технический тм университет
В. К. РОМАНКО
КУРС
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ v
уравнении
ВАРИАЦИОННОГО
исчисления
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических специальностей
высших учебных
заведений
ШФИЗМАТЛИТ
Невский Диалект
Лаборатория Базовых Знаний
Москва - Санкт-Петербург - 2 О 01

P69
УДК 517.9
Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариацион-
Р 69 ного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний,
2001 - 344 с: ил.
ISBN 5-93208-097-3
В книге излагаются основные разделы классической теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. Рассматриваются методы по-
получения точных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными ко-
коэффициентами; значительное внимание уделяется вопросам существования, единст-
единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от ис-
исходных данных.
Приводятся методы решения линейных дифференциальных уравнений с перемен-
переменными коэффициентами, линейных и нелинейных уравнений первого порядка в част-
частных производных; обсуждаются вопросы качественного исследования этих решений.
Основы вариационного исчисления рассматриваются по причине тесной связи
данного раздела высшей математики с теорией дифференциальных уравнений.
Книга предназначена для студентов высших учебных заведений.
УДК 517.9
ББК 22.161.1
Серия «Технический университет»
Учебное издание
Романко Василий Кириллович
Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления
Художественный редактор Н. Лозинская
Оригинал-макет подготовлен в пакете LATeX 2?
с использованием кириллических шрифтов семейства LH
Гарнитура Computer Modern
Подписано в печать 20.06.01. Формат 70x100'/,,. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 28. Тираж 3000 экз. Заказ
Издательство «Лаборатория Базовых Знаний»
Адрес для переписки: 103473, Москва, а/я 9
Телефон @95)955-0398. E-mail: lbz@aha.ru
Лицензия на издательскую деятельность №066140
от 12 октября 1998 г.
пол 1 ® Романко В. К., 2001
-иу 1-5 © лаборатория Базовых Знаний, 2001

Оглавление
Предисловие 6
Некоторые обозначения 7
Введение 8
1 Методы решения некоторых дифференциальных уравне-
уравнений 12
§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений пер-
первого порядка 12
§2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
первого порядка 18
§3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относитель-
относительно производной. Метод введения параметра и задача Коши 34
§4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие по-
понятия и методы решения 41
2 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с по-
постоянными коэффициентами 52
§ 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения
линейных уравнений с постоянными коэффициентами 52
§2. Линейные однородные уравнения порядка п с постоянными
коэффициентами 57
§3. Линейные неоднородные уравнения порядка п с постоянны-
постоянными коэффициентами 65
3 Методы решения систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами 73
§ 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффици-
коэффициентами. Общие понятия и метод исключения 73
§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
с постоянными коэффициентами 76
§3. Общее решение нормальной линейной неоднородной систе-
системы с постоянными коэффициентами 88
§4. Решение нормальных линейных систем с постоянными ко-
коэффициентами с помощью матричной экспоненты 94
§ 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения
дифференциальных уравнений 103

Оглавление
§6. Методы решения произвольных линейных систем с постоян-
постоянными коэффициентами 108
4 Исследование задачи Коши 113
§ 1. Вспомогательные предложения 113
§2. Существование и единственность решения задачи Коши для
нормальной системы дифференциальных уравнений 117
§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши 127
§ 4. Общее решение дифференциального уравнения 132
§ 5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и на-
начальных данных. Корректность задачи Коши 135
§6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального урав-
уравнения первого порядка, не разрешенного относительно про-
производной. Особые решения 145
5 Нормальные линейные системы дифференциальных урав-
уравнений с переменными коэффициентами 152
§1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной си-
системы уравнений с переменными коэффициентами 152
§ 2. Линейные однородные системы 158
§ 3. Линейные неоднородные системы 167
6 Линейные дифференциальные уравнения порядка п с пе-
переменными коэффициентами 171
§ 1. Общие свойства 171
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п 174
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п 179
§ 4. Граничные задачи 185
§ 5. Теорема Штурма 193
§ 6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помо-
помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя 199
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения с малым параме-
параметром при старшей производной 205
7 Нормальные автономные системы дифференциальных
уравнений и теория устойчивости 212
§ 1. Общие свойства 212
§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной
системы второго порядка 222
§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка 230
§ 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 241
§ 5. Первые интегралы 251
8 Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка 261
Введение 261
§ 1. Линейные однородные уравнения 263

Оглавление 5
§ 2. Квазилинейные уравнения 271
§ 3. Нелинейные уравнения 281
9 Основы вариационного исчисления 289
Введение 289
§ 1. Простейшая вариационная задача 291
§2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай
функционалов более общего интегрального типа 301
§ 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной
границей и задача Больца 310
§ 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме
функционалов 318
§ 5. Изопериметрическая задача 322
§ 6. Задача Лагранжа 326
§7. Достаточные условия слабого локального экстремума 331
Литература 341
Предметный указатель 343

Предисловие
Данная книга имеет целью, с одной стороны, дать читателю минимум
знаний по классической теории обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений и классическому вариационному исчислению, необходимых для их
успешного применения в различных практических приложениях, а с дру-
другой стороны, подвести читателя к пониманию задач и методов их реше-
решения современной теории дифференциальных уравнений и вариационного
исчисления.
Книга написана на основе курса лекций, который автор читал в Мо-
Московском физико-техническом институте (МФТИ) на протяжении мно-
многих лет. Книга отражает не только личную точку зрения автора, но в
определенной степени и коллективный опыт преподавания теории диффе-
дифференциальных уравнений и вариационного исчисления на кафедре высшей
математики МФТИ. Этот опыт основан на базе повышенных курсов ма-
математического анализа и линейной алгебры, читаемых в МФТИ.
Оглавление и введение дают первоначальное представление о прин-
принципах построения курса, об отборе материала и о содержании книги в
целом. В первых трех главах изложены методы получения точных реше-
решений основных типов дифференциальных уравнений. В последующих гла-
главах D-8) основной акцент сделан на качественном исследовании решений
дифференциальных уравнений. В главе 9 изложены основы классическо-
классического вариационного исчисления. Книга содержит решения многочисленных
примеров. Упражнения к каждой главе позволяют читателям закрепить
свои знания материала.
В списке литературы читатель найдет перечень книг, в которых за-
затронутые в настоящей книге вопросы излагаются, может быть, по-иному
или более полным образом. Отдавая себе отчет в том, что настоящий
курс не свободен от недостатков, мы будем благодарны всем читателям,
приславшим свои замечания и пожелания по его улучшению.
Автор выражает искреннюю благодарность Н.Х. Агаханову, который
внимательно прочитал рукопись и сделал ряд полезных замечаний.

Некоторые обозначения
N — множество натуральных чисел
3, V —существует, для всякого
=Ф, <& —следует, эквивалентно
к — 1,п —индекс к пробегает все целые значения между 1 и п
П% —евклидово пространство с декартовыми прямоугольны-
прямоугольными координатами xi,... ,xn
IJOjjH, itj = 1,п, —квадратная матрица порядка п из элементов «ц,-
С(Х) —множество всех непрерывных функций, заданных на
промежутке X числовой оси IQ
C(G) —множество всех непрерывных функций, заданных в
области G С R%
Ск(Х) —множество всех к > 1 раз непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций на промежутке ХСй'
C*(G) —множество всех к > 1 раз непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций в области G С Щ
О —начало доказательства утверждения
• — конец доказательства утверждения
Д — начало решения примера
А — конец решения примера

Введение
Общепризнано, что метод построения математических моделей является
наиболее эффективным методом изучения различных явлений природы.
В большинстве случаев не удается установить формулу прямой зависи-
зависимости между собой различных характеристик рассматриваемого физи-
физического, биологического, химического, экономического или какого-нибудь
другого динамического процесса. Однако часто удается составить опре-
определенную функциональную зависимость между неизвестными характери-
характеристиками рассматриваемого процесса, скоростями их изменения и време-
временем, т. е. найти уравнения, содержащие производные неизвестных харак-
характеристик процесса. В таком случае говорят, что математической моделью
процесса является дифференциальное уравнение.
Простейший пример дифференциального уравнения дает, например,
задача о нахождении закона движения материальной точки по заданной
скорости ее движения. Если S(t) — неизвестный путь, пройденный точкой
за время f, и v(t)—заданная скорость ее движения в момент времени t,
то получаем дифференциальное уравнение
Как следует из курса анализа, в случае, когда, например, v(t) — за-
заданная непрерывная функция t > О, все решения уравнения A) задаются
формулой
(
Jr)dr + Ct B)
где С — произвольная действительная постоянная.
Исследования разрушения биологических клеток под действием ульт-
ультразвука высокой интенсивности приводят к дифференциальному уравне-
уравнению вида
^—RNit), О)
где t — время, //(?) —концентрация живых клеток, R — постоянная, опре-
определяющая вероятность разрыва клетки в единицу времени. Нетрудно

Введение 9
проверить, что решениями уравнения C) будут функции
N(t) = Ce-Rl, D)
где С — произвольная постоянная.
Еще один пример дифференциального уравнения можно получить,
рассмотрев, например, задачу о колебании шарика, подвешенного на пру-
пружине и выведенного из положения равновесия. Если обозначить откло-
отклонение шарика от положения равновесия в момент времени t через x(t) и
воспользоваться вторым законом Ньютона, то уравнение движения ша-
шарика можно записать в виде
^+«-»*(*) = 0, E)
где ш > 0 —некоторое заданное число.
Дифференциальное уравнение вида E) называется уравнением гармо-
гармонических колебаний или уравнением линейного осциллятора. Как будет в
дальнейшем установлено, все решения уравнения E) задаются формулой
x(t) - Acos{wt + tp), F)
где А и <р — произвольные постоянные.
Опыт показывает, что разные по содержанию задачи могут приводить
к одинаковым дифференциальным уравнениям. Использование дифферен-
дифференциальных уравнений в качестве модели некоторого процесса в природе,
как уже видно из приведенных примеров, удобно в том смысле, что эти
уравнения описывают эволюцию процесса во времени и характер воз-
возможных изменений процесса в зависимости от его первоначального со-
состояния.
Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция являет-
является функцией одной независимой переменной, то уравнение называет-
называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же неизвестная
функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией
двух или большего числа независимых переменных, то дифференциаль-
дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Считая
х независимой переменной и у = у(х) — неизвестной функцией, обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение в общем случае можно записать в
виде соотношения
F(xiy,y\y",...,yW)=0,. G)
где F — заданная функция своих аргументов. Порядок старшей произ-
производной, входящей в уравнение G), называется порядком обыкновенного
дифференциального уравнения G). ТЪким образом, уравнение G) име-
имеет порядок п, уравнения A) и C) имеют первый порядок, а уравнение
E) — это уравнение второго порядка.
Если дифференциальное уравнение G) разрешимо, то, как видно из
уже приведенных примеров, оно имеет, как правило, бесчисленное мно-

10 Введение
жество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описы-
описывающее некоторый процесс во времени, нельзя еще указать однозначно
зависимость от времени характеристики процесса, удовлетворяющей это-
этому уравнению. Нужны дополнительные условия. На практике чаще все-
всего в качестве дополнительных условий выступают некоторые начальные
условия. Так, например, однозначное решение уравнения A) можно по-
получить, задав начальное положение точки:
5@) = So-
Тогда из формулы B) находим С = So и, значит, формула
t
S(t)= I v{
однозначно определяет закон движения точки. Задав для уравнения C)
начальную концентрацию клеток в момент времени to
N(ta) = Wo,
из формулы D) находим С = NotRU}. Следовательно, концентрация кле-
клеток в каждый момент t однозначно задается формулой
N(t) = Л/оея(<°-е).
Наконец, задав при 1 = 0 начальное отклонение и начальную скорость
шарика
х@) = хо, —— = v0,
из формулы F) можно найти постоянные А, <р и тем самым однознач-
однозначно определить заданное колебание шарика. Возможны и другие типы
дополнительных условий, выделяющих конкретное решение дифференци-
дифференциального уравнения. Например, это могут быть заданные значения ре-
решения x(t) уравнения E) при двух фиксированных моментах времени
*i, t2." x(h) = xi, х(?г) = Х2, или условие периодичности для решения
уравнения C)
N{0) = ЛГ(Т), Т > 0.
Это примеры так называемых граничных условий для уравнений E) и
C). Но для них не всегда можно гарантировать единственность решения.
Для практических приложений дифференциальных уравнений очень
важен вопрос о характере зависимости решения дифференциального
уравнения G) от функции F и от дополнительных условий (начальных
или граничных) при их малом изменении. Ведь в прикладных задачах и
само дифференциальное уравнение и дополнительные условия неизбеж-
неизбежно определяются с некоторой погрешностью, так как при их составлении
всегда приходится пренебрегать несущественными для рассматриваемого

Введение 11
процесса факторами. Для практики целесообразны только такие диффе-
дифференциальные уравнения и дополнительные условия, при малом изменении
которых мало изменяется определяемое ими решение. Другими словами,
должна быть непрерывная зависимость решения рассматриваемой задачи
от исходных данных.
Из сказанного ясно, что одними из главных вопросов теории диффе-
дифференциальных уравнений являются вопросы существования, единственно-
единственности и непрерывной зависимости от исходных данных решения диффе-
дифференциального уравнения при заданных дополнительных условиях. Кроме
этих вопросов, теория дифференциальных уравнений изучает качествен-
качественные свойства и методы решения дифференциальных уравнений различ-
различных типов и некоторые другие вопросы. Отметим, что лишь для сравни-
сравнительно небольшого числа дифференциальных уравнений решение можно
записать в виде некоторой формулы. Поэтому, наряду с методами нахо-
нахождения точных решений, в теории дифференциальных уравнений важное
значение имеют методы построения приближенных решений дифференци-
дифференциальных уравнений: численные методы решения и асимптотические мето-
методы решения. Численным и асимптотическим методам решения уравнений
в настоящей книге из-за недостатка места уделяется мало внимания. Бо-
Более подробно о них можно прочитать, например, в [43], [45], [11].
Теория дифференциальных уравнений является важной для практи-
практических приложений и самостоятельной ветвью математического анализа,
которая продолжает успешно развиваться. Знание основных положений
этой теории абсолютно необходимо при использовании математических
методов в различных областях человеческой деятельности. Кроме основ-
основных фактов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в на-
настоящую книгу включены основы теории дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка и основы вариационного исчи-
исчисления. Примеры из практики, приведенные, например, в [43] и [26], по-
показывают, что уравнения в частных производных первого порядка встре-
встречаются в различных областях знаний. Методы решения таких уравнений
тесно связаны с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений.
Этим объясняется включение в книгу уравнений в частных производных
первого порядка.
Некоторые задачи вариационного исчисления приводят к соответству-
соответствующим задачам теории дифференциальных уравнений и наоборот. Поэто-
Поэтому существует тесная связь между вариационным исчислением и теорией
дифференциальных уравнений. С другой стороны, вариационное исчи-
исчисление является самостоятельной и успешно развивающейся ветвью ма-
математического анализа. О примерах вариационных задач и о значении
вариационного исчисления для практических приложений рассказано во
введении к главе 9.

===== Глава 1 ========
Методы решения некоторых
дифференциальных уравнений
Предполагается, что все функции, рассматриваемые в этой главе, прини-
принимают только действительные значения и что произвольные постоянные
являются действительными.
§ 1. Основные понятия для дифференциальных
уравнений первого порядка
Обозначим через Л?х \ евклидову плоскость с фиксированной декартовой
прямоугольной системой координат х, у. Пусть G — непустая область, ле-
лежащая в Щху\ и пусть /(х, у)— некоторая заданная непрерывная функ-
функция в области G.
Изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений начнем
с дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относи-
относительно производной
V1 = /(*,!/)• A)
Здесь х — независимая переменная (аргумент), а у — у(х) — неизвестная
функция. Уравнение A) принято еще называть дифференциальным урав-
уравнением первого порядка в нормальной форме.
Определим понятие решения дифференциального уравнения A). Пусть
X обозначает некоторый промежуток числовой прямой R\ с декартовой
координатой х. Промежуток X может представлять собой либо отрезок
оси R\, либо (ограниченный или неограниченный) интервал оси Я?, либо
(ограниченный или неограниченный) полуинтервал оси R\..
Определение. Функция у = <р{х), определенная на промежутке X, на-
называется решением дифференциального уравнения A), если
1) <р(х) имеет непрерывную производную <р'(х) на промежутке X,
2) (х,<р(х)) е G при всех х ? X,
3) ip'{x) = f[x,ip(xj] на промежутке X.

§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений
13
Замечания.
1. Если промежуток X содержит левый или правый конец, то опре-
определение 1 требует существования непрерывной соответствующей односто-
односторонней производной <р(х) в этой точке.
2. Из определения следует, что промежуток X необходимо лежит в
проекции области G на ось R\. Процесс нахождения решений уравнения
A) иногда называют интегрированием дифференциального уравнения A).
Кривая в области G, являющаяся графиком некоторого решения урав-
уравнения A), называется интегральной кривой дифференциального уравне-
уравнения A).
Далеко не всегда удается получить решение уравнения A) в явном
виде у = <р(х), х € X. Во многих случаях решение {1) определяется
как неявная функция из уравнения Ф(х, у) = 0. Решить уравнение A)
означает найти все решения уравнения A).
Рассмотрим геометрический смысл задания уравнения A) и его ре-
решения. С этой целью сопоставим каждой точке (яо>Уо) € G вектор с
координатами {1,/(ж<ьуо)}, отложенный от этой точки. Множество всех
полученных векторов будем называть полем направлений, соответствую-
соответствующим уравнению A). Из определения решения уравнения A) и геометри-
геометрического смысла производной следует, что кривая в области G является
интегральной кривой уравнения A) в том и только том случае, когда она
гладкая и направление касательной в каждой ее точке совпадает с на-
направлением поля в этой точке. Таким образом, в каждой точке (я, у) € G
угол а = а(х,у) наклона касательной к интегральной кривой A) опреде-
определяется уравнением tga = f(x,y) (рис. 1).
Рис. 1
Итак, задача интегрирования уравнения A) геометрически эквивалент-
эквивалентна нахождению всех гладких кривых в G, направление касательных к
которым в каждой точке G совпадает с вектором поля направлений в
данной точке. Это соображение используется для приближенного постро-
построения интегральных кривых. При практическом нахождении поля напра-
направлений для уравнения A) удобно использовать так называемые изокли-
изоклины. Изоклиной поля направлений уравнения A) называют такую кривую

14
Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
в области G, во всех точках которой направления поля имеют одинако-
одинаковый угловой коэффициент А:. Ясно, что изоклина задается уравнением
/{х,у) = к. В простых случаях построение с помощью изоклин поля
направлений позволяет сделать определенные выводы о поведении инте-
интегральных кривых уравнения A). Приведем пример.
Пример 1. С помощью изоклины приближенно начертить интегральные
кривые уравнения у' — у = х.
Д Изоклинами являются параллельные прямые х + у = к. При к = О
получаем изоклину х + у = 0, которая делит плоскость на две полу-
полуплоскости: в нижней полуплоскости интегральные кривые убывают,
а в верхней полуплоскости они возрастают. При к = — 1 получаем
изоклину х+у = — 1, которая одновременно является и интегральной
кривой, в чем можно убедиться подстановкой у — —х — 1 в уравне-
уравнение. Продифференцировав заданное уравнение, находим у" — у' +1 =
х + у + 1. Законность дифференцирования будет ясна из § 2 главы 1.
Отсюда видно, что прямая х + у = — 1 делит плоскость на две ча-
части: в нижней части у" < 0, в верхней части у" > 0. Таким образом,
интегральные кривые по разные стороны от прямой х + у — —1 име-
имеют различную выпуклость. Если учесть, кроме того, что интеграль-
интегральные кривые заданного уравнения не могут пересекаться (см. п. 3
§ 2), то получаем в результате приближенную картину поведения ин-
интегральных кривых, изображенную на рис. 2.
Рис. 2
Как следует из примеров введения и вышеприведенных геометриче-
геометрических соображений, за редким исключением разрешимое дифференциаль-
дифференциальное уравнение A) имеет бесконечное множество решений. Таким исклю-
исключением, например, является уравнение у' — \/—у2, которое имеет един-

§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений 15
ственное решение у = 0. Поэтому в общем случае для получения какого-
нибудь конкретного решения уравнения A), кроме самого уравнения A),
необходимы еще дополнительные условия, выделяющие это конкретное
решение из множества всех решений уравнения. Во многих случаях та-
таким дополнительным условием для уравнения A) является начальное
условие
уо, (xo,yo)?G. B)
Числа хо,Уо называются начальными данными, а задача отыскания ре-
решения уравнения A), удовлетворяющего начальному условию B), назы-
называется начальной задачей или задачей Коши для уравнения A).
Решить задачу Коши для уравнения A) геометрически означает найти
интегральную кривую уравнения A), проходящую через заданную точку
Ы,Уо) € G (см. рис. 1).
В главе 4 будут установлены достаточные условия на функцию f(x,y),
обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши
A)-B). Именно там будет доказана следующая теорема.
Теорема существования и единственности. Пусть функции f(x,y) и
•g- непрерывны в области G и точка [хо,уо) лежит в G. Тогда:
1) Найдется число 5 > 0 такое, что решение задачи Коши A)-{2) суще-
существует при всех х € (хо — 5,xq + S).
2) Если у — <р\(х), х € Х\, и у — f2{x), х ? Х2, —два решения задачи
Коши A), B) (промежутки Ху и Х^ содержат точку xq), то <pi(x) = <р2(х)
для всех х € Х\ П Х2-
Обсуждение условий сформулированной теоремы проведем в главе 4,
а сейчас только отметим, что при заданной f(x,y) с указанными в тео-
теореме свойствами гладкости интервал существования решения задачи Ко-
Коши A)-B) и само решение задачи Коши A)-B) зависят от начальной
точки (хо,2/о) 6 G. Впрочем, этот факт очевиден из геометрической ин-
интерпретации решения уравнения A) (см. рис. 1). При условиях теоремы
гарантируется, что через точку (xo,j/o) € G проходит единственная инте-
интегральная кривая уравнения A) (рис. 3).
Рис. 3
Условия приведенной теоремы выполнены, если, например, f{x,y)
является многочленом от х, у.

16 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Обобщением дифференциального уравнения в нормальной форме A)
является так называемое уравнение первого порядка в дифференциалах
(или уравнение первого порядка в симметричной форме):
Р(х, y)dx + Q{x, y)dy = 0. C)
Здесь будем предполагать, что Р(х,у), Q(x,у)— заданные непрерывные
функции в области G и что \P{xo,yo)\ + \Q{xo,yo)\ > 0 для каждой точки
(^сьУо) С G. Уравнение A) является частным случаем уравнения C),
когда Р{х,у) = f{x,y), Q(x,y) = —1. Уравнение C) удобнее уравнения A)
в том смысле, что переменные х, у в нем участвуют равноправно.
Для уравнения C) можно дать определение решения аналогично опре-
определению решения для уравнения A). Однако более целесообразно рас-
расширить понятие решения, рассмотрев так называемые параметрические
решения.
Определение. Вектор-функция х = <p{t), у — ф{1) на некотором проме-
промежутке X числовой оси 1$ называется параметрическим решением урав-
уравнения C), если:
1) функции <p(t), я/>(?) —непрерывно дифференцируемые и [</>'(<)] +
f > 0 для всех t € X,
2) М*)»^@) € G А"» всех * € X,
3) P[<p{t),il>{t)]<p'(t) + Q[tp(t),il>(t)]rl>'{t) = 0 на всем промежутке X.
Кривая в области G, являющаяся непрерывным образом промежутка
X при отображении (<p(t),tj)(t)), называется (параметрической) интеграль-
интегральной кривой уравнения C).
Из определения решения немедленно следует, что интегральная кри-
кривая уравнения C) является гладкой кривой.
Если <p'{to) ф 0 для некоторого to € X, то найдется интервал
(to — 6,to + <$), 8 > 0, на котором х = ip(t) имеет обратную функцию
t = уГ^(х), и тогда кусок интегральной кривой, соответствующий изме-
изменению t в интервале (to — 6, to + S), определяется уравнением у = х(х) =
¦ф \^>~1{х)'\. Если же ip'(ti) Ф 0 для некоторого t\ € X, то найдется интер-
интервал (t\ — 6\,t\ + 6i), <5i > 0, на котором у = ip(t) имеет обратную функ-
функцию t = i>~l(y), и тогда кусок интегральной кривой, соответствующий
t G (*i — Si,ti + 6\), определяется уравнением х = ы(у) = (р [ф~1{у)}-
Отсюда следует, что интегральная кривая уравнения C), в отличие от
интегральной кривой уравнения A), в общем случае представляет собой
гладкую кривую, отдельные куски которой задаются или функцией вида
у = х(х) или функцией вида х = и (у). Соответственно этому уравнение
C) допускает как решения вида у = х(х), так и решения вида х = и>(у),
заданных явно, неявно или параметрически.
В частности, из определения параметрического решения уравнения C)
при х = t получаем решение вида у — ip(x), а при у = t получаем ре-
решение вида х = <р(у).

§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений 17
Замечание. Иногда уравнение C) может быть задано не только в обла-
области G, но и на ее границе. Тогда всякая граничная точка относится к
так называемым особым точкам (см. далее) уравнения C). Поведение
интегральных кривых C) в окрестности границы G требует отдельного
рассмотрения.
В каждой точке (х,у) € G уравнение C) определяет вектор с ком-
компонентами {—Q(x,y),P(x,y)}. Эти вектора задают поле направлений в
области G, порождаемого уравнением C). Как и в случае уравнения A),
гладкая кривая в G будет интегральной кривой уравнения C) тогда и
только тогда, когда направление касательной в каждой ее точке совпа-
совпадает с вектором поля в данной точке. Поле направлений уравнения C)
богаче поля направлений уравнения A), так как, например, оно может
содержать вертикальные направления, что запрещено для поля направле-
направлений уравнения A). Как уже отмечалось ранее, структура интегральных
кривых уравнения C) может быть более сложной, чем для уравнения
A). Например, интегральные кривые уравнения C) могут иметь верти-
вертикальные касательные, быть замкнутыми кривыми.
В силу условий на коэффициенты Р и Q уравнения C) из рассмотре-
рассмотрения исключены те точки (яо,2/о) € G, в которых Р(х<ьУо) = <2(яо,Уо) = 0.
Такие точки называют особыми точками уравнения C). В них урав-
уравнение C) не определяет направлений. Поведение интегральных кривых
уравнения C) в окрестности изолированных особых точек будет изуче-
изучено в главе 7. В силу непрерывности Р и Q множество особых точек
уравнения C) всегда замкнуто, однако особые точки C) не обязаны все-
всегда быть изолированными. Они могут заполнять целую линию, называ-
называемую особой линией (например, прямая у = х — особая линия уравне-
уравнения (у — x)(xdx + ydy) = 0) или образовывать множество более сложной
структуры. Особые линии могут определять так называемые особые ре-
решения C).
В силу того, что переменные х,у равноправны в уравнении C), для
него удобно ставить задачу Коши в геометрических терминах.
Задача Коши для C). Найти интегральную кривую уравнения C), про-
проходящую через заданную точку (zo.J/o) € G.
Если Q(xo,yo) -ф 0, (хо,уо) С G, то можно установить в некоторой
окрестности (хо,уа) эквивалентность уравнений C) и A). Тем самым из-
изучение задачи Коши для уравнения C) сводится в такой окрестности к
изучению задачи Коши для уравнения A).

18 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
§ 2. Методы решения простейших
дифференциальных уравнений первого порядка
Решения дифференциального уравнения
P(x,y)dx + Q(x,y)dV = O, A)
где Р(х,у) и Q(x,y)—заданные непрерывные функции в некоторой обла-
области G декартовой плоскости Я2{я,у), не содержащей особых точек урав-
уравнения A), сравнительно редко выражаются через элементарные функции.
Даже простейшие уравнения вида A) могут приводить к решениям, не
выражающимся через элементарные функции. В качестве примера мож-
можно взять уравнение
у' = е~*\
Все его решения задаются формулой
где f е х dx обозначает фиксированную первообразную функции е х ,
а С — произвольная постоянная. Из курса анализа известно, что перво-
первообразная J e~x dx не выражается через элементарные функции. Тем не
менее естественно считать, что найдены все решения уравнения.
Замечание. В теории дифференциальных уравнений символом / f(x)dx,
где /(х) — заданная непрерывная функция на некотором промежутке,
принято обозначать фиксированную первообразную, в отличие от анали-
анализа, где символ f f(x)dx обозначает множество всех первообразных функ-
функции /(х). Из вышесказанного делается понятной необходимость расши-
расширения класса функций, через которые могут выражаться решения урав-
уравнения A).
Определение. Говорят, что уравнение A) разрешимо или интегрируе-
интегрируемо в квадратурах, если все его решения выражаются явным или неяв-
неявным образом через элементарные функции с помощью конечного числа
арифметических операций, суперпозиций и операций нахождения перво-
первообразных.
Замечание. В прежние века первообразную J f(x)dx называли квадра-
квадратурой f(x). Отсюда и происходит название «решение в квадратурах».
Уже простой пример уравнения Риккати у1 = у2 + х говорит о том,
что в квадратурах интегрируется сравнительно небольшой класс уравне-
уравнений A). Поэтому, наряду с методами нахождения точных решений, для
практики важное значение имеют асимптотические и численные методы
решения дифференциальных уравнений, которые широко применяются в
тех случаях, когда точные решения уравнений нельзя найти или они
малоэффективны.

§2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений 19
Укажем простые классы уравнений A), интегрируемых в квадрату-
квадратурах. Отметим, что при решении конкретных уравнений нецелесообразно
пользоваться выведенными ниже формулами решений. Проще усвоить из-
изложенный метод решения и применять его в каждом конкретном случае.
1. Уравнения с разделенными переменными
Так называют уравнение вида
a(x)dx + b(y)dy = О, B)
где а{х) —заданная непрерывная функция на (а,/?), Ь(у) — заданная не-
непрерывная функция на (-у,<5) и область G' = {(х,у) : х 6 (а,Р),у € Ь/,6)}
не содержит особых точек уравнения A).
Если существует параметрическое решение уравнения B), задаваемого
функциями х = ip(t), у — ij>(t), t ? X то, подставив его в B), получим
тождество на промежутке I:
а М<)] Ap{t) + Ь №(*)] # W = 0. C)
Пусть А(х) — fa(x)dx — какая-либо первообразная а(х) и пусть В(у) =
fb(y)dy — какая-либо первообразная Ь(у). Тогда интегрирование тожде-
тождества C) приводит к равенству
tel,
где С —постоянная. Следовательно, всякое параметрическое решение B)
удовлетворяет уравнению
a(x)dx + I b(y)dy = С. D)
Нетрудно убедиться, что и обратно, если х = <p(t), у = ij>(t), t € I,
задают гладкую кривую, удовлетворяющую на промежутке I уравнению
D) при некотором значении постоянной С, то она определяет параметри-
параметрическое решение B). Таким образом, формула D), где С — произвольная
постоянная, если задает гладкую кривую при некотором С, то при ка-
каждом таком значении С определяет некоторое параметрическое решение
уравнения B) и содержит все параметрические решения уравнения B).
Если необходимо найти интегральную кривую B), проходящую через
точку {хо,уо), где хо € (а,/3), Уо € G.^). то однозначно такая кривая в
силу D) задается формулой
хо уо
Уравнение вида
P\(x)qi{y)dx + p2(x)q2(y)dy - 0, E)

20 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
где pi(x) и рг(х)—заданные непрерывные функции а: 6 (<*,/?), a q\(y) и
92(у) —заданные непрерывные функции у €. (у,<5), называют уравнением
с разделяющимися переменными. Здесь, как и для уравнения B), пред-
предполагаем, что область G не содержит особых точек уравнения E).
В случае, когда найдегся такое хо € (а,/3), что pt(xo) = 0, провер-
проверкой убеждаемся, что х — xq является решением E). Аналогично, если
9i (уо) = 0 для некоторого у0 € G,Р), то у = уо — решение E). Если же
9iB/i) /0 " P2(ei) Ф 0, то r некоторой окрестности {x\tyi) 6 G, как не-
нетрудно проверить, уравнение E) эквивалентно (т.е. у них одно и то же
множество решений) уравнению с разделенными переменными
Рг\х) Я\{У)
Из формулы D) тогда получаем формулу решений уравнения E) в рас-
рассматриваемой окрестности (an,i/i) 6 G
F)
где С — произвольная постоянная, а знаком интеграла обозначается фик-
фиксированная первообразная.
Далее, если интегральные кривые F) касаются прямой х — Жц или
прямой у = уо, то путем «склеивания» частей кривых F) и частей пря-
прямых х = хо, у — уо в точках касания, получаем множество новых, так
называемых составных решений уравнения E). Приведем пример.
Пример 1. Решить уравнение у1 = Ъ\/у*.
Д Заменив г/ отношением дифференциалов, заданное уравнение пе-
перепишем в симметричной форме
dy = 3 s/y*dx.
Проверкой убеждаемся, что у = 0—решение уравнения. Предпола-
Предполагая теперь, что у ф О, разделим обе части уравнения на 3^/у^. В
результате получаем уравнение с разделенными переменными
Отсюда находим, что -%/у — х+С или у = (х+СK, где С —произволь-
—произвольная постоянная. Нетрудно проверить, что в точках (—С, 0) кривые
у — (х + СK касаются прямой у = 0. В силу этого наше уравнение,
кроме решений у — 0, у = (х + СK, имеет бесконечное множество
составных решений, составленных из частей ранее полученных ре-
решений. Например, (см. рис. 4) это решения ABH, DBE, FGBE
и т.д.

§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
21
Уравнение вида у' — f(ax + by + с), где /(г)—заданная непрерывная
функция на некотором промежутке, а, Ь, с — заданные числа, а2 + б2 > О,
заменой z = ах + by + с приводится к уравнению с разделяющимися пе-
переменными г' = а + bf(z).
Пример 2. Решить задачу Коши: у' = у/Лх + 2у - 1, у@) = 1.
Д После замены z = 4х + 2у — 1 уравнение примет вид
z1 = 4 + 2-Д.
Его интегрирование дает
где С — произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной у, по-
получим формулу всех решений исходного уравнения
2у - 1 - 21пB + у/Ах + 2у- 1).
Из начального условия находим, что С — 1 — 21пЗ. Следовательно,
решение задачи Коши задается формулой
-1 -21пB+
2. Однородные уравнения первого порядка
Уравнение A) будем называть однородным уравнением первого порядка,
если его можно при х
О записать в виде
G)
где /(г)—заданная непрерывная функция z на некотором промежутке.
Уравнение G) заменой у — хи, где и = и(х) — новая неизвестная функ-
функция, сводится к эквивалентному уравнению
хи' + и = }{и).
(8)

22 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
При решении уравнения (8) нужно различать три случая: а) /(и) -ф и,
б) /(и) = и, в) /(и*) = щ для некоторых точек щ. Уравнение (8) экви-
эквивалентно уравнению с разделенными переменными вида
du _ dx
f(u) —и х
в случае а) и уравнению хи' = О в случае б). В случае в) проверкой
можно убедиться, что и(ж) =и* — решения (8).
Получив все решения уравнения (8), обратной заменой находим все
решения уравнения G). При этом возможны и составные решения. Они
появляются тогда, когда интегральные кривые G) касаются интеграль-
интегральных ПРЯМЫХ у =
Пример 3. При х > 0, х + у > О решить уравнение
ху> = ТТ7-
Д Уравнение можно записать в виде у' = Ду и, следовательно,
оно является однородным уравнением первого порядка. После заме-
замены у = хи получаем
хи' + и =
1 +и
Отсюда находим, что
, 1-й
хи = .
1 + и
Проверкой убеждаемся, что и = 1—решение этого уравнения. Если
же и ф 1, то уравнение эквивалентно уравнению
dx 1 + и ,
— = -du.
х 1-й
Решения последнего задаются формулой
где С — произвольная постоянная. Обратная замена дает все реше-
решения заданного уравнения
Пусть теперь задано уравнение вида
_
У -
где f(z) — непрерывная функция на некотором промежутке, а заданные
числа oi, bi, сь a-i, Ьг, с2 таковы, что |cii| + \Ь\\ > 0, |oj| + |6г| > 0.

§2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений 23
Рассмотрим на плоскости следующие две прямые: aix + Ь\у + с\ = О,
п2Х + 1>2У + С2 = 0. Если прямые имеют точку пересечения (хо>2/о)> то
замена х = ( + xq, у = rj + уо приводит (9) к однородному уравнению
Если же эти прямые параллельны, то найдется такое число к ф 0, что
п2Х + &2У = к{а\х + Ь\у). Следовательно, уравнение (9) принимает вид
и заменой z = a\x-\-b\y приводится к уравнению с разделяющимися пе-
переменными.
Пример 4. Решить уравнение
(у + 2)dx = Bx + y- 4)dy.
Д Прямые у + 2 = 0 и 2х + у — 4 = 0 пересекаются в точке C, —2).
После замены х = ( + 3, у = т] — 2 получаем уравнение
Проверкой убеждаемся, что г\ = 0 — решение этого уравнения. При
т\ ф 0 это уравнение является однородным. Ищем его решение в
виде С, — т\ • и, где и — u{rj) — новая неизвестная функция. После
упрощений находим, что
¦qdu = (и + l)dr].
Легко видеть, что и — —1 —решение. При т\ ф 0, и Ф — 1 находим
остальные решения последнего уравнения
где Ci — произвольная положительная постоянная. Избавившись от
логарифмов и положив с = Ci sign [77A» + 1)], последнюю формулу
можно записать в виде
и + 1 = О7, с Ф 0.
Но при с = 0 получаем решение и = — 1, поэтому можно считать в
полученном равенстве с любым числом.
Из проведенных выкладок получаем, что все решения заданного
уравнения задаются формулами
у = -2, х + у~1=с{у + 2J. А
В некоторых случаях уравнение A) можно привести к однородному
уравнению первого порядка с помощью замены у = zm. Приведем при-
пример.

24 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Пример 5. Решить уравнение ydx + хBху + l)dy = 0.
Д Ясно, что у = 0 и х = 0 — решения уравнения. Пусть далее ху Ф 0.
Сделаем в уравнении замену у = zm. Имеем
zmdx + xBxzm + \)mzm-ldz = 0.
Это уравнение будет однородным лишь при т = 2т + 1, т.е. при
т = — 1. В этом случае уравнение примет вид
dx-X-
Z
Замена х — uz приводит это уравнение к виду
zdu = 2u2dz,
решения которого задаются формулой (С — произвольная постоян-
постоянная)
и
Отсюда для исходного уравнения получаем множество решений
х = 0, у = 0, Ыу2 = С. А
ху
3. Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
у' + а(х)у = f(x), A0)
где а(х) и /(х)—заданные непрерывные функции на некотором (а,0),
называется линейным уравнением первого порядка. Уравнение A0) явля-
является линейным относительно неизвестной функции у(х) и ее производной
у'{х). Например, уравнение у ¦ у1 — 1 не является линейным уравнением.
Если в уравнении A0) правая часть f(x) ^0 на {<*>$), то уравнение
A0) называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.
Если же }{х) = 0 на (а,/?), то уравнение A0) называется линейным
однородным уравнением первого порядка.
Линейное однородное уравнение первого порядка
у' + а(х)у = 0 A1)
легко интегрируется. Заметим, что у — 0 является решением уравнения
A1). Если у ф 0, то уравнение A1) эквивалентно уравнению
^ = -a(x)dx.

§ 2. Методы решения гтростейших дифференциальных уравнений 25
Это уравнение является уравнением с разделенными переменными и, сле-
следовательно, его решения определяются формулой
10
где xq,x € (а,0), а произвольная постоянная взята в виде lnCi (C\ —
произвольная положительная постоянная) с целью упрощения формулы
решения.
X
Если положить А{х) — / а(С)^С> С = C\s\gay и считать, что С мо-
Хо
жет обращаться в нуль, то все решения уравнения A1) записываются
формулой
у = Се-АЫ, A2)
где С — произвольная постоянная.
Для решения линейного неоднородного уравнения A0) применим так
называемый метод вариации постоянной (метод Лагранжа). В уравнении
A0) сделаем замену
у = с(х)е-«'\ A3)
где с(х) — новая неизвестная непрерывно дифференцируемая функция на
(а,/?). Подстановка A3) в уравнение A0) определяет функцию с(х). Име-
Имеем
с'{х)е-АЮ + с(х)е-АМ [-а(х)\ + а(х)с(х)е~А{х) = f(x),
X
с'(х) = eA^f(x), ф) = JeA^f(v)drj + ?>,
Хо
где xq,x € (а,Р) и D — произвольная постоянная.
Подставляя с[х) в A3), получаем формулу решений уравнения A0)
при всех х € (а,/?):
у(х) = De~A^ + е~АЫ Г e^fWdr), A4)
Хо
где D — произвольная постоянная. Из этой формулы находим, что реше-
решением уравнения A0), удовлетворяющим начальному условию
У(*о) = 2/0, A5)
где 2/о — любое заданное число, является
X
у(х) = уое"дA) +е~А^ f
хо

26 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Непосредственная проверка показывает, что эта функция является
единственным решением задачи Кошя A0), A5). Так как Хо — произволь-
произвольная фиксированная точка (а,/?), то полученный результат означает, что
формула A4) содержит в себе решения всех возможных задач Коши для
уравнения A0). Это обстоятельство обосновывает следующее определение.
Определение. Функция вида A4) называется общим решением уравне-
уравнения A0), а функция
у = De~A(-x)
называется общим решением уравнения A1).
Если обозначить через у(х) второе слагаемое формулы A4), то непо-
непосредственно проверяется, что у(х) является частным решением уравнения
A0), удовлетворяющим начальному условию у(хо) = 0.
Как видно из формулы A4), общее решение уравнения A0) предста-
представляет собой сумму общего решения уравнения A1) и частного решения
уравнения A0). Таким образом, структура общего решения линейного
неоднородного уравнения A0) аналогична структуре общего решения ли-
линейных алгебраических систем уравнений. Как будет видно в дальней-
дальнейшем, подобная структура общего решения имеет место для линейных
дифференциальных уравнений высшего порядка и для линейных систем
дифференциальных уравнений.
Замечание. Если найдено какое-либо другое решение уо(х) уравнения
A0), отличное от у{х), то функция
где D — произвольная постоянная, также называется общим решением
A0), так как она удовлетворяет определению общего решения A0).
Пример 6. Решить уравнение
. I
х
z
У-
и найти решение задачи Коши при у@) = 0.
' Д Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнения
Заметим, что у = 0—его решение. Пусть у ф 0. Заменяя в уравнении
¦t/ отношением ^ и разделяя переменные, получаем
dy __ xdx
~у ~~1+х2'

§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений 27
Отсюда находим, что
2
где С\ — произвольная положительная постоянная. Избавляясь от ло-
логарифмов и полагая С — Cisigny, приходим к общему решению ли-
линейного однородного уравнения
С
У ~ г,—:—т>
С — произвольная постоянная.
Для решения исходного уравнения применим метод вариации по-
постоянной. Положив у = fW; и подставив у в исходное уравнение,
найдем уравнение для с(х): с'(х) = х. Найдя отсюда с(х), получаем
общее решение заданного уравнения
У =
где D — произвольная постоянная. При j/@) = 0 из этой формулы
получаем D = 0. Значит, у = .^ ц — решение задачи Коши. А
Пример 7. Решить уравнение
(х - 2ху - y2)dy + y2dx = 0.
А Заметим, что у = 0 является решением. Пусть теперь у ф 0. Тогда
уравнение можно записать в виде
Это уравнение является линейным неоднородным относительно пе-
переменной х — х(у). Решаем линейное однородное уравнение
, 1 — 2у
х' + х^-х = 0.
У2
Его решением будет х — Су2е*, где С — произвольная постоянная.
Ищем решение линейного неоднородного уравнения в виде х —
c{y)y2ei. После подстановки этой функции в уравнение получаем,
что d[у) = -^е"*, откуда находим с(у) = e~v + D, где D — произ-
произвольная постоянная.
Таким образом, все решения исходного уравнения имеют вид
у = 0, х = Dy2e* + у2,
где D — произвольная постоянная. А

28 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнении
4. Уравнение Бернулли
Так называют нелинейное уравнение первого порядка вида
j/ + а(х)у = Ъ{х)ут,
где а(х) и Ь(х) — заданные непрерывные функции на {а,0), а т — неко-
некоторое число, отличное от нуля и единицы. Заметим, что у = 0 — решение
уравнения Бернулли при т > 0. Если у ф 0, то, разделив уравнение на
ут и вводя новую неизвестную функцию z = у1-т, относительно функ-
функции z получаем линейное уравнение
г' + A - тп)а(а-)г = A - т)Ь{х).
Пример 8. Решить уравнение (х6—y4)<iy = 3x5ydx и найти интегральную
кривую уравнения, проходящую через точку A,1).
Д Заметим сначала, что у — 0 является решением, а х = 0 решением
не является. При у ф 0 уравнение можно записать в виде
dx _ х у3
т.е. уравнение является уравнением Бернулли относительно х. Сде-
Сделав в этом уравнении замену z — х6, получаем для z линейное
уравнение
Линейное однородное уравнение z' = Щ имеет общее решение
z = Су2. Частное решение линейного неоднородного уравнения ищем
в виде zo(y) — Ауа. Подстановка zo(y) в уравнение дает А = —1,
о; — 4. Тогда (см. замечание перед примером 6) общее решение ли-
линейного неоднородного уравнения имеет вид
z = Cy*-y\
Следовательно, формулы у — 0, х6 — Су2 — ул, где С — произвольная
постоянная, задают все решения исходного уравнения.
Подставляя во вторую формулу х = у = 1, получаем С — 2. По-
Поэтому интегральная кривая, проходящая через точку A,1), задается
формулой
х6 = 2у2-у4. А
5. Об уравнениях Риккати
Уравнением Риккати называется нелинейное уравнение первого порядка
вида
у' = а(х)у2 + Ь(х)у + с(х),

§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений 29
где а(х), Ь(х), с(х) —¦ заданные непрерывные функция на (а,/3). В от-
личие от ранее рассмотренных в этом параграфе уравнений, уравнение
Риккати разрешимо в квадратурах лишь в исключительных случаях. На-
Например, как показал Лиувилль в 1841 году, специальное уравнение Рик-
Риккати
у' = Ау2 + Вха,
где А ^ О, В/О, а — заданные числа, разрешимо в квадратурах лишь
в том случае, когда 2?+4 ~~ и-елое число. Однако, если известно какое-
либо решение уо(^) уравнения Риккати, то замена неизвестной функции
у(х) = z(x) + уо{х) для z(x) уже дает уравнение Бернулли вида
г' = [2а(х)уо(х) + Ь(х)] z + a(x)z2,
которое разрешимо в квадратурах. Следовательно, в этом случае и урав-
уравнение Риккати разрешимо в квадратурах.
Пример 9. Решить уравнение Риккати
Д Подстановкой в уравнение убеждаемся в том, что уо(х) = ех —
решение уравнения. Тогда замена у = z + ex приводит к уравнению
z' = z2, которое имеет решения z = 0, z — —(as Ч- С), где С —
произвольная постоянная. Итак, (С — произвольная постоянная) все
решения исходного уравнения: у = ех, у = — (х + С) + ех. А
6. Уравнения в полных дифференциалах
Рассмотрим уравнение первого порядка в симметричной форме
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, A6)
где Р(х,у), Q{x,y), щ и Щ — непрерывны в некоторой области G плос-
плоскости Щхи) и область G не содержит особых точек уравнения A6).
Определение. Уравнение A6) называется уравнением в полных диф-
дифференциалах, если существует такая непрерывно дифференцируемая
функция и(х, у) в области G, что du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy в об-
области G.
Пусть уравнение A6) является уравнением в полных дифференциа-
дифференциалах. Если х = ?>(*), У = i>{t), t € X, задают некоторое параметрическое
решение A6), то
du[<p(t),i>(t)] = P[<p(t),if>(t)]d<p(t) + Q[<p(t),tl>(t)]dip(t) =0 для всех teX.
Значит, u[<p(t),ip(t)] = С для всех t € X. Очевидно, что и наоборот, если
"[^@>^(*)] = С для всех t е X, то функции х = ip(t), у = ф({), t € I,
задают параметрическое решение A6).

30 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Итак, уравнение и{х,у)—С, где С — произвольная постоянная, содер-
содержит все решения уравнения в полных дифференциалах. Интегральная
кривая уравнения в полных дифференциалах, проходящая через точ-
точку (хо,Уо), единственным образом определяется уравнением и(х,у) =
и(хо,уо)-
Возникает вопрос: как по коэффициентам Р{х,у) и Q(x,y) установить,
что уравнение A6) является уравнением в полных дифференциалах. Если
функция и(х, у) — дважды непрерывно дифференцируема в G, то необхо-
необходимое условие для Р и Q установить просто. Действительно, если A6) —
уравнение в полных дифференциалах, то
Л..,).*?Й, «,,„-*^Й A7)
в области G. Тогда Щ = J^ и Щ = щ>%.- Отсюда получаем необходи-
необходимое условие для Р и Q:
°Q?vl*,y)eG. A8)
Если область G — односвязна, то в анализе доказывается, что усло-
условие A8) является и достаточным. Функция и(х,у) находится из системы
уравнений A7).
Отметим, что односвязность области G геометрически означает от-
отсутствие дыр в области G. Плоскость, круг, прямоугольник являются
односвязными областями, а круговое кольцо дает пример неодносвязной
области.
Замечание. Тот факт, что уравнение A6) является уравнением в пол-
полных дифференциалах, означает, что векторное поле {P(x,y),Q(x,y)}
является потенциальным в области G, а функция и(х, у) служит по-
потенциалом поля. Функцию и(х,у) называют также потенциалом уравне-
уравнения A6).
Пример 10. Решить уравнение
2xy3dx + 3(жУ + У2 ~ Wy = 0.
А Здесь Р{х,у) = 2ху3, Q(x,y) = 3(х2у2+у2~1) —непрерывно диффе-
дифференцируемые функции на всей плоскости Л2(х,у), являющейся од-
носвязной областью. Следовательно, можно воспользоваться услови-
условием A8). Имеем
дР , 2 dQ
— = fay* = -?*..
оу ох

§ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений 31
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах и поэто-
поэтому его потенциал и(х,у) можно найти из переопределенной системы
уравнений
ди _. о ди ,оо •> . %
-=2хУ\ _=3(,V+y2-l).
Из первого уравнения находим, что
и(х,у) = xV + <р{у),
где <р(у) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция на
оси у. Ее находим подстановкой найденного выражения для и(х,у)
во второе уравнение. Имеем
Зх2у2 + v'(y) = 3(хУ + у2 - 1), iff {у) = 3(у2 - 1),
<р(у) = у3 - Зу - с.
Значит, все решения исходного уравнения определяются формулой
*У + У3 - Зу = С,
где С — произвольная постоянная. А
7. Интегрирующий множитель. Замена переменных
В предыдущем п. 6 было установлено, что всякое уравнение в полных
дифференциалах интегрируемо в квадратурах. Возникает естественный
вопрос: нельзя ли произвольное уравнение в симметричной форме A6)
свести к уравнению в полных дифференциалах путем домножения его
на некоторую функцию /и(х,у).
Пусть задано уравнение A6), для которого в области G
¦ЭР 5Q
ду * дх'
Определение. Непрерывно дифференцируемая в области G функция
/л(х,у)^О называется интегрирующим множителем уравнения A6), если
уравнение
ф,у) [P{x,y)dx + Q(x,y)dy] = О
является в области G уравнением в полных дифференциалах.
Если интегрирующий множитель ц(х,у) существует для уравнения
A6), то он в силу A8) должен удовлетворять соотношению
ду дх

32 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Это равенство дает уравнение в частных производных первого порядка
для ц(х,у):
?-'?-(?-?)*¦
интегрирование которого в общем случае отнюдь не проще, чем инте-
интегрирование уравнения A6). Однако нас интересует лишь какое-либо одно
его решение, которое на практике может найтись из-за каких-нибудь осо-
особенностей коэффициентов Р и Q. Например, ищут только р = ц(х) или
М = м(у) и тп- Тогда уравнение A9) для р(х,у) значительно упрощается.
Пример 11. Решить уравнение 2(х — yA)dy — ydx.
Д Здесь Р = у, Q = 2(у4 - х), §^ = 1 ф §? = -2. Заметим, что
у — 0 — решение. Пусть далее у фО. Найдем интегрирующий множи-
множитель вида р = ц{у). Из уравнения A9) имеем — у^& = Зр. Решением
этого уравнения служит, например, функция ц = \. После умноже-
умножения исходного уравнения на -^ получаем уравнение в полных диф-
дифференциалах
^dx + 2(y-^
У2 V У3
Отсюда || = -т> Щ = ^(у—'р)- Следовательно, из первого урав-
уравнения и(х,у) — -% + <р{у). Подставляя и(х,у) во второе уравнение,
получим, что <р(у) — у2 — С Итак, все решения заданного уравнения
задаются формулами
где С — произвольная постоянная. А
Другой метод решения произвольных уравнений A6) основан на по-
подыскании такой замены переменных х, у, которая приводит уравнение
A6) к эквивалентному одному из уже изученных в пп. 1-6 типов урав-
уравнений, интегрируемых в квадратурах. Для нахождения нужной замены
переменных часто используется метод выделения полных дифференциа-
дифференциалов. Приведем примеры.
Пример 12. Решить уравнение
уBуdx - xdy) + x2(ydx + 2xdy) - 0.
Д Нетрудно проверить, что точка @,0) — особая точка уравнения и
что полуоси оси Оу и полуоси оси Ох являются решениями урав-

jj 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений 33
нения. Пусть далее ху ф 0. Разделив уравнение на ху2, получаем
эквивалентное уравнение
2dx dy x2 fdx 2dy\
x у у \x у )
которое можно записать так:
Сделаем замену переменных
Тогда при у > 0 получаем уравнение du + eudv = 0, а при у < 0 —
уравнение du — eudv = 0. Из первого уравнения находим v — e~u — С,
а из второго уравнения получим v + е~и = С, где С — произвольная
постоянная. Отсюда при у > 0 имеем формулу решений исходного
уравнения вида In (|x|j/2) — ^j = С, а при у < 0 — формулу решений
вида In (\х\у2) + $ = С. к
Пример 13. Решить уравнение
х{х2 + y2)dy + y(ydx -xdy) = 0.
Л Как и в предыдущем примере, для этого уравнения @,0) — особая
точка, и все полуоси осей Ох и Оу являются решениями. Пусть
теперь ху ф 0. Уравнение запишем так:
Разделив уравнение на у3 и положив и = *, получаем уравнение
(u3 + u)dy + du = 0.
Отсюда
что дает у + In ,| ; = С, где С — произвольная постоянная. Значит,
формула
^/х^+у*
дает решения исходного уравнения. А
Как уже следует из § 2 и как будет видно в дальнейшем, замена
переменных играет важную роль при решении различных типов диффе-
дифференциальных уравнений и при изучении свойств решений дифференци-
дифференциальных уравнений.
2 2769

34 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
§ 3. Уравнения первого порядка,
не разрешенные относительно производной.
Метод введения параметра и задача Коти
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, не разре-
разрешенного относительно производной, следующий:
F(x,y,y') = 0. A)
Здесь: F{x,у,р) —заданная непрерывная функция в некоторой непустой
области G евклидова пространства RfSyP) c декартовыми прямоугольны-
прямоугольными координатами х, у, р; х — аргумент; у — у(х) — неизвестная функция.
Определение. Вектор-функция х = <p(t), у = ip{t), где t принадлежит
промежутку I оси R} и <p{t), il>(t) — непрерывно дифференцируемые на
X, причем <p'(t) ф О, V? 6 X, называется параметрическим решением урав-
уравнения A), если при подстановке х — <p(t), у = Tp{t) в уравнение A) по-
получаем тождество
[ ^jj] = о, Viel.
Из этого определения при х — t следует определение явного решения
у = ip(x), х € I, уравнения A). Таким образом, понятие параметрическо-
параметрического решения A) расширяет понятие явного решения A), так как параме-
параметрическое решение в окрестности каждой точки to 6 X допускает явное
представление у = w(x), но для всех ? € X такого явного представления
у — ги(х) параметрическое решение A) может и не иметь.
Интегральной кривой уравнения A) называется кривая на плоскости
ЩХу), описываемая точкой (<p(t),^(t)), когда t пробегает промежуток
X. Из определения параметрического решения следует, что интегральная
кривая A) является гладкой кривой.
Для решения уравнения A) можно попытаться разрешить A) отно-
относительно у'. В случае удачи получается одно или несколько уравнений
вида у' = f(x,y), к которым следует применить методы решепия, изло-
изложенные в § 2.
Пример 1. Решить уравнение у12 - Bх + у)у' + 2ху — 0.
Д Решая заданное уравнение как квадратное уравнение относитель-
относительно у', находим, что
у' = у, у' = 2х.
Первое уравнение имеет решения у = С\вх, а второе уравнение — ре-
решения у = х2 + С%, где С\ и Сч — произвольные постоянные. Каждая
из найденных функций является решением исходного уравнения. Од-
Однако эти функции не исчерпывают всего множества решений задан-

§ 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 35
ного уравнения. Возможны еще и так называемые составные реше-
решения, получаемые «склейкой» найденных функций в тех точках, где
совпадают значения функций и их производных. Легко проверить,
что, например, функция
У =
также является решением (составным) исходного уравнения. И это
не единственное составное решение заданного уравнения. А
В общем случае для решения уравнения A) применяется так назы-
называемый метод введения параметра, который позволяет свести решение
уравнения A) к решению некоторого уравнения первого порядка в сим-
симметричной форме. А для таких уравнений уже можно пытаться приме-
применить ранее изученные методы решения.
Положим у' = р и рассмотрим смешанную систему уравнений
\dy=pdx. B)
Покажем, что уравнение A) эквивалентно системе B), т.е. каждое ре-
решение уравнения A) определяет решение системы B) и наоборот. Дей-
Действительно, если х = sp(t), у = ф{Ь), t € X, является параметрическим
решением A), то р = p(t) = $'{t) [<f?{t))~l =y'x(t). Отсюда dy(t) = p{t)dx(t)
и F[(p(t), rp(t)p(t)] =0 на I, т.е. функции <p{t), ip(t), p{t) удовлетворяют
системе B) при всех t€X. Обратно, если <p{t)> ф{1), p(t) удовлетворяют
при I €1 системе B), то х = (p{t), у — ф(Ь) при t € X определяют пара-
параметрическое решение A), так как из второго уравнения B) находим, что
p(t) = ^М, а из первого уравнения B) следует, что F \<р(г),фЦ), ^Щ\ = 0
на X. Итак, уравнение A) эквивалентно системе B).
Дальнейшие выкладки будем проводить при следующем условии.
Предположение. Уравнение F(x,y,p) — 0 определяет в Щхур\ такую
гладкую поверхность S, для которой известно также и параметрическое
представление. Это значит, что существуют такие непрерывно диффе-
дифференцируемые функции х = <р(и,v), у — rp{u,v), p = *e(u,v), в некоторой
области A плоскости с декартовыми прямоугольными координатами u,v,
для которых положительна сумма квадратов якобианов:
i2 г т~./ >"i2 гп/ \т2
Р(х,УЦ2 р(у,р)]2 \Р(р,х)]\
D(u,v)\ +[D(u,v\ +[D(u,v)\
и F[ip(u,v), ip(u,v), x(u,v)] = 0 для- всех (u,v) € П.
При таком предположении перейдем в системе B) от переменных
х, у,р к переменным и, v по заданным формулам. Первое уравнение B)

36 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
удовлетворяется тождественно в области п. Второе уравнение B) дает
уравнение вида
дф дф . . \д<р dip 1
—аи -\ аи = х[и, v) —du 4- -?—dv
ди ov [ди ov J
ИЛИ
дф dtp , дф dip , . .„.
ди ди\ [ov dvj
Переход от уравнения A) к уравнению C) называется общим ме-
методом введения параметров. Получилось уравнение первого порядка в
симметричной форме, некоторые методы решения которого изложены в
предыдущем параграфе. Если, например, множество решений уравнения
C) задается формулой v = g(u,С), где С — произвольная постоянная, то
функции х = <р[и,д(и,С)], у - ф[и,д(и,С)}, р - х. [и,д{и,С)] удовлетворя-
удовлетворяют системе B). Следовательно, в силу эквивалентности уравнения A) и
системы B), функции х — tp[u,g(u,С)), у = ф [и,д(и, С)] задают параме-
параметрические решения уравнения A).
Наиболее важными для практики случаями являются те случаи урав-
уравнения A), когда его можно разрешить относительно у или относительно
х. Если у = f(x, у') — решение уравнения A) относительно у, то в каче-
качестве параметров u,v берем и — х, v = p и система B) тогда примет вид
' = /(*'*>)' D)
[dy =pdx.
Уравнение C) в этом случае имеет такой вид
_ i J Л л /СП
Если р = и>(х,С), где С — произвольная постоянная, задает решения урав-
уравнения E), то у = f [х,ш(х,С)] — решения уравнения у = f(x,y').
Аналогично, если х = д(у, у') — решение уравнения A) относительно
х, то в качестве параметров u, v берем и — у, v = р. В этом случае
система B) принимает вид
\х = д{у,р),
dy = pdx,
а уравнение C) выглядит так:
)| F)
Если р — ш{у, С), где С — произвольная постоянная, решения уравнения
F), то формула х = д [у,ш(у,С)] задает решения уравнения х — д(у,у').
Переход от уравнения у = f{x,y') к уравнению E) и переход от урав-
уравнения х = д(у,у') к уравнению F) называется методом введения пара-
параметра.

§3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 37
Замечание. Типичной ошибкой при решении уравнения у — f(x,y')
является переход от функции р = ш(-х, С) к уравнению у1 = ы(х,С) и
затем к его решению у = fw{x>C)dx + C\. Эта функция в общем случае
не удовлетворяет первому уравнению системы D). Аналогичная ошибка
делается и при решении уравнения х — д{у,у'), если заменить р = и>(у,С)
на у' = ш(у, С) и затем интегрировать это уравнение.
Метод введения параметра в общем случае приводит к уравнениям
C), не интегрируемым в квадратурах. Сейчас приведем пример урав-
уравнения A), для которого метод введения параметра всегда приводит к
уравнению C), интегрируемому в квадратурах.
Пример 2 (уравнение Лагранжа). у = а(у')х + Ь(у'), где а(р) и Ь(р) —
заданные непрерывно дифференцируемые функции для всех р € Rp
с декартовой координатой р.
Д Положив у' = р, от уравнения Лагранжа перейдем к эквивалент-
эквивалентной системе
=pdx.
Найдя dy из первого уравнения системы и подставив его во второе
уравнение, получаем уравнение
х ¦ a'{p)dp + a(p)dx + b'(p)dp = pdx
или
[a'(p)x + b'(p))dp = \p-a(p)]dx. G)
Если ар Ф р для Vpe й", то отсюда получаем линейное уравнение
первого порядка относительно х
dx _ а'(р) х [ Ь'(р)
dp р- а(р) р - а{р)'
которое всегда интегрируется в квадратурах.
Если Эро 6 Ri, что ро = а(ро), то р = ро— решение уравнения G)
и, значит, у = а(ро)х + Ь(ро) —решение уравнения Лагранжа. Если же
а(р) = р, то исходное уравнение принимает вид у = ху' + Ь(у')- Оно
называется уравнением Клеро. Уравнение G) в этом случае записы-
записывается так:
[x + b'(p))dp = 0.
Отсюда либо dp = 0, либо х = —Ъ'(р). Если dp = 0, то р — С и
решением уравнения Клеро будет у = Сх + Ь{С). При х = —Ь'(р)
равенства х = -б'Ср), у — -pb'(p) + Ь{р) определяют параметриче-
параметрическое решение уравнения Клеро, если потребовать, чтобы функция
Ь{р) была дважды непрерывно дифференцируемой Vp e Я*. Это вид-
видно из подстановки параметрического решения в уравнение Клеро. В

38 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
случае 6JJ = 0 имеем 6(р) = ар + /?, где а и /3 — постоянные. Тогда
уравнение Клеро принимает вид у = (х + а)у' + /3. Решениями этого
уравнения служат невертикальные лучи с началом в особой точке
(—а,р) уравнения, для которых у — /3 = С{х + а), где С —произволь-
—произвольная постоянная. А
Замечание. При решении уравнений A), как уже указывалось, возмож-
возможно появление составных решений. При решении конкретных примеров
они не всегда явно выписываются.
Пример 3. Решить уравнение у'Dх — у') = 4Bу — х2).
Д Разрешив уравнение относительно у, перейдем к эквивалентной
системе, положив у' = р:
Найдя из первого уравнения dy и подставив его во второе уравнение
системы, после упрощений получаем
2{2х - p){2dx + dp) =0.
Если р = 2х, то из первого уравнения системы находим решение
исходного уравнения у — х2. Если же 2dx + dp = 0, то р = С — 2х
и подстановка этого р в первое уравнение системы дает множество
решений у — Сх — х2 — ^-, где С — произвольная постоянная. Кроме
указанного множества решений, возможны и составные решения. А
Пример 4. Решить уравнение ху' = 1 + еу ¦ у'2.
Д Заметим, что у' ф 0, т. к. у' = 0 не дает решений. Тогда уравнение
можно разделить на у':
у> У-
Вводя параметр р — у', перейдем к системе
~ v "'
dy = pdx.
Найдем dx из первого уравнения системы и подставим его во второе
уравнение. Получим уравнение
dy = Р I —odp + eydp + pevdy
\ Р2
или
(pV-l)(p<fy

§ 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 39
Если р2еу = 1, то р = ±е~2 и из первого уравнения системы находим
решение исходного уравнения х = ±2ег. Если же pdy + dp = 0, то
р = Се~у и подстановка в первое уравнение системы дает множество
решений исходного уравнения х = ^еу + С, где С Ф 0 — произвольная
постоянная. А
Пример 5. Решить уравнение у*3 + х3 = ху'.
Д Параметризуем цилиндрическую поверхность р3 + ж3 = zp, поло-
положив р = iw. После подстановки в уравнение поверхности получаем
х ~ Т+п*> Р ~ Т+п*• Таким образом, имеем следующую параметри-
параметризацию цилиндрической поверхности: х = yq^r, У — v, p = fz^j- Эта
параметризация гладкая, например, при и < — 1. Из dv = ay = pdx
находим, что
2
Следовательно, отсюда
где С — произвольная постоянная. Значит, при и < — 1 функции
* = Т+7Ь У = С - а^+цз^ + ЗсгЬ3) задают параметрические реше-
решения исходного уравнения. А
Как известно, для уравнения у' — f{x,y) начальное условие задается
в виде у(хо) — уо. При определенных условиях на f{x,y), xq, yo, как
указывалось в § 1, можно гарантировать, во всяком случае, локально, т.е.
в некоторой окрестности точки (хо,Уо)> существование и единственность
решения задачи Коши.
Но даже для простейших уравнений A) начальное условие у(хо) = уо,
как видно на примерах, не выделяет в общем случае единственное ре-
решение. Если взять, например, уравнение у12 = у2, то у' = ±у и, значит,
решениями у'2 = у2 будут и функции у — С\ех, и функции у = С^е~х, где
С\ и Сг — произвольные постоянные. Начальное условие у(хо) = j/o выде-
выделяет два решения у = уоех~х°, у = уое~(х~х°\ т.е. не обладает свойством
единственности. Начального условия вида у(хо) = Уо недостаточно для
получения определенного решения. Если в этом примере кроме у(хо) = уо
задать еще либо у'(хо) = у0, либо у'(хо) = -уо> тогда начальное условие
вида у(хо) = у'(хо) = уо выделяет единственное решение у = уоех~х°,
а начальное условие вида у{хо) = —у'{хо) = уо выделяет единственное
решение у = уоех°~х. Всякое же другое задание ^'(^о) Ф ±Уо не дает су-
существования решения при таких условиях, поскольку в силу уравнения
уа{х) — у2(х) для всякой точки х.
Аналогичным образом задаются начальные условия и для общих
уравнений A). Берется тройка чисел (хо,уо,Ро) С G, для которой

40 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
F(xu,x/o,Po) = 0. Начальными условиями для уравнения A) называют-
называются условия
У(хо) = г/о, у'(х0) = ро- (8)
Задачей Коши для уравнения A) называют задачу нахождения ре-
решения уравнения A), удовлетворяющего начальным условиям (8). Таким
образом, постановка задачи Коши для A) требует согласования с урав-
уравнением A) начальных данных хо, Уо> Ро-
Достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши A), (8)
будут приведены в главе 4. Сейчас же ограничимся примером. Уравне-
Уравнение из примера 3 при начальных условиях у@) = —2, у'@) = 4 имеет
единственное решение у — — х2 + 4х — 2.
Начальные условия (8) для уравнения A) внешне одинаковы с началь-
начальными условиями для уравнений второго порядка (см. § 4). Но различие
в том, что в случае уравнения A) начальные данные хо, j/o, Ро связаны
условием F(xo,yo,ро) = 0.
Геометрический смысл задачи Коши для уравнения A) состоит в том,
что ищется интегральная кривая уравнения A), проходящая через точку
(жо,Уо) с заданным угловым коэффициентом касательной ро в этой точке.
Таким образом, в одной и той же точке (хо,Уо) возможно зада-
задание стольких различных начальных условий для уравнения A), сколь-
сколько различных действительных решений имеет уравнение F(xa-,yo>p) — О
относительно р. Если множество действительных решений уравнения
F{xo,yo,p) = 0 пустое, то в точке (xoij/o) нельзя задавать начальные
условия для A). Для уравнения у' = f{x,y) задание точки (то,уо) уже
сразу определяет значение у'(хо) = /(^o.j/o)-
Из приведенных рассуждений видно принципиальное отличие поста-
постановки задачи Коши для уравнения A) от постановки задачи Коши для
уравнения у' = f{x,y).
В заключепие отметим, что задача Коши A), (8) интерпретируется
как задача Коши для смешанной системы B) следующим образом. За-
Задана точка (io.J/OjPo) € S. Требуется найти интегральную кривую L си-
системы B), проходящую через точку (хо,уо>Ро) € S. Интегральная кривая
I уравнения A) является ортогональной проекцией параллельно оси р на
плоскость х,у интегральной кривой L системы B).
Замечание. Обобщением уравнения A) является уравнение первого по-
порядка в дифференциалах (или уравнение в симметричной форме) следу-
следующего вида
F(x,y,dx,dy) =0,
где F —заданная непрерывная функция своих аргументов.

§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка 41
§ 4. Дифференциальные уравнения
высшего порядка.
Общие понятия и методы решения
Общий вид дифференциального уравнения порядка п следующий
F(x,y,y'1...,yW)=0. A)
Здесь п — заданное натуральное число, х — аргумент, у — у(х) — неизвест-
неизвестная функция, F(i,у,у1,... ,уп) — заданная непрерывная функция в не-
некоторой непустой области Q (п + 2)-мерного евклидова пространства с
декартовыми прямоугольными координатами х,у,уь ... ,уп.
Итак, порядком уравнения A) называется порядок старшей производ-
производной в A). В дальнейшем будем считать п > 2, так как случай п = 1
уже был рассмотрен в предыдущих параграфах.
Определение. Функция у = <р(х), заданная на некотором промежутке
X оси Л^, называется решением A), если:
1) <р(х) имеет непрерывную <р(п>(х) на X,
2) при всех хеХ точка (ж, <p(x),tp'(x),... ,<р(пЦх)) лежит в области
П,
3) F[x,<p(x),tp'(x),... ,v(n)(a-)] = 0 для всех х е X.
График решения уравнения A) на плоскости Rfx % называется ин-
интегральной кривой уравнения A). Ясно, что интегральные кривые A)
лежат в проекции области П на плоскость Щх#у ^° аналогии со слу-
случаем п = 1 для уравнения A) можно ввести и более общее понятие
параметрического решения (см. § 3).
Более простым для изучения является уравнение порядка п, разре-
разрешенное относительно старшей производной. Оно имеет вид
B)
где f(x,y,yi,... ,yn-i) —заданная непрерывная функция в некоторой не-
непустой области G (п+ 1)-мерного евклидова пространства с декартовыми
прямоугольными координатами ж,у,у\,-.. ,уп-\- Уравнение B) называют
еще уравнением порядка п в нормальной форме. Заданию уравнения вто-
второго порядка можно придать определенный геометрический смысл. Если
у — <р{х), х € X, задает интегральную кривую уравнения у" = f{x,y,y'),
то в каждой точке хо € X определена кривизна интегральной кривой
К{хо) =

42 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Уравнение у" = f(x,y,y') в любой точке области G задает некоторое
значение у" и, значит, некоторое значение кривизны К = \f{x,y.ly')\ х
A + зЛ'2.
Отсюда ясно, что в каждой точке [х,у) из проекции области G на
плоскость Щху\ это уравнение задает связь между кривизной и углом
наклона искомых интегральных кривых уравнения. Кривая на плоскости
Щху) может быть интегральной кривой уравнения у" = /(ж, у, у') только
в том случае, когда в каждой ее точке кривизна кривой и угол наклона
кривой связаны указанной формулой.
Уже на простом примере уравнения B) можно убедиться, что множе-
множество его решений в общем случае зависит от п параметров.
Пример 1. Решить уравнение у^ — 1.
Д Последовательно интегрируя п раз, получаем формулу всех ре-
решений:
у = Сх + С2х + ¦ ¦ ¦ + Спх4'1 + ?-,
п!
где С\,... ,Сп — произвольные постоянные. А
Этот пример наводит на мысль, что и в общем случае уравнения
B) решение зависит от п параметров и что для выделения какого-либо
конкретного решения B) требуются дополнительные условия. Как и в
случае уравнений первого порядка у' = f{x,y) в качестве таких условий
чаще всего выступают начальные условия.
Как видно из примера уравнения второго порядка E) введения, на-
начальные условия для уравнений второго порядка представляют собой за-
заданные в одной и той же точке значения неизвестной функции и ее
производной. Для уравнения B) начальными условиями называют усло-
условия вида
уЫ=уо, у'Ы = уи--.,у{п-})Ы = уп-и C)
где (xo,yo,yi,--- ,yn-i) e G.
Числа хо, t/o, #!)••• il/n-i называют начальными данными.
Определение. Задача нахождения решения уравнения B), удовлетворя-
удовлетворяющего начальным условиям C), называется начальной задачей или за-
задачей Коши для уравнения B). Характерная особенность задачи Коши
состоит в том, что условия на искомое решение у = у(х) задаются в
одной и той же точке хо- В случае п = 2 задача Коши B), C) имеет
простой геометрический смысл. Требуется найти интегральную кривую
A), проходящую через точку (хо,уо) в заданном направлении с танген-
тангенсом угла наклона ее касательной, равным у\. С другой точки зрения,
как видно из формулы кривизны, задание при п = 2 начальных усло-
условий C) означает задание в точке хо кривизны и решение задачи Коши

§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка 43
B), C) в этом случае определяет интегральную кривую B) с заданной
кривизной в точке Xq.
В главе 4 будут установлены достаточные условия, гарантирующие су-
существование и единственность решения задачи Коши B), C). Сейчас же
будут рассмотрены некоторые типы уравнений A), для которых возмож-
возможна разрешимость в квадратурах, достигаемая либо при помощи специ-
специальных способов, либо при помощи предварительного понижения поряд-
порядка. Важным частным случаем уравнения A) является так называемое
линейное дифференциальное уравнение порядка п. Оно имеет вид
»<"> + ai{x)yln-V + ¦¦¦ + ап(х)у = /(*),
где ai(x),... ,пп(х), /(х) —заданные непрерывные функции на некотором
промежутке оси Ох. Однако теория линейных уравнений будет изложена
отдельно не здесь, а в последующих главах.
С целью упрощения выкладок рассмотрим только уравнения второго
порядка
F(x,y,y',y") = 0, D)
где Р{х,у,у\,уъ) —заданная непрерывная функция в некоторой непустой
области G евклидова пространства Я4 с декартовыми прямоугольными
координатами х,у,уг,у2-
Всякое уравнение вида
У" = fix),
где /(ж)— заданная непрерывная на (а,/?) функция, легко интегрируется
в квадратурах.
Действительно, интегрируя один раз это уравнение, находим, что
xo
где C\ — произвольная постоянная. После повторного интегрирования
имеем
X 1
у = I dr) f(C)d? + C\(x - xq) + (?2,
10 ХО
где С? — произвольная постоянная. Поменяв порядок интегрирования в
повторном интеграле, что возможно в силу непрерывности f(x) на (а, /3),
окончательно получаем формулу решений
X
г/ = У (* - ОЖК + с, (ж - ю) + с2.

44 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Методом математической индукции нетрудно показать, что все реше-
решения уравнения уМ = /(а:), где /(ж)—заданная непрерывная на {а,0)
функция, задаются формулой
Хо
где С\,...,Сп — произвольные постоянные.
Пусть теперь задано уравнение вида
E)
Это уравнение будем решать методом введения параметра аналогично
тому, как это делалось в предыдущем параграфе.
Предположим, что уравнение F(x,p) = О, где х,р — декартовы прямо-
прямоугольные координаты, задает кривую на плоскости Л? ч, для которой
известно ее параметрическое представление х = >p(t), p = i>(t), t € X, при-
причем <p'(t) и i>'(t) — непрерывны на промежутке X. ТЪгда уравнение E)
эквипалеггтно системе
tF(x,p)=0,
ydy' =pdx.
Первое уравнение системы удовлетворяется тождественно на промежутке
X. Подставив параметрическое представление кривой во второе уравнение
системы, получаем
dy' = фA) ¦ if/{t)dtt
откуда у' = fip(t)<p'(t)dt + С\ = x(t, C\). Из этого равенства
dy = y'dx = n{t, С,). ip'(t)dt,
откуда у = J -*(t, Ci)(p'{t)dt + Сг = w(t, C\, Сг). Значит, функции х = <p(t),
у = w(?,Ci,C2), где < ? I, C\ и Сг — произвольные постоянные, задают
множество параметрических решений уравнения E).
Пример 2. Решить уравнение х — ,у ^.
Д Положим у" = р. Тогда уравнение эквивалентно системе
Iх = Tfe1
[dt/' —pdx.
Кривая х = ,?—z параметризуется уравнениями х = sint, р = tgi,
yl+p"
где t € (— f, f). Выразим у через параметр t. Из 2-го уравнения
системы имеем
dy' = tg t ¦ cos t dt = sin t dt.

