , называются
порождающими или образующими символами (относительно отображения
а) группы G, а элементы Я, Л, /?, ... —порождающими или
образующими элементами группы G; можно говорить просто о
порождающих (или образующих) группы G, если из контекста ясно, о чем идет
речь.
Например, если V — четверная группа Клейна функций х, —х^
— , , то относительно отображения а-^—х^ 6-^— слово а^
определяет функцию х, а слово аЬ — функцию ; следовательно^
а и Ь являются порождающими символами (относительно этого
отображения) группы Y, Относительно отображения а -> —х, b ->
слово а^ определяет функцию х, а слово аЬ — функцию—;
следовательно, а и b являются порождающими символами (относительно
этого отображения) группы V. Относительно отображения а-'^х^
b -^ —X любое слово в алфавите а и b определяет лишь «степень»
функции —Л", т, е. X или —х; поэтому а и b ве являются
порождающими символами группы V (относительно этого отображения).
Начиная с этого места, мы будем считать в данном разделе, что
символы а, Ь, с,,.* являются порождающими символами группы
О (относительно отображения а).
Если слово R (а, fe, с,...) определяет нейтральный элемент 1
группы О, то мы говорим, что R (а, Ь, с,...) равно единице (единичное
слово) в G (интуитивно — это просто левая часть соотношения, у
которого в правой части стоит 1). Равенство
R{a, b. Су ...)« S{a, b, Су ..,)
называется соотношением, если слово RS'^^ равно единице в G (или^
что то же самое, если слова R и S определяют один и тот же элемент
группы G).
Пустое слово и слова aa'~^ а-^а, bb-^^yb-^b^ сс-^с^Су ...равны
единице в любой группе; мы будем называть их тривиально
равными единице (или тривиальными словами).

1.1. Вг^едекие 15
Пусть слова Я, Q, /?,..» равны единице в группе О. Будем
говорить, что слово W выводимо из слов Р, Q, /?,..., если W можно
преобразовать в пустое слово за конечное число шагов, каждый из которых
состоит в выполнении одной из следующих операций:
(i) Вставка одного из слов Р, Р'^^ Q, Q~\ R, R'^\,,, или одного
из слов, тривиально равных единице, либо между любыми двумя со-
седними символами из W, либо перед W, либо после W.
(ii) Вычеркивание из слова W части (отрезка) слова W,
совпадающей с одним из слов Ру Р'~\ Q, Q~'\ /?, R~'\ ... или словом,
тривиально равным единице.
Это определение выводимости для слов позволяет уточнить
интуитивное понятие выводимости соотношений, а именно, мы говорим,
что равенство W ^^ V выводимо из соотношений Pi = Р2, Qi =^-^ Qz,
/?4 = /?2» .»• в том и только в том случае, если слово \?^^~^выводимо
из слов PiPT\ QiQT\ RiRT\ ...
, Рассмотрим снова четверную группу Клейна V и пусть а есть
отображение а -> —л:, & -^— . Тогда слова а^, 6^ и aba~^b-^ (это
последнее слово получается «перенесением в левую часть правой
части» соотношения аЬ = Ьа) равны единице в группе V, Слово abab
также равно единице, и его можно вывести из этих трех слов. Это
показывает следуюихая последовательность слов, в которой каждое
получается из предыдуш^его посредством операций (i) или (ii):
abab, ab • {аа)~^ • ab = aba'~^a'^^ab = aba'~^ {a~^a) b, aba'^b,
aba-'ib^-'b^aba-^^b-^b-^^b^aba-^b-^b^^b), aba~'^b~\ 1.
Более того, можно показать, что каждое слово, равное 1 в К,
выводимо из слов а^, 6* и aba-^b^K
Очевидно, что всякое слово W, выводимое из единичных слов
^, Q, ^, ¦.., само является единичным. Действительно, применение
операций (i) и (ii) не изменяет элемента группы G, определяемого
словом, и, так как в результате получается пустое слово, W должно
определять нейтральный элемент группы G,
Если каждое единичьюе слово выводимо из единичных слов Р,
Q, ^?,... ,то множество Р, Q, /?,... называется полным множеством
единичных слов, или множеством определяющих слов группы G
относительно порождающих а, Ь, с, »,, Если Р, Q, /?,... — множество
определяющих слов группы Gотносительно порождающих G, Ь, с, ...,
то выражение вида
хЧ^с,...; Р{а,Ь, c;,...),Q(a,6, с,...), /?(а, 6, с,...),.,,) A3)
называется представлением группы G, что символически
обозначается так:
а^(а, Ь, с, ... I Р, Q, /?, ...).

16 Гл. 1. Основные понятия
Представление называется конечно порожденным, если число
образующих в нем конечно. Если конечно порожденное представление
содержит конечное число определяющих слов, то мы называем его
конечно определенным. (При задании представления часто вместо
определяющих слов используют соответствующие им определяющие
соотношения ^); иногда пишут и то, и другое. Так, представления
{а, Ь; а2= 1, 62== 1, ab = ba),
(а, Ь\ а\ Ь\ ab = ba), (а, Ь; а\ Ь\ aba-'b"^)
обычно не различаются.)
Каждая ли группа обладает представлением? Ответ, очевидно^
положительный: мы получим представление произвольной группы G^
вводя свой порождающий символ для каждого элемента группы G,,
а в качестве множества определяющих слов — все слова в этих
образующих, равные единице в G.
Таблица умножения группы G определяет другое представление
этой группы. Снова для каждого элемента из G выбирается свой по-
рождающий символ. В качестве определяющих слов берутся все
слова длины три вида йЬc"~^ где a.bwc — такие порождающие символы,
что произведение элементов, определяемых символами а и 6,
определяется символом с. Покажем, что всякое слово, равное единице, дей->
сгвительно выводимо из этих слов длины три. Пусть
«^'=/l/2 ••• /.
равно единице в группе G. Прежде всего исключим следующим
образом все встречающиеся в W отрицательные показатели.
Пусть Ь-^ входит в W\ существует порождающий символ, скажем,
с:, определяющий тот же элемент, что и Ь-\ поэтому среди наших
определяющих слов содержится слово Ьсе~\ где е определяет
единицу группы G. Вставим 6с(?~"^справа от Ь-^ в слово W и, получив
b~^bce~\ вычеркнем fe-^6; вставим справа от се-^ слово еее~^ и
вычеркнем из полученного слова се~^еее-^ отрезки е-^е и ее~^, Птак^
используя операции (i) и (ii), мы заменили в W символ Ь-^ на с.
Теперь, считая все показатели в W положительными, уменьши^*
длину W, Если awd — соседние символы из W, найдем
определяющее слово вида adq-^\ вставим q~^q справа от ad в W, получим
adq-^q, откуда, вычеркнув adq~\ получим q. Таким образом,
используя операции (i) и (ii), мы заменили в слове W ad на q.
Продолжая эту процедуру, мы можем уменьшать длину слова W
до тех пор, пока не получим слово длины 1, состоящее из
единственного порождающего символа. Так как W равно 1, этот порождающий
символ определяет нейтральный элемент группы G, и поэтому
должен быть символом е. Вставим теперь ее~^ справа от ^ и выбросим
1) Если F — определяющее слово, то Р=в1 называется определяющим
соотношением, соответствующим ему. --^ Прим, перев.

l.I. Введение 17
eee~^\ Таким образом, используя операции (i) и (ii), мы
преобразовали слово W в пустое слово. Следовательно, таблица умножения
определяет представление группы G; мы будем называть его
табличным представлением G.
Табличное представление показывает, что каждая конечная
группа обладает конечным представлением. Но, вообш.е говоря,
табличное представление весьма громоздко и несет много излишней
информации.
В следующем разделе мы покажем, что для любого данного
множества символов и любого множества слов из этих символов
существует единственная (с точностью до изоморфизма) группа, для
которой эти символы являются образующими, а слова —
определяющими словами. Это дает нам полезный метод построения групп
(неудобства, связанные с этим методом, будут обсуждаться в
разделе 1.3).
Теория представлений (заданий) дает также метод получения
результатов о бесконечных группах. Математическая индукция по
порядку группы, весьма полезная в теории конечных групп,
неприменима в случае групп бесконечных. В этом случае можно часто
использовать индукцию по длине слов, представляющих элементы
группы.
Наконец, группы, заданные посредством представлений,
естественно возникают в таких областях, как теория узлов (см.,
например, КроуэллиФокс [1]), топология (см., например, Р е й -
демейстер [2]), автоморфные функции (см., например, Л е н е р
[1J) и геометрия (см., например, К о к с т е р [2]).
Теория представлений пытается получить информацию о группе
по ее представлению.
Представления многих известных групп читатель найдет в книге
Кокстера и Мозера[1].
Задачи
1. Показать индукцией подлине слова U (а^ Ь, с, ...), что UU^^ выводимо
из множества слов, тривиально равных 1, и поэтому соотношение U =:z U
выводимо из любого множества соотношений. [Указание. Если U = Va^, где
е равно 1 или —1, то UU^^ =» Уа^аГ'^У~К]
2. Показать, что вставку и вычеркивание слов Р~*, Q~^, 7?~"^.... можно
произвести вставкой и вычеркиванием слов Р, Q, Р,... и слов, тривиально равных 1.
(Указание. Чтобы вставить Р~^, используя тривиально равные 1 слова,
вставляем РР~^, а затем вычеркиваем Р.]
3. Пусть а, h, с, ... — порождающие символы группы G и пусть Р, Q, /?, ... —
множество слов, равных 1. Выводимость здесь означает выводимость из слов
Л Q, R,...
(a) Показать, что если W выводимо, то W ^ выводимо; поэтому, если U =¦
«= V выводимо, то и V ^ и выводимо.
(b) Показать, что если UV я W выводимы, то и L/Wl^ выводимо; в частности,
произведение двух выводимых слов выводимо.
(c) Показать, что если W выводимо, то и KWjK^^ выводимо.

18 Гл. I Основные понятия
(d) Показать, что если каждое из слов W^, W^, ..., U7^ выводимо, то и
произведение /СД,/(р^.. Кп^п^'^^ выводимо.
(e) Показать, что если U ^ V и V f=m W выводимы, то и 6^ ==. W выводимо.
(f) Показать, что если U ^ К и /( =» М выводимы, то и UK =¦ VM
выводимо.
(g) Показать, что если U =о V выводимо, то и KUM «=» KVM выводимо.
4. Показать, что если слово К выводимо из слов Ж, ^V, ..., а слова М, N
выводимы из слов Р, Q, /?,..., то К выводимо из Р,Q, /?,...; поэтому, если М, N. ..—
множество определяющих слов, то и Р, Q, /?,...— множество определяющих слов.
б. (а) Показать, что «табличное представление» циклической группы
порядка четыре имеет четыре образующих и шестнадцать определяюн;их слов,
й выписать это представление.
(b) Привести представление этой группы с одним образующим и одним
определяющим словом.
(c) Указать представление этой группы, содержащее один образующий 6
и два определяющих слова, отличных от Ь^ или 6""^.
(d) Привести представление этой группы с двумя образующими и тремя
определяющими словами.
[Указание. Для (с) использовать Ь"^ и Ь^^ в качестве определяющих слов
и показать, что Ь* выводимо. Поэтому согласно задаче 4 6^ и Ь^'^ образуют
множество определяющих соотношений. Для (d) рассмотреть числа: 1, t, —I, —i,
образующие группу относительно умножения; положить а -^ i, b -^ i и показать,
что а*, 6*, ak~'^ есть множество определяющих слов, используя единичное слово
а6""^ для приведения W {а, Ь) к виду d\]
6. (а) Показать, чго группа S3 подстановок символов к, у, г допускает
представление
<а, Ь\ а», 6^ аЬ ^bd^}
относительно отображения а -^ (х, у, г), 6 -> (х, г).
(Ь) Показать, что 2з имеет представление
{а, Ь] а^, Ь'\ (аЬ)^}
огносительно отображения а -^ {х, у), 6 -> {х, г).
[Указание, В (а) показать, что произвольное слово из а и ^ можно пря
помощи операций (i) и (П) преобразовать в одно из слов 1, 6, а, Ьа, а^, Ьа^, среди
которых 1 является единственным единичным словом, поэтому произвольное
единичное слово можно преобразовать в пустое слово. Чтобы преобразовать
произвольное слово в одно из этих шести, следует, используя слова а^ и 6^, получить сна-
«1ала слово лишь с положительными показателями, и затем, используя аЬ = bd^,
сдвигать b влево. В (Ь) показать, что любое слово из an b можно при помощи
операций (i) и (ii) преобразовать в одно из слов 1, а, Ь, аЬ, Ьа, аЬа\ так как среди них
лишь пустое слово являегся единичным, произвольное единичное слово можно
преобразовать в пустое слово. Чтобы преобразовать произвольное слово в одно из
&ТИХ шести, следует, используя а^ и Ь^, получить сначала слово с показателями,
равными 1, И затем показать, что baba преобразуется в аЬ, abab — в 6а и bab —
в aba.]
7. Показать, что относительно отображения а -^ I, b -*- j группа
кватернионов имеет представление
Ча. Ь\ ab^b-^a, Ьа^а'^Чу.
{Указание. Сначала доказать выводимость равенств а^ =» (abf «- 6*.
Затем установить выводимость слов а* и Ь^ следующим образом: а* «¦ л • а^ • а ^
» ab^a^sm abba f^ Ь'^ аа~~ Ьшт\. Наконец, показать, что произвольное слово
W HS ан b можно преобразовать в одно из слов I, а, а^, о*, Ь, аЬ, а^Ь^ а^Ь]

^ аЧш^\\ ^1, откуда
1.1. Введение 19^
8. Группу диэдра D-jn порядка 2/г можно определить как группу 2X2-
матриц над кольцом классов вычетов целых чисел по mod п вида
h 41
где 8 есть 1 или —1, а /г — произвольный элемент кольца, относительно
матричного умножения. Показать, что эта группа допускает представление
(а, Ь\ а'', ^2, ba^a~^b)
относительно отображения
о \V 1 о 1
k 111 k
(Указание. Показать индукцией, что а^ ¦=
будет следовать, что а п b являются порождающими символами группы D^^,
Показать, далее, что каждое слово из а'и b можно преобразовать, используя опера*
ции (i) и A1), к виду а^ или а^Ь, где О -< ^ < л. ]
9. Бесконечную группу диэдра D можно определить как группу 2 X 2-матриц
над кольцом целых чисел вида
[|8 Ц
1|о 1Г
где 8 ==» i 1 и ^ — произвольное целое число, относительно матричного
умножения. Показать, что эта группа имеет представление
(а, 6; 62, ba^a^^b)
относительно отображения
'"Но ilh '"I о i|h
Указание. См. указание к предыдущей задаче; показать также выводимость
равенства Ьа~^ ^вв аЬ и использовать его вместе с Ьа ш» а'^^Ь мя сдвигов b вправо.]
10. Пусть группа G обладает представлением, в котором все определяющие
слова имеют четную длину. Показать, что порядок каждого элемента,
определяемого порождающим символом, является четным числом; поэтому, если группа G
конечна, порядок ее четен. [Указание. Так как определяющие слова и слова,
тривиально равные единице, имеют четную длину, применение операций A) и (И)
к произвольному слову не изменит четности его длины. Таким образом, если
слово W равно единице, и поэтому может быть преобразовано в пустое слово, длина
W должна быть четной. Следовательно, если а — порождающий символ, a^^'^^
не равно единице. Порядок всякого элемента группы нечетного порядка является
нечетным числом.]
П. Показать, что а~^а нельзя преобразовать в пустое слово при помощи
вставок и вычеркиваний слова аа"^. [Указание. -Отобразим а на функцию
/, определенную на множестве целых чисел отображением /г ->- 2п для всех п.
Отобразим а"^ на функцию g, определенную на множестве целых чисел отображением
л -> л, если п нечетное, и л -> -у , если п четное. Слово W (а), являющееся
последовательностью символов а и a'"^ отображается на результат суперпозиции,
соответствующей последовательности функций f и g\ например, аа~^а""^аа
отображается на функцию п -V (л) fggff- Так как операция суперпозиции функций ассоциатив»
ha и fg — тождественная функция, то слова Каа'^^М и КМ отображаются на одну

20 Гл. I. Основные понятия
и ту же функцию. Поэтому,если бы а~^а можнобыло преобразовать в пустое слово,
вставляя и выбрасывая аа~\ образом слова а~^а была бы тождественная функция^
Но а^^а отображается на функцию gf, которая удваивает нечетные числа.]
12. Для каждой из следующих групп найти множество порождающих
элементов и несколько слов, равных единице.
(a) Группа подстановок, состоящая из тождественной подстановки и
подстановок A2 34), {13)B 4), A4 3 2), A3), B 4), A 2)C 4), A4)B 3).^
(b) Группа функций aJ^x и —, где (о — первообразный корень степени п из
единицы и 0^ ^ < Ai, относительно суперпозиции функций.
(c) Группа матриц вида
lie ^11
IIО
где е =» ± 1 и А; — любог целое число, относительно матричного умножения/
2nki
(d) Группа комплексных функций / (г) =. в " . г, где 0^ ^ < п,
относительно суперпозиции.
(e) Группа из семи отражений трехмерного евклидова пространства
относительно начала координат, каждой координатной оси и плоскости вместе с
тождественным преобразованием; групповая операция — произведение преобразований.
13. Показать, что если множество G с операцией • удовлетворяет
постулатам 1 и И, и обладает правым нейтральным элементом I, таким, что а • 1 =^
«^ а для всех а, и вместе с каждым а содержит его правый обратный а~\ такой,
что аа~^ = I, то (О, •)—группа.
14. (а) Показать, что если группа G обладаег конечным множеством
образующих gif ..., g,i, то из любого множества образующих группыG можно выбрать KOijeq-
ное подмножесгво, порождающее группу G.
(Ь) Показать, что если группа G имеет конечное множество определяющих
слов /?1 (а^,), /?2 (%)f •••» ^т (<^у) относительно образующих а^, «2, ..., an, то из
произвольного множества определяющих слов группы G огносительно образующих
а^.а^у »>-, а,1 можно выбрать конечное подмножество определяющих слов 6
огносительно этих образующих.
[Указание. Для (а) использовать то, что каждый из элементов gy,..., g^
выражаегся лишь через конечное число образующих. Для (Ь) воспользоваться тем,
чго если слово выводимо из множества определяющих слов, то оно выводимо
из некоторого конечного подмножества этого множесгва; использовать также
задачу 4.]
1.2. Построение группы по образующим
и определяющим словам
Пусть дано множество различных символов а, &, с,... и
(возможно пустое) множество слов Р, Q, /?,... из этих символов. В этом
разделе мы покажем, что существует единственная (с точностью до
изоморфизма) группа, обладаюндая представлением
(а, Ь, с, ...; Р, Q, /?, ...).
Для построения такой группы мы будем использовать слова в
символах а, Ь, с,... Множество всех этих слов относительно операции
умножения (состоящей в приписывании второго сомножителя к
первому) группы не образует. Хотя в нем выполняются аксиомы I, II

1.2. nocipocmie группы 21
(приписывание есть, очевидно, ассоциативная операция) и III
(нейтральным элементом служит пустое слово), никакое слово, отличное
от пустого, не имеет обратного (из соображений, основанных на
длине, легко следует, что если WU = 1, то U^' = 1 и /7 = 1).
Для того чтобы елoBoll^"^ являлось обратным к слову W
относительно операции приписывания, мы должны потребовать, чтобы
слова аа~^ а~^а, bb-\ b~^b, сс~\ с~Ч, ... были отождествлены с
пустым словом. Более того, если мы хотим, чтобы слова Р, Q, /?, ...
равнялись единице в некоторой группе, они все должны быть
отождествлены с пустым словом. Эти естественные требования
подсказывают введение следуюидего отношения эквивалентности.
Слова Wi и \^2 в символах а,Ь,с,,,. называются эквивалентными^
если Wi можно преобразовать в W2 за конечное число шагов, каждый
из которых состоит в выполнении одной из следуюш.их операций:
(i) Вставка одного из слов Р, Р~~\ Q^Q"'^ R, R~\ ... или одного из
слов, тривиально равных еды1ци{е, либо между любыми двумя
соседними символами слова Wu либо перед словом Wu либо после него,
(ii) Вычеркивание из слова отрезка (части) ^ совпадающего с одним
из слов Р, Р"'^ Q, Q~\ R, R~\ ..., или словом, тривиально равным
единице.
Эквивалентность слов Wi и W2 будем обозначать через
W^-W,. A)
Отношение -- является отношением эквивалентности.
Действительно, оно рефлексивно, т. е.
W^W, B)
так как W можно преобразовать в себя вставкой пустого слова,
тривиально равного единице. Отношение — симметрично, т. е.
из K.^W, следует W,^W,, C)
так как преобразования, обратные операциям (i) и (ii), являются
соответственно операциями {I'l) и (i). Отношение ^ транзитивно,т. е.
из W,-^W, и W,^W^ следует W.^Vf,, D)
так как, чтобы преобразовать Wi в W^, следует сначала преобра-
зозать Wi в Wz, а затем W2 в Ж^з- Кроме того, отношение ~
сохраняется при умножении слов, т. е.
из W,^W, и W,^W, следует W,W,^W,W,, E)
так как мы можем сначала преобразовать WiWs в W2W3J а затем
W2W3 в W2W,.
Класс всех слов в символах а, Ь,с,..., эквивалентных слову W
(класс эквивалентности), будем обозначать через {W^}, а сЛово W,
или любое другое слово, содержаш,ееся в (IFj, будем называть
представителем класса {ft^}.

22 Гл. 1. Основные понятия
Определим умножение классов эквивалентности посредством
равенства
{W,] . [W,] = {W,W,]. F)
Ввиду СВОЙСТВ B), C) и D) класс эквивалентности однозначно
определяется любым своим представителем; кроме того, ввиду E)
произведение двух классов не зависит от способа выбора
представителей, участвующих в его определении.
Множество классов эквивалентности с операцией умножения,
определенной равенством F), является в точности той группой,
которую мы ищем.
Теорема 1.1. Множество G классов эквивалентности,
определяемых отношением ^ на множестве всех слов в символах а, Ь, с,.,. ^
является группой относительно умноженияj определенного в F).
Более того, относительно отображения
а^{а], Ь->{Ь}, с~>{с}, ... G>^
группа G имеет представление
(а,Ь,с, ...5 Я (а, &, с, ...), Q{a,b,c,...), R{a,b, о, ,,.), ...). (8)
Наконец, если некоторая группа G' имеет представление (8), та
G' изоморфна группе G,
Доказательство. Так как произведение любых двух
классов эквивалентности из G является вполне определенным
классом эквивалентности из G, аксиома I из раздела 1 выполнена.
Аксиома II следует из F) и ассоциативности произведения слов. Класс A)^
содержащий пустое слово, является ввиду F) нейтральным
элементом G и потому аксиома III выполнена. Обратным к классу {W}
является класс {11^-^}, т. е.
{Wr' « [W-'l (9)
В самом деле, {W} • [W^^] »» {И^й^""^} и так как вычеркивание
слов, тривиально равных единице, переводит WW^^ в пустое слово,
то {WW"^] - {1}. Аналогично, [W^] - [W] « A}. Таким обра>
80M, аксиома IV также выполнена, и G является группой.
Для доказательства второго утверждения теоремы, т. е. того,
что G имеет представление (8) относительно отображения G),
покажем сначала, что символы а, &, с, ... являются образующими
группы G. В самом деле, в силу F) и (9) имеем
W{{a), [b], (с), ...)={Г(а, ft, с, ...)}; A0)
например, {а) • {Ь) • [а]-^ =« {а} • [Ь] • [а-^] « {аЬа-^}, Поэтому
относительно G) слово 117 (а, by с,...) определяет класс {W (а, Ь,с,...)},
и символы а, Ь,с, ... являются порождающими для G.
Покажем далее, что Р, Q, R, ,., есть множество определяющих
елов группы G. Слово Р (а, 6, с,.,.) ввиду A0) определяет относитель-

1.2. Построение группы 23
НО отображения G) класс {Р {а, Ь, с,...)}. Но вычеркиванием Рслово
Р преобразуется в пустое слово, откуда P'-s^l и [Р] =« {!}. Таким
образом, слова Р, Q, R,,.. равны единице в группе G. Пусть теперь
S (а, Ь, (?,.».) — произвольное слово, равное единице в группе G;
тогда ввиду A0) S определяет класс {S (а, 6, с, ...)), который должен
совпадать с {1}, Поэтому S ^ \ w слово S можно преобразовать
в пустое слово при помощи операций (i) и (ii). По определению,
тогда S выводимо из единичных слов Р, Q, R,,.. Таким образом,
©ти последние составляют множество определяющих слов группы О.
Для доказательства последнего утверждения теоремы
предположим, что группа G' обладает представлением (8) относительно
отображения
«->§', b^h\ c-^k\ ...
Покажем, что отображение
{W{a, 6, с, ..,)}^W{g\ h\ k\ ...) (II)
является изоморфизмом группы G на группу G\
Сначала покажем, что отображение (И) однозначно
определено, т. е. что если ^'i^W^. то Wi{g\ h\ k\ ...) = W2 {g\ h\ k\ ...).
Ho еслиWi r^ W2, TO ft^ilF^^ можно преобразовать сначала в W^W^^
и затем — в пустое слово при помощи операций (i) и (ii).
Следовательно, U^ilFr^ выводимо изР, Q, /?,... и потому равно единице в группе
G\ Таким образом, имеем W^ {g\ h\ k\ ...) « W2 {g\ h\ k\ ...).
Покажем далее, что отображение (И) взаимно однозначно.
Предположим, что Wi {g\ li\ k\,,,) - W2 {g\ h\ k\,.,). Тогда W^WT^
равно единице в группе G и так как G' имеет представление (8), то
WiWT^ выводимо из Р, Q, /?,».. Таким образом, WiWT^ можно
преобразовать в пустое слово, используя операции (i) и (ii), и поэтому Wt
можно преобразовать сначала в WiW2'^W2 и затем в Wz- Отсюда
Wi ^ 1^2, и отображение взaи^и^o однозначно.
Отображение (И) является отображением на G\ так как
символы а, Ь, с,,,, являются образующими группы G\
Наконец, гомоморфность отображения (И) следует из F) и того,
что элемент, определяемый словом WiWz, является произведением
элементов, определяемых сомножителями Wi и Wz- Таким образом,
отображение (И) является изоморфизмом группы О на группу
G\4
Следствие 1.1.1. Любые две группы, обладающие
представлением (8), изоморфны относительно очевидного отображения.
Доказательство. Обе группы изоморфны группе классов
эквивалентности относительно очевидного отображения.^ >
Следствие 1.1.2. Пусть элементы g\ h" k\ »,, группыG''
таковы, что каждое из выражений
P(g\ h\ k\ ...). Q(S\ h\ k\ ,..). R{g\ h\ k\ ...), ,.. A2)

24 Гл. 1. Основные понятия
совпадает с нейтральным элементом группы G". Тогда отображение
(Г (а, Ь, с, ...)}-^W(g\ 1г\ k\ .,.) A3)
является гомоморфизмом группы G классов эквавалентностм,
определенной выше, в группу G" и, следовательно, существует
гомоморфизм произвольной группы G с представлением (8) в группу О".
Доказательство. Действительно, каждое выражение
из A2) равно единице группы G"; далее, если слово W^ {а, Ь, с, ...)
можно преобразовагь в словоИ^з (^» Ь, с, ...), используя операции (i)
и (ii), то Wi (g'\ li\ k'\ ...) и U72 (g\ h\ k\ ...) совпадают в группе G\
Поэтому отображение A3) однозначно определено; оно является
гомоморфизмом по тем же причинам, что и отображение A1).-^
Следствие 1.1.3. Если группа G имеет представление
{а. Ь. с, ...\ Р, Q, /?, ...),
а группа G' имеет представление
(а, Ь, с, .,.; Я, Q, /?, ..., 5, Г, ...),
то G' является гомоморфным образом группы G относительно
очевидного отображения.
Доказательство. Если символы а, 6, с,... определяют
соответственно элементы g\ li\ k\ ... группы G', то слова Я, Q, R,...
определяют нейтральный элемент группы G'. Наше утверждение
теперь вытекает из следствия 1.1.2,^
Теорема 1.1 гарантирует нам, что всякое формальное выражение,
имеюнхее вид представления, на самом деле является представлением
некоторой группы. Мы проиллюстрируем сейчас эту теорему
несколькими примерами.
Рассмотрим группу классов эквивалентности, заданную
представлением
(а, Ь; а\ Ь\ ab=.ba). A4)
Покажем, что эта группа имеет порядок 6 (на самом деле она
является циклической порядка 6). Для этого покажем сначала, что
каждый класс из G имеет представителя среди слов
1, а, а\ Ь, аЬ, а'Ь. A5)
Действительно, от любого данного W (а, Ь) мы мол<ем перейти к
эквивалентному слову W' вида
a^-obf^o^^^b^. ^^^а'^'Ь^п^ A6)
где всякий показатель, за исключением, быть может, а^ и Р^,
отличен от нуля, вычеркивая, пока возможно, из Ц7 слова, тривиально
равные единице. Так как а-^ ^ а^, Ь~^ = b {Wi ^ U^2 тогда и
только тогда, когда 11^1 W7^ выводимо из Я, Q, R,..,), то ввиду E) можно
в W' заменить Ь-^ на Ь, а~^ на а^, и получить эквивалентное слово
W'\ в котором все показатели положительны. Поскольку аЬ ^ Ьа,

1.2, Построение группы 25
то а^Ь^ ^ Ь'^'а'^ (см. задачу 1), и поэтому можно заменить Ь^а"^ на
а'^Ь^ и получить эквивалентное слово. Предполагая, что W" имеет
вид A6), и заменяя в нем отрезок b^oa'^t на а^^-^Ь^'», переведем W'' в
эквивалентное слово W^^ вида
^a.+a^+f^,^a^ ^ ^ ^ а'^пЬК A7)
Продолжая действовать так же, мы через конечное число шагов
получим слово, эквивалентное W и имеющее вид
а%\ A8)
где а, Р — неотрицательные целые числа. Используя а^ ^^ Х.У^ ^ 1,
приведем а по модулю 3, а р — по модулю 2 и получим, что W
эквивалентно одному из слов A5), т. е. G имеет не более шести эле;
ментов.
Покажем теперь, что Gсодержит не менее шести элементов (т. е.,
что никакая пара слов из A5) не эквивалентна). Это можно сделать
различными способами. Один из них — построение для каждой пары
слов из A5) гомоморфного образа G, в котором эти слова переходят
в разные элементы. Например, циклическая группа X порядка 3 с
образующим X является гомоморфным образом О при отображении
[а]^х, {Ь]^и
9Т0 вытекает из следствия I.I.2, так как определяющие слова из A4)
являются все единичными словами в X. Таким образом,
эквивалентными могут быть лишь те слова из A5), которые имеют одинаковые
показатели при а. Аналогично, используя циклическую группу Y
порядка 2 с образующим у в качестве гомоморфного образа G
относительно отображения
получим, что эквивалентными могут быть лишь те слова из A5),
которые имеют одинаковые показатели при Ь. Таким образом,
никакие два слова в A5) не могут быть эквивалентными, и G содержит
в точности шесть элементов. Вместо этого мы могли бы рассмотреть
гомоморфизм G в циклическую группу Z порядка 6 с образующим г
при отображении
[а]^г\ [b]-.z\
(Это отображение — гомоморфизм в силу следствия 1.1.2, так как
определяющие слова из A4) являются единичными словалн] в Z.)
Поскольку слова из A5) переходят при этом в различные элементы
1, г^ г^, г^, г\ г, то они не эквивалентны. (Более того, поскольку и
G, и Z имеют порядок 6, гомоморфизм является взаимно
однозначным отображением «на», и поэтому О изоморфна Z.)
Второй метод доказательства того, что G имеет порядок б,
заключается в построении графа группы G (см, раздел 1.6),

26 Г.П. 1. Основные понятия
В качестве другой иллюстрации теоремы 1.1 рассмотрим группу Q
классов эквивалентности, заданную представлением
(а, 6, с\ а^, Ь^у с^, ас =* са~\ аЬа~^ »» bcb'^^).
Покажем, что это просто сложный способ определения единичной
группы.
Действительно, так как аЬа-^ ^ bcb'~\ то (аЬа-^^)^ ^ {bcb~^Y*
Поскольку а-^а ^ 1, b'^^b ^ 1, отсюда следует, что {aba-^^Y ^ аЬ^а-^
и фсЬ"^)^ ^ bc^b^K Но 6^ ^ 1, откуда аЬ^аг^ ^ 1 и, значит,
Ьс^Ь'~^ '-^ I; а тогда с? ^ \ЛЪс^ ^ \ \\с^ ^ 1 следует с ^ \. Далее,
из аЬаг^ ^ bcb"^^ получаем b ^ 1, а из Gс ^ са~^ w с ^ \ выводим,
что а ^ а~^ т. е. а^ '^ 1. Так как а^ ^ 1 и а^ '^ 1, то это влечет за
собой а /^ Ь Итак, а, 6, с все эквивалентны 1; каждое слово
W(a,b,c) эквивалентно 1 и, значит, G есть единичная группа.
При построении классов эквивалентности в теореме 1.1 не
предполагалось, что число образующих и определяющих слов конечно
или даже счетно. Приведем пример группы классов эквивалентности,
определенной несчетным представлением. Выберем порождающие
символы Га и /р ДЛЯ каждого положительного действительного числа
а и каждого действительного р, а в качестве определяющих
соотношений для нашего представления — соотношения
/'аГэ-'Гар, ^ A9)
toto «= /р |.о, B0)
fofo = taQ^OL" B1)
в качестве непосредственного следствия из соотношения A9) при
а = р =« 1 получаем ri /^ 1; полагая, далее, р «« -—, найдем
Га • П/а --/•«.!/« ^ 1, откуда г^^ ^ Гца* Дзлсе, ИЗ B0) при р =» а «
«= о и затем при а == — р последовательно получаем i^, ^ \ ^ f^^ ^
^ /_р. Из этих эквивалентностей следует, что каждое слово,
записанное через образующие, эквивалентно слову вида
k/ajo/a, . . . /р/а^, B2)
Более того, используя сначала B1), а затем A9) и B0), можно
преобразовать слово B2) в эквивалентное слово вида
^цгь B3)
где |л и X — действительные числа, причем Х положительно.
Никакие два слова вида B3) не могут быть эквивалентны. Дей-
втвительно, отображение, определенное посредством
||а О
^'^^^llo il

1.2. Построение группы
27
является гомоморфизмом группы G на группу действительных
2 X 2-матриц относительно матричного умножения. Для проверки
этого используем следствие 1.1.2 и покажем, что A9), B0) и B1)
являются соотношениями в этой группе матриц. При указанном
гомоморфизме имеем
1А, (х|
{кЫ
о 11
и поэтому различные слова вида B3) не эквивалентны (G, конечно,
изоморфна этой группе матриц).
В качестве примера использования представлений для
построения группы, удовлетворяющей указанным свойствам, мы построим
группу, в которой некоторый элемент (t^I) сопряжен с каждой своей
положительной степенью. Для этого рассмотрим группу классов
эквивалентности О, имеющую представление
О =а (X, а^, Дз» • • • » сг^хаТ' = х^, а^хаУ^ ^ х^, ,..}, B4)
Очевидно, {х] сопряжен в G с каждой своей положительной
степенью, тем не менее не ясно, отличен ли [х] от единичного элемента в G.
Чтобы показать это, рассмотрим гомоморфизм в группу
действительных 2 X 2-матриц относительно умножения, определенный
посредством
W
Так как
B5)
н
1/п
О
то каждое из определяющих слов B4) является единичным словом
3 группе матриц, и B5) определяет гомоморфизм в силу следствия
1.1.2. Но (л;} не переходит в единичную матрицу и поэтому отлично
от 1 в G.
Другой метод доказательства того, что {л:} не является
единичным элементом в G, использует теорему 4.10 и теорию свободных
произведений групп с объединенными подгруппами (см. раздел 4.4).
В качестве последнего примера группы классов эквивалентности
О, определенной данным представлением, возьмем группу с двумя
образующими а и b и без определяющих слов, т. е. группу G с
представлением
(а. Ь).
Такая группа G называется свободной группой с образующими а
м b (см. раздел 1,4), Так как слова, тривиально равные 1, можно

28 Гл. 1. Основные понятия
выбрасывать, каждый класс имеет в G своим представителем слово
вида A6), в котором каждое а^- и Р/ — отличное от О целое число
(кроме, быть может, ао и Р^). Более того, люжно показать, что никакие
два различных слова из A6) не эквивалентны в G (см. раздел 1.4).
В этом разделе мы тщательно различали обозначения для классов
эквивалентности и его представителей, однако на практике этого
различия строго не придерживаются. Обычно класс эквивалентности
обозначают одним из его представителей. Таким образом, равенство
Wi {a,b,c,...) = \V2(ci,b,c,...) может означать, что эти слова
совпадают или что Wi ^ W2, т. е. {tt^'i} = {^^2); из контекста будет
ясно, о чем идет речь. Аналогично, отображение группы G классов
эквивалентности в некоторую группу G' обычно задается в виде
и
а не в виде
и
a-*g',
. W {а, Ь, с.
{W(a, b, с,
b-yh', c-^k', .,
...)-^W(g\ h', k\
{b]->h'. {c}-^k'.
...)}-^W{g', h', k'.
.),
что формально более правильно.
[Читатель, наверное, уже привык к этой двусмысленности в
обозначениях; так, например, когда мы говорим, что дроби-|- и -^ Р^в*
ны, это может означать, что а ~ с и b = d, либо же, что -у и -^
определяют одно и то же отношение, т. е.— класс эквивалентных
дробей. Аналогично этому отображение -у^—j—^обычно
интерпретируется как отображение отношений; формально
говоря, это отображение есть отображение дробей и, интерпретируя
его как отображение отношений, необходимо проверить, что если
а с а^ + Ь'^ c2 + da
-Г И -г определяют одно и то же отношение, то --т—Чт и . , ,,л
определяют то же самое отношение.
В разделе 1 показано, что каждая группа имеет представление;
в настоящем разделе мы показали, что каждое представление
определяет единственную группу. В следующем разделе будут
рассмотрены некоторые основные проблемы теории представлений.
Задачи
1. Показать, что а^Ь^ «= 1га^. выводимо из аЬ =* Ьа, где а и Р —
произвольные целые числа. [У к а з а и'и е. Если аЬа~~^ •=» 6, то а'~^Ьа •= Ь, а'^Ьа"'^' — ^ и
2. Показать, что <а, Ь, с\ Р, Q, /?,..., ah = ba, ас ^ са, be ^ сЬ) есгь
абелева группа.

1.2. Построение группы 29
3. Предположим, что Р, Q, R, ..., 5, Г, ...— слова в символах а, Ь, с, ...>
такие, 4ToS, Т, ... выводимы из Р, Q, R, ... и обратно. Показать, что группа классов
эквивалентности {а, Ь, с, ...; Р, Q, R, ...) совпадает с группой классов экви-
ьалснтности {а, 6, с, ...; S, Г, ...).
4. Показать, что i^ynna классов эквивалентности {а, Ь, с, ...; Р, Q, /?, ...)
совпадает с каждой иЗ; следующих групп классов эквивалентности,
. <г2, 6, С, .•. ; Р~^ О, /?, •• .);
<а, 6, с, ... ; /?PQ, Q, /?, ...);
<C, Ь, г, ... ; WPW~\ Q, /?, ...>J
<а, Ь, с, .. . ; Р', Q, /?, ...),
где Р'— циклическая перестановка слова Р, т. е. если Р ^ fj^ .,, f^, то
Р — liii_^ J • • • //2/1/2 • • • fi-~\i
5. Пусть С=-(й, 6, Р(а, 6), Q(a, b)) и И = (х, у; S (х, г/), Т{х,у)),
Показать, чго
С X Я - <а, /;, X, t/; Р (а, Ь), Q (а, 6), S (л:, г/), Г U, t/),
ах=^ха, ay=zya, bx = xb, by^yb),
где G X Я — прямое произведение G и Я, т. е. множество элементов вида
te» Л)» ё G ^у ^ f ^^» с операцией произведения (^, /г). (^', h')^igg\ hh'),
[Указание. Пусть группа G задана относительно отображения а -^ g, b -? g\
а Я — относительно отображения л:->/z, у-^ h'. Показать, что
комбинированное отображение а -» (g, 1), b -> fe', 1), х -» A, /i), ^ -> A, /i') определяет
гомоморфизм указанного выше представления для G X Н па G X Н. Далее, показать,
чти каждый элемент этого представления можно определить словом U(a, Ь) V{x,y),
Показать, что если U (а, Ь) V {х, у) -- W (а, Ь) V' (v, у), то V (g, g') -^
^ ^' iSi S') и ^ (^^ ^^') '^ ^' (^^ ^')» отображая указанное представление для G X
X Я в G посредством а -^ g, b -^ g\ х -^ 1, f/ -> I и в Я посредством а -> 1, i? ->
~> 1, л: -> /г, f/ -> /z'.] •
6. Обобщить задачу 5 на произвольные представления G и Н. Обобщить
задачу 5 на произвольное множество групп G, Я, ...
7. Показать, чго группа
(а, Ь\ й^ 62, аЬ ==. 6а2>
1шеет порядок 6 и изоморфна группе подстановок 2з. [У к а з а н и е. Привести
каждое слово в символах а^ b к виду a^bf>, где а «=« О, 1, 2 и р = О, I, и затем
использовать отображение а -> A 2 3)^ 6 -> A 2).]
8. Показать, что группа
<а, 6, с\ о?, 6^, аЬ = Ьа^^ с^, ас ^ са, be ^ сЬ)
имеет *порядок 12 и найти группу подстановок, изоморфную ей.
9. Показать, что группа
Gr= <«, 6; а". 62, а6 = 6л~^)
и-меет порядок 2п и изоморфна мультипликативной группе матриц над кольцол*
вычетов целых чисел по модулю /2, элементы которой имеют вид
1|о lir
де ft — целое по модулю я, а е ^ +1 или —I.

80 Гл. I. Основные понятия
10. Показать, чго если каждое слово длины п 4* 1 определяет тот же элемент
3 Q^ {а, Ь, с, ...; Р, Q, R, ...), что и некоторое слово длины < п, то систему
представителей для Q можно выбрать из множества слов длины «^ п.
11. Найти систему представителей классов эквивалентности группы
<а, Ь\ о*, а* «б*, аЬ^ЬаЬ
и построить таблицу умножения для этих выбранных представителей
(канонических форм) ^).
12. Показать, что
G ^ {а, Ь\ «», ^^ (аЬ)^)
есгь представление для знакопеременной группы А4 степени 4 относительно
отображения а -> B 3 4), b ->(! 2) C 4) [Указание. Показать, что I, а, а^, Ь^
аЬ, а^Ьу Ьа, aba, a^ba, ba'^, aba^y a'^ba^ — канонические формы.]
13. Показать, что
G «= <л;, у; х\ у^, (хуУ^)
задает 2^ относительно отображения дг -»> B 3 4), ^ -> A 2 3 4), придерживаясь
следующей схемы:
a) Доказать, что подгруппа А/, порожденная элементами х и у^, является
нормальной в группе классов эквивалентности, показав, что уху^^ лежит в N,
b) Показать, что индекс iV в О не больше 2, так как xN ==« N и у^М есть yN илй
/V: отсюда W (л:, у) N есть или N или yN.
c) Показать, чго ху^ = у^^х^^у и, следовательно, (ху^)^ «=» 1.
d) Показать, что N имеет порядок не более 12, отображая группу из задачи 12
на .V посредством а -^ х, b -^ у'^.
e) Вывести из (Ь) и (d), что G имеет порядок не более 24. Отсюда при х -^
-> B 3 4), ^ -> A 2 3 4) группа G изоморфна 2^.
14. Пусть G" (а, Ь; а^, ^*, аЬ = Ьа^). Показать, что G имеет порядок 20
и изоморфна мультипликативной группе 2 X 2-матриц над кольцом вычетов целых
чисел по модулю 5 вида
где о < fe < 5, о < m < 5, относительно отображения
"11 ill- '"'lo i|
15. Показать, что группы классов эквивалентности
<а, Ь\ a^^ 6*, ab^ba^'^)
^ <а, Ь\ а'^\ Ь\ аЬ =- Ьа:^
те же, что и группы классов эквивалентиостей в задаче 14. [Указание, Из
Ь~^аЬ «=¦ а^^ следует, что b'^^a^b = 1, откуда а* =» I. Из Ь^^аЬ « а^ ^ ^4« ^
следует b'~^ab^ =¦ а^* и, значит, a^^ = I.]
16. Показать, что группа классов эквивалентности
{а, Ь\ а\ Ь\ аЬ =- Ьа^),
5>дв d — наибольший общий делитель г и ^ — I, та же, что и группа классов
эквивалентности <а, Ь\ а^у 6^ аЬ =» Ьа^). [Указание. Из 6^ = 1 и b~^ab —
«« а' следует, что b~'^ab'^ =» а^ , откуда а^^~^ ^ I. ]
1) Уточнение термина «каЕюническая форма* дается на cip. J4, J5. —Прим,
пгрев.

1.2. Построение группы 3!
17. Показать, что группа классов эквивалентности G « (о, Ь; а'', Ь\ а6 «
«-• Ьа^), где г дели г f — 1, имеет канонические формы Ь^а^, где О^а < г и
0-^Р < S. Показать, что правило умножения канонических форм задается
посредством
где 6 S Pi + Рз (mod s), у S «i/^' + «2 (mod г). [Указание. Чтобы
показать, что Ь^а^ представляет различные элементы, сначала отобразить G в мульти-
пликативную группу 2 X 2-матриц над кольцом вычетов по модулю г посредством
и 011
1^ 41 /.
1 1Г '^
о 1
в частности, показать, что из Ь^а^ •==» 1 следует а ¦=» О, откуда, если Ь^а^ «¦ 6^'*a^S
тоа "=» а^. Далее, отображая G в циклическую группу порядка s, порожденную х,
посредством
а-^ 1, 6 -> X,
показать, что если Ь^ ¦=» b^S то Р •« Pi. Для обоснования правила умножения
•аметим, что b^^ab « о^, b^^ab^' -» с'^, 6-^а' /?^ =• d"'^^.]
18. Показать, что если г делит ^—1, то элементы вида cfic^, где
0-=^а<г, Ov^p < S, образуют группу относительно умножения по правилу
(d^'c^^Kd^'c"^») =- d^c'^, где б = Р^ + рз (mod s), v ^ «i^^* + Щ (mod г).
Показать, что группа G из задачи 17 изоморфна этой группе при а -*• с, Ь -> d.
[Указание. Проверить для этой системы постулаты I—IV.]
19. Показать, что группа
где р — простое, а q имеет порядок р — 1 в мультипликативной группе целых
чисел по модулю р, изоморфна группе линейных преобразований
X -> /гх + m
(где k отлично от О, ах, k^ т — целые по модулю р) относительно операции
суперпозиции, т. е. / (х) • ^ (х) «=• g (/ (х)). [Указание. Использовать
канонические формы из задачи 17, чтобы показать, что О имеет порядок р (р — 1); отобра-
вить а в /j (х) «=» X + 1 и Ь в /а (х) =» qx.]
20. Пусть
Gbb (а, bt с\ d, b^, с =¦ b'^^cT^ba, ас « са, be « cby,
(a) Показать, что с^ коммутирует с каждым элементом.
(b) Показать, что аГ^Ьа«=' be и, следовательно, аЬа~^'^ Ьс'^К Более того
* (с) Показать, что (/ «=¦ 1 и с^ «==• 1, полагая в (Ь) а =¦ i ^ р с» $ и а =¦ /-^ р в^ 1.
(d) Показать, что любой элемент из G определяется словом а^Ь^^с^у где 0<^
<«</-, 0<p<s и 0<7<^=' НОД (г, S).
(e) Обосновать правило умножения (а^^Ь^^с^'^) • (а^^Ь^ч'^^)^ а^^Ь^'с^*^ где
«8 = «1 + аз (mod г), Рз = Pi + Ра (mod s), yz Ш ttgPi + Vi + Уз (mod d),
используя (b).
(f) Показать, что множество слов a^b^c^, где 0<а<л 0<P<s иО^
<Y < <^» образует группу относительно умножения, определенного в (е); вывес*
ти отсюда, что группа G изоморфна этой группе.
21. Показать, что группа
<а, Ь, с; а^, 6^, с =• b^^a^^ba^ ас « са, fcic ¦- cb)
имеет порядок 27.

32 Гл. 1. Основные понятия
1.3. фундаментальные проблемы Дэна
Представление
(а, Ь, ^, ..,; Р, Q, /?, ..»), A)
независимо от числа и вида определяющих слов, всегда определяет
единственную (с точностью до изоморфизма) группу. Но когда мы
хотим получить более точную информацию о группе G,
определенной посредством A) (например, является ли Оабелевой? конечной?),
могут возникнуть большие трудности.
Часть затруднений вызвана тем, что определение эквивалсит([о-
стислов, использованное для получения G, неконструктивно: мы
говорим, что Wi ^ Wo, если существует некоторый способ перехода
от WiK W2C помощью конечного числа операций (i) и (ii) из раздела
1.2, но при этом не дается никакой процедуры для выяснения, можно
ли перейти от Wi к Wz- Например, если группа A) конечно
порождена, то G является абелевой в том и только в том случае, когда каждое
из слов aba~^b~\ аса-~^с-\ bcb~^c-~^ определяет единичный элемент
из С. Если бы у нас была конструктивная процедура для выяснения,
определяет ли слово единичный элемент группы G, то мы могли бы
узнать, является ли G абелевой.
Проблема распознавания попроизволь[юму слову \\з G —
определяет ли оно единичный элемеггг ^) (или, что эквивалентно,
определяют ли два слова один и тот же элемент), является первой из
следующих трех проблем разрешимости, сформулированных Максом
Дэном в 1911 г. Они имеют важное 31гачение как для теории
представлений, так и для ее приложенггй. ,
Пусть группа G определена посредством заданного
представления.
I. Для произвольного слова W в алфав[(те образующих группы
G выяснить в конечное число шагов, определяет W единичный
элемент в G или нет.
^ И. Для двух произвольных слов Wi и й^2 в алфавите
образующих G распознать в конечное число шагов, определяют ли Wi и W%
сопряженные элементы группы G.
1П. Для произвольной группы G', определенной посредством
другого представления, узнать за конечное число шагов,
изоморфна ли G' группе G.
Проблемы I, И, П1 называют соответственно проблемой слов%
проблемой сопряженности (или трансформирования) и проблемой
изоморфизма для представления, определяющего группу G.
^) Если существует а»1горитм (способ), распознающий в конечное число шагоа
по любому слову W^ определяет ли W единичный эле.\1ент G, то говорят, что проблем
ма слов в G разрешима. Если такой алгоритм невозможен, то говорят, что
проблема слов в G неразрешима.— Прим. перев.
*) Проблему слов часто называют проблемой тождества слов или просто проб»
лемой тождества.— Прим, перев.

1.3. фундаментальные проблемы Дэна 33
Проблема слов была решена для многих классов представлений
того или иного специального вида, например, для представлений,
в которых есть не более одного определяющего слова (см. разделы
1.4 и 4.4); для представлений, которые конечно порождены и в
которых для каждой пары порождающих символов а п b среди
определяющих соотношений содержится соотношение аЬ = Ьа (см. раздел
3.3); для представлений, в которых кал<дая пара определяющих слов
имеет весьма малый (по сравнению сих длинами) общий блок
соседних символов (общую часть) (см. Тартаковский[1], Гринд-
л и н г е р [1, 2]); для представлений, построенных весьма простым
способом из представлений, в которых проблема слов решена (см. 4.1).
Тем не менее существует некоторое конечное представление, для
которого проблему слов решить нельзя, т. е. не существует алгоритма,
распознающего за конечное число шагов по произвольному слову W
этого представления, определяет ли W единичный элемент (см.
Новиков [1, 3], Б у н [1]).
Таким образом, нет процедуры для решения проблемы слов,
которая работала бы для каждого представления, поэтому каждое
решение проблемы слов для некоторого класса представлений явля*
егся в некотором роде триумфом над природой.
Проблема сопряженности еще более трудна, чем проблема слов.
В самом деле, сопряженность слова W2 пустому слову Wi есть не
что иное, как равенство слова \V2 пустому слову l^i, поэтому решение
п')облемы сопряженности дает, в частности, решение проблемы слов.
Таким образом, классы групп с разрешимой проблемой
сопряженности находятся среди классов группе разрешимой проблемой слов.
Например, представления, в которых нет определяющих слов
(см. раздел 1.4); конечно порожденные представления, в которых для
каждой пары порождающих символов аиЬ среди определяющих
соотношений содержится соотнопление аЬ = /?а(здесь проблема
сопряженности эквивалентна проблеме слов); представления, в которых каждая
пара определяющих слов имеет малый (по сравнению с их длиной)
общий блок из последовательных символов (общую часть)
(см. Гриндлинге р [2]). Хотя проблема слов для представлений
с одним определяющим словом решена, проблема сопряженности для
них остается открытой. (В действительности она, возможно, и
неразрешима, кроме случаев, когда определяющее слово имеет
специальный вид.)
Проблема изоморфизма является наиболее трудной и'з трех
проблем Дэна. Было показано, что даже в случае, когда заданное
представление таково, что G является просто единичной группой,
например (а; а), то и тогда проблема изоморфизма неразрешима (см. Ад я н
[1,2], Рабин [1]). Поэтому обычно ограничиваются рассмотрением
прел^ставлений для G и G' из некоторого специального класса. В
частности, проблема изоморфизма может быть разрешима
в следующих случаях: если представления для G и С не содер-
2 В Магнус и др.

34 Гл. I. Основные понятия
жат определяющих слов (см. раздел 2.2); если представления для
G и С конечно определены и каждое содержит соотношение вида
аЬ = fca для любой пары своих порождающих символов; наконец,
если одно из представлений не содержит определяющих слов, а
другое имеет единственное определяющее слово (см. У а й т х е д
[1] и раздел 3.5).
Однако если G и G' имеют по единственному определяющему
слову, то решение даже этой ограниченной проблемы неизвестно, если
оно действительно возможно (см. раздел 6.1).
Хотя общая проблема изоморфизма неразрешима, существует ряд
признаков, которые можно использовать для исследования,
определяют ли два данных представления изо^лорфные группы. Эти
признаки дают условия необходимые, но недостаточные (см. разделы 3.2^
3.3, 1.5).
Можно заметить, что проблемы I, II, III относятся к данному
представлению группы, но не к самой группе. Таким образом,
кажется возможным, что для одного представления группы проблема
слов разрешима, а для другого—нет^). Тем не менее обычно говорят
о проблемах I, П, III для группы, предполагая, что группа задана
одним из своих «стандартных» представлений; например, свободная
группа с двумя порождающими имеет «стандартнее» представление
(а, Ь)у группа кос с ^втбфбжя яатяжа имеет стандартное
представление
(B, &, с; aba = bab, bcb = cbc, ас = ca).
Когда обсуждают проблемы I, II, III для группы, не упоминая о
ее представлении, всегда имеют в виду некоторое такое
«стандартное» представление.
Решение проблемы слов для конечно определенного
представления группы G позволяет нам выразить произвольный элемент из G
в некоторой канонической форме, т. е. конструктивно выбрать по
одному представителю из каждого класса эквивалентности слов. Более
того, используя решение проблемы слов, можно построить «таблицу
умножения» для этих канонических форм. Таким образом, решение
проблемы тождества слов для некоторого представления группы G
позволяет нам рассматривать G как группу, заданную обычным
образом, т. е. посредством множества различных элементов и правила
их умножения.
Один метод построения системы представителей S для классов
эквивалентности G
(ai, аз, •.. , а^; /?i, ,.. , RJ, B)
с разрешимой для этого класса проблемой слов, заключается
^) См. задачу 16 к разделу 1.5. — Прим, перев.^

1.3. фундаментальные проблемы Дэна 35
В выбэре «наименьшего» слова из каждого класса эквивалентности.
Более точно, определим отношение порядка < (читается
«предшествует») на множестве слов W (av),T. е. слов W {аи ..., ^J
следующим образом:
Если L{Wi)<L (Гз), то Wi < W^
^1 < С^ < «2 < ^2"^ < * . • < а^ <а~\ C)
Если L {W{) == L (W2) и слова Wi и W^. впервые различаются на
^-м слева месте, то порядок слов Wi и W2 определяется порядком
этих й-х членов. Например,
1 < ^1 < а^а^ < а2а;Г^ < а\.
Каждое фиксированное слово W имеет лишь конечное число
предшествующих слов, так как слова, предшествующие W, имеют длину
<:L (IF) и число порождающих в B) конечно. Поэтому
произвольное непустое множество слов имеет наименьшее слово. Пусть система
представителей S состоит из наименьших слов в каждом классе
эквивалентности B). Если известно решение проблемы слов для B), мы
можем конструктивно найти представитель для произвольного
слова W, Действительрю, выпишем сначала конечное множество слов IF^-,
предшествующих слову W\ используя решение проблемы слов,
выберем те Wi, которые определяют тот же элемент, что и W, и
наконец, выберем среди этих Wi наименьший. Если даны два
представителя К и (У из S, то, чтобы найти представитель их произведения,
найдем представитель слова W описанным выше методом.
Множество S относительно этого умножения, очевидно, образует группу,
изоморфную группе G; таким образом, G можно рассматривать
как множество канонических форм относительно этого
умножения.
Обратно, если для данного в B) представления можно найти
такое множество слов S, что каждое слово из G эквивалентно
некоторому слову из S, причем разные слова из S не эквивалентны, и если
у нас есть конструктивный процесс для построения в конечное
число шагов слова р13 S, эквивалентного произвольному данному
слову W, то проблема слов для B) разрешима. Действительно, если
дано Wy вычисляем в конечное число шагов два слова из S,
соответственно эквивалентные слову Ц7 и пустому слову 1; если эти слова из
S совпадают, то W определяет единичный элемент, в противном
случае — нет.
Аналогично, если для данного представления B) можно получить
такое множество слов Г, что каждое слово из G сопряжено слову ив
Т, а различные слова из Т не сопряжены, и если есть
конструктивная процедура для получения в конечное число шагов слова из 7",
сопряженного с произвольным словом Wy то проблему
сопряженности для B) можно решить»

86 Гл. 1. Основные понятия
' Проиллюстрируем эти последние замечания о разрешимости
проблемы слов и проблемы сопряженности решением этих проблем
для группы
G = {а, Ь, с\ аГ^Ьа « с, а~^са =« й, b'^^ab = с,
b~^cb = а, с'~^ас = ft, c~~^bc =а}, D)
в которой сопряжение каждого образуюш.его другим есть третий
остаюш,ийся образуюш,ий.
Сначала решим проблему слов. Для этого заметим, что а~^Ьа^ =^
^ а~^{а-^Ьа)а ^ а"~^ш = Ь. Следовательно, а^ коммутирует с b
(аналогично, а^ коммутирует с с) и потому лежит в нентре G, Таким
образом, (с-'^ас)^ =, Ь^ = с-^а^с = а^, откуда а^ = Ь^. Ввиду
симметричности определяющих соотношений, а^ = Ь^ = с^.
Аналогично, изопределяюш,их соотношений D) немедленно следует, что аЬ^
:= be = са и Ьа = сЬ = ас. Покажем теперь, что слова вида
a2^ а^^а, о?^^Ь^ а?^с, d^^ab, d^^ba, E)
где k — произвольное целое число, образуют систему
представителей классов эквивалентности для D); более того, мы укажем про-
цгсс приведения произвольного слова в конечное число шагов к его
представителю.
Каждое слово длины О или 1 можно привести к одному из слов
вида E). Действительно, 1 ^-^ а^, а — оРа, b == cfb, c^dc^
а~^ ~ а~^а^ Ь~^ = b~'^b = a~'^b и с~^ = с~^с = а^'^с. Далее, если
какое-либо слово из E) умножить на образуюш.ий или ему
обратный, то получится слово, эквивалентное слову iis E). Например,
{аП) С-' - cf'bc ''с == а'%а~'с - а'''~''Ьс.
Отсюда следует, что если кажд)е слово дтины п эквивалентно
некоторому слову из E), то это же верно и для каждого слова длины п +1.
Таким образом, каждое слово можно привести в конечное число
шагов к эквивалентному слову из E).
Далее, никакие два канонических слова из E) не эквивалентны.
Чтобы показать это, используем гомоморфизм группы D) в
известные группы. Рассмотрим отображение
а->A 2), 6->B 3), €->¦(?> 1) (C)
группы G в симметрическую группу порядка шесть. Ввиду следств! я
1.1.2 отображение F) определяет гомоморфизм. При гомоморфиз\'е
F) слово а~^ отображается в ед{шицу, а 1, fo, с, аЬ, Ьа переходят в
различные элементы; поэтому эквивалентные слова из E) могут
отличаться лишь значениями k. Но, рассматривая гомоморфизм G в
бесконечную циклическую гругш)/, порожденную элементом Хр

1.3 фундаментальные проблемы Дэна 37
вадапныГ! посредством
а->х, &->х, c->x, G)
мы видим, что эквивалентные слова из E) должны иметь одно и
то же /е. Следовательно, различные элементы из E) не эквивалентны.
Таким образом, доказано, что слова из E) образуют систему пред-
стпвитечей. Поскольку мы уже показали, как привести в конечное
ЧИС10 шагов слово к его канонической форме из E), то тем самым
пробаема слов для D) уже решена.
Вместо использования гомоморфизмов для доказательства
неэквивалентности канонических форм, можно было бы, быть может,
прямо использовать определение множества определяющих слов.
Но даже для представлений, в которых все определяющие слова —
тривиальные, это нелегко сделать (см. раздел 1.4).
Чтобы решить проблему сопряженности для D), используем
некоторые из канонических форм E), а именно —
a2^ а^^а, а'-^аЬ, (8)
где к — произвольное целое. Легко видеть, что каждое слово из
(о) сопряжено с подходящим словом из (8), например,
Позгому любое слово сопряжено с некоторым словом из (8). Далее,
\\ лользуя гомоморфизм F), видим, что если два слова из (8) сопря-
>.-'1ы, то они оба оканчиваются на I или на а, или на аЬ\ гомомор-
флзм G) показывает, что они должны иметь одинаковую длину.
Таким образом, никакие два различных слова из (8) не сопряжены. Это
ре<'иает проблему сопряженности для D).
Хотя в общем случае проблемы Дэна неразрешимы, для многих
представлений, важных для приложений, проблемы I, П можно ре-
Н1игь. (Для дальнейших подробностей читатель должен обратиться
к разделу 6.1.)
Задачи
1. Решить проблему слов и проблему сопряженности для
[У к а 3 а н и е. См. задачу 17 к разделу 1.2. ]
2. Решить проблему слов и сопряженности для
<а, Ь; й^ 6^ Qb = ba~^),
[Указание. Использовать задачу 17 к разделу 1 2.]
3. Показать, что для представления с конечной таблицей умножения
разрешимы проблема слов и проблема сопряженности. [Указание. Для проблемы
слов см. конец раздела 1.1. Трансформируя каждый порождающий символ всеми
остальными, найти все сопряженные с ним ]
4. Пусть G = (а,, Og» •••> <^п'^ ^i» ^2» •••» ^m)» " пусть < есть отношение
предшествования, введенное в этом разделе Показать, что для произвольных^слов

38 Гл. 1. Основные понятия
\Х\, 1^2 выполняется одна и только одна из следующих возможностей: или IFj =«
•^ W'a (тождественно), или W^ < IFg, или W'a < ^i- Показать, что если W, < W^
и 1^2 < 1^3, то W, < \Ь. Показать, что если W^ < IF2, то WW^ < Г IFg и 1Г, 117<;
< U^2^'^'- Пусть IF = /,/2 ••• /г» где Д = о;^;^, е, = ± 1 и 1 < v/ < /г; показать,
что тогда число слов длины г, предшествующих W, есть
р (/,) . {2пу-^ + р if,) . B/1)^-2 + . . . + р (/,),
где р (/г) — число порождающих символов или им обратных, предшествующих
символу Д-.
5. Определим отношение < («предшествовать»; для слов из счетного множест*
ва символов uj, «2, ..., «/2, ... следующим образом: пусть L (W)—длина W м Н {W)—
наибольший индекс порождающих символов в W; тогда
«1 < «Г^ < ^2 < • • • < ^П < С1~^ < . . ¦
и если L (Wi) + // (\Fi) < L (IF,) + Н (IF.), то Г^ < W^; если L (IF,) + Н (W.) =.
- L (IFs) + Я (IF2) и Я(lF,)<Я(lFoJ," то IF, < IF^; если Я(\F,) = Я(WЛЛ,
L (IFj) = L (IF2) и слова IF, и IFg впервые отличаются на k-м слева месте (члене),
то порядок их предшествования соответствует предшествованию этих ^-х членов.
Показать, что для произвольных слов IF, и IF2 выполняется одна и только одна
из следующих возможностей: или IF, = Wj, или IF, < IFg, или IF2 < W\.
Показать, что если IF, < IF2 и IF2 < IFs, то \Х\ < IF's. Показать, что из IF, < IFg,
вообще говоря, не следует ни W^W^ < \FIF2, ни IF, IF < IFglF. Показать, что у
произвольного слова W есть лишь конечное число предшествующих ему слов.
Использовать отношение < для доказательства того, что если проблема слов
разрешима для счетного представления
(ар ^2» • • • » ^/1» • • • ¦ ^1' ^2' • • •>¦
то каждое слово можно в конечное число шагов привести к каноническому иклу.
Показать, что произведение двух канонических форм можно привести к
каноническому виду в конечное число шагов.
6. Рассмотрим конечно определенное представление
G = (а^, ^2, . . . , ап\ /?1, /^2» • • • » ^т>*
Показать, что можно построить такую счетную последовательность единичных
слов из G, что каждое единичное слово из G встречается в данной
последовательности. [У к а 3 а н и е.^Показать, что множество тех слов, которые можно
получить из данного слова W {а^} вставкой и вычеркиванием одного из единичных слов
/^1» i^2» •••» ^т или одного из тривиальных единичных слов, является конечным.
Отсюда следует конечность множества слов, получаемых из пустого слова
конечным числом таких вставок и вычеркиваний. Расположить слова, получаемые в
точности k вставками и вычеркиваниями, в конечную последовательность и затем
поставить друг за другом такие последовательности для /г = О, 1, ...]
7. Показать, что если 2/^ — симметрическая группа степени k и
G => (а^, Gg, .... ап\ Ri, /?2» • • • ' ^т>
— конечно определенная группа, то все гомоморфизмы G в Sfe можно найти в
конечное число шагов. Показать, что можно построить такую счетную
последовательность гомоморфизмов G в каждую группу 2/г, что она содержит всякий
гомоморфизм G в некоторую 2^. [Указание. Гoмo^юpфизм G в S/j определяется таким
отображением порождающих символов в 2/?, что /?,, /?2» •••> Rm относительно этого
гомоморфизма оказываются единичными словами в 2/^.]
8. Показать, что если конечно определенная группа
0= <«!, , . . . ап\ /?!,..., Rm>

1.3. фундаментальные проблемы Дэна
39
является конечной, то проблему слов для этого представления можно решить.
Более того, для этого представления можно решить и проблему сопряженности.
[Указан ие. Пусть W — некоторое слово в алфавите а^, ^2, ..., ап\ попеременно
строим члены последовательности единичных слов из задачи 6 и члены
последовательности гомоморфизмов Gb S/e из задачи 7; через конечное число шагов либо
W появится в последовательности единичных слов и потому U7 = 1, либо W
отобразится на неединичный элемент в некоторой 2;г и, следовательно, W Ф \. Решение
проблемы слов позволяет построить таблицу умножения канонических форм.
Поэтому согласно задаче 3 проблему сопряженности можно решить.]
9. Пусть Q {х) — поле рациональных функций от переменной х с
рациональными коэффициентами, и пусть М — мультипликативная группа невырожденных
2 Х2-матриц над этим полем.
(а) Показать, что
I С
определяет гомоморфизм свободной группы {а, Ь) ^ М,
(Ь) Показать, что
1
\пх
^де п — произвольное целое число,
(с) Показагь, что
Ь"^
P^iW P22W
где Pj/ — полином от х и Р22 имеет наибольшую степень среди остальных Pif (х)
если только ос и Р — не равные нулю целые числа.
(d) Показать, что
6^«
^21 W ^22 W
где Rif (х) — полином от л; и /^ц (х) имеет степень большую, чем остальные Rif (л;),
причем а, р — отличные от нуля целые числа.
(e) Показать, что совокупность матриц над кольцом полиномов, в которых
нижний правый полином имеет наивысшую степень, закп^нута относительно
умножения.
(f) Показать, что а^, Ь^, Ь'^а^ и а^'Ь^К.. а'^'Ь'^, где а, Р, а^, р^, «з, Рз? •••» ^г*
^г — целые числа, отличные от нуля, не могут определять единичную матрицу.
(g) Показать, что а^^Ь^^ ... а^гфг не может определять ту же матрицу, что и
равные нулю. Отсюда — ни одно из слов
--Ы
целые числа, не
а^'Ф .
^Po^cci^a, .
^rv^.i^,Pi .
. . а ^Ь '^а ^^
не может определять единичный элемент.
(h) Вывести, что некоторое множество канонических форм для (д, Ь)
состоит из пустого слова и слов вида а^-'^Ь^^ ...а ''Ь'', гдеа^ или Р^ ,\югут быть нуля'
ми, а все остальныесс^, р/ — целые числа, огличные от нуля. Эю решает проблему
слов для свободной группы (а, Ь).

40 Гл. 1. Основные понятия
(i) Вывести также, что (а, Ь) есть представление группы, порожденной
элементами
I а:||
I 01!
X I
О I
10. Показать, что каноническими формами для
где р — простое положительное число, являются слова вида
а^'Ф . . . aЧ^^^
где»! и р^ могут быть нулями, а при i Ф \ и j Ф г О < а^- < р, О < Р/ < р.
[Указание. Использовать метод задачи 9, заменив Q {х) рациональными
функциями от X над полем вычетов по модулю р. ]
И. Показать, что канонические формы для
где р — простое положительное число, суть слова вида a^^W, где k — целое, а
W — каноническая форма для слова из {а, Ь\ а^, Ь^}. [У к а з а н и е.
Отобразить Н в (а, 6; а^, Ь^) посредством а -^ а, b -> Ь; далее, отобразить Н в
бесконечную циклическую группу с образующим z посредством
а -> 2, b -> г.]
12. Решить проблему слов для представления
G = (/jj, «2, . , . , fl^, . » . ; а^ = а^, «2 = «3» • • • ¦ ^/г = ^l-^i* • • •>•
Показагь, что G — абелева, и тем самым решить проблему сопряженности.
[Указание. Показать, что если k — наивысший индекс у порождающих символов,
входящих в W (й^), то W (а^) можно привести к слову д^; используя гомоморфизм
а^ -> 1/2"^ группы G в аддитивную группу Q рациональных чисел, показать, что
если г =7^ О, то а^ не определяет единичный элемент.]
13. Найти множество канонических форм для слов из
G = (а^, йо, . . . , а^, . . , ; а^^ а\, а^^ а\, , , , , ап^ «^_^р . . .).
Показать, что эта группа изоморфна аддитивной группе рациональных чисел,
знаменатели которых являются неотрицательными степенями числа 2.
[Указание. См. указание к задаче 12. Показать, что слова а\ и а^^, где г — любое целое,
/г > 1, а S — любое нечетное, образуют канонические формы.]
14. Решить проблему слов для
G = (а^, а^, . . . , G/j, . . . ; «1 = а{, а., = а\, . . . , 0^=- fl^+p . . .).
При t ^ 2 найти аддитивную группу рациональных чисел, изоморфную G. Найти
множество канонических форм для G. [Указание. См. указания к задачам
12 и 13.]
15. Решить проблему слов для
G = <ai, а^, . . . , а,г. . . . ; а^^ а\, а^^ = а% , , . , ап=^ «"ijlp . . .).
Показать, что G изоморфна аддитивной группе рациональных чисел. Найти
канонические формы для G. [Ук а 3 а н и е. См. указание к задаче 12; использовать
отображение а^-» 1/v!. В качестве канонических форм использовать слова
(^^^а^*,..а^'', где а^ — произвольное целое, O^av < v для v > 1 и а,. ^^^ O.J

1.4. Определение н свойства свободных групп 41
16. Решить проблему слов для
G = (а^, ^2» • • • » ^/2. • • • ; «1 = 4'. ^2 = «з'» • • • . ^л = «rt+i^» • • •>'
где г^ — целое, отличное от нуля. [Указание. См. указание к задаче 12;
1
использовать отображение а^ -> 1, а^ -^ .]
17. Решить проблему изоморфизма для конечно определенных представлений
с одним образующим.
18. Пусть 5i ^ Sq ^...^ Sn^ ...— возрастающая последовательность
множеств символов; Т^ ^ 7*2 ^ ... ^Т^ ^...— возрастающая последовательность
множеств слов, где Т^ — множество слов* в алфавите 5,^. Пусть Gn = (8^1 Г^),
и пусть для каждого п подгруппа из G^j, порожденная символами 5^__i, имеет пред-
ставление (S^_i\ Т^__^) при очевидном отображении. Показать, что если 5 = U "^т
/1=1
г = и Тп и G = (S'y Т), то подгруппа из G, порожденная символами 5^, есть
со
Gn- Отсюда G = и Gn. [Указание. Рассмотреть группу эквивалентностей
п=\
Gn- Выбрать по одному слову из каждого класса эквивалентностей так, чтобы
канонические формы содержали систему представителей классов
эквивалентности (/д_|. Если Wn — множество представителей слов для Gn, то Wn образует
группу относительно подходящего умножения. Более того, ^^--1 является подгруппой
со
в Wfi' Если W =^ и ^/г» то 5 является множеством порождающих символов для W
п=\
относительно очевидного отображения. Множество Т содержит единичные слова из
W, и если произвольное слово в алфавите S является единичным словом в W^ то
оно является словом в некотором 5,^ и поэтому — единичным словом в Gn- Но
тогда оно выводимо из Тп и, следовательно, из Т. Таким образом, W с^ E; Т) и
утверждение доказано.
1.4. Определение и элементарные
свойства свободных групп
Рассмотрим теперь важный класс групп, называемых свободными
группами.
Свободная группа F^ с п свободными образуюи{ими Xi, х^, ».., х^^
есть группа с образующими Хь Х2, ..., х^ и пустым множеством
определяющих слов. TaiaiM образом,
Из следствия 1.1.3 получаем, что всякая группа Gen образующими
является гомоморфным образом F„. В этом отношении теория
свободных групп предшествует общей теории групп с образующими и
определяющими словами, так же как алгебра полиномов предшествует
общей теории алгебраических чисел.
Проблема слов и проблема сопряженности легко решаются в
свободной группе с помощью понятий несократимого и циклически
несократимого слова.

42 Гл. I. Основные понятия
Несократимым словом в символахХи х^, ..., х^ называется слово,
в котором символы х%, х^^ (8 = =Ь 1, V = 1, 2, ..., п) не встречаются
рядом. Таким образом, слова ^\^2 и XiX2X'sX'i^xT^ несократимы, а
слова x^lx'^^Xs и a:iA:7^^2-^i сократимы.
Циклически несократимьш словом в символах Xi, ^2, ¦., л"^
называется несократимое слово, которое не может одновременно начинаться
с ATv и кончаться на х^^ (г = ± 1, v = 1,2, ..., п). Поэтому x^l^i^ —
циклически несократимое слово, а слово XiX2X3X2'^x'i~^ циклически
сократимо. Очевидно, что слово циклически несократимо тогда и
только тогда, когда все его циклические перестановки несократимы.
Два слова Wi (Xv) и Wz (Ху) называются свободно равными
(обозначается Wi <^ W2)y если они определяют один и тот же элемент в
Ffi — свободной группе с образующими Хь л:2, ..., х,^. Таким образом,
Wi ^^ Wz тогда и только тогда, когда Wi можно преобразовать в
W2 посредством вставок и вычеркиваний слов xV^Xv, ХуХ'^^ (v = 1,
2, ..., /г). Например,
x^xlx^^xlxT^XixT^xT^x^ ^ х^х^х^хТ^Хз.
Ясно, что каждое слово в символах Xi, ^2,..., х^ свободно равно
некоторому несократимому слову, так как можно вычеркивать слова
х'^^Ху и XvX^^ (v = 1, 2,..., я) до тех пор, пока таких слов не
останется совсем.
Например, процесс сокращения слова
XixlxT^ xlxV^x^x^^xr^x^
может осуществляться разными путями. Однако всякий из них
приведет к одному и тому же несократимому слову, а именно, к слову
Теорема 1.2. Каждый элемент свободной группы F^ со
свободными образующими Xi, х^, ..., х^ определяется единственным
несократимым словом, т. е, каждое слово в символахXi, Хг, .¦., х^ свобод-
но равно единственному несократимому слову.
Доказательство. Мы докажем теорему 1.2, указав
специальный процесс р для получения несократимых слов. Этот процесс
свободно преобразует слово, последовательно преобразуя его
начальные отрезки. Таким образом, чтобы «вычислить» р (х^х^ х^х^ '^2-^'r^)f
мы находим последовательно
Р (^i) = ^v 9 Cvi^r^) = XixY^, p (Xjxr Vg) = x^x'^^Xs,
p (XiX^^X^xT^) = XiX^\ p (XiX'^^XsXi^X2) = .ti,
p (X^X^^X^X^^X^XT^) = XiX^\
в общем, случае p определяется индуктивно следующим образом!
рA)= 1, рD) = 4 {г==± 1, V- 1, 2, ... , м),

1.4. Определение и свойства свободных групп 43
И если
p(U) = xlx^ll ... xll Ьъ ^ ± 1, |Li, = 1, 2, ... , п),
то
p(Uxl)==
x^Hl ... %^4, если jLi^ ^ V или Y],; =^ — г,
х1\ .. • xllZ\y если i.1,^ = V и Г1^ = — е.
Установим сначала некоторые свойства процесса р, из которых
теорема легко следует.
(a) р (W) несократимо.
(b) р (W) ^ W.
(c) Если V несократимо, то р {V) = V»
(d) piWiWz) = p{p{Wi) • \Fo).
(e) p{Wxlx:;') = p(W) (8= ± 1, v= 1, 2, ... , ^).
(f) p (Г,4хГ«^2) = P (WiW,) (8 - ± 1, V = 1, 2, .., , ^i).
Свойства (a), (b), (e) выводятся непосредственно из определения р
с помощью индукции по длине W] свойство (с) получается
посредством индукции по длине К, а свойство (d) получается индукцией по
длине W2\ свойство (f) следует из (d) и (с). Покажем, далее, что
если два слова свободно равны, то процесс р приводит каждое из них
к одному и тому же несократимому слову. Действительно,
предположим, что и i^ Т, Тогда можно найти такую последовательность
слов и ~ Uu U2, .>', Uh = ^> что соседние слова получаются одно
из другого вставкой или вычеркиванием слова x^Xv^ (е = ± I, v ^
= 1,2, ..., п). Отсюда, ввиду (f), р (Ui) == р (t/^'+i) и потому
Р (^) = Р (Л.
Наконец, покажем, что любой способ сокращения слова U
дает в результате слово р (U). Действительно, пусть U ^=^ V и V
несократимо. Тогда в силу сказанного выше и свойства (с) имеем р (U) =
z= р (V) ~ V. Таким образом, каждое слово U свободно равно
единственному несократимому слову, а именно, р {U). ^
Следствие 1.2.1. В свободной группе F^ со свободными
образующими Хи -^2» •••» ^п проблема слов разрешима.
Доказательство. Чтобы выяснить, определяет ли данное
слово W {Xiy л:2,..., х„) единицу в f^, свободно преобразуем W,
используя процесс р. Если р {W) — непустое слово, то И^ не
определяет единицу, и наоборот.^
С л е д с т в и е 1.2.2. Если F — свободная группа с образующими
Xi, Хоу ..., х^, то каждый неединичный элемент имеет бесконечный
порядок.
Доказательство. Пусть
W ^х1\ ... х> (Р/ = =Ь 1, V, - 1, 2, ... , п)
— несократимое слово, определяющее элемент ф\ из /^„. Если к тому
же W циклически несократимо, то v^^ Vp или ei ^ —е . Отсюда,

X' -
V, •••
• * •
, 1/
= ±1,
— X'^^
-«г
И/
• • •
-1,
и V
2,..., п), то
циклически
44 Гл. 1. Основные понмня
если k — положительное целое, то
W^ — /^ х^^ . х^' х""^ /^ г^^
и/ — Avj • • • «^V • Ayj . • • Л^ , . . Av, . . . Av ,
где правая часть состоит из к множителей, каждый из которых есть \57,
Слово Ж'^ несократимо и не является пустым словом. Таким образом,
W^ не может определять единицу, и поэтому имеет бесконечный
порядок.
с другой стороны, если W не является циклически несократимыл»,
то W сопряжено некоторому циклически несократимому слову V.
Действительно, если
W^xl^,...
где щ Ф iig, или г]1 =^
W = UVU~\ где (У - ;
несократимо и =7^1. Так как V циклически несократимо, то по
доказанному ранее оно определяет элемент g из F^ бесконечного
порядка. Поэтому элемент, определяемый словом W и сопряженный с g,
также имеет бесконечный порядок. ^
Теорема 1.2 позволяет дать другое описание свободной группы,
которое часто пр.чнимается в качестве ее определения. Свободною
группу F^ можно рассматривать как множество несократимых слов
в символах Хи ^ъ •¦., ^п^^ ^- ^^^ множество канонических сЬорм,
использованных нами при решении проблемы слов) с умножением,
определенным при помощи приписывания с последующим
приведением этого предварительного произведения к несократимому слову.
Для решения проблемы сопряженности в свободной группе со
свободными образующими Хи -^2, •.-, -^^ введем специальный процесс а
для циклического приведения слов. Грубо говоря, чтобы
циклически привести слово, о сначала сокращает его, а затеаМ, если
необходимо, стирает первый и последний символы. Например,
а {х^х^х.^х^\,^х^х'^\т^) = а {х^х\х^х'^\Т^) = а Dvixr^) = а {х.х^ -= х^х^.
В общем случае мы определяем а индуктивно для несократимых слов
следующим образом:
аA)=- I, Q(x\)r^x\ (8-± 1, v=« I, 2, ... , п),
r.^^^чJ^^ Uv'^-^H, если \ф]х, или е=7^ —г|,
^' \<3\\J), если v=«[i и е = —Г],
где е, т] = ±1, V, (J. = 1, 2, *.., п. Наконец, для произвольного
слова W процесс о определяется посредством равенства а (\t7) —
« а (р (W7)).
Из определения процесса а легко следует (индукцией подлине IF),
что 0 [W) — циклически несократимое слово, а IP' и сг A5/)
определяют сопряженные элементы из f„.

1.4. Определение и свойства свободных групп 45
Теорема 1.3. Если F,^ — свободная группа со свободными
образующими Xi, ^2, ..., х^, то Wi (ху), 1^2 (-^v) тогда и только тогда
определяют сопряжзнные элементы из F^, когда слово о (Wi) является
циклической перестановкой слова о (И^г).
Доказательство. Предположим, что о {W2) есть
циклическая перестановка слова о" (\^i), т. е.
oOt7,) = 4\ ... xVfiXl ...xl
и
где 8; - ±1, V, - 1, 2,..., п. Тогда а (ГО » Ко {W^) К"', где /С-
= 41 ... a:v|. Поскольку а (Wi) и Wu а также а (IF2) и Ц^2,
определяют сопряженные элементы из F^, то W^ и И^2 определяют
сопряженные элементы из F^.
Предположим, далее, что Wi и W2 определяют сопряженные
элементы из f^, т. е. 11^1 ^ TWzT'^ Покажем, что а (Wi) и о (Ifо)
суть циклические перестановки одно другого. Так как
p(V7,) = p(TW,T-\
то
о {W,) ^ а (р (ГО) - а(р (ТГ,Г-^)) =. о{TW,T~'),
и поэтому достаточно показать, что а (TW2T~^) является
циклической перестановкой о (Wi). Докажем это индукцией по длине
слова Т, Если
Г =-4 (e-zbl, v-= 1, 2, ... , п),
мы должны сравнить а (a'vW^oXv^) с о (Wz). Имеем о {Wo) ===
= а (р {W2)}y и так как
4raV'-A'tp(r,)Xv',
то отсюда следует, что
о {х,р (Г,) xv') - а (р D1^2Vv')) = а (Р Dр (W^2) ^Ь')).
Предположим, что'
Р(^2) = А\ . . . АЧГ (8, - ± 1, V, =. I, 2, . . . , П).
Тогда при вычислении
р Dр (W,) х; ') = р {х1х1\ ... /v>v')
возмоуКНЫ следующие четыре случая.
Случай 1. Н[1какие сокращения не имеют места, т. е. v =7^ Vi или
г Ф — 81, а также v Ф v^ или 8=7^8^. Тогда
р Dр (^^2) а7^) = Av4\ . •. ХуХ'^^.
Огс.от!
о D1^2^7") -^ о {х1х1\ ... x\xV^ - а (х,'; ... х\) - а (W,).

46 Гл. 1. Основные понятия
Случай 2. Сокращения имеют место на обоих концах, т. е. v =
= Vi = v^ и 8 = — 8i = 8^. Тогда
pDp(w^2H = ^v: ... 4i!.
Отсюда в рассматриваемом случае
а [x^W^x^^) = о (Xv3 ... ^v^lj),
^и поскольку
о (w^) - о {х1%\... 4z;x7^) - CJ D;... 411),
снова получаем
o{xlW2x7') = o(W,),
Случай 3, Сокращения происходят лишь на левом конце, т. е.
V = v^ и 8 = — 8i, но Vj =И= v^. или 8j Ф 8^. В ЭТОМ случас
р (х1р (W^) xV") == ^v^, ... x\xl\.
Тогда, поскольку Xvj^g ... Xv^ и xl\ ... Xyfxl\ несократимы, они оба
циклически несократимы. Следовательно,
CF уХу;^ 2Х'\; ) == G {Ху^ • • • Ху Ху^) = Ху^ , • • Ху Ху^у
в то время как
GiW^) =^G(xl\ . . . х\) = Х1\ . . . х\.
в этом случае а {XyW2x7^) является циклической перестановкой
Случай 4. Сокращение происходит только на правом конце, т. е,
V ~ v^, 8^ =4^ но V ^ Vi или & Ф — &1. Тогда
Р l-^vP 1*^2/ '^V ) = .Xv^Vi • • . •^V/-_i ^^ -^V^-^Vi • • • XVf._i»
Отсюда
0' (ХуУу 2^^ ) ^^^^ ^ \Xy Xy^ • • • Xy < j = Xy Xy^ • « • Xy p
что является циклической перестановкой для
Таким образом, во всех четырех случаях а (XyW2X^^) является
циклической перестановкой а (^2)- Это показывает, что а(Г1^2Т""')
есть циклическая перестановка для g A^2), когда Т —слово длины
один. Предположим теперь в качестве индуктивной гипотезы, что
G {KW2K~^) является циклической перестановкой 0(^2). Тогда в
силу сказанного выше
G(xlKW,K^'xV")
есть циклическая перестановка а (/(Wg/C"^) и поэтому а (XyKW2K^^x'^^)
является циклической перестановкой g (Wi)- Это завершает
доказательство теоремы 1.3.-^
Мол<но было бы заметить, что теоремы 1.2 и 1.3 дают
конструктивное решение проблемы слов и сопряженности лишь тогда, когда

1.4. Определение и свойства свободных групп 47
свободная группа представлена свободными образующими. Тем не
менее свободную группу можно задать и не свободным множеством
образующих. Например, группа
{а, й, с\ аЬ~^)
является свободной группой со свободными образующими b и с.
Менее очевидный пример дает группа
(а, Ь, с\ а^ЬасасаЬ),
которая является свободной группой со свободными
образующими аЬ и ас.
Стоит отметить, что не существует алгоритма для решения
вопроса, определяет ли данное представление свободную группу
(см. А д я н [2], Р а б и н [11 и раздел 6.1).
Методы, использованные при решении проблемы слов и
сопряженности для свободных групп, могут работать и в более широком
классе групп, называемых свободными произведениями (см. раздел 4.1).
Мы сейчас рассмотрим частный случай этих групп (включающий
свободные группы ) — а именно, свободные произведения циклических
групПу т. е. группы с представлением вида
(A'l, . . . , А'^,* Xi f . . • ) ^п /i
где Ki — неотрицательные целые числа (если г/ = О, мы обычно
опускаем определяющее слово х''^).
Важной группой, обладающей представлением такого типа,
является группа унимодулярных дробно-линейных преобразований
(комплексной плоскости) с целочисленными коэффициентами^ т> е. гр}и-
па преобразований
аг -I- b
cz-{-d '
где а, Ь, с, d — целые wad — be ^ L Можно показать, что эта
группа имеет представление
(А, у\ х\ у^),
где А: = (г-> — ], У ^^ \^-^ __ _^^] (см. задачу 19). Более того,
можно показать, что приведенная группа унимодулярных2 х 2-мат-
риц над кольцом целых чисел, в которой мы отождествляем матрицу
с ее противоположной, также имеет представление
II ОМ!
где А = I J oW ^ У "^l\ 1 (™' задачу 24 (е)).
Чтобы решить проблемы слов и сопряженности для группы
G-(Ai, ,.. , X,,; х[\ ... , А,?),
мы введем понятие «приведенрюго» слова и «циклически приведена
Бого» слова, являющиеся обобщением понятий «несократимого» И

48 Гл. 1. Основные понятия
<щиклически несократимого слова». Для этого заметим, что в группе
(а, Ь; а^у Ь^) слова аЬ^ и а-^Ь определяют один и тот же элемент,
хотя они являются различными несократимыми слоЪами.
Аналогично, b и aba определяют сопряженные элементы, хотя оба слова
циклически несократимы.
Если G = (Xi,..., х,{, х[\ ..., х'^), то слово
W = XvJ^v' ... ^vp (об/ — целое, v^ = 1, ,., , п)
назовем приведенным (в G), если v^ Ф v^^i и а^. — ненулевой
остаток по модулю г^, т. е.
0<а^<Г;, если г^фО, и щфО, если г^ = 0.
Таким образом, если G = (а, Ь; а^, Ь^) и Н = (а, &; а^, 6^),
то ab'^aba и аЬ^а являются приведенными в G, но не в Я, тогда как
aba приведено как в G, так и в Н.
Если G = (л:1,..., х^\ х\\ ..., д-^), то слово
W = Xv/Xv' ... /vp (о^/ — целое, v, = 1, ... , п)
назовем циклически приведенным (в G), если W приведено в G и v^ =7^
Ф Vp при р Ф 1
Таким образом, если G = (а, Ь\ с?, Ь^), ^ Н =^ (а, 6; с^, i»^),
lo^ab^ab циклически приведено в G, но не в Я, тогда как 6?to6
циклически приведено и в G и в Я, а ababa циклически не приведено ни
в одной из них, хотя оно циклически несократимо в свободной
группе с образующими а w Ь.
Как и в свободной группе, произвольное слово можно
преобразовать в приведенное слово в G, хотя в этом случае нам разрешается
вычеркивать наряду со словами Xvx7^ и x7^^:v и определяющие
слова G. Аналогично при помощи циклических перестановок и
вычеркиваний из произвольного слова можно получить слово,
циклически приведенное в G.
Теорема 1.4. ЕслиО = (a:i, ..., Хп\ х\\ ..., /^), то каждый
элемент из G определяется единственным словом, приведенным в
G. Далее, два слова определяют сопряженные элементы из G тогда и
только тогда, когда их циклически приведенные в G являются
циклическими перестановками друг друга.
Доказательство этой теоремы вполне аналогично
доказательству теорем 1.2 и 1.3 и предоставляегся читателю в качестве
упражнения (см. задачу 15).-^
Следствие 1.4. Пусть G = (х^^..., Хп] х\\ ..., х'^^у Тогда
всякий неединичный элемент конечного порядка в G сопряжен со
степенью некоторого х/ такого, что rj Ф 0.
Доказательство. Пу.ть W (xv) определяет элемент
конечного порядка из G. Тогда W сопряжено со словом У, которое

1.4. Определение и свойства свободных групп 49
цик1ически приведено в G. Пусть
где а^ — целые, v^ = 1, 2, ..., п. Если р > I, то Хх^ Ф х^ и
yOCl у^Ру"^^ у^Р y^i у^Р
Avi • • . AVp-^Vj • • . AVp • . . Av^ • • . AV-
приведено в G и поэтому не может определять 1. Но F имеет порядок^
одинаковый с W, Поэтому /? = 1; тогда х^^ имеет конечный порядок
в G и поэтому Гх, ф О (см. задачу 16).^
Чтобы проиллюстрировать применение этого следствия,
рассмотрим представление
(х, у\ х2, у^)
для группы унимодулярных дробно-линейных преобразований с
целыми коэффициентами. Используя следствие, получаем, что если
такое преобразование имеет конечный порядок, то он равен 2 или 3.
Аналогично не существует 2 х 2-матриц
\а Ь\
\ (а, 6, с, d — целые, ad — fe= 1),
которые имеют конечный порядок, отличный от 2, 3, 4 и 6 (так как
если мы не отождествляем матрицу с ей противоположной, то
имеет порядок 2).
О - 1II ^
Задачи
1. Показать, что если F — свободная группа с образующими х^у ..., х^ и слово
и циг.лически несократимо, то V^ также циклически несократимо. Показать, что
если Т ~ RUR~^ несократимо и f/циклически несократимо, тор G"^) = RU^R~K
2. Показать, что если U и V несократимы и U^ ^=^ V^, k — целое =р О, то
и ^ 1/. [Указание. Если V циклически несократимо, а У — нет, то ввиду
задачи 1 р (U^) = U'^ Циклически несократимо, а р (V^) — нет. Поэтому, если U
циклически несократимо, то и V^ циклически несократимо и [У = V , откуда V =я
= V. Если и циклически сократимо, то перейти к слову, сопряженному с (/ и
циклически несократимому ]
3. Пусть F — свободная группа с образующими л:,, ..., Хп- Показать, что
произвольный элемент из F имеет лишь конечное множество корней. [Указание.
Пусть W ф 1 несократимо, W — RUR"^, где U Ф 1 циклически несократимо.
Показать, что L (W^) = 2L (R) + kL (U), где L (V) обозначает длину слова V,
Показать, что если V фиксировано, то равенство V = W возможно лишь для
конечного множества значений k. Используя задачу 2, показать, что для каждого
k существует не более одного W ]
4. Показать, что если F — свободная группа с образующими х^, ..., х^ и
^kym ^ утцк^ то (/1/ ^ 1/(/. [У к а 3 а н и е. Рассмотреть у-'^Ц^У'^ и U'^ У^Ц
и использовать задачу 2.)
5. Пусть F — свободная группа с образующими х^^ ,.., Хп- Предположим, что
и \\У— несократимые слова и U начинается сх^, 2iy кончается на х^ (е, г)= ± 1,
[х, V = 1,..., /г). Показать, что если U т^ Ry~^ и У ^ U'^S (где Ry~\ U~^S
несократимы), то р (иУ) начинается с л:^ и кончается на ^^^J. [У к а з а н и е. Исполь-

60 Гл. 1. Основные понятия
зовать иртдукцию по сумме длин U и V, если VV несократимо, то результат
очевиден. В противном случае U == Кх^у V = х^ L (где 6 = ± 1); если К или L
пусто, то соответственно U = RV~^ или V ~ U~ S. Поэтому можно полагать, что
К начинается с л:^ и L кончается на х^\ таким образом, или р {UV) = р {Kl)
начинается с х1^ и кончается на xj], или К = RlT^, или же L ~ K~^S. Но тогда U =>
.=. Кх1=^ RL-^xl=^ RV-^ или V ==^ x^^Lr= x^^K~^S =. U~^S.]
6. Пусть F — свободная группа с образующими х^, ..., х^. Показать, что если
UV ^^ VU, то V ^=i \F^, V <:^ W^ для некоторого W и целых k, m, т. е. два
элемента из F коммутируют тогда и только тогда, когда они являются степенями одного
и того же элемента. [Указание. Использовать индукцию по сумме длин
L (U) я L (V) элементов U и V соответственно. Ввиду симметрии можно
предположить, что L (U) ^ L {V). Кроме того, можно предположить, что V -у^ \, U ф I и
V и и несократимы. Допустим сначала, что UV также несократимо Тогда UV =>
E3I VU и поэтому и является началом V, т. е. V => UR, Тогда UV = UUR ~ VU =^
1=а URU. Отсюла UR == /^(У и по индуктивному предположению R ^^ W, U ^:^ W^;
следовательно, V == UR ^ W'^^^ и утверждение доказано. Допустим теперь,
что UV сократимо, а U циклически несократимо. Так как U и V — несократимые
слова, а UV — нет, то t/ = Кх^, V = х~^М (где е = ± 1, v = 1, ..., п). Если
каждое из слов К и М есть 1, то (У = V~\ и наше утверждение доказано. Если только
одно из слов Kf М есть 1, то 1/= U~^M или же [У = КУ^ • Тогда соответственно
им ^=^ ми или УК ^ KV, так что, используя, как и в предыдущем случае,
индукцию, мы получим искомое утверждение. Пусть, наконец, К ф \ и Л^! =7^ 1.
Тогда согласно задаче 5 p{UV) начинается с первого символа слова U и кончается
последним символом слова V (кроме случаев, когда 1/=» RU~^ или V == ^""^5, в
которых мы, используя индуктивную гипотезу, снова получим наше
утверждение). Таким образом, если U начинается с xj), то (поскольку U циклически
несократимо) 'Кф V или г\Ф —г. Ввиду UV ^ VU имеем р (UV) = р (VU), Но р (VU)
начинается с первого символа слова У, т. е с х~^ (кроме случаев, когда V = RU~~^
или (/«= V~^Sf а тогда утверждение следует из индуктивной гипотезы). Значит^
д.^ = а:~^, что противоречит циклической несократимости U. Поэтому U = RV~^^
или V =3 U~^Ry и используя индуктивную гипотезу, мы получаем наше
утверждение. Если теперь U циклически сократимо, то U =а Т~^ QT, где Q циклически
несократимо. Тогда слова Q ^^^ TUT~^ и Г1/Г"~^ коммутируют. Далее, L (Q) +
+ L (TVT~^) ^ L {U) + L (V). Поэтому мы можем применить рассуждения
одного из предыдущих случаев и показать, что Q и TVT~^ являются степенями одного
и того же элемента; отсюда U иУ тоже будут степенями одного и того же элемента. ]
7. Пусть F — свободная группа с образующими х^, ..., Хп- Показать, что
нормализатор произвольного неединичного элемента является циклической группой,
[Указание. Использовать задачи 3, 4 и 6.]
8. Установить, почему каждая из следующих групп не является свободной:
(a) Группа положительных действительных чисел относительно умножения.
(b) Группа подстановок целых чисел.
(c) Группа, содержащая аддитивную группу рациональных чисел в качестве
подгруппы.
(d) Группа невырожденных 2 X 2-матриц над кольцом целых чисел с
определителем ± 1.
(e) Группа (л:, у, г; xz — zx).
(f) Группа (х, у, х^ ~ у-)
(g) Группа (Xi, ..., Хп\ х^ = х|, хз = xi, ...>»

1.4. Определение и свойства свободных групп 51
(h) Группа, в которой некоторый неединичный элемент имеет два кубичных
корня.
9. Пусть F — свободная группа с образующими х, у, г. Показать, что
подгруппа из F, порожденная элементами х!',у^, г^ где s, t,r =^ О, является свободной
группой, свободно порожденной элементами х'^, у^, 'i• [Указание.
Отобразить свободную группу с образующими а, Ь, с в F посредством: а -> д;'', 6 -> г/^,
с -» г^.. Показать, что если W (а, Ь, с) — несократимое слово (в символах а, 6, с),
не равное I, то и W (/, г/^, z^) — несократимое слово (в символах х, у, z), не
равное 1. ]
10. Пусть F — свободная группа с образующими х, г/, г. Показать, что
подгруппа из F^ порожденная элементами хух, угу, zxz, свободно порождается ими.
[Указание. См. указание к задаче 9.]
11. Пусть F — свободная группа с образующими х, у. Показать, что
подгруппа группы /^, порождаемая элементами ху, ух, свободна.
12. Пусть F — свободная группа с образующими х, у. Показать, что элементы
/7^ = х^у^, /2 =3 1, 2, ..., свободно порождают подгруппу в F, [Указание.
Показать индукцией по q, что
Pv^Pv^ ' ' ' Pvq
(где vi Ф v^_|_j, щ — целые Ф О, v^- "=1,2,...) определяет элемент из F, несократи-
мая форма которого оканчивается на у ^, если а^ > О, и на л: ^, если а^ < 0.]
13. Показать, что если F — свободная группа с образующими х, у\ Н — ее
подгруппа, порожденная элементами х^, у-, ху, ух, то Я не свободно порождается
этими элементами. Показать, что Я является подгруппой в F, состоящей из слов
четной длины. [Указание. Пусть а = х^, Ь = у^, с = ху, d = ух. Показать,
что тогда doT'^c = b.]
^ 14. Пусть F и Н такие же, как в задаче 13. Показать, что Я свободно
порождается элементами х^, у'^, хг/. [У к а з а н и е. Пусть W (а, Ь, с) — несократимое
слово в алфавите а, Ь, с. Показать, что
W [х\ у\ ху) = W, (х\ у'Л . {xyt^ . \F, {х\ у^) . (ху)""^ ...Wr (х\ у')ЛхуГг,
где Wi {а, Ь) — несократимое слово в символах а, Ь. Показать, что если IF^ (а, Ь)
несократимо ia Ф 1, то 1^^ (л:^, у'^)— несократимое слово в символах х, у,
начинающееся и кончающееся одним из слов х^, у'^, х~^ или г/"~^. Показать, что если щ ф
ФО, то(ху)'^^ несократимо и начинается и кончается на ху или у'~^х~К Показать,
что если W^ (а, Ь) несократимо, =7^ 1 и а^ =7^ О, то р (Wi (х"^^ у^) • (ху) ^)
начинается с х^, у^у х~^, г/—^, х^^у или у~^х', более того, р (IF^ (х^, у^) • (ху) ^)
оканчивается на ху, у~^х~'^, х'~^у или ух~~^. Наконец, покажите, что если W (а, Ь, с)
несократимо и т^ 1, то слово W (л;2, у'^, ху) в символах х, у не может быть свободно равно 1. ]
15. Пусть G= (дгр .,.,Хп\ х[\,.., x^/i}. Написать подробно доказательство
теоремы 1.4. [Указание. См. доказательство теорем 1,2 и 1.3. ]
16. Пусть группа G та же, что в задаче 15 Показать, что Xi имеет порядок
I Tj-1, если г^фО,ц бесконечный порядок, если ri = О, Показать, что если г^, rj Ф \,
то xi и Xj не коммутируют. [Указание. Воспользуйтесь решением проблемы
слов в G ]
17. Установить, почему каждая из следующих групп не является свободным
произведением конечного числа циклических групп:
(a) Группа полиномов степени меньше 3, с целыми коэффициентами
(относительно сложения).
(b) Группа, содержащая подгруппу всех корней /г-й степени из 1 для всех п
(относительно умножения).
(c) Группа (л;, у\ х*, х^ == у^).

52 Гл. 1. Ос}10вные понятия
(d) Группа п X п-матриц над кольцом целых чисел с определителем ± I
(относительно умножения).
(e) Группа дробно-линейных преобразований z -> , где/7, q, г, s—дей-
гг 4- S
ствительные числа п ps — qr Ф 0.
^ (!) Группа (^1, Х2, хз, ...; х^, х\, х\, ...).
(g) Группа (^1, лгл, Хз, ...; х\\ х\, 4» •••)» ^ ^ ^•
(h) Конечная не циклическая группа.
18. Пусть L — группа уинмодулярных дробно-линейных преобразованиЛ
Q цельь\ш коэффициентами
QZ '\-Ь
^ '" cz-\-d *
где а, Ь, с, d — целые, ad — be = 1. Пусть, далее, л: == [ г -> j , г/ =з j г ->
(a) Показать, что а, 6, с, d и —а, —Ь, —с, —d определяют одно и то же
линейное преобразование.
(b) Показать, что если
/ az + b \
то
CZ -f-d \ / ^cz — d
Хр = [Z -> ¦ г- = 2 -> -г—
\ — QZ — о I \ UZ -\~ b
(c) Показать, что
xy=.{z->z—l), {ху)~^ =^{z-^z-\- [)
и
(xyf = (г ->2 —^).
(d) Показать, что если
/ azi-b]
^ \ cz-^d Г
то
. ,k ( f« — f^c) z -4- F — kd) \
(ху)'р^[г-. —-^ ).
(e) Проверить следующие утверждения и выкладки: если
/ 52—1
то
{хуГ^ G =- (z -^ _ 42 + 1 ) ' ^ ^^'^'^"^ ^ = (^ -> ~~~
(xi/)* X (xi/)-^ ^ == Ь -> 1 , X (Х?/)* X (хг/)~^ 7 = (г -^ 2).
Вывести, что
(f) Записать следующие преобразования как слова из х п у:
2г+ ^ 72 ~3 10452 + 2
^"^52 + 3' ^"^-92 4-4'^'^ б22г + I *

1.4. Определение и свойства свободных групп 53
^ / az 4- Ь\
(g) Показать, что если р =: \z -> , то, умножая р слева достаточно
\ CZ -\~ а!
'часто на х и (а//У^ мы можем получить преобразование
Показать, что поскольку т/г = 1, то г = (г -» z Л- nj) ш=* (ху) ^К
(h) Показать, что х w у порождают L.
19. Показать, что группа L из задачи 18 имеет представление (лг, у\ х^, у^),
установив для этого следуюш,ее:
(а) отображение: х -> (г -> -^ГТ") " ^ "^ (^ ^ _. ^ ¦, ] ) индуцирует
гомоморфизм (х, //; л:^, f/^) на L;
^ (Ь) каждый неединичный элемент из (х, ?/; х^, //'^) определяется словом
где ai = О или 1, р^- = О, 1 или —1;
(c) кал(дый неединичный элемент из {х, у\ л:^, у^) сопряжен с элементом,
определяемым словом вида л:, у, (/""^ (ху)^^ {^У~^)^ или
{хуГ • (х^-V • (%i/)^ . .. {xy-'f.
где а, Р > О, а 7, б, ... все > 1;
(d) если какой-нибудь неединичиый эле^1ент переходит в 1 при гомоморфизме,
указанном в (а), то элемент вида, указанного в (с), должен перейти в I;
(e) X, у, у"^ не переходят в I;
(f) ху и ху~~^ также не переходят в 1;
fe) {^yV переходит в z -^ z — 75
(h) (ху )" переходит в г-»
- б2 + 1 '
{[) [ху)^ • (ху~^)^ переходит в z -^ __к\\ ^
(J) {ху~^)^ ' (ху)^ переходит в г-> „^Д^^^^^^^^ ;
(к) множество дробно-линейных преобразований
2 -> _-_.
CZ -^ d '
ГлТе а, d > 0; Ь, с< О и ad > 1, замкнуто относительно умножения и не содержит
тождественного преобразования z -^ z]
A) если а, р, ..., 7> ^ > Ь то
(л:!/)'' • (^i/~y . . . (xyf • (A:f/~V
и
не могут перейти в тождественное преобразование г -> г, так как они переходят
в элементы подмножества из (к);
(т) подмножес1во из (к) замкнуто относительно умножения слева на
преобразования;
2>>z — 7 и 2-> —т—^—г- при 7» ^ > 0;
— 0Z -р 1
(п) никакое слово из (с) не может перейти в 2 -> г;
(о) гр>ппа <х, у\ х^, у^) изоморфна группе L.

54
Гл. I. Основные понятия
20. Пусть L =• (jc, г/; л:^, f/^). Докажите каждое из следующих утверждений:
(a) подгруппа L, порожденная уху и хухух, является свободной группой,
свободно порожденной этими словами;
(b) подгруппа L, порожденная элементами уху~'^ и хуху~^х, имеет
представление (/-, s; г^, s^>;
(c) подгруппа L, порожденная уху"^ и хуХу имеет представление (а, s; л^^
s^>, но не совпадает с L;
(d) подгруппа L, порожденная уху^^ и хухух, имеет представление (/*, s, г^).
21. Покажите, что группа (л;, у; а:^, у^) имеет свободные подгруппы с
любым конечным числом свободных образующих. [Указание. Используйте
задачи 20 (а) и 12.]
22. Пусть G = (х, у\ х^ = у^). Покажите, что всякий элемент из G, не
равный 1, определяется единственным словом вида
A:2^x^\i/^
''х^'у^'
x^ky^h,
где а — целое, ai =0 или 1,а2, ..,,а/г=з 1 (если они встречаются); Pi,P2» •••»Р^_1 =»
= 1 или 2 (если они встречаются); P/j =а О, 1 или 2. [Указание.
Рассмотрите гомоморфизм G в (а, Ь\ а^, Ь'^) при х -> а, у -^ Ь\ далее, рассмотрите гомо^лор-
физм G в (а), заданный посредством х -^ а^, у -> а^.]
23. Пусть G — (х, у\ л:*, л:^ = у^). Покажите, что каждый неединичный
элемент из G определяется единственным словом вида, указанного в задаче 22,
за исключением того, что теперь а есть О или 1. [У к а з а н и е. Рассмотреть
гомоморфизмы G р {а, Ь\ а^, Ь^) и в (а; а^).]
_ 24. Пусть М — группа унимодулярных матриц
\\а Ь\\
где а, Ь, с и d — целые и ad — be -
(а) Покажите, что отображение
а b
с d
az-\-b'
cz^ d}
является гомоморфизмом М на группу L из задачи 18.
(Ь) Покажите, что ядро гомоморфизма из (а) является центром Л4, т. е.
множеством матриц
11 1 ОII 11—1 ОII
110 111 II 0—1
(с) Покажите, что М порол<дается элементами
1—1 011 _|| 0 1
О -1 ' """ -1 о
и !/ =
О
— 1
и
заметьте при этом, что х vi у являются прообразами отображений
^ \ I i
-> и 2 -> г-
~ч \ -^+^
(d) Показать, что каждый эчемент из М может быть однозначно записан
в виде и (дс, у) или wU (л:, у), где U (а, Ь) — слово, приведенное в группе
<а, 6; а2, б^).
(e) Показать, что
: Wy
О
и,
Х2 = ^Ъ.
аконец, что
М = <л:, у\
25. Решить проблему слов для G =. {х, у; /^, д;^ = у^), гДе г и / взаимно
простые, показав, что каждый элемент из G определяется единственным словом

1.4. Определение и свойства свободных групп 55
вида
/' -Uix, у),
где О < ^ < г, а слово U (а, Ь) приведено в группе
[Указание. Рассмотреть гомоморфизм G на (а, Ь\ а^, Ь^), при котором х ->
-> а, у -> Ь\ далее, рассмотреть гомоморфизм G в циклическую группу {а\ а'"^),
определенный посредством х -^ а, у -^ а'^^ где tn = 1 (mod г) и поэтому //is ^
S S (mod rs).]
26. Показать, что группа (л:, у\ х^^, х^ == г/*^) не может быть гомоморфно
отображена в (а; а}^) при л: -> й;. [У к а а а н и е. Каждая шестая степень
элемента из (а; а}'^) имеет порядок 1 или 2.]
27. Показать, что в G = (л:, у\ х''^, )^ = у^) можно решить проблему слов
(как указано в задаче 25) даже тогда, когда г и ^ не взаимно простые.
[Указание. Рассмотрите гомоморфизм G в {а: а''^^}, при котором х -^ а\ у -^ а^.]
28. Показать, что группа (а, Ь; а^, аР = W) может быть задана и другим
хтредсгавлением,
где /гиг — взаимно простые. [Указание. Пусть s — наибольший оби;ий
делитель р и т. Тогда т == sr, р г= sv, где г я v взаимно просты. Если теперь
4V а 1 (mod г), то а'" = 1, а'^ == 6^ и а"''' = а' == 6"^. Поэтому
С другой стороны, Ь^^ == а''^^ = 1. Следовательно,
G = (а, Ь\ a^^ б''^, а^^ = 6^, а' = 6"^>.
Но соотношение а^^ = б'^ может быть выведено из Ь^^ = 1 и а^ = 6'^^.
Действительно, а^^ = 6"^^ = W, поскольку nv ^ \ (mod г) и поэтому /г^и ^ q (mod r^).
Таким образом,
где г \\ п взаимно просты.]
29. Решить.проблему слов для
где д и г взаимно простые. [Указание. Показать, что каждый элемент из Q
определяется некоторым словом вида х^^ • U (л:, у), где слово U (а, Ь) приведено в
<а, Ь\ a^ 6^) и О «^ /г < г, Показать, что это слово единственно, рассмотрев для
этого гомоморфизмы G в {а, Ь\ a^ W) и также в <а; а''^^), при которых х ->
-> а, f/ -V 6 и соответственно л: -> а"'^, г/ -> а^.]
30. Показать, что G = {а, Ь\ а'^, 6^, а^ = Ь^) имеет такое же
представление, как и в задаче 29. [У к а з а н и е. См. указание к задаче 28;
используйте тот же метод.]
31. Покажите, что F является свободной группой с п образуюц;ими а^, Ог»--*
«.., йп тогда и только тогда, когда каждое отображение
«1 -> Sv «2 -> ё^2' •••' ^п -> ^Аг
в группу G может быть продолжено до гомоморфизма F в G. (Это
характеристическое свойство часто используется для определения понятия «свободная группа».)
[Указание. Считая группу F свободной, используйте следствие 1.1.2. Чтобы
доказать, что F — свободная группа, отобразите F в свободную группу (б^, ^2, Т..
..., Ьп) посредством а^ -> 6^; вывести отсюда, что любде единичное слово
R{a^,) свободно равно пустому слову.]

56 Гл. 1. Основные понятия
1,5. Преобразования Тице
Группа G может имегь много представлений; действительно, для
данного множества порождающих элементов G (и соответствующих
порождающих символов) существует много возможных множеств
определяющих слов.
Для примера, пусть Р будет группой подстановок символов 1,
2, 3; циклы A 2 3) и A 2) составляют множество образующих
элементов для Р. При отображении а -> A 2 3), 6 -^ A 2) группа Р имеет
представление
{а, Ь; а\ Ь\ аЬ = Ьа") A)
(см. задачу 6 (а) к разделу 1.1). Группу Р можно также задать пред»
ставлением
(а, &; a^ Ь\ аЬ = Ьа-^) B)
относительно того же отображения. Действительно', так как
определяющие слова (и соотношения) представления A) выводимы из
имеющихся в B) и наоборот, то A) и B) определяют одну и ту же группу
классов эквивалентности. Менее очевидно, что Р можно задать
представлением
(а, Ь; аЬ^а\ a^^{b^a?fa, b^a^ba) C)
относительно того же отображения; читатель может проверить, что
определяющие соотношения из C) выводимы из имеющихся в A)>
и наоборот.
Вообще, если G имеет два представления
G = (ai, ^2, ...; /?1 (^v), R2 (^v), .. О D)
и
G=(a^, «2» •-; 5i(av), S^ia^), ...) E)
относительного одного и того же отображения, то каждое
определяющее слово из E) выводимо из определяющих слов D), и обратно.
Действительно, Si{av), S2(av), •.. являются единичными словами
и, следовательно, выводимы из определяющих слов Ri (Qv),
JR2 (^v), ..., и наоборот
Остальные представления для G можно получить, используя
другие множества порождающих элементов группы G.
Например, группа подстановок Р порождается циклами A 3)
и B 3). Относительно отображения с-^ (I 3), d-^ B 3) группа Р
имеет представление
(с, d; с\ d\ (cdf) F)
(см. задачу 6 (Ь) к разделу 1.1). Существует ли какой-нибудь способ
преобразования представления A) в F)? В 1908 году Тице показал,
«то из данного представления
(а, Ь, с, ...; Я, Q, ;?, ...) G)

1:5. Преобразования Тице 57
ДЛЯ группы G можно получить любое другое представление
повторным применением к G) следующих преобразований:
(Т1) Если слова S, Г,... выводимы из Р, Q, 7?,..., то добавить S^
Т, ... к определяюи{им словам в G).
(Т2) Если некоторые единичные слова, скажем, S,
Т,...,содержащиеся среди определяющих сло^ Р, Q, R, ,..у выводимы из остальных^
то вычрркнуть S, Г,... из определяющих слов в G).
(ТЗ) Если Ку М,... — произвольные слова в символах а, fo, ^,...,
то присоединить символы х, у,... к порождающим символам в G) и
одновременно присоединить соотношения х = К, у = М,... к
определяющим словам в G).
(Т4) Если некоторые из определяющих соотношений G) имеют
вид р = Vy q = W, где р, q,... — образующие в G), а V, W,... —
слова в образующих, отличных от р, q,..., то вычеркнуть р, q,... из
образующих, а р = V, q == W,... — из определяющих соотношений
и 'Заменить р q,... на V, W,... соответ..твенно в оставшихся
определяющих (оотношениях G).
Преобразования (Т1), (Т2), (ТЗ), (Т4) называются
преобразованиями Тице.
Преобразование Тице называется элементарным^ если оно
состоит в присоединении или вычеркивании одного определяющего
слова, либо в присоединении или вычеркивании одного
образующего и соответствующего определяющего соотношения.
Преобразования Тице не изменяют группы, определяемой
представлением. В самом деле, пусть J) определяет группу G
относительно отображения
а->g, b->h, c-^k, .,^ (8)
Тогда, применяя к G) преобразование (Т1) или (Т2), получим пред-
сгавлеиле группы G относительно того же отобрал<ения (8).
Применение (ТЗ) к G) дает представление для G относительно отображения
(8), доопределенного посредством
x-^Kis^ h, k, ...), у->Л1(о, Л, й, ...), .,, (9)
Действительно, если Л^ (а, ft, г,..., х, у,...) — единичное слово из G
относительно отображения, определенного в (8) и (9), то, используя
соотношения х = У(, f/ = Л1, ..., можно слово N заменить словом в
алфавите а, Ь, с,..., которое будет единичным относительно (8) и,
следовательно, может быть выведено из Р, Q, /?, ... Поэтому Р, Q,
R, .... X = Ку у == М,... есгь мнол<ество определяющих слов и
соотношений для G относительно (8) и (9).
Применяя к G) преобразование (Т4), получим представление
группы G относительно сужения отображения (8) на образующие,
остающиеся в новом представлении. Действительно, используя (ТЗ)
для восстановления вычеркнутых образующих и соответствующих
мм определяющих соотношений, мы вернемся к представлению G)

58 Гл. 1. Основные понятия
(после^амены У, Й7,... на р, ^, ..., используя всякий раз, когда
нужно, (Т1) и (Т2)); поскольку'(ТЗ) не изменяет группы, определяемой
представлением, это же верно и для (Т4).
В качестве иллюстрации применения преобразований Тице,
покажем, что группа
(а, Ь, с, •..; {abf • аЬ^)
является свободной группой с двумя образующими. Для этого
введем новые образующие аЬ и аЬ^ по (ТЗ) и получим
{а, Ь, с, X, у\ {abf * ab^, х = ab, y=zab^).
Далее, применяя (Т1), перейдем к представлению
(а, Ь, Су X, у; {abfab'^, х^у, х=^аЬ, у = аЬ^)
и затем, используя (Т2), получим представление
(а, 6, с, X, у; х^у, х = аЬ, у = аЬ'^).
Найдем явные выражения для а и Ь через х, у и, используя (Т1)^
перейдем к представлению
(а, Ь, с, X, у; х^у, х = аЬ, у^аЬ^у Ь = х-^у, а=^ху-^х).
Теперь, применяя (Т4) для исключения а и /?, получим представление
(Су Ху у; xhj, X = [ху-^х) {x-~hj)y у = {ху-^х) {x-^yf)y
от которого посредством (Т2) перейдем к представлению
{Су Ху у; х^у).
Используя (Т1) и (Т2), получим представление
(Су Ху у\ У=-Х~^)
и, наконец, применяя снова (Т4), получаем представление
{с, X)
свободной группы с двумя образующими.
Теорема 1.5. Пусть даны два представления группы G:
G^{ciu ^2> *-; ^1Ы, /?2(^v), -.) A0)
"" G==(b,, b,y ...; S,{b^)y S,(M, ...). A1.
Тогда (II) можно получить из A0) повторным применением
преобразований Тице (Т1), (Т2), (ТЗ) и (Т4).
Доказательство. Пусть A0) есть представление группг ^
G относительно отображения
ai-^gu «2->^2» -• A2)
и пусть A1) — представление G относительно отображения
bi-^h,y b,^h,y .,, A3)

1.5. Преобразования Тице 59
Применим сначала к A0) преобразования Тице так, чтобы символы
fei, b.^y ... оказались порождающими. Для этого мы хотим выразить
ill, /I2, ... через gi, §21--- Так как g-j, ^2» ••• есть множество
порождающих элементов для G, то
^i = fii(g^i, §2, -•), ^2 = ^2(^1, ^2, -О, •*• A4)
Теперь, используя (ТЗ), присоединим к порождающим символам A0)
новые символы б^, ^2» ••• и соответствующие им соотношения
^1 = ^1 (^1» ^2» • • •)» ^2 = ^2 (%» ^2» . • •); A5)
получим новое представление для G:
(а^, ^2, ..*, ^1, ^2. •••; ^i(^v), ^?2(^v), .»., &i = Bi(av),
&2 = 52(av), ...)• A6)
Очевидно, A6) есть представление группы G относительно
отображения
«1-~>5ъ ^2-^Я2» •••» ^i->^i, b.^-^h^, ..,, A7)
определенного посредством A2) и A3).
Мы хотим теперь ввести в A6) определяющие слова A1). Для
этого заметим, что
SJ&1, &2, •^.). S,(&i, Ьз, ...),.- A8)
являются единичными словами относительно A7), так как они
являются единичными словами относителыю A3). Поэтому, используя
(Т1), можно присоединить A8) к определяющим соотношениям
(словам) из A6) и получить другое представление
<«!, а^, ..., ^1, Ь^, .,.; iRi(av), /?2(<^v), ...
..., ^ = В, (av), ^2 = В, (av), ..., 5i (fe^), S, (b^), ,..) A9)
группы G относительно отображения A7). Теперь мы хотим
выразить а^, а2, ... через Ь^, йг»---» чтобы можно было исключить а^^,
а2у ... из A9). Для этого найдем выражения для g"i, g2, ... в виде слов
относительно/li,/22,-.. Поскольку/г^,/i2, ... — множество образующих
элементов группы G, то
g^i = ^i(/zi, Аз, ...), g^2 = 4(^i, /^2, ...), ...
Тогда при отображении A7) равенства
% = ^i(^b ^2» •-•)» а^^А^Ф^, ^2» -•), -. B0)
являются соотношениями в Gh, следовательно, выводимы из
определяющих слов A9). Таким образом, используя (TD, мол<но
присоединить соотношения B0) к определяющим словам из A9) и
получить представление
{а^, а,, ..., /?1, ^2» • • •»' ^1 (^v), ^2 (^v), ..., b^ = Bi (av),
^2 = ^2 (^^), .. •, 5i (fe^), ^2 (&p), ..., a, = Ai (b^),
^2 = 4(M, .-). B1)

60 Гл. I. Основные понятия
Вместо исключения «1,^2, ..., как планировалось, заметим, что B1)
симметрично, поэтому B1) можно получить из (И)
преобразованиями Тице. Так как переход, обратный к преобразованию Тице, есть
последовательность преобразований Тице (см. задачу 1), то A1)
можно получить из B1) последовательностью преобразований Тице.
Таким образом, A1) можно получить из A0) последовательностью
преобразований Тице. -^
Следствие 1.5. Если представления A0) и A1) из теоремы
1.5 конечно определены, шо A1) можно получить из {Щ конечной
последовательностью элементарных преобразований Тице.
Доказательство. Если представления A0) и A1)
конечно определены, то множество соотношений A5), A8) и B0) конечно.
Поэтому их можно присоединять к A0) постепенно, по одному
каждый раз, и таким образом с помощью конечного числа элементарных
преобразований Тице получить B1). Аналогично можно получить
из B1) представление A1) конечным числом элементарных
преобразований Тице.-^
Хотя теорема 1.5 устанавливает, что каждое представление
группы G можно получить из любого другого представления
преобразованиями Тице, она не дает никакой конструктивной процедуры д !я
решения в конечное число шагов вопроса о том, можно ли одно npev
сгавление получить из другого преобразования,\ш Тице. Таким
образом, теорема 1.5 не дает решения проблемы изо\юрфизма Однако
следствие 1.5 было использовано для получения признаков (rei^ron)
изоморфизма (см. Фокс [2] и раздел 3.4). Эти тесты состоят в сл^"
дующем. По конечно определенному представлению строятся
некоторые математические объекты (такие, как полиномы, идеалы)
Доказывается, что эти объекты инвариантны относительно „л.-^меи-
тарных преобразований Тице. Отсюда следует, что двум
представлениям, определяющим одну и ту же группу, должны отвечать одина
ковые объекты.
Следствие 1.5 было использовано Рабииом для доказательстве
того, что если два конечно определенных представления задают одп\
и ту же группу, то проблема слов (сопряженности) разрешима д i^
одного из них тогда и только тогда, когда она разрешима для друго! с
(см. задачи 10, 11 и 16).
Задачи
1. Показать, что преобразования Тице (Т1) и (Т2) взаимно обратны Показать
что переход, обратный к преобразованию Тице (ТЗ), есть (Т4) Показать, что
преобразование, обратное к преобразованию Тице (Т4), есть цепочка преобразований
Тице: сначала (ТЗ), затем (Т1) и, наконец, (Т2)
2. Показать с помощью преобразований Тице, что предсгавления
{а, Ь, с; 6^ (ЬсУ-)
и
(v, у, Z, if% г-)
определяют изоморфные группы.

1.5. Преобразования Тице 61
3. Показать с помощью преобразований Тице, что циклическая группа
порядка тп, где тип взаимно просты, имеет представление (Ь, с; У", с^, be = cb),
(Указание. Начав с представления (а\ а^^), присоединить новые образую,
щие b с=: а^, с ^ ci^\ определяющие слова Ь^, (Р' и соотношение Ьс = сЬ. Так как
m и /1 взаимно просты, то rm + s/i = 1 и, следовательно, а = 6V можно
присоединить к определяющим словам.]
4. Показать, что группа
<а, Ь\ aba = bah)
изоморфна группе (с, d, с^ == d^). [Указание. Начать с паедставления
(i , /;, aba = bah) и присоединить новые образующие с == аЬ, d = aba; выразить
а п b чорез cud; применить (Т4) для элиминации а и Ь.]
5. Показать с помощью преобразований Тице, что!
(а, Ь, с\ b (аЬс-^)'^ а, с (аЬс~^)
есть свободная группа с двумя образующими. [Указание. Пусть (л:, у) —
срободная группа с двумя образующими; присоединить новые образующие а »
г= ху, Ь^у^^х, с— х^\ выразить х и у через а, Ь, с и применить (Т4).]
6. Показать, как преобразованиями Тице перевести
<а, by а^, Ь^, аЬ = Ьа-)
Б
<с, d\ с2, d\ (cdf),
присоединяя с ~ Ь, d z= аЬ. Показать, как преобразовать по Тице первое предегав-
ление во второе, присоединяя с == аЬ, d = ba.
7. Показать, как преобразованиями Тице перевести
<а, Ь\ Р(а. Ь), Q(a, b), R {а, b))
в
а, у\ Р(%, у~\ Q(x, у-'). R(x, у~'))
и в
<х, у; Р(ху\ у\ Q(xy\ у), R{xy\ у)).
[У^к а 3 а н и е. Если а заменяется на ху^, b — на ^, то а: = аЬ~^, у = Ь.]
8. Показать, как преобразованиями Тице перевести
G = (а, Ь\ а\ Ь\ Ьа = аЧ''-)
в
<с, cf, с5, d^, cd = dc-).
В частности, показать, что G имеет порядок двадцать. [Указание Пусть с =:
г=2 Ьа, d =3 b. Показать, что (Ьа)'^ = 1; сначала показать, что
(Ьа)^ ^ Ьа • Ьа= аЧ'^ • Ьа = аЧ~^а = а^ . а~^Ь'~^а =^
— а^ • Ь'^а^ == а • д^б^ • а^ = а6 - а* == а6.
Отсюда
{Ьа)^ = (аЬ)^ = а {ЬаУ- b = a-b'- = ba.
То, что G имеет порядок двадцать, вытекает из задачи 17 к разделу I 2 ]
9. Показать, как преобразованиями Тице перевести
G = (а, Ь\ а^ Ь^ Ьа = аЧ^)
в
(с, d\ с", d5, cd= dc^).
В частности, показать, что G имеет порядок пятьдесят пять. [Указание.
Доказать, что (Ьа)^^ = 1, показав сначала, что (baf с= об и затем {Ьа^^ =» (аЬ)^ «
1= а {baf b = ba. См. указание к задаче 8.]

62 Гл. 1. Основные понятия
10. Показать, что если проблема слов (сопряженности) разрешима для
конечно определенного представления
то она разрешима для любого представления, получаюи;егося из этого одним
элементарным преобразованием Тице. [Указание. Если дано другое
представление G, которое можно получить из данного одним элементарным
преобразованием Тице, то можно выяснить, просматривая его образующие символы, какое из
преобразований использовалось. Если использовалось (Т1), (Т2) или (Т4), то новые
образующие символы содержатся среди а^, ^2, ..., а^', слово в новых образующих
символах определяет единицу тогда и только тогда, когда оно определяет
единицу в исходном представлении. Если использовалось (ТЗ) и 6 — новый
образующий символ, а b = и (а^) — соответствующее определяющее соотношение, го
W (a^f b) определяет единицу в новохМ представлении тогда и только тогда, когда
W (а^, и (а^)) определяет единицу в исходном представлении.]
11. Пусть проблема слов (сопряженности) разрешима для конечно
определенного представления
G = (а^, ^2, . . ., ап\ /?1, /?2, . .., Rm)
и указана конкретная конечная последовательность элементарных
преобразований Тице. Показать, что для представления, получающегося из исходного
применением этой последовательности преобразований, проблема слов (сопряженности)
также разрешима. [Указание. См. задачу 10.]
Далее предполагается, что образующие символы для всех представлений
выбираются из бесконечной последовательности а^, «2» •••» ^^п^ •••
12. Единичное слово R выводимо в г шагов из /^j, ..., R,n, если R можно
получить из пустого слова последовательностью из г шагов, каждый из которых есть
вставка или вычеркивание одного из единичных слов Z^^, ..., /?^„ или одного из
тривиальных единичных слов. Показать, что множество слов, выводимых из
^1, •••» ^/п не более, чем в г шагов, конечно.
13. Число г называется рангом элементарного преобразования Тице Т
конечно определенного представления
если выполняются следующие условия: Т есть преобразование (Т1), и
присоединяемое единичное слово выводимо не более, чем в г шагов из R^, ..., Rf^; Т есть
преобразование (Т2), и исключаемое единичное слово выводимо не более, чем в г шагов
из остающихся определяющих слов; Т есть преобразование (ТЗ), а образующий
а^ и соответствующее соотношение а^ =z V (а ) удовлетворяют условиям v^ г и
L {V) ^ г, Т есть любое преобразование (Т4). Показать, что данное конечно
определенное представление имеет конечное число элементарных преобразований
Тице ранга г, каждое из которых можно построить из исходного представления.
Показать, что каждое элементарное преобразование Тице конечно определенного
представления имеет некоторый ранг.
14. Показать, что совокупность представлений, каждое из которых можно
получить из данного конечно определенного представления последовательностью
из г элементарных преобразований Тице ранга г, конечна, и каждое такое
представление можно построить из данного.
15. По данному конечно определенному представлению построить такую
последовательность конечно определенных представлений, что в ней через конечное
чигло шагов встречается каждое конечно определенное представление, задающее
ту же группу, что и данное. [Указание. Перечислить те представления,
которые можно получить из данного последовательностью г элементарных
преобразований Тице, каждое из которых имеет ранг г. Затем расположить их в
последовательность для л — 1, 2, ... Согласно следствию 1.5 каждое конечно определенное
представление этой группы должно встретиться в указанной последовательности»

1.6. Граф группы 63
16. Показать, что если проблема слов (сопряженности) разрешима для одного
конечно определенного представления группы G, то она разрешима для любого
другого конечно определенного представления группы G. [Указание.
Воспользуйтесь задачами 15 и 11. J
1.6. Граф группы
В этом разделе обсул<дается понятие графа группы; он состоит
главным образом из определений. Изложенная терминология не
будет нужна в следующих главах. Однако методы теории графов явно
использовались в важных работах по теории конечно порожденных
групп: см., например, работы Дэна[1, 3], Шрейера [1],
БэраиЛеви [11, Уайтхеда [1, 2], Келлера[1] и
X а у с о н а [1]. Более того, графы являются (в алгебраизирован-
ной форме) основными элементами доказательств в работах
Линдона [1]иКуна[1] (см. особенно рассуждение,
приведенное в последнем разделе статьи Куна).
Граф группы дает нам также возможность мысленно увидеть
группу; в ряде случаев он подсказывает экономное Алгебраическое
доказательство результата. Для конечных групп малого порядка
граф группы может быть использован вместо ее таблицы: он дает
ту же информацию, но в значительно более эффективной форме.
Сначала мы дадим интуитивное описание графа группы, чтобы
избежать сразу более формальных определений, которые последуют
затем.
Пусть G — группа; для простоты будем считать, что она имеет
представление с двумя образующими а и Ь. Для каждого элемента
gv из G выберем (на плоскости или в пространстве) точку Р так,
чтобы элементы группы G находились во взаимно однозначном
соответствии с этими точками. Соединим точки Pv ориентированными
ребрами двух различных типов; при вычерчивании графа направление
(ориентация) указывается стрелкой, а два ребра различного вида
изображаются двумя различными цветами С^ и Сз,
соответствующими двум образующим а и Ь.
Предположим, что
Sy-a = g^. g^'Ci-' = g'^, g^^b = g^, g^.b-'^g'^. A)
Тогда точку Pv соединим с Р^ ребром цвета Q, начинающимся в Р^
и заканчивающимся в Р^\ соединим также Pj_^ с Pv ребром цвета Q,
начинающимся в P^i и заканчивающимся в Р^; далее, проведем ребро
цвета Сз из точки Ру в точку Р^ и, наконец, соединим Р}, и Pv ребром
цвета Со с началом в Ря, и концом Pv^). Таким образом, в каждой
^) Как будет видно далее (стр 67), авторы не считают, что ребро
ориентировано от начала к концу, как обычно принято. Например, ребро Р^Р2 с началом Р^
И концом Рз может быть ориентировано от Pg ^ Р^ и наоборот,— Прим, перев»

64 Гл. 1. Основные понятия
точке Pv начинается точно одно положительно ориентированное^)
ребро каждого цвега и точно одно положительно ориентированное
ребро каждого цвета заканчивается в каждой точке Pv Наконец,
ребра эти нигде, кроме гочек Pv, не пересекаются.
Только что указанная система точек (вершин) и ребер обычно
и называется графом группы G с образующими а я Ь. В литературе
употребляются и другие названия — «групповая диаграмма» (это —
2 перевод термина Дэна «Gruppenbild»),
д"- диаграмма Кэли, «цветная группа»
/|i\ (термин, введенный Кэли и употреб-
/ У \ ленный в 1911 г. Бернсайдом).
/ А^ \ Если в графе группы G вершина Pq
/ / \ \^ отвечает единичному элементу 1 из G,
/ / \ \ то любое слово W{a, b) однозначно
/ / ^ \ изображается путем, состояш.им из
/ / \ \ ориентированных ребер и начинаю-
/^^ ^_-.-Л?^\ щимся в Pq. Так, например, если
J/y^ ^Ч5\ Ща,6) = аЬа-^, то отвечающий
^f^ ^ .^ь,^ ^^^^ щ j^y^^ состоит из положительно
ориентированного С^-ребра, идущего
^"^' ^' из Pq до его другой концевой точки
Pi, за которым следует положительно
ориентированное Сз-ребро, идущее из Р^ в его концевую точку,
скажем, Рз и, наконец, отрицательно ориентированьюе Сх-ребро,
идущее из Ра в другой конец ребра, который назовем Р<^. Из самого
процесса построения ребер ясно вытекает, что Р., — вершина,
отвечающая элементу из G, определенному W (а, Ь), В частности,
W (а, Ь) есть единичное слово тогда и только тогда, когда
отвечающий ему путь замкнут.
Задача о построении графа группы G по представлению
G=(a, b; Р, Q, /?),
очевидно, эквивалентна проблеме слов для этого представления.
На рис, 1 изображен граф группы
G=(a, b; а\ Ь^ (аЬУ-),
которая является симметрической группой степени 3. Поскольку G
содержит шесть элементов, ее граф имеет шесть вершин. Вместо
разных цветов используются пунктирные и сплошные линии:
сплошные линии изображают ребра, соответствующие а;
пунктирные — ребра, соответствующие 6. Элементы группы G определены
словами
1, а, 6, аЬ, 6^, аЬ^,
1) По-видимому, под положительно (отрицательно) ориентированным ребром
авторы понимают ребро, ориентированное от начала (от конца) к концу (к началу).—
Прим. перев.

1.6. Граф группы
65
\
Из графа сразу видно, что группа G не является абелевой, так как
пути, отвечающие словам аЬ и Ьа, идут из 1 к разным вершинам.
Граф может быть использован для нахождения элемента из G,
определенного данным словом.
Например, поскольку путь, отвечающий
aba-^b-^ идет из 1 к Ь. то отсюда
следует, что aba-^b-^^by т, е. aba^^b'^^
и b определяют один и тот же элемент
изО.
Рисунок 2 знакомит нас е
сингулярным графом Sg, имеющим одну
вершину и четыре ребра, т. е. с графом
единичной группы, заданной представлением (a,b;ayb), В эюм
графе каждый путь замкнут; это соответствует следующему факту:
каждое слово в образующих а и 6 является единичным.
Cvo
/
Pric. 2.
/ab /
/ /
1^
/
-f
-f
/ / /
4 М 4'"'"
у a
\ \ \
Рис. 3.
На рис. 3 изображен граф свободной группы F^ = (а, 6). Его
вершины обозначают несократимые слова, однозначно
определяющие элементы из F<^. Этот граф имеет бесконечно много вершин. Он
называется деревом, что означает отсутствие в графе «нетривиаль-
3 3, Магнус и др»

66 Гл. 1. Основные понятия
ного» замкнутого пути. (Здесь термин «нетривиальный» употреблен
в смысле «несократимый», который определяется ниже.)
Приведем теперь несколько определений, необходимых для более
точного обсуждения понятия графа группы.
Графом или одномерным комплексом называют множество из
элементов двух типов, называемых вершинами (точками) и ребрами,
которые удовлетворяют следующим постулатам:
(G1) Каждому ребру Е однозначно сопоставлена упорядоченная
пара вершин Р, Р' (не обязательно различных), называемых
граничными вершинами Е. Вершина Р называется начальной (началом), а
Р' — конечной вершиной (концом) ребра Е.
(G2) Каждому ребру Е сопоставлено единственное ребро Е~~\
отличное от Еу называемое обратным для Е, и такое, что (Я""^)""^ ^ Е.
(G3) Если Е начинается в Р и заканчивается в Р\ то Е"^
начинается в Р' и заканчивается в Р.
(При обычной интерпретации Е~^ есть просто ребро,
отличающееся 01 Е только ориентацией; см., однако, задачу 2.)
Следует отметить, что в графе вершины Р и Р' могут оказаться
соответственно началом (концом) нескольких различных ребер.
В случае, когда граф состоит из одной вершины, являющейся
началом и концом всех ребер, граф называется сингулярным.
Два графа Г и Г* называются изоморфными, если существует
взаимно однозначное отображение Т вершин и ребер графа Г на
вершины и ребра графа Г* соответственно, при котором сохраняются
отношения «быть начальной вершиной», «быть конечьюй вершиной»^
«быть обратным для ..,».
Любые два сингулярных графа с одинаковым чис/юм ребер
изоморфны (см- задачу 3). Далее, через 5„ обозначается сингулярный
граф с 2п ребрами: s-j, s~\ S2, sy^.,,, s^j, s^K
Путем Kq в графе называется такая последовательность ребер
что для |u, = 1, 2,..., m — 1 начало ребра E^^^i совпадает с kojhiom
ребра E^^. Начальной верпшной (началом) пуги Kq называется начала
ребра ?|,а конечной вершиной (концом) пути щ — конец ребра ?,^^.
Мы допускаем, что в каждой точке Pv существует путь длины нуль,,
называемый пустым путем; начало и конец такого п}ти
совпадают с вершиной Ру.
Поскольку сингулярный граф S^ имеет только одну вершину и
2п ребер Sly s~^ ...,s^,s;^^ то путь в S^ есть просто слово, составленное
и i символов «^1,..,, s^. Если
Яо = fi ... ?,^, П^ = Ет-Н . • • ^'п
и кон ц пути 71q является началом в л,, то их произведением
называется путь
щп^ «а ?j .., Е^^^Е,п-^\ ,., Е^,

1.6. Граф группы 67
Обратным для пути л^ называется путь яо"^ = Ет^ ... ЕГ^\ обрат-
ным для пустого пути назовем этот же путь.
Путь называется замкнутым, если его начальная и конечная
вершины совпадают.
Путь называется несократимым, если никакие два его соседних
ребра не являются взаимно обратными. Очевидно, если п^ =«
«= п^ЕЕ~'^П2,, то ПуК^ есть путь с той же начальной и конечной верши*
ной, что и щ. Поэтому, начиная с любого пути, можно всегда прийти
к некоторому несократимому пути за конечное число шагов, каждый
мз которых состоит в вычеркивании (стирании) пары соседних
взаимно обратных ребер.
Граф называется связным, если для любых его двух вершин Р
и Q существует путь с началом в Р и концом в Q.
Определим теперь граф Г группы G, заданной на некотором
фиксированном множестве образующих а^, В качестве вершин графа Г
возьмем элементы группы G,
Из интуитивного описания, данного в начале раздела, ясно, что
ребро графа Г определяется его начальной и конечной вершинами,
цветом (т. е. соответствуюш.им ему образующим) и ориентацией (т. е.
указанием, в какую сторону относительно его начальной вершины
направлена стрелка). Таким образом, ребро полностью определяется
тройкой (g|, g^'y а^), где§5 и g (равное g^i-a^) есть соответственно
начало и конец ребра, а^ — соответствующий ему образующий, а
€ = =Ы характеризует его ориентацию.
Поэтому в качестве ребер графа Г мы возьмем множество троек
iSu gi^ ^v)» где gy и g2 принадлежат G, а^ — один из заданных
образующих, 8 = ± 1 и g == >?1 *.^v- ^^^^ Е = {gi, g^\ а^), то началом
ребра Е назовем gi, концом — gg» ^ обратным для Е — ребро
to» gu V)'
Если желательно в./южить Г в некоторое специальное
пространство» например, в евклидову плоскость или трехмерное пространство,
или в неевклидову гиперболическую плоскость, то следует
представить точки Г точками пространства, а ребра Г — жордановыми
кривыми.
Легко видно, что граф гругшы удовлетворяет постулатам графа
(G1), (G2), (G3). Естественно возникают следующие два вопроса:
когда некоторый граф изоморфен данному графу группы? Как можно
по графу, изоморфному графу некоторой группы, восстановить эту
группу?
Рассмотрим несколько необходимых условий, при которых граф
Г будет изоморфен графу группы. Граф группы является связным.
Действительно, всякий элемент g^G опреде/чяется произведением
g - а^ч?^^- ... flv'. Если gj = а%\а%\... aj^ и ?; = (g/-i, gj\ a^^l).

