К. В. ПОГОРЕЛОВ
Шй
f?
І'
№
по дифференциальной
ГЕОМЕТРИИ
и
н

А. В. ПОГОРЕЛОВ
ЛЕКЦИИ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего спе¬
циального образования СССР в качестве учебного
пособия для университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА им. А. М. ГОРЬКОГО
Харьков	.1967

517.4
П43
В книге излагаются основы дифференциальной
геометрии в объеме действующих программ для
физико-математических факультетов университе¬
тов и педагогических институтов.
Книга содержит значительное количество
упражнений и задач, дополняющих основное из¬
ложение.
Ответственный редактор
проф. Я» П. Бланк
2—2—3
36-КРИ—11-66
ХАРЬКОВСКАЯ ТИПООФСЕТНАЯ ФАБРИКА

ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальная геометрия — это часть математики,
которая изучает геометрические образы, в первую очередь
кривые и поверхности, а также семейства кривых и по¬
верхностей методами анализа бесконечно малых. Харак¬
терным для дифференциальной геометрии является то,
что она изучает прежде всего свойства кривых и поверх¬
ностей «в малом», т. е. свойства сколь угодно малых
кусков кривых и поверхностей.
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась
в тесной связи с анализом, который сам в значительной
степени вырос из задач геометрии. Многие геометриче¬
ские понятия предшествовали соответствующим понятиям
анализа. Так, например, понятие касательной предшество¬
вало понятию производной, понятие площади и объема —
понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится
к первой половине XVIII века и связано с именами
Л. Эйлера и Г. Монжа. Первое сводное сочинение по
теории поверхностей было написано Монжем («Приложе¬
ние анализа к геометрии», 1795 г.).
В 1827 году Гаусс опубликовал работу «Общее иссле¬
дование о кривых поверхностях», которой заложил ос¬
новы теории поверхностей в ее современном виде. С тех
пор дифференциальная геометрия перестала быть только
приложением анализа и заняла самостоятельное место в
математике.
Открытие Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии
сыграло огромную роль в развитии всей геометрии, в том
числе и дифференциальной. Так, в 1854 г. Б. Риман
своей лекцией «О гипотезах, лежащих в основаниях гео¬
метрии» заложил основы так называемой римановой гео¬
3

метрик, которая в применении к многомерным многооб¬
разиям находится в таком же отношении к геометрии
n-мерного евклидова пространства, как внутренняя гео¬
метрия произвольной поверхности к евклидовой геометрии
на плоскости.
Теоретико-групповая точка зрения Ф. Клейна, изло¬
женная в его «Эрлангенской программе» (1872 г.), в при¬
менении к дифференциальной геометрии была развита
Э. Картаном, построившим теорию пространств проектив¬
ной и афинной связности.
В России школу дифференциальной геометрии создали
Ф. Миндинг и К. М. Петерсон, основные исследования
которых посвящены вопросам изгибания поверхностей.
Эти исследования были продолжены в работах многих
русских и советских геометров.
В основу настоящей книги положены лекции автора
по дифференциальной геометрии на физико-математиче¬
ском факультете Харьковского университета. Автор пре¬
следовал цель дать строгое изложение основ дифферен¬
циальной геометрии и типичных для нее методов исследо¬
вания, не нарушая при этом значительно установившихся
традиций. Большой фактический материал по дифферен¬
циальной геометрии вынесен в упражнения и задачи,
решение которых является обязательным условием при
подготовке студентов-геометров.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Глава 1
ПОНЯТИЕ кривой
Кривая является одним из основных объектов, рас¬
сматриваемых в дифференциальной геометрии. В настоящей
главе мы выясним понятие кривой в той мере, в какой
этого требует дальнейшее изложение.
§ 1. Элементарная кривая. Простая кривая.
Общая кривая.
Определению понятия кривой мы предпошлем неко-
торые сведения об отображениях произвольного множества
точек в пространство.
Пусть М — любое множество точек пространства.
Говорят, что задано отображение f множества М в про¬
странство, если каждой точке X множества М постав¬
лена в соответствие некоторая точка f(X) пространства,.
Точка пространства f (X) называется образом точки X,
Множество точек f(M), составленное из образов всех
точек множества М, называется образом множества М,
Отображение f множества М называется одно-одно-
значным, если образы различных точек различны.
Пусть f одно-однозначное отображение. Тогда естест¬
венным образом определено отображение множе¬
ства f(M), которое точке f (X) сопоставляет точку X.
Это отображение называется обратным к f.
Отображение f множества М называется непрерыв¬
ным, если, какова бы ни была точка X из М и число
е > 0, существует число 8 > 0 такое, что для любой
точки Y из М расстояние точки f (Y) от f (X) меньше
коль скоро расстояние У от X меньше 8.
5

Пусть f одно-однозначное и непрерывное отобра¬
жение A4. Если отображение множества f(M) так¬
же непрерывно, то f называется топологическим ото¬
бражением. Относительно множества М и его образа
/(A4) при топологическом отображении f говорят, что
они гомеоморфны или топологически эквивалентны.
Определим элементарную кривую.
Множество 7 точек пространства мы будем называть
элементарной кривой, если это множество является об¬
разом открытого отрезка прямой при топологическом
отображении его в пространство.
Пусть 7 — элементарная кривая и а < t < b — отре¬
зок, образом которого при отображении f является
кривая. Пусть f2(t) и f3 (t) — координаты точки
кривой, соответствующей точке t отрезка. Систему ра¬
венств
х = у = z = fa(t)
называют уравнениями кривой 7 в параметрической
форме.
Множество G точек пространства называется откры¬
тым, если для каждой точки X этого множества можно
указать число е > 0 такое, что все точки пространства,
расстояния которых от X меньше е, тоже принадлежат G.
Очевидно, множество, составленное из любой совокуп¬
ности открытых множеств, будет открытым.
Окрестностью точки X пространства называется лю¬
бое открытое множество, содержащее эту точку.
Множество М точек пространства называется связ¬
ным, если не существует открытых множеств G' и G",
разбивающих множество М на две части — М' и A4",
одна из которых принадлежала бы только G', а дру¬
гая — только G".
Определим теперь простую кривую.
Множество 7 точек пространства мы будем называть
простой кривой, если это множество связно и у каж¬
дой его точки X есть такая окрестность, что располо¬
женная в ней часть 7 является элементарной кривой.
Строение простой кривой «в целом» выясняется сле¬
дующей теоремой:
Образ открытого отрезка или окружности при топо¬
логическом отображении в пространство есть простая
кривая.
6

Обратно, любая простая кривая есть образ откры¬
того отрезка или окружности при топологическом
отображении в пространство. Коротко это выражают
словами: простая кривая гомеоморфна или открытому
отрезку или окружности.
Мы не будем приводить доказательство этой теоремы.
Заметим только, что указанное в ней свойство простой
кривой быть гомеоморфной открытому отрезку или
окружности полностью характеризует ее и, следователь¬
но, простая кривая может быть определена этим свой¬
ством.
Простая кривая, гомеоморфная окруж-
ности, называется замкнутой.	\
Окрестностью точки X на простой Ç у?
кривой 7 называется общая часть кривой у \
и некоторой пространственной окрест-	,—'	ч.
ности точки X. Согласно определению, у (	(\ I
каждой точки простой кривой есть окрест- \	у
ность, являющаяся элементарной кривой.
В дальнейшем, говоря об окрестности
точки на кривой, мы будем иметь в виду Черт. 1.
такую элементарную окрестность (черт. 1).
Пусть простая кривая 7 является образом откры¬
того отрезка или окружности g при топологическом
отображении f. Пусть X — произвольная точка g и со ¬
любая ее окрестность. Тогда образ со при отображении
f является окрестностью точки f(X) на кривой 7. Об¬
ратно, любая окрестность точки f(X) может быть полу¬
чена таким образом.
Отображение f множества М в пространство назы¬
вается локально топологическим, если у каждой точки
этого множества есть окрестность, в которой отображе¬
ние f топологическое.
• Множество 7 точек пространства мы будем называть
общей кривой, если это множество является образом
простой кривой при локально топологическом отображе¬
нии ее в пространство.
Мы будем говорить, что отображение ft простой кри¬
вой 7і и отображение f2 простой кривой 72 определяют
одну и ту же общую кривую 7, если между точками
кривых 7і и 72 может быть установлено топологическое
соответствие, при котором образы соответствующих точек
этих кривых на кривой 7 совпадают.
7

Чтобы пояснить вторую часть данного определения,
приведем пример. На черт. 2 изображена общая кривая.
Эту кривую можно представить как образ окружности
при локально топологическом отображении двумя раз¬
личными способами, которые с точки зрения данного
определения дают различные кривые. Наглядно их можно
представить себе так.
Пусть точка движется по окружности. Тогда образ
ее движется по кривой. При этом точка-образ, проходя
кривую, может занимать после-
довательно положения 1, 2, 3,
4, 2, 5, но может проходить
[	\ кривую и в порядке 1, 2, 4, 3,
Л		)—	2’ 5. Отображения, соответ-
k	я У ствующие этим обходам, опре-
деляют различные общие кри-
Черт. 2.	вые, хотя как точечные множе¬
ства они и совпадают.
Пусть общая кривая у является образом при локаль¬
но топологическом отображении f в пространство простой
кривой 7. Окрестностью точки f (X) на кривой 7 мы бу¬
дем называть образ любой окрестности точки X на
кривой 7 при отображении f. Так как отображение f
в достаточно малой окрестности точки X является то¬
пологическим, то f (X) на 7 имеет окрестность, являю¬
щуюся элементарной кривой.
Таким образом, исследование любой кривой «в малом»
может быть сведено к рассмотрению элементарной
кривой.
§ 2. Регулярная кривая. Способы аналитического
задания кривой
Кривую 7 мы будем называть регулярной (k раз
дифференцируемой), если у каждой точки этой кривой
есть окрестность, допускающая регулярную параметриза¬
цию, т. е. задание уравнениями в параметрической
форме:
х = Л(0. «/ = М0. z = f3(t),
где f2y fs — регулярные (& раз непрерывно дифферен¬
цируемые) функции. При k = 1 кривая называется глад¬
кой.	.
8

Кривая называется аналитической, если она в до¬
статочно малой окрестности каждой своей точки допу¬
скает аналитическую параметризацию (функции flt f2,
f3 — аналитические).
В дальнейшем мы будем рассматривать исключи¬
тельно регулярные кривые.
Как показано в предыдущем параграфе, кривая в
окрестности каждой точки может быть задана уравне¬
ниями в параметрической форме
х = х(0, y = y(t\ z = z(f),
где х(/), у (/), z (/)—функции, определенные в некото¬
ром интервале а < t < b.
Естественно возникает вопрос, когда система ра¬
венств
X = X (/), у = у (/), z = z (/) (а < t < b)
определяет регулярную кривую, т. е. когда эти равен¬
ства можно рассматривать как уравнения некоторой
кривой? Ответ на этот вопрос во многих случаях дает
следующая теорема.
Теорема. Если x(t), y(t) и z(t) регулярные функции,
удовлетворяющие условию
*'2(0 W2(0 + *'2(0>0 (a<t<b),
то система равенств
x = x(t), y = y(t), z = z\t} (a<t<b)
является уравнениями некоторой кривой у. Эта кривая
есть образ отрезка а < t <b при локально топологи¬
ческом отображении, которое точке t отрезка сопостав¬
ляет точку пространства с координатами х(/), y(t)r
zU).
Здесь в доказательстве нуждается только утвержде¬
ние о локальной ‘ одно-однозначности указанного отобра¬
жения. Докажем это утверждение.
Если утверждение неверно, то существует такое
в сколь угодно малой окрестности которого можно ука¬
зать tL и t2 (/і =£ /2) такие, что
X (Л) — X (/2) = 0, у (/х) — у (/2) = 0, z (/х) — z (/2) = 0.
По теореме о среднем отсюда получаем:
х' (»1) = 0, у' (&2) = 0, z' (ô3) = 0,
9

где &2, »3 заключены между t± и t2. Так как t± и t2
сколь угодно близки к /0, то по непрерывности функ¬
ций х' (/), у' (/), zr (/)
х' (Q = О, У' (*о) = 0, г' (/0) = О,
а, следовательно,
x'2(Q + Z/'2^o) + ^'2(Q = 0.
Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.
Некоторые кривые при подходящем выборе осей
координат X, у, z допускают параметризацию вида
X = t, у = у (Z), г = ф (Z) (а < t < ô),
или, что то же,
# = ?(*), г = ф(х) (а<х<6).
Эта параметризация во многих случаях оказывается
особенно удобной. В связи с этим возникает вопрос:
когда кривая хотя бы «в малом» допускает такую па¬
раметризацию? Ответ на вопрос дает следующая тео¬
рема:
Теорема. Пусть 7 — регулярная * кривая,
x = îi (О, У = fi (0, z = h (0 (а < t < b)
ее регулярная параметризация в окрестности точки
(х0, //о» zo)> соответствующей t = tQ. Пусть в этой
точке	Тогда в достаточно малой окрест¬
ности точки tQ кривая 7 может быть задана уравне¬
ниями:
У = <? (х), Z = ф (х),
где <р и ф — регулярные функции от х.
Действительно, по теореме о неявных функциях
существует регулярная функция Х(х), равная /0 при
X = х0 и удовлетворяющая уравнению
x = h(X(x))
для всех X, близких к х0. Дифференцируя это тожде¬
ство при X = х0, находим 1 = f\(/0) X' (х0). Отсюда
7' (х) =# 0. Таким образом, функция X (х) в окрестности х0
монотонна, и, следовательно, при достаточно малом 8
отображение отрезка х0 — 8 < х < х0 + 8 на ось t, зада¬
ваемое равенством t = X(х), будет топологическим.
10

Отсюда следует, что окрестность X (х0 — 8) < t <
< X (*о + 8) кривой 7 может быть задана уравнениями
У — /г W), z = fs (У- (*)) (хо В < х < х0 4~
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь неявное задание кривой. Причем
для простоты сначала ограничимся плоскими кривыми.
Кривая называется плоской, если все ее точки при¬
надлежат некоторой плоскости. Будем считать, что этой
плоскостью является плоскость ху.
Мы будем говорить, что плоская кривая задана
уравнением
ср (х, у) = О,
выражая этим только то, что координаты точек кривой
удовлетворяют данному уравнению. При этом могут
существовать точки плоскости, удовлетворяющие этому
уравнению и не принадлежащие кривой, а множе¬
ство всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению
<р (х, у) = 0, может не быть кривой в смысле определения,
данного в предыдущем параграфе.
В связи с заданием кривых уравнением в неявном
виде важную роль играет следующая теорема:
Теорема. Пусть ср (х, у) — регулярная функция пере¬
менных х, у. Пусть М — множество точек плоскости
ху, удовлетворяющих уравнению
ср (X, у) = 0;-
(хо у0) — точка этого множества, в которой <р® +
4-?^¥=0. Тогда у точки (х0, у0) есть окрестность
такая, что все принадлежащие ей точки множества
М. образуют регулярную элементарную кривую.
Доказательство. Пусть для определенности в точке
(х0, У о)	+ 0. По теореме о неявных функциях суще¬
ствуют числа Виг большие нуля и регулярная функ¬
ция ф (х), определенная в интервале х0 — В < х < х0 4~
такие, что все точки (х, ф (х)), х0 — В<х<х04-^
удовлетворяют уравнению <р (х, у) = 0, причем этими
точками исчерпываются все точки прямоугольника х0 —
— В < X < х0 4~ В, у о — е < yQ < уп 4- е, удовлетворяющие
уравнению (х, у) = 0. Элементарная кривая, о которой
идет речь в теореме, задается уравнением
У. = ф (х) (х0 — S < X < х0 4- 8).
11

Теорема доказана.
Соответствующая теорема для пространственных кри¬
вых состоит в следующем.
Пусть <р (х, у, z) и ф (х, у, z) — регулярные функции
переменных х, у, z. Пусть М — множество точек про¬
странства, удовлетворяющих уравнениям
Т (х, у, z) = 0, ф (х, у, г) = О,
(х0, Уо> z0) — точка этого множества, в которой ранг
матрицы
к
равен двум. Тогда у точки (х0, z/0, z0) есть такая
окрестность, что все принадлежащие ей точки множе¬
ства М образуют регулярную элементарную кривую.
Доказательство этой теоремы также основано на
применении теоремы о неявных функциях и принци¬
пиально не отличается от доказательства соответствую¬
щей теоремы для плоских кривых.
§ 3. Особые точки регулярных плоских кривых
Пусть 7 — регулярная плоская кривая и Р — точка
на ней. Точка Р кривой 7 называется обыкновенной
точкой по отношению к данной степени регулярности k,
если кривая допускает k раз дифференцируемую пара¬
метризацию в окрестности этой точки
х = х(0, y = y(t),
удовлетворяющую в точке Р условию: х'2 + у'2 =/= 0.
Если же такой параметризации не существует, то Р
называется особой точкой.
Пример. Точка t == 0 кривой
x = t\ у = Р (—! <і< + 1)
обыкновенная по отношению к дважды дифференциру¬
емым параметризациям, ибо кривая допускает эквива¬
лентное задание
7_
Х = т,#=±|т|3 (— 1<т<1).
Однако, как мы увидим ниже, точка t = 0 является
особой по отношению к аналитическим параметризациям.
12

В настоящем параграфе • мы рассмотрим подробно
вопрос об особых точках плоских аналитических кривых
по отношению к аналитическим параметризациям.
Лемма. Пусть у — аналитическая кривая и О — точка
на ней. Тогда при подходящем выборе осей координат
кривую можно параметризовать так, что ее уравнения в
окрестности точки О будут иметь вид:
X = artn^,
у = bj™* 4- b2tm2 + • • • , Hj < /Пр
Доказательство. Примем точку О за начало координат.
Пусть
X =	+ a2sn* + • • •
у =	4- p2s™2 4- • • •
какая-нибудь аналитическая параметризация кривой. Не
ограничивая общности, можно считать, что точке О соот¬
ветствует значение параметра s = 0. Можно считать
также, что nL < mY. (Если n1>m1, можно поменять ро¬
лями X и у).
Введем новый параметр t, связанный с s равенством
і_
/	ç I аі$П1 -f- ^Пг 4- • • • V1
При таком выборе параметра уравнения кривой 7 в ок¬
рестности точки О имеют вид:
X = а^п',
у = bLtm> 4- b2tm* 4- • • • ,
что и-требовалось доказать.
Теорема. Пусть в окрестности точки О аналитиче¬
ская кривая задана уравнениями
X = aj”*,
у = Ь^ + b2tm* 4- • • • , щ < /Ир
Тогда, для того чтобы точка О была особой точкой
кривой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одно mk
не делилось на п±.
Доказательство.
Необходимость. Во-первых, заметим, что все
mk и пг не могут быть четными, так как тогда для
сколь угодно малых t x(t) = х(— /), y(t) = у(— /), т. е.
нарушено условие одно-однозначности отображения в-
сколь угодно малой окрестности точки t = 0.
13

Пусть все mk кратны nx (nL, очевидно, нечетно). Вве¬
дем вместо t параметр s = tni. Тогда уравнения кривой
в окрестности точки О примут вид:
х = а^,
у = bkski + b2sk* + • • •
Очевидно, точка О, соответствующая значению пара¬
метра s = 0, является обыкновенной точкой кривой.
Достаточность. Пусть хотя бы одно mk не де¬
лится на пг. Покажем, что точка О —особая точка.
Если точка О обыкновенная, то в ее окрестности кривая
допускает параметризацию х = f± (о), у = f2 (с), где и
/2 — аналитические функции, удовлетворяющие при а = о0,
отвечающему точке О, условию f[2 + f22 =£ 0.
Так как f2 (c)/f х (о) = у (t)!x (Ô, а у (/)/*(/) при /->0
стремится к конечному пределу, равному /2	(°о)> т0
0 в точке О и, следовательно, наша кривая по тео¬
реме предыдущего параграфа допускает задание урав¬
нением
У = ? W = cLx + с2х2 + • • • ,
где <р (х) — аналитическая функция от х. Подставляя в это
уравнение х = х(/) и у = у(1\ получим тождество
+ b2tm* + • • • =	+ с2а\і2п^ + • • •
Отсюда следует, что все mk кратны nY. Мы пришли к
противоречию. Теорема доказана полностью.
Замечание. Если точка О особая,
причем Их и ггі! четные, то она назы-
а' /** вается точкой возврата второго рода.
Кривая в окрестности этой точки имеет
О 	вид, показанный на черт. За.
уР	Если точка О особая, причем mL не
/	»	делится на и nY четное, а тг не¬
четное, то О называется точкой воз-
gj I / врата первого рода. Вид кривой в
I / окрестности такой особой точки пока-
зан на черт. 36.
QJr	Простой достаточный признак
f	того, чтобы точка кривой была особой,
Черт-. 3 дает следующая теорема:
Теорема. Пусть аналитическая кри-
вая 7 в окрестности точки О задана уравнениями
Х = Х (t), у = у (t),
14

где x(t) и у (f) — аналитические функции параметра Л
Пусть первые отличные от нуля производные функции х (t)
и y.(t) имеют порядки nL и т± соответственно, причем
< ті-
Тогда точка О будет особой, если т± не делится на
Причем точка О будет точкой возврата второго рода,
если Пі и т± оба четные, и точкой возврата первого рода,
ecjiu пг четно, a mY нечетно.
Эта теорема непосредственно вытекает из предыду¬
щей.
В заключение рассмотрим вопрос об особых точках
плоских аналитических кривых в случае неявного за¬
дания.
Пусть плоская аналитическая кривая у задана урав¬
нением
? (X, у) = о,
где ср (х, у) — аналитическая функция переменных х и у.
Если в точке О (х0, yQ) кривой у <р? + <р^ ¥= 0, то эта
точка кривой является обыкновенной точкой, как по¬
казано в § 2. Таким образом, особыми могут быть
только те точки кривой, в которых <рх = <р^ = 0.
Не ограничивая общности, можно считать точку О
началом координат. В окрестности точки О кривая 7
допускает параметризацию вида
х = а^,
у =	+ b2tm* + • • • ,
причем можно считать, что nL < mL. В противном слу¬
чае можно поменять оси х и у. Для того чтобы опре¬
делить, является ли точка О особой точкой кривой и
выяснить характер особенности в этой точке, достаточно
знать показатели иь тъ т2, ...
Для того чтобы определить эти показатели, восполь¬
зуемся тождеством
?(х(/), у(0)=-0.
Пусть разложение функции <р (х, у) по степеням х, у
начинается членами второй степени
? (х, у) = а20х2 4- 2апху + а02у2 + • • •
Будем различать три случая
1 . #20^02	> 0.	2. <220^02 Яц <С 0.
3. #20^02	^11 = 0*
15

Поворотом осей координат можно добиться того,
что в разложении функции ср (х, у) в степенной ряд член,
содержащий ху, будет отсутствовать.
Подставляя в разложение функции <р (х, у) x(t)
и у (/), получим тождество относительно t. При
низшую степень /, равную 2/гь имеет только один
член• — a2ÇpJ2n'. Отсюда a2Q = 0, что невозможно ни в пер¬
вом, ни во втором случае. Остается предположить, что
п1 = т1. Тогда в первых двух случаях низшую степень
имеют члены а2оаі^2П1 и й02Ь2/2,Пі. В первом случае и это
невозможно, так как а20 и а02 одного знака, а из тож¬
дества следует, что а20а2 + а02Ьі = 0.
Таким образом, в первом случае не существует
аналитической кривой, удовлетворяющей уравнению
? (х, у} = 0 и содержащей точку О. В этом случае в до¬
статочно малой окрестности точки О вообще не сущест¬
вует точек, отличных от О, удовлетворяющих уравнению
ср (х, у) = 0. Когда кривую определяют как геометриче¬
ское место точек, удовлетворяющих уравнению ср (х, у) = 0,
такую точку называют изолированной особой точкой.
Пример. Геометрическое место точек, удовлетво¬
ряющих уравнению (х2 + у2) (х — 1) = 0, состоит из
прямой X = 1 и точки (0, 0), которая является изолиро¬
ванной точкой этого геометрического места.
В третьем случае можно считать а20 = 0, так как
a2Qa02 = 0- Разложение функции ср (х, у) имеет вид:
ср (х, у) = aQ2y2 + а30х3 + • • •
Предположим, что а30 =# 0. Это соответствует в общем
случае тому, что формы <р2 = а20х2 + 2апхг/ + aQ2y2 и
?з = а30х3 + * • * + аозУ3 не имеют общих делителей.
Подставляя х(/) и у(і) в разложение функции <р (х, у),
замечаем, что членами с низшими степенями t являются
ло2^і^2/Л1 и а3оа3/ЗПі. Отсюда следует, что 2т ! = Зпь
т. е. не делится на Следовательно, точка О явля¬
ется особой точкой кривой.
Оказывается, если считать mY и tiY оба четными, то
все mk оказываются четными, так как линейно и одно¬
родно выражаются через mY и Но, как было отмечено
ранее, и все mk не могут быть четными. Поэтому
четно только Пр Это значит, что особая точка О явля¬
ется точкой возврата первого рода.
16

Пример. Начало координат для полукубической
параболы у2 — х3 = 0 является точкой возврата первого
рода (черт. 4).
Рассмотрим, наконец, второй случай. В этом случае
функцию ср (х, у) можно представить в виде
<f (х, у) = Ах2 4- 2Вху + Су2,
где А, В, С — аналитические
функции от X, у, равные соответ¬
ственно а2о, 0, а02 в точке О и,
следовательно, удовлетворяющие
вблизи этой точки неравенству
АС — В2 < 0. Поэтому в малой
окрестности точки О
<Р (х, у) = С (у — х$! (х, у)) X
X (у — ХІ2(Х, у)),
Черт. 4.
где и — корни квадратного
уравнения А + 2ВІ + CÉ2 = 0. Следовательно, во вто¬
ром случае геометрическое место точек, удовлетворяющих
уравнению ср (х, у) = 0 в окрестности точки С, состоит из
двух аналитических кривых у~ х^ (х, z/) = 0, y — xl2 (х, у)=0,
цля. каждой из которых точка О является обыкновенной
точкой, так как
^(У-хіДх,//)) |о = Ш 0)	0.
Когда кривую определяют
как геометрическое место точек,
удовлетворяющих уравнению
? У) = 0, точку О в рассма¬
триваемом случае считают тем
не менее особой и называют
узловой точкой.
Пример. Геометрическое
место точек, удовлетворяющих
уравнению (х2 + у2)2 — 2а2 (х2 —
— у*) = 0 (лемниската Бернулли, черт. 5), в окрестности
узловой точки (0, 0) состоит из двух аналитических кри¬
вых AlÀ2 и BxB2.
2	7-770
17

§ 4. Асимптоты плоских кривых
Пусть у — незамкнутая кривая,
х = х (/), у = у (0 (а < t < b)
ее уравнения. Говорят, что кривая уходит в бесконечность
с одной стороны, если при t -> а (или при t -> b) х2 (/) +
+ У2 (0 00 • Если же и при t -> а и при t -+Ь л2 (/) +
+ У2 (О -*■ 00, то говорят, что кривая уходит в бесконечность
с обеих сторон. Очевидно, свойство кривой уходить в
бесконечность не зависит от ее параметризации.
Пусть кривая 7 уходит в бесконечность, например,
при t а х2 + у2 оо.
Черт. 6.
определенности у (t)/x (/)
Прямая g называется асимптотой
кривой 7, если расстояние d(t)
точки кривой 7 от прямой g
стремится к нулю, когда t а
(черт. 6).
Теорема. Для того чтобы
кривая 7, заданная уравнениями
x = x(t), y = y{t) (a<t<b\
уходя в бесконечность при t а,
имела асимптоту, необходимо
и достаточно:
1. При t-+a хотя бы одно
из двух отношений у (t)/x (t)
или x(t)/y(t) стремится к ко¬
нечному пределу. Пустъ для
-+k.
2. При t -> а и выполнении первого условия выражение
у (t) — kx (/) также стремится к пределу.
Если этот предел обозначитъ Z, то уравнение асимп¬
тоты будет
у— kx — / = 0.
Доказательство.
Необходимость. Пусть g:
у — kx — I =0
асимптота кривой 7. Выражение
у (t) — kx (Z) — I
18

с точностью до постоянного множителя равно расстоя¬
нию точки (/) кривой 7 от прямой g, А так как g асимп¬
тота, то
(*)
при
t->a.
При t-^a х(/)->оо, так как в противном случае
y(t) ~ kx (/) — Z не может оставаться ограниченным при
t^a (x^t)+y2(t) -> оо). А тогда из (*) получается, что
у (t)/x (/) -> k
и
Необходимость доказана.
Достаточность. Так как при t^-a
у (t)/x (t)-+k и у (/) — kx (/) -*■ I,
то
у (/) — kx (t) — I -> 0.
А это значит, что точка (/) кривой -у при t -> а неогра¬
ниченно приближается к прямой
у — kx — I = 0,
которая является, таким образом, асимптотой.
Теорема доказана.
Пример. Кривая
x = t< У = ггтуС-1 < ^ < 0
(ветвь гиперболы) уходит в бесконечность при t -> 1
(черт. 7).
При t -> 1
х (Z)/z/(/)-> 0, x(Z) — 0 • y(Z)-> 1.
Следовательно, кривая имеет асимптоту
х — 1 = 0.
Рассмотрим теперь вопрос об асимптотах кривой, за¬
данной уравнением в неявном виде (х, г/) = 0.
Как было отмечено, уравнение (х, у) = 0 определяет
кривую лишь в том смысле, что точки кривой удовле¬
творяют уравнению <р (х, у) = 0, но, вообще говоря, не
2е
19

исчерпывают всех точек плоскости, обладающих этим
свойством. Задача о разыскании асимптот кривой, задан¬
ной уравнением <р (х, у) = 0, является не вполне опреде¬
ленной. Представляется возможным указать только неко¬
торую совокупность прямых, содержащую асимптоты.
Мы ограничимся случаем алгебраических кривых
(<р (х, у) — многочлен относительно переменных х и у).
Пусть (х, у) — произвольная
точка асимптоты
X = X + ÀU, у = у + [іи
— уравнение асимптоты в пара¬
метрической форме. Обозначим
Q (и) точку кривой, ближайшую к
точке (и) асимптоты. Координаты
точки Q(u)
X (и) = X + Àu + Ци),
«/(«) =Р + [*« + 7)(и),
где
И 7] (и) -> 0 при и -> со .
Обозначим совокупность членов степени k в много¬
члене <р. Тогда:
? =	+ <Р„-і + • • • + То-
Подставляя в <р (х, у) х = х(и), у = у (и) и выделяя члены,
содержащие и" и ы"-1, получим:
?(*(«). //(«)) = u"<p„(X, и) +
+ м”—1 {х (<рл (X, р.)); + у (?„ (X, [і)); +	(X, (1)} + ...
В правой части равенства не выписаны члены, имеющие
порядок ниже иЛ-1.
Так как <р (х (и), у (и)) s 0, а, следовательно,
^?(*(«). У(м))->0 при U->CO, то <Р„(Х, |Л) = О.
Аналогично получаем
х(?я(х_, н)К + у(<гп&,	+ ?«-і(>-. Iх) = О-
Так как (х, у) — произвольная точка асимптоты, то
это равенство есть уравнение асимптоты.
Пример. Составить уравнение асимптот гиперболы
X2 — Зху + 2у2 4- X + 1 = 0.
Имеем:
Тг р-) = À2 — 3À|x 4- 2[і2 = 0.
20

Отсюда для к и р- получаем с точностью до несуществен¬
ного множителя две системы значений к = 1, р. = 1; к = 2,
|х=1. Подставляя эти значения в полученную выше
формулу, находим асимптоты:
—X + ў+1=0, я — 2ў+ 2 = 0.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1.	Точка М движется в пространстве так, что ее проекция на
плоскость ху равномерно движется по окружности х2 4- у2 = а2 с
угловой скоростью œ, а проекция на ось г движется равномерно
со скоростью с. Кривая, которую описывает точка A4, называется
простой винтовой линией. Составить уравнение винтовой линии в
параметрической форме, приняв за параметр время t. Считать, что
в начальный момент (/ = 0) координаты точки М суть а, 0, 0.
Ответ. х = a cos œ/, у = a sin со/, z = et.
2.	Простая винтовая линия (упражнение 1) проектируется на
плоскость ху пучком параллельных прямых, образующих угол &
с осью г. Найти уравнение проекции. При каком & проекция будет
иметь особые точки? Выяснить характер особых точек.
Ответ. Если пучок проектирующих прямых параллелен плоско¬
сти EOZ, то уравнения проекции будут
X = a cos со/, у = et tg Я 4- a sin œf.
Проекция будет иметь особые точки, если tgO=~. Особые
точки — точки возврата первого рода.
3.	Окружность радиуса а равномерно катится без проскальзы¬
вания по прямой g со скоростью ѵ. Найти уравнение кривой у,
которую описывает точка Л4, неподвижно связанная с окружностью.
При каком условии кривая 7 имеет особые точки? Выяснить харак¬
тер особых точек.
Ответ. Если прямую g принять за ось х и в начальный момент
точка М находится на оси у ниже‘центра окружности, то уравнения
кривой 7 будут
. t - ѵі	t-	vt
x = vt — 6 sin — , g = a — b cos — ,
a v	a
где b — расстояние точки M от центра окружности. Кривая имеет
особые точки, если точка М на окружности (в этом случае кривая
7 называется циклоидой). Особые точки — суть точки возврата
первого рода.
4.	Доказать, что кривая, заданная уравнением
2	2	2
1*1 3 + I У 13 = а 3 (астроида),
является аналитической кривой. Найти ее особые точки. Выяснить
характер особых точек.
21

Ответ. Кривая допускает очевидную аналитическую параметри¬
зацию
х = а cos8 /, у = a sin3 f,
а следовательно, аналитическая. Особые точки: (0,1), (0,-- 1), (1,0),
(—1,0). Особые точки — точки возврата первого рода.
5.	Составить уравнения асимптот кривых:
1.	X = a sin t
у = accost 4- lntg-^-j (трактриса).
2.	А'3 4- у3 — Заху = 0 (лист Декарта).
Ответ.
1.	х = 0.
2.	X 4- У 4- а = 0.
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ К ГЛАВЕ I
1.	Пусть
х = х (/), у = у (0, z = г (0
какая-нибудь параметризация элементарной кривой. Тогда любая
другая параметризация имеет вид
х = х(а(т)), г/= і/(а(т)), г = г(о(т)),
где а (т)—непрерывная строго монотонная функция.
2.	Какая степень регулярности кривой, заданной уравнением в
неявной форме ср (х, у} = 0, гарантируется n-кратной дифферен¬
цируемостью функции ср, если 4-	0? Может ли кривая обла¬
дать большей регулярностью? Построить пример.
3.	Построить пример кривой, которая не допускала бы гладкой
параметризации ни на какой своей части.
4.	Пусть плоская аналитическая кривая 7 в окрестности точки
(*0» Z/о) задается уравнением ср (х, у) = 0, где ср — аналитическая
функция. Пусть в точке (х0, і/0) функция ср и все ее производные
до п—1-го порядка равны нулю. Доказать, что если все корни
многочлена
k + l=n
вещественны и различны, то для кривой 7 точка (х0, yQ) является
обыкновенной точкой в смысле определения § 3, гл. I.
5.	Найти условия существования асимптоты пространственной
кривой
X = х (t)., y = y(t), z = z(t),
уходящей в бесконечность при t -* а, аналогичные полученным в
§ 4, гл. I для плоской кривой.
Составить уравнение асимптоты.
6.	Составить уравнение асимптот алгебраической пространствен¬
ной кривой, заданной уравнениями в неявном виде
? у, г) = О, Ф (х, у, г) = 0,
где ср и ф— многочлены относительно х, у и г, подобно тому как
это сделано для плоских кривых в § 4, гл. I.
22