§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка 45
Отсюда у' = Ci — cos t и, значит, dy = у1dx = {С\ — cos i) cos t dt,
1 l
у = d + C\ sint — -t sin2?.
Параметрические решения исходного уравнения задаются форму-
формулами
1 1
z = sin?, у =—-t—-sm2t +Cismt + U2,
где С\ и Ci — произвольные постоянные и ( € (—f,f)- A
Аналогичным образом метод введения параметра применяется и для
решения уравнений F(y,y") = 0, F(y',y") =0 и т.п. Другим основным
методом решения уравнений D) является метод понижения порядка урав-
уравнения.
Перейдем к рассмотрению основных типов уравнений D), допускаю-
допускающих понижение порядка уравнения. После понижения порядка уравнения
D) получается уравнение первого порядка, к которому следует пытаться
применить известные из предыдущих параграфов методы решения.
I. Пусть уравнение D) не содержит у, т.е. оно имеет вид
F(x,y',y")=0.
Тогда замена у' — z(x) дает уравнение первого порядка относительно но-
новой неизвестной функции z{x): F(x,^,^r') — 0. Если функция z = (р(х,С\),
С\ — параметр, задает его решения, то функция
У =
где Ci — произвольная постоянная, задает решения исходного уравнения.
Нетрудно видеть, что в этом случае уравнение D) эквивалентно системе
F(x,z,z')=0,
Пример 3. Решить уравнение у"(ех + 1) + у' = 0.
Д Положив у' = z(x), получим уравнение для z{x)
z'(ex + 1) + z = 0.
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными лег-
легко интегрируется. Находим
Отсюда у = Ci[x — е~х) + Сг, где С\ и Ci — произвольные постоян-
постоянные. А

46 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
II. Пусть уравнение D) не содержит х, т.е. оно имеет вид
Будем считать, что у = const не нвляегся его решением. В таком случае
примем у за новый аргумент и введем новую ыеизвестную функцию z(y)
по формуле у' - z(y). Тогда
„ dy' dy' dy dz ,
у" = -j- = -j- ¦ — = — • z{y) = z-z'
dx dy dx dy
и в этом случае получаем уравнение первого порядка
F(y, *,**')= О,
так как z Ф 0.
Если у = const, то нельзя брать у в качестве нового аргумента. Поэто-
Поэтому, принимая у за новый аргумент, всегда следует проверять, не теряем
ли мы при этом решений вида у = const.
Пример 4. Решить задачу Коши:
у" + B + 4j/V3 - 2уу'2 = 0, у@) = 1, у'@) = \.
Д Заметим, что у — const не может быть решением задачи Коши.
Пусть далее у ф const. Положим у' = z(y) Ф 0. Тогда у" = z • z' и
для функции z{y) получаем уравнение Бернулли
z ¦ г' + B + 4j/2)z3 - 2yz2 = 0
с начальным условием г{1) = |. Замена и = — i эту задачу Коши
сводит к следующей задаче Коши для линейного уравнения первого
порядка:
и' + 2уи + 2 + Ау2 = 0, иA) = -2.
Общее решение этого линейного уравнения
и{у) = Се-** - 2у.
Из начального условия находим, что С — 0. Итак, и(у) = — 2у. От-
Отсюда у1 = z = — j = 2^, что дает у2 = ж + С. Из начального условия
у@) — 1 следует G=1. Учитывая, что у'@) = |, находим, что
j/ = \/х + 1 является решением исходной задачи Коши. А
III. Функция F(x,y, 1/1,2/2) называется однородной функцией степе-
степени m относительно переменных у, у\, у2, если для любой точ-
точки (х,у,у\,у2) € G и любого такого значения параметра t, что
0М1/,*Уь*1й) € G, выполнено условие F(x,ty,tyi,ty2) = tmF(i,j/,2/i,y2)-
Здесь m — некоторое фиксированное число.
Уравнение D) называется однородным уравнением относительно пе-
переменных у, у', у", если F(x, у, 1/1,1/2) — однородная функция степени m
относительно переменных у,у\,У2-

§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка 47
Если уравнение D) является однородным относительно у,у1,у", то его
порядок понижается с помощью замены у1 = у ¦ z, где z = z(x) — новая
неизвестная функция. Действительно, при такой замене получаем:
у" = y'z + yz' = yz2 + yz' = y(z' + г2),
F(x,y,y',y") = F(x,y,yz,y(z' + z2)) = ymF(x>l,z,z'+ z2) = 0.
Здесь мы воспользовались однородностью функции F при t = у. Если
m > 0, то получаем решение у = 0. Если же у ^ 0, то имеем для функ-
функции г уравнение первого порядка
Если множеством его решений является z = <р(х,С\), где Ci — параметр,
то формула у = Сгехр [f<p(x,Ci)dx], где Сг — произвольная постоянная,
дает множество решений уравнения D).
Пример 5. Решить задачу Коши
/}2, у@) = 1, у'@) = -2.
Д Нетрудно убедиться в однородности уравнения по у,у',у". При
рекомендованной замене у' = yz, у" = y(z' + г2) получаем уравнение
первого порядка
у2{z' + z2) + y2ztgx = A - sinx)y222.
Функция у = 0 — решение уравнения, но не решение задачи Коши.
Если у ф О, то получаем уравнение Бернулли
z1 + z tg х = -z2 sin x
с начальным условием z{0) = —2. Замена и — j дает линейное урав-
уравнение
и' — и tg х — sin x
с начальным условием и@) = — j- Нетрудно найти, что м = ^j —
5 cos x — общее решение уравнения и что из начального условия сле-
следует С = 0. Значит, и = — 5 cos а; и поэтому ^ = — jj2^. Отсюда
1 — sinx
1 + sinx
Из начального условия у@) = 1 следует С = 0. В силу этого функ-
функция
1 — sinx
У =
1 + sin х
является решением исходной задачи Коши. А

48 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
IV. Пусть существует такая непрерывно дифференцируемая функция
Ф(х,у,у'), что для всех х,у,у',у" справедливо тождество
Тогда уравнение D) называется уравнением в точных производных. В
таком случае, очевидно, уравнение D) эквивалентно уравнению первого
порядка
Ф(х,г/1У') = С.
Уравнение D) в точных производных является, очевидно, обобщением
уравнения в полных дифференциалах на случай уравнений второго по-
порядка. Действительно, если уравнение
P(x,y)dx+Q(x,y)dy = Q
является уравнением в полных дифференциалах, то для некоторой не-
непрерывно дифференцируемой функции Ф(х,у) имеем тождество
Р(х, y)dx + Q{x, y)dy = йФ(а:, у).
Отсюда
F(x,y,y') = Р(х,у) + Q(x,y)y' = ^У> =0.
Как и в случае уравнения в полных дифференциалах, для уравнения D)
можно указать критерий того, что уравнение D) является уравнением в
точных производных, и метод построения функции Ф(х,у,у')- Однако мы
не будем касаться здесь этого вопроса.
Иногда уравнение D) становится уравнением в точных производных
лишь после его умножения на некоторую функцию ц{х,у,у'). В таком
случае функция ц{х,у,у') называется интегрирующим множителем урав-
уравнения D). Мы не будем касаться метода нахождения интегрирующего
множителя (л{х,у,у') для уравнения D) в общем виде, а ограничимся
рассмотрением примеров.
Пример 6. Решить уравнение уу" — у12 = у'.
Д Заметим, что у = С — решение. Пусть далее у ф 0. Разделив обе
части уравнения на у2, получим уравнение в точных производных
,,у" _ „« у'
я — Т или
У2 У2
Отсюда ^ — — ? + С\ или у1 = С\у — 1. Если С\ — 0, то имеем
у = — х + С2, а если С\ Ф 0, то имеем линейное уравнение первого
порядка, решениями которого будут функции у = СгеС11 + ^-, где
С] ф 0 и Съ — произвольные постоянные. А

§ 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка 49
Пример 7. Решить задачу Коши
ху" = у' + 2х2уу\ у(\) = 2, i/(l) = 4.
Д Уравнение запишем так:
X^pL=2yy' или №)' = (у2У.
Отсюда у' = ху2 + С\х. Из начальных условий следует, что С\ = 0.
Следовательно, — ^ = ^-+ С. Из начального условия находим, что
G = — 1. Значит, - = 1 — тр является решением исходной задачи
Коши. А
V. Функция F называется обобщенно-однородной степени т, если су-
существует такое число А:, что для любой точки (х, у,у\,У2) G <-? и для
любого значения параметра <, для которого (te,tfcy, ?Л—1*/1, <fc~2t/2) € G,
выполнено условие
F(tx, tky, tk~lyu tk~2y2) = tmF(x, у, jft, jte).
Уравнение D) называется обобщенно-однородным, если функция
F(x,y,yi,y2) является обобщенно-однородной.
Покажем, что если уравнение D) является обобщенно-однородным и
в области G х > 0, то его порядок понижается на единицу с помощью
замены переменных
— С , у — Ub ,
где и— новый аргумент, v = г»(и) — новая искомая функция. Если же
х < 0, то полагаем х = —е".
Действительно, найдем сначала выражения у1, у" через новые пере-
переменные. Имеем:
dx du dx d
- \v" 4- Bk - 1V + fcffc - lbl e(*~2)u
Подставив выражения х,у,у',у" в новых переменных u,v в уравнение
D) и воспользовавшись определением обобщенной однородности уравне-
уравнения при t = eu, получаем
0 = F(.t,i/,3/',j/") = F(eu,veku, [v1 + Не"'",
[v" + Bk - l)v' + k(k - l)v] е^-У") =
= emuF (l,v,v' + kv,v" + Bk - l)i/ + k(k - l)v) .
Отсюда получим уравнение, не содержащее аргумента и, которое соглас-
согласно п. II допускает понижение порядка на единицу.

50 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений
Пример 8. Решить задачу Коши (я > 0).
х%" - хуу' + 2(у - х2)у = 0, уA) = 6, 1/A) = 12.
А Заменяя в уравнении х на tx, у на tky, у' на tk~ly, у" на tk~^y"
и приравнивая друг другу показатели степеней t в каждом слагае-
слагаемом уравнения, получаем 2к = fc+2. Следовательно, заданное уравне-
уравнение является обобщенно однородным и к = 2. Сделаем в уравнении
замену переменных
а: = е<\ у = ve2u.
Тогда из ранее полученных выражений у',у" через новые перемен-
переменные находим, что
у' = (г/ + 2v)eu, у" = v" + 3t>' + 2v.
Подставляя выражения для х,у,у',у" в уравнение, после упрощений
получаем уравнение
v" + C - v)v' = 0,
в которое не входит аргумент и. Согласно п. II объявляем v — новым
аргументом, a v' = z(v) — новой искомой функцией. Так как v" —
z-z', то в переменных v,z получаем уравнение
z- z' + C -v)z = 0.
Из заданных начальных условий для у(х), используя замену пере-
переменных, нетрудно найти, что гF) =0 —начальное условие для z(x).
При таком начальном условии решение уравнения для z(v) прини-
принимает вид z — \v'2 — 3v. Из уравнения v' = z = ^v2 — 3v находим
5 = 1 + Ce3u. Заданные начальные условия дают v{0) = 6. Для та-
такого начального условия С — 0 и, значит, v = 6. Тогда из замены
переменных получаем решение исходной задачи Коши у = 6х2. А
В этом параграфе были приведены основные методы решения уравне-
уравнений второго порядка общего вида. Аналогичные методы решения имеют
место и для уравнений общего вида, порядок которых выше второго.
Методы понижения порядка и интегрирование в квадратурах уравнения
A) получают полное объяснение с точки зрения теории групп. Более
подробно об этом можно прочитать, например, в [18] и [34].

§4. Дифференциальные уравнения высшего порядка 51
Упражнения к главе 1
1. Найти дифференциальное уравнение у' — f(x,y), которое описывает
семейство окружностей с центром на прямой у = х, проходящих через
точку A,0).
2. Уравнение у' = f(x,y) называется квазиоднородным, если при всех до-
допустимых значениях параметра t и некоторых а Ф О, 0^0 /(<?,<у) =
tP~af(x,y). Показать, что заменой у — z ¦ х» квазиоднородное уравне-
уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
3. Пусть функции а(х), Ь(х) непрерывны при х > 0 и lim 0B;) =
X—ЮО
lim Ь(х) = 1. Найти lim y(x) для тех решений уравнения
X—ЮО X—ЮО
у' = а(х)у + Ь(х),
для которых он существует и конечен.
4. Пусть в уравнении ху' +ау = /(ж), где х > 0, a — const > 0, f(x) — не-
непрерывная функция, lim f(x) — b. Показать, что только одно решение
уравнения остается ограниченным при х —> 0, и найти предел этого
решения при х —* 0.
5. Показать, что уравнение Бернулли можно решить либо с помощью за-
замены вида у(х) = u(x)-v(x), либо, как и линейное уравнение, методом
вариации постоянных.
6. Показать, что если семейство Ф(х,у,с) =0 интегральных кривых урав-
уравнения F(x,y,y') = 0 имеет огибающую, то она определяет особое ре-
решение этого уравнения (см. § 6 гл. 4).
7. Сформулировать задачу Коши для уравнения A) из § 4 при п > 2.

—===== Глава 2
Линейные дифференциальные
уравнения порядка п
с постоянными коэффициентами
В этой главе все функции, которые будут встречаться, могут принимать
как действительные, так и комплексные значения. Рассматриваемые в
главе 2 линейные уравнения важны, прежде всего, потому, что они часто
встречаются в различных вопросах физики и техники. Кроме того, это
единственный большой класс уравнений высшего порядка, интегрируемых
в квадратурах.
§ 1. Дифференциальные многочлены и общий
метод решения линейных уравнений
с постоянными коэффициентами
В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные предложения,
которые будут использоваться на протяжении всей главы.
Обозначим через С(Д^) множество всех комплекснозначных функций,
заданных и непрерывных на всей числовой оси Щ., а через С*(Д^),
к € N, — множество всех функций, к раз непрерывно дифференцируемых
иа всей оси R}x.
Говорят, что задан оператор дифференцирования D, действующий из
Cl(R^) в С(Я^), если каждой функции у(х) € С1 (Л^) оператор D ставит
в соответствие функцию у'(х) 6 С(Л^) по формуле Dy(x) = у'(т).
Аналогично, к-я степень оператора дифференцирования Dk, к € N,
является оператором, действующим из множества €*(/?') во множество
С(Д?) по формуле Dky(x) = у^Цх).
Наконец, дифференциальным многочленом степени п € N (или мно-
многочленом степени п от оператора дифференцирования D) L(D) = Dn +
aiDn~x + ¦ ¦ ¦ + an-\D + an, где оь ... ,о„ — заданные числа (действитель-
(действительные или комплексные), называют оператор, действующий из множества
^ во множество C(Rl) по формуле L(D)y(x) = т/(п) + aij/"' +

§ 1, Дифференциальные многочлены и общий метод решения 53
Лемма 1. Дифференциальный многочлен степени п является линейным
оператором, т. е. для любых функций yi(x)ty2(x) € С"(Л^.) и любых чисел
С),С2 выполнено равенство
L{D)[cm(x) + c2y2(x)] = ClL{D)yi{x) + c2L{D)y2{x).
О Требуемое утверждение полумается из определения дифференциально-
дифференциального многочлена и свойства линейности для производных. Действительно,
с2У2) = (cm + с2у2)(п) + сц (с,У1 + с2у2){п~1] + ¦¦¦ +
+ с2У2) =
+ о-пУ\) + с2(уBп) + aiy?~l) + ¦¦¦ + апу2) =
c2L{D)y2.
Для дифференциальных многочленов вводятся операции сложения и
умножения. Пусть, кроме многочлена L(D) степени п задан еще много-
многочлен степени т
M{D) =Dm + hD™-1 +¦¦¦ + Ьт-iD + bm,
где bi,... ,bm— заданные числа, m(zN. Тогда суммой называют диффе-
дифференциальный многочлен, действующий на любую функцию у(х) €<C(.fti)
(считаем, для определенности, что п> т) по формуле
[L(D) + M(D)]y(x) = L{D)y{x) + M(D)y(x).
В этом случае L(D) + M(D) —многочлен степени п.
Произведением называют дифференциальный многочлен степени п-т,
который на каждую функцию у(х) €Cl'm(/?^) действует по формуле
[L(D) ¦ M(D)\ y{x) = L(D) ¦ [M{D)y(x)\.
Можно доказать, что введенные операции сложения и умножения для
дифференциальных многочленов обладают в точности теми же свойства-
свойствами, что и операции сложения и умножения для обычных многочленов.
Речь идет о свойствах коммутативности, ассоциативности и дистрибутив-
дистрибутивности для этих операций. Отсюда, в частности, следует, что дифферен-
дифференциальные многочлены можно разлагать на множители.
Заметим, что для любого комплексного числа А
L(D)(eXx) = L(\) ¦ еХх,
где L(X) = An+aiA"~1H \-ап — многочлен от комплексной переменной А.
Многочлен L(A) называется характеристическим многочленом (или сим-
символом) дифференциального многочлена L(D). Если Ai,... ,А„ —корни ха-
характеристического многочлена (среди них возможны и кратные), то, как
известно,
= (А-А1)(Л-А2)...(А-А„).

54 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Согласно определению, можно записать
L(D) = {D-Xl){D-X2)...(D~Xn).
Приведем еще один вспомогательный результат.
Лемма 2. Если А — комплексное число, то для любой у(х) € С^Д^) спра-
справедлива так называемая формула сдвига
L(D)[eXx-y(x)]=:ex*L(D+\Mx).
О При любом к € N по формуле Лейбница получаем
к
Dk[eXx ¦ у) = {е**
J2 k-iy = eXx{D + \)hy.
В силу этого,
L(D)[eXxy) = eXx(D + X)ny + al(^{D + Х^у + ¦¦¦ + a^y =
= eXxL(D + X)y. •
Рассмотрим теперь линейное дифференциальное уравнение порядка п
с постоянными коэффициентами
уМ(я:) + а1у(п~1Нх) + ¦¦¦ + an-il/(») + any{x) = /(*), A)
где oi,... ,оп —заданные комплексные числа, а /(г)—заданная функция
из С(Д^). С помощью дифференциального многочлена степени п
L(D) =Dn + OiZ?" + • ¦ • + ап.ф + On.
это уравнение кратко записывается так:
L(D)y(x) = f(x).
Под решением этого уравнения понимается комплекснозначная функция
у{х) € C(iZ^), удовлетворяющая уравнению A) на всей оси R\.
Метод разложения многочлена L(D) на множители является общим
методом решения уравнения A) и задачи Коши для него.
Если Aj,... ,An —корни (среди них могут быть кратные) характери-
характеристического многочлена L(X), то
^(А) = (А-А1)(А-А2)...(А-А„).
Тогда
UP) = {D- Xi)(D - А2)... (D - А»).
и, значит, уравнение A) записывается в виде
(D-X1)(D-X2)...(D-Xn)y = f(x).

§ 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения 55
Если положить
M(D) = (D - А2)... (D - А„)
и обозначить M(D)y{x) = z(x), то уравнение A) эквивалентно системе
\M(D)y = z. B)
Уравнение (D — Aj)z = f(x) представляет собой линейное уравнение
первого порядка z' — \\z = f(x) с комплексными А и f{x). Его решение
находится с помощью следующей леммы.
Лемма 3. Все решения уравнения z' — \z = f{x), где А — комплексное число
и f(x) —заданная комплекснозначная функция из C(R].), задаются форму-
формулой
( } \
г{х) = еХх \С+ е~х< ¦ /(СК , C)
\ ха I
где С — произвольная комплексная постоянная.
О Ищем решение уравнения в виде z(x) = с{х)еХх. После подстановки
z(x) в уравнение и упрощений получаем
с'(х) = е~х* ¦ f(x).
Отсюда
с(х) = С + jе
~х< ¦
С .
что и дает формулу C).
В силу леммы 3
При известной z(x) второе уравнение B) представляет уже собой ли-
линейное уравнение порядка (п— 1) с постоянными коэффициентами. Опять
разлагаем M(D) на множители и сводим решение M(D)y = z к реше-
решению линейного уравнения порядка (п — 2) и т.д. Ясно, что после п таких
шагов придем к решению уравнения A) в квадратурах.
Рассмотрим теперь для уравнения A) начальные условия
где хо,уо,У1,... ,уп-1 —заданные числа.
Покажем, что решение задачи Коши A), D) всегда существует и
единственно на всей оси R]..

56 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Действительно, в силу B) приходим к задаче Коши:
z(x0) = [M(D)y(x)]x=X0 = z0.
Из формулы C) следует, что решение этой задачи Коши имеет вид
z(x) = еХх { e~Xxa ¦ го
Зная z{x) и разлагая M{D) на множители, сведем решение задачи Коши
для M(D)y = z{x) к решению некоторой вспомогательной задачи Коши
и т.д. После п таких шагов придем к решению задачи Коши вида
(D-X)y = g(x), y{xo)=ya,
где д(х) — заданная непрерывная функция на R].. Это решение с помо-
помощью C) находится единственным образом. Оно и будет единственным
решением задачи Коши A), D).
Пример. Решить уравнение у" — Ъу' + 2у — eix.
Д С помощью дифференциального многочлена уравнение запишется
в виде
(D2 - 3D +2)у - е4х.
Характеристический многочлен ?(А) = А2—ЗА+2 имеет корни Ai = 1,
Аг = 2. В силу этого, исходное уравнение записывается в виде
(D-l)(D-2)y = e4x.
Положим (D — 2)у = z(x). Тогда уравнение эквивалентно системе
Первое уравнение z' — z = е4х решаем с помощью леммы 3. Из C)
получаем, что
Задача сводится к решению уравнения
Решение находится из формулы C), если в ней заменить z на у, X
на Аг и f(x) на ex{C+\eZx). Окончательно получаем тогда, что
„2* 1
у(х) = С,ех + С2е2 + U,
о
где С], Съ — произвольные постоянные.

§2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 57
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п
с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида
-^ix) + ¦¦¦+ ап.1У'(х) + апу(х) = О, A)
где х € Rl и oi,... ,an — заданные действительные или комплексные чи-
числа, называют линейным однородным дифференциальным уравнением по-
порядка п с постоянными коэффициентами. Числа О],... ,а„ называют ко-
коэффициентами уравнения A).
С помощью дифференциального многочлена
L(D) = Dn + aiD"'1 + ¦¦¦ + on_iO + ап
уравнение A) коротко записывается в виде
L(D)y(x) = 0. B)
1. Общее решение
Утверждение следующей леммы обычно называют принципом суперпози-
суперпозиции для уравнения A).
Лемма 1. Если у\{х), У2(х) — какие-либо решения уравнения A) иС\, Сг —
произвольные комплексные числа, то функция у — С\у\(х) Л-Ciyi{x~) также
является решением уравнения A).
О Воспользуемся формой B) записи уравнения A). В силу линейности
многочлена L(D) (см. лемму 1 § 1) имеем
L(D)y = L(D)(Cm + С2У2) = C1L(D)yi + C2L(D)y2 = О,
так как L{D)y\ = L(D)y2 = 0 по условию леммы. •
В дальнейшем нам понадобится один вспомогательный результат о
функциях вида
ф) = Pi(x)eXiX + ¦¦¦ + Pm(x)eA-*, C)
где Ai,...,Am — попарно различные комплексные числа, а Р\(х),...,
Рт(х) — многочлены с комплексными коэффициентами.
Лемма 2. Если в C) <р(х) — 0 для всех х € R\, то все коэффициенты во
всех многочленах Р\(х),... ,Рт(х) суть нули.
О Применим индукцию по т. При т = 1 утверждение леммы 2 оче-
очевидно. Пусть утверждение леммы 2 справедливо, если в формуле C)
заменить m на (т — 1). При т > 1 рассмотрим функцию
ф(х) = e~Al* ¦ ф) = Pi(x) + f^Pk(x)e^~^x = 0.
k=2

58 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Продифференцируем rj){x) (N+1) раз, где N —степень многочлена Р\(х).
В силу того, что p[N+l'(x) = 0, получим
или
к=2
где Qk{х) — многочлены той же степени, что и Pk{x), так как А& — Л]
при всех к = 2, тп. Из предположения индукции Qk(x) = 0, Vfc = 2,m.
Следовательно, Pfc(x) =0, Vfc = 2, тп. Тогда и Pi(x) = 0. Это значит, что
все коэффициенты многочленов Pi (a;),... ,Pm(x) в C) нулевые. •
Рассмотрим характеристический многочлен
Уравнение 1<(А) = 0 называется характеристическим уравнением для A).
Напомним, что число Ао называется корнем кратности к(к € N, 1 <
к < п) уравнения L(A) = 0, если
где L\(А) —многочлен степени (п — к) и ?i(Ao) ^0. Из формулы Тейлора
для L{\) при А = Ао сразу следует, что Ао — корень кратности к для
L(\) = 0 тогда и только тогда, когда
Що) = Ь'(Х0) = -.. = Lfc"l(Ao) = 0, ?<*>(Ао) / 0.
Лемма 3. Если Ао — корень кратности к характеристического уравнения
Ь(Х) = 0, то каждая из функций
еХох,хеХаХ,... ,хк-1еХоХ
является решением уравнения A).
О а) Ао = 0. Тогда L(\) = Afc(An-* + а^-^1 + ¦¦¦ + On_fc), где ап-к ? 0,
и, следовательно,
L(D) = Dn+ aiDn-1 + ¦¦¦+ an^kDk.
Нетрудно проверить, что функции 1,х,...,хк~1 являются решениями
L(D)y = 0.
б) Ао Ф 0. Сделаем замену у = еХах ¦ z. По формуле сдвига (см. лемму
2, §1)
L(D)y = ex"xL{D + X0)z = 0.
Характеристический многочлен L(X + Aq) имеет корень А = 0 кратности
к. В силу п. а) уравнение L(D + Ao)z = 0 имеет решения 1,х,... ,xk~1.
Из замены получаем утверждение леммы. #

§ 2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 5в
Лемма 3 описывает те функции, которые могут быть решениями урав-
уравнения A). Следующая теорема является центральной в этом параграфе.
Она дает формулу всех комплекснозначных решений линейного однород-
однородного уравнения A).
Теорема. Пусть характеристическое уравнение L(X) — 0 имеет корни
Ai,... ,Am (m € N, 1 < m < n) соответственно кратности k\,... ,km
(ki + ¦•• + km = n). Тогда:
а) любая функция вида
y(x) = P,{x)e^x + ¦¦¦ + Pm(x)ex-X, D)
где Pj(x) = Cq + C{x + ¦ ¦ ¦ + C}k _гхк>~1 —многочлен степени (kj — 1), ко-
коэффициентами которого служат произвольные комплексные постоянные
Cq,... ,Cf.,_j, является решением уравнения A);
б) если у(х) — какое-либо решение уравнения A), то найдется единствен-
единственный набор коэффициентов многочленов Pi(х),... ,Рт(х), при котором это
решение у(х) задается формулой D).
О П. а) теоремы немедленно следует из леммы 3 и принципа суперпо-
суперпозиции для уравнения A) (см. лемму 1).
П. б) докажем методом математической индукции по п. Пусть у(х) —
какое-либо решение A). При п = 1 уравнение A) имеет вид y' + aij/ = O
и по лемме 3 § 1 все его решения имеют вид у = Ce~aix. Ясно, что
при некотором единственном значении С эта формула содержит и наше
решение. Пусть теперь п > 1 и пусть всякое решение у(х) линейного
однородного уравнения порядка (п — 1) с постоянными коэффициентами
единственным образом записывается в форме D) с заменой п на (п —1).
В силу условий теоремы
ЦХ) = (А - A, )fcl (А - А2)*>... (А - Ат)*-
Значит,
L{D) = (D- Ai)*' (D - \2)k* ...{D- A,»)*-
Введем дифференциальный многочлен степени (п — 1)
M(D) = (D- Xtf^iD - A2)*' ...{D- Am)*"\
где при &i = 1 первый сомножитель отсутствует. Тогда L(D) = M(D)(D—
Х\). Положим (D — Ai)y = z. В таком случае уравнение B) эквивалентно
системе
\M(D)z = 0. E)
Каждое решение второго уравнения системы E) в силу предположения
индукции имеет вид
z{x) = Qi(z)eAl* + Q2(x)eX2X + ¦¦¦+ Qm(x)ex"x, 1 < m < n,

60 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
где Qi{x) — многочлен степени (fci — 2) в случае к\ > 1 и Qi{x) = 0 в
случае к\ = 1, a <3jB;) — многочлены степени (fcj — 1) при ncex j = 2,m.
По лемме 3 § 1 решение первого уравнения системы E) имеет вид
f e~XlXz{x)dxY F)
где С — комплексная постоянная.
Учитывая, что при целом I > 0 первообразная
(boxl+---+bt)eXx, Л/0, 60^
и что Aj - Л1 ^ 0, V? = 2,т, из вида z(x) находим, что
Подставляя это выражение в F), получаем, что рассматриваемое реше-
решение у(х) уравнения A) имеет вид D).
Рассуждением от противного установим единственность записи D) для
каждого решения уравнения A). Если существует решение у{х) уравне-
уравнения A), для которого
m m
у{х) = Х>(о;)еЛ** = Y. ШеХ*х,
то отсюда
т
J2 [Рк(х) - Рк(х)] ех"* = 0.
*=1
Из леммы 2 тогда получаем, что Рк(х) = Д(х), Vfc = \,m. 9
Замечания. 1) Поскольку к\ + ¦ ¦ • + km = п, то формула D) содержит
п произвольных постоянных.
2) Если все корни Ai,... ,An уравнения Ь(Х) = 0 попарно различны,
то формула решений A) особенно простая:
3) Рассмотрим систему п функций <pi(x),... ,<fin{x), записанную в ви-
виде следующей таблицы
лА]Х «Ага: «Атж
с , с , .. . , е ,
xeXiX, xeXlx, ... , хеХтХ, ,_<

§2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 61
Теорема утверждает, что каждое решение у(х) уравнения A) вы-
выражается единственным образом как некоторая линейная комбинация
Нетрудно теперь видеть, что множество всех решений линейного одно-
однородного уравнения A) образует линейное комплексное п-мерное вектор-
векторное пространство, а функции ^(а;),... ,<рп(х) образуют базис этого про-
пространства.
Исходя из всего сказанного, естественно дать следующее определение.
Определение. Функция вида D) называется общим решением линейно-
линейного однородного уравнения A).
Общее решение A) обладает следующими свойствами:
а) при каждом наборе постоянных функция D) является решением
уравнения A),
б) каждое решение уравнения A) единственным образом представимо
функцией вида D).
Решить уравнение A) означает найти его общее решение.
На практике процесс нахождения общего решения сводится к нахо-
нахождению корней характеристического уравнения L(X) — 0 и использова-
использованию формулы D).
Пример 1. Решить уравнения
а) у" - 4у' + Зу = О,
б) у" + V + у = О,
в) у" + ш2у = О, ш > 0.
Д В случае а) характеристическое уравнение Л2 — 4Л + 3 = 0 имеет
корни Ai = 1, Л2 = 3. Тогда по формуле D)
где С\ и Сг — произвольные комплексные постоянные, является об-
общим решением.
В случае б) характеристическое уравнение А2 + 2А + 1 = 0 имеет
двукратный корень Л = — 1. Тогда по формуле D)
у{х) = (Сх + Cix)e-X.
является общим решением.
Наконец, в случае в) характеристическое уравнение Л2 + w1 = 0
имеет чисто мнимые корни Ai = гш, Аг = —ш. Из D) следует, что
где С\ и Сг — произвольные комплексные постоянные, является об-
общим решением. А

62 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
2. Выделение действительных решений
Если все коэффициенты уравнения A) действительны, то решить уравне-
уравнение A) означает найти все его действительные решения. В этом случае
общее решение D), как показывает п. в) примера 1, может давать ком-
комплексные решения, если даже ограничиться действительными значения-
значениями постоянных. Это происходит за счет комплексных корней уравнения
?-(А) = 0. Поэтому возникает вопрос о получении из формулы D) общего
действительного решения A). Для выяснения этого вопроса понадобятся
некоторые леммы.
Лемма 4. Пусть все коэффициенты в A) действительны. Тогда если
Ао = or + г/3 — комплексный корень кратности к характеристического урав-
уравнения L{\) — 0, то и комплексно сопряженное число Ао = or — г/3 также
корень L(\) = 0 одинаковой с Ао кратности к.
О В силу того, что L(Xq) = 0, то
-1
L(A0) = Зч> + oi А? + ¦ • • + ап = Ь(Х0) =0 = 0.
Аналогично доказывается, что
L'(Ao) = • • • = L<*-1J(Ao) = 0, ИкН\0) # 0. •
Лемма 5. Пусть все коэффициенты в A) действительны. Тогда у(х) =
u(x)+iv(x) — комплекснозначное решение уравнения A) только тогда, когда
и(х) = Rey(x), v(x) — 1ту(х) —решения A).
О Утверждение леммы следует из равенства
L(D)y = L{D)(u + iv) = L(D)u+iL{D)v. •
Теперь можно получить правило выделения общего действительного
решения уравнения A) с действительными коэффициентами.
Если А = а-и'/З — комплексный корень кратности к уравнения L(A) =0,
то в силу леммы 4 А = а — г/3 тоже корень кратности к для Ь(\) = 0.
Поэтому наряду с решениями уравнения A) вида yi{x) — xleXx в формуле
D) содержатся и решения у((х) = х'ех'х, VJ = 0,к — 1. По формуле Эйлера
у((х) = xleax cos/За; + ixleax sin/?x = щ(х) + ivi(x), I = 0,Jfc - 1.
По лемме 4 функции ut(x), v;(x), Vf = 0,А: — 1, являются решениями A),
причем
Перейдем от базиса решений G) уравнения A) к новому базису, за-
заменив каждую комплексно сопряженную пару решений yi(x), y~i{x) на
действительную пару решений щ(х), vi(x), W = 0,fc-l. Получим ба-
базис из действительных решений. Взяв в формуле D) все постоянные

§2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 63
Ci,...,Cn действительными и заменив в ней комплекснозначный базис
G) на базис из действительных решений, в результате из D) получим
общее действительное решение A).
Пример 2. Найти все действительные решения уравнения
у" + и?у = О, ш > 0.
Д В примере 1 было найдено общее комплексное решение заданного
уравнения
ешх = созша;
По формуле Эйлера
Следовательно,
у = С\ cosшх + Съ si
где Ci, Сг — произвольные действительные числа, является общим
действительным решением уравнения. Формулу всех ненулевых ре-
решений можно записать и по-иному, если ввести параметры А > 0 и
tp по формулам
С
Тогда формула решений примет вид
у = A cos(wa; + ф).
3. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые
заменой переменных к линейным однородным
уравнениям с постоянными коэффициентами
Ограничимся рассмотрением дифференциального уравнения второго по-
порядка вида
у" + р(х)у' + q{x)y = 0, (8)
где р(х) и q(x) — заданные непрерывные функции на некотором проме-
промежутке X оси i??.
Если возможно приведение уравнения (8) к линейному однородному
уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены аргумента
t — у){х), то необходимо
где С = const и знак интеграла означает фиксированную первообраз-
первообразную. Действительно, считая ip(x) дважды непрерывно дифференциру-
дифференцируемой и <р'{х) ф 0 на промежутке X, находим, что у' ~ at ¦ f'(x),

64 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
У1' = ^$4>'2{х) + d( • <p"W- Подстановка у\у" в уравнение (8) дает урав-
уравнение
сРу ч>"(х)+р(х)у'(х) dy д{х) _
dt2 <p°(x) ' dt '*()У
В силу того, что коэффициенты в этом уравнении должны быть
постоянными, то необходимо С2д(х) = tpa{x). Отсюда t = <р{х) —
С f s/q(x)dx. Можно получить и достаточные условия приведения урав-
уравнения (8) с помощью замены аргумента к уравнению с постоянными ко-
коэффициентами. Мы этого делать не станем, а перейдем к примерам.
Уравнение второго порядка вида
х2у" + aixy' + a2y = 0, x> О,
где а\ и аг — заданные числа, называется уравнением Эйлера. Нетрудно
проверить, что с помощью замены t = In x уравнение Эйлера приводится
к уравнению
§ |
С помощью подстановки t = In x к уравнению с постоянными коэффици-
коэффициентами приводится и уравнение Эйлера порядка п
zV0 + «iJ:"t/(n4)W + ¦ ¦ • + an.lXy'(x) + any = 0, х > 0.
Замечание. Другой способ решения уравнения Эйлера состоит в том,
что его решение ищут в виде у = хх. После подстановки хх в уравнение
Эйлера получается характеристическое уравнение степени п
71-1
1)...(А-п + * + 1)+а„ =0, oq = 1.
Для каждого его корня Ао кратности г строим решения х^°,
хл° lux,... ,xx°(lnx)r~l, а общее решение уравнения Эйлера получается
в виде линейной комбинации всех таких решений с произвольными ко-
коэффициентами.
Уравнение
{1-х2)у" -ху'+п2у = 0,
где \х\ < 1, а п —действительный параметр, называется уравнением Че-
бышева. С помощью замены х — cos t оно сводится к уравнению
Отсюда следует, что все решения уравнения Чебышева можно записать
в форме
у(х) — A cos(n • arccos x + <р),

§ 3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 65
где А и у> — произвольные постоянные. При п —целом Тп(х) =
cos(n arccos х) — многочлен степени п, называемый многочленом Чебы-
шева.
Уравнение (8) можно иногда привести к уравнению с постоянными
коэффициентами и с помощью замены неизвестной функции. Так, на-
например, уравнение Бесселя
x'--)y = O, x>0,
при помощи замены у — -j~ приводится к уравнению г" + z — 0. Следо-
Следовательно, все решения уравнения Бесселя записываются в виде
-— '
где А и tf> — произвольные постоянные.
Уравнение (8) можно также пытаться привести к уравнению с посто-
постоянными коэффициентами с помощью одновременной замены и аргумента,
и неизвестной функции.
Преобразуем, например, уравнение Стокса
у" = АУ гг € (а Ь)
с помощью замены переменных |5§ = е', j^j = и, и = u(t). Последова-
Последовательно находим, что
_a+bel _ (a — b)u ,_ dy dx _ , _t
„ и"-и' A + е-')A+е*J
У~ a-b ё
После подстановки выражений для х,у,у" в уравнение Стокса получаем
уравнение с постоянными коэффициентами
Аи
и —и —
{Ъ-аJ
% 3. Линейные неоднородные уравнения порядка
п с постоянными коэффициентами
Эти уравнения имеют вид
<> <lH ix) = f(x), A)
где ai,... ,а„ — заданные комплексные или действительные числа, а пра-
правая часть }[х) уравнения A)—заданная непрерывная функция на неко-
некотором промежутке X оси Я^.
J 2769

66 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Рассмотрим линейное однородное уравнение
*<">(*) + aiz<-n-l\x) + ¦¦¦ + anz(x) = 0. B)
Прежде всего покажем, что если известно какое-либо решение уо(х) ли-
линейного неоднородного уравнения A), то замена у(х) = z(x) + уо{х) при-
приводит уравнение A) к линейному однородному уравнению B). Действи-
Действительно, воспользовавшись представлением левой части A) через диффе-
дифференциальный многочлен
L(D) = Dn + aiDn-1 + ¦ ¦ ¦ + с, C)
получаем, что
L(D)y = L(D)(z + уо) = L(D)z + L(D)y0 = L(D)z + f(x) = f(x).
Отсюда следует L(D)z = 0, т.е. z(x)— решение B).
Это простое замечание позволяет написать формулу всех решений ли-
линейного неоднородного уравнения A), если найти каким-то образом его
решение уо(х), так как формула общего решения B) была уже получе-
получена в §2. Именно, если z\(x),... ,Zn{x) —базис решений B), то формула
у = C\z\{x) + ••• + Cnzn(x) + уо{х) дает все решения A). Ее называют
формулой общего решения A).
Следующее утверждение носит название принципа суперпозиции для
линейного неоднородного уравнения A).
Лемма. Пусть f(x) — fi{x) + /г(а;) и пусть уг(х) —какое-либо решение
уравнения A) при f(x) = fi(x) и у2(х) —какое-либо решение уравнения A)
при f(x) = h(x).
Тогда у(х) = yi(x) + у2(х) является решением уравнения A).
О Имеем
L(D)y = L(D)(Vl + y2) = L(D)yi + L(D)y2 = Щх) + /2(i) = f(x). •
Определение. Квазимногочленом называется функция f(x) = e'u:Fm(x),
где /j. — заданное комплексное число, Рт(х)— заданный многочлен степе-
степени т с комплексными коэффициентами.
Из предыдущего параграфа следует, что всякое решение линейного
однородного уравнения с постоянными коэффициентами представляет со-
собой конечную сумму квазимногочленов.
Покажем, в каком виде нужно искать частное решение линейного не-
неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами A) с квазимно-
квазимногочленом в правой части. Найдя это частное решение и базис простран-
пространства решений B), немедленно получаем общее решение A).
Рассмотрим уравнение
L(DM*) = е*х ¦ Рт(х), D)
где и — заданное комплексное число, а Рт (х) — заданный многочлен сте-
степени т.

§3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 67
Определение. Если число д является корнем характеристического
уравнения
ЦХ) s A" + aiA71 + ¦ • ¦ + On = О,
то говорят, что в уравнении D) имеет место резонансный случай. Если
же ц не является корнем L(X) = 0, то говорят, что в уравнении D)
имеет место нерезонансный случай.
Теорема. Для уравнения D) существует и единственно решение вида
у(х) = хк ¦ Qm(x)<**,
где Qm(x) — многочлен одинаковой с Рт{х) степени т, а число к равно крат-
кратности корня ц характеристического уравнения L(X) = 0 в резонансном слу-
случае и к = 0 в нерезонансном случае.
О Если д Ф О, то заменой у = е*** • z в уравнении C) всегда можно
избавиться от е'** в правой части. В самом деле, используя формулу
сдвига, после замены имеем, что
L{D)y - L{D){e»*z) = e^L{D + ц)г = е»х ¦ Рт(х).
Отсюда L{D + ц)г = Рт(х).
Таким образом, доказательство теоремы осталось провести для урав-
уравнения вида
L{D)y = Pm{x). E)
а) Нерезонансный случай: L@) Ф 0. Пусть
Рт(х) =Р0Хт +PlXm~l + ¦ ¦¦ +Рт,
Qm{x) = qoxm + ^.т + ... + Чт.
Подставляя Рт(х), Qm{x) в E) и приравнивая коэффициенты при оди-
одинаковых степенях х, получаем линейную алгебраическую систему урав-
уравнений для определения неизвестных коэффициентов ?о>9ь--- .9т:
Qo =Ро,
?i + о„_1 • mqo = рь
гЯт + • • • — рт-
Матрица этой линейной системы треугольная с числами ап = L@) Ф 0 по
диагонали, поэтому все коэффициенты Qm(x) определяются однозначно,
б) Резонансный случай:
ЦХ) = Хк (Хп~к + aiA""*-1 + • • • + о„_к) , 1 < Jfc < п, оп-k ФО, кфп.
Следовательно,
haiDn~r + ¦•¦ + an-kDk, k<n,
[Dn, k = n.

68 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
В случае к < п замена Dky — z в уравнении D) приводит к уравнению
Li{D)z = (Dn~k A Ь un_fcJ = Рт(х).
Поскольку Ь\ @) = Оп-к Ф 0> то Для этого уравнения имеет место нерезо-
нерезонансный случай. Следовательно, существует единственное решение этого
уравнения z — Rmix), где Rm(x) — некоторый многочлен степени т.
Рассмотрим уравнение
к
Рт(х), к = п.
Взяв нулевые начальные условия для этого уравнения
получаем единственное решение вида
У(х) = хк ¦ Qm(x). •
Замечания. 1) Практически указанное в теореме решение всегда ищут
методом неопределенных коэффициентов, т.е. полагают
и неизвестные коэффициенты до,---,дт находят подстановкой у(х) в
уравнение D). В силу доказанной теоремы получающаяся линейная си-
система для 9о, ¦ • ¦ . Чт однозначно разрешима.
2} Предположим, что все коэффициенты а\,... ,ап в уравнении A)
действительны и
/(at) = еах [А(х) cos 0x + В(х) sin/Зх],
где А(х) и В(х) — многочлены с действительными коэффициентами и сте-
степень одного из них т, а другого не больше т, а и C — действительные
числа. Из доказанной теоремы следует, что решение уравнения A) в этом
случае нужно искать в виде
у{х) = хкеах [С(х) cos fix + D(x) sin fix],
где С{х) и D(x) — многочлены степени т с неопределенными коэффи-
коэффициентами, а к равно кратности корня а + ifi уравнения L{\) — 0, если
число a + ifi — корень L(X) =0, и к = 0, если число a + ifi не являетса
корнем L(X) = 0.
Это правило получается в силу того, что по формулам Эйлера f(x)
можно представить в виде
/(at) = e(a+ifi)xE{x) + eia-ip)xF{x),
где Е(х) и F{x) — многочлены. Из принципа суперпозиции и доказан-
доказанной теоремы следует, что решение A) можно искать в таком виде, если
a±ifi — не корни L(A) =0. Если же a ±i/3— корни L(A) =0 кратности

§ 3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 69
к, то решение приобретает еще множитель хк. Далее остается вернуться
к тригонометрическим функциям.
3) Термин «резонанс» возник в теории колебаний. Например, при из-
изучении вынужденных колебаний гармонического осциллятора без учета
силы сопротивления среды под действием внешней гармонической силы
приходят к необходимости решать уравнение
x{t)+cj2x{t) = F cos ft
В этом уравнении x(t) — неизвестная функция, х = ^f, и) > 0, v > О,
F ф 0, t —время.
Соответствующее линейное однородное уравнение
х + w2x = О,
как известно (см. пример 2 § 2), имеет общее решение
x{t) = Acos(u>t + tp),
где А и «^ — произвольные постоянные. Если найти какое-либо решение
xo(t) исходного уравнения, то его общее решение имеет вид
x(t) — Acos(ut + ip)
Для нахождения xo(t) удобно сначала найти частное решение yo{t) урав-
уравнения
Тогда, очевидно, Xo(i) = Reyo(<)- Если v ф и), то согласно доказанной
теореме уо(*) = Ae>ui. Число А находится подстагювкой yo(t) в уравнение:
Л =
— V1
Итак, при v ф ш yo(t) = Jjj^ и, значит, xo(t) — FJ°*$ ¦ Если ж^
v = ш, то согласно доказанной теореме yo(t) — Atetut, где подстановка
yo{t) в уравнение дает А = ^. Отсюда находим, что в этом случае
Из общего решения исходного уравнения теперь ясно, что в случае
v Ф ш все решения ограничены, а в случае v — ш все решения неограни-
чены из-за вида xo(t), т.е. вынужденные колебания гармонического ос-
осциллятора становятся неограниченными. Когда собственная частота ко-
колебаний и совпадает с частотой колебаний внешней силы и, то такое
явление в теории колебаний называют резонансом. Явление резонанса
широко используется в технике.
4) Наконец, отметим, что в том случае, когда f(x) в уравнении A)
представляет собой конечную сумму квазимногочленов, частное решение
A) находят с помощью принципа суперпозиции и доказанной теоремы.
При произвольной f(x) в уравнении A) частное решение A) находят,

70 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
как правило, методом вариации постоянных. При п = 1 этот метод был
изложен в главе I, а при п > 1 метод вариации постоянных будет из-
изложен в главе VI.
Пример 1. Решить уравнение
Д Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнения
Характеристическое уравнение А4 — 2А3 — ЗА2 = 0 имеет корни Ai =
А2 =0, A3 = —1, А4 = 3. В силу этого общее решение линейного
однородного уравнения
у = С, + С2х + С3е~х + С4е31,
где С\, Сг, Сз, С\ — произвольные постоянные.
Правую часть исходного уравнения можно преобразовать к виду
A0х + 4)ех — 4е~х. В силу доказанной в этом параграфе теоремы и
принципа суперпозиции для исходного уравнения существует един-
единственное решение уо(х) вида
Уо(х) = (дох + gi)ex + гхе~х.
Подставляя уо(х) в исходное уравнение и приравнивая коэффициен-
коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых экспонентах, находим
коэффициенты qo, q\, г. В результате вычислений получаем qo = -1,
9i = -5. r = L
В итоге общее решение исходного уравнения задается формулой
Пример 2. Решить уравнение
y(IV) _ 2уш + 2у„ _ 10cos2 х + 5(хех _ ху
Д Найдем общее решение линейного однородного уравнения
Характеристическое уравнение А4 — 2А3 + 2А2 = 0 имеет корень А =
0 кратности два и корни А = 1 ± i. Тогда общее действительное
решение линейного однородного уравнения имеет вид
у = Су + С2х + Сзех cos х + dex sin x,
где С\, С2, Сз, С\ — произвольные (действительные) постоянные.

§ 3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 71
Правую часть исходного уравнения преобразуем к виду 5 cos 2х +
Ьхех. В силу принципа суперпозиции и п. 2 замечаний после дока-
доказанной в этом параграфе теоремы частное решение уо{х) исходного
уравнения необходимо искать в виде
уо{х) — acos2x + bein2x + {d\x + d2)ex.
После подстановки уо{х) в исходное уравнение получаем, что а — |,
b = \, d\ = 5, d.2 = — 10. Следовательно, общее (действительное)
решение исходного уравнения задается формулой
у = С\ + Сгл + Сзе^оза:+ C4e*sinz + -cos2x + -sin2а; + Eа; - 10)ех. к
В заключение отметим, что решение уравнения A) при любом на-
начальном условии
V(*o)=tft>, у'Ы=Уи---,У{п~1)Ы)=Уп-\, F)
где а;о € X, а уо>2/ь¦•• .Уп-i —произвольные числа, всегда существует и
единственно в том случае, когда все корни Ai,... , А„ характеристическо-
характеристического уравнения Ь(А) = 0 попарно различны. Докажем это.
Из формулы C) получаем, что общее решение уравнения A) в рас-
рассматриваемом случае имеет вид
где С\,... , Сп — произвольные постоянные, а у(х) — частное решение
уравнения A). Подставив общее решение в начальные условия F), нахо-
находим линейную алгебраическую систему для определения С\,... ,Сп. Она
имеет вид:
CxeXiX° + ¦¦¦+ С„еА»Х0 =у0-
• • • + С„А„ел"*° = У1 -
¦ ¦ ¦ + С„АГгеА"Х0 = yn-i - у^-'Ч^о)-
Определитель этой системы равен е'х'+¦'¦+А»I° • W(\\,... ,А„), где
W(\i,... ,An) —определитель Вандермонда, который, как известно, все-
всегда отличен от нуля при попарно различных Ai,... ,А„. Следовательно,
линейная система допускает единственное решение для С\,... ,Сп- Зна-
Значит, при заданных условиях на корни L(X) = 0 задача Коши A), F)
всегда однозначно разрешима.

72 Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения
Упражнения к главе 2
1. Найти все действительные решения уравнения:
а) у"' + 2у" + 5у' = 2х- 17sin 2х,
б) у"' - бу" + Юу' = 13 cos х + Юз,
в) y/v + у'" - 2у" = Зе* + 32е2х,
г) У/К - Зу" - 4у = 24 cos 2ж + 20е2*,
д) у/к + 2у" + у = 18 sin2 а; + 3 sin 2х + а;3.
2. При каких действительных а все решения уравнения
у" + у = cos ах
ограничены при х 6 (—оо, +оо)?
3. Найти единственное периодическое с периодом "—j- решение уравнения
у" + 2ау' + b2y = cos wx,
где и> > 0, 0 < 2а < Ь. При каком а амплитуда этого решения макси-
максимальна?

=========^^ Глава 3 ======*=======^
Методы решения систем линейных
дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
В этой главе будем считать, что все встречающиеся функции могут при-
принимать комплексные значения.
§ 1. Нормальные линейные системы
с постоянными коэффициентами.
Общие понятия и метод исключения
Нормальной линейной системой с постоянными коэффициентами порядка
п > 2 называют систему линейных дифференциальных уравнений вида
Здесь: t — аргумент; x\(t),... ,xn(t) — неизвестные функции; Oij — задан-
заданные комплексные или действительные числа, называемые коэффициен-
коэффициентами системы, i,j = l,n; fi(t),... ,fn(t) —заданные комплекснозначные
функции, называемые свободными членами системы; ±,{t) = ^, г = 1,п.
В дальнейшем всегда будем считать, что функции /i(<),... ,fn{t) —за-
—заданные непрерывные функции на некотором промежутке Г числовой оси
R}. Заметим, что число уравнений системы A) равно числу неизвестных
функций.
Запись нормальной линейной системы A) становится значительно про-
проще, если воспользоваться матричными обозначениями. Пусть матрица
^=11«ч11» iJ = hn,
(Xl(t)\ /i,(*)\ //!(«)>
x(t) = i , Щ = i , /@ = ;
\xn(t)J \xn(t)J V/n(t)y
Тогда нормальная линейная система A) записывается в виде одного
уравнения
B)

74 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Линейная система B) называется линейной однородной системой, если
f(t) = 0 на промежутке Т. В противном случае система B) называется
линейной неоднородной системой. Решением нормальной линейной систе-
системы B) будем называть всякую вектор-функцию х = <p(t) с п комплекс-
нозначными непрерывно дифференцируемыми на промежутке Т компо-
компонентами tpi(t),... ,ipn{t), если ф{Ь) = Aip(t) + f(t) на промежутке Т.
Для нормальной линейной системы B) можно ставить задачу Коши,
т.е. задачу с начальным условием.
Пусть to ? Т и пусть xq — некоторый комплексный n-мерный вектор.
Рассмотрим начальное условие
х(Ь) = ю- C)
Задача Коши для системы B). Найти решение системы B), удовле-
удовлетворяющее начальному условию C).
В § 4 настоящей главы будет установлено, что задача Коши B), C)
всегда однозначно разрешима.
Пусть Е — единичная матрица порядка п. Введем в рассмотрение
(см. § 1 главы 2) оператор дифференцирования D, действующий из
множества СХ(Т) всех непрерывно дифференцируемых функций на Т
во множество С(Т) всех непрерывных функций на Т, и определитель
det(ED — А) = L(D), представляющий собой дифференциальный много-
многочлен степени п.
Метод исключения для системы B) основан на следующем утвержде-
утверждении.
Теорема. Пусть вектор-функция f(t) (n — 1) раз непрерывно дифферен-
дифференцируема на промежутке Т и пусть х = <p(t) —решение системы B) на
промежутке Т. Тогда необходимо каждая компонента ?>*(?), к = 1,п, ре-
решения A) удовлетворяет на Т линейному дифференциальному уравнению
порядка п с постоянными коэффициентами вида
L(D)Vk(t) = gk(t), fc = T~^ D)
где каждая функция gk(t) представляет собой некоторую линейную комби-
нацию h(t),... ,/„(*),... ,/["-%),.¦¦ ,fin~1)(t).
О Обозначим через Lik(D) алгебраическое дополнение элемента с номе-
номером г,к определителя L(D),i,k = 1,п. Алгебраические дополнения Lik{D)
представляют собой дифференциальные многочлены порядка не более
чем (п — 1).
Так как х = <^(<) — решение B), то на промежутке Т имеем п то-
тождеств:
п

§ 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами 75
где Sij — символ Кронекера. Дифференцируя эти тождества (п — 1) раз,
что возможно в силу условий на fi{t), убеждаемся в том, что все ipj{t)
п раз непрерывно дифференцируемы. Как известно, правила умножения
дифференциальных многочленов такие же, как и правила умножения
обычных многочленов. Следовательно, можно умножить слева г-е тожде-
тождество на Lik(D) и просуммировать по всем г = 1,п. Получаем
Воспользуемся тем свойством определителя, что сумма произведений
всех элементов некоторого столбца определителя на алгебраические до-
дополнения соответственных элементов другого столбца либо равна самому
определителю в случае совпадения столбцов, либо равна нулю в случае
несовпадения столбцов. В результате находим, что
Метод исключения для решения линейной системы B) состоит в том,
что ищут сначала решения y>k(t) каждого из уравнений
f2 E)
предполагая, что fi(t), i = 1,п, имеют достаточное число производ-
производных. Пусть xk(t) = Ciki>\{t) + ¦¦¦ + СпкФпЩ + V'ofcW— решение E),
где ViWi-- • i4>n{t) — базис пространства решений линейного однородно-
однородного уравнения L(D)x(t) = 0, a V>ojt(t) — некоторое частное решение E) при
к = 1,п. Поскольку компоненты х*(?) связаны системой B), то посто-
постоянные не являются независимыми, т.е. набор найденных x\(t),... ,?n(t)
еще не дает решения линейной системы B). Для получения решения B)
необходимо найденный набор x\(t),... ,?„(() подставить в систему B) и
определить связь между постоянными Сц.,... , Сп^, к = 1,п.
Заметим, что, как установлено в главе 2, базис ^(i),... ,фп{?) стро-
строится в зависимости от корней характеристического многочлена L(X) =
det(\E — А) для дифференциального многочлена L(D).
На практике метод исключения неизвестных удобно применять для
простых линейных систем B), прежде всего для линейных систем вто-
второго порядка. Для них уравнение E) для одной из неизвестных функций
получается путем дифференцирования одного из уравнений линейной си-
системы и исключения второй неизвестной функции. Для нахождения же
второй неизвестной функции уравнение E) уже не требуется, так как
она сразу находится из заданной системы.

76 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Пример. Методом исключения решить линейную систему
х = 4а: - Зу + sini,
— 2х -у — 2 cos*.
Д Продифференцируем первое уравнение и подставим выражение
для у из второго уравнения. Имеем
х = 4х — Зу + cos t = 4х — 3Bа; — у — 2 cos t) + cos t =
= Ax - 6a; + 3y + 7cosi.
Подставив сюда выражение для Зу из первого уравнения, получаем
уравнение для x(t):
х — Зж + 2а; = sin < + 7 cos 4.
Общим решением этого уравнения является
x{t) = Cj.e' + C2e2t + cos t - 2 sin t,
где С\, Сг — произвольные постоянные. Из первого уравнения систе-
системы находим, что
y(t) = Cie' + -zC2e21 + 2 cosi - 2sint.
Вектор-функция с компонентами x(t), y(t) дает все решения исход-
исходной системы уравнений. А
§ 2. Общее решение нормальной линейной
однородной системы с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим нормальную линейную однородную систему
x(t) = Ax(t), A)
где t € R}, Л —квадратная комплексная матрица порядка n, x(t)— неиз-
неизвестная вектор-функция с п компонентами.
Следующее предложение носит название принципа суперпозиции для
линейных однородных систем.
Лемма 1. Если x^\t), x^(t) — решения системы A), о С\, Сг — произ-
произвольные комплексные числа, то вектор-функция x(t) = C\x^[t) + ^
также решение системы A).
О Имеем в силу условий леммы, что
i(t) - Ax(t) = Cixw(t) + C2iB)(<) - A
= C, [iM - AxW] + C2 [z<2) - Ax®>] =0.

§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы 77
Будем считать в дальнейшем, что матрица А является матрицей неко-
некоторого линейного преобразования А в комплексном унитарном п-мерном
пространстве Я" столбцов с п компонентами в ортонормированием базисе
ei,e2,--. ,е„. При заданном базисе можно отождествить преобразование
Л и его матрицу А.
Очевидно, что система A) имеет тривиальное решение х — 0. Бу-
Будем искать нетривиальные решения A) в виде x(t) = exth, где h ф 0 —
числовой n-мерный вектор. Подставляя x(t) в систему A), получим
Ае^Л = Aexth или Ah = А/г.
Напомним, что собственный вектор h преобразования А для собствен-
собственного значения А определяется условием
Ah = Xh, h^ 0,
и что все собственные значения А преобразования А являются корнями
уравнения
det(,4 - ХЕ) = 0,
где Е — единичная матрица порядка п. Таким образом, установлено сле-
следующее утверждение.
Лемма 2. Для того, чтобы вектор-функция x(t) — eMh была нетривиаль-
нетривиальным решением линейной однородной системы A), необходимо и достаточ-
достаточно, ¦чтобы А было собственным значением, ah — соответствующим ему
собственным вектором преобразования А.
Теперь можно установить следующий результат.
Теорема 1. Пусть существует базис 71" из собственных векторов
h\,... ,hn линейного преобразования А и пусть Х\,... ,АП — соответству-
соответствующие им собственные значения {среди них могут быть одинаковые)
Тогда:
а) вектор-функция x(t) вида
+ -- + Cnex»thn, B)
где С),... , С„ — произвольные комплексные постоянные, является решени-
решением системы A);
б) если x(t) — какое-либо решение системы A), то найдутся такие зна-
значения постоянных С\,... , Сп, при которых x(t) задается формулой B).
О П. а) утверждения теоремы 1 непосредственно следует из лемм 1 и 2.
Докажем п. б). Пусть x{t) — какое-либо решение A). Так как Ль... ,hn —
базис Rn, то для Vt € Rl
Подставим x(t) в систему A). Имеем
Сп(*)Л» =
+ ••• + *»<„ (t)hn.

78 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Так как Л],--- >hn — линейно независимые векторы, то отсюда
Из этих уравнений находим, что <дB) = Cje^',... ,<п@ = С„еЛ|>*. Под-
Подстановка найденных Ci(*)>••• >Сп@ в формулу для x{t) дает B). •
Замечание. Для каждого решения x(t) в теореме 1 можно установить
единственность набора Ci,...,Cn в B).
При условиях теоремы 1 вектор-функцию x{t) вида B) будем назы-
называть общим комплексным решением линейной однородной системы A).
Как известно из курса алгебры, базис пространства Rn из собственных
векторов преобразования А существует, например, тогда, когда все соб-
собственные значения Ai,...,An преобразования А попарно различны или
когда преобразование А является нормальным (независимо от кратности
Л), в частности, симметрическим.
Пример 1. Найти общее комплексное решение системы
' х = -2y + 2z,
'y = x-y + z,
[z = y-z.
Д Напишем матрицу А системы:
Найдем собственные значения матрицы А из уравнения
det(,4 - \Е) =
-Л -2 2
1 -1-А 1
0 1 -1-А
= -А(А2 + 2А + 2) = 0.
Отсюда Ai = 0, Аг,з = —1±г. Найдем какие-либо собственные векторы
/ц, hi, Лз соответственно для Ai, Аг, Аз. Имеем
Так как Ai, Аг, Аз—попарно различны, то hi, Лг, Л-з образуют базис
в комплексном линейном пространстве 7?3. По теореме 1 вектор-
функция
y(t) \= С,

§ 2. Общее решение нормальной линейкой однородной системы 79
где С\, Сг, Сз — произвольные комплексные постоянные, является об-
общим решением исходной системы. А
Пример 2. Решить систему уравнений
Д Выпишем матрицу А заданной системы:
А=
Решая уравнение det(A — \Е) = 0, найдем собственные значения А.
det(A - ХЕ) =
4-А -1 -1
1 2-Л -1
1 -1 2-Х
= C-А)(А2-5А + б)=0.
Отсюда Ai =2, Аг = A3 = 3. Вектор
-(О
является собственным для Ai, а векторы
являются линейно независимыми собственными векторами для Аг.
Векторы /ib/i2, /13 образуют базис R3. Общим решением заданной
системы является вектор-функция
где С\, Сг, Сз — произвольные постоянные
В том случае, когда несимметрическое преобразование А имеет соб-
собственное значение А кратности к, то, вообще говоря, линейно независи-
независимых собственных векторов А, соответствующих этому значению А, оказы-
оказывается меньше к. Таким образом, в таком случае нельзя построить базис
Лп из собственных векторов преобразования А. Оказывается, однако, что
всегда можно построить так называемый жорданов базис пространства
Л". Чтобы сформулировать соответствующую теорему из курса алгебры,
введем понятия присоединенного вектора и жордановой цепочки.

80 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Определение. Пусть Ао — собственное значение преобразования А и
пусть векторы ft^ftj,... , Л* таковы, что
Ahi = Xoh\, hi ^ О,
= Ао/12 + h\, ,,..
= Ao/ijt + Л-fc-i-
Тогда hi —собственный вектор преобразования А, а векторы /*2, • • • ,Лк
называют присоединенными векторами к вектору hi. Система векторов
hi,...,hk называется жордановой цепочкой для собственного значения
Ао, а число к называется длиной жордановой цепочки.
Если собственное значение Ао — простое и h\ — соответствующий ему
собственный вектор, то присоединенных векторов к hi в этом случае
не существует. Если же Ао — кратное собственное значение, то для него
может существовать несколько жордановых цепочек, содержащие линейно
независимые собственные векторы преобразования.
Теорема Жордана. Каково бы ни было линейное преобразование А в ком-
комплексном пространстве Rn, всегда существует базис Rn, составленный из
жордановых цепочек для всех собственных значений
Эта теорема доказывается в курсе алгебры. Мы же только отметим,
что в базисе, составленном из жордановых цепочек (в дальнейшем такой
базис будет коротко называться жордановым базисом Rn), число различ-
различных жордановых цепочек равно числу линейно независимых векторов
преобразования А. Кроме того, в жордановом базисе сумма длин всех
жордановых цепочек для каждого кратного собственного значения А рав-
равна кратности А. В общем случае жорданов базис Rn является комплекс-
комплексным даже для действительного преобразования А. В частности, жорда-
жорданов базис может быть базисом только из собственных векторов А. Заме-
Заметим также, что жорданов базис Я™ строится не единственным образом.
Используем теперь жорданов базис Rn для получения формулы всех
комплекснозначных решений линейной однородной системы A) в случае
произвольной квадратной матрицы А.
Пусть А — собственное значение А и пусть hi,... ,ft* — некоторая жор-
данова цепочка для А. Покажем, что каждой жордановой цепочке длины
к соответствует к решений системы A) вида
D)

§ 2. Общее решение нормашьной линейной однородной системы 81
Лемма 3. Каждая из вектор-функций xT(t) = eA'-Pr(t), r = 1, к, является
решением системы A).
О При к = 1 утверждение леммы 3 доказано в лемме 2. Пусть к > 2.
Тогда Pr{t) — PT-\{t), а из определения жордановой цепочки C) следует,
что APT(t) = XPr(t) + Pr-i(t). Подставляя xr(t) в систему A), получа-
получаем, что
хТ - Ахт = XeXtPT + extPr - extAPT =
= AeA*Pr + eAtPr_i - eA'(APr + Pr_x) = 0.
Здесь был использован тот факт, что формула производной произведения
скалярной функции и вектор-функции аналогична формуле производной
произведения двух скалярных функций. в
Теперь установим формулу любого решения системы A).
Теорема 2. Пусть жорданов базис Rn состоит из S жордановых цепочек
hy\ ..., h%' длин kj {k\-\ h ks — n) для собственных значений Xj (среди
Xj могут быть одинаковые) преобразования A, j — 1,5. Тогда:
а) вектор-функция x(t) вида
x(t) = ХУ'< [<W>D) + ¦ ¦ • + C$pg(t)] , E)
где PiO)(<),... , />?'>(«) - многочлены вида D) и С?\..., С{?, j=T^,- про-
произвольные комплексные постоянные, является решением системы (I);
б) если x(t) — какое-либо решение системы A), то найдется такой набор
значений постоянных Су ,... ,С^7 , j = 1,S, при котором x(t) задается
формулой E).
О П. а) теоремы 2 немедленно следует из леммы 3 и принципа супер-
суперпозиции для системы A) (см. лемму 1).
Докажем п. б). Пусть x(t) — какое-либо решение системы A). Пока-
Покажем, что оно имеет вид E). При каждом t 6 R\ решение x(t) можно
разложить по жорданову базису Л". Пусть

82 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференцигильных уравнений
Подставим x(t) в систему A) и воспользуемся определением жордановой
цепочки C). Имеем:
s
3=1
+ С
Из единственности разложения x{t) по жордановому базису отсюда на-
находим 5 систем вида
( М) _ х Аз) , Ai)
Решая каждую из этих систем снизу вверх, получаем:
Подставляя найденные значения Ci (
C7
бирая члены возле каждого Cj ,... ,Cf? , получим представление x(t) в
виде E).
7 (*) в разложение x(t) а со-
сов
Замечания. 1) Можно доказать, что представление каждого решения
линейной однородной системы A) в виде E) является единственным.
Это делается так же, как и в случае линейных однородных уравнений
порядка п (см. теорему § 2 главы 2).
2) Так как к\-\ ьks = n, то формула E) содержит п произвольных
постоянных.
3) Если жорданов базис является базисом из собственных векторов
преобразования А, то формула E) совпадает с формулой решений си-
системы A) в теореме 1.

§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы 83
Определение. Вектор-функция z(t) вида E) называется общим (комп-
лекснозначным) решением нормальной линейной однородной системы (I).
Решить систему означает найти ее общее решение.
На практике процесс нахождения общего решения A) сводится к на-
нахождению собственных значений матрицы А, построению жорданового
базиса Л" и использованию формулы E). Для удобства пользования
распишем формулу E) для системы A) при п — 2,3, за исключением
тех случаев, которые охватываются теоремой 1.
Бели при п = 2 собственное значение А двукратное и жорданова це-
цепочка для А состоит из собственного вектора Ai и присоединенного к
нему вектора Аг, то общее решение системы A) задается формулой
x(t) = CieA% 4- C2eXl{th1 + h2).
Рассмотрим теперь случай п = 3. Если собственное значение Х\ про-
простое и ему соответствует собственный вектор Ai, а собственное значение
Аг двукратное и жорданова цепочка для Аг состоит из собственного век-
вектора h2 и к нему присоединенного вектора Аз, то общее решение системы
A) в этом случае задается формулой
x(t) - CieAl'/u + C2eAjtA2 + C3eXlt{th2 + A3).
Пусть теперь А — трехкратное собственное значение А. Если жорданов
базис состоит из двух жордановых серий, одна из которых состоит из
собственного вектора Ai, а другая состоит из собственного вектора А2 и
присоединенного к нему вектора Аз, то общее решение A) имеет вид
x(t) = Ci€Xthi + C2exth2 + C3ext{th2 + h3).
Если же жорданов базис состоит лишь из одной жордановой цепочки
Ы, h2, h-з где hi — собственный вектор, a h2 и Аз — присоединенные к не-
нему векторы, то общее решение A) задается формулой
x(t) = dexthi + C2eAt(t/ii + h2) + C3eXt C^hi + th2
Пример З. Решить систему уравнений
' х = х-2у>
y = -x-y-2z,
при начальных условиях х@) = 0, j/@) = —1, z@) = 1.
Д Выпишем матрицу А системы:

84 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Найдем ее собственные значения Ai = —1,
собственным вектором является, например,
= A3 = 1. Для
а для Аз собственным вектором является, например,
а к нему присоединенным вектором, т.е. решением системы Л/13 =
А2/13 + ^2, служит, например,
Векторы hi, /12, Л3 образуют жорданов базис R3 и, следовательно,
общее решение системы имеет вид
0 )+С3е1
где С\, Сг, Сз — произвольные постоянные. При заданных начальных
условиях получаем решение
/х@\ { 2t\
V{t) = еЧ -1 . А
Пример 4. Решить систему уравнений
Д Собственное значение матрицы А системы Ai = A2 = A3 = — 1.
Множество всех собственных векторов матрицы системы задается
формулой

§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы
85
где С — произвольная постоянная. Возьмем собственный вектор
К нему присоединенным вектором, т. е. решением системы Ah% =
А1Л2 + ^ь является, например, вектор
Присоединенным вектором Аз к вектору h2, т. е. решением системы
Ah% = Л1/13 + ^2, является, например, вектор
Векторы hi, I12, Ьз образуют жорданов базис пространства R3. Зна-
Значит, общее решение заданной системы задается формулой
fx(t)\
V(t) =
W
где С\,Сч,С% — произвольные постоянные. А
Если матрица А действительная, то решить систему A) означает най-
найти ее общее действительное решение. Поэтому возникает вопрос о методе
получения всех действительных решений из формулы E) общего ком-
плеснозначиого решения системы A).
Если А—действительное собственное значение Л, то и все жордановы
цепочки C) для пего действительные. Если же А — комплексное собствен-
собственное значение А, то, как установлено в § 2 главы 2, число А является так-
также собственным значением А одинаковой с А кратности. При этом из C)
следует, что если h\,h2,- ¦ -_,hk — жорданова цепочка для А, то комплекс-
комплексно сопряженные векторы А^Лг,... >hk образуют жорданову цепочку для
А. В формуле E) каждому действительному значению А будут соответ-
соответствовать действительные решения xT{t) = ем ¦ Pr{t), г — 1,к, вида D), а
каждой паре комплексно сопряженных значений А и А будут соответство-
соответствовать комплексно сопряженные решения xr(t) = eM-Pr(t), xr(t) = ext-Pr(t),

86 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
г = l,fc, где к — длина жордановой серии для А. Нетрудно видеть, что
в последнем случае вектор-функции
4» (i) = Re [eXtPr (*)] , 42) (*) = Im [eMPr (()] , г = 1Л
будут действительными решениями системы A).
Теперь аналогично случаю линейного однородного уравнения порядка
п (см. § 2 главы 2) можно показать, что формула E) дает все дей-
действительные решения системы A) с действительной матрицей Л, если
в формуле E) считать все произвольные постоянные действительными,
а каждую пару комплексно сопряженных решений xr(t), xT(t), г = 1,к,
заменить на действительную пару xy\t), ху'(?), r= l,fc.
Пример 5. Найти все действительные решения линейной однородной си-
системы, заданной в примере 1.
Д Используя формулу Эйлера, имеем
/2\ /2cost\ /2sinA
«.(-»+* -г = е-Ч sint +te"' -cost .
\-1/ \-cost/ \-9mt/
Следовательно, общим действительным решением заданной системы
является вектор-функция
/x{t)\ /0\ /2cosA /2sint\
y(t) ] = Сх 1 + С2 ¦ е"Ч sint 1 + С3 • е~Ч - cos* ,
\z{t)J \l) \-cost/ \-sint/
где С\, С-1-, Сз — произвольные действительные постоянные. А
Итак, если известен жорданов базис, то всегда можно найти общее
решение A). Однако нахождение жорданового базиса — весьма трудоем-
трудоемкая задача. Поэтому в ряде случаев решение системы A) целесообразно
находить другим методом — методом неопределенных коэффициентов.
Пусть Ai,... ,Am (I < т < п) — попарно различные собственные зна-
значения матрицы А и пусть ri,... ,гга — максимальные длины жордановых
цепочек соответственно для Ai,... ,Am. Тогда из теоремы 2 следует, что
всякое решение системы A) имеет вид
где Pj(t) — многочлен степени (г^ — 1), коэффициентами которого слу-
служат n-мерные числовые векторы, j = l,m. Это обстоятельство позволяет
решать систему A) методом неопределенных коэффициентов. Если соб-
собственные значения Ai,... ,Am имеют соответственно кратности h,... ,lm
(h-\ + 1т = п), то ищут решение системы A) в виде

§ 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы 87
где Qj(t) — вектор-многочлены степени (lj — I), j = 1,га, с неопределен-
неопределенными векторными коэффициентами. Эти коэффициенты находят подста-
подстановкой x(t) в систему A). Теорема 2 гарантирует их определение.
Пример 6. Решить методом неопределенных коэффициентов систему
уравнений
[± = 2х + у,
[у — Ау - х.
( 2 1\
Д Собственным значением матрицы системы I , . ) является Ai =
Аг = 3. Будем искать решение системы в виде вектор-функции
где с\, С2, di, d-2 — неопределенные коэффициенты. Их находим под-
подстановкой x(t), y(t) в систему. После подстановки находим, что
d\ = ci, di = с\ + с?. В силу этого, все решения системы задают-
задаются формулой
1
где Ci и Сг — произвольные постоянные. А
Нетрудно заметить, что множество всех решений линейной однородной
системы A) образует линейное комплексное пространство. Из формулы
E) следует, что всякое решение системы A) однозначно записывается в
виде
x(t) = Cixi{t) + ¦ ¦ ¦ + Cnxn(t),
где Ci,... ,Сп — постоянные, а вектор-функции Xi(t),... ,xn{t) строятся с
помощью собственных значений и жордановых серий матрицы А. Это
значит, что ii(?)>••• ,xn(t) образуют базис в линейном пространстве ре-
решений системы A) и что это пространство является п-мерным.
Замечание. Нетрудно проверить, что линейная система Эйлера
tx(t) = Ax{t), t > О,
где А — числовая квадратная матрица порядка п, заменой t = eT сводится
к линейной однородной системе
•±(т) = Ах(т).
К этой же линейной системе сводится и линейная система
a-1(t)-x{t) = Ax(t),

88 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
где скалярная функция а(?) > 0 и непрерывна на промежутке Т оси R\,
если сделать замену по формуле т = fa(t)dt (здесь интеграл означает
фиксированную первообразную).
§ 3. Общее решение нормальной линейной
неоднородной системы с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим нормальную линейную неоднородную систему
x(t) = Ax(t) + f(t), A)
где t — аргумент, изменяющийся в некотором промежутке Т оси R\,
x(t)— неизвестная вектор-функция с п компонентами, А — заданная чи-
числовая квадратная матрица порядка n, /(?)—заданная непрерывная на
Г вектор-функция с п компонентами.
Покажем, что если известно какое-либо решение X(,(t) неоднородной
системы A), то замена x(t) = y(t)+xo(t) приводит решение A) к решению
однородной системы
y(t) = Ay(t). B)
Действительно, подставляя x(t) = y(t) + то (О В A), получаем у + х =
Ay + Axo + f(t). Т&к как хо(*) — решение A), то ±о = Ах0 + f(t). Следо-
Следовательно, y(t) удовлетворяет системе B).
Так как формула общего решения однородной системы B) уже нам
известна, то замена позволяет написать формулу всех решений системы
A). Именно, если j/i(?),... ,yn(t)—базис линейного пространства решений
однородной системы B), то формула
x{t) = Ciyi(t) + • • • + Cnyn{t) + xo{t), C)
где Си--- ,Cn — произвольные постоянные, дает все решения A). Функ-
Функция x(t) вида C) называется общим решением линейной неоднородной
системы A).
Следующее утверждение называют принципом суперпозиции для ли-
линейных систем A).
Лемма 1. Если f(t) — fi(t)+f2(t) uii(f) — решение системы A) npuf(t) =
fi(t), a X2(t) —решение системы A) при f(t) = f2(t), то x(t) —
является решением системы A).
О По условию леммы
±i(t) = Axi(t)+Mt), ±2(t) = Ax2(t) + f2{t).
Тогда
x(t) = i,@ + ±2(t) = Axi{t) + Ax2(t) + /x(t) + /2@ = Ax(t) + f(t).