68 Гл. 1. Основные понятия
то путь Е^Ес^ ... Ег связывает 1 с g. Поэтому граф Г, изоморфный
графу группы, должен быть связным.
Граф группы имеет «раскрашенные и ориентированные» ребра;
следовательно, граф Г должен допускать возможность «раскраски
и ориентации» ребер. Чтобы сделать это свойство точным, исполь-
ауем сингулярные графы.
Сингулярный граф S^ с 2п ребрами
•^i» 5) , S2» S2 у < • • t Sfjy Sfi
является простейшим примером графа, ребра которого могут быть
«раскрашены в п цветов и ориентированы». Именно, интерпретируем
I
Рис. 4.
«V как положительно ориентированное ребро некоторого цвета, а
s~^ — как отрицательно ориентированное ребро того же цвета.
Вообще граф может быть «раскрашен п цветами и ориентирован», ее*
ли ассоциировать с каждым из его ребер некоторое ребро s^. Эта
интуитивная мысль приводит к следующему определению.
Раскраска (в п цветов) и ориентация графа Г есть отображение
М его ребер в ребра S^ при следующих условиях:
{С\) Для каждой вершины Р изГ ребра Г, инцидентные Р, взаимна
однозначно отображаются на все ребра из S^.
(С2) М {Е~^) = {М (Е)]'"^ для каждого ребра Е из Г.
Условие (С1) говорит о том, что любой вершине Р из Г
инцидентно одно ребро каждого цвета и направления.
Условие (С2) утверждает, что цвет Е~^ тот же, чго у Я, а его
ориентация противоположна.
Очевидно, что граф группы, порожденной п образующими а^^
а^,..., a,j, имеет раскраску и ориентацию, а именно, отображение ре-
^^Р iS^j^y §},'> ^v) в s^. Однако не каждый граф, допускающий
раскраску и ориентацию, является графом группы. Так, например, рис. 4
изображает «раскрашенный и ориентированный» граф, который не
может быть изоморфен графу группы. Чтобы показать это, используем
следующие определения:
Если М — раскраска и ориентация графа Г и
д = fj ,,, Е^

1.6. граф группы 69
есть путь в Г, то полагаем М (я) == М (Ei) ... М (Е^) и будем
говорить, что путь я покрывает путь М (я).
Раскраска и ориентация М графа Г называется правильной, если
для любых двух путей я и я' из Г таких, что М (я) = М (я'), путь я
замкнут тогда и только тогда, когда замкнут путь я'.
Раскраска и ориентация графа Г*, изображенного на рис. 4, не
является правильной. Действительно, пути, состоящие из
положительно ориентированного сплошного ребра с началом в А^и
положительно ориентированного сплошного ребра с началом в Лз, покрыва-
юг один и то'1 же путь в 5.2, хотя первый замкнут, а второй не
замкнут,
С другой стороны, раскраска и ориентация графа группы Gen
oбpaзyюш,и^нl правильная.
Действительно, если
я = ?*! ... E^f я' = ?*! ¦ t. ?/->
где ?;• = (§•/_!, gf] аф и E\=^{hj^u hf, aj^), а М (я) == М (я'), то
sl[ = s~ \ и поэтому V/ = fx/, 8/ == б/, но путь я замкнут тогда
е
И ТОЛЬКО тогда, когда go =" 5^г ~ ^o<^v' • • * ^^г» ^' ^' тогда и только
8
тогда, когда a^i . • • а^ есть единичное слово. Аналогично, путь я
замкнут тогда и только тогда, когда %* • •. ^^^ является единичным
словом. Таким образом, я замкнут тогда и только тогда, когда
замкнут я'.
Связность графа Г, существование правильной раскраски и
ориентации являются необходимыми и достаточными условиями для изо-
морфности Г графу группы. Для доказательства воспользуемся
следующей леммой.
Лемма 1.1. Пусть М — правильная раскраска (п цветами)
и ориентация для Г, Р — произвольная вершина из Г; тогда М есть
взаимно однозначное соответствие между путями вГс началомРивсе^
ми путями в S^ (т. е, словами в символах s,,..., s„).
Доказательство. Поскольку М сохраняет число ребер
в пути, достаточно доказать следующее: если пути
тс = El ,,, Е^^ п* == El .,, Егу
оба имеют начало в Р и М (я) = М (я'), то я = я'; если а ^
— s^i ... 5v^ есть некоторый путь в S^, то существует такой путь
п = El ... Ef. вГ с началом Р, что М (я) = а.
Оба результата мы получим, проведя индукцию по г. Для г =; 1
результат следует из (С1). Допустим, что оба утверждения
справедливы для некоторого г и докажем их для г + 1.
Предполол<им, что М {Ei ... Е^Е) = М {Е\ ... Е'гЕ'), Тогда
М (El) == М {Е[) и, значит, Е^ = Е\. Далее, М (Е., ... Е,Е) «

70 Гл. 1. Основные понятия
«^ М (?2... ЕгЕ) И начальные вершины путей ?3 ••• Е^Е и Е^ ...
... ЕгЕ, являющиеся концами ребер Ei и Е\ соответственно,
совпадают. Поэтому по индуктивному предположению, ?2 ... Е^Е = ?2 •••
... ЕгЕ\ так что Е1Е2 ... Е^Е = Е]Е2... ЕгЕ\
е
Предположим теперь, что о = s^^ ... Sv^s^, По индуктивному
предположению, в Г существует такой путь я == Ei ..,Е^с началом Я,
что М (я) == s^» ... SvY' Пусть вершина Q является концом я, а ? —
ребро с началом в Q, которое покрывает s^- Тогда fj... f^.f — путь
в Г с началом в Р, причем М (Ei ... iE'/.f) = g.^
Теорема 1.6. Пусть Г — связный граф с правильной
раскраской в п цветов и ориентацией М. Тогда Г изоморфен графу некс торой
группы Gen образующими Bi,..., а„. Слова W (^v) в алфавите ai,..., а^
взаимно однозначно соответствуют путям в Т с началом в некоторой
фиксированной вершине Pq при отображении W (а^) -> я, где я
покрывает \F(Sv). Более того, единичными слпвами G являются как раз
те слова R (av), которые соответствуют замкнутым путям в Г.
Доказательство. Для построения группы G укажем ее
продставление, использующее %, ..., а,^ как образующие символы.
Все слова R (^v), для которых соответствующие пути в Г
(относительно W (Ux) ->• я, где я покрывает W Ev)) замкнуты, объявим
множеством определяющих соотношений G. Тогда G будет гругшсй классов
эквивалентности заданного представления.
Чтобы показать, чго граф группы G с образующими^i, ...,а„
изоморфен Г (причем раскраска и ориентация сохраняются), следует
отобразить элементы G на вершины Г и ребра (g^i, gi; а^,) на ребра
из г.
Для этого предположим, что g^ — элемент из G, определенный
словом W^{av)j а я,,1 — путь в Г с началом P,j, соотвч,гствующий
Wix. Тогда отображаем g^i в Р^ — конец пути я^^^.
Э10 отображение определено однозначно. Действительно, если
предположить, что W^ а^,) — другое слово, определяющее g^, то
W^ («v) может быть получено из Wn (а^) при немощи конечного
числа встасок или вычеркиваний определяющих слов R (av) или
тривиальных единичных слов. Покажем, что пути, отвечающие слоьам
/((av)r(av), K{av)aiar^T(ay), К ш,) R{a^)T (a,?i, A)
имеют одну и ту же конечную вершину.
Путь я, отвечающий произведе1шю U (av) • V (<7v), получается
следующим образом: если я^ — путь с началом bPq» покрывающий
и (sv), а Я2 — путь, начинающийся в конце пути я^ и покрывающий
V (Sv), то я = я^Яз.
Предположим, далее, что К (a^J) -> п[. Если концом пути я^
является О, то г^ ir. \т (г^ \ ^'тг'
^* А (av) i (av) -> Я1Я2,

1.6. Граф группы 71
где я^ — единственный путь с началом в Q, покрывающий Т (Sv).
Поскольку sls^^ и R (s^) покрыты замкнутыми путями,
начинающимися в Pq, а М является правильной раскраской и ориентацией,
то пути п\ я", начинающиеся в Q ti покрывающие соответственно
s^b-^ и R (Sv), являются замкнутыми. Поэтому
К (av) ala^^T (av) -> Л1д'я2
и
К (av) R (av) Т (av) ->- Я1я''я2.
Таким образом, слова A) соответствуют путям с одной и той же
конечной вершиной. Следовательно, отображение g^ в Р^ хорошо
определено
В дополнение к отображению g^i в Ри> отобразим ребро {g^, g%\
^%) гр'-^фа группы G в то ребро ? из Г с началом Р^^ которое
покрывает s^.
Покажем теперь, что отображение g^-^P^, и (^д, gx, а^) ~> Я
является изоморфизмом между графом группы G и графом Г.
Так как граф Г связный, то существует путь я из Ро ^ любую
вершину Р из Г; если я покрывает W (Sv), то элемент g ^G,
определенный словом W (av), отображается в Р. Следовательно,
отображение вершин есть отображение «на».
Пусть g'n и g'^ отображаются в одну и ту же вершину Р из Г,
Если Wfx (йу) и W'^ (av) — слова, определяющие g^ и соответственно
g'^^ с сопоставленными им путями Яр,, я|^, то ^^^"^ является
замкнутым путем с началом Pq, Следовательно, й^^й^^^ является
единичным словом группы G и поэтому gn = g^' Таким образом,
отображение вершин является взаимно однозначным.
Доказательство того, что отображение ребер взаимно однозначно
и является отображением «на» и что при этом сохраняются
отношения «быть началом», «быть концом», «быть обратным для», «иметь
раскраску и ориентацию» — не требует большого искусства и
предоставляется читателю (см. задачу 5).^
В заключение этого раздела кратко изложим связь между графом
группы и фундаментальной группой некоторых топологических
пространств. Для знакомства с понятием фундаментальной группы мы
отсылаем читателя к любому стандартному курсу по топологии.
(См., например, Ху [1] и главу 8 в книге Понтрягина [1].)
Свободная группа F^ есть фундаментальная группа одномерного
комплекса 5„ сингулярного графа с 2п ребрами. Далее, группа G
из теоремы 1.6 может рассматриваться как фундаментальная
группа некоторого двумерного комплекса Cg, который получается из vS„
натягиванием двумерных клеток на все пути в S„, которые
покрываются замкнутыми путями из Г. (Достаточно для этого натянуть дву-

72
Гл. I. Основные понятия
мерные клетки на все те пути S;^, которые соответствуют множеству
определяющих слов группы G с образующими aj,..., а^; во многих
случаях это сводит число необходимых двумерных клеток к
конечному числу.)
Фундаментальные группы двумерных многообразий, особенно
ориентируемых многообразий, были подробно изучены. (Для обзора
Рис. 5.
не1Юторых результатов в этом направлении см. разделы 3.7 и 6.1.)
Эги группы дают нам примеры дискретных групп движений в
пространстве S, Для групп подобного вида можно легко построить граф
группы, если дано покрытие пространства S отображениями
фундаментальной области группы.
Для знакомства с общей теорией дискретных групп движения в
неевклидовой гиперболической плоскости см. работы Клейна и
ФрикеЦ], Фрике и Клейна [Ц (здесь дано много
иллюстраций) и Форда [1]. Мы ограничимся только одним примером
такой дискретной группы.
Рисунок 5 изображает часть гиперболической плоскости в виде
открытого единичного круга Пунктирные линии суть окр^уЛ<ности,
ортогональные к единичной окружности, они изображают
неевклидовы прямые. Рис. 5 изображает треугольник с углами 2л/7, я/3,
ffi/3 и |1есколько его образов относительно группы М неевклидовых

1.6. Граф группы 73
движений. Группа М может быть задана с помощью двух
образующих аи b п следующих определяющих слов:
а\ Ь\ (аЬ)\
[М есть неевклидова группа вращений, порожденная а ^ ху,
b == уг, где х есть отражение относительно одной из сторон, у —
отражение относительно высоты, опущенной на основание, а z —
отражение относительно основания заданного треугольника. Далее,
произведение двух отражений относительно линий,
пересекающихся под углом а, является вращением на угол 2а. Ввиду того, что угол
между боковой стороной и высотой есть я/7, между высотой и
основанием я/2, а между боковой стороной и основанием я/3, мы име-
ем а^ = 1, 62 = 1 и (аЬ)^ = (xz)^ = 1.]
Если отметить середину высоты в одном треугольнике и образы
этой точки относительно отображений из М внутри каждого другого
треугольника и соединить полученные таким образом точки
прямыми, пересекая границы соседних треугольников, мы придем к графу
группы /И, изображенному в неевклидовой плоскости. Поскольку
на рис. 5 очень много линий, ребра, соответствующие образующему а^
изображены сплошными линиями со стрелками, а ребра,
соответствующие образующему b — сплошными линиями без стрелок. Далее,
поскольку 6^ = 1, то ребра, соответствующие b и й~^ слились*
Так как М —- группа бесконечного порядка, то на рисунке изобра*
жена только часть графа этой группы.
Определения, приведенные в этом разделе, являются частными
случаями определений, данных Рейдемейстером [1].
Условие (С1) иногда разбивается на несколько более слабых. В этом
случае то, что здесь называется «раскрашенным и ориентированным
графом», следовало бы назвать неразветвленным неограниченным
покрывающим графом S^. В работе [1] Рейдемейстер рассматривает
также некоторое обобщение графа группы (граф множества смеж*
ных классов по некоторой подгруппе) и соотношение между
фундаментальными группами двумерного комплекса и покрывающими
комплексами.
Для изучения общего понятия фундаментальной группы п-мер*
ного многообразия следует обратиться к учебникам и монографиям
по топологии; для специального случая группы узлов или
зацеплений — к книгам Рейдемейстера [2] и Кроуэлла и
Фокса [1].
Методы, примененные Уайтхэдом в работах [1] и [2] для
теоретико-групповых исследований, используют столь мощные
топологические теоремы, что их нельзя даже указать здесь. Обзор некоторых
его результатов дается в разделе 3.5.
Для ознакомления с дополнительными примерами графов
групп и с различными задачами, связанными с графами, следует

74 Гл 1, Основные понятия
обратиться к работам Дэна [1—3], Машке [1], Г у р в и ц а
[1], Т р е л ф а л л а [II, Р. БейкераЦ], Брахана [1],
КокстераиМозера [1].
Задачи
1. Пусть Г — граф
(a) Показать, что если число его ребер конечно и граф Г связный, то у него
конечное число вершин.
(b) Показать, что если число ребер Г конечно, то это число четно.
(c) Покажите, что если число ребер конечно, то существует четное число
вершин, которые являются началами точно нечетного числа ребер.
[Указание. Для (Ь) разбейте ребра ча множества, состоящие из ребра и
обратного к нему Для (с) сосчитайте число упорядоченных пар (Р, Е), где Р -—
начало ребра ?", двумя способами: сначала собирая их по вершинам, а затем
собирая их по ребрам ]
2. Пусть К — окружность, а Р и Q -у ее диаметрально противоположные
точки. Обозначим через R и8 другую пару диаметрально противоположных точек
окружности К. Показать, что нижеследующие точки (зерьиины) и ребра
образуют граф, т. е удовлетворяют аксиомам (G1), (G2) и {G3): точки Р и Q; ребра
Е, == дуга (P/?Q), ? = дуга (QSP), Ез = дуга (PSQ), Е, = дуга(Q/?P). Вершина
Р является началом для Е^ и Ег, она же — конец ребс) ?3 и ?» ^ наоборот — для
Q, Е^ = ^2» ^2~ ^^ ^1' ^з~ ^^ ^4> ^^ =Es.
3» Покажите, что любые два сигнулярных графа с одним и тем же числом ребер
изоморфны
4. Пусть Г и Г* — графы. Покажите, что если Т есть взаимно однозначное
отображение вершин Г на вершины Г*, и ребер Г на ребра Г*, при котором
сохраняются отношения «быть начальной вершиной» и <'быть обратным для», то Т
есть изоморфное отображение Г на Г*.
5. Пусть G, Г и отображение g^ -> Р„, (g^, gj^; а^) -> ? те же, что и
в'доказательстве теоремы 1.6. Покажите, что это отображение сохраняет отношения «быть
началом для», «быть обратным для»; более того, докал<ите, что (g^, g^; а^,) и Е
имеют один и тот же «цвет и ориентацию». Покажите, далее, чго это отображение
является взаимно однозначным для ребер.
е. Докажите, что граф CHVMaTpH4ecKoft группы степени четыре, заданный
представлением (а, Ь\ а^, Ь^, (аЬ) ), может быть изображен на плоскости
раскрашенным ориентированным графом рис 6. Воспользуйтесь этим графом, чтобы
показать, что aba^b^a = ba^b^, ba^bab^a и a^bab~^ab суть единичные слова; найдите
порядки элементов aba^b^, a^b'^ и ab^a^
7. Покажите, что прямое произведение группы симметрии квадрата и
циклической группы порядка два имеет следующее представление:
G = (а, Ь, с\ а\ 6'^ (abf, с^, ас = ш, be = cby.
Покажите, что граф группы G может быть изображен в плоскости раскраш'ен»
ным графом рис. 7, причем сплошные, пунктирные и точечные линии соответствег!-
но изображают а, 6 и с. (Заметьте, что поскольку а имеет порядок два, то ребра,
изображающие а и а~\ слились; это же справедливо и для b и с.) Используя граф^
найдите порядки элементов Ьас, аЬса и bab.
8. Постройте в плоскости граф групп диэдров с помощью представлений
{а, Ь\ а^у Ь^, (а6J)и <с, d, с^, d^, {cdf) . Изобразите ребра, отвечающие х и
х'~\ где X — образующий порядка два, несливающимися; далее нарисуйте их
сливающимися.
9. Постройте на плоскости граф циклической группы порядка шесть,
заданной следующими представлениями: <а; а^), F, с; Ь^, с^, be -= cb).

1.6 Граф группы
75
10. Изобразите в соответствующем пространстве графы групп, заданных
представлениями:
(a) {а, Ь\ аЬ = Ьа) в евклидовой плоскости;
(b) {а, Ь\ Ь^, аЬ = Ьа) на поверхности бесконечного круглого цилиндра;
(c) {а, Ь\ а'", Ь^, аЬ = Ьа) на поверхности тора;
^ ^
^ А—*^п^ V /
'\
/
/
V * \/
¦'А
•^—*^^
\
\
\
Рис. 6.
Рис. 7.
стве;
(d) <а, 6, с; а^ = 6а, ас = ш, 6с = сЬ) в евклидовом трехмерном простран-
(e) (а, 6; а^, 6^> в евклидовой плоскости;
(f) {а, Ь\ а^, 6") в евклидовой плоскости;
(g) (^1 ^i ^^> ^^) в евклидовой плоскости;
(h) <а, Ь\ а^, Ь") в евклидовой плоскости;
(i) (а, 6; а^, Ь^) в евклидовой плоскости;
(j) <а, 6, с; а*, 6^, с^) в евклидовом трехмерном пространстве.
11. Изобразите в плоскости граф группы
<а, Ь, с\ a^ 6^, с =
~^а ^ба, ас == са, 6с >
'Сб>.
(Замечание. Построение графа на плоскости может оказаться невозможным, если
не допустить пересечения ребер, не имеющих общей точки в графе группы.)
[Указание. См. задачу 21 к разделу 1.2. ]
12. Пусть Г — граф группы G сп образующими «j,..., an- Покажите, что если
ребра графа Г, соответствующие а^, удалены (стерты), то Г разлагается на
непересекающиеся изоморфные связные подгрлфы. Покажите, что каждый из подграфов
состоит из элементов, принадлежащих левому смежному классу по Я —
подгруппе из G, порожденной Сг, ..., а^- Покажите, что Н — нормальная подгруппа в Q
тогда и только тогда, когда каждое положительно ориентированное ребро,
соответствующее в Г образующему а^, идет от вершин одного подграфа ко всем
вершинам другого. Проверьте эти результаты для графов, изображенных на
рис. 1—7.
13. Пусть Г — граф группы G. Покажите, что левый сдвиг Lg на элемент ^,
т. е. отображение
является изоморфизмом Г на себя, который сохраняет раскраску и ориентацию.
Покажите, что всякий изоморфизм Т графа Г на себя, сохраняющий раскраску и
ориентацию, совпадает с некоторым левым сдвигом. Показать, что группа G
изоморфна группе изоморфизмов графа Г, сохраняющих раскраску и ориентацию
при отображении g -> Lg~K Вывести отсюда, что если граф Г* связный, правильно

76 Гл. 1. Основные понятия
раскрашенный и ориентированный, то те изоморфизмы Г*, которые сохраняют
раскраску и ориентацию, образуют группу, граф которой изоморфен графу Г*.
14. Пусть Г — граф группы G с образующими а^, ..., «^ и Я — ее подгруппа.
Постройте граф Г*, вершины которого суть Hg — правые смежные классы
разложения G по подгруппе Я, а ребра — тройки (Hg^, Hg^; а^), где Hg^a% = Hgr^»^
начальная вершина тройки есть первая компонента ее, а конечная вершина —
вторая; обратным для ребра {Hg^, Hg^; а^) является {Hg^, Hg^; cl^^)- Покажите,
что Г* удовлетворяет аксиомам (G1), (G2), (G3). Докажите, что отображение
1^^ц' ^ёх'^ O-^s.
V
есть раскраска в п цветов и ориентация графа Г*. Покажите, что раскраска и
ориентация графа Г* является правильной тогда и только тогда, когда Н — норма пь-
ная подгруппа группы G (Граф Г* называется графом смежных классов
разложения группы G по подгруппе Н.)
15. Пусть Г — связный ориентированный граф, раскрашенный в п цветов.
Докажите, что Г правильный тогда и только тогда, когда существует изоморфизм
Г в себя, сохраняющий раскраску и ориентацию, отображая любую вершину
Р из Г в любую другую вершину Q из Г. [У к а з а н и е. Если а — изоморфизм
Г, а я — путь, то путь а (я) замкнут тогда и только тогда, когда замкнут п.
Используйте также теорему 1.6 и задачу 13.]
16. Пусть G — группа с образующими а^,..., а^^ и пусть отображение а^ -> Ь^
индуцирует гомоморфизм а группы G в группу Н. Покажите, что граф группы G
покрывает граф группы Н с образующими ^j, ..., Ь^ц т. е. существует такое
отображение вершин в вершины и ребер в ребра, которое сохраняет соотношения: «быть
началом», «быть концом», «быть обратным для»; кроме того сохраняются
раскраска и ориентация.

ГЛАВА 2
ФАКТОР-ГРУППЫ И ПОДГРУППЫ
2.1. Фактор-группы
В этом разделе мы покажем, как найти представление
факторгруппы G/N по представлению группы G,
G=(a, Ь, с, ...; Я, Q, /?, ...). A)
Для этого нам нужно задать нормальную подгруппу *) Л^в терминах
представления A). Мы будем считать, что Л^ определяется как
нормальная подгруппа группы G, порожденная словами: S (а, fc, с,...),
Т (а, Ь, Cf...) (или, более правильно, элементами группы G,
определенными этими словами). (Напомним, что нормальная подгруппа
группы, порожденная некоторым множеством элементов, это —
наименьшая нормальная подгруппа, содержащая эти элементы, или,
410 эквивалентно, это подгруппа, порожденная множеством
элементов и всеми с ними сопряженными.) Тогда можно утверждать
следующее:
Теорема 2.1. Пусть G имеет представление {\) относительно
отображения
a-^gy b-^h, c-^k, ..., B)
и пусть N — нормальная подгруппа группы G, порожденная
элементами S {g, h, k, ...), Т {gy /г, ky ...), .., Тогда фактор-группа GIN
имеет представление
(а, Ь, с, .,.; Я, Q, /?, ,.., 5, 7, ,.,) C)
относительно отображения
a^gN, b-^hN, c^kN, ... D)
Доказательство. При отображении D) слово W (а, 6,
Су...) переходит в W (gNy hNy kNy...) = ^ (g"» hy ky...) N. Так как и
имеет представление A) и N — нормальная подгруппа,
порожденная элементами S (gy /г, й, ...), Т (gyhy ky ...),..., то элементы группы
G, определяемые словами Я, Q, /?,..., 5, Г,..., все лежат в /V. Таким
образом, Ру Qy Ry ,.,, Sy Ту .,. являются единичными словами в G/N
относительно D) и поэтому, ввиду следствия 1.1.3, отображение 4)
индуцирует гомоморфизм G в G/N,
^) Часто вместо нормальная подгруппа говорят также «нормальный делитель»^
«инвариантная подгруппа».— Прим. перев.

78 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
Так как G порождается элементами g, /г, k, ..., а GIK —
элементами gN, hNy KN,..,, то отображение D) индуцирует гомоморфизм «на».
Чтобы показать, что этот гомоморфизм взаимно однозначен,
предположим, что W (а, by Су...) отображается в единицу группы G/N.
Тогда W (gy hy fe,...) лежит в N. Поскольку Л^ — нормальная
подгруппа в G, порожденная S, Г,..., то
W(g, /г, /е, ...) = U,V,UV' ... UyjJ7\ E)
где Vi — элементы из G, а Vi есть одно из слов S, S~', Т, Г" . От»
сюда
W{ay &, Су ...)^U^V,Ur' ... иурт' F)
относительно представления A) для группы G. Таким образом^
W (а, by Су...) можно преобразовать в правую часть F), вставляя и
удаляя определяющие слова из A) и тривиальные единичные слова.
Но правая часть F) может быть переведена в пустое слово вставками
и удалениями слов S, Г,... и тривиальных единичных слов. Поэтому
U^ (а, Ь, с,...) '^ 1 в представлении C), и, следовательно, D) индуци»
рует изоморфизм между C) и GIN.^
Следствие 2.1. Если F — свободная группа с образующими
а, ЬуСу.,, и N — нормальная под^руппав Fy порожденная элементами
Р (а, Ь, Су...), Q (а, by с,...), R (а^ by с, ...), ..., то
F/N^(ay by Су ..,; Ру Qy /?, ...). G)
Доказательство непосредственно следует из
теоремы 2.1. ^
[Некоторые авторы вводят свободную группу, не определяя
сначала общего представления A), затем они принимают G) в качестве
определения представления A).|
Задачи
1. Показать, что если два слова в символах а, Ь свободно равны, то их длинь?
имеют одинаковую четность. Пусть F — свободная группа с образующими а, b
и пусть F — множество слов четной длины. Показать, что N является нормальноь
подгруппой в F. Показать, что N — нормальная подгруппа, порожденная
элементами а^ и аЬ. Выразить Ьа и Ь" как произведение элементов, сопряженных с иг и
аЬ и их обратных. Показать, что N не является нормальной подгруппой в /^,
порожденной одним словом /? (а, 6). [У к а 3 а н и е. Пусть М —• нормальная
подгруппа в F^ порожденная элементами а^ и аЬ. Показать, что М имеет индекс два в
г, установив, что F/M имеет порядок два. Показать, что F/N имеет порядок два.
найдя, что смежными классами F по N являются N и aN. Используя соотношение
М ^ N, вывести, что N с= М. Чтобы доказать, что Л^ не является нормальным
делителем, порожденным одним словом R (а, Ь), возьмите группу (а, Ь\ R (а, 6}).
Абелизуйте ее, т. е. рассмотрите G ^ (а, Ь\ R (а, Ь), аЬ '^ Ьа). Так как аЬ == 6а,
то R (а, Ь) эквивалентно соотношению вида а"^ — Ь^\ отсюда G = (а, Ь\ а^ = /?",
аЬ = Ьа). Показать, что G бесконечна, отобразив G в бесконечную
циклическую группу; отсюда гр>ппа <а, Ь\ R (а, Ь)) бесконечна; но FjN имеет порядои
два.]

2.1. Фактор-группы 79
2. Пусть F — свободная группа с образующими а,, ag» •••» ^//» " пусть/V —
нормальная подгруппа в F. состоящая из всех слов четной длины. Показать, что
Л^ — нормальная подгруппа, порожденная а\, а^а^, ..., а^йп' [Указание.
См. указание к задаче 1. ]
3. Показать, не используя следствия 2.1, что ^ (а, Ь, с, ...) выводимо из
Р (а, 6, с, ...), Q {а, Ь, с, ...), R (а, Ь, с, ...),... тогда и только тогда, когда W
свободно равно произведению элементов, сопряженных с Я, Q, R, . и их обратных.
{Указание. Чтобы доказать, что слово W, выводимое из Р, Q, /?, ...,
является произведением сопряженных с Р, Q, R, ,.., использовать индукцию по числу
вставок и вычеркиваний слов Р, Q, /?,... и тривиальных единичных слов,
необходимых для получения (вывода) W из пустого слова. Заметим, что если 1^'=»
^UV,W =. UPV, то Г ^ W'V-^PV; если же W = UPV, а tt^ = ^1^, то W' ^
^ W'V-^P-^V.]
4. Пусть F =г (а, Ь), а N — нормальный делитель в F^ порожденный каждым
из следующих ниже множеств слов. В каждом из этих случаев найти индекс
NbF:
(а)
(Ь)
(с)
Ь\ аЬ.
аЬ, аЬ~^,
а", Ь^,
(d)
(е)
(f)
а», 6^ aba-^b~\
о', Ь^, (а6J.
aba Ь, ЬаЬ а.
5. Для каждой из нижеследующих групп G через Н обозначается подгруппа,
порожденная заданными элементами. Показать, что Н нормальна, и найти
порядок GIH.
(a) G = <а, 6; а*, а^ = 6^ == (а6J>; а'''.
(b) G:=={a, b, с\ a2^ 6^, (аб)^, с^ (асK, (И'^^); a^ с.
(c) G = <а, 6; а22, б^б, а& == bd^)\ аК
(d) G = <а, ^; а^з, 6^6, аЬ ^ Ьа^)\ а^Ч
(e) G = <а, Ь; а^^ Ь^^, аЬ = ба^); 6&.
'" 6. Пусть F — свободная группа, порожденная й|, а^у ..., а^ \\ N ~ множество
слов W из F^ в каждом из которых сумма показателей по «, крагна фиксированному
положительному целому d. Показать, что N образует в Р нормальную подгруппу
индекса d. Показать, что N есть нормальная подгруппа в Р, порожденная
элементами uj, «2, ..., ufi' Показать, что N — подгруппа, порожд-емая элементом а\ и
всеми с1[а^а~[^, где v = 2 п и О < ^ < rf. [Указание Как
нормальная подгруппа, Л^ порождается элементами d\, Og, .-., а^, и их сопря.
женными.]
7. Пусть G= («1, ..., Ощ) /?jj^ (а^), ...), где сумма гсех показатетей по а^ в
единичном слове R^ (а^) кратна фиксированному положительному целому d для всех
}i. Показать, что G обладает нормальной подгруппой индекса d. [Указание.
Присоединить d\, а^, ..., а^ к определяющим словам представления. J
8. Коммутантом G' группы О, где
G= <fl, 6, с, . . ; Р, Q R, . ..),
называется нормальная подгруппа в G, порожденная коммутаторами
aba~^b~\ аса~^с~^ bcb~^c~\ .. .
Показать, что G/N абелева тогда и только тогда, когда N^G\ [У кавл*
и и е. Использовать теорему 2.1.]

80 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
2.2. Вербальные подгруппы и приведенные свободные группы
Нормальная или инвариантная подгруппа Л^ группы G
замкнута относительно внутренних автоморфизмов, т. е. сопряжений.
Подгруппа К группы G называется характеристической^ если К
замкнута относительно всех автоморфизмов группы G ^).
Характеристическая подгруппа является нормальной, но обратное неверно
(см. задачу 15). Еще более сильным свойством подгруппы, чем
характеристичность является ее вполне характеристичность^)у т. е.
замкнутость подгруппы относительно всех эндоморфизмов
группы G (гомоморфизмов G в себя). Понятие «вербальной
подгруппы» позволяет строить много примеров вполне характеристических
подгрупп группы G.
Пусть Wix {Хк)у где [л == 1, 2,..., есть множество слов из
символов Xxi Я, = 1, 2,... Тогда {Wix}'6ep6aAbHou подгруппой группы G^
обозначаемой через G A^д,...)» называется подгруппа G,
порожденная всеми элементами из G вида W^x (gx), где^"^, пробегает всю
группу G.
Например, G (Х^) есть подгруппа группы G, порожденная
квадратами всех элементов g из G. Вербальная подгруппа G (Х^, Х^)
совпадает с G (Х^). Коммутант группы G есть вербальная подгруппа
G {X1X2X7^X2~^)i порожденная всеми элементами вида gjg2gT'^g2^^
группы G. Вербальная подгруппа G(X) есть, конечно, сама группа G.
Вербальная подгруппа G (XjXg) также есть G; действительно,
G(XiX2)cG, и подставляя g вместо Xi и 1 вместо Xg, получаем
группу G. Если Ё^—симметрическая группа на 1,2, ...,д, то
2^(Х^) есть 1»^. Действительно, 2,, порождается двойными циклами
и к>б двойного цикла есть он сам. С другой стороны, 2„ (Х^) есть
А^ — знакспере?ленная группа от 1, 2,..., д; действительно, квадрат
любой подстановки есть четная подстановка, и А^ порождается
тройными циклами, которые являются квадратами.
Вербальная подгруппа G {W^y...) является вполне
характеристической подгруппой в G. Действительно, n^GTs а— некоторый
эндоморфизм группы G. Тогда а (W^ {gi)) =^ Н7а(а (g)- Таким
образом, а {Wix (gx)) можно получить, подставляя а {g\) вместоХ?^
в Wi:i{Xi) И поэтому ОН лсжит в G(W^, ...). Следовательно,
G (Wily,..) вполне характеристична.
Не каждая вполне характеристическая подгруппа группы G
является вербальной (см. задачу 16). Тем не менее существует
важный класс групп, для которых это верно.
Приведенной свободной группой R ранга п g тождествами
W^ (Xi) = 1 называется фактор-группа свободной группы F^ ран-
'\ То есть /(отображается на себя при всех автоморфизмах группы G.— Прим.
перев.
2) Часто вполне характеристическую подгруп|1у называют вполне
инвариантной.— Прим. перев.

2.2. Вербальные подгруппы 81
га п по вербальной подгруппе F^ {W^y ...)• Ввиду следствия из
теоремы 2.1 приведенную свободную группу R можно также определить
как группу
(^1, а^, ..., а^; й^цС^/Ц^х, -,., aj), ,..), A)
где Ux пробегает все слова в алфавите «i, «2,..., а„. Заметим, что,
вообще говоря, мы не можем ограничиться тем, чтобы Ux пробегало
лишь образующие а^, ag,..., а^ (см. задачу 18). Далее группа R
часто обозначается просто как
{^1, «2, .¦., а^; й^м(Хя,), .».). B)
Из представления A) ясно, что любая группа Gen образующими,
в которой выполняются тождества WiiiXx) = 1, т. е. в которой
Wix (gi) = 1 для всех gi из G, является гомоморфным образом
приведенной свободной группы ранга п с тождествами W^l (Хк) == 1.
Свободная группа F^ с образующими а^, а^у ..., а„
характеризуется тем, что произвольное отображение этих образующих в любую
группу G можно продолжить до гомоморфизма группы F„ в группу
G (см. задачу 31 к разделу 1.4). Следующая лемма обобщает эту
характеристику свободной группы на приведенные свободные группы.
Лемма 2.1. Пусть в группе R выполняются тождества
WiiiXk) = I. В этом случае R является приведенной свободной
группой ранга п с этими тождествами тогда и только тогда, когда
суп^ествуют п образующих а-^, ..., а^ группы R таких, что любое
отображение этих образующих в любую группу G, в которой данные
тождества выполняются, люжно продолжить до гомоморфизма
R в G.
Доказательство. Пусть R — приведенная свободная
группа с представлением A). Тогда в силу следствия 2 из теоремы
1.1 любое отображение а^, ..., а^ в группу G, в которой
выполнены тождества W^ (Хх) == 1, можно продолжить до гомоморфизма
R в G.
Наоборот, пусть в R выполняются тождества IFij, (Xi) = I и R
имеет n таких образующих ^i, а^у ..., а^, что любое отображение а^,
а^у ..., а^г в группу G, в которой выполнены эти тождества, можно
продолжить до гомоморфизма R в G. Пусть
G==Fi, b,, ..., b,- W^{Xx)y .,.). C)
Тогда тождества W^ {Хх) = 1 выполнены в G, и отображение «v^
-^ by можно продолжить до гомоморфизма R в G. Следовательно,
если Р (av) — единичное слово в /?, то и Р (bv) — единичное слово
в C). Поэтому Р (bv) выводимо из слов Wii{Ux(bi, b^y ..., fe„)) и,
значит, Р (ах) выводимо из слов tt^p, A7а, (^i, а^у ..., aj). Тогда R
имеет представление
(^1, ^2, ..., а^; W^{Ux{a^y а^у ..., а,,)), ,..)
и поэтому является приведенной свободной группой ранга п с
тождествами Wyi (Хх) •¦= 1. ^

S2 Гл 2 Факгор-группы и подгруппы
Теорема 2.2. Каждая вполне характеристическая подгруппа J
приведенной свободной группы R ранга п (и, в частности, свободной
группы) является вербальной подгруппой R (Vp, ...). Более того,
можно так выбрать слова Ур (Kv). определяющие У, что число
используемых символов Kv будет равно п.
Доказательство. Пусть R имеет представление
(аз, ,.., а^; й^ц(Хя), ...).
Рассмотрим множество всех таких слов Ур (i^i,..., Y^y что
V'p («1, . - , ^J D)
принадлежит У. Покажем, что J == R (Ур,...). Нетрудно видеть, что
Ур (aj, ..., aj пробегает все элементы У и поэтому У ^/?(Ур, ...).
Рассмотрим теперь произвольный элемент
Voi^ii^v). ...,у«Ы). E)
По лемме 2Л отображение а^ -^ [У^ (av) можно продолжить до эн-
дохморфизма группы R, Далее, поскольку элемент D) принадлежит
вполне характеристической подгруппе У и переходит при этом
эндоморфизме в E), то и элсхмент E) принадлежит У. Но элементы вида
E) порождают R (Ур, ...). Таким образом, /?(Ур,...) ^У и поэтому
J ^R(V„...).<
Дальнейшее Продвижение в теории приведенных свободных групп
связано с одной теоремой, полученной Л ев и 12]. Для доказательства
ее требуется следующее определение.
Если W — слово в алфавите а^, а^,,,., а^ и
W = а^а^,^ .. . а^;^,
где а^ — целые числа, v^ = 1, 2,..., п, то суммой показателей по
ау} в слове W называется число
Например, если W «= <2?а2<2Г^^«Г\ то о^ (IF) = —2, a^^{W) =^ 0.
Очевидно, если W^ ^^ 1^2» то Ov (\У]) = Ov A^2); далее,
av (i/y) = Cv (t/) + Ov (У). Поэтому отображение 1У -^ Ov (W")
является гомоморфизмом свободной группы f„ с образующими а^,
«2,..., ^п на аддитивную группу целых чисел. Ядро этого
гомоморфизма Qv составляют все элементы из f „, у которых сумма
показателей по a-s) равна 0. Они же образуют нормальный делитель в F^,
порожденный элементами а^ с Я i^^ v (см. задачу 1). Какие же
элементы Fn принадлежат ядрам всех гомоморфизмов Ov? Очевидно, те,
у которых сумма показателей по каждому «v есть 0. Эти же элементы
образуют коммутант группы F^ (см. задачу 2).
Теорема 2.3. Пусть 1Уд (X?,) — множество элементов
свободной группы F с образующими Х^, Ха, -., Х^. Тогда существуют

2 2 Вербальные подгруппы 83
целое число d> О и множество слов 1/^ (Хх) из коммутанта группы F
такие, что для любой группы G
Доказательство. Пусть d — наибольший общий
делитель множества целых чисел о\ (U^^i), где Я и fx пробегают
всевозможные значения. Положим
v^=.r^.xr^4.. х^Ч F)
где P;, = a^(\J7^).
Очевидно, что о\ (V^) = а\ {W^) — Ря, = 0. Поэтому V^ лежит
в коммутанте группы F — свободной группы, порожденной Хк,
Покажем теперь, что для всякой группы G имеет место
G (И^и,...) = G (Х^^, Уд,...)- Действительно, поскольку ^\
делится на d, то из принадлежности g*?^ к G следует, что gt лежит в
G{Xi, V^y ...)• Поэтому
принадлежит к О {Хи У\х.у -О и, значит, G {W^,...) <^G(XU V^,...).
Если, с другой стороны, в W^ {Х%} подставить g вместо Xv и 1
вместо Хх при Я 7^ V, то получим элемент g^^. Поскольку g-^^ при
всех Pv принадлежит G {Wy^, ...),то g"^ лежит в G{W^, ...)• Но тогда
из F) следует, что У^-fe) должно лежать в G(W^pi, ...).Следовательно>
G (Xf, Кц» •••) ~ G {W^,...) и обе эти вербальные подгруппы
совпадают. -^
Следствие 2.3.1. Каждая приведенная свободная группа
ранга п имеет представление
{а,, .-., а,; Х{, Г^(Х,), ...), G)
где d — неотрицательное целое число, 1= 1,2,,.., пивсе Wn лежат в
коммутанте свободной группы F, порожденной Xj,..., Х^-
Доказательство непосредственно следует из теорем
2.2 и 2.3. 4
Следствие 2.3.2. Единственными вербальными
подгруппами абелевой группы G являются «степенные подгруппы» G (Xf).
Доказательство. Произвольный элемент коммутанта
абелевой группы есть единица, поэтому G(Xi, Кц,...) есть не что
иное, как G (Xi). ^
Используя теорему 2.3, можно классифицировать все абелевы
приведенные свободные группы.
Свободная абелева группа А^ ранга п (п может быть и
бесконечно) — это приведенная свободная группа
(а,, ..., а,; X,X,Xr'Xj'). (8)

84 Гл. 2. Фактор-группы й подгруппы
Она является фактор-группой свободной группы f„ по ее
коммутанту. Группа Л„ изоморфна аддитивной группе всех «векторов!
{ai, ,. *, а^)
над кольцом целых чисел (у которых все координаты, кроме, быть
может, конечного числа, равны нулю); изоморфизм определяется
отображением:
(см. задачу 3).
Свободной абелевой группой An,d ранга п и показателя d (где п
может быть бесконечно, ad — целое, большее единицы) называется
приведенная свободная группа
(а^, * *,, а^; Х^, Х^Х,^Х\ Х2 )•
Группа Лл,^ изоморфна аддитивной группе всех «векторов»
(ai, ..,, aj
над кольцом вычетов целых чисел по модулю d (в которых все
координаты, кроме, быть может, конечного числа, равны нулю)
относительно отображения
W (а^, ..., д^^->(аг, ... , aj,
где av ^ av (W) (mod d) (см. задачу 5).
Из этого представления группы Апм легко видеть, что ее
порядок есть d" при конечном п, и п, если п бесконечно; кроме того, d
является максимумом порядка любого элемента. Поэтому если An,d
изоморфна Ат,су то d = с и п = т.
Очевидно, что наименьшее число образующих группы An,d есть п.
Действительно, если An,d имеет р образующих, то она является
гомоморфным образом группы Лр,^ (так как Xf = 1 и ЛДгХГ^ХГ^ ^
= 1 — тождества, справедливые в Л„,^). Поэтому порядок An,d не
больше порядка Ap^d- Отсюда следует, что п -^ р.
Эти замечания позволяют нам доказать, что п является
минимальным числом образующих любой приведенной свободной группы
ранга п.
Теорема 2.4. Приведенная свободная группа R ранга п {R Ф
Ф \) не может порождаться менее чем п элементами. Поэтому
приведенные свободные группы и, в частности, свободные группы и
свободные абелевы группы разных рангов не могут быть изоморфны.
Доказательство, В силу следствия 2.3.1 можно считать,
что
/? = (ai, ..., а,; Х{, 1Г^.(Х0, .-О,
где d > I или d == О (так как RФ \) и W^, лежит в коммутанте
свободной группы F, порожденной Хх. Если р —- произвольный

2.2. Вербальные подгруппы 85
делитель d и р > 1, то группа
является гомоморфным образом /?, так как тождества Х\ == \ и
Wn (Хк) = 1 выполняются в Ап,р. Поэтому если R имеет менее, чем
л образующих, то =^то же верно для АпУ, но Ап,р не может иметь
меньше, чем п образующих. Поэтому R не может иметь менее п
образующих. ^
Теорема 2.4 решает проблему изоморфизма для двух
представлений свободных групп в свободных образующих и для двух
свободных абелевых групп, представленных как таковые. Кроме того,
понятие вербальной подгруппы можно использовать для
установления ряда признаков изоморфизма.
Теорема 2.5. Пусть {Wpi (Хк)} — множество слов. Тогда,
если две группы G^ а G^ изоморфны, то группы V-^u Г2, где
такоюе изоморфны.
Доказательство. Действительно, при изоморфизме G^
на Gg подгруппа Gj (W^,...) отображается на Gg (Wm,, ...). Более того,
смежные классы группы G^ измсрфно отображаются на смежные
классы группы G^.^
Ввиду бесконечности совокупности верстальных подгрупп может
показаться, что теорема 2.5 доставляет бесконечно много полезных
условий изоморфизма. Тем не менее все, что достигнуто теоремой
2.5 — это сведение вопроса об изоморфизме групп Gj и Gg к такому же
вопросу для групп Г^ и Гз. Если Fj и Г^— конечно порожденные абеле-
вы группы или даже абелевы группы, конечно порожденные над
кольцом (главных идеалов) onepai )ров, то можно получить признаки
неизоморфизма групп Г^ и Гд (см. раздел 3.4). Если Г^ и Го конечно
порождены и слова Ц^и являются простыми коммутаторами в
смысле определения раздела 5.3, то опять-таки можно получить
признаки неизоморфизма групп Г^ и Fg. Тем не менее, в общем случае
нет никаких признаков для выяснения изоморфизма групп Г^ и Га.
Изучение невинно выглядящих приведенных свободных групп
с тождеством Xf = 1 ведет к трудным проблемам (кроме некоторых
частны}( значений d), большинство из которых все еще не решено
(см. раздел 5.13).
Многообразием групп, соответствующим тождествам [Wn, {Х7) =^
^ 1}, называется множество гр>упп, в которых эти тождества
выполняются. Многообразия групп рассматриваются в разделе 6.3.
Термины «эндоморфизм» и «вполне характеристическая» были
введены Л е в и [2] Большая часть результатов этого раздела
принадлежит Б. Н е й м а н у B, 3]. Смежные результаты и обобщения
можно найти также в работах Бэра G], В е ф е р а [3], Б.
Неймана [18], X. Нейман [6], а также в совместной работе двух
последних авторов [3].

86 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
Задачи
1. Пусть F — свободная группа с образующими а-^, ..., a,j п N — множество
таких слов W из F, что о^ (W) = 0. Показать, что N — нормальная подгруппа из
f, порожденная элементами «з» •••» ^/г- [Указание. Показать, что М является
ядром очевидного гомоморфизма F в (а^^ Gg» •••» ^«> ^2» •••» ^п)-]
2. Пусть F — свободная группа с образующими а^, ..., а/^. Показать, что
W (а^) принадлежит коммутанту F (X^XzX^^Х^^) тогда и только тогда, когда
о^ (W) =х О для всех v. [Указание. Для доказательства того, что если
0^ (W) ка О ДЛЯ всех V, то W лежит в F (Х^ХаХр^Х^^), использовать индукцию
по «слоговой длине» W (если W ^ «у^ .¦. а/, где Vi = 1, 2, ..., я, Vi 7^ v^._l_i, то
г есть слоговая длина W). Заметим, чго если W = а^ Ua^Vy то
причем Ua^'^^V имеет те же суммы показателей, что и IF, но меньшую слоговую
длину.]
3. Показать, что если F — свободная группа с образующими а^, ..., а^, го
отображение
и^'eeт ядро К а 3 а н И е. Использовать задачу 2.]
4. Пусть F — свободная группа с образующими а ,..., а^- Показать, что
множество / таких слов W, что о^^ (W) для всех v кратно фиксированному целому чи^^-
лу d > О, является вполне характеристической подгруппой в F. Показать, чю
J =: F (Хр Х^ХгХр^Х^О. [Указание. Если W (а^) — произвольное слоио
в символах а,,..., а„ и б^^,..., U^ — слова в символах а^^, ...^ йп, то o^{W (U^)) ^^
1= oi(W)'Oj^{U^)+„.+On(W)>aj^ (Un). Отсюда, если W (а^) ? J, то и W (Ц) ^ J.
Поэтому / вполне характеристична. Чтобы показать, что
J f=t F (Xj, X|X2Xj X2 )i
использовать индукцию по «слоговой длине» слова W из J е указание к задаче 2 1
5. Показать, что если /^ — свободная группа с образующими а^, ..., йп, то
отображение
W^^ , ^п)>
где Pi = (^v (^) (^^^ d)y а d — фиксированное положительное целое число, имеет
ядро
F (Хр XjX2Xj Х2 ).
[Указание. Использовать задачу 4.]
6. Показать, что единственными абелевыми приведенными свободными
группами являются Лп, Л^^^ и 1.
7. Пусть F — свободная группа с образующими %,..., а^^- Показать, что
F (W (Х^), ...) является наименьшей вполне характеристической подгруппой в
F, содержащей W^ (а^), ...
8. Пусть F — свободная группа с образующими Х;^, Х< = I, ..., п. Показать^
что слово W (х^) определяет элемент вербальной подгруппы F (W (Х^), .. ) тогда
и только тогда, когда W (Х^) свободно равно слову, полученному из слов W ..^
повторным применением следующих операций:
(i) замена каждого Х^ словом U^ (^хУ*
(и) переход от слова к обратному для нею;
(iii) переход от слов 1/^, V'g ^ слову Vi -V^*

2.2. Вербальные подгруппы 87
9. Пусть Я — вербальная подгруппа группы G, г М — вербальная
подгруппа группы Н. Показать, что Л^ является вербальной подгруппой группы G. [У к а -
8 а н и е. Если Н^ G {W^^ {X^l ...) и /V == Я (V^ (Х^),...), то N^ G {U^ (Х^),...),
где и^ (^x)f ••• есть множество слов, полученных заменой Х^ в V^ (Х^) словами и?
F (W^ (X), ...), af — свободная группа с образующими Х^.]
10. Предположим, чго тождество W (Х^) =в 1 выполняется в каждой группе
О, в которой выполняются тождества W (Х^) = 1,... Показать, что слово W (Х^)
можно получить из слов W^ (Х^),... операциями (i), A1), (iii) из задачи 8. [У к а -
8 а и и е. Пусть F — свободная группа с образующими Х^^; рассмотреть G «а
^ F/F {W (Х^)). Использовать задачу 8.]
11. Пусть Н — фактор-группа G/N группы 0. Показать, что Н (W^, ...) г=м
ет (G (^ц,.-.) M)/N состоит из смежных классов вербальной подгруппы G {W . ,).
Показать, чго если множество слов У^, ... содержит множество слов W^^ ,.., то
Н AГ^, .. .)/Я A/^, . . .) ^ (G (Г^, . . .) Л^) / (G (У^, . . .) Л^)
(с^ есть знак изоморфизма). [Указание. Использовать теорему об изомор*
физме
(KIN)/(M/N)c^K/M, где K^M^N.]
12. Подгруппа Н группы G называется ретрактом G, если существует
гомоморфизм Ge Ну тождественный на Я. Показать, что если Я являегся ретрактом G,
то Я (W^ , ...) = G (^д,-. ) Л ^- [Указание. Чтобы показать, что
И {W ,,..) ^ G (W , ...) (\Н, рассмотрим ретрактный гомоморфизм а группы
G на Я. Тогда, поскольку гомоморфизм а является тождественным на Я, а
оставляет неподвижным G (W^^, ...) f) Я. Ввиду того, что а переводит G в Я, а
переводит G(ir^,, ...)вЯA^^,...).1
13. Г1оказать, что Р является приведенной свободной группой ранга п тогда
и только тогда, когда найдутся п образующих а^, ..., йп группы R таких, что
любое отображение а^, ..., uf^ в R можно продолжить до эндоморфизма группы R.
|Указание. Пусть F — свободная группа с образующими о^, ..., а^у и пусть
R = FjN. Любое отображение а^ -> Vr^ (а^) определяет эндоморфизм группы
F/N lOTjxa и только тогда, когда /V отображается в себя, т. е. когда N является
вполне характеристической подгруппой в F. Далее использовать теорему 2 2.]
14. П>сть Q — аддитивная группа рациональных чисел. Показать, что Q и
{0} являются единственными вербальными подгруппами в Q. Показать, что эндо-
люрфизм группы Q можно найти, переводя любой ненулевой элемент q в любой
другой элемент р из Q. Вывести отсюда, что единственными вполне
характеристическими подгруппами в Q являются Q и {0}. Показать, что Q не является
приведенной свободной группой и поэтому обращение теоремы 2.2 ложно.
[Указание. Отображение х -> xp/q является эндоморфизмом группы Q. Так как Q —
^белева группа, то если она является приведенной свободной группой, она должна
быть либо Л^ либо Л^ ^. Поскольку Q не имеет элементов конечного порядка.
Q должна быть А^, Но не каждый элемент из Л,^ является квадратом, хотя каждый
элемент из Q является «квадратом», т. е. удвоенным.]
15. Пусть К — группа кватернионов порядка 8. Показать, что каждая
подгруппа в К является нормальным делителем, но единственными характеристи-
"ческими и вполне характеристическими подгруппами группы К являются К,
{1, —П, {1}. Показать, что К не является приведенной свободной группой.
(Указание. Чтобы показать, что К не приведенная свободная группа,
предположим противное. Так как минимальное число образующих в К равно двум,
го К должна иметь ранг 2. Для любых двух образующих а и b группы К слово
uba^^b является единичным. Отсюда X^XgXr^Xs =« 1 должно выполняться в К*
Но, полагая Х^ = I и Хд =¦ а, получим а'^ «¦ I, хотя а^ :=а —1.]

88 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
16. Пусть G — прямое произведение циклической группы порядка 2 и
циклической группы порядка 4. Показать, что элементы из 6, порядки которых де-
лят два, образуют вполне характеристическую, но невербальную подгруппу в G*
[Указание. Так как группа G абелева, ее единственными вербальными под-
группами являются подгруппы степеней.]
17. Показать, что если О — произвольная группа, то
G (Х2) 2 G (Х^Х^Х^^Х-^).
[Указание. Группа G/G(X^) абелева; действительно, если квадрат любога
слова есть единица, то аЬ => {аЬ)~^ « 6~^C"~^ = Ьа.]
18. Показать, что (а, Ь\ а^, Ь^) и (а, Ь; Х^) не изоморфны, [Указание*
Гомоморфным образом группы (а, Ь\ а^, Ь^) является неабелева группа порядка
6, тогда как группа (а, Ь; Х^) абелева.]
19. Показать, что группа Бернсайда показателя d и ранга п]
B[d, /г) ==<«,, ..., ап\ Х^>,
где /г > 1 и d > 2, не является абелевой. [Указание. Рассмотреть неабелеву
группу
Gp = (а, by с; а^, 6^, с = Ь'~^а'^^Ьа, ас = са, be = cb)
из задачи 20 к разделу 1.2, полагая в ней г = s => /7 > 1. Используя правило
умножения (е) из указанной задачи, показать индукцией по ky что
где т^=з k (k — I)/2. Вывести из (с), что при нечетном р ъ Gp выполняется tojk-
дество Х'' =а 1, а при четном р в Gp справедливо тождество X^^ = 1. Отобразить
группу В (cf, п) на G^, если d нечетно, и на G^^g» ^^^^ ^ четно, полагая а^ -> а«.
flg -^ Ь, аз -> 1, ..., an-^ 1.]
20. Показать, что если G порождается конечным множеством элементов,
каждый из которых конечного порядка и имеет конечное число сопряженных, то G
конечна. [Указание. Пусть а^, ..., an — конечное множество образующих и
их сопряженных, каждый из которых — конечного порядка. Покажем индукцией
по слоговой длине слова W (а^), что 1^ (а^) определяет тот же элемент из G, чта
и слово
а^\ t *. а^' ,
где V? Ф v/прй i Ф /, V; ¦= 1,2, ..., п и а; —^ неотрицательное целое число, мень*
шее, чем порядок а^,. Действительно, если а^ встречается дважды, т. е. если W =»
« иа^Уа^Т, то Г =. Ud^'^^ {а'^Уа^) Т. Так как, сопрягая ai посредством й^^
мы снова получим один из а^, ..., йпу то слоговую длину W можно уменьшить.}
21. Показать, что абелева группа G с конечным числом образующих, каждый
из которых конечного порядка, является конечной группой. [Указание.
Использовать задачу 20 или показать, что G является гомоморфным образом
некоторой приведенной свободной группы АплЛ
22. Показать, что группа
^B, /z) = <ai, .... ап\ Х2>
конечна, если п конечно. [Указание. Использовать задачу 21.)
23. Пусть
ВC, n) = <ai, ..., Оп\ Хз>.
Показать, что любой элемент из В C, п) коммутирует со всеми своими сопряжен-
ными. [Указание. Если х^у — произвольные элементы из Б C, д), то хух =*
¦= у'^^х"^у"^, Следовательно, s • t~^st =з st^'^s • t =^ is '^ t * t =» ts~4~^ =»
r=i ts^U^^s"^ * s^ t - tst * s=i rht . S.J ^

2.2. Вербальные подгруппы 89
24. Известно, что подгруппа конечного индекса в конечно порожденной груп-
fie сама конечно порождена (см. следствие 2.7.1 в разделе 2.3). Используя этот
результат, показать, что если группа G имеет образующие а^ ад» •••» ^п> ^Д^ '^ —
конечно, причем каждый образующий имеет конечный порядок и коммутирует со
всеми своими сопряженными, то G — конечная группа. В частности, группа
В C, п) конечна, если п конечно. [Указание. Использовать индукцию по п.
Если /2=1, результат очевиден Предположим, что результат верен для всех групп
СП — 1 образующими, каждый из которых конечного порядка и перестановочен
со своими сопряженными Пусть группа G порождается образующими а^, ..., а„,
каждый из которых конечного порядка и перестановочен со своими сопряженными.
Рассмотрим нормальный делитель Л/, порожденный одним из этих образующих,
скажем, а^- Тогда G/N порождается элементами а^, ,.., a^_j и удовлетворяет
индуктивному предположению, и поэтому конечна Следовательно, Л^ имеет конечный
индекс в G, и так как G конечно порождена, то это же верно и для N. По N
порождается элементами, сопряженными с а^, и поэтому абелева. В силу задачи 21
группа Л^ конечна. Поэтому а^ сопряжен с конечным множеством элементов. Такие же
рассуждения применимы и для остальных а^. Следовательно, в силу задачи 20
группа G конечна. Конечность группы В C, п) вытекает из задачи 23.]
25. Пусть
Oj = (а^, ,.., an; Р, Q, .. .>, G^ = <^, .. . , Ь^; S, Г, . . .>.
•где п Ф т, и пусть существует целое d > \, которое делит сумму показателей по
любому образующему в каждом определяющем слове групп G^ и Gy Показать,
что группы Gi и ^2 не изоморфны. (Указание. Использовать теорему 2.5,
положив
и показать, что Г^ = Л^^^, а Гг = Л^^^.]
26. Пусть
G, = (а^, Л , , ап\ Р, Q, .. .), G., = (Ь„ . . . , 6^; S, Г, . . .>,
где п конечно, и существует целое d > \, которое делитог^ (Р), о^ (Q), „. для
каждого V, но не делит о^ (S), Показать, что G^ и ^2 не изоморфны. [Указание.
Использовать теорему 2.5, полагая {^^м} = (^f, XjXoXp^X^ } и показать, что
Г, = Л^^. Поскольку Гз абелева и 5 — единичное слово в Гд, то 6j^*^^^ является
словом из символов бз. •••) ^/2 Поэтому число различных элементов b^^b^^ ... b^n
в Fg меньше, чем d"^ ]
27. Построить представления групп G^ и G2, удовлетворяющие условиям
задачи 25, Сдела1ь то же для условий задачи 26.
28. Пусть G, и G, — изоморфные группы. Если множество слов {1^^ (Х^)}
содержится в множестве слов {V^ (X^J) и
Г; = G, {W^, .. .)/G^ (Vp. ...).
ТО Pj и Гг изоморфны [Указание Использовать доказательство теоремы 2.5.]
29. Показать, чго если G — абелева группа, то
G (Х^) П G {ХР) = G (Х^,
где q — наименьшее общее кратное чисел d и р. Показать, что для неабелевы?с
групп это, вообще говоря, неверно [Указание. Если группа G абелева, го
G (Х'") есть в точности множество г-х степеней всех элементов. Если d => st и р вт
«я SW, где ^ и W взаимно просты, то ^ =3 stu Далее, если х ^ G (Х^) П ^ (^^)t
то д; =» ^^ ¦= г^. Поэтому х^ = у^^* ^ у^ и х\^ г^^ ^ тЯ. Таким образом, л:" и

90 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
а:^ принадлежат G (Х^) и поскольку t и и взаимно просты, то х ^ G (Х^).
Если F — свободная группа с образующими а и Ь,то F (Х^) f] F (Х^) ^ F {Х^)>
Дейсгвительно,
F (Х^) П F (ЛЗ) э F {X,X\XY^X-^),
Если бы F (Х^)^ F (XjX^Xp^X^^), то в любой группе с двумя образующими,,
в которой выполняется тождество Х^ =г I, выполнялось бы и тождества
XjX^Xp'X^^ «= 1. Но в неабелевой группе шестого порядка тождество Х^ ««= I
выполнено, а XiX\X^^Х'^^ = 1 — нет.]
30. Показать, что тождества Хв = 1 и X^X^Xf ^Х^^ -= 1 выполняются в
неабелевой группе G шестого порядка. (Как показал В е ф е р [3], любое другое
тождество, которое выполняется в группе G, можно вывести из этих двух тождеств.
Показать, что G не является приведенной свободной группой. [Указание»
Чтобы показать, что G не является приведенной свободной группой,
использовать задачу 13.]
31. Пусть R — приведенная свободная группа ранга п. Показать, что либо
некоторый элемент из R имеет бесконечный порядок, либо каждый элемент имеет
конечный порядок, делящий максимальный порядок элементов /?.
[Указание. Если в R выполняется тождество Х^ = 1 (где d — минимальное), то
R/R (X^XgX^^X^^) = ^д^ и, следовательно, в R имеется элемент порядка d^.
и порядок каждого элемента из группы R делит d, В противном случав
i?//?(XiX2Xj~^X^^) г=2 An ^ R имеет элемент бесконечного порядка.]
32. Пусть G — знакопеременная группа на символах 1, 2, 3, 4, 5. Показать^
что порядки всех элементов из G равны 1, 2, 3 и 5. Положим [С/, V] =« UVV^V^.
Показать, что в G выполняются тождества Х^о = I, [[Х^, Х\\, X2I = I. Найти
другие тождества, справедливые в группе G. Показать, что если pvL q y{q делятся на 30^
то Х^Х^Хр'^Х^^ = 1 не является тождеством в G. Показать, что G не является
приведенной свободной группой. [Указание. Для доказательства того, что
тождество Х^Х^Х]~^Х^^ = 1 не выполняется в G, заметим, что G (Х^) =i
•= G (Х^) = G, поскольку G — простая группа. Чтобы показать, что G не являет»
ся приведенной свободной группой, использовать задачу 31.]
33. Показать, что если {W (X^J} — конечное множество слов, то существу*
ет одно слово V (Y^) такое, что для любой группы G имеет место
G{W^ ) = 0(У).
Показать, что даже если {W (Х^,), ...} — несчетное множество, то существует
такое конечное или счетное множество слов {V^ (Уу)}* что для любой группы G
справедливо
G(r^, .•.) = G(l/p, ...).
[V к а 3 а н'и е. Для первого утверждения воспользоваться тем, что G (W^ (^я^
W^ (Х^)) = G (IF, (Y^) • U^2 i^}))- Д'^я второго — заметить, что каждое слово
W^^ (Х^ содержит лишь конечное число символов Х^^. Отсюда W (Х^) можно
заменить словом, содержащим конечное число из счетного множества символов F,, ...
..., К„ ...]
34. Пусть 1/ — совокупность групп, каждая из которых удовлетворяет
тождествам ^р, (Х^) «» 1. Показать, что любая подгруппа и любая фактор-группа
группы из у также удовлетворяют этим тождествам. Показать, что и полное
прямое произведение любых групп из 2/ удовлетворяет тождествам W^ (Х^) =« U

2.2. Вербальные подгруппы 91
Kб. Пусть G — конечная группа и {W^ (Х^) ^ 1} —совокупность всех
тождеств, справедливых в G, а Я, пробегает положительные целые числа. Показать,
что приведенная свободная группа конечного ранга с тождествами W (Х^) =»
^ 1 является конечной, [Указание. Предположим, что G имеет порядок г.
Покажем, что приведенная свободная группа ранга п с тождествами W^ (Х^) == 1
является подгруппой прямого произведения г^ экземпляров группы О. Для этого
построим таблицу из г" столбцов, в которой каждый столбец есть некоторая /г-ка
элементов из G. Определим щ как /^-мерный вектор, являющийся i-й строкой
таблицы. Тогда а^, ..., Оп порождают подгруппу R прямого произведения /^
экземпляров G. ПоэтоЛ1у в R выполнены тождества W (Х^) = 1. Далее, если Р (а^, ...
¦ .., йп) является единичным словом в R, то по построению а^ имеем Р (gi, ..., g^) =¦
« 1 в G для любой п-ки элементов g^^ ..., g^ из G. Поэтому Р (Х^, ,.., Х/^) является
тождеством в G. Таким образом,
/? = <«!. ..., ап\ W^(X^), ...).
Если п конечно, то R — подгруппа конечной группы, являющейся прямым
произведением г"^ экземпляров группы G. ]
36. Показать, что непустая совокупность групп С является многообразием
групп тогда и только тогда, когда (У содержит подгруппы и фактор-группы любых
своих групп, а также полное прямое произведение любых своих групп.
[Указание. Доказать, что любая совокупность (^ групп, замкнутая относительно
взятия подгрупп, фактор-групп и полных прямых произведений, является
многообразием групп. Пусть W^ (Х^) = 1, ... (где X пробегает положительные целые
числа) — совокупность всех тождеств, выполненных во всех группах из (J.
Покажем, что (J является многообразием всех групп, определяемых тождествами
W^ (Xj) == 1, ... Для доказательства того, что любая группа, удовлетворяющая
этим тождествам, лежит в (J, достаточно показать, что приведенная свободная
группа любого ранга с этими тождествами принадлежит ^, так как (J замкнуто
относительно взятия фактор-группы. Покажем, что такая приведенная свободная
группа является подгруппой полного прямого произведения групп из (^. Пусть
п -~ любое кардинально<з число. Рассмотрим такие слова V^ i^x)> ^Д^ ^ = Ь ••-
..., Гр, что Vj, {XjJ =э I не является тождеством для всех групп из (^. Тогда в (J
найдутся такие группы G^ и последовательность g^, ..,, g^^ элементов из G , что
^р tei -"> Нго) ?= 1. Построим таблицу, столбцами которой являются
всевозможные п-ки, составленные из элементов {^,, ..., g^^}. Расположим такие таблицы одну
за другой для всех р. Пусть Oi есть i-я строка в полученной таблице. Тогда все ai
порождают подгруппу R в полном пря;МОм произведении некоторого числа
экземпляров группы для всех р. Если теперь U {а^ , ..., а^, ) является единичным словом
8 R, но и (Х^, ..., Xq) = 1 не является тождеством для всех групп из (J, то
получим протиЕюречие. Действительно, если t/(Х^, ..., Хр) == Кр (Х^^), то U (g^, ...
"fSn) ^ U что противоречит равенству U (а^^, ..., а^ ) = 1. Поэтому R явля-
*ется приведенной свободной группой ранга п с тождествами W (Ху) =з 1.]
37. Показать, что пересечение многообразий групп является многообразием
групп. Показать, что всякая непустая совокупность групп содержится в
минимальном многообразии групп. Показать, что минимальным многообразием,
содержащим бесконечную группу, является многообразие абелевых групп
38. Показать, что совокупность (^ групп, все элементы которых имеют
конечный порядок, не является многообразием. Показать, то С замкнуто относительно

92 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
взятия подгрупп, фактор-групп и (ограниченных) прямых произведений. [У к а •
8 а н и е. См. задачу 36.]
39. Показать, что множество групп, у которых элементы, отличные от
единицы, имеют бесконечный порядок, замкнуто относительно взятия подгрупп и
полных прямых произведений, но не является многообразием.
40. Показать, что совокупность групп, у которых каждый элемент является
квадратом, замкнута относигельно взятия факгор-групп и полных прямых
произведений, но не является многообразием.
2.3. Представления подгрупп. Метод
Рейдемейстера — Шрейера
Пусть G — группа с представлением
В разделе 2.1 мы показали, как найти представление ее фактор^
группы G/N. В этом разделе мы покажем, как найти представление
подгруппы Н группы G.
Для нахождения представления фактор-группы G/Л^ нам
требовались слова из «v, порож,аающие нормальный делитель Л^. Чтоб!>1
найти представление подгруппы Я, нам нужны слова из av,
порождающие подгруппу Н, Но, кроме этих образующих, для Н нам
потребуется процесс, который «переписывает» всякое слово,
записанное в образующих ау и определяющее элемент из Я, в слово,
записанное через образующие группы Н.
Именно, пусть группа G задана представлением A) и Я —
подгруппа в G, порожденная словами У^ (uv . Тогда переписывающий
процесс для Я (относительно образующих Ji (clv)) есть отображение
т: V{ay)^V(s,) B>
слов и (av), определяющих элементы из Я, в такие <"лова из
символов S;, что слова
V{ay), V(J,{a,))
определяют один и тот же элемент из Я. (Символ s^ будет
использован для обозначения образующей Ji (av) в представлении Я,
которое мы получим.)
Например, пусть G — свободная группа с образующими а п
bj и пусть я — нормальный делитель группы G, порождённый
элементом Ь. Тогда Я порождается элементом b и элементами,
сопряженными с b посредством степеней элемента а, т. е. порождается элемен*
тами вида а^Ьа^^, где k — любое целое число. Пусть
/^ (а, Ь) = а^Ьа-^.
Слово W (а, Ь) определяет элемент из Я тогда и только тогда, когда
сумма показателей 11^ по а равна нулю. Действительно, если
и {а, Ь) = а'^^Ь^^ ,., а^Ф^^ C>

2.3. Представления подгрупп , 93^
имеет нулевую сумму показателей по а, то U (а, Ь) и
определяют один и тот же элемент в Н. Поэтому отображение т^
переводящее слово U {cl, Ь) в слово
V ^ai+aj • • • ^arfa2+...+a^ V^/
является переписывающим процессом для Я.
Мы хотим теперь найти представление подгруппы Н группы G,
заданной в A), используя порождающие символы Si для
порождающих элементов /^ (а^).
Теорема 2.6. Пусть И — подгруппа группы G, заданной
представлением A). Если J^ {а^) — образующие для Н и
отображение т — переписывающий процесс для Н (относительно образующих
Jf (^v)), tno представление Н относительно отобраоюения Si-^ Ji (^v)
получа' тся, если в качестве образующих взять символ s^, а в качестве
определяющих соотношений — следующие равенства:
s^ = t(/,(^v)), E)
т (t/) = т ({;*) F)
(где слова U (а^) и U* (а^) ссободно равны и определяют элементы
из Я),
T(U,.U,)^TiU,).T(U,) G)
(причем Vi (ay) и (/g (^v) определяют элементы из Я),
x{WR^W-^)^ 1 (8)
(где R^ (av) — определяющее слово из (\), а W — произвольное слово
в образующих «v).
Доказательство. Покажем сначала, что E), F), G) и (8)
являются соотношениями в Я. Действительно, если (/(^v)
определяет элемент из Я и
г ((У (а,,)) = V (S,),
то и (av) и V {JI (av)) определяют один и тот же элемент из Я по
определению переписывающего процесса. Поэтому при отображении
Si -> Ji {cLv) равенства E) — (8) являются соотношениями.
Чтобы показать, что E) — (8) являются определяющими
соотношениями, надо показать, что всякое единичное слово
5f; ... вУ (8, = ± 1) (9>
можно привести к пустому слову, используя соотношения E) — (8).
Удобно сначала вывести некоторые соотношения из E) — (8);
термин «выводимо» будет пониматься как выводимо с помощью E)>
F), G) и (8),
Если в G) мы заменим U^ и U^ пустым словом 1, то получим т A)==
«= т A) • т A) или, что эквивалентно, т A) = 1. Далее, заменив в

"94 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
G) 11% на i/r^ и используя F), найдем T(t/i) • т ((/Г^) = I или, что
эквивалентно,
x(VT')^T{U^r\ A0)
Поэтому из G) и A0) можно вывести
г„
T(Ur ... Uf)=^T(U,r ... T(U,)^. A1)
Мы можем теперь перейти к доказательству того, что (9) выводимо.
Используя E), можно (9) заменигь на
T(.y.,(^v))'^ *.. T{A^(av)L
что в силу A1) можно записать в виде
r{J^l...Jl% A2)
Далее, так как (9) является единичным словом относительно
отображения s^ ~> t/^ (av), то
J^Aa^r^ ... Ji^{a,f^ A3)
определяет единицу в Н и, следовательно, в G. Так как G имеет
представление A), то в силу следствия из теоремы 2.1 слово A3) сво*
бодно равно произведению
iW.R^^Vr'}''' ... (И^Л,И^Г')\ (И)
гдет]/ = i 1 и R^^ — определяюидее слово из A). Поэтому,
используя F), можно A2) заменить на
x((W',/?^.rr^)''' ...(\ГЛ.^Й7Г')^^0. A5)
Используя A1), заменяем A5) на
X (W,R,,y(/rY ... X {Wfi.^Wr'S'K A6)
Но тогда соотношения (8) позволяют нам привести A6) к пустому
слову. ^
Представленье для Я, полученное в теореме 2.6, весьма
громоздко. При надлежащем выборе образующих и переписывающего
процесса это представление можно значительно ]упростить. Один такой
выбор можно сделать, используя «функцию правых смежных
классов» для разложения G по подгруппе Н. Это позволит получить как
образующие, так и переписывающий процесс.
Если G имеет представление A), то представляющей функцией
правых слшжных классов для G (в образующих а^^) по подгруппе Н
назовем отображение слов из Qv
lF(av)~^l?(av),

2.3. Представления подгрупп 95
где W (av) образуют систему представит^^лей правых смежных
классов для разложения G по подгруппе //, причем W (а^) является
представителем смежного класса, содержащего W (av), и представителем
Н считается пустое слово.
Теорема 2.7. Если W -^ W является функцией правых
смежных классов для разложения G по подгруппе Ну то Н порождается
словами
Ка„* (Ка^Г\ A7)
где К — произвольный представитель и а^ — произвольный образу-
зуюп{пй из G,
Доказательство. Чтобы показать, что слова из A7)
являются образующими для Я, удобно использовать следущие,
легко проверяемые свойства представляющей функции правых смежных
классов:
(I) W = I тогда и только тогда, когда И^^пределяет элемент из Я.
(II) Если W свободно равняется К, то W = V.
(III) ?= W.
(IV) WV==_WV.
Слово Kav {Ка)'~^ , очевидно, определяет элемент из Я,
поскольку Кйу и Кау; определяют один и тот же правый смежный класс по Н.
Покажем теперь, что каждый элемент из Я можно выразить как
произведение слов вида A7) и обратных к ним.
Сначала заметим, что слово
KaT^Ka^f^ A8)
является обратным к некоторому слову вида A7), а именно — к
слову Ма^} {Mav)'^\ где /VI = Ка^\ Действительно, поскольку К яв»
ляется представителем, то, используя (IV), (II), AП), найдем, что
Kav CLv == ^^v av^ К = К»
IV II III
Отсюда получаем, что
Mav • (Ма^) = (/(av ay)
КаТ^а^Г'
0
= к • {КаТ'а,:)-
= Ка
(8, = ± 1)
• {KaVy
Предположим теперь, что
A9)
определяет элемент из Я; мы должны выразить V через слова вида
A7) и A8). Для этого вставим в 6^ перед каждым а^ и после нега

96 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
слова Wj И (Wju^J) соответственно и постараемся выбрать Wf
так, чтобы новое произведение
W,al\ (W,a'^\r' . W,a',l {W.a',])-' ... W,ay[ (W^a/^)-' B0)
определяло тот же элемент Я, что и слово A9). Положим
1J7, = 1, W,^ W,al, W, = W,a^,i, ,.., tt^, == Wr^.a^^^:
T. e. выберем в качестве Wj слова
-г
r-l
слово Wf естественно называть (/ — \)-м началом слова t/, т. е.
началом длины / — 1, поскольку Wj = av\all ... av^~,). Подставив в
20) вместо Wf их выражения через av, легко убеждаемся в том,
что слово B0) свободно равно слову W^U {Wru'"/)^ , причем
IF if; {W,a/r' = 1 . t/ . [/"^ - 1 . (У . r^ - (/,
где G=1, поскольку U — элемент из Н,
Далее, из (IV) следует, что
Wja^^iW^r' B1)
является словом вида A7), а слово
WiaVf (W^aVfr\ B2)
как было показано выше, является обратным к некоторому слову
вида A7).
Таким образом, каждое слово U (av), определяющее '^^лемент из
Н, является произведением B0) слов вида A7) и обратных к ним.
Таким образом, слова вида A7) порождают Я. -^
Следствие 2.7.1. Если G — конечно порожденная группа
и Н — ее подгруппа конечного индекса, то Н конечно порождена.
Доказательство. Действительно, если группа G имеет п
образующих и подгруппа Н имеет индекс /, то множество A7) —
образующих Н — состоит из nj слов (позже мы получим более
точные границы для числа образующих, необходимых для порождения
Н). Поэтому Н — конечно порожденная подгруппа. ^
Следствие 2.7.2. Пусть W -> W ^ представляющая
функция правых смежных классов для разложения G по подгруппе Н, Вес
дем порождаюи^ий символ
для элемента из Н, определенного словом
Kav{Kay)'~\

2.3. Представления подгрупп 97
где К — произвольный представитель правого смежного класса, и
а у — образующий группы G иэ{\). Определим отображение т слова U
из A9), определяющего элемент из Н, посредством
^i^)--^K.,a,^'^lLa,, ...4U,^, B3)
где Кj — представитель (/ — 1)-го начала слова U, если е/ =» \у и
1го начала слова (У, если Bj = — 1. Тогда т является переписывающим
процессом для Я.
Доказательство. Чтобы установить, что т есть
переписывающий процесс, надо показать, что если в B3) заменить вк^.а^; на
Кjavj {Кiavj)''\ то полученное слово в образующих ^v определяет
тот же элемент из Я, что и слово U (av).
Если Wj обозначает (/ -— 1)-е начало слова (У, то по построению /С/
Kj = Wj, если е/ = 1,
и
Kf = Wfa^j^ если ej ^ -^ U
В обоих случаях, как нетрудно проверить, 8к^,а^ заменяется на
f^/a:;.(^)-'.
Но тогда слово B3) превращается в слово B0), которое (как показано
выше) равно слову U (а^) и, следовательно, определяет тот же
элемент, что и и (av). Таким образом, т есть переписывающий процесс. ^
Переписывающий процесс т, полученный по представляющей
функции правых смежных классов в следствии 2.7.2, называется
переписывающим процессом Рейдемейстера.
Для иллюстрации этого процесса предположим, что а^а^^^а^
определяет элемент из //. Тогда
т (а^а^а^^а^) = s
Следует заметить, что вычисление т F^) можно провести, заменяя
символ al из и на подходящий s-символ s^.a^.
Использование переписывающего процесса Рейдемейстера в
теореме 2.6 значительно упрощает представление для Н: определяющие
соотношения F) и G) можно элиминировать, а (8) — ограничить.
Теорема 2.8 (Рейдемейстер). Пусть х — переписывающий
процесс Рейдемейстера, данный в B3) для подгруппы Н группы G.
Если G имеет представление A), то Н имеет представление
('к,а,, •-; 5/(.., = ^(^«v^v~^), ..., T{KR^K--\ ...) B4)
4 в Магнус и др.

98 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
относительно отображения s^.a^ -> /<av (Ка^) \где К —
произвольный представитель {использованный в представляющей функции пра*
вых смежных классов J определяющей т), а^ — произвольный образую-
щий и R^i — произвольное определяющее слово из A).
Доказательство. Достаточно показать, что соотношения
F), G) и (8) можно вывести из определяющих соотношений
представления B4), так как тогда, используя преобразования Тице, мы
сможем удалить «лишние» определяющие соотношения.
Для вывода F), G) и (8) удобно иметь следующие свойства
переписывающего процесса Рейдемейстера:
(V) Если /7 и {/* — свободно равные слова (в образующих а^),
определяющие элементы из Я, то т (U) и т A/"^) — свободно равные
слова (в s-символах).
(IV) Если Ui и /Уо определяют элементы из Я, то слова т {ViV^
и X (Ui) - X (U2) графически совпадают.
Очевидно, для доказательства (V) достаточно показать, что
т (ValaV^W) свободно равно т (VW), где 8 = ± 1. Вычислить т от
слова можно, заменяя каждый а-символ подходящим s-символом.
При этом s-символ, заменяющий данный ^-символ, зависит только
от этого а-символа и от представителя сегмента, предшесгвующего
этому ^-символу. Поэтому s-символы, заменяющие ^-символы слов V,
W при нахождении т {VW) и т {Vala'^^W)^ будут одни и те же.
Следовательно, остается рассмотреть только s-символы, заменяющие
выделенные al и а7^. Это будут соответственно символы:
^\7п у ^'--^ ? «^ ^Т}\ > если 8 =3 + 1,
V V V
Va^Ka^' Va^Ka^'
если 8 == — 1,
т. е. ^v и а^^ заменяются взаимно обратными s-символами, что и
доказывает (V).
Для доказательства (VI) заметим, что s-символы, заменяющие
а-символы из t/i, при вычислении x{Ui)ii x{l]ilJ.^ будут одни и
те же. Далее, поскольку U^ лежит в Я, то JJiW = Ш^для любого слова
W (av). Поэтому s-символы, заменяющиеа-символы слова U2 при
вычислении т (U^) и т {UiU2)y— одни и те же.
Из свойств (V) и (VI) следует, что соотношения F) и G) можно
вывести из тривиальных единичных слов.
Для упрощения соотношений вида (8) заметим, что любое слово W
свободно равно слову UKy где К есть W, а t/ есть WK~^ и
определяет элемент из Я. Поэтому
т {WR^W-')«т (t/ . KRy^-' . U-) = X ((/). т {KR,^K~) • т (U^).

2.3. Представления подгрупп ' 90
Из справедливости F), G) следует, что т {U ) = х (U) . Поэтому
7—1
единичное слово т (WR^iW ) выводимо из единичного слова
а следовательно, и из единичного слова
Таким образом, B4) есть представление группы Я. ^
Следствие 2.8. Если G — конечно определенная группа и
Н — ее подгруппа конечного индекса, то Н — конечно определенная
группа.
Доказательство. Утверждение непосредственно еледует
из теоремы 2.8. ^
Чтобы еще более упростить представление B4), мы ограничимся
специальным видом функций правых смежных классов.
Шрейеровской функцией правых смежных классов назовем такую
функцию, в которой всякое начало представителя также является
представителем. Система представителей в этом случае называется
шрейеровской системой представителей. Переписывающий процесс
Рейдемейстера, использующий шрейеровскую систему, называется
переписывающим процессом Рейдемейстера — Шрейера,
Для иллюстрации этого понятия рассмотрим свободную группу
G с образующими а и Ь. Пусть Н — нормальный делитель в G,
порожденный элементами а^, Ь^ и aba~^b^\ Тогда G/H имеет четыре
смежных класса. Система представит'^лей 1, а, 6, аЬ является
шрейеровской, как и система 1, а, 6, аЬ^\ Система представителей 1, а,
Ь, а~^&~^ не является шрейеровской, поскольку начало а"^ слова
а~^Ь~^ не являегся представителем.
Лемма 2.2. Пусть G имеет представление A) и Н —
подгруппа группы О, Тогда существует некоторая шрейеровская система
представителей для разложения G по Н.
Доказательство. Назовем длиной смежного класса из
разложения G по Н длину самого короткого слова этого класса.
11]рейеровскую систему представителей определим индуктивно,
используя длину смежного класса.
Выберем пустое слово в качестве представителя из Я —
смежного класса нулевой длины. Если 5^ — смежный класс длины 1,
10 в качестве его представителя выберем любое слово длины 1 из
iSj. Если Sa имеет длину 2, выберем слово bib^ длины 2 из Sg (где Ь^
и /?2 — образующие из A) или обратные к ним). Ввиду (IV) bib^
лежит в ^2 и так как длина б, не превосходит единицы, длина слова
frifeg равна двум. Выбираем Й162 представителем из 52- Вообще, пусть
мы уже выбрали представителей для всех смежных классов длины
меньше, чем г, и пусть S^ ~ смежный класс длины г, а i?i... 6r~i&/. —

100 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
слово ИЗ Sr> Тогда в качес1ве представителя из S^ выбираем элемент
Ь^ ... br-\br (длина которого г). Из построения ясно, чго если из
представителя вычеркнуть последний символ, получится другой
представитель. Поэтому всякое начало представителя также является
представителем, и мы построили шрейеровскую систему для разложения
Оно Я. ^
Заметим, что при доказательстве леммы мы построили
минимальную шрейеровскую систему, т. е. шрейеровскую систему, в которой
каждый представитель смежного класса имеет длину, не большею,
чем длина любого слова из этого класса. Не всякая и]рейеровскаи
система минимальна (см. задачу 16).
Используя переписывающий процесс Рейдемейстера — Шрейера,
можно значительно упростить соотношения E) в представлении
группы Н.
Теорема 2.9 (Шрейер). Пусть группа G задана
представлением A) и Н — ее подгруппа. Если т — переписывающий процесс
Рейдемейстера — Шрейера, то Н м жно задать представлением
^4v "'^ ^л^.а;,' ••- xiKRviK"), .. .), B5)
где К — произвольный шрейеровский представитель, а^ —
произвольный образующий, Rix — произвольное определяющее слово из(\)\ М —
шрейеровский представитель и ах — такие образующие, что
Mai^Ma'x^ B6)
Доказательство. Если Ma},^=^Mai, то Ma^iMai)"^ i=^L
Отсюда в силу (V) T{Max{Mai)''^)^=^ тA) = 1. Поэюму
соотношение ^
5м.а^^ = т(Мах(Щу
выводимо из единичного слова
hi а, B7)
и наоборот.
Далее, используя шрейеровское свойство системы
представителей, мы покажем, что слово
T(/(av(A"av)~~')
можно привести к символу 5/<,ау, вычеркивая те s-символы типа B7),
для которых выполняется B6). Действительно, любой s-символ,
заменяющий а-символ из К при вычислении т (Кау (/(av)~^), будет
иметь вид
или
где N — начало слова /С, предшествующее заменяемом) а-символу.
-к

2 3. Предсгавлсяия подгрупп 101
В первом случае Nup является началом слова К и поэтому
Nuq = Л/ар.
Во втором случае Л/ является началом слова К и поэтому
Na-'^a^^N ^N^Na-^'
Таким образом, для любого s-символа ьм,а^, заменяющего в К а-сим-
8ол, выполняется B6). Поскольку т {U~^) есть то же слово в s-сим-
волах, что и т (U) ^ то можно показать, что для s-символа Зма^.
заменяющего а-символ из (Kav) ^при вычислении т{Ка^A\ау;) \
также выполняется условие B6) (см. задачу 1).Следователыю,
после вычеркивания в слове т (Ка^ (Ка^)"^ s-символов Sm^j для
которых справедливо B6), от этого слова останется s-символ,
заменивший выделенное av, т. е. символ s/c,^^.
Таким образом, определяющее соотношение
^/<,av "" ^ (^^^ (^v)~^)
мз B4) выводится из определяющих слов B7), так как после
указанных вычеркиваний это соотношение превращается в тавтологию
Следствие 2.9 (Нильсен — Шрейер). Подгруппа свободной
группы свободна.
Доказательство. Если G — свободная группа, то ее
можно задать представлением (I) с пустым множеством
определяющих слов. Если Н — подгруппа группы G, то определяющими
словами в представлении B5) для Н являются некоторые из образующих
подгруппы Н. Используя преобразование Тице, выбросим эти
образующие вместе с соответствующими определяющими словами и
получим представление для Н с пустым множеством определяющих
слов. Поэтому подгруппа Н свободна. 4
Заметим, что мы не только показали, что подгруппа Н свободной
группы свободна, но и построили множество свободных образую-
1\\\\\ Н\ ими будут те элементы Д'^г (/(Gv)~^ Д'^я которых Ка^ не равно
свободно Ка^, Шрейер получил это множество свободных
образующих для Н в 1927 г. В 1921 г. Нильсен, используя совершенно
другие методы, построил множество свободных образующих подгруппы
Н из Одля случая, когда группа конечно порождена (см. раздел 3.2).
Образующие Нильсена— это не что иное, как образующие Шрей-
ера, когда шрейеровская система представителей — минимальная
(см. теорему 3.4).
В качестве иллюстращ1и теоремы 2.9 мы для некоторой группы R
неевклидовых движений найдем представление ее подгруппы Р,
образованной движениями, сохраняющими ориентацию. Пусть дан

102
Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
Треугольник в неевклидовой плоскости с углами я/8, я/8 и л/2, и
пусть ^1 и /"з — отражения от равных сторон треугольника, а г^ —
отражение относительно его основания. Можно показать, что
группа R неевклидовых движений, порожденная отражениями г^, rg и
Tg, имеет представление
B8)
R == (Ги ^2> ^в1 г\, ri rl [r^r^f, {r^r^)\ (riz-gf),
Отражение изменяет ориентацию, поэтому сохраняющая
ориентацию подгруппа Р состоит в точности из всех слов в символах Гх, rj, г^
четной длины. Слова 1 и г^ образуют шрейеровскую систему
представителей для разложения R по подгруппе Р. Отсюда представление
для Р можно получить, используя следующие порождающие
символы:
Sl,/-,, Si,-^, Si,/-3, S/-j,^j, Sr^^r^i ^ГиГь* B9)
Поскольку 1 • Ti j=s; 1 • r^, порождающий символ si^^ является
определяющим словом; остальные определяющие слова суть Заметим,,
что при вычислении т {KRpiK~^) следует рассматривать лишь 5-сим-
волы из R^ (см. задачу 7)]:
тA -rh 1-'
т (Г1 • г? • гТ^
ТA ' rl' 1~'
т(г1 • rl- гТ^
тA . rh г'
т {г^ • гз • гГ^
т(Ьг/2Г. 1-^
'tl^i • (^//• rV^
ТA •(/'2/'з)'- 1"'
-^ (^1 ' (^2^3)^ • ^Г^
T(l.(r/3f . Г^
-^(^1- (^л)'-^г^
) = T(ri) = S],^, • Sr^,ro
)^т(/'?);
) = Т(Г2) = S].^, . Sr,,r,;
) = 5/.^,л2 • 5l,/'jJ
) = Si,/.g • Зг^,г^1
) "^ ^/-1,^3 * ^hrsl
) ^ ^ (^/2)' ===* El,r, ' S,,.,J«|
) ^ T (Г1 . Г/2 . ГГУ -= (Sr„r,
) =- T^ (Va)^ ==^ is\,r, ' Sr„rf;
)ЖТ(Г1 ' Г^Гз • ГТ)' == (Sr,,r,
) = -^ (^/3)^ ==- (S!,r, • S,„,J2.
) = T (/-1 . Г^Гз . /-Г V -= Er,.r,
• Si,
• 5i.
• Si,
rfl
\8,
Га; •
C0)
C1)
C2)
C3)
C4)
C5)
C6>
C7)
C8}
C9)
D0)
D1)
[При вычислении C6) — D1) мы использовали то, что т (U^) ^
«= т (Uy, если и принадлежит НА
Таким образом, для Р можно указать представление с
порождающими символами B9) и определяющими словами C0) — D1) и
s\,r^. Чтобы упростить представление, заметим, что из C0) следует,
что Sr^,r^ является единичным словом, C1) утверждает то же самое;
C2) и C3) утверждают, что S\,r, определяет тот же элемент, что к

2.3. Представлен и 51 подгрупп 103
S/^.r»; C4) и C5) означают, что ^i.^, определяет тот же элемент, что и
S/vr.) C6) и C7) утверждают, что s^^^r, является единичным словом;
<38) и C9) утверждают, что {Sr^j^ • ^7,\,Y является единичным
словом; D0) и D1) утверждают, что Sr^,r, является единичным словом.
Поэтому, используя подходящие преобразования Тице и обозначая
8г^,г^ через Р2» ^ ^^,^8 через р^» получаем следующее представление
для Р:
(Р2» Рз; pi pi (рТ^Рн)^) D2)
относительно отображения p^-^-V^ {V2 ^сть г^ * г^ * (rir^)"^) и Рз~^
'^^i^'s (^/3 есты^ • Гз • (/'хА'з)"^). Используя преобразования Тице для
введения р^ = рГ^Рз» ^ затем исключения рз» получим новое
представление для Р:
(Pv Р2; Рь Р2, (РхР,)') D3)
относительно отображения р^ ~> Г2Г^ и Рз ~> г^Гз-
Приведем еще одну иллюстрацию теоремы 2.9. Пусть
L = (X, у; х\ у")
— группа унимодулярных дробно-линейных преобразований с
целыми коэффициентами (см. задачу 18 к разделу 1.4), и пусть Н^
=- L (XiXsXr^^r^). Покажем, что Я — свободная группа.
Действительно, выберем
^^х,у, ху.у'^.ху'^
в качестве шреиеровскои системы представителей для разложения L
по подгруппе Н. Тогда представление для Н можно получить, ис-
^пользуя следующие порождающие символы:
^\,ху ^\.уу ^x,Xi ^x,yi ^y,xi ^у,уу ^xy,Xi ^ху,уу ^ij^,xy ^y^.yt ^xy^,Xf ^xy^,y* D4)
Первый, второй, четвертый, шестой и восьмой s-символы обладают
свойством B6) и поэтому являются определяющими словами;
остальные определяющие слова суть (здесь мы опускаем всякий s-символ,
являющийся определяющим словом):
тA
х{х •
1(У ¦
т (ху ¦ х^
г(у'-
т (ху^ • х^
х{\.
¦X'- l-') = T{x^) = s,,,i
Х^' Х~^)^Х{Х%
¦ X ¦ у ) = Sy,x ¦ ^xij.x'i
'У ^ ) =^ ^ху.х • 5у,д:;
2 —\
X 'У } — Syt^x ¦ Sxyt^x]
2 1
•у X ) = Sxyt,x • Syi,K]
?/3. l-^)^.^(yi)^sy.y\
D5)
D6)
D7)
D8)
D9)
E0)
E1)

104
Гл 2. Фактор-группы и под| руппы
'^{ху -уЗ . г/-'дс-')«-1(х . у^
-ciy^- у' ¦ у'~^)~-^(у'-');
хЛ
~2 ~\
т (ху^ ' У^ • У ~х
)^т(х. у""
E2)
E3)
E4)
E5)
E6)
Заметим, что определяющие слова D5), E1) и E2) являются
s-символами. Кроме того, определяющие слова D7), D8), D9) и E0)
утверждают, что
и S,j(ijt,x — S/^a X
Поэтому, используя преобразования Тице, можно исключить
(вычеркнуть) из представления Н все образующие, кроме Sy^x и ?.у%,х^
и все определяющие слова. Таким образом, Н является свободной
группой с двумя образующими
уху
-'х~\
о —2 —1
У^ху X •
Этот факт можно использовать для получения матричного
представления свободной группы с двумя образующими. Действительно^,
отображение на L
О 1
¦1 О
X,
О
- 1
'У
определяет гомоморфизм некоторой подгруппы мультипликативной
группы унимодулярных 2 X 2-матриц с целыми коэффищ1етами.
Относительно эгого гомоморфизма
1 1
1 2
уху ^х ^
12 1
1 1
•у^ху \ \
Поскольку уху ^х ^ и уЧу '^х ^
свободно порождают свободную
группу, то это же справедливо для матриц, отображаемых в них.
Таким образом, две матрицы
1 1
1 2
2 II
1 1
свободно порождают свободную группу. Следовательно, кажд}к>
свободную группу конечного или счетного ранга можно изоморфно
представить унимодулярными 2 X 2-матрицами с целыми
коэффициентами (см. задачу 12 к разделу 1.4). О других матричных
представлениях свободных групп см. задачу 13.

2 3. Представления подгрупп 105
Задачи
В следующих задачах через т обо^гочается переписывающий процесс Рей-
аемейстера для подгруппы Я группы G с представлением (I)
1. Показать, что х (U) имеет так>ю же длину в s-символах, что и слово U в
образующих группы G. Показать, что если (/ ? Я, то т (U"^) и т iU)~^, как слова
8 s-символах, графически равны. [Указание. Пусть U «=¦ Va^T~^ есть
элемент из Я, где а — образующий группы G и ъ *=* ±1. Если U имеет длину г и а*
ссгь ^-й символ в Uf то U"^ имеет длину г и а""® является (г — ^ + 1)-м символом
в и^К Отсюда, если 8 =» I, то s- является к-м символом в т Ш) и s^ =»
^'•^ Та~Ка
—• sZ^ является (/• — /г + 1) - м символом в т iU~^); если в «» —I, то s
является ^-м символом в т (U), а s~ <=« s~ __i является (г — /г + I) - м
символом в X {U~^).
2. Пусть слова Ui (а^) и L^g (^v) определяют элементы из Я. Показать, чго сло-
оа L^i и L^2 (в символах а^) графически совпадают тогда и только тогда, когда
графически равны слова х (Ц^) и х (f/g)» составленные из s-символов. Показать, что
t'l (циклически) несокрагимо в свободной группе с образующими а^ тогда и
только тогда, когда х (Ui) (циклически) несократимо в s-символах. [Указание.
Если т (U) ^ s«;_ „^_ ... s^'^,„^^. то t/ =, <_ ... fl«M
3. П>сть UV, US и TV определяют элементы из Я. Показать, что s-символы,
замещающие символы из U при вычислении х (UV), совпадают с s-символами,
замещающими U при вычислении т (US). Показать, что s-символы, замещающие
символы V при вычислении х (UV) и т (TV), одинаковы. [Указание, s-сим-
вол, замещающий порождающий символ а® при вычислении х от некоторого слова,
завися г лишь от а® и от представителя начала, предшествующего а^ (для s ^ —I
воспользоваться тем, что если Р =» Q, то Ра~ « Qa^^)- Кроме того, если UV \\
TV определяют элементы из Я, то I/ =. V'"^ =»"Г и ИР^ИР ^ТР^ТР.]
4. Хотя процесс х был определен лишь для слова U (а^), которое определяет
элемент из Я, показать, что если применить его к слову W не из Я, заменяя
символы а в 1^ на s-символы согласно B3), и потом заменить s^ ^ на Ка^ (Ка^)~^ ,то
полученное слово будет свободно равно слову WW~^ в символах а^.
[Указание. Использовать указание к задаче 3 вместе с фактом, что sJ „ заменяется
на а^,^ ... fl\/,J,a^/^(flv, - Ч) -J
б. Предположим, что переписывающий процесс Рейдемейстера
использует функцию правых смежных классов, являющуюся минимальной, т. е. каждый
представитель имеет наименьшую длину в своем классе. Показать, что если U (а^)
определяет элемент из Я и s^^ встречается при вычислении х ([/), то длина
Ка^(Ка^)~'^ как слова из а^-символов не больше длины U (а^,). [Указание,
Если и =- Va^T-^ и ?« /(, то Т'=. Va^ =-Ко^. Следовательно, L (К) <, L (V)
ы L {Т~^) ^ L (Т) ^ L (Жа^). Случай е « —1 аналогичен.)
В следующих упражнениях через х обозначается переписывающий процесс
Рейдемейстера—Шрейера для подгруппы Я группы G, заданной
представлением A).

106 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
е. Показать, что если К — шрейеровский представитель, то К —
несократимое слово из символов а^. Показать также, что Ка^ (Ка^)~~^ является несокра-
тимым или свободно равно пустому слову.
то М и
а если
Ма1а~^ определяют один
Ка^ жя Ма^, то К^ Ка^
[Указание. Если
и тот же класс.
Ели К =» Ма^
^ Ма^ • а^^ ™ М.]
К
1
>
-
то
Ма^а^
Ка^ -=
1 9-
М^
7. Показать, что если К является шрейеровским представителем и КГ
определяет элемент из Я, то все s-символы, заменяющие символы из К при вычислениЕ'
т (КГ), имеют вид s^^^^, где Ма^^^д?^^. Заключить отсюда, что если КУР~^
определяет элемент из Н, тле К п Р — шрейеровские представители, то 5-снмволы5,
заменяющие символы в /С и Р~^ при вычислении т (КУР'~^)^ имеют вид s^^ ,
где Ма^^^Жа^. [Указание. Если К = Qa^S, то 'Qa^^ Qa^^ Qa^; есль-
К » Qa~^S, то Qa~^ • а^ = Qa~^a^ =« Q ^ Q«7^S "^ Q^V^^v ^Р"
доказательстве того, что s-спмволы, заменяющие символы из Р~^ имеют треб>емый вид^
использовать т {U~^) п= т(^/)~^]
8. Пусть F — свободная группа с образующими а и Ь. Найти шрейеровскую'
систему представителей для разложения F по подгруппе Я, где Н ^ F (Х^).
Используя эту шрейеровскую систему, построить множество свободных образующих
для Н с помощью теоремы 2.9. [Указание. Например, \, а, Ь, аЬ — шрейе-
ровская система представителей для разложения F по Н Образующими в Н
являются элементы, соответствующие символам Sj^, s^^, 5^ ^, s^^,^, Sj^^, s^j^, 5^^
и s^fj ly. Первый, пятый и шестой порождающие символы имеют вид Sj^ ^ , где-
Ma^f^lVla^, Поэтому Я свободно порождается элементами а • а • (аа)^ ^ а^^
b ' а- (Fa)-^ ^ ЬаЬ~^аГ\ аЬ • а • (аЬ • а)"^ = abab-\ b - b • (bb)~^ ^ b'^ ш
at ' b ' (ab ' b)"^ =. ab^a-K]
9. Пусть F — свободная группа с образующими а, bw с Найти шрейеровскую
систему представителей для разложения F по Я, ще Н =: F (Х^). Используя эту
шрейеровскую систему, построить множество свободных образующих для Я тем
же способом, что в теореме 2.9. [Указание. Например, \, а, 6, с, аЬ, be, ас,
аЬс — шрейеровская система для разложения F по Н.]
10. Пусть F — свободная группа с образующими а, b и N — нормальный
делитель группы F^ порожденный элементами а'' и Ь, где г > 0. Показать, что N'
свободно порождается элементами а'^ и а Ьа~^, где О ^ k <^ г. [Указание,
Использовать шрейеровскую систему 1, а, ..., al'~^ для разложения F по Н и
теорему 2 9. ]
11. Пусть F — свободная группа с образующими а, Ь, с и N — нормальный'
делитель f, порожденный элементами Ьп с. Показать, что N свободно порождается^
элементами а Ьа и аР^са"^, где k и т пробегают все целые числа.
[Указание Использовать шрейеровскую систему {а }, где k — произвольное целое,
для разложения F по Н и теорему 2.9.]
12. Пусть L =л (л:, у, х^, у^) и Я = L (Х^). Найти шрейеровскую систему для
разложения L по Я. Используя эту систему и теорему 2.9, найти представление для
Я. [Указание. При нахождении т {Кх'^К~^), в соответствии с задачей 7,
нужно вычислять лишь s-символы, появляющиеся при замене символов из х^.
Аналогично для т (Ку^К~~^) ]
13. Пусть L «а (л;, у\ х^, у^) — группа унимодулярных дробно-линейных
преобразований с целыми коэффициентами (см. задачу 18 к разделу 1.4).
а) Показать, что отображение а группы L в мупьтнпликативную группу 7^
невырожденных 2 X 2-матриц над кольцом вычетов по модулю два, переводящее-

2.3 Представления подгрупп
107
элемент из L, т. е. отображение
aZ'\'b
S элемент
cz-\-d
из Г, где а\ Ь\ с\ d' — остатки от деления на два чисел
€1, Ь, с, d соответственно, является гомоморфизмом L на Т.
(b) Показать, что Т — группа порядка шесть.
(c) Показать, что отображение а переводит элемент {ху)'^ из L в единицу
группы Г.
(d) Показать, что N — нормальная подгруппа группы L, порожденная эле-
^ментом (ху)'^,— имеет в L индекс шесть.
(e) Показать, что Л^ является ядром отображения а.
(f) Найти представление для Л^, используя шрейеровскую систему \, х, у, ху,
ф, ху'^ для разложения L по N и теорему 2.9.
(g) Показать, что N можно представить как свободную группу с образующи-
^ти Sy^^ и S , ^, откуда следует, что] Л^ свободно порождается элементами (ух)^ и
('Г^х)\
(h). Показать, что две матрицы
II 1 О
2 1
•порождают свободную группу.
(i) Показать, что множество матриц, у которых на главной диагонали стоят
'Нечетные числа, а на остальных местах — четные, образует свободную группу g
двумя образующими, если отождествить матрицу с противоположной к ней.
[Указание. Для доказательства (h) см. последний иллюстративный
пример в конце этого раздела. Для (i) показать, что матрицы, описанные в (i),
определяют все дробно-линейные преобразования из N.]
14. Пусть Р — группа
(Pv Р2\ р1 р1 (PiP2)^)>
фигурирующая в иллюстративном примере в конце этого раздела. Пусть N —
нормальная подгруппа группы Р, порожденная элементом Pip'^^-
(a) Показать, что PIN является циклической группой восьмого порядка.
(b) Показать, что р\, v = О, 1, ..., 7, есть шрейеровская система
представителей для разложения Р noN nW (р^, pg) = /t?p где X ш о^^ (W) + Зо^ (W) (mod 8)
«(здесь сг; есть сумма показателей по pi в W).
(c) Показать, что s ^ является определяющим словом для представления
V в теореме 2.9 при v = О, 1 6.
(d) Показать, что т {p1'p\^pj^) ^ т (/7j) «« т (/?[-/7i) и поэтому
определяющее слово т {Р\Ц?\рТ^) можно заменить определяющим словом s ^ •
p\^Pi
(e) Заключить из (с) и (d), что при вычислении т (У) достаточно
рассматривать лишь s-символы, заменяющие р^ или р^ . *
(f) Используя s^ для обозначения s ^ , показать, что определяющее слово
Рх^Рг
^ {p1'PiP2PiP2'P~[^) можно заменить определяющим соотношением
где V Н- 1 и V + 5 вычислены по модулю восемь.

108 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
(Й Показать, что определяющее слово т (ру можно заменить определяющим
словом
а определяющее слово х (р^ • р^ • pf^j можно заменить циклической переста}юв-
кой слова 5,
(h) Заключить из (!) и (g), что представление для /V, данное в теореме 2.9>
можно >простить до
(i) Показать, что, введя новые образующие
а^ =3 f/~\ b^ = дс, «2 =* ^21/ и 6.2 = //~ шдг~
с помощью ПреобразоваинГ! Тнце и исключив затем х, у, г, w, мож1ю получить для
Л/ следующее представление:
(flp b^, «2» ^2» <7i6i<^r'b]~^«.,62^7'^2"^)-
(Заметим, что это — фундаментальная группа сферы с двумя ручками.)
15. Пусть G имеет представление
<о, Ь, с, . . . ; R^{a, Ь, с, . . . ). . . • >,
где в каждом /?„ сумма показателей по а равна нулю. Пусть N — нормальная
подгруппа в G, порожденная элементами Ь, с, ... Показать, что W (а, Ь, с, .,.)
определяет элемент из Л' гогда и только тогда, когда W имеет нулевую сумму
показателей по а. Показать, что слова а^ (где v — любое целое) образуют шреиеровскую
систему представителей для разложения G по iV и что bv ^а'^'ЬаГ'^, Cv =« а'^'са"^, ...
(v — произвольное целое) порождают N,
16. Пусть G из (а, Ь\ а^у Ь^). Найти две минимальные шрейеровские системы
для вербальной подгруппы Н ^ G (XiX2X'^^X^^). Найти минимальную систему
представителей, не являющуюся шрейеровской. Показать, что 1, а, аЬ, aba—
шрейеровская система, не являющаяся минимальной.
17. Пусть F— свободная группа с образующими а, Ь. Пусть, далее, /V —
нормальный делитель в F, порожденный элементами а^, 6*^, {аЬ)'^, и // — нормальная
подгруппа в /^, порожденная элементами а^, Ь^ п aba~^b~K Показать, что N -^ И у
хотя существует множество слов, являющееся шрейеровской системой
представителей одновременно для Л^ и для Я.
18. Пусть G порождается элементами Oj, ..., Од и // — подгруппа в 0.
Показать, что представляющая функция правых смежных классов по И определяется
множеством слов, используемых в качестве представителей разложения G по //,
и отображением, которое каждой паре /(, а^ ставит в соответствие представитель
Ка^, где К — представитель, а^ — образующий группы G w ъ ^ ±1. [Указ а-
н и е. Используя индукцию по длине W^ показать, что U^ определено.]
19. Показать, что если Н имеет индекс / в G, то любой шрейеровскиЛ
представитель разложения G по Н имеет длину не более чем / — 1. Поэтому, если G
конечно порождена, то имеется лишь конечное число представляющих шрейе-
ровских функций правых смежных классов, соответствующих 1]екоторой
подгруппе Н индекса j б G. Отсюда заключить, что конечно порожденная группа
имеет лишь конечное множество подгрупп данного конечного индекса.
20. Пусть F — свободная группа с образующими а^ ..., а^ и J с=. /^, ..., /^ —
непустое подмножество из 1, 2, ..., п. Пусть Fj — подгруппа группы F, состоящая
из всех таких W (а^), у которых сумма показателей по всем образующим с^, где
V ? У, есть четное число. Показать, что Fj имеет в F индекс два. Показать, что

2 3 Представления подгрупп 109
каждая подгруиш индекса два в F есть некоторая Fj 01сюда вывести, что
существует 2'^ — I подгрупп индекса два в f. [У к а з а п и е. Пусть И имеет в F
индекс два. Тогда Н — нормальный делитель, и существует некоторый образующий,
скажем, Oj, не лежащий в И. Поэтому 1, а^^ есть шрейеровская система
представителей для разложения F по Н. Пусть Qj , ..., а- — подмножество образующих,
представителем которых является а^. Так как И — нормальная подгруппа индекса
два, то
^ = ^vl ' - A\^'^vr • • • ' ^v^^ "= ^f'
где q есть сумма показателей в W по а, ^ ..., Qj . 01сюда, W ? И тогда и только
тогда, когда q четно, т. е. Я =» Fj^ где J состоит из j\, ..., /;..]
21. Пусть Н — подгруппа конечного индекса в Q. Показать, что Я конечно
порождена тогда и только тогда, когда О конечно порождена. [Указание.
Использовать следствие 2.7.1 и тот факт, что образующие группы Я и
представители разложения G по Я вместе порождают 0.]
22. Пусть F — свободная группа с образующими а^, Og» •••» ^п- Показать,
что если подгруппа Н из F содержит а^, ..., а,-, TOfli, ..., а,< порождают свободный
множитель в Я, т. е. а^, ..., Qr образуют часть множества свободных образующих
подгруппы Я. [Указание. Использовать теорему 2.9 и заметить, что "J? «»
«« 1, так что Sj д определяет а^.]
23. Пусть G— группа, порождаемая а^ ..., йп, и Н — подгруппа группы О,
Предположим, что множество слов 5, выраженных через а^, замкнуто
относительно взятия начал этих слов и разные слова из 5 определяют разные смежные
классы разложения О по Я. Тогда S можно расширить до шрейеровской системы
для разложения G я И. Кроме того, если каждое слово из S имеет минимальную
длину в своем классе, то S можно расширить до минимальной шрейеровской
системы. [Указание. Модифицировать доказательство леммы 2.2 так, чтобы
смежные классы, содержащие слова из 5, имели эти слова своими
представителями. Затем индуктивно определить представители других смежных классов.)
24. Пусть Ожж (а^, ..., ап\ R {В (а^), С (а^,))) , где В (а^) и С (а^) — два
олова в образующих «v Показать, что подгруппу Я из G, порожденную элементами
В (а^) и С (а^,), нельзя, вообще говоря, задавать посредством напрашивающегося
представления
<6,с; R{b,c))
относительно отображения Ь -^ В (^v) vi с -^ С {их) [Указание. Пусть Q «¦
тш (а^, а2\ («1^2)^) я FI — подгруппа, порожденная элементами ^(^2 и aza^.
Поскольку в группе Q имеем а^а^^я а^^ (^1^2) а^, то элемент agfli имеет порядок три,
тогда как в представлении <6, с\ Ь^) элемент с имеет бесконечный порядок.)
25. Пусть Ge«{fl!i, ..., Qn'y Ruicty,)) является расщепляемым расширением
нормальной подгруппы N при помощи подгруппы Я, т. е. О « HN а Н f\ N ^ \,
Выберем множество представителей К (а^) для смежных классов разложения О
по iV, где К {а^) определяет элемент из Я. Показать, что если U и V —
произвольные слова в образующих д^, то UV « U -V • Г, где Г есть произведение
сопряженных /?*, а 8 ¦» i 1. Показать, что Л^ порождается элементами из G,
определяемыми словами а^ C^)~^ и их сопряженными. Вывести из теоремы 2.1, что Я «=•
« G/N « (fli, ..., а„; /?^ (а^,), ,.., а^ (Sv)~^ ... ). [У к а з а н и е. Так как
.V—нормальная подгруппа, то UV и ЪУ лежат в одном и том же смежном классе по .V.
Волее того, поскольку представители определяют элементы^из Я и каждый
смежный класс содержит единственный элемент из Я, то UV и UV определяют один и

110 Гл. 2. Факгор-группы и подгруппы
тот же элемент из // и поэтому Uv х=^ О » V * Т. Далее, так как N порождается
элементами Ка^, (Ка^)'^^, и ТКа^ => 7(а^Т «=» Ка^Т, то выражения Ка^ {Ка^)~^ и
Ка^ {а^)""^/С~^ определяют один и тот же элемент из G.]
26. Пусть G= (fli, ..., Qn, /?^ (а^), ...) и Я — подгруппа из G. Предположим,
что Н конечна и что можно решить в конечное число шагов, определяет ли слово
и (а^) элемент из Я. Показать, что суш,ествует такая шрейеровская система
представителей для разложения G по Н, что представитель любого слова V (а^) можно
получить в конечное число шагов. Показать, что если Н имеет конечный индекс в
G и G имеет конечное множество определяющих слов, то представление для И
можно построить в конечное число шагов. [Указание. Упорядочить слова из
а^, как указано в C) из раздела 1.3. Затем выбрать представителем смежного
класса из разложения G по Н наименьшее слово класса. Так как из W^ < W2 следует
W^W <С, 1^2^» то начало представителя является представителем. Для
вычисления представителя слова V (а^) проверить конечное число слов V^, меньших, чем
V, и взять наименьшее такое, что ViVf^ определяет элемент из Н. Если И имеет
конечный индекс, перечисляем слова, пока не придем к такому, что все слова
некоторой длины имеют представителя меньшей длины. Тогда получены все
представители разложения G по подгруппе Н. Кроме того, переписывающий процесс
т эффективно вычислим, и поэтому представление из теоремы 2.9 можно получить
в конечное число шагов, если представление G содержит конечное множество
определяющих слов.]
2.4, Подгруппы свободных групп
В этом разделе мы применим переписывающий процесс Рейдемеи-
стера — Шрейера к подгруппам свободных групп.
Мы уже показали, что подгруппа свободной группы свободна;
теперь мы найдем формулу для ранга подгрупп свободных групп.
Теорема 2.10. Пусть F — свободная группа с образующими
а^, ..., а„, и пусть j — индекс подгруппы Н в F, Если п и j конечны,
то Н является свободной группой с j (п — 1) + 1 образующими.
Если п бесконечно, а j конечно, то Н — свободная группа с
бесконечным числом образующих. Наконец, если j бесконечно, то Н может
быть конечно или бесконечно порожденной] тем не менее, если Н
содержит подгруппу N, нормальную в F, и N Ф 1, то Н является
свободной группой с бесконечным числом образующих.
Доказательство. Представление из теоремы 2.9 для
подгруппы Н свободной группы F содержит в качестве образующих
s-символы 8к,ауу 3 В качсствс определяющих слов такие s-символы:
SAbav, A)
что
Ма^^Шах. B)
Ранг подгруппы Н равен числу образующих минус число
определяющих слов.
Покажем, что существует столько s-символов, являющихся
определяющими словами, сколько есть отличных от пустого слова

2.4. Подгруппы свободных групп 111
представителей в шрейеровской системе для разложения F по Н.
Для этого каждому шрейеровскому представителю К ф 1 поставим
в соответствие s-символ следующим образом.
Если /С == Ма\, сопоставим ему sm а^, если же /С «=» Ма:^^ —
сопоставим ему s^^-i • Очевидно, эти s-символы, сопоставленные
представителям, встречаются в качестве определяющих слов в
представлении для Я. Наоборот, предположим, что
^л.^ C)
является определяющим словом в представлении Н. Тогда
Если Р не кончается символом а5Г\ то Pa^i и Ра^^к несократимы, и
поэтому К = Pa^i =^ Ра^х является тем шрейеровским
представителем, которому сопоставлен C). Если же Р кончается символом
аТх\ то /С = Р, и Я есть шрейеровский представитель, которому
сопоставлен C). Поэтому, если Н имеет индекс / в f, то существует
{/ — 1) s-символов A), удовлетворяющих B).
Эти s-символы можно удалить из представления Я, используя
преобразования Тице; и так как вначале было jn образующих, то Н
имеет jn — (/ — 1) = / (/г — 1) + 1 свободных образующих.
Если / конечно, а п бесконечно, то в представлении Н остается
бесконечное множество образующих и поэтому подгруппа Я имеет
бесконечное множество свободных образующих.
Наконец, предположим, что /бесконечно, а Я содержит
нормальный делитель Л^ группы F, причем N Ф\, Покажем, что существует
бесконечно много s-символов
^Q.fla D)
таких, что Qa^ свободно не равно Qa^. Для построения таких
представителей Q предположим, что U — несократимое слово Ф\, все
сопряженные с U принадлежат Я, и пусть К — произвольный
представитель. Рассмотрим начала вида KV слова KU. Так как KUK^^
принадлежит Я, то
Отсюда Ки свободно не равно своему представителю; действительно,
в противном случае KU ^=^ KU «= /(, и тогда (/ «* L Так как К —
представитель, то должно найтись начало V слова U, V ^^ Wa^,
8 =« ±1, наименьшей длины, такое, что KV не равно свободно
своему представителю. По построению, /CW? свободно равно своему
представителю, т. е. KW. Отсюда, если е «= 1, то KWa^ свободно
равно KWay; «и KV, где /(]/ свободно не равно своему представителю.
Поэтому, полагая в этом случае Q = KW^ uq = ^v, получим соответ-

112 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
ствующий s-символ D) искомого типа. С другой стороны, если е =»
==* — 1, то, положив Q « KWa'^ и аа «=« av, снова получим s-символ
D) требуемого вида. Действительно, если слово KWa'^^ • av свободно
равно некоторому представителю, то оно должно свободно равняться
слову KWa'^^ • av «= /(U^, которое свободно равно /С U^.
Следовательно, KWal^^ • av « Ktt^, а тогда KWa'^^ ^ KV свободно равно
своему представителю, что противоречит условию выбора KV»
Поэтому для каждого представителя К найдется такое начало Р
слова и, что если Q == КРу то существует такой a<j, что s-символ
б}дег удовлетворять условию: Qaa свободно не раЁно слову Qao.
Чтобы показать, что существует бесконечно много таких
s-символов, предположим, что KPi =« МР^, где Pi и Р^ — начала слова U,
а К и М — представители. Тогда
уИ = Л^ = МР.РТ^ = МР.,Р7' = KPiPV^ = KPiPT\
Так как Р^ и Р^ — начала слова (У, то существует лишь конечное
множество таких М, что для данного представителя К s-символы D),
построенные из /С, М и начал слова (У, совпадают. Поскольку
имеется бесконечное множество представителей, существует
бесконечное множество s-символов из D), не являющихся определяющими
словами в представлении Н, ^
Следствие 2.10. Подгруппа Н конечно порожденной свобод*
ной группы F имеет конечный индекс в F тогда и только тогда, когда
Н конечно порождена и содержит вербальную подгруппу F{X^) для
некоторого положительного целого числа с1.
Доказательство. Если подгруппа Н конечно порождена
и содержит F (Х^), то из теоремы 2.10 следует, что Н имеет
конечный индекс в F,
С другой стороны, если Н имеет конечный индекс в F и F
конечно порождена, то Н конечно порождена. Более того, если / —
индекс Н в FyTO для любого слова W
не могут определять различные смежные классы по Н. Поэтому для
каждого W при некотором т{\ <т</) W"^ принадлежит Я. Сле-
дова1ельно, W^' принадлежит Я, и поэтому F (Х^^) лежит в Я. <^
Если F — свободная группа с образующими а и ft, то можно
показать, что а^'Ь^ и а'^-г^ь^ являются свободными образующими
подгруппы Я из Fy порожденной элементами аи Ь^ (см. следствие 2.13.1).
Заметим, что а'^Ь^ и а'^-^Ь^ могут иметь сколь угодно большую
длину, и тем не менее Я обладает элементом длины один. Однако суще-

2 4. Подгруппы с8ободнь!х групп из
ствуют свободные образующие ti «ми[1Имальной» длины, именно а и
Ь^, Существование свободных образ\ющих минимальной длины для
подгруппы Н свободной грхппы F гарантируется следующей
теоремой.
Теорема 2,11 (Леви). Пусть F — свободная группа с
образующими а^,а2у ^..у а^ и Н — подгруппа группы F, Тогда существует
такое множество свободных образующих Ь^^ == S^(av) для Н, что
если и (av) принадлежит Н и содержит Ь\ (будучи записано как
несократимое слово из символов Ь^у), то длина слова Bx{av) не
превосходит длину слова U (ау) {длина относительно образующих av).
Доказательство. Покажем, что система свободных
образующих для Я, полученная из ми}П1мальной шрейеровской
системы, обладает требуемым свойством. В самом деле, пусть при
применении переписывающего процесса Рейдемейстера — Шрейера к
и (а^) встретился s-символ S/<,ax» не являющийся определяющим
словом. Тогда
и ^ VaxW~\
где V =^ К. Далее, W = Vai «« Ка^. Следовательно,
L {Ка^ {К~а^Г) =^L{K) + l+L {Kay) < L (V) + I +L {W) = L ((/),
поскольку в минимальной шрейеровской системе предствитель имеет
длину, не превосходящую длину любого представляемогоItM слова.
Аналогично, если при вычислении х {U) встре1ился s-символ
S^,a^, то
и ^ Val'W~\
где Vax' = /С. Теперь W ^ Vai ^ =« /С, и поэтому
L {Ка, {lUx)') - L (/С) + 1 + L (К^к) <
<L{W)+ 1 +1(Уак' .a;J<L(W^)-M + L (К) ==_L {(У).
Так как символы 5/<.а^, для которых Kai не равно свободно /(ая,
образуют систему свободных образующих для Я, то U ^ Н
выражается через них. Поэтому если некоторое зк.ау, не встречается при
вычислении т ([/), то U не должно содержать Д'ая. {Kai)~\
Следовательно, L {U) не меньше L {Kai{Kax)~) для каждого
Kai{KciK)~~\ содержащегося в U, -^
Следствие 2.11. Если F — свободная группа с образующими
а^,..., а^и подгруппа Н из F порождается множеством слов с^ длины
< /-, то Н имеет множество свободных образующих длины <; г.
Доказательство. Выберем множество свободных
образующих Вц (йу) для Н так, как это описано в теореме 2.11. Тогда та
Вц(ал), которые содержатся водном из заданных образующихся,
должны имегь длину < г. Так как В^ {а^} образуют^систему свободных

114 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
образующих подгруппы Я, то каждое Ci выражается через Вц (av)
и каждое Вд (им) входит в одно из таких выражений.
Множеством примитивных элементов свободной группы F
называется множество элементов, которое можно дополнить до
множества свободных образующих F. Пусть, например, F — свободная
группа с образующими а, b и с. Тогда ас и be — множество
примитивных элементов группы f, поскольку ас, be и с свободно
порождают F (см. следствие 2.1 из теоремы 2.13).
С другой стороны, а^ и Ь^ не образуют множества примитивных
элементов F. [Например, если бы а^, Ь'^ и W {а, ft, с) свободно
порождали F, то группа F/F (Х^) имела бы порядок не более двух, хотя в
действительности ее порядок — восемь.] Аналогично, аЬс является
примитивным элементом f, хотя abca~^b~-'^c~^ им не является.
В качестве дальнейшего применения переписывающего процесса
Рейдемейстера — Шрейера укажем следующие результаты.
Теорема 2.12 (Такахаси). Пусть F — свободная группа и
F = FiZdF^zz) F^:=:> ... zdF^-z:) ,,, E)
— такая убывающая цепочка подгрупп, что Ft^i не содержит
примитивного элемента из f ^. Тогда
©о
Доказательство. Используем индукцию по ^ для
доказательства следующего утверждения. В свободной группе любое
слово W длины k (в некоторой системе свободных образующих этой
свободной группы), лежащее в убывающей цепочке типа E),
определяет единичный элемент.
Утверждение очевидно, если й = 0. Предположим, что оно
верно для всех слов длины меньше, чем k, и пусть W имеет длину k в
некотором множестве свободных образующих «v группы F и
принадлежит пересечению цепочки E). Заменяя, если это необходимо,
образующий группы F его обратным, мы можем предположить, что
W=.a,fll\... all,
где 8, == ±1. Так как «v, не лежит в F^ (ввиду того, что /^2 не
содержит примитивных элементов из f i), можно взять av, в качестве
представителя при построении шрейеровскои системы для разложения F
по /^2 (см. доказательство леммы 2.2 перед теоремой 2.9
предшествующего раздела или задачу 23 к разделу 2.3).
Если теперь применить т к И^, то хотя формально длина слова
т {W) есть ky первый s-символ Si.^^ является определяющим словом
в представлении группы Fg» данным в теореме 2.9. Поэтому длина
слова W, если его записать в свободных образующих группы F^y

2 4 Подгруппы свободных групп 115
будет меньше, чем k. Поскольку W принадлежит пересечению
оо
П Fi,
еловое определяет единичный элемент согласно индуктивному
предположению.
Следствие 2.12 (Леви). Пусть F — свободная группа и
F = F^ZD F^ZD ... ID F^ZD . . .
— убывающая последовательность различных подгрупп, причем Fi^i
характеристична в Fi. Тогда
Доказательство. Так как F — свободная группа, то
каждая подгруппа F^ является свободной группой, и поэтому
существует автоморфизм группы f ^, переводящий любой примитивный
элементиз f^B любой другой еепримитивный элемент. Так как F^^i
характеристична в f^, то если бы f^+i содержала примитивный
элемент из f ^, мы бы имели Fi «=» Fc^i, Остается применить
теорему 2.12. 4
Последнее следствие ведет к интересному свойству конечно
порожденных свободных групп, так называемому хопфову ^) свойству.
Теорема 2.13. Свободная группа конечного ранга не может
быть изоморфной никакой своей истинной фактор-группе.
Доказательство. Пусть F — свободная группа.
Рассмотрим последовательность вербальных подгр)/пп
I/, = f, К, =. V, {Х% V, = I/, (Х^) V,+i = V, {Х% ... F)
Поскольку вербальная подгруппа является характеристической и
Х^-подгруппа свободной группы отлична от этой свободной группы^
предположения последнего следствия выполнены. Поэтому
П^, = 1. G)
П>сть N Ф \ — такая нормальная подгруппа в F, что
FIN с- F.
При изоморфизме F на F/N последовательность F) должна
соответствовать последовательности
Vo - F/N, V\ » V'o (X% ,,. . V[_^, ^ V\ {X% ... (8)
Кроме того, ввиду построения V^ как вербальных подгрупп,
V', = \\N,N, V, == V.N'N, ,.. , к; - V^NIN, ... (9)
^
1) См ниже, стр 117.— Прим, перев.

116 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
{см. задачу 11 к разделу 2.2). Поэтому если V'; есть последняя V^,
содержащая N (ввиду G) не все V^ могут содержать Л'), то из
изоморфного соответствия между цепочками F) и (8), ввиду (9), имеем
VI
^'т
/ч/
^1
^'i+^
V,M/N
V;+i-V/.V
r\j
VjN
^'/+.'V
. /v^ .
ViiV^
^m^
'•+1
'V.
Так как Vjj^\N^Vj^\, to VjIVj-l\ изоморфна своей истинной
фактор-группе. Индукцией по п легко показать, что \\ конечно
порождена и Kn-f-i имеег конечный индекс в V,^, Отсюда Vj/Vfj-i
конечна и поэтому не может быть изоморфна собственной своей
факторгруппе. Это противоречие показывает, что F не изоморфна F/N, ^
С л е д с т в и е 2.13.1. Любые п образующих свободной группы
конечного ранга п являются ее свободными образующими.
Доказательство. Действительно, если а^, ag,..., а^ —
свободные образующие группы f, а Ь^, ..., i?;, порождают F^ то
отображение
av->ftv A0)
является гомоморфизмом группы F на себя. Так как образ F
изоморфен F!N, где Л^ — ядро A0), то /V == I и A0) является изоморфна*
мом. Поэтому fej, ..., fc^ свободно порождают F, ^
Следствие 2.13.2. Пусть
F^czF^cz ... czF^ cz .., A1)
— возрастающая цепочка свободных групп, и ранг каждой из них не
превосходит некоторого фиксированного числа г. Если
G «= и Л, A2)
/==1
то G не изоморфна никакой сваей истинной фактор-группе GIN,
Доказательство проведем индукцией по г. Если г ^ 0^
результат тривиально верен.
Предположим, что результат верен для всех
последовательностей A1) свободных гр\пп Fi ранга меньше, чем г. Покажем, что он
верен, если ранг свободных групп F^ не превосходит г.
Действительно, предположим, что G изоморфна GIN, Л' ^ 1»
Любая конечно порожденная подгруппа из G является своСодной
гр\ппой, поскольку из A2) следует, что любая конечно
порожденная подгр\ппа G содержится в некоторой свободной группе Fi
Тогда в силу G с^ GIN этим же свойством обладает G/N, Далее,
G/N ^ и (FiN/N). A3)
Ввиду того, что FiN/N изоморфна FilF^ (] N (по известной теореме об
изоморфизме), она конечно порождена и, следовательно, свободна.
Более того, FilFi f\ N имеет ранг, не превосходящий г. Но в силу

2.4. Подгруппы свободных групп 117
A1) И A2) Fi [] N Ф I для достаточно больших /. Таким образом,
по предыдущей теореме группа F^ IFi {] N we изоморфна f;; поэтому
FiNIN имеет ранг, меньший г, для достаточно больших значений /.
Из A3) теперь следут, что GIN, а поэтому и G является
объединением возрастающей последовательности свободных групп ранга
меньше, чем л. Но тогда индуктивное предполо>ке1Чне дает требуемый
результат. -^
Это последнее следствие приводит к примеру неабелевой группы,,
которая не свободна, хотя каждая ее конечно порожденная подгруп-
па свободна. Действительно, если все Fi различны, то О —
бесконечно порожденная группа. Но бесконечно порожденная свободная
группа не«хопфова», например, если ^i, t/g,..., ^.,,...свободно
порождают группу F W N — нормальная подгруппа в f, порожденная а^,
то FIN с^ F.
Мы закончим раздел некоторыми ссылками и замечаниями о
результатах, доказанных в этом и предыдущем разделах. Метод Шре-
йера был упрощен Гуревичем [1]; см. также К у н [11. Системы
Шрейера изучались и применялись М. X о л л о м и Р а д о [11,
Ивасавой, М. Холлом [2]. Последняя статья содержит
улучшение метода Нильсена [21, что позволяет наряду с другими
результатами получить следующий:
Пусть (Ух,.,., (/^а l/j,..., y^j — два конечных множества элементов
свободной группы F, причем подгруппа Н, порожденная элементами
Ux, не содержит ни одного ^i. Тогда существует подгруппа Н'
конечного индекса в F, содержащей я все UvUHu одного Уц.
В 1921 г. Н и л ь с е н [2] доказал теорему 2.13 совершенно
другим способом (см, раздел 3.2).
В 1932 г. Хопф поставил вопрос о том, может ли конечно
порожденная группа быть изоморфной своей истинной фактор-группе.
Утвердительный ответ на это дали: Б. Н е й м а н [81, построиБШ1]й
такую группу с двумя образующими и бесконечным множеством
определяющих соотношений, X и г м э н [41, построивший группу с
тремя образующими и двумя определяющими соотношениями и,
наконец, Баумслаг и Солитэр[1], указавшие такую группу
с двумя образующими и одним определяющим соотношением
(см. раздел 4.4). Группа, не изоморфная никакой своей истинной
фактор-группе, называется хопфовой.
Другие доказательства теорем 2.11 и 2.12 указг^иы Л е в и [1] и
Т а к а X а си [1]. Обобщениетеоремы2.12на произвольные
убывающие цепочки свободных групп указано в задаче 36.
Задачи
1. Использ\я теорему 2.10, показагь, что подгруппа бесконечной или копеч*
нсГ^ циклической группы циклична. [Указание. В случае, когда Р —
бесконечная циклическая группа, воспольз>йтесь тем, что любая ее подгруппа имеет
конечный индекс]

118 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
2. Покажите, что если F — свободная группа ранга > 2, то ее коммутант есть
бесконечно порожденная свободная подгруппа. [Указание. Используйте
теорему 2.10.1
3. Пусть F — свободная группа ранга > 2, а F ^ Р^ ZD F,^ZD ..- ZDFf^.,. —
убывающая последовательность различных подгрупп, причем F^,^ имеет
конечный индекс в F^, Показать, что ранг F^ монотонно стремится к бесконечности.
{Указание. Использовать теорему 2.10.]
4. Пусть F — свободная группа с образующими а, b м Nj^ — нормальная
подгруппа, порожденная а^^ " ^- Показать, что если А; > О, то Nf^ имеет конечный ин-
оо
деке в /^ и, следовательно, Л^^^ конечно порождена. Показать, что (\ N^^ N есть
нормальный делитель в F, порожденный элементом b и имеющий бесконечный
индекс в F. Заключить отсюда, что пересечение бесконечного множества конечно
порожденных подгрупп свободной группы не обязано быть конечно порожденным.
(X а у с о н [1 ] показал, что пересечение конечного множества конечно
порожденных подгрупп свободной группы конечно порождено). [Указание.
Используйте теорему 2.10 и то, что если W (а, Ь) принадлежит N^, то (Тд (W) делится на
2^ и поэтому, если W ^N,io а^ {W) => 0.]
5. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа свободной группы F.
Покажите, что нормализатор Н в F (множество таких элементов х из F, что хНх '==*
«= Н) есть конечно порожденная подгруппа группы F и Н имеет конечный индеко
в своем нормализаторе. Показать, что если Н имеет бесконечный индекс в F, то
у Я бесконечно много сопряженных подгрупп и их пересечение дает единицу.
1Указание. Используйте теорему 2.10, а также то, что Н — нормальный
делитель в своем нормализаторе и что число подгрупп, сопряженных с Н, равно
индексу нормализатора Н в F.]
6. Показать, что бернсайдова группа
^^,п"=<^1' ••• » ад ^'^>
конечна тогда и только тогда, когда F (X ) конечно порождена, где F — свободная
группа с образующими а^, ад, ..., fl!;i. [У к а з а н и е. Используйте теорему 2.10.1
7 (Такахаси). Пусть Н — конечно порожденная подгруппа свободной
группы F. Показать, что существует только конечное множество подгрупп из F, в
которых Н может иметь конечный индекс. [Указание. Пусть F свободно
порождается элементами а^, ^2, ..., а^, где п конечно или бесконечно. Если мы выберем
образующие Ь\у ..., Or для Я, то Vq будут содержать ^) лишь конечное множество
?7^, например а^,..., аи- Если слово W (а^) содержит а^^, Я, > ^, то W^ (а^) содержит
fly для положительных р, и поэтому W^ не содержится в Н. Следовательно, степени
слова W определяют бесконечно много смежных классов по Я. Поэтому любая
подгруппа Q из /^, в которой Я имеет конечный индекс, содержит только слова из
fl^,..., а/г. Более того, если Б, (а^),..., В^^ (а^,)—-образующие подгруппы Q, выбранные
в соответствии с теоремой 2.11, то каждое В^ должно содержаться в некотором U^
(ввиду того, что индекс {Q\ Н] конечен). Следовательно, максимальная длина
слова В„ {а^) не должна превышать максимальную длину слов {/ {а^). Теперь для
получения результата достаточно заметить, что из а^, ..., йп можно построить
только конечное множество слов, длины которых имеют заданную границу.]
8 (Такахаси). Подгруппа / свободной группы называется свободным
множителем, если множество ее образующих есть примитивное множество элементов
для свободной группы. Покажите, что если F — конечно порожденная свободная
группа, а Я — конечно порожденная подгруппа в F, то существует лишь конечное
^) Выражение «слово W содержит а^» означает, что W содержит а^ или а~Ч
См. также стр. 13.— Прим. перев.

2.4. Подгруппы свободных групп 119
множество подгрупп Q из F, содержащих Н и таких, что никакой собственный
Свободный множитель Q не содержит Я. [У к а з а н и е. Обратитесь к указанию
•адачи 7.]
9. Пусть F :^ F^Z) F^Z) ... ID /^/г ID ...— убывающая последовательность
таких свободных подгрупп, что примитивные элементы из Fi не принадлежат ^/j_].
Доказать, что каждый неединичный элемент из F, содержащийся в Ff^^ не может
быть определен словом длины меньше, чем /г ни в какой системе свободных
образующих для F. [Указание. Использовать индукцию по к. Если W т^ 1
определено в F с помощью слова длины р, то, используя метод, которым доказана
теорема 2.12, покажите, что W можно определить в Fg словом длины ^ р — 1.
Следовательно, k — 1 ^ /? — 1, так что k ^ р,]
10. Пусть F — свободная группа со свободными образующими а, Ь. Обозна-
чим через Л^^ нормальную подгруппу в F, порожденную а, и, вообще, через N^,^ —
нормальную подгруппу в Л^^, порожденную а. Показать, что а — примитивный
•лемент свободной группы N{. Доказать, что f\ Ni — циклическая группа в F,
©о
порожденная а. [Указание. Предположите, что П Nt не есть множество,
состоящее лишь из степеней а. Рассмотрите в свободной группе Ni, среди свободных
образующих которой содержится а, множество всех слов W, не являющихся степе-
оо
нями а и содержащихся в П ^h Выберите среди них слово V наименьшей длины»
оо
Поскольку каждая степень а находится в П Л^^, то V не может начинаться с а или
а""^ Если V начинается с jt®. 8 «=* ± 1, где л; — свободный образующий группы Nj,
выберите шрейерову систему для разложения Nj по подгруппе A^_^i, в которой х^
является представителем. Тогда свободные образующие, полученные в
соответствии с теоремой 2.9, включают 1 • а A • а)~^ = а, но У имеет меньшую длину
ш этих свободных образующих для iV,, j.]
11. Пусть О = (а, Ь\ d^, б'^), где /г и т> О, и пусть Я « E (X^XaXf ^Х^').
Найти шрейерову систему для разложения G по подгруппе Я. Используя теорему
8.9, получить представление для Я, упростить это представление, чтобы показать
•атем, что Я — свободная группа с (л — \) {ш — 1) образующими.
12. Показать, что элементы а'^6^а~'^'б~^, l<v<n—1 и l<fx<m~l,
порождают подгруппу Я из предыдущей задачи. Вывести, используя следствие
2.13.1, что это — свободные образующие для Я. [Указание. Использовать
индукцию по слоговой длине слова W из Я, чтобы показать, что IF —
произведение слов а^Ь^оГ^^Ь~^ и обратных к ним. Для этого заметьте, 4iQc{^^b^^(i ^Ь^'' ...
13. Пусть F — свободная группа с образующими а, Ь, Показать, что Я «.
•mF (XjXgXj'^X^^) свободно порождается элементами d'Ь"^^а~'^Ъ~^, где v и ц—
целые числа, не равные нулю. [Указание. Используя указание к задаче 12,
покажите, что db^a~^b~^ порождает Я. Далее, если задано некоторое подмноже*
Ство образующих а^Ь ^а ^Ь~~ ^^/==« 1,..., /г, выберите такое большое целое М,
чтобы из а, :fEay (mod Af) следовало Р^ Ф р/ (modM). Рассмотрите очевидный
гомоморфизм /^ на G =3 {а, Ь\ а^% Ь^). Покажите, что подмножество образующих
переходит в подмножество свободных образующих группы G и поэтому является
свободным.]
14. Пусть /^ — свободная группа со свободными образующими а^,..., an,
где п конечно или бесконечно, и пусть IF ф \ принадлежит F. Показать, что

!20 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
существует нормальный делитель N конечного индекса, не содержащий]tt^. ( У к а .
3 а н и е. Если п конечно, используйте в качестве Л^ одну из подгрупп Vi из
доказательства теоремы 2.13. Если же п бесконечно, а W—слово в символах а^. ...
...,а'д., где k конечно, то отобрази re F в свободную группу с образующими а,, ..., а/,
с помощью соответствия а^ -^ «j при 1 ^ k а a^ -^ \ при i > k. Используйте первый
случай и рассмотрите прообразы.)
15. Покажите, что не существует нетривиального тождества, которое
справедливо для всех конечных групп. [Указание. Если дано несократимое слово
W (Х^) Ф1, то слово W (ayj не принадлежит некоторой нормальной под1руппеЛ/
конечного индекса в свободной группе F с образующими а^. Поэтому в F/S не
выполняется тождество W (Xj^) =1.]
16. Пусть 2 — группа всех 1аких перестановок на множестве целых чисел,
которые оставляют на месте все элементы, кроме конечного числа их. Покажите,
что в 2 не выполняются нетривиальные тождества. [Указание. Каждая
конечная группа является подгруппой а S.)
17 (Такахаси). Пусть H^ С //-2 СГ ... С //« СГ ...— возрастающая
последовательность подгрупп свободной группы F, каждая из которых имеет pani < г.
Тогда все Hi совпадают для достаточно больших i. [У к а з а н и е. Если бесконец-
оо
но много Hi не совпадают, то, по следствию 2.13.2, группа // =^ [J Hi — хопфова.
Но я — бесконечно порождена (любое конечное множество слов содержится в
некотором Hj) и следовательно, как подгруппа из /*', Н — бесконечно
порожденная свободная группа и поэтому не может быть хопфовой.]
18. Показать, что если группа G удовлетворяет условию обрыва возрастающей
последовательности нормальных подгрупп (т. е. любая возрастающая
последовательность различ^1ых нормальных подгрупп конечна), то G — хопфова группа.
{Указание. Если Uc:^GlN^, то GlN^ с^ {G/h\)/{NJNi) для некоторой A/g ID
3 'V,, так что C//Vic- O/yVg-l
19. Покажите, что i руппа G хопфова тогда и только тогда, когда каждый
г^ндоморфизм G на себя есть автоморфизм. [Указание, Если G хопфова и а —
эн'юморфизм группы G па G, то G/N с^ G, где Л^ — ядро а, и поэто.му N ^ \.
Если каждый эндоморфизм есть автоморфизм, то произведение естественного i'o«
моморфизма G -^ G^N на изоморфизм G^N на G является эндоморфизмом G на G.
Следовательно, iV =2 1.]
20. Подгруппа D группы G называется отмеченной, если D отображается
внутрь себя при каждом эндоморфизме G на себя.
(a) Покажите, что всякая отмеченная подгруппа характеристична.
(b) Покажите, что если группа G — хопфова, то всякая характеристическая
п<;дгруппа группы G — отмеченная.
(c) Докажите, что центр всякой группы — отмеченная подгруппа.
(d) Покажите, что пересечение любого числа отмеченных подгрупп есть
отмеченная подгруппа.
(e) Покажите, что вполне характеристическая подгр>ппа является
отмеченной; приведите пример отмеченной подгруппы, не являющейся вполне
характеристической.
[Указание. Для (Ь) используйте задачу 19. Для доказательства (е)
пусть G = Sg X ^2, где Sg —- группа симметрии квадрата, а Zg — циклическая
группа второго порядка. Отобразите G в ее подгруппу Я, порожденную
перестановкой A 3), отображая нормальный делитель, порожденный перестановкой
(I 2 3 4), в тождественную перестановку, все остальные элементы из Sg — в
перестановку A 3), и Zg на Я. При этом центр группы G не отображается в себя.]
21. Подгруппа С из G называется вполне отмеченной, если С является своим
собственным полным прообразом при любом эндоморфизме G на себя.
(a) Показать, что вполне отмеченная подгруппа является отмеченной.
(b) Показать, что отмеченная подгруппа С будет вполне отмеченной, когда
G'C хопфова. Кроме того, группа G хопфова тогда и только тогда, когда I —
вполне отмеченная подгруппа.

2.4. Подгруппы свободных групп 121"
(c) Показать, что пересечение любого числа вполне отмеченных подгрупп есть
вполне отмеченная подгруппа.
(d) Докажите, что группа G хопфова тогда и только тогда, когда пересечение
некоторого множества вполне отмеченных подгрупп из G является единичной
подгруппой.
[Указание. Для доказательства (Ь) используйте то, что если а является
любым эндоморфизмом G на себя и С — отмеченная подгруппа, то gC -^ а [g) С
есть эндоморфизм G/C на себя. Следовательно, если G/C хопфова, то из того, что
а (g) принадлежит С, следует принадлежность g к С. Для доказательства (d)
заметьте, что если G/1 =. G — хопфова группа, то подгруппа 1 — вполне
отмеченная. Если пересечение некоторого множества вполне отмеченных подгрупп есть 1,
то следует использовать (с) и (Ь).]
22. Пусть Р — такое свойство подгрупп некоторой группы, которое
сохраняется при взятии полных прообразов относительно гомоморфного отображения «на».
Показать, что если только конечное множество подгрупп группы G обладает
свойством Р, то пересечение подгрупп из О, обладающих Р, есть вполне
отмеченная подгруппа. [Указание. Пусть а — эндоморфизм G на G. Если
Я,, ..., //;. — все подгруппы из G, обладающие свойством Р, то а""^ (^i), ...
..., а~~\Нг} также обладают свойством Р, и поэтому а^^ (Hi) = // . А
поскольку
получаем нужный результат.]
23. Пусть G — конечно порожденная группа. Покажите, что пересечение
следующих множеств подгрупп есть вполне отмеченная подгруппа:
(a) все подгруппы заданного конечного индекса /;
(b) все нормальные подгруппы индекса /;
(c) все подгруппы с индексом < /;
(d) все нормальные подгруппы с индексом < /;
(e) все нормальные подгруппы, фактор-группы по которым являются
циклическими группами порядка /;
(f) все нормальные подгруппы, фактор-группы по которым являются абеле-
выми порядка /;
(g) все нормальные подгруппы, фактор-группы по которым принадлежат
данному конечному множеству конечных групп;
(h) все нормализаторы подгрупп индекса /.
[Указание. Покажите, что каждое из перечисленных свойств
удовлетворяет условиям свойства Р из предыдущей задачи и используйте задачу 19 к
разделу 2.3.]
24. Группа G называется финитно аппроксимируемой, если пересечение всех
е(^ нормальных подгрупп конечного индекса есть единичная группа.
(a) Покажите, что группа G финитно аппроксимируема тогда и только тогда,
когда для каждого ее элемента g Ф 1 существует гомоморфизм G в конечную гр>1т-
пу, при котором g не отображается в единицу.
(b) Покажите, что группа G финитно аппроксимируема, если каждое g ф 1
не принадлежит некоторой подгруппе конечного индекса.
(c) Покажите, что свободная группа является финитно аппроксимируемой.
(Ь) Покажите, что конечно порожденная финитно аппроксимируемая rp>nria
является хопфовой.
(е) Покажите, что бесконечно порожденная свободная группа является
финитно аппроксимируемой, но не хопфовой.
[Указание. Для доказательства (Ь) используйте то, что пересечение
сопряженных подгрупп конечного индекса есть нормальная подгруппа конечного
индекса. Для (с) используйте задачу 14. При доказательстве (d) воспользуйтесь
аадачами 21 (d) и 23 (Ь).)