Глава II
ПОНЯТИЯ для кривых, СВЯЗАННЫЕ С ПОНЯТИЕМ
СОПРИКОСНОВЕНИЯ
Пусть М и A4 — множества точек пространства, имею¬
щие общую точку О. Пусть X — произвольная точка мно¬
жества М, h (X) — ее расстояние от множества М (точ¬
ная нижняя грань расстояний точек множества М от
точки X) и d (X) — расстояние точки X от точки О.
Мы будем говорить, что множество М соприкасается
с множеством М в точке О, если отношение h (X)/da (X) (а> 1)
стремится к нулю, когда точка X неограниченно при¬
ближается к О.
С помощью понятия соприкосновения вводятся мно¬
гие понятия для кривых. Мы рассмотрим их в настоя¬
щей главе.
§ 1. Векторная функция скалярного аргумента
В дальнейшем изложении мы будем широко поль¬
зоваться элементарными средствами векторного анализа.
В связи с этим напомним определение некоторых по¬
нятий.
Пусть G--любое множество точек на прямой, плос¬
кости или в пространстве. Говорят, что на множестве G
задана вектор-функция f, если каждой точке X этого
множества сопоставлен вектор /(X).
Для вектор-функций так же, как и для скалярных
функций в анализе, вводится понятие, предела. Говорят,
что f(X)->a при X-> Х0‘, если |/* (X) —- я |-> 0 при
X-> Хо.
Для вектор-функций имеют место теоремы о пределе,
аналогичные теоремам о пределе для скалярных функ¬
ций. Например, если f(X) и g(X) вектор-функции,
a À (X) — скалярная функция и при X -> Хо f (X) -> а,
g(X)-+b и \	то
f (X) ± g(X)-+а ± Ь,
Х(Х) • f (Х) + т • а,
f(X)g(X)-*-a-b,
f(X)xg(X)-+axb.
23

Доказательство этих утверждений принципиально не
отличается от доказательства соответствующих утвер¬
ждений для скалярных функций в анализе. Для примера
докажем последнее утверждение. Имеем:
\f (X) х g (X) — а х Ь\ =
= |(f (Х)-а) X (g(A)—Ь)+(/(Х)—a)xb—(g(X)—b)xa|<
<\fW^a\\g(X)-b\ + \f(X)-a\\b\ + \g(X)-b\\a\.
Отсюда следует, что | f (X) х g (X) — а х b | -> 0 при
X -> Хо. А это значит f (X) х g (X) -+а х b.
Для вектор-функций вводится понятие непрерывно-
ста подобно тому, как для скалярных функций. Именно,
функция f(X) называется непрерывной в точке Хо. если
/ (X)f (Хо) при Х->Х0.
Пусть f (X) и g (X) — вектор-функции непрерывные
в точке Хо, а Х(Х)—скалярная функция, непрерывная
в этой точке. Тогда вектор-функции
Х(Х)/(Х), /(X)±g(X), f(X)xg(X),
а также скалярная функция f (X) • g (X) непрерывны
в точке Хо. Это свойство непрерывности является прос¬
тым следствием свойств предела.
Понятие производной.
Пусть /(/)•—вектор-функция, определенная на от¬
резке. Говорят, что вектор-функция f имеет в точке t
отрезка производную, если существует предел отношения
h
при h -> 0. Производная в точке t обозначается f' (t).
Если f(t) ug(t) — дифференцируемые в точке t вектор-
функции, а Х(/)— дифференцируемая в этой точке ска¬
лярная функция, то X (/)/(/), f (/) + g(t), f(t) X g(t),
f(i)g(t) суть функции, дифференцируемые в точке t,
причем
(kfy = X'f + Xf'
(f + g)' = f'± g',
(f X g)' = f' X g + f X g’,
(Jg)’ = f’g + fg'-
Эти формулы дифференцирования получаются букваль¬
но так же, как соответствующие формулы дифференци¬
рования скалярных функций в анализе.
24

Производная вектор-функции f' (/) называется второй
производной функции f [t) и обозначается f" (Z). Анало¬
гично определяется третья, четвертая и т. д. производ¬
ные.
Функция, имеющая непрерывные производные до &-го
порядка включительно на отрезке (а, &), называется к
раз дифференцируемой функцией на этом отрезке.
Пусть eL, е2, е3 — три вектора, не лежащие в одной
плоскости. Каждый вектор г допускает представление в виде
г = хе± + уе2 + ze3:
числа X, у, z определяются однозначно и называются
координатами вектора г относительно базиса е2, е3.
Пусть r(t) вектор-функция, заданная на отрезке.
Определим три скалярные функции х(/), //(/), z(t) усло¬
вием
Г (0 = х (/) ех + У (О + г (/) е3.
Тогда, если функции x(t), y(t), z(t) непрерывны или
дифференцируемы, то вектор-функция r(t) непрерывна,
соответственно дифференцируема. Обратно, если вектор-
функция г (/) непрерывна или дифференцируема, то функ¬
ции x(t), y(t), z(f) непрерывны, соответственно диффе¬
ренцируемы.
Для доказательства второго утверждения равенство
г(/) = x(t)er + y(t)e2 + z(t)e3 умножим скалярно на век¬
тор е[, перпендикулярный векторам е2 и е3. Тогда по¬
лучим X (t) (е^ ) = r(t) е/. Отсюда видно, что непрерыв¬
ность или , дифференцируемость вектор-функции r(t) вле¬
чет за собой непрерывность, соответственно дифференциру¬
емость, функции x(t). Аналогично для функций y(t)
и 2(f).
Для вектор-функций имеет место формула Тейлора.
Именно, если f(t) п раз дифференцируемая функция, то
fH + АО = / (О + А/f' (/) + • • • + (Г (/) + е (/, ДО).
где I е (0 Az') ] —5- 0 при 0.
В самом деле,	f (0 = х (0 ег + у (Z) е2 + z (t) е3. Но
X (t + ДО =	х(0 + Мх' (0 +	■ • •	+	(t) + S1),
У (t + AO =	У (0 + A/у' (0 +	• • •	+	ІУ^ (t) + e2),
2 (t + Д0 =	2 (0 + A/z' (0 +	• • •	+	(z<n> (t) + 63)-
25

Умножая эти равенства на elf е2, е3 соответственно, скла¬
дывая и замечая, что х^> (Z) ех + y'k} (/) е2 +	(t)e3 =	(/),
получаем формулу Тейлора для вектор-функции f(t).
Понятие интеграла в смысле Римана для векторной
функции вводится буквально так же, как для скаляр¬
ной функции. Интеграл вектор-функции обладает обыч¬
ными свойствами. Именно, если f(t) непрерывная на от¬
резке а < / < & вектор-функция и а < с < Ь, то
b	С	ь
$f(t) dt = $f(t) dt + $f(t)dt.
a	a	c
Если m — постоянная, то
b	b
§ mf(t)dt = m У f (/) dt.
a	a
Если r — постоянный вектор, то
ь	ь
^rf(t)dt =	(Z) dt,
a	a
b	b
§ r x f(f)dt = г x У / (0 dt.
a	a
Имеет место формула дифференцирования неопределен¬
ного интеграла
X
а
В заключение заметим, что параметрическое задание
кривой уравнениями
x = x(t), у = y(t), z = z(t)
эквивалентно заданию ее с помощью одного векторного
уравнения
Г = Г (/) = X (0 ех + у (t) e2 + z (/) е3,
где elf e2t e3 — единичные векторы, имеющие направле¬
ния координатных осей х, у, г.
26

§ 2. Касательная кривой
Черт. 8.
Пусть у — кривая. Р— точка на ней и g — прямая,
проходящая через точку Р, Возьмем на кривой точку Q
и обозначим ее расстояние от точки Р и прямой g через
d и h соответственно.
Мы будем называть прямую g каса¬
тельной к кривой 7 в точке Р, если
h/d-^Q, когда Q -> Р (черт. 8).
Если кривая у в точке Р имеет ка¬
сательную, то прямая PQ при Q-+- Р
сходится к этой касательной. Обратно,
если прямая PQ при Q Р сходится к
некоторой прямой g, то эта прямая яв¬
ляется касательной. Для доказательства
этого утверждения достаточно заметить,
что hid есть синус угла, образуемого пря¬
мыми g и PQ,
Теорема. Гладкая кривая 7 имеет в каждой точке ка¬
сательную и притом единственную.
Если
Г = Г(О
векторное уравнение кривой, то касательная в точке Р,
соответствующей значению параметра t, имеет направ¬
ление вектора г' (/).
Доказательство. Допустим, кривая 7 в точке Р, соот¬
ветствующей значению параметра t, имеет касательную g.
Пусть т — единичный* вектор, имеющий направление пря¬
мой g. Расстояние d точки Q, соответствующей значению
параметра t + Л/, от точки Р равно | г (t + At) — г (/) |.
Расстояние h точки Q от касательной равно | (г (t + А/) —
— r(0) X т I- По определению касательной
h І(г(/ д/) — г (/)) х г|	0
Но
|(Г(/+ Др -.г (О)хт|
|(' (/ + Д/)-г(/)) v J
Отсюда
I/ (/ + 4/) -г г (О I
I àt I
k'WI •
г' (О X т = 0.
27

А это возможно только тогда, когда вектор т имеет на¬
правление вектора /"'(/)• Таким образом, если касательная
существует, то она имеет направление вектора г' (/) и,
следовательно, единственна.
То, что прямая g, проходящая через точку Р и име¬
ющая направление вектора г' (/), является касательной,
также справедливо, ибо, как показывают предыдущие
выкладки, для такой прямой
Л _ I(r + А° -r (t)) х гН/П I	Iг' (і) X Г' (О I _ 0
d	|г(/+ Д/) —г(/)|	|г'(0Іа	~
Теорема доказана полностью.
Зная направление касательной, нетрудно составить ее
уравнение. Действительно, если кривая задана векторным
уравнением г = г (/), то вектор г произвольной точки на
касательной можно представить так:
г = г (0 + Xr' (/).
Это и есть уравнение касательной в параметрической
форме (параметр X).
Выведем уравнение касательной для различных слу¬
чаев аналитического задания кривой.
Пусть кривая задана уравнениями в параметрической
форме
х = х(/), y = y(t\ z = z(t).
Такое задание кривой эквивалентно векторному заданию
Г = Г (0 = х (0 + у (/) е2 + z (t) e3l
где eh е2, e3—единичные векторы по координатным
осям. Заменяя векторное уравнение
г = г (0 + Хг' (/)
тремя скалярными, получим уравнения касательной, соот¬
ветствующие параметрическому способу задания
х = X (/) + Хх' (/), у = z/ (/) + X/ (/), z = z (/) + Хг' (/)
или в эквивалентной форме
х — х (t) = y — y(f) _ ? — ? (0
х' (t) у' (0 г' (/)
28

Если кривая плоская и задана уравнениями
х = х(/), y = y(t),
уравнение ее касательной запишется так:
x — x(t) _ y — y(t)
x'(t)	y'(t) '
Уравнение касательной в случае задания кривой урав¬
нениями
У — У(х), z = z(x)	(*)
просто получается из уравнения касательной для случая
параметрического задания кривой. Достаточно заметить,
что задание кривой уравнениями (*) эквивалентно пара¬
метрическому заданию
х = /, y = y(t), z = z(t).
Уравнения касательной к кривой, заданной уравне¬
ниями (*), запишутся так:
? _ г =	_ * — <(*)
у'(х) - г'(х) ’
или в эквивалентной форме
У = У(х) + у'(х)(х — х),
г = г (х) -|- г' (х) (х — х).
В частности, если кривая плоская и задана уравнением
у = у (х), то уравнение касательной к ней будет
У = У(х) + у’(х)(х —X).
Составим, наконец, уравнение касательной к кривой,
заданной уравнениями
ср (х, у, г) = О, ф (х, у, г) = О,
в точке (х0, у0, г'о), где ранг матрицы
/?х <Pÿ
\Фх Ф, Фг/
равен двум. Пусть
х = х(0, y = y(t), z = z(t)
какая-нибудь регулярная параметризация кривой в
окрестности точки (х0, у о, z0).
29

Уравнение касательной к кривой в точке (х0, Уо, to)
Х — Хо = y — yQ = Z—Zq
*0' Уо
Таким образом, для получения уравнения касательной
достаточно знать Хо:#о:2о- Вычислим эти отношения.
Имеем тождества <р(х(/),	ф(х(/), //(0,
z(/)) = 0. Дифференцируя эти тождества по /, будем
иметь:
<РХ + ЧуУ’ +	= 0,
№ + V' + Фг2' = °-
Отсюда
х’
Чу Ч*
h
у' =
<?2 ?ХІ	|<Р* Чу
’J's W	Іфх tyy
и уравнение касательной примет вид:
x — xQ
Чу Чг I
У — Уо z — Zq
Чг Чх I	I Чх Чу I ’
’Рг I	I фх tyy I
где производные <рх, ср^, ... <р2 взяты в точке касания
(х0, i/o, z0).
Если кривая плоская и задана уравнением у (х, у) = О,
то уравнение касательной будет
X — XQ = у— yQ
Чх —Чу
Для вывода этого уравнения достаточно заметить, что
задание кривой в плоскости ху уравнением <р (х, у) — 0
эквивалентно заданию ее в пространстве уравнениями
ср (xf у) = 0, z = 0.
Нормальной плоскостью кривой в точке Р называ¬
ется плоскость, проходящая через точку Р перпенди¬
кулярно касательной в этой точке. Составить уравнение
этой плоскости после того, как известно уравнение
касательной для любого случая аналитического задания
кривой не составляет труда и предлагается в качестве
легкого упражнения.
30

§ 3. Соприкасающаяся плоскость кривой
7 в кажоои точке
Пpu этом соприка-
Черт. 9.
Пусть 7—кривая и Р — точка на ней, а — плоскость,
проходящая через точку Р. Обозначим h расстояние про¬
извольной точки Q кривой от плоскости а и d — расстояние
этой точки от точки Р.
Мы будем называть плоскость а соприкасающейся
плоскостью кривой 7 в точке Р, если отношение Л/d2О,
когда Q -> Р (черт. 9).
Теорема. Регулярная (по крайней мере, дважды не¬
прерывно дифференцируемая) крива*
имеет соприкасающуюся плоскость,
сающаяся плоскость либо единст¬
венная, либо любая плоскость, со¬
держащая касательную к кривой,
является соприкасающейся. Если
r = r(t)	Ï
уравнение кривой 7, то сопри¬
касающаяся плоскость в точке,
соответствующей значению пара¬
метра t, параллельна векторам
г' (/) и г” (/).
Доказательство. Пусть а—соприкасающаяся пло¬
скость кривой 7 в точке Р, соответствующей значению
параметра t. Обозначим е — единичный вектор нормали
к плоскости а. Расстояние точки Q, соответствующей
значению параметра t + Л/, от плоскости а
Л = |е(г(/ + Д/)-г(/))|.
Расстояние этой точки от Р
d = I r(t + At) —r(0|.
Имеем:
h ■_	| e (г (/4-Д/) — г (/)) |
d2 (г (/+ Д/) — г (/))2	—
е [г’ (t) М+ Д/2 + ЧД/2)| I	+ Ц I
=	(г' (0 д/ + е2Д/)2	=	г-'2 (0 4- ^2	•
Так как при At0 h/d2^~Q, s', е2'->0, а | г' (t) | =# О,
roer'(t) — Q, er"(t) = O. Таким образом, если соприка¬
сающаяся плоскость существует, то векторы г' (/) и г" (t)
параллельны ей.
31

В том, что соприкасающаяся плоскость всегда суще¬
ствует, нетрудно убедиться. Для этого возьмем плоскость а,
параллельную векторам г' (/) и г" (і) (по отношению к ну¬
левому вектору мы считаем любую плоскость ему парал¬
лельной). Тогда ег' (/) = er" (t) = 0 и,
следовательно, ~ = /2 (/) + е ' ПРИ
Таким образом, в каждой точке кривой существует
соприкасающаяся плоскость. Очевидно, соприкасающаяся
плоскость, будучи параллельна векторам г'(t) и г" (О,
будет единственной, если векторы г'(t) и г" (t) не парал¬
лельны. Если же эти векторы параллельны (или вектор
г" (/) = 0), то любая плоскость, проведенная через каса¬
тельную к кривой, будет соприкасающейся плоскостью.
Теорема доказана.
Составим уравнение соприкасающейся плоскости.
Пусть г = г (t) — векторное уравнение кривой и t — зна¬
чение параметра, соответствующее точке Р кривой. Пусть
в этой точке г'(t) и г" (t) не параллельные векторы.
Тогда г' (/) X г" (/) будет вектором нормали соприкасаю¬
щейся плоскости. Если г обозначить вектор произвольной
точки соприкасающейся плоскости в точке Р, то векторы
r — r(t) и г'(О X г" (t) перпендикулярны. Отсюда урав¬
нение соприкасающейся плоскости
(r-r(0)(r'(0xr’(0)=0
или
(Г-Г (0,	г"(0) = 0.
Из этого уравнения для случая параметрического
задания кривой
Х = Х(О, y — y(t)> Z — Z (t)
получаем уравнение соприкасающейся плоскости в виде
X — х(0, ÿ~y(t), z — z(t)
х' (0	у' (/)	г' (О
Х"(О	У" (t) Z”(t)
= 0.
Вывод уравнения соприкасающейся плоскости для
других случаев аналитического задания кривой предо-
ставляется читателю.
32

Каждая прямая, проходящая через точку кривой
перпендикулярно касательной, называется нормалью кри¬
вой. Среди этих прямых в случае, когда соприкасаю¬
щаяся плоскость является единственной, выделяются
две замечательные прямые: главная нормаль — нормаль,
лежащая в соприкасающейся плоскости, и бинормаль —-
нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.
Так как известно уравнение касательной и соприка¬
сающейся плоскости, то вывод уравнений главной нор¬
мали и бинормали не составляет труда и предостав¬
ляется читателю в качестве упражнения.
§ 4. Соприкосновение кривых
Пусть 7 и 7' — элементарные кривые, имеющие об¬
щую точку О. Возьмем на кривой 7' точку Р и обо¬
значим h ее расстояние от кривой 7, a d — расстояние
от точки О.
Мы будем говорить, что кривая 7' имеет с кривой
7 в точке О соприкосновение порядка п, если отношение
h!dn-+-bt когда Р->0 (черт. 10).
Пусть 7 и 7' — общие кривые, имеющие общую точ¬
ку О Мы будем говорить, что кривая 7' имеет с кри¬
вой 7 в точке О соприкосновение по-	по¬
рядка и, если элементарная окрест-	/'fi
ность точки О кривой 7' имеет сопри-
косновение порядка п с элементарной	Р
окрестностью кривой 7.	4
Теорема. Пусть 7 и 7' — регулярные
плоские кривые, <р (х, у) = 0 — урав- \
нение кривой а х = х (t), у = у (t) —
уравнения кривой 7'. Пусть в точ-	/
ке О (х0, і/0)	+	0.	Черт. 10.
Тогда, для того чтобы кривая 7' с
кривой 7 в точке О имела соприкосно¬
вение порядка п, необходимо и достаточно, чтобы при t,
соответствующем точке О, выполнялись условия:
<Р (X (/), у (/)) = 0, (х (0, у (0) = 0. • •. .
ÿ(0) = 0.
3 7.770
33

Доказательство. Пусть М точка кривой 7'. По опре¬
делению ее расстояние h(M) от кривой 7 есть точная
нижняя грань расстояний точек кривой 7 от точки М.
При достаточной близости точки A4 к О эта точная ниж¬
няя грань достигается для некоторой точки М кривой 7.
Покажем, что отрезок ММ направлен по нормали кри¬
вой 7 в точке М. В самом деле, пусть г (s) — вектор точ¬
ки кривой 7, а т — вектор точки М. Квадрат расстоя¬
ния точки М от точки кривой равен (г (s) — т)2. Для s,
соответствующего минимуму этого расстояния, имеем:
^(r(s)-m)2 = 0,
откуда (г (s) — т) г' (s) = 0, а это значит, что вектор ММ
направлен по нормали кривой 7 в точке М.
Пусть tj — направляющие косинусы прямой ММ.
Координаты точки М через координаты точки М могут
быть выражены следующим образом:
х — X + Ѵг, у = у + т]/і,
где h — расстояние точки М от кривой 7.
Координаты X, у точки 'М, как точки кривой 7, удов¬
летворяют уравнению <р (х, у) = 0. Таким образом,
? (х -НА, у + т)Л) = 0.
Отсюда
? (X, у) + Vt<f>x (X, у) + fih<?y (X, у) + Л2/? = 0,
где R ограничено в окрестности точки О(х0, у0).
При X х0, у yQ выражение	стремится
к пределу, отличному от нуля, так как представляет
собой скалярное произведение двух векторов с коорди¬
натами В, il и <рх, ср^, которые в пределе отличны от
нуля и направлены по нормали кривой 7 в точке О. Та¬
ким образом, величина h =	+ А2/?' при М -•> О
имеет порядок ср.
Пусть М на кривой 7' соответствует значению пара¬
метра /. Тогда ее расстояние от О, равное
\г (0 ~ Г (f0) I = I (t — /0) (г' (/0) + е) I,
при достаточной близости М к О имеет порядок 11 — /0
Отсюда следует, что для того чтобы кривая 7' имела
34

с кривой 7 в точке О соприкосновение порядка п, необ¬
ходимо и достаточно, чтобы
y(t))
(t-<o)n
О при
Но это значит, что все члены разложения функции
<р(х(/), у (f)) по степеням (t — /0) до n-го включительно
равны нулю.
Теорема доказана.
Пример. Найти параболу вида
У — (ао + аіх + • • • + û/X1) = О,
которая с кривой
У = ? W
в точке (0, <р (0)) имеет соприкосновение n-го порядка.
Согласно теореме при х = 0 и k = 0, 1, ... п.
dk
(? (х) — а0 — ахх - ... - а.Х) = °-
Откуда
ао = Ч>(О), ^ = <(0)	^	= ^>(0).
Искомая парабола:
ÿ = <p(0) + ?'(0)x + 4-?"(0)xa+ ... +і?(л)(0).
§ 5. Огибающая семейства кривых, зависящих
от параметра
Пусть S {Та} — семейство
гладких кривых на плоскости,
зависящих от параметра а.
Гладкая кривая т называется
огибающей семейства S, если
она в каждой своей точке ка¬
сается хотя бы одной кривой
семейства и каждым своим
отрезком касается бесконечного
множества кривых семейства
(черт. 11).
Пример. Гладкая кривая,
не имеющая прямолинейных
участков, является огибающей
Черт* 1L
своих касательных.
3’
35

Нижеследующая теорема в известной степени решает
вопрос о нахождении огибающей.
Теорема. Пустъ кривые ?а семейства S в области G
задаются уравнениями
<р (х, У, а) = 0, а < а < &,
где <р — непрерывно дифференцируемая функция по всем
аргументам, удовлетворяющая условию <f\ +	=# 0.
Тогда огибающая у семейства S (если она сущест¬
вует ) задается уравнениями
? (*, У, а) = 0, ?а (х, у, а) = О
в том смысле, что для каждой точки (х, у) огибающей
можно указать такое а, что системой значений х, у, а
будут удовлетворяться оба уравнения <р = О и <ра = 0.
, Доказательство. Пусть Р (х, у) — произвольная точка
огибающей 7. Могут представиться два случая:
1.	В точке Р касается бесконечное множество кривых
семейства: ^аі, 7аа, ...
2.	В точке Р касается только конечное число кривых
семейства: уаі, ... Тап.
Рассмотрим первый случай. Не ограничивая общности,
можно считать, что последовательность чисел ak сходится
к некоторому а0(а<а0<6). Так как точка Р принад¬
лежит каждой кривой то ср (х, у, ak) = 0. Отсюда
<Р (х, у, <хА) — <р (х, у, az) = (аА — а;) <ра (х, у, а*) = 0,
тде а* заключено между аЛ и az. Следовательно,
<ра (х, у, а*) = 0. При k и I со ak и az -> а0, поэтому
? (х, у, а0) = 0, fa (х, у, а0) = 0,
и утверждение теоремы в первом случае доказано.
Рассмотрим второй случай. Допустим, теорема не¬
верна и, следовательно, при любом аЛ(&=1, 2, ... п)
<Ра(х, У, а*) + 0
Обозначим <0^ замкнутую е — окрестность точки а*
на отрезке (a, Ь) и В малый отрезок огибающей у, со¬
держащий точку Р. Если е фиксировать, а 8 взять до¬
статочно малым, то для всякой кривой *[а, которая каса¬
ется 8, a принадлежит одной из окрестностей Если
допустить противное, то легко приходим к выводу, что
в точке Р кривой у касается некоторая кривая семейства,
отличная от кривых , что невозможно.
36

Обозначим mk множество точек отрезка 8, в которых
касаются кривые ?а при ассо^. Очевидно, mk является
замкнутым множеством. Построим отрезок 8, принадлежа¬
щий 8, обладающий по отношению к каждому мно¬
жеству tnk следующим свойством: либо множество mk
содержит полностью отрезок 8, либо оно не содержит ни
одной его точки. Такой отрезок 8 строится просто. Сна¬
чала строим отрезок 8', причем, если отрезок 8 содер¬
жится целиком в	то полагаем 8' = 8, если 8 не по¬
крывается множеством rnlt то в качестве 8' берем отрезок
на дополнительном к mi множестве 8 — mlt Дальше ана¬
логичным способом строим отрезок 8" с помощью от¬
резка 8' и множества /и2 и т. д. Конечным числом таких
операций мы приходим к отрезку 8, обладающему ука¬
занными свойствами.
Пусть множество mk содержит отрезок 8. При доста¬
точно малом s семейство кривых уа в окрестности точки
Р при а может быть задано уравнением
Ф (X, у) = а,
где ф (х, у) — непрерывно дифференцируемая функция,
удовлетворяющая условию фх + ф^ #= 0. Это следует из
нашего предположения о том, что в точке R <ра (х, у, ak) 0.
Кривая у на отрезке 8 может быть задана уравне¬
ниями X = X(/), t/ = ÿ(f), где х(/) и //(/) —непрерывно
дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию
х'2 4- у'2 =# 0. Обозначим а(/) значение параметра aczœ^,
отвечающего кривой уа, касающейся отрезка 8 в точке
(х(/), y(t)). Очевидно,
a (0 = Ф (х (/), у (/))
является непрерывно дифференцируемой функцией.
Имеем
а' = фАх' + ф^//'.
Так как х' и у' — компоненты касательного вектора
кривой 7, фх и — компоненты вектора нормали кривой
уа(/), а кривые уа (/) и 7 касаются в точке (/), то а'= 0
и, следовательно, a = const.
Таким образом, вдоль отрезка 8 кривой 7 касается
только одна кривая уа семейства при a cz следова¬
тельно, во всем семействе S найдется не более п таких
37

кривых. А по определению огибающей их должно быть
бесконечное множество. Мы пришли к противоречию.
Теорема доказана.
Замечание. Системе уравнений
? (х, у, а) = О,
<?« (-С, У, а) = о,
вообще говоря, могут удов¬
летворять кривые и не являю¬
щиеся огибающей. Например,
уравнению огибающей семей¬
ства кривых
(х — а)3 + (у — а)3 —
— 3 (х — а) Q/ — а) = О,
удовлетворяет прямая х = у,
которая, однако, не является
огибающей. Эта прямая со¬
стоит из узловых точек кри¬
вых семейства (черт. 12).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
1.	Для винтовой линии
X = cos /, у = sin t, Z = t
в точке (1, 0, 0) составить уравнения:
а)	касательной,
б)	соприкасающейся плоскости,
в)	нормальной плоскости,
г)	главной нормали,
д)	бинормали.
Ответ. Уравнение касательной:
X— 1 = у_ =
0	1	1 *
уравнение соприкасающейся плоскости:
У- г = 0;
уравнение нормальной плоскости:
У 4- г = 0;
уравнение главной нормали:
г/ = г = 0;
уравнение бинормали:
аг — 1 _ у __ г
0	1 —Г

2.	Составить уравнение касательной к кривой, заданной урав¬
нениями
х2 + У2, + 22 = 1, х2 + у2 = X
в точке (0, 0,1).
Ответ.
X _ у _Z — 1
0	1	0
3.	Найти уравнение параболы вида
у = X2 4- ах + Ь,
касающейся окружности
X2 + у2 = 2
в точке (1, 1).
Ответ, у -= X2 — Зх 4- 3.
4.	Найти кривую у = у (х), если известно, что длина отрезка ка¬
сательной между точкой касания и точкой пересечения касательной
с осью X постоянна и равна а.
Ответ. Трактриса :

с ± X = а In 			— 4- У а2 — у2.
5.	На бинормалях простой винтовой линии отложены отрезки
одной и той же длины. Найти уравнение кривой, образуемой кон¬
цами этих отрезков.
Ответ. Винтовая линия.
6.	Под каким углом пересекаются кривые
ху = X2 — у2 = с2?
7.	Если кривая 7 на плоскости пересекает кривые семейства
ср (х, у) = const (У 4- с? =# 0)
Л У
под прямым углом, то она удовлетворяет уравнению
dx _ dy
Доказать.
8.	Найти семейство кривых, пересекающих под прямым углом
все окружности, проходящие через две данные точки плоскости.
Ответ Семейство окружностей.
9.	Найти уравнение окружности, имеющей с параболой у = х2
в ее вершине соприкосновение второго порядка.
Ответ X2 4- у2 = у.
10.	Найти огибающую семейства прямых, отсекающих от коор¬
динатного угла XOY треугольник с площадью 2а2.
Ответ. Ветвь равнобокой гиперболы ху = а2, расположенная в
угле XOY
11.	Найти огибающую семейства прямых, на которых коорди¬
натные оси вырезают отрезок постоянной длины а.
Ответ. Астроида:
2	2	_2
|х| 3 +Ы 3 =а3.
39

12.	Найти огибающую траекторий материальной точки, выбра¬
сываемой из начала координат со скоростью о0.
Ответ. Парабола безопасности
2
V
О
2g
лучей, исходящих из начала
у 2оа
О
(g—ускорение силы тяжести).
13.	Найти огибающую световых
координат после их отражения от окружности
X2 + у2 = 2ах.
Ответ. Улитка Паскаля:
(хг + уг — 2ах)г + — X2 + уг
О \
16ах
~9~.
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ К ГЛАВЕ II
1.	Пусть 7 — кривая и Р —точка на ней, g — прямая, проходя¬
щая через различные точки кривой Я и S. Говорят, что кривая 7
имеет в точке Р касательную в сильном смысле, если прямые g
при R и S -> Р сходятся к некоторой прямой gp.
Доказать, что если кривая гладкая, то она имеет в каждой точке
касательную в сильном смысле, эта касательная совпадает с каса¬
тельной в смысле обычного определения, данного в § 2.
Если кривая имеет в каждой точке касательную в сильном
смысле, то она (кривая) гладкая.
2.	Доказать, что если касательные гладкой кривой проходят
через одну и ту же точку, то кривая представляет собой отрезок
прямой, или полупрямую, или целую прямую.
3.	Показать, что касательные винтовой линии
X = a cos œ/, у = a sin со/, z = bt
наклонены под постоянным углом к плоскости ху. Показать, что
главные нормали винтовой линии пересекают ось г.
4.	Инверсией называется такое преобразование, при котором со¬
ответствующие точки располагаются на одной, идущей из некоторой
фиксированной точки S (центра инверсии) полупрямой, а произве¬
дение расстояний их от <S постоянно. Доказать, что при инверсии
углы между кривыми сохраняются.
5.	Доказать, что если касательные кривой параллельны неко¬
торой плоскости, то кривая плоская.
6.	При каком условии прямые gf.
( ai (О X + Ьг (/) у -h Ci (/) z + dr (/) = О,
l a2 (О X + b2(t) y -f- c2 (/) z 4- d2 (/) = 0
являются касательными к некоторой кривой
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Найти эту кривую.
40

7.	Составить уравнение соприкасающейся плоскости кривой, за-
данной уравнениями
ср (X, у, г) = О, I (х, у, г) = О,
в точке (х0, і/0, г0).
8.	Пусть 7 — кривая и Р — точка на ней, а — плоскость, проха-
дящая через различные точки кривой Q, R и S. Говорят, что кри¬
вая 7 имеет в точке Р соприкасающуюся плоскость в сильном смыс¬
ле, если плоскости а при Q, Р и S -► Р сходятся к некоторой плос¬
кости ар.
Доказать, что если регулярная (дважды непрерывно дифферен¬
цируемая) кривая в точке Р имеет единственную соприкасающуюся*
плоскость в обычном смысле (§ 3), то она имеет в этой точке со¬
прикасающуюся плоскость в сильном смысле и они совпадают.
9.	Восстановить кривую
х = х(0, y = y(t), z = z(t)
по ее соприкасающимся плоскостям
A (t) X + В (0 у + С (/) г + D (0 = 0.
10.	Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости кривой^
проходят через одну и ту же точку, то кривая плоская.
11.	Доказать, что условие, необходимое и достаточное для того
чтобы кривая
х = X (0, у = у (t), z = z(f)
была плоской, состоит в том, чтобы
X' у' Z'
х" /' а"
х'" у"’ z"'
= 0.
12.	Доказать, что свойство соприкосновения кривых взаимно,,
т. е., если гладкая кривая имеет с гладкой кривой у2 соприкосно¬
вение порядка и, то кривая у2 имеет с кривой -ц в той же точке со¬
прикосновение порядка п.
Показать на примере, что требование гладкости существенно.
13.	Пусть кривые у1? ?2 и 73 имеют общую точку Р, в которой*
кривые и у2, ?2 и ?3 находятся в соприкосновении порядка п.
Тогда кривые и ?3 имеют в Р также соприкосновение порядка и.
14.	Доказать, что если кривая в каждой точке имеет соприкос-.
новение третьего порядка с соприкасающейся плоскостью, то эта кри¬
вая плоская.
15.	Между точками координатных осей х и у установлено проек¬
тивное соответствие -
aS-₽ï^0.
Доказать, что семейство прямых, соединяющих соответствующие*
точки осей, огибает кривую второго порядка.
16.	Доказать, что если однопараметрическое семейство кривых,
на плоскости задается уравнениями
2 а ? (х, У, а, ₽) = 0, / (а, |3) = 0,
причем /а + /р =/= 0, то огибающая этого семейства удовлетворяет
уравнениям
? = 0, / = о, îe + x/e = o, Ÿp + Vp = O
0

е том смысле, что для каждой точки (х, у) огибающей можно ука¬
зать такие а, р и X, которые вместе с х и у будут удовлетворять
указанным четырем уравнениям.
Уравнение огибающей в неявном виде может быть получено пу-
тем исключения а, р, X из этих четырех уравнений.
Глава III
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ, СВЯЗАННЫЕ
С ПОНЯТИЕМ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ
§ 1. Длина дуги кривой. Естественная
параметризация
Пусть у — элементарная кривая, являющаяся образом
открытого отрезка g при топологическом отображении f.
Относительно ломаной Г (черт. 13) мы будем говорить,
что она правильно вписана в кри¬
вую 7, если прообразы ее вершин
на g следуют в таком же порядке,
как и на ломаной. Свойство лома¬
ной быть правильно вписанной в кри¬
вую не зависит от гомеоморфизма f.
Кривая называется спрямляемой
в окрестности точки Р, если эта
точка имеет элементарную окрест¬
ность такую, что все правильно
вписанные в нее ломаные равномерно
Черт. 13. ограничены по длине. Кривая, спрям¬
ляемая в окрестности каждой своей
точки, называется просто спрямляемой.
Отрезком кривой мы будем называть ее часть, гомео¬
морфную замкнутому прямолинейному отрезку. Длиной
дуги отрезка (или просто дугой) будем называть верхнюю
грань длин правильно вписанных в этот отрезок ломаных.
Теорема. Гладкая кривая 7 спрямляема. Если
г = r(t)
ее гладкая параметризация и	< b) — отрезок кри¬
вой 7, то длина этого отрезка
S(ï) = J \r'(t)\dt.
42