§ 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы 89
Определение. Вектор-квазимногочленом называется вектор-функция
/(<) = e'I'Pm(t), где /г —заданное комплексное число, Pm(t) — вектор-
многочлен степени т, коэффициентами которого служат n-мерные век-
векторы.
Из теоремы 2 § 1 ясно, что всякое решение линейной однородной си-
системы B) представляет собой конечную сумму вектор-квазимногочленов.
Покажем, что в том случае, когда f(t) — вектор-квазимногочлен, все-
всегда существует некоторое решение неоднородной системы, тоже являю-
являющееся некоторым вектор-квазимногочленом. Зная такое решение A), по
формуле C) можно найти общее решение A).
Сначала рассмотрим частный случай. Пусть А — некоторое собственное
значение А и пусть hi,... , Л/t — некоторая жорданова цепочка для А из
жорданового базиса R".
Теорема 1. Если в системе A)
где Рт (t),... ,Рт (t) — многочлены степени не выше т, то для систе-
системы A) существует и единственно решение вида
• Qn+k-i{t), л = А,
где Qm{t) « Qm+*-i@ —многочлены соответственно степени т. и (т. +
А-1).
О Ищем решение A) в виде
*w = E<j(t)*,-.
Подставляя в систему A) и используя определение жордановой цепочки,
получаем, что

90 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Отсюда в силу линейной независимости h\,... , А*, следует, что
Ищем частные решения уравнений этой системы снизу вверх. То-
Тогда при ц ф Л существуют и единственны частные решения <* =
ifd&Ht),... ,Ci = ePQ&Ht), где Q№(t),... ,Q$ (*)-многочлены, среди
которых хотя бы один степени т. Подставляя Сь--- iCfe B формулу x(t),
находим, что при ц ф А
¦ t
где Qm{t) —вектор-многочлен степени т.
При ц — А существуют и единственны частные решения
где <2m (*)>••• »0m+t-i(*) ~многочлены соответственно степени т,...
(т+к— 1). Подставляя ?i,... ,Cfc в формулу x(t), находим, что при fj, —
x(t) = ^?о№+к
где Qm+A-i (*) ~ вектор-многочлен степени {т + к — 1). •
Теперь рассмотрим общий случай.
Теорема 2. Если в системе A) f(t) = e^Pm(t), где Pm(t) - вектор-
многочлен степени т, то для системы A) всегда существует решение вида
x(t) = e"'Qm+fc(«), D)
где Qm+k(t) — вектор-многочлен степени (т + к), причем к = 0, если ц —
не собственное значение А, и к не превосходит наибольшей длины жорда-
новой цепочки для \х, если ц — собственное значение А, а коэффициентами
Qm+k(t) слуокат п-мерные числовые векторы.
О Пусть жорданов базис Rn состоит из 5 жордановых цепочек
Ai ,... ,А^; для собственных значений Xj преобразования А (среди Xj
могут быть одинаковые), j = l,S. Разложим вектор-многочлен Pm(t) по
жордановому базису:

§ 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы 91
Среди всех многочленов Pj '()!),... Р^ (t), j = l,S, имеется хотя бы один
степени т. Из принципа суперпозиции следует, что частное решение си-
системы A) имеет вид
s
где xj (t) — частное решение системы
^^] E)
Пусть Ai,...,A9 A < q < n) — все собственные значения А.
Если ц ф \j, Vjr = l,g, то все неоднородные системы E) в си-
силу теоремы 1 имеют частные решения вида Xj(t) = e^Qj^it),
где Qj,m{t) — многочлен степени т и, следовательно, в этом случае
для системы A) получаем частное решение вида D) при к = 0.
Если же, например, ti = Х\, то согласно теореме 1 часть неод-
неоднородных систем E), для которых h!f\...,n?. —жорданова цепочка
для Ai, имеет частные решения вида Xj[t) = te^Qj^+k-iit), где
Qj,m+k-i{t) —многочлены степени (т + к — 1). Другая же часть неод-
неоднородных систем E), в которых /ц ,... ,н?' — жорданова цепочка для
Лг,... , Л9, согласно теореме 1 имеет частные решения вида Xj{t) =
e^Qj.mC)' гДе Qj,m(t) — многочлены степени т. Отсюда и из прин-
принципа суперпозиции следует, что система A) имеет частное решение
вида D). •
Замечания. 1) Практически частное решение D) ищут методом неопре-
неопределенных коэффициентов. Если наибольшая длина А; жордановой цепоч-
цепочки для (х неизвестна, то вместо числа к в формуле D) берут число i—
кратность собственного значения ц.
2) Если в системе A) f(t) представляет собой конечную сумму
вектор-квазимногочленов, то для получения частного решения A) исполь-
используются принцип суперпозиции и теорема 2.
3) Наконец, если в системе A) f(t) — произвольная непрерывная
вектор-функция, то частное решение A) находят, как правило, методом
вариации постоянных, о чем будет речь в главе 5.
Пример 1. Решить систему уравнений
Г х = Ах + 3t/ — 3-г,

92 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Д Собственные значения матрицы системы
/4 3 -3\
А = -3 -2 3
\ 3 3-2/
имеют вид Ai = —2, Аг = A3 = 1.
Для Ai собственным вектором, например, является
¦-(-:)
Ранг матрицы (А — ХъЕ) равен единице и поэтому эта матрица имеет
два линейно независимых собственных вектора. Такими векторами,
например, являются
Векторы h\, /12, Л3 образуют базис й3. Следовательно, общее реше-
решение линейной однородной системы, соответствующей заданной систе-
системе, имеет вид
где Ci, Сг, Сз —произвольные постоянные.
В силу теоремы 2 частное решение исходной неоднородной систе-
системы следует искать в виде вектор-функции
Подстановка ее в исходную систему дает а = 3, Ь — —3, с = 2.
Значит, общее действительное решение исходной системы задается
формулой
где С\, Съ, Сз — произвольные действительные постоянные.
Пример 2. Решить систему уравнений
(х = -Ъх + y-2z + dit,
I z = 61 -2j/ + 2z - 2cht.

§ 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы 93
Д Для матрицы системы находим, что ее собственными значениями
являются Ai = —2, Аг,з = —1±г. Соответствующими им собственными
векторами будут, например,
Поскольку по формуле Эйлера
(COS A
-sin* +,
-2 cost)
то общее (действительное) решение линейной однородной системы,
соответствующей исходной системе, имеет вид
(x{t)\ / l\ / cos A / sin A
y(t) -Сге~и 1 +C2e~l -sin* + C3e~l cost ,
z(t)J \-l/ \-2costJ \-2sintJ
где C\, C2, C3 — произвольные действительные постоянные.
В силу принципа суперпозиции и теоремы 2 частное решение ис-
исходной системы следует искать в виде
V(t) \=еЧа2
\z(t)J W
Подстановка этой вектор-функции в систему дает а\ — а2 = 2, аз =
—4, Ь\ = &2 = —2, &з = 4. Следовательно, общее (действительное)
решение исходной системы имеет вид
(x{t)\ ( 1\ / cost \
y(t) = Cte-2t I + C2e~l -sint +
\z(t)J \-l) \-2coBtJ
( sint \ ( l\
+ C3e~' cosi +sht 1 ,
где Ci, Сг, Сз — произвольные действительные постоянные.

94 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
§ 4. Решение нормальных линейных систем
с постоянными коэффициентами с помощью
матричной экспоненты
Еще один метод интегрирования нормальных линейных систем с посто-
постоянными коэффициентами основан на понятии матричной экспоненты.
1. Определение, свойства и алгебраический метод
вычисления матричной экспоненты
Пусть t € Я}, Л —квадратная комплексная матрица порядка п и пусть
Е — единичная матрица порядка п. Рассмотрим матричный степенной
ряд
Если матрица А = \\ац\\, А2 = \}а^\[,... ,Ак^\\а^\\ где i,j = M, то
любой элемент матричного ряда A) имеет вид E^—символ Кронекера):
Определение. Матричный ряд A) называется сходящимся (абсолютно
сходящимся) при t ? R\, если степенные ряды B) при всех i,j = 1,п
сходятся {абсолютно сходятся) при t 6 R}.
У сходящегося матричного ряда A) суммой ряда служит квадратная
матрица порядка п, элементами которой являются суммы сходящихся
степенных рядов B).
Лемма 1. Для любой матрицы, А и каждого t € R\ матричный ряд A)
абсолютно сходится.
О Всегда существует такое число М > 0, что \ец}\ < М, Wi,j = l,n. Так
как А2 = А ¦ А, то а},- = ^ ач>' арз и> следовательно,
р=1
п
р=1
Далее, по индукции, получаем, что при любых к € N и i,j — 1,п
Поэтому каждый ряд B) мажорируется рядом вида

§ 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 95
который сходится по признаку Коши. Следовательно, каждый ряд B)
сходится абсолютно, а, значит, и ряд A) сходится абсолютно для всех
t e R\. •
Определение. Сумма абсолютно сходящегося ряда A) называется ма-
матричной экспонентой е1А:
etA =
Замечание. Нетрудно видеть, что на каждом отрезке [а,0] числовой
оси Я^ ряд для ем сходится равномерно. Из C) очевидно, что для ну-
нулевой матрицы A etA = Е и что для А = Е etA = е' • Е.
Лемма 2. Если В — квадратная матрица порядка п и перестановочна с
матрицей А: АВ = В А, то справедливо свойство
etA . etB = etB . etA = et{A+B) t v< g д!
О Используя равенство АВ = В А и метод математической индукции, как
и в числовом случае, устанавливается формула бинома
к=0 К ' к+тп=п
Тогда
n=0 n=Ok+m=n
m=0 fc=0 *=0
Так как ряд для ег(А+в) абсолютно сходится, то преобразования в при-
приведенных выше выкладках законны в силу теоремы из курса анализа о
сходимости повторных рядов или рядов, полученных перестановкой чле-
членов данного ряда, если только абсолютно сходится двойной ряд.
Замечание. Если АВ Ф В А, то утверждение леммы 2 может не иметь
места, в чем можно убедиться на примере матриц
==(о о)' 5=(о о)-
Из леммы 2 при В — —А сразу следует, что матрица е tA являет-
является обратной к матрице е1А при всех t ? Щ. Отсюда, в свою очередь,
вытекает, что etA — невырожденная матрица при всех t € Я}.

96 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Из возможности почленного дифференцирования степенных рядов B)
при всех t € Rj получаем, что матрица etA при всех t € В\ имеет произ-
производные всех порядков, которые находятся из ряда C) почленным диф-
дифференцированием. При этом '
4-
at
Действительно, имеем
Вычислять etA с помощью ряда C) весьма непросто, если А — произ-
произвольная матрица. Поэтому сейчас изложим другой, алгебраический спо-
способ вычисления eiA. Посмотрим сначала, как изменяется матрица etA при
линейном невырожденном преобразовании Я (det Я Ф 0) матрицы А.
Лемма 3. Если А = НВН'1, то etA = HeiBH~l при всех t e R\.
О Имеем
А2 = А • А = НВН~1 ¦ НВН~1 = HB2H~\
По индукции легко показать, что при любом к € N
Ак = НВкН'1.
Подставляя выражения для Ак в ряд C), получаем
— t i / ^"^ t
eiA = Я • Я + ]Г jrytfJ^H-1 = Я IE + J2 V7
Итак, матрицы А и etA при линейном невырожденном преобразовании
Н меняются по одинаковому закону.
Из курса алгебры известно, что если существует базис Л" из собствен-
собственных векторов h\,... ,hn линейного преобразования Л, то в этом базисе
матрица В преобразования А оказывается диагональной:
В =
где по диагонали стоят собственные значения преобразования А. При
этом столбцами матрицы перехода Н служат столбцы из координат век-

§ 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 97
торов hi,... ,hn в исходном базисе еь... ,е„. В этом случае по формуле
C) находим, что
О
Р*»«
и тогда etA — HetBH~l по лемме 3.
Однако, как известно, не всегда существует базис Rn из собствен-
собственных векторов линейного преобразования А. Но, как утверждает теорема
Жордана, всегда существует жордаиов базис Rn, составленный из жор-
дановых цепочек для всех собственных значений А. Обозначим матрицу
преобразования А в жордановом базисе через J. Матрица J называется
жордановой нормальной формой матрицы А.
Опишем структуру матрицы J. Жордановой клеткой J*(A) порядка к
для собственного значения А преобразования А называется квадратная
матрица порядка к вида
Л (А) =
/А
О
1
А
\
О
т. е. матрица, у которой по главной диагонали стоят числа А, следующая
диагональ после главной состоит из единиц, а все остальные элементы
матрицы — нули. Например,
/А 1 0\
J3(A) = О А 1 .
\0 О А/
Пусть жорданов базис Л" состоит из s A < s < n) жордановьгх цепочек
для собственных значений Ai,... , As (среди них могут быть одинаковые)
и пусть &i,... ,fcs—длины этих цепочек {к\ -\ \-ks=ri). Тогда J явля-
является комплексной клеточно-диагональной матрицей вида
J =
Л2(А2)
о
\
0
Если fci = к2 = • •• = к, = 1, то матрица J имеет диагональный вид.
Клеточно-диагональную матрицу J будем коротко обозначать так:
J = diag { Jkl (Ai)', Л, (А2), ¦ • • , Jk. (As)} .
Матрица J определяется единственным образом с точностью до переста-
перестановок жордановых клеток JJtt(Ai),... >Л,(А4) по главной диагонали.
4 >769

98 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Если обозначить через Н матрицу перехода от исходного базиса
ei,...,en к жордановому базису R" (в столбцах этой матрицы стоят
координаты векторов жорданова базиса по базису ei,.-->en), то J =
Н^АН.
Из леммы 3 вытекает, что
Из матричного ряда C) и свойств клеточно-диагональн ых матриц сле-
следует, что
т.е. матрица etJ является клеточно-диагональнои матрицей, где по глав-
главной диагонали стоят матрицы e^Jk^>"\... ,etJk'^x'^. Итак, вопрос вычи-
вычисления матрицы etA сводится к вычислению матрицы etJh^, где Jk(X)-~
клетка Жордана порядка к для собственного значения А.
Введем в рассмотрение матрицу Jk@) порядка к вида
/О
1
О 1
О 1
\
о
0\
1
о/
т.е. матрицу, у которой следующая диагональ после главной диагонали
состоит из единиц, а все остальные элементы — нули, и единичную ма-
матрицу Ек порядка к. Тогда
Uk(X) = t\Ek + Uk{0), EkJk(Q) = Jk@)Ek
и по лемме 2
_ At . Uk@)
Матрица etJk(® находится с помощью матричного ряда A). Нетрудно
видеть, что при возведении матрицы Jk@) в степень, единицы переме-
перемещаются каждый раз параллельно вверх на следующую диагональ, т.е.
/О 0 1
0 0 1
0
= 0, т>к.
0\
1
0
о/
/0 0
0
0
о
о/

§ 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 99
Отсюда получаем, что
1!
Б hi
1
t
2?
f?
Следовательно,
= diag
где среди собственных значений Ai,... , Л„ могут быть одинаковые, а
<4i@),.-. ,Jk,@) — матрицы вида Л@) соответственно порядка к\,... ,ка.
Пример 1. Вычислить матричную экспоненту для матрицы
Д Матрица А имеет двукратное собственное значение А = 3. Для
этого собственного значения вектор
является собственным, а вектор
¦(V)
является присоединенным к h\. Векторы h\, Лг образуют жорданову
цепочку. Взяв
получим
Отсюда
Следовательно,
•"
""(J !)
е =.

100 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Замечание. Определение C) матричной экспоненты еА было получено,
исходя из разложения ех в степенной ряд на всей действительной оси я:
Аналогичным способом, рассмотрев произвольную действительную анали-
аналитическую функцию /(х), задаваемую степенным рядом
оо
k=0
с радиусом сходимости R > О, можно определить функцию /(А) от ква-
квадратной матрицы А с помощью матричного ряда
5>fcAfc, A° = E.
fc=0
Именно можно доказать, что этот матричный ряд будет абсолютно схо-
сходящимся для такой матрицы А, для которой все собственные значения Л
удовлетворяют неравенству |А| < R. Таким образом, например, получаем,
что для любой матрицы А определены матричные функции s'mA, chA:
Алгебраический метод вычисления }{А) основан на аналоге леммы 3 для
f{A).
2. Применение матричной экспоненты для решения
нормальных линейных систем с постоянными
коэффициентами
Пусть задана линейная неоднородная система
x(t) = Ax{t) + f{t), D)
где А —числовая квадратная матрица порядка п, /(?)— некоторая
вектор-функция с п непрерывными компонентами на промежутке Т оси
R\, и начальное условие
ж(«о) = «о, E)
где <о 6 Т, a xq — произвольный n-мерный числовой вектор.
Как известно из главы 1, все решения линейного уравнения первого
порядка
»'(«) =ay(t) + f(t),

§4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 101
где а —число и f{t) — заданная скалярная непрерывная функция на про-
промежутке Т оси Rj, задаются формулой
(о
где to 6 Т, С — произвольная постоянная.
Сейчас будет показано, что формула всех решений линейной системы
D) внешне совершенно аналогична этой простой формуле, если заменить
числовую экспоненту е0* на матричную экспоненту etA.
Теорема. Общее решение системы D) задается формулой
F)
«о
где to € Т, е1А — матричная экспонента, с — произвольный п-мерный чи-
числовой вектор.
О В системе D) сделаем замену x(t) — eiA ¦ y(t), где y(t) — новая не-
неизвестная функция. Эта замена приводит систему A) к эквивалентной
системе, так как если х(() — решение A), то y(t) = e~tA • x(t)— решение
новой системы, и наоборот.
Учитывая, что формула производной произведения матрицы на
вектор-функцию аналогична формуле производной произведения двух
скалярных функций, подставляя замену в систему D) и используя фор-
формулу производной etA, получаем:
etA-Ay(t)+etA.y(t) = AetAy(t) + f(t).
Отсюда
»(<)=е~М-/@.
что дает
Подстановка найденного значения y(t) в формулу .замены приводит к
формуле F). •
Следствие. Решение задачи Коши D), E) существует, единственно на
всем промежутке Т и задается, формулой
t
x(t) = е<'-|°>/| • хо + etA f
«о

102 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
О Подставляя формулу F) общего решения системы D) в начальное
условие E), находим, что с = е~'°А • xq. Подставляя найденное значение
с в формулу F), получаем утверждение следствия. 9
В частности, решение на всем Aj линейной однородной системы
(/(*) = 0 на Rl)
~(+\ — АтО\
XlfcJ — /Лж1\(/1
при начальном условии E) задается совсем простой формулой
Xyt) = € ' Xq.
Пример. Спомощью матричной экспоненты решить задачу Коши:
х = 3х-у,
у = 2i, х@) = »{0) = 1.
Д Найдем сначала матричную экспоненту. Для матрицы А заданной
системы собственные значения Ai = 1, Аг = 2. Для них собственными
векторами будут соответственно
Взяв
находим, что
Отсюда
е- = '
„ A 1\ „_! (-1 1\
Н={2 l)' Н ={2 -lj-
Тогда вектор-функция
[y(t))-e
где С\, Сг — произвольные постоянные, является общим решением
заданной системы, а вектор-функция
\y(t))-e W
является искомым решением задачи Коши.

§5. Преобразование Лапласа и его применение для решения уравнений 103
§ 5. Преобразование Лапласа и его применение
для решения дифференциальных уравнений
Преобразование Лапласа успешно применяется для решения линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем
таких уравнений. Метод решения линейных дифференциальных уравне-
уравнений и линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными ко-
коэффициентами, основанный на преобразовании Лапласа, называют опера-
операционным методом. Операционный метод широко используется также для
решения уравнений в частных производных.
В этом параграфе приводятся элементарные сведения о свойствах пре-
преобразования Лапласа и его применении. Эти сведения приводятся часто
без доказательства. Подробное изложение свойств преобразования Лапла-
Лапласа с доказательствами можно найти в курсах теории функций комплекс-
комплексного переменного (см. [39]).
Определение. Комплекснозначная функция f(t), t € А|, называется
оригиналом, если:
1. /(<) s 0 при t < 0.
2. На каждом отрезке полуоси t > 0 функция /(<) непрерывна за
исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода.
3. Существуют такие числа М > 0 и а, что \f(t}\ < Meat для всех
t > 0.
В п. 3 этого определения действительные числа М и а зависят от
функции f(t). Из п. 3 определения следует, что при t ->• +оо ориги-
оригинал /(<) растет не быстрее некоторой экспоненты. Например, каждая из
функций <", ef, sint, cos* при t > 0 может задавать оригинал, а функция
е( при t > 0 уже не может определять оригинал.
Условимся в дальнейшем задавать оригиналы только при t > 0, считая
их всегда равными нулю при t < 0.
Рассмотрим несобственный интеграл вида
A)
где р — комплексный параметр, p—s + ir, a /(t) — оригинал.
Лемма. Если f(t) —оригинал и \f(t)\ < Meat для всех t > 0, то несоб-
несобственный интеграл A) сходится при всех тех комплексных р, для кото-
которых s = Rep > a.

104 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
О Так как |e~pt| = е~н и lim e(or"i)f = 0 при s > а, то
+00 +1»
/ e-ptf{t)dt < J \е~*\ ¦ \f(t)\dt < M f e^-^dt =
0 0 О
М
a— a
Jfi-a)t
+00
1=0
м
s - а'
Определение. Пусть /(<) —оригинал и \f(t)\ < Meat для всех t > 0.
Преобразованием Далласа /(?) (или изображением по Лапласу /(<)) на"
зывается функция комплексной переменной
+00
F{p) = J е-Р1 ¦ f(t)dt, Rep > a. B)
о
Связь между оригиналом и его преобразованием Лапласа будем обозна-
обозначать так:
f(t) = F(p) или F(p) = /(O, Rep>a.
Отметим два простейшие свойства преобразования Лапласа.
1. Свойство линейности. Если fi(t) = ^i(p) при Rep > аь /2(f) = F2(p)
при Rep > аг и с\, с? — произвольные числа, то функция f(t) = cj/i + сг/г
тоже является оригиналом и
/(<) =ciFi(p) + C2F2(p) при Rep > а = тах(оьа2)- C)
Это свойство следует из выполнения требований определения оригина-
оригинала для f(t) и свойства линейности сходящегося несобственного интеграла.
2. Дифференцирование оригинала. Пусть f(t) и f'(t) — оригиналы,
причем |/(t)| < Meai, \f'(t)\ < Mieat, M > 0, Мг > 0, для всех t > 0.
Если /@ —' F(p) для Rep > а, то
f'(t)=pF{p)-f(+O), где f(+O)=\\mQf{t), Rep > a.
Действительно, интегрируя по частям и используя тот факт, что при
Rep > a lim \e~ptf(t)\ — 0, получаем
t+ + oo
+ОО +ОО
f(t) = j е~* ¦ f'(t)dt = |e-"/@|t+=^ +p I e-"f{t)dt = pF(p) - /(+0).
j
О
Применяя свойство п. 2 п раз, нетрудно обобщить этот результат.
Именно, если f(t), /'@_^- ¦ ,/^@.~°Ригиналь1> причем |/W(t)| < М,-е°е,
Mj > 0, для всех j = W~n и всех t > 0, и /@ = ^(р) при Rep > а, то
/<">(*) = p"F(p) - р"-1 ¦ /(+0) Р/(П)(+О) - /<-1>(+0), D)

§ 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения уравнении 105
где Rep > а, /^(+0) = lim f^(t), j = 0,n- 1. Особенно простой фор-
формула D) становится в случае, когда /^(+0) = 0 для всех j = 0,n —1.
Тогда /("'@ .=' pnF{p) при Rep > а, т.е. каждому дифференцированию
оригинала соответствует умножение на р его преобразования Лапласа.
Для применения преобразования Лапласа важно уметь по заданному
преобразованию Лапласа восстанавливать его оригинал. В курсах теории
функций комплексного переменного устанавливается формула обращения
преобразования Лапласа. Мы ее приводить не будем, а сформулируем
только свойство единственности оригинала, которое является следствием
формулы обращения.
3. Свойство единственности оригинала. Оригинал f(t) однозначно
определяется по его преобразованию Лапласа F(p) во всех точках, где
функция f(t) дифференцируема.
Рассмотрим теперь квазимногочлен tkext, где к>0 и целое, А—ком-
А—комплексное число, t > 0. Этот квазимногочлен задает оригинал, так как
всегда существуют такие числа М > 0 и а > Re А, что |*fceAt| < Me
при всех t > 0. Найдем преобразование Лапласа этого оригинала. Пусть
Rep > а > Re А. Тогда Rep > Re А и, значит, lim |?'е(л-^'| =0, 1-0, к.
Учитывая это обстоятельство, после интегрирования к раз по частям,
приходим к результату:
+0О
Г""* ¦ tkextdt = ik%-^
+ OO
(р-А)*+»-
о
Итак,
В частности, из формулы D) и свойства линейности C) следует, что
.= (К + 4т) = Т
2\p-iu р + гш) р2+ы
2г v ; 2г \р - гш р + гш) р2 + ш2
где w — действительный параметр, Rep > 0.
Разработаны справочные таблицы, содержащие преобразования Лапла-
Лапласа для широкого класса оригиналов (см. [16]).
Рассмотрим применение преобразования Лапласа для решения ли-
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

106 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Пусть задано уравнение
L(D)y(t) = (Dn + aiDn-] + ¦ ¦ ¦ + an-iD + an)y(t) = /(<), t > 0, F)
где oi,... ,вп~заданные числа и /(t) — оригинал, и начальные условия
У(+О) = Уо, У'(+О) = yi,... ,У(п)(+0) = ife-i, G)
где уо,у1,-- ,уп-1 —заданные числа. Можно доказать тогда, что и реше-
решение y(t) задачи Коши F), G) и его производные y'(t),... ,y^(t) явля-
являются оригиналами. Это очевидно в том случае, когда f(t) задает ква-
квазимногочлен при t > 0, так как в этом случае всякое решение урав-
уравнения F) при t > О является линейной комбинацией квазимиогочленов,
которая в силу свойства линейности и E) является оригиналом. Более
того, если \f{t)\ < Meat для всех t > О при некоторых М > О и а,
то y(t),y'(t),... ,уМ(*) —оригиналы, для которых }y^(t)\ < M\eal для
всех t > 0 и всех j = 0,п при Mi > 0 и а = max(a,Repi,... ,Repm),
где pi,... ,Pmi 1 < т < ni — корни характеристического многочлена
L(p) = pn + а\рп~1 + ¦ ¦ • + ап для дифференциального многочлена L(D).
Продолжим нулем /(<) и y(t) для /. < 0. Пусть y(t) —' Y(p) при
Rep > or и пусть /(?) —' F(p) при Rep > а. Применим к обеим частям
уравнения F) преобразование Лапласа. Используя свойство линейности,
правило дифференцирования оригинала и начальные условия G), полу-
получаем для определения изображения Y(p) алгебраическое уравнение
L(p)Y(p) - М{р) = F(p), Rep > d, (8)
где
М{р) = РП~ХУО + ¦¦¦+ РУп-7 + Уп-\ +
+ ni(p"j/o + ¦ ¦ ¦ +РУп-з + Уп-2) + ¦¦+ an-iyo.
Таким образом, операционный метод сводит решение задачи Коши F),
G) к чисто алгебраической операции — решению линейного алгебраиче-
алгебраического уравнения. При Rep > а характеристический многочлен L{p) ф О
и уравнение (8) однозначно разрешимо. Отсюда
и остается по Y(p) восстановить его оригинал, что на практике делается
по таблицам с использованием свойства единственности оригинала.
Заметим, что если начальные условия G) не заданы, то операцион-
операционный метод дает общее решение уравнения F), так как в М(р) числа
Уо, Уь ¦ • • ,Уп-i ~ произвольные постоянные.
Пример 1. Решить задачу Коши для уравнения y"{t)-5y'(t)+4y(t) =4,
t > 0, при начальных условиях у(+0) = 0, зЛ+О) = 2.
Д Будем считать, что правая часть уравнения и решение y(t) урав-
уравнения при t < 0 равны нулю. Характеристический многочлен Ь{р) —

§ 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения уравнений 107
р2 —5р+4 имеет корни р\ = 1, рг = 4. Пусть y(t) —' Y(p) при Rep > 4.
Применив при Rep > 4 к заданному на всей оси Rj уравнению пре-
преобразование Лапласа, получаем для Y(p) алгебраическое уравнение
- + 2.
Р
Отсюда, разлагая дробь на сумму простых дробей, имеем
p(p2 — 5p + 4) p p—1 p — 4'
Переходя к оригиналам, используя формулу E) и свойство един-
единственности оригинала, получаем искомое решение задачи Коши
y(t) = 1 - 2е* + e4t. к
Операционный метод с успехом применяется и для решения задачи
Коши для линейных систем с постоянными коэффициентами
x{t) = Ax{t) + /(ft), t > 0, x(+0) = x0, (9)
где Л —числовая квадратная матрица порядка п, /(i)—заданная вектор-
функция с п компонентами, которые все являются оригиналами, xq —
заданный числовой n-мерный вектор.
Продолжим /(<) нулем для t < 0. Пусть f(t) =' F(p), Rep > а, и пусть
Pi,--- iPm.1 I < яг < n, — все собственные значения матрицы А. Используя
формулу F) § 4, можно доказать, что тогда x(t), z(t) являются ориги-
оригиналами, если их считать равными нулю при t < 0, и их преобразования
Лапласа всегда существуют при Rep > а — max(a,Repb... ,Repm). На-
Например, это ясно, когда f(t) представляет собой конечную сумму вектор-
квазимногочленов, так как в этом случае при t > 0 всякое решение систе-
системы (9) также является конечной суммой вектор-квазимногочленов. Пусть
x(t) = X(p), Rep > а. Применяя к линейной системе (9) преобразование
Лапласа, получаем алгебраическую линейную систему уравнений
рХ(р) - х0 = АХ[р) + F(p).
При Rep > a det(pE — А) Ф 0 (Е — единичная матрица) и, значит, опре-
определена обратная матрица (рЕ — А)~1. Отсюда
Х[р) = [рЕ — А)~ [хо + F(p)], Rep > a.
Находя по известному Х(р) оригинал x(t), получим искомое решение за-
задачи Коши.
Пример 2. Решить задачу Коши при t > 0 для системы
{х = -х + 2у,
у = -х - 4у,
при начальном условии х(+0) = у(+0) = 1.

108 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Д Положим x(t) = y(t) = О для всех t < 0. Собственными значениями
матрицы системы являются р\ — —3, рг — —2. Тогда x(t), y(t) —
оригиналы, для которых определены преобразования Лапласа при
Rep > —2. Пусть x(t) = Х{р), y(t) = Y{p). Применяя к заданной
системе преобразование Лапласа, получаем линейную систему для
нахождения Х(р), Y{p):
Г(р+1)Х(р)-2У(р) = 1,
1, Rep>-2.
Разлагая выражения для Х(р), Y(p) на элементарные дроби, нахо-
находим, что
L
_ L_
р + 2 р + 3'
р + 3'
Отсюда получаем решение задачи Коши:
x(t) = Ае~21 - 3e-3t, y(t) = 3e~3i - 2e~2t.
§6. Методы решения произвольных линейных
систем с постоянными коэффициентами
Линейную систему п уравнений с постоянными коэффициентами и с п
неизвестными функциями можно записать в следующем виде
Aox^(t) + A.x^-'Ht) + ¦¦¦ + Am-ix'(t) + Amx(t) = f(t), A')
где t — аргумент, x(t) — неизвестная вектор-функция с п компонентами,
j4o,... ,Am—заданные числовые квадратные матрицы порядка п, причем
Ло — ненулевая матрица, f(t) — заданная вектор-функция с п компонен-
компонентами. Будем считать в дальнейшем, что t изменяется на всей числовой
оси Л,1, a /(i)—заданная на R\ вектор-функция, имеющая достаточное
число непрерывных производных.
Если порядок системы A') относительно компоненты Xj(t), j = l,n,
неизвестной вектор-функции x(t) обозначить через mj, j = l,n, то поря-
порядок М линейной системы определяется формулой М — т\ + ¦ • • + тп. В
случае невырожденной матрицы Ао М = тп, так как каждое m,j — m,
и М < тп в случае вырожденной Aq.
Используя оператор дифференцирования D (см. § 1 главы 2), введем в
рассмотрение матричный дифференциальный многочлен степени т вида
= A0Dm x

§ 6. Методы решения произвольных линейных систем 109
заданный иа множестве вектор-функций с п компонентами, имеющими
т непрерывных производных на R\, формулой
l(D)x(t) = i40z<m>(t) + А^т-Щ + ¦¦¦ + Amx(t).
Тогда система A') примет вид
l(D)x(t) = f{t). A)
Произвольную линейную систему A), как и нормалы1ую линейную систе-
систему, можно решать методом исключения неизвестных. В скалярном виде
система A) записывается так:
?(O = /«(*), *=Т^, B)
где матрица l(D) = ||^ф)||, i,j = I7n.
Обозначим через Lij(D) —алгебраические дополнения элементов lij(D)
матрицы l(D) и положим L(D) = detl(D). Пусть N — степень L(D). Яс-
Ясно, что N < М. Если х — (p(t) — решение системы A) на R}, то имеем
тождества
п
5]^(%(«) = /(((), г = Т^. C)
В силу условий на f(t) решение х = <p(t) — достаточное число раз не-
непрерывно дифференцируемая вектор-функция на R\. Метод исключения
применяется в том случае, когда L(D) ^ 0. Это, например, всегда так в
случае невырожденной матрицы Aq. В этом случае N = М. Действуя в
точности так же, как и в случае нормальной линейной системы (см. те-
теорему § 1), получаем из C), что
п
?(?>)Ы0=?А*(#).Ш, * = 1^. D)
t=i
Итак, каждая компонента решения системы A) удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению порядка N D). Однако не всякий набор
решений ipi{t),... ,<Pn(i) системы D) определяет решение линейной систе-
системы A). Поэтому на практике в случае L(D) ^ const после того, как най-
найдены общие решения уравнений D), содержащие вместе nN произволь-
произвольных постоянных, подставляют общие решения D) в исходную систему
A) и определяют связь между найденными постоянными. В результате
получаем решение A), зависящее от N произвольных постоянных.
Пример 1. Решить систему уравнений
(я + Зу - х = 0,
[ х + Зу - 2у = 0.

110 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Д В этом случае
Р2-1 3D2 _2_3Z>-2D2
D 3D - 2 " 2 ZD 2V ¦
Характеристический многочлен L(X) для дифференциального много-
многочлена L(D) имеет вид L(A) = 2 - ЗА - 2А2. Он имеет корни Ai = -2,
Аг = 5. Следовательно, ищем решение системы в виде
x(t) = C\e~2i + С2е5*, y(t) = C3e~2t + С4е^,
где связь между постоянными С\, Сг, Сз, С4 находим подстановкой
x(t), y(t) в систему. Подстановка дает С\ = —4Сз, Ci = С4. Значит,
решение исходной системы имеет вид
где Сз, С4 — произвольные постоянные. А
Заметим, что в случае L(D) = const ф 0 решения уравнений D) не
содержат произвольных постоянных и их подстановка в исходную систе-
систему A) приводит к некоторому условию разрешимости системы A). Это
условие на f{t) и ее производные.
Другой метод решения системы A) применяется в том случае, когда
L(D) ^ const. Это условие, например, выполнено в случае невырожден-
невырожденности матрицы Ао- Ограничимся случаем линейной однородной системы
{detA> ф 0):
l(D)x{t) = A0x^m'{t) + Aixim~l){t) + ¦¦¦+ Amx(t) = 0. E)
Очевидно, система E) имеет тривиальное решение x{t) = 0. Будем искать
нетривиальные решения E) в виде x(t) = е*( • Л, где h Ф 0 — п-мерный
числовой вектор. Подстановка x(t) в систему E), приводит к алгебраи-
алгебраической системе
/(А)Л = (А"М0 + A Ai + ¦¦¦ + АЛт_! + Am)h = 0. (б)
Матричный пучок
1{Х) = ХтА0 + Хт~1А1 + ¦¦¦ + XAm-i + Am
называется характеристическим пучком системы E), а уравнение степе-
степени N
ЦХ) = deti(A) s det(Am/l0 + А7" Ах + • • ¦ + Ат)
называется характеристическим для уравнения F). Его корни называют-
называются собственными значениями пучка /(А), а соответствующие им решения
h ф 0 уравнения l(\)h = 0 называются собственными векторами пучка
/(А). Ясно, что для степени N многочлена L(A) имеем 1 < N < М.
Таким образом, чтобы система E) допускала решения в виде x(t) —
eXt • h, h ф 0, необходимо и достаточно, чтобы А было собственным зна-
значением, a h — собственным вектором матричного пучка

§ 6. Методы решения произвольных линейных систем 111
Пусть матричный пучок /(А) имеет попарно различные собственные
значения А^Аг,... ,Алг и пусть hi,h,2,... ,hw — соответствующие им соб-
собственные векторы. Методом математической индукции можно установить,
что Л1, Л-2, - - - , /lyv — линейно независимые векторы в n-мерном линейном
пространстве, т. е. они образуют базис этого пространства. Следователь-
Следовательно, в этом случае все решения системы E) задаются формулой
x(t) = CieAl'/ii + ¦ ¦ ¦ + CNeXNt ¦ hN,
где С\,... , Cn — произвольные постоянные.
Пусть теперь Ао — ?о-кРатный корень уравнения L{\) — 0. Тогда из-
изложенный метод может не привести к цели, так как в общем случае
линейно независимых собственных векторов, соответствующих Ао, оказы-
оказывается меньше к$. Тем не менее, из уравнения D) следует, что реше-
решения, относящиеся к Ао, имеют вид x(t) — eXat ¦ Pko-i{t), где Pko-i(t) —
вектор-многочлен степени (ко — 1). Эти решения можно найти методом
неопределенных коэффициентов.
Пример 2. Решить систему уравнений
Г х - 2у + 2х = О,
Д В нашем случае характеристический пучок
/(Л) - { ЗА А2 - 8; •
Его собственные значения А) = 2, Аг = —2, Аз = 2г, А4 = -2i и
(Л)-
— соответствующие им линейно независимые собственные векторы
пучка 1(Х). Тогда все комплексные решения системы имеют вид
" х \у+ 2 \-у+ 3 v 1
4. Г г-
где С\, (?2) <5з, С*, — произвольные комплексные постоянные. Отсюда
все действительные решения можно получить тем же методом, что
и для нормальных линейных систем (см. § 2). В результате находим,
что все действительные решения системы задаются формулой
-2cos2A
sin2i ) '
где С\, С2, C3, Ci — произвольные действительные постоянные. А

112 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений
Упражнения к главе 3
1. Может ли нормальная линейная однородная система второго порядка
с постоянными коэффициентами иметь решение
\y(t)
2. Пусть x(t) —решение задачи Коши
x(t) =Ax(t ) + f(t), x@) = 0,
где Л —числовая матрица порядка п и /(?) —непрерывная на всей оси
Rl вектор-функция, и пусть y(t, т) — решение задачи Коши
где т — параметр. Доказать формулу Дюамеля:
е
x{t) = Jy(t - T,r)dr.
о
3. Доказать, что если собственные значения матрицы А не равны in
(п —целое), то линейная система
x(t)=Ax(t) + f(t)
имеет единственное 2?г-периодическое решение при всякой непрерыв-
непрерывной вектор-функции f(t) периода 2п.
4. Вычислив матрицу е1А, решить с ее помощью задачу Коши
х = Ах, х@) = (|
если
/1 1 0\ /0 0 1\
а) Л = [ 2 2 0 , б) А = 0 1 0 I .
\о оз/ \о о о/
5. Операционным методом решить задачу Коши:
y"(t) + a2y(t) = smut, о > 0, ш ф 0, t > 0, у@) = 0, у'{0) = 1.
6. Решить задачу Коши:

™^==s Глава 4 —
Исследование задачи Кош и
В этой главе будут изучены разрешимость задачи Коши для так называ-
называемых нормальных систем дифференциальных уравнений и для уравнений
порядка п в нормальной форме, зависимость решений задачи Коши от
параметров, а также разрешимость задачи Коши для уравнений первого
порядка, не разрешенных относительно производной.
Все функции в главе 4 предполагаются вещественнозначными.
§ 1. Вспомогательные предложения
I. Пусть Сп(Х) обозначает множество всех вектор-функций <р{х) с п за-
заданными непрерывными компонентами на промежутке 1 — [а, /?] числовой
X
оси R\. Если <р(х) е СяA), то, по определению, / ip{Qd?, где io,iel,
ХО
X X
означает вектор с компонентами f <pi{Q<%,... , f ipn(Qd?. Имеет место
ХО Х0
следующая лемма об оценке модуля интеграла от вектор-функции.
Лемма 1. Для V^(x) ? Сп (I) справедливо неравенство
IZ0
X
/
мок
где хо,х € X.
О Из условия теоремы следует интегрируемость <р(х) и |v(a;)|. Получим
требуемую оценку.
Пусть для определенности хо < х. Разобьем [хо,х] на т частей точ-
точками^: х0 ~ <1 < Сг < •¦¦ < Cm+i = х и возьмем любое т)к € [Ca,Ca+i],
к — 1,т. Составим интегральную сумму, где ACfc = Cfc ~ C/t-i и восполь-
воспользуемся неравенством треугольника. Тогда

114 Глава 4. Исследование задачи Коши
Рассматривая всевозможные разбиения [хо,х] на части точками Q и пе-
переходя в этом неравенстве к пределу при max Д<^ -» 0, получаем требу-
требуемое неравенство. •
Пусть на [а,0] задана последовательность вектор-функций щ(х) 6
С [а,/?], г — 1,2,3,..., и вектор-функция (р(х) € С„[п,/3]. Последова-
Последовательность ifi{x) называется равномерно сходящейся к <р(х) на [а,0] при
t -> оо, если maxl€[a0] |<#(х) — <р{х)\ —> 0 при г —> оо. В этом случае
пишут, что <Pi(x) z4 ip(x), Vx € [а,/3], i —> оо.
оо
Если задан ряд из вектор-функций 52<Л(я), где все <pi[x) ? С„[а,/?],
«=i
то, по определению, этот ряд называется равномерно сходящимся, если
N
последовательность его частичных сумм Флг(.т) = ^CVtW сходится рав-
»=1
номерно на [а, /3] при N —> оо.
Имеет место следующий признак Вейерштрасса равномерной сходимо-
сходимости ряда из вектор-функций.
Теорема. Если |<^»(а;)| < сч для всех г = 1,2,... и всех х € [а,/3] и числовой
оо оо
ряд 52 а» сходится, то ряд ? щ (ж) сходится абсолютно и равномерно на
[а, Я-
О Пусть <#(х) имеет компоненты ^-(ж), j = l,n. Так как |<^у(а;)| < <ц, то
оо
по обычному признаку Вейерштрасса ряд 2 VyfaOi Vj = l,n, сходится
:=1
абсолютно и равномерно. Отсюда следует утверждение теоремы. •
II. Об условии Липшица
Пусть R?*\ — (п-Н)-мерное пространство с декартовыми прямоугольными
координатами х,у\,... ,уп.
Определение. Область G С R?*\ называется выпуклой по переменной
j/, если для любых двух точек (х,у\) 6 G, (х,2/2) G G и любого б € [0,1]
всякая точка {х,у) 6 G, где у = у\ + б(уг - уО-
В случае п = 1 это определение геометрически означает, что если две
точки (x,yi),(x,y2) € GCT^xyy то весь вертикальный отрезок, их соеди-
соединяющий, тоже принадлежит G. На плоскости (х,у) круг х2 + у2 < 1 —
выпуклая по у область, а тот же крут с выколотым центром является
невыпуклой по у областью.
Пусть /(х, у) — вектор-функция с заданными п компонентами в обла-
сти G С В$

§ 1. Вспомогательные предложения
115
Определение. Говорят, что f(x,y) в области G удовлетворяет условию
Липшица относительно у равномерно по х, если 3 число L > О такое, что
для любых точек (х,у\) € G и (х,у2) € G. Число L называют постоянной
Липшица.
Обозначим через Cn(G) множество всех вектор-функций с п заданны-
заданными непрерывными компонентами в G.
Лемма 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) G —выпуклая по у область ? \
Ду.
*,j = 1,п,
2) /(»,у) е CniG), 8J^ e
3) существует число К > 0 такое, что
V(x,y) 6 G.
Тогда вектор-функция f(x, у) удовлетворяет в области G условию Лип-
Липшица относительно у равномерно по х с постоянной Липшица L — 3/2
О Пусть вектор yj имеет компоненты y\j,... ,г/п>, 3 — 1>2. Используя
условия леммы 2, для каждой компоненты Л(а;,2/) получаем оценку:
1
\fi(x,yi) - fi{xty2)\ =
Г п df\ +в(
У 5 1Х'У2^Ш
о J=1
\Уп -
<nK\yi -y2\.
Используя формулу длины вектора с п компонентами, отсюда
Из леммы 2 следует, например, что при п = 1 всякая непрерывно
дифференцируемая скалярная функция f(x,y) в замкнутом прямоуголь-
прямоугольнике G — {(х,у) : \х — xq\ < а, \у — yol < ^}i где числа а и 6 положитель-
положительные, удовлетворяет условию Липшица по переменной у равномерно по
х. Однако уже функция f{y) = -tyy не удовлетворяет условию Липшица
в окрестности у — 0.
Требование выполнения условия Липшица по у более слабое, чем тре-
требование существования производной по у. Например, функция f(y) = |у|
удовлетворяет условию Липшица в окрестности у — 0, но не имеет при

116
Глава 4. Исследование задачи Коши
у = 0 производной. Для функции одной переменной требование выполне-
выполнения условия Липшица занимает промежуточное место между непрерыв-
непрерывностью и дифференцированностью функции.
III. Лемма Гронуолла
Эта лемма имеет важные применения в теории дифференциальных урав-
уравнений.
Лемма 3 (лемма Гронуолла). Пусть на промежутке 1С й^ скалярная
функция <р(х) > О непрерывна и удовлетворяет- неравенству
<р(х) <А + В
X
где. А > О, В > О, х0, х € I. Тогда для Vx € 1
<р{х) < A-eBlx-x°l
О Пусть для определенности хо < х. Положим Ф(х) =
Из усло-
хо
вий леммы следует, что Ф'(х) = у>(х), Ф(хо) = 0, 0 < Ф'(х) < А + ВФ(х).
Умножив неравенство на е"^1"*0', имеем
d_
dx
Интегрируя это неравенство от xq до х и учитывая, что Ф(хо) = О,
получаем
А г
(х)е - ~в г
Находя отсюда оценку для Ф(х) и подставляя ее в неравенство <р{х) <
А + ВФ(х), получаем утверждение леммы. •
Нам понадобится также так называемая усиленная лемма Гронуолла,
которая доказывается по той же схеме, что и лемма Гронуолла.
Лемма 4 (усиленная лемма Гронуолла). Пусть на промежутке 1 С R\
скалярная функция ip(x) > 0 непрерывна и удовлетворяет неравенству
<р(х) < А + В
С|х-а:о1,
где А > О, В > О, С > 0, х0, х el, х0 ^ х. Тогда для Vx
-Tnl С

§ 2. Существование и единственность решения задачи Коши 117
§ 2. Существование и единственность решения
задачи Коши для нормальной системы
дифференциальных уравнений
1. Задача Коши для нормальной системы уравнений
Нормальной системой порядка п > 2 дифференциальных уравнений на-
называется система уравнений вида
у'п(х) =fn(x,yu... ,уп),
где х —аргумент, уj{х),... ,уп(х) — неизвестные функции, /i(x,j/i,... ,
J/n)>- ¦• i/n^iVii ••¦ >2/п) —заданные непрерывные функции в некоторой
непустой области G (п + 1)-мерного пространства Дл.+у, ,. \ с декарто-
декартовыми прямоугольными координатами х,у\.,... ,уп.
Для сокращения записи нормальной системы удобно перейти к век-
векторным обозначениям. Пусть
При таких обозначениях отождествляется точка у = (j/i,... , уп) евкли-
евклидова пространства Rn с вектором у, имеющим компоненты Уь--- ,?/«•
Нормальная система в векторных обозначениях примет вид
где /(гс,у) 0@)
Определение. Вектор-функция у = <^>(х) называется решением нормаль-
нормальной системы A) на промежутке X С я?, если:
1. <р[х) 6 С^ (I) — множеству всех непрерывно дифференцируемых
вектор-функций на промежутке I,
2. точка (х,(р(х)) G G для всех х € 1,
3. ?/<*) = /[*,?>(«)] на I.
График решения у = <р(х), х € I, системы A), т.е. множество всех
точек (x,ip(x)), Vx 6 I, называется интегральной кривой нормальной си-
системы A). Из определения решения A) следует, что интегральная кривая
системы A) является гладкой кривой, принадлежащей области G (п+1)-
мерного пространства Я!^Л. Рассмотрим начальное условие
уо, (xo,y0)€G. B)
Точка (хо,уо) € G называется начальной точкой, а ее координаты хо, г/о
называются начальными данными.

118 Глава 4. Исследование задачи Коши
Определение. Задача нахождения решения нормальной системы A),
удовлетворяющего начальному условию B), называется задачей Коши
или начальной задачей.
Геометрический смысл решения задачи Коши A), B) состоит в том,
что ищется интегральная кривая нормальной системы A) в области G,
проходящая через заданную точку (xo,j/o) € G.
Система уравнений вида
X
/[С, v(OK, C)
где (хо,уо) € G, f{x,y) €Crl(Gr), называется системой интегральных урав-
уравнений. Вектор-функция у — <р(х) называется решением на промежутке X
системы C), если:
1. <fi(x) G СA),
2. точка (x,ip{x)) € G, Va; € 1,
3. ф) =yo + ff[$MO]<K, VzeZ.
хо
Покажем, что разрешимость задачи Коши A), B) эквивалентна раз-
разрешимости системы интегральных уравнений C).
Лемма об эквивалентности. Вектор-функция у — <р(х) —решение зада-
задачи Коши A), B) на промежутке X тогда и только тогда, когда у — <р{х) —
решение на X системы интегральных уравнений C).
О Если у = ip(x) — решение на X задачи Коши A), B), то f[x,(p(x)] —
непрерывная на X вектор-функция. Тогда интегрирование от Xq до х
тождества <р'{х) = f[x,(p{x)] на X с учетом B) дает тождество из п. 3
определения решения C), т.е. у = (р(х) —решение C) на X. Обратно, если
у = (р(х) — решение C) на X, то / [х, (р{х)] — непрерывная на X функция.
Тогда, как следует из курса анализа, можно дифференцировать тожде-
тождество из п. 3 определения решения C). Полученное в результате диффе-
дифференцирования тождество показывает, что у = <р(х) — решение уравнения
A). Полагая х = хо в тождестве п. 3 определения решения C), находим,
что у = <р{х) удовлетворяет начальному условию B). •
2. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши
Теперь сформулируем и докажем теорему, дающую достаточные усло-
условия существования и единственности решения задачи Коши A), B). Эта
теорема является основным теоретическим инструментом при изучении
нормальных систем дифференциальных уравнений, которые, как прави-
правило, не допускают решений в квадратурах.

<j 2. Существование и единственность решения задачи Коши
119
Теорема 1. Пусть вектор-функция /{х, у) € C,,(G) удовлетворяет на ка-
каждом компакте (ограниченном замкнутом множестве) области G усло-
условию Липшица по у равномерно по х и пусть, кроме того, (хо, j/o) ? С?. Тогда:
1. найдется такое число 5 > 0, что при \х — xq\ < S решение задачи
Коши A), B) существует,
2. решение задачи Коши A), B) единственно в том смысле, что если
у = ф{х) и у = ф(х) — два какие-либо решения задачи Коши A), B), то
<р(х) = t/>(z) на пересечении Z промежутков определения этих решений
(х0 в X).
О В силу леммы об эквивалентности доказательство теоремы сводится к
доказательству существования и единственности решения эквивалентной
задаче Коши A), B) системы интегральных уравнений C).
А) Доказательство существования решения системы C).
Поскольку (хо,уо) е G и G — открытое множество, то 3 такие чи-
числа р > 0, q > 0, что замкнутый ограниченный цилиндр Gp4 =
{(х,у) 6 G : \х - хо\ < р, \у - уо| < Я) принадлежит G. Цилиндр Gvq пред-
представляет собой выпуклую по у область. В силу того, что цилиндр GM —
компакт, найдется такое число М > 0, что
\f(x,y)\<M, \/(x,y)€Gpq.
По условию теоремы 1 вектор-функция f(x,y) в области GP4 удовле-
удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х, т.е. 3 число L > О,
зависящее от цилиндра GP4, такое что
1/(*,У1)-/(*,У2)|<?|У1-У2|, V(x,t/i),(x,y2)eGp,. D)
Будем строить решение системы интегральных уравнений C) методом
последовательных приближений Пикара при \х - xq\ < 6, где S =
tnin (p, j§r). Определим последовательные приближения следующим рекур-
рекуррентным образом при \х — xq\ < 6:
у
г = 0,1,2,...
E)
Убедимся сначала в том, что при \х — xq\ < S каждая функция yi(x) —
непрерывна и что (x,yi{x)) € Gpq, i = 0,1,2,,... Применим метод матема-
математической индукции. Ясно, что 2/1 (х) непрерывна. По лемме 1 § 1 имеем,
что при |х — хо| < 6
X
< М\х - хо| <MS<q,
так как 6 < -fa. Значит, (x,yi(x)) G Gpq.

120
Глава 4. Исследование задачи Коши
Пусть при \х — хо| < & функция yi(x) непрерывна и пусть (x,yi(x)) €
Gpq. Докажем, что при |х - хо| < 5 функция y,+i(x) непрерывна и
{x,m+i(x)) € Gpq. Так как у*(ж) непрерывна при |х-хо| < S и (x,yi(x)) e
Gpq, ачэ при |х - хо| < 5 функция /[х,у<(х)] непрерывна. Тогда из E)
следует непрерывность y,+i(x) при \х — xq\ < 5. Кроме того,
< М\х - хо| < М8 < д.
Итак, при |х — xol ^ 8 все последовательные приближения yi(x) непре-
непрерывны и их графики лежат внутри цилиндра Gpq. Покажем, что после-
последовательность {yi(x)}^l0 сходится равномерно для |.г — хо| < 6 при г —> со.
Как известно из курса анализа, равномерная сходимость {у»(а;)}^0
эквивалентна равномерной сходимости при \х — хо| < 6 ряда вида
F)
t=0
Проверим для ряда F) выполнение условий признака Вейерштрасса
равномерной сходимости. С помощью метода математической индукции
установим справедливость оценки при \х — Xq\ < 6:
\у1+1(х)-уг(х)\<Ь1М1
, i = 0,1,2,...
{.у
При i — 0 оценка G) была установлена выше. Пусть
G)
Так как (х,г/*(х)) ? Gpq, \x - хо\ < 6, то из неравенства D) получаем:
\yi+i(x) - yi(x)\ <
X
fro
<L
<L
Ixo
L'-'M
г \x-xo\
-xo\i+l

§2. Существование и единственность решения задачи Коши 121
Таким образом, обоснована оценка G) общего члена ряда F). Из оценки
G) следует, что при |х - хо| < 6
¦ 6м
|у?+1(х) - yi(x)\ < MLlj^-j^, i = 0,1,2,...
Значит, ряд F) мажорируется сходящимся числовым рядом
По признаку Вейерштрасса ряд F) сходится равномерно при \x — xq\<6
к некоторой вектор-функции у = <р(х). Следовательно, и
у{(х) =t ч>(х)
для |х—хо| < 8 при i —> оо. По известной теореме из курса анализа о том,
что сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных вектор-функций
является непрерывной, вектор-функция у = (р(х) непрерывна при \х —
xq\ < 6. Переходом к пределу при г -+ оо в неравенстве \yi{x) - уо\ < q
для \х — хо\ < 6 убеждаемся в том, что график у = <р(х), т.е. множество
всех точек {х,(р(х)), \х — Xq\ < S, находится в цилиндре Gpq.
Покажем, что у = <р(х) — решение системы C) при |х — хо| < S. Так
как (х,<р(х)) € Gpq и (х,у{(х)) е Gpq, i = 0,1,2,..., для |х-хо| < S, то,
применяя оценку D), имеем:
\f[x<yi(x)]-f[x,4>(x)] <
< L\yi{x) - ч>(х)\ < L max \yi(x) - ч>(х)\.
|х—хо|<
Так как у,(х) =t (р(х) для |х — хо| < S при i -+ с», то из последней оценки
следует, что и / [х,у,(х)] =t f [х,(р(х)] для |х-хо| < 6 при г -^ оо. Но тогда
по теореме из курса анализа следует, что для |х — хо| < 5 при г —> оо
X X
хо хо
Переходя к пределу при г —> с» в равенстве E), получаем, что
Это значит, что у — <р{х) — решение системы C) при |х — хо| < 5, где
6 = (?)

122
Глава 4. Исследование задачи Коши
Б) Доказательство единственности решения системы C).
Пусть у = <р(х) — решение системы C) на промежутке Х\ (хо € Т\) и
у — ip(x) — решение системы C) на промежутке Тг (хо ? Zi), т.е.
10
Тогда на любом отрезке [о, /3] промежутка I =
справедлива оценка:
содержащем
\<р[х) - ф(х)\ =
f if [<MQ]-/[<,№]} <K
r0
<L
поскольку при х € [а, 0) интегральные кривые — компактные множества
в G.
По лемме Гронуолла |</з(х) — ф{х)\ = О, V.T € [а,/?], т.е. <р(х) = ip(x) на
[q,/?]. Так как [а,0\— любой отрезок I, то </э(х) = t/»(a;) на всем проме-
промежутке X. •
Геометрически теорема 1 означает, что через каждую точку (хо,Уо) 6
G в некоторой ее окрестности проходит единственная интегральная кри-
кривая системы A).
В качестве следствия теоремы 1 получим теорему существования и
единственности решения задачи Коши для дифференциального уравне-
уравнения порядка п в нормальной форме.
3. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши для уравнения порядка п
в нормальной форме
Рассмотрим дифференциальное уравнение
y,y' у("-1>), (8)
где f(x,yi,... ,уп) —заданная непрерывная функция в некоторой непу-
непустой области G С Щ"^\у .Лп, и начальные условия
(9)
где (*o,v{°UO)

§ 2. Существование и единственность решения задачи Коши , 123
Теорема 2. Пусть функция f(x,yi,... ,yn) непрерывна в области G, удо-
удовлетворяет на каждом компакте G условию Липшица по у\, уъ,... ,уп рав-
равномерно по х и пусть Ыо,у\ ,¦¦¦ ,Уп ) 6 G. Тогда:
1. найдется такое число 8 > О, что при \х — хо\ < S решение задачи
Коши (8), (9) существует,
2. решение задачи Коши (8), (9) единственно в том смысле, что если
у = <р(х) и у = ip{x) —два какие-либо решения задачи Коши (8), (9), то
(р(х) = ф{х) на пересечении промежутков определения этих решений.
0 Покажем сначала, что задача Коши (8), (9) редуцируется к задаче
Коши для некоторой нормальной системы уравнений. Сделаем в задаче
Коши (8), (9) следующую замену переменных: у — у1у у' — у2, у" =
уз,---,у^п~^=Уп- Тогда уравнение (8) перейдет в нормальную систему
вида
У\ = У2,
2/2 = Уз,
(Ю)
у'п-1 = Уп,
Уп ~ /(х,Уи--- ,Уп),
а начальные условия (9) примут вид:
Ы*о) = у{°\ У2Ы = у20).... ,уп(х0) = i/W. (и)
Очевидна эквивалентность задачи Коши (8), (9) и задачи Коши A0),
A1) в том смысле, что если у - tp(x) — решение (8), (9) при х ? I,
то вектор-функция с компонентами <р(х), <р'(х),... ,1р("~*>(х)— решение
A0), A1) при х € 2 и обратно, если вектор-функция с компонентами
Ф\(х),... ,<рп(х) —решение A0), A1) при х 6 I, то функция у = <р\(х) —
решение (8), (9) при х 6 X.
Если выполнены условия теоремы 2, то выполняются условия теоремы
1 для задачи Коши A0), A1). Следовательно, для задачи Коши A0),
A1) справедливы утверждения теоремы 1. В силу эквивалентности задач
Коши A0), A1) и (8), (9) отсюда получаем утверждение теоремы 2. •
4. Обсуждение доказанных теорем
1) Значение доказанных теорем прежде всего в том, что они дают ин-
информацию о решении задачи Коши в тех случаях, когда нормальная
система A) или уравнение (8) не интегрируются в квадратурах. Пример
такой ситуации дает уравнение Риккати. Тогда для их решения прихо-
приходится применять численные или асимптотические методы, а для возмож-
возможности их применения необходимо быть уверенным в том, что решение
задачи Коши существует и единственно.

124 Глава 4. Исследование задачи Коши
2) Примененный при доказательстве теоремы 1 метод последователь-
последовательных приближений Пикара поставляет формулы приближенных решений,
а в некоторых случаях и формулы точного решения задачи Коши. При
этом нетрудно указать оценку погрешности при замене решения у — (р(х)
задачи Коши A), B) его n-м приближением уп(х). Именно, из оценки
G) следует, что
\Ф)~Уп(х)\ < f>+l(*) - Уг(х)\ < ^Е^^Цу ^
Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение за-
задачи Коши: у' = у, у@) = г/о-
Д Имеем:
X
Уо{х) = з/о, 2/1 (*) = Уо + / Уо<К - 2/оA + х),
о
У2(х) = г/о + у yo(i + 0<*С = г/о f i+ а; + ||-J .
о
Методом математической индукции получаем, что Vfc e N
а:
При fc —> со и Va; € i?^ выполняется ук{х) —* у(х) = j/oeI- Эта схо-
сходимость равномерная по х на каждом отрезке [—а, а), а > 0. Итак,
искомое решение у — уоех. А
3) При условиях теоремы 1 существование решения задачи Коши до-
доказано на [хо — 8, хо + ^Ь Где & — тт (?>$)• Этот отрезок зависит от всех
исходных данных задачи Коши: /, G, xo, j/q- Отрезок тем меньше, чем
ближе точка (a;o,j/o) к границе области G и чем больше рост \f(x,y)\.
Доказанная теорема существования носит существенно локальный ха-
характер: существование решения задачи Коши гарантируется лишь в не-
некоторой малой ^-окрестности точки xq. Этот принципиальный момент
подтверждается примерами.
Пример 2. Решением задачи Коши у' = 1+у2, j/@) = 0, служит функция
у = tgx, \х\ < |. Здесь 5 < f, хотя правая часть уравнения — беско-
бесконечно дифференцируемая функция для Vt/ € В.*. Возникает вопрос
о необходимости условий на f(x,y), наложенных в теореме 1, для
получения существования решения задачи Коши. Ответ здесь таков.

§2. Существование и единственность решения задачи Коши 125
Другим методом, отличным от метода последовательных приближе-
приближений, для задали Коши A), B) можно доказать теорему существо-
существования решения лишь при одном условии непрерывности f(x, у) в G
и при (хо,уо) ? G (теорема Пеано) (см., например, [35], [41]). Те-
Теорему существования можно доказывать и другими методами — ме-
методом ломаных Эйлера или методом сжатых отображений (см. [35],
[43], [45]).
4) Доказанная теорема единственности решения задачи Коши носит
глобальный характер: оиа верна не только в окрестности точки хо, а на
всем том промежутке Х(хо € I), где определено решение.
В отличие от теоремы существования решения задачи Коши, для
единственности решения задачи Коши, как правило, одной только не-
непрерывности f(x,y) в области G недостаточно, нужны дополнительные
условия.
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши: у' — у/у*, у@) = 0. Здесь правая
часть уравнения не удовлетворяет условиям теоремы 1, так как она
непрерывна на всей плоскости Я? )j но не удовлетворяет условию
Липшица в окрестности у = 0. Покажем, что задача Коши имеет
бесконечное множество решений. Действительно, ее решениями слу-
служат у = 0, у = х3 и, например, любая функция вида (xq > 0)
[О,
X < Xo,
у = Ч>(х,хо) = <1/ >ч
, X > X0-
Часто для получения единственности решения задачи Коши вме-
вместо условия Липшица требуют в G существования непрерывных
Чтобы в этом случае можно было воспользоваться теоремой 1, необ-
необходимо установить следующую лемму.
Лемма. Если вектор-функция f{x,y) e Cn(G) имеет непрерывные част-
частные производные $**', i,j = l,n, в области G, то она удовлетворяет
условию Липшица по у равномерно по х на каждом компакте К области G.
О Рассуждаем от противного. Пусть утверждение леммы неверно. Тогда
найдутся компакт Ко С G и последовательности
{?п}~, , Ln > 0, Vn e N,

126 Глава 4. Исследование задачи Коши
такие, что
Поскольку Kq — компакт, то из последовательностей точек (хп,уп ) и
и
К0, к^оо.
(хп,Уп ) можно выбрать сходящиеся последовательности
Рассмотрим вектор-функцию
в достаточно малой окрестности точки {хо,Уд ,Уа )¦ ^на ограничена в
этой окрестности. Это следует из непрерывности f{x,y) в случае j/q ф
Уо и из леммы 2 § 1 настоящей главы в случае у с, — у о ¦ Но ограни-
ограниченность F(x,y^\y^) противоречит нашему предположению о компакте
Ко при больших л*. Это доказывает утверждение леммы. •
Из этой леммы следует, что утверждения теоремы 1, в частности,
верные, если }{х,у) и ее частные производные по у непрерывны в обла-
области G. Непрерывность же f(x,y) и ее частных производных по у на
практике проверить легче, чем условие Липшица по у равномерно по х
для f(x,y).
5) Если расширено понятие решения системы A), то можно устано-
установить теорему существования таких «обобщенных» решений задачи Коши
и для вектор-функций f(x,y), не обязательно непрерывных в G (см. [38],
[43]).
Однако и условие Липшица и условие непрерывности частных произ-
производных от f{x,y) по у\,.-. ,уп не являются необходимым условием един-
единственности решения задачи Коши.
Замечание 1. Будем называть решение системы A) особым, если ка-
каждая точка {хо,уо) интегральной кривой этого решения является точкой
неединственности решения задачи Коши A), B). Из теоремы 1 следует,
что точки неединственности решения задачи Коши могут быть только
среди тех точек G, в окрестности которых не выполнено условие Лип-
Липшица по у.
Так, например, в примере 3 решение у = 0 — особое. Более подробно
об особых решениях см. в § 6 настоящей главы.

§3. Непродолжимое решение задачи Коши 127
Замечание 2. Важным частным случаем нормальной системы A) явля-
является нормальная линейная система дифференциальных уравнений
у'(х)=А(х)у(х) + /(*),
где А(х) — заданная непрерывная на промежутке X С R]. квадратная ма-
матрица порядка п, а /(х)— заданная вектор-функция с п непрерывными
компонентами на X. В следующей главе 5 будет показано, что теоре-
теорему 1 для таких систем можно уточнить. Именно будет доказано, что
решение задачи Коши для нормальной линейной системы существует и
единственно на всем промежутке X. Аналогичный результат в главе 6
будет установлен и для задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения порядка п
у<"> + аг(*)у<п-х> + • • • + ап{х)у =
с непрерывными а\(х),... ,а„(х),/(ж) на промежутке I.
Замечание 3. Система дифференциальных уравнений вида
yuy'l,... .j/l'^,... ,yn,y'n,... ,у^
называется канонической системой порядка т — т\ + ¦ ¦ ¦ + тп. Заменой
вида yj = 2/jo, v'j-yji,--- ,У^'~1) = У],т,-\, 3 = Т7п, каноническая систе-
система порядка т сводится к эквивалентной нормальной системе порядка т.
Таким образом, изучение разрешимости задачи Коши для канонической
системы сводится к изучению эквивалентной задачи Коши для нормаль-
нормальной системы дифференциальных уравнений. Для канонической системы
начальные условия задаются условиями вида (9) для каждой из функ-
функций yi{x),... ,уп{х), причем для yi(x) задается mi условий,... , для уп(х)
задается тп условий.
§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши
Пусть для нормальной системы A) из § 2 заданы два решения: у — <р\(х)
на промежутке Ii и у = ?>г(а:) на промежутке Xi. Если Х\ С 12 и
Viix) — fii.x) Для всех х ^ Ii, то говорят, что решение у — <^г(х) явля-
является продолжением решения у = <р\ (х) с промежутка Х\ на промежуток
Тъ или что решение у = <pi(x) является сужением решения у — ч>ъ{х) с
промежутка 1г на промежуток Х\.

128 Глава 4. Исследование задачи Коши
Если существует промежуток Т — Т\{ЛЪъ такой, что f\(x) = ч>2(х) Для
всех г 61, то в этом случае решения у = (р\(х) и у = <^(х) системы A)
являются продолжениями одно другого, а вектор-функция
л/ ч jVifc). x € Xj,
Lv>2(a;), жеХ2]
является решением системы A) для всех х € Х\ U Хг- В частном случае,
когда X вырождается в точку, происходит стыковка решений у = ip\{x),
у — ?>г(х). Стыковка решений также представляет решение системы A)
на Xi UX2.
Определение. Решение у = <р(х) на промежутке X системы A) § 2 на-
называется нспродолжимым, если не существует никакого другого решения
системы A), являющегося его продолжением.
Из этого определения следует, что ггромежуток X непродолжимого ре-
решения у = ip(x) является максимальным в том смысле, что для всякого
другого решения системы A) у — ф(х) на промежутке Х\, совпадающего
с у = (р(х) там, где tp(x) и ф(х) определены одновременно, Х\ является
частью X.
При выполнении условий теоремы 1 § 2 было доказано существова-
существование решения задачи Коши A), B) из § 2 на отрезке [xq — 5, хо + 6\, где
<5 = min (p, ^). Следующая теорема показывает, что полученное решение
задачи Коши может быть продолжено единственным образом до непро-
непродолжимого решения.
Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 1 § 2. Тогда для любой точки
(^сУо) € G задача Коши A), B) из § 2 имеет единственное непродолжи-
мое решение у = Ф(г), определенное на некотором максимальном интер-
интервале {а,р). При этом, если х —* а + 0 или х —> /3 — 0, соответствующая
точка М (х, Ф(х)) интегральной кривой покидает любой компакт К С G и
либо М —v оо (т. е. хотя бы одна из координат М стремится к оа), либо
расстояние от М до границы dG области G p(M,dG) —> 0.
О Пусть для определенности область G не совпадает со всем простран-
пространством Л™^) и пусть Ао(хо,уо) ? G.
Построим цилиндр Go = {(х,у) € G : \х - хо\ < р0, \у - уо\ < ?о}> гДе
Ро,9о < ^ и do = p(Ao,dG). Если А(х,у) € Go, то \АА0] < \х-хо\ + \у-уо\ <
Ро + 9о < тр- Следовательно, Со С G и по теореме 1 существует един-
единственное решение задачи Коши A), B) у — Фо(х) при \х — Х(,\ < ^о, где
0 < 80 - min(po,^J, Мо = тах|/(х,у)| при (х,у) 6 Go.
Положим х\ = а;о + <So, Ух = Фа(х\) и возьмем точку Ai(x\ty\). По-
Построим цилиндр
Gv = {(х,у) е G:\x- xi\ < pi,\y - yi| < 91} ,

§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши 129
где pi,9i < it и di = p(Ai,dG). Так как Gi С G, то по теореме 1 § 2
существует единственное решение у = <pi(x) системы A) с начальным
условием у(х\) — J/1, определенное при
-^-J >0, Mi=max\f(x,y)\, (х,у) е
В силу единственности решения на пересечении отрезков [хо — So,
[xi — Si, x\ + 5{\ решения у = <ро{х) и у = ipi{x) совпадают. Поэтому
вектор-функция
ж / n tVoix), \х - хо\ < So,
у = ф1(х) = { .
(ж), |x-xi|<db
является единственным решением задачи Коши A), B) из § 2 на
[хо — 5о, xj + Si], xi = хо + So.
Продолжая этот процесс дальше, на fc-м шаге получим единственное
решение у = Фк{х) задачи Коши A), B) из § 2 на [хо ~ <$сь хк + &к]> ГДе
хк ~ xq+5o+Si-\ h^fc_i, Sj = min Ipj, -ф), Mj = max|/(x,y)|, [x,y) € Gj,
j = 1, к. При к —> со придем к единственному решению у = Ф(х) задачи
Коши A), B) из §2, определенному на ]хо — $о,Р), где /?= lim (x^ + rfj..).
Покажем, что у = Ф(х) непродолжимо вправо.
Если /? = оо, то вопрос о продолжении Ф(х) отпадает. Пусть \/3\ < оо.
Если lim Ф(х) не существует или равен ±со, то Ф(х) нельзя доопре-
делить в точке /? и, значит, нельзя получить решение A), B) из § 2 на
[xq — So, 0], т.е. Ф(х) непродолжимо на этот отрезок.
Если 3 lim Ф(х) = В, то положим Ф(/?) = В. Рассмотрим у — Ф(х)
x-t/3-O
для х € [хо — Sq,P] и покажем, что точка ЦЗ,В) 6 dG и, следовательно,
у = Ф[х) непродолжимо на [хо — Sq,C].
Рассуждаем от противного. Пусть @,В) eG и Ф'(/?) = /[/?, Ф@)]. То-
Тогда интегральная кривая для у = Ф(х) на [хо — Sq,P] — компактное мно-
множество Е С G. Из курса анализа известно, что тогда расстояние между
Е и dG p(E,dG) = d > 0. Рассмотрим точку Q(i,y) e E и построим
цилиндр G(Q) с центром в точке Q:
= {(x,y)€E:\x-x\<p,\y-y\<q}, p=p(G(Q)), q =
где p,q < ^p{Q,dG), M{G(Q)) = max|/(x,y)|, V(oc,y) 6 G{Q). В замкну-
замкнутой области
G= (J G(Qk)
Qk€E
5-2769

130
Глава 4. Исследование задачи Коши
< M(G) = maxd\f(x,y)\, причем M{G) >M{G{Qk))\ p(G(Qk)) и
Q[G(Qk)) >
rm
Но это значит, что
5k = min
-min
Ш
Это противоречит условию
k <oo.
k-1
Итак, предположение @, В) ? G неверно и решение у = Ф(а;) непро-
должимо в точку (Р,В). Остается показать, что решение у = Ф(х) поки-
покидает всякий компакт К с G. Пусть р(К, dG) = е > 0. Обозначим через
Ке замкнутое множество, полученное присоединением к К всех тех то-
точек Q € G, для которых p(Q,dK) < §. Пусть Ме = тах|/(ж, у)| при
Ч(х,у) € Ке. Тогда при ранее проведенном построении неравенство
-?о=min {Ь
=min
справедливо до тех пор, пока Q* € К. Таким образом, каждый шаг
продолжения продвигает решение Ф(х) больше, чем на ео- Следовательно,
конечное число продолжений решения у = tpo(x) с шагом <5* > ?о выведет
интегральную кривую для у = Ф(х) из компакта К.
Аналогично строится продолжение решения у = >ро {х) влево от точки
Хо- Полученное непродолжимое решение у — Ф(х) будет, таким образом,
определено в некотором максимальном (а,/3).
Модификация проведенных рассуждений для случая, когда G совпа-
совпадает со всем R?*y\\ очевидна. •
При условиях доказанной теоремы через каждую точку (хо,2/о) G G
проходит единственная интегральная кривая Г системы A) от границы
и до границы области G (см. рис. 1).
«(хо.уо)
Рис. 1

§ 3. Непродолжимое решение задачи Коши 131
С учетом зависимости кривой Г от начальных данных (^о.Уо) будем
обозначать соответствующее Г единственное непродолжимое решение за-
задачи Коши A), B) из § 2 через
у = Ф(х,а;о,уо)-
При фиксированных (хо>Уо) ^ ^ Функция Ф определена на максималь-
максимальном интервале (а, /?), концы которого зависят, конечно, от начальных
данных х0,у0:
а = а(хо,у0), 0 = Р{хо,уо).
Сказанное означает, что область G сплошь покрыта непересекающимися
интегральными кривыми, если в G выполнены условия теоремы 1 из § 2.
Как будет показано в следующей главе, решение задачи Коши для
нормальной линейной системы дифференциальных уравнений
у'(х) = А(х)у(х) + f(x)
с заданными непрерывными на (а,/?) квадратной матрицей А(х) порядка
п и вектор-функцией f{x) с п компонентами существует и единственно
на всем (а,/?), если только xq 6 (а,/?). Это значит, что решение такой
задачи Коши является непродолжимым с областью определения (а,/?).
Аналогичный результат можно установить и для «почти линейных» си-
систем A) в полосе. Именно, если f{x,y) € C(G),
G = {(x,y):x€{a,ft,yeRn}>
f(x,y) удовлетворяет в G условию Липшица по у равномерно по х, то
решение задачи Коши A), B) из § 2 существует и единственно на всем
(а,/3), если только х0 € (а, /9).
Условие Липшица по у является условием линейности роста f(x,y) по
у. Оказывается, что при большем росте f{x,y) по у ситуация меняется.
Пример. Рассмотрим задачу Коши (у(х) — скалярная функция)
У = У2, 3/@) = Уо > 1-
Здесь функция /(х, у) — у2 имеет квадратичный рост по у и опре-
определена на всей плоскости Rfxy\- На первый взгляд нет видимых
препятствий для неограниченного продолжения решения задачи Ко-
Коши на всю ось Ох. Однако это не так. Искомое решение задачи
Коши имеет вид
I-Уох
и определено лишь при х > i.