122 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
25 (Баумслаг). Покажите, что если G — конечно порожденная финитно
аппроксимируемая группа, то любая группа Л автоморфизмов группы G является
финитно аппроксимируемой. Следовательно, если Л конечно порождена, то Л —
хопфова. [Указание. Пусть ее Г Л — некоторый автоморфизм, отличный от
тождественного. Если g принадлежит G па [g) ф g, то а (g) g~~^ не принадлежит
некоторой подгруппе /V конечного индекса в С. А поскольку группа G конечно
порождена, существует только конечное число подгрупп из G того же индекса, что
г
и /V; пусть это будут yv^, ..., Nr> Если М = П N^, то а (g) g~^ не принадлежит Af.
Подгруппа М характеристична в G и имеет конечный индекс в G. Автоморфизмы
переставляют правые смежные классы М. Множество автоморфизмов из Л,
которые оставляют все смежные классы фиксированными, имеет конечный индекс в
Л и не должно содержать а. ]
26. (а) Показать, что если G^ ^ ^2 ^ ... ^ (j^ ^ .,¦ — цепочка простых
оо
групп, то и и ^^ — Простая группа. В частности, группа всех таких перестано-
1-- I
зок на множестве целых чисел, которые перемещают лишь конечное число чисел и
являются четными перестановками, есть бесконечная простая группа.
(Ь) Покажите, что бесконечная простая группа не является финитно
аппроксимируемой, но является хопфовой.
27. Показать, что при конечном п свободная абелева группа А^ с
образующими а^, ..., йп финитно аппроксимируема и поэтому хопфова. [Указание. Если
W (а^) имеет ненулевые показатели при а^ и о^ (W^) = d, рассмотрите отображение
группы Afi на циклическую группу с образующим х порядка d + 1, при котором
а^ -> дс, а а; -> I при j Ф i-]
28. Р1звестно, что подгруппа свободной абелевой группы является свободной
абелевой (см. раздел 3 3). Используйте это, чтобы доказать, что объединение
возрастающей цепочки свободных абелевых групп, ранги которых ^ г, является хоп-
фОБой группой. [Указание. Рассмотрите доказательство следствия 2 13 2.]
29. Пусть F — свободная группа, а А и В — такие ее подгруппы, что В
конечно порождена и содержит нормальную подгруппу из Л. Покажите, что Л П
П В имеет конечный иьщекс в Л. [У к а з а н и е. Индекс А f\ В в А есть также
число смежных классов по В, определенное элементами группы Л. Если бы
существовало бесконечно много смежных классов по В, определенных элементами из
Л, то доказательство, аналогичное доказательству последнего утверждения
теоремы 2.10, дало бы нужный результат; элемент U надо выбирать из нормального
делителя группы Л, содержащейся в В, а представитель К^ — как представитель
любого элемента из Л. ]
Определение свободного множителя, данное в задаче 8, будет нужно во всех
нижеследующих задачах.
30. Покажите, что если Н — свободный множитель свободной группы F, то
любое множество свободных образующих Н может быть расширено до множества
свободных образующих F. Следовательно, если G — свободный множитель Н, а
Н — свободный множитель /**, то G — свободный множитель F. [Указание,
Предположим, что F свободно порождено элементами а^, ..., «г» «/- • i >•••» cin* ^^^
а^, ..., а^ порождают Н. Пусть W^ (flp),...^i r(%) свободно порождают Я Покажите,
что
^1» • •. 1 ^г. cifi-V • • * ) ^fi
свободно порождают Р.]
31. Показать, что если G — свободный множитель в F к Н — подгруппа из F^
содержащая О, то О — свободный множитель Я. [Указание. Если F
свободно порождена элементами а^, ..., а^, а^^^, ..., а^, где а^, .,., а^ порождают G^ то
элементами подгруппы Hf соответствующими s^^ , являются Др.]

2 4. Подгруппы свободных групп 123
32. Обобщите предыдущую задачу и покажите, что, если G — свободный
множитель Fy а Н — любая подгруппа из F, то G f] ^ является свободным
множителем Я. Покажите, что это утверждение равносильно нижеследующему: если F
свободно порождается элементами а^, ..., Ог, ^;^-i_p ••., cin и Я — подгруппа из F^
то те слова из Я, которые содержат только а^, ..., й,-, образуют свободный
множитель группы Я. [У к а 3 а н и е. Очевидно, те слова из F, которые содержат
только а^, ...., О;-, образуют свободный множитель G из F. Чтобы показать, что Q Р[ Н
является свободным множителем Я, построим шрейерову систему представителей
для разложения F по подгруппе Я, в которой представитель любого элемента из
G лежит снова в G. Тогда s-символы Sj^ ^ , где М — представитель некоторого
элемента в G и р < г, определяют элементы Ма^ {MaS^^ ^ которые принадлежат
О; более того, х (W (а^)) включает только такие s-символы. Следовательно,
множество таких s-символов порождает G f\ Н ^ оно может быть расширено до
множества свободных образующих Я (именно, до множества всех s-символов, которые
не являются определяющими соотношениями). Чтобы получить шрейеровскую
систему, в которой представители из G лежат снова в G, вполне упорядочьте
символы й^» скажем, следующим образом:
^1 < «Г^ < % <^2~^ < " <CLr< ау^^
Далее упорядочьте слова W {а^ сначала по длине, а затем лексикографически;
например, а^ < а^а^а^^а^ < a^a.ji^a^» При таком упорядочении слова в G вполне
упорядочены и, более того, если W^ < IFg, то IF^IF < Wg^- Выберите из каждого
смежного класса по Я, содержащего элемент из G, наименьший элемент из G.
Начало такого наименьшего элемента есть снова наименьший элемент, ибо если
1^2^ — наименьший в своем смежном классе, а Wg таким не является, то Wy <
< 1^2 и ЯГ^ = Я 1^2, так что W^W <W^W rHW^W ^ HW^W, Поскольку
наименьший элемент из G в заданном смежном классе по Я единствен, то эти
наименьшие элементы определяют различные смежные классы по Я. Следовательно, их
можно расширить до некоторой шрейеровской системы для разложения F по
подгруппе Я (см. задачу 23 к разделу 2.3).]
33. Пусть H^z:) H^Z) ... ZD HnZ>...— убывающая цепочка свободных rpyim,
где Я^ конечного или счетного ранга. ПoJ{aжитe, что, если Я = (^ Я^, то Я имеет
/=1
свободное множество таких образующих У^, U2,..., ^л, ..., что любое конечное
множество их Ui, . ., и г свободно порождает свободный множитель всех Hi, кроме
конечного множества. [Указание. Поскольку Hi — счетно порожденная
группа, то Я счетно и можно записать его элементы в виде последовательности 1, W^,
1^2,... Пусть Hj будет первый из членов цепочки, в котором W^ имеет наименьшую
длину как слово в свободных образующих группы Н, ,
Если
то всякое а^ принадлежит Я. Действительно, если а^ принадлежит Я для k <, q,
k k
но a^ не лежит в Я, то G^ не принадлежит некоторому Я/, / > /\. Можно выбрать
Q я
а^^ своим собственным представителем в шрейеровской^ системе для разложения
Q
Яу^ по подгруппе Я/. При переписывании W^ в Я/ посредством s-символов а^*? бу-
дет заменен на Sj ^ , если е^ «¦ 1, и на в 5_-i "ри е^ « —1. В любом случав

124 Гл. 2. Фактор-группы и подгруппы
указанный s-символ будет определяющим словом. Поэтому W^ будет иметь более
короткую длину в Я/, что невозможно. Следовательно, a^ ,..., а^ свободно порож-
* р
дают свободный множитель Н и всех, за исключением конечного числа, А/(. Найдем
первое слово \V^, не содержащееся в этом свободном множителе И; пусть это бу-
дет 1^2 Пусть Яу будет первый член цепочки, в котором W^ имеет наименьшую
возможную длину, как слово в множестве свободных образующих для Н ,
содержащих а^, ..., а^ . Если
IF, = fej; ... 6^\
то каждый bf^ лежит в Я, ибо иначе длина W^ могла бы быть уменьшена.
Следовательно, А/ ,..., а , Ьи , ..,f Ьи свободно порождают свободный множитель Я и
всех Ml, кроме конечного числа; более тог^о, W^, и W^ находятся в этом свободном
множителе Продолжая таким же образом, получим нужное нам множество
свободных образ>ющих для Я.]
34. П>сть Я, Г) Яз Z) ... Z) HnZD'" — убывающая цепочка свободных групп,
причем ранг Я, конечен или счетен.Если И ^ Г\ Я^, то любоп конечно порождав-
мый свободный множитель Я является свободным множителем всех Я^, за
исключением конечноЕо числа {Указание Пусть Ui, U2, .•• —мнолсество
образующих, построенных в задаче 33. Если V^, ..., Г/ свободно порождают свободный
^'нoжитeль Я, то К^, ..., Vt содержатся в свободном множителе Я, порожденном
конечным множеством U^, например, Ь\, ..., Ur^. Тогда Ui, ..., Uf^ порождают
свободный множитель всех Я^, за исключением конечною числа Поскольку I'^i, ..., V^
порождают свободный множитель Я, то согласно задаче 31 они порождают
свободный множитель подгруппы, порожденной (У^,..., L/д и поэтому всех, за
исключением конечного числа, Я^.]
35. Пусть Я^ Г) Ih Э ... Z5 Я,, Г) ... и Я =3 Q Я,, причем Я^ — свободная
1
группа. Покажите, что любая счетная подгр>ппа G из Я содержится в некоторой
убывающей цепочке И^^ 3 Я^ ZD ... D Я* ID-.., где Я[ счетно и Я* —
свободный множитель Я^. [У к а 3 а н и е. Для каждого Я^ выберем некоторое
фиксированное множество свободных образующих Поскольку G счетно, оно со!1ержится
3 Я| ^ — подгруппе Я^, порожденной счетным множеством свободных образующих
Я^. Поскольку H^j и Я| ^jj счстны, они содержатся в некоторой подгруппе Н^j
группы Я,, порожденной счетным множеством свободных образующих Я^. Вообща
говоря, если Hjj и fijj^\ счетны, они содержатся в некоторой подгруппе Я/. j ^
из Ml, порожденной счетным множеством свободных образующих Я^. Тогда, если
Я^ =3 М Я^, то отсюда следует, что Я^ порождено счетным множеством свобод-
ных образующих Я^ и, следовательно, Я^ является счетным свободным
множителем Я^. Более того, Я^ 3 Я2 3 ..., и каждый Я^ содержит G.]
36. Покажите, что, если Я^ 3 Я2 ID ... Z> H^ZD ...— убывающая цепочка
со
свободных групп и я «= р| Я^, то всякий конечно порожденный свободный множи-
1
тель Я является свободным множителем всех, за исключением конечного числа,
Я^ [Указание. Пусть G — конечно порожденный свободный множитель Я.
Тогда согласно задаче 35 существует такая убывающая последовательность Я* з
3 Я* 3 ... 3 Я^ 3 ..., что Я* — счетный свободный множитель Я^ и каждый

2 4. Подгруппы свободных групп 125
« ^ *
Hf содержит G Поэтому G с П Я^ С Я, так что G — конечно порожденный
I
свободный множитель Q Я^ . Следовательно, согласно задаче 34, G — свободный
?=1
множитель всех Я^ , за исключением конечного числа, и, следовательно, всех Я^ ,
sa исключением конечного числа.]
37. Пусть Я — подгруппа свободной группы с образующими ai, ..., an, где
п конечно или бесконеч!ю. Показать, что подгруппа Н^ из Я, порожденная всеми
словами и (а^) из Я, длины которых (относительно а^) не превосходят г, является
свободным множителем Я [Указание. Выберите, так же как в теореме 2. И,
множоство образующих В^^ (а^) для Я. Далее покажите, что Нг порождено теми
^^х (^Ч^» длины которык < г.]

ГЛАВА 3
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НИЛЬСЕНА
3.1. Введение
Представление группы с помощью образующих и определяющих
соотношений столь же произвольно, сколь и выбор системы
координат при описании геометрических объектов. Естественно, мы
хотим иметь систему, с помощью которой получается более простое
описание. Однако прежде чем сделать выбор, мы должны знать мно-
жество систем, из которого можно выбирать.
Рассмотрим группу Осп образующими а^,..., а^. Пусть Ь^, ..•
..., Ьп — другая ^-ка образующих группы G. Если группа G
задана с помощью образующих и определяющих соотношений, то
у нас есть лишь один путь определить Ь^у а именно, задать их как
слова W^ (av) в символах а^. Возможные варианты при выборе п-ок
слов W^in будут зависеть,очевидно, от структуры группы G. Например,
в циклической группе порядка 9» задаваемой одним образующим и
одним определяющим соотношением а? =» 1,слово а\ будет
образующим тогда и только тогда, когда q нечетно. Нас будут интересовать
те /г-ки слов W^ (av), которые определяют систему образующих в
любой группе Gen образующими aj, ..., а^. Другими словами, мы
рассмотрим следующую проблему.
Найти все п-ки слов Wi (^v), ..., W^ (av), которые люгут быть
взяты в качестве образующих любой группы Осп образующими ^i,..., а^,
независимо от того, какие определяющие соотношения имеет группа С.
Очевидно, эту проблему достаточно решить для случая, когда
группа О является свободной группой F^ с п образующими av, ибо
если Wix (av) порождают группу F^, то они будут порождать и любую
ее фактор-группу. Таким образом, мы можем ограничиться
случаем О == F^. При этом мы получаем то дополнительное
преимущество, что элементы группы F^ однозначно определяются несократи-
мыми словами этой группы. В частности, две различные п-ки
несократимых слов W^i будут определять различные системы образующих
группы F^.
Отметим, между прочим, что в силу следствия 2.13.1 эти
образующие будут свободными и, следовательно, отображение а^ ~> Wv
определяет автоморфизм группы F^,
Переход от образующих av к образующим Wv, являющимся
словами в символах «vi будем называть свободной подстановкой, Имеется

3 2. Редукционный процесс 127
следующий очевидный способ построения таких подстановок. Мы
можем*
(I) поменять местами а^ и (Зд, v Ф \к\
(II) заменить а^ на а7 ;
(III) заменить av на ava^, '^ ф \^\
(IV) применить подстановки типов (I), (II), (III) повторно
конечное число раз.
Один из результатов этой главы состоит в том, что с помощью
правила (IV) можно получить все свободные подстановки (см.
теорему 3.2).
Элемент свободной группы называется примитивным, если он
может быть включен в некоторое множество свободных
образующих этой группы. Теорема 3.2 позволяет эффективно построить
последовательность примитивных элементов, содержащую все
примитивные элементы. Однако вопрос о том, будет ли данное слово W {a^j)
определять примитивный элемент, оказывается очень трудным.
Решение этой задачи (без доказательства) излагается в разделе 3.5.
Описанный выше процесс получения новых образующих группы
представляет особый интерес, когда мы имеем дело с подгруппой
свободной группы F и, следовательно, элементы ау сами являются
словами в свободных образующих группы F, В разделе 3.2 мы
доказываем упомянутый выше результат о свободных подстановках
для подгрупп свободной группы и сопоставляем его с результатами
о подгруппах свободной группы, полученными ранее. Хотя в основе
наших рассуждений лежат простые идеи, доказательства
оказываются сложными. Они имеют чисто «комбинаторный» характер и
связаны с рассмотрением большого числа различных случаев. Все же
они достаточно просты, чтобы изложить их в книге. Некоторые
более сложные результаты сформулированы, но не доказаны, в
последних трех разделах настоящей главы (разделы 3.5, 3.6, 3.7). В
частности, в разделе 3.7 рассматриваются некоторые группы, связанные
с группой автоморфизмов свободной группы и играющие важную
роль в топологии и теории чисел. Мы не рассматриваем приложения
этих групп и ограничиваемся ссылками, указывающими на их
значение. В разделе 3.3 мы применяем теорию свободных подстановок
к изучению фактор-группы по коммутанту. В разделе 3.4 излагается
(с полными доказательствами) теория, построенная Александером
для исследования фундаментальной группы трехмерных узлов.
В этих разделах, где необходимо, применяется обычная
(коммутативная) алгебра.
3.2. Редукционный процесс
В предыдущей главе, используя шрейеровские системы, мы
доказали, что подгруппа свободной группы свободна (следствие 2.9)
и что конечно порожденная свободная группа является хопфовой
(теорема 2.13). (Ш р е й е р [1] доказал следствие 2.9 в 1927 г. Тео-

128 Гл. 3. Преобразованне Нильсена
рема 2.13 была поставлх^на в качес1ве проблемы Хопфом в 1932 г.
и с тех пор неоднократно доказывалась различными способами.) Эги
важные свойства свободной группы были впервые установлены (для
случая конечно порожденных свободных групп) Н и л ь с е и о м [2]
в 1921 г. другим методом. Метод Нильсена позволяет также получить
важные результаты об автоморфизмах свободной группы.
Метод, найденный Нильсеном, есть, по существ}, редукционный
процесс, перерабатывающий всякую конечную систему образующих
подгруппы свободной группы в свободнуюсистему образующих. Эта
свободная система характеризуется рядом свойств, к описанию
которых мы теперь и перейдем.
Пусть F — свободная группа со свободными образующими [xv],
и пусть Н — ее подгруппа, порожденная множеством непустых
несократимых слов {Wi (Xv)}. Каждый элемент К подгруппы Н можно
выразить как слово V (Wi) в символах Wi и как слово V (Wt (xv))
в символах .^v. В соответствии с этим мы будем различать две «длины»
для каждого слова V (IF^), а именно, его \1^-длину Lix^ (V) (когда V
рассматривается как несократимое слово в символах Wi) и л'-длину
Lx (V) (когда V рассматривается как несократимое слово в символах
Xv). Например, Lw (W{) = 1, в то время как L^ (Wi) = L [Wi (Xv)).
Множество непустых несократимых слов [Wi (Xv)} назовем нильсе-
новскым, если оно удовлетворяет следующим дв\м условиям.
Пусть V (Wi) есть несократимое слово в символах W\:
V(W/,)==ft^?;C: *.. К'^ е/-±1.
.^i
(i) После полного сокращения слова V [Wi (a'v)) от каждого Wij
остается хотя бы один х-символ х^^у r\j =^ ±:1, В частности, L^ {V) ^
> Lw{V).
(и) х-длина слова V{Wi (Ху)) не меньше х-длины любого W-символа,
входяи^его в V (Wi).
Из условия (i), так же как и из (ii), следует, что если слово R (W^'i)
равно 1 в Я, то после сокращений этого слова (в Ц/'-символах)
получается пустое слово. Следовательно, слова W{ свободно порождают
подгруппу //.
В качестве простого примера рассмотрим свободную группу F
со свободными образующими х^, л'2,... Очевидно, что множество
л'^, Х2,... является нильсеновским множеством образующих группы F,
Верно и обратное. А именно, если множество {Wi) является ниль-
6"
сеновским множеством образующих группы f, то Wi =^ Xv), е^ ^-^
= ±1. В самом деле, из (i) или (ii) следует, что W'^ свободно
порождают F и, следовательно, никакое собственное подмножество
множества {Wi\ уже не может порождать F, Поэтому, если записать
образующие Xv в В7-символах, то каждое Wi должно встретиться в
записи некоторого Xv. Отсюда следует, что L^ (Wi) < 1 и, значит,

3.2. Редукционный процесс 129
^-х (ll^i) = 1» Т. е. Г^'^ = к\К А так как никакое собственное
подмножество \И{ожества [xv] не можег порожда1Ь группу F, то v^
пробегает все значения 1, 2, ... (в некотором порядке).
Приведем другой пример. Пусть х^ = а, х.^ = Ь, Wx = d^, W^ ~
= ab, W'3 ~ ba. Слова Wi свободно порождают подгруппу Я, со-
стоящуро из всех слов четной длины группы F (см. задачу 14 к
разделу 1.4 и теорему 2.13). Положим V {Wd = W7^W,Wi\ Тогда
V {W, (xv)) - Ь~'а-* . а" . а-'Ь~' ^ Ь-^\
т. е. все х-символы слова Wx исчезают при сокращении. Условие A)
не выполняется. Однако условие (ii) выполнено. В самом деле, для
любого V (Wi) число Ly^ iV) является четным, а так как Wi —
свободные образующие, то равенство L^ (К) = О возможно только,
если V (Wi) ^=:г 1. С другой стороны, // имеет свободные образуюпи1е
Wi, 1^2 ^^ ^^4 = Ьа-^. Условие (ii), как и раньше, выполняется.
Далее, H/r^W^U/r' = b-^a~^ • а^ • ab~^ ^^ b-^d^b-\ т. е. от каждого
Wi остается хотя бы один х-символ. Из леммы 3.1 следует, что для
этих Wi выполняется и условие (i).
Грубо говоря, нильсеновское множество слов {W^ {Xv)]
обладает тем свойством, что при сокращении любого V (Wi (Ху)) происходит
«не слишком много» сокращении. Верно и обратное. Если
происходит «не слишком много» сокращений, то множество слов является
нпльсеновским. Сначала мы уточним эти утверждения, а затем
приведем удобный критерий для распознавания того, является ли
заданное множество слов нпльсеновским (лемма 3.1).
Пусть [Wiixv)] есть множество непустых несократимых слов.
Слова Wi (ху), IFrVv) будем называть lF-символами, причем U^-сим-
волы Wi 'Xv), Wr^ (ху) считаются различными U^-символами.
Начало и^-симьола назовем изолированным у если оно не является
началом никакого другого lF-символа. Аналогично, конец W-cim-
вола называется изолированным, если он не является концом
никакого другого И^-символа.
Если начало S слова W)y е = dil, является изолированным,
то при сокращении любого слова IF/^U^/, где Wf Ф tt^Г^ сократятся
не все буквы слова vS. В самом деле, при полном сокращении слова 5
слово W^ оканчивалось бы на S~ и, следовательно, WJ^
начиналось бы с S, что противоречит изолированности начала 5. Таким
образом, никакое изолированное начало не может целиком
сократиться слева. Очевидно, аналогичным свойством обладают
изолированные концы.
Рассмотрим непустое несократимое слово W (х^). Старшим
началом слова W назовем такое начало S слова W, которое «чуть-чуть
длиннее половины» слова W, т. е. удовлетворяет неравенству
5 В. Магиус и др,

130 Гл. 3. Преобразования Нильсена
^Y ^х {Щ < ^а: {^) -^ — ^х (^) + ^ • Младшим началом слова W
назовем начало S, которое «чуть-чуть короче половины» слова W,.
т. е. -^ L^ (IF) — I < L^ (S) < — L^ (W). Аналогично определяются
старший и младший концы слова W. Например, если Wi = ato~^ и
Wo =^ a^b^, то старшие и младшие начала и концы для слова Wi
имеют вид аЬу а, Ьа-^ а~^ а для слова 1^2 соответственно а^Ь, а, аЬ'^, Ь.
Для слов четной длины естественным образом определяются их
левая и правая половины.
Лемма 3.1. Множество {Wi (a*v)} непустых несократимых
слов является нильсеновским тогда и только тогда, когда
выполняются следуюи^ие два условия:
(i*) Старшее начало и старший конец любого слова Wi являются
изолированными.
(ii*) Если слово Wi имеет четную длину, то либо его левая, либо
правая половина является изолированной.
Доказательство. Предположим, что мрюжества
{Wi (xv)} — нильсеновское. Рассмотрим слово Wf. Пусть Wi = ST^
где S — старшее начало слова W^. Если S не является изолирован»
ным, то существует слово \Fy, отличное от Wi, такое, что W^ = SU.
Имеем
L. (W^W,) = I, (U-'T) < L, (U) + L, (T) < L, (U) + L, (S) = L, {W,).
Это противоречит условию (ii), поскольку слово W~^W^ несокра-
тимо в lF-символах. Аналогично доказывался, что все старшие
концы изолированы. Условие (i*) выполнено.
Докажем, что выполняется условие (ii*). Пусть Wi имеет
четную длину и пусть Wi = ST, где S, Т — левая и правая половины
слова Wi. Если ни S, ни Т не являются изолированными, то
существуют слова W), W^, отличные от Wi и такие, что W; = UT, IF? ==^
= SV. Имеем WJ^^WiWY^ ^=^ V~^U~\ где при сокращении
исчезают все л:-символы слова Wi, что противоречит условию (i). Условие
(ii*) также выполнено.
Предположим теперь, что выполняются условия (i*), (ii*).
Нетрудно убедиться, что если условия (i*), (ii*) выполняются для1^1,
то они выполняются и для WT^* Пусть, например, W7^ = ST, где
S — старшее начало слова Wr\ и пусть IF; = 56^. Тогда Wi =
'*= T~~^S~\ Wy^ = U^^S'^\ Так как старший конец S~^ слова W^
является изопироваиным, то Wi == ^FГ^ а тогда IF^ = W7\ т. е.
S изолировано
Докажем теперь, что множество (IF^ (Ху)] обладает свойствами
A), (ii), а также следующим свойством:

3.2. Редукционный процесс 131
(iii) Если V {Wi) = W^, ••• Wi'' есть несократимое слово в'W-cuMeo-
лак, то после всех сокращений в слове V {Wi (Ху)) от слова W ^^
остается либо старший конец, либо правая половина, В обоих случаях
остаюи^ийся конец слова Wt^^ является изолированным.
Аналогичное утверждение справедливо, очевидно, и для слова
W^\. Достаточно рассмотреть {V {Wi))'^\
Утверждения (i), (ii), (iii) докажем индукцией noW-длине г слова
V {WX При г = 1 утверждение очевидно. Предположим, что (i),
(ii), (iii) имеют место при г—п и рассмотрим
Произв дем всевозможные сокращения в слове
V' = W^[{x,) ... W\{x,).
Полученное слово запишем в виде ST, где Т есть изолированный
g
старший конец слова W/^^ или его изолированная правая половина.
Существование такого Т гарантируется индуктивным
предположением. Имеем
{ST)^wlX\{Xv) = S{T.wlX\{x,)),
Так как Т изолировано, то
TW,lXUx,)=^T^Y.Y'^'U,
%-}-1
где Т = ГгГ, Wt^.\ = V'U, Т^Ф 1, слово T^U несократимо.
В силу изолированности старшего начала слова Wi^'^l имеем
Если это неравенство строгое, то U оканчивается на старший
.е,
конец слова IF^^JT, и, следовательно, U изолировано. Если же име-
Ы+]
-1
ет место равенство, то Y является левой, и притом не
изолированной, половиной слова lt^f"^p Следовательно, правая половина U
этого слова должна быть изолированной. Так как после полного
сокращения слова V (Wf^ (xv)) остается STiUy то утверждения A), (iii)
доказаны. Далее, имеем
L, (V (W,)) = L, iST.U) = L, (ST,) + L, (U) =
= L, {ST,Y) + L, (Y-'U) - 2L, (Y) =

132 Гл. 3. Преобразования Нильсела
Так как LAYX-^ LA^.^). L^Y) <~ LAW,^^^,) и ^ЛП>
>L^{WJ, то L^{V) > LA^').Lx{Wi,^^,). Применяя индуктив-
иое предположение, получаем (ii). ^
Заметим, что старшее начало и старший конец слога W^i, а также
его левая и правая половины (если они суидествуют) не могут быть
соответственно началом или концом слова W7^ (см. задачу 9).
Поэтому при проверке условий (i*), (ii*) для некоторого Wi достаточно
сравнить Wi со словами Wjy Wy^ при / Ф /.
Вернемся к рассмотренному выше примеру. Множество слов
Wi = а^у W^ = ciby Ws = ba не является нильсеновским, поскольку
ни левая, ни правая половины слова W^ не являются
изолированными. С другой стороны, множество Wi, W^, W^4 = ba-^ есть нильсе-
новское множество, ибо (i*) выполняется очевидным образом, а
выполнимость (ii*) вытекает из изолированности правых полесий
слов Wiy ^2 и левой половины слова W^. Заметим, что множества
1^1, W^y tt^4 можно получить из множества Wi, W^y ^г заменой \V^
на IFgWr^- Оказывается, что это справедливо и в обш,ем случае,
т. е. из любого конечного множества слов можно получить нильсе-
новское множество путем повторного применеш^я такого рода спе>
раций. Более точно эти операции определяются следующим образом»
Пусть [xv] — свободные образующие группы F. Элел1еитарнЫ'
ми преобразованиями Нильсена (элементарными нильсеновсклими
преобразованиями) ранга т на множестве т-ок (IF^, ..., W,^)
несократимых слов в символах Xv называются следующие
преобразования:
Перестановка слов и замена слова на обратное, т. е. т-г.у
(U^i,..., W,J можтю заменить т-кой
(Г!;, ..., W7-)^ с, ^±1, A)
где (/j ... i,^) есть некоторая перестановка злсмешов 1, ..., п.
Замена W', на результат сокращения любого из прои^ведеый"!
где г, S фиксированы, 1 <:г < /72, ] ^ s ^ т, г ф s, г\ = zt\. П^л
этом остальные и^ц, f-i^^/', остаются без изменения.
Очевидно, что если к некоторой последовательности слов
применить элемер1тарное нильсеновское преобразование, то получен' ая
последовательность порождает^ ту же подгруппу, что и исходная.
Суммарной х-длиной конечного множества слов W — {Wi^ ..., И ^J
назовем величину L;, {W) = L^ {W^) + ... + L^ {WJ.

3.2. РедукционныГ! процесс 133
Теорема 3.1. Пусть U7 = (U^^ ..., W,J — конечная т-ка
несократимых слов в свободных образующих Xv группы F. Тогда можно
построить такую последовательность т^, ..., т^^ элементарных
нильсеновских преобразований ранга т, чпю
L, {W) > Z, Лт^Г) > ... > Z., (т, ... x,W) Ej
т, ... T,IF = {\V„ .... WJ, F)
где iWi, ..., Wi) есть нильсеновское множество и Wt-}-\ = ... =
Доказательство. Наша цель — получить из W
нильсеновское множество, т. е. множество, удовлетворяющее условиям
(I*), (ii*). Предположим, что W не удовлетворяет условию (i*). Это
означает, что существует такое IF(, что его старшее начало S или
его старишй конец S' не изолированы. Если, например, Wi = ST,
W] = SU, i Ф1\ 8 = dzl, TO L, iWy'W,) - L, (WT^W^ =
= L^ {T~ U) < Lx (Wj). Аналогично, если не изолировано S', то
L.iWiWT') = LAW^jWT^XLxiWj). Таким образом, применяя
преобразования типа B) или типа C) при г ~ j, s = /, мы можем
уменьшить суммарную х-длину множества W, Итак, если множество
слов (или, более точно, подмножество слов, отличных от 1)не
удовлетворяет условию (i*), то, применяя элементарное нильсеновское
преобразование, можно строго уменьшить его суммарную х-длину.
Последовательность элементарных нильсеновских преобразовании,
удовлетворяющую условию E), назовем невозрастающей. Пусть
И^* — некоторая т-ка минимальной суммарной л:-длины,
полученная из W невозрастающей последовательностью преобразований.
Тогда само W* и любая т-ка, полученная из W'* невозрастающей
последовательностью нильсеновских преобразований, будут
удовлетворять условию (i*). Очевидно также, что условие (i*) будет
выполняться для любого подмножества такой т-ки. Этими замечаниями
мы воспользуемся в излагаемом ниже индуктивном процессе,
который позволяет преобразовать W* в множество, удовлетворяющее
условию (ii*).
Обозначим через U^i, ..., Wt слова из IF*, отличные от 1.
Упорядочим их так, чтобы выполнялись неравенства L^ {W\) <
< Lx (Wl) < ... < L;^ {W*t), Предположим, что множество W =^
= jU^i,..., Wt-\} удовлетворяет условию (ii*). Изменим W так,
чтобы изолированными оказались все правые половины. Для этого
достаточно, если правая половина слова Wx не изолирована в W,
заменить Wx на обратный элемент. Таким образом, мы получим
множество W = [Wi,..., W^'^_i), в котором каждое \У\ есть Wi или

134 Гл. 3. Преобразования Нильсена
A^*)~^и В котором каждая правая половина является
изолированной.
Теперь изолируем правые половины слов из множества W от
слова Wt и от обратного к нему. Предположим, что Wi ^ U'kV'k и
W*t = S^V'Ky где и и У\ суть левая и правая половины слова 1F^.
Заменим W^t на Wt =« Wl {W'kr^ =» З^Щ^, Слово SiW^^
несократимо, ибо в противном случае замена Wt на Wt уменьшала бы
суммарную х-длину множества W*. Предположим, что Wt оканчивается
на правую половину V^ некоторого слова W^ из множества W\
Тогда U}^^ является собственным (т. е. отличным от Кц) концом
слова У|^,,ибо в противном случае Уц является концом слова (/лГ^ и,
следовательно, концом слова {W},)'~\ что противоречит
изолированности правых половин в множестве W\ Так как Wt оканчивается на
V^ и L, (V^) > L, ([/г'), то W't - S,\\,, причем L, (S^) < L, (S,).
Теперь заменяем Wt на Wt == Wt{Wyi) \ Продолжая этот процесс,
мы придем к слову IF/, которое не оканчивается ни на одну из
правых половин слов множества W\ Однако некоторая из этих правых
половин может оказаться концом слова WV^, Если это так, то
повторим описанную выше процедуру с WT^ в качестве И^*. Мы получим
слово WT\ которое не оканчивается ни на одну из правых половин
слов множества W\ При переходе от WT^ к WT^ изменяются лишь
концы, являющиеся правыми половинами слов из W\
Поскольку L;^ (Wj) > Lд^ (W0» то начала слова 1^Г\ длина которых
-^.^/zi^x (Wt), не изменяются. Поэтому все концы равной длины
^^/^Lx (Wt) у слов Wt, Wt будут одни и те же. Следовательно,
ни Wtj ни WT не оканчивается ни на какую правую половину
из W\
Если Wt имеет нечетную длину, то множество, полученное
добавлением Wt к W\ будет удовлетворять условию (ii*). Предположим,
что слово Wt имеет четную длину и что t/, V суть его левая и правая
половины. Если и или V изолированы, то, добавив Wt к W\
получим множество, удовлетворяющее условию (ii*). Предположим, что
ни и у ни V не являются изолированными. Тогда U и 1/должныбыть
половинами 1^-символов из списка {Wk)'\ % =^ U ..., t— 1. Но К
не может быть правой половиной никакого Wx, поскольку правая
половина любого Wx не является концом слова Wt^ Аналогично, U"^
не может быть правой половиной никакого Wkj т. е. U не является
левой половиной никакого {W},)'~^. Следовательно, L/ = /7р, У =»

3.2. Редукционный процесс 135
*= и^\ где Upi Ua суть левые половины слов Wp, Wo* Теперь мы
изменим W' так, чтобы изолировать правую половину V^^ слова Wt
от тех {Wx)~~\ которые оканчиваются на W^^ А именно, если Wk =
*= UoViy то заменяем Wk на Wk = WtWi = UpVi; в противном
случае полагаем Wi = Wx^ Мы получим множество W = {\Fi, ...
,.., Wt~\, Wi}* Докажем, что множество W удовлетворяет условию
(ii*). Действительно, пусть Ух, '^ <. t, есть правая половина слова
W}, и, следовательно, слова Wk- Слово Vi не может быть концом слов
нечетной длины из W и обратных к ним, поскольку слова нече1ной
длины не изменялись при переходе от W^ к 1У. По построению слова
IF/слово У?, не может быть концом ни одного из слов Wt ,1УГ^
Если же Vx является концом слова W^, где |i<;/, |li=7^^, 8= =Ы
то Ур^должнобыть концом правой половины слова Wli (поскольку (i*)
выполнено).Следовательно,УА, должно быть концом одного из слов Уд,
U'i^\ 0^^^ поскольку Й^^есть или U^V^, или UpV^. Нотогда У^
является концом одного из слов \Уц, (\y,,i)~\ {Wp)~\ что невозможно, так
как в W' выполняется условие (ii*). Таким образом, правая
половина любого Wxy 'к <. ty изолирована в 1У. Аналогично, правая
половина и^^ слова Wt не может быть концом слов нечетной длины из
W (и обратных к ним). Если же U^^ есть конец слова Wl, где^е =
==4:1, к <с ty ТО (/7^ должно быть правой половиной слова Wi.
Но 8 =7^ 1, так как мы только что показали, что правая половина
слова Wxy Я < /^, не может быть концом слова Wf Болеетого, 8^—1,
так как иначе Uo было бы левой половиной слова Wxy что невоз]\юж-
но по определению слов Wiy X < . Множество W удовлетворяет
условию (И*), а также условию (i*), и, таким образом, является
нильсеновским множеством.
Мы предположили, что множество {Wu...yWt-\} является
нильсеновским и показали, как перейти от 1У* к нильсеновскому
множеству 1У. Очевидно, множество {lyij является нильсеновским
Это позволяет, применяя описанную выше процедуру, сделать
нильсеновским множеством (IFi, 1^2}- Продолжая этот процесс и учиты
вая, что длины преобразуемых слов не изменяются, мы сделаем ниль
сеновским множество {Wu ..., Wt-\] и, наконец, множество 1У*,
Теперь опишем в явном виде метод для невозрастающего
перехода от множества W к множеству 1У*. Будем применять к W
элементарные нильсеновские преобразования типа B) или типа C)

136 Гл. 3. Преобразования Нильсена
Если при каждом таком преобразовании суммарная х-длина
множества W строго возрастает, то полагаем W* = W» В противном
случае обозначим через W^y Wi2y •••, W\k, всевозможные множества
наименьшей суммарной х-длины, полученные из W и отличные от
W. К каждому из множеств Wuy 1 < / < k^y применяем
всевозможные элементарные нильсеновские преобразования типа B) или
C). Если существует множество W]j суммарная х-длина которого
строго возрастает при каждом таком преобразовании, то полагаем
\17* = w^., В противном случае обозначаем через l^oi» ^^22» •••» ^'^2k^
всевозможные множества с минимальной суммарной л:-длиной,
полученные из множеств Wi^ иотличныеот IF, Wn, ..., Wik,- Описанную
процедуру применяем к множеству W21» •••» ^2/г, и так далее. В
результате получим множество IF, IFu, ..., W21,..., IF31, ... Это м[10жество
конечно, так как все его элементы различны, имеют суммарную
х-длину, не превосходящую Lx (IF), и содержат только те х-символы,
которые входят в слова из IF, т. е. содержат конечное число
различных х-символов. Следовательно, если мы не получим множества IFf/,
суммарная х-длина которого строго возрастала бы при каждом из
указанных нильсеновских преобразовавши, то при некотором q мы
получим из множества IF^^,..., Wqk^ только те т-ки IF^^+i. /, которые
уже встречаются в списке IF, IFj,,.-» W^i, ..., \F^/?^. Тогда в
качестве IF* можно взять любое из этих IF^/. Обоснование этого метода
предоставляется читателю в качестве несложного упражнения. ^
Следствие 3.1. Пусть Н — конечно порожденная
подгруппа свободной группы F с образуюищми [Ху] и IFi,..., IF^ — нильсе-
новское множество образуюи^их подгруппы И. Тогда среди всех систем
образуюи^их группы Н система [W^] имеет наименьшую суммарную
Х'длину,
Доказательство. Пусть F^,..., V^ есть множество
образующих подгруппы Н. По теореме 3.1 существует невозрастающая
последовательность элементарных нильсеновских преобразований,
переводящая F^,..., F^ в Fi,..., F^, 1,,.., 1, где множество {FJ
является нильсеновским. Очевидно, достаточно показать, что L^ (FJ >
> Lx (\Fi). Докажем, что множества (F^} и {Wi] имеют одинаковое
число слов данной длины k. В силу условия A1) слова из {V^-}, л'-дли-
на которых ^ky являются образующими для подгруппы Hi^ группы
Ну порожденной всеми словами из Я, х-длина которых </2. Так как
ранг группы Hf^ определяется однозначно, то множества {F^} и
{W,} имеют одинаковое число слов длины <й и, следовател^лю,
одинаковое число слов длины k. Таким образом, Lx{{Vi]) =;

3.2. Редукционный процесс 137
Из теоремы 3.1 непосредственно следует, что конечно
порожденная подгруппа свободной rpynrn^i свободна. Докажем, то произсоль-
ная подгруппа Н свободной гр> ппы F^ с п образующими также
является свободной. Достаточно доказать, чю // обладает нильсеновской
системой образующих. Обозначим через Я^ подгруппу группы Я,
порожденную всеми словами из Я, х-длина которых не превосходит k.
Так как F^— конечно порожденная группа, то группа Hj^ также
является конечно порожденной. Любое нильсеновское множество
Wiy ..., Wt образующих группы Я^, мы можем расширить до нильсс-
новского множества образующих группы Я/^+ь В самом деле,
рассмотрим щильсеновское множество Vi, ..., V^ образующих группы
Я/г+1. в силу условия (ii) те l/y, л'-длина которых <:/е (обозначим их
V',,..., Vt)y будут образующими группы^ Я/^. Следовательно,
множество
W„ .... W„V,+u ..., I's G)
имеет ту же суммарную ;\:-длину, что и множество l/,,..., У^» и может
быть взято в качестве W* в редукционном процессе, описанном в
доказательстве теоремы 3.1. Так как L^{Wi) ^ k <, L^ (Vj), если
j > ty н так как множество IF,,..., Wt является нильсеновским, то
при применении редукционного процесса к множеству G) слова
Wiy ..., Wt (с точностью до обращения) не изменяются. Таким
образом, мы можем построить такую последовате-льность М1южеств W^^\
k = \у 2у .,.у что
W^'' ^ Г^^> ^ ... ,
где W^^^ есть нильсеновское множество образующих группы Hj^,
Следовательно, множество
будет нильсеновским множеством образующих группы Я. Для
случая, когда группа F является счетно порожденной, см. задачу 5.
Применим изложенную теорию к изучению автоморфизмов
свободной группы. Нам понадобит я несколько простых замечатш.
Пусть {Xvl, V =^ 1, ..., /г,— свободные образующие rpynnF^i F^.
Любой эндоморфизм а группы F^ достаточно задать на образующих
Xv. Если а (ху) = Yv (хк) и эндоморфизм а является
автоморфизмом, то {Yy\ есть множество свободных образующих группы F^.
Верно и обратное. Если [Ух{хх)} есть множество слов, то отображение
а: Ху -> У у {xi) (8)
определяет единственный эндоморфизм а группы F^y а именно,
эндоморфизм
а: U(Xy)^U{Yy(x^)),
Если при этом множество {Yv} свободно порождает F„, то а
является автоморфизмом. Отображение (8) называется подстановкой

138 Гл 3. Преобразования Нильсена
на образующих Xv или, короч-^, просто подстановкой на Xv Если Kv
свободно порождают F„, то подстановка называется свободной
подстановкой на образующих Ху, Если имеется другая подстановка,
Р: A'v->Zv(x?J, (9)
то произведение Ра, есть, по определению, подстановка
Ра: Xv->Fv(Zv(x„)). A0)
Очевидно, что Ра = ра. В частности, группа А^ автоморфизмов
группы F„ изоморфна группе свободных подстановок на образующих
Xj, ..., Х^,
С каждой свободной подстановкой мы можем связать не только
автоморфизм группы /^„, но и некоторое преобразование п-ки
несократимых слов в символах Ху. Пусть, к примеру, п == 2.
Рассмотрим подстановки ^
^0* "^1 "~^ -^х-^г» ^2 ~^ ^2^
Ро* XjL —> A^i, X2~>Xi Л*2.
Так как для подстановок ад, ]Зо имеются обратные, а именно,
ао .' Xi ~> ^1^:2 » -^2 ^^ -^2»
Ро ¦ Х^—>Х^, Х2"~^-^1-^2>
то а^, Ро определяют автоморфизмы а^, р^^руппы F^ и, следовательно,
являются свободными подстановками. С а^, Ро мы можем связать
следующие преобразования упорядоченных пар (l^i (xv), W2, (ху))
несократимых слов:
Очевидно, что Na„ Л/^р, являются элементарными нильсеновски-
ми преобразованиями. Заметим, что Л^р„Л^а„ есть преобразование
Т. е. сначала выполняется Na^, а затем N^^. Следовательно,
преобразования iVpoA^ao и Л^Мо совпадают. В общем случае, если а есть
свободная подстановка (8), то нильсеновским преобразованием Noi
ранга п назовем преобразование
т. е. преобразование, заменяющее v-ю компоненту Wv yv-комбина-
цией компонент Wj,..., W^- Очевидно, что если Р есть свободная
подстановка (9), то N^Na =« Л^|3с5- Следовательно, соответствие
^t-^N^ A1)

3.2. Редукционный процесс 139
есть изоморфизм группы А^ автоморфизмов группы f,^ на группу Л^^
нильсеновских преобразований ранга п. Элементарными
автоморфизмами свободной группы F^^ со свободными образующими х^у ....х^
назовем автоморфизмы, которые (при отображении A1))
соответствуют элементарным нильсеновским преобразованиям A) — D).
Например, автоморфизмы а^, р^, определенные подстановками ад, Ро>
суть элементарные автоморфизмы свободной группы -Fg с
образующими ^1, х^.
Теорема 3.2. Пусть F^ — свободная группа со свободными
образующими л:1,..., х^, п — конечно. Образующими группы А^ всех
автоморфизмов группы F^ являются элементарные автоморфизмы
группы F^,
Доказательство. Пусть а есть автоморфизм группы F,^
и Na — соответствующее преобразование Нильсена. Пусть
Л^сб (^1, •. м ^J -= {Yi (хх), ,». , Y^ {х^)).
В силу теоремы 3.1 мы можем найти такую последовательность
Na^i'-'t Naj^ элементарных преобразований Нильсена, что множество
^Ч -..Л^аЛ^!, •-, ^.) A2)
является нильсеновским. Все элементы множества A2) отличны от I,
поскольку по теореме 2.4 группа F^ не может порождаться менее,
чем п образующими. Как мы отмечали выше, любое нильсеновское
множество образующих группы F^ получается из (Xi,..., л:^^) с
помощью элементарного нильсеновского преобразования Л^^,^ типа
A). Следовательно,
Na,^,Na, , , , Л^,^ (Г^, . . . , У,) - (Х„ . . . , лд,
откуда следует, что
No. = N^l ,,. NalN~'
Таким образом,
а/г+Г
а =а аГ •¦# а/г а^ь ^
Теперь легко доказать, что всякая конечно порожденная свободная
группа является хопфовой. В самом дел'е, пусть W^ {х}), ..., ^^{хг)
есть множество образующих группы f„, п конечно. Как вытекает
из доказательства теоремы 3.2, существует последовательность
элементарных нильсеновских преобразований, переводящая м-ку
A1^1,..., Wj^ в П'Ку (^1, ...,a:J. Следовательно, существует
автоморфизм, отображающий Xv в Wv (а), v = 1,..., п. Поэтому W^,..., tt^^
свободно порождают F^.
В качестве другого приложения нильсеновских преобразований
рассмотрим проблему вхождения для свободных групп. В общем
случае эта проблема ставится следующим образом. Пусть задана

140 Гл. 3. Преобразования Нильсена
Группа
G = (л'1, .. . , а:^; /?i (Xv), ... )
и пусть Wi (a'v), ..., W„i {x^) — множество слов в символах Xv.
Проблема вхождения для группы G относительно ее подгруппы Н,
порожденной словами U^i,..., W,j^y состоит в следующем: построить
алгоритм, который распознавал бы по произвольному заданному слову
V (Ху;), принадлежит оно подгруппе Н или нет. Приведем решение
этой проблемы для конечно порожденных подгрупп свободной
группы.
Пусть F — свободная группа с образующими х^,..., х^, и пусть
несократимые слова Wi (л\),..., W^^^ (Xv), где т конечно, порождают
подгруппу Н. Используя редукционный процесс теоремы 3.1,
преобразуем множество (Wi,..., IFJ в (Wi,..., Wi, U •.., 1), где (W^,...
..., Wf) есть нильсеновскоё множество. Тогда Я порождается
элементами W'l,..., Wf. Предположим теперь, что V (Ху) есть результат
сокращения (в символах Xv) произведения П\^/^, г^ = ±1. В силу
условия (iii) либо старшее начало, либо левая половина слова W^i]
является началом слова V (х^). Составим таблицу из двух столбцов,
строки которой соответствуют словам W^, W^ ,..., IF^, WT и
состоят из старших начал (в первом столбце) и левых половин (если они
имеются) — во втором. Посмотрим, имеется ли в первом столбце
старшее начало S некоторого W'j^ которое является началом слова
V (Xv). Если имеется, то IF/ = Wf^. В самом деле, в силу условия
(iii) слово V (Xv) начинается с изолированного начала S' слова l^fj.
Поэтому одно из слов 5, 5' является началом другого. Но 5, 5'
изолированы. Следовательно, W^ = Wi\, Если же в первом столбце
нет старших начал, являющихся началом слова V (а^), то во втором
столбце имеем слово U наибольшей х-длины, являющееся началом
слова V (Ху). Такое найдется в силу условия (iii). Пусть U — левая
половина слова W^ а f/'— левая половина слова Wf^. Слово U'
является йачалом слова У, следовательно, U начинается с U\ А так
как [/' изолировано, то W^ = Wi]. Таким образом, мы мол<ем
восстановить W^il. Применяя описанный процесс к редуцированному
слову WilV, мы сможем восстановить wil Продолжая таким
образом, мы в конце концов получим пустое слово и, следовательно,
выразим V как слово в 1^-символах. При этом число шагов,
необходимое для получения пустого слова, равно W-длине слова У, которая
в силу условия (i) не превосходит L^ (V). Чтобы решить теперь,
будет ли произвольное слово V (ху) определять элемент из Я, приме-

3 2. Редукционный процесс 141
ним к V описанный выше процесс. Если не более чем за Lx(V) шагов
мы получим пустое слово, то V^ принадлежит Я. В противном
случае — не принадлежит.
Теорема 3.1 можег быть использована для отыскания нормальных
делителей свободной группы, фактор-группы по которым свободны.
О^езидио, что если \\ (л\), ..., К,ДА,) являются свободными
образующими свободной гр\ппы F,^ с образующими л'^, ..., х^^, то группа
будет свободной. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 3.3. Пусть F^ (п — конечно) есть свободная группа
€ образующими ^1,..., Xf^. Если группа FJH свободна, то существует
ли охество свободных образующих Y-^ (Xv), •••, Y^ (х^) группы F^ та-
hi::, кто И есть нормальная подгруппа, пор:ждснная F^, ..., У^^,
к < п.
Доказательство. Пусть а^, ..., а,,^ — свободные
образующие группы FJH, и пусть Г] — естественный гомоморфизм группы
F„ на FJH. Предположим, что г) (Ху) = Wv {a^i). Тогда элементы
17, (^j^i), ..., W^ (а^) порождают группу FJH, Так как FJH есть
свободная группа, то существует такое нильсеновское преобразование
Nr, ранга /г, что
NaiWiia^), ..., WJa^)) = {U ,,., I а^, ,,,, aj.
Если
Na (Xi, . . . , Xn) - (Y^ (Xv), , • . , Y,, (Xv)),
TO
Ц {Yj (Xv)) = Yj {Ц (Xv)) = Yj {Wy (a,0) == U /-!,.,.,&
и
Ц {Yk-^K (xy)) = F/e+x (Wy (a^)) = ax, Я = 1, ,.. , m,
где k = n — m. Очевидно, что Fj, ..., F^ свободно порождают F^
и что Yj ? Я, 1 <[ / <;й. Обозначим через N нормальную подгруппу
группы f,j, порожденную словамиF^,..., Y^, Докажем, что N =^ Н.
Пусть и (Fv) ^ Я, V ^ 1, ..., д. Смежные классы группы FJN
порождаются элементами Yk+u •••, F^. Следонательно,
U(Y,) = S{Y,+u ..., F,)/?(F,),
где S есть несократимое слово в символах F^, /е < ?u < я, а /? (FvN
^ Л^. Таким образом,
11 (f/ (Fv)) ==1=^8{ц {F,+i), .., , Ti (FJ) л {R (F,)) == 5 (a^, ,,. , a J.
Так как a^, ..., a^ суть свободные образующие, то слово 5 должно
быть пустым. Тогда U (Fv) ^ N и, следовательно N ^ Н. ^
Преобразования Нильсена позволяют иногда найти более удобное
представление для групп, заданных образующими и
определяющими соотношениями. Этот переход основан на следующем
утверждении.

142 Гл. 3. Преобразования Нильсена
Лемма 3.2. Пусть
G-(Xi, .,., х^] /?^(xv)). A3)
Пусть, далее, Na есть такое нильсеновское преобразование ранга п,
что
Мое (Xi, ... , xj = {Y, (X,), ... , У, (А)) A4)
и пусть
N~' (X,, ... , xj = (Z, (хк). ... , Z, (X,)), A5)
Тогда группа G имеет представление
G^(Y,, .,., У,; R^(ZAYx))).
Другими словами, чтобы получить новые определяющие соотно-
шения в F-символах, надо выразить иксы через игреки и
подставить в старые определяющие соотношения.
Доказательство. Пусть F^ —свободная группа с
образующими Хи.,,уХп, и пусть Н — ее нормальная подгруппа,
порожденная словами R^ (Xv). Очевидно, что если мы запишем R^ в
других свободных образующих [У^ (хх)] группы F„, то
переписанные слова будут нормально порождать ту же подгруппу Н. Из A4)
следует, что
(л-1, •.,, х^) = Na^ (У1 {Х}Х . *», Уп(^?.)).
А это в свою очередь в силу A5) равно
(Zi(n(xp)), .,., г,{УихЖ
т. е. Ху; есть Zv-комбинация 7-ков. Следовательно, R^x (Xv),
выраженное через F-ки, имеет вид /?ц (Zv (Ук)). ^
Преобразование Нильсена A4) определяет свободную
подстановку и, следовательно, автоморфизм свободной группы со
свободными образующими Xi,..., х^. Возникает вопрос, при каких
условиях преобразование A4) будет определять автоморфизм группы G с
образующими Xi,...,a:„ и определяющими словами R^x (х^)?
Лемма 3.3. Отображение
Ху^ -> У V (^?,)
может быть продолжено до автоморфизма группы
0= (ATi, ... , х„; R^ix,;))
тогда и только тогда, когда в группе G выполняются равенства
(a) /?^(У,(х,))=],
(b) /?^(Zv(xO) = 1,
где yv, Zv те же, что в A4), A5).
Доказательство. Предположим, что преобразование
A4) определяет автоморфизм а группы G, Так как R^ {Ху^) = 1
в группе G, то а {R^ {х>,)) =- \^R^{a{x^))-=-R^{y>,{x%)). Далее,

3.2. Редукционный процесс 143
а~~^ такл<е есть автоморфизм. Преобразование Нильсена,
соответствующее а~^ является обратным преобразованию Нильсена,
соответствующему а, т. е. Л^^-_1 =^ Na^. Следовательно, а-^ (ху) =*
= Zv (хк), откуда а~^ (R^ (х^)) = R^ {а-^ (Ху)) = Rix (Zv (хх)) =-
— 1. Таким образом, равенства (а), (Ь) выполнены.
Предположим теперь, что в группе G имею! место равенства
(а), (Ь). В силу следствия 1.1.2 отображения
Ху—^Уу (хх), Ху-> Zy (хх)
могут быть продолжены до гомоморфизмов аир группы G. Так как
преобразования A4) и A5) взаимно обратны, то аР и Ра отображают
Xv в самихсебя. Следовательно,а и Р суть автоморфизмы группыС.^
X и г м э н [4] построил такие группу Си отображение а,
определяемое нильсеновским преобразованием, что имеет место (а). Однако
а не определяет автоморфизма группы G. Конечно, G не является
хопфовой группой. Для хопфовых групп условие (Ь) следует из (а).
Лемма 3.2 используется в дальнейших разделах. Значение
леммы 3.3 будет ясно из раздела 3.6.
Полученные результаты относятся главным образом к конечно
порожденным группам. Из задачи 10 к настоящему разделу видно,
что существуют бесконечные множества слов, которые не могут быть
преобразованы в нильсеновские множества с помощью конечного
числа нильсеновских преобразований. Однако, хотя и неизвестно
никакого общего конструктивного метода для преобразования
заданного бесконечного множества образующих в нильсеновское
множество, тем не менее всякая подгруппа свободной группы F
обладает нильсеновским множеством образующих. На самом деле
свойством Нильсена будет обладать любая минимальная шрейеровская
система образующих подгруппы Н (т. е. множество образующих
подгруппы Я, полученное из минимальной шрейеровской системы
представителей для F по Н способом, указанным в разделе 2.3).
Теорема 3.4. Пусть [х^] есть множество свободных
образующих группы F и Н — подгруппа группы F. Тогда любая
минимальная шрейеровская система образуюи^их для Н обладает свойством
Нильсена, И наоборот, каждое нильсеновское множество образуюшдх
подгруппы Н является {с точностью до обраи^ения) минимальной
шрейеровской системой образуюи^их.
Доказательство. Мы уже видели при доказательстве
теоремы 2.11, что минимальная шрейеровская система образующих
для Н обладает свойством (ii). Докажем, что она обладает свойством
(i). Пусть [Ki] — шрейеровская система представителей для F
по Н (не обязательно минимальная). Соответствующими шрейеров*
скими образующими для Я будут [КхуМ~^}, гдеМ является
представителем Кху, а Kxv не равно свободно представителю. Таким
образом, как шреиеровский образующий, так и ему обратный имеют вид

144 Гл. 3. Преобразования Нильсена
КхуМ''^ г = it\, К, М — представители и Кх^ свободно не равно
представителю. Пусть ,
и =^ A<,х1\МТ') ... (КЛ',М7') AG>
есть несократимое слово в шрейеровских образующих. Докажем,,
чго после полного сокращения (в символах Xv) слова U остаются
Ху[у j = и ..., ^, Ki и М7\ Применим индукцию по л Для г = 1 эго
очевидно, поскольку шрейеровские образующие являются
несократимыми словами в символах Ху, Рассмотрим слово дли'ны г + 1 в
шрейеровских образующих
U{Kr+,xJ;l\M7-li). A7)
"^ Предположим, что Xv^ исчезает при полном сокращении слова A7).
Тогда MrXv/ является началом правого множителя в A7). Так как
M,Xv ^ не является представителем (ибо тогда M^Xv^'' = Кг), то она
не может быть началом слова Л^а+ь Аналогично, KrA-\Xv['^x ^^ ^^^"
жет быть началом слова /И^. Следовательно, М^х^^' = Kr-\-\xJ^,\-
Взяв от обеих частей представ[1тели, получаем К^ = Mr+i. Следо-
вательно,
ЧТО противоречит нecoкpaти^юcти (в шрейеровских образующих)
слова A7). Аналогично доказывается, что Xv^^, не исчезает при
сокращении слова A7). Таким образом, любая и]рейеровская система
представителей удовлетворяет условию A). Мы доказали, что всякая
минимальная шрейеровская система образующих является нильсе-
новской.
Рассмотрим теперь нильсеновское множество [Wi (л\)} обра^\-
ющих подгруппы Я. Будем предполагать, что у слов IF, четной длины
изолированы правые половины (в противном случае заменяем IV.
на Wr^). Запишем Wi в виде
р.
w,=^u,x4y7\ 8,-±1, Aг>
где V7^ есть младший конец слова Wi . Имеем L^(V^)< —L^ (W,),
^xi^d ^ — ^^xi^i)' Покажем, что слова (/^, Vi имеют
минимальную длину в содержащих их смежных классах по Н. Предположим^
что слова Ui, R принадлежат одному и тому же смежному классу,,
причем L^ {R) < Ц ((/,). Тогда U,R~'^ = Q (W^j), где Q есть не-

3.2. Редукционный процесс 145
сократимое слово в й^-символах. Так как L^ ([У,/?~') < L^ A17^),
то Q не содержит ни Wi, ни Wr^, Следовательно, L, (U^T^Q) ^
=^ L^ A/^Xv '/?~^) < L;, (H7J, что противоречит условию (li).
Аналогично доказывается, что V^ имеет ^иiнпмaльн\ю длину в своем
смежном классе. Отсюда легко следует, что люОое начало слов t/^, \\
имеет минимальную длину в своем смежном классе. В самом деле,
если, например, Ui = UiUi и HUi ^ ЯР, где L^ (Р) < L^ (/7<),
то PUi лежит в том же смежном классе, что и U^, но имеет меньшую
длину.
Докажем теперь, что если 5, есть начало одного из слов t/j-, \\^
а S/ — начало Uf или V/ и Si Ф S,y то S^, S/ лежат в разных смежных
классах по подгруппе Н, Предположим, что S^Sy^ ^ Н. П>сть
S^S^' = W?: .. . ?•'; ^ Q (U7,^), г|о - ± !.
Так как S^-, 5, имеют минимальною длину в своем с\'е;гном
ьлессе, то Lx (SJ = Lx (Si), в силу ус.юзия (li) имеем L^ (S^S7^) ^
>LAWtX LA^tr)' Поэтому L,[S,)>^L,{Wt^l-]j-L,(W,),n<:ii'
лу условия (iii) несократимое слово S^S~ начинается
изолированным началом слова W^^l и оканчивается изолированным концом
слова Wt\ причем эти начало и конец не пересекаются. У\и MOi.cM
считать, что 6^ начинается изо тированным началом слова Г/)|'
(з противном случае слово S~' очанчиваегся на июлированный кс-
нец слова W/^ и вместо S^S~ мы рассмотрим SjSJ'^). Тогда,
очевидно, W^l совпадает с Wi или с 117Г'. Но L^E^)<-7-Lj,(lFJ, Поэюму
L^(SJ=:-7^L^(l\7^) и, следоватетьно, S^ = 6V Из последнего
равенства выгекает, что 5~ оканчивается на изолированный конец
слова W/, так что Sf^Uj. Используя условие (i), получаем
Q (Wf) = W^WJ'^ = U^U~\ что противоречит изолированности
правой половины слова Wf.
Теперь нетрудно убедиться, что существует минимальная шрей-
еровская система представителей для F по Н, в которой каждое
слово Ui, Vi из A8) является представителем. Действительно, в
множестве всевозможных начал слов f/^, Vi два различных начала принад-
лел<ат разным смежным классам по подгруппе Я, Поэтому, как
утверждается в задаче 23 к разделу 2.3, это множество может быть
расширено до минимальной шрейеровской системы для гр\пны F по
подгруппе Я.

146 Гл. 3. Преобразования Нильсена
Докажем, наконец, что одно из слов Wi, W7^ является шрейеров-
ским образующим, полученным из системы представителей, которая
построена выше. В самом деле, рассмотрим слово U^^ из A8). Если е^.=
= 1, то Wi = UiXy^VT^. По построению Vi является
представителем, так что Vi является представителем для f/t-Xv^. Если же в^ == — 1,
то WT^ == ViXv^Ur\ так что Ui является представителем для F^Xv^,
Теорема полностью доказана. -4
Таким образом, Нильсен и Шрейер, действуя различными
методами, пришли к одной и той же системе образующих для подгруппы
свободной группы.
Следствие 3.4. Пусть группа F свободно порождается
образующими {xv}, и пусть Н — подгруппа группы F. Тогда любое
слово минимальной х-длины I в подгруппе Н является примитивным
элементом в Н. Если [Wi] — нильсеновское множество образующих
для Я. а Уф\—слово из Я, то LAV) — Lw {V) > I — 2.
Если I нечетно, то неравенство можно усилить: Ь^ {V) — Lw{V) >
>/— 1.
Доказательство. Пусть
V{W,) = W"[ ... \F-;, е,^±1
есть несократимое слово в 1}7-символах. Используя условия (i) и (iii),
получаем
LAV)>±LAWi,) + '^LAWi;)+r-2>l + L^{V)-2.
Следовательно, L^ (V) — Lw{V) ^ I — 2. Если / нечетно, то в
силу условия (iii) от каждого из слов Wl[y W/ остается по крайней
мере V2(/ + 1) х-символов, так что L^ (V) — Lw(V) > / — 1.
Наконец, если V имеет длину /, то в силу первого неравенства Lw (V) <: 2.
Поэтому 1/является либо примитивным элементом в Я, либо
квадратом некоторого и^-символа, скажем, квадратом Wi. Если Wi =»
= STS~ , где Т — непустое циклически несократимое слово и К =»
= Wu то V = ST^S~ , где правая часть последнего равенства
несократима. Следовательно,
/ ^ L, (V) ^ L, iSrS-') > L, {STS-') = L, (Г,),
что противоречит определению числа /. ^
Задачи
1. Показать, что множество [а^, Ь^, аЬ) удовлетворяет условию (ii), но не
удовлетворяет условию A).
2. Пусть F — свободная группа с образующими х^ ^ а, Х2= Ь, и пусть W =^
в= [Ьа—^, ba^by b^y а^}. Показать, что одно элементарное преобразование
Нильсена не уменьшает суммарную лг-длину множества W, а последовательность двух
элементарных преобразований — уменьшает»

3.2. Редукционный процесс 147
3. Используя лемму 3.1, доказать, что в свободной группе F с образующими
а, b множество {6"аЬ""^}, п ^ О, ±1, ±2,..., является нильсеновским и,
следовательно, свободно порождает некоторую подгруппу группы F,
4. Показать, что подгруппа из задачи 3 есть наименьшая нормальная
подгруппа Я, содержащая а. [Указание. Слово W определяет элемент из Н тогда и
только тогда, когда сумма показателей при b в этом слове равна нулю. Пусть
W КЗ Ь^^а!^^ ,,, b ''а '' ? Н, Тогда W свободно равно произведению множителей
Следовательно, множество {b^ab~^} свободно порождает Я.]
б. Используя задачу 3 и замечание, сделанное после следствия 3.1, доказать^
что подгруппа счетно порожденной свободной группы свободна.
6. Пусть F — свободная группа с образующими х^ = а, л:2 = ^, и пусть W^ ==>
t= а^, ^2 « ba~~\ Показать, что множество tt^^ = а^, IFglFj"^ с= ба""*^ является
нильсеновским в lF-символах, но не в д;-символах. С другой стороны, множество
W^ = a^,W^W2 =3 a^ba~^i W^W-^ s=3 ba является нильсеновским в л:-символах, на
не в W-символах.
7. Используя теорему 3.1, показать, что свободная группа с образующими
х^у ..., л:/2 (где п конечно) не может порождаться менее чем п элементами.
8. Показать, что все элементарные нильсеновские преобразования ранга п
(где п конечно) порождаются нильсеновскими преобразованиями,
соответствующими свободным подстановкам г]^, р^у» i Ф /, где
%•: XI -> x7^ ^к -» >^ь k Фи
[Указание. Заметить, что Р^^ соответствует преобразованию B). Элемеигар-^
ное преобразование C) имеет вид
транспозиция г^^, г =^ s,
т^.^: Хг -» Xs, Xs -> Xr, Xk -> Xk^ кФ л, s,
может быть записана в виде No - N^ * Nr. - N^ - N^ - N ,.]
9. Показать, что если W есть непустое несократимое слово, то старшее начале-
и левая половина слова W не могут быть началом слова W"^. Старший конец и
правая половина слова W не могут быть концом слова W~^,
10. Пусть F—свободная группа бесконечного ранга с образующими х^, ...
... дг;!, ... Показать, чтолг!, х^лгг» "мЛ:!---^/!»-»-также являются свободными
образующими для F, Показать, что не существует конечной последовательности
элементарных нильсеновских преобразований, которая преобразовывала бы последнее
множество в множество х^^ а:2, ..., Xfj, .,,
11. Найти метод, позволяющий в конечное число шагов определить по двум
заданным конечным множествам слов свободной группы F, порождают ли они
одинаковые подгруппы. [Указание. Преобразовать каждое множество в нильсе-
новское. Используя разрешимость проблемы вхождения, определить,
принадлежит ли каждое нильсеновское множество подгруппе, порожденной другим.]
12. Пусть F — свободная группа с образующими {х^}, а F — свободная
группа с образующими [у^]. Даны W^ (х^), ...,Wrix^) и V^ (у^),..., Vr (у^), где г
конечно. Построить алгоритм, распознающий по заданным Wj^, ..., W^ и Vi, ..., Vr,.

148 Гл 3. Преобразования Нильсена
определяет ли отображение^^/ (\^^ -> \\ (//|^) изоморфизм подгруппы // группы F,
порождепноЛ слова\п1 11^,,..., U^V. и подгруппы /У группы F, порожденной словами
V^j, ..., Vr- [Указание. С помощью преобразования Нильсена Na ранга г
преобразуем {\Х\,..., W^} в (W^, ...,W^, I,-.-, I), гдемножество(и^''р ...,W^^^
является {П1льсеновским. Применим Д^^ к {У^, ..., Vf.)y получим (Кр..., Vr). Рели
отображение Wi -у l/i определяет изоморфизм, то V^^_|_i=> ... = К^ = 1, а 1/j, ..., 1/^
должны быть свободными образующими. Для проверки последнего преобразуем
(I'^j,..., V^) в нильсеновское множество. Если (Vj, ...,1/^ — свободные образующие,
10 отображение W. -> 1/. определяет изоморфизм между Н и Н. Так так множество
(U^l,..., W"^) является нильсеновским, то мы можем выразить IF^ (х^,) как
Q (W'j (х^)). Если теперь V^ {у.^} = Qi (F- (f/jj^)), то отображение W. -> 1/^
определяет изоморфизм между Н и //.]
13. Пусть F — свободная гр>ппа с образующими
•^1» ¦••» ^п> ^ — конечно, и
Н — ее подгруппа, порожденная li/,, ..., W,^^, где m конечно. Построить алгоритм,
распознающий по словам W^, ..., W^, имеет ли Н конечный индекс.
[Указание. Преобразуем множество l^i,..., 1F,„ в нильсеновское множество (W,, ..., W().
Если Н имеет конечный индекс /, то по формуле Шрейера (теорема 2.10) для ранга
имеем t =2 j {п — 1) + I. Если п = 1, то алгоритм очевиден. В противном случае
/ =z (t—l)/(n — 1) Следовательно, существует шрейерозская система
представителей для F по подгруппе Я, в которой каждый представитель имеет длину ^ /.
Перенумеруем все слова длины < /+1. Используя разрешимость проблемы
вхождения для группы Я с нильсеновским множеством образующих W^ , ...,Wf, мы можем
разбить все слова длины ^ / -h 1 на классы в соответствии с тем, какой смежный
класс по Я они определяют. Если мы получим в точности / различных классов,
каждый из которых содержит слово длины ^ /, то Я имеет индекс /.
Действительно, каждое слово длины / + 1 лежит в смежном классе некоторого слова длины
=^ / и потому любое слово лежит в смежном классе некоторого слова длины < /.
Но таких классов имеется ровно /. ]
14. Пусть F — свободная группа с образующими ati, ..., х^, п — конечно, и
Я — ее подгруппа, порожденная W^, ..., IF^, т — конечно. Указать
конструктивную процедуру для построения нормализатора подгруппы Я. [У к а з а н и е.
Нормализатор Nf^j подгруппы Я является свободной группой и содержит Я в
качестве своей нормальной подгруппы. Так как подгруппа Я конечно порождена,
то это же справедлизо для yV^_ Поэтому Я имеет конечный индекс в Мц{см. теорему
2.10). Пусть (/],..., и^ есть нильсеновское множество образующих группы /V//.
Если Я содержится в подгруппе, порол<денной некоторым собственным
подмножеством слов Ui_ ,то Я не может иметь конечный индекс в Л^^^. Следовательно,
каждое Ui должно встретиться в записи некоторого Wj в L^-символах. Так как U^, ...
..., Ur — нильсеновское множество, то Lx (Ui) ^ L^ A^/) для некоторого /.
Следовательно, каждое Ui имеет ;\:-длину ^ max L^ {^i)y / = 1, •••, т. Существует лишь
конечное множество таких слов V. Для каждого Wj построим VWjV~^ и,
используя разрешимость проблемы вхождения для Я, отберем те V, для которых
VWjV^ g Я. Эти V, очевидно, и будут порождать iV//-l
15. Ретрактом Н группы G называется такая подгруппа Я группы G, что
существует гомоморфизм G на Я, тождественный на Я.
(a) Показать, что подгруппа Я группы G является ее ретрактом тогда и
только тогда, когда каждый гомоморфизм Я в группу К может быть продолжен до
гомоморфизма Q в К-
(b) Показать, что Я является ретрактом группы G тогда и только тогда,
когда G имеет такой нормальный делитель Л^, что G =» HN и Я П ^ = Ь

3.3 Фактор-группа по коммутанту И')
(с) Показать, что если F ость сипбодная гр\ппа paiira п, где п конечно, то все
ее ретракты можно гюлучить следующим образом. Возьмем множество свободных
образующих йр ..., Qn группы F и положим
и^ = ajC|, . . . , Ur = arCf, г ^ п,
где С/ принадлежит нормальной подгруппе группы /^, порожденной образующими
о^. J, ... ,G,;. Тогда Н порождается элементами U\, ..., Ur.
[У Казани е. Для (а) использоватьтождестве!июе отображение // на Н.
Для [Ь) отобразить G N на Н при помощи отобрал<ения fiN-^ /2, где h (^ Я, и
показать, чго это отображение является изоморфизмом Для (с) показать с начала. »'^о
отображение ^р -^ а^,а^ -^ 1, где р < г, а>л, есть рстрактный гомоморфизм G на //.
Обратно, предположим, что а есть ретрактный гомоморфизм G на Н Если ';,, .
.... bt^ — свободные образующие для F^ioaib^), ...,а{Ь,^) можно преобразовать по
Нильсену к виду ([У^ ..., и^, 1, ..., 1), где (У,, ..., ^7^, свободно порождглот// При-
мэняя эго же нильсеновское преобразование к Ь,, ..., Ь^, пол\чим такое множесиш
свободных образующих а^, ..., а^ группы F, что а {аJ) = 0^, 9 ^ f, и а (а^) =
= 1, а > г. Но тогда, как при доказательстве теоремы 3.3, ядро гоя'оморфизма
есть нормальная подгруппа Л^ группы F, порожденная а^^ а > г. Так как а
тождественно на Я, то а (UJ = U^ — а (а^), р < г. Следовательно, U = OqC
где Ср принадлежит нормальной подгруппе, порожденной fl,.i р ..., й;^.]
3.3. Фактор-группа по коммутанту
Пусть F — конечно порожденная свободная группа, и Н —
конечно порожденная подгруппа группы F. В предыдущем разделе
мы видели, как построить нильсеновское множество образующих для
Ну исходя из данного множества образующих. Основную роль при
этом играли нильсеновские преобразования. В настоящем
разделе мы используем нильсеновские преобразования для псстрсспия
другого множества образующих подгруппы Я, котс[)ос удобно при
изучении коммутанта и фактор-группы по коммутанту группы F/H,
где Н есть нормальный делитель, порожденный Я.
Теорема 3.5. Пусть F — свободная группа со свободными
образующими Xi, ..., х,-1у и Н—ее подгруппа, порожденная
образующими Wi (Xv), ..., Wfj^ {хх)у т > п. Тогда можно построить
множество у^у ..., у^ свободных образующих группы F и множество
образующих v^y ..., v^ подгруппы Н тмкие, что
Vi=^Уt%{У^l /- 1, ..., Д, A)
Vj = Qj{yv). n<j<my B)
где di > О, d/+i делится на d^, каждое из слов Q^-, Q/ имеет сумму
показателей нуль по каждому из образующих у^. Показатели di
однозначно определяются подгруппой Н.
Доказательство. Отметим сначала, что условие т^ п
не ограничивает общности, поскольку к данному списку
образующих можно добавить сколько угодно единичных элементов.
Условия A) и B) легко записать с помощью суммы
показателей. Если через <3у^ обозначить сумму показателей относительно

150
Гл. 3. Преобразования Нильсена
образующего t/i, то мы получим
где 6i/j == 1, если i = k, и dik = О в противном случае. Это наводит
на мысль рассмотреть «матрицу суммы показателей» для множества
образующих подгруппы Н относительно множества свободных
образующих группы F, Более точно, мы введем именованную матрицу
суммы показателей. Это есть целочисленная матрица, строкам
которой поставлены в соответствие свободные образующие группы F
(имена строк), а столбцам—слова группы F (имена столбцов). Элемент,
стоящий на пересечении /-й строки и /-го столбца, равен сумме
показателей /-Г0 слова (имени столбца) относительно /-го образующего
(имени строки). Например, если F есть свободная группа с
образующими а, 6, то матрица
а^Ь~^ {abf b-^a^
2 2 311
C)
— 3
1
есть именованная матрица суммы'показателей.
Таккак/^иЯ являются свободными группами, то у-ки и с^-сло-
ва из теоремы 3.5 можно получить из х-оъ и W-слов с помощью
нильсеновских преобразований. Таким образом, исходя из
именованной матрицы суммы показателей
^г ... W^
^Xi
(Wi)
мы можем построить именованную матрицу суммы показателей
Уп
dfii^
применяя нильсеновские преобразования к именам как строк, так и
столбцов, и изменяя при этом соответствующие элементы матрицы.
Следует помнить, что, применяя элементарное нильсеновское
преобразование к именам строки или столбца, мы должны
произвести «соответствующее» преобразование матрицы так, чтобы в ре-
еультате получилась именованная матрица суммы показателей.
Рассмотрим сначала преобразования матрицы, соответствующие
©лементарным нильсеновским преобразованиям имен столбцов.
Если нильсеновское преобразование состоит в перестановке двух^имен

3.3. Фактор-Группа по коммутанту 151
ИЛИ переходе к обратному для одного из них, то соответствующее
матричное преобразование состоит в перестановке названных
столбцов или перемене знака у элементов столбца. Если Uy v — имена
двух столбцов и и заменяется на uv^ (или v^u)y где е = ±1, то и-й
столбец Су заменяется столбцом С^ + еС^. (Действительно,
Аналогично, если нпльсеновское преобразование
переставляет имена двух строк или требует перейти к обратному, то надо
переставить эти строки или сменить знак у элементов строки. Однако,
если а,Ь — имена строк и а заменяется на аЬ^ (или Ь^а), то Ь-я
строка Rij заменяется на R^j — гЯ^, В самом деле, если, например, W ^
^ и {...у а, ,..у by ,,,)у с == аЬ^у то а = сЬ~^* и элемент W,
записанный в символах ..., ^, ..., by ..., имеет вид и{...уСЬ~^у ...,&,...).
Таким образом, ст. {W) = сг^ (W") и а^, (IF) = а^, (и) — га^ (и).
(Указанная асимметрия строк и столбцов матрицы по отношению
к нильсеновским преобразованиям имен не позволяет обобщить
полученные результаты на случай, когда п бесконечно. Однако на случай
бесконечного т результаты обобщаются.)
Рассматривая матричные преобразования (как для строк, так
и для столбцов), индуцированные элементарными нильсеновскими
преобразованиями иман, мы получаем следующие преобразования:
перестановка строк (столбцов), D)
изменение знака у элементов строки (столбца), E)
замена строки (столбца) на сумму или разность этой строки
с другой строкой (столбцом), умноженной на целое число. F)
Это так называемые элементарные преобразования строк и
столбцов матрицы.
И наоборот, каждому элементарному преобразованию строк
(столбцов) матрицы соответствует такое нпльсеновское
преобразование имен строк (столбцов), что если выполнить одновременно оба
эти преобразования, то именованная матрица суммы показателей
перейдет в другую именованную матрицу суммы показателей.
Элементарным матричным преобразованиям типов D), E) соответствуют
очевидные нильсеновские преобразования имен. Если же столбец
C^^ заменяется столбцом C^^ + еСу по правилу F), то имя и столбца
C^^ заменяется именем uv^. Если строка R^ заменяется по правилу
F) строкой /?д + eRfyy то имя b строки /?^ заменяется именем Ьа~^,
Всякой последовательности преобразований строк (столбцов)
матрицы соответствует такая последовательность нильсеновских
преобразований имен строк (столбцов), что именованная матрица
суммы показателей переходит в именованную матрицу суммы
показателей.
Сделанные замечания позволяют свести доказательство
существования в теореме 3.5 к задаче из теории матриц, А именно, к задаче

152
Гл. 3. Преобразования Нильсена
О приведении данной целочисленной п х т-матрицы с помоьчью
элементарных npeo6pa30BaiUin строк и столбцов к диагональному
виду
\d, О ... ОЦ
О
d„ О
О
G)
где (i; > О и df+i делится на d^. Конструктивное решение этой
задачи известно. Опишем кратко саму конструкцию.
Переставляя строки, столбцы и, если необходимо, изменяя знаки,
преобразуем матрицу к виду ||а^у1|, где О < а^ < | а^, j для всех
ац, отличных от нуля. Пусть
^21 = Vii + /-21» О < /-21 < ^11.
Обозначим /-I0 строку через /?^^\ Прибавим (—-k-2) R^^^ к R^'^\ Для
нового a^i получим ^21 — rgi- Если Г21 ф О, то r^i меньше, чем а^.
и мы можем поменять местами новое R ^ и R \ Повторим этот
процесс, пока не получим a2i = 0. Применяя аналогичную процедуру
к третьей строке, получим a^i == 0. Продолжая таким образом, мы
получим нов>ю матрицу Ца^уЦ, у которой a2i = «и = ... == Oni =
= 0. Применим теперь нашу процедуру к первой строке, ислольз\я
преобразования столбцов с оговоркой, что всякий раз, когда
первый столбец заменяется другим столбцом, мы с помощью
преобразования строк добиваемся того, чтобы для нового первого столбца,
как и раньше, выполнялось условие ^2] == a^i ~ ... = ап\ ~ 0.
Продолжая таким образом, мы получим новую матрицу Ца^Д у
которой аа = a\j = Оу
что
i, / Ф 1.
Если теперь суш.ествует такое ckj,
а,} = ktjUi^ + г,J, О < г,у < ац,
то прибавляем /-й столбец к первому. Тогда новое а^ равно йц, а
«11 не изменяется. Продолжая, как выше, получим новое а^, равное
ftj. Заметим теперь, что каждая из указанных выше операций,
которая изменяет йц, уменьшает его. Следовательно, после конечного
числа замен (не превосходящего первоначального значения а^) мы
получим матрицу
||, у которой
ciii = ai, = О
/, 1'ФК

3 3. Фактор-Группа по комм>танту
153
И каждое Ui, делится на а^. Рассуждая, как выше, над матрицей,
которая получается вычеркиванием первой строки и первого
столбца, мы получим матрицу || Uij |j, ) которой
cIl\ = ац =0, i, j Ф \\ ufi == а^, = О, /, /=7^ 2,
11 «22 делится на а^, а ^22 делит все а ,, /, / > I. Продолжая этот
процесс, мы в конце концов придем к матрице, у которой каждое ац
делится на а^, i < / < ^, и все а,, = О, i ф /. Утверждение о
существовании из теоремы 3.5 доказано. Единственность докажем
позднее в этом же разделе. ^
Проиллюстрируем приведенную выше процедуру на следующем
примере. Пусть F — свободная группа с образующими «, b и пусть
~ 6^ а~^6. Составим
Н — подгруппа, порожденная а
матрицу суммы показателей
Последовательно имеем:
и^менованную
«а
ь\\
а"- 62
2 0
0 2
а-%
а} —А
ь\ 1
а-'Ь
Ь
а
1 '
1!-4
а
—
&2
0
2
Ь"-
2
0
-'ь
4j
li
а"'
2|1.
0,1
а-
0!'.
2
1
ba-'l 1 2 О
а 1 О 8 2
а'-'Ь ЬЦа-'Ь)-- «2
Ьа-'\ 1 О О
а 11 О 8 2
а-% а2 ЬЦа-'ЬГ'
Ьа-\\ 1 О О
а 11 О 2 8
а-'Ь о2 Ь^(а~%Г'а
Ьа-Ч 10 О ¦
а 1 О 2 О

154 Гл. 3. Преобразования Нильсена
Для того чтобы выразить имена столбцов через образующие с =*
«= Ьа-^, d ^ а, нужно сначала выразить а, b через с, d. В общем
случае для этого достаточно применить в обратном порядке
преобразования, обратные нильсеновским преобразованиям, переводящим
(а, Ь) в {Су d). Для нашего примера получим последовательно
Су d\ с, d; Су d\ с, d\ cd^y d\ d, cd^\ d, cd^y
откуда a == dy b == cd^y что для столь простого примера очевидно и
само по себе.
Множество образующих, удовлетворяющее условиям A) и B),
существует и для бесконечно порожденной подгруппы Я. Достаточ-
но лишь слегка изменить приведенное выше доказательство. А
именно, вместо преобразования F) для столбцов, мы разрешим
бесконечно много столбцов заменять подобными, т. е. введем следующее
правило сложения для столбцов:
Заменить С^^ на Си^ + ocfi^y не изменяя С^,, где С«^ —
названия столбцов, а^ — целые числа. (8)
Соответствующее ему преобразование имен будет таким:
заменить и^ на w^t)^'^ не изменяя v. (9)
Хотя преобразование (9) не является нильсеновским, оно
переводит одно множество образующих продгруппы Н в другое.
Существование множества образующих, построенного в теореме
3.5, мы используем для изучения конечно порожденных абелевых
групп.
Следствие 3.5.1. Пусть А^ — свободная абелева группа с
образующими л:1, ..., Хд, п — конечно. Тогда каждое нильсеновское
преобразование на образующих х^у ..., х^ определяет автоморфизм
группы Лд, и наоборот, каждый автоморфизм группы А^
определяется некоторым нильсеновским преобразованием на образующих
Х^у ..., Лд.
Доказательство. Любой автоморфизм группы -(в нашем
случае — свободной группы со свободными образующими х^)
индуцирует автоморфизм каждой ее фактор-группы (у нас Л J по
характеристической подгруппе (у нас — по коммутанту). Первое
утверждение доказано. Пусть теперь а—автоморфизм группы Л„.
Надо доказать, что а (л:^), ...,a(xj можно получить из х^, ..., х^ с
помощью некоторого нильсеновского преобразования. По теореме
3.5 существуют такие нильсеновские преобразования М, Л^, что
M(a(x,)) = {N{x,)f%y i=ly ...у Пу
где di — неотрицательные целые числа, а Qi принадлежат
коммутанту свободной группы с образующими Xi, ..., л:„. Следовательно^
в Лд имеем
M{a{x,)) = N{x,f^y i=\y ...у п.

3.3. Фактор-группа по коммутанту 155
Так как М (а (л:^)) являются свободными абелевыми
образующими (множество r/i, ..., У/i называется множеством свободных абеле-
вых образующих, если каждый элемент однозначно представим
в виде y'l ... уп, где г^ —целые числа), то
1 = СУМ (а (X,)) {N (Xif^) = dOM(a(xO) (^ (^t))*
откуда d~ I, Следовательно, в А^ имеем
a(x,) = M-'{N{xi)). ^
Следствие 3.5.2. Пусть А^ — свободная абелева группа
ранга п, и пусть Н — подгруппа группы Л^. Тогда Н есть свободная
абелева группа ранга <: п. Далее, можно указать такие свободные
абелевы образующие х^, ..., л:^ группы А^, что х\\ ..., XtH^ являются
свободными абелевыми образующими подгруппы Н. Здесь di'> О и
каждое di-^i делится на d^.
Доказательство. Пусть у^, ..., //„ — свободные абелевы
образующие группы Л^, и пусть I^i, Wg» ••• — образующие подгруппы
Н. Пусть, далее, F^^ — свободная группа со свободными
образующими r/i, ..., Уп- Тогда в F„ существует такое множество Xj, ..., х^
свободных образующих, что подгруппа, порожденная образующими
Wi, W^, ..., порождается множеством образующих вида
xf^Qi, Qj, /= 1, ,**, h, i>n,
где di, Qiy Qf описаны в теореме 3.5. Следовательно, Н порождается
d.
В группе Л^ образующими Xi\ Так как Xi — свободные абелевы
образующие группы Л„, то, как нетрудно убедиться, множество л:/,
d. Ф О, является множеством свободных абелевых образующих
подгруппы Я.^
Теорема 3.6. Всякая конечно порожденная абелева группа G
ранга п есть прямое произведение р бесконечных циклических групп
и п—р конечных циклических групп порядков т^, ...,т„_р, где t/_}-i
делится на т^-. Числа р и т^- однозначно определяют^ся группой G.
Доказательство. Докажем сначала, что G есть прямое
произведение. Имеем G с^ AJHy где Л„ — свободная абелева
группа ранга п. В силу следствия 3.5.2 в группе Л„ можно указать такие
образующие х^, ..., х„, что Н порождается элементами xi\ ..., Хп,
где di:^ О и каждое di-^i делится на d^. Очевидно, что группа AJH
изоморфна прямому произведению циклических групп Z^, где Z^ —
бесконечная циклическая, если rf^ = О, и циклическая порядка di в
противном случае. Так как группа G имеет ранг п, то ни одно из
чисел di не равно 1. Следовательно, группа G является прямым
произведением циклических групп порядков т^, ..., т„_р и р
бесконечных циклических групп. При этом все т^ > 1 и каждое x/^-i делится

156
Гл. 3. Преобразования Нильсена
на т^. Число р называется числом Бетти группы G, а числа т,, ...
..., -\ti-Q называются коэффициентами кручения группы G.
Для доказательства единственности циклического разложения
ым воспользуемся понятием матрицы соотношений. Эта матрица
с1 роится, исходя из заданного представления группы. Матрица со-
01 ношений нредставле1шя
(Xi, ..., X,,; R,(xX ..., Rmi^'^i))
A0)
есть целочисленная п х ш-матрица, у которой элемент, стоящий на
неросече{И4и 1-й строки и /-го столбца, равен сумме показателей
слова Rj относительно образующего л:^. Абелева группа полностью
определяется любой своей матрицей соотношений. Из существования
1и^клического разложения следует, что всякая конечно
порожденная абелева группа G ранга п имеет матрицу соотношений вида
d,
о
о
(И)
где rf, > О и каждое d^-i делится на cf^. Различным представлениям
гр\г1пы соответствуют разные матрицы соотношений. Однако, как
будгт показано ниже, <а1нвариантные множители» (отличные от О
и 1) будут у всех матриц одни и те же. Назовем к-м инвариантным
множителем в;^ (М) матрицы М наибольший общий делитель всех
Miincp(M3 порядка k матрицы М, Для определенности будем считать
г^ (Л1) = О, если 9 превосходит число строк или столбцов Maiрицы/И.
Очевидно, 8/e-^i делится на 8^, так как всякий минор порядка k -f I
явл'^'.^ся линейной комбинацией миноров порядка k. Посмотрим,
как влияет на матрицу соотношений переход от одного
представления группы к другому. В силу следствия 1.5 мы можем
ограничиться рассмотрением элементарных преобразований Тице.
Если добавляется определяющее слово, выводимое из заданных
определяющих слов (и являющееся, следовательно, произведением
их сопряженных), то матрица соотношений М' нового представления
получается присоединением к матрице М нового столбца,
являющегося целочисленной линейной комбинацией столбцов матрицы Л/.
Например, если представление
(А', У\ Х^у\
меняется представлением
(х, у; x2^;'^ у~
У
'х\
'х'')
х'\

то матрица соотношении
иерслодиг в мафицу
зр-
гру
:2
2
3
ппа
3
1
по
3
11
коммутапгу
ц
2
1
1Г7
A2>
A3>
Последний столбец матрицы A3) является суммой столбцов матрицы
A2). Нетрудно убедиться, что матрицы A2), A3) имеют одинаксьые
последовательности инвариантных множителей.
В общем случае матрицы М и М' также имеют одинаковые
последовательности инвариантных множителей. В самом деле, всякий
определитель порядка k матрицы М является определителем
порядка к матри.цы М', С другой стороны, определитель порядка йматр^!-
цы ЛГ, содержащий элементы из последнего столбца, как нетрудна
убедиться, является целочисленной линейной комбинацией
определителей порядка k матрицы М (ибо определитель является
полилинейной функцией столбцов и равен нулю, если два столбца
совпадают). Таким образом, Sf^ (УИ'), являющееся наибольшим общим
делителем миноров порядка k матрицы ЛГ, совпадает с Ej^ (М).
Рассмотрим теперь, как влияет добавление нового образующего
и определяющего соотношения, которое выражает этот новый
образующий через первоначальные образующие. Новая матрица
соотношений jVV получается добавлением к матрице М строки вида
(О, О, ..., О, 1),
которая имеет на один столбец больше, чем М\ кроме того,
добавляется новый последний столбец матрицы М\ который заполняето!
подходящими целыми числами, расположенными над 1. Например,
если представление
г)
заменяется представлением
(X, у, z\ xhf,
то матрица соотношений
2
3
У~'х^
ZX V^)»
переходит в матрицу
2 3 —311
3—1 2"
ООП

158 Гл. 3. Преобразования Нильсена
Докажем, что для преобразований Тице указанного типа имеет
место равенство Sk^i (М') = е^^ (УИ), если ^ > 1, и ei (М') = 1, так
что последовательность инвариантных множителей матрицы /И'
получается выписыванием единицы впереди последовательности
инвариантных множителей матрицы М. В самом деле, рассмотрим
любую подматрицу порядка k матрицы М и подматрицу порядка k +
+ 1 матрицы М\ полученную из первой добавлением k + 1
элементов последней строки и k Ц- I элементов последнего столбца
матрицы AV с условием, что {k + 1, й + 1)-м элементом новой
подматрицы является 1. Эти подматрицы имеют одинаковые определители.
С другой стороны, как показывает разложение миноров порядка
к + 1 матрицы УИ' по последнему столбцу, они являются
целочисленными линейными комбинациями миноров порядка k матрицы М.
Таким образом, &k-{-i {М') = 8^^ (М), если & > 1. Так как 1 является
элементом матрицы М\ то е^ (М') = 1.
Таким образом, при применении к представлению элементарных
преобразований Тице последовательность инвариантных множителей
(отличных от 1) матрицы соотношений не изменяется. С другой
стороны, число инвариантых множителей, равных 1, может
увеличиваться на единицу. Если это происходит, то число образующих в
представлении также увеличивается на единицу. Следовательно,
разность между числом образующих и числом инвариантных
множителей, равных 1, не изменяется. Так как число инвариантных
множителей, отличных от О и 1, также не изменяется, то число образующих
минус число ненулевых инвариантных множителей есть величина
постоянная.
Единственность циклического разложения конечно порожденной
абелевой группы G получается теперь немедленно. Действительно,
группа G имеет представление, матрица соотношений которого
имеет ВР1Д A1), где d^ = т^ > I, если i = 1, ..., п — р, и d^ = О, если
i > п — р. Так как г^^ (М) = d^ ... d^y 1 < ^ < n, то е^^ (Af) ^
Ф О для 1 < /j < д — р и 8;^ (Л1) = о для k> п — р. Таким
образом, р может быть охарактеризовано, как разность между числом
образующих и числом ненулевых инвариантных множителей. Далее»
т^' = 8^- (Л1)/8/_1 (М), t == 2, ..., д — р, т. е. является отношением
последовательных инвариантных множителей, отличных от О и L
Наконец, т^ = 8i {М) =7^ О, 1. Следовательно, числа р и т^, ..., т„_р,
т. е. число Бетти и коэффициенты кручения, являются инвариантами
при изоморфизмах группы G. ^
Теперь мы ьюжем доказать единственность показателей d^ из
теоремы 3.5. Пусть (мы пользуемся обозначениями теоремы 3.5) под*
группа Н порождается элементами
yi'Qu Qh ^= 1» •-» ^» />^-
Обозначим через Я* подгруппу группы F, порожденную
группой Н и коммутантом группы f. Подгруппа Я* являемся

3.3. Фактор-Группа по коммутант^ 159
нормальной и имеет место прямое разложение
где Zi — циклическая группа порядка d^-, если di Ф Оу и бесконеч«
ная циклическая группа, если di == О (см. следствие 2.1). Число тех
di, которые равны нулю, есть в точности число Бетти группы f/Я*,
в то время как показатели d^, отличные от нуля и единицы,
являются коэффициентами кручения группы f/Я*. Число тех d^y которые
равны 1, равно разности между п (рангом группы F) и рангом
группы f/Я*. Тем самым доказана единственность показателей di для
данной подгруппы Я группы F. Теорема 3.5 доказана. ^
Из теоремы 3.5 следует, что для любого конечного представления
группы О можно найти образующие у^у ..>, Уп и определяющие слова
Vi) •••> V,n в этих образующих такие, что
Vi^yPQiy i=ly ..., п,
где (i^>0, d/_|-i делится на d^, слова Q^, Qj имеют нулевую сумму
показателей по каждому из образующих//j-. Такое представление
группы G назовем предабелевым. Заметим, что разложение в прямое
произведение для фактор-группы G/G\ о котором идет речь в теореме
3.6, немедленно получается из предабелевого представления
группы G. Далее, слова
где О < а^ < diy если di =7^ О, и а. — произвольные целые числа для
остальных diy образуют шрейеровскую систему представителей для
группы G по подгруппе G'. Это позволяет построить представление
Рейдемейстера — Шрейера для G' с помощью указанной системы
представителей для группы G по подгруппе G'.
Мы получаем возможность «испытывать», изоАюрфны ли две
конечно определенные группы. В самом деле, исходя из конечного
представления группы G, мы можем построить ее предабелево
представление, а с помощью последнего — получить
каноническое разложение для GIG', указанное в теореме 3.6.
Если группы Gi и G^ являются изоморфными, то мы имеем
GJG\ с^ GJG'2. Следовательно, если эти абелевы фактор-группы не
изоморфны, то Gi 9^ G2. Если же они изоморфны, то мы можем
продолжить «испытание». Предположим, что обе фактор-группы
конечны. Тогда группы Gl,G2HMefOT конечное представление, которое
можно получить, как указано в предыдущем параграфе. Мы можем
испытать на изоморфизм группы Gi и G2, взяв их в качестве групп G^
и G2 и рассмотрев абелевы фактор-группы Gi/Gi, G2/G2. Если
последние не изоморфны, то Gi 9^ G2 и, следовательно, G^ 9^ G^. Если же
они изоморфны и конечны, то мы можем продолжить описанную

160 Гл. 3. Преобразования Нильсена
вы!пе процедуру. Эта процедура оборвется, когда мы получим изо-
мор риые абелевы фактор-группы, которые бесконечны. Но и в этом
ел \ чае мы можем сделать дальнейший шаг на пути исследования изо-
мо1;физма групп Gi и G^. В следуюш.ем разделе рассматривается про-
ciciLiniH случай, когда абелевы фактор-группы являются
бесконечными циклическими группами.
Задачи
1. Пусть F — свободная группа с образующими а, b и пусть Н — подгруппа,
порожденная а-, Ь", аЬ~К Найти множество образующих для F и для //,
существование которого утверждается в теореме 3.5.
2. Пусгь F — свободная группа с образуюицьми а, Ь, с, и пусть Н —
подгруппа, порожденная abc~^b~\ beef ^с~\ cab''^а~К Hauiu множество образующих для
F и для И, существование которого утверждается в теореме 3.5.
3. Получигь предабелево представление фундаментальной группы трилист-
ного узла
Т = (а, Ь\ аЧ-^}.
4. Вычислить число Бетти и ко^:)ффициенть! кручения группы
(а, Ь, с\ аЧ)~'^с^, (аос)'}.
5. Показать, что если G ~ (а, Ь; а^^Ь~^), где k, I взаимно просты, то группа
G'G' — бесконечная циклическая. [Указание. Вычислить коэффициенты
кручения и число Бегти для группы G, исходя из ее матрицы соотношений.J
6. Показать, что группы {а, Ь\ d^b~'^, {ab^^fy и (а, Ь; (а/?~*)-6~\ crba~^b)
не изоморфны.
7. Пусть G = {а, Ь, {аЬ)'^ bab~^a~~^>. Найти представление группы G\ а
также число Бетти и коэффициенты кручения групп G/G' и G'/G".
8. Показать, что гр\ппы <а, Ь\ а^, b'^ab^^a) и (а, Ь\ a^ba~^b'~\ b^a^b~^a~'^) не
изоморфны. [Указание. Рассмо1реть G'/G".]
9. Показать, что G' = О", где G = <а,/;; a'^b^-^ab"^ a'^b^a~^b'~^y.
10. Показа гь, что циклическая группа порядка rs, где л, s взаимно просты,
есть прямое npoH3Beiemie циклических групп порядков/- и s, и наоборот. Показать»
что любая конечная цикчическая rpvnna является прямым произведением
циклических [рупп, порядки которых являюгся степенями простых чисел.
П. Показать, ч^о всякая конечная абелепа группа Л являе1ся прямым
произведением циклических rpynfi, порядки которых cyib степени просгых чисел, и чго
это разложе1П1е единственно. [Указание. Для доказательства единсгвснности
заметить, что если р — простое число, то множество элементов группы А,
порядок которых является степе1!ью числа р, образуют подгруппу А {р), которая
является прямым произведением тех циклических сомножителей в разложении Л,
порядок которых является степенью р Так как степени р всегда мол<но
расположить в порядке, в котором каждая последующая делится на предыдущую, то
порядки этих циклических сомножИ'телей являются коэффициентами кручения группы
Л ip) ]
12. Найти способ вычисления коэффициентов кручения прямого
произведения циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел,
не используя матрицу соотношений, и вычислить коэффициенты кручения гр^пп
Z3 X 2^ X Z^ X Zg X Z(), Zg X Z^o X Z^5, где Z„ есть циклическая группа порядка
п [Указание. Так как t^_j_j делится на Xj, то показатель при р,
встречающийся в т^ I р не меньше показателя, встречающегося в т^ Следовательно, /ю-

3.3. Фактор-Группа по коммутанту 161
следний коэффициент кручения является произведением высших степеней всех
встречающихся простых чисел.)
13. Показать, что циклическая группа порядка р^ имеет р^ элементов пока-
зателя р (т. е. решений уравнения х^ =» 1), если m ^ д, и имеет р^ — р^"^
элементов порядка /?'". Сколько элементов показателя 3, 9, 27 в группе Zs X Zs X
X 2j^ X Z27 и сколько элементов показателя 6 в группе Z3 X Z3 X Z^ X Z^
14. Пусть /г^,..., kfi — целые положительные числа, k^ < ^/j_l' ^ "^ ^» ...,л ~ 1,
и пусть ei =» p^i, где р — простое число. Показать, что если А есть прямое
произведение циклических групп Ze. порядка в^, то число элементов показателя
р^ в Л равно Г/г = р^^^ }-^s+^""~^)^, где s есть наибольшее число такое, что
к^ < /г. Показать, что если А имеет q циклических сомножителей порядка > р^,
то р^ = г^1г^_у Пользуясь этим, доказать, что циклическое разложение группы
А определяется числом элементов в А каждого порядка.
15. Показать, что две конечно порожденные абелевы группы, имеющие
одинаковые числа Бетти и одинаковое число элементов каждого порядка, являющеюся
степенью простого числа, изоморфны.
16. Пусть G — конечно порожденная абелева группа с образующими л:,,...
о.., Xf^, а // —подгруппа группы G. Показать, что существует нильсеновское
преобразование, переводящее Х|,..., х^ в элементы г/i, ..., y^i такие, что И порождается
конечным числом степеней элементов yi. Показать, что любая возрастающая
цепочка И^а Uc^^CL ... подгрупп группы G конечна.
17. Пусть G== (^i,..., Хд^; /?i,...,/?m) — конечное представление абелевой
группы G. Показать, что число Бетти р группы G удовлетворяет неравенству р >
> /2 — т. [Указание. Матрица соотношений группы GlO' есть п X т-мат-
рица. Если эта матрица приведена к «диагональной» форме, то число Бетти группы
G равно
п — (число единиц) — (число коэффициентов кручения).
Так как единицы и коэффициенты кручения находятся на главной диагонали,
то их может быть не более чем т. ]
18. Показать, что в любом представлении конечной группы число
определяющих соотношений не меньше числа образующих.
19. Пусть F — свободная группа с образующими а, 6, и пусть слова W^,
W^ порождают фактор-группу FlF\ Показать, что существуют образующие с =
^ С (а, Ь), d^D (а, Ь) и слова W^ (с, d), W^ {с, d) такие, что [W^, ITJ = [#,,
^2! и (J, (W,) = 1, а, (С) = О, Оа (#i) - О, а^ (W^) ==, 1, где [х, у] означает
хух'~^у~~^- [Указание. При приведении именованной 2 X 2-матрицы суммы
показателей к виду G) можно ограничиться преобразованиями имен столбцов вида
(jc, у) -> (х, ух^), (л;, у) -» (ху^, у). Затем воспользоваться соотношениями [х, у] ^
-= [а:/, у] = \х, ух^].]
20. Группа G называется финитно аппроксимируемой, если любой ее элемент
g i^ I не принадлежит некоторой нормальной подгруппе конечного индекса (см.
задачу 24 к разделу 2.4).
(a) Показать, что если группы А, В финитно аппроксимируемы, то группа
А X В также финитно аппроксимируема.
(b) Показать, что конечно порожденная свободная абелева группа является
финитно аппроксимируемой.
(c) Показать, что любая конечно порожденная абелева группа финитно
аппроксимируема.
(d) Показать, что конечно порожденная абелева группа является хопфовой,
т. е. не может быть изоморфна никакой своей собственной фактор-группе.
[Указание. Для (а), если (с, d)^ А X В и Н, К —такие нормальные
подгруппы гр>пп Л, В, что с ^ Н, d ^ Kf то либо Н X В либо Л X /< не содержат
6 в. Магнус и др,

162 Гл. 3. Преобразования Нильсена
{с, d). Для (Ь) воспользоваться (а). Для (с) воспользоваться (а), (Ь) и теоремой
3.6. Для (d) использовать задачу 24 (d) к разделу 2.4.]
21. Множество элементов bj, ..., 6^-абелевой группы (Л, +) называется
независимым (над кольцом целых чисел), если из равенства ?ti6i + ... + ^г^г == О
следует, что ?i,i = ... = А.^. =л О, где )i^ — целые числа.
(a) Показать, что при элементарном нильсеновском преобразовании ранга г
множество независимых элементов Ь^, ..., 6,-переходит в множество независимых
элементов q, ..., с^.
(b) Показать, что свободная абелева группа с/г образующими а^, ...у а^ имеет
п независимых элементов, но любые ее л + 1 элементов зависимы.
(c) Показать, что число Бетти конечно порожденной абелевой группы А равно
максимальному числу независимых элементов в А.
(d) Показать, что если Н есть подгруппа конечно порожденной абелевой
группы АуИН имеет элемент бесконечного порядка, то число Бетти группы А больше
числа Бетти группы А/Н.
(e) Показать, что конечно пороледенная абелева группа является хопфовой.
[Указание. Для (Ь) составить именованную матрицу суммы показателей,
взяв %,..., fl^B качестве имен строк и ^j,..., Ь^.^в качестве имен столбцов.
Применяя элементарные нильсеновские преобразования к %, ,..у а^и к^^, ...,6^j_| и
проводя соответствующие матричные преобразования, получим матрицу, последний
столбец которой состоит из одних нулей. Следовательно, Fi,.., ^^ij переходит в
(q, ..., Спу 0). Последнее множество зависимо. Остается применить (а).
Для (с) рассмотреть А ^ А^Х В, где А^ — свободная абелева группа, а
В имеет конечный порядок т. Элементы Ь^, ..., Ь^ независимы тогда и только
тогда, когда независимы mbi, ..., тЬ^. Но mbi принадлежит Л^-. Остается
применить (Ь).
Для (d) пусть Ь^Н, ..., ЬгН — независимые элементы в А/Н. Тогда тЬ^Н, ...
..., тЬгН являются независимыми в А^Н/Нc^AJAn П ^- Предположим, что Я
имеет элемент h бесконечного порядка. Тогда mh ? А^, mh =^ О, ^/г П Н Ф Q.
Применяя следствие 3.5.2, получаем, что число Бетти группы AjAn П Н меньше,,
чем п.
Для (е) воспользоваться (d), а также тем, что если Н cz В, то [А^ X B)iH с::^
с^ АпУ^ (В/Н). Так как В есть подгруппа группы Л, состоящая из всех элементов
конечного порядка, и В/Н есть подгруппа группы А/Ну состоящая из всех
элементов конечного порядка, то из Л с^ А/Н вытекает В ?::=; В/Н.]
3.4. Тест для изоморфизма
В этом разделе рассматривается проблема изоморфизма для
конечно определенных групп, имеющих бесконечную циклическую
фактор-группу по коммутанту. Группы всех трехмерных узлов
обладают этим свойством (см. Рейде мейстер [2], стр. 44, или
Кроуэлл и Фокс [1], стр. 173).
Пусть /( — такая конечно определенная группа, что
факторгруппа /С//С' — бесконечная циклическая. С целью упростить
обозначения будем считать, что К имеет три образующих. Тогда К
имеет предабелево представление вида
(а, Ь, с; ЬВ{а, Ь, с), сС {а, 6, с-), ,.., D^{a, b, с), »., }, A)
где слова В, С, Dy имеют нулевую сумму показателей относительна
ау Ь, с. Мы можем взять (а"}, д = О, it 1, ±2, ... в качестве шрей-
еровской системы представителей для /( по /('. Тогда W (а, fe, с) =*

3.4. Тест для изоморфизма 163
^ а9, где сг == сг^ (W) есть сумма показателей слова W по а.
Согласно методу, изложенному в разделе 2.3, группа К' порождается
элементами
Ь, - а%а^\ с, = Ла-\ /г = О, ± 1, ± 2, ... B)
Так как В, С, Dv принадлежат /С', то мы можем выразить их че-
Ёез образующие ..., Ь^у с^, ... Полученные слова обозначим Во» ^о,
>o.v Множество определяющих слов группы К' в образующих B)
состоит из слов
Do.v(. •. , &п+^, Сп-^%, . . .), D)
где % = о, ±1, ±2,... Заданная таким образом группа К не
является конечно определенной. Однако указанное представление
группы К позволяет связать с К некоторый конечно определенный
модуль следующим образом.
Абелева группа G называется А-людулем, если G в качестве
пространства «векторов» и Л — множества «скаляров» удовлетворяют
аксиомам векторного пространства. При этом не требуется, чтобы
Л было полем, но Л должно быть кольцом. Если g б G, а ^ Л, то
скалярное умножение а на g" будем обозначать через g^. Будем
говорить, что Xi, ..., х^ порождают G над Л, если любой элемент g б
g G можно представить в виде
xf'x^' ••• JC^", а,е л, E)
т. е. если Xi вместе с их образами под действием А порождают абе-
леву группу G. Группа G называется свободным А-модулем, а х^, ...
..., Хп — свободными образующими этого Л-модуля, если слово E)
равно единице в G только в том случае, когда все а^ равны 0. Множе-
ство слов Rj (xi) в символах х^ с показателями из Л называется
множеством определяющих слов А-моду ля G (порожденного х^, ..., xj,
если из равенства единице в G элемента W {Ху) следует, что в
свободном Л-модулес образующими Xj, ..., х^ имеет мегто равенство
В этом случае условимся писать
G-^i, ..., X,' Ri{x,)lA). F)
Если число образующих и определяющих слов Rj в F) конечно,
то Л-модуль G называется конечно определенным, а представление
F) называется конечно определенным представлением модуля над Л.
Вернемся к группе /С, имеющей бесконечную циклическую
фактор-группу по коммутанту. Построим конечно определенный модуль
следующим образом. В качестве «векторов» возьмем абелеву группу

164 Гл. 3. Преобразования Нильсена
К' 1К'\ В качестве «скаляров» используем Ь-полиномы, т. е.
полиномы от 6 и 0~' с целыми коэффициентами или, другими словами,
конечные суммы вида
п
где /г, /,j—целые числа. Сложение и умножение L-полиномов
определяются естественным образом. Скалярному умножению
на 6 соответствует сопряжение элементом а. Таким образом, если
Я б КЧК'\ то, по определению,
q'' ^ ас^а-~\ q'" = d'qa-\ q^-''' ^ d'q'-a-\
G)
q^^^''^Uqn'''^Ua^q^4r\
n n
Введенная операция скалярного умножения превращает К'/К'
в L-полиномиальный модуль.
Следующая лемма утверждает, что L-полиномиальный модуль
К'IK" является инвариантом группы К>
Лемма 3.4. Пусть группы /С, К^ имеют бесконечные
циклические фактор-группы по коммутанту, порождаемые
соответственно элементами а и ai, и пусть ф — изоморфизм группы К на группу
Ki. Тогда L-полиномиальные модули КIK" и К\1К\ изоморфны при
отображении
kK''^> ,^ (k) К'и L(Q)-^L @) (8)
или при отображении
kK' ^ ф ф) /с; L (9) -> L @~^), (9)
где k 6 К\ Ф {k) 6 1<х.
Доказательство. Отображение КЧК" ~> К\1К\,
задаваемое формулой kK" -> Ф {k) К\, является, очевидно, групповым
изоморфизмом. Чтобы доказать равенство
(р((л/(")""') = {ф(^)/<1)"°''.
в котором 8 = 1 или 8 = —1 (нсзависимо от k), достаточно
показать, что
Имеем
Ф i{kK"f) = ф ({aka-') К") = ф (а) ф (k) ф (аГ'К'^.
С друюй стороны,
(ф (k) K"if^ =«' Ф (^) «r'^/c'i.

3.4. Тест для изоморфизма 165
Так как отображение
является изоморфизмом К/К' на KJKx, то образующий аК
переходит в а\Ки где е = ± 1. Таким образом, ф (а) = af^i, где ki ^ Ki»
Следовательно,
ф (^) Ф (k) ф (ay^Ki = а?^1ф (k) кГ^аГ^К] =
= [a',k,ar') Кх • (а! ф [к) аТ') К\ • (а!йГ^аГ) К[ = а!ф (fe) аГ/^! ,
поскольку К\1К\ — абелева группа. ^
Таким образом, для всякой группы К с бесконечной
циклической фактор-группой по коммутанту существует L-полиномиальный
модуль К' 1К'\ который (с точностью до изменения знака в
показателях у каждого L-полинома) является инвариантом при
изоморфизмах группы К. Любой инвариант модуля является инвариантом
группы /с. Остается, таким образом, вычислить инварианты
модуля. Эта задача может быть решена эффективно, если группа К
конечно определенная. Докажем, что в этом случае модуль К'IK"
также является конечно определенным (над L-полиномами). В самом
ц,^л^, группа К'IK" задается образующими Ь„, с,^ из B) и
определяющими словами C), D), а также определяющими словами
A0)
Поскольку каждый из образующих fc^, ^„ есть b^"^ или с^'\ то
модуль К'/К' порождается элементами ЬК'\ сК"* Определяющие
слова C), D) можно записать в виде
(&ЗЛ... , Г, .^^ ,. .))'^\ icCA.^^,b'\c'\...)f\ (II)
(Do.v(.,.,ь^^c^^...))^^ (щ
где А, ==: о, ± 1, ±2, Л.
Так как в /CV/C' слова A0) являются определяющими, то C) и D)
можно упростить, сгруппировав в словах Bq, Cq, Do,v буквы b и с.
Мы получим
(bB,{b,c)f\ {сСоФ, c)f\ фо,АЬ, c)f\ A3)
/ч л л
где Во» Со» ^o,v суть слова в символах by с с L-полиномиальными
показателями. Всякий модуль является абелевой группой, поэтому
соотношения A0) можно опустить. Мы получаем следующее
представление модуля К'IK"'.
К'IK" = (&, с; ЬВ,, сС,у^ ... , Do.v, ... /^), (И)

166 Гл. 3. Преобразования Нильсена
где it есть кольцо L-полиномов. Таким образом, из конечной
определенности группы К вытекает конечная определенность ^-модуля
Чтобы проиллюстрировать, как строится представление для
^-модуля К' 1К\ исходя из представления группы /С, рассмотрим
следующий пример. Пусть
/( = (а, &, с\ Ьа^ЬЧ^^сЬ-^а-^с~\ саГ^сЬас~^Ь~\ abcar^b-^c"^).
A5)
Выражая определяющие слова с помощью L-полиномов, получим
К'1К" = {Ь, с; ь38-зе+1^е-> ^ ^,e-i-,^e-i ^ ^,е-.^0-.^_
Как и выше для случая абелевых групп (являющихся модулями
над кольцом целых чисел), мы можем определить для каждого
^-модуля К'IK" матрицу соотношений и рассмотреть ее
инвариантные мнолштели. Если
К'/К"=(х,, .,., X,; R,, ...,RJ^) A6)
и Rj = 11x7 , то матрицей соотношений модуля A6) назовем
матрицу, у которой на пересечении t-й строки и /-го столбца стоит
элемент Lij (G).
Так как кольцо ^ коммутативно, то мы можем обычным
способом определить миноры квадратных подматриц матрицы М, Далее,
нетрудно доказать, что в ^ существует наибольший общий
делитель. Действительно, всякий L-полином L (Q) Ф О может быть
однозначно записан в виде
L(e)==ri9'P(e),
где Г] = ± 1, К — целое число, а Р (G) — обычный полином с
целыми коэффициентами и положительным свободным членом. Полином
Р (9) называется стволом L-полинома L (9). Очевидно, что элементы
±6 , X = О ± 1, ..., являются единицами в ^. Таким образом,
Li (9) делится на Lg (9) тогда и только тогда, когда ствол полинома
Li делится на ствол полинома Lg. Мы получаем для наибольшего
общего делителя (ИОД):
HOД(Ll, L,)==HOJX(P,, Р,).
Так как Р^, Р^ — обычные полиномы с целыми
коэффициентами, то можно конструктивно вычислить их под (см. задачи 6 и 7).
Таким образом, мы можем определить г-й инвариантный
множитель г^ (М) как ИОД миноров порядка г матрицы М,
Наряду с ИОД миноров порядка г матрицы М мы можем
рассмотреть более сильные инварианты, а именно, всевозможные
линейные комбинации этих миноров с L-полиномиальными
коэффициентами, т. е. идеал кольца 6?, порожденный минорами порядка г.
Этот идеал называется г-м идеалом Александера и, обозначается че-

3.4. Тест для изоморфизма 167
рез а^ (М). (Заметим, что а^ {М) не будет содержать все
множители из е^ {М)\ см., например, задачу 9.) Из разложения миноров
{г+1)"Г0 порядка матрицы М по столбцу видно, что а^ =эа;._|-1. Для
удобства будем считать, что а^ = О, если г больше хотя бы одного
из чисел п, т представления A6).
Теорема 3.7. Пусть /С, К^ — изоморфные группы с
бесконечными циклическими фактор-группами по коммутанту. Тогда
матрицы соотношений ^-модулей К' 1К'\ К\1К\ имеют одинаковые
{с точностью до замены 0 на 9~^) последовательности инвариантных
множителей, отличных от \, и одинаковые последовательности
идеалов Александера, отличных от ^.
Доказательство. По лемме 3.4 ^-модуль /С7/С"
изоморфен ^-модулю Ki/Ki- При этом 9 -> 9 или 9 ->- 9~ . Рассмотрим
сначала случай 9 -> 9.
Поскольку инвариантные множители и идеалы Александера
определяются с помощью представлений, нам понадобится связь
между представлениями изоморфных ^-модулей. Эта связь
описывается аналогом для представлений модулей теоремы 1.5 Тице для
представлений групп. А именно, если модули
(^1, ¦ . . , Х^] Hit . . . , А/^/оС),
(Уъ • * » > Ур'-> ^Ъ • • • > ^q/^)
изоморфны (с одним и тем же ^), то оба представления можно
преобразовать к одному и тому же виду с помощью следующих шагов:
(а) добавление или выбрасывание определяющих слов, являющихся
произведениями степеней (с L-полиномиальными показателями)
остальных определяющих слов;
(Ь) добавление нового образующего и нового определяющего
соотношения, которое выражает этот образующий через старые
образующие.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству
теоремы 1.5, Мы оставляем его в качестве упражнения.
Можно показать, что операциям (а), (Ь) над представлениями
соответствуют следующие преобразования над их матрицами
соотношений М:
(а') добавление или вычеркивание столбцов, которые
являются линейными комбинациями (с L-полиномиальными
коэффициентами) других столбцов;
(Ь') присоединение новой строки (О, ..., О, 1), которая имеет на
один столбец больше, чем М, и образование нового последнего
столбца, который заполняется над 1 подходящими L-полиномами.
Доказательство такое же, как для абелевых групп. При
операции (а') последовательности инвариантных множителей и последова-
-тельность идеалов Александера не изменяются. При операции (Ь')

168 Гл. 3. Преобразования Нильсена
перед последовательностью инвариантных множителей
выписывается 1, а перед последовательностью идеалов Александера
выписывается ^.
Остается случай, когда ^-модули КЧК" и К[1К[ изоморфны
так, что е ~> 6~^ В этом случае, заменив 6 на Э~^ в представлении
A6), получим новый ^-модуль. Инвариантные множители и
идеалы Александера этого нового модуля можно получить из
множителей и идеалов ^-модуля A6), заменив 6 на Э~^ Далее, этот новый
модуль изоморфен модулю К'IK" так, что 0~> Э~\ и,
следовательно, он изоморфен модулю К\1К\ так, что 0 ->- 9. Соединив этот
результат с предыдущим случаем, получаем, что теорема 3.7
доказана. ^
Применим полученные результаты к тем группам /С, у которых
в представлении A) отсутствуют слова Dv, т. е. к группам, которые
имеют бесконечную циклическую фактор-группу по коммутанту
и, кроме того, могут быть заданы п + 1 образующими и п
определяющими словами. В этом случае ^-модуль КЧК" имеет п
образующих и п определяющих слов и, следовательно, имеет квадратную
1% X я-матрицу соотношений М, В этом случае определитель Д (G)
матрицы М является инвариантным множителем. Ствол
определителя А F) называется полиномом Александера группы /С. В случае,
когда К есть группа узлов, этот полином называется полиномом
узлов группы К'
Теорема 3.8. Пусть К есть группа с /г + 1 образующими и п
определяющими словами, и пусть К имеет бесконечную циклическую
фактор-группу по коммутанту. Тогда полином Александера
группы К является ненулевым аниулятором ^-модуля КЧК", т, е.
скалярное умножение на него дает единицу.
Доказательство. Для удобства записи ограничимся
случаем п = 2. В этом случае К имеет представление
К-={а, Ь, с; ЬВ, сС),
^-модуль КЧК" имеет представление
К'1К"^{Ь, с; ЬВ,, сС/?).
Матрица соотношения имеет вид
||l+Ln@) Li2(9) II
II ^21(9) 1+L22(9)|r
где Lii (9), Li2 (9) суть суммы показателей при Ь, а L^^ @), L^^ (9) —
суммы показателей при с в словах Бо, Cq. Заметим, что при
построении Бо из В всякое вхождение слова Ь^ в слово В заменяется
вхождением слова Ь^^ в Sq, где Я есть сумма показателей при Ь, пред-

3.4. Тест для изоморфизма 169
шествующих рассматриваемому вхождению Ь^ в В (см. задачу 3).
Следовательно, L^ A) равно сумме показателей при & в слове В.
Последняя равна нулю. Аналогично, L^i A) = L12 A) = L22 A) =^ 0.
Таким образом, А A) = 1, так что А (G) тождественно неравно
нулю. В КЧК" имеем
По правилу Крамера для решения линейных уравнений
получаем
^A(e)_j^ ^дго)_1^
Но by с порождают КЧК". Следовательно, q^ ^^^ = 1 для
любого (? б КЧК"^
В качестве примера на вычисление полинома узлов рассмотрим
фундаментальную группу трилистного узла (Клиблатшлинг, см.
Дэн [3]), которая задается представлением
Г==(а, Ь\ ЬаЧаГ^Ь-^аГ^),
Модуль ТЧТ" имеет представление
Г/Г^(Ь; b^'-^+V^).
Таким образом, полином узла для Т есть полином 0^ — 9 + 1.
Следует отметить, что в то время, как конечно порожденная абе-
лева группа полностью определяется своими инвариантными
множителями и числом Бетти, инвариантные множители и разность
между числом образующих и числом инвариантных множителей,
равных 1, еще Бе определяют полностью модуль.
Ссылки и замечания. Полиномы узлов были введены А л е к -
сандеромЦ]. Относительно их вычисления для
фундаментальной группы узлов см. также Р е й д е м е й с т е р [2] или К р о у -
ЭЛЛ и Фокс [1].
Для случая, когда К является фундаментальной группой узлов,
полином узлов удовлетворяет уравнению Р F) = Q''P{Q~~^).
Теорема 3.7 может быть обобщена различными способами. Если
рассматриваются группы /С, для которых К'/К" является
фиксированной конечно порожденной абелевой (но не циклической) группой,
то в качестве кольца скаляров вместо полиномов одной переменной
и ей обратной можно взять кольцо классов вычетов полиномов
многих переменных относительно идеалов некоторых типов. Примеры
рассмотрений такого рода можно найти у М а г н у с а [6].
Можно также рассмотреть «высшие» коммутанты и их
факторгруппы. По поводу имеющихся здесь результатов см. главу 5.

170 Гл. 3. Преобразования Нильсена
Задачи
1. Пусть группа G порождается образующими л:^, f/«, Аг = О, ± 1, ..., и имеет
определяющие слова XnX^x-^x-\ УпУтУ^^У^^. ХпУтХ~^у~\ ^^д (..., %, Уп. "•,) »
причем /?^д получается из R^q заменой каждого х^, Уп на х^_^^ , у^^_^^ , п = О,
± 1, ..., ?1 =3 О, i 1, ,.., V =3 1, ..., k. Доказать, что группа G является конечно
определенным ^-модулем. [Указание. Положить Xq = х^, у^ "^ У^-]
2. Показать, что если
А = (а.Ь,с; Ril^>, i = U . . . , k,
и каждое Ri имеет только целые показатели, то Л является прямым произведением
бесконечного числа изоморфных абелевых групп. [Указание. Положить а^^ =»
^ аР , и т. д. Тогда группа А является прямым произведением групп
3. Пусть К ^ <а, Ь, с; ЬВу сС, ..., D^, ...)), где слова В, С, D^ имеют нулевую
сумму показателей относительно каждого из образующих а, Ь, с. Обозначим через
1^0 (Ь, с) слово, полученное из слова W (а, Ь, с) заменой каждого вхождения b и
с^ в W на b и с соответственно, где % равно сумме показателей при а в
слове W, предшествующих рассматриваемому Ь^ или с^. Доказать, что ^-модуль /С', /С"
имеет представление
K'lK" = {b, с; ЬВ,, сС„ ..., Во „, . . ./^>.
[Указание. W'o можно получить, переписав сначала 1^ с помощью процесса
Рейдемейстер — ;
соответственно. ]
Рейдемейстер — Шрейера и заменив затем Ь^ == а Ьа , с^ = а^са на Ь^ , с^
4. Группа Т трилистного узла имеет представление 7"== (а, Ь; а^Ь~~^).
Найти полином узлов этого представления,
5. Примитивным полиномом называется полином над кольцом целых чисел,
у которого НОД всех коэффициентов равен 1. Доказать, что произведение
примитивных полиномов примитивно. [Указание. Рассмотреть естественный
гомоморфизм полиномов над кольцом Z целых чисел в полиномы с коэффициентами из
кольца Zp целых чисел по модулю р, где р — простое число. Если р есть общий
множитель коэффициентов полинома Pi (9) • Рг (9), то над2р имеем Pi (9) • Р2 (9) =1
=« О, откуда Pi (9) = О или Pg (9) = О над Zp, Следовательно, р является общим
множителем коэффициентов одного из полиномов Pi (9)или РгСЭ).]
6. Пусть R (9) — полином с рациональными коэффициентами. Очевидно,
R (9) t= {alb) R (9),^где а, b — взаимно простые целые числа, R (9) —
примитивный полином. Доказать, что если примитивный полином Р (9) делится (над полем
рациональных чисел) на полином R (9), то Р (9) делится (над кольи.ом целых
чисел) на ^ (9). [У к а з а н и_е. Если Р (9) *=J2 (9) R (9) == (eld) Q (9)(а/6)х
XR @), то bdP (9) 1= acQ (9) R (9), где Q (9)^ (9)_— примитивный полином.
Таким образом, bd =^ ± ас, откуда Р (9) = ± Q (9) R @).]
7. Пусть Pj (9), Р2 (9) — полиномы над кольцом целых чисел. Указать
конструктивный метод отыскания НОД полиномов Pi, Р2. [У к а з а и и е. Применяя
алгоритм Евклида, мы можем вычислить наиболмий общий ^делитель D (9)
(над полем рациональных чисел) полин_омов Pi (9), Р2 (9). Тогда D (9) есть НОД
(над кольцом целых чисел) полиномов Pi (9), Р2 (9).
8. Пусть К = <а, Ь\ b^a~^b-^a, аЧа-Ч'^а'^Ь^а-^Ь-^),

3.4. Тест для изоморфизма 171
Показать, что первые инвариантные множители ei групп К'IK и К\1К\ оба
равны 1 и что идеал Александера ai {К'IK") порождается полиномами 29 — 1,
(О — 1) F^ + 2), в то время как ai {К\1К^ порождается полиномами 39 — 2,
(О — 1) F^ + 4). Доказать, что эти идеалы различны и, следовательно, К не изо-
^юpфнa /Ci. [Указание. Подставив —1 вместо 9, мы видим, что ни 39— 2,
ни 39-^ — 2 не являются линейной комбинацией 29—1 и (9 — 1) (9* + 2).]
9. Пусть К = <а, Ь\ ЬЧЬаГ^, аЧаГ'^Ь^^), Показать, что первый
инвариантный множитель ^-модуля КЧК" равен 1, а первый идеал Александера
порождается 3, 9 — 2 и отличен от ^. [Указание. Для доказательства того, что «i Ф
Ф ^, подставить — 1 вместо 9.]
10. Показать, что если полином Александера группы К равен 1, то /С' "=• К" .
[Указание. Применить теорему 3.8. ]
11 (Э. Рапапорт). Пусть К — группа с п + 1 образующими и п определяющими
словами, имеющая бесконечную циклическую фактор-группу по коммутанту.
Доказать, что если полином Александера А (9) группы К имеет старший
коэффициент, равный ±1, и свободный член, равный 1, то КЧК" —конечно
определенная абелева группа. [Указание. Для упрощения записи ограничимся
случаем л = 2. Как абелева группа, КЧК" порождается элементами b , с ,
'?^ = 9, i 1, ±2, ... Так как А (9) является аннулятором и имеет старший и
младший коэффициенты, равные 1 или — 1, то действие 9^ на КЧК" можно выразить
с помощью полиномов степени, меньшей, чем степень А (9). Действительно, если
Л (9) = ± 9^ + В (9) + 1, где В (9) содержит лишь слагаемые с9, 9^, ..., 9^~^
то в силу равенства b « b^ (^(9)+0 все b можно выразить через 6, Ь^, ...
..., 6^ . Аналогично для с .[Следовательно, Ь, с^ Ь^, с^, ...у Ь^ , с^
порождают КЧК" как абелеву группу. Далее, определяющими словами КЧК", как
абелевой группы, являются определяющие слова КЧК" как ^-модуля, а также
степени 9-я, ..., 9^—^-я, выраженные, как слова в символах 6, с, .,,, Ь^ ,
с . Следовательно, КЧК" — конечно определенная абелева группа.]
12. Показать, что полином узлов для узла Листинга, имеющего группу К =
=3 (а, Ь; b^ab-^a-^b-^a), есть 9^ — 39 + 1. Доказать, что группа К не
изоморфна группе Т из задачи 4, и что группы КЧК", ТЧТ" суть свободные абелевы
группы с двумя образующими.
13. Найти число Бетти и коэффициенты кручения группы КЧК'*^ где К «
=3 (а, by с; b^aca~^b~^c~\ c^a^c^a~'^bc~^a~^b~^}. [Указание. Сначала найти
представление з^-модуля КЧК", а затем, используя метод, изложенный в
указании к задаче 11, найти представление абелевой группы КЧК"-]
14. Пусть К = <а, 6; b^ab~^a~^). Показать, что полиномом Александера для
К является 2 — 9 и что группа КЧК'^ является бесконечно порожденной.
(Указание. Отображение 6 -> е^^^^ ^ определяет гомоморфизм группы К'< К"
на группу всех корней степени 2^ из единицы, m = 1, 2, 3, ...]
15. Пусть /С = (а, 6; 6>, /Ci = <а, Ь\ аЬа^^Ь^аЬ~^а~^Ь'~^). Показать, что
Кя Ki имеют бесконечные циклические фактор-группы по коммутанту и что КЧК"*
*=> К[/К\ = I, но К9^ К\' [Указание. Используя задачу 10, показать, что
K^/Ki =я 1. С помощью теоремы 4.10 показать, что b не равно I в /Ci. Если бы Ki
была абелевой, то ее определяющее слово равнялось бы Ь. Следовательно, Ki не
является бесконечной циклической группой.]
16. Пусть дан ^-модуль G =^ <ai, ..., а^; Riy ...,/?я/^>, и пусть a„_i, «п
суть его {п — 1)-й и п-й идеалы Александера. Доказать, что аннуляторами в О
являются те и только те полиномы Л(9), для которых Л(9) а^_| S ^л*

172 Гл. 3. Преобразования Нильсена
[Указание. Если af ^^^ = 1, то af ^^^ = П ^f'^ ^ \ Следовательно, если Rj =.
-Па^^^'^®\то2^/еу^/7 = ^^/ ^ (^)- ^^ правилу Крамера А F) • ?у; @)-
^ /
=-^ (9) (—1)/+/д^^. (G), где Д@)—определитель матрицы соотношений для G, а
Д//(Э) — минор, полученный вычеркиванием 1-й строки и/-го столбца.
Следовательно, А F) At/(B) делится на А @).]
3.5. Группы Фп автоморфизмов свободных групп
Пусть F^ — свободная группа ранга п, и пусть Xv (v = I, ...
..., n) — ее свободные образующие. Пусть Л^ есть преобразование
Нильсена ранга п, которое переводит Xv в r/v, где //v есть слово в
символах x^}. В силу теоремы 3.2 преобразование N определяет
автоморфизм группы f„, задаваемый подстановкой
•^v "^ ^v >
и любой автоморфизм группы F^ можно получить таким способом.
Напомним, что Л^ задается на данном множестве образующих
группы Fn и каждый элемент W (atv) группы F^ переходит при
преобразовании N в слово W {ijv)' Пусть теперь М—другое преобразование
Нильсена, которое переводит образующие Xv в некоторые
элементы гv группы f„. Преобразование М также определяет
автоморфизм группы Ff^, На протяжении этого и последующих разделов
данной главы мы будем использовать следующее
Правило композиции. Произведение NM двух
нильсеновских преобразований, рассматриваемых как
автоморфизмы группы f„, заданные на образующих х^, есть преобразование
Нильсена, которое получится, если сначала выполнить УИ, а за
ним N. Другими словами, если через V^ (Xv), [л == 1, ..., п,
обозначить образ Хц при преобразовании М, то преобразование NM имеет
вид
^^->V^t {уу),
В дальнейшем мы будем называть М, N автоморфизмами группы
F^ (вместо того, чтобы говорить, что они определяют
автоморфизмы). Группа Фд автоморфизмов группы /^^рассматривалась Н и л ь-
с е н о м [3] и Б. Не й м а н о м [1]. Нильсен и Нейман нашли
представление группы Ф,г с помощью образующих и определяющих
соотношений. Перейдем к изложению их результатов.
Условимся о следующих обозначениях. Индексы /, k
обозначают отличные друг от друга фиксированные числа
последовательности I, 2, ..., п. Индекс / обозначает переменную, значения которой
суть числа из ряда 1, 2, ..., п, отличные от / и от к. Символ ^<^
означает «.коммутирует с». Другими словами, если L, А1, N суть раз-

3.5. Группы Ф^ автоморфизмов свободных групп 173
личные элементы
означает» что
Нам понадобятся
группы Ф„, то запись
L^M, N
LM = ML, LN = NL.
автоморфизмы
^i,k' Xi—> Xf^y Xk'~^^iy Xj"-^
'Xf.
Автоморфизмы Pi,k порождают симметрическую группу Z^
перестановок образующих. Далее, нам понадобятся автоморфизмы
а^: Xi'-^x7'\ x^-^Xj^, xj-^xj.
Автоморфизмы Pi^k и о I порол<даюг расширенную
симметрическую группу Q^ порядка 2"я! Автоморфизмы а^ порождают абелеву
группу порядка 2'\ в которой квадрат каждого элемента равен
единице. Всякий элемент группы Q„ будем называться ровным
преобразованием, поскольку при применении его к любому несократимому
слову W (Xv) длина этого слова не изменяется. Очевидно, что
элементы группы Q„ являются единственными автоморфизмами, обладаю-
пхими этим свойством (поскольку свободные образующие должны ото-
брал<аться в слова длины единица). Нам понадобятся также
автоморфизмы
Ui^k* Xi-^XiXk, X}^-^Xj^, Xj-^Xfy
Vi,k: x^ -^ x^Xi, Xj, -^ Xj,, xj -> Xf.
Автоморфизмы P{,k, Oiy Ui,k, Vi,k будем называть
элементарными автоморфизмами. Символ Wi,k будет обозначать Lli,k или Vi^k-
Соотношение, в котором встречается Wi,k, означает, таким образом,
два соотношения. Нильсен [3] доказал следующую теорему,
легкая часть которой (об образующих) содержится в теореме 3.2.
Теорема N1. Группа Ф„ порождается элементарными
автоморфизмами (Pi,k> Oiy Wi,k) и имеет следующие определяюи{ие
соотношения {все индексы принимают значения от 1 до п, различные
буквы /, k и т. д. означают отличные друг от друга числа, &
принижает два значения I, —1):
PLkPk,= Pi,rPik-=Pk,rPi,n
a? = 1, Oi<^(jj^, Oj^P^^k,
Pi,kOiPi,k = cг^^,
W,,k^Pr,s. a„
P,,IF,, ^ W, cPa, P.,P^i,k =- Wj,uPuh Pui^Ki = Wk,P.,!,

174 Гл. 3. Преобразования Нильсена
ит:1 Uk^iVZk = о,Pi,,, Ui,kVT} К;,, = OftPu,
vtjJUIiViMa = v-f = uifvilviyi,,.
Число образующих в этом представлении группы Ф„
достаточно велико. Столь большое число образующих, связанных, правда,
довольно простой системой определяющих соотношений,
понадобилось Нильсену для доказательства того, что всякий элемент
группы Ф„ можно записать с их помощью в некоторой стандартной форме.
Доказательство Нильсена является очень трудным и пока его не
удалось упростить. Однако Нильсен доказал также, что группа Ф^
может быть порождена всего лишь четырьмя автоморфизмами. Мы
сформулируем его результат в следующем виде.
Следствие N1. Рассмотрим автоморфизмы Р, Q, а, U
группы F^, заданные следуюи^ей таблицей:
р
Q
G
и
Xi
ч
^2
хТ'
Л^|Х2
^2
Х^
Ч
Х2
Х^
ч
X,
х^
х^
х^
^п — ]
^п — \
К
^п — Х
^п-\
^п
Ч
ч
^п
^п
(в строчках указаны образы образующих х^, ..., х„ при
соответствующих автоморфизмах). Автоморфизмы Р, Q, а, U порождают группу
Ф„. Определяющие соотношения группы Ф„ имеют следующий вид:
P^Q-'PQ', t=:2,3, .... [«/2],
0^=1, a^Q-'PQ, QP, Q-'aQ,
{PaPUf = 1, U-^PUPoUoPo = 1,
(PQ-^UQfUQ-^U-^QU-^ = 1,
U^Q-^PQ\ QPQ-'PQ, Q-'oQ\ Q-'UQ\ aUa,
Pq-^oUoQP, PQ -'PQPUPQ-^PQP.

8.5. Группы Фп автоморфизмов свободных групп
Б. Н е й м а н [1] ввел автоморфизмы Т, S, Ri
175
т
S
R
Xi
Ч
н'
н'
ч
н'
н
н
ч
ч
Х7^
ч
^M-l
^л-1
. . ^п^п — 1
^п
^п
С^ ;
^гг-1
И показал, что при /г ==4, 6, 8, ¦., образующими для Ф^ будут Q и
Ry а при нечетных /г > 5 образующими будут S и R. Группа Фа
порождается автоморфизмами а, Р, f/, а Фд — автоморфизмами 5, Г,
f/. Соответствующие определяющие соотношения и смежные
вопросы см. в работе Б. Неймана [1].
Нильсен [1] доказал следующую теорему.
Теорема 3,9. Пусть F^ — свободная группа с двумя
свободными образующими Ху у. Каков бы ни был автоморфизм ф группы
Fzj существует такое слово Т в символах л:, у, что
1чГ\~'-Т.{хух-'у--^'^Т-\
где g, Г] суть образы х, у при автоморфизме ф.
Доказательство. Это вытекает из справедливости
утверждения для порождающих автоморфизмов а, Р, U (см. также
задачу 19 к разделу 4.4). ^
Таким образом, коммутатор хух-^у-^ является инвариантом
относительно автоморфизмов группы F^. Какие-либо аналоги
теоремы 3.9 для ^ > 2 неизвестны. Имеется, правда, более слабый
вариант теоремы 3.9, изучавшийся Вефером [2] и Барроу
[1]. А именно, можно показать, что существуют элементы группы F^,
принадлежащие некоторому члену нижнего центрального ряда
группы f„ и инвариантные при автоморфизмах группы F^ по модулю
следующего члена нижнего центрального ряда. Точные
формулировки и другие детали см. в разделе 5.8.
Слово W (xv) в символах Ху, называется примитивным элементом
группы f „> ^сли оно может быть отображено в Xi при некотором
автоморфизме группы F^, Аналогично, множество слов
w^, w„
w,
ft»
1 <^<n.
называется множеством ассоциированных примитивных элементов,
если существует автоморфизм группы F, который отображает Wi в
л:^, / = 1, 2, ..., /j. Если ^ = п, то редукционный процесс,
описанный в разделе 3.2, позволяет решить в конечное число шагов, будет
ли заданное множество слов W^ (^' «=» 1, 2, .,., ^) множеством
ассоциированных примитивных элементов. Однако если /г > 2, то

176 Гл. 3. Преобразования Нильсена
аналогичный вопрос при k < п оказывается очень трудным. (Для
случая д = 2 см. замечание после следствия N4.) Эта проблема была
реилена Уайтхедом [1] и Рапапорт [1J. Уайтхад,
используя топологические методы, построил алгоритм, позволяющий за
конечное число шагов найти самое короткое множесгво (или
множества) слов, в которое заданное множество слов может перейти при
автоморфизмах группы F^, Алгебраическое доказательство его
результатов дала Рапапорт. Ее доказательство было впоследствии
сильно упрощено Хиггинсом и Линдоном[1].
Опишем алгоритм Уайтхеда. Нам понадобится следующее
Определение Г-п реобразований. Пусть F^ —
свободная группа с п > 2 образуюТцими Ху^. Рассмотрим
произвольное разбиение множества символов х^, ..., х^ на пять
непересекающихся подмножеств А, В, С, D, Z (три из которых могут быть
пустыми), такие, что D содержит ровно один элемент d, а Л, В, С, Z
состоят соответственно из элементов ар (р >= 1, ...,/)> bo [(з ^ 1, ..•
...,/), с:х(т=1, ,.,, к), 2ц([х=1, ..., т), где
i + i + k-\- т-\- \ = п
и где /, /, ky т равны нулю, если соответствующее множество пусто.
Т-преобразованиями будем называть следующие автоморфизмы (и
обратные к ним)
^р -> apd, be --^ d~ bo f Ст -> d~ Cjd, г^ ~> г,^, d-> d,
Заметим, что Г-преобразования образуют конечное множества
автоморфизмов группы F^- Основные факты, установленные
Уайтхедом, состоят в следующем:
Теорема N2. Пусть Wp (Xv), р = 1, ..., ^ ^сть множество
несократимых слов в символах х^. Если существует автоморфизм
группы F^, который отображает множество W^ на такое
множество Wq несократимых слов, что сумма длин слов множества Wq
меньше, чем сумма длин слов множества Wq, то суи^ествует по крайней
мере одно Т-преобразование. которое {вместе с последующим
сокращением) отображает, множество Wq на множество Wq, имеющее
меньшую, чем Wq, сумму длин слов.
Если два множества несократимых слов Wq и Wq могут быть
переведены одно в другое некоторым автоморфизмом группы F^, и
если сумма длин слов из Wq, так же как и сумма длин слов из Wq*, не
уменьшается ни при каком Т-преобразовании, то множество Wq
можно перевести в множество Wq с помощью последоватсвльности
T-npeo6paioeaHuu, каждое из которых (вместе с последующим со-
кращением) не изменяет сумму длин слов в Wq, и с помощью
автоморфизмов Pi ^ky о i из теоремы N1 {ни один из автоморфизмов а^, Pi^k
не изменяет длину слова).