Доказательство. Пусть Р — произвольная точка кри¬
вой и г = г (t) — гладкая параметризация кривой в окре¬
стности этой точки. Оценим длину правильно вписанной
в окрестность а < t < р точки Р ломаной Г.
Пусть tu t2, . . . tn — значения параметра, соответст¬
вующие последовательным вершинам ломаной. Длина
звена ломаной, соединяющего вершины (t^) и (/z), равна
j г (/,) — г (//-J |. Длина всей ломаной
s (Л = Sk(O —
і
Имеем:
Г {th — г St= $ r'(t)dt.
ZZ—1
Отсюда
I Г (/,) - Г (/,_,) I < Д I Г' (/) I dt < (Z;. - t^) М,
і~ 1
где A4 — постоянная, удовлетворяющая условию \rf (t) | <
< М: Следовательно,
s (Г) < A4L (/,- -	= M (р - a).
Таким образом, длины ломаных Г, вписанных в достаточ¬
но малую окрестность точки Р, ограничены в совокупности
и, следовательно, кривая у спрямляема.
Найдем длину отрезка у кривой 7, заданного уравне¬
нием
г = г (/), а < t < b.
Во-первых, заметим, что, дословно повторяя предыду¬
щее рассуждение, убеждаемся в равномерной ограничен¬
ности длин ломаных, вписанных в отрезок 7. Следова¬
тельно длина дуги отрезка 7 конечна.
Впишем в отрезок 7 ломаную Г, удовлетворяющую сле¬
дующим условиям: 1) длина ломаной Г отличается от
длины дуги отрезка 7 не более чем на s; 2) для всех
i I — t{ I < В. Здесь е и 5 — любые положительные чис¬
ла. Существование такой ломаной нетрудно усмотреть.
В самом деле, существует ломаная Г, удовлетворяющая
43

первому условию по определению длины дуги отрезка
кривой. Пополняя ее новыми вершинами, мы не нару¬
шаем первого условия. Вместе с тем этим пополнением
можно удовлетворить и второму условию. При этом можно
считать также, что начальной вершиной ломаной является
точка (а), а конечной — (Ь).
Имеем:
ь
г = уіг'(оі^ +
і	а
Ь
+ Е (Л - Л-і) I г’ (/,) I — У I г' (О I dt} +
+ Е іг -г I - S 1 г'I ) • <*>
і	і
Левая часть этого равенства отличается не более чем на
е от s (7) по построению Г. Что касается правой части,
то она сколь угодно близка к
ь
а
Действительно, второй член правой части мал вместе
с 5 по определению интеграла.
Третий член допускает представление
SI Sг'wdtI—S SIr'&)Idt
и, следовательно, по абсолютной величине не превосходит
ь
S J lr'(0 — Г' (ti)\dt = ÿtf}dt,
ti—1	a
где e (/) -> 0 при S 0 в силу равномерной непрерывности
функции г' (/). Итак, третий член равенства (*) мал
вместе с В.
Таким образом, мы приходим к выводу, что длина
отрезка у кривой 7 сколь угодно мало отличается от
b
Ji г'(о ил
а
а, следовательно, равна ему.
Теорема доказана полностью.
44

Пусть 7 — спрямляемая кривая, г = г (/) — какая-ни¬
будь ее параметризация. Пусть s(f) -—длина дуги отрезка
tot кривой 7. Определим функцию о(/) условиями:
s(/) = s(0,
а(/) = — s (/),
о (to) = 0.
если t0 <t;
если t0 > t\
Функция <з(/) строго монотонна. Поэтому о можно при¬
нять в качестве параметра на кривой. Такую параметри¬
зацию мы будем называть естественной.
Теорема. Естественная параметризация регулярной
(k раз дифференцируемой, аналитической) кривой без осо¬
бых точек является регулярной (k раз дифференцируемой,
соответственно аналитической). Если г = г (а) естест¬
венная параметризация кривой, то
ІГ'(О)| = 1.
Доказательство. Пусть г = г (t) — какая-нибудь регу¬
лярная параметризация кривой у в окрестности произ¬
вольной точки, соответствующей значению параметра ох.
Для каждого отрезка, принадлежащего этой окрестности,
имеем
0-01 = Jj/r'2 (t)dt.
G
Так как d<sldt = ]Лг'2 (/) > 0, a r(f) k раз дифференци¬
руемая функция от t, то t является k раз дифференци¬
руемой функцией а. Но для о, близких к ох, г (а) = г (/(а)).
Отсюда следует, что г (а) — регулярная (& раз дифферен¬
цируемая) функция.
dr (ст) _ dr (t) dt	 dr (/)	1
d<s — - dt da ~~ dt \£ (/)
Следовательно,
Теорема доказана.
В заключение дадим формулы для длины дуги регу¬
лярной кривой для различных случаев аналитического
задания кривой.
45

1.	Кривая задана уравнениями:
х = х(/), y = y(t\ z = z(t\
S (G, t2) = JI r' (t) \dt = $ /х'2+/2 + г'2 dt.
/1	6
2.	Кривая задана уравнениями:
У = У W» z = z (х),
s (хь х2) = J У \ + у'2 + z'2 dx.
Для плоских кривых, лежащих в плоскости ху, в этих
формулах надо положить z' = 0.
§ 2. Кривизна кривой
Пусть Р — произвольная точка регулярной кривой y
и Q — точка кривой, близкая к Р. Обозначим Aft угол
между касательными кривой в точ¬
ках Р и Q, а I As I — длину дуги от¬
резка PQ кривой (черт. 14).
Кривизной кривой y в точке Р
мы будем называть предел отноше¬
ния Aft/|As|, когда точка Q->P.
Теорема. Регулярная (дважды
непрерывно дифференцируемая) кри¬
вая имеет в каждой точке опреде¬
ленную кривизну k±. Если
r = r(s)
естественная параметризация кривой, то
k, = \r"^ |.
Пусть точкам Р и Q соответствуют
значения параметра s и s + As. Угол Aft
равен углу между единичными каса¬
тельными векторами т (s) = г' (s) и
т (s + As) = г' (s + As).
Так как векторы т (s) и т (s + As)
единичные и образуют угол Д8, то
I т (s + As) — т (*s) I = 2 sin у (черт. 15).
2
Черт. 15.
46

Поэтому
о . да . да
I т (s + Ді) — T (s) I = 2sln 2 _ Sin~2 Д»
I As I	I As I Aft I As I *
'2
Замечая, что A& -> О при | As I -> О по непрерывности т (s\
и переходя к пределу, получим:
I г" (s) I = kt.
Теорема доказана.
Пусть в данной точке кривой кривизна отлична от
нуля. Рассмотрим вектор v = ^r"(s). Вектор ѵ единич-
«1
ный и расположен в соприкасающейся плоскости кривой
(§ 3 гл. II). Кроме того, этот вектор перпендикулярен
касательному вектору т, так как т2 == 1 и, следовательно,
тт' =	= 0. Таким образом, этот вектор направлен по-
главной нормали кривой. Очевидно, направление вектора
V не изменится, если изменить начало отсчета дуг s или
направление отсчета. В дальнейшем, говоря об единичном
векторе главной нормали кривой, мы будем иметь в виду
вектор V.
Очевидно, вектор т х ѵ = (3 направлен по бинормали
кривой. Этот вектор мы будем называть единичным век.'
тором бинормали кривой.
Найдем выражение для кривизны кривой в случае
любого параметрического задания. Пусть кривая задана
векторным уравнением
г = r(t).
Выразим вторую производную вектор-функции г по дуге s
через производные по t. Имеем:
г' = r's'-
Отсюда
г'2 = s'2.
Следовательно,
, г
Г- = ~г= •
s /г'2
Дифференцируя это равенство еще раз по получим:
r"ç'= Г"	(r7ZZ)f/
SS /г'2	(/r'2)3 ’
47

Возводя это равенство в квадрат и замечая, что s'2 =
= г'2, будем иметь:
«1 —	(Г'2)3
«ли, что то же самое,
(Г’ХГ"У
К1 —	(г'2)3	•
Отсюда для кривизны кривой, заданной уравнениями
X = X (/), у = у (/), Z = Z (О,
получаем
k,_ ш+ш+ш
1 “	U'2 + у'2 + г'2)3
Если кривая плоская и расположена в плоскости ху,
h2 _ (*"у' —у"х')2
U'2 + /2)3 •
Если плоская кривая задана уравнением у = у (х),
Æ2 _	У"2
1 ” (1 + /2)3 *
Замечание. Кривизна кривой по определению не¬
отрицательна. Для плоских кривых во многих случаях
целесообразно отнести кривизне знак,
\лг' считая ее в одних случаях положитель-
Aç ной, в других — отрицательной. При
z	этом пользуются следующим соображе-
нием. Касательный вектор г' (t) кривой
rsÇ	при движении вдоль кривой в направ-
I К* О	лении возрастающих t поворачивается.
В зависимости от направления враще-
ния вектора г’(t) кривизну считают
Черт. 16. положительной или отрицательной
(черт. 16). Если определить этим усло¬
вием знак кривизны плоской кривой, то для нее полу¬
чается формула:
.	х" у’ — у" х’	1 хпу’ — у"х'
k = — 	—- или k  			—- .
U'2 +	(х'2 + г/'2)’3’
В частности, для задания кривой уравнением ÿ = ÿ(x)
k =		—- или k  		—— .
(1 + у'2Г	(1 + у,2Ѵ
де

В заключение найдем все кривые, имеющие в каждой
точке кривизну, равную нулю. Имеем:
kx = Iг” (s) I = 0.
Отсюда г" (s) = 0 и, следовательно, г (s) = as + b, где
а и b — постоянные векторы.
Таким образом, кривая, имеющая всюду кривизну, рав¬
ную нулю, является либо прямой, либо открытым отрез¬
ком прямой. Обратное также верно.
§ 3. Кручение кривой
Пусть Р —- произвольная точка кривой у и Q — точка
кривой, близкая к Р. Обозначим А& угол между сопри¬
касающимися плоскостями
кривой в точках Р и Q,
а і As I — длину отрезка PQ
кривой. Под абсолютным
кручением |Л2| кривой 7 в
точке Р мы будем понимать
предел отношения Aft/1 As (
когда Q->P (черт. 17).
Теорема. Регулярная
(трижды непрерывно диффе¬
ренцируемая) кривая в каж-	Че т 17
дой точке, где кривизна от-	ерт'
лична от нуля, имеет определенное абсолютное круче¬
ние I k21. Если
r = r(s)
естественная параметризация кривой, то
Доказательство. • Если кривизна кривой 7 в точке Р
отлична от нуля, то по непрерывности она отлична от
нуля в точках, близких к Р. В каждой точке, где кри¬
визна отлична от нуля, векторы г'(s) и г" (s) отличны
от нуля и не параллельны. Поэтому в каждой точке Q,
близкой к Р, существует определенная соприкасающаяся
плоскость.
Пусть P(s) и р (s + As) — единичные векторы бинор¬
мали в точках Р и Q кривой у. Угол Aft равен углу между
векторами р (s) и р (s + As).
4
7-770
49

Так как векторы p(s) и р (s-J- Asï единичные и обра¬
зуют угол Aft, то I р (s + As) — р (s) I = 2 sin . Поэтому
I ₽ (s + As) — 3 (s) I _ 2 Sln ~2 = Sin 2 АЯ
I As I	“ I As I “ Aft ’ I As I *
‘2
Отсюда, переходя к пределу при | As 1 -> О, получаем
І*2| = І₽'|.
Вектор р' перпендикулярен р, так как р'р = Ц-Р2^ =0.
Нетрудно видеть, что он перпендикулярен и т.
В самом деле
р' = (т X ѵ)' = т' X V + T X ѵ'.
Но т' Il V. Поэтому р' = т X ѵ', откуда следует, что р'
перпендикулярен т. Таким образом, вектор р' параллелен
вектору V и, следовательно,
\^\-= КА |.
Подставляя сюда ѵ = г" и 0 = —— , получим:
Теорема доказана полностью.
Определим теперь кручение кривой.
Из параллельности векторов р' и ѵ следует, что при
движении вдоль кривой в сторону возрастающих s со¬
прикасающаяся плоскость кривой
1	поворачивается около касательной
кривой. В связи с этим мы опре-
делим кручение кривой равенством
k2=+\ k2\
1	u будем брать знак (+), если вра-
If~~щение касательной плоскости про-
t	L J	исходит в направлении от р к ѵ,
и (—), если вращение происходит
Черт. 18. в направлении от ѵ к р. Опре¬
делив так кручение кривой, бу¬
дем иметь /г2 = р'ѵ или
. _ (Л Л г'")
“2 —	?2

*1
60

Найдем выражение для кручения кривой в случае любой
регулярной параметризации r = r(t). Имеем:
r's = гТ, r"s = r''t'2 + r't'',
4 = ^'3 +
где {г', г"} — линейная комбинация векторов г' и г”. Под¬
ставляя найденные выражения для r*s, г" и r'^s в фор¬
мулу для k2 и замечая, что t,2 = ~2, получим
ь	(г', г", г'")
*2 “	(г' X г")* •
В заключение этого параграфа найдем все кривые,
у которых в каждой точке кручение равно нулю. Имеем:
k2 = Р'ѵ = 0.
Так как, кроме того, Р'г = 0 и Р'Р = 0, то р' = 0, р =
= Ро = const.
Векторы тир перпендикулярны. Поэтому г'р0 = 0.
Отсюда (г (s) — г0) Ро = 0» что значит кривая лежит в плос¬
кости, заданной векторным уравнением (г —- г0) р0 = 0.
Итак, кривая, у которой кручение в каждой точке
равно нулю,— плоская. Обратное также верно.
§ 4. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой
Три полупрямые, исходящие из точки кривой и имею¬
щие направления векторов т, ѵ, р, являются ребрами трех¬
гранного угла. Этот трехгранный угол называется есте¬
ственным трехгранником.
При исследовании свойств кривой в окрестности про¬
извольной точки Р во многих случаях оказывается удобным
выбрать декартову систему координат, приняв точку Р
кривой за начало координат, а оси естественного трех¬
гранника за оси координат. Ниже мы получим уравне¬
ние кривой при таком выборе системы координат.
Выразим производные векторов т, ѵ, р по дуге кривой
через сами векторы т, ѵ, р. Имеем
е = г" = k^.
Для получения р' вспомним, что вектор р' параллелен ѵ,
а р'ѵ = k2. Отсюда
P' SS Й2Ѵ.
4*
61

Наконец,
v' = (P X -t)' = P' X t -|- P X t' = &2v X T 4- feip X V =
= — (kl? + k.$).
Систему формул
т' = ky,
v' = — éjT — k2ft,
P' = k2v
называют формулами Френе.
Найдем разложение радиус-вектора г (s + As) в окре¬
стности произвольной точки Р, соответствующей дуге s,
по осям естественного трехгранника в этой точке. Имеем:
Г (s + As) = Г (s) + Asf' (s) + -g- rn (s) 4- -g- r"r (s) 4- • • •
Но в точке P r = 0, r' = t, r” = rm = k\y — fejx —
— kYk2$, ... и T. д. Таким образом,
/ I л \ /л	**As3 ,	\	!	IM*2 I *i'As3	■	\	■
r (s 4- As)	= ^As	g- 4-	• • J * 4-	4-	4-	• • • ]> 4-
I __ ^Ms3 k
Отсюда, принимая касательную, главную нормаль и би¬
нормаль за оси X, у, z декартовой системы координат,
получаем уравнение кривой, отнесен¬
ій	ной к осям естественного трехгранника
Черт. 19.
k^s2 . k[ As3 .
у = пг + -V+ •••
__ k^s3 I
6	’
Проекции кривой на плоскости
естественного трехгранника в окрестно¬
сти его вершины задаются соответ¬
ствующими парами этих уравнений.
Вид проекций при kL =# 0 и k2 =/= 0 по¬
казан на черт. 19.
Мы видели, что коэффициенты раз¬
ложения функции г (s 4- As) в ряд по
степеням As выражаются только через
кривизну и -кручение кривой. Это дает основание пола¬
гать, что кривизна и кручение в какой-то мере опреде¬
ляют кривую. И действительно, имеет место
52

Теорема. Пусть kL(s) и k2(s)— любые регулярные
функции, причем k1(s)>0. Тогда существует и притом
единственная, с точностью до положения в пространстве,
кривая, для которой kY (s) является кривизной, a k2 (s) —
кручением в точке, соответствующей дуге s.
Доказательство. Если кривая, существование которой
утверждается теоремой, действительно существует, то
единичные векторы касательной, главной нормали и би¬
нормали этой кривой т (s), V (s), р (s) удовлетворяют си¬
стеме дифференциальных уравнений
= k,fl
fl' --- —kJ. — kJ.	(*)
С' = krt
в силу формул Френе.
Естественно поэтому при разыскании интересующей
нас кривой (с кривизной kt (s) и , кручением k2 (s)) обра¬
титься к решениям системы (*).
Пусть £ (s), т] (s), С (s) — решение этой системы, удов¬
летворяющее начальным условиям: при s = s0, В = Во,
т) = т]о. — О, где Во, т]0, Со — три единичные взаимно¬
перпендикулярные векторы, смешанное произведение ко¬
торых (Во, 7)0, Со) = 1.
Покажем, что векторы В (s), т) (s), С (s) единичные и взаим¬
но-перпендикулярные ПрИ ЛЮбоМ S И (В, 7), С) = 1. Для этого
вычислим (В2)', (т)2)' (С2)', (£т])', (7]С)', (СВ)'. Используя уравне¬
ния системы, для этих производных получаем следующие
выражения:
(В2)' = 2k, (Вт)), (Вт))' = k, (т)2) - k, (В2) - k2 (ВС),
(Т)2)' = -k, (Вт)) - k2 (7)0,	(7)0' = k2 (т)2) - fe2 (С2) - k, (ВС),
(С2)' = 2k2 (7)0, (СВ)' = k, (7)0 + k2 (Вт)).
Рассматривая эти равенства как систему дифферен¬
циальных уравнений для В2, т)2, С2, Вт), tjC, СВ, замечаем,
Что она удовлетворяется значениями В2 = 1, т)2 = 1, С2 = 1,
Вт) = 0, т)С = О, СВ = 0; С другой стороны, эта система
удовлетворяется значениями В2 = В2 (s), т(2 = т)2 (s), ...
(СВ) = С (s) В (s). Оба эти решения совпадают при s = s0,
а следовательно, по теореме о единственности решения
совпадают тождественно. Итак, для всех s
B2(s) = 1, 7(2(s)= 1, ... C(s)B(s) = O.
Покажем, что (В (s), т) (s), С (s)) = 1. Так как В, т),
С — единичные взаимно-перпендикулярные векторы, то
53

(S, 'П, С) = ±1. Смешанное произведение (В, і], Q непре¬
рывно зависит от s, при s = s0 оно равно 4-1, поэтому
оно равно +1 Для всех s.
Рассмотрим теперь кривую 7, определяемую векторным
уравнением
S
г = У £ (s) ds.
So
Во-первых, заметим, что параметризация кривой 7
естественная. В самом деле, длина дуги отрезка sos кри¬
вой 7 равна
s	S
J I г' (s) I ds = j I Ц$) I ds = s — s0.
So	So
Кривизна кривой 7 равна | r" (s) | = | B' (s) | = kx (s). Кру¬
чение кривой 7 равно
_ (г'г'Ѵ") = _ (Ê, fep], + krf) =
kï	kï
=  (E,	(—*iE —	=	(s)
Таким образом, кривая 7 имеет в точке, соответствую¬
щей дуге s, кривизну k^s) и кручение fe2(s).
Существование кривой доказано. Докажем единствен¬
ность.
Пусть 7і и 72 — две кривые, которые в точках, со¬
ответствующих дуге s, имеют одинаковые кривизны kL(s)
и кручения k2(s). Совместим кривые 7Х и 72 точками,
соответствующими дуге s0, и естественными трехгранни¬
ками в этих точках. Пусть ть ѵь Pj и т2, ѵ2, р2— еди¬
ничные векторы касательных, главных нормалей и би¬
нормалей кривых 7j и 72 соответственно.
Тройки вектор-функций ^(s), v^s), ₽i(s) и t2(s), v2(s),
p2 (s) являются решениями системы уравнений для В, L
Начальные значения этих решений совпадают. Отсюда
следует, что решения совпадают тождественно. В част¬
ности, t1(s)^t2(s), или ri(s) = r2(s). Интегрируя это
равенство в пределах s0, s» получим:
ri(s) = r2(s).
Таким образом, кривая 72 отличается от 71 только
положением в пространстве.
Теорема доказана полностью.
54

Систему равенств
kk = ki (s), k2 = fe2 (s)
называют натуральными уравнениями кривой. Согласно
доказанной теореме кривая натуральными уравнениями
определяется однозначно с точностью до движения.
§ 5. Плоские кривые
В этом параграфе мы рассмотрим соприкасающуюся
окружность плоской кривой, эволюту и эвольвенту.
Пусть 7 — плоская кривая, Р — точка на ней. Окруж¬
ность X, проходящая через точку Р, называется сопри¬
касающейся окружностью кривой у в точке Р, если кривая
в этой точке с окружностью имеет соприкосновение вто¬
рого порядка. Центр соприкасающейся окружности назы¬
вается центром кривизны кривой.
Найдем соприкасающуюся окружность регулярной кри¬
вой 7 в точке Р, где кривизна отлична от нуля. Пусть
г = г (s) — естественная параметризация кривой. Уравне¬
ние произвольной окружности имеет вид
(г — а)2 — Р2 = О,
где а — вектор центра окружности, а Р —радиус.
Согласно теореме §4 гл. II для соприкосновения второго
порядка кривой 7 с окружностью в точке Р необходимо
и достаточно выполнение в этой точке следующих условий:
(г (s) — я)2 — P2 = О,
{(Г (s) — а)2 — R2} = 2 (г (s) — а) г' (s) = О,
{(г GO - й)2 - *2} = 2Н + 2 (г (s) - а) г" (s) = 0.
Из этих трех условий первое выражает

собой то, что точка Р лежит на окруж- Xх*
ности. Из второго условия видно, что	\
вектор (г (s) — а), направленный из центра If о ]
окружности в точку Р, перпендикулярен К / J
касательной к кривой; это значит, что
центр окружности лежит на нормали кри-	,
вой (черт. 20). Третье условие определяет
радиус круга. В самом деле, г'2 (s) = 1,
r”(s) = k^ и так как | г (s) — а \ в точке Р Черт. 20.
есть радиус круга R и вектор (г (s) — а)
параллелен вектору ѵ, то 1 — Rk = 0. Таким образом,
радиус соприкасающегося круга равен радиусу кривизны
55

кривой. Отсюда следует, что если кривизна в точке Р
равна нулю, то не существует соприкасающейся окруж¬
ности кривой в точке Р. В этом случае окружность вы¬
рождается в прямую, и касательная кривой имеет с ней
(кривой) соприкосновение второго порядка.
Мы нашли радиус и положение центра соприкасаю¬
щегося круга. Определим теперь эволюту кривой.
Эволютой кривой называется геометрическое место
центров кривизны кривой.
Найдем уравнение эволюты регулярной кривой 7.
Пусть г = г (s) — естественная параметризация кривой.
Тогда вектор центра кривизны кривой
, 1
r = r + Tv.
Выясним, что представляет собой эволюта кривой. Мы
ограничимся рассмотрением следующих основных случаев:
1.	Вдоль всей кривой fe'(s)>0 или &'(s)<0 и k (s)
не обращается в нуль..
2.	Вдоль всей кривой &'($)> 0 или é'(s)<0, k (s)
обращается в нуль при s = s0.
3.	Для s < s0 fe'(s)>0, для s > s0 é'(s)<0, fe'(so)=O,
&"(so)#=O, k(s) не обращается в нуль.
В первом случае эволюта представляет собой регу¬
лярную кривую без особых точек (черт. 21а). Действи¬
тельно,
г'= (г + т) = т + (~ Т +ѵ (т) )= ~ѵ і * °-
Во втором случае эволюта распадается на две регу¬
лярные кривые, являющиеся эволютами частей кривой
7 s < s0 и s > So (черт. 216).
В третьем случае эволюта представляет собой регу¬
лярную кривую. Точка эволюты, соответствующая точ¬
ке s0 кривой, является особой точкой, именно точкой
возврата первого рода (черт. 21в). Покажем это.
При s = s0
Отнесем эволюту к прямоугольным координатам, приняв
точку Q (So) эволюты за начало координат, а касательную
56

и нормаль кривой 7 в точке Q(s0) за направления осей
хну. При таком выборе системы координат будем
иметь:
у - т (т) <s - »«>’ + ■ • •
Отсюда следует, что точка Q(s0) эво¬
люты является особой точкой, именно
точкой возврата первого рода.
Рассмотрим некоторые свойства эво¬
люты.
Пусть 7 — регулярная кривая, для
которой всюду k' (s) сохраняет знак
и k(s) нигде не обращается в нуль.
В этом случае, как мы показали, эво¬
люта 7 кривой 7 является регулярной
кривой без особых точек.
Найдем длину дуги отрезка эво¬
люты, соответствующего отрезку 5хз2
кривой. Имеем:
So
Черт. 21.
точках, соответ-
S2	S2
S(sb s,) = J|r'Ids = J|(y) ps.
s,	sx
Отсюда, так как k' сохраняет знак,
получаем:
S(S1> S2)= |Ш) — Ж) Ь
Таким образом, длина дуги отрезка
эволюты равна абсолютной величине
разности радиусов кривизны кривой в
ствующих концам этого отрезка.
Покажем, что эволюта 7 является огибающей нор¬
малей кривой 7. Действительно, точка Q(s) эволюты ле¬
жит на нормали кривой в точке Q(s). Касательная эво¬
люты в точке Q (s) имеет направление г' = ѵ , а сле¬
довательно, совпадает с нормалью кривой в точке Q(s).
57

Пусть кривая задана уравнениями:
х = х(О, у = y(t).
Найдем ее эволюту как огибающую нормалей кривой.
Уравнение нормали
(X - х (/))%'(/) + (У - У«))у'(і) = 0.
Следовательно, огибающая задается уравнениями
(х — х)х' + (у~у)у' = 0
(х — х) х" + (у~ у) у" — (х'2 + Z/'2) = 0.
Отсюда получаем для х и у следующие выражения:
, х'2 4- у'2	-	. , х'2 4- у’2
X = х — у „ -,	,, ,, у = у 4- X „ ,	.
V ух — X у ’	у X — X у
Эвольвентой кривой у называется такая кривая у, по
отношению к которой кривая 7 является эволютой. Пусть
г = г (s) — естественная параметризация кривой 7. Вектор
точки эвольвенты г (s), очевидно, допускает представление
r(s) = r(s)+ X(s)t(s).
Дифференцируя это равенство по s, получим
г' =	+ Х£ѵ.
Отсюда, так как г' перпендикулярен т, X' = — 1. Следо¬
вательно, X = с — s.
Таким образом, если кривая имеет эвольвенту, то она
задается уравнением
r = r(s)4-T(c —S),
где с = const. Легко убедиться, что каждая кривая за¬
даваемая уравнением (*), имеет своей эволютой кривую 7
и, следовательно, является для нее эвольвентой. Уравне¬
ние эвольвенты в случае произвольной параметризации
кривой 7, очевидно,
58

или в скалярной форме
Наглядно образование эвольвенты можно представить
следующим образом. Представим себе нерастяжимую нить,
натянутую на часть кривой 7,
соответствующую s < с с концом
в точке Q(c). Если эту нить, от¬
тягивая за конец, сматывать с
кривой, то конец нити описывает
эвольвенту кривой (черт. 22).
Выясним, что представляет со¬
бой эвольвента в двух основных
случаях:
1) для всех s<c кривой k(s)
не обращается в нуль;
2) k (s) обращается в нуль только при s =sb причем
k' (si) =# 0.
В первом случае эвольвента есть регулярная кривая
без особенностей. Действительно,
Черт. 23.
г' = (г — (s — с) т)' = — (s — с) kv =# 0.
Во втором случае эвольвента также
является регулярной кривой, но точ¬
ка Q (sj эвольвенты является особой
точкой, именно точкой возврата второ¬
го рода (черт. 23). Для доказательства
этого утверждения надо отнести эволь¬
венту к прямоугольным декартовым
координатам, приняв точку Q (sj за
начало координат, а за оси координат—
прямые, параллельные касательной и
нормали кривой 7 в точке Q(Sjl).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
1.	Найти длину отрезка —параболы
у = Ьх3.
Ответ _ 2gô /1 + 4a2fr2+ln(2afr +К1 + 4а2Ь2)
~~	2а
59

2.	Найти длину отрезка кривой
х = а ch /, у = a sh /, г = at
между точками 0 и t.
Ответ, s = а У 2 sh t.
3.	Найти длину дуги астроиды
х = a cos3 /, у = a sin31.
Ответ. $= 6а.
4.	Найти длину отрезка 0 < t < 2л циклоиды
x = a(t— sin /), у = а(\—cos/).
Ответ, s = 8а.
5.	Найти выражение длины дуги кривой, заданной уравнением
в полярных координатах
р = р (»)•
Ответ, s (&х, &2) = J /р2 + р'2
6.	Найти кривизну кривой:
X = t — sin Z, у = 1 — cos г, г = 4 sin 4- •
у	2
Ответ. = 4-1/ 1 4- sin2 4- •
4 г	2
7.	Найти кривизну кривой, заданной уравнениями в неявном
виде
X 4- sh X = sin у + у,
z 4- ег = X 4- in (1 4- х) 4- 1
в точке (0, 0, 0).
п Ь Кб
Ответ.	.
8.	Найти кривизну и кручение в произвольной точке кривой,
заданной в упражнении 2.
Ответ.	, Л2 =	1	.
1 2а ch21	2а ch21
9.	Вычислить кручение кривой
X — a ch t cos t, y = a ch t sin /, z = at.
Ответ. k2 ~ —a ch t.
10.	Показать, что кривизна и кручение простой винтовой линии
постоянны.
11.	Найти выражение для кривизны плоской кривой, заданной
уравнением в полярных координатах.
60

12.	Показать, что кручение кривой
г = а § b (О X b' (/) dt,
где b (0 — вектор-функция, удовлетворяющая условиям | b (/) | = 1,
Ь' (/) =£ а — постоянно.
13.	Показать, что отношение кривизны к кручению кривой
X = а § sin а (0 dt, у = a j cos а (/) dt, z = bt
постоянно.
14.	Найти эволюту параболы
У2 = 2рх.
Ответ. Полукубическая парабола:
27ру2 = 8(х —р)3.
15.	Найти эволюту трактрисы
X = — а (in *g-^- 4- cos, y = aslnt.
Ответ. Цепная линия:
1 X
у = а сп ~.
16.	Найти эволюту астроиды
2	2
И3 4-Ш3 =1.
Ответ. Астроида:
2	2
|х + //|3 + I X-t/| 3 =2.
17.	Найти эвольвенты круга
х2 + у2 = R2.
Ответ. X = R (cos Я + (Я — с) sin ft).
у = R (sin ft — (ft —с) cos ft).
18.	Найти все плоские кривые с данным натуральным уравне¬
нием k = k (s).
Ответ. X = J sin a (s) ds,
— § k (s) ds.
у=$ cos а (s) ds, где а (s) =
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ К ГЛАВЕ III
1.	Функция /(/), заданная в интервале а < t < b, называется
функцией ограниченной вариации, если для любых t2, . . . , tn
таких, что а < tx < t2 < ... < tn < b, суммы
k
равномерно ограничены.
61

Доказать, что кривая 7 спрямляема тогда и только тогда, когда
она допускает в окрестности каждой своей точки параметризацию
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
где х(/), y(t), z(t) — функции ограниченной вариации.
2.	Доказать, что если кривая обладает одним из следующих
четырех свойств:
1)	касательные кривой образуют постоянный угол с некоторым
направлением,
2)	бинормали кривой образуют постоянный угол с некоторым
направлением,
3)	главные нормали кривой параллельны некоторой плоскости,
4)	отношение кривизны к кручению кривой постоянно, то она
обладает остальными тремя свойствами.
Найти общий вид кривой, обладающей этими свойствами.
3.	Доказать, что если кривизна и кручение кривой постоянны
и отличны от нуля, то эта кривая есть простая винтовая линия.
4.	Доказать, что если между точками двух кривых установлено
взаимнооднозначное соответствие, при котором бинормали кривых
в соответствующих точках совпадают, то кривые плоские.
5.	Доказать, что любая кривая с постоянным кручением и от¬
личной от нуля кривизной может быть задана векторным уравне¬
нием
г = с b(t) X b' (/) dt.
где b (/) — некоторая вектор-функция, удовлетворяющая условиям:
I b (01 = 1, Ь' (0¥=0.
6.	Восстановить кривую, если задана одна из трех вектор-функ-
ций т (s), V (s) или р (s).
7.	Если между точками двух кривых может быть установлено
соответствие так, что в соответствующих точках этих кривых каса¬
тельные параллельны, то главные нормали и бинормали тоже па¬
раллельны. Доказать.
8Г Кривые 7! и 72 называются кривыми Бертрана, если между
ними может быть установлено взаимно-однозначное точечное соот¬
ветствие, при котором главные нормали в соответствующих точках
совпадают.
Показать следующие свойства кривых 7П 72:
а)	расстояние между соответствующими точками кривых 7j и 72
постоянно;
б)	касательные кривых 7і и 72 в соответствующих точках обра¬
зуют постоянный угол;
в)	кривизна и кручение каждой из кривых связаны соотноше¬
нием
а sin 4- a cos &&2 = sin ft.
где а — расстояние между соответствующими точками кривых 7Ь
7г, а $ — угол между касательными в соответствующих точках.
82.	Доказать, что если кривизна и кручение кривой связаны ли¬
нейной зависимостью
a sin + a cos $k2 = sin ft,
то кривая является кривой Бертрана.
62

83.	Доказать, что кривая, задаваемая векторным уравнением
г = а § е (/) dt 4- b J е (t) х е' (/) dtt
где e(t) — вектор-функция, удовлетворяющая условиям |е(/)| = 1,
I е' (/) I = 1, является кривой Бертрана. И обратно, любая кривая
Бертрана может быть задана векторным уравнением такого вида.
9. Пусть кривая f2 получается проективным преобразованием
из кривой Доказать, что если в точке Р кривой -[j кривизна,
(кручение) равна нулю, то в соответствующей точке кривой *у2 кри¬
визна (соответственно кручение) также равна нулю.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Глава ГѴ
ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Элементарная поверхность. Простая
поверхность. Общая поверхность
Область на плоскости мы будем называть элементар¬
ной областью, если она является образом открытого круга
при топологическом отображении. Таким образом, эле¬
ментарная область — это область гомеоморфная кругу.
Пусть у — простая замкнутая кривая на плоскости.
Известна теорема Жордана о том, что простая замкну¬
тая кривая разбивает плоскость на две области и явля¬
ется границей для каждой из этих областей. Одна из
областей конечна, другая — бесконечна. Оказывается, ко¬
нечная область гомеоморфна кругу. Таким образом, внут¬
ренность квадрата, прямоугольника, внутренность эллип¬
са—все это элементарные области.
Определим элементарную поверхность.
Множество Ф точек пространства мы будем называть
элементарной поверхностью, если оно является образом
элементарной области на плоскости при топологическом
отображении ее в пространство.
Пусть Ф— элементарная поверхность и G —элемен¬
тарная область в плоскости, образом которой при топо¬
логическом отображении f является поверхность Ф. Пусть
и и V — декартовы координаты произвольной точки, при¬
надлежащей области, х, у, z — координаты соответствую¬
щей точки поверхности. Координаты х, у, z точки по¬
верхности суть функции координат точки области G:
х = ^(и, V), y = f2(u,v), z = f3(u,v).	(*)
64