132 Глава 4. Исследование задачи Коши
§ 4. Общее решение
дифференциального уравнения
Ограничимся для простоты задачей Коши для скалярного уравнения
у'= fix,у), у(хо)=Уо- A)
Будем считать, что в плоской области G выполнены условия теоремы 1
§ 2. Тогда при V(a;o,i/o) € G задача Коши A) имеет единственное непро-
должимое решение (см. § 3)
2/ = Ф(а;,хо,уо),
определенное в открытом множестве
п = {{х,хо,уо)- а; 6 (а,/3),{хо,уо) € G) ,
где а = а(хо,уо), 0 = Р(хо>уо)-
Как будет установлено в § 5, если f(x,y), §? € C(G), то решение
Ф(х,хо,Уо) является в И непрерывно дифференцируемой функцией.
Определение. Функция у = Ф(х,хо,уо), где (х,хо,уо) € И, называется
общим решением в форме Коши уравнения у' = f(x,y).
Итак, общее решение в форме Коши содержит два параметра хо.Уо-
Параметры хо,уо общего решения имеют простой геометрический смысл:
соответствующая интегральная кривая проходит через точку {хо,уо) € G.
Однако понятно, что параметры хо,уо не являются независимыми, на-
например, з/о = Ф(?о,хо,2/о)- Различные значения параметров могут давать
одну и ту же интегральную кривую уравнения. Это будет так, когда точ-
точка (хо,уо) перемещается по фиксированной интегральной кривой. Если
можно установить зависимость между xq и j/o вида хо = xo(t), yo~yo(t)
такую, что разным значениям t соответствуют разные интегральные кри-
кривые и при изменении t точка (а;о>2/о) пробегает все интегральные кривые,
то общее решение в форме Коши становится функцией только одного
параметра U
${(t)(t)) $(x,t). B)
Например, для линейного уравнения первого порядка
у' = a(x)y + f{x),
где а(х),Ь(х) € С(а,0), при перемещении точки (хо,уо), хо € (<х,@), по
вертикальной прямой хо = const общее решение в форме Коши становит-
становится функцией только одного параметра j/o-
Таким образом, общее решение в форме Коши, задающее двухпараме-
трическое семейство непродолжимых решений всевозможных задач Коши
A), в некоторых случаях может быть получено как однопараметрическое
семейство непродолжимых решений всевозможных задач Коши A).

§4. Общее решение дифференциального уравнения 133
Определение. Непрерывная функция у — Ф(х, С), где С —параметр, на-
называется общим решением уравнения у' = f{x,y) в некоторой области
Go С G, если для Ч(хо,уо) 6 Go уравнение уо = Ф(хо,С) имеет единствен-
единственное решение Со = Со(хо,уо) и функция у = Ф{х,Со) является непродол-
жимым решением задачи Коши A) в Go-
Если ioij/о связаны зависимостью xq — xo(t)t yo = Уо(*)» удовлетворяю-
удовлетворяющей выше сформулированным требованиям, то общее решение в форме
Коши B) при t = С становится общим решением уравнения.
Существование общего решения для произвольных уравнений у' =
f(x,y) можно гарантировать лишь локально, т.е. в некоторой окрест-
окрестности точки (жо.Уо)-
Теорема. Пусть /(х,у) —непрерывна в области G С Щхуу удовлетворя-
удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х на каждом компакте К С G
м (^О)Уо) 6 G. Тогда каждая точка (хо,уо) € G обладает окрестностью
U = U(xo,yo), в которой существует общее решение у = Ф(х,С) уравнения
У' = /(*,!/)¦
О Пусть прямоугольник П = {(ж,у) е G : \х - хо\ < а, \у - уо| < Ь} цели-
целиком расположен в G. Тогда в силу теоремы 1 § 2 существует реше-
решение у = Ф{х,хо,уо) задачи Коши A) при \х — xq\ < 5, 8 — min{a, jg-},
М = тах|/(х,у)| при (х,у) € П.
В качестве начальной точки возьмем точку (xo-,tj), где |т? — уо| < §•
Тогда теорема 1 § 2 применима в прямоугольнике П(т^) С П,
Щ'П) = \(х,у) €G : \х - хо\ < а, \у - 7]
Таким образом, решение у = Ф(х,хо,г)) задачи Коши у' = f(x,у),
yfao) = V< определено при \х — xq\ < 5\, Si = min{a, ^g}.
Окрестность U определим как подмножество внутренних точек мно-
множества {Ф(х,хо,т)),т} € [у0 - |,уо + §]}• Любое решение задачи Коши в
U имеет вид
( b b
у = Ф(х,хо,С), Се1уо--,уо + г
Итак, для нелинейных уравнений у' = f(x,y) при выполнении условий
теоремы существует общее решение в форме Коши глобально в области
G, но общее решение существует лишь локально. Например, для урав-
уравнения у7 = у2 функция у = ^zj> гДе С —постоянная интегрирования, не
является общим решением на всей плоскости R?xyy так как множество

134 Глава 4. Исследование задачи Коши
всех частных решений имеет вид
1у(х) = 0, у{х) = ^з^> С 6 (~0О> +0О)> Х<С> У > 0 и z > С, у < 0|.
Но в областях у > 0 и у < 0 функция у = j-Л^ уже является общим
решением.
В то же время общее решение в форме Коши имеет вид
У = гт У°
(х0 - х)у0'
Если точку (хо,уо) перемещать по прямой уо — —хо, то она будет пере-
переходить с одной интегральной кривой на другую и общее решение примет
вид
У = , тЦ-—ч—, 2/о 6 (-оо, +оо),
1 - (х + уо)уо
где х < ± - уо при уо > 0, х ? (-оо, +оо) при у0 = 0 и х > ^ - у0 при
уо < 0. Таким образом, последняя формула дает общее решение у1 = у2
на всей плоскости. Из этого примера также видно, что постоянная инте-
интегрирования С не всегда обеспечивает метку всех частных решений. По-
Поэтому при интегрировании конкретного уравнения не всегда получается
его общее решение.
Замечание. Доказанную выше теорему иногда называют теоремой о
локальном выпрямлении решений задачи Коши A), так как в каждой
окрестности U = и(хц,уо) множество точек (х,С), где С = С(х,у),
(^i у) 6 U, гомеоморфно (т. е. взаимно однозначно и взаимно непрерывно)
отображается на множество точек (х,Ф(х,С)), т.е. кусок интегральной
кривой у = Ф(х,Со), лежащей в окрестности U, отображается в отрезок
прямой С = Cq.
Аналогично уравнению у = f(x,y) вводится понятие общего решения
для нормальных систем и для уравнений порядка п в нормальной фор-
форме. Для более же общих типов уравнений и систем уравнений, например,
для уравнения первого порядка в симметричной форме, приходится рас-
расширять понятие общего решения, рассматривая общее параметрическое
решение. Кроме того, общее решение у = Ф(а;, С) может задаваться и
неявным образом с помощью уравнения ф{х, у, С) = 0.

§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 135
§ 5. Зависимость решения задачи Коши
от параметров и начальных данных.
Корректность задачи Коши
Если задача Коши для дифференциального уравнения является матема-
математической моделью реального физического процесса, то уравнение и на-
начальные условия могут содержать какие-либо параметры, характеризу-
характеризующие природу изучаемого явления. Значения параметров и начальные
данные обычно известны лишь приближенно, так как они определяются
экспериментально или вычисляются. В связи с этим возникает вопрос о
характере зависимости решения задачи Коши при небольших изменениях
параметров и начальных данных. Ясно, что для практики представляет
интерес только такая задача Коши, решение которой мало меняется при
малом изменении параметров и начальных данных.
В этом параграфе будут установлены достаточные условия непрерыв-
непрерывности и дифференцируемости по параметрам и но начальным данным
решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных урав-
уравнений.
1. Зависимость решения задачи Коши
от параметров
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы
у' = /(х,г/,А), 2/(хо,А) = У0, A)
где Л —вектор параметров Ai,...,Am, |А - Ао| < г, Ао — фиксирован-
фиксированный вектор, 1—фиксированное положительное число, f(x,у,А) —задан-
—заданная вектор-функция с п компонентами.
Теорема 1. Пусть вектор-функция f{x,y,X) непрерывна и удовлетворя-
удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х,Х при всех (х,у) € G, где G —
область -К?х+Л» м всех X, для которых |А — Ао| < г, и пусть, кроме того,
(#о>Уо) € G. Тогда найдется такое число 8 > 0, что решение у = <р(х, А) за-
задачи Коши A) является непрерывной функцией при \х — xq\ < 5, |А — Ао] < т-
О Схема рассуждений в доказательстве теоремы 1 в точности повторяет
схему доказательства существования решения задачи Коши для нормаль-
нормальных систем (см. теорему 1 § 2). Поэтому остановимся лишь на основных
моментах доказательства.
По лемме об эквивалентности задача Коши A) эквивалентна системе
интегральных уравнений
i
V (ж, А) = I» + у / (С, i/(C, A), A] dC- B)

136 Глава 4. Исследование задачи Коши
Следовательно, утверждение теоремы 1 достаточно установить для реше-
решений B). Так как (хо,уа) € G и G — область, то найдутся такие числа
р > О, q > 0, что цилиндр
Gpq = {(x,y)€G: |х-*о|<Р, |y-yol<<?}
лежит в G. Поскольку Gpq — компакт, то существует число М > 0 та-
такое, что
\f(x,y,\)\<M, V(x,y)€Gp,, VAe[A0-r, A0+r].
Из условия теоремы следует существование числа L > 0 такого, что при
V(z,3/i),0r,2/2) 6 G и VA б [Ао - г.Ао + г]
|/(*.У1,А)-/(*,1й,А)|<?|У1-У2|. C)
Возьмем 6 = min (р, -^) и при \х — х$\ < 5, |А — Ао| < г рассмотрим
последовательные приближения
X
Уо(*,А) = И>, VM-i С». А) = ift» + У / 1С» 1«(С. >). *] <*С» i = 0,l,2,... D)
го
Как и при доказательстве существования решения задачи Коши, анаг
логично устанавливается, что все последовательные приближения у^(г,А)
непрерывны при |а; — хо\ < 8, |А — Ао| < г и их графики полностью ле-
лежат в области, для которой (х,у) 6 GP9, |А — Ао| <г. Используя условие
Липшица C), методом индукции для приближений D) устанавливается
оценка вида
\yi+l(x,\)-yi(x,\)\<MV* *0} , i^O.1,2,...
Из признака Вейерштрасса тогда следует, что при \х — х$\ < S, |А — Ао| <г
Vi(z,\)=ttp(x,\), г->оо.
По известной теореме из курса анализа вектор-функция у = </э(х, А) не-
непрерывна при \х — хо\ < 5, |А — Ао| < г. Повторяя рассуждения, при-
приведенные при доказательстве теоремы 1 § 2, получаем, что у = (р(х, А)
при \х — хо\ < 5, |А — Ао| < г является единственным решением системы
интегральных уравнений B), а, значит, и задачи Коши A). •
Замечание. Аналогичная теорема справедлива для задачи Коши для
уравнения порядка п в нормальной форме, зависящего от вектора пара-
параметров А с компонентами Aj,... ,Aro
У(п) = Л*,|МЛ.. • .У^А), |А - Ао! < г.

§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 137
Этот результат получается сведением этого уравнения к эквивалентной
ему нормальной системе уравнений (см. п. 3 § 2). Аналогичный результат
имеет место и для непродолжимых решений A) (см. [36]).
Рассмотрим теперь вопрос о дифференцируемое™ по параметрам ре-
решения задачи Коши A). Для простоты изложения ограничимся случаем
задачи Коши для скалярного уравнения первого порядка в нормальной
форме:
у' - f(x,y,X), y(zo,A) =уо, E)
где вектор параметров А с компонентами Ai,...,Am задан при
|А — Ао| < г, Ао и г > 0 —фиксированы, /(ж,у,А)—заданная функция,
когда (х,у) пробегает область G С Щху\ и |А - А<)| < г.
Теорема 2. Если при Ч(х, у) € G и |А - Ао| < г функции f(x,у, А),
aff »* = 1>т> непрерывны и (хо, уо) 6 G, то найдется такое число 6 > 0,
что при \х — хо\ < 8, |А — Ао| < г для решения у = <р(х, А) задачи Коши E);
1) частные производные гДж,А) = ?*'. ', г = 1,т, непрерывны,
2) смешанные производные ¦ Д-^, г = 1,т, непрерывны и не зависят
от порядка дифференцирования,
3) частная производная Zi(x, А) удовлетворяет так называемому «урав-
«уравнению в вариациях по параметру А»
y(s,A),Al , df[x,<p(x,\),\)
дЦ Zi + d\ {6)
и начальному условию Zi(xo,X) = 0, i ~ \,m.
О Все рассуждения проведем для ^-. Для остальных ^-, г = 2,т, рас-
рассуждения аналогичны.
Выберем, как и в теореме 1, цилиндр Gpq и число 6 = min (p, -fa).
Множество G$ — {(z,y, А) : (х,у) € Gpg,\X - Ао| < г} образует выпуклый
по у, А компакт в пространстве Щ^Т^У 1^пя Iх ~ жо| < ^ |А - Ао| < г
положим A = (Ai,A), Ax,tp(x,\) = 1р(х,Хг + АХ\,Х) ~ (p(x,Xi,X).
Поскольку при
х-хо\<8, |А-А0|<г,
=f[x,ip{x,X),X], <p(xo,X)=yo,
Х) з f [,MXtXlX
! +ДАЬА) =

138 Глава 4. Исследование задачи Коши
то вычитая эти тождества, получаем
-^Да,<р(:е,Л) =/ \x,tp(x, Ai + AAbA),A! + ДАьа] - f[x,(р(х, \и А), Аь А],
ДА, <,,(*, А) = 0. G)
Обозначим правую часть первого равенства в G) через Ax1f(x,(p,X)
и применим к ней так называемое тождество Адамара (см. [35], [36])
где Fi и Fz — непрерывные функции своих аргументов, получаемые в
результате вычисления |? от сложной функции. Применение тождества
Адамара законно, так как при |а; — xq\ < 8, |А —Ао| < г любое (х,(р(х, А), А)
принадлежит Gp, — выпуклому по у, А множеству из itft^xy Тогда G)
дает задачу Коши вида
/А /„ \\\ А .-/—ЛЧ
= 0. (8)
ДА!
Коэффициенты F\ и F? полученного линейного дифференциального урав-
уравнения первого порядка при \x — xq\<5, |A — Aqj <r являются непрерывны-
непрерывными функциями х, А. По теореме 1 решение Л*^ '— этой задачи Коши
является непрерывной функцией х, А. Переходя в этом решении к преде-
пределу при ДАх —? 0, получаем, что частная производная ffi' ' определена
и непрерывна при [х — Хо\ < б, |А —Ао| < г. Из тождества Адамара в силу
непрерывности F\ и F2 следует, что F\ -* Ц-, F2 -> -§fa При ДА! -> 0. Пе-
Переходя к пределу в задаче (8) при АХ\ —»• 0, получаем, что z\ (x, А) = ¦$?-
удовлетворяет первому уравнению из F) и условию z\(xq,X) — 0. Это
значит, что смешанная производная д§д*?- непрерывна при |х — хо| < <J,
|А - Ао| < г. Но у = tp(x, А) — решение уравнения из E), т.е.
*/[«.*..А),А].
При |х — а?о| ^ &i |А — Ао| < г правая часть этого тождества имеет не-
непрерывную частную производную |ур так как ^(^jA) B силу доказан-
доказанного выше имеет непрерывную производную $?- и по условию теоремы
2 §у>дд^) * = 1,т,— непрерывны. Т^ким образом, и левая часть ^' '

§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 139
тождества имеет непрерывную gf-fj- В силу известной теоремы из кур-
курса анализа
дхд\х М
Отметим, что уравнение в вариациях является линейным уравнением
первого порядка.
Замечание. Аналогичные результаты имеют место для нормальной си-
системы, для уравнений порядка п и для непродолжимых решений A)
(см. [36], [47]).
Пример 1. Найти производную по параметру Л от решения задачи
Коши
у1 = АA - х) + у - у2, у@) = О,
при А = 0.
Д Пусть у = <р{х, А) — решение задачи Коши и пусть z(x,X) = ^'' '.
По теореме 2 z(x, A) — решение задачи Коши
f- = [l-2<p(x,\)]z+l-x, z\t=a = 0.
ох
Поскольку у = </э(х, 0) — решение задачи Коши
У' = У ~ У2> »@) = 0,
то <р(х,0) = 0. Тогда для z(x,0) получаем задачу Коши
z' = z + 1 - х, z@) = 0,
откуда z = х. А
Можно установить и обобщение теоремы 2, касающееся существования
и непрерывности производных высших порядков по параметрам. Мож-
Можно показать, что в случае, когда при (х,у) € G и |А - Ао| < г непре-
непрерывны функция f(x,y,\) и все ее частные производные
\а\ = qq + Qi + • ¦ ¦ + ат, до порядка к > 1 включительно, то решение
у = (р{х, А) задачи Коши E) при |аг — хо| < 6, |А-А0| <г имеет все непре-
непрерывные частные производные a^/^L- |/3| = А + • • • + An» ДО порядка
к > 1 включительно. Более того, решение у — </э(х, А) можно разлагать по
формуле Тейлора по степеням (А—Ао) в окрестности А = Ао с остаточным
членом О ((А — Ао)*)- Если же функция /(ж, у, А) является аналитической
функцией у, А в некоторой окрестности у = у0, А = Ао, то можно дока-
доказать, что и решение у = (р(х,Х) задачи Коши E) является аналитической
функцией А в некоторой окрестности А = Aq.

140 Глава 4. Исследование задачи Коши
Теорема 2 и ее обобщения позволяют получать асимптотическое по
параметру А представление решения задачи Коши E) при Л —? Ло- Ме-
Метод получения асимптотических при А —> 0 представлений решения зада-
задачи Коши в физических задачах обычно называют методом малого па-
параметра.
Итак, пусть требуется решить задачу Коши
у' = /(г,у,А), у|*=1о=уо, (9)
где /(г, у, А) удовлетворяет условиям теоремы 2 при V(s, у) € G и |А| < е,
е > 0. В этом случае задача Коши (9) называется регулярно возмущен-
возмущенной. Рассмотрим задачу Коши, получающуюся из (9) при А = 0:
у' = /{х,у,0), у(хо)=уо. A0)
Задача Коши A0) называется невозмущенной. Задача Коши A0) проще
задачи (9). Пусть ее решение у - tp(x) нами найдено для х е X (хо 6 Т).
При выполнении условий теоремы 2 решение у = (р(х, А) возмущенной
задачи Коши (9) можно разложить по формуле Тейлора при А = 0 с
остаточным членом в форме Пеано (для простоты считаем А скаляром):
'A + OfeA). A1)
В силу теоремы 1 <р(х,0) = <р(х), а в силу теоремы 2 z(x) = *%%' ' одно-
однозначно находится как решение задачи Коши для уравнения в вариациях:
2{хо) = 0.
Ах) = ф) +
Таким образом, формула A1) дает асимптотическое при А —> 0 разло-
разложение решения регулярно возмущенной задачи Коши (9). Если f(x,y,X)
имеет непрерывные производные по у, А высших порядков, то разложе-
разложение A1) можно уточнить.
Теория регулярных возмущений, которая обосновывает асимптотиче-
асимптотические формулы по малому параметру, является теоретической базой для
общепринятой в физике техники отбрасывания малых членов уравнения.
Метод малого параметра применяется не только для решения задачи Ко-
Коши, но и для решения других задач. Например, для получения периоди-
периодических решений нормальных систем, регулярно возмущенных параметром
А, метод малого параметра тоже является эффективным.
Пример 2. Найти асимптотическую формулу при А —> 0 до О(х,Х2) ре-
решения задачи Коши
у' = у-у2 + Х{1-х), у|1=о = О.
Д Для Vi 6 Rl и при А —> 0 решение у = </j(x, А) ищем в виде:
ф, А) = tpo{x) + А<р,(х) + \2ч>2{х) + О{х,Х2),

§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 141
После подстановки <р(х, А) в исходное уравнение и начальное условие
получаем, что <ро{к), <pi{x), <f>2(x) — соответственно решения следую-
следующих задач Коши:
У' = У ~ У2, 2/@) = 0,
у'=у+1-х, 2/@) = 0,
у' = у - х2, у@) = 0.
Отсюда находим, что <ро(х) = 0, <р\.(х) ±= х, <рг{х) = — 2ех + х
и, значит,
2 2 О{х,\2), А -> 0.
2. Зависимость решения задачи Коши
от начальных данных
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы
j/{x)=f{x,y), у(х0) = уо, A2)
где }{х,у) —заданная вектор-функция с п компонентами в области GC
Д?х+Л, а начальная точка (хо.уо) принадлежит некоторому шару Sr С G
радиуса г > 0:
Sr = {(хо,уо) б G: \хо - *о\2 + |2/о - Уо\2 < г2} :
Теорема 3. .Если f(x,y) —непрерывна в области G и удовлетворяет в G
условию Липшица по у равномерно по х, то найдется число 6 > 0 такое,
что решение у = <р(х,хо,уо) задачи Коши A2) является непрерывной функ-
функцией х,хо,уо при \х — xq\ < 6, {хо,уо) € Sr.
О При замене переменных х — хо = t, у — уо — z задача Коши A2) пере-
переходит в эквивалентную задачу Коши
z'{t)-=f(xo + t,yo + z) = F(t,z>xo,yo), z@)=0. A3)
В задаче A3) параметры хо,уо уже входят в правую часть системы. Из
условий теоремы 3 следует, что F непрерывна и удовлетворяет условию
Липшица по z равномерно по t,xo,yo при всех (t,z) 6 G [G — область,
полученная из области G при замене переменных) и всех (хо,уо) € 5Г.
Поэтому для задачи Коши A3) применима теорема 1. В силу этой те-
теоремы решение z = tl>(t,XQ,ya) задачи Коши A3) является непрерывной
функцией t, гео.уо при |t| < 6, где 6 > 0, и всех (яо,2/о) € Sr. Следова-
Следовательно, и решение задачи Коши A2) <р(х,хо,уо) - у0 + ф(х - х0,х0,у0) —
непрерывная функция х,хо,уо при \х - хо\ < S, (жо,2/о) € 5Г. •

142 Глава 4. Исследование задачи Коши
Вопрос о дифференцируемости по начальным данным рассмотрим для
простоты в случае скалярного уравнения первого порядка в нормальной
форме. Пусть задана задача Коши
У = /(*, У), уЫ)-Уо- A4)
Теорема 4. Пусть функции f(x,y), ^'" непрерывны в области G и
пусть (xoii/o) ? Sr. Тогда найдется такое число S > 0, что при \х — х-о\ < <5,
{хо>Уо) € 5Г Лил решения у = ip(x,xo,yo) задачи Коши A4):
1) частные производные -g^, j# непрерывны,
2) смешанные частные производные ^х^хв, gj^ непрерывны,
3) частная производная ^ = и(х,хо,уо) удовлетворяет «уравнению в
вариациях по .tqj>
ди _ df[x,ip(x,xo,yo)]
дх~ ду 'U
и начальному условию и\х-хо = —/@:0,2/0);
4) частная производная -^ = v(x,xo,yo) удовлетворяет «уравнению в
вариациях по уо»
dv_ _ д/[х,<р(х,х0,уо)}
дх ду
и начальному условию v\x=xa = 1.
О При замене х — xq = t, у — j/o — z задача Коши A4) примет пид
z'(t) = /(хо + t,yo + z)= F(t, z, х0, уо), г@) = 0, A5)
для которой выполнены условия теоремы 2. Если z = фA,хо,уо) —реше-
—решение задачи Коши A5), то <р(х,хо,уо) = yo+ip(x—XQ,XQ,yo) —решение зада-
задачи Коши A4). Тогда из выполнения для Ф(г,хо,уо) утверждений теоремы
2 получаем для <р{х,хо,уо) утверждения теоремы 4, если учесть, что
дхо dt 8xq ' дуо ду$
Замечания. 1) Уравнения в вариациях в теореме 4 формально получа-
получаются путем подстановки в A4) решения у = <р(х,хо,уо) и дифференци-
дифференцирования по zo,2/o полученного тождества. Поскольку уравнения в вари-
вариациях в теореме 4 являются линейными уравнениями первого порядка,
то можно выписать явные формулы для ^ и ^.
2) Аналогичные результаты справедливы для уравнений порядка п
в нормальной форме и для непродолжимых решений задачи Коши
(см. [36], [47]).

§5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных 143
3. Корректность задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы
у'{*) = /(*,у), уЫ=уо, A6)
где f{x,у) —заданная вектор-функция с п компонентами в некоторой
области G С Rgjiy (жо.уо) € G.
Определение. Задача Коши A6) называется корректной, если найдется
такой промежуток 2 (xq 6 X), что при Vz € X решение у = <р(х) зада-
задачи Коши A6) существует, единственно и непрерывно зависит от данных
задачи Коши (правой части системы и начальных данных aco>2/o) в том
смысле, что для Ve > 0 можно найти такое <5 > 0, что как только
|/(z. у) - f(x, у) < S, |50 - *о| < S, \у0 - уо\ < 6,
то при Vz G I \<p(x) — tp(x)\ < e.
В этом определении считается, что f(x,y) определена в G, (xo,yo) G G
и у = 0(ж) — решение задачи Коши A) при f(x,y) = f{x,y), x0 = iOl
2/0 = Уо-
Рассмотренная в пп. 1, 2 непрерывная зависимость решения задачи
Коши от параметров и начальных данных является частным случаем
вопроса о корректности задачи Коши. Именно корректные задачи Коши
могут служить математической моделью реальных физических процес-
процессов, так как данные этих процессов, как правило, определяются лишь
приближенно и, следовательно, необходимо быть уверенным в том, что
решение задачи Коши мало изменяется при малых изменениях исходных
данных задачи Коши.
Установим достаточные условия корректности задачи Коши A6). За-
Заметим, что в п. 2 при п = 1 корректность задачи Коши A6) по отно-
отношению к возмущению начальных данных уже была доказана.
Теорема 5. Пусть в области G вектор-функция f(x,y) непрерывна и удо-
удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х. Тогда задача Коши A6)
является корректной, причем если
я,у)-/(я,2/)| < 8, \хо-хо\<6, |уо-Уо1<<*,
то соответствующие решения у = <р{х), у = (р(х) задачи Коши A5) на
некотором [а,0] удовлетворяют оценке (жо,?о ^ [а>/?])¦'
\ф(х) - v>(x)| < 5 [(l + Af, + I) e^M - I] ,
где L — постоянная Липшица в G и М\ > 0 — некоторое число.

144
Глава 4. Исследование задачи Коши
О Решение у = <р(х) задачи Кошл A6) существует и единственно при
\х-хо\ < <5Ь где (Si = min(p, $), М = max|/(x,t/)|, V(a;,y) e Gvq c G
(см. теорему 1 § 2). Аналогично, решение у = ф{х) задачи Коши
У' = /(^, У). у0гО)=Уо,
по той же теореме существует, единственно при \х = х\ < Si, где 6\ =
min (р> ]^)) М = max f(x,y) , V(x,y) 6 (?p^ С G. При достаточно близких
(x0,j/o) и (г0,уо), т.е. при |х0-^о| < 6, \уо~Уо\ < «5, где J > 0 достаточно
мало, существует
[а,р] = [х0 - Si, х0 + Si) П [г0 - h, ?o + h]
такой, что iQiio ? [ai0\- Тогда для всех х е [а, 0\ имеем, что
/[С,
Отсюда, считая для определенности xq < xq, получаем, что
хо
хо
io
Если Mi = max(M, М) и L > 0 — постоянная Липшица в области (?, то
из последней оценки находим, что при
\ф(х) - ф)\ < \у0 - уо\
, у) - f(x, у)
\<p(Q -
- io\.
По усиленной теореме Гронуолла (см. лемму 4 § 1) тогда Vz e [а,/3]
\ф(х) - ф)\ < (|j/o - Уо\ + Mi\x0 -хо\)
< F + ад«Л'-о> + | (^'

§6. Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка 145
Замечание. Сведением уравнения порядка п к нормальной системе
можно показать, что при условиях теоремы 2 § 2 задача Коши для урав-
уравнения порядка п тоже корректна.
При неисполнении условий теоремы 5 задача Коши A5) может ока-
оказаться некорректной. Если взять задачу Коши для бесконечной системы
уравнений
у'п(х) = пуп(х), уп{0) =2/0, neN,
то она не будет корректной, поскольку уп(х) = Уоспх —у оо при п —> оо
для х 6 [0, <5], как бы мало ни было число <5 > 0.
§ 6. Разрешимость задачи Коши
для дифференциального уравнения
первого порядка, не разрешенного
относительно производной.
Особые решения
Рассмотрим уравнение
F(x,y,y')=0, A)
где F(x, у, р)— заданная непрерывная функция в некоторой области
G e rUvy
Для уравнения A) задача Коши ставится следующим образом (см. § 3
главы 1).
Задача Коши для A). Задана точка (xcirtbPo) ^ ^> Аля которой
¦^(^o.J/OiPo) =0. Требуется найти такое решение уравнения A), которое
удовлетворяет начальным условиям
У(хо)=Уо, у'(хо)=ро. B)
Следующая теорема дает достаточные условия существования и един-
единственности решения задачи Коши A), B).
Теорема. Пусть в области G функция F(x,y,p) непрерывно дифференци-
дифференцируема и пусть —\zyjf0>P°l ф 0. Тогда найдется такое число 6 > 0, что при
\х — xq\ < 6 решение задачи Коши A), B) существует и единственно.
О Перейдем к системе
Поскольку (zo,yo,Po) 6 G, F(xo,yo,Po) = 0, 9F{X<?V<>'P<>) ф о и F — непре-
непрерывно дифференцируемая функция в области G, то в некоторой окрест-

146 Глава 4. Исследование задачи Коши
ности U{xo,yo,po) С G выполнены все условия теоремы существования
и единственности неявной функции р = f(x,y), определяемой уравне-
уравнением F(x,y,p) = 0. Согласно этой теореме найдутся такие окрестно-
окрестности U(xo,yo) и U{po), что для V(a;, у) е U(xo,yo) существует единствен-
единственное решение р = f(x,y) 6 f7(po) уравнения F(x, y,p) — 0. Это решение
р = f(x,y) является непрерывно дифференцируемой функцией в окрест-
окрестности и(хо,уо) и ро = /Ы,Уо}-
Рассмотрим задачу Коши
у' = f(x,y), уЫ) = уо, (з)
в некотором прямоугольнике V = {(х,у) € t/(zoi3/o): \х~хо\ <• °> \у~Уо\ <
Ь} С Щаго,уо), гДе числа а а Ь положительные. В прямоугольнике V
выполнены все условия теоремы 1 § 2, поскольку в области V функ-
функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по у рав-
равномерно по х. Последнее вытекает из леммы 2 § 1, так как V — вы-
выпуклая по у область и ^„ —непрерывная ограниченная функция в
области V.
Согласно теореме 1 § 2 найдется такое 5 > 0, что при \х — хо| < <5,
6 = min(a, jj), M = max |/(i,j/)|, (x,y) 6 V, решение у = <р{х) задачи
Коши C) существует и единственно. Это решение является искомым ре-
решением задачи Коши A), B). Действительно, у = <р(х) удовлетворяет
уравнению A), так как F[x,y,f(x,y)] = 0, V(a;,y) eU(xo,y0) и у = <р{х) -
решение уравнения у' = f(x,y) при \х — xq\ < S. Кроме того, <р(хо) = уо,
<р'Ы) = / («о, ф[хо)} = /Ы, Уо) = Ро- •
Доказанная теорема геометрически означает, что через точку (хо,Уо) в
некоторой окрестности U(xo,yo) при выполнении условий теоремы прохо-
проходит единственная интегральная кривая уравнения A) с заданным в этой
точке угловым коэффициентом касательной ро- В этом случае говорят,
что в точке (хо,уо) имеется локальная единственность решения задачи
Коши A), B). Точка (хо,уо,ро) называется особой точкой уравнения A),
если либо (хо,Уо,Ро) ^ G, либо (хо,уо,Ро) € G, но в окрестности точки
(^О)Уо) решение задачи Коши A), B) или не существует или не единст-
единственно.
Определение. Решение уравнения A) у = гр(х), х € 2, называется осо-
особым решением, если каждая точка {хо,ф(хо)), xq € I, его интегральной
кривой является точкой локальной неединственности решения задачи Ко-
ши A), B).
Особое решение у = ~ф{х), х€Х, уравнения A) геометрически означа-
означает, что интегральная кривая для у = 1р(х) в каждой своей точке касается
некоторой другой интегральной кривой уравнения A) и не совпадает с
ней в некоторой окрестности этой точки.

§6. Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка 147
Если в каждой точке области G выполнены условия вышедоказан-
ной теоремы, то в G уравнение A) не имеет особых решений. Для су-
существования особых решений необходимо, чтобы в G нарушались усло-
условия этой теоремы. Будем предполагать в дальнейшем, что F(x,y,p)
является непрерывно дифференцируемой в G функцией, но что Ш
может обращаться в нуль в некоторых точках G. Тогда, если точка
(zo,2/o>Po) € G и через точку (а:о,3/о) б Щх<у) проходит интегральная
кривая особого решения A) с направлением касательной ро, то необхо-
необходимо
' =0,
= 0
др
Исключая из системы D) рд, находим связь между
Л>) = 0.
Определение. Множество точек (х,у) 6 Щху) (кРивая на плоскости
Л?ж .), определяемое уравнением Ф(х,у) = 0, называется дискриминант-
ным множеством точек (дискриминантной кривой) уравнения A).
Таким образом, интегральная кривая особого решения уравнения A)
необходимо является дискриминантной кривой A). Обратное не всегда
верно. Дискриминантная кривая не обязана быть гладкой кривой, не
обязана определять решение уравнения A) и, значит, не обязана давать
особое решение A). Например, прямая у = 2х является дискриминантной
кривой уравнения
у12 - Bх + у)у' + 2ху = 0,
но не дает его решения.
Из всего сказанного следует, что для нахождения особых решений
уравнения A) требуется:
1) найти все решения A),
2) найти дискриминантные кривые A),
3) отобрать те из решений A), которые дают дискриминантные кри-
кривые A),
4) для отобранных решений проверить выполнение определения осо-
особого решения A).
Пусть у = <р(х,С), х€Т, семейство решений уравнения A), зависящее
от параметра С, и у = ф(х), х 6 I, — кандидат в особые решения A). Для
выполнения определения особого решения необходимо, чтобы для Ух € I

148 Глава 4. Исследование задачи Кошн
Получилась переопределенная система уравнений для нахождения С =
С(х), iel Если для каждого х 6 X существует хотя бы одно решение
С — С(х) этой системы, то решение у = ip(x), x 6 I, является особым
решением уравнения A).
Пример 1. Найти все решения, исследовать особые решения и нарисо-
нарисовать интегральные кривые уравнения
уа + Аху' = Ъу2 + 9у.
Д Решения уравнения находим методом введения параметра. Перей-
Перейдем к эквивалентной системе
(dy=pdx,
\р2 + Ахр = 5ж2 + 9у.
Находя 9dy из второго уравнения и подставляя в первое уравнение,
получаем
9pdx = 2pdp + 4{j>dx + xdp) - lOxdx.
Отсюда
{p + 2x){2dp~5dx) =0.
Если р + 2x = 0, то из второго уравнения системы находим ре-
решение у = —х2.
Если же 2dp — 5dx = 0, то 2р = Ь(х — С), где С — произвольная по-
постоянная. Из второго уравнения системы тогда получаем семейство
решений
Дискриминантные кривые находим из системы уравнений
jp2 + Ахр = Ъх2 + 9у,
Исключая р из этой системы, получаем, что у = —х2 — дискрими-
нантная кривая. Так как у = -я2 — решение, то это единственный
кандидат в особые решения. Проверим выполнение определения осо-
особого решения. Для Уж € R]. должна выполняться система уравне-
уравнений:

§ 6. Разрешимость задачи Коши для уравненяя первого порядка
149
Эта система совместна при С = тр, следовательно, у = —х2 явля-
является особым решением уравнения. Картина поведения интегральных
кривых уравнения показана на рис. 2.
Пример 2. Найти все решения, исследовать особые решения и нарисо-
нарисовать интегральные кривые уравнения
Зу12 - 4e2V + Ауе2х = 0.
Д Перейдем к эквивалентной системе уравнений
dy = pdx,
Зр2 - 4е2хр + 4уе2х = 0.
Находя dy из второго уравнения и подставляя в первое уравнение
системы, после упрощений получаем уравнение
Если р = |е2х, то получаем решение у = \t2x, если же dp-pdx = 0,
то либо р = 0, что дает решение у = 0, либо р = Сеж, где С ф 0 —
произвольная постоянная, что дает решения у — Сех — \С2. Если
допустить С = 0, то формула у = Се1 — f С2 содержит и решение
У = 0.
Система уравнений
(
вр-4е2х = 0
определяет дискриминантную кривую у = \е2х. Поскольку эта функ-
функция является решением, то она единственный кандидат в особые ре-

150
Глава 4. Исследование задачи Коши
шения. Проверим для нее выполнение определения особого решения.
Для Уж 6 R\. должно быть:
Се* - f С2 = \е**,
Се* = § е2*.
Эта система имеет решение С = |ех при С > 0. При С < 0 систе-
система несовместна. Следовательно, у — \е2х — особое решение. Картина
поведения интегральных кривых показана на рис. 3.
у =
С<0
Рис. 3
Замечание. Если уравнение A) определено и на границе области G, то,
если часть границы или вся граница являются интегральными кривыми
A), они могут давать особые решения A).
Обобщением уравнения A) служит система уравнений
F(x,y,y')=0,
E)
где F — заданная вектор-функция с г» компонентами в некоторой обла-
области G С R}^2np\, а у(х) — неизвестная вектор-функция с п компонентами.
Постановка задачи Коши и условия ее однозначной разрешимости для
систем E) аналогичны случаю скалярного уравнения A). Общая систе-
система уравнений
=0, t =
подходящей заменой (см. п. 3 § 2) сводится к системе вида E).

§6. Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка 151
Упражнения к главе 4
1. Показать, что из выполнения условия Липшица для функции од-
одной переменной у = f(x), x 6 [а, 6], следует непрерывность функции
У = /(ж) на [а, Ь]. На примере функции у = ^/х убедиться, что обрат-
обратное утверждение неверно.
2. Показать, что функция одной переменной у = х2 удовлетворяет усло-
условию Липшица на любом (а, 6] и не удовлетворяет условию Липшица
на всей числовой оси R\.
3. Пусть функция }{х,у) то > 1 раз непрерывно дифференцируемая в
плоской области G. Доказать, что всякое решение у = <р(х) уравнения
у' = f(x,y) имеет непрерывную производную (т + 1)-го порядка.
4. Оценить интервал, на котором сходятся последовательные приближе-
приближения для задачи Коши
у' = у2 + cos х, у@) = 0.
5. Доказать, что последовательность функций уп(х), определяемая соот-
соотношениями
X
уо(х)~О, yn(x)=cosx-2- f [yn_i(C)-cosC]2sinC<2C, n = l,2,3,...,
о
сходится равномерно на [0; 0,1] и не сходится равномерно на [0; |].
6. Пусть у = ip(x, а, /3) — решение задачи Коши
у" = ау-у2, у@) = 1, у'@)=/?.
Найти
дф,1,0) д<р(х,1,0)
да ' д/3 '

======= Глава 5 ======
Нормальные линейные системы
дифференциальных уравнений
с переменными коэффициентами
§ 1. Исследование задачи Коши для нормальной
линейной системы уравнений с переменными
коэффициентами
1. Вспомогательные сведения о матричных функциях
Пусть X — промежуток действительной оси Ох и пусть матрица А(х) =
Иву (х) II» t = l,m, j = l,n, задана при i?l, причем ее элементы aij{x)
могут быть комплекснозначными. Для каждого фиксированного х € I
выражение
\
называется нормой матрицы А(х) и обозначается через ||j4(a;)||. Очевид-
Очевидны следующие свойства нормы матрицы. Если Л — комплексное число,
то при х 6 X
||АЛ(х)|| = |А| • |И(х)||.
Если А\{х) и А%(х)— две матрицы с т строками и п столбцами при
х 6 X, то
\\А1(х)+А2(х)\\^\\А1(х)
Пусть теперь В {х) — матрица с п строками и к столбцами при а; 6 X.
Тогда
В самом деле, если
С(х) = А(х) ¦ В(х) = \\сф)\\, i=T^i, j = ТД,
то при х 6 X
(=1
По неравенству Коши — Буняковского
(=1 р=1

§ 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений 153
Тогда при х € I
т к
ii2 = E?m*)i2^
г=1 ,= 1
Ё Ё Ё
Ё Ё Ых)\2 Ё Е им*)и2 = 1иин • пади-
В частности, если В (ж) — столбец у(х) с компонентами j/i{x),... ,yn(x),
то ||В(х)|| = |tf(*)| и при х 6 I
Заметим, что |ау(х)| < ||А(х)|| при i€l и всех г = l,m,j = Т~тг. Пусть
теперь задана последовательность матриц при х € 1
Мх) = lle^aOII, f = 17Ж, j = T~S, * = 1,2,3,...
Матричный ряд
называется сходящимся при х € I (равномерно сходящимся на проме-
промежутке I), если все ряды
сходятся при i el (равномерно сходятся на X).
Признак Вейерштрасса. Пусть для всех х € [а,/3], ||.4А(:гI1 ^ с* и пусть
оо оо
ряд 53 с* сходится. Тогда матричный ряд 53 Ак(х) сходится абсолютно и
Jt=i ¦ jfe=i
равномерно на [а, /3].
О Для а^'(ж) при всех х € [а, /3], г = l,m, j = 1,п, выполняется оценка
оо
и ряд 53 с* сходится. Тогда по обычному признаку Вейерштрасса все
*=1
оо ...
ряды 53 в« (ж) сходятся абсолютно и равномерно на [а,0]. 9
k=i }
оо
В частности, ряд Е + 53 гт-А'Ч21) равномерно сходится на [а,/3]. Его
*=1 '
сумма называется еА№.

154 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
По определению, если все элементы ау(х) непрерывны при х 6 I, то
матрица А(х) называется непрерывной при х € X. Если же все элемен-
элементы ву (х) — непрерывно дифференцируемы при х 6 I, то матрица А(х)
называется непрерывно дифференцируемой при х 6 X и ее производная
Л'(х) = Н4(г)|], « = T^S, j = ТЯ
Имеют место следующие очевидные свойства непрерывно дифференциру-
дифференцируемых матриц.
Если Л — числовая матрица, для которой определено произведение
Л • А(х) и А{х) — дифференцируема на I, то [Л • А(х)]' = Л • А'(х). Если
же Ai (х) и Лг {х) — непрерывно дифференцируемые на X матрицы с т
строками и п столбцами, то [Ах (я) + А2{х)}' - А^х) + А'2{х), х е X. Кро-
Кроме того, если А(х) и В(х) — непрерывно дифференцируемы при х € X
матрицы, для которых определено произведение А(х) ¦ В(х), то
[А(х) • В{х))' = А'(х) • В{х) + Л(х) ¦ В'(х).
Отметим, что в этой формуле нельзя переставлять сомножители. Из этой
формулы, в частности, следует, что для непрерывно дифференцируемой
при х?Х матрицы А(х), для которой А(х) А'[х) — А'(х)-А(х) (т.е. А(х)
перестановочна с А'(х) ), при любом п 6 N
[Ап(х)}' = пАп-\х) ¦ А'{х) = п ¦ А'{х) ¦ Ап~1{х).
В свою очередь, отсюда вытекает, что при условии перестановочности
непрерывно дифференцируемой при х 6 [а,0\ матрицы А(х) с А'(х) ма-
матрица еА(х) непрерывно дифференцируема и
[еАЫ]' = еЛ(х» • А'{х) = А'{х) • eA&.
Пусть А(х) —непрерывная на [а,0] матрица. Если Л—числовая матрица,
для которой определено Л • А(х), то для Vxq, a; e [«,/?]
Xo
X
где под интегралом fA(Qd? понимается матрица с элементами
г = l,m, j = 1,п. Если же В(х)— непрерывная на [а,/3] матрица с т
строками и п столбцами, то
X
J[A(Q
XQ
при xq, х 6 [a,/?].

§ 1. Исследование задачи Кошя для нормальной линейной системы уравнений 155
Если А(х) —непрерывно дифференцируемая на [а,0\ матрица, то
p
jA'(x)dx = A(p)-
2. Уточнение исследования задачи Коши
Рассмотрим нормальную линейную систему уравнений
у'{х) = А{х)у{х) + f(x), A)
где х е [а, /?], А(х) — заданная непрерывная при х ? (а, /3] квадратная по-
порядка п комплекснозначная матрица, /(х)—заданная непрерывная при
х€[а,0] вектор-функция с n комплекснозначными компонентами, у(х) —
неизвестная комплекснозначная вектор-функция с п компонентами. Си-
Система A) называется линейной однородной, если f(x) = 0 на [а, 0]. В
противном случае она называется линейной неоднородной системой.
Решение системы A) определяется аналогично тому, как оно бы-
было определено в главе 3 для системы A) с постоянной матрицей А.
Комплексная система порядка п A) эквивалентна некоторой действи-
действительной линейной системе порядка 2п. В самом деле, если положить
А(х) = Ах(х) + iA2(x), f(x) = /i(x) + г/г(х), у(х) = и(х) + iv(x), то си-
система A) примет вид
и'(х) = Ai(x)u(x) - A2(x)v(x) + Мх),
v'(x) = А2(х)и{х) + A!{x)v(x) + /а(ж).
Зададим начальное условие
У(*о) = Уо. B)
где io 6 [Q> 0\ и уо— заданный n-мерный комплексный вектор.
Задачей Коши для системы A) называется задача нахождения реше-
решения A), удовлетворяющего начальному условию B).
Теорема. Пусть матрица А(х) и вектор-функция f(x) непрерывны на
[а, 0\ и пусть Хо 6Е [а, 0\ и уо — произвольный вектор. Тогда на всем [а, /3}
решение задачи Кохии A), B) существует и единственно.
О По лемме об эквивалентности (она верна и для комплекснозначной
задачи Коши) задача Коши A), B) эквивалентна системе интегральных
уравнений на [а,/?]
X
у(*)=2/о + /и(С)у(С)+ДС)К. C)
«о

156 Глава S. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Доказательство существования решения C) проведем методом последова-
последовательных приближений. Пусть х,хо € [а, уЗ], xq Ф х,
Уо(х)=уо, yi+i(x)=
, t = 0,1,2,... D)
Все приближения yi+i(x) непрерывны на [а,0\ в силу непрерывно-
непрерывности А(х) и f(x) на [а, 0\. Докажем равномерную на [а, 0\ сходимость
{j/i(x)}~0 при г —> со. Для этого достаточно установить равномерную
сходимость на [а,/3] ряда
оо
- Vi(x)]. E)
t=0
Пусть А(х) — ||ау(х)]|, i,j = 1,п. Из непрерывности Л(х) и /(я;) на
[<а,уЗ] следует существование таких чисел К > 0 и М > 0, что |оу(а;)| ^ /if
при Vi,j = Т~п и |/(i)| < М для всех х 6 [а,/3]. Тогда норма матрицы
А(х)
\\А(х)\\^пК, Vx6[a,/3].
Поскольку
{x) - уо(х)\
\\А(х)\\ ¦ |уо| ^ пК\уо\ для Va; € [a,/3], то
1/@1) dC
Методом математической индукции докажем, что при всех х € [а, 0\ и
всех i = 0,1,2,... справедлива оценка:
F)
При г = 0 оценка F) уже установлена. Пусть оценка F) справедлива при
i = m — 1. Докажем ее справедливость при г = то. Учитывая, что
для Vz 6 [а,/?] получаем:
г
\ym+i(x) - ут(х)\
x
f\Vm(Q-Vm-l{<№
nK ¦ C{nK)
m-l
X
C{nK)ri
m!

§ 1- Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений 157
Неравенство F) доказано. Из F) следует, что для всех х € \а, 0] и всех
i = 0,1,2,...
\yi+1(x) - Ш(х)\ < С{пК)*У~?-.
Следовательно, ряд E) мажорируется сходящимся числовым рядом
Ы +
»=о г-
По признаку Вейерштрасса ряд E) равномерно сходится на [а,0\ к сум-
сумме ряда у = <р(х). Это значит, что
у{(х) =4 tp(x), i-Юо, а; 6 [а,/?].
По известной из курса анализа теореме у = (р(х) — непрерывная вектор-
функция на [а, /3]. Из оценки
\A(x)[yi(x) - <р(х))\ < пКЫх) - <р{х)\
и равномерной на [а,/3] сходимости yt(x) к у>(х) следует, что
А{х)уг{х) ={ ^(^^(ж), t -> op, x e [а, 0\.
Тогда по известной теореме из курса анализа можно перейти к пределу
в D) при t —»• со. В пределе получаем, что у = <р{х) — решение C) на
[а,0] т.е. существование решения A), B) на всем [а,0\ доказана. Един-
Единственность решения A), B) на [ог,/3] следует из теоремы 1 § 2 главы 4. •
Следствие. Задача Коши
у\х) = А(х)у, у{х0) = 0,
где хо € [а,0] и А(х) —непрерывная на [а,/3] квадратная матрица порядка
п, имеет единственное решение у(х) = 0 на [а,/3].
О Очевидно у(х) s 0, х 6 [а, /3], решение нашей задачи Коши. В силу
доказанной теоремы это ее единственное решение. •
Замечание. Если /(х) = 0 и А — числовая матрица, то метод последо-
последовательных приближений для задачи Коши A), B) дает ее решение
у = е{х~ха)А ¦ г/о-
Доказанная теорема уточняет утверждения теоремы 1 § 2 главы 4 о
существовании и единственности решения задачи Коши для нормальных
систем общего вида
у'= f(x,y)> уЫ) = уо-
Если А(х), /(ж)—действительны, то при выполнении условий нашей
теоремы выполнены все условия теоремы 1 § 2 главы 4. В силу теоре-
теоремы 1 имеет место локальное существование решения задачи Коши, т.е.

158 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
лишь в некоторой окрестности Хд, причем при некотором ограничении
на 2/о {[хо,уо) G G). Доказанная теорема для нормальных линейных си-
систем дает более сильное утверждение. Она гарантирует при любом на-
начальном значении уо существование решения задачи Коши A), B) на
всем [а,0] т.е. глобально.
При условиях доказанной теоремы можно доказать корректность за-
задачи Коши A), B) на всем [«,/?]. Если рассмотреть задачу Коши для
линейной системы с параметром Л
у' = A(x,X)y + f{x,X), у|х=хо=2/о, хое[а,/3],
где А(х,Л) и /(х,Л)—непрерывны при х € [а,0\, |Л — Ло| < г, то можно
доказать, что ее решение у = <р(х, А) — непрерывная функция при всех
i € [а,/3], |Л — Ао| < г. Если же А(х,Х) и /(г, А) — непрерывно дифферен-
дифференцируемы по А, то и решение у = <р(х, А) — непрерывно дифференцируемо
по А при |А — Ао| < г.
Если А{х) и f{x) не являются непрерывными на [а,/3], то решения
задачи Коши A), B) может не существовать. В таком случае можно
расширить понятие решения A), B) и ввести понятие обобщенного ре-
решения задачи Коши A), B). Если А{х) и /{ж) — измеримы и локально
суммируемы на некотором промежутке I числовой оси R\, то можно
доказать существование и единственность обобщенного решения задачи
Коши A), B) на всем промежутке Т (см. [31]). И эти условия разреши-
разрешимости задачи Коши можно существенно ослабить, если ввести понятие
так называемой обобщенной задачи Коши (см. [13]).
§ 2. Линейные однородные системы
Линейной однородной системой называется нормальная линейная система
дифференциальных уравнений вида
у'(х) = А(х)У(х), A)
где А(х) — заданная непрерывная на [а,/3] комплекснозначная квадратная
матрица порядка п.
Ее решениями будут некоторые комплекснозначные вектор-функции с
п компонентами на [а, 0\.
Непосредственно проверяется следующее предложение, называемое
принципом суперпозиции для системы A).
Лемма 1. Если у\{х), уг(^) —решения системы A) и С\,С2 — произвольные
комплексные числа, то у{х) = Ciyi(x)+C2y2{%) также решение системы A).
Пусть теперь на произвольном промежутке X действительной оси В^.
заданы комплекснозначные вектор-функции yi{x),... ,yk(x) с п компо-
компонентами.

§2. Линейные однородные системы 159
1. Линейная зависимость решений системы A)
Определение. Вектор-функции yi(z),... ,Ук(х) называются линейно за-
зависимыми на промежутке X, если найдутся числа ci,... , с^, одновремен-
одновременно не равные нулю, такие, что
ciyi(x) + ¦ ¦ ¦ + ckyh{x) = 0, ЧхеХ.
В противном случае, т. е. когда тождество на X выполняется лишь при
cj = ... = си = 0, вектор-функции у\(х),... ,ук{х) называются линейно
независимыми на промежутке X.
Пример 1. а) Если у\(х) = 0 на X, то yi(x), у2{х),... ,Ук(х) —линейно
зависимые на X.
б) Вектор-функции
( sin2 х\ ( cos2 х \ ( 1
V cos2x ;• ^ sin2x )' \ 1
являются линейно зависимыми на всей оси R*x.
в) Пусть Ai,... , Ад — некоторые числа, h\,... , hk — линейно неза-
независимые числовые векторы с п компонентами и к sj п. Тогда
eAlX-/i:,... ,eA*s • hk — линейно независимые вектор-функции на всей
оси й?.
Действительно, если предположить противное, то существуют чи-
числа с\,... ,Ск, такие, что |ci| + ... + |с*| > 0 и
CieAlI/i! + ... + ckeXtX ¦ hk =0, Vx 6 R\.
При фиксированном х = xq из линейной независимости hi,... ,/i^
отсюда получаем ci = ... = с* =• 0. Противоречие.
Заметим, что если yi(x),... ,j//t(x) линейно зависимы на X и про-
промежуток Х\ С X, то у\(х),... ,ук(х), очевидно, линейно зависимы и
на X. Обратное утверждение неверно, в чем можно убедиться на
примере
'|*j), I = R\, Zi = @,+oo).
Фиксировав хо G X, получаем числовые векторы j/i(xo),... ,Ук(з>а)-
Непосредственно проверяется следующее предложение.
Лемма 2. Если вектор-функции yj(x), j = l,fc, линейно зависимы на про-
промежутке X, то при Vxo S X числовые векторы yj(xo), j = l,k, линейно
зависимы.
Обратное утверждение к лемме 2, вообще говоря, неверно. Покажем
на примере.

160 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Пример 2. Вектор-функции
1 ) ¦ У2(я) = ( ж )
линейно независимы на оси Я^, но при Vzo 6 R\. числовые векторы
yi(xo) и 2/г(яо) линейно зависимы, так как угС^о) = ^o-yi(^o)- Одна-
Однако, как следует из доказанной ниже теоремы, для решений линейной
однородной системы A) такое явление невозможно.
Теорема 1. Пусть yj(x), j = 1, к—решения линейной однородной системы
A). Решения yj{x), j — I, к— линейно независимы на [а,0\ тогда и только
тогда, когда Vxo 6 [о,/?] числовые векторы yj(xa), j = l,fc линейно неза-
независимы.
О Пусть решения A) yj(x), j = l,k — линейно независимы. Если Бхо 6
[а,Р], такое, что yj[xo), j = l,fc—линейно зависимые векторы, то найдут-
найдутся числа с\,... ,cjt, |cj| + ... + |cjt| > 0, такие, что
ciyi(x0) + ... + скУк{хо) =0.
Вектор-функция
у(х) = с\у\{х) + ...+ скук{х)
по лемме 1 является решением системы A) и удовлетворяет начальному
условию у(хо) = 0- По следствию из теоремы § 1 тогда у(х) = 0 на [а, /3],
т.е. yj(x), j = l,k, линейно зависимы. Противоречие.
Наоборот. Пусть Ужо € [а, /3} векторы yj{xo), j — I, к, линейно незави-
независимы. Если бы вектор-функции yj(x), j = I,к, были линейно зависимыми
на [а,/3] то из леммы 2 следовало бы, что векторы yj(xo), j = 1Д,—ли-
1Д,—линейно зависимы. Противоречие. •
Следствие. Решения yj{x), j = 1,к, линейной однородной системы A) ли-
линейно зависимы на [а, /3] тогда и только тогда, когда для Vxo € [а, 0\ ли-
линейно зависимы числовые векторы yj(xo), j = 1,к.
2. Фундаментальные системы решений линейной
однородной системы A)
Определение. Любая система п линейно независимых решений A)
ipi(x),... ,tpn(x) на [а,/3] называется фундаментальной системой реше-
решений A).
Теорема 2. Для системы A) существует бесконечное множество фунда-
фундаментальных систем решений.
О Фиксируем хо ? [<&,0\ и п произвольных линейно независимых число-
числовых векторов у\ ',... ,уп сп компонентами. Обозначим через y>j{x) ре-

§ 2. Линейные однородные системы 161
шение A), удовлетворяющее начальному условию yj(xo) = j/j , j = l,n.
По теореме из § 1 каждое такое решение ifij(x), j — 1,п, существует и
единственно на всем [от,/?]. Система решений ipj(x), j = 1,п, образует
фундаментальную систему решений A), так как если бы она была ли-
линейно зависимой системой на [а,/?], то и числовые векторы j/j , j — l,n,
были бы линейно зависимы. Точку xq 6 [«,/?] и линейно независимые
векторы j/j , j = l,n, можно задавать бесконечным числом способов. •
Теорема 3. Если tpi(x),... ,ipn(x) — фундаментальная система реше-
решений A), то каждое решение у(х) линейной однородной системы A) пред-
ставимо единственным образом в виде
у(х) = civ»i(i) + C24>i(x) + ... + СпЧ>п(х),
где с\, С2,... , с„ — числа.
О Пусть у(х) — какое-либо решение A). Фиксируем хо е [а,0] и рассмо-
рассмотрим у(жо). По теореме 1 числовые векторы tpi(xo),... ,ч>п[хо) — линейно
независимы и, следовательно, найдутся числа с\,... ,Сп такие, что
у{хо) = c\ipi(x0) + ... + cntpn(x0).
Вектор-функция
z(x) = aipi (х) + ... + Сп(рп(х)
является решением A) и z(xq) = y(xo). По теореме единственности имеем
z(x) = y(x), Va; 6 [ot,f3]. Если бы нашлись другие числа ci,... ,с„ такие,
что у{х) = c\ip\(x) + ... + Cntpn(x), то разность решений дает равенство
(а - ci)v?i(x) + ... + {cn- Cn)ipn(x) = 0, Va; e [a,0].
Так как ip\(x),... ,tpn{x) — фундаментальная система решений A), то
С( = СЬ... ,С„ = Сп. •
Нетрудно убедиться, что множество всех решений A) образует ли-
линейное пространство. Теорема 3 означает, что фундаментальная система
решений A) tpi(x),... ,fn{x) служит базисом этого пространства. Следо-
Следовательно, пространство решений A) является n-мерным линейным про-
пространством.
Рассмотрим начальное условие для (I):
у(хо) = Уо> хо€[а,0], B)
где Уй — заданный числовой n-мерный вектор.
Решение у(х) каждой задачи Коши A), B) однозначно определяется
с помощью функции
у = сцрх{х) + ... +СпЧ>п(х), C)
где ci,...,Сп — произвольные параметры. Действительно, по доказанной
в § 1 теореме для каждого начального условия B) решение задачи Ко-
Коши A), B) единственным образом определено на [а, /3], а по теореме 3

162 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
это решение у(х) единственным образом представимо в виде C). В силу
этого формулу C) называют общим решением A).
Примерз. Пусть в A) Л —числовая матрица и пусть ее собственные
векторы Ai,... ,hn образуют базис Rn. Если Ai,... ^„ — соответству-
соответствующие им собственные значения А, то система eXlX-h\,... , eA"x-hn
образует фундаментальную систему решений A), а функция
где ci,... ,Сп — произвольные постоянные, является общим решением.
Этот факт уже известен из главы 3.
3. Фундаментальная матрица
линейной однородной системы A)
Определение. Матрица Ф(х) у которой столбцы образуют фундамен-
фундаментальную систему решений A) tpi(x),... ,ц>„(х), называется фундаменталь-
фундаментальной матрицей системы A).
Таким образом,
Очевидно, что Ф(ж) — непрерывно дифференцируемая матрица на [а,0\.
Из теоремы 2 следует, что для A) существует бесконечно много фунда-
фундаментальных матриц. Из определения фундаментальной системы решений
получаем, что Ф(х) — невырожденная матрица на [а,0\. Из теоремы 3 по-
получаем самое важное свойство Ф(х). Именно, если Ф(х) — фундаменталь-
фундаментальная матрица A), то общее решение системы A) записывается в простом
виде
у(х) = Ф(х) ¦ с,
где с — произвольный числовой n-мерный вектор.
Рассмотрим при х 6 [а, 0] матричное дифференциальное уравнение
Y'(x) = A(x)Y(x) D)
с неизвестной квадратной порядка п матрицей Y(x). Пусть
yi(x),-- ¦ ,Уп(х) — столбцы матрицы Y{x). Тогда
У'(х) = ||»1 (х),.. - , j4(s)|| = |И(*Ы*), •.. , >4(*Ы*)|| = A(x)Y(x).
Отсюда следует, что матрица Y(x) тогда и только тогда решение D), ко-
когда ее столбцы yi(x),... ,yn(x) —решения системы A). Это значит, что
фундаментальная матрица Ф(х) — решение уравнения D) и что общее ре-
решение D) имеет вид
Y(x) = Ф(х)С,
где С — произвольная числовая матрица порядка п. Тогда ясно, что
Ф(х) = Ф(х)-С\ где Ci — произвольная невырожденная числовая матрица,

§2. Линейные однородные системы 163
представляет собой общий вид фундаментальной матрицы A). По задан-
заданной фундаментальной матрице Ф{х), х е [а,/?] система A) однозначно
определяется. В самом деле, так как Ф(х) —невырождена на [а,C], то
на [а,0\ существует Ф-1(ж). Действуя на тождество
Ф'{х) = А{х)Ф(х), хе[а,/3],
справа матрицей Ф~х(х), получаем, что
Решение системы A) сводится к нахождению фундаментальной матрицы
системы A).
Если в системе A) Л —числовая матрица, то Ф(х) = ехА и, зна-
значит, все решения A) задаются формулой у(х) — ехА ¦ с, где с —произ-
—произвольный числовой n-мерный вектор. Эта формула уже была получена в
главе 3. Тот факт, что ехА — фундаментальная матрица A), следует из
того, что detex/1 ф 0 и что ехА удовлетворяет матричному уравнению
У(х) = А ¦ Y(x).
Если матрица А(х) перестановочна на [a, j3] со своей первообраз-
первообразной, т. е.
X X
А(х) ¦ [ A(OdC = [ А(СЖ ¦ А(х), Vrr 6 [а, 0\, E)
х
то Ф(х) = exp[f A(?)dQ — фундаментальная матрица A).
а
Действительно, в этом случае Ф(х) удовлетворяет D) (см. § 1). Усло-
Условие E), например, выполнено, если А(х) —диагональная с непрерывными
а\(х),... ,ап{х) по диагонали, либо если А(х) — жорданова клетка с не-
непрерывной функцией а{х) по диагонали.
В заключение отметим, что решение задачи Коши A), B) через фун-
фундаментальную матрицу Ф(х) системы A) записывается весьма просто:
у(х) = Ф{х)-Ф~1(х0)-уо.
Решение D) с начальным условием Y(xq) — Е называется матрицантом
системы A). Ясно, что матрица K(x,xq) = Ф{х) ¦ Ф~х{хо) является ма-
матрицантом системы A).
4. Определитель Вронского и формула
Лиувилля—Остроградского
Пусть у\ {х),... ,у„(х)~ система вектор-функций с п компонентами на
Определение. Определителем Вронского (или сокращенно вронскиа-
вронскианом) системы у\(х),... ,уп(х) называется определитель

184 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Если 1/1 (ж),... ,у„(х)—решения линейной однородной системы A), то из
теоремы 1 вытекает следующая связь между линейной зависимостью
yi(x),... ,у„(х) на [а,13] и обращением в нуль их определителя Врон-
Вронского W (х).
а) Решения A) yi(x),... ,yn(х) — линейно зависимы на [а,0], тогда и
только тогда, когда W(yi,... ,уп) = О на [а,0].
б) Решения A) yi(x),... ,yn(x)—линейно независимы на [а,0) тогда и
только тогда, когда W{y\,... ,уп) Ф О, Vrr G [а,0]. Отсюда получаем, что
не существуют такие 11,12 € [а,0], xi ф х%, что W(x\) = 0, W{x2) ф 0.
Свойства а) и б) на практике используются для проверки линейной
зависимости или независимости п решений системы A) на [а,0]. Для
произвольных вектор-функций у\(х),... ,уп(х) на [а,0] свойства а), б)
не обязаны выполняться. В этом можно убедиться на примере вектор-
функций
Они линейно независимы на всей оси R]., но их определитель Вронского
W(x) еО на R\.
Теорема 4. Пусть W(х) — вронскиан решений yi(x),... ,Уп(х) систе-
системы A) и пусть хо € [<*,/?]. Тогда для Vx 6 [а, 13] имеет место формула
Лиувилля — Остроградского
W(x) = W(xo)e'o , F)
где spA(?) = ац(С) + • • ¦ + <w(C) называется следом матрицы А(().
О Покажем, что W{x) удовлетворяет дифференциальному уравнению
W'(x) = spA(x) ¦ W(x), x € [а, /?].
Пусть yij{x), г — 1,п компоненты решения yj(x), j = 1,п. Тогда W(x)
?шляется функцией всех этих компонент:
W(x) = W{yn(x),y2i(x),...}ynn(x)}.
По формуле производной сложной функции получаем, что
W'(x) - V dW{x) v' (x)
Если Wpr{x) — ал!-ебраическое дополнение ург{х) в W(x), то разложение
W{x) по р-й строке дает
г=1

§ 2. Линейные однородные системы 165
Отсюда находим, что
дум -W^x>-
Каждая вектор-функция уч(х) удовлетворяет системе A), т.е.
у'я(х) = А(х)уд{х), q = 17", х € [а,0\.
Отсюда находим, что
г=1
где прг{х) —элементы матрицы А(х).
Подставляя найденные выражения $у и y'pq(x) в формулу W'(x),
получаем, что
п п п п
W'(x) = 5^ ^и(*) ? <V(*)yr,(*) = E V(«) E Уг,(*) Wp,(z).
р,«=1 г=1 р,г=1 <7=1
Но из курса алгебры известно, что
где 6гр — символ Кронекера. Тогда
W'(x) = W(x) E арг(хNрт = W(x)^aPPW = W(s
p,r=l p=l
Интегрирование этого линейного однородного уравнения первого порядка
и дает требуемую формулу F). •
Следствие. Если А — числовая матрица, то
(let С4 =езрд.
О Достаточно взять Хо = 0, х — 1 и применить теорему для
W(x)=detexA. •
Замечание. Поскольку матрица Y(x) — \\yi{x),... ,уп(х)\\ является ре-
решением матричного дифференциального уравнения D), то формулу F)
можно интерпретировать в терминах решений D). Именно, если У (от-
(отрешение D), то справедлива формула Лиувилля — Остроградского
/ р(СК
= dety(ar0) ¦ е*° , Va: € [а,/3].

166 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Пример 1. Найти фундаментальную матрицу линейной системы
{У\ =
у'2 =
убедившись в том, что матрица системы перестановочна со своей
первообразной.
Д Имеем
./ ч fcosx sinaA Г ,/,ч,, / sinx 1—cosxN
A(x) — I . I > / -™(s)<*C = I i ¦ I >
\ У J \ J
X X
ai \ f *ir\ir f «/и/ ai \ ( sinas cosx - cos2x\
A(x) / A(OdC — / A(c)d( ¦ A(x) = ( „
У У \cos ^ ~cos ^x sin * /
о о
X
Используя приведение матрицы / A{C,)dC, к диагональной форме, на-
о
ходим фундаментальную матрицу заданной системы
х
, ._ SMO<K _ sinx fch{l -cosa.) sh(l -
Пример 2. Зная одно решение у\(х) = 1 +х2, У2{х) = х линейной си-
системы
(у{ = хA - х)ух + (хг - х2 + х + 1)у2)
у^ = A - х)ух + (х2 - х + l)y2)
найти общее решение этой системы.
Д Пусть yi = tp(x), уг = ф{х) —решение системы с начальным усло-
условием (/?@) = 0, 1/»@) = 1. Согласно формуле Лиувилля — Остроград-
Остроградского тогда
1 + х2 ip(x)
х
1 0
0 1
/[
е°
Отсюда (l+x2)ip{x)— xifi(x) = ex. С учетом этого равенства из второго
уравнения системы следует, что
ф'{х) = tp(x) - хф{х) + ех,
а при х ф 0
хф'(х) = ф{х) + (х- \)ех.
Учитывая, что ф@) = 1, тогда получаем:

§ 3. Линейные неоднородные системы 167
Значит, фундаментальная матрица системы
*<*>=( х е*)
и общее решение заданной системы
где С2 и С2 — произвольные постоянные. А
§ 3. Линейные неоднородные системы
Рассмотрим линейную неоднородную систему
y'(x) = A(x)y(x)+f(x), A)
где х€ [о,/3] —заданная непрерывная на [о,/?] квадратная матрица по-
порядка n, /(i)— заданная непрерывная на [от,/?] вектор-функция с п ком-
компонентами.
Непосредственно проверяется следующее предложение, называемое
принципом суперпозиции для системы A).
Лемма. Если f(x) = fi{x)+/2(x),yi(x) —решение системы A) при условии
f(x) s /i(x) и 2/2A) — решение системы A) при условии f(x) = /2B:), mo
j/(x) = yi(x) + уг(лО —решение системы A).
Если известно какое-либо частное решение A), то интегрирование ли-
линейной неоднородной системы A) сводится к интегрированию соответ-
соответствующей A) линейной однородной системы
*'(*) = A(x)z(x). B)
Теорема 1. Пусть уо(х) —некоторое частное решение A) и Ф(х) —фун-
—фундаментальная матрица B). Тогда все решения системы (I) задаются фор-
формулой
у[х) = Ф(х)с + уо(х),
где с — произвольный числовой п-мерный вектор.
О В системе A) сделаем замену
y{x) = z(x)+yo(x).
Тогда получаем, что г(х) удовлетворяет системе B). Общее решение си-
системы B), как установлено в § 2, имеет вид
z(x) = Ф(х)с, C)

168 Глава 5, Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
где с — произвольный числовой n-мерный вектор. Из замены следует
утверждение теоремы. О
Формулу решения A) из теоремы 1 называют общим решением си-
системы A).
Если же частное решение уо(х) системы A) неизвестно, а известна
лишь фундаментальная матрица системы B), то все равно линейная не-
неоднородная система A) может быть решена в квадратурах. В этом слу-
случае общее решение A) находится методом вариации постоянных (методом
Лагранжа). При п — 1 метод Лаграяжа был рассмотрен уже в главе 1.
Теорема 2. Если Ф{х) — фундаментальная матрица линейной однородной
системы B), то общее решение линейной неоднородной системы A) при
всех х € [ос,0\ задается формулой
X
у(х) = Щх) ¦ d + Ф(х) ¦ j Ф-'(С)ДСИС,
хо
где хо ? [а,0\ и d — произвольный числовой п-мерный вектор.
О Согласно Лагранжу ищем решение A) в таком же виде C), что и
решение однородной системы B), но считаем с не постоянным, а непре-
непрерывно дифференцируемым вектором с(х), х € [а,0\:
у(х) = Ф(гг) • с(х).
При таком переходе от у(х) к с(х) потери решений A) не происходит,
так как dct$(.r) /0. Ниже будет видно, что такая замена неоднозначна.
Функцию с{х) находим подстановкой у(х) в систему A). Используя фор-
формулу производной произведения матрицы и вектор-функции, получаем,
что
Ф'(х)с{х) + Ф(х)с'(х) = А(х)Ф(х)с(х) + f(x).
Поскольку (см. § 1)
Ф'{х) = А(х)Ф(х),
то Ф(х)с'{х) — f(x). Так как матрица Ф(х) — невырожденла на [а,/?], то
отсюда
Это уравнение можно интегрировать, поскольку Ф~1(х)- f(x) — непрерыв-
непрерывная вектор-функция на [а,/?]. Проинтегрировав последнее уравнение, по-
получаем утверждение теоремы. ф
Следствие. Решение задачи Коши для линейной системы A) при началь-
начальном условии у(хо) = Уо, где xq € [а, 13}, имеет вид
X

§3. Линейные неоднородные системы 169
Замечания. 1) Если обозначить через уо(х) второе слагаемое в формуле
общего решения системы A), то уо(х) — решение системы A), удовлетво-
удовлетворяющее начальному условию уо(хо) = 0.
2) Матрица К(х,?) = Ф(а:)-Ф~1(О является матрицантом системы A),
удовлетворяющим начальному условию /<Г(?,?) = Е.
3) В случае, когда в системе A) матрица Л —числовая, фундамен-
фундаментальная матрица Ф(ж) = ехА и общее решение системы A) записывается
уже известной из главы 3 формулой
хо
4) При решении конкретных примеров методом вариации постоянных
удобнее искать решение A) не в виде у = Ф(х) • с(г), а в виде
У = ci(x)<pi{x) + ¦ ¦ • + Сп(х) ч>п(х),
где tpi(x),... ,<pn(х) —фундаментальная система решений B).
Пример. Методом вариации постоянных решить линейную неоднород-
неоднородную систему при х ^ 0
f У[ =
\У2 =
\fx.
А Найдем сначала общее решение соответствующей линейной одно-
однородной системы. Для нее матрица системы
А -Г4 ~2
имеет двукратное собственное значение А = 0 и жорданов базис со-
состоит из собственного вектора hi и к нему присоединенного векто-
вектора hi:
Общее решение линейной однородной системы имеет вид
где с\ и сч — произвольные постоянные. Ищем общее решение задан-
заданной системы в таком же виде, но считаем с\ = С\{х), c-i = сг(х) —
непрерывно дифференцируемыми функциями х ^ 0. Подставляя вы-
выражения для уьУ2 в исходную систему, получаем, что
= 0,
с;! (а;) + 2х ¦ <^{х) = ./г.

170 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Отсюда находим, что с\(х) = Bх + %)у/х, <^(х) ~ —2у/х, и, значит,
сх{х) = (^х +-хЛ уД + A, c2{x) = --xs/x + B,
где А и В — произвольные постоянные. Следовательно, общее реше-
решение исходной системы имеет вид
Упражнения к главе 5
1. Составить линейную однородную систему дифференциальных уравне-
уравнений, имеющую решения
у2(х) = | I, х > 0.
2. Может ли линейная система
!у\ = ху\ + J/2 cosz,
5 _1
х
иметь два ограниченных на @, +оо) линейно независимых решения?
3. Найти при х > 0 все решения линейной системы
y'l = --2/1 + У2,
__2_ I
если известно одно ее решение у\ = х, yi = 2.
4. Найти общее решение линейной системы при х 6 [0,1]
у' = А{х)у + f(x),
если
(а{х) 1 0 \
Л(х) = 0 а{х) 1 ,
\ 0 0 a(x)J
где а(х), /(ж)—непрерывные на [0,1] функции.
5. Найти фундаментальную матрицу линейной системы
y'l = ~У\ sin х + у2 cos х,
у'2 = yi cos z - j/2 sin х,
убедившись в том, что матрица системы перестановочна со своей про-
производной.