3.5. Группы Ф/2 автоморфизмов свободных групп 177
Теорема N3. Пусть G — группа с образующими Xv, v ^
^ I, .,,у Пу и с одним определяющим соотношением R (х^) = 1.
Группа G изолюрфна свободной группе тогда и только тогда, когда R
есть примитивный элемент.
Мы не можем привести здесь доказательство теорем N2, N3.
Даже в алгебраическом варианте Рапапорт[1], Хиггинсаи
Л и н д о н а [1] доказательство теоремы N2 является весьма
сложным. Теорему N3 можно доказать, основываясь на теореме Грушко
(раздел 4.1) и теореме N5. Теоремы N2, N3, вместе взятые,
позволяют решить вопрос, является ли свободной заданная группа с одним
определяющим соотношением. В связи с возможными усилениями
теоремы N3 уместно заметить следуюш.ее. У а й т х е д [2] построил
две подгруппы Г и Г* группы Fg» порождаюи^иеся соответственно
элементами а, р и а*, р*, где а, р, а*, р* —такие несократимые
слова в образующих группы F^, что:
(i) сумма длин слов а, р меньше суммы длин слов а*, р*;
(ii) невозможно перевести (а*, р*) в (а, Р) последовательностью
Т-преобразований, каждое из которых не увеличивает сумму длин
слов а*, р*;
(iii) существует автоморфизм группы F^, отображающий Г
на Г*.
Этот пример показывает, что теорема N3 не может быть
обобщена слишком далеко. Далее, имеется пример Рапапорт[1],
показывающий, что множество Г-преобразований нельзя заменить
множеством образующих группы Ф„, приведенным в теореме N1.
Заметим, что теорема N2 не исключает возможности того, что
некоторое слово W переходит в себя при Г-преобразоваиии.
Примеры такого рода можно построить, основываясь на теореме 3.9 и
некоторых теоремах из раздела 3.6.
Если не считать представления с помощью образующих и
определяющих соотношений, о группе Ф„ известно весьма мало.
Известна, впрочем, ее связь с группой А„ ^-мерных решеточных
преобразований. Группа Л^ есть группа аффинных преобразований
п-мерного евклидова пространства, оставляющих на месте начало
координат и отображающих решетку точек с целыми координатами
на себя. Группа Л^ может быть описана также как
мультипликативная группа целочисленных квадратных матриц порядка д с
определителем ± 1, или как группа автоморфизмов прямого
произведения Л„ п бесконечных циклических групп (т. е. свободной абеле-
вой группы А^ с п образующими). Нетрудно показать, что группа
Л,^ является гомоморфным образом группы Ф„. Чтобы убедиться в
этом, запишем Л^ аддитивно. Любой элемент из Л^ имеет вид/5^1 + ...
... +/а, где /v суть целые числа, а «v суть базисные элементы
группы Л^. Тогда отображение Xv -> Uv (при условии, что
произведение в F^ отображается на соответствующую сумму в Л„)
определяет гомоморфизм группы F^ на Л^, при котором вполне инвариантная

178 Гл. 3. Преобразования Нильсена
подгруппа группы f„ (а именно, коммутант) отображается в
единицу группы Л„. Следовательно, Ф^ отображается в Л^. Если
элемент Ф группы Ф^^ задается отображением
x^-^W^iXy), A)
то соответствующий автОхМорфизм X группы An задается линейным
преобразованием
п
a^->2 oAW^)a^, B)
где av (Wii) есть сумма показателей при Xv в слове W^. Нетрудно
показать, что B) отображает образующие группы Ф„ из теоремы N1
на множество образующих группы Л^ (см. раздел 3.2).
Следовательно, B) определяет гомоморфное отображение Ф^ на Л^, и мы можем
рассматривать каждый образующий группы Фд, как образующий
группы Л„, зная, что всякое соотношение между этими
образующими, которое выполняется в Ф^, выполнено также и в Л^. Пусть
где ядро К гомоморфизма Ф„ на Л^ состоит из тех элементов группы
Ф„, при которых не меняются смежные классы по коммутанту Fn
группы f„. Имеет место следующая теорема (для я<3 —
Нильсен [4], для любого п — Магнус [5]).
Теорема N4. Представление группы Л^ целочисленных
квадратных матриц порядка п с определителем ±1 получается из
представления группы Ф„, данного в следствии Nb добавлением к
множеству определяюи^их соотношений группы Ф„ соотношения /
{Uof^ 1.
Ядро К гомоморфизма Ф„ -> Л^ порождается автоморфизмами
Ки: а^ -> aiafiT\ aj -> aj {i Ф}),
Kij,s: a^ -> afifi^aT^aT^ , aj-^aj {i Ф /).
9mu автоморфизмы являются произведениями трансформ
Основная трудность в доказательстве теоремы N4 — получить
множество определяющих соотношений для Ад, что было сделано
Нильсеном [4].
Для п == 2 ядро К можно описать следующим образом.
Следствие N4. Ядро гомоморфизма Фз-^Лз состоит из
всех внутренних автоморфизмов группы F^^
Этот результат был получен Нильсеном[1]. Он
показывает, что примитивный элемент п группы F^ однозначно определяется
суммой показателей у я на двух образующих, если не считать
внутренние автоморфизмы. Это позволяет решить, будет ли данный элемент

3.6. Свободные автоморфизмы и изоморфизмы 179
н примитивным, и найти все примитивные элементы,
ассоциированные с ним.
Автоморфизмы группы Л^ были изучены Хуа иРайнером
[2, 3]. Относительно других проблем, касающихся группы Л,^,
см. Р а й н е р 12].
Задачи
1. Показать, что группа с образующими P^j^, а^, 1ф k (г, ^=1, ..., п),
имеет порядок 2'^п\ при условии, что образующие удовлетворяют тем соотношениям
для Gi и Р^ ^2 из теоремы N1, которые не содержат ^i^f^t Ui^^, V^ ^^ (см.
Нильсен [4]).
2. Показать, что группа Фз имеет представление
<Р, а, U; Р\ о\ (оР)^, {PoPU)\ {VPof, [f/, gUg]),
где [и, gUg\ означает коммутатор U~^ (gUg)'~^UgUg {см, Б. Нейман[1]).
3. Пусть ру q — два ассоциированных примитивных элемента группы Fg-
Показать, что все примитивные элементы, ассоциированные с /?, имеют вид
p'^q'p^(a, Р = 0, ±1, ±2, ...;8= ±1).
3.6. Свободные автоморфизмы
и свободные изоморфизмы
Если применить преобразование Нильсена к множеству S
образующих любой группы G, то в результате получится новое множество
образующих этой группы. Вообще говоря, указанное отображение
одного множества образующих группы G на другое не будет
определять автоморфизма группы G. Необходимые и достаточные
условия для этого были установлены в лемме 3.3.
Пусть а — автоморфизм группы G с образующими Ху, v == 1, ...
..., п. Будем говорить, что автоморфизм а может быть представлен
как свободный автоморфизм на образующих Xv, если существует
нильсеновское преобразование, заданное на Xv и отображающее кал<-
дое Ху на те же самые элементы группы G, что и а. Следует заметить,
что термин «свободный автоморфизм» имеет смысл только по
отношению к заранее заданным образующим группы G и что даже при
заданных образующих Ху свободный автоморфизм не обязательно
записывается в виде нильсеновского преобразования на Xv, поскольку
слова, на которые отображаются Ху, можно менять, используя
определяющие соотношения группы G. Например, всякий автоморфизм
свободной абелевой группы (Xj, х^у Х1Х2ХТ х'^ ) можно представить
как свободный автоморфизм. Но автоморфизм
х^ -> хЫ , Х2 -> x^xl
не представлен в виде нильсеновского преобразования, поскольку
x'lxl не является примитивным элементом в свободной группе Fa с
образующими х^у лга- (Если бы элемент Х\Х2 был примитивным в Fg» то

180 Гл. 3 Преобразования Нильсена
группа (Xiy х^\ Х\Х2) была бы бесконечной циклической группой,
что невозможно, так как она имеет своим гомоморфным образом
симметрическую группу третьей степени.) Однако, так как х^Хо == ХоХ^,
то xiX2 = (XiX2)^A:r\ где в правой части стоит примитивный элемент,
ассоциированный с х^х^^
Пусть G и G' — изоморфные группы, и пусть Xv, Xv, v= 1, ...
..., /г, — множества образуюидих соответственно для G и G'. Будем
говорить, что Xv и Xv соответствуют друг другу при свободном
изоморфизме группы G на группу G', если существует такое нильсе-
новское преобразование N ранга /г, что отображение
Л^ (Xv) -> x'v
определяет изоморфизм группы G на группу G'. Здесь N (Xv)
обозначает образ Xv при преобразовании N, Отметим, что случай, когда
одно или несколько Xv (или Xv) равны единице в группе G (или в G'),
не исключается.
Понятие свободного изоморфизма можно использовать при
формулировке теоремы Грушко (см. раздел 4.1), согласно которой
конечно порожденная группа G, изоморфная свободному
произведению, может быть отображена на него при помощи свободного
изоморфизма.
В настоящем разделе будут рассмотрены главным образом
свободные автоморфизмы. Начнем с доказательства след\ющего
результата, полученного Рапапорт[2].
Теорема 3.10. Пусть G — группа с конечным числом
образующих Xv, V = 1, ..., я, и с определяющей ми соотношениями /?^ == 1,
1=1,2,..., и пусть а — автоморфизм группы G. Тогдасуи{ествуют
множество из 2п образуюш^их г/ц (ji = 1, ..., 2/г) w множество on-
ределяющих соотношений iSy = 1, / — 1, 2,..., группы G такие, что
а можно представить как свободный автоморфизм на
образующей х у^.
Прежде чем доказывать эту теорему, необходимо отметить, что
не всякий автоморфизм данной конечно порожденной группы можно
представить как свободный автоморфизм на заданном множестве
образующих. Кроме конечных циклических групп, примером может
служить группа L (фундаментальная группа узла Листинга; см.
Дэн[3]иМагнус [2]). Эта группа задается двумя образующими
и одним определяющим соотношением
L = (и, v; u^vu^^v~'^u'~'^v).
Как показала Рапапорт[2], автоморфизм
u->v~^u~^vu, v->u~^v~^u~'^v~^uv A)
не может быть задан с помощью нильсеновского преобразования на
«образующих и, V. Этот пример интересен по двум причинам. Во-

З.б. Свободные автоморфизмы и изоморфизмы 181
первых, L имеет только одно определяющее соотношение,^поэтому
данный пример является простейшим возможным в том смысле, что
для свободных групп всякий автоморфизм, заданный на свободных
образующих, является свободным автоморфизмом. Во-вторых, как
показала Рапапорт[2], каждый изоморфизм группы L с любой
группой, имеющей одно определяющее соотношение, может быть
представлен как свободный изоморфизм. Можно предположить
поэтому, что две группы Си G', с одним определяющим соотношением
каждая, могут быть изоморфны, только если существует свободный
изоморфизм G на G' ^).
Докажем теперь теорему 3.10. Обозначим через W^v i^ix) образ
Xv при автоморфизме а. Через Vv (%) обозначим элемент группы G,
который переходит в Xv при автоморфизме а. Как Wv, так и Vv
считаем словами в символах х^х, В силу теоремы 1.5 мы можем,
применяя элементарные преобразования Тице, представить группу G с
помощью 2п образующих Xv, Zyi
G = (Xv , ev; Ri (xv), z~^Wy (x^)).
Для группы G, представленной таким способом, автоморфизм а
может быть задан с помощью отображения
Xv -> ^v , Zv ->¦ XvV^' {Zix) Wy (Zj^), V =- 1,2, , , , , Я,
Последнее является нильсеновским преобразованием на образующих
Xv, Zv. Теорема 3.10 доказана. Отметим, что число определяющих
соотношений в новом представлении группы G увеличивается на п
независимо от того, сколько определяющих соотношений имело
первоначальное представление. ^
Для свободных автоморфизмов, заданных на образующих группы
с одним определяющим соотношением, имеет место следующее
обобщение теоремы 3.9. (см. Магнус [1]).
Теорема N5. Пусть G — группа с образующими Xv, v = 1,
2, ..., /I, и одним определяющим соотношением R (Xv) = !• Пусть
отображение
является нильсеновским преобразованием на образующих Xv, и пусть
оно определяет автоморфизм группы G. Тогда R (Wv) свободно
равно (в х-символах) трансформе
T{xy)R{Xy)-'T-'{xy)
слова /?*^ (см. теорему 4.11).
В разделе 3.7 будут рассмотрены некоторые важные группы с
одним определяющим соотношением, для которых каждый автоморфизм
1) Доказано, что это предположение неверно (см., например, М а к у л и
Петровский [1]).— Прим. ред.

182 Гл. 3. Преобразования Нильсена
является свободным автоморфизмом. Теорема N5 показывает^
что для этих групп определяющее слово является инвариантом при
автоморфизмах.
Задачи
1. Вывести теорему 3.9 из теоремы N5, не используя явные формулы для ав-
томорфизмов свободной группы с двумя свободными образующими.
2 Найти представление группы L узла Листинга (см. стр. 180), для которого
автоморфизм A) является свободным. Показать, что существует представление
группы L с этим свойством, использующее только три образующих. [Указа-
н и е. Показать, что автоморфизм A) отображает uT'^v'^^uv и v'^^u'^v'^^u'^^vu
на а и у соответственно. Применить доказательство теоремы 3.10.]
3.7^ Группы кос и группы классов отображений
Некоторые важные группы, возникающие в топологии,
являются подгруппами группы Ф„. Напомним, что Ф^^ есть группа
автоморфизмов свободной группы F^c п свободными образующими. Мы
рассмотрим сначала группы кос В„, п = 2, 3, 4,... Группы кос были
введены А р т и н о м [1]. Определение, данное Артином,
получается из топологической конструкции. Исходя из этой конструкции,
Артин нашел образующие и определяющие соотношения группы Б„ и
доказал, что она изоморфна некоторой подгруппе группы Фд.
Позднее Магнус [4], Боненбласт[1]иМарков[1] показали,
как найти образующие и определяющие соотношения для группы В^^
алгебраическим путем, исходя из теоретико-группового определения
Bfi как некоторой подгруппы группы Ф„. Следующая теорема
суммирует эти результаты.
Теорема N6. Пусть F^ — свободная группа с п>2 гвобод-
ными образующими atv, v = 1, 2, ..., /г. Обозначим через В^ группу
тех автоморфизмов группы F^, которые отображают каждое Xv в
трансформу
некоторого х^, [i = I, .,,, п, и отображают на себя произведение
Х1Х2 * ¦ . Х^.
Тогда группа В^ порождается автоморфизмами о^, ..., On-i, где
каждое Qv (v = 1, 2, ..., я — 1) задается отображением
X'sj —^ Xv-{-l, ^v-f-I "^ .Vv-f-l-^v-^v-l-l >
Х^-^Х^, \l^V, V+1.
Определяющие соотноиления группы В^ имеют вид
Gvav+idv = av-f lavOTv-f I, o^g^i = a^a^ , | v — fx | > 1.
Доказательство теоремы N6 и близких к ней результатов тре-»
бует некоторых сведений о подгруппах и фактор-группах группы

3 7, Группы кос н группы классов отображений 183
В,у Следующий результат был получен Артином в качестве
очевидного следствия его топологической конструкции групп 5„. Он
может быть также легко доказан алгебраически.
Теорема N7. Пусть 2^ — симметрическая группа
подстановок п символов 1, 2, ..., п. Отображение автоморфизма Оу на
транспозицию (v, v + 1) двух символов v, v + 1 определяет
гомоморфное отображение группы В^ на 2„, причем ядром Кп этого
гомоморфизма является наименьший нормальный делитель группы В^,
содержащий а\'
Структура группы Кп и некоторых других подгрупп группы В„,
содержащих /Сд» была исследована Бурау[2], Магнусом
[4], Марковым [1], Боненбластом [1], А р т и н о м [2]
и Чжоу [1]. Мы сформулируем основной результат, следуя Ар-
т и н у [2], поскольку в этой работе содержится также
топологическая интерпретация образующих группы /С„. Эквивалентные
формулировки имеются у Маркова [ЦиЧжоу [1].
Теорема N8. Пусть Ai,k {i <,k, i, fe = 1, ..., /г) суть
элементы группы В^, задаваемые автоморфизмами
х^-^х^, если г<ii или r<c,k,
x^-^C7kX,C.ky если l<ir<ck,
где
Ci,k =- xV^x'^^x^Xj,,
Тогда Ai^k порождают ядро Кп гомоморфизма
Пусть (//, / = 1, ..., я — 1,— подгруппа группы Кп>
порожденная теми Aj^b для которых j << k. Тогда Uj— свободная группа,
Af^k — се свободные образуюи^ие, а каждый элемент группы Кп
имеет однозначное представление в виде
Щи,2 . . . Un-ly Uj^Uf, /=1, *..,^ —h
Определяющие соотношения группы Кп имеют вид {различные
индексы обозначают различные числа из ряда 1^ ...у п и первый индекс
у А всегда меньше второго):
Ar,sAi,pAj} = Ai^ky если s<ci или fe<r,
Ak,sAukAll - ^~M/.Hi.s, i<k<:s,
Ar,kAi,kA~l = Ла Л^/Л.ИлгД.^, i<r<k,
Ar.sAi,kA;:s - AZsAj;rA,,sA,,rA,,kA7-rAZsA,,rA,,s {i<r<k<:s).

184 Гл. 3. Преобразования Нильсена
Определение групп б^, данное в теореме N6 делает тривиальной
проблему слов для В„, так как мы всегда можем определить,
является ли тождественным данный автоморфизм свободной группы.
Тем не менее проблема сопряженности для групп В^ остается
открытой, если /г > 4 ^). Эта проблема представляет значительный
интерес для топологии в силу следующего результата А р т и н а [1].
Группы узлов и зацеплений (см. Рейдемейстер [2], К р о у -
ЭЛЛ и Фокс[1]) могут быть получены следующим образом.
Возьмем любой элемент ^ ^ В^ \\ обозначим через Р (xv) образ Xv ^ F^
при автоморфизме группы F^, определяемом элементом р.
Рассмотрим теперь все группы L„ (р) с п образующими Xv, v = 1, ..., п, и с
определяющими соотношениями
Xv = P(Xv).
Придавая Р и /г произвольные значения, мы получим всевозможные
группы L^ (Р) узлов и зацеплений. Решение проблемы
сопряженности в группе В^ было бы полезным при классификации групп L^ (Р),
поскольку группы L„ (Р) и L„ (Р') изоморфны, если элементы Р и
р' сопряжены в группе S„. В этой связи представляют интерес
исследования А р т и н а [4]. Для ^ = 3 проблема сопряженности
решается, исходя из следующего задания группы В^: (а, Ь; а^ = Ь^).
Огносительно случая п = 4 отметим, что Фрёлихом [11 была
решена проблема сопряженности для элементов подгруппы /D.
Представление групп В„ с помощью конечных матриц
рассматривали Бурау[1], Гаснер 111 иЛипшуц[21
Группа кос В„ тесно связана с группой класса отображений
двумерных сфер, из которых выколоты п граничных точек. Понятие
группы класса отображений приводится, например, у Нильсена
[5], [6]. Мы рассмотрим здесь лишь группы М (п, g") (д, g = О, ±1,
±2,...) класса отображений двумерных поверхностей, которые
возникают из замкнутых двумерных ориентируемых многообразий рода
g при выкалывании п граничных точек. Для случаев g = О, I
(Фрике иКлейн[1], Магнус 14]) и случаев п = О, \, g'>
>-2 (Нильсен [6]) было получено следующее алгебраическое
описание групп М (п, g).
Пусть F {п, g) есть группа с п + 2g образующими и^, ..., w„, а^-,
6^' (t = 1, 2, ..., g) и одним определяющим соотношением
U1U2 .». и^а^Ь-^а~ ЬГ ..» ctgbgaj bj = \,
Обозначим через А (/г, g) группу тех автоморфизмов группы F (я, g),
которые отображают 1Шждое Uy в сопряженное этому же или
другому UvJ через I (az, g) обозначим группу внутренних автоморфизмов
1) Проблема сопряженности для групп кос решена Гарсайдом [1].
См. также работы Маканина [1, 2].— Прим. перев.

3.7. Группы кос и группы классов отображений 185
группы F {Пу g). Тогда
М{п, g)c^A(n, g)/I(n, g),
{Очевидно, что / (я, g) является нормальным делителем в А (п, g).
Мы будем пользоваться алгебраическим определением групп
М (д,^)даже в тех случаях, когда эквивалентность
алгебраического и топологического определений остается недоказанной. Между
прочим, доказательство этой эквивалентности составляет
алгебраическую проблему. Главная трудность — найти образующие для
А (п, g). Как только это сделано, то (во всех известных случаях)
легко видеть, что эти образующие являются автоморфизмами
фундаментальной группы F (я, g) поверхности. Эти автоморфизмы
индуцируются надлежаще выбранными топологическими отображениями
поверхности на себя.
Для случая g" = О имеет место
Теорема N9. Группа М (п, 0) изоморфна фактор-группе
BJT^ группы кос В„. Нормальный делитель Г^ порождается п
элементами Tv, V == 1, ..., п — I, ит, где
Тз = С] (аз ... Оп-\) ,
Tz+j = (ai ,». о^У'^^ (а/-}-2 ,.. On-i)
Tn_i = {G^G^ . . . Gn-2T
n
T = (g^G^ . . . Gn-\)
Группа T^ есть прямое произведение свободной группы, свободно по-
рооюденной образуюи^ими т^, ..., т„__ь и бесконечной циклической
группы, порожденной т.
По поводу доказательства теоремы N9 и геометрической интер-
лретации связи между Б„ и Л! (/г, 0) см. М а г н у с [4].
Группы Af A, 1) и Л1 B, 1) были исследованы Ф р и к е [1].
Образующие и метод нахождения определяющих соотношений для
групп М (/2, 1) можно найти у Магнуса [4].
Настоящие трудности изучения групп М {п, g) начинаются при
g" >2. С помощью геометрических методов Нильсен [6] доказал
следующую теорему.
Теорема N10. Любой автоморфизм а группы
^@, g) = (ac, b,\ Па,Ь,аГ^ЬГ^)
i
может быть представлен как свободный автоморфизм на образую-

186
Гл 3. Преобразования Нильсена
U{ux Uiy bi. Если а отображает а^ на ai и Ь^ на bi, то
П a,bi {d,)~' {b\)~'
свободно равно слову
Т(Па,Ь,аТ'Ь7'ТТ~\
еде Т есть слово в символах а^, bi и г = ±: L
Второе утверждение теоремы N10 можно вывести из первого^
используя теорему N5. Автоморфизмы а, для которых е = 1,
называются собственными автоморфизмами группы F (О, g). Они
соответствуют тем топологическим отображениям замкнутой
ориентируемой поверхности рода g на себя, которые сохраняют ориента*
цию поверхности. Дэн [5] доказал следующую теорему.
Теорема N11. Пусть g'>2. Группа собственных
автоморфизмов группы F@, g)y определенной в теореме N10, может
быть порождена не более, чем 2g^ образующими, из которых g
можно считать внутренними автоморфизмами.
Точные формулы для этих образующих можно получить, исходя
из топологического описания соответствующих отображений на
себя ориентируемой замкнутой поверхности рода g, предложенного
Дэном.
Дэн [5] приводит пять гомеоморфизмов, которые порождают
группу М (О, 2) замкнутой ориентируемой двумерной поверхности
рода 2. Как показал Голд, эти пять гомеоморфизмов индуцируют
автоморфизмы Aj, Ag, ..., А5 группы F (О, 2). Они указаны в
таблице 3.1. Эта таблица устроена следующим образом. В первом ряду
Таблица 31
Ai
Д2
Лз
Л4
Д5
«1
«1
«1^1
^1
«1
х~^а^х
«2
«2
«2
Go
a,b.
^2
b,
biCii
b.
bi
b.
b]X
Ьг
b.
b.
Ьл
Ьг
X ^^2
{X = a2 ^b^a^b^ *)
указаны образующие группы F (О, 2), a в последующих рядах — их
образы при соотве1Ствующих автоморфизмах А^, указанных в
первом столбце. Если воспользоваться автоморфизмами а^, а^ группы

3 7. Группы KOG и группы классов отображений 187
F (О, 2), определенными ниже в теореме N12, то мы получим:
Ai «« аГ о^Г c^i,
Аз = (aiagOSiagar oCi^i) ^2" {aia2a^a2ar^a20Ci)~~ ,
А4 = aiagar ,
л /4—14 4чл/4—14 4 ч—1
Ag = (aia2 aiocaaiosa) AjL (aia2 aia2aia2) .
Таким образом, доказательство теоремы N11 можно вывести из
результатов Дэна [5]. Исследованиями группы М (О, 2)
занимались также Б э р [1], [2] и Н и л ь с е н [5]. Нильсен формулирует
(без доказательства) следующую теорему.
Теорема N12. Группа собственных автоморфизмов группы
F (О, 2) порождается внутренними автоморфизмами и
автоморфизмами
«1: а^ -> аТ^Ь^у Ь^ -> аТ^, а^ -^ аТ^Ь^у Ь^ -> а^^
а^: ^1->%&!, b^->b^y а^-^а^у b^-^b.
2*
Каждый автоморфизм а группы F = F {Оу g) определяет унимо-
дулярную линейную подстановку а от 2g переменных с целыми
коэффициентами, которая описывает автоморфизм, индуцированный
автоморфизмом а в фактор-группе F/f' группы F по ее коммутанту
F\ (Очевидно, что F/F' есть прямое произведение 2g бесконечных
циклических групп.) Однако эти линейные подстановки не
произвольны. Можно показать (см. раздел 5.8 или Магнус [7], что
определяющие соотношения группы F (О, g) накладывают
ограничения на (У. Упорядочим образующие группы F (О, g) и
соответственно переменные, на которые действует а, следующим образом:
^1» ^2» • • * » ^gi ^1» ^^2» » * • » ^^g*
Тогда линейная подстановка а будет описываться квадратными
матрицами S порядка 2gy удовлетворяющими условию
SJS' = ±J.
Здесь штрих означает транспонирование, а матрица / имеет вид
II ^ ^11
II-/ о|г
где / — единичная матрица порядка ^, а О — матрица порядка g",
состоящая из одних нулей. Матрица S называется симплектической.
Имеет место
Теорема N13. Автоморфизмы группы F == F (Оу g)
индуцируют в фактор-группе FIF' группы F по ее коммутанту F' группу

188
Гл. 3. Преобразования Нильсена
автоморфизмов, изоморфную мультипликативной группе Г всех
симплектических матриц с целыми коэффициентами порядка 2g.
Чисто алгебраическое доказательство теоремы 1413 может быть
получено следующим образом. Хуаи Райнер[1] нашли
множество из четырех образующих для собственной симплектической
группы, т. е. группы таких целочисленных матриц 5-l, что
S-\. JS-^ = J,
Эти четыре образующих соответствуют четырем матрицам,
возникающим из указанных в таблице 3.2 автоморфизмов t]i, г]2, %, щ
группы F (О, g). Пятый автоморфизм ц^ соответствует
симплектической матрице 5_, для которой
s_ jsL = —J.
Следовательно, rjj, ..., rjg, как автоморфизмы группы F/F\
индуцируют полную симплектическую группу.
Таблица 3.2
Л1
Л2
Лз
Л4
^б
Пг
Л2 1
Лз
Л4 1
Лб
7 g = QCa
Образ
УК
«1
«i^i^r^
«1^1
Т а т—1
UMi
h
bx
"Г'
bx
TA'Tj'
by
"я
• • •c.-i
c,=
эщиедля ri
Ol
«3 . . .
02 ...
r,_,<T,_,r-l,
*,Q.,*f' . , .
&«_,
fci
fr,
6, ...
Tg-A-x^jU
apfi^ '^7' . . .
«g_,
^rT_l = ^lCi . . •C'g_2, . • •
o,6,Q-lb-l 0=1,2 g).
зуппы матриц S+ были найден
«й
'''
"g
Tiairr'
«g
ft.
"«
h
h
T,b,TY'
^i
Щ
T, = C„ T, = 1.
Ы ранее К л e 6 -
шем и Горда ном [1]. Как показал Буркхардт Ш, эти

3.7. Группы кос и группы классов отображений 18^
образующие могут быть индуцированы некоторым топологическим
отображением на себя поверхности с фундаментальной группой
г (О, g).
Заметим, что если g^ >- 2, то определитель симплектической
матрицы равен +1. Простое алгебраическое доказательство этого
факта дал 3 и г е л ь [1].
Группа симплектических матриц с целыми коэффициентами
является весьма важной группой. По поводу ее связей с
алгебраическими функциями комплексного переменного см., например,
Буркхардт [11. Полное изложение теории симплектических
матриц и ее связь с теорией чисел и теорией функций многих
комплексных переменных можно найти у 3 и г е л я [1].
Группа автоморфизмов целочисленных симплектических матриц
была изучена Р а й и е р о м [3]; см. также Р а й н е р [1].
Значение групп классов отображений для проблемы Римана о
модулях риманоЕых поверхностей было впервые полностью
выявлено Фрике; см. Ф р и к е и К л е й н [1]. Фрике называет эти
гр]/ппы «автоморфными модулярными группами».

ГЛАВА 4
СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
С ОБЪЕДИНЕННОЙ ПОДГРУППОЙ
4.1. Свободные произведения
В этой главе изучаются понятия свободного произведения групп
и свободного произведения с объединенной подгруппой. Свободное
произведение групп, с которого мы начнем, можно сравнить с
известным понятием прямого произведения А X В двух групп А и
В. Свободное произведение определяет композицию групп,
имеющую много общего с композицией, определяемой прямым
произведением (более подробно об этом — в конце этого раздела и начале
раздела 6.4). Свободное произведение можно рассматривать как
источник всех других (при некоторых естественных ограничениях)
композиций групп; краткое описание этого подхода также можно
найти в разделе 6.4. В некоторых отношениях свободное
произведение устроено проще чем прямое; более всего это видно при
описании строения подгрупп (см. раздел 4.3). Наконец, следует
отметить, что и прямое, и свободное произведения естественным образом
возникают в топологии. Фундаментальная группа G декартова
произведения двух пространств с фундаментальными группами А
и В является прямым произведением А х В, Если же эти
пространства склеить в базисных точках их фундаментальных групп, то
фундаментальная группа полученного пространства будет
свободным произведением групп А и В. Итак, переходим к определению:
Свободным произведением Л * В групп
^==(^1, *•., «я; ^1Ы, ..., Rpiav)) A)
б = (&1, ..,, К,; S,(b^), .,., S,(b^)} B)
называется группа
А^В== (ai, ,.., а^, bi, *.., &,,;; Ri(av), •..
..., Rp(av). S,{b^), ,.., S,{b^)),. C)
Группы A и В называются свободными множителями группы Л * В.
Хотя в определении свободного произведения А* В участвуют
конкретные представления групп А и В, оно, тем не менее, не
зависит от этих представлений:
Лемма 4.1. Свободное произведение А * В однозначн
определяется группами А и В. Более того, Л * В порождается двумя под-

4.1. Свободные произведения 191
группами А и В, изоморфными группам А и В соответственно,
такими^ что А [] В ^ \.
Доказательство. Предположим, что группы А \\ В
заданы представлениями A) и B), и пусть также
А = (аи ... , а1\ R\ (а'а), ,. .), D)
В = (Ьи ..., Ь'ь 5,F;), ...). E)
Тогда группа Л * В, заданная представлением C), может быть
также задана представлением
А^В==:(а\, ,.., al b\, .. ., b]; R\ (da), ..., S[ {b\), .,.). F)
Изоморфизмы группы A) на группу D) и группы B) на группу
E) определяют естественным образом гомоморфизм группы C) на
группу F), так как определяющие слова из C) отображаются в
слова, равные 1 в группе F), Но, воспользовавшись изоморфизмами,
обратными к изоморфизмам A) на D) и B) на E), мы получим
гомоморфизм, обратный к гомоморфизму группы C) на группу F).
Таким образом, Л * S определяется однозначно, с точностью до
изоморфизма, группами Л и В.
Пусть Л — подгруппа группы C), порожденная элементами
«1, ..., а„, и пусть В — подгруппа группы C), порожденная Ь-^, ...
..., 6^. Очевидно, что Л * S порождается группами Л и В.
Отображение а^ в а^ определяет гомоморфизм группы Л на группу Л.
Далее, гомоморфизм группы Л *В в группу Л, определяемый
отображением «v в «v и 6^1 в 1, отображает Л на Л и является на Л
обратным к гомоморфизму Л на Л. Таким образом, А с:^ А\ аналогично,
В с^ В.
' Наконец, если g ^ А [\ В, то гомоморфизм группы Л * В в Л,
определенный выше, переводит g в 1 ввиду g ? В. Но этот
гомоморфизм взаимно однозначен на Л, откуда g" = 1 и Л П ^ =_1.^
Ввиду суш,ествования изоморфизма между группами Л, В и Л,
В соответственно, удобно отождествлять группы Л и Л, В и В, и,
таким образом, считать Л и В подгруппами группы А^В.
Определение. Если g Ф I — элемент из А * В и g
лежит в Л или в В, то свободный множитель группы А ^ В, содержа-
и^ий g, обозначается через F (g).
Таким образом, F (g) есть Л или В. Например, если W — слово
лишь в образуюш,их а^, то F (W) == А. Аналогично, если W -т-
слово лишь в образуюш,их В^, то F {W) =' В. Это обозначение
остается в силе, даже если W равно 1, при условии, разумеется, что W
непусто.
В теореме 1.2 был найден канонический вид элементов свободной
группы. То же самое мы сейчас проделаем для свободного произ-

192 Гл. 4. Свободные произведения
ведения двух групп. В качестве аналога несократимого слова
свободной группы здесь используется «несократимая
последовательность» элементов А ^ В.
Последовательность элементов g-^, §2» •••» §« из Л * В
называется несократимой, если g^^y^U gi лежит в А или в В и g^, g-^-j-i не
лежат в одном и том же свободном множителе. "^
Например, если Л * В = (а, 6; а^, 6^), где 1, а, а^, а^, а^ —
элементы группы Л, а 1, fc, b^ — элементы группы В, то
последовательность а^, Ь, йу Ь^, а^ несократима; последовательность а^, 1, а
не является несократимой, так как вторым членом ее является 1;
последовательность а^, ft, b^ не является несократимой, так как
соседние члены ее b и Ь^ лежат в одном и том же свободном
множителе.
Из того, что соседние члены несократимой последовательности
не лежат в одном и том же свободном множителе, следует, что все
члены несократимой последовательности отличны от 1, кроме случая,
когда поеледовательность состоит из одного члена.
Наряду с «буквенной» длиной L (W) слова W, равной
количеству образующих и им обратных в этом слове, полезно иметь здесь
понятие «слоговой» длины.
Определение. Пусть IF(av, bjn) — слово в «i,..., ^т^^,
&!, ..., 6„j. Если W (av, &д) = W1W2 ... W^y где каждое Wi непусто
(хотя может определять 1 в Л « В) и является словом только из
йу либо только из Ь^у а Wi и Wi ц не лел<ат в одном и том же
свободном множителе группы А ^ В^ то число г называется слоговой
длиной слова W и обозначается К (W)] слова Wi, IF2, ..., Wj.
называются слогами W.
Например, если А ^ В = (а^, а^у 6i, 62» ^8^ ^i^t l^lblbl) и
W («v, b^) = а^а-^^Ьф1^а\а1 то L {W) = 10, но % {W) =' 3.
Слоговой длиной элемента g группы А -^ В называется минимум
слоговых длин слов, определяющих g. Таким образом, элемент I
из Л * В имеет слоговую длину нуль; слоговая длина элемента g Ф
=7^ 1 из Л или из В равна 1; слоговая длина произвольного
элемента, не лежащего ни в Л, ни в В, > 2.
Теорема 4.1. Каждый элемент g группы А ^ В
единственным образом представим в виде произведения
g == glg2 '" gn G)
^^^ ^1» g'2» •••» gr — несократимая последовательность ^).
Доказательство. Так как группа А ^ В порождается
подгруппами Л и В, произвольный элемент g этой группы
представим в виде произведения h^^ ••• f^m г'Д^ каждый /ц лежит в Л или
в В. Если среди таких произведений, представляющих g", выбрать
^) Правая часть равенства G) будет иногда называться несократимой записью
элемента g.— Прим. перев.

. 4.1. Свободные произведения 193
Произведение I gig2 »*.gf. с наименьшим количеством г членов, то
последовательность^!, g^2> •••> gr будет несократимой. В самом деле,
если бы gi = 1 или gi и g"t4-i лежали бы в одном и том же свободном
множителе, то элемент g оказался бы представимым в виде
произведения
g^l •- gl-\gt-hl ^'> Sr или g^i .., g't-l(^/^^+l).^/+2 •.. gr,
соответственно с числом членов, меньшим г. Поэтому каждый
элемент g представим в виде G).
Осталось доказать единственность. Для этого мы введем
некоторую конкретную процедуру р превраихения произвольного слова
W (йуу b^i) в несократимую последовательность аналогично тому, как
эго было в доказательстве теоремы 1.2. Прежде чем определить р
формально, проиллюстрируем эту процедуру на конкретном слове
IF (а, b)^a^b'b-^^a-'b^a~'
из группы /4 * в = (а, &; а^, fc^). Для вычисления р от W
разобьем сначала W на слоги IFj, W^, W,, W^, X^^:
W (a, Щ^а" ^ b'^b-^ ^ a"^ • b^ . a'^
Затем заменим каждый слог определяемым им элементом из А или
By в результате чего получим последовательность элементов а^, Ь, а^
1, а^. Затем вычислим последовательно:
р(Г,) = р(а2) = а2,
p{W,W,)^p(a\ b) = {a^ b),
p(W,W,W,)==p(a\ Ь, a2) = (a^ fc, a\
piW,W,W^W,) = p(a\ b, a\ \) ^ {a\ b, a^),
p{W^X<^^W^W^W^)^p{a\ 6, a\ 1, d')=^{d\ b).
Таким образом, p применимо и к слову из а^, Ь^, и к
последовательности элементов группы Л * Б, каждый член которой лежит
в сЕюбодном множителе А или В. Формально р определяется еле-
дуюш.им образом:
Определение. Несократимая форма р (g^y g^y ..., g^
последовательности элементов gi, g^, ^--ygn^ каждый из которых
лежит или в А или в S (и соседние члены могут быть из одного и того
же множителя), определяется индуктивно следующим образом:
р (пустая последовательность) = пустая последовательность,
( пустая последовательность, если gi = 1,
^^^'^ ^[ gu если gi?^L
7 в Магнус и др.

194 Гл. 4. Свободные произведения
Далее, если р (g-j, . .., g-J == (/Zi, . ,., Л,), то
•*(/zi, ..., h^), если g^a+i = I,
= \
(/ij, ..., /i;-_i), если gn+\ = /zr ^
i/ii, ..., /i^-g-n+i), если §-^+1=?^ h7\ HO F (g-^+i) - F (h,)^
(hi. ..., ftr> gni-i)> если f (^^+i) =7^ /-^ (Я,).
'^ Наконец, для слова W {a^, by) процедура p определяется
следующим образом:
Если Wi, ^2, ..., Wn — слоги слова W м gi — элемент группы
А или By определяемый слогом IF^-, то
Для завершения доказательства теоремы достаточно установить
следующие свойства процедуры р:
(з) Р fei» •••> ё'м) является несократимой последовательностьк>
длины, не превосходящей п\
(b) если р (^1, ..., g-J = (/zi, ..., /i,), то gi^2 ••. ёп'^'КК ... ^г;
(c) если giy *'-у gn — несокрагимая последовательность, то
Ptei> -.Mg-J -= {gu ..->§"«);
(d)p(g-i, .-, ^i^, gk-{-u ... , ^J = p(pfei, ..-, ^J> ^/^+b ..., gn)l
(e)p(gri, ..., й^я» l) = p(g'b -. , gJ;
(Opig'i» *•*, gh 1, g't+i, **., g'J-=p(§'i, ... , gh gi+u .*M g"«);
(g) если F (grj = F {gn+{)y TO p (g-i, ..., g^, gn+i) = p (g-i, ...
(h) если F fe) = F (g-,+i), то p fei, ..., g^, 1, g-/+i, ..., g^) =-
= P fei» ...»^i • &Ч-ь ...,g-n).
Свойства (a), (b) и (с) выводятся непосредственно из определения
р индукцией по я; свойство (d) получается из определения р и на
(с) индукцией по п — k; свойство (е) — непосредственно из
определения р; свойство (f) — из (d) и (е). Свойство (g) требует более
длинного индуктивного рассуждения.
Из определения ясно, что р (g"i, g2) = Р fei ' g2)- Если
Р fei».-.> gn-i) = (hi, ..., h^ TO ввиду (d) достаточно показать,
что
P {hiy ... , h,, g^, gn-\-i) = p (/ii, .., у K, g^- gn-i-i).
Если gn+l = 1, TO p (/Zi, ..., /l„ g-^, 1) = p (/li, ..., /Z„ gj в СИ«
лу (e), что совпадает с р (/i^, ,„ , h^, g^ • 1), и утверждение (g)
справедливо. Если gn = 1, то согласно (f)
Р (^1, .». , Ку 1, gn+\) == Р {/ii, ... , ft^, gfn+i)
и опять имеем требуемый результат.

4.1. Свободные произведения 195
Можно считать теперь, что g^ и gnJ^i ф 1. Возможны два
случая: f(/i,)^,f(^,) и ^(/1,) = /^Ы.
Если F (/г,) ф F (^J, то
Р (^1, - . , К^ gn) = (К • • • » К Sn)
и
1 (^1, - . , К, g^' gn+i), если g^фgn+l •
Аналогично,
[ (/ii, ... , /i„ g-^ • g^^+i), если g^ Ф gn+u
так что утверждение (g) имеет место.
Предположим теперь, что F (h^) = F (g,J. Тогда в силу (d)
Р {hu . *. , ft,, gn> gn-\-i) = p (p (fti, ..., K, gj, §-,г+1),
и так как г < д — 1 ввиду (а), по индуктивному предположению
имеем последовательно:
Р (Р (^1, • . . , h^, gj, g,^^,) :== р (р (Л^, . . . , ft^ . gj, ^^_^j) ==
= Р (fti, ... , К ' g^, gn+i) - p (/ii, ... , ft, • §-;г • g"/7+i) =*
- p (fti, ... , ft,, g-;, • g-n+i),
где опять использовалось свойство (d).
Итак, справедливость (g) установлена; (h) следует из (d), (f)
и (g).
Мы можем теперь закончить доказательство теоремы.
Предположим, что g*!, g, ...jg", и fti, fta, ..Mfts—несократихмые
последовательности и
g"i • g'2 • «•' * g^, = fti -fta • »•« • fts-
Здесь элементы g^ и ft^ определяются однослоговыми словами Ui и
Fy соответственно. Тогда U = UiU^ --- Ur и К = KiKg ... К^ —
слова в образующих а^ и Ь^, определяющие один и тот же элемент
группы Л * Б. Поэтому от U к V можно перейти при помощи
вставок и вычеркиваний определяющих слов Ri {а^), ..., Si {Ьр) и слов
ala^^y b^ib'^^ (в == ± 1). Покажем, что при вставке или
вычеркивании слова, равного единице, значение р от слова не меняется.
Достаточно рассмотреть случай вставки слова Р, так как если Р сы-
черкивается из X для получения У, его можно вставить в Y для
получения X.
Пусть X = Х1Х2 ... Х^ — слово из «v, Ьд, где Х^, Х^, ..¦, Х^ —
слоги Ху и пусть ki^ — элемент группы А ^ В, определяемый
7 *

196 Гл. 4. Свободные произведения
СЛОВОМ Xi, Если Y получается из X вставкой однослогового слова Р„
равного единице, то Р вставляется в начале или в конце слова Х„
или между соседними слогами Х^ и Х^+ь или между символами
некоторого слова Xj.
Если слева или справа от Р имеется слог слова X,
принадлежащий тому же свободному множителю, что и Р, или если Р встав-
лено в такой слог, то последовательность элементов, определяемая
слогами слова F, совпадает с последовательностью элементов^
определяемой слогами X. Отсюда р(У) = р (^i, /^2, ..., k^) = р (X).
В противном случае или Р вставлено nepejxXiU F (Р) Ф F (Х^),
или Р вставлено после Х^ и f (XJ Ф F (Р), или Х^ = ХД^,
F (Х^) Ф F (Р) II Р вставлено перед Х^. Рассмотрим каждый из
., k,) = р (X)
этих случаев:
р(У) = р(РХА .
ПО свойству (f);
р(Г) = р(ХА..
... X,) = p(l,k„ ..
.X„P) = p{k„ k„ .
•. k„) = p (kl,
no свойству (e);
p(r) = p(Xi, ,.., X;PX;, ..., Xj^p(/e„ ,.., k[, 1, kl ...,^,)-
= P (^1, ... , k[kiy ... , K) = P [K • •. , K> . - , ^J = P (^)
no свойству (h).
Возвращаясь теперь к [У и У, получим, что 9 {U) = р A/); в
самом деле, существует последовательность (У, ..., X, F, ..., У, в
которой соседние члены отличаются вставкой однослогового слова ^
равного 1, и потому р {U) = ... = р (X) = р G) = ... = р (У).
Но р((/) = p(t/i ... [/,) = pfei, *.. , ^л) =- teb ... , gr) и p(l/) ^
= p(V^i ••• ^s)==P(^i> •¦•> ^s) "^ {Ку **'•» К) ^^ основании (с).
Отсюда (gfi, ..., g"^.) = (/ii, ..., /г^), и теорема доказана.<^
Следствие 4.1.1, Пусть А и В — такие подгруппы группы
G, что А П В = 1у и пусть каждый элемент из G однозначно
представим в виде произведения g = gi --* g^ ^ где gi^ ..., g^. —
несократимая последовательность. Тогда G является свободным
произведением групп А и В.
Доказательство. Пусть А = (а^, ..., ^п' ^ (<3\)»"-) и
В -= (&1, ..., Ь^;, S Fд),...). Тогда элементы а^, ..., а^, Ь^, ..., Ь^
порождают группу G, и слова R (а^), ..., S (Ь^),... равны единице в
G. Для доказательства того, что G = Л * S, следует показать, что
всякое единичное слово W (av, b^) из G выводимо из R {а^), ...
..., 5 (ft,x)».-- Пусть W ^ IFili^2 ••• ^г» ^Д^ ^1 являются слогами
W, Воспользуемся индукцией по слоговой длине IF. Если /• = О, то
W выводимо из R (^v), ..., 5 (&^),...

4.1. Свободные произведения 197
Предполол<им, что произвольное единичное слово из G, имеющее
менее г слогов, выводимо из R («v), ..., S {b^,.,. Рассмотрим
произвольное слово W^W^^ ... W^, равное 1 в G. Если gi — элемент
группы G, определяемый ""словом W^, w g^^ \ для всех /, то gi, g^, ...
...,§¦;, — несократимая последовательность с числом членов г > 1,
и потому не может определять 1. Поэтому некоторый gi есть 1, и W^
равно 1 в А или в S и, следовательно, выводимо из /?(av),... или
5 {Ь^),... Но тогда W^ .,. \F,_iIFi+i ... 1^, равно 1 и по
индуктивному предположению выводимо из R (av), ..., S F^),... Таким
образом, W (^v, bp) выводимо из R (а^), ..., S (Ь^),,..^
С л е д с т в и е 4.1.2. Пусть G = А ^ В, и пусть С —
подгруппа группы А, D — подгруппа группы В. Если Н — подгруппа
группы G, порождаемая подгруппами CuD,moH = C^D,
Доказательство. Так как С и D порождают Я, то
каждый элемент из Н является произведением g^g^ ... g^y где каждый g^
лежит в С или в D, и g^, g^, •**, gr — несократимая
последовательность в С ^ D, Но несократимая последовательность в С * D
является несократимой последовательностью и в Л * б. Поэтому
представление элемента из Н несократимой последовательностью из
С ^ D однозначно. Так как С {] D ^ А {] 6 = 1, то по
предыдущему следствию Н = С ^ D.^
Следствие 4.1.3. Если (g^y g^, ..., g^) — несократимая
последовательность в А * By тоХ (g^gj. ,.. g,) == г.
Доказательство. Произвольное слово, определяющее
элемент g'lg'a -•- Sry имеет в силу (а) и (с) слоговую длину, не меньшую г.
Так как gig2,... g^ определяется словом (Ух(/2 •• ^г» где 0^—одпосло-
говое слово, определяющее g^, то г есть минимальная длина слов,
определяющих g^g2 ... g^-^
Следствие 4.1.4. Произвольный элемент конечного порядка
группы /4 * S сопряжен с подходящим элементоль конечного
порядка из А или из В.
Доказательство. Пусть g — элемент конечного
порядка из Л * S. Воспользуемся индукцией по слоговой длине элемента
g". Если она равна О или 1, утверждение очевидно. Если g = g^g.2, ...
... g^ — несократимая запись элемента g и g-^, g^ принадлежат
разным свободным сомножителям, то при ^ > О
ё^ == §1^2 . . • ^.^1^2 . . ' g. . . • elg2 • " gr
есть несократимая запись элемента g^\ и в этом случае g не мол<ет
иметь конечного порядка. Поэтому gi и g^ лежат в одном и том же
сомножителе и
gV^ggi = 5^2 . . . gr-\ (grgi)
имеет более короткую слоговую длину. По индуктивному
предположению некоторый элемент, сопряженный с gf^ggrt лежит в
свободном множителе; то же самое верно и для g.^

198 Гл. 4. Свободные произведения
Следствие. 4.1.5. Если g — элемент группы А * В, и
элементы а, gag-^ оба лежат в А, а Ф \, то g^ А, В частности^
если g ^А, то gAg"^ {] А= \,
Доказательство. Воспользуемся индукцией по слоговой
длине элемента g". Если А, {g) = О, утверждение очевидно. Пусть g =*
= giS2 ••• g'r (^ > 1) — несократимая запись элемента g", и пусть
gr^A. Тогда gag~^ = g^g^ .,, gr^g7^ ,.» gT^gT^ является
несократимой записью элемента gag-^ и имеет слоговую длину >1,
т. е. gag-^ ^ Л, что противоречит предположению. Следовательно,
gr^Aii \ф g,ag-^^ А. Так как (g^ ... gr^i) {gM7^) (Si .•• ^,-1)"'^
лежит в Л, то gi ... g^_j g Л и g^ А.^
Следствие 4.1.6. Пусть U и V — такие элементы группы
А ^ В, что UV == VU. Тогда или V и V ле(^ат i некоторой
подгруппе, сопряженной с А или с В, или являются степенями некоторого
элемента W.
Доказательство. Если хотя бы один из элементов U viV
равен 1, то они — степени подходящего элемента. Поэтому можно
считать, что f/, V Ф\. Если, далее, V лежит в подгруппе,
сопряженной со свободным множителем, например, в gAg-^^ то g~^ Vg^
е Л и g~Wg^ 1. Так как i/""V(/ = F, то
ig^'UgV' • ig^'yg) • {g~'Ug) = g-'Vg
лежит в Л. По предыдущему следствию g~^Ug б Л и потому U g
€ gAg-'.
Итак, мы должны показать, что если два элемента из Л * 5
коммутируют и ни один из них не лежит в подгруппе, сопряженной о
Л или с В, то они являются степенями некоторого элемента.
Предположим, что это неверно и выберем (У и У таким образом, чтобы V
имел наименьшую слоговую длину среди всех элементов, для
которых существует элемент (/, опровергающий наше утверждение.
Далее, среди всех таких пар [/, V (где V имеет указанную длину)
выбираем ту, в которой 6^ имеет наименьшую слоговую длину.
Очевидно, X{V) <Х ((У). Пусть и = ^1^2 •- gr^ V = /^Л ••• К —
несократимые записи элементов U и V; тогда г ^ s.
Если /ii и /Zg лежат в одном и том же сомножителе, то hT^Vhi =^
= /i2 ... hs-\ (hjii) имеет меньшую слоговую длину, чем К, и
коммутирует с hr^Uh; кроме того, ни hT^Vhi, ни hT^Uh^ не лежит в
подгруппе, сопряженной с сомножителем Л или В. Поэтому, ввиду
минимальности слоговой длины F, hY^Vhy^ = U^^ и hr^Uhi = W^;
но тогда V == (/ZiW/irV и f/ = {h^Whr^y являются степенями
одного и того же элемента. Следовательно, hi и h^ не лежат
одновременно в Л или в В.
Если /li и g^ лежат в разных сомножителях Л * В, то
^^ = glg2 * * * grf^A . . . /^s

4.1. Свободные произведения 199
есть несократимая запись элемента UV, откуда Х (UV) = г + s.
Так как UV ^ VU, то X (VU) = г -^ s и потому
VU = hji^ .». h,g^g^ .,. ^,
есть несократимая Запись VU. Из единственности несократимой
записи элемента UV = VU в Л * S вытекает г > s и UV~^ =
== gig2 ••• Sr-sj так как в противном случае f/ = У. Поскольку U
коммутирует с V, UV"^ также коммутирует с V. Если бы UV~^
лежал в подгруппе, сопряженной с А или В, то там же, в силу первой
части доказательства, находился бы и V. Таким образом, UV~^ и V
коммутируют, ни один из них не лежит в подгруппе, сопряженной
с сомножителем, и X {UV~^) <С.Х {и).Из минимальности X (U)
получаем, что V = r^if/l/""' - W. Но тогда U = UV^^V - Ц7^+^
и 1/ = W^, Следовательно, h^ и g^ должны лежать в одном и том же
свободном множителе. Но тогда h~^ и g^ лежат в разных свободных
множителях. Применив аналогичные рассуждения к элементам U
и V~^ I место и и Vy найдем, что U и V~~\ а потому U и V являются
степенями одного и того же элемента. <^
Как и в случае свободной группы, проблему сопряженности
свободного произведения можно решить, используя понятие
циклической несократимости.
Несократимая последовательность элементов g"i, g'g, ..., g"^
группы Л * В называется циклически несократимой, если gi и g^
лежат в разных сомножителях А ^ В,
Теорема 4.2. Каждый элемент g группы Л * В сопряжен о
элементом g^g^ ... g^y где последовательность g"i, g^y ..., g^.
циклически несократима. Более того, если g^, й'г» •••» g";. и h^y h^, ..., /^g —
такие две циклически несократимые последовательности, что
элементы gig2 ..* gr и h-Ji^, ••• /^s сопряжены в А * В иг Ф> \у то
последовательности g"i, §-2» •••» ёг " ^1» /^2» -•, h^ являются циклическими
перестановками друг друга; если же г ^ \, то s = 1 и g^uh^
сопряжены в одном из свободных множителей.
Доказательство. Пусть г — наименьшая слоговая
длина элементов, сопряженных с g. Тогда некоторый элемент,
сопряженный с UgU'~\ имеет несократимую запись gig2 -*- gr Если gi и g^
лежат в одном сомножителе, то элемент
grUgV'^gV^ = {grgi) ^2 - • gr^i
сопряжен с g" и слоговая длина его меньше г. Поэтому
последовательность gi, ga» •••»& циклически несократима.
Покажем далее, что если элемент g не лежит в подгруппе,
сопряженной с Л или с By то все элементы, сопряженные с g, имеют
одну и ту же циклически несократимую запись (с точностью до
циклической перестановки). Для этого введем специальную
процедуру о нахождения циклически несократимой записи. Сначала

200 Гл. 4. Свободные произведения
индуктивно определим действие о на несократимую последователь*
ность элементов группы А * В:
а (пустая последовательность) = пустая последовательность^
если F (^i) Ф F (g^), то а {g^, g^, ... , g^) = {g^, g^, .. . , g^);
если P (g^) = f (g-,), TO a (gr„ ^2, • - , g^.) = (? (p fe, - • , ^. • gi))-
Наконец, если g — произвольный элемент группы Л * S, полагаем
Индукцией по слоговой длине элемента g легко показать, что
о (g) является циклически несократимой последовательностью и
определяет элемент группы М* В, сопряженный eg*. Мы перейдем
сразу к доказательству единственности.
Пусть сначала а (g) — пустая последовательность; тогда g
сопряжен с 1, и потому g" = L Если h сопряжен с g, то /z = 1 и
о (/г) == 0 (р (/г)) = и (пустая последовательность) = пустая по-
следрвательность. Поэтому о (g) и а (h) являются циклическими
перестановками друг друга.
Предположим теперь, что а (g) == g-^; тогда g = UgiU~\ так как
о (g) определяет элемент, сопряженный g. Мы хотим доказать, что
о iVgV~^) = /ii, где /ii и gi сопряжены в F (g^). Так как о {VgV~^) =»
~ (y{VUgi • U~^V~^), то достаточно показать, что элемент
о (W^giW"^) сопряжен с gi в f (gi). Воспользуемся индукцией по
слоговой длине элемента W. Если к (W) == О, утверждение
заведомо справедливо. Пусть W = Pi ... pt — несократимая запись W.
Тогда WgiW~^ = pi ... ptgipr^ ... рГ^ Если F{р^) = ^(gi), то
^(P/^iPr^)= 1, '^(Pi »., р/_1)<Я(Ц7), и по индуктивному
предположению элемент
G{p^ ... г^_1 {PtgiPV^) рТ-\ ... рГ^)
сопряжен с p^gip-^ в f {рЯхРТ^) = ^ Ы- Так как p^gip-^
сопряжен с gi в f (gi), то а (H^gilF"^) сопряжен с gi в f (gi).
С другой стороны, если F (р^) =7^ f (gi), то
wg,w-'==p,... p,gipr'...рг'
есть несократимая запись элемента WgiW~^ и, по определению,
о {Wg^W-^) == а (р (р2, ... , р^, gi, рГ\ t,. , рГ\ prVi)) =
=- ^(Р2, ... , Л, Яь РГ\ .., , рГ^) = а(р2 ... P/giPr^ *.. рГ\
отк>да а (\Fgi\F~^) сопряжен с gi в f (gi) по индуктивному
предположению. В частности, доказано также, что элемент g =р 1 лежит
в подгруппе, сопряженной с Л или с В, тогда и только тогда, когда

4.1. Свободные произведения 201
Предположим, наконец, что ^((^(g"))>l- Покажем, что
о iUgU~^) — циклическая перестановка а (g). Для этого достаточно
убедиться в том, что а {aga~^) является циклической перестановкой
а {g), где а лежит в одном из свободных множителей группы Л * В:
затем можно вести индукцию по Я {V).
Пусть р (g-) = (gi, g^, ..., g-,), г>Ь
Случай L F (g,) Ф Fjg;), F{a)^F {g^\ F {a) фР (g^).
В этом случае p {aga ^) = (a, gi, g<^, ... , g^, a ^) и, no
определению j7, a(g) = (gi, g2, -•, g^r) и G[agar^)^o{p {g^, g^, -.
•.., gr^ oT^ ^a))^E (gi, ... , g,), так что a (aga ^) = a (g).
^ Случай 2. F (gi) :^ F (g,), f (a) = /^ (g^), ag^ Ф U
\ В этом случае p(aga ^) = (agi, go, .., , g-^, a ^) и or(ag^a^^) ==«
ЧТО является циклической перестановкой а (g).
Случай 3. F (gi) Ф F (g,), ag^i == 1.
В этом случае р {aga"^) = (gg, ... , g^„ а ^) = (g^g, ... , g„ gi),
так что о (aga ^) = (gg, ... , gr, Si) является циклической
перестановкой o{g).
Случай 4, F (gi) ф F {g,), F{a)==F (g,), g,a~' ф 1.
Аналогичен случаю 2.
Случай 5. F{g^)фF{g;), F{a) = F(g,), g^,a~^ = 1,
Аналогичен случаю 3.
Случай 6, F{g,)^F{p, F{a)фF{g,).
В этом случае р {aga ^) = (а, g-j, g-g, *.. , g^., а ^) и поэтому
а{aga^) = а (р (gi, g^2» • • • > S^r. «"' •«)) = (? fei, . *. ,_й^.) = ст (g).
Сл^/^/ай 7. f (gi) = F (g,) = f (a), ag^i == 1, и g,a ' =7^ 1.
В этом случае p {aga~^) = {a • g^, g2, ..» , gr • cT^) и потому
0(aga~^) - a(p(g-2, ... , g-, ¦ a~^ a • g^)) == a(p(g2, ..., g, • gi)) -
-=or(^i, g^2, ••• » g^r) = ^te)-
Случай 8. F{gi) = F (g,) = F (a), ag-i = 1, но g,a ^ ^ 1.
В это^ случае p {aga~) = (g2, ... , g,- a~) = (g2, ... , ^, • gi)
и (T(aga~^) = (g^2, ^'* > Sr' Si) = <^{Su • • • , g^r) ~ ^fe)-
Сл^/^/ай P. -F (gi) = F (g,) = F (a), agi =й 1, g^,a ^ - 1.
Аналогичен случаю 8.
Случай 10, F (gi) =^/^ (g,) = f (a), agi = 1 = g^a~\
В этом случае p {aga~^) = (gg, ... , gr-i) и потому o{aga~^) =
= (^(p(g-2» '-. gr-i)) = o{p{g2 ...,gr-i, l)) = cT(p(g2, ... , g,_i,
^л •g^i)) = (^fe, S2^ .- , g^.) = ^(^).
Итак, BO всех случаях a {aga~^), a значит, и a {UgV^^) является
циклической перестановкой a (g). Утверждение теоремы
следует теперь отсюда и из того, что для циклически несократимой

202 Гл. 4. Свободные произведения
последовательности g^y g's, ..., ^r
Следствие4.2. Наименьшая слоговая длина элементов,
сопряженных с элементом g группы Л * S, равна X (о (g)).
Доказательство. Из определения о легко следует, что
X (а (h)) < X {К) при любом ft из Л * Б.
Пусть h — элемент наименьшей слоговой длины s из класса
сопряженности g. Так как а (К) определяет элемент, сопряженный с /г,
а j значит—и с g, и X (р (h)) < X (h), то X (а (/i)) =« s. Но или
X (а (g)) = 1, и тогда X (о (h)) »« 1, или о (h) является циклической
перестановкой о (g), В любом случае А, (а (g)) =^ X {а (Я)), и потому
^ (^ (g)) ^сть минимальная слоговая длина элементов, сопряженных
с элементом g. Щ
Последняя теорема этого раздела позволит обозреть возможные
множества образующих конечно порожденного свободного
произведения Л * Б.
Теорема Грушко — Неймана. Пусть G =^ А^В, и
пусть gi, g2y -"У gk (k — конечно) — множество образующих
группы G. Тогда элементы g^i, §> •••> g"^ можно получить преобразованием
Нильсена из некоторого множества образуюш^их группы G, из
которых часть лежит в А, а остальные — в В. (Число образующих,
лежащих в Л или В не обязательно минимально там, и среди них
может быть 1.)
Доказательство этой теоремы сложное и здесь не приводится
(см., например, Б. Нейман [4]) ^).
Следствие. Ранг (т, е. минимальное число образуюи^их)
группы Л * В равен сумме рангов групп А и В.
Доказательство. Так как А и В — гомоморфные
образы группы Л * В, ранг последней не меньше максимального из
рангов групп Л и В. Далее, поскольку образующие групп Л и В
вместе порождают группу Л * В, то ранг (Л * В) < ранг (Л) +
+ ранг (В).
Если ранг одной из групп Л, В бесконечен, то ранг (Л) +
+ ранг(В)>ранг (Л * В) > max (ранг (Л), ранг (В)) > ранг (Л) +
+ ранг (В).
Если же ранги Л и В конечны и ранг (Л) = /г, ранг (В) = т, то
группа А ^ В конечно порождена. Пусть k — ранг группы А "^ В
и gii '--у gk — множество образующих А * В, Это множество
переводится подходящим преобразованием Нильсена в множество
/ii, ..., hf,, где/г1, ..., hj. лежат в Л, а /i^+i» ---у hf^ — в В. Отображая
Л тождественно на себя, а В — в 1, мы отобразим j^pynny Л * В на
Л. Так как при этом множество /ii, ..., hf^ перейдет в /г^, ..., /i^,
1, ..., 1, элементы /ij, ..., h^ порождают Л. Аналогично, В порож-
1) Или К у р о ш [3].— Прим. перев.

4,1. Свободные произведения 203
дается элементами ft^+i, ...^ й^^. Таким образом, r>Az ик — /*>
> m и потому м + m > ранг (А * В) ^ k ^ п + т. Итак,
ранг (Л * В) = ранг (Л) -f ранг (В).^
До сих пор в определении свободного произведения групп мы
ограничивались случаем двух сомножителей. Чтобы определить
свободное произведение конечного или даже бесконечного
множества сомножителей, мы просто выберем представление для каждого
из них, используя для разных групп разные множества образующих,
а затем, объединяя эти множества в новое множество образующих,
а определяющие слова — в новое множество определяющих слов,
получим новое представление; группа, определяемая этим
представлением, и называется свободным произведением исходных групп.
Как и в случае двух сомножителей, свободное произведение зависит
лишь от исходных групп и не зависит от конкретных их
представлений, которыми мы пользовались. Например, свободное
произведение трех циклических групп порядков а, р и у соответственно
задается представлением
(а, Ь, с\ а^ fe^ cv).
Если рассматривать свободное произведение Л * 5 групп А и
В как результат бинарной операции, то нетрудно убедиться, что
8та операция коммутативна, т. е.
Л*В^В* Л.
Это следует из того, что в определение свободного произведения
Л * В группы Л и В входят симметрично. Задача 3 этого раздела
говорит об ассоциативности этой операции, т. е.
{А^В)^Сс:-А^[В^Х)
для любых трех групп А у В, С, Наше определение свободного
произведения конечного множества групп (не зависящее от их
расположения) можно заменить, следовательно, рекурсивным
определением, в котором свободным произведением п сомножителей
называлось бы свободное произведение одного из них и свободного
произведения п — 1 оставшихся.
В разделе 6.4 перечисляются шесть свойств свободного
произведения. Первое, третьей четвертое свойства нами уже доказаны. Вто-
Бое содержится в задаче 4, а пятое — в задаче 5 этого раздела.
JecToe совпадает с утверждением следствия 4.1.2.
Прямое проР13ведение А у. В групп А и В является
гомоморфным образом свободного произведения А :i^ В относительно
отображения, переводящего изоморфную копию группы Л из Л * В на
изоморфную копию Л в Л X В, и аналогично для В. Ядро этого
гомоморфизма называется декартовой подгруппой группы А ^ В
(которая, разумеется, может быть определена аналогичным образом для
свободного произведения произвольного числа групп). Декартову

204 Гл. 4. Свободные произведения
подгруппу МОЖНО легко и явно описать в случае произведения
двух групп (см. задачи 13, 23 и 24).
Ссылки и замечания. Свободные произведения впервые, в
неявном виде, возникли в работе Фрике и Клейна [1] в теории
групп дробно-линейных подстановок комплексной переменной г,
разрывных в некоторой части 2-плоскости. Процедура, названная ими
композицией групп (Gruppen Komposition), является в точности
конструированием свободного произведения некоторых дискретных
групп. Их теорема говорит о том, что свободное произведение
дискретных групп будет снова дискретной группой, если
фундаментальные области свободных множителей связаны определенным образом.
В явном виде, как объект специального исследования,
свободные произведения введены в 1927 г. Ш р е й е р о м [1].
Алгебраическая значимость понятия свободного произведения групп была
полностью установлена А. Г. Курошем.
Задачи
"^ 1. Пусть G = Лх * Лз * ... * An- Показать, что каждый элемент группы
G, отличный от 1, можно однозначно представить в виде произведения
gi • g2' •••• ёгу Tjiegi ? Aj^, gi=ri=\ и li=^li^i. [Указание. Воспользоваться
индукцией по rt.]
2. Пусть G =а Лх * ^2 * ... * Лд. Показать, что два элемента из At
сопряжены в G тогда и только тогда, когда они сопряжены в Л^-. Показать, что элемент,
не лежащий в подгруппе, сопряженной с некоторой группой Л^, сопряжен с
«циклически несократимым» произведением g"i • ^2 * ••• • ir» единствен1шм с точностью
до циклической перестановки. [Указание. Воспользоваться индукцией по п. ]
3. Пусть а: Л -^ Л', р: В -^ В\ у: С ^ С — изоморфизмы. Показать, что
а и Р молшо продолжить до изоморфизма группы Л * j5 на группу В' * А'.
Аналогично показать, что а, Р и 7 можно продолжить до изоморфизма группы (Л * В) * С
на группу Л' * (Б' * С').
4'. Пусть N (А) и N (В) — нормальные подгруппы группы А * В,
порожденные подгруппами А и В соответственно. Показать, что А f\ N (В) = В f] N (А) =я
«= 1, Показать, что никакое множество образующих группы Л * Б не может
содержаться целиком ей в N (А)^ яи в N (В), если А Ф1 и В Ф 1. [Указание.
Отобразить А * В на А п на В, переводя в единицу элементы соответственно из В и
из А.]
5. Пусть Я — нормальная подгруппа в Л, /С — нормальная подгруппа в
В и N — нормальная подгруппа группы А * В, порожденная Н е К- Показать,
что
{A*B)/Nc^(A/H)^{B/K).
[Указание. Воспользоваться теоремой 2.1, обратив внимание на то, что
группу (Л * B)/N можно получить, присоединив к определяющим словам группы А * В
новые слова, лежащие в Л или в В.]
6. Показать, что А * В является свободной группой в том и только в том
случае, когда А и В свободны.
7. Показать, что при А, В Ф \ подгруппа Л имеет бесконечный индекс в Л *
» В. Показать также, что множество подгрупп, сопряженных с Л в группе Л * В,
бесконечно. [Указание. Пусть а? А, b ? В, а, Ь:^^!; тогда А{аЬ)^ ^
1^ А{аЬ)^ и (а6)"Л(а6)-~^ Ф {ab)^A{ab)-^, если п Ф k,]
8. Показать, что отличный от 1 элемент из подгруппы группы Л * В,
сопряженной с Л или с В, имеет нечетную слоговую длину. Показать, что элементы всех
Подгрупп, сопряженных с Л или с Б, не исчерпывают А * В,

4.1. Свободные произведения 205
9. Пусть g ~ g\g2---gr» /* > 1,—циклически несократимый элемент группы
А * В Показать, что если уравнение х^^ = g разрешимо, то оно имеет единственное
решение и п делит г, п Ф г. Если, в частности, элемент группы Л * В имеет
бесконечно много корней, то он должен лежать в подгруппе, сопряженной с А
или с В.
10. Показать, что если g, h ^ А * В, gA Ф НА, то подгруппы gAg—\ и hAh—\
порождают в Л * Б подгруппу 5, изоморфную группе А * А, причем 5 = gAg~^ *
* hAh-^.
П. Показать, что подгруппа S, порожденная в Л * i5 подгруппами gAg~^
и hBli~~\ изоморфна группе А * В, причем *S = gAg~^ * hBli~K Показать, что 5
может не совпадать с А * В.
12. Показать, что произвольная конечная подгруппа из Л * В целиком
содержится в подгруппе, сопряженной с Л или с В. [Указание. Если х я у
имеют конечный порядок, то по следствию 4.1.4 каждый из них должен лежать в
некоторой подгруппе, сопряженной с Л или с В. Используя задачи 10 и И, показать
теперь, что если они принадлежат разным таким подгруппам, то порядок
произведения ху бесконечен.]
13 Показать, что если [Л, В] — нормальная подгруппа, порожденная в
А* В всевозможными коммутаторами вида аЬа~'^Ь~^^ ^ 6 Л, b ^ В, то
(Л * В)/[А, В]с^А X В.
14 Показать, что группа А * В обладает подгруппой конечного индекса,
не содержащей ни Л, ни В, тогда и только тогда, когда в каждой из групп Л и ^
имеется собственная подгруппа конечного индекса. [Указание. Если Н —
подгруппа конечного индекса в Л * Б, рассмотреть Н f] А и Н f] В, С другой
стороны, если Н я К — подгруппы конечного индекса ъ А я В соответственно, то
Н хК имеет конечный индекс в Л X В. Рассмотреть теперь прообраз подгруппы
Н X К относительно гомоморфизма группы Л * Б на Л X В, указанного в
задаче 13.]
15. Пусть G= <а, 6; а'', 6^), где г, s^O. Показать, что если а и gb^g~^
порождают G, то g=a^b'^.
16. Показать, что каждый автоморфизм группы (а, 6; а^, 6^> имеет вид а ->
-^ g^g~\ Ь -> gb^g~K t = 1 или 2.
17. Показать, что автоморфизмы группы (а, Ь; а'', 6^>, где г*??: s и г, s > О,
имеют вид
a-^gci^g'^^^ b'^gb^g~\
где t и г взаимно просты, ия s взаимно просты.
18. Показать, что автоморфизмы группы <а, Ь\ d, Ь''), где г > О, имеют вид
a-^gc/g \ b-^gb'-'g ^
или
а -> gb^g~K b -> ga^g~^,
где / и и взаимно просты с г.
19. Показать, что группа А * В содержит свободную подгруппу ранга 2 во
всех случаях, кроме тех, когда Л = 1 или В=1, или Л и Б имеют порядок 2.
[Указание. Если группы А я В имеют по элементу бесконечного порядка, то
достаточно сослаться на следствие 4.1.2. Если в Л или в В есть элемент порядка, большего
двух, группа А * В содержит подгруппу <с, d; /, (fy, где г > 2, s>i О, s =5^ К
Используя теорему 4 I, показать, что элементы л: = с {cd)c~'^ я у ^=^ dc (cd)c~^~^
порождают в ней свободную группу ранга 2. Наконец, если всякий неединичный
элемент групп А я В имеет порядок 2, то Л * Б содержит подгруппу
(с, d, е\ с2, d^, (cdY, в2).
Снова воспользовавшись теоремой 4.1, показать, что элементы cdeo necdece
порождают свободнаiO группу ранга 2.]

206 Гл. 4. Свободные произведения
20. Группа G называется неразложимой (в свободное произведение)^ если из
О г=в Л * В следует Л = 1 или ^ = 1. Показать, что произвольная конечно по*
рожденная группа является свободным произведением конечного числа конечно
порожденных неразложимых групп. [Указание. Воспользоваться следствием
из теоремы Грушко — Неймана.]
21. Показать, что каждая из следующих групп неразложима в смысле
предыдущей задачи:
(a) Конечная группа.
(b) Простая группа.
(c) Группа с нетривиальным центром, в частности, абелева.
(d) Группа, в которой каждый элемент имеет квадратный корень.
(e) Группа, в которой каждый элемент имеет корень п-и степени для
некоторого л > 1.
(f) Группа, в которой всякий элемент, обладающий корнем п-й степени при
я > 1, имеет хотя бы два таких корня.
(g) Группа с конечной нормальной подгруппой.
[Указание. Для (а) воспользоваться задачей 12, для (Ь) — задачей 13>
для (с) — следствием 4.1.5. Для (d) и (е) показать, что при а ^ Л, b ^ В и а, b Ф
Ф 1 элемент аЬ не имеет в группе А * В корней. Для (f) воспользоваться задачей
9, для (g) — задачей 12 и следствием 4.1.5. ]
22. Показать, что группа С X D неразложима в свободное произведение^
если С, D ф 1. [У к а 3 а н и е. Пусть end — неединичные элементы групп С и
D соответственно. Предположим, что С X ^ = Л * Б. Ввиду следствия 4.1.6,
если с лежит в подгруппе, сопряженной с Л или В, там же лежит D, а значит, и
С. Это противоречит задаче 4. Отсюда, снова по следствию 4. 1.6,с =« лс , d~ х^.
Если X =3 cidi, где а ? С, di ? D,to d == c^d^, откуда c'j^ «= 1, и ввиду следствия
4.1.4 ci лежит в подгруппе, сопряженной с Л или 5. Но с = c\d^ = Ср и с лежит
в той же подгруппе. ]
23. Показать, что подгруппа [Л, В] из Л * В, порожденная всевозможными
коммутаторами вида aba~^b~^, ctf Л, b?B, является нормальным делителем
группы Л * Б. [Указание. Показать, что
Wa^ . (aba-^-^) • aJ-^W'^ = W • (a^a) b (aia)-^b-^ • ba^b-^a^^ • W~^
И, аналогично,
Wb^ . aba~^b~^ • 6f ^-^ == W • b^ab^-^a"^ • a (b^b) a"^ (b^b)-^ • W~\]
24. Показать, что при A, В Ф \ всевозможные элементы aba~^b~'^, ^с ^>
Ь ? В, а, b Ф 1, свободно порождают [Л, Б]. [У к а з а н и е. Пусть х^^ ... х^''^
е/ 5=я ±\, — несократимое слово от xiy ..., Хд. Предположим, что различные х ^
заменяются различными коммутаторами; пусть Xf заменяется на аЬа~^ Ь~К
г
Показать индукцией по г, что несократимая форма полученного слова из Л * Я
оканчивается на а~^Ь~^ при 8^ = 1 и на Ь~^а^^при е^ = —1.]
25. Показать, что при А, В Ф I группа А * В обладает собственной
нормальной свободной подгруппой Hi. Показать, что в А* В содержится такая
бесконечная цепочка свободных подгрупп HiZD H^'Z) ---ZD HnZD ..., что Я^, j является
собственной нормальной подгруппой Hi, [У к а а а н и о. Воспользоваться
задачами 23 и 24.]
26. Показать, что если группа G обладает такой простой нормальной
подгруппой N, что фактор-группа G/N также проста, то G неразложима. [Указание.
Воспользоваться задачей 25, заметив, что из Л^ П ^i = 1 и NHi = G следует G =»
«А/ X Яь]

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 207
27. Показать, что если группа Gобладает цепочкой подгрупп О ап> No^dMiZD..,
• .. ID А/^ = 1, где A^^_|_j нормальна в Ni и NJN^,^ —простая группа, то G
неразложима. [Указа ни е. Воспользоваться задачей 25 и теоремой Жордана —
Гёльдера.]
28. Пусть G ^= А * В и пусть С (g) — множество всех элементов из О,
перестановочных с g. Показать, что если g не лежит в подгруппе, сопряженной с А
или с Б, то С (g) — бесконечная циклическая группа; если h ? С (g), /i «5^ 1,
то С (h) — С (g). [У к а 3 а н и е. Воспользоваться следствием 4.1.6 и
задачей 9.]
29. Пусть О = А * В. Показать, что G является объединением подгрупп трех
типов: изоморфных с Л, изоморфных с Б и бесконечных циклических. Доказать,
что эти подгруппы попарно не пересекаются. [Указание. Рассмотреть все
подгруппы, сопряженные с А или с В, и группы С (g) из предыдущей задачи.]
30. Пусть G = Л * Б и пусть а: А -^ Н, ^\ В -^ Н — гомоморфизмы групп
Л и Б в некоторую группу Я. Показать, что аир можно продолжить до
гомоморфизма у группы G в группу я. [У к а 3 а н и е. Показать, что определяющие
слова группы G переходят в 1 при отображении а^ -^ а (а^), Ь^ -^ fi (^jx)-]
31. Пусть группа G порождается двумя своими подгруппами Л и Б.
Предположим, что для любой группы Я всякую пару гомоморфизмов а: Л -> Я,
Р: В -^ Н можно продолжить до гомоморфизма у: G -^ Н. Показать, что тогда G =з
х=Л*Б.[Указами е. Продолжить на G тождественные отображения Л ->
~>Л*БиБ->Л*Би применить следствие 4.1.1. ]
32. Показать, что при Л, Вф 1 группа А* В удовлетворяет тождеству W (xv) =
t= 1 тогда и только тогда, когда А и В — циклические группы порядка 2.
Показать также, что в свободном произведении двух циклических групп порядка 2
выполнено тождество [[Xi, Х^], [Хз, XJ]^l, где[[;, F] = U^^V-^UV
[Указание. Воспользоваться задачей 19; показать, что коммутант свободного
произведения двух групп порядка 2 является циклической группой.]
33. Пусть А « (аи ..-, йп) — свободная группа, В — произвольная группа и
{?= Л * Б.
(a) Показать, что в группе G элементы aiWi (b ), «а^г (^^)» •••> ^п^п (^ц.)»
где W^ (^ ) f В, свободно порождают свободную группу F.
(b) Показать, что G является свободным произведением групп F и В
[Указание. Для (а) рассмотреть гомоморфизм G на Л, переводящий а^ в
а^ и b в I. При этом F перейдет в Л, и потому F — свободная группа. Для (Ь)
рассмотреть произвольные гомоморфизмы ф: F -> Я и Р: Б -> Я в некоторую
группу Я. Если ф (a^W^ {b )) = /i^ и р (b ) = k , то пусть а — гомоморфизм Л в Я,
переводящий а^ в h^W^^ (^иГ~^' Тогда, если 7 — продолжение а и р, отображающее
(/ в Я, то 7 является также продолжением ф и Р По задаче 31 G = F * В.]
34. Показать, что если Л и Б — абелевы группы, коммутант группы G ^Л»
* В совпадает с подгруппой [Л, Б] (см. задачу 23); в частности, коммутант группы
G является свободной группой. [Указание. Ясно, что А, В] содержится в
коммутанте группы G. Так как G/IA, В] с^ А X Б согласно задаче 13, то группа
<7/[Л, Б] — абелева, так что коммутант группы G содержится в'[Л, Б]. Далее
использовать задачу 24.]
4.2. Свободные произведения с объединенной
подгруппой
В этом разделе мы введем теоретико-групповую конструкцию,
замечательную своими приложениями. Свободное произведение
групп с объединенной подгруппой сводится к обычному свободному
произведению, когда объединяемые подгруппы единичны. Как и

208 Гл. 4. Свободные произведения
обычное свободное произведение, это более общее понятие,
изучением которого мы будем сейчас заниматься, естественно возникает
в топологических конструкциях. Если S^ н Sg — линейно связные
пространства с фундаментальными группами Д и /^2> то
фундаментальная группа пространства *5, полученного склеиванием Sj и Sg
по подходящим непустым гомеоморфным подпространствам S\ и
S2, будет свободным произведением групп Si и Sg с объединенной
подгруппой, которая является фундаментальной группой 5i и Si.
Свободное произведение групп с одной объединенной
подгруппой было введено Шрейером[1]в 1927 г. На его работе
основаны применения этой конструкции к исследованию групп с одним
определяющим соотношением, описанные в разделе 4.4, а также ряд
задач к этому разделу и разделам 4.3 и 4.4.
X. Нейман 11, 2] обобщила первоначальную конструкцию-
Шрейера. В работе Б. Н е й м а н а [12] содержится изложение всей
теории с многочисленными применениями (в частности, к
проблемам вложения). Следует отметить также, что пример Бриттонз
[3] конечно определенной группы с неразрешимой проблемой слов
использует свободное произведение с объединенными подгруппами.
Дальнейшие ссылки на литературу можно найти в конце
раздела 4.4.
Группа (а, Ь\ а^, Ь^) является, очевидно, свободным
произведением циклической группы {а\ а^) и циклической группы {Ь\ W).
С другой стороны, группа
{а, Ь\ а\ Ь\ а^ = Ь^) A)
свободным произведением не является. Действительно, центр
свободного произведения тривиален. Однако в группе A) элемент а^
коммутирует и с а и с by так как а^ является степенью Ь. Поэтому
а^ лежит в центре группы A). Покажем, что а^ Ф 1. Рассмотрим для
этого гомоморфизм группы A) на циклическую группу (л:; я'^^},
задаваемый отображением а -> х^, fc -> х\ образом а^ при этом бу-
дет неединичный элемент х^. Итак, A) не является свободным
произведением. Тем не менее представление A) выглядит достаточно
просто, и группа с таким представлением получает специальное
название.
Определение. Если
G = (^1, ,.. , а„, г?1, ... , й^; R (а^), ... , S (й^), ... , L/i (^v) =
^V,(b^)y ..., U,{ay)^V,{b^)) B>
и Л' —подгруппа, порожденная в G элементами а^ ..., а„,
В' — подгруппа, порожденная в G элементами й,, ..., fc,^,
Н'—подгруппа, порожденная в А' элементами t/i («v), ..»
..., U^ (av),
К' — подгруппа, порол<денная в В' элементами Vi (Ьд), ...

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 209"
то G называется^ свободным произведением групп А' и В' с
подгруппами Н\ К'у объединенными относительно отображения Ui (а^) ->
Рассмотрим, например, G= (а, Ь\ а^, ^^ а^ = Ь^), Гомоморфизм
группы G в группу (х; х^^), переводящий а в х^, b в х^, показывает,
что а и b имеют порядки 4и 6 соответственно. Поэтому А' = (а\ а^),
В' == {Ь\ Ь^). Далее, Я' — циклическая подгруппа из Л'
порядка 2, /(' — циклическая подгруппа из В' порядка 2, и они
объединяются относительно отображения а^ -> 6^.
Аналогично, если
G=(c, d; с\ d^\ c'==d'), C)
то G является свободным произведением подгруппы С, порожденной
элементом с, и подгруппы D', порожденной d, в котором подгруппы
L' и М\ порождаемые элементами с^ и d^ соответственно,
объединяются относительно отображения c^-^d^, В этом случае, однако,
С Ф {с\ с^). Действительно, так как с^ = d^, то с^ ^ d^^ ^ 1.
Отсюда порядок с не выше 4. С другой стороны, гомоморфизм группы
G в группу {х\ х'^^)у переводящий с в х^, d в л'^, показывает, что с
nd имеют порядки 4 и 10 соответственно. Таким образом, группа C)
является свободным произведением циклической группы С
четвертого порядка и циклической группы D' десятого порядка с
циклическими подгруппами L', М' порядка 2, объединенными
относительно отображения с^ -> d^.
Естественно возникает вопрос, когда в группе G из B)
подгруппы А' \\ В' имеют «естественные» представления
соответственно. Ответ дает следующая
Теорема 4.3. Пусть
А^{а^, ... , а^; /?(av), ... ),
S-(&i, ..., 6^; S(&.0, ... )
и
G = («1, ... , а„, fti, ... , fc„,; R (a,), ... , S F^), ... , b\ {a^) ==
Пусть Л' — подгруппа группы G, порожденная элементами ai,...,a,j, а
В' — подгруппа группы G, порожденная элементами Ь^, ..., &^.
Тогда Л Ci^ Л' относительно а^}-^ а^^ и В с^ В' относительно &д --> йц
в том и только в том случае, если отображение U^ (а^) -> Vt (&и)
индуцирует изоморфизм ф между подгруппой Я, порождаемой в А
элементами Ui (а^) и подрруппой /(, порождаемой в В элементами
Доказательство. Предполол'лш, что А с^ А
относительно отображения «v ~> ^v и В ~ В' относительно отображения

210 Гл. 4. Свободные произведения
b^i -^ byi. Если Н' Я К — подгруппы группы G, порожденные в ней
элементами Ui {а^) и Vi {b^) соответственно, то Н с^ Н' при
отображении Ui (av) ~> Ui (av) я К 0^ К' при отображении Vi (Ь^) ->•
-^ ^t Фа)' Так как Ui (а^) -> F^ (Ьц)—тождественный изоморфизм
Я' на /С', то это же отображение индуцирует изоморфизм ф группы
Нна группу К.
Обратно, предположим, что отображение Ui (а^) -> V^ (b^)
индуцирует изоморфизм ф: Н -^ К* Очевидно, что отображения а^ ->
-> av и b^->bii индуцируют гомоморфизмы Л на Л' и В на В'
соответственно. Но показать, что эти гомоморфизмы в
действительности являются изоморфизмами -^ нелегкая задача: для этого нам
понадобится найти нормальную форму для элементов G (см. стр. 216).
Поэтому мы откладываем завершение доказательства теоремы до
решения этого вопроса для G в предположении, что отображение
Ui (йу) ->¦ Vi^ (b^) индуцирует изоморфизм группы Н на группу /(. ^
Рассмотрение следующего примера подскажет пути к
«нахождению» нормальной формы ^j.
Если
G = (а, Ь; а}\ Ь^\ а^ = 6^), А = {а\ а}^), В - {Ь\ б^^), D)
то Н является циклической группой порядка 3, такова же /С, и
отображение а^~^Ь^ индуцирует изоморфизм Н на К> Как и
утверждает теорема 4.3, гомоморфизм группы G в группу (х; х^^),
определяемый отображением а->л:^, Ь-^х^, показывает, что А' (^ А к
В' с^ В, Чтобы понять, какнаходр1ть нормальную форму,
рассмотрим какое-нибудь конкретное слово, например,
^15^-21^32^,^2^-19^ E)
Мы можем сразу изменить показатели при а и b так, чтобы они
находились между О и И, О и 14 соответственно. Таким образом, слово
E) определяет тот же элемент, что и слово
a^b'aW^a\ F)
Далее, поскольку а* = й^, то F) можно упростить следующим
образом:
a^b'a^b^^. а^ = a^b'a^b^^ • {а^ • а) = a^b'a^b^^ ф^ • а) =
^ a^b'a^'b^' • а = а^Ь'а^ (Ь^^ - Ь^)а=: а^Ь'а^ A 'Ь'')а = а'Ь^ • а^ • Ь^а =
=. а^Ь^ • Ь'^ ' Ь^а=^а^^ Ь^' • а = а^' Ь^ 'а = а^ ф^ - Ь)а =
= а^ (а^ ^ Ь) а = а'^ * Ьа = {а^» а^) Ьа = а'^ - а?Ьа.
Аналогичным образом можно показать, что произвольное слово
W (а, Ь) можно привести к слову вида
а^^а^Ф ,.. d'rb^r^ G)
^) В общем случае ее нахождение неконструктивно.—Яр «л/, перев»

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 211
где fe = О, 1, 2; 0,< а^ < 3; О < р^ < 4| а^ =7^ О при / ^^ 1, р/ ^
4^ О при / =7^ г.
Рассмотрение гомоморфизма группы О в группу {а, Ь\ а^, Ъ^),
вадаваемого посредством а ->• а/Ь -^ b и гомоморфизма G в (х; х^^),
при котором а -> л:^, б-^л:^, показывает, что разные слова вида G)
определяют различные элементы из О,
Как можно обобщить ати рассуждения применительно к группе
из теоремы 4.3? Множитель а^^ в G) может быть любым элементом
из Я. Элемент а^' может быть 1, а, а^ или а^,— это просто предста-
ВР1тели смежных классов группы А по подгруппе Я. Аналогично,
Ь^^ может быть 1, fc, 6^, 6^, Ь^ — это просто представители смежных
классов группы В по подгруппе /С, Таким образом, каждый элемент
группы G однозначно представим в виде некоторого произведения
элемента из Я и представителей смежных классов группы А по
подгруппе Я и группы В по подгруппе /С. Это подсказывает
следующее обобщение:
Т е 0
(где А П
G-(a„
рема 4.4.
А
В-
В == 1), W
.,, , а^, bi
Пусть
= (^1, ,,,
= (^1, ,,. ,
пусть
, «t • , t^^^jj
. а,,;
, b,n',
R{a
R (flv),
5(М.
'v)> » » e
« « » />
... )
. 5(M
Пусть, далее, отображение U^ (av) -^ F^ (bjx) индуцирует
изоморфизм ф между подгруппами Н и К врупп А и В, порождаемыми
элементами Ui (а^) и Vi (b^) соответственно. Выберем систему
представителей правых смежных классов группы А по подгруппе Я и
аналогично — группы В по подгруппе /С. Тогда каждому элементу g из
О можно поставить в соответствие единственную
последовательность
(/l, Ci, ^2, ..t , О (8)
такую, что
(i) h — элемент, возможно единичный, из Я,
(ii) Ci — предстиавитель смежного класса группы А по подгруппе
Я или группы В по подгруппе К\
(iii) Ci Ф I;
(iv) Ci и С/+1 не лежат одновременно в А или в В\
(v) если h\ ci — элементы группы О, соответствующие
элементам hy Ci при гомоморфизмах групп А и В в О, определяемых
отображениями а^-^ а^ иЬ^-^ b^i соответственно, то g^ h'cxC2 ... с^
Доказательство. Для доказательства теоремы введем
некоторую процедуру р, перерабатывающую слово от «v и Ь^ ъ то-
следовательность вида (8). Удобно определить сначала действие р
на последовательности элементов из Л и В»

212 Гл. 4. Свободные произведения
Определяем р индуктивно следующим образом:
р (пустое слово) = 1,
I gi, если gi G Я,
! Ф~^ (gi), если g^ g К,
I {h. gi), где h = g^'gr\ если g^ ^ A. g,^ И,
[ (/i, ii), где Я = ф-^ (giir^ если gi б В, g, $ /<;
здесь 1 —- единичный элемент из Ну d — представитель смежного
класса, содержащего элемент d. Предположим, что р (^, ..., g,) ^
= (р, С2У c^f ..., с^)\ тогда полагаем
Р (g"l, g2^ . • • , g^r) =
f (gi • P, ^2» ^3, * •. » <^s)> если g-^ ^ Я;
(ф"^ Ы • Pi ^2» ^3, - • I ^s)» если g^ G ^;
(/^> g^, ^2» <^3, * - , ^s)» ^Де h = ,?ip (g4P)""\
если gi e Л, g-j $ Я, (:2 $ 4;
№,^1ф(Р)» ^2, ^3» •-» ^s). где /i-cp" [§1ф(р)Я1ф(р)~],
если giG fi, gfi $ K, ^2 ^ S;
1 (giP^2» ^3» • • • , ^s)» если gi e Л, gi $ Я, с^^Аи g^pc^ ? Я;
(ф-^ {8i4>iP)^2)> ^3, . *. , ^s)» если gi e B, gi $ AT, c.^ ^ В
и й-гФ (p) ^2 G л:;
{/i, gipc2, 6^3, ... , c,), где ft = igipc^) • (gipcg) ,
если g^ e Л, gi $ /^, ^2 б A> 81PC2 € ^;
(/^ §1Ф (P) <^2. ^3, • • • , ^s)» где /l == ф~^ [^1ф (p) ^2 • ёф(Р)С2~^],
если gi 6 В, gi $ К, 6^2 G В, ё-хф (р) ^2 i К.
Наконец, если W («v, b^) ^ W, - W., - „. - R7„ где Г^, W.^y ..., Г, —
слоги слова IF (^v, i^), и g^ — элемент из А или из S, определяемый
словом Wiy 10 полагаем
р {W (av, й^)) = р {W,W, ... ir,) = р (gi, g2, - * , gr)^
Заметим, что сложность определения процедуры р объясняется
частично тем, что пока еще не доказана предыдущая теорема, т. е.
нельзя считать А и В подгруппам! группы G. Поэтому мы не можем
перемножать элементы из Л и /С или из В и Ну г должны
использовать ф-^ или ф, чтобы перейти в подходящую подгруппу Н или /С.

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 213
Используя определение р, можно показать, что
последовательность р (gi, g.y •••»§"/) обладает свойствами (i) — (iv). Далее можно
показать, что для р справедливо следующее утверждение:
(vi) рA, §ъ -. , ёг)==р{ёъ -• , Sr)
и его обобщение, доказываемое индукцией по s,
(vii) если q, ..., c^ — представители смежных классов, лежащие
попеременно в Л и в В, б:^ =^ 1, то
Р (^1> ^2» . • » » ^/) ^^ (^ > ^1» ^2» . » . » ^г)»
(viii) р (р (gi, *.. , g^,)) =- Р teb ... , gr)'^
(ix)pfei, ... , gs^ gsM, ,.. , g^,)-
^Pfei» .. . , g"s» Pfefb ... , g^r))
(доказывается индукцией по s);
(x) если р(^1, ^2» . • • » g^r) = (^> ^ь <^2. • •. , ^s)» TO g-'i . ^2 • ...
... ' gr = h'* C\ - Co ' ... * Cs в группе G;
(xi) p(^i, ... , g^„ ^, gfs-ьь *.. , ^r)-=
== P (gu .. • , g^s. Ф~^ (^), gs-bu ... , gr\ k^K.
P (S*!, • • * , gsy fh gs+\y . . , , g'r) = P (gu - * , g^s» Ф W> g"s-f Ь . . . , gr)f
h б //;
(xii) если g^^ и g^s+i лежат одновременно в A или в В, то
Р (g*!, - '• » gs^ gs-VU * . * , g^r) = Р fel» . - » ^5 • g's+b * . . , g-.)-
Как и в случае свободного произведения, труднее всего установить
справедливость последнего свойства. Доказательство его вынесено
в задачи (см. задачи 12 и 13).
Теперь можно показать, что если слова W [a^jy b^) и Т (^v, bp)
определяют один и тот же элемент группы G, то р {W) = р (Г). Так
как W можно преобразовать в Г, вставляя и вычеркивая односло'
говые определяющие слова а%а'^^у b^b^^ (е = ±1), /? (av), ...
..., S (&)а),... и двухслоговые определяющие слова Ui{ay) V^ (й^l)'"^
то достаточно рассмотреть случай, когда Т получается из W
вставкой одного из этих слов.
Если р (W") = р (§, g» .••» gfr' и Т получается из W вставкой од-
нослогового слова, то ситуация та же, что и в случае свободного
произведения, а именно, р (Г) есть либо
ptei, .... §.) = р(П
либо
9[Т) =-- р(?ъ ... , g^s> 1» ё"зы, ... , g",) =
=-Р {glf . . . > g-s» ^s+Ь . • . , g^r) == Р {Щ,

214 Гл. 4. Свободные произведения
либо
Р(Т) = p{gu .»•,§¦*, 1, gl\ gs+U . . . , gr)y
где gs = g*sg*s\ и потому
P (Л = P igu - . , g"s, gl\ gs-\-\y . - , gr)==
= P (^b . - , ^s* • g-s**, gs+1, . . . , g.) = P (^).
Пусть T получается из W вставкой двухслогового слова и^УТ ,
и пусть W и t; — элементы групп Н и Ку определяемые словами и^ и
Vi соответственно, так что ф (и) == v. Тогда р (Т) есть либо
P(Siy •••! g's» ^» ^~\ Ss+\f f , gr) =
= p(gi, ..-J gs» ф(")» ^~"^ gs+i,.-, gr)='
= P (gb . • • , gs» 1» gs+l, - . , g-,) = P (^),
P (Л = P (gl, - . , gs • "' ^¦~^ g's+b - . , gr) =
== P (gb • * . , gs» ^» ^'~\ gs+1, . . * , g,) == P (^,
либо
либо
либо
P (Л = P (gb * t, , gs • «, t; ^ gs+i, .,, , g,) =
= P {gu *** у gs^ ^> ^~\ gs+I, . . . , g.) = P (^),
P (Л = P (gb . • • , gl • ", ^~\ gs*, gs+b . * . , gr)»
где gs = g*sgs\ И, следовательно,
P (Л = P (gl» . - , gl, ", ^""\ gs*, gs+l, . . . , g.) =
= P (gb . . . , g^s, 1, gs*, gs+1, . . . , gr) = P (^),
либо, наконец,
P (Л = P (gl» • - , gs, «, ^"* • gs*, gs+i, .»¦ , g.) =
= P (gl, '** , gl, u, v^\ gl\ gs+1, ... , g,) = p {W).
Итак, если слова W и Т определяют один и тот же элемент
группы G, то р (W) = р (Т), Следовательно, можно применять
процедуру р к элементу g группы G, применяя ее к любому
слову от ^v и Ь^ху определяющему g. Покажем теперь, что р (g) —
редуцированная последовательность типа (8), удовлетворяющая
условию (v). В самом деле, пусть g определяется словом W («v, bp,) =<
= W1W2 ••• W^r' где U^^ — слог этого слова. Если g^ — элемент из
А или из В, определяемый словом Wi^ то g = gjg2 ,,. g^ ц
Р (g) = Р (^^) = Р (gl, . *. , g,) = {hy Ci С2, ... , с,).

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 215
Но МЫ видели, что g[g'n, ... g"^ = ^'^i4 "* ^s» '^^^ "^^^ ^^S") обладает
свойствами (i) — (v). Предположим, что еще одна пос^ледователь-
ность (р, di, ..., d^) также обладает этими свойствами. Тогда, если
Ру D^ — слова в av или b^i, определяющие элементы р, d^ из групп
А или В соответственно, то слово Q = PD^ ... D^ определяет
элемент g из G. Поэтому р (g) = р (Q) = р (PDi ... D^). Разбиение Q на
слоги есть или Р, Di, ..., ^/ или PDj, Dg, ..., D^. Следовательно,
р (Q) есть или р (р, dv •••» <^/)» «ли р (pdj, ..., d^) = р (р, d^, ,.., (i^).
Так как (р, dj, ..., d^) — редуцированная последовательность, то
Р is) ^ Р (О) "= (Р* ^1» •••» <^^). Следовательно, р (g) — единственная
последовательность, обладающая свойствами (i) — (v). -^
Теперь можно закончить доказательство теоремы 4.3.
Необходимо показать, что гомоморфизмы групп Л и 5 в группу G,
определяемые отображениями а^ -^ а^ и fc|i -> b^i, взаимно однозначны.
Если gi — элемент из А или Б, g[ — его образ в G и W — слово в
Uy или fepi, определяющее g[, то р {g[) ^ р (W) »== р (gi). Таким
образом, если gi и ^2 лежат одновременно в А или в В и g"j = gg» ^^
Р iSi) = Р ig[) '^ Р gd ^ Р te)- Покажем, что g^ - g^.
Пусть gi ^ А] тогда
J ёъ если gi g Я,
Р ^^'^ "^ 1 (Л, gi), где h = gigr\ если g^ ? Л, g^ $ Я.
В любом случае gi есть произведение членов последовательности
р (gi), и потому из р (gi) = р (Яз) следует g-^ = g^2-
С другой стороны, если gi G 5, то
[ Ф~^ Ы, если gi б /Сь
1 (/^, g^i), где h - ф~^ fei^r^), если g^ ^ В, g, ^ К.
В любом случае gi является произведением членов
последовательности р (gi), в котором член из Я нужно заменить его ф-образом.
Поэтому из р (gi) == р (g2) следует g^ «= g^. Итак, гомоморфизмы групп
Л и 5 в группу G являются изоморфизмами. ^
Следствие 4.4.1. Пусть G — группа из теоремы 4.4. Выбе-
рем систему представителей правых смежных классов группы А' по
подгруппе Я' и, аналогично, группы В' по подгруппе К - Тогда вся-
кий элемент g группы G однозначно представим в вид: произведения
h'c\c^,. .с;,
где W ^ Н\ с.ф \у с^ — представитель одной из выбранных
систем, а е., с.,^ не лежат одновременно в группе А' или в группе В\
Доказательство. Если h ^ Н, с^ — элементы из Л или
из В, переходящие соответственно в /i', е., то
р (h'clc^ ,,. с^) = (/i, ^1, ^2» • • • » Cr)f
и утверждение следует из последней теоремы. ^

216 Гл. 4. Свободные произведения
Следствие 4.4.2. Пусть G — группа из теоремы 4.4. Если
элемент g ^ G есть произведение g = g[g'^ .-• g"^. ^де g[^ Н', g[ б
g Л' или В', причем g\ и g.,^ не лежат одновременно в А' или в В',
и если р {g) = (/г, q, ..., с^), то q = г, а g\ лежит с с^ в одной и пюй
же группе Л' или В\ Более того, если g^, -", g^ — представители,
то c,^g'^, ^;+1 = ^,^.р *.., < = ^;.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по г. Если
г = 1 м g\^ А\ то р (gr;) = р (gr,) = (/z, g^)^ где h = g^V^. Ан_ало.
гично, если g-'i б Б', то p(g'i) = p{g^) = (/i, g-j), где h = (p''\gigr)'
Поэтому, если g[ — представитель, то с[ == g[. В любом случае
результат верен. Предположим справедливость его для г и рассмотрим
p{g\S2 - g'rgr+\) = Р (Su 82У •••» Sn ^г+О.Для вычисления этой
последовательности надо сначала найти последовательность р (gg» •-
..., gr+i), имеющую по индуктивному предположению вид (/г, Cg, ...
..., Cr+i)» где Ci и gi лежат одновременно в Л или в В. Поэтому
gi и С2 не лежат в одной и той же группе Л или В. Если gi ^ А, то
где q te? g-j^ft и р ~ gihgihr^\ если же g^ ^ Л, то
Р (Яь g» • - » g'r+l) = (Р, ^1, ^2» • • • » <^r+l),
.-1 /^ .. //.\ .ГТТТГТ-К
где ^1 = §-1ф (/г), р = ф (^хф (/г) • ^хф (/z) ). Если теперь gk, gk+u,,.
• ••, g'rJ^x— представители и ^>2, то наше утверждение справедливо
по индуктивному предположению. Если g\y g'^, •->
g^j^i—представители, то по индуктивному предположению ^2 = ^2, -, gr+i =^
= c;^j. Так как p(g-2, ..., g^_^^ « (ft, с^, ..., c.^-i), то
откуда ft = 1. Тогда Cj == g^^ft =r gr^ = g-^ и, следовательно, cj = g\. Ц
Определение. Если g = h'cx ... ^^^ — те же, что в
следствии 4.4.1, то h'c[ ,.. с называется нормальной формой элемента g G
^ G, а 9 — длиной элемента g ^).
(Независимость q от выбора систем представителей в группах Л'
и В' доказана в следствии 4.4.2.)
Следствие 4.4.3. Пусть G — группа из теоремы А А, Тогда
А' {] В' ^ И'.
Доказательство. Пусть g 6 Л' П ^'- Тогда g можно
определить двумя словами, W (а^) и Т F^), и потому р (g) =
^ p{W (flv)) = р (Г (Ь^)). Если W (ау) $ Я, то р {W (а^)) - (ft, с),
^) В оригинале — «representative length». Мы сочли удобным пользоваться
более коротким термином «длина», так как контекст всегда позволяет не смешивать
его понятие с длиной в свободной группе.— Прим, перев, ^

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 217
где с — представР1телц IF (^v) в группе Л. Аналогично, если
^ iPv) € ^'С, то р (Г ф^,)) = (/ii, q), где q — представитель Т (Ь^)
в группе В. Так как р {W (йу)) = р (TF^i)), то с= с^, что
невозможно ввиду А П 6 = 1. Поэтому W (^v) 6 /^ или Т (fo^) G ^- В
любом случае g ^ Н' == К'- Таким образом, Л' П В' ^ Н', Так как
Я' = К\ то Н' ^А' П 5', и окончательно Л' П 5' = ^-^
Следует отметить, что в теореме 4.4 предполагается, что А {\ В ^
«=1. С другой стороны, Л' П 5' = Н\ Таким образом, мы
должны быть осторожны в отождествлении изоморфных групп Л,
А\ и S, В', Тем не менее, их удобно отождествлять, и мы будем
делать это во всех случаях, не приводящих к двусмысленностям.
Учитывая это обстоятельство, мы введем следующее.
Определение. Пусть Л, Б, Я, /С, ф и G — те же, что в
теореме 4.4; тогда назовем G свободным произведением групп А и В о
подгруппами Н и К, объединенными относительно ф, и обозначим G
через * (Л, В, Я, /(, ф). Для краткости часто будем G называть
свободным произведением групп А и В с объединенной подгруппой Н, а
А и В — сомножителями.
Хотя группа 0 = *(Л, S, Я,/(, ф) определялась представлением
B), которое как будто зависит от конкретных представителей групп
Л и Б и от конкретных образующих подгруппы Я (образующие Vi
подгруппы К определяются элементами Ui и отображением ф), на
самом деле группа G з висит лишь от групп Л, Б, Я и изоморфизма
ф). Более точно, справедливо
С л е д с т
нирми
и
а группа В —
в и е 4.4.4. Пусть группа А задается
(ai, .*, , а^; /?(av), .*. )
(^1, t * * , С^] г (Ск), » » • ),
¦ представлениями
(&1, .,. , Ь^\ S(b^,), ,.. )
представле-
(9)
A0)
(И)
(di, ..* , di; QD), .•* ). A2)
Предположим, далее, что подгруппа Я группы А порождается эле-
Л1ентами И^ (<2v),..., а также элементами Т^ (с^), ..., а подгруппа
К группы В порождается элементами ф(t/l(av)) == l^i (&},i), ..., а
также элементами ф (Tj {Су)) = Wi (rf;.),..., где ф — изоморфизм
Я на /С. ГогEа изоморфизмы (9) яа A0) а A1) на A2) можно
продолжить до изоморфизма между группами
<а., ... , а„ 6^, ... , &^; /?(а„), ... , 5(&^,), • • •
... , и,[а,) = У,ф^), ...) A3)
и
(Си ... , ^/t, di, ... , d^; Р (с>с), .. . , Q (rfO, . •.
*.>,T,{cy,)=\\\{db), ... ). A4)

218 ' Гл. 4. Свободные произведения
Доказательство. Достаточно показать, что изоморфизмы
(9) на A0) и A1) на A2) переводят определяющие слова из A3) в
слова, равные единице в A4), и аналогично для обратных
изоморфизмов. Детальная проверка предоставляется читателю. ^
Следует отметить, что изоморфизм ф играет существенную роль^
т. е. если группы Л, В, Я и /С зафиксировать, а ф менять, то
группа *(Л, S, Я, /С, ф) может изменяться. Это можно
проиллюстрировать на следующем примере. Пусть А и В — группы симметрии
квадрата:
А = («1, а^; аи al, а^а^ = а^а~^), A5)
5-(г?1, fc^; Ь\, bl Ьф, = ЬфТ'). A6)
Подстановки
/, (xyzw), {xz){yw), (xwzy), (xz), (yw), {xy){zw), {xw)(yz) A7)
также образуют группу симметрии квадрата, и отображения а^ ->
->{xyzw), a^-^ixz) и bi-^ixyzw), b^-^ixz) определяют изоморфизмы
групп Л и б на группу A7). Пусть Я — подгруппа группы Л,
порожденная подстановками (xz) (yw) и (xz)y т. е. элементами а? и B2,
и пусть К — подгруппа из В, порожденная теми же
подстановками, т. е. элементами bj и Ьз- Тогда Н (и К) — четверная группа
Клейна, и отображения
ф: al-^bu a^-^b^,
il): a\-^b^, a^-ybl
индуцируют изоморфизмы Я на /С. Покажем, что группы G^ =^
:=:^:?{АуВ, Ну Ку ф)и (/2= * (Л, 5, Я, /(, ij)) не изоморфны. С одной
стороны, Gi имеет нетривиальный центр. В самом деле, а^ лежит в
центре группы Л, bi — в центре группы В, и так как а^ ^ Ь\, то
элемент а\ лежит в центре группы G^. Далее, поскольку Л ^ Gj и
а\ ^ \ ъ Ау 10 а\ ^ 1 в Gi. С другой стороны, как мы увидим
позднее, центр свободного произведения с объединенной подгруппой
должен лежать в этой подгруппе. Поэтому единственными претенден-
тами на роль нетривиальных центральных элементов группы G^
являются а\, а^ и а\а<^. Так как только а\ лежит в центре группы Л и
А S G,, то только а\ может быть в центре группы Gg. Но а\ = Ь^у а
^2 не принадлежит центру группы В s G^- Поэтому центр группы
Ga тривиален и
*(Л, В, Я, /С, Ф)9^*(Л, В, Я, Ку г|)).
Еще одним следствием теоремы 4.4 является
Следствие 4.4.5. Произвольный элемент конечного порядка
группы G ^ *{А, By Ну Ку ф) лежит в подгруппе, сопряженной с А
или с В.

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 219
Доказательство. Пусть g — элемент конечного
порядка, не лежащий в подгруппе, сопряженной с А или с В. Если в
нормальной форме g — hCiC2 ... 67, (r>2) представители Ci и с^ лежат
в разных сомножителях, то длина элемента
gk = hCiC2 .. • с, • hCiC2 ... с^ • . •. • hCiC2 , *. с,=
= (hci) • Сз .. * с, ' (hci) • ^2 • .. * * с, • ... • (hci) • ??2 • • • • • ^г
равна kr по следствию 4.4.2, а значит, g^^ ^^^ 1. С другой стороны, если
g^ — элемент наименьшей длины, сопряженный с g, то порядок gi
конечен и в его нормальной форме gfi = pdj ... dg параметр 9 > 2,
причем di и dg лежат в разных сомножителях. В самом деле, g^ не
лежит в подгруппе, сопряженной с А или с Б, откуда 9 > 2. Если бы
di и dg принадлежали одному сомножителю, то длина элемента
dqgid'^^ = {dgpdij-d^- ... * dq^\ была бы меньше длины gp Таким
образом, gi не может иметь конечный порядок, и наше утверждение
доказано. ^
Свободное произведение групп является обобпхением понятия
свободной группы: свободная группа есть свободное произведение
бесконечных циклических групп. Аналогично, свободное
произведение групп с объединенной подгруппой — обобщение свободного
произведения: если объединяемая подгруппа тривиальна, получается
свободное произведение. Хотелось бы поэтому надеяться, что аналоги
утверждений, справедливых для свободного произведения, будут
иметь место и в случае свободного произведения с объединенной
подгруппой. Тем не менее, картина здесь часто является более
сложной. В качестве иллюстрации этого возрастания сложности
рассмотрим проблему коммутативности: что можно сказать об
элементах X ц у, если известно, что они коммутируют? В случае свободной
группы X W у должны быть степенями некоторого элемента г. В
случае свободного произведения xvi у принадлежат некоторой
подгруппе, сопряженной со свободным множителем, или являются
степенями некоторого элемента. Как указывает следующая теорема, в случае
свободного произведения с объединенной подгруппой
возникают уже три возможности:
Теорема 4.5. Пусть G = * (Л, Б, Я, /С, ф), л:, у ^ G и ху ^
— ух. Тогда
(i) X или у может лежать в подгруппе, сопряженной с Я}
(ii) если ни х, ни у не лежат в подгруппе, сопряженной с Н, но х
принадлежит некоторой подгруппе, сопряженной с А или с В, то у
принадлежит той же подгруппе;
(iii) если ни х, ни у не лежат в подгруппе, сопряженной с А или о
В, то х = ghg-^ . Г, у = gh'g''^ . W\ где g, W ^G, /i, /i' б Я, и
элементы ghg~\ gh'g"^ и W попарно перестановочны.
Доказательство. Если х или у лежит в подгруппе,
сопряженной с Я, утверждение очевидно. Предположим, что ни х, ни

220 Гл. 4. Свободные произведения
у не принадлежат подгруппе, сопряженной с Н. Если х лежит в
подгруппе, сопряженной с одним из множителей, скажем, с /1, то
ixt~^ = а ^ А, а ^ Н, Тогда ti/Г^ коммутирует с а. Так как 1уГ'^ $
$ Ну то нормальная форма элемента iyt'"^ есть рс^ ,,. с^, г ^ 1, где
р g Я. Далее,
pci • .». • Сг-\ * с, - а ' с7^ ' с7-\ * ... • cV^p"^ A8)
есть G. Если с^ $ Л, то длина A8) равна 2г + 1. Таким образом,
с^ ^ А, Но если г > 1, то с^ас^^ $ // (поскольку х не лежит в
подгруппе, сопряженной с Я), и, следовательно, длина A8) равна
2 (г — 1) + 1, так что г = 1 и tyt~~^ g Л. Поэтому л: и ^/ оба
принадлежат t~^At.
Предположим теперь, что утверждение неверно и придем к
противоречию. Пусть X — элемент наименьшей длины, для которого
существует i/, опровергающий утверждение; пусть у — партнер с
наименьшей длиной для таких х. По первой части нашего доказа«
тельства ни х, ни у не принадлежат подгруппе, сопряженной с А или с
В. Пусть X = pCiC2 ... с^, г > I, и у = p'did^ ... d^, s > 1,—
нормальные qbopMbi элементов х ia у\ очевидно, что г <: s. Далее, q и с^
принадлежат разным сомножителям, так как в противном случае
для элементов с^^хсУ^ = {СгРС-^ Сз ... Сг-\ и с^усУ^ нарушалось бы
утверждение теоремы, хотя длина с^.хсУ^ меньше длины х. Поэтому
Ci и Cj. не могут оба лежать в том же сомножителе, что и d^. Пусть
q и d^ лежат в разных сомножителях.
Тогда элемент ух = p'd^ • ... • d^p • q • ... • с^ имеет длину
г + S, и потому ух = ху = pCi • ... • с^р' • di • ... • d^ также
должен иметь длину г -\- s. Следовательно, с^ и d^ также лежат в
разных сомножителях. Так как с^, ..., с^ — представители, то по
следствию 4.4.2 последними г представителями нормальной формы
элемента (/X являются с^, ..., с^. Аналогичтю, последними s
представителями нормальной формы элемента ху являются й^, ..., d^. Но
г <. S и потому
Сг = ^s» ^r-l = ds-u • » * , ^1 " ds-r+\»
Отсюда yx"^ =p'di * ... * ds-^rP~^* Далее, yx~^ коммутирует с лг
и длина его меньше длины у. Поэтому для ух''^ и х
утверждение теоремы справедливо. Если //л:-^ принадлежит подгруппе,
сопряженной с Ну то ух~^ = ghg^\ откуда х = g-l-g^^-Xy у =s
= ghg~^ » Ху и утверждение теоремы выполняется для х и уу
вопреки предположению. Если ух~^ лежит в подгруппе, сопряженной а
А или с В, то там же находится х, а значит, и у = ух'^^ • х, что
противоречит нашему предположению о х и у. Таким образом, х =«
*= gf^S~^ ' ^^ У'^~^ = S^^'g''^ • ^'^\ где ghg~\ gh'g"^ и W попарна

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 221
перестановочны. Тогда у = ух~^ *х = gh'g~^ • W^ • §)щ'^^ • ^^ =
= gh'hg~^ • и^^~^^ и утверждение теоремы снова
выполняется для X и у. Следовательно, предположение о том, что с^ и d^ не
лежат в одном сомножителе, ведет к противоречию.
С другой стороны, если q и d^ лежат в одном сомножителе, то для
d, и с^ это неверно. Но тогда х"^ = cj^ ... сТ^Р~^ можно
использовать вместо X в предыдущем рассуждении: х"^ имеет ту же длину^
что и Ху причем для х и у утверждение теоремы нарушается тогда и
только тогда, когда оно нарушается для х~' и у, и мы снова
приходим к противоречию, как и в предыдуш.ем абзаце. Таким образом,
теорема доказана. ^
Следствие 4.5. Если А Ф Н и В Ф К, то центром группы
G =^ ^^{А, В, Н, К, Ф) является Н [] С (А) f\ С (В), где С (А) и
С (В) — центры групп А и В соответственно.
Доказательство. Так как Aw В порождают группу G, то
подгруппа Н [\ С {А) {] С (В) лежит в центре группы G. Далее,
если X — элемент центра G, то л: ? Я. В самом деле, если х =
= liCi ... Cj. — нормальная форма х и г > 1, то возьмем
представитель с =7^ 1 из множителя А или S, не содержащего с^.. Тогда хс ~
^ hc^ ... Cj. • с является нормальной формой. Поэтому сх == chc^ ...
... Cj, должен иметь длину г + Ь так что с и с^ лежат в разных
сомножителях, и следовательно, по следствию 4.4.2, ^л: оканчивается на
с^. Это противоречит равенству сх = хс. Итак, л: ^ Я, а значит, х g
^ С (А) и X ^ С (В), так как х принадлежит центру группы G. ^
Так, например, если А и В — абелевы группы, то центром
группы G - *(Л, В, Я, /(, ф) является Н (] С (А) [] С (В) ^ Н [\ А []
О В = Н. Если А или В имеют тривиальный центр, то^тривиален и
центр группы О. Даже если центры групп А и В нетривиальны, G
будет группой без центра, если не найдется неединичного элемента
из Я П С (А), переводимого изоморфизмом Ц) в К [] С (В). В
случае, когда группы А и В задаются представлениями A5) и A6), а
изоморфизм \р определяется отображением aif-> &2> ^2 -^ ^ь то Л и
В имеют нетривиальные центры {1, «?} и jl, b'i] соответственно.
Тем не менее центр группы G = *(Л, В, Я, К, "ф) тривиален, так
как Я П С (Л) = {1, а?}, но «? - Ь,^С (В).
Возрастание трудности проблемы, формулируемой для свободной
группы, свободного произведения и свободного произведения с
объединенной подгруппой, иллюстрируется также проблемой слов.
Действительно, проблема слов просто решается в свободной
группе. Для решения проблемы слов в группе А * В необходимо уметь
решать ее в группах Л и В. Для решения проблемы слов в
группе * (Л, В, Я, Ку ф) требуется еще больше. Мы должны уметь решать
проблему вхождения в подгруппы И и К групп А и В
соответственно; кроме того, нам наобходим эффективный метод для

222 Гл. 4. Свободные произведения
вычисления ф {h) и ф""^ (fe), где h ^ Н и k Q /С (например, метод за*
писывания элементов h и k в виде слов в Ui{a^) и V^ (Ьц) соответ»
ственно, если ф определяется отображением и^ (а^) ->- V( (Ь^х))*
Еще одним примером возрастания трудности является проблема
сопряженности. В свободной группе она решается легко: два
циклически несократимых элемента сопряжены тогда и только тогда,
когда один из них является циклической перестановкой другог^о.
Для разрешимости проблемы сопряженности в группе Л * Б
необходимо уметь решать ее в группах An В: два элемента одного из
множителей сопряжены в Л * 5 тогда и только тогда, когда они
сопряжены в этом множителе. Более того, это необходимое условие
является и достаточным (см. теорему 4.2). Ситуация значительно сложнее
в случае группы *(Л, В, Я, /С, ф). Даже если мы умеем решать
проблему сопряженности в группах Л и i3 и проблему слов в
группе* (Л, В, Я, /С, ф), о разрешимости проблемы сопряженности в
этой группе, вообще говоря, ничего сказать нельзя. Тем не менее
в специальных случаях проблему сопряженности можно решить,
используя следующие определение и теорему.
Элемент g группы G =« * (Л, В, Я, /С, ф) называется
циклически несократимым, если в нормальной форме g =» hg-^ ... g^^ при
г > 1 представители g^ и gj. не лежат одновременно в Л или в В.
Очевидно, что если g "^^ Рх -*. Ргу где г > 2 и р^, p/-|-i
принадлежат разным сомножителям, то g циклически несократим тогда и
только тогда, когда элементы Pi и р^ не лежат в одном и том же
сомножителе. Действительно, если g записать в нормальной форме
hg-^ ... g"^, то gi и Pi по следствию 4.4.2 принадлежат одному
сомножителю.
Теорема 4.6. Пусть G ==^ ^{А, В, Я, /С, ф). Тогда каоюдый
элемент группы G сопряжен с некоторым циклически несократимым
элементом. Далее, пусть g — циклически несократимый элемент
группы G. Тогда
(i) если g сопряжен с элементом h ^ Н, то g лежит в А или в В
и существует последовательность элементов /i, h^, h^, ..., /i^, g", где
hi g H, соседние члены которой сопряжены в А или в В;
(ii) если g сопряжен с элементом g', причем g' ^ А или g' g В,
но g не лежит в подгруппе, сопряженной с Н, то g и g' лежат в
одном и том же сомножителе (в А или в В) и сопряжены в нем;
(iii) если g сопряжен с элементом р^ ... р^, где г > 2, ^ р^, p/^-i
так же как и р^, р^, не лежат в одном сомножителе, то g можно
получить, циклически переставляя Pi ... р^, а затем
трансформируя полученный элемент подходяш^им элементом из Я.
Доказательство. Для доказательства первого
утверждения теоремы обозначим через g' элемент наименьшей длины,
сопряженный с g. Если в его нормальной форме g' = hg'^ ,,. g^ s > 1, то
g'^ и g^ не могут лежать одновременно в А или в В, так как в про-

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 223
тивном случае сопряженный eg элемент glg'gl"^ = ig'hg^ g ... g[_^
имел бы меньшую длину. Таким образом, g' циклически
несократим.
Для доказательства (i) предположим, что g — циклически
несократимый элемент, сопряженный с элементом /z g Я и что g =
= V/hW~\ где W = kci ... с^— нормальная форма W. Если s <
•< 1, последовательность /i, g является искомой, так как g =*
= (kci) h (kCi)~\ Пусть s > 1. Предположим, что существует
наибольшее q такое, что с^ ... cJicT^ --- с^^ $ Я, но Сдл.\ ... cjicj^ ...
... с~1х G Н. Тогда Cj ... cjicj^ ... с~^ ? Н, если j > q. В самом
деле, /ig Ну поэтому суш.ествование такого / > q, что Су ...
... cJicT^ ... су^ $ Я, противоречило бы максимальности q. Если
<7 > 1, то
g = kCi * , , , • (CqCq-^i ш . . C^hcY , , , С'^-\.{С'^ ) ^ , , , - С~ k~
не может быть циклически несократимым. Поэтому q = 1 или такого
q не сунхествует, т. е. Cf ... cJгcT^ ••• ^Г^ лежит в Я при любом /.
В любом случае последовательность
/г, c,hc7\ ... , ^2 ' * • ^s^^^r^ *.. ^2"\ g*
является искомой.
Для доказательства (ii) предположим, что g — циклически
несократимый элемент, сопряженный с элементом g', g' ^ А или g' ^
^ В, и не лежащий в подгруппе, сопряженной с Я. Пусть, далее,
g = U7g'W*"\ где W = kci ... с^ — нормальная форма. Если s = О,
то g' и g = kg'k-^ лежат в одном и том же сомножителе (в А или в В)
и сопряжены в нем. Пусть s > 1. Тогда g есть
Если бы g' и Cg принадлежали разным сомножителям, то элемент
kc^* ш^ш * с^ ' g' * с7 * ... - сТ k~'
не был бы циклически несократимым. Таким образом, g' и с^ лежат
в одном сомножителе. Так как g' не лежит в подгруппе,
сопряженной с Я, то c^g'cT^ $ Я. Следовательно, при s > 1 элемент
не является циклически несократимым. Поэтому s = 1, а элементы
g' и g = tei • g' « cT^k"^ лежат в одном сомножителе и сопряжены
в нем.
Докажем (iii). Пусть g' = pi ... р„ где /* > 2, р^ и р/^ь а также
Pi и р^ лежат в разных сомножителях. Пусть, далее, g= Wpi ...
... PrW"'^ и W = kci ... Cg — нормальная форма. Для
доказательства утверждения (iii) воспользуемся индукцией по s.

^24 Гл. 4. Свободные произведения
Если5 = О, ТО g МОЖНО получить ИЗ Pi ,.. р^ трансформированием
элементом из Н,
Предположим, что s > О, и пусть сначала с^ не лежит в одном
сомножителе с р{, тогда с^ ир^ принадлежат одному сомножителю.
Если бы р^сТ^ $ Я, то элемент
не
§¦¦
Rf
был
= кс,
1лее,
g^kCi* ,
• • ' ^s' Pi' •
. , - P^^s • , . ,
бы циклически несократимым. Поэтому с^
L » • , , « Cs-l '
= {kCi
элемент
/ip.Pi *.. pr-
'hpr- Pi* . *.
. . . Cs-l) • Л (Pr
_^ir^ = hp,h~
• pr-.\ » /l ^ • Cs-1
.Pl ... Pr-i) ir^
^ • /zpi/i~' » ,,, '
= hp, и
1 • ... •
• (kci ,..
• hpr-.ih~
C\
. Cs
¦1
'fe-'=
-.)-'.
A9)
удовлетворяет тем же условиям, что и pi ... р^. По индуктивному
предположению, элемер1т g можно получить, трансформируя
некоторую циклическую перестановку A9) подходящим элементом h' g
^ Я. В результате получится циклическая перестановка элемента
Pl ... р^, трансформированная элементом h'h, что и требовалось.
Если с^ лежит в одном сомножителе с р^, то с^ и р^ находятся в
разных сомножителях, и то же самое рассуждение приводит к треб\е-
хмому результату. -^
Применяя теорему 4.6 в частном случае, получаем следующее
Следствие 4.6. Пусть G = 'it^iAy В, Я, К, ср), где Я и К
лежат в центрах групп А и В соответственно. Тогда два
циклически несократимых элемента из G сопряжены в том и только в том
случае, когда они либо принадлежат одному сомножителю {А или
В) и сопряжены в нем, либо их нормальные формы имеют вид
hgi ... gr uhg, ... g,g^ ... g-s-i.
Доказательство. Так как Н и К лежат в центрах групп
/4 и S, то Я является центром группы G. Поэтому элемент,
сопряженный с h ^ Н должен совпасть с h. Предположим теперь, что g
и g' — циклически несократимые элементы, сопряженные в С.[Если
g' g Я, то gf = g"', так что g VL g' лежат в одном сомножителе и
сопряжены в нем. Если g' лежит в А или в S, но не содержится в
подгруппе, сопряженной с Я, требуемый результат следует из
утверждения (ii) теоремы 4.6. Пусть, наконец, g' имеет нормальную форму
^Si -•• Sr- Тогда, применяя утверждение (iii) теоремы 4.6 при Pi =
= hgi^ Pl = g» .-м Рг = gn имеем
g = k{g^' ... .g, . hg, . ,.. .gs-i)^""\
где k q H, Так как Я — центр G, то g = fig^ ... g^^ ... g,_^. ^
Другие частные случаи рассмотрены в задачах этого раздела.
В частности, если Я конечна, то проблема сопряженности в rpvnrie
(Л, В, Я, /С, ф) разрешима, если разрешимы проблема сопряжен-

4 2 Произведения с объединенной подгруппой 225
ности Б группах А и В \\ проблема слов в группе G (см. задачу 41).
Тем не менее проблема сопряженности в группе G может оказаться
разрешимой и при бесконечной подгруппе Я, не лежащей в центре
G (и не совпадающей с А или с В) (см. задачу 42).
Хотя до сих пор мы рассматривали свободное произведение двух
сомножителей, эта конструкция легко обобщается на случай
конечного или произвольного числа сомножителей. Более того, теоремы
4 3 и 4.4 распространяются и на эти случаи. Например, группа
G = (а, Ь, с; а\ Ь\ с'\ а^ = 6^ а^ = с^)
является свободным произведением циклических групп
А == (а; а^), В = {Ь\ Ь^) я С = (с\ с^«)
с подгруппами Я, порожденной элементом а^, /С, порожденной
элементом Ь^ и L, порожденной элементом б^, объединенными
относительно изоморфизмов, определяемых отображениями а^ -^ Ь^, а^ ->
-> с^. Каждый элемент из Н можно однозначно записать в виде
произведения элемента из Я и представителей смежных классов
группы А по подгруппе Я, группы В по подгруппе К и группы С по
подгруппе L. Так, например, a^bc^ac^b^ Ф 1.
В заключение этого раздела приведем несколько результатов,
основанных на применении конструкции свободного произведения
с объединенной подгруппой.
X а у с о н [1] доказал, что пересечение двух конечно
порожденных подгрупп свободной группы является конечно порожденной
подгруппой. Примером группы, в которой две конечно порожденные
свободные подгруппы пересекаются по бесконечно порожденной
подгруппе, является группа
G == (ai, (^2, /?1, Ь^, .., , [4, CL2\ = \b\, b[\, ,., ),
\и, v\ = W'^v^^uv. Действительно, отображение [uu ai\ -> [6ь b^]
определяет изоморфизм бесконечно порожденных коммутантов
свободных групп А == (^1, а^) и 5 == Fi, b^,). Поэтому G
содержит конечно порожденные свободные группы Л и В,
пересечение которых — бесконечно порожденный коммутант группы А,
В качестве второго применения этой конструкции покажем, что
для любой группы G и любого элемента g ^G найдется такая группа
5, содержащая G, что для каждого положительного целого числа п
элемент g имеет в S хотя бы один корень п-й степени. В самом деле,
рассмотрим фактор-группу RIZ аддитивной группы действительных
чисел по подгруппе целых чисел. Если порядок элемента g равен г,
объединим его с элементом \1г ^ RIZ\ если порядок g бесконечен,
объединим его с У212 g RIZ, В любом случае получим группу S —
свободное произведение групп G и RIZ с объединенной циклической
подгруппой, где g лежит в подгруппе RIZ, Так как в RIZ каждый
8 в Магнус и др.

226 Гл. 4. Свободные произведения
элемент имеет корень любой положительной целой степени п и О
содержится в S, мы нашли требуемую группу.
В качестве еще одного прнлол\ения пoкaжeiM, чго группа
О = (^1, ^2» ^1» ^^2» ^1» ^2» ^з; ^1 = '^ь bj)] = cid)
не имеет элементов конечного порядка. Рассмотрим сначала группу
D а- («1, «2» '^i» ^2' ^? =^ ^^i)- Она является свободным
произведением свободных групп А = (а^у а^) и В == (^1,62) с
объединенной подгруппой. Следовательрю, Л и S — подгруппы в D.
Далее, ^71^2-> ^1^2, очевидно, индуцирует изоморфизм между
циклическими подгруппами, порождаемыми элементом bibl в
свободной группе В и элементом c^cl в свободной группе С = (^i,<^2> ^з)*
Поэтому отображение Ь^Ь] ->- qco индуцирует изоморфизм
между подгруппой из D и подгруппой из С, и G является свободным
произведением групп D и С с объединенными подгруппами. По
следствию 4.4.5. в группе D нет элементов конечного порядка, так
как их нет в группах А я В, Аналогично, в группе G нет элементов
конечного порядка, если их нет в группах D и С.
Более важные применения этой конструкции будут приведены
в последующих разделах и особенно — в разделе 4.4.
Приложения к другим конструкциям содержатся в задачах (см. задачи
с 21 по 29).
Задачи
1. Найти нормальную форму для каждого из слов а^Ь"^, а~^Ь^, Ь^а^Ьа^Ь^а
в группе (а, Ь\ а^, Ь^, а^ ^ Ь^). (Это — представление группы целочисленных 2 х
X 2-матриц с определителем, равным 1.)
2. Показать, что группа В » (х, у\ хух = уху) является свободным
произведением с объединенной подгруппой двух бесконечных циклических групп,
порожденных элементами ху и хух\ отсюда следует, в частности, что В не имеет
неединичных элементов конечного порядка. (Это — представление Артина группы
кос из трех HHTeftJ Показать, что центр группы В является Т^иклической группой.
[Указание. Положить а «= ху, b «а хух. ]
3. Найти разложение каждой из следующих групп в свободное произведение
циклических групп с объединенной подгруппой:
(а) <х,
(Ь) {X.
(с) {X.
(d) {X,
(е) {X,
У\
у\
У'^
у;
^;
У'^
х\
х\
х\
х80
хз _, уг^^
у\ л'^-^з).
У^\ x3«|/V.
f/в, JC3 «¦ 1/3).
, у^\ %»-/>
4. Показать, что группу
можно получить, образуя сначала свободное произведение А бесконечных
циклических групп с образующими >f и ^, объединяя подгруппы, порождаемые
элементами х^ и ^^, а затем, ззяв свободное произведение группы А и бесконечной цикли-

= у:
:, ZW
- ух, ZW
г.
У'>
ху =
ху =
== WZ
= WZ,
ух^у
:^/x^
, х^у =
, х^
гК
г^
t __
ш^
w^
= г^м;).
!/^ У^
, гее; =
, ZW =
х= Ш^).
аУ2,
WZ,
д;2 =
;c2f/
4.2. Произведения с объединенной подгруппой 227
ческой группы с образующим z и объединяя подгруппы, порождаемые элементами
у^ и г^
б. Найги центр каждой из следующих групп:
(a) <х, у. z\ х^ =-f/'S У' = 2^).
(b) (х, г/. г\ х'^у^ у^ =z^).
(c) <а:, у, г\ X' = r/l^ у^^ = 2^).
(d) (х, I/, 2, ш; л1/ == ух, х^ = 2^, X* = ш^>.
(e) (х, f/, г, ш; л:// =
(f) (х, г/, г, ш; хг/ :
(g) (х, у, г, w\ х^, у^, ху==ух^у 2*» ш'*, гее; = аУ2, д;2 = 2-ш2).
(Ь) (х, yt Z, w; х^, у'^, ху = ух^, г^, с^^, zw = wz, x^y^z^w"^).
6. Показать, что группа G ^ * {А, В, Н, К, Ф) тогда и только тогда абелева,
когда Л и В абелевы и Л = Я или 5= /(.[Указание. Воспользоваться
следствием 4.5.].
7. Показать, что группа G = * (Л, Б, Я, /(, ф) конечна тогда и только тогда,
когда Л п В конечны и Л =» Я или 5 = /(. [У к а з а н и е. Показать, что если
а ? А, а ^ Н, b ? By b ^ К, то элемент аЬ имеет в G бесконечный порядок.]
8. Пусть А —.свободная группа со свободными образующими а, 6, с, cf, е,
X — свободная группа со свободными образующими х, у, z, w, i. Показать, что
элементы а, 6, с, ede~~\ e'^de"^, e^de~^ являются свободными образующими под-
1 руппы, порожденной ими в А. Аналогичное утверждение справедливо для
элементов л:, у, Z, twf^^ t'Wt~'^, fwt"^ группы X. Показать, что группа
G = (а, Ь, Cs dy е, х, у, 2, t, w\ а = twfK b = t-wt'^'^,
с = i^wf^^, X = ede'^\ у = e-de'^'^, z = еЧе^^)
является свободным произведением двух свободных групп ранга 5 с объединенными
свободными подгруппами ранга 6. Показать, что G является свободной группой
ранга 4 Вывести отсюда, чго ранг свободного произведения с объединенными
подгруппами может быть меньше ранга сомножителя.
9. Показать, как представить свободную группу ранга 4 или 60viee в виде
свободного произведения с объединенной подгруппой двух бесконечно
порожденных свободных групп. [Указание Пусть xi. Xi, ... и (/i, (/g, .. — свободные
образующие двух свободных групп. Если надо получить свободную группу ранга
г, следует объединить (г/з, у^, ...) с коммутантом группы (xi, ..., х^_^, а (А'^^.р
Хгу...) с коммутантом группы (i/i, у^)-]
10. Показать, что если подгруппы Я и /С не содержат вербальных подгрупп
А (Х^) и В {Х^) соответственно, то в группе G ва * (А, В, Н, К, Ф) имеется
свободная подгруппа ранга 2. В частности, в этом случае группа G не удовлетворяет
никакому нетривиальному тождественному соотношению. [Указание. Пусть
о} ^ Н W Ь^ ^ К- Показать, что тогда {аЬа)^ начинается и кончается
представителем смежного класса из Л, и (bab)^ начинается и кончается представителем
смежного класса \\з В (п Ф 0). Показать затем, что элементы aba и bab являются
свободными образующими порожденной ими в группе G подгруппы. Воспользоваться,
наконец, тем, что свободная группа ранга 2 содержит свободную группу любого
конечного ранга.]
11. Показать, что если А = {а\ а*), В = (Ь; Ь^), а подгруппы Н и К
порождаются элементами а^ и Ь^ соответственно, то в группе G = (а, Ь\ а*, Ь^ а^ =>
»=« 6^) выполнено тождество ((xi. Xg), (хз, х^)) = 1, где (и, v) =i и"^ v^^uv.
(Указание. Показать, что коммутант группы G является циклической группой с
образующим aba~'^b~K]
8*

228 Гл. 4. Свободные произведения
12. Показать, что если элементы gi и g2 оба лежат в А или в 5, и р —
процедура приведения для * (Л, В, Н, К, Ф), указанная в теореме 4.4, то
Р (§1> §2^ Ss^ . . . . ^/г) =- Р (^1 • ^2. Яз^ • . • . gn),
[Указание. Положить р (^з, ..., gn) =¦ {р, ci, ..., с^), а затем, пользуясь
определением р, вычислить р (gi, g2, р, Cl, ..., Cr) и р (^1 • ^2» Pf ^1> •••» ^л)*!
13. Показать, что если элементы g^ и g^,^ оба лежат в Л или в i5, а р —
процедура приведения из теоремы 4.4, то
Р (g^i. . . . » ^s» 5fs+i' • • • » Ы °" Р {8i> .. . » g's • ^s+P • • • » ^'i)-
[Указание. Воспользоваться свойством (ix) и задачей 12.]
14. Пусть Л =а (а, Ь, с; R (а, Ь, с)) и Q ==» (х, Ь, с\ R (л•^ Ь, с)}, где s —
целое положительное число. Показать, что подгруппа группы G, порожденная
элементами л;^, b и с, изоморфна группе Л при отображении а -^ х^, b -^ b, с -^ с.
[Указание. Пусть а^ Л имеет порядок п (если порядок а бесконечен,
полагаем « =я 0). Пусть X =. (л:; л:"^ =1 1). Тогда подгруппа Я, порожденная в Л
элементом а, изоморфна подгруппе К, порожденной в X элементом A:^ и потому
группа
G* с:^ (а, Ь, Су х\ R(a, b, с), ах~^)
содержит изоморфную копию группы А. Используя преобразования Тице,
показать, что G* с:^ 0.]
15. Показать, что каждую нециклическую конечно порожденную группу с
одним определяющим словом можно вложить в группу с тем же числом
образующих и одним определяющим словом, в котором сумма показателей по одному из
образующих равна нулю, а каждый из остальных образующих встречается не
чаще, чем в первоначальном слове. [Указание. Так как группа нециклична,
она имеет хотя бы два образующих. Пусть, например, G == (а, 6, с; R (а, Ь, с)).
Рхли сумма показателей в R по а, b или с равна О, то в качестве искомой группы
можно взять саму G. В противном случае, пусть г и s — сумма показателей в R
по а и b соответственно. В силу задачи 14 G содержится в группе
G' '^{х, Ь, с\ R{x\ 6, с)).
Применяя к этой группе преобразование Тице, введем новый образующий у вместе
с соотношением у — Ь/. Тогда G' имеет представление
{Ху 6, с, у\ /? (/, 6, с), у =^Ьх^),
Исключая затем Ь, получим
G' ш^{х, с, у\ R {х\ г/л:¦-^ с) >.
Сумма показателей по л: в слове R (х^, ух'^'', с) равна 0; более того, каждый
образующий, отличный от X, входит в это слово столько раз, сколько
соответствующий образующий группы О (Ь вместо у) входит в R (а, Ь, с). ]
16. Пусть сумма показателей по а и по 6 в слове R (а, Ь) отлична от нуля.
Показать, что подгруппа группы
Gn = <а, 6i, ^2» . .. > Ьп\ R (а, б^), R (а, 6,), .. . , R{a, bn)).
порожденная элементами а и 6i, ^2» •••> ^k (^ ^ ^)> ^сть
Gk = <а, bi, ., . , bk\ R (а, ^). . .. , R(a, bk)).
[Указание. Показать, что в группе (а, Ь\ R (а, Ь)) элемента имеег
бесконечный порядок. Рассмотреть свободное произведение групп
G, - <а. Ь^\ R (а, Ь^)) и (а^. Ь,,\ R (а,, Ь^)),

4.2. Произведения с объединенной подгруппой 229
об1>еди[1яя а и «2.— получится группа G.^. Затем образовать свободное
произведение групп Оз и (аз, Ьз\ R (аз, Ьз)), объединяя а и аз,— получится группа Оз»
и т. д.]
17. Пусть сумма показателей по а и по 6 в слове R (а, Ь) отлична от нуля.
Показать, что если
и ^Я1 (Xi, Xj» ••• • Хп\ R {Xii x^)t R (х^, д^з), ... , R (x^_^i Xn))^
TO подгруппа группы G, порожденная элементами дп, JC2, ..., Xk (k < n), изоморфна
группе
(Xi, ...» Xk] R(Xi, Xa), i?(x.^, Хз)' •••» Ri^k^-l^ ^k))'
(y к a 3 a H и e. Показать, что элементы д^з» ^2 ^^ ^^ групп (a:i, atj; /? {xi, лг-з)) и
(ATg, хз; R (JCg, А^з)> имеют бесконечный порядок. Образовать свободное
произведение этих групп, объединяя Х2 и jiCg. Затем взять свободное произведение
полученной группы и (^3, х^\ R (лгз, л:4)>, объединяя х^ и х^^, и т. д.]
18. Пусть сумма показателей по а и^по b в слове R (а, Ь) отлична от нуля.
Показать, что подгруппа группы
О = (xj, Xg, ...» X/i, . .. ; R (Xj, Хз'* ^ (^2» -^з)* »• • f R (XfiJ a:^_|_j), . ..),
порожденная элементами xi и л'з, изоморфна группе (а, 6; /? (а, 6)).
[Указание. Пусть
В силу задачи 17 элементы a:i, ..., д:^__{ порождают в G^ подгруппу G^_^. Согласно
задаче 18 раздела 1.3 группа G является объединением групп Gi, G2, ..., G^^,...]
19. Пусть сумма показателей по а и по 6 в слове R (а, Ь) отлична от нуля.
Показать, что подгруппа G^ группы
^ =(...» X 2' X 1» -^0» ^1* ^2* • • • » • • • » А [Х 2» X l)^
R (•^—р -^о)' R (-^0» %)' R (^1* ^г)» • • •/¦
порожденная элементами х_^^; ^—k+v •••» ^—1» ^^^ ^^* •*•» ^^» имеет представление
C//f = (а;_^, дс_^_|_1, . . • > х_^, Xq, Xif ...» •^^_j> Xki
R i^—k' '^—fe-f-i)' * ' ' i R {x^i* Xq), R (Xq, Xi)t ...,/? (^^^_p л:/;,)).
(Указание. Сначала взять свободное произведение групп (хо, xi; R (хо, xi))
« (^__1, atq', /? 0^_|, aTq)); объединяя хо и a:q — получится группа Gt. Затем взять
свободное произведение групп Gi и (х,, Хз*, /? (хр Хз)); свободное произведение
полученной группы и группы (х_2г xlj-, R {x_2j xLi)> дает G2 (объединения
очевидны). Продолжая таким образом, получим, что G^_| является подгруппой группы
G„. Наконец, G является объединением последовательности Go, Gi, ... , G,i, ...
3 сил\ задачи 18 из раздела 1.3. ]
20. Показать, что в группе
G = (а, Ь; а^\ Ь^\ аЧ^ = б^а^)
произвольный элемент конечного порядка сопряжен с одним из элементов вида
а", Ь' или а'^Ч^^, где О < г < 9, 1 < s < 14, О < /7 < 4, О < ^ < 2. [У к а -
8 а н и е. Пусть С = (л:, у, л:^, у^, ху = (/х>; С будет играть роль подгруппы,
порожденной в G элементами а^ и Ь^. Пусть А = (а; а^^), б = F; б^^). Образуем
сначала свободное произведение D групп А и С^ объединяя а^ с х; тогда D ==. (а,
-«. г/, а^^, х^, у^, ху = ух, X = а") Подгруппа, порожденная элементом у,
является, конечно, циклической порядка 3 Удаляя х преобразованием Тице, получим,

230 Гл. 4. Свободные произведения
что D =» (а, у\ а}^, у^, а'^у ^- yci^)- Образуем теперь свободное произведение групп
D w В, объединяя у с Ь^, — получим группу <а, 6, у\ а*^, 6^^, (/^, а^у ^ уа'^,
у с=а Ь»). Удалив у преобразованием Тице, мы придем к представлению <а, 6;
д10^ 6'^, а^Ь^ == б^й^) группы G. Так как группа G является свободным произве-
дением групп D и ^ с объединенной подгруппой, то по следствию 4,4.5 элементы
конечного порядка из G сопряжены с элементами конечного порядка из D или из
В. Поскольку группа D в свою очередь является свободным произведением (с
объединенной подгруппой) групп А и Су то элементы конечного порядка из D
сопряжены с элементами конечного порядка из А или из С. Отсюда и следует
требуемый результат.]
21. Если в группе
О - {а,, On, Ь,, ... , Ьпг\ R, {Q^). .... Rr (^v)' ^^ (^г)' • - '
.... 5s (^^J, и, (a^) Vj ф^) - Vj [b^^) U, {a^)) (t =--- I p; / « I, . .. , q)
элементы ai, ..., an порождают подгруппу A, элементы bi, ..., />,„ —подгруппу В^
элементы Ui (а^), ..., Up (а^)— подгруппу И и элементы Vi {b^), .,., Vg (b^) —
подгруппу К, то подгруппа G называется свободным произведением групп А и В
с коммутируюш^ими подгруппами Н и К. Показать, что А имеет представление
<ai, ..., ап\ Rv («v)' •••' ^r (^v))' ^ имеег представление < 6i, ..., b^^'^ ^^ C^^)» •-
... , S^ (b^)) и Л П ^ ==- 1- [У к a a a H и e. Пусть
и
A' =- <^j, . .. , fl,;, Ri (a^), . .. , Pr («v)>
B'^.^(bl ..., ^,;;. S,(b'^), .... Ssib^)).
Рассмотрим гомоморфизм ф группы А' в группу G, переводящий а^ в а^. Тогда ф
отображает А' на А. Пусть, далее, i|) отображает группу G на Л' X Б', переводя
а^ в а^ и Ь^ в Ь^. Тогда г|?ф действует тождественно на Л', так что Ф взаимно
однозначно, и группа А' изоморфна Л. Аналогично, В' изоморфна В. Так как \|>
взаимно однозначно на Л и 5 в а, если Л П ^ ^ 1 в G, то Л' П i9' ч*» 1 в Л' X В'
и, следовательно, Л П ^ = 1-1
22. Пусть С/, Л, fi, Я, /(те же, что в задаче 21. Показать, что произвольный
элемент конечного порядка из G сопряжен с элементом конечного порядка из Л
или В или — с произведением элемента конечного порядка из /У на элемент
конечного порядка из /(. [У к а 3 а н и е. Пусть С ^ Н X Кг rjiQ
Н ^ <Wi, ... , Up; Xi (и,), ... г Хх (щ))
и
К -= (fi vg\ Ki (vf), . .. , Yy (Vj)).
Образуем свободное произведение D групп Л и С, объединяя Ui (а^) с и^. Тогда
D ^ (а^, . ,. , an, Ui, . . . , Up, v^, . .. , Vq\ R^ (a^), . . ., Rr (a^)»
X, («/), . .. , Xx (щ), Yi (yp, .. . . Yy (Vj), UiV^ = Vjui, Ui =- Ui (a^))
(i= 1, ... , p; /=- 1, . . . , (/).
Исключив преобразованием Тице элементы w; и заметив, что Х/^ (G^ (а^))
выводимо из слов Ri (а^), ..., Rr (а^), получим
D =х <Gi, . . . . С;,, Uj, . . . , у^; /?1 (а^), . . . . /?г К)» ^1 (^/)' • • • • ^i/ (^'/^*
^^ К) ^'z"" ^j^i(^v)> (^ =« 1, ... , р; / = I, ... . ^).
Рассмотрим теперь свободное произведение групп D и В, объединяя v, с Vi(b^)i
проделав необходимые преобразования Тнце, получим группу G. Поэтому элемен-

4.2. Произведения с объедир{е![ной подгруппой 231
ты конечного порядка из G сопряжены с элеме!1тами конечного порядка из А или
из В, или из Я X /С, что и требовалось. ]
23. Пусть О, Л, В, Я, /С те же. что в задаче 21, и предположим еще, чго
А Ф Н п В '^ К- Показать, что центр группы G тривиален. [Указание.
Воспользоваться следствием 4.5 и построением группы G, приведенным в указании к
предыдущей задаче. Воспользоваться также задачей 21. J
24. Пусть О, А, В, Н, К те же, что в задаче 21, и пусть Л =» Я, но В ^fc /С.
Показать, что центром группы О является пересечение подгруппы /С с це1{тром
группы 5. [У к а з а н и е. См. указание к задаче 23.]
25. Показать, что в группе (а, Ь; а^°, Ь^^, аЬ^ = Ь^а, а^Ь = Ьа^) элементы
конечного порядка сопряжены с элементами а!'Ь^^ или а^^Ь^у где O^r^^Q, 0< q ^
< 2, О < р < 4, О <s < 14. [У к а 3 а н и е. Пусть С =« {а, х\ а^^, д:^, ах = ха)
и D z=z (у, Ь\ f/^, 6^*, yb^by). Элементы а} и х порождают в С подгруппу,
изоморфную подгруппе, порожденной в D элементами у и Ь^, Поэтому можно образовать
свободное произведение групп С и D, объединяя а^ z у и х z 9*.Ъ результате
получится группа С/, элементы конечного порядка которой сопряжены с элементами
конечного порядка из С или из D. Отсюда следует требуемый результат. ]
26. Если в группе
О =- (^1. ..., йп. Ь^ Ьт\ Ri (а^), ..., Rr К),
S, (Ь^), ...,Ss F^), a^Vi (b^) = Vj F^) a^, U, (a^) b^ - b^U, (a^)>
(v =3 1, .. . , n; fi == 1, . .. , m; t = 1, . . . , p; / = 1, . . . , ^)
элементы au •••» йп порождают подгруппу Л, элементы Ьху ,.., Ь,п — подгруппу В,
элементы Vi (а^), ..., Up {а^) — подгруппу Н и элементы Vi (b^)y ..., Vp {b^) —
подгруппу /С, то группа G называется свободным произведением групп А и В с
централизованными подгруппами Н и /С. Показать, что группа Л имеет
представление <ai, ..., ап\ Ri (<3!у), ...,/?/- (ау))у группа В имеет представление (bi, ..., Ь,^;
Si (b^jj, ..., Ss (b^)} и Л П ^ = 1- [^ к a 3 a н и е. См. указание к задаче 21.1
27. Пусть G, А, В, Н, К TQ же, что в задаче 26. Показать, что в группе G
любой элемент конечного порядка сопряжен или с произведением элемента конечного
порядка из Л на элемент конечного порядка из /(, или с произведением элемента
конечного порядка из Н на элемент конечного порядка из В. [Указание.
Пусть С = Л X /< и D = Я X В, Показать, что G является свободным
произведением групп С и D с объединенной подгруппой Я X Д'. Воспользоваться затем
следствием 4.4.5.]
28. Пусть G, А, В, Н, К те же, что в задаче 26. Показать, что центром группы
О является прямое произведение пересечений центра группы Л с подгруппой Я
и центра группы В с подгруппой /С. [Указание. Воспользоваться построе-
«1ием группы G, приведенным в указании к предыдущей задаче, следствием 4 .5
и равенством (Р X Q) [] (М X N) =^ (Р f] М) X (Q f] N).]
29. Найти центр группы из задачи 25. [У к а з а н и е. Воспользоваться
задачей 28. ]
30. Пусть группа G является свободным произведением групп Л и iS с
объединенными подгруппами Н и К- Пусть, далее, М и Л^—такиг нормальные
подгруппы групп Л и В соответственно, что НС]М==\^КГ\^*^Р — нор-
Л1альный делитель группы G, порожденный подгруппами М и N. Показать, что
группа G/P является свободным произведением групп А/М и В/Ы с
объединенными подгруппами НМ/М и KNIN. [Указание. К определяющим словам
представления группы G добавить слова, порождающие М viN\ так как Н (\ М ^ \ ==а
"^ К О N, то НМ/М с::^ Н п KN/N ?Ьгг /С. Если слова Ui(a^,) порождают Я в О,
то они же порождают НМ/М в А/М. Аналогично, если слова Vj F ) порождают
/С в В, то они же порождают KN/N в B/N. Более того, если отображение Ui(a^) ->
-> Vj (b^J индуцирует изоморфизм между Я и К, оно также индуцирует изоморфизм
А«ежду НМ/М и KN/N.]