Эту систему равенств, задающую отображение f области G
в пространство, называют уравнениями поверхности в'па¬
раметрической форме, и и V называют криволинейными
координатами на поверхности.
Уравнения (*) при фиксированном и или ѵ задают
кривую, лежащую на поверхности. Эти кривые называ¬
ются координатными линиями.
Множество Ф точек пространства мы будем называть
простой поверхностью, если это множество связно и каж¬
дая точка X этого множества имеет окрестность G такую,
что часть Ф, расположенная в G, является элементарной
поверхностью.
Элементарная поверхность является простой поверх¬
ностью. Но элементарными поверхностями далеко не ис¬
черпываются все простые поверхности.
Например, сфера является простой
поверхностью, но не элементарной. (	Д
Простые поверхности нельзя oxa- к	)
рактеризовать в целом общо и просто,
как это было сделано для простых
кривых. Некоторое представление о ерт’ 2 '
разнообразии простых поверхностей дает следующее сооб¬
ражение. Если из произвольной простой поверхности
удалить любое замкнутое множество точек, но так,
чтобы не нарушить связности оставшейся части, то эта
оставшаяся часть будет также простой поверхностью.
Простая поверхность называется полной, если предель¬
ная точка для любой сходящейся последовательности то¬
чек поверхности также является точкой поверхности. На¬
пример, сфера, параболоид суть полные поверхности,
а сферический сегмент не является полной поверхностью
(речь идет о сферическом сегменте без ограничивающей
его окружности).
Если простая полная поверхность является конечной,
то она называется замкнутой. Кроме сферы, замкнутой
поверхностью является, например, тор — поверхность, по¬
лучаемая вращением окружности около прямой, лежащей
в плоскости окружности и не пересекающей окружность
(черт. 24).
Определим понятие окрестности точки на простой по¬
верхности.
Окрестностью точки X на простой поверхности Ф на¬
зывается общая часть поверхности Ф и некоторой про-
5 7-770
65

странственной окрестности точки X. Согласно определению
у каждой точки простой поверхности есть окрестность,
являющаяся элементарной поверхностью. В дальнейшем,
говоря об окрестности точки на поверхности, мы будем
иметь в виду такую элементарную окрестность.
Множество Ф точек пространства мы будем называть
общей поверхностью, если оно является образом простой
поверхности при локально топологическом отображении
ее в пространство.
Мы будем говорить, что отображение простой по¬
верхности и отображение f2 простой поверхности Ф2
определяют одну и ту же общую поверхность Ф, если
между точками поверхностей Ф! и Ф2 может быть уста¬
новлено топологическое соответствие, при котором образы
соответствующих точек этих поверхностей на поверхности
Ф совпадают.
Пусть общая поверхность Ф является образом простой
поверхности Ф при локально топологическом отображе¬
нии f. Окрестностью точки f (X) на поверхности Ф мы бу¬
дем называть образ любой окрестности точки X на по¬
верхности Ф при отображении f. Так как отображение f
в достаточно малой окрестности точки X является топо¬
логическим, то f (X) на Ф имеет окрестность, являющуюся
элементарной поверхностью. Таким образом, исследование
любой поверхности «в малом» сводится к рассмотрению
элементарной поверхности.
§ 2. Регулярная поверхность. Аналитическое
задание поверхности
Из определения общей поверхности следует, что
у каждой ее точки существует окрестность, являющаяся
элементарной поверхностью.
Поверхность Ф мы будем называть регулярной (k раз
дифференцируемой), если у каждой точки этой поверх¬
ности есть окрестность, допускающая регулярную пара¬
метризацию, т. е. задание уравнениями в параметрической
форме
X = А (и, V), y = f2 (и, и), г = А (и, о),
где fi, f2, f3 — регулярные (k раз непрерывно диффе¬
ренцируемые) функции, заданные в элементарной обла¬
сти G плоскости иѵ. При k = 1 поверхность называется
гладкой.
66

Поверхность называется аналитической, если она
в достаточно малой окрестности каждой своей точки
допускает аналитическую параметризацию (функции flt
f2, fs — аналитические).
В дальнейшем мы будем рассматривать исключительно
регулярные поверхности.
Согласно определению, регулярная поверхность в ок¬
рестности каждой своей точки может быть задана урав¬
нениями в параметрической форме
X = X (u, V), У — У (и, Ѵ), 2 = 2 (и, V),
где х(и, ѵ), у (и, ü), z(u, ѵ) — регулярные функции пе¬
ременных и, ѵ, заданные в некоторой области G плос¬
кости иѵ. Естественно возникает вопрос: когда система
равенств
х = х(и,ѵ), у = у(и,ѵ), z = z(u,v),
где х(и, ѵ), у (и, и), z(u, ѵ) — регулярные функции в не¬
которой области G плоскости иѵ, — задает поверхность?
Ответ на этот вопрос во многих случаях дает следующая
теорема:
Теорема. Если х(и,ѵ), у (и, ѵ), z(u, ѵ) — регулярные
функции в области G плоскости иѵ, удовлетворяющие
условию — ранг матрицы
КУи^
ѵ^ѵУѵ^ѵ /
всюду в G равен двум, — то система равенств
х — х(и,ѵ), .у = у (и, ѵ), z = z (и, ѵ)
задает некоторую поверхность Ф. Эта поверхность есть
образ простой поверхности G при локально топологи¬
ческом отображении, которое точке (и, ѵ) области G
сопоставляет точку пространства с координатами х (и, ѵ),
у (и, V), z(u, ѵ).
В этой теореме в доказательстве нуждается, очевидно,
только утверждение о локальной одно-однозначности
указанного отображения. Докажем это.
Допустим, утверждение неверно, тогда существует
точка (uQ, ѵ0) в области G, в сколь угодно малой окрест¬
ности которой можно указать две различные точки
(Ui, th) и (и2, ѵ2) такие, что
х (ub th) — X (и2, Ѵ2) = 0, у (щ th) — у («2,	= °>
Z(ub th) — z(u2, th) = 0.
5*
67

Имеем:
X(Ub Üj)— x(u2, V2) = (x(Ult Uj) ~x(ult ü2)) +
+ (X (Ub V2) — X (u2> V2)) = (üx — u2) xu (UL, &i) +
+ («1 — W2) xu (&1, v2) = 0.
Аналогично:
У («i. fi) — У (Уъ v2) = (uj — v2) yv (u2> &2) +
+ (uL — u2)yu(§2, v2) = 0,
z («i, fi) — z (u2, v2) = (i>! — v2) zv (ub »3) +
+ («i — «2) zu (»s, v2) = 0.
Принимая во внимание, что и1 — и2, vL — ѵ2 не равны
нулю одновременно, из полученных трех равенств заклю¬
чаем, что ранг матрицы
МЖ. °2), Уи^'ѵ f2), Zu(&', ОМ
\xD («1, &i), yv (ub Ô2), zv (u1( »3). /
меньше двух, т. e. ее детерминанты второго порядка
равны нулю. По непрерывности функций хи, хѵ, ...» zv
отсюда следует, что все детерминанты второго порядка
матрицы
І^иУи^Л
™ѵУ^ѵ )
в точке (и0, ѵ0) равны нулю, т. е. ранг матрицы меньше
двух. Мы пришли к противоречию. Утверждение дока¬
зано.
Некоторые поверхности при подходящем выборе осей
координат X, yt z допускают параметризацию для всей
поверхности вида
x = u, z/ = a, z = f(u,p),
тде f (u, v). —- функция, определенная в области G плос¬
кости иѵ. Уравнения этой поверхности могут быть за¬
писаны в эквивалентной форме
Z = f (х, у).
Такая параметризация поверхности отличается боль¬
шой наглядностью. 'Соответствие между точками поверх¬
ности и точками области плоскости ху осуществляется
проектированием прямыми, параллельными оси z,
' Неявное задание поверхности.
Мы будем говорить, что поверхность Ф задана урав¬
нением
У, = 0,
68-

выражая этим только то, что координаты точек поверх¬
ности удовлетворяют данному уравнению. При этом
могут существовать точки пространства, удовлетворяю¬
щие данному уравнению и не принадлежащие поверх¬
ности Ф.
При рассмотрении поверхностей, заданных уравнением
<р (х, х, z) = 0, важную роль играет следующая теорема:
Теорема. Пусть <р (х, у, z) — регулярная функция пе¬
ременных х, у, z. Пусть М — множество точек про¬
странства, удовлетворяющих уравнению <р (х, yt z) = О,
(х0, I/o, ?о) — точка этого множества, в которой
+ ?2 +	¥= 0. Тогда у точки (х0, yQ, z0) есть окрест¬
ность такая, что все точки множества М, принадле¬
жащие этой окрестности, образуют регулярную элемен¬
тарную поверхность.
Доказательство. Пусть для определенности в точке
(х0, i/o,	По теореме о неявных функциях суще¬
ствуют числа 8 и е больше нуля и регулярная функ¬
ция ф (х, у) определенная в области | х — х01 < 8,
IУ Уо I < 8 такие, что все точки (х, у, ф (х, у)),
IX — х01 < 8, I у — z/o I <А удовлетворяют уравнению
<р (*, у, г) = 0, причем этими точками исчерпываются
все точки параллелепипеда | х — х01 < 8, | у — yQ | < 8,
I z — z01 < е, удовлетворяющие уравнению ср (х, у, z) = 0.
Элементарная поверхность, о которой идет речь в тео¬
реме, задается уравнением
2 = ф(х, у);\х — х0| <8, \у — t/o|<8.
Теорема доказана.
§ 3. Специальные параметризации поверхности
Регулярная поверхность в окрестности каждой своей
точки допускает бесчисленное множество параметризаций.
Действительно, пусть
X =Ь х(и, ѵ), у = у (и, ѵ), z ~ z (и, v) —
какая-нибудь параметризация поверхности в окрестности
точки Q(uq, vq).
Если ср (а, р) и ф (а, Р) — любые регулярные функции,
удовлетворяющие в точке (а0, р0) условиям
«о = <р («о, Ро),
Ѵо = ф (а0, Ро), <М₽
*0,
69

то уравнения
X = X (<Р (а, Р), ф (а, Р))
У = У(<? (®, ₽). Ф («. ₽))
Z = Z (<р (а, р), ф (а, р))
дают также регулярную параметризацию поверхности.
Это очевидным образом вытекает из того, что формулами,
« = ? (а, P), V = ф (а, Р)
задается топологическое отображение достаточно малой
окрестности точки (а0, ро) плоскости ар на некоторую
окрестность точки (и0, ѵ0) плоскости иѵ.
При исследовании регулярных поверхностей бывает
полезно пользоваться специальными параметризациями.
Рассмотрим наиболее употребительные из них:
Теорема. Пусть Ф — регулярная поверхность и
X = х (и, У — У (Ц, ѵ), 2 = г (и, ѵ)
какая-нибудь ее регулярная параметризация в окрест¬
ности точки Р. Пусть в точке Р
Тогда в окрестности Р поверхность Ф допускает за¬
дание уравнением
z = f(x, у),
где f — регулярная функция.
Доказательство. По теореме о неявных функциях
существуют регулярные функции и(х, у), ѵ(х, у), которые
при подстановке их в уравнения х = х(и, и) и у = у (и, ѵ)
обращают их в тождества.
Так как
I *иУи I I __ 1
\хѵуѵ\\иуѴу -
ТО
IS h-
Вводя новые параметры аир согласно формулам
и = и (а, р), V = ѵ(а, р),
получаем:
X = а, у = р, г = z (и (а, р), ѵ (а, р)).
Или, что то же самое,
г = Нх, у).
Теорема доказана.
70

Теорема. Пусть Ф — регулярная поверхность, и, ѵ —
ее регулярная параметризация. Пусть в окрестности
точки (и0, ѵ0) заданы два дифференциальных уравнения
А ! (и, ѵ) du + BL (и, v) dv = 0	(*)
Az (и, v) du + B2 (u, v) dv = 0,
коэффициенты которых в точке (u0, ü0) удовлетворяют
условию
Тогда в окрестности этой точки поверхность Ф можно
параметризовать так, что координатные линии будут
интегральными кривыми уравнений (*).
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать Д2 #= 0 и Вх 0. Пусть ѵ = <р (а, и) — решение
первого из уравнений (*), которое при и = и0 обращается
в а, а и = ф(Р, ѵ) — решение второго уравнения, которое
при v = ѵ0 обращается в р. Уравнения ѵ = <р(а, и) и и =
= ф (Р, ѵ) разрешимы относительно аир соответственно
в окрестности точки и0, ѵ0, так как
ÉÏ = 1 ф 0 при и = и0,
0 при v = ѵ0.
Пусть а = а (и ,ѵ) и р = р(м, ѵ) эти решения. Покажем,
что
Так как а (и, о) = const есть интеграл первого из урав¬
нений (*), то уравнения
AYdu + BYdv = 0 и a.udu + %dv = 0
совместны. Отсюда
Аналогично
А2В2
= о.
71

Если предположить, что
аА
₽Л
то немедленно получается
AlBl
а2в2
а это невозможно. Итак,
= 0,
= 0,
Отсюда следует, что а. (и, ѵ) и Р (й,р) можно ввести
в качестве новых параметров на поверхности. Если эта
сделать, то координатные линии (а = const и р = const)
будут интегральными кривыми уравнений (*). ѵ
Теорема доказана.
Замечание. Система уравнений (*), которая фигу¬
рирует в формулировке теоремы, часто бывает задана
одним уравнением второй степени	;
А du2 + 2Bdudv + С dv2 = 0.
Соответствующее условие на коэффициенты сводится
к неравенству
АС —В2 <0.
§ 4. Особые точки на регулярной поверхности
Точку Р регулярной поверхности мы будем называть
обыкновенной точкой nç отношению к данной степени
регулярности А, если поверхность допускает k раз диф¬
ференцируемую параметризацию
X = X (и, ѵ), у = у (U, ü), Z = z (и, ѵ)
в окрестности этой точки, удовлетворяющую условию:
ранг матрицы
^иУа^иХ
у^ѵУи^ѵ /
в точке Р равен двум. В противном случае Сточка Р
называется особой. Линия на поверхности, все точки
которой являются особыми точками, называется особой
линией.
72

Для поверхностей рассмотрение вопроса об особых
точках представляет собой более трудную задачу, чем
для кривых* Мы ограничимся исследованием простейших
случаев.
Пусть
х = х(и, и), у = у(и, ѵ), z = z(u,v)
регулярная параметризация поверхности в окрестности
точки Q. Пусть ранг матрицы
^иУи^и\
ѵ^ѵУѵ^ѵ /
всюду в окрестности Q равен двум, кроме самой точки Q,
в которой он меньше двух.
Будем пользоваться векторной записью уравнения
поверхности г = г (и, ѵ), где г (и, ѵ)=х(и,	+ у (и, ѵ)е2+
+ z(u, ѵ)е3 (e4-, е2, е3—единичные векторы, направ¬
ленные по осям X, у, z). Тогда условие того, что ранг
упомянутой матрицы равен двум или меньше двух, сво¬
дится к тому, что Гд XrD#=0 или ru X гѵ = 0 соответ¬
ственно.
Введем в рассмотрение вектор-функцию
Непосредственно проверяется, что она инвариантна отно¬
сительно преобразования координат о якобианом большим
нуля. Если же якобиан меньше нуля, то она меняет
только знак.
Точка Q поверхности будет заведомо особой, если при
Р-+- 0.ІР не стремится к определенному пределу . В самом
деле, если Q обыкновенная точка, то в ее окрестности
может быть введена регулярная параметризация (а, р)>
такая, что Га X гр ¥= 0 в точке Q и, следовательно, при
P + Q
г* Х г(3 = + ги X Го
- К X ^1 “К X rj
стремится к определенному пределу.
Забегая несколько вперед, заметим, что 'В (и, ѵ) явля¬
ется , единичным вектором нормали к поверхности в точг
ке Р. Нормаль к поверхности определяется независимо
от какой-либо конкретной параметризации поверхности.
7а

Если точка Q — обыкновенная точка поверхности, то нор¬
маль поверхности в окрестности этой точки непрерывно
зависит от положения точки и, следовательно, единичный
вектор В (и, у) при P-^Q стремится к определенному
•пределу — единичному вектору нормали поверхности
в точке Q.
Пример. Точка (0, 0) на поверхности
j_
X = U3, у = ü3, Z = (ue + Ü6) 3
(черт. 25) является особой точкой. Нетрудно проверить,
что В (u, V) не стремится к определенному пределу, когда
и и V произвольным образом стре-
Z	мятся к нулю.
Допустим теперь, что при P Q
7/0 стремится к определенному пре-
делу Bq. Тогда рассмотренный толь-
ко что пРизнак не Дает ответа на
^-77	вопрос будет ли точка Q особой
S' точкой или обыкновенной.
Пусть криволинейные координаты
s' 0	точки Q — uQ и ѵ0- Возьмем в плос-
у	кости иѵ малый простой кон¬
тур у, охватывающий точку (u0, и0).
Черт. 25. Пусть 7 — соответствующий контур
на поверхности. Спроектируем контур 7 на плоскость а,
проходящую через точку Q, перпендикулярную вектору Bq.
Если проекция 7 контура 7 на плоскость о не охва¬
тывает точки Q или охватывает ее более одного раза,
то Q заведомо особая точка.
Допустим, утверждение неверно и Q — обыкновенная
точка. Тогда поверхность допускает параметризацию
г — г (а, ₽), удовлетворяющую в Q условию ra X гр =# 0.
Откуда следует, что га и гр неравные нулю и непарал¬
лельные векторы.
Пусть а = а0 + В (0 и ₽ = ₽0 + т] (t) —• уравнение кон¬
тура 7. Тогда контур в плоскости а, заданный уравне¬
нием
r = r(Q) + B(Or« (Q) + î) (О г? (Q),
мало отличается от 7. И так как этот контур получается
афинным преобразованием из 7, то он, а с ним и контур 7,
74

один раз охватывает точку Q, подобно тому, как кон¬
тур 7 точку (а0, р0).
Пример. Точка (0,0) на поверхности
х = и2 — ü2, у = 2uv, z = иъ
(черт. 26) является особой. При обходе окружности 7
и2 + ѵ2 = е2— соответствующая точка у — проходит дваж¬
ды окружность X2 + у2 = е4. Таким образом, 7 охваты¬
вает точку (0,0) дважды.
Пример. Все точки поверхности
X = и, у = ü2, г = ü3,
расположенные на оси х-ов (и = 0), являются особыми
(черт. 27). Здесь плоскость о является плоскостью ху.
Контур 7 соответствующей окружности 7: (х—а)2 4- г/2 = е2
располагается целиком в полуплоскости у >6 (так как
у = V2) и, следовательно, ни разу не охватывает точку
Q (а, 0) оси х-ов. *
Особая линия типа, рассмотренного в этом примере,
называется ребром возврата поверхности. Каждая плос¬
кость, перпендикулярная ребру возврата, пересекает по¬
верхность по кривой, для которой точка ребра возврата
является особой точкой — точкой возврата. В рассмотрен¬
ном примере такими сечениями являются полу кубические
параболы.
В заключение — несколько слов об особых точках
поверхности, заданной уравнением <р (х, yt z) = 0.
75

Во-первых, особыми точками поверхности могут быть
только те ее точки, где срх = <ру = <р2 — 0. Действительно^
если в точке Q поверхности одна из частных производ¬
ных, например, <р2 =/= 0, то поверхность в окрестности
точки Q допускает регулярную параметризацию вида
г = ф (х, у), откуда следует, что Q является обыкновен¬
ной точкой.
Пусть в точке поверхности Q (х0, у0, z0)	= <рѵ = срг=О.
Разлагая функцию <р по формуле Тейлора в окрестности
точки Q, получим:
«п (X — х0)2 + а22 (у — у0)2 + а33 (z — z0)2 +
+ 2а12 (х — х0) {у — г/о) + 2аІЗ (х — х0) (г — z0) +
+ 2а2з(г/ —Уо)(г —z0) + R = 0.
Оказывается, что если квадратичная форма
является определенной, т. е. обращается в нуль только
когда все равны нулю, то в достаточно малой окре¬
стности точки (х0, //0, z0) ни одна точка пространства,
кроме самой точки (х0, Уо, ?о), не удовлетворяет урав¬
нению, <? (х, у, z) — 0. Поэтому поверхность Ф не может
быть задана уравнением <р = 0 в окрестности точки Q.
Замечание. Часто под поверхностью, заданной
уравнейиём ' ср (х, уу z) = 0, понимают геометрическое
место точек пространства, удовлетворяющих уравненйю
<р = 0. При таком определении поверхности точку в рас¬
смотренном только что случае называют изолированной
особой точкой.
Пример. Геометрическое место точек, удовлетво¬
ряющих уравнению (x2+ÿ2 + z2)(l—х2 — у2 — z2)=.O,
состоит из сферы х2 + z/2 + z2 = 1 и точки (0, 0, 0),
которая является изолированной точкой этого геометри¬
ческого места.
Если квадратичная форма	является знако¬
переменной, но не разлагается в произведение двух ли¬
нейных форм, геометрическое место точек пространства;
удовлетворяющих уравнению (х, уу z) = 0, вблизи
точки (х0, z/0, z0) имеет форму, близкую к конусу второго
порядка, уравнение которого ср (х, уу z)— R = 0. Если
поверхность определяют как геометрическое место точек
пространства, удовлетворяющих уравнению <р (х, у, z)—0,
то в этом случае точку (х0, z/о, z0) называют конической
точкой.
76

Пример. Начало координат является конической
точкой геометрического места точек, удовлетворяющих
уравнению
(х2 + у2 + z2)2 — 2а2 (г2 — х2 —• у2) = О
(черт. 28).
Если квадратичная форма	распадается в про¬
изведение двух линейных форм,
различные случаи. Точка может
быть особой (например, точка
(О, 0, 0) поверхности ху — z3 = 0)
или обыкновенной (например,
точка (0, 0, 0) поверхности ху—
— xz2 = 0). В этом случае необ¬
ходимо исследовать дальнейшие
члены разложения функции <?.
Рассмотрения всех последую¬
щих глав относятся только к об¬
ластям поверхности с обыкновен¬
ными точками. В частности, для
употребляемых параметризаций
предполагается выполненным условие ги х гѵ #= 0. В даль¬
нейшем это специально не оговаривается.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
1.	Составить уравнение поверхности, образуемой полупрямыми,
которые исходят из точки (а, Ь, с) и пересекают параболу
z = 0, у2 = 2рх.
Ответ, (bz — су)2 = 2р (z — с) (az — сх).
2.	Найти уравнение цилиндра с образующими параллельными
прямой X = у = z, описанного около эллипсоида
X2 + 4 г/2 + 9z2 = 1.
Ответ. (х+ 4 г/ 4- 9z)2 — 14 (х2 4- 4у2 4- 9г2 — 1) = 0.
3.	Найти геометрическое место проекций центра эллипсоида
ai + bi +с2 ~
на его касательные плоскости.
Ответ. х2а2 4- у2Ь2 4- z2c2 = (х2 4- #2 4~ z2)2.
4.	Составить уравнение поверхности, которая получается при
вращении кривой
х = ср (и), z = ф(и), у = О
около ОСИ Z.
Ответ. X = ср (и) cos ѵ, у = у (и) sin v, z = (и).
77

5.	Прямая g движется в пространстве так, что выполняются
следующие условия:
а)	прямая все время пересекает ось г под прямым углом;
б)	точка пересечения прямой g с осью z равномерно движется
со скоростью а;
в)	прямая равномерно вращается около оси г с угловой ско¬
ростью œ.
Составить уравнение поверхности, которую описывает при своем
движении прямая g.
Ответ. х = V cos œu, у — v sin œu, z = au.
Здесь и — время, a v — расстояние точки поверхности от оси г.
Поверхность называется простой винтовой поверхностью или гели¬
коидом.
6.	Пусть три семейства поверхностей задаются уравнениями;
? (хч Уч г) = и — const, ф (х, г/, г) = и = const,
X (*, Уч 2) = w = const.
Доказать, что если
то все три семейства в
торным уравнением:
в точке (х0, г/0, г0) якобиан
Ѣ X)
D(x, у, z)*"'
окрестности этой точки можно задать век-
г = Г (и, Ü, w).
Поверхности различных семейств получаются при и = const, ü=const
и w — const.
7.	Поверхностью переноса называется поверхность, образуемая
при поступательном перемещении одной кривой вдоль другой кривой.
Доказать, что поверхность переноса может быть задана урав¬
нением
Г = ? («) + ф («)>
где <f> и ф— вектор-функции, из коих первая зависит только от и,
а вторая только от ѵ.
8.	Показать, что поверхность, являющаяся геометрическим
местом средин отрезков, концы которых принадлежат двум данным
кривым, есть поверхность переноса.
9.	Найти особую линию на псевдосфере
X = sin и cos ü, г/= sin и sin a, z = cos и + In tg .
Ответ. Особая линия и =
7t
У
— ребро возврата.
Глава V
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ для ПОВЕРХНОСТЕЙ,
СВЯЗАННЫЕ С ПОНЯТИЕМ СОПРИКОСНОВЕНИЯ
§ 1. Касательная плоскость поверхности
Пусть Ф — поверхность, Р — точка на ней на — пло¬
скость, проходящая через точку Р. Возьмем на поверх¬
ности точку Q и обозначим ее расстояния от точки Р
и плоскости а через d и h соответственно.
78

Мы будем называть плоскость а касательной пло¬
скостью поверхности в точке Р, если отношение h/d
когда Q -> Р (черт. 29).
Теорема. Гладкая поверхность Ф имеет в каждой
точке касательную плоскость и притом единственную.
Если г = г(и, ѵ) какая-нибудь
гладкая параметризация поверх¬
ности, то касательная пло¬
скость в точке Р (и, ѵ) парал¬
лельна векторам ги (и, ѵ) и
гѵ(Ц, V).
Доказательство. Допустим,
поверхность Ф в точке Р (и, и)
имеет касательную плоскость а.
Пусть п — единичный вектор,
перпендикулярный плоскости а.
Расстояние d точки Q(u4-Au,
V + Au) от точки Р (и, ѵ) раі
— г (и, и)|. Расстояние точки Q от плоскости а равно
|(г(и + Ди, и + Аи) — г (и, и))и|,
h _ | (г (и 4- Ди, и 4- Да) — г (и, и)) п |
~d I г (и 4- Ди, V 4- Да) — г (и, ѵ) | *
Согласно определению h/d -> 0, когда Au и Au незави¬
симо стремятся к нулю. В частности,
Черт. 29.
I г (и + Au, V + Au) —
Но
I (г (и 4- Ди, ѵ) — г (и, а)) п |
I г (и 4- Ди, а) — г (и, и) |
—> О при Au ->0.
I (г (и 4- Ди, ѵ) —г (и, а)) п | _
I г (и 4- Ди, и) — г (и, а) |
I г (и 4- Ди, а) — г (и, у) I
= J	Дм	 I , I ги (и, у) п I
I г (и 4- Дм, а) — г (и, а) I | ги (и, и) |
I Дм I
Таким образом,
ги (и, и) п = 0.
Так как ги (и, и) 0 (ru (и, и) х гѵ (и, и) =£ 0), то равен¬
ство ги(и,ѵ)п = 0 возможно только в том случае, если
вектор гп(и, и) параллелен плоскости а.
Аналогично показывается, что вектор гѵ(и, и) тоже
параллелен плоскости а, и так как векторы ги (и, и)
и гѵ (и, и) отличны от нуля и непараллельны (ги (и, и) х
79’

X rv(u, v) #= 0), то касательная плоскость, если она суще¬
ствует, единственная.
Докажем теперь существование касательной пло¬
скости. Пусть плоскость а параллельна векторам ги(и, ѵ)
и гѵ(и, ѵ). Покажем, что она является касательной пло¬
скостью поверхности в точке P(u, а).
Имеем:
h 	| (г (и 4- Дм, v 4- Др) — г (и, а)) п |

d I г (и 4- Ди, v 4- Др) — г (и, р) I
	 I (ruti) ки 4- (гѵп) Др 4- Ли2 4- Др2 |

I гиДи 4-	4- е2 VДи2 4- Др2 |
I	, Др . I ’
I Г и —г	4” V г	— 4" ^2 I
I У Ди2 4- Ду2 р^Ди2 4- Д^2 I
где I ві I и I е21 стремятся к нулю, когда Ди, Да-> 0.
Допустим, существует последовательность пар Ди,
Да, сходящихся к нулю и таких, что соответствующее
им h/d > е > 0. Из последовательности пар Ди, Да можно
выделить такую подпоследовательность, для которой
отношения
Ди	Др
■ > ■	— И
у ки2 4- Д^2 у Ди2 4- Ду2
будут сходиться. Пусть £ и т] — предельные значения
этих выражений. Очевидно, і2 +	= 1. Переходя к пре¬
делу отношения h/d по выделенной подпоследователь¬
ности пар Ди, Да, получим:
h . |(г^)8 4-(^)т)|
d I г£ 4- I
Так как (гигі) = 0, (rvri) = 0, а гJ + гѵг\ =# 0 (ru и ^не¬
параллельны), то h/d-^Q. Но это противоречит тому,
h
что все допредельные значения по предположению
больше е > 0.
Теорема доказана полностью.
Зная направление касательной плоскости, нетрудно
написать ее уравнение.
Пусть г — вектор произвольной точки касательной
плоскости поверхности в точке Р(и, а). Тогда векторы
г —г (u, a), rw(u, а), гѵ(и, а) параллельны касательной
.80

плоскости, следовательно, их смешанное произведение
равно нулю. Отсюда уравнение касательной плоскости:
(г -г- г (и, ѵ), г и (и, и), гѵ (и, о)) = 0.
Пусть поверхность задана уравнениями
х = х(и, и), у = у(и, и), z = z (и, ѵ).
Из векторного уравнения касательной плоскости сле¬
дует, что уравнение касательной плоскости, соответ¬
ствующее такой форме задания поверхности, будет:
X — х(и,	ü),	ÿ — у (и,	и),	z —z(u,	ѵ)
Хи (и,	V)	yu(U,	V)	Zu(ut	V)
Хѵ(ц,	V)	Уѵ(и,	V)	ZV(U,	V)
= 0.
Уравнение касательной плоскости поверхности, за¬
данной уравнением z = z (х, у), получается из найден¬
ного только что. Достаточно заметить, что задание по¬
верхности уравнением z = z (х, у} есть лишь краткая
запись параметрического задания
X = и, у = и, z = z(u, ѵ).
Поэтому уравнение касательной плоскости в случае за¬
дания поверхности уравнением z = z (х, у) будет
X — X, у — у, z — z
1
0
0
1
zjx, у)
у)
= 0,
или
z — z — р (х — х) — q (ў — у) = 0.
где через р и q обозначены первые производные функции
z(x, у).
Найдем, наконец, уравнение касательной плоскости
для случая задания поверхности уравнением ср (х, у, z) = 0.
Пусть (х, у, z) —точка поверхности, в которой + <р2 +
4-<р2 =£ 0 и X = X(u, ü), у = у (и, ü), z = z(u, а) — ка¬
кая-нибудь гладкая параметризация поверхности в окре¬
стности этой точки. Если подставить вместо х, y, z в
уравнение поверхности х(и, ѵ),-у(и, и), z(u, ü), то по¬
лучим тождество ' относительно и. и ѵ. Дифференцируя
это тождество, в точке (х, у, z) получим:
<?хХи + <?уУи +	= 0,
6 7-770
81

Х« у и
%Ѵ Уѵ
Рассматривая эти равенства как систему уравнений для
и решая ее, получим:
= <Рг
ІУи гиІ	lzu xul	I xu Уи I
I Уѵ I	I Zv XV I	I Xv yv I
Для случая параметрического задания поверхности урав»
нение касательной плоскости —
Z“ +(i/-ï)|Z;	+(?-г)
\Уѵ	I Xv
Принимая во внимание полученную выше пропорцию,
получаем уравнение касательной плоскости поверхности
<р (х, ÿ, г) = 0 в точке (х, у, z)
(х — X) <?х + (у — у) 4- (г — z) срг = 0.
Нормалью поверхности в точке Р называется прямая,
проходящая через точку Р перпендикулярно касатель¬
ной плоскости в этой точке.
Составить уравнение нормали, после того как изве¬
стно уравнение касательной плоскости для различных
случаев задания поверхности, не составляет труда и пред¬
лагается в качестве упражнения.
§ 2. Лемма о расстоянии точки от поверхности.
Соприкосновение кривой и поверхности
Пусть Ф — поверхность и Q — произвольная точка
пространства. Расстоянием точки Q от поверхности Ф на¬
зывается точная нижняя грань расстояний точек поверх¬
ности от точки Q.
Лемма. Пусть Ф — гладкая поверхность, заданная
уравнением (х, у, z) = 0. Пусть в точке О (х0, у0, ?о)
поверхности <рЗ 4-	+ <р*	0.
Если Q(x, уУ z) — точка пространства, близкая к О,
но не принадлежащая поверхности, то при подстановке
координат точки Q в уравнение поверхности Ф получа¬
ется величина X, имеющая порядок величины h — расстоя¬
ния точки Q от поверхности в том смысле, что отно¬
шение k/h стремится к определенному пределу, отлич¬
ному от нуля, когда точка Q неограниченно приближа¬
ется к О, оставаясь вне поверхности.
82

Доказательство. Так как точка О принадлежит по*
верхности Ф, то существует е>0 такое, что все точки
пространства, удаленные от точки О на расстояние,,
не превосходящее е, и удовлетворяющие уравнению
<р (*, У> 2) = 0, принадлежат поверхности Ф.
Пусть точка Q находится на расстоянии меньшем
~ от точки О. Пусть Рп — последовательность точек
поверхности, расстояния которых от Q стремятся к рас¬
стоянию этой точки от поверхности Ф. Точки Рп обра¬
зуют ограниченную последовательность ^их расстояния
от Q меньше , поэтому можно выделить сходящуюся
подпоследовательность из последовательности точек Рп,
Не ограничивая общности, можно считать, что сама по¬
следовательность Рп сходится к некоторой точке Р.
В силу непрерывности функции ср в окрестности точки О
точка Р удовлетворяет уравнению <р (х, у, z) = 0. Отсюда
следует, что точка Р принадлежит поверхности Ф. Та¬
ким образом, если точка Q достаточно близка к О, то
нижняя грань расстояний точек поверхности от точки Q
достигается для некоторой точки Р, принадлежащей по¬
верхности.
Покажем теперь, что отрезок PQ направлен по нор¬
мали к поверхности в точке Р. Пусть r = r(u, ѵ) —-ка¬
кая-нибудь гладкая параметризация поверхности в точ¬
ке Р и а — вектор точки Q. Так как функция (г (и, ѵ) — а)а
достигает минимума в точке Р, то должно быть
(г — а) г и = О,
(г — а) гѵ = О,
но это и значит, что отрезок PQ направлен по нормалк
к поверхности в точке Р.
Пусть х, у, г — координаты точки Р, В, т], С — на¬
правляющие косинусы нормали поверхности в точке Р,
X, у, г — координаты точки Q и h — расстояние между
точками Р и Q (черт. 30).
Имеем:
X = X + £Й, у = у + Т]Й, г = г + Сй.
Так как точка Р принадлежит поверхности, то
<р (х -Нй у + 7]й, г + Сй) = 0.
6*
83