*=========== Глава 6 ======
Линейные дифференциальные
уравнения порядка п
с переменными коэффициентами
§ 1. Общие свойства
Линейным дифференциальным уравнением порядка п называется урав-
уравнение
у<"> + вг(аОу<"-х> + • • ¦ + a»(aOl» = /(х), A)
где х € [or,/?], a.j(x), j = 1,п, —заданные непрерывные функции па [а,/3],
называемые коэффициентами уравнения A), и /(ж)—заданная непрерыв-
непрерывная на [ас,/3] функция, называемая правой частью уравнения A).
Если f(x) = 0 на [а,Р], то уравнение A) называется линейным одно-
однородным уравнением. В противном случае уравнение A) называется ли-
линейным неоднородным уравнением.
В этой главе коэффициенты а,-(я), j = T~n, и правая часть f(x) урав-
уравнения A) могут принимать комплексные значения.
Комплекснозначная функция у — ц>(х) называется решением уравнения
A) на [а,0], если tp{x) n раз непрерывно дифференцируема на [а, /?] и
обращает A) в тождество на всем [а, /3].
Непосредственно проверяется следующее утверждение, называемое
принципом суперпозиции для уравнения A).
Лемма 1. Если f(x) = /1C;) + /2B;) и у,(х) —решение уравнения A) при
f(x) = fi(x) на [а,@], г = 1,2, то функция у(х) = у\.{х) + угС^) является
решением уравнения A).
Следствие. Если У\{х), y-i(x) —решения линейного однородного уравнения
u ci]C2 ~ произвольные числа, то линейная комбинация у = с\у\(х) + С2У2{х)
также является решением линейного однородного уравнения.
Лемма 1 и ее следствие характерны именно для линейных дифферен-
дифференциальных уравнений и линейных систем дифференциальных уравнений
и облегчают их изучение.
Решение уравнения A) всегда можно свести к решению линейной си-
системы дифференциальных уравнений порядка п следующего вида:
y'(x) = A(x)y(x)+f(x), B)

172 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
/(*) =
А(х) =
О 1 0 ... О \
О 0 1 ... О
О 0 0 ... 1
V-an(x) -On_i(x) -an_2(x) ... -а\[х))
Лемма 2. Уравмегше A) эквивалентно еистоелсе B).
О Пусть у = </э(х) — решение A). Положим j/i(x) = v>(x), У2(я) =
уэ'(х),... ,yn(x) = ip(n~^(x). Тогда вектор-функция с компонента-
компонентами ip(x),tp'(x),... ,(/?^"~1'(х) удовлетворяет системе B). Наоборот, если
вектор-функция с компонентами ц>{х),tp'(x),... ,^п~1Цх) —решение си-
системы A), то, исключив из B) переменные j/2i ¦ - • >2/т» получаем, что
yi — <р(х) — решение уравнения A). •
Лемма 2 позволяет перенести все результаты для линейных систем из
главы 5 на случай уравнений A).
Рассмотрим для уравнения A) начальные условия
У(хо)=у?\ y'(^)=J/f, .-., y("-l>(xo)=lAO), C)
где х0 6 [а, 0\ и у[',... , г/А — заданные чиат.
Теорема. Пусть все функции dj(x), j — 1,п, и f(x) — непрерывны на
[сх,0\ и пусть хо 6 [о>, /?]. Тогда при произвольных начальных значениях
у\ !••• ,Уп решение задачи Коши A), C) существует и единственно на
всем [а,/3].
О Сделав замену
Vi(s) = у(х), т(х) = у'(х), ... , уп(х) = у{п-1)(х),
сведем уравнение A) к системе B). При этом начальные условия при-
примут вид
УЫ = У@), D)
где у(°) — вектор с компонентами у\ ,...,уп ¦ В силу леммы 2 задача
Коши A), C) эквивалентна задаче Коши B), D). В силу условий те-
теоремы А(х) и /(х)— непрерывны на [а,0]. Следовательно, для задачи
Коши B), D) выполнены все условия теоремы из § 1 главы 5. Согласно
этой теореме решение задачи Коши B), D) существует и единственно на
[а,C]. Значит, и решение задачи Коши A), C) существует и единственно
на [от, Д. •

jj 1. Общие свойства 173
Следствие. Задача Кохии
у<"> + ai(x)yln-x> +¦¦¦+ ап{х)у = 0;
где Oj(x), j = 1,п, мепрер*1вмы на [а,/?] и xq ? [а,/?], имеет единственное
решение у(х) = 0 на [а,0\-
О Действительно, у(л:) = 0 — решение задачи Коши E) и оно единственно
в силу доказанной теоремы. •
Заметим, что в главе 4 было доказано, что в некоторой окрестности
хо существует и единственно решение уравнения
У(в) = /(*,У,!Л...,У(п-1)) F)
при начальных условиях C), если только выполнены некоторые требо-
требования на функцию fix) и начальные данные. Уравнение A) — частный
случай уравнения F) и при условиях теоремы выполнены все требова-
требования, наложенные на уравнение F) в главе 4. Следовательно, из резуль-
результатов главы 4 получаем локальное существование решения задачи Коши
A), C) в некоторой окрестности то- Доказанная теорема уточняет этот
результат и дает более сильное утверждение. Она гарантирует существо-
существование и единственность решения задачи Коши A), C) глобально, т.е. на
всем том [а,/?], где определено уравнение A), причем при произвольных
@) @)
начальных значениях j/J >••• ,Уп •
При условиях доказанной теоремы можно установить корректность за-
задачи Коши A), C). Если рассмотреть задачу Коши для линейного урав-
уравнения порядка п с параметром Л
у<"> +а1(а;,А)г/п-1> + ••• + ап(х,Х)у = /(ж, А),
,.| _,/0) I, @) „(п-0| _,.@) ('>
У\х=хо — У\ 1 У \x-xo — {/2 '• ¦ ¦ 'У \х=хо ~ Уп 1
где aj(oc, A), j = 1,п, и /(х, А)—непрерывны при х € [а,C], |А - Ао| ^ г,
то ее решение у — ц>(х, А) является непрерывной функцией при всех
х€ [q,/3], |А-Ао| < г. Если же Oj(a;,A), /(x, А)— непрерывно дифференци-
дифференцируемы по А, то и решение у = tp(x, A) — непрерывно дифференцируемо по
А при |А — Ао| ^ г. Все эти результаты получаются сведением уравнения
G) к линейной системе.
В случае, когда не все функции a,j(x), j = l,n, f(x) непрерывны на
[а,0\, может не существовать решение задачи Коши A), C). В таком
случае расширяют понятие решения задачи Коши A), C), и тогда можно
установить существование и единственность такого решения задачи Ко-
Коши A), C) при условиях, что Qj(x), ji = l,n и f(x) измеримы и локаль-
локально суммируемы на некотором промежутке X числовой оси FQ (см. [31]).
Если ввести понятие обобщенной задачи Коши A), B) (см. [13]), то и
эти условия можно существенно ослабить.

174 Глава 6, Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п
Рассмотрим линейное однородное уравнение порядка п
у<"> + ai(*)y<n-!) + • • ¦ + ап(х)у = 0, A)
где aj(x), j = 1,п, заданные непрерывные функции на [а,0\.
Определение. Решения yi(x),... ,ук(х) уравнения A) называются ли-
линейно зависимыми на [а,Р], если 'существуют числа ci,... ,ск, одновре-
одновременно не равные нулю и такие, что
ciyi(x) + ¦ ¦ ¦ + скук{х) = О, Vie [а,/?].
В противном случае решения yi(x),... ,ук(х) называются линейно не-
независимыми на [а, 0\.
Рассмотрим линейную однородную систему, которая эквивалентна
уравнению A) (см. § 1):
у'(х) = А(х)у(х),
/О 1 0 ... О \
0 0 1 ... 0
B)
0 0 0 ... 1
\-вп -Оп-1 -Оп-2 ••• -Ol/
Лемма 1. Решения yi(x),... ,Ук(%) уравнения A) линейно зависимы на
[а,/?] тогда и только тогда, когда соответствующие им решения
yi(x), ••• ,Vfc(х) системы B) линейно зависимы на [a,fi] (здесь у}(х) —
вектор-функция с компонентами yj(x),y'j(x),... , yj" ~ (ж), j — 1,Л^.
О Пусть решения у\(х),... ,Ук{х) уравнения A) линейно зависимы на
[а,0]. Тогда найдутся такие числа ci,... ,с*, |ci| + • • ¦ + |с*[ > 0, что
ст (х) + ¦ ¦ ¦ + ckyk = 0, Vx e [а, 0\.
Дифференцируя последовательно это тождество (п— 1) раз, получаем то-
тождество на [а,/?] для решений системы B):
ст(х) + •¦•+ckyk(x) =0,
т.е. решения yi(x),... ,yk(x) системы B) линейно зависимы на [а,0\.
Обратно, если выполнено последнее тождество на [ос,0] с некоторыми,
одновременно не равными нулю, числами cj,... ,c*, то первая компонен-
компонента этого векторного тождества означает линейную зависимость решений
У\(х),... ,ук(х) уравнения A). •
Следствие. Решения у\(х),... , ук(х) уравнения A) линейно независимы на
[а,Р] тогда и только тогда, когда решения yi(x),... ,yk(x) системы B) ли-
нейно независимы на [а, /?].

§ 2. Линейные однородные уравнения порядка п 175
Определение. Совокупность произвольных п линейно независимых ре-
решений tpi(x)t... , ц>п(х) уравнения A) называется фундаментальной си-
системой решений уравнения A).
Из леммы 1 в качестве следствия получаем следующее утверждение.
Лемма 2. Решения Vi(x),... ,ч>п{х) уравнения A) образуют фундамен-
фундаментальную систему решений уравнения A) в том и только в том случае,
когда вектор-функции Ф^(г) с компонентами tpj(x),<p'j(x),... ,<р(" {х),
j = 1,п, образуют фундаментальную систему решений линейной однород-
однородной системы B).
С помощью леммы 2 все утверждения о фундаментальных системах
решений линейной однородной системы переносятся на фундаментальные
системы решений линейных однородных уравнений порядка п.
Теорема 1. Для уравнения A) существует бесконечное множество фун-
фундаментальных систем решений.
О Уравнение A) эквивалентно системе B), для которой справедлив ана-
аналог теоремы 1 (см. § 2 главы 5). В силу леммы 2 тогда справедлива и
теорема 1. •
Теорема 2. Если tpi(x),... ,ч>п(х) — фундаментальная система решений
уравнения A), то каждое решение у(х) уравнения A) представимо един-
единственным образом в виде
у(х) = d<pi(x) + \-Сп<рп(х),
где Ci,... ,Сп — постоянные.
О По лемме 2 вектор-функции Ф;(ж) с компонентами <pj(x),<f/j(x),.. ¦ ,
<Pj (x), j = l,n, образуют фундаментальную систему решений систе-
системы B), эквивалентной уравнению A). По теореме 3 § 2 главы 5 любое
решение у(х) системы B) единственным образом представимо в виде
у{х) = ci$i(x) + • • • + спФп(х).
Первая строка этого векторного равенства и дает утверждение теоре-
теоремы 2. •
Из принципа суперпозиции для уравнения A) и теоремы 2 следует,
что множество всех решений уравнения A) образует n-мерное линейное
пространство, а фундаментальная система решений уравнения A) служит
базисом этого пространства.
Определение. Функция вида
у(х) =

176 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
где </?i(х),... ,tf>n(х) — фундаментальная система решений A), а
С],... , Сп — произвольные параметры, называется общим решением ли-
линейного однородного уравнения A).
Из теоремы существования и единственности решения уравнения A)
при начальных условиях
уЫ = г/10). у'Ы = i4°\• • • , у^Ы = у<,0), C)
и из теоремы 2 получаем, что каждое решение задачи Коши A), C)
однозначно определяется из формулы общего решения A).
Пример 1. Пусть все коэффициенты в A) постоянны и пусть характе-
характеристическое уравнение
имеет 7i попарно различных корней Aj,... ,А„. Тогда общее решение
уравнения
y(n)+a12/(rv-1> + ---+any = 0
имеет вид
j/ = CieAlI + --. + cneA,
где ci,... ,Сп — произвольные постоянные. Эта формула уже извест-
известна из главы 2. В силу теоремы 2 доказательство этой формулы
сводится к проверке линейной независимости системы решений ел»х,
j = l,n. Это легко делается по определению линейной независимо-
независимости.
Итак, нахождение общего решения уравнения A) сводится к на-
нахождению фундаментальной системы решений A). В общем случае
ее найти весьма трудно, а то и невозможно. Обратная же задача о
нахождении уравнения A) по заданной его фундаментальной систе-
системе решений на [а,/?] однозначно решается без особого труда, о чем
речь будет несколько позже.
Определение. Определителем Вронского (или сокращенно вронскиа-
вронскианом) решений у\(х),... ,уп(х) уравнения A) называется определитель ви-
вида
1/100 ¦•- Уп{х)
/i '(x) ... ук '(х)
и обозначается W{x) или W[y\(x),... ,yn(x)].
Теорема 3. Решения у\(х),... ,уп{х) уравнения A) линейно зависимы то-
тогда и только тогда, когда W{x) =0 на [a, ft]. Решения у\(х),... , уп(х) урав-

§2. Линейные .однородные уравнения порядка п 177
нения A) линейно независимы тогда и только тогда, когда W(x) ф 0 для
всех х 6 [а,/?].
О Сведем уравнение A) к эквивалентной системе B). Тогда столбцы
Ж(ж) — решения системы B) и, значит, W(x) является определителем
Вронского и для решений B). Но для него утверждения теоремы 3 уже
были установлены в § 2 главы 5. •
На практике теорема 3 удобна для проверки линейной зависимости
решений уравнения A). Заметим, что, вообще говоря, теорема 3 неверна
в случае произвольной системы (п — 1) раз непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций yi{x),... ,уп(х). Например, при i? [-1,1] функции
линейно независимы, но W[x) = 0.
Теперь по заданной фундаментальной системе <pi(x),... ,<р„(х) уравне-
уравнения A) построим само уравнение A). Искомым уравнением будет урав-
уравнение вида
W-l[ip1(x),...,<Pn(x)}-W{y(x),<p1(x)>...,<pn(x)} = 0. D)
Уравнение D), очевидно, имеет вид A), так как W(tp\,... ,tpn) ф 0 на
[а,0\ и его решениями служат tp\(x),... ,фп(х), поскольку при их под-
подстановке в D) получается определитель с двумя одинаковыми столбцами.
Уравнение D) однозначно определяется системой tp\(x),... ,fn(x) в силу
того, что эквивалентная ему линейная система B) однозначно (см. § 2
главы 5) определяется своей фундаментальной матрицей.
Теорема 4. Пусть W{х) — определитель Вронского решений yi(x),...,
уп(х) уравнения A) ы пусть хо ? [сс,0\. Тогда для всех х 6 [а,0\ справедлива
формула Лиувилля — Остроградского
-
W(x) = W(xo)e
О Уравнение A) эквивалентно линейной системе B). Для них определи-
определитель Вронского W(x) один и тот же, и для системы B) формула Ли-
Лиувилля — Остроградского доказана. Остается заметить, что для системы
B)
Замечание. В случае, когда п = 2 и известно частное решение yi (х) ф 0
на [а,/?] уравнения A), то формула Лиувилля — Остроградского позволя-
позволяет найти решение A) в квадратурах. В самом деле, из формулы Ли-
Лиувилля — Остроградского для решений у\{х) и у(х) имеем, что
1/1У ~ № =

178 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
где ci — постоянная. Разделив это равенство на 2/1B:), имеем:
d (у\- * с-2"т
dx\yj у\(х)
Отсюда получаем, что
у{х) -
Пример 2. Решить уравнение (а: > 0)
2ху" -{х + 4)у' + (l + 1\ у = 0.
Д Очевидно, что у = х — решение этого уравнения. Воспользовав-
Воспользовавшись формулой Лиувилля — Остроградского, получаем, что
%У -У ~ сеХ - сх ег.
Отсюда
Значит,
у = X f C2 + Ci62 J = ClXe5 + C2X.
Линейное однородное уравнение A) является однородным относитель-
относительно у,$/,... ,2/™) (см. §4 главы 1) и поэтому его порядок можно понизить
на единицу с помощью замены неизвестной функции вида у' — у ¦ z(x).
Однако во многих случаях эта подстановка дает для z(x) нелинейное
уравнение и поэтому нецелесообразна. Покажем, что, если известно част-
частное решение yi(x) ^ 0 на [а, 13) уравнения A), то существует -замена,
понижающая порядок уравнения A) на единицу, и при этом получает-
получается линейное однородное уравнение порядка (п — 1). В самом деле, вводя
замену переменных у = у\(х) ¦ z(x), вычислив производные от у по фор-
формуле Лейбница
VW(*) = Е (к)у?(х) •*<*-'>(*), к =1^,
и подставив в уравнение A), получаем уравнение
<> i <l> in) (?l) + ¦¦¦+ anVx)z = 0.

§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п 179
Так как уi (х) — решение A), то коэффициент при z равен нулю и
замена z' = и после деления на у\{х) дает уравнение
u<-n-V + bl(x)u(n~V + ... +Ъп-1(х)и = 0. E)
Итак, замена и(х) — z'{x) = ? $й ПРИВ°АИТ уравнение A) к уравне-
уравнению E).
Используя полученный результат, можно показать, что порядок урав-
уравнения A) можно понизить на m единиц, если известно m линейно не-
независимых решений у\(а;),... ,ут{х), 1 ^ т ^ п — 1, уравнения A). В
случае, когда известно (п — 1) линейно независимых частных решений
A), приходим в результате понижения к линейному уравнению первого
порядка, интегрируемому в квадратурах. В этом случае общее решение
A) может быть получено в квадратурах.
Например, в случае уравнения примера 2 замена у = хг приводит к
уравнению
2z" - z' = 0.
Его общим решением является
z = с\ +С2е*
и, значит, общее решение уравнения примера 2 задается формулой
у = XZ = С\Х
где С] и С2 — произвольные постоянные.
§ 3. Линейные неоднородные уравнения
порядка п
Пусть задано линейное неоднородное уравнение порядка п
у<"> + аг(х)у(п-» + ...+ ап(х)у = /(*), A)
где a.j(x), j = l,n, /(ж) — заданные непрерывные функции на [а, 0]. На-
Наряду с уравнением A) рассмотрим соответствующее линейное однородное
уравнение порядка п
z^ + а, (х)«(«-1) + • • • + an(x)z - 0. B)
Если известно какое-либо частное решение A), то его интегрирование
сводится к интегрированию уравнения B).
Теорема 1. Пусть уо(х) —какое-либо решение A) и у(х) = z(x) + уо{х).
Тогда у(х) является решением уравнения A) только в том случае, когда
z{x) —решение уравнения B).

180 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
О Обозначив через Ly(x) левую часть A) и через Lz(x) левую часть
B), из равенства у{х) = z(x) + уо(х) получаем, что
Ly(x) = Lz(x) + Lyo(x) = Lz(x) + f{x),
так как уо(я) — решение A). Если у(х) — решение A), то Ьу{х) = }{х) и
отсюда Lz(x) = 0, т.е. z(x) — решение B). Наоборот1, если -г(х) — решение
B), то Lz(x) = О и тогда Ly(i) =/(ж) т.е. у (г)— решение A). •
Из этой теоремы сразу следует, что, если известна фундаментальная
система решений tpi(x),... ,y>n{x) уравнения B), то функция
у{х) = cwi(x) + ¦¦¦+ спч>п{х) + Уо(х),
где ci,--- ,с„, — произвольные постоянные, является общим решением
уравнения A), т.е. содержит все решения уравнения A).
Итак, в том случае, когда известна фундаментальная система решений
уравнения B), решение уравнения A) сводится к нахождению какого-
либо частного решения A). Покажем, как можно в этом случае при
п > 2 найти то решение уравнения A), которое удовлетворяет нулевым
начальным условиям
г/Ы=у'Ы=--=2/(п)(-т0) = 0, *0€[аД C)
Пусть К{х) —решение линейного однородного уравнения B) порядка
п > 2, удовлетворяющее начальным условиям
vW = у'(хо) = • ¦ ¦ = у{п-7)Ы = О, у{п~1]Ы = 1, D)
где х0 6 [а,/3].
Построим К(х). Если <pi(x),... ,ч>п{х) — фундаментальная система ре-
решений B), то по теореме 2 § 2
К{х) = civi(x) + • • • + Cnipn(x).
Подставив К(х) в начальные условия D), получим, что
cj = W-l(xu)-Wnj(xo)t j=TH,
где W(xo) — определитель Вронского системы 4>i(xq),. .. ,фп(хо), а
Wnj-(то)—алгебраическое дополнение элемента ifij(xo) в W(xq), j — l,n.
Таким образом,
К(х) = W-l(x0) ¦ J2 ™п}Ы ¦ Ч>№- E)
Теорема 2. Функция
X
уо{х) = j К(х + х0 - C)/(C)dC, xo<xe [а, 0], F)
хо
является частным решением линейного неоднородного уравнения A), удо-
удовлетворяющим нулевым начальным условиям C).

§3. Линейные неоднородные уравнения порядка п 181
О Поскольку К(х + хо — () и все a>y(»+jto-O) j— J~n, как видно из E),
являются непрерывными функциями х, хо ? [а,/?], то уо(х) можно по
правилу Лейбница п раз непрерывно дифференцировать. Тогда, учиты-
учитывая начальные условия D) для К(х), имеем, что
Отсюда ясно, что уо(х) удовлетворяет нулевым начальным условиям C).
Подставляя выражения для уо(х) и ее производных в A), убеждаемся в
том, что уо(х) — решение A). •
Формула F) для уо(х) называется формулой Коши частного реше-
решения A), а метод ее получения называется методом Коши. Метод Коши
позволяет найти общее решение A) в квадратурах.
Решения A) можно получить и другим методом — методом вариации
постоянных (методом Лагранжа). Если ipi(x),... ,<pn{z) — фундаменталь-
пая система решений уравнения B), то, как известно, общее решение
B) имеет вид
у = ci<pi{x) + ¦¦¦+ Сп<рп(х),
где ci,... , Сп — произвольные постоянные. Следуя Лагранжу, будем ис-
искать общее решение уравнения A) в том же виде,
У = ci(pi{x) н hCntpn(x), G)
но уже считаем
С! =а(х),... ,Сп = Сп(х),
где ci(x),... ,сп(х)> — пока неизвестные непрерывно дифференцируемые
функции х € \а,0]. Потребуем, чтобы
Это дает систему (п — 1) уравнений для определения с[(х),... ,с'п(х):
с'^х)^ (х) + ¦ ¦ - + 4(z)v#> (х) = 0, j = Ъ^Г=Ъ. (8)
Еще одно уравнение получаем подстановкой у^(х), j — 0,п, в урав-
уравнение A). Если обозначить левую часть уравнения A) через Ly(x), то
подстановка у(х) и ее производных в A) дает уравнение
+ cn(x)L<pn(x) = f(x).

182 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Поскольку <pi(x),... ь<рп{х) —решения B), то L<pi(x) — ¦ ¦ ¦ = Ьу>п(х) — 0
и остается уравнение
с[(х)^Г1)(х) + ¦¦+ с'пШГ1)(*) = fix). (9)
Линейная алгебраическая система (8), (9) для е^{х), ¦ ¦. ,с'п(ж) по-
позволяет однозначно определить dx(x),... ,dn(x), так как определи-
определитель системы (8), (9) представляет собой определитель Вронского
W(x) — W(y>i,... , y?n)i а он отличен от нуля на [а,0\ в силу то-
того, что ip\(x),... ,ipn(x) —фундаментальная система решений B). Если
Wnj(x) обозначает алгебраическое дополнение элемента <р*~ '{х) в W{x),
j = l,n, то по формулам Крамера
с[(х) = W-l(x)Wnl{x)f(x),... ,<4(x) = W-l(x)Wnn(x)f(x).
В силу непрерывности W~*(x), f(x) и Wnj(x), j = l,n, на [а,/3] отсюда
находим, что
Cj(x) =dj + j W-1(x)Wn3(x)f(x)dx, j = 1^,
где d\,... ,dn—произвольные постоянные, а знак интеграла означает
фиксированную первообразную.
Подставляя выражения для Cj(x), j = 1,п, в формулу G), получаем
формулу общего решения A):
у(х) = di??i(aO + • • • + dnyn{x) + f K(x)f(x)dx,
где К{х) определяется формулой E) при %о = х. Если в качестве пер-
первообразной взять интеграл с переменным верхним пределом, то отсюда
X
получаем при di = • • • = dn = 0 частное решение уо(х) = / K(?)f(?)d?,
10
удовлетворяющее начальным условиям C).
Пример 1. Методом Коши решить уравнение
Bх + 1)у" - 2г/ - Bх + 3)г/ = 9Bх + 1Jе§, х > ~.
Д Найдем сначала фундаментальную систему решений линейного
однородного уравнения
Bх + \)у" - 2у' - Bх + 3)у = 0.
Проверкой убеждаемся, что у\ = е~х — его частное решение. По фор-
формуле Лиувилля—Остроградского
у'е~т + е~ху - aeS s+r = ciBx + 1).
Отсюда

§3. Линейные неоднородные уравнения порядка п 183
или
у — е~х [с2 + с\ / Bх + l)e2xdx ) — Сухех + с2е~г.
Функцию К(х) ищем в виде
К(х) = с\хех + С2е~х,
где Ci и С2 найдем из начальных условий K(Q — О, АТ'(С) = 1- Из
этих условий получаем систему уравнений
откуда
Следовательно,
Тогда, учитывая, что в заданном примере f(x) — 9Bх + 1)ез,
X X
уо(х) = f K(Of(O<K = [ Хе\ "У • 9B<
J J 1С, + 1
о о
х
= 9 f (хех ¦ е~* - е~х ¦ ?e?) d< = D - :
^ < ( ) 1&хех
о
Общее решение исходного уравнения имеет вид
у = с\хех + с2е~х + D - 24z)el - 4e"J
где ci и С2 — произвольные постоянные.
Пример 2. Методом вариации постоянных решить уравнение
B* + 3)у" - 2у' - 4» = 3Bх + ЗJ, i > 0.
Д Решаем сначала линейное однородное уравнение
Проверкой убеждаемся, что у\ — х2 — его решение. По формуле Ли-
увилля—Остроградского
z2y' - 2ту = се! ^+з = сBя + 3).
Отсюда

184 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
или
,/ С 2х + 3 . \ , х+1
у — X [ Ci+C -.— dx = С\Х + С2 .
\ J X / X
Решение исходного уравнения ищем в виде
у = ci{x)x +с2(х) .
Для с\{х) и с2(х) имеем систему уравнений (здесь f(x) = 3Bх + 3)):
Отсюда
с'1(х) = 3+-) с'2(х) = -3х2.
Значит,
=-ж3
где di v. d% — произвольные постоянные.
Общее решение заданного уравнения имеет вид
у = dxx2 + d2 М + i j + 2х3 + Зх2 lnx.
Формулу Коши F) частного решения A) можно получить и по-
другому, используя понятие фундаментального решения дифференциаль-
дифференциального оператора (см. [13]).
Пусть в уравнении A) коэффициенты оу(х)—заданные бесконечно
дифференцируемые функции на полуоси а: > 0, j = 1,п, и правая часть
/(х)—заданная непрерывная и локально интегрируемая на полуоси х >0
функция, т.е. на каждом [а,0\ полуоси х > 0 существует
1
\f(x)\dx.
Продолжая нулем на полуось х < 0 функции у(х) и f(x) в уравнении
A), можно тогда решение уравнения A) понимать в смысле теории обоб-
обобщенных функций (см. [13]). Известно, что функция ?(х) = 9(x)z(x), где
в(х) — функция Хевисайда, равная единице при х > 0 и нулю при х < О,
a z(x) — решение уравнения B), удовлетворяющее начальным условиям
D) при хо = 0, удовлетворяет в смысле обобщенных функций уравнению
LE{x) = ?(n)(x) + ai(i)f (n-1J(.T) + • • ¦ + о„(х)?(х) = 5{х),

§ 4. Граничные задачи 185
где 6(х) — 5-функция Дирака. Другими словами, ?{х) является фундамен-
фундаментальным решением дифференциального оператора L и, значит, свертка
?{х) с /(х) дает частное решение A) при х > О
X
Уо{х) = J z(x
удовлетворяющее нулевым начальным условиям при х — 0. Это частный
случай формулы Коши при хо = 0. Формула Коши F) сводится к этой
формуле заменой х — xq = t.
Замечание. Если в уравнении A) aj(x), j = l,n, и f(x) не все явля-
являются непрерывными функциями, то решения A) может не существовать.
В этом случае приходится расширять понятие решения A) и вводить
так называемое обобщенное решение A). Например, уравнение у' = sign a;
не имеет классического решения, но имеет обобщенное решение. Более
подробно об этом см в [13].
§ 4. Граничные задачи
Начальные условия не являются единственно возможными дополнитель-
дополнительными условиями, выделяющими определенное частное решение диффе-
дифференциального уравнения. Во многих случаях в качестве дополнительных
условий задаются условия на неизвестную функцию и ее производные на
границе того промежутка, где задано дифференциальное уравнение. Эти
условия называются граничными (или краевыми) условиями. Если зада-
задача определения решения дифференциального уравнения, удовлетворяю-
удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши, то за-
задача определения решения дифференциального уравнения, удовлетворя-
удовлетворяющего заданным граничным условиям, называется граничной (или кра-
краевой) задачей.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением простейшей граничной за-
задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Пусть задано уравнение
y" + a,{x)y' + a2(x)y = f(x), A)
где ai(x), аг(х), /(ж)—заданные непрерывные функции х€ [0,1], и гра-
граничные условия при а: = 0 и х = I > 0
W, B)
где aj, /9j, t = 1,2, j/0) yx —заданные числа, причем a? + 0f > 0, г = 1,2.
Здесь у@) = »(+0), y'@) = y'{+0), y(l) = у (I - 0), y'(l) = y'(l - 0).

186 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Если t/o = 2/1 = 0, то граничные условия B) называются однородными
граничными условиями. В дальнейшем ограничимся случаем однородных
граничных условий, так как в случае неоднородных условий решение у(х)
граничной задачи A), B) можно искать в виде
у(х) = и(х) +v(x),
где функция v(x) удовлетворяет лишь заданным граничным услови-
условиям B), а в остальном произвольна. Например, для граничных условий
= 2/0, 2/@ = 2/1 можно взять
.. 1-х х
)
Щх) =2/о+3/iy-
Тогда для функции и(х) получается граничная задача с другой правой
частью, чем в A), но с однородными граничными условиями. Вместо
[0,1] можно брать любой другой [с, d\.
Итак, в дальнейшем считаем, что в условиях B) t/o — 2/1 — 0. Для
уравнения A) рассматривают и граничные условия более общего вида,
представляющие собой линейные комбинации значений у(х) и у'(х) в точ-
точках х = 0 и х = I. Например, это могут быть условия периодичности
2/@) = у@, 2/'@) = t/(l).
Определение. Решением граничной задачи A), B) называется функ-
функция у = уз(х), х 6 [0,1], которая дважды непрерывно дифференцируема
при х 6 @,/), непрерывно дифференцируемая на [0,1] и удовлетворяет
уравнению A) на @,/) и граничным условиям B).
Как известно, решение задачи Коши для уравнения A) при началь-
начальных условиях
2/(яо)=Уо> у'{хо) = У\, хае [0,1],
существует и единственно на всем [0,J]. Для граничной задачи A), B)
это вовсе не обязательно. Оказывается, что решение граничной задачи
A), B) может не существовать или быть не единственным. Чтобы разо-
разобраться в этом вопросе, введем в рассмотрение фундаментальную систе-
систему решений fi(x) и уг^) линейного однородного уравнения
z" + аг(х)г' + a2(x)z = 0 C)
(<fi(x) и <Р2(х) существуют в силу непрерывности а\(х) и й2(х)) и част-
частное решение уо{х) уравнения A). Тогда общее решение уравнения A)
имеет вид
У = ci(pi(x) + с-2<р2{х) + Уо{х),
где С\, С2 — произвольные постоянные. Для получения решения граничной
задачи A), B) постоянные с\ и с% необходимо определить из однородных

§ 4. Граничные задачи 187
граничных условий B). Подставляя общее решение A) в условия B),
получаем линейную алгебраическую систему для с\ и с2:
2 = -аця><<» - Ай(О),
= -<*2W>@ -
Обозначим через (/ матрицу этой системы и через ?/ — расширенную
матрицу этой системы. Используя известные из курса алгебры теоремы
о разрешимости линейкой системы уравнений, получаем следующий ре-
результат.
Теорема 1. Если detU ^ 0, то решение граничной задачи A), B) суще-
существует и единственно на [О, /]. Если же det U — 0, то решение граничной
задачи A), B) не существует, если ранг матрицы U не равен рангу рас-
расширенной матрицы U, и решение A), B) существует, по не единственно,
если ранг матрицы U равен рангу матрицы U.
Отметим, что ранг матрицы U не зависит от выбора фундаменталь-
фундаментальной системы решений tpi(x), <f2(z) уравнения C), так как переход к дру-
другой фундаментальной системе осуществляется невырожденным линейным
преобразованием и при таком переходе матрица U умножается на ма-
матрицу этого линейного преобразования, что не меняет ранга матрицы U.
Аналогичное замечание касается и ранга матрицы U.
Ранг матрицы U называется рангом граничной задачи A), B). Од-
Однородная граничная задача A), B), т.е. задача A), B) при f(x) = О,
уо = у\ = 0, имеет лишь тривиальное решение, если ранг матрицы U
равен двум, и имеет одно линейно независимое решение, если ранг ма-
матрицы U равен единице.
Пример 1. Исследовать разрешимость граничной задачи
у" + У = О, у@)=0, l/@=i/i, *>0, У16Л.
Д Общим решением уравнения является
у = ci cosx i
Граничное условие у{0) = 0 дает С\ = 0, а граничное условие у@ =
2/1 приводит к уравнению c2sini = j/i. Если sinl ^0, т.е. I Ф kit,
к € N, то c<i — ^~j и получаем единственное решение задачи
sinx
Если же sinZ = 0, т. е. / = ктг, к 6 N, то возможны два случая. В
случае t/i / 0 уравнение с2 sin I — у\, а, значит, и граничная задача,
решений не имеет. В случае yi = 0 уравнение с2 sin I — yi становится

188 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
тождеством и граничная задача имеет бесконечно много решений
вида
У = С2 3ШХ,
где С2 — произвольная постоянная. А
Покажем, что решение уравнения A) при однородных граничных
условиях B) однозначно представимо через так называемую функцию
Грина граничной задачи, если только однородная граничная задача име-
имеет лишь тривиальное решение, т.е. решение у(х) =0 на [0,J].
Определение. Функцией Грина граничной задачи A), B) называется
функция G(x,?), определенная при Уя,? Е [0,/] и удовлетворяющая сле-
следующим условиям:
1. При каждом фиксированном С € [0,1] G{x, Q как функция х на
каждом из промежутков [0,?) и (?,1] удовлетворяет однородному урав-
уравнению C).
2. G(x,Q удовлетворяет однородным граничным условиям B).
3. G(x,?) —непрерывна при всех а;,( € [0,1], а ее производная Щ име-
имеет при а; = С разрыв первого рода со скачком
<>, С) 0GK-O.O
дх дх
= 1.
Теорема 2. Если однородная граничная задача имеет лишь тривиальное
решение, то функция Грина граничной задачи A), B) существует и един-
единственна.
О Пусть <р\ (х) — решение уравнения C) при начальных условиях
2@) =&, *'@) = -<*!,
а ц>2 {х) — решение уравнения C) при начальных условиях
Очевидно, что у», (г) ^0 на [CM], t = 1,2, и что y?i(x) удовлетворяет пер-
первому граничному условию из B) (уо = 0), а <рг(^) удовлетворяет второму
условию из B) (з/1 = 0), так как а* + /3f > 0, г = 1,2. Далее, функции
<Pi(.t) и <рг(я) —линейно независимы на [0,/], так как в противном слу-
случае (р?(х) = сср\(х), с Ф 0, и тогда 4>ъ(х) удовлетворяет обоим однородным
условиям B), что противоречит условию теоремы. Таким образом, <pi(z)
и <рг(х) — фундаментальная система решений C). Пусть W(х) — опреде-
определитель Вронского этой системы.
Ищем функцию G(x, () в виде
G(x С) = lCli<)!Pl{x)' x€[0>C)>
\сй(С)Ы*), « 6 (С,/].

§ 4. Граничные задачи 189
По построению функций <pi(x), у?2(я) функция G(x,?) удовлетворяет
пп. 1, 2 определения функции Грина. Чтобы удовлетворить п. 3 этого
определения, остается найти Ci(C) и с2@ из условий
С2У2«) - CiVi(C) = 0, с2<р'2{0 - ci^'i(C) = 1-
Эта система однозначно разрешима относительно Ci и с2, поскольку опре-
определителем ее служит W{x) ф 0 на [0,1]. Окончательно тогда получаем,
что
W)"
С точки зрения теории обобщенных функций (см. [13]) функция Гри-
Грина G{x,Q получает простое и четкое толкование. Пусть в уравнении A)
а\{х) и а.2{х)— бесконечно дифференцируемые функции на [0,1]. Продол-
Продолжим нулем на всю ось FQ в уравнении A) все функции у(х), а\(х),
а2(.%)> fix)- Тогда решение A) можно понимать в смысле теории об-
обобщенных функций. Как нетрудно установить (см. [13], [28]), функция
Грина G{x,С,) граничной задачи A), B) удовлетворяет уравнению вида
у" + ai(x)y' + а7(х)у = &{х - <),
где 8{х) — ^-функция Дирака. Наоборот, если функция G(x,() является
решением (обобщенным) этого уравнения, то G(x, Q обладает свойствами
пп. 1, 3 определения функции Грина. Таким образом, функцией Грина
задачи A), B) можно коротко назвать решение уравнения
у" + ai{x)y' + а2(х)у = 8{х - О,
удовлетворяющее граничным условиям B).
Теорема 3. Если однородная граничная задача имеет лишь тривиальное
решение, то решение уравнения A) при однородных граничных условиях B)
существует, единственно и выражается формулой
I
у(х) = I G(x,0 ¦ f(O<K, E)
о
где G(x,(,) —функция Грина граничной задачи A), B).
О Запишем формулу E) в виде
у{х) = У G(*,O/KK + /<?(*. ОЯСК-

190 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
В каждом из промежутков [0,х) и (x,l] G(x,Q и °^'^ непрерывны. По-
Поэтому каждый из интегралов можно дифференцировать по х. Получаем
V'{x) = I ^^lf(C)dC + G(x,x - O)f(x) +
о
J
/ ^J^ - G(x, x + O)f(x).
В силу непрерывности G(x, Q при ( = x внеинтегральные члены уничто-
уничтожаются взаимно и
J
0 х
Эту формулу можно еще раз продифференцировать по х. Получаем
В силу п. 3 определения G(x,Q последнюю формулу можно записать
в виде
/в2 fe°/(*)• G)
Из формул E), F), G), учитывая свойства (?(х,С), получаем, что
E)—решение задачи A), B). Решение единственно, так как .если пред-
предположить существование другого решения у(х), то z(x) = у(х) — у(х) —
нетривиальное решение однородной граничной задачи, что противоречит
условию теоремы. 9
В ряде вопросов возникает граничная задача с комплексным параме-
параметром Л:
у" + а,{х)у'+ а2{х)у = \у, i 6 @,0, (8)
«2У@+Ау'@=0,
где а\(х), аг{х) —непрерывны на [0,1} и af + 0? > 0, i = 1,2.

§ 4. Граничные задачи 191
Определение. Задача нахождения значений параметра Л, при которых
граничная задача (8), (9) имеет нетривиальные решения (т.е. у(х) ^0
на [0,1]), называется граничной задачей на собственные значения.
Значения параметра А, для которых граничная задача (8), (9) име-
имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а
соответствующие им нетривиальные решения называются собственными
функциями граничной задачи (8), (9) на собственные значения.
Так как однородное уравнение (8) при данном А имеет не более двух
линейно независимых решений, то множество всех собственных функций,
соответствующих данному собственному значению А, является линейным
пространством размерности не более двух. Число линейно независимых
решений граничной задачи (8), (9) при данном собственном значении А
называется кратностью собственного значения А.
Оказывается, что для задачи (8), (9) имеет место только один из
следующих трех вариантов (см. [31]):
1. Граничная задача (8), (9) не имеет собственных значений.
2. Граничная задача (8), (9) имеет не более счетного множества соб-
собственных значений, которые при этом не могут иметь конечной предель-
предельной точки.
3. Всякое число А является собственным значением граничной задачи
(8), (9).
Пример 2. С помощью функции Грина решить граничную задачу
(i + *V + W = /(*), »@)=i/(o), y(i) = o,
где /(ж)—заданная непрерывная функция на [0,1].
Д Однородная граничная задача
A + *V + W = 0, 2/@) = У' @), уA)=0,
имеет только тривиальное решение. В самом деле, уравнение можно
записать в виде
Его общее решение
у = С] arctg х + С2
и при подстановке решения в граничные условия получаем у = 0.
Итак, функция Грина существует и для ее нахождения можно
воспользоваться формулой D). Решением уравнения
A + х2)у" + 2ху' = 0
при начальных условиях у@) = 1, у'@) = 1 будет <р\{х) — 1 + arctgx,
а решением того же уравнения при начальных условиях уA) = 0,

192 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
j/(l) = 1 будет <ръ(х) = — § + 2arctg2r. Определитель Вронского
W(x) = 2~ • х+т*' Следовательно,
п< П = Ш±?1 /("I + 2arctgC)(l+arctga:)) z€[0,<],
1 lW тг + 4 \(l+arctgO(-f+2arctgi), i€(C,l],
и решение заданной граничной задачи имеет вид
Пример 3. Найти собственные значения и собственные функции гранич-
граничной задачи
у" = Ху, у@) = у{2) = 0.
Д Если А > 0 или А — комплексное, то задача не имеет нетривиаль-
нетривиальных решений, так как общее решение уравнения
у = С1ех
при подстановке в граничные условия дает у(х) = 0.
При А = 0 общее решение уравнения у = с\х + c<i и подстановка
его в граничные условия опять дает у(х) = 0.
Пусть теперь А < 0. Тогда общее решение
у = с\ cos(z\/— A) + сг sin(a;\/—А)
и подстановка в граничные условия дает
ci=0, с2 втС/л/^А) = 0.
Если j/^0, то сг / 0 и, следовательно,
sin(/\/^A) = 0.
Отсюда получаем формулу всех собственных значений:
А* = —jj-, fc = ±l,±2,...
Им соответствуют собственные функции
, . . кпх
yk{x) = Citsin——,
где c/t — произвольные постоянные ^0, fe = ±l,±2,.... A
Замечание. Если в уравнении A) а\(х), ог(а:), f(x) не все являются
непрерывными функциями на [0,2], то решений граничной задачи A),
B) может не существовать. В таком случае вводят понятие обобщенно-
обобщенного решения граничной задачи A), B) и исследуют его существование.
Подробнее об этом см. в [15], [30].

§5. Теорема Штурма 193
§ 5. Теорема Штурма
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
у" + а(х)у' + Ь(х)у = 0, A)
где а(х) и Ь(х) — заданные действительные функции на некотором проме-
промежутке X числовой оси R\, причем а(х) — непрерывно дифференцируема
и Ь(х) — непрерывна на X.
В этом параграфе будем рассматривать только действительные реше-
решения уравнения A). Решение A) у(х) ^ 0 на X называется нетривиаль-
нетривиальным решением уравнения A), а точку го € X, для которой у(жо) = О,
называют нулем нетривиального решения A). Нас будет интересовать
вопрос о множестве нулей нетривиальных решений A). Этот вопрос име-
имеет важное значение в ряде прикладных задач теории колебаний. Реше-
Решение A), имеющее на X более одного нуля, называется колеблющимся
на X.
Заменой неизвестной функции у{х) уравнение A) всегда можно свести
к двучленному уравнению
z" + q(x)z = 0, B)
где q(x) — непрерывная функция на X. В самом деле, положим
у(х) = u(x)z{x)
и подберем и(х) так, чтобы уничтожить член с z! в уравнении для z(x).
Имеем:
y^u'z + uz1, y" = u"z + 2u'z' + uz",
uz" + Bu' + au)z' + (и" + аи' + bu)z = 0.
В качестве и(х) возьмем какое-либо нетривиальное решение уравнения
2tt' + аи = 0,
например,
и(х) = е '» , х0 € X.
При таком выборе и(х) имеем, что
«' = -\™, и" = ~\(а'и + аи') = -i U - ^а?) и.
Подставив в A) найденные значения и, и', и" и сократив на и{х) ф 0,
для z(x) получаем уравнение B), в котором
q(x) = Цх) - \а\х) - \а'{х),
причем q(x) — непрерывна на X.
7 2769

194 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Замечание. Если q(x) = const либо q(x) = с(х — а)~2 при х > а, то
уравнение B), а, значит, и уравнение A), интегрируется в квадратурах.
Поскольку нули у{х) и z(x) совпадают на промежутке X, то в даль-
дальнейшем рассматриваются лишь двучленные уравнения B).
Лемма 1. Всякий нуль xq € X каждого нетривиального решения B) z{x)
является простым, т. е. z(xq) — 0, z'(xo) ф 0.
О Если го € 2 — кратный нуль z(x), то z(xq) = z'(xq) = 0. По теореме
единственности решения задачи Коши z(x) = 0 на. X, что противоречит
условию леммы 1.
Лемма 2. Нули каждого нетривиального решения B) z(x) не имеют ко-
конечной предельной точки на X.
О Рассуждаем от противного. Пусть 3{zfc}?ij, xk € 2, Vfc 6 N и х* ->
хо € X, причем z(xk) = 0, VA e N. Тогда в силу непрерывной диффе-
ренцируемости z(x)
z{x0) = lim z(xk) - 0,
fc-+oo
Axo) = Iim *(«*) -
По теореме единственности решения задачи Коши z(x) =0 на X, что
противоречит условию леммы 2.
Следствие. Любое нетривиальное решение B) г(х) имеет на каждом
[се,0] С 2 лишь конечное число нулей.
О Если бы это было не так и 3{xn}%L\, хп ? [а,0\, Vn € N, такая,
что z(xn) = 0, Vn 6 TV, то в силу теоремы Больцано—Вейерштрасса
^{япк}^!! in,. € [а,0], хПк -> .хо ? [а,/?] при А; -> оо, что противоречит
лемме 2. 9
Теперь сравним количества нулей нетривиальных решений двух урав-
уравнений вида B).
Пусть заданы два уравнения:
/ + q(x)y = 0, C)
z" + Q(x)z=0, D)
где д{х) и Q [х) — заданные непрерывные функции на промежутке X.

§ 5. Теорема Штурма 195
Теорема Штурма. Пусть q(x) < Q(x), Va; € X, и пусть у(х) — какое-либо
нетривиальное решение уравнения C), о z(x) —какое-либо нетривиальное
решение уравнения D). Если х\, хг € X последовательные нули у{х), то
найдется хотя бы одна точка хо € (яъ#2)> в которой z{xq) = 0, либо
= z(x2) = 0.
О Имеем у(х\) = у{х2) = 0. Будем считать для определенности, что
у(х) > 0 при всех х 6 (х\,х2), иначе вместо у(х) можно было бы взять
\-у(х)]. Тогда
у'(Ж1)= Иш -^->0,
у'(х2) = lim -УФ- < 0.
х->а=2-0 X — Хч
В силу леммы 1 равенство нулю y'(xi) и «/'(^г) невозможно и поэтому
y'ixi) > 0, у'{х2) < 0.
Умножая C) на z(x)) a D) на у(х) и вычитая, для решений у{х) и
z(x) получаем тождество на X
y"z - z"y = (Q - q)yz.
Это тождество можно так записать:
(y'z - z'y)' = {Q- q)yz.
Интегрируя его на отрезке [жьхз] и учитывая, что y(xi) = 3/A2) = 0,
получаем тождество
y'(x2)z(x2) - y'(zi)*(*i) = j [Q(x) - q(x)} y(x)z(x)dx. E)
Будем считать, что z(x) > 0 на A1,12), так как в случае z(x) < 0 на
(xi,x2) вместо z(x) можно брать [—z(x)].
Допустим теперь, что теорема Штурма неверна. Тогда могут быть
следующие три возможности:
а) z(x) > 0, Vx e [ж1,х2],
б) z(x) > 0, Vx € [хих2), z{x2) = 0,
в) z(x) > 0, Va; € (a;i,x2], z(xi) = 0.
Во всех случаях а), б), в) левая часть тождества E) отрицательна, в
то время как правая часть E) неотрицательна. Противоречие. •
Замечание. Если z(x\) = z(x2) = 0 и z(x) -ф 0 на {11,2:2), то необхо-
необходимо на [11,2:2] 1 я(х) = Q{x) и у{х) = cz{x), где с—постоянная. Если
же Зх 6 [х\,Х2)> что q(x) < Q(x), то всегда Эхо е {xi,x2), для которого
z(x0) = 0.

196 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Графически утверждения теоремы Штурма могут быть проиллюстри-
проиллюстрированы следующим образом.
Это значит, что нули z(x) идут не реже, чем нули у(х).
Теорему Штурма иллюстрирует пара функций sin mi и sin Ma; при
О < тп < М, поскольку у = sinmx — решение уравнения
у" + т2у = О,
z = sin Mx — решение
z" + M2z = 0.
Из теоремы Штурма для уравнения C) получаются важные следствия.
Следствие 1. Если в уравнении C) q(x) < 0, Vx e X, mo всякое нетриви-
нетривиальное решение C) имеет на X не более одного нуля.
О Если бы решение у(х) ? 0 имело на X два нуля Xi и 12, то по теореме
Штурма всякое нетривиальное решение уравнения
z" + 0 • z{x) = 0
обращалось бы в нуль на B1,22) или при х = ху и х = хг- Это опро-
опровергается примером z(x) = 1. •
Следствие 2. Пусть yi(x), у2(х)—два линейно независимых решения
уравнения C). Если xi,X2 —последовательные нули yi(x), то У2(х) имеет
на B:1,2:2) в точности один нуль, т. е. нули у\{х) и уг(^) перемежаются.
О По теореме Штурма, примененной к C) (здесь q(x) = Q{x)), У2(х)
имеет на [г^хг] хотя бы один нуль xq. Общих нулей у\(х) и уг{х) не
могут иметь, так как если, например, у\{х\) — jteC^i) = 0, то W(x\) — О
и решения yi(x), У2{х) —линейно зависимы на X. Итак, хо ? B:1,2:2).
Докажем, что хо — единственный нуль уг{х) на (х1,хг). Допустим про-
противное, что Эх -ф хо, х € (хьХг), такой, что уг(?) — 0- Тогда по теореме

jj 5. Теорема Штурма
197
Штурма, предположив для определенности х > xq, на [хо,г] существует
хотя бы один нуль J/1 (ж), что противоречит тому, что х\ и хг — последо-
последовательные нули yi(x). •
Графически утверждение следствия 2 иллюстрируется на рис. 2.
уг(х)
Рис. 2
Из следствия 2 очевидно получаем следующий результат.
Следствие 3. Если некоторое нетривиальное решение уравнения C) име-
имеет на X бесконечное число нулей, то и каждое нетривиальное решение C)
имеет на X бесконечное число нулей.
Пара функций sins и cos г, являющихся линейно независимыми ре-
решениями уравнения у" + у — 0, иллюстрирует следствия 2 и 3.
Пример 1. Пусть в уравнении C) 0 < т < q(x) < М < +оо, т < М,
для всех х ?Х. Тогда расстояние между соседними нулями каждого
нетривиального решения C) не меньше -т— и не больше -4=.
Д Рассмотрим уравнение z" + mz = 0. Из формулы его общего ре-
решения z(x) = Asin(\/mx + ip) следует, что если х\ и хз — соседние
нули z(x), то Х2 = ?i + Ч-j. Если х\ и жг — последовательные нули
у(х) на [хьхг], то по теореме Штурма
Х\ < Х\ < Х2 < Xi-
Тогда х2 < xi - х\ + -^ < xi + Ч^, т.е. хг - хг < -^=. Рассмотрев
уравнение
z" + Mz= 0,
аналогичными рассуждениями получаем, что хъ — х\ > -j—. A
Пример 2. Оценить расстояние d между двумя последовательными ну-
нулями любого нетривиального решения yv{x) уравнения Бесселя
х2у" + ху + (ж2 -
Д Замена j/>/j: =
= 0, х > 0, и 6 Л.
приводит к уравнению

198 Глава б. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Возьмем некоторое xq > 0 в случае и2 < | и Хо > uv2 — \ в случае
и2 > \. Пусть q(x) = 1 + 4~;'/ . Тогда при и2 < ? и Vx > хо
1<?(х)< 1 + -^
5,
х0
а при f2 > \ и Va; > жо
1,2 _ 1
О < 1 5~^ < ?(х) < 1.
х0
Отсюда, используя пример 1, получаем, что
3^^ **
В частности, d = тг при i/2 = j.
Из этих оценок следует, что при х > 0 каждое решение у„ > О
имеет бесконечное множество нулей, причем расстояние между со-
соседними нулями стремится к тг при х —> +оо. Последнее вытекает
из оценок при хо —»¦ +оо. ^
Пример 3. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения
имеет лишь конечное число нулей.
Д Поскольку при х > О
1 1
4(х2 + 1) < 4х2'
то в силу теоремы Штурма достаточно установить, что каждое не-
нетривиальное решение уравнения
имеет лишь конечное число нулей. Но это уравнение — уравнение
Эйлера и можно найти его общее решение
z—
где ci и С2 — произвольные постоянные. Из этой формулы видно, что
каждое z{x) ф 0 имеет конечное число нулей при х > 0. А

§ 6. Решение линейных уравнений с помощью степенных рядов. 199
§ 6. Решение линейных дифференциальных
уравнений с помощью степенных рядов.
Уравнение Бесселя
Решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэф-
коэффициентами в редких случаях находятся в квадратурах. Но даже реше-
решение их в квадратурах приводит к появлению новых, не элементарных
функций. Например, решением уравнения первого порядка
является функция
\/2тг
о
играющая важную роль в теории вероятностей.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка порождают
в качестве решений так называемые специальные функции, часто исполь-
используемые в математической физике, квантовой механике и т.д. При этом
свойства этих функций изучаются с помощью порождающих их диффе-
дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
y" + ai(x)y'+a2(x)y = 0. A)
Сначала дадим представление о том, как находить фундаментальную си-
систему решений уравнения A) в том случае, когда коэффициенты а\(х) и
02 (х) являются действительными аналитическими функциями а; в точке
хо € R\, т.е. а\{х) и ог(а;) представимы степенными рядами по степе-
степеням (х — хо) с радиусом сходимости R > 0. Для нахождения в этом
случае решения A) применяется метод неопределенных коэффициентов,
т.е. ищут решение у{х) A) тоже в виде степенного ряда по степеням
(х — хо). Подставляя формально степенные ряды для у(х), у'(х), у"(х),
ai(a;) и 02B) в уравнение A) и приравнивая нулю коэффициенты при
каждой степени (x — xq), в результате получают уравнения для определе-
определения коэффициентов степенного ряда для у{х). Когда же коэффициенты
определены, необходимо обосновать, что полученный степенной ряд для
у(х) сходится и действительно дает решение A). В общем виде этот ме-
метод обосновывается в так называемой аналитической теории дифферен-
дифференциальных уравнений (см. [1]). Мы же применим метод неопределенных
коэффициентов для так называемого уравнения Эйри
/ + ху = 0, B)
которое не решается в квадратурах.

200 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Будем искать решение B) в виде ряда по степеням ж
+ 0О
Jt=O
о сходимости которого заранее ничего не известно.
Формально (т.е. без обоснования) дважды продифференцируем по-
почленно степенной ряд и подставим ряды для у(х) и у'(х) в уравнение
B). Получим
+ОО +О0
k=1 fc=O
Отсюда
+oo +00
]P(/fc +2){k + l)ci+2a;fc + ^cfc_i • xk = 0.
fc=O *=1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим, что
Следовательно,
„. _ (-1Г-С0
3mCm-l)...3-2'
^TZ Г~^' c3m+2 = (
где коэффициенты со и с\ остаются неопределенными. nonai'UH со = 1,
с\ = 0, что равносильно начальным условиям
у@) = 1, у'@) = 0,
найдем ряд
" ч ' -^ ЗтCт- 1) ...3 - 2
т=0 v '
Полагая Со =0, с\ = 1, что равносильно начальным условиям
г/(о) = о, 2/'(о) = 1,
получим ряд
C)
Cт+1)зт...43
По признаку Даламбера ряды C), D) сходятся при всех х €
(—оо,+со) и их можно почленно дифференцировать на (—оо,+оо). Под-
Подставляя ряды C), D) в уравнение B), убеждаемся в том, что yi(x) и
2/2 (х) — решения B) в силу определения коэффициентов рядов C), D).

§ 6. Решение линейных уравнений с помощью степенных рядов 201
Решения у\(х) и уг (ж)—линейно независимы на (—оо,+оо), так как их
определитель Вронского W@) — 1. Следовательно,
У = cij/i(x) + с2у2{х),
где с\ и ох — произвольные постоянные, является общим решением урав-
уравнения Эйри B).
Замечание. Если в линейном неоднородном уравнении
у" + аг(х)у' + а2(х)у = f{x)
функции 01B:), a.2{x), f(x) — действительные аналитические функции в
точке xq б Rl, to его общее решение тоже находится методом неопре-
неопределенных коэффициентов аналогично тому, как это проделано для урав-
уравнения B).
Точка хо € Rl, в которой функции ai(x) и ог(х) аналитичны, называ-
называется обыкновенной точкой уравнения A). В противном случае точка xq
называется особой точкой уравнения A). Для уравнения Эйлера
х2у" + ауху' + а2у = О
х = 0 —особая точка (здесь ai и аг —числа, не равные нулю одновре-
одновременно).
Уравнение A) может иметь несколько особых точек. Например, для
уравнения Лежандра
A - х2)у" - 2ху' + Ху = О,
где Л —параметр, точки х = ±1 —особые.
При исследовании особых точек уравнения A) необходимо учитывать
и точку х = оо. Именно, если после замены х = i точка t = 0 явля-
является особой точкой преобразованного уравнения A), то х = оо называ-
называется особой точкой уравнения A). Например, х = оо —особая точка для
уравнения Эйлера. Наиболее простым типом особой точки уравнения A)
является так называемая регулярная особая точка.
Рассмотрим уравнение
(х - хйJу" + (х- xo)pi (х)у' + Р2(х)у = 0, E)
где xq ? Rx, pi(x) и pi(х) — аналитические в точке хо функции, т.е. они
разлагаются в сходящиеся в некоторой окрестности хд степенные ряды
ОО
Pi (z) = ^2^k(x-xo)k, P2(x)
Jfc=O fc=O
Точка хо называется регулярной особой точкой уравнения E), если
отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов ао, bo, &i-

202 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Например, хо = 0 — регулярная особая точка уравнения Эйлера. Окаг
зывается, что в случае регулярной особой точки xq уравнение E) имеет
хотя бы одно решение, представимое в виде обобщенного степенного ряда
/t=0
который сходится в некоторой окрестности xq.
Убедимся в этом на примере уравнения Бесселя
х2у" + ху' + (х2 - и*)у = 0, F)
где v — действительный параметр. Точка х = 0 является для уравнения
Бесселя регулярной особой точкой.
Всякое нетривиальное решение уравнения F) называется цилиндриче-
цилиндрической функцией. В общем случае решения F) но являются элементар-
элементарными функциями. Уравнение Бесселя встречается в различных вопросах
математической и теоретической физики. Здесь будет получена формула
общего решения уравнения Бесселя.
Будем искать решение уравнения Бесселя в виде
оо
у = *" •?>**, софО. G)
Поставим формально этот ряд в F), найдем его коэффициенты и число
а, а затем проверим, что найденный ряд определяет решение F).
Подставив ряд G) в уравнение F), получаем
*=0 *=0
*=0
Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем бесконечную
систему уравнений:
(а2 - и*)со = О,
[(a+D2-f2]Cl=0,
[(а + 2J - I/»] С2 + с0 - О,
[{а + ЗJ - и2] с3 + с\ = О,
[(а + кJ - v2\\ск + cfc_2 = О,
Из первого уравнения а = ±и, так как Cq ф 0. Для определенности в
дальнейшем будем считать v > 0 и рассмотрим сначала случай а = и > 0.

§ 6. Решение линейных уравнений с помощью степенных рядов 203
Из второго уравнения тогда с\ = 0 и, следовательно, сгр-\ = О, Vp =
1,2,..., а
(-1)РЙ> =1 .
С2р 2b(v + l)(v + 2)(v+p)pV P 1'*'ш"
Коэффициент со — произвольный, но с целью упрощения формулы сгр
принято брать со = 2"-fl(i/+i)' гд-е Г(»/+ 1)—гамма-функция Эйлера. Ис-
Используя тот факт, что
Г(р + 1) = р!, Г(и + р + 1) = (и + \){v + 2)... (и + p)T{v + 1),
получаем, что
С2- <Z? p=l2
^ 22я+" . Г(р + 1) • ГA/ +р + 1)' v ' •"¦
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд G) с найден-
найденными коэффициентами сгр_1 = 0 и сгр сходится при v > 0 на всей оси R).
и, следовательно, дает решение уравнения F). Это решение называется
функцией Бесселя первого рода порядка v и обозначается
Если а = —и < 0 и не целое, то аналогичным образом можно постро-
построить еще одно решение F). Оно получается заменой числа и на (—v) в
формуле (8), так как уравнение (б) не меняется при замене i/ на {—и):
Функция J_,,(x) называется функцией Бесселя первого рода порядка
Если I/ > 0 и не целое, то решения Jv{x) и J-v(x) линейно незави-
независимы, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней
х и, значит, тождество при х 6 R].
C\Ju{x) + C2J-v{x) = О
возможно лишь при с\ = С2 = 0. Таким образом, при нецелом и > 0
функции ./„(z), J-v{x) образуют фундаментальную систему решений F)
и функция
yv{x) = ci Ju{x) + c2J-v{x)
является общим решением уравнения Бесселя.
При целом v = п формула (9) уже непригодна, так как знаменатель
может обратиться в бесконечность: Но можно в (9) осуществить пре-
предельный переход v —> п, так как

204 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
При таком предельном переходе первые п членов разложения (9) обра-
обратятся в нуль и тогда для каждого фиксированного х
± г*
Положив р = п + т, отсюда находим, что
и
J_n(s) = (-1)" ? —-
m=0
Это значит, что функции Jn(x) и J_n(x) при целых п являются линейно
зависимыми и поэтому в этом случае нельзя с их помощью построить
общее решение F).
При целом п второе, линейно независимое решение (б) называется
функцией Бесселя второго рода порядка п (или функцией Неймана по-
порядка п) и обозначается Yn(x). Функцию Yn[x) можно найти, например,
с помощью формулы Лиувилля—Остроградского. Не останавливаясь де-
детально на этом, отметим лишь, что при х —» +0 функция Yn(x) обладает
следующей асимптотической оценкой:
nV ; \со In* [1+0A)], п = 0.
Отсюда видно, что Yn(x) неограничена в окрестности х = 0.
Таким образом при целом и общее решение F) имеет вид
yv(x) = c\Jv{x) + c2Yl/(x).
В заключение покажем, что уравнение Бесселя F) имеет решения
3/1с(а:)> У2и{х) такие, что при х —> +оо
В самом деле, после замены у^/х = z при х > 0 уравнение F) примет вид
т-2
Перепишем это уравнение в виде
zT + z = ^-jlz = Мх) • z.
Методом вариации постоянных находим, что
z(x) — cicosx + C2smx — I sin(x — () •/i/(()

§ 7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной 205
Тогда
\z(x) — с\ cosx — C2sinx| =
+0О
Покажем, что z(x) ограничена в окрестности х — +оо. Если х > 0 и
а: 6 [о, 6], то существует конечное значение
М(Ь)=тахШх)\.
х€[а,Ь]
Покажем, что М(Ь) ограничено при Ь —)• +оо. Имеем на [о, Ь], что
а х
Выбрав а столь большим, чтобы | < |, отсюда получаем, что
или M(b) < 2(|ci| + |сг|). Это означает ограниченность г(х) в окрестности
х = со, т.е. в этой окрестности |г(ж)| < А. Следовательно,
+0О
\z{x) -cicosx -c2sinx| < / ^ '</С < — = О [ - 1 , з; -»• +оо.
J С,г х \х/
х
Взяв z\(x) при Ci = 1, с2 = 0 и z2{x) при с\ =0, сг = 1, получаем A0).
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения
с малым параметром при старшей производной
В § 5 главы 4 была исследована зависимость решения задачи Коши от
входящих в дифференциальное уравнение параметров. Для линейного
дифференциального уравнения порядка п
у<*> + о, (х, е)у<»-1> + -..+ап(х, е)у = /(*), A)
где a,j(x,e), j =T7n, и /(ж) —заданные функции хе [0,1], I > 0, и малого
параметра е 6 [0,ео]. ?о > 0, результаты этих исследований можно ко-
коротко охарактеризовать следующим образом. Если /(я) —непрерывна на
[0,1] и функции aj(x,s), j = 1,п, являются непрерывными функциями

206 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
х € [0,1], ? € [0, ео), то решение y(x,s) задачи Коши для уравнения A)
при ? —»• +0 равномерно по х € [0,1] стремится к решению уо{х) задачи
Коши для невозмущениого уравнения
у<п> + о^х.О)^"-1' + ¦ • ¦ + а„(а;,О)у = f(x). B)
Если же коэффициенты о-,{х,е), j = 1,п, уравнения A) имеют непре-
непрерывные частные производные по е до порядка (п + 1) при х € [О, I] и
е ? @, ?o]i то при е —? +0
В этом случае справедливо равномерное по х € [0,1] асимптотическое
представление решения задачи Коши для возмущенного уравнения A):
+0,
где здесь и в дальнейшем запись О(е), е —? +0, означает, что |О(е)| < с-е,
е —> +0, причем с > 0 — некоторое число, не зависящее от е.
При указанных выше условиях непрерывности коэффициентов урав-
уравнения A) возмущения, вносимые малым параметром е > 0 в уравне-
уравнение A), называются регулярными возмущениями, а само уравнение A)
называется регулярно возмущенным уравнением. Однако в приложени-
приложениях встречаются случаи, когда малый параметр е входит в уравнение A)
нерегулярным (сингулярным) образом, т.е. таким образом, что коэффи-
коэффициенты aj(x,e), j = l,n, уравнения A) не являются непрерывными функ-
функциями х,?. Такие уравнения A) называются сингулярно возмущенными.
Как будет ниже показано на простейших примерах, решения сингуляр-
сингулярно возмущенных уравнений A) при заданных начальных или граничных
условиях обладают рядом свойств, принципиально отличающих их от ре-
решений регулярно возмущенных уравнений A).
Рассмотрим сначала сингулярно возмущенную задачу Коши для урав-
уравнения первого порядка с малым параметром е при у':
еу' + ау = /(*), 16 10,A, у@) = уо, C)
где ? > 0, о —ненулевое число и /(i)—заданная непрерывно дифферен-
дифференцируемая на [0,1] функция.
Обозначим решение задачи Коши C) через у?(ж), а решение уравне-
уравнения из A) при е = 0 —через уо(х) = \f(x). Изучим поведение уе(х) при
? —»• +0. Нас интересует вопрос о том, будет ли при этом стремиться
Уе(х) К Уо(х), VX € [0, г].
Теорема 1. Если о > 0, то при каждом х 6 @,1]
Дпгоу?(а:) = уо{х).

§ 7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной
О Решение у€{х) задачи Коши C) ищем в виде
Ус(х) = yo(x) + ze(x),
где z? (x) — решение задачи Коши
207
Отсюда
Тогда
поскольку при е —э
= -f/'(*), zt{0) = j/o - ^
е~"
е-И-0.
D)
+0
X
/'(x)| f
J
Из формулы D) следует утверждение теоремы 1.
Из формулы D) также получаем, что при е —> +0
если а; € [tf,i], где 0 < ^ < /, 5 — произвольное и фиксированное. Для всего
[0,A нет равномерного стремления у?(х) к уо(х). Этот результат можно
было бы заранее предсказать, так как в окрестности х = 0 решения уе{х)
и уоМ в общем случае совпадать не могут. Из формулы D) видно, что
при а < 0 уе{х) не стремится к уо(х) при е -*¦ +0. Эти явления не на-
наблюдались для регулярно возмущенных уравнений A). Заметим, что при
е = 0 порядок уравнения в C) понижается, точнее, уравнение становится
конечным уравнением.
Графически результаты исследования задачи Коши A) в случае о > 0
показаны на рис. 3.
Vo
>
0
у
V
1
Рис.
3
1
/ z

208 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
Отрезок [0,5], 0 < 6 < I, на котором решение уе(х) задачи Коши C)
при малых е > 0 сильно отличается от решения уо{х), называется по-
пограничным слоем. Явление погранслоя характерно для всех уравнений
с малым параметром при старшей производной. Решение уо(х) является
асимптотически равномерным приближением решения у?(х) не на всем
[0,1], а лишь на каждом [5,1], 5 > 0. Основной целью исследования син-
сингулярно возмущенных задач является построение асимптотического при
е -» +0 приближения решения уе(х) этих задач, равномерного на всем
[0,1]. Из формулы D) видно, что затухающие экспоненты осуществляют
поправку к уа(х), позволяющую получить равномерное на [0,1] прибли-
приближение Уе{х) при е —» +0, в том числе и в погранслое [0,5]. Эти факты
наблюдаются и для уравнений высшего порядка.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка с малым параметром
? > 0 при старшей производной у":
II , I , t г / \ *- г/ч it / с \
еу + ау + оу = /(х), х € [0,*J, E)
где а/0 и 6 т^О — заданные числа, /(х) — заданная непрерывно диффе-
дифференцируемая на [0,1] функция. Изучим при ? —V +0 поведение решения
уравнения E) при начальных условиях
у@) = уь у'@) = у2- F)
Положив е = 0 в уравнении E), получаем невозмущенную задачу Коши
Обозначим решение задачи Коши E), F) через Ус(х), а решение задачи
Коши G) через уо(х). Тогда
уо{х) = е-^ -V1+-
о
Теорема 2. Если а > 0, то при е -> +0 уе(х) =t уо(я) <?лл всех х € [0,f] u
О Ищем решение задачи Коши E), F) в виде
у?[х) = уо(х) + zc(x).
Тогда zc(x) является решением задачи Коши
ez" + az' + bz = -еу'Цх), z{0) — 0,
1 b
a a
и задается формулой
ze(x) =
Ai-Аа
X
j/2(eAl1 - eAjI) + /"{e^t'-O -

§ 7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной 209
Здесь Aj — \\(е), Аг = А2(е) — корни характеристического уравнения
еА2 + аХ + Ь = 0,
причем Ai ф Аг и Ai = — | + О(е), Аг = -f + О(е), е -» +0. Учитывая,
что функция
у'Цх) = 1/'(х) - А/(Х) + ^(х)
на [0, f] является ограниченной и что при е —> +0
А1-А, = --- + О(е),
? а
из формулы ze(x) получаем утверждение теоремы 2. •
Из теоремы 2 следует, что на [0,5] при любом 6 € @,1) нет равномер-
равномерного стремления решения уе(х) вместе с ее производной у'е(х) к решению
Уо(х) и к ее производной у'о{х). Такое равномерное стремление имеется
лишь на [6,1] при любом S > 0. В окрестности х = 0 имеется область, в
которой у'?{х) сильно отличается от у'о(х). Эта область называется погра-
пограничным слоем задачи. При а < 0 и е -*¦ +0 нет стремления у?(а:) к у^(х).
Наконец, изучим при е —? +0 поведение решения следующей гранич-
граничной задачи
гу" + ay' + by = 0, е > 0, а • Ъ ф О,
2/@) =»ь уA)=2/2, Ы1 + Ы>0. (8)
Обозначим решение граничной задачи (8) через уе(х), а решение за-
задачи Коши ay' + by = 0, у@) = т/1, обозначим через уо{х).
Теорема 3. Пусть а < 0. Тогда при достаточно малых е > 0 решение у?(а;)
граничмой законы (8) существует, единственно и для каждого х € [0,1)
Уе(х) -» УоС^) пРи ? —> +0- Кроме того, для всех х 6 [0,1 — 5], где 0 < 8 < 1,
^ — фиксировано, уе(х) ={ уо(я) при е -* +0.
О Для достаточно малых е>0 (е< %б) корни Ai = А](е), Аг = Аг(е)
характеристического уравнения
еА2 + аА + Ь = 0
вещественны, различны и общее решение (8) имеет вид
Поскольку в этом случае eAl Ф е*2, то при достаточно малых е > 0 реше-
решение граничной задачи (8) существует, единственпо и задается формулой
(см. §4):

210 Глава 6. Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами
При е -» +0:
Рассмотрим выражение
|eA2_eA,j + |еЛ2_еА1|Х
х {| - aeAl* + ае-^| + \0- ае^е^*"
Очевидно существуют такие числа А\ > 0 и А% > 0, что для всех
х ? [0,1] и всех е > 0
При е —» +0 имеем:
еА2 - eAl =
-ae
Al1
<Au \0 - aeAl| < Л2.
i • O(e) <
где А3 > 0.
Следовательно, получаем
Ых) - yo(x)\ < Aiel-l [1 + О(е)) +
з • О(е)
Если a < 0, то поведение |г/е(э;) - уо(з:)| при е -V +0 зависит лишь от
последнего слагаемого полученной оценки. При е -» +0 \ус(х) — Уо(х)\ —> 0
для каждого 0 < х < 1 и тахх \ус(х) — Уй{х)\ -* 0 для всех 0 < х < 1 - S,
где 0 < S < 1 и фиксировано. •
Из теоремы 3 следует, что в случае a < 0 пограничным слоем гра-
граничной задачи (8) является каждый [1 — 5,1], 0 < 5 < 1.
Замечание. Если о > 0 и у(х) — решение задачи Коши
ay' + by = 0, уA) = |/2,
то аналогичным образом можно установить, что при е —» +0 J/Ла:) —> у{х)
для каждого х 6 @,1] и уе =t уо(х) для всех х € [5,1], 0 < ? < 1. Значит,
каждый [0,^] является пограничным слоем задачи в этом случае.

§7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной 211
Упражнения к главе 6
1. Составить и решить линейное неоднородное дифференциальное урав-
уравнение с правой частью f(x) = cos2x, зная фундаментальную си-
систему решений соответствующего линейного однородного уравнения
т/1 (х) = sin2 х, у2{х) = cos2 х.
2. Найти при х > 0 общее решение линейного уравнения
ху" + 2j/ - ху = 2 - х2,
если известны два его частных решения у\ = х, уг — х-^-\-ех.
3. Показать, что граничная задача (А — вещественный параметр)
у'у = \лу, у(О) = у'(О)=0, уA)=у"A)=О, г>0,
имеет бесконечное число нетривиальных решений уп{х), соответствую-
соответствующих различным значениям параметра Ап, и что
I
Уп(х) ¦ ym(x)dx = О, Ап ф \т.
о
4. Доказать, что всякое решение уравнения
у" - ху' + у = 0
на (+оо, —со) имеет не более 5 нулей.
5. Доказать, что уравнение Бесселя
х2у" + ху' + (х2 -v2)y=0
не может иметь двух линейно независимых решений на (О.+оо),
ничейных в окрестности нуля вместе с первыми производными.
6. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения
при х > 0 имеет лишь конечное число нулей.
7. Найти общее решение уравнения
4ху" + 2у' + у = 0
при i>0 с помощью степенного ряда.
/¦

=================== Глава 7 ===========================
Нормальные автономные системы
дифференциальных уравнений
и теория устойчивости
§ 1. Общие свойства
Нормальной автономной системой дифференциальных уравнений порядка
п называется система
*(<) = /(ж), A)
где f(x) — заданная действительная вектор-функция с компонентами
/lWi'-./nW B некоторой области п евклидова пространства i?J с
фиксированной прямоугольной декартовой системой координат х\,... ,хп.
В системе A) t — независимая переменная, которую принято называть
временем и считать i E Rj, a x(t) — неизвестная действительная вектор-
функция с. п компонентами х\(<)>¦•¦ ,xn(t). В дальнейшем будем пред-
предполагать, что f(x) удовлетворяет в области Г2 условию Липшица. Это
гарантирует существование и единственность непродолжимого решения
системы A) при начальном условии
x(i0) = х<ь х0 € Я, B)
на некотором промежутке X = X(to,xo) оси t, содержащем точку to.
Автономные системы A) иногда называют еще динамическими или
консервативными. Автономными системами описываются многочисленные
математические модели реальных физических систем классической ме-
механики, теории колебаний, экономики, динамики живых систем и т.д.
Произвольная нормальная система дифференциальных уравнений
= f(x,t) C)
всегда сводится к автономной системе путем увеличения числа неизвест-
неизвестных функций на единицу. Если положить t = ?n+i> то получаем авто-
автономную систему с (п + 1) неизвестными функциями
Xn+l = 1-
Таким образом, автономная система A) отличается от любой системы
C) тем, что правая часть A) не содержит переменной *.
Переменные Xi,... ,xn называются фазовыми переменными, а область
П пространства FQ называется фазовым пространством автономной си-
системы A). Если х — ip(t) — решение системы A) на промежутке I С й},

§1. Общие свойства
213
то оно определяет параметрически заданную кривую в области П, т.е.
множество точек {<p{t)} 6 П при всех t е X. Эта кривая в ft называется
фазовой траекторией автономной системы A).
Напомним, что интегральные кривые A) представляют собой графики
решений х = <p(t) системы A) в бесконечном цилиндре
G= {{x,t): х€П, teRlt}
(п + 1)-мерного пространства Л?х+Д. Следовательно, фазовая траекто-
траектория A) является проекцией интегральной кривой A) параллельно оси
t (см. рис. 1). На траектории стрелкой указывают ее ориентацию, т.е.
направление движения по ней в сторону возрастания (.
интегральная кривая
фазовая траектория
Рис. 1
Например, для уравнения х = х в случае п — 1 при начальном
условии х@) = хо > 0 интегральной кривой будет график функции
x(t) = xoe1, t € Л(, на плоскости (t,x), а фазовой траекторией будет
полуось х > 0.
Из теоремы существования и единственности решения задачи Коши
A), B) получаем, что через каждую точку хо € Л проходит единственная
траектория A), определенная в некоторой окрестности to- При некоторых
достаточных условиях эта траектория определена при всех t 6 R\.
Теорема 1. Если решение х = <p(t), t 6 X, автономной системы A) та-
таково, что определяемая им траектория все время остается в некотором
компакте К С ft, то необходимо X = (—оо,+оо).
О Пусть to,ti,t2 €Z и to € (*i,*г)- Обозначим через Я —цилиндр в ^
для которого х 6 К, t € [*1,<г]. По теореме о непродолжимом решении
интегральная кривая х — <p{t), t € [^ь^г]) выходит из Н лишь при t<t\ к.
при t\ > 1.2- Однако выйти из Н через боковую поверхность Н интеграль-
интегральная кривая не может, так как в этом случае найдется точка траектории,
лежащая вне К, что противоречит условию теоремы. Итак, интеграль-
интегральная кривая выходит из Н через его нижнее и верхнее основания. Но это
означает, что решение системы A) определено при t — ?ь*2- Поскольку
ti и <2 произвольны, то решение A) определено при всех t € R\. •

214 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Замечание. Теорема 1 не позволяет по внешнему виду системы A) уста-
установить, можно ли продолжить решение A) на всю ось R\. Можно, од-
однако, доказать, что если f(x) удовлетворяет условию Липшица во всей
области ft, то всякое решение автономной системы A) определено на
всей оси R}.
Рассмотрим простейшие свойства траекторий A).
Свойство 1. Если х = <p(t) —решение системы A) при t € {а,0) и с —
некоторое число, то и х = <?>(< + с) также является решением A) при
t € (а - с, 0 - с).
О Так как для всех t e (с*,/3)
?>(*) =/ИО],
то для всех t ? (а — с, /3 — с)
ip(t + c)=f[ip(t+c)]. •
Свойство 1 геометрически означает, что сдвиг по траектории A) так-
также дает траекторию A).
Свойство 2. Если две фазовые траектории х — f{t), t е Х\, и х = i>(t),
t € I2, автономной системы A) имеют общую точку
то ip(t) = <p(t + 11 — ti) для всех t, для которых определены обе части то-
тождества.
О Вектор-функция
в силу свойства 1 является решением A) при (t+ti— ti) e X\. Кроме того,
По тереме единственности
для всех t, для которых определены обе части тождества. •
Свойство 2 геометрически означает, что две траектории A) либо не
пересекаются, либо совпадают. Заметим, что для неавтономных систем
свойство 2 может не выполняться: проекции ее непересекающихся инте-
интегральных кривых на J?J могут пересекаться. Например, это очевидно в
случае системы
x = t, у = 1.
В каждой точке х 6 П задана вектор-функция f(z). Таким образом, ав-
автономная система A) задает в области П векторное поле }{х). В ка-
каждой точке xq € П фазовая траектория A), определяемая решением A)

§ 1. Общие свойства 215
х = <p{t), t&X, касается вектора /(хо) в силу того, что х — <-р{?) — реше-
решение A) при t € X. Исключением является только случай, когда фазовая
траектория A) состоит из одной точки хо 6 П, т.е.
Определение. Всякое решение системы A) х — <p(t) = xq е П, Vf 6 R},
называется положением равновесия или точкой покоя системы A).
Всякая точка xq € SI, не являющаяся положением равновесия системы
A), называется обыкновенной точкой автономной системы A).
Из непрерывности f(x) в области П следует, что каждая обыкновен-
обыкновенная точка A) обладает целой окрестностью из обыкновенных точек. Как
будет видно далее, положение равновесия может быть изолированным
или неизолированным. Если решение х = f{t), t € X, рассматривать как
закон движения фазовой точки по траектории, то скорость ее движения
в момент времени to, где (p{to) = хо, совпадает с вектором /(хо). Этот
вектор /(хо) называется фазовой скоростью автономной системы A), а
векторное поле f(x) называется полем фазовых скоростей системы A).
Теорема 2. Точка xq € fi является положением равновесия A) только в
том случае, когда фазовая скорость /(хо) = 0.
О Если х = хо — положение равновесия A), то х = 0 и подстановка в
A) дает f{xo) = 0. Обратно, если /(хо) = 0, то подстановка в A) дает
±о = 0, т.е. х — хо —решение A).
Теорема 2 дает практический способ нахождения положений равнове-
равновесия системы A). Заметим, что положение равновесия является проекцией
на Щ тех интегральных кривых системы A), которые параллельны оси
t. Теорема 2 означает, что положения равновесия системы A) являются
особыми (или критическими) точками векторного поля /(х).
Замечание. Определение положения равновесия сохраняется и для не-
неавтономной системы C). Тогда условие f(xo,t) = 0 для всех допусти-
допустимых значений t является критерием положения равновесия х = хо си-
системы C).
Заметим, что каждая фазовая траектория A) х = ip(i) отличная от
положения равновесия, является гладкой кривой, т.е. непрерывно диф-
дифференцируемой кривой и ip'{t) = f [ip(t)] = f(x) Ф 0 в каждой точке х
траектории.
Определение. Если решение х = ip{t) системы A) определено на всей
оси R} и является периодической вектор-функцией периода Т > 0, то со-
соответствующая ему траектория называется замкнутой траекторией (или
циклом) системы A).
Имеет место следующая теорема о классификации всех траекторий
автономной системы A).