232 Гл. 4. Свободные произведения
31. Показать, что если G =» * (Л, В, Н, К, ф) и выбраны системы
представителей правых смежных классов группы А по подгруппе Н и группы В по подгруппе
/С, то системой представителей правых смежных классов группы G по подгруппе
И может служить совокупность всевозможных нормальных форм из G, у которых
h => 1. [Указание. Если g = hgi ... g^— нормальная форма элемента g ?
? G,io g\ ... gr лежит в том же правом смежном классе по подгруппе Я, что и g.
Более того, произвольный элемент из смежного класса с представителем^! ...gr
имеет нормальную форму hgi... gr.\
32. Показать, что если G является свободным произведением групп Л и В
с централизованными подгруппами Н и К (см. задачу 26), то каждый элемент из
G можно однозначно представить в виде hkgi ... g^, где h f Н, /? f /С, а каждый
из элементов gi, ..., g^ является членом фиксированной системы представителей
правых смежных классов группы А по подгруппе Я или группы В по noArpjn.ie /С,
причем gi '^ 1 и элементы gi, gi_^Y не лежат одновременно в группе А или в группе
В. [У к а 3 а н и е. Воспользоваться представлением группы G в виде свободного
произведения групп АХКпНХВс объединенной подгруппой Я X /(. Учесть
при этом, что система представителей смежных классов группы А по подгруппе Я
является системой представителей смежных классов и группы Л X К по подгруппе
Я X /С; аналогично — для смежных классов группы И X В по подгруппе Я X
X К.]
33. Показать, что если Я — подгруппа группы Л и G — свободное произ
ведение групп Л и Я X /(с объединенной подгруппой Я, то система
представителей правых смежных классов группы G по подгруппе К состоит из элементов вида
hgA . . . gtkt,
где h ? Н, ki? /С, а каждый из элементов ^i,-..., gr Ф I является членом фикси
рованной системы представителей правых смежных классов группы Л по
подгруппе Я. [У к а з а н и е. Так как К является системой представителей правых
смежных классов группы Я X /С по подгруппе Я, то каждый элемент из G можно
однозначно представить в виде
hkgA ' ' • gtkt.
где ki ф 1, если / Ф t. Так как Н и К поэлементно перестановочны, то этот
элемент лежит в том же смежном классе по подгруппе К, что и hgiki... g^k^. Далее,
произвольный элемент из этого класса имеет вид
khg^k^ . . . gtkt = hkg^ki . , . gtkt,
откуда и следует наш результат. ]
34. Показать, что если группа G является свободным произведением групп Л
н В с коммутирующими подгруппами Н п К (см. задачу 21), то каждый элемент из
G можно однозначно записать в виде
keJie^fi • • • erfr,
где k ? К, ei — элемент вида
hgiki . . . gtkt,
как в задаче 33, а Д- — член фиксированной системы представителей правых
смежных классов группы В по подгруппе /(, причем ei, fj ^ \, если / ^ 1 и j ф г.
[Указание. Воспользоваться построением группы О, приведенным в задаче
22, и задачей 33.]
35. Выше (см. задачи 21 и 26) мы определили два новых произведения групп Л
и Б, центрами которых являются подгруппы Я и /С соответственно. Условимся
через Л О Б обозначать свободное произведение групп А и В с коммутируюш^ими
подгруппами Я и /С, а через Л (х) Б — свободное произведение групп Л и В с
централизованными подгруппами Я и /С.
(a) Показать, чтоЛоБ = БоЛиЛ0Б = Б0Л.
(b) Показать, что если А н В — абелевы группы, то Л о В и А ^ В совпадают
с прямым произведением А X В.

4.2, Произведения с объединенной подгруппой 233
(c) Показать, что если центры групп Л и В тривиальны, то AqBuA(x)B
совпадают со свободным произведением А * В,
(d) Показать, что если А — абелева группа, а центр группы В тривиален, то
А О В совпадает с А * В, а Л0В — с А X В.
(e) Показать, что если А и В — абелевы группы, а центр группы С
тривиален, то (А О В) G С ^ (А X В) * С, ио А о (В О С) ^ А * (В * С). Пользуясь
этим, показать, что если А — циклическая группа порядка 2, В — циклическая
группа порядка 5, а С — группа всех подстановок трех элементов, то в группе
(.4 О В) Q Сесть элементы порядка 10, а в группе А Q (В о С) таких элементов
нет Таким образом» операция 0 неассоциативна.
(f) Показать, что центр группы А (х) В порождается центрами групп А а В,
{^) Используя (f), показать, что (Л 0 В) 0 С «=• Л 0 (В 0 С).
(h) Показать,^что если А vi В — симметрические группы степени 3, то группа
А (х) В совпадаете группой Л * Б и не имеет элементов порядка 6. С другой
стороны, если С — подгруппа из Л, порожденная циклом длины 3, а D — подгруппа
из В, порожденная циклом длины 2, то группа С (х) D совпадает с С X D и
обладает элементами порядка 6. Таким образом, если С — подгруппа из А и D—
подгруппа из В, то С (^ D но обязательно является подгруппой группы Л 0 в.
Зв. Пусть
Л « (а, с\ а», c^ {acY) и В - <^, d\ 6», d^, (Ы)»)
— симметрические группы степени 3; пусть, далее, G — свободное произведение
групп Л и Б с объединенными циклическими подгруппами, порожденными
элементами с и rf. Показать, что циклически несократимые элементы аЬ^ и а^Ь из G
сопряжены, но ни один из них не является циклической перестановкой другою.
}У к а 3 а н и е. Трансформировать аЬ'^ элементом с]
37. (а) Показать, что длины двух циклически несократимых сопряженных
элементов группы G ^ ^^^ (А, В, Н, К, Ф) могут быть различными.
(Ь) Показать, что если длина циклически несократимого элемента из G равна
г > 2, то любой сопряженный с ним циклически несократимый элемент также име-
«т длину г.
[Указание. Для (а) взять h и ghg~^, такие, что h^ Н,д? А,ио ghg"^ Q Н-
Для (Ь) использовать утверждение (iii) теоре^мы 4.6.]
38. Найти все циклически несократимые элементы, сопряженные с данным
элементом из данной группы:
[Указание. Воспользоваться теоремой 4.6.]
39. Пусть G==i * (Л, В, Я, К. ф).
(a) Показать, что последовательность элементов Л/, описанную в случае A)
теоремы 4.6, можно выбрать так, чтобы никакой член не встречался более одного
раза.
(b) Показать, что если подгруппа Я конечна, то существует лишь конечное
множество последовательностей /и, ...> ht различных элементов из Я, у которых
соседние члены сопряжены в некотором сомножителе.
[Указание, (а) следует из того, что если hj t=a h^^ j <. s, то hi hj,
^s-f-i' ¦••' g — более короткая последовательность требуемого типа; (b) следует
из того, что существует лишь конечное множество последовательностей различных
элементов из Я.]
40. Пусть О «¦ * (Л, 5, Я, /С, ф), где Я конечна, и пусть проблема
сопряженности эффективЕсо разрешима в группах А и В. Предположим также, что для
любого элемента из О можно эффективно найти его нормальную форму. Показать,
(а) х^у'^хуху^х из (х, у\
(Ь) хуг^у'~^х^ из {х, у.
(с) хуху'^ из {к, у;
Х2 = ^3);
г; X*, ху ^ ух у у^
X*, у^, л:^= у^).

234 Гл. 4. Свободные произведения
что проблема сопряженности в группе G разрешима. [Указание. Два данных
элемента g и g' группы G приведем к нормальной форме, а затем циклически
сократим их. Предположим, что g и g' циклически несократимы. Если длина g'
равна О, то, чтобы быть сопряженным с g\ элемент g должен иметь длину О или 1.
Предположим, что это так. Выпишем все такие последовательности g'^ hi, ..., hf^
что hi f Я, соседние члены сопряжены в некотором сомножителе и все члены
различны. Число их конечно, так как конечна Н. Для каждой такой
последовательности проверим, сопряжены ли элементы /z/ и ^ в некотором сомножителе. В силу
утверждения (i) теоремы 4.6, если g сопряжен с g\ то такое h^ должно найтись;
очевидно, что если такое hi найдется, то ^ и ^' сопряжены. Если длина g' равна 1
и g' сопряжен с элементом из Я, то он должен быть сопряжен с некоторым
элементом из Я в своем сомножителе согласно утверждению (i) теоремы 4.6. Это можно
проверить. Если g' сопряжен с элементом из Я, то заменим его этим элементом и
повторим предыдущее рассуждение. Если g' не сопряжен с элементом из Я, то g
и g' лежат в одном и том же сомножителе и сопряжены в нем, если они сопряжены
в G. Наконец, если g' имеет нормальную форму hgi ... g^, то выпишем все ее
циклические перестановки и трансформируем их элементами из Я, Получим конечное
множество всех циклически несократимых элементов, сопряженных с g', и
проверим, содерл<ит ли оно элемент g.]
41. Пусть
А = </i, ^1, . . . , 0^] /г", /zfli = o^hy . . . , han « fli/i>,
В ^ (k, ^1, « . . , b^; k^* kbi = bjk, , , . , кЬпш^ b^k),
и пусть G — свободное произведение групп Л и В, где /i w k объединены. Найти
циклически несократимые элементы, сопряженные с a\bi. [Указание.
Показать сначала, приравнивая h единице, что ни о/, ни bi не принадлежат Я. Затем
воспользоваться утверждением (iii) теоремы 4.6.]
42. Пусть А «= </i, а\ a^ ah ^ h~^Q), В = {k, b; b^, hk «= k) hG — cbo»
бодное произведение групп A и В, где h и k объединены. Решить проблему
сопряженности в группе G следующ,им образом:
(a) Показать, что Я является нормальным делителем группы А и что каждый
элемент из А можно однозначно записать в виде /i"a°^, где п — произвольное
целое, act — О или 1.
(b) Показать, что каждый циклически несократимый элемент из G имеет вид
Л", Л"а, /г, h'^ (ab)^^ или h^ (ЬаУ^, где п — произвольное, в т — положительное
целые числа.
(c) Показать, что с элементом h^ в группе G сопряжены лишь элементы h^ и
/I-^
(d) Показать, чго любой циклически несократимый элемент, сопряженный в
G с элементом /i"a, сопряжен с этим элементом в группе Л, т. е. имеет вид /z^ ' ^* а^
где 5 — произвольное целое. Аналогично для h^b.
(e) Показать, что любой циклически несократимый элемент, сопряженный в 6
с элементом h^ (ab)^, является его циклической перестановкой h^{ab)^^ или
h-''{baf\ Аналогично для h''{ba)'^.
[Указание. Воспользоваться теоремой 4.6.]
43. Пусть
Л=-<Д1, ^а, ^3' ^4' ^в' ^б*' «? = ^за2^Г^' ^^'^^в^^б'Ь
и
В^{Ь,, Ь„ Ьа. Ь,\ bl^b.i^^b-^).
Показать следующее:
(а) А является свободным про]13ведением групп

4 2. Произведения с объединенной под1руппоГ| 235
(b) Группа (л:, у, г; л:- ^ У^^''У~Ь совпадает с гр\пиой (к, у, w\ х^ = w-),
где W ~ yzy~~K Поэтому х и г => ^""'tii'^ свободно порождают свободную группу.
(c) Элементы Ь^ и Ь^ являются свободными образующими порожденной ими
подгруппы в группе В, а элементы ag и а^ являются свободными образующими
порожденной ими подгруппы в группе Л.
(d) Элементы aj^ и а^ группы А не сопряжены в Л.
(e) В группе G, являющейся свободным произведением групп А и В, где а^
объединяется с ^2 и а^ — с 6^, элементы of и og сопряжены. Таким образом,
предположение о том, что^' не лежит в подгруппе, сопряженной с Я, в утверждении (ii)
теоремы 4.6 существенно.
44. Пусть G « ¦ (Л, В, Я, /С, ф), и пусть А ^ И, В^ К- То;да G не
совпадает с объединением подгрупп, сопряженных с Л или с б. [У к а з а и и е Hycib
13«~Л, а ^ Н, b ? В, b ^ К' Тогда аЬ циклически несократим и по теореме 4 б
не^лежиг в подгруппе, сопряженной с Л или с В \
45. Пусть G:=:>M * (А, В, Я, К, Ф). Тогда Л П WBW~^ лежит в подгруппе,
сопряженной с Я. (У к а 3 а н и е. Если W содержится в В, то Л fl ^BW"^ <=.
дав Я В противном случае U^ = /76, где (/ оканчивается на слог из Л. Тогда
WB^'"^ = UBU'K Если eg В, но(? $^ Я, то длина элемента UcU"^ больше 1,
и этот элемент не может лежать в Л. Поэтому Л П WBW-^ S ини-К]
4Н. П^сть
G -= <а, 6, /Z, /г; /ш/Г ^ « а^, /г6^^-^ =- 6\ /i^ ^ ^^2).
Пусть, далее, Л «» (а, /i; /ia/t~^ = а^), В =« <6, ^; kbk"^^ =. fe^), Я — циклическая
1юдгруппа в Л с образующим Л* и /С — циклическая подгруппа в В с образуюии1м
^^, Тогда отображение а-? Ь, h-^ k индуцирует изоморфизм Л на В, так что, в
•частности, отображение ф: /х^ -> ^* индуцирует изоморфизм Я на /С Поэтому
G ^ * (А, В, Н, Ку ф). Показать, что в группе G содержится бесконечное
множество циклически несократимых элементов, сопряженных с элементом аЬ.
[Указание. Показать, что в группе Л элемент а имеет бесконечный порядок,
сопоставляя, например, с а и h преобразования дг -^ х+ 1 и л: -»- —х соответственно
на ^п^oжecтвe рациональных чисел. Далее, показать, что разные степени элемента
а лежат в разных смежных классах по подгруппе Я, так что их можно считать
частью системы представителей правых смежных классов группы А по подгруппе Я.
Тэ же верно для элемента а из В. Наконец, элемент аЬ сопряжен с элементом
47. (а) Показать, что группа
Gn - (а, Ь, с, d\ ab - cd, d^b^ = c'M^ . . . , а^б^^ - c"d^)
является свободным произведением свободных групп А = {а, Ь) и С^{с, d)
¦с объединенными подгруппами Я^^, Кп* свободно порожденными элементами а'//
и c^d^ Aл- I, ..., п) соответственно.
(b) Показать, что а^+^6''+^ Ф d'-^U''^^ в группе 0^,
(c) Показать, что группа
G = (а, Ь. с, d\ ab =- cd, аЧ^ =» c^d'-* a^b^ « 6''?^^ . . .)
*fe является конечно определенной.
[Указание. Для (а) воспользоваться задачей 12 к разделу 1.4. Для (Ь)
воспользоваться задачей 12 к разделу 1.4 и следствием 4.4.2. Для (с)
воспользоваться задачей 14 к разделу 1.1 и (Ь).]
48. Пусть О «¦ » (Л, В, Я, /С, ф). Показать, что произвольные гомоморфизмы
^ и р групп Л и В соответственно в некоторую группу L, такие, что а = Рф на Н,
люжно продолжить до гомоморфизма Y Группы G в группу L.

236 Гл. 4. Свободные произведения
49. Группа G называется сильно неразложимой, если из G == * (А, В, Н, К, Ф)
следует, что Л = Я или В ^ К. Показать, что следующие группы сильно
неразложимы:
(a) конечная группа;
(b) абелева группа;
(c) периодическая группа.
4.3. Теоремы о подгруппах
В этом разделе мы изучим строение подгрупп свободного
произведения. Напомним понятие переписывающего процесса и
использование его при нахождении представления подгрупп.
Пусть группа G задается представлением
и пусть подгруппа Я группы G порождается элементами,
определяемыми словами Ji (^v). Чтобы получить представление для Я в этих
образующих, сначала введем порождающий символ s^, соответствую-
щий элементу J^ (йу). Далее, нам необходим переписывающий
процесс, т. е. отображение т, которое переводит каждое слово U {av)t
определяющее элемент подгруппы Я, в такое слово V (sj, что слова
и (av) и V {Ji («v)) определяют один и тот же элемент группы G.
(Интуитивно, т выражает элементы из Я в виде слов в образующих
Ji (йу),) Тогда, как показано в разделе 2.3, группу Я можно задать
в системе образующих s^ следующими определяющими
соотношениями:
s, = i:{J,{av)); B)
x{USa,))=:%{U'{a,)), C>
где и и и' — свободно равные слова в символах а^у определяющие
элемент из Я;
т (f/i (а,) и, (а,)) = X (U, (а,)) . т (U, (а,)), D)
гд^ Ui и (/а определяют элементы из Я;
x{W{a,)R,,{a,)W{a,r')^U E)
где W («v) — произвольное слово, а R^ (а^) — определяющее слово
ИЗО).
Для упрощения этого довольно громоздкого представления
необходимо выбрать т специальным образом.
Один из методов построения т использует функцию выбора
представителей правых смежных классов группы G по подгруппе Я, т. е.
отображение W (а^) -^ W (а^) слов в символах а^ в слова в
символах ^v, переводящее пустое слово в себя и такое, что
(i) слова W (flv) и W (ау) определяют элементы, лежащие в одном
и том же смежном классе по подгруппе Я и
(ii) элементы, определяемые словами \F(av), составляют
систему представителей правых смежных классов G по Я. Если дана

4.3. Теоремы о подгруппах 237
такая функция, то элементы группы G, определяе-мые словами вида
/Cav/Ca7\ F)
где К — представитель, порождают подгруппу Н. Далее, если
SK,a^ — порождающий символ группы Ну соответствующий
элементу F), то действие т на слово U (а^), определяющее элемент из
Я, можно определить следующим образом:
(Ш) заменить каждый символ ах в слове U (^v) символом S/<,a^
где К — представитель начального отрезка слова U (а^),
предшествующего заменяемому символу а^;
(Iv) заменить каждый символ а'х^ в слове U (^v) символом s^.o^
где К — представитель начального отрезка слова U (qv),
оканчивающегося на заменяемый символ а~К
Переписывающий процесс, построенный таким образом,
называется переписывающим процессом Рейдемейстера. Использование
такого процесса вместе с шрейеровской системой представителей
позволяет нам упростить определяющие слова B) — E) в
представлении Н следующим образом:
B) заменяется на sj^^a^ = 1, если слово Ка^ свободно равно
слову Ка^\
C) и D) можно отбросить;
E) заменяется на т {КНцК'^^) ^ 1, где /( —- представитель.
Поэтому Н можно задать представлением
(-., SK.a^, ...; si^ax^ ••• (^-^^ Lax^Tax), xiKR^K'^), ...)• U)
Несмотря на то, что это представление уже является достаточно
простым, особенно в случае, когда в A) нет определяющих слов /?д,
т. е. когда G — свободная группа, иногда оно может оказаться
более сложным, чем это объективно необходимо. Так, например, если
G ^ (а, Ь; а^, Ь^) \\ Н — коммутант группы G, то Н свободно
порождается элементами aba-^b-^ и a^ba-^b-^ (см. задачи 24 и 34 к
разделу 4.1). С другой стороны, с помощью процесса
Рейдемейстера — Шрейера, используя представители 1, а, а^, 6^, afc, a^fc,
получаем для подгруппы Н образующие:
1 . а ¦ Т^-^ = аа-' - 1, I . 6 • Т&~^ - bb~^ - 1,
а ' а ' т~^ = а^а~'^ =1, а - b - ab~^ = {ab) {ab)'^ « I,
a2. a • Q^~^ = a^=l, o? - b - ЖЬ~^ = d'b • {аЩ~^ « 1,
b' а-Ш^^ ^ba {ab)-' - bab-'a-\ b ^ b Tb'^ ^ b^ ^ \,
ab * a- aba"' = аЬа{аЩ~' = abab~'a~\ ab * b • ab^'' - ab^a"' =- 1,
a^b' a- a^a~~' = a^bab"', a^b - b - '?F^~' - аЧ^а "^ « 1,

238 Гл. 4. Свободные произведения
Т. е. образующие
bab-^^a^^^ abab-^^a^^ и a^bab-K
Эги образующие не являются свободными и, разумеется, не
делают очевидным тот факт, что Н — свободная группа ранга 2.
Одна из причин получения при помощи процесса Рейдемейсте-
ра — Шрейера более сложного, чем возможно, представления
подгруппы G, заключается в том, что этот процесс одинаково действует
на все образующие группы G, тогда как в ряде случаев множество
образующих допускает естественное разбиение (например, если
группа G задана как свободное произведение или свободное
произведение с объединенной подгруппой). Более точно, образующие в этом
процессе имеют вид КаКсГ\ где для каждого образующего а
используется одна и та же система представителей {/С}. Мы сейчас
видоизменим этот процесс, введя в рассмотрение несколько систем
представителей.
Предположим, что группа G задана предсгавлением, множество
образующих которого разбито на непересекающиеся части. Для
определенности везде в этом разделе будем считать, что таких
частей три, так что представление группы G имеет вид
Сг1 Rii^v, by,, С;), ...). (8)
Каждый элемент а^, &^t, с^ называется соотвественно а-образую-
щим, ^-образующим, у-образующим. Пусть Н — подгруппа
группы G. Выберем четыре системы представителей правых
смежных классов по подгруппе Н и будем называть их элементы
а- представителями, р - представителям и, у-представителям и и
нейтральными представителями. Если W — произвольное слово
в образующих av, йц, С;, то через
^Ц7, V, ^Ц7, *Г,
обозначим представители слова W соответственно а-, Р-, у- или
нейтрального типа. Вместо {^W)-^^ будем писать «Ц/-Ч
Для получения представления подгруппы Н введем следующие
порождающие символы:
s^^a А^^ слова Ка ^(Ка)-^, где К — произвольный а-предста-
витель и а—произвольный а-образующий;
SL,b Д«ля слова Lb ^\Lb)'~\ где L-—произвольный Р-представи-
тель и b — произвольный Р-образующий;
Sm,c для слова Мс '^{Мс)''\ где М — произвольный у-представи-
тель и с — произвольный у-образующий;
/л' для слова A^*iV~\ где Л^ — произвольный а-, Р- или упред-
ставитель.

4 3. Теоремы о подгруппах 239
Например, пусть G = (а, /?), и пусть а является «-образующим,
а b является Р-образующим. В качестве Н возьмем коммутант труп*
пы О. Пусть системой а-представителей будет {b^a^]t системой Р-
представителей — [а^Ь^], а система нейтральных представителей
совпадает с системой а-представителей. Тогда
^ьРаЯа соответствует элементу Ь^^^ . а * °^(<f?V'^^)"*^ «« 1,
^aPbU соответствует элементу а^Ь"^ • b • ^(а^Ь^'^^)'^^ «• 1,
t^p^q соответствует элементу FV) • *FV)^^ ¦« 1,
t^p^q соответствует элементу а^Ь'^ • ""{oFb^y^ -« a^b'^a^^b~^.
Таким образом, новый процесс порождает «естественные» обра-
вующие для Н.
Мы хотим использовать порождающие символы s и / в
некотором переписывающем процессе т. Как и раньше, т будет являться
«заменой символа на символ». Пусть G имеет представление (8) и
Н — подгруппа группы О. Пусть О — слово в образующих а^, Ь^, с^,
определяющее элемент из Я,
и ^xV .., x^^ (9)
где Xi является а-, р- или у-образующим и е^ ¦=» ±1. Для
получения т (U) поступим почти так же, как в процессе Рейдемейстера —
Шрейера, Тем не менее, мы можем использовать лишь те s-снмволы,
в которых представитель и образующий имеют один и тот же тип.
Чтобы «нейтрализовать» действие типа, мы поместим s-символ
между /-символами. Более точно, если Xi является б-образующим (б
равно а, р или y) и ]/ — начальный отрезок слова U, предшествующий
символу л:^, то для получения т {U) заменим A:f^ на
t6'v • s^y^^^ * h^y^^y если е^ - Ir (Ю)
и на
'C"W^-/ ^v'-rb' "'-'" e,---I. A1)
Для иллюстрации этого переписывающего процесса
предположим снова, что О = (а, Ь; a^ Ь^), Я —коммутант группы О, а
является а-образующим, b является Р-образующим, множество
{6V} является системой а-представителей и нейтральных предота-
вителей, а [а'^Ь^] — системой Р-представителей правых смежнь'х
классов по подгруппе Н. Тогда слово U « aba^b"^ определяет эле-
sT.l • ti).
мент из Я и
t(i/)=» {tr' -Sua
• ta) ¦ {tZ'
• &a,b * tab) '
' {tba '
• {tba*
' ^ba,a * tba*) '
• Sba\a • /fc) • {tb

240 Гл. 4. Свободные произведения
Л е м м а 4.2. Пусть группа G задана представлением (8) и Н —
произвольная подгруппа группы G. Тогда Н порождается
элементами из С, определяемыми словами
Ка . \КаГ\ Lb • \Lby\ Мс • \Мсу\ N . *уУ-\ A2)
где представитель К и образующий а имеют а-тип, представитель
L и образующий b имеют ^-тип, М и с имеют у-тип, а N является
а-, р- илиу'Представителем. Более того, процесс т, задаваемый в
A0) и A1), является переписывающим процессом (т называется
переписывающим процессом Куроша),
Доказательство. Если s- и /-символы в A0) и A1)
заменить соответствующими им словами в образующих а^, Ь^, Ci, то
получим
|(V. ^V^Y] . [V . X, . \Vxr'\ . [' (Кх,).*(Кл;Г^] «
j^ ^^•V.x,.*(Fx,)-^ A3)
[(V . ^У-У'\. [\Vx7') • X,. 'V'Y' • ['(^^^7^) • ""{VxTY'] ^
^-^VxT' • ""{VxTY' = {""{VxT) • X, . *l/-']-^ A4)
соответственно. С другой стороны, под действием процесса Рейде-
мейстера, использующего нейтральную систему представителей,
символ 4' слова и заменяется на
^*VfX., если е^- = 1, A5)
и на
^ —1
s^^l _1 , если г: = — I. A6)
Эти s-символы соответствуют в точности порождающим элементам
A3) и A4) соответственно в переписывающем процессе Рейдемейсте-
ра с нейтральными представителями смежных классов G по Я.
Поэтому если в т (t/) S- и /-символы заменить соответствующими
словами из A2), получится слово, свободно равное слову U. Таким
образом, т является переписывающим процессом, а слова из A2)
определяют образующие подгруппы Я.^
Если т — переписывающий процесс Куроша, то группа Н в
системе образующих, состоящей из s- и /-символов, определяется
следующими соотношениями, соответствующими соотношениям B) —
E):
s,v,, = т (iVx . \Nx)~) и tN = T{N ¦ *N~^), A7)
где и представитель N, н образующий х имеют б-тип;
T(t/) = T(t/'), A8)
где^/ и U' свободно равны и определяют элемент из Я;
T(l/M = T(t/0-T(t/,), A9)

4.3. Теоремы о подгруппах 241
где Ui и U-i определяют элементы из Я;
xiWRW^)^ I, B0)
где W — произвольное слово в образующих Ду» ^ц, с^, а R —
определяющее слово из (8),
Соотношения из B0) можно упростить, воспользовавшись
соотношениями из A8) и A9). В самом деле, полагая в A9) (/i «= f/j ==*
« (пустое слово), имеем т (пустое слово) «= т (пустое слово) ¦ т
(пустое слово). Поэтому равенство т (пустое слово) «= 1 является
следствием A9).
Далее, если U определяет элемент из Я, то из A9) и A8) имеем,
что т (U) т (t/~') == т {UU'^^) = т (пустое слово). Таким образом,
равенство т {U~^) = т ((/)~^ является следствием соотношений A8)
и A9). Наконец, если {Л^) — система представителей правых
смежных классов по подгруппе Я, то произвольное слово W имеет вид
UN, где и определяет элемент из Я. Так как R определяет 1 в Я, то
NRN"^ также определяет 1 в Я и поэтому
т {WRW--) == т (/7 . NRN-' . U^) = т ((/) • т {NRN"') ^ т (G)^^
является следствием соотношений A8) и A9). Таким образом, B0)
является следствием соотношений A8), A9) и
x{NRN-^')^ 1, B1)
где N пробегает некоторую систему представителей смежных
классов по подгруппе Я.
Как и в случае переписывающего процесса Рейдемейстера,
определяющие соотношения представления группы Я, полученного при
помощи процесса Куроша, можно упростить. Мы увидим, что можно
отбросить соотношения A8) и A9). Для этого нам понадобятся
следующие леммы о переписывающем процессе Куроша.
Лемма 4.3. Если W определяет элемент из Н, то т {W~^) ==»
Доказательство. Пусть W = Px^Q. Тогда W ^ ^
=« Q^^x~^P~\ Так как W определяет элемент из Я, то
представитель любого типа слова Рх^ совпадает с представителем того же
типа слова Q~^\ аналогичное утверждение справедливо для слов
^"^^"^и Р, Пусть г = \ и X принадлежат 6-типу. Тогда при
вычислении т (W) символ х^ заменяется на
тогда как при вычислении т {W~^) символ х"^ заменяется словом
^6(Q-i, * Sfi^Q-1^-1)^^ • /6(Q-ij,-i) == \р^^ . s^o^^ • /dp, B3)
которое, очевидно, является обратным к B2).

242 Гл. 4. Свободные произведения
Аналогично, если е = — 1, то при вычислении т (W) символ х
заменяется на
тогда как при вычислении т {W~^) символ х~^ заменяется словом
являющимся, очевидно, обратным к B4). Таким образом, при
вычислении т (IF) и т (W^) символы / и х^^ заменяются взаимно
обратными словами от S- и /-символов, так что т (W) и т (W^^) взаимно
обратны.^
Лемма 4.4. Если слово W определяет элемент из Н и W ^
«= Рх^х~^ Q, то при вычислении т {W) слово от $- и (-символов,
заменяющее х^у является обратным к слову, заменяюи^му х~^. (Здесь
X — образующий W3 (8), а е ™ I или —1.)
Доказательство. Предположим сначала, что 8 == L
Тогда при вычислении т (W) символ х заменяется словом
tip ' Sbp^^ . /б^р^), B6)
а х~^ заменяется
\рх) * \pxx-\x * ^^{Pxx-h ^ Чял:) * ^^Р,х ' *^Р* (^'/
Очевидно, ЧТО слова B6) и B7) взаимно обратны. Если же е =« — 1, то
при вычислении т (W) символ х~^ заменяется на
(бр • ^Ь^Рх~^),х • ^^(Рх~Ь' B8)
а X заменяется на
Очевидно, слова B8) и B9) взаимно обратны. ^
Последняя лемма показывает, что определяющие соотношения
(I8j можно исключить. В самом де*1е, если U ^^ U\ то от U можно
перейти к И' вставками и вычеркиваниями слов вида х^х~"*, где х —
образ\ющий из (8), а е = =Ы. Но всякий раз, когда х^х~*
вставляется в слово, значение т от нового слова свободно равно в s- и /-
символах значению т от старого слова. Поэтому если (У ^5:^ IJ\ то
т F'') ^=^ X {U')y и соотношения A8) излишни.
Л е м м а 4.5. Если слова Ui и Ui определяют элементы из Я, то
x{U,V,)^x{U^)-r{U,).
Доказательство. Заметим сначала, что слово в s- и
/-символах, заменяющее символ л* при переписывании слова Wy
зависит лишь от х^ и от представителя начального отрезка слова Wf
предшествующего заменяемому символу ;с®.

4.3. Теоремы о подгруппах 243
Поэтому при переписыва1Н1и слов Ui и и^и^ символы из t/|
заменяются одними и теми же словами в s- и /-символах. Далее, так
как Ui определяет элемент из Я, для любого слова X в образуюн^их
av, b^y Ci, представитель любого типа слова X совпадает с
представителем того же типа слова U^X. Поэтому при переписывании
слов t/a и UiUi символы из и о заменяются одними и теми же
словами Ё 5- и /-символах. Таким образом, т (UiU^) — т (Ui) • т (f/.,). ^
Эти леммы показывают, что в представлении подгруппы Я,
полученном при помош,и переписывающ.его процесса Куроша,
определяющие соотношения A8) и A9) можно опустить. Более того, можно
несколько упростить определяющие соотношения из A7), а именно,
если слово Л'л' свободно равняется слову ^(Nx) (или N свободно
равно *N), то образующий S/^^^ (или /,v) равен 1 и может заменить
определяющее соотношение из A7), содержащее его. В самом деле,
если Nx • ^(Nx)"' свободно равно 1, то т(Мх • ^(Л'х)*^^) свободно
равно в S- и /-с[[мволах CviOBy т A) « I по лемме 4.4. Поэтому
определяющее соотношение s^^^x = т (Nx • ^{Nx)'~^) эквивалентно
соотношению %.;с = I, если Nx i=s:$^{Nx), Аналогично, определяющее
соотношение ts — т (iV • * N'^^) эквивалентно соотношению /д- "^
«= 1, если N i=sf *N .
Результаты, полученные до сих пор, можно объединить в
следующей теореме:
Теорема 4.7. Пусть группа G задается представлением (8),
и пусть X — переписываюи{ий процесс Куроша для подгруппы Н
группы G. Если порождающие символы s.v.v и ts соответствуют
элементам Nx • ^(Nx)~^ и N - * N, где N — представитель, а х —
образующий из (8), имеющие оба б-тип, то группа Н в системе
образующих Ss,x и tx определяется следующими соотношениями:
s,v.. - I, если Nx ^ \Nx); C0)
/дг- 1, если N ^""N; C1)
s^^^x = т {Nx . ^Nx)"), если Nx ф \Nx); C2)
/д ^ т (Л/ . *Л^^^), если N ф *iV; C3)
%{NRN^)=^ 1, C4)
где R — определяюсцее слово из (8), а N пробегает произвольную
систему представителей правых смежных классов группы G по
подгруппе Н. ^
Для дальнейшего упрощения соотношений C2) и C3)
необходимо применять лишь системы представителей специального вида.
Определение. Совокупность систем представителей а-, Р-,
V- и нейтрального типов называется расширенной шрейеровской
системой, если для каждого представителя Л' любого типа из того,

244 Гл. 4. Свободные произведения
ЧТО СЛОВО Л^ оканчивается символом л'^, т. е. iV ¦««¦ Мх*, следует, что
и Л^, и Л1 являются представителями того же типа, что и х.
Если все образующие нашей группы имеют один тип, то
расширенная шрейеровская система превращается в обычную шрейеров-
скую систему. Если имеется несколько типов образующих, то мы
получим расширенную шрейеровскую систему, взяв в качестве
представителя каждого типа представитель из одной и той же
обычной шрейеровской системы. Приведем пример собственно расш}1-
ренной шрейеровской системы. Пусть G = (а, 6), Н —
коммутант группы G, а W b — соответственно а- и р-образу-
ющие. В качестве а- и нейтральных представителей возьмем
элементы множества [Ъ^с^], а в качестве Р-представителей — слова
из [а^Ь^]. Если представитель оканчивается а-символом, то он
имеет вид 6V, где q фОу или а^, где р ФО, В любом случае и сам
представитель, и его начальный отрезок, полученный
вычеркиванием последнего а-символа, будет а-представителем; аналогично для
представителей, оканчивающихся Р-символом. Таким образом, мы
получили расширенную шрейеровскую систему.
Если, с другой стороны, при тех же G и Я в качестве а-предста-
вителей взять множество {а^Ь^]^ bi качестве Р-представителей
элементы множества [Ь^а^ }, а нейтральными представителями
объявить а-представители, то расширенной шрейеровской
системы не получится. Например, элемент аЬ оканчивается
Р-символом, но Р-представителем этого элемента является не он сам, а
элемент Ьа,
Очевидно, что в расширенной шрейеровской системе
нейтральные представители должны находиться среди представителей
других типов: нейтральный представитель является представителем
типа символа, которым он оканчивается. Наоборот, если а-, р- и
^-представители удовлетворяют определяющему условию
расширенной шрейеровской системы, и нейтральная система представителей
содержится в объединении этих систем, то мы имеем расширенную
шрейеровскую систему.
Прежде чем продолжить изучение строения расширенной
шрейеровской системы, покажем, что ее использование в
переписывающемся процессе Куроша позволяет опустить определяющие
соотношения C2) и C3).
Лемма 4.6. Пусть т — переписывающий процесс Куроша,
использующий расширенную шрейеровскую систему, и пусть К и L —
представители. Все з-символы в т {KWL~^) порождаемые словами К и
Г~"\ являются определяющими словами из C0). Далее, все (-символы
в т (KWLT^), порождаемые словами К и LT^, сокращаются или
являются определяющими словами из C1), кроме, быть может,
последнего из К у т. е. /д', и первого из L~\ т. е. /Г^

4 3. Теоремы о подгруппах 245
Доказательство. Индукцией по длине представителя
расширенной шрейеровской системы легко показать, что любой
начальный отрезок представителя является представителем, хотя,
возможно, другого типа. Предположим теперь, что в процессе т
заменяется символ X из К, и М — отрезок слова /(, предшествующий
символу X. Если X имеет б-тип,то Мх и М являются б-представите-
лями, так что х заменяется на
Так как (Мх) = Мху то этот5-символ содержится в C0).
Аналогично, если символ х"^^ из слова К заменяется в процессе т, и М —
отрезок К, предшествующий этому символу, то Мх"^ и М являются
6-представителями, и х~^ заменяется на
Так как {Мх~~^ * х) ^ М i=^ .Мх"^ * х, то этот s-символ относится
к тем, для которых выписаны соотношения C0).
В любом из этих двух случаев /-символ 1м^ примыкает к
последнему /-символу, порождаемому последним символом из М. Этим
символом является /м, так как М — представитель того же типа,
что и его последний символ. Таким образом, все /-символы,
возникающие из К у сократятся, кроме самого первого /f^ и самого
последнего. Так как 1 = *1, то /i — один из символов, для которых
выписаны соотношения C1), так что /Г^ можно вычеркнуть. Если
последний символ из К имеет б-тип , то К является б-представителем,
и потому последним /-символом, возникающим из /С, является tj<.
Для доказательства аналогичных утверждений об Ь'^'^заметим, что
по предыдущей лемме т {KWL~^) = [t(LH7""^/(~^)]'~\ Теперь,
используя первую часть доказательства для описания s- и /-символов,
возникающих в т {LW~^K~'^) из L и переходя к обратным, получим
требуемый результат.
Теорема 4.8. Пусть группа G задается представлением (8),
и пусть т — переписывающий процесс Куроша для подгруппы И
группы G, использующий расширенную шрейеровскую систему.
Тогда группа Н в образующих s^^x ti /// (соответствующих элементам
Nx * ^{Nx)'~^ и N * *jV~') определяется соотношениями C0), C1)
и C4).
Доказательство. Следует показать, что определяющие
соотношения C2) и C3) можно о тустить. Рассмотрим сначала
1 {Nx - ' (Nx)"^), По предыдущей^ лемме это слово
эквивалентно относительно соотношений C0) и C1) слову
tN ' tN • Sjsj,x • /й^л^;,) • t^^^^y

246 Гл. 4. Свободные произвечсиия
Таким образом, соотношение
является следствием соотношений C0) и C1).
Далее, рассмотрим x{N'*N'~), Из предыдущей леммы и
определяющих соотношений C0), C1) следует, что при
переписывании слова Л^ • * Л^"~ необходимо рассматривать лишь последний
^cимвoл, возникающий из N и первый ^cимвoл, возникающий из
*N . Поэтому т (Л^ • *Л' ) эквивалентно слову
что в силу C1) эквивалентно iN. Таким образом, и соотношение
/^==т(Л/.*Л/-^)
является следствием соотношений C0) и C1). ^
Вообще говоря, определяющие соотноп]ения C4) упростить
нельзя. Тем не менее, если группа G является свободным
произведением своих подгрупп, порождаемых образующими каждого типа,
теорема 4.8 позволяет представить в виде свободного
произведения и подгруппу Н,
Следствие 4.8. Пусть группа G, заданная представлением
(8), является свободным произведением своих подгрупп, порождаемых
образующими каждого типа, т. е. в каждое определяюи^^е слово
из (8) входят образующие лишь одного типа. Тогда группа И
является свободным произведением свободной подгруппы, порожденной
t-символами, и подгрупп, порождаемых теми s-символами Sm.x»
у которых X пробегает множество образующих данного типа,
а представитель N того же типа лежит в фиксированном смежном
классе группы О по двойному модулю (Я, X), где X— подгруппа
группы G, порожденная образующими того же типа, что и х.
Доказательство. Нужно показать, чго в каждое из
определяющих соотношений C0), C1), C4) входят или только
^cимвoлы или же лишь те s-символы s^^^, у которых х является
образующим данного типа, а N лежит в данном смежном классе
по двойному модулю (Я, X). Это справедливо для соотношений
C0) и C1), так как в каждое из них входит только один s- или ^cим-
вол. Для каждого из соотношений C4) подберем Л' так, чтобы т«п
представителя N совпадал с типом образующих, входящих в слово
/?. Рассмотрим теперь т {NRN'^). По лемме 4.6 и в силу
соотношений C0) и C1) единственными требующими рассмотрения
символами, возникающими из слов N и N~\ являются In и 1м\ Так как
слово R состоит из однотипных образующих, то все промежуточные
/-символы, возникающие из слова R, сократятся. И наконец, так
как N является представителем того же типа, что и образующие из
Д, скажем, типа 5, результат переписывания слова R начинается

4.3. Теоремы о подгруппах 247
с г-'
Л' и кончается на
Таким образом, в т (NRN'^ ) последний /символ, возникающий из
слова Л^, сокращается с первым ^cимвoлoм, возникающим из
слова /?, а последний ^cимвoл, возникающий из слова R,
сокращается с первым /-символом, возникающим из слова N'^\
Следовательно, слово т {NRN'^ ) эквивалентно слову, содержащему лишь
s-символы, возникающие из слова R. Такой s-символ имеет вид
где Г—начальный отрезок слова У?, а х — образующий, входящий
в R. Если X—подгруппа, порожденная образующими б-тд^па
группы G, то слово Т определяет элемент из X, Поэтому
Н . \NT) ' X ^ Н * NT ' X ж^ Н • N *ТХ ^ Н ' N ^ X,
так что представители, являющиеся индексами s-символов из
т (NRN'^ ), лежат в двойном смежном классе по модулю (Я, Л),
содержащем элемент N, Более того, образующие, являющиеся
индексами s-символом из т {NRN'^), имеют б-тип. Единственными
определяющими словами, содержащими /-символы, являются
некоторые /-символы. Поэтому /-символы порождают свободную группу. ^
Для иллюстрации этого последнего следствия рассмотрим
группу G «» ( а, fc; а^, Ь^ ), Пусть Н— коммутант группы G, а а и
Ь — соответственно а- и р-образующие. Пусть, далее, {1, а, Ь^
Ьа] — система а- и нейтральных представителей, а {\, а, Ь^ аЬ] —
система Р-представителей. Мы имеем расширенную шрейеровскую
систему. Переписывающий процесс Куроша, использующий эту
систему, дает след>ющие порождающие символы для представления
группы Н\
^1,в» ^а.а» ^b,ai ^ba,ay
S\,b, Sa,b, Sb,by Sab,bi
4i 4' 4' ^bo^ *ab'
Используя соотношения C0) и C1), мы можем исключить из них
все символы, кроме
^fl.fl» Sba,ai ^b,bi ^ab,bt *ab' \^Щ
Далее, следует рассмотреть соотношения C4). Пользуясь
предыдущей леммой и соотношениями C0) и C1), мы сразу выпишем их в
упрощенном виде, а подробные вычисления приведем лишь для
первого,
%(\ - а^ • 1"^^) шж т (а^) == т (л • й) =- /^ . /^^ • 6а,а - ti ^ Sea-

248 Гл. 4. Свободные произведения
[Поскольку а—представитель, то среди всех символов,
возникающих из него, следует принимать во внимание лишь последний
/-символ. Далее, два последних знака равенства обозначают не
равенство слов, а эквивалентность их относительно соотношений
C0) и C1).]
т(а • а^ • а~~^) = т(а^) уже вычислено выше;
Т (Ь . а^ . Й~"') = х(Ьа- а* Ь~^) = tba • t'^a • ^Ьа,а • t^ • tT^ = Sba,a\
т фа • а^ • фау^) ^ т фа^Ь~^) уже вычислено выше;
тA . 62. 1~^) == тF . &) - /г, • /г' . Sbb • ^ = 5^6;
т (а • f?2. Q^^)^ = %(ab • b ' a~^) = tab • QI • Sa&.?, * t^' f^ = Sa^.^J
тф ' b^ * b~^) =3 T (^2) уже вычислено выше;
т (ab »f;2 . ^ab)"^) = т (аб^а""') уже вычислено выше.
Таким образом, мы получили определяющ.ие слова
Поэтому единственным образующим из C5), не являющимся
определяющим словом, является tab. Следовательно, Н — бесконечная
циклическая группа с образующим аЬ • *(а6)~* = аЬ фа)~^ =^
= aba'^^b-^^. Этот результат хорошо известен.
Чтобы глубже проникнуть в строение свободных множителей
группы Ну порождаемых s-символами, необходимо ввести дальней-
оше ограничения на расширенную шрейеровскую систему так,
чтобы она была непосредственно связана с двойными смежными
классами.
Определение. Расширенная шрейеровская система
называется регулярной, если множество слов, оставшихся после
вычеркивания в каждом б-представителе максимального конца,
состоящего из б-образующих, является полной системой представителей
двойных смежных классов по модулю (Я, X), где X — подгруппа,
порожденная в G б-образующими.
Представители двойных смежных классов, полученные
указанным вычеркиванием б-символов, называются ^-представителями
двойных смежных классов.
Приведем пример регулярной расширенной шрейеровской
системы. Пусть G == ( а, Ь; а^, fe^ ) , Я— коммутант группы G,
а и 6 — соответственно а- и Р-образующие. Пусть множество
{1, а, а^, 6, Ьа, Ьа^\ состоит из а- и нейтральных представителей, а
A, а, a^ Ь, аЬ, а^Ь] — из ^-представителей. Тогда и представитель,
оканчивающийся а- или р-символом, и его начальный отрезок,
полученный вычеркиванием этого символа, являются а- или р-пред-
ставителями соответственно, как это требуется для расширенной

4.3. Теоремы о под1руппах 249
шрейеровской системы. Кроме того, если с концов а-представите-
лей удалить а-символы, то получается множество {1, ^Ь
Аналогично, после удаления Р-символов с концов р-представителей
получится множество A, а, а^]. Так как {1, Ь} является системой
представителей двойных смежных классов группы G по модулю (Я, Л),
а 11, а, а^) является системой представителей двойных смежных
классов группы G по модулю (Я, В), то мы имеем регулярную
расширенную шрейеровскую систему.
С другой стороны, если все оставить по-прежнему, за
исключением того, что множество A, а, а^, Ь, Ьа, Ьа^] служит уже
системой а-, Р- и нейтральных представителей, полученная расширенная
шрейеровская система уже не является регулярной. В самом деле,
вычеркнув все Р-символы с концов Р-представителей, получим
множество {1, а, с?, Ьа, Ьа^], которое не является системой
представителей группы G по модулю (Я, В), так как, например, элементы а и
Ьа лежат в одном и том же двойном классе по этому модулю.
Чтобы использовать условие регулярности расширенной
шрейеровской системы, необходимо сначала изучить связь между
представителями обычных и двойных смежных классов.
Лемма 4.7. Пусть {D^.) — система представителей
смежных классов группы G по двойному модулю (Я, X), Семейство слов
{D^Prs), ^де Prs ^ Xу является системой представителей правых
смежных классов группы G по подгруппе Я тогда и только тогда,
когда семейство слов {Pis} является системой представителей
правых смежных классов группы X по подгруппе DT^HDi П ^*
Более того, если множество {D^Prs} является системой
представителей правых смежных классов группы G по подгруппе Н, и Р —
элемент из X, то представителем элемента DtP в системе
{D^Prs} является DiPu, где Р^—представитель элемента Р
в системе {Pi^} представителей правых смежных классов группы
X по подгруппе DT^HDt П X.
Доказательство. Предположим сначала, что семейство
[D^P^s] является системой представителей правых смежных
классов группы G по подгруппе Я. Надо показать, что множество (Р^^}
служит системой представителей правых смежных классов группы
X по подгруппе DT^HDi П ^, т. е. для данного элемента Р из
X существуег единственный элемент Я^-; такой, что РиР" содержится
в DT^HDi П X. Так как при любом Ра элемент РцР"^
автоматически лежит в подгруппе X, требуется указать единственный
Рц, для которого PijP~^ содержится в DT HDi, а это эквивалентно
существованию единственного Рц, такого, что DiPu содержится
в HDiP, Справедливость же последнего утверждения следует из
того, что семейство ID^Prs} является системой представителей
правых смежных классов группы G по подгруппе Я, а
представителем смежного класса по модулю (Я, X), содержаш^его элемент

250 Гл 4. Свободные произведения
DiP, является D^. Итак, множество (P^J является системой
представителей правых смежных классов группы X по подгруппе
DT^HDi П X, Далее, если представителем элемента Р в системе
(Pjjl является Рц, то РаР~ ^содержится в DT^HDi, а это означает»
что DiPij лежит а HDiP. Значит, представителем элемента D^P
в системе [ОгР^] представителей смежных классов группы G по
подгруппе Н является DiPfj.
Покажем теперь, что если множество [Pi^] является системой
представителей правых смежных классов группы X по подгруппе
DT HDi П А', то множество [В^Рп] является системой
представителей правых смежных классов группы G по подгруппе Н,
Пусть W—произвольный элемент группы О. Требуется
установить существование единственного элемента DiPa такого, что
HW = HDiPif. Так как семейство {D^} является системой
представителей смежных классов группы G по модулю (Я, X), то най-
лется единственный элемент D^ такой, что HWX = HDiX. Отсюда
W = hDiP, где /i е Я и Р 6 X, и потому HW =^ HhD.P -
=« HDfP. Но если Pij является представителем элемента Р в
системе [Pis) представителей смежных классов группы X по
подгруппе DT^HDi П X, то HDiPu ^ HDiP, Поэтому элемент DiP^
лежит в смежном классе HW, Предположим, что и элемент DtPtu
лежит в смежном классе HW. Тогда HDiPtj = НВ^Рш и,
следовательно, HDiPifX = HDtPtuX ^ HDtX. Так как {D,} является
системой представителей смежных классов группы О по модулю
(ЯД), то t - /. Далее, (О^Р,;.)_; (DtPJ~' = D, {РаРТи) ОГ'
лежит в Я. Отсюда РцРш лежит в Di ^HDi (] X, поскольку PaPj
автоматически содержится в X. Так как (Р^^} является
системой представителей смежных классов группы X по подгруппе
DT^HDi (] X, то и = j. Итак, множество {О^Ргв) является
системой представителей правых смежных классов группы G по
подгруппе Я. ^
Лемма 4.8. Пусть х — переписывающий процесс Куроиш для
подгруппы Я группы G, используюи{ий регулярную расширенную
илрейеровскую систему. Тогда подгруппа, порождаемая в И всеми
элементами s^j^r, у которых N и х имеют Ь-тип и N содержится в
фиксированном смежном классе по двойному модулю (Я, X),
совпадает с Н О DiXDT , гдеХ — подгруппа, порожденная в G Ь-обра-
зующими, а Dt есть Ь-представите ль двойного смежного класса
HNX,
Доказательство. В самом деле, б-представители
двойных классов получаются вычеркиванием всех б-символов с концов
6-представителей. Поэтому система б-представителей имеет вид
{DrPrs\y где [Df] — система представителей смежных классов
группы О по двойному модулю (Я, X), а Рг$ б X, Семейство

4.3. Теоремы о подгруппах 251
{Р|з) является, по лемме 4.7, системой представителей правых
смежных классов группы X по подгруппе DT^HDi П X. Пусть
Л^ ^ DiPij. Тогда 5л'.;^ определяет элемент Nx • ^(Nx)"^ =
^DiPijX- (DiPijx)" , Если Pijx является представителем из
системы {Pi,}, то, снова по лемме 4.7, ^(DiPijx) = DtPuX, Отсюда
Nx . %МхГ' ^ D,P,,x . {D.F;;^)-' = D,P,,x . T^x-'DT' -
=^Di(PijX^PuxT')Dr\ C6)
Ho элементы P,yx • Pijx'~ , где Я,/ пробегает множество (Р^)»
ал: — множество образующих подгруппы X, порождают в X
подгруппу DT^HD^ Л X* Поэтому элементы из C6) порождают
подгруппу
Чтобы применить эту лемму к следствию из теоремы 4.8 о
строении подгр>ппы свободного произведения, необходимо установить
существование регулярной распн1ренной шрейеровской системы*
Мы сделаем это в следующей теореме.
Теорема 4.9. Для произвольной группы G, заданной пред-
ставлением (8), и любой подгруппы Н группы G существует
регулярная расширенная шрейеровская система представителей
смежных классов группы G по подгруппе И.
Доказательство. Заметим, во-первых, что
произвольный двойной смежный класс по модулю (Я, X) является
объединением правых смежных классов по подгруппе Н и, более того, каж»
дый правый смежный класс по Н содержится в некотором двойном
классе по (Я, X),
Во-вторых, систему нейтральных представителей можно выбрать
из объединения систем представителей остальных типов.
Определим, далее, слоговую длину двойного смежного
класса как MiiHHMyM слоговых длин (относительно а-, Р- и у-слогов)
слов из этого класса. Используя это понятие, будем строить б-пред-
ставители двойных классов и б-представители индуктивно (б есть
а, Р или 7)-
В качестве а-представителя двойного класса длины нуль, т. е.
ЯЛ, выберем 1. Затем берем произвольную шрейеровскую систему
\Ри] представителей правых смежных классов группы А по
подгруппе Н {] А \\ объявляем ее элементы а-представителями правых
смежных классов гр>ппы G по подгруппе Я, содержащихся в
двойном классе НА. Аналогично, 1 берем в качестве Р- и у-представи-
телей двойных классов НВ и НС соответственно. Далее выбираем
шрейеровск} ю систему IQi^} представителей правых смежных
классов группы В по подгруппе Н {] В ^ шрейеровскую систему \S\u]
группы С по подгруппе Н {\ С \\ объявляем элементы их Р- и.

252 Гл. 4. Свободные произведения
7-предстазителями правых смежных классов по подгруппе //,
лежащих в двойном классе НВ и НС соответственно.
Предположим, что мы >же выбрали б-представители двойных
классов для всех смежных классов по двойному модулю (Я, X),
слоговая длина которых меньше, чем г (где б есть а, р или 7. а X
есть Л, В или С соответственно); более того, предположим, что
выбраны б-представители всех тех правых смежных классов группы
G [10 падгруппе Я, которые лежат в смежном классе по двойному
модулю (Я, X) слоговой длины, меньшей г, и что эти
б-представители обладают следуюш,ими свойствами:
(i) слоговая длина двойного класса совпадает со слоговой
длиной представителя этого класса;
(ii) если D является представителем двойного класса и D окан-
чи. ается е-симзолом (е есть а, р или у), то D является е-предста-
вителем;
(iii) если D является б-представителем двойного класса, то б-
представители правых смежных классов по Я, лежащих в HDX,
имеют вид (DPJ, где {Ps] — шрейеровская система
представителей правых смежных классов группы X по подгруппе D~~ HD П
П X.
Покажем сейчас, как определить представитель двойного б-клас-
са и б-представители правых классов по Я, содержащихся в нем,
так, чтобы свойства (i), (ii) и (iii) остались верными. Пусть, дли
определенности, б равно а. Рассмотрим двойной смежный класс
HWA слоговой длины г, где слово IF само имеет слоговую длину г.
Если бы слово W оканчивалось а-символом, то слоговая длина
класса HWA была бы меньше г; поэтому W оканчивается символом
типа, отличного от а, скажем, р. Тогда слоговая длина двойного
смежного класса HWB меньше г, и, следовательно, уже определены
Р-представитель двойного смежного класса HWB и Р-представитель
правого смежного класса HW, содержащегося в HWB. Если
D = ^IF, то D назовем а-представителем двойного смежного класса
HWA. Наконец, а-представителями правых смежных классов по
Я, содержащихся в HWA, объявим элементы множества {DP^},
где [Pj} — шрейеровская система представителей правых
смежных классов группы А по подгруппе D" НО П А.
Покажем, что если к представителям, построенным ранее,
присоединены новые а-представители правых смежных классов и
«-представитель двойного класса, свойства (i), (ii) и (iii) останутся
справедливыми. Свойство (iii) следует непосредственно из способа
построения новых а-представителей. Заметим, далее, что слоговая
длина двойного класса HWB равна г— 1. В самом деле, если Е
есть Р'предсгазитель двойного класса HWB {Е уже был определен.
так как слоговая длина класса HWB меньше г), то, по свойству
(Hi), Р-предстазчтель элемента W имеет вид EQ, где Q^ В. По-

4.3. Теоремы о подгруппах 253
этому ЯЦ^Л = HEQA, и если через к обозначить слоговуюдлин>, то
Я (Е) - HHWB) < г— 1 = Я (HWA) — 1 <
<Я (EQ) — I <К{Е) + l — l =1 (Е),
Таким образом, здесь должны везде стоять знаки равенства, и
X (Е) == г — 1. Но тогда
X {EQ) <?.(?) + 1 == г - X {HWA) - к {HEQA) < X (?Q),
и снова везде должны стоять знаки равенства, так что X (EQ) = г.
Так как EQ ^ W =Dy то справедливость свойств (i) и (ii)
теперь легко устанавливается. Действительно, слоговая длина
класса HWA совпадает со слоговой длин )й представителя D этого
класса. Далее, ?i (Q) == 1, так что D ^ EQ=^W оканчивается
^-символом и является ^-представителем.
Итак, нами установлена справедливость индуктивных
предположений для двойных смежных классов слоговой длины л
Покажем, что мы построили регулярную р-йсширенную шрейе-
ровскую систему представителей по подгруппе Я. По условию (i)
б-представитель двойного класса не может оканчиваться б-обра-
зующим. Поэтому условие (iii) гарантирует, что если с конца
б-представителей убрать б-символы, то получится система
представителей двойных смежных классов по соответствующему мод)/Лю.
Осталось показать, таким образом, что наша система является
расширенной шрейеровской системой. По условию (iii) каждый
представитель имеет вид DP, где D есть б-представитель двойного
класса, а Р содержится в шрейеровск(^й системе представителей
правых классов группы X по подгруппе D"" HD П X, Если Р ф I,
то DP оканчивается б-символом х^, Р = Р'х^, Так как Р'
содержится в той же шрейеровской системе, то DP' и DP являются
б-представителями. С другой стороны, если Р = 1, т. е. наш
представитель D является представителем двойного класса, и если
D оканчивается е-символом, то, по условию (ii), D является 8-пред-
ставителем. Тогда, по условию (iii), D=EQ, где Е—представитель
двойного класса по модулю (Я, Y) {Y—подгруппа группы G,
порожденная е-образующими), а Q—шрейеровский представитель
правого класса группы Y по подгруппе Е~ НЕ П У- Далее, по условию
(i) Х{Е) =^Х {HDY) < X (D), так что Q?^ \. Поэтому, если Q =
= Q'l/'f то EQ н EQ' являются е-представителями, как это
требуется от расширенной шрейеровской системы.
Итак, нами доказано существование регулярной расширенной
шрейеровской системы представителей группы G по подгруппе Я.^
Следствие 4.9.1 (теорема Куроша о подгруппах). Каждая
подгруппа Я свободного произведения G групп А, В и С является
свободным произведением некоторой свободной группы F и
пересечений подгруппы Я с nodepyntuiMU, сопряженными с А, В и С,

254 Гл. 4. Сиоболчые произведения
Доказательство. Выпишем представление подгруппы
И при помощи переписывающего процесса Куроша, использующего
регулярную расширенную шрейеровскую систему. Для
доказательства нашего утверждения тогда будет достаточно
воспользоваться теоремой 4.9 вместе со следствием 4.2 и леммой 4.8. В
действительности, мы можем быть совсем точными; если выбрана
регулярная расширенная шрейеровская система представителей
смежных классов группы G по подгруппе Я, то свободная группа F
порождается те.\ш элементами ^V • *N~\ у которых б-представи-
тель N не равен свободно представителю *Л^, а остальные
свободные множители группы Н имеют вид Н (] DiXDr\ где Di есть
6-представитель двойного смежного класса по модулю (Я, А').^
С л е д с Т в и е 4.9.2. Пусть группа G является свободным произведем
нием групп А, В и С с объединениями из множителя А, т. е.
каждое опредаляющев соотношение либо состоит из однотипных
образующих либо имеет вид U (ах) = V (Ьд) или иЦах) = Щфд- Тогда
произвольная подгруппа Н группы G, тривиально пересекаюищяся
с каждой подгруппой, сопряженной с Ау В или С, является свободной
группой.
Доказательство. Выпишем представление подгруппы
Н при помощи переписывающего процесса Куроша, использующего
регулярную расширенную шрейеровскую систему, в которой
каждый нейтральный представитель совпадает с соответствующим
а-представителем. Более того, определяющие слова группы G
вида и (av) V ф^д" и Uiav) W^ (с^) будем трансформировать а-пред-
ставителями; слова же, состоящие лишь из б-образующих,
трансформируются, как обычно, б-представителями.
Так как образующие группы Н вида ^n,x определяют элементы
из пересечения Н с подгруппой, сопряженной с А, В или С, все
они должны определять единицу. Поэтому их можно ввести в
представление группы Н в качестве определяющих слов, и при
вычислении т от слова выписывать лишь /-символы. Если определяющее
слово R группы G состоит из б-симвОоЮв, а N является б-предста-
вителем, то, как и в доказательстве следствия 4.8, легко видеть,
что можно считать слово t{iMRN~^) состоящим лишь из s-символов.
Но все s-символы являются у нас определяющими слова^ми, и,
следовательно, т (NRN'^ ) ничего не добавляет к представлению
группы Н.
Пусть теперь К является а-представителем. Рассмотрим
т{К'и(а,)^Уф^)-' ^КЛ
По причинам, указанным выше, достаточно рассматривать лишь
те /-символы, которые порождаются концами слов /С, U (av),
V Fя)~^ и началами слов U (av). V Fц)~\ К~\ Таким образом,
x(/(.t/(av)•K(fe^Г^/(~^)

4.3. Теоремы о подгруппах 255
можно заменить на
^К • tau; • taff^rj. • t&.Krn * h(KrfV-U ' *К^'
Так как А^ является а-представителем, а а-представители являются
также нейтральными представителями, то tf^ и Ц/^^/) содержатся
среди определяющих слов. Таким образом, предыдущее слово
эквивалентно слову
что дает определяющее соотношение
так как KUV^^K"^ определяет единицу.
Итак, определяющие соотношения в нашем представлении
группы Н имеют вид SN,x = I, /л^ == 1 или /.V = ^Af. Применяя
преобразования Тице, получаем, что группа Я свободна. ^
В качестве применения первого следствия покажем, что в
свободном произведении любая неразложимая (в свободное
произведение) неединичная подгруппа должна лежать в некоторой
подгруппе, сопряженной с сомножителем, или же пересекатр каждую такую
подгруппу по 1 и быть бесконечной циклической группой, В самом деле,
если Н — подгруппа свободного произведения G, то Н является
свободным произведением свободной группы и своих пересечений
с различными сопряжениями сомножителей группы G. Так как Я
неразложима, то лишь один из этих множителей может быть
отличным от 1. Поэтому, если Я не содержится в подгруппе,
сопряженной с сомножителем G, то Я должна быть свободной группой.
А так как она неразложима, Я является бесконечной циклической
группой. Более того, если А — свободный множитель группы О
и W ? Gy то в этом случае мы получим Я Л М^Л W~^ = 1. В
самом деле, пусть D есть «-представитель двойного класса элемента
W в регулярной расширенной шрейеровской системе; тогда W =»
- hDa, где А 6 Я, а е Л и ЯП WAW"' = Я П hDaAa~''D~'fr' -
-= Я П hDAD-'h"' ^h{H {] DAD~)/i'^ Поэтому если Я П
П Й^Л W~ =7^1, то и Я П DAD~ Ф 1, что противоречит
предположению о том, что Я не содержится в подгруппе, сопряженной с
сомножителем. Итак, произвольная неразложимая подгруппа
свободного произведения содержится в некоторой подгруппе,
сопряженной с сомножителем либо тривиально пересекается с каждой
такой подгруппой и является бесконечной циклической.
Из этого последнего результата следхет, что если
G =3 Л^ * Л, * ... * Л^ = Si * В., * ... * S^.
где Ai и В)—неразложимые неединичные группы, то п ^ т и
группы Bi, ..., Вп можно расположить в таком порядке Bj^, ..., Bf^,

266 Гл. 4. Свободные произведения
что Bj^ ^^ Ai, В самом деле, предположим сначала, что группа
Afi не является бесконечной циклической. Так как группа Af^
неразложима, то она содержится в подгруппе, сопряженной с
некоторой Bj, скажем, с Bj^, Тогда группа В/^ не может быть
бесконечной циклической, и потому должна лежать в подгруппе,
сопряженной с некоторой А (у скажем, с Ai^^, Таким образом, А^^ содержится
в подгруппе, сопряженной с Ai,^. Но любой свободный множитель
пересекает подгруппу, сопряженную с другим множителем, по 1,
Потому /ft == /^ и мы имеем Л^ s TBiJ'"^ и В ^^ WA^W'~\
откуда А^ S {TW) А^ {TWr\ Но А^ П {TW) А^ {TWr^ - 1
всегда, кроме случая, когда TW б Л^. Таким образом, W = Т"^ а^^
и Б/ ^ WAj,W~^ = T-'a^A^ai^T = T'^AJ. Но тогда А^ s
s TBj^ Т s Л/1, откуда Л^ == TBj^ Т . Итак, каждый сохмно-
житель Ль не являющийся бесконечной циклической группой,
сопряжен с подходящим сомножителем Л/;. Легко видеть, что тем
самым установлено взаимно однозначное соответствие мел<ду
сомножителями Ai и fij, не являющимися бесконечными циклическими
группами. Пусть Лх, ..., А^ {г К п) — сомножители из Л^ а
Bi, .,., Вг — сомножители из Bj, не являющиеся бесконечными
циклическими группами. Нормальный делитель N, порожденный
в G подгруппами Лх, ..., Л^, является также нормальным
замыканием подгрупп Bi, ..., б^. Так как Лг+i * ... ^ А^ ^^ GIN с^
c:ii Br^i * .,. * В^, GIN является свободной группой ранга п— г
и ранга т — г. Поэтому п = т, и бесконечные циклические группы
Лг-fb ..., А^ изоморфны группам Br+i, ..., В^^.
В качестве другого применения первого следствия покажем,
что если группы Л и В неразложимы и Я ^т^ 1, то и группа G =
= * (А, В, Н, К, ф) неразложима. В самом деле, пусть G == С ^ D,
где группы С и D отличны от 1. Так как А и В — неразложимые
подгруппы группы С * D, то каждая из них или лежит в подгруппе,
сопряженной с С или с D, или пересекает каждую такую подгруппу
по 1 и является бесконечной циклической. Пусть одна из этих
Групп, скажем. Л, не является бесконечной циклической. Тогда Л
лежит в подгруппе L, сопряженной с С или с D, скажем с С. Так
как В П Л ^^ Н Ф \,то В должна пересекать эту подгруппу
нетривиально, так что обе подгруппы Л и В лежат в L. Но тогда
и вся группа G содержится в L, что противоречит предположению
D =7^ 1. Таким образом, обе группы Л и В должны быть
бесконечными циклическими; но в этом случае Н лежит в центре группы
С?, Так как центр группы С * D тривиален, то группа G
неразложима.
Дальнейшие применения приводятся в задачах, Ссылки можно
найти в конце раздела 4.4.

4.3. Теоремы о подгруппах 257
Задачи
1. Пусть G — (а, Ь\ а^, Ь^) и Н — коммутант группы G. Пусть также а есть
а-образующий, b есть р-образующий. Найти регулярную расширенную шрейе-
ровскую систему представителей смежных классов группы G по подгруппе Н
и выписать, пользуясь этой системой, представление группы Н.
2. Пусть О =1 (а, Ь\ а^) , и пусть Н является Х^-вербальной подгруппой
группы G. Найти регулярную расширенную шрейеровскую систему представителей
смежных классов по подгруппе Я, если а есть а-образующий, b есть ^-образую-
ш,ий. Пользуясь этой системой, выписать представление группы Н.
3. Пусть G =. <ai, «2» ^1> ^2*» ^ij ^1 = <^2^2» ^?) и Я — нормальный делитель
группы G, порожденный элементами ai и «з- Пусть ai и oig ^сть ос-образуюш,ие, а bi
и ^2 бсть Р-образуюи;ие. Найти регулярную расширенную шрейеровскую систему
представителей смежных классов по подгруппе Н. Пользуясь этой системой,
выписать представление группы Н.
4. Пусть G == (Ху у у z; л:^, yz = ху^ гх == г/г), а Я — коммутант группы G.
Найти регулярную расширенную шрейеровскую систему представителей по
подгруппе Я в следующих случаях:
(i) X, у 1л г являются а-, Р- и 7-образующими соответственно;
(ii) xviy являются а-образующими, а z является р-образующим;
(iii) XWZ являются а-образуюи;ими, а у является р-образующим;
(iv) X является а-образующим, а у и z являются ^-образующими.
Получить представление подгруппы Я, используя каждую из этих регулярных
расширенных шрейеровских систем.
5. Пусть G =3 (а, Ь; а^, Ь^) и Я — подгруппа, порожденная элементом а.
Показать, что слова Fа)^, (ba)^b образуют систему как а-, так и Р-представителей
в регулярной расширенной системе представителей по подгруппе Я (где а- и Р-об-
разующими являются а и b соответственно). Пользуясь этой системой, выписать
представление группы Я.
6. Показать, что слова в любой расширенной шрейеровской системе свободно
несократимы. [Указание. Если Uxx~^V — представитель, то и Uxx~^^
является представителем. Если х есть 6-образующий, то Цхх''^, Ухи U являются Р-пред-
ставителями.]
7. Показать, что в любой расширенной шрейеровской системе представителей
правых смежных классов группы Л * В * С по конечной подгруппе а-, Р- и 7-
представители должны составлять одну и ту же систему представителей правых
смежных классов по этой подгруппе. [Указание. Если ^Кф *К, то элемент
^а/^ имеет бесконечный порядок. Поэтому ^К ;=? */С и по предыдущей задаче ^К «=
- */(. Аналогично, ^К^*К^ '^К. ]
8. Пусть D есть а-представитель двойного класса в регулярной расширенной
шрейеровской системе представителей смежных классов группы G по подгруппе
Я. Пусть Ш {а^)\ — множество всех таких а-слов, что DU является а~представи-
телем правого смежного класса по Я, лежащего в HDA. Показать, что Ш (tz^)\ —
шрейеровская система представителей правых смежных классов группы Л по
подгруппе Л П D~~^HD. [Указание. Тот факт, что {U {а^)\ — система
представителей, следует из леммы 4.7. То, что система Ш {аЛ — шрейеровская, следует из
определения расширенной шрейеровской системы.]
9. Пусть D есть а-представитель двойного класса в регулярной расширенной
шрейеровской системе представителей смежных классов группы G по подгруппе
Я. Пусть W — представитель слова W в шрейеровской системе представителей
правых смежных клас'Сгов группы А по подгруппе А П D~^HD, которая
дополняет D до а-представителей правых классов по Я, лежащих в HDA (см. предыдущую
задачу).
9 В. Магнус и др,

258 Гл. 4. Свободные произведения
(a) Показать, что DWaa:^^{DWa) тогда и только тогда, когда Wa ;=? Wal
Поэтому количество пар DW и а таких, что DWa ^:^ ^(DWa), равно j^ — I,
где Jq — индекс подгруппы Л П D~^HD в группе А.
(b) Показать, что j^^ является также числом правых смежных классов по Я,
лежащих в двойном классе HDA.
(c) Показать, что число таких s-символов s^ » что ^Ка fsn ^ (Ка), равно
/— /д, где / — индекс подгруппы Н в группе О, а j^ — число классов по двойному
модулю (Я, Л) в группе G.
(d) Показать, что в любом представлении подгруппы Я, полученном при
помощи регулярной расширенной шрейеровской системы с а-, Р- и ^-представителями,
хотя^ бы
3/ - /^ - /в - 1с
s-символов можно удалить из множества образующих.
[Указание. Для (а) воспользоваться леммой 4.7 и тем, что количество
пар W и а, для которых Wa;» Wa, в обычной шрейеровской системе на единицу
меньше индекса подгруппы. Для (Ь) снова воспользоваться леммой 4.7. Для (с)
просуммировать j^^ — 1 по всем смежным классам группы G по двойному
модулю (Я, А). Для (d) воспользоваться теоремой 4.8.]
10. Показать, что конечная подгруппа свободного произведения А * В
должна лежать в подгруппе, сопряженной с А или с В. [Указание.
Воспользоваться теоремой Куроша о подгруппах и тем, что собственное свободное
произведение не может быть конечной группой.]
11. Показать, что если G^A*B,apnq — два перестановочных элемента
из G, то или р и q содержатся в некоторой подгруппе, сопряженной с А или с В,
или же р и q являются степенями одного и того же элемента. [Указание.
Рассмотреть подгруппу, порожденную элементами р и q. Воспользоваться теоремой
Куроша о подгруппах и тем, что собственное свободное произведение не может быть
абелевой группой.]
12. Пусть в группах А и В нет элементов порядка 2. Показать, что
произвольная бесконечная нециклическая подгруппа Я группы Л * В, удовлетворяющая
тождественному соотношению, должна содержаться в подгруппе, сопряженной с
А или с В. [Указание. Воспользоваться теоремой Куроша о подгруппах и
тем, что собственное свободное произведение двух групп, порядки которых больше
двух, не удовлетворяет никакому тождественному соотношению. ]
13. (а) Показать, что каждая подгруппа свободного произведения
циклических групп сама является свободным произведением циклических групп.
(Ь) Показать, что каждая подгруппа свободного произведения абелевых групп
сама является свободным произведением абелевых групп.
[Указание. Воспользоваться теоремой Куроша о подгруппах.]
14. Пусть Р — такое свойство групп, что
(i) Р — абстрактное свойство ^), т. е. всякая группа, изоморфная группе со
свойством Р, сама обладает этим свойством;
(ii) Р — наследственное свойство, т. е.-всякая подгруппа группы со свойством
Р сама обладает этим свойством;
(iii) Р — целочисленное свойство, т. е. аддитивная группа целых чисел
обладает этим свойством.
Свойство Р назовем AHlX-свойством, а группу, обладающую свойством Р, назовем
Р-группой.
(А) Какие из следующих свойств групп являются АНЦ-свойствами?
1) быть циклической группой;
2) быть свободной группой;
3) быть конечной группой;
) Такое свойство называют также инвариантным.— Прим. перев.

4.3. Теоремы о подгруппах 259
4) быть бесконечной группой;
б) не иметь элементов конечного порядка;
6) не иметь элементов порядка два;
7) быть абелевой группой;
8) быть нильпотентной группой;
9) быть разрешимой группой;
10) быть конечно порожденной группой;
И) состоять из целых чисел;
12) иметь свободную подгруппу конечного индекса;
13) иметь абелеву подгруппу конечного индекса;
14) иметь циклическую подгруппу конечного индекса;
15) иметь единственный корень л-й степени для всякого элемента, для
которого такие корни вообще существуют.
(В) Показать, что если Р есть АНЦ-свойство, то по;"-'^^^""'^ '^^ободного
произведения Р-групп является свободным произведением P-ip^im.
[Указание. Для (В) воспользоваться теоремой Куроша о подгруппах.]
15. Подгруппа А группы G называется ретрактом группы G, если существует
гомоморфизм G на Л, тождественный на Л.
(A) Показать, что подгруппа Л является ретрактом каждой из
следующих групп G:
(a) G =Л X В;
(b) G == Л * В;
(c) G порождается подгруппами Л и 5, причем i5~ такой нормальный
делитель в G, что Л П В == !;
(d) G z= * (А, Б, Я, /С, ф), где К является ретрактом группы В;
(e) G =z * (А, А, Ну И, тождественное отображение).
(B) (Такахаси). Показать, что если Л —- ретракт группы G и G (W^J •—
произвольная вербальная подгруппа группы G, то G (W^) (] А = А (W^).
[Указание. Для (а), (Ь) и (с) отобразить а^ в а^^Ь в 1, где элементы а^
порождают подгруппу Л, а элементы Ь^ — подгруппу В, Для (d) отобразить Л на
Л тождественно, а Б на /С ретрактно. Для (е) отобразить оба сомножителя Л на
группу Л тождественным образом. Для доказательства равенства G (U^„) f] А s=z
с= Л (W^) заметить сначала, что Л (W^), очевидно, содержится в G (W^) П Л.
С другой стороны, при ретрактном отображении G на Л подгруппа G (W^) f\ А
останется неподвижной, так как содержится в Л и отображается в Л (W^),
тап как G(\V^) отображается в Л iW^), Таким образом, G (W^) f] А
содержится в Л {W ), и равенство справедливо.]
16 (Такахаси). Показать, что если группы Л, В и С удовлетворяют
тождественным соотношениям W^^ (Х^^) = 1 и G=Л*B*C, toG (W^) является
свободной группой. Показать, в частности, что коммутант свободного произведения
абелевых групп — свободная группа. Показать, что если Л, В и С — конечные
группы, порядки которых делят п, то G (Х"^) является свободной группой.
[Указание. Так как G (W ) — нормальный делитель группы G, то пересечение
G (W^) с каждой подгруппой, сопряженной с Л, Б или С, равно 1; действятельно,
G (W^) П Л = Л iW^) = 1, G {W.J f]B==B (W^) = 1 и G (^^ nC= С (W^) «
= 1. Теперь воспользоваться теоремой Куроша.]
17. Показать, что если Л (IF,^), В {WJ и С (W^j) — свободные группы и G =¦
= Л * В * С, то G {W J — также свободная группа. [Указание.
Воспользоваться теоремой Куроша о подгруппах и задачей 15 (В).]
18. Показать, что если подгруппы А и В являются ретрактами группы G ==»
= ¦ (Л, В, //, Ку ф) и если А н В удовлетворяют тождественным соотношениям
IFjj {х^) = 1, то G {WJ — свободная группа. [Указание. Воспользоваться
еадачей 15 (В) и следствием 4.9.2.)
9*

2С0 Гл. 4. Свободные произведения
19. Показать, что коммутант каждой из следующих групп является свободной
группой:
(а) (X,
(Ь) <x,
(с) <х,
(d) <г,
у, г\ л:^, f/^, 2б>;
г/, 2, К); xi/ = f/x, zw =» шг>;
(/, 2, Wy Ху ==> f/X, Zay = Ш2, x2f/3
s, /, X, f/, 2, ш; /-s = sr, ^x = x^
[Указание. Для (a) и (b) воспользоваться задачей 16. Для (с)
воспользоваться задачами 15 (А) (е) и 18. Для (d) воспользоваться задачами 15 (А) (е)^
18 и 17.]
20. (а) Показать, что группы А = (а; а^) и В = (Ь; Ь^) являются ретракта-
ми группы
(b) Показать, что коммутант Н группы G является свободной группой.
(c) Выписать представление группы Я, используя регулярную расширенную
шреиеровскую систему и вычислить ранг Н (а является а-образуюи;им, а b
является Р-образуюш.им).
[Указание. Для (а) воспользоваться задачей 15 (А) (е), для (Ь) —
задачей 18. Для (с) взять элементы [al'b^] в качестве Р-представителей, и [fa^] —
в качестве а- и нейтральных представителей, где /• = О, 1, s = О, 1, 2, 3,]
21. Пусть G = (йу Ь; а^, Ь^^ (ctbY) и Я — коммутант группы G. Найти
регулярную расширенную шреиеровскую систему представителей смежных классов по
подгруппе Я, где а есть а-образуюш.ий, b есть Р-образуюш.ий и нейтральные
представители совпадают с Р-представителями. Используя эту систему, найти
представление группы Я и показать, что Я— свободная абелева группа ранга 2. [У к а -
3 а н и е. Показать, что все s-символы равны единице, так что при вычислении
% (L (a6)^L""^) достаточно выписывать только ^cимвoлы. Более того, так как
нейтральные представители совпадают с Р-представителями, можно ограничиться
/-символами, порождаемыми а-образуюп],ими. ]
22. Показать, что если группа G является свободным произведением
бесконечного множества неразложимых нетривиальных групп Аг, Л а, ..., а также G
является свободным произведением бесконечного множества неразложимых
нетривиальных групп ^1, ^2, ..., то между группами Ai и Bi можно установить взаимно
однозначное соответствие так, чтобы соответственные группы были изоморфными.
[Указание. Использовать те же аргументы, что и в случае конечного числа
сомножителей Л/.]
23. Показать, что следуюш,ие пары групп не изоморфны:
(a) <х, у, г\ х2, ^3^ 2,^^ ^ ^^^ ^^ щ ц2^ ф^ ^i^ uv==^vu);
(b) <х, у, z\ X*, е/2, (xi/J) и {и, у, w\ W*, v^y aD = va}\
(c) <Х, Уу 2, W\ ху = уХу ZW = WZ) и (S, ty и, V'y st^^f^Sy UV==VU).
^ [Указание. Воспользоваться однозначностью разложения группы в
свободное произведение неразложимых групп. Кроме того, учесть, что конечная
группа, абелева группа и группа с нетривиальным центром неразложимы.]
24. Группа G называется вполне неразложимой, если каждая ее
фактор-группа неразложима (в свободное произведение). Показать, что следующие группы
вполне неразложимы:
(a) конечная группа;
(b) абелева группа,
J(c) простая группа,
(d) периодическая группа,
(e) нильпотентная группа.
Показать, с другой стороны, что следующие группы, являясь неразложимыми,
мог^т не быть вполне неразложимыми;

4.3. Теоремы о подгруппах 2G!
(О группа с нетривиальным центром,
(g) группа * {А, В, Ну Ку(^)у ще Н ф 1, а Л и В неразложимы.
[Указание. Для (е) заметить, что единственным свободным
произведением, удовлетворяющим тождественному соотношению, является группа
(а, Ь; a^j 6^). Но она не будет нильпотентной, так как, например, элемент
(... [[л, Ь], Ь],... Ь], где имеется п элементов 6, равен (аЬ)^^ при нечетном п и
(&fl)^" при четном /г, как легко установить индукцией. Для (!) и (g) взять груп
пу <а, Ь; а} = 6^): она неразложима, но ее фактор-группа (а, Ь; а^, Ь^)
очевидно, разложима.]
25. Пусть группа G порождается неразложимыми подгруппами Л и Б, при
чем А С] В '^ 1. Показать, что О неразложима. [Указание. Пусть G =
«= C*Dy глеС,ОФ\. Если одна из групп Л или Б (скажем, А) не является бесконеч
ной циклической, то она должна содержаться в подгруппе, сопряженной с С или
cD, например, в КСК"^, Но Л П ^ *5^ 1, так что КСК^^ (\ В Ф \, Так как груп
на В неразложима, то В ^ КСК'~'\ откуда G ^ КСК"^, что противоречит
предположению ОФ 1. Поэтому Л и В — бесконечные циклические группы. Но тогда
Л П ^ лежит в центре группы G, так что G обладает нетривиальным центром
и потому неразложима. ]
26. Пусть группы Л и В вполне неразложимы. Показать, что группа G ==
== * (Л, В, Я, /С, ф) вполне неразложима тогда и только тогда, когда нормальное
замыкание подгруппы Я в Л совпадает с Л или нормальное замыкание
подгруппы/С в fi совпадает с В. [У к а з а н и е. Пусть ЯsLи/<^M, гдeLи^f —
собственные нормальные подгруппы в Л и В соответственно. Если N —
нормальный делитель группы G, порожденный подгруппами LnM, то GIN c^AIL*BIM,
и потому группа G не является вполне неразложимой. С другой стороны,
пусть нормальный делитель, порожденный в группе Л подгруппой Я, совпадает
с Л. Рассмотрим произвольный нормальный делитель R группы G. Фактор-группа
GIR порождается подгруппами ARIR и BR/R. Так как группы Л и В вполне
неразложимы, то их фактор-группы AR/R и BR/R неразложимы. Если Н ^ R,
то пересечение AR/R f) BR/R содержит подгруппу HR/R Ф \, и G /R
неразложима согласно задаче 25. Если H^R, то и нормальное замыкание подгруппы
Я в Л должно содержаться в /?, т. е. Л с R. Поэтому AR/R = 1, и G/R = BR/R-—
неразложимая группа.]
27. Показать, что группа G = »и(Л, В, Я, /С, ф) вполне неразложима, если
выполнено одно из следующих условий:
(a) Л — простая группа, В вполне неразложима и Н Ф \.
(b) Л — конечная симметрическая группа, В вполне неразложима и Я
содержит нечетную подстановку.
(c) Л вполне неразложима, В вполне неразложима и Я — неинвариантная
подгруппа простого индекса в Л.
[Указание, Воспользоваться задачей 26.]
28. Пусть
Л =<% ап\ R{a^)* .. .>,
В=л<6^, ... , V, R{b^), .. .),
и пусть подгруппы я и /с групп л и в порождаются элементами ар^ а; , | ,.., а^
" ^/о> ^р+1' •••' ^п соответственно. Пусть, далее, изоморфизм ф группы Я на
группу /С определяется отображением
ф: ai-i-bi (/ =3 р, р + 1, ... , п).
Если G := * {А, В, Н, К, ф), то обозначим через / подгруппу группы G,
порожденную элементами
«<7' %-\.\ ^П ^<7' ^g+V • • • . ^Г'
Наконец, пусть N — нормальный делитель группы О, порожденный элементами

262 Гл. 4. Свободные произведения
0) Показать, что GIN с^ А относительно отображения а^ -> а^,
(и) Показать, что Л^ является свободной группой.
(ill) Показать, что J С] N является свободным множите»чем группы N.
[Указание. Для (li) воспользоваться тем, что N С\ А =х N f] В==1^
и следствием 4 9 2. Для (iii) показать, что регулярную расширенную шрейеров*
скую систему представителей смежных классов группы G по подгруппе Л^ можно
получить, взяв в качестве а-представителей шрейеровскую систему
представителей группы А по единичной подгруппе (так что, если смежный класс NW (а^)
содержит элемент из /, то его представитель является словом в образующих Од,
^^4-1» •"' ^^^ " получив ^-представители заменой каждого а-символа а^ ва-предста-
вителе на Ь^\ в качестве нейтральных представителей взять а-представители.
Показать, что если слово W определяет элемент из N, то при вычислении т(\^)
можно выписывать лишь /-символы, соответствующие ^-представителям Показать^
что подгруппа J С\ N порождается всеми теми ^символами tц, у которых р-пред-
ставигель U является словом в образующих Ь^, ^^^.^.i, ..¦» br.]
4.4. Группы с одним определяющим соотношением
В этом разделе теория свободных произведений и свободных
произведений с объединенной подгруппой при1меняется к изучению
групп, обладающих представлением с одним определяющим
словом. В частности, для таких групп здесь решается проблема слов*
Основным результатом этого раздела является теорема о
свободе:
Теорема 4.10. Пусть R (aj, ag, *.., а^)—циклически
несократимое слово в образуюи{их а^, а^у ..., а^, содержащее а^. Тогда
в группе
G = (ai, аз, ... , а^\ R [а^, а^, ... , а^))
элементы ai, ag, ..., Un-i являются свободными образующими
порожденной ими подгруппы. Иначе говоря, каждое нетривиальное
соотношение в группе G должно содержать образующий а^.
(Замечание: Группа G может иметь бесконечное множество
образующих.)
Доказательство. Мы воспользуемся индукцией по
длине определяющего слова R, Если длина слова /? равна 1 или
R содержит только образующий а^, то группа G является, очевид-
'но, свободным произведением свободной группы со свободными
образующими ^1, ..., ап-1 и циклической группы, порожденной
элементом а^, и наше утверждение справедливо.
Предположим теперь, что утверждение теоремы выполняется
для всех групп с одним определяющим словом, длина которого
меньше г, и что длина слова R (ai, «2, ..., aj равна л
Можно считать, что в слово R входит, кроме а^, хотя бы еще
один образующий. С этого момента удобно переименовать наши
образующие так, чтобы не употреблять индексов (вскоре индексы
нам понадобятся для других целей). Вместо а^ будем писать /,
вместо ai, ag, .•. будем писать 6, е, ...

4 4 Группы с одним определяющим соотношением 263
Разумеется, не все образующие группы О обязаны входить
в слово /?, так как, например, группа G может быть бесконечно
порожденной, а в R входит лишь конечное число образующих.
Образующие группы G, не входящие в R, свободно порождают в
G свободную подгруппу /с, и группа G является свободным
произведением группы к и группы, порожденной образующими G,
входящими в слово R, и определяемой в этом множестве
образующих единственным определяющим словом R. Например, если
G==(b, с, d, е, t\ Ь^сЧ^),
то
G=F, с, t\ b44^)*{d, е).
Поэтому для доказательства того, что образующие группы G,
отличные от ^, свободно порождают свободную группу, достаточно
показать, что образующие группы G, отличные от ^ и входящие
в слово /?, свободно порождают свободную группу. (Здесь мы
пользуемся следствием 4.1.2, утверждающим, что если С S Л и D S j8,
то подгруппа, порождаемая в Л * В подгруппами С и D,f совпадает
с С * D>) Мы можем, следовательно, считать, что все образующие
группы G входят в слово R,
Случай 1. Слово R содержит лишь образующие but, а о^ {R) —
сумма показателей по i в слове R — отлична от нуля. Пусть
b'^ns,R'tST\
i
тогда
k = о, Ф') = 2 CTfc (R'^) = B 8,) О, {R)
Так как а^ {R) Ф О, то ^е^ = 0. Отсюда fe=0, и поэтому b имеет
бесконечный порядок в группе ( Ь, t\ R {b, f) ) и свободно
порождает свободную подгруппу.
Случай 2. Слово R содержит лишь образующие Ьи t.aOf (R) = 0.
В этом случае мы изучим поведение элемента b в некоторой
подгруппе группы G, а именно,— в нормальном делителе N, порожденном
в G элементом Ь, Для получения представления группы Л^
воспользуемся переписывающим процессом Рейдемейстера — Шрейера. В
качестве шрейеровских представителей смежных классов по
подгруппе N возьмем элементы t^, где k принимает все целые
значения. Слово W F, /) определяет элел^ент из N тогда и только тогда,
когда (Г^ {W) =0; представителем W слова W в выбранной системе
будет ^^, где k ^ о^ {W). Подгруппа N порождается элементами
Ь^ = t'br' = t''b. Tb-\

264 Гл. 4. Свободные произведения
Если СЛОВО W определяет элемент из iV, то его выражение х (W)
через образующие Ь^ можно получить следующим образом:
каждый символ Ь^ (8 = ± 1) из IF заменяется на Ь% где s—сумма
показателей у ^символов, стоящих в слове Мелева от заменяемого
символа Ь®. Так, например,
Простой проверкой легко убедиться в том, что если R (Ь, f) является
циклически несократимым словом в образующих b и t, то и х (/?)
будет циклически несократимым словом в образующих 6^^, fe = О,
±1, ±2, ... (см. задачу 2 к разделу 2.3).
Так как / входит в слово R, но при вычислении т (/?) не
заменяется никаким символом Ь^^, то длина слова т {R\ в образующих Ь^
меньше длины слова R в образующих b w t. Поэтому к слову т (R)
или произвольному слову такой же длины можно применить наше
индуктивное предположение. Пусть
т(/?) = Р(..., &„ ...).
Тогда N порождается элементами Ь^ и имеет определяющие слова
Р,,=:х{ГШ~^) = Р{..., &^+,„, ...),
Л/:=(..., б_ь &о> ^, ..•; ... Р-,, Ро, ^ь ...). (I)
Чтобы сделать дальнейшие рассуждения более понятными^
рассмотрим пример. Пусть
G = F, t\ r^brntb-^-^).
Тогда т (R) = й_1 blbr^ и
N = (..., 6-2, 6-1, Ь,, &!, 6^, ... ; Ь^2Ь1ф^\ b_,blbV\ ЬДЬТ\ ...).
Группу N можно весьма простым способом построить из групп
Л^т = (б-1+m, 6^» bm+ll ^-i+m^m^m+l).
Так как определяющее слово группы Л/'„, короче определяющего
слова группы G, то можно воспользоваться индуктивным
предположением; поэтому любые два Ь-образующих группы Л^^^ свободно
порождают свободную группу. Поэтому группа
Л/ол = Ф-и К, &1, Ь^; Ь_Ф1ьг\ bj)]bj^)
является свободным произведением групп Nq w N^o, объединенной
подгруппой, свободно порождаемой в Nq и N^ элементами 6о и Ь^,
Ввиду того, что Л^о S Л^о,ь элементы 6_i, 6^ свободно порождают
свободную подгруппу и в группе Л^ол, откуда группа
Л^_и = (Ь_2, 6-1, 6о, 6i, Ь,; b^2blibV\ Ь^Ф1ьт\ Ь.Ь'фТ')

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 265
является свободным произведением групп Af-i и No,\ с объединенной
подгруппой, свободно порождаемой в группах N^\ и No,\
элементами Ь-1, bQ. Аналогично, поскольку Ni S Nq,\ s N^\,\ и,
следовательно, элементы b^ и b^ свободно порождают в Л^_ы
свободную подгруппу, группа
iV_i,2= (fc-2, &-I, Ьо, bi, b^, Ьз5 Ь_ф1ф^\ Ь^Ф1ЬТ% Ьф\ЬТ\ b^blbi^)
является свободным произведением групп Л^-ы и Ni с
объединенной подгруппой, свободно порождаемой в каждой из этих групп
элементами Ь^ и Ь^. Продолжая таким образом, мы получим
последовательность групп
где N-^i,iy — свободное произведение групп N^t-^i^ и N^i с
объединенной свободной подгруппой, а N^t^^i — свободное
произведение групп N-i,i и Л^^+1 с объединенной свободной подгруппой.
Более того, в силу задачи 18 к разделу 1.3 группа N является
объединением этой последовательности групп. Поэтому Nq ^ N, и
так как, по индуктивному предположению, ^о порождает
свободную группу в Nq, то Ьд порождает свободную группу и в группе N,
Наконец, &о определяет элемент b группы N ^ G, так что b
порождает свободную группу в группе G. <
Мы возвращаемся теперь к общему случаю группы G, заданной
представлением A). Так как Р (..., bj^, ...) = i: (R) и R содержит
^символы с нулевой суммой показателей и является циклически
несократимым, то в слово Р должны входить хотя бы два символа
bf^ и bq, k ^ q. Действительно, если бы в R содержался
единственный блок из Ь-символов, то слово R имело бы вид R = i^№P,
где а или 7=7^0иа+7=0, и следовательно, не было бы
циклически несократимым. Поэтому в R входят хотя бы два блока из
Ь-символов, разделенные степенью /, т. е. R содержит подслово
вида b^t^P, где сх, р, ^ =7^ 0. Если сумма показателей у ^символов,
стоящих в R слева от Ь^^ равна k, то это подслово заменяется на
Ь^ /?^_1_р. Так как слово т {R) = Р циклически несократимо w k +
+ Р ?= ^, то элементы Ь^ и Ь^, где q = k + р,— искомые fc-обра-
зующие, входящие в Р. Пусть \х vi М — соответственно
наименьший и наибольший индексы у Ь-символов, входящих в Р\ тогда
|я < М.
Определим для каждого целого / группу
N^ = (b^+z, Ьд+/+1, ... , Ьм+1\ Pi). B)
Как и в рассмотренном примере, строим далее группы No,u Л^-ы ...
Группа
Л^о,1 = {Ь^, б^х+ь ... , Ьм> Ьм^и Яо» ^i)

266 Гл. 4. Свободные произведения
является свободным произведением групп Nq я N^ с объединенной
подгруппой, свободно порождаемой в каждой из этих групп
элементами Ь^^и -•, Ьм (среди которых нет Ь^ из группы Nq и
Ьм+х из группы A/'i). Аналогично, поскольку Л^о ^ ^^^o,i и элементы
&и>...,^л1-1 свободно порождают свободную группу в Л^о» группа
A^^i.i-= (Ь^_1, Ь^х, ..-, Ьл1, Ьм+\; Р-и Роу Pi)
является свободным произведением групп Л^_1 и Мол с
объединенной подгруппой, свободно порождаемой в этих группах элементами
Ьц, ..., Ьм+ь Продолжая таким образом, мы получим
последовательность групп
Л/^о ^ ^о,\ ^ Л/^1л е •.. ^ Л^-/+1.^ ^ Л/_/,/ ^ Л/_/,,+! S ... , C)
где N-u — свободное произведение групп N^i и N-i-{-\,i с
объединенной свободной подгруппой, а iV_/,i+i — свободное
произведение групп N-.i,{ и iV/^-i с объединенной свободной подгруппой.
Из задачи 18 к разделу 1.3 следует, что группа yV является
объединением групп этой последовательности. Так как каждая группа
Ni из B) является подгруппой некоторой группы из C), то каждая
группа Л^^ является подгруппой группы Л^. Так как \х <. М^ то
любой образующий группы Ni порождает свободную группу. Но
Ьо лежит в некоторой Л^^ и потому порождает в iV свободную группу,
откуда b порождает свободную группу в группе G.
Случай 3. Слово R содержит хотя бы три образующих 6, с, t
и сумма показателей в /? по некоторому образующему, отличному
от /, равна нулю. Пусть, например, а^ {R) = 0.
Предположим, что некоторое слово U (Ь, с, ...), не содержащее
/, равно единице в группе G. Так как для определяющего слова
R F, с, ,,., О группы G Оь {R) «= О, то а^ {U) = 0. Поэтому
естественно рассмотреть нормальную подгруппу N группы G,
порожденную элементами б', ¦.,, t, т* е. всеми образующими группы G,
кроме Ь, Слово W ф, с, ..., t) определяет элемент из N тогда и
только тогда, когда сумма показателей по fe в нем равна нулю. Для
получения представления группы N воспользуемся переписывающим
процессом Рейдемейстера — Шрейера, причем шрейеровсная
система представителей будет состоять из элементов 6*, где
k^—произвольное целое число. Обозначим элементы
b^cb-\ ... , b'tb-^ (fe = О, ± 1, ±2, ...)
через
^ft» ... , /ft
соответственно. Так как представителем слова W{b,Cy ..., t)
является Ь^, где k ^ Gf^{W), то каждый символ с^, ..., /® слова
V ф, с, *,,, t)y определяющего элемент из Л^, заменяется в процессе
т на
Cki • • • > f'ki

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 267
где h — сумма показателей по 6 в начальном отрезке слова 7,
предшествующем заменяемому символу. Например,
т (bctb'^^H) = c^t^dlto.
EciH х(/?) - Р (..., Cfe, ...> tf,, ...), то
Поэтому
,V=- (.,., с-и Cq, ^1, ... , t-u /о. ^1» ••• I •- » ^-ь ^0, ^ь ...). D)
Покал<ем, что образующие группы Л/, отличные от tj^y свободно
порождают свободную группу. Снова, как и в случае 2, поскольку
R циклически несократимо, то х (R) ^ Р является циклически
несократимым словом от CJ^y ,,,, tJ^, Далее, так как t входит в R,
то некоторый образующий tj^ входит в слово Р. Пусть [х и М —
соответственно наименьший и наибольший индексы у ^cимвoлoв,
входящих в Р. Пусть, наконец, группа Л^^ порождается всеми
образующими из D), кроме тех образующих /д, у которых fe < [х + t
или & > М + /, и определяется единственным определяющим
словом
Я {... , Ck-^-i, •.. , /л+ь ...)»
т, е.
iV^ »=(.., , с-1, ^0» ^1» • • • > Wb W^+b •.. ¦ tM-i-h Pf}' E)
Так как образующий b входит в /?, то длина слова х (R) = Р
меньше длины слова i?, и мы можем применить к группе Ni наше
индуктивное предположение. Следовательно, подгруппа группы
jV^, порожденная всеми образующими из E), кроме t^^ (или
tM+i)i порождается этимр? элементами свободно. Поэтому группа
Л^о.1 »=(.•. » С-.1, Со, Ci, ... , ti,i, t^iJ^i, ... , (м, ^Mfil Pq, Pi)
(где содержатся все образующие группы Л^, кроме тех tf^, у
которых k <С IX или fe > Л1 -f 1) является свободным произведением
групп Nq и Ni с объединенной подгруппой, свободно порождаемой
а каждой из этих групп элементами ..., с-и ^o»^i» ••»» Wi» »••» ^м
Так как Nq s iVoj, то элементы ..., c_i, Cq, Ci, ..., Z^.» Wi» ••
...,/,vf_i свободно порождают в группе Л^ол свободную подгруппу,
н потому группа
Л^-1,1 »=(..., С-1, Со, Ci, . t . , t^^u • • • . ^М, ^M+ll Я-Ь ^0» ^l)
является свободным произведением групп N-^\ и ЛГол а
объединенной подгруппой, свободно порождаемой в каждой из этих групп
элементами .¦., с-ь Со, Ci, ..., /^г, ..., (м-х* Продолжая таким
образом, построим последовательность групп
^0 S No,i S Л^_1л S Л/_1,2 S • • • S А^-^+1.; S A^-/,f s A^-.^/+i s ... ,
где группа уУ_/,^ является свободным произведением групп N^i и
J^-i-i-\,i с объединенной свободной подгруппой, а Л^-/,;+1 —*

268 Гл. 4. Свободные произведения
свободным произведением групп N^tj и Ni^\ с объединенной
свободной подгруппой. В силу задачи 18 к разделу КЗ группа N
является объединением групп этой последовательности. Так как
образующие из E), отличные от /-символов, по индуктивному
предположению, свободно порождают в группе Л^^ (и, в частности, в Л^о)
свободную подгруппу и так как Л^о ^ Л/', то образующие из D),
отличные от /-символов, свободно порождают свободную подгруппу
в группе N.
Возвращаясь теперь к нашему слову U (b, с, .,.), не
содержащему t и равному единице в группе G, видим, что если U (Ь, Су ...)
непусто и циклически несократимо, то т (U) — циклически
несократимое слово в символах с^, ..,, г^^, не содержащее образующих Z^^,
Так как а^, (U) = О, то в слово U должен входить некоторый
образующий группы G, отличный от Ь, так что х (U) — непустое слово,
определяющее единицу группы ЛГ, Это противоречит тому, что
образующие группы Л^, отличные от tj^, являются свободными. Итак,
каждое нетривиальное соотношение в G должно содержать /, и
образующие группы G, отличные от /, являются свободными.
Случай 4. Слово R содержит хотя бы три образующих Ь, с, t, и
сумма показателей в /? по каждому образующему, отличному от
/, не равна 0.
Попытаемся свести этот случай к предыдущему. Для этого
изменим группу G (вкладывая ее в ббльшую, как мы увидим ниже,
см. следствие 4.10.2). Пусть а^, {R) = р, а^ {Щ = у, где Р, у ф^»
Для получения нулевой суммы показателей сначала заменим
группу
G=(b, ^, ... , /; R{b, с, ..• , 0)
на группу
Е= {X, с, ... , и R [х\ с, ... , /)).
Очевидно, что группу G можно гомоморфно отобразить в группу Е^
полагая 6-> л:'^, с-> Су ..., /-> /. Поэтому, если мы сумеем
показать, что элементы х,с, ... (среди которых нет t) свободно порождают
свободную подгруппу в группе Е, то этим же будет установлено,
что элементы й, с, ... (без t) свободно порождают свободную
подгруппу в группе Е, так как множество элементов является свободным,
если гомоморфные образы этих элементов составляют свободное
множество. Применяя к группе Е преобразования Тице, мы
получим нулевую сумму показателей. Для этого заменим с на ух-^, т. е.
положим у = сх^. Таким образом,
Е^{х, с, .... t, у\ R{x^, с, ... , t), у^ с/),
? = (X, с, ...,/, у; R (х^, с, ... , О, ^ = У^"^), F)
Е=^(х, у, ... , t; R (л:^, ух~^, ... , /)).
Элементы Ху с, . . . составляют свободное множество
образующих тогда и только тогда, когда элементы х, ^/, ... (без t)

4.4 Группы с одним определяющим соотношением 269
составляют свободное множество образующих (так как у = сх^,
то второе множество образующих получается из первого
преобразованием Нильсена). Теперь
o,{R{x\ ух-\ ,.., /)) = Py-.yP = 0.
Далее, слово R {х"^, ух~^, ..., t) после приведения к циклически
I есократимому виду должно содержать /. В самом деле, если бы
ьосле циклического сокращения слово R (х^, ух-^у ..,, t) не
содержало tj то и слово R (х^у (сх^) х-^у ..., t) после циклического
сокращения не содержало бы /, так что R (х'^у с у ..., /) не
содержало бы /, поскольку оно циклически несократимо. Но тогда t не
входило бы и в слово R фу Су ,.., t). Итак, после циклического
сокращения слово R (х'^у ух-^у ..., t) должно содержать t.
К несчастью, длина слова R (х^, ух-^у ..., /) может оказаться
больше длины слова R (Ь, с, ..., t). Тем не менее это увеличение
происходит за счет новых х-символов. Применяя рассуждения
случая 3 к представлению F), рассмотрим нормальное замыкание ^)
Л^ в группе Е элементов г/, ..., t. Тогда а:-символы из слова
R {х'^у ух^^у •-, О не порождают никаких символов в слове
т {R (х^, ух^^у ..., t))y и потому длина т {R) меньше длины /?, и
мы придем к требуемому результату так же, как и в случае 3.
Так как случаи 1—4 исчерпывают все возможности, то
справедливость нашего утверждения для группы G установлена. ^
Следствие 4.10.1. Каждая конечно порожденная группа
с одним определяющим соотношением является подгруппой
некоторой группы с двумя образующими и одним определяющим
соотношением.
Доказательство. Если Н является свободной группой,
результат очевиден. Пусть
Я^Fо, 6i, ..., b,y Р{..., &„ ...)),
где Р — циклически несократимое слово, и все образующие
группы Я входят в Р. Положим R (Ь, t) = Р (..., t^bf-^, ...). Если,
как и в случае 2 доказательства теоремы 4.10, N является
нормальным делителем группы G = Ф, t\ R фу t)) ,
порожденным элементом Ь, то группа N задается представлением A) и
содержит подгруппы Л^^, заданные в B). При i ^ Q N^ ^ Ну так что
Н является подгруппой группы G.
Если слово Р не содержит всех образующих группы Я, заменим
один из образующих; входящих в Р, произведением некоторого
нового образующего и всех образующих, не входящих в Р. Тогда
группа Я будет задаваться одним определяющим словом,
содержащим все образующие. -^
^) То есть нормальный делитель из Е, порожденный элементами у, . , / —
Прим, пер ев.

270 Гл, 4. Свободные произведения
Для иллюстрации следствия 4.10.1 пусть
Н =х (X, у, 2, ш; xHjzyz"^).
Сначала положим г = uw. Тогда
Н = {х, у, и, w; x^yuwyuT^ir^).
Если теперь положить х = Ь^^, у = Ь^, и = &2> ^ == ^з» то
- bHbtbtbr'bm'''r^b''h~-\
Следствие 4.10.1 является частным случаем более общего
результата о том, что произвольная счетная группа с г определяющими
соотношениями является подгруппой некоторой группы с двумя
образующими и г определяющими соотношениями (Б. Нейман
[12]).
Следствие 4.10.2* Если
Е = (х, с, ,.. , t; R(x^, с, ... , t)), уфО,
то подгруппа G группы Е, порожденная элементами х^» с, ,,,> t,
имеет представление
G==(b, с, ..., t; R(b, с, ..., 0),
где Ь соответствует элементу х"^, с—элементу с, .*.,
t—элементу t группы Е.
Доказательство. Если в слово R (Ь, с, ..,, f) входит
только образующий &, то наш результат является простым
следствием теории свободных произведений. Если же R {Ь, <:,..., t)
содержит некоторый образующий, отличный от Ь, то b имеет
бесконечный порядок в группе G = (Ь, с, ..., t\ R (b, с, ..., fj) по
теореме 4.10. Поэтому группа
(X. Ь, с, ..., t; bx"\ R{b, с, ...0) G)
является свободным произведением бесконечной циклической
группы с образующим X и группы G, где подгруппы, порождаемые
соответственно элементами х^ и Ь, объединяются относительно
изоморфизма х"^ ~> Ь. Преобразованием Тице можно удалить b из
представления G) и получить
(X, с, ... , t\ R{x'^, с, ... , t)},
что совпадает с Е. Таким образом, G) также является
представлением группы Е, и подгруппа, порожденная элементами b == х^,
с, ..., t, имеет требуемое представление. (Следует отметить, что
следствие 4.10.2 допускает прямое, более простое доказательство,
не использующее теорему 4,10.) ^
Прежде чем, вооружившись теоремой о свободе, перейти к
решению проблемы слов для групп с одним соотношением, мы применим

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 271
конструкцию, использованную для доказательства теоремы о
свободе, к доказательству нехопфовости некоторой группы с двумя
образующими и одним определяющим соотношением. (Можно
показать, что эта группа является простейшим примером конечно
порожденной нехопфовой группы).
Рассмотрим группу
G = (Ь, t, Г^ЬЧ - Ь^). (8)
Группа G нехопфова, т, е. изоморфна своей истинной
фактор-группе. В самом деле, присоединив соотношение b « (Ь-^^-^Ь/)^ к
представлению (8), получим
Н == F, t\ Г^ЬЧ ^Ь\ & п= ф-'Г^ЫУ). (9)
Введя преобразованием Тице образующий с ^ b~H~^bt, получим
Н «(Ь, t, с; Г'ЬЧ = b^ b = {b^h-'^bt)\ с - b-'r^bt),
откуда
Я - F, t, с; Г^ЬЧ = 6^ 6 =» с\ с - b^^-^bt).
Исключая теперь Ь, приходим к представлению
Н - (/, с; Г^сН = с\ с = с~^Г^с2/).
Изменяя вид второго определяющего соотношения, получаем
Я х= (t^ с; Г^сЧ - с\ Г^сЧ = с^),
и так как первое соотношение выводимо из второго, то
H^(c,t; Г^сЧ^с^). A0)
Таким образом, группы Я и G изоморфны. Покажем, далее, что
равенство b «« (b-^H^^bt)^ не выполняется в группе G, и потому Я
является истинной фактор-группой группы G. Для этого удобно
от соотношений перейти к словам, равным единице. Группа О
задается единственным определяющим словом f^^b^tb-^, а слово
b {b~-H~^bt)~'^ определяет элемент из нормальной подгруппы Л^»
порожденной в G элементом Ь. Как и в случае 2 доказательства
теоремы о свободе, получаем представление группы Л^:
iv - (..., b^u bo, &i> •. •; • • - tLxb^\ blbv\ ...).
После переписывания в образующих группы N слово b (b'-4~^bt)^^
превращается в
bo фЛ-хГ' - bo (b^^b^i)-^ (b^^b-i)^^ « bob^ibobrlbo.
Группа Nq «« (b_i, bo; Ь1.ф'^^), как показано в случае 2
доказательства теоремы 4.10, совпадает с подгруппой, порожденной
в Л^ элементами b_i и Ьд. Далее,
;Vo -= (Ь_ь bo; bii « ЬЬ

272 Гл. 4. Свободные произведения
является свободным произведением двух бесконечных циклических
групп 0-\) и Fо) с объединенной подгруппой,
порождаемой элементом bli в первом сомножителе, и элементом &о — во
втором. Из свойств свободного произведения следует, что слово
b^^bZ\bQbZ\bQ не может определять единицу группы N^; в самом
деле, любые два соседних элемента последовательности Ьо>
bZ}, &о, 6Zi, 60 лежат в различных сомножителях {Ь-\) и
(Ьо) и каждый из них не входит в объединенную подгруппу. Итак,
группа G, заданная в (8), изоморфна своей истинной
фактор-группе Я, заданной в (9) и A0), и потому G не является хопфовой
группой.
Другим применением теоремы 4.10 и метода ее доказательства
является доказательство теоремы о сопряженности для групп с
одним определяющим соотношением.
Теорема 4.11. Пусть G == ( ^i, *.., а^; R («i, ..., aj )
и Н = (^1, .,,, а^\ S (Bi, ..., а J }. Отображение av ->- av опре-
деляет изоморфизм группы G на группу Н тогда и только тогда,
когда слова R (%, ..., ^J и IS (^i, ..., ап)]^ сопряжены в свободной
группе с образуюи^ими а^, ..., а^ (где г = 1 или —1).
Доказательство. Заметим прежде всего, что
утверждение теоремы эквивалентно следующему: два элемента i? (ai, ..., а^)
и S (^1, ..., а J порождают одну и ту же нормальную подгруппу
в свободной группе F с образующими aj, ..., а^ тогда и только
тогда, когда R и S^ сопряжены в f, где 8 = 1 или —1. В самом деле,
пусть Т и и— нормальные делители группы F, порождаемые
элементами R и S соответственно; тогда G с^ FIT и Н с^ F/U. Если
некоторое отображение группы F индуцирует изоморфизм между
фактор-группами F/T и F/Uy то оно должно отобразить
нормальный делитель Т на нормальный делитель f/, и поскольку изоморфизм
между G и Н индуцируется тождественным отображением группы
Fy то Т = и. Таким образом, отображение av -^ av индуцирует
изоморфизм между G и Н тогда и только тогда, когда R и S
порождают один и тот же нормальный делитель в f, и эквивалентное! ь
установлена.
Очевидно, что если R и S^ {г == \ или —1) сопряжены в группе
Fy то R и S порождают одну^и ту же нормальную подгруппу в Fy
так что отображение av -^ av индуцирует изоморфизм G на Н.
Намного труднее показать, что если av ->- av индуцирует
изоморфизм между G и Я, то /? и S® сопряжены при г = 1 или —1.
Так как R и S в этом случае порождают одну и ту же нормальную
подгруппу в Fy то легко понять, что R свободно равно произведению
элементов, сопряженных с S и S~\ а S свободно равно
произведению элементов, сопряженных с R и R~\
Любая попытка показать на языке сокращений в свободной
группе Fy что если R является произведением двух или более элементов,

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 273
сопряженных cS или5~^, то 5 не может быть произведением
сопряженных с R и /?"~^, наталкивается на значительные трудности.
Вместо этого мы воспользуемся методами теории групп с одним
соотношением и индукцией по минимуму длин слов R и S. Очевидно,
можно считать слова R и S циклически несократимыми и
предполагать, что длина слова R не превосходит длины слова 5.
Предположим сначала, что длина слова R равна нулю, т. е.
R — пустое слово. Тогда G — свободная группа с образующими
а^, ..., а^. Так как G c:=i Н относительно отображения Uv ~> av
и S (ui, ..., an) равно единице в Я, то 5 — пустое слово, и наше
утверждение в этом случае справедливо.
Пусть в R или в S входит лишь один образующий, скажем, в
R входит лишь а^. Тогда R = an, ^ т^ О, и потому а^, имеет порядок
k в группе G. Так как G с^ Н относительно отображения av -^ ^v,
то элемент an имеет порядок й и в группе Я. Если бы слово S
содержало какой-то образующий, отличный от а^^, то по теореме о
свободе порядок an был бы бесконечен. Поэтому в 5 входит только
an, и так как порядок апВ Н равен fe, то S = «п , 8 = 1 или — 1.
Таким образом, наше утверждение справедливо и в этом случае,
и ]\юл<но считать, что каждое из слов R и S содержит хотя бы два
образующих.
Заметим, далее, что слова R и S должны состоять из одних и тех
же образующих. В самом деле, пусть, скажем, an входит в R, но
не входит bS. Тогда, по теореме 4.10, элементы ^i, ..., an~i свободно
порождают в G свободную группу, хотя в группе Я элементы
ai, ..., ап-\ удовлетворяют нетривиальному соотношению S «= 1.
Это противоречит тому, что отображение av -> av индуцирует
изоморфизм G на Я. Наконец, если сумма показателей в слове R по
некоторому образующему равна нулю, то и в слове 5, являющемся
произведением сопряженных с R и R~ , сумма показателей по
тому же образующему равна нулю.
Случай 1. Сумма показателей в слове R по некоторому
образующему, скажем, по an, равна нулю, w ъ R входит некоторый другой
образующий, скажем, ^i.
Здесь снова удобно переименовать наши образующие так, чтобы
освободить индексы 1, ..., п для других целей. Мы заменим а^
на /, а «1, ^2, ... на Ь, с, ... Таким образом, R, а значит, и S, имеют
нулевую сумму показателей по t.
Пусть нормальные делители N и L групп G и Я соответственно
порождаются элементами Ь^ с, .., Для получения представлений
групп N и L можно воспользоваться переписывающим процессом
^ Рейдемейстера — Шрейера, взяв в качестве представителей
элементы t^, ft = О, ± 1, ± 2, ... Обозначим /^6/-^, t^ct'^, ... через
^k, С/г, .,. соответственно. Если

274 Гл 4 Свободные произведения
-t{.''5r') = Q,(..., Ь„ ..., с„ ...),
ТО
yV = (.. . , Ь_ь Ьо» ^1, ..., ^-ь Cq.c^,.,,; .,. , Р_ь Яо» ^i» • • ) A О
L -=(... , Ь_ь Ьо, bi, ... , с_1, ^0» <^1, .. . ; ... Q-b Qo> Qi» .. •) ll2)
Так как отображение t-^ t, b-^b^ c-^Cy ,., индуцирует
изоморфизм группы G на группу Н, и bj^ ^ i^bf-^, с^ = t^ct"^, ...,
то отображение Ь^ -> &;^, с^ -^ Сд, »„ индуцирует изоморфизм между
группами Л^ и L. Но слова Pq (..., Ь^, ..., С/^, ...) и [Q^ (.,., 6^^, ...
..., Cft, ...K® (s = 1 или — 1), вообще говоря, могут не быть
сопряженными: если, например, R »= tbf^ с, и S ^ t'^^cib, то Я^ =«
= т (У?) = ^1^0, но Qo = '^ E) *= ^-1^0. Тем не менее Pq сопряжено
с Qi = т {tSt~^) = cjbi. Таким образом, следует попытаться
показать, что Р^ сопряжено с некоторым Q/, где 8 =« I или —1,
а / — целое число.
Так как R содержит fc, S также должно содержать Ь. Пусть
JI и М — соответственно наименьшее и наибольшее значение
индекса у ^-символов, входящих в Ро» й S и D — соответственно
наименьшее и наибольшее значения у ^-символов, входящих в Qo-
Тогда Q]x-6 содержит йд и не содержит Ь-символов с меньшими
индексами. Мы покажем, что Pq сопряжено с Сд-о, где 8=1
или — 1.
Для этого покажем сначала, что М — наибольший индекс у
Ь-символов, входящих в слово Qm.-6. Так как наибольшим
индексом у Ь-символов, входящих в Q|Li,-6, является fx —^б +D, то
достаточно показать, что \х. — Ь + D ^ М, т. е. М — |li««D — б.
Предположим, что М — |ы > D —^ б (интуитивно, Р содержи!
больше образующих Ь^^ чем Q). Мы покажем, что элементы &а, ...
..., &D вместе со всеми образующими группы L из A2), отличными от
&ft для ^ < б или ^ > Ь, свободно порождают в L свободную
группу, что будет противоречить соотношению Qo = 1 в этих
образующих. Так как N о=:: L при отображении Ь^^ -^ Ь^^ с^ -> с^^ ..., то
достаточно показать, что все образующие группы Л^ из A1), кроме
тех Ь^^ у которых й < б или k> D, свободно порождают в N
свободную группу.
Если
A^i =»(... , Cj,y ...» Ьд+/, ... , Ьм^Гу Pi), A3)
то
Nb-\x =(..., Cj^, . . . , Ьб, . . . , 6б4-(Л1-д); ^6-ц)»
Так как М — |л > D — б, то б + (М — jli) > D, и по теореме
4 10 элементы
... , (:^, ... , Ьб, ... , &z>

4 4 Группы с одним определяющим соотношением 275
свободно порождают в /Уб-ц свободную группу* Рассмотрим,
далее, группу
yV5~jLi-I = (•••» ^/г1 • • • » ^б-Ь • • • » ^6+(M-|i)-i; ^б-ц—])•
По теорсхме 4.10 элементы ..., с^, ..., &б, ..., &б+м-м,-1 свободно
порождают в Л^б-)ы-1 свободную подгруппу и, следовательно, группа
Мб-[1-\,б-\1 =(•••» ^ft, . • • » Ьб_1, ... , Ьб+м-ц! Рб-м.-1> ^б~|и)
является свободным произведением групп Л^б-д-! и Л^б-ц с
объединенной подгруппой, свободно порождаемой в каждой из
?)тих групп элементами ..», с^, ..., &б, ..., ^б+м-^х-ь Так как
Л'б-М—! и Л^б-ц являются подгруппами группы Nd-n-l, б-!Я,
мы можем сначала построить группу Nd-ix-u 6-ix-^i — свободное
произведение групп N^-ix-i, б~ц и yV6-iLi+i с объединенной
подгруппой, свободно порождаемой в каждой из этих групп
элементами ..., Cj^, ..., &б+ь .-м ^6-fM-ji, а затем группу iV6-n~2.6-M,+i —
свободное произведение групп Л^б-д-2 и Л^б-д-ь б-д+i с
объединенной подгруппой, свободно порождаемой в каждой из этих групп
элементами ..., Cj^y ..., Ьб-ь •••, ^б-т-г. Продолжая таким образом,
получим цепочку групп, объединением которой является группа
N. Поэтому Л^б-щ является подгруппой группы Л^, и элементы
... с^, ..., йб, ..,, bo свободно порождают в /V, а значит, ив L,
свободную группу. Это противоречит тому, что единичное слово Qq
содержит лишь образующие ..., Cf^, ..., Ьб, ..., bo Таким образом, М —
— [I < D — б, и аналогично, D — б < Л1 — fx. Отсюда М — fx =
= D — б. Точно так же можно показать, что если образующий Cj^
входит в слово Pq, то разность между наибольшим и наименьшим
ипдeкca^ш, с которыми Cj^ входит в Pq, та же самая, что и для
Qo, и аналогично для остальных образующих группы О
(отличных от t).
Мы знаем теперь, что и Pq и Qu,_6 содержат образующие &ц, ...
*.., Ьм. Далее, если Pq содержит образующие Сп, ..., Сеу то Qn-б
должно содержать c^+t, .,,, ce+i, так как Е — ц должно быть
разностью между максимумом и минимумом с-индексов в Q^-a.
На самом деле / = 0; чтобы убедиться в этом, следует показать,
что если i ф О, то элементы Ьр,, ..., им, ^л» •••» ^я и все остальные,
отличные 01 Ьу^^ и с^, образующие группы L свободно порождают
а L свободную группу. Доказательство этого аналогично
предыдущему рассуждению и оставляется читателю (см. задачу 31). Поэтому
в слово Ро» кроме образующих Ь^^ ..., Ь^, Су^^ ..., се, должны
входить и другие Ь- или б;-символы, что противоречит определению
чисел |1, М, т], ?. Следовательно, для каждого символа Ь, с, ...
минимальное и максимальное значения индексов у символов,
входящих в слово Яо» совпадают с соответствующими числами для
слова Qu_6. Но группы
(&ц, ... , Ьм, Сл> ... , ^я, ... ; Ро) A4)

276 Гл. 4. Свободные произведения
(здесь содержатся все образующие группы N, кроме тех &^^, для
которых fe < |ы или А > М, и тех с^у для которых k <Сц или
k>E) и
(Ьцу ... , &м, ^т1» • • • , ^я, ... ; Qii-б) A5)
(здесь — те же образующие, что и в A4)) являются подгруппами
групп N и L соответственно. Поэтому отображение ^^ -> bj^, с\ ~>
->Cfe, ... определяет изоморфизм группы A4) на группу A5),
Так как длина слова Pq меньше длины R, то, по индуктивному
предположению, Ро сопряжено с Bд-б (е = 1 или — 1) в свободной
группе с образующими бщ, ,.., ^м, Ст), ..., се, ... Таким образом,
Р^^ ^^ lFQ^-6ir~\ где W — слово в образующих Ь^, ..., Ьм,
бг^, ..., Се. ... Пусть IF = т ((/), и так как Pq = '^ (^)» <?^i-6 ^^
=г: т (/^^-^ S/*^"^), то по известным свойствам процесса Рейде-
мейстера — Шрейера
Но если т перерабатывает два слова в свободно равные слова, то
и исходные слова должны быть свободно равны (см. задачу 2 к
разделу 2.3). Поэтому R сопряжено с S®, и рассмотрение случая 1
закончено.
Случай 2, Слово R содержит хотя бы два образующих, скажем,
Ь и /, сумма показателей по каждому из которых отлична от н}ля.
Сведем этот случай к предыдущему. Пусть о^ (R) = р, а^ (R) =t
= а и р, а =7^ 0. Сначала введем такой образующий л:, что Ь = х^,
затем — такой г/, что t = ух~^\ Тогда вместо групп G w Н
получим группы
(X, Су •.., у\ /?(Л с, •.,, УХ~^)) A6)
и
(X, с, ,.. , у; 5(х°^, с, .,. , f/A:"'^)) A7)
соответственно. Так как каждое из слов /? (&, ^, ..., ^) и 5 (&, с, ...
..., /) является произведением элементов, сопряженных с другим
или с обратным к другому в свободной группе с образующими
fe, с, ...,/, то слова R (х^, с у ..., ух-^^) и 5 (л;^, с у ».., ух~^)
порождают один и тот же нормальный делитель в свободной группе с
образующими Ху Су ...у у. Поэтому отображение х-^х, с--^Су ...
...у у -> у индуцирует изоморфизм групп A6) и A7). Так как сумма
показателей по л; в слове R {х^, с, *.., ух'^^) равна нулю, она равна
нулю и в слове 5 (х^, с, ..., ухг^). Определяя N и L как
нормальные подгруппы групп A6) и A7) соответственно, порождаемые
элементами Су ..., у у можно получить представления этих групп,
аналогичные (И) и A2). Так как из х-символов слова R (л^, Су ...
..., ух~^) в процессе т ни}^^ких символов не возникает, то длина
1Г {R {х^у Су ..., ух~^'')) меньше длины R. Поэтому мы можем снова»

4.4. Группы G одним определяющим соотношением 277
как И В случае 1, воспользоваться индуктивным предположением
и прийти к заключению, что слово R {х^, с, ,,., ух"^^) сопряжено
с IS (х^у Су ,.,, ухг^)]^ в свободной группе с образующими х,
с ..., f/. Полагая t = ух'^^ и используя то, что отображение л: ~> л:,
с-^ с, ,*,у t-^ ухг^ индуцирует изоморфизм между свободной
группой с образующими х, с, .»,, у и свободной группой с
образующими X, с, ..., /, мы видим, что слова R (х^, Су ..., О и
[S (х^у с, ¦.., t)Y сопряжены в свободной группе с образующими х,
с, ..., t. Наконец, так как слова /? F, с, ..., О и S (Ь, с, .,., О ВДК-
лически несократимы, циклически несократимыми будут и слова
R {х^у Су ..., О и S (л:^', Су ..., t). Будучи сопряженными в
свободной группе с образующими л:, с, ..., /, слова R {х^у с, ..., ^) и
[5 (х^у Су ..., /)Р должны быть циклическими перестановками друг
друга. Так как R (х^у с, ..., i) — слово в символах х^, с у ..., ty
то при циклической перестановке слова [S {х^у с, ..., t)Y для полу-
чения R никакой блок х^ не может «расколоться». Поэтому слова
R F, Су ..., /) и [S (&, с, ».., t)f являются циклическими
перестановками друг друга.
Этим завершено рассмотрение случая 2 и, вместе с тем,—
доказательство теоремы 4.11. ^
Сле'дствие 4.11. Если G =«(%,,,., а^; И (ai, ,.., aj),
где k> \ и V непусто, то порядок элемента группы G,
определяемого словом V, равен k.
Доказательство. Так как при циклическом сокращении
слово V заменяется сопряженным словом, можно считать слово V
циклически несократимым. Очевидно, порядок d элемента V из
G делит число k. Так как V равно единице в G, то И лежит в
нормальном делителе свободной группы с образующими ^i, ...,ал>
порожденном элементом V - По теореме 4.11 слово V сопряжено
в этой свободной группе с V или с К" . Но так как слова И и V^
циклически несократимы, их длины должны совпадать, и
следовательно, d — k, ^
В качестве другого применения теоремы 4.11 покажем, что
группа G == (^, Ь; R (^, Ь}) тогда и только тогда является
свободной абелевой группой ранга 2, когда слово R (а, Ь) сопряжено
со словом aba-^b-^ или с обратным к нему, В самом деле, пусть
(а, 6; R (ау Ь)) —свободная абелева группа ранга 2.
Рассмотрим гомоморфизм группы А == (а, Ь\ aba-^b^^) на
группу G = (а, Ь; R [а, 6)), определяемый отображением а->а,
b -^ Ь, Так как свободная абелева группа является хопфовой,
то этот гомоморфизм должен быть изоморфизмом. По теореме 4.11
слово R (ау Ь) сопряжено с {aba-^b~^)'^^.
Следующим применением теоремы 4.10 и метода ее доказатель-
ства является описание групп с одним определяющим
соотношением, обладающих элементами конечного порядка.

278 Гл 4. Свободные произведения
Теорема 4.12. Группа G = (ai, ..., а^] R (^i, -.», а^))
обладает элементами конечного порядка тогда и только тогда,
когда в свободной группе с образующими «i, ..., а^ слово R является
k'li степенью, k> \, некоторого непустого слова V.
Доказательство. Пусть G = (а^, ¦.., «„; V ) , где
V непусто и й> 1. Тогда, по следствию 4.11, слово V определяет
в группе G элемент порядка fe, так что G обладает элементами
конечного порядка.
Докажем обратное утверждение. Предположим, что в группе
G = (ai, ...,а^; /?(ai,..., aj)
есть элементы конечного порядка. Индукцией по длине слова R
покажем, что R является истинной степенью в свободной группе
с образующими %, ..., an- Если R имеет длину 2 или содержит
лишь один образующий, то справедливость утверждения очевидна.
Предположим, что наше утверждение верно для любой группы
с одним определяющим словом, длина которого меньше длины /?•
Тогда очевидно, что слово R можно считать циклически
несократимым.
Случай L Предположим, что сумма показателей в слове R по
некоторому входящему в него образующему, скажем, по а^^, равна
нулю. Слово R содержит по крайней мере еще один образующий,
скажем, а^. Снова заменим а„ на /, а а^, «2, ... на Ь^ с, ,.. Каждое
слово, равное 1 в группе G, является произведением элементов,
сопряженных с /? и /?"~ , и потому имеет нулевую сумму
показателей по t. В частности, если U определяет элемент порядка d, то
<j^{U ) = d * Oi (U) = 0. Следовательно, U определяет элемент
из нормального делителя N группы G, порожденного элементами
Ь, Су ... Если т — переписывающий процесс Рейдемейстера —Шрей-
ера, использующий представители Л, а символы Ь,;,, с,д, ...
обозначают элементы Гй^'", ,,. , ^^^сГ'", .,., и Р^ = х (t^Rt-^),
то
Л^ -=(... , Ь^и h. ^1, ... , с^и с^.с^у ... ; . •., Р^ь Ро» Ръ ...).
Далее, если (я и Л1 — соответственно наименьшее и наибольшее
значения индексов у Ь-символов, входящих в Ро» то определим группу
Л^; = (... , с_ь ^0' ^1» • • • > ^и+^э • • • э ^м+ь Pi)' A8)
Затем построим группу
Л^о.1 ==(..., С-и Cq, Ci, ... , &ц, ... , 6^+1) ^0» Pi)y
являющуюся свободным произведением групп Л^о и N^ с
объединенной подгруппой, свободно порождаемой в каждой из них элементами
• • • > ^—Ь ^0' ^1> • • • » ^1^1+1» • • • > ^М"

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 279
Продолжая таким образом, мы построим последовательность групп
No S Л/0,1 ^ Л/-.1.1 S Л^-.1.2 S - • S N^i^ii S iV_/,, s Л^-л^+1 s ...
A9)
Наконец, группа N является объединением групп этой
последовательности. Так как Л^ обладает элементами конечного порядка,
элемент конечного порядка есть и в одной из групп
последовательности A9). Но эти группы получаются из групп A8) при помощи
повторенной несколько раз операции свободного произведения
с объединенной подгруппой» По следствию 4.4.5 одна из групп A8)
должна содержать элемент конечного порядка. Так как группа
Л^о изоморфна группе Nt (относительно отображения &,„ -^ bm+i
для ^1 < m < М и с^ -^ Ст-^1 для любого целого т), то элементы
конечного порядка должны быть и в группе Л^о- Поскольку длина
слова Pq меньше длины слова /?, то, по индуктивному
предположению,
^о(.-., Ь^, ..., с^, ,..)^W'{..., b^, ..., с,,, ...)
для некоторого /^ > 1. Но тогда по свойству процесса т
/?(Ь, с, .... t)<^P,(..., ГЬГ^, ..., ГсГ"\ ...)«
«1Г'(..., rw-^ ..., ГсГ"", ...)«F^&, ^, ..., О,
где У (Ь, с, ... , /) = Г(... , ГЫ^, ... , ГсГ'\ ...). Таким об-
разОхМ, наше утверждение в этом случае доказано.
Случай 2. В этом случае сумма показателей по каждому
образующему в слове R ф, с, ,.., t) отлична от нуля. Снова рассмотрим
группу
(X, ^, ..., ^; R{x^, е, ..., /)), B0)
где а = Gi (R). Эта группа является свободным произведением
группы G и бесконечной циклической группы (х), в которых
подгруппы, порождаемые элементом b в первой группе и
элементом х^ — во второй, объединяются относительно отобрал<ения
х^ ->- Ь, Так как группа G обладает элементами конечного порядка,
то элементы конечного порядка есть и в группе B0).
Преобразования Тице позволяют задать группу B0) представлением
(X, с, ..., у; R(x^, с, ..., ух-^)), B1)
где р = а^ (/?) и / заменен на ух^^. Так как определяющее слово
в B1) имеет нулевую сумму показателей по х, то, рассматривая
нормальный делитель группы B1), порожденный элементами
Су ¦.., у у мы сможем показать, как и в предыдущем случае, что
R (хР^, с, ..., ух )=V^ {х,с, ..., у) для некоторого^> 1 в свободной
группе с образующими х, с, ..., /. Полагая у = tx^y получим, чта
^ (•'^''^» с, ,..,/)= 5^ (х, г, ...,/) в свободной группе с образующими

280 Гл. 4. Свободные произведения
jc, С, ,»,, /. Осталось показать, что слово S {х, с, .»*, t) совпадает
с некоторым словом W (х", с, ,,., t). Так как слово R (Ь, с, ..., t)
циклически несократимо, то слово R {х^, с, *,., /) также является
циклически несократимым. Поэтому и слово 5 (х, с, ..., /) должно
быть циклически несократимым и, следовательно, является
одновременно началом и концом слова R (х^, с, ..., t). Очевидно, что
для каждого блока л:^, стоящего b»S между образующими,
отличными от X, показатель г\ должен делиться на а. Далее, начало и
конец слова *S являются соответственно началом и концом слова
R {х^у с, ..., О» так что показатель г] степени х^, стоящей в начале
или в конце слова 5, также должен делиться на ц. Итак,
R (х^, с, ... , /) = Q^ (х'^, с, ... , О
и, окончательно,
/?(Ь, с, ..., t)=^Q'{b, с, ..., t)
в свободной группе с образующими Ь, с, ,.., ^» ^
Следует заметить, что в свободной группе с образующими
ai, *.», а^ мы можем узнать, является ли данное слово R (%, ..., ?/г)
истинной степенью. В самом деле, представим R в виде R = TST~^y
где 5 циклически несократимо. Очевидно, что R является истинной
степенью тогда и только тогда, когда истинной степенью
является 5. А для циклически несократимых S проверка тех начальных
отрезков слова 5, длина которых делит длину S, позволяет
обнаружить возможные корни из S.
Далее, теорему 4.12 можно использовать и в тех случаях,
когда слово R не задано конкретно. Так, если R = И, то k делит
сумму показателей в R по каждому образующему. Поэтому, в
частности, слово
b^[U(b,c, ..., О, Wib, с, ..., 0],
где lUy IF] = (/" W" UW, не может быть истинной степенью,
поскольку k должно делитьа^, (R) = I, Отсюда следует, что в группе
(Ь, с, ..., t; b[U, W])
нет неединичных элементов конечного порядка.
Далее мы опишем элементы конечного порядка в группе с одним
определяющим соотношением.
Теорема 4.13. Пусть G = (aj, ..., а^\ И (%, *.., а„)),
где k^ I и слово V (а^, ..», ^^J ^^ является истинной степенью
в свободной группе с образующими а^, ..., а^. Тогда каждый элемент
конечного порядка группы G определяется некоторым словом,
сопряженным с подходящей степенью V.
Доказательство. Снова воспользуемся индукцией по
длине слова V. Если V имеет длину 1 или содержит лишь один
образующий, утверждение теоремы вытекает из следствия 4Л .4.