Отсюда
? (х у, г) 4- h (q>x? + <pvvf + <р2С) + Ле = О,
где е -> 0 при Q -*■ О.
Деля это равенство на Л и переходя к пределу при
Q-+O, получим:
Z) -* - (ТхВ +	+ Mb
Выражение в правой части отлично от нуля, так
как представляет собой скалярное произведение парал¬
лельных, отличных от нуля век-
h лО Т0р0в (е’ и
\ \ ц Лемма доказана полностью.
Дл	Применим доказанную лемму
(	/	\	к ВОПРОСУ соприкосновения кри-
\ J вой с поверхностью.
X/ Пусть Ф — элементарная по-
верхность и 7 — элементарная
Черт. 30.	кривая, имеющие общую точ¬
ку О. Пусть h — расстояние
произвольной точки Q кривой от поверхности. Мы бу¬
дем говорить, что кривая 7 с поверхностью Ф имеет
соприкосновение порядка п, если h/dn-+-Q, когда Q->P.
Соприкосновение общей кривой с общей поверхностью
будем понимать как соприкосновение элементарных
окрестностей общей точки.
Теорема. Пусть Ф — элементарная регулярная по¬
верхность и 7 — регулярная кривая, имеющие общую
точку О. Пусть у(х, у, г) = 0 — уравнение поверхности
в окрестности точки О, причем в точке О ср2 + ср2 4- <р2 =/= 0;
x — x(t), y = y(t), z = z(t)— регулярная параметриза¬
ция кривой 7 в окрестности точки О, причем в точке
О х'2 + у'2 + г'2 =£ 0.
Тогда для того, чтобы кривая 7 имела с поверх¬
ностью Ф в точке О соприкосновение порядка п, необхо¬
димо и достаточно, чтобы при t, соответствующем
апочке О, выполнялись условия
y(t), z(t))=O, ~<р = 0, ...^? = 0.
Доказательство. Пусть точке О соответствует зна¬
чение t = /0- При Q -> О t -> t0.
В4

Согласно лемме <?(x(f), y(t), z(f)) имеет порядок
расстояния точки Q от поверхности Ф. Что касается
расстояния между точками Q и О, то оно имеет поря¬
док 1t — <о|. так как
Поэтому для соприкосновения n-го порядка кривой у
с поверхностью Ф в точке О необходимо и достаточно,
чтобы при t -> /0
<р(*(0, У(0, *(0)
А это возможно тогда и только тогда, когда при t = /0
функция <р (х (/), НО)» z (О и ее производные до п-го
порядка равны нулю.
Теорема доказана.
Пример. Найдем соприкасающуюся сферу кривой,
т. е. такую сферу, с которой кривая имеет соприкосно¬
вение третьего порядка.
Пусть г = г (s) — естественная параметризация кривой.
Уравнение сферы
(г —а)2 = 7?2,
где а — вектор центра сферы, a R — радиус. Подставляя
в это уравнение r = r(s) и дифференцируя, последова¬
тельно получаем:
(г — а) т = О,
(г — a) + 1 -■= О,
(г — a) (fejv —	= 0.
Откуда
(г — a) 4-	= 0.
Итак,
(г — а) т = 0,
(Г_а)ѵ=-1 (г-а)р = -А-.
Отсюда
Р = |г-»|=[/	+
а = г + (а - г) = г + j .
1
85

§ 3. Соприкасающийся параболоид. Классификация
точек поверхности
Пусть Ф — регулярная (дважды непрерывно дифферен¬
цируемая) поверхность и Р —точка на ней. Пусть U—
параболоид с вершиной Р, касающийся поверхности в
этой точке. Обозначим h и d расстояния произвольной
точки Q поверхности от параболоида и точки Р соот¬
ветственно (черт. 31).
Параболоид U называется соприкасающимся парабо¬
лоидом поверхности в точке Р, если отношение h/d2 О,
когда Q->P. При этом вырождение параболоида в пара¬
болический цилиндр или плоскость
р	не исключается.
Теорема. В каждой точке Р
регулярной (дважды непрерывно диф-
\ ференцируемой) поверхности Ф суще-
( /х	\ \\ ствУет и притом единственный со-
Ху	Л	прикасающийся параболоид U, в ча-
\ / і/ стносгпи вырождающийся в парабола¬
хъ \J ческий цилиндр или плоскость.
Доказательство. Введем в про¬
черк 31. странстве прямоугольные декартовы
координаты X, у, z, приняв точку Р
за начало координат, касательную плоскость в точке Р—
за плоскость ху и нормаль к ней — нормаль к поверх¬
ности — за ось z.
При таком выборе системы координат поверхность
в окрестности точки Р может быть задана уравнением
z = z (X, у\
где z (х, у) — дважды дифференцируемая функция в ок¬
рестности точки (0, 0). Покажем это.
Пусть г = г (u, d) — какая-нибудь дважды дифферен¬
цируемая параметризация поверхности. Так как вектор
ги X гѵ =# 0 и направлен по оси z, то
ХиУи
хѵуѵ
=#0.
Отсюда, как показано в § 3 гл. IV, следует, что поверх¬
ность в окрестности Р допускает задание уравнением
z = z (х, у),
86

где z (х, t/) — дважды дифференцируемая функция. За¬
метим, что z(0, 0) — 0, так как точка Р принадлежит
поверхности, a zx(0, 0) и 2^(0, 0) равны нулю, так как
касательная плоскость Ф в P: z = zx (0, 0) х + zy(0, 0) у
должна совпадать с плоскостью z = 0.
Уравнение параболоида U, а также его вырождения
в параболический цилиндр и плоскость могут быть за¬
даны уравнением вида
z — у (ах2 + 2Ьху + су2) = 0.
Допустим, в точке Р существует соприкасающийся
параболоид. Покажем, что он единственный. Пусть
z — у (ах2 + 2Ьху + су2) = 0
уравнение соприкасающегося параболоида. Согласно лем¬
ме предыдущего параграфа, при подстановке координат
точки Q в уравнение параболоида получается величина À,
имеющая порядок расстояния точки Q от параболоида.
Поэтому ^2-->0 ПРИ Q-+-P-
Разлагая функцию <р (х, у) в окрестности начала ко¬
ординат по формуле Тейлора, получим:
? (X, У) = ^ (гхг + 2sxy + ty2) + (Х2 + у2) Si (х, у),
где г, s, / --обозначения вторых производных ср, a ej (х.
//)->• 0, когда X, #->0. Подставляя координаты х, у,
<р (х, у) точки Q поверхности в уравнение параболоида,
получим:
X==y{(r — a)x2+2(s — 6)xt/-|-(/ — c)t/2] +
+ (х2 + у2) (X, у).
Квадрат расстояния точки Q от Р
d2 = X2 + у2 + ср2 (х, у) = X2 + у2 + (х2 + у2) е2 (х, у\
где е2->0 при QР.
Так как отношение X/d2 стремится к нулю, когда
X и у независимо стремятся к нулю, то это будет иметь
место и тогда, когда, например, у = 0, а х -> 0. Но в
этом случае
х у (г — а) х2 + х2е1
d2	X2 + *^2
и, следовательно, ^->0 при х->0 тогда и только тогда,
87

когда а = г. Аналогично показывается, что с-t. По*
кажем, наконец, что b — s. Для этого предположим,
что X и у стремятся к нулю, но так, что всегда х = у.
Тогда
À	(s — b) х3 4- 2л,2е1
d2 —	2л-2 + 2х2е2	*
Отсюда видно, что условие ^->0 при х->0 влечет за
собой равенство b = s.
Таким образом, если соприкасающийся параболоид
в точке Р существует, то он единственный. Его урав¬
нение относительно выбранной нами системы координат
г — № + 2sxy + ty2) = 0.	(*)
Покажем теперь, что параболоид (*) всегда является
соприкасающимся. В самом деле, для этого параболоида
X	(х2 + у2) ч	п	л
d2 X2 + У2 + (х2 + у2) е2 F
Теорема доказана полностью.
Существование и единственность
соприкасающегося параболоида поз-
а)	воляет дать следующую классифи-
—W кацию точек поверхности:
1- Точка поверхности называется
эллиптической, если соприкасающий-
/V	ся паРаболоид в этой точке является
эллиптическим параболоидом (см.
\ д чертеж 32а).
2.	Точка поверхности называется
гиперболической, если соприкасаю-
*)	щийся параболоид в этой точке
yÇYv—является гиперболическим парабо-
лоидом (чертеж 326).
Ну 3. Точка поверхности называется
параболической, если соприкасаю¬
щийся параболоид в этой точке вы¬
рождается в параболический ци-
г)	л ин др (чертеж 32в).
4. Точка поверхности называется
(7. о -О точкой уплощения, если соприкасаю-
щийся параболоид в этой точке вы-
—	рождается в плоскость (касательную
Черт. 32J :	плоскость поверхности) (чертеж 32г)ѵ
88

В заключение заметим, что подобно тому как каса¬
тельная плоскость поверхности воспроизводит форму по¬
верхности в окрестности точки касания в первом при¬
ближении, соприкасающийся параболоид воспроизводит ее
во втором приближении.
§ 4. Огибающая семейства поверхностей, зависящих
от одного или двух параметров
Пусть S [Fa] — однопараметрическое семейство глад¬
ких поверхностей, зависящее от параметра а. Гладкая
поверхность Г называется огибающей семейства S, если
она в каждой своей точке касается по крайней мере
одной поверхности семейства и каждым своим кус¬
ком касается бесчисленного множества поверхностей се¬
мейства.
Теорема. Пусть задано однопараметрическое семей¬
ство гладких поверхностей S{Fa):
<р (х, г/, z, а) = О, а < а < Ь,
где <р непрерывно дифференцируемая по всем аргументам
функция, удовлетворяющая условию + ср^ + у? 0.
Тогда, если гладкая поверхность F является огибаю¬
щей этого семейства, то она задается уравнениями
<р (х, у, 2, а) = 0, <ра (х, у, г, а) = 0
в том смысле, что для каждой точки (х, у, z) поверх¬
ности F можно указать такое а, что четырьмя величи¬
нами X, у, z, а будут удовлетворяться оба уравнения
ср = 0 И сра = 0.
Доказательство этой теоремы по существу представ¬
ляет собой повторение доказательства соответствующей
теоремы для кривых (§ 5, гл. II), поэтому мы изложим
его Nfenee подробно.
Пусть P (х, у, z) — произвольная точка поверхности F.
Будем различать два случая:
1.	В точке Р касается бесконечное множество -поверх¬
ностей семейства: Fai, Fa, ...
2.	В точке Р касается только конечное число поверх¬
ностей семейства: FŒî ... Fan.
Рассмотрим первый случай. Не ограничивая общности,,
можно считать, что последовательность чисел аЛ сходится
8S

к некоторому а0. Так как <р (х, у, z, аА) = 0 при лю¬
бом ft, то
? (*, У, *л) — ? (*, у, Z, az) =
= (а* — а/) ?а (*> У, а*) = О-
Откуда <р (х, у, z, а*) = 0. Переходя к пределу при ft,
/—> оо, получаем
? (■*, У, 2, а0) = 0, <р« (х, у, Z, а0) == 0.
И в первом случае утверждение теоремы доказано.
Рассмотрим второй случай. Допустим, утверждение
теоремы неверно и, следовательно, при любом ft (ft =
= 1,2» .. . n) сра (х, у, z, ak) =# 0. Обозначим замкнутую
e-окрестность точки ak и f малый кусок поверхности F,
содержащий точку Р. (Под куском поверхности мы по¬
нимаем замкнутую область на поверхности, т. е. область
вместе с ее границей). Если кусок f достаточно мал и
Fa касается f, то а принадлежит одной из окрестно¬
стей (0|.
Обозначим mk множество точек f, в которых касают¬
ся поверхности F* с параметром а, принадлежащим со|.
Каждое множество mk замкнутое. Существует кусок по¬
верхности f, содержащийся в f и обладающий по отно¬
шению к каждому множеству tnk следующим свойством:
каждое множество mk либо содержит /, либо не содер¬
жит ни одной его точки. Кусок f строится точно так же,
как отрезок 8 в доказательстве соответствующей теоремы
для кривых.
Пусть f принадлежит mk. Так как <ра (х, у, z, аЛ) #= 0,
то при достаточно малом е поверхности А, для которых
a cz <o£fe, в окрестности точки Р задаются уравнением
Ф (X, у, z) = а,
где ф — непрерывно дифференцируемая функция, удов¬
летворяющая условно Ф* + ф2 + ф2 =# 0. Поверхность F
на куске / может быть задана уравнениями: х = х(н, ѵ),
у = у(и, и), z = z(u, ѵ\ где x(u, v), у(и,ѵ\ z(u, и)-—
непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяю¬
щие условию X Гу =# 0.
90

Обозначим a(u, и) значение параметра aczco^, отве¬
чающего поверхности Fa, касающейся куска f в точке (х, ѵ)
а (и, ѵ) = ^(х(и, и), у (и, и), z(u, и)).
a (u, ü)—очевидно, непрерывно дифференцируемая функция.
Имеем:
а« =	+ ЪуУи +
ао = 'КХѴ + ^уУѵ + ФА,-
Так как векторы (xw, уи, zj, (xv, yv, zL) являются каса¬
тельными векторами поверхности F, (фЛ, ф2) — вектор
нормали поверхности Fa, а поверхности F и Fa касаются,
то аи = 0, аѵ = 0. Следовательно, а = const.
Таким образом, куска f касается только одна поверх¬
ность семейства при acw-, и, следовательно, во всем
семействе найдется не более п таких поверхностей. Но
по определению огибающей их должно быть бесконечное
множество. Мы пришли к противоречию. Теорема до¬
казана.
Пусть S {F^} — двупараметрическое семейство глад¬
ких поверхностей. Гладкая поверхность F называется
огибающей семейства S, если она в каждой своей точке
касается хотя бы одной поверхности семейства и вдоль
каждой кривой на поверхности F её касается бесчислен¬
ное множество поверхностей семейства.
Теорема. Огибающая двупараметрического семейства
поверхностей
ср (х, у, z, а, р) = 0, а < а < b, с < P < d,
если + <р2 + ?* #= 0, задается уравнениями
? = 0, (ра = 0, срр = 0.
В дальнейшем изложении эта теорема нами не ис¬
пользуется, поэтому мы не будем приводить ее дока¬
зательства.
§ 5. Огибающая семейства плоскостей, зависящих
от одного параметра
Выясним строение поверхности F, являющейся оги¬
бающей однопараметрического семейства плоскостей.
Уравнение плоскостей семейства запишем в векторной
форме
rb (а) а (а) = 0,
91

что соответствует скалярной записи
xbt (а) + yb2 (а) + zb3 (а) + а (а.) = 0.
Не ограничивая общности, можно считать вектор b еди¬
ничным, так как уравнение всегда можно разделить на
I b (а) I (& (а) #= 0).
Относительно вектор-функций b (а) и а (а) мы будем
предполагать двукратную дифференцируемость и, кроме
того, будем считать, что Ь' (а) и Ь" (а) отличны от нуля.
Огибающая F удовлетворяет уравнениям
rb + а = 0, rb' + а' = 0.	(*)
При фиксированном а эти уравнения определяют
прямую ga. Таким образом, поверхность F описывается
прямой g*.
Рассмотрим три плоскости:
г& + а = 0, rb'4-a' = 0, rb" + а" = 0,	(**)
из коих первые две определяют огибающую. Относи¬
тельно этих трех плоскостей можно сделать три основ¬
ных предположения:
1.	Три плоскости (**) не имеют общих точек ни при
каком а.
2.	Три плоскости (**) пересекаются в единственной
точке S, одной и той же для всех а.
3.	Три плоскости (**) пересекаются в точке S(a),
положение которой существенно зависит от а в том
смысле что если г (а) вектор точки 5 (а), то 7'(а)^0.
Рассмотрим первый случай. Пусть и (а) — единичный
вектор прямой. ga. Имеем:
Ьп = 0, Ь'п = 0, Ь"п = 0.
Дифференцируя первые два равенства, получим:
Ь'п + Ьп' = 0, Ь"п + Ь'п' = 0.
Отсюда Ьп' = 0, Ь'п' = 0. Так как, кроме того, п'п = О,
то п' = 0 и, следовательно, п не зависит от а. Итак,
в этом случае все прямые ga параллельны и поверх¬
ность F, будучи образована прямыми ga, является ци¬
линдрической (черт. 33а).
92

Во втором случае прямые ga проходят через фикси¬
рованную точку пространства (S) и, следовательно,
поверхность F — коническая (черт. 336).
Рассмотрим, наконец, третий случай. Покажем, что
в этом случае прямые ga, образующие поверхность F,
касаются некоторой кривой (черт. ЗЗв).
Пусть г (а) — вектор точки пересечения плоскостей (**).
Имеем:
rb + а = 0, rb' + а' = О, + а" — 0.
Дифференцируя первое равен¬
ство и вычитая из него второе,
получим г'Ь ~ 0. Аналогично из
второго и третьего получается
г’Ь' = 0. Отсюда г' |І (Ь х Ь').
Так как прямая ga проходит
через точку S(a) и перпендику¬
лярна векторам b и Ь', то она
параллельна вектору b х Ь'\\ 7'
и является, таким образом, ка¬
сательной к кривой
Черт. 33.
Г = г (а),
описываемой точкой S (а). Эта кри-
вая называется ребром возврата
поверхности.
Результаты настоящего пара¬
графа можно резюмировать сле¬
дующей теоремой:
Теорема. Огибающая однопа¬
раметрического семейства плос¬
костей в основных случаях представляет собой область
либо на цилиндрической поверхности, либо на конической
поверхности, либо на поверхности, образованной каса¬
тельными пространственной кривой.
Легко убедиться непосредственно, что и обратно в
каждом из этих случаев касательные плоскости обра¬
зуют однопараметрическое семейство. Предлагается про¬
верить это в качестве упражнения.
93

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
1.	Составить уравнение касательной плоскости к эллипсоиду
«
а2 + J2 + с2 - 1
в точке (х', у', г').
_ хх' уу' , zz* ,
Ответ,	+^=1-
2.	Составить уравнение касательной плоскости к сфере
X = а cos V sin и, у = a cqs v cos и, г = а sin и
в точке (а, 0, 0).
Ответ. X — а = 0.
3.	Показать, что все касательные плоскости поверхности, за¬
данной уравнением
г = Мт)’
проходят через начало координат.
4.	Показать, что поверхности
х2 4- у2 г2 = аху
х2 + уг 4- г2 = йу,
х2 + у2 + z2 = уг
пересекаются под прямым углом.
5.	Показать, что нормали поверхности
X = ср (и) COS V, у = Ср (и) sin Ѵу Z = ф (u)
пересекают ось z.
6.	Найти поверхность, образованную нормалями к поверхности
У = X tg z
вдоль прямой
л
0 = *’
Ответ. Гиперболический параболоид.
7.	Составить уравнение соприкасающегося параболоида к эллип¬
соиду, заданному в упражнении 1 в точке (0, 0, с).
/	1 [х2	у2\\
Ответ. г = <Ц1—+
8.	Исследовать характер точек (эллиптические, гиперболические,
параболические, точки уплощения) на поверхностях второго порядка.
9 Найти положение центра и радиус соприкасающейся сферы
винтовой линии
x = acos/, у = а sin/, z = bt
в точке (а, 0, 0).
! b2 \	Ь2
Ответ. Центр I	,0,0); радиус а 4	•
94

10.	Найти огибающую семейства шаров
(х — а)2 4- у2 4- г2 = 1.
Ответ. Цилиндр у2 4- г2 = 1.
11.	Найти огибающую семейства плоскостей, отсекающих от ко¬
ординатного угла X, у, z > 0 тетраэдр постоянного объема.
Ответ, xyz = const.
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ К ГЛАВЕ V
1.	Доказать, что если гладкая поверхность Ф и плоскость а
имеют только одну общую точку Р, то плоскость является каса¬
тельной плоскостью поверхности в точке Р.
2.	Доказать, что касательные плоскости поверхности переноса
r = U (и) + Ѵ (а)
вдоль каждой кривой переноса (линии и = const и ѵ = const) парал¬
лельны некоторой прямой.
3.	Доказать, что семейства софокусных эллипсоидов, однополых
и двуполых гиперболоидов, задаваемые уравнениями
*2 У2 , Z2 _ .
а2 _ X Ô2 — X С2 — К ~ ’
пересекаются под прямым углом.
4.	Доказать, что если поверхность касается плоскости вдоль
некоторой линии, то каждая точка этой линии является либо пара¬
болической точкой, либо точкой уплощения.
5.	Пусть Ф — поверхность, Р — точка на ней и а — касательная
плоскость в точке Р. Доказать следующее:
1)	если точка Р эллиптическая, то все точки поверхности Ф,
достаточно близкие к Р, расположены с одной стороны плоскости а;
2)	если точка Р гиперболическая, то найдутся сколь угодно
близкие к Р точки поверхности, расположенные с разных сторон
плоскости а;
3)	если точка Р параболическая или точка уплощения, то могут
представиться обе возможности (привести примеры).
6.	Доказать, что при проективном, в частности аффинном, пре¬
образовании свойство точки быть эллиптической, гиперболической
или точкой г уплощения сохраняется.
7.	Доказать, что если все точки кривой 7 на поверхности явля¬
ются точками уплощения, то кривая плоская.
8.	Будем называть кривую сферической, если все ее точки при¬
надлежат некоторой сфере.
Пусть
Г = Г (t)
некоторая кривая и Р (/0) — произвольная точка на ней. Для того
чтобы эта кривая была сферической, необходимо и достаточно, чтобы
кривая, заданная уравнением
г _ г (0-г (/о)
|г (0 - Г Go) I2’
была плоской. Доказать.
95

9.	Пусть 7 — произвольная кривая на поверхности Ф, проходя¬
щая через точку Р. Показать, что касательная к кривой у в точке Р
лежит в касательной плоскости к поверхности в этой точке.
10.	Пусть U — соприкасающийся параболоид поверхности Ф в
точке Р. Доказать, что любая кривая на поверхности, проходящая
через точку Р, имеет в этой точке с параболоидом соприкосновение
второго порядка.
11.	Доказать, что при любом аналитическом преобразовании
пространства
х' = <Р1 (х, у, г), у' = <рг (х, у, г), z' = <р3 (х, у, z),
где <Рі, ср2, <Рз — аналитические функции с якобианом, отличным от
нуля, свойство кривой и поверхности находиться в соприкосновении
данного порядка сохраняется.
12.	Доказать, что если край поверхности принадлежит некоторой
плоскости, то либо эта поверхность является областью на этой пло¬
скости, либо на поверхности есть эллиптические точки.
Доказать, что на замкнутой поверхности есть эллиптические
точки.
13.	Доказать, что если прямая имеет с поверхностью второго
порядка соприкосновение второго порядка, то эта прямая вся лежит
на поверхности.
14.	Доказать, что семейство поверхностей, заданных уравне¬
ниями
? (х, у, z) = а,
где ср — регулярная функция переменных х, у, г, не имеет огибаю¬
щей.
15.	Если все нормали поверхности пересекают некоторую пря¬
мую, то поверхность является поверхностью вращения. Доказать.
16.	Доказать, что если нормали поверхности проходят через
одну и ту же точку, то эта поверхность есть сфера или область на
сфере.
Глава VI
ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пусть Ф — регулярная поверхность, r = r(u, ü) — ка¬
кая-нибудь ее регулярная параметризация и п — единич¬
ный вектор нормали к поверхности в точке (и, ѵ).
В теории поверхностей важную роль играют три
квадратичные формы, связанные с поверхностью:
dr2, —drdn, dn2.
Первая квадратичная форма I = dr2 является поло¬
жительно определенной, так как она принимает только
неотрицательные значения и обращается в нуль только
при du = dv = 0. В самом деле, если dr2 = 0, to dr =
96

= rudu + rvdv = 0. A так как (ru X rv) #= 0, то это воз¬
можно только при условии du = dv = 0.
Для коэффициентов первой квадратичной формы по¬
верхности мы будем употреблять обозначения: г2и = Е,
(rurv) = F, г2 — G. Таким образом,
I	= dr2 = (rudu + rvdv)2 = r*du2 + 2 (rurv) du dv + r2vdv2 =
= Edu2 + 2F du dv + Gdv2.
В настоящей главе мы рассмотрим некоторые вопросы
теории поверхностей, связанные с первой квадратичной
формой.
§ 1. Длина кривой на поверхности
Пусть Ф — простая поверхность и 7 — лежащая на
ней кривая, Ро — точка, общая для кривой и поверх¬
ности, г = г (и, ѵ) — какая-нибудь параметризация по¬
верхности в окрестности точки PQ, а г = г (t) — какая-
нибудь параметризация кривой в окрестности этой точки.
Пусть «о, и /о — значения параметров, соответствую¬
щие точке Pq.
При достаточно малом 8 каждая точка P (t) кривой,
II	— tQ I <8, принадлежит параметризованной окрест¬
ности точки Ро поверхности. Следовательно, каждой
точке P (t) однозначно соответствуют значения и (/) и
V	(t) так, что г (t) = г (и (/), ѵ (/)). Равенства и = и (/),
V	= V (/) мы будем называть уравнениями кривой на
поверхности.
Пусть Ф — регулярная поверхность, у — регулярная
кривая на ней. Пусть г = г (и, ѵ) и г = /•(£) —их регу¬
лярные параметризации в окрестности точки PQl удов¬
летворяющие обычным условиям ги\гѵФ 0, г'2 (/) =# 0.
Тогда в уравнениях- кривой на поверхности
и = и(/), V = v(t)
функции и(і) и v(t) суть регулярные функции, причем
и'2(/) + и'2(/) =# 0.
Для доказательства этого утверждения достаточно
применить теорему о неявных функциях к системе урав¬
нений
x(/) = x(u, ü), y(t) = y(u, ü), z(/) = z(u, ü),
относительно которых заранее известно, что функции
w(/), v(t) им удовлетворяют.
7 7-770
97

Пусть теперь Ф — общая поверхность и 7 — общая
кривая. По определению поверхность Ф является обра¬
зом некоторой простой поверхности Ф при некотором
локально топологическом отображении ср в пространство.
Мы будем говорить, что кривая у лежит на поверх¬
ности Ф, если на поверхности Ф существует кривая 7,
образом которой при отображении <р является кривая 7.
Отсюда следует, что если г = г (и, ѵ) — параметриза¬
ция поверхности Ф в окрестности ' точки ср (Р) и г —
= г (t) параметризация кривой в окрестности этой точки,
то найдутся функции и = и (/), ѵ = ѵ (/), удовлетворяю¬
щие равенству г (t) = г (и (/), v(t)). Таким образом, кри¬
вую на поверхности всегда можно задать в окрестности
каждой точки равенствами и = и (/), ѵ = ѵ (/), причем,
если поверхность и кривая регулярны, то u(t) и v(t)
регулярные функции.
Рассмотрим длину кривой на поверхности. Пусть Ф —
регулярная поверхность и г = г(и, и) — ее регулярная
параметризация. Пусть 7 — регулярная кривая на по¬
верхности, заданная уравнениями и = и (/), ѵ = v(t).
Найдем выражение длины дуги отрезка кривой с кон¬
цами в точках PQ (tQ) и P(t).
Имеем:
t	t
s (to, t) = j j r’ (t) I dt = УI r' (u (t), V (t)) I dt=
^0	*0
= j \dr(u, p)|= J }/7,
7 (Po, P)	7 (Po, P)
где / — первая квадратичная форма поверхности.
Мы видим, что для измерения длин кривых на по¬
верхности достаточно знать первую квадратичную фор¬
му поверхности. В связи с этим говорят, что первая
квадратичная форма задает метрику поверхности, и часто
называют ее линейным элементом поверхности.
Первая квадратичная форма не определяет поверх¬
ность однозначно. Легко привести примеры различных
поверхностей, которые при соответствующей параметри¬
зации будут иметь одинаковые квадратичные формы.
Но для двух произвольно взятых поверхностей, вообще
говоря, не существует параметризаций, для которых
первые квадратичные формы поверхностей совпадали бы.
Мы еще вернемся к этому вопросу.
98

§ 2. Угол между кривыми на поверхности
Введем понятие направления на поверхности. На¬
правлением (du : dv) на поверхности Ф, заданной урав¬
нением г= г (и, ѵ), мы будем называть направление век¬
тора dr = rudu + rvdv. Это направление мы будем назы¬
вать иногда просто (d).
Углом между направлениями (du : dv) и (Su : 8ѵ) мы
будем называть угол между векторами
dr = rudu + rvdv и Sr = rwSu + rDSv.
Найдем выражение для угла между направлениями
(d) и (8).
Имеем:
dr • Sr = I dr I I Sr I cos &
dr2 = E du2 + 2F dudv -f- G dv2 = I (d)
Sr2 = E Su2 + 2F SuSu + G Sv2 = I (S)
drSr = E dutu + F (dubv 4- dtâu) + G dvlv = I (d, S).
Отсюда для cos ft получаем следующее выражение:
Q f(d, Ъ)
cos & = - -/-■ ' ’ - .
V 1(d) /(в)
Мы будем говорить, что кривая у на поверхности,
заданной уравнением г = г (и, ѵ), в точке (и, ѵ) имеет на¬
правление (du : dv), если вектор dr = rudu + rvdv является
касательным вектором кривой в этой точке.
Кривая на поверхности, заданная уравнениями и ==
= и (t)t V = ѵ (/), в точке (и (/), ѵ (/)) имеет направление
Если две кривые 7 и 7 на поверхности Ф имеют об¬
щую точку (и, ѵ), то углом между ними в точке (и, ѵ)
будем называть угол между их направлениями в этой
точке. Таким образом, угол между кривыми на поверх¬
ности — это угол между касательными к кривым и, сле¬
довательно, он не зависит ни от параметризации поверх¬
ности, ни от параметризации кривой.
Пример. Координатные линии на поверхности (ли¬
нии и = const и линии V = const) имеют направления
(О : dv), (Su : 0). Поэтому для угла между координатными
линиями получаем выражение
а Edvbu	F
COS ft = - г— .—7= = —7= .
/Gdü2 VEW	У EG
99

Отсюда следует, что координатная сеть на поверх¬
ности ортогональна (координатные линии пересекаются
под прямым углом) тогда и только тогда, когда F = 0.
Пусть в окрестности точки (u0, ü0) регулярной по¬
верхности Ф задано семейство кривых на поверхности
уравнениями ср (и, и) = const, причем в точке (u0, ü0)
?* + ?*#= о. Построим второе семейство кривых, ортого¬
нальное первому. Для этого, предполагая, что второе
семейство существует, составим дифференциальное урав¬
нение для линий второго семейства.
Направление линии первого семейства в точке (и, ѵ)
будет (?о	Если обозначить направление линии
второго семейства в этой точке (du : rfu), то условие орто¬
гональности этих направлений будет
Eyvdu + F (<pvdv — <?udu) — G^udv = 0
или
(E<?v — F<?u) du + (Fcpy — GcpJ dv = 0.	(*)
Это и есть дифференциальное уравнение линий второго
семейства.
Теорема. В окрестности каждой точки поверхности
можно ввести регулярную ортогональную параметриза¬
цию, причем одно семейство координатных линий может
быть взято произвольно.
Действительно, пусть ср (и, ѵ) = const — семейство
кривых на поверхности, где ср (и, ѵ) регулярная функция,
удовлетворяющая условию ср2 + ср2 ф 0. Рассмотрим два
дифференциальных уравнения:
<ри(/и +	= 0.
(Е<Ра — du +	dv = 0.
Интегральные кривые первого уравнения суть кривые
заданного семейства, а интегральные кривые второго се¬
мейства— их ортогональные траектории.
Согласно § 3 гл. IV поверхность можно параметри¬
зовать так, что указанные семейства будут координат¬
ными линиями, так как
FK — F'fu< F<?v — G<?u _
<p	ср
= F<?2V —	+ G<?2U =/= 0
в силу определенности первой квадратичной формы.
Теорема доказана.
100

§ 3. Площадь поверхности
Пусть F — гладкая поверхность, G — область на ней,
ограниченная конечным числом кусочно-гладких кривых.
Разобьем область G на малые области кусочно-гладкими
кривыми. Пусть g — одна из таких областей. Возьмем
в области g произвольную точку Р и спроектируем эту
область на касательную плоскость в точке Р. Если об¬
ласть g достаточно мала, то это проектирование одно¬
однозначное и в касательной плоскости получится об¬
ласть g, ограниченная также кусочно-гладкими кривыми.
Обозначим о (g) площадь области g (черт. 34).
Под площадью области G поверх¬
ности F мы будем понимать
Черт. 34.
lira £ a (g),
где суммирование распространяется
на все области g разбиения G, а
предельный переход осуществляется
при условии, что области g разбие¬
ния G неограниченно убывают по
своим размерам.
Данное определение площади поверхности вполне со¬
ответствует наглядному представлению об измерении пло¬
щади, которое обычно связывают с разбиением поверх¬
ности и «спрямлением» отдельных кусков. Мы покажем,
что площадь поверхности в смысле данного определения
действительно обладает характерным для нее свойством
аддитивности, а также найдем формулу для вычисления
площади в случае произвольной параметризации поверх¬
ности.
Предположим для простоты вывода, что на поверх¬
ности может быть введена единая гладкая параметри¬
зация
г = г (и, и).
Области G на поверхности соответствует некоторая об¬
ласть G плоскости иѵ, ограниченная кусочно-гладкими
кривыми, а разбиению области G кусочно-гладкими кри¬
выми на области g соответствует разбиение области G
кусочно-гладкими кривыми на области g.
101

Определим площадь а (g) области g. Для этого вве¬
дем прямоугольные декартовы координаты х, у, z, при¬
няв точку Р поверхности за начало координат, касатель¬
ную плоскость в Р за плоскость ху, а нормаль к ней —
за ось z.
Кусок g поверхности F в декартовых координатах
задается уравнениями
х = х(и, ѵ), у = у(и, v), z = z(u, ü), (u, v)czg.
Равенствами
x = x (u, ü), y = y (a, v) (w, ü) czg
устанавливается взаимно-однозначное отображение обла¬
сти g на g. Числа и, ѵ можно рассматривать как криво¬
линейные координаты в области g.
Площадь области в криволинейных координатах, как
известно, вычисляется по формуле
g
Вектор ru X гѵ направлен по нормали к поверхности, а так
как в точке Р нормаль совпадает с осью z, то в этой
точке абсолютная величина вектора ги х гѵ равна абсо¬
лютной величине его компоненты по оси z, т. е.
Отсюда по непрерывности следует, что для любых и, ѵ
из g	(
|| tUyD II = I X rv I + 8g («, u),
II УиУѵ II
где eg сколь угодно мало, если малы размеры области g.
Для суммы площадей □ (g) имеем:
S° (g) = S П (I r“х I + % dudv =
g
= И I ги х rv I dudv + И ^gdudv.
G	Я
lp2

Если разбиение области G на области g достаточно мел¬
кое, величины 8g в силу равномерной непрерывности
ru X гѵ в G меньше произвольно малого е > 0.
Поэтому
ISH eèdudv J < е У. 0 (g) = 60 (G),
g
где □ (G) — площадь области G.
Отсюда следует, что при неограниченном убывании
областей g разбиения области G
Sa(g)-* JJ |r„ X rD\dudv.
G
Тем самым доказано существование площади и найдено
выражение для нее
о (G) = J У I ru X г J dudv.
Аддитивность площади поверхности следует из адди¬
тивности интеграла. Действительно, пусть область G раз¬
бивается кусочно-гладкой кривой на две области — Gx
и G2, пусть Gk и G2 — соответствующие области плоскости
иѵ. Имеем:
J JI ru X г01 dudv = J J I ru X rv I dudv +
G	Gt
+ J J I ru X rv I dudv.
Gt
А это значит:
^(G) = ^(G1) + o(G2),
что и выражает собой свойство аддитивности площади
поверхности.
Теперь, когда аддитивность площади доказана, при
фактическом вычислении площади поверхности мы можем
разбить поверхность на части и в каждой из этих частей
пользоваться своей параметризацией.
В заключение покажем, что площадь поверхности
определяется только ее первой квадратичной формой.
Действительно,
I ru X г0 |2 = Г2/-2 — (rurj2 = EG — F2.
103

Отсюда
о = J J Veg - F2 du dv.
В частности, если поверхность задана уравнением г =
= 2 (X, у)