216 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Теорема 3. Всякая фазовая траектория автономной системы A) принад-
принадлежит одному из следующих трех типов:
1) положение равновесия,
2) замкнутая траектория,
3) траектория без самопересечений.
О Достаточно показать, что если х — <p(t, хо) — решение системы A) с
начальным условием х@) — хо € fi не является положением равновесия
A) и соответствующая ему траектория пересекает сама себя, то вектор-
функция <p(t, хо) периодически с периодом Т > 0 продолжается на всю
ось R}.
Пусть 3t\,t2, t\ < <2> такие, что
<p(tl,X0) =ip{t2,X0).
Поскольку ?о~не положение равновесия A), то
Положим Т = ?г—*i > 0 и покажем, что (fi(t, Хо) периодически с периодом
Т > 0 продолжается на всю ось R}.
В самом деле, в силу свойства 1 траекторий A)
i>(t,xo)=<p{t
является траекторией системы A) при t € [ti — Т, tz — Т], причем
ф(гих) = tp(ti +Т,х0) = <p(t2,x0) =(p(t\,x0).
По свойству 2 траекторий A) i/>(t, хо) — единственное продолжение ip(t,xo)
с периодом Т > 0 из [*ь*г] на [t\ —T,t\).
Аналогично, взяв
rpi{t,xo) = 4>{t-T,Xu),
докажем, что i/>i(<,?o) является единственным продолжением с периодом
Т > 0 <p(t,x0) из [<i,*г] на [<2,<2+Г]. Таким образом, в силу теоре-
теоремы единственности получено продолжение с периодом Т > 0 <p(t, хо) с
[*1,<г] на [t\—T,t2 + T]. Аналогичным приемом можно с периодом Т > О
единственным образом продолжить <p(t,хо) с [ti,^] на всю ось R\. A
периодическое с периодом Т > 0 на всей оси R] решение A) х — <p(t, хо)
дает замкнутую траекторию. •
В случае п = 2 можно указать достаточные условия отсутствия за-
замкнутых траекторий автономной системы A).
Теорема 4. Если система A) задана в плоской области Q и в П векторное
поле фазовых скоростей f{x) является потенциальным, то в fi система A)
не имеет замкнутых траекторий.

§ 1. Общие свойства 217
О Рассуждаем от противного. Пусть существует замкнутая траектория у
системы A) в ft. Так как поле скоростей потенциально, то
<f
(выбрано направление обхода против часовой стрелки). С другой сто-
стороны, при х € 7 скалярное произведение (/(ж),/(ж)) > 0 и в силу A)
dx = f [ip(t)) dt, где х = ip{t) — периодическое с периодом Т > О решение
A), определяющее траекторию 7- Поэтому
т
(f(x),dx) =
Получим противоречие. •
Например, для линейной на плоскости R? х , системы
х = Ах
векторное поле f(x) = Ах является потенциальным, если матрица А сим-
симметричная. Значит, линейная система с симметричной матрицей А не
имеет на плоскости замкнутых траекторий.
Если изучать структуру фазовых траекторий системы A) лишь ло-
локально, т.е. в некоторой окрестности точки хо 6 ft, то локальная струк-
структура фазовых траекторий в окрестности каждой обыкновенной точки си-
системы A) качественно одинакова. Как сейчас будет доказано, в окрест-
окрестности таких точек с помощью некоторой замены переменных фазовые
траектории A) можно распрямить.
Пусть задано отображение х — д(у) некоторой области ft евклидо-
евклидова пространства Щ с прямоугольной декартовой системой координат
J/i, • • • , Уп в область Q евклидова пространства R" с прямоугольной де-
декартовой системой координат х\,...,х„.
Определение. Отображение х — д{у) будем называть гладкой обрати-
обратимой заменой переменных в области fi, если:
1) х = д(у) взаимно однозначно отображает П на ?2,
2) вектор-функция х = д(у), убЙ, и обратная к ней вектор-функция
у — д~1(х), х € П, являются непрерывно дифференцируемыми соответ-
соответственно в области п и ft,
3) якобиан %^| ;;;;%"j Ф О для каждого у € П.
Заметим, что если х = д(у) — гладкая обратимая замена переменных
в области ft, то и у = д~1(х) — гладкая обратимая замена переменных в
области ft. Кроме того, ясно, что композиция гладких обратимых замен
переменных также является гладкой обратимой заменой переменных.

218 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Следующая теорема называется теоремой «о выпрямлении траекто-
траекторий».
Теорема 5. Пусть f(x) —непрерывно дифференцируемая вектор-функция
в области ?1 и пусть точка а € ?1 является обыкновенной точкой систе-
системы A). Тогда найдутся окрестность ?1а точки о и такая гладкая обрати-
обратимая замена переменных в fla, что в окрестности Па система A) примет
вид
j/i = 0, t = l,n-l, yn = 1,
а траектории системы A) в окрестности па перейдут в отрезки прямых
yi = Ci, i = 1,п—1, уп = t + Cj,, где ci,... ,с„ —постоянные.
О Так как a 6 iI является обыкновенной точкой A), то /(о) ф 0. Будем
считать в дальнейшем, что /n(a) ^ 0. Рассмотрим фиксированный вектор
С с компонентами С\, ¦ ¦. , Ст»-ь <*п, где а„ — последняя компонента вектора
а, из окрестности точки о 6 Q. Возьмем начальное условие
*@) = С
По теореме существования и единственности решения задачи Коши
найдется такое е\ > 0, что при \t\ < ej решение х = f{t,C,) систе-
системы A) при этом начальном условии существует и единственно, причем
<р{0,О — С- Из теоремы о дифференцируемости решения задачи Коши по
начальным данным следует, что х — ip{t,Q —непрерывно дифференциру-
дифференцируемая функция ?,С при |i| < ?], К — а\ < ег, ?\ > 0, ег > 0.
Покажем, что х = (p(t, () определяет искомую гладкую обратимую за-
замену переменных в некоторой окрестности t = 0, ( = о. С этой целью по-
покажем, что в окрестности t = 0, С = a применима теорема существования
и единственности системы неявных функций. В самом деле, х = ip(t, () —
непрерывно дифференцируема в окрестности t — 0, С = а- Так как
то
(=0, J' >>•/¦>
где 5ij — символ Кронекера. Поскольку х = <p(t, 0 — решение A), то
Следовательно, якобиан
= /„(a) ^ 0.
С=о,
1=0

§ 1. Общие свойства 219
По теореме о системе неявных функций получаем тогда, что суще-
существуют и единственны непрерывно дифференцируемые функции в неко-
некоторой окрестности ?1а точки а
<i = Щ{х), t = 1, п - 1, t = v(x),
которые дают обратное отображение для х = <p(t,?). Введем в окрестно-
окрестности Па новые переменные
Vi - щ{х), i - l,n-l, yn = v(x).
Это гладкая обратимая замена переменных в Qa. При каждом фикси-
фиксированном ? при такой замене траектория A) из По перейдет в отрезок
прямой
Vi = b, i = l,n-l, yn = t.
Меняя С 6 flQ, получим семейство параллельных оси уп отрезков. Систе-
Система A) при указанной замене переменных примет вид
у» = 0, i = 1,п- 1, уп = 1. •
Как будет установлено в следующем параграфе, подобная теорема для
положений равновесия автономной системы не имеет места. Поведение
фазовых траекторий в окрестности положения равновесия A) существен-
существенно зависит от типа положения равновесия.
Качественную картину поведения фазовых траекторий системы A),
геометрически изображенную в области Q, называют фазовым портре-
портретом системы A).
Важным для приложений является класс автономных систем A), для
которых величина так называемого фазового объема (определение см. ни-
ниже) не меняется при перемещении точек объема по траекториям системы
A). Например, таким свойством обладают линейный осциллятор
х + ш2х-Ъ, ш > 0,
и нелинейный осциллятор
х + sins = 0.
Если же взять линейный осциллятор с трением
х + 26х + х = 0, 6 > 0,
то для него величина фазового объема уже зависит от времени.
Докажем теорему Лиувилля, дающую достаточные условия сохранения
величины (меры) фазового объема.
Пусть х = <p(t,to,zo) — непродолжимое на всей оси Л| решение задачи
Коши A), B) и пусть начальные положения хо заполпяют при t = to
некоторое измеримое по Жордану множество (объем) Vq С fl с мерой

220 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
(величиной) объема ixVq. Обозначим через Vt измеримый по Жордану
объем ЦсП с мерой объема fxVt, полученный из Vq сдвигом за время
t вдоль фазовых траекторий A), задаваемых решениями х = <p(t,to,xo).
Множества Vq и Vj называют фазовыми объемами.
Определение. Задача Коши A), B) называется допустимой, если
х = <p(t,to,xo) является гладкой обратимой заменой переменных из Vq
в Vt.
Теорема 6 (Лиувилля). Если задача Коши A), B) является допустимой
и в области ?1
то на траекториях A) сохраняется величина фазового объема, т. е.
/iVt для всех t.
О В кратном интеграле
\xVt =/.../ dx\... dxn
v,
сделаем замену переменных х — <p(t,to,xo). Это законно, так как по усло-
условию задача Коши A), B) допустима. Тогда
где якобиан
= f...J.\J(t,xo)\dx?)...dx<?\
При t = to V ~ Хо и поэтому J(to,xo) = 1. Покажем, что J(t,xo) = 1. С
этой целью найдем ^. По правилу дифференцирования определителей
имеем, что
at ~2^J4
где J; — определитель, полученный из J заменой г-й строки на производ-
производную по t этой строки:
— г-я строка.

§ 1. Общие свойства 221
В силу того, что х = <p(t,to,xo) —решение системы A), то VA; = 1,п
Умножая j-e (j ф i) строки Jt на ^, просуммировав их и вычитая из
i-й строки, получим
Следовательно, из условия теоремы тогда имеем, что
Значит,
Замечание. Условие divf(x) = 0 в области п из теоремы 6 означает,
что векторное поле f(z) в ?2 является соленоидальным. Если /(ж) =
Ах, где Л —числовая матрица, то div/(x) равна следу матрицы А. Для
гамильтоновой системы уравнений
_ дН(х,Р) дН(х,Р) —
Xi-—d?—' pi = —ШГ' ' '
в фазовом пространст'ве Щхр) задача Коши допустима и
Следовательно, величина фазового объема не меняется при перемещении
точек объема по траекториям гамильтоновой системы уравнений.
В заключение этого параграфа отметим, что не всегда разумно счи-
считать фазовым пространством автономной системы A) ту область ?2 ев-
евклидова пространства Л$, где определена система A). Т^.к, например,
при п = 1 для уравнения
х = /(*),

222 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
где f(x) — непрерывно дифференцируемая и периодическая с периодом
2тг на всей оси Д^ функция, фазовым пространством удобно считать
не Л*., а единичную окружность К с направлением движения против
часовой стрелки. В этом случае на R\ нет однозначного описания, а
на окружности К имеется однозначность описания фазовых состояний
системы A). Особенно важно требовать взаимно однозначное соответ-
соответствие между состояниями системы и точками фазового пространства
для автономных систем A), описывающих реальные физические про-
процессы.
Пусть теперь п = 2 и вектор-функция /(жь^г) определена на
всей плоскости R%ltXi- Если /(яь^г) является по обеим переменным
Ж|, Х2 периодической функцией периода 27Г, то целесообразно считать
фазовым пространством A) не Д?Х1 Хгу а поверхность тора. В слу-
случае же, когда /(яь^г) является периодической функцией периода 2ст
лишь по одной переменной х\, естественно считать фазовым простран-
пространством A) не Д/Х1 .ч, а поверхность бесконечного цилиндра. В § 3 бу-
будет построен фазовый цилиндр нелинейного консервативного осцилля-
осциллятора
х + sinx = 0.
Таким образом, в качестве фазового пространства системы A) может
выступать не только область Щ, но и некоторые многообразия размер-
размерности 1 < к < п пространства Щ.
§ 2. Классификация положений равновесия
линейной однородной системы второго порядка
Рассмотрим линейную однородную систему уравнений
где а и, ei2, в21> 022 —заданные действительные числа, t 6 Д{. Очевидно,
система A) является автономной. Введем матрицу
)
0-22
Определение. Линейная автономная система A) называется простой,
если матрица А — иевырожденна. В противном случае система A) на-
называется сложной.

§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 223
Сначала изучим фазовый портрет простой системы A). Он, пре-
прежде всего, существенно зависит от собственных значений Ai,A2 мат-
матрицы А.
Положения равновесия системы A) являются корнями линейной си-
системы Ах = 0. Если система A) простая, то х = 0 — единственное поло-
положение равновесия A).
I. Пусть собственные значения Х\ и А2 действительны. Тогда все дей-
действительные решения A) задаются формулой
где ci, c<z — произвольные действительные числа, a h\, h2 — линейно неза-
независимые собственные векторы, соответствующие Ai и А2.
Векторы h\ и h2 образуют базис плоскости, в общем случае неортого-
неортогональный. Если ^i, Сг — координаты точки х в этом базисе, то координаты
решения x(t) системы A) имеют вид
Так как картина поведения фазовых траекторий A) симметрична отно-
относительно осей СьС2> то достаточно ее исследовать при ?i > 0, ?2 > 0.
а) Пусть Ai < 0, А2 < 0 и |Ai| < |А2|.
Тогда: С\ = с2 = 0 дает положение равновесия х — 0; с\ > 0, с2 = 0
дает полуось ^ > 0, причем ?i —> +0 при Ь —* +оо; с\ = 0, с2 > 0
дает полуось ?2 > 0, причем & -» +0 при t -у +оо. Если же с\ > 0
И С2 > 0, ТО
Отсюда следует, что
Jim ^ =са- Ига СГ1 =0.
Значит, фазовые траектории представляют собой кривые типа ветвей
параболы, касающихся в пределе при t -> +оо оси ?i в начале коор-
координат.
В целом в случае а) получаем семейство фазовых траекторий типа
ветвей параболы и пять специальных траекторий: положение равновесия
х — 0 и четыре полуоси осей координат СьСг- Схематически фазовый
портрет системы A) в случае а) показан на рис. 2. Стрелка на траек-
траектории показывает направление движения при t —у +оо.
В этом случае положение равновесия х = 0 называется устойчивым
узлом системы A).
б) Пусть Ai > 0, А2 > 0 и Aj < A2.

224 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Расположение и вид траекторий A) остаются такими же, как и в слу-
случае а), но направление движения по траекториям при t—> +оо меняется
на противоположное. Положение равновесия х = 0 в этом случае назы-
называется неустойчивым узлом A). Схематически фазовый портрет системы
A) в случае б) показан на рис. 3.
Рис. 2
Рис. 3
в) Пусть Ai < 0 < А2.
Тогда получаем: при ci = сг = 0 положение равновесия х = 0, при
с\ > 0, сг = 0 полуось Ci > 0, причем (,i -» +0 при t -> +оо, при с\ — 0,
сг > 0 полуось Qi > 0, причем Сг —> +°° при t —> +оо. Если же с\ > 0,
сг > 0, то, как и в случае а), имеем ?г = cCf, но здесь уже а = ^ < 0.
Следовательно, траектории — это кривые типа гиперболы.
В целом в случае в) получаем семейство траекторий типа гипербол и
пять специальных траекторий: положение равновесия х = 0 и четыре по-
полуоси осей координат СьСг- Эти полуоси служат асимптотами траекторий
типа гипербол и называются сепаратрисами.
Положение равновесия х = 0 системы A) в случае в) называется сед-
седлом системы A). Схематически фазовый портрет системы A) в этом
случае показан на рис. 4.
Рис. 4

§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 225
г) Пусть Ai = А2 = Л и существует базис плоскости из собственных
векторов hi, hi матрицы А.
В этом случае общее решение A) имеет вид
x(t) = eM(clh1+c2h2).
Каждое такое решение описывает луч, выходящий из начала коорди-
координат, причем движение по лучу при t -> +00 идет к нулю для А < О
и от нуля для А > 0. При А < 0 положение равновесия х = 0 называ-
называется устойчивым дикритическим (или звездным) узлом, а при А > 0 —
неустойчивым дикритическим (или звездным) узлом A). Схематический
фазовый портрет A) в обоих случаях показан на рис. 5.
А<0
Рис. 5
А>0
д) Пусть Ai = А2 = А и существует б^ЗЦс плоскости и
вектора h\ и к нему присоединенного вектора h2 матри
В этом случае общее решение системы >A)
собственного
x(t) =
c2ext(thx + h2).
Тогда
Для А < 0 получаем при с\ = с2 — 0 положение равновесия х — 0, при
с\ ф 0, С2 = 0 две полуоси ^ < 0 и d > 0, причем при t -» +00 дви-
движение по ним идет в сторону х = 0. Пусть теперь с\ =0, сг > 0. Тогда
при t = 0 получаем точку @, Сг), а при t -> +00 точка (СьСг) движется
в сторону возрастания ?i, одновременно опускаясь к @,0) и касаясь в
пределе Ci > 0 в точке @,0). При t —у +оо точка (СьСг) движется на-
направо, одновременно поднимаясь вверх. Описанные траектории заполня-
заполняют полуплоскость ?г > 0- Осталось заметить, что картина симметрична
относительно @,0).
В случае А < 0 положение равновесия х = 0 называется устойчивым
вырожденным узлом системы A).
Если А > 0, то траектории A) получаются из описанных выше тра-
траекторий для случая А < 0 путем зеркального отображения плоскости
8- 2769

226 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
относительно оси Сг> а движение по ним при t —> +00 идет от нача-
начала координат. В случае А > 0 положение равновесия х = 0 называется
неустойчивым вырожденным узлом A). Схематически фазовый портрет
A) в обоих случаях показан на рис. 6.
Л<0
Рис. 6
л>о
II. Пусть собственные значения Ai и А2 — комплексные.
Если Ai = (j. + iu, где и > 0, то в силу действительности А имеем
Аг = Ai = /л — iv. Обозначим через А = Ai — ihi собственный вектор А для
А], где Ai и Аг—действительные векторы. Тогда А = h\ + ihi является
собственным вектором для Аг. Общее действительное решение A) в этом
случае имеет вид
' • Л,
где с — пройзвфсьная комплексная постоянная.
Если положить
то с = |с|еТ<?) и общее решение преобразуется к виду
x(t) = 2\c\ePl [cos(<p + vt) ¦ hx + sm(tp + vt) ¦
Так как h\ и Аг—линейно независимые векторы, то, взяв их в качестве
нового базиса плоскости, координаты Ci(*)j Сг(') решения x{t) в этом
базисе имеют вид
= 2\c\e'it sin(f + ut).
Положив r(t) =: 2|с|еЛ*е, rl>{t) — tp + i/t, отсюда получаем уравнение траек-
траекторий A) в полярных координатах г, ф
При с Ф 0 и /л Ф 0 фазовые траектории A) представляют собой кривые
типа логарифмических спиралей, а при fj. = 0 — кривые типа эллипсов.

§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 227
а) Пусть (х < 0. Тогда при с = 0 получаем положение равновесия
х = 0, а при с ф 0 фазовая точка по спирали движется к х — 0 при
* —* +оо, так как r(t) -» +0, ^(?) —> +оо при t -> +oo. Направле-
Направление закручивания спирали определяется направлением фазовой скорости
/(х) = Ах. Например, если в качестве а: взять @,1), то /(ж) имеет ком-
компоненты Oi2, 022- Если аи > 0, то f{x) направлен вправо, а если аи < О,
то f(x) направлен влево. Возможные два различных фазовых портрета
A) в этом случае схематически доказаны на рис. 7.
<о
Рис. 7
012 > О
Положение равновесия х = 0 в этом случае называется устойчивым
фокусом системы A).
б) Пусть ц > 0. Тогда при с = 0 получаем положение равновесия
х = 0, а при с ф 0 и t -» +оо точка по спирали удаляется от х = О,
так как r(t) -* +oo, VW —> +°° при Ь —>• +оо. В этом случае положе-
положение равновесия х — 0 называется неустойчивим фокусом системы A).
Возможные в этом случае два различных фазовых портрета A) схема-
схематически показаны на рис. 8.
012 > О
Рис. 8
../'
< О
в) Пусть fi = 0. Тогда в произвольном базисе /ц, /гг при с ф 0 тра-
траектории—кривые типа эллипса, а при с = 0 — положение равновесия. В

228 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
этом случае положение равновесия х — 0 называется центром для си-
системы A). В зависимости от направления обхода эллипсов возможные
фазовые портреты A) схематически показаны на рис. 9.
Рис. 9
Таким образом, для простой линейной автономной системы A) суще-
существует всего тринадцать различных фазовых портретов.
Пусть теперь система A) является сложной.
а) Пусть Хг ф О, А2 = 0. Тогда Ci@ = cxeXlt, B{t) = с2. Отсюда
ясно, что все точки прямой ?i = 0 являются положениями равновесия
и что оба луча каждой прямой ?2 = сг являются траекториями A). В
зависимости от знака Л] движение по ним при t -* +oo идет либо к
прямой Ci = 0, либо от нее. В зависимости от знака Ai возможны два
схематически представленных на рис. 10 фазовых портрета системы A).
ft
<0
>0
Рис. 10
б) Пусть Ai = A2 = 0. Если матрица А нулевая, то каждая точка
плоскости Д?Х1 * является положением равновесия A). Если же А — не-
ненулевая матрица, то существует базис плоскости из собственного вектора
hi и присоединенного к нему вектора Лг матрицы А. В этом базисе ре-
решение A) имеет координаты

§ 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы
В этом случае все точки прямой Сг = О являются положениями равнове-
равновесия. Каждая из прямых (д = с является траекторией A) и при t —> +оо
движение по ним идет слева направо при (% > 0 и справа налево при
?2 < 0 {см. рис. 11).
Рис. 11
Т^ким образом, в случае сложной автономной системы A) имеется
всего четыре различных фазовых портрета системы A).
Замечание. Если задано автономное уравнение второго порядка
х + ах + Ьх -О B)
с действительными коэффициентами а, 6, то его положениями равновесия
называются положения равновесия автономной системы вида
у = -Ьх - ау.
C)
Фазовыми траекториями уравнения B) называются фазовые траекто-
траектории системы C). Отсюда следует, что для рассматриваемого уравнения
B) в случае фокуса и центра движение по траекториям при t -> +оо
всегда идет за часовой стрелкой.
В заключение отметим, что, используя приведение матрицы А к жор-
дановой нормальной форме, можно исследовать фазовые портреты ли-
линейной автономной системы
х — Ах
в фазовом пространстве Щ и при п > 2.

230 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
§ 3. Нелинейные автономные системы
второго порядка
Рассмотрим нелинейную автономную систему
] х\ = fi(xi,x2), m
где fi(xi,X2) и /2B:1,3:2) —заданные действительные дважды непрерывно
дифференцируемые функции в некоторой области П декартовой плоско-
СТИ Я(*ьх2Г
Сначала нас интересует локальный фазовый портрет A) в окрестно-
окрестности точки о с координатами а\,а,2 из области О.. Будем считать в даль-
дальнейшем, что точка а является началом координат, так как этого всегда
можно добиться заменой yi = х\ — а.\, у2 = х2 — а2-
Пусть, кроме системы A), задана и автономная система
У\ =SiB/i.y2), /9ч
Ml = 92(У\,У2),
где g\(yi,V2) и 02C/1,1/2) определены и непрерывно дифференцируемы в
некоторой области G плоскости Щ ,.
Определение. Автономные системы A) и B) будем называть каче-
качественно эквивалентными, если существует такое взаимно однозначное и
взаимно непрерывное отображение области О, на область G, при котором
каждая фазовая траектория системы A) с сохранением ориентации пере-
переходит в некоторую фазовую траекторию системы B), и наоборот. Если,
кроме того, это отображение является непрерывно дифференцируемым,
то системы A) и B) называются дифференцируемо эквивалентными.
Из § 2 следует, что каждая простая автономная линейная система ка-
качественно эквивалентна одной из десяти автономных систем, фазовые
портреты которых изучены в § 2. Более того, можно показать, что все те
простые автономные линейные системы качественно эквивалентны, у ко-
которых х = 0 является устойчивым узлом, дикритическим или вырожден-
вырожденным узлом, фокусом. Аналогично, качественно эквивалентными являются
те простые линейные системы, у которых х — 0 является неустойчивыми
узлом, дикритическим или вырожденным узлом, фокусом. Таким обра-
образом, существуют только четыре типа качественно эквивалентных простых
автономных линейных систем: системы с устойчивым положением равно-
равновесия х = 0, системы с неустойчивым положением равновесия х = 0,
системы, у которых х = 0 — седло, и системы, у которых х = 0 — центр.
Из теоремы о выпрямлении траекторий получаем, что все системы
A), рассматриваемые в окрестностях любых обыкновенных точек систе-
системы A), являются дифференцируемо эквивалентными.

§3. Нелинейные автономные системы второго порядка 231
Допустим теперь, что х = 0 € П является положением равновесия
нелинейной системы A), т.е. /i@,0) = /г{0,0) = 0. Разложим f\{x\,xi) и
/2{х\,х2) по формуле Тейлора в окрестности 1 = 0 с остаточным членом
в форме Пеано:
/l (zi, хг) = а\\х\ + ai2a:2 + О(\х\),
f2(xux2) =
= e(xux2)\x\t
xi,X2) -» 0 при \х\ -» 0.
Линейная однородная система
lX\ + Ol2X2 , .
называется линеаризацией нелинейной системы A) в начале координат.
Следующая теорема, носящая название теоремы о линеаризации, до-
доказательство которой можно найти в книгах [2], [5], [47), устанавливает
связь между локальным фазовым портретом нелинейной системы A) и
фазовым портретом ее линеаризации B).
Теорема. Если линеаризация C) нелинейной системы A) в начале коорди-
координат х = 0 является простой автономной системой и х — 0 не является
центром для системы C), то в окрестности х = 0 нелинейная система A)
и ее линеаризация C) качественно эквивалентны.
Иначе говоря, если собственные значения матрицы линеаризации C)
системы A) при х = 0 имеют действительную часть, отличную от нуля,
то фазовые портреты A) и C) в окрестности х = 0 качественно экви-
эквивалентны, т. е. фазовый портрет системы A) в малой окрестности х = О
получается из фазового портрета системы C) небольшим искажением.
Без дополнительных условий на /i(xi,x2), /2B:1,х2) нельзя утверждать
в общем случае, что системы A) и C) в окрестности нуля при услови-
условиях сформулированной теоремы являются дифференцируемо эквивалент-
эквивалентными. Этим теорема о линеаризации отличается от теоремы о выпря-
выпрямлении траекторий в окрестности обыкновенной точки. Если система C)
простая, то положения равновесия х = 0 для нелинейной системы A)
классифицируются так же, как и для системы C).
Замечание. Нелинейное автономное уравнение второго порядка
* = /(М) D)
эквивалентно автономной системе
» = /(*,»)¦

232 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Положениями равновесия и фазовыми траекториями уравнения D) на-
называются положения равновесия и фазовые траектории системы E).
Пример 1. Найти положения равновесия, определить их характер и на-
нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем
х = arctg(a: - у - 1),
у= ^/Зх2 + Зу - 2 - 1.
Д Положения равновесия находим из системы уравнений
Гarctg(x - у - 1) = 0, \х - у = 1,
\ 1/Зх2 + Зу - 2 - 1 = О, ИЛИ \3о:2 + Зу = 3.
Получаем два положения равновесия: (—2,-3) и A,0). Для линеари-
линеаризации исходной системы удобно иметь положением равновесия точку
@,0). Сделаем замену
щ = х + 2, г?х = у+ 3.
Тогда точка (—2,-3) перейдет в точку @,0) и нелинейная система
примет вид
{Щ - arctg(ui -
{Щ -
Линеаризация этой системы в точке @,0) выглядит так:
щ = щ -vi,
i>i = —4щ + Vi.
Матрица этой системы имеет собственные значения AL = -1, Аг = 3
и линейно независимые собственные векторы
(-»)¦
Следовательно, точка (—2, —3) — седло для исходной системы. Фазо-
Фазовый портрет линеаризованной системы приведен на рис. 12.
Рис. 12

§3. Нелинейные автономные системы второго порядка
233
Рассмотрим второе положение равновесия A,0). Сделаем замену
Тогда точка A,0) перейдет в @,0), а нелинейная система примет
вид
иг = arctg(it2 — V2),
Линеаризация этой системы в точке @,0) имеет вид:
Гп2 = «2 - v2,
1 Х>2 = 2«2 + V2-
Так как матрица этой системы имеет собственные значения А = 1 ±
t\/2, то точка A,0)— неустойчивый фокус для исходной системы.
Поскольку в точке @,1) вектор фазовой скорости имеет координаты
(—1,1), то он направлен влево и, значит, движение по спиралям
при t —» +oo идет от начала координат против часовой стрелки.
Поведение фазовых траекторий линеаризованной системы показано
на рис. 13.
Рис. 13
Если точка @,0) является центром для линеаризации C), то теорема
о качественной эквивалентности систем A) и C) может не выполняться.
Эта точка может быть для нелинейной системы либо центром, либо фо-
фокусом, либо так называемым центрофокусом, т.е. положением равновесия
A), в окрестности которого имеются как замкнутые траектории, так и
траектории типа логарифмической спирали. Приведем пример.
Пример 2. Определить характер положения равновесия системы
- -x2-xi-\x\,
I ii — ¦
-X2\x\,

234 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Д Положением равновесия служит @,0). Линеаризованная в точке
@,0) система
' I = -Х2
имеет в этой точке центр, так как собственные значения матрицы
системы чисто мнимые.
Чтобы определить характер точки @,0) для исходной системы,
перейдем к полярным координатам г, (р по формулам
X\(t) = r(t) cos(p{t), X2(t) = r{t)sin(p(t).
Получаем систему уравнений
r = -r2, гф = г,
откуда либо г = 0, либо г ф 0, г = (i + ci)~L, ip = t + C2- При t —> +со
г -> +0, т. е. точка @,0) является устойчивым фокусом для заданной
системы. А
На примере системы
i = -х2 -xi-\x\sm±\,
можно убедиться, что точка @,0) для линеаризовашгой системы явля-
является центром, а для заданной системы является центрофокусом. Таким
образом, в случае центра для C) нелинейные члены могут существенно
изменить фазовый портрет системы A).
Если линеаризация C) является сложной автономной системой, то те-
теорема о качественной эквивалентности систем A) и C) в окрестности
начала координат также не справедлива и нет классификации положе-
положений равновесия нелинейной системы A). Например, система
имеет единственное положение равновесия @,0), а для ее линеаризации
х\ = х2, х2 = 0,
каждая точка оси хг = 0 является положением равновесия.
С помощью теорем о выпрямлении траекторий и о линеаризации мож-
можно установить локальный фазовый портрет во всех обыкновенных точках
и в простейших положениях равновесия нелинейной системы A). Одна-
Однако такой информации о локальных фазовых портретах системы A) не
всегда достаточно для построения глобального фазового портрета A) во
всей области п. Можно построить пример двух нелинейных систем A) с
одинаковыми локальными фазовыми портретами во всех обыкновенных
точках и во всех положениях равновесия, но с качественно различны-
различными глобальными фазовыми портретами в области П. Дело в том, что

§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка 235
структура предельных множеств траекторий таких систем может быть
различной.
Определение. Точка х 6 П называется w-предельной точкой траектории
х — y>(t) системы A), определенной при всех t > 0, если найдется такая
последовательность tk > 0, <* -*¦ +оо, что ip(tk) —> х при t —> +оо. Множе-
Множество всех ш-предельных точек траектории A) называется ее w-предель-
ным множеством.
Заменив в этом определении условия t > 0, tk > 0, t^ —> +со условиями
t < 0, tk < 0, tk -> —оо, получим определение а-предельной точки и
«-предельного множества траектории A).
Теория А.Пуанкаре —И.Бендиксона (см. [2], [5]) дает описание струк-
структуры предельных множеств траекторий системы A). На фазовой плос-
плоскости типичными предельными множествами траекторий являются: по-
положения равновесия, кривые типа сепаратрис, двоякоасимптотические к
седловым положениям равновесия, и так называемые предельные циклы.
Определение. Предельным циклом системы A) называется такая за-
замкнутая траектория A) в области П, которая изолирована от всех
остальных замкнутых траекторий системы A) в области О..
Пример 3. Показать, что автономная система
[±2 = Xi +X2A - |x|),
где \x\2 — x\ + x\, имеет предельный цикл \x\2 = 1.
Д Перейдем к полярным координатам г,(р по формулам
x\(t) =r(t) cos ip(t), x2(t) =¦
Тогда система примет вид
Решениями полученной системы являются:
t
r = 0, r=l, In
- -
\1 -r\
Отсюда следует, что г = 0 — положение равновесия, а при 0 < г < 1
г > 0 и траектории — раскручивающиеся спирали, приближающиеся
к окружности г = 1. При г > 1 имеем г < 0 и траектории скручива-

236 Глава 7. Нормгшьные автономные системы дифференциальных уравнений
ются при возрастании t -» +00. Фазовый портрет заданной системы
качественно эквивалентен портрету, изображенному на рис. 14.
Рис. 14
Не все предельные циклы системы A) ведут себя так же, как
предельный цикл примера 3. Существуют три типа предельных ци-
циклов:
а) устойчивый (притягивающий) предельный цикл, где траекто-
траектории навиваются на предельный цикл с обеих сторон при t -*¦ +00
(см. пример 3);
б) неустойчивый (отталкивающий) предельный цикл, где траекто-
траектории — спирали удаляются от предельного цикла с обеих сторон при
t -> +00;
в) псшуустойчивый предельный цикл, где траектории с одной сто-
стороны навиваются на предельный цикл и удаляются от него с другой
стороны при t —> +00.
Для автономной системы A) можно дать критерий, позволяющий
в некоторых случаях установить существование предельного цикла
(см. [36]). Однако нет общих методов нахождения предельных ци-
циклов для системы A).
Наиболее важными с физической точки зрения являются при-
притягивающие предельные множества — аттракторы, когда с течением
времени произвольная траектория системы A) из некоторой области
притяжения аттрактора притягивается к аттрактору. В частности,
аттрактором может быть устойчивый предельный цикл. В теории
нелинейных колебаний такого рода системы называют автоколеба-
автоколебательными системами.
Если ограничиться рассмотрением лишь систем A) в компакте
(ограниченной замкнутой области) П, имеющей в О. конечное число
положений равновесия, то (см. [5]) можно дать полную характери-
характеристику предельного множества любой траектории A). Это позволяет
установить качественную (топологическую) структуру разбиения П
на траектории и тем самым построить глобальный фазовый пор-

§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка
237
трет системы A) в области П. На практике построение глобального
фазового портрета A) обычно проводится либо методом изоклин, ли-
либо методом, связанным с нахождением точной или асимптотической
формулы всех траекторий A), либо численными методами. А
Пример 4. Нарисовать глобальный фазовый портрет уравнения нели-
нелинейного маятника
х + sinx = 0.
Д Положениями равновесия являются точки Мк(кп,0), к & Z, при-
причем Мк — центры при четных к и М* — седла при нечетных к.
Для получения глобального фазового портрета найдем уравнения
траекторий. Умножив заданное уравнение на ±, получаем
хх + zsinx = 0.
Отсюда
x2 = 2(cos x
где с — произвольная постоянная. Заметим, что с > — 1, так как при
с < — 1 имеем 2(cosx + c) < 0, что невозможно. При с 6 (—1,1) фазо-
фазовые траектории замкнутые. При с = 1 имеются две разделительные
траектории (сепаратрисы)
х = ±\/2(cosa: + 1) = ±2 cos-.
При с > 1 фазовые траектории не пересекающиеся и не самопересе-
самопересекающиеся. Остается построить графики
х2 - 2{созх + с).
Окончательная картина поведения траекторий на фазовой плоскости
представлена на рис. 15.
Рис. 15
Из локальных фазовых портретов в точках М^ нельзя получить
такой полной информации о поведении фазовых траекторий уравне-
уравнения, как из глобального фазового портрета.

238 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Как видно из рисунка, состояние маятника определяется углом
его отклонения от положения равновесия х и скоростью х. Но для
значений х, отличающихся на целое число 2пп, динамика системы
одинакова. Поэтому в силу отсутствия однозначности плоскость пе-
переменных х,х не является, строго говоря, фазовой плоскостью ма-
маятника. О колебаниях в окрестности центра неясностей не возни-
возникает. Однако при с > 1 движение становится вращательным, фазо-
фазовая плоскость не годится для однозначного описания и в рассмо-
рассмотрение вводят цилиндрическое фазовое пространство. На поверхно-
поверхности фазового цилиндра изображение фазовых траекторий показано
на рис. 16.
сепаратриса
Рис. 16
Кривые, лежащие внутри сепаратрис, замкнуты и охватывают
центр. Кривые вне сепаратрис тоже замкнуты, но они охватывают
цилиндр и описывают новый тип движений, обусловленных враще-
вращением.
Итак, фазовым пространством маятника естественно считать не
плоскость, а цилиндр. Наворачивая на цилиндр нарисованную кар-
картину на плоскости (х,х), получим фазовые кривые маятника на по-
поверхности цилиндра. А
Замечание. Структура предельных множеств траекторий автономной
системы A) при п > 3 окончательно не изучена до сих пор. Более того,
при п > 3 не изучены даже все типы аттракторов. Однако при п > 3
теперь известно, что кроме регулярных аттракторов в виде положений
равновесия, предельных циклов или р-мерных торов, существуют еще так
называемые странные аттракторы. Они представляют собой притягиваю-
притягивающие ограниченные предельные множества траекторий сложной структу-
структуры. Фазовые траектории представляются здесь в виде бесконечной нигде
не пересекающейся линии, причем при t —> +оо траектории не покида-
покидают замкнутой области и не притягиваются к регулярным аттракторам.
Странные аттракторы при п < 2 не существуют. При п > 3 имеется
принципиальное различие между регулярными и странными аттракто-
аттракторами. Регулярные аттракторы характеризуются устойчивостью фазовых
траекторий и по Ляпунову и по Пуассону (определение устойчивости по

§ 3. Нелинейные автономные системы второго порядка 239
Ляпунову см. в следующем § 4, а определение устойчивости по Пуассону
см. в [33]). Для странных аттракторов устойчивость по Пуассону траек-
траекторий всегда сопровождается экспоненциальной неустойчивостью траек-
траекторий по Ляпунову.
Если в теории нелинейных колебаний аттрактору типа предельного
цикла соответствует периодическое движение, а аттрактору типа р-мер-
ного тора соответствуют квазипериодические колебания, то странному ат-
аттрактору соответствует режим хаотических автоколебаний. Для описания
хаотических автоколебаний используются термины «детерминированный
хаос», «динамическая стохастичность» и подобные.
Рассмотрим теперь уравнение первого порядка в симметричной форме
, F)
где Р(х,у) и Q(x, у) — заданные непрерывно дифференцируемые функции
в области И декартовой плоскости R?xyy и две автономные системы
x=-Q{x,y), ..
у = Р(х,у). (8)
Особой точкой уравнения F) называется точка (хо,уо) € П, для кото-
которой Р(хо,г/о) = Q{xo,yo) — 0. Таким образом, особая точка уравнения A)
совпадает с положением равновесия систем G) и (8). Интегральные кри-
кривые уравнения F), если на них брать направление движения, совпадают
с траекториями автономной системы G) или (8). Направления движения
при t —> +оо по траекториям систем G) и (8) противоположны, но сами
траектории, как кривые, систем G) и (8) совпадают.
Т^иким образом, уравнение F) можно изучать в рамках автономных
систем A). В частности, для уравнения F) справедлива теорема о вы-
выпрямлении интегральных кривых в окрестности обыкновенной точки,
классификация особых точек F) аналогична классификации положений
равновесия G) и (8), имеет место теорема о качественной эквивалентно-
эквивалентности в окрестности особой точки уравнения F) и его линеаризации.
В автономную систему уравнений часто входят некоторые параметры.
Например, в уравнении гармонических колебаний с учетом силы сопро-
сопротивления материальной точки массы т
тх + гх + кх — 0
числа т, г, к — параметры, в уравнении Ван-дер-Поля
х + е(х2 - 1)х + х = 0
параметром является е > 0. Исследование автономных систем с пара-
параметрами является более сложной задачей, чем исследование автономных
систем A), прежде всего потому, что при изменении параметров может
меняться качественное поведение фазового портрета. Если при некотором

240 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
значении параметра меняется качественное поведение фазового портрета,
то говорят, что при этом значении параметра имеет место бифуркация
автономной системы.
Пример 5. Найти различные качественные типы фазовых портретов
при Л 6 (—с», +оо) для системы
^2 = Xi + \X2 — X2 ¦ \x\2.
Д В полярных координатах г, tp, где
x(t) =г@ cos <p(t), y(t)=r(t)sm<p{t),
заданная система примет вид
r = r(\-r2),
Отсюда при любом А € (—со, +оо) решениями являются tp = < + с\
и г = 0. При А ^ 0 решениями являются ^ + 02 = ^ 1ц / тг , при
А > 0 решением являются г = \/А, а при А = 0 решением является
При А < 0 получаем, что г < 0 при г ф 0 и f = 0 при г = 0.
Таким образом, при А < 0 все фазовые портреты — это закручива-
закручивающиеся вокруг начала координат спирали, т.е. г — 0 —устойчивый
фокус. При А > 0 начало координат — неустойчивый фокус, так как
г > 0 при 0 < г < \/\. При г > \/А г < 0. Следовательно, г = \fk
является устойчивым предельным циклом, так как траектории за-
закручиваются вокруг него с обеих сторон.
Таким образом, заданная система имеет точку бифуркации при
А = 0. Заметим, что собственные значения линеаризации заданной
системы в начале координат равны А ± г и становятся чисто мни-
мнимыми при критическом значении А = 0. А
Пример 6. Исследовать при |е| < 1 фазовый портрет уравнения
х - ехA - х2 - х2) + х = 0.
Д Перейдем к системе
У = -х + ?уA - х'1 - у2).
При е — 0 начало координат является центром, а при е 6 @,1)
начало координат — неустойчивый фокус для линеаризованной сис-
системы

§ 4. Устойчивость по ЛяГпунову положений равновесия 241
так как Л = | ± -J^ — 1 — комплексные числа. Аналогично, при t < О
начало координат — устойчивый фокус. Перейдя в исходной системе
к полярным координатам г, <р, получаем
Г г = егA - г2) sin2 ip,
\ф = -1 +бтA -г2) sin <p cos ip,
При с > 0 отсюда г = 0 дает начало координат и г = 1 дает
окружность, являющуюся предельным циклом, поскольку при 0 <
г < 1 получаем г > 0, ф < О, а при г > 1 получаем г < 0 и <? < 0 при
г < У2. При е < 0 картина аналогичная, меняется лить направление
движения по траекториям. Таким образом, е = 0 является точкой
бифуркации заданного уравнения. А
§ 4. Устойчивость по Ляпунову
положений равновесия
Как уже говорилось в § 3, в случае, когда линеаризация автономной си-
системы является сложной системой, то по ней нельзя классифицировать
положения равновесия нелинейной автономной системы. Приведенные ни-
ниже определения устойчивости положения равновесия автономной системы
позволяют дать грубую классификацию качественного поведения траекто-
траекторий в окрестности положения равновесия для произвольных автономных
систем.
Пусть задана автономная система
х@ =/(*), A)
где t € R]. и f(x) — заданная непрерывно дифференцируемая вектор-
функция с п компонентами в некоторой области П евклидова простран-
пространства Щ.
Зададим начальное условие
х@) =хо€п B)
и обозначим решение задачи Коши A), B) через x(t,xq). Пусть а 6 Q
является положением равновесия системы A). Без ограничения общности
можно считать о = 0, поскольку в случае о ф 0 заменой х — а = у
в A) можно получить автономную систему, для которой уже у = 0 —
положение равновесия.
Итак, пусть а; = 0 6 П является положением равновесия A). В даль-
дальнейшем считаем, что Эг > 0 такое, что при Vxo S П, |хо| < г, решение
x(t,xo) A), B) определено для всех t > 0. (Достаточные условия для
этого см. в теореме 1 § 1 и в замечании к этой теореме.)
Определение. Положение равновесия х = 0 автономной системы A) на-
называется устойчивым по Ляпунову, если для Ve > 0 найдется 0 < 6 =

242 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
<5(е) < г такое, что из |хо| < S следует |x(f,xo)| < ? для всех t > 0. В
противном случае положение равновесия х — 0 называется неустойчивым
положением равновесия системы A).
Устойчивое по Ляпунову положение равновесия х — 0 системы A) в
случае п = 2 можно проиллюстрировать на рис. 17.
Рис. 17
Любая траектория A), начинающаяся в <5(е)-окрестности точки О,
остается в наперед заданной е-окрестности точки О при всех t > 0.
Определение. Устойчивое по Ляпунову положение равновесия х = 0 си-
системы A) называется асимптотически устойчивым, если Зп, такое, что
0 < Г] < г и lim x(t, х0) — 0 при |zo| < П- Асимптотическая устойчи-
t—>+оо
вость х — 0 геометрически означает, что любая траектория A), начина-
начинающаяся в некоторой окрестности а: = 0, при t —> +оо стремится к а: = 0.
Если рассмотреть простую линейную однородную систему при п = 2
1 = Ах (см. § 2), то непосредственно из определений следует, что устой-
устойчивые узел, фокус, дикритический узел и вырожденный узел являются
асимптотически устойчивыми положениями равновесия. Центр является
устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически устойчивым положени-
положением равновесия. Наконец, седло и неустойчивые узел, дикритический узел,
вырожденный узел, фокус являются неустойчивыми положениями равно-
равновесия автономной линейной системы на плоскости.
Отметим важность для практики понятия устойчивости по Ляпунову.
Если задача Коши A), B) моделирует некоторый реальный процесс, то
ее решение x(t, xq) пригодно для практики только в случае непрерывной
зависимости решения а:((, Хо) от начального условия B) для бесконечного
промежутка изменения t, т.е. в случае устойчивости по Ляпунову. Если
бы нас интересовал лишь малый промежуток [0, Т] времени t, то теорема
о непрерывной зависимости решения задачи Коши A), B) (см. главу 4)
гарантирует малое изменение решения x(t,xo) при малом изменении хо-
Для полуоси ?>0 непрерывной зависимости x(t,xo) от хо может уже и
не быть, в чем легко убедиться на примере уравнения х = х.

§ 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 243
В дальнейшем будут указаны достаточные условия, обеспечивающие
устойчивость по Ляпунову положений равновесия A). Теория устойчи-
устойчивости была создана трудами многих математиков, но особенно важ-
важные результаты этой теории были получены известным русским ученым
А. М. Ляпуновым. В его честь и введен термин «устойчивое по Ляпуно-
Ляпунову» положение равновесия.
Замечание. Введенные определения характеризуют типы устойчивости
тривиального решения х — 0 автономной системы.
Совершенно аналогично, для решения х = <p(t) неавтономной системы
* = /(*,*) C)
можно ввести понятие устойчивого по Ляпунову решения х = <p(t) систе-
системы C), асимптотически устойчивого решения и неустойчивого решения.
Вопрос об исследовании устойчивости решения х — <p(t) системы A) пу-
путем замены х = у + <p{t) сводится к исследованию тривиального решения
у = О некоторой другой системы, получаемой из C).
Кроме введенного понятия устойчивости относительно начального зна-
значения io > можно ввести аналогичным образом понятие устойчивости по-
положения равновесия относительно параметра Л для автономных систем
с параметром
*(*) = /(*, А).
Исследуем теперь устойчивость положения равновесия х = 0 для ав-
автономной линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
x(t) = Ax(t), D)
где А — заданная действительная числовая квадратная матрица поряд-
порядка п. Известно, что решения системы D) определены для всех t € R\.
Возьмем начальное условие
*@) = х0, E)
где xq — произвольный числовой n-мерный вектор. Обозначим через
x(t,xo) решение задачи Коши D), E), а через Ai,... ,Am, I < т < п,—
собственные значения матрицы А.
Теорема 1. Если Re А* < 0 <?лл всех к = 1,т, то положение равновесия
х = 0 системы D) асимптотически устойчиво.
О Если ReAfc < 0 для всех к = 1,т, то 3A > 0 такое, что
—2/л < 0. Решение задачи Коши D), E) имеет вид (см. главу 3):
x(t, xq) = егА ¦ х0.
Покажем, что ЗМ > 0 такое, что норма матричной экспоненты
||ем|| < Me""', Vt > 0.

244 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальньгх уравнений
Каждый элемент Оу(<) матрицы ем является конечной суммой квази-
квазимногочленов:
где P^^(t)—многочлены. Всегда найдется такое число су > 0, что для
всех fc = 1,7п
|J!ti<;')(*)eA*t|<cjje"'". Vf>0.
Тогда
=ы'\
< хп\ ¦ е~
п
Е
п
У^ | _ . |2
Из этой оценки видно, что x(t, xq) -* 0 при t —> +оо. Кроме того, х = О —
устойчивое по Ляпунову положение равновесия D), так как при Ve > О,
взяв 5(е) = -fa, из получеьшой выше оценки при |хо| < 6 получаем, что
\x(t,xo)\ < MS = е. •
Теорема 2. ?"сли ReA/t < 0 <?лл всех к = 1,тп и для каждого собственного
значения А с Re A = 0 число линейно независимых собственных векторов
равно кратности А, то х = 0 — устойчивое по Ляпунову положение рав-
равновесия D).
О При условиях теоремы каждое решение задачи Коши D), E) задается
формулой
x(t,xo) = etA -хо,
где элементы Oy(t) матрицы eiA имеют вид
ReA<0 ReA=O
В этой записи: P^'(t) — многочлены t, суммирование в первой сумме ве-
ведется по всем А с Re А < 0, сд — числа, выражающиеся через компоненты
го, суммирование во второй сумме ведется по всем А с Re А = 0- Учи-
Учитывая это обстоятельство и действуя как при доказательстве теоремы 1,
получаем оценку при всех t > 0:
Из этой оценки следует устойчивость по Ляпунову х = 0. •
Теорема 3. Если существует хотя бы одно собственное значение А ма-
матрицы. А с Re A > 0 или если все собственные значения А матрицы А име-
имеют Re А < 0 и хотя бы для одного А с Re A = 0 число линейно независимых

§4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 245
собственных векторов меньше кратности А, то х = 0 является неустой-
неустойчивым положением равновесия системы D).
О Пусть существует Х = ц + ги с ReA = ^>0. Тогда решения D), E)
/i), hi = жо,
где h = h\ + г/12 — собственный вектор для А, при < = ?* и 8mi4jt = О,
получаем, что
\())\ l'l\\ *fc -» +оо,
хотя при ( = 0 и малом |хо| это решение близко к х — 0.
Если же ReA = O, то при условиях теоремы существует решение D),
E) вида
( t
x{t,x0) = ext (/ +
где hi,... ,hk — жорданова цепочка длины k дня А, причем к > 2. Отсюда
ясно, что \x(t, xq)\ -» +оо при i -> +оо, хотя при ( = 0 и малых \хо\ это
решение близко к х = 0. •
Теоремы 1-3 полностью исчерпывают описание типов устойчивости
для системы D). Из них, в частности, следуют все ранее полученные
результаты об устойчивости х = 0 для системы D) в случае п = 2. Из
доказанных теорем следует корректность задачи Коши C), D) при t > 0
в том случае, когда х = 0 — устойчивое по Ляпунову положение равнове-
равновесия, и ее некорректность при t > 0, если х = 0 — неустойчивое положение
равновесия.
Пусть система A) является нелинейной и пусть х — 0 является ее
положением равновесия. Разложим f(x) в окрестности х = 0 по формуле
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
где матрица
Теорема 4 (теорема Ляпунова). .Если все собственные значения матрицы
А имеют отрицательные действительные части, то х — 0 является асим-
асимптотически устойчивым положением равновесия нелинейной системы A).
О В окрестности х = 0 систему A) можно записать в виде
±{t) = Ax(t)+r(x),

246 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
где г(х) = о(\х\) при |i| —у 0. Решение задачи Коши A), B) в силу
предположения в некоторой окрестности х = 0 определено при Vi > 0.
Его можно записать в виде
t
(t) = ем • х0 + Г е<*-т>А ¦ г [х(т)] dr.
Из доказательства теоремы 1 при условиях теоремы 4 следует, что най-
найдутся такие числа М > 0, д > 0, что при всех ( > 0 норма
Так как т(х) = о(\х\) при |х| —> 0, то для Ve > 0 35 = <J(e) > 0 такое, что
из |х| < 5 следует \г(х)\ < е\х\. Тогда при всех t > 0
t
У1)А | dr <
x{t)\ < \etA xo\ + f У1-Г)А ¦ г [х(т)\
< Me""' • Ы+еМ / e-"{t-T)\x{T)\dT.
о
Если положить u(t) = ед'|а:(?)|, то отсюда находим, что
t
о
Функция u(t) удовлетворяет условиям леммы Гронуолла. Из леммы
u(t) < М\хо\ + еМ I u{r)dr.
творяет условиям
Гронуолла следует, что при всех t > 0
u(t) < М\хо\есШ.
Заменяя u(i) на е^'|ж(()|, получаем для Vt > 0 оценку
Из полученной оценки следует, что при достаточно малых е > 0
x(t) -» 0, t -> +оо,
если фиксировать г > 0, положив, например, е = 5^7. Кроме того, по вы-
выбранному е = 2^, взяв 5 = 5(е) = ?f, из оценки получаем, что |a:(?)| < ?
при \хо\ < 5 дня всех t > 0. •
Замечание. Если Re A > 0 хотя бы для одного собственного значения
А матрицы А, то можно доказать, что а; = 0 является неустойчивым
положением равновесия автономной системы A).

§ 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 247
Определение. Автономная линейная система D) с матрицей А =
~эас называется линеаризацией нелинейной системы A) в точке
Из теоремы Ляпунова и замечания к ней следует, что в том случае,
когда все собственные значения А матрицы А имеют Re А < 0 или когда
существует А с Re А > 0, тип устойчивости х = 0 для системы A) опреде-
определяется типом устойчивости х — 0 для линеаризации A) в этой точке. В
этом случае х = 0 называют грубым положением равновесия. Открытым
остается случай негрубого положения равновесия х = 0 для A), когда
все А имеют ReA<0, причем хотя бы одно А имеет ReA=0. Примеры
в этом случае показывают, что метод линеаризации теряет свою силу,
так как на тип устойчивости х = 0 для системы A) существенно влияют
последующие нелинейные члены разложения f(x) по формуле Тейлора в
окрестности х = 0. Таким примером может служить пример 2 из преды-
предыдущего параграфа, в котором х = 0 является центром для линеаризации,
в то время как х = 0 является фокусом для нелинейной системы. Случаи
негрубого положения равновесия системы A) исследуются так называе-
называемым вторым методом Ляпунова. Этот метод создан А. М. Ляпуновым и
основан на применении так называемой функции Ляпунова. Преимуще-
Преимущество этого метода в том, что он не использует явной формулы траек-
траекторий системы A).
Определение 1. Пусть V(х) —непрерывно дифференцируемая функция
в области П. Производной V(x) в силу автономной системы A) называ-
называется скалярное произведение (grad V(x),f(x)) и обозначается через V(x):
V(a;) = (gradV(i),/(x)), х 6 ft.
Пусть х = 0 — положение равновесия автономной системы A) и пусть
U — некоторая окрестность х = 0, U С П.
Определение 2. Функция V(x), непрерывно дифференцируемая в
окрестности U, называется функцией Ляпунова системы A), если
V(x) > 0 для всех а: 6 f^|{0}, V@) = 0, и ее производная в силу си-
системы A) V(x) < 0 для всех х € U.
Замечание. При выполнении условий определения 2 говорят, что в
окрестности U функция V(x) является положительно определенной, а
функция V{x) является неположительной.
Лемма. Пусть х S U\ — некоторой окрестности х = 0 и пусть U\ С U.
Тогда \х\ —» 0 в том и только том случае, когда V(x) -» 0.

248 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
О Если [х| —»¦ 0, то из определения функции Ляпунова сразу следует, что
V{x) -» 0. Теперь наоборот, пусть V(x) -> 0. Покажем, что |х| -> 0. Пред-
Предположим, что это неверно. Тогда найдутся последовательность х* 6 U\
и число 8 > 0 такие, что \хь\ > S. Фиксируем такое а > 0, что шар
\х\ < а принадлежит Uy. Положим Vq = inf V[x) при 6 < \х\ < а. Так как
множество тех 16 [/], для которых 5 < \х\ < а, компактно, то найдет-
найдется такой х S Ui, 6 < |х| < а, что V(x) - Vq. Следовательно, % > 0 и
>Vq>0. Это противоречит выбору последовательности xjt. •
Теорема 5. Если в некоторой окрестности U положения равновесия х = 0
системы, A) существует функция Ляпунова V(x), то х — 0 являет-
является устойчивым по Ляпунову положением равновесия автономной систе-
системы A).
О Зададимся таким е > 0, чтобы шар |х| < е лежал в окрестности U-
Положим
К = inf V(x).
\х\=е
Так как V(x) — положительно определенная, то Ve > 0. Кроме того, най-
найдется 0 < 6 < е такое, что V(x) < Vc для всех а:, у которых |х| < 5.
Рассмотрим любое решение x(t,xo) системы A) при |жо| < 5 и покажем,
что |х(?,1о)| < ? Для всех t > 0, т.е. что х — 0 — устойчиво по Ляпунову.
Рассуждаем от противного. Пусть это не так. Тогда найдется та-
такое Т > 0, что \х(Т,хо)\ = е и |a;(t,хо)| < е при 0 < t < Т. Так как
V(x) <0 для всех х € U, то V[x(?,Xo)] является невозрастающей функ-
функцией t ? [0,Т]. Поскольку V(xq) < Vc, то тем более
V[x(T,xo)}<V(x0)<Vc.
Это противоречит выбору Т > 0 и Vc. Таким образом, предположение
неверно и х = 0 устойчиво по Ляпунову. •
Замечание. В частности, теорема 5 имеет место, если V(x) = 0 в
окрестности U. Это означает, что функция Ляпунова V(x) имеет при
х = 0 строгий минимум.
Теорема-6. Если в некоторой окрестности U положения равновесия х = О
системы A) существует такая функция Ляпунова V(x), что V{x) < О
для всех х 6 ?Л{0} (т- е- V{x) ~ отрицательно определенная функция в U),
то х — 0 является асимптотически устойчивым положением равновесия
автономной системы A).
О Поскольку выполнены условия теоремы 5, то х = 0 —устойчивое по
Ляпунову положение равновесия A). Следовательно, Ve > 0 найдется 6 —
6(е) > 0 такое, что если только |ж<)| < 5, то для каждого решения х(?,хо)
системы A) при всех t > 0 \x(t, xq)\ < е.

§4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 249
Убедимся, что lim x(t, x<j) = 0. В силу леммы достаточно показать,
f—»+оо
что неравенство \xq\ < 5 влечет за собой V [x(t, хо)) —> 0 при t —» +оо. Так
как V(x) <0 в U, то V[x(t,xo)} — строго убывающая функция t. Пусть
lim V\x(t,xo)} = А. Покажем, что А = 0. Предположим А > 0. Так как
6-++ОО
V[x(t,xo)] > 0, то в силу леммы найдется такое е\ > 0, что при t > 0
<?2 <?•
Пусть
К,= inf [-
1
Тогда V\ > 0 и, так как К (ж) < — V\, то, интегрируя это неравенство
вдоль траектории от t = 0 до t, получаем
Отсюда следует, что У[.т(<,жо)] —* —оо при t —» +00. А это противоре-
противоречит тому, что V [x(t, хо)] > 0. Полученное противоречие доказывает тео-
теорему. •
Недостаток второго метода Ляпунова в том, что не существует об-
общего конструктивного способа построения функции Ляпунова V(x) для
произвольной автономной системы A). Тем не менее для ряда важных
классов систем A) такое построение возможно. В простейших случаях
функцию V{x) можно искать в виде линейной комбинации с положи-
положительными коэффициентами четных степеней a-i,a?2,... ,хп, в частности,
в виде положительно определенной квадратичной формы.
Пример 1. Исследовать устойчивость положения равновесия @,0) для
системы
i = -Х2 - х\,
Д Для линеаризации этой системы в начале координат получаем,
что @,0) — центр. Следовательно, применить теорему 4 нельзя к за-
заданной системе. Но для этой системы в качестве функции Ляпунова
можно взять
поскольку при \х\ > 0 V{x\,X2) > 0, V{x\,X2) = ~2х\ — 2х\ < 0
и V@,0) = V'(O)O) = 0. Поэтому, по теореме 6 начало координат —
асимптотически устойчивое положение равновесия заданной автоном-
автономной системы. А

250 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Пример 2. Исследовать устойчивость положения равновесия @,0) для
системы
Л Матрица линеаризации этой системы в начале координат явля-
является нулевой и поэтому теорему 4 применить нельзя. Если же в
качестве функции Ляпунова взять функцию V(xi,a:2) = х\ + 2х\,
то ^A1,12) = —2х^(жх + 1гJ < 0- Следовательно, начало координат
для заданной системы является устойчивым по Ляпунову положени-
положением равновесия. А
Переходим к рассмотрению достаточных условий неустойчивости по-
положения равновесия х = 0 для системы A).
Теорема 7. Пусть в окрестности U положения равновесия х — 0 систе-
системы A) существует такая непрерывно дифференцируемая функция V(x),
что V@) = 0 и V(x) — положительно определенная функция. Если суще-
существует число А > 0 и такая подобласть С/n окрестности U, что V(x) > A
для всех х 6 Uq, то х = 0 является неустойчивым положением равновесия.
О Будем рассматривать решения x(t, xo) системы A) с начальным зна-
значением хо 6 Щ- Бели предположить, что х = 0 — устойчивое по Ляпунову
положение равновесия, то для Ve > 0 35 = <5(е) > 0 такое, что при всех
t > 0 |a;(t,xo)| < s, если только \хо\ < 6. Возьмем хо 6 Щ такое, что
V(x0) = А. Так как V(x) > 0 для х ф 0, то V [x(t, x0)] > А для до-
достаточно малых t > 0. Убедимся, что V [x(t,a;o)] > А для всех t > 0.
Допустим противное, что 3t\ > 0 такое, что V[x(tj,a;o)] = А. Тогда, с
одной стороны,
V[x(tux0)]-V(x0)=0>
а с другой стороны, по теореме о среднем 3i ? [0,<i], что
V[x(h,x0)} - V(x0) = V [z{itx0)]-ti >Bh>0
для некоторого В > 0 в силу положительной определенности V(x). Про-
Противоречие приводит к выводу, что V[x(f,xo)] > А для всех t > 0. Но
тогда для всех t > 0
V [x(t, x0)] - V(x0) = V[x(t\xo)]-t> Bt.
Отсюда следует, что V[x(t,xa)\ -» +00 при t -»• +00. Это противоре-
противоречит ограниченности V[i(t,io)]i которая получается из предположения об
устойчивости по Ляпунову х — 0. •

§ 5. Первые интегралы 251
Пример 3. Исследовать устойчивость начала координат для системы
Д Так как в качестве функции V{x\,X2) можно взять У{х\,хг) =
х2х +xl, поскольку У{х\,хг) = 2{х\ + х\) > 0 при |х| > 0, то @,0) —
неустойчивое положение равновесия системы. Отметим, что к задан-
заданной системе нельзя применить замечание к теореме 4. А
Замечание. Для неавтономных систем надлежащим образом можно мо-
модифицировать определение функции Ляпунова и доказать аналоги тео-
теорем 5-7.
§ 5. Первые интегралы
Пусть в области Q < R™ задана автономная система
x(t) = /(z), A)
где t 6 й}, /(х)—заданная действительная непрерывно дифференциру-
дифференцируемая в области Q вектор-функция с п компонентами /i(x),... ,/п(х).
Пусть х — <p(t) —решение системы A) при t € X, где X— промежуток
оси R\.
Определение. Непрерывно дифференцируемая в области Q функция
и(х) называется первым интегралом автономной системы A), если
и [<p(t)\ = coast для каждого решения х — f{t), t€X, системы A).
Постоянная в этом определении зависит от решения A) и ее нетрудно
найти. Если решение х = (p(t) определяется начальными данными @, хо),
т.е.
<р@) = хо 6 П,
то, очевидно,
u[<p(t))=u[<p@))=u(x0).
Таким образом, значение и [<p(t)} зависит лишь от выбора траектории
системы A) и не зависит от переменной t.
Тривиальным примером первого интеграла системы A) служит функ-
функция и(х) = coast. Для получения нетривиальных примеров первых инте-
интегралов A) необходимо иметь критерий первого интеграла A). Чтобы его
сформулировать, напомним понятие производной функции и(х) в силу
системы A), которое уже было введено в § 4.
Определение. Пусть и(х) — непрерывно дифференцируемая функция в
области П. Производной м(х) в силу автономной системы (или произпод-

252 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
ной и(х) по направлению векторного поля f(x)) называется скалярное
произведение (f(x),graAu(x)) и обозначается через й(х):
й(х) = (/(*), grades)) = J2Mx) ¦ |р
Замечание. Производная й(х) является обобщением понятия производ-
производной функции и(х) по постоянному направлению I, \1\ = 1, на случай
переменного векторного поля /(х) и характеризует монотонность измене-
изменения и(х) вдоль фазовой траектории A).
Теорема 1. Непрерывно дифференцируемая в ft функция и(х) является
первым интегралом системы A) в том и только в том случае, когда
й(х) = 0 для всех х 6 ft.
О Пусть х = <p(t), t 6 I, некоторое решение A) и пусть v(i) = u[ip{t)],
t ? X. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем,
что для всех ( € I
,-=1 "*' 3=1 "">
Если и(х) — первый интеграл A), то по определению v(t) = const для ка-
каждой траектории х = <p(t) в ft. В силу предыдущего равенства тождество
v(t) = const эквивалентно условию, что п(х) — 0 для каждого х = <p(t),
t G X в ft. Так как по теореме существования и единственности решения
задачи Коши для A) через каждую точку а: € ft проходит некоторая
траектория A), то й(х) = 0, Vx 6 ft. Наоборот, если й(х) — 0 в ft, то
v(t) — 0 и, значит, и(х) — первый интеграл A). •
Пример 1. Найти первый интеграл системы
f ±1 = х2,
[х2 = -xi + х\.
Д Перемножив крест накрест уравнения системы, получим
(—Х\ -\- XyJX\ = X2X2.
Отсюда
А - 2г1 + хг = с-
В силу теоремы 1 u(xi,X2) =x\— ^х\ + х\ является первым ин-
интегралом заданной автономной системы, так как й{х\,Х'ь) = 0. А

§5. Первые интегралы 253
Самое простое применение первого интеграла и(х) системы A) осно-
основано на связи, существующей между поверхностями уровня и(х) (поверх-
(поверхности уровня функции и(х) определяются уравнениями и(х) = const) и
траекториями системы A). Из определения первого интеграла следует,
что каждая из траекторий х = <p(t) системы A) в области SI расположе-
расположена на одной из поверхностей уровня первого интеграла и{х). В случае
п = 2 вместо поверхностей уровня речь идет о линиях уровня перво-
первого интеграла и(х) системы A). Для практических приложений важен
обратный вопрос, будет ли всякая линия уровня первого интеграла A)
при п = 2 траекторией A) или ее частью. Нетрудно видеть, что ответ
на этот вопрос в общем случае отрицательный. В самом деле, линия
уровня может быть не гладкой кривой, может распадаться на несколь-
несколько отдельных не связных между собой кривых, может содержать в се-
себе положения равновесия A). Все это невозможно для траектории A).
Однако, если кривая 7 ~~ гладкая, не содержит в себе положений рав-
равновесия и является частью или всей линией уровня первого интеграла
и(х) системы A) при п = 2, то 7 ~ траектория или ее часть системы
A). Действительно, если кривая 7 задается уравнением F(xi,X2)=0, то
gradF(xi,rc2) т^О для точек у. Так как u(xi,x2)~первый интеграл A),
то u(xi,x2)=0. Значит, вектор f{x\,xi) ± gradu(xi,X2). Поскольку на 7
нет положений равновесия, то ДжьХг^О в точках 7- Значит, f(xi,x2)
является касательным вектором к f. А это и означает, что 7 является
либо траекторией, либо ее частью.
TciKHM образом, с помощью линий уровня первого интеграла системы
A) при п = 2 в ряде случаев можно получить глобальный фазовый пор-
портрет системы A). Например, это можно сделать для системы примера 1,
для линеаризации которой начало координат является центром. Рассмо-
Рассмотрение первых интегралов — это один из основных методов нахождения
фазового портрета автономной нелинейной системы A) при п = 2 в том
случае, когда ее линеаризация имеет центр или является сложной си-
системой.
Заметим теперь, что при гладкой обратимой замене переменных
х = д(у) в области Q автономная система A) перейдет в автономную
в области П систему вида
l B)
где д'(у) = !^П|» hi = Т7п,-матрица Якоби.
Система уравнений B) следует из системы уравнений
А = р'Ы • У = / Ыу)] ,
которую можно разрешить относительно у, поскольку для гладкой заме-
замены якобиан

254 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Теперь посмотрим, как связаны первые интегралы систем A) и B).
Теорема 2. Непрерывно дифференцируемая в области Q функция и(х)
является первым интегралом системы A) тогда и только тогда, когда
функция V(y) = «[<?(у)] —первый интеграл системы B) в области П.
О Достаточно установить, что при гладкой обратимой замене х = д(у)
производная в силу системы инвариантна, т.е. й(х) — v{y) при х = д(у),
поскольку тогда из теоремы 1 получаем, что й(х) =0 в том и только
том случае, когда v(y) — 0. Пусть [<?'(у)] —транспонированная матрица
к матрице Якоби. При гладкой замене х = д(у) находим, что
v(y) = {graAv(y)Ji{y)) =
и[д(уЫ
= (gxadu[g(y)],[g'(y)} • [
= (gradu(z),/(x))=u(x). •
Заметим теперь, что если существует какой-либо нетривиальный пер-
первый интеграл и(х) системы A), а Ф(() — произвольная непрерывно диф-
дифференцируемая функция, для которых имеет смысл композиция Ф [u(z)],
то v(x) — Ф [и(х)] также является нетривиальным первым интегралом си-
системы A), поскольку для каждой траектории а: = <p{t), t G X системы
A) получаем:
v \<p(t)} = ф [и М<)}] = ф[с] = съ vtei.
Итак, в общем случае для системы A) существует бесконечное мно-
множество нетривиальных первых интегралов. Поэтому возникает вопрос о
выделении так называемых независимых первых интегралов A), с помо-
помощью которых можно описать все множество первых интегралов A).
Определение. Первые интегралы и\(х),... ,uk(x), I < k < п, автоном-
автономной системы A), определенные в некоторой окрестности аё П, называ-
называются независимыми в точке а 6 Q, если ранг матрицы Якоби и'(а) =
||, г = ТА 3 = М, равен к.
Например, первые интегралы A) щ(х) = const, и2(х),... ,ut(x) ne
являются независимыми в любой точке a G П. В то же время щ{х) =
xi,... ,un-i(x) = xn-i являются независимыми первыми интегралами в
каждой точке пространства Щ для автономной системы

§ 5. Первые интегралы 255
Следующая теорема дает достаточные условия существования (п — 1)
независимых первых интегралов и описывает структуру любого первого
интеграла автономной системы A).
Теорема 3. Пусть точка а € fi не является полоокением равновесия ав-
автономной системы A). Тогда в некоторой окрестности fia С П точ-
точки а существуют (п — 1) независимые в точке а первые интегралы
щ(х),... ,Un-i(x) системы A). Кроме того, если и{х) —какой-либо пер-
первый интеграл A) в окрестности ?1а, то найдется такая непрерывно диф-
дифференцируемая функция F(Ci,... ,<n~i), что и(х) = F[ui(x),... ,Un-i(x)],
Vi 6 па.
О Так как a S G — не положение равновесия A), то по теореме о вы-
выпрямлении траекторий для системы A) найдутся окрестность ?1а точки
а и гладкая обратимая замена переменных в ней х = д(у) такие, что
система A) примет вид
= О, г = 1,п-1,
Поскольку при такой замене траектории системы C) задаются уравне-
уравнениями yi = d, г — 1,п — 1, уп = t, то, очевидно, функции vi(y) =
т/1,... ,vn-i(y) = уп-i —независимые первые интегралы новой системы
C). По теореме 2 функции щ(х) =g^l{x),... .tin-T^) = g~i^x) — первые
интегралы A) в окрестности fia. Здесь у — д~*(ж) —обратная к х = д{у)
замена переменных с координатами у\ —д^1{х),... ,Уп — gnl(x)- Посколь-
Поскольку якобиан
det [р-^о)]'= 1 '
то щ(х),... ,tin_i(х) — независимые в точке а первые интегралы A). Вся-
Всякий первый интеграл системы C), очевидно, имеет вид
где F — произвольная непрерывно дифференцируемая функция у,- 6 R,
г — 1,п— 1. Тогда в силу теоремы 2 при х = д{у)
и(х) = и[д(у)} = v(y)=v [д-Н*)] = F [^'W--- ,!п-Л')] =
общий вид первого интеграла A) в окрестности Г2в. •
Замечание. Ясно, что построенная в теореме 3 система независимых
первых интегралов не является единственной для A). Теорема 3 носит
существенно локальный характер в том смысле, что существование неза-
независимых первых интегралов и функции F теорема гарантирует лишь в
некоторой окрестности точки a € П. Даже если любая точка Q не являет-
является положением равновесия A), то в некоторой окрестности каждой точки

256 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
существует своя функция F и единой функции F может не быть для
всей области ?1.
Приведем примеры, показывающие, что в окрестности положения рав-
равновесия независимые первые интегралы системы A) могут как существо-
существовать, так и не существовать.
Пример 2. Рассмотрим при п = 2 линейную однородную систему
x(t) = Ax{t), t € Rj,
где числовая квадратная матрица А такова, что начало координат
является либо узлом, либо фокусом. Покажем, что в окрестности
начала координат в этом случае не существует независимый в пу-
пуле первый интеграл и(х) автономной системы. Действительно, пусть
и(х) — любой первый интеграл системы и траектория х — <p(t, хо)
проходит через точку хо из окрестности нуля. Так как всякая тра-
траектория <p{t,xo) —> 0 при t —» +оо или при t -? —оо, то в силу
непрерывности и(х) = и@), т.е. независимого в нуле первого инте-
интеграла не существует.
Из этого примера также ясно, что даже для автономных линей-
линейных систем на плоскости нельзя всегда гарантировать существование
независимых первых интегралов глобально на всей плоскости.
Пример 3. Рассмотрим уравнения Гамильтона, описывающие движение
механической системы с S степенями свободы в фазовом простран-
дН(д,р) дН(д,Р) . _,
qi = —dp7-> Pi = —W ' '
где H{q,p) — непрерывно дифференцируемая функция Гамильтона.
Так как производная в силу автономной системы
Л ан ан эн
то гамильтониан H(q,p) является первым интегралом уравнений Га-
Гамильтона независимо от того, имеются или ые имеются у них по-
положения равновесия.
О применении первых интегралов A) для построения глобально-
глобального фазового портрета A) уже была речь ранее. Теперь о другом
важном применении первых интегралов A). Оказывается, что если
известны к независимых первых интегралов системы A), то порядок
автономной системы A) можно понизить на А; единиц.
Теорема 4. Если система A) имеет независимые в точке а € Q первые
интегралы ui(a:),... ,«^(х), то в некоторой окрестности па С П точки а
порядок системы A) можно понизить на к единиц.