4.4. Группы G одним определяющим соотношением 281
Предположим, что наше утверждение справедливо для всех
групп с одним определяющим словом вида f/^, где U не является
истинной степенью и имеет длину, меньшую длины V*
Очевидно, можно считать слово V циклически несократимым,
так как в противном случае его можно заменить более коротким
словом и воспользоваться индуктивным предположением.
Обозначим снова элементы %, ^2, ..., а^ через 6, с, ..., t*
Случай L Предположим сначала, что V имеет нулевую сумму
показателей по некоторому образующему, скажем, по t, и
содержит некоторый другой образующий, скажем, Ь. Так как сумма
показателей по t равна нулю в определяющем слове И, она равна
нулю и во всяком слове, равном единице в группе G. Поэтому,
в частности, все элементы конечного порядка группы G лежат
в нормальном делителе Л^, порожденном элементами Ь, с, .*•
Представляя группу Л^ как и в предыдущем доказательстве, получаем
Л/ = (... , 6_1, Ьо, ^1» .. • , с-и Со, Ci, ... ; ... Pii, Ро, Рь ...)г
где Я J... , Ь^, .., , с^, ...) = xitWl"^). Далее, если ji и М —•
соответственно наименьшее и наибольшее значения индексов у Ь-сим-
волов, входящих в Ро> то полагаем
Ni^ (,.. , с_1, Cq, Ciy ... , b^j^i, ... , Ьм-{.{1 Pi)- B2)
Из групп Л^^ построим (как и в доказательстве предыдущей теоремы)
последовательность групп
Л^о ^ Л/о,1 S yV_M ^ ... е N^i^u S N^ij ^ yV^,,,+i ^ ... , B3)
и получим, что Л^ является объединением групп этой
последовательности. Каждый элемент конечного порядка группы Л^ лежит,
следовательно, в одной из групп последовательности B3). Но каждая
группа из B3) строится из групп B2) при помощи повторенной
несколько раз операции свободного произведения с объединенной
подгруппой. По следствию 4.4.5 каждый элемент конечного
порядка группы из последовательности B3), а значит, и из G, сопряжен
с элементом конечного порядка из группы B2), Но в силу свойств
процесса т,
/V (Ь, с, .. • , t) г' ^ Я, (..., ГЬГ"", ... , ГсГ"", ...). B4)
Поэтому, если V не является истинной степенью в свободной группе
с образующими 6, с, ,..,/, то Pi не может быть истинной степенью
в свободной группе с образующими ..., c_i, Cq, Ci, ..., b^^i, ,..
..., Ьм+{. Таким образом, по индуктивному предположению,
элементы конечного порядка в группе B2) сопряжены со степенями
Pi- Так как элемент группы G, определяемый словом Р^, т. е,
•* i \t ь • f t Ot f , , * f t Си ,¦•,),

282 Гд. 4. Свободные произведения
В силу B4) сопряжен с элементом У» то каждый элемент конечного
порядка группы G сопряжен со степенью V. ^
Случай 2. Пусть теперь слово V имеет ненулевую сумму
показателей по каждому образующему, входящему в него. Если а = Ot {V)
и Р = а^, (К), то построим группу
(^, с, ,.., t; И(х«, с, ..., 0). B5)
Вводя образующий у равенствохм / = ^/лг"^, получаем
представление
(X, с, •.., у; V'(x^, с, ,.., ух~^)). B6)
Так как слово V {Ь, с, ..., /) циклически несократимо, то можно
показать, что если бы слово V (х^^ с, ..., (/лг"Р) было истинной
степенью, то истинными степенями были бы V (х*^, с, ,,,у t) и
V (Ь, с, ..., О- Поэтому слово V {х^, с, ..., ух-^) не является
истинной степенью. Рассуждая, как и в предыдущем случае, можно
показать, что элементы конечного порядка группы B6) сопряжены со
степенями слова V {х^у с, ..., ухг-^'). Применяя к группе B6)
преобразование Тице у = tx^y получим, что элементы конечного
порядка группы B5) сопряжены со степенями слова V (хР^у с, ..., t).
Таким образом, произвольный неединичный элемент W конечного
порядка из группы G, порождаемой в группе B5) элементами х^,
с, ..., t, должен быть сопряженным с некоторой степенью слова
1/(;^«, с, ,.., /), т.е.
lF(x«, Су ..., t) = TV'{x^y Су ..., t)T-\
где Т— подходящее слово в образующих л:, с, ,,., t» Нам
необходимо показать, что Т является в действительности словом в х^,
с, ...,/, т. е. определяет элемент группы G.
Группа B5) является свободным произведением бесконечной
циклической группы X == { х ) и группы G с объединенными
подгруппами Н и /С, причем Я порождается элементом х^у К
порождается элементом b и объединение происходит в соответствии
с изоморфизмом ф: х^ -^Ь. Так как F'^ имеет конечный порядок,
а группа Н — бесконечная циклическая, то V^ не лежит в
подгруппе, сопряженной с Я. Поэтому наша задача сводится к
доказательству того, что если в группе * (X, G, Я, /С, ф), совпадающей с
группой B5), элементы g и sgs-^ лежат в G, а g^ не сопряжен ни с каким
элементом из Я, то и s содержится в G. Доказательство почти
очевидно: если S $ G, то S имеет вид s^ ... Sp, где каждый s^ лежит
Б одном из сомножителей X или G, причем никакие два соседних не
лежат в одном и том же (и потому никакой Si не лежит ни в Я, ни
в /С), и либо Sp б Ху либо Sp ^ G и Sp^\ g X» Но тогда длина элемента
SgS~^ = Si ... S^gs;;^ , . . sr^ = Si . . . Sp_i {SpgSj^) 5^1 ... S^^

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 283
не может быть равной единице, если Sp ^ X или Sp ^ G, Sp^\ б
^ X, и потому sgs~^ не может лежать в G.
Итак, слово Т определяет элемент из G, и элемент IF, имеющий
конечный порядок в группе G, сопряжен в этой группе с некоторой
степенью V. ^
Следствие 4.13.1. Если группа G= (^i, «2, ..., ^л»
V^ {Uiy ^2, ...» а^)} изоморфна группе Н ==4^1, ag, ..., a^i', U^ (а^
аз, ..., а^)) , пги и группа К = (^i, а.,, •••, ^п^ V {а^.а^, ..., cj)
изоморфна группе L = (ai, «2, ..., а^; i/ (^i, ^2, ..., aj).
Доказательство. (Заметим, что теорема 4.11 здесь,
вообще говоря, не применима, так как не известно, индуцируется
ли данный изоморфизм отображением av -> ^v) Пусть V = W^
где W не является истинной степенью. Тогда
G={ai, ^2, ..., а^; Г'),
и, по следствию 4.11, W имеет в G порядок fer. Так как любой
другой элемент конечного порядка группы G сопряжен с подходящей
степенью W, то число kr является максимумом порядков элементов
группы G, Но Я с::^ G, так что если U = Y\ где У не является
истинной степенью, то s = г. Элементы группы G порядков,
делящих /?, сопряжены со степенями элемента И^'' «= У, и наоборот.
Аналогично, элементы группы Н порядков, делящих k, сопряжены
со степенями элемента У^ = 6^, и наоборот. Поэтому при
изоморфизме между G и Н нормальный делитель N группы G, порожденный
элементом 1/, должен соответствовать нормальному делителю М
группы Н, порожденному элементом U, Но тогда G/N ^ Н/Му
и так как G/N == /С и Н/М = L, наше утверждение доказано. ^
Следствие 4.13.2. Пусть R и S — элементы свободной
группы F с образующими ai, ^2, ..., а^. Если S^ лежит в нормальной
подгруппе группы F, порожденной элементом R^, то и S лежит
в нормальной подгруппе группы F, порожденной элементом R.
Иначе говоря, если S^ выводимо из R^, то S выводимо из R.
Доказательство. Пусть R = W'', где W не является
истинной степенью. В группе
G = («1, «2, ... , а^; R^) = («i, а^, ... , а^; W^)
слово 5 определяет единицу. Поэтому в этой группе элемент S
имеет конечный порядок, делящий k, и потому сопряжен с (Wy =«
¦== /?^ Так как определяющим словом группы G являетс-я /?*>
слово 5 в свободной группе F должно свободно равняться
произведению элементов, сопряженных с R\ R и /?"^. Поэтому 5
является произведением элементов, сопряженных с /? и /?""\ и наше
утверждение доказано, ^

284 Гл. 4. Свободные произведения
Обращение следствия 4.13.2 ложно. Например, слово а * bab"'
выводимо из а, но (аЬаЬ" )^ не выводимо из а^: в группе (а, Ь\ а^)
слоговая длина слова abab"^» abab"^ равна восьми. (Обращение
следствия 4.13.1 было бы истинным, если бы верной оказалась
гипотеза о проблеме изоморфизма для групп с одним определяющим
соотношением (см. раздел 6.1). Тем не менее это пока не известно ^)*
Перейдем, наконец, к решению проблемы слов для групп с одним
определяющим соотношением. Наиболее существенной частью
нашего рассуждения будет, как и в доказательстве теоремы 4.10,
переход к нормальной подгруппе. Так как эта нормальная
подгруппа совпадает с объединением последовательности групп, каждая из
которых является свободным произведением с объединенной
подгруппой, нам потребуется следующая
Лемма 4.9. Пусть G = * {Ai, Л2, Я^, Яд, ф). Предположим,
что мы умеем выяснять, входит ли произвольный элемент, группы
Ai в подгруппу Hi, и если ответ положительный, можем записать
его в образующих Hi. Пусть также изоморфизмы ц) и ср~^ заданы
явно. Тогда можно узнать, входит ли произвольный элемент группы
G в подгруппу Ai, и, если входит,— записать его в образуюи^их Ai,
Доказательство. Пусть элемент g задан в виде
произведения g^g2 ... gny где элементы gi поочередно лежат в группах
Ai и Лз- Покажем индукцией по п, как узнать, принадлежит ли
g подгруппе Л/и, если да,— как записать его в образующих Л^-.
Если п = \,то g = g^ лежит в Ах или Ла- Более того, он лежит
в обеих подгруппах тогда и только тогда, когда g^ принадлежит
Ах и Нх или gx принадлежит Лз и Яд. Так как это, по
предположению, можно узнать, и ф задано явно, то можно выяснить,
входит ли gx в Ai, и, если да,— записать его в образ\ющих Л^.
Предположим, что мы умеем это делать для всех элементов,
определяемых словами слоговой длины, меньшей п, и пусть слово,
определяющее g, имеет слоговую длину п, ^^ > 1, g = g^g^ ... g„.
Если ни один из gi не входит ни в Я,^, ни в Н^, то длина элемента g
в группе G равна п > 1, так что g не может входить в Л^. Если же
некоторый gj входит в Лх и в Я1 или в Лз и в Н^ (для
определенности—в Лх и в Ях), то ф {gj) лежит в Лз и в Яз. Тогда в G
ё = gig2 .. • ё^/-1ф (Sj) gi+^ • • • gn =
= glg2 ••• g!-2(gj-\^{gj)gi + \)gj-{-2 ... gn.
и так как gj-\ и gjj^\ входят в Лз, то g имеет слоговую длину,
меньшую п. Поэтому мы можем узнать, входит ли g в подгруппу
Ai, и, если да, выразить его в образующих Л^. -^
^) Как указано в сноске на стр. 181, гипотеза, о которой идет речь, оказалась
ложной. Однако все еще не известно, верно ли обращение следствия ,4.13.1.
См. также стр, 412,— Прим. ред.

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 285
Чтобы решить проблему слов для групп с одним определяющим
соотношением, мы на самом деле будем решать следующую, более
общую проблему — обобщенную проблему слов. Пусть выбрано
собственное (возможно, пустое) подмножество множества образующих
данной группы. Для произвольного элемента группы требуется уз-
нать, можно ли записать его в образующих этого подмножества, и,
если ответ положительный, привести хотя бы одну такую запись^).
Для групп с одним определяющим соотношением теорема 4.10
позволяет свести обобщенную проблему слов к следующему ее
частному случаю: для произвольного элемента группы, заданной одним
определяющим словом, которое содержит все ее образующие,
узнать, можно ли этот элемент записать, не используя какого-то
одного конкретного образующего, и, если да, привести хотя бы одну
запись такого рода. В самом деле, пусть сначала
G = (ai, ... , а^; R{а^, ..., aj)
и слово R содержит все образующие. Предположим, что в данное
собственное подмножество образующих ai^, ..., а^^ не входит а„.
Чтобы выяснить, можно ли элемент g записать в образующих
«/i, ••., сЦгУ узнаем сначала, можно ли его записать в образующих
^1, .., Gn_i. Если да, выразим его, а затем свободно сократим
полученное слово. Так как элементы %, ..., ап-\ свободно порождают
свободную группу, элемент g" можно записать в образующих а^^, ...
• .., ai^ тогда и только тогда, когда несократимая запись его в
образующих ^1, ..., ап-^\ содержит лишь образующие а/^, *.., а^^.
Таким образом, обобщенная проблема слов для любого собственного
подмножества образующих сводится в этом случае к обобщенной
проблеме слов для максимального собственного подмножества;
в частности, к этой последней сводится обычная проблема слов.
Предположим теперь, что R {а^, ..., aj содержит лишь
образующие а^^+ь ..., а^' Если все эти образующие находятся среди
элементов а/^,«*., а^^, то не вошедшие сюда образующие
содержатся в множестве а^, .„, а^^. Пусть образующие а^, ..., а^ не
вошли в подмножество ai^, ..., а^^. Тогда G является свободным
произведением свободной группы F с образующими а^, ,.., а^ и группы
G' = («s-f-l, * • * , CLn'y R (<^/г+1» • • • > ^п))-
Чтобы выяснить, принадлежит ли элемент группы F * G'
подгруппе G', достаточно (по лемме 4.9 — при Ai =» f, Лз = G\ Н^ ==
«=« Яз = 1 и тождественном ф) уметь распознавать, является ли
данный элемент из F единицей и является ли данный элемент из
G' единицей, т. е. уметь решать проблему слов в группах F и G',
^) Другими словами, речь идет о проблеме вхождения относительно
подгруппы, порожденной некоторым подмножеством образующих. -- Прим. перев.

286 Гл. 4. Свободные произведения
Так как F — свободная группа, то проблема слов для F разрешима.»
Далее, С — свободное произведение свободной группы F' с обра-
зующими «s-hb »»м cik и группы
Поэтому проблема слов для G' ^ F' ^ G" сводится к проблеме слов
для F', которая разрешима, и к проблеме слов для G", которая,
по предыдущему, в свою очередь сводится к обобщенной проблеме
слов для максимальных собственных подмножеств образующих
группы G".
Предположим, наконец, что R содержит образующие а/г-нь •••
,1., а^ и что один из этих образующих, скажем, а^^ не вошел в
множество a/j, ..., а^^. Группа G является свободным произведением
свободной группы F с образующими %, ,*.у а^ и группы С —
= (а/г+ь ..., а„; R {ak+u -м ctn))* Далее, элементы а^, ..,, ап~\
свободно порождают в G свободную подгруппу. Чтобы выяснить,
можно ли элемент g из G = F * G^ записать в образующих %, ...
,.., ап~\у запишем его сначала в канонической форме относительно
разложения F * G'. Возможность сделать это зависит от
разрешимости проблемы слов в свободной группе f и от разрешимости
проблемы слов в G'. В свою очередь, разрешимость проблемы слов в G'
можно свести к обобщенной проблеме слов для максимальных
собственных подмножеств образующих G', используя которую
можно узнать, записываемы ли G'-слоги элемента g без
образующего а„. Таким образом, мы узнаем, содержится ли элемент
группы G в свободной группе F', свободно порождаемой образующими
«1, ..., an-\j и, если да, запишем его в этих образующих. Так как
элементы а^^, *.., а^^ содержатся среди aj, ..., а^-ь то свободно
сокращая полученное выражение нашего элемента, мы узнаем,
можно ли записать его в образующих ai^, .,., а^^.
Итак, обобщенная проблема слов для групп с одним определяю*
щим соотношением сводится к обобщенной проблеме слов для
подмножеств, не включающих единственного образующего; можно
считать, кроме того, что все образующие входят в определяющее слово»
Теорем а 4.14. Проблема слов для группы
G={a^, .¦., а„; R{a^, *,., aj)
разрешима. Более того, разрешима обобщенная проблема слов в
группе G.
(Замечание: Группа G может быть бесконечно порожденной.)
Доказательство. Как показывают замечания,
предшествующие формулировке теоремы 4.14, необходимо установить лишь
разрешимость обобщенной проблемы слов для максимальных
собственных подмножеств образующих, Мы сделаем это индукцией по
длине определяющего слова R,

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 287
Если длина слова R равна 1 или в R входит лишь один
образующий, то группа G является свободным произведением свободной
и циклической групп, и разрешимость обобщенной проблемы слов
легко следует из решения проблемы слов в свободных
произведениях.
Предположим теперь, что наше утверждение верно для всех
групп с одним определяющим словом, длина которого меньше
длины R, и что слово R содержит хотя бы два образующих. Обозначим
снова ^1, а2, ..., йп через fc, с, ..., /. Далее, в силу рассуждений,
предшествующих формулировке теоремы, можно считать, что слово
R содержит все образующие: в противном случае обобщенная
проблема слов для G может быть сведена к обобщенной проблеме слов
ДЛЯ' подгруппы G, порожденной образующими, входящими в R,
С гучай 1. Слово R имеет нулевую сумму показателей по одному
из образующих, скажем, по /.
Мы перейдем к нормальному делителю Л^ группы G,
порожденному элементами Ь, с, ..., обозначая, как и прежде,
соответствующий переписывающий процесс через т.
Чтобы убедиться в том, что обобщенную проблему слов для
максимальных подмножеств можно свести к некоторому вопросу
о группе N, предположим сначала, что в данное максимальное
собственное подмножество образующих не входит t. Тогда мы
должны узнать, можно ли элемент, определяемый словом W,
содержащим вхождения /, задать некоторым словом, записанным
лишь в образующих Ь, с, .*. Если W можно выразить таким
образом, то Ot (W) =» О, поскольку Ot (R) = 0. Поэтому W определяет
элемент из Л/', и наш вопрос сводится к вопросу о том, можно ли
дан11ый элемент группы Л^ записать в образующих /?о» ^о» •••
С другой стороны, если / входит в выбранное максимальное
подмножество, а Ь, например, не входит в него, то W может и не
определять элемента подгруппы Л^. Тем не менее слово W можно
выразить в группе G, не используя образующего &, тогда и только тогда,
когда такое выражение допускает элемент Wf"^, где а == а^ (W).
Слово Wt~^ определяет уже элемент из N^ и наш вопрос в этом
случае сводится к вопросу о том, можно ли данный элемент группы
Л^ записать, не используя никаких Ь,^.
Мы можем считать, что R начинается с fe-символа: в противном
случае вместо R можно взять подходящую циклическую переста-
новк) его. Тогда т (R) содержит Ь^, и если
Л^1 = (.,,, с_1, ^0» ^1> ••*> ^д+г» •••» Ьм+i; Pi),
то Ьо входит в Pq, и потому, независимо от того, b или t исключается
из максимального подмножества образующих группы G, нам
достаточно уметь узнавать, можно ли данный элемент группы N
выразить через элементы некоторого подмножества образующих гр\ппы

288 Гл. 4. Свободные произведения
И, если да, выписывать такое выражение. Но если элемент записан
как элемент группы Л^о» то мы можем (поскольку длина слова Р^
меньше длины слова R) узнать, выразим ли он через элементы
собственного подмножества образующих группы Nq, и, если да, найти
такое выражение.
Таким образом, наша задача сводится к распознаванию, лежит
ли элемент группы N в подгруппе Nq, и к отысканию записи его
в образующих этой подгруппы.
Группа N является объединением последовательности групп
определенных в A8) и A9). Поэтому каждый элемент группы N
лежит в некотором члене Qj этой последовательности. Покажем
индукцией по /, что для каждой группы Q^, среди образующих
которой содержатся образующие группы N^, можно узнать, входит
ли элемент из Qj в подгруппу Л^^, и, если да, то записать его в
образующих подгруппы. Если / =» 1, то Qi = iVo» и единственной
подгруппой Ni, образующие которой содержатся среди
образующих группы Qi, является Nq, Таким образом, требуемый результат
при / = 1 очевиден. Пусть для группы Q^ наше утверждение
справедливо. Группа Qs+i является свободным произведением группы
Qj и некоторой группы Л^^, с объединенной подгруппой /С,
порождаемой всеми образующими Npy кроме некоторого Ь,^. Каждая
группа Ni, образующие которой содержатся среди образующих
Qs+b либо входит в Qg, либо совпадает с Np,
Если в лемме 4.9 взять Л^ = Q^, Л2 = Л^^, Hi = Н^ = К,
а в качестве ф — тождественное отображение, то условия этой
леммы будут выполнены. В самом деле, так как длина
каждого слова Pi меньше длины слова R, то обобщенная проблема
слов в группе Np разрешима, так что мы можем узнать, содержится
ли элемент из Np в подгруппе /С. Далее, К содержится в некоторой
группе Л^„, образующие которой лежат среди образующих группы
Qj- По индуктивному предположению можно узнать, принадлежит
ли элемент группы Q^ этой подгруппе N^^y и, если принадлежит,—'
решить, принадлежит ли он К- Таким образом, мы умеем
распознавать в группе Qj принадлежность подгруппе K^ Более того, ф,
очевидно, задано явно. Следовательно, по лемме, мы умеем
выяснять, принадлежит ли элемент группы Qs+i подгруппе Q^ или Л^р.
Поэтому в каждом из случаев Л^^ s Q, и Л^^ = Np мы можем узнать,
принадлежит ли элемент группы Qs+i подгруппе Л^^, и, если да,
записать его в образующих Ni, Этим завершается наша индукция
по /. Тем самым показано, что для любой группы Л^|, образующие
которой лежат среди образующих группы Q;, можно узнать,
входит ли элемент группы Qj в подгруппу Ni, и, если да, то выразить
его в образующих группы iV^, '

4.4. Группы о одним определяющим соотношением 289
Следовательно, мы умеем узнавать, принадлежит ли элемент
группы Л^ подгруппе Л^^, и, если принадлежит,— выражать его в
образующих этой подгруппы, так что, в частности, мы можем узнать,
входит ли данный элемент группы N в подгруппу Nq, и, если
входит, то выразить его в образующих подгруппы Nq,
Итак, мы умеем узнавать, входит ли элемент группы Л^
в подгруппу Nq, и, если да,—можно ли его записать в образующих
bo, Соу ... или не используя символов bj^. Таким образом, обобщенная
проблема слов для максимальных собственных подмножеств
образующих группы G в этом случае разрешима.
Случай 2. Сумма показателей в R по каждому образующему
отлична от нуля. Поэтому R должно содержать хотя бы два
образующих, скажем, 6 и /, и все образующие входят в R,
Предположим, что мы хотим научиться узнавать, можно ли
элемент группы G записывать без t, и, если молшо,— находить
так)ю запись.
Как и в теореме 4.10, мы переходим к группе
?-(х, с, ..., /; /?(х«, с, ..., 0), B7)
где а = Of(R), а затем—преобразованием Типе— к
представлению
?-(х, с, .., , yi R(x^, с, •., , ух"^)), B8)
где Р — (Т^ (R)* Так как сумма показателей по л: в определяющем
слове B8) равна нулю, мы можем решить для группы B8)
обобщенную проблему слов, как и в случае 1, где в качестве N берется нор-
.мальный делитель группы ?", порожденный элементами с, ..., //.
Пусть W (Ь, о, •.¦, t) — произвольное слово группы G.
Отображение 6~> х^, с-^Су *.., ^~> t индуцирует изоморфное вложение
группы G в группу Е, заданную представлением B7). Далее, ото-
брал<ение х -> х, с -> с, ..., t ~> ух^^ определяет изоморфизм
группы B7) в B8). Таким образом, отображение
индуцирует изоморфное вложение группы G в группу B8).
Следовательно, слово W F, о, ..*, О определяет в G тот же элемент, что
и V (Ь, с, .,*), тогда и только тогда, когда слова W {х^, с, »,., ух"^^)
и V^ (л:^, е, ,..) определяют один и тот же элемент группы Е,
Поэтому, чтс^ы решить, можно ли в группе G слово W записать без
и следует выяснить, можно ли в группе Е слово W (х^, ^, ,.., ух"^')
записать через образующие л:^, е, .¦• Так как обобщенная проблема
слов для группы B8) разрешима, то можно узнать, выразимо ли
слово W {х^, с, ..,, ух"^) через образующие х, е, ... без у, и, если
-^^i-— записать его в таком виде. Затем, поскольку элементы Ь, с, .,»
свободно порождают в группе B8) свободную подгруппу, можно
*0 в. Магнус и др.

290 Гл. 4. Свободные произведения
..а
ВЫЯСНИТЬ, является ли элемент этой подгруппы словом от л: ,с, ,..,
и, если да, — записать его в таком виде. Таким образом, можно
узнать, представимо ли слово W (х^, с, ..., ух~^) в виде слова из
л:^, с, ... в группе ?, и, если да, — записать его в таком виде.
Следовательно, в группе G можно выяснить, выразимо ли слово
W F, с, ..., t) без t, и, если да,—выразить его в таком виде. Это
завершает доказательство теоремы 4.14. ^
Следующее предложение является применением теорем 4.14 и
4.10 к группам с несколькими определяюш^ими соотношениями:
Следствие 4.14.1. Пусть R (ai, ..., а^) и S (Ь^, ..,, Ь^) —^
циклически несократимые слова, содержащие а^ и Ь^
соответственно, и пусть и {aiy ..., an-i), V (b^, ..., Ьщ-х) — несократимые не-
пустые слова. Тогда проблема слов в группе
G=(a,, ..., а^; &„ ,.., Ь^; /?, S, U^V)
разрешима.
Доказательство. Пусть А = (ai, ... , а^] R),
В = (&1, ..., 6^^; S), Н—циклическая подгруппа, порожденная
в А элементом (У, и К—циклическая подгруппа, порожденная в
В элементом V. По теореме 4.10 элементы «i, ..., an-i свободно
порождают в А свободную подгруппу, а элементы bi, *., , bm~i
свободно порождают в В свободную подгруппу. Поэтому элементы
и и V имеют бесконечный порядок, и отображение U -^ V
индуцирует изоморфизм ф между группами Я и К". Таким образом,
G s= * (Л, В, Я, /С, ф). Чтобы выяснить, определяет ли слово
W («1, ..., йпу &1, ..., bj единицу в группе G, проверим сначала,
определяет ли оно элемент подгруппы Л, и, если да, запишем его
в образуюш:их этой подгруппы. Это можно сделать, так как
условия леммы 4.9 при Ai = Л, Лз = 5, Н^ = Н, Н^ == К выполнены.
В самом деле, по теореме 4.14 в группах А w В разрешима
обобщенная проблема слов. Поэтому мы можем узнать, принадлежит ли
элемент группы Л или В подгруппе, порожденной элементами
^1, ..,, ап-\ или fei, ..., btn^y соответственно. Так как элементы
%, ..., а/2-1 и ^1, ..., Ьт-\ свободно порождают свободные
подгруппы, то можно узнать, является ли элемент каждой из них степенью
элемента U или V соответственно. Кроме того, изоморфизм ф
определяется заменой f/ на К, а ф~"^ — заменой V на (/.
Если теперь W («i, ..., а„, &i, ..., b^ записано в образующих
группы Л, то можно воспользоваться теоремой 4.14 и выяснить,
таким образом, равно ли W единице в группе G. -^
Следствие 4Л4.2. Пусть R^ (х/, ^/х, ,,., у^) — циклически
несократимое слово, содержащее х^, / = 1, ..., г. Тогда в группе
G = (^1, .. * , X,, ^1, ... , и ; R,, /?„ ... , R,)
проблема слов разреилима.

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 291
Доказательство. По теореме 4.14 проблема слов
разрешима в группе
Gi == (^/, f/i, . •. , Уп\ Ri)t
Более того, мы можем узнать также, выразим ли данный элемент
группы Gi через образующие i/i, ..,, ^/„. Положим
Тогда группа Hj является свободным произведением групп Hj-^\
и Gj с объединенной подгруппой, свободно порождаемой в каждой
из них элементами у^, ..., у^. Индукцией по / устанавливается,
что для любого элемента группы Я/ можно выяснить, выразим ли
он в образующих r/i, ..., t/^, и, если да, выписать такое выражение
для этого элемента. Так как элементы f/i, ..,, у^ свободно порождают
свободную подгруппу в группе Н^ = G, то мы можем в группе G
решить проблему слов.
Дальнейшие применения результатов и методов этого раздела
содержатся в задачах.
Ссылки и замечания. Систематическое изучение свободных
произведений было начаю Курошем [1, 2] (см. также [3]).
Его теорема о подгруппах (доказанная в слегка упрощенной форме
в разделе 4.3 — следствие 4.9.1) передокаяывалась многими
авторами, причем самыми разнообразными методами. Мы упомянем
здесь лишь статью Маклейна[3], в которой приводится также
перечень более ранних доказательств. Доказательство, приведенное
в разделе 4.3, основано на работе КаррасаиСолитэра[3].
Оно обладает тем преимуществом, что позволяет получать
результаты и о свободных произведениях, и о свободных произведениях
с объединенной подгруппой.
В дополнение к статьям и монографиям, упомянутым во
вводных замечаниях к разделам 4.1 и 4.2, мы вкратце отметим здесь
лишь некоторые из большого числа работ, относящихся к темам,
рассматриваемым в главе 4. Ряд других работ упоминается также в
разделе 6.1.
А р т и н [2] привел новое определение свободного
произведения. Теоремы о подгруппах и другие результаты о свободных
произведениях были получены в работах Бэра и Леви[1],
М. Холл а [6], Такахаси[1] и Карраса и Соли-
тэра [4]. Коммутаторы в свободных произведениях изучал
Гриффите [2].
Содержание раздела 4.4. основано на работах Магнуса
[!, 3] и Карраса, Магнуса и Солитэра [11.
Теорема 4.11 была обобщена Гриндлингером[31,
В раздел 4.4 не вошел ряд важных результатов о группах с
одним соотношением, принадлежащих Линдону [1]. Мы
отметим здесь лишь, что Линдон нашел множество свободных образую-
10*

292 Гл. 4. Свободные произведения
щих свободной абелевой группы ^?/^?^ где FIR — представление
группы с одним соотношением в виде фактор-группы свободной
группы F, а R' — коммутант группы R, Много более общие
результаты сходного типа содержатся в работе Линдона [7].
Задачи
1. Показать, что слова х^у^х~^у^^^ (ху)^>^~^У~~^ и хух~^уху~^х~^у~^ не равны
единице в группе
G — (X, у; х'^у^ = у'^х-)
[Указание. Пусть Л^ — нормальный делитель группы G, порожденный
эле1ментом у. Пусть yi = xiyx * Показать, что Л^ является свободным произведем
нием подгруппы Но, порожденной элементами ^2^» ^ подгруппы Я1, порожденной
элементами ^2л+1- Показать, что каждый элемент группы Яо однозначно
представляется в виде yl^y, у, ...у, , где k — произвольное целое число", L — четное це-
лое, 1^ Ф iy_|.j. Аналогично, каждый элемент группы Н\ однозначно представляется
в виде у\ У^ у^ ... (/^ , где /г — произвольное целое число, i, — нечетное целое>
2. Решить проблему слов в группе
G^ {X, у\ xV = г/-А:2>.
[Указание Если N— та же подгруппа, что и в указании к задаче 1, то
произвольное слово, равное единице в группе О, должно лежать в N. Записать это
слово в образующих у^ и воспользоваться указанием к задаче 1.]
3. Решить проблему слов в группе
G в= <л:, у\ х^у^ «« У^х^).
[Указание. Если Л^ — нормальный делитель группы О, порожденный эле^
ментом у, то N является свободным произведением группы Яо, порожденной
элементами г/зл» группы Hi, порож:денной элементами ^зп+1' " группы Н^, порожденной
элементами y^,^i2- Дзлее, каждый элемент группы Нг (/"= О, 1 или 2) однозначно
представляется в виде у^^у^\ yf*, ... ^^^, где k — произвольное целое число^
ij — целое число вида Зп -^ г, i^ Ф Гу, ^ и а/ = 1 или 2. ]
4. Решить проблему слов в группе
G ==» {X, у\ Л'' ^ /Л, г > 1.
[Указание. См. указания к задачам 2 и 3. ]
б. Решить проблему слов в группе
G = а, у\ xV ^ ^^>» г, S > 1.
[Указание. См. указания к задачам 2 и 3. ]
6. Решить проблему слоз в группе
G-(а:, у\ //-/лО>
где г, S > 1, а / — произвольное целое число [Указание. Если / = О, то О
явтяется свободным произведением бесконечной циклической группы {х) м
циклической группы {у\ у^) порядка s. Если же / ^ О, воспользоваться указанием к
вадаче 2. Показать, кроме того, что Л^ является свободным произведением групп
И, (I == О, 1, .,., г- 1), где
Я, - <. . . . y^^j^i, у,, у^^^, ... I I/J« y^^^j^^, у\^^ « у\, . . .).

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 293
Так как каждую подгруппу группы Я^, порождаемою конечным множеством
образующих Я(, можно получить, последовательно образуя свободные произведения
с объединенной бесконечной циклической подгруппой, то решить проблему слов
в группе Hi особенно просто.]
7. Показать, что слова [у, д;] = у х'~^ух и t/ не определяют один и тот же
елемент группы
[Указание. Пусть А^ — нормальный делитель группы G, порожденный
элементом у Записать [f/, дс] и f/ в образующих /V. Воспользоваться тем, что подгруппа,
порожденная элементами f/__j и f/o, совпадает с (i/__i, Уо\ у^ — |/^j ). ]
8. П>с1ь
где а^ ?= О и Р/ =54» О A < I < п — 1, 1 < / < п -— 1). Показать, что группа Я„
является свободным произведением группы Н^__^ и бесконечной циклической
группы {йп) с объединенной подгруппой, порождаемой элементом а,^^^ в первой
группе и элементом а^~ — во второй. (Указание. Воспользоваться индукцией
по п. ]
9. Пусть
Н = {а^у а^у
где laj, 1Р,| > 1.
. . . , ап\ of' = а^^*, 4« =. а!
Тогда слово
W = af'af2 ... а'
"п-1
'«п^ ').
где |е/| = 1 и t т-ь f* , J, не равно единице в группе Я. Более того, если г > 2, то
IF не является степенью а^ для ^ = 1, ..., п. [Указание. Воспользоваться
двойной индукцией по г и п Если ;г = 2 и IF == af^ ... а/, где | е/ ] == 1 и i/ *9^^/+i,
то W имеет длину г в свободном произведении с объединенной подгруппой
{ai,a^\ af^=a|^), так что IF не равно единице; если /•>2, то W не равно никакой
степени элементов ai и «2- Пусть утверждение справедливо для всех слов всех групп
И с числом образующих, меньшим /г, и для всех слов W длины, меньшей г, в
любой группе Я с я образующими. Рассмотрим группу
Н - <а„ ....an, af = а^- а"!!.7' = о^"')
g
И слово \F = af^Q^'^ ... а/ в ней. По задаче 8 группа Я является свободным про-
изведением группы
/с = (а, .,_,; af. = .Р., .... fl:i-^2= <Tf,lf >
И бесконечной циклической группы {а^^) с объединенными циклическим.!
подгруппами <а^1Т^> и (^п"""^)-
Если i/ «^ п для всех /, то W определяет элемент из подгруппы /С, и наше
утверждение следует из индуктивного предположения. В противном случае W
содержит а^ и W = (/i, ... и^, где Ut — подслова слова W, принадлежащие
поочередно группам К и (fl/j). По индуктивному предположению, каждое слово Ui,
лежащее в /( и имеющее буквенную длину, ббльшую единицы, не принадлежат
циклической подгруппе <a^!l7^) группы К- Кроме того, слово (У^, лежащее в К и

294 Гл. 4. Свободные произведения
имеющее буквенную длину 1,не может принадлежать,очевидно,подгруппе (а,Д7^)*
Поэтому li7 не равно единице, а если буквенная длина W больше 1, то \F неравно
никакой степени элемента су^, /г = 1, ..., л.]
10. Показать, что если G — группа из задачи 7 и щ =z у, iii =» [у, х], а и^=^
~ [^s—1» ^1» 'г^ ^s не равно единице в группе G. Более того, если s Ф t^ то и^ Ф
Ф at в группе G, [Указание. Пусть группа N та же, что в указании к задаче
7. Индукцией по s показать, что в образующих группы N имеет место равенство
и^ = yf^ ... у, ^, где 11 = —S + I; t2s= •—s, ij < О, i^ =?4r t^_^j и j ej = I.
Поэтому, если s :?& ^ то
где ^y =?«» kj^^Vi \r\j\ = 1. Так как подгруппа группы Л^, порожденная элементами
Уо> У—\> •••» У—п> определяется соотношениями
у1 = f/Lp yti = г/!.2' • • •» ^-п+1 =- ^-п»
то, как следует из задачи 9, слова и,^ и ii^af не равны единице в группе Л^]
И. Пусть
G = (;t, (/; a:V - i/V), г> 1, | р |, | ^ | > 1.
Показать, что слова Wq = ^» "i = I^» ^1. ..., t^s = I^s—i' ^1 определяют
различные элементы группы G, отличные от единицы. [Указание. Воспользоваться
указанием к задаче 10 и тем, что в этом случае группа Л^ является свободным
произведением подгрупп Я/г, О ^ /г < г, порождаемых всеми г//, у которых i cpaвни^ю
с /г по модулю г.]
12. Пусть
G = <x, г/; // = r/V>, л>1. |р|, U|>I.
Если W = х^^у^^х^'^у^'' ... д; '^^/ ''л; ^"^^ где а^ — целые числа, отличные от нуля
при i Ф\, / + 1 и I 8i I == 1, то \^ не равно единице в группе О. [Указание.
Пусть N — нормальный делитель группы (j, порожденный элементом у. Если U7
равно единице, то сумма показателей по л: в нем равна нулю. Переписать W в
образующих Л^ и воспользоваться задачей 9. ]
13. Пусть G = <х, г\ (л;~^2л:2J). Показать, что ни одно из следующих слов не
равно единице в группе G:
гНгх"^, хг~^х~'^г^хгхг~^х~'^г~^х~^, z^xzx~'^zxzx~^zxzx'^K
Решить в группе G проблему слов. [Указание. Пусть Л^ — нормальный
делитель группы G, порожденный элементом г, и г^ = x''zx~^. Показать, что
подгруппа Nky порожденная в группе N элементами 2о, Zi Z/j, имеет представление
Nk=(Zo, Zi, . . . , Zk; (ZoZi)\ (ZiZ^f, . . . , B^_|2/гJ>.
Ввести образующие to == Zq, h = z^Zu ..., tk = 2:^_i2/j. Тогда после преобр?-
зований Тице
iVft= <to,h fe till ф.
Таким образом, Л^^ является свободным произведением циклических групп, и
проблема слов в группе Nk легко решается. Далее, произвольное сюво W, равное
единице в группе G, имеет нулевую сумму показателей по х. Найдется такое х^,
чго каждый начальный отрезок слова x^Wx'^'^ имеет неотрицательную сумму
показателей по х, и потому x^Wx~~^ определяет элемент из подходящей группы Л^^^.

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 295
Чтобы переписать слово от образующих Zq, zi,,.., Zk в образующих /q» ^ь •••, hf
заменяем Zq на ^о. ^i на f^^i, Zg — на f^^t^t^, и вообще, 2^._|_j — на ^7^^/—i^/+i'
где Zi_\ — слово ог /q, ..., /у^, заменившее 2;^_i.]
14. Решить проблему слов в группе
G^{x,y\ (х--УJ>.
[Указание. Ввести такой новьп1 образующий 2, что у = дгг; тогда
определяющее слово группы G, выраженное через л: и 2, будет иметь нулевую сумму
показателей по X. Затем воспользоваться задачей 13. ]
15. Решить проблему слов в группе
G = <^, у\ [x-^Y), г>1.
[Указание. См. указание к задаче 14.]
16. Решить проблему слов в группе
G = (х, 2; {x~^zxzxzy)f г > 1.
[Указание. Пусть N — нормальное замыкание в группе G элемента z. Тогда
подгруппа Л^;^, порожденная в Л^ элементами 2о, ..., 2/^, совпадает с (Zq, 2i, ..., z^;
{ZoZiZ^y, ..., (Zk^2h---\^k)'')' Ввести образующие ^o = 2^0» ^1 = ^u U^^o^i^^* •••
..., tk= Zi^_2^,^_^Zk. Тогда группа
Nk - </o, h, ..., 4; ^2» ^^ • • - ^fe)
является свободным произведением циклических групп, и проблема тождества в
этой группе легко решается. Чтобы переписать слово от образующих Zq, ..., z^
в образующих /о» •••» ^у заменяем 2о на /q» 2:1 — на h, 2.3 — на ^f ^/о4» и вообще,
^ij_i — нз /у"^/—2^^+1» ^«^^ ^;—2 — слово от ^0, ..., //г, заменившее 2^_2*1
17. Решить проблему слов в группе
[Указание. См. указания к задачам 14 и 16.]
18. Решить проблему слов в группе
G={x, у; (Х-УУ), /•> 1, s>l.
[Указание. См. указания к задачам 14 и 16. ]
19. Пусть F — свободная группа с образующими а п Ь, Показать, что если
слова и (а, Ь) и V (а, Ь) порождают группу F, то UVW^W"^ сопряжено в Р
с аЬсГ^Ь^^ или bab^^a^K [Указание. Если U иУ порождают группу F, то
{а, Ь] UVU'^^V'~b является свободной абелевой группой ранга 2.]
20. Пусть F — свободная группа с образующими аи ..., а^. Предположим, что
группа
G = (аг, ..., an, R {а^))
изоморфна свободной группе Н ранга п — 1. Тогда R является примитивным
элементом группы/^. [Указание. Пусть bi,..., b^_-^ —свободныеобразующие
группы Н. Если at = Ai{b^), то элементы Ai (b^), ..., А^ (b^) порождают группу Н.
Поэтому существует преобразование Нильсена, переводящее Лх, ..., An в bi, ...
•••» ^n—h ^- Применяя то же самое преобразование Нильсена к элементам ai, ..., а^,
получим свободные образующие Wi (а^), ..., Wn (а^) группы f. Так как Wn («v)
равно единице в группе (/, то нормальное замыкание элемента R в группе F
содержит примитивный элемент Wn- Поэтому слово /?, переписанное в образующих
Wu ..., Wn, должно содержать вхождения Wn- Кроме того, R = V (Wi,..., W^_^i)' ^

296 Гл. 4. Свободные произведения
где N лежит в нормальной подгруппе группы/^, порожденной элементом 1?^^г- Но так
как N выводимо из Wn* которое в свою очередь выводимо из R, то V {Wu ..., W^_-{)
выводимо из i? и потому пусто. Следовательно, R и Wn выводимы одно из другого,
так что R сопряжено с Wn или W^ а значит, является примитивным элементом.]
21. Показать, что если слово аЬа~^Ь~^ выводимо из слова R (а, 6), то либо
R (а, Ь) является примитивным элементом свободной группы F с образующими а, 6,
либоR {а, Ь) сопряжено в f с aba~^b'~'^ или bab~^a~^. [Указание. Если aba~'^b~^
выводимо из R {а, Ь), то группа <а, Ь; R (а, Ь)) абелева. Применяя к элементам а
и b подходящее преобразование Нильсена, можно получить такие образующие
и (а, Ь) я V (а, Ь) группы F, что R {а^ Ь) =z V^ - С ((У, У), где С — произведение
коммутаторов от /7 и У. Так как группа G абелева, то при k Ф О элемент U имеет
конечный порядок. Но по теореме 4.10 в группе G = <t/, V; U^C{U, V)) порядок
элемента U бесконечен, если слово С содержит вхождения V, Поэтому либо /г = О,
либо k ^ О и С {U,V) не содержит V. Если ^ = О, то /? = С ((/, У) и aba~^b~^
выводимы одно из другого, так что R (а, Ь) сопряжено в F с aba~^b'~^ или bab~^d~^.
Если же /г ?= О и С (V,V) не содержит V, то R (а, Ь) = V^, Но группа G =з
является абелевой лишь в случае, когда ^=1 или—1. Следовательно,
R z= и или и~\ и потому элемент R (а, Ь) примитивен.]
22. Показать, что группы <а, Ь, с\ а}Ь^ [U (а, Ь, с), V (а, ^, с)]) и <а, Ь, с\
a^b^V* [L/(а, 6, с), V (а, 6, с)]> не имеют элементов конечного порядка, где
{ljy\ = f/~^K""^6^y. [Указание. Если i? = L^, то /г делит числа а^ (/?),
аИ^) и аЛ^).]
23. Пусть G == <а, 6; аЬ'^а ^ == 6^> и TV — нормальный делитель группы G,
порожденный элементом Ь. Показать, что
л^-<..., ^_1.^о,^1» ...;..., ь1^ь'>_,^ь\^ь\^,,,.),
1де ^j определяет в G элемент а^ЬаГ~К Показать, что группа
К-=(а, ... , 6^ . . . ; . . ., аЬса-^ =^ Ь^_^^, . . . , 6f = 6^>,
где / =» О, ±1, ±2, ..., изоморфна группе 0. [Указание. Рассмотреть гомо-
люрфизм представления группы К в представление группы G, при котором а -^ а,
Ь{ -^ dboT'^. Показать, что каждый элемент из К представим в виде слова a^W (bj.
Если aj W (bi) переходит в единицу группы G, то / =« О и 11^ (bi) равно 1 в Л^, а
значит, и в /е.]
24. Показать, что Н ^ (а, Ь\ аЬ'^а~^ == Ь^, ba^b~~^ = а^) — единичная
группа. [У к а з а н и е. Достаточно показать, что если группу
G = <а, Ь; аЬЧ~^ = Ь^)
профакторизовать по нормальному замыканию элемента ba^b~^a , то получим
единичную группу. Ту же самую фактор-группу можно получить, если группу
К^(а, .... Ьсу . ., ; . . ., abio-^ =» b^_^^, ...» ^i = 6^>
профакторизовать по нормальному замыканию элемента bob'^^a~^. Итак, покажеМ|
что группа
является единичной. Так как в L выполняются соотношения аЬ2а~~^ «я 6з и а =¦
=— bobj' то bob^^ ^2 • ^2^о"^ "^ ^о^2^о"^ "=" ^3- Отсюда Ьо^"^^^ =• ^з*
Попытаемся выбрать п так, чтобы элементы Ь*^ и 63 были степенями элемента bo. Так кам
ь2 ^ /,3 /,2 ^ ^3 ,^2 1^3
^ = <а ^f, ...;.•. , abia ^ = 6^., ^ ., , , 6^ = Ь^, b^b^ ^ = а>

4.4. Группы с одним определяющим соотношением' 297
то возьмем rt = 8. Тогда
ftS = (fe2L „ F3^4 ^ (i,2j, _ (j,3)a _ ftl8_
Таким образом, из ЬоЬ^Ь^^ =» 63 следует bobfb'^^ = 6^'', и потому 6^ = 1. Но
1 = Ьо = (&о)' = (&?)' -= (Ф' - (Ь^)'^ ° Ь\.
Поскольку ^2 = о^ЫаГ^у то ^q =з 1. Но так как 9 и 4 взаимно просты и 6q =. i^^J =.
«= 1, то 6о = 1- Отсюда bi = а^ЬаоГ^ ¦= I, а=: b^b^ ^ I- Следовательно, L » 1.]
25. Показать, что элементы U ^ ab^a~~^b~^ и V ^ ba^b~~^a~^ uq являются
образующими свободной группы F = (а, Ь). Показать, что нормальное замыкание
этих элементов совпадает с г. [У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 19 и 24. ]
26. Показать, что группа
L = <а, 6; 6 == [а, Ь% а = [Ь', а'+^]\
где [и, v] =3 и v~~ UV н г, S — неотрицательные целые числа, является
единичной. [Указание. Заметим, что соотношение b = [а, Ь^] эквивалентно
соотношению аЬ'^а"^ = Ь^. Представим группу G = (а, Ь\ аЬ^а~^ ^ Ь^) в виде
К-={а, , . . , bi, . . . ; . . . , abia~^ = b^_^^, . . . , 6^ == 6о>.
Элемент Уа^Ь~^а~^'^^ в группе К принимает вид Ь^Ь~''а'~^. Таким образом,
необходилю показать, что группа
L « (а, . .. , 6,-, . . . ; abia-^ - 6^_^р , . . , 6^ = 6^, а = 6j67''>
является единичной. Как и раньше, имеем в L
abf^a'
и потому
Тогда Ь[р^Ь'^'' ^ ^"-fl* ^тобы ^^ и 6"_|_i выразить через ^о, покажем индукцией
по q, XITO b^"^ ^ bf. Для ^ =¦ О это верно. Далее, если это верно для q, то
bf+г =• (Ь^+i)"-' - (^',)^' - (&f)'» Ff)' =- бГ'-
Таким образом, при п => 2^"^^ имеем
bff = бГ"" - ь'оьТ^'ьг - 65 ("Г)^*»-^ --г-Х ('>Г)Чо' =- "Г^'-
И 6^*« 1. Отсюда bf «в 1, и так как 6s — а^М^', то 6^* => 1. Но 2* и 3^ взаимно
просты, и потому bo => \. Таким образом, L « I.]
27. Показать, что группа
L - (а, 6i 6 - [а, 6^+^], а « [6", а^+^]),
"^ == ^+1

298 Гл. 4. Свободные произведения
где р, гп S — неотрицательные целые числа, является единичной. [Указание.
См. указание к задаче 26.]
28. Показать, что группа
L = <а, Ь; b = [а, 6^+^], а^ = [Ь\ а'+^]),
где /7, /, г и S — неотрицательные целые числа, является единичной тогда и только
тогда, когда /«=» 1. [У Казани е. Отображение а -> а, 6 -> I определяет
гомоморфизм группы L на циклическую группу (а; а^) порядка /. Воспользоваться
также предыдущей задачей.]
29. Указать причины, по которььм следующие группы не изоморфны:
(a) <л:, у\ (х^х-'у-'^Г) и (л:, у; {x^y4-^'y~^f)\
(b) (л:, у; {xyx-hj-^f) и {х, у; (xy^-^y"'^)^)',
(c) (л:, у; (xyxy'f) и <д;, у\ (х'^у^)^).
[Указание. Воспользоваться теоремой 4.13 и следствием 4,13.1.]
30 (Баумслаг). Пусть F — свободная группа с образующими ai, ..>, а^' По^
казать, что если W {а^) не является истинной степенью в группе F, то W' (а^)
не является истинной степенью и в группе F/F^''^^ для некоторого /г > 1, где /^^"^ ~~
это л-й коммутант группы F, определяемый индуктивно по правилу
f ^^> - (f, F) и f ^'^> = (F^^-^^ f ^"-^>)
(см. определение 5.3 в разделе 5.1). [Указание. Воспользуемся индукцией
по длине слова 1^. Если длина W равна 1, то IF = о^^, 8 = 1 или — 1. Если W =з
Е= V • (У, где ^ > 1 и (/ f F^^"^^ то сумма показателей в W по образующему а^
должна делиться на ^. Таким образом, W не является истинной степенью по модулю
какого-либо члена ряда коммутантов. Предположим, что утверждение верно для
всех слов длины, меньшей г, и пусть длина слова W равна /" > 1. Если сумма
показателей в W по одному из образующих, скажем, по ai, равна нулю, то рассмотрим
нормальный делитель N группы F, порожденный элементами «2, ..., а^' Тогда
W (а^) содержится в Л^ и в свободных образующих а\а^а'[''', v Ф \, группы Л^ имеет
длину, меньшую г. Поэтому W (а^) не является истинной степенью в N по модулю
некоторой подгруппы N^^^- Предположим, что W является истинной степенью в
группе F/F^'^+^K Тогда WF^^-^^^ ==> К^/^^^+Ь, Сумма показателей по а^ в слове V
равна нулю, так как это верно для W. Поэтому V ? N, и так как /^^^^ ^ N и,
следовательно, f ^"+^^ ^ N^^\ WN^^"^ = V^N^^\ то W является истинной
степенью в группе N/N^"'K Если же сумма показателей в W по каждому образующему
отлична от н>ля, то вложим группу F в свободную группу Н с образующими bi...
..., b^ так, чтобы сумма показателей по bi в слове W равнялась нулю (как в
доказательстве теоремы 4.10). Так kqkF^^^ ^ Н^^\ то достаточно повторить
предыдущее рассуждение уже для группы Я. ]
31. Пусть R (Ь^, с^, d^)— циклически несократимое слово в символах Ьу^, с^, d^
(индексы принимают все целые значения). Пусть, далее, О и г — соответственно
наименьшее и наибольшее значения индексов у 6-символов, входящих в /?, а /? и
/t? -f S — соответственно наименьшее и наибольшее значения индексов у с-симво-
лов, входящих в R. Пусть для любого целого i
^i iK %^ ^v) = ^ (^Л+/' ^^г+/' ^v+/)-
Показать, что в группе

4.4. Группы с одним определяющим соотношением 299
©лементы fto, -.., Ьг, с^, ..., с^^, и все d^ свободно порождают свободную группу,
если /7 «уь ^. [У к а 3 а н и е. Рассмотрим группу
Так'как bi входит в 7?/, но не входит в /?^-_i, а ^^•_|_i_^^ входит в Яц^^у но не входит
в /?', то, используя теорему 4.10, покажем, что группу G можно получить как
объединение групп, каждая из которых является свободным произведением с
объединенной подгруппой групп Gi. В частности. Go является подгруппой группы G.
Так как Rq ^ R содержит элементы Ср и Ср_^^, и один из этих элементов не входит
в множество Сд, ..., с^_^^, то из теоремы 4.10 следует, что элементы ^о, ..., Ьг, с^,...
..., с 4-S " ^^^ ^v свободно порождают свободную подгруппу группы Go, а значит,
и g] '

ГЛАВА 5
КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
5.1. Введение
Простым методом получения информации о группе G, заданной
образующими и определяющими соотношениями, является переход
1ч абелевой фактор-группе. Фактор-группа -G/G' группы G по ее
коммутанту G' является абелевой группой, не зависящей от
данного представления группы G, и если G конечно порождена,
то G/G' является «вычислимой» в том смысле, что можно точно
указать множество чисел, определяющих группу G/G' с точностью
до изоморфизма. Разумеется, возможности этого метода весьма
ограничены. Он, например, не дает возможности различить две группы
с одинаковым числом образующих, если их определяющие слова
представимы в виде произведения коммутаторов. Представляется
естественным изучать, далее, абелеву фактор-группу коммутанта
G4G\ Здесь, однако, возникают значительные трудности, даже
в случае, когда группа G конечно порождена, так как хотя группа
G4G" абелева, она, вообще говоря, не будет конечно порожденной
и может иметь очень сложное строение. Вместо этого мы изучаем
группы G„, члены нижнего центрального ряда группы G (см.
раздел 5.3), которые, как и G', G\ »,., вполне инвариантны в G,
но обладают тем преимуществом, что фактор-группы GJGn-\-\
являются конечно порожденными абелевыми группами, если группа
G конечно порождена. Теория этих групп была развита Ф. Холлом
[1 ], и благодаря далеко идущим возможностям его работы,
коммутаторное исчисление стало систематической теорией.
Ф. Холл использовал чисто теоретико-групповые методы, и
одной из трудностей, которые ему пришлось преодолеть, явилось то,
что коммутирование (т. е. композиция элементов группы,
состоящая во взятии их коммутатора) является операцией, далеко не
просто связанной с основной операцией группы. Теоремы 5.1
(раздел 5.2) и 5.3 (раздел 5.3) показывают, что коммутирование
и умножение в группе связаны «почти» так же, как умножение и
сложение в алгебре Ли ^). Тем не менее этого замечания в
упомянутой работе Ф. Холла нет. Оно подсказывается теорией групп
Ли или теорией линейных операторов, где обычно для обращения
1) Эта 1л\бокая и плодотворная связь была найдена и использована
Магнусом в[10] — Прим ред

6.2. Коммутаторные тождества 801
оператора L, «близкого» к единице, полагают L = 1 + ^ и, ра -
кладывая L""^ в степенной ряд, получают L"*^ =» 1 — и + и^ — и^ +
j^^^^ ^(—\)'^u^j^,,, (Именно так получается ряд Неймана для
решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода.) Для
использования этого метода в общем случае необходимо располагать
достаточно абстрактным аналогом понятия «близкий». Разумеется,
если и'* «* О для некоторого /г, то степенной ряд обрывается, и
не н^'жно накладывать на и никаких количественных ограничений,
гарантирующих «сходимость» степенного ряда для L~"^ примерами
таких линейных операторов и являются операторы, задаваемые
конечными матрицами, у которых все элементы на главной диагонали и
ниже ее равны нулю. (Задача 1 к разделу 5.4 показывает, что для
наших построений можно воспользоваться бесконечными
треугольными матрицами.) Тем не менее, вопросов о сходимости можно
вообще избежать, используя абстрактную алгебраическую
конструкцию кольца А формальных степенных рядов от некоммути-
ругЪщих переменных. Такое кольцо было построено X. Бейке-
ром[11иХаусдорфом [1] для изучения групп Ли,
элементы которых были представлены как некоторые элементы вида
I -\- и кольца Л. Наше изложение коммутаторного исчисления
основано на использовании такого кольца А. Настоящую главу
можно читать начиная с раздела 5,4 и возвращаясь к разделам 5.2 и
6,3 по мере необходимости.
5.2. Коммутаторные тождества
Пусть а и b — элементы группы G. Элемент
a~^b-^ab A)
называется коммутатором элементов а и b (взятых в указанном
порядке) и обозначается (а, Ь),
Будем считать A) определением в группе О новой бинарной
операции, называемой коммутированием.
Коммутирование, как правило, не является ассоциативной
операцией, т. е, вообще говоря, (а, F, с)) Ф ((а, 6), с). Для
описания различных способов коммутирования последовательности п
элементов воспользуемся понятием расположения скобок веса п.
Определение Ъ Л, Расположение скобок ^^ весаПуП^\, 2, ...,
определяется рекурсивно как некоторая последовательность звез-
дочек (обозначающих место для элемента) и круглых скобок
(указывающих порядок образования коммутаторов) следующим образом:
Имеется единственное расположение скобок веса 1,

302 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Для полу*^^^^^ расположения скобок Р" веса п > 1 выбираем
расположение скобок Р^ и р^ весов k и /соответственно, таких, что
k + 1 = п а полагаем
Г = Ф'^): ^ B)
т. е. ставим рядом последовательности р^ и р\ а затем
полученную последовательность заключаем в пару круглых скобок,
В соответс^твии с этим определением (единственным)
расположением скобок 0^^^ 2 является ((*) (*)) и (двумя) расположениями
скобок веса 3 являются
(((*)(*))(*)), ((*)((*)(*))). C)
Удобно и целесообразно не писать скобок, если они окружают
одну звездочкУ' Например, расположение скобок веса 1 будем
записывать в виде *, расположение скобок веса 2 — в виде (**) и
расположение скобок веса 3 — в виде
((* *) *)^ (* (* *)). D)
Введем д^-^ее, следующие определения:
Опре'д^-^ение 5.2. Пусть G — группа, «i, ..., й'„ —
конечная последовательность элементов из G и ^^ — расположение
скобок веса п Определим элемент
Г К ...,««) E)
следующим образом:
pi (%) = «1,
и еслип>1 иР'^ = (Р^), то
Р'' (ai, • • •» ^J = Ф^ (^ь •. •, %), Р' ((^k+u ..., ^J).
Назовем E) ^'Оммутатором веса п от компонент а^, ..., б?^.
Опред^'^ение 5.3. Пусть /4i, ..., А^ — нормальные
делители группы G- Тогда множество всех элементов вида
Р"" (^1, ..., ^J,
где йо ^ Ар^ р = 1, ... , п, порождает некоторую подгруппу
группы G. эта подгруппа, являющаяся нормальной в G,
обозначается через
Р"(Л,..., л^) F)
и называется ^коммутатором веса п от компонент А^у ..., А^.
Коммутат<^РЫ удовлетворяют ряду известных тождеств.
Некоторые из ни^ в дальнейшем будут для нас весьма существенны,
и они собраны в теореме 5.1. Для упрощения обозначений мы
вводим
Опред^'^ение 5.4. Пусть а w b — элементы группы G.
Тогда
а"" = b-^ab, а~' = b-'a-'b, G)

5.2. Коммутаторные тождества 303
Теорема 5.1 (тождества Витта — Холла). Для любых трех
элементов а, Ь, с группы G справедливы следующие равенства:
(а,6).F, а)=1, (8)
(а,&.с)-(а,с).(а,Ь).((а, 6),^), (9)
(а . Ь, ^) - (а, с) . ((а, с), Ь) . (Ь, ^), A0)
((а,й),0-((^,^),&^((Ь,^),^')=1, (И)
((а, 6), с) . (F, с), а). ((с, а), Ь) =
= (&, а) . (с, а) . ((;, Ь^ • (а, &) • (а, с)' • (&, с)^ • (а, с) • (с, а)\ A2)
Доказательство. Доказательство, по существу,
заключается в расписывании каждого коммутатора в виде
произведения элементов группы и последующем упрощении полученных
выражений.
Формулы (8) — A1) принадлежат Ф. Холлу (см. Ф. X о л л [1]
и Л а 3 а р [3], стр. 107). Формула A2) принадлежит В и т т у
[1]. Значение теоремы 5.1 станет ясным в разделах 5.3 и 5.7.
Для коммутаторов от нормальных делителей имеет место
очевидная
Лемма5.Ь Если А и В—нормальные делители группы G,
то (Л, В) также является нормальным делителем в G и содержится
в пересечении А [] В.
Не столь очевиден следующий результат Ф. X о л л а [1].
Теорема 5.2. Пусть А, В и С — произвольные нормальные
делители группы G. Тогда каждый из трех нормальных делителей
((Л, В), С), {{В, С), А) и ((С, А), В) A3)
содержится в произведении остальных двух.
Доказательство. Достаточно показать, что ((Л, В), С)
содержится в произведении
L = ((В, С), Л) . ((С, Л), В).
Пусть а, &, с—элементы групп Л, В и С соответственно. Тогда
Ь^ g В, а^ g Л, и потому, ввиду A1),
((а,Ь),Об^.
Так как с^ пробегает вместе с с все элементы подгруппы С, это
доказывает теорему. ^ j
Отметим без доказательства следующую теорему А у с л е н -
дера иЛиндонаЦ]:
Пусть А и В — нормальные делители неабелевой свободной
группы F. Тогда из (А, А) ^ (В, В) следует А ^ В,
Согласно замечанию, сделанному Картаном (Mathematical
Reviews 17, стр. 709), условия этой теоремы можно несколько
ослабить. Другие доказательства и обобщения содержатся в
работах X. Нейман [6] и Б. Неймана [18].

304 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Задачи
1. Пусть А и В — нормальные делители группы G. Показать, что, вообще
говоря, (Л, В) Ф А'^^В'-^АВ. Показать, что (Л, В) «=. {В, А).
2. Показать, что если ai, 02» •••» Ол — свободные образующие свободной
группы F и Р'^ — расположение скобок веса п, то
Р'^ («1. . . . , fln)
является несократимым словом, оканчивающимся на д^.
3. Пусть ai, Дз» •••> ^п свободно порождают свободную группу F и р'* —
расположение скобок веса п. Пусть L обозначает длину слова в образующих ai, ...
..,, йп* Показать, что
L (р" (а^. а„ . .. , an)) < 3 . 2«-^ - 2.
В частности,
L(p"(ai, а^, •..» а«))=3«2''-^-~2
тогда и только тогда, когда Р'* получается из р^ последовательным добавлением по
одной звездочке слева или справа.
4. Пусть ш, Дз» •••» ^п свободно порождают свободную группу F и пусть р'*
и V'* — расположения скобок веса п. Показать, что
Р'' (а,, ^2» • • . , an) = 7" («I» «2. • • • » «я)
тогда и только тогда, когда Р" = у^.
5. Показать, что число расположений скобок веса п, п > 1, равно
I /2/г-2\
/1 — 1 V п )
[Указание. Пусть рп — число расположений скобок веса /г. Рассмотрим
формальный степенной ряд
оо
Р(х)^'^Рпх\
п=\
Показать, что
Р (х)^ — Р{х) + х = ОиР@) = 0.
Получить теперь р^, раскладывая функцию
в степенной ряд.]
6. Пусть Й!, ..., йп свободно порождают свободную группу Р, Показать, что
множество элементов
рп (а,^, а,^, . . . , а^^),
где Р'^ — произвольное расположение скобок веса п > I и fi, ^2> •••» ^п —
произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., л, состоит из
2"-^ . B/2 — 3) • Bл — 5) ... 3 » I
членов.
7. Пусть в группе всех взаимно однозначных преобразований множества
целых чисел подгруппа G состоит из преобразований В1ща п -^ гп + k, где k —
произвольное целое число-и е =з ±1- Показать, что
(G, G) = {/Z -> л + 2k, где k — произвольное целое}
и что
((G, G), G) я= {п -> л + 4^, где /г — произвольное целое}.

5.3. Нижний центральный ряд 305
Поэтому при Л «1 (G, G), 5 =. (J и С « G
((А, В),С)Ф (Л, {В, С)).
8. Пусть А Q В — коммутативная, но не ассоциативная операция, и пусть
рл—расположение скобок веса п. Определим по индукции ^'^ (Ai^ ,.., Л J:
и
Р"(Лг, ... . Л^) - Р^Л,, ... , Л^)ерЧ44-1» ..., ^«).
где Р« « (Р'Р^).
Показать, что в общем случае множество
P"(^..'^v ••••V
где р" —произвольное расположение скобок веса /г > 1 и fi, fg, •••¦ ?« —
произвольная перестановка чисел 1, ..., п, состоит из
B/г — 3) Bп — 5) . .. 3 . 1
•лементов.
5.3. Нижний центральный ряд
Пусть G—группа и Р" — расположение скобок веса п.
Подгруппа (см, определение 5.3)
P"(G,G, ..., G) A)
вполне инвариантна в группе G. Две последовательности таких
подгрупп получили специальные наименования.
П'Я производная группа G^"^ группы G определяется индуктивно
по правилу
Q@) _ Q^ д(.+1) _ (Q(n)^ Q(.)j^ n = О, 1, 2, .,.
Группа G, в которой G^^^ = 1 для некоторого положительного
целого числа Л^, называется разрешимой. Фактор-группы G/G^^^
и G/G^^^ использовались в главе 3 для получения признаков
изоморфизма.
Подгруппа Gn нижнего центрального ряда группы G
определяется индуктивно по правилу
G^^G, G„+i = (G^, G), n=l,2, ...
Группа G, в которой Gn = 1 для некоторого положительного целого
числа Л^, называется нильпотентной.
Можно показать, что G„ является вербальной подгруппой
группы G, порождаемой словом
{{...{{Х„Х,),Х,), ...),ХХ
т. е. G„ порождается множеством коммутаторов

306 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
где gi g G, / = 1, 2, ..., п (см. упражнение 3). Коммутатор вида
B), где все левые скобки расположены слева от каждого элемента,
входящего в него, называется простым п-кратным коммутатором
и обозначается
Таким образом, (И) из 5.2 можно записать в виде
{a,b,c''){c,a,b'){b,c,a') = L
Коммутаторные тождества, указанные в предыдущем разделе,
принимают особенно простой вид по модулю членов нижнего
центрального ряда.
Теорема 5.3. Пусть а, Ь, с — элементы группы G, и пусть
k, т, п— такие положительные целые числа, что a^G^y Ь ^G^^j
с 6 G^. Тогда
а* Ь^Ь - а (mod G^+m), D)
(а, b- с)^ (а, Ь) . (а, с) (mod Gk+rn+n), E)
(а ' b,c)^ (а, с). F, с) (mod Gk-\-m+n)y F)
(а, 6, с) ф, с, а) {с, а,Ь)^1 (mod Gk^^^n+i)^ G)
Доказательство. Очевидно, что а - b = b - а * (а, Ь),
Поэтому D) эквивалентно условию (а, Ь) g Gk-{-my т. е. условию
(G„ G J ^ G,+^. (8)
[Заметим, что (G^, G,J не обязано совпадать с Gk-^m (см. задачу 1)].
Докажем (8) индукцией по т. При т == 1 включение справедливо
по определению нижнего центрального ряда. Предполагая (8)
верным для т, заметим, что по теореме 5.2
(С, Отм) = (G., @,„, Gi)) S ((G„ G,„), Gi) • ((G„ GJ. G,„).
По индуктивному предположению,
((G/2> G^), Gx) ^ (G/e+m, Gi) = G^j+m+l
и
((G^, Gi), GJ S (G;e+1, GJ ^ Gfe+l+m.
Поэтому (G;^, Gm+i) ^ G/j+m+i, И (8), a вместе с тем и D),
доказано.
Для доказательства E) воспользуемся тождеством (9) из 5.2
согласно которому
(а, Ь- с) = (а, с) • (а, Ь) . ((а, 6), ^) =
= (а, Ь) . (а, с) . ((а, с), (а, Ь)) • ((а, 6), с).
Так как Gr S Gg при г > s, то в силу (8) имеем
(а, Ь . с)= (а, 6). (а, с) (mod Gfe+^+^).
Диалогично, с^ использованием^ A0) из 5.2 доказывается F),

5.3. Нижний центральный ряд ' 307
Наконец, для доказательства G) воспользуемся тождеством
A1) из 5.2 и равенством E). Имеем
((а, &),0 = (К^)»^- (^, «))^
= ((а, 6), с). ((а, 6), (с, а)) (mod G2k+m+2n).
Так как ((а, Ь), (с, а)) g Ог^+ш+п, то
((а, 6), О = ((^» ^), ^) (mod G2jfe-f-m4-n).
Аналогично,
{{с, а), Ь') = ({с, а), Ь) (mod G/^+m+2n)
и
((Ь, с), а^) = ((Ь, с), а) (mod 0/е+2т+/г).
Так как сравнение по модулю G,, влечет сравнение по модулю
Gs для г ^ Sy то каждое из указанных сравнений выполнено по
модулю Gk+m+n-\-\' Поэтому
((а, й), с). {{с, а), Ь). (F, с), а) = 1 (mod Gk+m+n+\)» М
Следствие 5.3. Если gi, ..., gp ^ G^y g ^ G^ и ei == ±: 1, то
I П g% g]^n (gr., gr)^f (mog G2k+m), (9)
ig. П g^^] s П (g, g,)^.- (mod G2,+,0. A0)
Доказательство. Индукция по /7 и равенство F) дают
( П ё^^, ё^)^ П {g'^, g) (mod G2,+;n).
Так как
igr\ g) {gi. g) = {gT^ • gn g) = 1 (mod G2k+nih
'TO (^^^ g) = (g^/, g")^^' (mod G2k+m)- Этим (9) доказано. Аналогично
доказывается A0). ^
Значение формул D) — G) определяется их сходством с
формальными законами кольца Ли. Действительно, если бы в этих
формулах вместо сравнений по модулю некоторого члена нижнего
центрального ряда стояли бы равенства, то группа G была бы
кольцом Ли, сложение в котором совпадает с групповым умножением,
а умножение — с коммутированием в группе. (Формальное
определение кольца Ли см. в разделе 5.4.) В самом деле, относительно
сложения мы имеем группу, которая, ввиду D), абелева. Формулы E)
и F) означали бы дистрибутивность умножения относительно
сложения. Антикоммутативность умножения обеспечивается
равенством (8) из 5.2. Справедливость тождества Якоби вытекает из
формулы G).

308
Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Позже (см. раздел 5.7) мы воспользуемся теоремой 5 3 для
получения точной информации о строении фактор-групп GJGn-\-\
в случае, когда G является конечно порожденной свободной
группой. Тем не менее, уже сейчас мы в состоянии доказать, что GJCnM
является конечно порожденной абелевой группой, если группа Q
конечно порождена.
Теорема 54. Пусть группа G порождается элементами
«1, . .у а^. Тогда фактор-группа G^/Gn+i является абелевой и по-
рооюдается теми смежными классами, которые содержат простыв
п-кратные коммутаторы
(«рр ..., «pj, A1)
где Pi ^ A, 2, ..., г}.
Доказательство. Группа GJGn-\-\ абелева, так как
Gn-f-i э G2n 3 (G„, GJ. Для получения ее образующих восполь«
зуемся индукцией по п. При п == 1 элементы (И) являются
образующими группы G, и, следовательно, смежные классы, содержащие
эти элементы, порождают фактор-группу G1/G2. Предположим,
что фактор-группа GJGn+i порождается смежными классами,
содержащими элементы из (II). Так как Gn+i == (G^, G)
порождается элементами (ft, g), где h ^ Gny g ^ Gy то очевидно, что
фактор-группа Gn-hi/Grt+2 порождается смежными классами,
содержащими эти элементы. Кроме того, по индуктивному
предположению.
где 8^ = ± 1, /г' б Gn+b hi ^ G^
Тагором из A1). Из (9) имеем
(h. g) -= (
' k
П h'i
'h',g)J^^(K,gt
Так как {h\ g) g Gn+2, то
b
(
h,g)^U. {h„g)^ (mo(
1=1
и каждый hi является комму*
{h\ g) (modG2n+i).
Далее,
g^Ualiy ri^^ + I, p;e{l,2,
Поэтому согласно A0)
{К. g)
Итак,
{h,g)
ht, П a2; = П (Л„ арЯ (modG„+2).
k
,П
П {hi. ар//
/-1
(modG„4-2).

б.З. Нижний центральный ряд 309
Так как элементы (ft^, а^^) имеют вид, указанный в (И), наша
теорема доказана. ^
Образующие A1) группы GJGn+i всегда зависимы при /2> 1.
Для частного случая, когда G—свободная группа конечного
ранга г, мы покажем, что GJGn+i является свободной абелевой
группой, ранг которой можно точно подсчитать (см. формулу
Витта, раздел 5.6 и теорему 5.12).
Применим теорему 5.4 к группам, аппроксимируемым нильпо-
тентными группами, т. е. к таким, у которых пересечение всех
членов нижнего центрального ряда равно единице. [Общий смысл
термина «аппроксимируемость» см. в разделе 6.5.]
Теорема 5.5. Конечно порожденная группа G,
аппроксимируемая нильпотентными группами, является хопфовой, т е.
не может быть изоморфной своей истинной фактор-группе.
Доказательство. Предположим, что
Gc^G/K = G*.
Так как G с^ G'^ и члены нижнего центрального ряда являются
вербальными подгруппами, то
GjGn-i-i ^ GjGn+i
и G*n == KG J К, Gn-^\ = KGn~\-\IK (см. задачу И к разделу 2.2).
Если К =7^ 1, то существует такое целое п, что
K^G^, но /CcgGn+i.
Тогда
GX+1 ^ GjGl^-i - (KGjK)/(KG\+,/K) с- KGjKGn+x с-
- GjKGn^x ^ (G^/G^+i)/(/CG^+i/a,_L,).
Так как G^/G„4-i — конечно порожденная абелева группа
(теорема 5.4), она не ^южeт быть изоморфна своей истинной
фактор-группе (см. задачу 20 или 21 к разделу 3.3). Следовательно, /С = 1,
и группа G хопфова. ^
С помощью теоремы 5.5 можно дать еще одно доказательство
хопфовости конечно порожденных свободных групп (см. раздел 5.5).
Задачи
1. Показать, что если Q — группа преобразований множества целых чисел
вида X -^ Ех + /г, где 8 =» i 1 и ^ — произвольное целое, то коммутатор (х -> eix +
+ ^1, X -^ EiX + ^2) является преобразованием х ^ х + гх (г^ — \)ki-\~
Ч-8а (81 — 1)^2- Показать, что G^^^ = {v-> л: + 2^, А; = О, ± 1, ±2, ...,} , а
0^'^^ гж 1, так что G разрешима. С др>гой стороны, показать, что для п > I
Gn-=^{x-^x + 2"-^^^, ^ - О, ± 1, ± 2, .. . },
так что О не является нильпотентной группой Показать, что G аппроксимируется
нильпотентными группами. Заметить, в частности, что
(Gg, G2) Ф G^.

810 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
2. Пусть G — группа невырожденных матриц, элементами которых являются
рациональные функции от че'1;ырех переменных s, t, и, v. Пусть Н — подгруппа
группы G, порожденная матрицами
\\ S и \\ ||/ t' II
1 О 1 II 11 О 1 II
Показать, что Я^2^« 1, но Я не является нильпотентной группой. Показать, что
Н аппроксимируется нильпотентными группами.
3. Показать, что On является вербальной подгруппой группы О,
порождаемой словом
((.., ((Х„Х,),Х,), ...),Хп).
[Указание. Показать, что если а—простой /г-кратный коммутатор, то и а
является простым /г-кратным коммутатором. Показать, далее, что (а - Ь, с) ==
= (а^, с^) • F, с) и что (а~^, Ь) = (а, Ь^)~^. Показать, индукцией по /г, что если
eiy "ч ёк—простые /г-кратные коммутаторы, то! П ^^.^ ^ является
произведением простых (п + 1)-кратных коммутаторов и их обратных.]
4. Показать, что если группа G нильпотентна (разрешима), то произвольная
подгруппа и фактор-группа группы G нильпотентны (разрешимы).
5. Показать, что нециклическая свободная группа не является ни
нильпотентной, ни разрешимой. [Указание. Воспользоваться задачей 2 к разделу 5.2.]
6. Показать, что если К — поле и G — группа треугольных матриц
II о ^3 II
то никакая подгруппа группы G не может быть нециклической свободной.
[Указание. Показать, что G^^^ = 1, так что G разрешима.]
7. Показать, что в нильпотентной группе элементы взаимно простых порядков
перестановочны. В частности, конечная нильпотентная группа является прямым
произведением своих силовских подгрупп. [У к а з а н и е. Пусть аи b —элементы
взаимно простых порядков /? и ^ соответственно. Если Н — порожденная этими
элементами подгруппа, то Н^ — нормальное замыкание элемента (а, Ь). Далее,
1 -= (а^, Ь) е (а, bf (mod Яз) и 1 = (а, 6^) = (а, 6)^ (mod Яз). Отсюда (а, Ь) ?
? Яз, и Яз ¦= Яз. Так как Я нильпотентна, то Н^ = Яг = 1.]
8. Пусть G = {а, Ь\ а^Ь"^}. Показать, что Gд^ = Gg для Л^ > 2, и потому
группа G не является нильпотентной. Показать, что к а 3 а н И е.
Для доказательства равенства G^ = Gg воспользоваться указанием к задаче 7.
Для доказательства второго утверждения рассмотреть симметрическую группу
третьей степени (а, Ь\ а^, 6^, (аЬ)^), являющуюся фактор-группой группы G.]
9. Показать, что группа матриц над полем вычетов целых чисел по модулю 3,
порождаемая матрицами
II — 1 О II II 1 1
не является нильпотентной.
10. Показать, что группа G треугольных п X л-матриц над полем F
разрешима. [Указание. Показать, что G^^^ состоит из треугольных матриц М, все
элементы главной диагонали у которых равны единице. Такая матрица М пред-
ставима в виде I -\- Л, где / — единичная п X м-матрица, а Л — треугольная
матрица, главная диагональ которой состоит из нулей. Показать, что Л"= О и М^^^
»=« / — Л + Л2 -— ... + (_1)"-М"~^ Показать, далее, что если Mi = / + Л1,
Л12 = / + Л2, то (Ml, М2) = I + В, где матрица В имеет больше нулевых
диагоналей, стояц;их над главной, чем каждая из матриц Ai и Лз. Таким образом,

5.4. Свободно порожденные градуированные алгебры 311
матрица М из G^^^ имеет вид / + Л, где матрица Л имеет хотя бы п нулевых
диагоналей, стоящих над главной, т. е. Л = О и G^"^ =.1.]
11. Показать, что если G — группа треугольных п X /г-матриц, в каждой
матрице которой все элементы главной диагонали равны между собой, то О ннль-
потентна. [Указание. Каждую такую матрицу можно записать в виде X (I -[-
+ Л), где Л —треугольная матрица, на главной диагонали которой стоят нули.
Заметим, что (/ + Ai, I + Лд) =« / + ^, где В — сумма произведений, в каждом
из которых есть хотя бы один множитель Ai и хотя бы один множитель Лз-
Поэтому, если k диагоналей, стоящих над главной диагональю матрицы Ль состоят
из нулей, а в Лд главная диагональ состоит из нулей, то в матрице В хотя бы k -Ь
-j- 1 диагоналей, стоящих над главной, состоят из нулей. Если уИ f G«, п > 1,
т-о.М => / + Л, где в матрице Л хотя бы п диагоналей, стоящих над главной,
состоят из нулей, т. е. Л == О и G^^ = 1. ]
12. Показать, что произвольная группа бесконечных треугольных матриц
аппроксимируется разрешимыми группами, но не обязательно аппроксимируется
нильпотентными, кроме случая, когда у каждой матрицы диагональные
элементы равны. [Указание. Воспользоваться задачей 9 и указаниями к
задачам 10 и П.]
5.4. Свободно порожденные градуированные алгебры
Для изучения нижнего центрального ряда групп (особенно
свободной группы) нам необходимы некоторые алгебраические
понятия, выходящие за рамки теории групп. Мы введем их здесь по
возможности простейшим способом (систематическое и
исчерпывающее изложение см. уШевале [1]). Кроме нескольких
определений, здесь будут введены также обозначения, которые будут
использоваться до конца этой главы.
Начнем с кольца R, называемого кольцом коэффициентов.
В этой главе R всегда будет областью целостности с нейтральным
элементом 1 {Ф 0) относительно умножения; в действительности,
R есть одно из следующих трех колец:
Z — кольцо целых чисел,
Q — поле рациональных чисел,
Gq — поле Галуа порядка q, где q является степенью простого
числа.
Различные алгебры, необходимые нам, будут 7?-модулями
(модулями над R) относительно сложения. Относительно
умножения мы во всех случаях будем предполагать справедливость обоих
дистрибутивных законов. Для произвольных г^, г^ ^ R и любых
двух элементов и, v каждой из наших алгебр мы потребуем, чтобы
(г^и) (r^v) - (r^r^) (iw)
и
\и = и,
где приписывание обозначает умножение. /?-модуль с умножением,
удовлетворяющим обоим дистрибутивным законам и указанным
свойствам, будет называться R-алгеброй, (Заметим, что мы не
требуем коммутативности или ассоциативности у.лшожения в /?-алгеб-
ре, хотя умножение в кольце R этими свойствами обладает.)

312 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Определим теперь несколько /?-алгебр,
I. А л г е б р а Aq (R, г).
Эту алгебру можно описать как ассоциативную /?-алгебру,
базисными элементами которой являются всевозможные формальные
произведения, или одночлены
(где nj Ф rij^u ^1, П2,,„, rif, б {1, 2, ... г] и k, е^, е^, ..., е^~
положительные целые числа) от г ассоциативных, некоммутирующих
неизвестных или «переменных» Xj, ..., х^.
Базис дополняется нейтральным (единичным) элементом 1,
присоединенным к алгебре; этот элемент можно отождествить с
нейтральным элементом кольца R и считать его также, по определению,
нулевой степенью каждого неизвестного лгр (р «= 1, .,*, г) и пустым
одночленом.
Умножение базисных элементов определяется очевидным
образом как приписывание их друг к другу с последующим
объединением степени неизвестного, стоящей в конце первого множителя,
со степенью неизвестного, стоящей в начале второго, при условии,
разумеется, что это степени одного и того же неизвестного.
Умножение сумм /?-кратных одночленов определяется при помощи
дистрибутивных законов и правила (г^и) {r^v) *= {r^r^ {uv), где r^, Гз g
g i? и u и V— одночлены.
Проверка ассоциативного закона не представляет трудностей.
Очевидно также, что произвольная ассоциативная алгебра над
R с единицей, порождаемая г своими элементами (и единицей),
должна быть гомоморфным образом алгебры Aq (/?, г). В самсш деле,
дистрибутивные и ассоциативный законы без коммутативности
позволяют каждый элемент записать в виде линейной комбинации
(с коэффициентами из R) произведений типа A). По этой причине
алгебру Aq (/?, г) мы называем свободно порожденной
ассоциативной алгеброй ранга г, а множество элементов Хр — множеством
свободных образующих.
Такие понятия, как степень базисного элемента, степень по
неизвестному (образующему), а значит, и однородные члены и
однородная компонента данной степени элемента алгебры Л о {R, г)
определяются естественным образом сложением показателей
степеней у всех или у одного образующего в одночлене.
Задача I в конце этого раздела показывает, как построить
алгебру Aq (Ry г) при помощи обычных, коммутирующих неизвестных
и понятия бесконечной матрицы. Мы можем указать точное
представление алгебры Aq (/?, г) бесконечными треугольными матрицами^
элементы которых принадлежат обычному кольцу многочленов от
нескольких коммутирующих и ассоциирующих неизвестных над
кольцом R,

5.4. Свободно порожденные градуированные алгебры 313
Следующей необходимой нам алгеброй является алгебра Ли.
II. А л геб р а Aq(R, г).
Прежде всего, Ло является /?-алгеброй. Умножение (вообще
говоря) не ассоциативно. Вместо этого для любых трех элементов
(д), ф, я|) из Ло имеем (о обозначает умножение)
со о со = О B)
(со о ф) о ij; -f- ('ф о со) о ф 4- (ф о -ф) о со = 0. C)
Из B) и дистрибутивных законов следует, что
со о ф -|- ф о со = О, D)
поскольку
0=(СО + ф)о(сО + ф) = <^>оСО~|-СОоф-]-.фоСО-|-фоф = СОоф + фоСО.
Равенство C) называется тооюдеством Я^оби, Очевидно, что
Ло не может иметь единичного элемента. Сказанное до сих пор
означает, что Ло является лиевой алгеброй над R. Потребуем, далее,
чтобы Ло порождалась такими г своими элементами ^р (р = 1, ».., О,
что произвольная лиева алгебра над R, порождаемая г элементами
5р, является гомоморфным образом алгебры Ло относительно
отображения gp-> gp. [Или, эквивалентно, мы могли бы потребовать,
чтобы всякое соотношение между образующими gp являлось
следствием законов /^-алгебры и законов B) и C).]
Назовем Ло(/?, г) свободной алгеброй Ли ранга г над /?, а
множество элементов ^р — множеством свободных образуюыщх алгебры
Ло {Ry г), [О существовании Ло см. задачу 7 {d)A Хотя мы пока еще
не можем описать алгебру Ло таким же образом, как мы описали Л о,
указав базис, можно, тем не менее, записать каждый элемент из
Ло в ввде линейной комбинации одночленов. Эти одночлены имеют
вид
Р''(?Р.» 1о„ ... , ?pj (Pi, ... , р^ 6 {1, 2, .«, , я)), E)
где Р'* — расположение скобок веса п (см. раздел 5.2), а
коммутирование заменено урлножением з Ло. Вес п расположения скобок
называется степенью одночлена E), а количество / вхождений
некоторого |р в этот одночлен называется его степенью по Нр. Это
понятие степени позволяет естественнькм образом ввести понятия
однородных членов и однородной компоненты данной степени.
Очевидно, что однородные члены данной степени образуют /?-подмо-
дуль. На самом деле однородность тождеств B) и C),
определяющих алгебру Ли, позволяет доказать следующее утверждение:
Лемма 5.1. Как R-модуль, алгебра Aq {R, г) является прямой
суммой своих однородных подмодулей, т. в, каждый элемент из
Ло однозначно представим в виде суммы однородных элементов из
Д). В частности,
(А) Если Р (ci, ..., Е^) — элемент Aq и Р = О, то каждая из
однородных компонент Р равна нулю.

314 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
(В) Если Н — сумма одночленов вида E) степени, не меньшей п,
и если Н'— сумма одночленов степени, меньшей п, то из Н = Н'
следует Н = 0.
Доказательство. Из свойств произвольной /?-алгебры,
порожденной элементами gj, ..., g^, следует, что каждый элемент
из Ло можно записать в виде суммы /^-кратных одночленов вида
E). Кроме того, используя коммутативность и ассоциативность
сложения, их можно сгруппировать в однородные компоненты.
Чтобы показать, что Ло является прямой суммой своих
однородных подмодулей (или, что эквивалентно, для доказательства (А)),
следует воспользоваться свободой Ло- Мы переносим завершение
доказательства в задачи, где указывается конструктивная
процедура построения алгебры Aq (/?, г) (см. задачи 6 и 7). Более
детальное изложение см. у Ш е в а л е [1 ]. ^
Лемма 5.1 показывает, что проблема нахождения базиса
алгебры Ло сводится к построению базиса для каждого множества
элементов фиксированной степени. Такое построение будет проделано
в разделе 5.6.
Нам понадобятся также два расширения каждой из наших
алгебр Aq {R, г) и Ло (/?, г), допускающие бесконечное множество
переменных и бесконечные суммы.
III. Алгебры Ло (/?, оо) и Л (R, г).
Алгебра Aq (/?, оо) является свободной ассоциативной алгеброй,
порождаемой счетным множеством неизвестных ^/р (р = 1, 2, ...),
Мы ограничиваемся в Ло (/?, оо) конечными суммами, так что
каждый элемент этой алгебры содержится в конечно порожденной
подалгебре Л о {R, г) для некоторого конечного г.
Алгебру Ло {R, г) можно расширить до алгебры Л {R, г) путем
присоединения бесконечных сумм. Произвольный элемент v этой
алгебры будем записывать в виде формального степенного ряда
от некоммутируюи^их переменных
оо
V=IiU,, F)
п=0
где и^—однородный элемент степени я, принадлежащий алгебре
Ло {Ry г). Сложение и умножение определяются естественным
образом. Заметим, что умножение всегда выполнимо, так как в
компоненту данной степени произведения двух бесконечных сумм
этого вида войдет лишь конечное число членов из каждой суммы.
|Мы могли бы определить Л {R, г) как замыкание Ло (/?, г) в
топологии, определяелюй подходящей функцией-расстоянием
(метрикой). Однако нам это не потребуется, и проделать соответствующие
выкладки предлагается читателю (см. задачу 4).]
В дальнейшем удобно будет пользоваться следующим понятием:
Определение 5.5. Идеал X алгебры Л {R, г),
порожденный элементами Хр (р = 1, ..., г), называется базисным идеалом.

5.-4. Свободно порожденные градуированные алгебры
315
Утверждение о том, что элемент и ^ А {Ry г) содержится в п-й
степени иде^'^^ ^» т. е.
и = 0 (modX"),
эквивалентнсР утверждению о том, что все однородные компоненты
и имеют степень, большую п— 1, Если и^О (mod Х'*) для всех
я = 1; 2, ... » то i/ == 0.
IV. А л г е б р ы Ло {R, оо) и Л (R, г).
ОпределиО^м алгебру Ло {R, оо), как и Aq (/?, оо), вводя счетное
множество о1^рззующих, но оставляя лишь конечные суммы. И так
же, как мы получили А {R, г) из Aq (/?, г), мы получаем алгебру
Л (R, г) из Л^о (^» ^)» разрешая употреблять бесконечные суммы вида
со
г|) = 2 со,,,
где 0)" — ко "Нечная сумма одночленов степени п от образующих
1р (и, разумеется, с коэффициентами из кольца R). Так как
произведение члеа^ов степеней пит состоит из членов степени п + т
(если оно не равно 0), мы можем суммы этого типа формально
перемножать: в компоненту данной степени произведения входит лишь
конечное чис^ло членов из сомножителей.
Задачи
1. П\сть Л^о B, 2) свободно порождается элементами хну. Показать, что мы
получим изомо0Рфное представление алгебры Л о (Z, 2), отображая единицу на
единичную матрии^ДУ ^ с бесконечным числом строчек и столбцов, а элементы хну —
соответственно ^^^ матрицы
X =
0 х^
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 У^
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
х^
0
0
0
0
0
1/2
0
0
0
0
0
0
^3
0
0
0
0
0
Уз
0
0
0
0
0
0
^4
0
0
0
0
0
У4
0
0
0 . .. [
0 . . .
0 ...i
0 ... 1
>^5 • •
0 ...1
0 . . . '
0 .. !|
0 ... II
0 , . .
Уо • . •
.°:-:ii

316 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
где х^, ^^(v= 1, 2, 3, ...) — обычные коммутирующие неизвестные (например,
действительные переменные). Показать, в частности, что базисный элемент
алгебры Ло B, 2) переходит в матрицу Б, определяемую следующим образом!
В первой строчке матрицы В все элементы, кроме одного, равны н^лю.
Ненулевой элемент Ь* стоит в (d + 1)-м столбце, где
d = aj + Pi + а2 + р2 + •..+«;, + ?;,
и
Ь* =z= х^Х^ . . . iC^JJf^^^x . . • ^ccj+Pi^ai+Pi+l • • • •^cti+Pi+a. • • • .
ЧТО можно описать следующим образом: если ^-м множителем (/fe =« 1, ..., d)
элемента Ь является х, то х^ содержится в Ь* в точности один раз; если k-ы
множителем элемента b является у, то у^ содержится в 6* в точности один раз.
В /-Й строчке матрицы В все элементы равны О, кроме стоящего в (d + /)-м
столбце, который получается из Ь* прибавлением к каждому индексу числа / — 1.
Показать, что и алгебру Л (Z, 2) можно представить таким же образом.
2. Пусть Q —поле рациональных чисел, и пусть Ло (Q, 2) —свободно
порожденная ассоциативная алгебра над Q с двумя свободными образующими х w у.
Рассмотрим в Ло двусторонний идеал /, порождаемый элементами а:^ и у^. Тогда
фактор-кольцо Л* = Ло// снова являются ассоциативной алгеброй; она получается
из Ло добавлением соотношений а:^ ==, ^2 ^ q Показать, что Л* изоморфна
алгебре М матриц, элементами которых являются многочлены от обычных
коммутирующих переменных s, t с рациональными коэффициентами. Алгебра М состоит
из 2 X 2-матриц и порождается (над Q) матрицами
. И О II ^ IIО S 11 ^ II О О II
I О 1 II IО О I II / О
Изоморфизм между Л* и М определяется отображением
1 ->/, x-^S, у -^Т.
3. Пусть R — область целостности с единицей. Показать, что алгебры
Л о (Rf г) и Л (/?, г) не имеют делителей нуля.
4. Для произвольного элемента и алгебры Ло (/?, г) определим абсолютную
величину I и |, полагая | w | =¦ О, если w =« О, и | w | «» 2~''^, если п — наименьшая
степень (ненулевых) кратных базисных элементов, входящих в и. Показать, что для
любых и, V ? Ао {R, г) имеют место соотношения
\uv\=^\u\ ' \vl |м + у| <max(| w|, |у|).
(Иначе говоря, | и\ является неархимедовым нормированием алгебры Ло (/?, г).]
Показать, что функция-расстояние \и — v\ превращает Ло (R, г) в метрическое
пространство. Распространить эту метрику на алгебру Л (/?, г) и показать, что
Л {R, г) является полным метрическим пространством, в котором подпространство
Ло (R, г) плотно.
5. Определим функцию-расстояние А в алгебре Ло {R, г) следующим образомг
для любых двух элементов ф, "ф g До (R, г) расстояние А (ф, \f), по определению»
равно 2~"^, если ф — if ^ О и наименьшая степень ненулевых однородных
компонент ф — г|5 равна п. Если же ф — г|? ™ О, то А (ф, г|)) =, 0. Доказать, что для
любых трех элементов ф, tp, со ? До выполняется неравенство
Д (ф» 'Ф) + А №» ю) > А (ф» со).
Показать, что относительно этого расстояния Ло является метрическим
пространством. Распространить эту метрику на алгебру Л (/?, г) и показать, что Л(/?, г)
является полным метрическим пространством, в котором подпространство Ло {R, г>
плотно.

5.4. Свободно порожденные градуированные алгебры 317
е. Пусть R—область целосгности с бесконечным множеством элементов.
Предположим, что элемент ф алгебры Ло {R, г) (свободно порождаемой элемента\ и
1г, ..., Ы равен нулю.
(a) Показать, что если ф =» ф1 + .,. + ф/2, где каждый член из ф; имеет
степень i по 1и то каждое ф/ « 0.
(b) Показать, что если ф =i ф1 + ... -|- ф^, где каждый член из ф^ имеет
степень i по совокупности элементов из некоторого фиксированного подмножества
множества {1и •••» 5г}» то каждое ф^- равно нулю. В частности, если ф^-
-—однородная компонента элемента ф степени i, то Ф^ = 0.
(c) Сформулировать и доказать аналоги предложений (а) и (Ь) для свободной
ассоциативной алгебры Ло E, г), где S — произвольная (возможно, конечная)
область целостности.
[Указание. Для (а) и (Ь) показать, что если {|pi, ..., Ipf^} — подмножостзо
множества {gi 1^}, то отображение 5/"^ 5/» ^^'^^ / =^ Pi» и Ц->аЕр^^
где а -— элемент R, определяет гомоморфизм свободной лиевой алгебры в себя.
Образом ф является нуль, и потому
аф^ + а2ф2+ ... +а'*Ф/2 = 0
для всякого а G ^' '^^к как R бесконечно, можно найти п таких элементов ai,...
„, ад из R, что определитель, составленный из строчек а^, а^, ..., а^, отличен от
нуля. Поэтому ф1 = ... = ф^ =я 0. Для (с) воспользоваться линейной
независимостью различных одночленов из Ло.]
7. Свободная R-алгебра Во (R, г), свободно порождаемая элементами xi, ...
,.., Хг, получается, по определению, если в качестве базиса взять произвольные
элементы Р" (д;^ , ..., л;^ ), где Р^ —расположение скобок веса п > О и Pi ? {1, ...
..., г], причем произведением базисных элементов
^Р^%р^, .. . , х^^) и рЧ^'а.' V
объявляется базисный элемент
Р (-^р^, . . . , А^р^, л-^^у • • ¦ ¦ ^а^)'
где /г =в ^ + / и Р" =: (Р^Р^). (Умножение произвольных элементов из ^о {R, г)
определяется теперь как обычно.)
(a) Показать, что произвольная /^-алгебра, порождаемая элементами ai, ...
..., йг, является гомоморфным образом алгебры Во (Ry г).
(b) Показать, что идеал алгебры Во (/?, г) (т. е. /^-подалгебра в Во, замкнутая
относительно умножений слева и справа на эл1ементы из Во), порождаемый
элементом 6, состоит из всевозможных конечных сумм /^-кратных элементов вида
P"Up,. ... .л^р^. е. х^._^2' ••• ' V'
где Pi ^ A, ..., г). Обобщить этот результат для идеалов, порождаемых в Во
произвольным множеством элементов {6}.
(c) Пусть степенью базисного элемента Р^ {х^ , ..., х^ ) является, по опре-
делению, число л, и понятия однородных элементов, однородных компонент
элемента из ^0 и т. д., определяются естественн^ьш образом. Показать, что если
каждый элемент множества {9} однороден (степени у разных элементов могут быть
различны) и у лежит в идеале С алгебры Во, порождаемом множеством |G), то и
Каждая однородная компонента элемента у лем<ит в С.
(d) Показать, что свободная лиева алгебра Ло (/?, г) со свободными
образующими |i, ..., 1^ изоморфна фактор-алгебре алгебры Во по идеалу С, порождаемому
всеми элементами из Во вида аР + Ра и (о:РO + (Т<^) Р + (Py)*^; где а, Р и y —
базисные элементы алгебры Во,

318 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
(е) Показать, что если элемент алгебры Ло {R, г) равен нулю, то и все его
однородные компоненты равны нулю.
[Указание. Для (Ь) определить сначала индукцией по п f>^{yi, ..., Уп)
для произвольных элементов уи ..., у^ алгебры Во. Показать, что множество
указанных в (Ь) элементов замкнуто относительно умножения слева и справа на
базисные элементы. Для (с) воспользоваться тем, что однородная компонента
суммы равна сумме однородных компонент слагаемых и что выражение
является однородным, если 9 — однородный элемент. Для (d) показать, что Во/С
отображается в произвольную алгебру Ли с г образующими. Для (е)
воспользоваться (с) и (d).]
8. Пусть Во (/?, г) — алгебра из задачи 7.
(a) Пусть каждый элемент из множества {9} является суммой членов,
имеющих одну и ту же степень по совокупности образующих из фиксированного
подмножества {лгр , ..., Хр ] множества {xiy ..., х^} (у разных элементов эти степени
могут быть различными). Пусть, далее, элемент у из Во лежит в идеале С,
порождаемом в Во множеством {9}, и пусть у= f/iH-... + Уп, где ус имеет степень i по
совокупности л-р , ..., д^р . Показать, что все ус лежат в С.
(b) Показать, что если Ло {Rj г) — алгебра из задачи 7 (d) и ф =з ф1 + ...
... + ф/t» где ф^' имеет степень i по совокупности образующих gp , ..., gp , то
из ф = 9 следует ф/ = 9 для каждого L
[Указание. См. указание к задаче 7.]
9. Пусть R — поле действительных чисел и V — множество трехмерных
действительных векторов at + bj + ck, где t, /, k — взаимно перпендикулярные
единичные векторы. Показать, что если в качестве умножения взять векторное
произведение, то V будет лиевой алгеброй над R. Найти ядро гомоморфизма алгебры
Ло (R, 3) на Vy определяемого отображением
Si -> i» ?2 -> /' ^3 ->^«
[Указание. При этом гомоморфизме элементы
^1^2 ?3» ^2^3 Si' ъЛк ^2
переходят, очевидно, в нуль. Пусть С — идеал, порождаемый в Ло этими тремя
элементами. Индукцией по степени показать, что в фактор-алгебре Ло/С каждое
произведение образующих gi, I2 и §з является линейной комбинацией элементов
1ъ ^2 и §3. Вывести отсюда, что V с^ Ло/С]
10. Пусть В — произвольная ассоциативная /^-алгебра. Определим в В
новую операцию [л:, у] по правилу
[х, у] = ху — ух.
Показать, что относительно этого «скобочного умножения» /^-модуль В является
алгеброй Ли. [У к а 3 а и и е. Проверить B), C) и условия, фигурирующие в
определении /^-алгебры.]
И. Пусть В —ассоциативная алгебра, и пусть С и D —такие подалгебры
алгебры В, что С (] D z=i 0. Показать, что если каждый элемент из С
коммутирует относительно умножения с каждым элементом из D, то С -\- D является
алгеброй Ли относительно скобочного умножения из задачи 19. Более того, алгебра
Ли С + Ь изоморфна прямой сумме лиевых алгебр С и D.
12. Показать, что ассоциативная /^-алгебра В изоморфна алгебре Ло (/?, г)
тогда и только тогда, когда в В существуют такие г элементов r/i, ...., Уг, что
произвольное отображение этих элементов в ассоциативную /^-алгебру С можно
продолжить до гомоморфизма В в С. (Это свойство продолжаемости часто
используется для определения понятия свободы общих алгебраических систем и множества
образующих этих систем.)

5.4. Свободно порожденные градуированные алгебры 319
13. Сформулировать и доказать аналог результата из задачи 12 для алгебры
Ло (R^ г).
14. Пусть Л о (R, г) — ассоциативная алгебра, свободно порождаемая
элементами XI, ...J Хп /¦ > 2, причем некоторый элемент из кольца R имеет
бесконечный мультипликативный порядок (например, если характеристика R равна
нулю, то 2 имеет бесконечный мультипликативный порядок). Пусть операция *
на множестве Ло определена посредством «полиномиального выражения», т. е.
для любых Ру Q из Ло
где aj f /? и //, /у — положительные целые числа, кроме 1\ и / , которые могут
быть и нулями.
(a) Показать, что если
Р * aQ = аР * Q = а (Р * Q)
для всех а g 7?, то
Р * Q = ajP + aaQ + asPQ + afi?,
(b) Показать, что если операция * дистрибутивна слева и справа
относительно операции + и удовлетворяет требованию (а), то
p^q:= yPQ + 6QP.
(c) Показать, что если в дополнение к (а) и (Ь) операция * антикоммутативна,
Т. е. Р * Q =а —Q * Р, то
P*Q==?>[P, Q].
(d) Показать, что антикоммутативная /^-алгебра, умножение в которой
определяется «полиномиальным выражением» в свободной ассоциативной алгебре^
автоматически является алгеброй Ли, т. е. удовлетворяет тождеству Якоби.
[Указание. Для (а) рассмотреть выражения а^л;1 * ;С2 и лг! * а^лгд, где а
имеет бесконечный мультипликативный порядок. Для (Ь) показать, что из
(Pi + Рз) * Q =3 Pi * Q+ Р2 * Q следует, что ag из (а) равен нулю. Для (с)
воспользоваться равенством a:i * лтд = —Х2 * xi,]
15. Пусть М — алгебра над кольцом целых чисел с линейным базисом
X, у, XX, ху, ух, уу,
где умножение состоит в приписывании, кроме случаев, когда получается одно
член степени 3 или более (такие произведения равны нулю).
(a) Показать, что М является ассоциативной алгеброй.
(b) Показать, что умножение в М не удовлетворяет условию нильпотентности
B), но удовлетворяет тождеству Якоби C), хотя М ассоциативна и отлична от
нуля.
[Указание. Показать, что если тождество Якоби выполнено для
одночленов, то оно справедливо для любых элементов. ]
16. Пусть Gslx, у, г] — ассоциативная и коммутативная алгебра
многочленов от X, у, г над полем вычетов целых чисел по модулю 3. Определим для
произвольных Р и Q из С?з [л:, ^, z]
P*Q = P3Q — PQ3.
(a) Показать, чтоаР * Q ^ Р * aQ ^ а (Р * Q) для любых а f Gs и Р, Q g
G G3 [л:, у, г].
(b) Показать, что операция * дистрибутивна слева и справа относительно+.
(c) Показать, что * удовлетворяет условию нильпотентности B), но не
удовлетворяет тождеству Якоби C).
(d) Показать, что в любой алгебре с двухэлементным линейным базисом
условие нильпотентности B) влечет за собой C).
17. Пусть R —произвольная область целостности, характеристика которой
отлична от 2, и L есть /^-алгебра.

320 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
(a) Показать, что условие нильпотентности B) эквивалентно
антикоммутативному закону
ф ¦ «ф = —1J5 • ф.
(b) Показать, что относительно условия B) тождество Якоби C)
эквивалентно «закону дифференцирования»: ф-кратное от произведения равно ф-кратному
от первого сомножителя, помноженному на второй, плюс произведение первого
сомножителя на ф-кратное второго, т. е.
№-?)-Ф = (я|з-ф)-? + г1).E.ф).
18. Пусть лиева алгебра С порождается элементами r]i, ..., Цг (не обязательно
свободно). Показать, что каждый элемент из С является линейной комбинацией
«простых» одночленов
( ••• ((Л/, '%) • Л/з) ••• )'\'
{Указание. Воспользоваться индукцией по весу расположения скобок, а
если р" «а (р^р^), где р^ и р^ — «простые», то индукцией по ^ и задачей 17 (Ь).]
5.5. Отображение свободной группы
в алгебру А (Z, г)
Элементами ассоциативной Z-алгебры Aq (Z, г) от некоммути-
рующих переменных Xi^ ..., х^ являются «полиномы» от х^, ^., х^
с целочисленными коэффициентами. Поэтому в Л о, наряду с
операциями сложения и умножения, можно рассматривать
«подстановку» одного элемента в другой. Например, если Р (Хр) = XiX^ +
+ x^x^Xi, и Qi (Хр), Qa (а:р), Qg (-^р) — произвольные элементы из
Aqj то QiQI + QzQsQi — вполне определенный элемент
алгебры Ло- Если же мы попытаемся распространить эту идею
«подстановки» на А (Z, г) — ассоциативную Z-алгебру формальных
степенных рядов от некбммутирующих переменных Xi, ..., х^ с
целочисленными коэффициентами,— то возникает ряд трудностей.
Например, если Р (Xi) == 1 + Xi + x'^ + ... + х^ + ..,, то Р B)
означало бы
1 + 2 + ... + 2^^ + ... ,
что в нашей алгебре не имеет никакого смысла. Если, с другой
стороны, попытаться вычислить Р (Xg + xl), используя «степенной
ряд»
Р(х,+ х1) = I + {х, + х1) + (х, + xlr + ... +{x,+ x!f+ .,.,
мы поучим
1+Х2 + 24 + 3/2 + 5/2 + ...
так как {х<^ + xq)^ = 4 A + ^2)^ содержит в своем разложении
член ^^ и А''^, если ft < п < 2/5. Так как лишь конечное число

6.5. Отображение свободной группы в алгебру А (Z, г) 821
членов из Р (Xi) может участвовать в образовании членов п-й
степени в Р (^2 + ^2)» 'ГО получается вполне определенный элемент
алгебры А (Z, г).
Вообще, если Р (xi, ..., х^) — произвольный элемент из А (Z, г),
и Qi {хр) , ..., Qr (хр) — элементы алгебры А (Z, г), свободные
члены которых равны нулю, то результатомР (Qi, ..., Q^)
подстановки элементов Qi, ..., Qr в Р (х^, ..., х^) называется такой,
однозначно определенный, элемент из А (Z, г), однородная компонента
п-й степени у которого совпадает с однородной компонентой
степени п элемента Я (Qi, ..., Q^), где Н {х^, ..., л^) — сумма
однородных компонент степени <; п элемента Р {х^, ..., х^).
Это определение корректно и согласуется с интуитивным
представлением об элементе Р (Qi, ..., Q^). В самом деле, если
Р(Хр)-=Ро{Хр) + Рг{хр)+ ... +Рп(Хр)+ ...,
где элемент Рд (Хр) однороден степени п, то Р^ (Qp), i>n, не
имеет членов степени п, так как свободный член Qp равен нулю.
Подстановка элементов Qi, ..., Q^ вместо Xi, ..., х^ в каждый
элемент из А (Z, г), если она определена, т. е. если свободный член
каждого Qp равен нулю, очень похожа по своим свойствам на
подстановку в многочлены.
В частности, справедлива.
Лемма 5.2, Пусть Qj (хр), ..., Q^ (хр) — элементы из
А (Z, г) с нулевыми свободными членами. Тогда отображение
Xp-^Qp (р -= 1, ... , г)
определяет гомоморфизм Z-алгебры А в себя.
Доказательство. Доказательство проводится
непосредственно и основано на получении однородной компоненты
суммы, Z-кратного и произведения из однородных компонент
исходных элементов. Подробности предоставляются читателю. ^
Эта лемма позволяет показать, что в алгебре А (Z, г) имеется
обширная мультипликативная группа, внутри которой мы найдем
полезное представление свободной группы ранга г.
Ц Л]емма 5.3. Множество М всех элементов g из A(Z, г),
свободный член которых равен I, является группой относительно
умножения. Более того, если g =^ I + h, то
g-'=.l^h + h'~h'+ ... +(-1Г/г"+ ... A)
Доказательство. Так как свободный член
произведения равен произведению свободных членов, то Л1 замкнуто
относительно умножения. Так как в А (Z, г) умножение ассоциативно и
М содержит I, осталось для элемента g = I + h найти в М
обратный. Естественно пытаться показать, что g^^ = 1 — h-v h^ —
^~ ^^ + ... + (—1)'* Л^ + ... существует и является искомым
обратным для g. В самом деле, так как свободный член элемента fi
1] в Магнус и др.

322 Гл. 5.^Коммутаторное исчисление
равен нулю и
A+Xi)(l-A',+X?-X?+ ... +(-.1)^^Х?+ ...)««
»(\~x, + x]-x'i + ... +(-1Гх?+ ...) +
+ (x,^xi + x\-/^ -'г ... +(-1Г4+Ч ...)=-и
то из леммы 5.2 следует, что
Так как g'~^ лежит в Л1, то наше утверждение доказано. ^
Теорема 5.6. Если алгебра А (Z, г) свободно порождается
элементами х^, ..., х^, то элементы
Лр =« 1 +^р (р=< 1, ... , г)
^то/^ алгебры являются свободными образующими свободной группы
F (г) ранга г. Кроме того,
а^^-1~Хр+4-4 + -. +(-1Г4+ ...
Доказательство. Ввиду леммы 5.3 достаточно
показать, что несократимое слово в символах ai, ..., а^ не равно
единице. Рассмотрим слово
г=4Ур', ... й;*,
где ej и pj — целые числа, 1 < р/ < /* для / = 1, ..., fe, pj ^
ф p/-f I. Индукцией легко показать, что для любого целого числа д
^2 = 1 + пхр + 4^ ы,
где h (.Vp) — степенной ряд от Хр. Поэтому W совпадает с
произведением
A + ^1^р. + 4.^1 (^р)) ... A + е^х^^ + x\hu (xpj),
единственным одночленом степени k и слоговой длины k которого
является
^1 ... ef^Xp^ .,. Хр^,
Так как Ci ... ^^ =7^ О, то U^ ^ 1. ^
Представление свободной группы F (г), полученное в теореме
5.6, позволяет, в частности, указать важную последовательность
вполне инвариантных подгрупп этой группы.
Теорема 5.7. Пусть D^ (F) — множество таких элементов
Сп группы F {г), что
где h^ — элемент алгебры А (Z, г), не имеющий членов степени,
меньшей п {т. е. h^ лежит в идеале Х^, п-й степени базисного

5 5. Отображение свободной группы в алгебру А (Z, г) 323
идеала X). Тогда D^ (F) является вполне инвариантной подгруппой
группы F (г) и фактор-группа
DJF)/Dn+Un
есть конечно порожденная (если г конечно) свободная абелева
группа. Кроме того, очевидно, пересечение всех подгрупп D^ (F) равно
единице.
Доказательство. Очевидно, что D^ (F)— подгруппа;
покажем, что она вполне инвариантна. Для этого достаточно
показать, что если
W («1, ... , a^)^l+fi^ (xi, .., , X,), B)
где h„ б Х'^у то для любых ^i, ,.., b^ ^ F (г)
лежит в D^ (F). Так как Ь^ ^ F (г), то 6р -» 1 + у^^ где ур б X.
По лемме 5.2 отображение
^р-^Уру Р== I, ... , г,
определяет гомоморфизм алгебры А (Z, г) в себя. При этом
гомоморфизме
ар ->• 6р,
и потому в силу A)
Следовательно,
W(a,, ..., a,)^W{b,, ..., й,).
Таким образом, из B) следует
W(b,, ..,, b,)^\+hjy,, ..., у,),
и D^ (F) — вполне инвариантная подгруппа.
Запишем каждый элемент с^ из D^ (F) в виде
^п = 1 + ^« (^1» • • •» ^г) + /in+i (-^i» • • • » -^r)»
где Р^ (Xq) — однородная компонента степени /z, а Л«н-1 (л-р)
лежит в Х^'^К Тогда отображение
является гомоморфизмом группы D^ (F) на аддитивную группу
Нп однородных многочленов степени п от некоммутирующих
переменных ^1, ..., А*^ с целыми коэффициентами. В самом деле, с^Сп =
— I + Р^ + Рп + hn-i-u где Лп+1 лежит в Х"+^ Так как Н^
является подгруппой аддитивной группы всех однородных
многочленов степени п от х^ .,,, х^ с целыми коэффициентами, которая
является конечно порожденной (если г конечно) свободной абеле-
вой группой, то и Н^ — конечно порожденная свободная абелева
группа. Более того, ядром отображения C) является Z?n+i (F),
11*

324 Гл. б. Коммутаторное исчисление
так что
D,{F)|Dn+^{F)o^H,,
что завершает доказательство. ^
.С помощью теоремы 5.7 можно прямо показать, что конечно
порожденная свободная группа является хоЪфовой (см. задачу 5).
То же самое можно сделать, установив применимость к свободной
группе теоремы 5,6. Имеет место
Следствие 5.7, Если F^ есть п-й член нижнего
центрального ряда группы F (г), то D^ {F) содержит F^,
Доказательство. (Следует заметить, что на самом деле
D^ (F) равно f ^, но доказать это нелегко; мы сумеем сделать это
в разделе 5.7.)
Воспользуемся индукцией по п. Имеем Dj (F) «= f (г) »« F|.
Легко заметить, далее, что D^ {F)/Dn+\{F) лежит в центре
группы F (r)/Drt-j-i ih- Действительно, пусть
C^\+P{Xp) + h{Xp)
c,^l+QAxp) + h'{Xp),
где с ^ F (г), с^ g D,^ (f), Р (Хр) содержит члены степеней,
заключенных между 1 и /г, Q^^ (Хр) — однородный многочлен степени
я, и /I (Хр), h' (хр) 6 Х^+К Тогда
CC^^\+P{Xp) + Qn{X9)+h"{Xp)
c,c^\+Q,{Xp) + P{Xp)+K4>c,).
где h" {хр) и К^^ {хр) лежат в Х^'^^. Таким образом, сс^ и c,fi
равны по модулю Х'^+Ч Но тогда из A) следует, что (a'J"~^ и (с^с)~~^
равны по модулю Х"+^ Следовательно, элемент (^<:J (б'^с)""^ сравним
с 1 по модулю Х"+^ и потому лежит в Dn-\-\ (F). Отсюда
cc^Dn-i-i (F) =» CfjCDn+i (F), и c^Pn-hi (F) лежит в центре группы
F (r)/Dn-{-i (F), Из этого следует, что
{DJF),Fir))^Dn+i{F).
Так как по индуктивному предположению F^ s D^ (F), то
Fn+i ^ {F,^ F (r)) s (D, G^), F (r)) ^ D,+i {P),
и следствие доказано. ^
Выкладки в последних доказательствах подсказывают
следующее
Определение 5.6. Пусть W— слово в свободных
образующих «р = 1 + Хр группы F (г). Отклонение б (W) слова W
определяется по правилу
8{W}^0, если W ^\,
в противном случае
6{Г)««„, D)

6.5. Отображение свободгюй группы в алгебру А B, г) 325
где и^ имеет степень п и является ненулевой однородной
компонентой слова W наименьшей положительной степени.
Легко получить следующие свойства функции б:
Лемма 5.4. Пусть U и V — слова {Ф I) в образующих ар =
^ I + Xq, и пусть
Тогда для любого целого числа I
6{U) ^1а^. E)
Если п <т, то
8iUV)^6iVU) = u,. Fа)
Если п =^ т и Un + Vn ф О, то
8(UV)==8{VU}==u, + v,. (бЬ)
Если п == т и и„ + v„ == О, то UV = 1 или б (UV) = б (VU)
лежит в Х"+Ч
Если UgPfn — ^т^п "Ф О» ^^
b{U-'V-'UV)^u,v,„~v^u,. G)
Если u^Vm —' v^Un = о, то UV = VU или б {U~W'^^UV) лежит
Наконец,
8{U-WU) = v,„. (8)
Доказательство. Для E) можно установить
«биномиальное разложение»
A+«)'=!; О «^
где
/(/-I) .. . (/-S+ 1)
индукцией по /. Так как и ^ Х^ то, очевидно, все непостоянные
члены наименьшей степени элемента A + и)^ входят в 1и, откуда
и следует E).
Формулы Fа) и FЬ) следуют из правил умножения. Формулы
G) и (8) следуют из равенств
A +и)~^{1 +t;)(l +а)- 1 +y + S (— iyu'(vu~uv) (8а)
s=0
И
оо
A + U)""' (I + 0)~' A + «) (I + и) = 1 + 2 (— 1)'"^'«V {UV — VU).
s,t=0
Gа)
Равенство (8а) следует из A), равенство Gа) — из (8а) и из A).

326 Гл. 5 Коммутаторное исчисление
Очевидно, что непостоянные члены наименьшей степени из
левой части Gа) входят в uv — vu. Аналогично, непостоянные члены
наименьшей степени из левой части (8а) содержатся в v. Это
доказывает формулы G) и (8) и завершает доказательство леммы, ^
При помощи леммы 5.4 легко может быть доказано следствие
5.7. В самом деле, предположим, что F^ ^ D^ (f), ^^ 6 f^ и
с ^ F (г). Тогда или с^ и о коммутируют, т. е. с^^с^^с^с « U
или б (г;Г с~ с^с) имеет степень не ^меньшую, чем л + 1, так как
б (cj имеет степень не меньшую, чем л. Таким образом, в любом
случае с^^с''^^с лежит в Dn+i (^)» и потому /^n+i S D^-fi (Л*
Ссылки и замечания. Сходные методы представления группы
в кольцах степенных рядов были развиты Ч е н о м [2, 3].
Утверждение о хопфовости свободной группы конечного ранга
является здесь следствием теоремы 5.7. Впервые оно получена
Нильсеном [2] совершенно иным путем. По существу, о»
доказал теорему 3.3, из которой следует хопфовость конечно
порожденной свободной группы. Доказательство, приведенное
здесь, получено Магнусом [7]. Сходное доказательство нашел
Фукс-Рабинович[1,2], связи между ними рассматривались
Линдоном [3]. Еще одно доказательство получено М.
Холлом [3].
Задачи
1. Пусть С — идеал алгебры А (Z, г), порождаемый элементами Хр..., а:^„
где х\, .. у Хг — свободные образующие Л (Z, г).
(a) Показать, что фактор-алгебра А (Z, г)/С изоморфна алгебре «бесконечных
сумм» целочисленных кратных простых одночленов, в число которых входит 1 и
одночлены вида
^Pi^Oi • • • ^p^j»
где Р/ ? {1, 2, ..., /¦) и р/ V« Р/_|_г ^Р^ ^0^ произведением двух одночленов х^ х^ ..^
... Хр и х^^х^ ... х^ считается результат приписывания второго к первому, если
Р/г ?= огх, и нуль — в противном случае.
(b) Показать, что в алгебре А (Z, г)/С элементы I -\- х^и 1 — ^р взаимно об-
ратны.
(c) Показать, что свободная группа изоморфно представима в алгебре
А (Z, г)/С.
2. Пусть Gp — поле Галуа вычетов кольца целых чисел по простому модулк>
/7, и пусть С — идеал алгебры А (Gp, г), порождаемый элементами л:^, ..., л*^, где
XI, ..., Хг — свободные образующие алгебры А (Gp, г).
(а) Показать, что фактор-алгебра А (Gp, г)/С изоморфна Gp-алгебре «беско*
нечных сумм» Gр-кратных одночленов, в число которых входит I и одночлены вида
•^Pi Рз • • • -^P/j»
где ру ^ {I, ..., г], р^Ф р._|_| we — такое целое число, что 1 < ^. < р — 1. При
•том произведением двух одночленов
Х^^ X ^ VI JC^* Х^

6.5. Отображение свободной группы в алгебру Л (Z, г) 327
считается результат приписывания второго к первому, если р/^ «5^ Oi или ^/г+
+ f\ <. р1 и нуль — в противном случае
(Ь) Показать, что свободное произведение г циклических групп порядка р
изоморфно представимо в алгебре А (G^, г)/С.
[Указание. Рассмотреть гр>ппу
я отображение Др -> 1 + х^. Для доказательства того, что слово, отличное от 1
в группе Е, не может перейти в единицу алгебры А (Gp, г)/С, воспользоваться
несократимой записью в группе Е и доказательством теоремы б.б.]
3. Пусть F (г) — свободная группа, порождаемая в А (Z, г) элементами ар «
^ 1 + А:р. Показать, что если W 'Ф» \ — элемент л-го коммутанта группы F (г),
то степень б {W) не меньше 2'*. [У к а з а н и е. Воспользоваться индукцией по п
я леммой 5.4.]
4. Пусть Q — поле рациональных чисел. Показать, что множество М тех
элементов из Л (Q, г), свободный член которых равен 1, образует группу
относительно умножения и что каждый элемент этой группы для любого положительного
целого п имеет единственный корень я-й степени. [Указание. Рассмотрим
«биномиальное разложение» ^ ;
*' 1
A + х)'^ ^1+±.х+ ,,, Н ^ \х' +
функции A + ^ " действительного переменного х, полученное разложением этой
функции в ряд Тейлора в окрестности нуля. Из того, что умножение степенных
рядов производится формально, следует, что, заменив в правой части этого равенства
X на a:i и возведя полученное выражение в п-ю степень, получим \ + xi. Отсюда,
яо лемме 5 2, корнем л-й степени из элемента 1 + h является I -| /i + . ^. «
[±\
*.. + I ^ I /i^ +... Кроме того, если Р^ {х^, ..., л:^), i =i 1,2, ».., пробегает
множество всех непустых одночленов, равенство
i + 2«^(v "=-1 + 2 bcPiixj.
где ui, bi f Q, ведет к бесконечной системе линейных уравнений от ui, которая
должна иметь не более одного решения, так как при 6^ =» О имеется единственное
решение «1 = 0.]
5 5. (а) Пусть группа G такова, что ее вербальная подгруппа V хопфова и
фактор-группа G/V хопфова. Показать, что Группа G хопфова.
(Ь) Показать, что D,^ (F) — вербальная подгруппа группы F (г) и что
факторгруппа F (r)IDn (F) хопфова
сю
{с) Из задач 20(e) и 21 к разделу 2.4 и равенства П D^{F) с= I вывести хоп-
/г=1
фовость группы F (г).
[Указание Для (а) заметить, что если а: G -> G — отображение на,
то в силу вербальности V, а: V -^ V также является отображением на и а: G/V -^
-^ G/V является отображением на. Так как G/V хопфова, то ядро гомоморфизма
« лежит в V, а так как V хопфова, то ядро а равно единице. Для (Ь)
воспользоваться индукцией по п, теоремой 5.7 и (а). Подгруппа D^ {F) вербальна, так как она

«'' К) = <W'
328 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
является вполне инвариантной подгруппой свободной группы, и можно применить
теорему 2.2. ]
6. (а) Провести детальное доказательство леммы 5.2.
(Ь) Сформулировать и доказать аналог леммы 5.2 для лиевой алгебры Л (Z, /-)¦
Справедлив ли для этой алгебры аналог леммы 5.3?
7. Пусть F (/•) — свободная группа, порождаемая в А (Z, г) элементами а^ =»
«= 1 + дГр, и пусть
где li — ненулевые целые числа, Pi G 1Ь •••! ^} , Pi «9^ P/^-i» ^^'^^ несократимое
слово из F (г).
(a) Показать, что слоговая длина одночленов, входящих в W (а^), не
превосходит k и что одночлен
•^Pi • • • ^Р/_1^Р/ \+Г • • ^9h
входит в W (й ) с коэффициентом (возможно, нулевым)
/i . . . //_1 [J //+1 ... /л.
(b) Показать, что в W (а^) входит бесконечно много одночленов слоговой
длины k тогда и только тогда, когда некоторое // отрицательно. Показать, кроме
того, что если некоторое // отрицательно, то бесконечно много одночленов
слоговой длины k имеют отрицательные коэффициенты и бесконечно много — положи»
тельные.
(c) Показать, что каждый из одночленов
^Р, • • • -^Py-i^Py+i • • • \
(Р;_1 может равняться P;_j_i) входит в W (а^) с коэффициентом
/А • • • ^/-1^+1 • • • ^/г-
(d) Показать, как восстановить слово W (а^) по его представлению в виде
степенного ряда в алгебре А (Z, г).
8. Указать причину, по которой каждый из следующих степенных рядов из
А (Z, г) не принадлежит F (г):
(a) конечная сумма с некоторым отрицательным коэффициентом;
(b) бесконечная сумма с конечным числом отрицательных коэффициентов;
(c) бесконечная сумма с конечным числом положительных коэффициентов;
(d) конечная или бесконечная сумма, содержащая не более одного одночлена
любой степени и хотя бы один одночлен слоговой длины 2;
(e) конечная сумма, сумма коэффициентов которой не равна 2^ для некоторого»
неотрицательного k;
(/) бесконечная сумма, коэффидиенты которой принимают конечное числа
значений, причем 1 и —1 встречаются конечное число раз.
5.6. Элементы Ли и теоремы о базисах
Свойства функции б (и) из леммы 5.4 в конце раздела 5.5
указывают на связь между коммутированием в группе (см. раздел 5.2)
и так называемым «скобочным умножением» в ассоциативной
алгебре, т. е. композицией [i/, и], определяемой по правилу
[и, V] = UV — ш. A)

5.6. Элементы Ли и теоремы о базисах 329
Выражение [и, v) называется скобочным произведением (некоторые
называют его «коммутатором») элементов и и v. Для любых
элементов Uy vi\ W ассоциативного кольца имеем
[и, и] = О, [[и, V], W] + [[w, ul V] + l[v, w], и] - О
{ср. задачу 10 к разделу 5.4). Следовательно, скобочное умножение
8 ассоциативной алгебре обладает свойствами умножения кольца Ли
{дистрибутивные законы очевидны). Поэтому справедлива
Лемма 5.5. Существует такое отображение [i алгебры Ли
Ло (Rt О ^^ свободными образующими |р в ассоциативную алгебру
A\){Rt ^) со свободными образующими х^, что:
1. Каждый элемент ср ^ Л^ имеет в точности один образ
|Х (ф) в Ло.
2. (X (У - Хр.
2. Если ср, \|) ? Ло а а G ^. f^o
|1(аф)-а^1(ф),
|11(ф + г|;)-:11(ф) + ^1A|)),
[г(фо1[^)^[^(ф), ^(i|^)].
Доказательство. Hauje утверждение следует из того,
что каждое соотношение между образующими алгебры Ло является
следствием законов алгебры Ли и алгебра Ло является лиевой
относительно скобочного умножения. ^
Нам понадобится
Определение 5.7. Элемент алгебры Л о (/?, г), являющийся
образом некоторого элемента из Ло (/?, г) при отображении леммы
6.5, называется ^у2^жгяшожЛ« алгебры Л о (/?, г) или элементом Ли
е образующих Хр.
Следует заметить, что не каждый элемент из Ло является
элементом Ли; легко показать, например, что никакая степень х^
при m > 1 не может быть элементом Ли (см. задачи к этому разделу).
Тем не менее каждый элемент из Ло можно единственным образом
выразить через элементы Ли. «Теорема о базисе» (теорема 5.8)
позволит доказать вза[1мную однозначность отображения fx, что
в свою очередь позволит найти базис алгебры Лд. Осуществление
этой программы мы начинаем со следующей леммы:
Лемма 5.6. Пусть Aq (/?, оо) — ассоциативная алгебра,
свободно порождаемая элементами
Х, Уи Уг^ Уз. • • •
Пусть ассоциативная подалгебра S^ {содержащая I) алгебры А о
порождается следующими элементами Ли:
УК = УК, yV " = [УТ, X], ^: = О, 1, 2, .., B)

330 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Тогда элементы у\^ свободно порождают алгебру S^. Более того,
произвольный элемент и из Aq можно записать в виае
и = аох" + x'^-'s, + х'''~% + ... + s^,
где Uq ^ R и Si, ..., s^ ^ Sj^, и это представление для и
единственно, т, е. из и = О следует, что aQ ^ О, Sj =« ... « 5^~ == 0.
Наконец, если и — однородный элемент степени т, являющийся
элементом Ли, то или т = 1 или ао = Si =» ... « Sm-\ === 0.
(Замечание: Будем говорить, что элементы у^^^ получены
элиминацией X из Aq.)
Доказательство. Покажем сначала, что одночлены
2(ev,Av)«yi?Vl? ... yif D)
(rAev== I, ..., Ai и Xv, ^v — соответственно положительные и
неотрицательные целые числа с возможными повторениями) линейна
независимы над R.
Индукцией по k легко установить, что
У'к' = Укх' - (j)ху>/-' + Q х^ук4'-' ~ ...+(- 1)' Q х'у, «I
-=i](-l)^(^)^x/"^ E)
/==0 \]/
Поэтому элемент D), выраженный в образующих алгебры Aq^
является суммой целочисленных кратных одночленов от х и ух^
степень по л: у которых равна
^ « ^1 + ^2 + ... +^п
и которые после замены х на 1 превращаются в
УхМк ••* ^V
Так как элементы хиу), свободно порождают ассоциативную алгебру
Aq, то очевидно, что если существует нетривиальная линейная
зависимость между различными элементами из D), то
нетривиальная линейная зависимость имеется между такими элементами
из D), у которых числа пие одни и те же (см. задачу 6 (с) к разделу
5.4). Мы можем, далее, лексикографически упорядочить одночлены
от X и Ух у имеющие одну и ту же степень по л: и одну и ту же степень
по совокупности неизвестных, сравнивая соответствующие
сомножители слева направо и считая, что
х<У1<У2< ...
Например, если в = 2 и ;i = 2, то
хУгхУз < ху,у,х < ху,у.,х.
Нетрудно убедиться, что этот порядок сохраняется при
умножении. Так как наибольшим одночленом в E) является f/^H, то

6.6. Элементы Ли и теоремы о базисах 331
наибольшим одночленом в D) будет
Ух^х'^УкА"' ... У>./\ F)
коэффициент при котором, как видно из E), равен единице. Так как
различные элементы из D) имеют разные наибольшие члены, то
в любой линейной комбинации с ненулевыми коэффициентами из
R коэффициент при наибольшем из одночленов F) будет отличен
от нуля. Следовательно, элементы из D) линейно независимы над R.
Покажем далее, что произвольный однородный элемент из Л о,
а потому и всякий элемент из Aq, может быть выражен в виде C).
Нужно показать, что в любом одночлене от л; и ^/х множители х
можно сдвигать влево, вводя подходящие у^К В этом
собирательном процессе мы будем иметь дело с одночленами от х и у\^\ Нам
понадобится понятие «дефекта» одночлена: для каждого у^^1^\
входящего в одночлен, сосчитаем количество сомножителей х,
стоящих справа от него,— сумма всех этих чисел и называется
дефектом одночлена. Например, дефект одночленов
xyf^xxy[p и yfhy\^hxx
равен 2 и 7 соответственно.
Покажем теперь индукцией по дефекту, что произвольный
одночлен от X и у^ можно представить в виде C). Действительно, в Aq
так что мы можем произвольный одночлен от л: и у\^^ заменить
суммой двух одночленов, дефект каждого из которых меньше дефекта
исходного многочлена. Применяя эту процедуру к возникающим
одночленам, мы через несколько шагов (число которых не
превосходит дефекта исходного одночлена) получим лишь одночлены,
дефект которых равен нулю. Кроме того, при этом степень
одночленов по X не возрастает.
Если теперь этот процесс применить к каждому одночлену из
однородного элемента и степени т алгебры Л о, то получим
одночлены дефекта О и степени по ;с, не превосходящей числа т. Если
некоторый одночлен из и имеет степень т по л:, то он должен быть
^?-кратным X"* и потому останется неизменным. Итак, и можно
выразить в виде C); значит, произвольный элемент из Aq представим
в виде C).
Для доказательства единственности такого представления
достаточно показать, что если
a^Jc" + x'^-'s, + х""\ + ... + s,„ ^ О, G)
то
. = я. »= 0.

332 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Воспользуемся свободой образуюш,их х v[ у% для доказательства
того, что равенство G) останется верным, если х заменить на л: + Л,
где h — неизвестная, коммутирующая с каждым элементом ьз
Ли, но в остальном от Aq не зависящая. Более точно, пусть A^lh] —•
кольцо многочленов от Л с коэффициентами из А^ (R, оо); .ясно,
что h коммутирует со всеми элементами из Л о. Так как Л о [ft]—^
ассоциативная алгебра, то отображение
x-^-x + h, yx--^y% (8)
определяет гомоморфизм свободной ассоциативной алгебры
Aq{R, оо) в Ло [А]. Индукцией по h легко установить, что элементы
1)\^ неподвижны при отображении (8). Поэтому равенство G)
переходит в равенство
а, {X + кГ + {х + hf-' S, + {X + hr~''s, + ... + s^ = О (9>
в алгебре Л о [Л]. Собирая члены по степеням h и начиная с самой
высокой степени, получим последовательно
0^0 = О» Si = О, S2 = О, ,.. , s^ = 0.
Рассмотрим, наконец, случай, когда и—однородный элемент
Ли, не содержащий /^-кратного х. Покажем, что в этом случае и
неподвижен при гомоморфизме (8). Пусть элемент
Г(^1,^2, ..-, ^п), A0)
где Zv — один из образующих х, ух, а [3^ — расположение скобок
веса /2, интерпретируемое в данном случае как скобочное умножен]:е
в алгебре Aq [/i], отличен от х. Индукцией по п покажем, что
элемент A0) неподвижен при (8). Если /г = 1, то элемент A0) сводится
к X или ук, а так как он не равен х, то он должен быть неподвижен
при (8). Если я > 1 и |3^ = (р^ РО» то
Г(^1,^2, .•', ^J-[P,Q1, A1)
где Р = f>^' (zi, ..., г^, Q = р^ (zk+u ..., -^J- Е^^^^ и Р, и Q
совпадают с X, то A1) сводится к нулю; если ни Р, ни Q не совпадают
с X, то, по индуктивному предположению, элемент A1)
неподвижен при (8). Если лишь Р совпадает с х, то к элементу Q применимо
индуктивное предположение, и A1) под действием (8) переходит в
[X + /г, Q] - xQ + hQ — Qx — Qh ^ [х, Q|,
так как Q g Ло, а h коммутирует со всеми элементами изЛо. Aim-
логично, если лишь Q совпадает с х, (И) неподвижен при (8).
Предположим теперь, что и—однородный элелгент Ли, для
которого т> 1 в выражении C). Так как тогда и имеет степеьь
т, он не может содержать /^-кратных х, и потому неподвижен при
отображении (8). Применяя (8) к C) и собирая степени Л, начиная
с наивысшей, мы получим последовательно а^ =0, s^ = О, ..»
,.., Sm-i = О, что и требовалось доказать. ^

б.б. Элементы Ли и теоремы о базисах 333
Хотя элементы Ли (не содержащие /^-кратных элемента х)
алгебры Aq {Ry г) должны лежать в S^, это лишь необходимое
условие* Например, t/i лежит в 5^', ко не является элементом Ли,
так как в лемме 5.6 элементы xiit/i могут поменяться ролями. Мы
найдем сейчас необходимое и достаточное условие того, чтобы
элемент из Sjc являлся элементом Ли.
Л е м м а 5.7. Элемент из S^^ является цементом Ли в
образующих X и у-к тогда и только тогда, когда он является элементом Ли
в свободных образующих yj^^ ассоциативной алгебры S^.
Справедливость этого утверждения вытекает из следующей
леммы:
Лемма 5.8. Пусть Aq (R, с») *— алгебра Лщ свободно
порождаемая элементами I и ц^, т]2, ... Пусть подалгебра 2j алгебры
Ло порождается элементами г{х\ ii]x\ r[i\ ».., которые
определяются индуктивно по правилу
Тогда 2| является идеалом в Л^,, и для каждого элемента со g Л^
имеем
cosa^,! (modEf) {где а^ Q R), A2)
Доказательство. Покал<ем сначала, как лемма 6.7
следует из леммы 5.8. Элементы Ли алгебры Ло {Ry оо) являются
образами элементов алгебры Ло при отображении |а алгебры Л^
в Ло, определяемом равенствами
(см, лемму 5.5 и определение 5.7). Так как
то образы относительно [х элементов из 2$ лежат в S^. и являются
элементами Ли в образующих уУ (ввиду условия C) в лем^^'е 5.5).
Более того, из A2) и леммы 5,6 следует, что [х отображает 1^ на
все элементы Ли алгебры Л о, не содержащие члена ао^-, где а,, ^ 7?.
Этим лемма 5.7 доказана.
Для доказательства леммы 5.8 достаточно показать, что всякий
однородный элемент из Ло степени > 1 лежит в 2|. В самом деле,
тогда 2^, очевидно, является идеалом, а A2) следует из того, что
произвольная линейная комбинация элементов г|^ лежит в 1|.
Кроме того, мы можем ограничиться рассмотрением одночленов.
Так как произвольный одночлен степени 2, очевидно, лежит
^^1 E о Л = — л ^ ib то можно воспользоваться индукцией по
степени одночленов. Так как 2| состоит из многочленов от Г[к\
то наша задача сводится к доказательству того» что если у б ^g,

334 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
то7<5^ ^ 2^. Так как элементы из 2| являются линейными ком-
бинациями одночленов от щ\ достаточно показать, что
произведение такого одночлена на I дает элемент из 2|, Для этого
воспользуемся индукцией по степени одночлена.
По определению элементов цх^ наше утверждение верно для
одночленов степени 1. Произвольный одночлен степени > 1
является произведением одночленов меньшей степени. Поэтому если
Y =• Ф о гр, то по индуктивному предположению можно считать,
что ф в I и гр о g лежат в 2^. Из тождества Якоби имеем
(ф о i|)) о ^ = — (г|; о ^) о ф + (ф о g) о г|).
Это завершает доказательство леммы 5.8, а вместе с тем и леммы
5.7.^
Теперь можно доказать следующий основной результат:
Теорема 5.8 (теорема о базисе для элементов Ли). В алгебре
Ао {Ri г), г > 2, существует такая последовательность г^, г^у г^, ...
однородных элементов Ли неубывающих степеней в свободных
образующих алгебры А^, что:
(i) Элементы z^ составляют линейный базис {над R) для
элементов Ли алгебры Aq.
(ii) Произведения
2v\Zv\... Z^l, l<Vi<V2<... <V;^, k>l, A3)
с положительными целочисленными показателями е^у ..., е^^ вместе
с нейтральным элементом I кольца R образуют линейный базио
(над R) алгебры Aq,
(iii) Все элементы Ли Zy, имеющие в свободных образующих
алгебры Л о степень > 2, могут быть записаны в виде
Zv^[zx,z^], \<\х<Х. A4)
(iv) Более того, каждый элемент z^ степени > 2 может быть
записан в виде A4) таким образом, что для каждого т, \х ^х <^к,
элемент
[[Zi, гц], Zj] « [Zv, Zx]
встречается в последовательности z^, z^, гд, ...
(Замечание: Элементы z^, ^2, ... будем называть базисными
элементами Ли)
Доказательство. Последовательность базисных эле-
N'CHTOB Ли будем строить индуктивно. Для этого определим, тоже
индуктивно, понятие базисных элементов Ли данного уровня.
Пусть ассоциативная алгебра А^ {R, г) свободно порождается
элементами лг^, Xg, ..., х^, где г > 2. Назовем базисными элементами
Ли первого уровня элементы

Б б Элементы Ли и теоремы о базисах 335
а первым базисным элементом Ли — элемент
Базисные элементы Ли второго уровня возникают при
элиминации элемента Zj из Aq (в смысле леммы 5.6). Таким образом,
yjQ -^ элементы вида
Xit • • • » ^ГУ \-^2у -^ll» • • • J l^n -^ll» l[^2> -^ib ^ll» « • • » ll^ry -^ll» -^iJ» * • •
51 Выбираем теперь среди базисных элементов Ли второго уровня
элемент наименьшей степени в Л о, скажем, Xg, и определяем
второй базисный элемент Ли по правилу
Базисные элементы Ли второго уровня являются свободными
образующими ассоциативной подалгебры Si, которую они
порождают (лемма 5.6). Поэтому в качестве базисных элементов Ли третьего
уровня можно взять элементы, полученные элиминацией ^2 из Si
(в смысле леммы 5.6). Таким образом, совокупность базисных
элементов Ли третьего уровня состоит из элементов второго уровня,
кроме ^2, и элементов вида
l-^s» -^г!» • • • » L-^A» ^2^ ll-^a» -^il» -^г!' l-^s» -^il» -^г!» • • » > il^rf -^il» -^гЬ • • •
Выбираем теперь среди базисных элементов Ли третьего уровня
элемент наименьшей степени в Ло, скажем, лгд, и определяем
третий базисный элемент Ли по правилу
Базисные элементы Ли третьего уровня являются свободными
образуюи;ими ассоциативной подалгебры Sg, которую они
порождают (лемма 5.6 ) Поэтому можно в качестве базисных элементов
четвертого уровня взять элементы, полученные элиминацией г^ из
Sj (в смысле леммы 5.6), выбрать среди них элемент наименьшей
степени в Ло и объявить этот элемент четвертым базисным
элементом Ли.
Предположим, что мы определили L^ — множество базисных
элементов Ли п-ео уровня, и Определили также п-й базисный
элемент Ли г^. Предположим, кроме того, что г^^^ L^ и имеет в
Ln наименьшею степень (как элемент алгебры Л о) и что элементы
из L^ свободно порождают ассоциативную алгебру Sn^\ в Ло-
Тогда определяем Ln-fi—множество базисных элементов Ли
{п + 1)-го уровня как множество элементов, полученных
элиминацией г„ из Sn-i (в смысле леммы 5 6). Кроме того, выбираем
элемент из Ln+iy имеющий наименьшую степень в Л о, и полагаем ею
равным (п + \)'Му базисному элементу Ли г^+ь
Произвольный элемент из некоторого множества /^ называется
базисным элементом ЛНь

336 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Очевидно, что базисные элементы Ли являются однородными
элементами Ли степеней > 1 в алгебре Aq. Рассмотрев, в частности,
степени элементов из Ln+i» мы заметим, что элементы наименьшей
степени из Ln+i лежат в 1^- В самом деле, элемент v из Ln-f-i, не
лежащий в L^, имеет вид
где и лежит в L^ и в Ln+il очевидно, что степень элемента и
меньше степени элемента v. Таким образом, степень г„ не больше степени
гп-fb так как гп+i € ^л- Кроме того, если v ^ L^+i» v $ L^,
то степень г„ меньше степени v. Отсюда, как только элемент г^
элиминирован из L^,, он уже не может появиться на более высоких
уровнях.
Далее, L^ имеет лишь конечное число М^ элементов
наименьшей степени т^ (в самом деле, так как алгебра Aq конечно
порождена, имеется лишь конечное число «одночленных» элементов Ли,
т. е. образов одночленов из Ло данной степени, а базисные
элементы Ли все являются одночленными элементами Ли. Если z^ и
Zn-\-\ имеют одну и ту же степень, то в L^+i элементов этой степени
на единицу меньше, чем в L^. Поэтому
не содержит элементов степени т^, и если п возрастает, то т^
стремится к бесконечности. Так как произвольный базисный
элемент Ли и имеет конечную степень, он не может лежать во всех
L^; если р — максимальный уровень, содержащий w, то
Таким образом, последовательность г^, 22, гз, ... исчерпывает все
базисные элементы.
Мы можем теперь показать, что претендующие на роль базисов
элементы в (i) и (ii) линейно независимы над R. Так как Zv
содержатся среди элементов A3), то достаточно убедиться, что единица
R вместе с элементами A3) составляет линейно независимое
множество. Рассмотрим произвольную линейную зависимость между
единицей и элементами из A3). Так как каждый z^ является
однородным элементом степени > 1, то однороден и каждый элемент из
A3), так что коэффициент при единице в нашей линейной
зависимости равен нулю. Для доказательства того, что и коэффициенты
при элементах из A3) равны нулю, воспользуемся индукцией по
разности между наибольшим и наименьшим индексами у элементов
2v, участвующих в нашей линейной зависимости. Если эта разность
равна нулю, то все входящие в зависимость элементы из A3)
являются степенями одного и того же z^; так как элемент Zv содержится
в ^пюжecтвe свободных образующих ассоциативной подалгебры
»Sv-.i, его степени линейно независимы. Если, далее, разность

5.6. Элементы Ли и теоремы о базисах 337
между наибольшим и наименьшим индексом положительна и |и—•
наименьший индекс у входящих в наше рассмотрение элементов
2v, то мы можем расположить элементы из A3) по степеням г^,
вьгнести за скобки общую степень z^ и затем, воспользовавшись
единственностью формы G) в лемме 5.6 при х = z^i и S^ = S^^
(очевидно, 5ц содержит 5v для всех v > ^l и потому Zx ^S^ для
всех v> |х), оказаться в условиях индуктивного предположения.
Займемся теперь доказательством того, что элементы из (i)
и A3) порождают указанные в (i) и (ii) пространства.
Покажем индукцией по п, что произвольный одночлен и из А о
является линейной комбинацией элементов
4^4'.•, ZnV, A5)
где показатели степени е{ являются неотрицательными целыми
числами, а Q—элемент из 5^.
При п == 1 это утверждение содержится в лемме 5.6, где
следует положить X = Zi. Так как Q принадлежит 5^, то из леммы
5.6, где X = Zrt-f-b следует, что Q является линейной комбинацией
элементов
где Q'?5n-fb Таким образом, предполагая наше утверждение
справедливым для п, мы доказали его справедливость для п + 1.
В данный элемент алгебры Aq могут входить лишь одночлены,
степень которых не превосходит некоторого числа. Если
наименьшая степень элементов из L^ превосходит эту границу, то все
элементы из 5^, не входящие в /?, имеют степень, превосходящую
эту границу. Поэтому если данный элемент из Ло представить в виде
линейной комбинации элементов из A5), то Q должен быть
элементом R. Поэтому пространство, натянутое на элементы A3 )и
единицу /?, совпадает с Aq.
Предположим теперь, что и является однородным элементом
Ли алгебры Л о степени d > 1. Если наименьшая степень элементов
из L^ превосходит d, то и не может лежать в 5^. Поэтому и лежит
в S„ с некоторым максимальным индексом п (разумеется, Sq = A^)).
Но если и не является линейной комбинацией элементов Zv (среди
которых есть свободные образующие каждой подалгебры S^),
то из леммы 5.6 следует, что и является элементом Ли каждой Sv
и потому должен лежать в Sni-\- Это противоречие показывает,
что каждый однородный элемент Ли, а потому и каждый элемент
Ли алгебры Aq является линейной комбинацией элементов Zy.
Итак, справедливость утверждений (i) и (ii) установлена.
Для доказательства утверждения (iii) заметим, что если Zv
является базисным элементом Ли степени >> 2, то Zv впервые возникает
на некотором уровне с номером f-i + 1, где |li > 1. Базисные
элементы Ли 1я-го уровня состоят из гд и тех ^э, у которых р пробегает

338 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
некоторое множество целых чисел > ^г. В самом деле, все гр, у
которых р < [I, элиминированы до получения fi-ro уровня и не
могут вновь возникнуть. Те элементы из L^t_{-b которые не входят
в 1д, имеют вид
[[ ... [2р, ^^гl, ... 1, г^].
Так как [... [гр, г^], ...] является элементом /^д+ь то он
совпадает с некоторым 2я, где X > ц. Таким образом,
где Я>|.1, и утверждение (iii) доказано. Более того, так как
Zv 6 ^ц-ьь то элемент
также лежит в L^+i и потому должен встретиться в последователь-
ности ^1, га, гз, ... Наконец, так как Zv не элиминируется до (v + !)•
го уровня, он присутствует на всех т-х уровнях, где tx < т <С v.
Поэтому при элиминации Zx элемент
lUxy гд], Zx] « [^v, Zx]
появляется в Lj^ \ и потому встретится в последовательности Zi^
^2» ^3» ••• ^
В качестве приложения теоремы 5.8 и ее доказательства мы
дадим следуюш,ее описание линейного базиса свободной алгебры
Ли Ло (/?, г), свободно порождаемой элементами Ji, biy •••» Ir-
Теорема5.9. Пусть Aq (/?, г) — свободная алгебра Ли со
свободными образующими |i, I2» •••» ^г» ^ пусть |л •—естественное
отображение алгебры Aq в алгебру Aq (как в лемме 5.5). Тогда
|u взаимно однозначно и прообразы J^, ^2» •¦• базисных элементов
Ли 2i, ^2, ... алгебры Aq составляют линейный базис алгебры Aq
над кольцом /?.
Доказательство. Построение базисных элементов Ли
алгебры Ло, проведенное в теореме 5.8, можно провести в алгебре
Ло, заменив скобочное произведение в Aq обычным умножением в
Ло, а элементы Xi, ..., х^ первого уровня — элементами |i, ..., J^.
Очевидно, что образом полученной последовательности ^j, ^2» •••
относительно |л является последовательность Zi, Zg, ... базисных
элементов Ли алгебры Aq, Так как jii является линейным
отображением /^-модуля Ло в /^-модуль Л о (это содержится в условии 3
леммы 5.5) и Zi, Zg, z^y ... линейно независимы над 7?, то Сь Сг»
^3, ... также линейно независимы над R,
Для доказательства того, что пространство, порожденное
элементами Ji, С2» Сз» •«• совпадает с Aq, заметим, что если элементы
Ьп "^ bV,> feVa» feVg, . • •
являются базисными элементами Ли п-го уровня в Л,^, то при
отображении алгебры Ло (/?, оо) в Ло(/?, г), определяемом по правилу

б.6. Элементы Ли и теоремы о базисах 339
элементы из леммы 5.8
@) A) B)
где А, принимает все положительные целые значения, отображаются
точно на базисные элементы Ли {п + 1)-го уровня в алгебре Л(,,
Поэтому из формулы A2) леммы 5.8 следует, что произвольный
элемент подалгебры Sm_i, порождаемой (не обязательно свободно)
в Ло базисными элементами Ли /г-го уровня, является суммой
Я-кратного ^п и некоторого элемента из подалгебры 2^,
порождаемой в Ло базисными элементами Ли {п + 1)-го уровня. Так как
степень произвольного элемента из 2^ по совокупности
образующих Si, *»>Лг н^ меньше степени образа этого элемента при
отображении III, лежащего в 5^, минимум степеней элементов из S^
стремится к бесконечности вместе с п. Выберем п так, чтобы минимум
степеней элементов из 2^ превосходил максимум степеней членов
данного элемента гр g Aq, Тогда повторное применение
вышеуказанного вамечания приводит к равенству
где б g 2^. Так как каждый элемент fv однороден и степени этих
элементов не убывают, то из леммы 6.1 раздела 5.4 следует, что
^^ ==^ PiSi + РаСз + -» +Ык^
где k — наибольший индекс, такой, что степень If^ не превосходит
максимума степеней членов г|?. Так как ij? был произвольным
элементом из Ло, то базисные элементы Ли алгебры Ло порождают эту
алгебру как линейное пространство.
Так как линейное отображение fx переводит базис Ji, ^2» •••
алгебры Ло в линейно независимое подмножество ^i, га, -. алгебры
Ло, то отображение [х должно быть взаимно однозначным.^
Следствие 5.9. Если Ri — подкольцо области целостности
/?а, то свободная алгебра Ли \ {R^, г) естественным образом
изоморфна некоторому подкольцу свободной лиевой алгебры Лф {R^, г)
{изоморфизм колец, но не алгебр). Более того, при этом R^-Kpam-
нов произвольного элемента переходит в то же самое Ri-Kpamnoe
образа этого элемента.
Доказательство. Очевидно, что свободная
ассоциативная алгебра Ло (/?i, г) является подкольцом свободной
ассоциативной алгебры Ло (/?2^ '')» так как обе они обладают одним и тем же
линейным базисом одночленов. Кроме того, совокупность элементов
Ли алгебры A^iR.r) относительно скобочного умножения является
подкольцом алгебры элементов Ли из Ло(/?2» ^)* Наше утверждение
легко следует из представления алгебр Ло (/?i, г) и Ло [R^, г)
мементами Ли в Л^ {Rx, г) в Л о (/?2» ^)'<
Наше представление свободной алгебры Ли в свободной
ассоциативной алгебре с теми же /? и г позволяет доказать следуюш,ую
теорему, которая понадобится нам в дальнейшем;

340 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Теорема 5.10. Пусть ф и г|) — однородные элемент.ы
свободной алгебры Ли Ло {R, г). Тогда ф о гр >= о в том и только в том
случае, если ф w гр линейно зависимы {над R),
Доказательство. Если ф и \|; линейно зависимы над
Ry то
аф + PiJ) = О,
где можно считать а =^ 0. Отсюда
а (ф о г];) =1 (аф -\- Рг|)) oij)a«Ooij)=:=0.
Так как R является областью целостности, то Aj^(i?, г) имеет
линейный базис над /? и а ^ О, откуда следует ф © г]; »« 0.
Предположим теперь, что ф о яр «» 0. Если F — поле частных
кольца R, то согласно следствию 5.9 мы можем считать Ло (/?, г)
подкол ьцом кольца Ло(^, г). Более того, если множество элементов
из Ло(/?, г) линейно зависимо над F, то, освободившись от дробей,
видим, что это множество линейно зависимо над R, Поэтому можем
считать R полем. Рассмотрим, далее, элементы и и v алгебры
Ло {R, г), являющиеся образами элементов ф и -ф соответственно
при отображении [i из теоремы 5.9. Так как и и v—элементы Ли,
то каждый из них можно выразить в виде линейной комбинации
базисных элементов Ли алгебры Aq. Пусть
и *а= a^^Vi + * * • + o^s-^v ,
где а^-, Р/ ^ R, ai, pi ^0, v^ и jx/ — строго возрастающие после*
довательности положительных целых чисел, и ^v^, z^i —
базисные элементы Ли алгебры Aq из теоремы 5.8. Так как и и v
однородны, то все zv^ имеют одну и ту же степень и все z^j имеют одну
и ту же степень, и можно считать, что Vi<;jlii. Следовательно, все
базисные элементы Ли, входящие в запись t/, принадлежат v^-My
]) ровню и составляют часть свободных образующих свободной
ассоциативной алгебры Sv,-b порождаемой всеми базисными
элементами Vi-ro уровня. Все базисные элементы Ли, входящие в запись
V, лежат bSv,-u Так как R является полем, элемент и можно
включить в некоторое множество свободных образующих свободной
ассоциативной алгебры Sv,-i (см. задачу 3). Наше утверждение
следует теперь из того, что в свободной ассоциативной алгебре
элемент, перестановочный со свободным образующим л?, должен
быть линейной комбинацией степеней х (см. задачу б). В самом
деле, из ф о гр « О следует, что [w, t;] = О, т. е. w и и коммути-
р>ют. Таким образом, v является суммой /?-кратных степеней w,
а так как ии v однородны в Ло, то v должен быть /?-кратным
единственной степени и. Но i>, будучи элементом Ли в Ло и элементом
подалгебры Sy^^u является элементом Ли в 5v,-i (лемма 5.7), так
что V является /?-кратным элемента и (лемма 5.6). ^

6.6. Элементы Ли и теоремы о базисах 341
Хотя построение базиса для алгебры Ло (/?, г) или,
эквивалентно, для множества элементов Ли в Ло (Ry г) является сложным
делом, число базисных элементов для однородны.х членов данной
степени в Ло было довольно просто подсчитано В и т т о м [1 ].
Пусть [1 (d) — функция Мёбиуса, определяемая для всех
положительных целых чисел по правилам: jli A) = 1; |я (р) = —1, если
р — простое число; |я (р^) = О для й > 1; ц (be) = |i (&) . |i (с),
если b и с— взаимно простые целые числа. Имеет место
Теорема 5Л1 (формула Витта). В алгебре Л^(/?, г)
существует
^ d\n
базисных элементов, имеющих степень п по совокупности
свободных образующих ?р. Число базисных элементов, имеющих степень
Пр по образующему gp (р = 1, ..., г), равно
— р ^^ ^^^ {n,id)\ {ruld)\ . . . {nr!d)\ {П-=П^ + П^+ - • + П^).
В первой формуле d пробегает множество всех делителей числа п,
а во второй — всех общих делителей чисел п^, п^, ***, п^.
Доказательство. Заметим сначала, что число
возможностей выбора т предметов (возможно, с повторениями) из
семейства N различных предметов равно коэффициенту при t"^ в
степенном ряде функции
A-0-"
(где /—обычная переменная). Предположим теперь, что нам дано
Ni базисных элементов Ли степени / (где, разумеется, Nq = I,
Ni = г). Тогда число способов построения произведений
'/о' ... 7^/г_
ZVZ2' ... Z\
k
которые имеют степень п (и в которых iV^ первых элементов z^
имеют степень 1, следующие N^ элементов имеют степень 2 и т. д.),
равно коэффициенту при V^ в бесконечном произведении
Это число нам известно, если \\ совпадает с количеством линейно
независимых элементов Ли степени k от г неизвестных: согласно
теореме 5.8 оно равно числу линейно независимых элементов
степени п в Ло (/?, г). Так как это последнее, очевидно, равно г^,
то мы приходим к соотношению
со оо

342 Гл 5 Коммутаторное исчисление
Логарифмируя обе части и дифференцируя по t, мы получим
(после умножения на i):
Раскладывая левую часть в степеннбй ряд и собирая чле1{ы,
содержащие /", найдем, что
2 IN,«г\
1\п
где / пробегает по всем делителям п. Применяя теперь формулу
обращения Мёбиуса (см., например, X а р д и и Р а й т [1 ]),
получим первую формулу теоремы 5.1 L Вторую формулу можно
получить аналогичным образом. <^
Ссылки и замечания. Теорему, эквивалентную условиям
(i) и (ii) теоремы 5.8, но сформулированную на языке коммутаторов
свободной группы, впервые доказал Ф. X о л л [1 ]. Значительно
более простое доказательство его утверждений нашел М е й е р *
Вундерли[3], доказавший также теоретико-групповой ана*
лог формулы Витта (теорема 5.11). Формулировка и доказательство
Э1ИХ результатов для алгебры ЛоG?, г) принадлежат М. X о л л у
D) (см. также [9]). Доказательства, приведенные в разделе 5.6,
по существу, следуют работе Магнуса [8]с
усовершенствованиями, принадлежащими М. Холлу. Так как нас интересует теория
групп, изложение базировалось на связи между алгебрами Aq и
Ло, которая потребуется нам в дальнейшем.
Теоремы 5.8 и 5 9 тесно связаны с много более общим
результатом Биркгофа B]иВитта[1]. Справедлива
Теорема Биркгофа — Витта. Пусть Л — алгебра
Ли над полем F, Суш^стдует единственная ассоциативная алгебра
А над F и отображение fi алгебры Л в алгебру А со свойствами ото-
бражения из леммы 5 5, такие, что А порождается образами
элементов \ и \л взаимно однозначно.
Теорема 5.9 является весьма частным случаем теоремы
Биркгофа—Витта, если /?-—поле. С другой стороны, мы предполагали
лишь, что R является областью целостности с единицей. Линдон
в 1955 г. привел пример алгебры Ли над областью целостности /?,
являющейся кольцом многочленов от трех (коммутирующих)
переменных, для которой теорема Биркгофа — Витта неверна.
Разумеется, алгебра Линдона не является свободной.
Для подалгебр свободной алгебры Ли справедливо
утверждение, не имеющее аналога для свободных некоммутативных
ассоциативных алгебр:
Теорем аШиршова — Витта Пусть F — поле и А —•
свободная алгебра Ли над F, Тогда каждая подалгебра алгебры Л
Является свободной.