°=	+ Р* + У* dxdy.
§ 4. Конформное отображение
Пусть ФА и Ф2- регулярные поверхности. Топологи¬
ческое отображение поверхности Фі на поверхность Ф2
называется конформным, если оно сохраняет углы между
кривыми в том смысле, что соответствующие кривые на
этих поверхностях пересекаются под одинаковыми углами.
Теорема. Если регулярные поверхности Ф± и Ф2 пара¬
метризованы так, что коэффициенты их первых квадра¬
тичных форм пропорциональны, то отображение одной
поверхности на другую, при котором сопоставляются
точки с одинаковыми координатами, конформно.
Обратно, если поверхности Ф1 и Ф2 параметризовать
так, что соответствие точек с одинаковыми координатами
конформно, то первые квадратичные формы поверхностей
пропорциональны.
Доказательство. Пусть
/х = Edu2 + 2F dudv + Gdv2
I2 = X {Edu2 + ÏF dudv + Gdv2)
первые квадратичные формы поверхностей Ф1 и Ф2. Если
отображение ФА на Ф2 заключается в сопоставлении точек
с одинаковыми координатами, то соответствующие кривые
имеют одинаковые внутренние уравнения и = и (/), ѵ =
= V {t) и, следовательно, для угла между соответствую¬
щими кривыми получается одно и то же выражение, т. е.
отображение конформно. Первая часть теоремы доказана.
Докажем вторую часть теоремы.
Пусть {и, ѵ) — произвольная параметризация поверх¬
ности ФА. Параметризуем поверхность Ф2, сопоставляя
произвольной ее точке в качестве координат координаты
соответствующей точки Фх при конформном отображении.
Пусть
Ц = E±du2 4- 2FLdudv + G^v2,
I2 = E2du2 -|- 2F2dudv + G2dv2
104

первые квадратичные формы поверхностей, соответствую¬
щие этим параметризациям. Покажем, что коэффициенты;
£і» Fi, Gi пропорциональны Е2, F2, G2.
В силу конформности отображения ортогональность-
направлений (d) и (В) относительно формы влечет за
собой ортогональность их относительно формы /2- По¬
этому из
Ey du Ъи + Fi (du Ви + dv Bu) + GY dv %v = 0
следует
E2 du Bu + F2 (du Bu + dv Bu) 4- G2 dv Bu = 0.
Отсюда, исключая Bu, Bu, получаем:
Ei du 4- Fj dv ___ Fj du 4- Gt dv
E2 du 4" F2 dv	F<2 du 4~ G2 dv
Ввиду произвола du и dv при dv = 0 получаем
= Л
e2 f2 ’
a при du = 0
^i = Gi
f2 g2 •
Теорема доказана полностью.
Конформное отображение, помимо того что оно сохра¬
няет углы, обладает еще одним замечательным свойством,.
Именно, достаточно малые соответствующие фигуры на
поверхностях при конформном отображении в первом
приближении подобны. Действительно, пусть Fx — малая
фигура на поверхности Фь Расстояние между ее точками
(и, и) и (и + Ди, V + Ди) в первом приближении равна
Е &и2 4- 2F Ди Ди + G Ди2.
Расстояние между соответствующими точками фигуры F*
на поверхности Ф2 в первом приближении
À (Е Lu2 + 2F Ди Ди + G Ди2).
Таким образом, коэффициент искажения равен X и, сле¬
довательно, почти постоянен, если фигура достаточно
мала.
Теорема. Пусть Фг и Ф2 — регулярные поверхности
и Рі, Р2 — произвольные точки на этих поверхностях.
Тогда существует конформное отображение некото¬
рой окрестности точки Рг поверхности Фк на некоторую-
окрестность точки Р2 поверхности Ф2.
105,

Доказательство этой теоремы основано на возможности
^параметризовать регулярную поверхность в окрестности
^произвольной точки так, что ее первая квадратичная
♦форма при этой параметризации имеет вид:
I = X(u, и) (du2 + du2).
Мы не будем приводить доказательства этого утвер¬
ждения, укажем только, что если поверхности <PL и Ф2
^параметризовать таким образом в окрестностях точек PY
и Р2 соответственно, то
конформное отображение
окрестности точки Рх по¬
верхности Фі на окрест¬
ность точки Р2 поверхно¬
сти Ф2 получается при со¬
поставлении точек с оди¬
наковыми координатами.
В заключение приведем
пример конформного ото¬
бражения сферы на плос¬
кость.
Пусть со — сфера ра¬
диуса R с центром в точке
(О, О, R). Рассмотрим ото¬
бражение сферы со на плос¬
кость ху, которое заключается в проектировании ее из
полюса S(0, О, 2р). Это отображение называется стерео¬
графической проекцией (черт. 35).
Введем в качестве криволинейных координат углы и
и и, показанные на чертеже. При этом уравнения плос¬
кости —
х = 2R tg и cos и, у = 2R tg и sin и.
.а сферы —
X = 2R sin и cos и cos и, у = 2R sin и cos и sin и,
z = 2R sin2 и.
.Линейный элемент плоскости
ds2 = (du2 + sin2 и cos2 и dv2),
COS4UV 1
il06

а сферы —
ds2 = 47?2 (du2 + sin2 и cos2 и dv2).
Отсюда заключаем, что отображение конформно.
§ 5. Изометричные поверхности. Изгибание
поверхностей
Поверхности и Ф2 называются изометричными,
если существует одно-однозначное отображение поверх¬
ности Фх на поверхность Ф2, при котором соответствую¬
щие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые
длины.
Теорема. Если регулярные поверхности Фх и Ф.2 можно
параметризовать так, что их первые квадратичные формы
будут одинаковы, то поверхности изометричны. Изоме¬
трическое отображение заключается в сопоставлении то¬
чек с одинаковыми координатами.
Обратно, если поверхности Ф± и Ф2 изометричны, то
они могут быть параметризованы так, что их первые
квадратичные формы будут одинаковы.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна. До¬
статочно заметить, что если кривая на поверхности Ф±
задается уравнениями и = и (/), ѵ = ѵ (t), то соответст¬
вующая ей кривая на поверхности Ф2 задается теми же
уравнениями и = и (/), ѵ = ѵ (t), и воспользоваться фор¬
мулой для длины дуги кривой.
Докажем вторую часть теоремы.
Пусть Рі — произвольная точка поверхности Ф{ и
г = г\ (и, V) — любая регулярная параметризация поверх¬
ности в окрестности этой точки.
Пусть Р2(и, ѵ)— точка поверхности Ф2, соответствую¬
щая по изометрии РТ (и, ѵ), и г2 (и, ѵ) — вектор этой точки.
Уравнение
г = г2 (и, ѵ)
задает некоторую параметризацию поверхности Ф2 в ок¬
рестности точки Р2. Регулярность этой параметризации
пока не может быть установлена, это может быть сде¬
лано в гл. IX. Но допустим, параметризация г = г2(и, ѵ)
поверхности Ф2 регулярна. Покажем, что первая квадра¬
тичная форма поверхности Ф2 при такой параметризации
совпадает с первой квадратичной формой поверхности Ф±.
Пусть -(і — произвольная кривая на поверхности Фь
и = и (t), V v(t) — ее уравнения. Соответствующая ей
107

по изометрии кривая на поверхности задается теми же
уравнениями. Поэтому
t

Ç УЕщ'2 + 2F1u'v' + Glv'2 dt =
to
t

= У УEzu'2, + 2F2u'v' + G2v'2dt.
t 0
Так как это равенство верно при любом /, то подынте¬
гральные функции равны. Так как кривая совершенно
произвольна, то подынтегральные функции равны для
любых значений и' и и', а это возможно только при
Е± = Е2, Fi = F2, G1 = G2.
Теорема доказана.
Равные поверхности, очевидно, изометричны. Обрат¬
ное, вообще говоря, неверно. Нетрудно указать примеры
изометричных и в то же время не равных друг другу
поверхностей. Приведем пример.
Прямоугольная область 0 < х < у , 0 < у < 1 на плос¬
кости ху изометрична области на цилиндре х2 + у2 = 1,
определяемой условиями: 0 < z < 1, х > О, //>0. Доста¬
точно заметить, что указанная область на цилиндре до¬
пускает параметризацию: х = cos u, у = sin u, z = v9
0 <u < —-, 0 < V < 1. Линейный элемент цилиндра, соот¬
ветствующий такой параметризации, du2 + dv\ Отсюда
видно, что отображение, задаваемое равенствами х = и9
у = V, изометрическое.
Так как углы между кривыми на поверхности и пло¬
щадь поверхности определяются первой квадратичной
формой поверхности, а изометричные поверхности при
соответствующей параметризации имеют одинаковые пер¬
вые квадратичные формы, то при изометрическом отобра¬
жении сохраняются углы между кривыми и площади, т. е.
соответствующие кривые изометричных поверхностей обра¬
зуют одинаковые углы, а соответствующие области имеют
одинаковые площади.
Мы показали на примере, что различные поверхности
могут иметь при соответствующей параметризации оди¬
наковые первые квадратичные формы. Возникает вопрос:
в какой степени определяется поверхность первой квадра¬
тичной формой и существует ли поверхность, имеющая
108

произвольно заданную квадратичную форму своей первой
квадратичной формой?
Оказывается, поверхность «в малом» далеко не опре¬
деляется своей первой квадратичной формой. Известна,
например, следующая теорема. Для каждой достаточно
малой окрестности со точки Р аналитической поверхности
существуют поверхности, изометричные со и не равные ей.
Некоторые поверхности «в целом» первой квадратич¬
ной формой определяются однозначно. Так, например, лю-
бая регулярная замкнутая выпуклая поверхность Ф первой
квадратичной формой определяется однозначно, в том
смысле, что любая регулярная поверхность Ф', изометрич¬
ная Ф, равна Ф. Можно назвать достаточно широкий класс
бесконечных поверхностей, однозначно определяемых пер¬
вой квадратичной формой. В качестве примера поверх¬
ности этого класса можно указать любой эллиптический
параболоид.
Изгибанием поверхности называется такая непрерыв¬
ная ее деформация, при которой длины кривых на поверх¬
ности не изменяются. Наглядное представление об изги¬
бании поверхности может дать изгибание листа бумаги.
Так как при изгибании поверхности длины кривых не
изменяются и, следовательно, поверхность в любой момент
изгибания изометрична исходной поверхности, то при со¬
ответствующей параметризации первая квадратичная
форма при изгибании поверхности не изменяется.
Оказывается, поверхности «в малом», как правило, из¬
гибаемы. Так, например, имеет место теорема: у каждой
точки аналитической поверхности, не являющейся точкой
упрощения, существует окрестность, допускающая непре¬
рывные изгибания.
Среди поверхностей «в целом» существуют поверхности,
не допускающие непрерывных изгибаний. Таковы, напри¬
мер, все замкнутые' выпуклые поверхности.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
1.	Найти первую квадратичную форму поверхности вращения
X = ср (и) cos V, у = ср (и) sin ѵ, г = ф (и).
Ответ. I = (ср'2 4- ф'2) du2 + ср2 dv2.
2.	Показать, что поверхность вращения можно параметризовать
так, что ее первая квадратичная форма будет иметь вид:
I == du2 + G (и) dv2.
109

3.	Найти длину дуги кривой, заданной уравнением и = ü, на
поверхности с первой квадратичной формой
/ = du2 4- sh2 и dv2.
Ответ, s = I sh и2 — sh I.
4.	Найти угол, под которым пересекаются координатные линии
х = х0, у = у0 на поверхности г = аху.
Ответ, cos Я = — ■ —-		— .
у 1 +а^Ѵ1+а^
5.	Показать, что на геликоиде
X = au cos и, у = au sin t>, z = bu
координатная сеть и, ѵ ортогональна.
6.	Найти семейство кривых, пересекающих под прямым углом
прямолинейные образующие х = const параболоида z = аху.
Ответ (1 + а2х2} у2 = const.
7.	Найти кривые на сфере, пересекающие ее меридианы под
постоянным углом (такие кривые называются локсодромы).
8.	Найти площадь четырехугольника на геликоиде (упражне¬
ние 5), ограниченного кривыми;
и = 0, w = — , ѵ = О, V = 1.
а
Ответ, а = ~ (У 2 + In (1 + /2)).
9.	Показать, что площади областей на параболоидах
г = 4 (х2 + </2),
г — аху,
проектирующиеся на одну и ту же область плоскости ху, равны.
10.	Показать, что если поверхность допускает такую параметри¬
зацию., при которой коэффициенты первой квадратичной формы не
зависят от и и а, то эта поверхность локально изометрична плос¬
кости.
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ К ГЛАВЕ VI
1.	Доказать, что если U (х, у) и V (х, у) — вещественная и со¬
ответственно мнимая часть функции комплексного переменного х + іу,
то площади областей поверхностей
z = U(x, у), z = V(x, у),
проектирующихся на одну и ту же область плоскости ху, равны.
2.	Доказать, что существует конформное отображение поверх¬
ности вращения (упражнение 1) на плоскость, при котором мери¬
дианы поверхности (линии ѵ = const) переходят в прямые, прохо¬
дящие через начало координат, а параллели (линии и = const) —
в круги с центром в начале координат.
Рассмотреть частный случай, когда
ср (и) = cos и, ф (u) = sin и (сфера).
ПО

3.	Доказать, что существует конформное отображение поверх¬
ности вращения на плоскость, при котором меридианы и параллели!
поверхности переходят в прямые х = const, у = const.. Рассмотреть
частный случай, когда поверхность — сфера.
4.	Доказать, что сферу даже локально нельзя изометрически*
отобразить на плоскость.
5.	Если U (х, у) 4- іѴ (х, у) аналитическая функция комплексной
переменной х 4- іу, причем в точке (х0, у0)
то отображение плоскости на себя, при котором точке с декарто¬
выми координатами х, у сопоставляется точка с декартовыми коор¬
динатами U (х, у), V (х, у), конформно. Доказать.
6.	Пусть
ds2 = Е du2 + 2F dudv 4- G dv2
линейный элемент аналитической поверхности. Рассмотрим диффе¬
ренциальное уравнение
Е du2 4- 2F du dv 4- G dv2 = 0
в комплексной области. Пусть ср (и, ѵ) = const — решение этого урав¬
нения, U (х, у) и V (х, у) — вещественная и мнимая части функции»
ср (х, у). Тогда, если
то отображение поверхности на плоскость, при котором точке (и,
поверхности сопоставляется точка плоскости с декартовыми коор¬
динатами U и V, является конформным. (На этом может быть осно¬
вано доказательство теоремы § 4 гл. 6 для случая аналитических
поверхностей).
7.	Отображение одной поверхности на другую называется экви-
ареальным, если соответствующие при этом отображении области»
имеют одинаковые площади.
Доказать, что если отображение одной поверхности на другую
конформно и эквиареально, то оно изометрическое.
8.	Доказать, что любое изометрическое отображение плоскости-
на себя есть либо движение, либо движение с зеркальным отобра¬
жением.
9.	Фі и Ф2 — изометричные поверхности, г =	(и, ѵ), r=r2 (и, ѵ)—
их параметризации. Изометрическое отображение заключается в со¬
поставлении друг другу точек с одинаковыми координатами.
Пусть Фх — поверхность, задаваемая уравнением г=\г1 (и, ѵ) 4-
4- |іг2 (и, ѵ). Доказать, что поверхности Фх> и х изометричньь
10.	Показать, что существует изометрическое отображение ге¬
ликоида
X = и cos V, у = usïnv, z = тѵ
на катеноид
x = acosp, i/=asinfi, z = т arc ch ,
при котором прямолинейным образующим геликоида соответствуют
меридианы катеноида.
111

И. Доказать, что любая винтовая поверхность допускает изо¬
метрическое отображение на некоторую поверхность вращения, при
котором винтовым линиям соответствуют параллели (теорема Бура).
12х. Сеть кривых на поверхности называется сетью Чебышева,
^если у любого четырехугольника, образуемого линиями сети, проти¬
воположные стороны равны.
Для того чтобы координатная сеть на поверхности была чебы-
лпевской, необходимо и достаточно, чтобы Еѵ = Gu = 0. Доказать.
122.	Доказать, что если координатная сеть чебышевская, то
координаты w, ѵ можно выбрать таким образом, что линейный эле¬
мент поверхности примет вид
ds2 = du2 4- 2 cos œ du dv + dv2,
co — угол, образуемый координатными линиями.
123.	Доказать, что на поверхности переноса
г = U (и) + V (у)
■координатные линии образуют чебышевскую сеть.
Глава VII
ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пусть Ф — регулярная поверхность, г = г (и, а) —
‘какая-нибудь ее регулярная параметризация, п(и, ѵ) —
-единичный вектор нормали поверхности в точке Р (и, ѵ).
Второй квадратичной формой поверхности называется
квадратичная форма
—dr ■ dn = (—rutiu) du* + (—rutiv — rDnu) du dv +
+ (—rvtiv) dv2.
Для коэффициентов этой формы мы будем употреблять
-следующие обозначения:
—rutiu = L, —runv — rvnu = 2M, —rvtiv = N.
Так как dr • п — 0 и, следовательно,
d (dr • ri) = (d*r ■ ri) + (dr • dri) — 0,
то
H = d2r • n = (ruun) du2 + 2 (ruori) du dv 4- (r^ri) dv2.
■Отсюда
L = ruun, M. = ruon, N = rmn.
<12

Так как п = (ru х r0)/\ru х rj, а \ru% rv\ = V EG — F2,
то
xuu Уии гии
xu Уи zu
J   (rUUrиГy)

xv У v zv
\ru X rv\
У EG —F2
ДЛ   (ruvrи?и)

xuu Уиѵ zuo
Уи Zu
1 xv Уѵ Zv
ku.xrd-
Veq — f1’
__ (rvvrurv)
1 rU X l'y 1
ХУУ Ууѵ Zyy
xu Уи zu
ху Уѵ Zv
y EG —F2 ‘
В частности, если поверхность задана уравнением г =
— Z (х, у), то
L = Zxx М = Zxy
ia+4+<	ѵі+г:+<
, Zyy
Vl+^ + zj
§ 1. Кривизна кривой, лежащей на поверхности
Пусть Ф — регулярная поверхность, г = г (и, ѵ) — какая-
нибудь ее регулярная параметризация, 7 — регулярная
кривая на поверхности, проходя¬
щая через точку Р (и, ѵ) и имею¬
щая в этой точке направление
(du : dv). Пусть г = г (s) — естествен¬
ная параметризация кривой 7.
Рассмотрим скалярное произве¬
дение (fri). Вектор г" направлен по
главной нормали кривой, а по ве¬
личине равен кривизне кривой.
Отсюда следует, что
(r"ri) = k cos ft,
где k — кривизна кривой, а & — угол, образуемый глав¬
ной нормалью кривой и нормалью к поверхности (черт. 36).
Но
г"п = (ruuU'2 + 2гти'ѵ' + ГтѴ'2 + ruu" + rvy")n =
= (ruu«) «'2 '+ 2 (ruon) ù'v' + (rTOrt) v'2.- '
8 7-770
ІІЗ

Поэтому
, а	L du* + 2М dudv + N dv*	П
R COS ü — Ëdu2 + 2Fdudv + Gdu* ~ 7 ’
Правая часть этого равенства зависит только от направ¬
ления кривой в точке Р (и, ѵ). Таким образом,
k cos & = kQ = const
в точке P (u, ü) для всех кривых 7, проходящих через
эту точку и имеющих в ней одно и то же направление
(т. е, одну и ту же касательную).
Равенство
k cos ft = kQ = const
составляет содержание теоремы Менье.
Величина kQ называется нормальной кривизной поверх¬
ности в данном направлении (du\dv). С точностью до
знака она равна кривизне кривой, которая получается
в сечении поверхности с плоскостью, перпендикулярной
касательной плоскости и содержащей направление (du : do).
Нормальная кривизна поверхности в данном направле¬
нии совпадает с нормальной кривизной соприкасающе¬
гося параболоида в том же направлении.
Действительно, если поверхность и соприкасающийся
параболоид ее в точке Р отнести к прямоугольным де¬
картовым координатам, приняв касательную плоскость
в этой точке за плоскость ху, а нормаль к ней за ось ?,
то поверхность и параболоид задаются уравнениями
z = z(x, у)
% ~	%У 4~ ^уу |р у2)-
Отсюда видно, что первая и вторая квадратичные формы
поверхности и параболоида в точке Р одинаковы, а сле¬
довательно, равны нормальные кривизны.
Приведенное соображение позволяет найти уравнение
соприкасающегося параболоида в системе координат,
естественно связанной с произвольной параметризацией
(и, и) поверхности, приняв касательную плоскость в точке
Р (Цо, t>o) за плоскость ху, нормаль к ней — за ось z и ги,
гѵ, п — за базисные векторы.
Уравнение параболоида, очевидно, можно записать
в виде
г = (и — и0) ги 4- (о — ü0) гѵ +
+ {Л (и — и0)2 + 2В (и — и0) (и — и0) 4- С (V — ü0)2) п.
114

Нормальная кривизна параболоида в направлении (du : dv)>
будет
A du2 2В du dv + С du2
f'u du2 + 2 (rurv) du dv + r*v dv2 ’
Сравнивая это выражение с нормальной кривизной по¬
верхности в том же направлении и принимая во внима-.
ние, что du и dv произвольны, заключаем:
Д = Л, В = М, C = N.
Поэтому уравнение параболоида в параметрической форме
X = и — и0, У = V — Ü0,
Z = ~ {L (и — и0)2 + 2М (и — Uq) (v — v0) + N (v ~ Vo)2},
что эквивалентно
z = ~ (Lx2 + 2Мху + Ny2).
Отложим из произвольной точки Р (и, V) поверхности
X
в каждой направлении (du : dv) отрезок, равный |1|2,
где k — нормальная кривизна поверхности в этом направ¬
лении. Геометрическое место концов этих отрезков на¬
зывается индикатрисой кривизны поверхности в точке Р
(черт. 37).
Часто называют ее также индикатрисой Дюпена.
Выясним, что представляет собой индикатриса кри¬
визны. Для этого введем в касательной плоскости по¬
верхности декартовы координаты, приняв точку касания
за начало координат, прямые, содержащие векторы ги и
Гу,—за оси координат, а сами векторы ги и гѵ — за ба¬
зисные векторы. Пусть х и у —
координаты точки индикатрисы
кривизны, соответствующей на¬
правлению (dw.dv). Имеем:
ѵг _І_ 1tr -Il І^ Ги du + dv
ХГи-ГУГѵ-\ k I \rudu + rvdv\-
Возводя это равенство в квадрат
и замечая, что х : у = du : dv, по¬
лучаем:
Черт. 37.
£х2 + ^Fxy + Gy2 =
Е du* + 2F du dv + G dv*
\Ldu* + 2M dudv + N dv* |
Ex* 4- 2FXy + Gy2
I Lx* + 2M xy + N y* I ’
8;
J15

Отсюда
I Lx2 + 2Mxy + Ny2 I = 1.
Это и есть уравнение индикатрисы кривизны.
Таким образом, индикатриса кривизны представляет
собой эллипс — в эллиптической точке поверхности (LN —
— A42 > 0), пару сопряженных гипербол —в гиперболиче¬
ской точке (LN — Л42<0), пару параллельных прямых —
в параболической точке (LN — М2 = 0).
Очевидно, поверхность и ее соприкасающийся парабо¬
лоид имеют одну и ту же индикатрису кривизны.
.Индикатриса кривизны может быть введена и дру¬
гим, более геометрическим, способом. Пусть Р — произ¬
вольная точка поверхности и а — касательная плоскость
в этой точке. Обозначим Mh геометрическое место точек
поверхности, расстояние которых от а равно Л. Подверг¬
нем его преобразованию подобия относительно центра Р
с коэффициентом подобия . Полученное множество то-
V h
чек обозначим
Vh h
Уравнение поверхности, если касательную плоскость
в Р принять за плоскость ху, а нормаль за ось z, будет
2 = у (rx2 + 2sxy + ty2) + (х2 + у2) е (х, у),
где е(х, у)->0 при х, #->0. Отсюда точки М}1 удовле¬
творяют уравнению
h = -і-1 (гх2 + 2sxy 4- ty2) 4- (х2 4- г/2) г (х, у) |.
Так как координаты точки из
отличаются от
координат соответствующей точки Mh множителем
то они удовлетворяют уравнению
1 = I (гх2 4- 2sxy 4- ty2) 4- (х2 4- і/2) е (]Л/г, у У h) |.
Отсюда видно, что
катрисе кривизны.
При /і->0 ~7= Alft сходится к инди-
V h
116

§ 2. Асимптотические направления. Асимптотические )
линии. Сопряженные направления. Сопряженные
сети на поверхности
Направление (du : dv) на регулярной поверхности Ф
в точке Р(и, ѵ) называется асимптотическим, если
нормальная кривизна поверхности в этом направлении
равна нулю. Таким образом, направление (du : dv) будет
асимптотическим тогда и только тогда, когда выполняется
условие
L du2 + 2М du dv + N dv2 = 0.
Отсюда следует, что в эллиптической точке поверх¬
ности не существует асимптотических направлений, в ги¬
перболической точке существует два асимптотических
направления, в параболической точке — одно асимптоти¬
ческое направление, наконец, в точке уплощения любое
направление является асимптотическим.
Кривая на поверхности называется асимптотической
линией, если ее направление в каждой точке является
асимптотическим. Отсюда следует, что
L du2 + 2М dudv + N dv2 = 0
есть дифференциальное уравнение асимптотических линий.
Если на поверхности расположена прямая, то она,,
очевидно, будет асимптотической линией.
Отметим одно простое свойство асимптотических. Ка¬
сательная плоскость поверхности в каждой точке асимп¬
тотической линии является соприкасающейся плоскостью.
Действительно, если в точке Р асимптотической 7 кри¬
визна равна нулю, то касательная плоскость поверхности
в точке Р является соприкасающейся уже потому, что
она проходит через касательную кривой. Если же кри¬
визна у в точке Р отлична от нуля, то касательная
плоскость содержит векторы dr и d2r (первый потому,
что плоскость касательная, а второй потому, что кривая
7 асимптотическая и, следовательно, удовлетворяет усло¬
вию d2r « п = 0). Отсюда следует, что и в этом случае
касательная плоскость является соприкасающейся плос¬
костью асимптотической.
Выясним, при каком условии координатные линии на
поверхностна = const и ѵ = const будут асимптотическими.
Подставляя последовательно и = const и ѵ = const в уравне¬
ние асимптотических, заключаем, что координатная сеть
117

будет асимптотической тогда и только тогда, когда коэф¬
фициенты L и N второй квадратичной формы равны нулю.
Теорема. В окрестности гиперболической точки по¬
верхности всегда может быть введена параметризация,
при которой координатными линиями будут асимптоти¬
ческие.
Это следует из общей теоремы § 3 гл. IV, так как
асимптотические линии удовлетворяют уравнению
L du2 + 2М dudv + N dv2 = О,
для которого условия упомянутой теоремы выполнены
(LN -М2<0).
Пусть Р — произвольная точка поверхности Ф, (du : dv),
—два направления в точке Р на поверхности.
Направления (d) и (5) называются сопряженными, если
содержащие их прямые gd и являются сопряженными
диаметрами индикатрисы Дюпена в точке Р.
Таким образом, для того, чтобы направления (d) и (8)
были сопряженными, необходимо и достаточно выполне¬
ния условия
L du 8u + М (du Sv + dv 8u) + N dv üv = 0.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
условие сопряженности направлений d и 8 допускает
компактную запись:
dr • 8п = 0 или 8г • dn = 0.
Асимптотические направления являются самосопряжен¬
ными.
Пусть на поверхности имеем два семейства линий —
7І и — образующие сеть в том смысле, что через каж¬
дую точку поверхности проходит по одной линии каж¬
дого семейства. Тогда сеть линий, образованная семейст¬
вами 7а и 7р, называется сопряженной сетью, если линии
сети различных семейств в каждой точке имеют сопря¬
женные направления.
Если координатная сеть является сопряженной сетью,
то коэффициент М второй квадратичной формы поверх¬
ности равен нулю. Чтобы убедиться в этом, достаточно
записать условие сопряженности для направлений (du : 0)
и (0: 8и).
В окрестности каждой точки поверхности, не являю¬
щейся точкой уплощения, может быть введена парамет¬
'Л18

ризация так, что координатные линии будут образовы¬
вать сопряженную сеть. При этом одно семейство коор¬
динатных линий можно взять произвольно, лишь бы
линии этого семейства не имели асимптотических на¬
правлений.
§ 3. Главные направления на поверхности.
Линии кривизны
Направление (du : dv) на поверхности называется глав¬
ным направлением, если нормальная кривизна поверх¬
ности в этом направлении достигает экстремального
значения. Таким образом, это не что иное, как направ¬
ления, совпадающие с направлениями осей индикатрисы
кривизны.
Отсюда следует, что в каждой точке поверхности в об¬
щем случае два главных направления. Совпадая с направ¬
лениями осей индикатрисы кривизны, главные направления
ортогональны и сопряжены, а следовательно, удовлетво¬
ряют условиям
I	(Щ 8) = Е dubu 4- F (du Ъѵ 4- dv 8u) + G dv 8v = 0
(op тогон a л ьн ост ь ),
II	(d, 8) = Ldubu + M (du 8v + dv 8u) + N dv î>v = 0
(сопряженность).
Исключая из этих уравнений 8u и 8ѵ, получим:
Е du + F dv, F du + G dv
= 0
L du + M dv, M du + N dv
Это и есть необходимое и достаточное условие для того,
чтобы направление (du : dv) было главным направлением.
Его можно записать и в другой, более симметричной
форме:
dv2 — du dv du2
E	F	G	= 0.	(* )
L	M	N
Главные направления не определены в двух случаях:
в случае точки уплощения, так как в ней любое направ¬
ление является главным (нормальная кривизна в любом
направлении равна нулю), и в специальном случае эл¬
липтической точки, когда индикатриса кривизны —• круг;
119

такая точка называется шаровой.ѣ шаровой точке также;
как и в точке уплощения, любое направление является
главным. Это обстоятельство отражено в условии (*),
определяющем главные направления. Оно удовлетворяется
тождественно только в двух случаях: L = М = N = О
(точка уплощения) и в случае пропорциональности коэф¬
фициентов первой квадратичной формы коэффициентам
второй квадратичной формы (шаровая точка).
Нормальные кривизны поверхности, соответствующие
главным направлениям, называются главными кривизнами.
Теорема Родрига. Если направление (d) является
главным направлением, то
dn = —kdr,
где k — нормальная кривизна поверхности в этом направ¬
лении. Обратно, если в направлении (d)
dn = X dr,
то (d) является главным направлением.
Доказательство. Пусть (В) — другое главное направ¬
ление, перпендикулярное первому. Вектор dn, будучи пер¬
пендикулярен п, допускает представление
dn = \dr 4- fi Br.
Умножая это равенство на Зг и замечая, что dn8r = 0
в силу сопряженности направлений (d) и (В) и dr • Br = О
в силу ортогональности этих направлений, получим:
fi 8г2 = 0.
Отсюда fi = 0*. Итак, dn = \ dr. Умножая это равенство
на dr, получим:
{dr dn) = \dr2.
Отсюда следует, что X = — k. Прямое утверждение до¬
казано.
Докажем обратное утверждение. Пусть направление
(d) таково, что
dn = \ dr.
Покажем, что оно является главным. Пусть (В) — на¬
правление, перпендикулярное (d). Тогда, умножая ра¬
венство dn = \dr на 8г, получим dn8r = 0. Но это зна¬
чит, что направления (d) и (8) сопряженные. Так как они,
кроме того, ортогональны, то они главные.
120

Линия на поверхности называется линией кривизны*
если ее направление в каждой точке является главным
направлением.
Отсюда следует, что
dü2 — du dv du2
EFG
L M Af
= 0
является дифференциальным уравнением линий кривизны.
Если координатные линии на поверхности являются1
линиями кривизны, то коэффициенты F и М первой и
соответственно второй квадратичных форм равны нулю.
F = 0, в силу ортогональности координатной сети, а
М = 0 в силу сопряженности.
Теорема. В окрестности каждой точки Р поверхности*
не являющейся шаровой точкой или точкой уплощения,
поверхность можно параметризовать так, что коорди¬
натные линии будут линиями кривизны.
Действительно, дифференциальное уравнение линий
кривизны имеет вид
A du2 + 2В du dv + С dv2 = 0.	(**}
Так как в каждой точке, близкой к Р, есть два и только
два главных направления, то трехчлен
а + 2ве + се2
имеет два вещественных корня. Поэтому АС — В2 <0.
По теореме § 3 гл. IV отсюда следует, что существует
параметризация, при которой координатные линии будут
интегральными кривыми уравнения (**), т. е. линиями
кривизны.
В заключение докажем одну теорему, которая в не¬
которых случаях позволяет просто находить линии кри¬
визны поверхности.
Теорема. Если две поверхности пересекаются вдоль
некоторой кривой у под постоянным углом и если эта
кривая является линией кривизны на одной из поверхно¬
стей, то она будет линией кривизны и на другой.
Доказательство. При дифференцировании вдоль кри¬
вой у на первой поверхности имеем:
йщ = dr.
121

Для второй поверхности
dn2 = У<2 dr -|-	+ ѵп2.
Умножим это равенство скалярно на пг и п2. Тогда
получим
nL dn2 = (nJ) + V (п^),
n2dn2 = р-(П]П2) + v(n2).
Ho n2 dn2 = 0, nL dn2 = d (nLn2) — n2 dnt = —n2 dnL =
= —n2X dr = 0.
Таким образом,
(in? + V (n±n2) = 0, |1 (rt^) +	= 0.	(***)
Если поверхности не касаются вдоль кривой 7, то njnj —
— (пхп2)2 = I n: X n212 =£ 0 и, следовательно, равенства (***)
возможны только, если {і = ѵ = 0. Но тогда для второй
поверхности dn2 = Х2 dr, а значит у является линией
кривизны для второй поверхности.
Если поверхности касаются вдоль кривой 7, то утвер¬
ждение теоремы очевидно, так как в силу теоремы Род-
рига, если направление линии 7 является главным на
•одной поверхности, то оно будет главным и на другой.
Следствие. Если сфера (или плоскость) пересекает
какую-либо поверхность под постоянным углом, то линия
пересечения является линией кривизны.
Это следует из того, что на сфере (или на плоскости)
любая кривая является линией кривизны.
§ 4. Связь между главными кривизнами поверхности
и нормальной кривизной в произвольном направлении.
Средняя и гауссова кривизна поверхности
Выразим нормальную кривизну поверхности в про¬
извольном направлении через главные нормальные кри¬
визны. Для этого введем прямоугольные декартовы коор¬
динаты х, у, z, приняв касательную плоскость поверх¬
ности в произвольной точке О за плоскость ху, а нор¬
маль поверхности — за ось z. Выберем направления осей
X, у так, чтобы они совпадали с главными направлениями
в точке О.
122

Пусть z = z (x, y) — уравнение поверхности в окрест¬
ности точки О при таком выборе координат. В точке О
zx = 0, zy = 0. Поэтому в точке О
I = dx2 + dy2,
II = rdx2 + 2sdxdy + t dy2.
Так как направления (0 : dy) и (dx : 0) в точке О, как
главные направления, сопряжены, то s = 0 и, следова¬
тельно,
// = г dx2 4-1 dy2.
Отсюда нормальная кривизна в произвольном направле¬
нии (dx : dy)
г dx2 + t dy2	_
K dx2 + dy2 '	k '
Беря направления (0 : dy) и (dx : 0), видим, что г и t
являются главными кривизнами.
Пусть & — угол, образуемый произвольным направле¬
нием (dx'.dy) с главным направлением (dx:0), k& — нор¬
мальная кривизна в этом направлении, k{ и k2 — главные
кривизны, соответствующие направлениям (dx : 0) и (0 : dy)
соответственно. Тогда из выражения нормальной кривизны
(*) получается формула Эйлера для нормальной кривизны
в произвольном направлении
k^ = kL cos2 ft + k2 sin2 ft.
Из формулы Эйлера следует, что для получения нор¬
мальной кривизны поверхности в произвольном направ¬
лении достаточно знать главные кривизны поверхности.
Найдем выражение для главных кривизн в случае
любого параметрического задания поверхности.
Пусть kA и k2 — главные кривизны поверхности и
пусть для определенности kY > k2. В таком случае, как
мы знаем, kY является максимумом, a k2 — минимумом
отношения квадратичных форм
II = Ц2 +	+ W
I “ ££2 + 2/^ + 6т]2 •
Пусть 1, т] значения переменных £, т], для которых
это отношение достигает максимума (существование та¬
ких £ и т] нам уже известно). Тогда для всех В, т]
II - kJ < 0,
123