§5. Первые интегралы 257
О Без ограничения общности можно считать, что отличен от нуля минор
из первых к столбцов матрицы Якоби и'(а). В окрестности па сделаем
замену переменных
yi = Ui(x), i = I,к,
Нетрудно проверить, что это гладкая обратимая замена переменных в
окрестности Пв, так как якобиан
%!.¦•¦ ,Уп)
,... ,хп)
... ,ик)
д(хи...,хк)
х=а
Поскольку
и щ(х), г = 1,к, — первые интегралы A) и, значит, щ(х) = О, i = l,fc, то
после замены получаем систему вида
щ = 0, г = пк,
Первые к уравнений системы дают решения yi = a, i = 1,к. Для пере-
переменных j/fc+i,... ,yn остается система порядка (п — к) вида
щ=Fj{ci,... ,ck, Ук+и-- ,Уп), j = k + l,n. •
В частности, в случае к = п — 1 после замены переменных получаем
Vi = Ci, i = 1.Я-1, Уп = ^п(С1,--- ,Cn-l, Уп).
Поскольку последнее уравнение интегрируется в квадратурах, то и ис-
исходная система A) в случае к = п - 1 интегрируется в квадратурах.
Заметим, что Fn{y) ~Ф 0 в окрестности образа точки а, так как если бы
&п{у) — 0> т0 соответствующая точка о была бы положением равновесия
A), что противоречит условию /(а) ф 0.
В классической механике первые интегралы уравнений движения ме-
механических систем обычно называют интегралами (или константами) дви-
движения этих систем. Из определения первого интеграла следует, что ин-
интегралы движения всегда представляют собой некоторые законы сохра-
сохранения. Например, для уравнений Гамильтона в примере 3 было устано-
установлено, что гамильтониан H(q,p) является первым интегралом. С другой
стороны, из курса механики известно, что H(q,p)— это полная энергия
механической системы, т.е. Н =T+U, где Т— кинетическая и {/ — потен-
потенциальная энергия. Таким образом, тот факт, что H(q,p) — первый инте-
интеграл, означает справедливость закона сохранения энергии механической
системы с заданным гамильтонианом H{q,p) и поэтому функцию H(q,p)
называют интегралом энергии.
9 2769

258 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
Основным методом решения автономных систем A) является метод,
основанный на нахождении независимых первых интегралов A). Этот
метод называют еще методом интегрируемых комбинаций, поскольку пер-
первые интегралы A) на основании теоремы 1 ищут с помощью составле-
составления такой комбинации уравнений системы A), чтобы левая часть ком-
комбинации давала производную некоторой функции в силу системы A), а
правая часть комбинации равнялась бы нулю. На практике для нахо-
нахождения первых интегралов A) иногда целесообразно исключить dt из
системы A) и рассмотреть так называемую систему дифференциальных
уравнений в симметричной форме
dxi _ dx^ _ _ dxn
h(x) ~ f2(x) ~ " '-/„(a:I W
в которую переменные х\,... ,хп входят равноправно.
Разумеется, запись системы A) в форме D) допустима в той части
области Q, где fx{x)f2(x)--fn(x) ф 0. Для нахождения интегральных
кривых системы D) иногда используют следующее свойство равных дро-
дробей. Если имеются равные дроби
а± 02 On
и произвольные числа Ai,... ,An такие, что Aibi + Ь АП6„ ф 0, то
о.\ _ иг _ _ ап _ Ajoi + A202 + • • • + Anan
61 Ьг bn A161 + АгЬг Н + АП6П
выбрать направление движения, то интегральные кривые системы
D) совпадают с траекториями автономной системы A), поскольку как
кривые интегральные кривые D) и траектории A) совпадают.
Пример 4. Найти независимые первые интегралы автономной системы
если y + z>0, z + x > 0, x + y > 0, у - х > О, .г - а; > О.
Д Рассмотрим систему в симметричной форме
dx dy dz
х + z y + z x + y'
По свойству равных дробей отсюда
dx — dz dy — dz
z — у z-x '
что дает (z - уJ - (z - xJ = с. Следовательно',
щ(х,у,z) = (x- y){2z -x-y)

§ 5. Первые интегралы 259
— первый интеграл системы. Аналогично, рассмотрев
dx + dy + dz _ dx - dy
2{x + y + z) x-y '
получаем еще один первый интеграл системы
x + y + z
Нетрудно убедиться, что Ui(x,y,z), U2(х,у,z) — независимые первые
интегралы в каждой точке рассматриваемой области. А
Замечание. Первым интегралом автономного уравнения порядка п
называется первый интеграл автономной системы
х = х\,
Хп-2 = хп-1>
Для произвольной нормальной системы дифференциальных уравнений
также можно ввести понятие первых интегралов и изучить их свойства.
Еще одно важное применение первые интегралы нормальных систем
дифференциальных уравнений имеют при решении уравнений с частны-
частными производными первого порядка, о чем речь будет идти в следующей
главе.
Упражнения к главе 7
1. Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать
фазовые траектории линеаризованных систем:
а) uZCJiy-x*, б)
2. Начертить траектории во всей фазовой плоскости для уравнения
х + х - х3 = 0.
3. Исследовать поведение фазовых траекторий при различных значениях
параметра ц для системы
[ х = цх - у - х(х2 + у2),

260 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений
4. При каких значениях параметра а начало координат является для
системы
| х = -х + ау,
= х-у,
асимптотически устойчивым положением равновесия?
5. При каких значениях параметров а и b начало координат является
для системы
\х = ох + by,
[у = Ьх + ау,
устойчивым по Ляпунову положением равновесия?
6. Для системы
Г± = х(х + у + x2z),
I У = x3z,
[z = -zCx + 2y + 2x2z),
а) проверить, что функция и — у + x2z является первым интегралом,
б) найти решение при начальных условиях х@) = у@) = 1, г@) = —1,
в) найти все первые интегралы.

===================== Глава 8 ====================
Дифференциальные уравнения
в частных производных
первого порядка
Введение
До сих пор рассматривались дифференциальные уравнения относитель-
относительно неизвестных скалярной функции или вектор-функции, зависящих от
одной независимой переменной.
В настоящей главе будут рассматриваться дифференциальные уравне-
уравнения вида
f(xu... ,хп,и,—,... ,—) = 0, A)
где п > 2, F{x],... ,xn,u,pi,... ,pn) — заданная действительная непрерыв-
непрерывно дифференцируемая функция в некоторой области GBn + 1)-мерного
пространства с декартовыми прямоугольными координатами х\,...,хп,
u,pi,...,pn и в каждой точке G
Уравнение A) называется дифференциальным уравнением в частных
производных первого порядка относительно неизвестной функции и =
и(хх,... ,х„).
Определение. Функция и — ip(x\,... ,хп), заданная в области П про-
пространства Я!> Хлу называется решением уравнения A), если:
1) tp(x\,... ,хп) — непрерывно дифференцируемая функция в Л,
2) для всех точек (хь... ,хп) 6 ft точка (zb... ,xn, ip, J^-,... , §^j € G,
3) F(xlt...txnM*u--- ,xn),$?,... ,*?.} =o,
Решение уравнения A) в (n + 1)-мерном пространстве R?^ Xn u\ за-
задает некоторую гладкую поверхность размерности п (гиперповерхность),
которая называется интегральной поверхностью уравнения A).
10 2769

262 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Многие физические явления описываются уравнениями в частных про-
производных первого порядка. Например, в газовой динамике и динамике
сжимаемой жидкости важную роль играет уравнение Хопфа
Эй ди
где неизвестная функция и — u(t, x). В оптике изучается уравнение
ди\2
Ы =n(w)>
описывающее распространение световых лучей в неоднородной среде с
показателем преломления п(х,у,г).
Уравнение A) называется линейным, если неизвестная функция
u(xi,... ,xn) и все ее частные производные входят линейно в уравнение
A). Общий вид линейного уравнения в частных производных первого
порядка следующий:
П л
Уравнение вида
называется линейным однородным уравнением в частных производных
первого порядка.
Если же только частные производные функции и(х\,...,хп) входят
линейно в уравнение A), то уравнение A) называется квазилинейным.
Общий вид квазилинейного уравнения в частных производных первого
порядка следующий:
^а,(хи... ,а;п,и)-^- = Ь(а:1,... ,хп,и).
j=i ах>
Уравнение A), не являющееся квазилинейным, называется нелинейным
уравнением в частных производных первого порядка.
Известно, что для обыкновенного дифференциального уравнения пер-
первого порядка
его решение у = у(х,с) зависит в общем случае от одного параметра
(произвольной постоянной) с. Если взять простейший пример уравнения
в частных производных первого порядка
ди{х,у) _
Эх ~ 1'

§ 1. Линейные однородные уравнения 263
то его решением будет и = х + <р{у), где <р(у) — произвольная функция
у. В общем случае, как будет видно в дальнейшем, решение уравне-
уравнения A) зависит от одной произвольной непрерывно дифференцируемой
функции, число аргументов которой равно (п — 1). В дальнейшем будет
показано, что решение уравнения A) можно найти с помощью методов
теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ 1. Линейные однородные уравнения
Пусть x = (xi,... ,хп) принадлежит ft —некоторой области пространства
Щс> ^ > 2. В области П рассмотрим линейное однородное уравнение в
частных производных первого порядка
где a.j (д) — заданные непрерывно дифференцируемые в ft функции,
j = l,n, для которых
]Га?(*)#0, Ух ей. B)
7=1
Если ввести вектор-функцию а(х) с компонентами аЦх),... ,Оп(х)> то
уравнение A) сокращенно можно записать с помощью скалярного про-
произведения в следующем виде:
(a(a:),grad *(*))=(>. C)
Определение. Автономная система
x(t) = a(x) D)
называется характеристической системой уравнения A), а траектории си-
системы D) называются характеристиками уравнения A).
Условие B) означает, что область П не содержит положений равнове-
равновесия характеристической системы D).
Теорема 1. В некоторой окрестности каждой точки b 6 fi все решения
уравнения A) имеют вид
где Uj(x), j = l,n— 1, — независимые в точке b первые интегралы харак-
характеристической системы D), a F(Ci,... iCn-i) — произвольная непрерывно
дифференцируемая функция.
О По теореме 1 § 5 главы 7 все решения уравнения A) являются пер-
первыми интегралами характеристической системы D), так как уравнение

264 Глава 8. Дифференциальные ургшнения в частных производных
A) равносильно тому, что производная в силу системы D) й(х) = О
в области П. При условии B) из теоремы 3 § 5 главы 7 в некоторой
окрестности V С ft точки Ь 6 ft существуют (п — 1) независимых в точ-
точке b первые интегралы U\(x),... ,un_i(a:) системы D) и любой первый
интеграл D) имеет вид
u(x)=F[u1(x),...,un-l(x)),
где F(d,... ,Cn-i) —произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
функция. •
Определение. Функция и = F[ui{x),... ,un_i(a;)], где F«b... ,Cn-i)-
произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов,
называется общим решением уравнения A) в окрестности V точки 6 6 Q.
Отметим еще раз, что теорема 1 утверждает существование лишь ло-
локального общего решения уравнения A) в каждой точке b области Q,
т.е. лишь в некоторой окрестности каждой точки 6 € П. Таким обра-
образом, общее решение A) зависит от произвольной функции, в то время
как для обыкновенного дифференциального уравнения у' = J{x,y) общее
решение зависит от произвольной постоянной.
Из доказанной теоремы 1 следует, что характеристики являются ли-
линиями уровня интегральной поверхности уравнения A).
Замечание. Решение уравнения вида
(a(x),gTadu(x)) = h(x) E)
с заданной непрерывно дифференцируемой в области П правой частью
h(x) сводится к решению линейного однородного уравнения C) с помо-
помощью замены и(х) = v(x) + ио{х), если угадать частное решение щ(х)
заданного уравнения E).
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, для вы-
выделения конкретного решения уравнения A) необходимо задавать допол-
дополнительные условия. Чаще всего такими условиями являются начальные
условия.
Пусть уравнение
д(х) = о
задает в области П гладкую (п—1)-мерную поверхность (т.е. гиперповерх-
гиперповерхность) 7 (9ix) — непрерывно дифференцируема и gra.dg(x) /0, Va; € Q).
Эта поверхность у называется начальной поверхностью. Пусть, кроме то-
того, на поверхности 7 задана некоторая непрерывно дифференцируемая
функция ip(x).
Зададим начальное условие
п(х)|1€7 = ф). F)
Функция <р{х) называется начальным значением и{х).

§ 1. Линейные однородные уравнения
265
Задача Коши для уравнения A). Найти такое решение уравнения A),
которое удовлетворяет начальному условию (б).
При п — 2 задача Коши A), F) имеет наглядный геометрический
смысл. Уравнение д(х\,Х2) = 0 задает в плоской области П гладкую кри-
кривую 7> а. начальное условие F) в пространстве Д|: I2(U определяет про-
пространственную гладкую кривую Г. Поэтому при п = 2 задача Коши A),
E) геометрически означает нахождение интегральной поверхности урав-
уравнения A), проходящей через заданную кривую Г (см. рис. 1)
u
1
j 1
и = u(ii,*j)
1—^ X2
Рис. 1
В отличие от задачи Коши для обыкновенного линейного дифферен-
дифференциального уравнения первого порядка на [а,/9]
y' + a(x)y = f(x)
с непрерывными а{х) и /(х) на [а, 0\, для которого задача Коши од-
однозначно разрешима при начальном условии у(хо) — Уо в любой точке
хо € [а,0\, решение задачи Коши A), F) существует и единственно не
при любой гладкой начальной поверхности 7- Другое принципиальное от-
отличие задачи Коши A), F) от задачи Коши для обыкновенных линей-
линейных дифференциальных уравнений в том, что ее разрешимость носит
существенно локальный характер.
Определение. Всякая точка М$ € 7i Для которой
д(М0) = (a(M0),gradff(M0)) = О,
называется характеристической точкой уравнения A).
Тот факт, что Мо 67 является характеристической точкой A), геоме-
геометрически означает, что вектор а(Мо) касается поверхности j в точке Мо
или, что то же самое, касается характеристик A) в точке Mq. В част-
частности, положения равновесия характеристической системы D) и особые
точки поверхности у являются характеристическим точками уравнения

266 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
A). Если при п — 2 кривая 7 является характеристикой A), то каждая
точка 7 является характеристической точкой A).
Теорема 2. Если М§ € j не является характеристической тонкой урав-
уравнения A), то в некоторой окрестности V С П тонки Mq решение задачи
Коши A), F) существует и единственно.
О Так как о(Мо) ф 0, то в некоторой окрестности V точки Мо существу-
существуют (п — 1) независимые в точке Mq первые интегралы щ(х), I = 1,п— I,
характеристической системы D). По теореме 1 в окрестности V общее
решение A) имеет вид
и{х) =F[m(x),... ,un-i(x)],
где F — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Покажем,
что начальное условие F) однозначно определяет вид функции F. С этой
целью в окрестности V рассмотрим систему уравнений
9(х)=0. (П
Покажем, что систему G) можно однозначно разрешить относительно
x = (xi,... ,xn) в окрестности V. Проверим для системы G) выполнение
условий теоремы о системе неявных функций.
Все функции в системе G) непрерывно дифференцируемы в окрест-
окрестности V. Осталось показать, что якобиан
,... ,un-i,g)
,... ,xn)
м0
Рассуждаем от противного. Пусть якобиан равен нулю. Так как пер-
первые (п — 1) строк якобиана линейно независимы, то в таком случае по-
последняя его строка линейно зависит от его первых (п — 1) строк. Следо-
Следовательно, найдутся числа cj, I = 1,п— 1, одновременно не равные нулю,
такие, что
Поэтому
в силу того, что щ(х), I— 1, п — 1 — первые интегралы D).

§ 1. Линейные однородные уравнения 267
С другой стороны, д(Мо) / 0, тале как по условию теоремы Mq € 7
не является характеристической точкой A). Противоречие. Поэтому в
окрестности V выполнены все условия теоремы о системе неявных функ-
функций и система уравнений G) допускает в окрестности V единственное
непрерывно дифференцируемое решение х =lj(ui,... , Un_i).
Для всех х € 7 П V функция
<р{х) = <p[u>(ui,... ,Un-l)] ==$(ub... ,Un_i)
является известной непрерывно дифференцируемой функцией щ,... ,
iin-i- По построению отсюда следует, что
и(х) = Ф[и!{:г),... ,un-i(x)}
является искомым единственным решением задачи Коши A), E) в
окрестности V, так как и(х) — первый интеграл D) и удовлетворяет на-
начальному условию F). •
Пример 1. При х > 0 найти общее решение уравнения
ди , о . ди , 9 ди
и решить задачу Коши при начальном условии
«|х=1 = У2 ~ г2-
Л Характеристическая система для заданного уравнения
X = X,
при х > 0 имеет два независимых в каждой точке первых инте-
интеграла. Найдем их. Возьмем первое уравнение системы и уравнение,
полученное вычитанием из второго уравнения третьего уравнения:
{х-х,
y-z = z-y.
Перемножая крест-накрест эти уравнения и отбрасывая dt, получаем
уравнение вида
(z -y)dx = xd(y - z).
Это уравнение дает решения
и, следовательно, функция
щ(х,у,г) =x{z-y)

268 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
является первым интегралом. Еще один первый интеграл найдем,
если возьмем первые два уравнения характеристической системы,
где z = у + ^-. Имеем
х = х,
Перемножив крест-накрест эти два уравнения и отбрасывая dt, по-
получаем линейное уравнение первого порядка относительно у.
X
Его решения задаются формулой
У =О2Х + Х .
Подставляя вместо с\ выражение ж (г —у), находим отсюда еще один
первый интеграл характеристической системы
у + z - 2х2
U2(x,y,z) = — -.
Нетрудно проверить по определению, что щ(х,у, г), иг(х,у,z) — не-
независимые первые интегралы в каждой точке при х > 0. Следовав
тельно, общее решение заданного уравнения в окрестности каждой
точки полупространства а; > 0 имеет вид
i \ „ Г , . y + z- 2x2]
u{x,y,z) = F \x(z - у), *¦ — I
где ^{СьСг) —произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
функция. Для решения задачи Коши составляем систему уравнений
и выражаем начальное значение (у2 — z2) через гц, иг- Из этой си-
системы находим, что
г2 -у2 = 2ui(«2 + l).
Следовательно, решением задачи Коши будет
u{x,y,z) = (y-z){y + z + 2x-2x2). A
Следующий пример показывает, что при невыполнении условий теоре-
теоремы 2 решение задачи Коши A), F) может не существовать или быть
не единственным.

§ 1. Линейные однородные уравнения 269
Пример 2. Решить задачу Коши
ди ди п ,41 /ч
_ + _ = 0, u(s,y)|y=Jf = *>(*).
Д Характеристическая система
х — у — 1
дает первый интеграл ui(x,y) = х — у и, следовательно,
где F(C)—произвольная непрерывно дифференцируемая функция,
есть общее решение заданного уравнения.
Так как у = х — характеристика, то условия теоремы 2 не выпол-
выполняются. Из начального условия находим, что F@) = Ц>(х)- Следова-
Следовательно, при <р{х) = const множество решений задачи Коши задается
функцией и(х,у) = F(x — у), где F@) = const, т.е. решение существу-
существует, но не единственно. Если же ip{x) ф const, то нет решений задачи
Коши. А
Заметим также, что если задать начальное условие не на характе-
характеристике, например, взяв и(х,у) = ip(x) при у — |, где функция ip(x)
является только непрерывной, то такая задача Коши не имеет решений,
поскольку решение задачи Коши задается функцией
и(х,у) =ip{2x-2y),
которую нельзя дифференцировать.
Замечания.
1) Решение задачи Коши E), F) в окрестности нехарактеристической
точки Мо € 7 дается формулой
t
t
J
где фA,х)— то решение характеристической системы D), которое удо-
удовлетворяет начальному условию
Эта формула получается заменой переменных вида
Vj = Uj(x), j = l,n-l, уп = хп,
где iij(x), j = l,n- 1, независимые первые интегралы системы D), в
окрестности Мо 6 7-
2) Для задачи Коши A), F) можно ввести понятие .корректности за-
задачи Коши аналогично тому, как это делается для задачи Коши для
нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При

270 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
условиях теоремы 2 можно установить, что задача Коши A), F) явля-
является корректной. В частности, решение задачи Коши A), F) непрерывно
зависит от начальных данных. Если же рассматривать уравнение A) с
комплекснозначными коэффициентами aj(x), j = 1,п, то непрерывной за-
зависимости решения задачи Коши A), F) от начальных данных может
уже и не быть. В этом можно убедиться на следующем примере.
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши
ди ди „ , 1 ;„_
где n ? N, г —мнимая единица.
Нетрудно убедиться, что единственным решением этой задачи
является
Следовательно, при п —> оо |un(a;,i)| —> оо при t Ф О, несмотря на
то, что |«„(а:,0)| -> 0.
Начальное условие F) не является единственно возможным усло-
условием, определяющим конкретное решение уравнения A). Как и для
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравне-
уравнения A) можно задавать граничные условия и изучать соответству-
соответствующие граничные задачи. Решение таких задач уже не опирается на
формулу общего решения A) и исследуется другими методами. При-
Приведем пример.
Пример 4. Найти решение уравнения
^ + а^=0, а ф 0, жб(-7Г,тг), у 6 @,1),
удовлетворяющее условиям
где ipx — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция
на [—тг,тг], для которой
Д В отличие от предыдущего в этом примере удобно считать
и(х, у) — комплекснозначной функцией. Из условий на <р(х) следует,
что ее ряд Фурье
4>neinx,
= ^ <p(x)e-inxdx, n = 0, ±1, ±2,... ,

§ 2. Квазилинейные уравнения 271
и почленно продифференцированный ряд равномерно на [— п,п} схо-
сходятся соответственно к ip(x) и ф'{х). Будем искать решение поста-
поставленной задачи в виде
и(х,у) = ? ЪП(УУПХ-
п=—оо
Формальная подстановка этого ряда в заданные уравнение и допол-
дополнительные условия дает, что
Un(y) =ipne-'-^, n = 0, ±1,±2,...
Используя свойства коэффициентов Фурье <рп функции <р{х), можно
установить, что сумма ряда
и(х,у)= J2 <Р^П{Х~1)
п=—оо
9
является непрерывно дифференцируемой функцией и дает решение
рассматриваемой граничной задачи. А
§ 2. Квазилинейные уравнения
Пусть G — область пространства R?x/Л с прямоугольными декартовыми
координатами х — (х\,... ,хп), и, где п > 2. В области G рассмотрим
квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка
п я { \
^2аЛх'и)-§~ =Кх,и), A)
где uj(x,и), j = l,n, b(x,и) —заданные непрерывно дифференцируемые
функции в области G, для которых
^Га^я.гО/О, V(x,uNG. B)
Если ввести вектор-функцию а(х,и) с компонентами ai(a;,u),... ,<Хп(х,и),
то с помощью скалярного произведения уравнение A) сокращенно запи-
записывается так:
(а(х, u), grad и(х)) = Ь(х, и). C)
Определение. Автономная система
(x(t) =a(x,u),
\u(f) = b(a:,uI

272 Глаза 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
называется характеристической системой уравнения A), а траектории си-
системы D) называются характеристиками уравнения A).
Условие B) означает, что область G не содержит положений равнове-
равновесия системы D). Кроме того, в области G выполнены условия теоремы
существования и единственности решения задачи Коши для системы D).
На примере уравнения A) с двумя независимыми переменными ука-
укажем связь между характеристиками и интегральной поверхностью урав-
уравнения A). Напомним, что интегральная поверхность уравнения A)—это
график решения уравнения A).
Рассмотрим уравнение
а{х,у,и) — +Ь(х,у,и)— =с(х,у,и), E)
где а(х,у,и), Ь(х,у,и), с(х,у,и) —заданные непрерывно дифференцируе-
дифференцируемые функции ft некоторой области G с Щх у В каждой точке М 6 G
уравнение E) задает векторное поле 1{М) = (а{М),Ь(М),с(М)). Пусть
интегральная поверхность уравнения E) задается уравнением и — и{х,у).
Если точка М лежит на интегральной поверхности, то вектор п(М) —
(a"J?Q> 8иШ)^_^\ направлен По нормали к поверхности в точке М. Век-
Векторы 1(М) и п(М) ортогональны, так как уравнение E) означает, что
(/(М),п(М))=0, VM6G.
Таким образом, вектор 1{М) лежит в касательной плоскости в точ-
точке М интегральной поверхности уравнения E). Очевидно, что верно и
обратное утверждение. Екни непрерывно дифференцируемая поверхность
и = и(х,у) в каждой своей точке М касается вектора 1(М), то эта по-
поверхность является интегральной для уравнения E).
Следовательно, и характеристика, и интегральная поверхность, прохо-
проходящие через точку М, касаются вектора 1(М). Геометрически это значит,
что всякая интегральная поверхность уравнения E) «соткана» из харак-
характеристик уравнения E). Более точно справедливо следующее утвержде-
утверждение. Пусть Л — некоторая область плоскости Щх ¦..
Теорема 1. Всякая непрерывно дифференцируемая поверхность и =
и(х,у), где {х,у) 6 ft, (x,y,u) € G, является интегральной поверхностью
уравнения E) тогда и только тогда, когда она образована характеристи-
характеристиками уравнения E).
О Необходимость. Пусть и = и(х, у) — интегральная поверхность E). Если
М — произвольная точка этой поверхности, то обозначим через М' ее
проекцию на плоскость (х,у).

§ 2. Квазилинейные уравнения 273
Рассмотрим систему уравнений
t) = a[x,y,ii(x,y)],
и ее решение (x(t),y(t)), проходящее через точку М'. Если положить
u{t)=u[x{t),y{t)),
то кривая "f. х — x(t), у — y{t), и = u(t), по определению, лежит на ин-
интегральной поверхности. Покажем, что кривая j — характеристика урав-
уравнения E).
В самом деле, первые два уравнения характеристической системы
для E)
(О =а(х,у,и),
y{t)=b{x,y,u), F)
[t) -c{x,y,u),
удовлетворяются в силу определения x(t), y(t). Кроме того,
u(t) = — • х + -т- ¦ у = -^-a[a;(<),i/(t),u(()] + •—- • b[x(t),y(t),u{t)] =
ох оу ох оу
тале как по условию и —решение E).
Достаточность. Пусть непрерывно дифференцируемая поверхность и —
и(х,у) образована характеристиками уравнения E). Покажем, что она
является интегральной поверхностью E). В самом деле, пусть
x = x(t), y = y(t), u = u{t),
характеристика E), проходящая через точку М заданной поверхности.
По условию она целиком лежит на поверхности, т. е.
u(t)=u[x(t),y(t)}-
Отсюда имеем, что
., , ди . ди .
Но тогда из системы F) получаем, что
c[x(t)yy(t)Mt)} s ^-a[x(t
В частности, последнее равенство имеет место в точке М, т.е. уравне-
уравнение E) удовлетворяется в точке М. Поскольку точка М — произвольная
точка поверхности, то заданная поверхность является интегральной для
уравнения E). %

274 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Вернемся к общему уравнению A). Его решение можно свести к ре-
решению следующего линейного однородного уравнения:
Е/ ¦, 9v ,. . dv ._.
ej(s,u) +&(ж,и)_ = 0. G)
Теорема 2. Пусть функция v = V(x,u) —решение уравнения G) в некото-
некоторой подобласти Gq С G и пусть V(x,u) = О в некоторой точке М 6 Go
и ^ ' ф 0. Тогда в некоторой окрестности проекции М' тонки М на
пространство Д? уравнение V (х, и) = 0 определяет решение и — <р(х) урав-
уравнения A). .^
О По теореме о неявной функции уравнение V{x, и) = 0 определяет
в окрестности точки М единственную непрерывно дифференцируемую
функцию и = <р(х) атакую, что в окрестности М'
Тогда левая часть уравнения A) в окрестности М' равна
а это в силу уравнения G) есть Ъ\х,{р{х)}, т.е. уравнение A) удовлетво-
удовлетворено. •
Таким образом, из теоремы 2 вытекает следующий способ решения
уравнения A). Находим из характеристической системы D) независимые
в точке М 6 G первые интегралы {они существуют в силу B)):
vi(x,u)t... ,vn(x,u).
Тогда решением уравнения A) в некоторой окрестности М будет функ-
функция
v = F[vx(x,u),... ,vn(x,u)},
где F(Ci,--- >Cn) — произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
функция и, следовательно, решения уравнения A) определяются как неявные
функции из уравнения
F[«i(a:,tt),...,tin(s,«)] = 0. (8)
Выражение (8) называется общим интегралом уравнения A).
Замечание. Формула (8) может не содержать всех решений A). Имен-
Именно, не исключена возможность того, что могут быть такие решения A),
для которых уравнение G) удовлетворяется не тождественно по {х,и),
а только при и = <р(х) тождественно по х. Такого рода решения A)

§ 2. Квазилинейные уравнения 275
называются специальными решениями A). Специальные решения A) —
случай исключительный, и в дальнейшем они во внимание приниматься
не будут.
Пример 1. Найти решения уравнения
где гп — заданное число, х = {х\,... ,хп) ф 0.
Д Характеристическая система
имеет п независимых первых интегралов, которые при хп > 0 можно
записать в виде
Следовательно, решения заданного уравнения (9) определяются из
уравнения
Разрешив это уравнение относительно последнего аргумента, полу-
получаем, что
Это однородная функция степени т. Можно показать, что заданное
уравнение (9) не имеет специальных решений. Тем самым доказана
обратная теорема к теореме Эйлера об однородной функции: если
и{х\,... ,хп) —однородная функция степени т, т.е. при всех х ф 0
и при всех допустимых значениях параметра Л
.. ,Ля„) = Amu(a;i,... ,х„),
то и(х) — решение уравнения (9).
Как известно, теорема Эйлера доказывается дифференцированием
тождества из определения однородной функции степени т. А
Как и в случае линейного однородного уравнения, для выделения
какого-либо частного решения квазилинейного уравнения A) необходимо
задать дополнительные условия. Чаще всего такими условиями являют-
являются начальные условия. В области Q пространства Щ. задается гладкая
(п—1)-мерная начальная поверхность 7 и в точках поверхности -у задана
непрерывно дифференцируемая функция <р{х).

276 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Начальное условие для уравнения A) имеет вид
<p{x). A0)
Задача Коти для уравнения A). Найти такое решение уравнения A),
которое удовлетворяет начальному условию A0).
Таким образом, задача Коши для A) ставится в точности так же,
как и для линейного однородного уравнения. Условия разрешимости ее
также аналогичны условиям разрешимости задачи Коши для линейного
однородного уравнения. Решается задача Коши A), A0) методом харак-
характеристик (методом Коши).
Для простоты ограничимся задачей Коши для уравнения E). Пусть
гладкая кривая 7 на плоскости Щх * задается параметрическими урав-
уравнениями
х = х(т), у = у(т),
где т 6 X — промежутку оси Rl, и пусть
ио(т)> теХ. A1)
Кривая 7 называется начальной кривой. Предполагается, что на X функ-
функции х(т), у(т), ио(т) — непрерывно дифференцируемы и (х'(х)] +[2/G)] >0
для всех т € X.
Начальное условие A1) задает гладкую кривую Г в пространстве
х,у,и:
Г: х = х(т), у = у(т), и = щ(т), твХ.
Решение задачи Коши E), A1) задает интегральную поверхность
уравнения E), проходящую через кривуш Г. Пусть точка Мо{хо,Уо) —
проекция на плоскость Щху) точки М(хо,уо,ио) € Г.
Определение. Точка М0{х0,уо) 67. гДе хо = х(т0), уо — у{то), ио = и(т0),
называется характеристической точкой уравнения E), если
d - а(х0>у0,щ) ¦ у(т0) - Ь{хо>уо,ио) ¦ ±(т0) = 0.
Тог факт, что Мо € 7 ~ характеристическая точка E), геометрически
означает, что начальная кривая -у касается проекций характеристик E)
на плоскость Л?гу) в точке Мо(хо,уо) € 7-
Теорема 3. Если точка Мо € 7 ме является характеристической точкой
уравнения E), то в некоторой окрестности точки Мо решение задачи Ко-
Коши E), A1) существует и единственно.
О Пусть Af(xoiJ/OiWo) € Г и пусть
x = x(t,r), y = y(i,r), u = u{t,T), A2)

§ 2. Квазилинейные уравнения 277
решение характеристической системы F), удовлетворяющее начальным
условиям
х\г=о = х(т), j/|t=o = У(т), u|t=o = uo(r), тб2.
Это решение существует для |1| < 5 при некотором 5 > 0. Уравнения
A2) определяют в пространстве (х,ууи) некоторую поверхность, обра-
образованную характеристиками и проходящую через кривую Г. Бели пока-
показать, что эта поверхность является гладкой, то согласно теореме 1 она
будет интегральной и тем самым существование решения задачи Коши
E), A1) будет доказано.
Все функции в A2) являются непрерывно дифференцируемыми при
\t\ < 6 и т ?l согласно теореме о непрерывной дифференцируемости
решения задачи Коши по начальным значениям для системы F). По-
Покажем, что в окрестности точки Мо(хо,уо) первые два уравнения A2)
можно однозначно разрешить относительно t, т. В самом деле, так как
в силу условия теоремы 3 якобиан
d(t,r)
<=о,
т=т0
= d = 0B:0,t/o,«о) ¦ УЫ) ~ b(zo,yo,vo)x(r0) ф О,
то по теореме о системе неявных функций первые два уравнения A2)
можно в окрестности Мо(хо,Уо) однозначно разрешить относительно t,r.
Пусть их решениями будут
t = t(x,y), т = т(х,у).
Полученные функции являются непрерывно дифференцируемыми в
окрестности Мо(:го,уо)- Подставив их в третье уравнение A2), получим
непрерывно дифференцируемую в окрестности Мо(хо,уо) функцию
u = u[t(x,y),r{x,y)}.
График этой функции по теореме 1 и является искомой интегральной
поверхностью E), проходящей через кривую Г.
Полученное решение является единственным, поскольку, если суще-
существует какая-либо другая интегральная поверхность E), проходящая че-
через кривую Г, то по теореме 1 она образована характеристиками. Но
через каждую точку Г проходит лишь одна характеристика. Поэтому
второе решение совпадает с уже построенным. •
Пример 2. Найти интегральную поверхность уравнения
ди ди
проходящую через кривую, заданную уравнениями
х-т, у = т, и = т3, т 6 R\.
Д Первый метод решения.

278 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Характеристическая система
x{t) = х, y(t) = -у, u(t) = и,
при начальных условиях
x\t=o - г, y\t=o = т, м|<=о = т3,
имеет решение
х = те', у = те~1, и = т3ее.
Это параметрическое решение задачи Коши. Отсюда находим явное
решение задачи Коши и = х2у.
Второй метод решения заданной задачи Коши основан на исполь-
использовании не траекторий E), а первых интегралов характеристической
системы F).
Нетрудно видеть, что функции
vi = ху, v2 - уи,
— независимые первые интегралы характеристической системы. То-
Тогда уравнение
F{xy,yu)-Ot
где -F(CiiC2) —произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
функция, дает общий интеграл исходного уравнения. Из начальных усло-
условий находим вид функции F таким образом, чтобы
F(vuv2) = F(xy,yu) = F{t2,ta) =0, Vr 6 R\.
Отсюда F = v\ — v2 — x2y2 — yu = 0, т. е. и = x2y. A
Замечание. Если кривая Г задана как пересечение двух гладких по-
поверхностей
(ф1(х,у,и)=0,
\ф2[х,у,и) = 0,
то вид функции F определяется исключением переменных х,у,и из си-
системы уравнений
$i(z,y,u) =0, Ф2(х,у,и) = 0, vi(x,y,u) = vi, v2(x,y,u) - v2,
где v\, v2 — независимые первые интегралы характеристической систе-
системы F).
Пример 3. Решить задачу Коши для уравнения примера 2, если и = 1
при х2 + у2 = 4.
Д Исключая х,у,и из системы
и=1, я2 + у2 = 4, ху = ы, yu = v2,

§ 2. Квазилинейные уравнения 279
получаем v\ + v\ = 4i>2. Таким образом, решение задачи Коши за-
задается уравнением
у V + *У = 4yV. A
Замечание. Если условие теоремы 3 не выполнено, то решение задачи
Коши E), A1) может либо не существовать, либо быть не единственным.
В частности, если кривая Г является характеристикой уравнения E), то
задача Коши имеет бесконечно много решений.
Пример 4. Решить уравнение
ди ди
ах ау
при начальном условии: а) х = т, у = g-r2, и = т, б) а; = 2т, у = т2,
и = т.
Д Характеристическая система
?(()== 1, у@=«, u(t).= l,
имеет независимые первые интегралы г»] = х — и, г»2 = у — \v?. Сле-
Следовательно, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
где ^(СьСг) —произвольная непрерывно дифференцируемая функ-
функция.
В случае а) вид функции F определяется исключением х,у,и из
системы уравнений
1 2 12
х-и = ы, y--uz = v2, х = и, у=-и\
Отсюда получаем v-y = «2 = 0, т. е. F@,0) = 0. Итак, любая функция
(x-u,y- iu2j = 0,
для которой F@,0) = 0, определяет решение задачи Коши в этом
случае. Заметим, что кривая
1 2
х = т, у = -т, и = т,
является характеристикой уравнения. Значит, в этом случае имеем
бесконечно много решений задачи Коши.
В случае б) кривая Г, заданная уравнениями,
х = 2т, у = т2, и = т,

280 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
не является характеристикой. Решение характеристической системы
при начальных условиях
ж|е=о = 2т, y\t=o = т2, u\t=0 = г,
задается формулами
а; = t + 2т, у = -t2 + rt + т2, u-t + т.
Условие теоремы 3 не выполняется, так как
Л-— дЦ_д± ЁЕ=п
дь' дт дт' dt~
Исключая из предыдущих формул t и г, получаем, что
о
При у > ^- полученная функция и(х,у) не дает решения задачи
Коши в случае б), так как ^j, щ неограничены при приближении
к кривой Г. А
В заключение отметим существенность требования непрерывности про-
производных для коэффициентов а(х,у,и), Ь{х,у,и), с(х,у,и) уравнения E).
Например, решение уравнения
ди ди ., .
&-^ = /(* + »>
при начальном условии и = 0 при а; = 0, как нетрудно проверить, за-
задается формулой
и = х- f(x+y).
Е!сли /(?) не имеет непрерывной производной, то задача Коши не имеет
решений.
В тех случаях, когда коэффициенты уравнения A), начальная поверх-
поверхность 7 и начальная функция >р(х) в A0) не являются достаточно глад-
гладкими, приходится расширять понятие решения уравнения A) и решения
задачи Коши A), A0) и вводить так называемые обобщенные решения
уравнения A) и обобщенные решения задачи Коши A), A0). Подроб-
Подробнее об обобщенных решениях линейных и квазилинейных уравнений и
обобщенных решениях задачи Коши для этих уравнений см. в [35].
Отметим также, что уравнение A) с комплекснозначными коэффици-
коэффициентами aj[x,u), j — l,n, вообще может не иметь решений. Это показано
в [30] на примере, принадлежащего Г.Леви, следующего уравнения:
ди . ди „.. . . ди ., .
_ + ,_ + a.(Sl+«,)_ = /(«,),
где г —мнимая единица, /(хз)— действительная, бесконечно дифференци-
дифференцируемая функция.

§ 3. Нелинейные уравнения 281
§ 3. Нелинейные уравнения
В области G пятимерного пространства с прямоугольными декартовыми
координатами х, у, и, р, q рассмотрим уравнение
где F(x,y,u,p,q) —заданная дважды непрерывно дифференцируемая
функция в области G, и в каждой точке G
Решением уравнения A) называется дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемая в некоторой области П плоскости Щху\ функция и = и(х,у),
удовлетворяющая уравнению A). График и = и{х,у) называется инте-
интегральной поверхностью уравнения A).
Изложим метод характеристик (метод Коши) решения нелинейного
уравнения A). С этой целью введем понятие характеристической систе-
системы уравнений для уравнения A).
Пусть и = и(х, у) — решение A). Дифференцируя по х, у тождество
получаем
dF dp dF dq dF dF
lty'dli: + lfy'dx+~du'P+~dx=0'
d? dp d? dq_ 9F ^ _0
dp dy dq dy du dy
Поскольку в силу условий на и(х,у)
др _ а? _ д2и
dy~dx~ dxdy'
то полученные равенства можно записать в следующем виде;
dF_ dp aF dp_ dp dF
dp ' дх + dq ' Ъ~у~ + AT 'P + dx " '
aF dq_ aF dq_ dF_ dF _
dp' dx+ dq' dy+ du'q+ dy ~
Рассмотрим систему уравнений
11 2769

282 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Так как и связано с р и q уравнением
<fot = pdx + q dy,
то, используя B), получаем еще одно уравнение
Систему уравнений B), C) можно рассматривать саму по себе, не зная
решения г* = и(х, у) уравнения A).
Определение. Автономная система уравнений B), C) называется ха-
характеристической системой уравнения A).
Заметим, что функция F(x,y,u,p,q) является первым интегралом этой
характеристической системы. В самом деле, производная функции в силу
системы B), C)
FU) - — х — ¦ + — й — • 2L • - <*Е- ?L ^JL ?Л
dx dy dii dp dq dx dp dy dq
dF ( dF dF\ dF (dF dF\ dF f dF dF
Следовательно, вдоль решения системы B), C) имеем
F(x,y,u,p,q) =
Выделим те из решений системы B), C), для которых первый интеграл
F(x,y,u,p,q) обращается в нуль.
Определение. Характеристической полосой уравнения A) называется
система функций
x = x(t), y = y{t)t u = u(t), P = p(t), q = q{t), D)
удовлетворяющая характеристической системе уравнений B), C) и урав-
уравнению F(x,y,u,p, q) = 0.
Заметим, что для того, чтобы решение системы B), C) было характе-
характеристической полосой, достаточно потребовать, чтобы для начальных зна-
значений хо, уо, щ, ро, qo этого решения при t = 0 ^(ж<)>У(Ь«о>Ро><?о) = 0.
Первые три уравнения D) определяют пространственные кривые, на-
называемые характеристиками уравнения A). Последние два уравнения из
D) задают вдоль характеристики касательную плоскость
U-u=p(X-x)+q(Y-y).
Поскольку F — дважды непрерывно дифференцируемая функция,
то характеристика однозначно определяется начальным элементом

§ 3. Нелинейные уравнения 283
(a:o>J/OiWOiPo>9o)- В частности, если две интегральные поверхности урав-
уравнения A) соприкасаются в некоторой точке, то они соприкасаются вдоль
всей характеристики, проходящей через эту точку.
Из предыдущих рассмотрений следует, что всякое дважды непрерыв-
непрерывно дифференцируемое решение A) определяет поверхность, состоящую из
характеристических полос уравнения A). Оказывается, что и, наоборот,
из характеристических полос уравнения A) можно строить интегральные
поверхности уравнения A). Таким образом, задача нахождения решения
нелинейного уравнения A) может быть сведена к решению характери-
характеристической системы B), C).
Покажем, как методом Коши можно построить интегральную поверх-
поверхность уравнения A) при заданном начальном условии, т.е. как решать
задачу Коши для уравнения A).
Постановка задачи Коши для нелинейного уравнения A) принципи-
принципиально отличается от постановки задачи Коши для линейных и квази-
квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. Различие
здесь аналогично различию в постановке задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений у' = f(x,y) и F(x,y,\/) = 0: для уравне-
уравнения F(x,y,y') =0 начальные данные zo>Vo>Vo должны быть согласованы
с уравнением, т.е. F(xo,yo,y'0) — 0. Для нелинейного уравнения A) ситу-
ситуация аналогичная: начальные значения неизвестной функции м(х,у) и ее
градиента должны быть согласованы с уравнением A) и друг с другом.
Пусть на плоскости R}xy\ задана начальная кривая
7 : х = хо(т), у = уо{т),
где т € 1 — некоторому промежутку оси R]., функции 2о(т), уо(т) — два-
дважды непрерывно дифференцируемы и Xq(t) +у$(т) > 0, Vt € I. Пусть,
кроме того, заданы дважды непрерывно дифференцируемые функции
щ(т), Ро(т), Qo(t), Vt € X. Начальное условие для уравнения A) име-
имеет вид:
«о(т), теХ, E)
где функции хо(т), Уо(т), Ро{т), <?о(т), ио(т) таковы, что при Vt € X
F [хо(т)>Уо(т),ио(т),ро{т),до(т)] = 0,
щ(т) = ра(т)±0(т) + </з(т)уо(т).
Первое требование к начальному условию E) согласует начальную по-
полосу ха(т), уо(т), щ{т), ро(т), qo(r) при всех т 6 I с уравнением A), а
второе требование к условию E) означает, что функции начальной по-
полосы между собой связаны указанной зависимостью.
Задача Коши для уравнения A). Найти решение уравнения A), удо-
удовлетворяющее начальному условию E).

284 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Геометрически начальное условие E) задает гладкую пространствен-
пространственную кривую Г:
х = хо{т), у = уо(т-), и = ио{т), rel,
для которой должны выполняться указанные в условии E) два усло-
условия согласования. Решить задачу Коши A), E) геометрически означает
найти такую интегральную поверхность уравнения A), которая проходит
через заданную кривую Г.
Приведем достаточные условия лекальной разрешимости задачи Коши
A), E). Задача Коши A), E) решается методом характеристик (методом
Коши). Рассмотрим точку М (жо(то),уо(то),«о(то)) ? Г, т0 € I, и пусть
Мо{хо,уо) € 7 ~~ проекция точки М на плоскость Щ
Определение. Точка Mo € 7 называется характеристической точкой
уравнения A), если
'dF_ . _ dF_ \ =0
зо У° dq0 Х°) т=то
Тот факт, что Mq € 7 является характеристической точкой уравнения
A), геометрически означает, что проекция на плоскость Щху\ характе-
характеристической полосы уравнения A) является касательной в точке Mq к
начальной кривой у.
Теорема. Если точка Mq € f не является характеристической точкой
уравнения A), то в некоторой окрестности Mq решение задачи Коши A),
E) существует и единственно.
О Решение характеристической системы B), C), удовлетворяющее на-
начальным условиям
s|t=o = хо{т), y\t=o = уо(т),
«tt=o = uo(T). p\t=o = Ро(т), q\t=o = 9о(т)>
обозначим через
x = x(t,r), y = y(t,r), u = w(t,r), p=p{t,r), q = q(t,r).
В силу условий теоремы это решение существует, единственно и два-
дважды непрерывно дифференцируемо при \t\ < S, где 6 > 0, и при всех
г € 1. Отметим, что при этом используется то обстоятельство, что F,
хо(т), уо(т), uq{t), Ро(т), <?о(т) — дважды непрерывно дифференцируемые
функции.
Поскольку якобиан
d(t,r)
т=т0

§3. Нелинейные уравнения 285
то систему уравнений х = x(t, т), у = y(t,r) по теореме о системе неяв-
неявных функций в окрестности t = 0, т = tq можно разрешить относительно
t, т и в результате получаются дважды непрерывно дифференцируемые
функции t = t(x,y), т = т(х,у) в окрестности точки Mq. Покажем, что
функция
и = и [t(x, у), т(х, у)} = и{х, у)
является решением задачи Коши A), E) в некоторой окрестности точ-
точки Mq.
Сначала установим, что
ди ди
Если показать, что в окрестности t = 0, т = то
ди дх ду
u-Yr-pYr-qdr^^
.. ди дх ду
v = Tt-pTt-"Tt^0'
то из этой линейной системы можно однозначно определить р = ||,
q = щ, так как определителем системы при t = 0, т = та служит d ф О
и, значит, в окрестности t = 0, т = то этот определитель d Ф 0.
То, что V = 0, непосредственно следует из характеристической систе-
системы B), C). Чтобы доказать, что [/ = 0, рассмотрим тождество
9t дт ~ ~Ъ~т~д1 ~ Hiдт + дт~Ш, ~ dt дт'
Если воспользоваться характеристической системой B), C) и тем, что
§? = 0, то, дифференцируя по ? и г тождество f = 0, отсюда получаем
уравнение
dU_ __д?
dt ~ ди' '
При фиксированном т это уравнение является линейным уравнением для
U как функции t. Так как по условию 17 = 0 при t = 0, то отсюда при
всех ?
17 = 0.
Таким образом, установлено, что р = |j, g = Ф| в окрестности точ-
точки Мо. В силу начального условия E) и в силу того, что F явля-
является первым интегралом характеристической системы B), C), выраже-
выражение F(x, у, и,р, q) тождественно по t, т обращается в нуль на поверхности
и(х,у). Следовательно, F = 0 тождественно по [х,у) из окрестности Мо,
т.е. и = и(х,у) — решение задачи Коши A), E). Построенное решение
единственно, так как решение характеристической системы однозначно
определяется начальными условиями. •

286 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
Пример. Найти интегральную поверхность уравнения
ди ди ,
я~ " «Г = 4и>
ах ау
проходящую через кривую, заданную уравнениями
х — О, у = т, и = т, т € Я}.,
причем р(т) • q(r) = 4u(r), п(т) = р{т)х(т) + g(r) ¦ у(т).
Д Из условий на р(т) и д(т) находим, что
р = 4т, д = 1.
Характеристическая система имеет вид
±@ = Я, У(О = P. P(i) = 4р, ?(t) = 4q, «(*) = 2р9.
Ее решением будет
Используя начальные условия
s|t=o = 0, 2/|t=o = т, u\t=o = т, p|t=0=4r, g|t=o = 1,
находим, что cj = 4т, сг = 1, сз = — \, с± = с$ = 0. Тогда x(i, т) =
?е4' - i, y{t,r) - re4t, n(t,r) = re8', p(t,r) = 4re41, 9(«,т) = e4t.
Отсюда находим решение в явном виде
и = Dж + 1)у. ^
Если условия теоремы не выполнены, то решение задачи Коши A),
E) может либо не существовать, либо быть не единственным. Об этом
свидетельствует пример 4 из предыдущего параграфа.
Отметим, что при условии дважды непрерывно дифференцируемое™
F в теореме доказано существование дважды непрерывно дифференциру-
дифференцируемого решения задачи Коши A), E). Это по существу дела. Если функ-
функция F только непрерывно дифференцируема, то даже для аналитических
начальных данных не всегда существует решение задачи Коши A), E),
являющееся непрерывно дифференцируемой функцией.
Другой метод решения задачи Коши A), E) основан на понятии пол-
полного интеграла уравнения A).
Определение. Уравнение Ф(х,у, и, а,Ь) — 0, где Ф —заданная непрерыв-
непрерывно дифференцируемая функция своих переменных, а и Ь — независимые
произвольные постоянные, определяющее неявно решение и = и(х,у,а,Ь)
уравнения A), называется полным интегралом нелинейного уравне-
уравнения A). Лагранж показал, что все решения уравнения A) могут быть

§ 3. Нелинейные уравнения 287
получены из полного интеграла A) путем вариации постоянных а и b
(см. [41]).
Для нахождения полного интеграла уравнения A) чаще всего приме-
применяется метод Лагранжа — Шарли (об этом см. [41]). Перечислим некото-
некоторые простые случаи уравнения A), когда нахождение полного интеграла
A) не вызывает затруднений.
1) Если F = F(p,q), то полный интеграл A) имеет вид
и = ах + f(a)y + Ь.
2) Если F = F(u,p,q), то полный интеграл A) имеет вид
и — Ф(ах + у,а,Ь).
3) Пусть в уравнении A) переменные разделяются, т.е.
F{x,y,u,p,q) = fi(x,p) - h{y,q).
Тогда, если р — <pi(x,a) и q = у>2{у,а) — соответственно решения }\{х,р) —
/2(у>я) — а^ гДе о — произвольная постоянная, полный интеграл A) име-
имеет вид
и — I ipi(x,a)dx + / ч>2(у,a)dy + b.
4) Если F = u — рх — qy — f(p,q), то его полным интегралом является
и = ах + by + f(a,b).
Зная полный интеграл A), можно найти характеристические полосы A),
т.е. решить характеристическую систему B), C).
"Упражнения к главе 8
1. Найти общее решение и решить задачу Коши:
. . .ди . .ди , .ди
а)(У-«)й + (*-*)^+(у-*)^=0,
и = 2(х - у) при х - z = 1у {у > 0).
^ zdu ,_ zdu .,_ ^ди .г . ..
б) хегтг- - 2уег— + Bу - ж)— = 0, и = -fj при у = -х (х > 0).
ox ay oz x
2. Найти интегральную поверхность уравнения
дг dz
Xdx+ydy- = Z-Xy'
проходящую через кривую х — 2, z = 1 + у2.
3. Найти интегральную поверхность уравнения
/ % дг , .dz
(x-y)- + (x + y)- = z,
проходящую через крипук» х = cos t, у = sin i, z — t.

288 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных
4. Решить задачу Коши:
. ди ди ди
а) х + у-?- - д- ' я~1 и = а: при у = 0.
"ду дх ду
^ /ди\2 ди п
5. Решить уравнение
ди _ ди
дх~~иду'
используя замену переменных х\ = х, у\ = и, щ — у.

====== Глава 9 ======
Основы вариационного исчисления
Введение
Известно, какое важное значение для развития классического анализа
функций одной или нескольких переменных имели задачи на отыскание
экстремумов дифференцируемых функций. Однако еще с давних времен
известны задачи на экстремум, которые нельзя отнести к задачам ко-
конечномерного математического анализа. Древнейшей такой задачей счи-
считается классическая изопериметрическая задача: среди плоских гладких
замкнутых кривых заданной длины найти кривую, ограничивающую наи-
наибольшую площадь. Над этой проблемой размышляли греческие филосо-
философы еще в V-IV вв. до н.э., в том числе и знаменитый греческий фило-
философ Аристотель. Им было известно, что такой кривой является окруж-
окружность.
В качестве другой задачи на экстремум, не относящейся к класси-
классическому математическому анализу, следует назвать задачу о брахисто-
брахистохроне—линии быстрейшего ската, которую в 1696 г. поставил известный
математик Иоганн Бернулли. В этой задаче требуется найти гладкую ли-
линию, соединяющую две заданные точки А к В вертикальной плоскости,
не лежащие на вертикальной прямой, по которой под действием силы
тяжести материальная точка скатится из Л в В в кратчайшее время
(см. рис. 1).
v
л
Рис. 1
Оказалось, что линией быстрейшего ската не будет отрезок прямой,
соединяющей точки А и В, как это могло показаться, а такой линией
будет дуга циклоиды (см. § 1).
С 1696 года началось систематическое развитие классического вариа-
вариационного исчисления. Общие методы решения задач вариационного исчи-

290 Глава 9. Основы вариационного исчисления
сления разработаны Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, К. Якоби, А. Лежандром,
К.Вейерштрассом, У.Гамильтоном, Д.Гильбертом и др.
Чтобы определить предмет вариационного исчисления, рассмотрим
действительное линейное нормированное пространство Y с нормой \\y\\
элементов у 6 Y. Тогда функция
Р{*,У) = \\v-z\\
определяет расстояние между элементами y,z €Y> т.е. пространство Y
является метрическим пространством с метрикой p(z,y). Например, в ли-
линейном нормированном пространстве C[n, b] всех действительных непре-
непрерывных на [а, Ь] функций норма
= тах\<р(х)\
задает метрику в этом пространстве.
Примером линейного нормированного пространства является также
пространство Ск[а, Ь] к раз непрерывно дифференцируемых действитель-
действительных функций <р{х) на [а, Ь] с нормой
к
1М*)Исм«.ч = да, w*)i + Е да, i*»0)(*)i-
Пусть М — некоторое множество элементов пространства У" и пусть
R — множество всех действительных чисел.
Определение. Отображение F: М -» R называется функционалом F(y)
с областью определения М.
Итак, на множестве М пространства Y задан функционал F(y), если
каждому элементу у € М по правилу F поставлено однозначно в соответ-
соответствие некоторое действительное число. Например, определенный интеграл
ь
J(y) = / y(x)dx, —со < а < b < +оо,
а
рассматриваемый на множестве функций
U = {у{х) € qo, Ь] : у(а) = А, у(Ь) = В},
где А и В — заданные числа, является функционалом с областью опре-
определения М в пространстве С[о, Ь].
Если ^(СьСг) ~ непрерывная функция на всей плоскости Д?, . . с де-
декартовыми прямоугольными координатами Сь С2 и а, Ь (а < Ь) — некото-
некоторые заданные числа, то другим примером функционала является J(y) =
g[y(a),y(b)], заданный на множестве М — С[а, Ь].

§ 1. Простейшая вариационная задача 291
Классическое вариационное исчисление изучает общие методы нахо-
нахождения экстремумов функционалов, являющихся, как правило, некото-
некоторыми интегралами, заданных в определенных функциональных простран-
пространствах. Как мы позже увидим, функционалы интегрального типа встреча-
встречаются во многих задачах математики, механики и физики. Поэтому мето-
методы вариационного исчисления широко используются в классической ме-
механике, математической физике, квантовой механике, механике сплошных
сред и полей и в других разделах науки.
Отметим, что вариационное исчисление является разделом дифферен-
дифференциального исчисления в бесконечномерных пространствах У и не явля-
является разделом классического анализа. Например, задача о брахистохроне
не относится к конечномерному анализу, так как в ней должны сравни-
сравниваться друг с другом все гладкие кривые, проходящие через заданные
точки А и В, т. е. бесконечномерный объект. Таким образом, классиче-
классическое вариационное исчисление является составной частью общей теории
экстремальных задач для функционалов в бесконечномерных простран-
пространствах. Кроме классического вариационного исчисления, теория экстре-
экстремальных задач в качестве своих разделов содержит также математиче-
математическое и линейное программирование, оптимальное управление. Теория экс-
экстремальных задач интенсивно развивается и в настоящее время (см. [10],
[14])-
В настоящей главе будут изложены элементы классического вариаци-
вариационного исчисления. Значения всех функций в этой главе предполагаются
действительными.
§ 1. Простейшая вариационная задача
Обозначим через С1 [о, Ь] множество всех непрерывно дифференцируемых
функций, заданных на [а, Ь]. Для Vj/i(a;), 2/2B) € С:[а,Ь] введем расстоя-
расстояние между ними по формуле
\\У1{х) - у{х)\\о[а,ь] = max |yi(x) - у2(х)\ + max \y[{x) - у'2(х)\.
х?[а,Ъ\ i?[a,o]
Множество функций С1 [а, Ь] с введенной метрикой является линейным
нормированным пространством.
Пусть F(x,у,р) —заданная непрерывно дифференцируемая функция
для Va; € [a,b] и V(j/,p) е Д? « — плоскости с декартовыми прямоуголь-
прямоугольными координатами у,р. Рассмотрим интеграл
ь
J(y) = j F[x,y{x),y'{x)}dx A)

292 Глава 9. Основы вариационного исчисления
на множестве М тех функций у(х) 6 ^[а,Ь), которые удовлетворяют
граничным условиям
у(а)=А, у(Ь) = В, B)
где А и В —заданные числа. Функции у(х) € М будем называть допу-
допустимыми.
Очевидно, для Vy(x) € М интеграл A) определен и задает функцио-
функционал с областью определения М в пространстве С1^,!»].
Определение. Говорят, что функция у(х) 6 М дает слабый локальный
минимум функционала A), если 3 число е > 0 такое, что для Уу(х) € М,
для которой \\у(х) -у(х)\\о [а,ь] < е> выполняется неравенство J(y) > J(y).
Если в этом определении последнее неравенство заменить неравен-
неравенством J(y) < J(y), то для A) получим определение слабого локально-
локального максимума. Оба понятия — слабый локальный минимум и слабый ло-
локальный максимум объединяются единым термином: слабый локальный
экстремум.
Замечание. Кроме слабого локального экстремума, в классическом ва-
вариационном исчислении изучается еще сильный локальный экстремум, о
чем будет речь впереди. Кроме того, употребляется термин абсолютного
(или глобального) эксгремума. Говорят, что у(х) € М дает абсолютный
минимум функционала A), если J(y) > J(y) для всех у(х) 6 М. Если
J(y) < J{y) Для всех у(х) € М, то говорят, что у(х) € М дает функ-
функционалу A) абсолютный максимум. Абсолютные минимум и максимум
объединяются единым термином абсолютного экстремума.
Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума
функционала A) называется простейшей вариационной задачей.
Простейшую вариационную задачу иногда называют задачей с закре-
закрепленными концами в силу того, что допустимые кривые обязаны про-
проходить через две закрепленные точки Mi (а, А) и Мг(Ь, В) (см. рис. 2)
плоскости Щх у
Рис. 2

§ 1. Простейшая вариационная задача 293
Как известно, при исследовании функции на экстремум существенную
роль играет производная функции. При исследовании экстремумов функ-
функционалов аналогичную роль играет вариация функционала. Введем это
понятие.
Обозначим через С1^,!)] множество всех тех функций у(х) еС'[а, Ь],
для которых у(а) = у(Ь) = 0.
Пусть у(х) € М и г)(х) € О-^Ь]. Рассмотрим семейство функций, зави-
зависящих от действительного параметра а: у(х,а) — y(x)+ari(x). Поскольку
у(х,а) 6 М при Vq, to можно рассмотреть интеграл
J(y
ь
= JF [х,у(х) + ап{х), у'(х) + arj'ix)} dx. C)
При фиксированных у(х) и т)(х) интеграл C) является собственным
интегралом Ф(а), зависящим от параметра а. Если взять некоторое
е > 0, то при \а\ < е, х € [а, Ь] подынтегральная функция f и ее произ-
производная по а в силу наложенных на F условий являются непрерывными.
Тогда по известной из курса анализа теореме Ф(а) = J(y + arj) является
дифференцируемой функцией а при \а\ < е и по правилу Лейбница
оу оу
а
Определение. Допустимым приращением (вариацией) функции у(х) 6
М называется любая функция rj(x) € С1 [а, 6]. Выражение ^J[y{x} +
arl{x)] U=o> гАе v(x) ~ любая функция из С1 [а, Ь], называется первой ва-
вариацией функционала J(y) на функции у{х) и обозначается 5J[y, т](х)],
Таким образом, вариация функционала A)
6J[y,rj{x)} =
ду " ' ду' 'v
а
где 17B) — любая допустимая вариация функции у(х) € М.
Отметим, что первая вариация SJ [у, г)(х)] линейно зависит от »?(х) и

294 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Замечание. Данное здесь определение первой вариации (по Лагранжу)
функционала A) является одним из аналогов определения дифференци-
дифференциала функций многих переменных /(х). Для функционалов возможны и
другие определения аналогов дифференциала таких функций: так назы-
называемые сильный дифференциал (дифференциал Фреше) функционала и
слабый дифференциал (дифференциал Гато) функционала.
Теперь можно доказать необходимое условие решения простейшей ва-
вариационной задачи.
Теорема 1. Если у{х) € М является решением простейшей вариационной
задачи, то необходимо 5J [у, Т)(х)] = 0 для любой допустимой г)(х).
О Пусть для определенности у(х) € М дает слабый локальный минимум
для функционала J(y), т.е. Эе > 0 такое, что J(y + h) > J(y) для V/i(x) €
С1 [а,Ъ], для которой ||/i(a;)|| < е. Положим h{x) = аг)(х), где а € Д,
rj(x) € С1 [о, 6]. Тогда у(х) + h(x) € М и для достаточно малых |а| при
фиксированной г)(х)
<t>(a) = J(y+ar,)>J(y) = <b(O).
Это значит, что дифференцируемая функция Ф(а) имеет минимум при
а = 0. Значит, Ф'@) = 0, и тогда SJ[y,t){x)] = Ф'@) = 0, V^x) 6 t1 [a,b]. •
Теорема 1 является неудобной для практического использования. Что-
Чтобы получить удобное для практики необходимое условие решения про-
простейшей вариационной задачи, предварительно установим лемму, которая
в силу своей важности носит название основной леммы вариационного
исчисления (или леммы Лагранжа).
ь
Лемма. Если f(x) е С[а,6] и Jf(x)r)(x)dx = 0 для Vr?(x) 6 С1 [а, 6], то
а
/(х) = Она [а,Ь].
О Рассуждаем от противного. Пусть /(х) ^0 на [а,Ь]. Тогда Эхо 6 (а,6)
такая, что /(хо) Ф 0. Пусть для определенности /(хо) > 0. Из непре-
непрерывности f(x) на [а, 6] следует, что Эе > 0 такое, что /(х) >
Vx € [хо — е,хо + е] С (а,Ь). Возьмем
[х - (х0 - е)]2 ¦ [х - (х0 + е)]2, х € [х0 - е, х0 + е),
0, х ^ [хо — е,хо + е].

§ 1. Простейшая вариационная задача 295
Нетрудно проверить, что функция т)(х) € С1 [о, Ь]. По интегральной тео-
теореме о среднем получаем, что
Ь
f(x)r,(x)dx = j /{х)ф)ёх =
J
о
хо+е хо+с
= /(О / vWdx > ±/(*„) J V(x)dx > О,
XQ-e *0~е
где С ? [^о~ е,Хо + е]. А это неравенство противоречит условию теоремы.
Значит, наше предположение о том, что f(x) ^0 на [а,Ь] неверно. Лемма
доказана. •
Теорема 2. Пусть функция F(x,y,p) —дважды непрерывно дифференци-
дифференцируема при Vx € [a,b], V(y,p) € -R?vp)- Если дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемая функция у(х) является решением простейшей вариационной задачи,
то необходимо функция у(х) на [а, Ь] удовлетворяет уравнению Эйлера
ду dx cv~° [Ь)
(здесь -?? — полная производная по х).
О Если у(х) — решение задачи, то в силу теоремы 1 SJ[y, tj(x)] =0 для
любой допустимой вариации г)(х). Учитывая, что п(а) — Г)(Ь) = 0, про-
проинтегрируем по частям слагаемое, содержащее rf{x) в формуле D). Это
законно, так как выражение
d dF[x,y(x),y'(x)}
dx ду'
d2F d2F
ду'дх ду'ду
в силу условий теоремы 2 является непрерывной на [а,Ь] функцией. Име-
Имеем
Ь
= Г (
J {
.
ь
¦/{
ду " ' ду1 ' v
у dx ду' )v=i
b dF d dF\
"я T"a~i f n{x)dx.
ду dxdy') Ых)

296 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Поскольку функция rj(x) e С1 [о, Ь], а функция
(dF(x,y,y') d dF(x,y,y')\
\ ду dx' ду- JV=-(I)
является непрерывной на [а, 6], то в силу основной леммы вариационного
исчисления
Щ^*<ЩМ1\ з0, v,6[a,4.
Это значит, что у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера E). •
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера E) называют экстре-
экстремалью функционала A). Всякая же экстремаль у(х) функционала A),
являющаяся допустимой функцией, т.е. у(х) € М, называется допусти-
допустимой экстремалью функционала A).
Из теоремы 2 вытекает, что только среди допустимых экстремалей
A), т.е. среди экстремалей A), удовлетворяющих граничным условиям
B), нужно искать решение простейшей вариационной задачи.
Замечание. Условие непрерывности у"{х) в теореме 2 было наложено
лишь с целью упрощения доказательства теоремы 2. Используя так на-
называемую лемму Дюбуа-Реймона, можно доказать теорему 2 и без пред-
предположения непрерывности у"(х). Более того, если §-§ ф 0, то мож-
но доказать и непрерывность у"(х) на [а, Ь].
Уравнение Эйлера E) является дифференциальным уравнением вто-
второго порядка при ё? ^ 0, так как, найдя полную производную ^ ¦ |?,
его можно записать в виде
, 02F
ду ду'дх ду>ду 'у дУ'2'у ~
Следовательно, экстремали функционала A) образуют двухпараметриче-
ское семейство у(х,С\,С2)- Допустимые экстремали функционала A) на-
находят, определяя параметры С\,Сг из граничных условий B):
у{а,СиС2) - А, у{Ь,СиСг) = В.
Из этой системы не всегда можно однозначно определить параметры
С\,Сч- Эта система не всегда имеет решение, а если решение существует,
то оно может быть не единственным.
Пример 1. Решить простейшую вариационную задачу
1
= Jex[(y'J+6y2]dx, y(-l)=0,
i

§ 1. Простейшая вариационная задача 297
Д Экстремали заданного функционала найдем, решая уравнение Эй-
Эйлера
128"» - -?-BеУ) = 0.
ах
После упрощений оно принимает вид
у" + у' - 6у = 0.
Его решения у = С\е~гх + Сч.?х и будут экстремалями.
Допустимые экстремали находятся подстановкой формулы экстре-
экстремалей в граничные условия. В результате вычислений находим, что
допустимой экстремалью будет
Покажем, что допустимая экстремаль дает абсолютный минимум.
Для Vr7(i) € «С1 [-1,1] имеем:
1
Ду + г))~ АУ) = I {ех [(у' + г,'? + ЧУ + VJ] - е* [(у1J + 6j/2] } dx =
i
= fex {2ут)' + Пут} + ()?'J + 6j?2} dx =
WJ + 6V2}dx+ex
l
-l
-l
Проинтегрированная часть обращается в нуль, так как »?(—1) =
гуA) = 0, а последний интеграл равен нулю, так как у(х) — реше-
решение уравнения Эйлера. Следовательно, получаем, что
i
АУ +П)~ АУ) = У е1 [{т>'(х)J + 6 (v(*)J} dx > 0.
-i
По определению, у(х) дает абсолютный минимум. А
В этом простом примере уравнение Эйлера легко решалось. Однако в
общем случае уравнение Эйлера решается лишь в исключительных слу-
случаях. Отметим простейшие случаи интегрируемости уравнений Эйлера.
a) F = F(x,y), т.е. F не зависит от у1.
Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид —Щ&± = 0 и не является
дифференциальным уравнением. Его решение у = у(х) в общем случае

298 Глава 9, Основы вариационного исчисления
не определяет допустимую экстремаль, так как око не обязано удовле-
удовлетворять граничным условиям B), и, следовательно, вариационная задача
не имеет решений.
б) F — Р[х,у) + Q{x,y)y\ где Р и Q — непрерывно дифференцируемые
функции при х е [а,Ь], у € R^.
В этом случае уравнение Эйлера имеет вид
9P__dQ =
ду дх
Как и в предыдущем случае, уравнение Эйлера—не дифференциаль-
дифференциальное уравнение и вариационная задача, как правило, не имеет решений.
Если же
w_dQ_Q
ду дх
то Р(х, y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) для некоторой дифференцируемой
функции и(х,у) и функционал
ь ь
= J(P + Qy')dx = J(Pdx + Qdy)
не зависит от пути интегрирования. Так как значение J(y) постоянно на
множестве допустимых функций, то вариационная задача теряет смысл.
в) F = F(x,y'), т.е. F не содержит у.
Уравнение Эйлера имеет вид ^ gfOy ' = 0, из чего следует affcy ' = С.
Получили уже дифференциальное уравнение первого порядка, откуда на-
находим экстремали задачи.
г) F = F{y,y'), т.е. F не содержит х.
Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид
д? d2F , d2F „
У ду* 'У
ду ду'ду
Умножив его на у', получим в левой части точную производную
Отсюда F—у'Ш = С, т.е. получили дифференциальное уравнение первого
порядка.
Пример 2 (задача о брахистохроне). Определить кривую в вертикальной
плоскости, соединяющую заданные точки М\, Мг, при движении по
которой материальная точка под действием силы тяжести скатится
из точки М\ в точку М^ в кратчайшее время (трением и сопроти-
сопротивлением среды пренебрегаем).

§ 1. Простейшая вариационная задача 299
Д Поместим начало координат О в точку М\, ось Ох направим
горизонтально, ось Оу — вертикально вниз. Тогда скорость движения
материальной точки v = S(t) = \/2ду. Отсюда находим dt = ~L —
+v W ^ и время движения материальной точки
о
В силу пункта г) уравнение Эйлера дает уравнение первого порядка
вида
' ,/2
У \/уA + У12)
После упрощений это уравнение примет вид
y{l + yl2)=Cl.
Введем параметр t, полагая у' = ctgi. Тогда получим:
у = Cism2t = -Ci(l -cos2<),
. _dy 2Ci smtcos tdt or.itM rn
dx = —r — = 2Oi Sin cat = Oil I —
У1 Ctgt
= Ci \t--s\n2t\
Из условий ж@) = y@) = 0 получаем, что Сг = 0. Таким образом,
параметрическое уравнение искомой кривой имеет вид
z = -CiBi-sin2i), y=-Ci(l--cos2t),
где С\ определяется из условия уA) = В. Параметрическое уравне-
уравнение задает семейство циклоид и, значит, брахистохроной является
циклоида. А
Иногда для упрощения решения уравнения Эйлера E) следует поль-
пользоваться инвариантностью уравнения Эйлера относительно замены пере-
переменных в функционале A). Определим понятие инвариантности уравне-
уравнения Эйлера.
Пусть пара дважды непрерывно дифференцируемых функций х —
tp(u, v), у — ф(и,ь) с якобианом а?ц'„< Ф 0 взаимно однозначно ото-
отображает полосу П1 = {(i,y): х € [а,6], у € (-оо,+оо)} плоскости Щх>у\
с декартовыми прямоугольными координатами х,у на полосу Пг =
{(u,t)): и € [а,/3], v € (-оо, +оо)} плоскости Я(и>„) с декартовыми прямо-
прямоугольными координатами и, v.