б 6 Элементы Ли и теоремы о базисах 343
Этот результат получен независимо Ширшовым [1] и
8 и т т о м [31. Обобщения его содержатся в работе
Ширшова [21.
Систематическое изложение теории алгебр Ли можно найти в
книге Джекобсона[4].
Задачи
1. Пусть Ao(R, г) —ассоциативная алгебра, свободно порождаемая
элементами хь » ^г' Пусть В — ассоциативно-коммутативная /?-алгебра, и
гомоморфизм алгебры Ло в алгебру В определяется отображением
(a) Показать, что елемвпы Ли алгебры Ло отображаются в линейные ком-
С|инаций над R элементов Ь^ш
(b) В частности, если В ^ Rlh] -— кольцо многочленов от одчой переменней
jg^ Ь^ш» h для всех А,, то все элементы Ли из Ло переходят в /^-кратные элемента h.
(c) Показать^ что сумма коэффициентов всех одночленов да}1ной неединичнойг
степени элемента Ли из Ло должна равняться нулю, и потому х^ при /г > 1 не
является элементом Ли
2. Пусть алгебра Ло (Z, 2) свободно порождается элементами л: и г/, и Z — кольг
до целых чисел Каждый из следующих элементов записать в виде C) из леммы 5 а
9 выяснить, кото, ые из них являю ся в Ло элементс^ми Ли:
\ (а) х^ + Зхух^ + х'^у\
(b) ух^ + 3ух — 3x1/ — уху\
(c) ху^-2уху'\-уЧ\
(d) хуху — ху^х — ух^у + ухух
3. Пусть Ло (F, оо) — ассоциативная алгебра над полем F, свободно
порождаемая элементами xi, aTj, ... Показать, что отображение
Vi->a^Xi+ • « • +а/гХп. Н~^Н (А.>1),
где ас ? F и ai ^ О, определяет автоморфизм алгебры Aq Вывести отсюда, что
Элементы
свободно порождают алгебру Ло [Указание Так как Ло свободна, то данное
Отображение индуцирует эндоморфизм алгебры Ло Кроме того, отображение
(Xj — 062^2 — л » » "-- Ot/jX/i)»
*'i
л^ -^ л^ [Х> 1)
индуцир>ет обратный эндоморфизм ]
4. Пусть Ло (/?, г) — ассоциативная алгебра, свободно порождаемая
элементами Хг, ^ Хг
(a) Показать, что каждое «линейное» отображение
где aj^^, рр^ f /? и определитель |а^^^ | является единицей в /?, т. е обладает в' R
мультипликативным обратным, определяет автоморфизм алгебры Ло
(b) Показать, что если г = J, то каждый автоморфизм алгебры Ло
определяется некоторым «линейным» отхэбраженисм

344 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
(с) Показать, что при г = 2 отображения
2 .
Xi -> Xi ~\~ Ху, к., -> X,,
определяют взаимно обратные автоморфизмы алгебры Ло и не являются «линейными».
(У к а 3 а н и е. Для (а) см. указание к задаче 3. Для (Ь) воспользоваться тем,
что степень элемента Р (Q (х)) равна произведению степеней Р и Q, так что из х =«
:= Р (Q (х)) следует, что Q (х) «линейно».]
5. Пусть Ло (/?, сю) — ассоциативная алгебра, свободно порождаемая
элементами X \\ уг, уоу ... Показать, что если и ? Aq и хи =z их, то и является
многочленом от .^ с коэффициентами из R. [Указание. Если w = mi + Wo + •••
...+ W/J, где каждый элемент «^ состоит из членов и, имеющих одну и ту же степень
по совокупности образующих и одну и ту же степень по х, то щх = хщ. Одночлены
одной и той же степени по совокупности образующих и одной и той же степени по
X можно лексикографически упорядочить, как в доказательстве леммы 5.6. Этот
порядок сохраняется при умножении. Поэтому, если v — наибольший одночлен,
входящий в Wi, и у = x*^w, где одночлен w не начинается с л:, то наибольшим
одночленом, входящим в щх, является x^wx. Последний всегда больше, чем xv =»
= дг^^+^ш, являющийся наибольшим многочленом в Jt:«^., разумеется, кроме
случая, когда ш = 1. Таким образом, w = \,ц х^ является наибольшим и
единственным одночленом, входящим в щ.]
'6. Пусть Aq (R, оо) — ассоциативная алгебра, свободно порождаемая эле*
ментами х, r/i, ^2» ••• Показать, что если и — однородный элемент степени т из
Ао, то в выражении C) леммы 5.6 для и элемент Sj является суммой /^-кратных
таких одночленов D), у которых ^i + ^2 + ••• + ^л + ^ = /• [Указание.
Если у одночлена от л: и у^^ сумма а его степени по д: и всех верхних индексов у
г/;, увеличенных на единицу, равна т, то и у каждого из одночленов, возникших
при подстановке
сумма а также равна т. Начать с того, что и является суммой /^-кратных
одночленов от X и у^ ~ у^у\ у которых сумма сг равна т.]
7. Пусть Ло (Z, 2) — ассоциативная алгебра, свободно порождаемая
элементами дс и г/, и пусть базисные элементы Ли из теоремы 5.8 выбраны так, что
г, = X, 22 = 1/.
(a) Найти все базисные элементы Ли степени ^ 5, принадлежащие второму
уровню и не принадлежащие первому.
(b) Найти все базисные элементы Ли степени < 5, принадлежащие третьему
уровню и не принадлежащие второму, и показать, что г^ должен совпадать с
[у. х].
(c) Найти все базисные элементы Ли степени^5, принадлежащие четвертому
уровню и не принадлежащие третьему.
(d) Показать, что нет базисных элементов Ли степени < 5, принадлежащих
пятому уровню и не принадлежащих четвертому.
(e) Показать, что [[[(/, л:], //], д:] не является базисным элементом Ли.
(f) Показать, что можно выбрать
г^ = [f/, X, х], 25 = [у, X, у\, Zq = [у, X, х, х\,
2? = [у, X, X, у], 2з = [у, X, у, у], Zq = [у, X, X, X, х],
2io = [У> X, X, X, у], г,, = \у, X, X, у, у], z^.-^ = \у. х, у, у, у],
2i3 = \\У^ ^. л:]. \у, х]], 2i4 -= ff//. X. у], \у. X]],

5.6. Элементы Ли и теоремы о базисах 345
где [й1, ..., С1^] — сокращенное обозначение коммутатора
[[. . . [fli, о,), . . .), a,J.
(g) Проверить формулы Витта (теорема 5 И)) для общей степени 2, 3, 4
иби для различных степеней по ;t и у, сумма которых даег такую o6lh>io
степень.
(h) Предполагая, что Zi = дс и Zg = i/, найти всевозможные способы выбора
элементов от Zg до Zjg.
8. Пусть Zi, ^2, Zg, ... — последовательность базисных элементов Ли алгебры
Aq (/?, f), фигурирующая в теореме 5.8. Показать, что если
где я > fi и т > fA, то 2^ = 2^. [У к а 3 а н и е. Пусть 5^_| — ассоциативная
подалгебра алгебры Aq, свободно порождаемая базисными элементами Ли |л-го уровня.
Тогда z^ является свободным образующим алгебры S^_^, и z^ и z^^ лежат в S^,
а значит, вS^_^. Так как [z^ — г^, z^] = 0, z^— z^ коммутирует с z^ и поэтому,
ввиду задачи 5, z^-^ z^ является многочленом от г^. Но элемент z^ — z^ при над
лежит подалгебреSj^, которая получается из S^_^ элиминацией z^ и, ввиду
единственности представления C) в лемме 5.6, 2^ — z^ лежит в R, хотя является
элементом Ли. Следовательно, z^ — z^ = 0. ]
9. Пусть Zi, z^, Zg, ... — последовательность из задачи 8. Если z^ имеет
степень ;> 2 в Ло и впервые появляется на {\х + 1)-м уровне, г^ = [z^, z^J, Я > fx, то
назовем z^ и z^ сомножителями стандартной формы элемента г^.
(a) Показать, что для каждого элемента z^ имеется единственная пара
сомножителей его стандартной формы.
(b) Показать, что если элементы z^, z^ — сомножители стандартной формы
элемента z^, то [z^, z^] является стандартной формой некоторого базисного
элемента Ли тогда и только тогда, когда [Д. <т < v.
[Указание. Для (а) воспользоваться задачей 8 и доказательством
пункта (iii) теоремы 5.8. Для (Ь) воспользоваться доказательством пункта (iv) теоремы
6.8.]
10. (Формальные) стандартные базисные элементы Ли от символов х\у х^, ...
«.., Хг и их стандартное упорядочение определяются по индукции следующим
образом. Стандартными базисными элементами Л и степени XbVix стандартном
упорядочении являются
-^1 <л:2 < ... <:хг.
Ст,андартными базисными элементами Ли степени 2 являются
де х^ < Ху^, полагаем, что в стандартном упорядочении стандартные базисные
элементы Ли степени 1 меньше элементов степени 2, а для элементов степени 2
*^.
х1 < [^0
к^ < х^ или х^ = х^\\х^< х^,
предполагая построенными и расположенными в стандартном порядке
стандартные базисные элементы Ли степени меньшей, чем л, где п ,> 3, мы построим
теперь стандартные элементы степени п и >порядочим их. Чтобы получить
стандартный базисный элемент Ли z степени п, выберем стандартный базисный элемент
Ли / = [и, v] степени /?, 2 < /г < л, где и п v в свою очередь являются
стандартными базисными элементами, и возьмем также такой стандартный элемент ш

846 Гл б. Коммутаторное исчисление
степени п — k^ что у < w <, t, после чего полагаем
Считаем далее, что стандартные элементы степени меньшей, чем п (уже
расположенные в стандартном порядке), предшествуют элементам степени п, а для двух
элементов степени п полагаем
если ^ <^Я или W ^ q и t < р.
(a) Показать, что стандартное упорядочение стандартных базисных элементов
Ли является линейным порядком.
(b) Показать, что последовательность Zi, Zg, гз, ... в теореме 5.8 можно
построить так, что элементы из этой последовательности в точности соответствуют
формальным стандартным базисным элементам Ли (если формальные скобки
интерпретировать как скобочное умножение в алгебре До (^»'') со свободными образуюш,ими
^ь Х2, ..;, Хг).
(c) проверить, что элементы из задачи 7 являются стандартными базисными
элементами Ли.
[Указание, Показать индукцией по уровню, что базисные элементы Ли
п-го уровня соответствуют стандартным базисным элементам Ли, если только для
получения п-го уровня элиминируется базисный элемент (п — 1)-го уровня,
соответствующий наименьшему стандартному базисному элементу. Воспользоваться
также задачей 9 ]
11. Пусть .4о (/?» 2) — ассоциативная алгебра, свободно порождаемая
элементами хну. Пусть у^^^ определяется индуктивно по правилам
Показать, что
[[У^^К yh X] - Цу^^К х1 у] + [у^^К [у, X]] - [у^'\ у] + [у^^К i/^Ц - [у^'К у].
Поэтому, если z^ — элементы из задачи 7, то
В частности, базисный элемент Ли можно несколькими способами записать в виде
скобочного произведения базисных элементов Ли, хотя стандартная форма (из
задачи 9) для него единственна. [Указание. Воспользоваться тождеством Яко-
би и антикоммутативностью скобочного умножения (см. задачу 17 (Ь) к разделу
6 4).]
12 (Фридрихе). Пусть R — область целостности характеристики нуль, и
пусть В — ассоциативная i^-алгебра, свободно порождаемая элементами xi, ..,
..., Хг. Пусть С—ассоциативная/^-алгебра, свободно порождаемая элементами
Яь ... /i,., и пусть D — ассоциативная В-алгебра, свободно порождаемая
элементами hi hr (г. е. х^ коммутируют со всеми h^). Показать, что Р (лч, ,,., Хг)
является элементом Ли алгебры В тогда и только тогда, когда в D
Р {X, 4-h^, Xr + hr)==-P{x,, . . . , л:,) + Р (/ip . . . , hr)
(ср с теоремой 5.18 раздела 5.9 и работой Магнуса [12]). [Указание.
Пусть Zi, 02, гз, ... — последовательность базисных элементов Ли из теоремы 5 8.
Покажем индукцией по п, что если
^п — ^n{Xi» • . . f Xf),
то
Рп (^, -^h„ .,. , xr + hr)^ Рп (X, Хг) + Рп (h,. .. . , /г;-
Для Az « 1, ..,, г утверждение очевидно, а если

где
а е Л и 4\...
P(x, + h,,
ввиду первой части
Но
^^^Vf^ * ^Vj^Va •
Р (ATi, . . . , д:,) с= 21«4' • * ^
zj^ — наибольший одночлен в Р, то
.... X,+м - 2«(^v,+2v.)'^
доказательства и аддитивности Р,
2< ...<*+2«4'i"
.. z^^^h^^ содержится в правой
1
S « « V
равно
части
Ч +
A6),
ч)'*-
но не
6 7. Нижний центральный ряд свободной группы 347
ТО можем воспользоваться индуктивным предположением, применимым к г^^ и г^^.
Так как каждый элемент Ли алгебры В является линейной комбинацией базисных
влементов Ли, то аддитивность элементов Ли доказана (без использования того,
что характеристика R равна нулю). Для доказательства обратного пусть Zi, г^,
f,, ... — последовательность базисных элементов Ли алгебры В, 2j, Z2, z^, ... —
соответствующая последовательность базисных элементов Ли алгебры С.
Упорядочим одночлены A3) из теоремы 5.8, для чего положим ^^ < ^^, если X < ц,
й, считая сумму показателей ^i + ... + ef^ «длиной», более короткий одночлен
ставим перед более длинным; аналогично, для z^. Если
A6>
A7)
не
содержится в A7), кроме случая, когда /г == 1 и ek= 1, причем мы считаем здесь A6)
и A7) элементами алгебры D. Таким образом, Р является элементом Ли.
5.7. Нижний центральный ряд свободной группы
Используем теперь тождества из раздела 5.2 и теорему 5.3
нз раздела 5.3 для более полного изучения нижнего центрального
ряда свободной группы.
Напомним значения следующих символов и понятий:
Ассоциативная алгебра Л о B, г) свободно порождается
элементами х^у .., Ху (и обладает мультипликативной единицей), а
алгебра Ли Л^ (Z, г) свободно порождается элементами gj, ..., ^^,
где Z — кольцо целых чисел. Кроме того, отображение pt алгебры
Ло на множество элементов Ли алгебры Л о, определенное в лемме
5.5, |л (gp) = Хр, является взаимно однозначным согласно теореме
6.9 из раздела 5.6. Следовательно, \х обладает обратным,
обозначаемым [i-K Свободную группу F (г) с г свободными образующими
fli, ..., а^ можно представить элементами алгебры А (Z, г)
формальных степенных рядов от Xi, ..., х^у положив Лр = 1 + Хр
(теорема 5.6). п-й член нижнего центрального ряда группы F (г)
обозначается Fn (г) или просто f;,, где Fi ^ F (г). (Этображение б (W)
слов W в образующих ар на множество однородных элементов
из Ло описывается в определении 5.6 и лемме 5.4 из раздела 5.5.
Т е о р е м а 5.12. Фактор-группы FJFn^x (n=l, 2, 3, ...) ниж-
него центрального ряда свободной группы Fс множеством а^, ..,, а^,
свободных образующих изоморфны, как абелевы группы, подмодулям
Л^ однородных элементов степени п алгебры Ли Ло (Z, г), свободно

348 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
порождаемой элементами gi, ..., |^. В явном виде изоморфизм
определяется следующим образом:
Пусть Р" (sPi» ••» ?Р^) — -^^^^5 одночлен степени п. Тогда
отображение
Является изоморфизмом аддитивной группы Л^ на фактор-группу
F^'Fn-\-\\ при этом расположение скобок ^^ означает умножение
в Ло (Z, г) для элементов ^р ^ коммутирование в F для элементов ар.
Доказательство. Построим сначала с помощью
факторгрупп FJFn{-\ некоторую алгебру Ли над Z. Так как' Сп = FJFn{.\
является абелевой группой, можно образовать (огранр1ченную)
прямую сумму С групп Ci, Сз, ».м С^, ¦*., т. е. на множестве
формальных сумм
где Сп g Сп и все г^, кроме, быть может, конечного числа, равны
1, определить операцию псевдосложения по правилу
g е /i = ^1^1 + ^2/^2 + -. + яЛ + - .» B)
где
ft = /ii + ^2 + • • *
Относительно псевдосложения С
В самом деле, элемент
1 + 1 + . . . + 1 + , .,
является нулем, а элемент
Qg==gV^ + gT^ + . - +g7^ -^ - .
^^— противоположным к g.
Мы можем ввести далее в группе С операцию псевдоумножения
О так, чтобы система (С; ф, 0) оказалась кольцом Ли. В самом
деле, из формул E),F) и (8) теоремы 5.3 следует, что если а g f^,
b б fn+i, с ^F^, d ? Fm-\-u TO
(af?, Cd) fn+m-fl = (^. ^) Pn^m-\-b
Поэтому если gn = aFn^u g^ = ^'^m+i, TO
gn о ^m = (^^ ^) ^"+m+! D)
является вполне определенным элементом группы
Распространим далее операцию псевдоумножения на всю группу
С по правилу
со
gQh= 2 8cOhi. E)
+ g^« + . • •.
+ /!«+ ...
является абелевой
(За)
(ЗЬ)
группой.

6.7. Нижний центральный ряд свободной группы 349
где g ^ ^—элементы из C), а 2 обозначает псевдосложенив
(так как почти все^^ и /i/ равны 1, 2 является конечной
псевдосуммой). Ясно, что компонента элемента E) из группы С^ является
псевдосуммой всех произведений
gi О h,;
у которых i + I ^ п.
Покажем, что операция © дистрибутивна относительно ф.
Пусть
/ = /l + /2+ ... +/.+ ..., F)
И пусть g я h определяются равенствами (За) и (ЗЬ). Рассмотрим
/0(^0/1), {fQg)®{fQh). G)
Первое из выражений G) равно, по определению,
Если fi =- aFi^u gj = bFjj^u hj « ^f/+i, то
fi © (gjhj) = aFi4-i 0 ^?^f/+i = (a, be) Fi^j^i ^
= (a, b) (a, c) f/+У+1 = (a, 6) f ,+/+i * (a, c) f/+/+1 --
= (aF, 0 bF^) {aFt © (;f/) = (f, © g^,) (/, © hj)
(где мы использовали 5.3.5), и потому
5 fiQigihj)-2(/,©^/)• (fiOfh) == (/©g)е(/0/0.
/,/«1 /,;=!
Таким образом, оба элемента G) совпадают, и операция ©
дистрибутивна слева относительно операции ф. Аналогично проверяется
правый дистрибутивный закон. Итак, С— кольцо. Покажем
справедливость тождества нильпотентности и тождества Якоби. Пусть
If определяется равенством C). Тогда
gQg-= ^ giGgh
Пусть gi = aFi^i и gj = bFj^u Тогда при t</
giQgi = (a. b) FtJ^i^x = F, a)~' Fi^j^i = 9 (gj, gf,),
a если / =« /, TO
giOgi^ici. a) Fi^i^i = ff+z+i
(единице группы G^-/). Итак,
g3g^l + 1 + ... + 1 + ... ,
и требование нильпотентности выполнено.

850 Гл, б. Коммутаторное исчисление
Пусть, далее, f, g и h определяются в F) и C). Тогда, если
Д - aFi^u gj = bFfj,i и /г^ = cFf,^u то
К/ Qg)Qh]® l(h 0 /) © g] е Kg О h) © Л -
Г *^
2 (а, Й, с) f ,4-/+Л-М
е
счз
-^ ф, с, а) Fi+1+k+i
= '^ {а, Ь, с) (с, а, Ь) (Ь, с, а) f,+/+*+i =
-= S /=¦/+/+*+¦ = 1 + 1+...+!+...
(где мы воспользовались соотношением G) из 5.3). Следовательно,
© удовлетворяет тождеству Якоби, и (С; ф, ©) является
кольцом Ли.
Так как произвольное кольцо автоматически является
алгеброй над кольцом целых чисел, то (С; ф, ©) является алгеброй над
Z, и мы можем рассмотреть гомоморфизм алгебры Ло (Z, г) в С^
при котором
Ip-^apF^, (8)
В силу определений D) и E) операции 0, при отображении (8)
одночлен
Р (lpi> • • • > Ipji
очевидно, переходит в
Таким образом, для доказательства того, что отображение A)
является изоморфизмом группы Л^ на группу FJFn^u достаточно
проверить, что отображение (8) является изоморфизмом алгебры
Ло на С (очевидно, что Л„ переходит в CJ.
Согласно теореме 5.4 из раздела 5.3 простые /г-кратные комму-
таторы
((... {ар,, «pj, ...)» ^Р„)
порождают группу С^, так что (8) является отображением на С.
Для доказательства взаимной однозначности отображения (8)
мы построим обратное отображение. Произвольный элемент а
подгруппы Fn переходит при отображении
Ар -> 1 + ДГр
в элемент кольца А (Z, г) вида
\ +и^ + Un^l + . . . + «л + • • • »

6.7. Нил<ний центральный ряд свободной группы 351
где Uk имеет степень k или равно нулю, и fe > п согласно
следствию 5.7 из раздела 5.5. То же следствие показывает, что равенство
бпределяет отображение б^, группы С^ з* множество Л^
однородных многочленов степени п алгебры Л о B» ^)- Кроме того, ввиду
формул E) и F) из леммы 5.4, 6^ является линейным отображением
Сп в Ап' Поэтому отображение
Не) - б^ы + b,{g,) + ,., + 6jg,) + ...
является линейным отображением Z-модуля С в Aq (Z, г) (почти
все gn равны 1). Далее, отображение [Х"~^ алгебры Л о (Z, г) на
Ло B, г), где jLi — отображение, определенное в лемме 5.5 и
взаимно однозначное по теореме 5.9, является линейным
отображением. Поэтому отображение
^,-^6 {g) =. ii--\ (g,) + 11-% ig,) + . .. + ^"^б, (g,) + . . . (9)
является линейным отображением Z-модуля С в Ло (Z, г).
Покажем теперь, что |и~^б обратно к отображению (8). Для
этого установим, что элемент Р'* (up^ , ,.., а^ ), являющийся при
отображении (8) образом элемента ^^ (gi, ..., ^^j), переводится
в этот последний отображением j>i~-^6. Достаточно показать
индукцией по /г, что
б Г К, ... , a,^)) = f{x,,, ... , х,^)^
где р^ действует на элементы Хр как скобочное умножение в Л^.
Для п «^ 1 имеем
б («р) = 6i (ар) = Хр.
Если, далее, Р"" ^ (Р^р\ где ^ + / =« я, то
6ГКч, ... , ^Р.)) =б,#К, ... , а,^), р^ (%_н apj)) =.
==[б/,(Р'(ар„ ... , ар^)), 6^{Р'(ap^_^j, ... , а, J)]
по формуле 7 из леммы 5.4. Индуктивное предположение дает
теперь
б if (ар,, ... , ар^)) = р' (хр„ ... , хр^),
откуда
|:i-^S(P"(ap„ ..., a,j)^f(lp^, ... , ^р^).
Следовательно, отображение (8) обладает левым обратным, так что
(8) взаимно однозначно. Тогда (8) обладает единственным
обратным, и таковым является |.i"~^6. Наше утверждение доказано.^
Для дальнейшего полезно отметить несколько следствий, легко
выводимых из теоремы 5.12,

352 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Следствие5.12. Пусть F — свободная группа со
свободными образующими аху ..., а^, F^ есть п-й член нижнего централь-
ного ряда группы F, Пусть Aq (Z, г) — свободная ассоциативная
алгебра со свободными образуюи^ими х^, ..., х^, и Л^^ (Z, г) —
свободная алгебра Ли со свободными образующими |i, ...,^- Тогда
справедливы следующие утверждения:
(i) Если Un — однородный элемент Ли степени п алгебры
Aq (Z, г), то существует такой элемент W g F^, однозначно
определяемый по модулю Fn-^i, что
б(Г) = «„.
(ii) Если W лежит в F^, но не содержится в Fn+u ^о W является
т-й степенью по модулю Fn+b ni. е.
WFn+i = rfn-fi,
еде V g F/i-i-i, тогда и только тогда, когда все коэфффициенты
в представлении элемента
б(Г) = «,
в виде линейной комбинации базисных элементов Ли или
различных одночленов алгебры А^ (Z, г) делятся на т.
(iii) Если и ^ F^ и V ^ Ff^y то коммутатор ((У, V) лежит
в Fni~\-k и не содержится в Fm-\.k-{-u f^poMe случая, когда т ^ k и
и и V определяют степени одного и того же элемента в
факторгруппе FJFin\-\y т. е.
UF,^+i - W'F^+u VFm+i = W'Fn^^i
для подходящих целых чисел р и q.
(iv) Фактор-группа FJFn-\.\ является свободной абелевой группой
ранга N^^y где N^ — число базисных элементов Ли степени п.
(v) Модуль Л,^ элементов степени п алгебры Ло (Z, г) порождается
простыми лиевыми произведениями п сомножителей
(... ((^Р,о?Р.)оНрз)- ...)-^Р,. A0)
где числа pi, ..., р^^ независимо друг от друга принимают
значения от 1 до г. ч
Доказательство. Отображение A) является
изоморфизмом (аддитивной) группы Л^ на группу FJFn-\-\ и обратным к нему
является отображение |л~^б. Так как |я — изоморфизм группы
Л^ на (аддитивную) группу однородных элементов Ли степени п
в алгебре Aq (Z, /), то отображение
%/_^б(Г)
является изоморфизмом группы FJFnJ^i на группу однородных
элементов Ли степени п в Ло (Z, г).
Это доказывает утверждение (i). Утверждение (ii) следует из
того, что базисные элементы Ли степени п являются свободными

5.7. Нижний центральный ряд свободной группы 353
образующими свободной абелевой группы однородных элементов
Ли степени п из Aq (Z, г), а различные одночлены A) из E.4)
составляют множество свободных образующих аддитивной абелевой
группы AoiZ, г).
Утверждение (iii) выводится при помощи теоремы 5.10 из связи
комм>тирования в группах FJFnJ^x с умножением в модулях Л„,
установленной в доказательстве теоремы 5.12.
Утверждение (iv) следует из теорем 5.12 и 5.9. (Теорема 5.11
дает явное выражение для yV„.)
Утверждение (v) следует из того, что по теореме 5.4 простые
п-кратные коммутаторы
(^Pi» • • • > ^р^)
порождают группу FJFn^h Поэтому их прообразы при
изоморфизме A) должны порождать группу Л„. Но прообразом простого
п-кратного коммутатора является простое лиево произведение
п сомножителей. (Другое доказательство этого утверждения
содержится в задаче 18 к разделу 5.4.) ^
Теперь мы воспользуемся теоремой 5.12 для доказательства
двух важных результатов, впервые полученных Ф. Холлом
11] теоретико-групповыми методами.
Теорема 5.13 А (теорема Ф. Холла о базисе). В свободной
группе F (г) суи^ествует такая бесконечная последовательность
коммутаторов Су (v = 1, 2, 3, ...), веса которых не убывают,
что для я = 1, 2, 3, ... i/ произвольного элемента W ^ F (г)
W = CKl' ... С1','п?Уп+и (И)
еде Vn-\-\ лежит в F^+i (<5(/г+ 1)-м члене нижнего центрального
ряда группы F (г)) и где целые числа е^, ..., ef^(n) и элемент Vn+i
однозначно определяются элементом W, Здесь k (п) — число
коммутаторов Cv веса < д.
Мы будем называть выражение A1) п-м коммутаторно-степен-
ным произведением для элемента IF.
Теорема 5.13 В. Пусть q = р^ есть степень простого
числа р. Тогда показатели е^у ..., ek{p-\) в A1) делятся на q тогда
и только тогда, когда существует такой элемент U ^ F^ что
W = U' {mod Fp). A2)
(Если q делит показатели е^, ..., ^^(p-i), то элемент W мы будем
называть (/-делимым по модулю Fp.) f]
Доказательство теоремы 5.13 А. По теореме
5.12 каждый элемент группы FJFn+\ соответствует при
отображении A) вполне определенному элементу из А^. Если ^i, ^g» Сз» ••• —
последовательность базисных элементов алгебры Aq (Z, г),
указанная в теореме 5.9, то их образы при отображении A) состав-
12 в. Магнус и др.

354 Гл. б. Коммутаторное исчисление
ЛЯЮТ последовательность коммутаторов неубывающих весов. Эта
последовательность и обладает требуемыми свойствами, что мы
сейчас покажем индукцией по параметру п в равенстве A1).
Пусть п = L Базисными элементами алгебры Ло (Z, г) степени
1 являются gi, ..., 1,, так что Ci = fl:i, ..., С^ « а^. Каждый
ьлемент W^ F (г) по модулю F^ сравним с произведением вида
al'al* ... а%
и показатели ^j, .,., е^ определяются им однозначно. Предположим,
что
где Vn-^i € Рп-^и Тогда Vn+\Fn+2 является элементом группы
Fn+i/Fn+2 и обладает, относительно отображения A), прообразом
в Лп+ь однозначно представимым в виде
etlt + ... + е^^^,
где t ^ k (п) + 1 и S = ^ (/г + 1). Поэтому
где Vn-\-2 б ^/г+2. Таким образом,
где t >= k{n) + 1, 8 ^ k {п + I) И 1/п4-2 ? ^п+2. Для
доказательства единственности предположим, что
«^ = c;i... с:|<^>с;'... су„+,,
где Frt+2 С/^n-f-2. Так как все элементы Q, ..., С^, У^+г, V^n+s
лежат в fn+i, то из индуктивного предположения следует, что
И что
С/... cisVn+2=-c'/... cv;+2.
Рассматривая последнее равенство по модулю Fn-^2 и переходя
к прообразам относительно A), получим
eZt + - . + ^s^s = e'tl^t + . . . + ^sSs-
Так как элементы ^v составляют линейный базис алгебры Л^, то
et^ety ... , е^ = вз.
Наконец, сокращая общие множители в двух представлениях для
IV, получаем Vn~t-2 = V'n^^2. Теорелш 5.13 А доказана. ^

5.7. Нижний центральный ряд свободпоЛ гр\ппы ЗГО
Доказательство теоремы 5.13 В. Покажем с -
чала, что если элемент V из F^j сравним по модулю fn+i с нроиз -
дением q-x степеней, где tK^p, и если п[юобразом V в Л,^ являет i
где t = k (п — 1) + 1, ..., S = k (я), то ссе fi Дс.::пся на (/.
В ca^юм деле, пусть
Представляя элементы У, Uf в алгебре А (Z, г), получим
где у' состоит из одноч.юнсз сгетсни, большей, чем п. Так как
при / < Р число [ 1^] делится на о, то коэффициент при каждсч
одночлене степени <; /?, входпщем в запись v, делится на с/. Зак^е-
няя каждый такой одночлен равным ему многочленом от базисиь'х
элементов Ли, мы видим, что каждый одночлен от базисных
элементов Ли, имеющий степень < п по совокупности образующг.к
Xi, ..., л^, сойдет с коэффиггсьгом, делящимся на q. В частности,
базисные элементы Ли стеггни // имеют коэффтщиенты, делящиеся
на q. Применив к ним оюЗражииие «л"^, получаем требуемый
результат.
Предположим теперь, что
W^W (modF,),
где (У — некоторый элемент гр\ппы F, 7о1да
W^^Ui (rnodfg),
где Ui ^ F. Из предыдущего утверждения и из построения (в
доказательстве Teope:vibi 5.13 А) представления A1) для 1Г следует,
что
W^Cl^ ... q^jj) {modF,),
где уделит числа gj, ..., ^/e(i). Так г.ак
UT'W = iUV'Y'U' (mod F.}
и VF^ W (^ /^2» TO из предыдущего утверждения и из ko:'ci; \ к-
ции в теореме 5.13 А следует, что
W^C\' ... C^ill^C'^lllJ:' ... C^|1f (mod г,I,
где q делит все показатели Cj. Продсл;кая таким с5разсм, П( ' _-
чим, что W является t/-делимым по модулю Fp элементом.

356 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Пусть, наконец, W (/-делим по модулю Fp. Покажем индукцией
по п, что для всех п <, р
W^UUmodFn+i).
Так как при п = 1 фактор-группа F/F2 абелева, мы можем
положить
г J _ rh rfk{\)
^A)
б;
где fi = ^ , Предположим, что
W^UUmodFn+i)
и АХ + 1 < р. Тогда
Vn+i S U-'W ^ U~^f ... Clf;~l^ (mod Fn+2Y
Так как все числа q, е^, ..., ek{p~\) делятся нг q w Vn-^\ €
^ Fn-\-u то, применяя первое утверждение нашего доказательства,
видим, что все коэффициенты у выражения элемента Vn-\-\ в
Л;г+1 через базисные элементы Ли делятся на q. Ввиду пункта
(ii) следствия 5.12 имеем
y,+i = r(modf.+2),
где V б /^п+ь Таким образом,
W^Uy {modFn^2).
и так как U^^VU^ (modf^-l-s), то
W^iVXf (mod/^.+2).
Это завершает индукцию и доказательство теоремы 5.13 В.^
Некоторые приложения теорем 5.13 А и В содержатся в
задачах к этому разделу. Относительно других приложений этих
результатов см. работу Ф. X о л л а [11 и раздел 5.11.
Ссылки и замечания. Теоремы 5.13 А и В впервые
доказаны Ф. X о л л о м [1 ] при помощи чисто теоретико-групповых
методов. Его конструкцию, названную им «собирательным
процессом», использовал в свою очередь М. Холл [4] для
построения базиса алгебры Aq (/?,/'), не выходя при этом за пределы
алгебры Ли. Упрощения Мейер-Вундерли [2] уже
упоминались. Теорема 5.13 В использовалась Ф. Холлом в теории групп,
порядок которых равен степени простого числа. Позже (после
получения в разделе 5.11 некоторых результатов Джекобсона, Ар-
тина и Цассенхауза) мы применим этот результат к исследованию
проблемы Бернсайда (раздел 5.12). Различные приложения
результатов этого раздела будут приведены также в следующем
разделе.
Теоремы 5.12 и 5.13 А указывают на то, что ассоциативное
кольцо Л о B, г) богаче, чем это необходимо для описания ниж-

5.7. Нижний центральный ряд свободной группы 357
него центрального ряда свободной группы, так как в
действительности для этого нужны лишь элементы Ли и коммутаторы. Для
этого естественно использовать алгебру Ли. В разделе 5.10 мы
увидим, что в алгебре Л (Q, /-), где Q— поле рациональных чисел,
существует ассоциативная операция, позволяющая представить
свободную группу внутри этой алгебры Ли. ^
Задачи
1. Пусть в группе G смежные классы, содержащие элементы ^i, ^2» ^з. •'•»
порождают фактор-группу G/G2, смежные классы, содержащие элементы hi, h^,
Л3, ..-, порождают фактор-группу О^/О^, ..., смежные классы, содержащие
элементы kiy k2, k^y ..., порождают фактор-группу 0^/0^, ^^ Показать, что по модулю
подгруппы G^j_j каждый элемент группы G представим в виде
^1 tev) ^2 (^v) • • • ^Az (^v) (V = 1, 2, 3, . ..).
[Указание. Воспользоваться индукцией по /г и методом доказательства
теоремы 5.13 А.]
2. Пусть группа G обладает г образующими и Gi, Gg, G3, ... — нижний
центральный ряд группы G. Если для всех п
On/G^^^ ^ Fn/Pn+v
то G с^ F (г). Если для бесконечного множества чисел п
GlGnC^FIFn.
то G с^ F (г). [Указание. Пусть при гомоморфизме а группы F (г) на группу
G несократимое слово W (ai, ..., а^) ^ 1 переходит в единицу группы G. Так как
П Fn= I, то W лежит в некоторой подгруппе F^, но не принадлежит F^.t.
Вербальные подгруппы/^,г, f^.j отображаются при отображении а на подгруппы
Опу ^^n-bi' '^^^ ^'^^ Рп/Рп4-\ отображается на GnlG^^^, Но а (IF) = 1, хотя W Ф I
и W ^ F^,y Это противоречит хопфовости конечно порожденной абелевой
группы Fn/F^,^. Если G/Gn c:d F/Fnf то Gk/G^ cai FklF^MSi всех /г < /г, и применима
первая часть.]
3. Обобщая задачу 2, показать, что если группа Н конечно порождена и аппро-
ксимируется нильпотентными группами, т. е. П //^ = 1, а группа G является
гомомоформным образом /У, причем
G;z/G„+1 ^ ^«/^п+1
для всех п или
GlGnC^HIHn
для бесконечного множества п, то G ^^ Н.
4. Пусть F (г) — свободная группа ранга /¦ > 2. Показать, что /'^^i//^2m+i ~
абелева подгруппа группы ^//^2т+1' Показать, что если группа Fmlp2m-\-\ збелева,
тог=2ит= 2. [Указание. Если группа /^m/^2m+i абелева и С^, С^ ^ f^,
то (Ср^, Су) G-^2m+i' Поэтому изоморфизм между прямой суммой групп FnlF^j^^
и прямой суммой модулей Л^г» при котором коммутирование в группах Fn/F^_^^
соответствует лиевому умножению в Л^, показывает, что для любых двух
элементов 1у У]^ Am элемент g оГ] лежит и в Лз^, и в A2,„_j_i, и потому равен 0. Отсюда
следует, что g и т] линейно зависимы, и базис Л^^ состоит из одного элемента. Но

858 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
базис Ащ состоит из бс-'зисных элементов Ли степени т. Если г> 2, то элементы
(. . . ((fe2 « ll) « Si) о . . •) <^ Si» (. . . ((Ss о Si) о и е 10 « . . .) о Iv
где Si повторяется сомножителем m—1 раз, являются различными базисным!
Z аегу'ечтами степени т. Если же л за* 2, но /п > 2, то элементы
(... ((S2 • Si) -Si) о *. о ^ Si. (.. ¦ ((S2 => Si) о g,) о .. .) о §2,
где Si повторяется сомножителем т — 1 раз в первом элементе, а Ss повторяется
сомножителем т — 1 раз во втором, являются различными базисными элементами
степени т. ]
5. Пусть F (г) — свободная группа ранга г ;> 2. Показать, что центр группы
Р1Рп-\~\ совпадает с FJF^j^y [Указание. Пусть элемент и не лежит в г^ и
смежный класс uF^j^^ находится в центре группы F/F^^i. Тогда элементы (ai, и) н
(%, и) лежат в Z^^^-fr ^^о^'^ому если и? Fk и u^Fj^^^ то
^^ о 1] =» О и ^2 о Л =^ ^'
где элемент г] из Л^ соответствует смежному классу uFf^,^. Но тогда
где ai, ag, Pi, Pa — ненулевые целые числа, и
p2aiSi — PiC^'zSi ^ 0.
что противоречит линейной независимости gi и Ij. ]
6. В равенстве A1) из теоремы б. 13 А положим п я»2 и обозначим k B) через
k. Показать, что если ei, ..., ej^, /1, ,.., ff^ — произвольная последовательность 2к
чисел, то
Cf^ . . . C^^Cf^ ,.. С^/г ^ Cf^ .. . С^л (mod /g), A3)
где gi, ..., g^j^ — подходящие целые числа. Показать, что каждое Hi чисел
gi, ..., gk является многочленом от ei, ..., ef^^ fu ..., /j^c целыми коэффициентами.
(Это утверждение остается верным и при л > 2, но доказательство его
значительно усложняется.) [Указание. Если Ci s» ах, ..., Сг »« а^, то в качестве
^,^4-1» •••' ^^ можно взять коммутаторы вида (д^, а/), i > /. Рассматривая A3) ^по
модулю fgf получаем ^у ™ gy + /^ A < / < /'). Таким образом, элемент
СГ''-^^' ,.. C-'r-frC'^ , ,. c'kd' ... С[л A4)
лежит в fg. Для представления его степенным рядом в алгебре А B, г) положим
С/ ^ 1 + Xi^xij — xijXij (mod Dg), г + 1 < / < ^,
где D<j состоит из степенных рядов, одночлены которых имеют степень 3 или
более. Одночлен XqXpf где р "> q, возникает из произведений
ЯР q р q р
C'qC'p, C'qdp, CUC^P, C's, Ch,
q P q P q P s i
где Cs = {a^, Gq). Аналогично, одночлен x^Xq возникает из произведений
c~'p~^pC'q, c-'p-^pdq, c'pcU, c's, ch.
P q p q p q s s
Поэтому коэффициент при XpXq — XqXp в A4) равен ^e + /s — Vp — ^я!р — Wp- 1

6.7. Нижний центральный ряд свободной группы 359
7. Пусть группа G порождается конечным мнолчеством элементов, порядок
каждого из которых конечен. Показать, что если некоторый член G^ ^^ нижнего
центрального ряда группы G равен 1, т. е. G нильпотентна, то G является конечной
группой. [Указание. Показать, что имеется лишь конечное множество
коммутаторов веса k, k ^ п. Показать индукцией по k, что каждый коммутатор веса
k имеет в G конечный порядок по модулю подгруппы 0^ i j. Пользуясь
представимостью произвольного элемента свободной группы в виде (И), показать, что
каждый элемент группы G представим в виде (И) по модулю G^j^^.]
8. Пусть р — простое число, и пусть в группе Н р-й член Нр нижнего
центрального ряда равен 1. Показать, что совокупность элементов из Я, являющихся
p-Mir степенями, является подгруппой в Я, т. е. произведение двух р-х степеней
снова является р-й степенью. [Указание. Воспользоваться методом
доказательства теоремы 5.13 А и показать индукцией по п, что U^V^ S W^ по модулю F^ для
»<р.1
9. Пусть G — приведенная свободная группа показателя р и класса
нильпотентности р — 1, т. е.
G = {^1, .... ап\ Х^ (Xi, Х2, .. . . Хр)>,
где р — простое число и (Xi, ..., Хр)—простой р-кратный коммутатор.
Показать, что порядок группы G равен р^, где
Р-1
и значение Л^^ указано формулой Вптта в теореме 5. П. [У к а а а н и е. Пусть Zp —
поле Галуа вычетов целых-^исел по модулю р. Покажем сначала, что группа G
изоморфна подгруппе мультипликативной группы фактор-алгебры A{Zp, r)/Dp (Zp),
где Dp (Zp)— идеал, состоящий из элементов, не имеющих одночленов, степень
которых меньше р. В самом деле, отобразим сначала группу F (г), свободно порождае-
кую элементами ai, *.., а^-, в А (Z, г)/Dp (Z), полагая
Так как элементы из р-го члена Fp нижнего центрального ряда переходят в
элементы вида 1 + «, где а ^ Dp (Z), то отображение A5) является гомоморфизмом
фактор-группы F/Fp в А (Z, r)/D (Z). Если W лежит в Ft, но не содержится в
^^-^1» где ^ < р, то при отображении A5) 1^ перейдет в степенной ряд, содержащий
одночлен степени, меньшей р. Поэтому A5) индуцирует взаимно однозначное
отображение группы F/i^p в алгебру А (Z, r)/Dp(Z), Отобразим, далее, алгебру
А {Z,r)/Dp (Z) гомоморфно в алгебру А (Zp, г)/Dp (Zp), используя гомоморфизм Z
на Zp, Смежный класс WFp принадлежит ядру отображения
F/Fp'^A(Zp,r)/Dp(Zp)
тогда и только тогда, когда в степенном ряде из А (Z, г), соответствующем
элементу W, коэффициент при каждом одночлене степени, меньшей р, делится на р. А в
STOM случае можно показать, как и в доказательстве теоремы 6.13 В, что WFp «=
«= V^Fp. Итак, группа О изоморфна подгруппе мультипликативной группы
А {Zp,r)IDp(Zp), порождаемой элементами 1 + xi, ,.., 1 + д:;.. Кроме того, если
-^С ^h t <С р, то отображение
WG,+i -V 6t (W)
является изоморфизмом Группы Gt/G^,^ на совокупность однородных элементов
Ли степени t алгебры Aq (Zp, г). Отсюда следует, что порядок GtlG^_^^ равен p^t^
и порядок G равен р^.]

3G0 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
5.8. Некоторые приложения
В этом разделе мы применим коммутаторное исчисление к
группам, которые могут не быть свободными.
Для произвольной группы G ее /г-й член нижнего центрального
ряда обозначается 0^, в частности, G^ = G, Gg = (G, G). Если
Gn-fi = 1, мы называем группу G нильпотентной класса д. Если
пересечение всех членов нижнего центрального ряда группы G
равно 1, мы говорим, что G аппроксимируется нильпотентными
группами.
Лемма 5.9. Предположим, что группа G порождается
элементами ^1, а2, <з!з,... вместе с элементами Ь^, bg» ^з, •••» лежаи{имив
Gg. Тогда в подгруппе G^ найдется множество таких элементов
Ciy ^2» ^з> •••> ^f^o элементы
^Ъ ^2» ^3» • • • > ^1> ^2» ^3» • • •
также порождают группу G. В частности, если группа G ниль-
потентна {произвольного класса), то она порождается лишь
элементами ai, ^2, «3, ...
Доказательство. Покажем индукцией по п, что группа
G порождается элементами ^i, ag, ао, ... и подходящими элементами
из G^.
При п =* 1 утверждение тривиально, а при п = 2 совпадает
с предположением леммы. Пусть элементы ^i, ^g, аз, ..., 6:i, ^2» ^з» •••
порождают группу G, где ^i, С2, ^з» ••• лежат в G,^, я > 2. Согласно
задаче 1 к разделу 5.7 каждый элемент группы G/G,2+i имеет вид
gig2 ... gn^n+u A)
где gi является словом от тех элементов, смежные классы которых
порождают группу Gi/Gi^\. Так как элементы а^, ^з, аз, ...
,.., bj, bg, Ьз» ... порождают группу G, а Ь^, bg» ^з» ••• содержатся
в Gg, то смежные классы элементов aj, ag, аз, ... порождают
факторгруппу G/G2y и мы можем считать, что
gi^W^ia^, ^2, аз, ...).
Так как элементы ai, ag, аз, ..., Ci, ^2» ^з> .•• порождают группу
G, то по теореме 5.4 фактор-группа GilGi+i порождается
смежными классами, содержащими простые коммутаторы веса / от
элементов ai, а2, аз, ..., Ci, с^, с^, ... Но при t > 2 произвольный
простой коммутатор веса /, содержащий Cyj, должен лежать в G^^i,
так как 6'v 6 G^. Таким образом, каждый элемент gi из A) можно
считать словом Wi (av) в образующих av, т. е. произвольный
элемент группы G лежит в смежном классе вида
W^{a^)W2{a^) ... W^{a^)Gn+u B)
В частности,
Ci^Wf[a,)Wf{a,) ... Wi\a^)du

5.8. Некоторые приложения 3bl
где dj ? Grt+b так что элементы
ui, а^у d'S} • • • > ^1» > » • • •
порождают группу G. Это завершает индукцию.
Если G—нильпотентная группа класса п, то Gn+i = К
Следовательно,
di = d2 = ds= ... = 1,
и элементы ai, «g» ^з» ••• порождают группу G.^
Предположение об аппроксимируемости группы G нильпотент-
ными группами не гарантирует того, что всякая система
образующих фактор-группы группы G по ее коммутанту является
системой образующих группы G. Действительно, элементы а^Ь^ -и
а^Ь^ порождают фактор-группу свободной группы со свободными
образующими а и b по ее коммутанту, но не порождают эту группу
(задача 19 к разделу 4.4); свободная группа аппроксимируется
нильпотентными группами.
Теорему 4.10 (которая утверждает, что в группе с одним
определяющим соотношением произвольное подмножество
образующих, не содержащее всех образующих, входящих в определяющее
слово, свободно порождает свободную подгруппу) нельзя
обобщить без дальнейших ограничений на группы с большим числом
определяющих слов. Например, в группе
G = (а, Ь, с; b = аЧ, с = аЧ)
подгруппа, порожденная элементом а, не является свободной.
В самом деле,
а2 = Ьс-^ = {cb~Y^ = а-\
так что а^ = 1. Следующую теорему можно рассматривать как
некоторое обобщение теоремы 4.10.
Теорема 5.14. Пусть группа G задается г + т
образующими и т определяюи^ими соотноилениями:
0= (^1, ... ,a„6i, ... ,6,,,; 6i = Ci(ap, 6^,), ... , &^, = С^(ар, М),
C)
где слово Ci имеет нулевую сумму показателей по каждому обра-
зуюи^ему Bр и Ь^. Тогда элементы а^, ..., а^. являются свободными
образуюи^ими порождаемой ими в группе G подгруппы Л.
Доказательство. Пусть F — свободная группа со
свободными образующими ^1, ..., а^у и пусть Ф — свободная группа
со свободными образующими ai, ..., а^, Ci, ..., с^. Индукцией по
л покажем, что группу G можно задать представлением
(«1, ... , а„ Ci, ... , с,^^; с^ = Ki (ар, с^), ... , с,^= К,„ (ар, с^)),

362 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
где I\i (ар, с^) лежит в коммутанте группы Ф, а Kt [йр, I)
принадлежит Fn, т. е. п-му члену нижнего центрального ряда группы F.
Справедливость этого утверждения при п =« 1 или п «= 2
следует непосредственно из C), если положить с^ = Ь^,
Предположим, что группа G определяется представлением D), где
Ki (<^р, с^) 6 ^2 и /Сг {ар, 1) б /^в- Так как Kt (лр, с^) б Фд, то
i^i {ару с^) = Ii (ар, с^,) ... L, (ар, Сц) • У (ар, с^), E)
где V (ар, с^) g Ф„4-1 и L/ (ар, с-^х) является простым
коммутатором от ар и с^ веса, не меньшего двух [это легко следует из за-
дачи 1 к разделу 5.7, теоремы 5.4 и включения Kt (^р, Сц) б Фв),
Те из коммутаторов L/, которые зависят лишь от ар, соберем
впереди, вводя коммутаторы вида
{U {ар, с^), Lj^ (ар) * L/^^j (ар) ... L/^ (^р)), F)
где и (ар, Сд) — коммутатор (не обязательно простой), одной из
компонент которого является с^, а
L/^ap), ... , L/^(ap), ... , L/^^p)
— те из коммутаторов L/, которые зависят лишь от ар. Тогда
Ki {ар, с^) = Wi (ар) . П М, [ар, с^) • V {ар, с^), G)
где Mf^ {ар,с^)—коммутатор веса, большего 1, одной из компонент
которого является с^.
Так как К{ {ар, I) ^ Fn и так как М^ {ар, 1) =» 1, то из G)
следует, что W^ {ар) g F„. Введем теперь новые образующие d^
группы G и определяюш^ие соотношения
d, ^ WT' {ар) ct
пли, эквивалентно,
c,^Wdap)d,.
После преобразования Тице, заменяюш^его q на W^ {ар) d^,
определяющее соотношение
Ci = К{{ар,с^)
принимает вид
W,{ap)di = Ki{ap,W^{ap)d^)
или, эквивалентно,
d, = Wr' {ap)Kt {ар, W^ (ар) d^).
При помощи G) последнее превращается в соотношение
dc = П М, {ар, Wy, [ар] d^) • V {ар, W^ {ар) d^), (8)
k
Так как Mk и V лежат в коммутанте свободной группы со
свободными образующими а^, ..., а^, d^, ..., d,^, там же находится вся

5.8. Некоторые приложения ?63
правая часть равенства (8). Если в ней, кроме того, заменить d^
на 1, то получим элемент
П М^ (ар, W^ (а,;)) ^ V (а,, W^ {а,)), (9)
k
который лежит в fn-f ь так как W (ар) ^ Г^. Поэтому, определив
группу G в образующих aj, ».., а^, с/^» --м d^,^ соотношениями (8),
мы убедимся в справедливости гипотезы при п + 1 и тем самым
вавершим индукцию.
Предположим теперь, что группа G задана представлением
D), где Ki (^р, Сц) ^Ф. п К (ару 1) ^ F^. Пусть нормальная
подгруппа N группы G порождается 9ле1\1ектами q, ,.., с,^ и всеми
простыми коммутаторами
Тогда фактор-группа GLK' порождается элементами ai, ».., а^^
йху *,., Cfji^ и определяется соотношениями
Ci= .
^l{«P, Си),
(flp,, Opi, . .
• • =с„ = 1,
• • • . Cm = -^m («P. C(i),
. , «pJ=l. ...
A0a)
A0b)
(lOc)
Воспользовавшись преобразованиями Тице для удаления
образующих 6i, ..., с^ и соотношений A0а), получим, что G/N
порождается элементами ai, ..., а^ и определяется соотношениями
/Ci(ap, I)- ... ==/СЛ^Р, 1)-1> (Иа)
(ар^, ар, .., , apj^ 1, ,.. (ИЬ)
Так как Kiicipy 1) 6 ^д, то соотношения A1а) можно отбросить.
Поэтому группа GIN в образующих ai, ,.,, а,, определяется
соотношениями (ИЬ), и, значит, изоморфна группе FIFf^. Но так как
слова из (Юс) лежат в Ny то группа AIA^ гомоморфно отображается
На группу GIN у а так как А имеет г образующих, то группа f/F^
гомоморфно отображается на AIA^. Таким образом, имеем
последовательность ЭПИ1\Юрфи31М03
FIF,-^AIA,^GIN ^FjF^,
Так как, далее, группа FIF^^ хопфова (она является нильпотент-
ной, следовательно, аппроксимируется нильпотентными группами,
и применима теорема 5.5), то каждый из этих гомоморфизмов должен
быть взаиАию однозначен. Следовательно,
FIF^^AIA^,
Ввиду задачи 2 к разделу 5.7 А является свободной группой со
свободными образуЮШЛ1МИ а^, ..., а^. ^

364 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Следствие 5.14.1. Если G — группа из теоремы 5.14, то
GIG.^FIF,,
где F — свободная группа со свободными образующими ai, .,., а^»
Доказательство. Если нормальный делитель Л^ группы
G порождается словами из A0а) и (Юс), то G^ содержится в N.
В самом деле, подгруппа G„ порождается простыми коммутаторами
igu •.., gn)^
и по модулю нормальной подгруппы, натянутой на слова из A0а),
каждый такой элемент равен либо 1, либо коммутатору из A0с).
Поэтому имеем цепочку эпиморфизмов
G/G,-^G/N^F/F,.
Так как группа G порождается элементами «i, ..., а^, Ь^, ..., 6,„,
где &1, ..., fe„j лежат в G^, то эта группа порождается элементами
«1, ..., а^ и подходящими элементами из G„. Следовательно,
группа GIGn может иметь не более г образующих, и f/f„ гомоморфно
отображается на GIG^^. Из хопфовости f/F^ следует теперь, что
G/G,-f/F„
и утверждение доказано. ^
Следствие 5.14.2. Если группа G может быть задана г
образующими, а также может быть задана г + т образующими
и т определяющими соотношениями, то G является свободной
группой ранга г.
Доказательство. В силу теоремы 3.5 из раздела 3.3
можно считать, что группа G имеет представление
где каждое слово Gj имеет нулевую сумму показателей по каждому
из образующих ар и b^x, Так как G обладает некоторой системой
из г образующих, фактор-группа G/G2 должна иметь не более г
образующих, и потому dj = ... = d^ = L Таким образом,
группа G задается представлением
<ai, ..., (з„ bi, ..., b^; bi = сг\ ..., b^ = с;;;^).
По следствию 5.14.1
G/G, - F/F,,
где F—свободная группа ранга г. Но G порождается г
элементами, и, ввиду задачи 2 к разделу 5.7 G с:^ F, ^
Мы до сих пор не связали фактор-группы G^/G^+i нижнего
центрального ряда группы G, не являющейся свободной, с
некоторой алгеброй Ли. Чтобы сделать это, представим сначала G в
виде фактор-группы F/N свободной группы F. Если F обладает г
образующими, то п-м модулем соотношений М^ группы G = FIN

5 8. Некоторые приложения 365
МЫ назовем множество тех однородных элементов степени п из
Ло B, г), которые соответствуют (при отображении из теоремы 5.12
раздела 5.7) смежным классам из FJFn+\, определяемым
элементами из F^ П Л^. Более точно, M„ состоит из элементов
где W пробегает все элементы из F^ {] N, \i — естественное
отображение алгебры Ло (Z, г) на множество элементов Ли алгебры
Л о B» ^)» 9 b^{W) — отклонение W, если оно имеет степень л,
и нуль в противном случае. Группа FJFn-\-\ изоморфна подмодулю
Л;, из Ло (Z, г), состоящему из всех однородных элементов степени
п. Кроме того, при гомоморфизме F на G, определяемом по правилу
F-^FIN,
подгруппы F^ и FriJ^i отображаются на FJ^IN и Fn^xNIN
соответственно. Таким образом, ядро отображения FJFn-\-\ на GJGn^iy
индуцированного гомоморфизмом F на G, состоит из тех смежных
классов по frt+i, которые определяются элементами из f^+i Л^ П
П F^. Так как Fn+\ ^ /^„» то ядро естественного гомоморфизма
группы FJFni-i на Gn/Gn-i-i состоит из тех смежных классов по
Fn-i-u которые определяются элементами из Fn П ^^ Но при
изоморфизме |Ь1~^б,г группы FJFn+\ на GJGn+\ элементы из f„
соответствуют элементам из Л1^. Поэтому Мп является подмодулем
модуля Л/1 и
AjM.c^GjGn^u
Подмодули соотношений Мп группы G = FIN позволят нам
связать автоморфизмы группы G с невырожденными
целочисленными линейными подстановками, если Л^ содержится в коммутанте
группы F, Более точно, имеет место
Теорема 5.15. Пусть F = F (г) — свободная группа
конечного ранга г, пусть N — такой нормальный делитель F, что N s
S f 2, и пусть G = F/N, Тогда произвольный автоморфизм а
группы G индуцирует в А^ автоморфизм S (а), записываемый в виде
линейной подстановки базисных элементов |р модуля Л^ с целыми
коэффициентами и определителем ± 1. Эта подстановка S (а)
отображает также каждый модуль Мп (п = 2, 3, ...) на себя.
Доказательство. Пусть а^ (р = 1, ..., г) — свободные
образующие группы F. Пусть Ьр = а (ар) — их образы при
автоморфизме а. Так как N S f g, то
ba=hal^'f^ (mod F,) (а= 1, ..., г),
p=i
где Sa,p— целые числа. Определитель гх г-матрицы S (а) с
элементами So,Q должен быть равен ±1, так как а (а потому и S (а))

3GG Гл. 5. Коммутаторiif^e исчисление
cjpaiLM. Из б (ар) = Хр следует, что
г
Уа^^Фа)^^ Sa,p\p.
Та^с как элементы уо однородны стегсни 1 и так как обращением
ллчеиной подстановки с целыми р;озффициента1Ми и определителем
=LI является снова такая подстановка, то каждая такая подстанов-
ьа отображает алгебру Aq (Z, г) взcи^пю однозначно на ссбя,сохра-
115^я степень однородных элементов. Следовательно, если Wn (ар)
является словом в ^р и б(Й^^) имеет степень п, то S (W^ (&р))
получается из 8 {Wn (ар)) подстановкой ур вместо Хр, Если
Wn {ар} ^ N, то я Wn (bp) G iV, так как а является автоморфизмом
г| ^ппы G = F/N. Поэтому при отображении
г
•^а ""^ ^ ^о.р^р
liMn переходит в себя, а так как а обратимо, то — на себя,
Доказательство завершается переходом при помощи f.i"~^ от Хр к сво-
со71^ым образующим |р алгебры Л^ (Z, г). ^
Еще одной иллюстрацией использования алгебры Ли для
описания автоморфизмов группы является
Следствие 5.15. Пусть Ф — фундаментальная группа
салкнутого двумерного многообразия рода g (группу Ф можно
30 а'lib 2g оиразующими ар (р ^ I, ,,., 2g) и одним определяющим
с .и о U
(«1, a.j^i) (^2, ^\^f2) ... (ag, aog)),
Lycnib a — ooiiio. юрфизм группы Ф, и пусть
а {а,) ^ П а;^'^ (mod Ф^) (а - 1, ... , 2g).
Tt^'^ca маигрица S = (sa.p) должна быть симплектичсской, пг. е,
S'JS - ± J\
где S' — т^ранспонированная матрица матрицы S и J есть 2g х 2g-
матрица вида
о /\
V-/ о)'
в которой О обозначает нулевую g х g-мampuцyJ а I—сдинич/- ую
g X g-матрицу.
доказательство. Модуль соотношений М^ группы Ф
со.гонг из кратных элемента
^-^ hole
a=-i

6.8. Некоторые приложения 367
Так как S должно отображать его на себя, имеем
2
2 «<'^р^р)^B ^^+«'рЧ
Р-1 / \р:-1 /.
а«1
Собирая и сравнивая коэффициенты при |р <^li {р <,t) в обеих
частях (учитывая, что gp о g^ = — |^ о ^), получаем требуе.?ыи
результат. ^
Доказательство того, что все симплектические подстановки S
индуцируются автоморфизмами группы Ф, получается п)те i
прямого построения таких автоморфизмов (см. теорему N13 из
раздела 3.7 и ссылки в конце ее доказательства).
Теорема 5.15 показывает, что автоморфизмы, индyциpye^f^'e
в группе G/G^ автоморфизмами группы G, будут, вообще гово!.я,
вависеть от каждого соотношения между образующими группы G,
причем неважно, в каком члене нижнего центрального ряда лежит
соответствующее равное единице слово. С другой стороны, эта
теорема подсказывает задачу отыскания тех подмодулей М^
модуля An, которые инвариантны относительно всех унимодулярных
подстановок 5 множества образующих gp алгебры Ло (Z, г). Если
ранг такого модуля Мп равен 1, то его базисный элемент /«
называется инвариантом Ли степени п унимодулярной группы.
Инварианты Ли могут существовать, только если i%^ 2 или п является
собственным кратным числа г. Они не существуют при г = 2,
д = 4 пли г =« 3, п == 6. При г = 2 и д =» 2, 6, 8, .., они изучены
В афер ом [21, который также обнаружил (см. [11) инвариант
Ли при г=:3, п=«9. Барроу[1] показал, что они существуют
во всех случаях, не исключенных выше. Можно показать, что если
Jn является инвариантом Ли степени пот г неизвестных |р, то
соответствующее произведение Wn (а^) коммутаторов веса п от г
элементов группы ар обладает следующим свойством: для любых
элементов gp группы G, порождаемой менее, чем г, элементами,
W{go) 6 G.+I.
Ссылки и замечания. Можно показать, что объединение М
модулей соотношений Мп группы G = F/N является идеалом
алгебры Ло (Z, г) и фактор-кольцо Ли Aq/M не зависит от
представления группы G в виде F/N (М а г н у с [9]). Связь между ниль-
потентчыми группами и кольцами Ли систематически изучалась
Лазаром[3]; результаты раздела 5.8 являются очень
частными случаями теорем, содержащихся в работе Лазара, в которой
изложен обзор результатов более ранних статей об
автоморфизмах, например, работ Калужнина [1—3].
Задачи
1. Показать, что объединенге ЛГ модулей соотьошеим" Мр группы G = F/V
является 1'леалом алгебры Ло (Z, г). Другими словами, если ср t Л1 и со f Ло,
то О) о ср f М [Указами е. Воспользоваться тем, что ccih ф f У11, то одт о-

368 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
родные компоненты ф также лежат в М, и если WfFiiW*fNy то коммутатор
(W, IF*) лежит в Л/.]
2. Пусть G = F/N, йр — свободные образующие группы F, б (а^) = х^ и
li~'\xp) = Н.р ^ Ло B, г). Показать, что если а^ f Gj и если со -- произвольный
однородный элемент степени п из Ло, являющийся линейной комбинацией
одночленов, содержащих сомножитель ^р, то ты ? Мп, Воспользовавшись этим
результатом, показать, что если все, кроме, быть может, одного, образуюилие группы
F имеют конечный порядок по модулю /V, то группа GJG^,^ конечна при « > К
3. Пусть F — свободная группа и Л — группа тех автоморфизмов
факторгруппы F/Fny которые индуцируют тождественный автоморфизм в f/fg- Показать,
что если Ар (р = 1, ..., г) — образующие группы F/F^ и Ср — произвольные
элементы, являющиеся произведением коммутаторов, то существует автоморфизм
из Л, отображающий а^ ка а^с (р = I г). Доказать (в случае г = 2), что при
достаточно больших п не все эти автоморфизмы индуцируются автоморфизмом
группы F. [У к а 3 а н и е. Воспользоваться теоремой 3.9 и леммой 5 9. J
5.9. Тождества
Построение базиса для элементов Ли ассоциативной алгебры
Ло (Ry г) и для свободной алгебры Ли Ло (/?, г) позволяет нам
решить, является ли данный элемент из Aq элементом Ли и равны
ли два элемента из Ло. Тем не менее конструкция эта имеет
рекуррентный характер и довольно громоздка в практических
использованиях. Для многих целей желательно иметь более явные
формулы, и мы начнем с вывода нескольких полезных тождеств в
алгебрах Ли.
Пусть Л — алгебра Ли над кольцом коэффициентов с единицей.
Пусть T]v (v = 1, ..., /г) — произвольные элементы алгебры Л. По
определению, имеем «антикоммутативный» закон
'Hi^TI'i + ^a^^i^O A)
и тождество Якоби
(ТI о Т]2) о Т]з + (T)j о ni) о ri2 + (TI2 <' Цз) ^ ^1 = О- B)
Левые части этих тождеств имеют вид, который может быть описан
следующим образом: берем произведение нескольких
сомножителей, переставляем их несколькими способами и складываем
полученные произведения. Чтобы получить удобное описание этой
процедуры в более общей ситуации, введем следующие
обозначения.
Пусть 2„— группа подстановок п символов 1, 2, ..., п.
Определим групповое кольцо JI>n как ассоциативную алгебру с
базисными элементами а^, где й = 1, 2, ..., п!, а а^ пробегает различные
элементы группы 2^. Коэффициентами УИ^ будут целые числа.
Умножение двух элементов
2 ^k^k и 2 /Л (h. /^ = О, ± 1, ± 2, ...)

5.9 Тождества 3G9
ИЗ J^n естественно определяется по правилу
п\ \ / п\
2 w(S lp]-Ij^hiPHi),
k=\ J\l=:l J kj
где Gk(i) есть элемент Oj^Oi из 2,^.
Пусть теперь Л^'^^ — множество тех элементов из Л, которые
могут быть записаны в виде суммы целочисленных кратных
произведений п сомножителей (в любом порядке) t]i, rig, ..., Цп- При
этом, кратное т^ элемента С € Л совпадает с ^ + ^ + ... + S
(т раз), если т положительно.
Мы можем считать элементы из */2^ операторами,
действующими на множестве Л^'^^ по следующим правилам. Пусть ^ —
некоторое произведение элементов ц^, ..., г\п\ более точно, t,
является результатом применения некоторого расположения скобок
веса п к элементам r]v, взятым в некотором порядке. При любом
а ? S„ элемент а^ определяется как произведение, полученное
из ^ действием подстановки а на индексы элементов rjv. Далее,
пусть Ti, ..., Тд. произвольные элементы из J2n и ^|, ..., ^^^ —
произвольные элементы из Л,^. 'Определение действия Jl^n на Л^^^^
дополняется требованием, чтобы для любых целых чисел /j, /g, •••
..., if^ выполнялись равенства
(t>i + i^x^ + . . . + i^Tj,) Ci = 4TjCi + 12-^2^1 + . . . + ik'^k^u C)
^1 (^'i^i + ^'2^2 + . . . + ihU == ^'iT^iCi + 4-^1^2 + . . . + ih^iU- D)
Так как операторы записываются слева, то (tiT2)^ обозначает
''^i ('^гО- (Кроме того, произведение двух подстановок следует
вычислять справа; например, A 2) A2 3) = B 3), а не A 3), что
получилось бы при вычислении слева.)
Нам понадобятся специальные элементы из У2п, которые мы
определим следующим образом. Пусть k н I — такие целые числа,
что 1 < й < / •< Аг, и пусть
(k k + l ... 1-1 I \
''''^[l k .../-2 /-1) ^'>
-— подстановка, циклически переставляющая символы k, k + 1, ..>
..., / и оставляющая на месте остальные символы из множества
I, ..., п. При помощи таких подстановок определим элемент Qk^rn
группового кольца J^n для ^ = 1, 2, ..., п— 1 и k <. т ^ п
по правилу
^k,m = A —• Ck,k-\-\) A — Ck,k-\-2) ... A — Ckjn-\) A — Ck,m), F)
где 1 обозначает единичную подстановку. Будем писать й„
вместо Qi,n.
Наконец, будем обозначать через
(Ли Л2» • •. , Цг) ('^>

370 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
«простое произведение» [формула A0) из следствия 5.121
соответствующее расположению скобок, в котором все левые
скобки стоят слева от каждого элемента. [Ср. с B) и C) из 5,3.1
Теперь мы докажем следующее утверждение:
Теорема 6.16 (формулы Вефера). Если 1 < Л — м, то
^^ п (Г|1, . . , , riJ = (t^i, . . . , Tl^^i) о (Т1д, . • . , TlJ. (Q)
Богее того, при к = 1 имеем (напомним, что Qn « Й1,л)
Доказательство. Можно заметить, что при л *= 2 и
п == 3 выражение A0) дает соответственно
и
(^1 ° Ук) ^ ^3 — (Лз ^ Лх) ° Л2 — (Л2 ° Лх) ^ Лз +
+ (Лз°Л2)^'П1"-3(Л1^Ла)^Л8-
Эш соотношения, как легко видеть, эквивалентны соотношениям
A) и B). Поэтому формулы Вефера являются обобщениями
тождеств A) и B).
Для доказательства тождества (9) мы покажем индукцией по
m — k, где 1 < ^ < m <: /г, что если г]^ и r\j таковы, что ^ и / не
принадлежат интервалу между кит (включая границы), т. е*
T]j и Tj; неподвижны при Qk,my и если такое г]^ найдется (хотя
r\j может быть п>стыхМ символом), то
^/?т(. .. , Цп %» ...» Лш» Л;» ..•)='
В случае т — к--= I утверждение верно, так как
И
A — C^_l.m) (..,41^ Лт-Ь Лт» Л/» . • •) =
-(..., Т]„ Г],п-1, Лш' Л;» ...) — (•..» Л/» Лт» Лт-Ь Л^ • • •) =^
= (((. . . , Л J ° Лт-l) о г],,,, Т];, . . .) — (((. . . , ЛО ^ Лт) ° Лт-Ь Л/, ..•)==
=*((..., Л0°(Лт-1ОТ);,), Г]/, ...)
на основании определения простого произведения, тождеств A) и
B) и дистрибутивного закона
Предположим, что равенство
Й/р( .. , Лм Л^ ... , Лр» Лл "•)^{{ .. , Л:)^(Л/» ... , Лр)» Л/, ..•)
справедливо при р — /<т — fe, и рассмотрим Q/j,m. Так как

5 9 То i дества 37 i
Qf^^^ = Q},,rn~l A —Ck, ), TO
= ^c n i( .., T],,T],,, ..., '>!,,,Г];, .. ) —
^ (О •, л.) Ч' > л i--i))°4 Р Л/. . )-
— ((( • г ЛО «п)°(Лч' • • • » Л'^-!)» л » • ) -^
'^^ (I • л) ((Л/1. • , л 2-1)оЛг;)> О/. • ) --
= ((•.» ЛОПЛ'^» ••• » Лт)» Лл •)
на основании индуктивного предположения, определения простого
произведенля, тождеств A) и B) и дистрибутивного закона Это
вавершает нашу индукцию
Применяя полученный результат к левой части (9) (так как
^>>1, то существует некоторое л^» предшествующее л^^г, хотя все
ij^'—пустые символы), получаем правую часть этого равенства
Для доказательства тождества A0) покажем индукцией го т,
где 1 < m < п, что если / не входит в интервал между 1 и т, то
Ям (Ль . • . , Лт» Л/, . . .) ^ ^ (Ль «... Лт' 4h ' • •)
(где Лу может бить п^/стым силшолом)
Сличай т = 2 проверяется легко, так как Q^ «^^ A — 6^1,2) и
{1 — сх 2) (Ль Л2. Л;> •) = (Ль Л2, Л/» • • •) — (Ла. Ль Пи -••)==
"= (Л1 ° Л2» Л/> • • •) — (Л2 ° Ль Л/» • • ) = 2 (ль Л2» Л/» • • •)
на основании аьгтикомм^/тативного и д^ стрибутивного законов.
Предположим, что
^р (Ль •. . , Лр> Л/» ...)-= Р (Ль .. • » Лр» Лу> . • •)
для всех р < ш, и рассмотрим fi^j, /п > 2»
Так как Q,,. -= Qrn-i A — 6^umj, го
^ш(Ль .-. » Л;Р Л;. "О^^
«0;п-1(Ль ••• » Л^-1» Лт> Л/» .••)—^т-1(Лш' Ль '.. » л i-b Л/. • • •) ^^"^
«« (т — I) (Л1, . . . , Лт-Ь Лт» %» • -) — (Лт ^ (^Ь • • • » Лт-l), Л/> • • ),
где для первого слагаемого мы воспользовались индуктивным
предположением, а для второго—первой частью доказательства при
Г]|==Лп Применяя теперь антикоммутативный закон, получим
^п (Ль .... Лт. Л/. ...)== ^ (Ль ... , Л.;, Л.ь • • )>
что завершает индукцию и доказательство теоремы 5.15. ^
Непосредственно из этой теоремы вытекает
Следствие 6,16 В свободном кольце Ли со свободными об-
разуюи^ими 1р каждый длел.ент степени п является линейной ком*

372 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
бинацией простых произведений, каждый множитель которых —¦
образуюи^ий. Произведение двух простых произведений степеней
k и I соответственно является линейной комбинацией не более,
чем 2^ или 2^ простых произведений.
Доказательство. Второе утверждение следствия
содержится в утверждении теоремы 5.16, так как Q^k,n является
линейной комбинацией не более, чем 2"~^ подстановок. Первое
утверждение получается из второго индукцией. (Первое утверждение
следствия 5.16 доказано выше: см. п>нкт (v) следствия 5.12 из
раздела 5.7.) ^
Мы воспользуемся сейчас теоремой 5.16 для получения двух
полезных признаков того, чтобы данный элемент алгебры Aq (Z, г)
был элементом Ли. Начнем с определения.
Определение 5.8. Пусть А^ {R, г) — свободная
ассоциативная алгебра со свободными образующими Хр (р = 1, ..., г).
Оператор { } на множестве элементов алгебры Aq определяется
следующим образом. Пусть у^ (v = 1, ..., п) — набор элементов Хр
(возможно, с повторениями), и пусть
г = аг/1У2 ••• У/г» ос ?/?. (И)
Тогда мы полагаем {г} = ау^, если п = 1, и при п > 1
{г} = а [[... Hi/i, у^], у.,1 ...], у^]. A2)
Мы полагаем также {а} = О и требуем аддитивности оператора
{ }, т. е. если z^, z^, ..., z^ имеют вид (И), то
{^i + гз + . •. + г;,} = {2i} + {зз} + . . * + {г;,}.
Ясно, что оператор { } отображает алгебру А^ {R, г) на
множество ее элементов Ли. Имеет место
Теорема 5.17 (теорема Дынкина—Шпехта — Вефера).
Пусть R — область целостности нулевой характеристики с
единицей. Пусть Un — однородный элемент степени п алгебры Ло(/?, г).
Тогда Un является элементом Ли в том и только том случае, если
{и^}=пи^. A3)
Доказательство. Если A3) выполнено, то nun
является элементом Ли. Вкладывая область целостности /? в ее поле
частных R, видим, что Un является элементом Ли алгебры Aq {Ry г)
Но так как базисные элементы Ли алгебры А о (/?, г) со.ставляют
часть базиса алгебры А о (/?, г) (теорема 5.8 из раздела 5.6), то Un
является элементом Ли и в алгебре Aq (/?, г). Осталось показать,
что равенство A3) имеет место для всех однородных элементов Ли
алгебры Aq (R, г). Считая, что оператор Qn из теоремы 5.16
действует на индексы элементов r/v, легко показать индукцией по ^,
что
^п {У1У2 ... Уп) = {У1У2 ... Уп)' A4)

5.9. Тождества 373
Так как скобочное умножение в алгебре Aq (R, г), удовлетворяем
тем же законам, что и умножение в алгебре Ли, то из A0) и A2)
следует, что
^п {У1У2 ... Уп]= ^{У1У2 ... Уп]* A5)
Из определения видно, что оператор { } коммутирует со всеми
перестановками элементов r/v Поэтому
^^ {У1У2 . . • Уп] = {^п (У1У2 . . . Уп)}'
Ввиду A4) и A5) это равенство можно записать в виде
п{У1У2 ... Уп) = {{//1^2 ... Уп}}
или
Цуъ ..., Уп]] = ^1^1' ...» УпЬ A6)
Так как ввиду следствия 5.16 произвольный однородный элемент
Ли является линейной комбинацией элементов вида A2), то из
равенства A6) следует A3), и теорема доказана. ^
С помощью теоремы 5.17 мы получим еще одну характеризацию
элементов Ли, которой будем пользоваться в разделе 5.10. Нам
понадобится новое понятие. Пусть Л о (/?, г) — свободная
ассоциативная алгебра со свободными образующими Хр (р = 1, ..., г),
и пусть Aq (/?, г) — изоморфная копия этой алгебры со свободными
образующими Хр. Мы определяем тензорное произведение
как ассоциативную алгебру над R с образующими ;гр, Хр, в
которой выполняются равенства
^/а = ^с^9 (а, р = 1, . ., , г)
и базисными элементами которой являются произведения базис}ч.1х
элементов Ло и Ло- Другими словами, базис алгебры Л^ 0 Л^
состоит из единицы (которую можно считать общей единицей
алгебр Aq и Ло) и произведений вида
У1У2 ••• УпУ\у'9 ... У'т, A7)
где f/v (v = 1, ..., /г) содержится в множестве Гр (р = 1, ..., г),
а у'^ ([i = и ..,, т) содержится в множестве х'^. Если п = т = О,
то выражение A7) является единичным элементом. (Более
подробную информацию о тензорных произведениях можно найти,
например, в книгах ШевалеП] и Джек.обсона[4].) Теперь
мы можем сформулировать наше утверждение.
Теорема 5.18 (теорема Фридрихса). Пусть R—поле
нулевой характеристики. Элемент Р (Хр) алгебры А^ (R, г) является
элементом Ли тогда и только тогда, когда равенство
^(^p+^;) = 'P(V + ^(^p) A8)
справедливо в алгебре Ло 0 Ло.

374 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Доказательство. Очевидно, что свободный член
произвольного элемента Ли равен нулю. Далее, так как характеррютика
поля R равна нулю, то из A8) следует, что свободный член
элемента Р (Хр) равен нулю.
Если Р (xq) является элементом Ли, то Р (хр) совпадает с
некоторой линейной комбинацией простых произведений Ли
Псзюму достаточно показать справедливость равенства A8) для
таких простых произведений, а это легко проделать индукцией по
fe, так как Хр^ коммутирует с х'^ .
Обратно, пусть Р (хр) удовлетворяет равенству A8). Для
доказательства того, что Р (хр) является элементом Ли, удобно
ввести алгебру операторов, весьма похожую на Aq 0 Ло (в
действительности эта алгебра будет изоморфна алгебре Aq 0 Ло, см.
задачу 6). Пусть Ло (Ry /* + 1) — ассоциативная алгебра со сво.юд-
ными образующими t, Ar^, ..., х^, и пусть Т—подмодуль этой
алгебры, состоящий из многочленов, степень которых по / равна
единице. Если Хр—оператор, умножающий элемент из Т на Хр
справа, а Хр — оператор, умножающий элемент из Т на Хр слева,
то, очевидно,
Р {Хр) и - иР'' (Хр), Р (Хр) и = Р (Хр) и,
где и ^ Т и Р* является многочленом от Хр, полученным
заменой каждого одночленна из Р его зеркальным отражение.м
(например, (XjXaA'i) * ^ A:?A:2^ri); подразумевается, что сумхма и
произведение двух операторов, а также умножение оператора на
элемент поля определяются, как обычно, т. е.
{P + Q)u^Pu + Qu, (Р .Q)u^P (Q (а)), (аР) и = а (Ри),
где Р и Q — операторы, а g i?, и ^Т,
Возвращаясь теперь к элементу Р (хр), удовлетворяюще\.у
равенству A8), заметим прежде всего, что если Р (хр) однороден
степени d, то элементы Р (хр -f л:р) и Р (хр) также однородны и имеют
степень d. Поэтому можно считать, что Р (Хр) однороден степейч d
и удовлетворяет равенству A8), Операторы Хр и Х'а перестс-но-
вочны. Поэтому из A8) следует, что
Р {Хр- х;)^Р{Хр + (~Хр)) = Р (Хр) + {~1)'Р (Х',). A9)
Применяя оператор A9) к элементу /, получИхМ, как нетрудро
убедиться, что
p{x,-x;)t^[tp*(xp)),
где tP'^{xp) считаем многочленом от t и Xi, .,., х^ (см. задачу 5),
Таким образом,
{.^Р* (Хр)] - tP^ (Хр) + {- I)' Р {Хр) L B0)

6.9. Тождества 375
Применяя оператор { } к обеим частям равенства B0) и использ} я
теорему 5.17, получаем
{(/Р* (Хр)}} « (d + 1) [tP^ (Хр)} - (^Р* (Хр)} +{- \)' [Р {X,) t]
и, следовательно,
[tP'^{x,)]^{-\)'cr'{P{x,)t]. B1)
Выражая обе части равенства B1) в виде многочленов от /, х^, ,.., л:^
и сравнивая те одночлены, у которых t является самым левым
сомножителем, получим
P^{x,)=^{^\f^'d-^'{P{x,)] B2)
(см. задачу 5). Наконец, навешивая звездочку на обе части
равенства B2), приходим к равенству
P{x,)^{-\f-^'dr'{P(x,)]\ B3)
Так как правая часть равенства B3) является элементом Ли, то
мементом Ли является и Р (хр). ^
Ссылки и замечания. Теорема 5.16 впервые была доказана В е-
фером [Пи здесь используется его доказательство.
Теорема 6Л7 была получена независимо Д ы и к и и ы м [11, Ш п е х-
том[1] и Вефером [1]. Теорема 6Л8 сформулирована
Фридрихсом[1]. Доказательство ее, приведенное здесь,
принадлежит Линдону [6]. Другие доказательства почти
одновременно найдены Коном [2], ФинкельштейномЦ],
Магнус о м [12], Ц а с с е н X а у 3 о м [2].
Задачи
1. Показать индукцией по m — /г, что если 1<^<т<пи/не
принадлежит отрезку между k^ т (возможно, / — пустой символ), то
^k,m (^Ь . . м Т]^, Л/» . . О - (/« — ^ + 1) {Щ^ . . . , Лт» Л/» . . О-
2. Пусть J^n — групповое кольцо группы подстановок п символов с целыми,
коэффициентами, и пусть Ло (/?, п) — ассоциативная алгебра, свободно
порождаемая элементами xi, ..., Хп- Предположим также, что элементы И8 /2/» действуют
на однородные элементы степени /г из Л о естественным образом.
(a) Показать, что если Г, Г' ? У2^ и
1 уХ-^Х^ • • ¦ Xfi) «= 1 [Х^Х^ * . . Xfi),
то г ^ Г' в J'Ln.
(b) Индукцией по п показать, что
(c) Показать, что
Q^ (Х1Х2 . . . Хп) = nQn (V2 • • • ^п)*
так что Q^ = nQ^ в J^n-
3. Пусть Ло (/?, п) — алгебра из задачи 2, и пусть характеристика поля R
равна нулю. Пусть Р (x^j) — однородный многочлен степени п из Ло, такой, что
каукдый одночлен из Р (х^) имеет слоговую длину л.

376 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
(a) Показать, что если ТР (х^) = Р (х^) для каждого Г f 2^, то
Р {х^} = а (Fi {XiX^ ... Хп) + Г2 (х^х^ . . . Хп) + . . ш + Г^^ (х^х^ . . . Хп)),
где Pi, ..., r^j — элементы из S^j и а f /?.
(b) Показать, что если Р (х^) является элементом Ли степени гг> 1 и ГР (х^) =>
= Р (х^) для любого Г ? 2;^, то Р (х^) = 0.
(c) Пусть Ло (R, п) — свободная алгебра 1и со свободными образующими
&1» •••» in* и пусть простое произведение
(..- ((gl^yoy о . . .) о g/2 = (?1, i2» .... In)
записано в виде многочлена алгебры Aq. Показать, что каждый одночлен, входящий
в это произведение, имеет степень п и слоговую длину п.
(d) Пусть Ло (/?, г) определяется как в (с) и пусть п> \. Показать, что сумма
всевозможных перестановок простого произведения (gi, gg» •••» in) равна нулю, т. е.
Гх (^1, ^..»и + ^2 (li* . .. . ёл) + . . . + Г^, ilv . .. , g/z) = О,
где Гь Г2, ...,r^iG2;z.
[Указание. Для (Ь) отобразить Aq в кольцо R [х] многочленов от одной
переменной х^ переводя дс^ в л:. В силу (а) многочлен Р (х^) перейдет в nlax"', а
так как элементы Ли степени >1 переходят в нуль, то а = О и Р (х^) = 0. Для (с)
воспользоваться индукцией по п. Для (d) воспользоваться (Ь) и (с). ]
4. Показать, что если Ло (R, п) определяется как в задаче 3 (с), то сумма
А, (gi, I2. ...» In) + А, (?1, ?2^ . . . . Ы + * • * + Ая (gi, 1ч* . . . , Ы.
где Ai, А2, ..¦, А^— степени элемента Cj.^, равна нулю при /г = 2 и п = 3, но
отлична от нуля при /2=4. (Указание. Для л = 4 представить алгебру
Л,, (/?, 4) в Aq (Rf 4) и показать, что в данную сумму одночлен х^^Х1Х2Х^ входит с
коэффициентом —1.]
5. Пусть Хр, Х' Р * — те же, что в доказательстве теоремы 5.18.
(a) Показать индукцией по степени одночлена Qot х^, что
Q(Xp-Xp)^={/QMV)-
Поэтому такое же равенство справедливо и для произвольного многочлена Q.
(b) Показать индукцией по степени одночлена Q от х^, что в выражениях
{tQ(x^)} и {Q(x^)t}
сумма тех одночленов, у которых t является самым левым сомножителем, равна
Q{x^) и -Q(Xp)
соответственно. Аналогичное утверждение справедливо для произвольного
многочлена Q.
(c) Показать, что
(Р*)* ^ р^ (р _|_ qy ^ р* _j_ Q*^
(аР)* = аР*, (PQ)* = Q*P*,
[Р* Q]*=[Q**P% {Р}* = <Р*>,
где <a:i>= xi и (xiX^ ... х^) = [xi, {х^ ... х^)], т. е. оператор ( ) «расставляет
скобки справа».
[У к а 3 а н и е. В (с) рассуждать сначала для одночленов.]
6. Пусть Aq — ассоциативная алгебра, свободно порождаемая элементами
XI, х^у .'',Xri г Aq — ассоциативная алгебра, свободно порождаемая элементами

5.9. Тождества 377
х\ а:', ..., л:'. Пусть X и X' — те же, что в доказательстве теоремы 5.18, и пусть
В — алгебра операторов, порождаемая над R всеми Хр и Хр. Показать, что
отображение
^р-^^р» ^р-^'^р
определяет изоморфизм алгебры Ло ® Лд на iB. [Указание. Так как В —
ассоциативная алгебра и Х^ коммутирует с X , то данное отображение определяет
гомоморфизм алгебры А^ (х) ^о ^^ ^* Предположим, что элемент
переходит в нуль алгебры В, где ?[ {х^, Qi (х^) — одночлены и при i Ф /
^i (^р) ^ ^/ (^р) или Q^ (Хр) Ф Qj {х'^).
Тогда элемент
«iQi (^р) ^^1 (^о) + - • + ^kQk (АГр) ^ я; (V
должен быть равен нулю. Так как при i Ф j
— различные многочлены от ^, xi, .,., ;>С;., то каждое а^ должно равняться нулю.
Таким образом, наше отображение взаимно однозначно. ]
7. Пусть Q — поле рациональных чисел, и пусть А (Q, 2) — алгебра
формальных степенных рядов, свободно порождаемая над Q элементами х я у.
Определим е^ естественным образом по правилу
Доказать, что и = е^^уе^ является элементом Ли. Более точно, показать, что
/2=1
{Указание. Показать, что если xvix' перестановочны, то е~~^х'е^ = д;' и ^^"^^'=
= е^ • е^'. Воспользовавшись теоремой 5.18, показать, что и является элементом
Ли. Показать, что однородная компонента степени п-\- 1, л^ 1, элемента и имеет
вид
и одновременно с и является элементом Ли. Поэтому, ввиду равенства A3) теоремы
6.17 получаем
Sii—xYyxJ)
_J / {{-х)ух'^-'] {ух^]\
^ п+ i \ {п—\)\ '^ п\ 1
1 ( {ух'] , {ух'] ] _^ lyx""] 1

378 Гл. б. Коммутаторное исчисление
8. Пусть F — свободная группа ранга г, и пусть А — подгруппа группы
FIF^_^^, А = Fn/Fn-{.i- Пусть, далее, В =» (f^, i^„__^fe)//^^_^l — подгруппа группы/!.
Показать, что существует гомоморфизм группы Л на В, при котором каждый
элемент из В переходит в свою (п — /г)-ю степень. [Указание. Считаем абелеву
группу А подмодулем Л„ алгебры Ло (Z, г), состоящим из однородных элементов
степени п. Если /2^ — целочисленное групповое кольцо группы подстановок п
символов, то каждый элемент из JI,n индуцирует гомоморфизм в аддитивной
группе однородных элементов степени п алгебры Aq (Z, /•), действуя подстановкой из
2/7 на индексы произведения Zi Zj ... z^, где каждое г^ совпадает с некоторым
Хр . При этом гомоморфизме элементы Ли переходят в элементы Ли, так что
естественным образом определяется соответствующий гомоморфизм мод\ля Л^,
а значит, и группы А. В частности, Q^, i j „ индуцирует гомоморфизм гр>ппы А,
Из равенства (9) теоремы 5.16 следует, что ^k^\^n отображает А на В. Кроме
того, так как ^/^_|_i^„ действует на элемент {y]ku-\t •••» Щ) так же, как Qj ^^_f^
действует на (г]1, ..., i1^j_/j), то действие Q^^ i |^^на элементы из В совпадает с
умножением их на л — k.]
6.10, Формула Бейкера — Хаусдорфа
Мы здесь докажем и поясним формулу, которая в свое время
стимулировала исследования, связанные с коммутаторным
исчислением, хотя ее непосредственная применимость неожиданно
оказалась весьма небольшой, по крайней мере до сих пор.
Теорема б. 19 (формула Бейкера — Хаусдорфа). Пусть Q —
поле рациональных чисел, и пусть алгебра Л (Q, 2) свободно
порождается элементами х и у. Пусть
Тогда
/1=0
eV = е^^'''\ B)
еде Ф (л:, у) — (бесконечная) cyjUMa однородных элементов Ли.
flenoe выражение для Ф можно получить следуюи{им образом.
Положим
X^'lT
- = е^е'^-Х=^ 2 ТШТ' ^'^
п,т==0
n-|-m>0
Соберем однородные члены Un выражения
сю k со
Тогда
0(x,i/) = V-l^. E)
П=1

б. 10. Формула Бейкера—Хаусдорфа 379
(Первыми членами, кончая членами степени иягь, ряда Ф (х, у)
являются:
ж + i/ + — U, ^] + -12- [[л:, У\г -^1 + -ГГ fl^» Vb у] —
[[U, 1/], yl А — -:^-г- Slf^"^' i^'b ^1' ^'Ь ^] —
24 ^^^^^'i^^' i^^»'^J 7.0
^ Шу. х1 л], X], л1 + -г~ [[Ai, л], t] --
Ш "^1» ^Ь J/] Г5Г t^b Д] - -3^ [^2» Д],
где А = [X, у\, Ai =- [А, х], Ag - [А, у\.)
Доказательство. Ясно, что Ф = log A + t^)
существует и является элементо?у1 алгебры А (Q, 2), так как ряд для
экспоненты и ряд для log A Ч- t;) имеют рациональные коэффициенты.
Если Ф является элементом Ли, то он должен иметь вид E) по
теореме 5.17. Следовательно, достаточно показать, что Ф является
элементом Ли. Для этого мы воспользуемся теоремой 5.18, в
которой положим х^ == л:, л:2 = г/, Х\ =« х', Х2 ^ у'. Так как для
коммутирующих переменных справедливы обычные свойства
экспоненты, получаем
откуда
и, следовательно,
Полагая
Ф(^ + х',|/ + Л= ^, Фи, ^/) + Ф(х',г/')-г,
мы должны теперь показать, что из ?^ =* ^« следует w ^ z, Тсч а
из теоремы 5.18 получим, что Ф является элементом Ли, и докс i-
тельство теоремы 5.19 будет закончено. Так как свободные чле^ l.i
у W я Z равны нулю, то соотношение
^^ + ТГ + ТГ+ ••• =^ + -51-+ — + •••
показывает, что члены наименьшей степени в w w z совпадают
Обозначая их через w^ и полагая w ^ Wi -г с^*, z ^ -Oi -\- г"
находим
21 1 ' • ' - ' 2'

380 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Так как степени Wi сокращаются, мы снова получаем, что члены
наименьшей степени в w* и z* совпадают. Продолжая аналогично,,
получим W = Z, ^
Можно отметить два следствия из теоремы 5.19. Во-первых,
равенство B) определяет ассоциативную операцию в свободной
алгебре Ли. В самом деле, так как Ф (х, у) является элементом Ли,
можно найти его прообраз [i-^Ф = W (g, т]) в алгебре Ли Л над Q,
содержащей элементы g, г], причем ц-^ (х) = ^, |li~^ (у) = Ц и
[А определяется как в лемме 5.5 раздела 5.6. Тогда операция *,
определяемая по правилу
будет ассоциативной, если разумеется, правая часть равенства F)
существует. Она будет существовать, если Л является свободной
алгеброй Ли Л (Q, г) формальных степенных рядов. Она существует
также, если Л получается из Л (Q, г) переходом к фактор-кольцу
по идеалу, содержащему все члены степени > п (/г = 1, 2, 3, ...).
Во-вторых, мы можем воспользоваться теоремой 5.19 для
получения представления свободной группы или в терминах только
элементов Ли, или в алгебре Ли. Результат выглядит следующим
образом:
Следствие 5.19. Пусть F (г) — свободная группа со
свободными образующими ар (р = 1, ..., г). Пусть Q—поле
рациональных чисел, и пусть А {Q, г) и В (Qy г) — изоморфные
ассоциативные алгебры, свободными образуюи^ими которых являются
элементы Хр и Ур соответственно. Пусть, наконец, Л (Q, г) —
свободная алгебра Ли со свободными образуюи^ими г]р, и пусть U, V —*
произвольные элементы группы F (г). Тогда мы получим изоморфное
отображение Е алгебры А на В, полагая
Ех,
п==1
а также взаимно однозначные отображения а и ft группы F (г) в
А и В, определяемые по .правилам
аар = 1 + лгр, рар = е^^ ф = Еа).
Если
aU = u, р^ = ^"* а* б В,
то и^ является лиевым элементом алгебры В (Qy г). Ненулевые
однородные члены наименьилей степени элемента а* получаются
из 8 (U) ^ А заменой каждого Хр на ур.

5.10. Формула Бейкера—Хаусдорфа 381
Пусть (как в лемме Ъ,Ъ) \х. является отображением алгебры Л
е By \х (т]р) = ур- Тогда отображение у» определяемое по правилу
Y^ = со = jLi~'w*,
является взаимно однозначным отображением F в Is^. Если yU = со,
yV == ф, то
у (UV) = W (со, ф) = (О * ф,
где Т (или операция * ) определяется равенством F).
Доказательство. Доказательство следствия 5.19
требует лишь повторения некоторых аргументов, употреблявшихся
выше, и применения теорем 5.8, 5.9 и 5.19. Мы не будем входить в
довольно очевидные подробности, но в качестве применения этого
следствия докажем следуюш.ее предложение:
Теорема 5.20. Пусть F (г) — свободная группа с г
свободными образующими ар. Существует группа F, содержащая F и
обладающая следующими свойствами:
(i) ^Для каждого элемента W ^ F в группе F имеется
единственный корень п-й степени {п == 1, 2, 3, ...), т. е, сиществует в
точности один элемент 1/^'^^ такой, что
(ii) F порождается образующими ар группы F при помощи
операций умножения и извлечения корня п-й степени (для всех п).
Доказательство. Представим группу F в алгебре
Л (Q, г)у как в следствии 5.19. Тогда, если IF^f, со^Ли И^->(о
при нашем отображении, то элемент И^\ такой, что
uin) __0)_
^ п '
дает нам искомый (и единственный) корень п-й степени из W;
аналогично — для любого элемента из F, полученного из элементов F
при помощи операций умножения и извлечения корней.
Естественно предположить, что группа F обладает также
следующими двумя свойствами:
(iii) F аппроксимируется нильпотентными группами.
(w) Любые два элемента IF^, W2 ^ F либо порождают свободную
группу ранга 2, либо для некоторых целых чисел р и q
Это можно было бы доказать, если бы удалось распространить
теорему Ширшова — Витта на случай бесконечных сумм. Однако
на этом пути могут встретиться трудности, связанные с переходом
к обратным пределам.

382 Гл 5. Коммутаторное исчисление
Если в теореме 5.20 группу F заменить свободной нильпотент-
ной группой F^^^ класса с, то можно построить группу F^^\
обладающую свойствами (i) и (ii) и нильпотентную класса с. Эта группа
получается переходом от алгебры Л (Q, г) к ее фактор-алгебре по
идеалу, порождаемому элементами степени >с.
Используя методы, развитые Ба уме лагом [2], можно
показать, что полученная группа Р^^ является свободной в
следующем смысле. Она порождается г своими элементами и операцией
извлечения корней п-й степени (п == 2, 3,...), и произвольная ниль-
потентная группа класса с, обладающая свойствами (i) и (ii)
теоремы 5.20, является фактор-группой группы Р^\
Из формулы Бейкера— Хаусдорфа можно вывести формулу,
в некотором смысле обратную ей, применяя тот же способ, каким
теорема 5,13А была получена из теоремы 5.12, Имеет место
Теорема 5.21 (формула Цассенхауза). Пусть х и у —
свободные ооразуюьцие алгебры А (Q» 2). Тогда
i-^y =. е'е' П еп''''\
еде Сп {х, у ) — однородный элемент Ли от х, у степени п. Пер^чз
два из них имеют вид
<^2 = — — ^^' ^1' ^3 === — — [l-^, yh у] — — f'-^» У^' ^^'
Ссылке! и замечания. Формула Бейкера — Хаусдорфа была
открыта К э м п б е л л о м [1 ] в 1898 г. Кэмпбелл предполагал,
что элемен1Ы х я у алгебры А G?, г) являются матрицами,
элементами которых служат действительные числа. Это ведет к
трудностям, связанным со сходимостью, так как бесконечный ряд
Ф (л', у) не будет, вообще говоря, сходиться. Целью исследова1ния
Кэмпбелла было построение группы Ли непосредственно из алгебро!
Ли ее «инфинитезимальных преобразований». Б е й к е р [IJ и
Хаусдорф [1] независимо друг от друга доказали Teo^jeMv
5.19, оперируя в достаточно абстрактной алгебре, где вопросы
сходимости тривиальны. Но это нар>шило непосредственную
применимость результатов к группам Ли. Позже формула Бейкера—
Хаусдорфа использовалась в теории гр^пп, заданных образующими и
соотношениями, Адельсбергером [1], Магнусом [11J,
Линдоном [41 и, больше всего, Лазарем [31. Свойства
ччсловых коэффициентов ряда Ф (л:, у) изучались Гольдбер-
гом[1]. Обобщения содержатся в работе Дьедонне [2].
Непрерывные аналоги формул Бейкера — Хаусдорфа и
Цассенхауза, возникающие в теории линейных дифференциальных урав-

Q>
б. П. Степенные и коммутаторные соотношения ЗРЗ
нений, содержатся соответственно в работах Магнуса [121
и Ф е р а [1].
Наш метод построения группы F в теореме 5.20 является
частным случаем конструкции Мальцева [2].
Задачи
1. Показать, что если х и у — свободные образующие алгебры А (Q, 2), то
ГД9
iУказание. Показать, что ехр (е'^уе^) = е^^е^е^ и воспользоваться задачей
' к разделу 6.9.]
2. Показать, что каждая действительная 2 X 2-матрица А с определителем^
равным 1, может быть записана в виде А « ехр Q, где
I со ф II
I al? — со II
есть действительная 2 X 2-матрица с нулевым следом. Показать, что
A=(chA)/+(-^jQ.
где / — единичная 2 X 2-матрица и
Д « @J + ф1|?) 2 •
3. Показать, что если А — матрица из предыдущей задачи, В — действитель»
йая 2 X 2-матрица с определителем, равным 1,5 = ехр Q', причем^
Л • В = ехр Q",
то элементы матрицы Q'' не являются однозначными аналитическими функциями
ет элементов Q' и Q. (Эта задача указывает на упомянутую в «ссылках и
замечаниях» ограниченность применения формулы Бейкера — Хаусдорфа.)
6.11. Степенные и коммутаторные соотношения
Свойства нижнего центрального ряда свободной группы F
позволяют классифицировать соотношения, связывающие
образующие группы G, представленной в виде фактор-группы G «= FIN
группы F
Пусть Qq (р ^ 1, .¦., г) — образующие группы F, и пусть W —
слово в образующих ар, лежащее в нормальном делителе N группы
F, но не равное 1 в F, Тогда равенство W = 1 является
соотношением в группе G. Предположим, что W^Fn, но W$f„_|_i.
Если существует элемент V ? f«, не лежащий ъ N w такой, что
для некоторого целого числа т > 1
W^V" [mod Fn^).

384 Гл 5 Коммутаторное исчисление
то соотношение W = 1 называется степенным соотношением по
модулю Fn-{-\ или просто степенным соотношением для образую-
ш^их йу группы G. Все остальные соотношения называются
коммутаторными. В группе G без степенных соотношений
фактор-группы Gn!Gn+i нижнего центрального ряда являются группами без
кр>чения.
Немногое известно относительно вопроса, могут ли образующие
группы G удовлетворять степенным соотношениям, если сама
группа G определяется лишь коммутаторными соотношениями.
Для свободных групп, свободных нильпотентных групп и некоторых
других приведенных свободных групп ответ на этот вопрос
отрицателен и легко может быть получен на основе тех знаний об этих
группах, которыми мы располагаем. Ответ на более слабый вопрос,
может ли группа, заданная коммутаторными соотношениями,
обладать элементами конечного порядка, можна получить для
свободных произведений, если он известен для сомножителей (см. теорему
Куроша о подгруппах из главы 4), а также для групп с одним
соотношением и некоторых фактор-групп группы Ф, определенной
в следствии 5.15 раздела 5.8 (см. работу Каррас а, Магнуса
и Солитэра. [1]) Как будто не известно ни одного случая,
когда из коммутаторных соотношений следует степенное, если все
коммутаторные соотношения лежат в Г^ и линейно независимы
по модулю Fn+\-
Обратный вопрос, следуют ли из степенных соотношений
коммутаторные, получает положительный ответ даже в очень простых
случаях. Например, Келер показал, что в группе Gc образующими
а, b и определяющим словом а^ слово
Г = (((а, 6), а), (а, 6))
равно 1. Соотношение W = 1 является первым коммутаторным
соотнош^ением в G. Факторы GnlGn-\-\ при д <;4 получаются из
соответствующих факторов FJFn-\-\ свободной группы F ранга
2 переходом к фактор-группе по подгруппе квадратов. Тем не
менее W не является квадратом по модулю F^, как это вытекает из
следствия 5.12 (и) раздела 5.7, так как б {W) является базисным
элементом Ли.
Не известно никакой общей формулы, которая позволила бы
установить, какие коммутаторные соотношения следуют, скажем,
из единственного степенного соотношения. Тем не менее, если
имеется достаточно много степенных соотношений, то существуют
выводимые из них коммутаторные соотношения, которые могут
быть явно указаны. Это верно, в частности, для групп Вр, где р —
простое число и где W^ = 1 для каждого W ? Вр. Мы изучим
эти группы несколько подробнее в следующих дв>х разделах.
Сейчас мы докажем два основных результата, которые будут исполь-

б 11 Степенные и коммутаторные соотношения 385
зованы позже. Сначала мы уточним теорему 5.13В из раздела
5.7. Для этого нам понадобится новое понятие.
Определение 5.9 (дифференцирование Хаусдорфа)
Пусть Aq {R, г) — ассоциативная алгебра со свободными
образующими Хр (р == 1, 2, ..., г). Пусть k и I— некоторые фиксированные
числа из множества I, 2, ..., г. Определим производную Хаусдорфа
д
сначала для одночлена и = ZiZ2 *** Zn (где каждое Zv совпадает
с одним из Хр) следующим образом. Пусть v = /j, l^, ..., /^— те
значения v, для которых Zv == ^/. Пусть Uo — результат замены
в и элемента г^^ элементом Xk- Тогда полагаем
Определение левой части A) распространяется на произвольные
элементы v ? Aq при помощи требования, чтобы для любых Ui,
U2^ Aq и «1, а2^ R выполнялось равенство
(^f^ "аГ") (^1^1 + ^2^2) = «1 [ч ~а]г)  + ^2 [ч т^г) "^'
Определение 5.9 выглядит довольно искусственным. Тем не
менее можно легко показать (начиная со случая, когда и является
одночленом), что наше определение производной является в
точности таким, какое необходимо для выполнимости теоремы
Тейлора. Сформулируем этот результат в виде следующей леммы.
Лемма 5 10. Пусть и (Xi, ..., х^, ..., х^) — произвольный
элемент алгебры Aq (/?, г), степени членов которого не превосходят /V,
Тогда для любого t ^ R
2j "TT [^^ ax I ^ ^^^* * * • * '^^' * * * * ^^"^^ ^^^
v=o ^ ^ '
где
U
Теперь мы можем улучшить теорему 5.13В следующим образом:
Теорема 5.22. Пусть х и у — свободные образуюи^ие
ассоциативной алгебры А (Z, 2), и пусть F — свободная группа,
порождаемая элементами а = 1+хиЬ = \+у. Пусть С%, (X =
= I, ..., L) — коммутаторы^ определяемые в теореме 5.1 ЗА, веса
W, такого, что 2 < ^' < /? — 1 где р — простое число, Тосда
(аЬ) ^а'Ь C'l'^Cf' ... С^'^С, C)

386 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
где di, ..., d^ — целые числа, С ^ Fp и
S (С) ^ Ц ^ (^ -^)'~' {V-'} (mod р). D)
(Усиление теоремы 5.13В состоит, конечно, в формуле D),
дающей информацию об «остаточном члене» С формулы C). Следует
отметить, что дроби 1/vl в правой части D) являются, разумеется»
целыми числами по модулю р, так как v < р.)
Доказательство. Заменяя сомножители в обеих
частях равенства C) их выражениями через элементы алгебры А (Z, 2)
и сравнивая члены степени р, получим, как и в доказательстве
теоремы 5.13В,
(x + yf^x' + y' + biC) (modр). E)
Так как б (С) является элементом Ли, мы можем переписать
элемент
D^{y + xf--y'--x' F)
в виде суммы элементов Ли, преобразуя его, в случае
необходимости, по модулю р. Проделаем это сначала для членов D,
линейных по Ху доказав, что
ху'-' + уху'-' + ... + у'-'х ^ {х/-^} (mod р). (!)
Из определения 5.8 (раздел 5.9) легко следует, что
{ху"-'} = XI/-' -(Р-ух!/-' + l^~yW-'± — . (8)
С1едовательно, нам нужно показать справедливость для
биномиальных коэффициентов следующего сравнения:
P^^\^(^lf(rnodp) (k^ 1,2, ..,, p^l). (9)
Но это непосредственно следует из хорошо известного соотношения
k)^[ k r\k-\
и того, что при А == 1, 2, „,, р — 1
^Wo (modp).
Таким образом, G) доказано. Теперь применим равенство B) лем*
мы 5.10 к элементу D из F) и получим
E + .r-/-/ = V-l-(x-^)^/, A0)

6Л1« Степенные и коммутаторные соотношения 387
©ТО означает, что мы можем получить члены из D степени v -f 1
по X из членов, имеющих по х степень v, применяя к ним оператор
v! д
(v+l)! " ду
Так как ввиду G) члены из D, имеющие по х степень 1, собраны
(И)
VV -г i;j иу
/ G) члены из D, имеющие по х степень 1, соб[
в выражении
{^-'}.
если вычислять по модулю р, то мы получаем D). Следует заметить,
что дифференцирование Хаусдорфа не вводи! знаменателей.
Поэтому операторы (И) хорошо определены по модулю р, так как
V + 1 <р— 1. 4
Воспользуемся теперь теоремой 5.22 для получения
результата, который оказался важным для проблемы Бернсайда (раздел
6.13). Чтобы кратко сформулировать его, введем ноЕюе понятие.
Назовем элемент Ли алгебры Aq (Z, г) со свободными образующими
Хр энгелевым элементом, если его можно получить из /7-кратного
скобочного произведения
([...[Ui, xj, x,l ...], х^]=^{х,хГ'] A2)
яри помощи следующих операций:
A) Применение (произвольное число раз) дифференцирований
Хаусдорфа
av) (^» ^= I» -•» 0. A3)
(ii) Подстановка произвольных элементов Ли вместо х^ в
элементы, полученные из A2) повторным приме1{ением
операторов A3).
(iii) Скобочное умножение элементов, полученных таким
образом, на произвольные элементы Ли алгебры Л о (Z, г).
Модуль (с коэффициентами из Z), порождаемый этими энгеле-
8ыми элементами, будет называться энгелевым модулем класса
р— \ 6 алгебре Л о (Z, г).
Разумеется, энгелев кюдуль класса р— 1 \\з A^^wwq^i вполне
определенный прообраз в алгебре A,j (Z, /), i.oiopbiH мы будем
называть энгелевым модулем класса f. — \ в Л^,. Легко видеть, чю он
является идеалом в Л^ (Z, г).
Теперь мы можем сформулировать наш р^^льтат:
Теорема 5.23. Пусть р — простое число, и пусть В (/?, г) =--=
*== F/N—фактор-группа свободной группы F (г) ^^ I рснг^а г п)
нормальному делителю N, порожденному всеми р-ми степенями
влементов из F, Пусть группа F представлена в алгебре Л о B» ^)»
и пусть W является элельентом из Fn, ^ > р- Если б {W) лежит
€ энгелевом модуле класса р — 1 сиггебры Aq, то W принадлежит
in + \)-му члену Вп-\.\ нижнего центрального ряда группы В (р, г).
4t 13*
(-

388
Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Используя обозначения, введенные перед теоремой 5.15 раздела
5.8, мы могли бы также сказать, что
П'й модуль соотношений группы FIN содержит элементы
степени п из энгелева модуля класса р — 1 алгебры Aq (Z, г).
(Так как мы будем работать с алгеброй Ло, а не с Ло, удобно
обозначить образ \кМп модуля Мп в Ло через Л1л. Тогда Мп
состоит из всех однородных элементов Ли степени п таких, что W ^
е5п+ь если b{W)^Ml)
Доказательство. Труднее всего доказать, что Ui б Л1р,
где
t/i={^i^"'}. (И)
Из теоремы 5.22 мы знаем, что
2 «V е л^р ,
где при V > 1
1 / д у-^
Если в теореме 5.22 заменить {abf на {а^Ь)^, где й = 1, 2,
то легко видеть, что
fe 2 ^^ ^"v 6 ^й •
v=l
A5)
-1,
A6)
Далее, для каждого однородного элемента Ли v произвольной
степени п имеем pv ^ М„. Следовательно, так как М'р является
модулем, то все «v будут лежать в Мр, если определитель Вандер-
монда D, содержащий р — 1 строк и столбцов,
1 1 ... 1
D
2
3
3"-
чР-2
1 р_1 ... (p-l)"
не делится на р. Как легко видеть, это верно, так что u-s, g М*р
Итак, пока мы доказали, что в Мр содержится энгелев элемент
A2), а также элементы, получающиеся из него (повторным)
применением оператора A3) ck = 1, 1 = 2. Чтобы обобщить этот
результат, предположим, что группа F имеет образующие Ср = 1 + дгр,
и заменим в C) элемент а на %, элемент Ь — на а^с^* Тогда, как
и в доказательстве теоремы 5.22, получим, что
б (С) = Ui + ^2 + kx^f — 4 — (^8 + kx^) ^ (mod р).

5.11. Степенные и коммутаторные соотношения 389
Следовательно, заменив в правой части D) л: на Xj и г/ на Xg + kx^,
мы получим элемент из Мр. Но тогда мы получим элемент из М^,
если в любом из «у заменим Лд на х^ + kx^. Применяя лемму 5.10
^теорему Тейлора), находим, что
р—v
и^{х^, ДГа + АдГз)- 5] **(дГ8-а^У «v(дrl. Х^.
В этом последнем равенстве обе части являются элементами из
М\ при А = О, 1, ..•, р— 1. Рассуждая теперь точно так же, как
й при выводе включений и^ ^ М*р из условий A6), можно
показать, что все элементы
содержатся в Л1р. Повторяя эти рассуждения и замечая, что наше
определение подгруппы Л^ позволяет переставлять элементы Хр
произвольным образом, получаем, что все энгелевы элементы,
полученные при помощи операции A) (см. 13)), содержатся в М*р,
Для доказательства того, что каждый энгелев элемент, полученный
в результате (ii), содержится в некотором Мп, воспользуемся вер-
бальностью подгруппы Л^. Пусть W (йр) ^ Fp — слово,
содержащееся в N. Пусть ftp — некоторые элементы из F, такие, что
6 (fcp) = (/р — заданные элементы Ли алгебры Aq (Z, /*). Тогда
W{bp)^N. Если теперь элемент Ли v степени р определяется
равенством
6 (Г (ар)) = t;(xp),
то либо V (ур) = О, либо
и если степень v (уо) равна п, то v (у^) ? М», так как W Fр) g Л^.
Осталось показать, что энгелевы элементы, получающиеся при
помощи операции (iii), содержатся в некотором модуле Мп> Это
следует из того, что коммутатор элемента из N и произвольного
элемента из F принадлежит подгруппе Л^. Теорема 5.23 доказана
полностью. ^.
Ссылки и замечания. Теорема 5.23 в явном виде была
сформулирована Магн>сом [11] и Санов ым [31. Она вытекает
из результатов Ф. Холла [1] и Цассенхауза [11 в
сочетании с работой Магнуса [101,
Задачи
1 Доказать лемчу 5.10.
1/^_[ р в М irnyc и др.

390 Гл. б. Коммутаторное исчисление
5.12. Проблема Бернсайда. Показатели 3 и 4
В 1902 г. Бернсайд сформулировал проблему, которая в
значительной мере стимулировала развитие методов, рассмотренных в
этой главе. Она звучит следующим образом:
Проблема Бернсайда. Пусть В (е,
г)—фактор-группа FIN свободной группы F с г свободными образующими по
нормальному делителю N, порождаемому в F всеми е-ми степенями, т. е^
N ^ F (Х^). Для каких значений е и г группа В (е, г) будет
конечной? ^).
Мы назовем е показателем, а г—рангом группы В (е, г).
Очевидно, что если е делится на простое число р, то, поскольку
В (/?, г) является фактор-группой группы В (е, г), группа В {е, г)
будет бесконечной, если В (/?, г) бесконечна, и группа Я (р, г)
будет конечной, если В {е, г) конечна. Следовательно, случай е ^ р
заслуживает особого внимания. В этом случае (а также в случае,
когда е является степенью р), как мы знаем из теории конечных
групп, если группа В {q, г) конечна (где q—степень простого
числа /?), то она нильпотентна, т. е. ее нижний центральный ряд
через конечное число шагов оканчивается единичной группой
(см., например, Ф. X о л л [1 ]). Но если группа В (q, г) бесконечна,
может случиться, что ее нижний центральный ряд через конечное
число шагов обрывается на такой бесконечной группе В {q, г)^
фактор-группа
S* {q, г) = В (q, r)IB (9, г)
по которой конечна. Группа В* была бы максимальной в том
смысле, что всякая конечная группа, которая порождается г
элементами и порядок каждого элемента которой является делителем
q, была бы фактор-группой группы В*. Эти соображения приводят
к следующему вопросу:
Ограниченная проблема Бернсайда. Для
каких значений г и q группа В (q, г) обладает максимальной
факторгруппой конечного порядка?
Если бесконечная группа В (q, г) (где q *== р^у р — простое
число) существует, а В* {q, г) конечна, то группа В {q, г) является
бесконечной, содержит лишь элементы, порядки которых —
степени числа р, и совпадает со своим коммутантом В'. В самом деле,
В' инвариантна в В. Так как В имеет в В конечный индекс, то В
конечно порождена. Следовательно, если В'Ф В, то В/В' является
нетривиальной конечной группой, так что порядок В/В' больше
порядка группы В/В.
^) В работе Новикова иАдяна [1] доказана бесконечносто гр>1Ш
В (gf г) при г ^ 2 \i нечетных в ^ 4381 (см cip. 398).— Прим. перев.

5.12. Проблема Бернсайда. Показатели 3 и 4 391
При Г = 1 проблема Бернсайда тривиальна для всех е.
Предположим поэтому, что г > 2. Случай ^ =» 2 снова тривиален, так
как группа В B, г) всегда абелева. Для ^ == 3 имеет место
Теорема 5.24. Группа В C, г) конечна и порядок ее равен
г\ где
' г \ [ г \ I г
Четвертый член нижнего центрального ряда группы В C, г) равен
единице. Порядок фактор-группы
В, C, O/B.+i C, г)
равен 'У\ ^де
' ^ \ г(г-\) ... (r^k+\)
k ) " k^ '
Доказательство. Прежде чем доказывать теорему 5.24
полностью, заметим, что довольно просто можно получить более
слабое утверждение. Воспользовавшись теоремой 5.23 (раздел
5.11), можно показать, что ограниченная проблема Бернсайда
получает утвердительный ответ для показателя 3 и любого
конечного г. Для этого введем сначала
Определение 5.10. Пусть р — простое число и Aq (Z, г) —•
ассоциативная алгебра с г свободными образующими. Подмодуль
Ер (г) алгебры Л о определяется как модуль, порождаемый энгеле-
вым модулем класса р— 1 алгебры Ло и всеми элементами вида
pv, где V—произвольный однородный элемент Ли.
Если мы сумеем показать, что при ;? = 3 модуль Е^ (г) содержит
все однородные элементы Ли степени 4 алгебры Aq (Z, г), то из
доказательства теоремы 5.23 будет следовать, что модуль
соотношений группы В C, г) содержит все элементы Ли степени 4.
Следовательно, четвертый член нижнего центрального ряда группы В C, г)
совпадает со всеми последующими, что и требуется доказать.
Пусть X, у, Z, и, V — произвольные свободные образующие
алгебры Aq. Используя A2) и A3) из 5.11, имеем при р = 3:
^-^[[А', у1 t/l = [U, г], у] + 1[х, у], г] = 0 {mod Е^), (I)
Это равенство вместе с тождеством
[{х. {/], z] + {\y, XI г1=>0
показывает, что скобочное произведение трех сомножителей по
модулю Es не меняется при четной перестановке сомножителей и
меняет знак при нечетной.
Подставляя в A) вместо х произведение [и, с;1, получим
[[[«, vh г], у] г Щи, VI у1 г]^0 (modE^,), B)

892 Гл. б. Коммутаторное исчисление
Следовательно, простое скобочное произведение четырех
сомножителей меняет знак, если последние два сомножителя поменять
местами* Объединяя это с предыдущим замечанием, видим, что
простое скобочное произведение четырех сомножителей не меняется
по модулю Es при четной перестановке сомножителей и меняет
знак при нечетной.
Теперь мы подставим в A) вместо z произведение [w, v]. Так
как по теореме 5.16
([^, yh [и, V]] « [[[X, у1 и], V] — [[[X, у1 VI и],
W
U, [«, Я у\ + 11х, у1 [а, с;]]«—[[[м, v], х], y] + lllx, у], и], v] —
-Шх, У1 V], u]^0(modE,). C)
Если переставить х, у, и, v в первом и третьем членах последнего
выражения C) так, чтобы они оказались в том же порядке, что и
в среднем члене, то мы произведем четную перестановку в первом
члене и нечетную в третьем и, следовательно, получим
1[[^, y]f «], v]bO (modfg).
Этим доказано, что все элементы Ли степени 4 лежат в
?3^,Перейдем теперь к доказательству более сильного утверждения теоремы
6.24. Наши рассуждения будут похожи на предыдущие, но вместо
сравнений по модулю Е^ мы получим соотношения для элементов
группы В C, г).
Лемма б.И. Пусть а, Ь^ с, d — произвольные элементы
группы В C, г). Тогда
(i) Сопряженные элементы перестановочны, т. е,
(а, 6""^аЬ)= 1, D)
(И) Простой коммутатор (а, Ь, с) не изменяется при циклине-
ской перестановке элементов а, Ь, с.
(Hi) Все простые коммутаторы {а, Ь, с) лежат в центре. Или,
что эквивалентно^
{а, fc, б, d)= 1, ((а, Ь), (с, d)) = 1.
Доказательство, (i). Из (аЬ)^ === 1 следует а-^Ь~^а-^ =^
•= bab. Следовательно,
(а, b~^ab) = a'^b^^a-^bab-^ab = bab^ab^ab = b~^ ф^а^Ь = 1.
(li) Имеем
d^^b-^a^'b-^ada^^d == d~^ ф^^^a~)^a~U)^ =
« d-^^abd-^a = (d-^^abf b^^a^^db~' = b-^^a^'db.
Приравнивая первый и последний члены, получаем
а''Ь 'ada~' « bdb~^a 'db~U~^ . E)

б 12 Проблема Бернсайда. Показатели 3 и 4 393
Подставив, далее, в E) вместо d элемент bcb-^, как легко видеть,
получим
r^a'^b^^abcb'^^a'^ba = с~^Ь-^сЬаГ^ЬсЬ~'^с~^а, F)
Так как из {b^cf == 1 следует, что
bcb^'c"' = b-^'r'bc,
то равенство F) можно записать в виде
{с, (Ь, а)) - ({Ь, с), а). G)
Так как из (i) следует, что {с, d) = {d~^, с), то, полагая здесь d =
•= (Ь, а), имеем из G)
(с, (Ь, а)) - (F, а)~\ с) = ((а, Ь), с) = ((ft, с), а),
что доказывает утверждение (ii).
I (iii) Пусть и = ((а, Ь), (с, d)) и g- = (с, d). Тогда из (ii) имеем
и - ((а, 6), g) = (F, gf), а) = {{g-\ 6), а) =
= (((d, с), 6), а) = (d, с, 6, а).
Согласно (ii) элемент и не изменится, если элементы d, с, b
переставлять циклически. Покажем, что и не меняется и при подстановке
а->6, Ь~>-а, c-^dy d-^c»
В самом деле, если (а, Ь) = и, ({;, d) = ш, то
и из (i) следует, что
(Ь, а) = у \ (d, с) = ш \
а = (V, w) = (t;"~^, и;~~^).
Итак, мы получили две четные подстановки символов а, Ь, с, d,
оставляющие элемент и неизменным. Так как эти подстановки
порождают знакопеременную группу А4, то элемент и не меняется
при любой четной подстановке элементов ^, Ь, с, d. В частности,
и не изменится, если а поменять местами с с, а b — с d. Но в этом
случае мы меняем местами v и w, а значит, отображаем и на его
обратный. Следовательно, и «= и'~\ откуда вместе с и^ = I имеем
« = 1, что и доказывает (iii). •^
Теперь докажем теорему 5.24. Из леммы 5.11 следует, что
порядки фактор-групп нижнего центрального ряда группы В C, г)
не превосходят чисел S;^ (/г == 1, 2, 3). Для первой фактор-группы
это тривиально, так как она имеет г образующих. Для второй это
следует из того, что число базисных коммутаторов веса 2 в
свободной группе ранга г совпадает с Sg, так как эти коммутаторы
имеют вид
{а^, а J (/>m),
если образующими свободной группы являются элементы ар (р =«
^ 1, ..., г). Наконец, для третьей фактор-группы это следует из

394 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
ТОГО, ЧТО в той же свободной группе базисными комм}таторами веса
3 являются некоторые коммутаторы вида
((а^, а,„), aj. (8)
По лемме 5.11 такие элементы в группе В C, г) инвариантны
относительно циклических перестановок. Следовательно, те из них,
у которых хотя бы два индекса совпадают, равны 1, а из
оставшихся любые шесть с одними и теми же значениями /, m и п равны
между собой или взаимно обратны.
Итак, все, что осталось сделать,— это построить группу
порядка 3^ с г образующими, каждый элемент которой имеет порядок 3.
Для этого мы воспользуемся фактор-кольцом Aq/K алгебры
Л@C), г)
с г свободными образующими Хр над полем Галуа GC) порядка 3
по идеалу /С, который определяется следующим образом:
К — это наименьший идеал, содержащий, во-первых, все
элементы вида
3 2 2
во-вторых, все однородные элементы степени >4 и, наконец, все
элементы вида
Рр,Ь,Х = ХрХьХ), + ХрХкХь + ХьХрХх + ХьХхХр + ХкХ^Хр + Х%ХрХь,
в кольце AqIK элементы Ьр =« 1 + Хр порождают группу D.
Имеем:
Ы^ =-\—Хр + Хр, (Ьр, fefi) = 1 + [^р, ^б],
((^р, Ьь)у Ь^)^ I +[[Хр, Хб], хх].
Легко видеть, что элементы лгр и [хр^ хь], р*> б, линейно
независимы в А J К. То же самое верно для множества элементов вида
[[^р, -^б], хх], где р > б > X, так как линейное соотношение между
несколькими элементами вида [[хр, Хб], Х},] возможно лишь тогда,
когда множество индексов у них всех одно и то же. Но если р >
> 6 > Я, то существует лишь один такой член, который, как нетрудно
видеть, не лежит в К* Следовательно, порядок группы D не меньше
3*, где S определяется как в теореме 5.24. Осталось показать, что
в группе D куб каждого элемента равен 1. Пусть
g = 1 + «1 + ^2 + i/8
— элемент группы D, где Ui, «2» ^з являются соответственно
однородными элементами степени 1, 2, 3 кольца AJK^ Тогда
g' = 1 + ul
так как члены степени >4 равны нулю. Пусть
г
^1 = 2 ссрХр, ар ? G C).