причем для £ =Т и т] =т] достигается равенство. Отсюда
следует, что для этих значений
{II=0,
т. е.	__
Û + ЛЬ) - k, {El + F^) = 0,
Ml + Л^т) — kY {Fl + Gtj) = 0.
Исключая из этих равенств £ и т), получим уравнение
для kL.
L-kxE, M—k^F
= 0
М - ktF, N - k±G
Проводя аналогичные рассуждения для k2i получаем
то же уравнение. Таким образом, главные кривизны kr и
k2 суть корни квадратного уравнения
L — kE, M — kF
M~kF, N — kG = °’
т. e.
é2 {EG - F2) - k {LG - 2MF + NE) + {LN - M2) = 0.
Определим теперь понятие средней и гауссовой кри¬
визны поверхности. Полусумма главных кривизн поверх¬
ности
Н = ~2 (^і +
называется средней кривизной поверхности.
Название «средняя кривизна» оправдывается следую¬
щими ее свойствами.
Если и je — нормальные кривизны поверхности
в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, то их по¬
лусумма равна средней кривизне поверхности.
Среднее значение нормальных кривизн поверхности
в данной точке поверхности
2те
kbdb
о
равно средней кривизне поверхности. Оба эти свойства
без труда получаются из формулы Эйлера.
124

Произведение главных кривизн поверхности называется
гауссовой, или полной кривизной поверхности
К =
Найдем выражение для средней и гауссовой кривизны
поверхности через коэффициенты первой и второй квад¬
ратичных форм.
Поскольку главные кривизны kL, k2 поверхности удов¬
летворяют уравнению
k2 (EG - F2) - k (LG - 2MF + NE) + (LN - M2) = 0,
то по свойству корней квадратного уравнения получаем
И 1 (h I — 1 LG-2MF + NE
“	2	2 EG	F2 ’
K -b b
1\	/vj/<2 pQ 	 p2 •
В частности, если поверхность задана уравнением z =
= Z (х, у),
н = 1 (1 + Qa) г — 2pgs + (1 + p*)t
2	(1 + р2 + g2)3/2
ts 		S2
Л “ (1 + P2 + Я2)2 ’
где p, q, r, s, t — обычные обозначения для производных
функции z(x, у).
Заметим, что знак гауссовой кривизны определяется
выражением LN — М2. Поэтому гауссова кривизна поло¬
жительна в эллиптических точках, отрицательна в ги¬
перболических и равна нулю в парабо¬
лических точках и точках уплощения.
Пусть М — любое множество то¬
чек на поверхности. Отложим из
произвольной точки О единичные
векторы нормалей поверхности в точ¬
ках множества М. Концы этих нор¬
малей образуют некоторое множе¬
ство М' на единичной сфере. Это
множество называется сферическим
изображением множества М (черт. 38).
Существует замечательная связь
между площадью поверхности, пло¬
щадью ее сферического изображения
125

и гауссовой кривизной поверхности. Эта связь выра¬
жается следующей теоремой:
Теорема Гаусса. Отношение площади сферического
изображения области на поверхности к площади этой
области стремится к абсолютному значению гауссовой
кривизны в данной точке О поверхности, когда область
стягивается к этой точке.
Мы приведем доказательство этой теоремы в предпо¬
ложении, что гауссова кривизна в точке О отлична от
нуля, а область G, стягивающаяся к точке О, ограничена
конечным числом кусочно-гладких кривых. Дело в том,
что сферическое изображение области G, если в точке О
гауссова кривизна равна нулю, может не быть областью.
Поэтому для рассмотрения общего случая следовало бы
определить понятие площади для любого множества.
Итак пусть О — эллиптическая или гиперболическая
точка поверхности и G — область, расположенная в до¬
статочно малой окрестности точки О, ограниченная ко¬
нечным числом кусочно-гладких кривых.
Параметризуем поверхность в окрестности точки О так,
чтобы координатные линии, проходящие через точку О,
имели в этой точке главные направления.
Уравнение
г = п (и ѵ),
где п (и, о) — единичный вектор нормали к поверхности,
представляет собой параметризацию единичной сферы
в окрестности точки О', соответствующей точке О по¬
верхности. Действительно, в точке О' условие пи X пѵ =# О
очевидным образом выполняется, так как пи = —
пѵ = —k2rv, а по непрерывности оно выполняется и в не¬
которой окрестности этой точки. Сферическое изобра¬
жение G' области G, если область G расположена в до¬
статочно малой окрестности точки О, представляет собой
область, ограниченную конечным числом кусочно-гладких
кривых. Ее площадь
о (G') = У УI пи х nv I du dv.
G
Так как площадь области G
°(G) = И К X ^1 dudv>
126

то
o_(GJ	hu X nJ(0) _
°(Q	|ГиХ/Ъ|(О) “ 1 1 2І’
Теорема доказана.
§ 5. Линейчатые поверхности
Поверхность Ф называется элементарной линейчатой
поверхностью, если через каждую точку Р этой поверх¬
ности проходит прямая, которая имеет с поверхностью
общий отрезок, содержащий точку Р, причем концы этого
отрезка не принадлежат поверхности.
Пр и м е р. Пусть а (и} и b (и) — две вектор-функции,
определенные в окрестности точки и = и0, удовлетворяю¬
щие в этой точке условию: b (u0) =# 0, b (u0) X a' (u0) + 0.
Тогда векторное уравнение
г = а (и) + vb (и), I и — uQ I < е, I V I < е (*}
при достаточно малом е определяет элементарную линей¬
чатую поверхность.
Действительно, при достаточно малом е ru х rv=k 0,.
так как при и = ѵ = 0, ru х rv = a' (zz0) X b (z/0) ¥= 0.
Отсюда следует, что при достаточно малом е уравнение
(*) действительно определяет поверхность. То, что эта
поверхность есть элементарная линейчатая поверхность,
следует из того, что через произвольную точку (u', d'}
этой поверхности проходит прямая г = а (и') +	(и'). Ее
отрезок \ t\ <е лежит на поверхности, а концы не при¬
надлежат ей.
Поверхность Ф называется общей линейчатой поверх¬
ностью, если каждая ее точка имеет окрестность, являю¬
щуюся элементарной линейчатой поверхностью.
Прямолинейные отрезки на линейчатой поверхности
называются прямолинейными образующими.
Так как через каждую точку линейчатой поверхности
проходит прямолинейная образующая, то в каждой точке
линейчатой поверхности есть направление, в котором нор¬
мальная кривизна поверхности равна нулю. Отсюда сле¬
дует, что на линейчатой поверхности не может быть
эллиптических точек. Гауссова кривизна линейчатой по¬
верхности отрицательна или равна нулю.
Прямолинейные образующие являются асимптотиче¬
скими линиями.
127

Найдем локальное параметрическое представление про¬
извольной линейчатой поверхности, т. е. параметриче¬
ское представление в достаточно малой окрестности про¬
извольной точки Р.
Будем различать следующие случаи:
1.	Точка Р гиперболическая.
2.	Все точки достаточно малой окрестности точки Р па¬
раболические.
3.	Все точки в окрестности точки Р — точки упло¬
щения.
В первом случае, по крайней мере, одно семейство
асимптотических линий в окрестности точки Р — прямые.
Действительно, либо все асимптотические линии в ок¬
рестности точки Р прямые, либо найдутся сколь угодно
близкие к Р асимптотические у, не являющиеся прямыми.
Но тогда все асимптотические пересекающие у суть пря¬
мые.
Если г = а (и) — уравнение асимптотической 7, а b (и) —
единичный вектор второго асимптотического направления,
то поверхность в окрестности точки Р может быть задана
уравнением
г = а (и) + vb (и).
Рассмотрим второй случай. В этом случае прямоли¬
нейные образующие являются линиями кривизны. Через
каждую точку Q, близкую к Р, проходит только одна
прямолинейная образующая. Проведем через точку Р кри¬
вую 7 г = а (и) на поверхности так, чтобы направление
ее в точке Р не совпадало с направлением образующей.
Единичный вектор b (и) образующей является регуляр¬
ной функцией от и. В окрестности точки Р поверхность
может быть задана уравнением
г = а (а) + vb (и).
Третий случай. Так как все точки, близкие к Р, суть
точки уплощения, а в точке уплощения любое направ¬
ление является главным и нормальная кривизна в любом
направлении равна нулю, то по теореме Родрига в ок¬
рестности точки P dn = 0. Следовательно, п = п0 = const.
Так как п dr = 0, то п0 (г — rQ) = 0. Таким образом,
в третьем случае достаточно малая окрестность точки Р
есть область плоскости. Пусть aQ и Ьо — любые незави¬
симые постоянные векторы, принадлежащие этой пло¬
128

скости. Тогда поверхность в окрестности точки Р может
быть задана уравнением
г = aQu + bQv.
Итак, во всех рассмотренных нами случаях линейча¬
тая поверхность в достаточно малой окрестности каж¬
дой точки допускает параметризацию вида
г — а (и) + vb (и).
Теперь мы рассмотрим важный класс линейчатых по¬
верхностей, так называемых развертывающихся поверх¬
ностей.
Поверхность Ф называется развертывающейся поверх¬
ностью, если она локально изометрична плоскости, т. е.
если у каждой точки такой поверхности есть окрестность
изометричная области на плоскости.
Оказывается, для того чтобы поверхность была раз¬
вертывающейся, необходимо и достаточно, чтобы у нее
гауссова кривизна всюду была равна нулю (гл. VIII § 2,
гл. IX § 6). Таким образом, развертывающиеся поверх¬
ности можно определить как поверхности с нулевой гаус¬
совой кривизной.
Поверхность, являющаяся огибающей однопараметри¬
ческого семейства плоскостей, является развертывающейся
поверхностью. Действительно, в силу теоремы Родрига
направление вдоль прямолинейной образующей является
главным направлением. И так как нормальная кривизна
в этом направлении равна нулю, то равна нулю гауссова
кривизна.
Изучим строение развертывающейся поверхности в
окрестности произвольной точки Р. Будем различать два
случая:
1.	В окрестности точки Р средняя кривизна Н = 0.
2.	В окрестности точки Р средняя кривизна Н =# 0.
В первом случае главные кривизны поверхности в каж¬
дой точке, близкой к точке Р, равны нулю. Следовательно,
каждая точка, близкая к Р, является точкой уплощения.
Но тогда, как было показано выше, у точки Р есть ок¬
рестность, являющаяся областью плоскости.
Рассмотрим второй случай. Введем на поверхности
координатную сеть из линий кривизны. Пусть линии и
(т. е. V = const) будут те линии кривизны, вдоль кото¬
рых нормальная кривизна поверхности равна нулю.
9 7-770
129

По теореме Родрига пи = 0, так как нормальная кри¬
визна в направлении линии и равна нулю. Отсюда сле¬
дует, что нормали к поверхности вдоль линии и парал¬
лельны.
Покажем, что линии и —- прямые линии. Имеем гип = 0.
Отсюда вдоль линии и получаем (г — rQ)n = 0. Таким
образом, линия и плоская. Далее, вектор пѵ =# 0 напра¬
влен по нормали линии и. А так как (пѵ)и = (пи)ѵ = 0,
то нормали линии и параллельны. Но это может быть
только тогда, когда линия и прямая.
Итак, в обоих случаях, развертывающаяся поверх¬
ность является линейчатой, вдоль прямолинейных образую¬
щих касательная плоскость не меняется. Таким образом,
во втором из рассмотренных случаев касательная пло¬
скость зависит только от одного параметра (ѵ) и, следо¬
вательно, развертывающаяся поверхность является огиба¬
ющей однопараметрического семейства плоскостей.
§ 6. Поверхности вращения
Поверхность F называется поверхностью вращения,
если она образуется при вращении некоторой кривой
около оси. Линии пересечения поверхности с плоско¬
стями, проходящими через ось вра-
Жщения, называются меридианами, а
линии пересечения с плоскостями,
перпендикулярными оси, называются
параллелями (черт. 39).
Составим уравнение поверхности
вращения, которая образуется при
вращении кривой у.
* = ?(«)■ 2 = ф(и),
Z/	расположенной в плоскости xz око¬
ло оси z. Точка (<р (и), 0, ф (и)) кри-
Черт. 39. ВОЙ 7 при повороте кривой на угол
V переходит в точку
(ср (u) COS V, <p(u)sinu, ф(н)).
Отсюда уравнение поверхности вращения:
X = ср (и) cos V, у = ср (и) sin V, z = ф (и).
Линии V = const суть меридианы поверхности, а и =
= const — параллели.
130

Первая квадратичная форма поверхности —
I = (<р'2 _j_ ф'2) dU2 _[_ <р2^2
Мы видим, что меридианы и параллели поверхности
вращения образуют ортогональную сеть (F = 0). Впро¬
чем, геометрически это очевидно.
Вторая квадратичная форма поверхности —
II =	~ du2 +	dv2.
Мы видим, что параллели и меридианы образуют со¬
пряженную сеть (М = 0). Так как, кроме того, эта сеть
ортогональна, то параллели и меридианы являются ли¬
ниями кривизны. Это ясно и геометрически, ибо плоско¬
сти, проходящие через ось и перпендикулярные оси, пе¬
ресекают поверхность вращения под постоянными углами.
Согласно следствию теоремы § 3 гл. VII линии пересече¬
ния (т. е. меридианы и параллели) должны быть линия¬
ми кривизны.
Относительно первой и второй квадратичных форм
поверхности вращения существенно заметить, что коэф¬
фициенты этих форм зависят только от и.
Найдем главные кривизны поверхности вращения.
Пусть ki — кривизна меридиана, k2 — кривизна паралле¬
ли, ft — угол, образуемый касательной меридиана с осью
поверхности. Так как плоскость меридиана пересекает
поверхность под прямым углом, то нормальная кривизна
поверхности в направлении меридиана равна кривизне ме¬
ридиана. т. е. ki. Для кривизны поверхности в направ¬
лении параллели по теореме Менье получаем значение
k2 cos ft. Величина k2 cos ft имеет простой геометрический
смысл. Именно, если обозначить d длину отрезка норма¬
ли поверхности до точки пересечения с осью (черт. 39),
то
k2 cos ft = 4-.
а
В заключение этого параграфа построим пример по¬
верхности вращения постоянной отрицательной гауссо¬
вой кривизны.
Пусть осью вращения является ось г. Уравнение ме¬
ридиана поверхности в плоскости xz
X = x{z).
9* 7-770
131

Нормальная кривизна поверхности в направлении мери¬
диана
h	х"
1 = (1 + х'2)3/2 *
Нормальная кривизна поверхности в направлении па¬
раллели
А _	1
2“	х(1+	’
Отсюда гауссова кривизна поверхности
К —	~~х"
х(1 +х'2)2*
Умножая это уравнение на хх', получим:
f	— х'х"
Кхх — (1 +х>іу‘
Интегрируя, получим:
^2 + с=ГТ^’
где с — произвольная постоянная. Для возможности даль¬
нейшего интегрирования в элементарных функциях по¬
ложим с = 1. Тогда
	 у'2
Положим х' = tg&. Имеем:
Лх2 = — sin2 &, х = -—U= sin &.
Ѵ-К
Далее,
dz х-а л	1 cos2 9 ,о
— = ctg », dz = - -r-г dv =
dx ь ’ у _ & sin 9
= ~7 1	— sin O r d&.
У-К ^sin9 I
Отсюда z = -y.1 (cos & + In tg X') 4- c.
V — к \	1 /
Постоянная с не существенна, она соответствует сдвигу
меридиана параллельно оси.
132

Уравнение меридиана:
1	• а
X = -7= SIR V
Ѵ—к
Г = 7=(cos& + In tg y
Эта кривая называется трактрисой.
Отличительным свойством ее является
то, что отрезок касательной от точки
касания до оси г постоянен. Таким
образом, найденная нами поверхность
получается вращением трактрисы. Эта
поверхность называется псевдосферой.
Ее уравнения:
1	• о.
X = -7= Sin V COS <Р,
Ѵ-к r
1	.А .
у = -г— Sin V Sin Ф,
* V- к г
2 = 7==(COS» + Intg|y
Черт 40.
Представление о форме псевдосферы дает черт. 40.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Вычислить вторую квадратичную форму для винтовой по¬
верхности
X = и COS V, у = и sin У, Z = V.
2.	Найти нормальную кривизну параболоида г = (ах2 + by2}
в точке (0, 0) в направлении (dx : dy).
adx2 + b dy2
Ответ. * =	+	•
3.	Показать, что при любой параметризации плоскости вторая
квадратичная форма тождественно равна нулю; при любой параме¬
тризации сферы вторая квадратичная форма пропорциональна
первой.
4.	Найти асимптотические линии поверхности
Ответ. х = -J —-2 = с2.
л У
133

5.	Определить асимптотические линии катеноида
X = ch и cos о, у =rch и sin v, z = и.
Ответ, и 4- V = const, = const.
6.	Показать, что на геликоиде одно семейство асимптотических
состоит из прямых, а другое из винтовых линий.
7.	На поверхности
ах2 4- by2 4- cz2 = 1
найти семейство линий, сопряженное семейству у — const.
Ответ. 1 — by2 = Хх2,
где X — произвольное постоянное.
8.	Показать, что кривые переноса (и = const, v — const) на по¬
верхности переноса
г = U (и) 4- V (и) ;
образуют сопряженную сеть.
9.	Определить главные кривизны параболоида
z = а (х2 4- у2) в точке (0, 0, 0).
Ответ. 2а, 2а.
10.	Определить линии кривизны на геликоиде
X = U COS Ü, у = и sin V, Z = сѵ.
Ответ.
In (и 4- У и2 4- с2) — V = cosnt,
In (и 4- /и2 4- с2) 4- ѵ = const.
11.	Найти линии кривизны параболоида.
г = аху.
Ответ.
In (ау 4- У1 4- я2#2) І In (ах 4- У1 + а2х2) = const.
12.	Найти среднюю и гауссову кривизну параболоида z — аху
я точке X = у = 0.
Ответ. К = — а2, Н = 0.
13.	Показать, что средняя кривизна геликоида равна нулю.
14.	Показать, что средняя кривизна катеноида
•равна нулю.
15.	Показать, что если средняя кривизна поверхности равна
«нулю, то асимптотическая сеть ортогональная.
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ К ГЛАВЕ VII
1.	Пусть г = г (и, ѵ) — произвольная поверхность, (а&, ѵ^) —
последовательность точек, сходящаяся к точке (а0, и0) и (а : Ь) —
направление в точке (а0, и0), в котором нормальная кривизна по¬
верхности отлична от нуля.

Показать, что если при k -> оо
—Цр Д
Vk— °о b ’
то направление прямой пересечения касательных плоскостей поверх¬
ности в точках (ц0, ü0) и (и^ Vk) „сходится к направлению, сопря¬
женному (а : 6).
2.	Доказать, что при проективном, в частности афинном, пре¬
образовании поверхности сопряженная сеть переходит в сопряжен¬
ную, асимптотическая сеть переходит в асимптотическую.
3.	Сечения поверхности пучком плоскостей, проходящих через
произвольную прямую g, и линии касания этой поверхности с описан¬
ными около нее конусами, имеющими вершины на прямой g, обра¬
зуют сопряженную сеть. Доказать (теорема Кенигса).
4.	Доказать, что кривые переноса на поверхности переноса
г = («) 4- V (ѵ)
(т. е. кривые и = const, ѵ = const) образуют сопряженную сеть.
5.	Доказать, что на поверхностях Петерсона
и (и) +ѵ (о)
где U и 7—векторные, a U и V скалярные функции указанных
аргументов, семейства и = cosnt и ѵ = const образуют сопряжен¬
ную сеть.
6.	Если каждая точка поверхности является шаровой, то по¬
верхность есть сфера или область на сфере. Доказать.
7.	Найти шаровые точки на эллипсоиде
X2 у2 Z2
tf + b* + сг = Е
8.	Доказать, что если асимптотические линии различных семейств
имеют в их общей точке отличные от нуля кривизны, то они имеют
равные по величине, но противоположные по знаку кручения.
Абсолютная величина кручения равна абсолютному значению
гауссовой кривизны поверхности в данной точке (теорема Бельтра-
ми — Эннепера).
9Г Пусть г (u, V, w) вектор-функция аргументов u, vt w. Дока¬
зать, что если
r ur V ==rvf,w = f’wruz=^t
то
^uv^w == и = V =
92.	Пусть имеем три семейства поверхностей:
? (*, Уч z) = const, ф (х, у, г) = const, X (х, у, z) = const,
причем якобиан
Р(ъ Ф. X) , п
D (х, у, г) + и-
Говорят, что указанные семейства образуют триортогональную
систему поверхностей, если любые две поверхности различных се¬
мейств пересекаются под прямым углом.
135

Доказать, что поверхности различных семейств триортогональ¬
ной системы пересекаются по линиям кривизны.
93.	Найти линии кривизны на поверхности второго порядка
ах2 4- pz/2 4- yz2 = 1,
включив ее в триортогональную систему софокусных поверхностей
второго порядка.
Юр Поверхность Ф называется параллельной поверхности F,
если она является геометрическим местом концов отрезков постоян¬
ной длины, отложенных на нормалях поверхности F. Будем считать
соответствующими точками поверхностей F и Ф концы отрезков,
о которых идет речь в определении.
Показать, что:
1)	касательные плоскости в соответствующих точках поверх¬
ностей F и Ф параллельны;
2)	свойство параллельности взаимно (т. е. если Ф параллельна
У7, то F параллельна Ф);
3)	линиям кривизны поверхности F соответствуют линии кри¬
визны поверхности Ф.
102.	Если точка Р поверхности F не является ни шаровой точ¬
кой, ни точкой уплощения, то в окрестности точки Р поверхности
параллельные F и развертывающиеся поверхности, образованные
нормалями поверхности F вдоль линий кривизны, образуют триор¬
тогональную систему поверхностей. Доказать.
103.	Доказать, что при инверсии линии кривизны данной поверх¬
ности переходят в линии кривизны преобразованной поверхности.
104.	Доказать, что при конформном отображений пространства
на себя сфера переходит в сферу или плоскость. Опираясь на это,
доказать в свою очередь, что любое конформное преобразование по¬
лучается применением преобразований подобия, движения, зеркаль¬
ного отображения и инверсии.
11. Выразить среднюю и гауссову кривизну параллельной по¬
верхности через среднюю и гауссову кривизну данной поверхности
и расстояние между поверхностями.
12ѵ Пусть поверхность F
r=f(u, о)
подвергается деформации так, что к моменту t она переходит в по¬
верхность Ft
r=f(u, V) 4- fk (и, v) п.
Доказать, что при малых t изменение площади поверхности, обу¬
словленное деформацией с точностью до членов порядка /, равно
2Z J ~KHda,
F
где И — средняя кривизна поверхности F, a da — элемент площади
этой поверхности.
122. Поверхность F называется минимальной, если у каждой
точки Р этой поверхности есть окрестность œ, ограниченная простой
кривой 7, такая, что любая поверхность с краем у имеет площадь
не меньшую, чем окрестность ш поверхности F. Доказать, что ми¬
нимальная поверхность имеет равную нулю среднюю кривизну.
136

13.	Доказать, что сферическое отображение минимальной поверх¬
ности в окрестности каждой точки, не являющейся точкой уплоще¬
ния, конформно.
14.	Показать, что площадь области G ограниченной кривой 7
на минимальной поверхности равна
а = у J (г, dr. п)
7
(формула Шварца).
15.	Доказать, что если минимальная поверхность линейчатая,
то она либо плоскость, либо геликоид.
16.	Доказать, что если минимальная поверхность является по¬
верхностью вращения, то она либо плоскость, либо катеноид.
17.	Найти в квадратурах все поверхности вращения с постоян¬
ной гауссовой кривизной.
Глава VIII
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В двух предыдущих главах мы рассмотрели ряд во¬
просов теории поверхностей, для решения которых доста¬
точно знать только первую и вторую квадратичные фор¬
мы поверхности.
Естественно возникает вопрос: в какой степени пер¬
вая и вторая квадратичные формы поверхности опреде¬
ляют поверхность и каким условиям должны удовлетво¬
рять квадратичные формы
Е du2 + 2F du dv + G dv2.
L du2 + 2Л1 du dv + N dv2
для того, чтобы существовала поверхность, для которой
эти квадратичные формы были первой и соответственно
второй квадратичными формами?
Ответ на этот вопрос будет дан в последнем пара¬
графе настоящей главы теоремой Бонне.
§ 1. Деривационные формулы
Деривационные формулы для поверхности являются
аналогом формул Френе для кривых. Они дают выраже¬
ния для производных векторов ги. гѵ. п через эти век¬
торы и коэффициенты первой и второй квадратичных
форм поверхности. Получим эти формулы.
' 137

Так как векторы ru, rüt п не лежат в одной плоско¬
сти, то любой вектор допускает представление в виде
линейной комбинации векторов rui гѵ, п. В частности,
Гии = П1Г и + Г^Гѵ + Ànn,
ruv = rka + Па + x12n,
rvo = гігги + Па + x22n,
nu = <*iiru + axA + a10n,
nv = аг1ги + a22r0 + a20n.
Покажем, что коэффициенты Г*/, Х/7, az/ действитель¬
но выражаются через коэффициенты первой и второй квад¬
ратичных форм поверхности.
Во-первых, заметим, что коэффициенты а10 и а20 равны
нулю. Для этого достаточно умножить последние два
равенства скалярно на и. При этом получим:
пип = аю» ПѵП = а20-
Но
«л=4 =°* п°п=4 =
Чтобы получить выражения для ап и а12, умножим
равенство
пи = аііг« + аі2^
скалярно на ги и го. Получим:
— L = апЕ + а12Г,
— М = anF + а120.
Отсюда
_ — LG + MF _ LF — ME
аі1 “ EG —F2 ’ 0112 “ EG —F2 ’
Аналогично получаются а21 и а22.
___ NF —MG	__ — NE + MF
а21 *“ EG —F2 ’ 0022 ”” EG — F2 ‘
Для получения коэффициентов Хп, Х12, Х22 умножим
первые три формулы на п. Получим:
Хц = L, Xjj = Д41 Х22 = ÏV,
138

Чтобы получить выражения для коэффициентов Г/Л
умножим первые три равенства на ги и гѵ. При этом
получим шесть соотношений для коэффициентов Г*,.
г}1е + П1р = 1ев,
ruF + ^0=^-1 Ео;
rl2E + n2F = lE0,
ri2F + n2G = ±Gu;
n2E = rf2F= F —±-G ,
r|2F+ r22,G = -J-G„.
Из этих шести уравнений можно найти выражение
для шести коэффициентов Г*/. Мы не будем выписывать
значения коэффициентов Г/у, заметим лишь, что они, в
отличие от других коэффициентов, выражаются только
через коэффициенты первой квадратичной формы и их
производные.
Таким образом мы показали, что производные век¬
торов rui rüt п действительно выражаются через векторы
rui гѵ и п с коэффициентами, зависящими только от коэф¬
фициентов первой и второй квадратичных форм поверх¬
ности.
В заключение найдем коэффициенты Г?/ для случая,
когда первая квадратичная форма поверхности имеет вид
• I = du2 + Gdv2.
Подставляя в уравнения для Г*- Е = 1, F = 0, полу¬
чим:
^ = 0,
Г}2 = 0,
Г21 = —
^ = 0,
р2	I @ и
112 “ 2’ G ’
Г2 — 1^2
1 22 — '2 G •
139

§ 2. Формулы Гаусса — Петерсона — Кодацци
Первая и вторая квадратичные формы поверхности
не независимы. Связь между коэффициентами этих форм
может быть получена следующим образом.
Имеем очевидные равенства:
(Гии\> (Гиѵ)и =
{rm)u - (ruv)v = О,
(n„)D - (л„)и = 0.
Если в этих равенствах выражения в скобках заме¬
нить согласно деривационным формулам и после диффе¬
ренцирования еще раз воспользоваться такой заменой,
то мы получим три векторных равенства вида
^іги 4- ^ігѵ 4"	~
Atfи 4" ^2Ги 4" С2и = 0,
АзГи 4~ ^згѵ 4" С3п = 0,
где Аъ Л2, .. . , С3 — известным образом построенные
выражения из коэффициентов первой и второй квадра¬
тичных форм поверхности	и их	производных. Из этих
трех векторных соотношений следует девять скалярных:
Лг = 0,	=	0,	Ci	= 0,
Л2 = 0,	В2	= 0,	С2	= 0,
Л3 = 0,	В3	= 0,	С3	= 0.
Найдем для примера соотношение В± = 0. В± пред¬
ставляет собой коэффициент при гѵ в выражении
со = (гии)ѵ — (гиѵ)и после соответствующей замены произ¬
водных векторов п, ги и гѵ согласно деривационным фор¬
мулам.
Имеем:
œ = (Пл 4“ Г|іГѵ + Ln)v
— (П2Г„ +	+ Мп)ц =
= ((ПіѴс, +	4-	4- Ln0\ —
— {(Ги)Л + ГІггии + Гі2г<«, +Mnu) 4- [ги, п}.
140

где \ги, и} содержит только векторы ги и п. Заменяя
векторы ruu, ruv, rvv, nu и nv согласно деривационным
формулам, получим:
in), + пхп2 +
/р2 А	Г1 Г2	Г2 Г2
V 12/н	1 12 1 11	1 12 1 12
п LN — М2)	, ,	1
Е EQ	р2 J Гѵ 4" {ru> п} *
Таким образом, соотношение Вг = 0 имеет вид:
LN М2	1 г/р2\ I Г1 р2 I	р2 р2 1
££ £2	£ 1\Х 11/0 Т" 1 11 1 12 “Г • • •	1 12 1 12J •
Из этого соотношения получаются важные следствия:
1.	Гауссова кривизна поверхности выражается только
через коэффициенты первой квадратичной формы и их
производные (теорема Гаусса).
2.	Так как изометричные поверхности при соответ¬
ствующей параметризации имеют одинаковые первые
квадратичные формы, то в соответствующих точках
изометричные поверхности имеют одинаковые гауссовы
кривизны.
3.	Так как развертывающиеся поверхности локально
изометричны плоскости, то гауссова кривизна у разверты¬
вающихся поверхностей равна нулю.
Оказывается, среди девяти соотношений = 0, ... t
С3 = 0 различных только три. Одно из них, выведенное
нами, впервые получено Гауссом. Два другие получены
К. М. Петерсоном, позже Майнарди и Кодацци.
Этим трем соотношениям можно придать следующую
форму:
LN — M2_	1
EG —F2 ~ (EG — F2)2
	' 1	[I —V~~F“ \
2/EG—F2 Ц/EG — F2/v
(формула Гаусса).
(EG - 2F F + GE) (Lo - Mu) ,
- (EN - 2FM + GL) (Eo - Fu) +
ЕЕ E
U V
ppup. -
GGU Gv
Z F —G \ '
	 	 / V	U )
\VEG —F2
(EG - 2FF + GE) (Mt, -N J
- (EN - 2F M + GL) (Fv - Gu)
(Формулы Петерсона — Кодацци).
EEÜL
FFUM
GGUN
EEVL
FFUM
GGvN
= 0,
= 0.
141

§ 3. Существование и единственность поверхности
с заданными первой и второй квадратичными
формами
Имеет место следующая теорема Бонне:
Теорема. Пусть
Е du2 + 2F du dv + G dv2,
L du2 + 2M dudv + N dv2
две любые квадратичные формы, из коих первая является
положительно определенной. Пусть для коэффициентов
этих форм выполняются условия Гаусса — Петерсона —
Кодацци.
Тогда существует и притом единственная с точно¬
стью до положения в пространстве поверхность, для
которой эти формы являются первой и соответственно
второй квадратичными формами.
Доказательство. Рассмотрим следующую систему диф¬
ференциальных уравнений для вектор-функций £, tq, С:
— Пі* + Пі7! +
= гу +	+ ж,
Чи = ^12^ + Г127! + МС,
^ = г2ѵ + г2Ѵі + м,
= аи£ + сад,
= а21£ + а227]»
где коэффициенты Г/, и а,7 известным образом выражены
через коэффициенты заданных квадратичных форм.
Из теории дифференциальных уравнений известно,
что эта система имеет и притом единственное решение
при заданных начальных значениях (значениях т], С
в какой-нибудь точке (и0, и0))( если выполнены условия
интегрируемости, т. е. если равенства
(г}хе +	- (Г}2е +	+ ж)„ = о,
(ГѢЛ +	+ Ж)р - (г2м + г^ті + nqu = о,
(лцВ +	— (а2і^	a227))w = О
выполняются тождественно в силу уравнений системы.
Таким образом, условия интегрируемости сводятся к
условиям Гаусса — Петерсона — Кодацци.
142

Так как для заданных нам квадратичных форм усло¬
вия Гаусса — Петерсона — Кодацци выполнены, то для
рассматриваемой системы дифференциальных уравнений
выполнены условия интегрируемости.
Пусть £0, т]о, —три вектора, удовлетворяющие
условиям
= Е («0. ѵо)> = F (и0, üo). "По = G («0. vo)>
^0 = 0, 7]0Co = о, 1.
Пусть $,7), C — решение нашей системы, удовлетво¬
ряющее начальному условию: В (u0, ü0) = т] (u0, vQ) =
=	üo) ~ Co.
Так как = t)w, то существует вектор-функция г (и, ѵ),
для которой ги = гѵ = tj. Покажем, что поверхность,
задаваемая векторным уравнением r = r(u, ѵ), в окрест¬
ности точки (и0, и0) имеет первой квадратичной формой
Е du2 + 2F du dv 4- G dv2,
a второй квадратичной формой
L du2 + 2Л4 dudv N dv2.
Выразим производные по и и ѵ шести величин В2, т]2,
С2, Ь], т]С, X через эти же величины, используя уравне¬
ния нашей системы. Тогда получим двенадцать равенств:
G2)„ = ^G2, тД ...),
	 (*)
= Z?12G2,	...),
где 7?!, R2 . .., /?12 — линейные однородные выражения
относительно В2, т]2, .. ., X
Двенадцать равенств {*) можно рассматривать как
систему дифференциальных уравнений для £2, т]2, . . ., X
Эта система удовлетворится, если вместо В2, тД .. . ,
подставить Е, G, . . . , 0 соответственно, в чем можно
убедиться непосредственной проверкой. Оба эти решения
имеют одинаковые начальные значения (значения в точке
(u0, ü0)). Отсюда в силу единственности решения следует,
что
а2 = £, т? = g, = F, и = о, ctj =0, с2 = і.
Так как ru = I, гѵ = т], то
гі =	= Е, rjv = $7] = F, ггѵ = T]2 = G.
143