300 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Введем в функционале A) вместо х,у новые переменные и, v, полагая
х = ip(u,v), у = ф{и,ь) и считая v = v(u). При этом получаем функционал
Р
0
= I Ф [u,v(u),v'{u)]du,
если предполагать дополнительно, что |j? + ^v' Ф 0. Тогда можно до-
доказать, что уравнение Эйлера E) эквивалентно уравнению Эйлера для
функционала J\{v):
дФ d дФ
ov du ov'
В этом и заключается инвариантность уравнения Эйлера. Итак, формула
всех экстремалей A) получается из формулы экстремалей для функци-
функционала J{v), если в ней сделать обратную замену к замене х = <p(u,v),
у = i>(u,v).
Пример 3. Найти экстремали функционала
1п2
= JVV2 -
о
Д Уравнение Эйлера для J(y) имеет вид
Так сразу неясно, как решить это уравнение. Поэтому в функцио-
функционале сделаем замену переменных х = In и, у = v. Исходный функци-
функционал преобразуется к виду
2 2
Mv) = Ae"Inu ¦ и2 ¦ v12 - elnu • v2)^ = [{v12 - v2)du.
l l
Для Ji (v) уравнением Эйлера будет уравнение v" + v = 0, которое
легко решается. Его общим решением будет
v = >lsin(u +</?),
где А и у? — постоянные. Переходя к координатам х, у, получим
уравнение экстремалей исходного функционала
у = Asin(ex + <р). А

§2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов 301
Приведем теперь пример, показывающий, что уравнение Эйлера E) —
необходимое, но не достаточное условие локального экстремума функци-
функционала A).
Пример 4. Решить простейшую вариационную задачу:
= I [(У'(*)J - f У2(х)] dx, 1/@) = 1, у00=2.
о
Д Уравнение Эйлера: у" + Ц-у = 0.
Его общее решение: у = С\ cos ^ + Съ sin ^.
Допустимая экстремаль: у(х) — cos 4р + 2 sin у.
Нетрудно определить, что при Vr;(a;) € С1 [0, тг]
AJ(y) = J(y + r,)- J(y) = I [r/'2(x) - ^2(z)] dx.
0
Возьмем r]min(x) = i sin mi € C^O, тг], где параметры m € Л^, п 6
Л/". Тогда
AJ(y) = J(» + Vm,n) W B f
Следовательно, Л./(у) < 0 при т < | и А7(у) > 0 при m > |.
Значит, у(х) не дает решения вариационной задачи. А
§2. Обобщения простейшей вариационной
задачи на случай функционалов более общего
интегрального типа
В этом параграфе будут рассмотрены вариационные задачи для инте-
интегралов трех типов:
1) интегралов, зависящих от нескольких неизвестных функций,
2) интегралов, содержащих производные высших порядков,
3) двойных интегралов.
Во всех случаях будет поставлена соответствующая вариационная за-
задача и установлено необходимое условие решения такой задачи.
1. Функционалы, зависящие от нескольких функций
Пусть Cj,[o, b] обозначает множество всех вектор-функций у(х) с п не-
непрерывно дифференцируемыми на [о, 6] декартовыми прямоугольными ко-
координатами у\(х),... ,уп(х). Для Vj/(x), z{x) 6Cj[a,b] введем расстояние

302 Глава 9. Основы вариационного исчисления
между ними по формуле:
\\у(х) - «(aOHciie.*] = max 12/0*0 - г(х)\ + max \y'(x) - z'(x)\.
Тогда С^[а, 6] является линейным нормированным пространством.
Рассмотрим интеграл
ь
= jF[xty(x),i/{x)]dx, A)
а
где а,Ь — заданные числа, а < Ь, к F(x,ytp) —заданная дважды непре-
непрерывно дифференцируемая функция при всех х € [о, 6], (у,р) € Д^р)
(ЩуР) — 2п-мерное пространство с декартовыми прямоугольными коорди-
координатами у = (yi,... ,2м), Р~ (pi,--- iPn)), на множестве вектор-функций
М = {у(х) € С [а, 6] : у(а) = А, у(Ь) = В) ,
где А и В —заданные числовые n-мерные векторы.
При заданных условиях интеграл A), очевидно, определяет функцио-
функционал с областью определения М в пространстве С), [а, 6].
Определение. Говорят, что у(х) е М дает слабый локальный минимум
A), если существует е > 0 такое, что для любой у(х) € М, для которой
||2Ка:)-у(х)||<ч[а,б1 < С получаем J(y) > J(y).
Аналогично определяется понятие слабого локального максимума для
A). Слабые локальные минимум и максимум для A) объединяются тер-
термином слабого локального экстремума функционала A). Как и в случае
простейшей задачи, для функционала A) можно определить и понятие
абсолютного экстремума.
Теорема 1. Если дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция
у(х) € М дает слабый локальный экстремум функционала A), то у(х) не-
необходимо на [а, Ь] удовлетворяет системе уравнений Эйлера
dF d ЭР п . .— .„,
° 1 B)
О Обозначим компоненты у(х) через yi(x),... ,уп(х). Положив в A)
Уг{х) = Ых),-.. ,Уп{х) = Уп(х), получим для функционала J{yi) про-
простейшую задачу, решением которой является у\{х). Из необходимого
условия решения простейшей вариационной задачи получаем тогда, что
у(х) удовлетворяет первому уравнению системы B). Далее в A), фик-
фиксируя у\{х) = yi(x), у3(х) = у3(х),... ,уп(х) = уп{х), получаем простей-
простейшую вариационную задачу для 7B/2I решением которой служит у2(х).
Выполнение уравнения Эйлера для У2{х) означает, что у(х) удовлетво-
удовлетворяет второму уравнению системы B). и т.д. Наконец, полагая в A)

§ 2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов 303
yi(x) = yi(i),... ,yn_i(x) == yn_i(x), получим простейшую вариацион-
вариационную задачу для J(yn), решением которой является уп(х). Следовательно,
Уп{х) удовлетворяет n-му уравнению системы B) уравнению Эйлера, а
это значит, что у{х) удовлетворяет всей системе B). •
Определение. Всякое решение системы уравнений Эйлера B) называ-
называется экстремалью функционала A), а всякая экстремаль A), принадле-
принадлежащая множеству М, называется допустимой экстремалью функциона-
функционала A).
Из теоремы 1 следует, что только среди допустимых экстремалей
функционала A) могут быть функции, дающие A) слабый локальный
экстремум. Но допустимая экстремаль не обязана давать этот экстре-
экстремум для A) всегда. Система Эйлера B) содержит п уравнений второго
порядка для yi(x),... ,yn{x).
В общем случае решение системы C) зависит от 2п параметров. Для
получения допустимых экстремалей функционала A) нужно определить
эти параметры из заданных 2п граничных условий у(а) = А, у(Ь) = В.
Пример 1. Найти допустимые экстремали функционала
'/2
J(V, z) = J [(у1J + (z1J + 2yz + 2x2/] dx,
y@) = -l, Z@) = l,
Д Система уравнений Эйлера для J(y, z) имеет вид
х + z - у" = О,
V-z" = 0.
Подставляя у = z" в первое уравнение системы, получаем
Общее решение этого уравнения
z = с\ех + С2в~х + сз cosx + сц sin а: — х,
где с\, С2, сз, С4 — произвольные постоянные. Так как
у = z" = с\ех + С2е~х — сз cos х — с,\ sin x,
то, подставляя у, z в граничные условия, получим линейную систему
для определения с\, сг, Сз, сц. Отсюда находим, что с\ = сг = с^ = 0,
сз = 1. Следовательно, пара функций у = — cosx, я — cosx — x опре-
определяет допустимую экстремаль. А

304 Глава 9. Основы вариационного исчисления
2. Функционалы, содержащие производные
высших порядков
Обозначим через С* [а, 6] множество всех А; раз непрерывно дифференци-
дифференцируемых на [о,Ь] скалярных функций. Для Vyi(x), г/г(х) бС^а.б] введем
расстояние между ними по формуле:
i(a;) - 2/2C) I +
Тогда С^[о, Ь] является линейным нормированным пространством.
Через 6*[о,6] будем обозначать множество всех тех у(х) € &[a,b], для
которых уу)(о) = Уи)(Ь) -0, з = 0, к - 1.
Имеет место следующее обобщение основной леммы вариационного ис-
исчисления.
ь
Лемма 1. Если /(х) € С[а,Ь) и / f(x)r)(x}dx = 0 для Ут)(х) € Cfc[a,b], mo
/(х) = 0 на [о,Ь].
Эта лемма доказывамч^я в точности тем же способом, что и основ-
основная лемма вариационного исчисления, с тем только изменением, что в
качестве т)(х) берется функция
'[х - (х0 - е)]2к ¦ [х - (хо + f)l2*, х € [х0 - ?,х0 + с],
Ф)~\0,
Рассмотрим интеграл вида
Ь
J(y) = IF[x,y(x),«/'(*),-•¦ ,y{lc4x)]dx, C)
а
где о,Ь — заданные числа, а < b, F(x,у,р\,... ,р*) —заданная функ-
функция, непрерывно дифференцируемая {к + 1) раз при всех х € [а, Ь],
(у,Рь-- ,Pfc) € •Rj.p,1,...^. Здесь Я^р!,...,^ обозначает (А: + 1)-мерное про-
пространство с декартовыми прямоугольными координатами y,pi,... ,р*.
Определим интеграл C) на множестве функций
М
= [у(х) € С*[а,6] : у«)(а) = A,, y
где Aj, Bj— заданные числа при всех j = О,А;—1. Интеграл C) задает
функционал с областью определения М в пространстве Cfc[a,6].
Определение. Говорят, что у(х) ? М дает слабый локальный минимум
функционала C), если Эе > 0 такое, что любая у(х) 6 М, для которой

§ 2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов 305
\\у(х) — У(х)\\ск[а,ь] < е> выполнено неравенство J(y) > J(y). Аналогич-
Аналогично определяется для C) слабый локальный максимум. Термин слабый
локальный экстремум функционала C) объединяет понятия слабых ло-
локальных минимума и максимума для C).
Нас будет интересовать необходимое условие слабого локального экс-
экстремума функционала C) при к > 1, поскольку при к = 1 отсюда полу-
получаем уже известную нам простейшую вариационную задачу.
Сначала определим понятие первой вариации для функционала C).
Пусть у(х) 6 М и rj[x) е С6[а, Ь]. Рассмотрим функцию Ф(а) =
J(y + cwj), где а € Я. При фиксированных у{х) и г}{х) функция
F[x,y + at], у' + от?',... ,yW + а?7(А;)] и ее производная §? — непрерывны
для х е [а, 6] и |а| < е при некотором е > 0. Следовательно, по тео-
теореме из курса анализа собственный интеграл Ф(а) является непрерывно
дифференцируемой функцией а при |а| < г и по правилу Лейбница
а=0
da
Определение. Выражение Ф'@), где 7?(ж) — любая функция из С*[а,Ь],
называется первой вариацией функционала C) и обозначается 5J[y, г)(х)].
Таким образом,
ь
где Vri(x) e С*[а, 6].
Теорема 2. Пусть у(х) е М является 2к раз непрерывно дифференцируе-
дифференцируемой функцией и дает слабый локальный экстремум функционала C). Тогда
у(х) необходимо на [а, Ь\ удовлетворяет уравнению Эйлера—Пуассона
Эу dx ду' dx2 ду" " ( ' dxk ЭуЮ ~ К >
{здесь ¦?? —полная производная по ж).
О Бели у(х) дает слабый локальный экстремум функционалу A), то
а = 0 дает локальный экстремум функции Ф(а). Это устанавливает-
устанавливается рассуждением, аналогичным проведенному в теореме 1 § 1. Значит,
Ф'@) = 0. Из определения 6J [у, т){х)] получаем, что тогда SJ[y,rj(x)] = 0
для всех г?(х) 6 С*[о, 6].

306 Глава 9. Оснсты вариационного исчисления
Проинтегрируем по частям каждое слагаемое в формуле 5J [у, ri{x)}
начипая со второго, столько раз, сколько нужно, чтобы избавиться от
всех производных т)(х). Это законно в силу того, что F непрерывно
дифференцируема (к + 1) раз и что у{х) непрерывно дифференцируема
2к раз. Все проинтегрированные члены обратятся в нуль из-за нулевых
граничных условий для т){х) и ее производных. В результате получаем
равенство
\F d dF . ..k dk 8F 1 ,
где Vfj(i) € fc^a.b).
Условия теоремы на F и y(x) обеспечивают непрерывность на [о, 6]
выражения в квадратных скобках под знаком интеграла. Из обобщения
основной леммы вариационного исчисления, леммы 1, тогда следует, что
это выражение — тождественный пуль на [а, 6]. А это и значит, что у(х)
удовлетворяет уравнению D). •
Определение. Каждое решение уравнения D) называется экстремалью
функционала C), а решение уравнения D), принадлежащее М, называ-
называется допустимой экстремалью функционала C).
В общем случае уравнение D) является дифференциальным уравнени-
уравнением порядка 2к и имеет семейство решений, зависящее от 2к параметров.
Чтобы на практике определить допустимые экстремали C), необходимо
эти параметры найти из 2к граничных условий у^(а) — Aj, y^{b) = Bj,
j = O,k — 1. Из теоремы 2 получаем, что только среди допустимых экс-
экстремалей функционала C) может быть функция, реализующая экстре-
экстремум функционала C).
Заметим, что при условиях теоремы 2 тот факт, что у{х) — экстремаль
C), эквивалентен условию 5J [y,ij(x)] =0 для всех допустимых т)(х). По-
Поэтому допустимой экстремалью можно было бы и назвать решение урав-
уравнения 5J[y,T)(x)] = 0 при всех допустимых т/(х).
Аналогично простейшей вариационной задаче для функционала A)
можно ввести и понятие абсолютного экстремума.
Пример 2. Найти допустимые экстремали функционала
1
= y(l)=O, y'@) = 2, i/'
Д Уравнение Эйлера для J(y) имеет вид
»<">-„" = 12*.

§2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов 307
Его решение
у(х) = с! + с2х + с3е~х + C4er - 2s3.
Из граничных условий находим, что с\ — Сз = С4 = 0, сг = 2.
Допустимая экстремаль: у = 2хA — ж2). А
3. Случай двойных интегралов
Пусть Q — ограниченная, измеримая по Жордану область плоскости
R2X ^ с декартовыми прямоугольными координатами ж, у и пусть Q —
замыкание Q. Обозначим через С1 (Q) множество всех непрерывно диф-
дифференцируемых на Q функций. Для Vu(x, у), v(x,y) € С1 (Q) введем рас-
расстояние между ними по формуле
\\и(х,у) - v(x,y)\\CH-S) = max
max
ди(х,у) dv(x,y)
Эх дх
+ max
ди(х,у) dv(x,y)
ду Эу
Множество С1 (Q) с введенным расстоянием является линейным норми-
нормированным пространством.
Границу области Q обозначим через 8Q и будем считать в дальней-
дальнейшем 8Q кусочно-гладкой кривой. _
Через Cl(Q) обозначим множество всех тех и(х,у) 6 C](Q), для ко-
которых u\qq = 0, а через C(Q) обозначим множество всех непрерывных
на ~Q функций.
Имеет место двумерный аналог основной леммы вариационного исчи-
исчисления.
Лемма 2. Если f(x,y) € C(Q) и ffQ f(x>y)r)(x,y)dxdy - 0 для Щ{х,у) 6
Cl(Q), то f(x,y) = 0 в области Q.
О Рассуждаем от противного. Пусть существует точка (С,*?) € Q такая,
что /((,*?) > 0. В силу непрерывности f{x,y) найдется внутри Q круг
Кт((,т)) радиуса г с центром в точке (С,»?) такой, что }{х,у) > 0 для
V(x,y) € ЛГГ(С,»7). Положим {КТ{С„г,) С Q)
H
: - О2 + (у - г]J - г2}> {х,у) е Кг(С,л),
Нетрудно проверить, что т)(х,у) € C^Q). Но
f{x,y)n{x,y)dxdy =
Q
что противоречит условию леммы 2.

308 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Рассмотрим теперь двойной интеграл
где F(x, у, u,v,w) —заданная дважды непрерывно дифференцируемая
функция при V(x,y) G Q, V(u,v,w) € RfUiVtWy Здесь Я^,,^ обозначает
пространство с декартовыми прямоугольными координатами u,v,w.
Интеграл E) будем рассматривать на множестве функций
М = {и(х, у) € С1 (Q): u\dQ = д(х, у)} ,
где д(х, у) — заданная непрерывная на кривой 8Q функция.
В силу условий на F и и{х, у) интеграл E) является функционалом
с областью определения М в пространстве С1^).
Определение. Говорят, что функция й{х,у) € М дает слабый локаль-
локальный минимум (максимум) функционалу E), если Эе > 0 такое, что для
любой и(х,у) е М, для которой ||w(a:,j/) —й(х,у)\\с1^ < е, выполняется
неравенство J{u) > J{u) (J(u) < J(u)).
Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином сла-
слабого локального экстремума E).
Для функционала E) вводится также естественным образом и понятие
абсолютного экстремума.
Для того, чтобы установить необходимое условие слабого локального
экстремума функционала E), введем понятие первой вариации функци-
функционала E).
Пусть и(х,у) € М и т](х,у) € C^iQ). Рассмотрим функцию Ф(а) =
J(u + ar)), где а € Я. При фиксированных и(х,у), щ{х,у) функции F,
^ — непрерывны V(x,y) e Q и |а| < е при некотором е > 0. Поэтому
по теореме из курса анализа собственный интеграл Ф(а) является не-
непрерывно дифференцируемой функцией а и по правилу Лейбница
dJ(u + or/)
Ф'@) =
\д? dFdv dF cfy
q [ du dp dx dq dy
где p = f», q = %, Vri(x,y) € «t1 (Q).
Определение. Выражение Ф'@) называется первой вариацией функцио-
функционала E) и обозначается 5J(u,ri), где rj = т)(х,у)—произвольная функция
из t(Q).
Теперь докажем необходимое условие слабого локального экстремума
для E).

§ 2. Обобщения вариационной задачи на случай функционалов 309
Теорема 3. Пусть й(х, у) € М является дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемой функцией eQ и дает слабый локальный экстремум функционала E).
Тогдай(х,у) необходимо в Q удовлетворяет уравнению Эйлера—Остроград-
Эйлера—Остроградского
ди дх др ду dq
(здесь gj и щ —полные частные производные).
О Так как й(х,у) дает экстремум функционалу E), то функция Ф(о)
имеет экстремум при а = 0. Следовательно, Ф'@) = 0, а, значит, и
SJ(u,т}) = 0 для всех rj{x>y) e Cl(Q). Заметив, что
д? cty _ д_ ( dF\ д_ dF_
др ' дх ~ дх V др) Пдх' др'
aF дп _ д_ ( д?\ д_ д?
dq'd^' дуХ1 dq) Vdy ' dq '
и воспользовавшись формулой Грина и тем фактом, что r)\aQ = 0, послед-
последние два слагаемые в формуле 6J(u,tj) преобразуем следующим образом:
dF д
ъ+тУ
д dF д dF\j , f dF _, dF ^
+)dd + JT1-dp-dy-V-dq-dX =
Таким образом, имеем, что для Vr)(x,y) € С1 (Q)
ff fdF d dF d dF\ , . , ,
//  я—ST ~~ я — )rj(x,y)dxdy = 0.
JJq \ди дх dp ду dq J
Отсюда в силу леммы 2 получаем уравнение F). •
Определение. Всякое решение уравнения F) называется экстремалью
функционала E), а всякая экстремаль E), принадлежащая М, называ-
называется допустимой экстремалью функционала E). Уравнение F) предста-
представляет собой уравнение в частных производных второго порядка.
Проведенные построения переносятся и на тот случай, когда вместо
двойного интеграла E) рассматривается n-кратный интеграл.

310 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Пример 3. Для функционала
уравнением Эйлера—Остроградского является уравнение Лапласа
Известно, что гармоническая функция и(х,у) в Q, для которой
u\gQ — g{x,y), существует и единственна. Однако не при всякой не-
непрерывной д(х, у) можно ожидать, что эта функция является до-
допустимой экстремалью функционала E), так как не всегда можно
утверждать, что первые производные функции и(х,у) непрерывны
в замкнутой области Q, т. е. что функционал E) для построенной
гармонической функции и(х,у) имеет конечное значение.
§ 3. Вариационные задачи со свободным концом,
с подвижной границей и задача Больца
В этом параграфе рассмотрены обобщения простейшей вариационной за-
задачи, во-первых, на случай более общего поведения искомой кривой на
границе и, во-вторых, на случай функционала неинтегрального типа.
1. Задача со свободным концом
Рассмотрим интеграл
6
j[x,y(*WW]dx, A)
где а,Ь —заданные числа, а < b, F(x,y,p) —заданная дважды непрерывно
дифференцируемая функция при всех а; € [о, Ь] и Ч(у,р) € R2,y ;л, на мно-
множестве функций М = {у(х) €0[а,Ь] : у(а) = А}, где Л —заданное число.
Интеграл A) является функционалом с областью определения М в
пространстве C'la.b]. Определения слабого локального и абсолютного экс-
экстремумов функционала A) в точности такие же, как и в случае простей-
простейшей вариационной задачи, но под М теперь надо понимать только что
указанный класс функций.
Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума
функционала A) называется задачей со свободным концом.

§3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей
311
Свое название эта задача получила из-за того, что при х = 6 значения
у(х) € М не задаются, т.е. конец х — b отрезка [о,Ь] является свободным
концом.
Приведем необходимое условие решения задачи со свободным копцом.
Теорема 1. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция
у(х) € М является решением задачи со свободным концом, то у(х) не-
необходимо на [а,Ь] удовлетворяет уравнению Эйлера
ду dx ду'
и граничному условию при х — Ь вида
dF\x,y{x),y(x'))
= 0.
B)
О Возьмем Vt)(x) € С1 [а, Ь], для которой г)(а) = 0, и рассмотрим Ф(а) =
J(y + arf) при а € Я. В силу условий на F и у{х) собственный интеграл,
зависящий от параметра, Ф(а) является непрерывно дифференцируемой
функцией а. По известной теореме из курса анализа
б
а=0
*¦
Поскольку у(х)—решение задачи со свободным концом, то а = О —
точка экстремума для функции Ф(а). Значит,
ь
ТЯР ЯР Л
dx.
Интегрируя по частям второе слагаемое и используя условие г)(а) =¦ 0,
аолучаем равенство
dF[x,y(x),jf{x)]
ду'
... [ \dF d dF
х=Г{ь)+Пъ-Тх-1п\\у=у{х)
dx = 0.
Это равенство выполняется для V??(x) € С1 [о, Ь], для которой г)(а) = 0.
Это равенство должно выполняться в том числе и для Уг?(ж) € С1 [а, Ь).
Тогда 77F) = 0 и, как в простейшей вариационной задаче, получаем урав-
уравнение Эйлера для у(х). Рассматривая теперь г](х) € С1 [а, 6] с произволь-
произволь= 0,
иыми значениями T](b), получаем равенство — ?/'у
поскольку |с^ — 4- ¦ 15 =0 на [а, 6]. Отсюда и следует граничное
[_ иу ojr uy j ly=:j)(a:)
условие B) для у(х).

312 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера для A) называется
экстремалью задачи со свободным концом, а экстремаль, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию у(а) = А и условию B), называется допустимой экстрема-
экстремалью этой задачи.
Итак, из теоремы 1 следует, что всякое решение задачи со свободным
концом необходимо является допустимой экстремалью этой задачи.
Пример 1. Рассмотрим задачу о брахистохроне {см. пример 2 § 1), но
будем теперь считать, что у@) = 0 и что при х = I нет граничного
условия, т. е. конец х = I свободен. Найдем допустимые экстремали
такой задачи.
Д Экстремали, удовлетворяющие условию у@) = 0, являются ци-
циклоидами, параметрические уравнения которых х = c(t — sint), y =
сA — cost). Для определения с используем граничное условие при
х = I:
у'
= 0,
i=i
откуда у'A) — 0, т.е. циклоида должна пересекать прямую х = I
под прямым углом. Следовательно, точка A,уA)) должна быть вер-
вершиной циклоиды. Так как для вершины t — 7г, то I = с-п. Значит,
допустимая экстремаль имеет параметрические уравнения
х = — (t — sint), у = — A — costf). A
7Г 7Г
Замечание. Мы рассмотрели случай, когда конец х = 6 свободен. Со-
Совершенно аналогично рассматривается случай, когда оба конца х — а,
х = 6 отрезка свободны от граничных условий. Тогда для допустимой
экстремали задачи должны выполняться граничные условия вида B) для
х = о и для х = Ь. Задачу с обоими свободными концами называют ино-
иногда задачей без ограничений.
Пример 2. Решить задачу без ограничений для функционала
1
Л Допустимые экстремали задачи являются решениями граничной
задачи
у" + у' - 6у = б,
2/@) = у'A) = 0.

§3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей 313
Решением ее является у(х) = —1. Для Щ{х) € С1 [0,1] имеем
1
) ~ J(V) = / <? W2 + bif + 2»V + 12yij + Щ dx =
о
l
о
[ \
\2ех + 12еху - ^Bе*г/')] Ч&с =
Здесь мы воспользовались интегрированием по частям, граничными
условиями для у(х) и уравнением Эйлера для у(х).
Следовательно, у(х) дает абсолютный минимум для рассматрива-
рассматриваемой задачи без ограничений. А
2. Задача с подвижной границей
В п. 1 конец экстремали может перемещаться по вертикальной прямой
х = Ь. Рассмотрим теперь интеграл A) на множестве М тех функций
у(х) € С1 [а, Ь], для которых у(о) = А и правая граничная точка F, у(Ь))
в зависимости от у(х) может перемещаться по некоторой непрерывно
дифференцируемой кривой Г, заданной уравнением у = f(x), х € [c,d],
О а, так что у(Ь) = /F). На множестве М таких функций у(х) интеграл
A) задает функционал. Здесь подлежит определению и функция у(х) и
правый конец b ее отрезка определения.
Слабый локальный и абсолютный экстремумы для такого функцио-
функционала определяются аналогично тому, как это сделано для простейшей
вариационной задачи.
Задача нахождения слабого локального экстремума для A) с указан-
указанной здесь областью определения называется задачей с подвижной (пра-
(правой) границей. Укажем необходимые условия решения такой задачи.
Теорема 2. Пусть решение у(х) задачи с подвизаемой (правой) границей
принадлежит С2 [о, 6]. Тогда у(х) необходимо на [а,Ь] удовлетворяет урав-
уравнению Эйлера
Эу dxdy'~
12 2769

314
Глава 9. Основы вариационного исчисления
и условию трансверсальности при х = Ь:
[*,,(*),•(.)] + [fix) - У-(Х
= 0.
C)
О Пусть у(х, ft) — семейство произвольных дважды непрерывно диффе-
дифференцируемых функций при Va 6 R, причем у(.х,0) = у[х), у@,а) = А.
Рассмотрим при \а\ < е собственный интеграл, зависящий от параме-
параметра а:
ду{х,а)
Эх
*Ы= f f[xM*,*),*^]
da.
где х(а) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция и
х@) = 6. При условиях теоремы 2, как следует из курса анализа, Ф(а) —
непрерывно дифференцируемая функция и Ф@) = J(y),
+ F[b,y(b),y'(b)]5x,
где 5х = хЩ,
a=0
_ д
~ Их '
а=0
&
Выражение Ф'@) называется первой вариацией в задаче с подвижным
правым концом и обозначается через 6J(y,Sy). Так как у(х) — решение
задачи, то о = 0 дает экстремум функции Ф(а). Значит, Ф'@) = 0 и,
следовательно, 5J(y,6y) =0 при всех допустимых вариациях 6у{х). Про-
Проинтегрировав по частям второе слагаемое под знаком интеграла и вос-
воспользовавшись тем, что т)(а) = 0, получаем равенство
b
I . —
dy> l
Если у\ = y[x(a),a\l то
-(!¦!+?) •«-

§3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей 315
Рассуждая, как и в теореме 1, отсюда получим, что у(х) удовлетво-
удовлетворяет уравнению Эйлера и следующему равенству
Замечая, что f'(b) = ^-, приходим к условию трансверсальности C) для
у(х). •
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера называется экстрема-
экстремалью задачи с подвижной границей, а экстремаль, удовлетворяющая усло-
условию у(а) = А и условию C), называется допустимой экстремалью этой
задачи.
Замечание. Можно рассматривать задачу и с двумя подвижными кон-
концами х = а, х = Ь.
Отметим также, что условие трансверсальности устанавливает зависи-
зависимость между угловыми коэффициентами /'(ж) и у'(х) в граничной точке.
В частности, если граничная точка (b, y(b)) перемещается по горизонталь-
горизонтальной прямой у = const, то условие трансверсальности принимает вид
Пример 3. Найти расстояние d от точки (—2,3\/3) до полуокружности
у = у/1 - (х - IJ, х € [0,2].
Д Задача сводится к нахождению минимума
ь
J(V) =
при условиях у(—2) = 3\/3 и f(x) = ^/1 — (х — IJ. Решения уравне-
уравнения Эйлера имеют вид у = cix + c2, где с\, сг — произвольные посто-
постоянные. Для трех неизвестных с\, сг, 6 имеем систему трех уравнений
вида:
. с2 = 3\/3, cxb + с2 = v/l-(b-lJ,
1-Ь
Эта система дает решение: b = |, ci = —сг = — \/3.
Получаем допустимую экстремаль: у — —x*/Z + \/3-

316 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Эта экстремаль дает минимум J{y), равный искомому расстоя-
расстоянию d:
1/2
2
\f {) = 5.
-2
3. Задача Больца
Пусть о, Ь — заданные числа, а < Ь, На множестве всех функций из
С1 [а, Ь] рассмотрим выражение
ь
J(y) = j F[x,y(x),y'{x)] dx + f ШМЬ)}, D)
a
где F{x,y,p) —заданная дважды непрерывно дифференцируемая функ-
функция при Vi € [a,b], V(j/,p) е Л? ч, /(?,т]) —заданная непрерывно диффе-
дифференцируемая функция на всей декартовой плоскости ЯЗ, *.
Выражение D) задает функционал, областью определения которого
является все пространство С1 [а, Ь].
Аналогично простейшей вариационной задаче для функционала D)
можно определить слабый локальный и абсолютный экстремумы.
Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума
функционала D) называется задачей Больца.
Теорема 3. Вели у(х) ? С2 [а, 6] является решением задачи Больца, то не-
необходимо у(х) на [а, Ь] удовлетворяет уравнению Эйлера
ду dx ду'
и условиям трансверсальности при х = а, х — Ь вида
E)
О Поскольку у(х) дает решение задачи Больца, то функция Ф(а) =
J(y + ат}), где а € Л, т)(х) € С1 [а, 6], имеет экстремум при а = 0. Из
условий теоремы 3 следует, что функции F и ^, рассматриваемые при

§3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей
317
у = у + ат), непрерывны при х € [а, 6), \а\ < ?, при некотором ? > 0.
Значит, по известной теореме из курса анализа Ф'(а) — непрерывна и
*«°»-/[**>+t?-HL
dx +
v(b).
По теореме Ферма Ф'@) =0, Ут){я) €С1[а,Ь]. В частности, Ф'@) =0 для
Vt7(i) € С1 [а, 6]. Тогда получаем, что при Ут)(х) € С1 (о, Ь)
Интегрируя по частям второе слагаемое, как и в случае простейшей ва-
вариационной задачи, устанавливаем, что у(х) удовлетворяет уравнению
Эйлера. Учитывая это обстоятельство, для V»j(a) € С1 [о, Ь] из равенства
Ф'@) = 0 интегрированием по частям находим, что
f \dF dF ,1 , df
J [ду ду' 'JL=vW Л?
r)(a) +
Or,
dF
ft/
»=y
{ap
— {X,y(x),y>{x)}
x=b
df[y{a),y'(b)}
dr,
, Г^/[у(а),!/'(ЬI dF[x,y(x),y'(x)}
X з< ^'
В силу произвольности т)(а) и 7jF) отсюда приходим к условиям транс-
трансверсальности E). •
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера для функционала D)
называется экстремалью задачи Больца, а всякая экстремаль задачи
Больца, удовлетворяющая условиям трансверсальности E), называется
допустимой экстремалью задачи Больца.
Из теоремы 3 следует, что всякое решение задачи Больца необходимо
является допустимой экстремалью D).

318 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Пример 4. Решить задачу Больца для функционала
2
J(V) = I х2 [y'(x)]2dx - 22,A) +у2B).
1
Д Уравнение Эйлера дает экстремали у = &¦ + с2, а условия транс-
трансверсальности дают граничные условия 2/A) = —1, 4у'B) = — уB).
Отсюда у(х) — i + i — допустимая экстремаль. Пусть 4rj(x) € С1 [1,2].
2
J(y + Ч) - J(») = У zV + 2у' • rf)dx - 2ф) + 2уB)г?B) + г?2B).
1
Интегрируя по частям второе слагаемое под знаком интеграла и ис-
используя уравнение Эйлера для у(х) и условия трансверсальности,
получаем
2
2[n'('x)J
-J{y) = Jx2[n>{x)]2dx + r}\2)>Q.
l
Таким образом, у(х) дает в задаче Больца абсолютный минимум. А
§ 4. О сильном локальном экстремуме и
абсолютном экстремуме функционалов
Рассмотрим вновь интеграл
Ь
г
где а,6 —заданные числа, a<b, F(x,у,р) —заданная дважды непрерывно
дифференцируемая функция для Vz € [а, 6], V(y,p) 6 Щуру ПРЯ заданных
граничных условиях
где А и В — заданные числа.
Наряду со слабым экстремумом для A) рассматривается и сильный
экстремум. При этом несколько расширяется область определения инте-
интеграла A). Обозначим через /СС1[о,Ь] множество всех непрерывных на
\а,Ь] функций, имеющих на [о, 6] непрерывную производную, за исклю-
исключением, быть может, конечного числа точек из [а, Ь], в которых произ-
производная терпит разрыв первого рода. Пусть
М = {у(х) € КС1 [а, Ь) : у(о) = А, у(Ъ) = В) .

§ 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме 319
Понятно, что интеграл A), рассматриваемый на множестве М, является
функционалом с областью определения М. После введения в КС1[а,Ь]
нормы функций у(х)
l|y(z)||qo,<>] =_max)|y(x)|
множество К?} [а, Ь] становится линейным нормированным простран-
пространством.
Определение. Говорят, что у(х) € М дает функционалу A) сильный
локальный минимум (максимум), если Зг > 0 такое, что для любой
у{х) € М, для которой ||у(х) — y(x)||qO6] < e, выполняется неравенство
J(y) > Ay) (Ay) < W).
Сильные локальные минимум и максимум объединяются термином
сильного локального экстремума.
Сильный локальный экстремум геометрически отличается от слабого
локального экстремума для A) тем, что для сильного экстремума рас-
рассматриваются кривые на [а, Ь] близкие по ординатам к кривой у(х), а
для слабого экстремума требуется близость этих кривых к у(х) как по
ординатам, так и по угловым коэффициентам касательных к кривым.
Поскольку множество КС1 [а, Ь] эС'[а,5], то, если у(х) бС'[а, Ь] дает
сильный экстремум A), у(х) дает A) и слабый экстремум. Поэтому для
таких функций необходимое условие слабого экстремума является необ-
необходимым условием сильного, а достаточное условие сильного экстремума
является достаточным условием слабого.
Приведем пример, в котором допустимая экстремаль у(х) € С1 [а, Ь]
дает слабый локальный минимум, но не дает сильного локального ми-
минимума.
Пример 1. Исследовать слабый и сильный экстремумы для функцио-
функционала
1
J3 = 0,
Д Уравнение Эйлера дает экстремали у = с\х + с?,. Единственной
допустимой экстремалью является у = х. Покажем, что у = х дает
слабый локальный минимум. В самом деле, если V?;(x) € С1 [0,1], то
^(З + rf)dx > 0,
о
поскольку 3 + т)'(х) > 0, если взять ||t?(x)||c'(o,i] < 3.

320 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Покажем, что у — х не дает сильного экстремума. Возьмем
и гм(ж) = fCn(x)dx, n > 2.
о
Ясно, что »?„ (i) € if С1 @,1] и ||??n (x) ||qo,i] -* О ПРИ п-*сс. Пусть
у„(х) = у(х) +Г7„(а:). Тогда уп{х) -4 у{х) в €[0,1] при n-юо и
Уп) = /A + n'
l/n
/{Zn-nz'2)dx+ f (—+ -^=
У У \ n n-v/n
О /
l/n 1
/f
О 1/2
т.е. у не доставляет сильного локального минимума. А
Приведем пример функционала, для которого нет слабого минимума
в классе (^[a.b], но есть сильный минимум в классе КС1 [а, Ь].
Пример 2. Рассмотрим функционал
2
= Jy'2(l-V'Jdx, у@)= 0, уB) = 1.
о
Д Уравнение Эйлера для него дает экстремали у = С\х 4- сг- Из
граничных условий следует, что v(a;) = ji —допустимая экстремаль.
Нетрудно убедиться, что у(х) не дает слабого минимума. С другой
стороны, на функции
f ate [0,1],
«6 [1,2],
функционал ^(уо) = 0, так как подынтегральная функция = 0. По-
Поскольку J(y) > 0 для любой допустимой функции у(х) и J(yo) = О,
то на уо(х) заведомо реализуется сильный минимум. А
Этот пример показывает необходимость рассмотрения сильного экстре-
экстремума в классе функций КС1 [а, Ь] даже для тех функционалов A), для
которых функция F— дважды непрерывно дифференцируемая.
Всякий абсолютный экстремум A) является одновременно и слабым и
сильным локальным экстремумом. Следовательно, необходимые условия
слабого экстремума являются необходимыми условиями для абсолютного

§4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме 321
экстремума, но, вообще говоря, не наоборот. Достаточные условия абсо-
абсолютного экстремума будут достаточными условиями слабого и сильного
экстремумов, но, в общем случае, не наоборот.
Как известно, всякая непрерывная функция на отрезке достигает свое-
своего абсолютного экстремума (наибольшего и наименьшего значения). Для
функционалов тоже можно ввести понятие непрерывности в линейном
нормированном пространстве. Так, например, функционал A) является
непрерывным в пространстве С1 [а, 6]. Однако не всегда функционал A)
достигает, например, своего абсолютного минимума в классе функций из
С1 [о, Ь] (см. пример 2). Поэтому вопрос о существовании абсолютного
экстремума функционала A) и его обобщений является значительно бо-
более сложным, чем для функции многих переменных. Известны некоторые
достаточные условия, например, теорема Тонелли, при которых функци-
функционал A) имеет абсолютный экстремум. Заметим, что точные верхняя и
нижняя грани для функционалов типа A) могут не достигаться не толь-
только во всем С1 [а, Ь], но также и на ограниченном замкнутом множестве
из С1 [а,Ь], например, на единичном шаре в С1 [о,Ь], т.е. на множестве
всех тех функций у(х) € С1 [<*>&], для которых ||y(z)|lo[a,4] ^ *•
Теоремы существования играют центральную роль для так называе-
называемых прямых методов вариационного исчисления, основанных на построе-
построении последовательности функций, сходящейся к искомой функции, реали-
реализующей экстремум для A). Причина появления прямых методов в том,
что решение, вариационной задачи приводит к необходимости решения
граничной задачи для уравнения Эйлера, а доказательство существова-
существования решений таких граничных задач теория дифференциальных уравне-
уравнений дает лишь в редких случаях. Прямые методы вариационного исчи-
исчисления полезны и для теории дифференциальных уравнений. Ведь если
дифференциалыгое уравнение является уравнением Эйлера для функцио-
функционала A) и если прямым методом установлено, что A) имеет абсолютный
экстремум в классе С1 [а, Ь], то тем самым доказано, что соответствую-
соответствующая краевая задача имеет решение. Методы решения граничных задач
для дифференциальных уравнений, основанные па исследовании экстре-
экстремума соответствующего функционала, называются вариационными мето-
методами решения граничных задач. Можно, например, доказать существо-
существование и единственность решения граничной задачи вида
[p(x)y']'-q(x)y = f(x)l p(x)eC1[a,b], p(x)>0, q(x)eC[a,b),
q{*)>0, f(x)eC[a,b], y(a) = A, y(b) = B,
рассмотрев задачу на абсолютный минимум функционала
ь
= f [рМу12 + Я(х)у2 + 2J(x)y] dx
а
в классе функций у(х) 6C'[o,li|, удовлетворяющих заданным граничным
условиям.

322 Глава 9. Основы вариационного исчисления
§ 5. Изопериметрическая задача
В § § 2-3 рассмотрены обобщения простейшей вариационной задачи на
случай более общих функционалов и на случай более общего поведения
неизвестных функций на границе. Обобщения простейшей вариационной
задачи можно получать по-другому, подчинив искомую функцию не толь-
только граничным условиям, но и некоторым дополнительным условиям свя-
связи. О такого рода задачах пойдет речь в настоящем параграфе. Общим
моментом при решении таких задач является использование метода мно-
множителей Лагранжа — аналога известного из курса анализа метода мно-
множителей Лагранжа, применяемого там для решения задач на условный
экстремум для функций многих переменных.
Пусть функции F{x,y,p) и G(x,у,р) —заданы и дважды непрерывно
дифференцируемы для Va: 6 [а,Ь] и V(j/,p) 6 Rlypy Рассмотрим интеграл
[x,y(*),i/(x)}dx A)
а
на множестве функций
М= | у(х) 6 С1 [а, 6]: у(а)=А, у{Ъ) = В, К{у) = jG[x,y(x),y'{x)]dx = l\,
где А, В и I — заданные числа.
Функции у(х) 6 М называются допустимыми. Ясно, что интеграл A)
задает функционал .с областью определения М в пространстве С1 [о,Ь].
Условие К(у) = / называется условием связи.
Определение. Говорят, что допустимая функция у(х) дает слабый ло-
локальный минимум (максимум) функционала A), если Зе > 0 такое, что
для всякой допустимой функции у{х) такой, что \\у(х) - у(я)||<;i[а?ь] < ?|
выполнено неравенство J(y) > J(y) (J{y) < J{y))-
Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином сла-
слабый локальный экстремум. Для функционала A) понятным образом вво-
вводится и абсолютный экстремум.
Определение. Изопериметрической задачей называется задача нахожде-
нахождения слабого локального экстремума функционала A). Название задачи
происходит от ее простейшего примера: задачи нахождения замкнутой
кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь.
Чтобы установить необходимое условие решения изопериметрической
задачи, введем в рассмотрение функцию
Цх, у, у', Л) = F(x, у, у') + \G(x, у, у'), VA 6 П,

§ 5. Изопериметрическая задача
323
Она называется лагранжианом, а параметр А называется неопределенным
множителем Лагранжа.
Кроме того, рассмотрев функционал К(у) на множестве тех у(х) €
С^Ь], для которых у(а) — А, у(Ь) — В, согласно § 1 можно найти ва-
вариацию функционала К (у):
6К\у,ф)] = / {Щ
Vr)(x)
Теорема. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая допустимая
функция у(х) является решением изопериметрической задачи и пусть ва-
вариация 8К[у,ф)) ^ 0 для всех г){х) € С1 [о, 6]. Тогда найдется такой мно-
множитель Лагранока X, что у(х) необходимо на [а,Ь] удовлетворяет уравне-
уравнению Эйлера вида
^-А.^=0 B)
ду dx ду1 ( '
О Из условия теоремы следует, что 3tjo(s) € С1 [о, 6] такая, что
5К[уМ*)} Ф о-
Возьмем теперь Vr/(a;) 6 С1 [а, Ь] и рассмотрим функции
и = <р{а, 0)=J [у{х) + аг)(
v = ф(а,0) = К [у(х) + аф) + 0по{х)],
где a,fi 6 R. В силу условий на у(х), F и G к этим интегралам можно
применить теоремы о непрерывности и дифференцируемости собствен-
собственных интегралов, зависящих от параметров. Из этих теорем следует, что
<р(а,0) и 1/>(а,/3) являются непрерывно дифференцируемыми функциями
в некоторой окрестности а — 0 = 0 и что
Здесь, например,
SJ[y(x)M*)]= / тЕт
dF
у=у{х)
¦V'(x)\dx.
Покажем, что якобиан
d(u,v
= 0, Чф)е&[а,Ь].
u=v=0

324 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Рассуждаем от противного. Пусть этот якобиан отличен от нуля для
некоторого т?(х) 6 С1 [а, Ь]. Тогда из теоремы о системе неявных функций
следует, что система уравнений
однозначно разрешима относительно <а,/3 в некоторой окрестности
а = Р = 0. Предположив для определенности, что у(х) дает локальный
минимум в изопериметрической Задаче, рассмотрим систему уравнений
), e > 0.
По указанной выше теореме существует единственное решение FV, /3) этой
системы из окрестности а — 0 = 0:
?>(&, 0) = ^@,0) - t = J{y) - е, ф(а, /3) = ^@,0) = К(у) = I.
Это значит, что найдется функция вида у(х) + ат](х) + 0щ(х) такая, что
J(y + afj + 0т)о) = Av) ~ ? < АН),
К (у + afj + 0щ) = I.
Это противоречит тому, что у{х) дает локальный минимум. Наше пред-
предположение неверно и якобиан
д(<р,ф)
6Av,v)
SJ{ii,Vo)
= 0, Vri(x)etl[a,b].
'I Q=/?=0
Положим А = — ^iff/^k¦ Поскольку 6К(у,т]о) Ф 0, то А ф со. Тогда для
любого г\{х) е С1 [а, Ь] получаем тождество
В интегральной форме это тождество имеет вид:
\{dF dG\ ., fdF
оу dyJv=gM \dy dyjy=-(x)
Учитывая формулу для L, интегрируя по частям слагаемое, содержащее
т]'(х) и применяя основную лемму вариационного исчисления, отсюда по-
получаем уравнение Эйлера B). 9
Замечание. Условие теоремы о том, что 6К[у,т)(х)] ^0, равносильно
тому, что у(х) не является экстремалью простейшей вариационной задачи
для К (у).
Определение. Всякое решение уравнения Эйлера B) называется экс-
экстремалью изопериметрической задачи, а всякая экстремаль, являющаяся
допустимой функцией, называется допустимой экстремалью изопериме-
изопериметрической задачи.

§ 5. Изопериметрическая задача 325
Из доказанной теоремы следует, что решение изопериметрической за-
задачи необходимо является ее допустимой экстремалью. Заметим, что вся-
всякая экстремаль изопериметрической задачи служит экстремалью некото-
Ь
рой простейшей вариационной задачи для функции Лагранжа / Ldx.
а
В общем случае экстремали изопериметрической задачи зависят от
трех параметров с\, сг, Л. Допустимые экстремали находят из двух гра-
граничных условий и условия связи К(у) = I.
Пример. Решить изопериметрическую задачу:
It ж
J(V) = J[y'(x)]2dx, y@) = у(тг) = 0, Jy(x)smxdx=L
о о
Л Здесь лагранжиан L — y^ + Xysinx. Уравнение Эйлера для L дает
экстремали у — — ^sina: + с\х + сг- Из граничных условий и условия
связи находим, что с\ = съ = О, Л = — ?. Таким образом, у(х) —
^ sin х — допустимая экстремаль. Покажем, что она дает абсолютный
минимум в изопериметрической задаче.
Действительно, при всякой допустимой функции у(х) =
у{х) + г}(х) (для этого надо взять Vry(x) e C'fOjTr], для которой
J r)(x)smxdx = 0) имеем, что
о
J(V + г,) - J(y) = I [(у' + г,'J - (У'J) dx = 2jy'.V'dx + j{rff dx =
0 0 0
7Г ТГ
= 2у'(х) ¦ ф) Гх=0 -2jy"(x)V(x) dx + j{r,'f dx =
о о
7Г IT
= 2 / -smxri(x) dx+ I (т/'J dx =
о о
= ^ I ф) sin x dx + f{r)'J dx = /(г/J dx > 0. A
0 0 0
Замечания.
1) Изопериметрическая задача обобщается на случай нескольких усло-
условий связи
ь
Ki{y) = / Gi [х, У(х), у'{х)] dx = h, i = l~m,
a
и на случай функционалов J(y), зависящих от вектор-функции у(х).

326 Глава 9. Основы вариационного исчисления
2) Если у(х) не является ни экстремалью J(y), ни экстремалью К(у),
то справедлив так называемый принцип взаимности: у(х) — экстремаль
задачи на экстремум J(y) при условии К (у) = I и одновременно у(х) —
экстремаль задачи на экстремум К(у) при условии J(y) = /. Это видно
из того, что можно ввести лагранжиан L — \\F + X2G, куда функции
F и G входят симметрично.
§6. Задача Лагранжа
В этом параграфе будут рассмотрены условия связи несколько иного ро-
рода, чем в предыдущем параграфе.
Пусть F(x,y,z,pyq) —заданная дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая функция при Vx 6 [а,6] и V(j/,г,р,q) ?Е Я4, где /^ — пространство с
декартовыми прямоугольными координатами y,z,p,q, и пусть g(x,y,z) —
заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция при Vx 6 [о, Ь]
и V(y,*) 6 R2M.
Рассмотрим интеграл
ь
J(y,z) =jF[x,y(x),z(x),y'(x),z'(x)} dx A)
а
на множестве пар функций (y(x),z(x))
М = {(y(x),z{x)) € С^[о,6] : у(а) = Аи z(a) = А2, у(Ь) = Ви
z(b) = В2,д [х, у(х), z{x)) = 0, Vz 6 [о, Ь)} .
Уравнение д(х, у, z) =0 называется условием конечной (или геометри-
геометрической) связи для неизвестных у, z. Заметим, что из определения М сле-
следуют условия согласования уравнения связи с граничными условиями:
д{а,А1,А2)=д(Ь,ВиВ2) = 0.
Всякая пара функций {y(x),z(x)) из множества М называется допусти-
допустимой.
Интеграл A), рассматриваемый на множестве М, задает функционал
в пространстве С\ [о, 6] (см. п. 1 § 2).
Определение. Говорят, что допустимая пара функций (y(x),z(x)) да-
дает слабый локальный минимум (максимум) функционала A), если
Зе > 0, что для любой допустимой пары (y{x),z(x)) такой, для которой
\\(y(x),z(x)) - (y(x),z(x)) \\Q[a,b) < ?i справедливо неравенство J{y,z) >
J(y,z) (J(y,z)<J(y,z)).
Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином сла-
слабого локального экстремума. Для A) можно ввести и понятие абсолют-
абсолютного экстремума.

§6. Задача Лагранжа
327
Определение. Задачей Лагранжа называется задача нахождения слабо-
слабого локального экстремума для функционала A).
Нетрудно указать геометрический смысл задачи Лагранжа. Пусть
уравнение связи д(х,у, z) = 0 задает некоторую поверхность 5 в
Й ,. Условия согласования фиксируют две точки на S: D\{a,A\,Ai)
и JD2F,Bi,B2)> а пара функций у — у(х), z = z{x), x 6 [о,6], задает про-
пространственную кривую 7- Задача Лагранжа тогда геометрически означа-
означает (см. рис. 3), что требуется найти среди всех непрерывно дифференци-
дифференцируемых кривых 7> лежащих на заданной поверхности S и соединяющих
заданные точки D\, ?>2, такую кривую, которая дает слабый локальный
экстремум интегралу A).
Рис. 3
Задачу Лагранжа можно решать методами, аналогичными методам
решения задачи на условный экстремум для функций многих перемен-
переменных. Прямой метод заключается в том, что разрешают условие связи
g(x,y,z) = 0 относительно у или z, найденное выражение подставляют
в интеграл A) и получают уже простейшую вариационную задачу для
J(z) или J(y). Однако прямой метод проходит лишь для узкого класса
функций д{х, у, z). Более удобен для решения задачи Лагранжа метод
неопределенных множителей Лагранжа, как и в случае изопериметриче-
ской задачи. Составим лагранжиан L = F(x, у, z, j/,2') + Нх)д(х,У, z), где
\(x)— любая функция из С[о,Ь], называемая неопределенным множите-
множителем Лагранжа.
Теперь можно установить необходимое условие решения задачи Ла-
Лагранжа.
Теорема. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая допустимая па-
пара функций (y(x),z(x)) является решением задачи Лагранжа и пусть
>Одля всех
Тогда
множитель Лагранжа \{х) ?Е С[а, Ь] такой, что пара функций (y(x),z(x))
необходимо на [а,Ь] удовлетворяет системе уравнений Эйлера вида
ду dxdy'
dz dx ' dz'
B)

328 Глава 9. Основы вариационного исчисления
О Фиксируем произвольную точку Do (xo,y(xo),z(xo)) гладкой кривой у.
У — yix)i z = Hx)r x 6 [<*>&]• В этой точке, по условию теоремы, по
крайней мере одна из производных Sr, ЯЯ отлична от нуля. Пусть для
определенности 9\г ^ ^- '^ак как ff(-^o) = 0 и в некоторой окрестности
?>о функция дважды непрерывно дифференцируема, то по теореме о не-
неявной функции найдется такая дважды непрерывно дифференцируемая в
окрестности точки (хо,у{хо)) функция z = <р(х,у), что д [х,у, tp{x,у)] = О
и 5§ + д?-д? = О в окрестности точки (хо,у(хо)).
Пусть окрестностью Xq является B1,12)- Тогда
/ Х\ 12 Ь\
JC/,z)= ( / + / + J)F[x,yix)tz{x),1/(x)tz'(x)]dx,
\а xi X2 /
причем Va: e (х 1,2:2)
F[x,y,z,y',z'} = F \х,у,<р{х,у),у',-^ + -^- ¦ у' = Ф{х,у,у').
Рассмотрим интеграл
при граничных условиях j/(xi) = 3/B:1), 3/C:2) = у(а;2)- Поскольку глад-
гладкая кривая 7 дает решение задачи Лагранжа, то ее часть 7о: У = у{х),
z — <р[х,у(х)}, х 6 [яьжг], тоже является решением задачи Лагранжа в
окрестности точки Do- В самом деле, пусть для определенности кривая
7 дает минимум. Тогда J(-y) > ^G) Для любой достаточно близкой глад-
гладкой кривой 7i лежащей на поверхности S v концами в точках Di и D<i
(см. рис. 3). Обозначим через 7 кривую, полученную из у заменой 7о
на достаточно близкую к ней гладкую дугу 70 на 5. Тогда
О < J{y) - J(y) =J[fr- 70) + 7о] - J [G - 7o) + 7o] =
- 7o) + ./G0) - ^G - 70) -
Итак, 7о — решение задачи Лагранжа в окрестности точки Do- Следо-
Следовательно, проекция 7о на плоскость х,у — кривая у = у(х), х 6 [2:1,3:2],
является решением простейшей вариационной задачи для Jo(y) т.е. у(х)
необходимо на [ж^агг] удовлетворяет уравнению Эйлера
ЭФ] . ,
M^ «14 C)
Выразим в C) производные от Ф через производные от F и д. Используя
формулу производной сложной функции Ф, что законно в силу свойств

§6. Задача Лагранжа 329
гладкости функций F и <р, получаем:
dФ dF dF dip dF ( d2tp d2<p ,
~dy=~dyJr~dz"dy4r'dz' \dxdy + ~dyrV
дФ _dF dF dip
dy1 ~ dy1 + 'dl' 'ду'
d dФ d dF dtp d dF dF
dz ду' ~ die ду1 + dyfadz1 + dz' \дудх
Подставляя в C), находим, что
\dF d dF] _ Г dip Г dF d dF]\
[dy--^-vw,= l^Г^ + s'^'Jw,' x€[XuX2]'
Но по теореме о неявной функции (gj; 7^ 0) Vx 6 [a: 1,2:2]
dg[x,y(x),z{x)] dg[x,y(x),z{x)] d<p[x,y(x)) _
dy dz dy
Учитывая это обстоятельство, предыдущее тождество запишется так:
dy dxdy'\ dzj»=y(z),~\ldz dxdz'
t=z{x) г=Цх)
D)
Полагая
dF _ d dF
~5z Ш' W I _ \/-\
Ш ч у ~ ( '
z=?(x)
и учитывая вид лагранжиана L, из D) получаем, что пара функций
(y(x),z(x)) удовлетворяет системе уравнений Эйлера B) в окрестности
точки хо 6 [а,Ь]. Т^к как точка хо — произвольная, то пара (y(x),z(x))
удовлетворяет B) на всем [а, 6]. •
Определение. Всякое решение системы уравнений Эйлера B), являю-
являющееся допустимой парой функций, называется допустимой экстремалью
задачи Лагранжа.
Из доказанной теоремы следует, что всякое решение задачи Лагранжа
необходимо является допустимой экстремалью этой задачи. Кроме того,
всякое решение задачи Лагранжа является экстремалью некоторой про-
Ь
стейшей вариационной задачи для функции Лагранжа / Ldx.
а
Пример. Среди всех кривых на сфере с центром в начале координат
радиуса Л, соединяющих две заданные точки сферы, найти кривую

330 Глава 9. Основы вариационного исчисления
наименьшей длины (такую кривую принято называть геодезической
кривой на сфере).
Д Зададимся параметрическими уравнениями сферы x2+y2+z2 = R2:
х = R cos tp cos ф, у = Rsiп<pcosф, z = Rsiпф>
Пусть tp = tp(i>) — уравнение искомой кривой на сфере. Длина ее
отрезка между заданными точками сферы, соответствующими зна-
значениям ф\ и фъ параметра ¦</>, равна
J{<p) = I s/E<p'i + 2iV • V'
где Е, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы сферы.
В нашем случае
J(ip) =
Уравнение Эйлера
_d_ cos2 -ф ¦ ip' _
50' yi+cos2^^J ~
даст решения ф(ф) = arccos(citgij>) + с?. Отсюда
— Acostp(-ip) +Вв1П1р(ф), A = — cosc2, B=— si
C C
Умножая обе части равенства для tgф на Rcosф, получим
R sin ф = AR cos ip cos i/> + ВR smip cos ф.
Переходя к декартовым координатам, отсюда
z - Ах + By.
Получили уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и
пересекающей сферу по большому кругу. Следовательно, геодезиче-
геодезической кривой на сфере является меньшая дуга большого круга, со-
соединяющая две заданные точки сферы. А
Замечание. Задача Лагранжа обобщается на случай функционалов, за-
зависящих от п > 2 неизвестных функций, и т < п уравнений связи. При
этом связи могут быть как конечные, т. е. не содержащие производных
неизвестных функций, так и дифференциальные, т. с. содержащие произ-
производные первого порядка от неизвестных функций.

§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума 331
§ 7. Достаточные условия слабого
локального экстремума
Как известно, для функций конечного числа переменных исследование
второго дифференциала дает дополнительные необходимые условия для
максимума и минимума, позволяющие их различать, а также достаточ-
достаточные условия максимума и минимума. Аналогично поступают и в случае
функционалов.
Рассмотрим функционал
6
J(y)=jF[x,y{x),t/{x)]dz, A)
а
где а и Ь — заданные числа, о < 6, и F(x, у, р) — заданная трижды не-
непрерывно дифференцируемая функция при Vx 6 [а, Ь] и V(j/,p) S Щуру с
областью определения в С1 [а, Ь]
М = {у[х) 6 С1 [а, Ь] : у[а) = А, у(Ь) = В} ,
где А к В — заданные числа.
Введем понятие второй вариации функционала A). С этой целью
возьмем у{х) 6 М, произвольную функцию т)(х) 6 С1 [а, 6], произвольный
параметр абйи рассмотрим при фиксированных у(х),т)(х)
Ь
Ф(а) = J(y + arf) = I F[x,y + at],у' + arj']dx.
а
Так как F[x, у + огц, у' + аг\'] — трижды непрерывно дифференцируемая
функция х € [а,Ь] и |а| < е при Ve > 0, то по теореме из курса анализа
Ф(а) — дважды непрерывно дифференцируема в окрестности а = 0 и
Ф"@) =
Q=0
Определение. Выражение Ф"@) = d J<^ar'^ \a=0 называется второй ва-
вариацией функционала A) и обозначается S2J[y,r](x)], где т)(х)— произ-
произвольная функция, принадлежащая С1 [а, Ь].
Преобразуем 62J[y,T)(x)\, проинтегрировав второе слагаемое по частям:
2. Ь Г \(&F d d2F \ 2, . d2F

332 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Внеинтегральное слагаемое равно нулю, так как г)(х) €0@,6]. Положим
= d2F{x,y(x),y'(x)] _ d d2F[x,y(x),y'(x)}
dy2 dx дуду'
Окончательная формула 82J[y, rj(x)] выглядит так:
6
S2J{yMx)} = / [P(x)(v'J + Q(*W] dx, B)
a
где Vt?(x) 6 C^a.b].
Определение. Будем говорить, что для у(х) на [о, 6] выполнено условие
Лежандра, если Р(х) > 0, Vz € [а,Ь]. Если Р(х) > 0, Vx 6 [a, 6], то говорят,
что для у(х) на [а,Ъ\ выполнено усиленное условие Лежандра.
Теорема 1. Если у(х) € М дает слабый локальный минимум J(y)
(соответственно максимум J(y)), то необходимо 62J[y,rj(x)] > О
(соответственно S2J[y,Tj(x)] < 0) для всех Т)(х) е С1 (а, 6].
О Пусть для определенности у(х) е М дает слабый локальный минимум
J(y). Допустим противное, что 62J[y,r)(x)] < 0 для некоторой т](х) е
С1 [a, ft]. Рассмотрим семейство функций у(х) + ат)(х), где а 6 R, г)(х) €
С1 [о,Ь]. Тогда, разлагая F по формуле Тейлора в окрестности a = 0,
получаем
J(y + ar)) - J(y) = абJ(y, if) + —52J(y, if) + e(a)r(y, tj),
где
Ь г
e(a) -> 0 при a -4 0.
Так как по условию у(х) дает минимум A), то 6J(y,r)) = 0 и, зна-
значит, знак правой части при достаточно малых а совпадает со знаком
62J(y,r)), т.е. J(y + arj) — J(y) < 0, что противоречит условию миниму-
минимума. #
Для практического применения более удобным является следующее
необходимое условие слабого локального минимума (соответственно мак-
максимума).
Теорема 2. Если у(х) € М дает слабый локальный минимум (соответ-
(соответственно максимум) функционала A), то необходимо, чтобы для у(х) вы-
выполнялось условие Лежандра Р(х) > 0 (условие Лежандра Р(х) < 0).

§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума 333
О Пусть для определенности у(х) € М дает минимум A). Рассуждаем от
противного. Пусть Зжо G (о, Ь) такое, что Р(хо) < 0- Из непрерывности
Р{х) следует, что Зе > 0 такое, что Р[х) < \Р{хц), Vsc 6 [хо — ?,хо + ?]•
Возьмем функцию
{. , J-IO + E r ,
зт'п , х€[хо-?,хо+е],
О, х $ [х0 - е,х0 +е].
Очевидно, т)(х) € С1 [а, 6], так как [хо - е,хо + е] С (о, Ь).
Тогда
а
ха+е хо+е
f f
а о
f nt \П ¦ 2О Х-Хо + 6 f s>, \ ¦ 4 Х-Хо + ?, _,
= / Р(х)—jsin 2»г -^ dsc+ / Q(x)sm w -^ dx <
если взять достаточно малое е > 0, т.е. ^2J[y,r)(a;)] < 0, что противоречит
теореме 1. •
Неотрицательность S2J[y,rj(x))—необходимое, но не достаточное усло-
условие локального минимума. Перейдем к получению достаточных условий
слабого локального экстремума функционала A).
Рассмотрим функционал для фиксированной функции у(х) 6 М
ь
П) = / [Р{х) (т/(*)J + Q(xW(x)] dx C)
а
на множестве всех ri{x) 6 С1 [а, 6]. Он называется квадратичным функци-
функционалом в С1 [а, 6].
Определение. Квадратичный функционал K(y,rj) называется положи-
положительно определенным, если найдется число d > 0 такое, что
,4)>d J [{г{(
а
для Vr?{x) 6 С1 [о, Ь].

334
Глава 9. Основы вариационного исчисления
Функционал K(y,Tj) называется отрицательно определенным, если най-
найдется число d > 0 такое, что
ь
ч2
(г)'(х)J
а;)] dx
для Чф) € С1 [а, 6].
Теорема 3. Если для у(х) € М и Чг){х) 6 С^о.Ь] 8J[y,rj(x)] — О
и К (у у rj) —положительно определенный квадратичный функционал, то
функция у(х) 6 М дает строгий слабый локальный минимум функцио-
функционала A). Если же для у(х) е М и Ут?(ж) € С'[о,Ь] 5J [у, ri(x)\ = 0 «
K(y,Tj) — отрицательно определенный квадратичный функционал, то функ-
функция у(х) € М дает строгий слабый локальный максимум функционала A).
Замечание. Слабый локальный минимум для A) называется строгим,
если равенство J(y) = J{y) справедливо лишь при у[х) = у(х) на [a, ft].
О Пусть Чг)[х) €С1[а,Ь]. Разлагая функцию F по формуле Тейлора, по-
получаем, что
= / Щ U«X) • Ф) + ^ 1у=
Ь
1 С Г [d^F 1
2 У ([w Us(i)+?i{x}\
где ?i(z
Отсюда
j] \е{(х)\ -4 0,
lJ e(x)dx,
[а,б] ^ 0, г = 1,2,3.
ь ь
где fe(x)dx = / [ci{x)t]2 + 2е2(х)т) ¦ rjf + e3{x)rta) dx.
a a
Так как 2\г]т)'\ < т?2 + т}'2, то
ь
Je2{x)w'dx
< I |?2(x)|(r,2 + т,'2)^.

§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума 335
Следовательно,
ь ь
Je{x)dx < J {{Ых)\ + \e2(x)\)v2 + (\е2(х)\ + \е3(х)\) rj'2} dx <
а
Ь
<2E(r,)J{v2(x)+r,l2(x)}dx,
а
где E(ri) = тях.хф${\е1(х)\,\е2[х)\,\?з(х)\}. Так как maxx6[e>b] \et(x)\ -» О
при Ц??(х)||с1[о,ь1 ~~* О, То найдется число ? > 0 такое, что 2Е{г\) < |,
Vt?(x) е С1 [а, 6], ||ч(*)||с1[«,в] < е.
Е)сли К (у, г}) — положительно определенный функционал, то при так
выбранных rj(x) ф 0 имеем
т.е. имеем строгий слабый локальный минимум. Если же К (у, tfj — отри-
отрицательно определенный функционал, то при выбранных выше г)(х) ф О
получаем AJ(y) < 0, т. е. имеем строгий слабый локальный максимум. #
Условия теоремы 3 трудно проверяемы на практике. Поэтому приве-
приведем более простые достаточные условия для слабого локального экстре-
экстремума A).
Заметим, что уравнение Эйлера для функционала C) имеет вид
Уравнение D) называется уравнением Якоби. Здесь коэффициенты Р(х)
и Q(x) зависят от функции у(х) € М.
Говорят, что точка с 6 (а, Ь] является сопряженной с точкой о, если
уравнение Якоби D) имеет решение т/(х) ^ 0, т?(а) = 0, такое, что
Ч(с) = 0.
Определение. Говорят, что для у(х) € М выполнено условие Якоби,
если (а, 6) не содержит точек, сопряженных с точкой а. Говорят, что для
у(х) 6 М выполнено усиленное условие Якоби, если (о, Ь] не содержит
точек, сопряженных с точкой а.
Лемма. Пусть выполнены усиленное условие Лежандра и усиленное усло-
условие Якоби. Тогда 4w(x) 6 С1 [а, Ь] такая, ¦что
, V)=f

336 Глава 9. Основы вариационного исчисления
О Для Щ(х) 6 С1 (а, 6] и Угу(х) € С1 [а, 6]
в
J [w(x)-V2(x)}'dx = 0.
a
Добавляя к интегралу C) это выражение, получаем (Р(х) > 0):
ь
Потребуем, чтобы тождественно на [о, 6] выражение в квадратных скоб-
скобках было полным квадратом, т. е. чтобы дискриминант тождественно
обращался в нуль на [о, Ь]. Это означает, что w(x) должна удовлетво-
удовлетворять уравнению Риккати на [а,Ь]:
P{x)w' -и? + P{x)Q(x) = 0. E)
Если такое решение E) w(x) существует на [а,Ь], то
Таким образом, доказательство леммы свелось к доказательству суще-
существования решения уравнения Риккати E). С этой целью сделаем в E)
замену и> = — ^ ¦ Р, где и = и(х) — новая неизвестная функция. Уравне-
Уравнение E) примет вид E'):
- Q(x)u = 0. E')
Если показать, что уравнение E') имеет на [а,Ь] решение щ(х) /0, то в
силу замены функция и>(х) будет построена. Для E') существует и един-
единственно решение «i(:c), удовлетворяющее начальному условию щ(а) = 0,
¦u'i(a) = 1, так как Р(х) > 0 на [а,Ь]. Тогда щ(х) > 0, Vz ? (a,b], так
как выполнено усиленное условие Якоби. Решение E') щ{х) с начальным
условием мо(Л) — ei ^о(а) = 1, где е > 0 и достаточно мало, существу-
существует, единственно на [а,Ь] и непрерывно зависит от е. Так как Ui(x) > 0,
Vx 6 (a,6], то щ{х) > 0, Vx e [о,6]. •
Теорема 4. Пусть:
1) 6J[y, т){х)) = 0 для у{х) € М и любой допустимой rj{x),
2) для у(х) на [а, Ь] выполнено усиленное условие Лежандра,
3) для у(х) на [а, Ь] выполнено усиленное условие Якоби.
Тогда у(х) дает функционалу A) строгий слабый локальный минимум.
О Из леммы следует, что K(y,ri) > 0, Vtj(x) € С1 [о, Ь]. Покажем, что
> 0 при г)(х) ф 0. Если Вщ(х) такая, что К(у,rjo) = 0, то функ-

§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума 337
ционал К (у,г/) достигает на rjo(x) абсолютного минимума. Поэтому щ(х)
удовлетворяет уравнению Эйлера D). Кроме того, так как К(у,г)о) = О
и выполнено условие Р(х) > 0 на [а,Ь], то из представления К(у,г/а) в
лемме следует, что
v'0{x) + ^Vo(x)=0, \txe[a,b].
т.е. г)о(а) — г/о (о) = 0, так как т]0(х) е С1[а,Ь]. По теореме единствен-
единственности щ(х) = 0 на [о,Ь]. Итак, К(у,^) > 0 при i){x) je 0. Пусть
р = minxg[ai(,] Р{х) > 0. Покажем, что для 4tj(x) 6 С1 [а, Ь]
ь
K{y,r,)>V-j[r,'{x)}2dx. F)
а
Рассмотрим функционал
ь
(x) - \pj r,'2(x) + Q(x)t,2(x)^ dx.
Для него уравнение Эйлера имеет вид
Покажем, что это уравнение имеет положительное решение на всем
[о, 6]. В самом деле, пусть rio{x) — решение этого уравнения с начальным
условием -од(о) = 0, r?o(a) = *• ^ак как Vo(x) > 0 при Vx € (о,Ь] из-
за выполнения усиленного условия Якоби, то по теореме о непрерывной
зависимости решений от параметров решение т](х) уравнения G) при на-
начальных условиях г](а) = е, т/(а) = 1, где малое е > 0, существует, един-
единственно и положительно на всем [а,Ь]. Но тогда для функционала K(y,rf)
выполнены условия леммы. Из леммы следует, что К (у, tj) > 0. Поэтому
6 б
K(y,v) = K(V,V) + \v j'va{x)dx > \p JV'2(x)dx,
a a
т.е. нергшенство F) установлено.
Покажем теперь, что квадратичный функционал C) является поло-
положительно определенным в С1 [а, Ь]. В самом деле, так как г}[а) = 0, то
X
г)(х) = frj'(t)dt и по неравенству Коши—Буняковского
о
/1 \ 2 ь
r?{x) = Urf(t)dt I < (Ь - a) Ir,'2(x)dx, Vx 6 [a,b].

338 Глава 9. Основы вариационного исчисления
Отсюда
Тогда при Vtj(x) 6 С1 [а, Ь]
Ь
а а
Ь
+ 4F-а
а а
где d= min ( ^, т^лт)- Теперь теорема 4 следует из теоремы 3.
Замечания.
1) Достаточные условия для строгого слабого локального максимума
получаются, если условие 2) теоремы 4 заменить усиленным условием
Лежандра вида Р(х) < 0, Vx € [а, 6].
2) Если условие 3) теоремы 4 не выполняется и найдется точка
се (а,Ь), сопряженная с точкой а, то можно доказать, что у(х) не дает
слабого локального минимума. Отсюда следует, что условие Якоби, если
выполнено усиленное условие Лежандра, необходимо для слабого локаль-
локального минимума.
Пример. Исследовать на слабый экстремум
(x)~yl2(x))dx, y@) = 0, у(а) = А, а > 0.
Д Допустимая экстремаль: у(х) = ^. Так как |^ = 2Cу' - 1), то
Р(х) > 0 при ЗА > о и Р(х) < 0 при ЗА < а, т.е. выполнено уси-
усиленное условие Лежандра при ЗА ^ а. В данном случае уравнение
Якоби ^ [^(aOsj) = 0 при и@) — 0 имеет решения и = сх. Они не
имеют нулей при Vx 6 @,а\ т.е. при ЗА Ф а выполнено усиленное
условие Якоби.
Из теоремы 4 следует, что при ЗА > а допустимая экстремаль
дает слабый локальный минимум, а при ЗА < а допустимая экстре-
экстремаль дает слабый локальный максимум.
Пусть теперь ЗА = а. Покажем, что допустимая экстремаль не
дает слабого локального экстремума. При Vtj(x) € C^]
~ НУ) =

§ 7. Достаточные условия слабого локального экстремума 339
Если взять г)п{х) — ^sin2^5, где п —любое целое ненулевое чи-
а
ело, то нетрудно увидеть, что fr)'?(x)dx меняет знак при изменении
о
знака п. Это значит, что при ZA = а нет слабого локального экс-
экстремума. А
Упражнения к главе 9
1. Решить простейшую вариационную задачу:
' - - .^L)dx, y(l)=0,
\
2. Найти допустимые экстремали функционалов:
т/4
а) J(v) = / [(у'J " У2 + 4ycosz] dx, y@) = О,
о
2
б) J{y) — Г fz(j/) — Ьх у' + 16ху — -у 1 dx,
тг/2
в) J(y,z) = Г [— (j/'J + [z'J + 2yz + 2xy] dx, y@) — —1,
2/A) = о, ° (!) = -!•
г) Ду) = / [-(У"J + (У'J + 24ху] dx, у@) = уA) - 0, у'@) =
2, »'(!) =-4-
3. Найти допустимую экстремаль и выяснить, при каких значениях па-
параметра о на ней достигается минимум функционала
) у@) = 0,
4. Каким необходимым граничным условиям удовлетворяет функция, да-
дающая минимум функционалу
ь
= / [(У'J + /(»,»)] «fa + 2y(a) ¦ у(Ь),
если /(х,у)—заданная дважды непрерывно дифференцируемая функ-
функция на всей плоскости х,у1

340 Глава 9. Основы вариационного исчш
5. Решить изопериметрическую задачу:
Лу) = / {y'fdx, у@) = 1, у{тт) = -1,
о О
6. Найти минимум функционала
если у@) = у(тг) = 0, fy2dx = 1.
о

Литература
1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Харьков: ОНТИ, 1939.
2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз,
1959.
3. АрвольдВ. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — М.: Наука, 1975.
4. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению — М.: Состехиздат, 1955.
5. Баутин Н.Н., Леонтович Б.А. Методы и приемы качественного исследования сис-
систем на плоскости. — М.: Наука, 1976.
6. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Нау-
Наука, 1984.
7. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высш.
шк., 1991.
8. Бугров Я. С, Никольский СМ. Дифференциальные уравнения. Кратные интегра-
интегралы. Ряды. ФКП. — М.: Наука, 1985.
9. Влисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. — М.: ИЛ, 1950.
10. Вуслаев В. С. Вариационное исчисление. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
11. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. — М.: Мнр, 1968.
12. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных
возмущений. — М.: Высш. шк., 1990.
13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.
14. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории экстремальных задач. — М.:
Изд-во МГУ, 1989.
15. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач, — М.: Наука, 1980.
16. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное ис-
исчисление. — М.: Наука, 1974.
17. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравне-
уравнений. — Минск. Изд-во «Наука и техника», 1972.
18. Ибрагимов Н. X. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных
уравнений. — М.: Знание, 1991.
19. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б.Х. Математический анализ. — М.: Нау-
Наука, 1979.
20. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.:
Наука, 1976.
21. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных
первого порядка. — М.: Наука, 1966.
22. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравне-
уравнения и основы вариационного исчисления. — М.: Наука, 1980.
23. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. — М.: ИЛ, 1958.
24. Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным
дифференциальным уравнениям. — М.: Высш. шк., 1978.
25. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, — М.: Высш. шк., 1981, т. 1, 2.

342 Литература
26. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1960.
27. Лаврентьев М.А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. — М.; Л.:
Гостехиздат, 1950.
28. Лизоркив П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений. — М.: Нау-
Наука, 1981.
29. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. — Минск.: Вышэйш. школа, 1974.
30. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: На-
Наука, 1983.
31. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
32. Никольский СМ. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1983, т. 1, 2.
33. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравне-
уравнений. — М.; Л.: Гостехиадат, 1949.
34. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука,
1978.
35. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. — М.: Наука, 1984.
36. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука,
1982.
37. Самой лен ко A.M., Кривошея С. А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения.
Примеры н задачи. — Киев: Вища школа, 1984.
38. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: ИЛ, 1953, т. 1;
1954, т. 2.
39. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комп-
комплексного переменного. — М.: Наука, 1982.
40. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1974, т. 2; 1969, т. 3, ч. 2;
1974, т. 4, ч. 1.
41. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1959.
42. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа. — М.: Наука,
1988.
43. Тихонов А.Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравне-
уравнения. — М.: Наука, 1979.
44. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. — М.: ИЛ, 1962.
45. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —М.: Наука, 1984.
46. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — М.: Наука,
1992.
47. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.
48. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, — М.:
Наука, 1969.
49. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качествен-
Качественная теория с приложениями. — М.: Мир, 1986.

Предметный указатель
Абсолютный экстремум функционала,
292, 318
Асимптотически устойчивое положение
равновесия, 242
Бифуркация, 240
Дифференциальное уравнение первого
порядка в нормальной форме
линейное, 24
не разрешенное относительно
производной, 34
однородное, 21
в симметричной форме, 16
порядка п, 41
линейное с постоянными
коэффициентами, 52, 57, 65
с переменными
коэффициентами, 171
— — с малым параметром при старшей
производной, 205
Жорданова цепочка, 80
Зависимость решения задачи Коши
от параметров и начальных
данных, 139
Задача Больца, 310
— граничная, 185
— изопериметрическая, 322
— Лагранжа, 320
— простейшая вариационная, 291
— с подвижной границей, 313
— со свободным концом, 310
Задача Коши для уравнения первого
порядка в нормальной форме,
16, 17
не разреженного
относительно производной, 34, 145
порядка п в нормальной
форме, 42, 122
— линейного уравнения порядка п,
172
нормальной системы уравнений,
118
нормальной линейной системы
уравнений, 155
— в частных производных
первого порядка, 265, 276, 28
Изоклина, 13
Интеграл первый, 251
— полный, 286
Интегральная кривая, 13, 16, 34, 41, 117
— поверхность, 261
Интегрирующий множитель, 31
Квазимногочлен, 66
Лемма Гронуолла, 116
— основная вариационного исчисления,
294
— об эквивалентности, 118
Линеаризация нелинейной автономной
системы, 231, 247
Линейная зависимость решений, 169, 174
Локальный экстремум функционала,
291
сильный, 318
слабый, 292, 302, 304, 308, 310,
322, 326
Матричная экспонента, 94
Метод вариации постоянных, 25, 168,
181
— введения параметра, 34
— исключения, 73
— неопределенных коэффициентов, 68,
86
— операционный, 103
Многочлен дифференциальный, 52
— характеристический, 53
Неустойчивое положение равновесия, 242
Определитель Вронского, 163, 176
Особая точка, 17, 146, 239
Поле направлений, 13, 17
Положение равновесия, 215

344
Предметный указатель
Предельный цикл, 235
Преобразование Лапласа, 103
Производная в силу системы, 247, 251
Решение дифференциального уравнения,
12, 16, 34, 41
— непродолжнмое, 127
— общее, 61, 76, 83, 88, 132, 176, 264
— особое, 125, 146
— параметрическое, 16
— системы дифференциальных
уравнений, 117
Седло, 30
Система дифференциальных уравнений,
117
автономная, 212
каноническая, 127
нормальная, 117
линейная с переменными
коэффициентами, 155,158, 167
постоянными
коэффициентами, 73
Эйлера, 302, 327
Собственные значения граничной задачи,
191
— функции граничной задачи, 191
Теорема Жор дана, 80
— Лиувилля, 220
— Ляпунова, 245
— о выпрямлении траекторий, 218
— о линеаризации, 231
— Штурма, 195
Узел вырожденный, 225
— дикритический, 225
— неустойчивый, 224
— устойчивый, 223
Уравнение Бернулли, 28
— Весселя, 65, 202
— в вариациях, 137, 142
— в полных дифференциалах, 29
— в частных производных первого
порядка, 261
линейное однородное,
263
квазилинейное, 271
нелинейное, 281
— разрешимое в квадратурах, 18
— Риккати, 18, 28
— с разделяющимися переменными, 20
— характеристическое, 58
— Эйлера, 26, 61, 295, 311, 313, 316, 323
— Эйлера-Пуассона, 305
— Эйлера-Остроградского, 309
— Эйрн,199
Условие достаточное для слабого
локального экстремума, 334, 336
— Лежандра, 332
— Липшица, 114, 119
— начальное, 15, 40, 42, 74
— Якоби, 335
Устойчивость по Ляпунову положения
равновесия, 241
Фазовая траектория, 213
— скорость, 215
Фокус, 227
Формула Коши, 180
— Лиувилля-Остроградского, 164, 177
Фундаментальная матрица, 162
— система решений, 160, 175
Функционалы, зависящие от нескольких
функций, 301
— содержащие производные высших
порядков, 304
Функция Грина, 188
— Ляпунова, 247
Характеристическая полоса, 281
— система, 263, 272, 282
— точка, 265, 276, 284
Центр, 228
Экстремаль задачи Больца, 317
изопериметрической, 324
Лагранжа, 329
с подвижной границей, 315
со свободным концом, 312
— функционала, 296, 303, 306, 309