5.12. Проблема БернсаГ{да. Показатели 3 и 4 395
Тогда
щ ^ 2j осоаьа}Рр,ь,%
р>6>Я
о
п, следовательно, щ == 0. Это показывает, что наша группа D
обладает всеми свойствами, которыми обладает группа В C, г). ^
Конечность группы В C, г) впервые доказана Бернсайдом
[1], установившим также, что s < 2^^— 1. Доказательство,
приведенное здесь, принадлежит Леви и Ван-де р-В а р д е н у [11.
Далее мы изучим случай е = 4, Здесь имеет место
Теорема 5.25 (теорема Санова). Произвольная конечно
порожденная группа В, порядок каждого элемента которой < 4,
является конечной.
Доказательство. Теорема Санова включает, разумеется,
утверждение о конечности всех групп В C, г) и В D, г).
Доказательство простое и является чисто комбинаторным. Мы
ограничимся случаем, когда четвертая степень каждого элемента из В равна
единице. Доказательство основано на следующей лемме.
Лемма 5.12. Пусть В — группа, в которой х^ = 1 для
каждого элемента х ^ В, Пусть D — конечная подгруппа порядка
d группы В, Предположим, что существует элемент с ^ В такой,
что с^ ^ D и элемент с вместе с элементами из D порождает
группу В, Тогда В — конечная группа.
Для доказательства леммы 5.12 заметим, что каждый элемент
b ^ В может быть записан в виде
b == PqcQicPicQ^cP^ ..» cQ^cPfQs^iy
где Pq, ..., Pg' Qi» ¦¦•» Qs+i лежат bD и ни один из этих элементов,
кроме, быть может, Pq и Qs+i не равен единице. Нам достаточно
показать, что для любого b ^ В можно подобрать выражение
такого вида, где число вхождений s + 1 элемента с ограничено
некоторым фиксированным числом. Мы покажем, что s< d + 1,
указав преобразования, которые уменьшают число с-сомножителей,
если S > d. При любом R ^ D имеем с^ = 6'""^ и (R~~^c~^)^ = 1,
откуда
cRc = iR"^ci?*c/?*,
где /?* = c^R~^ ^ D, так как с^ ^ D. Воспользуемся этим
соотношением для преобразования выражения b по следующему
правилу:
... cQiJ^k-icPi+k-icQi^kcPi+kC ¦.. =
= ... cQiA.k~\cPiJrk-\cQi-\.kPT-^kcUc .., =
== ... cQi^k-\cPi-^k~\P^-kQH-kcVcW ... --
== ... cQi-\-k-\QL-riPT-lhP7-lk~\cXcYcZ ... ,

396 Гл. б Коммутаторное исчисление
где t/, •.!, 2— некоторые элементы из D, точные значения
которых нам не нужны. Для нас в этих преобразованиях существенно то,
что они не изменяют количества ^-сомножителей и позволяют
найти такое представление элемента Ь, в котором два соседних с-со-
множителя разделены элементом Si,k или SJ^l, где для любых
/ > О, А > О, / + ^ < S, элемент Sik определяется по правилу
Si,k = PiPi-\-\ • • • Pi+kQi-\-k • • • Qi+\Qi •
Лемма 5Л2 будет доказана, если мы сумеем показать, что при
S > d хотя бы один из элементов Si,k равен 1. В самом деле, тогда
наши преобразования позволят уменьшить число с-сомножителей,
так как
Рассмотрим для этого элементы S\,k б D при k ^ I, ..., s. Если
s'> d, где d— порядок группы D, то хотя бы два из них должны
совпадать. Предположим, что S\,k «^ 5i,/, где k <, L Тогда
Рх •*• Pk-{-\Qk-\\ •.. Qi == Pi ,.» P/-fiQ/-|-i •, ¦ Qi ,
и потому
5/г+2,/~-Л-1 = Pk^2 • . • P/4-lQ/-f 1 • • • Qk-\-2 = If
ЧТО H доказывает лемму 6.12.
Теперь конечность группы В D, г) устанавливается индукцией
по г. Для г «а 1 утверждение тривиально. Пусть г> 1, и пусть
группа Б D, г— 1) = Do конечна. Пусть с— образуюш^ий группы
В D, г), не лежащий в S D, г— 1), и пусть Cq = с^. Тогда
подгруппа D группы В D, г), порождаемая подгруппой Do и
элементом Со» конечна по лемме 5.12, так как Со == 1 и, следовательно,
Со G Dq. Но тогда и группа В D, г) конечна, так как она
порождается элементо1М с и подгруппой D, причем с^ = Со б D, так что
снова применима лемма 5.12. ^
Доказательство теоремы 5.25 дает также оценку порядка
группы В D, г), которая, однако, является очень грубой. Конечность
группы в D, 2) доказал ранее Д е -С е г ь ё — см. [1 ], стр. 72.
6.13. Проблема Бернсайда для показателей е>4
Для показателей ^ > 5 конечность группы В (с, г) установлена
лишь в случае е ^ %. Здесь имеет место
Теорема М. X о л л а. Порядок группы В F, г) равен
^a^bWW^ , A)
где

r{r~
2
b{b-
•1)
•I)
r(r-
b(b-
- П (Г -
6
-1)F-
-2)
-2)
б 13 Проблема БернсаГ1да для показателей « > 4 397
Г' ==
Доказательство (очень сжато изложенное) этой теоремы можно
найти в работе М. X о л л а [7] или в его книге [9]. Это
доказательство основано на работе Ф. Холла и Хигмэна [1],
в которой доказано также, что группа В F, г) обладает
максимальной фактор-группой конечного порядка и что порядок
фактор-группы описывается формулой A). В той же работе доказана
Теорема Ф. Холла и Г. Хигмэна. Пусть q ^
1= ^1^2 ••• ^ft» ^де ^1, ^2» •••> ^k — степени различных простых чисел.
Предположим, что для некоторого фиксированного г ограниченная
проблема Бернсайда (раздел 5.12) решается положительно для групп
B{qb О, 5(^2» г), ... , B{q^, г).
Тогда суи^ествует конечная разрешимая фактор-группа В {q, г)
группы В (q, г) такая, что всякая другая конечная разрешимая
фактор-группа группы В (q, г) является фактор-группой группы
В {q, г). При k ^ 2 слово «разрешимая-') в формулировке теоремы
можно опустить, так как каждая конечная группа порядка G1^2
разрешима.
Указанная статья Ф. Холла и Хигмэна является основой
наших современных представлений о конечных разрешимых группах.
Мы не можем вдаваться во многие важные детали этой работы, но
отметим лишь следуюш^ий результат, связанный с проблемой
Бернсайда.
Существует группа показателя 15 (т. е. такая, что х^^ =* 1 для
всех ее элементов), которая порождается двумя своими элементами
и коммутанты силовских подгрупп которой являются абелевыми
группами, причем она максимальна в том смысле, что всякая
другая группа с теми же свойствами является ее фактор-грчппой.
Порядок этой максимальной группы равен 3^'5^, где
а - 9 934 183 757 031 251, р - 568 225.
Для ограниченной проблемы Бернсайда наиболее общим
результатом является
Теорема Кострикина. Для любого простого числа р
и любого г > О группа Бернсайда В (/?, г) обладает максимальной
фактор-группой конечного порядка.
Эта теорема была сначала доказана Кострикиным [1] для
/?««5иг=«2, а saTeNf X и г м э н о м [7] для р =« 5 и
произвольного г. Метод Хигмэна, использовавшего ассоциативные кольца,
отличается от метода Кострикина, основанного на теории алгебр Ли,

398 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Отправной точкой исследования Кострикина явились теорема
5.23 (раздел 5.11) и вопрос о конечности фактор-кольца алгебры
Ло (Z, г) по идеалу Ер (г) (определение 5.10 из раздела 5.12). В
трех статьях Кострикина [2—4] показано, что
существование у группы В (ру г) максимальной конечной фактор-группы
следует из определенных утверждений об алгебрах Ли;
необходимые теоремы для алгебр Ли доказаны в последней из этих статей.
О роли «энгелевых тождеств» в теории алгебр Ли см. также работы
Грюнберга [1], Бэра [6] и Кона [5].
В 1968 г. Новиков и Адян[1] опубликовали
доказательство следующей теоремы:
Для любого т>2 W любого нечетного п>'4381 существует
бесконечная группа с т образующими и тождественным
соотношением
л;" = 1.
Этот результат был получен ими совместно на основе идей,
содержащихся в ранее опубликованной заметке Новикова [1].
О некоторых следствиях этой теоремы, объединенной с
теоремой Кострикина, см. замечания, сделанные после формулировки
ограниченной проблемы Бернсайда в разделе 5.12.
6.14. Топологические аспекты
С теорией групп связано значительное число топологических
понятий. Мы упомянем здесь лишь немногие из них и приведем
еще меньше результатов, ограничившись несколькими теоремами,
тесно связанными со свободными группами и методами, развитыми
в этой главе.
Топологическую группу G можно определить, указав семейство
открытых множеств (обладающих обычными топологическими
свойствами) элементов этой группы таким образом, чтобы для любого
элемента g и любого открытого множества S множества S"^ и gS
снова были открытыми. Условие, что gS должно быть открытым,
если S открыто, означает следующее. Группу G можно
рассматривать как группу преобразований, действующих на G, если каждому
элементу g ^ G сопоставить отображение х -> gx. Топология в
G является инвариантной относительно этих преобразований.
[Разумеется, мы могли бы постулировать, что Sg, а не gS, является
открытым множеством, если 5 открыто. Но так как {S~~^g~^)~^ = g,
то эти определения эквивалентны.]
Топология в группе G называется подгрупповой топологией,
если существует семейство Ф подгрупп Vi (где i пробегает
множество индексов, не обязательно счетное), такое, что подгруппы Vi
и смежные классы gVi по ним образуют базис открытых множеств

5.14. Топологические аспекты 399
В G. Для этого достаточно потребовать выполнения следующих
условий:
(i) Пересечение всех Vi равно 1.
(ii) Если К, У ^Ф, то V f\ Г ^ Ф.
(iii) Для произвольной неединичной подгруппы V ^ Ф
существует подгруппа V"s Vj содержащаяся в Ф и являющаяся
неединичным нормальным делителем группы G.
М. X о л л [31 доказал следующие теоремы о подгр>пповых
топологиях:
Т.1. Пусть G— не более чем счетная группа, содержащая такую
последовательность нормальных делителей iV^, ^' ** Ь 2, 3, ».., что
Gr=N\^N,^N,^..,,
причем каждая подгруппа N^ имеет конечный индекс в G и
пересечение всех NI равно единице. Тогда семейство Ф подгрупп N^
определяет подгрупповую топологию в группе G. Пополнение G группы
G относительно этой топологии является компактным.
Топология метризуема таким образом, что допускает топологическое
отображение на канторово множество, лежащее в конечном
интервале действительной числовой прямой.
Для свободных групп подгрупповую топологию можно
определить, используя следующий результат:
Т2. Пусть F — свободная группа счетного ранга, и пусть Ф —
такое семейство подгрупп [/^ (/ = 1, 2, 3, ..), что
F^U^^U^^U^^ ...
Если для каждого i и любого множества свободных образующих
группы Ui произвольный неединичный элемент из Ui-\-[ имеет
в этих образующих длину, не меньшую 2, то пересечение всех
подгрупп Ui равно единице. Если, к тому же, все Ui инвариантны в f,
то Ф определяет подгрупповую топологию в F.
Пример такого семейства можно получить, взяв в качестве
(У/+1 i-ю производную группу группы F, а в случае, когда F
конечно порождена, за Уц \ можно принять пересечение всех
нормальных делителей индекса р группы Ui, где р — простое число >2.
Другие результаты и ссылки на литературу можно найти
в работе М. Холла [31, топологические понятия — в книгах
Понтрягина [1]иВейля[1,21.
Подгрупповую топологию можно всегда построить из семейства
групп нижнего центрального ряда при условии, что эти группы
пересекаются по единице. Кроме того, этой группе можно
сопоставить кольцо Ли. Для этого мы сначала представим группу G в
виде фактор-группы FIN некоторой свободной группы F.
Используя обозначения раздела 5.8, в частности, определение /г-го ^модуля
соотношений УИ^, введенное перед теоремой 5.15, определим
модули Г^:
Г, ^ AJM,. (I)

400 Гл. 5. Комментаторное исчнспение
Так как прямая сумма модулей Мп образует идеал алгебры Ло
(задача 1 из раздела 5.8), то прямая сумма Г модулей Г^
является кольцом Ли (фактор-кольцом алгебры Л^). Можно показать
(М а г н у с [9]), что Г не зависит от конкретного представления
группы G в виде фактор-группы свободной группы. Г является
градуированным кольцом Ли, порождаемым однородными
элементами степени 1, т. е. элементами из Г^.
Конструкция, ведущая от группы G = FIN к алгебре Ли Г,
была замечательным образом обобщена Лазаром [31 Мы
сейчас вкратце перечислим некоторые понятия, используемые в
его работе, и приведем немногие (в действительности, очень
немногие) из его результатов. Полная теория, библиография и
применения содержатся в работе Л а з а р а [3]. Теория колец Ли,
связанных с группой, содержится также в работе Цассенхауза
[1 ]. Топологические понятия — в работе Л е р е [1 ].
П\сть А — произвольная алгебра. В последующем А будет
либо алгеброй Ли, либо ассоциативной алгеброй. Мы рассмотрим
сначала аддитивную группу (модуль) алгебры А и предположим,
что на А задана положительная фильтрация при помощи функции
v{x), определенной на А со значениями О, 1, 2, 3, ..., + оо,
удовлетворяющая следующим условиям. Множество элементов х б
g А, для которых V {х) > / (г = О, 1, 2, ...), является подмодулем
А^ модуля Л, так что
Л = Ло 3 Л^ 3 Лз ^ .,,
и Лос является пересечением всех Л/. Функция v (х) удовлетворяет
условиям
^{х — у)> sup (v {х), V (у)), V (ах) > v (х), B)
где а — элемент кольца операторов (например, кольца целых
чисел) модуля Л.
Для (ассоциативного или лиева) умножения в Л мы требуем,
чтобы
v{xy)>v{x) + v(y), C)
где ху обозначает (ассоциативное или лиево) произведение
элементов хну алгебры Л.
Удобно считать также, что в случае ассоциативной алгебры Л
с единицей 1 имеем v A) = О, а если Л является алгеброй Ли,
то множество таких элементов л:, что v (л;) = О, пусто, так что
Л «» Лр
Имея функцию v (л:), удовлетворяющую условиям B) и C), мы
может следующим образом построить градуированную алгебру Лу,
связанную с Л.
Рассмотрим фактор-группы В{ «= А{/А{^\ аддитивных гр>пп
А{. Тогда элементами А у будут векторы b с бесконечным множеством
компонент Ь^ Q В^, причем сложение их и умножение на операторы

6 14 Tonoioi ическис аспекты 401
а определяются естественным образом. Другими словами,
аддитивная группа Ау является полной прямой суммой модулей Б^. Если
потребовать выполнимость дистрибутивных законов, то умножение
можно задать, определив произведения fc^ft/, где Ь^ ^ В^, 6у ^ В^.
Для этого пусть ai ? А{ и aj ^ Aj — произвольные, но
фиксированные, прообразы соответственно элементов Ь^ и 6/ при гомормор-
физмах
Л, -> В, - AjA.^u Aj^Bj^ Aj/Aj+u
Тогда а^а;ёЛ/+/, и мы определяем 6^&/ как образ элемента
CiUj при гомоморфизме на
Bi-^f = Ai^{/Ai^i^{.
Очевидно, что bfi^ может быть нулем, хотя элемент а^а/ отличен
от нуля (но в этом случае а^а/ ^ Ai+jj^i), Легко показать, что
элемент bfij зависит лишь от класса вычетов по Л/^ь содержащего
щ, и от класса вычетов по Лу+ь содержащего а/, т. е. от Ь^ и fc/,
и не зависит от выбора ai и а/.
Назовем Ь^ однородной компонентой степени i элемента b ^ Ау.
Элемент Ь, у которого лишь i-я компонента отлична от нуля,
называется однородным степени i, Характеристическое свойство
градуированных алгебр как раз и заключается в том, что произведение
однородных элементов степеней i и / является однородным
элементом степени i + j или нулем. Алгебры Л (Z, г) и Л (Z, г) из раздела
5.4 являются примерами градуированных алгебр. Доказательство
существования произведения в градуированных алгебрах совпадает
с доказательством этого в частном случае алгебры Л (Z, г).
Метод Лазара сопоставления группам градуированных алгебр
основан на следующих определениях и построениях. Пусть G —
группа, и пусть Hi {I ^ 1, 2, 3, »..) — такая последовательность
ее подгрупп, что
G^ Н^зН^з * •. S Hi^ Hi^i а ..,, D)
где HiMi нормальна в Н( и где
(Я„ Hj)^H,^i (/, /=1, 2, 3, .,,). E)
Такая последовательность будет называться
N-последовательностью. Очевидно, что группы Hi/Hi+i абелевы. Рассмотрим полную
прямую сумму В модулей
Bi = HilHi^x
и покажем, что можно определить умножение, превращающее В
в алгебру Ли Для этого возьмем &/ 6 В^, Ь/ ^ В;, и пусть Xi ^
€ Hi, Xj ^ Hj — такие элекенты группы G, что отображения
H.^HjHi^u Hj-^Hj/Hj^i

402 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
переводят Xib bi и Xf в fry соответственно. Тогда bfi^ определяется
как элемент из
содержащий коммутатор (лг^, Xj). Используя тождества Витта —
Холла (теорема 5Л из раздела 5.2), можно показать, что таким
образом определенное произведение 6,6/ зависит лишь от bi и bj (и не ria-
висит от Х( HXj) и удовлетворяет постулатам алгебры Ли. Алгеб} а
Ли, полученная из В, является градуированной и обозначается
через Л {Hi). Л а з а р [3] показал, что эта алгебра обладает
следующим свойством:
ТЗ. Пусть Gi— члены нижнего центрального ряда группы G. Тогда
алгебра Ли Л (Hi), принадлежащая N-последовательности Hi
группы G, порождается своими однородными элементами степени
1 тогда и только тогда, когда подгруппа Gj (/ = 1, 2, 3, ...) плотна
в Hj относительно подгрупповой топологии, индуцированной
последовательностью Hi.
Связь между алгеброй Ли Л (Hi) группы G и алгебрами Ли^
сопоставляемыми фактор-группам группы G, устанавливается
следующей теоремой:
Т4, Пусть G' — гомоморфный образ группы G. Пусть Hir
Hi— такие N-последовательности соответственно групп G, 0\
что при гомоморфизме f группы G на G'
f(Hi)^Hi '(/=1, 2, 3, ...).
Тогда существует гомоморфизм f алгебры Л (ЯJ в Л (Н]), который
сохраняет степени однородных элементов. Гомоморфизм f является
мономорфизмом тогда и только тогда, когда Hi является
прообразом Hi. Далее, f является эпиморфизмом тогда и только тогда,
когда подгруппа f (Hj) плотна в Hj относительно подгрупповой
топологии, определяемой группами Н].
Лазар показал также, что определенные отображения группы
G в фильтрованную алгебру Ли А можно использовать для
определения Л^-последовательностей Н{ в G и что алгебра Ли Л (Hi)
является подалгеброй градуированной алгебры Ли Ау, полученной
из Л и ее фильтрации v. Мы опускаем детали. Тем не менее мы
приведем обобщение Лазара теоремы 5.7 (раздел 5.5):
Т5* Пусть А — ассоциативная алгебра с единицей 1 и
фильтрацией V (а), а^ А, где v (а) = О, 1, 2, ..., + оо а v A) = 0. Пусть
f — такой гомоморфизм группы G в мультипликативную группу
обратимых элементов алгебры А, что для произвольного х ^ G
v(/W-l)>b
Тогда элементы х ^ G, для которых
v(/W-l)>/,

5.15, Свободное диффсрсгтиальное исчисление 403
составляют подгруппу IIi группы G, и последовательность подгрупп
Hi является N-последовательностью. Алгебра Ли Л (Hi) является
подалгеброй градуированной алгебры Ly, определяемой
фильтрованной алгеброй Ли L, которую мы получим, полагая а о b ^ аЬ —
— Ьа для любых а, b ^ А,
Лазар заметил, что теорему Т5 можно вывести и из следующего
результата:
Теорема Калужнина. Пусть G — группа и Hi {i > •
«= 1, 2, 3, ...) — такая последовательность нормальных делителей
группы G, что Hi э Я/^-ь Пусть, далее, К— группа всех
автоморфизмов группы G, и пусть Lj — подгруппа тех элементов группы Ку
которые оставляют каждый элемент группы Hj в своем смежном
классе по Hj-\-\. Тогда группы Lj составляют N-последовательность
в подгруппе L^ группы К-
Доказательство — в работах Калужнина[1, 2].
Результаты о топологиях, определяемых в группе G различными
iV-последовательностями, содержатся в работе Лазаре [3].
Кроме подгрупповых топологий и фильтров, в теорию групп
были введены важные топологические понятия совершенно иного
характера. Для произвольной группы G и любого
(ассоциативно-коммутативного) кольца J с единицей X о п ф [1, 2] определил группы
Бетти группы G относительно J. Мы не будем воспроизводить
определение Хопфа, но упомянем, что если У — кольцо целых чисел,
нулевой группой Бетти группы G является ее фактор-группа по
коммутанту. Из многочисленных результатов Хопфа мы приведем
здесь лишь следующее замечательное и простое утверждение:
Теорема Хопфа. Пусть группа G представлена двумя
различными способами в виде фактор-групп FIN и f * /Л/*
свободных групп F и F"^. Тогда
{N П (F, F))/{F, N)^(N* n {F\ Р))/(Р, Л^*).
«Дуальной» к теории Хопфа групп Бетти является теория кого-
мологий Маклейна иЭйленберга[11, развившаяся в
новый раздел алгебры. См. например книгу Картана иЭй-
ленберга[1].
5.15. Свободное дифференциальное исчисление
Фокс [1 ] разработал теорию дифференцирований в групповом
кольце свободной группы, которая проясняет и обобщает многие
из результатов раздела 5.5 и которая допускает значительное число
приложений, в частности, к проблеме изоморфизма групп. Они
содержатся в работе Фокса [2], ссылки на литературу — в его
работе [1 ]. В этом разделе мы даем краткий обзор основных понятий
теории Фокса,

404 Гл 5. Коммутаторное исчисление
Пусть G— некоторая группа, и пусть JG— групповое кольцо
(групповая алгебра) группы G над кольцом J целых чисел Как
обычно, мы будем отождествлять единицу группы G с элементом
1 б У. Пусть а — гомоморфизм группы G на фактор-группу
G/N = Q по нормальному делителю Л^ группы G. Тогда а можно
продолжить до гомоморфизма кольца У О на групповое кольцо
JQ группы Q, и ядром этого гомоморфизма является двусторонний
идеал N* кольца JG, порождаемый элементами b— 1 ^ УС, где
b пробегает множество образующих N, С другой стороны, N*
является наименьшим двусторонним идеалом в JG таким, что
при отображении JG -^ JG/N* элемент g^ G переходит в
единицу тогда и только тогда, когда g ^ N. Мы будем говорить в этом
случае, что Л^ определяет N* и N* определяет N.
Фундаментальный идеал G* кольца УС определяется
гомоморфизмом ао группы G на группу порядка 1. Очевидно, что ао
отображает УС на кольцо У, образ а^^и элемента и ^ JG будет
обозначаться и^.
Метод, развитый Фоксом [1J, позволяет получить простыв
доказательства следующих теорем:
(i) Пусть G — произвольная группа и G"^ — фундаментальный
идеал кольца JG. Тогда п-я степень С*" идеала С* определяет
П'й член Gn нижнего центрального ряда группы С.
(ii) Пусть F — свободная группа. Тогда JF не имеет делителей
нуля. Первое доказательство этого результата принадлежит X н г •
м эн у [1].
(iii) Пусть F — свободная группа, N — нормальный делитель
группы F, и пусть f*, Л^* -— идеалы, определяемые группами F^
N соответственно. Тогда произведение F*iV* определяет коммутант
группы N. Более ранние доказательсва этого результата
принадлежат Шуману [Ни Блэнчфилду[1].
(iv) Элемент v— I из JF содержится в N"^ тогда и только
тогда, когда cywficmeyem элемент и ^ N такой, что v — и ^ /V*/*.
Для доказательства этих теорем Фокс [I ] вводит следующие
понятия
Дифференцирование D в групповом кольце УС определяется
как отображение УС в себя, обладающее следующими
свойствами: для любых элементов и, v ^ G
D(u + v)^D(u)+D(vl
D(u*v)-=D(u) • v'^ + u^ Div),
где ifi — сумма коэффициентов у v.
Из этого определения следует, что D/ =» О для / ^ У и что для
произвольного g ? G
D{g^')^-g-^'D{g).
Множество дифференцирований в УС превращается в правый

б 15 Свободное дифференциальное ис'П!сле1'ие 405
JG модуль, если сложение дв>х дифференцирований и умножение
на элементы из УС определяются по следующим правилам.
{D, + D,)(u)^D,{u) + D,(u).
Если Dv == D', то
D'{u)^D{u) ^v.
В случае, когда F является свободной группой с множеством
свободных образующих av (v =« 1, ..., и), все дифференцирования
в кольие JF можно явно описать. Фокс [1] доказал следующую
теорему
(V) Каждому образуюи^ему а^ группы F соответствует
дифференцирование Dv, однозначно определяемое свойством
Dy (av) = 1, Dv {a^x) = 0 i\xфv).
Произвольное дифференцирование D в кольце JF можно определить
по формуле
D(ti) = 2 D,{u)hv.
еде /tv — подходящие фиксированные элементы кольца JF. Иначе
говоря, элементы Dv порождают JF-модуль дифференцирований JF,
Для элементов из JF имеет место теорема Тейлора. Чтобы
сформулировать ее, определим индуктивно дифференцирования
более высоких порядков по формуле
^v^.v/e_j V, (W) = Dvf^ (^v^fe_i, ., V, {и)).
Тогда справедлива «формула Тейлора с остаточным членом», т. е.
W - И'+ 2v. (^v,(^0)'К - 1)+
+ I] V, V, {Dv.,.v, {u)f (av, - 1) К - I) +
+ 2v„. . V, Dv,^. ... , V, {U) («V,, — 1) ... 'av, — 1),
где V,, ..., v^ пробегают независимо друг от друга множество чисел
1, ., п. Этот конечный ряд можно продолжить до бесконечного
формального ряда Тейлора. Если и—элемент из f и если «v— 1
заменить символом Xv, то полученный при этом ряд будет совпадать
с разложением и в алгебре А (Z, г), введенном в разделе 5 5.
Выражение коэффициентов этого ряда в терминах дифференцирований
обнаруживает различные соотношения между ними и могут быть
с пользой применены к многим вычислениям (см работы Л и н д о -
и а 14J и Ф о к с а 11J).

406 Гл. 5. Коммутаторное исчисление
Групповое кольцо JG является относительно сложения
абелевой группой. Естественным образом определяется действие
элементов из G как левых операторов в JG' если g g G и ^ G JO^
то оператор g отображает элемент ив gu ^ JG.
Дифференцирования D можно рассматривать как функции, огфеделенные на О
со значениями в JG. Очевидно (при подходящих определениях из
теории когомологий групп), что они составляют япюжество всех
одномерных коциклов. В случае, когда G— свободная группа,
это замечание введет к простому вычислению первой группы
когомологий группы G над JG. О теории кого\юлогий в группах см.
работы Маклейна и Эйленберга 11], Маклейна
[11 и Э к м а н а [1]. Связи со свсбодным дифференциальным
исчислением указаны в работе Фокса 11].

г л л в л Г)
ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Предварительные замечания. В этой главе содержится
краткий обзор некоторых вопросов теории групп, которые тесно
связаны с материалом, изложенным в предыдущих главах, но
по тем или иным причинам не были включены в основной текст
книги. Этот обзор ни в коей степени не претендует на полноту;
излагая какой-либо вопрос или формулируя теорему, мы часто
опускаем ссылки на источник, из которого они берутся. Все, чго
мы хотели — это, используя минимум техники, изложить ряд
результатов, дающих представление о характере современных
исследований в некоторых областях теории гр^пп, а также указать
работы, которые могли бы служить читателю основой для более
полного изучения. Желая облегчить чтение, мы по мере
возможности старались избегать ссылок на предыдущие главы. В
частности, ды не боялись повторяться, если это казалось полезным,
6.1. Проблемы слов, сопряженности
и другие алгоритмические проблемы
Проблема слов, сформулированная в разделе 1.3, приобрела
широкую известность после того как Новиков [1, 3]и,
позднее, Бун [ПиБриттон [3] доказали, что в общем случае
эта проблема неразрешима. А именно, каждым из этих авторов
была построена конечно определенная группа G, для которой не
существует общего конструктивного метода, распознающего по
заданному слову группы G равно это слово единице в группе G
или нет. Следует выделить пример Бриттона, в котором группа
с неразрешимой проблемой слов является свободным
произведением с объединенной подгруппой групп, для которых проблема
слов разрешима^). Мы не собираемся обсуждать здесь точный смысл
слов: «общий конструктивный метод». Отметим лишь, что точное
определение было предложено Т ь ю р и'н г о м [1]. Несколько
позже Марков [2] и Пост [2] независимо доказали
неразрешимость проблемы слов для полугрупп. Тьюринг [2]
показал, что это верно и для полугрупп с сокращением^).
*) Пример Новикова [3] уже обладал этим свойством. Бритто н [3]
упростил пример Новиковя, используя идею Б у на [I]. — Прим. перев.
^) См. также работу Новикова иАдяна[2]. — Прим. перев.

408 Гл. 6 Обзор современных исследований
Сначала А д я и 11—4], затем Р а б и н [1 ], а также Б а у м -
с л а г, Б > к и Н е й м а н 111, опираясь на результат Новикова,
доказали, что практически все проблемы, относящиеся к конечно
определенным группам, в общем случае неразрешимы. Сюда
относятся, в частности, такие проблемы, как распознавание
нильпотентности, конечности, простоты, свободы или единичности группы.
Можно предположить, что все «естественные» вопросы для
конечно определенных групп являются неразрешимыми, за исключением,
возможно, вопроса, будет ли группа хопфовой (т. е. не изоморфной
никакой своей coociвенной фактор-группе). Это не означает,
однако, что мы высказываем предположение о том, что распознавание
хопфовост№ является разрешимой проблемой.
В настоящем разделе мы хотим рассказать о тех группах или,
точнее, о тех классах групп, для которых удалось решить
некоторые из этих проблем. Прежде чем перечислить ::.ти весьма
специальные классы, нам хотелось бы упомянуть об одном важном
результате очень общего характера, который естественным образом
примыкает к упомянутым выше доказательствам неразрешимости»
Мы имеем в виду результат X и гм эн а [9], который доказал,
что конечно порожденная группа вкладывается в конечно
определенную тогда и только тогда, когда множество ее определяющих
соотношений является рекурсивно перечислимым. Эта теорема
имеет ряд замечательных следствий, одним из которых является
теорема Новикова о неразрешимости проблемы слов. Мы не
будем объяснять, что означают слова «рекурсивно перечислимо'^).
По этому поводу мы рекомендуем читателю книгу Д э в и с а [11
или работу П о с т а [1 ] ^).
Проблема слов относится не к самой группе, а к способу ее
задания с помощью образующих и определяющих соотношений.
Тем не менее, чтобы избежать громоздкости выражений, мы будем
говорить о проблеме слов, скажем, для свободных групп или для
групп с одним определяющим соотношением, подразумевая при
этом, что группа задана с помощью свободных образующих или с
помощью образующих и одного определяющего соотношения.
Для свободных групп решение проблемы слов получено
(впервые, в неявной форме, Дэном [1 ]) с помощью достаточно
простой процедуры, которую мы будем называть монотонным
редукционным процессом. Этот процесс состоит в следующем. Пусть W —^
произвольное непустое слово в образующих группы, равное
единице. Тогда некоторое подслово слова W ^oжнo заменить более
коротким словом так, что полученное слово W будет по-прежнему
равно единице. При этом список допускаемых замен является
конечным и не зависит от W. (В случае свободных групп любое
слово вида a^aT или вида аТ Qi можно заменить пустым словом.)
^) См. также Мальцев [3].— Прим. перев.

6.1. Алгоритмические проблемы 409
Дэн [2] обнаружил, что с помощью монотонного ред\кцион-
ного процесса можно решить проблему слов для фундаментальных
групп замкнутых двумерных ориентируемых поверхностей рода
§г > 2. Зти гр>ппы задаются одним определяющим соотношением.
Последнее в явном виде указано в следствии 5.15. Доказательство
Дэна опирается на тот факт, что граф такой группы можно
изобразить в виде множества 4§-угольников неевклидовой плоскости,
причем в каждой вершине встречается 5^ таких ^нюгo>гoльникoв.
Г р и н д л и и г е р [1 ] разработал алгебраический (комбина-
торньп!) меюд, который позволяет заменить геометрические
соображения Дэна. Это позволило Гриндлингеру получить результаты,
значительно более общие, чем у Дэна. Сформулируем рез)льтаты
Гриндлингера.
Пусть группа G задана образующими Qv (v = 1, 2, ...) и
конечным множеством определяющих слов Ry, (ii = 1, ..., m), причем
множество слов [R^] удовлетворяет следующим-условиям:
(i) каждое Rii непусто и циклически несократимо;
(ii) вместе с каждым словом /?^, 1 < i <! m, множество [R^^]
содержит все циклические сдв11ги слова /?/, а также слово RT^,
Такое множество определяющих слов будем называть симметри-
зованным. Очевидно, что любое конечное множество определяющих
слов можно заменить симметризовапным множеством определяющих
слов (от тех же образующих). Достаточно циклически сократить
определяющие слова, а затем добавить недостающие ииклические
сдвиги и обратные слова.
Пусть k — фиксированное положительное число, и пусть
{R\x] — симметризованное множество определяющих слов группы
G. Будем говорить, что группа G принадлежит классу < \ik, если
выполняется следующее условие:
(iii) каковы бы ни были определяющие слова R^u Ri (l^, '^ ^
»=» 1, .., m), не взаимно обратные, при полном сокращении
произведения RixRk сокращается < l/k букв каждого из слов /?д, /?х.
Гриндлингер рассмотрел группы класса <! 1/6 и доказал, что
проблема слов для этих гр>пп может быть решена с помощью
монотонного редукционного процесса. Он доказал след\юи1,ую
теорему.
Пусть G—произвольная группа класса <^\ lb и W—циклически
несократимое слово группы G. Если W == I, то некоторый циьличе-
ский сдвиг слова W содержит слово V, которое является началом
некоторого определяющего слова R^ и длина которого болыие половины
длины слова R^.
Очевидно, эта теорема решает проблему слов в группе G,
поскольку мы можем слово V заменить словом, обратным к
остающемуся концу слова /?^, и, таким образом, уменьшить длину W.
Доказательство Гриндлингера имеет комбинаторный характер.
На самом деле, он доказал больше, чем содержится в сформулиро-

410 Гл. 6. Обзор согфемсиных исследований
ванной выше теореме. Последняя по формулировке в точности
совпадает с теоремой Дэна для фундаментальных групп замкнутых
ориентируемых поверхностей рода g > 2 (эти группы
принадлежат классу < l/Dg-— 1)).
Комбинаторному методу Гриндлингера предшествовали
глубокие исследования Тартаковского [I]. Тартаковский решил
проблему слов для больших классов групп, в которых определяю-
ш.ие слова не могут слишком сильно «взаимодействовать» друг с
другом. Характерной чертой работы Тартаковского являются
заранее заданные порядки образующих. Эти порядки могут быть
конечными и, в отличие от подхода Гриндлингера, могут быть меньше
семи. Методы и результаты Тартаковского достаточно сложны, и
для их описания необходима предварительная подготовка.
Исследования Тартаковского были продолжены и обобщены
Стендером [1] и Гладким [1, 2J.
Остановимся на работах Бриттона [1, 2] и Шика
[4]. Они сходны с работами Тартаковского в отношении
результатов, но отличаются методами. Бриттон [2] доказал теорему о
нормальном замыкании Q* подмножества Q свободного
произведения П конечного или бесконечного числа групп. Если
произведения пар элементов из Q удовлетворяют некоторым условиям
сокращения (а точнее, несокращения), то нормальная форма элементов
из Q* обладает вполне определенными свойствами. Используя этот
результат, Бриттон [1 ] решил проблему слов для некоторых
фактор-групп n.Q^, имеющих бесконечно много образующих и
определяющих слов. Он показал также, что в некоторых
(бесконечно определенных) случаях проблема тождества для таких
факторгрупп неразрешима. Результаты Бриттона иногда пересекаются
с результатами Тартаковского, а иногда сильно обобщают их.
Ш и к [4] рассматривает свободное произведение свободных абс-
левых групп, к которому добавляются определяющие слова,
удовлетворяющие некоторым условиям несокращаемости. Бриттон
[1] предположил, что его результаты можно усилить, если
исследовать сокращения, встречающиеся в произведениях трех
определяющих слов. Шик [4] провел эти исследования и получил
весьма содержательную теорию. Шик сравнил свои результаты с
результатами Тартаковского и показал (на отдельных примерах),
что его собственные результаты сильнее. Отметим, что методы Шика
и Бриттона не зависят друг от друга.
Чтобы завершить наш обзор по проблеме слов, нам придется
вспомнить некоторые старые результаты.
Пусть даны две группы Gj и Gg с разрешимой проблемой слов.
Тогда эта проблема разрешима и для их свободного произведения
G = d * G2. Если же G является свободным произведением групп
Gj и G^ с объединенными изоморфными подгруппами Н^ с G^
и Я2 с: Ga, то проблема слов в группе G будет разрешима, если мы

6.1. Алгоритмические проблемы 411
умеем решать проблему вхождения в подгруппы Я^, Яз групп G^, G2,
проблему слов в Hi и Н^ и, кроме того, изоморфизм между Hi и
Н^ должен задаваться конструктивно. Это следует из нормальной
формы для элементов свободного произведения с объединенной
подгруппой (см. раздел 4.2). Напомним, что проблема слов для
групп с одним определяющим соотношением решается повторным
применением следующих процедур.
(i) Решение проблемы слов для свободного произведения групп
с одним определяющим соотношением и объединенными свободными
подгруппами этих групп специального вида.
(ii) Вложение группы с одним определяющим соотношением в
более широкую группу с одним определяющим соотношением.
При этом образующий меньшей группы заменяется некоторой
степенью образующего большей группы (см. раздел 4.4 или работу
Магнуса [3]). Это вложение в свою очередь может быть
получено с помощью свободных произведений с объединенной
подгруппой.
Уже^в группах с одним определяющим словом алгоритм,
решающий проблему тождества, представляет собой довольно сложную
процедуру. И не кажется, что для групп класса < 1/6 эта проблема
допускала бы более простое решение ^). Еще более сложными
являются доказательства и результаты, полученные Грушко [1]
и обобщающие результаты Магнуса [3]. Хакен [1]
исследует проблему тождества лля некоторых классов групп. Развитые
им методы тесрю связаны с методами, основанными на теории
обобщенных свободных произведений. Перечисленные результаты
слишком сложны, чтобы мы могли остановиться на них в кратком обзоре.
Следует отметить, ^ito Хакену удалось решить проблему слов для
некоторых групп, рассмотренных Браунером [1]. Эти группы
заслуживают специального интереса по следующей причине: Бра-
унер показал, что с каждой особенностью алгебраического типа у
аналитической функции двух комплексных переменных связаны
узел и зацепление, и нашел представления с помощью образующих
и определяющих слов для некоторых фундаментальных групп.
Как Хакен [1 ], так и Ш и к [4] подчеркивают, что они
умеют решать проблему слов для групп, в которых некоторые
определяющие слова являются коммутаторами, в отличие от
результатов Тартаковского.
В то время как в исследовании проблемы слов получено много
существенных результатов, в решении второй проблемы Дэна,
проблемы сопряженности, достигнут значительно меньший успех.
На первый взгляд кажется, что решить, будут ли два слова
сопряжены в группе, не намного труднее, чем решить, будут ли эти слова
') См. рабог\ Л и н л о и а [8], в которой решается проблема слов для групп
класса < 1/5.^ Прим. перев.

412 Гл. 6 Обзор современных исследований
равны. Сравнительно простое решение проблемы сопряженности
для свободных групп (см. раздел 1.4) как будто подтверждает
это. Однако до сих пор ничего не известно относительно решения
проблемы сопряженности в группах с одним определяющим
соотношением ^). Единственный общий результат по проблеме
сопряженности был получен Гриндл Нигером [2], который решил
эту проблему для гр>пп класса < 1/8 и отметил, что она может
быть решена для групп класса < 1/6 ^). Этот результат Гриндлин-
гера опять-таки является прямым обобщением дэновского решения
проблемы сопряженности для фундаментальных групп двумерных
замкнутых ориентируемых поверхностей. И здесь Гриндлингер
применяет алгебраические методы, целиком независимые от
геометрической конструкции Дэна [2].
Если не считать теоремы Гриндлингера, то решение проблемы
сопряженности известно как будто бы только для отдельных
изолированных случаев, например, для группы кос с четырьмя нитями
(Ф р ел их [11K).
Проблема изоморфизма вообще лишь едва затронута. Мы можем,
конечно, решить, будут ли изоморфны две конечно определенные
абелевы группы. Мы знаем также, когда изоморфны две свободные
группы (заданные свободными образующими). Однако неизвестно,
когда будут изоморфны две группы с одним определяющим
соотношением. Можно предположить, что необходимым и достаточным
для этого является следующее условие^). Пусть Av, ^v (v = 1,
..., n) — образующие соответственно первой и второй групп, а
R (^v), i?*(^C) — определяющие слова первой и второй групп.
Тогда существует нильсенрвское преобразование образующих av,
переводящее их в такие слова bl в символах av, что /?* (О
свободно равно (в символах ау) слову /?*\ Это предположение
справедливо, если группы («vl /?), (al\ /?*) изоморфны
свободным группам. По-видимому, в пользу него говорит результат
MarnycaflJ об автоморфизмах группы G с одним
определяющим словом /?, заданным на образующих «v, v == 1, 2, ... Этот
результат состоит в следующем. Если группа G может быть задана
также как группа с одним определяющим словом /?* и с теми же
самыми образующими а^, то /?* свободно равно слову, сопряженному
с R~\ (Отсюда следует, что если нильсеновское преобразование
образующих av определяет автоморфизм группы О, то оно
переводит /?*^ в слово, циклически равное слову /?*.) Гриндлингер
^) См по этому поводу работы Ньюмена [1], Г. А Гуревича [1] —
Прим пер ев
^) Ш у п п [1] решил проблему сопряженности для гр>пп класса < 1/5 —
Прим перев
3) См. сноску на стр. 184.—- Прим. перев.
*) См сноску на стр 181.— Прим перев.

б 2 Присоединения и вложения 413
C] распространил этот результат на гр>ппы класса <1/6 Следует
отметить, чго группа с образующими а^ и одним определяющнм[
словом может иметь автоморфизмы, которые не могут быть заданы
как нильсеновские преобразования образующих а^, даже если
исключить очевидный случай, когда определяющее слово явтяется
степенью образующего (Р а п а п о р т B1). Не известно^^(меет ли
это место для гр>пп класса < 1/6.
Л и п ш > ц [1, 3) и Г р и н д л и н г е р |4], опираясь на
результаты Гриндлингера, доказали, что группы классов < 1/6 и
<С1/8 обладают рядом важных свойств, аналогичных свойствам
свободных гру[ш.
Ш е н и ц е р [1 ] занимался вопросом, когда группа с одним
определяющим словом может быть разложена нетривиальным
способом в свободное произведение. Его критерии основаны на
комбинации теорем Гр\шко (гл. 4) и Уайтхеда — Рапапорт (гл. 3).
6.2. Присоединения и вложения
Знак умножения, используемый при изучении групп,
естественным образом приводит к понятию корней в группе. Еслид —
положительное число, g — элемент группы G, то всякое решение к
уравнения
х^ = g.
называется корнем степени п из элемента g. Корень степени п из
элемента g может существовать, а может и не существовать, а если
существует, то может быть единственным или неединственным. Если
элемент g не имеет корней степени я, то возникает вопрос, нельзя
ли присоединить такой корень. Более точно:
A) Дан элемент g группы G. Существует ли группа G* ,
содержащая в качестве подгруппы изоморфный образ группы G (также
обозначаемый через G) и такая, что в G* из элемента g извлекается
корень степени /i^
Положительный ответ на этот вопрос имеет значение при
решении проблемы тождества в группах с одним определяющим
соотношением (см. разделы 4.4, 6.1). Впервые систематическое
исследование проблемы (I) было предпринято Б. Н е й м а н о м [5].
Опираясь на теорию свободных произведений с объединенной
подгруппой, он доказал следующую теорему.
Каковы бы ни были группа G и элемент g ? G, существует с
точностью до изоморфизма одна группа G'^, обладающая сгедую-
щими свойствами,
(i) G* содержит G и порождается элементами группы G и
дополнительным элементом х таким, что х"^ = g, где п —
фиксированное натуральное число
(и) Всякая группа, обладающая свойством (\), является
факторгруппой группы G*.

414 Гл. 6. Обзор современных исследований
Из этой теоремы Н е й м а н [5] вывел следующее следствие:
Всякая группа вложима в группу D, в которой из любого элемента
извлекается корень степени п, я = 1, 2, 3, ...
Такие группы D называются полными группами.
Общая проблема присоединения была сформулирована Б.
Нейманом [5] следующим образом.
(II) Пусть дана группа G. Обозначим через G' свободное
произведение группы G и свободной группы, свободно порожденной
элементами Xi. Пусть 15^V (х, g"), V = 1, 2, ..., — некоторое множество
элементов группы G', не принадлежащих группе G, Рассмотрим
фактор-группу G* группы G', полученную добавлением к
соотношениям группы G' соотношений
H^v(x, g)= 1. A)
Существует ли в группе G элемент, отличный от единицы и
переходящий в единицу при отображении G'-^-G"^} Если нет, то будем
говорить, что система A) разрешима над G. (Группа G* в этом
случае содержит изоморфную копию группы G и элементы х^,
удовлетворяющие системе A); всякую группу с этими двумя
свойствами будем называть группой решений системы A) над
группой G.)
Конечно, в такой постановке проблема присоединения слишком
сложна, чтобы надеяться на ее успешное решение. Однако
Нейман [5] доказал следующую теорему.
Пусть А — группа автоморфизмов группы G. Если система
A) разрешима над G, то группу ее решений G* можно выбрать
таким образом, что А является группой автоморфизмов группы G*
(причем каждый автоморфизм (из А) группы G* является
продолжением соответствующего автоморфизма группы G).
Проблема (II) рассматривалась Шиком [5] для случая,
когда множество Xi состоит из одного символа х, а множество
соотношений A) состоит из одного соотношения R {Ху §¦)=!. Шик
предполагал, что сумма показателей при х в слове R равна нулю.
В этом случае уравнение не всегда разрешимо над G. Например,
уравнение хах-^^Ь-^ =1, где а, b — элементы группы G конечных,
но разных, порядков, не разрешимо над G. В работе [6J Шик
рассмотрел случай, когда сумма показателей при х в R отлична от
нуля. В обоих случаях проблему (II) удалось решить только после
введения дополнительных предположений относительно слова R.
Довольно общий результат (с очень коротким доказательством)
был получен Левиным [1 ], который показал, что уравнение
R == 1 разрешимо над G, если все показатели при х в слове R
положительны. Даже для случая одного уравнения с одним
неизвестным проблема все еще далека от своего полного решения.
В связи с одной топологической проблемой Кервер поставил
следующий, пока не реи1ениый, вопрос.

6.2. Присоединения и вложения 415
Пусть дана группа G, и пусть G — свободное произведение
группы G и бесконечной циклической группы, порожденной х.
Пусть R есть такой элемент из G, что фактор-группа G*,
полученная добавлением к G соотношения /? == 1, является единичной.
Будет ли сама группа G единичной?
Проблему (И) можно рассматривать как одну из
многочисленных проблем вложения. Мы не будем пытаться дать общего
определения проблем вложения. Это была бы довольно пустая затея.
Вместо этого мы сформулируем несколько важных результатов,
проливающих свет на характер этих проблем.
Хигмэн, Б. Нейман и X. Нейман[1] доказали
следующую теорему.
Пусть группа G содержит две изоморфные (необязательно раз-
личные) подгруппы А и В, Пусть [х есть изоморфное отображение А
на В. Через b = \х (а) обозначим образ b ^ В элемента а ^ А.
Тогда существует группа Н, содержащая группу G в качестве
подгруппы, и элельент t g Я такие, что fx(a) = t-'^at для любого а g Л.
Если группа G локально бесконечна (т. е. не имеет элементов
конечного порядка, за исключением \), то Н также можно считать
локально бесконечной.
Всякая группа G вложима в такую группу G', что любые два
элемента одного и того же порядка группы G будут сопряжены в
группе G\ Если при этом G локально бесконечна (или c4emHa),moG'
также локально бесконечна (счетна).
Всякая локально бесконечная группа G вложима в группу G*,
в которой любые два элемента, отличные от 1, сопряжены. Если
G счетна, то G* также можно считать счетной.
Очевидно, что G* является бесконечной простой группой
(единственная конечная группа, имеющая лишь два класса
сопряженных элементов, имеет порядок 2).
Сформулируем теперь теорему вложения несколько другого
типа, доказанную в той же работе.
Всякая счетная группа G вложима в группу Н с двумя образую-
ющими. При этом Н можно подобрать так, что число
определяющих соотношений в ней не превосходит числа определяющих
соотношений группы G.
Этот результат основан на следующей замечательной лемме.
Пусть F — свободная группа с двумя образующими а, Ь, Ъ Р
существует бесконечная последовательность элементов Ci (i =«
= 1, 2, 3, ...), свободно порождающих такуюподгруппу Я, что
всякий нормальный делитель Л^ группы Е является пересечением Я
с нормальным замыканием Л^ группы N в F. В работе X и г м э н а,
Б. Неймана и X. Нейман [1] показано, что в качестве ее
можно взять элементы
е^ ^ a~^b~'ab~^ab-^a~^b'a~^bab'aba''b\ ^-1, 2, ... B)

416 Гл. 6. Обзор современных исследований
В работе Б. Н е й м а н а и X. Н е й м а н {4] показано, что
для этой же цели можно взять коммутаторы
ф-^^+^аЬ''~\ а), /=1, 2, ,.. C)
Основной результат последней работы относится к
многообразиям групп и произведениЯхМ многообразий (о них идег речь в
разделе 6.3) и формулируется следующим образом.
Любая группа многообразия V вложима в коммутант Я'
некоторой группы Р, принадлежащей многообразию V о А, где А
есть многообразие абелевых групп.
Любая счетная группа G многообразия V вложима в группу Н
с двумя образующими, принадлежащую многообразию К о Л^.
Если группа G конечна, то и Н можно считать конечной.
Эти теоремы находят разнообразные приложения, одно из
которых будет рассмотрено в разделе 6.5
Б. Нейман [17] доказал, что всякая счетная вполне
упорядоченная группа G вложима во вполне упорядоченною группу Н
с двумя образующими, причем отношение порядка в группах G, Н
согласовано.
Возможность для любого /г == 1, 2, 3, ... и любого элемента g^
группы G присоединить к G корень степени п из g приводит к теории
групп с корнями. Эта теория была подробно разработана Б а у м -
с л а г о м [11. Опишем кратко ее основные понятия и результаты.
(По поводу деталей, а также библиографии, включающей ссылки
на "работы Бэра [4], Черникова [1], Конторовича
[1, 2] и М а л ь ц е в а [2], мы отсылаем читателя к оригиналу.)
Пусть (О — произвольное непустое множество простых чисел.
Обозначим через foj множество групп, в которых из каждого
элемента извлекается корень степени р для любого р ^ со. Через
(У(О обозначим множество всех групп, в которых из любого
элемента корень степени р (для каждого р ^ о^) либо не извлекается,
либо извлекается однозначно. Пересечение множеств б'©, (Уоо
обозначим через D^). Группы из мнол<ества Do будем называть
также О(о-группами. Они составляют новый* вид алгебраических
объектов. В таких группах наряду с обычной композицией элементов
имеется также множество «операторов», причем для каждого
простого р 6 0) имеется такой оператор я (мы будем записывать их как
правые операторы), что
{xnf = X, х^п = X. D)
D(o-rp\nna вполне определяется соотношениями D). Будем
говорить, что множество X со-порождает D^-rpynny, если его элементы
вместе с их образами при отображениях я порождают эту группу.
Подгруппа Н некоторой группы G называется со-подгруппой, если
для любых р ^ О), g ? G из gP ^ Н следует, что g ^ Н. Если
Н — такая нормальная подгруппа Dto-группы G, что GjH также
является Do)-rpynnofl, то Н называется (о-идеалом группы G.

6.3. Многообразия групп 417
Согласно Биркгофу [1]в многообразии Dr^-rpynn должны
существовать свободные алгебры. Будем говорить, что множество
X свободно со-порождает О^гГруппу F, если оно со-порождает
группу f и если для любых Dco-группы Н и отображения 9 множества
X Б Н существует гомоморфизм ф группы F в Н, совпадающий с 9
на X. Do)-rpynna F называется Оо)-свободной группой, если она
свободно со-порождается некоторым множеством X. Баумслаг
[1] доказал следующий аналог хорошо известной теоремы об
обычных свободных группах.
Пусть F есть D(^-свободная группа, свободно (^-порожденная
множеством X, Тогда фактор-группа группы F по ее
коммутаторному идеалу является прямым произведением \Х\ групп, изоморфных
Г(о, гCг |Х| обозначает мощность множества X, а Го) есть
аддитивная группа рациональных чисел, знаменатели которых содержат
в качестве множителей лишь те простые числа, которые
принадлежат множеству со.
Коммутаторный идеал группы /^порождается образами при отоб*
ражениях я обычного коммутанта F' группы F, Фактор-группа
FIF' имеет более сложную структуру. Эта структура также описана
в работе Баумслага.
Связь между Оо-группами и ^оз-группами устанавливаегся
следующей теоремой Баумслага.
Гомоморфными образами О^^-свободных групп являются все
Ei^-группы и только они.
В этой же работе Баумслага имеется конструктивное
определение Д(о-свободного произведения D^-rpynn, аналогичное обычному
свободному произведетшю обычных групп. По поводу теорем
вложения L^(o-rpynn в Оо)-группы, конструкций (Уа,-, ?@-, Do)-rpynn
и многих других проблем, мы рекомендуем читателю саму работу
Баумслага [1]. Приложения этой теории к нильпотентным
группам с корнями рассматриваются в работе Б а у м с л а г а [2].
6.3. Л1ногообразия групп
Абелеву группу можно описать, сказав, что композиция
групповых элементов удовлетворяет коммутативному закону или,
другими словами, что в группе выполнено тождество
х'~^у~^ху = 1, A)
т. е. для любых двух элементов х, у группы имеет место
равенство A). Можно сказать, что тождество A) определяет
«многообразие» абелевых групп. Таким же путем мы можем определить
другие «многообразия», например, группы, в которых
коммутируют коммутаторы (метабелево многообразие), или группы, в
которых п-я степень любого элемента равна единице. Точному
определению понятия многообразия можно придать следующий вид.

418 Гл. б. Обзор современных исследований
Пусть F — свободная группа с (не более, чем счетным)
множеством свободных образуюи^их л\, v = 1, 2, 3, ... Пусть {U^^} —
множество слов в символах Xv, и пусть группа G такова, что при
любом гомоморфизме F в G все слова W^^^ переходят в единицу. Тогда
будем говорить, что группа G принадлежит многообразию V {W^),
определяемому системой тождеств W^ = I.
Биркгоф [1] предложил следующее (эквивалентное)
определение многообразия как множества групп, в котором вместе о
каждой группой G любая ее подгруппа и любая фактор-группа
принадлежит множеству, и для любого подмножества {G),] групп их
полное прямое произведение также принадлежит многообразию.
Б. Н е й м а н [3] доказал следующие утверждения:
(i) Множество слов W^x может быть выбрано так, что W^ ==
= хи ^де п — фиксированное неотрицательное число, а все
остальные слова W^ принадлежат коммутанту группы F,
(ii) Всякая группа G определяет многообразие К (G), являющееся
пересечением всех многообразий, содержащих группу G.
(iii) Всякое многообразие G вполне определяется одной группой
Фоо (V), которая называется свободной группой счетного ранга
многообразия V,
Группа Фоо(Ю определяется следующим образом. Пусть Foe -^
свободная группа со счетным множеством образующих ау.
Группа Фоо (V) задается множеством образующих Ov и множеством
определяющих соотношений W^{Xv) = i, где слова W^J^
определяют многообразие У, а Xv пробегают всевозможные слова в
символах av.
Аналогично, отправляясь от свободной группы F^ ранга п,
определяют группы Ф^ {V), Они называются свободными группами
ранга п многообразия V.
Очевидно, все счетные группы многообразия являются
факторгруппами свободной группы счетного ранга этого многообразия.
Если множество слов W^x конечно, то многообразие V (W^i)
можно задать одним тождественным соотношением И^* = 1. Для
этого достаточно переписать W^y вводя новые переменные, свои
для каждого Wii, Слово IF*, которое получится после
перемножения новых слов W^x, является искомым. Многообразия, которые
задаются конечным множеством тождественных соотношений, мы
будем называть многообразиями с конечным базисом (или конечно
базируемыми). Заметим, что такое многообразие может не
определяться никакой из свободных групп конечного ранга этого
многообразия. Б., X. и П. Не й м а н ы показали [11, что любая
конечно порожденная группа, в которой выполнено тождество
(XW^)^ = 1, является нильпотентной, однако класс
нильпотентности увеличивается с ростом числа образующих.
Если два многоообразия V и V ие совпадают, то одно из них,
например V, должно содержать конечно порожденную группу

6.3. М/Югообразия групп 419
Со, не содержащуюся в V\ Это очевидно, поскольку должно
существовать тождество, которое выполняется в I/'и не выполняется
хотя бы для одной гр\ппы из К. Но любое тождество может
содержать лишь конечное множество символов Х^.
X. Нейман [4] построила для каждого многообразия V
возрастающую цепочку многообразий К^ и убывающею цепочку
многообразий У"^, /1 =^ 1, 2, 3, ..., такие, что
Ki CI ^2 с= ... с= I/ с: .. . с: Г CZ ... cz 1/\ B)
Эти цепочки определяются следующим образом. V^ есть мною-
образие, порожденное группами с п образующими из V с помощью
операций взятия фактор-группы, подгруппы и полного прямого
произведения; V^ есть многообразие всех групп, подгруппы
которых с п образующими принадлежат V.
X. Нейман показала, что убывающая цепочка многообра-
8ИЙ конечна (т. е. совпадает с V после конечного числа шагов) тогда
и только тогда, когда существует множество \W^\, определяющее
многообразие V и содержащее лишь конечное число символов Xv.
Если У ^ V (G), где G — конечная группа, то убывающая
цепочка конечна тогда и только тогда, когда У имеет конечный базис.
Возрастающая цепочка конечна тогда и только тогда, когда У
определяется группой с п образующими при некотором конечном п,
В этом случае многообразие У полностью определяется свободной
группой ранга п этого многообразия.
Нерешенной и, по-видимому, очень трудной является проблема:
будет ли конечной всякая убывающая цепочка многообразий?*
Для конечно базируемых многообразий всякая убывающая
цепочка в B) является конечной. Даже в случае конечности
возрастающих цепочек они могут иметь различную длину. В качестве
примера можно указать «бернсайдово многообразие», задаваемое
тождественным соотношением Х^ = 1 (X. Нейман [4]
отмечает, что это следует из более ранних результатов Л е в и и В а н -
дер-Вардена [1].)
Многообразия У (G) с конечной группой G рассматривались
X и г м э н о м и К р о с о м [1]. Они нашли большое число
классов конечных групп, для которых многообразие У (G) имеет
конечный базис ^). В их статье получен следующий результат.
Конечную группу О назовем критической, если она не
принадлежит никакому многообразию, порожденному ее собственными
фактор-группами. Пусть многообразие У имеет конечный базис,
пусть все конечно порожденные группы этого многообразия
конечны, и пусть число критических групп многообразия У также
конечно. Тогда любое подмногообразие многообразия У обладает
этими же свойствами.
^) О у т с и П а у э л л [1J доказа»1И, чго \ {0} конечии ис1оир>елю для всех
конечных гр>пп G,— Прим. ред»

420 Гл. 6 Обзор современных исследований
Многообразие V * метабелевых групп определяется тождеством
(Ui, -^2), (^3. -^4)) = и C)
где, как обычно,
U, у) = x~\j~\y
обозначает коммутатор элементов х, у, X. Нейман [4]
предполагала, а Б. Н е и м а н [16] показал, что свободная метабелева
группа ранга 3 является также свободной группой ранга 3
некоторого многообразия V\ которое строго содержит К* и которое в свою
очередь строго содержится в многообразии V\ задаваемом всеми
тождествами с двумя символами свободной метабелевои группы
Afg ранга 2. v^юбoпытнo, что многообразие V" может быть задано
одним тoждecтвpм:J
((х„ Х2)(л. , х.,))^ 1 D)
(X и г м э н [8]). Таким образом, M^^ является свободной групгГой
ранга 2 по крайней мере в трех различных многообразиях. Два из
них задаются соответственно тождествами C) и D).
Л и н д о н [21 доказал, что любое нильпотентное (т. е
состоящее из нильпотентных групп) многообразие имеет конечный базис.
Можно показать также, что в любом нильпотентном многообразии
класс нильпотентности групп ограничен. Многообразие N назовем
нпльпотентным класса L, если (L + 1)-й член нижнего
центрального ряда любой группы из N равен единице, но это неверно
для L-X членов. X и г м э н [8J показал, что всякое
нильпотентное многообразие класса L определяется своей свободной группой
ранга L + 1 и порождается своими группами с L образующими.
Эти результаты не всегда оптимальны. Однако если п —
наименьшее целое число такое, что любое нильпотентное многообразие
класса L определяется своей свободной группой ранга Пу то д>
^ L —1. Если N — многообразие всех нильпотентных групп классса
<; L и п — такое наихменьшее натуральное число, что N
порождается своими свободными группами ранга п, то п -^ оо при L -> оо.
Это вытекает из следующего результата Б а р р о у [I].
В свободной группе Fen образующими существует слово,
принадлежащее п^К-н группе нижнего центрального ряда, но не
принадлежащее (п^К + 1)-й группе, которое отображается на
элемент {п^К + 1)-й группы нижнего центрального ряда любой
группы F* , имеющей менее п образующих, при любом
гомоморфизме f в f *. Здесь /С ==« 1, 2, 3, -... Если я > 3, то вместо п^К
можно взять пК-
Пусть и, V — любые два многообразия (не обязательно
различные). Определим произведение U о V многообразий как множество
всех групп, каждая из которых имеет нормальный делитель в
(/, а фактор-группу по этому нормальному делителю — в V.
Произведение и о V снова является многообразием. X и г м э н [8j
доказал следующую теорему:

6.4. Произведения групп 421
Если А нильпотентно, а V имеет конечный базис, то А о V
имеет конечный базис.
Аналогичные результаты были получены Хигмэном и
К р о с о м [1].
Б. Нейман, X. Нейман и П. Нейман [1]
доказали следующую теорему ^):
Единственность разложения
многообразий. Пусть и, V, U', V — такие многообразия групп, что
UoV^U'oV\
Тогда или
или
UczU\
или
еде Q есть многообразие всех групп (запись U а U' означает, что
и строго содержится в U').
В этой же работе получено много других результатов, касаю-
щихся алгебры многообразий. В этой алгебре определена операция
композиции, отличная от умножения многообразий. При этом
используется тот факт, что многообразия образуют структуру.
Многообразие U называется неразложимым, если U Ф Е (Е —
многообразие, состоящее из единичной группы) и если из (У =
= V о V' следует, что V = ? или У = Е, Нетривиальные
примеры неразложимых многообразий приведены у П. Неймана [1].
Приведенный обзор работ по многообразиям далек от полноты ^),
Из работ, не вошедших в обзор, отметим интересные примеры,
имеющиеся уВефера [1]иМакдональда[1,2].
6.4. Произведения групп
Вопрос о том, нельзя ли рассматривать операции прямого и
свободного произведения как частные случаи более общей операции
произведения, рассматривался в работе Головина [1 ]. Чтобы
изложить его результаты, мы воспользуемся следующими
обозначениями. Пусть даны две группы А и В. Через А X В будем
обозначать прямое произведение групп Л, В, через Л * В — свободное
произведение, а А о в будет обозначать или прямое произведение,
или свободное, или какое-либо другое произведение, пока не
определенное. Через А^ обозначим нормальное замыкание множества
А в группе G, т. е. наименьшую нормальную подгруппу группы G,
содержащую множество Л. Как правило, Л будет подгруппой
группы G, но может быть и произвольным множеством элементов.
^) См. также работу Шмелькина [1] — Прим перев
^ 2) Подробная библиография имеется в книге: X Нейман, Многообразия
групп, «Мир», 1970.— Прим. перев.

422 Гл. 6. Обзор современных исследований
Сформулируем теперь шесть свойств произведений групп,
которым удовлетворяют операции прямого и свободного произведений.
I. Каковы бы ни были две группы Л и fi, существует группа
G, обозначаемая через А о В и называемая произведением групп
Л, В, которая содержит подгруппы Л, В, изоморфные группам
Л, В, и порождается подгруппами Л, В.
II. Л^ пересекается с В только по единичному (элементу.
Аналогично для пересечения В^ с Л.
III. Л оВс^^ВоЛ при изоморфизме, отображающем подгруп*
иы Л, В первого произведения на подгруппы Л, В второго
произведения. (Этот изоморфизм называется естественным изоморфизмом.)
IV. Если А^В^С — любые три группы, то (при С с^ С)
(ЛоВ)оС с-Л о (ВоС)
лри естественном изоморфизме.
V. Пусть М — нормальный делитель в Л и Л/ — нормальный
делитель в В. Если G == Л о В, то
(AlM)o{BlN)c^ G/(M^ ' N^)
при естественном изоморфизме, отображающем подгруппы А/М,
BJN группы (А/М) о (B/iV) соответственно на подгруппы
(Л . М^ . М'У(М^ . /V^), (В . М^ * N^)/{M^ . .V^)
гр>ппы^ G/iM^ . N^).
VI. Пусть Н ^ A и К ^ В — подгруппы групп Л, В Тогда
подгруппа 5 группы G == Л о В, порожденная Н н Ку изоморфна
группе Г = Я о /( при изоморфизме, отображающем // ^ S на
Ni^ ТиК^З па К^Т, (Мы называем этот изоморфизм
естественным изоморфизмом.)
Произведения, удовлетворяющие свойствам I, II, Головин
называет регулярными, а произведения, удовлетворяющие, кроме того,
III и IV,— вполне регулярными произведениями. Обозначив через
(Л, В) подгруппу, порожденную коммутаторами (а, 6), где а ? Л,
b ^ В, мы получим, что (Л, В) является нормальным делителем
в Л * В, и при естественном изоморфизме будем иметь
Ах В ^(А^В)/{А, В).
Головин показал, что любое регулярное произведение А ^ В
обладает тем свойством, что при естественном изоморфизме
ЛоВ c=,(A*B)/N,
где Л^ С1(Л, В) есть нормальный делитель вЛ*В. Стрёйк[1]
показала, что существуют произведения, удовлетворяющие
условиям I, II, но не удовлетворяющие условию III. Она построила
также примеры произведений, для которых имеют место I, II, III,
«о не выполнено IV, примеры, когда имеют место I, II, III, IV, нона

[6.4. Произведения групп 423-
выполняется V и, наконец, когда имеют место I, II, III, V, но IV
не выполняется. Примеры регулярных произведений,
удовлетворяющих условию III, но не удовлетворяющих условию IV, были
построены также М о р а н о м [1] и Б е н а д о [1, 2].
Головин [11 построил бесконечную последовательность
вполне регулярных произведений, каждое из которых
удовлетворяет условию V. Его конструкцию видоизменили Моран [1]
иСтрёйк [1]. Следуя Головину, определим k-e нильпотент-
ное произведение А % В групп А п В для /г == 1, 2, 3, ... Введем-
следуюш.ие обозначения.
Пусть G — произвольная группа и Я — подгруппа группы G,
Положим для /г = О, 1,2, ...
qHq = Я , ^//о =: {к-^\Но , G).
Тогда fe-e нильпотентное произведение групп Л и 5 определяв
ется следующим образом:
А о В^{А^ В)ЦА, В)о, (Головин)
Л о б = (Л * В)/(оЛа, fefio) • (Ио, o^Gh (Стрёйк)
Л о В = (Л * В)/(Л, В) П й(Л * B)g, (Моран)
где G используется как сокращение для Л * В. Эквивалентность
этих трех определений можно установить, опираясь на следующее
тождество, доказанное независимое трёйк[11 и Мораном!!!^.
Если G = Л * В, то
^(Л, В)о - П {^Асг, ,Bg) = (оЛо, ^Ва) • (о^Гг, И^)«
Головин, Моран и Стрёйк показали, что если k Ф U то
произведения А\ б и Л ? S, вообще говоря, не изоморфны при естествен*
ном изоморфизме.
Моран [1] показал, что нильпотентные произведения Голо-
¦вина являются частным случаем более общего класса
произведений, которые он назвал вербальными произведениями. Пусть V —
любое множество слов (т. е. элементов свободной группы счетного
ранга). Через V (G) обозначим 1/-вербальную подгруппу группы G
(определение см. в разделе 2.2). Вербальным К-произведением
Л ^ б групп Л, б называется фактор-группа
Ло б=,(Л*б)/(Л, б) П 1/(Л*б),
Каково бы ни было множество К, вербальное К-произведенив
вполне регулярно и удовлетворяет постулату V. Аналогичным
образом мы можем определить 1/-произведение любого множества групп
Л а, где а пробегает произвольное множество индексов L, (Так как
мы будем пользоваться свободным произведением групп Л», мы
можем отождествить их о их копиями в этом свободном произве-

424 Гл. б. Обзор современных исследований
дении, опуская волну у Л».) Обозначим через G свободное
произведение групп А а через С (G) — произведение нормальных
замыканий в G групп (Ла, Л(з), где а ^^ р, а, [3 ^ L. Назовем С (G)
декартовой подгруппой свободного произведения G. Очевидно, G/C (G)
есть (ограниченное) прямое произведение групп Ла. Моран
показал, что вербальное К-произведение групп А а имеет вид
G/C(G)nV^(G).
Головин [1] доказал, что группа С (G) является свободной.
За исключением вербальных произведений, неизвестно
никаких других произведений, удовлетворяющих условиям I—V.
С другой стороны, единственными вербальными произведениями,
удовлетворяющими условию VI, являются прямое и свободное
произведения. На самом деле, очень легко показать, что многие
вербальные произведения не удовлетворяют условию VI, даже
если потребовать чтобы К-подгруппы всех сомножителей были
тривиальными. Однако Моран [5, 6] построил много примеров
регулярных произведений, удовлетворяющих условиям III и IV
и, вообще говоря, не являющихся вербальными.
Головин [1| показал, что всякому разложению группы в
регулярное произведение соответствует множество ортогональных
идемпотентных эндоморфизмов. Результат Головина явился
исходным пунктом исследований Б е н а д о |1, 2] по ассоциативным
произведениям и для построения примеров неассоциативных
произведений.
Вообще, трудная задача —доказать, что два вербальных
произведения различны, если вербальные подгруппы, с помощью
которых они определены, различны в свободной группе с достаточно
большим числом образующих. Назовем /-м разрешимым
произведением вербальное произведение, для которого V (G) является 1-й
производной группой группы G. Моран 14] доказал, что при
/ > 2 1-е разрешимое произведение абелевых' групп содержит
локально бесконечную подгруппу. Поскольку Головиным
[I, 3] было доказано, что нильпотентное произведение конечного
числа конечных групп конечно, го разрешимые произведения при
/ > 2 отличны от нильпотентных. С тр ё й к [2] указала обширный
класс вербальных произведений, отличных друг от друга и от
нильпотентных произведений Головина Вербальные подгруппы,
лежащие в основе этих произведений, определяются с помощью «слож-
}1ых» коммутаторов Стрейк использовала разложения в
ассоциативных кольцах наподобие тех, что были рассмотрены в разделе 5.5.
Проблемы, которые возникают в связи с прямым и свободным
произведениями, могут рассматриваться для вербальных и других
впалне регулярных произведений. Такие исследования были
проведены для нильпотентных, особенно для второго нильпотентного
произведений Головиным [2, 3J. Свойство максимальности

6.5. Аппроксимируемость и хопфовость 425
было установлено М о р а н о м [4]. Моран доказал также, что
группа, изоморфная вербальному произведению Лу В, где у
не есть свободное умножение, неразложима в свободное
произведение, если только порядок групп А и В не равен 2.
Указанные выше работы Головина, Бенадо, Морана и Стрёйк
содержат очень большое число результатов. Многие из них имеют
пока еш,е изолированньп1 характер. К сожалению, мы не имеем
возможности вдаваться в детали. Отметим лишь результат Макген-
р и [1], который показал, что тензорное произведение двух абеле-
вых групп изоморфно коммутанту второго нильпотентного
произведения этих групп.
6.5. Аппроксимируемость и хопфовость
Понятие многообразия групп, рассмотренное в разделе 6.3,
устанавливает полезную классификацию в необозримом множестве
групп. Однако эта полезность имеет весьма ограниченный
характер, так как суш,ествует много групп, определяемых очень просто
(например, группы с одним определяющим соотношением и числом
образующих > 2), которые подобно свободным группам не
принадлежат никакому многообразию, отличному от тривиального, т. е.
содержащего все группы. Точно так же множество всех конечных
групп (составляющих хорошо изученный и очень важный класс
групп с интересными свойствами) не может быть включено ни в
какое многообразие, более узкое, чем многообразие всех групп.
Мы рассмотрим сейчас два понятия (финитная аппроксимируемость
и хопфовость), с помощью которых определяются весьма широкие
классы групп, содержащие, в ч-астности, все конечные группы.
Вместе с тем, эти классы содержат лишь группы, в каком-то смысле
близкие к конечным группам.
Начнем с одного довольно общего определения. Пусть П
есть некоторое свойство групп, скажем, конечность, абелевость,
свобода или принадлежность к некоторому многообразию групп.
(Позже мы определим точнее, что значит «свойство»; сейчас нам
это не нужно.) Следуя Ф. Холлу, будем говорить, что группа G
является П-аппроксимируемой группой, если удовлетворяется
следующее условие.
(I) Для любого элемента g Ф1 группы G существует нормальный
делитель К в G, не содержащий g и такой, что G/K обладает
свойством П.
Так, например, группа G называется финитно
аппроксимируемой ^), если для каждого элемента g Ф 1 существует нормальный
делитель конечного индекса, не содержащий g. Для конечных
групп это условие выполнено тривиальным образом. Что касается
') Такие группы называют также конечно аппроксимируемыми или рези-
дуально конечными.— Прим. перев.
14 в Магнус и др.

426 Гл. 6. Обзор современных исследований
бесконечных финитно аппроксимируемых групп G, то множество
нормальных делителей /С, имеющих конечный индекс в G,
обеспечивает нам подгрупповую топологию, описанную в разделе 5.14.
Конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы o6ia-
дают двумя замечательными свойствами. Одно из них было найде*
ноБаумслагом [4]. Оно формулируется следующим образом:
Группа автоморфизмов конечно порожденной финитно
аппроксимируемой группы G сама финитно аппроксимируема.
Доказательство настолько простое, что мы его приведем. Пусть
А — группа автоморфизмов группы G, и пусть а есть элемент из
Л, не являющийся тождественным автоморфизмом. Тогда
существует по крайней мере один элемент g ^ G такой, что
h = a{g)g~'^Ф 1.
Пусть теперь К —нормальная подгруппа конечного индекса п
в G, не содержащая /г. Обозначим через К * пересечение всех
нормальных подгрупп, имеющих индекс п в G. Согласно М. X о л л у
[1] группа /С* также имеет конечный индекс в G и, кроме того,
является характеристической подгруппой группы G. Далее, А
индуцирует конечную группу А автоморфизмов группы G/K *»
причем А есть фактор-группа группы Л. Так как h ^К, то
h ^ К^* Следовательно, образ а автоморфизма а (при
естественном гомоморфизме Л на Л) отличен от единицы. Следовательн(\
группа Л финитно аппроксимируема.
Результат Баумслага позволяет дать простое, а в некоторых
случаях и единственно известное доказательство финитной
аппроксимируемости некоторых групп. Например, финитная
аппроксимируемость свободных групп (Л ев и [2]) может быть доказана
следующим образом. Из теории модулярных групп известно, что матрицы
111 2
"-о 1
1 oil
2 1
порождают свободную группу. Эти матрицы определяют
автоморфизмы свободной абелевой группы ранга 2, являющейся,
очевидно, финитно аппроксимируемой. Следовательно, свободная группа
ранга 2 финитно аппроксимируема. Так как подгруппы финитно
аппроксимируемой группы также обладают этим свойством, то
все свободные группы конечного или счетного ранга финитно
аппроксимируемы.
Для групп, порожденных матрицами, мы могли бы доказать
финитную аппроксимируемость, рассмотрев фактор-группы по
подгруппе конгруэнции (идея, широко применявшаяся Мальце-
в ы м [1]). Однако существуют группы, например, группа
автоморфизмов свободной группы с /г > 2 образующими (о которой,
несмотря на результаты Нильсена [3], мы знаем очень мало)

6.5. Аппроксимируемость н хопфовость 427
или Группа автоморфизмов фундаментальной группы двумерных
ориентированных замкнутых поверхностей (о которой мы знаем
еще меньше), финитная аппроксимируемость которых была
доказана только с помощью результата Баумслага.
Другое важное свойство финитно аппроксимируемых групп
может быть сформулировано следующим образом (Мальцев [1]):
Конечно порожденная финитно аппроксимируемая группа G не
может быть изоморфна никакой своей собственной фактор-группе.
Такие группы G мы будем называть хопфовыми, или говорить,
что они обладают хопфовым свойством. Доказательство хопфовости
также очень простое. Рассмотрим нормальный делитель Л^ Ф 1
группы G такой, что G = GjN изоморфна G. Мы должны получить
противоречие. Докажем для этого, что никакой элемент g Ф 1
группы G не может быть отображен в единицу группы G. Пусть
К — нормальный делитель конечного индекса л в G, не
содержащий g. Обозначим через /С* пересечение всех нормальных
подгрупп индекса <; п в G. Тогда /С* также имеет конечный индекс
п* в G и также не содержит g. При гомоморфном отображении
G на G группа /С* отображается на подгруппу /С** группы
G. Так как индекс конечной подгруппы не увеличивается при
гомоморфном отображении, то /С** будет содержать подгруппу
/С* группы G, которая соответствует /С* с: G при изоморфном
отображении О на G , Таким образом, прообраз К* в G
(обозначим его через Р) должен содержаться в /С*. С другой стороны,
Р содержит N и, следовательно, g не отображается на 1 (при
естественном гомоморфизме G на G).
Вопрос о том, являются ли хопфовыми фундаментальные
группы замкнутых двумерных ориентируемых поверхностей, важен для
топологии. Он был поставлен и решен положительно Хопфом,
использовавшим топологические методы. Ниже мы приводим
алгебраический результат, из которого это легко следует.
Автоморфизмы хопфовых групп находить легче, чем для нехоп-
фовых. Пусть av, v =1, ... , я,—образующие хопфовой группы G,
а R\x{civ)y fx == 1, 2, ...,— ее определяющие соотношения.
Отображение uv -> bv фу — слова в а-символах) является
автоморфизмом тогда и только тогда, когда 6v порождают G и для всех [л
RAbv)=\^ A)
Для нехопфовых групп этот критерий, очевидно, не является
достаточным, так как bv могут удовлетворять соотношениям,
которые не выводимы из A). Это может случиться даже, если Ь^
получаются из а^ преобразованиями Нильсена (см. гл. 3). Пример
такого рода можно извлечь из работы X и г м э н а [41.

428 Гл. 6. Обзор современных исследований
Легко видеть, что бесконечно порожденная финитно
аппроксимируемая группа может не быть хопфовой. Например, свободная
группа со счетным множеством образующих av, v = 1, 2, 3, ...,
отображается на свою изолюрфную копию с помощью гомоморфизма
Примеры конечно порожденных нехопфовых групп были
построены Б. Нейманом [8]. Его группы имеют бесконечное
множество определяющих соотношений. Нехопфовы группы с тремя
образующими и двумя определяющими словами были найдены
Хиг МЭНОМ [4]. Самый простой пример конечно определенной
нехопфовой группы принадлежит Баумслагу иСолитэ-
ру [1 ]. А именно:
Группа с двумя образующими а, b и одним определяющим
соотношением
аГ'ЬЧ - Ь^ B)
не является хопфовой.
В этой же работе указывается, что группа Gq с двумя
образующими а, b и определяющим соотношением
а~'Ь'^а = Ь'' C)
является хопфовой, но содержит нехопфову нормальную
подгруппу N конечного индекса. Между прочим, отсюда следует, что хоп-
фова группа не обязана быть финитно аппроксимируемой, даже
если она конечно порожденная. Действительно, если бы группа Gq
была финитно аппроксимируемой, то N была бы финитно
аппроксимируемой и, кроме того, конечно порожденной, поскольку Л^ имеет
конечный индекс.
В качестве побочного результата Баумслаги Солитэр
[1] построили две конечно определенные неизоморфные группы,
каждая из которых является гомоморфным образом другой.
(Впервые такой пример был указан Б. Нейманом.)
Впервые аппроксимационные свойства групп были
систематически исследованы Грюнбергом [2]. Сформулируем
некоторые из его результатов. Начнем с определений.
П. Свойство П назовем корневым свойством, если выполняются
следующие условия:
(i) каждая подгруппа группы, обладающей свойством П, также
обладает свойством П;
(ii) прямое произведение G х Н групп G, Н, обладающих
свойством П, также обладает свойством П;
(iii) для всякой последовательности подгрупп G ^ Н ^ К ^ К
в которой каждая нормальна в предыдущей и в которой G/H и
Н/К обладают свойством П, группа К содержит подгруппу L,
нормальную в G и такую, что GIL также обладает свойством !Т.

6.5. Аппроксимируемость и хопфовость 429
Примерами корневых свойств являются конечность,
разрешимость (т. е. конечность последовательности производных групп),
а также свойство «быть р-группой», т. е. иметь порядок,
являющийся степенью данного простого числа р. Последнее свойство мы
будем обозначать далее через П^. Грюнберг [2] доказал
следующую теорему.
Пусть П — корневое свойство. Для того чтобы любое свободное
произведение И-аппроксимируемых групп само было И-аппроксими-
руемой группой, необходимо и достаточно, чтобы любая свободная
группа была И-аппроксилшруемой группой.
Эта теорема применима для таких свойств П, как конечность,
разрешимость, свойство Up для любого простого р. (Для всех этих
П свободные группы являются П-аппроксимируемыми.)
Из многочисленных результатов Грюнберга [2] отметим
также следующие два:
Всякая конечно порожденная нильпотентная группа без
элементов конечного порядка (отличных от единицы) является Пр-
аппроксимируемой для любого р. Если группа имеет элементы
конечного порядка и если pj, ..., р^ — различные простые числа,
деляи^ие порядки ее элементов, то группа является П^,^, ..., Пр^-
аппроксимируемой.
Нильпотентность не является корневым свойством, поскольку
условие (iii) в определении (II) не всегда выполняется. Однако для
некоторых полинильпотентных групп имеет место следующий
простой результат. Полинильпотентными называются группы G,
обладающие убывающей цепочкой подгрупп
Go=)Gi=DG2=D ... :3G,^= 1,
в которой каждая подгруппа нормальна в предыдущей и все фактор-
группы GjLi-i/GjLi нильпотентны. Нам понадобятся не все поли-
нильпотентные группы, а лишь так называемые свободные полиниль-
потентные группы с набором классов
[Оъ .. • , ^ш). D)
которые определяются следующим образом. Пусть X — свободная
группа. Обозначим через yiX i-ю группу нижнего центрального
ряда группы X и определим рекурсивно
как ij^'io группу нижнего центрального ряда группы
Свободная полинильпотентная группа с набором классов

430 Гл 6. Обзор современных исследований
определяется как фактор-группа
Число т называется длиной полинильпотентной группы.
Грюнберг [2] доказал следующую теорему.
Свободная полинильпотентная группа с набором классов D)
яв^гяется Лр-аппроксимируемой группой для любого простого р,
превосходящего с^ ... , Cm-i.
Грюнберг заметил, что если воспользоваться одним
неопубликованным результатом Ф. Холла, то можно показать, что
ограничение на р не является необходимым.
Теорема Грюнберга является сильным обобщением теоремы
Г и р ш а [2], который доказал, что все полициклические группы
финитно аппроксимируемы.
В свою очередь теорема Грюнберга была обобщена Б а у м с л а-
г о м [6], который доказал следующую теорему:
Пусть Y — свободная группа, R — нормальный делитель в
Y и S — вполне инвариантная подгруппа группы R, Если фактор-
группы Y/R, R/S финитно аппроксимируемы, то группа Y/S
также финитно аппроксимируема. Если Y/R и R/S обладают
свойством Up {для некоторого простого р), то Y/S также обладает
этим свойством,
Баумслаг[6] исследовал вопрос о том, какие аппрокси-
мационные свойства сохраняются для обобщенных свободных
произведений нильпотентных групп с объединенными подгруппами.
Чтобы сформулировать хотя бы некоторые из его результатов,
нам понадобятся новые обозначения.
Пусть П, П' — свойства групп. Обозначим через ПоП' класс
всех групп G, у которых имеется нормальная подгруппа Л^ со
свойством П, фактор-группа по которой GjN обладает свойством
П'. Через Up обозначим свойство быть финитно
аппроксимируемой, через Им — свойство быть конечно порожденной нильпотент-
ной, и через Ф — свойство быть свободной.
Пусть Л, В — группы, обладающие соответственно свойствами
П и П'. Обозначим через а (Л, 5; Г) класс групп, являющихся
свободными произведениями групп Л и fi с объединенной
подгруппой, обладающей свойством Г. Через о {А, В) обозначим класс
обобщенных свободных произведений групп А и В без ограничений
на объединяемые подгруппы. Баумслаг [6] доказал
следующую теорему:
Если группы А и В конечны, то группы класса а (Л, В)
являются Ир-группами. Если А, В финитно аппроксимируемы, то
группы класса о {А, В\ конечная) также финитно
аппроксимируемы. Если А и В есть И^-группы, то а (А, В) cz П/?оП/г;
более того, о (А, В) а Ф о Up. Однако существуют примеры,
где А и В есть 11^ -группы, но группы о {А, В) являются финит-

6 5 Аппроксимируемость и хопфовость 431
но аппроксимируемыми. (В последнем случае группы А, В не
абелевы )
Подгруппу Н группы G назовем замкнутой в G, если для
любого элемента g ^ G из g" ^ Н, п Ф О, следует, что g ^ Н, Б а ум -
с л а г > [6] принадлежит следующий результат:
Если А, В — конечно порожденные нильпотентные группы, то
группы
о (Л, В, замкнута в А и в В),
о {А, В; циклическая)
являются финитно аппроксимируемыми.
Эта теорема связана со следующим более ранним результатом
Баумслага[3].
Пусть F — свободная группа, G — свободная абелева группа,
обе счетного ранга. Тогда группы
a(F, G; циклическая и замкнутая в F и в G)
аппроксимируются свободными группами
Так как свободные группы финитно аппроксимируемы, то
группы, о которых идет речь в последней теореме, также финитно
аппроксимируемы.
Отметим, наконец (из-за его приложений) еще один результат
Баумслага [3].
Пусть F и F — изоморфные свободные группы. Пусть элемент
и ^ F порождает свой собственный централизатор в F, и пусть
и есть образ и в F при указанном изоморфизме. Тогда свободное
произведение К групп F и F с объединенной подгруппой, определяемой
соотношением и =^ и, финитно аппроксимируемо. Любая подгруппа
с двумя образуюищми группы К является свободной.
Из этой теоремы вытекает, что фундаментальные группы
замкнутых двумерных ориентированных поверхностей
аппроксимируются свободными группами (конечного ранга) и, следовательно,
являются хопфовыми. Из нее следует также, что фуксовы группы,
задаваемые двумя образующими с, d и определяющими
соотношениями
c'=.d'^= [cdT=^ 1,
являются хопфовыми.
Заметим, что финитная аппроксимируемость и хопфовость
фундаментальных групп замкнутых двумерньГх ориентированных
поверхностей была доказана совершенно другим методом
Фредериком [1 ].
Ф. Холл [5] доказал большое число теорем, относящихся
к вопросам, включающим, в частности, вопросы
аппроксимируемости. Некоторые из этих вопросов возни,кают при изучении
группы Фраттини (т. е. пересечения максимальных подгрупп данной

432 Гл. 6. Обзор современных исследований
группы). Эта группа является нильпотентной для конечных групп,
но в общем случае может иметь значительно более сложную, хотя
и вполне определенную структуру. (Например, для конечно
порожденных полинильпотентных групп длины <[ т группа Фрат-
тини будет полинильпотентной длины <; m — 1). Из
многочисленных результатов Холла мы упомянем только один, касающийся
хопфовости:
Существует нехопфова группа G с тремя образующими, такая,
что IG\ G] == 1.
Здесь G" —вторая производная группа группы G, а [G", G]
означает группу, порожденную коммутаторами элементов групп
G\ G,
Баумслаг и Солитэр [1] анонсировали пример не-
хопфовой группы G с двумя образующими, для которой С' = !•

ЛИТЕРАТУРА
Адельсбергер (Adelsberger Н.)
[1] Uber unendliche diskrete Gruppen, J. reine u. angew. Math. 163 A930),
103—124.
A Д я H СИ.
[[] Алгоритмическая неразрешимость проблем распознавания некоторых
свойств групп, ДАН СССР 103 A955), 533—535.
[2] Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем [теории групп,
Тр. Моск. матем. о-ва 6 A957), 231—298.
[3] Конечно-определенные группы и алгоритмы, ДАН СССР 117 A957),
9—12.
[4] Об алгоритмических проблемах в эффективно-полных классах групп,
ДАН СССР 123 A958), 13—16.
Александер (Alexander J. W.)
[1] Topological invariants of Knots and Links, Trans. Amer'. Math. Soc. 30
A928), 275—306.
Альберт (Albert A.)
[1] Modern higher algebra, University of Chicago Press, 1937.
A p T и H (Artin E.)
[1] Theorie der Zopfe, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 4 A925), 47—72.
[2] Theory of braids, Annals of Math. 48 A947), 101—126.
[3] The free product of groups, Amer. J. Math. 69 A947), 1—4.
|i] Braids and permutations, Annals of Math. 48 A947), 643—649.
Ауслендер иЛиндон (Auslander M. and Lyndon R. C.)
[1] Commutator subgroups of free groups, Amer. J. Math. 77 A965), 929—931.
Барроу (Burrow M. D.)
[1] Invariants of free Lie rings, Comm. Pure and Appl. Math. 11 A958), 419--
431.
Баумслаг (Baumslag G.)
[1] Some aspects of groups with roots, Acta Math. 104 (I960), 217—303
[2] Some remarks on nilpotent groups with roots, Proc. Amer. Math. Soc. 12
A961), 262—267.
[3] On generalized free products. Math. Z. 78 A962), 423—438.
[4] Automorphism groups of residually finite groups, J. London Math. Soc.
38 A963), 117—118.
[5] On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups.
Trans. Amer. Math. Soc. 106 A963), 193—209.
[6] Wreath products and extensions, Math. Z. 81 A963), 286—299.
Баумслаг, Бун, Нейман Б. (Baumslag G., Boone W., Neuman B.)
[1] Some unsolvable problems about elements and subgroups, Math. Scand.
7, № 1 A959), 191—201.
Баумслаг иСолитэр (Baumslag Q. and Solitar D )
[1] Some two generator one relator non Hopfians groups. Bull. Amer. Math,
Soc. 68 A962), 199—201.
Б e Й к e p X. (Baker H F )
[1] Alternants and continuous groups, Proc. Lond. Math. Soc. B) 3 A904), 24—
47.

434 Литература
Б е й к е р Р. (Baker R. Р.)
[1] Cayley diagrams on the anchor ring, Amer. J. Math. 53 A931), 645—
669.
Бена Д.0 (Benado M.)
[1] Uber die allgemeine Theorie der regularen Producte von Herren O. N. Go-
Ipvin. I, Math. Nachr. 14 A956), 213—234.
[2] Uber die allgemeine Theorie der regularen Producte von Herren 0. N. Go-
lovin, II, Math, Nachr. 16 A957), 132—194.
Берг a.у и Меннике (Bergau P. and Mennicke J.)
[1] Uber topologische Abbildungen der Brezelflache vom Geschlecht 2, Math. Z.
' 74 (I960), 414—435.
Бернсайд (Burnside W.)
[1] On an unsettled question in the theory of discontinuous Groups, Quart. J.
Math. 33 A902), 230—238.
[21 The theory of groups of finite order, Second edition Cambridge Engldod,
1911.
Б> p к гоф (Birkhoff G.)
[1] On the structure of abstract algebras, Proc. Cambridge Philos. Soc. 31
A935), 433—454.
[2] Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices. Annals of
Math. 38 A937), 526—529.
Блэнкиншип и Фокс- (Blankinship W. A. and Fox R. H.)
[1] Remarks on certain pathological open subsets of three space and their
fundamental groups, Proc. Amer. Math. Soc. 1 A950), 618—624.
Блэнчфилд (Blanchfield R. C.)
[1] Applications of free differential calculus to the theory of groups. Senior
thesis, Princeton University, 1949.
[2] Invariants of self linking. Annals of Math. 53 A951), 556—564.
Боненбласт (Bohnenblust F.)
[1] The algebraic braid groups, Annals of Math. 48 A947), 123-136.
Б p a H Д T (Brandt A.)
[1] The free Lie ring and Lie representations of the full linear group. Trans.
Amer. Math. Soc. 56 A944), 528—536.
Б p a у H e p (Brauner K.)
[1] Zur Geometrie der Funktionen zweier komplexen Veranderlichen, Abh.
Math. Sem. Hamburg. Univ. 6 A928), 1—55.
Б p a X a H a (Brahana H. R.)
[1] Regular maps on an anchor ring, Amer. J. Math. 48 A926) 225—240.
Б p и T T о H (Britton J. L.)
[1] Solution of the word problem for certain types of groups. 1, Proc. Glasgow
Math. Assoc. 3 A956), 45—54.
[2] Solution of the word problem for certain types of groups. II, Proc.
Glasgow Math. Assoc. 3 A957), 68—90.
[3] The word problem for groups, Proc. London Math. Soc. 8 Ко 32 C-d series)
A958), 493—506.
Б у H (Boon W. W.)
[1] Certain simple unsolvable problems of group theory, Indig. Math.
16 A954), 231—237, 492—497; 17 A955), 252-256; 19 A957), 22—27,
227—232.
Б у p a у (Burau \V.)
[1] Uber Zopfinvarlanten, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 9 A933), 117—
124.
[2] Uber Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen, Abh. Math.
Sem. Hansischen Univ. 11 A936), 171—178.
Буркхардт (Burkhart H.)
[l] Grundzuge einer allgemeinen Systematik der huperelllptischen Funktionen
erster Ordnung, Math. Ann. 35 A890) 198—296 (в частности, стр. 209—
212). '

Литература 435
Бэр (Ваег R.)
[1] иЬег Kurventypen auf Flachen, J. reine u. angew. Math. 156 A927),231—
246.
[2] Die Abbildungstypen-Gruppe der orientierbaren geschlossen Flaeche vom
Geschlechte 2, J. reine u. angew. Math. 160 A929), 1—25.
[3] Abelian groups without elements of finite order, Duke Math. J. 3 A937),
68—122.
[4] Groups with Abelian Central quotient group, Trans. Amer. Math. Soc. 44
A938), 357—412.
[5] Nilpotent groups and their generalizations. Trans. Amer. Math. Soc. 47
A940), 393—434.
[6] The higher commutator subgroups o^ a group, Bull. Amer. Math. Soc. 50
A944), 143—160.
[7] Representation of groups as quotient groups, Trans. Amer. Math. Soc.
58A945), 295—419.
[8] Free sums of groups and their generalization, Amer. J. Math. 71 A949),
706—742.
[9] Free sums of groups and their generalization. II, III, Amer. J. Math. 72
A950), 625-670.
Бар и Леви (Ваег R. und Levi F.)
A] Freie Producte und ihre Untergruppen, Compositio Mathematica 3 A936),
391—398.
Вагнер (Wagner D. H.)
[1] On free products of groups, Trans. Amer. Math. Soc. 84 A957), 352—378.
Ван-дер-Варден (van der Waerden B. L.)
[1] Free products of groups, Amer. J. Math. 79 A948), 527—528.
В e Й л ь (Weil A.)
[1] Sur les espaces a structure uniforme et sur la topologie generale, Actualites
scientifiques et industrielles, № 551, Paris, 1337.
[2] L'integration dans les groupes topologiques et ses applications, Actualites
scientifiques et industrielles, № 869, Paris, 1938.
В e Й p (Weir A. J.)
[1] The Reidemeister and Kurosch subgroup theorems, Mathematica 3 A956),
47-^55.
В e Ф e p (Wever F.)
[1] Operatoren in Lieschen Ringen, J. reine u. angew Math. 187 A947), 44—
55.
[2] Ober Invarianten in Lieschen Ringen, Math. Ann. 120 A949), 563 —
580.
[3] Ober Regeln in Gruppen, Math. Ann. 122 A950), 334—339.
В и г 0 л ь Д (Wiegold J).
[1] Some remarks on generalized products of groups with amalgamations. Math.
Z. 75 A961), 57—78.
В и T T (Witt E.)
[1] Treue Darstellung Lieschen Ringe, J. reine u. angew. Math. 177 A937),
152—160.
[2] Treue Darstellungen beliebiger Lieschen Ringe, Collectanea Math. 6 A953),
107-114.
[3] Die Unterringe der freien Lie3chen Ringe, Math. Z. 64, A965), 195—216,
Г a p с a Й Д (Garside F. A.)
[1] The Braid group and other groups, Quart. J. Math. 20 A969), 235—254.
[Русский перевод: Группа кос и другие группы, Математика (сб.
переводов) 14, № 4, 1970, 113—132.1
Г а с н е р (Gassner В. J.)
[1] On Braid groups, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 25 A961), 10—22.
Г a Ш Ю T Ц (Gaschiilz W.)
[I] Zu einen von B. H. und H. Neumann gestellten Problem, Math. Nachr. 14
A956), 249—252.

436 Литература
Г и р ш (Hirsch К.)
[1] On infinite soluble groups. II, III, Proc. London Math. Soc. B) 44 A938),
336—344; 49 A946), 184—194.
[2] Eine kennreichnende Eigenschaft nilpotenter Gruppen, Math. Nachr. 4
A950), 47—49.
Гладкий A. В.
[1 ] О простых словах Дикка, Сиб. матем. ж. 2 A961), 366—383.
[2] О группах с ^-сократимым базисом, Сиб. матем. ж. 2 A961), 366—383.
Головин О. Н.
[1] Нильпотентные произведения групп, Матем. сб. 27 A950), 427—454.
[2] Метабелевы произведения групп, Матем. сб. 28 A951), 431—444.
[3] К вопросу об изоморфизме нильпотентных разложений группы, Матем.
сб. 28 A951), 445—452.
Головин О. Н. иГольдина Н. П.
[1] Подгруппы свободных метабелевых групп, Матем. сб. 37 A955), 323—
336.
Гольберг (Goldberg К.)
[1] The Formal Power series for log Л^, Duke Math. J. 23 A956), 13—22.
Г о n к и H с (Hopkins С.)
[1] Concerning uniqueness-bases of finite groups with applications to p-groups
of class 2, Trans. Amer. Math. Soc. 41 A937), 287—313.
Грин (Green J. A.)
[1] On groups with odd prime-power exponent, J. London Math. Soc. 27 A952),
476—485.
Гринберг (Greenberg L»)
[1] Discrete groups of motions, Canadian J. Math. 12 (I960), 414—425.
Гриндлингер M. (Greendlinger M.).
[1] Dehn's algorithm for the word problem, Comm. Pure and Appl. Math. 13
A960), 67-83.
[2] On Dehn's algorithms for the conjugacy and word problems with
applications, Comm. Pure and Appl. Math. 13 A960), 641—677.
[3] An analogue of a theorem of Magnus, Archiv d. Mathematik 12 A961), 94—
96.
[4] A class of groups all of whose elements have trivial centralizers. Math. Z.
78 A962), 91—96.
Гр и Ф Ф и T с (Griffiths Н. В.)
[1] А note on commutators in free products. II, Proc. Cambridge Philos. Soc.
51 A955), 245—251.
[2] Infinite products of semi-groups and local connectivity, Proc. London Math.
Soc. C) 6 A956), 455—480.
Гроссман и Магнус (Grossman I. and Magnus W.)
[1] Groups and their graphs, N. Y., 1964. [Русский перевод: Группы и их
графы, «Мир», 1971.)
Гроссвольд (Grosswold Е.)
[1] On the structure of some subgroups of the modular group, Amer. J. Math.
72 A950), 809-834.
Г p у Ш к о И. A.
[1] Решение проблемы тождества в группах с несколькими соотношениями
специального вида, Матем. сб. 3 A938), 543—551.
Г р 10 н (Griln О.)
[1] Zusammenhang zwischen Potenzbildung und Kommutatorbildung, J. reine
u. angew. Math. 182 A940), 158—177.
Г p Ю H (Gruen O.)
[1] Beitrage zur Gruppentheorie V: Uber endliche p-Gruppen, Osaka Math. J.
5 A953), 117—146.
Грюнберг (Gruenberg K. W.)
[1] Two theorems on Engel groups, Proc. Cambridf^e Philos. Soc. 49 A953),
377-380.

Литература 43?
[21 Residual properties of infinite soluble groups, Proc. London Math. Soc
C) 7 A957), 29—62.
Г \ П П с p T (Huppert B.)
[11 Uber das Produkt von paarweise vertauschbaren eyklischen Gruppen, Math
7 58 A953), 243—264.
[2] Uber die Aufloesbarkeit faktorisierbarer Gruppen, Math. Z. 59 A953)
1—7.
[3] Monomiale Darstellung endlicher Gruppen, Nagoya Math. J. 6 A953), 93—
94.
Г у p в п,,ц (Hurwitz A.)
[1] Uber algebraische Gebilde mit eindentigen Transformationen in slch, Math.
Ann. 41 A893), 403—442.
Гуревич Г. A.
[1] К проблеме сопряженности для групп с одним определяющим
соотношением, Тр. МИАН СССР 133 A973), 204—225.
Гуревич (Hurewitz W.)
[1] Zu einer Arbeit von О. Schreier, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 8 A931)
307—314.
Д e - С e г ь e (De Seguier J. A.)
[1] Theorie des groupes finis. Vol. 1, Elements de la theorie des groupes ab-
straits, Paris, 1904.
Джекобсон (Jacobson N.)
[1] Abstract Deriration and Lie Algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 42 A937),
206—229.
[2] Restricted Lie Algebras of Characteristic p. Trans. Amer. Math. Soc. 50
A941), 15—25.
[3] Lie and Jordan Triple Systems, Amer. J. of Math. 71 A949), 149—170.
[41 Lie Algebras, N. Y., 1962. [Русский перевод: Алгебры Ли, «Мир», 1964.]
Донияхи X. А.
[1] Линейное представление свободного произведения циклических групп,
Уч. зап. ЛГУ 55 A940), 158—165.
Дуглас (Douglas J.)
[1] On finite groups with two independent generators, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA 37 (l'951). 604—610, 677—691, 749—760, 808—813.
Дьедонне (Dieudonne J.)
[1] On semi-simple Lie algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 4 A953), 931—932.
[2] Groupes de Lie et hyperalgebras de Lie sur un corps de Characteristique p >
> 0, (V) Bull. Soc. Math. France 84 A956), 207—239.
Д Ы H к и H E. Б.
[1] Вычисление коэффициентов в формуле Кэмпбелла — Ха\сдгрфа, ДАН
СССР 57 A947), 323—326.
Д э в и с М. (Davis М.)
[1] Computability and Unsolvability, N. Y., 1958, pp. 73—77.
Д Э и М. (Dehn М.)
[1] Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen, Math. Ann. 71 AИ1), 116—
144.
[2] Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flaechen, Math. Ann 72 A912),
413—421.
[31 Diebeiden Kleeblattschlingen, Math. Ann. 75 A914), 402—413.
[4] Uber einige neuere Forschungen in den Griindlagen der Geometric, Ma-
thematisk Tideskrift B, № 3—4, 1931.
[5] Die Gruppe der Abbildungsklassen, Acta Math. 69 A939), 135-206.
Зейферт и Трелфалл (Seifert Н. and Threlfall W.)
[1] Lehrbuch der Topologie, N. Y., 1947.
3 и г e л ь (Siegel С. L.)
ill S\mplectic Geometry, Amer. J. Math 65 A943), 1 — 86.
[2] Bemerkung zu einem Satz von Jakob Nielsen, Matemati^k liJ^ Krift В
A950), GO-70.

438 Литература
Истерфильд (Easterfield Т. Е.)
[1] The orders of products and commutators in prime power groups, Proc.
Cambridge Philos. Soc. 36 A938), 14—26.
И TO (I.to N.)
[1] Uber das Product von zwei abelschen Gruppen, Math. Z. 62 A955), 400—
401.
Калужнин Л. (Kaloujnine L.)
[1] Sur quelques proprietes des groupes d'automorphismes d'un groupe abst
raits, C. R. Acad. Sci., Paris 230 A949), 2067—2069.
[2] Sur quelques proprietes des groupes d'automorphismes d'un groups ab
strait. (Generalisation d'un theoreme de M. Ph. Hall) С R. Acad. Sci.
Paris, 231 A950), 400—402.
[3] Uber gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppe und ihren Automorphis
men, Ber. Math. Tagung., Berlin A953), 164—172.
Kappac иСолитэр (Karrass A. and Solitar D.)
[1J Some remarks on the infinite symmetric groups, Math. Z. 66 A956), 64—69,
[2] Note on a theorem of Schreier, Proc. Amer. Math. Soc. 8 A957), 696-
697.
[3] Subgroup theorems in the theory of groups given by defining relations, Comm
Pure and Appl. Math. 11 A958), 547—571.
[4] On free products, Proc. Amer. Math. Soc. 9 A958), 217—221.
[5] The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated sub
group, Trans. Amer. Math. Soc. 150, № 1 A970), 227—255.
[6] Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation. Can,
J. Math. 23, № 4 A971), 627—643.
Kappac, Магнус и Солитэр (Karras A., Magnus W. and Solitar D.
[1] Elements of finite order in groups with a single defining relation, Comm
Pure and Appl. Math. 13 A960), 57—66.
Картан и Эйленберг (Cartan Н. P. and Eilenberg S.)
[1] Homological Algebra, Princeton Univ. Press, 1956. [Русский перевод:
Гомологическая алгебра, ИЛ, 1960.]
Келлер (Keller О.)
[1] Eine Darstellung der Komposition endlicher Gruppen durch Streckenkomp-
lexe. Math. Ann. 128 A954), 177—199.
Клебш и Гордан (Clebshc A. and Gordan P.)
[1] Theorie der Abelschen Funktionen, Leipzig, 1866.
Клейн и Фрике (Klein F. and Fricke R.)
[1] Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Leipzig,
1890—1892 B volumes).
К о к с T e p (Coxeter H. S. M.)
[1] The abstract groups Z?'" = S'" = (R^S^fi = 1,5"^ == Г" = (S^TfPJ =1
and S'" = Г2 = (S-^TS^Tfi = 1, Proc. London Math. Soc. B) 41
A936), 278—301.
[2] Introduction to geometry, N. Y., 1961 [Русский перевод: Введение в
геометрию, «Наука», 1966.1
Кокстер и Мозер (Coxeter Н. S М. and Moser W О. J.)
[1] Generators and relations for discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete, New Series, № 14 A965)
К о H (Cohn P M.)
[1] A Theorem on the structure of tensor spaces. Annals of Math. B) 56 A952),
254—268
[2] Sur le critere de Friednchs pour les commutateurs dans une algebre
associative libre, С R Acad. Sci., Paris 239 A954), 743—745.
[3] A countably generated group wich cannot be covered by finite permutable
subsets, J. Lond. Math Soc 29 A954), 248—249
[4] On homomorphic images of special Jordan Algebras, Canadien, J. of Math.
6 A954), 253-264.

Литература 439
[5] А non-nilpotent lie ring satisfying the Engel condition and a non-nilpotent
Engel group, Proc. Cambridge Philos. Soc. 51 A955), 401—405.
Конторович П. Г.
[И Группы с базисом расш,епления 111, Матем. сб. 19 A946), 287—308.
[2] К теории некоммутативных гр>пп без кручения, ДАН СССР 59 A948),
213—216.
Кострикин А. и.
[1] Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5, Изв. АН
СССР, сер. матем. 19 A955), 233—244.
[2] О связи между периодическими группами и кольцами Ли, Изв. АН СССР,
сер. матем. 21 A957), 289—310.
[3] Кольца Ли, удовлетворяющие \словию Энгеля, Изв. АН СССР, сер
матем. 21 A957), 515—540.
[4] О проблеме Бернсайда, Изв. АН СССР, сер. матем. 23 A959), 3—34.
Кроуэлл и Фокс (Crowell R. Н. and Fox R. Н.)
[IJ Introduction to knot theoriy, Boston, New York, 1963. [Русский перевод:
Введение в теорию узлов, «Мир», 1967.]
К ) и (Kuhn Н. W.)
[1] Subgroup theorems for groups presented by generators and relations. Annals
of Math. 56 A952), 22—46.
К \ p 0 Ш A. Г. (Kurosh A.)
tH Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen, Math.
Ann. 109 A934), 647-660.
[2] Zum Zerlegunsproblem der Tbeorie der freien Produkte, Матем. сб. 2 A937),
995—1001.
[31 Теория групп, «Наука», 1967.
Кэмпбелл (Campbell Н. Е.)
[1] On а Law of combination of operators, Proc. Lond. Math. Soc. 29 A898),
14—32.
Л a 3 a p (Lazard M.)
[1] Sur les algebres enveloppantes universelles de certaines algebres de Lie,
С R. Acad. ScL, Paris 234 A952), 788—791.
[2] Sur les groupes analitiques dans les modules filtres, С R. Acad. Sci.,
Paris 235 A952). 1465—1467.
[3] Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie, Annales Sci. Ecole Normale
Superieure C) 71 A954), 101—190.
Л e в и (Levi F )
[1] IJber die Untergruppen der freien Gruppen, Math. Z. 32 A930), 315 —
318.
[2] (Jber die Untegruppen der freien Gruppen. II, Math. Z. 37 A933),
90—97.
[3] On the number of generators of a free product and a lemma of Alexander
Kurosh, J. Indian Math. Soc. 5 A941), 149—155.
[4] Groups in which the commutator operation satisfies certain conditions,
J. Indian Math. Soc. 6 A942), 87-92.
Леви..и Ван-дер-Варден (Levi F. and van der Waerden B.)
[1] Uber eine besondere Klasse von Gruppen, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ.
9 A933), 154—158.
Левин (Levin F.)
[1] Solutions of equations over groups, Bull. Amer. Math. Soc. 68 A962), 603—
604.
Л e H e p (Lehner J.)
[1] Discontinuous groups and automorphic functions, Amer. Math. Soc,
Providence, R. I., 1964.
Л e p e (Lera> J.)
[I] L'anneau spectral et Panneau filtre d'homologie d*un espace localement
compact et d-une application continue (chapter I, § 1), J. Math, pures et
appl. 29 A950), 10—14»

440 Литература
Л и н д о н (Lyndon R. С.)
[I] Cohomoiogy theory of groups with a single definining relation. Annals of
Math 52 A950), 650-665.
[2] Two notes on nilpotent groups, Proc. Amer. Math. Soc. 3 A952), 579—
583.
[3] On the Fouxe-Rabinovitch series for free groups, Portugal. Math. 12 A953),
115—118.
[4] On Burnside problem, Trans. Amer. Math. Soc. 77 A954), 202—215.
[5] Identities in finite algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 5 A954), 8—9.
[6] A theorem of Friederichs, Michigan Math. J. 3 A955), 27—29.
[7] Dependence and independence in free groups, J. reine u. angew. Math. 210
A962), 148—174.
[8] On Dehn's algorithm, Math. Ann. 166 A966), 208—228.
Л и П Ш у Ц (Lipschutz S.)
[I] Elements in 5-groups with trivial centralizers, Comm. Pure and Appl.
Math. 13 A960), 679-683.
[2] On a finite matrix representation of the braid groups, Archiev. d. Mcith.
12 A961), 7—12.
[3] On square roots in eight-groups, Comm. Pure and Appl. Math. 15 A962),
39—43.
Ma г H x.c (Magnus W.)
[IJ Uber diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation (Dcr
Freiheitssatz), J. reine u. angew Math. 163 A931), 141 — 165. ,
[2] Untersuchungen uber einige unendliche diskontinuierliche Gruppen, Math.
Ann. 105 A931), 52—74.
[3] Das Identitats problem fur Gruppen mit einer definierenden Relation,
Math. Ann. 106 A932), 295—307.
[4] Uber Automorphismen von Fundamental-gruppen berandeter Flachen,
Math. Ann. 109 A934), 617—646
[5] Uber n-dimensionale Gittertransformationen, Acta Math. 64 A934), 353—
367.
[6] Uber den Beweis des Hauptidealsatzes, J. reine u. angew. Math. 170 A934),
235—240.
17] Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring, Math.
Ann. Ill A935), 259—280.
[8] Uber Beziehungen zwischen hoheren Kommutatoren, J. reine u. angew Math.
177 A937), 105—115.
(9] Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen gegebener Gruppen,
Mpnatshefte fur Math, und Phys. 47 A939), 307—313.
[10] Uber Gruppen und zugeordnete Liesche Ringe, J. reine u. angew. Math.
182 A940), 142—149.
[II] A connection between the Baker — Hausdorff Formula and a Problem of
Burnside, Annals of Math. 52 A950), 111—126; 57 A953), 606.
[12] On the exponential solution of differential equations for a linear ooerator,
Comm. Pure and Appl, Math. 7 A954), 649—673.
M a к a H и H Г. С
[1] Проблема сопряженности в группе кос, ДАН СССР 182, Кя 3A968),
495-496.
[2] О нормализаторах в группах кос, Матем.*сб. 86 A971), 171 —179.
М а к г е н р и (МасНепгу Т.)
[1] The tensor product and the 2-nd nilpotent product of groups, Math. J. 73
A960), 134—145.
Макдон альд (MacDonald I. D.)
[1] On certain varieties of groups. I, Math. Z. 76 A960), 270—282.
[2] On certain varieties of groups. II, Math. Z. 78 A962), 175—182.
M a к л e Й H (MacLane S.)
[I ] Cohomoiogy theory in abstract groups. Ill, Ann. of Math. 50 A949), 736—76K
[2] Duality for groups. Bull. Amer. Math. Soc. 56 A950), 485—516.

Литература 441
[3] А proof of the subgroup theorem for free products, Mathematica 5 A958),
13—19.
Маклейн и Эйленберг (MacLane S. and Eilenberg S )
[11 Cohomology theory in abstract groups, I, Annals of Math. 48 A947), 51—78.
[2] Cohomology theory in abstract groups. II. Group extensions with a non Abe-
lian kernel. Annals of Math. 48 A947), 326—341.
Макул и Петровский (McCool J. and Pietrowski A )
[1] On a conjecture of W. Magnus, Studies in Logic and the Found, of Math.
71. A973), 453—456.
Мальцев A. И.
[1] Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами, Матем.
сб. 4 A940), 405—422.
[2] Нильпотентные группы без кручения. Изв. АН СССР, сер. матем. 13
A949), 201—212.
[3] Алгоритмы и рекурсивные функции, «Наука», 1965.
р к о
[1] И(
Исследования по алгебраической теории кос, Тр. МИАН СССР 16
A945), 1—53.
[2] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем,
ДАН СССР 55, 587—590.
М а у л е р (Mauler Н.)
[1] Eine Darstellung fur Identitaten zwischen den Kommutatoren eines Ringes,
Math. Ann. 126 A953), 410—417.
Машке (Maschke H.)
[1] The representation of finite groups, especially of the rotation groups of the
regular bodies of three and four dimensional space, by Cayley's color
diagrams, Amer. J. Math. 18 A896), 156—194.
M e Й e p - В у H Д e p л и (Meier-Wunderli H.)
[1 ] Cber die Gruppen mit der identischen Relation (%, x^, ..., Xf^ = (x^, л:^, ...
• ••^Xn, x^), Vierteljahrschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich 94
A949), 211—218.
[2] (Jber endliche p-Gruppen, deren Elemente der Gleichung x^ — 1 genugen,
Comm. Math. Helv. 24 A950), 18—45.
C] Note on a basis of P. Hall for the higher commutators in free groups, Comm.
Math. Helv. 26 A952), 1—5.
M 0 p a H (Moran S.)
[1] Associatives operators in groups. I, Proc. London Math. Soc. 8 A956), 581—
596.
[2] Duals of a verbal subgroup, J. London Math. Soc. 33 A958), 220—236.
[3] The homomorphic image of the intersection of a verbal subgroup and the
cartesian subgroup of a free product, J. London Math. Soc. 33 A958), 237.
[4] Associative operations in groups. II, Proc. London Math Soc. C) 8 A958),
548—568.
[5] Associative operations in groups. Ill, Proc. London Math. Soc. C)9A959),
287—317.
[6] Associative regular operations on groups corresponding to a property P,
Proc. Amer. Math. Soc. 10 A959), 796—799.
Мурасуги (Murasugi K.)
[1] The center of a group with a single defining relation. Math. Ann.155 A964),
246—251.
Нейман Б. (Neumann В. Н.)
[1] Die Automorphismengruppe der freien Gruppen, Math. Ann. 107 A932),
367—386.
[2] Groups whose elements have bounded orders, J.London Math. Soc. 12 A937),
195—198.
[3] Identical relations in groups. I, Math. Ann. 114 A937), 506—525.
[4] On the number of generators of a free product, J. London Math. boc. I >
A943), 12-20.

442 Литература
[5] Adjunction of elements to groups, J. London Math. Soc. 18 A943), 4—11.
16] On ordered groups, Amer. J. of Math. 71 A949), 1—18.
17] On ordered division rings, Trans. Amer. Math. Soc. 66 A949), 202—252.
|8] A two-generator group isomorphic to a proper factor group, J. London Math.
Soc. 25 A950), 247—248.
[9] A note on algebraically closed groups, J. London Math. Soc. 27A952), 227—
242.
110] On a problem of Hopf, J. London Math. Soc. 28 A953), 351—353.
Ill] A note on means in groups, J. London Math. Soc. 28 A953), 472—476.
[12] An essay on free products of groups with amalgamations, Phil. Trans.
Royal Soc. of London № 919, 246 A954), 503—554, June 15, 1954.
[13] An embedding theorem for algebraic systems, Proc. London Math. Soc. 4
A954), 138—153.
[14] Groups covered by finitely many cosets, Publicationes Mathematical 3
A954), 227—242.
[15] Groups with finite classes of conjugate subgroups. Math. Z. 63 A955),76—
96.
[16] On a conjecture of Hanna Neumann, Proc. Glasgow Math. Assoc. 3 A956),
13—17.
[17] Embedding theorems for ordered groups, J. London Math. Soc. 35 (I960),
503—512.
[18] On a theorem of Auslander and Lyndon, Archiv d. Math. 13 A962), 4—9.
Нейман Б. и Нейман X. (Neumann В. Н. and Neumann И.)
[1] А remark on generalized free products, J. London Math. Soc. 25 A9t0),
202—204.
[2] Partial endomorphisms of finite groups, J. London Math. Soc. 29 A954),
434—440.
[3] Zwei Klassen Characteristischer Untergruppen und ihrer Faktorgruppen,
Math. Nach. 4 A951), 106—125.
[4] Embedding theorems for groups, J. London Math. Soc. 34 A959), 465—
479.
Нейман Б.,Нейман X. и Нейман П. (Neumann В. Н., Neumann Н.
and Neumann P. М.)
[I] Wreath products and varieties of groups. Math. Z. 80 A962), 44—62.
Нейман П. (Neumann P. M.)
[I] Some indecomposable varieties of groups. Quart. J. Math. (Oxford, 2-nd
Series) 14 A963), 46—50.
Нейман X. (Neumann H.)
[1] Generalized free products with amalgamated subgroups, Amer. J. Math.
70 A948), 590—625.
[2] Generalized free products with amalgamated subgroups, Amer. J. Math,
71 A949), 491—540.
[3] Generalized free sums of cyclical groups, Amer. J. Math. 72 A950), 671—
685.
[4] On varieties of groups and their associated near rings, Math. Z. 65 A956).
36—39.
[5] On the intersection of finitely generated free groups, Publ. Math.
Debrecen 4 A956), 186—189.
[6] On a theorem of Auslander and Lyndon, Archiv d. Math. 13 A962), 1—13.
Нильсен (Nielsen J).
[1] Die Isomorphismen der allgemeinen undendlichen Gruppe mit zwei Erzeu-
genden. Math. Ann. 78 A918), 385—397.
[2] Om Regning med ikke-kommutative Faktoren og dens Anvendelse i Gruppe-
teorien, Matematisk Tidskrift В A921), 77—94.
[3] Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen, Math. Ann. 91 A924), 169—
209.
[4] Die Gruppe der dreidimensionalen Gittertransformationen, Kgl. DansKo
Videnskabernes Selskab., Math. Fys. Meddelelser V 12 A924), 1—29.

Литература 443
[5] Uber topologische Abbildungen geschlossener Flachen, Abh. Math. Sem.
Hamburg. Univ. 3 A924), 246—260.
[6] Untersuchungen zur Topologle der geschlossenen zweiseitigen Flachen 1—
HI, Acta Math. 60 A927), 189—358; 53 A929), 1—76; 58 A931), 87—167.
[7] A basis for subgroups of free groups, Math. Scand. 3 A955), 31—43.
Новиков П. С.
[1] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества, ДАН СССР
85 A952), 709—772.
[2] Неразрешимость проблемы сопряженности в теории групп. Изв. АН СССР,
сер. матем. 18 A954), 485—524.
[3] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории
групп, Тр. МИАН СССР 44 A955), 3—143.
[4] О периодических группах, ДАН СССР, 127 A959), 749—752.
Новиков П. С. и Адян СИ.
[1] О бесконечных периодических группах, Изв. АН СССР, сер. матем. 32
A968), № 1, 212—244; № 2, 251—523; № 3, 709—731.
[2] Проблема тождества для полугрупп с односторонним сокраш.ением,
Zeitschrift fur Mathem. Logik und Grundlagen der Math. 4, № 1 A958).
Ньюмен иУайтхэд (Newman M. H. A. and Whitehead J. H. C.)
[1] On the group of a certain linkage, Quart J. Math. 8 A937), 14—21.
Ньюмен Б. (Newman В. В.)
[1] Some results on one-relator groups. Bull. Amer. Math. Soc. 74. N2 3 A968),
568—571.
Оутс иПауэлл (Oates S. and Pawell M. B.)
[1] Identical relations in finite groups, J. of Algebra 1 A-964), 11—39.
Петреско (Petresco J.)
[Г] Sur les commutateurs, Math. Z. 61 A955), 348—356.
Понтрягин Л. С.
[I] Непрерывные группы, «Наука», 1973.
Пост (Post Е. L.)
A] Recursively enumerable sets of positive integers and their decision problems,
Bull Amer. Math. Soc. 50 A944), 284—316.
[2] Recursive unsolvability of a problem of Thue, J. Sumbolic Logic 12 A947),
1—11
P a б и H (Rabin M. O.)
[1] Recursive unsolvability of group theoretic problems, Annals of Math. 67
A958), 172—194.
P a д e M a X e p (Rademacher H.)
[1] Uber die Erzeugenden von Kongruenzuntegruppen der Modulgruppe, Abh.
Math. Sem., Hamburg Univ. 7 A929), 134—148.
P a Й H e p (Reiner I.)
[1] Sumplectic modular complements, Trans. Amer. Math. Soc. 77 A954), 498—
505.
[2] Maximal sets of involutions, Trans. Amer. Math. Soc. 79 A955), 459—476.
[3] Automorphisms of the modular group, Trans. Amer. Math. Soc. 80 A955),
35—50.
PananopT (Rapaport E.)
[1] On free groups and their automorphisms, Acta Math. 99 A958), 139—163.
[2] Note on Nielsen transformations, Proc. Amer. Math. Soc. 10. № 2 A959),
228—235.
Рейдемейстер (Reidemeister K.)
[I] Einfuhrung in die kombinatorische Topologie, Braunschweig, 1932.
[2] Knotentheorie Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, v. 1,
№ 1, Berlin, 1932.
[31 Homotopiegruppen von Komplexen, Abh. Math. Sem , Hamburg Univ.
10A934), 211—215.
[4] Complexes and homotopy chains, Bull. Amer. Math. Soc. 56 A930), 297—
307.

444 Литература
Р и (Ree R.)
[1] Commutator groups of free products of torsion free Abelian groups,
Annals of Math. 66 A957), 380—394.
Санов И. H.
[1] Решение проблемы Бернсайда для показателя 4, Уч. зап. ЛГУ 55 A940),
166—170.
[2] О некоторой системе соотношений в периодических группах с периодом —
степенью простого числа, Изв. АН СССР, сер. матем. 15 A951), 477—502.
[3] Установление связи между периодическими группами с периодом —
простым числом и кольцами Ли, Изв. АН СССР, сер. матем. 16 A952),
23—58.
Семинар «Софус Ли», Теория алгебр Ли, Париж, 1955.
Скотт (Skott W. R.)
[1] On infinite groups, Pacific J. Math. 8 A955), 589—598.
С и H к о в А. (Sinkov А.)
[1] The groups determined by S^'== Г^ = (8-^Т~^8Т)Р = 1, Duke Math.
J. 2 A936), 74-83.
Стендер П. В.
[1] О применении метода решета к решению проблемы тождества для
некоторых групп со счетным множеством порождаюи;их элементов и счетным
множеством определяюш^их соотношений, Матем. сб. 32 A953), 97—107.
С т р ё й к (Struik R. R.)
[1] On associative products of groups, Trans. Amer. Math. Soc. 81 A956), 425—
452.
121 On verbal products of groups, J. London Math. Soc. 34, A959), 397—400.
Такахаси (Takahasi M.)
A) Bemerkungen uber den Untergruppensatz in freien Produkten, Proc. Akad.
Tokyo 20 A944), 589—594.
[21 Note on a word subgroups in free product subgroups, J. Inst. Polvtech ,
Osal<a City Univ., Ser. A. Math. 2 A951) 13—18.
[3] Note on chain conditions in free groups, Osaka Math. J. 3 A951), 221 —
225.
Тартаковский В. A.
Ill Метод решета в теории гр^^пп, MaTCAi. сб. 25 A949), 3—50.
[21 Применение метода реше1а к решению проблемы тождества в некоторых
типах групп, Матем. сб. 25 A949), 251—274.
|3| Решение проблемы тождества для гр\ппы с А'-сократимым балисом при
^ > 6, Изв. АН СССР, сер. матем. 13 A949), 483—494.
Т и ц е ..(Tietze Н.)
|1| Uber die topologischen invarianten mehrdimxcnsionalen Mannigfalti'^koi-
tcn, Monatsh. f. Math, und Physik 19 A908), 1 — 118.
Торрес и Фокс (Torres G. and Fox R. И.)
[1] Dual presentation of the group of a Knot, Annals of Math. 59 A954), 2' 1 —
218.
T p e л л (Thrall R. M.)
fl] On symmetrized Kronecl^cr powers and the structure of the free Lie ' ii'^,
Amer. J. Math. 64 A942), 371—388.
Трелфалл (Threlfall \V.)
[I] Gruppenbilder, Abh. Math. Phys. Kl. Saechs. Akad. W iss. 41. ЛЬ 6 (У'\'),
1—54.
Тьюринг (Turing A. M.)
[1] On computable numbers, Proc. London Math. Soc, ser. 2, 42 A936—P"),
230—265.
[2] The word problem in semi-groups with cancellation, Ann. of Math. 52 A930),
491—505.
У a Й T X Э д (Whitehead J. H С )
[1] On certain sets of elements in a free group, Proc. London Math. Soc. 41
A936), 48—56.

Литература 445
[2] On Equivalent sets of elements in a free group, Annals of Math. 37 A93G),
782—800.
Фальк (Falk G.)
[1] Uber Ringe mit Poisson Klammern, Math. Ann. 123 A951), 379—391.
Федерер и Йонсон (Federer Н. and Jonsson В.)
[1] Some properties of free groups, Trans. Amer. Math. Soc. 68 A950), 1—27.
Ф e p (Fer F.)
[1] Resolution de Tequation matricielle --тг—= pU par produit infini d'ex-
ponentielles matricielles, Acad. Roy . Belg. Bull. CI. Sci E) 44 A958), 818—
829.
Финкельштейн (Finkelstein D.)
[1] On relations between commutators, Comm. Pure and Appl. Math. 8 A955),
245—250.
Фокс (Fox R. H.)
[1] Free differential calculus, I, Annals of Math. 57 A953), 547—560.
[2] Free differential calculus, II. Annals of Math. 59 A954), 196—210.
Форд (Ford L. R.)
[1] Automorphic functions, N. Y., 1951.
Ф p a Ш (Frasch H.)
[1] Die Erzeugenden der Hauptkongruenz Gruppen fur Primzahlstufen, Math.
Ann. 108 A933), 229—252.
Фредерик (Frederick K.)
[1] Hopfian property of a class of fundamental groups, Comm. Pure and Appl.
Math. 16 A963), 1—8.
Ф p ё л И. X (Frohlich W.)
(IJ Uber ein spezielles transformations-problem bei einer besonderen Klasse
von Zopfen, Monatshefte f. Math. u. Phys. 44 A936), 225—237.
Фридрихе (Friederichs K. O.)
[1] Mathematical aspects of the quantum theory of fields, part V, Comm. Pure
and Appl. Math. 6 A953), 1—72.
Ф p и к e и Клейн (Fricke R. und. Klein F.)
[1] Vorlesungen iiber die Theorie der Automorphen Funktionen, v. I, Leipzig,
1897.
Ф у ж и в a p a (Fujivara I.)
[1] On the evaluation of the operator function log (еУе^), Progress of
Theoretical Physics 9, № 6 A953), 976.
Фукс-Рабинович Д. И.
[I] On the determinators of an operator of the free groups, Матем. сб. 7 A940),
197—208.
[2] Об однохМ представлении свободной группы. Уч. зап ЛГУ 55 A940),
154—157.
[3] О непростоте локально свободной группы, Матем. сб. 7 A940), 327—
328.
X а к е н (Накеп Н.)
[1] Zum Identitatsproblem bei Gruppen, Math. Z. 56 A952), 335—362.
Харди и Райт (Hardy G. H. and E. M. Wright).
[1] An introduction to the theory of number, Oxford, 1954.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
[1] Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie, Berichte der
Sachsischen Akademie der Wissenschaften (Nath. Phys. Klasse), Leipzig
58 A906), 19—48.
X a у с 0 H (Howson A. G.)
[1] On the intersection of finitely generated free groups, J. London Math.
Soc. 29 A954), 428—434.
X и г г и H с (Higgins P. J.)
[1] Lie rings satisfying die Engel condition, Proc. Cambridge Philos. Soc.
50 A954), 8—15.

446 Литература
Хиггинс иЛиндон (Higgins Р. J. and Lyndon R. С.)
[1] Equivaience of elements under automorphism of a free group, Mimeograp»
hed notes, Queen Mary College, London, 1962.
X и г M 9 H (Higman G.)
11] The units of group-rings, Proc. London Math. Soc. 46 A940), 231 —
248.
[2] A finitely generated infinite simple group, J. London, Math. Soc. 26 A951),
61—64.
[3] Almost free groups, Proc. London Math. Soc. 1 A951), 284—290.
[4] A finitely related group with an isomorphic proper factor group, J. London
Math. Soc. 26 A951), 59—61.
15] Unrestricted free products and variaties of topological groups, J. London
Math. Soc. 27 A952), 73—81.
[6] On a problem of Takahasi, J. London Math. Soc. 28 A953), 250—252.
[7] On finite groups of exponent 5, Proc. Cambridge Philos. Soc. 52 A956),
381—390.
18] Some remarks on varieties of groups, Quart. J. Math. (Oxford ser.) 10
A959), 165—178.
[9] Subgroups of finitely presented groups, Proc. Roy. Soc. 262. № 1311 A961),
455—475.
Хигмэн и Крое (Higman G. and Cross D. С.)
[1] Identical relations in finite groups, Attidel Convegno silla teoria del gruppi
finiti, Firenze, I960, 92—100.
*Хигмэн, Нейман Б. и Нейман X. (Higman G., Neumann В. Н. and
Neumann Н.)
[I]'Embedding theorems for groups, J. London Math. Soc. 24, A949), 247—
254.
Хигмэн и Нейман Б. (Higman G. and Neumann B. H.)
[11 On two questions of ltd, J. London Math. Soc. 29 A954), 84—88.
Хигмэн и Стон (Higman G. and Stone A. Н.)
[1] On inverse systems with trivial limits, J. London Math. Soc. 29 A954).
233—236.
Холл M. (Hall M.)
[1] Subgroups of finite index in free groups, Canadien J. Math. 1 A949), 187—
190.
[2] Coset representations in free groups. Trans. Amer. Math. Soc. 67 A949),
421—432.
[3] A topology for free groups and related groups. Annals of Math. 52 A950),
127—139.
[4] A basis for free Lie rings and higher commutators and in free groups, Proc.
Amer, Math. Soc. 1 A950), 575—581.
[5] A combinatorial problem on Abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc. 3
A952), 584—587.
[6] Subgroups of free products, Pacific J. Math. 3 A953), 115—120.
[7] Solution of the Burnside problem for exponent 6, Proc. Nat. Acad. Sci.
43 A957), 751—573.
[8] Solution of the burnside problem for exponent six, Illinois J. of Math. 2,
№ 4B A958), 764—786.
19] The theory of groups, N. Y., 1959. [Русский перевод: Теория групп, ИЛ,
1962.]
Холл М. и Радо (Hall М. and Rado Т.)
[I] Free groups, Trans. Amer. Math. Soc. 64 A948), 386—408.
Холл Ф. (Hall P.)
[1] A contribution to the theory of groups of prime power order, Proc. London
Math. Soc B) 36 A933), 29—95.
12] The splitting properites of relatively free groups, Proc. London Math. Soc.
C) 4 A954), 343—356.
[3] Some word problems, J. London Math. Soc. 33 A958), 482—496.

Литература 447
[4] Some sufficient conditions for a group to be Nilponent, Illinois J. Math.
2 A958), 787—801.
[5] The Frattini subgroups of finitely generated groups, Proc. London Math.
Soc. C) 11 A961), 327—352.
Холл Ф. и Хигмэн (Hall P. and Higman G.)
[1] On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's
problem, Proc. London Math. So. C) 6, № 21 A956), 1—42.
X о П d) (Hopf H.)
HI Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment. Math. Helv.
14..A941), 257—309.
[2] Uber die Bettischen Gruppen, die zu einer beliebigen Gruppe gehoren,
Comment. Math. Helv. 17 A949), 39—79.
X у (Hu S. T.)
11 ] Homotopy theory, New York and London, 1959.
X>a HPaiiHep (Hua L. K. and Reiner L)
[1] On the generators of the symplectic modular groups, Trans. Amer. Math.
Soc. 65 A949), 415—426.
[2] Automorphisms of the unimodular group. Trans. Amer. Math. Soc. 71 A951),
331—348.
[3] Automorphisms of the projective unimodular group, Trans. Amer. Math.
Soc. 72 A952), 467—473.
Ц a с с ей X a у 3 (Zassenhaus Н.)
[1] Uber Liesche Ringe mit Primzahlcharakteristic, Abh. Math. Sem. Han-
sischen Univ. 13 A939), 1—100.
[2] A theorem of Friedrichs, Trans. Royal Soc. Canada 51 A957), 55—64.
Чей (Chem K. T.)
[1] Integration in free groups, Annals of Math. 54 A951), 147—162.
[2] Commutator calculus and link invariants, Proc. Amer. Math. Soc. 3 A952),
44—55.
C] A group ring method for finitely generated groups, Trans. Amer. Math.
Soc, 76 A954), 275—287.
[4] Iterated integrals and exponential homomorphisms, Proc. London Math.
Soc. C) 4 A954), 502—512.
Черников С. Н.
[1] Полные группы, обладающие возрастающим центральным рядом, Матем.
сб. 18 A946), 397—422.
Чжоу (ChowW. L.),
[1] On the algebraical braid group, Annals of Math. B) 49 A948), 654—658.
Ш e в a л e (Chevalley C.)
[1] Fundamental concepts of algebra, N. Y., 1956.
Ш e H H Ц e p (Shenitzer A.)
[1] Decomposition of a group with a single defining relation into a free
product, Proc. Amer. Math. Soc. 6 A955), 273—279.
Шик (Schick H.)
[1] Bemerkung uber eine Relation in freien Gruppen, Math. Ann. 126 A953),
375—376.
[2] Gruppen mit Relationen л^ == 1, (xy)^ = 1, Archiv d. Math. 6 A955), 341 —
347.
13] Gruppen mit Relationen (abc)^ = e, Math. Nachr. 13. Heft. 3/4 A955),
247—256.
[4] Aehnlichkeitsanalyse von Gruppenrelationen, Acta, Math. 96 A965), 157—
251.
[5] Adjunktionsproblem und inkompressible Relationen, Math. Ann. 146
A962), 314—320.
[6] Das Adjunktionproblem der Gruppentheorie, Math. Ann. 147 A962), 158—
165.
Ширшов A. И.
[1] Подалгебры свободных лиевых алгебр, Матем. сб. 33 A953), 441 — 462.

448 Литература
[2] Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных
алгебр, Матем. сб. 34 A954), 81—88.
Ш м е л ь к и н А. Л.
[1] Полугруппа многообразий групп, ДАН СССР 149 A963), 543—545.
Ш п е X т (Specht W.)
[1] Die linearen Beziehungen zwischen hoeheren Kommutatoren, Math. Zeit-
schrift 51 A948), 367—403.
[2] Gruppentheorie, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1956.
Ш p e Й e p O. (Schreier O.)
[1] Die Untergruppen der freien Gruppen, Abh. Math. Sem , Hamburg Univ.
5 A927), 161—183.
Шуман (Schumann H. G.)
[1] Uber Modulen und Gruppenbilder, Math. Ann. 114 A937), 385—413.
Ш у П П (Schupp P. E.)
[1] On Dehn's algorithms and the conjugation problem, Math. Ann. 178 A968),
119—130.
Э к M a H (Eckmann B.)
[1] Der cohomologie ring einer beliebigen Gruppe, Comment. Math. Helv. 18
A945), 232—282.

449
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
Если для приводимого обозначения здесь не дается полного
определения, то указывается номер страницы, где соответствующее
определение можно найти.
Ao{R, г) -стр. 312.
Ло (/?, оо), А {R, г) —стр. 314.
А X В — прямое произведение групп А я В.
А •? В —свободное произведение групп А и В; стр. 190.
а^ = b~^ab — элемент сопряжений с а посредством Ь.
В (е, г) — группа Бернсайда показателя е и ранга г;
стр. 390.
С — поле комплексных чисел.
НОД — наибольший общий делитель.
Ер W—определение 5.10, стр. 391.
Р (§*)> Р (^^) -— свободный множитель, содержащий g, W;
стр. 191.
F^i — свободная группа с п образующими; стр. 41.
Q(n)— д.я производная группа группы G; стр. 305,
G^ — П'Я подгруппа нижнего центрального ряда группы G;
стр. 305.
G^ — поле Галуа порядка q,
JG — групповое кольцо (алгебра) группы G над кольцом целых
чисел; стр. 404.
L (W) — длина слова W; стр. 12.
Q — поле рациональных чисел.
R -— произвольная область целостности.
Ti, Гз, Тз, 7^4 — преобразования Тице, стр. 57.
X — базисный идеал; определение 5.5, стр. 314.

450 Список обозначений и сокращений
Z — кольцо целых чисел.
а, Р, 7 — типы образующих, типы представителей; стр. 238.
р'' — расположение скобок веса п\ определение 5 1,
стр. 301.
Р^ (Л^, ..., Л J — коммутатор веса п от компонент Лх,..., А,,
(подгруппа); определение 5.3, стр. 302.
Р"^ (%, ..., aj — коммутатор веса п от компонент а^, ..., а^
(элемент); определение 5.2, стр 302.
PM5i> ..., У-стр. 348.
б-образующий — а-, Р- или 7-образ>ющий; стр, 238.
б-представитель — а-, р- или у-представитель; стр. 238.
б (U^) — отклонение слова W\ определение 5.6, стр. 324.
бЛ^^)—стр. 351.
Ло(/?, г) —стр. 313.
Ao(i?, со), k{R, г)~~стр. 315.
\{Щ — слоговая длина слова W\ стр. 192.
|х -— стандартное отображение Ло в А^\ лемма 5.5, стр. 329.
jLi (d)—функция Мёбиуса; стр. 341.
р (W)—несократимая форма для W\ в свободной группе-—стр 42,
в свободном произведении — стр. 193, в свободном произведении с
объединенной подгруппой — стр. 212.
2„ — симметрическая группа (подстановок) из п символов.
а (W^) — циклически несократимая форма для W\ в
свободной группе — стр, 44, в свободном произведении — стр. 200,
201.
т — переписывающий процесс; стр. 92, 97, 236, 240.
^Ikm — стр. 369.
1 — единичный элемент группы; пустое слово, стр. 13
* (Л, S, Я, К\ ф) — свободное произведение групп Л и^б с
подгруппами Я из Л и /С из 5, объединенными относительно
изоморфизма ф групп И и /С; стр. 217.
*\J7 — нейтральный представитель для W\ стр. 238.
^—эквивалентность; стр. 21.
^^ — равенство в свободной группе; стр 42.
^ — изоморфизм.
<> — «коммутирует с»; стр. 172.
{ } — оператор «фигурные скобки»; определение 5 8,
стр. 372.

Список обозначений и сокращений 451
(а, Ь) = a—^b-^ab — коммутатор элементов а и Ь; стр. 301.
iSi> -.м g-^)—простой коммутатор элементов g^i, g^y ..., g^\
стр. 306.
[и, v] = uv — vu — «скобочное умножение» элементов unv
ассоциативной алгебры; стр. 318.
{W) — класс всех слов, эквивалентных слову W (класс
эквивалентности для W); стр. 21.
(Цц -м Лм) — простое произведение элементов tji, ..., ц^ алгебры
Ли; стр. 370,
^ — конец доказательства*

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 9
Автоморфизм свободный 179
— собственный 186
Автоморфные модулярные группы
189
Алгебра Ли 315
градуированная 400
Аппрокси-мируемость (остаточное
свойство) 425
Ассоциативная алгебра 312
свободно порожденная 312
ранга г 312
Ассоциированные примитивные
элементы 175
/4-модуль 163
Базисный идеал 314
— элемент Ли 334
Вербальная подгруппа 80
Вербальное произведение 423
Вершина графа 66
Вполне инвариантная подгруппа 80
— неразложимая группа 260
— отмеченная подгруппа 120
— регулярное произведение 422
— характеристическая подгруппа 80
Выводимость из слов 15
соотношений 15
Градуированная алгебра 400
Граф 63, 64
— группы 63, 64
— связный 68
— сингулярный 66
Группа 9
— абелева (= коммутативная) 9
— Бернсайда 88
— Бетти 403
— вполне неразложимая 260
— диэдра 19
-~ кватернионов 18
— класса < l/k 409
— классов эквивалентности 22
Группа Клейна четверная 11
— конечно определенная 16
порожденная 16
— кос 34, 182
— критическая 429
— локально бесконечная 415
— неразложимая 206
— нехопфовй 117
— нильпотентная 305
класса п 360
— полинильпотентная 429
— полициклическая 430
— полная 414
— приведенная свободная 80
— производная 305
— расширенная симметрическая 173
— решеточных преобразований 177
— свободная 27
абелева 84
— сильно неразложимая 236
— симметрическая 173
— симплектическая 187, 188
— степенная 83
— унимодулярная 47
— финитно аппроксимируемая 121
— хопфова 117
— цветная 64
— циклическая 10
Групповая диаграмма 62
Групповое кольцо 368
Декартова подгруппа 203
Дефект одночлена 331
Диаграмма групповая 62
~ Кэли 64
Дифференцирование в JG 404
— Хаусдорфа 385
Длина полинильпотентной группы 429
— слова 12
— смежного класса 99
Дэн, фхндаментальные проблемы 32
Единица группы (нейтральный эле-»
мент) 9

предметный указатель
453
Единичное слово 14
Естественный изоморфизм 422
Замкнутая подгруппа 430
Замкн\тьп п>ть 67
Идеап А юксандера 166
— базисный 314
Изолированное начало слова PQ
Изоморфизм графов 64
— естественный 422
— свободный 180
Именованная матрица суммы
показателей 150
Инвариант Ли 367
Инвариантный множитель 166
Каноническая форма элемента 34, 35
Класс нильпотентности 360
— эквивалентности 21
Кольцо групповое 368
Коммутант 79
Коммутатор простой 85
— веса п 302
— д-кратный 306
Коммутаторно-степеннбе
произведение 353
Коммутаторные тождества 304
Компоненты коммутатора 302
Конец пути 66
— ребра 66
— слова 130
Конечная (= финитная)
аппроксимируемость 425
Конечно определенное представление
16
— определенный модуль 163
— порожденное представление 16
Корень 413
Корневое свойство 428
Коэффициент кручения 156
Левая половина слова 130
/-е разрешимое произведение 424
L-полинОхМ 164
Матрица соотношений модуля 166
Метабелево многообразие 417
Минимальная шрейеровская система
100
Младшее начало 130
Младший конец 130
Многообразие групп 85, 417
— неразложимое 421
— нильпотентное 420
— с конечным базисом (= конечно
базируемое) 418
Множество определяющих
соотношений 15, 16
Множество примитивных элементов
свободной группы 114
Модуль соотношения 364
— энгелев 387
Монотонный ред\кционный процесс
408
Начало пути 66
— ребра 66
— слова 96, 129
изолированное 129
— — младшее 130
— — старшее 130
Нейтральный представитель 238
Неразложимая группа 206
Неразложимое многообразие 421
Несократимая последовательность
192
— форма в свободном произведении
193
Несократимое слово 42
Несократимый путь 67
Нильпотентная группа 305
Нильпотентное произведение 423
?1ормальная подгруппа (=
нормальный делитель = инвариантная
подгруппа) 77
Л'-последовательность 401
Обобщенная проблема слов (=
проблема вхождения) 285
Образующие свободные 41, 42
Образующий (= порождающий)
символ 14
— элемент 14
Обратное слово 13
Обратный путь 67
Однородная компонента 312
Однородный член 312
Оператор «фигурные скобки» 372
Определяющее слово 14
— соотношение 16
Ориентация и раскраска графа 68
Ориентированный граф 63, 66
Остаточное свойство (=
аппроксимируемость) 425
Отклонение 324
Отмеченная подгруппа 120
Переписывающий процесс 92
Куроша 240
Рейдемейстера 97
— — Рейдемейстера — Шрейера 99
По .группа 78
— вербальная 80
— вполне инвариантная 80
— — отмеченная 120
— — характерист!1ческая 80

454
Предметный указатель
Подгруппа декартова 203
— инвариантная (» нормальная) 77
— степенная 83
— характеристическая 80
Подгрупповая топология 398
Подстановка в формальный
степенной ряд 321
— на образующих 137
— свободная 127
Показатель абелевой группы 84
— В (е, г) 390
Покрытие пути 69
Полинильпотентная группа 429
Полином Александера 158
— узла 168
^Полное множество единичных слов
17
Порождающий символ 14
— элемент 14
Правая половина слова 130
Представитель смежного класса 95
Представление группы 15
— конечно определенное 16
порожденное 16
— предабелево 159
Представляющая функция 94
Преобразование Нильсена 132
— решеточное 177
— Тице 56
элементарное 57
Приведенная свободная группа 80
Приведенное слово 48
Примитивный элемент 114, 127
Проблема Бернсайда 290
ограниченная 290
— вложения 415
— вхождения (= обобщенная
проблема слов) 140
— изоморфизма 32
— присоединения 414
-- слов 32
— сопряженности 32
Проблемы алгоритмические (Дэна) 32
Произведение групп 421
— — вполне регулярное 422
прямое 29, 421
разрешимое 425
регулярное 422
свободное 190
с объединенной подгруппой
217
— путей 66
— скобочное 318
Производная группа 305
— Хаусдорфа 385
Простое произведение элементов 370
Простой коммутатор 85
п-кратный 306
Псевдосложение 348
Псевдоумножение 348
Пустое слово 13
Пустой путь 66
Путь 66
— замкнутый 67
— несократимый 67
Я-группа 258
Равенство в свободной группе 42
Ранг 290
— преобразования Нильсена 132
— приведенной свободной группы
80
— свободной абелевой группы 84
Разрешимое произведение 425
Раскраска графа 68
— регулярная 69
Расположение скобок веса п 301
Расширенная симметрическая группа
173
— шрейеровская система 243
Ребро графа 63, 66
Регулярная расширенная ujpeftepoB-i
екая система 248
Регулярное произведение 422
Ретракт 87, 148
Ретрактный гомоморфизм 87
Решеточное преобразование 17
^-алгебра 311
р-процесс 42
Свободная абелева группа 84
— алгебра Ли 313
~ ассоциативная алгебра 312
— группа 27
— подстановка 127
Свободное дифференциальное
исчисление 403
— произведение 190
с объединенной подгруппой
217
циклических групп 47
— равенство (=« равенство в
свободной группе) 42
Свободные образующие (=
порождающие) 41, 42
Свободный автоморфизм 179
— изоморфизм 180
— множитель 118, 190
Симметризованное множество
определяющих слов 409
Симметрическая группа 173
расширенная 173
Сймплектическая группа 187, 188
Сингулярный граф 66
Система представителей 88
Скобочное произведение 318

Предметный указатель
455
Слово 12
— несократимое 42
— обратное 13
— приведенное 48
— пустое 13
— тривиальное 14
— циклически несократимое 42
приведенное 48
Слог 192
Слоговая длина слова 86, 192
элемента 192
Смежный класс 78
Собственный автоморфизм 186
Соотношение 14
— определяющее 16
Стандартный базисный элемент Ли
345
Старшее начало 129
Старший конец 130
Ствол полинома 166
Степенная подгруппа 83
Суммарная длина 132
о-процесс 44
Тензорное произведение 373
Теорема Биркгофа — Витта 343
— Грушко — Неймана 202
— Дьшкина ¦— Шпехта — Вефера 372
— Калужнина 403
— Кострикина 397
— Куроша 253
— Леви ИЗ
— о свободе 262
— о сопряженности 272
— Санова 395
— Такахаси 114
— ТеР1лора 385
ъ JG 405
— Фридрихса 373
— М. Холла 396
— Ф. Холла и Хигмэна 397
— Ф Холла о базисе 353
-- Хопфа 403
— Ширшова •—Витта 342
— Шрейера 100
Теория когомологий 403
Тождество коммутаторное 301
— Якоби 313
Топология в группе (= подгрупповая
топология) 388
Тривиальное слово (= слово,
тривиально равное единице) 14
Т-преобразование 176
Умножение классов эквивалентности
21
Унимодулярная группа 47
Условие обрыва возрастающей
последовательности нормальных
подгрупп 120
Фактор-группа 77
Фильтрация 400
Финитная аппроксимируемость 121
Формальный степенной ряд 314
Формула Бейкера — Хаусдорфа 378
— Цассенхауза 382
Функция Мёбиуса 341
Характеристическая подгруппа 80
Хопфова группа 117
Хопфово свойство 115
Цветная группа 64
Циклическая группа 10
Циклически несократимое слово 42
— приведенное слово 48
Четверная группа Клейна 11
Число Бетти 156
Шрейеровская система 99
минимальная 100
расширенная 243
регулярная 248
Эквивалентность слов 21
Элемент Ли 329
базисный 334
—, определяемый словом 14
— примитивный 127
— энгелев 387
Элементарное преобразование Нть-
сена 132
Тице 57
Элементарный автоморфизм 139
Элиминация образующего из Ло 330
Энгелев модуль 387
— элемент 387
Эндоморфизм 80

Вильгеаьм Магнус, Авраам Каррас, Дональд Солитэр
КОМБИНАТОРНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
представление групп
в терминах образующих и соотношений
М , 1974 г., 456 стр с ил л.
Редактор Ф // Кизнер.
Техн. редактор Е. Н. Земская
Корректоры Е. А. Белицкая, Л. Боровина
Сяа}ю в набор 18/IX 1973 г. Подписано к печати 22/IV 1974 г.
Бумага ^OVQOVie Фнз печ л 28,5 Условн. печ л 28,5 Уч -изл
л 3\,Ь9 Тираж 10 800ЭКЗ Цена книги 2 р 40 к. Заказ № 3—2457.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математическор"! литературы
Н7071, Москва. B-7I, Ленинский проспект, !о
ToTOBiioe предприятие республиканского прои^втственного
объединения «Полиграфкиига» Госкомиздата УССР г Киев,
ул Довженко, 3
Печать с матриц в тип N° 4 изд-ва «Наука», г Новосибирск, 77,
ул. Станиславского, 25