Таким образом, построенная нами поверхность имеет
первой квадратичной формой
Е du2 + 2F du dv + G dv2.
Далее, так как = 0 и С2 = 1, то С является
единичным вектором нормали построенной поверхности,
и, следовательно, коэффициенты второй квадратичной
формы поверхности г = г (и, ѵ) равны
ел
Принимая во внимание выражения производных
и через S, tq, С и соотношения (Л = 0,	= О, С2 = 1»
находим:
= L, у; = М, = N.
Таким образом, построенная поверхность имеет
L du2 + 2М dudv + N dv2
второй квадратичной формой.
Существование поверхности с заданными первой и
второй квадратичными формами доказано.
Докажем теперь единственность такой поверхности
с точностью до положения в пространстве.
Пусть Фі и Ф2 - две поверхности, у которых совпа¬
дают первые и вторые квадратичные формы. Совместим
поверхности Ф± и Ф2 двумя соответствующими точками
(точками, отвечающими одинаковым значениям парамет¬
ров, например (и0,и0)), соответствующими направлениями
и нормалями. Такое совмещение возможно благодаря
совпадению первых квадратичных форм. Пусть г — і\ (и, ѵ)
и г = г2(и, ѵ) — уравнения поверхностей после такого
совмещения.
Система дифференциальных уравнений для ц, С,
очевидно, удовлетворяется, если взять
£ = rlw, 7]. = С = Zîj
или
£ =	= r2tP С = П2.
А так как оба эти решения совпадают в точке (м0, ü0),
то они совпадают тождественно. Итак,
г1и(Ц, v) = r2u(u, ü), rlv(u, v) = r2v(ut V)
или
dr± (и, V) = dr2 (u, V).
144

Откуда
^(u, ü) = r2(«, v) + c.
и = u0, V = v0,	= r2, то c - 0 и, следова-
i») = r2 (u, v).
Так как при
тельно, fi(u,
Итак, поверхности и Ф2 равны с точностью до
движения и зеркального отражения.
Теорема доказана полностью.
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ К ГЛАВЕ ѴПІ
11# Показать, что если линейный элемент поверхности
ds2 = X (du2 + dv2),
то гауссова кривизна поверхности
Я = -^-Д1пХ.
/Л
где Д — оператор Лапласа:
Д-Ьи2 + дѵ*І •
12. Показать, что поверхность с линейным элементом
du2 + do2
(u2 + о2 + с)2
имеет постоянную гауссову кривизну.
2Ѵ Показать, что если линейный элемент поверхности имеет вид
ds2 = du2 + 2 cos со du dv 4- dv2,
то гауссова кривизна поверхности
Sin CO
22. Доказать, что любая чебышевская сеть на плоскости задается
векторным уравнением
Г = <р (и) + ф (с).
Сеть образуют кривые и = const и ѵ = const.
3. Найти символы Кристофеля Гц для случая, когда линейный
элемент поверхности имеет вид
ds2 = X (du2 4- dv2).
4Х. Показать, что если координатная сеть на поверхности асимп^
тотическая, то имеют место равенства:
~ (EG - F*) (In К)и + FEv - EGu = О,
1 (EG - F2) (In Æ)p FGu-GEo = 0,
где К — гауссова кривизна поверхности.
10	7-770
145

42. Доказать, что асимптотические линии на поверхности с по¬
стоянной отрицательной кривизной образуют чебышевскую сеть.
И обратно, если асимптотическая сеть на поверхности чебышевская,
то гауссова кривизна поверхности постоянна.
5р Если координатная сеть на поверхности состоит из линий
кривизны, то формулы Петерсона — Кодацци принимают вид-
L = НЕ ,
V	V
N =HG ,
и	и1
где Н — средняя кривизна поверхности. Показать.
52.	Если на минимальной поверхности за координатные линии
принять линии кривизны и соответствующим образом выбрать пара¬
метры и и V, то первая и вторая квадратичные формы примут вид:
I = X (du2 + dv2),
II = du2 — dv2.
Доказать.
53.	Пусть на минимальной поверхности введены координаты
V как в задаче 52. Доказать последовательно следующие утвер¬
ждения:
1)	если г (и, ѵ) — вектор точки поверхности, то
Дг = О,
где Д — оператор «Лапласа. Таким образом, координаты х (и, и),
у (и, ѵ), г (и, ѵ) вектора г (и, ѵ) суть гармонические функции:
2)	если (оу), /2 (оу), /з (оу) (оу = и 4- іѵ) — аналитические функ¬
ции с вещественной частью х (и, ѵ), у (и, ѵ), г (и, ѵ) соответственно,
-то
54.	Если /і (оу), /2 (w), /з (оу)— три любые аналитические функ¬
ции переменной оу = и 4- іѵ, удовлетворяющие условию
/1 + /'2 + /1 = 0
и <рі (и, ѵ), ^(и, у), срз (и, ѵ) — вещественные части этих функций,
то поверхность, задаваемая уравнениями
X = срі (и, ù), у = <р2 (и, ü), г = ср8 (и, ѵ),
■минимальная. Доказать.
55.	Доказать, что любая минимальная поверхность может быть
задана уравнениями
X = Re § (ср2 (оу) + ф2 (оу)) dw, у = Rei § (ср2 (о?) — ф2 (œ)) dw,
z = Re 2iy (w) ф (w) dw,
где ср и ф — аналитические функции w = u + іѵ, а Re обозначает
вещественную часть.
146

Глава IX
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Под внутренней геометрией поверхности понимают
раздел геометрии, в котором изучают свойства поверхно¬
сти и фигур на ней, зависящие только от длин кривых
на поверхности.
По отношению к регулярным поверхностям можно
сказать, что их внутренняя геометрия изучает свойства
поверхностей и фигур на них, определяемые первой
квадратичной формой.
Объектами внутренней геометрии являются длины
кривых на поверхности, углы между кривыми, площади
областей, гауссова кривизна поверхности.
В настоящей главе будут рассмотрены новые понятия
для поверхностей, связанные только с ее первой квад¬
ратичной формой, и, таким образом, принадлежащие
внутренней геометрии поверхности.
§ 1. Геодезическая кривизна кривой
на поверхности
Пусть Ф — регулярная поверхность и у — кривая на
ней. Проведем в произвольной точке Р кривой 7 каса¬
тельную плоскость а к поверхности и спроектируем
малую окрестность точки Р кривой 7 на эту плоскость.
Тогда получим некоторую кривую 7 в плоскости а. Кри¬
визна этой кривой в точке Р называется геодезической
кривизной кривой 7 в точке Р. Геодезическая кривизна
в точке Р считается, положительной или отрицательной
в зависимости от того, образует ли вращение касатель¬
ной кривой 7 при прохождении точки Р с направлением
нормали к поверхности правый
или левый винт. Найдем выраже¬
ние для геодезической кривизны
кривой.
Проведем через кривую 7 ци¬
линдрическую поверхность с об¬
разующими перпендикулярными
плоскости а (черт. 41). По тео-
Черт. 41.
10*
147

реме Менье кривизна k кривой 7 в точке Р и кри¬
визна X кривой 7 в той же точке связаны соотношением
k cos & = X,
где ft—угол, образуемый главными нормалями этих
кривых.
Пусть г = г (s) — естественная параметризация кри¬
вой 7, т и V — единичные векторы касательной и глав¬
ной нормали кривой 7, п — единичный вектор нормали
к поверхности. Тогда г" = fev, т х п направлен по нор¬
мали кривой 7 в точке Р и, следовательно, с точностью
до знака
X = k cos ft = (г", г', n).
Перейдем к произвольной параметризации кривой 7.
Имеем:
< =	.|Л|,
Г " = Гц 	1- r't ( -=±—\ .
Подставляя найденные выражения r's. и r"s в формулу
для X, получим:
* = І
I' I»
где дифференцирование по параметру t.
Пусть r = r(u, и) какая-нибудь регулярная параметри¬
зация поверхности в окрестности точки Р и и = и (/),
ѵ = V (t) — уравнения кривой 7 в окрестности этой точки.
Тогда
г (0 =	t>(/))
= ruU' +rvV',
Г" = ru„u’2 + 2riiDu’v' + rf,tv'2 + ruU" + ruV" =
= (u +Л)ги-|-(и 4* Æ) rv -f- Cn.
148

где
А = Г^и'2 + 2Г}2и'ѵ' +
В = rîiu'2 + 2Гі2и'ѵ' + Гиѵ'2,
C = Lu'2 + 2Mu'v' + Nv'2.
Подставляя выражения г' и г" в формулу для х, после
простых вычислений получаем:
1/£(J	/72
К = /С /2 , ос / / , À-/2U/1 (ц"ѵ' — ѵ"и' + Av' — Bu').
(Eu 2 4- 2Fu V 4- Gv 2)3/» v	1	7
Так как величины Г* * * §/ выражаются только через коэф¬
фициенты первой квадратичной формы поверхности, то
геодезическая кривизна кривой на поверхности определя¬
ется только метрикой поверхности и, следовательно, не
изменяется при изгибании поверхности.
Найдем формулу для геодезической кривизны кривой
в случае, если первая квадратичная форма
/ = du2 + Gdv2.
В этом случае, как показано в § 1 гл. VIII,
г1і = о,	rL = о,
Гі=о,	rî2 = li“,
ГІ2 = -ІОИ.	гі2 = 4-%.
Отсюда
A = -±Guv'2,
G t I G
B = -~u'v +
G	2 G
Следовательно,
* =	(U"V' “ ü"“' “ T G“ü'3 -
1	G	G \
	L-Vfj'v'2	- U'2V'}
2	G	G '
§ 2. Геодезические линии на поверхности
Кривая на поверхности называется геодезической ли¬
нией, если у нее в каждой точке геодезическая кривизна
равна нулю.
10 7-770
149

Теорема. Для того чтобы кривая у была геодезической
необходимо и достаточно, чтобы ее главная нормаль
в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпа¬
дала с нормалью к поверхности.
Доказательство. Как показано в предыдущем пара¬
графе, геодезическая кривизна
* = т4тз (r'~r'nY
k I3
где г — вектор точки кривой, а дифференцирование — по
дуге. Так как г" = év, то х = 0 тогда и только тогда,
когда при k =/=0 ѵ||п. Теорема доказана.
Следствие. Если две поверхности касаются вдоль кри¬
вой, которая является геодезической на одной из них,
то она будет геодезической и на другой.
Для того чтобы получить дифференциальное уравне¬
ние геодезических, достаточно приравнять нулю выраже¬
ние для геодезической кривизны. Таким образом, диффе¬
ренциальное уравнение геодезических
и"ѵ' — ѵ"и' + Av' — Bu' = 0.
Некоторая неопределенность в этом уравнении (урав¬
нение одно, а неизвестных функций две — и (t) и ѵ (/))
объясняется тем, что на кривой могут быть введены раз¬
личные параметризации.
Теорема. Через каждую точку на регулярной поверх¬
ности в любом направлении можно провести и притом
единственную геодезическую.
Доказательство. Пусть Р (и0, и0) — произвольная точка
поверхности и (и^, ѵ'о) — произвольное направление в этой
точке.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
и" + А = 0, ѵ" + В = 0.
Пусть и = и (/) и V = V (/) — решение этой системы,
удовлетворяющее начальным условиям
и (/0) = «о, V (tQ) = ü0, и' (t0) = uô, vf (/0) = v'o.
Тогда кривая на поверхности, заданная уравнениями
и = и (/), V = V (/),
является геодезической, так как
u"v' — vtruf _|_ Av' — Bu' = 0.
150

Эта геодезическая проходит через точку (u0, t>0) и имеет
в этой точке направление (и’о:ѵ’о). Покажем, что она
единственная.
Пусть через точку (и0, и0) на поверхности проходят
две геодезические "ц и у2, имеющие в этой точке одно
и то же направление (u'0:vô). Пусть для определенности
uô =# 0. Тогда в окрестности точки (и0, ѵ0) обе кривые
могут быть заданы уравнениями
V = Ѵі(и), ѵ = ѵ2(и).
Условие равенства нулю геодезической кривизны кри¬
вых -[ь у2
—ѵ" + Аѵ[ — В = 0,
—п2 + Аѵі — В = 0.
Таким образом, функции üx(u) и ѵ2(и) удовлетворяют
одному и тому же дифференциальному уравнению при
одних и тех же начальных условиях
fi («о) = fo. («о) = ,7-.
и0
f2 (u0) = о0, ѵ2 (u0) =	.
мо
Отсюда следует, что ѵ1(и) = ѵ2(и), т. е. кривые 7г
и 72 совпадают в окрестности точки (и0, ц,), а следова¬
тельно, совпадают вообще.
Теорема доказана.
Пример. Геодезические линии на сфере суть большие
круги и только они. Действительно, каждый большой круг
является геодезической по первой теореме. Из каждой
точки в любом направлении можно провести большой круг
и, следовательно, по второй теореме большими кругами
исчерпываются все геодезические.
§ 3. Полугеодезическая параметризация поверхности
Параметризация поверхности называется полугеодези¬
ческой, если она ортогональна и одно семейство коорди¬
натных линий состоит из геодезических.
Теорема. Пусть у — кривая на поверхности и Р —
точка на ней. Тогда в окрестности точки Р может быть
введена полугеодезическая параметризация так, что одно
семейство координатных линий состоит из геодезических,
перпендикулярных 7, а второе из их ортогональных тра¬
екторий.
151

Доказательство. Пусть (и, ѵ) — какая-нибудь пара¬
метризация поверхности. Кривая 7 в окрестности Р может
быть задана либо уравнением ѵ = f (и), либо уравнением
u = f(u). Пусть для определенности 7 задается уравне¬
нием V =f (и).
Рассмотрим семейство кривых в окрестности Р, за¬
данное уравнениями
V — f (и) = const.
Согласно теореме § 2 гл. VI поверхность допускает орто¬
гональную параметризацию, при которой одно семейство
координатных линий состоит из кривых V — f (и) = const.
Отсюда следует, что, не ограни¬
чивая общности, можно считать кри¬
вую 7 координатной линией и = uQ
и — координаты точки Р).
Проведем через произвольную точ¬
ку (wo» 0 кривой 7 геодезическую
7,, перпендикулярную 7 (черт. 42).
Черт. 42. При t, близком к ü0, эта геодезическая
может быть задана уравнением
V = V (и, /),
где v(u, t)— функция, удовлетворяющая по и уравнению
геодезических
—ѵ" + Av'- В = 0.
Из теоремы о дифференцируемости решений диффе¬
ренциальных уравнений по начальным данным следует
регулярность функции ѵ(и, t) по t.
Так как v (u0, t) = /, то при малом | и—и01 дѵ (и, t)/dt #= 0.
Это позволяет разрешить уравнение v = v(u, t) в окрест¬
ности Р относительно t. Получим:
t = Ср (и, ѵ).
Дифференцируя равенство ѵ = ѵ(и, t) по ѵ, получим:
1 = vt (и, t) tv.
Отсюда
¥= 0»
Уравнениями ср (и, v) = t = const задаются геодезиче¬
ские 7,. Так как <р* + <р*	0, то по теореме § 2 гл. VI
существует ортогональная параметризация поверхности
в окрестности Р, при которой одно семейство коорди¬
натных линий состоит из кривых ср (и, ѵ) = const, т. е.
геодезических 7,.
Теорема доказана.
152

Выясним, какой вид имеет первая квадратичная форма
поверхности, если параметризация полугеодезическая.
Так как параметризация ортогональная, то F = 0 и,
следовательно,
/ = Edu2 + Gdv2.
Одно семейство координатных линий, например, линии
V = const, геодезические. Подставляя ѵ = const в уравне¬
ние геодезических
uV — ѵ"и' + Av' — Bu' = О,
получаем
В = 0,
откуда
т. е. Е не зависит от ѵ.
Независимость Е от ѵ позволяет упростить первую
квадратичную форму введением вместо и нового пара¬
метра и, связанного с и соотношением
du = У Ё\и) du.
При этом первая квадратичная форма принимает вид
/ = du2 + G dv2.
Чтобы понять геометрический смысл параметра и, до¬
статочно заметить, что длина отрезка любой геодезиче¬
ской V = const, заключенного между линиями и = clt и = с2>
не зависит от и и равна | — с21.
Введением нового параметра ѵ, связанного с ѵ соот¬
ношением dv = VG(v, и0) dv, можно добиться того, что
первая квадратичная форма поверхности будет иметь вид
. I = du2 + G (u, v) dv2,
причем G = 1 вдоль линии и = и0.
Если линия и = и0 тоже геодезическая, то из урав¬
нения геодезических следует, что вдоль этой линии Gu = 0.
§ 4. Кратчайшие на поверхности
Кривая 7 на поверхности, соединяющая точки Р и Q,
называется кратчайшей, если любая кривая на поверх¬
ности, соединяющая точки Р и Q, имеет длину не мень¬
шую, чем кривая 7.
153

Теорема. Геодезическая на достаточно малом отрезке
является кратчайшей. Более точно, если 7 — геодезическая
и Р — точка на ней, R и S — точки геодезической, доста¬
точно близкие к Р, то отрезок RS геодезической является
кратчайшей,
Доказательство, Проведем через точку Р геодези¬
ческую у, перпендикулярную 7, и построим полугеоде¬
зическую координатную сеть, приняв за семейство линий
и геодезические, перпендикулярные 7. Выберем параметры
и и V так, чтобы точке Р соответствовали значения и =
= V = 0 и линейный элемент поверхности имел вид
/ = du2 + G dv2.
Допустим, отрезок RS геодезической 7 не является
кратчайшей и 7—кривая на поверхности, соединяющая
точки R и S и имеющая длину меньшую, чем отрезок RS
геодезической 7.
Если точки R и S достаточно близки к Р, кривая 7
проходит внутри окрестности U р точки Р, где определена
полугеодезическая параметризация и, ѵ.
Покажем это.
Пусть расстояние точки Р до гра-
;	\ ницы окрестности Up больше е>0.
I Рр \ \	Возьмем точки R и S на расстоянии
/fi	меньшем у от Р (расстояние по кри-
вой 7). Пусть и Si—первая и по-
следняя точки пересечения 7 с границей
р 43' Up (черт. 43).
Имеем:
PR 4~ RRi s, PS 4“ SSi s.
Отсюда
PR -f" PS + RRi H- SSj > 2e.
Ho
RRi 4~ SSi < PR 4~ PS <z s
и мы приходим к противоречию. Итак, кривая 7 прохо¬
дит внутри окрестности Up.
Пусть
и = и (/), V = V (/)
154

уравнения кривой у. Ее длина
(5) 	 (S)
s (7) = J V и'2 + Gv'2 dt > \ и' \dt > \ us — uR\.
(Я)	(R)
Но I uR — usI — это же длина отрезка RS геодезической у.
Мы пришли к противоречию.
Теорема доказана.
Теперь, когда установлено, что геодезические являются
кратчайшими на достаточно малом участке, их уравнение
может быть записано как уравнение Эйлера для функ¬
ционала
Z = У У Eu'2 + 2Fu'v' + Gv'2 dt,
т. e.
Ф — — ф'=0 Ф —^-Ф'^0
dt Ч'и —	dt Ч'ѵ V’
где

Ф = УEu'2 + 2Fu'v' 4- Gv'2.
§ 5. Теорема Гаусса — Бонне
Пусть G — гомеоморфная кругу область на регуляр¬
ной поверхности Ф, ограниченная замкнутой кусочно¬
регулярной кривой 7. Зададим направление на кривой 7
так, чтобы при обходе кривой в этом направлении с той
стороны поверхности, куда направлена нормаль и, область
G оставалась справа.
Обозначим X геодезическую кривизну кривой у, в про¬
извольной точке, а аь а2, . . . ап — углы, образуемые
звеньями 7і, 72, ... 7Л кривой 7 со
стороны области G (черт. 44). Имеет
место следующая
Теорема Гаусса — Бонне.
X ds + (к — ak) = 2тс — J J R de,
kik	k	G
где К — гауссова кривизна поверхности,
а интегрирование в правой части ра- Черт. 44.
венства выполняется по площади области G.
В частности, если 7 — регулярная кривая, то
j х ds = 2к — У У К da.
1	G
155

Доказательство, Для простоты изложения предполо¬
жим, что кривая 7 регулярна и во всей области G может
быть введена пол у геодезическая параметризация поверх¬
ности.
Принимая во внимание формулу для геодезической
кривизны кривой в полугеодезических координатах, по¬
лученную в § 1, будем иметь:
4 ds = (U'^+GGv^ (иѴ - v"u' - т G^'3 - T u'ü'2 -
— ~ u'2v'^ dt = — d arctg — v' (yrG)u dt.
Так как функция arctg многозначная и ее значения,
отвечающие одному и тому же значению аргумента, отли¬
чаются на кратное и, то
I — d arctg ~ къ,
т
где k — некоторое целое число.
Далее, по формуле Грина — Остроградского
J - (VG)U dv = J 5 (]/G)uü du dv =
7 _ G
G r	G
Таким образом,
j x ds = feu + j J — K da.
7	G
Остается выяснить, чему равно целое число fe.
Имеем:
. С л І Ѵ&>'
kn = I — d arctg .
Если бы G= 1, то величина feu была бы углом, на кото¬
рый поворачивается касательная кривой 7 на плоскости иѵ,
соответствующей кривой 7 на поверхности, при обходе
этой кривой. Величина этого угла, как известно, равна 2u.
Так как величина интеграла
У — d arctg Х ѵ (X (а, ѵ) > 0)
т
156

непрерывно зависит от к (и, ѵ) и равна 2тс при к (и, ѵ) = 1,
то она равна 2тс для любой функции к(ц, ѵ) > 0, в част¬
ности, при к (и, ѵ) = Уй.
Теорема доказана полностью.
Гомеоморфная кругу область на поверхности, ограни¬
ченная тремя геодезическими, называется геодезическим
треугольником.
Теорема Гаусса —Бонне в применении к геодезиче¬
скому треугольнику дает:
ѵ д
Отсюда следует, что сумма углов геодезического тре¬
угольника на поверхности с положительной кривизной
больше тс, на поверхности с отрицательной кривизной
меньше тс, на поверхности с нулевой кривизной равна тс.
§ 6. Поверхности постоянной гауссовой кривизны
Пусть Ф — поверхность постоянной гауссовой кривизны
К и Р — произвольная точка на этой поверхности. Вве¬
дем на поверхности Ф полугеодезическую параметризацию
в окрестности точки Р, исходя из произвольной геоде¬
зической, проходящей через точку Р. Первая квадратич¬
ная форма поверхности будет иметь вид:
I = du2 + Gdv2,
причем можно считать, что G (0, ѵ) = 1 и Gw(0, ѵ) = 0.
Так как гауссова кривизна поверхности постоянна и
равна Æ, то коэффициент G должен удовлетворять диф¬
ференциальному уравнению
(Ув)ии+ КУ0 = 0.	(*)
(В случае полугеодезической параметризации поверхности
гауссова кривизна К = — (}^G)uu/(jZG)).
Будем различать три случая:
1.	/С > 0.
2.	К < 0.
3.	К = 0.
В первом случае общий вид ]/G, удовлетворяющего
уравнению (*), будет
/G = А (ѵ) cos У Ku 4- В (&) sin У Ku.
157

Так как G (0, ѵ) = 1 и Gu (О, ѵ) = О, то А (и) = 1 и В (ѵ) = О.
Таким образом, в случае К > 0 существует параметриза¬
ция поверхности, при которой первая квадратичная форма
имеет вид:
I = du2 + cos2 dv2.
Аналогично, во втором случае первая квадратичная
форма поверхности будет:
I = du2 + ch2 У—Ku dv2.
Наконец, в третьем случае
/ = du2 + dv2.
Теорема. Все поверхности постоянной, равной К,
гауссовой кривизны, локально изометричны. Более того,
если и Ф2 — поверхности постоянной гауссовой кри¬
визны К, PL и Р2 — произвольные точки на этих поверх¬
ностях, и 12 — произвольные направления в этих точ¬
ках, то существует изометрическое отображение окрест¬
ности точки Р± поверхности Ф± на окрестность точки Р2
поверхности Ф2, при котором направлению на поверх¬
ности Ф£ в точке Рі соответствует направление 12 на
поверхности Ф2 в точке Р2.
Для доказательства этой теоремы достаточно в окре¬
стностях точек Р± и Р2 на поверхностях Ф± и Ф2 ввести
полугеодезические параметризации исходя из геодезиче¬
ских направлений и /2. При этом первые квадратичные
формы поверхностей будут одинаковы, и требуемое изо¬
метрическое отображение получается при сопоставлении
точек с одинаковыми координатами.
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ К ГЛАВЕ IX
1.	Показать, что если геодезическая линия является одновре¬
менно асимптотической, то она прямая.
Показать, что если геодезическая является одновременно линией
кривизны, то она плоская.
2.	Пусть 7 — геодезическая и Р — точка на ней. Доказать, что
если точка Q геодезической достаточно близка к Р, то отрезок PQ
геодезической будет кратчайшей по сравнению со всеми спрямляе¬
мыми (а не только кусочно-гладкими) кривыми, соединяющими точки
Р и Q на поверхности.
Доказать, что отрезок PQ геодезической 7 является единствен¬
ной кратчайшей, соединяющей точки Р и Q на поверхности, если
точка Q достаточно близка к Р.
158

3.	Доказать, что у точки Р на регулярной поверхности есть
окрестность, в которой может быть введена полугеодезическая па¬
раметризация исходя из любой геодезической, проходящей через
точку Р.
4.	Используя две предыдущие теоремы, доказать, что любая
кратчайшая на регулярной поверхности является геодезической.
5.	Доказать, что какова бы ни была окрестность 2 точки Р на
регулярной поверхности, всегда можно в ней указать окрестность со
такую, что любые две точки окрестности со можно соединить крат¬
чайшей внутри Q.
6.	Доказать, что на полной поверхности любые две точки можно
соединить кратчайшей.
7.	Показать, что уравнение геодезических в случае полугеоде¬
зической параметризации (ds2 = du2 + Gdv2) может быть записано
в форме:
da	d}/G
dv~ ди '
где а — угол, под которым геодезическая пересекает линии ѵ = const.
8.	Показать, что если кривая 7 на поверхности, заданная урав¬
нениями и = и (а), V = V (а), испытывает деформацию, переходя к мо¬
менту t в кривую и = и (а) 4- À (а) /, V = V (а) 4- р (а) /, то обуслов¬
ленное этим изменение дуги кривой 7
J \ди дѵ ди дѵ ] ѵ ”
7
где Ф = Y Ей'2 4- ZFu'v’ 4- Gv'2, a О (t2) обозначена часть As, имею¬
щая порядок не ниже t2.
Выполняя интегрирование по частям и предполагая, что концы
кривой 7 при деформации остаются неподвижными, показать, что
Ле / С (дф	/ С (дф d (дф\\	2
7	7
9.	Исходя из свойства геодезических быть кратчайшими на до¬
статочно малом участке, показать, что уравнения геодезических
могут быть представлены в форме
где Ф = ]f Ей'2 4- 2Fu'v' 4- Gv'2. В частности, если
Ф = /1 + Gv'2,
уравнение геодезических будет:
/1+Gt>'2 du
10.	Показать, что геодезические линии на поверхностях враще¬
ния находятся в квадратурах.
159

Hi. Показать, что уравнение геодезических для поверхностей
с линейным элементом
ds2 = (U (и) 4- V (о)) (du2 + dv2)
(эти поверхности называются поверхностями Лиувилля) приводится
к виду
(Udv2 — Vdv2\ n
\ du2 4- dv2 /
Отсюда следует, что геодезические линии на таких поверхностях
находятся в квадратурах. Именно:
f du , С dv
WÛ^'c~±}Vv+~c + C1'
112. Доказать, что поверхности второго порядка являются по¬
верхностями Лиувилля. Координатная сеть, относительно которой
линейный элемент имеет вид
ds2 = (U 4- V) (du2 4- dv2),
состоит из линий кривизны (см. задачу 93 гл. VII).
12ѵ Показать, что в окрестности произвольной точки Р регу¬
лярной поверхности может быть введена полугеодезическая пара¬
метризация и, ѵ, отличающаяся следующим: линии и — геодезические,
проходящие через точку Р, линии ѵ — геодезические окружности
с центром Р. Если в качестве параметров взять: и — геодезическое
расстояние от Р, а ѵ — угол, образуемый геодезической с некоторым
фиксированным направлением в точке Р, то линейный элемент по¬
верхности примет вид:
ds2 = du2 4- Gdv2.
Когда и -у О, G -> 0, (/(7)tt - 1, -	+ К (Р), где К (Р) - га-
V о
уссова кривизна в Р.
122. Пусть / (г) — длина геодезической окружности с центром
в точке Р поверхности и радиусом г. Доказать, что
1іт2пг-£(г)=кк(рк
О
г3
где К (Р) — гауссова кривизна в точке Р.
13. Показать, что геодезические линии поверхности с линейным
элементом
я 2 —	+ (udv — V du)2
dS “	(с2 4- и2 4- V2)2
суть:
ай 4-	4- 7 = 0 (а, р, 7 — постоянные).
14х. Показать, что уравнению
-ѵ" +	Р'3 + Ѵ'г _|_ ѵ> = о
<?U	<Ри
удовлетворяет
и =	4- с2 (сі, с2 — постоянные).
160

142.	Показать, что если уравнение геодезических в полугеоде¬
зических координатах
ѵ" + у - 4 ѵ'2 + Ў = 0
имеет интеграл вида
о = с1? (и, и) + с2,
где с± и с2— произвольные постоянные, то G = U (и) V (ѵ), и, сле¬
довательно, гауссова кривизна поверхности вдоль линий и постоянна.
143.	Отображение одной поверхности на другую называется гео¬
дезическим, если при этом отображении геодезические одной поверх¬
ности соответствуют геодезическим другой. Из задачи 13 следует,
что поверхности постоянной гауссовой кривизны допускают геоде¬
зическое отображение на плоскость.
Доказать, что только поверхности постоянной гауссовой кривизны
обладают этим свойством (теорема Бельтрами).
151.	Пусть на геодезической 7, проходящей вблизи точки О
поверхности, взяты две близкие точки А и В. Пусть & — угол гео¬
дезического треугольника АОВ при вершине О, а а — соответствую¬
щий угол плоского треугольника с теми же сторонами. Показать, что
где а—площадь геодезического треугольника, а К* близко к гаус¬
совой кривизне поверхности в точке О, если треугольник достаточно
мал.
152.	Пусть Д— геодезический треугольник, содержащий точку Р
поверхности. Пусть &2, &3 — углы этого треугольника, а <хь а2, а3 —
углы соответствующего плоского треугольника (см. предыдущую
задачу). Доказать, что три отношения
$1 — di $2 — а2 &3 — а3
а ’ а ’ а
стремятся к общему пределу ---/<(Р), когда треугольник Д стяги
Ü
вается к точке Р (теорема Гаусса).
16. Поверхности Fr и F2 называются поверхностями центров
с	<	1
поверхности г, если они образуются концами отрезков длины т-
1 • 1
и 7-(^и &2 —главные кривизны F), откладываемых на нормалях
«2
поверхности F. Между поверхностями F2 и F естественным обра¬
зом устанавливается соответствие точек. Именно, соответствующими
являются точки поверхностей, лежащие на одной и той же нормали
к F. Доказать, что линиям кривизны поверхности F соответствуют
геодезические линии поверхностей центров.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Стр.
3
Часть первая. Теория кривых
Глава I. Понятие кривой . . ■	 5
§ 1. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кри¬
вая (5). § 2. Регулярная кривая. Способы аналитического зада¬
ния кривой (8). § 3. Особые точки регулярных плоских кри¬
вых (12). § 4. Асимптоты плоских кривых (18). Упражнения
к главе I (21). Задачи и теоремы к главе I (22).
Глава И. Понятия для кривых, связанные с понятием
соприкосновения	  23
§ 1. Векторная функция скалярного аргумента (23). § 2.
Касательная кривой (27). § 3. Соприкасающаяся плоскость кри¬
вой (31). § 4. Соприкосновение кривых (33). § 5. Огибающая
семейства кривых, зависящих от параметра (35). Упражнения
к главе II (38). Задачи и теоремы к главе II (40).
Глава III. Вопросы теории кривых, связанные с поня¬
тием кривизны и кручения	 42
§ 1. Длина дуги кривой. Естественная параметризация (42).
§ 2. Кривизна кривой (46). § 3. Кручение кривой (49). § 4.
Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой (51). § 5. Плос¬
кие кривые (55). Упражнения к главе III (59). Задачи и тео¬
ремы к главе III (61).
Часть вторая. Теория поверхностей
Глава IV. Понятие поверхности	 64
§ 1. Элементарная поверхность. Простая поверхность. Об¬
щая поверхность. (64). § 2. Регулярная поверхность. Аналити¬
ческое задание поверхности (66). § 3. Специальные парамет¬
ризации поверхности (69). § 4. Особые точки на регулярной
поверхности (72). Упражнения и задачи к главе IV (77).
Глава V Основные понятия для поверхностей, связан¬
ные с понятием соприкосновения	 78
162

Стр.
§ 1. Касательная плоскость поверхности (78). § 2. Лемма
о расстоянии точки от поверхности. Соприкосновение кривой
й поверхности (82). § 3. Соприкасающийся параболоид. Класси¬
фикация точек поверхности (86). § 4. Огибающая семейства
поверхностей, зависящих от одного или двух параметров (89).
§ 5. Огибающая семейства плоскостей, зависящих от одного
параметра (91). Упражнения к главе V (94). Задачи и тео¬
ремы к главе V (95).
Глава VI. Первая квадратичная форма поверхности и
связанные с ней вопросы теории поверхностей . . . 		 96
§ 1. Длина кривой на поверхности (97). § 2. Угол между
кривыми на поверхности (99). § 3. Площадь поверхности (101).
§ 4. Конформное отображение (104). § 5. Изометричные поверх¬
ности. Изгибание поверхностей (107). Упражнения к главе VI
(109). Задачи и теоремы к главе VI (ПО).
Глава VII. Вторая квадратичная форма поверхности и
связанные с ней вопросы теории поверхностей	112
§ 1. Кривизна кривой, лежащей на поверхности (ИЗ).
§2. Асимптотические направления. Асимптотические линии. Со¬
пряженные направления. Сопряженные сети на поверхности
(117). § 3. Главные направления на поверхности. Линии кри¬
визны (119). § 4. Связь между главными кривизнами поверх¬
ности и нормальной кривизной в произвольном направлении.
Средняя и гауссова кривизна поверхности (122). § 5. Линейча¬
тые поверхности (127). § 6. Поверхности вращения (130). Упраж¬
нения к главе VII (133). Задачи и теоремы к главе VII (134).
Глава VIII. Основные уравнения теории поверхностей . . 137
§ 1. Деривационные формулы (137). § 2. Формулы Гаусса —
Петерсона — Кодацци (140). § 3. Существование и единствен¬
ность поверхности с заданными первой и второй квадратич¬
ными формами (142). Задачи и теоремы к главе VIII (145).
Глава IX. Внутренняя геометрия поверхностей	147
§ 1. Геодезическая кривизна кривой на поверхности (147).
§ 2. Геодезические линии на поверхности (149). § 3. Полугео¬
дезическая параметризация поверхности (151). § 4. Кратчайшие
на поверхности (153). § 5. Теорема Гаусса — Бонне (155).
§ 6. Поверхности постоянной гауссовой кривизны (157). За¬
дачи и теоремы к главе IX (158).

Алексей Васильевич Погорелов
ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Редактор М. И. Прокопенко
Техн, редактор Л, Т. Момопг
Корректор М. И. Лелюк
Сдано в набор 27/X 1966 г. Подпис. к печати 31/1 1967 г. Формат
84х1081/32. Объем: печ. л. 5,2, усл. печ. л. 8,7, уч-изд. л. 8,7.
БЦ 50072. Тираж 12.000. Зак. № 7-770. Цена в переплете 34 коп.
Св. Т. П. Издательств Университетов 1967 г. поз. 16. КРИ вып.
11(148) 66 г. поз. 36.
Напечатано с матриц Книжной фабрики им. Фрунзе Комитета по
печати при Совете Министров Украинской ССР на Типоофсетной
фабрике Комитета по печати при Совете Министров Украинской ССР.
Харьков, ул. Энгельса, 11.

34 коп.
ИЗЛАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА