Титульный лист
Аннотация и выходные данные
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
Из предисловия к первому изданию
Введение. Исторический очерк
Глава I. Гильбертово пространство
§ 2. Гильбертово пространство
§ 3. Предельный переход в гильбертовых пространствах
§ 4. Ортогональность и ортогональные ряды. Подпространства
§ 5, Функционалы и операторы
§ 6. Вполне непрерывные операторы
Глава II. Энергетическое пространство
§ 8. Положительные и положительно определенные операторы
§ 9. Энергетическое пространство положительно определенного оператора
§ 10. Энергетическое пространство только положительного оператора
§ 11. О сепарабельности энергетического пространства
§ 12. Главные и естественные краевые условия
Глава III. Энергетический метод для положительно определенных операторов
§ 14. Обобщенное решение задачи о минимуме функционала энергии
§ 15. Минимизирующая последовательность и ее сходимость
§ 16. Расширение положительно определенного оператора
§ 17. Процесс Ритца
§ 18. Другие методы построения минимизирующей последовательности
§ 19. Метод сеток. Вариационно-разностные схемы
§ 20. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала
Глава IV. Важнейшие применения энергетического метода
§ 22. Изгиб балки переменного сечения, лежащей на упругом основании
§ 23. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 24. Основные краевые задачи для неоднородного уравнения Лапласа
§ 25. Случай неоднородных краевых условий
§ 26. Задачи о кручении стержня и об изгибе стержня поперечной силой
§ 27. Уравнения с переменными коэффициентами
§ 28. Вырождающиеся эллиптические уравнения
§ 29. Принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости
§ 30. Изгиб тонких пластинок
§ 31. Изгиб тонких сжатых пластинок
§ 32. Метод минимальных поверхностных интегралов
Глава V. Энергетический метод для только положительных операторов
§ 34. Процесс Ритца
§ 35. Эллиптические уравнения в бесконечной области
§ 36. Вырождающиеся эллиптические уравнения в конечной области
§ 37. Пластинка переменной толщины с острым краем
Глава VI. Проблема собственных чисел
§ 39. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора
§ 40. Энергетические теоремы в проблеме собственных чисел
§ 41. Минимаксимальный принцип
§ 42. Процесс Ритца в проблеме собственных чисел
§ 43. Другая форма процесса Ритца; случай естественных краевых условий
§ 44. Уравнения вида $Au—\lambda Bu = 0$
§ 45. Собственные числа обыкновенного дифференциального уравнения
§ 46. Устойчивость сжатого стержня
§ 47. Собственные числа невырождающихся эллиптических операторов
§ 48. Собственные числа вырождающегося эллиптического оператора
§ 49. Устойчивость сжатой пластинки
§ 50. Собственные частоты пластинки с острым краем
§ 51. Собственные колебания упругих тел
Глава VII. Априорная оценка погрешности приближенного решения
§ 53. Проекционная схема
§ 54. Применение к процессу Ритца
§ 55. О норме производной полинома
§ 56. Полиномиальные приближения для обыкновенного дифференциального уравнения
§ 57. Полиномиальные приближения в многомерных пространствах
§ 58. Применение собственных элементов сходного оператора
Глава VIII. Встречные методы н апостериорная оценка погрешности
§ 60. Метод ортогональных проекций в задаче Дирихле
§ 61. Общая формулировка метода ортогональных проекций
§ 62. Некоторые дополнительные соображения
§ 63. Задача Неймана
§ 64. Принцип Кастильяно и двусторонние оценки в теории упругости
§ 65. Метод Трефтца
§ 66. Бигармоническое уравнение. Метод негармонического остатка
§ 67. Обобщение метода Трефтца
§ 68. Применение к уравнению Пуассона
§ 69. Обобщение метода Трефтца на задачу об изгибе свободно опертой пластинки
§ 70. Прием М.Г. Слободянского
§ 71. Двусторонние оценки функционалов
§ 72. Оценка погрешности, проистекающей от ошибки в уравнении
Глава IX. Двусторонние оценки собственных чисел
§ 74. Некоторые частные приемы
§ 75. Метод «промежуточных операторов»
§ 77. Способы упрощения трансцендентного уравнения
§ 78. Метод Г. Фикера
§ 79. Применение к эллиптическим уравнениям
§ 80. Некоторые численные результаты
Глава X. Численные примеры
§ 82. Об устойчивых координатных системах
§ 83. Кручение стержня прямоугольного сечения
§ 84. Изгиб прямоугольной пластинки, жестко закрепленной по краю
§ 85. Изгиб полукруглой пластинки, упруго закрепленной по краю
§ 86. Трехмерная задача теории упругости для полуцилиндра
§ 87. Вычисление собственных чисел обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
§ 88. Собственные колебания стержня переменного сечения
§ 89. Радиальные собственные колебания упругого цилиндра
§ 90. Колебания упругой прямоугольной пластинки в ее плоскости
§ 91. Устойчивость сжатой эллиптической пластинки
Глава XI. Процесс Бубнова — Галеркина
§ 93. Доказательство сходимости для интегрального уравнения типа Фредгольма
§ 94. Достаточный признак сходимости процесса Бубнова — Галеркина
§ 95. Применение к обыкновенным дифференциальным уравнениям
§ 96. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка
§ 97. Вырождающиеся эллиптические уравнения
§ 98. Задача Неймана и смешанная задача для эллиптического уравнения второго порядка
§ 99. Видоизменение процесса Бубнова — Галеркина для случая естественных краевых условий
§ 100. Проекционный метод
§ 101. Процесс Бубнова — Галеркина в нестационарных задачах
Глава XII. Метод наименьших квадратов
§ 103. Применение к интегральным уравнениям
§ 104. Применение к краевым задачам с однородными краевыми условиями
§ 105. Вспомогательные предложения теории аналитических функций
§ 106. Задача Дирихле и Неймана
§ 107. Задача Дирихле для эллипса
§ 108. Случай кусочно гладкого контура. Задача Дирихле
§ 109. Смешанная задача теории потенциала
§ 110. Плоская задача теории упругости
§ 111. Периодическая задача теории упругости
§ 112. Напряжения в упругой области, ограниченной синусоидой
§ 113. Об одном прямом методе, близком к методу наименьших квадратов
§ 114. Применение метода наименьших квадратов к отысканию собственных значений
§ 115. Пример
Литература
Предметный указатель
Text
                    с. г. михлин
ВАРИАЦИОННЫЕ
МЕТОДЫ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970


517.2 Μ 60 УДК 519.3 Вариационные методы в математической физике. Μ и χ л и н С. Г., изд. 2-е, переработанное и дополненное. В книге изложено современное состояние общей теории вариационных методов для линейных задач и дан ряд приложений этой теории к более конкретным классам задач математической физики и теории упругости. Изложение базируется на элементах теории гильбертовых пространств; необходимые факты этой теории сообщаются без доказательств. Развивается энергетический метод для положительных и положительно определенных задач; этот метод конкретизируется для ряда одно- и многомерных задач математической физики. Изложен процесс Ритца для краевых задач и для задач о спектре; подробно исследована сходимость процесса Ритца. Даны априорные и апостериорные оценки погрешности приближетюго решения. Апостериорные оценки связаны с использованием «встречных методов», из которых обстоятельно рассмотрены метод ортогональных проекций и метод Трефтца. Существенно расширен вопрос о двусторонних оценках собственных чисел. Здесь большое внимание уделено весьма интересным результатам Г. Фикера и А. Вайнштейна. Глава о численных примерах пополнена более сложной задачей трехмерной теории упругости, при решении которой использовано большое число (до 90) координатных векторов, выбранных так, чтобы обеспечить устойчивость вычислительного процесса. Последние две главы (дополненные по сравнению с первым изданием) посвящены методу Бубнова — Галеркина и методу наименьших квадратов. По сравнению с первым изданием книга содержит три новые главы: о только положительных операторах, об априорной оценке погрешности π о двусторонних оценках собственных чисел. Исключена стоявшая особняком глава о «методе прямых». В книге 17 рис, библ. 202 названия. Соломон Григорьевич Михлин Вариационные методы в математической физике М., 1970 г., 512 стр. с илл. Редактор Я. М. Овчинникова Техн. редактор А. А. Благовещенская Корректор Я Б. Румянцева Сдано в набор 23/1V 1970 г. Подписано к печати 20βί 1970 г. Бумага 60X907». Физ. печ. л. 32. Усл. печ. л. 32. Уч.-изд. л. 29.18. Тираж 12 008 экз. Т-15455. Цена книги 2 р. 04 к. Заказ № 605. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Ордена Трудового Красного Знамепи Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Гяавподиграфнрома Комитета по печати при Сонете Министров СССР. Измайловский проспект, 29. 2-2-3 133—70
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию 7 Из предисловия к первому изданию 10 Введение. Исторический очерк 11 Глава I. Гильбертово пространство 28 § 1. Интеграл Лебега « 28 § 2. Гильбертово пространство 34 § 3. Предельный переход в гильбертовых пространствах .... 40 § 4. Ортогональность и ортогональные ряды. Подпространства . . 44 § 5, Функционалы и операторы 48 § 6. Вполне непрерывные операторы 54 Глава II. Энергетическое пространство 62 § 7. Краевая задача н ее оператор 62 § 8. Положительные н положительно определенные операторы . . 69 § 9. Энергетическое пространство положительно определенного оператора 75 § 10. Энергетическое пространство только положительного оператора 81 § 11. О сепарабельности энергетического пространства 82 § 12. Главные и естественные краевые условия 82 Глава III. Энергетический метод для положительно определенных операторов ... 86 § 13. Теорема о функционале энергии 86 § 14. Обобщенное решение задачи о минимуме функционала энергии 89 § 15. Минимизирующая последовательность и ее сходимость ... 92 § 16. Расширение положительно определенного оператора .... 94 § 17. Процесс Рнтца 95 § 18. Другие методы построения минимизирующей последовательности 101 § 19. Метод сеток. Вариационно-разностные схемы 105 § 20. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала 108 F-'л а в а IV. Важнейшие применения энергетического метода 110 § 21. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения . 110 § 22. Изгиб балки переменного сечения, лежащей па упругом основании 118 § 23. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений . . . 120 § 24. Основные краевые задачи для неоднородного уравнения Лапласа 124
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 25 Случай неоднородных краевых условий 135 § 26. Задачи о кручении стержня и об изгибе стержня поперечной силой 138 § 27. Уравнения с переменными коэффициентами 145 § 28. Вырождающиеся эллиптические уравнения 152 § 29. Принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости 160 § 30. Изгиб тонких пластинок 166 § 31. Изгиб тонких сжатых пластинок 180 § 32. Метод минимальных поверхностных интегралов 185 Глава V. Энергетический метод для только положительных операторов 191 § 33. Решения с конечной энер1ией 191 § 34. Процесс Ритца 192 § 35. Эллиптические уравнения в бесконечной области 193 § 36. Вырождающиеся эллиптические уравнения в конечной области 197 § 37. Пластинка переменной толщины с острым краем 201 Глава VI. Проблема собственных чисел . . . 207 § 38. Задача о собственных числах; ее связь с задачами о собственных колебаниях и об устойчивости системы 207 § 39. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора 210 § 40. Энергетические теоремы в проблеме собственных чисел . . . 213 § 41. Минимаксимальный принцип 223 § 42. Процесс Ритца в проблеме собственных чисел 227 § 43. Другая форма процесса Ритца; случай естественных краевых условий 232 § 44. Уравнения вида Аи — % Ви = 0 . 235 § 45. Собственные числа обыкновенного дифференциального уравнения ... 237 § 46. Устойчивость сжатого стержня 246 § 47. Собственные числа невырождающихся эллиптических операторов 249 § 48. Собственные числа вырождающегося эллиптического оператора 254 § 49. Устойчивость сжатой пластинки 259 § 50. Собственные частоты пластинки с острым краем 265 § 51. Собственные колебания упругих тел 269 Глава VII. Априорная оценка погрешности приближенного решения 273 § 52. Оценки через наилучшее приближение 273 § 53. Проекционная схема 280 § 54. Применение к процессу Ритца . 282 § 55 О норме производной полинома 284 § 56 Полиномиальные приближения для обыкновенного дифференциального уравнения 286 § 57. Полиномиальные приближения в многомерных пространствах 289 § 58 Применение собственных элементов сходного оператора . . . 291 Глава VIII. Встречные методы н апостериорная оценка погрешности 297 § 59. Встречные методы 297 § 60. Метод ортогональных проекций в задаче Дирихле 299 § 61 Общая формулировка метода ортогональных проекций . . . 304 § 62. Некоторые дополнительные соображения 308 § 63 Задача Неймана 310 § 64. Принцип Кастильяно и двусторонние оценки в теории упругости 312 § 65. Метод Трефтца 316
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 66. Бигармоническое уравнение. Метод негармонического остатка 321 § 67. Обобщение метода Трефтца 324 § 68. Применение к уравнению Пуассона 326 § 69. Обобщение метода Трефтца на задачу об изгибе свободно опертой пластинки 329 § 70 Прием М Г. Слободянского 333 § 71. Двусторонние оценки функционалов 336 § 72. Оценка погрешности, проистекающей от ошибки в уравнении 337 Глава IX. Двусторонние оценки собственных чисел 340 § 73. Теорема о приближениях по Ритцу 340 § 74. Некоторые частные приемы 342 § 75. Метод «промежуточных операторов» 346 § 76 Метод «промежуточных операторов» (продолжение) .... 350 § 77. Способы упрощения трансцендентного уравнения 355 § 78 Метод Г. Фикера 357 § 79 Применение к эллиптическим уравнениям 361 § 80. Некоторые численные результаты 363 Глава X. Численные примеры 366 § 81 Построение координатных систем 366 § 82 Об устойчивых координатных системах 370 § 83. Кручение стержня прямоугольного сечения 372 § 84. Изгиб прямоугольной пластинки, жестко закрепленной по краю 383 § 85. Изгиб полукруглой пластинки, упруго закрепленной по краю 387 § 86. Трехмерная задача теории упругости для полуцилиндра . . . 390 § 87. Вычисление собственных чисел обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 399 § 88 Собственные колебания стержня переменного сечения . . . 402 § 89 Радиальные собственные колебания упругого цилиндра . . . 409 § 90 Колебания упругой прямоугольной пластинки в ее плоскости 413 § 91. Устойчивость сжатой эллиптической пластинки 417 Глава XI. Процесс Бубнова — Галеркина 420 § 92 Описание процесса 420 § 93. Доказательство сходимости для интегрального уравнения типа Фредгольма .... ... 422 § 94. Достаточный признак сходимости процесса Бубнова — Галеркина 426 § 95. Применение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 433 § 96 Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго по рядка 436 § 97. Вырождающиеся эллиптические уравнения 439 § 98 Задача Неймана и смешанная задача для эллиптического урав нения второго порядка 442 § 99. Видоизменение процесса Бубнова — Галеркина для случая естественных краевых условий 445 § 100 Проекционный метод . , . . . , 446 § 101. Процесс Бубнова — Галеркина в нестационарных задачах . . . 450 Глава XII. Метод наименьших квадратов 453 § 102 Основы метода . . 453 § 103 Применение к интегральным уравнениям ... . . 459 § 104. Применение к краевым задачам с однородными краевыми условиями „ 462
6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 105 Вспомогательные предложения теории аналитических функций 466 § 106. Задача Дирихле и Неймана 467 § 107. Задача Дирихле для эллипса 471 § 108. Случай кусочно гладкого контура. Задача Дирихле .... 472 § 109. Смешанная задача теории потенциала 474 § 110. Плоская задача теории упругости 480 § 111. Периодическая задача теории упругости 483 § 112. Напряжения в упругой области, ограниченной синусоидой 489 § 113. Об одном прямом методе, близком к методу наиме?1ьших квадратов 494 § 114. Применение метода наименьших квадра гов к отысканию собственных значений 496 § 115. Пример 501 Литература 502 Предметный указатель 511
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ За двенадцать лет, протекших с момента написания первого издания, появилось много работ, посвященных вариационным методам, и изменились некоторые точки зрения. Часть новых работ освещена в книге [26] автора, вышедшей в 1966 г.; другие работы, идейно более тесно связанные с данной книгой, заставили меня внести в новое издание ряд добавлений; в частности, написаны три новые главы: об энергетическом методе для только положительных операторов, об априорной оценке погрешности приближенного решения, о двусторонних оценках собственных чисел. В первом варианте настоящей книги, написанном в 1948 г. и вышедшем в 1950 г. под названием «Прямые методы в математической физике», вариационные методы строились на базе теории операторов в гильбертовом пространстве. Изложений этой теории, достаточно доступных, скажем, для читателя с техническим образованием, тогда, по-видимому, еще не было, поэтому в упомянутый вариант была включена глава, в которой были даны элементы теории операторов. Через некоторое время мне удалось найти способ изложить вариационные методы на значительно более элементарной основе. Так был написан второй вариант —первое издание настоящей книги, подготовленное в 1956 г. и вышедшее из печати в 1957 г. За прошедшие с тех пор годы произошел ряд изменений. Повысился уровень математического образования инженеров-исследователей; одновременно появились более доступные изложения теории операторов. С другой стороны, хотя по-прежнему приближенное решение задач математической физики и механики деформируемых сред является острой необходимостью для инженеров, но развитие и распространение техники ЭВМ привело к тому, что фактическое решение таких задач все чаще осуществляют люди с математическим образованием, знакомые с функциональным анализом и теорией операторов.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Ко всему этому следует добавить, что появилось, особенно за последнее время, много интересных работ, которые не всегда хорошо укладываются в рамки элементарного изложения. Перечисленные обстоятельства привели к тому, что я в значительной мере вернулся к точке зрения первого варианта книги. В настоящем издании вариационные методы вновь базируются на теории операторов в гильбертовом пространстве. Мне показалось удобным для читателя сохранить главу о теории операторов, но в сильно переработанном и сокращенном виде: в ней сохранены лишь определения и формулировки основных теорем и приведены поясняющие примеры, но полностью исключены доказательства. Отказ от элементарного изложения позволил включить в книгу новый важный материал, в основном сконцентрированный в новых гл. V, VII, IX, но частично содержащийся и в других главах. Новое изложение сделало ненужным часть материала первого издания. Я уже отметил, что сокращается глава о теории операторов; кроме того, первые две главы старого издания заменяются одной, посвященной понятию энергетического пространства. Из нового издания исключена глава о конечно-разностных методах. Эта глава содержала обзорный параграф по методу сеток и несколько параграфов, посвященных «методу прямых». Метод сеток имеет обширнейшую литературу, и один обзорный параграф немного даст читателю сегодня. Вместо него в гл. III введен параграф о вариационно-разностных схемах метода сеток; в этом параграфе устанавливается связь между методом Ритца и некоторыми сеточными схемами; эта связь, по-видимому, была впервые установлена Р. Курантом [2]. Что же касается метода прямых, то он не является вариационным; как теперь ясно, он является предельным случаем «метода интегральных соотношений», который восходит к Т. Карману и в последнее время разрабатывался А. А. Дородницыным и его учениками. Как мне кажется, метод интегральных соотношений заслуживает того, чтобы о нем написать особую книгу. В новом издании по-прежнему теория вариационных методов строится только для линейных задач. Аналогичная теория для нелинейных задач изложена в последних главах книги автора [26]. В предисловии к первому изданию было указано, что для понимания основного материала книги достаточно знакомства с тт. 1 и 2 «Курса высшей математики» В. И. Смирнова (они обозначаются в тексте индексами С1 и С2). Для настоящего
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 9 издания этот список необходимо несколько расширить: понадобится еще знание элементов линейной алгебры (линейные преобразования в конечномерных пространствах, матрицы, квадратичные формы). Необходимые сведения по этим разделам можно найти в книгах Ф. Р. Гантмахера [1], И. М. Гельфанда [1], Р. Куранта и Д. Гильберта [1], В. И. Смирнова [1]. Исторический очерк несколько расширен. Помимо работ, вышедших в промежутке между двумя изданиями, отмечены и некоторые старые работы, не названные в первом издании. В частности, кратко излагается содержание интересной работы Планшереля, о которой я, к сожалению, не знал до последнего времени. С. Михлин Ленинград, октябрь 1969 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Предлагаемая вниманию читателя книга представляет результат существенной переработки книги автора, вышедшей в 1950 г. под названием «Прямые методы в математической физике». Переработка в основном произведена в двух направлениях. Прежде всего, важнейший из вариационных методов — энергетический — изложен для основных задач математической физики на более элементарной математической базе, без привлечения теории операторов в гильбертовом пространстве. Более общая точка зрения, естественно возникающая на основе уже накопленного материала, дается только в гл. VI. Автор надеется, что такая перестройка изложения сделает книгу доступной для более широкого круга читателей. Другое изменение, которое кажется автору весьма важным, состоит в следующем. За последние несколько лет и у нас, и за границей появилось много работ, в которых изучается погрешность приближенного решения. Наличие этих работ позволяет изложить с необходимой для практики полнотой вопрос об оценке погрешности приближенного решения, даваемого энергетическим методом. Этому вопросу, который в книге «Прямые методы» был только намечен, в настоящей книге отводится особая большая глава. Кроме указанных выше коренных изменений, выполнен еще ряд довольно важных, хотя и не столь значительных переделок. Автор решил изменить название книги, так как почти вся она посвящена именно вариационным методам. Прямым методам, которые не принадлежат к числу вариационных, а именно конечно-разностным, уделено совсем немного места: по отношению к методу сеток, хорошо освещенному в монографической литературе, автор ограничился перечислением основных результатов и литературными ссылками: что же касается «метода прямых», то он изложен только применительно к уравнению Лапласа и к бигармоническому уравнению. В таком виде метод прямых изложен лишь в журнальных статьях, поэтому автор сохранил соответствующую главу, хотя она и стоит особняком от остальных глав. С. Михлин Ноябрь 1956 г.
ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Задачи математической физики, а также теории упругости, гидродинамики и т. д. обычно сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных, реже — к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые надлежит интегрировать при соответствующих данной задаче начальных или краевых условиях. С прикладной точки зрения значительный интерес представляет вычисление численных, хотя бы и приближенных, значений искомых величин. Пожалуй, лучше всего для этой цели приспособлены так называемые прямые методы. Трудно дать определение, которое точно ограничивало бы эту группу методов. По определению С. Л. Соболева') прямыми называются такие методы приближенного решения задач теории дифференциальных и интегральных уравнений, которые сводят эти задачи к конечным системам алгебраических уравнений. Из числа известных нам это определение является наиболее общим и полным; мы на нем и остановимся, хотя некоторые из методов, о которых будет идти речь ниже и которые мы считаем прямыми, трудно подвести под данное выше определение. Таков, например, метод Л. В. Канторовича (см. § 18). В теории и в практике применения прямых методов мы часто сталкиваемся с одним фактом, имеющим первостепенное значение. Заключается этот факт в том, что во многих случаях задачу интегрирования дифференциального уравнения можно заменить равносильной задачей об отыскании функции, сообщающей некоторому интегралу наименьшее значение. Задачи такого типа называются вариационными; таким образом, упомянутый выше факт заключается в том, что во многих случаях задачу интегрирования дифференциального уравнения можно заменить некоторой равносильной вариационной задачей. Так, например, при обычных краевых условиях можно свести интегрирование уравнений статической теории упругости к отысканию минимума потенциальной энергии упругого тела. Методы, ') См. курс С. Л. Соболева [1], изд. 1-е, 1947.
12 ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК позволяющие свести задачу об интегрировании дифференциального уравнения к равносильной вариационной задаче, носят общее название вариационных. Наиболее важный из вариационных методов известен в технической литературе под названием энергетического. Это название кажется нам удачным, и мы будем его придерживаться. Подробно об энергетическом методе будет сказано в гл. III—VI. Оказывается, что многие прямые методы удобнее применять не к дифференциальному уравнению непосредственно, а к равносильной вариационной задаче. Это относится прежде всего к известному методу Ритца, который является приближенным методом решения вариационных задач. Сказанным объясняется та тесная связь, которая существует между прямыми и вариационными методами. Исторически впервые вариационный метод был сформулирован в виде так называемого «принципа Дирихле». Согласно этому принципу среди всех функций, которые принимают заданные значения на границе некоторой области Ω, та функция, которая сообщает так называемому «интегралу Дирихле» Ω наименьшее значение, является гармонической в Ω1). Принцип Дирихле широко был использован Риманом в его работах по теории функций комплексной переменной. Риман считал очевидным, что функция, сообщающая интегралу Дирихле наименьшее значение, существует. Это вызвало критические замечания Вейерштрасса [1], который на простом примере показал, что наименьшее значение интеграла может и не достигаться. Именно, Вейерштрасс рассмотрел следующую задачу2): среди функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых на отрезке —1 ^ χ <Γ \ и удовлетворяющих на концах этого отрезка условиям *(-!)=- 1. У{+1)"+ 1. (2) найти ту функцию, которая доставляет наименьшее значение интегралу + 1 Ну)= J x*y*dx. (3) -1 Значение интеграла J {у) зависит от выбора функции у(х); очевидно, J (У) Ξ*= 0, так что интеграл (3) ограничен снизу (С1,39) и потому имеет ') Для простоты мы рассматриваем случай плоской задачи. 2) Пример Вейерштрасса нами несколько упрощен в несущественных деталях.
ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 13 точную нижнюю границу (С1,42). Докажем, что эта граница равна нулю; для "этого достаточно убедиться, что можно найти такую функцию у(х), которая удовлетворяет перечисленным выше условиям и которая сообщает интегралу J (у) значение, меньшее, чем любое наперед заданное положительное число. Зададим число ε > 0 и положим __ arctg(x/e) У* arctg(l/e) * Очевидно, функция уЕ непрерывна и непрерывно дифференцируема иа от·* резке ■—1 ^«^1 и удовлетворяет условиям (2). Далее, ι ι ι Г 2 '2 , ^ Г t 2 , 2\ '2 , ε2 С dx 2ε /(&)= J x !fe dx< J (* +β be rf*~(arctg(1/e))« J TO? = a7cti7T7ij · -1 -1 -1 Отсюда видно, что /(t/6) будет сколь угодно малым, если ε достаточно мало. По определению точная нижняя граница интеграла J (у) равна нулю. Однако не существует функции, непрерывной и непрерывно дифференцируемой на отрезке —1 ^ж^ 1 и удовлетворяющей условиям (2), которая обращала бы в нуль интеграл J{y). Действительно, пусть J(y) =0. Так как подынтегральная функция неотрицательна, то она должна тождественно равняться нулю. Тогда у' = 0 и у = const, что противоречит условиям (3). Итак, может случиться, что интеграл не достигает своей нижней границы и соответствующая вариационная задача тогда не имеет решения. Это обстоятельство поставило принцип Дирихле под сомнение. Значительно позже Адамар дал пример другого рода, показывающий, что принцип Дирихле может не иметь места по той простой причине, что гармоническая функция может обращать интеграл Дирихле в бесконечность. Приведем этот пример. Нетрудно видеть, что ряд оо Σ о22" ίψ- cos (22fif>); л: = ρ cos Ό, y = psinf} (4) равномерно сходится в круге р^1; его сумма гармонична внутри этого круга и непрерывна вплоть до контура. Однако интеграл Дирихле этой функции, взятый по кругу р<1г<1, равен 00 «=1 г-»1 Таким образом, гармоническую функцию (4) нельзя получить как решение вариационной задачи на основе принципа Дирихле. Возражения Вейерштрасса привели к тому, что принцип Дирихле был надолго заброшен. Интерес к этому принципу и к вариационному методу вообще пробудился опять в начале
14 ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК XX в. в связи с работами Гильберта и особенно после того, как В. Ритм, [1] опубликовал в 1908 г. свой прием приближенного решения минимальных задач; интерес этот был особенно проявлен представителями прикладных наук, которым метод Ритца давал в руки удобное орудие для решения задач, до того совершенно недоступных. Появилось много работ, в которых с помощью метода Ритца строились приближенные решения тех или иных задач математической физики. В тех случаях, когда представлялась возможность сравнить такое приближенное решение с точным или с результатами эксперимента, совпадение обычно оказывалось удовлетворительным. Особенно хорошие результаты получались тогда, когда решалась краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Ритц излагает свой метод следующим образом. Пусть поставлена вариационная задача для интеграла ъ J(w)= f(x, w, w', w", ..., wm)dx. (5) a Эта задача, как известно, состоит в следующем: рассматривается некоторый класс функций, обычно называемых допустимыми; в этом классе следует найти ту функцию, которая сообщает интегралу (5) меньшее значение, нежели любая другая допустимая функция. Зададимся некоторой последовательностью функций Ψθ. Ψΐ. Ψ2. · ··' Ψ/ί. ···> (β) которую подчиним двум требованиям: 1) при любом натуральном η и при любых значениях численных коэффициентов а\, а2, ..., ап функция ™п = Ψθ + ΟΐΨΐ + «2^2 + · - · + О A U) принадлежит к классу допустимых; 2) какова бы ни была допустимая функция w, можно выбрать натуральное число η и численные коэффициенты аь «2, · . ·, ап так, чтобы функция хюп, определяемая формулой (7), достаточно мало отличалась от функции w. Заметим тут же, что требование 2), обычно называемое условием полноты, нуждается в более точной формулировке. Ритц приводит необходимое уточнение для тех конкретных задач (см ниже), к которым он применяет свой метод. Функции (6) Ритц назвал координатными. В интеграл (5) подставим wn вместо w, тогда / превращается в функцию чисел щ, а2, ..., ап Выберем эти числа так, чтобы J{wn) приобрело наименьшее значение; как известно,
ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 15 для этого необходимо, чтобы аи а2, ..., ап удовлетворяли уравнениям *ψιύ-=ο, Д>*ио, ...,Д^- = о. (8) σαι да2 дап ν ' Решив уравнения (8) и подставив полученные значения йь fl2. ■··- ап в (7), получим функцию wn, которую Ритц рассматривает как приближенное решение вариационной задачи. То обстоятельство, что w зависит только от одной переменной х, не играет, очевидно, никакой роли: вычислительный процесс развивается так же и в том случае, когда w есть функция любого числа независимых переменных и, в соответствии с этим, интеграл J(w) будет кратным. В общем случае построение приближенного решения wn наталкивается на довольно значительные вычислительные трудности, именно, на необходимость решать систему (8). Однако, если функция f под знаком интеграла (5) есть многочлен второй степени относительно w и ее производных, то уравнения (8) оказываются линейными и их решение представляет собой задачу сравнительно простую. Это имеет место каждый раз, когда вариационная задача связана с какой-либо линейной задачей математической физики. В связи с методом Ритца необходимо разрешить следующий вопрос: в какой мере можно рассматривать wn как приближение к истинному решению вариационной задачи? Этот вопрос об обосновании метода вряд ли можно решить в общем виде. Ниже, в гл. Ш—VI, обоснование метода Ритца будет дано для достаточно широкого класса линейных задач математической физики и теории упругости. Сам Ритц хорошо понимал необходимость обоснования своего метода. В цитированной работе [1] Ритц кратко формулирует свой метод в общем виде и затем подробно исследует его сходимость для трех задач: 1) изгиб жестко закрепленной по краю упругой пластинки под действием нормального давления; 2) задача Дирихле для уравнения Лапласа; 3) краевая задача Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. В конце статьи дается применение метода к задаче о собственных колебаниях струны. Здесь автор не останавливается на вопросе о законности применения его метода, но показывает, что получаемые по этому методу приближенные значения собственных частот струны весьма близки к хорошо известным точным значениям. Заметим тут же, что в применении к задачам теории колебаний метод Ритца является далеко идущим обобщением так называемого «метода Релея» (см. Релей [1]). Более сложная по вычислениям задача о собственных
16 ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК колебаниях квадратной пластинки рассмотрена Ритцем в его статье [2]. Подробнее изложим одну из задач, изученных Ритцем, именно задачу о пластинке. В отдельных местах мы будем делать несущественные отступления от рассуждений или обозначений Ритца. Кроме того, кое-где придется уточнить сделанные им допущения. Мы будем также опускать некоторые даже и не очень очевидные детали доказательства, чтобы иметь возможность отчетливее выделить основные идеи. Пусть в состоянии равновесия пластинка занимает область Ω плоскости (х, у), и пусть S — контур этой области. Пусть пластинка жестко закреплена по краю и подвержена действию нормального давления интенсивности q(x,y). Нормальный прогиб пластинки, который мы обозначим через w(x,у), удовлетворяет известному дифференциальному уравнению Софи Жермен А2ау = f (χ, у); f(x, y) = -^q (*, у) (9) внутри области Ω и краевым условиям на контуре S. Здесь ν — направление нормали к контуру, a D — жесткость пластинки при изгибе. Известно'), что задача об интегрировании уравнения (9) при краевых условиях (10) может быть сведена к следующей вариационной задаче: среди функций, удовлетворяющих краевым условиям (10)2), найти ту, которая сообщает наименьшее значение интегралу Hw)=jj[Y^wf-fw\dQ. (11) ω Интеграл (11) только постоянным множителем отличается от потенциальной энергии изогнутой пластинки. Решая только что поставленную вариационную задачу, примем, что f(x, у) непрерывна и непрерывно дифференцируема внутри и на контуре области пластины. Пусть (х, у) и (ξ, η)—две точки этой области, и г — расстояние между ними. Положим в (11) w = w\ + Wz, где w^-^llrHnrfib^dldn. (12) Ω ') Подробно см. ниже, § 30. !) Это и будут допустимые функции нашей вариационной задачи.
ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 17 Путем несложных тождественных преобразований устанавливается, что для любой допустимой функции w(x, у) имеет место тождество I{w) = J0 + \\\^w2fdxdy, (13) Ω где /о — некоторая постоянная. Так как интеграл в (13) очевидно неотрицателен, то I(w)>J0. (14) Таким образом, интеграл J(w) ограничен снизу, если функция w(x, у) принадлежит к классу допустимых, и потому этот интеграл имеет точную нижнюю границу. Наша вариационная задача состоит в отыскании такой допустимой функции, которая сообщает интегралу J(w) значение, равное его точной нижней границе. Чтобы построить приближенное ' решение задачи, выберем последовательность координатных функций Ь (х, У), Ы*. У), · · ·. Ψη (χ, У), · · ·. (15) подчиненных следующим требованиям: 1) функции ψ„ (χ, у) и их производные вида1) dx*dtf k^d' l<d' непрерывны внутри и на контуре области Ω," 2) координатные функции удовлетворяют краевым условиям (10); 3) пусть ζ — произвольная функция, непрерывная вместе со своими главными производными внутри и на контуре области Ω и равная тождественно нулю вне некоторого прямоугольника р, который целиком вместе со своим контуром лежит внутри Ω. Тогда можно подобрать такое целое число т и такие постоянные αϊ, сб2, ..., ат, что имеют место неравенства i=-t дх* dyl ~ dxk dyl <8, /г<3, Z<3, (16) где ε — сколь угодно малое заранее заданное положительное число (условие полноты). Приближенное решение задачи ищем в виде Wn = Οιψι +Ο2Ψ2 + . . . + Οηψ„, ') Эти производные Ритц называет главными. 2 С. Г. Михлии
18 ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК где число слагаемых η выбирается по произволу, а постоянные аи а2, ..., ап — из условия, чтобы величина h = J J [γ (Айу„)2 - f a>„] dx dy имела наименьшее значение. Уравнения (8) в рассматриваемом случае имеют вид η %Aikak = Bl, г=1, 2 η, (17) k-\ где Aik = J J Δψι Δ% dx ί/y, β,- = J J /ψ, dx dy. (18) α ω Опираясь на теорию квадратичных форм, Ритц доказывает, что система (17) имеет решение, и притом только одно. Подставив это решение в выражение wn, мы и получим приближенное, по Ритцу, решение задачи. Пусть bu bz, ..., bn суть какие угодно постоянные числа. Положим Умножим уравнение (17) на ί>ί и результат просуммируем по всем i. Используя формулы (18), можно привести полученное равенство к виду \\{SwnSln-iln)dxdy = Q. (19) ω Решение уравнений (17), будучи подставлено в интеграл /^сообщает ему минимальное значение, которое обозначим через ](п. Нетрудно доказать, что ло)=- 4 Π(Δεϋη)2 dx dy' С возрастанием п величина J(n убывает или по крайней мере не возрастает1); в то же время эта величина ограничена снизу, так как она не меньше точной нижней границы интеграла (11). По известной теореме о монотонной переменной величина Л0) стремится к некоторому пределу. На основании признака Коши существования предела (О, 42), по заданной положительной величине η, как бы она ни была мала, можно найти такое число ') Подробнее об этом см. § 17.
ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 19 N, что при η > N и при произвольном т выполняется неравенство 0</<0)-Λ%<γη. (20) Обозначим (wm+n — wn)IY~r\ =ц>(х, у). Используя тождество (19), в котором η заменено на m + η, и произведя некоторые тождественные преобразования, приведем неравенство (20) к виду \\{hq>fdxdy<\. (21) К функции <p(%, у) применим известную формулу1) S Ω Как нетрудно видеть, q>(x, у) есть линейная комбинация координатных функций и потому удовлетворяет условиям (10). Вследствие этого контурный интеграл в последней формуле исчезает, и мы получаем ^{x,y) = ~\\^-\nrdld4. (22) Ω К интегралу (22) применим неравенство Буняковского, из которого в данном случае следует Ι φ (X, у) I < -L ( J J (Δφ)2 d% άΆ Γ { J J 1п2Г dl άΆ J''2. Первый интеграл меньше единицы по неравенству (21), второй же, как легко доказать (мы на этом не останавливаемся), не превосходит некоторого постоянного числа. Но тогда и | φ (лг, у) \ не превосходит некоторого постоянного числа; обозначив его буквой К, имеем \Ч>(Х,У)\<К. Теперь I wm+n (х, y)-wn(x, у)\*С.К l/η, η>Ν; на основании критерия Коши (С1, 42) приближенные решения ε«η сходятся к некоторой предельной функции равномерно в замкнутой области2) Ω + S. Предельная функция, которую мы ') См., например, С2, 193, формула (II). 2) Замкнутой областью называется такая совокупность точек, которая состоит из точек области и из точек ее границы,
20 ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК обозначим через w(x,y), непрерывна в Ω+5 как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций wn(Cl, 145) и равна нулю на контуре S. Ритц замечает, что утверждать равномерную сходимость производных от wn нельзя; тем не менее он доказывает, что предельная функция w (χ, у) имеет внутри области Ω производные до четвертого порядка включительно и удовлетворяет уравнению Софи Жермен. Мы уже видели, что w (x, у) удовлетворяет первому из краевых условий (10); в цитированной статье Ритц пытается доказать, что функция w(x,y) удовлетворяет и второму из краевых условий (10), однако его рассуждения не- гочны. Последующие рассуждения Р. Куранта, К. Фридрихса и С. Л. Соболева позволили установить, что при общей постановке задачи о равновесии пластинки нельзя требовать, чтобы условие -тгЧ =° dv \s выполнялось в обычном смысле; на самом деле это условие выполняется в некотором обобщенном смысле1). Коротко скажем о решении задачи Дирихле, данном Ритцем. Им было рассмотрено уравнение Пуассона Sw = f{x,y), (23) которое надлежало проинтегрировать в конечной области Ω плоскости (х, у) при условии, что на контуре S этой области выполняется равенство w\s = 0. (24) Применяя опять свой метод, Ритц строит последовательность приближенных решений ш„, «= 1, 2, ... На этот раз в общем случае нельзя утверждать, что эта последовательность сходится равномерно. Удается только доказать существование такой функции w, что интегралы χ у \ ™т (£. У) <%, \ wm (χ, η) Αι α ρ равномерно сходятся к интегралам χ у \ w (|, у) d\, J w {χ, η) dv\. ») См. Р. Курант и Д. Гильберт [2] и С. Л. Соболев [2].
ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 21 Далее доказывается, что функция w(x, у) удовлетворяет уравнению (23). Что касается краевого условия (24), то здесь Ритц допускает неточность, аналогичную упомянутой выше. В работах Фридрихса, Реллиха и Куранта энергетический метод и проблема его обоснования получили дальнейшее развитие. Эти авторы изучали вариационные задачи, отвечающие уравнениям более общего типа; изучение сходимости приближенных решений по Ритцу они заменили изучением более общей проблемы сходимости минимизирующей последовательности1). В работах названных авторов нашла также строгую постановку и довольно полное решение проблема собственных значений оператора Лапласа и некоторых других, ему родственных. Многие результаты работ перечисленных ученых изложены в книге Р. Куранта и Д. Гильберта [1, 2]. Одна из первых работ по обоснованию метода Ритца принадлежит Планшерелю [1], который рассматривал задачу Дирихле для уравнения, несколько более общего, чем уравнение Лапласа. Планшерель исследовал только случаи двух независимых переменных. Он доказал сходимость производных от приближенных решений, а также и самих приближенных решений, в норме L2; им доказана также сходимость приближенных собственных чисел и собственных функций. По существу в статье Планшереля доказана и сходимость метода Бубнова — Галер- кина (см. ниже) для задачи Дирихле в случае уравнения вида Аи + g(x, у)и = f(x, у), где g — произвольная непрерывная функция. К сожалению, работа Планшереля осталась почти неизвестной. Важную роль для обоснования вариационных методов сыграли известные «теоремы вложения» С. Л. Соболева. Эти теоремы и их приложения к задачам математической физики даны С. Л. Соболевым в его монографии [2]. В работах автора настоящей книги дано представление решения вариационных задач, к которым сводятся обычные задачи математической физики, в виде ряда и установлена связь метода Ритца с этим представлением; дано обоснование вариационного метода для некоторых новых классов уравнений, в частности, для уравнений, эллиптичность которых нарушается на границе области; исследованы условия сходимости старших производных "в методе Ритца, доказана сходимость собственных чисел. В ряде работ последнего времени автором поставлен и исследован вопрос об устойчивости вычислительных процессов ') См. ниже, § 15.
22 ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК и особенно процесса Ритца. Этот вопрос изложен в книге автора [26] Наряду с энергетическим методом развивался тесно связанный с ним так называемый «метод Галеркина», или, более точно, «метод Бубнова — Галеркина». В 1913 г. был напечатан отзыв И. Г. Бубнова [1] о работах С. П. Тимошенко, применявшего метод Ритца к исследованию устойчивости пластинок и балок. И. Г. Бубнов отмечает в этом отзыве, что уравнения, к которым приводит метод Ритца, можно получить, не прибегая к составлению потенциальной энергии системы и не решая вариационной задачи. Замечая, что Тимошенко ищет перемещение в виде Ψ^α,ψ, +Й2ф2 + «зФз+ ···» (25) где φι, φ2, ... — данные функции, аи а2, ...— коэффициенты, подлежащие определению, Бубнов пишет: «...Весьма простые решения можно получить и обычным путем, т. е. не прибегая к рассмотрению энергии системы, если только сходимость ряда для W достаточно велика. При этом простой подстановкой разложения для W в общее дифференциальное уравнение равновесия, затем умножением полученного выражения на щахау и интегрированием по всему объему тела, мы получим уравнение, связывающее коэффициент ah со всеми другими, если только функции φ выбраны так, что 4>nq>kdxdy = 0 при η φ к. Это равенство имеет место почти во всех задачах рассматриваемой работы, так как автор обычно берет выражение W в виде тригонометрических рядов, где это условие выполнено, если же почему-либо желательно разложение по целым рациональным функциям — их можно заменить шаровыми. Написав из полученного соотношения столько уравнений, сколько членов ряда мы желаем сохранить, и уравнивая нулю определитель из множителей при коэффициентах, мы сведем задачу о нахождении критической нагрузки к определению наименьшего корня целой рациональной функции, высшая степень которой равна числу сохраненных членов». Далее И. Г. Бубнов пишет: «Заметим, что получаемые таким образом результаты не требуют решения дифференциального уравнения равновесия... и будут тождественны с найденными проф. Тимошенко». Если приведенные высказывания Бубнова перевести на язык формул, то получится следующее. Решение задач об устойчи-
ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 23 вости обычно сводится к интегрированию дифференциального уравнения вида Lw-lMw = 0, (26) где w — перемещение, L и Μ — некоторые дифференциальные операторы и λ — неизвестный численный параметр. Перемещение w удовлетворяет не только дифференциальному уравнению (26), но и некоторым однородным краевым условиям. Так, например, если дело идет об устойчивости пластинки, жестко закрепленной по краю, то перемещение w должно удовлетворять еще условиям (10). При произвольно взятом λ поставленная задача имеет только тривиальное решение w = 0; дело сводится к нахождению тех значений λ, при которых уравнение (26) имеет решение, не равное тождественно нулю; наименьшее из этих λ и определяет критическую нагрузку, за которой пластинка теряет устойчивость. Как мы увидим ниже (§ 40), при известных условиях это наименьшее λ равно минимуму отношения \ \ w ■ Lw dx dy Ω ίί w ■ Mw dx dy Ω"' (27) используя граничные условия, можно обычно представить отношение (27) в несколько иной форме, которую и использовали в своих работах В. Ритц и С. П. Тимошенко. Минимум отношения (27) можно искать по методу Ритца, что приводит к системе уравнений вида η li{Atk-*.Blk)ak = 0, г=1, 2 η, (28) k- где ak — коэффициенты выражения (25), в котором мы берем η членов, Aih и Bih — некоторые числа, определенным образом зависящие от координатных функций ц>и- Чтобы приближенное решение (25) было отлично от тождественного нуля, необходимо и достаточно, чтобы числа ah, удовлетворяющие системе (28), не все равнялись нулю; для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы обратился в нуль определитель системы (28): Лц-λβ,ι Л,2 —λβ|2 ... Αιη-λΒ]η А2\ — λβ9| Affi — Ϊ-Β>·> · · ■ An — λβ2η Αιΐ — λΒη, Αη2 — λΒη, ... Αηη — λΒηη = 0. (29)
24 ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Очевидно, уравнение (29) представляет собой алгебраическое уравнение степени η относительно λ; наименьший корень этого уравнения доставляет приближенное значение минимума отношения (27). Описанный здесь прием по существу и применял Тимошенко в работе, рецензированной Бубновым. Последний заметил, однако, что систему (28) можно получить другим, более простым путем: достаточно в уравнение (26) подставить вместо w его приближенное значение (25), в котором будет сохранено η членов, полученное выражение умножить на ц>и, проинтегрировать по области пластины (по длине стержня, если решается задача об устойчивости стержня, и т. п.) и результат приравнять нулю. В качестве условия для применимости своего приема И. Г. Бубнов выставляет требование ортогональности координатных функций, что на самом деле не обязательно. Заметка И. Г. Бубнова положила начало новому прямому методу, развитие и широкое применение которого тесно связано с именем Б. Г. Галеркина. В своей работе [1], опубликованной в 1915 г., Б. Г. Галеркин решает ряд задач на равновесие и устойчивость стержней и пластин. Метод, примененный им, по форме совпадает с тем методом, которым И. Г. Бубнов получал в упомянутом выше отзыве уравнения Тимошенко; однако существенно новым было то, что Галеркин не связывал свой метод ни с какой вариационной задачей, так что его можно было применять к любому дифференциальному (и не только дифференциальному) уравнению, и не требовал ортогональности координатных функций. Как уже было упомянуто, Галеркин опубликовал свою статью в 1915 г. С тех пор напечатано большое количество работ, в которых метод Бубнова — Галеркина широко применялся к практическому решению самых разнообразных прикладных задач. Появились даже работы, в которых этот метод был, и не без успеха, применен к решению нелинейных задач. Однако обоснование метода оказалось делом сравнительно трудным. По-видимому, первой в этом направлении была упомянутая выше работы Планшереля [1]. Насколько автору известно, первый результат общего характера был получен в 1940 г. Ю. В. Репманом [1], который доказал сходимость процесса Бубнова — Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма. В том же 1940 г. Г. И. Петров [1] получил аналогичный результат для некоторого специального обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. Вскоре М. В. Келдыш [1] обобщил результат Г. И. Петрова на случай обыкновенного дифференциального уравнения четного порядка, а также дока-
ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 25 зал сходимость метода Бубнова — Галеркина в случае простейшей краевой задачи для общего уравнения эллиптического типа второго порядка. Автором [4, 8] был получен довольно общий достаточный признак сходимости процесса Бубнова — Галеркина (включая и сходимость собственных чисел) и дано приложение этого признака к ряду задач математической физики. Из общей теории приближенных методов Л. В. Канторовича [2] вытекает некоторая общая схема построения приближенных методов; в эту схему во многих случаях укладываются методы Ритца, Бубнова — Галеркина и некоторые их обобщения, метод наименьших квадратов Указанная схема была отчетливо сформулирована И. К- Даугаветом [1, 2]. Необходимо отметить работы Н. И. Польского [1—5]. В этих работах исследовано обобщение метода Бубнова — Галеркина, которое в общей форме, по-видимому, было впервые сформулировано в работе Г. И. Петрова [1], хотя в частных формах такое обобщение появлялось в работах украинских математиков (см. Μ. Φ. Кравчук [1]). Н. И. Польский ввел еще более общее понятие проекционных методов и доказал ряд теорем об их сходимости. Отметим, что к числу проекционных относится метод кол- локации, предложенный в 1934 г. Л. В. Канторовичем [1] под названием «интерполяционного метода» и исследованный в работах Э. Б. Карпиловской [1—3] и Г. М. Вайникко [6, 7]. В работах Н. И. Польского, И. К- Даугавета, А. В. Джиш- кариани и Г. М. Вайникко получен ряд оценок скорости сходимости процесса Бубнова — Галеркина. Эти же и некоторые другие авторы занимались также оценками приближения собственных функций с помощью процессов Ритца и Бубнова — Галеркина. М. А. Красносельский [1, 3] обосновал метод Бубнова — Галеркина для некоторого класса нелинейных уравнений; метод М. А. Красносельского был использован И. И. Воровичем в его работе [1] по теории оболочек. Весьма интересные приложения метода Бубнова — Галеркина к нелинейным эллиптическим уравнениям даны в работе [8] М. И. Вишика. Метод Бубнова — Галеркина распространен и на нестационарные уравнения. Из многочисленных относящихся сюда работ отметим статью М. И. Вишика [7]. В заключение отметим недавно вышедшую книгу И. В. Свирского [2], большая часть которой посвящена исследованию процесса Бубнова — Галеркина для нелинейных задач. Методу Бубнова — Галеркина посвящена гл. XI настоящей книги.
26 ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Из других вариационных методов заслуживает внимания метод наименьших квадратов. Этот метод был применен Μ Пиконе [1] к решению задачи Дирихле; другие его приложения даны в работах Η. Μ. Крылова, Μ. Φ. Кравчука и Др.1). Общие условия сходимости метода наименьших квадратов и ряд его приложений даны в работах автора [3, 6]. Отметим диссертацию Р. С. Андерсена [1], в которой метод наименьших квадратов применен к решению краевых задач для параболических уравнений, а также вышедший под редакцией Р. С. Андерсена и М. Р. Осборна [1] сборник статей, в котором тот же метод применен к ряду задач геофизики и др. Подробное изложение метода наименьших квадратов будет дано в гл. XII. Важнейшую роль играет вопрос об оценке погрешности приближенного решения, полученного, скажем, процессом Ритца для того или иного вариационного метода. Существуют два типа таких оценок. Можно строить априорные оценки, дающие асимптотику погрешности в зависимости от выбранной системы кооординатных функций, от числа этих функций, входящих в приближенное решение, и от аналитических свойств данных задачи и ее искомого решения. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такого рода оценки получали Η. Μ. Крылов [1], автор [11], В. П. Ильин [1], И. К. Даугавет [1,2], Г. М. Вай- никко [1—3]. В работах А. В. Джишкариани [2—4] получены некоторые априорные оценки для задач, сформулированных в абстрактной операторной форме, и даны приложения к дифференциальным уравнениям—обыкновенным и в частных производных. Априорные оценки для уравнений в частных производных строились в работах В. П. Ильина [2], И. Ю. Харрик [1] и автора [27]. Вопросу об априорных оценках посвящена гл. VII. Апостериорные оценки — это оценки уже вычисленного приближения. Их получение основано на применении вариационных методов, которые я называю «встречными» по отношению к данному, потому что они дают оценку «функционала энергии» с другой стороны. Зная два приближенных решения одной и той же задачи, одно из которых построено по данному методу, а другое — по встречному, можно оценить погрешности обоих приближений. Для энергетического метода встречным является метод ортогональных проекций, разработанный в статьях С. Зарембы [1, 2], Г. Вейля [2] и М. И. Вишика [1—3], а также метод Трефтца [1], получивший дальнейшее развитие в работах М. Ш. Бирмана [3, 5, 6]. Встречным для энергетического оказывается и метод, связанный с преобразованием Фридрихса; ') Подробнее об этом см. Μ. Φ. Кравчук [1].
ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 27 достаточно подробное изложение этого преобразования дано в книге Р. Куранта и Д. Гильберта [1]. Апостериорным оценкам погрешности посвящена гл. VIII. Особую трудность представляет двусторонняя оценка собственных чисел. Для дифференциальных операторов метод Ритца дает приближение к собственным числам сверху, тогда как для большинства приложений важно знать также хорошие приближения снизу. Частные результаты такого рода получены Н. М. Крыловым [1], автором [11], И. Ю. Харрик [1], А. В. Джи- шкариани [1], Г. М. Вайникко [4, 5, 8] и др. Общий подход к проблеме двусторонних оценок собственных чисел намечен А. Вайнштейном в его многочисленных публикациях, из которых мы здесь укажем только две [1, 2]. Работы А. Вайнштейна и его учеников, а также примыкающие сюда работы Н. Арон- шайна подробно изложены в книге С. X. Гулда [1]. К этому же направлению относится и работа И. В. Свирского [1], который несколько позднее, но независимо, получил часть результатов Н. Ароншайна. Другой общий подход к той же проблеме нашел Г. Фикера [1, 2]. Перечисленные здесь вопросы будут изложены в гл. IX. Во всей книге рассматриваются только линейные задачи; некоторые нелинейные задачи рассмотрены в книге автора [26]. За исключением гл. I и XI, а также за исключением отдельных мест, которые будут особо оговариваться каждый раз, всюду в книге рассматриваются только вещественные функции одной или нескольких вещественных переменных.
ГЛАВА Т ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Исследование вариационных методов базируется на теории гильбертова пространства. Полное изложение этой теории дано, например, в книгах Н. И. Ахиезера и И М. Глазмана [1], Ф. Риса и Б. Секефальви-Надя [1], В. И. Смирнова [4]. Сравнительно элементарное и более или менее достаточное для целей настоящей книги изложение теории гильбертова пространства дано в книге Б. 3. Вулиха [1]. В настоящей главе формулируются без доказательств (их можно найти в книгах, процитированных выше) те факты теории гильбертовых пространств, которые нам понадобятся в дальнейшем. Основную роль в последующем будут играть функциональные гильбертовы пространства, т. е. пространства, элементы которых суть функции одной или нескольких вещественных переменных. Теория функциональных гильбертовых пространств тесно связана с понятием интеграла Лебега, с которого мы и начнем изложение. Достаточно полное изложение теории лебеговых интегралов читатель найдет, например, в книгах В. И. Смирнова [4] и И. П. Натансона [1]. § 1. Интеграл Лебега Построение интеграла Лебега опирается на понятие «лебеговой меры» точечного множества. Для простоты рассмотрим некоторое множество А точек, расположенное на сегменте a^Cx^Cb. Условимся говорить, что множество β покрывает множество А, если А есть часть В. Пусть β — открытое множество (т. е. объединение конечного или счетного множества интервалов), покрывающее данное множество А. Составим сумму длин интервалов, входящих в β. Точная нижняя граница этих сумм по всевозможным покрытиям А открытыми множествами называется внешней мерой А и обозначается μ<>(Α). Рассмотрим теперь множество Α ι тех точек сегмента а*Сх^*СЬ, которые не входят в А (так называемое дополнение к А). Разность μ*(А) = b — а — μβ(Αι) называется внутренней
§ I. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 29 ιερού А. Можно доказать, что внутренняя мера множества не ревосходит его внешней меры. Множество называется измеримом, если его внутренняя и внешняя меры совпадают. Общая еличина внутренней и внешней мер измеримого множества на- ывается его лебеговой мерой. Меру множества А мы будем бозначать символом μΑ. В последующем, говоря о точечном щожестве, мы всегда будем предполагать его измеримым. Мера множества обладает рядом свойств, присущих длине, бобщением понятия которой является понятие меры. Так, если ва множества не пересекаются (т. е. не имеют общих точек), то sepa объединения ') множеств равна сумме их мер; мера объе- ииения двух пересекающихся множеств равна сумме их мер [инус мера их общей части, и т. д. Понятие меры естественным образом распространяется на очечные множества, расположенные на плоскости или в трех- ерном пространстве. Здесь понятие меры естественно обобщает понятие площади или бъема. Нетрудно также рас- У>. ространить понятие меры и а точечные множества в мно- омерных пространствах. Существуют множества с [ерой, равной нулю. Это, оче- идно, те множества, которые ожно покрыть открытыми ножествами сколь угодно ма- ой меры. Таковы, как нетруд- о показать, конечные и счет- ые множества точек. Сущест- уют и несчетные множества еры нуль. Принято говорить, что некоторое свойство имеет есто почти везде, если оно может не иметь места лишь на множестве меры нуль. Обратимся теперь к понятию интеграла. Напомним, что по пределению, восходящему к Коши и Риману, определенный ин- гграл рассматривается как предел интегральных сумм (значе- ия символов даны на рис. 1) Рис ■Swfi. хп'ь υ it ·> λ-»ο f- (1) ') Объединением двух множеств называется третье множество, в которое содят все элементы как первого, так и второго множества; если некоторый [емент принадлежит обоим слагаемым множествам, то в объединение он юдит только один раз.
30 ГЛ I. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО где λ — наибольшая из длин промежутков (χ^-ι, х^)· Если выбрать достаточно мелкое деление основного отрезка а^Сх-^-Ь и отбросить справа в (1) знак предела, то получится приближенное равенство О 1Ъ fe-I (2) У1 р=уп Vi *-Уо , —л л Т^" ~R ifi —^ которому геометрически соответствует следующее: площадь узкой полоски, ограниченной дугой кривой у = !(х), отрезком (Xh-i,Xh) оси абсцисс и двумя ординатами, проведенными в точках Xft_i и хк, заменяется площадью прямоугольника, основание которого есть отрезок (xjt_i,xft), а высота- ордината кривой, проведенная в произвольно выбранной точке |й указанного отрезка. Ошибка приближенного равенства (2) невелика, если ордината кривой у = f(x) меняется не слишком быстро; при этом тот или иной выбор точек 1к существенно на величине ошибки не отражается. Формула (2) делается, однако, ненадежной, если функция f(x) быстро колеблющаяся (рис. 2), хотя бы она и оставалась непрерывной. Очевидно, мы получим совершенно различные результаты, в зависимости от того, будем ли брать в качестве ξ^ точку с наибольшей, наименьшей или некоторой промежуточной ординатой. В этом случае целесообразнее вычислять площадь иначе. На оси ординат откладываем наименьшее и наибольшее значение функции1). Пусть это будут точки α и β. Отрезок а *С у ^ β оси ординат разобьем на малые участки, вставляя точки деления у0 = а, У\, уч, ■ ■., Уп = β- Через точки деления проведем прямые, параллельные оси абсцисс. Интересующая нас площадь окажется, разбитой на фигуры, напоминающие прямоугольники с малыми высотами; эти «прямоугольники» располагаются в горизонтальных полосах между прямыми у = t/{_t и У — Уи 1 = 1. 2,..., п. Подсчитаем сумму площадей «прямоуголь- Рис. 2. 1) Точнее говоря, нижнюю и верхнюю грани значений функции.
§ 1. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 31 ников», заключенных в такой полосе, причем за основания «прямоугольников» примем, например, стороны их, лежащие на верхней стороне полосы (y^t/i). Указанная сумма площадей приближенно равна произведению высоты у4 — уг_, на сумму длин оснований. В каждой точке основания, очевидно, ордината }(х)^Уг· Таким образом, сумму оснований «прямоугольников» можно охарактеризовать как множество значений х,- в которых /(x)>t/,, а сумму длин оснований — как меру этого множества1). Обозначим указанную меру через μ{. Тогда площадь части фигуры, заключенной в полосе Уг-хКуСуг (на рис. 2 эта часть заштрихована), приближенно рав- У ' на μi(Уi~Уi-\), а площадь всей фигуры приближенно равна μο#ο+ + Hvi{yi-y{~i)-ttme- ресно отметить, что точность этого приближенного равенства мало зависит от того, будет ли функция f(x) непрерывной или разрывной, если только она остается ограниченной. Смысл этого утверждения делается совершенно ясным из сопоставления рис. 2 и 3, на первом из которых изображен график непрерывной функции, а на втором —график функции, имеющей разрывы в точках d, Сг, Сз- Приближенное вычисление площади как суммы Рис. 3. &оУо+ Σμ;(^-!/ί-ι) (3) дает в обоих случаях погрешность одного и того же порядка Будем теперь уменьшать промежутки {уг~иУд так, чтобы длина наибольшего из них стремилась к нулю. Если при этом сумма (3) стремится к некоторому пределу, то этот предел называется лебеговым интегралом функции }{х) на отрезке β «**<&. Обобщая это построение на случай функций, не обя-' ttj; * непРеРЫвных, мы приходим к следующему определению лебегова интеграла: тЛ™31?^60" РазУмеется· мы предполагаем измеримость этого множе- ?№квдя /м0^ЗИаЧеВ,ш "■ ЕсЛИ ВСе такие множества измеримы, то сТма
32 ГЛ I. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Интегралом Лебега ограниченной функции f(x) no отрезку а-^.х ^.Ь называется предел iim { μ0#0 -f 2 μ« (г/г - Уг-ι) [; λ = max (#(· - у£-_,), где μί — мера множества значений х, для которых f(x)^ у ι, а а — уо и β = Уп — числа, между которыми заключены все значения f(x). Совершенно аналогично определяется интеграл Лебега от функции двух и большего числа независимых переменных. Можно доказать, что интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции всегда существует. Если существует определенный интеграл функции f(x) в обычном (римановом) смысле, то, как можно доказать, он совпадает с лебеговым интегралом. Поэтому нет нужды в особом символе для обозначения лебегова интеграла, и мы будем пользоваться обычными символами ь | f(x)dx, j j f{x, y)dxdy, α Ω И Т. П. Дадим теперь определение ле- Рис 4. бегова интеграла от неограниченной функции. Допустим сперва, что функция f(x) неотрицательная. Обозначим через N произвольное положительное число и введем новую функцию fn(x), полагая (см. рис. 4) / (х), если / (х) <: N, N, если f (χ) > Ν. Ы*) = { Функция Ϊν(χ) ограничена, так как, очевидно, 0^fN(x)KN, поэтому ее лебегов интеграл J fN (x) dx (4) существует. С возрастанием N этот интеграл не убывает и потому стремится, при безграничном возрастании N, к определенному, конечному или бесконечному, пределу. Если существует конечный предел интеграла (4) при N-^-oo, то этот предел называется лебеговым интегралом неограниченной неотрицатель-
§ I ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 33 ной функции f(x). Таким образом, по определению, если функция /(%)>0 и не ограничена, то ь ъ \f{x)dx=V\m ί Ы%)· а Ъ Неограниченная неотрицательная функция, для которой существует интеграл Лебега в пределах от а до Ь, называется суммируемой на отрезке а ^С х ^ Ь. Аналогично определяется функция, суммируемая в /n-мерной (/п >· 2) области. Пусть теперь f (x) может иметь какой угодно знак. Ее можно представить как разность двух неотрицательных функций. Действительно, если положить fi(x) = {\f(x)\ + f (x)}/2, f2 (х) = {| f(x) I - f (x)}/2, то fi(*)>0, f2(x)>0 и f(x) = fi(x)—Ϊ2(χ)- Мы будем считать f(x) суммируемой тогда и только тогда, когда каждая из функций fi(x) и /гΜ суммируема, и в этом случае положим по определению ь ь ь f(x)dx = fi(x)dx— f2(x)dx. а а а Если f (x) суммируема, то суммируема также и функция \f(x) | = = fi(x)+ f2(x). Таким образом, интеграл Лебега всегда абсолютно сходящийся. Если функция f(x)—комплексная, f(x')= φ(χ)+ fy(x), то мы полагаем ь ь ъ f (x)dx= φ (χ) ώ + / ψ (χ) dx. α α α По определению интеграл слева существует тогда и только тогда, когда существуют оба интеграла справа. Интеграл Лебега от комплексной функции также абсолютно сходящийся. Основные свойства интеграла Римана остаются в силе и для интеграла Лебега. Отметим также три свойства, характерные для интеграла Лебега и играющие важную роль во всем последующем. Доказательства их читатель найдет в цитированных в начале главы курсах. 1. Значение интеграла Лебега не изменится, если изменить значение подынтегральной функции на множестве меры нуль. Более того, лебегов интеграл сохраняет смысл, если на множестве меры нуль значения функции остаются неопределёнными. Как следствие, отсюда вытекает, что лебегов интеграл равен нулю, если подынтегральная функция почти везде равна нулю. 3 С. Г Михлии
34 ГЛ I ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 2. Если интеграл от неотрицательной функции равен нулю, то эта функция равна нулю почти везде. 3. Если | f (x) I < φ (χ) и φ(χ) суммируема, то f(x) также суммируема. Рассмотрим семейство функций, принимающих, вообще говоря, комплексные значения, определенных почти везде в некоторой конечной области Ω /n-мерного евклидова пространства и обладающих тем свойством, что их квадраты суммируемы в Ω. Для краткости будем такие функции называть квадратично суммируемыми. Условимся здесь, как и везде в последующем, считать совпадающими две функции, если они совпадают почти везде в Ω. Будем говорить, что последовательность квадратично суммируемых в Ω функций Ц)п(Р) сходится в среднем к квадратично суммируемой в Ω функции φ(-Ρ), если lim f |φ„(Ρ)-φ(Ρ)ΝΩ = 0. Теорема Риса — Фишера Если квадратично суммируемые в Ω функции ψη(Ρ), ti = 1,2, ..., удовлетворяют условию Hm 1"|фА(Р)-фя(тЛ2 = 0, k. П-»оо J то существует квадратично суммируемая в Ω функция φ(Ρ), к которой последовательность ψη(Ρ) сходится в среднем. § 2. Гильбертово пространство Множество элементов произвольной природы называется линейным, если его элементы можно складывать между собой и умножать на числа, причем в результате этих действий получаются элементы того же множества, при этом предполагается, что упомянутые здесь действия сложения и умножения подчиняются обычным законам арифметики. Различают линейные множества комплексные и вещественные в зависимости от того, умножение на какие числа считается допустимым. Линейное множество иногда называют линеалом. В линейном множестве существует один и только один элемент «нуль» или «нулевой элемент», обладающий тем свойством, что его прибавление к любому другому элементу не меняет последнего. Произведение любого элемента множества на число нуль, а также произведение любого числа на нулевой элемент, равно нуле-
§ 2. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 35 вому элементу множества. Нулевой элемент мы будем обозначать обычным символом 0. Линейное множество называется гильбертовым пространством, если каждой паре φ и ψ элементов этого множества приведено в соответствие число (<р, ψ), удовлетворяющее следующим аксиомам: Α. (φ, Ψ) = (Ψ, φ), Β. (λ,φ, + λ2ψ2, ψ) = λ, (φ,, ψ) + λ> (φ2, ψ), где φι,<Ρ2. ψ — элементы линеала, λι и λ2 — постоянные. C. (φ,φ)>0. D. Если (φ, φ) = 0, то φ = 0. Число (φ, ψ) называется скалярным произведением элементов φ и ψ. В § 3 мы подчиним гильбертово пространство еще одному важному требованию. Наряду с определенным здесь «комплексным» пространством можно рассматривать и «вещественные» гильбертовы пространства. Они строятся на основе вещественного линейного множества, и аксиома А заменяется следующей: Α'. (φ,·ψ) = (ψ,φ). Из аксиом А и В вытекает, что скалярное произведение, сомножители в котором представляют собой суммы, можно составлять по правилу умножения многочленов, с той, однако, разницей, что численный коэффициент при втором сомножителе должен быть, при вынесении его за знак скалярного произведения, заменен комплексно сопряженной величиной. В частности, если φ и ψ — элементы гильбертова пространства, а λ — число, то (φ, λψ) =λ (φ, ψ). Если пространство вещественное, то скалярное произведение раскрывается просто по правилу умножения многочленов. Неотрицательное число Y(q>, φ) называется нормой элемента φ и обозначается символом ||<р||, так что II φ 11=/(φ, ф); (1) норма разности двух элементов называется расстоянием между ними. Будем говорить, что формула (1) определяет метрику в гильбертовом пространстве. Элемент гильбертова пространства, норма которого равна единице, называется нормированным. Норма в гильбертовом пространстве обладает следующими свойствами: а) Нулевой и только нулевой элемент пространства имеет норму, равную нулю. 3*
36 ГЛ 1 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО б) Если λ — число, а φ — элемент пространства, то Ι|λφ||-|λ|·||φ||. (2) в) Для любой пары φ, ·ψ элементов пространства справедливо так называемое неравенство Коши— Буняковского Ι(φ,ψ)1<11φ1|·||ψ||. (3) г) Норма суммы элементов не превосходит суммы их норм ΙΙφ + 4>ΙΙ<ΙΙφΙΙ + ΙΙΨΐ|. (4) Неравенство (4) называется неравенством треугольника. Оно, очевидно, распространяется на любое число слагаемых, так что Σ<Ρ* < Σ ιι φ* и, ft-1 каково бы ни было число слагаемых п. Гильбертово пространство, элементы которого суть функции одной или нескольких числовых переменных, называется функциональным. Приведем некоторые примеры гильбертовых пространств: а) Пространство Ζ,2(Ω). Пусть Ω — измеримое множество евклидова пространства размерности ш; в приложениях чаще всего пг— 1,2,3. Переменную точку евклидова пространства будем обозначать буквой Р, элемент меры (объема, площади, длины) — через άΩ. Как известно, множество функций, определенных почти везде в Ω и квадратично суммируемых в Ω, есть линеал. Определим на этом линеале скалярное произведение, полагая (φ, ψ)={φ(Ρ)ψ(Ρ)ίίΩ. (5) Ингеграл (5) существует, как это следует из свойства 3 § 1 и из неравенства ΙφψΙ^-^ίΙφΡ + Ι'ψΡ}. Выражение (5), очевидно, удовлетворяет аксиомам А — С; оно будет удовлетворять также аксиоме D, если, как это обычно делается, считать тождественно равными две функции, равные между собой почти везде, и, в частности, не отличать от тождественного нуля функцию, равную нулю почти везде. Введя скалярное произведение, мы превратили наш линеал в гильбертово пространство; его обычно обозначают символом L2(Q). Если Ω есть отрезок прямой а*Сх4^Ь, то пишут L2{a,b).
§ 2 ГИЛЬКЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 37 Норма в Ζ,2(Ω) определяется равенством ||<p|f=jV(P)|cffi. (6) Ω Неравенство (2) переходит здесь в известное неравенство Бу- няковского |ψ(Ρ)ψΙΡ)ίίΩ2< \\ψΗΡ)\άΩ \\q2(P)\dQ. Ω Ω Ω б) Другим важным примером функциональных гильбертовых пространств является пространство £2(Ω;σ). Элементы его суть функции, для которых существует интеграл \σ(Ρ)\φ>(Ρ)\άΩ. (7) Ω Здесь σ(Ρ) — некоторая, одна и та же для всех элементов пространства, неотрицательная функция. Мы считаем при этом тождественными две функции ψι(Ρ) и <р2(-Р)> если {σ(Ρ)|φι(Ρ)-φ2(Ρ)№ = 0. Ω Скалярное произведение в £2(Ω; σ) задается формулой (φ, ψ)=_|σ(Ρ)φ(Ρ)ψ(Ρ)ίίΩ, (8) ΰ а норма, как это вытекает из (1), — формулой ΙΙφΙΡ=/σ(Ρ)|φ2(Ρ)|ίίΩ. (9) Мы определили здесь комплексные пространства £2(Ω) и ^-2(Ω;σ). Ниже большую роль будет играть вещественное пространство £2(Ω), элементы которого суть вещественные функции, квадратично суммируемые в Ω. Для вещественного пространства ί-2(Ω) приведенные выше формулы естественным образом упрощаются; в частности, скалярное произведение и норма в этом пространстве определяются соотношениями (φ,ψ)=/φ(Ρ)ψ(Ρ)«ίΩ, (5,) 9 II φ IP = J<p2(P)iffi. (6,)
38 ГЛ. I. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Большой интерес представляют также вещественные пространства Ζ,2(Ω; σ). в) Векторное пространство ί2(Ω). Пусть Ω имеет то же значение, что и выше. Рассмотрим линеал векторных функций, каждая из которых имеет т составляющих, принадлежащих классу Ζ,2(Ω). На этом линеале введем скалярное произведение по формуле га (<Р> "*)=,[ ^^k(P)^P)dQ= j 4>(Ρ)·^(Ρ)άΩ, (10) Ω ft*=l Ω где <рь, ·ψ& — составляющие векторов φ, г|з, а точка означает обычное скалярное умножение векторов. Тем самым наш линеал превращен в гильбертово пространство, которое мы будем обозначать через L2(fi). Норма в L2(Q) определяется формулой т ΙΙφ[Ρ= |ΣΐΦ*Ρ«ίβ. (11) a ft*=i Если рассматриваемые векторные функции вещественные, то мы получаем вещественное векторное гильбертово пространство L2(£2); скалярное произведение и норма в нем определяются более простыми формулами (ψ,Ψ)={<ρ·ψί*Ω; ΙΙφίΡ^/φ^Ω, Q Ω где φ··ψ означает обычное скалярное произведение векторов, а φ2 означает квадрат длины вектора φ. г) Пространство Ζ,2(Γ) определяется аналогично пространству Ζ,2(Ω). Пусть Г—поверхность в /n-мерном евклидовом пространстве, Ρ — ее переменная точка, dT — элемент площади поверхности на Г. Пространство L2(T) состоит из функций, квадратично суммируемых на Г; скалярное произведение и норма в этом пространстве задаются формулами (Φ, Ψ)= |<ρ(Ρ)Ψ(ΡμΓ, (12) г ИФ1Р=/[Ф(Р)Р«*Г. (13) г Аналогично можно построить пространства Ζ,2(Γ, σ) и Ьг(Г). д) Обозначим через S границу области Ω. Рассмотрим множество функций, которые непрерывны в замкнутой области
§ 2 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 39 Qz=Q + S вместе со всеми своими производными до порядка г включительно. Нетрудно видеть, что это множество есть линеал. Мы его превратим в гильбертово пространство, если зададим в нем скалярное произведение следующей формулой: (φ, Ψ) = "~ Zi Zi . J дха'дха2 . . . дхат дха1дха2 ... дх°т "" ( ' Α=0α,+α2+ ··· +am=-kQ 12 т ι 2 т Здесь Χ\,Χζ, --,Χτη — декартовы координаты переменной точки из Ω. Это пространство обозначается символом L2r) (Ω); при г = 0 оно переходит в пространство Ζ,2(Ω). Как это видно из формулы (14), норма в ΐΧ' (Ω) определяется равенством iMf-Σ Σ ! dkq> , dxatdxaz... дхат +α,=£Ω Ι 1 2 m cffi. (15) e) Пространство h. Рассмотрим множество числовых последовательностей а = {ах, α, ап, ...), обладающих тем свойством, что ряд со сходится. Нетрудно проверить, что это множество линейное. Введем на нем скалярное произведение по следующей формуле: если а = (аь а2,. ..,ап,...) и Ь = (Ьи Ь2 Ьп, · · ·) суть последовательности из нашего множества, то со (а, Ь)=У>акЬк; (16) fe=l сходимость ряда (16) вытекает из неравенства 2|й(А|^|аь|2+ + |Ьь|2. Полученное таким образом гильбертово пространство обозначается через h- Норма в 12 определяется формулой, вытекающей из формулы (16): со Элементы <рь <р2,..., φ„ гильбертова пространства называются линейно зависимыми, если можно найти постоянные числа
40 ГЛ I ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Ωι.α2, ..., ап, не все равные нулю, так, чтобы выполнялось равенство α,φ, + α2φ2+ ... + й„ф„ = 0. Указанные элементы называются линейно независимыми, если последнее равенство осуществляется только при й] = а2= ... = а„ = 0. Теорема. Длч того чтобы элементы φι,<ρ2, ...,φη гильбертова пространства были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы равнялся нулю определитель (фь Φι) (Φι, Фг) ... (φι, Ψη) (фг, Φι) (φ2, Фг) · · · (φ2. Ψη) . (17) (φη, Φι) (Φη, Фг) ··· (φη. Ψη) Определитель (17) называется определителем Грама элементов Ф'.фг, ·· ·, ψη- § 3. Предельный переход в гильбертовых пространствах Пусть дано гильбертово пространство Н, и пусть фьфг> ··· • ■ ■. фп, · · ■ — последовательность1) его элементов. Будем говорить, что эта последовательность сходится или стремится к φ, если φ есть элемент Η и Нт || φ„-φ || = 0. (I) Элемент φ называется пределом последовательности {фп}· Мы будем записывать это обстоятельство, пользуясь обычной символикой ψη~>ψ, ΠΐΤ1φ„ = φ. Поясним наше определение на примерах. а) В пространстве L2(Q) сходимость фп—»-ф означает, что iim |Ί|φ„(/>)-φ(Ρ)ΙΡ«ίΩ = 0, т е. что фя(-Р) сходится к ф(Р) в среднем. б) Точно так же сходимость в £2(Ω;σ) есть сходимость в среднем с весом а(Р). ') Для обозначения последовательности φι, ψ2 ψη, ... мы часто будем пользоваться символом {ψη}-
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД 41 в) Сходимость в Lf (Ω), как легко видеть, означает сходимость в среднем функций последовательности и всех их производных, до порядка г включительно, к предельной функции и соответствующим ее производным. Теорема 1. Если φ„-^φ и ψη-^Ψ, то (<ри, ψη)-»-(φ, ψ). Следствие 1. Если φ„->φ, то (φ„, ψ) -> (φ, ψ). Следствие 2. Если φ„->φ, то ΙΙφΏ||-> ΙΙφΙΙ. Вернемся к общему понятию сходимости. Пусть в гильбертовом пространстве Η дана сходящаяся к элементу φ последовательность {<р„}. По определению lim ||φ„ — φ || = 0. Это значит, что по заданному ε>0 можно найти такое «о(ε), что при η>«0(ε), ||φ„ — φ||<ε. Пусть &>ηο(ε/2) и «>«0(ε/2). Тогда || щ- φ ||< ε/2 И || φ„-φ ||< β/2. Оценим норму разности ||<рь — φ„||. По неравенству треугольника II Ф* - Фп II = II (<Pk - ф) - (Фп - ф) II < 1 Φ* - Φ II +1| φ„ - φ ||< ε. Последнее неравенство, в силу произвольности ε, равносильно равенству lim || φΛ — φ„ || = 0. (2) k->oo П->оо Таким образом, если φη-»-φ, то необходимо выполняется равенство (2). Возникает вопрос: верно ли обратное утверждение, т. е. можно ли утверждать существование предела последовательности {ф„}, если она удовлетоворяет равенству (2). В общем случае ответ на этот вопрос приходится давать отрицательный. Чтобы выяснить это, рассмотрим такой пример. Рассмотрим линеал, составленный из функций <р(*), непрерывных на отрезке —1 -Cx-Cl. Превратим этот линеал в гильбертово пространство, задав скалярное произведение по формуле ι (φ, ψ)= J" φ (*) ψ (*)«**· -ι Построенное нами пространство, которое мы обозначим через Ν, не совпадает с L2(—1, 1), так как элементами последнего могут служить не только непрерывные, но и разрывные функции. Возьмем последовательность функций ι-Ι, -1 <*<-1/п, Φη(*) = | пх, —1/ηίζ.χίζ.Ι/η, 1 1, 1/п<*<1.
42 ГЛ I ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО График такой функции изображен на рис. 5. Будучи непрерывными, функции <рп (х) принадлежат N. Простое вычисление показывает, что ι lim || <pfe - φ„ IF = Hm f [q>k (x) - <p„ (*)]2 dx = 0. fe->oo ГС->оо fe->oo H->oo -/ Последовательность [ц>п(х)} стремится в каждой точке к разрывной функции, которую мы обозначим через φο(*).' ( -1, -1<*<0, φ0 (χ) = Ι 0, χ = 0, I I, 0<*<1, причем стремление к пределу — равномерное в каждом из отрезков — 1^х-< — ε и ε 4^ * ^ 1, где ε — любое положительное число, меньшее единицы. Отсюда У Τ , — нетрудно усмотреть, что + 1 lim [ [φ„ (χ)-ψ0(χ)]2άχ = 0, L-^χ т. е. что в среднем <рп (*)-* ψο (*) · 1 Функция ψο(χ) разрывна, более того, ее нельзя сделать непрерывной, изменяя ее значения только на множестве меры нуль. Так как предел в смысле сходимости в среднем единственный, то в пространстве N не существует элемента, предельного для {φ„(л:)} хотя эта последовательность удовлетворяет условию (2). Напротив, в пространстве ί-2(Ω) равенство (2) влечет за собой существование предельного элемента — это непосредственно следует из теоремы Риса — Фишера (§ 1). В нашем примере этот предельный элемент есть функция ψ0(χ). Гильбертово пространство называется полным, если всякая последовательность его элементов, удовлетворяющая условию (2), имеет предел, в противном случае оно называется неполным. Из сказанного выше следует, что пространство /V — неполное, L2(Q.) — полное Можно доказать также, что пространство L2(Q; а) — полное. Неполное гильбертово пространство можно сделать полным, лобавив к нему некоторые новые элементы, подобно тому, как Рис 5.
§ 3 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД 43 множество рациональных чисел дополняется до всей числовой прямой введением иррациональных чисел. Пусть последовательность {фп} удовлетворяет условию (2), но не имеет предела. Припишем последовательности {<р„} в качестве предела новый элемент φ, называемый предельным или идеальным. Пусть предельные элементы φ и ψ опредрляются последовательностями {ф„} и {ψη} соответственно. Мы примем, что φ = ψ, если lim || φ„ - ψ„ || = 0. Скалярное произведение предельных элементов определим формулой (φ, ψ) = iim (φ„, ψ„); (3) П->оо тогда, очевидно, II φ II = lim || φ„ It (4) существование обоих пределов нетрудно доказать. Можно доказать, что присоединение к Η всех предельных элементов делает Η полным пространством. Конкретный характер предельных элементов зависит от пополняемого пространства. Так, пополнение пространства N приводит к L2(—1; 1); предельными элементами здесь оказываются квадратично суммируемые на отрезке —l^x-^1 разрывные функции. Пополнение пространства Lf (Ω) связано с понятием обобщенных частных производных; мы не можем здесь останавливаться на этом подробнее1). В дальнейшем, говоря о гильбертовом пространстве, мы будем предполагать его полным. Введем следующее, важное для дальнейшего, понятие. Множество Μ будем называть плотным в гильбертовом пространстве Н, если каждый элемент (реЯ может быть получен как предел последовательности <р„ е М. Если пространство Η получено пополнением неполного пространства Н', то Н' плотно в Н. Последовательность, удовлетворяющая условию (2), называется фундаментальной. В полном пространстве всякая фундаментальная последовательность сходится. Множество Μ элементов гильбертова пространства называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Иначе говоря, множество Μ замкнуто, если из соотношений ФпеМ И(р„-+(р следует, что φ е М. ') О понятии обобщенной производной см. С. Л. Соболев [2], а также '· И. Смирнов [4]. Определение этого понятия см. ниже. стр. 133.
44 ГЛ I. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Обозначим через Со (Ω) множество функций, бесконечно дифференцируемых в Ω и обращающихся в нуль в некоторой окрестности (своей для каждой функции) границы S области Ω. Оказывается, что множество ΟΓ'ίΩ) плотно в L2(Q) (доказательство см., например, в книге автора [28]). Отсюда сразу следует, что в L2(Q) плотно множество функций, k раз непрерывно дифференцируемых в Ω и удовлетворяющих на S любым однородным краевым условиям; здесь k — любое неотрицательное целое число. Доказательство очень просто: указанное множество содержит плотное множество Со }(Ω). § 4. Ортогональность и ортогональные ряды. Π одпространства Два элемента гильбертова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Конечная или бесконечная последовательность попарно ортогональных элементов называется ортогональной системой. Если все элементы ортогональной системы нормированы, т. е. норма каждого элемента равна единице, то система называется ортонормиро- ванной. Ортонормированная система {<рп} удовлетворяет соотношениям J 1, m = n, (<Pm. Ψη) = \ η , (1) I 0, ιηφη. Ортогональную систему, не содержащую нулевого элемента, легко превратить в ортонормированную: для этого достаточно каждый элемент системы разделить на его норму. Элементы ортонормированной системы линейно независимы; действительно, если срьфг, ..., φη попарно ортогональны и нормированы, то в их определителе Грама диагональные элементы равны единице, а боковые — нулю. Но тогда определитель Грама равен единице. По теореме § 2 элементы фьфг,..., <р„ линейно независимы. Если φ = φι + ф2 + ... + φ„, и слагаемые попарно ортогональны, то II φ Ρ = 11 Φι If+ 114*114 ··· +[l<pJP. (2) Пусть Η — гильбертово пространство и {ф„} — ортонормированная в нем система. Мы будем называть эту систему полной η Η, если не существует элемента Н, кроме тождественного нуля, который был бы ортогонален ко всем элементам системы; к противном случае система называется неполной.
S 4. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПОДПРОСТРАНСТВА 4δ Если система {φ„} полная, то из равенств (φ„, ω)=0, η=Ι,2, ..., вытекает, что ω = 0. Пусть {<ρ»ι} — ортонормированная система в гильбертовом пространстве Η и φ — произвольный элемент из Н. Числа Gfe = (φ, ψ*) (3) называются коэффициентами Фурье элемента φ по отношению к ортонормированной системе {<pft}. Зададим натуральное число η и поставим задачу: выбрать коэффициенты αϊ, аг,.. ., а„ так, чтобы норма ||<р — sn\\, где sn — αιφι + агфг + . · · + αηψη, была минимальной. Как известно, решение этой задачи получится, если принять α* = α&, где ah— коэффициенты Фурье (3). При этом справедливо тождество η откуда вытекает неравенство Бесселя Σΐα*Ι2<ΙΙφΐΡ· (4) Ряд k=\ Σ ад* = 2 (φ. ψ/Ο фй (5) fe=l fe=l называется рядом Фурье, или ортогональным рядом, элемента φ по ортонормированной системе {ψη} Если данное гильбертово пространство Η полное, то ряд (5) всегда сходится; если s — сумма ряда (5), то разность φ — s ортогональна ко всем <рп, η = 1,2,... Допустим теперь, что ортонормированная система {φ„} полная. В этом случае элемент φ — s, ортогональный ко всем элементам системы, равен нулю и, следовательно, со φ = s = 2 ад;»· (6) Мы приходим таким образом к следующей теореме: Теорема 1. Если пространство полное, то ряд Фурье любого его элемента по любой полной ортонормированной системе сходится к этому элементу, и справедливо так называемое уравнение замкнутости со оо ΙΙφ[Ρ=2ΐ^Ι2=Σΐ(φ, <pfe)l2· (7)
46 ГЛ. 1 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Большое значение в теории ортогональных рядов имеет так называемый процесс ортогонализации Э. Шмидта, позволяющий преобразовать любую последовательность линейно независимых элементов гильбертова пространства в ортонормированную. Пусть φι, фа, ... — конечная или бесконечная последовательность элементов гильбертова пространства, и пусть при любом η элементы φι, <р2,... ι <ρη линейно независимы. Положим ψι = φ" сй1==Ш; rt-l Последовательность ωι, шг ... ортонормирована; при этом,, как нетрудно видеть, ω« линейно выражается через φι,φ2, · ..,ψη, а ψη линейно выражается через ωι, шг, ..., ω„. DO Теорема 2. Пусть постоянные ah таковы, что ряд 2 I а-ъ I2 сходится, и пусть {φη} — ортонормированная система. Тогда ряд со Σ ад* сходится (е смысле сходимости в рассматриваемом гильбертовом пространстве); постоянные ак суть коэффициенты Фурье его суммы, и для этой суммы имеет место уравнение замкнутости. Приведем одну лемму, которой мы часто будем пользоваться в дальнейшем. Лемма. Элемент, ортогональный ко всем элементам плот* ного множества, равен нулю. Особо важными оказываются те гильбертовы пространства, которые имеют плотное счетное множество. Такие пространства называются сепарабельными. Весьма важное для приложений пространство L2{Q) сепарабельно. Теорема 3. Для того чтобы в гильбертовом пространстве существовала полная счетная или конечная ортонормированная система, необходимо и достаточно, чтобы это пространство было сепарабельным. Переходим к понятию подпространства и к связанным с ним понятиям проекции и ортогональных подпространств. По определению, подпространство гильбертова пространства Η есть линейное замкнутое множество элементов из Н. Каждое подпространство само есть некоторое новое полное гильбертово пространство. Приведем несколько примеров подпространств пространства L2(Q),
§ 4. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПОДПРОСТРАНСТВА 47 Примеры. I. Множество функций, удовлетворяющих равенству (и, I)= f «dQ = 0. Ω очевидно, линейно и представляет собой подпространство функций, средние аначения которых по области Ω равны нулю. 2. Подпространство образует также фувкции, тождественно равные постоянной (своей для каждой функции). 3. Пусть Ω совпадает с отрезком (0, 2л) оси к. Множество функций, ряды Фурье которых содержат только синусы, образуют подпространство; очевидно, функции этого подпространства характеризуются тем, что они ортогональны к функциям cos пх, η = 0, 1, 2, ... 4. В пространстве La(Q) векторных функций, определенных в трехмерной области Ω, рассмотрим три линейных множества векторов: а) множество векторов, дивергенции которых равны нулю; β) множество градиентов скалярных функций; ■у) множество градиентов таких скалярных функций, которые обращаются в нуль на границе области Ω. Присоединив к каждому из этих множеств его предельные точки, получим подпространство. Само гильбертово пространство Η можно рассматривать как подпространство. Множество, содержащее только нулевой элемент, также является подпространством. Последние два подпространства называются тривиальными. Все подпространства примеров 1—4 нетривиальны. Пусть даны гильбертово пространство Η и его подпространство Ηχ. Пусть φ — произвольный элемент из Н. Доказывается, что в Их существует один и только один элемент <рь обладающий тем свойством, что ||φ-φ,||= Γηΐη||φ-ψ||. Фея, При этом элемент <р2 =» φ — φι ортогонален к любому элементу подпространства Нх или, как говорят короче, ортогонален к подпространству Нх. Элемент φι называется ортогональной проекцией элемента φ на подпространство Нх; слово «ортогональная» часто опускают и говорят просто «проекция». Таким образом, любой элемент φ е Η разлагается в сумму φ = φι + φ2, где ψι^Η] есть проекция φ на Яь а <р2 ортогонально к Нь Если φ е Η и то φι = φ, φ>2 α 0; элементы подпространства совпадают со своими проекциями на это же подпространство. Если пространство Η сепарабельно, то его подпространства также сепарабельны, и проекцию можно строить так: если фь Фг> ··· — ортонормированная система, полная в Ни то со Φι= Σ (φ, %)Ψ*· (8)
48 ГЛ Г ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Пусть Я2 — совокупность всех элементов из Н, ортогональных к подпространству Ηλ. Эта совокупность также есть подпространство. Любые два элемента ψι, ψ2, где ψι <ξ Нх и ψ2 е #2, ортогональны между собой; это коротко формулируют так: подпространства Н\ и Н2 ортогональны. Далее, как мы видели, любой элемент φ <Ξ Η имеет вид φ = φι + φ2, где φ^ <= Hh; /г = 1,2. Этот факт формулируют, говоря, что Η есть ортогональная сумма подпространств Нх и Я2. Говорят также, что каждое из подпространств И\ и Нч есть ортогональное дополнение другого подпространства. Если некоторое гильбертово пространство Η представляет собой ортогональную сумму подпространств #ι и Я2, то пишут Эту символическую формулу пишут также в виде H, = HQH2; H2=HQHV Легко заметить полную аналогию между теорией проекций, изложенной в настоящем параграфе, и теорией проекций в обычном трехмерном пространстве. Подпространствами трехмерного пространства служат прямые или плоскости, проходящие через начало координат. Если данное подпространство представляет собой, например, прямую, то проходящая через начало координат плоскость, нормальная к этой прямой, есть ортогональное к ней подпространство; очевидно, трехмерное пространство есть ортогональная сумма из любой прямой и нормальной к ней плоскости, если и прямая и плоскость проходят через начало координат. В частности, например, трехмерное пространство есть ортогональная сумма плоскости ΧΟΥ π оси 07.. Любое подпространство, если оно содержит хотя бы два линейно независимых элемента, можно в свою очередь разложить в ортогональную сумму двух ортогональных подпространств; так, плоскость ΧΟΥ есть ортогональная сумма осей ОХ и ΟΥ. Таким образом, можно прийти к понятию о разложении данного гильбертова пространства в ортогональную сумму любого (даже бесконечного) числа ортогональных подпространств. Так, трехмерное пространство есть ортогональная сумма осей ΟΧ, ΟΥ, ΟΖ. Нетрудно видеть, что подпространства примеров \ и 2 настоящего параграфа ортогональны, и их ортогональная сумма дает пространство L2(Q). Как мы увидим ниже, подпространства α и γ примера 4 также ортогональны; их ортогональная сумма дает все векторное пространство 1^(Ω). § 5. Функционалы и операторы Будем говорить, что на множестве М, принадлежащем гильбертову пространству Н, определен функционал /φ, если каждому элементу (реМ приведено в соответствие некоторое
§ 5 ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 49 число /<р. Множество Λ4 называется областью определения функционала I и обозначается через А Простейшим примером функционала является норма элемента. Функционалом является также скалярное произведение (φ, ψ), в котором второй множитель ψ фиксирован. Функционал называется линейным, если Μ есть линеал и Ζ (ajcpj + О2Ф2) = a\lffi + a2lq>z, (l) линейный функционал называется ограниченным, если |/фКЛГ|М1. (2) Здесь аъ а2, N — постоянные, φι, φ2, φ — элементы гильбертова пространства. Скалярное произведение (φ, ψ), где ψ фиксировано, дает пример линейного ограниченного функционала Его линейность вытекает из аксиомы В § 2, а ограниченность — из неравенства Коши — Буняковского, которое показывает, что можно положить /V = ||ψ||. Норма элемента — функционал нелинейный. Если I — линейный функционал, то, очевидно, /0 = 0. Наименьшее из чисел /V. удовлетворяющих неравенству (2), называется нормой ограниченного функционала /<р и обозначается через ||/||. Таким образом, ΙΜ<ΙΙ/Π·ΙΙφΙΙ. (3) причем ||/|| нельзя заменить меньшим числом. Функционал /<р называется непрерывным, если 1ϊιη/φ=ίψ. (4) Норма элемента есть непрерывный функционал. Это следует из теоремы 1 § 3. Всякий линейный ограниченный функционал, определенный на всем пространстве, непрерывен. Действительно, пусть φ—* ψ. Пользуясь линейностью функционала и неравенством (2), найдем |/φ-/ψΙ = |/(φ-φ)Κ^||φ-ψ||-;Γ?ίΓ*0. (5) Из доказанного, между прочим, вытекает непрерывность скалярного произведения. Можно доказать и обратное утверждение: всякий линейный и непрерывный функционал ограничен. Теорема 1 (теорема Ф. Риса). Всякий ограниченный в гильбертовом пространстве Η функционал I имеет вид скалярного произведения /φ = (φ, ψ), (6)
50 ГЛ. 1. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО где г|э — фиксированный элемент пространства Н. Элемент г|э определяется единственным образом. Часто возникает задача о расширении функционала, т. е. об определении функционала на более широком множестве. Во многих таких случаях большую роль играет следующая Теорема 2. Заданный на плотном множестве линейный ограниченный функционал можно, и притом лишь единственным образом, расширить на все пространство с сохранением нормы. Важную роль в последующем будут играть билинейные и квадратичные функционалы. Пусть в гильбертовом пространстве Η задано плотное линейное множество М, и пусть каждой паре φ, ψ его элементов приведено в соответствие одно и только одно число Φ (φ, ψ). Будем называть Φ (φ, ψ) билинейным функционалом, если: 1) при фиксированном ψ функционал Φ—линейный; 2) справедливо тождество Φ (φ, ψ) = Φ(ψ, φ). (7) Если Φ (φ, ψ) —билинейный функционал, то функционал Φ(φ) = Φ(φ, φ) (8) называется однородным квадратичным функционалом или квадратичной формой. Квадратичная форма удовлетворяет тождеству Φ(φ + ψ) = Φ(φ) + Φ(φ, ψ) + Φ (φ, ψ)+Φ(ψ). (9) Если Φ(φ)~ квадратичная форма, а I — линейный функционал, то выражение F (φ) = Φ (φ) ~1ψ-1φ + const (10) называется квадратичным функционалом. В случае вещественного гильбертова пространства соотношения (7), (9) и (10) заменяются следующими: Φ (φ, ψ) = Φ(ψ, φ), (7,) Φ(φ + ψ) = Φ(φ) + 2Φ(φ, ψ) + Φ (ψ), (9j) F (<ρ) = φ (φ) - Щ + const. (ίο,) Будем говорить, что на некотором множестве DA элементов гильбертова пространства Η определен оператор А, если каждому элементу φ е DA приведен в соответствие по некоторому закону один и только один элемент \]з гильбертова пространства. Мы будем писать г|э = Aq>. Множество DA называется областью определения оператора Αφ, а множество RA всевозможных элементов яр — областью значений того же оператора. Можно
S 6 ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 51 сказать, что Αφ есть функция, которая переводит элемент φ е DA в элемент ψ е RA. Необходимо отметить, что в определение оператора существенно входит его область определения. Два оператора А и В считаются равными, если совпадают их области определения и если для каждого элемента φ, входящего в область их определения, Αφ = βφ. Если DA есть часть DB и для каждого элемента (реОл имеет место равенство Aq> = βφ, то оператор β называется расширением оператора А. Оператор А называется линейным, если его область определения есть линеал и (а\, аг — постоянные) Α (αιφι + Огфг) = ах Ац>х + α^Αφ^. (! 1) Если А—линейный оператор, то ЛО = 0. Оператор называется непрерывным, если НтЛ(р=Лгр, (12) ч>->ф и ограниченным, если он линейный и || Ар Ж С || φ ||, С = const. (13) Наименьшая из постоянных С, удовлетворяющих неравенству (13), называется нормой ограниченного оператора А и обозначается символом ||Л||. Очевидно, ΙΜφΙΚΙΜΗΙφΙΙ. (Η) Линейный ограниченный оператор непрерывен. Справедливо и обратное утверждение: линейный непрерывный оператор ограничен. β последующем мы будем рассматривать только линейные операторы; говоря об операторе, мы всегда будем подразумевать, что он линейный. Теорема, аналогичная теореме 2 для функционалов, справедлива и для операторов: Теорема 3. Заданный на плотном множестве линейный ограниченный оператор можно расширить на все пространство с сохранением нормы. Оператор, который переводит каждый элемент пространства в себя самого, называется тождественным. Мы будем обозначать его через Е, так что £φ^φ. Оператор, который переводит каждый элемент пространства в нулевой элемент, называется нулевым, или оператором аннулирования. Оба эти оператора линейные и ограниченные; норма тождественного оператора равна единице, норма нулевого оператора — нулю.
62 ГЛ. 1. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Суммой и произведением операторов Л и β называются операторы Л + В и АВ, определяемые соотношениями (Л + β) ψ = Л<р + βψ, ΑΒψ = Α (Βφ). Вообще говоря, АВФВА; так, например, если Лф = ^-; βφ = Χ J q>(s)ds, а ТО Ь ΑΒψ = J φ (s) rfs, α ВЛф = x J φ' (s) ds = χ [φ (6) - φ (α)]φ ΑΒψ. α Принято обозначать АА = Л2, АА2 = Л3 и т. д.; вообще, Лп = = ААп~'1. Очевидно, АтАп = Ат+п. Пусть операторы Л и В ограничены. По неравенству треугольника ||Η + β)φ||<||,4φ|| + ||βφ||, и, в силу ограниченности Л и β, ||(Л + в)(р||<(||Л|| + ||В||)||ср||. Отсюда по определению нормы оператора ||Л + в|К1|Л|| + ||В||. (15) Аналогично Μβφ|| = |Η(βφ)||<|Μ||·||βφΙΚΐΜΐΙ·Ι|β||·|ΙφΙΙ и, следовательно, || Λβ|Κ II А || ·|Ι β II- (16) Важную роль во всем последующем играет понятие обратного оператора. Пусть DA есть область определения оператора А и RA— его область значений. По определению каждому элементу D А отвечает один и только один элемент RA. С другой стороны, каждому элементу RA отвечает по крайней мере один элемент DA. Допустим, что каждому элементу RA соответствует только один элемент DA; это соответствие определяет некоторый оператор β, имеющий RA своей областью определения и DA — своей областью значений. Оператор β называется обратным по отношению
§ 5. ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 53 к Л Очевидно также, что оператор А обратный по отношению к В. Мы будем писать В = А-1; вместо (А~1)п пишут А~п. Из определения обратного оператора вытекает следующее: если Л и В — взаимно обратные операторы и q>^DA, то имеет место равенство ΒΑψ — φ; точно так же, если ψ е DB, то Αβψ = = ψ. Очевидно, что оператор, обратный линейному, также линейный. Теорема 4. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы уравнение Αφ = 0 имело единственное решение φ = 0. Теорема 5. Для того чтобы оператор Л-1 был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная k > 0 такая, что при всех φ ζ DA И Л<р || >/г || ψ ||. Оператор А называется симметричным, если он определен на плотном множестве и если для любых элементов φ и ψ из области определения этого оператора имеет место тождество (Αφ, ψ) = (φ, Αψ). (17) Следующая теорема дает простой критерий симметричности оператора в комплексном гильбертовом пространстве; в вещественном пространстве этот критерий, очевидно, неверен. Теорема 6. Для того чтобы оператор А, определенный на плотном множестве, был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение (Αφ, φ) было вещественным для любого φ е Da- Симметричный оператор называется самосопряженным, если выполнены следующие условия- пусть ψ и ψ*—элементы пространства, обладающие тем свойством, что для любого элемента φεΟΑ справедливо тождество (Αφ, ψ)=(φ, ψ*); тогда ψ е DA и Αψ = ψ* Пусть Η—гильбертово пространство, Нх — его подпространство Оператор, который каждому элементу φε/ί сопоставляет его ортогональную проекцию на Нх, называется оператором ортогонального проектирования, а также ортогональным проектором, или просто проектором на Нх. Ортогональный проектор Ρ характеризуется тремя свойствами: 1) DP = H; 2) Ρ — самосопряженный оператор; 3) Ρ2 = Ρ Ортогональный проектор
54 ГЛ I. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ограничен: если Н\ состоит только из нулевого элемента, то IIPII = 0, во всех остальных случаях \\Pfi = 1. Иногда рассматривают операторы косого проектирования. Если Q — такой оператор, то он также приводит в соответствие каждому элементу феЯ некоторый элемент ιρ'ε^ι, где Нх — заданное подпространство; при этом DQ = Η и Q2 = Q. Норма оператора косого проектирования может быть сколь угодно большой. § 6. Вполне непрерывные операторы Оператор А называется вырожденным или конечномерным, если он может быть представлен в виде η Лы = 2 (и. %) Фа, (1) где число η конечное, а <рл и г])ь— данные элементы рассматриваемого гильбертова пространства. Оператор А называется вполне непрерывным1), если этот оператор может быть представлен в виде Аи = Ααι + А" и, (2) где Α'ε — вырожденный оператор, а норма оператора А" может быть сделана меньше любого наперед заданного числа ε > 0. Отметим некоторые свойства вполне непрерывных операторов а) Всякий вырожденный оператор вполне непрерывен. Действительно, вырожденный оператор можно представить в форме (2) — достаточно положить А" = 0. б) Вполне непрерывный оператор ограничен. в) Сумма конечного числа вполне непрерывных операторов вполне непрерывна. г) Если оператор А ограничен, а оператор В вполне непрерывен, то операторы В А и А В вполне непрерывны. Важным примером вполне непрерывного в пространстве L2(Q) оператора является интегральный оператор Фредгольма Ku=\K{P,Q)u{Q)dQQ, (3) ω ядро которого К (Р, Q) подчинено условию В2 = \ \ | К2(Р, Q)\dQPiffiQ< оо. (4) Ω Ω ') Обычно принимается другое определение вполне непрерывного оператора, эквивалентное данному (см. ниже теорему 1),
§ 6 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 55 Другой важный пример оператора, вполне непрерывного в Ζ,2(Ω), это интегральный оператор со слабой особенностью. Так называется оператор вида Ω Г где Ω — конечная область /n-мерного пространства, А (Р, Q) — ограниченная измеримая функция, α—постоянная, причем α < m. Доказательство полной непрерывности оператора Фредголь- ма и оператора со слабой особенностью можно найти, например, в книге автора [20]. Понятие вполне непрерывного оператора тесно связано с понятием компактного множества. Множество элементов гильбертова пространства называется компактным, если из любой бесконечной части этого множества можно выделить сходящуюся последовательность. Основное свойство вполне непрерывного оператора, которое обычно и принимается за его определение, дается следующей теоремой: Теорема 1. Для того чтобы оператор был вполне непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он преобразовывал любое ограниченное множество в компактное. Рассмотрим уравнение и-1Ти = f, (5) где и — искомый, а / — данный элемент некоторого гильбертова пространства Η, Τ — вполне непрерывный в этом пространстве оператор и λ—численный параметр. Чтобы решить это уравнение, поступим следующим образом. Будем считать, что λ может принять любое фиксированное значение, по модулю не превосходящее некоторого постоянного R, так что |λ|·^/?. По формуле (2) положим Τ = Г' + Т", где оператор Т'—вырожденный, а относительно оператора Т" потребуем, чтобы ||Г"|К1/(2Я). Тогда || и -КГ»и \\>\\и Ц-1 λ III T»u \\>\\ «11/2, из теоремы 5 § 5 вытекает, что оператор (Ε— λΤ")-1 существует и ограничен. Нетрудно установить его вид, именно непосредственная проверка показывает, что оо оо Σ λ" (ГО* [Ε - XT") u = [E- %T") Σ λ* {T")ku = и
56 ГЛ. Г. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО и, следовательно, со (£ - λΓ")"1!* = 2 lk (T")k и. (6) ft=0 Ряд (6) сходится, каков бы ни был элемент и. Действительно, по формуле (16) § 5 \\%п {гу цц< аг -γ,στΗ»κ<ΐΜ" ·»τ'«г. м. Но |λΚ#, а ||Г'Ц<1/(2#), поэтому II λ" (пя« К i· II«II. и сходимость ряда вытекает из того, что его общий член не превосходит общего члена сходящейся прогрессии. Заметим, что оператор (Ε— λΓ")-1 определен на всем пространстве, поскольку ряд (6) сходится при любом и. Наконец, !оо JI оо Σ λ" (η"«к 2 и λ" (го"«у < со <\)и\\^~=2\\и\[, последнее неравенство означает, что ||(Е — λΤ")~ ||^2. Уравнение (5) перепишем в виде u-lT"u-lT'u=:f. Применив к его обеим частям оператор [Ε— λΤ")~\ мы преобразуем это уравнение в ему эквивалентное u-l(E-lT'TlT'u = Fb; FK = (Ε - λΤ'Τ'ί- (7) Далее, пусть η Та - 2 (", ψ*) Ш\ fe=l элементы щ, так же как и элементы ψ&, можно считать линейно независимыми. Теперь η (1 - λΤ'Τ'ΤΊι = 2 (", Φ») ω*, ki ωλ> fc = (£ - λΓΤ1 φ*. (8)
§ 6 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 57 Элементы ωλ. h линейно независимы. Действительно, пусть по- п стоянные σΐι таковы, что 2 α&ωλ, ^ = 0. Тогда А=1 (Ε - λΤ") Σ ^ωλ, k = g ak (Ε - λΤ") ωλ, k = 0, или k=l Так как <pfe линейно независимы, то aft = 0, что и требовалось доказать. Обозначим Cfe = (w, %). Тогда уравнение (7) принимает вид η и - λ 2 Cfero>., fe = Fb (9) и дело сводится к определению постоянных Си. Пользуясь формулой (8), приведем уравнение (7) к виду η Заменяя здесь и его выражением из (9) и пользуясь линейной независимостью ω^, ft, мы получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными Ch: >,η-λ 2j amk(l) Ck= bm(l), m=\,2, ..., a, (10) эквивалентную уравнению (5). Здесь положено «mfc (λ) = (ωλ, k, Ψ,η). Ьт (λ) = (FK, ψ,η). Очевидно, коэффициенты amk, а следовательно, и определитель 1 — Яоц — λα12 . . . —ло1п DR(V — λα?1 -λαη1 1 — λ%> · — λΰ,ί2 . -λα 2η 1 -λα„ суть функции от λ, голоморфные в круге |λ|-</? комплексной λ-плоскости!) Отсюда следует, что в круге Ιλί^Ζ? определитель Ζ)κ(λ) может иметь только конечное число корней. ') При этом Dp{M^*\ так как, очевидно, DR (0) =1.
58 ГЛ I. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Если DR(K) = О, то однородная система, получаемая из (10) заменой правых частей нулями, имеет нетривиальное решение, т. е. такое решение, в котором не все Ст равны нулю. Тогда, очевидно, однородное уравнение и — 1Ти = 0 имеет нетривиальное решение, и рассматриваемое λ есть величина, обратная собственному числу оператора Т. Такие λ называются также характер ист ическими числами. Если же Dh(k) φ Φ 0, то система (10), а с ней и уравнение (5) имеют единственное решение, так что существует оператор (Ε — λΤ)~ι. Мы будем обозначать его через 1\. Значения λ, для которых 1\ существует, будем называть правильными. Для уравнения (5), содержащего вполне непрерывный оператор, сохраняет силу так называемая альтернатива Фредголь- ма: либо неоднородное уравнение разрешимо, и притом единственным образом, при любом свободном члене f, и тогда соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение и = 0, либо неоднородное уравнение разрешимо не при любом свободном члене, и тогда соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальные решения Первая часть альтернативы имеет место, если λ правильное, вторая, если λ характеристическое. Как мы видим, в круге любого радиуса Ιλ| -^/? содержится только конечное число характеристических чисел уравнения (5); отсюда следует, что этих чисел самое большее счетное множество на всей комплексной λ-плоскости. Все остальные значения λ правильные. Если оператор Γλ существует, то он ограничен. Докажем это. Решив систему (10) и подставив ее решение в (9), мы найдем после простых преобразований η и = Г J = (Ε - λΤ")'Χϊ + д-^ Σ Δ<- <λ> ((£ - λΓ")"11- **) ωλ. m, (ii) где Δίιηι(λ)—алгебраическое дополнение элемента, стоящего на пересечении k-Pi строки и m-ro столбца в определителе DR(K). Выше мы видели, что ||(£— ЯГ")-1 ||-<2. Теперь формула (11) дает η II Г»/IK 2 И/||+ Σ \-^Щ-\-\((Е-1Т"ГЧ,^)\'\\щ.т1 k m-l ' R '
$ б ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 59 Но по неравенству Коши — Буняковского \{(Ε-λΤ")-λϊ,^)\<\\(Ε-λΤ")-'ϊΙ\\^\\< < | {Ε - λΤ")~' I · II f II · II % IK 2II % Ml f II. Отсюда l|IVlK2Jl+ J |-τ^|·||ωλ,„ΙΗΙΨ*Ιΐ}||/Ι|, и, следовательно, ι + Σ ft, ra=' ts.km (λ) οΛ(λ) II ωλ, m It · II -ψ& || . Теорема 2. Пусть {Тп} — вполне непрерывные операторы в некотором гильбертовом пространстве Н, которые стремятся к вполне непрерывному оператору Т, в том смысле, что ΙΙΓ-ΓπΙΙ-^->0. Пусть, далее, fn — элементы того же пространства, стремящиеся к некоторому элементу /. Если λ — правильное значение уравнения u-KTu = f, (12) то при достаточно большом η это же % будет правильным и для уравнения un-KTnun = fn, (13) при этом решение уравнения (13) стремится, при п—><х>, к решению уравнения (12). Рассмотрим уравнение v-lTnv = g, (14) где g— произвольный элемент из Н. Уравнение (14) запишем в виде v-XTv-l(Tn-T)v = g. (15) По условию теоремы существует оператор Γλ; применив его к обеим частям уравнения (15), получим ν-^κ(Τη-Τ)Ό = Γ,£. (16) Имеем, далее, || λΓλ (Тп - Т) || < | λ | · || Γλ || · || Тп - Ύ ||, (17) что по условию теоремы будет сколь угодно малым при η достаточно большом. Пусть η настолько велико, что ΙΙλΓλ(Γ„-ηκ{·
60 ГЛ I ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО Повторяя приведенные выше рассуждения, относящиеся к ряду (6), убедимся, что оператор [Е— λΓλ(Γη—Т)]~х существует, определен на всем пространстве и его норма не превосходит 2. Теперь из (16) находим решение уравнения (14): ν = [Ε-λΤλ(Τη-Τ)ΓιΓλβ. Отсюда видно, что при указанных η существует оператор Γ„λ = (Ε - λΤη)~ι = [Ε - λΙ\ (Τη - Τ)]~ιΓλ; (18) этим доказано, что рассматриваемое значение λ—правильное для уравнения (13). Чтобы установить вторую часть теоремы, докажем сперва, чт0 [|Γ„λ —Γλ|| η^-*Ό. Для краткости обозначим λΓλ(Γ„-Γ)=β„; из (17) видно, что || Вп||->-0 при /г->-оо. Теперь по формулам (18) и (6) Γβλ« = 2 впТьи, fe=0 откуда Γ„λ«-Γλ« = 2β«Γλ« k-I oo Ι|Γ„λ-Γλ|Κ^||β„|Μ|Γλ||= «*"jj'^l -—»0. (19) fe=»l Теперь легко доказать вторую часть теоремы. Имеем "„ - и = Tnrfn - TJ = (Γ„λ - Γλ) fa + Γλ (/„ - f). Отсюда ΙΙ«„-«ΙΚΙ|Γ„λ-Γλ||.||^|| + ||Γλ||·||/„-/Ι|. Так как HfJI -*■ llfll, то HfJI ограничена; в силу (19) первое слагаемое стремится к нулю. Стремление к нулю второго слагаемого очевидно. Окончательно II ип — и \\ п^,^-*0. Теорема доказана. Теорема 3. Если \\Тп — Г||-^-0, где Τ и Тп — вполне непрерывные операторы, то характеристические числа уравнения и—КТи = 0 получаются предельным переходом, при п-^оо, из характеристических чисел уравнения ип — КТ„ип = 0. Доказательство основано на простом замечании, что при достаточно малом изменении оператора Τ сколь угодно мало изменяются элементы определителя DR(k), а следовательно, и сам определитель. Пусть λο—какой-либо корень DK(K), лежащий в круге |λ| -^i?, и пусть ρ — его кратность. Окружим λ0
§ б ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 61 кругом достаточно малого радиуса р. Тогда внутри и на окружности этого круга других корней Ζ?κ(λ), кроме λ0, не будет. В частности, на окружности |λ—λ0| = р определитель DR(l) отличен от нуля. Обозначим <7= min |£>β(λ)|, <7>0. | λ— λ0 |="Ρ Выберем теперь N столь большим, чтобы при η > Ν на окружности | λ — λ01 = ρ было \DR{X)-D^(X)\<q, V«) где D« (λ) — определитель (9), соответствующий оператору Тп. По теореме Руше') D(r (λ) имеет в круге Ιλ — λ0| <ρ ровно ρ корней. Обозначим их λ„ι, λ„2, · · ·, λ„ρ. Очевидно, |λΒ/-λοΙ<ρ, /=1, 2, ..., ρ, η^Ν. Так как р можно выбрать сколь угодно малым, то последнее неравенство равносильно утверждению, что lim λη! = λ0, j= I, 2, ..., p. Важную роль играет вопрос о характеристических числах симметричного вполне непрерывного оператора. Сформулируем некоторые относящиеся сюда предложения. 1. Характеристические числа симметричного вполне непрерывного оператора вещественны (ср. ниже, § 39). 2. Пусть Τ — вполне непрерывный оператор, и пусть существует хотя бы один элемент и' такой, что [Ти',и') > 0. Тогда наименьшее положительное характеристическое число λι оператора Τ определяется формулой ^=ini(feV' (2о) нижняя грань берется по всем элементам и таким, что (Ти, и) > 0. 3. Аналогично, пусть оператор Τ вполне непрерывен, и пусть существует хотя бы один элемент и такой, что (Ти,и) < 0. Тогда наименьшее по абсолютной величине отрицательное характеристическое число λ-i оператора Τ определяется формулой верхняя грань берется по множеству тех элементов и, для которых (Ти, и) <0. ') См, например, В И. СмирноБ [2].
ГЛАВА II ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО § 7. Краевая задача и ее оператор Уравнения в частных производных математической физики распадаются на два больших класса. Уравнения первого класса описывают процессы, в которых интересующие исследователя искомые величины заметно меняются с течением времени, так что эти искомые суть функции координат и времени. Наиболее простой и важный представитель этого класса — волновое уравнение (С2, 171), частным случаем которого является уравнение колебаний струны. Другой важный пример уравнений того же класса представляет собой уравнение теплопроводности (С2,203). Такими уравнениями мы в данной книге заниматься почти не будем. Уравнения второго класса описывают явления стационарные, в которых интересующие исследователя величины с течением времени не изменяются или по крайней мере изменяются пренебрежимо мало. Чаще всего такие уравнения принадлежат к так называемому эллиптическому типу1). Рассмотрим одну из простейших стационарных задач математической физики. Пусть некоторое тело неравномерно нагрето, так что его температура, которую мы обозначим через U, есть функция координат переменной точки тела. Если внутри тела нет источников тепла, то эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа стремя независимыми переменными (С2, 112) если мы хотим узнать распределение температур внутри тела, то надо это уравнение проинтегрировать, т. е. надо найти функцию удовлетворяющую этому уравнению. Нетрудно, однако, видеть, что уравнению Лапласа удовлетворяет бесчисленное множество функций, между тем физически ясно, что в данном теле, находящемся в данных условиях, распределение температур должно быть вполне определенным. Это значит, что при реше- ') См . например, И, Г. Петровский [1],
§ 7. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ ОПЕРАТОР 63 нии нашей задачи мы не можем исходить только из уравнения Лапласа: к нему следует добавить еще некоторые дополнительные условия. К этим условиям можно прийти, например, так: мы имеем возможность непосредственно измерить температуру в любой точке поверхности данного тела. Допустим, что мы измерили температуру во многих точках, достаточно густо расположенных на поверхности тела, Можно тогда практически принять, что нам известна температура в любой точке поверхности тела — это и может служить дополнительным условием при интегрировании уравнения Лапласа, Обозначим буквой Ω пространственную область, заполненную нагретым телом, буквой 5 — его поверхность. Пусть, далее, Ρ означает произвольную точку на поверхности 5 и f(P)—известную нам температуру тела в точке Ρ его поверхности. Наше дополнительное условие можно записать так: U = f(P) на 5, или, несколько более сжато, U\s = f(P). (2) Задачу о распределении температур можно теперь математически сформулировать так: найти функцию U(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению Лапласа внутри области и принимает заданные значения на ее границе S; в математической физике эта задача известна под названием задачи Дирихле. Условие, что искомая функция принимает на 5 заданные значения, называется граничным, или краевым условием, так как оно относится к поведению искомой функции на границе области. Краевые условия могут быть и иного типа, чем в задаче Дирихле. Так, допустим, что нам известна температура U0 окружающей среды, и пусть тепло испускается в эту среду через границу тела S. По закону теплопроводности, сформулированному Ньютоном, поток тепла через границу пропорционален разности температур внешней среды и границы тела, Этот закон приводит нас к краевому условию вида -g- + A(i/-i/0) = 0 на S, где ν — внешняя нормаль κ поверхности S, h — некоторый коэффициент. Полагая h(J0 = φ (Ρ), можно новое краевое условие записать в виде Задачу интегрирования уравнения Лапласа при краевом условии (3) часто называют смешанной задачей.
64 ГЛ II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Если в левой части условия (3) положить h = 0, то получится новое краевое условие ΊΗ = <ρ(ρ); (4) задачу интегрирования Лапласа при этом условии обычно называют задачей Неймана. Задача Неймана играет большую роль не только в теории теплопроводности, но и в ряде других случаев. Так, например, задача кручения упругих стержней сводится к отысканию функции двух переменных ψ(χ> у), которая удовлетворяет «двумерному» уравнению Лапласа (Уф д2др _п дх2 "*" ду2 υ в области основания стержня, а на границе этой области удовлетворяет краевому условию ~ = у cos (ν, χ) - χ cos (ν, у). К задаче Неймана сводятся также задачи об изгибе упругого стержня поперечной силой, об обтекании твердого тела потоком идеальной жидкости и многие другие. Итак, мы выяснили, что относительно уравнения Лапласа целесообразно ставить и решать три задачи, которые различаются только краевыми условиями, сопутствующими уравнению; это суть задачи Дирихле, Неймана и смешанная. Иногда их называют просто первой, второй и третьей краевыми задачами. Уравнение Лапласа — простейший и наиболее важный представитель класса эллиптических уравнений. В математической физике часто встречаются и другие уравнения этого же класса. Так, если внутри неравномерно нагретого тела распределены источники тепла интенсивности f(x,y,z), то температура U{x, у, ζ) этого тела удовлетворяет уже не уравнению Лапласа, а так называемому уравнению Пуассона (или неоднородному уравнению Лапласа) &U = - ± f{x, у, г), (5) где k — коэффициент внутренней теплопроводности. Может случиться, что тело неоднородно, так что k есть не постоянная, а функция координат, тогда уравнение (5) заменяется следующим: коэффициенты этого уравнения уже переменные. Уравнению (5) или (5|) может сопутствовать краевое условие одного из типов
§ 7, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ ОПЕРАТОР 65 (2), (3) или (4). Можно ставить для названных уравнений и другие краевые условия, но их значение невелико, и мы ими здесь заниматься не будем; отметим только тот случай, встречающийся на практике, когда граница области распадается на части, на каждой из которых задано одно из условий вида (2). (3) или (4). Задача интегрирования дифференциального уравнения при тех или иных краевых условиях называется краевой задачей. В прикладных вопросах часто приходится интегрировать дифференциальные уравнения эллиптического типа с двумя или тремя независимыми переменными, роль которых обычно играют декартовы координаты переменной точки пространства. Как мы увидим ниже, ни постановка основных задач, ни развиваемые в настоящей книге методы их решения не зависят сколько- нибудь существенно от числа измерений пространства. Поэтому, чтобы упростить изложение, мы будем говорить о пространстве m измерений, допуская при этом, что т может равняться двум или трем; во многих случаях, впрочем, искомая функция зависит только от одной независимой переменной, и тогда т = 1. Отметим тут же, что с теоретической точки зрения число т измерений пространства может быть каким угодно. Уравнений второго порядка эллиптического типа недостаточно для того, чтобы изучать даже важнейшие стационарные явления. Так, теория изгиба тонких пластинок приводит к уравнению четвертого порядка а /а \ а9 d*w ι г. д'ш . д*ш ,. . A(A») = A = ir+21F¥+-^- = f(x,{/); для его интегрирования искомую функцию w(x, у) подчиняют тем или иным краевым условиям в зависимости от способа закрепления края пластинки. Эти условия будут подробнее рассмотрены в § 30. В ряде случаев приходится прибегать к системам дифференциальных уравнений в частных производных. Так, в теории упругости мы имеем дело с системой трех уравнений второго порядка с тремя независимыми переменными; три уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, но только с двумя независимыми переменными, определяют смещения точек тонкой упругой оболочки. Число таких примеров нетрудно увеличить. С краевой задачей математической физики можно связать некоторый оператор — «оператор данной краевой задачи», действующий в подходящем гильбертовом пространстве; при этом данная задача может быть записана в виде уравнения Au = U (6)
66 ГЛ. II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО где А — оператор краевой задачи, и и / — элементы гильбертова пространства, первый искомый, а второй данный. Поясним это утверждение на примере. Пусть в области Ω требуется найти решение неоднородного уравнения Лапласа -bu = f(P) (7) при однородном краевом условии задачи Дирихле и |s = 0; (8) здесь Ω означает область в m-мерном евклидовом пространстве, Ρ — переменную точку этой области, S — ее границу. Для простоты допустим, что функция f(P) непрерывна в замкнутой области Ω = Ω + S. Введем в рассмотрение гильбертово пространство ί.<>(Ω) (см. § 1). Очевидно, свободный член / уравнения (7) принадлежит этому пространству; будем считать, что ему принадлежит и искомая функция и. В пространстве L2(Q) выделим множество Μ функций, обладающих следующими свойствами: 1) функции из множества Μ непрерывны в Ω вместе со своими первыми и вторыми производными; 2) функции из множества Μ обращаются в нуль на 5. На множестве Μ зададим оператор, который обозначим через А и который действует по формуле Аи = — Дк. (9) Ясно, что задачу (7) — (8) можно теперь записать в виде (6). Аналогично можно строить операторы и других краевых задач, если их краевые условия однородны. В случае неоднородных краевых условий построение несколько усложняется; мы не станем его проводить, так как в дальнейшем мы им не будем пользоваться. При исследовании дифференциальных операторов математической физики играют большую роль формула интегрирования по частям и формулы Грина. Формула интегрирования по частям для кратных интегралов получается как простое следствие из формулы Остроградского (см. С2, 63). Для случая двойного интеграла она переходит в формулу Грина (см. С2, 69). Формула Остроградского имеет следующий вид: ί (-Sr+Sr+!г)m = ί focos ^+*cos {vy) + ω cos ivz)} dS; Ω S область Ω предполагается трехмерной. Здесь dS — элемент площади поверхности S (длины дуги кривой S, если область Ω пло-
§ 7. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ ОПЕРАТОР 67 екая), ν — внешняя нормаль к S. Если φ, г|э, ω трактовать как составляющие некоторого вектора w,to формулу Остроградского можно представить в форме J divwrfQ= ί wvdS, о s которую будем называть векторной формой формулы Остроградского; через wv обозначена проекция вектора w на направление внешней нормали к 5. Положим г|э = ω = 0, φ = uv. Выполнив дифференцирование под знаком объемного интеграла и перенеся направо одно из слагаемых, мы и получим формулу интегрирования по частям: u~-dQ= — v-^-dQ + uvcos(vx)dS· Ω Ω S Если область Ω — не обязательно трехмерная, а, вообще говоря, m-мерная, где т может быть как больше, так и меньше трех, и если декартовы координаты обозначить через хи Хг, ..., хт, то формулу интегрирования по частям в общем случае можно записать так: §u~-d&=- JO -§!tdQ + I 4V cos (vXt)dS. (10) Ω Ω S Формула интегрирования по частям верна, если, например, обе функции и, υ и их первые производные непрерывны в замкнутой области Ω + S, а граница 5 — кусочно гладкая. Формулу интегрирования по частям применим к выводу так называемых формул Грина, играющих большую роль в математической физике. Пусть и(Р) и ν(Ρ)—функции, непрерывные вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области Ω, а в остальном — произвольные. Пусть, далее, Aih{P), U k = 1, 2, ..., /π, —данные функции, непрерывные вместе со своими производными в той же замкнутой области; буквой т, как обычно, мы обозначили число измерений пространства. Примем еще, что Atk(P) = Akt(P), каковы бы ни были значки t и k. Рассмотрим дифференциальное выражение ') т т ^=-И<^Ыр^)+с(р)и> ') Причина, по которой мы считаем удобным ставить знак минус в выражении Lu, будет выяснена в § 27,
68 ГЛ. П. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО где С{Р) —функция, непрерывная в замкнутой области Ω. Мы будем также записывать это короче в виде т г, ft*=i Составим интеграл JoLudQ-- £ f O^(Aik-£k)dQ + J CuvdQ. (12) Ω i, fe«=l Q Ω В формуле (10) заменим и на у и у — на А«-=—· Мы получим тогда формулу, которую назовем первой формулой Грина: т I vLud^l ^A^-^dQ + jcuvdQ- С m "J v Σ Aik-^ cos (χ, xt)dS. (13) S i, fe=l Положив ν (Ρ) as u(P), получим вторую формулу Грина uLudQ= β Γ m 1 λ m -J Σ^^-gr + Cu» dQ-J« Σ A^cosiv.x,)^. β Li. *=i J s ι. fe=i (14) В первой формуле Грина поменяем местами буквы и и у и полученный результат вычтем из (13): # в m ·. /(й—ы*»-Π Σ *-££- Σ *.■£-£*- а α \ι, k=i ί. t-=i J Ят т v Σ A'fe~Щ; cos (vxi) ~и Σ Aik~^cos (x, xt) dS. Докажем, что объемный интеграл справа равен нулю. Во второй сумме под знаком интеграла будем писать i вместо k и k вместо i, что, очевидно, допустимо. Тогда подынтегральная функция т примет вид 2j (Aik- Аи)-— ■— = 0, так как AM~Aih. t, fe«=l
§ 8. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 69 Обозначая теперь для краткости т Σ Atk — cosivxt) = Nu, (15) dxk ι. fe=i получаем третью формулу Грина | (vLu~uLv)dQ= J (uNv-vNu)dS. (16) Ω S Рассмотрим частный случай. Пусть Л„ = 1; A|fc = 0, igbft; C = 0. Тогда L« = —Ды (Δ — оператор Лапласа) и Λ/и = -^-.Мы получаем таким образом формулы Грина для оператора Лапласа: Ω Ω f = l S m Ω Ω £=1 S J(t»A«-«At»)dQ = J(t»-g--«-g-)dS. (19) Ω S Сходные формулы, которые обычно также называют формулами Грина, можно построить и для дифференциальных операторов порядка выше второго. Мы будем выводить такие формулы ниже по мере надобности. § 8. Положительные и положительно определенные операторы Симметричный оператор А называется положительным, если для любого элемента u^DA имеет место неравенство (Аи, и)>0, (1) причем равенство (Аи, и) = 0 выполняется только тогда, когда к = 0. Замечание. Если данное гильбертово пространство комплексное, то оговорка о симметричности оператора не нужна: достаточно потребовать, чтобы оператор имел плотную область определения; тогда его симметричность вытекает из неравенства (1) и теоремы 6 § 5,
70 ГЛ. Н. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Пример 1. Пусть оператор β определен в вещественном пространстве /-2(0,1) на множестве функций, которые имеют непрерывные вторые произ* водные на сегменте [0, 1] и удовлетворяют краевым условиям ы(0) = ы(1) = 0. (2)* Допустим, что этот оператор действует по формуле £и ах- Ви--2&. (3). Докажем, что оператор β положителен. Установим прежде всего его симметричность. Область определения нашего оператора плотна в £2(0,1), так. как она содержит множество С^°'[0, 1], плотное в L2(0,1) (см. § %, и достаточно установить тождество (Ви, v) = (u, Bv), и, οεί)£. Имеем ι о Проинтегрируем это по частям: . Г du du , (βΜ'*)= J Ίχ-άΤάχ-ΰ du dx Функция οεί)ι удовлетворяет краевым условиям (2), поэтому внеинтеграль· ный член справа исчезает, и мы получаем о Точно так же найдем ι ι / η ч Г d2O . С du dv . ., , (M'Bu)=-J u-dWdx= J -dx--dTdx· (4«> 0 0 Формулы (4) и (4i) показывают, что оператор В симметричен. Положив в формуле (4) ν = и, получим ι (Ви,и)= j(^-Jdx>0. (5) о Допустим теперь, что (Вы, и) = 0. Это означает, что ι \2 № dx& 0. Подынтегральная функция неотрицательна, и из обращения в нуль интеграла вытекает, что etu/dx = 0 и, следовательно, и{х) =xonst, Краевые условия (2)
§ 8. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 71 тогда показывают, что и = 0. Из всего сказанного следует, что оператор β положителен. Пример 2. В том же вещественном пространстве L2(0,1} рассмотрим оператор С, который, как и оператор β, действует по формуле d2u а область его определения Dc отличается от области DB только краевыми условиями: пусть функции из Dc удовлетворяют краевым условиям и'(0)-ш(0) = 0, «'(1) + β«(1) = 0; α, p = const. (6) Множество Dc плотно в L2(0, 1) (см. § 3). Далее, пусть u,veDc. Имеем ι ι (Си, υ)-- \v^dx= \η£η£ dx + ν (0) и' (0)- ν (1) «'(1). о о Исключая и'(0) н и'(\) с помощью соотношений (6), получаем ι (Cu,v) = J ~£-~-dx+au(0)v(0) + $u(l)v(l). о Правая часть симметрична относительно и и ν, поэтому (Си, v) = (Cv, и) = = (и, Cv) н оператор С симметричен. Прн произвольных значениях а и β трудно судить о положительности оператора С; легко, однако, указать для этого Простые достаточные условия: оператор С положителен, если а ^ О, β ^ 0, причем хотя бы одна из постоянных α нлн β отлична от нуля. Действительно, пусть, например, ρ > 0 н α > 0. Тогда ι (Си, «)= J [~£-\2ах + аи2(0) + $и2(1)^0. (*) о Если (Си, и)=0, то, как легко видеть, необходимо м(0) = 0 и du/dx з= 0. Из последнего равенства следует, что и(х) = const, а так как «(0) = 0, то, очевидно, и (х) = 0. Если обе постоянные а и β равны нулю, то оператор С неположителен. Действительно, в этом случае условия (6) принимают вид «'(0) = «'(1) = 0; (7) кроме того, ι (С"'")= j {%)***■ Функция и = 1 удовлетворяет краевым условиям (7) н потому принадлежит области определения оператора С; прн этом (Си, и) =0. Рассмотрим более сложный пример. Пусть Δ означает оператор Лапласа; функцнн, образующие область его определения, подчиним краевому условию и Is-а (8)
72 ГЛ. II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО где S — граница той области Ω, в которой функция и определена Кроме того, потребуем, чтобы в замкнутой области Ω эти функции были непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными. Докажем, что при такой области определения оператор —Δ положителен. Имеем (-Δ«. «)— J «Д«^={^(^)2^-{ ujfrdS: Ω й ί-l S здесь мы воспользовались формулой (18) § 7. По условию (8) интеграл по поверхности исчезает и Прн этом, если (—Δα, и) = 0, то необходимо -=—==0, так как подынтегральная функция в последнем интеграле неотрицательна. Но тогда и = const и, в силу краевого условия (8), и = 0. Попытаемся выяснить физический смысл понятия положительного оператора. С этой целью рассмотрим закрепленную по краю мембрану, изогнутую под действием некоторой стационарной поперечной нагрузки. Пусть в ненагруженном состоянии мембрана занимает некоторую область Ω в плоскости (х, у), и пусть и(х, у) означает прогиб мембраны. Через Τ обозначим натяжение мембраны и через q — поперечную нагрузку, рассчитанную на единицу площади. Как известно '), стационарный прогиб мембраны удовлетворяет дифференциальному уравнению -Su = qlT; (10) то обстоятельство, что край мембраны закреплен, выражается краевым условием (8), в котором 5 теперь обозначает контур мембраны. С другой стороны, в данном случае выражение <-*·■«>-я [(£г+№*<* Ω только постоянным множителем отличается от потенциальной энергии деформации изогнутой мембраны2). Теперь ясно, что в задаче о стационарном изгибе мембраны положительность оператора —Δ выражает тот физически очевидный факт, что потенциальная энергия деформации мембраны, изогнутой как угодно, положительна, иначе говоря, что невозможно изогнуть мембрану, не затратив на это энергии. ') Уравнение стационарного прогиба мембраны выведено, например, у С. П. Тимошенко [2]. *) См., например, Р. Курант н Д. Гильберт [1], гл. IV, § 10, стр. 238.
§ 8. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 73 Многочисленные примеры (некоторые из них будут рассмотрены на протяжении этой книги) показывают следующее. Пусть некоторая физическая система под действием внешней причины, характеризуемой некоторой функцией f(P), приобретает смещение и(Р), и пусть эти две функции связаны уравнением Au = f, где А — положительный оператор. Тогда, как часто оказывается, величина (Аи,и) пропорциональна величине энергии, которую необходимо затратить, чтобы сообщить системе смещение и(Р), Если это так, то положительность оператора выражает тот факт, что невозможно сообщить системе никакого смещения, не затратив для этого некоторой энергии. Если оператор А положителен, то, имея в виду только что указанный физический смысл величины (Аи, и), будем далее называть эту величину энергией функции и е DA- Симметричный оператор А называется положительно определенным, если для любой функции и е DA справедливо неравенство (Аи, и) >γ21| и IP, (11) где γ — положительная постоянная. Очевидно, всякий положительно определенный оператор в то же время и положителен. Обратное заключение, как мы увидим на примере, неверно. Пример 3. Рассмотрим оператор Ви =—;гт» где функции и(х) определены прн 0 ^ χ <Ξ 1 н удовлетворяют краевым условиям «(0) = «(1) =0. Выше мы видели, что оператор β — положительный. Докажем, что он также н положительно определенный. Так как и(0)= 0, то и (х) = ί «' (0 dt. К интегралу применим неравенство Буняковского. Это дает XX X и2 (χ) *ζ Г I2 · dt Г и'2 (ί) dt = χ Γ и'2 (ί) dt. 0 0 0 Так как χ заключено между нулем н единицей, то усилим последнее неравенство, заменив верхний предел интеграла единицей. Таким образом, а!(*к« Г «,2(о dt.
74 ГЛ. II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Интегрируя это неравенство в пределах от нуля до единицы, найдем ι ι о о По определению нормы в 1^(0,1J ι u2(*)d*<-^ uf\t)dt. 02) Г u2(*)d*=||uf, а для рассматриваемого в нашем примере оператора В ι Г ι/*{ί)άί={Βιι, и). о Неравенство (12) дает теперь (Ян, и)>2|иF. Таким образом, оператор β положительно определенный, и для этого оператора можно принять γ = Υ% В последующем будет показано, что во многих важных случаях операторы математической фнзнкн обладают свойством положительной определенности. Рассмотрим еще один пример. Пусть в пространстве £г(0,1) задан оператор L формулой *«—■£■(*■-£■)· 0<x<L (,3) Функции и(х) е DL подчиним одному краевому условию «(1) = 0. Потребуем еще, чтобы на сегменте [0,1] эти функции имели непрерывные вторые производные. Нетрудно видеть, что оператор L положителен. Действительно, ^„-.^../[.^.(..ф-.да)]*- о 1 = Г — \х3(и — -v — X\dx<=\x*(u — - — ]Г-о J dx I \ dx dx}\ [ \ dx υ dx J|o= ' о так как при χ = О обращается в нуль множитель х3, а при χ = 1 — функции и(х) и ν(χ). Теперь (Lit, ι;) = {и, Lv), и оператор L симметричен. Далее, {Lu,u)=-\ufx[x*lL)dx. Интегрируя по частям и пользуясь условием «(1) =0, найдем, что ι {1м, и) - j χ* ^J dx ** 0. (14)
§ 9 ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОТГГРА'НСТВТУ 7^ При этом, если (Хы, и)' = 0, то —-=0, и = const, н, так как «.(1) = 0, то ивО. Таким образом, оператор L положителен. Докажем теперь, что этот оператор не положительно определенный. Неравенство (11) запишем в виде (Ли, и) Ν!2 >γ· Отсюда видно, что для положительно определенного оператора последнее отношение не делается меньше фиксированной положительной постоянной γ2. Если мы установим, что для оператора L аналогичное отношение можно сде« лать сколь угодно малым, то тем самым будет доказано, что оператор L· свойством положительной определенности не обладаег. Пусть δ — число, заключенное между нулем н единицей. Положим , , ί(δ-Λ:)3, Οίζχίζδ, I 0, 0<л:^1. Функция «β (х) равна нулю прн χ = 1 н непрерывна, так же как и ее первые две производные, при 0 ^ χ < 1. Но тогда «β входит в область DL определения оператора L. Составим отношение 1 δ (L«6. »б) _ о о II «б II2 J u\dx j{6-xY dx так как «δ=Ό при х>Ь, н соответствующие интегралы исчезают. Произведя несложные вычисления, найдем {Lu6, ц6) 9 , II «в II2 =40°· что может быть сделано сколь угодно малым прн достаточно малом δ. § 9. Энергетическое пространство положительно определенного оператора') Пусть А — положительно определенный оператор, действующий в полном гильбертовом пространстве Н. На множестве элементов Μ = DA — области определения оператора А — введем новое скалярное произведение (для отличия от старого мы будем его обозначать квадратными скобками), полагая по определению [и, v] = (Au, ν). (Ι) ') Основные результаты настоящего параграфа получены К. Фридрих- сом [2].
76 ГЛ. II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Докажем, что такое определение законно, т. е. что оно удовлетворяет аксиомам А — D § 2. Аксиома А. Оператор А, будучи положительно определенным, симметричен; поэтому, если и е Μ и ν е М, то [и, v]~(Au, v) = (u, Av) = (Av, u)*=[v, и]. (2) Аксиома В. [щих + а2иъ ν] — (А (щщ + а2и2), ν) = — ai(Aub v) + a2(Au2, v) = a,\[uu v\+a2[u2, v]. (3) Аксиомы С и D. (Аи, и) >у21М12~>0; если {Аи,и) = 0, то необходимо ||и|| = 0 и, следовательно, и — О Введя новое скалярное произведение, мы превратили Μ в гильбертово пространство. Норму в этом пространстве мы будем обозначать через \и\, так что \uf — [u, u] = {Au, и), и^М. (4) При этом, в силу неравенства (11) § 8, II«II <yl«|. (5) Наше новое гильбертово пространство может оказаться неполным— в таком случае мы обычным способом дополним его, введя предельные элементы. Это дополненное гильбертово пространство будем обозначать через НА. Пространство НА будем называть энергетическим пространством оператора А. Величины [и, у] и | и | будем называть соответственно энергетическим произведением элементов к, t»e HA и энергетической нормой элемента и^.НА. В тех случаях, когда важно будет подчеркнуть, что вводимые величины связаны с оператором А, будем писать [и, v]A, \u\A вместо [и, v], \u\. Если и есть элемент пространства НА, то, как это следует из определения, либо веМ, либо существует такая последовательность ип^М, что \ип — и\ „_»„,->()■ Отсюда следует, что линеал Μ плотен в НА% Теорема 1. Все элементы пространства НА принадлежат также и пространству Н. Точнее говоря, каждому элементу из НА можно привести в соответствие один и только один элемент из Н, причем разным элементам из НА соответствуют разные элементы из Н. Наше утверждение очевидно, если и е М, — достаточно элементу и привести в соответствие тот же элемент. Остается рассмотреть случай, когда и есть предельный элемент пространства
§ 9 ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 77 НА. В этом случае, по определению, существует такая последовательность ип е М, что \ип — и | „_»,„,-> 0. По неравенству треугольника }ип-ит\^\ип-и\ + \ит-и\ и, следовательно, \ип — ит\ п „,_»„,-> 0-Из неравенства (5), которое пока установлено для элементов линеала М, следует, что \\ип — цтЦ в „,_»„,->0- Это значит, что последовательность {«„} сходится в пространстве Я к некоторому его элементу г/, так что II и' ~ ип II в-»оо'> ^- Отождествив « и и', мы установим первую часть нашего утверждения. Докажем теперь его вторую часть. Описанное только что соответствие между элементами и и и' пространств НА и Η линейно. Действительно, пусть элементам «ι е ΗА и и2£ На отвечают соответственно элементы и\ е Η и и2еЯ. Это означает следующее: существуют такие две последовательности {«!„} и («2„} элементов из £>л, что I иы - ч Ηπϊϊγ* °. II и*« - »£ 1-^* °; а -1,2. Пусть Й! и йг — постоянные. Тогда | θ!Κ1η + α2«2η — (θι"ι + <кЧ) I ^ I ЧЧп + a2U2n ~ {4U\ + а2<) || < <ΙοιΙ·|"ΐπ-"ίΙ+Ι°ί|·|Ι"β»-<|-5^=*0· Последние соотношения означают, что элементу (a\Ui + а^г) е е ЯА соответствует элемент (a^j + а2и'2) еЯ- это и требовалось доказать. Пусть теперь элементам и^ и «<2> из НА отвечает один и тот же элемент из Н. В силу линейности соответствия элементу и = («<') — w<2)) е НА отвечает нулевой элемент пространства Н. Докажем, что и — нулевой элемент из ΗА. Пусть и есть предел /в смысле сходимости в НА) последовательности ип е М, так что \ип — и\ п^>оа-*0. Так как элементу и в пространстве Η отвечает нулевой элемент, то по установленному выше закону соответствия ||и„|| ->0. Отсюда следует, что (f, un) „■»„,->(), где f — любой фиксированный элемент из Н. Действительно, по неравенству Коши—Буняковского l(f. ОК11ЛИ1«Л->о. Возьмем в линеале Μ произвольный элемент φ и положим f — Αφ. Тогда (Αφ, «„)->-0. Но (Αφ, ип) = [φ, и„], так как оба
78 ГЛ. II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО элемента φ и и„ входят в М\ отсюда [φ, ип]-*-0. Переходя здесь к пределу, получим (φ, и] = 0. Таким образом, в пространстве НА элемент и ортогонален ко всем элементам линеала М, плотного в НА. По лемме § 4 и есть нулевой элемент из НА. Заметим, что неравенство (5) выполняется не только в М, но во всем пространстве НА. Действительно, пусть и есть элемент ЯА, не входящий в М. Тогда существует последовательность ип е Μ такая, что \ип — «|->0. Как это следует из доказательства теоремы 1, при этом \\ип— «||->0. Отсюда вытекает, что \ип\-*-\и\ и \\ип\\-> ||w||. Так как ип^М, то для ип неравенство (5) справедливо: || ип || ^ | ип |/γ. Переходя к пределу при η -»■ сю, мы получим ΙΙ«ΙΚΙ«Ι/γ- Сходимость в энергетическом пространстве будем называть сходимостью по энергии; иногда мы будем обозначать такую сходимость символом—*. О системе элементов, полной в энергетическом пространстве, будем говорить, что она полна по энергии. Из неравенства (5) вытекает следующая теорема: Теорема 2. Если А — положительно определенный оператор и ип->и по энергии, то одновременно и„->и в метрике исходного пространства Н. Условие теоремы означает, что \ип — и\ „■_»„,■»■ 0. По неравенству (5) || ип- и|К|ип- и|/γ и, следовательно, \\ип-и|| „^.00> 0, что и требовалось доказать. Пример 1. Пусть β — оператор, рассмотренный в § 8, так что Bu~-d*u/dx2, 0<х<1; и(0) = «(1) = 0, (6) н функции нэ области DB определения оператора В непрерывны на сегменте [0,1] вместе со свонмн первыми двумя производными. Найдем энергетическое пространство Я в оператора β. Пусть и е Η в. Тогда, прежде всего, иеН = ^(0,1), т. е. и(х) есть функция, суммируемая с квадратом на интервале (0,1). Далее, существует последовательность функций ил eDB та·· кая, что \ип—и\в >0н \\ип — и || > 0. Из первого соотношения вытекает, что Но ("« - uk) c DB? по Формуле (4) | ип - uk || - (В («n - «fc), un - afc) н, далее, по формуле (5) § 8 ι , f/d«„ duk\2 I" -"» 1- [-г*-—^-1 άχ-ττ~.ζ-*- Ο- Ire κΙβ J \ dx dX I k, B-»oo π
§ 9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 79 Таким образом, последовательность производных {dun/dx) является фундаментальной в пространстве Li (0,1); так как оно полное, то в нем существует функция v(x) такая, что II dujdx — v\\ > 0. По формуле Ньютона — Лейбница χ ип(х) = ип{0)+ \u'n(t)dt. о Но «n eDb, цоэтому ип(0) =Он, следовательно, к un(x)=\u'n(t)dt. о Переходя к пределу при η ->- σο, нетрудно найти, что к и(х)= Γ v(t)dt, Οΐζχΐζΐ. (7) о Из формулы {7) сразу следует, что ц(0) = 0. Далее, ι ι «(1)= [v(t)dt = lim \и'Ц)Л- lim [«„ (1)-«„ (0)] =0. о о Напомним теперь известное определение: если функция и(х) допускает на сегменте [а, Ь] представление X и (х) = с + ί ν (t) dt, где с — постоянная, a v — суммируемая функция, то говорят, что функция и абсолютно непрерывна на сегменте [а, Ь]. При этом по известной теореме Лебега почти всюду на [а,Ь] существует производная и'(х) и и'(х) = ν(χ). Из сказанного следует: если функция и принадлежит энергетическому Пространству оператора (6), то эта функция на сегменте [0· U абсолютно непрерывна, на его концах обращается в нуль н, наконец, на том же сегменте производная и'(х) суммируема с квадратом. Обратное утверждение также справедливо1). Π ρ н м ер 2. Найдем энергетическое пространство оператора С, рассмотренного в § 8. Пусть и — элемент пространства Нс. Прежде всего, и принадлежит исходному пространству Я = L2(0,1). Далее, существует такая последовательность uneDc, что \ип — ы |_ .>0. Но тогда \и —ыь|_ ->-0. К функциям un,Uk eDc Применима формула (·) § 8 η, следовательно, ι l) См. книгу автора [28].
80 ГЛ. II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Для определенности примем, что к > 0, β ^ 0. Тогда 1 Я da duk γ dx dx Ι η, ft-» oo 0 I " (0) - и. (0) I —- -i. 0. (8) Второе нэ соотношений (8) показывает, что существует предел числовой последовательности {ы„(0)}; пусть lim un(0) = co. П->оо Первое нз соотношений (8) означает, что производные dunjdx сходятся t среднем к некоторому пределу ае^2(0,1). Переходя в формуле Ньютона — Лейбница χ к пределу, виднм, что о χ «W=Co+ J V(t)dt. о Таким образом, если (ief/c, то и(х) —функция, абсолютно непрерывная на сегменте [0, 1], с квадратично суммируемой первой производной. Можно до* казать и обратное утверждение: любая функция, абсолютно непрерывная на сегменте [0,1] и имеющая на этом сегменте суммируемую с квадратом производную, принадлежит энергетическому пространству оператора С. Коротко наметим доказательство. Пусть и{х) — функция с описанными здесь свойствами, определенная на сегменте [0, 1] Продолжим ее за этот сегмент так, чтобы продолженная функция осталась непрерывной. Полученную функцию усредним1), взяв радиус усреднения h достаточно малым. Тогда можно добиться того, чтобы ι Г I du duh Y J \dx~~~dT) ^ + «ί«(0)-«ή(0)]2 + β["(1)-"ή(1)]2<ε/4, (9) где ик (х) — средняя функция, а ε—произвольно заданное положительное число. i Зафиксируем h. Сегмент [0,1] разобьем на трн: [0,1 Jn], [1/п, (п — 1)/п], [(я—1)/и, 1]. Построим функцию wn(x) по следующим условиям: 1) функция Wn непрерывна вместе с двумя своими первыми производными на сегменте [0,1]; 2) на сегменте [1/п, (я — 1)/п]wn(x) = ин(х\; 3) w„ (0) = uh (0), w'n (0) - awn (0) = 0; 4) wn(l) = uh{l), w'n(l) + $wn(l) = 0. l) Об операции усреднения и ее свойствах см, С. Л, Соболев [2], а также книгу автора [28].
§ 10. ПРОСТРАНСТВО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 81 Можно удовлетворить этим условиям, взяв на сегментах [0,1/п] н[(п —1)/«, 1] в качестве wn(x) полиномы четвертой степени. Выбрав η достаточно большим, можно добиться того, чтобы 1 Г / duu dw \2 J Ы ~ъг) & + eK<°)-B'n<0)F+PK(1)-B'»<1)P<e/t <10> о Теперь из (9) и (10) следует, что J ί (ж ~ чг Jdx+α ["(0) ~ Wn (0)]2+β tM {1) - Wn (1 )]2 < ε· о Одновременно можно добиться того, чтобы было ι Г {u — wn)2dx<e. о Из двух последних соотношений следует, что ие #с. Интересно отметить, что функции из пространства #с не обязаны удовлетворять никаким краевым условиям. § 10. Энергетическое пространство только положительного оператора Оператор положительный, но не положительно определенный, будем называть только положительным. С только положительным оператором А также можно связать энергетическое пространство НА, если задать энергетическое произведение и норму прежними формулами (1) и (4) § 9. Важное отличие от случая положительно определенного оператора заключается в том, что на этот раз не все элементы энергетического пространства принадлежат исходному пространству. Можно доказать') следующее: элемент и е НА принадлежит исходному пространству Η тогда и только тогда, когда существует такая последовательность элементов ип е DA, что \и — ип\ п^>оа-^ 0 и Ц uk — ип 11 п ^^,οο-»· 0· При этом последовательность {ип} стремится к тому же элементу и и в пространстве Н: \ип — и || —г—»· 0. Пример 1. Исходя из формулы (14) § 8, можно доказать, что энергетическое пространство #г оператора L (формула (13) § 8) состоит из функций и{х), обладающих следующими свойствами: 1) и{х) абсолютно непрерывна на любом сегменте [δ, 1], где 0 < δ < 1; 2) «<1)=0; ') См. книгу автора [11]. § С. Г. ОДиклцн
82 ГЛ. II. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО I 3) интеграл х3и' (х) dx сходится. о Пространство Hl содержит некоторые функции, не принадлежащие исходному пространству L2(0, 1); такова, например, функция и(х) = х~1— 1. § 11. О сепарабельности энергетического пространства Теорема. Для того чтобы энергетическое пространство положительного оператора было сепарабельньш, необходимо и достаточно, чтобы было сепарабельным исходное гильбертово пространство. Эта теорема играет важнейшую роль во всем последующем. Ее доказательство дано в книге автора [28]. Ниже будем предполагать, что исходное пространство Η сепарабельно. В приложениях обычно исходное пространство совпадает с L2, пространством квадратично суммируемых функций, которое, как было указано в § 4, сепарабельно. § 12. Главные и естественные краевые условия Рассмотрим некоторую область Ω в /n-мерном евклидовом пространстве; пусть 5 — граница этой области. В области Ω рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение, которое мы символически запишем в виде Lu = f(x), (1) и пусть этому уравнению сопутствуют однородные краевые условия Biu\s = 0, /=1, 2, .... k. (2) Как обычно, эта краевая задача порождает некоторый оператор, который мы обозначим через А; будем считать, что он действует в гильбертовом пространстве L2(Q) За область D(A) определения оператора А примем множество всех функций, которые в замкнутой области Ω = Ω + S имеют столько непрерывных производных, каков порядок уравнения (1), и которые удовлетворяют краевым условиям (2). Допустим, что оператор А, построенный таким образом, положительный. Введем в рассмотрение его энергетическое пространство ΗА; примеры § 9 показывают, что в одних случаях функции из энергетического пространства обязательно удовлетворяют краевым условиям задачи, в других случаях — нет. Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из области определения оператора и необязательно— функции из энергетического пространства НА, называются есте-
§ 12 ГЛАВНЫЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ УСЛОВИЯ 83 ственными для дифференциального оператора А. Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из энергетического пространства, иногда называют главными1). Так, примеры § 9 показывают, что для оператора —^γϊ, 0<х<1, условия ы(0) = 0, ы(1) = 0 главные, а условия ы'(0) — аы(0) = О, «'(1)+βίί(ί) = 0 естественные. Как мы увидим ниже, уменье отличить естественные условия от главных оказывается важным для практического применения вариационных методов. Поэтому возникает необходимость указать простые признаки, которые позволяли бы отличать естественные краевые условия от главных. Можно указать прием, позволяющий в каждом конкретном случае проверить, является ли данное краевое условие естественным или нет. Прием этот состоит в следующем. Выражение (Аи, ν) = [и, ν], в котором и и ν суть функции из DA и удовлетворяют, следовательно, всем краевым условиям, путем интегрирования по частям и использования краевых условий преобразуем к виду, симметричному относительно и и ν; такое преобразование возможно, так как оператор А симметричен и (Аи, ν) = (и. Αν). Положив в полученном выражении ν = и, получим некоторое выражение для величины [и, и]. Допустим, что, как это часто бывает, оно имеет смысл и остается положительным также и для таких функций, которые не удовлетворяют интересующему нас краевому условию. Упомянутое выражение для [и, и] подставим в F (и) и допустим, что существует функция щ, которая реализует минимум этого функционала в классе функций, данному условию, вообще говоря, не удовлетворяющих. Обычными средствами вариационного исчисления 2) можно найти необходимые условия, которым должна удовлетворять функция и0. Если к их числу принадлежит и данное краевое условие, то оно естественное. Рассмотрим пример. Докажем, что для уравнения —Аи = = f(P) краевое условие смешанной задачи [ж + Ч5 = °' σ>0' <3> естественное. Пусть функции и к ν удовлетворяют условию (3). Тогда (—Аи, ϋ)= — J vAud£l, Ω Л) В теории упругости главные краевые условия обычно называют геометрическими, нлн кинематическими, а естественные условия — динамическими. 2) См., например, В. И. Смирнов [3], гл. II. 6*
84 ГЛ. И. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО и по формуле Грина ( — Δΐί, ϋ)= gradu · gradudQ—J v-^-dS. q s В силу условия (3) —\ = — σ« |s, и окончательно (— Ды, ν) = j grad u · grad t> dfi + J auv dS; q s правая часть последнего равенства симметрична относительно и и v. Теперь [и, и] = j (graaи)2άΩ+ j au2dS, Ω S причем последнее выражение имеет смысл и положительно для любой непрерывно дифференцируемой в Ω функции, независимо от того, удовлетворяет она условию (3) или нет. Функционал F(u) можно теперь представить в виде У (и) = [и, и]-2 (f, и) = J [(grad uf - 2fu] dQ+ j auz dS. Q S Будем рассматривать этот функционал на_множеСтве всех дважды непрерывно дифференцируемых в Ω функций, не предполагая, что эти функции удовлетворяют каким-либо краевым условиям, и пусть функция ио(Р) реализует минимум F(u) на указанном множестве. Обозначим через t произвольное вещественное число и через η (Ρ) — произвольную функцию, дважды непрерывно дифференцируемую в Ω. Очевидно, F (и0 + ίη)> ^F(iio). Если функция η фиксирована, то F(u0 + tr)) есть функция независимой переменной t\ последнее неравенство означает, что эта функция имеет минимум при i = 0. Но тогда необходимо Легко находим F(uo + /η) = F{u0) + 2t J j" (grad щ ■ grad η-/η)ίίΩ + j" ащц ds\ + Is s J + t211 (gradTif^'-f- | arfdS\. Дифференцируя по /, полагая / = 0и приравнивая нулю полученный результат, найдем J (grad«0- grad η -fr\)dQ+ j au0ndS=>0. (4)
§ 12. ГЛАВНЫЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ УСЛОВИЯ 85 По формуле Грина J grad щ ■ grad η dQ = - j r\Au0dQ + J η -f^-rfS, Ω Ω S и равенство (4) принимает вид - j i\{tuo + f)da + \ i\(%*- + <ru0)dS-0. Ω S В силу произвольности функции η(Ρ) получаем Au0 + f = 0 в Ω и ~+аы0 = 0 на 5, что и требовалось доказать.
ГЛАВА Ш ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ § 13. Теорема о функционале энергии Теорема 1. Если оператор А положителен в гильбертовом пространстве Н, то уравнение Au = f, f<=H (1) имеет в этом пространстве не более одного решения. В самом деле, пусть упомянутое уравнение имеет два решения, щ и и2, так что Аи\ = f, Au2 = /- Положим щ — ы2 = й. Вычитая и пользуясь линейностью оператора А, получим Ай = 0. Умножив это скалярно на к, имеем {Ай, и) = 0. Но оператор А положительный, поэтому необходимо й = 0, и, следовательно, Щ — Щ· Теорема 2. Пусть А — положительный оператор. Если уравнение (1) имеет решение, то это решение сообщает функционалу F(u) = (Au, и)-(и, f)-lf, и) (2) наименьшее эначение. Обратно, элемент гильбертова пространства, реализующий минимум функционала (2), удовлетворяет уравнению (1). Заметим прежде всего, что области определения оператора Аи и функционала F(u) совпадают. Это непосредственно вытекает из вида выражения (2). Далее, F(u) = (Au, и) — 2Re(u,f), и так как А — положительный оператор, то F{u) принимает только вещественные значения. Пусть теперь ио удовлетворяет уравнению (1): Аы0-/ = 0. Пусть, далее, ν — произвольный элемент из области DA определения оператора А. Положим ν — щ = η, так что ν = Uq + η. Имеем /7(ϋ) = (Α(«0 + η), «0+η)-("ο + η, /)-(/. "ο + η)·
§ 13. ТЕОРЕМА О ФУНКЦИОНАЛЕ ЭНЕРГИИ 87 Раскрывая скобки и пользуясь симметричностью А, мы легко найдем, что F(v)=F(tl0) + (Au0-f, η) + (η, Α«ο-/) + (Αη, ч)· Но Аи0 — / = 0, поэтому F(v) = F(ио) + (Ац, η) и, в силу положительности оператора A,F(υ) > F(u0), т. е. функционал F(u) принимает наименьшее значение при и = и0. Обратно, пусть и0 реализует минимум функционала F(u). Пусть η — произвольный элемент из DA. Множество DA как область определения линейного оператора есть линеал, поэтому λη, где λ — постоянное число, также входит в DA; по той же причине также и и0 + λη £DA. По предположению F(u0 + kri»F(tio). Будем считать число λ вещественным. Последнее неравенство легко, используя симметричность А, привести к виду 2λ Re [(Ащ - f, η)] + λ2 (Ац, η) > 0. Это возможно только тогда, когда Re[(Auo-f, η)] = 0. Заменив η на щ, получим ImKAao-f, η)] = 0. Отсюда следует, что (Аио — /, η) =0. Элемент Ащ — / гильбертова пространства ортогонален, в силу последнего равенства, ко всем элементам плотного множества DA. По лемме § 4 Аио — / = 0, т. е. и0 удовлетворяет уравнению (1). Замечание. Если данное гильбертово пространство вещественное, то (и, f) = (f, и), и функционал (2) принимает более простую форму F (и) = (Аи, и) —2 (и, f). Функционал (2) будем называть функционалом энергии, а теорему 2 — теоремой о функционале энергии. Только что доказанная теорема 2 позволяет утверждать, что задача о решении уравнения (1) эквивалентна задаче об отыскании минимума функционала (2). По поводу сказанного необходимо сделать два замечания: 1. Наше утверждение предполагает существование элемента, удовлетворяющего уравнению (1) или реализующего минимум функционала (2), тогда как для нас важно доказать самое существование такого элемента и найти способы, приближенные или точные, его определения. Это уже невозможно сделать,
88 ГЛ. III. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД предполагая оператор А только положительным; в данной главе мы будем считать его положительно определенным. 2. Может случиться, что оператор определен на недостаточно широком линеале. В таком случае задача о минимуме функционала (2) может не иметь решения, которое, однако, будет существовать, если линеал М, а с ним и оператор должным образом расширить. Ниже мы покажем, что для положительно определенного оператора всегда возможно такое расширение линеала М, при котором задача о минимуме функционала F(u) имеет решение 1). Что расширение оператора вызывается существом дела, легко пояснить таким примером. Пусть S — плоская область, ограниченная контуром L. Рассмотрим оператор Д2ш. Чтобы сделать его вполне определенным, нужно задать область его определения, иначе говоря, охарактеризовать то множество функций, на котором этот оператор задан; для этого укажем краевые условия, которым эти функции удовлетворяют, и количество непрерывных производных, которыми они обладают,. Пусть функции из области определения нашего оператора удовлетворяют краевым условиям ι г. д® 0. С точки зрения механической дело идет о пластинке с жестко закрепленным краем. Поскольку в оператор Δ2 входят четвертые производные, естественно потребовать, чтобы эти производные были непрерывны. Сделаем это и поставим задачу о прогибе пластинки под действием нормальной нагрузки, которая меняется разрывно. Это сводится к интегрированию, при упомянутых выше краевых условиях, уравнения Аг.„ _ &w _■_ о d% , d*w _ q (χ, у) aw~ дх* "i_Z дх2ду2 ~т ду* ~ D · где q(x,y)—разрывная функция. Но это уравнение не имеет решения в определенной выше области оператора Δ2, так как у решения нашего уравнения по крайней мере одна из производных четвертого порядка d*w d*w d*w ~dxTi дх2 ду* ' ~дут разрывна. Если мы хотим найти решение нашего уравнения как ') Общее решение этой задачи впервые было получено К. Фрндрнхсом [2]. Наше решение (см. статьи автора [4] и [8]) отличается от решения Фрндршс- са как по форме, так и по способу доказательства,
§ 14. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ 89 элемент области определения оператора А2, то, очевидно, эту область предварительно необходимо как-то расширить таким образом, чтобы она содержала и некоторые из функций, имеющие разрывные производные четвертого порядка. § 14. Обобщенное решение задачи о минимуме функционала энергии Пусть А — оператор, положительно определенный в гильбертовом пространстве Н, и пусть требуется решить уравнение Аи = f, f е Η. Для этого достаточно найти элемент, реализующий минимум функционала (2) § 13. Но, как мы видели в § 13, эта задача в общем случае не имеет решения. Чтобы сделать ее разрешимой, мы несколько изменим ее постановку. Прежде всего, если и е DA, то (Аи, и) = [и, и}А. Далее, если f—фиксированный элемент из Н, а и — произвольный элемент энергетического пространства НА, то скалярное произведение (и, f) есть функционал, ограниченный в НА. Действительно, по неравенству Коши—Буняковского (неравенство (3) § 2) \{и, ПКШ-11"И. Далее, по неравенству (5) §9 || и:|| ^| и \А/у и, следовательно, \(и, fl|<||flH"L/Y· Величины ΙΙ/ΊΙ и γ суть постоянные, и последнее неравенство означает, что функционал (и, f) ограничен в НА. Но тогда по теореме Ф. Риса (теорема 1 § 5) существует единственный элемент Wo ε ΗΑ такой, что для любого элемента и е НА справедливо тождество («, f) = [«, и0}А. (1) Теперь функционал F можно представить в виде F(u) = [u, u]A-[u, u0]A-[uo, u]A. (2) Формула (2) установлена для элементов множества Μ = DA, но ее правая часть определена на всем энергетическом пространстве НА. Пользуясь формулой (2), расширим функционал Р(и) на все пространство НА и будем искать минимум ИА на этом пространстве. Как мы сейчас увидим, видоизмененная таким образом вариационная задача решается совсем просто. Прибавив и отняв справа в формуле (2) выражение [и0, и0]А, мы приведем эту формулу к виду F(u) = [u-u0, u-uQ)A-[u0, u0]A = \u-u0\2A-\u0\A. (3)
90 ГЛ. III. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД Из формулы (3) ясно, что минимум F(и) достигается тогда и только тогда, когда и = ио. При этом Fnan = F{ud=-\uofA. (4) Элемент «о назовем обобщенным решением уравнения Аи = f. Если, как мы это всегда предполагаем, пространство Η се- парабельно, то (§ 11) пространство НА также сепарабельно, и в нем можно найти полную ортонормированную систему (см. теорему 3 § 4). Обозначим ее через {ωη}. Обобщенное решение Wo разложим по этой системе в ортогональный ряд: оо w0=2 ["о, ω„]Λω„. (5) Положив в формуле (1) и = ωη, получим К. fi>«b = (f» ω„). Вместе с формулой (5) это приводит к представлению обобщенного решения в виде ортогонального (в энергетическом пространстве) ряда оо "о= Σ (f> ω») ω». (6) Ряд (6) сходится как в энергетической метрике, так и в метрике исходного пространства Н. Пример. Рассмотрим задачу о кручении стержня, основание которого есть прямоугольник 0^.х-*Са, 0^.у^.Ь. Функция кручения г|э(х, у) удовлетворяет уравнению Пуассона -Δψ = 2βθ, (7) где G — модуль сдвига, θ — угол закручивания на единицу длины стержня; кроме того, эта функция обращается в нуль на сторонах прямоугольника χ = 0, χ = а, у = 0, у = Ъ. Ниже (см. § 24) будет показано, что оператор —Δ положительно определенный, если функции из области его определения все равны нулю на границе области. В нашем случае энергетическое произведение двух функций и{х, у) и v(x,y) выражается формулой а Ь [и, υ] = — Г j ν {χ, у) Аи (х, у) dx dy\ о о
§ 14. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЦ соответственно для энергетической нормы имеем а Ь |ыр = - J J u(x, y)Au(x, y)dxdy. о о Функции <Ряш(*» У) = sin!ψ-sin -222., m, я-1,2,3 (8) непрерывно дифференцируемы сколько угодно раз и обращаются в нуль на контуре прямоугольника и потому входят в область определения оператора нашей задачи. Они ортогональны по энергии; чтобы проще доказать это, заметим, что Дфтп (*. У) - - «2 (m7a2 + "7b2) sin -^p- sin 2ψ- = = - я2 (m2/o2 + я2/**) <Р«ш (*, У). Теперь о Ь [фщп, Фг«]=- J J <Pmnb<PrSdxdy = О О α b - пЧг2/а* + s2/62) { sin ϋψ- sin -^i dx J sin-^ sin^l rfy. о о Если выполняется хотя бы одно из неравенств тфг или η Φ s, то [q>mn, фге] = 0, что и требовалось доказать. Полагая г = /и и s = п, найдем . р_ π2 (b2m2 + α2η2) так что система (8) не нормированная. Поделив (ртп(х, у) на IФиг»It получим систему , / \ 2 τ / аЬ · тпх . пли /ЛЧ ортонормированную по энергии. По формуле (6) функция кручения представляется рядом оо *(*, У)= Σ (2GB, Фи»)*!»,,^, у). (10) т. «=·!
92 ГЛ. III ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД Вычислим коэффициенты этого ряда: а Ь (2G9, ilw)= J §2GBqmn(x, y)dxdy = о о а 4G6 о о Отсюда видно, что коэффициенты ряда (10) равны нулю, если хотя бы одно из чисел т или η четное; если же эти числа оба нечетные, то ЮГЙ ι ч . 16abG6 /" аЬ \*UO> vmnl лзтп у ь2т2 + а2п? ' Подставив это в (10), получим окончательно , птх . паи sin sin —— *(*' У* π4 2j mn(b2m2+a2n2) ' * ' m, d=l,3, 5, ... § 15. Минимизирующая последовательность и ее сходимость Пусть <P(w)—некоторый функционал, значения которого ограничены снизу. Тогда существует точная нижняя граница d функционала Φ(и): d = ini Φ (и). Введем определение: последовательность ип, η = 1, 2, , .., функций, принадлежащих области определения функционала Φ (и), называется минимизирующей для этого функционала, если lim Ф(ип) = а. Пусть А — положительно определенный оператор и и0 —- обобщенное решение уравнения Au=>f. (1) Функционал энергии, как мы видели, приводится к виду (3) § 14, и для этого функционала минимизирующая последовательность характеризуется равенством UmF(uJ=*-MA. (2)
§ 15. МИНИМИЗИРУЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 93 Теорема 1. Если оператор А—положительно определенный, то всякая последовательность, минимизирующая для функционала энергии, сходится по энергии к обобщенному решению соответствующего уравнения (1). Доказательство очень просто: если последовательность ип, л=1, 2, ..., минимизирующая для функционала энергии, то из формулы (2) настоящего параграфа и формулы (3) § 14 следует F ("«) = К - "о β - К β-* ~ К ft- Отсюда | ип — и01 -> 0, т. е. ип — -* и0. Одновременно ип —► и в норме исходного пространства Н. Теорема 1 лежит в основе многих прямых методов. Именно, чтобы решить уравнение (1) (предполагая, что его решение существует), достаточно для интеграла (2) построить минимизирующую последовательность; любой ее член представляет собой приближенное решение данного уравнения. В различное время были предложены многие способы построения минимизирующей последовательности. По существу один такой способ содержится в предшествующем параграфе: если через ип обозначить частные суммы ряда (6) § 14: η »η = Σ (f, Cufe) Щ, fe-I то ип—->и. Известным недостатком этого способа является трудоемкость процесса ортогонализации. Наиболее важным методом построения минимизирующей последовательности является метод Ритца; укажем еще метод Куранта [1], метод Л. В. Канторовича «приведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений»1), также принадлежащий Л.В. Канторовичу «метод наискорейшего спуска»2). С большей или меньшей степенью подробности перечисленные методы будут изложены в ближайших параграфах настоящей главы. Упомянем еще о методе наименьших квадратов, которому посвящена гл. XI настоящей книги. Этот метод применим и к таким уравнениям вида (1), где оператор А неположителен и даже несимметричен, но в случае положительного А метод наименьших квадратов, как это будет показано в своем месте, приводит к минимизирующей последовательности. Теорема 1 верна и для оператора, только положительного, если соответствующее уравнение (1) имеет решение, принадлежащее энергетическому пространству. ') См. Л. В. Канторович и В И. Крылов [I]. 2) См. Л. В. Канторович [2], гл. HI, а также Л. В. Канторович и Г. П. Акнлов [I], гл. XV.
94 ГЛ III. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД § 16. Расширение положительно определенного оператора Внимательно изучим обобщенное решение, построенное в § 14. Формула (1) § 14 приводит в соответствие каждому элементу f из Η некоторый единственный элемент и = и0 е НА, реализующий минимум функционала энергии. Тем самым формула (1) § 14 определяет оператор u0=Gf, область определения которого совпадает с данным гильбертовым пространством Н, а область значений есть часть') НА. С помощью опера- юра G можно упомянутую формулу представить в таком виде: (и, f) = [и, Gf], и е= Нл. (1) Докажем, что оператор G — ограниченный и положительный. Прежде всего этот оператор линейный. Действительно, если / = Oifi + a2f2, то (и, f) = S,(и, f,) + a2(u, ^ = а, [и, Gf,] + a2[u, Gf2) = [и, atGft + (hGf2}. С другой стороны, (и, f) = [и, Gf\. Сравнив оба выражения для (и, f), мы найдем, что [и, Gf — atGf, — a2G/:2] = 0; u^HA. По лемме § 4 Gf — o,Gfi — a2Gf2 = 0 или G (a,f, + a2f2) =- e,Gf, + a^Gf* т. е. оператор G линейный. Далее, по неравенству Коши — Бу- няковского II", ОЯ1 = К«./ЖШ-11"11 или, если воспользоваться неравенством (5) § 9, \[и, Gf]\<\\f\\-\u\/y. Положим здесь и = Gf. Тогда |GfP<||f||-|Gn/Y. или I Gf |< || f||/v. (*) Но по неравенству (5) [|G/||^|Gf \/y. Подставив это в (*), получим IIGflKHfH/v2, откуда IIGIK1/Y2, (2) ') В частных случаях область значений Gf может совпасть с ИА,
§ 17. ПРОЦЕСС РИТЦА 95 т. е. оператор G ограничен. Наконец, по формуле (1) (Gf,f) = [Gf, Gf\ = \Gff>0. Это неравенство показывает, что оператор Gf положительный. Замечание. Будем считать, что f е Η А. Тем самым мы рассматриваем Gf как оператор, определенный в пространстве ΗΑ. Нетрудно видеть, что при этом он остается ограниченным. Действительно, заменим в (*) ||f|| большей величиной | f |/у. Тогда | Gf К | И/Υ2 или |0|<1/γ2· Далее, по формуле (1) [Gf,f] = [f, Gf] = (f,f) ^ 0. Отсюда, как и выше, вытекает положительность Gf, на этот раз в пространстве ΗА. Если Gf = 0, то формула (1) дает (и, f) = 0. Элемент f, таким образом, ортогонален в Η ко всем элементам ΗΑ и, в частности, ко всем элементам исходного линеала М, плотного в Н. По лемме § 4 имеем f = 0. Таким образом, уравнение Gf = 0 имеет единственное решение f = 0; отсюда по теореме 2 § 6 существует оператор G-', обратный оператору G. Теорема 1. Оператор G-1 есть расширение оператора А. Достаточно доказать, что G~lu = Аи, если неМ. Пусть и0 — произвольный элемент из М. Обозначим Аи0 через f, тогда Аи0 = f. По теореме 2 § 13 и0 реализует минимум функционала энергии; по доказанному в этом параграфе «о = Gf. Отсюда f — = G~1Uq и, следовательно, G'!u0 = Au0, что доказывает теорему. Построенное нами решение задачи о минимуме функционала энергии может входить в DA = Μ, тогда по теореме 2 § 13 это решение одновременно является и решением уравнения Аи = f. Если же оно не входит в М, то мы все же будем рассматривать его как решение (обобщенное) этого уравнения. Тем самым мы расширяем оператор А. Можно доказать, что при таком расширении оператор А остается положительно определенным. Подробнее об этом см. книгу автора [11]. § 17. Процесс Ритца Процесс Ритца дает один из методов построения минимизирующей последовательности. Он был изложен во введении применительно к конкретным задачам, рассмотренным самим Ритцем; здесь будет дано его изложение для довольно общего класса задач. Для упрощения выкладок ограничимся случаем вещественного гильбертова пространства Н; результаты переносятся на комплексное пространство без изменений. Пусть А — положительно определенный оператор в пространстве Н. Задача о построении обобщенного решения уравнения Au = f (1)
96 гл. ш. энергетический метод равносильна задаче о построении элемента энергетического пространства, который реализует минимум функционала • F(u) = [u,u]^-2(u,f) (2) в энергетическом пространстве. Эту последнюю задачу будем приближенно решать следующим образом. Выберем последовательность элементов Φΐ» Ф2» ···. ф»г» ·· ·> (3) удовлетворяющих следующим трем условиям: 1) все элементы ф„еЯ4; 2) при любом η элементы φ., φ^, ..., φη линейно независимы; 3) последовательность (3) полна в НА. Элементы (3), следуя Ритцу, будем называть координатными. Совокупность координатных элементов назовем координатной системой. Построим линейную комбинацию первых η координатных элементов η "■η = Σ «/Φ/ (4) с произвольными численными коэффициентами Oj. Подставим ип вместо и в функционал (2); это превратит F(u) в функцию η независимых переменных аи а% ..., ап: F (ип) - 2 α, Αφ,, Σ Мф* -2(2 о*Фь f) = η η = 2 [φ/. Φα] O/Ofe - 2 Σ (Φ*, /) Ofe· (5) Выберем коэффициенты ο;· так, чтобы функция (5) приняла минимальное значение. Как мы сейчас увидим, это приводит к системе линейных алгебраических уравнений с неизвестными С|, as, ..., ап. Функция (5) достигает минимума при тех значениях независимых переменных, которые обращают в нуль ее первые производные1): дР («„) dat = 0, ι«1, 2, .... п. (6) ') Уравнения (6) дают, как известно, необходимые условия минимума F(uny. Однако, используя положительность оператора А, можно доказать, что коэффициенты щ, аз,..., а„, удовлетворяющие системе (6), реализуют минимум величины F(un). Это же замечание остается в силе и для задачи о собственных числах (§ 42).
§ 17 nPOIlFCC РИТЦА Производные (6) легко вычисляются: η ^1Γ1 = 2^[φ.>φ/]^-2(ί,φ/). Приравняв эти производные нулю, получим систему Ритца: /=1, 2, . или, в более подробной записи, ΙΦι. Φι]θι + [φι. Фз]о2+ ... [фг. Φι] αλ + [фз, Фг] а2 + ... п, + [фь Ф„] ап = (f, фа), + [фз- Фп] ап = (/. Фг). [фп. Φι! βι + [φη, Фз] «г + · · · + [Φη- Ψη] α„ = (f, Φη)· 97 (7) (8) (8,) Координатные элементы (З) можно выбрать из области DA; тогда [фь, Φί] = (Лфк, фу), и система Ритца принимает вид (Λφι, Φι)βι + (Αφι, Фз)«2 + ■·. +(Аф,, Ф„)а„ = (/, Ф,), ) (Лфг, Φι)α,+(Лфз, ф2)й2+ ··· +Иф2, Φη)βη = (ί. Фг). (Αφη. Φι) «ι + (А<Рп> Фг) «2 + Определитель системы (8) ΙΦι. Φι] [Φι. Фг] [фг. Φι] [φ2. Фз] (82) ■ИФп, Фп)йп = (^ Φη)· • [Фь Фп] • [фз, Фп] [фп- Ф|] [фп- Фз] · · · [ф п> Фп] (9) есть определитель Грама линейно независимых элементов Фь Ф2, · ■ ·» Ф« и потому отличен от нуля. Отсюда следует, что система уравнений Ритца всегда разрешима, если оператор Л положительный. Найдя коэффициенты αϊ, α2, ..., ап и подставив их в (4), получим элемент ип, который будем называть приближенным решением уравнения (1) по Ритцу. Выясним связь между точным решением минимальной задачи, определяемым формулой (6) § 14, и приближенным решением, к которому приводит процесс Ритца. Пусть элементы ф„ заменены новыми элементами г|эп по формулам Ψΐ = α,ιΦι, г]э2 = О21Ф1 + О22Ф2» Ψη = αηΐΦι + θη2Φ3 + + «ηηφη 7 С. Г. Михлин
од г л ш. энергетический метод в которых все постоянные аш отличны от нуля. Отыскивая ип в виде η ип = Σ akq>k fe-l или в виде η ип = Σ М>ь придем к одному и тому же результату, потому что выражение η η k η η Σ &fe% = Σ bk Σ Gftm<Pm = Σ Фт Σ AW6* есть линейная комбинация элементов <рь, а выражение η Σ ад* fe-l в свою очередь есть линейная комбинация элементов ipft. Имея это в виду, подвергнем координатную систему {φΤι} ортогонади- зации по энергии. Новые элементы, полученные в результате ортогонализации, обозначим через ωη. Теперь ί ι· k==i· I»*· »/]-**/-1 о, ьф1 (10) и система (8) принимает особенно простой вид а,- = (ί, ω/). Но тогда η Un = Σ (f, C0ft) (Oft, (11) т. е. приближенное решение задачи о минимуме функционала энергии, получаемое процессом Ритца, совпадает с частной суммой ряда (6) § 14, представляющего точное решение. Как было отмечено в § 14, ряд (6) § 14 сходится по энергии. Отсюда и из формулы (11) сразу вытекает следующая теорема: Теорема. Если А — положительно определенный оператор, то приближенные по Ритцу решения уравнения (1) сходятся к точному обобщенному решению этого уравнения как по энергии, так и в метрике исходного пространства. Легко видеть, что последовательность приближенных решений по Ритцу — минимизирующая для функционала энергии. Приближенное по Ритцу решение ип тем ближе (в смысле близости по энергии) к точному, чем больше п. Для достиже-
§ 17 ПРОЦЕСС РИТЦА 9Э ния высокой точности приходится брать большое п, т. е. большое число координатных функций. Это приводит к необходимости решать систему (8) с большим числом уравнений и неизвестных. Для ознакомления с практическими методами решения таких систем отсылаем читателя к книге Д. К. Фаддеева и В. Н. Фаддеевой [1]. Отметим только, что решение системы (8) облегчается ее симметричностью. Использование большого числа координатных элементов может, в случае их неудачного подбора, привести к большим ошибкам из-за неизбежных погрешностей вычислений. Об этом см. книгу автора [26]. Краткое изложение относящихся сюда результатов см. ниже, § 82. Замечание 1. Если система (8) уже построена и по тем или иным причинам желательно получить менее точное приближение, не содержащее некоторых из координатных функций, то коэффициенты ah, соответствующие этому менее точному приближению, найдутся из системы, которая получается из системы (8) усечением, т. е. вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих отброшенным координатным функциям. Аналогичное замечание справедливо и в проблеме собственных значений (см. § 42). Пусть по-прежнему ωη, η — 1, 2, ..., означает координатные элементы, ортонормированные по энергии, так что имеют место соотношения (10). Обозначая для краткости сг· = (f, сог), имеем П оо t = l 1 = 1 Мы уже видели (формула (4) § 14), что F(и0) = — |w0p. Докажем, что если ип — приближенное решение уравнения (1), построенное по методу Ритца, то F («„)--!«„ Р. (12) Действительно, F (w„) = | ы„ |2 - 2 (ы„, f), но In \ η η ("„, f) = (Σ £«ω«, f = Σ ct(ω,, f) = 2 с2 Далее, элементы ωη ортонормированы в энергетической норме; по формуле (2) § 4 ΚΡ=Σ4 t = l Отсюда следует, что («*„,/)-К Ρ (13)
100 ГЛ. 111. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД и F(un)= — \unf. Перейдя в (13) к пределу при п-*оо, найдем также, что ("оЛ) = К12· (14) Из формулы (7) § 4 вытекает, что t = l отсюда видно, что с возрастанием η величина \ип\ возрастает, причем ΚΚΙ«οΙ; ΚΙ-ϊ^-4«οΙ· (15) Пусть η > k. Вычислим величину \un — uk|2. Имеем η k η "η - "fe = Σ С1Щ - 2 C.-Cui = Σ «W f=l i=l f=fe+l no уже упоминавшейся формуле (2) § 4 η t=fe+l ИЛИ Ι "η — "fe Ρ = I «n I2 — I "fe I2· (16) Аналогично K-"£p = KI2-l"fel2· (17) Пусть и — произвольный отличный от нулевого элемент энергетического пространства. Элемент φ! = и/\и] нормирован в энергетической метрике. Будем рассматривать φι как первый член некоторой ортонормированной в энергетической метрике системы и будем искать приближенное по Ритцу решение уравнения (1), полагая в формуле (4) η = 1. Тогда щ = ci<jpi, где ci=(f,q>i) и |"o|2>|wi|2 = 4 Но c,=(f, Φι) = (/, u)/|u|, и мы приходим к полезному неравенству Kl2>-j^-· (is) Замечание 2. Требование полноты координатной системы не вполне необходимо. Действительно, нет необходимости в том, чтобы любой элемент энергетического пространства можно было аппроксимировать координатными элементами — достаточно, чтобы такую аппроксимацию допускало обобщенное решение. Поэтому, если заранее известно, что искомое решение принадлежит некоторому классу, более узкому, чем DA, то достаточно, чтобы координатная система была полна в этом классе. Напри-
§ 18 ДРУГИЕ МЕТОДЫ 101 мер, если известно, что искомая функция четная относительно какого-либо из независимых переменных, то можно брать в качестве координатных только четные функции той же переменной, и достаточно, чтобы выбранная система координатных функций была полной относительно четных функций из НА. § 18. Другие методы построения минимизирующей последовательности Метод Ритца является важнейшим, но не единственным методом построения минимизирующей последовательности. В настоящем параграфе мы коротко изложим еще три таких метода: один из них указан Р. Курантом [1], а два других Л. В. Канторовичем (см. Л. В. Канторович и В. И. Крылов [1], Л. В. Канторович [2], Л. В. Канторович и Г. П. Акилов [1]). Метод Куранта. Р. Курант [1] предложил метод построения минимизирующей последовательности, которая, при известных условиях сходится не только в среднем, но и равномерно вместе с последовательностями производных до некоторого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение Au = f (1) и требуется найти его решение, определенное в некоторой конечной области Ω m-мерного пространства (xlt х%, ..., хт) и удовлетворяющее на границе S этой области некоторым однородным краевым условиям. Допустим, что оператор А положительно определенный на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям задачи. Это решение реализует минимум функционала F(u) = (Au, u)-2(u,f). Предположим теперь, что данная функция f имеет непрерывные производные по Χι, хг, ■ · ·. хт до некоторого порядка k включительно. Составим новый функционал <? . л/ \ гх ч , V V I d}{Au-f) /=0 α,+α2+...+ат=Л1 ι "2 •••"лт (2) Очевидно, Ф(и)^· F(u). Далее, функция и, реализующая минимум F(u), реализует также минимум Φ (и), так как эта функция делает наименьшим в (2) как первое слагаемое, так и второе, которое она обращает в нуль. Отсюда следует, что решение нашей краевой задачи можно найти, отыскивая решение задачи о минимуме Ф(и). Построим для этого функционалу
102 ГЛ. III. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД минимизирующую последовательность {ип}, например по методу Ритца. Тогда, очевидно, d'(Aun-f) дх^ дх% ... дх^1 -^Я+О, /=1, 2, ,.., £; (3) соотношения (3) позволяют сделать дополнительные заключения о сходимости минимальной последовательности. Рассмотрим для примера уравнение Пуассона на плоскости при краевом условии u\s = 0. Положим в (2) k = 0. Тогда Φ(ΐί) = (-Δΐί, u)-2(U,/) + ||Au + ff = /Ш+Ш'-^+^+о'К Построим минимизирующую последовательность ип. Тогда, очевидно, \ (£4in + f)2dQ~+0. (4) Ω По формуле Грина "«(х, У)~и(х,у)=- J G (χ, у; ξ, η)(Δΐί„ + /)dQ, ω где б(х,у; ξ, η) — функция Грина1) для оператора Лапласа. Отсюда по неравенству Буняковского \ип(х,у)-и(х, у) |< < i/ J G2 (*, у; ξ, η) d|d4 ι ί\ (Ди + f) d| Λι. (5) 'Ω » Ω Функция Грина удовлетворяет неравенству 0<G(x, if, ξ, Tj)<o|lnr[+6, (60 где я и 6 — постоянные; отсюда легко усмотреть, что первый множитель справа в (5) ограничен: /I G2(х, у; ξ, η) dldri< С, С = const. мер. ') Относительно функции Грина н последующей оценки (6) см., напри- , В. И. Смирнов [3], 220-224.
§ 18 ДРУГИЕ МЕТОДЫ 103 Рис 6. Теперь из (5) следует, что ип(х, у)-> и(х, у) равномерно в Ω = Ω + S. Введение добавочных слагаемых в Φ (и) усложняет вычисления; это усложнение, однако, может быть оправдано, если по смыслу задачи желательно получить равномерно сходящуюся последовательность. К. Н. Шевченко [1] применил метод Куранта к трехмерной статической задаче теории упругости. Метод Л. В. Канторовича приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Л. В. Канторович предложил метод решения минимальных задач, существенно отличный от метода Ритца. Этот метод подробно изложен в монографии Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [1]; здесь мы ограничимся некоторыми пояснениями. Для простоты допустим, что область Ω плоская и имеет вид, изображенный на рис. 6, и что требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение (1) при условии u\s = 0. Пусть оператор А положителен на множестве функций, удовлетворяющих указанному краевому условию. В этом случае наша задача сводится к задаче об отыскании минимума функционала F(u) = = (Au, и) — 2(u,f). Положим η un(x,y) = H%k(x,y)fk(x), fe=l где yfr(x, у)—известные функции, равные нулю на S, кроме, может быть, прямых χ = а и χ — b. Функции одной переменной fk(x) определим из требования, чтобы функционал F(un) имел минимальное значение. Обычными для вариационного исчисления методами1) мы получаем для fh(x) систему дифференциальных уравнений; к ним добавляются краевые условия при χ = а и х = Ь, вытекающие из краевых условий задачи: fk(a) = fk(b)=0, k=l,2,...,n. Как мы видим, сущность метода Л. В. Канторовича состоит в том, что он сводит (приближенно) интегрирование уравнения в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. ') См., например, В. И. Смирнов [3], гл. И.
104 ГЛ. III. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД Метод наискорейшего спуска. Этот метод непосредственно применим только к таким симметричным операторам, которые удовлетворяют двойному неравенству т || и IP < (Ащ и)< Μ || и |р, (7) где т и Μ — положительные постоянные. Такие операторы принадлежат к классу ограниченных операторов. Дифференциальные операторы в этот класс не входят, поэтому применение метода наискорейшего спуска к дифференциальному уравнению требует такого предварительного преобразования этого уравнения, чтобы оператор, стоящий в его левой части, оказался ограниченным. Итак, пусть оператор А удовлетворяет неравенству (7); из этого неравенства, между прочим, следует, что А — положительно определенный оператор. Рассмотрим уравнение Au = f, (8) где и—искомая, а / — данная функция. По теореме о функционале энергии (§ 13) решение этого уравнения равносильно решению задачи о минимуме функционала F(u) = (Au,u)-2(u,f). Возьмем произвольную функцию щ. Может случиться, что Ащ = /, тогда задача решена. Если же Ащ Φ f, то примем щ за первое приближение к искомому решению. Для построения второго приближения положим Aul—f = vi и выберем число а так, чтобы выражение Р(щ— av\) приняло наименьшее значение. Раскрывая скобки, легко найдем Р(их - ащ) = F (щ) - 2а [(Ащ, у,) - (f, о,)] + a2 (Avu у,)· Приравняв нулю производную этого выражения по а, получим (Αϋ„ ϋ,) α - [(Ащ, Vy) - (f, Vi)] = 0. Это уравнение можно несколько упростить, так как (Ащ, к,) - (/, к,) = (Ащ - f, щ) = К щ) = || щ IP. Теперь (At»,, о,) а -|| щ |р = 0 и a = jJ{^ = al. За второе приближение примем функцию и2 = ut — avt. Повторив процесс, получим третье приближение и3 и т. д.
§ 19 МЕТОД СЕТОК 105 Быстрота сходимости метода наискорейшего спуска оценивается неравенством K+i-UoKI«i-"o|(-jJtS-) . где щ — точное решение уравнения (8). О методе наискорейшего спуска см. также М. Ш. Бирман [1,2]. § 19. Метод сеток. Вариационно-разностные схемы Мы не будем излагать здесь основные понятия и приемы метода сеток, которые мы предполагаем известными читателю. Цель настоящего параграфа — показать, что некоторые сеточные схемы можно получить из энергетического метода, если несколько видоизменить процесс Ритца. Это обстоятельство было указано в работе Р. Куранта [2], о которой ниже будет сказано чуть подробнее. 1°. Об одном видоизменении процесса Ритца. Как было описано в § 17, при переходе от приближения по Ритцу с номером η к приближению с номером η + 1 мы сохраняем все ранее использованные координатные элементы φι, q>2, ..., φη и лишь присоединяем к ним один новый элемент φη+ι· Но можно поступать и иначе. Вместо координатной системы (3) § 17 введем последовательность наборов элементов Фц> «Pis· ··" Φι*,· Фгг Фгг> · · ·' Фяь> п\ Фщ> Ф«2> ···> Φ«ν которые подчиним следующим условиям: 1) все элементы (1) принадлежат энергетическому пространству рассматриваемого положительно определенного оператора; 2) при любом η элементы п-п строки φη1, φη2, ..., cpnfe линейно независимы; 3) система (1) полна в энергетическом пространстве в следующем смысле: пусть и — произвольный элемент энергетического пространства; каково бы ни было число ε > 0, существует такое натуральное число N(u, ε), что при любом η>Ν можно найти постоянные а\п), αψ\ ..., af\ удовлетворяющие неравен- СТВУ кп \ u-SajftJ <β. (2) ft-1 \A
106 ГЛ. III. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД Приближенное решение задачи о минимуме функционала энергии будем искать в виде К "η = Σ CllMnk, (3) A=-l числа йй подберем так, чтобы выражение F (ы„) = [ы„, ы„]А - 2 (ы„, ft (4) имело минимальное значение. Как и в § 17, мы придем к системе уравнений Σ ak [((пк, q>nj]A = (/, φη/), /=1, 2, ..., kn. (5) По-прежнему определитель этой системы отличен от нуля как определитель Грама линейно независимых элементов φη1, φη2, ... • · ·ι Фиь '» решение системы (5) существует, единственно и доста- вляет наименьшее значение величине (4). Построенные таким образом приближенные решения (3) сходятся к обобщенному решению и0 задачи. Действительно, /7(uJ = |u0-un^-|u0|*; отсюда видно, что построенное нами приближенное решение сообщает минимальное значение величине "о - Σ αΑφ, k=l 'nk ak = const. Далее, по данному ε>0 определим N(uo,s), возьмем η > Ν и подберем αψ> так, чтобы выполнялось неравенство (2). Теперь |"θ~"ηΙΛ< u0-Softy nk <ε, η>ΛΓ, что и требовалось доказать. 2°. Вариационно-разностные схемы. Как было указано в начале параграфа, видоизменение процесса Ритца, описанное в п. 1°, позволяет строить некоторые сеточные схемы; эти схемы носят название вариационно-разностных. Их построение мы поясним на самом простом примере. Рассмотрим задачу —1£ = /(*); 0<*<1, u(0) = u(l) = 0. (6)
§ 19. МЕТОД СЕТОК io7 Как мы видели в § 8, в пространстве L2(0, 1) оператор задачи (6) положительно определенный. Положим kn = η и зададим фуНКЦИИ (fnh{x) формулой О, 0 <*<(*;-1)/гс, n(x-(k-\)/n), (fe-l)/n<*<*/n, ((nk(X) n((k+l)/n-x), k/n^x^(k+l)/n, (7) 0, (fe+l)/n<*<l. График функции (ри&(*) показан на рис. 7. Функции (7), очевидно, удовлетворяют условиям 1) и 2) настоящего пара- $M*f- π "η η η π Рис. 7. графа; можно показать, что они удовлетворяют и условию 3). Приближенное решение tin(x) имеет вид η ип (х) = Σ akwnk (x); fe-l отсюда afe = un(k/n). Таким образом, коэффициенты а& суть значения приближенного решения в узлах сетки. Система (5) принимает следующий вид: 2п2ц (f/n) -п2[и{ (/ - 1)/л) + и ((/ + 1)/л)] - βη l(/-l)/n i/n (8) /-1. 2, Для упрощения записи мы заменили обозначение ип на и. Систему (8) можно несколько упростить и привести к более обычному виду. Д;:я этого обозначим h = 1/и, х} = j/n и разделим обе части уравнения на 2. Далее, предполагая функцию f
108 ГЛ. III. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД непрерывной, можно в правых частях уравнений (8) приближенно заменить под знаком интеграла f(x) на f{Xj). В результате получится обычная сеточная система jp = Т(х/), /=1,2, .... л. (9) Р. Курант [2] изложил идею вариационно-разностных схем применительно к задаче об изгибе мембраны, а также к некоторым другим плоским задачам. В задаче об изгибе мембраны Р. Курант предлагает построить квадратную сетку, а затем каждый квадрат сетки разбить диагоналями на прямоугольники; в качестве координатных выбираются непрерывные функции, линейные в каждом таком треугольнике и равные нулю вне квадрата и на его сторонах. Вариационно-разностным схемам посвящена большая литература. Из работ последнего времени отметим следующие: Л. А. Оганесян [1—2], Ю. А. Гусман и Л. А. Оганесян [1], Ю. К. Демьянович [1—3], Ж. П. Обэн [1], В. К. Демьянович и Ю. К. Демьянович [1]. Методам решения уравнений вариационно-разностных схем посвящена статья С. К. Годунова и Г. П. Прокопова [1]. Вариационно-разностные схемы можно проще получать следующим путем1). Если, например, исходное гильбертово пространство H = L2(Q), то функционал энергии обычно есть некоторый интеграл. Заменим его конечной суммой по какой- нибудь квадратурной формуле и будем искать минимум этой суммы. Таким путем мы придем к сеточной системе, которая в качестве неизвестных по-прежнему содержит приближенные значения искомой функции в узлах сетки, а коэффициенты и свободные члены системы соответственно зависят от значений коэффициентов и свободного члена данного дифференциального уравнения в тех же узлах. Следует отметить, что при таком подходе нельзя обосновать сходимость процесса ссылкой на результаты п. 1° настоящего параграфа. § 20. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала Основные результаты настоящей главы мы получили, исходя из рассмотрения задачи о минимуме функционала энергии F(и) = [и, и]-2(и, f). ') Первой в этом направлении была известная работа Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви [1].
§ 20. БОЛЕЕ ОБЩАЯ ЗАДАЧА 1θ9 Такая вариационная задача обычно соответствует неоднородному дифференциальному уравнению при однородных краевых условиях. Неоднородные краевые условия чаще приводят, как мы увидим ниже, к более общей задаче, к изложению которой мы и переходим. Пусть в гильбертовом пространстве Η задан положительно определенный оператор А. Пусть, далее, I линейный, но, может быть, неограниченный в Η функционал. Рассмотрим задачу о минимуме функционала Р{и) = \и\А-21и. (1) Она решается в общем по той же схеме, что и задача о минимуме функционала энергии. Допустим, что функционал / ограничен в НА. Тогда по теореме Ф. Риса (теорема 1 § 5) 1и = [и,и0]А, где «о—вполне определенный элемент пространства НА. Теперь F(u)<=[u, u]A-2[u, щ>]А = \и-и0\А-\и0\А. Последнее равенство показывает, что в пространстве НА функционал (1) достигает минимума при и = и0 и этот минимум равен — |ΐίο|^. Если функционал / не ограничен в НА, то функционал F не ограничен снизу, и задача о его минимуме не имеет смысла. Действительно, если функционал / не ограничен в НА, то при любом натуральном η можно найти такой элемент ип, что I"« L = 1 и 1ип>п, а тогда F{un) < ~2п + 1 и inf F(u) = — оо. Результаты настоящего параграфа будут использованы ниже, в § 25.
ГЛАВА IV важнейшие применения энергетического метода § 21. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения Многие задачи математической физики приводят к отысканию решения обыкновенного дифференциального уравнения, причем это решение должно удовлетворять на концах данного отрезка некоторым условиям, которые всегда можно сделать однородными. Мы сможем применить развитые в предыдущей главе методы к нашей задаче, если сможем установить, что при тех или иных ограничениях оператор рассматриваемой задачи, определяемый левой частью дифференциального уравнения и краевыми условиями, симметричный и положительно определенный. Этим мы и займемся в настоящем параграфе. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение Будем искать его интеграл, непрерывный вместе со своей первой производной на отрезке а^х^СЬ и удовлетворяющий на концах этого отрезка краевым условиям аа' (а) — $и (α) = 0, \ V«'(fc) + 6«(b) = 0, J ί2) где α, β, γ, δ — постоянные. Относительно данных мы сделаем следующие допущения: а) на отрезке α-^Cx^Cb р(х), р'(х) и г{х) непрерывны1); б) на том же отрезке р(х)>0, г(х)>0; в) функция р{х) может обращаться в нуль в некоторых точках отрезка а^Сх^СЬ, но так, чтобы интеграл ь А = Г -% (3) J Ρ Μ ' а !) Эти требования можно ослабить.
§ 21. ОБЫКНОВЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ Ш сходился; требование это, в частности, всегда выполняется, если р(х) нигде в промежутке а^Сх^СЬ не обращается в нуль; г) постоянные α, β, γ, δ неотрицательны, причем α и β, а также γ и 6, не обращаются одновременно в нуль. За область DL определения оператора L примем множество функций, которые на отрезке а<я<Ь непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными и которые удовлетворяют краевым условиям (2). Докажем, что оператор L симметричен. Область DL плотна1) в L2(a,b) (см. § 4), и нам достаточно проверить только тождество (Lu,v) = (и, Lv). С этой целью составим скалярное произведение (Lu,v), где обе функции и, v^DL, в частности, обе функции удовлетворяют условиям (2). Имеем ь ь (Lu, v)=-$e-±-(p{x)%)dx+lr (х) и (χ) ν (χ) dx. a a Первый интеграл возьмем по частям и воспользуемся условием (2): ь (Lu, υ) = j [ρ(x)4L4L + r(x)uu]dx + a + | р(а)и(а)о(а) + ± p(b)u(b)v(b); (4) мы предполагаем при этом, что а Φ 0, γ Φ 0. Если а = 0 или γ = 0, то w(g) = 0 или u(fr) = 0, и соответствующие слагаемые справа в (4) надо отбросить. В частности, если а = у = 0, так что условия (2) принимают вид и (а) = и (Ь) = 0, (2() то ь (Lu, υ) = \ [р(х)-%-% + ruvjdx. (4.) а Выражение справа в (4) симметрично относительно и и ν; отсюда легко заключить, что (Lu, υ) = (и, Lv), т. е., что оператор L симметричен. ') Аналогичное обстоятельство имеет место во всех остальных параграфах настоящей главы. В последующем мы его особо отмечать не будем.
112 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Полагая в (4) i>(x) = u(x), найдем, что ь (Lu, и) = J [ρ (χ) (-g-)2 + г (х) и2 (χ)] dx + a + lp(a)u*(a) + ^p(b)u4b). (5) Докажем, что если хотя бы одно из чисел β и δ отлично от нуля, то оператор L положительно определенный. Рассмотрим сперва более простой частный случай, когда краевые условия имеют вид (2ι), а р(х)^-р0, где р0 положительная постоянная. В этом случае формула (5) упрощается: ь {Lu, w)= J [p(*)(-^-) + r(x)u2(x)]dx. (5[) а В формуле (5[) справа отбросим неотрицательное второе слагаемое и заменим р(х) меньшим постоянным значением ра. Равенство (5[) тогда перейдет в неравенство ь (Lu, u)>p0j (-g-)2dx = p0\~|f · (6) a Остается оценить -т— . Так как w(a) = 0, то X u(x) = j u'(t)dt, u'(f) = ~P-. a По неравенству Буняковского при a-*Cx4ib χ Ъ и2 (χ) < (χ - a) J и'2 (t)dt^(x-a) j и'2 {t) dt = {x- a) || u' ||2. a a Интегрируя это в пределах от а до Ь, находим, что „u,p<J^e)l||u/,p> (7) Подставив это в (6), получим неравенство (Lu,u)^y2\\u\\2; v2 = 2p0/(fc-a)2, которое показывает, что оператор L положительно определенный. Обратимся к общему случаю. Допустим, что β > 0. В формуле (5) справа отбросим второе слагаемое под интегралом и
§ 21. ОБЫКНОВЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 113 второе внеинтегральное слагаемое. От этого правая часть в (5), вообще говоря, уменьшится, и мы получим неравенство (8) Ь Г Ь η (Lu, u) > J ρ {χ) (-g-)2 dx + -| ρ (а) и2 {a)>B J pu'2 dx+u2 {a) , a *-a -J ft где В — меньшее из чисел —ρ(а) и 1, Имеем X и(х) = и{а)+ j u'{t)dt. а В силу элементарного неравенства (а + Ь)2^2(а2+62) имеем и2(*Х2и2(й) + 2( JV(f)df) . Οϊ \2 / х \2 *и,(0^)=(^?ж/ЯГ)и,(0^· Далее, , 2 и по неравенству Буняковского 2 / * \ 2 * я (JV(Odf) <|^|р(/)и'г(/)Л. Увеличив справа верхний предел интегрирования, мы можем только усилить неравенство, поэтому заменим справа х его наибольшим значением Ь. Тогда получим / χ \2 ь ь ь Μ "'(*)Л) <j-$uJp(t)u'\t)dt = A$p(t)u'2(t)dt \а ' а а а и, следовательно, ь и2 (х) < 2А J ρ (t) и'2 (t) dt + Ъх2 (α). а Интегрируя это по χ в пределах от а до Ь, найдем H"IP<CN p(t)u'2(t)dt + u2{a)\, (9) β С. Г. Михлиц
114 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА где С — большее из чисел 2А(Ь — а) и 2(Ь — а). Сравнение неравенств (8) и (9) показывает, что (Lu,u)>-^\\uf, (10) т. е. что оператор L положительно определенный. Выше было предположено, что а Φ 0 и у Φ 0. Если одно из чисел а и γ или оба эти числа обращаются в нуль, то утверждение о положительной определенности оператора L остается в силе, причем рассуждения даже упрощаются. Пусть, например, а = 0. Первое из краевых условий (2) тогда принимает вид и(а) = 0. Вместо (8) и (9) получаются более простые неравенства ь ь ρ {χ) w'2 (χ) dx, || и II2 < A (b - a) J ρ (χ) и'2 (χ) dx, а отсюда вытекает неравенство (10), в котором следует только В I заменить -^ через А(ь_ ■> - В силу теоремы о функционале энергии (§ 13) задача об интегрировании уравнений (1) при краевых условиях (2) сводится, если афО и у Φ 0, к отысканию функции, реализующей минимум функционала F(u) = (Lu, u)-2(f, u) = £p(a)u*(a)+±р(Ь)и'{Ь) + = &р(а)и*(а)+± + j[p{x) и'2 (х) + г (х) и2 (х) - 2f (χ) и (х)] dx. (11) Если афО или уФО, то соответствующее краевое условие (2), как об этом было сказано в § 12, естественное; если же α = 0 или γ = 0, то соответствующее краевое условие главное. В силу результатов § 14 наша краевая задача имеет решение; оно может быть построено, приближенно или точно, одним из методов, изложенных в §§ 17—18. Пусть и0{х) — точное решение задачи, а ип(х)—ее приближенное решение, построенное так, как только что указано. Тогда, как мы знаем, ип—->и. Выясним характер сходимости по энергии в данном случае. Ограничимся допущением, что в промежутке а^х-^.Ь выполнено неравенство р(х)>р0, гдер0 положительная постоянная.
§ 21. ОБЫКНОВЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ Ц g По формуле (5) имеем ь | и F = {[р (х) и'2 (х) + г (х) и2 \х)\ dx + ^p (а) и2 (а) + -| ρ (6) и2 (6). а Как было указано, u„-^>w0, или, что то же, lim |u„ — ы0|=0. п-*оо По неравенству треугольника (§ 2) I"« ~ "т КI"« - "о I +1 чт ~ "о I и, следовательно, lim |u„-ump = 0. η, m-*oo Пользуясь формулой (11), этому можно придать вид 1Ъ Ι [Ρ (х) К (х) - К Μ)2 + г (х) (u„ (χ) - um (хЩ dx + a +~ Ρ (a) [un (a) - um (a)f+| ρ (b) [un (6) - um (b)f ) = 0. Слагаемые слева неотрицательны и потому каждое из них в отдельности стремится к нулю; в частности, ь п. т"со / Р W Г"" W ~ ""> MYdX = 0; ИГП Ι"» (0) ~ Um И = °· (12) Имеем, очевидно, ь ь п., m-*oo a отсюда im [KW-«;Wf^ = 0. (13) n, m-*oo G Таким образом, в рассматриваемом случае из сходимости функций ип(х) по энергии вытекает сходимость в среднем их первых производных.
116 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Рассмотрим теперь разность к α В силу неравенства (а + bf <! 2 (с2 + Ь2) и неравенства Буня- ковского К Μ - wm Wf < 2 [u„ (а) - um (а)]2 + 2 { J [< (ί) - и'т (f)] at < < 2 [ип (а) - ит (a)f + 2 (* - α) J [<(*) - <г (О]2 Л. а Заменив справа л: через Ь, мы неравенство усилим: ь К (*> - u« wr <2 К (°) - ит Щ+2 (6 - «) {[«; (о - *с (Ofdi. (Η) Отсюда видно, что последовательность ип(х), η = I, 2, ..., сходится равномерно к некоторой предельной функции й(х), так как правая часть неравенства (14) не зависит от χ и стремится к нулю при п-*оо. Нетрудно видеть, что и(х)= щ(х). Действительно, так как "п(*)~^*ио(х)> то одновременно 1) ип(х)-^+и0(х). С другой стороны, из равномерной сходимости также вытекает сходимость в среднем, так что ип(х)-^+й(х), а так как одна и та же последовательность не может сходиться в среднем к двум разным пределам, то u(x)s= Uq(x). Таким образом, если р(х)>-р0> 0, то сходимость по энергии означает равномерную сходимость самих функций и сходимость в среднем их первых производных. Замечание Если отказаться от требования, что р(х) ^ Ро > 0, но подчинить р(х) условию, что интеграл (3) сходится, то по-прежнему можно доказать, что Un\x) ->«о(л0 равномерно, но вместо равенства (13) мы сможем получить только более слабое равенство (12), из которого можно в свою очередь получить, что Ь Нт | ρ (χ) \ип (χ) - и'0 (x)f dx = 0. a ]) Символом -2^-> здесь обозначена сходимость в Lj.
§ 21. ОБЫКНОВЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ Ц7 Переходя к уравнению произвольного четного порядка 111 ^-S(-Dfc£[M*>£]-f(*>. (15) мы ограничимся простейшими краевыми условиями u(a)=tt(a)= ... =^-ι>(β) = -и (6)-и'(6)= ... - u««-i) (ft) = о. (16) Коэффициенты Pk(x), k — 0, 1, 2, ..., т — 1, будем считать неотрицательными, рт(х) — строго положительным; будем также считать, что f(x)^ L2{a,b). Интегрируя по частям и используя условия (16), найдем, что т Ь Ъ (La, и) = 2 J PuM(^Jdx> \ pm(x){~-Jdx^pju^f, (17) k=0a где на этот раз р0 = ттрт(х); мы полагаем, что ро > 0. Неравенство (7) справедливо для всякой функции, равной нулю при х — а. Функции и(х), и'{х), ..., ит-1(х) этому требованию удовлетворяют, и поэтому имеют место неравенства || и || <-^ || и' ||, || г/ II < у=- II иГ \\,...,\\ ^т~ " II < ~- II «<"г> II, / 1/2" \т откуда легко следует, что \\ιιφΐ) ||^Ι ζ_α] II" II· Подставив это в (17), получим Последнее неравенство показывает, что при условиях (16) оператор (15) положительно определенный; отсюда вытекает, как уже не раз упоминалось, существование решения и сходимость минимизирующей последовательности. Выясним характер этой сходимости. Неравенству (17) можно придать вид \и\>Ук№<т>1Ц. (18) Пусть ип(х), п=1,2, ..., — минимизирующая последовательность. По теореме 1 § 15 \ип — «0(->0, где и0(х) — точное решение
Π8 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА задачи. По неравенству треугольника (§ 2) имеем \un-uk\^\un-u0\ + \uk-u0\ и, следовательно, lim \un — uk\ = 0. (19) ft, n-»oo В силу условий (16) w<1m-l)(a) = и{™~1) (а) — 0, отсюда χ wf-1> (χ) - uf~ " (х) = J [uw (f) - uf > (f)] Л и по неравенству Буняковского | "(„m_l) (*) - "Γ~° (*) |2 < (* - α) / К"" (*) - UT] (О]2Л < & <(& - α) J [ajf> (ί) - <> (ί)]2dt-(b-a)\ «И - «£»>jf. α Теперь из (18) и (19) следует, что (т — 1)-е производные от и„(х) сходятся равномерно. Но тогда по теореме Вейерштрас- са об интегрировании равномерно сходящихся последовательностей (С1,145) будут равномерно сходиться как сами приближенные решения ип(х), так и их производные до порядка т — 1 включительно. Из соотношений (18) и (19) вытекает также, что т-е производные от ип(х) сходятся в среднем. § 22. Изгиб балки переменного сечения, лежащей на упругом основании Уравнение изгиба балки, лежащей на упругом основании, имеет вид Lw—^[EI(x)^] + Kw = q(x). (1) Здесь w — прогиб балки в сечении с абсциссой х, 1(х)—момент инерции этого сечения. 1(х) будет постоянной или функцией от χ в зависимости от того, постоянно или переменно сечение балки. Примем, что ни одно из поперечных сечений балки не вырождается в точку или в линию, так что момент инерции 1(х) нигде не обращается в нуль. Далее, Ε — модуль Юнга материала балки, К—коэффициент податливости основания, q(x) — интенсивность нормальной нагрузки. Длину балки обозначим
§ 22 ИЗГИБ БАЛКИ Н9 буквой /. Если концы балки жестко закреплены, то должны выполняться краевые условия да(0)=да(/) = 0; да' (0) = да' (/) - 0. (2) Уравнения (1) и (2) суть частные случаи (при т — 2) уравнений (15) и (16) предшествующего параграфа. Отсюда заключаем, что оператор, определяемый левой частью уравнения (1) и краевыми условиями (2), положительно определенный, и задача об изгибе балки, лежащей на упругом основании и имеющей жестко закрепленные концы, сводится к задаче о минимуме функционала F{w) — (Lw, да) —2 (да, q) в классе функций, удовлетворяющих краевым условиям (2). Если воспользоваться формулой (17) предыдущего параграфа, то F(w) можно привести к виду ь F(w)-j [ΕΙ (χ) да"2 + Kw2 - 2q (χ) да] dx. (3) а Решение задачи о минимуме функционала (3) можно получить по методу Ритца, для чего необходимо выбрать полную по энергии систему координатных функций φ„(χ); так как условия (2) — главные, то координатные функции необходимо должны им удовлетворять. Если, например, положить q)fe(x)*=(/-x)2xfc+l, fe~I, 2 (4) то можно доказать, что система (4) полна по энергии. Приближенное решение нашей задачи получим, положив да„ = Σ ад* (*) = (/ - χ? Σ akxk+l (5) fc=l ft=l и определив коэффициенты из системы (8) § 17, которую запишем так: η 2aHift~ bi, ί=1, 2, ..., η. (6) Здесь bk-(q, <f>h)=jq(x)(/~xf xk+1dx; (7) о
120 ГЛ IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА коэффициенты Aik можно представить в одной из двух форм, соответствующих системам (8ι) и (82) § 17: ι ι Aik = (L(fh (pfe) = J (pfe · L(fi dx = J (pfe [-^r [EI (x)-£r) + Λψ/Jdx; о о I EI W~d^-~dJ-+ *wp*]dx- (8) 0 Обозначим точное решение нашей задачи через w0{x). Из общих соображений, изложенных в конце предшествующего параграфа, следует, что wn(x) -*w0(x) и хю'п(х)->«>£(х) равномерно, a о£(х)-2=-*ю*(х). Если какой-либо из концов балки свободен, то условия (2) ^ cPw заменяются условиями обращения в нуль величин -т-у- и "л~(^(л:)~^2") на соответствующем конце. Например, если конец χ = 0 жестко закреплен, а конец я = / свободен, то краевые условия таковы: ш(0) = 0, ш'(0) = 0, ш"(/) = 0, -*-[EI(x)^f\x^0. (9) Нетрудно проверить, что при этих условиях оператор в левой части уравнения (1) по-прежнему будет положительно определенным. Проверку этого и вывод проистекающих отсюда следствий относительно разрешимости задачи и применимости приближенных методов ее решения предоставляем читателю. Результаты настоящего параграфа остаются в силе и в том случае, когда коэффициент К податливости основания переменный. § 23. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ограничимся рассмотрением системы уравнений второго порядка вида - Σ [ί {ρι* W ^r) - я1к (*) «*] - // W; — <x><a<x<b<+ oo, /=1, 2, .... s. (1) Будем считать, что /?#(*), dpjh(x)ldx, Qjh(x) непрерывны; на самом деле эти требования можно ослабить,
§ 23 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 121 Пусть краевые условия имеют простейшую форму ut{a)=-ut{b) = 0, /'= 1, 2, ..., s. (2) Совокупности данных функций fi(*),f2(*b · · · ,fs(x) и искомых функций Ui(x), и2(х),..., us(x) можно трактовать как векторы f(x) и и(х) с s составляющими. Введя еще матрицы Р(х) = \\Р1к(х)\\',\11\, Q(лг) = II 9/ь (λγ)II};*"ρ можно записать систему уравнений (1) и краевых условий (2) в виде одного уравнения d_ dx (*(*)-ar) + Q (*)«-*(*) (h) и одной пары краевых условий u(a) = u(b) = 0. (2i) Введем теперь в рассмотрение вещественное гильбертово пространство L2(a, b) s-компонентных векторных функций, обладающих тем свойством, что интеграл ь ь s J | и (χ) |2 dx = ί 2jU2k (χ) dx a a ft=l сходится. Скалярное произведение и норма в L2(0,1) определяются формулами ь ь s (и, ν) = J" и (х) ■ ν (х) dx = J ^ uk (x) vk (x) dx, (3) a a fe=I b II и |p = $\u(x)fdx. (4) α Левые части уравнений (1) и (2) определяют в пространстве L2(a, 6) оператор, который мы обозначим через А; за область его определения Da можно принять совокупность s-компонентных вектор-функций, имеющих на сегменте [а, Ь] непрерывные вторые производные и удовлетворяющих условиям (2). Теорема 1. Если матрицы Р(х) и Q (х) симметричны, то оператор А симметричен. Пусть /ι,ιιε Од. Имеем ь ь (Au, v)- - fvW.{(pw2dx+fvW.QWu(#.
122 ГЛ IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Первый интеграл возьмем по частям; вектор v(x) удовлетворяет условиям (2), поэтому внеинтегральные члены исчезнут, и мы получим ь (Aufv)=J[p£.£ + Qu.v]d*. <5> Далее, S t, fe=I Матрица Q симметрична, поэтому q^ = qkf, меняя обозначения / и k местами, найдем Qu · ν = Σ qk,4fVk = Σ qjkVjUk = u · Q\. i. k—i /. k—i Таким образом, выражение Qu-v симметрично относительно и и v. Аналогично устанавливается симметричность первого слагаемого в (5). Отсюда (Au, v) = (и, Αν), и теорема доказана. Теорема 2. Если матрицы Р(х) и Q(x) симметричны, причем на сегменте [а, Ь] матрица Ρ (χ) положительно определенная, а матрица Q неотрицательная, то оператор А положительно определен в пространстве L2(o, b). Обозначим через λι(χ) наименьшее собственное число матрицы Р(х); по условию теоремы λι(χ)>0, a^Cx^Cb. При этом для любого вектора t = (ti, fa, ..., ts) справедливо равенство pwt.t- i p/ft(*)7fc>M*)i'i· (6) На сегменте [a, b] матрица Ρ (χ) непрерывна, а тогда на том же сегменте непрерывны и все ее собственные числа. Непрерывная и положительная функция λι(χ) имеет на этом сегменте положительную точную нижнюю границу (С1, 35). Существует, следовательно, такая постоянная Я>0, что λι(χ)^λ, сиСх-*СЬ. Теперь из неравенства (6) следует Ρ(χ)ί·ί>λ2& (7) Одновременно по условию теоремы QW-t= Σ qjk(x)t,tk^0. (8)
§ 23. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 123 Положим теперь в тождестве (5) ν = и: ь ь s a a ft— 1 В силу краевых условий (2), к функции Uk можно применить неравенство (7) § 21, и мы получим Г s (Au, u) > (ь2_а)2 J 2 u\ (x) dx = {b2\)2\\ u ||2. a fc=l Теорема доказана. В условиях теоремы 2 задача (1)—(2) равносильна задаче о минимуме интеграла Π Σ \Pik~dl· ~аГ+ Я1^1ик\- 2^fkuk\dx (9) f,k=l fe-1 ' на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям (2). В качестве координатных функций здесь следует выбирать вектор-функции φ„(*) = (<pin(*), Ф2И(*), ■ · ·, ф«и(*)Ь удовлетворяющие краевым условиям ψίη(α) = φ/η(Ь) = 0, / = 1, 2, ..., s; п=1, 2, ... Приближенное по Ритцу решение имеет вид η "η (Χ) = Σ Gfc<Pfe (*), или, более подробно, «/«(*)= Σ ад/Л*). /= 1,2, ...,/г. fe=l Коэффициенты аь определяются из системы Ритца (8) § 17; в данном случае ь [<Pft> Φ/] = j Zi Pap -~ir -£г + ναβΨαίΨμ dx; a La, β=1 J b s a a=l Можно указать и другие краевые условия, при которых дифференциальный оператор (It) будет положительно определенным. Так будет, например, в случае условий вида ι/(μ)-Μ<ιι(α)**0, и'(Ь) + Л12и(Ь) = 0, (10)
124 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА если Μι и Мг — симметричные неотрицательные матрицы и хотя бы одна из них—положительно определенная. Сходные результаты можно сформулировать и для системы уравнений вида Σ<-·»£('.Μ£)-»Μ· αϊ) fe=0 Мы не станем останавливаться на этом подробнее. § 24. Основные краевые задачи для неоднородного уравнения Лапласа Неоднородное уравнение Лапласа имеет вид -Au = f(P), (1) где Δ — оператор Лапласа: т fe-ι dXk Ρ(χι,χ2,... ,хт) — точка m-мерного пространства (в приложениях чаще всего т = 2 или т = 3) и /(Р)—заданная функция. В литературе неоднородное уравнение Лапласа чаще называют уравнением Пуассона. Поставим задачу: проинтегрировать уравнение (1) в конечной области Ω при краевом условии задачи Дирихле и Is = 0, (2) где 5 — граница области Ω. Будем рассматривать оператор —Δ как оператор, действующий в пространстве Ζ,2(Ω). За область определения оператора Лапласа примем линейное множество (обозначим его буквой М) функций, удовлетворяющих следующим условиям: 1) они непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области Ω = Ω + 5; 2) они равны нулю на 5. Нетрудно видеть, что на линеале Μ оператор —Δ положителен. Воспользуемся формулой (18) § 7. Поверхностный интеграл в этой формуле пропадает, потому что на границе и = 0. Отсюда (- Аи, и) = J (gra d uf dQ. > 0. (3) Ω Остается показать, что и = 0, если (—Аи, и) = 0. Но это очевидно: если (—Аи, и) = 0, то, как это следует из (3), grad и = 0,
§ 24 НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 125 откуда вытекает, что и — постоянная. Будучи равной нулю на S, эта постоянная равна нулю. Из сказанного следует, что сформулированная нами задача Дирихле равносильна задаче о минимуме функционала Р{и) = (-Аи, и)-2(и, f) (4) или, если воспользоваться формулой (3), функционала F (и) = \ {(gra d uf - 2uf} cffi (5) Ω на множестве функций, равных нулю на S. К уравнению (1) с краевым условием (2) сводится, как известно, задача о прогибе мембраны, закрепленной по краю, под действием нормальной нагрузки; функция f{P) пропорциональна этой нагрузке. Функционал (5) пропорционален потенциальной энергии изогнутой мембраны (см. Е. Трефтц [2], п°26); мы здесь имеем дело, следовательно, с частным случаем принципа минимума потенциальной энергии. Сходный результат получится, если вместо (2) поставить краевое условие смешанной задачи где σ(Ρ) — неотрицательная функция, отличная от тождественного нуля. На этот раз мы должны в качестве области определения оператора Лапласа ввести линеал Ма функций, удовлетворяющих краевому условию (6) и тем же условиям непрерывности и дифференцируемости, что и функции линеала М. Нетрудно видеть, что на Ма оператор —Аи также положителен. Действительно, по формуле (3) и краевому условию (6) (— Аи, ы)= — u—^dSi- (grad«)2cffi = s ω = |aw2d5+ ] (graaufdQ^O; S Ω при этом, если (—Аи, и) = 0, то необходимо jau2dS = 0, J(gradw)2dQ = 0 S Ω Из второго равенства вытекает, что « = С = const. Подставив это в первое равенство, получим σ JadS = 0.
126 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Функция σ(Ρ) неотрицательная, кроме того, σ(Ρ) не равна тождественно нулю. Отсюда следует, что Ι σ dS > О, но тогда не- s обходимо С = 0 и и{Р) = 0. Таким образом, на линеале Ма оператор —Аи положительный. Задачу интегрирования уравнения (1) Пуассона при краевом условии (6) можно заменить задачей о минимуме функционала F{u) = (-Au, и)-2(и, f)= J {(graa uf-2uf)dQ + J аи2dS (7) Ω S на линеале Ма. Краевое условие (6) естественное. Особо рассмотрим задачу Неймана для уравнения (1). Пусть ищется решение уравнения (1), непрерывное и непрерывно дифференцируемое в Ω и удовлетворяющее краевому условию £L-0· <8> Можно аналогично предыдущему выделить линеал М0, образованный функциями, удовлетворяющими краевому условию (8) и тем же условиям непрерывности и дифференцируемое™, что и функции линеала М. Однако оператор —Аи не будет положительным на этом линеале. Действительно, по формулам (3) и (8) (— Аи, и) = j (graaufdQ, что представляет величину не- Ω отрицательную. Но из равенства (—Аи, и) = 0 не следует, что и =0. В самом деле, функция и=\, очевидно, входит в линеал Λί0 и (—Аи, и) = 0. Чтобы обойти это затруднение, поступим следующим образом. Прежде всего заметим, что задача Неймана неразрешима при произвольной функции f{P); и нетрудно найти условие, которому эта функция необходимо должна удовлетворять. Проинтегрируем (1) по Ω: — I AudQ.= \ f άΩ; полагая ν ξ= 1 в фор- Ω Ω муле (17) § 7, получим JAuifQ= j|J-ifS, Ω S что равно нулю в силу (8). Таким образом, для разрешимости задачи Неймана необходимо, чтобы jf{P)dQ = 0.
§ 24. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 127 Далее, если задача Неймана разрешима, то она имеет бесчисленное множество решений, различающихся между собой на постоянную. Эту постоянную выберем так, чтобы решение и(Р) удовлетворяло тому же условию, что и данная функция f(P): j u(P)dQ = 0. (9) Ω Очевидно, такое решение задачи Неймана единственное. Рассматривая задачу Неймана для уравнения (1), примем за область определения оператора Лапласа линейное множество функций, которые: 1) непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в Ω, 2) удовлетворяют краевому условию (8), 3) удовлетворяют уравнению (9). Это множество обозначим через fflo- Выше было сказано, что мы будем каждый раз искать решение задачи Неймана, удовлетворяющее условию (9) —это можно сформулировать, говоря, что мы будем искать решение задачи Неймана, принадлежащее линеалу Мц. Докажем, что на линеале М0 оператор —Δ положителен. Действительно, мы по-прежнему найдем (- Аи, и) = J (gra d uf cffi > 0; (4') Ω если (—Δ«, и) = 0, то и = const, но постоянная, удовлетворяющая равенству (9), необходимо равна нулю. Задача Неймана может быть заменена следующей вариационной задачей: в линеале Л7о найти функцию, реализующую минимум функционала F{u) = {- Διι, u)-2{f, и), или, в силу краевого условия (8), ^(")= J{(grad«)2-2f«}cffi. (10) Ω Краевое условие (8) естественное, поэтому нет нужды ему удовлетворять заранее, отыскивая минимум функционала (10). Выше мы установили положительность оператора —Δ на каждом из множеств М, Ма и Λ/ο — этого было достаточно, чтобы свести каждую из рассмотренных нами краевых задач к равносильной вариационной задаче. Докажем теперь, что на каждом из перечисленных множеств оператор —Δ также и положительно определенный; отсюда будет следовать, что каждая из наших трех краевых задач имеет обобщенное решение.
128 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Начнем с задачи Дирихле. В этом случае m (- Аи, и) = J (grad uf άΩ = J J] (-§ft dQ, (11} Где т — число измерений области Ω. Для простоты вычислений примем, что Ω — плоская область, расположенная в плоскости х, у; переход к любому числу измерений не представит никаких затруднений. При т = 2 формула (11) принимает более простой вид: <-*■.«>-J [(£)'+(£)> Напомним еще, что область Ω предполагается конечной. Заключим Ω внутрь некоторого прямоугольного П. Оси координат направим по двум его сторонам; стороны прямоугольника обозначим через а и Ъ (рис. 8). Пусть и(х, у) —-достаточно гладкая1) функция, равная нулю на 5. Продолжим и(х,у) на весь прямоугольник, полагая ее равной нулю вне Ω; при таком продолжении она будет непрерывной в П. Возьмем в Π произвольную точку (Х\,у\). Имеем, очевидно, х, \ди{хд^ йх^и(хъ у,)-и (О, у,). о Но точка (0, ί/ι) лежит вне Ω, и потому и(0, у\) = 0. Таким образом, X, " №. У\) ~ } дх ■dx. Применяя неравенство Буняковского, имеем ') Под «достаточно гладкой» функцией мы понимаем функцию, имеющую достаточное число производных, непрерывных в замкнутой области. В данном случае достаточно непрерывности первых производных функции и(х.у).
§ 24 НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 129 Проинтегрируем это неравенство в пределах 0 ■<*!■< а, О ·< ух 4, Ь J u2(xt, yjdx^y^a2 j (|£) dxdy^tf J [(|^-)' + (|^)2] dxdy. π π π Интегрирование достаточно производить по Ω, так как и == о вне Ω. Обозначив еще а2 = —, мы придем к важному неравенству J[(£),+(£)"]',B>"W <12> Ω Ω известному под названием неравенства Фридрихса [1]. Оно во всяком случае справедливо, как мы установили, если функция и(х, у) непрерывно дифференцируема и равна нулю на 5. В общем случае /n-мерного пространства неравенство Фридрихса имеет вид Г m 2 Г J Σίίτ) da>*\ u*dQ> "is = °; (12i) Ω £=Λ Ω при in = 1 оно, по существу, переходит в неравенство (12) § 8. Из неравенства (12) следует (-Au,u)^f\\uf, γ=/κ>0, (13) откуда вытекает, что оператор —Аи положительно определенный на линеале Μ достаточно гладких функций, равных нулю на 5. Рассмотрим теперь оператор —Аи на линеале функций, удовлетворяющих краевому условию (6). Примем, что σ(Ρ)!>σο = = const > 0. Доказательство положительной определенности на этот раз опирается на неравенство, также установленное Фрид- рихсом: W«c{i [(£)*+(§)>+ίΗ· (14) Ω ·■ Ω S ) где С—положительная постоянная. Чтобы получить это неравенство, поступим следующим образом. Поместим опять Ω в прямоугольник ГТ и положим u = fv, где f — функция, которую мы выберем ниже. Из легко проверяемого тождества 9 С. Г. Михлии
130 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА мы найдем, отбрасывая первое слагаемое справа, Проинтегрируем это по Ω; интегралы от второго и третьего членов справа преобразуем по формуле Остроградского (§ 7): ί{(£),+(τΠ*>-ί"Δ"β+ίΗ'*'ί8· Отсюда -/***</{(£)■+(£)>-Й£« и тем более -j>A/<ia<J{(i)!+(^)>+ j>f <is πχ JTJi (15) Возьмем / = sin — sin -г-. Тогда Δ/= —π2(Ι/α2+ I/й2)/', и f нигде в Ω не обращается в нуль. В последнем неравенстве интеграл слева обращается в π2(-^- + -^τ) j и2 dQ,\ второй интеграл справа оценивается так И3' й* dS dv dS < Klfl dS. На контуре S величина j- -7^- , очевидно, ограничена; пусть Τ \~dv Г*=^ = cons^ на ^- Тогда j> rfS <С ' ί и2 dS, и неравенство (14) получится из (15), если через С обозначить меньшее из чисел π~2(1/ο2 + 1/62)-1 и C'n~2(l/a2 + 1/62)-'. Оценим теперь скалярное произведение (—Аи,и). Имеем (-д., и)--\и*«.«-/{(£]Г+($)Г}.«-/.£«.
§ 24. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 131 или, если воспользоваться равенством (6), <-^>=J{(£)^)>Q+i™2rfs> Ω S Q S где, как уже было указано, σο есть нижняя грань σ(Ρ). Положим σι = rnin(oo, 1); тогда, очевидно, <-*«. «»<»,Ц[(£ )Г+(£ )']«ω+/"!«}· <"» Сравнив это с (14), окончательно получим (- Аи, и) ^ ν2 II и IP, v = Уо^С". (17) Обратимся теперь к задаче Неймана. Существенную роль в исследовании этой задачи играет известное неравенство Пуанкаре /**<4Ш+(£П*+в(М· (18) где Л>0 и β >0 — постоянные. Мы приведем доказательство этого неравенства для того случая, когда область Ω — прямоугольник; доказательство для областей более общего вида можно найти, например, в книге Куранта и Гильберта [2], гл. VII, а также в книге С. Л. Соболева [2]. В. Г. Мазья [I, 2] получил необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять область Ω для того, чтобы неравенство Пуанкаре имело место. Пусть Ω — прямоугольник 0-*Сх^Са, 0-*Су*СЬ. Возьмем в Ω две точки (xuyi) и (хъ, уъ). Имеем, очевидно, и (*2, уд -«(*,. уд = f -^ Ас + / Щ^ *> 9*
132 ГЛ. IV ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Возведя это в квадрат и используя неравенство Буняковского, получим "2(*i. yi) + u2{x2, у2)-2и{хъ ух)и{х2, у2)< <2L2-Xl\\(*^)2dX + \y2-y,\\(^^)2dyL· г J \ ох I ■■./·<■ ■" ■ j \ σι/ ; ■'ι Ιο о J (а Ъ <2! J(«ifejS))'£lr + tJ(«;^^1,, Полученное неравенство проинтегрируем по хи уи х2, у2, предполагая, что каждая точка (х\,у\) и (х2,у2) пробегает прямоугольник Ω. Мы получим тогда 2аЬ | и2 dQ - 2 {[ и cffiY < 2аЬ | о2 | (J~)2 iffi + b21 (J^)2 cffi ). Разделив на 2ab и положив А = max (а2, Ь2), В = l/ab, мы придем к неравенству Пуанкаре для прямоугольника. Распространение на случай большего числа измерений не встречает никаких трудностей. Коль скоро неравенство Пуанкаре установлено, делается нетрудным доказать положительную определенность оператора —Δ на множестве М0. Мы уже видели выше, что для функций этого множества (— &и, и)= j {gradufdQ. а Так как функция и(Р) удовлетворяет еще условию (9), то для этой функции неравенство Пуанкаре упрощается и принимает вид т J α2άΩ^Α] Σ(-§~-ΥάΩ = A J (grad«)2cffi. Ω Ω k = l Ω Теперь очевидно, что (—Аи, «)>γ2 \\и\\2, у = 1/ΫΑ. Из формул (4) и (4') нетрудно усмотреть, что для функций из области определения оператора задачи Дирихле или задачи
§ 24 НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 133 Неймана энергетическое произведение и энергетическая норма определяются одними и теми же формулами: [и, v]= j gradwgradwcffi, (19) |«F= \ (gradufdQ. (20) Ω Остановимся на свойствах функций, входящих в энергетическое пространство задачи Дирихле или задачи Неймана; знание этих свойств понадобится нам в гл. VIII. Предварительно введем понятие обобщенных производных. Пусть и(Р) и ν5(Ρ) — две функции, суммируемые в Ω, и пусть ty{P)—функция, бесконечно дифференцируемая в замкнутой области Ω и равная нулю в окрестности ее границы 5, а в остальном произвольная. Допустим, что для любой такой функции ty{P) справедливо тождество | и -§~(1Ω = - | Vjty cffi. (21) Ω Ω Тогда функция Vj называется обобщенной производной первого порядка по координате х, от функции и; обозначается обобщенная производная обычным символом v,- = -q—. Аналогично вводятся обобщенные производные высших порядков. Можно доказать, что обобщенная производная данного вида единственна. Отсюда, между прочим, следует, что обобщенная производная совпадает с обычной, если данная функция и{Р) непрерывно дифференцируема в замкнутой области. Подробное изложение теории обобщенных производных можно найти в книгах С. Л. Соболева [2] или В. И. Смирнова [4]. Обозначим через % оператор задачи Дирихле для уравнения Лапласа; соответствующее энергетическое пространство следует тогда обозна чить через Н%. Пусть [ΐεί/j. По определению энергетического пространства существует последовательность функций un^D%, n = = I, 2,..., такая, что II "«-"11-^*°. (22) W-uk\% „,^^Ο. (23) По формуле (20) т I "я - «* l£ = J (grad ua - grad ukf άΩ = J] J \^- - j^JdQ,
134 ГЛ IV ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Из соотношения (23) следует, что dUtV ox; dxj Г/дип duk\2dQ J V dxs dxf ) dun duk dxj dxf П, k-*°o .-><>, т. е. что каждая из последовательностей -^—, « = 1,2,...,— фундаментальная в пространстве L2(Q). Но это пространство полное, поэтому существуют такие функции »,·εΖ,2(Ω), / = 1, 2, ..., in, что II ди„ •О. (24) Докажем, что функции Vj суть обобщенные производные от и: Vf = -~—. Пусть ψ(Ρ)— функция с описанными выше свойствами. Для функций ип(Р) верна обычная формула интегрирования по частям, которая в данном случае дает Ω или, что то же, J «.-&<«>--ί-&*"° ("•■■Ёг) = -{щ·*) В последнем тождестве можно перейти к пределу под знаком скалярного произведения в силу его непрерывности и соотношений (22) и (24). Мы получим тогда или \и-Д cffi = -jvtfdQ, что и требовалось доказать. Таким образом, если функция и^Н%,то эта функция имеет первые обобщенные производные, суммируемые с квадратом в Ω. Нетрудно видеть, что аналогичное утверждение верно и для энергетического пространства задачи Неймана и что формулы (19) и (20) верны для любой функции из энергетического пространства как задачи Дирихле, так и задачи Неймана. Читатель легко сформулирует аналогичные заключения о существовании обобщенных производных соответствующих порядков от функций, входящих в энергетические пространства задач, рассматриваемых в последующих параграфах.
§ 25 НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ 135 Труднее решается вопрос о краевых условиях. Оказывается, что функции из энергетического пространства задачи Дирихле удовлетворяют условию (2) в некотором обобщенном смысле; если, в частности, такая функция непрерывна в Ω, то она удовлетворяет условию (2) в обычном смысле Функции, входящие в энергетическое пространство задачи Неймана, никаким краевым условиям удовлетворять не обязаны (краевое условие задачи Неймана — естественное). В частности, любая функция, непрерывно дифференцируемая в Ω, принадлежит энергетическому пространству задачи Неймана. § 25. Случай неоднородных краевых условий Рассмотрим задачу Дирихле для однородного уравнения Лапласа Δ« = 0 (1) при неоднородном краевом условии u\s = q>(P), PeS. (2) Здесь S — граница конечной области Ω; примем, что S есть совокупность конечного числа кусочно гладких поверхностей. Допустим, что существует хотя бы одна функция ψ(Ρ), удовлетворяющая следующим требованиям1): 1) эта функция непрерывна в замкнутой области Ω = Ω + S; 2) производные -^-, k = \, 2, ..., in, непрерывны в Ω; axk 3) интеграл (graatyf άΩ сходится; Ω 4) ψ (Ρ) Ь = φ (Ρ). Рассмотрим функционал Ф(и)= J (grad«)2dQ. (3) Q За область 0Ф его определения примем множество функций, удовлетворяющих тем же четырем требованиям, которым мы подчинили функцию ψ(Ρ). Множество Dq> непусто — оно содержит функцию ψ(Ρ); оно содержит также всевозможные функции вида ψ(Ρ) + η (Ρ), где функция η (Ρ) удовлетворяет сформулированным выше условиям 1), 2), 3) и кроме того, условию η(Ρ)Ι5 = 0. (4) ') Эти требования можно ослабить (см Л Η Слободецкий [1]).
136 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Поставим задачу о минимуме функционала (3) на множестве Оф. Допустим, что эта задача имеет решение, которое мы обозначим через и0{Р). Докажем, что если функция и0(Р) имеет в Ω непрерывные вторые производные, то она решает задачу (1) — (2). Достаточно доказать, что и0{Р) удовлетворяет уравнению (1). Пусть функция ц{Р) удовлетворяет требованиям 1)—3) и краевому условию (4). Если / — произвольное вещественное число, то («ο + ίη)εΟφ и Φ («о) < Φ ("о + frl) · Это значит, что функция ф(«0 + fr]) вещественной переменной t имеет минимум при t = 0. Но тогда 4<И»о+*чН_о = 0· Отсюда легко получаем J grad«0gradridfi = 0. Ω Применяя формулу Грина (формула (17) § 7) и используя краевое условие (4), получим ί η Аи0 άΩ = 0. Ω Множество функций η плотно в L$(Q) (см. § 4), и из последнего равенства следует, что Δ«0 = 0. Докажем теперь, что задача о минимуме функционала (3) имеет решение, если область определения этого функционала должным образом расширить. Указанное решение будем рассматривать как обобщенное решение задачи Дирихле (1) — (2). Построим функцию ψ(Ρ), о которой сказано в начале параграфа, и положим в (3) « = ψ—v. Тогда ν ls = 0, (4,) а функционал (3) принимает вид Φ(κ) = Φ(ψ-ί>)= j" (gradi>)2dfi-2 j" grad«- gradυd& + C, Q Q где С — постоянная, равная С= J" (grad ψ)2 сШ. a Краевое условие (4i) позволяет рассматривать ν как элемент энергетического пространства оператора задачи Дирихле, рассмотренного в предшествующем параграфе. Поставленную выше
§ 25. НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ 137 вариационную задачу заменим следующей: в пространстве Нщ найти минимум функционала F(v)= | (grad νψάΩ-2 J gradt»- gradx|>dQ = Ω Ω = 1^-2 J" grada-gradi|>cffi. (5) Ω Линейный функционал lv = ί gra d ν · gra d ψ dil (6) Ω ограничен в Нщ. Действительно, по неравенствам Коши и Буня- ковского 11νΫ < { (gra d vf άΩ | (gra d ψ)2 άΩ = С j (gra d ν)2 άΩ, Ω Ω Ω или ] Ιν ] <Ξ yZj ν 1st· Теперь из результатов § 20 следует, что задача о минимуме функционала (5) в пространстве Нш имеет решение. Можно доказать1), что это решение — обобщенное решение задачи (1) — (2) — есть функция, гармоническая в Ω. Мы не станем столь же подробно исследовать задачу Неймана и смешанную краевую задачу: укажем лишь те вариационные задачи, к которым они сводятся. Краевое условие задачи Неймана имеет вид -f|s = MP); (7) Для разрешимости задачи необходимо, чтобы jh{P)dS = 0. (8) 5 Соответствующая вариационная задача состоит в отыскании минимума функционала ^ (%\·ΆάηψάΩ-2^ hudS (9) Ω S на множестве функций, удовлетворяющих условию |ы(Р)сШ = 0, (10) ') См. книги С. Л, Соболева [2] нли автора [28].
138 ГЛ IV ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА но не обязанных удовлетворять никаким краевым условиям; условие (7) естественное для функционала (9). В случае краевого условия смешанной задачи где σ(Ρ) ^0 и σ{Ρ) Φ 0, задача сводится к нахождению минимума функционала J (gra d uf dQ + J [ou2 - 2gu) dS; (12) Ω 5 функции и(Р) никаким краевым условиям не подчинены. § 26. Задачи о кручении стержня и об изгибе стержня поперечной силой ') Обозначим через Ω нормальное сечение стержня и через S — контур сечения. В общем случае задача кручения сводится к отысканию функции <ро(#, у), которая удовлетворяет в области сечения уравнению Лапласа *»~ξ£+φ-«, (,) а на границе S — краевому условию ^ = 1у-тх. (2) Здесь ν — внешняя нормаль к S, / = cos(v,x), ^n = cos(v,y). Таким образом, функция ψο(χ, у) есть решение задачи Неймана для уравнения Лапласа при неоднородном краевом условии (2). Применяя относящиеся к этой задаче результаты предшествующего параграфа, находим, что задачу кручения можно свести к отысканию функции, реализующей минимум функционала J ] (grad φ)2 άΩ - 2 J φ (ly - mx) dS = Q S -\\[{^)2+[^)}dxdy-2\^ly-,nx)dS. (3) !) Предполагаем, что читатель знаком с теорией кручения и изгиба стержней, например, по курсам Л. С. Лейбензона [2] или С Π Тимошенко [1]. Приложению энергетического метода к задачам кручения и изгиба уделено много места в монографии Л. С. Лейбензона [11, где содержатся некоторые из приводимых ниже формул и рассмотрено большое количество примеров.
§ 26. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИВ СТЕРЖНЯ 139 Функции q>(x, у) не подчиняются заранее никаким краевым условиям, так как условие (2) естественное для функционала (3). В выражении (3) контурный интеграл преобразуем по формуле Остроградского J* [щ cos (vx) - ψχ cos {xy)j dS = jj[ ^- - ^-J dx ay = S · Ω Ω Подставив это в (3), легко приведем наш функционал к виду ί ί Ш - *Г+ (w + *П<"■«»- ί ί <**+л* d«- Ω Q Второй интеграл, равный моменту инерции сечения относительно начала координат, есть величина постоянная, поэтому дело сводится к отысканию минимума более простого функционала, который мы обозначим через D(<p): °м-\Ш-*Я+{% + х)Ух*у· (4) Ω Функционал D(<p) имеет простой механический смысл, именно, как известно, D(<pfl) = C/G, (5) где С — жесткость стержня при кручении, G — модуль сдвига материала стержня и <р0, как об этом было сказано выше, — функция, решающая задачу кручения. Доказательство формулы (5) довольно просто. Имеем (см., например, Л. С. Лейбензон [2], стр. 242) HJ>+»i+'l?-«*)«'* Ω С другой стороны, раскрывая скобки, легко найдем Q По формуле Грнна ЯШ+(£)>'--Я*4***+Ь£*
140 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА нлн, в силу уравнений (1) н (2), Ω .S что, как мы уже видели, равно Я (»&-*£)** Ω Подставив это в О(фо). получим формулу (5). Функция <ро доставляет функционалу D(q>) наименьшее значение, поэтому, какова бы ни была функция q>(x, у), имеет место хорошо известное неравенство Ω Это неравенство дает возможность оценить сверху жесткость при кручении; если в качестве φ взять функцию, приближенно решающую задачу о минимуме функционала Ο(φ) (например, построить эту функцию по методу Ритца), то оценка, даваемая формулой (6), может быть сколь угодно точной. Простую, хотя и грубую оценку для жесткости при кручении получим, положив φ = 0. Это дает неравенство С < GI, (7) где / — момент инерции сечения стержня относительно начала координат. Можно получить и несколько более точную оценку жесткости С. С этой целью положим в (6) φ = ода/, где постоянную α выберем так, чтобы правая часть неравенства (6) приняла наименьшее значение. Совсем простые вычисления приводят к оценке С<4С/ху/, (7,) более точной, чем оценка (7). Через 1Х и 1У обозначены моменты инерции сечения стержня относительно осей χ и у соответственно. Задачу кручения можно свести к другой вариационной задаче, которая позволит получить для жесткости при кручении оценку снизу. Рассмотрим сначала более простой случай, когда область сечения Ω односвязная. Тогда, как известно, задачу кручения
§ 26. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ СТЕРЖНИ 141 можно свести к интегрированию уравнения Пуассона (неоднородного уравнения Лапласа) Δψ => - 2G0 при краевом условии ■Ψ is = 0; здесь θ — постоянная, называемая степенью кручения. Если положить ψ (χ, у) = 2GQu (χ, у), то получим дифференциальное уравнение -Аи=1 (8) и краевое условие «Is —0. (9) Из результатов § 24 вытекает, что задача (8) — (9) равносильна задаче об отыскании минимума функционала '«"ЧЛШ-М-уГ-Ч*"* (10) Ω на множестве функций, удовлетворяющих условию (9). Пусть ио(х,У) — точное решение нашей задачи, a tin(x, у)—ее приближенное решение по Ритцу. По формуле (15) § 17 |ы„|2^|«о|2· В нашей задаче f(x,y)= 1 и формулы (13) и (14) § 17 дают «о(х, y)dxdy~^ un(x, y)dxdy. Ω Ω Как известно, жесткость при кручении только множителем 46 отличается от интеграла, написанного слева. Отсюда вытекает оценка снизу для С: C>4G JJ" ип(х, y)dxdy. (11) Ω Если воспользоваться формулой (18) § 17, то получим оценку, вообще говоря, более грубую, но более простую: 4G /Ί f udx dy\ Ω Здесь и(х,у) — любая функция, непрерывно дифференцируемая в Ω и обращающаяся в нуль на S.
142 ГЛ IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Пусть теперь область Ω многосвязная, и пусть кривая S0 ограничивает эту область извне, а кривые Sb S2,. .., Sh — изнутри. Обозначим через у,·, i = 1, 2,. .., k, площадь области, заключенную внутри кривой S,- Функция и(х, у) = ψ(χ, y)l2GQ удовлетворяет уравнению (8) и краевым условиям ί 0 на So, "= с - ι о и (13) { at на St, t= 1, 2, ..., д. ' Здесь а,- — постоянные, которые заранее не известны; в силу известной теоремы Бредта они связаны соотношениями [f-dS^-ъ, * = 1, 2, .... k; (14) s"i ν, как обычно, означает нормаль к S,-, внешнюю по отношению к Ω и, следовательно, внутреннюю по отношению к замкнутой кривой St. Пусть и(х, у)—какая-либо функция, удовлетворяющая условиям (13) и (14); допустим еще, что в Ω эта функция непрерывна вместе со своими первыми и вторыми производными. Положим и — и = v. Тогда функция ν удовлетворяет уравнению -Δυ = 1+Λ« (15) (16) и краевым условиям ί 0 н ϋ = \β£ н ί a S0, a St, i= l, 2, .... ft; -g.rfS = 0, г=1, 2, .... ft. (17) Здесь β,- — произвольные постоянные. Функции, удовлетворяющие условиям (16) и (17), образуют, как нетрудно видеть, линеал. Докажем, что на этом линеале оператор —Δ положителен. В самом деле, если какая-либо функция υ(χ, у) удовлетворяет упомянутым условиям, то (— Δι>, ν) = — v&vdxdy = -ί/[(£)'+№*+/·£««·
§ 26. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ СТЕРЖНЯ 143 Контурный интеграл исчезает, так как ft S ί = 1 S,- <-а».»)-Я[(1г)!+Ш>'*>»· Ω Аналогично доказывается симметричность нашего оператора. По теореме о функционале энергии (§ 13) дело сводится к отысканию функции υ(χ, у), реализующей минимум функционала ίί[(№(τΓ-ίΐ1+«']*1* <18> Ω на множестве функций, удовлетворяющих условиям (16) и (17). Вернемся к функции и = ν + й- Отбрасывая в (18) постоянные слагаемые, найдем, что интегрирование уравнения (8) при условиях (13) и (14) равносильно отысканию функции, реализующей, при тех же условиях, минимум функционала Ω Ω Второй интеграл возьмем по формуле Грина и воспользуемся краевыми условиями: Ω Ω S = — и Δη dx dy + Voj-Yj. Ω i = l Подставив это в Q(u), найдем окончательное выражение функционала Q(«): Ω J=l Приемом, указанным в § 12, нетрудно доказать, что условие (14) — естественное для функционала Q(«), поэтому его минимум
144 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА можно искать на множестве функций, удовлетворяющих только условию (13). По-прежнему обозначим через ы0(х, у) функцию, решающую задачу кручения; она реализует минимум Q(u). Выясним связь между Q(uo) и С — жесткостью при кручении. Исходим из известной формулы {ft j j Uodxdy+^af^A; (20) Ω i = l через af] обозначены значения постоянных α,- для функции ы0. Так как Δ«ο = —1, то интеграл в (20) преобразуется следующим образом: J J\dxdy— j j uobbdxdy- \\{[<£)\{^]dxdy- Ω Ω Ω S Ω / = l Отсюда Ω Ω ί = 1 Заменив в (19) и на «о и воспользовавшись последним равенством, найдем ft Q ("о) = - { j "о dx dy - 2 аг0Ч· Сравнив это с (20), получим C=-4GQ(u0). (21) Пусть и — любая функция, удовлетворяющая условиям (13). Подберем постоянный множитель а так, чтобы Ц(аи) приняло минимальное значение. Имеем Q(a«)=a2J J [(-^-) +l~J]dxdy-2a J J udxdy + ^tnyi . Ω L S « = l J Продифференцировав это по α и приравняв производную нулю, найдем k
§ 27. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 145 Теперь легко найти ( ! f Udxdy + Zla№) Q(m)---mm^· (22) Q Очевидно, Q{tia) *С Q{au), так как аи удовлетворяет условиям (13) (в которых постоянные а,- заменены на ащ). Теперь из формул (21) и (22) вытекает оценка снизу для жесткости при кручении | J j и dxdy+2iaiy[ c^rn—^ i=i—'-—. (23) ii[(f)4f]«> Оценка (23) приведена в статье Линь Хун-суна [1]. Коротко скажем о задаче изгиба стержней. Она, как известно, сводится к нахождению функции χ(χ, у), гармонической в области сечения Ω и удовлетворяющей краевому условию ϋ-|5=-[τσ^2+(ι-γ)^]/-(2+σ)^/»; (24) σ—постоянная Пуассона. По доказанному в предшествующем параграфе эта задача сводится к определению функции, реализующей минимум функционала + |Χ{[σχ2 + (2 -a)tf]t + 2(2 + a)xym}dS\ s так как условие (24) — естественное, то на функцию χ можно никаких краевых условий не накладывать. § 27. Уравнения с переменными коэффициентами Немаловажную роль в различных вопросах математической физики играют дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами—так называются линейные уравнения, коэффициенты которых суть заданные функции независимых переменных задачи, в частности координат. Так, уравнения равновесия, а также колебаний упругих оболочек представляют собой 10 с. г. М.ИХЛИН
146 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА систему уравнений с переменными коэффициентами; прогиб пластинки переменной толщины определяется некоторым уравнением четвертого порядка с переменными коэффициентами; к уравнению второго порядка с переменными коэффициентами приводится задача о колебаниях уровня жидкости в бассейне1). Особое значение имеют линейные уравнения с переменными коэффициентами при исследовании нелинейных уравнений. С одной стороны, разные методы линеаризации часто приводят к уравнениям с переменными коэффициентами; таково, например, происхождение столь важного для газовой динамики уравнения Чаплыгина [1]. С другой стороны, применение различных методов последовательных приближений к нелинейным уравнениям часто приводит к тому, что каждое приближение получается как решение некоторого линейного уравнения с переменными коэффициентами; так обычно бывает при использовании так называемого «метода Ньютона», разработанного Л. В. Канторовичем [2]. Переход от постоянных коэффициентов к переменным создает серьезные трудности при использовании таких методов, как метод интегральных уравнений или метод функции Грина, и, особенно, при отыскании элементарных частных решений. Но для большинства вариационных методов, в том числе и для энергетического, переход к переменным коэффициентам не связан с заметными дополнительными трудностями, и результаты § 24, с соответствующими изменениями, переносятся на уравнения эллиптического типа с переменными коэффициентами. Этому мы и посвятим настоящий параграф. Будем рассматривать уравнение 1и=~ ?< -ίχ -(^ik(P)-^) + C(P)u^f(Py, A,k = Akj, (1) J, feo I при краевых условиях одного из трех типов «ls = 0, (2) [N(u) + a(P)u]s = 0, (3) N{u)\s = 0. (4) где N(u)= J Ajk(P)-ί£-cos (ν, χ,); /.fc-ι k ') См., например, Л. Η. Сретенский [I].
§ 27. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 147 здесь, как обычно, S—граница некоторой конечной области Ω, v — внешняя нормаль к S. По аналогии со случаем уравнения Лапласа краевую задачу для уравнения (1) при условиях (2), (3) или (4) называют соответственно задачей Дирихле, смешанной задачей или задачей Неймана. Выбор специального вида уравнения (1) (общее уравнение второго порядка к этому виду не приводится) объясняется тем, что при любом из краевых условий (2), (3) или (4) оператор L оказывается симметричным Действительно, по формуле Грина [формула (16) § 7] | (vLu - uLv) dQ = - J [vN (и) - uN (ν)} dS. (5) Q S Если обе функции удовлетворяют условию (2) или условию (4), то функция под знаком поверхностного интеграла очевидным образом обращается в нуль. Если же обе функции удовлетворяют условию (3), то на S N(u) + au = 0, Ν(ν) + σν = 0. Умножая первое равенство на ν, второе на ы и вычитая, найдем, что [vN{u)-uN{v)]s = 0, так что и в этом случае функция под знаком интеграла по 5 исчезает. Итак, во всех случаях правая, а следовательно, и левая часть равенства (15) обращается в нуль: Г {vLu — uLv)dQ = (Lu, ν) —(и, Ζ,υ) = 0, Ω а это значит, что оператор L симметричен на соответствующих множествах функций. Оператор L, а с ним и уравнение (1), называется эллиптическим в замкнутой области Ω, если коэффициенты Ajh(P) обладают следующим свойством: существует такая положительная постоянная μ0, что каковы бы ни были вещественные числа м» fa, ..., tm и какова бы ни была точка Рей, имеет место ш*
Ϊ48 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА неравенство') т т Σ Aik{P)tih>^a^tl (6) на коэффициент С никаких ограничений не накладывается. Рассмотрим для примера оператор Здесь т = 2. Если положить χ = Х\, у = Хъ то Au = l+xl А12 = Л2| = - xtx2, А22=\+х]. Левая часть формулы (6) в данном случае имеет вид (1 + χξ)t* - 2xxx2ixt2 + (1 + *2) t\ = ή +1\ + (x2tt -x,t2)2. Отбросив последнее слагаемое справа, получим (1 + xl) ή - 2xlx2tlt2 + (1 + **) t\ > f* + t\. Независимо от значений хх и х2 неравенство (6) выполняется с постоянной μη = 1. Отсюда следует, что наш оператор эллиптический в любой области изменения переменных χ и у. Рассмотрим еще «оператор Трикоми» <5х ду дх\ дхгг Здесь Ап = Х2, А\2 = Ац = О, А22 = 1, и левая часть формулы (6) имеет вид x-di + tl. Если χ2^δ>0, то χ2ή + W^tbfi + t\~^s ^&'(t\ + tl), гДе δ' означает меньшее из чисел 1 и δ; неравен 1) Это определение остается в силе и для общего линейного дифференциального оператора второго порядка гг т Λ A = l ' ' / = l и для соответствующего дифференциального уравнения; название эллиптического в замкнутой области естественно сохраняется за оператором L, если у последнего изменить знаки его коэффициентов, так что вместо (6) мы будем иметь неравенство т т Σ <νρ)ί/Α<-μοΣ& i, A=l fe=l
§ 27. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 149 ство (6) выполнено с постоянной μ0 = δ', и оператор У ТЕ5" ~*~ ΙΓ^ эллиптический в любой замкнутой области, которая вместе со своей границей целиком расположена в верхней полуплоскости. Если область целиком или частью расположена в нижней полуплоскости, то оператор Трикоми в этой области не будет эллиптическим '). Если область лежит в верхней полуплоскости, но ее граница имеет общую часть (даже одну общую точку) с осью х, то в замкнутой области оператор Трикоми принадлежит к классу так называемых вырождающихся эллиптических операторов, о которых будет идти речь в следующем параграфе. _ Будем предполагать, что уравнение (1) эллиптическое в Ω, так что неравенство (6) выполняется при некоторой положительной постоянной μο. Выясним условия, обеспечивающие положительную определенность оператора (1) на каждом из множеств функций, удовлетворяющих краевому условию (2), (3) или (4); как мы знаем, это гарантирует как существование обобщенного решения соответствующей краевой задачи, так и возможность приближенного вычисления этого решения с помощью методов гл. III. Во всех случаях будем предполагать, что С(Р) >0. Случая, когда С(Р) может принимать отрицательные значения, мы здесь рассматривать не будем. По формуле Грина [формула (14) § 7] άΩ- \ uN (и) dS. s Если дано краевое условие (2) или (4), то поверхностный интеграл исчезает, и (^)=ПЁ^^ + ЦсШ; (7) если же дано условие (3), то на S будет N(u) = —аи, и Ом, и) = J { | Alh%- % + CiA + J σ* dS; (8) Ω I/, fc-l ) Ω будем предполагать, что функция а(Р) ограничена снизу некоторым положительным числом σο, так что σ(Ρ) ΐ> σο > 0. Если коэффициент С(Р) ограничен снизу некоторым положительным числом, то оператор L положительно определенный (Lu, u)= \uLudQ= | V А}к Ω ω I ;_ k=-1 ди дх-, дХк -Си* ) В нижней лолуплоскости оператор Трикоми гиперболический.
150 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА при любом из условий (2) —(4). Действительно, по неравенству (6) Ω /, k=l Ω Α=1 и интеграл в левой части формулы (9) неотрицателен. В формулах (7) и (8) отбросим этот интеграл, а в формуле (8) отбросим еще и неотрицательный поверхностный интеграл. В обоих случаях мы придем к неравенству (Lu, w) > | С (Ρ) и2 cffi. Ω По предположению С(Р) ^ С0, где С0—некоторая положительная постоянная, но тогда из последнего неравенства сразу следует, что (Lu, «)>Y2JVcffi = Y2||«|p; γ = \fcZ Ω т. е. что L — положительно определенный оператор. Если коэффициент С(Р) может обращаться в нуль где-либо в Ω, то приведенное выше доказательство непригодно, тем не менее для краевых условий (2) и (3) оператор L остается положительно определенным. Рассмотрим случай краевого условия (2). Под интегралом в формуле (7) отбросим неотрицательное слагаемое Си2; оставшийся интеграл оценим по неравенству (9). В результате получим Ω i = l Функция и(Р) обращается в нуль на границе области Ω и потому удовлетворяет неравенству Фридрихса [формула (Ι2ι) § 24]. Воспользовавшись им, получим (Lu, и) >\2\\и IP, ν = Υκμ0, что и требовалось доказать. Обратимся к условию (31).' В формуле (8) отбросим Си2 под знаком интеграла, а лод знаком поверхностного интеграла заменим σ на σο. Оставшийся объемный интеграл оценим по неравенству (9). Все это дает т (Lu, и) > μ0 J 2] [j—ΐ άΩ + σ,. J и? dS. Ω fc=l S
§ 27 УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 161 Пусть α — меньшее из чисел μ0 и σο. Тогда, очевидно, ( f JUL (Lu, u)>a\ } Σ('Βϊ)2άΩ+ } и* dS [a a=i s Теперь неравенство (14) § 24, которое просто обобщается на случай любого т, даст [Lu, и) > ν21| и |р, ν = VaC~· Обращаясь к краевому условию (4), ограничимся простейшим и в то же время наиболее интересным случаем, когда С(Р) =0. Задача сводится к интегрированию уравнения т ^'-ΣΜΑ'^)"ηΡ) (10) i.k=l при краевом условии (4). Нетрудно видеть, что эта задача не всегда имеет решение. Чтобы убедиться в этом, проинтегрируем по Ω обе части уравнения (10): т ■ -Ι Σ ж><*&)д,-/"в· Ω /,ft=l Ω Применяя к левой части последнего равенства формулу Остроградского, найдем т т "J Σ £(*..&)*--J Σ А^амЬ. xiHS-0, Ω /, fe=l S /. k~l что обращается в нуль в силу уравнения (4). Таким образом, если задача Неймана имеет решение, то необходимо Ω С другой стороны, если решение существует, то оно не единственно: вместе с и решением будет и и + С, где С — произвольная постоянная. Мы устраним этот произвол, потребовав, чтобы искомое решение удовлетворяло равенству J"i4iffi = 0. (11) Ω Рассмотрим теперь множество функций, непрерывных в Ω вместе со своими первыми и вторыми производными и удовлетворяющих равенствам (4) и (11). Докажем, что оператор L0
2 152 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА положительно определенный на этом множестве. Действительно, т (L0u,u)=-\u 2 -£j(Ai*-£t)dQ· a i. k=\ Интегрируя по частям и используя условие (4), получаем т т С««. Ή Σ ^^^>^\ЪШ^ (12) Ω /. fe=l Ω k=l Общее неравенство Пуанкаре (см. § 24) Ω Ω k=l \Ω при условии (И) даст т Ω k=l Ω Подставив это в (12), получим {L0u,u)^y2\\uf, \=YvJA. § 28. Вырождающиеся эллиптические уравнения Дифференциальный оператор второго порядка т т - Σ А^р)^гк+1влр)ж1+с^и /. fe=i i=i будем называть вырождающимся эллиптическим оператором в данной конечной области Ω, если неравенство m Σ Ajk(P)titk>0 (1) /. k=l имеет место, какова бы ни была точка Рей и каковы бы ни были не равные одновременно нулю вещественные числа U, h, ■··> tm, и если неравенство (6) § 27 m m Σ Αβ(Ρ)№>ν«Σ*ϊ i, fe=l /=-1 нарушается в некоторых точках Рей и для некоторых значений t\, t% tm, какова бы ни была положительная постоян-
§ 28 ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЯ 153 si ная μο· Одним из простейших операторов такого рода является рассмотренный в предшествующем параграфе оператор Трикоми. Дифференциальное уравнение вида Lu = f(P), где f(P) — данная функция, a L — вырождающийся эллиптический оператор, будем называть вырождающимся эллиптическим уравнением. Ряд важных результатов, относящихся к частным типам вырождающихся уравнений, получили С. А. Чаплыгин [1], Ф, Трикоми [1] и др. (библиография работ этого направления содержится у Ф. Трикоми [1], С. Бергмана и М. Шиффера [1]). Начало общей теории вырождающихся эллиптических уравнений было положено работами М. В. Келдыша [2], М. И. Вишика [4—6] и автора [13, 15, 16]; в работах автора исследован вопрос о применимости вариационных методов к вырождающимся эллиптическим уравнениям; этому вопросу и посвящен настоящий параграф. Упомянем еще работу М. Ш. Бирмана [4]. За последние годы появилось много работ по теории вырождающих- Ук ^» ся эллиптических уравнений. Довольно обстоятельное изложение современного состояния этой теории дано в книге Μ. Μ. Смирнова [1]. —ι 1 1—»-д· Подробнее рассмотрим слу- ° a S' Ь чай двух независимых переменных (см. статью автора [13]). Рис- 9- Пусть в полуплоскости у>0 дана конечная область Ω (рис. 9), граница которой состоит из отрезка {а, Ь) оси χ (мы будем обозначать его через S') и кривой S", которая целиком, кроме концов а и Ь, лежит в верхней полуплоскости. Обозначая, как обычно, границу области Ω через S, имеем S = S' + S". Пусть функция φ {у) определена и, скажем, непрерывна на отрезке O^y^CY, где У не меньше, чем наибольшая из ординат точек криво.й S", и пусть ср(0) = 0 и ср(у)>0 при у>0. На том же отрезке 0^.y4Z.Y пусть будет дана еще непрерывная функция ω (у), относительно которой мы предположим, что ω (#)>·&, где k — положительная постоянная. Рассмотрим эллиптический дифференциальный оператор -»ω£-έ(·ω£). « вырождающийся в области Ω; этот оператор переходит в оператор Трикоми при ср(у)==у, ω(#) = 1. Поставим задачу об интегрировании в области Ω уравнения -4ΐν)^-η${ν>1ΰ)η£)4(χ,ν), (3)
154 ГЛ IV ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА где f(x,y)—данная функция, при однородных краевых условиях одного из двух типов: I и Is = 0, (4) И «к.-О, |^„ = 0. (5) Оператор (2), рассматриваемый на множестве функций, дважды непрерывно дифференцируемых в Ω = Ω + S и удовлетворяющих краевым условиям (4) или (5), будем обозначать через Li или Ьц соответственно. Докажем, что операторы Lj и L[i — положительно определенные. Пусть и{х, у) и v(x, у)—две функции, которые одновременно принадлежат либо области DL/ определения оператора Lu либо области DLjl определения оператора Ьц. В частности, обе функции удовлетворяют одновременно либо краевому условию (4), либо краевым условиям (5). Понимая под i какой-либо из индексов / и //, составим скалярное произведение (/.,«, u)=-^v[<p(y)-^+-^(<S>(y)-^r)]dxdy. Применив к последнему интегралу формулу Грина, найдем Ω - J υ [ψ (у) ~ cos (ν, χ) + ω (у) ~ cos (v, y)]dS; (6) S ν, как обычно, означает внешнюю нормаль к S. Нетрудно видеть, что контурный интеграл равен нулю. Действительно, как при условии (4), так и при условии (5) на кривой S" функциям исчезает, и контурный интеграл в (6) достаточно брать по отрезку S' оси х. Если дано условие (4), то v \s, = 0, и интеграл по S' равен нулю; если же дано условие (5), то Х7 = 0 и, кроме того, cos(v,x) =0 и по-прежнему интеграл по S' исчезает. Теперь (LP. v)=\l[9{y)J££+oM%£]dxd!r, / = /,//; (7) Q формула (7) показывает, что операторы Lt и Ltl симметричны, так как правая часть упомянутой формулы не меняется при перестановке функций и и ν. Положив в (7) ν = и, найдем {LiU, «) = { J [φ (У) (%)* + ω {у) (^J] dx dy; i = 1,11. (8)
§ 28 ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЯ 155 Из формулы (8) сразу вытекает, что операторы Lt и Ln положительны. Чтобы доказать их положительную определенность, заключим Ω в прямоугольник (рис. 10), определяемый неравенствами а' < χ < Ъ', 0 ^ у -<У; очевидно, а' < а и Ь' > 6. Этот прямоугольник обозначим буквой П. Пусть дана функция и(х, у) из области определения оператора Lt или оператора LIIt У| т. е. дважды непрерывно дифференцируемая в Ω и удовлетворяющая на S либо условию (4), либо условиям (5). Доопределим функцию и(х,у) в прямоугольнике П, полагая ее равной нулю о\ вне Ω. При таком доопределении эта функция будет непрерывной в прямоугольнике, а ее первые производные будут разрывны только на кривой S", где они испытывают конечный скачок. Пусть (х, у)— точка внутри прямоугольника. Имеем у J " а ή ^ dvi= u (*> У)-и (х, у). Рис. 10. Но точка (χ, Υ) лежит вне Ω, и потому в этой точке функция и обращается в нуль. Отсюда I ι \ Г ди (χ. η) , " (*. У) = - J ат) «ίη· По неравенству Буняковского <-г/М£)'+.<й(£)Г]"· Проинтегрировав это неравенство по прямоугольнику П, получим π π
156 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА В области Π — Ω имеем и(х,у) =0; отбросив равные нулю интегралы по этой области, придем к неравенству jju4Q^jj[yW(£f + <»(y)(^J}dxdy. (9) Ω Ω Сравнение формул (8) и (9) дает (Ltu, u)>-pj-JJ u2dxdy = YF\\u\\2; i = l,ll, Ω а это и означает, что операторы Li и Lu положительно определенные. Опираясь на результаты §§ 13, 14 и 25, можно высказать следующие утверждения: 1) Решение вырождающегося эллиптического уравнения (3) при краевых условиях (4) или (5) существует (по крайней мере как обобщенное) и может быть получено как решение задачи о минимуме функционала F(u)= ^[<v(y)(-^)2 + u>(y)(§i)2-2uf]dxdy (10) на множестве таких функций, что либо и | s = 0, если дано условие (4), либои|8' = 0, если дано условие (5); в этом последнем случае условие -г— =0 естественное. 2) Решение однородного уравнения »<»>&+£ (·«£)-« он при неоднородном краевом условии uls = gi(s), (12) где s — длина дуги контура S, сводится к отысканию минимума функционала iibtoffl+Mffl]*"* (13> Ω на множестве функций, удовлетворяющих условию (12), если существует хотя бы одна функция, удовлетворяющая условию (12) и сообщающая интегралу (13) конечное значение. 3) Решение уравнения (11) при краевых условиях uW = g,(x), i^-ftfe) (14)
§ 28 ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЯ 157 сводится к отысканию минимума функционала ь ШфИ!г)2+иМ-|г)2]^^~21 "M&wrf* (i5) Ω а на множестве функций, удовлетворяющих условию «ls,= g| {х), если существует хотя бы одна функция, удовлетворяющая этому условию и сообщающая функционалу (14) конечное значение; условие -Q- я = g2(s) Для этого функционала естественное. Особенно важным частным случаем уравнения (11) является уравнение Чаплыгина [1] 1-(2β+1)τ^4 ΑΓ_2τ ^1 2τ(1-τ)ρ+ι σθ2 3τ\_(\-τψ στ J ' Здесь β — положительная постоянная, связанная соотношением β = (γ—1)~1 с отношением теплоемкостей у. По смыслу задачи величина τ строго положительна; значениям τ<(2β+1)-' соответствуют скорости частиц газа, меньшие скорости звука, при τ = (2β + I)-' скорость соответствующей частицы газа совпадает со скоростью звука. Уравнение Чаплыгина эллиптического типа в области дозвуковых скоростей; оно вырождается в плоскости (θ, τ) на прямой τ = (2β + I)-1, т. е. там, где скорости частиц газа достигают скорости звука. Уравнение (16) преобразуется к виду (11), если положить χ = θ, у= 1/(2β+ 1)-τ. Из сказанного выше следует, что уравнение Чаплыгина можно решить, пользуясь энергетическим методом, если течение газа дозвуковое (причем допустим переход к скорости звука) и если даны область Ω изменения переменных θ и τ и, скажем, значения неизвестной функции ψ на контуре этой области. Как обычно, при этом следует допустить, что существует функция, принимающая на контуре области Ω заданные значения и сообщающая конечное значение интегралу J J 1_2τ(1-τ)β+1 \dQI (Ι-τΜστ/J Ω Вернемся к оператору (2). Картина оказывается несколько более сложной, если вырождение этого оператора обусловлено обращением в нуль функции со (у). Не вдаваясь в подробности, по поводу которых мы отсылаем читателя к цитированным выше работам М. И. Вишика и автора, отметим здесь только основные результаты. По-прежнему будем считать, что область имеет вид, изображенный на рис. 9. Допустим, что при
158 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА 0<#<У функция ср(у) >0, а ω {у) = ί/αωι(#), ωι(#)>6; α и k — положительные постоянные. Если «<1, то можчо задавать значение искомой функции на всем контуре 5; при этом оператор (2) оказывается положительно определенным и, следовательно, соответствующая краевая задача имеет единственное решение, которое можно найти с помощью энергетического метода. Если а> 1, то на линии вырождения S' задавать ничего нельзя. При этом, если 1^а<^2, то оператор (2) оказывается положительно определенным на множестве функций, равных нулю на S", и задача об интегрировании уравнения (3) при краевом условии «|s„ = 0 (17) всегда имеет решение, и притом единственное; если же α > 2, то оператор (2) при краевом условии (17) оказывается только положительным, но не положительно определенным, и задача об интегрировании уравнения (3) при краевом условии (17) оказывается в общем случае неразрешимой, если требовать, чтобы искомая функция сообщала интегралу энергии конечное значение. Коротко скажем о более общих вырождающихся эллиптических уравнениях, рассмотренных в статье автора [16]. Будем рассматривать уравнение вида т - Σ щ{А»Ю-щ;)=ПР)· (18: При этом неравенство (1) необходимо нарушается (переходит в равенство) для некоторых значений tuh, ..., tm и в некоторых точках границы области Ω; совокупность этих точек границы называется множеством вырождения данного уравнения (поверхностью, или линией вырождения, если это множество представляет собой поверхность или линию). Допустим, что подходящим преобразованием независимых переменных удалось добиться того, чтобы А;П7=0, /=1,2, ... ..., m— 1, так что уравнение на самом деле имеет вид (η—Ι -Д^К(Р)^)-4(Л""(Р)^И(Р)· (,8'> и пусть поверхность вырождения S' лежит в плоскости хт = О, а остальная часть границы, S", — в полупространстве хт>0-
§ 26 ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЯ 159 Примем, что на части S" границы выполняется условие «ls„ = 0; (19) о краевых условиях на поверхности вырождения скажем ниже. Как оказывается, для характеристики свойств вырождающегося оператора (18,) наиболее важно поведение коэффициента Атгп(Р) при хт —*0. Примем следующее допущение: существует такая непрерывная неотрицательная функция р(хт) и такие положительные постоянные сх и сч, что <Ληψ(Ρ1< (20) 1 Ρ (хт) 2 ' Очевидно, р(хт) >0 при хт>0; если р(0) >0 и оператор (18ι) вырождается при хт = 0, то при этом значении хт необходимо вырождается квадратичная форма от т — 1 переменных т— I Σ Alk(P)t,tk. i. fe=i Обозначим через а наибольшее значение координаты хт в Ω и положим W (21) В пространстве ί-2(Ω) рассмотрим оператор L, который действует по формуле, определяемой левой частью уравнения (180: т—I За область DL определения оператора L примем множество функций, обладающих следующими свойствами: а) функции ди д2и ι ^- · -^- ι / ч ди и' ΈΓ- -ШЖ7> К»,/<«-!; Р(*т)-к-, 111 tn д Ι ι \ ди дхт Ψ v~m/ дхг непрерывны в Ω; б) функция и удовлетворяет условию (19);
160 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА в) если k < σο, то u\s, = 0; (22) если k = 00, то никаких условий на S' ставить не следует. Справедлива следующая теорема (в статье автора [16] она дана в несколько менее общей форме). Теорема 1. Если произведение и Ъ (23) I ограничено, то оператор L положительно определенный. Он будет положительно определенным и тогда, когда произведение (23) не ограничено, но при этом существует такой индекс г (1 4r^m— 1), что в Ω выполняется неравенство m-I Σ A.JP)t.t.^Ct% C = const>0. Рассмотрим еще оператор L', определенный только, если k < оо, и отличающийся от оператора L лишь тем, что условие (22) заменено краевым условием НгарЫ^ = 0. (24) xm->0 oxm . Доказывается, что в пространстве Ζ,2(Ω) оператор V также положительно определенный. § 29. Принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости Мы будем пользоваться следующими обозначениями: u(ux,uy,iiz)—вектор смещений, ах,..., тху Хуг — составляющие напряжений, Κ(Χ,Υ,Ζ)—вектор объемных сил. Далее мы будем обозначать через гх относительное удлинение в направлении оси χ и через уху — сдвиг в плоскости ху; аналогично определяются εν, εζ, yxz, yyz. Величины εχ, By, εζ, \ху, γχζ, Ууг будем ^называть, хотя это и не совсем точно, составляющими деформаций. Они связаны с вектором смещений и соотношениями дих ^ дих диу дх ' Уху— ду ~Т~~дх "ил ""у /п
§ 29 ПРИНЦИП МИНИМУМА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 161 и четырьмя им аналогичными. В упругом теле составляющие напряжений и деформаций связаны уравнениями обобщенного закона Гука ох = апех + αΤ#υ + α,3εζ + ануху + а15ухг + a!6yyz, σν = a^fix + UzPy + а2фг + a2iyxy + а25ухг + axyyz, σζ = αΆβχ + a&ty + а^ег + аиуху + aS5yxz + ажууг, τ xv = аиъх + ai2ey + a^z + auyxy + ai5yxz + a46yyz, tXz = aafix + ае&у + a5Spz.+ аыуху + a55yxz + a56yyz, xyz ~ a6^x + абФу + β63εζ + a6i\xy + CksVxz + а6бУуг· . Величины Qjh не зависят от деформированного состояния тела и являются механическими характеристиками материала. Они называются константами упругости данного материала. Следует, впрочем, отметить, что а& будут постоянными только для однородного тела, в общем случае тела неоднородного они будут функциями координат х, у, ζ. Величины «jft связаны важным соотношением O/fe = Oft/, (3) которое вытекает из существования упругого потенциала, т. е. такой функции составляющих деформаций W(гх, гу,..., yyz) что _ dW _ dW _ dW °х~ дех ' °У~ деу ' ···' ХУ- dytJZ · Из формул (2) и (3) нетрудно усмотреть, что 2W = гхох + г/у v + ггаг + ухухху + yxztXz + Ууг^уг- (4) В последующем мы будем обозначать упругий потенциал через W(u). Заменяя составляющие напряжений по формулам (2), найдем, что W—квадратичная форма относительно составляющих деформации. В теории упругости доказывается, что эта форма — положительно определенная, т. е. что W > 0, причем W = 0 тогда и только тогда, когда все составляющие деформации равны нулю'). Уравнения (2) справедливы Для самого общего случая анизотропной среды. Если упругая среда изотропная, уравнения (2) сильно упрощаются и сводятся к известным ') Подробное изложение перечисленных здесь вопросов см, например, • С. Лейбензон [2]. 11 С. Г. Михлин
162 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА уравнениям Л яме: σ* = λθ + 2μεχ, хху = μγ ι X У а у = λθ + 2μεί/, χχζ = μγ^, σ2 = λθ + 2μεζ, τ^ = μγ^, θ = divu. Здесь λ и μ — так называемые константы Ляме. Известные уравнения равновесия, которые мы запишем в форме: да* «Эт,, «Эт, дх ' дх XV dav дг дху. ι дх дххг , дх ду дХуг дг да. ду (5) можно рассматривать как одно векторное уравнение относительно вектора смещений и. Для этого достаточно в левые части уравнений (5), рассматриваемых как составляющие некоторого вектора, подставить вместо ах, хху хуг их выражения (2) и далее заменить составляющие деформаций по формулам (1). Указанный вектор обозначим через Аи, а его составляющие— через Ахи, Ауи, Azu. Система (5) записывается теперь в виде одного векторного уравнения Аи = К. (6) Заметим, что в наиболее важном случае изотропной среды оператор А имеет сравнительно простой вид, именно: Аи = (λ + 2μ) grad div и — μ rot rot и. Пусть и' и и" — два вектора упругих смещений, отвечающих объемным силам К' и К". Напомним известные формулы Бетти') J u'Au" cffi = 2 J W (u', u") αΏ - J u't"(v) dS, (7) J uAu сШ = 2 J W (u)dQ- J ut<v>dS, Ω Ω S j (u'Au"-u/,Au')im= - J 0/t"(v)-u"f(v))rfS. (8) (9) ■) См., например, Е. Трефтц [2].
§ 29. ПРИНЦИП МИНИМУМА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ !63 Здесь мы пользуемся следующими обозначениями: 1) одним штрихом (соогветствеяяо, двумя штрихами) обозначаем величины, связанные с вектором и' (соответственно, с вектором и"); 2) t<v) — вектор напряжений, действующих на поверхность тела; 3) W (и', и") = \{г'ха1 + e'tf + < + у'х^у + V^<2 + Y^); как известно, №(u',u") = W(u",u'). Обратимся теперь к задаче интегрирования уравнений теории упругости. Краевые условия, сопутствующие этим уравнениям, будем считать однородными. Наиболее простые и важные типы краевых условий в теории упругости следующие; а) граница 5 закреплена: u|s = 0; (10) б) граница тела свободна от действия внешних сил: t<v>ls = 0; (И) в) граница тела состоит из двух частей, S\ и 5г, нз которых первая закреплена, а вторая свободна от действия внешних сил: Ч, = °> t(v)l& = 0. (12) Задачу в) часто называют смешанной задачей теории упругости. Докажем, что все перечисленные задачи равносильны задаче о минимуме интеграла ${W(u)-u\QdQ (13) ω при тех или иных условиях. Это предложение представляет собой известный принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости, так как интеграл (13) равен потенциальной энергии упругого тела, подверженного действию объемной силы К. Оператор А будем рассматривать в пространстве L2(fi) векторных функций, суммируемых с квадратом в Ω. При любом из краевых условий (10) — (12) правая часть формулы (9) обращается в нуль, и эта формула показывает, что при любом из упомянутых условий оператор симметричен. Теперь составим выражение (Аи, и) = J uAu dQ. а η*
164 ГЛ. IV ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Применим к этому интегралу формулу (8) и заметим, что при любом из условий (10) или (12) подынтегральная функция в поверхностном интеграле исчезает. Таким образом, (Аи, и) = 2 J W.(u) άΩ > 0. (14) Q Далее, если (Au, u) = 0, то W(u)=0, и так как W есть положительно определенная квадратичная форма относительно составляющих деформаций, то эти последние тождественно равны нулю. Но тогда и есть вектор малого жесткого смещения тела; если закреплена граница тела [условие (10)], или часть границы [условие (12)], то жесткое смещение невозможно, и ιιξξΟ. Таким образом, оператор А положительный на каждом из множеств, определяемых условиями (10) или (12). По теореме о функционале энергии отыскание интеграла уравнения (6) (или, что то же, системы уравнений теории упругости) при одном из условий (10) или (12) равносильно отысканию вектора, удовлетворяющего тому же краевому условию и реализующего минимум функционала F (и) = (Аи, и) - 2 (К, и) = 2 J {W (и) - Ки} dQ. ω Таким образом, принцип минимума потенциальной энергии доказан применительно к задачам а) и в). Остановимся на задаче б), роль которой в теории упругости такая же, как и роль задачи Неймана в теории гармонических функций. На линеале векторов, непрерывных в Ω вместе со своими первыми и вторыми производными и удовлетворяющих краевому условию (11), оператор А не будет положительным. Действительно, формула (14) остается в силе и на этот раз, так что (Аи, и)>-0. Однако (Аи, и) может равняться нулю не только при и = 0 — достаточно взять за и произвольный вектор малого жесткого смещения. Как и в задаче Неймана, мы сделаем А положительным, рассматривая его на более узком множестве векторов. Задача б) не всегда имеет решение, и нетрудно найти необходимые условия ее разрешимости. Они состоят в том, что совокупность сил, приложенных к упругому телу, должна быть статически эквивалентна нулю. Так как поверхностные силы отсутствуют [условие (11)], то должны быть статически эквивалентны нулю объемные силы: |Κ^Ω = 0, |γΧΜΩ = 0. Ω Ω
§ 29 ПРИНЦИП МИНИМУМА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 165 Здесь г—радиус-вектор переменной точки области Ω, а косой крестик означает векторное умножение векторов Далее, по условию (И) вектор смещений определяется не единственным образом — два вектора упругих смещений, отвечающих одним и тем же объемным силам и одному и тому же условию (11), могут различаться на произвольный вектор малого жесткого смещения. Этот произвольный вектор можно зафиксировать, подчинив, например, искомое решение тем же равенствам Juiffi = 0, JrXucffi = 0. (15) Ω Ω Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что вектор малых жестких смещений, удовлетворяющий уравнениям (15), равен нулю. Действительно, составляющие uf®, u®\ uf> вектора малых жестких смещений имеют вид и<® = a + yy — $z, и®) = Ь—ух + тег, uf = с + βχ - ay, где a, b, с, α, β, γ— постоянные. Как известно, если вектор удовлетворяет уравнениям (15) в некоторой системе координат, то он удовлетворяет им и в любой другой системе. Мы примем поэтому за оси координат главные центральные оси инерции тела Ω. При таком выборе статические моменты равны нулю, и первое уравнение (15) дает сразу а = b = с = 0. Далее, проектируя второе уравнение (15) на ось х, получим 0 = J (yuf -zuf)άΩ=-αΙχχ + β/^ + ylxz. Ω Произведения инерции Ixy, Ixz равны нулю, и из последнего равенства вытекает, что α = 0. Точно так же доказывается, что β = V = 0. Рассмотрим теперь линеал векторов смещений, удовлетворяющих не только условию (И), но также и условиям (15). Нетрудно видеть, что на этом линеале оператор А положителен. Достаточно доказать, что на этот раз из равенства (Аи, и) = 0 следует, что и = 0. Но, как было уже указано выше, из этого равенства следует, что и есть вектор малого жесткого смещения, и так как этот вектор удовлетворяет уравнениям (15), то он равен нулю. Таким образом, принцип минимума потенциальной энергии остается в силе и для задачи б), если считать, что как решение
166 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА дифференциальных уравнений теории упругости, так и вектор, реализующий минимум функционала (13), удовлетворяют уравнениям (15). Краевое условие (11) естественное, и ему можно заранее не удовлетворять при отыскании минимума. Рассуждая, как в § 25, можно легко найти форму интеграла энергии и в случае неоднородных краевых условий. В общем случае смешанной задачи этот интеграл имеет вид J {W (u) - иК} dQ - J ut(v) dS. (16) Здесь t<v> — заданный на части 52 поверхности 5 вектор напряжений. В частности, если на всей поверхности заданы смещения, то интеграл энергии принимает вид j{W(u)-uK}dQ, (17) ω если же на всей поверхности задан вектор напряжений, то интеграл (16) переходит в следующий: j {W(u)-uK}dQ- j"ut<v>dS. (18) Ω S Краевым условиям следует удовлетворять заранее только на той части поверхности, на которой заданы смещения. Выше было установлено, что оператор А, входящий в уравнения теории упругости, положителен на множестве векторов смещений, удовлетворяющих условиям (Ю), (12) или (11) и (15). Можно доказать, что на каждом из этих множеств оператор А положительно определенный. Подробные формулировки и доказательства соответствующих теорем, а также и библиографические указания читатель найдет в книге автора [11]. Для случая закрепленной границы положительная определенность оператора А будет доказана ниже, в § 51. § 30. Изгиб тонких пластинок 1. В предшествующих параграфах этой главы мы исходили из дифференциальных уравнений и краевых условий данной задачи и сводили ее к задаче о минимуме некоторого функционала. В настоящем параграфе мы покажем, как можно получить дифференциальное уравнение и естественные краевые условия, исходя из вариационной задачи.
§ 30. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК 167 Как известно, теорию тонких пластинок можно построить, опираясь на формулированные ниже гипотезы1). Как обычно, Мы располагаем плоскость (х, у) в серединной плоскости пластинки; через h обозначается толщина пластинки. Гипотезы; 1) точки серединной плоскости пластинки испытывают только нормальные смещения-, 2) ввиду малости толщины пластинки смещения их и иу можно считать линейными функциями от ζ, а смещение иг — не зависящим от г\ 3) в точках серединной плоскости сдвиги в вертикальных плоскостях равны нулю; 4) по сравнению с ах, ау, хху напряжения txz, %z> °z пренебрежимо малы; 5) для изогнутой пластинки сохраняет силу принцип минимума потенциальной энергии в форме, о которой будет сказано ниже. Обозначим через w(x, у) нормальное смещение точки (х, у) серединной плоскости. В силу гипотез 1) и 2) их = гй (х, у), uv = zv{x, у), где й и υ — некоторые функции от χ и у. По гипотезе 3) при г = 0 имеем yxz = yyz — 0; отсюда й~ — дх dw и=—q— и, следовательно, Опираясь на гипотезу 4), положим σζ = 0. Из уравнений Ляме находим тогда λθ + 2μβζ = 0, откуда Подставив это в первые два уравнения Ляме и используя известные соотношения между упругими постоянными изотропного тела, находим ρ ρ σ* = -\^Г&г (ε* + огу), Оу-^-у^^у + авх), (2) где £ — модуль Юнга и σ — постоянная Пуассона материала пластинки. Отметим еще уравнение Ляме, связывающее тад и уху: τχΚ-μΥ^= 2(1Ε+σ) Vxa- (3) Обозначим через Ω пространственную область, занятую пластинкой, через S и St — ее верхнее и нижнее основания и через ') Эти гипотезы в несколько иных выражениях сформулированы Кирхгофом [1].
168 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Σ—ее боковую поверхность. Как обычно, примем, что на верхнее основание 5 действует нормальная нагрузка интенсивности Q(x>y)i а нижнее основание S{ свободно от действия внешних сил. Действием объемных сил на пластинку пренебрежем. Если край Σ пластинки жестко закреплен, то в соответствии с формулой (16) предшествующего параграфа заключаем, что задача об изгибе пластинки сводится к задаче о минимуме функционала J J JW (u)iffi- \\quzdS (4) Ω S при соответствующих краевых условиях. Примем, что форма (4) функционала энергии сохраняется и в случае, когда часть края или весь край пластинки свободен или свободно оперт; будем далее, в целях упрощения выкладок, ограничиваться тем случаем, когда часть края пластинки жестко закреплена, а другая часть края свободно оперта. Упростим функционал (4). Имеем W (") = J (σ*ε* + ojty + tXilyxy + σ2ε2 + ххгухг + xyzyyz). Гипотеза 4) позволяет пренебречь последними тремя слагаемыми по сравнению с первыми тремя; используя еще формулы (1)—(3), получим Отсюда h_ 2 J" J" J" W(u)dQ= jfdS jw(u)dz = -]}dS; (5) 12(1-σ2)' Для дальнейшего важно, что интеграл J J Wdxdy ) дх2 ду* J ft 2 <'-°>[Ш- D- ..Ч" ... • дхг ду2
§ 30. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК 169 можно преобразовать в интеграл, взятый по контуру области S; этот контур обозначим через L. Интегрируя по частям, найдем J J \ дхду I J J дх дхду" J дх дх ду s s L J J дхг ду2 J J дх дх дуг J дх дуг υ s s L Вычитая последние равенства, получим S L ds— дифференциал дуги контура L. Контурный интеграл возьмем по частям. Так как контур L замкнутый, а функция w и ее производные, очевидно, однозначны, то внеинтегральный член пропадет, и мы получим ГГГ(/^2_^^Ъ5 = \<*L*(J*L\ds. J J ΙΛ дх ду J дхг дуг J J ду ds \ дх I s l Из двух последних равенств вытекает, что J J ΙΛ дх ду) дх2 ду2 1 2 J L dy ds \ дх J дх ds \ ду /J s L (6,) Заметим, что если функция w(x,у) удовлетворяет на контуре L условиям (8) (см. ниже), то S В силу гипотезы 2) можно во втором интеграле в (4) положить и, = w(x,y). Учтя формулы (5) и (6), получим для потенциальной энергии изогнутой пластинки выражение Шс&-р-■£.]««- D (1 —σ) f Г dw d I dw \ dw d ( dw \~\ A /~ ' 2 )Ydy ds\dx) дх ds \dy )]aS· V) L Выясним краевые условия, которым следует подчинить функцию w. Если боковая поверхность пластинки жестко закреплена, то на этой поверхности их — иу=иг= 0.
170 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Учитывая формулы (1), а также отмеченное выше тождество иг == w, найдем, что условия на жестко закрепленном крае пластинки имеют вид » dw dw n w = 0, -=— = -^— = U, ' дх ду что можно заменить двумя равносильными равенствами ^ = 0, ^ = 0, (8) которые необходимо выполняются на жестко закрепленной части контура L; на свободно опертой части контура L одно из краевых условий имеет вид w = 0, (9) другое краевое условие мы получим как естественное для функционала (7). Заметим еще, не вдаваясь в подробности, что на свободной части контура получаются два естественных условия. Выведем уравнение равновесия изогнутой пластинки. Допустим, что часть Lx контура L жестко закреплена, а остальная его часть L2 свободно оперта. Тогда на всем контуре L выполняется условие w = 0; кроме того -т—= 0 на Lx. Пусть функция w(x, у) реализует минимум функционала (7), который для краткости обозначим через Ψ(ε«), и пусть η — функция, достаточное число раз дифференцируемая и удовлетворяющая условиям (8) и (9), а в остальном произвольная, и t — произвольное вещественное число. Функция w + tr\ удовлетворяет тем же условиям (8) и (9), поэтому Ψ(θ) + ίη)>Ψ(θ)). Если функция г\{х. у) фиксирована, то Ψ(ζιυ + tr\) есть функция от t, которая, как показывает последнее неравенство, имеет минимум при / = 0. Но тогда необходимо произведя простые выкладки, приведем это уравнение к виду dw _d_ I dt\ \ _ dVi d I dw\ _ dw d [dx\\\ , _ „ - + ~~dy ds\dx) ~dx ds[ dy j dx ds \by) J dS ~
§ 30. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК 171 Далее, по формуле Грина S S L S L так как η|ι = 0. Окончательно получаем Контурный интеграл в (10) достаточно брать по Li, так как интеграл по Lt исчезает в силу условий (8), которым удовлетворяют обе функции w и η. Если весь край пластинки жестко закреплен, то контурный интеграл в (10) отсутствует. Допустим, что ц(х, у) удовлетворяет условиям (8) не только на Lu но и на всем контуре L. Тогда контурный интеграл в (10) исчезает, и это равенство дает //ч(А»ю~£)«-а. s Множество функций η, удовлетворяющих краевым условиям (8), плотно в L2{S), поэтому выражение в скобках под знаком интеграла равно нулю, и мы получаем известное дифференциальное уравнение равновесия изогнутой пластинки b*w = £, (11) впервые полученное Софи Жермен в 1811 г. 2. Выведем теперь второе краевое условие на свободно опертой части края изогнутой пластинки. В силу уравнения (11) двойной интеграл в (10) исчезает, а контурный интеграл, как было сказано, достаточно брать по L2. Уравнение (10) принимает вид
172 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА В произвольно выбранной точке кривой L2 проведем к ней касательную, которую направим так, чтобы оси ν и s были ориентированы так же, как и оси χ и у (рис. 11), и обозначим через ft угол между осями χ и s. Положим еще а = cos ■& — cos (s, χ) — — cos (ν, у), P=sinft = cos(s, у) = cos (ν, χ). На кривой Ζ-2 функция w обращается в нуль, поэтому иа этой кривой также _ dw dw , . . dw , \ г. С другой стороны, dw dv ~~ dx dw dw „, . , dw . . = -7brcos(v· X) + ~^T cos ίν· »)· β* ди> Решая эти два уравнения относительно , на L2 , найдем, что dx ~ ^ dv — α dw dv Аналогично на L2 dx " с ν Подставив это в (12) и выполнив дифференцирование под знаком второго интеграла, получим Но j-awc-O-fcO'-s—£)}*-* о da dp db_ 1_ ^ rfs ds ds p ds ds где р — радиус кривизны кривой L2. Отсюда В качестве dv можно взять любую непрерывную на ί.2 функцию. Выражение Aw 1 — σ ди> , будучи ортогональным на ρ dv L2 к любой непрерывной функции, должно быть тождественным
§ 30. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК 173 нулем на ί^, и мы получаем интересующее нас краевое условие в виде . 1 — σ aw п , /10ч Ът —^ = 0 на L2- (13) Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что условие (13) совпадает с условием отсутствия изгибающих моментов на свободно опертом крае. Аналогичным путем, исходя из принципа минимума потенциальной энергии, можно получить дифференциальные уравнения оавновесия упругих оболочек и соответствующие краевые условия1). Выкладки при этом, естественно, усложняются. Принцип минимума потенциальной энергии может быть положен также в основу ряда других приближенных теорий упругого состояния. Не останавливаясь на их выводе2), приведем краевые условия на свободном крае пластинки. Введем в рассмотрение двумерные векторы В терминах векторов U и Uv условие на свободном крае пластинки имеет вид ds p ds ' ds2 \ ds2' p/ 3. Можно доказать, что бигармонический оператор, входящий в уравнение Софи Жермен, симметричный и положительно определенный в пространстве L2(S) на множестве функций, которые удовлетворяют на Lt условиям (8) жесткого закрепления, а на L2 — условиям (9) и (13) свободного опирания. Здесь мы ограничимся теми двумя случаями, когда контур L пластинки целиком либо жестко закреплен, либо свободно оперт. Пусть контур L жестко закреплен. Чтобы проверить симметричность бигармонического оператора в этом случае, допустим, что функции wt(x, у) и w2{x, у) обе удовлетворяют условиям (8). Полагая в формуле (19) § 7 и — /Swlt υ —-w2, получим (А2&уь w2)= \ \ w2S2wx dS = s = j j bw2bwldS + j (w2^.-bWl<^)ds. ') См работу автора [17]. 2) См. М. Ш. Бирман [6].
174 ГЛ IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Контурный интеграл исчезает в силу условий (8), поэтому (А2^!, ги>2) = J J &w2/Swi dS. (14) s Так как правая часть формулы (14) симметрична относительно W\ и Wz, то (А2ги>ь w2) — (w\, А2^), т. е. оператор Δ2 симметричен на множестве функций, удовлетворяющих условиям (8). Положим в (14) w\ — w2 — w. Это дает (Δ2^, ш)= j j (AwfdS. (15) s Умножив теперь равенство (6g) на 2 и поибавив к (15), получим S Как мы уже отмечали, условия (8) равносильны таким: -. dw dw г. ж ' дх <ду В таком случае к обеим первым производным можно применить неравенство Фридрихса (см. § 24): iW«Wi{(№(£n<*· <i7> S S Неравенство Фридрихса можно применить и к самой функции w, так как w | χ, = 0. Но тогда или (A2w, w) > κ21| да IF, что и означает положительную определенность оператора Δ2. Отсюда вытекает, что задача о равновесии жестко закрепленной пластинки _имеет (и притом единственное) решение, которое можно построить, используя методы гл. III. В частности, если wn, n— 1,2,..., —какая-либо минимизирующая последователь-
§ 30. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК 175 яость1)' то она сходится по энергии к точному решению. Выясним подробнее характер сходимости по энергии в данном случае. Из формулы (16) следует, что w !-Я{(&Мт&М-$)>· <18> Так как последовательность функций wn сходится по энергии, то I w„ — w„ I *■ 0 или, более подробно, ГГ f/d2a>n d*wmf I d2wn d2wm γ , J J t\ d*2 дх2 ) ~ϊ~ \дхду дхду) τ Отсюда следует, очевидно, что J J \ a*2 a** ; αώ *.«-»»"· J J \ d* ду дхду I •о, J J \ ду2 ду2 ) ОЛ n.m^V> (19) т. е. последовательности вторых производных от приближенных решений сходятся в среднем. Неравенства (4) и (5) показывают теперь, что последовательности первых производных от wn, a также сами wn, сходятся в среднем. Докажем теперь, что последовательность {wn} сходится равномерно2) в замкнутой области Ω. Условия (8) главные, поэтому функции wn этим условиям необходимо удовлетворяют. Будем также считать, что эти функции непрерывны и имеют непрерывные первые и вторые производные в S = S + L — этого всегда можно добиться. Поместим 5 внутрь некоторого прямоугольника Π (рис. 8) и доопределим Функции wn(x,y) в П, положив их равными нулю вне S. Тогда ) Например, построенная по методу Ритца. ) Эта теорема является частным случаем так называемой «теоремы вложения» С. Л. Соболева; см. С. Л. Соболев [2].
176 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА эти функции, также, как и их первые производные, непрерывны в П. Возьмем в S произвольную точку (х, у) и вычислим интеграл χ у Я о о &и (Ε, η) ,«. , Выполнив интегрирование, найдем χ у Я о о *»(Ε.4) d£di\ = u{x, у)-и{χ, 0)-ы(0, у) + и(0, 0). дЪдх\ Точки (х, 0), (0, у) и (0, 0) лежат на сторонах прямоугольника П, где и — 0, поэтому и(х, 0) = и(0, */) =и(0, 0) =0 и, следовательно, Отсюда χ у о о \и{х, г/)| = о о а2» βΕβη d£,dr\ < Л а2» <*№ или, так как и=0 вне S, d2« а|ач ίίξί/η. Теперь по неравенству Буняковского u4x,y)<\s\j(-^)2ds, s где через jS| обозначена площадь области 5. Но и = wn—Kwm, поэтому l-.tr. у)-шт(х, йк VTsr{f dt-HiF^}"'· В силу неравенств (19) выражение справа стремится к нулю при т, п-+оо. По определению (С1, 144) последовательность w„, η — 1, 2,..., сходится равномерно в S. 4. Допустим теперь, что контур L свободно оперт, так что прогиб пластинки удовлетворяет условиям (9) и (13). Рассмотрим оператор Δ2, заданный на множестве функций, подчиненных упомянутым условиям, и докажем, что этот оператор симметричный и положительно определенный.
§ 30. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК 177 Пусть w\(x,у) и w2{x,у) удовлетворяют условиям (9) и (13), так что на L _ . 1—σ dwt . 1 — σ dw2 n Wl-w2 = 0, Aw, --^ = Ц-- ^r = 0. Тогда, как и в п. 3 настоящего параграфа, (/S2wh и)2)= J J w2/S2WydS*= s = \\ЬщАща8 + j (w2^-bWl<>^)ds, S L что, в силу краевых условий, принимает вид (АХ, w2)^j^w2AwldS-(l-o)\^^-^ds. (20) s' t Тот же результат получим, исходя из скалярного произведения (A2w2,wi). Отсюда (h2wuw2) = (№w2, wx), т. е. рассматриваемый оператор симметричен. Чтобы установить его положительную определенность, поступим следующим образом. а) Проделаем в обратном порядке выкладки п. 2, заменив в них η через ^иш через w2. Тогда найдем, что Г 1 dwt dw2 . 1 Г f da>t rf / da>2 \ ι J ρ dv dv 2 J 1 dy ds \~dFJ+ L ,dW2__d_(dw\\ dwi d | dw2 \ _ dw2 d ] dwt\\ , * dy ds \ dx J ~dx"ds\ dy ) dx Is\~dy~]i Подставим это в (20) и положим там wt — w2 — w. Это приведет нас к равенству <** -»-fj(&-f«+(i-*)j{f im-^мш^· S L или, если воспользоваться фоомулой (6ι), +2<'-)(^τ)!}«· <2» Интересно отметить, что интеграл в (21) только постоянным множителем D/2 отличается от выражения [формула (5)] J7J>(u)dQ, равного потенциальной энергии деформации пластинки. 12 С. г. Михлии
178 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА б) Имеем тождество ξ2+2σξη + η2-(1-σ)(&2 + η2) = σ(ξ + η)2. Считая, что σ^Ό, находим отсюда, что g2 + 2σ&η + η2ΧΙ - σ) (|2 + η2). ■π «. d2w d2w /Γ1-ν ,. Полагая | = -г-г» Ч —~зтг> получаем из (21) неравенство1) С/Л I*·/ <Д-, „>„ -„ //{(£)'+» (^)Ч(^)}«. (22, S в) К производной ~г— применим неравенство Пуанкаре [формула (18) § 24], которое в этом случае даст S S ч S / По формуле Остроградского ί I "S"d5 = J ш cos (v' х) ds β °· (24) S' L и неоавенство (23) принимает вид· S S Аналогично найдем S S Сложив последние неравенства, получим S S Сопоставление с неравенством (22) дает ') Если бы было σ < 0, то мы получили бы аналогичное неравенство с заменой множителя 1 — σ на 1 + а.
§ 30. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК 179 Условие (9) позволяет применить к функции w неравенство фридрихса ЯШ+(£П'к>*Я""и-<·'"· S S Подставив это в (25), приходим к неравенству {/S2w, w) > γ2 II w If, Y2 = (1 - α) κ/А, (26) котооое и означает, что рассматриваемый оператор положительно определенный. Предоставляем читателю формулировку вытекающих из этого' факта следствий. Заметим только, что и в этом случае можно доказать равномерную сходимость минимизирующей последовательности, если воспользоваться упомянутой выше «тео- оемой вложения» С. Л. Соболева. Однако такое доказательство выходит за рамки настоящей книги. 5. К задаче, сходной с вариационной задачей для случая жестко закрепленной по краю пластины, сводится плоская задача теории упругости при заданных внешних силах в случае, когда область S, заполненная упругой средой, конечная и одно- связная. В этом случае, как известно, задачу можно свести к интегрированию бигармонического уравнения Δ2« - 0 (27) при краевых условиях "k-Ms). -fjrl^Ms). (28) где fi(s) и f2{s) — известные функции. Если ψ {χ, у) — произвольная четырежды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям (28), то, полагая и — ψ = w, мы найдем, что w удовлетворяет краевым условиям (8) и уравнению (11), в котором -Ц- = —Δ2ψ. Функцию w можно найти, решая задачу о минимуме функционала F{w) = (A2w, ω) + 2(Δ2ψ, w). Полагая здесь w — и — ψ, легко найдем 12* ду ^-f!)dS + 2 ||«Δ2ψίί5-2||ψΔψίί5, (29)
180 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА где для краткости положено S Заметим, что в правой части равенства (29) второй и пятый члены суть постоянные. Интеграл в третьем члене возьмем дважды по частям. Из формул (28) следует, что -^ и — известны, поэтому контурные интегралы, возникающие при интегрировании по частям, суть известные постоянные. Учтя это, мы получим S S Подставив это в (29), найдем, что F(w) = Ф(и) + const. Таким образом, плоская задача теории упругости при упомянутых выше условиях сводится к задаче о минимуме функционала Φ (и) на множестве функций и(х, у), которые вместе со своими нормальными производными принимают заданные значения (28). При отыскании минимума можно Φ (и) заменить более простым функционалом Ф0(ы)*= J j(tSufdS. s Действительно, по формуле (6) <МИ)-Ф(И>-2/-!-*(-£). что, в силу краевых условий (28), есть известная постоянная. § 31. Изгиб тонких сжатых пластинок Пусть пластинка находится под одновременным действием нормальной нагрузки q(x,y) и напряжений Тх, Тху, Ту, действующих в серединной плоскости пластинки. Будем считать, что объемные силы отсутствуют. Тогда Тх, Тху, Ту связаны однородными уравнениями равновесия дТх д£ху п ЭТху дТу
§ 31. ИЗГИБ ТОНКИХ СЖАТЫХ ПЛАСТИНОК 181 Если прогиб w(x, у) пластинки мал, то можно приближенно считать, что он удовлетворяет известному уравнению1) .9 h Г„ дгш , пгр дгш , гр дгш~\ q . /1Ч как и в предшествующем параграфе, здесь h означает толщину пластинки и D — ее жесткость. Так же, как и в § 30, краевые условия на жестко закрепленной части края имеют вид w = 0, £-Q, ft а на свободно опертой части края п д 1 — σ dw п /η\ w — 0, Sw ΈΓ — 0. (3) Докажем, что оператор в левой части уравнения (1) симметричен в пространстве L2{S) на каждом из множеств функций, удовлетворяющих либо условиям (2), либо условиям (З)2). Симметричность бигармонического оператора была установлена в § 30; чтобы доказать наше утверждение, достаточно теперь убедиться, что оператор η, ~ d2w , n~, d*w , „, d*w ,.. Tw = Tx^- + 2Txy-^+Ty-^ (4) симметричен на множестве функций, удовлетворяющих краевому условию w\L = 0, (5) которое удовлетворяется в обоих отмеченных выше случаях. С этой целью заметим, что оператор Τ можно, пользуясь уравнениями равновесия (*), преобразовать к виду Т,м — д /г ^_j_T dw\\ д (τ dw ψ dw\ Составим теперь скалярное произведение (Twi,w2), полагая при этом, что обе функции W\ и w2 удовлетворяют краевому условию (5). Интегрируя по частям и имея в виду, что, в силу ) См., например, П. Ф. Папковнч [1], стр. 522, или С. П. Тимошенко [2], ) На это обстоятельство обратил внимание автора М. Ш. Бирман,
182 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА упомянутого условия, контурный интеграл исчезает, найдем дх дх , т (dwi dw2 . dw, dw2 \ , T dwi dw2 ~\ j c ,„. + T^[-dr~df + ~df~d^)+y~dy'~df\ (6) Так как в последний интеграл W\ и w2 входят симметрично, то тот же результат получится, очевидно, если исходить из скалярного произведения (wu Tw2). Отсюда {Twu w2) — {wu Tw2), что и требовалось доказать. Теорема 1. Если напряжения Тх, ТХу, Ту достаточно малы по абсолютной величине, то оператор в левой части уравнения (1) положительно определенный в пространстве L2(S) на каждом из множеств функций, которые на всем контуре удовлетворяют либо условиям (2), либо условиям (3). Составим скалярное произведение (а2&у — -р- Tw, w\ = (k2w, w) — -jj(Tw, w). (7) Если весь край пластинки жестко закреплен [условия (2)], то по формулам (16) и (18) § 30 если же весь край свободно оперт [условия (3)], то справедливо неравенство (25) § 30. Обозначая через С величину κ в случае жестко закрепленного края и величину —-г в случае свободно опертого края, имеем в обоих случаях <А!-.-»сЯШ+№5· (8> S Оценим теперь величину (Tw, w). В формуле (6) положим wt = w2 — w. Получим тогда (7W. „> — JjMf ?+»„£ %+T,(%)>5. (9) S Пусть N — наибольший из максимумов величин Тх, Г^, Ту, так что \T,\^N. \Txy\^N, TyK.N. r
§ 31. ИЗГИБ ТОНКИХ СЖАТЫХ ПЛАСТИНОК 18.3 ι<*·.*>ι<*Π{Ι£Ι+ΙτΙ},,β· S или, если воспользоваться неравенством (а + Ь)2-^.2(а2 + Ь2), |(I* W)I<2N £/[(£)'+(£fits·). (10) С помощью соотношений (8) и (10) получаем из формулы (7) S Так как ги>|г = 0, то справедливо неравенство Фридрихса ii{(W+(f)>»"^· s Пусть напряжения Тх, Тху, Ту столь малы, что N<CD/(2h). (12) Тогда правая часть неравенства (И) положительна и мы усилим неравенство, заменив интеграл справа на к||о>||. Теперь (Д2ш_£7Ха;)>(с-^)к||а>Р, (13) и теорема 1 верна, если максимум напряжений удовлетворяет неравенству (12). Из только что доказанной теоремы, а также из результатов §§ 14 и 30 вытекают следующие заключения: Пусть пластинка находится под одновременным действием некоторой нормальной нагрузки q(x,y) и действующих в серединной плоскости пластинки напряжений Тх, Тху, Ту, и пусть весь край пластинки либо жестко закреплен, либо свободно оперт. Если максимум напряжений Тх, Тку, Ту удовлетворяет неравенству (12), то задача о равновесии пластинки имеет решение2), и притом единственное, которое можно получить как ') Неравенство (10) остается в силе, если под 2N понимать максимум большего нз главных нормальных напряжений, действующих в плоскости пластннкн. 2) Как будег показано в § 49, в общем случае эта задача может не иметь решения.
184 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА функцию, реализующую минимум функционала Если край пластинки жестко закреплен, то функционал (14) можно упростить и привести к любой из двух форм '): f(a,,-{j{(A^+|^(f)!+^^f + S Решение задачи о минимуме функционала F(w) можно построить как предел минимизирующей последовательности, в частности, последовательности приближенных решений по Ритцу, а также в виде ортогонального ряда (6) § 14. Если wn, η = 1,2, ..., — минимизирующая последовательность, aw — точное решение, то к>„ —> w равномерно в S = 5 + L, а первые и вторые производные от wn сходятся в среднем к соответствующим производным от w. Опираясь на неоднократно упомянутые выше «теоремы вложения», мож- h но доказать положительную определенность оператора Л2 —γτΤ, при выполнении условия типа (12), и в том случае, когда кран пластинки частью жестко закреплен, частью свободно оперт, а также при некоторых других условиях закрепления. Отметим один простой и важный случай, когда оператор Δ2 —jr- T оказывается положительно определенным и все только что перечисленные заключения имеют место при том, что неравенство (12) может и не выполняться. Это —тот случай, когда в любой точке пластинки напряжения TXt Txy, Ту растягивающие в обоих главных направлениях. По-прежнему предполагаем, что край пластинки целиком либо жестко закреплен, либо свободно ') Тождественность функционалов (14), (15ι) н (15j) в случае жестко закрепленного края вытекает из формулы (6ί) § 30.
§ 32. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 185 оперт. Чтобы доказать наше утверждение, достаточно установить, что (— Tw,w)>0, коль скоро w\L = 0. Прежде всего заметим, что выражение под знаком интеграла (9) инвариантно относительно поворота осей координат; в этом легко убедиться путем несложных преобразований. Имея это в виду, возьмем произвольную точку е 5 и повернем оси координат так, чтобы они совпали с главными осями напряжений Тх, Тху, Τυ в выбранной точке. Тогда в этой точке подинте- гральная функция в (9) примет вид тЛж) +Чжг) · где *ι,*2— главные оси напряжений и 7Ί, Т2 — главные нормальные напряжения. По предположению напряжения 7Ί, Т2 растягивающие и, следовательно, положительные; отсюда вытекает, что в выбранной точке области S подинтегральная функция в (9) неотрицательна; так как точка была выбрана произвольно, то и во всей области S указанная функция неотрицательна. Отсюда следует, что (— Tw, w)^0 (д2да - -^ Tw, да) > (А2да, w) > С I! да IF, что и требовалось доказать. § 32. Метод минимальных поверхностных интегралов В настоящем параграфе мы изложим еще один метод решения задачи Неймана и смешанной задачи для однородного- уравнения Лапласа. Метод этот, впрочем, может быть применен и к некоторым другим задачам математической физики. Будем рассматривать конечную область Ω; границу 5 этой области будем предполагать состоящей из конечного числа достаточно гладких поверхностей. Рассмотрим множество. Μ гармонических в Ω функций, непрерывных вплоть до контура. Мы можем превратить это множество в вещественное гильбертово пространство, введя скалярное произведение по формуле (и, v)= j u(Q)v(Q)dS, u,Ot=M. (1) s Легко видеть, что аксиомы А — D (§2) при этом выполнены. Можно доказать, что построенное гильбертово пространство неполное— пополним его; полученное таким образом полное гильбертово пространство обозначим через Н. В качестве элементов
186 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА пространства Η можно рассматривать, если угодно, не гармонические в Ω функции, а предельные значения этих функций на S· при такой точке зрения пространство Η совпадает с L2(S) —! гильбертовым пространством функций, квадратично суммируемых на 5. В пространстве Η рассмотрим оператор Au = % + a(Q)u, (2) где a(Q) —непрерывная положительная на 5 функция. Нетрудно видеть, что оператор (2) — положительно определенный. Действительно, исходя из формулы Грина, легко проверить, что Аи— симметричный оператор. Далее, (Аи, ") = (-§7" «) + (<*". ")· По формуле Грина (18) § 7 /71 (£ · «Я « £ <« = ί Σ Ш2 «Ω+ί" <^· S Ω fe=l β/ Ω Но «— гармоническая функция, поэтому Ды = 0 и m (<га, и) = J σ «?) «2 (Q) rfS > σ0 J «2 (Q) rfS = σ01|«|p, где Oo = mina(Q); из наших предположений вытекает, что σο > 0. Теперь, очевидно, (Аи, «)>σ0||«||2, т. е. оператор (2) положительно определенный. В силу теоремы о функционале энергии (§ 13), задача о построении гармонической в Ω функции, удовлетворяющей на 5 условию Au = £ + a(Q)u = f(Q), (4) равносильна задаче о минимуме функционала (Аи, и) - 2(«, f) = [j£ + ои, «) - 2 (и, f). Эта последняя задача имеет решение, которое можно построить по методу Ритца или как предел любой другой минимизирующей последовательности.
§ 32. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 187 Выясним характер стремления минимизирующей последовательности ип{Р) к точному решению и(Р). Во всяком случае по теореме 1 § 15 \\ип — ы||-»0. Далее, u(P)-uAP)=\[u(Q)-un(Q)]^dS, (5) где G*—функция Грина (С2, 198) области Ω и ν — внешняя нормаль к 5. Рассмотрим замкнутую область Ω', которая целиком лежит внутри Ω. Если ΡεΩ', a QeS, то функция -^- остается огра- ничейной; пусть -τ— <С). Теперь по неравенству Буняковского \u(P)-un{P)?<Ci\j\u(Q)-un(Q)\dsl<i ^C2\S\j[u(Q)-uJQ)fdS, (6) s или I u(P) -un(P) |<с vTsTll«-«nil; (7) здесь \S\— площадь поверхности 5 (длина контура S, если область Ω двумерная). Было отмечено, что ||ы — ыи||->-0; теперь из неравенства (7) следует, что приближенные решения стремятся к точному равномерно во всякой замкнутой области, целиком лежащей внутри Ω. Точно так же можно доказать, что производные любого порядка от приближенных решений равномерно стремятся к соответствующей производной точного решения в любой замкнутой области, целиком лежащей внутри Ω. Обратимся к задаче Неймана. Обозначим A)" = -f-· (8) Для простоты ограничимся случаем, когда 5 состоит из одной замкнутой поверхности, которую предполагаем по-прежнему достаточно гладкой. ') Нетрудно убедиться, что -=— положительна, поэтому мы опускаем знак абсолютной величины.
188 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА Обозначим через й подпространство Я, ортогональное к единице, так что (ы, 1) = | u dS = 0, и е= Н. (9) s Оператор Ао зададим на множестве функций^ гармонических в Ω, дважды непрерывно дифференцируемых в Ω и удовлетворяющих условию (9). Нашей конечной целью является доказательство того, что оператор А0 положительно определенный в й. Прежде всего заметим, что оператор Ао действует из й в й — это вытекает из известного тождества /£«-* верного для гармонических в Ω функций. Доказательство положительной определенности оператора -тг— будет основано на некоторой оценке величины ||ы||2= JVdS. s Построим функции Oj(P), непрерывно дифференцируемые в Ω и совпадающие с cos (v, Xj) на 5. Пусть ν (Ρ)—произвольная функция, непрерывно дифференцируемая в Ω. Имеем J u2rf5= ϋ2 J^ cos2 (v, xt)dS= ν22^а/cos{v, xt)dS = 5 5 /=i s /=i , m m Ω / = 1 ' Ω j = l ' Обозначим Ύα4γ . С" = max max | β, (Ρ) |. Тогда, как легко видеть, /И J ϋ2 rfs < (С + С") jv2dQ + C"m J J i—j2 dQ. (11) S Ω Ω /-1^ /' C = max Pel
§ 32. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 189 Неравенство (11) применим к функции ν = и — с, где и — рассматриваемая гармоническая функция, а с —ее среднее значение по Ω: c=wJwrfQ Q и |Ω| есть объем области Ω. При этом по неравенству Пуанкаре J(«-*«<C''JS(ir)2dQ. Ω Ω /=.1 ч ' и мы получаем S Интеграл _ ffi J (ы - с)2 rfS < С J 2 (^г)2 rfQ; С = const. (12) (u — afdS, в котором ы — любая функция, суммируемая на 5 с квадратом, а а — постоянная, принимает наименьшее значение при a = j§ffudS, (13) s где \S\—площадь поверхности S; так как «еЯ, то в нашем случае величина (13) равна нулю, и J«2rf5<J(«-c)2rf5, 5 S что вместе с неравенством (12) дает искомую оценку: 11"1Р<сЩ-^)2^. (|4) Ω fe=l Теперь легко доказать, что оператор -р положительно определенный в Й. Заменяя правую часть формулы (14) по соотношению (3), получаем окончательно (£.«)>υΊ«Γ. Y-pL,, · (15) что и требовалось доказать.
190 ГЛ. IV. ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА По теореме о функционале энергии задача Неймана равносильна задаче о минимуме функционала (^.. и)-2(и. f)-J(«-*L-2/ii)rfS (I6) s в пространстве Я; f — заданное значение нормальной производной. Обобщенное решение последней задачи существует и может быть построено процессом Ритца. Как и выше, можно показать, что приближенные по Ритцу решения сходятся равномерно, вместе с производными любого порядка, в любой замкнутой области, целиком лежащей в Ω.
ГЛАВА V ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ § 33. Решения с конечной энергией Рассмотрим уравнение Au = f, (1) в котором искомый элемент и и данный элемент f принадлежат некоторому гильбертову пространству Η к А только положительный оператор, действующий в этом пространстве. По теореме о функционале энергии можно искать не решение уравнения (1), а решение задачи о минимуме функционала энергии F(u)=(Au, и)-2{и, f). (2) Введя энергетическое пространство НА оператора А, представим F(u) в виде F(u)-\uf-2(u,f). (3) Оператор А только положителен, и его энергетическое пространство НА «не вкладывается» в исходное пространство Я: существуют идеальные элементы пространства НА, не входящие в Н- Поэтому в выражении (3) будем рассматривать (и, f) как функционал, заданный на DA— области определения оператора А, которая принадлежит обоим пространствам Η и НА и плотна в каждом из них. Дальше можно рассуждать так же, как в § 20. Если функционал (ы, f), заданный на DA, не ограничен в энергетической метрике, то функционал (3) не ограничен снизу, и задача о его минимуме лишена смысла. Если же заданный на DA функционал (и, f) ограничен в энергетической метрике, то его можно продолжить по непрерывности на все пространство НА. Продолженный функционал обозначим через I; °н ограничен в НА и по теореме Риса (теорема 1 § 5) допускает представление 1и = [и, и0]А, где и0 — вполне определенный элемент пространства НА.
192 ГЛ. V. ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Теперь F(u) = \ufA-2lu = \ufA-2[uy-u0\A = \u-u0\\-\u0\^ (4) в таком виде функционал F определен на всем энергетическом пространстве НА и достигает минимума при и = и0. Элемент и0, вообще говоря, не принадлежит исходному пространству Н, но он принадлежит пространству НА, и величина \ио\2А существует и конечна; с физической точки зрения это допускает такое истолкование: состояние, описываемое элементом и0, имеет конечную энергию. Это дает повод назвать элемент щ обобщенным решением с конечной энергией, или просто решением с конечной энергией для уравнения (1). Если исходное пространство Η сепарабельно, то энергетическое пространство НА также сепарабельно, и решение с конечной энергией можно представить в виде ортогонального ряда, аналогичного ряду (6) § 14. Пусть {ωη} — система, ортонормиро- ванная и полная в НА. Тогда оо Но [и0, ш„]а = [ω„, Щ]А = Ιω„ и оо "о=2 1®п ■ ω„. (5) Это и есть искомое представление. Если ωη^Ε>Α> η= 1,2, .... то Ιωη= (f, ω„), и мы приходим к представлению "ο=Σ (f, ω„)ω„, (6) которое по форме тождественно с представлением (6) § 14. § 34. Процесс Ритца Процесс Ритца для только положительных операторов развивается почти так же, как и в случае положительно определенного оператора Пусть уравнение (1) § 33 имеет решение с конечной энергией, которое обозначим через Uq. Выберем последовательность координатных элементов {φη}, удовлетворяющую обычным требованиям: 1) фэт <= ΗА\ 2) при любом η элементы φι, q>2, ■ · ■ ,ψη линейно независимы: 3) координатная последовательность полна в НА-
§ 35 УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ J93 Будем искать приближенное решение в виде η un=H:ak(pk (l) и выберем коэффициенты ak так, чтобы выражение F{un) = \un\\-2lun достигало минимума. Это приводит к системе Ритца η 2H<Pfc. Ф/]А = 'Ф/. /=1, 2, .... п. (2) Если фп ^ Αίι « = 1,2,..., то систему Ритца можно записать в виде (82) § 17. Как и для положительно определенных операторов, справедливы соотношения: 1) \ип—щ\ монотонно стремится к нулю; 2) KKKI; 3) если координатные элементы подвергнуть ортогонализа- ции и построить разложение (5) § 33, то п-е приближенное решение по Ритцу совпадает с п-й частной суммой ряда (5) § 33. § 35. Эллиптические уравнения в бесконечной области Этот вопрос довольно подробно рассмотрен в книге автора [26], поэтому здесь мы ограничимся некоторыми простейшими указаниями. Пусть Ω — бесконечная область, расположенная вне одной или нескольких замкнутых поверхностей, образующих границу 5 рассматриваемой области. Рассмотрим уравнение т при краевом условии задачи Дирихле u\g = 0. (2) Допустим, что коэффициенты Л№ ограничены и что уравнение (1) невырождающееся. Тогда существуют такие положительные постоянные μ0 и μι, что mm m μοΣ'Κ.Σ л,й(р)*д<^2*|. - (3) 13 с. г. Миелин
194 ГЛ. V. ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где tu t2, ..., tm — любые вещественные числа. Задача (1) __ (2) порождает оператор, который обозначим через А и который действует по формуле т за область его определения примем множество функций, которые в Ω имеют непрерывные вторые производные и которые обращаются в нуль как на границе S, так и в точках, достаточно удаленных от начала координат. Для таких функций верны формулы Грина. Оператор А только положительный; задача (1)—(2) имеет решение с конечной энергией тогда и только тогда, когда существует вектор g(P) со следующими свойствами'): f(P)=divg(P); j|g(/>)PrfQ<oo. (4) Ω При этом, если и0— названное решение, то Ы2л<с||£(Р)|2сШ; С = const. (5) Ω В формулах (4) и (5) выражение div g понимается в смысле «обобщенной дивергенции», которая определяется следующим образом (ср. определение обобщенной производной в § 24). Говорят, что суммируемая функция f(P) есть обобщенная дивергенция суммируемого вектора g(P), если справедливо тождество | f (Ρ) φ (Ρ) da = - J g (Ρ) · grad φ (Ρ) da, (*) Ω Ω б котором φ(Ρ)—произвольная функция, бесконечно дифференцируемая в Ω и равная нулю вблизи S и в окрестности бесконечно удаленной точки (последнее условие ставится, если область Ω бесконечная). Можно указать более простое достаточное условие: если размерность пространства /п^З, то задача (1) — (2) имеет решение с конечной энергией при условии J|Ppf(/>)dQ<oo; (6 Ω |Р|— расстояние от точки Ρ до начала координат. В этом слу чае верна оценка l«o&<C, JlPpf (P)dQ\ C, = const. d Ω ') См статьи автора [14] и [19]
§ 35. УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ 195 Достаточно, в частности, чтобы правая часть уравнения f(P) была отлична от нуля только в конечной области и чтобы ff*{P)dQ<oo. Ω Заметим, что это условие достаточно и при т = 2. Пусть теперь условие (2) заменено условием задачи Неймана Ζί А/ь~5Г cos(v> xl) /. fc=l = 0. (8) s Оператор задачи и в этом случае только положителен. Условия (4) остаются необходимыми для существования решения с конечной энергией; достаточным является требование, чтобы формула интегрирования по частям | ufdQ= - j grad и · g dQ + J ugvdS (9) Q Ω S была верна для любой функции и{Р) из энергетического пространства, равной нулю во всех точках, достаточно удаленных от начала; в формуле (9) gv означает проекцию вектора g на направление нормали v. Можно доказать, что энергетическое пространство задачи Дирихле (условие (2)) состоит из функций, которые обращаются в нуль на 5 и имеют в Ω обобщенные первые производные, суммируемые с квадратом. Энергетические произведение и норма определяются формулами С т [«. °]=J Σ Α^-§τάΩ' т Ω ί, fe=-l ' R Те же формулы определяют энергетические произведение и норму в случае задачи Неймана (условие (8)); в этом случае Энергетическое пространство состоит из всех функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые с квадратом. Если при условии (2) или условии (8) уравнение (1) имеет решение с конечной энергией, то это решение можно получить Как элемент соответствующего энергетического пространства,
196 ГЛ. V. ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ реализующий минимум функционала энергии ,. т ]Σ^^-* 01) Ω I, fc~l ' в приближенно это решение можно построить процессом Ритца, В формуле (11) 1и есть расширение функционала (и, f) с области определения оператора задачи на энергетическое пространство. В случае задачи Неймана 1и определяется формулой (9): Ш = — Г grad и · gάΩ + f ugv dS; q s в случае задачи Дирихле второй член справа исчезает, и 1и = — Г grad и · g άΩ. Ω Если сходится интеграл (6), то Ш можно задать исходной формулой Ш = j u{P)f(P)dQ, Ω так как в этом случае последний интеграл сходится для любой функции из энергетического пространства задачи Дирихле. Коротко скажем об уравнениях теории упругости в бесконечной области. Для простоты ограничимся случаем, когда граница упругой области жестко закреплена. Пусть К = (Χ,Υ,Ζ) — вектор объемных сил. Решение с конечной энергией существует тогда и только тогда, когда существует симметричный тензор ёхХ' Ёху ёхг, ёху, ёуу> ёуг, ёхг ёуг ёгг такой, что Ω и что справедливы соотношения д8хх дехи eg + -~+-^ + Х = 0, дх ду дг д**У ■ двуу д8уг дх ~i~ ду ~*~ дг У=-0,
§ 36. УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ 197 В этом случае имеет место обычный принцип минимума потенциальной энергии (§ 29). Решение с конечной энергией существует, например, если нагрузка К = (X, У, Z) сосредоточена лишь в некоторой конечной области и J(J2 + y2 + Z2)rfQ<cx>. Мы не станем здесь доказывать это утверждение — сходные утверждения мы докажем ниже, в §§ 36 и 37. § 36. Вырождающиеся эллиптические уравнения в конечной области Вырождающиеся уравнения были рассмотрены в § 28, где были указаны условия положительной определенности оператора задачи. Здесь мы укажем условия, при которых этот оператор только положителен. Рассмотрим задачу, заданную уравнениями (18) и (19) § 28; сохраним допущения § 28 о характере области Ω, о поверхности вырождения и о поведении коэффициента Атт (формула (20) § 28). Оператор задачи по-прежнему обозначим через L и сохраним данное в § 28 описание области DL. Теорема 1. Пусть ρ (t) -< Cfi, где С и β постоянные и β > 2. Если существует такая непрерывная функция ψ (xm), что ψ(0) =0 и т—ι т—I Σ Αβ(ρ)ίίί{^^(Χη)Σ tl, (i) /, /г= ι k = ι то оператор L только положителен в Ζ,2(Ω). Если и е DL, to легко установить тождество (Lu, «О-j{ Σ ^An^-j^ + A^AnijffW (2) из которого сразу вытекает, что L — положительный оператор. Остается доказать, что он не положительно определенный, т. е. что
198 гл. v. только положительные операторы Из неравенства (1) настоящего параграфа и (20) § 28 следует, что (1м, «)< J {*(,/|(^)Чс^т(^} cm. (4) Вырежем из области Ω параллелепипед П, определяемый неравенствами Рк^Хк<:Як, 1<&</п-1; 0<л:т<6, где Pk, Ян и б — постоянные, 6>0. Положим «6(л:) = fe-I fe k 0, * <£ П. Очевидно, «6 е DL. Простые вычисления показывают, что при достаточно малых 6 (/.и,,, «в) = О (δ6 J ψ (*m) rfjej + О (δ3+5) = ο (δ7); II и„ IP > k67, где &— положительная постоянная, которая не зависит от 6. Отсюда (La., иЛ , ч и точная нижняя граница отношения (3) равна нулю. Теорема 2. Задача (18) — (19) § 28 имеет решение с конечной энергией тогда и только тогда, когда: 1) f(P) = divg(P)'); 2) для любой функции и е DL справедлива формула интегрирования по частям j u{P)f(P)dQ= - j" g-gradudQ; (5) ') Дивергенцию div g можно здесь понимать как обобщенную (§ 35); таким образом, если *р{Р) — произвольная непрерывно дифференцируемая в Ω функция, которая тождественно равна нулю в некоторой окрестности границы области Ω, то справедливо тождество j" f (Ρ) φ (Ρ) dQ = - j" g (Ρ) ■ grad φ (Ρ) dQ.
§ 36. УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ f99 3) сходится интеграл jg-A-*gdQ, (6) Ω в котором матрица А ·= \\A}k |£ *~™. Если обозначить Л~'д = <р, то условие 3) можно сформулировать так: сходится интеграл /Σ^***^ Ώ k= где q>h определены из системы m Έι A/b4>k = gi> /=1, 2, ..., m. (7) fe~I Необходимость. Если решение Uo{P) с конечной энергией существует, то можно положить m дх. fe-ι k При этом <Рк= — -{Г^· Формула (5) совпадает с формулой энергетического произведения функций и и «0; она верна, так как Uo^HL и «eDj,1). Интеграл (6) сходится, так как fm m щ S^rfo-J Σ Л|»-^-^о-кр<«>. Ω ft=l Ω /, fe=l fc ' Достаточность. Пусть условия теоремы выполнены, и u^DL. По формуле (5), (и. f)=J ufrfQ= j"udivgrfQ=-J"]£~gfe = -j Σ А/*«р/-й оде "~ „ m За Квадратичный функционал m J Σ Airt№dQ άΩ. ·"·' OX^ ω Λ fell ;. fe-l . ') См. книгу автора [I I], § 5.
200 ГЛ. V. ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ неотрицателен, и для него верно неравенство Коши — Буняков- ского. Отсюда ί г т \^2 ί г т \'^ = ι«ι у Ω ft jU ёкУьаО. Последнее неравенство показывает, что функционал (и,f), заданный на множестве DL, ограничен в энергетическом пространстве; отсюда вытекает существование решения с конечной энергией. Теорема 3. Задача (18) — (19) § 28 имеет решение с конечной энергией, если f(P) = 0 при хт < б, где δ — положительная постоянная, и С2= J>(P)dQ<oo. Q Пусть u^DL. Тогда во всяком случае и\^^ 0 и существуют непрерывные производные -^j- . Поместим область Ω внутрь параллелепипеда Π (на рис. 12 изображен случай двух измерений). Доопределим функцию и(Р), положив ее равной нулю вне Ω. Тогда она будет непрерывной в П; ее первые производные в Π терпят разрыв первого рода на поверхности S" Имеем К", Л12= ju(P)f(P)dQ2= ju(P)f(P)dQ < < j* P(P)dQ j* u2(P)dQ = σ j* и2(P)dQ- "6 " u6 через Ωβ и Πβ соответственно обозначены части областей Ω и П, в которых хт > 6. Пользуясь тем, что на верхней грани параллелепипеда Π и (Ρ) = 0, и применяя те же рассуждения, что и при выводе неравенства Фридрихса (§ 24), найдем, что т ι* ι* т П6 "fib-» Sb fe-14 fe/ с\ = const.
§ 37. ПЛАСТИНКА С ОСТРЫМ КРАЕМ 201 В области Ω6 уравнение (18) § 28 не вырождается; существует, следовательно, такая положительная постоянная μο > 0, что Теперь г' с, С [ ·\λ ди ди I ди \2 1 С' Г ί 'V ди ди I ди V «β "β <^JI 21/^ΐ+Μΐ-/ΗΩ"ΐ|βΡ- Окончательно Ι (я. ПК с /|ι-ι· заданный на DL функционал {и, f) ограничен в энергетическом пространстве, и решение с конечной энергией существует. Замечание. При некоторых дополнительных условиях для существования решения с конечной энергией достаточно потребовать, чтобы при хт ->0 функция f(P) с некоторой определенной скоростью стремилась к нулю. См книгу автора [26}. § 37. Пластинка переменной толщины с острым краем С естественными изменениями результаты предшествующего параграфа можно распространить на вырождающиеся уравнения более высоких порядков. Проиллюстрируем это на примере упругой пластинки переменной толщины1). Как обычно, за плоскость (х, у) примем серединную плоскость пластинки; через S обозначим область, вырезанную пластинкой из плоскости (л:, у). Толщину пластинки в точке (л:, у) обозначим через 2h(x,у), интенсивность нормальной нагрузки — через q(x, у), прогиб пластинки — через w(x,y). Принимая гипотезы Кирхгофа, найдем, как и в § 30, следующее выражение потенциальной энергии деформации пластинки: W = 24ТСТГ J J » К, + *>Vyy + «$, + 2 (1 - σ) w\y\ dx dyi s ID ') Cm. E. В. Маховер [I].
202 ГЛ V. ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ здесь Ε — модуль Юнга, σ — постоянная Пуассона; индекс внизу означает дифференцирование по соответствующей переменной. Обычными средствами вариационного исчисления (ср. § 30) выводится дифференциальное уравнение равновесия упругой пластинки переменной толщины: (h3wxx)xx + a {h3wyy)xx + a {h3wxx)yy+ {h3wyy)yy+ 2 (1 -σ) (h3wxy)xy= . . 12(1-σ2) , ч /оч = Р(х, У) =—~Ё <?(*. У)· (2) Выражение в левой части уравнения (2) обозначим для краткости через J(w). Примем, что область S расположена в верхней полуплоскости и что часть V контура этой области лежит на оси л: (рис. 13). Допустим, что h(x,y) удовлетворяет неравенствам ctya^h(x, у)^с2уа; c„ с2 = const >0, (3) так что на L' толщина пластинки равна нулю; будем называть U острым краем пластинки. Пусть остальная часть контура, L", жестко закреплена, так что <4" = Ί*Γ =°· № У \ О У s Z/ ft L Условия на остром крае мы сформулируем несколько ниже; пока же подчиним их такому требова- х нию: если интеграл Рнс. 13 [ J wj(w)dxdy дважды взять по частям, то контурные интегралы должны исчезнуть. Дифференциальное выражение J(w) будем рассматривать, предполагая, что w удовлетворяет условиям (4) и что в замкнутой области S = S + U + S" функции w, wx, wy, tihwxx, fihwxy, tikwyy, (h3wxx)x, (h3wxx)y, ... ···, (filWyy)y, {h3wxx)xx, ..., {h3wtJy)yy (5) непрерывны. Составим интеграл (/ (w), w) = 11 wl (w) dxdy=^w {(h3wKX)xx + σ (h3wyy)KX + wxx)tjy + (h3wyy)yy + 2 (1 - σ) {h3wxy)xy} dx dy.
§ 37. ПЛАСТИНКА С ОСТРЫМ КРАЕМ 203 Взяв его один раз по частям и приняв во внимание, что контурный интеграл по L" исчезнет в силу условий (4), получим (/ И, Ο») =■ - J J {Wx {fl3Wxx)x + GWX {h3Wyy)x + GWy(fl3Wxx)y + 's' + wy {h3WyV)y + (l-a)[wx (hswxy)y + wy (h3wxy)x]} dx dy - - \ w{x, 0) {σρ, (χ) + p2 (χ) + (1 - σ) p3 (χ)} dx. (6) ν Здесь мы ввели обозначения ρ, (χ) = iim (h3wxx) ρ, (χ) = iim (h3wyy)y, p3(χ) = iim (h3wxy)x. r г/->о г/->о у-ю Простой анализ показывает, что если в неравенстве (3) а>2/з, то ρ, (х) = р2(х) = ρ3(*)==0; если а>'/3, то Pi(x) = = р3 (*) = 0, а рг (х) произвольна; если α < '/з, то Р\ (х), рг (*), рз(х) произвольны. Поясним это на примере функции Рг(*)· Пусть Хо е U и ρ(*о) = аФО. Для определенности пусть α > 0. Тогда при г/, достаточно малых, справедливо неравенство (h3Wyy) у > а/2. Интегрируя, находим Деля на h3 и используя неравенство (3), получим wm > > ау,~3а/2с2. Если а>2/з, то, интегрируя по г/, видим, что wy γ^ο~> °°, вопреки предположению; если же а < 2/з, то wv может быть и ограниченным. Если α i> 2/з, то в тождестве (6) интеграл по U исчезает; при этом на функцию w на L' не надо накладывать никаких условий; если же α < 2/3, то поставим условие В обоих случаях (/ (w), w) = - J J {го,, (Л3ш„), + aw, (h3wyy)x + cwy (h3wxx)y + "s* + ш„ (h3wyy)tJ + (l-a)[wx (h3wxy)y + wy (h3wxy)x]} dx dy. Последний интеграл опять возьмем по частям. Анализ, аналогичный проведенному выше, показывает следующее: контурный интеграл, полученный в результате интегрирования по частям, исчезает, если а> '/з; если а< '/з. то для этого надо дополнительно потребовать, чтобы
204 ГЛ V. ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ II в том, и в другом случае (/ (о;), w) = J J /г3 [wxx + 2uwxx Wytj+wly + 2(l- σ) шу rfx rfy. (9) "s Выражение /(ю) будем теперь рассматривать как оператор, действующий в пространстве L2(S); его область определения Дг есть множество функций w(x,y), удовлетворяющих следующим требованиям: 1) функции (5) непрерывны в замкнутой области; 2) выполнены краевые условия (4); 3) если α < 2/з, то выполнено условие (7); 4) если α < '/з> то выполнено условие (8). Легко проверить, что оператор / симметричен; из формулы (9), очевидно, вытекает также, что он положителен. Теорема 1. Если а > 4/з, то оператор I только положителен. Вырежем из области S прямоугольник П, определяемый неравенствами а--Сх^СЬ, О^Су^Сй, и положим (6_y)ssinsiLU^Ii (д> у)еП> 0, (х, у)фП~ Очевидно, w6 e Дг. Простой подсчет показывает, что (/(шб)'ше) п^3а-41 ||ш6|р -υ[-6 > и, следовательно, при α > 4/з оператор / только положителен. Теорема 2, Если а^4/з. то оператор J положительно определенный. Предварительно докажем следующую лемму: Лемма I1). Пусть функция u(t) вещественной переменной t удовлетворяет следующим условиям: 1) u(t) и u'(t) абсолютно непрерывны на сегменте [0, 1]; 2) tzu"(t) eL2(0,l); 3) и{\) =ы'(1) =0. Тогда ι ι ^t4(u")zdt>-j^ju2dt. (10) Мб (*, У) = ') См. статью Л. Б. Стефановой [1], где получено более общее неравенство.
§ 37. ПЛАСТИНКА С ОСТРЫМ КРАЕМ 205 Пусть функция ν (ί) абсолютно непрерывна на сегменте [0, 1], v(l) =0 и tv'(t) e L2(0, 1)· Рассмотрим интеграл J (4f2 (v'f - ν2) dt = J {2Ы + ν)2 dt - j (#όχϊ + 2t>2) dt. О 0 0 Первый интеграл справа неотрицателен, а второй, как легко видеть, равен нулю. Отсюда [f->7««>j [о2 Λ. (11) ό ό Положим в неравенстве (11) ν = tu': J" t2[(tu')']2dt>-j J" f2(u')2 df. о о Далее, I 111 f t2 [(tu')']2 dt=\t* (u"f dt + 2 J iVu" rff + f f* (u')2 dt, о о о o" или если второй интеграл взять по частям, то f t2[(tu')']2dt = \t*(u"f dt-2\t2(u'f dt. о о о Отсюда (V(02^>4 \t2(u'fdt. ό о Неравенство (11), очевидно, верно и для функции u(t), и это приводит к соотношению (10). Перейдем к доказательству теоремы 2. Область S поместим в прямоугольник П, одна из сторон которого лежит на оси х. За единицу длины выберем длину вертикальной стороны прямоугольника П, который, следовательно, определяется неравенствами вида
206 ГЛ. V. ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ограничимся случаем, когда σ>0 — этому ограничению удовлетворяют все известные упругие среды По формуле (9) имеем (J(w), w) = J J /г3 [σ (tevf + (1 - σ) (w2xx + 2w2xy + w2yy)\ dx dy > s >(\-a)\\h^w2yydxdy. s Воспользовавшись неравенствами (З) и приняв во внимание, что а^4/з, получим (/ (w), w) > с2 (1 - σ) f \ y^w^dx dy > c2 (1 - σ) jj y*w\jy dx dy. "s · "s Доопределим функцию w, положив ее равной нулю вне S Тогда последнему соотношению можно придать вид b I (J(w), w)>c2(l-a)j ^w^dxdy. (12) a 0 Функция w удовлетворяет условиям последней леммы; по формуле (10) \у^1уау^-^г\ш*ау. о о Проинтегрируем это неравенство по χ в пределах от а до Ь. Воспользовавшись соотношением (12), найдем (/ (w), w)^y2 I w2 dx dy = ύ2 ) w2 dx dy = y2[\w [p; η s "V2 = -^-c2(l-a). Теорема доказана. Теорема 3. Если q (χ, у) = 0 при у > δ, где б — положительная постоянная, то задача о равновесии пластинки с острым краем имеет решение с конечной энергией. Доказательство такое же, как в теореме 3 § 36.
ГЛАВА VI ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ § 38. Задача о собственных числах; ее связь с задачами о собственных колебаниях и об устойчивости системы Коротко напомним понятия собственных чисел и собственных элементов уравнения или оператора. Пусть дано уравнение Аи-КВи = 0, (1) где Л и β — некоторые линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Я, а λ — численный множитель. Элемент и = О, удовлетворяющий уравнению (1) при любом λ, называется тривиальным решением этого уравнения. Значения λ, при которых существуют нетривиальные (т. е. отличные от нулевого) решения уравнения (1), называются его собственными числами, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными элементами, соответствующими (или отвечающими) данному собственному числу. Если пространство Η функциональное, то собственные элементы уравнения (1) называются также его собственными функциями. Особенно важен случай, когда В есть тождественный оператор. Уравнение (1) тогда принимает вид Аи-Ки = 0. (2) Собственные числа и собственные элементы уравнения (2) называются также собственными числами и собственными элементами оператора А. Совокупность всех собственных чисел оператора называется его собственным спектром. Если Ц|, и2 uh — собственные элементы уравнения (1),отвечающие одному и тому же собственному числу, а постоянные ci, с2,..., ck таковы, что элемент C\U\ + C2U2 + ... + chUh отличен от нулевого, то этот элемент собственный для уравнения (1) и отвечает тому же собственному числу. Достаточно поэтому знать только линейно независимые собственные элементы. Число линейно независимых элементов, отвечающих данному собственному числу, называется его рангом. Ранг собственного числа может быть и бесконечным,
208 ГЛ VI ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ К отысканию собственных чисел и собственных функций приводят обычно задачи о собственных колебаниях механических систем. Рассмотрим для примера однородную натянутую струну длины I, которая в состоянии равновесия занимает отрезок 0 ·<*-</ оси х. Поперечные колебания такой струны определяются уравнением (С2, 163) дги_= 1 д2У дх2 a2 dt2 ' Vh · (3) Здесь U (х, t) — отклонение струны от положения равновесия в точке х и в момент времени t, Τ—натяжение струны и ρ — ее масса на единицу длины; предполагается, что на струну не действуют никакие внешние силы, так что колебания обусловлены только начальным отклонением и начальным импульсом, сообщенными струне. Если концы струны неподвижно закреплены, то £/(0, *)-£/(/, 0 = 0. (4) Собственными колебаниями струны называют колебания, при которых отклонение U (x, t) имеет вид 1) (х, t) — u (χ) . ωί, ω = const. 4 ' sin Подставив это в (5) и (6), находим, что и(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению cPufdx2 + lu = 0, λ = ω2/α2 = ω2ρ/7' (5) и краевым условиям и (0) = и (I) = 0. (6) По смыслу задачи и(х)^0 — в противном случае не было бы колебаний струны, и задача о собственных колебаниях струны свелась к задаче о собственных числах и собственных функциях d2 оператора ~-у~г при краевых условиях (6). Если струна неоднородная, то ρ = р(*) есть функция от х. В этом случае задача о собственных колебаниях струны приводит к тем же краевым условиям (6) и к уравнению d2u/dx2 + lp(x)u = 0, (7) но на этот раз λ = ω2/7". Уравнение (7) есть частный случай уравнения (1), в котором А= —^ » а ^ есть оператор умножения на функцию ((х); оба оператора определены для функций, обращающихся в нуль на концах струны.
§ 38. ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЧИСЛАХ 209 Рассмотрим еще собственные колебания мембраны. Если мембрана не подвержена дейетвию внешних сил, то уравнение ее поперечных колебаний имеет вид (С2,176) Пусть мембрана в состоянии равновесия занимает в плоскости (х, у) область Ω, ограниченную контуром S. Если край мембраны неподвижно закреплен, то t/|s = 0. (9) Собственные колебания мембраны имеют вид U(x, у, t) = u(x, ί/)^ωί; их отыскание сводится к интегрированию уравнения Аи + Ки = 0, λ = ων (Ю) в области Ω, при краевом условии «ls = 0. (11) Так как необходимо и{х,у)^0, то наша задача сводится к отысканию собственных чисел и собственных функций оператора— Δ при краевом условии (11). Известен еще один класс задач, которые также сводятся к задаче о собственных числах и собственных функциях. Это задачи об устойчивости механических систем. Мы не будем формулировать эту задачу в общем виде, а поясним ее на одном примере. Рассмотрим изгиб тонкой пластинки, на которую действуют усилия, приложенные к ее серединной плоскости и пропорциональные некоторому параметру λ; пусть эти усилия создают напряжения %ТХ, λΤχυ, λΤυ. Пусть нормальная нагрузка отсутствует, и пусть, для определенности, край пластинки жестко закреплен. Прогиб пластинки определяется (см. § 31) однородным, так как q(x, у) зз= 0, дифференциальным уравнением A2w__.^Tx___+2TX!/-s^- + TuW\ = 0 (12) и однородными же краевыми условиями дт ! \l Система уравнений (12) и (13) имеет тривиальное решение w s= 0; его наличие означает, что возможна неизогнутая форма «Ίι-ο, ^L = o. (is) 14 С. Г. Михлин
210 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ · равновесия пластинки. Если λ достаточно мало, именно [см. формулу (12) § 31] если \%\<CDI(2Nh), (14) где N — наибольший из максимумов напряжений Тх, Txv, Tv, то тривиальное решение единственно и, значит, неизогнутая форма равновесия единственная; очевидно при этом, что достаточно малые изменения λ не нарушают неравенства (14) и, следовательно, не нарушают неизогнутой плоской формы равновесия, которая тем самым оказывается устойчивой по отношению к малым изменениям параметра λ. Если же λ не удовлетворяет неравенству (14), то не исключено, что при некоторых значениях λ, называемых критическими, уравнение (12) будет иметь нетривиальное решение, удовлетворяющее краевым условиям (13). В этом случае возможна, помимо плоской, также и изогнутая форма равновесия; при значениях λ, близких к критическому, плоская форма равновесия становится неустойчивой. В связи с этим делается важным отыскание критических значений параметра (особенно наименьшего критического значения), что в свою очередь сводится к отысканию собственных чисел уравнения (12) при краевых условиях (13). В общем случае задачу устойчивости сводят к задаче о собственных числах линейного уравнения, исходя из нелинейных уравнений данной задачи. Строгое математическое обоснование такого приема дано в работах М. А. Красносельского [2, 3]. Для упругих систем такая постановка задачи устойчивости подробно проведена в книге В. В. Новожилова [1], который, исходя из нелинейных уравнений теории упругости, приходит к задаче о собственных числах некоторого линейного уравнения (или системы уравнений). § 39. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора Теорема 1. Собственные числа симметричного оператора вещественны. Пусть λ« и φο суть собственное число и отвечающий ему собственный элемент симметричного оператора А. Тогда Умножив это скалярно на φο, найдем λο = (Λφο, Φη)/]]φη!Ρ· (1) Оператор А симметричен, поэтому (Αψ0, φο) = (φο, Λφο). С дру-
§ 39. СИММЕТРИЧНЫЙ ОПЕРАТОР 211 гой стороны, по аксиоме А (§ 2) (φο, Αψ0) = (Лф0, φ0). Число (Лфо, фо) равно своему сопряженному и потому вещественно; по формуле (1) λ0 вещественно. Замечание. Собственные числа положительного, а значит, и положительно определенного оператора положительны. Это непосредственно вытекает из формулы (1). Теорема 2. Собственные элементы симметричного оператора, отвечающие различным собственным числам, ортогональны между собой. Пусть λι и %2 — не равные между собой собственные числа симметричного оператора Л, q^ и q>2 — отвечающие им собственные элементы. Тогда Λ<Ρι = λ,φ„ Λφ2 = λ2φ2. (2) Первое равенство умножим скалярно на q>2 и второе — на фЬ Вычитая, получим (Λφ„ φ2)-(ψι, Λφ2) = (λι - λ2) (φ„ Фа)· Левая часть последнего равенства равна нулю, потому что оператор А симметричен; так как еще λι — %2Ф0, то (срьфг) = 0. Если данному собственному числу отвечают несколько собственных элементов, то их можно сделать ортогональными, пользуясь процессом ортогонализации (§ 4). Это позволяет в последующем считать без оговорок, что совокупность всех собственных элементов симметричного оператора образует орто- нормированную систему. Теорема 3. Система собственных элементов положительного оператора ортогональна по энергии. Пусть λι и φι — собственное число и собственный элемент положительного оператора А так, что ΑΡι = λ,φι, (3) и фа — отличный от φι собственный элемент того же оператора. По сказанному выше φι и фа ортогональны в обычном смысле: (фь фй) = 0· Умножив скалярно равенство (3) на q>2, найдем (Лсрь срг) = 0, что и требовалось доказать. Замечание. Часто оказывается, что система собственных элементов не только ортогональна, но и полна по энергии. Тогда эту систему можно использовать, чтобы построить решение Уравнения Аи = f (4) в виде ортогонального ряда, как об этом сказано в § 14. Пусть система собственных элементов положительно определенного оператора А полна по энергии и, в соответствии со сказанным выше, ортонормирована в обычном смысле. 14*
212 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Обозначая через φ„, η = 1, 2,..., собственные элементы оператора А и через λ„ соответствующие собственные числа1), имеем ί 0, пфт, (ф«, Фт) = | ! п=т. [Фт, Ф«] = 0, Пфт, Αψη = ληφη. Умножив скалярно последнее равенство на φ?,, получим еще (Λφ„, φπ) = |φ«Ρ = λ„· (5) Равенство (5) показывает, что элементы φη по энергии не нормированы. Положив ψ„ = φ„/ν^Γ получим систему элементов, ортонормированную по энергии и по предположению полную по энергии. В соответствии с формулой (6) § 14 решение уравнения (4) можно представить в виде DO «О = Σ (f. Ψη) Ψ» или, заменяя ψ„ ее выражением через φ„, оо »о=1^Ф«- (6) Разложение (6) в ряд по собственным элементам данного оператора имеет одно преимущество перед общим рядом (6) § 14. Сохраним в каком-либо из этих рядов только N первых членов и обозначим полученную таким образом конечную сумму через uN. Если подставить uN в уравнение (4), то, вообще говоря, левая его часть не будет близка к правой; точнее говоря, в общем случае нельзя утверждать2), что AuN N^.^->f- Но если исходить из ряда (6) и положить то AuN-±f. Доказательство основано на следующем утверждении: если оператор положительно определенный и некоторая система полна в энергетическом пространстве этого оператора, то она полна и в исходном гильбертовом пространстве3). Это утверждение применимо к системе φ,„ η = 1, 2, ..., собственных *) Если одному и тому же собственному числу отвечает несколько собственных элементов, то среди чисел λη будут встречаться равные между собой. 2) См. ниже, стр. 219, п. 5. 8) Там же, § 12, стр. 58.
§ 40. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ 213 элементов, которая, по предположению, полна в энергетическом пространстве. Так как эта система еще и ортонормирована, то любой элемент исходного пространства разлагается в соответствующий ортогональный ряд. В частности, оо f = Σ if, Фя) Φη- С другой стороны, Ν Но φη есть собственная функция оператора Л, отвечающая собственному числу λ„, поэтому Αφη = λ„φ„ и N AUN = 2 (/, Фгг) Φη· Отсюда следует, что AuN-*f. Таким образом, если построить приближенное решение уравнения (4), исходя из ряда (6), то при достаточно большом N это приближенное решение удовлетворяет в среднем уравнению (4) с любой наперед заданной степенью точности. § 40. Энергетические теоремы в проблеме собственных чисел Проблема собственных значений при известных условиях может быть сведена к некоторой вариационной.задаче. Пусть симметричный оператор А удовлетворяет неравенству (Лн, н)>*Цн|г\ (1) где k — некоторое вещественное число, необязательно положительное; такой оператор называется ограниченным снизу. В частности, ограничен снизу всякий положительный оператор, так как он удовлетворяет неравенству (1) при k = 0. Если А — ограниченный снизу оператор, то (Ли, и)/(и, и) > ^k. Величина (Ли, и)/(и, и), будучи ограниченной снизу, имеет нижнюю грань ά. Очевидно, rf>fe. Докажем следующие теоремы: Теорема 1. Пусть А — ограниченный снизу симметричный оператор, ц пусть d означает точную нижнюю границу значений функгионала (Аи, и)1(и, и). (2)
214 ГЛ VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Если существует элемент u0^DA такой, что (Ащ, и0)/(и0, u0) = d, (3) то d есть наименьшее собственное число оператора А, а и0 — соответствующий собственный элемент. Пусть η — произвольный элемент из области DA и / — произвольное вещественное число. Функция вещественной переменной I о\ _ (А (и0 + tr\), и0 + Щ _ t2 (At), r]) + 2t {Аир, t]) + (Au0, ий) ^ *■ ' («ο + <η, «ο + Щ) t2 (η, η) + It («ο, η) + (κ0, «о) достигает минимума при t = 0. Но тогда φ'(Ο) =0. Вычисляя φ'(0), легко придем к уравнению (щ, щ) (Ащ, η) - (Ащ, щ) {и0, η) = 0, или, если воспользоваться равенством (3), (Ащ-ащ, η) = 0. (4) Множество DA плотно в исходном гильбертовом пространстве, и из формулы (4) следует, что Ащ— ащ = 0, т. е. что d и щ— собственное число и собственная функция оператора А. Что d — наименьшее собственное число оператора А, вытекает из формулы (1) § 39. Действительно, если λι и и\ — какое- либо собственное число и ему соответствующая собственная функция оператора А, то λι = (Ащ, щ)/(щ, щ) ^ min (Au, и)/(щ и) = d. (5) Доказанная здесь теорема 1 сводит задачу о нахождении наименьшего собственного числа симметричного ограниченного снизу оператора к следующей вариационной задаче: найти элемент, реализующий минимум функционала (2). Дадим этой задаче еще одну формулировку, которая часто оказывается более удобной. Положим ψ = ы/||ы||. Тогда НФИ=1 и (Аи, и)](и, и) = (Αψ, ψ). (6) Заменяя опять букву ψ на и, мы можем нашу вариационную задачу сформулировать так: найти минимум функционала (Аи, и) (7) при дополнительном условии (и,и)=1. (8) Укажем теперь способ определения следующих собственных чисел
§ 40 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ 215 Теорема 2. Пусть λι ^ Яг <С ... ^λ„ суть η непосредственно следующих друг за другом первых собственных чисел симметричного ограниченного снизу оператора А и щ,и2,... ,ип — соответствующие им ортонормированные собственные элементы. Пусть существует элемент и = ип+]#0, реализующий минимум функционала (5) при дополнительных условиях (и, щ) = 0, {и, щ) = 0, ..., {и, ип) = 0. (9) Тогда ип+\ есть собственный элемент оператора А, соответствующий собственному числу К+1 = (Λ"/ι+1, Un + l)/{un+u Un+l). (10) Это собственное число — ближайшее, следующее за λη. Пусть ζ — произвольный элемент из области DA определения оператора А. Положим п. η = ζ-Σ (ζ, uk)uk. Тогда ζ удовлетворяет условиям (9). Действительно, п. (η, 4,η) = {ζ, um)~ 2 (ζ, «fe)("fe, um), m= 1, 2, ..., п. (11) k—ι По доказанному в § 39 ий ортогональны, как собственные элементы симметричного оператора. Далее, по условию теоремы, uh нормированы. Поэтому ί 0, кфт, и, следовательно, (η. «m)'=te. "m)-(S. "m)=0. (и*. 0 = 'lu Λ = . Вместе с η условию (9) удовлетворяет и произведение /η, где ί — любое число, а также и сумма u„+i + ίη. Функция от t (А(ип+1 + ίη), ип+1 + ίη)/(«„+Ι + ίη, u„+i + <η) достигает минимума при t = 0. Повторяя те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 1, мы найдем, что (Лы„+1 - λ„+1«„+!, η) = 0. (12) Рассмотрим величину (Aun+i — λ„+]ίί„ и, ζ).
216 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ По формулам (11) и (12) (Aun + i — λη + ί11η + ι, ζ) = η — (ΑΐΙη+χ ~ hn + lun + b ч) — i (4k, ζ) (AUn + 1 ~ λ„ + )ί/„+1, Ult) = fe=l η = — Σ (uk, i)(Aun+x — ln+iun+i, uh). ττ fe=l Далее, (Лгг„+1 — λ„+ι«„+1, «fe) = (/4w„+i, ult) — Kn+l(un+,, Uk)· Нетрудно видеть, что это выражение равно нулю. Действительно, второй член справа исчезает в силу условий (9). Первый же равен {Аип+и ик) = {ип+и Auk). Но и^ как собственный элемент оператора А, удовлегворяет уравнению Auh — KhUh = 0. Таким образом, Auh = %hUh, (Aun+i, uk) = Kk(un+l, r/fe) = 0- Отсюда следует, что {Лип+\ —λη4-ι«η+ι. ζ) = 0. Здесь ζ — произвольный элемент плотного множества DA, поэтому Aun+i — λη+iWn+i = 0, т. е. λη+ι есть собственное число оператора, а ип+\— соответствующий собственный элемент. Остается доказать, что λη+ι— наименьшее собственное число, следующее за λ„· Пусть λ' — собственное число оператора А, большее, чем λ„, и и' — соответствующий собственный элемент. По теореме 2 § 39 и' удовлетворяет условиям (9). Далее, по формуле (1) § 39 λ'-(Αι/, г/)/(и\ Η')>λ„+„ так как λη+ι есть минимум функционала (4) при условиях (9). Как и в случае наименьшего собственного числа, нахождение λη+ι может быть сведено к такой вариационной задаче: найти минимум функционала (7) при дополнительных условиях (8) и (9). Предшествующие теоремы носят условный характер — они дают способ построения собственных чисел, если существование их установлено другими средствами. Ниже будет сформулирована теорема, устанавливающая условия существования собственных чисел у положительно определенного оператора. Теорема 3. Пусть А — положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, и пусть всякое множество элементов, ограниченное по энергетической норме, компактно в Н. Тогда оператор А: а) имеет бесконечное множество собственных чисел 0<λ,<λ2< ... <λ„< ..., λ
§ 40 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ 217 б) соответствующие собственные элементы образуют систему, полную как в Н, так и в НА. Доказательство. 1) Положим ф(и) = |"Р/11"1Р, «ейл, (13) и обозначим через λι точную нижнюю границу функционала <р(«). Очевидно, λι^-γ2, где у2 — постоянная неравенства (11) § 8. Докажем, что существует элемент и\, удовлетворяющий равенству φ («ι) = λΐ. По определению точной нижней границы, каково бы ни было целое положительное число п, можно найти такой элемент νη е ΗА, что λι<φ(ϋ„)<λ, + 1/η. Очевидно, lim φ(ϋ^ = λ!. Функционал φ (и) не изменяется при умножении и на постоянную. Умножая νη на ||υ„|Γ\ можно считать, что ||υ„|| = 1. Но тогда φ(ϋ„) = |ϋ„|2 и К Ρ-λ,. (14) Пусть теперь η — произвольный элемент из НА и t—произвольное вещественное число. Очевидно, IUn-ΜηΙΐ2 Заменяя квадрат нормы скалярным произведением (соответственно, энергетическим произведением) и используя то, что \\ν„\\ = 1, мы легко приведем последнее неравенство к виду <2{|ηΡ-λιΙΙηΙΡ} + 2<ίΚ, id-Mo». η)} + {ΚΡ-λ,}>ο. Если квадратный трехчлен не меняет знака, то его дискриминант неположителен. Отсюда Ι κ, η] - λ, (ο„, η) ιι < VhP-λ. II ηΙΙ2 VKP-λ, < <|ηΙΐ/ΚΡ-λ,. (15) Пусть |η|<ο —const, а в остальном η произвольна. Из (14) и (15) следует тогда, что [ν„, η]-λ,(θ„, η)^^0· (16) Так как lu^p-^, то |и„|<С, где С — некоторая постоянная. Поэтому, если мы положим η = ап — vm, то |η|<Ξ|υ„| + |um|<2C и, в силу неравенства (16), К, υη - vm] - λ, (о„, νη - vm) -χζζ* 0.
218 гл. νι. Проблема собственных чисел Меняя местами пиши складывая, получим Ι υ η - vm Ρ - λι || νη - υ,η f „m^,0o> 0. (17) Неравенство |о„|<С означает, что последовательность υ п= 1,2, ..., ограничена по энергетической норме. По условию теоремы эта последовательность компактна в Н. Выделим из нее подпоследовательность, сходящуюся в Н; чтобы не вводить новых символов, обозначим эту подпоследовательность по-прежнему через υ„. Пусть ||t>n — «ill -*0. Тогда || о„ - vm ||-^ίπ^>0. Из (17) следует, что \υη-υ,η\ в> „,.»„;■> 0. н° это означает, что последовательность νη сходится к некоторому пределу и в НА. Очевидно, что этот предел также равен щ, так что \νη — «ι| —>0. Очевидно также, что ||щ|| = lim ||о„|| = 1 а \щ]= lim\vn\ = Ku ГС->оо Λ->οο так что φ(«ι) = λι. Докажем теперь, что Ащ = λι«ι. Переходя в (16) к пределу при η -* оо, получим К η]~^ (иь η) = 0, ηεΟΛ. (18) Найдем элемент, реализующий минимум функционала [«, и]-2 (и, λι«ι). (19) Как мы знаем, такой элемент является решением (может быть, обобщенным) уравнения Аи = λ\ΐΐ\. Из равенства (18), в котором мы заменим букву η на и, следует, что последний функционал равен [и, и] — 2 [и, щ] = | и — «! Ρ — | «ι Ρ- Отсюда ясно, что минимум этого функционала реализует элемент и\. Но тогда, как только что было отмечено, этот элемент удовлетворяет уравнению Ащ = λι«ι. Тем самым доказано, что λι и «ι суть собственное число и собственный элемент оператора А. Из теоремы 1 следует, что λι есть его наименьшее собственное число. 2) Обозначим теперь через λζ точную нижнюю границу функционала φ(«) при дополнительном условии (и, «ι) = 0. Поскольку это условие сужает класс элементов, на которых ищется минимум, то λ2 > λι. Повторяя с некоторыми изменениями предшествующие рассуждения, найдем, что λ% есть второе собственное число оператора А и что этому числу отвечает нормированный собственный элемент и% ортогональный к и\. Продолжая этот процесс, построим возрастающую последовательность собственных чисел λι < hi -^ · · · O»n <C ..., которые, очевидно, положительны, и соответствующую им орто- нормированную последовательность собственных элементов Hi, «2> ■ · ■ г Un, · ■ ■
§ 40. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ 219 3) Докажем, что λ„ -» оо. Допустим противное, и_ пусть , ^ с = const. По формуле (5) § 39 |m„|=V% <V'C. т. е. собственные элементы ограничены в совокупности в НА. По условию теоремы последовательность собственных элементов тогда компактна в Я и из нее можно выделить сходящуюся в Я подпоследовательность u„ft, fe=l, 2, ... Тогда lim |и„ -и„,|2 = 0. ft. J->oo" * '" Это, однако, невозможно, потому что собственные элементы в Я ортонормированы и, следовательно, 4) Система собственных элементов {«„} полна в НА. Чтобы в этом убедиться, заметим, что коль скоро собственные элементы ортогональны в НА (теорема 3 § 39), то λ„ можно определить как точную нижнюю границу функционала φ (и) на множестве элементов, удовлетворяющих условиям [и, «ι] = 0, [и, «2] = °. ···. [и, «η-ι] = 0. Если бы наша система была неполна в НА, то нашлись бы элементы пространства НА, отличные от нулевого и ортогональные в НА ко всем ип. Обозначая через λ точную нижнюю границу <р(«) на указанных элементах, мы нашли бы, что λ — собственное число оператора Л, большее, чем все λη. Последнее невозможно, потому что λη —*■ оо. 5) Докажем теперь, что система собственных элементов ип, η =1,2, ..., полна в исходном гильбертовом пространстве Я. Множество элементов энергетического пространства НА шире, чем множество DA, которое плотно в Я. Отсюда следует, что множество элементов энергетического пространства плотно в Я. Имея это в виду, возьмем произвольный элемент [еЯ и подберем элемент ge НА так, чтобы \\f~g\\ < ε/2, где ε — произвольно заданное положительное число. Элемент g аппроксимируем суммой ami + «2«2 + . . . + αηιιη так, чтобы \g — (aiui + a2u2+ .. . ■■■+ апип)\ < εν/2, где у — постоянная неравенства (11) § 8. Теперь ΙΙ/-(β1«1 + βΑ+ ... +anHB)|<||/-gB + <ll/-gll + что и требовалось доказать. η g~2j ЩЩ ί = 1 1 < 8 ~ Σ °/Η/ ί-1 <ε,
220 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Определение. Если оператор обладает свойствами а) и б) теоремы 3, то говорят, что он имеет дискретный спектр. Теорему 3 можно теперь сформулировать так: Если положительно определенный оператор таков, что любое множество, ограниченное по энергетической норме, компактно в исходном пространстве, то спектр этого оператора дискретен. Замечание. Теорема 3 верна и тогда, когда об операторе А известно только, что он положителен. Чтобы доказать это, нам достаточно будет установить, что из условия теоремы вытекает положительная определенность оператора А. Допустим противное, и пусть А только положителен. Тогда существует последовательность элементов ип е DA ci/ со свойствами I ип \А -> 0, || ип Л = 1. Последовательность чисел | ип ]А, имеющая предел, ограничена. По условию теоремы последовательность {и„} компактна в Я, и существует подпоследовательность {и^Л такая, что Как об этом сказано в начале § 10, lim Unk = 0. Это, однако, не- возможно, потому что |Hm«»J= lim || u„J|-1. Справедлива теорема, обратная теореме 3: Теорема 4. Если положительный оператор имеет дискретный спектр, то любое множество, ограниченное по энергетической норме данного оператора, компактно в исходном пространстве. Пусть А — данный оператор, λ„ и ип, η = 1, 2, ..., —его собственные числа и соответствующие им собственные элементы, которые мы, как обычно, считаем ортонормированными в исходном пространстве Н. Система {и„} полна в //, поэтому любой элемент иеЯ разлагается в ряд оо и = Σ {и, ип)ип. (20) Если при этом и е DA, то оо оо оо Аи = 2 (Ли, ип) ип = 2 («, Ли„) ип = 2 λ„ (и, ип) ип. (21) п=\ п=\ п—\ Отсюда ОО ОС (Ли, и) =2 Ми, «п)2>^2 (", "п)2 = Ми||2. (22)
§ 40. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ 221 Собственные числа полежительного оператора положительны (см. § 39), и неравенство (22) показывает, что оператор А на самом деле положительно определенный. Если и^НА, то равенство (20), переписанное в виде представляет собой разложение элемента иеЯд в ряд по системе {«„/]/λ„}, ортонормированной в ΗА. Отсюда, между прочим, следует, что У%п (и, «„) = [«, uJVK] |uF=2U„(u, unf. (23) Пусть теперь М cz HA — множество, ограниченное по энергетической норме: | и К С = const, иеМ. Тождество (23) показывает, что одновременно ограничены и множества чисел (и, ип)2: (и, unf^C2/li. (24) По теореме Больцано— Вейерштрасса') из множества Μ можно выделить такую последовательность, обозначим ее {иш}, чтобы существовал предел щ = lim (uik, щ). ft->oo Из последовательности {uih} выделим подпоследовательность {uZh} так, чтобы существовал предел а2= lim (u2k, u2) и т. д. Составим теперь «диагональную» последовательность {иш} и докажем, что она сходится в Н. Легко видеть, что при любом η существует предел lim (ukk, un) = ап. ') См., например, Г. Μ Фихтенгольц [1], гл. III, § 5.
222 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Обозначим Yk^(ukk, ип) = а(®. Имеем со I „** _ „в |р = JJ J- (aw - α$γ < η=1 η-Ι " W + 1 n-JV+1 Зададим произвольное число ε > 0 и выберем N столь большим, чтобы lAjv+I<e7(8C2). Тогда — Σ «-ο^-έΣκ^-^^-έι^^""^ ε2 λ ~ ^J V"« "nV ^* 8C2 ^V"« '"nj 8C2'" ""* ,!^"2"· При любом п существует предел и остается выбрать число ft0(&) столь большим, чтобы при &>£ο(ε) и />·β0(ε) было Σ £мр-<*)*<■£■ η=1 Теперь ||н**-н«||<в, fe, />fto(e), и последовательность {и'1'1} сходится в Я. Теорема доказана. Теорема 5. Если А — положительно определенный оператор с дискретным спектром, то обратный ему оператор G = А~! вполне непрерывен. Пусть φι, ф2, ..., ср„, ... — ортонормированные собственные элементы оператора А и λι, Яг, .. ·, λη> ■. · — соответствующие им собственные числа Напомним, что λ„ —» σο, если η —юо. Пусть Аи = f, тогда и = Gf. По формуле (6) § 39 о/-2^». Положим °'-2^-55-ф*' G f= 2и -ТГ"Ф*·
§ 41. МИНИМАКСИМАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП 223 так что G — С + G". Оператор С — вырожденный, и нам достаточно доказать, что норма оператора G" может быгь сделана сколь угодно малой. Элементы <рь ортонормированы, поэтому со l|G7IF= У -^г1-· (25) ft=n + l ,vft Как обычно, считаем, что собственные числа расположены в порядке возрастания. В ряде (25) заменим λ& наименьшим из них λη+ι, что приведет к неравенству со или, если воспользоваться неравенством Бесселя, 11С71К-5Г-11Л1· В этом соотношении знак равенства достигается при f — <ρ„+ι, и постоянную -г нельзя заменить меньшей. По определению нормы оператора ||С"||=-^ , что сколь угодно мало при η достаточно большом. § 41. Минимаксимальный принцип1) 1. Пусть А — положительно определенный оператор с дискретным спектром, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н. Обозначим через λι, λ2, ..., λη, ... собственные числа оператора А, расположенные в порядке возрастания, и через щ, и2, .. ., ип соответствующие собственные элементы, ортонормированные в Н. По определению дискретного спектра система {ип} полна в Н, поэтому если и — любой элемент пространства Й, то его можно разложить в ортогональный ряд и = Σ anun, an=(u, un). (1) n=l Если одновременно u e HA, то по формуле (23) § 40 со Ι«Ι2=Σλχ. (2) n=l ') См., например, Р. Курант и Д. Гильберт [1].
224 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Формула (2) является основой для нового способа вычисления чисел λ„. Пусть v\, и2, .... vk-\ — произвольные элементы пространства Н. Обозначим через λ(υι, »2, ...,U/,_i) нижнюю грань функционала \uf при условиях со ΙΜΙ2=Σ«* = ι (3) /2=1 И (и, Vi) = (u, v.2)= ... =(«, ofe_i) = 0. (4) Докажем, что λ(νχ, ν2, ..., i>ft-iX^fe (5) и что знак равенства в (5) достигается при некотором специальном выборе элементов ν\, ν2,... , i>h_i. Разложим ν ι, υ2, ..., ν^-ι по элементам ип Vi = Σ blnun, /=1,2 k-l. (6) /2=1 Условия (4) можно представить в виде Σ Ь,пап = 0, /=1, 2 *-1. (7) и = 1 Возьмем элемент й вида к й=^апип. ' (8) /2=1 Для такого элемента условия (7) приводятся к однородной системе линейных алгебраических уравнений k 2^А = 0> t~l, 2 ft-1, (9) /2-1 относительно неизвестных Οι, α2 Оь, в которой число k— 1 уравнений меньше числа k неизвестных. Как хорошо известно, такая система имеет бесчисленное множество решений, из которых по крайней мере одно можно выбрать так, чтобы п=1 тогда )|й|| = 1. При этом, в силу соотношений (2), к η = 1
§ 41, МИНИМАКСИМАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП 225 Заменяя здесь все λ„ наибольшим из них λ&, получим Таким образом, при некотором выборе элемента и е НА, удовлетворяющего условиям (3) и (4), а именно при и = й, имеем Ιωρ^λβ. Но тогда и нижняя грань величины |и|2 при упомянутых условиях также не превосходит %h. Этим доказано, что λ{υ\, V2, ..., fft_i)-<Xh. Легко доказать, что знак равенства достигается. Действительно, достаточно положить ν г — ц>й i = 1, 2, ..., k — 1, тогда условия (6) переходят в условия (9) § 40, с помощью которых и определяется число λ^. Из сказанного вытекает способ определения собственных чисел, известный под названием минимаксимального принципа: k-e собственное число %h положительно определенного оператора с дискретным спектром равно максимуму величины λ(ν\, ν2, ... ..., t)ft_i) при всевозможных изменениях элементов ν ι, ν2, ... ..., u/,-ι. В свою очередь λ(»ι, νζ, ..., Vh-\) есть нижняя грань величины Ju|2 при условиях (4) и (5). 2. Пусть А и В — положительно определенные операторы, действующие в одном и том же гильбертовом пространстве Н. Будем говорить, что А > В или B^LA, если любой элемент энергетического пространства НА принадлежит также пространству Нв и справедливо неравенство IwhΞ5= |w|д, и^НА. Теорема 1. Пусть А и В — положительно определенные операторы, и пусть Л >■ В и спектры обоих операторов дискретны. Тогда, при любом k, k-e собственное число оператора В не превосходит k-го собственного числа оператора А. Обозначим через %к и μ^ собственные числа операторов А и В соответственно. Далее, через λ(οι, υ2, ..., ffc-i) и μ(»ι, ί>2, ..·, vk-\) обозначим минимумы величин \и\2А и |и|| при условиях (3) и (4). Соотношение А > В означает, что для любого элемента и^НА справедливо неравенство l^h^l^ta; это неравенство останется справедливым, если мы дополнительно подчиним элемент и условиям (3) и (4). Но тогда, очевидно, и минимумы величин \и^А и \и\гв связаны тем же неравенством, т. е. λ(»ι, ο2, ..., υ^ι)'^μ{υι, щ, .... vk-x). Отсюда следует, что и max λ (и,, щ, ..., ο^,-Ο^πιβχμίϋ,, щ, .... ufc_,), или, что то же, λ/j > μ&. 15 С. Г. Михлин
226 ГЛ. VI ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Поясним нашу теорему примером. Пусть даны две упругие пластинки из одинакового материала и одинаковой толщины, жестко закрепленные по своим краям. Обозначим через S, и S2 основания пластинок и допустим, что S| целиком укладывается в 52 (рис. 14); обозначим еще через L, и L2 контуры областей Si и S2. Далее, пусть А означает бигармонический оператор, определенный на функциях, удовлетворяющих краевым условиям dw W L = o. '£l dv '£■ 0; (10) *-s Рис 14. точно так же пусть В означает бигармонический оператор, определенный на функциях, которые удовлетворяют условиям |ь = 0, -^1=0. (11) W Тогда квадраты частот собственных колебаний пластинок Si и S2 пропорциональны собственным числам операторов А и В. Докажем, что А >· В. Заметим прежде всего, что \w \w S, -//{(■ d2w ~дх2 ■)■ + >(. d2w \z ,c) ( <Э2ш дх2 д2т \2 / дхду) +\ d2w дх ду ) \2 . ( d2w J}dS, )2}dS, (12) (13) причем в первом интеграле w удовлетворяет условиям (10), а во втором — условиям (11). Пусть w удовлетворяет условиям (10) и сообщает конечное значение интегралу (12). Тогда w^HA. Доопределим функцию w в S2| положив ее равной нулю вне Si. Доопределенная таким образом функция w удовлетворяет условиям (11) и принадлежит пространству Нв, причем, очевидно, | w \2А = \ w ||. В соответствии с данным выше определением А > В. Теперь из теоремы 1 следует: Если две упругие пластинки одинаковой толщины и одинакового материала таковы, что серединная область одной из них целиком умещается в серединной области другой, и края обеих пластинок жестко закреплены, то, при любом k, k-я частота собственных колебаний меньшей пластинки больше, чем k-я частота большей пластинки. Еще проще доказывается, что частоты собственных колебаний пластинки с жестко закрепленным краем больше соответ-
§ 42 ПРОЦЕСС РИТЦА 227 ствующих частот колебаний такой же пластинки, край которой полностью или частично оперт или свободен. Число таких примеров весьма нетрудно увеличить. § 42. Процесс Ритца в проблеме собственных чисел Пусть А — ограниченный снизу оператор: (Аи, и) > А || u |f. Нахождение собственных чисел оператора А легко сводится к отысканию собственных чисел положительно определенного оператора. Действительно, пусть с — любое число, большее \к\. Уравнение Аи — Хи = О, определяющее собственные числа оператора А, перепишем в виде Аи — 1и = О, где Аи = Аи + си, Я = λ + с. Оператор Ά положительно определенный, так как (Аи, и) = (Аи, и) + с (и, и)^(с + к) || и ||2, а с + к > 0. Если Я — собственное число оператора Ж, то λ = Я — с — собственное число оператора А, и наоборот. Поэтому в последующем мы будем считать, что А — положительно определенный оператор. Положим d= inf ±M-. (1) По теореме 1 § 40 с? есть наименьшее собственное число оператора А, если существует элемент щ такой, что d = (Au0, u0)l(u0, и0). Если допустить, что такой элемент существует, то определение наименьшего собственного числа оператора А сводится к определению точной нижней границы функционала (1) или, что то же, к определению точной нижней границы функционала (Аи, и) (2) при дополнительном условии (и, и) = 1. (3) Покажем, что эту задачу можно решить процессом Ритца. Возьмем последовательность координатных элементов <р„,
228 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ п = 1, 2, ..., подчиненных трем требованиям· Ι) φ„ еDA, η = 1, 2 2) при любом η элементы φι, φ2 φη линейно независимы; 3) система {<рп} полна по энергии. Положим п. ип = Σ ад/» где ah — постоянные коэффициенты Выберем эти коэффициенты так, чтобы ип удовлетворяло соотношению (3) и чтобы величина (Аип, ип) была минимальной. Дело сводится к тому, чтобы найти минимум функции η переменных связанных уравнением η ft, m=l (4) (5) Для решения этой задачи воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа (С1, 167). Составим функцию Φ = (Аип, ип)—К(ип,ип), где λ—неопределенный пока численный множитель, и приравняем нулю ее частные производные по коэффициентам ат. Это приведет нас к системе уравнений ^ak[(Atpk, Фт)-Я(фЬ <pm)] = 0, т=1, 2, ..., п. (6) fe=l Система (6) линейная однородная относительно неизвестных, которые не могут одновременно обратиться в нуль — в противном случае было бы нарушено уравнение (5). Отсюда следует, что определитель системы (6) должен обратиться в нуль; это дает нам уравнение для λ: (Αφι, φ,)-λ (φ,, φ,) (Л(р2, φ,)-λ (φ* φ,) (Л(р,, φ2)-λ(φ,, φ2) (Лф2, φ2)-λ(φ2, φ2) (Αψη, Φι)-λ(φ„, φ,) (Αψη, <Ρι)-λ (<Ρη, φ2) (Αφ,, Φη) - λ (φ,, φ„) (Лф2, φ„) - Я (φ2, φ„) ... (Лф„, φ„) - λ (φ№ φ„) = 0. (7) Если последовательность {q>n} ортонормирована, то уравнение (7) упрощается и принимает вид (Αψι, Φι) - λ (Лф2, φ,) ... (Αφη, φ,) (Αψι, ф2) (Лф2, <ρ„) - λ ... (Л<р„, ф2) (ΛΦι. Φι») (лФг> Ψη) {ΑΨη> Ψη) - λ = 0. (8)
§ 42. ПРОЦЕСС РИТЦА 229 Как было отмечено выше, при любом η элементы φι, φ2, ..., φη линейно независимы; тогда уравнение (7) будет точно и-й степени, так как коэффициент при (—1)ηλ" есть определитель Грама элементов срь фг, ..., <р„. Отсюда следует, что уравнение (7) имеет ровно η корней. Пусть λο—какой-либо из этих корней. Подставив его в систему (6), мы сделаем ее определитель равным нулю, и эта система будет иметь нетривиальные решения. Пусть а<°>, k =■ 1, 2, ..., η, — такое решение. Тогда μα%\ где μ — произвольный численный множитель, также удовлетворяет системе (6). Подставив μα{^ в (5), мы найдем значение μ. Заменив теперь обозначение μα^' на af\ мы можем в последующем под af> понимать то решение системы (6), которое удовлетворяет уравнению (5). Подставив в (6) λ = λο и ak = af>, мы получим тождество, которое запишем в виде Σ^(Α%, <рт) = Я0Σ4>*>4α ™ = 1- 2, ..., η. (9) β= 1 β= 1 Умножим его на а^ и просуммируем по всем т. Мы получим тогда ь 21 (А%, Фт) α« = λ Σ (Φ* Φ») «<» ■ k. m=l k, m=l В силу уравнения (5) правая часть последнего равенства равна λ0; левая его часть равна (Аи@>, «(°>), где Таким образом, Я0 = (Л<>,<>). (10) Формула (10) показывает, что уравнение (7) имеет только вещественные корни, если оператор А симметричный. Далее, одна из функций и^ реализует минимум величины (4). Формула (10) показывает теперь, что этот минимум равен наименьшему из корней уравнения (7). С возрастанием η указанный минимум, который мы ниже будем обозначать через λη\ не возрастает; в то же время он не меньше величины d. Отсюда следует, что при η —* <χ> величина λ„ стремится к пределу, который больше или равен d. Докажем, что этот предел равен d; этим будет оправдано применение метода Ритца в проблеме собственных значений по крайней мере для того случая, когда дело идет об определении
230 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ наименьшего собственного числа. Введем энергетические произведение и норму, полагая, как обычно, [ut v] = (Au, ν); Iар = (Ли, и). По определению точной нижней границы при любом ε > 0 существует функция и'6 ΌА такая, что (и', и') = 1 и ds^{Au', u')<d + B, или, что то же, ΥΙ^\ιι'\<γάΤε. Так как последовательность ц>п(Р), η = I, 2, ..., полна по энергии, то можно найти элемент u'N вида N «Л, = Σ &*Ф*. bfc = const, так, чтобы |u'~u'N\<Ys. Отсюда _ _ Κ|<Ι«Ί+ V*< V~d+l + l/ε или (Au'N, u'N)<(γd + l + У7)2. Из (1) следует, что \u'N — г/||<-р^\u'N — и/\<у — - Отсюда u'Nl^\\u' ||— У eld = 1 — Yejd и, следовательно, {Au'Nu'N) \u'N\* УТГв + Ю где η стремится к нулю вместе с ε. Далее, Я$ есть минимум N выражения вида (AuN,uN)l(uN,uN), uN = 2 о^Фа, поэтому, в fe=»l частности, UiN, uN) Если n^-N, το λ^'^λίν', и, следовательно d^λ!?'<rf + η. Последнее неравенство показывает, что lim %$ = d, (11) П~>оо что и требовалось доказать.
§ 42. ПРОЦЕСС РИТЦА 231 Займемся теперь определением следующих собственных чисел. Чтобы получить приближенное значение второго собственного числа, будем искать минимум скалярного произведения (4) при дополнительных условиях (ип, ип) = 1 и К0), 0= Σ (Фа.Фп.ИЧ.-О, (12) k, m=) η где и(® = Σ afc)(Pfc есть приближенное значение первой нормиро- /г=1 ванной собственной функции оператора А. По методу Лагранжа составляем выражение (Ααη,αη)-λ(αη,αη)-2μ(αη,α^) и приравниваем нулю его частные производные по ah. Это приводит нас к системе ΣΚΙ^φ*. Φ„)-λ(φ„ Φ„)]-μ(φΛ, Фт)<0)) = о- (13) Обе части уравнения (13) умножим на а<£) и просуммируем по /п: 1«ЛЧ ф«)-*(ф*. φ-)]-μ, Σ ,ορ<(φ*. φ,η) = ο· (14) ft, m=I ft, m = I Вторая сумма, как нетрудно видеть, равна (и®\ и<®) = 1. В первой сумме заменим индекс т на k и обратно и будем суммировать сперва по к, затем по т. Мы приведем тогда первую сумму к виду £^ί<>[04„. Ф*)-Чфт, Ф4)? (15) Внутренняя сумма равна £<[(ф*. Ад-ч<р„Фт)] или, так как оператор А симметричный, к=1
232 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В силу уравнений (6), которым удовлетворяют числа а$ при λ = λ£°, последнее выражение равно - Μ'-λίΣί1 (Φ* Φ«) = (λ<0)-λ)(|ιΟ^, <Pm) = = W? - *) Κ», φ.) - (*Ρ - *)(фж, <>). Выражение (15) принимает вид (λ<? - λ) Jl am (Фт, <>) = (λ<°> - λ) (un, ««), что равно нулю в силу (12). Теперь из (14) следует, что μ = О, и система (13) совпадает с системой (6). Отсюда, как и выше, заключаем, что искомый минимум равен λ, которое является корнем уравнения (7). Нетрудно видеть, что на этот раз нужно взять второй по величине корень указанного уравнения. Аналогично можно строить приближенные значения следующих собственных чисел; все они суть корни уравнения (7). Вопрос о сходимости приближенных значений последующих собственных чисел к их точным значениям будет исследован ниже, в § 94. § 43. Другая форма процесса Ритца; случай естественных краевых условий Пусть по-прежнему А — положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, Наименьшее собственное число (если оно существует) этого оператора определяется, в силу теоремы 1 § 40, формулой λι= inf ψ±$-, (1) что можно представить еще и в таком виде: λ·=„ίΐ,ρ£· (2) Отношение в формуле (1) имеет смысл только для элементов из области определения оператора А, тогда как в формуле (2) отношение может быть определено и на более широком классе элементов энергетического пространства. Докажем, что при этом точная нижняя граница указанного отношения не меняется, так что
§ 43 ДРУГАЯ ФОРМА ПРОЦЕССА РИТЦА 233 При расширении множества точная нижняя граница может !Ве лишь уменьшиться, поэтому во всяком случае Обозначим для краткости δ = mi ~—L·- и допустим, что б < λ|. По определению точной нижней границы, каково бы ни было число ε > 0, можно найти такой элемент н е НА, что в<|йР/||й|р<в + в. Отношение | и р/|| и ψ не изменится, если и умножить на любую постоянную, поэтому можно считать, что II й || = 1, и тогда б<|й|2<б + е. Множество DA плотно в энергетическом пространстве, поэтому найдется такой элемент и' е DA, что \ и' — н | < ε, и, следовательно, || и' — и || < ε/γ, где γ — постоянная неравенства (11) § 8. Оценим отношение |г/|2/|| и' ψ. По неравенству треугольника имеем ι«τ <г \и\+\и'-й\ γ (ут+ут]2_б i«'P^lifli-i«'-fli/ ι ι-νΓε/γ j где η стремится к нулю вместе с ε. Выбрав ε столь малым, чтобы было б + η < λι, мы придем в противоречие с формулой (2). Но тогда неравенство б < λ| невозможно, и равенство (3) доказано. Очевидно, что точная нижняя граница в (3) достигается, если и = щ, где щ—собственный элемент оператора А, отвечающий собственному числу λ|. Процесс Ритца можно развить и для отыскания минимума отношения |«|2/||«||2. Для этого выберем последовательность координатных элементов <рп, η = 1, 2, ... , подчиненных условиям 2) и 3) § 42; условие 1) § 42 заменим следующим: 1а) <р„ е ΗА. Как и в § 42, положим п. ип = Σ Gft<Pft, fe=l
234 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ причем потребуем, чтобы η k, m=l \ η l"nl2= Σ OfeQw [φ*, «ftnl^min. (5) ft, m=I Повторяя рассуждения § 42, придем к уравнению [φ,, φ,]-λ (φ,, φ,) (q>2, Ψι]-λ(ψ2, Φι) ... [φ„, Ψι]-λ(ψ„, Φι) [φι. Фг]-λ (Φι, Фг) [фг. Фг] -λ (фг. Фг) · · · [φη. Фг] ~ λ (φ„, фг) = 0. [φΐ. Φη]~λ (φΐ. Φη) Ιφ2. Φηΐ-λ (φ2, φη) ... [φη> Φηΐ-λ (φη. Φη) (6) Заметим, что уравнение (6) совпадает с уравнением (7) § 42, если координатные элементы выбраны из области DA определения оператора А. Если координатная система ортонормирована в Н, то уравнение (6) принимает вид [φι. Φι] -^ [ф2. Φι] · · · [φη. Φι] [φι> Фг] [Фг> Фэ] - λ .·· [φη, Фг] [φι. Φη] [Фг, Φη] · · ■ [φ η> φη] Λ 0. (7) Отсюда, между прочим, ясно, что в этом случае приближенные по Ритцу собственные числа %hn, k = 1, 2 η, суть собственные числа квадратичной формы (5). Как и в предшествующем параграфе, можно доказать, что корни уравнения (6) дают приближенные значения собственных чисел оператора и что при η —» оо наименьший корень уравнения (6) стремится к наименьшему собственному числу оператора. Форма (6) уравнения для приближенных значений собственных чисел приобретает особое значение в том случае, когда функции, входящие в область DA определения оператора, удовлетворяют в числе других и естественным краевым условиям. Как нам уже известно (§ 12), функции из энергетического пространства этим условиям удовлетворять не обязаны. Отсюда вытекает такой практически важный результат: если уравнение для приближенного определения собственных чисел писать в форме (6), а не в форме (7) § 42, то необязательно заботиться о том, чтобы координатные функции удовлетворяли естественным краевым условиям.
§ 44. УРАВНЕНИЯ ВИДА Аи — КЁи = О 235 § 44. Уравнения вида Аи — 1&и = О рассматривая уравнение Аи-1Ви = 0, (1) будем предполагать, что оба оператора А и В положительно определенные и что DA составляет часть DB. Для всякого элемента, входящего в DA, можно тогда двояко определить энергию, связывая ее либо с оператором А, либо с оператором В. Мы будем различать эти два вида энергии, говоря об «энергии оператора Л» или «энергии оператора β». В настоящем параграфе мы сформулируем ряд теорем, относящихся к собственным числам и собственным функциям уравнения (1). Доказательств приводить не будем, так как они почти дословно повторяют аналогичные доказательства для уравнения Аи — Ы = 0. Теорема 1. Собственные числа уравнения (1) вещественные. Заметим, что если λο и щ — собственное число и собственный элемент уравнения (2), то λ0 = (/4ΐί0, щ)/(Ви0, «ο) = Ι"οΙα/|"οΙ|· (2) Отсюда, между прочим, следует, что собственные числа уравнения (1) не только вещественные, но и положительные. Теорема 2. Собственные элементы уравнения (1), отвечающие различным собственным числам, ортогональны по энергии оператора В. Таким образом, если λι и λ^—различные собственные числа уравнения (1), а «ι и иг — отвечающие им собственные функции, то (Ви„ Uz) = [u,, %]β = 0. (3) Как и в § 39, отсюда вытекает, что совокупность всех собственных элементов уравнения (1) можно считать ортонормированной в НБ. В таком случае имеет место Теорема 3. Система собственных элементов уравнения (1) ортогональна в НА (по энергии оператора А). Теорема 4. Пусть операторы А и В таковы, что всякое множество, ограниченное в НА, компактно в Нв. Тогда а) уравнение (1) имеет бесконечное множество собственных чисел 0<λι·^λ2·^...·<λη^..., причем %п -» с» при п -+ с»; б) соответствующие собственные элементы образуют систему, ортонормированную в Нв, ортогональную β ΗΑ и полную β обоих пространствах. Справедливо и обратное утверждение.
236 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Теорема 5. Пусть ά есть точная нижняя граница функционала (Аи, и)/(Ви, и). (4) Если существует такой элемент «0, что (Аи0, и0)/(Ви0, u0) = d, то ά есть наименьшее собственное число уравнения (1), а и0 — соответствующий собственный элемент этого уравнения. Теорема 6. Пусть λι, λ2, ■.., λ„ суть следующие в порядке возрастания η первых собственных чисел уравнения (1) и щ, «2, --., ип—соответствующие им собственные элементы. Пусть существует элемент ип+\, реализующий минимум функционала (А) при дополнительных условиях (Ви, щ) = 0, (Ви, щ) = 0 (Ви, ип) =-0. (5) Тогда un+t есть собственный элемент уравнения (1), соответствующий собственному числу K+i = (Aun+u un+i)/(Bun+if ип+!). (6) Это собственное число — ближайшее, следующее за λη- Теорема 5 сводит нахождение наименьшего собственного числа уравнения (1) к следующей вариационной задаче: Найти минимум функционала (Аи, и) при дополнительном условии (Ви, и)=\. (7) Точно так же отыскание η + 1-го собственного числа сводится к такой задаче: Найти минимум функционала (Аи, и) при дополнительных условиях (7) и (5). Мы не будем подробно останавливаться на применении процесса Ритца к уравнению (1). Укажем только, что координатные элементы следует подчинить трем условиям, из которых условия 1) и 2) такие же, как в § 42, а условие 3) таково: координатная система полна в НА. Уравнения (6) и (7) § 42 заменяются такими: п. Σ α* [(Λφ*. <Pm) - λ (B<pk, <pm)] = 0, m = 1, 2 n; (8) (Αφι, φι) - λ (βφ,, φ,) (Afc, φ,) - λ {Βψ2, φ,) ... (A(fm qpi) - λ (Βψη, φι) (Αψι. φ2) - λ (Βψι, (ft) (Λφ2, <ρ2) - λ (Βφ2, <ρ2) ... (Αψ„, <ρ2) - λ (Βφη, <ρ2) (Λ<Ρι, ψη) - λ (βφι, φ„) (Л<р2, ψη) - λ (βψζ, ψη) ·■· (Μη, Ψη) ~ λ (Βψη, φ„) (9)
§ 45. ОБЫКНОВЕННЫЙ ОПЕРАТОР 237 Условие 1) можно ослабить, потребовав, чтобы ц>п^НА. Мож- н0 доказать, что тогда жр,е Ив. Вместо уравнений (8) и (9) мы получим следующие уравнения: 2 ak Αφ*. 4>mL· - λ [φ*, ψ,η)Β} = 0, m = 1, 2, .. ., η, (8Χ) и [φ., Φι]^ ~λ (Фь Φι]Β [<Ρ2, Φι]^ - λ [<ρ2, φ,]Β .. . [<ρ„, φ1]Α - λ [φη, φ,]Β [фь Фг]д — λ [Φι. Φζ]β [<Рг. Фг1л-^ [φ2, <Ρ2]Β ■·· [φη> <Ρ2]Α-λ [<ρ„, φ2]β = 0 [φι. Фп]л _ λ (φι. Фп1в [фг, ψη]Α ~ λ [φ2, <pJB · · · [φη. ψη!Α - λ [φη, φη]£ (9,) Остается в силе замечание о естественных условиях (§ 43). § 45. Собственные числа обыкновенного дифференциального уравнения В настоящем параграфе будет исследован вопрос о собственных числах обыкновенного дифференциального уравнения. Мы рассмотрим подробнее случай уравнения второго порядка, которое будет изучено при различных типах краевых условий. Для уравнения порядка выше второго мы ограничимся простейшим типом краевых условий (см. ниже, формула (28)); краевые условия иных типов будут рассмотрены в следующем параграфе для частного случая задачи об устойчивости стержня при продольном сжатии. 1. Рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка Аи=~ -^-[р (х)-^] + г(х)и(х), (I) где функция и(х) задана на сегменте α ^, χ ^ Ь. Будем считать, что коэффициенты ρ(χ) η г (χ) подчинены условиям § 21, в частности, ь р(х)>0, г(х)>0, Л=|^у-<оо, (2) а и что и(х) удовлетворяет1) таким краевым условиям, которые гарантируют положительную определенность оператора (1). Поставим задачу о собственных числах и собственных функциях оператора А. ') См. § 21.
238 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Исследуем сперва более простой случай, когда на одном из концов сегмента α-^Cx-^Cb, скажем, на левом конце, удовлетворяется краевое условие и (о)-0, (3) а на правом конце имеет место условие общего вида уи' (Ь) + бы (6) = 0, (4) причем γ ΐ>Ό, б > О и хотя бы одна из величин γ и б отлична от нуля. Для решения нашей задачи полезно будет прежде всего дать некоторую оценку энергии, определяемой оператором А. Имеем (см. формулу (5) § 21) ъ | и f = J" fpu'* + ruz)dx + -p (b) и2 (6); a если γ — 0, то последнее слагаемое нужно отбросить. Во всяком случае оно неотрицательно. Отбросив его, а также неотрицательное второе слагаемое под знаком интеграла, получим искомую оценку ъ 1«Р>{ р(х)и'2 (x)dx. (5) а Второй шаг связан с использованием теоремы (см. § 6), в силу которой оператор Фредгольма, ядро которого квадратично суммируемо по обеим переменным, вполне непрерывен в L2. Такой оператор, следовательно, преобразует любое множество, ограниченное в норме Lz, в новое множество, компактное в той же норме. Пусть некоторая функция и(х) удовлетворяет условию (3) и абсолютно непрерывна на сегменте [а, Ь]. Тогда, очевидно, X и(х)=] u?(t)dt. (6) а Положив * М-VFW •(*), KofcO-i1^· a<t^Xu' (7) I 0, χ < /< Ь, можем представить равенство (6) в виде ъ и{х)= J K0{x,t)v(t)dt. (8) а
§ 45 ОБЫКНОВЕННЫЙ ОПЕРАТОР 239 Можно убедиться, что равенство (8) справедливо, если функция и принадлежит энергетическому пространству НА оператора А, определяемого формулами (1), (3) и (4). Нетрудно видеть, что интеграл ъ ъ | J/Co(x, t)dxdt конечен. Действительно, из формулы (7) видно, что при всевозможных значениях χ и t из сегмента [а, Ь] 0<Ко(х, 0<l/VpT), поэтому ь ь ъ ъ J" J* Ко(х, 0«гхЛ<Ц-у^--Л(6-а)<оо. Пусть теперь дано множество функций и(х), энергетические нормы которых в совокупности ограничены: |и(х)!^ С = const. По формуле (5) ъ | ρ {χ) и'2 (χ) dx < С2, α или, если ввести функции ν(χ) по формуле (7), || ν || -< С. По теореме 1 настоящего параграфа множество функций и(х) компактно. Но тогда выполнено условие теоремы 3 § 40; отсюда следует, что оператор (1) при краевых условиях (3) и (4) имеет дискретный спектр. Сформулируем этот результат более подробно: существует бесконечно возрастающая последовательность положительных чисел λι -С Яг. ■. ^ λ„ 4^ ... и соответствующих им функций ui(x), Щ{х), ..., ип(х), ..., удовлетворяющих дифференциальному уравнению и краевым условиям (3) и (4). Функции ип(х) ортонормированы в обычном смысле: Ъ I (\ —ί- ("п. «m)= J un(x)um(x)dx = \ j' n = m' (Ю)
240 ГЛ VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ и ортогональны по энергии ь С л К» Um\ = J (Р"'Х + ГИ«Ит) dx + ~p (Ь) Un (6) Ит (6) = 0, η ^ т; а (II) кроме того, ь W= l(p<' + ™$dx + ±p(b)u*l(b) = Kn; (12) α система функций ип(х), η = 1, 2, ..., полна как по энергии, так и в смысле сходимости в среднем. Может случиться, что функция г(х) принимает и отрицательные значения. Допустим, что эта функция все же остается ограниченной: |г(л)| -<^с. Тогда оператор Аси = Аи + (с + \)и удовлетворяет условиям настоящего параграфа. Отсюда следует существование бесконечной последовательности положительных собственных чисел λ|, Яг, ... у оператора Ас. Но в таком случае оператор А имеет бесконечное множество собственных чисел λι — с — 1, Яг — с—1, ..., λη — с—1, ...; среди них может оказаться конечное число отрицательных или равных нулю. 3. Пусть теперь оператор (1) задан на функциях, удовлетворяющих краевым условиям общего вида ακ'(α)-βκ(α) = 0, yu'(b) + 6u{b) = 0, (13) причем α >0, γ >0, β>0, 6^-0 и хотя бы один из коэффициентов β и 6 отличен от нуля. Пусть для определенности β > 0. Докажем, что и в этом случае выполнено условие теоремы 3 § 40, так что оператор (1) и при краевых условиях (13) имеет дискретный спектр, если только ρ (а) >0. По формуле (5) § 21 в данном случае ъ I и |2 = Г (ри'2 + ru2)dx + £ ρ (а) и2 (а) + ±р (b) uz (b); α отбросив под интегралом неотрицательное слагаемое га2, а вне интеграла — также неотрицательное слагаемое — p(b)u2(b), найдем, что ь \uH2^jpu''dx + ^p{a)u2(a). (14) а
§ 45. ОБЫКНОВЕННЫЙ ОПЕРАТОР 241 Пусть дано множество Μ функций с ограниченными в совокупности энергетическими нормами: | и |<: С = const, ueAi. ■ Из неравенства (14) следует jpu'2dx^C2, (15) а Напищем тождество χ u(x)=4i(a)+ j u'(t)dt; а если воспользоваться обозначениями (7), его можно представить в виде ь и(х) = и{а)+ | Ko(x,t)o(t)dt. (17) а В силу неравенства (15) || ν || ·< С; можно из множества Μ выбрать такую последовательность ип(х), чтобы функции ь / K0(x,t)Vn(t)dt, Vn(t)=VJF)»nV) 08) а сходились в среднем. Далее, в силу неравенства (16) значения 1"я(о)| ограничены; по теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности ип(х), η = 1, 2, ..., можно выбрать частичную последовательность иП/е{х), k= 1, 2, ..., такую, что последовательность иП]г{а) сходится. Теперь из тождества (17) вытекает, что последовательность {^(л:)} сходится в среднем. 4. Обратимся к случаю, который мы пока оставляли в стороне, и рассмотрим теперь оператор (1) при краевых условиях u'(o) = u'(6) = 0. (19) Всегда можно считать, что г(х)\^-1—достаточно для этого оператор Аи заменить на Аи + си, где с — достаточно большая положительная постоянная; от этого все собственные числа 16 С. Г. Михлин
242 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ оператора А просто увеличатся на с. При условиях (19) имеем ь . |ыр= j(pu'2 + m2)dx. (20) а Пусть дано множество Μ функций с ограниченными в совокупности энергетическими нормами: |и|^С, «еМ. Тогда, как это следует из (20), ь jpu^dx^C2 (21) а и, так как г^· 1, ь ^ιΐάχ^σ. (22) а Полагая о (х) — \/р (х) и' (х), придем опять к тождеству (17); по- прежнему убедимся на основании неравенства (21) в возможности выбора такой последовательности функций {ип(х)}, чтобы последовательность (18) сходилась в среднем. Докажем теперь, что значения ип(а) ограничены в совокупности. Обозначая интеграл в (17) через wn(x), имеем ип(а) = ип{х) — wn(x). Отсюда «*(α)<2«*(*) + 2<(*); интегрируя это неравенство в пределах от а до Ъ, найдем ь ь а а В силу неравенства (22) первый интеграл в (23) не превосходит С2; докажем, что второй интеграл в (23) также ограничен. Действительно, по неравенству Буняковского ь ь <(*)<}/со (*, t)dt \vi(t)dt. а а По неравенству (21) ь ъ f ti*n(t)dt= J рУ)и£ (f)dt<&. а а Далее, по формуле (8) 0</С0(дг, ί)< ΐ/]/ρ(ί), и потому ь ь j K%(x,t)dt^jyfa~A. а а
§ 45 ОБЫКНОВЕННЫЙ ОПЕРАТОР 243 Таким образом, w2n(x)^.AC2 и, следовательно, ъ j w\ (χ) dx < Ασ (b - α). α Теперь «*(o)<2Cs/(6-o) + 2AC8, и величины I«η (ο) | ограничены в совокупности. Применяя опять теорему Больцано — Вейерштрасса и повторяя рассуждения конца п. 3, убедимся, что из множества Λί можно выделить последовательность, сходящуюся в среднем. Отсюда, на основании теоремы 3 § 40, вытекает, что при условиях (19) оператор (1) имеет дискретный спектр. 5. Выводы предшествующих пунктов настоящего параграфа легко распространяются на уравнение -4(p-!-)+rw«-^W"*0. <24> в котором р(х) и г(х) удовлетворяют условиям п. I, а р(х) удовлетворяет неравенствам ρ0·^ρ(χ) -^ pi, где р0, pi—некоторые положительные постоянные. Для определенности остановимся на простейших краевых условиях и (а) = и (6) = 0, (25) хотя не представляет затруднений рассмотреть условия и других типов. Уравнение (24) принадлежит к типу, изученному в § 44; действительно, оператор Ви — р(х)и положительно определенный, так как ь ь (Ви, и) = J ρ (χ) и2 (χ) dx^Po \ и2 (χ) dx = po II и f. а а Чтобы доказать, что уравнение (24) имеет дискретный спектр, достаточно убедиться, что выполнены условия теоремы 4 § 44. В нашем случае ъ ь \и\\=\ {ри'* + т2)dx, |и fB == | ры2dx. (26) а а Из формулы (8) следует ъ VJ{x) и (х) = | Кх (х, t) v (t) dt, Ki (x, t) = |/p7x) Ко (х, t). a
244 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Так как функция p(t) ограничена, то интеграл ь ь ъ ъ j j К2Лх, t)dxdt=j j р(х)Кл(х, t)dxdt а а а а конечен, поэтому из каждого множества функций v(x) с ограниченными в совокупности нормами можно выделить такую последовательность {νη (χ)}, что последовательность соответствующих функций {ип (χ) Υ ρ (χ)} сходится в среднем, или, что то же, последовательность ип(х) сходится по энергии оператора В. Пусть теперь дано множество функций и(х), для которых |и|д<Х. Тогда, как это видно из (26), II о||=-J \ р(х)и'2 {x)dx\ <C, ' \ Ρ (X)и (χ) dx l· [а ) и, как только что было сказано, из данного множества функций и(х) можно выбрать последовательность, сходящуюся по энергии оператора В. Тем самым доказано, что уравнение (24) имеет дискретный спектр, т. е. что существует последовательность отличных от тождественного нуля функций ип (х) и соответствующих им, очевидно, положительных чисел λη, удовлетворяющих уравнению (24) и краевым условиям (25); функции ип(х) орто- нормированы по энергии оператора В ') Г f О Ϊ1Ί ~~f~ ϊί ·> ( 1, m = η, ,и ортогональны по энергии оператора А; при этом г ι Г / / / , w ( 0, тф п, \и , и = Sou и + ги и I dx = { а " Мы доказывали дискретность спектра оператора (1) [а также ъ Г dx уравнения (24)] в предположении, что интеграл . , конечен. а На самом деле можно доказать дискретность спектра и в более слабых предположениях. Так, достаточно предположить, что ъ Г (х — a) dx остается конечным интеграл - ~~.—, при этом в некоторых J ρ (χ) ) То есть ортонормпрованы с весом р(х).
§ 45. ОБЫКНОВЕННЫЙ ОПЕРАТОР 245 случаях приходится изменять характер краевых условий в точке х = а. Подробно об этом см., например, статью автора [15]. 6. Обратимся теперь к уравнению произвольного четного порядка: Аи -и*-Я-*Ы»"#\- k=0 dku ^Σ<-»'^μ*)^Η <*> в котором s < т. Будем рассматривать это уравнение при простейших краевых условиях И (θ)-«'(О)" ··· =«im-D(a) = =»«(&)-«'(6)=- ... -«*"-»(&)-0. (28) Для упрощения рассуждений примем, что все коэффициенты Pk{x) и ph(x) неотрицательны и ограничены и что рт(х) > р0, ps(x) ^ ро. где ро и ро — положительные постоянные. В этих предположениях операторы Л и β в уравнении (27) положительно определенные '), причем Ъ т l«fi-J Ep*W(-0-)2^. (29) a k=0 ι« £-J Σρ»μ (£■)'**■ (3°) a k=0 Заметим еще, что сходимость по энергии оператора В означает сходимость в среднем как самих функций, так и их производных порядка до s вклюнительно. Докажем, что при перечисленных условиях уравнение (27) имеет дискретный спектр. Для этого достаточно установить, что выполняются условия теоремы 4 § 44. а) Пусть дано множество Μ функций, ограниченное по энергии оператора Л:|ы|л^С, и е Λί, или, более подробно, а fc=0 ^τΐ dx < σ. dxk ! ') См. § 21.
246 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Тогда Г / d"lu γ J \dxm) dx<^· ΟΙ) б) В точке а функция и(х) и ее производные порядка ■*Ст— 1 обращаются в нуль. Отсюда [С2, 15, формула (23)] X и м - j~^ ί <* - t)m~l u<m) {t) dL <32) a Дифференцируя это k раз, k = 1, 2 s, получим «(fc) (*)- (w-I-,), J (* -0m-fc~'«(m)(0Λ. (33) α Интегралы (32) и (33) подходят под общую форму (6); достаточно положить • (χ-/)«-*-! К(х, t) = (m — k—l)l' О, X<t^b. Применяя теорему о полной непрерывности оператора Фред- гольма (§ 6) к интегралу (32), убедимся, что из множества Μ можно выделить последовательность ип(х), η = 1, 2, ..., сходящуюся в среднем. Подставим ип(х) вместо и(х) в (33) и положим там ft = 1. В силу той же теоремы из последовательности {ип(х)} можно выделить такую частичную последовательность {ип1(х)}, «==1,2, ..., что не только она сама, но и ее первые производные сходятся в среднем. Подставим теперь в (33) uni(x) вместо и(х), положим ft = 2 и опять применим теорему, упомянутую выше. Продолжая этот процесс, придем к заключению, что из данного множества Μ можно выделить последовательность, которая сходится в среднем вместе со своими производными порядка до s включительно. Как уже было отмечено, отсюда вытекает дискретность спектра уравнения (27) при краевых условиях (28). § 46. Устойчивость сжатого стержня Рассмотрим стержень переменного, вообще говоря, сечения, сжатого двумя продольными силами величины Р, приложенными к его концам. Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид
§ 46. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ 247 где £ — модуль Юнга материала стержня и 1{х) — момент инерции его сечения с абсциссой х. К этому уравнению следует присоединить краевые условия, определяющие характер закрепления концов стержня. Ограничимся здесь двумя типами закрепления: 1) оба конца стержня жестко закреплены. Допуская, что ось стержня в неизогнутом состоянии занимает отрезок [0, /] оси х, имеем в этом случае У (0)-У (0 = 0, у' (0)- у' (0-0; (2) 2) оба конца стержня шарнирно закреплены; в этом случае #(0) = #(0 = 0, у" (О)-у" (0 = 0. (3) Исследование других типов закрепления не привносит существенных трудностей. Задача об устойчивости сжатого стержня состоит в отыскании значений «критических нагрузок», при которых уравнение (1) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее соответственно краевым условиям (2) или (3). Особый интерес представляет наименьшая критическая нагрузка. Уравнение (1) подходит под тип (27) § 45; роль параметрах играет Р. При этом *-*■£-('««)-&). *-~3-. Нетрудно интегрированием по частям показать, что как при условиях (2), так и при условиях (3) ι \yfA = (Ay, y) = E | /W(-g-)2 dx, о ι \yfB = (By,y) = l(^)2dx. о Задача об устойчивости сжатого стержня сводится к задаче об отыскании собственных чисел (особенно наименьшего собственного числа) уравнения (1) при краевых условиях (2) или (3). Случай краевых условий (2), в сущности, разобран в предшествующем параграфе. Если ни одно из сечений стержня не вырождается в точку или в линию, так что 1{х) нигде не обращается в нуль, то существует бесконечное множество критических
248 ГЛ VI ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ нагрузок; наименьшая из них определяется формулой ι \ lU)tr"{x)dx . \у\\ „ . О P, = mm —-p-=£-mm г ·, (4ΐ • У'в с 2 J / (*) dx о минимум ищется в классе функций, удовлетворяющих условиям (2). Случай шарнирного закрепления концов можно также исследовать, опираясь на теорему 4 § 44; наименьшая критическая нагрузка определяется по-прежнему формулой (4), но на этот раз минимум можно искать в более широком классе функций, удовлетворяющих только условиям t/(0) =t/(/) =0; условия t/"(0) = t/'(0 == 0 оказываются естественными. Расширение класса функций, вообще говоря, уменьшает минимум; отсюда следует, что при шарнирном закреплении концов стержня наименьшая критическая нагрузка меньше, чем при жестком закреплении. Задачу об устойчивости стержня с шарнирно закрепленными концами нетрудно свести к отысканию собственных чисел некоторого дифференциального уравнения второго порядка. Положим 1у" = и. Функция и(х) удовлетворяет краевым условиям и(0) = и(/) = 0 (5) и дифференциальному уравнению Ejer+Tu=°- (6) Уравнение (6) подходит под тип (24) § 45 при р(х) = Е, г(х) = 0, р(х) = у. Наименьшее собственное число этого уравнения по теореме 5 § 44 равно минимуму отношения Ε · и' dx Ι -γ- dx или, что то же, минимуму функционала о / о ι ι Ε I и' dx при дополнительном условии J —r-dx — 1; минимум о о ищется в классе функций, удовлетворяющих краевым условиям (5). Заметим, что если сечение стержня постоянное, то уравнение (6) переходит в известное уравнение Эйлера.
§ 47. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 249 § 47. Собственные числа невырождающихся эллиптических операторов 1. В настоящем параграфе будут рассмотрены дифференциальные эллиптические операторы второго порядка в конечной области. Распространение на операторы более высоких порядков ие представляет особого труда, как это видно из рассмотренного в данном параграфе примера бигармонического оператора. 2. Для определенности будем считать, что Ω — область трехмерного пространства. Пусть P(x,y,z) и Q(ξ, η, ζ) —точки области Ω. Рассмотрим некоторую функцию_ u{Q), непрерывно дифференцируемую в замкнутой области Ω==Ω + 5') и равную нулю на 5. Вырежем точку Ρ сферой Se с центром в Ρ и достаточно малым радиусом ε так, чтобы вся эта сфера оказалась внутри Ω; оставшуюся часть области Ω обозначим через Ωε. Составим интеграл Ω Q„ ε ε и применим к нему формулу (17) § 7; следует иметь при этом в виду, что граница области Ωε состоит из двух поверхностей, 5 и Se, поэтому наша формула будет содержать два поверхностных интеграла, и мы получим f [ди дОА·) , ди д(Цг) . ди д(1/г)\^ Хорошо известно (это легко проверить и непосредственно), что А—=0. Кроме того, по условию и|8 = 0, поэтому первые два интеграла справа исчезают, и мы получаем Se В формуле (17) § 7, которую мы здесь использовали, ν означает нормаль, внешнюю по отношению к области, поэтому нормаль к сфере Se направлена к ее центру и д{Цг) _ д{Цг) д\ дг ') Как обычно, через S обозначена граница области Ω.
250 ГЛ VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ На сфере Se введем сферические координаты θ и φ, 0 ^ 0 < п 0<φ<.2π. Тогда dSe = ε2 sin θ άθ άψ и ξ = χ + εβίηθΰοβφ', η = у + ε sin θ sin φ, ζ = ζ + ε cos θ. Подставив это в последнее равенство, приведем его к виду 2π π ίίφ и (д; + ε sin θ cos φ, у + ε sin θ sin φ, z + ε cos θ) sin θ dB = о о _ [(ди д(Цг) ди дЩг) , ди д{1/г)\ J Ue ag ^ дп дп **" δζ δζ )аи- а ε Перейдем теперь к пределу, полагая ε —* 0. В правой части равенства это приведет просто к замене области интегрирования ΩΕ на Ω, левая же часть в результате предельного перехода примет вид 2л π 2π ίίφ ί и (χ, у, z) sin θ άθ = и (χ, у, z) ίίφ sin θ ίίθ = 0 0 0 0 = 4nu (χ, у, ζ) = 4ли (Ρ). Поделив обе части равенства на 4л, получим важную формулу 2 верную, если функция и обращается в нуль на границе области Ω. Интеграл в (1) естественным образом распадается на три; нетрудно видеть, что ядро каждого из них имеет слабую особенность. Так, например, д(1/г) = х-Е = х-Е 1 . <ЭЕ г3 г ' гг ' здесь функция А(Р, Q) = (x — g)/r ограничена (так как \х — El^r и потому \А (Р, Q) \-^С 1), а показатель а = 2 меньше числа измерений пространства. Формулу, аналогичную формуле (1), можно построить и тогда, когда число измерений пространства не равно 3; в частности, если Ω — плоская область и функция и(х,у) обращается в нуль на ее границе, то
§ 47. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 251 т > 3, то формула (1) заменяется следующей: т _ Г (т/2) Г γ ди (Q) д 1 . 0 „ . Ялесь Г — эйлерова гамма-функция, Ρ и Q — точки т-мерного евклидова пространства с координатами хи х2 хт и е Ё2, · · · > Em соответственно, г — расстояние между этими точками. 3. Поставим теперь задачу о собственных числах дифференциального оператора эллиптического типа т при условии, что на границе рассматриваемой области Ω выполнено условие и — 0; относительно коэффициентов Aik и С сохраним требования § 27, так что оператор L положительно определенный. В частном случае, когда Ац — 1, Ajk = 0, / =£ k, мы получим задачу о собственных числах оператора Лапласа. Докажем1), что для оператора (2) выполнено условие теоремы 3 § 40. По формулам (7) и (9) § 27 имеем | u p = (Lu, u) > μ0 У (ж-)" <*Ω L« = 3 / = 1 V ' Полагая для определенности число измерений пространства т = 3, запишем последнее неравенство в виде i»f^itttr+(frF+(f)>· » в Пусть дано множество Μ функций с ограниченными в совокупности энергетическими нормами: |и|^С, «еМ. Из неравенства (3) тогда вытекает, что Г^Г =ϊ "Ω 1 ^ТТ^ ^Т7=". ^—7=-· (4) хак как ' есть ядро со слабой особенностью, а нормы Функций -г— ограничены в совокупности, если и — любая функция из множества М, то (см. § 6) из множества Μ можно ') Приводимое ниже доказательство даио автором в [12].
252 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ выделить такую последовательность Uin(P), п = 1,2 чтобц интегралы 4π Ω сходились в среднем к некоторому пределу. Нормы функций дищ д - ограничены в совокупности, так как и1п^М, и потому, в силу неравенств (4), " '" Как и выше, найдем, что из последовательности и[п (Р) можно выделить частичную последовательность ti2n{P) так, чтобы интегралы ди2п д (1/г 4π J 4π J di) di) Ω ■dQ сходились в среднем; при этом, очевидно, и последовательность 1 4π С дит 8 (1/г) „. составляющая часть последовательности (5), также сходится в среднем — ее предел совпадает с пределом последовательности (5). Аналогично найдем, что из последовательности и2п можно выделить такую новую частичную последовательность — мы обозначим ее просто через ип(Р), η = 1,2,..., что все три интеграла Ω Ω Ω сходятся, при п —> оо, к некоторым пределам. Но тогда из фор мулы (1) видно, что и сами функции ип(Р) сходятся в средне! к пределу, который равен сумме пределов интегралов (6). Та-Ч ким образом, из множества Μ функций, ограниченных по энергии, нам удалось выделить последовательность функций ип(Р), сходящуюся в среднем; на основании теоремы 3 § 40 заключаем теперь, что при условии u\s = 0 невырождающийся эллиптический оператор (2) имеет в конечной области Ω дискретный спектр; наименьшее собственное число этого оператора определяется по формуле
§ 47. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 253 юичем минимум ищется в классе функций, обращающихся в нилъ на границе области и удовлетворяющих равенству JVtto=l. Ω В частности, наименьшее собственное число оператора —Δ (Δ — оператор Лапласа) равно минимуму интеграла 2 άΩ Ω 1 = \ на только что упомянутом классе функций. 4. Задача о собственных частотах изгибных колебаний пластинки с жестко закрепленным или опертым краем приводится к задаче о собственных числах бигармонического оператора Δ2; соответствующие собственные функции удовлетворяют краевым условиям если край пластинки жестко закреплен, и условиям »U-0. [A^-if^^O, (8) если край свободно оперт. Из формул (16), (17) и (25) § 30 вытекает, что при обоих условиях закрепления имеет место неравенство |-'>«ЯШ,+(£П'№ (9) S где с — положительная постоянная, равная κ при условиях (7) и (1 — а)/А — при условиях (8); как и в § 30, через S мы обозначаем область, занятую пластинкой, и через L ее контур. Пусть дано множество Μ функций, энергетические нормы которых ограничены в совокупности: | w | ^ С, юеМ. По неравенству (9) Оаю/dxKC/Vc, \\дм/ду\\^С1Ус~; формула (1|) показывает теперь, что множество Μ компактно s L2(Q). Из теоремы 3 § 40 вытекает тогда, что как в случае жестко закрепленного края, так и в случае свободно опертого края бигармонический оператор имеет дискретный спектр. 5. Сделаем теперь следующее замечание. Обозначим оператор Δ2 при условиях (7) жесткого закрепления через А, а при
254 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ условиях (8) свободного опирания — через В. По формуле (21) § 30 имеем I«»\1 = JJ [< + Ъ"»хх*ии + а£„ + 2 (1 - σ) <] dx dy. (10> s Далее, по формуле (16) § 30 S Если выполнены краевые условия (7) настоящего параграфа, то правая часть равенства (6[) § 30 обращается в нуль. Имея это в виду, умножим упомянутое равенство на —2σ и сложим его с равенством (11); мы убедимся тогда, что величину |йуЦ можно вычислять и по формуле (10). Второе из условий (8) естественное. Поэтому функции из энергетического пространства НА подчинены двум условиям w ls~ 0. -γ-\ =0, а функции из пространства Нв — только первому из этих условий. Отсюда нетрудно усмотреть, что все элементы пространства Η Α принадлежат и пространству НБ. Кроме того, как мы выяснили, если w^HA, то |йу|д= \w\b. В соответствии с определением § 41 имеем Α ΐ> В, и из минимаксималь- ного принципа вытекает следующее утверждение: если обозначить соответственно через соЭТ1 д и ωη, в расположенные в порядке возрастания собственные частоты колебаний пластинки с жестко закрепленными и со свободно опертым краем, то ω„, Α > ^ ω„, Б. 6. Можно доказать, что эллиптический невырожденный оператор в случае конечной области, удовлетворяющей так называемому «условию конуса» С. Л. Соболева (см. ниже, § 55), имеет дискретный спектр и при других краевых условиях, рассмотренных в § 27. Доказательство для этого случая приведено, например, в книге автора [11]. 7. Нетрудно привести примеры дифференциальных операторов, не имеющих дискретного спектра. Так, недискретен спектр задачи Дирихле для оператора Лапласа, если область представляет собой внешность замкнутой поверхности. При некоторых условиях не имеют дискретного спектра вырождающиеся эллиптические операторы в случае конечной области; см. по этому поводу статью автора [16]. § 48. Собственные числа вырождающегося эллиптического оператора1) Рассмотрим дифференциальный оператор m *) См статью автора [16].
§ 48. ВЫРОЖДАЮЩИЙСЯ ОПЕРАТОР 255 области Ω, описанной в § 28; эта область расположена, следовательно, в полупространстве хт > 0, но часть ее границы, S', лежит в плоскости хт «= 0. Как и в § 28, примем допущение о су- шествовании функции р(хт), удовлетворяющей неравенству (20) к 28. Оператор L будем рассматривать при краевых условиях гф = 0, (2) и, если интеграл (21) § 28 сходится, u|s,*=0; (3) S" — часть границы области Ω, лежащая в полупространстве хт > 0. Напомним, что в интеграле (21) § 28 α есть наибольшее значение координаты хт в Ω. Теорема 1. Если сходится интеграл ί а tdt pU) ' о (4) то оператор L имеет дискретный спектр. Доказательство проведем в предположении, что интеграл (21) § 28 сходится; общий случай описан в статье автора [16]. а) Обозначим через λο(Ρ) наименьшее собственное число матрицы || Alk (Ρ) ||£ kkZ™~1 и положим χ (0 = т- inf МЯ); (5) с1 Ρε=Ω xm>f здесь с\ — постоянная, входящая в неравенство (20) § 28. Очевидно, χ (t) > 0, если t > 0. Поместим Ω в параллелепипед П, определяемый неравенствами Pl^xi^qt, 1</<т — 1; 0<*т<о. Введем в рассмотрение оператор Lo, действующий в пра странстве L2(U) по формуле т—1 Lou = - χ (хJ У ^f- - -£- (ρ (xm) -~); (6) За область его определения примем множество функций, удовлетворяющих следующим условиям (ср. § 28):
256 ГЛ VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 1) функции непрерывны в П; 2) на границе параллелепипеда и = 0. Из теоремы 1 § 28 следует, что оператор Lo положительно определенный. б) Докажем, что спектр оператора L0 дискретен. Собственные числа и собственные функции этого оператора удовлетворяют уравнению т — \ и равны нулю на границе параллелепипеда. Решения уравнения (7) будем искать в виде т — \ u(x)^v(xjllsm-^^-, (8) k=\ условия на боковой поверхности параллелепипеда при этом оказываются выполненными. Функция v(t), t = xm удовлетворяет уравнению d Pit) dt и краевым условиям + ™2^ST^f==^ (9) o(0) = o(o) = 0. (10) По доказанному в § 45 спектр оператора задачи (9) — (10) дискретен; собственные числа и собственные функции этого оператора зависят от значков щ, П2,..., пт-и поэтому их естественно обозначить через Кп1п2...пт_1пт и Vn1n2...nm_lnm{t), пт - 1,2,.... При фиксированных пиП2,. .., пт-\ система собственных функций полна с L2 (0, а). Очевидно, функции т— I ЫпЛ ... -я (Р) = VnlS...nm (Хт) Π sin"V-P> d « ifc-Pk суть собственные функции оператора L0, соответствующие собственным числам ληιη2. .пт, пипг,... ,пт— 1,2, — Нетрудна
§ 48 ВЫРОЖДАЮЩИЙСЯ ОПЕРАТОР 257 „еть что система (11) полна в L2{Yl). Докажем, что собствен- Вьге числа hntn2...nm сгущаются только на бесконечности. Прежде всего заметим, что названные числа не убывают при возрастании любого из индексов пии2,. ..,ttm-x — это прямо вытекает из минимаксимального принципа. Ясно также, что они не убывают и при возрастании индекса Пт- Допустим теперь, что числа λη η ...nm имеют точку сгущения не на бесконечности. Тогда существует последовательность ληα)η(1) (ί), сходящаяся I 2 "" tn к конечному пределу: lim λ (fwi) n(i)^K<°°· (!2) Могут встретиться два случая. 1. Индексы п1£ не ограничены в совокупности. Выбрав подпоследовательность, можно считать, что η(β —^j-> оо. Но λη(£)η<£> n(i) «(ί)^λΙ I ln(i)~ nm-lnm '· '■— · l-nm i->oo и первый случай невозможен. 2. Индексы п% ограничены в совокупности. Выбрав подпоследовательность, можно считать, что п(£ «= пт — const. Теперь «->οο "ί "2 -"m-lnm Обозначим для краткости Имеем Умножим это равенство скалярно на функцию V{(t), которую мы считаем, как всегда, нормированной в 1-2(0, а). Первый интеграл справа возьмем по частям. Приняв во внимание условия (10), получим г и ι т а λί = J ро(ίγ) <" + π2ΣK7fo-Pif) f χ«)νϊοΛ· (14) 0 ft«=I 0 17 С Г Михлин
258 гл. vl. Проблема собственных чисел Из формулы (13) вытекает, что оба члена справа в (14) ограничены. В частности, ί Ρ (*) (ir) dt < c = const· (15) о Оператор —~тг\Р (0 -ff\ ПРИ условиях (10) имеет дискретный спектр (см. § 45); неравенство (15) означает, что в энергетической норме этого оператора функции V{(t), i — 1,2,..., ограничены в совокупности. В силу теоремы 4 § 40 множество этих функций компактно в 1^(0,а). Выделим из этого множества сходящуюся последовательность t>,· , s = 1, 2,..., и пусть в смысле сходимости в Lz (0, a) lim vi {t) = ν (t). Тогда s->oo * а а lim f χ (/1 uf (t)dt = fxMtPiOdf· (16) s-"00 о s о Второе слагаемое в (14) справа ограничено, а из чисел nf> хотя бы одно стремится к бесконечности, поэтому необходимо о lim \%{t)v\{t)dt = G. £->°°0 Из соотношения (16) следует теперь, что v{t) — 0. Но это противоречит тому, что а а ί ό»(ί)Λ= lim f о? (f)df-l. о '"►- ο s Итак, соотношение (13), а с ним и соотношение (12), невозможно. Этим доказано, что оператор L0 имеет дискретный спектр. В силу теоремы 4 § 40 всякое множество функций из энергетического пространства #£„, ограниченное в норме этого пространства, компактно в Ζ,2(Ω). в) Пусть теперь Μ — множество функций, принадлежащих энергетическому пространству Иь оператора (1) — (3) и ограниченных в норме этого пространства, так что Пт-1 ■. Σ л/*£-t+a- {-iff h <c- c°nst' <i7> κεΛΙ.
§ 49. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОЙ ПЛАСТИНКИ 259 Под знаком интеграла (17) заменим сумму меньшей величиной т-\ а коэффициент А mm нас к неравенству меньшей величиной Cip(xm). Это приведет „ г гп-1 -. Q L ft=IV U т' ] ' Доопределим функции множества М, положив их равными нулю вне Ω. Нетрудно доказать, что доопределенные таким образом функции принадлежат пространству Hl„· Неравенству (18) можно придать вид II k-\ s R \ mi £ίΩ<—, с. или короче \ιι\ι ^CJc{. Таким образом, множество Μ ограничено в норме Hw Но тогда оно компактно в Ζ,2(Ω).' По теореме 3 § 40 оператор L имеет дискретный спектр. Точно так же доказывается дискретность спектра оператора U, определенного соотношениями (1) и (2) настоящего параграфа и соотношением (24) § 28. § 49. Устойчивость сжатой пластинки 1. Будем рассматривать изгиб пластинки, в плоскости которой действуют напряжения Тх, Тху, Ту. Будем считать эти напряжения сжимающими, понимая под этим, что в любой точке пластинки главные нормальные напряжения Т\ и Г2 сжимающие: Τι < 0, Г2 < 0. Мы допустим также, что как Ти так и Т2 всегда остаются по абсолютной величине больше некоторой положительной постоянной Го, так что Г,<-Г0, Г2< В § 31 было отмечено, что выражение taw\ Л дх) + 2Т^^ + ТуЩ dw dw ху дх дц 17*
260 ГЛ. VI ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ инвариантно относительно поворота координатных осей; повернув оси координат так, чтобы они совпали с главными осями напряжений, найдем Т /i^.\Z-L 9Г dw dw ^ Idw \2 x\dx) + xtJ дх ду + У\ду ) ~ Выражение / dw \2 . / dw \2 / , ч2 также инвариантно относительно поворота осей, отсюда / dw У , I dw γ _ ldw_\2 (dw_V [dXiJ + \ <Э*2 ] ~\dx ) + \ dy 1 ' и окончательно T IdwV ,0T dw dw (dwY \(dwY .ldwf-\ ,,. Чат) +2Τχ" aF-aF + r4aFI ^^«Иж) "*"\1Г1 I' (Ι) Будем предполагать, что край пластинки жестко закреплен: = 0. (2) Неравенство (1) вместе с формулами (4) и (9) § 31 показывают, что оператор —Τ положительно определенный. Допустим теперь, что напряжения, оставаясь сжимающими, изменяются пропорционально некоторому параметру λ, который, следовательно, должен быть положительным. Как было выяснено в § 38, потеря устойчивости пластинки возможна при тех значениях λ, которые служат собственными числами уравнения (12) § 38; если ввести обозначение fw = — -jj Tw, (3) то это уравнение можно записать в виде Yw-lfw = 0. (4) Заметим, что оператор Τ положительно определенный. Докажем теперь, что уравнение (4) имеет при условиях (2) бесконечное множество положительных собственных чисел. Отсюда будет следовать, что существует бесконечное множество w I -П ^
§ 49. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОЙ ПЛАСТИНКИ 261 значений параметра, при которых пластинка с жестко закрепленным краем теряет устойчивость. Уравнение (4) подходит под общий тип уравнений § 44, если положить А ~ Δ2, В = Т. Мы докажем наше утверждение, если, в соответствии с теоремой 4 § 44, докажем, что всякое множество, ограниченное по энергии оператора Л, компактно в смысле сходимости по энергии оператора В. В § 30 было установлено [формула (16)], что м=ЯШ+^)'+(-)>. (5) Далее, \wfB-(fw, w)=--^{Tw, w). По формуле (10) § 31 имеем теперь где N обозначает наибольший из максимумов величин \ТХ\, I7WI. \Ту\. Пусть теперь дано множество Μ функций, удовлетворяющих условиям (2), и пусть \w\A <^С, если шеЛ). Из формулы (5) легко заключаем тогда, что S Из условий (2) вытекает, что *И\ =0, ψ-\ =0. (9) дх \L ду \ι w Пусть Δ, как обычно, означает оператор Лапласа. Рассмотрим положительно определенный оператор —Δ, заданный на функциях, которые обращаются в нуль на контуре L. Из (9) видно, „ dw dw ' - что если ш е М, то -g^ и — входят в область определения оператора —Δ, а неравенства (7) и (8) показывают, что эти производные ограничены в совокупности по энергии этого оператора. Из результатов § 47 следует тогда, что множества производных -q£ и — компактны в Lzill). 1аким образом, из множества Μ
262 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ можно выделить такую последовательность wn, « = 1,2,..., Что dwn dwn соответствующие последовательности -g— и -~— сходятся в Ζ.2(Ω). Но тогда us. J/№-№*-* К-ЯФ--^)'''*'*-0· η, ηι->οο Тепзрь из неравенства (6) следует, что s а это означает, что последовательность wn,η — 1, 2, ..., сходится по энергии оператора β, и наше утверждение доказано. Наименьшее критическое значение параметра λ можно найти как минимум интеграла (5) при условии w -тЯ{',-(£),+!!,-»££+М£)>-1· <10> Минимум ищется на множестве функций, удовлетворяющих условиям (2) жесткого закрепления края. Используя теоремы вложения С. Л. Соболева [2], можно доказать существование бесконечного множества критических значений параметра и при других обычно встречающихся условиях закрепления края. 2. Рассмотрим теперь более общий случай. Допустим, что в некоторой точке пластинки хотя бы одно из главных напряжений — сжимающее, и докажем, что тогда уравнение (4) имеет и положительные собственные числа. Отсюда будет следовать, что при увеличении параметра пластинка может потерять устойчивость. Обозначим оператор Δ2 при краевых условиях жесткого закрепления через А. Докажем, что оператор Ρ = А~1Т вполне непрерывен в НА. Пусть Μ — множество, ограниченное в НА: Это значит, что s В таком случае множество ТМ ограничено в 2^(5): если υεΛί, то
§ 49 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОЙ ПЛАСТИНКИ 263 Оператор А'1 вполне непрерывен в L2(S) и переводит множество ТМ в компактное: можно выделить из Μ такую последовательность [ип}, что Теперь | РИп - PUm I2 = \А~1Т ("п - "т). Ρ (Μη ~ Щп)] = = (f (И» - «т), *Ч. - PUm) < II Γίίη ~ f «т II ' II Рип ~ Pum || < ^ 8JVAC „ п _ „ . < -5-1| Рип - Р«т || -^^г> 0. Таким образом, оператор Ρ переводит множество М, ограниченное в НА, в множество РМ, компактное в том же пространстве. Это значит, что оператор Ρ вполне непрерывен в НА. Оператор Ρ также симметричен в НА, так как, в силу симметричности оператора Τ в L2(S), [Pwlt w2\ = [A~lTwu w2] — (fwu w2) = (wlt Tw2) = [wu Pw2]. Уравнение (4) равносильно следующему: w-KPw = 0. (11) Пусть Γι, Τι — главные напряжения, и пусть Тх < 0 в некоторой точке области S. Тогда найдется такая окрестность S' упомянутой точки, в которой Г[ ^—а, где а = const > 0. Имеем ~ h [Pw, w] =(Tw, w)= — -jr{Tw, w) = = _ U J (T*< + 2Txvw*wv + TvwD dx аУ = s *ь *2—главные направления. Возьмем функцию w (x, у) е С<2>(£), тождественно равную нулю вне S'. Тогда S' Возможны два случая. Если в области 5' напряжение Т2*С0, то [Pw, w] > 0, причем существуют функции, на которых [Pw,w]>0. Тогда sup , 'J; ·>0; как об это сказано в § 6, среди собственных чисел оператора Ρ есть положительные, и наше
264 ГЛ VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ утверждение доказано. Если же в 5' найдется точка, в которой Т2 > 0, то в такой точке Т{ φ Т2\ это неравенство выполняется и в некоторой окрестности S" указанной точки. В таком случае в каждой точке упомянутой окрестности главные направления, как известно, определяются единственным образом, и траектории главных напряжений образуют правильную сетку. Возьмем функцию w(x, у) равной нулю вне 5" и в интеграле (12) введем χλ ц Χι в качестве криволинейных координат. Положим -=-7^—- = / и \Χ\% Χι) Ι и обозначим образ области S" в плоскости {хи *2) через σ. Теперь [Pwlt w2] = - A j| [Г,(^)2 + T2(j^J]jdXldx2. σ Уже было сказано, что Tt *С—α. Пусть еще Γ2-<β, где β — некоторая положительная постоянная. Тогда о Поместим начало координат внутри σ. В области σ выделим эллипс x2Ja2 + x2Jb2 — 1 и введем координаты ρ, Θ, полагая xl=apcosQ, x2 = bpsmQ. Эллипс возьмем столь малым, чтобы в нем было / = /о 4- η, где /о = const, а η — достаточно малая величина. Пусть еще а/а2—β/fr2 > 0. Возьмем функцию w равной ί (ρ2— Ι)3 внутри эллипса, ( 0 вне и на границе эллипса. Если точка {хи х2) лежит внутри эллипса, то dw 6p(p2-l)2cos6 dw __ 6р (ρ2-I)2 sin 6 dxi a ' dx2 b Кроме того, dx\dx2 — abp dp άθ. Теперь по неравенству (13) ι 2π [Pw. ^>^{ρ3(ρ2-1)4(/ο + η)φ{ (^i-l2^i)d9 о SD !(^--^)-с1ч|(^+1); с-const >0. > о
§ 50 СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ПЛАСТИНКИ 265 Полуоси а и b можно выбрать так, чтобы было α/α2 = 2β/£>2. Отсюда видно, что выражение [Pay, ay] принимает и положительные значения, и, следовательно, среди собственных чисел оператора Ρ есть положительные. Наше утверждение доказано полностью. § 50. Собственные частоты пластинки с острым краем ') Сохраняем предположения и обозначения § 37. Уравнение колебаний пластинки имеет вид (къ&хх)хх + о{к3муу)хх+о(&мхх)уу + (1&в)уу)уу + 2(1 - а)(Ртхи)ху = _ 12(1 - о2) у и &w . п\ £ " dt2 * ^' здесь γ — плотность материала пластинки. Положим w =u{x, y)eiat, где ω — частота собственных колебаний пластинки. Это приводит нас к следующему уравнению для амплитуды и('х,у): (№ихх)хх + о (1гъиуу)хх + о (h?uxx)yy + + №УУ)УУ + 2 (1 - σ) (А'и, у)ху ·=· Ihu, (2) где λ=12(1-σ2)γω2/£. (3) Будем считать, что прогиб ау удовлетворяет краевым условиям (4) § 37 и, при соответствующих значениях «показателя вырождения» а, также условиям (7), (8) § 37. Тем же условиям удовлетворяет и амплитуда и, так что = 0, (4) 0<а<2/3, (5) 0<α<1/3· · (6) Уравнение (2) вместе с соответствующими условиями (4) — (6) можно записать в виде /(и)-Я/ш = 0, (7) где / — оператор, введенный в § 37. Уравнение (7) принадлежит к типу уравнений, рассмотренному в § 44 с той, однако, существенной разницей, что операторы A —J и В — оператор ') Сы Е. Б Маловер [2]. и \L. = и \и = 0, ди 1 » ди dv
266 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ умножения на h — могут оказаться не положительно определенными, а только положительными. Наша задача — выяснить, при каких показателях вырождения спектр собственных частот, т. е. спектр уравнения (7), будет дискретным. Мы ограничимся здесь случаем, когда область5 — прямоугольник О^Сх-^а; 0-^{/-<1; переход к более общему случаю без особого труда совершается на основании минимаксимального принципа. Теорема. Если показатель вырождения а < 2, то спектр собственных частот пластинки с острым краем дискретен. Предварительно докажем следующую лемму. Лемма. Пусть А, А\, В, Вх— положительные операторы, действующие в одном и том же гильбертовом пространстве, и пусть Αι 4^. А и В\ > В. Если спектр уравнения (Л1-ЯВ1)ы = 0 (8) дискретен, то уравнение (А-КВ)и = 0 (9) также имеет дискретный спектр. Пусть Μ — ограниченное множество в пространстве НА: \и\А«^С, и^М. В силу соотношения А\ -^ А, множество Μ cz Нд, и \и\А ^.С, и^М. Спектр уравнения (8) дискретен, а в таком случае (см. теорему 4 § 40; она справедлива и для уравнений вида (8) или (9)) множество Μ компактно в пространстве //в,: можно выделить такую последовательность {«„} cz M, что \ип — иь\в п fe^oo^O- Теперь из соотношения В-^СВ^ следует,что \ип — uk\B n ,^,,χ,-^Ο, τ. е. что последовательность {«„} сходится в Нв. Таким образом, любое множество, ограниченное в НА, компактно в Нв\ по теореме 4 §44, уравнение (9) имеет дискретный спектр. Переходим к доказательству теоремы. В уравнении (7) А = J, а В есть оператор умножения на функцию h(x,y). Из неравенства (3) § 37 ясно, что В -*С В\, где через В\ обозначен оператор умножения на с2уа. Построим еще оператор /(-^ /. Это построение мы проведем в несколько шагов. Обозначим через /о оператор, в который переходит оператор / при σ = 0. Из формулы (9) § 37 легко вытекает, что при σ > 0 (1-σ)/0</<(1+σ)/0; (10) при σ < 0 неравенство (10) заменяется обратным. Пусть, например, σ > 0, тогда (1—a)J0^CJ- Далее, из формул (3) и (9) § 37 ясно, что оператор /о уменьшится, если заменить h(x,у) на cii/a. Наконец, условия жесткого закрепления вертикальных
§ 50. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ПЛАСТИНКИ 267 сторон пластинки χ = 0 и χ = а заменим условиями свободного опирания: или, что то же, Ч-о-4-.-Q. -01 гШ =0· (11> Нетрудно видеть, что такая замена приводит к уменьшению оператора. Обозначим построенный таким образом оператор через Jo; он действует по формуле Г0 (и) = с? [if*^ + 2 (у*иху)ху + {y^uJJ и задан на функциях, обладающих определенными дифференциальными свойствами (см. § 37) и удовлетворяющих условиям (4) (при у=\), (5) и (6) (при у = 0) и (11). Из сказанного выше ясно, что если положить ]\ = (1 — σ)Ιο, то J\^CJo- В силу доказанной выше леммы нам достаточно установить, что при указанных краевых условиях уравнение имеет дискретный спектр. Для определенности примем, что α > 2/3, тогда условия (5) и (6) отпадают. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Собственные функции уравнения (12) при условиях (4) и (11) будем искать в виде и(х,у) = v(y) sin (ппх/а), где η — натуральное число; условия (11) при этом выполнены. Функция ν (у) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению и краевым условиям о(1) = о'(1) = 0; (14) кроме того, v(y) и ν'(у) должны быть ограничены при у—*0. Оператор в левой части уравнения (13) заменим меньшим, сохранив только первое слагаемое. Мы приходим к задаче о спектре уравнения £(*·£)-iw <|5> при сформулированных выше условиях. Пусть G(y, η)—функция Грина оператора 4^{ΐ^4τ]λ и q>(y) = tf^iy)· Тогда φ (у)
268 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ удовлетворяет интегральному уравнению с симметричным ядром а φ iy) = μ { rt^c {у, η) φ (η) <*η· (щ о Функция Грина') G(y, η) определяется, как известно, следующими условиями: она непрерывна вместе с первой производной по у при О-^Су, η -<1, а ее вторая производная по у непрерывна при 0 < у, η ^С 1. Третья производная по у терпит при у = η скачок, равный η-3α. Наконец, в каждом из интервалов (О, η) и (η, 1) функция О удовлетворяет однородному уравнению д" I За &G \ . Из общих соображений известно также, что функция Грина симметрична: G(y, η) = G(r\,у). Всем этим условиям удовлетворяет функция, которая при у-С η определяется формулой G(y, η)=Α)(η)ί/+ Αι (η); Α»W = (2-3«)'(1-3«) W-3" + (3α - 2) η + 1 - 3α], *' Μ - - (2-3α)'(8-3α) ^ + (3α - 3) η + 2 - 3α], а при у > η — по симметрии. Ядро уравнения (16) суммируемо с квадратом. Действительно, так как это ядро симметрично, то j\ ya4aG2{jf,^dydi\ = 2Jif ]уа[А0(η)у + Α, (η)]2dy dr\ = 1 = 2 J * [ΐίϊΤ ^ W + f££ ^ο (η) Λ, (η) + -^ Λϊ (η)] Λ,, ο При η > 0 подынтегральная функция непрерывна, а вблизи η = 0 она имеет порядок 0(η7_4α) и потому суммируема, если 7—4а > —1, или а < 2. Теперь при а < 2 для уравнения (16) справедлива классическая теория интегральных уравнений с симметричным ядром, и это уравнение имеет счетную последовательность стремящихся к бесконечности характеристических чисел и соответствующую полную в L2(0, 1) систему собственных функций. Это означает, что уравнение (15) имеет дискретный спектр. В силу леммы ') О функции Грина и ее свойствах см., например, М. А. Наймарк [I].
§ 51. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ 269 настоящего параграфа, это же заключение справедливо и для уравнения (13). Обозначим его собственные числа через λ«, h, а соответствующие собственные функции — через и„, ft(j/). Тогда числа λη,ft. n,k=l, 2, .... суть собственные числа уравнения (12), и им соответствуют собственные функции vn, h iy) sin (ηπχ/α). Легко видеть, что система этих функций полна в L2(y°; S). Числа % h сгущаются только на бесконечности — это доказывается так й<е, как в § 48, и спектр уравнения (12) дискретен. Но тогда дискретен и спектр уравнения (7). Теорема доказана. § 51. Собственные колебания упругих тел В настоящем параграфе мы рассмотрим задачу о собственных колебаниях упругого тела с закрепленной границей и докажем, что такое тело имеет бесконечное множество собственных частот. Для упрощения записи откажемся от обозначений § 29 и будем пользоваться следующими обозначениями: Ω — конечная область трехмерного евклидова пространства, 5 — граница области Ω, Ω = Ω + S, Ρ и Q — точки с декартовыми координатами Χι, %г, Хз и ξι, ξζ, Is соответственно. Далее, и — вектор смещений; составляющие этого вектора по осям х\, х2, хз декартовых координат обозначим через щ, и2, щ. Положим еще I / du{ duk \ величины Sih равны поделенным на 2 составляющим тензора деформаций. Составляющие тензора напряжений будем обозначать через %ih\ они удовлетворяют уравнениям обобщенного закона Гука з xik — ZJ Ciktmslm= ^ki> (2) I, m=\ коэффициенты упругости сШт подчинены известным соотношениям симметрии ciUm = cMlm = cihml = clmih, так что различных коэффициентов ciUm не более 21. Составляющие напряжений удовлетворяют известным уравнениям движения где / — время, γ — плотность упругой среды, Ki — составляющие вектора объемных сил К. Подставив сюда значения τ^ из (2), мы получим уравнения, которым удовлетворяет вектор упругих
270 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ смещений. Запишем эти уравнения в виде одного векторного уравнения Y2jg- + Au-K = 0, (3) где з Аи=- Σ -^шиАпК'; (4) i, k, l, m = \ χψ — орт оси Χί. Если среда однородная, то Au=- J c^Sfxf· i, ft, l, m=-l k В случае равновесия -ρ- = 0, и мы приходим к уравнению упругого равновесия a _v ic\ Уравнение свободных колебаний получим, предполагая, что К ξ= 0, и заменяя и через и(Р)еш. Мы получим тогда Аи - λιι = 0, λ = γω2. (6) Оператор А будем называть оператором теории упругости. Введем в рассмотрение симметричный тензор V, составляющие которого суть = ~ш{тЬ№ + Т dxtdxk XT)у (7) где г—расстояние между точками Р(х\,х%,хз) и Q(|i,b.Ы и /0, 1фк, 11, i = k. V есть частный случай известного тензора Сомильяна '); каждый столбец Vf тензора V удовлетворяет однородному уравнению теории упругости изотропной среды, постоянные Ляме которой имеют значения λ = 0 и μ = 1/2. Соответствующий оператор теории упругости мы будем обозначать через А0, так что уг- удовлетворяет уравнению AoVi = 0. (8) Точку Ρ вырежем сферой радиуса ε и к оставшейся части Ωε области Ω применим первую формулу Бетти, полагая и' = и, и" = Vi, А = Ао и понимая под и любой вектор, обращающийся в нуль на границе области Ω. При этом интеграл по 5 пропадет; точно так же исчезнет интеграл и в левой части формулы Бетти ') См., например, Е. Трефщ [2],
§ 51. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ 271 силу уравнения (8), и мы придем к равенству J w (и, v{)dQ + j" t£,E udS = 0, (9) где SE — поверхность упомянутой выше сферы радиуса е и с центром в Р, a tj, ε — вектор напряжений на площадку сферы Se, соответствующий смещению ν,·. Полагая в (9) ε-*0, мы, как и в § 47, получим щ{Р)= | IF(u, vf)dQ. Нетрудно видеть, что Ω при λ = 0, μ = 1/2 будет Г (и, ν£) =; |^ slms\% где 2s!m и 2s^ суть составляющие деформации, отвечающие смещениям и и v<*>. Таким образом, з Интеграл (10) есть сумма интегралов вида C^^vS* (и) Ω ядра которых имеют оценку 1421 ^ ^/г2> С = const и принадлежат, следовательно, к классу ядер со слабой особенностью. Как было отмечено в § 6, интегральный оператор (11) вполне непрерывен в Ζ,2(Ω) и, следовательно, переводит всякое ограниченное в этом пространстве множество функций sim в компактное множество функций ψ<^. Вполне непрерывный оператор (11) ограничен в Ζ,2(Ω). Отсюда следует неравенство J^a?I^^iJsaJ> ^ = const. Суммируя, найдем з з llu||i<c2fig_i|^lp<c8fcSi|swf. Опираясь на положительность величины W(u), можно доказать, 3 что Σ II Sfti IP < CtW (u). Но тогда Κ ί = 1 II u If < 2C5 | W (u) dQ, 2C5 = C3C4, Ω или по формуле (14) § 29 ||u||2<C5(Au, u), откуда (Au, u)>||u|p/C5 (12) т. е в случае закрепленной границы тела оператор теории упругости положительно определенный.
272 ГЛ. VI. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Уже было отмечено, что оператор (11) переводит ограниченное множество функций в компактное. Из формулы (10) следует тогда, что множество векторов смещений, равных нулю на границе тела, будет компактным, если соответствующие им интегралы энергии ограничены в совокупности. Теперь из теоремы 3 § 40 вытекает дискретность спектра оператора теории упругости в случае жестко закрепленной границы тела. Оператор теории упругости имеет дискретный спектр и при других обычно употребляемых краевых условиях. Подробное изложение относящихся сюда вопросов дано в книге автора [И]. Здесь мы ограничимся некоторыми библиографическими справками. Для произвольной кусочно гладкой границы дискретность спектра оператора теории упругости была установлена К. Фрид- рихсом х) [3] в случае жестко закрепленной или свободной границы. Д. М. Эйдус [1, 2] дал другое, значительно более простое, чем у К. Фридрихса, доказательство для случая свободной границы и распространил его на некоторые другие краевые задачи теории упругости. Приведенное в тексте доказательство принадлежит автору [12]. В заключение отметим, что наименьшее собственное число оператора теории упругости при условии жесткого закрепления границы тела равно минимуму удвоенной потенциальной энергии деформации 2JW{u)dQ (13) ω при условии, что ju2dQ=l. (14) Ω Минимум ищется на векторах смещений, которые на границе области обращаются в нуль. Укажем еще, не приводя доказательства, что наименьшее собственное число оператора теории упругости в случае свободной границы тела также равно минимуму интеграла (13), но векторы смещений на этот раз удовлетворяют, кроме равенства (14), еще и равенствам (R—радиус-вектор точки Р) j и dQ = 0, j" R X и άΩ = 0; Ω Ω краевым условиям можно эти векторы не подчинять, так как условие на свободной границе естественное. ') В предположении достаточной гладкости границы этот результат был значительно ранее получен Г. Веилем [1].
ГЛАВА VII АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ В практике применения любых приближенных методов фундаментальную роль играет вопрос об оценке погрешности приближенного решения задачи. Такие оценки могут быть двух родов: априорные и апостериорные. Первые дают возможность оценить погрешность еще до того, как приближенное решение построено. Для процесса Ритца априорные оценки удается строить, если координатные функции принадлежат тому или иному специальному классу функций и если точное решение задачи обладает некоторыми специальными свойствами, например, если оно обладает достаточно большим числом производных. Как правило, априорные оценки суть оценки асимптотические— они дают порядок убывания погрешности при бесконечном возрастании числа η координатных элементов, входящих в приближенное решение. Апостериорная оценка — это оценка погрешности уже построенного приближенного решения. В настоящей главе исследуется вопрос об априорных оценках для решений неоднородных задач типа Аи = f, где А — положительно определенный оператор (иногда мы будем рассматривать более общий случай, когда А — линейный оператор, имеющий обратный .A-1)» f — данный, и — искомый элемент некоторого гильбертова пространства. В гл. VIII изучаются апостериорные оценки для задач того же типа, в гл. IX — оценки для собственных чисел и, отчасти, собственных функций. § 52. Оценки через наилучшее приближение Идея построения таких оценок проста. Пусть А — положительно определенный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве //, {φη} — координатная система, ч0 — обобщенное решение уравнения Аи = \ и, наконец, η ип = Σ ak<$k (l) 18 С Г. Мнллии
274 ГЛ. VII. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ — приближенное решение данного уравнения по Ритцу. Эл мент ип реализует минимум функционала энергии F(u)=l = \и — Ц)Р — |"оР или> чт0 то же> минумум величины \и~и0\^а элементах вида (1). Иначе говоря, элемент ип реализует наилуц. шее приближение по энергетической норме точного решения и линейными агрегатами координатных элементов <рь φζ, .,, г ^ В ряде случаев удается найти оценку такого наилучшего прибли- жения, тем самым оказывается построенной оценка погрешности приближенного решения по Ритцу в энергетической норме. Сказанное поясним двумя примерами. 1. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка при краевых условиях ы(0) = ы(1) = 0. (3) Допустим, что функции p,p',q,f непрерывны на сегменте [0,1] и что р{х) > ро = const > 0, <7(х)'>0. Оператор задачи (2)—(3) положительно определенный в Z,2(0, 1), и эта задача имеет единственное обобщенное решение и0(х), принадлежащее энергетическому пространству задачи. Можно доказать (см., например, книгу автора [28]), что при feZ,2(0, 1) обобщенное решение задачи (2)—(3) непрерывно на сегменте [0, 1] вместе со своей первой производной, имеет почти всюду вторую производную «"^/.2(0, 1) и почти всюду удовлетворяет уравнению (2). Но в нашем случае функция f (χ) не только суммируема с квадратом, но просто непрерывна, и из уравнения (2), записанного в виде К (*) = J^T [9 (*) "о Μ ~ Ρ' (*) К (*)]> видно, что вторая производная и"(х) также непрерывна при 0<х<1. В качестве координатных возьмем функции <рь (х) — sin knx, k = 1, 2, ... Тогда ип(х) есть тригонометрический полином. На сегменте Ο-^JC-Cl разложим и0(х) в ряд Фурье по синусам; дифференцируя, получим ряд Фурье функции и^(х) по косинусам. Оценим коэффициенты Фурье функции и0(х) и ее производной. Пусть оо ио (х) =2aft s'n knx. (4)
§ 52. ОЦЕНКА ЧЕРЕЗ НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 275 Тогда и'0 (χ) = π 2 fc°fc cos knx. fc=l При этом 1 ak = 2 f ы0 (х) sin /гях Лс; интегрируя по частям и принимая во внимание, что ио(х) удовлетворяет условиям (2), найдем 2 Г а* Ofe=-p^rJ <(x)sinftnxrfx = -p-, (5) о где сел суть коэффициенты Фурье функции — п~2и" (х). Энергетическая норма в нашем случае определяется формулой ι |«Р= j(pufl + qu2)dx, (6) о которая по существу совпадает с формулой (5ι) § 21. Величину (6) будем оценивать следующим образом. Функции ρ и q, непрерывные на сегменте, ограничены. Пусть p{x)^Cpi, q(x)-^q\, где р\ и q\— постоянные. Тогда ι I и |2 < J (pi«'2 + 9i«2) dx. о 1 1 По неравенству (12) §8 u2dx<,-~ W*dx. Отсюда о о ι |«|2<с I u'2(x)dx; c = p, + -^qi. (7) о В неравенстве (7) положим и = и0 — v„, где υ„ — произвольный тригонометрический полином п-го порядка по синусам, η υη (χ) = 2 $k sin knx. 16*
276 ГЛ. VII АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Мы получим тогда I о В качестве νη возьмем гс-ую частичную сумму ряда (5). при этом интеграл справа примет наименьшее значение. Оценим его По уравнению замкнутости л 2 °° 2 Ci° 2 jK-<tf*-T Σ «ч-т Σ £< О /г = гг+| /г=гг + 1 оо /г=п+ | Отсюда | «0 — υп |2 = о (и-2). Приближенное решение по Ритцу, ип(х), но самому определению таково, что оно сообщает минимум величине η где уг, — произвольные постоянные коэффициенты. Отсюда следует, что | щ — ип | ^ |ы0 — vn 1, и это приводит к искомой оценке К-"»1 = оИ- (8) Заметим, что в рассматриваемой задаче оценка энергетической нормы дает сразу же равномерную оценку разности и0(х) —ип(х). Действительно, в силу условий (2), χ и0(х)-ип(х) = { [u'0(t)-u'n(t)]dt. о По неравенству Буняковского χ | и0 (х) - ип (χ) f < χ | [и; (0 - и'п (О]2 dt < ό </Κ(0-<(0]2^<-~-|"0-^|2; о здесь мы использовали соотношения (6) и свойства коэффициентов р(х) и q(x). Теперь \и0{х)-ип(х)\^-7=-\иГ)-ип\, (9) У Ро
§ 52. ОЦЕНКА ЧЕРЕЗ НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 277 если верна оценка (8), то \и0(х)-ип(х)\ = о(п-1). Оценку (8) можно улучшить, если предположить, что на сегменте [0, 1] функции p'(x),q(x) и f(x) непрерывно дифференцируемы. Тогда существует непрерывная третья производная u'Q" (χ). Интегрируя еще раз по частям в формуле (5), находим, что \ak\<cik~3· Отсюда 1 оо со J к-о2^=4 Σ kx<c* Σ k~1· О /г-зд+1 k—n+\ По интегральному признаку сходимости рядов Сопоставив это с неравенством (7), найдем, что \ιιΰ~νη\ = = О [η -%), и окончательно \и0-ип\ = О(п-% (10) В силу соотношения (9) такая же оценка верна и для величины |ti0(jc) — ип(х)\. Последние две оценки были получены Η. Μ. Крыловым [1]. Дальнейшее улучшение аналитических свойств функций p(x),q(x),f (x) не улучшает коэффициентов а^ и потому не улучшает оценки (10). Такое улучшение возможно, например, в следующем направлении '). Введя новую независимую переменную (6) и выбрав подходящим образом постоянную о, мы приведем уравнение (2) к виду ^- + r(t)u = F(t), ' (И) причем t будет меняться на том же сегменте 0<^-^ 1; краевые условия (3) остаются неизменными. Выполним еще замену неизвестной функции по формуле и = η + ί(1 —/) (at + β). При подходящем выборе постоянных а и β можно добиться того, ') См. книгу автора [11].
278 ГЛ. VII. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ чтобы в преобразованном уравнении свободный член 0бп щался в нуль при t = 0 и t = 1. Пусть уравнение (11) уже обд дает этим свойством. Тогда и"(0) = и"{\) = 0; если r(t) и Fu\ трижды непрерывно дифференцируемы, то функция и0(х) имее пять непрерывных производных, и α& = 0(/Η). Как и вьщт отсюда следуют оценки \и0-ип\ = О{п~Ц, |«o(x)-un(x)| = 0(n-'/«). (12). Если функции r(t) и F(t) имеют 2s—1 непрерывных производных, a r(f)!> Го = const > 0, то можно усилить сходимость процесса Ритца следующим образом. В уравнении (11) положим s-l ίί=«+2ί,(1-ί)/(α,ί + β/). (13) /-ι Коэффициенты α;· и β, выберем так, чтобы d2v F(t) df r[t) = 0, v=l, 2, ..., s-2. (14) f-0, I Тогда и^ЦО) = w<2v>(l) = 0, ν = 0, 1, ..., s, и существует непрерывная производная w<2s+1>(f)· Коэффициенты Фу^ье функции и имеют оценку 0(n-2s_1); если йп — приближенное решение по Ритцу, то, повторив предшествующие рассуждения, получим |йо-й„| = 0(я-«-Н1 ,г \й0(х)-йа{х)\^О(п-'~Ц.\ (} 2. Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка: т -Σ afr(A/*^)^-) + C(P)«-f(n р^о, (16) u|s = 0. (17) Область Ω предполагается конечной, а ее граница S — достаточно гладкой. Формула (7) § 27 показывает, что в данном случае с Г m άΩ. ι, *=ι (Я Пусть {φ„(Ρ)}— координатная система, и пусть Еп, Eh означают наилучшие среднеквадратические приближения функ- ции ыо, -а— линейными агрегатами функции φι, <рг, ..., φ„ и
§ 52 ОЦЕНКА ЧЕРЕЗ НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 279 gqn jJSi .., ~^- соответственно. Если обозначить еще через <j-> dx{ ' ^г /Р) наибольшее собственное число матрицы коэффициентов %£ (Р) и положить ЛГ = тах{тахЯ„(Р)> тахС(Р)}, то ^** ' Рей Ρ<ξΩ K-"nP<Ar[J]£^)2 + £nj. (18) Здесь, как и выше, и0 — точное решение задачи (16)—(17), ип — ее приближенное решение по Ритцу. Та же оценка, но с другой постоянной N, верна, если ЕП1 Еп] означают не среднеквадрати- ческие, а равномерные чебышевские наилучшие приближения. В своей статье [1] И. Ю. Харрик пришла к следующим результатам '). Пусть граница S определяется уравнением <р(Р) = 0, причем функция φ г раз непрерывно дифференцируема в замкнутой области Ω; внутри области Ω она положительна, а на границе S ее градиент по абсолютной величине строго положителен: Щ) 2 > 0, PeS. Пусть, далее, функция и(Р) г раз непрерывно дифференцируема в Ω и обращается в нуль на границе S. Тогда существует последовательность полиномов Rn(P) степени -С η по каждой из координат такая, что I Ds [и (Р) - φ (Ρ) Rn (Ρ)] Ι < Cajtf-*, s = 0, 1, ..., r. (19) Здесь Z> означает любую из производных порядка s, С — постоянная, ап—величина, которая зависит только от η и стремится к нулю при п—* оо. В качестве координатных функций для задачи (16) — (17) возьмем функции φ (Ρ) λ£λ£ ... л&т; k( = 0, 1, 2, ..., 1 < i < т. (20) Несколько изменяя наши обычные обозначения, будем под ип(х) понимать такое приближенное решение по Ритцу, которое содержит функции (20) со всевозможными показателями kj^Cn, /= 1,2, ..., т. ') В целях простоты изложения мы приводим здесь результаты И Ю. Харрик в несколько менее общем и полном виде.
280 ГЛ. VII. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Из неравенства (19) легко вытекает, что при таком выбоп координатных функций Е(п =>о{п~г+1), Еп = о(п~г), и оконча тельно \ип-ий\ = о{п~г+1). (21) Эта оценка также содержится в статье И. Ю. Харрик [1]; таы же приведены некоторые равномерные оценки разности и0(Р)-ип(Р). § 53. Проекционная схема Из общей теории приближенных методов, разработанной Л. В. Канторовичем ([2]; см. также Л. В. Канторович и Г. П. Аки- лов [1], гл. XIV), вытекает некоторая общая схема (будем называть ее «проекционной») построения и исследования класса процессов, которые являются обобщениями процессов Ритца и Бубнова—Галеркина. С полной отчетливостью эта схема была сформулирована в работах И. К. Даугавета [1, 2]; она использована в работе автора [27]'). Здесь мы изложим проекционную схему в условиях не самых общих, но достаточных для того, чтобы из этой схемы можно было получить и процесс Ритца. Пусть в уравнении Аи = f (1) А есть линейный оператор, который взаимно однозначно и непрерывно переводит некоторое гильбертово пространство /У, в такое же пространство Яг, так что DA = Нь RA = Нъ н оба оператора А и А~! ограничены2). Норму и скалярное произведение в Hk, k = 1,2, будем соответственно обозначать через (, )h и || ||А. Построим последовательность конечномерных подпространств н\п) пространства Ни обладающую тем свойством, что для любого элемента «е Ηλ справедливо соотношение £„(«)= inf Ци-оД-я^О. (2) Обозначим через Нр то подпространство пространства Н2, в которое оператор Л переводит подпространство //l's). Коротко будем это записывать так: Я2")== АН{"\ ') Отметим, что близкая схема, но в несколько иных условиях была ранее И. К. Даугавета сформулирована Н. И. Польским [9.] Подробнее об этом см ниже, гл. XI, § 100. 2) . ограниченность операторов А и Л-1 здесь означает следующее: существуют такие постоянные if, с", что II Αφ \U ^Ξ εΊΙ φΙΙι, ΙΗ-'ψϋ!^ <Ξ с"|| φ ||2. Наименьшее значение if называется нормой оператора А и обозначается через || А ||. Аналогично определяется || А'11|.
§ S3 ПРОЕКЦИОННАЯ СХЕМА 281 Ппя каждого η выберем оператор Q„, проектирующий (во ^" ~ - * . . f/7.1 .-* а ура time говоря, кос®, см. § 5) Н2 на Н\ . Приближенное решение внения (1) будем строить как элемент ип^НТ\ удовлетворяющий уравнению V Aun = QJ. (3) Если обозначить Рп = A'1 (2„Л, то ип - Р„«о, где и0 — точное решение уравнения (1). Покажем, что оператор Р„ проектирует Я, на подпространство Н". Действительно, если и е Н\, то Рпи = А~\Аи е A~]QnH2 = Λ-1//^ = я;"», и остается проверить, что Р2п = Рп- Пусть «<ξ#,, тогда Рпи^Н\п). Положим Рпи = Dn, Р^г/ = PnV = и>в. Имеем йу„ = A" QnAvn. Отсюда QnAvn = Awn. Но Λο#Ι«=Λ//ίΒ, = //£4, поэтому ζ?„;4ιι„ = Λϋ„. Теперь Avn = Awn и υη = ау„, что и требовалось доказать. Нетрудно доказать, что II «о - «Л < 0+11/Ml )£„(«<>)· (4) Действительно, если ν„ — произвольный элемент подпространства Н\п, то II«о-««Hi <ll«o- fnlli +\\vn-un\\] = = II «о - ов II, +1| Ρβ (ов - щ) II, < (1 + II Рв И )|| н0 - υη ||,. (5) Подпространство Я1"' конечномерно, поэтому в нем существует такой элемент дп, что Е„(ы0)=1|ыо — νη\\ι· Положив в (5) νη = vn, получим формулу (4). Из неравенства (4) вытекает такой достаточный признак сходимости ип -> и0: если || Рп || Еп (щ) ~^-^-> 0, то || и0 — ип ||, -> 0. Заметим, что II Ρ„II < I Л""' | · || Q, II · ИII = const · || Q„ ||, (6) поэтому достаточно, чтобы IIQ„ll£n(«o)-^->o. (7) Замечание. Если || и„ — «о II ι ~* 0. то || Аип -11|2 = || А («„ - щ) ||2 <|| Л || · || ип- н01|, -> 0. Таким образом, условие (7) достаточно для того, чтобы «невязка» Аип — / стремилась к нулю в метрике Н2.
282 гл. νιι. априорная оценка погрешности § 54. Применение к процессу Ригца Кроме пространств Н, и Н2 введем в рассмотрение еще on гильбертово пространство И, и пусть все элементы пространста° Ht принадлежат пространству Н2 и образуют в нем плотное мне? жество, а все элементы пространства Н2 принадлежат простран ству И и также образуют в нем плотное множество. Символ»' чески будем записывать это так: Η ι с: H2cz Η. Скалярное пр0 изведение и норму в Η будем обозначать через (,) и || ||, а в Hh~через (, )к и || \\к. Допустим, что для любого элемента ме Hi справедливы неравенства ΙΙκΙΚ^ΙΙμ^Ο,ΙΙμΙΙ,, (1) где с2 и с, — положительные постоянные. Отсюда и из сделанных выше предположений следует, что множество элементов пространства Ht плотно в Н. Выберем полную в Я, координатную систему {<рп}. За Hf1 примем подпространство, натянутое на φ,, φ2, ..., ψη, τ. е. под- п пространство элементов вида 2 айФ/г. где а& — постоянные. Тогда подпространство Н^} будет натянуто на /4<р,. /4<р2, ..., Αψη. Проекторы Qn определим соотношениями (f-QJ, Φ/) = 0, /=1,2, ..., η. (2) Допустим, что оператор А положительно определенный в пространстве Н. Тогда система (2) есть система Ритца для уравнения (1) § 53 в пространстве Н. Действительно, элемент Qrf η имеет вид QJ = 2 ойЛфй, ofe== const, и соотношения (2) прини- мают форму (8г) § 17: η 2 ak {Aq>k, φ,) = (f, ψ,), j = 1, 2, . .., п. В силу уравнения (3) § 53 un^A~lQj=^ak<fk (3) и, следовательно, ип есть приближенное решение уравнения (1) § 53 по Ритку в пространстве Н. Оценим величину || Qn \\. Имеем II η ||2 η Ift-i ib /,fe=i
§ Б4 ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОЦЕССУ РИТЦА 283 обозначим через ΛΪΓ' наибольшее собственное число матри- ϋ --' произведений (A<pk, Αψ,)2, и *=1, 2, .... п. „ы скалярных произведении Тогда „ \\Qj\t<A™£al. (4) *=1 Как обычно, символами [,] и | j обозначим энергетическое произведение и энергетическую норму оператора А; через λί"' обозначим наименьшее собственное число матрицы Ритца, т. е. матрицы скалярных произведений (Aq>h, ψ}), j, k = 1, 2, ..., п. Тогда Но (см. формулу (15) § 17) |ы„|<|ыо|. Отсюда η По неравенству (*) § 161 «01 <[[ / И/γ, и потому 2 а! < [| / l№"V)· Далее, в силу неравенства (1), || /1| << с2 II / ||г. Теперь £ei<e!l[flf/WV> /г—] Подставив это в (4), получим \0Л<сУ1^1^. (5) Если числа λίη) ограничены снизу положительным числом '), то оценка упрощается: В силу соотношений (4) и (6) § 53 II «о — и» Hi < Св ^ΛίΓΥλί"*; (7) ') Это будет, если координатная система сильно минимально щ энергетическом пространстве. См. книгу автора [26].
284 ГЛ. VII. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ если числа λίη) ограничены снизу положительным числом, то ||ио-«Д<Сб VXF. ,и Всюду выше через С с различными индексами обозначены нек торые постоянные. °" Формулы (7) и (8) дают априорную оценку погрещНост приближенного решения по Ритцу в норме Ht. и § 55. О норме производной полинома ') Пусть Rn (х) — полином степени п, и Λί = max \Rn(x)\. α<χ<6 Хорошо известно неравенство А. А. Маркова2) \R,n(x)\<:2Mnl(b-a), o<x<6. до Это неравенство обобщается на полиномы от многих независимых переменных: если Rn(P)^ Rn{x\,X2, ■. .,хт)~ полином, степень которого по каждой из переменных Х|,х2...., Хщ не превосходит п, и Ω — конечная область в пространстве этих переменных, удовлетворяющая так называемому «условию конуса», то3) |grad#„(P)|<Ctt2max!tf„(Q)|, С-const, PeQ. (2) Из неравенства (2) вытекает очевидное следствие: если Dh означает любую производную порядка k, то \DkRn(P)\<:Chttikma^\Rn(Q)\, Cft = const, ΡεΩ. (3) В книге Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова [1] для полиномов, зависящих от двух переменных, и для случая круга установлено неравенство I/?„(*!, *2)КСо"2|1#Л,<£»> ') Результаты, сформулированные в настоящем параграфе, будут использованы в §§ 56 н 57. 2) См., например, И. П. Натансон [2J. 3) Область Ω удовлетворяет условию конуса, если существует прямой шаровой конус фиксированных размеров, обладающий следующим свойством: совместив вершину конуса с произвольной точкой Ре е Ω, можно затем повернуть его так. что он весь, кроме, может быть, точки Ре, будет лежать в Ω. Доказательство неравенства (2) дано в статье автора [29]. В книге Л. В. Канторовича н Г. П. Акилова [1] неравенство (2) сообщено без вывода н без каких-либо предположений о характере области Ω для случая двух независимых переменных.
§ 55. О НОРМЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПОЛИНОМА 285 если точка {χι,χζ)^ Ω. Рассуждение обобщается на лю- верНчи'сло т переменных и приводит к неравенству 606 max\Rn(P)\<C0nm\\RJ\L2W, (4) ному Для области, удовлетворяющей условию конуса. Для любой непрерывной функции g(P) имеем II £ 1!2 ю = JV (Р) ^ < Ι Ω I max | g (ρ) ρ, Ο Ρ^Ω пе через |Ω| обозначен объем области Ω. Отсюда и из неравенства (2) следует 4^5- <V|Q|max ~^ dxk Lim Рев dxk <CWmax|P„(P)l, Рей что в соединении с неравенством (4) приводит к важному соотношению ||Ы <C"«-+2||/?J (5) Для производных более высокого порядка аналогично имеем II DkRn Иый) < УЩ\ max | DkRn (Ρ) | < Рей VWl CVft max I /?„ (Ρ) | < с///я'»+» || /?„ (Ρ) Β£,(Β)· (6) рей При т = 1 удается получить лучшую оценку. Этот случай мы и рассмотрим. Обозначим, как обычно, через Р7,(х) полином Лежандра') степени п; через рп(х) обозначим нормированный полином Лежандра р„(дс)=ж У"(2я+1)/2 Рп(х); \\pJ\L (_, „=» 1. Вычислим ве- личину ιp»Lc-i.u- Имеем I Р" W Р» WI-, --^^ J Pn (χ) Ρη (χ) dx. -I 2и + 1 -I Интеграл справа равен нулю, потому что полином Рп(х) Ртогонален к полиному Р'п{х), степень которого ниже п. Далее, Е_ g ρ полнноыах Лежандра см., например, В. И. Смирнов [3] нли
286 ГЛ. VI Г. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Р„(1) = 1, Р„(—1) = (— 1)", а значения производной мы найДе из соотношения * P/„(x) = (2n-l)Pfi, + (2n-5)P^.3 + (2n-9)P„_5(x)+ ...f которое дает Р'п{± 1) = θ{η). Теперь (значок L2{— 1, 1) у нормы опускаем) | р'п [ = О {ηηή. Пусть Rn{x)—одномерный полином степени п. Разложим его по нормированным полиномам Лежандра /?„(*) = ][iakpk(x) η Тогда ||/?„|2 = Σ α\. В то же время jtfw-fs^w^iciipiw-i^pipiu). Интегрируя, находим Окончательно ') I /£ I < C,n2|| ft, И, С, =■ const. (7) Отсюда вытекает неравенство для высших производных: I R(n || < C2n2k\\RnW, Сь = const. (8) § 56. Полиномиальные приближения для обыкновенного дифференциального уравнения Рассмотрим задачу (15), (16) § 21; сохраним все предположения относительно уравнения (15) § 21. В качестве координатной системы возьмем систему полиномов Ф«Μ = (х - «Г(*-&Г #„-,(*), я-1,2,..., (1) где R„(x)—полином степени п. Приближенное по Ритцу решение ип(х) есть тогда полином степени п-\-2т—1. Допустим, что коэффициенты ръ(х) и свободный член f(x) имеют на сегменте [а, Ь] достаточно много непрерывных производных. Легко показать тогда, что точное решение задачи, которое мы обозначим через щ(х), имеет сколь угодно много производных. Будем считать, что оно имеет на сегменте [а. Ь] непре- ') Неравенство (7) легко получить, также как частный случай изрест* ПЫХ более общих неравенств; см., например, Н. К. Бари [1].
§ 56. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ 287 «ные производные до порядка г включительно, где число г достаточно велико. Выясним, как производные приближенного решения сходят - к производным точного решения. Для этого воспользуемся Сезультатами предыдущих параграфов. Возьмем H = L^{a,b). Е[тобы выбрать пространства Я, и Н2, введем в рассмотрение класс гильбертовых пространств ψψ(α, b)1). Элементы пространства Wf(.a, b) суть функции, /— 1 раз непрерывно дифференцируемые на сегменте [а, Ь] и имеющие почти всюду 1-ую производную, суммируемую с квадратом на том же сегменте; кроме того, если и т Wf (a, b), то иР-1) (χ) = uff-i> (а) + j и<" (/) dt. Норма в Wf(a, b) может быть задана формулой ι fe=0 i«i=»««iU"2i«w^; (2) допустима любая другая норма, эквивалентная2) норме (2). В соответствии с формулой (2) определяется и скалярное произведение в Wf{a, Ь): ι (U, O\ = (U, D)^-S(«iW, V<»). (2,) /г=0 Данное здесь определение пригодно для любого натурального I Принято обозначать wT{a, 6)=Ζ.2(α, Ь). Теперь положим Η{ = Ψ(ξ\α, b), //2=B*f (α, 6), где />0 и s = 2m + Ι-iCr, нолик сверху означает, что рассматривается подпространство пространства W% (a, b), определяемое условиями (16) § 21. Нетрудно убедиться, что при этом выполнены все требования предшествующего параграфа, наложенные на оператор данной задачи. ') Вводимые здесь пространства Wy {a, b) являются частным случаем введенных С. Л. Соболевым [2] пространств ψψ (Ω), где Ω — произвольная область в пространстве любого числа измерений. г) Две нормы || IIι и || ||2 называются эквивалентными, если они определены на одном и том же множестве элементов и если для любого эле- ■ мента и из этого множества справедливо неравенство cillu|i<|u|b<cl|a|i, гДе С) и с4 — положительные постоянные, не зависящие от и.
288 ГЛ VII. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Можно считать, что координатные функции (1) ортонор.ч)113„| ваны в H?2m) (a, b); на значении приближенного решения ип ЭТ не отразится (см. § 17). Тогда, как можно доказать1 ),™соб? ственные числа матриц Ритца ограничены снизу положительным числом, и для нормы HQnll справедлива оценка (6) § 54. Оценим величину ЛИ1'. Обозначая через А оператор нашей задачи, имеем ΛίΓ'-max 2 (Ayh Ay^titk^maAAyitkyk]. (3) Обозначим π 2'*Φ*(*)-Φη(*. t). (4) Выражение Ф„ (χ, t) — полином степени не выше η + 2т + 1 по каждой из координат. Очевидно также, что, каков бы ни был вектор t, Ф„ е lf4s) (α, Щ. о Нетрудно убедиться, что для любой функции u^w£ (а, Ь) справедливо неравенство || Аи ||, < С || и %, С = const. В частности, || АФп ||г< С|| Ф„ ||s. Формулу для нормы в W^ можно записать в виде m+t m «.«-ΣΣ|££Γ = С,^с«+»||Ф„|Рт. „ * I dx" dxl % σ=ο τ=0 Lt По формуле (8) § 55 т Т—О — < Припоминая, что функции <pfe ортонормированы в й4т), найде1 т II Ф„С =2*1=1· Отсюда ||ΦΒ|£<εΙ/ι4'Μ+" и Af<Cmax||Ojfs<iV(m+/>. |ίϊ-Ι ') Сы по этому поводу книгу автора [26].
57. ПРИБЛИЖЕНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 289 v величины Еп(щ) можно получить как частный случай ровной теоремы И. Ю. Харрик [3]: £»(«a)«Vr'+4,; σ»-τΐ53Γ*0· Теперь по формуле (8) § 54 II "о - ««I < C4n-r+to+*ση. (5) формула (5) дает априорную оценку погрешности в норме L2 для производных порядка > 2т. Замечание. Интересные априорные оценки погрешности для задачи настоящего параграфа содержатся в работе В. П. Ильина [1]. § 57. Полиномиальные приближения в многомерных пространствах1) Рассмотрим задачу Дирихле для системы вида 2k Ά Da{^(P)lfu)^f(P), Рей, (1) |Ο|+|β|=0 ^ Dvu|s = 0, 0<|γΚ*-1. (2) Здесь Ρ — точка конечной области Ω, гомеоморфной шару и лежащей в m-мерном евклидовом пространстве, α, β и γ—муль- тииндексы, т. е. наборы т целых неотрицательных чисел: a = = (αϊ, α2, -.., ост) и т. п.; если a = (αϊ, %,..., a,») — мультиин- декс, то принято обозначать |а| = αϊ + аг + ... + ат. Через Da здесь обозначается производная D И д а, а2 а£- Мы предполагаем, что граница 5 области Ω определяется Уравнением ψ(Ρ) — φ(χι,Χ2, ..., хт) =0, где φ — полином2). Будем считать, что φ(Ρ)>0 внутри Ω и grad<p(P) Ф0, если РеS. Примем также, что коэффициенты Аа$(Р) и свободный член ί(Ρ) имеют достаточное число производных, непрерывных в замкнутой области Ω. Допустим еще, что уравнение (1) эллиптическое, не вырождающееся в Ω, и что оператор задачи (1) — (2) положительно определенный в Ζ,2(Ω). ') Для полного понимания настоящего параграфа необходимо знакомство с основными фактами теории соболевских пространств. См. книги С. Л. Соболева [2J, В. И. Смирнова [4] и автора [II]. *) Если должным образом обобщить результаты статьи И. Ю. Харрик Й, то можно рассмотреть и тот случай, когда (р(Р) —произвольная достаточно гладкая функция. См. статью автора [29]. 19 С. Г. михлин
290 ГЛ. VII. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ В перечисленных условиях точное решение и0(Р) задачи (1) — (2) может иметь сколь угодно много непрерывных производных. Будем считать, что оно имеет в Ω непрерывные производные до порядка г включительно, где число г достаточно велико. В качестве координатных функций возьмем произведения Ф|/>(Р) = Ф*(Р)/?«>(Р), (3) где Rn] (Ρ) — полиномы степени ·<η по каждой из переменных χ ι, х2, - · -, Хт, причем хотя бы одна из этих степеней равна п. Приближенное решение по Ритцу будем строить в виде ««(/ΗΣ Σανψ'ΗΡ). (4) Пусть ρ — степень полинома ср(Р). Тогда ип{Р) есть полином, степень которого по каждой из переменных Х\,х2, ■ ■■ ,Хт не превосходит η + kp. Возьмем Η, - Wf (Ώ), Η2 = Wf (Ω), Η = U (Ω), где 1^-0, s — 2k + l^Cr; нолик сверху означает, как и в § 56, что рассматривается подпространство пространства W2 (Ω), определяемое условиями (2). Координатные функции будем считать ортонормированными в W2k)(Ω). Тогда можно доказать, что собственные числа λ" (см. § 54) ограничены снизу положительным числом, и для нормы \\QnW верна оценка (6) § 54. Оценим величину Λί?. Обозначим через N число координатных функций, входящих в приближенное решение (4). Рассуждая, как в § 56, найдем Л^) = тах|| Афп \1, где Л—оператор Я*! — I задачи (1) — (2) и Фп(Р, ί)=ΣίιΨι(Ρ); /=■1 здесь, как и в предшествующем параграфе, значок внизу означает номер соответствующего Соболевского пространства. Как и в о § 56, для любой функции кеГг (Ω) справедливо неравенство MalKCIMt, С = const. о В частности, Фпе n4s> (Ω) и, следовательно, ||ЛФ,Д<С||Ф,Л.
§ 58. ПРИМЕНЕНИЕ СХОДНОГО ОПЕРАТОРА 291 Норму в В4 (Ω) можно задать формулой уммирование производится по всем мультииндексам α и t та- i~jM что |а|-^к+/и |τ|-<&. Если воспользоваться оценкой нормы производной полинома (формула (6) § 55), то получим „ Ф„ (< с,«4 <fc+',+2m ι Σ. J dX I „ < с,«4 №+«+2m и ф„ (. Координатные функции ортонормированы в ΐΗ^Ω), поэтому |Φ«ί=Σί/-1. (5) и окончательно Л?)<С8п**+0+8и. (6) Оценку величины £„(«о) дает основная теорема статьи [2] И. Ю. Харрик. В силу этой теоремы Е„ (н„) - О (и-'+Ч,); σ„ -^^> 0. Теперь по формуле (8) § 54 ||иь-цЛ<СЭи-,+*+8'+т<>·,,. (7) В частности, «невязка» ;4ы„— f в уравнении (1) стремится к нулю в метрике Ζ,2(Ω), если г> 4& + т. Замечание. Для эллиптического уравнения второго порядка и для бигармонического уравнения В. П. Ильин [2] получил оценку лучшую, чем оценка (7), используя разработанный им аппарат так называемых мультипликативных неравенств. Построения В. П. Ильина выходят за рамки настоящей книги. § 58. Применение собственных элементов сходного оператора I. Понятие о невязке. Если дано уравнение Au = f (1) и ип— какое-либо его приближенное решение, то разность Atin — f называется невязкой этого приближенного решения. Пусть А — положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, н ы„ — приближенное решение Уравнения (1) по Ритцу. Будем считать, что координатные элементы принадлежат области DA определения оператора А, тогда tin^DA и выражение Аип — /—невязка—имеет смысл. Интересен вопрос, прн каких условиях невязка стремится к 19*
292 ГЛ. VII. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ нулю. Это очевидно, если А — ограниченный оператор; если щ^, точное решение уравнения (1), то по доказанному в § 17 II"« - "о ΙΙ-^ξ·> Ο, и потому || Ащ, - f || = || А(и„ - но)||<||Л || · ||«„ -«011"^*°- В общем случае невязка не стремится к нулю. Можно доказать (см. книгу автора [11]), что если невязка стремится к нулю при любом f е Η и при любом выборе координатной системы, то А — ограниченный оператор. Однако при некотором специальном выборе координатной системы невязка может стремиться к нулю: мы видели это в §§ 56, 57. Ниже будет указан еще один способ выбора координатной системы, при котором невязка приближенного решения по Ритцу стремится к нулю. 2. Сходные операторы'). Самосопряженные положительно определенные операторы А и В, действующие в одном и том же гильбертовом пространстве, мы называем сходными, если DA = DB. Если А и В — сходные операторы, то произведения А-'В, ВА-\ В-'А, АВ~' ограничены. В теории операторов в гильбертовом пространстве доказывается такое утверждение: если А — положительно определенный оператор, то существует один и только один положительно определенный оператор Υ А = А 2, квадрат которого равен А; если vg—нижняя грань оператора А, то γο — нижняя грань оператора А,/г. Можно доказать2), что Dyj = НА и что | <р| = || Υ Α φ|, где φ — любой элемент пространства НА. Отсюда, между прочим, следует, что [φ, ψ] = (ν^4φ, V^*I>); Φ. ф^ЯА. Если А и Б —сходные операторы, то А и β —также сходные3). Отсюда следует, что операторы А^В*'*, B',2A~'k, B~'kAth, А'ьВ~Чг ограничены. 3. Теорема о невязке4). Пусть А и В — сходные положительно определенные операторы, действующие в сепарабель- ном гильбертовом пространстве Н, и пусть оператор В имеет дискретный спектр. Если систему {<pfe} собственных элементов оператора В принять за координатную для уравнения (1) и если п. ип = Σ ад/г (2) ■) Подробно о сходных операторах см. книгу автора [26), где приведены также доказательства приводимых здесь утверждений. 2) См. книгу автора [11]. 3) Это вытекает из результатов статьи Е. Хайнца [1]. 4) См. статью автора [18] и статью Г. М. Вайникко [9]. В книге автора [26] теорема о невязке дана в ослабленной форме.
§ 58. ПРИМЕНЕНИЕ СХОДНОГО ОПЕРАТОРА 293 п-е приближение по Ритцу к точному решению уравнения еп\ то невязка AUn—f стремится к нулю при η -* оо. Пусть μη— собственное число оператора В, соответствующее собственному элементу <pk, так что B<ph = μΗφΗ. Как обыч- числа μη считаем расположенными в порядке возрастания. Обозначим через Р„ оператор ортогонального в Η проектирования на подпространство Нп элементов <pt, φ2, ..., ψη, и пусть μη) = Ε — Ρη· Из известных теорем теории операторов в гильбертовом пространстве следует, что при любом α > 0 операторы Ва и рп перестановочны и что \\варп\\=С Ifl-VI-iC,. (з) Пусть ϋο — точное решение уравнения (1). Как было сказано в § 52, приближенное по Ритцу решение ип дает в Нп наилучшее в НА приближение к ио, поэтому |Ho-«„Ia<I«o-P„«oIa=|P(">«oL=II^V",«0|I< Далее, <|А-*Р№,|-|РЛвцв|-мЙ|р«А^|. Отсюда \u0-un\A^^\\AVi-lP^Bu0l С другой стороны, |θ,/2(«ο-«„)Ι<Ι|β,/Μ-,/ί|·||Α,/ί(«ο-"»)ΙΙ=|β,/Μ~,/,Ι·ΐ"ο-"„ΐΑ. Сопоставив это с предыдущим неравенством, получим Ι|β,/2(»ο-«„)!<Φ^Ι|Ρ(">β»ο«.· (4) здесь для краткости положено ο = 1>4,/ι,θ~ι/,1·|θνΜ-,/,||. Если «е#„, то P&iu — 0, поэтому В(щ — «„) = В(Рп + Ρ(η)) («ο— "») = = βν2ρηβ'/8(Μο _ Ып) + βρ(»>„0ί Отсюда по формулам (3) и (4) В в(ип - и0) и <[с у"1а^+ ι]II Р{п)ви01 <(с +1) ι рмвщ II и, следовательно, ВЛы„-/|| = ||Л(ы„-«0)||<1АВ~,1-||В(«„-«о)11< Ц(С+1)1^-'1-1^>Б«о!. (5)
294 ГЛ. VII. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Элемент Р^Ви0 есть остаток ортогонального ряда, дающего разложение элемента Ви0 по полной ортонормированной Си_ стеме {φΑ}· Отсюда следует, что ||Р<"'£ы0|| „_,„„> 0, и теореМд доказана. Одновременно неравенство (5) дает оценку нормц невязки через наилучшее приближение элемента Buo линейным агрегатом элементов φι, ф2, · - -, φη. Это наилучшее приближение есть величина \\ Р^Вщ II- Примеры. 1. При краевом условии задачи Дирихле (S-~ граница области Ω) и\д = 0 операторы Ви = —Аи и т — сходные, если только оператор А невырожденный. Поэтому при решении задачи Дирихле для уравнения m целесообразно в качестве координатных брать собственные функции оператора Лапласа для области Ω, удовлетворяющие краевому условию и\а = 0. 2. При краевом условии задачи Неймана -тЧ =° д\ Is положительно определенные операторы—Аи + и и —Аи+С(Р)и, где С(Р) > 0, — сходные. При решении задачи Неймана для уравнения —Аи + С(Р)и = f(P) целесообразно в качестве координатных брать собственные функции (удовлетворяющие краевому условию -д— =0) оператора —Аи + и или, что то же, оператора Лапласа для данной области Ω. Дальнейшие результаты содержатся в работе А. В. Джиш- кариани [3]. Пусть ν — произвольный элемент пространства Н. Система {<рь} собственных элементов оператора В ортонормирована и оо полна в Н, поэтому, обозначая А-1 = G, имеем Go — 2 (Gv, <P/)<Pj оо и одновременно V—^(v,<Pk)4>k- Из второго равенства на- ходим оо {Ον, φ;)= 2 (бфь ψ}){ν, φ*),
§ 58. ПРИМЕНЕНИЕ СХОДНОГО ОПЕРАТОРА 295 явив это в первое равенство и вводя обозначение (8?w> -Cjn'получаем Gu=_S c}k(v, <ps)q>/. Положим сю η Gnv = Σ Σ c/fc (ι>, <pfe) φ;- (6) (7) Систему Ритда для уравнения (]) можно представить в виде (Aun-f, Ф/) = °» ;=!. 2, .... п. Отсюда С„б„ = 0, 6„=^„-f. (8) Если ш— точное решение уравнения (1), то δη = Α(ιΐη — «о)· Отсюда ^_ щ = А~\ - G6„ = (G - G„) б„ - оо оо оо оо = Σ Σ C/fe(6„, Фй)ф/=21 Σ (А'!Ф*, Ф/)(б„, φΑ)φ/. /=Ι fc=n+l /=-1 fe=n + I Далее, θφ& = μ&φ& и, следовательно, ;=1£=« + ! Hft Ф/ = П / оо и так как система {φ,} ортонормирована и полна, -го Отсюда ft=n+i ^ ft=fi+l ^ Φα· K~«„ii<M_1Bl· (δ«· 4>k) Σ^ Фй fc=fi+l fct φ/*)2 ί ,
296 ГЛ. Vir. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ и окончательно „ ,,^[|Л-'й[[-ЦбЦ \\А'1В\\ „ ,„ . По доказанному Aun — f „_»ю-» 0, поэтому Κ-"„|]=ο(ΚΓ+0· Нетрудно получить оценку и в энергетической норме: |«о-"п |^ = (i4(Ho, ы„), Ц)-ы„) = = (/ - Лы„, ы0 - "«) <ΙΙ δ« II · II "о - "«ΙΚ Л-'βΙ откуда l^-«-l<J70JLIM-°(wS>
ГЛАВА VIII ВСТРЕЧНЫЕ МЕТОДЫ И АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ § 59. Встречные методы Пусть А — положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, и пусть уравнение Au-f, ft=H, (l) приближенно решено процессом Ритца; обозначим через ип приближенное решение по Ритцу, через «о — точное решение уравнения (1). Задача настоящей главы — зная приближение ы„, оценить погрешность и0 — ы„. Допустим, что координатные элементы принадлежат области DA определения оператора А. Тогда погрешность приближенного решения можно оценить довольно просто, хотя оценка может оказаться и очень грубой. Указанная погрешность равна Uo-un = GA(u0-un) = G(f- Aun), G*=>A~l, отсюда по формуле (5) § 16 находим оценку для нормы погрешности в метрике Η \\Щ-ип\\<\\С\\-\и ~ Aun\\^\f- Aun\\. (2) Оценка (2), как было отмечено, может оказаться грубой, так как в общем случае Аип не стремится к / (см. п. 1 § 58). Кроме того, оценка (2) неприменима, если координатные элементы не принадлежат области DA: в этом случае она просто лишена смысла. Другой, более важный способ апостериорной оценки погрешности состоит в следующем. Имеем F (ы„) = | и„ — щ |2 — | «о p. Обозначим mi π F (и) = - I ы0 |2 = d. Тогда \un-uaf = F{un)-d. (3) Обычно не удается точно определить число d. Допустим, однако, что в нашем распоряжении есть способ, позволяющий строить
298 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ числа, меньшие d и сколь угодно к d близкие. Пусть δ — Та число. Заменим в (3) d через б. От этого правая часть в (3) vK°e личится, и мы получим искомую оценку уВе" \un-u0\<VF(un)-6. ( Из неравенства (5) § 9 следует также оценка \\ип-и0\<~ YF(un)-b. (5) Таким образом, дело сводится к построению чисел δ, меньших d и, желательно, по возможности близких к d. Такое построение можно будет осуществить, например, в следующих условиях. Пусть нам дан функционал Φ (и), минимум или хотя бы точная нижняя граница которого равна \u0f. Тогда можно положить б = —Ф(и), где и— любой элемент из области определения функционала Ф(«); очевидно, при подходящем выборе элемента и можно добиться и того, чтобы δ было сколь угодно близко к -|«о|2- Как мы увидим ниже, такие функционалы удается иногда построить, причем в некоторых случаях минимум функционала Φ (и) достигается на том же элементе и0> который удовлетворяет уравнению (]) или, что то же, реализует минимум соответствующего функционала энергии. В таком случае минимизирующая последовательность для Φ (и) может, при известных условиях, доставить новое приближенное решение уравнения (1). Методы решения этого уравнения, основанные на минимизации функционалов с минимумом, равным |ы0|2, мы будем называть встречными по отношению к энергетическому методу. Наиболее важные из встречных методов — это метод ортогональных проекций и метод Трефтца, речь о которых пойдет в следующих параграфах настоящей главы. Отметим, не входя в детали, что числа δ можно строить, опираясь на так называемое преобразование Фридрихса, довольно подробно изложенное в монографии Р. Куранта и Д. Гильберта ([1], гл. IV, § 9); дальнейшие применения и некоторые обобщения преобразования Фридрихса можно найти в работах М. Г. Сло- бодянского [1 —6]. Оценки (4) и (5) требуют вычисления величины F(un). Если, как об этом сказано выше, ип построено по методу Ритца, то F(u„) можно вычислять следующим образом. Имеем η in F (un) = 2 [Фь Ψ/J GfeO/ - 2 Σ ak (f, q>k). (6) ./, fe=-I fe=I
§ 60. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ 299 ффициенты аь удовлетворяют уравнениям п. Σ[φ*> 4>i]ak = (f, Ф/)> /=Ι. 2· ···» "· (7) Умножив это на о,- и просуммировав, получим η η Σ [ФЬ Φ/1 G/Gfe= Σ (f, φ;) β/· Подставив это в (6), придем к искомому результату fW=-S(Ui)flfe. (8) формула (8) удобна тем, что входящие в нее числа ак и (f, <рь) заранее вычислены в процессе составления и решения системы (7). Формула (8) выведена в предположении, что все рассматриваемые функции вещественные. В комплексном гильбертовом пространстве, как нетрудно доказать, § 60. Метод ортогональных проекций в задаче Дирихле Как уже было упомянуто во введении, метод ортогональных проекций был сформулирован в 1909 г. С. Зарембой в его статье [1] применительно к задаче Дирихле для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными. Хотя Заремба и не мог воспользоваться аппаратом теории операторов, в то время еще не вполне разработанной, тем не менее основные особенности метода выступают в упомянутой статье с полной отчетливостью: решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа Заремба получает как проекцию функции, удовлетворяющей поставленному краевому условию, в подпространство гармонических функций. В более поздней статье [2] Заремба применяет тот же метод к задачам Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа с любым числом независимых переменных. Самый термин «метод ортогональных проекций» появился в 1940 г. в статье Г. Вей ля [2], который также рассматривал задачу Дирихле; к более широкому классу краевых задач этот метод был применен М. И. Вишиком [1]—[3]. К методу ортогональных проекций примыкают также'работы X. Диаса [1], К. Морэна [1], [2] и М. И. Клиот-Дашинского [1], [2]. Будем искать функцию и(Р),которая внутри конечной области Ω удовлетворяет уравнению Пуассона (неоднородному уравнению Лапласа) -Δ« = /(Ρ), /€=ΜΩ), (1)
300 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ а на границе S области Ω — краевому условию " Ь = о. (2) Хорошо известная формула векторного анализа hu = div grad u позволяет записать уравнение (1) в виде —div grad и = fip\ Обозначим grad и — v. Заметим, что наша задача будет решена если мы найдем вектор ν, так как восстановление функции по её градиенту — дело достаточно простое. Теперь нашу задачу можно сформулировать так: требуется найти вектор \{Р), который удовлетворяет уравнению - div v = f (P) (3) и представляет собой градиент некоторой скалярной функции равной нулю на S. Введем в рассмотрение векторное пространство L2(Q), в котором скалярное произведение и норма даны формулами (10) и (11) § 2. Для краткости будем обозначать это пространство через ф. Введем в φ два подпространства φι и ф2- За φι примем множество векторов, которые являются градиентами функций, принадлежащих энергетическому пространству Ш оператора Я задачи Дирихле для уравнения Лапласа (см. § 24); напомним, что функции из #а обращаются в нуль, в обычном или в обобщенном смысле, на границе области. За фг примем множество векторов, имеющих обобщенную дивергенцию (см. § 35), равную нулю. Докажем прежде всего, что φι и ф2 суть подпространства. Линейность этих множеств очевидна, и надо лишь установить их замкнутость. Пусть v„ e J&i и ν„ -+ ν в смысле сходимости в ф: Ovn-vll-s^O. Пусть, далее, vn=grad<pn, (р„еЯг По формуле (20) §24 ΙΨη ~ φ* Ι = J (grad φ„ - grad <pfc)2 dQ = || v„ - \k ψ η_ k^^ 0, и последовательность (φη|— фундаментальная в Я?ь В силу полноты пространства #« существует такая функция φ е Н%, что Ι Ψη - Φ k β ί J (v« - grad φ)2 dQ |'A = || v„ - grad φ || -^^* 0. Но, как мы видели, одновременно || v„ — ν || „.»„,-> 0; в силу единственности предела ν = grad φ и, следовательно, ν е jgj. Этим доказано, что £ι есть подпространство пространства ф.
§ 60. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИИ 301 Пусть теперь vn ен £2 и ||ν„- ν||-^^*0. Имеем div vn = 0, по формуле (*) § 35 означает следующее: Jvn(P)gradq>(P)dQ=(vn, grad φ) = 0, (4) Ω гле на этот раз φ (Ρ) означает произвольную функцию, бесконечно дифференцируемую в Ω и равную нулю вблизи границы S области Ω. По непрерывности скалярного произведения из равенства (4) находим, что (v, grad φ) = 0. Та же формула (*) δ 35 дает нам, что вектор ν имеет обобщенную дивергенцию и что divv = 0, и, следовательно, £2 есть подпространство. Дальнейшее основано на важной формуле &=ад &2· (5) формула (5) содержит два утверждения, которые нам предстоит доказать: 1) Если Vi е £ι и v2 е £2, то (vi, v2) — 0. 2) Если ν е ф, то ν можно представить в виде суммы ν = = vi + v2, где Vi e jg, и v2e £2. Пусть ν, = grad φ,, φ, ε //„. По определению энергетического пространства существует такая последовательность Ф|„еА>1> П""1· 2> ·■·· чт0 1 Φι — Φι„ist-TT^i^^° или- чт0 т0 же- || grad φ, - grad<p,„ ||=||v, - grad φ,„ ||-ίΓ^Ξ*0. Напомним, что функции из D« дважды непрерывно дифференцируемы в Ω и равны нулю на S. Можно доказать (мы на этом не останавливаемся), что функции ψ1η можно выбрать бесконечно дифференцируемыми и равными нулю не только на самой границе S, но и вблизи этой границы. По условию div v2 = 0 и по формуле (*) § 35 (v2, grad φ1η) = 0. Переходя к пределу под знаком скалярного произведения, получим (v2, grad φΟ = (ν2, ν,)= 0, и утверждение 1) доказано. Обратимся к утверждению 2). Пусть ve£. Поставим задачу: в пространстве Ни найти функцию, реализующую минимум функционала |<p|-2(grad<p, v). (6) Линейный функционал lq> — (grad φ, ν) ограничен в Нш- Действительно, |/φ К II grad φ || · II ν || или по формуле (20) § 24 Ι'φ|^||ν||· |φ|5Ι. В силу результатов § 20 задача о минимуме Функционала (6) имеет решение, которое мы обозначим через φι. Положим Vi = grad<pi и v2 = ν — V|. Тогда νι ефь остается доказать что v2e£2, т. е., что divv2 = 0.
302 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Пусть η(Ρ)— произвольная функция, бесконечно диффере, цируемая в Ω и равная нулю вблизи границы S. Такая функщ, принадлежит пространству #и, поэтому функция φι(Ρ)+αη(ρ? при любом вещественном α также принадлежит этому простран. ству. Функция F(a), определенная равенством /7(α) = Ιφ,+αη||-2(βΓ8ά(φι+αη), ν) = = α21 η ζ + 2α {[φ„ η]α - (ν, grad η)} +1 φ, |2 - 2 (grad <ρ„ ν), достигает минимума при α = 0, поэтому Ρ'(0) = 0, или foi. *lln-(v, grad η) = 0. (7) По формуле (19) § 24, [φ„ T)]st= (grad<p„ grad η), и соотношение (7) принимает вид (v2, grad η) = 0. Из определения обобщенной дивергенции теперь вытекает, что вектор ν2 имеет обобщенную дивергенцию, равную нулю. Этим доказано утверждение 2). Перейдем к изложению метода ортогональных проекций. Построим какой-либо вектор V(P), удовлетворяющий уравнению (3). Обычно это сделать нетрудно. Так, если удастся найти такую функцию g(x), что f (χ) = -^-, то можно положить VK, — VK = ОХт ' 2 = ... = Vχ = 0, VK = — е (х)· Положим V = ν + w, где ν — искомый вектор. Тогда divw = divV—divv = 0, так что w е ^2. В то же время по условию задачи ν е &. Теперь ясно, что искомый вектор есть проекция вектора V на подпространство φι — в этом и состоит метод ортогональных проекций. Формула (8) § 4 дает прием построения проекции, который можно применить к определению вектора ν; нетрудно видеть, что этот прием привел бы к ортогональному ряду (6) § 14. Как мы увидим ниже, оказывается целесообразным проектировать вектор V не на нужное нам подпространство £ь а на «дополнительное» подпространство ф2, что дает вектор w; после этого вектор ν определяется по формуле ν = V — w. Для построения проекции w выберем последовательность векторов ψ{(Ρ), удовлетворяющих уравнению div % = 0; если эта последовательность ортонормирована и полна в фг» то по сю формуле (8) § 4 w = 2 oW*n. an = (У> 'Ψπ). и решение нашей задачи дается формулой v(P) = V(P)-i(V, ΦΛιΜ/»)· (8)
§ 60. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ 303 новимся несколько на анализе формулы (8). Перепишем С/С J *-* ее в виде V(P) = v(P) + 2(V, ψ„)ιΜΡ). (9) псе слагаемые справа в (9) взаимно ортогональны: векторы ι (Р) ортогональны по условию, кроме того, v(P) и ψ„(Ρ) ортогональны, так как они принадлежат ортогональным подпространствам £ι и £2. В таком случае по формулам (2) и (7) 6 4 ||V||2 = ||vF+ Σ (V, ψ„)2 и, следовательно, l|vip=iivip-2(v, %γ. (ίο) Если в ряде (10) сохранить только конечное число s первых членов, то правая часть равенства увеличится, и мы получим ||v||2<||V||2-i(V, ψ„)2. (11) Это соответствует замене точного решения (8) приближенным S по формуле ν (Р) ~ v<s> (Ρ) = V (Ρ) - 2 (V, ψ„) ψ„ (Ρ). По опре- η=Ι делению нормы в φ άΩ. Обозначая через ыо(Р) функцию, удовлетворяющую уравнениям (1) и (2), имеем ν = grad ы0 и ||v2||= j (graau0)zdQ Ω или по формуле (4) § 24 ||ν|Ρ = (-Δ«0, «о) = Ы2· (12) С другой стороны, по формуле (4) § 14 |ы0|2=- tain F (и), (13) где F (и) = (—Аы, и) — 2 (и, f) — функционал, используемый в энергетическом методе. Теперь из формул (11) — (13) следует mm /4«)>-{l|V|f-i(V, ψ„)4. (14)
304 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Обращаясь теперь к § 59, видим, что метод ортогональных проекций позволяет оценить погрешность приближенного peuie ния, построенного по методу Ритца. Действительно, неравенство (14) показывает, что в формулах (4) и (5) § 59 можно положить 6=-||V|P+i(V, ψ„)2; (15) при этом, как видно, из формул (10), (12) и (13), lim 6 — d = minF(u). S->oo К вопросу об оценке погрешности мы еще вернемся в следующем параграфе. § 61. Общая формулировка метода ортогональных проекций После рассмотренной в § 60 задачи Дирихле будет уже нетрудно дать более общую формулировку методу ортогональных проекций, формулировку, которая позволит применить этот метод к ряду других краевых задач. Пусть требуется решить уравнение Au = f, (1) где данный элемент / и искомый элемент и оба принадлежат некоторому гильбертову пространству Н, а оператор А — положительно определенный в этом пространстве. Допустим далее, что данная задача сведена к отысканию элемента ν некоторого, вообще говоря, нового гильбертова пространства ф, и пусть элемент ν удовлетворяет уравнению Bv-f, (2) в котором В — некоторый линейный оператор. Рассмотрим множество решений однородного уравнения Bv = 0. (3) Это множество линейное; присоединив к нему его предельные элементы, которые будем трактовать как обобщенные решения уравнения (3), получим подпространство пространства ф; это подпространство обозначим через фг. Примем еще одно допущение, важное для метода ортогональных проекций: допустим, что искомый элемент ν принадлежит подпространству фь ортогональному к ф2-
§ 61. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА 305 По методу ортогональных проекций уравнение (2) решается Строим какой-либо элемент V, удовлетворяющий уравне- ТЗю BV — f, и полагаем V— ν = w. Тогда Bw — BV — Bv = 0; НИ0 означает, что w есть элемент подпространства &; равен- э 0 у = ν + w показывает, что ν есть ортогональная проекция элемента V на подпространство £2. Построение элемента ν можно выполнить двумя способами. Можно построить ортонормированную и полнуш в $! систему элементов φ„, η = 1,2,...; тогда со ν~Σ(ν,ψη)ψη. (4) П="1 Формула (4) тождественна с формулой (6) § 14, дающей решение уравнения (1), и потому такой вариант метода ортогональных проекций, по существу, совпадает с методом Ритца. Иначе можно построить искомый элемент у, выбрав ортонормированную систему ψ„, η = 1,2, .... полную в £2. Тогда со ™ = Σ (ν, ψ„) ψ„ η=1 ν = ν-Σ(ν, ψ„)ψ„. (5) η=1 В случае задачи Днрнхле, рассмотренной в предшествующем параграфе, Я есть пространство L2(fi) функций, квадратично суммируемых в данной области Ω, а $ есть пространство векторных функций, также квадратично суммируемых в Ω. Далее, βν = —div ν; ф2 есть подпространство векторов с нулевой дивергенцией, а ортогональное к ф2 подпространство & состоит, как было выяснено в § 60, нз градиентов скалярных функций, которые обращаются в нуль на границе области S. Если в ряде (5) сохранить только конечное число s слагаемых, то метод ортогональных проекций приводит к приближенному решению ν, = ν-Σ(ν, ψ„)ψ„· (6) η=1 Сделаем одно полезное практическое замечание. Чтобы построить приближенное решение (6), достаточно иметь s попарно ортогональных и нормированных элементов ψι, ψ& · · ·, ψβ, принадлежащих подпространству £2- Допустим теперь, что нами построены s, не обязательно ортонормированных, но линейно независимых элементов ωι, ω2,..., cos этого подпространства. Процесс ортогонализации (см. § 4) дает возможность преобразовать элементы ωι, ω2,..., cos в ортонормированные элементы ψ,, ψ2,..., ψ« и затем построить приближенное решение 20 С. Г. Михлыи
306 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ задачи по формуле (6). Оказывается, что процесса ортогонали- зации можно избежать. Рассмотрим выражение V-Σ α А (7) и поставим задачу: подобрать коэффициенты ап так, чтобы норма выражения (7) была минимальной. Так как элементы ψη ортогональны и нормированы, то, повторяя рассуждения § 4, найдем^ что ап = (V, ψη). Таким образом, элемент vs [формула S (6)] решает задачу о минимуме величины V — 2 αηΨη Как это вытекает из процесса ортогонализации, элементы φι» Ψ2» ···» ψί линейно выражаются через ωι, ωζ, ..., ω« и наоборот. Отсюда следует, что vs можно определить как элемент, реализующий минимум величины |^-JjVu„||, (8) где Ьи Ь2, ..., bs — постоянные; задача же о минимуме величины (8) решается просто. Прежде всего вместо минимума величины (8) можно определять минимум величины о Ц2 / s s \ V-2bn®A-llVf-lv-2bn<!>n, V-Hbn<un)-{V, V). (9) Величина (9) есть функция независимых переменных 6Ь Ъ% ... . .., bs. Чтобы найти минимум этой функции, приравняем нулка ее частные производные по этим переменным. Повторяя рассуждения § 17, получим систему s 2 Μω„, <*k) = (V, <s>k), k=l, 2 s. (10) Найдя bn из этой системы, получим vs в виде vs = V-ibnon. (11) Составление и решение системы (10), вообще говоря, менее трудоемко, чем процесс ортогонализации. Замечание. Система (10) сохраняет свой вид и в комплексном гильбертовом пространстве. В предшествующем параграфе мы видели, что метод ортогональных проекций позволяет оценить приближенное решение,
§ 61. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА 307 построенное по методу Ритда. В общем случае такая оценка опирается на дополнительное допущение, которое выполняется в широком классе случаев: Элемент «о, удовлетворяющий уравнению (1), и элемент ν, к отысканию которого по методу ортогональных проекций сводится нахождение элемента щ, связаны соотношением И1 = 1«о|; (12) норма элемента υ вычисляется в пространстве ф. Допуская, что соотношение (12) выполнено, дальнейшие рассуждения проведем, как в § 60. Имеем \\νψ=\\νψ-Σ(ν,$ηγ и \\νεψ=\\νψ-Σ(ν,$ηγ. Отсюда следует, что II f IP < К ||2 (13) lim||fsIF = ||f|F. (14) s->oo Полагая F(u) = (Au,u)— 2(ы, /), имеем в силу (4) § 14 и соотношений (12) и (13) min F(u) = F(u0) = — IMI^ — II ys II2. В формулах (4) и (5) § 59 можно теперь положить δ=-|Κ«2=-||ΠΡ + Σ(Κ,ψ„)2, (15) η=>1 причем lim & = d = minF(u). Напомним еще, что по формуле s-»oo (12) § 17 F{un)= — |ы„|2, где ип — приближенное решение уравнения (1) по Ритцу. Формула (4) § 59 дает теперь оценку погрешности метода Ритца: |Μ-«„ΚνΊκΐΡ-ΚΡ· (16) Точно так же, в силу формулы (5) § 59, ll"-"«ll<;jrVllfsIP-U„l2. <17) η Заметим, что по формуле (8) § 59 \unf=^ak{f, φ^). Анало- гично найдем ΚΙΡΗΙΠΡ-ΣΜΙ', ω*). (18)
308 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Нетрудно дать оценку и приближенному решению (б), По строенному по методу ортогональных проекций. Положим' ею s ™ = Σ (ν, Ψη) ψ„> w* = Σ (ν, ψ„) ψ„. Имеем прежде всего v-vs = ws-w и || у - vs || = || да - ws ||. Далее, V = d + ш. Отсюда vs = V -ws = v + {w- ws). Слагаемые справа ортогональны, так как »e$i, (α>— и>«)е$2. Отсюда ΙΚΙΡ = ΙΜΡ + ΙΙ^-^ΙΡ и ||f-fs|p = ||i£.-^s|p=f||fs|p-||f|p. Пусть по-прежнему ип означает приближенное решение по Рит- цу уравнения (1). Тогда 1"«12<1"оРНМР, и последнее равенство дает искомую оценку l|f-i>s||<Vl|i>s|p-|u„p. (19) Нелишне отметить, что в оценках (16) и (19) правые части тождественны. В гл. X будут даны численные примеры оценки погрешности с помощью метода ортогональных проекций. В заключение настоящего параграфа сделаем такое замечание. Элемент V, будучи проекцией элемента V, имеет меньшую норму; так как V — произвольный элемент, удовлетворяющий уравнению (2), то элемент υ есть решение следующей вариационной задачи: найти решение уравнения Bv = f, имеющее наименьшую норму. § 62. Некоторые дополнительные соображения ') В предшествующем параграфе было дано изложение метода ортогональных проекций, основанное на следующих допущениях: а) решение уравнения Аи = f сводится к отысканию некоторого элемента ν, принадлежащего новому гильбертову пространству φ и удовлетворяющего уравнению Bv = f; ') Для понимания настоящего параграфа необходимо знакомство с элементами функционального анализа.
§ 62 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ 309 б) элемент ν принадлежит подпространству, ортогональному к подпро- анству решений однородного уравнения Βν = 0; сТРв) ))v)) = \u\. и настоящем параграфе будет указано некоторое довольно общее усло- вьшолнение которого влечет за собой выполнение перечисленных выше вИ ' шений. Это условие состоит в следующем, положительный оператор А 'иожег быть представлен в виде произведения двух сопряженных операторов А = Т*Т, (1) причем оператор Τ действует нз данного гильбертова пространства Η в некоторое гильбертово пространство φ н определен, в частности, на всем пространстве Η А. Заметим, что прн этом сопряженный оператор Т* действует нз пространства Φ в пространство И. Уравнение Аи = f теперь принимает вид T*Tu = f. (2) Положим Ти = v. Тогда Г υ = /. (3) Этим оправдано допушенне а), если положить β = Τ*. Практически интересен тот случай, когда однородное уравнение Гы = 0 (4) имеет решения, отличные от нулевого. Множество этих решений образует некоторое подпространство ф2 пространства ф. Докажем, что искомый элемент υ = Ти ортогонален к ф2. Действительно, если ш е §2, то Т*ш = 0 и (ν, «>)$ = (Ти, ш)% = {и, Гт)н = 0 (5) (значок внизу указывает, в каком пространстве вычисляется скалярное произведение). Равенство (5) доказывает справедливость допущения б). Обратимся к допущению в). Пусть Ui e Da, M2eDA. Тогда, полагая Tui = оь Ти2 = υ2, имеем [«,, и2] = {Ащ, и2)н = (Г*Гы„ ы2)я = (Тии Г«2)ф= (г>„ в2)ф. В частности, если щ = и2 — и, Ти = ν, то M-Mlfr (6) Предельным переходом равенство (6) устанавливается для всех ие.НА, н Допущение в) доказано. Заметим, что Имеет место также равенство скалярных произведений [ы„ и2] = (Г«„ Ти2)& (7) Коль скоро допущения а), б), в) оправданы, дальнейшее построение весьма просто. Пусть φι — подпространство, ортогональное к ф2, н V — какое-либо решение уравнения (3). Тогда искомый элемент ν есть проекция Элемента V в подпространство $]. После того, как элемент ν построен, остается еще найти и из уравнения Ти = υ. Из формулы (6) [допущение в)] вытекает, что оператор Г-1 определен на всем подпространстве фь и его норма как оператора, действующего нз ^ в ΗА, равна единице. В задачах практического характера оператор Т'1 обычно очень прост и уравнение Ти = ν решается без труда — такою рода пример мы видели в § 60. Докажем теперь, что непосредственное проектирование в подпространство ф, приводит к формуле (6) § 14 и, следовательно, равносильно применению энергетического метода.
310 гл. viii. апостериорная оценка погрешности Пусть 1ц)} — полная ортонормнрованная в £ι система, так что (V^-l I, } = k. (8) Тогда оо eaKV'4/)4r (9) ί=-ι Положим T~'l\i = qpj. Нетрудно видеть, что последовательность {qjj} орто- нормированная н полная в ΗА. Действительно, (η,, *]ft)_. = (7"ςρ., ΤφΛ , и по формулам (7) и (8) frf »*!-{?.'-£ Допустим, что последовательность {φ,-} неполна в Η л. Тогда существует нормированный элемент φ е Η А такой, что [φ, q)j] = 0, / = 1, 2, ... По фор. муле (7) (Γφ, η^ = 0, / = 1, 2, ... Так как система {t)j} полна в фь то Г<р е ф2. Но тогда Г*(Г<р)=0, или Αφ = 0. и так как оператор А положительный, то φ = 0, вопреки предположению. Воздействуя на обе части равенства (9) оператором Г*1, ограниченным в $ι, имеем оо Далее, V = ν + w, w е £2. Отсюда (ш, η Л =0 и (V, Ч«)й=·^· Ч/)»5* ·= (Ти, Ttfj) = [«, q^] = (Аи, φ^ = (/, <рЛ. Формула (10) принимает вид сю и—2 (^<Р/)нЧ'/> что тождественно с формулой (6) § 14. § 63. Задача Неймана Задача Неймана для уравнения Пуассона состоит в отыскании функции и(Р), удовлетворяющей уравнению - Ьи = - dlv grad и = f (Ρ) (1) внутри области Ω и краевому условию на ее границе S. Будем считать, что область Ω конечная и что / е Ζ-2(Ω). Решение существует, если функция f(P) ортогональна к единице, так что j*f(P)ito = 0; (3)
§ 63. ЗАДАЧА НЕЙМАНА 311 ешение единственно, если подчинить его тому же требованию ортогональности к единице; J«(P)dQ = 0. (4) Ω Имея в виду применить метод ортогональных проекций, возь- мем в качестве пространства Η множество функций из Ζ.2(Ω), ортогональных к единице, а за пространство V — множество векторов со скалярным произведением и нормой, определяемыми формулами (10) и (11) § 2. Положим grad и = ν; уравнения (1) и (2) дают тогда -diw = f(P), оЛ = 0. (5) Таким образом, в нашей задаче оператор В есть оператор —div, заданный на векторах, нормальные составляющие которых равны нулю на S. Подпространство £>2 состоит из векторов, удовлетворяющих уравнениям div w = 0, wv )s = 0. (6) Повторяя рассуждения § 60, убедимся, что ортогональным дополнением к ξ>2 является подпространство Φ ι градиентов всевозможных скалярных функций. Если удастся найти такой вектор V,что —div V = f и Vv|s=0, то ν найдется как проекция вектора V в §|. Для ее построения следует выбрать полную в £>г последовательность векторов w<">(P), которые для простоты рассуждений будем считать орто- со нормированными; тогда ν = grad и = V — 2 (V, ν/{η)) ν/{η)(Ρ). Κο- п=\ ординатные векторы w<"> должны удовлетворять уравнениям (6); фактическое построение такой системы наталкивается на некоторые технические затруднения. Замечание. Метод ортогональных проекций без труда распространяется на эллиптические уравнения более общего вида т 2j ~дх7\ **-%;) = № Ю В этом случае за £> можно принять пространство векторов ■ν(ϋΐι ^2> ··· . *>т) со скалярным произведением т (v, w)= J J CikVjwkdQ, (8) Ω Ι, 4=1
312 ГЛ. Vnr. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ где матрица \\C,k\\'/k^ обратна матрице ΙΜ;Λ||['£ΐΓ· Пусть, например, поставлено краевое условие ы|8 = 0. За подпространство $1 примем множество векторов \(ό\,Ό2 vm), где т ϋ/ = Σ^-§Γ (9) fe=i * и и(Р)—функция, равная нулю на 5. Нетрудно доказать, что ортогональное подпространство §2 = & θ Φι состоит из векторов, удовлетворяющих уравнению т Σδν, Если поставлено краевое условие L/. k=l к ]s то ^[ строят как совокупность векторов (9), но на этот раз функцию и(Р) не подчиняют никаким краевым условиям; тогда ортогональное дополнение φ2 = ί>'θί>ι состоит из векторов, удовлетворяющих уравнению (10) и, кроме того, краевому условию ovls = 0. (12) Построение пространства § и его разложение на ортогональные подпространства усложняется, если к левой части уравнения (7) добавляется слагаемое вида С(Р)и(Р); пример такого рода разобран в статье М. И. Вишика [1]. В других статьях того же автора [2]—[3] рассмотрены некоторые примеры уравнений высших порядков. § 64. Принцип Кастильяно и двусторонние оценки в теории упругости Известный в теории упругости принцип Кастильяно можно получить, исходя из метода ортогональных проекций. Мы ограничимся, для упрощения записи, случаем однородной изотропной упругой среды, хотя общий случай неоднородной и неизотропной среды не вносит никаких существенных усложнений. Будем предполагать также, что краевые условия однородные. Рассмотрим некоторое тело Ω, ограниченное поверхностью 5. Как обычно, считаем, что тело — конечное, а ограничивающая
§ 64 ПРИНЦИП КАСТИЛЬЯНО 313 его поверхность кусочно гладкая. Будем рассматривать всевозможные тензоры напряжений, определенные в Ω = Ω + S. Будем обозначать такого рода тензор через Т, а его составляющие — через ах, хху %yz, az: Т = \ гху, оυ, %уг J. (1) ах, τχν Τ·χζ> ^ху О у, "tyz. ^xz %IJZ σ2 С каждым тензором Ύ свяжем тензор Ε (Г) по формулам / ех> Уху> Ухг \ Е(Г) = ( Уху, ву, ууЛ; (2) \ухг, Ууг, е2/ 1 г / , „ \ι 2(1 +σ) ε* = Ύ [σχ - о (ау + σζ)], уху = - £ %ху> 1 г / , м 2(1+σ) ,оч βίί = -£-[σί,-σ(σχ + σ2)], yxz = - g τχζ, (3) 1 г ι , \ΐ 2(1+σ) β2 = -£-[σ2-σ(σχ + σί,)], Yi/2 = ~1-g—*уг· Здесь £ — модуль Юнга и σ — постоянная Пуассона материала тела Ω. Если напряженное состояние тела упругое, то ех, By, ... ···. Yt/z суть составляющие деформации: они связаны с составляющими смещений формулами (1) § 29. Уравнения (3) равносильны уравнениям Ляме (§ 29). Множество тензоров Τ превратим в вещественное гильбертово пространство1), определив в нем скалярное произведение и норму по формулам (П П = J (оух + о>/> + σ& + τςΥς + τ^ + г'угу"уг) dQ; (4) У У IP — J" {ахгх + Oyby + az&z + гхууху + txzyxz + хугууг) dQ. (5) Пользуясь формулами (3), легко доказать, что определенное формулой (4) скалярное произведение удовлетворяет аксиомам А — D § 2. В частности, легко доказать, чтоа'е" + ... + т'\" = ^ а'хЕ'х + · · · + т«УУщ> отсюда вытекает симметричность скалярного произведения. Построенное таким образом гильбертово пространство обозначим через ф. ') Точнее говоря, гильбертово пространство образует совокупность тех тензоров, для которых приводимый ниже интеграл (5) конечен.
314 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Заметим, что если Τ есть тензор упругих напряжений, то II Τ ||2/2 есть потенциальная энергия деформации тела Ω. Расширяя определение, будем величину || Τ ||2/2 называть потенциальной энергией деформации для любого тензора напряжений Т. Будем рассматривать смешанную задачу теории упругости [задача в) § 29]; из нее, как частные случаи, получаются задача а) о теле с закрепленной границей и задача б) о теле со свободной границей. Напомним, что смешанная задача теории упругости состоит в определении вектора упругих смещений u(ux,uy,uz) и связанных с ним деформаций и напряжений; перечисленные величины связаны между собой уравнениями (3) (или уравнениями Ляме) и уравнениями (1) § 29. Далее, составляющие напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия ') -(■ -(■ -(■ дах ох χν дх. дх ду дг дх ху да, у дх. Уг дх дххг дх υ* дх ду дг дсг дг (6) где X, У, Ζ — составляющие объемной силы К. Наконец, краевые условия формулируются следующим образом: поверхность 5 разбивается на части 5t и 52, причем uU=o *(V,U = 0; (7) (8) tfv> — вектор напряжений, действующих на площадку поверхности с нормалью v. Рассмотрим множество тензоров напряжений, удовлетворяющих краевому условию (8) и однородным уравнениям равновесия да χ дх foxy дх δΧχΖ дх ^χυ ду дву ду дХуг ~ду~ dxxz дг дХуг дг дОг дг = 0, = 0, = 0. О) ') См. уравнения (5) § 29.
§ 64. ПРИНЦИП КАСТИЛЬЯНО 315 о о множество1) образует в £ подпространство, которое мы бозначим через §2· Заметим, что в случае задачи а), когда за- 0 еплена вся поверхность тела, условие (8) отсутствует и тен- опы, входящие в подпространство §2, никаким краевым условиям'удовлетворять не обязаны. В качестве подпространства ф[ возьмем множество ') тензоров напряжений, обладающих тем свойством, что соответствующие им величины гх, ε„ γ„ζ суть деформации, связанные с некоторым вектором и(Р) формулами (1) § 29; потребуем еще, чтобы вектор и(Р) удовлетворял краевому условию (7). В случае задачи б), когда граница тела свободна от напряжений, краевое условие (7) отсутствует, и векторы и(Р), с которыми связаны тензоры из подпространства §(, никаким краевым условиям удовлетворять не обязаны. Основным для всего построения является равенство £ = Ф,®&2. (10) Доказательство равенства (10) сводится к установлению двух фактов: 1) Если Ге§|, а Т" е= §2, то (Г, Т") = 0. Имеем (Г, Τ") = J (εχ + г'уо"у + e# + ix/'xy + ixzx"xz + 4yzr'>z) dQ. Ω Величины ε'χ у'уг связаны формулами (1) § 29 с некоторым вектором W = {и'х, ιί' и'^. Воспользовавшись этими формулами и проинтегрировав затем по частям, получим s Так как тензор Т" принадлежит подпространству §2, то его составляющие удовлетворяют однородным уравнениям равновесия (9), и объемный интеграл исчезает. Поверхностный интеграл также исчезает, так как u'L=0, t"v)L=0. Окончательно Οι 'Ο! (Τ, Τ") = 0 и подпространства ξ>[ и &2 ортогональны. 2) Если Τ — произвольный тензор из §, то его можно представить в виде Τ = Г + Т", где Ге§, и Τ" <ξ ξ>2. Доказательство проведем в предположении, что составляющие тензора Τ ') К которому следует присоединить его предельные (в смысле сходи- Мости в пространстве ф) элементы.
316 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ непрерывны и непрерывно дифференцируемы в Ω = Ω + S; pac пространение на общий случай производится так же, как в'§ ед" Обозначим через и' вектор упругих смещений, удовлетворяющий, вместе с соответствующим ему тензором напряжений Т' уравнениям (1) § 29, а также уравнениям (3), (6) и краевым условиям (7) и (8). Теперь достаточно положить Г" = Г— f Вернемся к задаче теории упругости. Пусть Τ — любой тензор, удовлетворяющий уравнениям (5) и краевому условию (8) а 7Ό — решающий нашу задачу^ тензор упругих напряжений! Тогда Г0 есть проекция тензора Τ в подпространство £ί Так как (Г - Го) е ξ>2, то (Го, Τ - Та) = 0 и IIЛР = II Го IP + IIГ - г0 II2 > II Го II2. (И) Неравенство (11) выражает принцип Кастильяно: из всех тензоров, удовлетворяющих уравнениям равновесия и краевому условию на свободной части границы, наименьшую потенциальную энергию деформации сообщает телу тензор упругих напряжений. Обозначим через и0 вектор смещений, соответствующий тензору упругих напряжений Г0. Из формул (14) § 29 и (4) § 14 заключаем, что |u0p = 2W(и0), где W(u0) — потенциальная энергия деформации, соответствующей смещению и0- Теперь формула (5) показывает, что ||Г|| = |и0|; отсюда, как было показано выше, вытекает возможность оценки приближенных решений, построенных по методу Ритца и по методу ортогональных проекций. Вывод соответствующих формул мы предоставляем читателю. § 65. Метод Трефтца Другой метод, позволяющий оценивать снизу минимальное значение функционала энергетического метода, связан с именем Е. Трефтца [1]. Особенностью этого метода является построение некоторого положительного функционала, минимум которого ищется в классе функций, удовлетворяющих данному дифференциальному уравнению, но не подчиненных никаким краевым условиям. Сам Трефтц изложил (без доказательства сходимости) свой метод применительно к задаче Дирихле для уравнения Лапласа. Этому случаю мы и посвящаем настоящий параграф; в последующих параграфах будут рассмотрены некоторые обобщения метода Трефтца. Пусть требуется найти гармоническую в области Ω функцию, удовлетворяющую краевому условию "Is-/(/>>, (υ
§ 65. МЕТОД ТРЕФТЦА 317 ftp) —функция, которую мы для простоты предположим не- гД ' вной на границе 5. Искомую функцию можно определить Угм § 25) как функцию, минимизирующую интеграл Л(ы)= j(gr ad ufdQ (2) Ω по сравнению с любой другой функцией, удовлетворяющей условию (1)- Метод Трефтца состоит в следующем. Допустим, что нам дана последовательность линейно независимых гармонических в q функций {фи}, полная в следующем смысле: какова бы ни была гармоническая в Ω функция φ, квадратично суммируемая в Ω вместе со своими первыми производными, можно по заданному числу ε > 0 найти натуральное число η и постоянные αϊ, аг, ... ..., сси такие, что Л U-2]afe(pJ = j" I grad ίφ-^α^φ^ Ι \ αΏ<ε. Будем искать приближенное решение нашей задачи в виде η ип= 2 я/еФь гДе п — произвольно выбранное число; коэффици- енты аь найдем из условия Л(ы —«„) = min, (3) где и—искомое решение задачи. Приравнивая нулю производил (и — ип) ные — —, мы легко придем к системе уравнении k Л{ип~и, ф6) = 0, /г = 1, 2 п, (4) где для краткости обозначали Л (ы, ν) = Г gradu gradual На Ω первый взгляд может показаться, что система (4), кроме коэффициентов Oh, зависит еще от неизвестной функции и. На самом деле это не так. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой Грина, по которой А{ип~и, <Pft) = - J (un-u)hykdQ+\j {un-u)-^-dS, Ω S где ν — внешняя нормаль к 5. Но Δφ& = 0, поэтому первый интеграл исчезает, и мы приходим к системе {uh~u)-^-dS = 0, k=l, 2, ..., п. (5) ί
318 ГЛ. \1И. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Значение искомой функции и на 5 известно и равно f. Заме и через / и ип через 2 «/еФь мы получаем окончательно следу щую систему линейных алгебраических уравнений %i\*i*w*s = \l^-*S' k==l·2 п. (6) l=i s s Исследуем ближе систему (6). Непосредственно видно, что ип не изменится, если и изменить на постоянную, так как это не изменит функционала (3). Далее, если ип есть приближенное решение, полученное по методу Трефтца, то ип + const будет таким же решением. Имея это в виду, будем считать, что средние значения гармонических функций и и φ^, взятые по границе S, равны нулю. Это равносильно вычитанию некоторой постоянной из каждой такой функции. Теперь нетрудно доказать разрешимость системы (6). Допуская противное, мы найдем, что однородная система /-1 S d<fk dS = 0, ft=l, 2 η, (7) имеет нетривиальное решение. Положим 2 α(?)φί = ν. Тогда (7) принимает вид s v-^dS = 0, ft = 1,2, Умножая на at и суммируя, получим J αν s По формуле Грина | ν Щ- dS = J (grad vf dQ, - j ν Αν dQ. Интеграл слева равен нулю; кроме того, Αν = 0, так как функция ν гармоническая. Отсюда следует, что j (graavfdQ = 0,
§ 65. МЕТОД ТРЕФГЦА 319 зможно только, если grad ν = 0 или ν ^ const. Но так как орр значение ν \s равно нулю, то ν = 2 Я;0)Ф( = °· Теперь из среднее j=! ι ι йн0й независимости функций φ,- следует, что αγ = 0, во- ппеки предположению. Раз система (6) разрешима, приближенное решение ип мо- быть построено при любом п. Докажем теперь, что ЛЫ<Л(«). (8) Положим u — un = wn. Тогда А{и) = А{ип + wn) = А(ип) + + 2А{ип,^п) + А{шп). Но Л(ы„, «зи„) = Л(ы„, и~ип) = η = 2«fcA(<Pb u~un) = 0 в силу уравнений (4). Теперь Л(ы) = = Л(«п) +А(а)и), откуда непосредственно вытекает неравенство (8). Исследуем сходимость метода Трефтца. Будем считать, что граница 5 имеет непрерывную кривизну. В § 32 было доказано, ди „ ψ= что оператор ~g- положительно определенный в пространстве Я, которое состоит из гармонических в Ω функций, представимых посредством функции Грина через свои предельные значения; последние предполагаются квадратично суммируемыми и удовлетворяющими равенству udS = 0. Так как -=- положитель- s но определенный оператор, то существует такая положительная постоянная у, для которой верно неравенство ') ^ v~dS^f^ v2dS, ν^Ή. (9) s s Так как средние_значения и \s и <pfe |s равны нулю, эти функции суть элементы Н. По предположению о полноте последовательности {<pfe} можно по данному ε > 0 найти натуральное число N и постоянные αϊ, аг oijv так, чтобы А\и~ Σ%φ^)<ε. Тем более А(и — uN) < ε, где uN — приближенное решение, покроенное по методу Трефтца. При гс > N А(и — ип)*С ^А(и—uN) < ε. Функция и — ип гармоническая, и по формуле ') Мы пишем это неравенство, предполагая функцию ν вещественной.
320 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Грина Λ (и - ип) = | (и - un)-^^LdS. S В силу неравенства (9) J (u~un)2dS<~-. щ s Пусть G(P, Q) — функция Грина области Ω. Тогда и(Р)-ип(Р) = \(ti(Q)-un(Q))dG{^Q) dS. s Допустим, что Ρ меняется в некоторой замкнутой области, целиком лежащей внутри Ω. Тогда, как известно, функция ' ®1 ограничена, так же как и все ее производные по координатам точки Р. Применяя к (11) неравенство Буняковского и используя оценку (10), найдем, что и — «и-*0 равномерно в любой замкнутой области, целиком лежащей внутри Ω. Дифференцируя (11), мы тем же путем убедимся, что производные любого порядка от ип равномерно сходятся к соответствующим производным от и в любой замкнутой области, целиком лежащей внутри Ω '). В заключение заметим, что при составлении системы (6) нет нужды фактически приводить к нулю средние значения функций и и qDfe. Действительно, если заменить и на и + с и φ^ на <pfe + с*, где с и ch — постоянные, то коэффициенты и свободные члены в (6) примут следующий вид: S S S S Но S так как функция <pfe гармоническая. Отсюда видно, что изменение и и <pfe на постоянные не меняет системы (6). ') Напомним, что мы считаем среднее значение как и, так и ып равным нулю; без этого сходимость и„->и, вообще говоря, не имеет места. Утверждение о сходимости производных справедливо независимо от того, равны или не равны нулю упомянутые средние значения.
§ 66 БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 321 § 66. Бигармоническое уравнение. Метод негармонического остатка Некоторое видоизменение метода Трефтца было предложено о χ. Рафальсоном [1, 2] для случая бигармонического уравне- Н Как было установлено в § 30, интегрирование бигармонического уравнения A2«=f (1) при краевых условиях «Ь = 0, frL = 0 (2) равносильно задаче о минимуме функционала F (и) = (А2и, и)-2 (и, f) = J {(Aw)2 - 2fu] dS (3) s при тех же условиях (2). В том же параграфе установлена разрешимость этой задачи с помощью энергетического метода. Метод негармонического остатка основан на следующей теореме. Теорема 1. Пусть й(Р) — любая функция, которая непрерывна в S вместе со своими первыми и вторыми производными и удовлетворяет краевым условиям (2) на границе L области S. Пусть, далее, q (Ρ) — любая функция, удовлетворяющая в S уравнению bq = f, (4) непрерывная и непрерывно дифференцируемая в § = S + L2). Тогда F{u)^~ jq2dS. s Доказательство очень просто. Имеем j fu dS = j й AqdS = § q№dS + j (u^-q~\dL = j q MdS ') Уг.смянем в этой связи весьма интересные и значительно более ранние работы С. Зарембы [3, 4], многие результаты которых близки к результатам 3. X Рафальсона. г) Мы допускаем, что такая функция существует. 21 с Г, Михлин
322 ГЛ. VIII АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ в силу условий (2). Теперь F (й) + J q2 dS = j {(Ай)2 - 2uf + q2} dS = s s = J {(АЙ)2 - 2q Μ + q2}dS = J (Δ« - qfdS >0, s s что и требовалось доказать. Если принять и = и0, где и0— решение бигарионического уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), то по доказанному F(u0)>~jq2dS. (5) s Обычно найти какое-либо решение уравнения (4) не представляет затруднений, и тогда интеграл — I q2 dS = — || q f даст s нижнюю границу для минимума функционала (5). Дальнейшее сводится к тому, чтобы эту границу уточнить. Это делается таким образом. Возьмем последовательность функций {ψη{Ρ)}, гармонических в S, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в S. Мы будем считать их ортонормированными в S, так что f ί 0, кфт, (Фа. Фт) = J Ун (Р) Фт (Р) dS = J j k = m^ Этого всегда можно добиться, применив к взятой последовательности процесс ортогонализации. Положим теперь qn(P) = η = q(P)—^Ei{q> Фй)ф^(^)· Функция qn{P) удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и в качестве нижней границы для величины F(и) мы получаем теперь величину —1| qn ||2, которая, как легко видеть, равна -ll<7JI2 = HI<7lP + i(<7, φ,)2 (6) и, вообще говоря, больше чем —1| q II2. Допустим теперь, что последовательность {ψη{Ρ)} полна на множестве функций, гармонических в S и принадлежащих пространству Ζ^(5); это множество обозначим через G. В известных условиях можно доказать, что тогда оо ^Ы=-Ц<7112+2(<7. Ф*)2, (7)
§ 66. ВИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 323 Uo — интеграл уравнения (1), удовлетворяющий условиям Го? Доказательство основано на следующем построении. Можно доказать1), что множество G образует подпростран- во в £г(5)- При известных ограничениях, наложенных на вид °бласти S, можно доказать, что функции из подпространства G °опускают сколь угодно точную аппроксимацию в среднем гармоническими функциями, непрерывно дифференцируемыми в S 2). Это будет, например, если область S — звездная, т. е. если внутри S найдется такая точка, что любой исходящий из нее луч встречает границу области не более чем в одной точке3). Можно указать и другие достаточные признаки. Функции, принадлежащие ортогональному подпространству G = L2{S) 3 G, будем называть негармоническими остатками. Из самого определения следует, что если v(P) — гармоническая квадратично суммируемая в S функция, a w (Р) — некоторый негармонический остаток, то {v, w) = ν (Ρ) w (Ρ) dS = 0. Положим &и0 = w0- Нетруд- S но видеть, что w0 — негармонический остаток. Действительно, пусть ν(Ρ)— гармоническая в S функция, непрерывно дифференцируемая в S. Тогда (w0, v)= Ι ν ku0dS или, если воспользо- S ваться формулой Грина, S L так как Αν = 0, а щ удовлетворяет условиям (2). Если ν(Ρ) не непрерывно дифференцируема в S, то аппроксимируем ее непрерывно дифференцируемой гармонической функцией νη(Ρ)\ переходя к пределу в равенстве (w0, vn) = 0, найдем, что (wa, v) = 0. Имеем &w0 = А2и0 = /. Положим q = v0 + w0. Тогда Av0 — = Δ#—Aw0 = 0 и, следовательно. (w0, v0) = 0. Функция q разложена на два ортогональных слагаемых υ0 е G и !й0еС. В таком случае || q ||2 = || va II2 + II w0\\2, или \\w0 |f = \\q IP ~\\v0 |f. (8) ') Эта теорема принадлежит Г. Вейлю [2]. Ее доказательство можно найти в статье 3. X. Рафальсона [2]; на более общий случай уравнения эллиптического типа второго порядка эта теорема распространена авто- Ром [П]. 2) Ниже мы будем предполагать, что такая аппроксимация возможна. 3) См., например, 3. X. Рафальсон [2]. 21*
324 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Из сказанного выше ясно, что ортонормированные φν ψη(Ρ) образуют в G полную систему. Отсюда ^ункиии оо оо Щ (Р) - Σ (οο. Ψη) Ψη (Ρ) и И ν0 IP = Σ (ο„, ψηψ η=1 η=1 При этом (να, φη) — (θ, ψη) — <α)ο,φΏ) = (q, φη), так как w0 и ш принадлежат взаимно ортогональным подпространствам g и ρ оо ^-* и поэтому (α)0,φη) = 0. Теперь || f0||2= 2 (q, Ψη)2· Подставив это в (8), получим оо II ю0 IP = 11Я IP- Σ (9. Ψη)2· (9) С другой стороны, II α>0 |р ■= И Айо |р = J (ku0)2dS. Сравнив это с s формулой (15) § 30, найдем, что || w01|2 = |щ f = — Fmltl(и), и формула (7) доказана. Сохранив в ряде (7) конечное число членов, мы получим величину меньшую, чем Fmin(u), и сколь угодно к ней близкую, если взятое число членов достаточно велико. Из проведенных выше вычислений легко вытекает формула оо wa (Ρ) - Ащ = q (P) = - Σ (q, Ψη) Ψη {P)l (Ю) зная w0(P), можно восстановить функцию Ua(P) по формуле "(P) = i;\§u>0(Q)tordSQ, (11) S где ζ— расстояние между точками Ρ и Q. Вывод формулы (11) дан в статье 3. X. Рафальсона [2]. § 67. Обобщение метода Трефтца Метод Трефтца был обобщен на широкий класс краевых задач в работах М. Ш. Бирмана [3], [5], [6]. Допустим, что в области Ω требуется проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение Lu = f(P) (1) при некоторых краевых условиях, которые для простоты будем
§ 67. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ТРЕФТЦА 325 гЧ„тать однородными: G,u|s = 0, G2u\s = 0 Gru\s = 0, (2) усть оператор А, совпадающий с дифференциальным опера- И пом L на функциях, удовлетворяющих условиям (2), положи- пьно определенный. Тогда, как нам известно, функция и0{Р), Тдовлетворяющая уравнениям (1) и (2), реализует минимум функционала F(u) = (AUt u)-2(u, f), (3) причем FminU = - \u0 р = - (Ащ, Щ). (4) Обобщенный метод Трефтца строится, в общих чертах, следующим образом: составляется новый функционал φ(«), который рассматривается только на функциях, удовлетворяющих дифференциальному уравнению (1); удовлетворение каким бы то ни было краевым условиям не предполагается. От функционала <р(и) потребуем, чтобы он достигал минимума на функции Но(Р), удовлетворяющей уравнениям (1) и (2), и чтобы <Pmin (и) = φ {U0) = | Щ р. (5) Заметим, что на решениях уравнения (1) функционал ψ (и) необходимо положителен — это вытекает из формулы (5). Пусть теперь и(Р) — любое решение уравнения (1). Из формулы (5) следует тогда, что φ (и) ^ | и012 и, следовательно, —φ («)<1 <CFmin(u). Таким образом, —ц>(и) можно принять за число б в неравенствах (4) и (5) § 59. Далее, пусть ип(Р), η = 1, 2 есть минимизирующая для функционала ψ (и) последовательность решений уравнения (1), так что lim φ(ип) = | и |2. Тогда ■—φ(κ,ι)-+Frain(u), и мы получаем последовательность чисел δη = —φ(&„), которые при достаточно большом η сколь угодно мало отличаются от d = ίΊηίη(^). В каждой конкретной краевой задаче дело сводится, таким образом, к выбору подходящего функционала φ(«). В §§ 68 и 69 мы кратко изложим принадлежащее М. Ш. Бирману [6] построение функционалов ц>{и) для важнейших краевых задач, связанных с уравнением Пуассона и уравнением изгиба пластинок; как мы увидим, функционал φ(«) строится не единственным образом, так что для каждой краевой задачи существует бесчисленное множество «методов Трефтца». Заметим еще, что обычно удается доказать сходимость минимизирующей последовательности к точному решению задачи; тем самым ') Для простоты ограничимся случаем вещественных функций,
326 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ метод Трефтца оказывается пригодным и как еще один метоп приближенного решения краевых задач. Отметим, что в цитированной статье М. Ш. Бирмана функционалы обобщенного метода Трефтца построены и для некоторых более сложных задач теории тонких пластинок. § 68. Применение к уравнению Пуассона Рассмотрим задачу об интегрировании уравнения Пуассона -Аи = ДР) (1) при смешанных краевых условиях (Si + Sz = S) и|&=0, (2) [ί& + 4, = °· σ>°· ГО В данном случае, как легко получить интегрированием по частям и использованием краевых условий, |«|2 = (-Δ«, и)= f (grad«)2dQ + Г си2 dS. (4) Ω S, Чтобы упростить изложение, допустим, что решением нашей задачи служит_функция, непрерывно дифференцируемая в замкнутой области Ω = Ω + S. Выберем какую-либо неотрицательную функцию σ, определенную на всей поверхности S и удовлетворяющую неравенству σ<σ на S2. (5) Положим теперь Φ (и) = | (grad uf dQ + | аи2 dS + J-^j (-g- + auj dS. (6) Ω S S2 Соответствующий билинейный функционал имеет вид <р(и, v)= grad и · grad vdQ + I duvdS + Ω S при этом φ(« + ϋ) = φ(«) + 2φ(«, υ) + φ(ν). (8)
§ 68 ПРИМЕНЕНИЕ К УРАВНЕНИЮ ПУАССОНА 327 Очевидно, всегда φ(«) ^ 0. Отметим еще два важных свойства функционала φ(и): а) Если функция и(Р) удовлетворяет краевым условиям (2) й (3), то <р(и) = \и\2. Действительно, в этом случае на S2 d}L= ~аи. Подставив это в (6), легко найдем Φ (и) = Г (grad и)2 dQ + Г ои2 dS + Г би2 dS. Ω S2 S, В силу условия (2) последний интеграл исчезает, и сравнение с формулой (4) дает <р{и) = \и\2. б) Если и(Р) удовлетворяет условиям (2) и (3), a v(P) — произвольная гармоническая функция, непрерывно дифференцируемая в Ω, то <р(и, и)= 0. Действительно, беря первый интеграл в (7) по частям и учтя краевые условия, которым удовлетворяет функция и(Р), получим <р(и, ν) = - Г и Αυ dQ + Г и■— dS + Г auvdS + -1-гЫ£Н(£+*'),в-0· Теорема 1. Из всех решений уравнения (1), непрерывно дифференцируемых в Ω, наименьшее значение функционалу φ {и) сообщает решение и0(Р), удовлетворяющее краевым условиям (2) и (3). При этом Фшш (") = Фо (и) = | «о I2· (9) Пусть и(Р) —решение уравнения (1), непрерывно дифференцируемое в Ω. Положим и = щ + ν, так что Δυ = 0, т. е. функция ν гармоническая. По свойству б) φ («ο, υ) =0. Теперь из формулы (8) следует, что при νφό, τ. е. при и^и0, φ (и) = φ (ы0 + t>) = φ (щ) + φ (t/)> φ (ufl). (10) Но это и означает, что q)min(w) = φ («о)- По свойству а) φ(«ο) = = 1^0р, так как иа удовлетворяет краевым условиям (2) и (3). Теорема доказана; одновременно установлено, что функционал ф(ы) удовлетворяет всем требованиям § 67. Пусть теперь ип(Р), η = 1,2, ..., есть последовательность решений уравнения (2), минимизирующая для функционала 4>(u), так что Jim φ (ип) = φ (щ). По формуле (10) имеем
328 ГЛ VIII АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ φ(««) = ф («и — Uo) + φ («о). Отсюда непосредственно следу что lim φ(«„ — «0) = 0. На основании формулы (6) заключ что тогда в среднем по Ω будет grad и„ —* grad u0. Ее, заключаем (Эй, б > 0, то и-п -> «о в среднем по поверхности Sj и -5-2- _*. бн, όν ли еще а^ в среднем по S2. Остановимся на двух наиболее важных частных случаях 1. Пусть S2 отсутствует, так что и = 0 на всей поверхности 5 и наша задача есть задача Дирихле для уравнения (1). В этом случае φ(«)= (graaufdQ + ди2 dS, (*\ Ω S где σ—произвольная, неотрицательная на S функция. Если ип, η = 1, 2, ..., — минимизирующая последовательность для функционала (*), то, как было указано выше, grad ип —* grad и0 в среднем в Ω, и если σ > О, то ип —> к0 в среднем по S. Пользуясь неоднократно упоминавшимися «теоремами вложения» С. Л. Соболева, можно доказать, что ип ~* щ в среднем в Ω; так как ип суть решения уравнения (1), то отсюда, как известно, следует, что и„ —► и0 равномерно вместе со всеми производными в любой замкнутой области, целиком лежащей внутри Ω. Можно положить в (*) σ = 0, и это будет в точности соответствовать методу самого Трефтца. При этом, если ип — минимизирующая последовательность, то можно только утверждать, что grad ип —* grad u0, но сходимость самих функций утверждать нельзя. С этим фактом мы столкнулись в § 65. 2. Рассмотрим задачу Неймана -^1 =0. (и) dv Is Как мы знаем (§ 24), эта задача разрешима, если fdQ = 0. Ω и решение единственно, если дополнительно потребовать, чтобы I udQ,= 0. В этом случае можно положить φ (и) = Г (grad и)2 dQ - α Г и2 dS + ~ Г (|£ - сш)9- dS, (12) где α — достаточно малая положительная постоянная. Можно доказать'), что функционал (12) удовлетворяет всем требованиям, сформулированным в § 67. ') См. М. Ш. Бирмаи [6].
§ 69. ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ 329 чадаче Неймана обобщенный метод Трефтца имеет то пре- , ество перед методом ортогональных проекций, что при оты- н5'}'1^ минимума функционала (12) нет нужды подчинять функ- сКйН каким бы то ни было краевым условиям. В задаче ггИ1°ихле это преимущество отпадает, так как тогда в методе огональных проекций для той же задачи Дирихле векторы w °Ртп0ДЧИнены никаким краевым условиям. Н6 Обобщенный метод Трефтца легко распространяется на глиптические уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, а также на случай неоднородных краевых условий. § 69. Обобщение метода Трефтца на задачу об изгибе свободно опертой пластинки Переходя к задачам об изгибе тонких пластинок, связанных с бигармоническим уравнением, мы ограничимся двумя простейшими случаями жестко закрепленного и свободно опертого края, и для каждого из них укажем одну (по нашему мнению, простейшую) форму функционала метода Трефтца. Для случая жестко закрепленного края такая форма приведена в § 66; в настоящем параграфе мы рассмотрим пластинку со свободно опертым краем. Построению функционала метода Трефтца мы предпошлем вывод одного вспомогательного тождества. Формулу (6) § 30 представим в виде J J |_\ дхду j дх2 ду2 J y J L ду \ дх J дх \ ду /J S L Ядт d2w , . dw d2w , dw d2w . dw d2w , \ ~ду"Ъ~хт X'^~dy~'dx~d'yay~~dx ЖЩйХ~'дх~~ду^' У)' L Нетрудно видеть, что выражение под знаком контурного интеграла инвариантно относительно переноса начала и поворота Декартовых осей координат. Имея это в виду, заменим в каждой точке контура L оси χ и у внешней нормалью ν и касательной s. При этом, очевидно, dv = 0 на контуре, и мы получаем 2 ГГ[(^)2-^^Ъ^= [(^-Wvs-^Lw\ds. (1) J J Wdxdyj дх2 ду2 J ΰ J \ ds vs dv ssl v ' ° формуле (I) величины wvS и wss суть вторые производные по направлениям касательной к нормали, вычисленные в предполо-
ЗЗЭ ГЛ VIII АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ жении, что направления касательной и нормали не меняют более определенно Ся> d2w , ч , ч , d2w г , . , ffi,vs=-^rcos(v> *)cos(s, x) + -^^ [cos (v, *)cos(s, y) + + cos(v, y)cos(s, x)] + -^ cos (v, y)cos(s, y). d2w о / \ , η <Э2ш / \ / \ . d2w wss = "5pr cos2 (s, x) + 2 -^щ cos (s, *) cos (s, y) + -g^ cos2 (s, y) Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены в § 30 показывают, что д ) dw \ 1 dw d2w . 1 dw ) dw \ \ dv) vs ds \ dv} ρ ds ' ss ds2 ' ρ dv ' где p — радиус кривизны контура. Подставив последние выражения в (1), получим 2 Шд2ш \2 д2т (УЧаЛ дхду) дх2 ду2\йЪ~ Я1 / dw \2 1 ί dw\2 . dw d2w dw д (dw\~\ ρ I dv ) + ~p\ ds ) + dv ds2 ds Is \~dV)\dS' Так как контур L замкнутый, а функция w и ее производные предполагаются однозначными, то интегрирование по частям дает Г dw d I dw λ , _ _ С dw_d*w_ , ) ds ds\dv)as~ J dv 1?" ' что приводит к искомой формуле ί. Заменяя в (2) w сперва на и + υ, а затем на w — tin вычитая, получим еще одну полезную формулу: Ш d2u d2v d2u d2v d2u d2v\ .„_ dxdy dxdy dx2 ду2 ду2'дх2} ' du d2v , dv d2u \ du dv . 1 du do \ /0ч* -я OU Ο'Ό . ΟΌ O'U I OU OV . 1 dU dV \ /оч* dv ds2 ~*~ dv ds2 ~*~ ρ ~dv~~dv~~T~ "ρ" ~дТ ~ds) ' ' '
§ 69. ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ 331 В задаче о свободно опертой пластинке приходится по-разно- строить функционал обобщенного метода Трефтца в зависи- "ости от того, будет ли контур пластинки целиком выпуклым м он содержит и невыпуклые части. Если контур L выпуклый, ^о можно положить Фи-Я(^)!+2Ш+(1?)>+ S . 1 Г Г. (d2w . 1 dw\f , ... L здесь σ — постоянная Пуассона, которую мы считаем положительной. Докажем, что функционал (4) обладает всеми свойствами, перечисленными в § 68. а) Для любой функции w имеем <р(и))^0, так как контур L выпуклый и, следовательно, ρ ^· 0. б) Составим билинейный функционал . . Г Г(д2и d2v . 0 д2и d2v . дги d2v\,c , +!j-h-(#+i№-(&+T£)K <5> Докажем, что φ (и, υ) = 0, если и удовлетворяет условиям на свободно опертом крае «Il-0. [Аи~^-^]Г0, (6) a v удовлетворяет бигармоническому уравнению A2v = 0. (7) Для доказательства заметим, что, в силу условий (6) на контуре L, . I д2и , 1 ди \ . I ди σ ди \ ds' ' ρ dv I ρ dv ρ δν ' что позволяет упростить контурный интеграл в (5). Далее, ШдЧ д2У , „ д2и d2v dh± jPv\ ,_ _ <Элг2 дх2 ~*~г дхду дхду + дуг ду2)аЬ~ S Яд,, α,.λο , С С (о д2и д2ю дги d2v д2и d2v\ .„
332 ГЛ VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ что, в силу формул (3) и (6), принимает вид 5 L Теперь q>(u, v)= AuAv dS — Δϋ ητ-ds. S L Заменив в формуле Грина [формула (19) § 7] υ на Αν, найдем ΓΓΔ«Δϋίί5= Γ Γ uA2vdS + H-^Av-u-^—^ds. S S L Отсюда φ (и, v)= uA2v dS — a —^— ds, s z. что равно нулю в силу уравнений (6) и (7). в) Пусть w — произвольное решение уравнения изгиба пластинки D A2w = q, и w0 — решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям свободного опирания. Функция v = w — w0 удовлетворяет уравнению (7); по доказанному <p(w0, v) = 0. Теперь имеем φ {w) = φ (и)0 + ν) = φ {w0) + 2φ {wa, ν) + φ{ν) = φ {w0) + φ {ν). Отсвда видно, что <pmin(ffiO = φ(ευο). г) Вычислим <р(и)о). Используя условия (6), которым удовлетворяет функция wo, найдем S L Те же условия (6) позволяют представить тождество (2) в виде /1№-2ЯН™-ШК L S Подставив это в q>(w0), получим S по формуле (21) §30 φ (w0) = | w0 p. Если контур L содержит невыпуклые участки1), то функционал (3) перестает быть положительным и делается непри- ') На таких участках ρ < 0.
§ 70. ПРИЕМ М. Г СЛОБОДЯНСКОГО 333 ным для наших целей. В этом случае можно положить1) +Я^-(£№-с->(£+75-)Г}* (8) где α и β — положительные постоянные, причем постоянная α достаточно мала. § 70. Прием М. Г. Слободянского В некоторых случаях для получения оценки функционала энергии удобно снизу воспользоваться простым приемом, предложенным М. Г. Слободянским [6]. Этот прием, представляющий некоторое обобщение упоминавшегося выше преобразования Фридрихса, состоит в следующем. Пусть А — симметричный положительно определенный оператор, (Аи, и) >γ21| и ||2, (1) и пусть «о — решение уравнения Аи = f. (2) Допустим, что оператор А удалось представить в виде суммы А = Σ Ак, (3) fe=l причем каждый оператор Ah симметричный и положительный. Пусть U означает набор элементов и±, щ, ..., ир таких, что «и принадлежит области определения оператора Ah и удовлетворяется уравнение iAfe«fe = f. (4) fe=l Составим функционал Ψ(ί/) = Σ(Α^, «*). (5) Имеет место Теорема 1. Функционал Ψ(ί/) достигает минимума при uk = uQ, k ■=■ 1, 2,,.., ρ; при этом ηιίηΨ(ί/) = Κ|2. · (6) ') См М. Ш. Бирман [6].
334 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Положим ηh = Uh — Wo· Тогда Ρ ° Ρ Σ AftTjfc = Σ Akuk - Σ Aku0 = / - Au0 = 0. m fe=l fe=l fe=l V'J Теперь ρ Ψ(ί/)= Σ(^(«ο + %), «0 + η^ = (Α«0, и0) + ρ ρ ρ + Σ (Ak4k. «ο) + Σ (Afe«o. η*) + Σ (AfeTfe, η^ Ρ Ρ В силу равенства (7) Σ (Akr\k, «о) = 0, Σ (Afc«fl, η6) = fe=l fe=l Ρ = Σ (ио. AfeT]fe) = 0, и мы получаем Ψ(ί/) = Ι„0|2+2(ΛΛ) %). ft+l Так как операторы Ah положительны, то Ψ(ί/)^|ίί0Ρ; знак равенства возможен только тогда, когда щ = 0, k = 1, 2 ρ, т. е. когда uh = Щ, k = 1,2 р. В самом общем случае можно положительно определенный оператор А представить в виде А = Αι + А2, если взять любую постоянную с так, чтобы 0 < с < γ, и положить А^и = Аи — си, AzU = си. При этом Ψ(ί/) = (А«! — сщ, щ) + с{и%, и%)\ элементы «t и «2 связаны уравнением Ащ — сщ + cuz = f. Отсюда Ψ (ί/) = (Ли, - си,, «0 + -^- (/ — А«! + си„ f - Α«ι + си,); (8) здесь «ι — произвольный элемент области определения оператора А. Отметим еще некоторые частные случаи. Если m Аи=- Σ -£г(А*(р)-&)+с(р)и> где С(Р) —строго положительная функция, и если краевые условия таковы, что оператор m •ν^-ΣιΜ·4»·^) и k=\ положителен на множестве функций, удовлетворяющих этим условиям, то можно положить Azu = С (Ρ) и и А = Αι + Аг·
§ 70. ПРИЕМ Μ. Г. СЛОБОДЯНСКОГО 335 л -нкцию «ι можно выбрать произвольно, но так, чтобы она Т?овлетворяла краевым условиям задачи, тогда uz определится вз уравнения при этом Ω Ι. fe=.l Ω В частности, если краевое условие имеет вид и|в = 0, то этому же условию удовлетворяет и функция щ. Интегрируя по частям, приведем ψ(ί/) к виду ψ(ί/)={ί| Ω Рассмотрим еще уравнение 1 ^^-+<*!*>. I/. fe=i J при краевых условиях ц«(β)-««(&) = 0, £ = 0, 1, 2, ..., m-l. Если коэффициенты таковы, что pm(x)>p>0, pft(x)>0, то можно положить А*и={-1)кШрк{х)Ш k=0'12'■■■'т' и(/)(о)-и(/)(Ь) = 0, /<*-1. В нашем случае ί/ = (и0, «ι, «2 «m); функции «ft связаны Уравнением m Функционал ψ(ί/) имеет вид * m *w-iS»w(3f),'«*· α fe=0
336 ГЛ VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ § 71. Двусторонние оценки функционалов Иногда бывает важным найти не самое решение уравнения Аи = I (1) а только некоторый, связанный с этим решением функционал вида (и, g), где g~ некоторая данная функция. Из ряда работ в которых трактуется эта задача, мы выделим работу М. Г. Сло'- бодянского ') [4], краткое изложение которой будет дано в настоящем параграфе; в конце параграфа будет сказано еще об интересной работе Т. Като [1]. Пусть А — симметричный положительно определенный оператор, и пусть требуется вычислить скалярное произведение («о. g), где g — данный элемент гильбертова пространства, η котором действует оператор А, а щ — решение уравнения (1). Простейший способ решения этой задачи таков: строим приближенное решение ип уравнения (1) и полагаем приближенно («о, g) = {un, g). . (2) Погрешность этого приближенного равенства легко оценивается по неравенству Коши — Буняковского 1(«о, &)-("«- g)\ = \(ua-un. g)\<\\gh\\U0-un\\. (3) Если ип построено, например, по энергетическому методу, то величину II «о—ип II можно оценить, воспользовавшись каким- нибудь встречным методом. Равенство (2) можно уточнить Пусть vo удовлетворяет уравнению Av = g, (4) и пусть vn — его приближенное решение. Положим Aun = fn, Avn = gn, bn = {un, g) + {f-fn, vn). (5) Положим приближенно («о. g)=-bn (6) и оценим погрешность этого неравенства. Легко проверить тождество (к0, g)—Ьп = (и0 — ип, g — gn)· Искомая погрешность I («о - «п. g ~ gn) I = I («о - «η, Α {ν0 - νη) \ = Ι [κ0 - «„, ν0 - νη] Ι, и по неравенству Коши — Буняковского I («о. g)-bn\<\u0-un\-\v0-vn\. (7) ') См. также работы этого автора [1], [2], [7].
§ 72 ПОГРЕШНОСТЬ ОТ ОШИБКИ В УРАВНЕНИИ 337 Правую часть можно оценить методами, установленными в настоящей главе, если ип и vn построены по энергетическому ме- т0пу или по методу ортогональных проекций '). Приведем еще, не останавливаясь на выводе, Некоторые результаты τ Като [1] Пусть А = Т*Т; относительно операторов А, Т. Г* примем усло- вИЯ § 62. По-прежнему пусть и0 удовлетворяет уравнению (1). Пусть еще и ν — произвольные элементы из области определения оператора Г, а и', υ· — произвольные решения уравнений Т*и'— f, T*v' = g. Положим а = (к. g) + (f, с)— (Ти, Τν), β = (и', ν'). Тогда погрешность приближенного равенства V («о, £) = (α + β)/2 (8) не превосходит величины || Ти -ιΐ))·))Τυ-υ'))Ι2. (9) § 72. Оценка погрешности, проистекающей от ошибки в уравнении Часто бывает выгодно заменить данное уравнение Au = f (1) близким, но более простым уравнением, которое мы запишем в виде Ви = f. (2) Возникает вопрос, насколько такая замена отразится на решении, иначе говоря, как судить о степени близости решений уравнений (1) и (2), если мы как-то можем судить о степени близости операторов Л и β. В настоящем параграфе мы сформулируем некоторые результаты, содержащиеся в статьях автора [9], [10], [17]; полное изложение этих результатов содержится в книге автора [26]. Будем считать, что операторы А а В положительные и что соответствующие им энергетические пространства НА и Нв состоят из одних и тех же элементов. Можно доказать, что тогда найдутся такие положительные постоянные αϊ и аъ что для любой функции и^НА (или, что то же, йбЯв) справедливо неравенство а,|и||<|и|л<а2|и||. (3) Коль скоро операторы А к В даны, определение постоянных αϊ и аг обычно не наталкивается на особые трудности, и мы будем считать эти постоянные известными. Если и0 и «ι суть решения уравнений (1) и (2), так что Аи0 = / и Вщ = f, то имеет место неравенство Ι«ι-«οΙβ<η|«ιΙβ. (4) ') В работе М. Г. Слободянского [7] намечено построение формулы, более точной, чем формула (6). 22 С. Г. Михлив
338 ГЛ. VIII. АПОСТЕРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ в котором постоянная η определяется формулой η = max (|α, - 1 |/α,; |α2- 1 1/α^. (5) Формулы (4) и (5) решают задачу, поставленную в нача параграфа. Ле В качестве примера рассмотрим задачу Неймана для эллиптичен уравнения ог° m *■-- Σ -4("«.те)-""· « Эта задача состоит (§ 27) в отыскании функции и(Р), определенной в некоторой области Ω, расположенной в пространстве координат хи х^ . х '. функция и должна удовлетворять уравнению (6) внутри области Ω и 'краевому условию (ν — внешняя нормаль) Σ Aik~jtcaslv· Xk)\ =0 (Л L/. ft-l Js Область Ω считаем конечной и удовлетворяющей условию конуса (§ 55), а ее границу S кусочно гладкой. Коэффициенты A3-h будем считать ограниченными, а уравнение (6) невырожденным. Тогда можно доказать существование таких двух положительных постоянных μο и μι? что для любых вещественных чисел t\, h, ..., tm и при любом положении точки Ρ внутри или иа границе области Ω выполняется неравенство mm m μ*Σή< Σ >*/* (*)*/**< μ. Σ #. (8) Напомним, что для разрешимости задачи Неймана необходимо и достаточно, чтобы jf(P)dQ = 0; (9) ω решение будет единственным, если подчинить его условию u(P)dQ = 0. (10) l· Оба эти условия будем считать выполненными. Введем вещественное гильбертово пространство Η как подпространство ί^(Ω), определяемое уравнением (10). В этом пространстве оператор А положительно определенный на множестве функций, удовлетворяющих краевому условию (7). При этом л m
§ 72. ПОГРЕШНОСТЬ ОТ ОШИБКИ В УРАВНЕНИИ 339 (7) естественное, поэтому пространство НА состоит из всех функ- У^° побшаюишх интегралу (И) конечное значение; из неравенств (8) сле- инй' с° цА можно рассматривать как множество функций, сообщающих ДУеТ- ное значение более простому интегралу ίΣ Ω /=1 \дх,) άΩ. (12) В тсй же области Ω будем решать задачу Неймана для эллиптического уравнения _ т краевое условие имеет вид - m 2j fi/*-gj-cos(v, xk) .1. fe=i ^0. (f4) Пространство Нв состоит нз функций, сообщающих конечное значение интегралу (12), т. е. из тех же функций, что и пространство НА. Составим уравнение с неизвестной λ fin—λ/lii β]2 — λ/4ι2 ... Βίη — ΑΑ\η "2ΐ—Лл21 ^22 — лДгг ··· Β%η — ^^Urc An ■λΑ„ Впг ~λΑη "tin nAr, »0. (15) Все корни этого уравнения положительны (ср. § 42). Пусть λ'(Ρ) — наименьший, а λ"(Ρ) — наибольший корень уравнения (15). Тогда, как известно, mm m λ' (Ρ) 2 Bik(P)tStk< 2 ASk(P)titk<V'(P) 2 B/**/'fa (16) /, ft-i /. fe-i /, k=i где /j — любые вещественные числа Обозначим теперь a, = inf λ' (Ρ), рей «2= sup λ" (Я). В неравенстве (16) заменим λ' на αϊ, а λ" на а2, отчего peQ неравенство усилится, и положим ί/ -= ——. Проинтегрировав полученное неравенство по Ω, получим а, | ы || < | ы |^ < а2| гг ||. Обозначая через миг; решения задач Неймана для уравнений (16) и (12), имеем \и — ί>|<η|ί>|, где η определяется формулой (5). Последнее неравенство показывает, в частности, что если Ajb\P) -*Bjh(P) равномерно в замкнутой области, то как сама функция и(Р), так и ее первые частные производные сходятся в среднем в Ω к функции ν(Ρ) и ее первым частным производным.
ГЛАВА IX ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ § 73. Теорема о приближениях по Ритцу Пусть А — действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Η положительно определенный оператор с дискретным спектром. Обозначим через λ&, k = 1, 2, ..., собственные числа этого оператора, расположенные в порядке возрастания, и через λ&„ п-е приближение по Ритцу к числу λ&. Теорема. Процесс Ритца дает для собственных чисел положительно определенного оператора приближенные значения с избытком. Прежде всего докажем, что с возрастанием η величина λ*η убывает. Если координатные элементы подвергнуть процессу ортого- нализации, то это не отразится на числах %ип\ будем считать поэтому, что координатная система {<р&} ортонормирована в Н. Тогда, как об этом сказано в § 43, %hn, k = 1, 2, ..., η, суть собственные числа квадратичной формы η Σ [φί, Ψ]]αία!. (1) «', /-ι Обозначим через Еп евклидово пространство п измерений; совокупность коэффициентов (аи а%, ..., ап) = а можно рассматривать как точку в Еп. Через Rn обозначим матрицу Ритца «-го порядка, т. е. матрицу энергетических произведений [φ,-, φ,-]; ι, /' = 1, 2, .. ., п. Матрица Rn порождает в Еп симметричный оператор, который мы также обозначим через Rn. Числа %kn ~~ собственные числа формы (1)—суть также собственные числа оператора Rn. Заметим, что η Σ [φί. Φ/] aflj = (Rna, a). (2) г, /-ι Обозначим через af> коэффициенты Ритца в выражении ukn = 2 аТ)(Р» k = l, 2, ..., η, приближенного собственного
§ 73 ТЕОРЕМА О ПРИБЛИЖЕНИЯХ ПО РИТЦУ 341 мента Ukn, соответствующего приближенному собствен- эЛ?,У числу Яь„, и через <rth) «-компонентный вектор o(fe> = В°(а{к), 4fe)' ·"·' a«fe))· Далее· через 6№ обозначим вектор й<*> = )a(k) а№)) .... cf®_u 0). Вектор a<fe> можно отождествить с (я —1)- компо'нентным вектором (af]> 4fe), -··> β(η-ι)· Вообще, если а = = (αι,α2. ·■·> а>п-\,ап), то будем писать ά = («i,«2, ··-, ач-ι,Ο) и будем отождествлять й с (п—1)-компонентным вектором (fll, 0.2, ···· On-l). Обозначим ге-1 λ„-ι(Ω(Ι). «(2). --·. a(fe-,)) = min 2 [ф«. Ф/]о1-0/ = шт(/?„_,й, ω); (3) здесь #η-ι — матрица Ритца («—1)-го порядка, а минимум берется на множестве (п—1)-компонентных векторов, удовлетворяющих условиям п-1 п-1 Nir=2«f=l. (й, а(«) = 2й;й(/) = 0, /= 1, 2, .... Λ— 1. (4) « = 1 г = 1 В силу минимаксимального принципа K.n-i>K-ii#\ ώ®, .... «(fe-|))· (5) Будем теперь трактовать й как «-компонентный вектор с нулевой последней компонентой. Тогда, очевидно, (tf„_,d, a)=(Rua, ά). (6) Теперь величину (3) можно определить так: это минимум квадратичной формы (2) на множестве «-компонентных векторов а, удовлетворяющих условиям ||я|Р=1; (я, аУ>) = 0, /=1, 2, ..., Α-1, (4,) и дополнительному условию о» = 0. (7) Если отбросить условие (7), то множество векторов а расширится, и минимум во всяком случае не увеличится. Но минимум формы (2) при условиях (4i) есть как раз %hn. Отсюда λ/ίη^λη-, (άω, ω<2), ..., <S(fe-I)). Сопоставляя это с неравенством (5), получаем λ^Χλ^,η-ι. что и требовалось доказать. Таким образом, последовательность λ&„, η = 1, 2, ...,— Убывающая. Ниже будет доказано1), что lim 'kkn = %k. Но ') См гл. XI, § 94, где будет доказана более общая теорема.
342 ГЛ. IX. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ монотонно убывающая переменная не меньше своего предела поэтому ЪыЖ- (8) Теорема доказана. § 74. Некоторые частные приемы Теорема предыдущего параграфа делает особенно важным вопрос о приближении к собственным числам положительно определенных операторов снизу. С одной стороны, такие приближения, вместе с приближениями по Ритцу, дали бы возможность надежно судить о погрешности; с другой стороны, такие практически важные задачи, как задача об устойчивости, требуют знания приближенных значений собственных чисел именно с недостатком. Вопросу о таких приближениях посвящены все последующие параграфы настоящей главы. В данном параграфе мы коротко скажем о некоторых отдельных результатах, относящихся к этому вопросу. 1. Во многих случаях удается построить так называемую функцию Грина G(P,Q) данного положительно определенного оператора А. Тогда собственные числа и собственные функции оператора А можно найти как характеристические числа и собственные функции интегрального уравнения и (Р) - λ J" G {P, Q) и (Q) dQQ = 0. (1) Ω Заметим, что из симметричности оператора А вытекает симметричность соответствующей ему функции Грина. Рассмотрим сперва случай, когда jJG2{P, Q)dQPdQQ<oo. (2) Ω Ω Рассматривая G{P,Q) как ядро интегрального уравнения, обозначим через Gm(P,Q), m = \, 2, ..., соответствующие ему итерированные ядра, определяемые известными рекуррентными соотношениями G, (Р, Q) = G (Р, Q), Gm(Ρ, Q)=JG (P, R) Gm_, (R, Q)dQR. Ω Введем в рассмотрение так называемые следы итерированных ядер om= f Gm(P, P)dQ.
§ 74 НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ПРИЕМЫ 343 следов с четными индексами верна формула atn-jJGliP, Q)dQPdQQ, (*) Ω Ω воляющая вычислить след, используя вдвое меньшее число ятераций. Если следы й2т вычислены, то нетрудно найти наименьшее характеристическое число уравнения (1). Именно, слепы От связаны с характеристическими числами λι, Яг, ... соотношением -^λ"1' т > 2. (3) Пусть характеристические числа расположены в порядке возрастания. Заменяя в последнем равенстве т на 2т и отбрасывая все члены ряда, кроме первого, получаем 2т λ, > l/Va^. (4) Таким образом, приближенное равенство 2т λ, - 1/V^T (5) дает значение λι с недостатком. Можно доказать, что У aim так что при т достаточно большом приближенное равенство (5) будет сколь угодно точным. Если известна кратность ρ характеристического числа λ, то вместо (4) можно получить более точное неравенство 2от λ, > УрЮш (6) и соответственно более точное приближенное равенство с недостатком 2т λ, « Vp/«2m· (7) ■заметим, что из ряда (3) можно получить для λι и приближенное значение <; избытком: Xj «< V а2т1а2т+2 > (8)
344 ГЛ IX. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ что в пределе переходит в точную формулу λι = lim Ущт/с^т+2· Можно построить приближенные формулы с недостатком й для следующих характеристических чисел уравнения (1). Так| если характеристические числа λι и λζ — оба простые, то ^~{;V2/(alm-aim). (9) Если λι известно точно (или с избытком), то формула (8) дает значение λ% с недостатком; при т —> оо получаем точную формулу ^2 = Х-Нт^^ · (Ю) 1 m-*°° λγτ~ζ—■ Подробные выводы приведенных здесь формул, а также некоторые численные примеры приведены в книге автора [7], §§ 15 и 17. Изложенный выше прием часто дает хорошие результаты, если А — дифференциальный оператор с одной независимой переменной, так как тогда во многих случаях вычисление функции Грина и ее итераций не требует затраты большого труда. Встречаются случаи, когда интеграл (2) расходится, но сходится такой же интеграл от некоторого итерированного ядра GV(P,Q). В этом случае формулу (3) можно заменить такой: оо flW = Σ 1Дп"1> т > 2; (11) верны формулы, которые получаются из формул (4)—(10), если в них заменить λι и %2 на λ^ и λ£, а индексы у следов a<im, а2т+2, aim умножить на v. 2. В своей статье [1] И. Ю. Харрик получила двустороннюю оценку для первого собственного числа оператора —Δ, где Δ — оператор Лапласа, при краевом условии ы|я = 0. Делаются следующие предположения: 1) область Ω, ограниченная поверхностью S, конечная; 2) уравнение поверхности 5 имеет вид φ(Ρ) = φ(*ι, #2ι ···. хт) = 0, где функция φ имеет достаточно много непрерывных производных и не обращается в нуль в Ω, a grad φ не обращается в нуль на 5; 3) первая собственная функция щ имеет в Ω k непрерывных производных; 4) приближенное собственное число Л1и и приближенная собственная функция щп(Р) определены процессом Ритца; 5) щп{Р) имеет
§ 74 НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ПРИЕМЫ 345 вид произведения функции φ(Ρ) на полином степени ■<« по каждой из координат. Тогда имеет место неравенство Ο^λ^-λ,^σ^"1, σ„-> 0. (12) Я-»оо Доказательство основано на теореме И. Ю. Харрик об оценке приближения функций, рарных нулю на S, произведениями <pR(P), где R — полином, и на легко доказываемом соотношении, верном для любого положительно определенного оператора А с дискретным спектрам: |и, — и|д — λι ||и, — и||2 = = |и|д — λ]. Здесь «ι — собственный элемент оператора, отвечающий наименьшему собственному числу λι, а и — произвольный элемент из НА, такой, что ||ы|| = 1; элемент щ также считается нормированным: || щ || =* 1. 3. В работе Г. Бертрама [1] д^ны оценки погрешности процесса Ритца для собственных чисел в случае обыкновенного дифференциального уравнения Mu-lNu = 0 (13) при краевых условиях достаточно общего вида. Предполагается, что оба оператора Μ α Ν положительно определенные, порядков 2т и 2s, причем s < т. Оценка дается в предположении, что известны собственные числа μ„ оператора Μ при краевых условиях задачи, а также соответствующие им собственные функции; последние используются в качестве координатных. Более обстоятельно исследован случай, когда Nu = q(x)u, где q(x)—функция, непрерывная на сегменте [0, 1]. Если λ& — собственное число задачи (13), а λκη п-е приближение к λη по Ритцу, то, как оказывается, со p-n + l В широком классе случаев (см., например, М. А. Наймарк [1]) справедлива оценка μ^ = 0(р'Лт), а тогда 0< 1Дк- lAfen<^mex/«2m-'; с = const. (15) В общем случае, когда N имеет порядок 2s, Г. Бертрам устанавливает оценку 0<lAfe-lAfe„<cl/rt2(ffI-s>-1; c, = const. (16) 4. А. В. Джишкариани [1] улучшил оценки (14) и (15) для случая простейших краевых условий „(0(0) = „(/)(!) = 0, / = 0, 1, 2, ..., т-\. (17)
346 ГЛ IX ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В этом случае ι/λ*-ι/λ*„-οα/μ»+ι), (18) и, следовательно, для широкого класса операторов Μ lAfe-lA*„ = 0(rt-2m). (19) 5. В работе Г. М. Вайникко [5] содержится в числе прочих следующая оценка. Пусть А— положительно определенный оператор с дискретным спектром, λ& и λ&„ имеют то же значение, что и в начале параграфа. Пусть φι, фг, ..·, φη — первые η координатных элементов и Рп — оператор ортогонального проектирования на подпространство, натянутое на эти элементы. Тогда О < 1 Дк - Щкп <№- Рп) Л-1 II, (20) где Ε—тождественный оператор. § 75. Метод «промежуточных операторов» 1. В 1935 г. А. Вайнштейн (см. [1,2]) предложил довольш общий метод построения приближений с недостатком для соб ственных чисел положительно определенного оператора. А. Вайн штейн первоначально изложил свой метод на частной задаче о собственных частотах пластинки, жестко закрепленной п( краю. В формулировке и исследовании метода для общего слу чая деятельное участие принял Н. Ароншайн, посвятившш этому ряд работ (см. С. X. Гулд [1]). Полезные добавленш к методу предложили Н. Бэзли и Д. Фокс (см. Н. Бэзли [1], Н. Бэзли и Д. Фокс [1—3]). Отметим еще работу И. В. Свир ского [1]. Ряд интересных результатов получил X. Ф. Вейнбер гер ([1—2], см. также С. X. Гулд [1]). Методу А. Вайнштейна посвящена большая книга С. X. Гул- да [1], к которой мы и отсылаем читателя за дальнейшими библиографическими сведениями и за большинством деталей. Здесь мы ограничимся изложением основ метода и некоторыми наиболее, по нашему мнению, интересными дополнениями. В конце главы будут приведены результаты некоторых численных экспериментов, выполненных А. Вайнштейном и его сотрудниками. 2. Пусть А и В— симметричные положительно определенные операторы, и В-^СА (см. § 41). Тогда, как мы знаем, собственные числа оператора В меньше соответствующих собственных чисел оператора А. Если оператор В построен и его собственные числа легко найти, то в нашем распоряжении оказываются приближенные (хотя, вообще говоря, грубые) значения с недостат-
§ 75. МЕТОД «ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ» 347 ком для собственных чисел оператора А. Примеры, в которых можно построить такой меньший оператор, указать легко. Так, например, обозначим через А оператор —Δ, заданный на функциях, определенных в области Ω и равных нулю на ее границе, а через В— тот же оператор —Δ, но заданный на функциях, определенных в более широкой области Ωι и равных нулю на ее границе. Докажем, что В < А. Для этого доопределим функции из НА, полагая их равными нулю в Ωι — Ω. Тогда их можно рассматривать как функции из Нв. Таким образом, Нв шире, чем НА. В то же время, если и е НА, то |и|л= (grad ufdQ = (grad uf άΩ, = \и\в. Ω Ω, Согласно определению, данному в § 41, В «С А, и собственные числа оператора В меньше соответствующих собственных чисел оператора А. Если в качестве Ω, взять, например, параллелепипед, то собственные числа оператора В легко находятся. Приведем еще один, более простой пример. Пусть и функции «eDA определяются краевыми условиями и(0) = = и(1) =0. Пусть р(х)>ро>0 и г(х)>г0>0, где р0 и г0 — постоянные. В качестве β можно взять оператор Ви = — р0-тт+ + r$i при тех же краевых условиях и(0) = и(1) = 0. Собственные числа оператора В определяются элементарно; они равны го + рФ2п2, η = 1, 2, .... и, так как, очевидно, В < А, то Кг > го + роп2п2, где λ„ есть п-е собственное число оператора А. Метод «промежуточных операторов» или, как его называет А. Вайнштейн, метод «промежуточных задач» заключается в построении последовательности операторов Ап, η = 1, 2, ..., заключенных между В а А; если при этом наименьшее собственное число оператора Ап оказывается строго больше, чем наименьшее собственное число оператора В, то мы получаем для наименьшего собственного числа данного оператора А более точное приближение с недостатком. 3. Рассмотрим сперва случай1), когда DB^>DA. В этом случае «промежуточные операторы» Ап строятся следующим образом. Положим А — В — С. Оператор С неотрицателен. Для простоты допустим, что он положительно определенный. Выберем какие-нибудь η линейно независимых элементов /j e DA, ') Этот случай был рассмотрен Η Ароншайном в 1951 г. (см. С. X. Гулд [1]) и независимо от него И. В. Свирским [1] б 1953 г.
348 ГЛ. IX. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ / = 1, 2, .... п. Применяя, если это необходимо, процесс орт гонализации, можно добиться того, чтобы эти элементы бьц?" ортонормированы в энергетическом пространстве Нс: а Т( ( \ -ίΓί Ϊ \_/0, k=£m> Uk, hue - \4k, Im) - \ j k = m (1) Обозначим Cfk = gk, k= 1, 2, ..., n, (2) и положим η η η Спи = 2 [и, fk\cgk = 2 (Си, ffe) gk = 2 (и, gk) gfe (3) и Л„==Б + С„. (4) Докажем, что Сп — симметричный оператор, удовлетворяющий неравенству 0 ^ Сп -< С; отсюда будет следовать, что В</4„<Л. Имеем η η (С>, t>) = 2 [". fk\c (gk, v) = 2 (Си, ffe) (Cffe, t>), или, так как оператор С симметричен, то {Спи, о)=2(Сн, Ш*. Су). fe= I Тот же результат получим, вычисляя скалярное произведение (и, Cnv); этим доказана симметричность оператора Сп. Чтобы доказать неравенство О -С Сп -С С, вычислим величину (значок С при энергетическом произведении опускаем) (Спи, и) = 2 [и, fk] (Cfk, и) = 2 [и, Ы [к, и] = 2 I [и, fk\?>0- k=l fe=l ft=l Отсюда Си !> 0. С другой стороны, по неравенству Бесселя η 2 IK ffelc f <I"lc = (Си, и). Отсюда (Спи, и)-<(Си, и); поопре- делению С„ ^ С 4. Нетрудно выяснить, каковы должны быть элементы fk, чтобы наименьшее собственное число μ^"' оператора Ап было строго больше наименьшего собственного числа μι оператора В. Пусть φι — нормированный собственный элемент оператора В,
§ 75. МЕТОД «ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ» 349 0тветствующий собственному числу μ[. Имеем μ,= inf (Ви, «) = (βφι, φι), (5) μ(«)= inf (Anu, «) = inf \(Bu, h) + 2|[h, /fe]cp) (6) rl I в 1-1 Iи| —1 I fe-1 J Первое слагаемое справа достигает минимума, равного μι, при и = (т)[. Если элемент φι ортогонален по энергии оператора С ко всем элементам fk, то, очевидно, μ^1) = μι, и в этом случае метод промежуточных операторов не позволяет улучшить оценку наименьшего собственного числа. Пусть теперь хотя бы одно из произведений [φι, fh]c *£ 0, и пусть минимум в (6) достигается при и = φ μΜ = (βφ, φ)+2 Ι [φ, fk]cf. (7) Если φ φ φι, то уже (βφ, φ) > μι; если же φ = φι, то сумма в (7) положительна. Таким образом, переход от оператора В к оператору Ап улучшает приближение снизу к наименьшему собственному числу оператора тогда и только тогда, когда хотя бы один из элементов fh не ортогонален (в норме Нс) ни к одному из собственных элементов оператора В, отвечающих его наименьшему собственному числу. Ниже будем считать, что спектры операторов Л и β дискретны, хотя метод промежуточных операторов пригоден и в более общих условиях. Вычисление собственных чисел промежуточного оператора Ап требует решения некоторого уравнения, вообще говоря, трансцендентного. Выведем это уравнение. Собственные числа λ и собственные элементы и определяются из уравнения Апи — Ки = 0; используя формулы (2) — (4), приведем его к виду Ви - ки = - 2 (", gk) gk- (8) k= ι Будем считать, что не все произведения (u,gh) обращаются в нуль — в противном случае собственное число оператора Ап совпало бы с некоторым собственным числом оператора В, а этот случай мы пока исключаем из рассмотрения. Пусть μ^ и Vu — собственные числа и соответствующие им собственные элементы оператора В. Система {vk} полна в рассматриваемом гильбертовом пространстве, поэтому DO и = 2 ("» »,-) v.. /-1
350 ГЛ. IX. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Подставим это в правую часть уравнения (8) и скалярно vM жим затем его обе части на vm. Используя соотношение Bv B(V = \hnVm, ПОЛуЧИМ *" *° (и, ит) = ίΙ^χΣί"' gk)(gk, о J и, следовательно, т оо и_ _ у у (и, gk) (gk, νι) fe=l / = l μ;-λ ■Ό,. Умножив это скалярно на giy получим систему однородных линейных уравнений Здесь обозначено (9) (Ю) По предположению не все произведения (и, gk) равны нулю, поэтому определитель системы (9) обращается в нуль: 1+αη(λ) α12(λ) ... α1η(λ) α2ι (λ) 1 + age, (λ) ... ацп (λ) α„ι(λ) α„2(λ) ... 1 +α„„(λ) = 0. (Π) Корни этого определителя дают все собственные числа оператора Ап, отличные от собственных чисел оператора В. Оказывается, что полюсы определителя (11), отличные от нуля, дают все собственные числа оператора В, не совпадающие с собственными числами оператора Ап (см. С. X. Гулд[1])· § 76. Метод «лромежуточых операторов» (продолжение) Откажемся от допущения, что DA c= DB. Во всяком случае по определению из неравенства А ^ β вытекает, что НА с Нв- Эта символическая запись в данном случае означает, что любой элемент пространства НА одновременно есть элемент Нв. Кроме того, согласно тому же определению, если иеНА, то \и\А^ 2>|и|в. Примем следующее допущение:
§ 76. ПРОДОЛЖЕНИЕ 351 Если u<sHa, то \и\А = \и\в. Из этого допущения сразу вытекает, что ^ о]/=.[„, D]B; н, vt=HA. мы сейчас увидим, из него же вытекает, что НА есть под- ять, что оно замкнуто в норме Нв. Пусть ип е ЯА, η = 1, 2, 3 |ы' —ы^д-^О. Нам нужно доказать, что и0^НА. Сходящаяся последовательность {«„} фундаментальная в НЕ- остранство #в- Множество ЯА линейно, и достаточно дока- ПР „ лип oaMIfHVTn R НППМР Η τ, Пл/РТЬ 11.. f=//>. Я= I 9 'в- \un-uk\B ^^„♦O. Но ("п — «л) е ЯА, поэтому \un-uk\A = \un-uk \в -n feH>00-» 0; последовательность {ип} фундаментальная в НА; в силу полноты пространства НА существует элемент и'й е НА такой, что \ип-"*\л~*0· По нашемУ допущению, \ип-и'0\А = \ип-и'0\в. Но тогда в пространстве Нв последовательность {«„} имеет два предела щ и и'й, νι эти пределы необходимо равны. Отсюда и„е#А, что и требовалось доказать. Если бы оказалось, что НА = НБ, то, как легко доказать, отсюда следовало бы, что А = В. Но А > Б, поэтому Яв строго шире, чем НА; ортогональная разность Но = НВ^НА содержит элементы, отличные от нулевого. Чтобы пояснить наше допущение, рассмотрим следующие две задачи: 1. В задаче п. 2 § 75 Нв состоит из функций, которые обращаются в нуль на границе области Qt и для которых конечен интеграл Г (gradufdQlt α, а НА можно трактовать как подпространство Нв, образованное теми функциями из Нв, которые тождественно равны нулю вне Ω. Подпространство #0, ортогональное к НА, состоит из функций, которые принадлежат пространству Нв и обращаются в нуль в Ω. 2. Рассмотрим упругую пластинку, которая в состоянии равновесия заполняет область 5 плоскости (х,у). За А примем оператор Δ2 при краевых условиях жесткого закрепления всего контура (условия (8) § 30), за Б —тот же оператор Δ2 при Условиях свободного опирания (условия (9) и (13) § 30) всего контура. В данном случае пространство Нв состоит из функций, Удовлетворяющих краевому условию и|Л = 0 (условие (9) § 30) в сообщающих конечное значение интегралу (21) § 30, а пространство НА состоит из функций, удовлетворяющих условиям
352 ГЛ IX ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ (8) § 30 и сообщающих конечное значение интегралу (16) к ч Из тождества (6) § 30 вытекает, что при условиях (8) | несправедливо равенство ^ s и, следовательно, интегралы (21) и (16) § 30 совпадают. Таки\ образом, наше допущение оправдано. Пространство НА есть подпространство rex функций из Нв, которые удовлетворяют краевому условию -у =0. Переходим к построению промежуточных операторов. Выберем последовательность линейных функционалов /ft, k = ι 2, ..., ограниченных в Нв и обладающих следующим свойством:' для того чтобы элемент и е Нв принадлежал пространству НА необходимо и достаточно, чтобы /&и = 0, k = 1, 2, ... Можно', например, взять lhu = [и, ψ^Β, где [г]^} — последовательность элементов, полная в Яо = Я1!£)^л1)· Теперь можно определить Η а как подпространство Нв, определяемое условиями 1„и = 0, 1</г<оо. (1) Рассмотрим теперь квадратичный функционал Ф„(")=К-2(«, /), /е=Я. (2) заданный на подпространстве Н^ пространства Нв, определяемом соотношениями /*и = 0, 1 <£:<«; (3) через Я обозначено исходное пространство, в котором действуют заданные операторы А я В. Очевидно, Яд с= Яд'. Как и в §§ 13—16, мы докажем, что задача о минимуме функционала Ф„ имеет в Яд1 одно и только одно решение. Если обозначать это решение через Gnf, то оператор Л„=СЙ положительно определенный, его энергетическое пространство Яд = Яд, и если ие Н%\ то ]и]А = |и\в. Таким образом, положительно определенные операторы А, Ап, β связаны соотношениями НА с Я, с Нв; (4) ') Верно и обратное если функционалы lk обладают указанными выше свойствами, то по теореме Риса существует такая полная в Н0 последовательность {l|)ft}, ЧТО IhU = [U, я|5(,]в.
§ 76. ПРОДОЛЖЕНИЕ 353 и этом, если и^НА или и е= НАп, то соответственно l«U = l«Lv \u\An = \u\B. (5) По определению (см. § 41) Б<Л„</4; промежуточные операторы построены. Их собственные числа lhn, k = 1, 2, ..., суть последовательные минимумы функционала |ыЦ/||ы|р на множествах элементов энергетического пространства В, удовлетворяющих условиям (3), а также условиям ортогональности к собственным элементам оператора Ап, отвечающим собственным ЧИСЛаМ Kin, hint ■·■> ^h-ί,η- В качестве примера рассмотрим задачу о собственных частотах пластинки, жестко закрепленной по Краю. Введем в рассмотрение пространство L%(L) функций, квадратично суммируемых на контуре L, и пусть pi(s), p2(s) ... — полная в L2(L) последовательность. Второе из условий (8) § 30, -А| =0, равносильно последовательности условий -g-P/(s)<fc-0, 1</<оо. (б) ί Из сказанного выше следует, что приближенные значения с недостатком для собственных чисел оператора пластинки с жестко закрепленным краем можно получить, решая задачу о минимуме интеграла (21) § 30 на множестве функций w(x, у), удовлетворяющих следующим требованиям: 1) эти функции нормированы |«f-J fi?dxdy-l; 2) они сообщают интегралу (21) § 30 конечное значение; 3) они удовлетворяют условию (9) § 30: u\L = 0; 4) они удовлетворяют конечному числу условий ί -g-p,(s)rfs = 0; /-1,2,..., η. (7) Вернемся к общему случаю. Как и в § 75, нахождение собственных чисел оператора Ап связано с решением некоторого трансцендентного уравнения. По-прежнему обозначим через μ,- и Vj собственные числа и соответствующие собственные элементы оператора В. Пусть λ и и — собственное число и собственный элемент оператора Ап: А„и — Ли = 0. 23 С. Г. Михлин
• 354 гл. ιχ. двусторонние оценки собственных чисел Умножив это скалярно на произвольный элемент [еЯ ап< находим [и. ЕЦ,-Ми, О-о. (8) Уравнение (8) преобразуем. Прежде всего Далее, НАп есть подпространство Нв, определяемое условиями (3). Функционалы lh ограничены в Нв\ по теореме Риса существуют элементы ψίι е НБ такие, что 1^и = [и, г]ж]в. Можно считать, что [ψ&, г])3-]в = bhj — достаточно, если это не так, применить процесс ортогонализации. Теперь, если η — произвольный элемент из Нв, то и ξ = η-Σ h. %]% (9) k = l принадлежит ΗΑ ; обратно, любой элемент ζ е НАп можно получить таким способом — достаточно взять η = ζ. Подставим выражение (9) в уравнение (8): η [и, г\]в - λ (и, η) = 2 [η, %] Ofe (и). (10) где Oft (и) = [и, i])ft]B — λ (и, г]*). Имеем DO и = 2 (и, vt) υ,. Подставим это в левую часть уравнения (10) и, положив в нем η = V{, получим l 1— ι и, следовательно, ak(u)lk(vt) о/. 01) Элемент и е НА и, следовательно, удовлетворяет условиям (3): °*(")2l—μ -я =0' * = 1, 2,..., п. (12)
§ 77. УПРОЩЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ 355 Будем искать собственные числа оператора Ап, отличные от собственных чисел оператора В Тогда, как легко видеть, не все числа ah(u) равны нулю, и определитель системы (12) обращается в нуль. Если мы обозначим для краткости у lk(v,)li(vj) PikW-Zt (μ/_λ) » (13) то βα(λ) βι2(λ) ... β,„(λ) β21(λ) β22(λ) ... β2„(λ) β„ι(λ) ββ2(λ) ... β„„(λ) = 0. (14) Напомним, что функционалы fo должны удовтетворять соотношениям 4 (ψ/) = [%, Φ/]Β = δ№. § 77. Способы упрощения трансцендентного уравнения Как было показано в §§ 75 и 76, собственные числа промежуточных операторов суть корни определителя, элементы которого суть мероморфные функции от λ. Оказывается, можно добиться того, чтобы эти функции были рациональными. 1. Рассмотрим сперва случай § 75, когда DA = DB. Построение πpoмeжy7Όчнoгo оператора связано с выбором элементов fk <= DA. Определим их из уравнений ') Cfk^vk, /г=1, 2 η, (1) где Vh — собственные элементы оператора В. Если, как мы это каждый раз предполагаем, оператор С положительно определенный, то уравнения (1) разрешимы. Докажем, что в этом случае η собственных элементов оператора Л„ суть линейные комбинации элементов ν ι, и2, .... vn, a соответствующие собственные числа суть корни некоторой рациональной функции; остальные собственные числа и элементы суть μ„+ι, μη+2, ■ ■. и соответственно vn+i, vn+z, ... Элементы fk, найденные из уравнений (1), в Нс не ортонор- мированы. Процесс ортогонализации приведет нас к элементам вида k fk=2j ak/f/> [fk, fm]c — 6fem. ') Cm. H. Бэзли [1], С. Х. Гулд [1].
356 ГЛ. IX. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Положим k По формулам (3) и (4) § 75 Апи- Ви + Σ (и, 21 OkjOjj Σ α«»ί· (2) Положим здесь и - νη+ρ, ρ>0. Собственные элементы Vj ортогональны, сумма в (2) исчезнет, и мы получаем Anvn+P = Βνη+Ρ = μ„+ρί> η+ρ· Этим доказана вторая часть нашего утверждения. Будем теперь искать собственные элементы оператора Ап в η виде и = Σ βΛ- Подставив это в (2), получим η Λ„Η = Σ $mV-mVm + η ft + Σ Σ aklakl(u, v,)vi. (3) Имеем η (И, fy)= 21 fimifm, »/)-β/, и вторая сумма в (3) преобразуется гак: Σ 21 ava&Ot - Σ Σ Σ α*/α„β/0ι = 21 ( Σ Σ а*у«*А } *Υ· область суммирования показана на рис. 15. Меняя порядок суммирования во внутренней сумме, получим выражение η π η ί /, /^/, Σ f ί Σ β/ Σ Clft/Ofe/; /' = j ; ; > / η Обозначим Σ α*,afti = Vi/ и заменим в последней сумме букву / на т. Для Апи получается выражение η ( »η Ι i4„« = Σ 1 ЦяРт + Σ Ym/β/ yn (4)
§ 78 МЕТОД Г. ФИКЕРА 357 Потребуем теперь, чтобы выражение (4) только множите- μ отличалось от и. Это дает однородную систему для рт: η {μ,η ~ μ) Рт + 2 Ym/β/ = 0. т = 1, 2, ..., п. (5) приравняв нулю ее определитель, получим уравнение μι-μ + Vn Vis ■·· Υι« Ϊ21 μ2-μ + Ϊ22 ··· Ъп Υ«ι Υ«2 . .·μη-μ+Υη = 0. (6) Уравнение (6) имеет степень щ его старший коэффициент 7—1)" отличен от нуля. Отсюда следует, что оно имеет ровно η корней, которые являются собственными числами оператора Ап. Расположив эти корни и числа μη+ι, μ«+2. . · · в порядке возрастания, получим новые нижние границы для собственных чисел оператора А. 2. Другой простой прием указан в статье Н. Бэзли и Д. Фокса [1]. Обозначим через Рп оператор ортогонального проектирования из Η на подпространство элементов ν\, νζ, ..., νη- Заменим оператор В меньшим оператором В', где η βΉ=ΣμΑ(«, ^)^ + μ„+ι(£-Ρ„)«. (7) Первые η собственных чисел оператора В' суть μι, μ2, ..., μ«, а все последующие равны между собой и равны μη+\. При такой замене, которую ее авторы называют усечением, определители (11) § 75 и (14) § 76 делаются рациональными функциями от λ. § 78. Метод Г. Фикера Метод, отличный от метода промежуточных операторов, был предложен Г. Фикера [1, 2] в 1965 г.; этот метод имеет более узкую область приложений, но не требует построения меньшего оператора с известным спектром. Метод Г. Фикера формулируется для положительных вполне непрерывных операторов, в связи с чем нам понадобятся некоторые предварительные замечания. 1. Пусть А — положительно определенный оператор с дискретным спектром. По теореме 5 § 40 оператор G = А-' вполне непрерывен. Уравнение Ли-Яи=0 (1)
358 ГЛ. IX. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ равносильно следующему: Gu — <ои = 0, ω=*1/λ. Поэтому, если Kh и uh суть собственные числа и собственные (2) _, элементы оператора Л, то ω^ = λ^ и и^ суть собственные числа и собственные элементы оператора G. При этом ω& > 0 и ω^-^η. если λίι расположены в порядке возрастания, то ω& расположены в порядке убывания. Далее, G — положительный оператор. Дед. ствительно, пусть и Φ 0 — произвольный элемент данного про- странства Η и Gu = v. Тогда и = Αν и (Си, u) = (v, Av) = (Av, v)>0. Процесс Ритца для уравнения (1) переходит в процесс Ритца для уравнения (2). Чтобы убедиться в этом, разделим на —λ каждую строку определителя (6) § 43 и положим 1])/ = A q>y. Как было отмечено в § 58, [ф/, 4>k} = (A\„ Α*φ»)-(Ψ/, ψ*)· Далее, (Φ/. Φ*) = (Λ~%, A~V) = M~4/. **)-(G*,, ψ») и уравнение (6) § 43 принимает вид (Οψ„ ψι)-ω(ψι, ψι), ..., (Οψι, ψ„)-ω(ψι, ψ„) (Οψ„, ψι) - ω (ψ„, ψι), ..., (σψ„, ψ„) - ω (ψ„, ψ„) = 0. (3) К уравнению (3) можно прийти, применяя к задаче (2) процесс Ритца при координатной системе {фь}· Обозначим через <o(fen) корни уравнения (3), расположенные в порядке убывания: ω^η) ^ ω|η) ^ ... ^ ω^'. Очевидно, ω^η) = — l/λ^', где λ^"' —корни уравнения (6) § 43. Из теоремы § 73 следует, 4τοω^'^ωέ, так что для уравнения (3), у которого собственные числа расположены в порядке убывания, процесс Ритца дает приближенные значения собственных чисел с недостатком. Проблема двусторонней оценки собственных чисел сводится в данном случае к построению их приближенных значений с избытком. 2. Пусть G — положительный вполне непрерывный оператор, и ωι>ω2>·... — его собственные числа. Говорят, что G принадлежит классу ®ν> если DO 7ν(σ)=Σωϊ<οο. (4)
§ 78 МЕТОД Г. ФИКЕРА 359 дальнейшего важно, что величину /v((?) можно вычис- ь не зная чисел ω^. Именно, пусть {щ} — произвольная ор- лйд0рмированная полная система. Докажем, что оо /ν(0)=Σ(ί?4,Φ»). (5) Пусть {«ft} — ортонормированная система всех собственных элементов оператора G. Как известно, эта система полна, ^1 оо поэтому q>k = Σ (φ*. "/) "/· Отсюда ОО ОО (G\k, фь)= Σ_ щ(<Рк, ui)(<pk, ut)(ui, и/) = Σ ^ (фь щТ, и, следовательно, оо оо оо оо оо Σ (G\k, Φ,) - Σ «J Σ (Φ„ «,-)2 = Σ ω; || η, f - Σ ω- что и требовалось доказать. Вернемся к уравнению (2). Допустим, что оператор G принадлежит классу ®ν. Выберем координатную систему {%} и найдем п-е приближения по Ритцу ωι„, <й2И, .... а>пп к первым η собственным числам ω ι, <ог,..., ω„. Обозначим через Рп ортогональный проектор на подпространство, натянутое на первые η координатных элементов ψι, ψ2> · · ·, ψη· Обозначим еще **» = ['ν (G) - 'ν {PaGPJ + «L1IAV. (6) Теорема. Число аьп есть приближение к ω^ с избытком; с возрастанием η это число не возрастает, и limakn = v>k. (7) П-*оо Легко проверить, что PnGPn есть конечномерный оператор; его собственные числа суть ω&„, k= 1,2,... ,п, и, кроме того, число нуль, которое является собственным числом бесконечной Кратности. По формулам (4) и (6) оо П oln = Σ <*1 — Σ ωΙ"+ω*»· (8) /=1 /="1 Это можно представить в таком виде: оо П ΟΊιη= Σ ωΙ+ Σ («J — ϋ>]η) + ϋ>%·
360 ГЛ. IX ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Собственные числа to, > 0 и ωί·>ω3·„; первая сумма спраЕ положительна, вторая неотрицательна, поэтому ahn > i0h j-j a вое утверждение теоремы доказано. Введем обозначение {ωΤ> />п или / = ^> Тогда формулу (8) можно записать так: DO σ*η=2ρ/η. (9) Выясним, как меняется pjn при увеличении п. Имеем ω], j>n+l или ]=k; Ρ/·«+ι' Ι ων_ωνη+ι> Κ/<η+1 и i^k. Сравнивая формулы для pjn и р3-, «+ι. находим следующее: 1) если / = k или / > л + 1, то р3, n+i *= Pin'. 2) если \ </4- η + \, ) ψ к, то Р/.«.+1 = ωΙ - ωΙ«+1 < ω) - ω/« = Ρ/«· Итак, во всех случаях р3> „+ι·<ρ3-„, и из формулы (9) следует, что Oh,n+i-tCchn· Второе утверждение теоремы также доказано. Перейдем к третьему утверждению. Формулу (8) перепишем в виде Зафиксируем число Ν, столь большое, что оо где ε — произвольно заданное положительное число. Если η > Ν, то JV оо η JV / = 1 Ι-Ν + Ι Ι-Ν + 1 1-1 Выберем теперь Ν0(ε) > Ν так, чтобы при η>Ν0(ε) быЛ1 JV / = 1
§ 79. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 361 Это возможно, так как ') ω,„ -^ц^ ω/, тогда 0<σ£,-ω£,<β, П>М>(8)· 0тсюДа следует, что akn n_)too > oft. Теорема доказана полностью. Очевидно теперь, что величина °Й - [К (Ο - '«(Л.с'д + λ-η-1^ (ю) дает приближение с недостатком к fe-му собственному числу Xft положительно определенного оператора А = G~l и <rj^-H^r*"V' чеРез *»hn обозначено п-е приближение по Ритцу к числу Кк- § 79. Применение к эллиптическим уравнениям В формуле (10) предшествующего параграфа величины %ы η и Jn{PnGP^)=^K7n могут быть легко вычислены, если по- / = 1 строено п-е приближелие ло Ритцу, Трудность представляет вычисление величины JV(G). Если явный вид оператора G известен, то /V(G) можно определить по формуле (5) § 78. В общем случае также можно воспользоваться этой формулой, если предварительно приближенно найти % = G\h, k= 1,2..., как решения уравнении Avtyh = щ. Как показал Г. Фикера [1], если речь идет о простейшей краевой задаче для эллиптического уравнения, то оператору G можно дать явное выражение. Рассмотрим дифференциальный оператор, который запишем в виде Ли= Σ Da(Aaii(P)D6u), Ре Ω,- (Ι) Ι α Ι. Ιΐι-Ο Краевые условия запишем в виде Dyu\s = 0, |γ|-0, Ι, ..., k-l (2) (обозначения см. в § 57). Далее, Ω — конечная область m-мерного евклидова пространства, и — вектор с произвольным числом s компонент, ^αβ(Ρ)—квадратные матрицы, элементы которых имеют достаточное число непрерывных производных в некоторой области Ωο ^ Ω. Примем, что оператор А при краевых условиях ') См. ниже, гл. XI, § 94.
362 ГЛ. IX. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ (2) положительно определенный; для энергетического произ дения легко получить формулу Ве" ft [u,vb=| 2 (-l)mA^(P)D^(P)Dav(P)dQ. (3) Ω |α Ι, Ι β |=0 Допустим, что нам известно сингулярное решение1) дл„ оператора А; обозначим это решение через R(P,Q) и положим Ru=l R(P, Q)u(Q)dQQ, (4) Ω ft /?*u=J J] {-^al+kAf>a(Q)DlR(P,Q)Dau(Q)clQtl. (5) Ω |α|. ίβ|=0 Примем еще одно допущение: пусть для любого достаточно гладкого вектора и величина и || и ||| = J JJ (-\)]a]A^DauD\dQ (6) Ω |α|,|Ρ|-0 неотрицательна. Обозначим через ф гильбертово пространство, получаемое из множества достаточно гладких векторов пополнением в норме ||u|L; условимся при этом не различать векторы Uj и и2, если | и, — и21^ = 0. Введем в рассмотрение множество V решений однородного уравнения Σ Da(AaSiD*u) = 0, (7) |ο|, |β|=0 принадлежащих пространству ф. Можно доказать, что V есть подпространство ф. Обозначим через Π ортогональный проек- ') О сингулярном (его называют также фундаментальным) решении и его свойствах сказано в книге К. Миранда [1]. Сингулярным решением оператора Лапласа в трехмерном пространстве является функция 1/4ла, на плоскости — функция-ή—In—, где г — расстояние между точками Ρ и Q. Для бигармонического уравнения на плоскости сингулярное решение имеет вид д- г2 In —; для трехмерной теории упругости в случае изотропного однородного тела это так называемый тензор Сомильяна, упомянутый в § 51. Сингулярное решение не единственно: если оно рассматривается в некоторой области, то к нему можно добавить любое решение соответствующего однородного уравнения, достаточно гладкое в этой области.
§ 80. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 363 из Φ в У· Оказывается, что имеет место формула (Г. Фикера [1]) У G = A-1=R*R-R*T1F>. (8) В работах Г. Фикера [1,2] приведены представления оператора V и формулы для чисел апп (см. § 78) для некоторых задач математической физики. формула (8) наиболее проста и удобна в случае одной независимой переменной: в этом случае сравнительно просто строится сингулярное решение, а пространство V конечномерно. § 80. Некоторые численные результаты А. Вайнштейн и Г. Фикера, каждый со своими сотрудниками, выполнили довольно много вычислений для того, чтобы аппроби- ровать предложенные ими методы. А. Вайнштейн [2] вычислял верхние и нижние границы для собственных чисел таких задач: квадратная и ромбическая пластинки с жестко закрепленными краями, уравнение Матье, задача об ангармоническом анализаторе, собственные числа уравнения и" + К(\ + smx)u = 0; и(0) = и{п) = 0. (I) В статье Г. Фикера [2] рассмотрены задачи о квадратной') и круглой пластинках с жестко закрепленными краями, несколько обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в том числе уравнение (1) и уравнение Матье, и, наконец, одно обыкновенное дифференциальное уравнение 4-го порядка. К сожалению, в статьях обоих авторов нет почти никаких сведений о технике вычислений, о таких деталях, как выбор координатных функций, номер приближения, выбор исходного меньшего оператора и т. д. Тем не менее результаты вычислений названных авторов интересны и показывают, что оба метода могут быть достаточно эффективными. Мы приведем здесь частично результаты обоих авторов по вычислению собственных чисел задачи (1) и задачи о квадратной пластинке. А. Задача (1). Приводятся нижняя и верхняя границы собственных чисел, которым соответствуют четные собственные функции, т. е. такие, что и(л/2 + х) = и(л/2 — х). ') Результаты, относящиеся к квадратной пластинке, были получены в совместной работе Де Вито Л., Фикера Г., Фушарди А, Шерф Μ [1].
364 ГЛ. IX. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 1. По методу А. Вайнштейна верхние границы получены η Ритцу при 15 координатных функциях; нижние при усечени° 25 порядка и промежуточном операторе 15 порядка. и Номер собств. числа 1 2 3 4 5 6 7 8 Нижняя граница 0,54031883 5,4486361 15,312608 30,114984 49,853254 74,526757 104,13527 138,67868 Верхняя граница 0,54031885 5,4486360 15,312608 30,114984 49,853254 74,526767 104,13530 138,67877 Номер числа 9 10 11 12 13 14 15 Нижняя Граница 178,15695 222,57001 271,91773 326,20021 385,34709 447,15724 506,36985 Верхняя граница 178,15718 222,57060 271,91928 326,20231 385,66846 455,76642 587,21168 2. По методу Г. Фикера. Номер собств. числа 1 2 3 4 5 Нижняя граница 0,54031799 5,4477473 15,292913 29,965993 49,185929 Верхняя граница 0,54031886 5,4486362 15,312609 30,114985 49,853257 Номер собств. числа 6 7 8 9 10 Нижняя граница 72,350896 98,433814 125,99895 153,39660 179,08999 Верхняя граница 74,526769 104,13531 138,67878 178,15719 222,57061 Б. Квадратная пластинка. Приводятся нижняя и верхняя границы первых 13 собственных чисел (в работе Г. Фикера [2] приведены приближенные значения для 41 собственного числа). Длина стороны пластинки принята равной п. 1. По методу А. Вайнштейна. Номер числа 1 2 3 4 5 6 · 7 Нижняя граница 13,2820 55,240 55,240 120,007 177,67 178,3 277,42 Верхняя граница 13,3842 56,561 56,561 124,074 182,14 184,5 301,55 Номер числа 8 9 10 11 12 13 1 Нижняя граница 277,42 454 454 488 600,840 601,569 Верхняя граница 301,55 477 477 548 621,852 646,939
§ 80. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 2. По методу Г. Фикера. 365 Номер собств. числа 1 2 3 4 5 Нижняя граница 13,29376 55,29691 120,2143 177,7193 279,1821 Верхняя граница 13,29378 55,29934 120,2232 177,7401 279,4931 Номер собств. числа 6 7 8 9 Нижняя граница 453,6452 496,5530 601,4880 605,7927 Верхняя граница 454,9829 497,0230 601,9821 606,2197 Расхождение в числе собственных чисел объясняется тем, что в статье Г. Фикера кратные собственные числа приводятся только по одному разу.
ГЛАВА X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Цель настоящей главы — на примерах показать приложение методов предыдущих глав, выяснить встречающиеся при этом трудности и по возможности указать методы их преодоления. Одна из основных трудностей, связанных с применением вариационных методов, это построение полной и устойчивой (см. ниже, § 82) координатной системы. Ввиду большой важности этого вопроса мы начинаем настоящую главу с двух параграфов теоретического характера. В последующие параграфах будут рассмотрены численные примеры краевых задач и задач на собственные значения; в ряде случаев дана оценка погрешности приближения. § 81. Построение координатных систем 1. Применение процесса Ритца требует предварительного выбора координатной системы, полной в соответствующем энергетическом пространстве. Доказательство полноты координатной системы часто можно провести, опираясь на следующую теорему. Теорема 1. Пусть А — положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, и φη, η = 1, 2, ..., — элементы из области его определения. Если система {Αψη} полна в Н, то система {ψη} полна в энергетическом пространстве НА. Доказательство. Пусть υ — произвольный элемент из области DA задания оператора А. Система {Αψη} полна в //, поэтому можно найти такое натуральное число η и такие постоянные αι, 0С2, ■ ■., αη, что ι η II II / η \ \А ν - 2 ak ΑψΗ = \А [ν - 2 ад*; I fe=i II II \ ft-1 / <TVB, (1) где в — произвольное положительное число, а γ — постоянная формулы (11) § 8.
§ 81. ПОСТРОЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ 367 Оценим теперь величину \v — 2 ВД>£ ■ Полагая для крат- I fc=i I η кости 2 ak<?k = vn, имеем | ν - vn f = (A (v - t>„), t> - ϋ„). Исполь- зуя неравенство Коши — Буняковского, а затем неравенство (1), получим \ν-νηΥ<ΛΑ{ν-νά\\·\\ν-νη\\<\^\\ν-νΑ. (2) По неравенству (5) из § 9 || ν — vn IK— | t> — fn |· Подставив это в неравенство (2) настоящего параграфа и сократив на \ν — νη\, ' получим Пусть теперь и — произвольный элемент энергетического пространства ЙА. Множество DA плотно в НА, поэтому найдется такой элемент t)eDA, что \и— v\<.-ks. Подберем числа п, αι, α2> ■■-, α„ так, чтобы выполнялось неравенство (3). Теперь по неравенству треугольника U- Σ ak<Pk\ = \u-vn\^\u-v\ + \v-vn\<e, что и требовалось доказать. Пример. Пусть Ω — прямоугольник О^х^а, Ο^ί/^б, и пусть Аи = —Аи, причем « = 0 на границе прямоугольника. Пусть . . . тлх . пли , „ ,., <Pm, п(Ху У) = s»n —-— sin —g- , от, /г = I, 2, ...; (4) тогда . . „ ( т2 . я2 \ . ( тлх \ . ! пли \ А<рт,п= -Δφηι. η = π2 [~^-+ ψ-J sin [—£-} sm \-γ-)· Из теории двойных рядов Фурье известно, что система функций sin (mux/a)sin (плу/b), от, ft= 1, 2, ..., полна в смысле сходимости в среднем; так как умножение каждой функции на свою отличную от нуля постоянную не нарушает полноты системы, то система функций Лфт, п полна в смысле сходимости в среднем в прямоугольнике Ω; нз теоремы 1 вытекает, что система (4) полна в той же области в смысле сходимости по энергии. В данном случае это, в частности, означает следующее: пусть и(х,у)—любая функция, непрерывная и непрерывно дифференцируемая в прямоугольнике 0 «ξ χ ^ а, 0 =ίί у ^ Ь и равная нулю
368 ГЛ. X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ на его сторонах; каково бы ни было положительное число е, можно такие натуральные числа шипи такие постоянные α*ι, k<=\,2 B / = 1,2 η, что выполняется неравенство ' '''"" т'< i7{(ir-7ii'«»I~^r*'»TL)!+ / πι η ^2ч ■ / du π V V . . knx Iny \ , + aF ~ ~ь 2j L Hisin -τ cos~ dx dlJ<^ \ fc-ll-l / J Заметим, что полноту системы (4) в пространстве На можно доказать так· же, опираясь на теорему 3 § 40, так как система (4) есть система собственных функций оператора Лапласа для прямоугольника, соответствующих краевому условию u\s = 0. Предлагаем читателю доказать, что система функций (х-а)т{Ь-х)тхк, А = 0, 1,2 полна по энергии оператора (—1)т d2muldx2m при краевых условиях ы'")(в) = ы'")(Ь) = 0, k = 0, 1, ..., т — 1. 2. Укажем на один способ построения координатных функций, который, хотя и носит частный характер, однако оказывается удобным в широком классе случаев. В некоторой области Ω рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона при условии, что на границе 5 области Ω искомая функция равна нулю. В этом случае функции из энергетического пространства обращаются в нуль на S и Q для определенности мы приняли, что речь идет о функциях двух независимых переменных х, у. Полную по энергии систему координатных функций можно построить таким образом. Пусть ы(х, У) — функция, равная нулю в точках границы 5 и положительная во внутренних дочках области Ω; примем еще, что эта функция непрерывна в Ω, а ее первые производные непрерывны и ограничены внутри Ω. Тогда система функций ω(χ, у)хку\ k, /=1,2 (5) полна по энергии в Ω. Доказательство этого важного утверждения дано Л. В. Канторовичем и приведено в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова ([1], стр. 294—295). Построение функции ω(χ, у) обычно не встречает затруднений. Так, например, для упомянутого выше прямоугольника можно положить
§ 81 ПОСТРОЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ 369 - ху(.а — х) (Ь — у)· Не представляет труда и переход к функ- ° ям от большего числа независимых переменных. ЦИ Систему координатных функций (5) или ей аналогичную для «чая большего числа независимых переменных можно исполь- овать не только при решении уравнения Пуассона, но и в бо- Le сложных задачах. Пусть в области Ω требуется проинтегрировать невырождаюшееся уравнение эллиптического типа (А В, С зависят от χ и у) ' ^«—в("£+в£)-£(В£ + С£Н<*»> при краевом условии u\s = 0. В этом случае Ω Предполагая, что данное уравнение невырожденное, мы тем самым допускаем существование такой положительной постоянной μο, что Допустим еще, что коэффициенты А, В, С ограничены. Тогда, очевидно, найдется такая положительная постоянная μ)( что Из неравенств (6) и (7) следует ]/μ01 и |-д <! | и \l ^ Wi | и |_д. Отсюда нетрудно усмотреть, что любая система, в частности система (5), полная по энергии оператора —Δ, полна и по энергии оператора L. 3. Для бигармонического оператора при краевых условиях t/ls = 0, — =0 полной по энергии является система функций сЛсУ, k, ί = 0, 1, 2 где ω (χ, у) — функция, описанная в п. 2, Вообще, для полигармонического оператора (—1)ρΔρ при краевых условиях «ls = ди dv дР-1и = 0 s " * · * dvP~l полной по энергии является система функций соРАг, k, 1=1, 2, ... (8) 4. Из результатов II. Ю. Харрик [1, 2] вытекает не только полнота системы функций (5) или (8), но и (в случае 24 С. Г. Михлин
370 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ достаточно гладкой границы) сходимость производных б высокого порядка. Лее Если в качестве координатных взять собственные фуНк сходного оператора, то невязка Аип— f стремится к нул^ в норме L2(Q); если А— эллиптический оператор порядка 9Ю то, как известно, при этом в норме Ζ.2(Ω') будут сходиться пп^ изводные порядка -^2s; здесь Ω' — произвольная внутрення подобласть Ω. В случае достаточно гладкой границы сходимость производных порядка -^2s имеет место в /-г(й). § 82. Об устойчивых координатных системах Этому вопросу посвящены работы автора [22—25] и значительная часть книги [26]. Здесь мы ограничимся самыми общими указаниями. Как было установлено в § 17, энергетическая норма |«о — ы„| убывает с возрастанием п; здесь щ — точное решение задачи, ип — ее приближенное решение по Ритцу. Если мы примем величину этой нормы за погрешность приближенного решения, то для уменьшения этой погрешности надо увеличивать число Но при возрастании η возрастает и порядок системы Ршт| а ее составление и решение неизбежно связано с погрешностян вычислений, которые могут в известных условиях существен! отразиться на самом приближенном решении. В связи с art мы будем различать случаи устойчивости и неустойчивости пр| цесса Ритца. Пусть процессом Ритца решается задача Au = f, ft=H, где оператор А положительно определенный в гильбертовом пространстве //, и пусть {φη} — координатная система. Пусть Rn — матрица Ритца м-го порядка, o(re) = {«f)( α,ρ, ..., ojf'} — вектор коэффициентов Ритца, f^ni — столбец свободных членов системы Ритца, ип — приближенное решение задачи (1) по Ритцу. Система Ритца имеет вид #„a<"> = f<">. (2) Пусть в результате ошибок вычислений мы вместо матрицы Rn получили «искаженную» матрицу Rn + Гп, а вместо столбца /<п> — «искаженный» столбец ^п) + 6<п). Вместо системы (2) мы получим систему (/?„ + Г„)6(«) = р) + 6(«); (3]
§ 82. УСТОЙЧИВЫЕ СИСТЕМЫ 371 ля эта система разрешима, то мы найдем из нее «искаженный» 6&κτορ коэффициентов Ритца 6<п> и «искаженное» приближенное решение здесь &Jj,n) СУТЬ составляющие вектора &(п>— искаженные коэффициенты Ритца. Пренебрежем погрешностью, возникающей при решении системы (3). Будем говорить, что процесс Ритца устойчив, если существуют такие не зависящие от η постоянные р, q, r, что при ||Гп||<г система (3) однозначно разрешима и Κ-"ηΙ<ρΙ|Γ„|| + <7ΐ|δ„||. (4) Координатную систему в этом случае также назовем устойчивой. Справедлива следующая Теорема 1. Для того чтобы координатная система была устойчивой для задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы собственные числа матриц Ритца Rn были ограничены снизу положительной постоянной, не зависящей от п. В нашей формулировке понятия устойчивости не учтено влияние ошибок округления при решении системы (3). Известно, что это влияние тем меньше, чем меньше так называемое «число обусловленности» матрицы Rn, равное отношению ее наибольшего собственного числа к наименьшему. Было бы желательно поэтому, чтобы числа обусловленности матриц Rn были ограничены независимо от п. Легко доказывается следующая Теорема 2. Для того чтобы числа обусловленности матриц Ритца были ограничены независимо от п, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства: λ0<λ<,"><Λ0, ft = l, 2, .... я; η-1,2,..., (5) где λ£> есть k-e собственное число матрицы Rn, α λο и Ло — положительные постоянные. Условия теорем 1 и 2 непосредственно трудно проверить. В этом плане полезна следующая Теорема 3. Пусть А и В — положительно определенные операторы, и пусть энергетические пространства обоих операторов состоят из одних и тех же элементов1). Если система {φ^} ортонормирована в НВг то для нее имеют место неравенства (5). ) В этом случае мы называем операторы А и В полу сходными,
372 ГЛ. X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ § 83. Кручение стержня прямоугольного сечения 1. Решение по методу Ритца. Мы останавливаем на этой простейшей задаче потому, что для нее известно срав °Η тельно простое точное решение, с которым удобно сравнива^ наши приближенные. Сводится эта задача, как известно, к ηη/*3 грированию уравнения Пуассона ' е" - Δψ = 2G0 (G — модуль сдвига, θ — угол закручивания стержня на единит его длины) в прямоугольнике —а-*Сх-*Са, —b^Cy-^Cb при краевых условиях ψ(±α,у) = ψ(χ, ±b) = 0. Для упрощения вычислений положим ψ = 2GQu, тогда — Ди= 1, и{± а, у) = и{х, Ь) -о.} (1) В § 14 дано решение этой задачи в виде разложения в ряд, ортогональный по энергии. Применим теперь к той же задаче метод Ритца, взяв за координатные функции полиномы. Из соображений симметрии ясно, что функция и{х,у) четная как относительно х, так и относительно у. Полиномы, обладающие этим свойством и равные нулю на контуре прямоугольника, т. е. на прямых χ = ±а, у — ±Ь, имеют вид (2) (х2 — о2) (у2 — Ь2) (θ) + ОзХ2 + азу2 + ...). Ограничимся тремя членами и положим приближенно и^и3 = {х2 — а2) (у2 — Ь2) {а, + а2х2 + a3if). (3) Произведя необходимые вычисления, мы найдем систему уравнений Ритца для неизвестных оь с2, аз'· + ™а*ЬЧа2+Ь2)а1 + ^^(^+*-)а . 128 о,5 (а2 . Ъ2\ 128 45 -M^+ib+^'t-^+^b 128 45-35 128 а5ЬЦа2 + Ь2) а3 = 16а3Ь3 9 ' 2 + 16а6Ь3 45 + 45.7a0U+3°Ja3_ 45 · . (4)
§ 83. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ 373 решая которую получим 35 (9а4 + 130а2Ь2 + 9Ь4) °1 ~ 16 (45а« + 509а4Ь2 + 509а2Ь4 + 45Ь«) · 105 (9аг + Ъ*) °2 ~~ 16 (45а« + 509а4Ь2 + 509а2Ь4 + 45Ь6) ' 105(а2 + 9Ьа) °3 ~~ 16 (45а6 + 509а4Ь2 + 509о2М + 45Ье) * (5) Если сохранить только один коэффициент щ, положив тем самым И « И, = А, (ЛС2 - fl8) (i^ - ft»), (6) то мы легко найдем 8(а2 + Ь2)* °1 ~ Я//,2 . Ь2\ · (7) Чтобы судить о степени точности построенных здесь и в § 14 решений, поступим следующим образом. Как известно, крутящий момент Μ определяется формулой а Ь а Ь Λί = 2 f f $dxdy = 4G9 J J и dx dy, —а —Ь -а -Ь что можно представить в виде ') M = (2c)3(26)Gefe,(6/c). (8) Наибольшее касательное напряжение в прямоугольнике сечения достигается, как известно, на середине длинной стороны. Пусть b > а. Наибольшее касательное напряжение г можно представить в форме x~GB-2ak{b/a). (9) ') См. С. П. Тимошенко [1], § 78; отсюда же мы заимствуем все последующие данные о точном решении нашей задачи.
374 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Построим новые приближенные решения щ, щ, и6, сохгу в ряде (И) § 14 соответственно один, три или шесть членов·1™4 , . I6asbs - πχ . пи U[(X, У) = - ,. 2 , .24 Sin Sin-тг-, ' v ' "' π4 (α2 + Ь2) a b ' , > Ι6α262 ί I . ηχ . пи , + 1 . ях . Ъпц , I . Зпх . ηιΑ ____sm_sm^+____sin__sm_^|) ζ . I6a2b2 f I .Ttx.nu. . nx . Злу , I . Зпх . nil , sin — sin-/--f ,,. , QW sin —sin-f + 1 3(9a2 + b2) *'" α °"' Ь ^3(α2 + 962) ΰΙ" α ^ Ь j 1 . ηχ . 5ny , 1 . Зпх . Ъпу + 5(25a2 + fc2)Sln a Sm~b~+ 81 (а2 + b2) S1D α SU1 ~b~ 1 . 5jix . пи -sin sin— }· (l· ^ 5(α2 + 2562Γ*" a b С помощью этих приближенных решений вычислим две основ ные механические характеристики задачи кручения — крутящи момент и максимальное касательное напряжение — и сравни: полученные приближенные решения с известными точными. Обе значая приближенные значения Μ через Μι, Μ3, М6, имеем 2560θα363 Λί,= 1 π6(α2+62)' Λί,= 2560θα363 ΓΙ, 1 . Ι La2 + b2 г 9(9a2 + bV 9(a2 + 9b2)J' 3 π6 L a2 + b2 """ 9 (9α2 + Ь2) г 9 (α2 + 9fc2). 2560θα363 Γ 730 , I , Ι ,, 2560θα363 Γ λι6 = —^—[ 729 (α2 + Ь2) Π 9 (9α2 + b2) τ 9 (α2 + 962) 1 , 1 (11) ^ 25 (25a2 + b2) ^ 25 (α2 + 25b2) J Напомним, что в формулах (10) и (11) длины сторон прямоугольника обозначены через а и Ъ, а не через 2а и 26; впрочем, для последующего это несущественно. Обозначим через &ι,ί(γ), k{l)(y),i: = 1, 3, 6, приближенные значения fti(v) и &(γ), γ = —. вычисленные по приближенному решению щ [формулы (10)]. Нетрудно найти и ί \ 256 V2 *ι,ι(ν)=1ϊ-Π7» , ч ^ 256γ2 Г 1 1 1 Π uW π6 [ 1+γ2 + 9 (9 +ν2) + 9(1+9γ2)_|' h ί \ - 256γ2 Γ ' ι ι ι 1 «1.6W π6 [ |+γ2Τ 9(9 + γ2) + 9(1+9γ2) + + 25(25 + γ2) + 25(1 + 25γ2)J
§ 83. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ 375 ft«> (у) = 32 ν2 π3 1+ν2' fe(3) fv) = mj ! , _J_1 κ νν/ π3 Ll+Y2 3(γ2 + 9)~ Ι+9γ2_Γ fe(6)(Y) = _32Ylr_! 1 ■ 1 ■ κ ш π3 Ll+Y2 3(v2 + 9) ^ I + V I 5 (γ2+ 25) 9γ2 *" 1 + 25V2 J " Нижеследующие табл. 1 и 2 позволяют сравнить точные значения величин kt и k с их приближенными значениями. Таблица I Таблица 2 Υ , 2 3 4 5 ОО k, 0,1406 0,229 0,263 0,281 0,291 0,333 *1,1 0,133 0,213 0,240 0,251 0,256 0,266 Чз 0,139 0,225 0,258 0,273 0,281 0,299 Чб 0,1401 0,228 0,261 0,278 0,287 0,311 Υ 1 2 3 4 5 ОО k 0,675 0,930 0,985 0,997 0,999 1,000 fc«> 0,516 0,826 0,929 0,971 0,992 1,032 fe<» 0,585 0,831 0,870 0,865 0,854 0,803 fc<6> 0,613 0,870 0,931 0,954 0,961 1,012 Табл. 1 и 2 показывают, что приближенные решения довольно хорошо дают значения крутящего момента и значительно хуже (особенно это относится к щ(х,у)) — значение максимального касательного напряжения. Это объясняется тем, что точность вычисления момента Μ зависит от быстроты сходимости ряда (11) § 14 в среднем, а точность вычисления t— от быстроты равномерной сходимости ряда производных. Нетрудно видеть, что ряд (11) § 14 довольно быстро сходится в среднем, тогда как равномерная сходимость производных этого ряда — весьма медленная. Приведем для сравнения значения fti, ι(γ), &ι,3(γ), &'4γ) и &(3)(γ), вычисленные по приближенным решениям (3) и (6) (см. табл. 3 и 4 на стр. 376). Мы сохраняем обозначения табл. 1 и 2. Вместо полиномов (2) удобнее в качестве координатных взять полиномы х/а у/Ь Rti {х, У) = J /V-i (0 dt J P2i-, (t) dt, (12)
376 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ где Рп — полином Лежандра n-й степени'). На приближенном решении это не отразится, но вычисления упрощаются. Таблица 3 Таблица 4 Υ I 2 3 4 5 ОО к, 0,675 0,930 0.985 0,997 0,999 1,000 fe(» 0,625 1,000 1,125 1,176 1,202 1,250 feO) 0,703 0,951 0,982 0,969 0,951 0,875 Υ 1 2 3 4 5 ОО Η 0,1406 0,229 0,263 0,281 0.291 0,333 fel,l 0,139 0,222 0,250 0,261 0,267 0,278 fe1.3 0,1404 0,228 0,263 0,279 0,290 0,311 Как известно, Pn^—2~fj[Pn+i(t)~Pn-i(t)l Р„(-1) = (-1Г; отсюда *ι, (*. У) = (4,-dw-O [P- φ - p»~* (1)] [pl (4) - P»~* (ί)] - (12,) Приближенное решение задачи (2) будем, в соответствии с процессом Ритца, строить в виде и«= Σ a„Rtr (13) При нашем выборе координатных функций элементы матриц Ритца вычисляются по простым формулам: как нетрудно убедиться, эти элементы имеют вид (- &Rlh RU) = -| AlkBjt +1 ΑμΒ^ ') Вычисления, связанные с полиномами /?л, выполнены В. С. Сохран- ской, которой автор рад выразить за это свою признательность. Система {CijRij), где Ci; — подходящим образом выбранные постоянные, устойчива (см. § 82) для задачи (1).
§ 83. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ 377 где А1к= Ι Ρα-Λ*)Ρη-ι(ί) = [ 2/(4/-1), i = fe. О, ίΦΚ ι ft* β (4<-1Η4Α-1) ί [Ρ" (ί) ~ Ρ"-2 (/)] [Ρ* (0 ~ P2k~2 {ί)] dt = (4ί- (4i- 1 -3)(4i-l)(4i+l) ' 2 -5)(4i-3)(4i-l) ' 2 j4f^Tf{4i + I) (4i + 3) * I = fc - 1, О в остальных случаях. Свободные члены системы Ритца вычисляются по формуле 4с6/9, г' = /=1, О в остальных случаях. (1 .*«)-{ Для функции ki(b/a), через которую выражается крутящий момент (формула (8)), получается следующее приближенное выражение: kdb/d)=>anl9(?, (14) так как а Ь J \ Rti (*> У) dxdy^O, i + j>2, -α -Ь И α Ь J J Яц(*> y)dxdy = -s-JNf)-1]*/['»№-']*-ί«»· -а -6 Функция k(b/a), входящая в формулу (9), вычисляется по формуле \ а ) а \ дх \ х~а 0-0
378 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Дифференцируя формулу (13) и используя соотношения Р«(1)== 1 и Ρ3ί (0) - Р,;_2 (0) = -&=± Р2/ (0), получим Приближенное решение (13) было вычислено для η = 4. Оно имеет вид (обозначения коэффициентов несколько изменены) щ = atRu + а-Ап + a3R2! + о4Я ,3 + a^R^ + o^,. Соответствующая матрица Ритца 6-го порядка имеет вид I _а 4 I Ъ _4_ L 3 1-3-5 Ъ 3 3*7 и 3 3·5·7 ft L ' ь + 3 * 1-3-5 а 1*8 1а. „ 4 _ 1 _ Ь_ _ 4 1а 3 3-5-7 а 7 1-3-5 b 3 3-7.11 а 7 3-5-7 Ъ _8 1__6 + 3 '5·7·9 а 4 1а „ J8 ' о , η 1 1_-* _i- ' а з'Шб 3 ' 5-7-9 Ь 7 *7-9-П а 3 ' 11-13-15 Ь 7 ' 1-3-5 α 4 N Ь п 8 1 Ω , η п 3 7·9·ΙΙ Ο 11 1-3-5 b 8 1 ft "^Т'э.ц.И α 1 _Ι_-.β _i L—A η -£._!_-*+ о 3 3·5·7 6 7 7-9-11 a 7 5-7-9 ft 8 1_ ft + 7 " 5·7·9 a 4 1 a .8 1 Q_ 0 "Ί1-13.15 "ft ° ° 3 '9-11-13 ft * 1 ft + 7! 11 Ι·3·5 ο Вычислив значения kf и fe№ при различных значениях —, получаем табл. 5 (см. стр. 379). 2. Решение по методу ортогональных проекций. По методу ортогональных проекций полагаем — gradu = v;
§ 83. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ 379 rill v__двумерный вектор с составляющими vx = —-г- и vy = ди _ —^—, Уравнение (1) дает "" ду divv= 1. (16) Строим какой-либо вектор V, удовлетворяющий уравнению (16). Можно положить V = (х; 0), т. е. У* = х, Уу = 0. Выберем теперь систему векторов wn, удовлетворяющих уравнению divwn = 0. Полную систему таких векторов можно получить, выбрав w„ так, чтобы их составляющие имели вид произведений степеней χ и у. Нам, однако, нужны не все такие векторы. Дело в том, что и(х, у)—функция четная как относительно х, так и относительно у, поэтому составляющая νχ = — -д— должна быть нечетной относительно χ и четной относительно у, а составляющая vy = = —~ — нечетной относительно ц и четной относительно х. Аналогичными свойствами должны, очевидно, обладать и составляющие вектора w = V — v. Так как векторы xv„ нужны нам только для аппроксимации вектора w, то их можно подчинить тем же условиям четности, и можно положить w, = (х; - у), w2 = (jc3; - Зх?у), w3 = (Зху2; - у3), а 1 2 3 4 5 10 Та ftf) α 1404 0,229 0,263 0,281 0,291 0,311 блица 5 fc<«> 0,683 0,920 0,971 0,987 0,998 1,037 w. ■ {χ5; - 5x*y), w5 = (xY; - *V), w6 = (5дсу4; - ί/5), Ограничимся первыми тремя членами этой последовательности и положим w *=> w(3) = αλνίι + c2w2 + a3w3 или, подробнее, wx ** ζΐ)ψ = ανχ 4- α2χ3 4- За3ху2, Коэффициенты аи аг, а3 надо определить из условия ||V-w|p = min, или a b J Г [(х — ахх — щх3 — 3a3xy2Y + (с,у + За2.А/ + α^Τ) dx dy = min.
380 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Выполнив интегрирование, продифференцировав затем л I вую часть по а\, Оц, о3 и приравняв производные нулю, получи*! систему уравнений: ( ЬаЧ . 4aba \ . / АаъЬ . 4а3Ь3 / 4а5Ь , 4а3Ь8 \ . / 4а7Ь , 12а5Ь3 )«2 + +( 4а3Ь3 4аЬ6 )а3 = 4а3Ь ]a2-f- 4а5Ь ^4а3Ь3 , 4аЪъ \ 3 Τ 5 )«, + (■ 4а6Ь3 , 4а3Ь5 . /4а5Ь3 . 4ааЬ6\ )<к + , / 12а3Ь5 . АаЬ7 \ 4а3Ь* (»7j Решая эту систему, получим α2 , 21а2Ь2(а4-Ь4) а а9 = 1 а2 + Ь2 ~ 7а8 + 114аеЬ2 + 214а4Ь4 + П4а2Ьв + 7Ь8 » 7&2(35а4 + 38а2Ь2+ЗЬ4) 6 (7а* + 114аеЬ2 + 214а464 + 114а2Ье + 7Ь8) » 7а2(За4 + 38а2Ь2+35&4) 03 6 (7а8 + 114а«Ь2 + 214а4Ь4 + 114а2Ье + 7Ь8) * (18) Имея решение, построенное по методу ортогональных проекций, можно оценить погрешность решений, построенных как по методу Ритца, так и по методу ортогональных проекций. Для упрощения выкладок ограничимся случаем квадрата (о = Ь). В общей формуле (4) § 59 можно, в силу неравенства (14) § 60, положить б = — IIV— w<3>||2. Имеем || V — w(3> !|2 = 3 112 ν - 2 efewj , где на этот раз коэффициенты Оа определяются формулами (18). Далее, IV - Д! a*w*| = ί V - 2 a,w}, V - Σ OftwJ = 3 Я - IIV IF - 2 Σ 4 (V, wfc) + Σ а,ак (w„ w*). (19)
§ 83. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ 381 Коэффициенты ah удовлетворяют системе з S о/ (w,·, wfe) = (V, wfe), ft = 1, 2, 3. умножая на Оь и суммируя, получим з з 2 OyOfeiW/, Wfe) = 2 Oft (V, Wfe). Подставив это в (19), найдем Но V-UofcwJ =||V|F-Sofe(V,wfc). α α коэффициенты α^ даны формулами (18), а величины (V, w^) суть правые части уравнений (17). Используя эти данные, легко найдем з v - Σ afewfe 2 = ~-й4 = 0,5630й4. Вычислим теперь F(uu), где «з— построенное по методу Ритца приближенное решение (3). По формуле (8) § 59 имеем F ("з) = - [«ι (f. Φι)] + ^2 (f. Ψι) + α3 (f. Фз)1; входящие сюда скалярные произведения суть свободные члены системы (4), а коэффициенты щ, ач, аъ определяются по формулам (5). Полагая а = Ь, получим F (и3) = - -^§- я4 = - 0,5616а4. Обозначая через и3 приближенное решение, построенное по методу Ритца или по методу ортогональных проекций, имеем | и - «3|<о2 /0,5630-0,5616 = а2 УоЩа = 0,037а2, 1то дает относительную погрешность по энергии порядка 6%. Пользуясь приближенным решением, даваемым методом ортогональных проекций, можно вычислить величину tmax', соответствующие значения величины ft (γ) приведены в табл. 6.
Точное решение . . · Решение по методу ортогональных проекций 0,675 0,694 0,930 0,982 ТаблиЧа 6 0,985 1,047 0,997 1,055 0.999 1,050 1,000 1,000 Сравнение с табл. 2 и 4 показывает, что точность вычисления tmax по методу ортогональных проекций несколько выше чем по методу Ритца, и близка к точности, даваемой рядом по' собственным функциям оператора Лапласа (§ 14). 3. Применение метода Трефтца. В уравнении (1) положим и = р — х2/2, тогда Δρ = 0, ρ s = хг/2, где 5 — контур прямоугольника. Применяя метод Трефтца, ограничимся одним слагаемым, так что приближенное решение будет иметь вид р,(х, ί/) = α,φ,(χ, у), где φι—гармоническая в прямоугольнике функция. Примем ПХ .ι. Пу Φι = ' cos -=— ch - «j—. 2a la Система уравнений метода Трефтца (§ 65) сводится к одному уравнению S S «, J, 2 д\ l-dS. Произведя вычисления, найдем 16а3 О! 1 я3 ch (nb/2a) ' приближенное значение функции и равно, с точностью до постоянного слагаемого, и «« — 16аг ch (яу/(2а)) ях ns ch(nb/(2a)) C0S 2a (20) Приведем таблицу значений k(у), соответствующих этому приближенному решению (см. второй столбец табл. 7). Для вычислений использована формула *=lvU^o=2ce|-g- х*°а, у*0
§ 84. ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ 3S3 Как видим, результат оказался значительно более точным, по методу Ритца или по методу ортогональных проекций, что связано с выбором координатной функции φι, хорошо ап- ппоксимирующей искомую гармоническую функцию р(х,у). Несколько худшие результаты получаются, если использовать гармонические полиномы. Именно, положим м = й-т(^ + у2), М-О, "ls = J (*? + !?)' Применяя к отысканию функции и метод Трефтца, введем в качестве координатных функций гармонические полиномы; так как функция й — четная относительно каждой из координат χ и у, то можно ограничиться только четными полиномами. Положим й = с,(х2 - у2) + а2(х4 -6χψ + У4) + + а3 (х6 - 15*У + 15*V - у6). (21) Не останавливаясь на подробностях вычислений, приведем значения tmax, полученные с помощью приближенного решения (21) (см. третий столбец табл. 7). Υ 1 2 3 4 5 оо Таблица 7 Решение ι очное 0,675 0,930 0,985 0,997 0,999 1,000 по Трефт- цу (20) 0,676 0,930 0,985 0,997 0,999 1,000 по Трефт- ЦУ (2П 0,694 0.931 0,971 0,973 0,970 1,000 § 84. Изгиб прямоугольной пластинки, жестко закрепленной по краю Задача состоит в интегрировании бигармонического уравнения Λ2ω = -|·=ρ, (1) где q — интенсивность нагрузки и D — жесткость пластинки, при краевых условиях »U-0, -£L=0. (2) Длины сторон пластинки обозначим через 2а и 26. Оси координат направим параллельно сторонам пластинки, начало координат поместим в ее центре.
384 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Как показано в § 30, задача сводится к задаче о минимуме функционала а Ь | dx | {(Δ©)2 - 2pw} dy (3) -α -Ь на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям (2). Эта же последняя задача может быть решена по методу Ритца. Для простоты вычислений допустим, что нагрузка распределена равномерно, так что ρ = const. В качестве координатных функций можно взять полиномы вида (х2 - αψ (у2 - Ь2)2 (о, + а2х2 + а3у2+ ...); (4) мы опускаем нечетные степени χ и у, так как w(x,y), очевидно, симметрична относительно координатных осей. В выражении (4) ограничимся тремя членами; обозначая φ, = (χ2 - я2)2 {у2 - b2f, q>2 = Λ^φ,, % = #2φ„ мы будем иметь w ~ Wz = α,φι + Ог<Р2 + «зфз- Уравнения процесса Ритца в нашем случае имеют вид 3 Σ (Афь Дфт) ак = ρ (1, q>J, m = 1, 2, 3. (5) Произведя необходимые вычисления, преобразуем систему (5) к виду: (ν2+^+τ)ο. + (τ+ΰ7)62^+(τ+ίτ)ο2β3=Ί2ένΡ' (6) Здесь γ = —; уравнения системы (6) получены из (5) путем сокращения некоторых общих множителей слева и справа. Если пластинка квадратная, то у = 1, и уравнения (6) принимают более простой вид: 18 . 18 , . 18 9 7 -у- о, + —■ а2а2 + — с?аъ = -^^гР> 18 ■ δ02 2 ■ 2 «2^ » 77 °< + ΤωΤ ° α2 + 77 ° °3 " 128^ 18 2 о 502 2 1 -jj О, + -^- (ta.2 + шш О β3 = -J^e^" Ρ* (7)
§ 84. ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ 385 Решая эту систему, мы получим w « ^з«-£- (х2 ~ a2f if - a2f (θ,02067 + 0,0038 -~^~). (8) Для прогиба в центре пластинки получаем w\ 0 = 0,02067ро4. (9) Ιίί-ο Если в приближенном выражении w ограничиться одним членом и положить w « α», = α,φ, = α, (χ2 — с2)2 (t/2 — б2)2, то вместо системы (6) получим одно уравнение Отсюда °1 = 128 (7а4 + 7М + 4α262) Ρ' ί10^ что дает для прогиба в центре пластинки значение 49а4Ь4 W *=о 128(7α4 + 764+4α262) (11) В случае квадрата (а = Ь) мы получаем ш1_0 =0,02127ро4. (12) Формулы (10) — (12) приведены в монографии Л. С. Лейбензо- на [1]. Применим теперь к нашей задаче метод негармонического остатка1)· Для простоты допустим, что пластинка квадратная, со стороной о. За функцию q{x,y), удовлетворяющую уравнению Δ<7 — Ρ, примем q = ρ (χ2 + t/2)/4. Введем в рассмотрение систему гармонических полиномов, которая, как можно доказать, полна в подпространстве функций, гармонических в квадрате и удовлетворяющих условию а а J J и2 dxdy <oo. (13) ') Вычисления настоящего параграфа, связанные с применением метода негармонического остатка, заимствованы отчасти из статьи 3. X. Рафаль- сона [2]. 25 С Г. Михлия
386 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Нам, впрочем, нужна не вся эта система. В самом деле, из соображений симметрии очевидно, что искомая функция w(x, у) четная как по х, так и по у; кроме того, она не меняется при перестановке аргументов хну. Можно поэтому сохранить только те гармонические полиномы, которые удовлетворяют тем же условиям симметрии. Выпишем первые три таких полинома: N3 = χ8 - 28хеу2 + 70x4/ - 28x4/ + /Д Ортонормируя их по области квадрата, получим три новых гармонических полинома: Afз= 0,356359 (Af,--|/^· 4,76724Af2 - 1,40625β-9ΛΓ3). Соответствующие коэффициенты Фурье функции q(x,y) суть <7ι = (<7- Λίι)= *f* 42 = (Ч. Αί8)= ~ 0,1397ρβ3, <7э = (<7. M3)=0,0014pc3. В качестве δ [формула (4) § 59] можно, в силу теоремы 1 § 66, взять величину δ = - (|| <7 IP - Σ q2A = - 0,02491р2я6. Вычислим теперь величину F(w3), где F определяется формулой (3), a ws — формулой (8). По формуле (8) § 59 з F (Щ) = - Σ Οι (ΐ, Фг). f = P- Имеем по формуле (7) а, = 0,0206 7р(а\ а2 = а3 = 0,0038р(сР. Далее, как нетрудно видеть, а а (f,«Pi)=(p.4>i) = P j IW-WW-drdxdy-ZjjLpa10, —я —α α α <ί,νΰ = ν,νύ = Ρ \ $ x4x2-a*y(y2-a*fdxdy~j^pa12.
§ 85 ИЗГИБ ПОЛУКРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 387 Отсюда F{ws)= — 0,02486ρ2α6 и | w - ws К pa3 /0,00005 = Ο,ΟΟΤΙρα3. (14) Теперь легко оценить и абсолютную величину разности w — о>з. Пусть и (х, у) — любая функция, дважды непрерывно дифференцируемая в замкнутом квадрате и обращающаяся вместе со своими первыми производными в нуль на сторонах квадрата. Пусть, например, точка (х, у) лежит в первом квадранте. Имеем а а χ υ По неравенству Буняковского а а а а и2(х,у)<\ jVdijdrij $ {J^-J d£d-n = χ у к у а а χ υ В первом квадранте наибольшее значение каждой из разностей а — χ и а — у равно а. Отсюда легко получаем неравенство а а —а —а верное, как нетрудно видеть, во всем квадрате. Вспоминая, что в нашей задаче —а —а а2 находим и2^-^-\и\2; применяя это неравенство к функции w—ги>з и используя оценку (14), поллчаем окончательно Ια-^Ι^βίρ^-Ο,Οΰδρα4. (15) § 85. Изгиб полукруглой пластинки, упруго закрепленной по краю На жестко закрепленном крае пластинки выполняются условия dv = 0, 25*
388 ГЛ. X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ на свободно опертом крае — условия ш,г_о, [λ,-Ιζ-^.ο. Будем говорить, что край пластинки упруго закреплен, если на этом крае выполнены условия α>1ι=0, (1) [*—Lr-£+*-£L-«· (2> где k — положительная постоянная. Внутри пластинки мы, как обычно, предполагаем выполненным уравнение Софи Жермен — Лагранжа Д2да = q/D. (3) Бигармонический оператор — симметричный и положительно определенный на множестве функций, удовлетворяющих условиям (1) и (2). Чтобы доказать это, составим скалярное произведение (Д2йу,, w2)= I w2№wx dS, s в котором обе функции wt и w2 подчинены условиям (1) и (2). По формуле Грина [формула (19) § 7] 11 w2Δ2©, dS = j J Δα;, Aw2 dS + | (w2~f- - Δα;,-~^) ds, SSL или, если воспользоваться краевыми условиями (1) и (2), ^wuw2)=\\AWlAw2dS-l(^-k)^-^ds. (4) S £, Правая часть равенства (4) не изменяется при перестановке функций Wi и дог, поэтому (Δ2&ΐΊ, ш2) = (ш1(Д2ш2), и наш бигармонический оператор симметричен. Положим теперь в (4) w\ = w2 = до. Тогда S L L
§ 85 ИЗГИБ ПОЛУКРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 389 Формулы (20) и (21) § 30 верны для любых функций, обращающихся в нуль на контуре L. Сравнение этих формул дает JW«-f-Lr(S),<'- =Ii{(W+2°^lF+(W+2<'-°>(-U)Vs· <6> Теперь по неравенству (5) /а9 \ ^ Г Г ί (d*w \2 ι о d2a> д2ш (^(■-«ГИ· д*2 ду2 & ' " (7) Дальнейшие рассуждения протекают, как в п. 4 § 30, и приводят к неравенству (26) § 30, которое и означает положительную определенность нашего оператора. Из сказанного следует, что задачу о равновесии пластинки, упруго закрепленной по краю, можно ставить как задачу о минимуме функционала дх2 ду2 . ds-2 Π-^wdS; L S при краевом условии (1) — условие (2), как нетрудно видеть, естественное. Для иллюстрации рассмотрим упруго закрепленную по краю полукруглую пластинку. Радиус пластинки примем равным единице; пластинку расположим, как на рис. 16. Для упрощения вычислений примем, что σ = 0, k = 1, q/D = = 1. Применим метод Ритца. В качестве координатных выберем функции вида х2У(1— х2 — у2), k = 0, 1, 2, ...; t=l, 2, 3, ..., рис^ jg удовлетворяющие главному краевому условию (1); мы не вводим нечетных степеней х, так как прогиб пластинки симметричен относительно оси у. Ограничиваясь слагаемыми, для которых »-л 2k+ 14^.4, положим w6=J!la^k, где φι =у (1 — χ2 — уг), ф2 = ί/φι, фз = χ2ψι, ф4 = у\\, фб = ·χ:2ί/φι, φε = ίΛρι.
390 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Координатные функции не удовлетворяют естественному условию (2), и систему уравнений метода Ритца необходимо брать в виде (8ι) § 17. Так как σ = 0, то в нашем случае [ψ{, <Pfe] = j J [Δφί Δφ/e + 2 <52φ. d2(fk д2(р. d\k дх ду дх ду дх2 ду2 дх2 ds+) ~dV~dVds' L произведя необходимые вычисления, получим следующую систему: 26,1994а, + 21ДЗЗЗа2 + 6,43557а3 + 18,8496а4 + 4,2667а5 + 17,0667а6 = 0,266667, 2Ι,3333αι + 24,0855а2 + 4,87619а3 + 23,1619а4 + 4,02517а5 + 21,9911а6 = 0,130900, 6,43557αι + 4,87619а2 + 5,54858а3 + 3,92699а4 + 3,25079а5 + 3,25079а6 = 0,038095, Ι8,8496αι + 23,Ι6Ι9α2 + 3,92699а3 + 24,3473а4 + 3,05714а5 + 24,3810а6 = 0,076190, 4,26667αι + 4,02517а2 + 3,25079а3 + 3,05714а4 + 2,36928а5 + 3,18080а6 = 0,016362, Ι7,0667αι + 21,9911я2 + 3,25079а3 + 24,3810а4 + 3,18080а5 + 25,4076а6 = 0,049087. Решив эту систему, найдем значения коэффициентов с, = 0,02217, α2=-0,01145, α3=-0,01317, β4 = 0,000887, α5 = 0,00759, β6= - 0,01083. § 86. Трехмерная задача теории упругости для полуцилиндра ') 1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о равновесии упругого полуцилиндра, ограниченного плоскостями у = 0, у = 1, ζ = 0 и цилиндрической поверхностью χ2 + ζ2 = 1, ζ> 0. Полуцилиндр подвергнем действию собственного веса и гидростатическому давлению kz, k = const, приложенному к грани Будем считать, что цилиндрическая часть границы закреплена, а грани ζ = 0 и у = 0 свободны. Обозначим область полуцилиндра через Ω, грань ζ = 0 через So, грань у — 1 через Su грань у = 0 через 5г, а цилиндрическую грань через S. Введем цилиндрические координаты г, Θ, у такие, что x — rcos®, ζ = г sin0. Обозначим через u вектор упругих смещений, его составляющие в цилиндрической системе координат— через иг, ые, иу, а в декартовых координатах — через их, ') Настоящий параграф воспроизводит, с некоторыми сокращениями, статью Ю. С. Вержбинской, Н. П. Канаревой, Б. А. Самокиша и автора [1].
§ 86. Упругий полуцилиндр 391 иу, Uz- Решение этой задачи сводится к вопросу об отыскании минимума функционала Ι π Ι Ι π F (и) = J J J {W («) - 2pv«J rd rdQ dy - 2k J J r2 sin Quy dQ dy. (1) 0 0 0 0 0 Здесь 2W(u) —плотность потенциальной энергии упругой деформации, соответствующей вектору смещения и= (иг, ив, uv); ρ — плотность среды, γ — ускорение силы тяжести. Минимум функционала (1) следует искать в классе векторов смещений, удовлетворяющих краевому условию u|s = u|r=1=0. (2) Кроме того, очевидно, что поле смещений симметрично относительно плоскости Оуг, поэтому можно дополнительно потребовать, чтобы ит (г, n — Q,y) = ur(r, θ, у), щ (г, π - θ, у) = - щ (г, Θ, у), (3) иу{г, π-θ, у)= - Uy{r, θ, у). . 2. Координатные векторы. Рассмотрим векторный оператор Лапласа, взятый со знаком минус, при указанных ниже краевых условиях: Bu=-Au, ub-0, U| -0, (4) где ν — внешняя нормаль к поверхности тела Ω. Вектор, подчиненный условию u|s = 0, Необходимо удовлетворяет так называемому неравенству Корна1), из которого сразу вытекает, что оператор Лапласа и оператор теории упругости, который мы обозначим через А, являются полусходными. Координатную систему возьмем ортонормированной в Яв; из теоремы 3 § 82 вытекает, что процесс Ритца устойчив относительно малых изменений матрицы системы Ритца и столбца ее свободных членов, а также относительно ошибок округления, связанных с решением системы Ритца. Пусть В — скалярный оператор Лапласа (со знаком минус) при тех же граничных условиях (4). В качестве системы, полной и ортонормированной в Нв, рассмотрим систему функций {<Pmnp(r, Θ, у)}, ш, η, ρ = 0, 1, 2, ..., удовлетворяющих условию фтпрО.б.У) =0. Будем их строить в виде Фтпр (г, δ. У) = fmnp (Ό cos ηθ cos pny. ') См книгу автора [Π], гл. IV.
392 ГЛ X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Скалярное произведение их в ΗΒ имеет вид L*mnp' тгт'п'р'\в Ι π 1 = \ г dr \ άθ \ <-~--j-cos ηθ cos η'θ cos рлу cos р'лу Ιο 0 0 + —рг ff sin «θ sin η'θ cos pny cos p'ny + + n2pp'ff cos «Θ cos η' θ sin pny sin p'ny) dy где f = fmnp(r), f = fm-n-p- (r)· Это выражение может быть от лично от нуля лишь при условии, что η = η', ρ = ρ'. Тогда, чтобы ортонормировать функции фпгг1Р, достаточно потребовать выполнения следующего равенства: ι [U, UJ = Λ) J { г -f -f + (4 + pVr) fV } dr = <W. (5) 0 где ίπ/4, если п=^0, р=^0, π/2, если п^О, р = 0 или « = 0, р=^0, π, если п=р = 0. Функции fm«p(r) будем искать в виде полиномов. Они должны удовлетворять условию !тпР (0 = 0. (6) Кроме того, если пФО, то для сходимости интеграла необходимо, чтобы /т„р(0)= 0. При η φ 0 дело сводится к ортогона- лизации в метрике (5) полиномов вида г(1 — г)рт(г); при η = 0 надо полиномы вида (1—г)рт(г) ортогонализовать в метрике ι [U, U] = Λ) J { г %н %* + рVrfm0f/m,0p } *. (7) о 3. Координатные векторы (продолжение). В пространстве Яв можно сконструировать следующую систему координатных векторов, заданных проекциями на декартовы оси координат: <)„р = (фт„р.°.0). ] <J„p = (0.4W0), } (8) "IS* = (0.0,40.]
§ 86. УПРУГИЙ ПОЛУЦИЛИНДР 393 Условия симметрии (3) равносильны следующим: их (г, π - θ, у) = - их (г, Θ, у), иу (г, п-в,у)=иу (г, Θ, у), (9) uz(r, π-θ, у)=иг(г, θ, у). Поэтому в первой формуле (8) достаточно ограничиться нечетными п, а в остальных двух формулах (8) — четными п. В составляющих по цилиндрическим осям координат векторы (8) имеют вид <пр - (%гпР COS Θ, - q>m„„ Sin θ, 0), j »C=(°.0,«Pmi4,), } (10) UZp = Knp Sin θ· Фт„р C0S θ' °)· j Таким образом, составляющие иг, «θ, иу приближенного решения можно брать в виде сумм: и = Σ С„(1) cosGro + α<3) βΐηθφ ), 1 **/■ -*-J \umntι ттпр ' "mnp ™mnp)' ι tit. η ρ ι "θ = mS p (-fliiU S1'n 6фтпр + α£>„ρ cos Gq>m J, у (i ι) Суммирование в (11) будем производить от m + η + ρ = 0 до т + η + ρ = Ν, где число Λ' назначено заранее. 4. Ортогонализация. Итак, в качестве системы fmnp(r) берем систему алгебраических полиномов, делящихся на 1—г (а при η = 0 — еще на г) и ортогональных в скалярном произведении (5) (соответственно (7)). Эту систему строим процессом ортогонализации из системы {рт(г)}: \(l-r)tm(r), n = 0, Рт(П \r(i_r)/m(r)> пФо· tm(r) = cosm arccos(2r—1)—полином Чебышева I рода для отрезка [0,1]. Не будем заботиться о том, чтобы полиномы, полученные процессом ортогонализации (обозначим их через Рт(г)), были нормированы. Тогда их можно определить рекуррентными формулами га-1 Ρθ~Ρθ> Рт-Рт- Σ YmiPl, tn>\, Vmi = IPm, PMPh Pi]·
394 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Скобками [,] обозначено соответствующее скалярное произведение. Полиномы Рт(г) представим коэффициентами их разложении по системе ph(r): т-1 Λ.(Γ)-Σ«ί4<Γ). Тогда процесс ортогонализации состоит в рекуррентном вычислении коэффициентов а[т) по формулам т-1 <>=иГ=-Ьи^ *-<>, 1, .... т-1, v--(g.44*)/(iii.v<w). Числа оби для данных пир вычисляются следующим образом: Щь=[рь pft] = [r(l-/-)i/, r(1-/·)/*] = 1 = /{(...)М*+(-..)р'Л+<Л1 + (...)^}^г, о если η = 0, то а« = [(1—г)ίΐ, (1—r)th]. В круглых скобках стоят некоторые полиномы степени не выше пятой, коэффициенты которых зависят лишь от η и р. Разлагая их в свою очередь, по полиномам Чебышева, выразим числа ащ через интегралы ι ι ι № = | W* dr> *S? = | '«'Λ ^. ОД - ! *,Ж dr- 0 0 0 Эти интегралы берутся и представляют собой простые выражения от индексов т, i, k. Таким образом, процесс ортогонализации арифметизуется полностью. Были составлены две независимые программы в кодах машины М-20 и на языке АЛГОЛ 60, реализующие счет коэффициентов а%п). В табл. 1 приведены эти коэффициенты для m«+n + p-<4. В каждой клетке таблицы приводятся коэффициенты a^m) для указанных т, η, ρ и всех k в порядке возрастания, 0 4^4«г. Полиномы, коэффициенты которых приведены в таблице, ортогональны, но еще не нормированы. При составлении матрицы Ритца требуется вычислять однократные интегралы по г, содержащие функции fmnp и их производные. Эти интегралы вычислялись по формуле Гаусса со столь большим числом узлов, чтобы формула давала точный
§ 86. УПРУГИЙ ПОЛУЦИЛИНДР 395 Τ а б л и ца 1 η 0 0 Ρ 0 1 т 0 1 2 3 4 0 1 2 3 „<"> 1 0,333333 1 0,6 0,8 1,0 0,514286 1,285714 0,857143 1 0,714286 1,142857 1,333333 0,888889 1 1 0,250411 1 0,689412 0,759657 1 0,536729 1,390693 0,849441 1 η 0 0 0 1 Ρ 2 3 4 0 т 0 1 2 0 1 0 0 1 2 3 ■Κι 0,217591 1 0,714196 0,686509 1 1 0,208436 1 1 1 -0,2 1 0,714286 -0,571429 1 -0,476190 1,666667 -0,666667 1 η 1 1 1 2 2 2 3 3 4 Ρ 1 2 3 0 1 2 0 1 0 т 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 „f> 1 -0,177323 1 0,743760 -0,554950 1 1 -0,158591 1 1 1 0 1 0,6 -0,228571 1 1 -0,035364 1 1 1 0.090909 1 1 1 результат. Для этого нужно уметь вычислять значения fmnp и dfmnp/dr в точке. Имеем (η Φ 0) ι-ο г~о Р'т (г) = (1 - 2г) 2 сЦ"Ч, (г) + 2г (1 - г) £ а\т\ (г), где о<т) = Цт)> а Щ(г) = sin (/ arccos (2r — 1)) У 1-(2г-1)2 суть полиномы Чебышева II рода, имеющие ту же рекуррентную формулу, что и ti(r). Эту формулу мы используем, чтобы построить схему вычисления в точке линейного агрегата по функциям ti(r) или щ(г). Именно, пользуясь рекуррентной формулой f*(r) = (4r-2)ffc_,(r)-ffc_2(r),
396 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ т свертываем выражение Ύ, d,m'th> начиная с последнего члена: ft=0 ' * т т~1 2 af4k = age [(4г - 2) tm_} - tm_2] + Σ «<"4· fc=0 ft=»0 Когда в этом выражении остается лишь два члена, вспоминаем, что ίο = 1 и t\ = 2r — 1. 5. Составление матрицы Ритца. Система Ритца имеет вид C$J* m>n>p. — значение билинейной формы оператора теории упругости на векторах и$пр, u$n/p/. Число N определяет порядок системы Ритца. Удобно матрицу Ритца разбить на 9 блоков, в каждом из которых t, k постоянны. Если не учитывать симметрию, все блоки имеют одинаковые размеры и порядок системы равен 3π(Λ/), где π(Λ/) —число всех различных троек целых чисел т, η, ρ таких, что /η>0, «>·0, р>0, т + п + р <#. Имеем η(Ν) = (Ν + 1) (Ν + 2) (Λ/ + 3)/6. Симметрия позволяет сократить число координатных функций. Так, при N = 4 порядок системы равен 57. Подставляя координатные векторы (8) в выражение для квадратичной формы оператора теории упругости, найдем нижеследующие формулы для элементов матрицы Ритца. В них φ = q>mnp(r,θ,у), ф'= Фт'„/р-(г, Θ, у), значками внизу отмечены первые производные по указанным переменным, а символ [, ]в означает, как и выше, произведение, соответствующее интегралу Дирихле: dmnp, т'п'р' = μ 1Ф, ф']в + + (λ + μ) J J φΓφ; - -γ (<p6<p'r + <pr<p'e) sin θ COS θ + ^ ΦθΦθ } r dr άθ dV> Ω C^mWp.=X j (%cosQ-^smQ)[^rsme+^-cose)rdrdedy + Q + μj(φr + ~cosθJ\ψ'rcose-^smθJrdrdβdy,
§ 86. УПРУГИЙ ПОЛУЦИЛИНДР 397 <%& mw=μ [φ. <Р% + (λ + μ) Ι φΧ r rfr rfe dy, -,(2.3) ;mnp, m'n'p' = {{λ^δίηθ + ^φ^+μ^εϊηθ + -^cose)q£ } r rfr ίίθ rfj/, -0(3, 3; _ *-*mnp, m'n'p' — =μ[φ,φ']Β-Κλ-Μ J (?rsine + y-cose)(q£sine + ycose)rdriiedjf. Если сюда подставить φ = φ,η«θ(Γ> θ, y) = /m«p (r) cos πθχ Χ cos рпу и соответствующее выражение для φ', то тройные интегралы распадутся на однократные. По переменной г возникнут интегралы ι Р, (т, п, р; т', п', р') = J —^- fm,n,p, dr, о I Р2(т, п, р; т', п', p')=j fmnpfmWdr, о I Р,(т, п, р; т', п', ρΉ J ^ ^ dr, о I Р4(т, п, р; т', п', p') = J -^U'n'p-rdr, о I Р5(т, п, р; т', п', р') = |fmJw f-, о I P6(m, η, ρ; m', η', p') = | fmnpfmWp.rdr. Как уже сказано, эти интегралы вычисляются по формуле Гаусса, которая для них дает точный результат. Далее возникают интегралы по переменным θ и у, которые содержат произведения тригонометрических функций и вычисляются в конечном виде. Для них были составлены арифметические формулы.
398 ГЛ X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Аналогично обрабатываются свободные члены β,(*]ίρ системы Ритца. 6. Результаты. В вычислениях было взято ΛΓ = 4, так что порядок матрицы, с учетом симметрии задачи, оказался равным 57. Такую матрицу можно обратить по стандартной программе СП-0037 системы ИС-2. Для вычисления матрицы были составлены две независимые программы. Программа в кодах машины М-20, опираясь на подпрограмму ортогонализации (одновременно вычисляются не все ортогональные полиномы, а только при данных пир), а также на подпрограммы счета интегралов Р\,..., Рб и тригонометрических, вычисляет строка за строкой элементы матрицы С и выдает их на магнитный барабан. Программа на языке АЛГОЛ 60, вычисляющая сразу всю матрицу С, из-за громоздкости не может быть обработана транслятором ТА-1. Поэтому были составлены шесть независимых программ для вычисления шести различных блоков № Ч Мы полагали λ = 2 · 10s, μ = 105. После вычисления матрица обращалась по СП-0037. Операторы А и В в нашей задаче полусходные, а координатная система ортонормирована в Яв. Из теорем 2 и 3 § 82 следует, что числа обусловленности матриц Ритца ограничены независимо от N. На практике они действительно оказываются небольшими: методом скалярных произведений были подсчитаны наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы С: Ках = 106 · 0,526306, Ят'п = Ю-4 · 0,209195. Число обусловленности Кщах/Ктп = 11,01006. Машинный запас точности позволил бы решить систему одним из точных методов и при значительно большем числе обусловленности, если же решать систему итеративным методом, что, по-видимому, более целесообразно при высоком порядке, то скорость сходимости весьма чувствительна к величине числа обусловленности. В нашем примере знаменатель наивыгоднейшего одношагового итеративного метода равен (Vax — Клп)/(Ках + Km) ~ 5/6, так что для уменьшения погрешности, например, в 104 раз требуется 50 итераций. Вычисления были проведены также для N = 5, что соответствует, с учетом симметрии, 90 координатным функциям. Система Ритца решалась наивыгоднейшим одношаговым итеративным методом. В качестве оценок для λ1ϊ18χ и Ятш использовались значения, полученные при N = 4. Скорость сходимости оказалась порядка ожидаемой: 50 итераций давали около 4 верных знаков. В табл. 2 приведены коэффициенты приближенного решения, соответствующего значению N = 4.
§ 87 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 399 Таблица 2 ί 1 2 т 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 п. 1 1 1 1 3 3 I 1 1 3 1 1 1 0 0 0 0 0 2 2 2 4 0 0 0 0 2 2 Ρ 0 1 2 3 0 I 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 3 4 0 1 2 0 0 1 2 3 0 1 „(I) тпр -0,1224329· Ю-8 -0,4267631 0,6370582 -0,4078346 -0,9400302 0,3628426 0,3790256 -0,5618253 -0,8161091 -0,3354926 -0,1274381 0,6561498 0.4549116 0,3254134 -0,2597389 0,4193713 -0,6820275 0,1599043 -0,5707406 0,2123396 -0,3262980 0,3144150· 0,1248628 -0,2465807· 0,5081217 -0.7292446 · -0,5119318· 0,1223538 10 а •ю~9 • 10 ° • ю „ • 1(Г9 ΙΟ"9 • ю-10 ю-0 • 1(Г9 10~9 10~10 10-ю 1(Г8 1(Г9 ю-9 10~9 ю-1 10~9 10~8 1<Г9 10~10 10~8 10~8 WZ\ 10 9 1(С 10 8 £ 2 3 m 2 2 2 2 3 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 4 π 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 4 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 Ρ 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 3 4 0 1 2 0 0 1 2 3 0 1 0 1 2 0 0 1 0 а<г> тпр 0,1709148· 10~9 -0,1182136 0,3681910 0,1373510 -0,8864170 -0,3423317 0,9375419 0,8526195 -0,8362565 -0,7322471 -0,9265589 -0,4576931 -0,1193739 0,1522087 -0,2587310 0 3026325 0,2062333 -0,8504279 0,9036457 -0,1435771 0,3159877 0,6360345 · -0,6215156· -0,9029293· 0,3405124· 0,1989931· -0,6095509· 0,2902847 -0,4756327· • 10""° •Ю-9 ■ КГ» •Ю-11 •Ю-9 ю-;1 • ό- ιο-9 • 10~9 ю-° 10~9 10~8 ю-8 1о:Г 10 9 ю „ 1о:!о •ΟΙΟ 9 ю-9 ю-;° 10- и 10_ ' 10- 10 9 'Olio 10 10 ю-10 § 87. Вычисление собственных чисел обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка С целью проиллюстрировать вычислительный процесс рассмотрим уравнение d dx при краевых условиях (]/1+*~~)+А« = 0 ы(0) = и(1) = 0. (1) (2) Отыскивая решение по методу Ритца, возьмем координатные функции φ*Μ = (1-х)Λ k = i, 2, ...
400 ГЛ. X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Ограничимся первыми тремя функциями q>i(x) = (\—x)x, q>20>c) = (l — х)х2, Фз(л:) = (1 — χ) χ5. Применяя метод § 42 (подробности вычислений опускаем), по-"" лучим для определения λ уравнение 0,404757774--^ λ 0,216156130--^-λ 0,135002282 --^ λ 0,216156130—-^-λ 0,510789821--^λ 0,675363337-^1 = 0. (3) 0,135002282--^ λ 0,675363337—^ λ 1,023822057 - ^ λ Наиболее простое и грубое приближение к первому собственному числу получим, приравняв нулю диагональный минор первого порядка: 0,404757774-λ/ЗО = 0, (4) что соответствует использованию в методе Ритца одной только координатной функции q>i(x). Из уравнения (4) получаем1) 4^ = 12,14273. Второе приближение получим, приравняв нулю минор второго порядка: 0,404757774-з^ λ 0,216156130--^ λ 0,216156130--^-λ 0,510789821-j^λ = 0; (5) меньший из корней уравнения (5) равенλί2>= 12,12781, что дает более точное приближение к наименьшему собственному числу задачи (1) — (2). Решая уравнение (3) по методу Ньютона, получим еще более точное значение λ(,3>= 12,12255. (6) Каждое из чисел λ"', λί2*, λ(Γ* больше собственного числа λι. Приближение к λι снизу получим, используя упомянутый в п. 1 § 74 прием, основанный на сведении данной задачи к интегральному уравнению. Уравнение (1) при краевых условиях (2) равносильно инте- тральному уравнению ι и(х)-К j G(x, s)u(s)ds**0, (7) ') Верхний индекс у λ означает номер приближения, нижний—номер собственного числа.
§ 87 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 401 где G(x,s) —функция Грина1) данной задачи. Для построения этой функции интегрируем уравнение £(/Γ+ϊ£)-0: его общий интеграл равен ν = С, γΐ + χ + С2. Находим два решения, из которых первое обращается в нуль при χ = 0, второе— при χ = 1: ν, = Α(γΐ+χ -ΐ), υ2=Β{γΓ+~χ~ -V2). Мы найдем функцию Грина, если будем считать постоянные А и β функциями параметра s и подчиним их требованиям, чтобы при χ = s _ до ι дог 1 1 _ U2' дх дх ~ V'i+s ' Это дает уравнения Отсюда, например, В = 2(У 1 + s — l)f(Y2 — l). Теперь G (χ, s) = 2 (VTT7- l)( ΥΤ+x - Υ2)Ι(Υ¥ - ΐ), χ > s. Так как функция Грина симметрична, то G(x, s) = 2(YTTx-l){YTTs -Y2)l(Y2~-l), x<s. Трактуя G(x, s) как ядро интегрального уравнения (7), построим по обычным правилам второе итерированное ядро; мы получим тогда, при x4s, G2(x, s)--(3^^{(VT- VT+I)[(V2"- О X x(-2-x-y-2Vl+Jt+x УТ+Т) + + 4(1/2"- VT+T)] +(VT+T - l)[(Y2- l)(2 + s + 4 + + 21/2" /Г+7- Vis Vr+7- -^-(VT+T - 1)]}; значение G2(x, s) при χ > s получается, по симметрии, перестановкой аргументов χ и 5. По формуле (*) § 74 находим ι ι а2 = Г Г G2 (x, s) dx ds, о о 1) Подробнее о построения функции Грина см., например, В. И. Смирнов [3], гл. IV, § 1. 26 С. Г. Михлнн
402 ГЛ. X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ или, так как ядро симметрично, ι * а2 = 2 J ds J G2 (χ, s) dx, о о что в нашем случае дает а2 = 0,0076414951. Аналогично ι « а, = 2 f ds f Gl(x, s)dx = 0,50092905 · 10~4. <i о По формуле (5) § 74 получаем приближенные значения с недостатком для наименьшего собственного числа λ„ = 1/VW= 11,4395997, λ12= if γα, = 11,886553 Беря более точные приближения, получаем окончательно 11,88655 < λι < 12,12255. Взяв за λι среднее арифметическое приближенных значений с недостатком и с избытком, получим приближенное значение λι = 12,00455 с относительной погрешностью, меньшей 1%. § 88. Собственные колебания стержня переменного сечения Уравнение свободных колебаний стержня переменного сечения имеет вид Здесь, как обычно, ось χ направлена по оси стержня, ζ(χ,ϊ) — поперечные смещения его точек, 1(х) и S(x)—момент инерции и площадь поперечного сечения с абсциссой χ, Ε и ρ — модуль Юнга и отнесенная к единице длины плотность материала стержня. Допустим для определенности, что один конец стержня закреплен, а другой — свободен. Обозначим через L длину стержня и поместим начало координат в его закрепленном конце. Тогда краевые условия нашей задачи запишутся так: 2Uo=0> |Н -0. . (2) Как обычно, ищем решение в виде z(x, t)=u (x) sin (γι t -fa), a = const (4)
§ 88. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 403 Тогда уравнение (1) и краевые условия (2) и (3) переходят в следующие: и(0) = 0, г/(0) = 0, (6) u"(L) = 0, w"'(L) = 0. (7) По доказанному в § 45 наименьшее собственное значение λι нашей задачи равно минимуму интеграла l^M1 w %]dx -Е \ι w Ш dx (β) ■ о о на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям (6) и (7) и дополнительному условию J pS(x)u2(x)dx= l. (9) о Отыскивая минимум интеграла (8) по методу Ритца, возьмем в качестве координатных собственные функции оператора -j^ при краевых условиях (6) и (7). Эти функции образуют полную ортонормированную систему. Как известно1), указанные функции имеют вид sin α. | ch α. ξ φ*»-,(&)- ί-+—ϊγ1· *=2/η-ι, sinlf ch"f cos α. I sh α. ξ «Ρί«(Ι)- ~ ϊγ1. *«2m, COS^ Sh-^ j (10) где as — корни уравнения2) cosacha=l; в формулах (10) за основной принят отрезок—'/г-^^-^'/г, причем условия (6) относятся к концу l·,— — 7г, а условия (7) — к концу £ = + '/г- ■) См. В. Н. Фаддеева [1, 2]. 2) Значения as приведены, например, в статье В. Н. Фаддеевой [I], табл. 7. 20*
404 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Чтобы использовать функции (10) в нашей задаче, нужно, очевидно, положить δ-наг- (И) Полагая приближенно η «(*)«]£ Μ>& (χ), % (χ)=q>fe (-%r^) · мы получим, в соответствии со сказанным в § 45, следующее- уравнение для определения λ: где Лц — λβ|| Af2 — λβ|2 ... Aln— λβ|„ Α2ί — λΒ2\ Л22 —λβ22 ... Α2η — λΒ2η Αη\ λο„| Αη2 λβη2 ... Αηη λβη„ ί. -0. (12) Alk=EJ Ι (χ) ψ;' (χ) < (χ) dx, fi£fe = J Ρ5 (χ) % (χ) ψ, (χ) άχ. (13) ο ο Для примера рассмотрим однородную трубу в виде полого усеченного конуса осевое сечение этой трубы показано на рис. 17. В этом случае /(*)=^(у4-«4), S(x) = n(y2-a\ где R-r L y = R- " ,' х = Рис. 17. -/?-(! +1/2)(/?-г). 2x-L Если в (13) сделать замену £ = —^—, то коэффициенты Aifl и Bih принимают вид + γ (Я + rf (^ - г)2/й - 2 (Д + г) (Я - г)3/^ + (Я - г)4/$ }, (14) fl«-«pL{[^J^-e«]7S-^0?>-r2)/S + (l?-r),/S}. (15)
§ 88 КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 405 Здесь jfl I?k — интегралы, определяемые формулами V2 /$= J 6"4>f (6) <£<£)<£. я-0, 1, 2, 3, 4, Ч, /$= f ln%(D<Pk®dh я-0, 1, 2. -Vt (16) При различных соотношениях между ink мы получаем следующие группы формул. I. t = k нечетное. 4 2 At--i2 +afectg-2---2-ctg -g-, /S? = - γ (al ctg9 ^ - 4afe ctg ^ + 4), ^=w+τ (6a*ctsίγ ~ a* ct^ir -6) · II. i=k четное. /S-ol. ^=-2аПё2^, 4 2 ^ = -^-afctg^-^tg2^, /3 = -|(«l tg2^ + 4afctg> + 4), III. 1фк, i нечетное, ft нечетное. 8a?a? /Й-0, /(/2=-/2/l2ctg^-ctg^t K+«i)2 /«ft — 8afaf f , a, % (3af + af) afe (af+3a|) a,l
406 ГЛ X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ ИЗ) 6д|°1 ί 4(«1-βα|α| + α^) _ —зрц [К- aago.ctgi+tof-a^o^tg-J]- -aActgf ctgir}' +"^bf" Ν ~3α|) α«·ctg ΊΓ ~ Κ+3<$α*ctg ίγ]} ■ IV. ι" ^ k, i четное, k четное. 8α?α? а, а. ИЗ) 6θ|θ| f ^K-6«-«l + «fe) /5S-(ip^{°'°*tgTlET- V. i нечетное, k четное. ни 8«/«l ί , «г , aft ^=K^rafcCtgTtgT+ («I - 3ag) afe tg -^ - (a? - 3afe2) аг ctg Ц. -|- ————————— — - —_——__
§ 88. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 407 „. 6α?α? Ι α, аь ^-^.,0^1 ^^w+e» 7S--№&4 73-/SAW. Для численных расчетов примем следующие размеры трубы: L = 4000 лл, R = 400 лш. г = 200 мм, а = 100 ли. η Полагая в приближенном выражении и «* 2 β/Λ, «=1,2, 3, ft=l мы получим для определения λ следующие уравнения: I) 0,8526-0,1917· Ι0βλρ/£ = 0, 2) 3) 0,8526-0,1917 · Ι08λ-§· -1,5341+0,0632 ■ Ι09Λ -~ £ Ε -1.5341 +0,0632 ■ ΚΡλ ~r 39,4262-0,3526 · 109λ ~ Ε Ь = ο, 0,8526-0,1917 ·10»λ-ξ" -1.5341+0,0632 · 10»λ -^- 1,1077+0.0037 · 10βλ -§- -1,5341+0,0632 39,4262-0,3526 -26,614+0,0865 · «{ №λΙ Ι0"λ-§ 1,1077+0,0037· -26,614+0,0865 156,59-0,3168 ΙΟ»λ-§ ιο»λ-|- т.± = 0, наименьшие корни которых суть λ'"-0,4446 · 10~8 — ; λΓ = 0,4226 · 10~8 —; λ(13) = 0,417ΐ . 10~8-. Как видно, последовательные значения λι довольно быстро приближаются друг к другу: относительная погрешность при переходе от λ"' κ λί3) составляет около 5%, а при переходе от λψ κ λί3) —около 1,3%. Для второго собственного числа уравнения 2) и 3) дают приближенные значения λΡ- 11,628 ■ Ю~8£/р, λζ3)= 11,074 . 10~8£/р; /оч (3) относительная погрешность при переходе от λ^ κ λΐ> приблизительно равна 5%.
408 ГЛ X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Попытаемся оценить значения собственных частот колеблю! щегося стержня снизу. Чтобы упростить вычисления, рассмотрим случай сплошной трубы (а = 0). По методу Ритца собственные числа опять определяются из системы вида (12), в которой только следует заменить коэффициенты Aih и В{к новыми коэффициентами Ам и Bih; их вычисление теперь не потребует особого труда: как легко убедиться, Aik — Ацг + 4£з Λik', Bik = Вik + npLa Iik. Полагая опять η = 3, получим для наименьшего значения Я приближенное значение с избытком λ, -0,34498· 10~8£/р. (17) Чтобы оценить значение λι снизу, сведем нашу задачу по способу § 74 к интегральному уравнению с симметричным ядром. Это ядро имеет вид К(х, t)=Vs(x)S(t) G(x, t), где G(x, t) —функция Грина нашей задачи, a S(x) —площадь сечения стержня, с абсциссой х. Функция Грина G(x,4) определяется как решение дифференциального уравнения dx2 ('М^-)-о, непрерывное вместе со своими производными первого и второго порядка, тогда как третья производная терпит при х= t скачок, равный dsG дЮ 1 _ 1 г=ж-о δχ3 ч=-х+о 1(χ) Проведя необходимые вычисления, найдем, что при x*Ct К(х, t) = м'Ц-с*)[т*~iR + 2Ct)χ3]] С = ^ΊΓ· Теперь можно вычислить второй след ядра: l t А2 = 2 J dt \ К2 (х, t) dx = 8,979548 · ΙΟ16. о о Параметр интегрального уравнения равен λρ/Ε. По формуле (4) § 74 получаем приближенное значение λι с недостатком: λ,-0,33371 · 10~8—. (18)
§ 89. РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДР* 409 Значения (17) и (18) вычислены для размеров г, R, L, указанных выше. Среднее арифметическое значений (17) и (18) дает λ, = 0,3390 ·1(Γ8£/ρ с относительной погрешностью, меньшей 1,5%. § 89. Радиальные собственные колебания упругого цилиндра Наименьшая частота ωι собственных колебаний упругого тела, поверхность которого свободна от напряжений, определяется соотношением ^=тт1Цй)> (1) где γ — плотность среды, W(u) — потенциальная энергия деформации: 2W{u) = f {λθ2 + 2μ(ε2+ε2+ε|) + μ(γ^ + ν^ + Υ^)}ίίΩ. (2) Ω в = вх + ву + в2 и //(u)-J(«| + «* + «|)dQ=.|u|F. (3) Ω Условие отсутствия напряжений на границе тела — естественное, поэтому нет необходимости подчинять U каким-либо краевым условиям; однако и следует подчинить соотношениям JurfQ = 0, JrXurfQ = 0, (4) Ω Ω выражающим отсутствие жестких смещений. Рассмотрим случай, когда упругая среда заполняет круговой цилиндр радиуса R и высоты А, и допустим, что колебания — радиальные, так что и имеет в цилиндрических осях ρ, ·θ, ζ только две составляющие ыр и иг, которые не зависят от угла ·&. В формулы (2) и (3) введем цилиндрические координаты вместо декартовых. Мы получим тогда 2W(U)= j {λ(Βρ + Βύ + εζγ + 2μ(Βΐ + Βΐ + 8ΐ) + μ(^ + Υΐζ + Υΐζ)}<ΙΩ, Ω (5) H(u)= j(ul + ul + uz)dQ, (6)
410 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ где. в условиях радиальной симметрии, дир диг дй __ дир 8Р- др ' д«2 <5ίί„ дм. ГР2 c?z др > YPfl = Y{teB=0. Подставив это в (5) и (6) и выполнив интегрирование по θ, найдем 2W{u) = 4nWl(u), Я(и) = 2пЯ((и), где 2r,(U)-/P,P/{^+^)! + + : a«z\2! dz При этом ^(lO-jpdpj^-l-«*)£&. о о 9 , 2W, (и) (7) (8) (9) Отыскивая минимум отношения (9) по методу Ритца, возьмем приближенные значения ир и иг в виде "р = Ρ (Оо + «(Ζ + Й2Р2 + Оз^2). "г = &0 + &|2 + 6гР2 + Ъ&2. (Ю) Множитель ρ введен в «р потому, что, как это ясно из соображений симметрии, ир = О при ρ = 0. Коэффициенты в (10) не произвольны, а связаны соотношениями (4), которые дают «о ~з(. 6 "+" 5 "+" 9 ·)· °< ~ Λ2 \ 5 6 j * (ID
§ 89. РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРА 411 Соотношения (11) позволяют исключить коэффициенты* а0, bo, jjj это дает нам ир = а2(р3-^р) + ^(^р-^Р + ^р) + Ц||г2р--^р), (12) Введем в рассмотрение векторы смещений 4Ί = (0;2--j), φ2 = (ρ3 5"р; °)* ЗД2 /6Я2 2 ^2\ з; р2--2-). Ч>4 = (4-p-V + 22P;0). q%. = (0;2?-|-); j (13) в формулах (13) на первых местах записаны составляющие по оси р, на вторых — составляющие по оси ζ. С помощью векторов φι, ... , <Р5 можно записать формулы (12) в более удобном виде и = δι<Ρι + Ь2ц>2 + &з<Рз + VP4 + h%- <Ί4) Введем обозначения R h 2№,(ιι,ν)=|ρφ |{λ( ди0 3U; дг о о [дир dOp ( UpOp i d«3 \fdvp op доЛ I \ dp "^ ρ "^ dz / + + M> dp + P' ди2 doz\ I дир диЛ(дОр до,\\ Я, (и, ν) = J ρ dp J (UpOp + г/2и2) йг. Как это вытекает из общих результатов § 43, уравнение для определения величины γω2 = κ имет вид 2W, (<р,, 4Ί)-κ«ι (<Ρι·<Ρι) 2»Ί (<Ρι- <Ρ2)-*"ι (<Ρ,- <Ρ2) — 2η7ι («ft- <Ρη)-κ"ι (<Ρι- <Ρ«) »ι (4Ί- <Ρ2)-κ/ίι (4Ί· <Ρ2) 2^! №,· «ϊ)-*»!-^*· *s) ~ *^ι (<Ρ2· <Ρ«)-κ«ι (<Ρ2· <Ρ«) 2lr. («P.-<Ρη)-κί/ι («P.- <Ρη) 2ΗίΊ №· <Р„)-КЯ. (^η) - 2«^, (<Ρ„·<Ρ„)-κ". (V <Ρη)
412 ГЛ. X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Если выполнить все необходимые вычисления, то это уравнение примет следующую форму: (λ + 2μ) ft'ft3 2kR*h n n R2hs 24 2λ««Α (74λ + 124μ) Reh 75 3fi8ft „ 200 0 (A + 2μ) h'h1 2 -^■" 24 2Xft«ft2 5 6(λ + μ)^ 25ft + +μ-^ (£+»)■- λΚΆ 2 ft2ft2 24 K 2λ«Ά! λ««Α (λ + μ)Κ2Α' 90 μ#Α3 ft«AB r 12 720 О 2 (λ + 2μ) ft'A3 3 2i?2ft5 45 (15) Уравнение (15) распадается на два, так как четвертый столбец содержит только один член, отличный от нуля. Одно из этих уравнений есть 90 12 720 κ— ' (16) второе же имеет следующий вид: (λ + 2μ) R2h 2 24 (λ + 2μ) RW 2 24 κ 2λί?Ά (74λ + Ι24μ) R*h 7δ 3W ■■ 200 0 6 (λ + μ) ff> 25ft μί?Ά / 6R2 - Γ-- Ι _. - 2λ««Α2 +L-i-V1ftT+2y+ λ««Α2 (λ + 2μ) RW 2 2KR*h? KR<h 5 2 (λ + 2μ) R2h* 3 2ft2A3 ., 45~κ (17)
§ 90 КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ 413 В определителе (17) умножим первый столбец на Λ и вычтем из четвертого. Тогда первые два элемента четвертого столбца обратятся в нуль. По известной теореме Лапласа определитель в (17) распадается в произведение двух определителей, а уравнение (17) сведется соответственно к двум квадратным уравнениям (λ + 2μ) R2h R2h3 24 2KRih 2KR*h (74λ+124μ)Α6& 3R*h 75 200 = 0 (18) _6(λ + μ)^1 _1_ϋ£!* Ш1.1. θ\2_ 25ft "^ 4 \ 5ft2 ^ Zj V 100ft ^ 24 j κ ЯД4Й λΛ4Λ (λ + 2μ) #2ft8 #2/ι5 6 360 = 0- (19) Наименьший из корней уравнений (16), (18) и (19) дает (приближенно) значение κ, = ·\νή, где, как мы условились выше, ωι означает наименьшую частоту собственных колебаний цилиндра. Положим, например, σ = '/з или, что то же, λ = 2μ. Положим еще h = 4, R = 2 и введем обозначение κ/μ = v. Решая уравнения (16), (18) и (19) при указанных значениях, найдем, что наименьший корень vi = 2,722808 и, следовательно, ω, «0,1650051 Υμ/y. Если приравнивать нулю диагональные миноры определителя (15), то получатся следующие приближения (цифра сверху означает номер приближения): ν«) = 3, vf> = vf > = v{*> = vf> = 2,722808. § 90. Колебания упругой прямоугольной пластинки в ее плоскости Для определенности рассмотрим пластинку, край которой свободен от действия внешних сил. Уравнения свободных колебаний упругой пластинки имеют вид (дах &1ХУ\ [ дх ду да, ду й- (й2риу = 0. (1)
414 ГЛ X. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Здесь ρ — плотность упругой среды, λ и μ — ее коэффициенты Ляме, ω — частота свободных колебаний. В соответствии со сказанным в § 51 наименьшая собственная частота определяется из соотношения ρω-,-min-^. (2) Через W(u) обозначен интеграл энергии упругой деформации, равный С ( дих дии I дих ди,, \2 ) 21Ρ(α)=]((Η2μ)ί-4μ17^τμ(-¥+^) )dtl, (3) Ω дих ди„ Ό дх ~ ду ' а через Я (и) — интеграл H(u)=l(u% + ul)dQ. (4) ω Краевое условие нашей задачи естественное, поэтому при отыскании минимума (2) можно не подчинять и никаким краевым условиям, однако и следует подчинить условиям, исключающим жесткое смещение пластинки: \ uxdQ = 0, \ uydQ = 0, (xuy-yux)dQ = 0. (5) Ω Ω Ω Рассмотрим для определенности случай прямоугольной пластинки. Обозначения длин сторон и расположение координатных осей возьмем, как в § 84. В качестве координатных выберем функции cos (knx/a) cos (mny/b), k, in = 0, 1, 2, ... Положим, ограничиваясь значениями k + m42, nx , 2nx , nv , 2nu , ηχ πι/ ux « a, cos — -f- a2 cos ——\- a3 cos -γ+ α4 cos -f-+ a5 cos — cos -f-, , nx , , 2ηχ , , ην , U„= 61COS h 02COS h O3COS -^- + , , 2nu , , roe ля ,„■, + 64 COS-—-+ 65 COS COS---. (6) В силу третьего равенства (5) коэффициенты ah и Ьн связаны соотношением аЪх = аф; (7) первые два равенства (5) выполняются автоматически, так как выражения (6) не содержат свободных членов. Формулы (6) удобно трактовать следующим образом.
§ 90 КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ 416 Введем девять векторов φ&, kR = 1,2, ..., 9, полагая φ, = (cos ~, θ), / 2nx η\ Фй = ^cos —^-, 0), )· cos Φ2= (' <Ρ4=(θ, Щ Ь пх — cos α ιχ_\ V}' 2ηχ\ cos—), <ρ5=(ο, <ρ7=(θ, cos щ 2ny cos-^-, 0), cos <Рб=( / пх <Ps = (cos — 2π^\ 6 J' Iг, ПХ ПЦ \ <Р9 = (0, cos— cos -ξ-y cos лг/ >)· Формулы (6) и (7) показывают, что искомый вектор и приближенно выражается линейной комбинацией векторов φι, ... Обозначим αδρω2/μ = κ. Для определения κ воспользуемся уравнением (4) § 43. В нашем случае, после того как каждая строка определителя поделена на μ/2, оно принимает вид (8) (см. стр. 416; σ—коэффициент Пуассона). Заметим, что уравнение (8) можно упростить, так как второй столбец определителя (8) содержит только один отличный от нуля элемент; уравнение (8) распадается на два, из которых первое получится, если приравнять нулю указанный элемент, а второе — если приравнять нулю минор этого элемента. Первое уравнение имеет корень _ ал2 (а , Ъ3 | 16 Ь\ (9) Чтобы решить второе уравнение, зададимся какими-либо Ь η 16 1 численными значениями о и —. Пусть, например, σ = -^, — — γ· Тогда указанное уравнение принимает вид 2π!- 0 0 16 0 0 0 0 κ 0 8я2 — κ 0 0 0 0 0 128 3 0 0 2л2 - κ 0 0 0 61 ~3~ 0 16 0 0 8π!-κ 0 0 0 0 0 0 0 0 «π!- 0 0 61 Τ κ 0 0 0 0 0 32я2 - κ IL'8 3 0 0 0 32 3 0 0 64 3 4Л2- 0 κ 17η 0 64 3 0 0 32 3 0 0 3 = 0. (10)
oo χ I IM ( 1 в χ|ιμ й J-, I °И - + о 'е -I) И К 00 ju е 1 у 1 3 + ill Χ|<Ν 1 ι 1 + £ χ χ I I I IM + С* О 2Гв £
§ 91. УСТОПЧИВОСТЬ ПЛАСТИНКИ 417 Отметим, что при ог = у и — — γ величина (9) равна κο = = 19,315273. Чтобы проследить за сходимостью процесса, будем находить приближенные значения наименьшего корня κι, приравнивая нулю диагональные миноры определителя (10). Приравнивая нулю миноры первых трех порядков, мы получим значения κ, равные 19,739209 и 78,956835. Сравнивая это с щ, получаем в качестве приближенного значения наименьшего корня уравнения (8) величину 19,315273. Приравняем теперь нулю минор четвертого порядка 2π2-κ 0 0 16 0 βπ2-κ 0 0 0 0 2я?-х 0 =0· 16 0 0 Ы~к Наименьший корень этого уравнения равен 15,692682. Так как это число меньше, чем κο, то его и следует считать более точным приближенным значением величины αδρω^/μ, где через щ обозначена наименьшая собственная частота колебаний пластинки. Приравнивая нулю миноры более высоких порядков, мы каждый раз будем получать наименьший корень 15,692682. Таким образом, в пределах принятой нами точности αδρω^μ= 15,692682. § 91. Устойчивость сжатой эллиптической пластинки Рассмотрим эллиптическую пластинку с полуосями а и Ъ (а > Ь), край которой закреплен. Допустим, что пластинка подвержена действию равномерного давления ох = ау= г-, хху = 0 Найдем наименьшую величину нагрузки, при которой пластинка потеряет устойчивость. Уравнение (4) § 49 в нашем случае принимает вид Д2ш + ЯАш = 0. (1) Задача состоит в нахождении наименьшего собственного значения уравнения (1) при краевых условиях ш = 0, -^ = 0. (2)
418 ГЛ X ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ Применяя к нашей задаче метод Ритца, в качестве координатных возьмем функции1) хтуп (1 - г7а2 - if/b2f, т, η = 0, 1, 2, ... (3) Ограничиваясь значениями т + η4^.2, получим w ^ V ~ ^~~Ь) (а1 + а2х + азУ + а4Х2 + ааХУ + аб1?)· (4) Положим α/b = у, Κα2 = κ. Как обычно, метод Ритца приводит нас к уравнению (подробности вычислений опускаем): (3+2·ν!+ -.γ4)- о о -i^-L+2v+3v>)- о _IAi+2v+3vV 8 V — (I + У2) У. ,. .. ■V 15 I5V 5 2V + - + + У3~-7гХ 5 <W)* О XI—+-яг|я 0 0 0 0 О 0 — + 5Y+-4- 0 0 0 Υ Υ! ~5Λ3ν<+γ)κ '(|+2+3Υ2)- 0 ΙΟγ 10 15 ΙΟ-V 3 10 5- 2<*(1+Ι)* 0 Λ + 5Υ' + 6 - 0 V Υ Ι --κ Ι(22+?+3γ2)_ ΙΟγ3 3γτ 10 10 ΙΟγ3 15γ _2 5γ·* " 20γ -=Ц] + :Й* (Ε. Второй, третий и пятый столбцы определителя (5) содержат только по одному элементу, отличному от нуля. Вследствие этого ') Оси координат, как обычно, направляем по осям симметрии пластинки
§ 81. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНКИ 419 уравнение (5) распадается на следующие четыре: 5(^ + ^) + 6-1(-^+ΐ)κ=0, (6) (7) (8) — (3 + 2γ2 + 3γ4) - Υ --(1 + γ2)κ Υ γ(^+2+3Υ2)- -h 1_ 5γ2 κ |(Α + 2ν + ν)- {(Α+2γ + 3/). 15 κ 27_ V . ΠΥ_ ΙΟγ 10 15 -щг(]+-т)« -J- + -L + -V. ΙΟγ3 3γ 10 15ν Ι ■ Υ Υ3 ΙΟγ 3 + 10 27γ 10 _3_ + JL ΙΟγ3 ^ 15γ -wO+i^)* 0. (9) Если κι — наименьший из корней уравнений (6)—(9), то приближенная величина критической нагрузки равна —ц-. Возьмем для примера γ = 2. Корни уравнений (6), (7) и (8) равны соответственно 78; 102,69; 121,8. Уравнение (9) при γ = 2 принимает вид 59___4_ 59_J_ 3 15 * 3 15 313 7 {> 472- 59- 59 4 -10κ 4 ■τ* 1 "20Κ 30 120 60 з 30 1393 120 " i3- 240* = 0. или, если раскрыть определитель и разделить на коэффициент при к>, κ3 - 343,5707κ2 + 32028,293κ - 806705,6 = 0. Это уравнение решаем по способу Ньютона, беря за первое приближение корень диагонального минора первого порядка у! = 47,2. Второе приближение, даваемое методом Ньютона, будет κ" = 42,06696, третье приближение ν!" = 42,06681. Таким образом, с достаточно высокой степенью точности можно считать κι = 42,067.
ГЛАВА XI ПРОЦЕСС БУБНОВА—ГАЛЕРКИНА § 92. Описание процесса Процесс Бубнова — Галеркина1) можно рассматривать как обобщение процесса Ритца для уравнений вида Аи = f, где оператор А необязательно положительный. Прежде чем описывать процесс в общем виде, изложим его для более простого частного случая, который, впрочем, охватывает подавляющее большинство приложений. Пусть неизвестная функция и(Р) удовлетворяет в некоторой области Ω неоднородному уравнению Lu-f{P) = 0 (1) и, может быть, некоторым однородным краевым условиям. Выберем бесконечную последовательность координатных функций φι (Ρ), ψ2(Ρ), ■ ■ ■ , φη(Ρ), · · ·, которые достаточное число раз (в соответствии с данными задачи) непрерывно дифференцируемы в замкнутой области Ω = Ω + 5 и которые удовлетворяют всем краевым условиям нашей задачи Как обычно, через 5 обозначена граница области Ω Будем считать, что как уравнение (1), так и соответствующие ему краевые условия линейные, тогда функция un(P)=%akq>k(P), (2) где ah — произвольно выбранные постоянные, удовлетворяет всем краевым условиям задачи. По методу Бубнова — Галеркина коэффициенты ah определяются из требования, чтобы левая часть уравнения (1) стала, после подстановки в нее ип(Р) вместо и (Р), ортогональной к функциям φι (Ρ), ψ2 (Ρ),.. ,φη (Ρ) · Метод Бубнова—Галеркина тем самым приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений: η Σ ak{Lq>k, <pm)= (f, <pj, m= 1, 2 n. (3) ') Часто пишут «метод Бубнова — Галеркина»,
§ 92 ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА 421 Если ставится задача о собственных числах уравнения Lu — Ku = О, то процесс Бубнова — Галеркина точно так же приводит к системе уравнений η Σ a-k {(ί-Фь Φ/η) - λ (<pk, Ψ,η)} = 0, k = 1, 2 η; k-l приравняв нулю определитель этой системы, мы получим уравнение, определяющее приближенные значения собственных чисел: (Ιφι, φι)-λ (φ,, φ,) (Ιφι, φ2)-λ(φ,, фг) ··· (£φι, Φη)-λ(Φι> φη) (Ιφ2, φΐ)-λ(φ2, φι) (ί.φ2, φϊ)—λ(φ2, φ2) ... (£φ2, φ^-λ(φ2, φη) (£φη, φι) - λ (φη. Φι) (^Φη. Φε) - ^ (φη, φ2) ... {1лрп, φ„) - λ (φ„, φ„) = 0. Нетрудно дать и более общую формулировку процесса Бубнова — Галеркина. Пусть линейный оператор А определен на множестве, плотном в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве, и пусть требуется решить уравнение Аи — f = 0. (4) Выбираем последовательность элементов {<pn}, <pn e DA, которые будем называть координатными. Приближенное решение уравнения (4) мы строим в виде линейной комбинации координатных элементов с постоянными коэффициентами (2). Коэффициенты ah определяем из условия, чтобы после замены и через ип левая часть уравнения (4) была ортогональна к элементам φι, φ2,..., φη. Это приводит к следующей системе линейных уравнений с неизвестными ah: η · Σ (Aq>k, 4>])ak = (f, Φ/), /= 1, 2, ..., η. (5) Точно так же задача о собственных значениях для уравнения Аи - КВи = 0 (6) приводит к уравнению (Лф,, φ,) - λ (Βφ,, φ,) (Αρ,, φ2) - λ (Βφ,, φ2) ... (Λφ„ Φη) - λ (Βφ,, φ„) (Лф2. φ,) - λ (βφ2, φ,) (Лф2, φ2) - λ (Βφ2, φ2) · · · (Лф2, φβ) - λ (Βφ2, φη) = ft Ифт Φι) - λ (^Фи- Φι) Ифп. φ2) - λ (Βφ„, φ2) ... {Atfn, φ„) - λ (Βφ№ φ„) (7)
422 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Если В = Е, то уравнения (6) и (7) принимают более простой вид Аи - %и = 0 (8) и (Αφ,, φ,) - λ (φ,, φ,) (Λφι, φ2) - λ (φ,, фг) ... (Арι, φη) - λ (φ„ φη) Ифг, φι) - ^ (<Ρ2, φι) И<р2, фг) - ^ (φ2, φ2) ... {Αψη, φ2) - λ (φ„, φ2) _0. (9) (Αψη, φι) - ^ (φη. φη) Ифт фг) - λ (φ№ φ2) ... (Αψη, φη) - λ (φ„, φη) Уравнения Бубнова — Галеркина (5), (7) и (9) по форме совпадают с соответствующими уравнениями процесса Ритца, если только координатные функции выбраны из области определения оператора. Отсюда следует, что для положительного оператора процесс Бубнова — Галеркина не отличается от процесса Ритца. В конце главы мы кратко рассмотрим некоторые обобщения метода Бубнова — Галеркина, а также его применение к нестационарным задачам." § 93. Доказательство сходимости для интегрального уравнения типа Фредгольма ') Пусть дано интегральное уравнение и{Р)-\к{Р, Q)u(Q)diiQ-f(P) = 0, (I) ω относительно которого мы предполагаем следующее: 1) J J К2 (Ρ, Q) dQP άΩ0< oo, j* f (Ρ) άΩ < oo; (2) Q Q Ω 2) уравнение (1) имеет в классе Ζ,2(Ω) одно и только одно решение. К уравнению (1) применим процесс Бубнова — Галеркина. За координатную систему можно взять любую систему, которая: 1) полна в Ζ,2(Ω), 2) элементы ее, взятые в любом конечном числе, линейно независимы. Координатную систему подвергнем процессу ортогонализации; от этого приближенное решение не изменится. Теперь координатные функции, которые мы обозначим через <fk(P), удовлетворяют равенствам . (<Р„<рк)=$<Р,(Р)<рк(Р)с1П = {^ J~£ (3) ') Первое такое доказательстро было дано Ю- В. Репманом [I].
§ 93. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 423 Положим теперь ип {Ρ) = Σ ak4>k (P); подставим это вместо и(Р) в левую часть уравнения (1) и потребуем, чтобы результат подстановки был ортогонален к функциям φ, (Ρ), ц>2(Р), ·.., ц>п(Р)- Учитывая равенства (3), мы получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными αϊ, α2, ■. ■ , ап: η ат- Σ Ymfe^fe = if. Φ/η). /η = 1, 2, . .., η, (4) k-l где Ymfe = J J Κ (Ρ, Q) Ψ,η iP) <Pk «?) dQP dQQ. Q <J Числа ymA суть коэффициенты Фурье функции K(P,Q) при разложении ее в двойной ряд Фурье по ортогональным функциям <рй; точно так же (/, ц>т) суть коэффициенты Фурье функции f(P). Введем обозначения: η KniP,Q)^ Σ Υ,„Λ(Ρ)<Ρ„((3), k, m—\ L(P)= tif,<Pm)<Pm(P)· Система ортогональных и нормированных функций φ™ (Я) полная, поэтому lim f f [Kn iP, Q)-K (P, Q)Y dQP dQQ = 0, Hm f [fn (P) ~ f iP)f dQ = Hm || fn - f |f = 0. (5) Рассмотрим вспомогательное интегральное уравнение о» (Ρ) -\КП (Ρ, Q) vn (Q) dQQ = fn (P). (6) Ω Дальнейшее опирается на теорему теории интегральных уравне- ний, в силу которой из соотношений (5) следует, что при достаточно большом η уравнение (6) разрешимо и имеет единственное решение, коль скоро этим свойством обладает уравнение (1), и что в норме £2(Ω) «ΛΡ)-ϊ^ν(Ρ). ■ (7)
424 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Чтобы не прерывать изложения, мы приведем доказательство этой теоремы в конце параграфа. Интегральное уравнение (6) нетрудно решить. Заменяя в (6) Kn(P,Q) и fn(P) их значениями, найдем, что η νη(Ρ)=ΣΛιηΨιη(Ρ), (8) ft-1 где η An - JJ Ymfe J »ι» (Q) <Pfc (Q) ^ + (f, <pm). ft-I Ω Подставив сюда значение vn(Q) из (8) и пользуясь равенствами (3), найдем, что Ah удовлетворяют системе η Ат ~ Σ Ymft^ft *= (f, Фга)» m - 1, 2 П, (9) ft-1 тождественной с системой (4). При η достаточно большом система (9), так же как и уравнение (6), имеет решение, и притом единственное, поэтому Ak — ak, k = 1, 2, ..., η, и νη(Ρ)= ип(Р). Теперь из (7) следует, что в норме Ζ,2(Ω) ип(Р) „_»,»■»·« (Р). Таким образом, приближенное решение интегрального уравнения типа Фредгольма, построенное по методу Бубнова — Га- леркина, стремится к точному решению этого уравнения в среднем, если только система координатных функций полна в смысле сходимости в среднем. Приведем теперь доказательство упомянутой выше теоремы По условию уравнение (I) разрешимо и имеет единственное решение. Это значит, что единица не есть характеристическое значение для ядра K(P,Q), и существует резольвента Г(Я, Q), с помощью которой решение уравнения (I) представляется в виде и (Р) = / (Я) + | Г (Р, Q) f (Q) dQQ; (10) Ω сама резольвента удовлетворяет неравенству jJTHP. Q)dOpdQQ<oo. (Π) Ω Ω Уравнение (6) запишем в виде vn(P)-j K(P,Q)vn(Q)dUQ = Ω - L (p) - J [* (р. Q) - *„ (Λ Q>] »„ (Q) ί%· (is) Ω
§ 93. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 425 Рассматривая временно правую часть последнего уравнения как известную, можно воспользоваться формулой (10); это приводит к интегральному уравнению, эквивалентному уравнению (6): νη (Ρ) = J Kn (P, Q) υη (Q) dQQ + fn (P) + j* Γ (Ρ, Q) fn (Q) dQ^ (13) Ω Ω Здесь для краткости положено Кп (P. Q) = Кп (Р, Q) - К (Λ Q) + | Г (Я, R) [Кп (Я, Q) - К (Я, Q)] <ШД. (14) Ω Оценим интеграл от ядра Кп- Прежде всего по неравенству Коши — Бу- няковского КI (P. Q) < 2 [Кп (Я, Q) - Я (Я, Q)]2 + + 2 J Г2 (Я, R) dQR | [Кп (R, Q)-K (R, Q)]2 dQR. Ω Ω Интегрируя, имеем J j" J( * dQp dQQ < 2 j" | [Я„ (Я, Q) - Я (Ρ, Q)]2 <?Ωρ «fQQ + Ω Ω Ω Ω + 2 J | Γ2 (А Я) <?Ωρ <ГС2Д | J [*„ (Λ R) - Κ (Ρ, Я)]2 dQp dQ^ (15) Ω Ω Ω Ω В неравенстве (15) правая часть стремится к нулю при п->оо; найдется, следовательно, такое N. что I I К \ {Р, Q) dQp dQQ < 1 при η > Λ\ Ω Ω Но в таком случае при η "^ Ν уравнение (13), а с ним и уравнение (6), имеет решение, и притом единственное; это решение можно построить по методу последовательных приближений'). Оценим разность и(Р) —νη(Ρ). Вычитая почленно уравнения (1) и (2), получим и (Я) - νη (Ρ) - J К (Λ Q) [и (Q) - vn (Q)] dQQ = Ω = f (P) - fn (p) + j" [* (Λ Q) - *„ (f> Q)] »„ (Q) <«V (I6) Q Обозначая для краткости правую часть последнего уравнения через Fn(P), имеем по формуле (10) «(Р)-νη(Ρ) = Fn(P)+jr(Λ Q)f„(Q)<«V Q ') См., например, книгу автора [7], § 2.
426 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Отсюда II"-М<II^1 +11 г(f· Q>МО^о Iq >уняковского (j Г (Я, Q) F„ (Q) Λ2? < J Г» (Ρ, Q) dQQ · || F„ |p. \Ω /Ω го no Ω, найдем J Г (Λ Q) Fn (Q) rfQ0|2 < || Fn f j J Π (Я, Q) Λϊρ dQQ a II ω q = I+(j JniP.Q)^^}*· (17) Iq q ! По неравенству Буняковского Интегрируя это по Ω, найдем IIΩ и, следовательно 1в-р«И<с11^11, Обозначим для краткости Ω Ω очевидно, е„ —> 0, если η -> оо Будем считать η столь большим, что во всяком случае ε„<—^-. Применяя неравенство Буняковского и неравенство тре- угольника для норм, легко найдем II Fn II < II f — fn II + ε„ II νη \\, или II fn IK II/— fn II + еэт||ы— (ы — г;„)||< ll/-f„ll + ε„ ||ы || +en\\u-vn II. Подставив это в (17), получим (I — Сеп) 11« — νη il <= СII f — fn || + Сеэт|| ы β. Усилим неравенство, заменив слева I — Сгп на 1/2. Это даст !; ы - t;J < 2С J / - f„ || + 2Сб„ || ы|| ___^ 0. § 94. Достаточный признак сходимости процесса Бубнова—Галеркина') Будем изучать сходимость процесса Бубнова — Галеркина в предположении, что оператор А в уравнении Аи — f имеет вид Л = А0 + К, (1) где Ао—положительно определенный в некотором гильбертовом пространстве Я оператор. Относительно оператора К пока предположим, что его область определения шире области определения оператора Л0, так что во всяком случае выражение Ки имеет смысл каждый раз, когда имеет смысл выражение А0и. Дальнейшие ограничения на оператор К будут наложены ниже. ') См. статьи автора [4, 8].
§ 94. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ 427 Введем в рассмотрение энергетическое пространство Яд„ оператора А0; чтобы упростить обозначения, будем писать #о вместо Яд0. Выберем координатную систему {φ^}, подчинив ее следующим условиям: 1) <pfe e DAo; 2) элементы φ,, φ2, . . ., φη линейно независимы при любом п; 3) координатная система полна в Но. Система (5) § 92 в нашем случае имеет вид η Σ {(4><Pft, Φ/η) + (K4>k, Фт)>0* =° if' Фт). "I = 1, 2, . . ., П. (2) Ортонормируем {φη} в пространстве Н0. Как не раз уже было отмечено, это не изменит приближенного решения ип. Система (2) при этом несколько упростится. Прежде всего 10, кфт, (А)Ф*,Ф,п) = | ,f k = mm Далее, (Kq>h, <рт) — (A0GKq>k, фт) = [Tq>h, Фт], где G — Aq1 и Τ = = GK. Наконец, (f, φ™) = (A0Gf, φ„) = [f, <pm], f = Gf. Введя для краткости обозначения \mk = 1Тфь Φ;ηϊ> &m = [Г. Фт]. (3) приведем систему (3) к виду η dm + Σ \mbflk = &m. /П = 1, 2, . . ., П. (4) /г-1 Сделаем теперь важное для дальнейшего допущение: примем, что оператор Τ — GK вполне непрерывен в пространстве Н0. Будучи вполне непрерывным, этот оператор ограничен (§ 6) в пространстве Я0 и по теореме 3 § 5 может быть расширен на все это пространство. Будем считать далее, что такое расширение уже выполнено. Уравнение Аи — f представим в виде Αφί + /С« = f · (5) Воздействуя на обе части уравнения (5) оператором АГ'^-С' получим новое уравнение и + Ти = f'; f - Gf. (6) Очевидно, всякое решение уравнения (5) удовлетворяет также уравнению (6): обратное может оказаться неверным: может случиться, что существует элемент пространства Яо, удовлетворяющий уравнению (6), но не принадлежащий Da„, и тогда этот элемент нельзя подставлять в (5). Мы условимся, однако,
428 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА такого рода решения уравнения (6) рассматривать как решения (обобщенные) уравнения (5); с такой оговоркой уравнения (5) и (6) эквивалентны. Теорема 1. Приближенные решения уравнения (5), построенные по методу Бубнова — Галеркина, сходятся по энергии оператора А01) к точному решению этого уравнения, если выполнены следующие условия: I. Уравнение (5) имеет не более одного решения в Н0; П. Оператор Τ — Aq~' К вполне непрерывен в Но. Доказательство. Как было указано выше, уравнение (5) эквивалентно уравнению (6), содержащему вполне непрерывный оператор Т. Для этого уравнения имеет место альтернатива Фредгольма, и из условия I вытекает, что уравнение (6) имеет решение, очевидно, принадлежащее подпространству Н0. По предположению система координатных элементов {ц>ь} полна в #о; мы вправе считать ее и ортонормированной в Н0. Разложим Ти и f в ортогональные ряды сю сю ти = Σ [Ти, <pfe] <рь γ = Σ W, Φ/Λ Фь и положим 7> = 2 [Ти, «pfe] «pfel f'n = £ [f, q>fe] Щ. fe-ι fc=i Очевидно, что \fy-f'n\ n->0o> 0. Докажем еще, что | У- /'„J-;;—>■ 0. Оператор Т вполне непрерывен в Н0 и потому может быть разложен в сумму Τ — Τ' + Τ", причем Τ' — вырожденный оператор, а \Т"\<-к> где ε—произвольно малое положительное число. Имеем сю (Т-Тя)и = Ти-Тяи = Σ [Tu,yk]<fk = оо оо = Σ [Ги,ф6]ф6+ Σ [ΓΊΐ,φ*]φ*. (Г Легко оценивается вторая сумма: Ι Σ [τ"'". φ*Ιφ*Γ= Σ 1Г«-ф^. что по неравенству Бесселя не превосходит величины |7"'ыр<|Г'|2 |«Р<т1"12· ') Иначе говоря, в смысле сходимости в пространстве Но.
§ 94. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ 429 Отсюда 2 [Γ4φ*]φ* <|l«|. Оценим первую сумму в (7). Вырожденный оператор Т'и имеет вид Т'и = 2 [«. Ψ/]«/. / = 1 где 5—конечное число, a i])j и coj— элементы пространства Я0. Имеем теперь IOO I I ОО £ I Σ [7"«, φ*,! φ* = Σ Σ [«. Ψ/] Κ. φ*] φ* = Is o° Is I oo I Σ I". Ψ/J Σ [ω/, φ^] Φ/J ^ Σ Ι1"» Ψ/11 · Σ [ω,, φΑ] φ* < /-ι fe-n+i Ι /-ι |fe=n+i Ι <ΜΣ|Ψ,Ιΐ/ Σ ih,«p*lP. /~1 · fc=n+l Ряд Σ Ι [ω/> Φ*] Ι2 сходится. Отсюда нетрудно заключить, что коэффициент при |«| будет меньше γ при η достаточно большом, скажем, при η^Ν. Отсюда и из соотношений (7) и (8) вытекает, что при η^Ν будет \{Т~Тп)и\ <е|ы| или\Т — Тп\<е, что и требовалось доказать. Оператор Тп — вырожденный. Действительно, легко видеть, что функционал [Ти, φ^] ограничен в #о"> по теореме 1 § 5 существует такой элемент щ е Яо, что [Ти, φ&] = [и, cptj и η τ>=Σ [«. qkWk- (8) Будучи вырожденным, оператор Тп вполне непрерывен. Теперь из теоремы 1 § 6 вытекает, что уравнение Ч+Тпип = Гп (9) разрешимо при достаточно большом п, и притом единственным образом, и что «п— *«, (Ю) где и— решение уравнения (6).
430 гл Х1· ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕркИНА Заменяя в (9) Т„ и f„ их значениями, получим η η ип - Σ ИГ. <PiJ + [^"n. Φ/*]} <i>k - Σ Аьфь (11) где Лй = [f, <pft] + |Tun, φ*]. Заменяя здесь ыи по формуле (11), получим систему уравнений для коэффициентов А^: η Am + Σ [Tq>k, Фш1 Ak = [F, Φ,η]. /η = 1, 2, . . ., η, тождественную с системой (4). Отсюда сразу вытекает, что ип есть приближенное решение по Бубнову—Галеркину уравнения (5); утверждение теоремы 1 следует теперь из соотношения (Ю). Теорема 2. Если оператор К, ограничен в Н, a G — А0Х вполне непрерывен в Н, то оператор Τ — GK вполне непрерывен в Н0. Доказательство. Оператор Τ вполне непрерывен в Η как произведение операторов ограниченного и вполне непрерывного. Пусть теперь дано множество М, ограниченное в Но'. Q | и\<С, если и^М. По неравенству (5) § 9||«||< —; так как Τ вполне непрерывен в Н, то из Μ можно выбрать последовательность {«„} так, чтобы || Тит— Тип )) m η->οο->0· Оцепим \Tun — Tum\. По формуле (4) § 9 : Тип - Ти,„ |2 = (A J («η ~ "m)> Τ ("η ~ «m)) =* = (K(«n-«m), T(un-Um)). По неравенству Коши — Буняковского i Тип - Tum F < || К («„ - ит) || · || Τ (ип - ит) ||- = \\К(ип-ит)\\-\\Тип-Тит\\· Далее, IIК (ип- ОIKHКII· IIип- ит ||<|| КII(|| ип|| +1| ыт||)<2С|| /С ||/γ и окончательно 17-и» - Г",* I2 < ^ψ- II Г«п - Тит ||-sr7S5=> 0. По теореме 2 § 6 оператор !Г вполне непрерывен в Н0. Полагая К —Ε (Ε—тождественный оператор), мы получаем Следствие. Если оператор G = Ао вполне непрерывен в Н, то он вполне непрерывен и в Но.
§ 94. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ 431 Из теоремы 2 вытекает значительно более узкий, но более простой признак сходимости процесса Бубнова — Галеркина, который мы сформулируехМ так: Теорема 3. Процесс Бубнова — Галеркина сходится, если: I. Уравнение Au — f имеет не более одного решения. II. Оператор G = Ло"1 вполне непрерывен, а оператор К ограничен в Н. Замечание. Из теоремы 1 непосредственно вытекает применимость процесса Бубнова — Галеркина к уравнениям вида и — XTu — f, где Τ—вполне непрерывный оператор в Я, в частности, к интегральным уравнениям типа Фредгольма. Пусть выполнено условие II теоремы 1. Рассмотрим однородное уравнение AjU-lKu, (12) эквивалентное уравнению и-ХТи*=0. (13) Повторяя рассуждения теоремы 1, можно убедиться, что применение процесса Бубнова — Галеркина к задаче об отыскании собственных чисел уравнения (12) равносильно нахождению собственных чисел уравнения Μ„-λ7>„ = 0. (14) По теореме 3 § 6 собственные числа уравнения (13) суть пределы соответствующих собственных чисел уравнения (14). Отсюда вытекает Теорема 4. Если оператор Τ = А0~ К вполне непрерывен в Но, то процесс Бубнова — Галеркина в задаче об отыскании собственных значений сходится. Замечание 1. Пусть А положительно определенный симметричный оператор с дискретным спектром. В применении к задачам о собственных числах уравнения Аи-Хи = 0 (15) процессы Бубнова — Галеркина и Ритца совпадают. Но тогда по теореме 4, если λ!" —приближенное значение по Ритцу к fe-му собственному числу λ/, оператора А, то %k п-ю^Яй. Напомним, что в § 42 это предельное равенство было доказано для первого собственного числа λι. Замечание 2. В работах Г. И. Петрова [1] и М. В. Келдыша [1] высказывается утверждение, что собственные элементы уравнения (12) могут быть построены как пределы «приближенных» собственных элементов, получаемых процессом Бубнова —
432 ГЛ XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Галеркина. Это утверждение, как показал Н. И. Польский [1], неверно: может случиться, что к некоторым собственным элементам уравнения (12) невозможно приблизиться, применяя процесс Бубнова — Галеркина. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример Н. И. Польского [1]. Рассмотрим пространство Z,2(0,1); положим в (12) Л0 = Ε и ι ι Ки= J К {χ, t)u(t)dt = J {al(x)bl{t) + a2{x)b2(t)}u(t)dt, о о где (0<<7<1); со а, (х) = sin лх, Ь, (х) = 2 sin лх + Q*fm 3π* + У qk sin knx, fc*=4 оо а2 {χ) = 2 sin 2пх + Л-^-Щ- _ \ ^ sjn ^πχ> £2 (*) = sjn 2ял\ Vl-q £?4 Условия теоремы 4, очевидно, выполнены; при этом #о = И. Используя легко проверяемые соотношения (αϊ, b{) = (a2, b2)= 1, (аи b2) = (а2, b\) = 0, мы найдем, что уравнение u(x)-bj K{x,t)u{t)dt = 0 (*) о имеет единственное собственное число λ = 1, которому отвечают две линейно независимые собственные функции а\ (х) и а2(х). Будем теперь решать уравнение (*) процессом Бубнова — Галер- it кина, полагая ы„ = Σ С/ефЛ*). ^k(.x)~ У2 sin fern:. Пусть λ(η) — соответствующее приближенное собственное число, получаемое по этому процессу. Нетрудно убедиться, что ы„ и λ<η> удовлетворяют уравнению ι «»(х) ~ λ™ J" [af (х) 6ι (ί) + of (χ) b2 (t)] un (t) dt = 0, (**) о где п. af (χ) =2φ4 (χ) (ο,, <pfc) = α, (λ:), η af (χ) - 2 Φ* Μ Κ Φ*) -^5=* a2 (χ). κ—Ι
§ 95. ПРИМЕНЕНИЕ К ОБЫКНОВЕННЫМ. УРАВНЕНИЯМ. 433 и что уравнение (**) имеет единственное собственное число χ{η) = 1? которому соответствует только одна собственная функция of1' (x) = Gj (л:). Таким образом, в нашем примере процесс Бубнова — Галеркина не дает возможности приблизиться к собственной функции а2(х) уравнения (*). Как показал Н. И. Польский, все собственные элементы уравнения (12) могут быть получены как пределы «приближенных» собственных элементов, если резольвента оператора А^ХК имеет только простые полюсы. Это, в частности, имеет место, если К = Е, т. е. в условиях процесса Ритца. § 95. Применение к обыкновенным дифференциальным уравнениям Рассмотрим уравнение (-l)mu{2m)-XKu = f(x), (1) где Ки — линейные дифференциальный оператор порядка 2т—1, и будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее на концах отрезка а^.х-^.Ь краевым условиям и {а) = и' {а) = ... = и*"1"1' (а) = 0, 1 «(*) = «'(*)=...= «<«-»(*) = 0. / (2) Будем считать, что поставленная нами задача имеет единственное решение. Докажем, что процесс Бубнова — Галеркина в этой задаче сходится. Положим А0и = (—1)тиРтК Как было доказано в § 21, оператор А0 положительно определенный на множестве функций, достаточное число раз дифференцируемых и удовлетворяющих краевым условиям (2). Как известно, оператор G = Aq имеет вид η Gf = Г G(x,l)f(l)dl, где G(x,ξ) — функция Грина для уравне- ния ы<2т>=0, удовлетворяющая краевым условиям (2); эта функция непрерывна вместе со своими производными до порядка 2т— 2 включительно в квадрате а^χ, \ '^.Ь, а ее производные порядка 2/п — 1 разрывны только на диагонали χ = ξ, где они терпят конечный скачок. Введем в рассмотрение пространство Н0, ъ в котором на этот раз [и, ν] = I (— l)mы(2ш)иdx, или, если про- а интегрировать по частям т раз и воспользоваться условиями (2),
434 ГЛ XI ПРОЦЕСС БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА Ь [и, и] = j ы(т>о(т> dx и, следовательно, · а Ъ |ы|2= jltWfdx. (3) а Рассмотрим теперь оператор Ки. Допустим, что коэффициенты оператора К дифференцируемы достаточное число раз. Положим GKu=v(x). Очевидно, ν удовлетворяет краевым условиям (2). Далее, интегрируя по частям с тем, чтобы исключить производные от и порядка выше т, и пользуясь опять условиями (2), мы приведем выражение υ к виду ъ v(x)= jG,U,&)tt<M>(g)d6 + а Ь + j G (χ, I) [рм_, (I) «<*-» (l)+ ... +Ро (i) и (D) dl, (4) a где ядро С[(лг,|) имеет in ограниченных производных. ' Дифференцируя (4) т раз по х, имеем ь 0(т)(х)=|^т^1)ц(т)Ш4 + а Ь + |а1^,6)'[Рт-1(б)Ц("-1)(6)+ ··· +P0(1)U(1№. (5) В интеграле (5) выразим и, и', ..., ы<т_1> через ы(т) по известной формуле "Ш(Е) = тйгтгоГ {(S - ηΓ~/_1 «(m) (η)*ι. (6) α верной, если ы удовлетворяет первым т из условий (2). Подставив (6) ε выражение (5) и меняя порядок интегрирования, мы найдем, что vlm)(x) имеет вид ь vM(x)-JN(x,l)u(mHl)dl·,, (7) а где N(x,l·,)—непрерывная функция. Интеграл (7) есть оператор Фредгольма над функцией ы<т>; как было указано в § 6, этот интеграл есть вполне непрерывный оператор над ы(т>, рас-
§ 95. ПРИМЕНЕНИЕ К ОБЫКНОВЕННЫМ. УРАВНЕНИЯМ 435 сматриваемой как элемент пространства L2(a,b). Пусть теперь дано ограниченное в Н0 множество функций и(х). Это значит, что \и Ρ = 11 «(»> (χ) ?dx<C, С = const. По теореме 2 § 6 а можно выбрать из этого множества такую последовательность ъ К (х) I что | vf> - υ™ f = / Ι ο·™ (χ) - υ™ (χ) f dx -^^^ 0. Но α тогда из (3) следует, что | νη — vk\ n k^>oa>0. Отсюда ясно, что оператор в правой части (4)—вполне непрерывный в Н0. На основании теоремы 1 § 94 процесс Бубнова — Галеркина дает последовательность, сходящуюся в Н0. Если обозначить через ип приближенные решения, получаемые процессом Бубнова— Галеркина, а через и — точное решение задачи, то при k <т будет и^{х)~^^>и1к){х) равномерно, а ы'пт (х)~^*и(т)(х) в среднем. Теорема 4 § 94 позволяет утверждать сходимость процесса Бубнова — Галеркина и в задаче о собственных числах однородной задачи (1). Указанные в этом параграфе результаты были получены значительно более сложным способом М. В. Келдышем [1]. Замечание. Как показал И. К. Даугавет [1,3], сходимость может быть улучшена, если за координатные функции взять полиномы; при этом можно дать оценку скорости сходимости. Изложим коротко результаты И. К. Даугавета. Пусть коэффициенты дифференциального оператора К достаточно гладкие, и пусть известно, что точное решение задачи и(х) имеет г непрерывных производных, причем r-я производная удовлетворяет условию Липшица с показателем а. Тогда справедливы оценки ■Cn-r+m-3I2-at 0<S</n-3, Cn~r+s~a+h2\nn, s = /n —2,/n—1, in, Cn-r+4s-im-a+UZ> s>/n. (8) Если s>2/n, то лучшую оценку можно получить, распространив на этот случай прием автора ([27], [29]; см. также § 56 настоящей книги), это приведет нас к неравенству, вытекающему из неравенства (5) § 56, в котором в данном случае ап = 0(п~а)'· | ■£* [Щ (х) - ип (л-)] | < Сп-'-2'»+3*-Л s > 2т. (9) Оценка (9) выгоднее, так как разность показателей в формулах (8) и (9) равна s — m + у2 >т + 1/2 > 0. ds I -^f[U0(x)-Un(x)]\<:
436 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА § 96. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка В некоторой конечной области Ω будем искать решение уравнения с переменными, вообще говоря, коэффициентами т т обращающийся в нуль на границе S области Ω. Будем считать, что уравнение (1) эллиптическое невырож- дающееся; это означает существование такой постоянной μ0, что каковы бы ни были точка РеЙи вещественные числа t\, ί2, · · ■ ..., tm, имеет место неравенство т т Σ Α№ί^>μ0ΣίΙ (2) I, ft=l i*=l Примем еще, что коэффициенты Aih непрерывны вместе со своими первыми производными в Ω, а коэффициенты В} и С непрерывны1) в Ω; относительно функции f(P) допустим, что она принадлежит пространству Ζ.2(Ω). Наконец, допустим, что поставленная нами задача имеет единственное решение. Положим m m *—Σ-&("■-£)■ «"=2В'£+С"- <3> г, ft*=i г«1 В § 27 было установлено, что оператор А0 положительно определенный на множестве функций, которые обращаются в нуль на S; для таких функций имеет место неравенство (А0и, u)>f\\uf, γ>0. (4) Введем теперь пространство #о, полагая т [и, ν] = (А0и, ν) = J 2 Аь-Ц~ 4tdQ' Ω I, fe=l В § 47 было выяснено, что оператор А0 имеет дискретный спектр. По теореме 5 § 40 оператор G = ДГ вполне непрерывен в пространстве Ζ.2(Ω| функций, квадратично суммируемых в Ω. Докажем, что оператор Т-= GK вполне непрерывен в #о- Пусть дано ) Ограничения, наложенные на коэффициенты, можно ослабшь.
§ 96. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 437 множество функций, ограниченное в Н0, так что | и | <Ξ Ν = const. Это значит, что ί Σ А·&£«<*. <ϋ> Ω i, fc-1 Из неравенств (2) и (5) вытекает: г=1 q i-i Кроме того, в силу неравенства (4), ||ы||< N/y. Теперь ΣΙ^Γ max ^BH+llullmaxIC^KCAi, (6) Ci = const. Так как G вполне непрерывен в Н = Ζ,2(Ω), а множество функций Ки, как мы видим, в И ограничено, то можно выбрать такую последовательность {ип}, что существует предел (в пространстве Н) lim GKun = lim Tun. Отсюда следует, что lim || Tun-Tuk || = 0. (7) ft, П-»оо Оценим 17*ы„ — 7*wfe |. Имеем, по формуле (1) § 9 ITun -Tukf = (AoT(t^- uk), T(un-uk)) = (Kun-Kuk, Tun - Tuk), и, далее, по неравенству Коши — Буняковского I Tun - Tuk? < || Kun - Kuk || · || Tun - Tuk || < 2CXN || Tun - Tuk \\. В силу неравенства (7) lim |7«„-74| = 0. (8) ft, П-^оо Таким образом, если множество функций ограничено в Но, то из него можно выделить такую последовательность {«„}, что выполняется равенство (8), означающее, что существует предел (в пространстве Н0) lim Tun. Тем самым доказано, что оператор Τ вполне непрерывный в #о, и. следовательно, процесс Бубнова — Галеркина сходится в нашей задаче. Точно так же доказывается его сходимость и в задаче о собственных значениях.
438 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА Задачу настоящего параграфа исследовал М. В. Келдыш [1], который пришел к тому же результату значительно более сложным путем и при дополнительном предположении, что граница области достаточно гладкая. Замечание. В §94 мы установили, что в общем случае \ип — ы|—>0, где ип — приближенное решение, получаемое процессом Бубнова — Галеркина. В настоящем случае это означает, что первые производные от ип сходятся в среднем к соответствующим производным от и. Для иллюстрации метода рассмотрим уравнение Δ" + χ Ίγ = 2л'2 + 2у~ + 2х2у2 ~ 2х2у ~ ху2 + ху~2х~ 2у. Оно имеет решение и = ху(х- \)(у-\), которое обращается в нуль на контуре квадрата лс = 0, лс=1, У = 0, у=\. (9) Будем строить приближение к этому решению процессом Бубнова — Галеркина, взяв за координатные функции sin knx sin Iny, k, / = 1,2, 3, ..., которые также обращаются в нуль на сторонах квадрата (9). Ограничиваясь членами, для которых k + /-^4, положим щ = αγ sin nx sin щ + а2 sin 2пх sin пу + а3 sin nx sin 2пу + + а4 sin 3πχ sin πι/ + α5 sin 2πχ sin 2ny + α6 sin nx sin Зпу. Уравнения Бубнова — Галеркина в данном случае таковы: (4+т) °' + Т °2 ~ i a*= 7F(9π2 ~ 8>> I , (5 2 , Π , 3 2 (τπ2 + 1)α3 + -^α5 = 0. 4- о, -1 «2 + (| π2 + 4) «4 = -2~jT (49Я2 - 8), -1а3 + (2я2+{)а5 = 0, (|„2+ 1)^ = ^(41^-8). Решение этой системы: с, = 0,066553, «2 = 0,000014499, а3 = 0, с4 = 0,0024528, с5 =0, с6 = 0,0024648.
§ 97. ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЯ 439 Нам известно точное решение задачи, поэтому нетрудно оценить погрешность приближенного решения; энергетическая норма этой погрешности Ι«-«.Ι-(//[(£-*Μ-£-£)ΪWo.00729. Энергетическая норма точного решения равна I, \ V* [(2* - If (у - y2f + (χ - x2f (2у - Iff dx dy 16 0 = 1/^45 = 0,149. Относительная погрешность (в энергетической норме) приближенного решения ы0 составляет 0,00729/0,149 ~ 4,9%. § 97. Вырождающиеся эллиптические уравнения В известных условиях, о которых будет сказано несколько ниже, процесс Бубнова — Галеркина можно обосновать для вырождающихся эллиптических уравнений (см. статьи автора 115, 16]). Рассмотрим уравнение т т Допустим, что коэффициенты Aih удовлетворяют условиям, сформулированным в § 28; в частности, будем считать, что Ajm — 0, \фт. Примем также, что выполнены условия относительно расположения области Ω и что поверхность вырождения S' лежит в плоскости хт = 0. Наконец, примем, что краевые условия таковы, как это описано в § 28. Относительно коэффициентов β7· и С предположим, что они ограничены и измеримы. Допустим, что сходится интеграл (4) § 48. По теореме 1 § 48, оператор L, определенный дифференциальным выражением т—\ /___ V _д_(л JiL\ L-(a dU \ АЛ дх} \Л* дхк ) дхт \Л"™ дхт ) и краевыми условиями § 28, положительно определенный в Ζ,2(Ω) и имеет дискретный спектр. По теореме 2 § 40 оператор L-1 вполне непрерывен в Z-g(Q).
440 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Обозначим т. fe=l (2) Далее, через а обозначим определитель А\\ Л12 Л„ А, 22 •Λ,,, ι Л„ ■^2m А, (3) vn2 - · · ' Lmm и через Л·*'*1 алгебраическое дополнение элемента Ajh в этом определителе. Теорема 1. Если величина т 1 2 ^Я* (4) /, fe-i ограничена в Ω, го оператор Τ = L-I/( вполне непрерывен в энергетическом пространстве Нь оператора L. Пусть множество /И ограничено в HL: \и\1 Оценим норму ί Σ »»-& ди Q /, ft dxk cffi < R = const. №0< fc-=l du k dXk + C'\\u\\, C' = supC(P). (5) (6) Имеем Bk^\dQ- л m ь -ΐ =;— ail. ft <5x/ dxft |fe-l "" || Ω \fe-=l / Q /, ft- Составим уравнение Oe\.(B}Bh— ЯЛ,ъ)=0 или, более подробно, В?-ЯЛц Б,В>-ЯЛ|2 ... BiBm-lAim BfB2 — ХЛ|2 β5 — %A->2 ... B-iBm — ЯЛ2т B,Bm-KAlm B2Bm-KAs ■ Вщ ААщщ = 0. (7) Если точка Р(х\,хг, ..., -*:m) лежит внутри Ω,τθ матрица коэффициентов Ajh невырожденная, и число отличных от нуля корней уравнения (7) равно рангу матрицы произведений Ββκ.
§ 97. ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ УРАВНЕНИЯ 441 сводится не т I m \2 Но квадратичная форма 2 β/^Α— 2^4/ более чем к одному отличному от нуля квадрату, поэтому ранг упомянутой матрицы не превосходит единицы, и по крайней мере т—1 корней уравнения (7) равны нулю. Единственный необязательно равный нулю корень этого уравнения можно найти как сумму всех корней, и этот корень с точностью до знака равен величине (4). По условию теоремы она ограничена; пусть fit I. fe= :#i = const. Тогда, как известно, из теории квадратичных форм, справедливо неравенство 2 BtBktjtk Отсюда /. fe=i ;д? Σ A,kt,tk. i, fe=i m 12 m (8) Далее, оператор L положительно определенный, и потому существует такая постоянная R2, что ||ы|Г-</?2|ы|. Вместе с неравенствами (6) и (8) это дает !№!<(/?,+ С'Я2)| и | Если и е М, то | и | ^ R и ||/Си||<(Д, + С'/г2)Д-Д8, не Λί. (9) (Ю) Таким образом, множество КМ (т. е. то множество, в которое оператор К преобразует М) ограничено в Ζ,2(Ω). Вполне непрерывный оператор L-1 переводит множество КМ в компактное. Иначе говоря, множество L~^KM = ТМ компактно, и можно выделить из множества Μ такую последовательность {ип}, что lim || Тип— Tuk\\=*0. Оценим величину \Tun — Tuk\L. Имеем I Tun - Tuk \l = (LT (ы„ - uk), Τ (ы„ - ий)) = = (К(ы„-Ыь), У (ы„ -ыь))<2RS|| Г(ы„-ыь)II „.ь-юо*0. Отсюда следует, что ограниченное в HL множество Μ преобразуется оператором Τ в множество, компактное в том же пространстве. Теорема доказана.
442 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Из теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 1 § 94 вытекает Теорема 2. Если величина (4) ограничена, то процесс Бубнова — Галеркина для оператора (1) сходится. Для примера рассмотрим случай, когда Ajk = 0, j φ ft, так что оператор L имеет вид , ν д (л ди \ fc=l В этом случае величина (4) принимает вид 2 ВщАш, и процесс fe*=l Бубнова —Галеркина сходится, если Bk — 0\yAklj, &=l, 2, ..., т, при хт->0. § 98. Задача Неймана и смешанная задача для эллиптического уравнения второго порядка . Задачей Неймана называется задача об интегрировании уравнения {\) § % при краевом условии m Σ Λ«^ cos (ν, *,) = (), (1) i, ft=l где ν — внешняя нормаль к 5. Допустим, что задача имеет единственное решение1). На этот раз мы положим m (2) Оператор А0и положительно определенный на линеале функций, первые и вторые производные которых непрерывны в Ω и которые удовлетворяют условию (1). Действительно, интегрируя по частям и используя условие (1), мы получим (Айи,и)=1 £ A^-^dQ + lu'dQ^l^dQ^Wuf. Ω i, ft = l Ω Ω Дальнейшие рассуждения протекают так же, как и в § 96, и приводят к тем же заключениям о сходимости процесса Бубно- 1) Для этого, очевидно, необходимо, чтобы С(Р) Φ 0.
§ 98. ЗАДАЧА НЕЙМАНА 443 ва — Галеркина. Именно, можно утверждать, что приближенные решения задачи Неймана для уравнения mm m построенные процессом Бубнова — Галеркина, в среднем сходятся, вместе со своими первыми производными, к точному решению этой задачи и его соответствующим производным. Далее, собственные числа задачи Неймана для этого же уравнения могут быть получены как пределы «приближенных собственных чисел», получаемых процессом Бубнова — Галеркина. Обратимся к смешанной краевой задаче для уравнения эллиптического типа второго порядка. Рассмотрим уравнение (1) § 96 при краевом условии т Σ Aik^kCOS(xxl) + o(P)u^0, (3) где о(Р) — ограниченная функция переменной точки границы S, которую мы на этот раз будем считать достаточно гладкой. т Обозначим через Atu оператор — 2j "дтМг* Тшг)' ^Удем г, 6=1 его рассматривать на линеале функций, вторые производные которых непрерывны в Ω и которые удовлетворяют краевому условию (3). Докажем, что на этом линеале оператор Л,« ограничен снизу, т. е. что существует постоянная к, для которой имеет место неравенство') {A,u,u)^k\\uf. (4) Имеем и,«.«> —J« Σ -^(^-^-JdQ- Ω i, k"l r m m eJ Σ A*lkikdQ-\ U Σ A* j^ cos (xxJdS, Ω l.k~\ S i, k = l или, если воспользоваться условием (3), H.«.«)-J Σ ^^-^dQ + iaWdS. (5) e г, fe= ι s ) Постоянная k может быть н отрицательной.
444 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Пусть μο имеет то же значение, что и ц § 96. Далее, пусть σ0 обозначает верхнюю грань функции |σ(Ρ)|. Из (5) следует m (Л,и, tt)>Hoj ^(~-JdQ-o0j u*dS. Построим функции й{(Р), непрерывные в Ω и совпадающие на 5 с cos (v,Xi) '). Допуская, что поверхность 5 — достаточно гладкая, можно добиться того, чтобы первые производные от аг(Р) также были непрерывны в Ω. Теперь имеем и2 dS = I и2 2^ cos2 (v, X{) dS= \ 2j u2a( cos (vxi) dS = S / = 1 (6) Ω 1 = 1 Ω /=1 Первый интеграл в (6) меньше, чем ju С u2dQ, C = max V dai Lk дх{ £=1 Второй оценим следующим образом. Обозначим через Ci наибольший из максимумов функций а,- и через ε — произвольное положительное число. Тогда2) J 5]θ(« ди dxi άΩ ω (=ι <2С β,-^μΩ< Отсюда т Ω ( = 1 Ω Й (=1 άΩ. т {А,и, и)>(μο-С,та0&)| ]£ (-J^)*<*Ω + k \ φ άΩ· Ω ί=1 ») Ср. § 32. *) Мы пользуемся здесь неравенством Г т \2 m vfe=i / ft=i
§ 99. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ ПРОЦЕССА 445 где k =—σο (С' + Ci/ε2). Выберем ε так, чтобы μ0 — Cic0s2>0. Отбросив справа в последнем неравенстве неотрицательное первое слагаемое, мы придем к неравенству (4). Оператор А0 определим следующим образом: Αφ=Άλιι, & >0, Л0и= Л,и + (1 -k)u, /г<0, где k — постоянная, входящая в неравенство (4). При таком выборе оператор А0и, очевидно, положительно определенный. Дальнейшие рассуждения проводятся так же, как в § 96, и приводят к тем же результатам. В частном случае, когда m = 1, мы приходим к задаче интегрирования обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка при краевых условиях вида t/(o)+au(o) = 0, tf(b) + $u(b)=*0 (α, β—некоторые постоянные). § 99. Видоизменение процесса Бубнова—Галеркина для случая естественных краевых условии В § 94 было сформулировано требование, ограничивающее выбор координатных элементов и состоящее в том, что эти элементы должны принадлежать области определения оператора. Можно указать простое достаточное условие, позволяющее ослабить указанное требование. Именно, пусть оператор К определен на всех элементах пространства Н0. Тогда в качестве системы координатных элементов можно взять любую полную в #о систему элементов этого пространства; систему уравнений Бубнова — Галеркина следует записывать тогда не в виде (3) § 94, что было бы лишено смысла, а в виде η Σ {[фЬ Фт] + (K<Pk> Фт)} ak = if, Фт)> «1=1,2,..., П. (1) В справедливости высказанного здесь предложения нетрудно убедиться, проследив за ходом доказательства теоремы 1 § 94. В качестве примера возьмем рассмотренную в § 98 краевую задачу для уравнения m m
446 ГЛ. X]. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА при краевом условии смешанного типа \i Aik-g^T COS (V, Xi)+OU = 0; (3) сохраним данное в § 98 определение операторов А0 и К. Пусть, для определенности, в неравенстве (4) § 98 постоянная k > 0, тогда т т *-—Σ £("-£)· «-Σβ,^+e*. Для оператора А0 краевое условие (3) естественное; пространство Я0 состоит из всех функций, имеющих в Ω квадратично суммируемые первые (обобщенные) производные, и оператор К очевидным образом определен на всех функциях из Но Поэтому, применяя процесс Бубнова — Галеркина к нашей задаче, можно не подчинять координатные функции никаким краевым условиям. Легко видеть, что в данном случае m [и. о]-J Σ A^-ikm + \auvdS^ Ω i. fe=] S поэтому уравнения (1) видоизмененного процесса Бубнова — Галеркина имеют вид η I т / т \ Σ\ Σ к^$-+2*-!?*.+омь <*+ fe=i Ι Ω" i, ;~i \ i=i / + J ^k^mdS I ak= J f<vmd£lt m= 1, 2, .... n. S J Ω § 100, Проекционный метод1) Во введении было упомянуто, что из общей теории приближенных методов, разработанной в 1948 г. Л. В Канторовичем, вытекает некоторая общая схема (выше, в § 53 мы назвали ее проекционной) построения и исследования приближенных процессов. И. К- Даугавет в 1959 г. сформулировал эту схему в предположении, что как оператор данной задачи, так и обратный ему оператор ограничены; это предположение позволяет ') Для понимания настоящего параграфа необходимо янакомство с элементами теорнн банаховых пространств. См., например, Б. 3. Вулнх [I].
§ 100. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД 447 получить ряд тонких оценок скорости сходимости приближенных методов. Несколькими годами ранее Н. И. Польский [4] сформулировал близкую схему, не связывая ее с теорией Л. В. Канторовича и не предполагая обязательно ограниченности упомянутых выше операторов. Приближенные методы, которые укладываются в его схему, Н. И. Польский назвал проекционными. Схема построения проекционных методов по Н. И. Польскому такова. Пусть линейный оператор А действует из банахова пространства В] в банахово же пространство В2. Примем, что область определения DA оператора А плотна в Ви а область его значений RA плотна в β2· Заметим, что эти требования не являются ограничениями по существу: достаточно за Bt и В2 принять подпространства, получаемые замыканием множеств DA и RA. Зададим в Βλ последовательность элементов {<р„}, обладающую следующими свойствами: 1) φη е DA, n= 1,2, ...; 2) при любом η элементы φι, φ2, · ·., φη линейно независимы; 3) система {Αψη} полна в В2'). Обозначим через Ln подпространство В2, натянутое на элементы Αψι, Αψ2, ■ ■ ·. Αφη. Зададим еще одну систему элементов {ψη}, подчиненную следующим условиям: 1) ψη ε β2, η = 1, 2, .. . ; 2) при любом η элементы ψι, ψ2, ·. ·, ψη линейно независимы; 3) система {ψη} полна в В2. Подпространство В2, натянутое на элементы ψι, ψ2, ·--, ψη, обозначим через Мп, и пусть Qn — какой-либо проекционный оператор, проектирующий В2 на Λί„. Проекционный метод решения уравнения Au = f, «<Ξβ„ f(=B2, (1) состоит в следующем: приближенное решение ищем в виде η ип = Σ akyk (2) k=\ и определяем коэффициенты ah так, чтобы удовлетворить уравнению QnAun = Qnf- (3) Проекционная схема Канторовича — Даугавета (§ 53) формально получается из схемы Н. И. Польского, если положить ψ/ι = Aq>b, но между ними есть та существенная разница, что схема Канторовича — Даугавета не требует Л-полноты системы {<р„}. ■) Последнее условие мы формулируем, говоря, что система {φ„} А-пол· иа См. пике, гл. XII, § 102.
448 ГЛ. XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Н. И. Польский вводит следующее условие: Существует такая постоянная С, что для всех п, начиная с некоторого, и для любого »eL„ справедливо неравенство IMKCIIQ^II· (4) Условие Н. И. Польского тривиально выполняется, если ψ„ = Ац)п, тогда Ln = Μη и Qnv = и, если ν <= Ln; при этом С = 1. Сформулируем основную теорему о сходимости проекционного метода; ее доказательство см. Н. II. Польский [3, 4]. Теорема 1. Пусть выполнены условия настоящего параграфа, наложенные на элементы ψη и ψη, включая условие Н. И. Польского (4). Пусть, далее, уравнение (1) имеет одно и только одно решение. Тогда, начиная с некоторого п, приближенные уравнения (3) разрешимы и Мип-П-й^О. (5) Как очевидное следствие из этой теоремы вытекает, что если оператор Л-1 ограничен, то \\"ο-"η\\Βι-7^+0, (6) где «о — точное решение уравнения (1). Если условие (4) нарушено, то можно указать такой элемент f <= В2, что «п т4 «о. Проекционному методу можно дать несколько иную формулировку. Проекционный оператор Qn, проектирующий В2 на Мп, можно задать так. В М„ выберем произвольный базис <θι, ω2, ... ..., ωη и построим биортогональный к нему базис функционалов Qy. Qj (cob) = б#{. Функционалы Qj определены только на подпространстве Мп. Расширим их на пространство В2\ расширенные функционалы обозначим через Ф; и определим их соотношением Ф3и = iijQnu. Теперь, как легко видеть, η Qnu = 2 ^kOku. Проекционный метод решения уравнения (1) можно теперь сформулировать так: задаем в В2 последовательность функционалов Фп, л=»1, 2, ..,, обладающую тем свойством полноты, что из равенств Ф„и = 0, л=1, 2, ..., вытекает, что и — О. Приближенное решение ищем в виде (2) и определяем коэффициенты aft из системы уравнений <Ми„ = Ф^, А=1, 2, .... л. (7)
§ 100 ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД 449 Можно выбрать не последовательность функционалов Ф„, а последовательность наборов таких функционалов: Фщ, Фп2 Фпкп. (8) Последовательность наборов (8) будем считать полной в следующем смысле: для любого ФеЛ2 и любого ε>0 можно найти такое число N и такие постоянные аи а2, ..., αΝ, что II fe=i <ε. Если отказаться от требования, чтобы система {<р„} была Л-полной, то к проекционным методам можно отнести и метод коллокации, предложенный в 1934 г. Л. В. Канторовичем [1]. Метод коллокации можно изложить следующим образом. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение (Lu)(P) = f(P), (9) у которого коэффициенты и свободный член непрерывны в замкнутой области Ω = Ω + S, и пусть в области Ω нужно определить решение этого уравнения, удовлетворяющее на 5 некоторым условиям, которые для простоты будем считать однородными. Выберем последовательность координатных функций {ψη{Ρ)\, подчиненных следующим условиям: 1) если s — порядок уравнения (8), то φη{Ρ) имеют в Ω непрерывные производные до порядка s включительно; 2) функции φ]( φ2, ..., φη при любом п линейно независимы; 3) каждая из функций φη(Ρ) удовлетворяет всем краевым условиям задачи. Будем искать приближенное решение задачи в виде η «η(^)=Σ ak(pk{P). k=l Чтобы определить коэффициенты аи, поступим следующим образом: зададим в Ω η точек Ρλη, Ρ2η, ..., Рпп, называемых узлами коллокации, и потребуем, чтобы уравнение (8) после замены в нем и на ип удовлетворялось в указанных точках. Для коэффициентов ah получается система η ^ak^k){Pln)-f{Pjn), /=1,2, .... п. (10) fe=l В данном случае за Bt можно взять подпространство пространства №(Ω), составленное из функций, удовлетворяющих 29 С. Г. Михлии
450 ГЛ XI. ПРОЦЕСС БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА краевым условиям, а за В2 — пространство С. В качестве Ф,п здесь фигур ирУеТ функционал, сопоставляющий функции, непрерывной в Ω, ее значение в узле коллокации Pjn- Э Б Карпиловская [2] установила достаточные условия сходимости метода коллокации для одномерного интегро-дифференциального уравнения, предполагая, что координатные функ- ции полиномы' а в качестве узлов коллокации выбраны корни η-го ортогонального полинома с весом, ограниченным снизу. В более ранней статье [1] того же автора аналогичный результат получен для одномерного дифференциального уравнения, при простейших краевых условиях. Г. М. Вайникко [6] получил результат статьи [2] Э, Б, Карпиловской для дифференциального уравнения; он использовал более простые средства и смягчил ограничения на коэффициенты уравнения. Кроме того, Г Μ Вайникко исследовал также устойчивость (см. § 82) метода ' коллокации для тех же одномерных дифференциальных уравнений. Отметим еще статью Г. М. Вайникко [7], в которой метод коллокации исследован для нелинейных задач, В статье [3] Э. Б. Карпиловская доказала сходимость процесса коллокации для двумерного уравнения Δ« + λρ (*,, х2) и = f (*,, х2) (11) при краевом условии «ls=0. (12) Об часть Ω — квадрат 0<хь х2-Сп; координатные функции имеют вид q>jft(*b*2)= sin .vi sinkx2; узлы коллокации имеют координаты Jirift, *2= «„Т. η, 1 </'<«; 1</г<гс, χι 2т + · гп+ ι где т \tYi- достаточно большие числа. § 101. Процесс Бубнова—Галеркина в нестационарных задачах Мы ограничимся здесь схемой построения приближенного решения· ее обоснование для довольно широкого класса задач содержится в статье М. И. Вишика [7]. Рассмотрим гильбертово пространство Η и действующие в нем линейные операторы А0, Аи .... As, области определения которых Da . Dai> ···» &as имеют непустое пересечение D0. Рас-
§ ΙΟΙ. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 451 смотрим «абстрактное обыкновенное дифференциальное уравнение» Σ^-fW. '>о. (1) 1=0 при начальных условиях dlu dtl = ω,, / = 0, 1, .... s-1; (2) £=0 здесь ωι — заданные элементы пространства Η. Чтобы решить задачу Коши (1) — (2), зададим координатную систему Фь ф2, ■ ■ · , входящую в Do; приближенное решение будем искать в виде η «»(*)= Σ β* (О Ф* (3) и коэффициенты ah(t) подчиним системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (Σ"^' ф/)-№ φ/): /-1. 2. ···. "· (4) ч=о / Система (4) легко приводится к виду dlak (/) S П (=0 fe=l где введены обозначения Q/w = (Л»Ф*. Фу), f/ W = (/ (0, Φ/)· (6) Систему (5) нужно дополнить начальными условиями, которые можно получить, например, так. Положим η «in = Σ a<kfi>k (7) k=\ и подберем коэффициенты аы так, чтобы ||ω,η-ω,|| = ιηϊη; (8) очевидно, при этом щп будет проекцией элемента <ог на подпространство, натянутое на элементы <рь ψ2, .... φη· Условие (8) дает следующую систему для неизвестных осйг: η Σ α*ι(φ*. Ф/) = («г> Φ/). /= 1, 2 и. (9) 29*
452 ГЛ. XI ПРОЦЕСС БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА Найдем из системы (9) эти неизвестные и потребуем, чтобы dlak (t) dtl =afti, / = 0, 1, .... s-1; /e= 1, 2, ,, ,, л, (щ Решив систему дифференциальных уравнений (5) при начальных условиях (10) и подставив это в формулу (3), получим приближенное решение задачи (1)—(2). Можно допустить и тот случай, когда операторы At зависят от времени, если, например, их области определения не зависят от t. В этом случае коэффициенты щы будут не постоянными, а функциями от /. В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности 1 = Δ« (11) в конечной области Ω переменных Х\,Хъ, ..., хп, и при ίΞ>0. На границе 5 области поставим краевое условие и\в = 0, а в начальный момент времени — условие «U = <P(^)· (12) Здесь s = 1, единственный оператор А — это оператор задачи Дирихле, в качестве Η можно взять L2(Q), Координатную систему {фп(-Р)} выберем так, чтобы функции φη(-Ρ) были при любом η линейно независимы, непрерывны вместе с первыми и вторыми производными в Ω и чтобы <Pn(-P)ls = 0 (это требование можно ослабить: достаточно, чтобы <рэт (Р) принадлежали энергетическому пространству задачи Дирихле); мы не станем формулировать требование полноты, хотя оно и необходимо. Если искать приближенное решение задачи (11)—(12) в виде η ип{Р, 0= Σ МО φ* И, (13) то для коэффициентов au(t) мы получим систему уравнений с постоянными коэффициентами Σί da.(t) I Ια*/--έ— + Р*/«*(0) = о, (Η) Ofe/ = (<Pft, Φ;) = J <pfe (Ρ) Ψ; {P) dQ; Q hi = fofe, Φ/] = \ grad <pfe {Ρ) grad φ; (Ρ) dQ. где
ГЛАВА XII МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ») § 102. Основы метода Пусть А — линейный оператор, определенный на некотором линеале DA, плотном в данном гильбертовом пространстве Н, которое на протяжении этой главы мы будем считать, вообще говоря, комплексным. Пусть требуется решить уравнение Au = f, (1) где / — данный элемент из Н, Для этого может быть использован метод наименьших квадратов, который состоит в следующем: выбираем последовательность линейно независимых координатных элементов {<ρη}, φη S DA; приближенное решение уравнения (1) строим в виде η ип = 2 ak<pk, (2) где ah — постоянные, которые определяются из требования, чтобы величина \\Aun-f\? (3) приняла минимальное значение. Условимся о терминологии: последовательность {φ„} будем называть Л-полной, если выполнено следующее условие: каковы бы ни были и е DA и число ε > 0, можно найти натуральное число η и постоянные αϊ, <% ап такие, что η \\Au- Аип\\<ъ, где к„=Ца^. Заметим, что Л-полнота вытекает из обычной, если оператор А—ограниченный. Действительно, если система {φη} — полная, ') В настоящей главе изложены преимущественно результаты (см. (З], [6]).
454 гл хи МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ а оператор А — ограниченный, то можно подобрать п, щ, <χ2, ..., ап так, чтобы ||к —к„||< е/\\А||, и тогда || Аи - Аип II = || А (и - ип) || < || Л || · || и - ип ||< г. Аналогично доказывается, что обычная полнота вытекает из Л-полноты, если оператор А-' существует, определен на всем пространстве и ограничен. Условие (3) приводит к системе линейных уравнений для неизвестных щ, Ог> ■ ■ ■, ап. Установим вид этой системы. Имеем II Аип - f IP = 2 akAyk -f, 'Σ αιηΑψ,„ - f = \fe=l m=>l / η η η = Σ akam (Л<рь Αφη) -Σο* (Арь /) - Σ aft (f, /4<pfe) + (f, f). (4) ft, m-l fc=l ft=-l ч \ I Положим йй — ось + фй. Значения ось и β/„ дающие минимум величины \\Аип — /II2, удовлетворяют уравнениям d\Aun-ff n dlAin-fV = 0· ~яй = 0> т = 1,2 п, дат ' (3β„ или, что то же, уравнениям 1 f d\Aun-ff , . d\Aun-ff I = d\Aun-ff = 2 I dam > apra J (Эй,я Продифференцировав (4) по йт> мы получим интересующую нас систему η Σ ak {Ащ, AyJ = (f, A<pm), in = 1, 2, .... rc. (5) Отметим, что система (5) симметрична. Определитель системы (5) есть определитель Грама элементов A<plt /4φ2, ..., Лт„. Допустим, что уравнение (1) может иметь не более одного решения, иначе говоря, что однородное уравнение Аи = 0 имеет только тривиальное решение и = 0. Тогда /4φι, Αψζ, ■ .., Αψη линейно независимы1); по теореме § 2 определитель системы (5) ') В противном случае можно было бы найти постоянные С\, Сг, ... с не равные одновременно нулю, так что Но тогда С)ЛФ) + С2ЛФг+ ... +спАча-А\£скчЛ. ΣεΛ=°. вопреки первоначальному предположению о линейной независимости координатных элементов.
§ 102. ОСНОВЫ МЕТОДА 455 отличен от нуля, и указанная система разрешима единственным образом. Полученный результат сформулируем в виде леммы. Лемма 1. Если однородное уравнение Аи = 0 имеет только тривиальное решение, то приближенные решения по методу наименьших квадратов могут быть построены при любом η и они определяются единственным образом. Достаточные условия сходимости приближенных решений, получаемых по методу наименьших квадратов, даются следующей леммой. Лемма 2. Метод наименьших квадратов дает последовательность приближенных решений, сходящуюся к точному решению, если выполнены следующие условия: A. Последовательность координатных элементов А-полная. B. Уравнение (1) разрешимо. C. Существует такая постоянная К, что для любого ы е= £>л ||«||<К\\ Aul (6) Условие С обеспечивает существование (и ограниченность) обратного оператора А~К По лемме 1 последовательность приближенных решений {«„} может быть построена. Обозначим через // решение уравнения (1), которое существует в силу условия В. Так как последовательность {ψη} Л-полная (условие А), то можно по данному ε > 0 найти такие η& cti, аг, ..., «ηα, что «о Аи- ^akA<pk *=1 <*■ Последнее неравенство остается справедливым, если a.h заменить через ah, определяемые из (5), так как тогда левая часть этого неравенства достигает минимума. С увеличением п0 этот минимум не возрастает, так что при м>м0 ||Аы — Ли„||< <е/К. Теперь из условия С следует, что ||и —«ηΙΙ<β, если η ^ «о, т. е. что и„ —> и. Допустим, что условия леммы 2 выполнены, и пусть ип — приближенное решение уравнения Аи = /. Неравенство (6) дает простую оценку погрешности ип и, именно, ||ип «11-^- <К\\А(ип—и)\}=К\\Аип — Аи\\, или ||Un_HKKIIAu„-/ll. (Ό Если ип найдено по методу наименьших квадратов, то Aun-*f при п-*оо, и формула (7) на самом деле позволяет судить о погрешности приближенного решения. Замечание. В приложениях иногда оказывается более удобной несколько иная формулировка метода наименьших
456 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ квадратов, формулировка, по существу, эквивалентная вышеприведенной. Пусть ставится задача об отыскании одной или нескольких функций от некоторого числа независимых переменных, и пусть эти функции, которые мы обозначим через щ, «2, · ·.» "т, удовлетворяют двум системам линейных уравнений: однородной К,(и„ и2 ит)=0, /'=1,2 т, (*) и неоднородной 0/(ы„ ы2 um)=bh /=1, 2 т. Будем трактовать совокупности {иищ Ыщ) и (Ь\, 6г,... ,Ьт) как элементы и и Ь некоторого гильбертова пространства Н. Тогда совокупности операторов К} и Gj можно трактовать как операторы К и G в том же пространстве. Как выбирать пространство Н, остается в значительной мере произвольным: этим произволом можно воспользоваться для того, чтобы упростить вычисления или получить более точные результаты. Метод наименьших квадратов состоит в следующем: а) строим последовательность {<p(fc)] = {(<p[fc), φ£*\ ..., φ^')}, k = 1, 2, ..., функций, удовлетворяющих однородной системе (*); б) приближенное решение задачи строим в виде и{п) — η η — Σ акФк), или, подробнее, «\п) = 2 afe<P/fc), где ak — постоянные. Эти постоянные определяем из условия ||G«in)-6|p = min, или, что то же, из системы линейных алгебраических уравнений ΣΛ,»α* = (&, Сф(/)). где A,k = (Gtfk\ G<p</>). Между методом наименьших квадратов и энергетическим методом существует тесная связь, которую мы постараемся установить. К обеим частям уравнения (I) применим оператор Л*, сопряженный1) с А. Докажем, что полученное таким способом уравнение А*Аи = A'f (8) ') Оператор А*, сопряженный с данным оператором А, определяется тождеством (Аи, ν) = (и, Α*ν). Подробнее о свойствах сопряженного оператора см., например, В. И. Смирнов [4].
§ 102. ОСНОВЫ МЕТОДА 457 эквивалентно уравнению (I), если последнее разрешимо'). Пусть и' удовлетворяет уравнению (1). Оно, очевидно, удовлетворяет и уравнению (8), так что А'Аи' = A'f. (9) Пусть тому же уравнению (8) удовлетворяет еще некоторый элемент и", так что справедливо тождество A'Au" = A*f (10) Докажем, что и" удовлетворяет уравнению (I). Этим будет установлена справедливость нашего утверждения Обозначим и" — и' = v. Вычитая (9) из (10), мы найдем, что A*Av = 0 Умножим это скалярио на ν: 0 = (ЛМв, ν) = (Αν. Αν) = \Αυψ. Отсюда Αν = А(и" — и') = 0, или Аи" = Аи' = f, что и требовалось доказать. Нетрудно далее видеть, что при выполнении условия С леммы 2 оператор А*Аи положительно определенный Действительно, (А'Аи, и) = (Аи, Аи) = || Аи ψ > || и ψ/Κ2. Примем, что область определения оператора А*А плотна в Н. Допустим, что выполнены условия В и С леммы 2. Так как уравнение (I) разрешимо (условие В), то по доказанному оно эквивалентно уравнению (8), и можно искать решение этого последнего. В силу условия С оператор А*А положительно определенный; по теореме о функционале энергии (теорема I § 13) отыскание решения уравнения (8) эквивалентно задаче о минимуме функционала Щи) = (А*Аи, и) — (и,А*)) — (A*f,u). Но, очевидно, Φ (и) = {Аи, Аи) ~ (Аи, f) - (f, Аи) = (Аи -f, Au — f) — (f, f), или Ф(«) = и« - Л12 - №. Функционалы Φ (и) и \\Аи — f||s различаются на постоянное слагаемое, и задачи о минимуме обоих функционалов эквивалентны. Таким образом, β условиях леммы 2 применение метода наименьших квадратов к уравнению (I) равносильно применению энергетического метода к уравнению (8). Обратно, пусть оператор А положительно определенный: (Аи, и) Γ> γ2ΙΙ и ||2, γ > 0. К уравнению (1) можно применять энергетический метод, заменяя решение этого уравнения отысканием минимума функционала F(u) — (Au,u) — — (u,f) — (f,u). Построим положительно Определенный оператор В, квадрат которого равен А, В2 — А Оператор β"1 существует и ограничен. Уравнение (1) эквивалентно уравнению Ви = В~\ (11) получаемому из (1) применением к обеим его частям оператора В~1. Далее, F (и) = (В2и, и) - (и, BB~]f) - (BB-lf, и) - = (Ви, Ви)-(Ви, β~'ί)-(β""'/, Ви) = = (Ви-В ~lf, Ви - B~lf) - (β-'/, β""'/), или F(«)=||B«-B-VIP-llfi-'fll2. ') См. статью автора [2]. Мы предполагаем, конечно, что f принадлежит области определения оператора А*·
458 ГЛ. XII МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Функционалы F(u) и ||Ви—β~7ΐΙ2 различаются только на постоянное слагаемое, и задачи о минимуме этих функционалов эквивалентны. Отсюда следует, что в случае положительно определенного оператора А применение энергетического метода к уравнению (1) равносильно применению метода наименьших квадратов к уравнению (II). Если оператор А — положительно определенный, и ип — приближенное решение уравнения Аи = /, построенное по методу Ритца, то II Ви„ — В1} \\ -> о, где В2 = А. Эго немедленно вытекает из только чго доказанной эквивалентности двух методов и из хода доказательства леммы 2. Напомним, что соотношение И Аи„ — /" If —> 0. вообще говоря, не имеет места, если ип построено по методу Ритца. Допустим еще раз, что оператор Аи положительно определенный. Решение уравнения (1) в этом случае эквивалентно задаче о минимуме функционала (см. § 13) F{u)-{Au, u)-(",/)-(/, и). Если ввести энергетическое пространство НА (см. § 9) со скалярным произведением [и, ν] = (Аи, ν), то, как мы видели, F(u) — \u — Uof — |«oF> гДе «о —решение уравнения (1). Пусть теперь ип — решение, построенное по методу наименьших квадратов. Нетрудно видеть, что последовательность {ип} сходится к и0 также и в метрике ИА. Действительно,! ип — и,,)2' = = (Аип — Лы0, ип — ий) = (Аип — f, un—и0). По неравенству Коши — Буняковского \ип — «oF^II Aun — f ||||ы„ —ы0Н· Далее, по неравенству (6)||ы„—u0\\-4iK\\Aun — Au0\\= K\\Aun — f\\,'A, следовательно, \un-Uof<K\Auh-ff, (12) откуда следует, что \un — uof-*0. Формула (12) позволяет, очевидно, оценить погрешность приближенного решения, полученного по методу наименьших квадратов. Величина \\Аип — /||2 может быть вычислена следующим образом: имеем II Аип - ЛР = (Аип - f, Αί„ - fl = (£ акАщ - f, Σ amA<pm - f) = = Σ akam{A<pk, ЛФт)- Σ ak (Ayk, f)- Σ am(f, A<pm)+(f, f). (13) Коэффициенты ah удовлетворяют системе (5). Умножая m-e уравнение этой системы на От и суммируя по т, получим η η Σ abOm(A<Pk, Лфт)= Σθ-mQ, A<pm). ft, m~l m=I
§ ЮЗ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 459 Подставив это в (13), найдем M«n-/p=nfiP-:£a*(Ap*.f)= ft=>I =илр - (i Мч>*. η=ιι f r - (ли„, о. (и) Погрешность приближенного решения, построенного по методу наименьших квадратов, оценивается неравенствами') H"n-«olP</C2{llflP- (Aun,f)}, (15} \un-uA2<K{\\ff-(Aun,f)}. (16) Необходимо заметить, что в метрике пространства Н0 метод наименьших квадратов сходится медленнее, чем метод Ритца. Действительно, будем исходить из одних и тех же координатных элементов {φη}. Пусть п п ft-1 ft=l где коэффициенты ah определены по методу наименьших квадратов, а коэффициенты && —по методу Ритца. Тогда, по самому определению метода Ритца, F(un)^- F(vn) или|ы„—«0|>|f„—ы0|- Последнее неравенство и показывает более медленную сходимость последовательности {«„} по сравнению с последовательностью {vn}. Преимущество метода наименьших квадратов состоит, однако, в том, что последовательность [ип) может сходиться равномерно (иногда вместе с некоторыми производными) в таких случаях, когда о последовательности {vn} этого утверждать нельзя. § 103. Применение к интегральным уравнениям Метод наименьших квадратов оказывается полезным в применении к некоторым классам линейных уравнений в гильбертовом пространстве. Пусть А-—линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н, и пусть известно, что существует ограниченный обратный оператор А~1. Рассмотрим уравнение Au = f, (1) ') Напомним, что щ означает решение уравнения (I) Формула (16) имеет место только для положительно определенною оператора А.
460 ГЛ XI!. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ где и — искомый, a f — данный элемент пространства. Следуя методу наименьших квадратов, возьмем полную в Η последовательность линейно независимых элементов {<рп} и будем искать приближенное решение уравнения (1) в виде п. и„=21йА· (*) k"l Проверим выполнение условий А—С леммы 2 § 102. Условие А вытекает из того, что последовательность {q>n} полная в Я, а оператор А ограниченный; условия В и С вытекают из ограниченности оператора Л-1. На основании леммы 2 § 102 ип -> и, где и есть решение уравнения (1). Пусть теперь оператор А не имеет обратного, но существует ограниченный регуляризирующий оператор М, т. е. такой, что Μ А = Ε + Τ, где Ε— единичный, а Т — вполне непрерывный оператор. В этом случае для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы f было ортогонально ко всем решениям однородного сопряженного уравнения ') А*и = 0. Далее, если обозначить через Hi линеал элементов из Н, ортогональных ко всем решениям уравнения А*и — 0, а через Я ι— линеал элементов2), ортогональных ко всем решениям уравнения Аи — 0, и рассматривать оператор А только в Ни то обратный оператор А~1 существует и ограничен ') в Ни Наш метод приближенного решения может быть использован и в этом случае, если известны все линейно независимые решения «<'>, ы<2>, .,.? ц(г) однородного уравнения Аи — 0; число этих решений, очевидно, конечное. Предполагая, что f e Н\, мы будем искать приближенное решение в Ht\ для этого достаточно представить его в виде (*), но коэффициенты подчинить условиям: п. Σβ*(φϋ, ы('"») = 0, /=1, 2, ..., г. С помощью этих уравнений можно исключить некоторые из коэффициентов ah; остальные определяем из условия \\Аип—f||2 = min, что приведет к системе вида (5) § 102. Изложенный здесь метод приближенного решения применим, очевидно, к интегральным уравнениям типа Фредгольма3), ядра ') См. статью автора [5]. 2) Нетрудно убедиться, что Я, и //, суть полные гильбертовы пространства. 3) Метод наименьших квадратов применял к уравнениям типа Фредгольма М. Кравчук; см., например, М. Кравчук [2].
§ 103 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 461 которых удовлетворяют условию: \\\K2(P,Q)\dQPdQQ, Q Ω а также к сингулярным интегральным уравнениям сневырождаю- щимся символом, если интеграл распространен по гладкой замкнутой кривой или поверхности. Действительно, такой сингулярный оператор ограничен в гильбертовом пространстве функций с суммируемым квадратом и имеет ограниченный ре- гуляризирующий оператор1). В применении к интегральным уравнениям можно в некоторых случаях так изменить метод, чтобы сходимость была равномерной. Пусть дано уравнение Фредгольма Au = u(P)-JK(P,Q)u(Q)dQQ=f(P), (2) Ω где P(xi, Xs, ..., Хт) и Q(si. s2, ..., sm) — точки m-мерной области Ω. Пусть f(P) дифференцируема [т/2] + 1 раз по всем координатам хих?, .... хт, и пусть структура уравнения такова, что решение и(Р) также [т/2] + 1 раз дифференцируемо и, наконец, оператор в левой части (2) переводит достаточное число раз дифференцируемую функцию в дифференцируемую [т/2] + 1 раз. В качестве q>h(P) возьмем последовательность функций, достаточное число раз дифференцируемых, например, полиномов, и положим по-прежнему ип(Р)= ^ akq>k(P), но ко- эффициенты ah будем определять из условия И/21+1 „ . ιι^-πιΐ+Σ Σ HxMri=min· <3> Допуская, что решение уравнения (2) существует, мы легко найдем отсюда, что \\Аип fit, ηΗ>ββ>0, ^ βχ!„ /г = 1, 2, ..., [m/2] + l По известной теореме С. Л Соболева [2] о вложении пространств Аип — \ равномерно в Ω. Допустим еще, что ') Доказательство см. в работах автора [5] и [30]. =-»о,
462 ГЛ ХМ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ J I K2(P, Q)\dDQ<C2, C= const. Обозначим Аи„ = &,. Тегда ' и (Р) - ип (Р) - J tf (Р, Q) [и (Q) - u„ (Q)] dQQ + / (Ρ) - /„ (Ρ), Q откуда, в силу неравенства Буняковского, l"(P)-"n(P)l<C||W-«J|Li+|/(P)-/„(P)l· По доказанному выше (см. § 102) из \\Аип—f\\ —*0 следует, что ||ы— Ып||—»0, и из последнего неравенства видно, что и„(Р)-*и(Р) равномерно в Ω. Введя в левую часть (3) производные более высоких порядков, можно добиться, в известных условиях, и равномерной сходимости производных. § 104. Применение к краевым задачам с однородными краевыми условиями Метод наименьших квадратов многократно применялся к задачам такого рода в работах Η. Μ. Крылова и его последователей. Относящиеся сюда вопросы подробно изложены в монографии М. Кравчука [1], к которой мы и отсылаем читателя; там же приведен обширный список работ школы Η. Μ. Крылова по методу наименьших квадратов и по так называемому «методу моментов». В настоящем параграфе мы покажем на примере уравнения Пуассона особенности применения метода наименьших квадратов к задачам упомянутого типа. Итак, пусть требуется проинтегрировать уравнение Пуассона в области Ω при краевом условии u\s = 0. (2) Границу 5 предполагаем достаточно гладкой. Выберем последовательность координатных функций {<рп(х, у)}, достаточное число раз непрерывно дифференцируемых в Ω = Ω + S и удовлетворяющих условию (2). Как обыч- п но, приближенное решение ищем в виде ип — 2 akyk и опреде- ляем коэффициенты aft из условия1) [Aw„ — ffdQ— min. Как Ω ') Все данные функции предполагаем вещественными.
§ 105. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 463 и в общем случае (см. § 102), легко доказать, что II Δ«„ - / IP - J [Aun - f]2 dQ ^^ 0. Ω Обозначим через G{x, у; ξ, η) функцию Грина нашей задачи. Тогда, так как и\8 — ип\8 — 0, то и (а-, у) - ип (х, у) = J G (χ, у; ξ, η) {Аи - Аип) d% d\\ = = j G(x,y;l,ri)(f-Aun)dldr]. (3) Ω К последнему интегралу применим неравенство Буняков- ского [и (х, у) - ип (х, y)f < j* G2 (*, у; ξ, η) rf£ ίίη J [f - Да„]2 rfQ. (4) Q Ω Функция G(x, у: ξ, η) только логарифмически бесконечна при χ = |, г/ = η, поэтому первый интеграл ограничен; второй интеграл стремится к нулю, и неравенство (4) показывает, что ип(х, у) ->и(х, у) равномерно в Ω. Из рассуждений конца пред- . дип ди дип ди шествующего параграфа следует, что -^ -> -g-, -~- -> — в среднем') по области Ω. Эти результаты показывают, что метод наименьших квадратов дает в рассматриваемом случае, вообще говоря, лучшую сходимость, чем метод Ритца, хотя сходимость в среднем производных и несколько медленнее. § 105. Вспомогательные предложения теории аналитических функций Здесь и ниже мы ограничиваемся для простоты случаем конечной односвязной области плоскости комплексной переменной г = χ + iy. Распространение результатов на случай области многосвязной или бесконечной не встречает существенных препятствий, но выкладки при этом усложняются1). Будем рассматриваемую область обозначать через Ω, ее границу— через S: замкнутую область Ω + 5 по-прежнему будем обозначать Ω. Начало координат всегда будем помещать внутри Ω. Кривую 5 всегда будем считать достаточно гладкой. Существенную роль в дальнейшем играет следующая теорема Уолша [11: . ') См. статью автора Щ.
464 ГЛ. ХП. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Теорема 1. Пусть функция f (г) голоморфна в Ω и непреА рывна в Ω. Каково бы ни было число ε>0, можно найти такой полином φ (г), что в Ω выполняется неравенство |/(ζ)-φ(ζ)|<ε. (1) Отметим два следствия из теоремы 1. Следствие 1. Если f(г) голоморфна в Ω и вместе со своими производными до порядка г включительно непрерывна в Ω, то, каково бы ни было число г > О, можно найти полином φ (г), удовлетворяющий в Ω неравенствам |/(г)-ф(г)|<в, ir(z)-qffer)|<e |/(Γ>(ζ)-φ(Γ>(ζ)Ι<ε. (2) По теореме Уолша можно построить полином φ (г), удовлетворяющий неравенству \fW(z) — ф(г)|<е/Л; постоянную А мы определим ниже. Найдем полином f*(z) из условий (г0—некоторая фиксированная точка внутри Ω): /*М(г) = φ(2), f*(J>(20) = =/<Л(г0), / = 0, 1, 2, .... г—1. Интегрируя, находим |Г"(г)-Г-П(г)| = J"[f(r)(z)-«p(2)]ds <-^-, rfs = |dz|, где ά есть максимум кратчайших расстояний между го и точками S по путям, лежащим в Ω. Аналогично l/(r-2)(2)-f(r"2)(z)|<6rf2M if(2)-f (z)i<e£irM. Достаточно взять А — 1, если d*C 1, и А = dr, если rf > 1 и неравенства (2) доказаны. Следствие 2. В условиях следствия 1 можно по данном·» числу г > 0 построить такой полином φ (г), «70 Σ J \ftJi Φ - <Р(У) (ζ) I2 ds < в*> ds = \dz |. Доказательство очевидно. Нам придется ниже рассматривать пространства L.T(S), элементы которых суть функции, вообще говоря, комплексные, определенные на кривой S; рассматриваемые как функции дуги на 5, они непрерывны вместе со своими производными по дуге до порядка г—1 включительно, а их производные (обобщенные)
§ 10") ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 465 порядка г квадратично суммируемы вдоль S. Скалярное пр0и3* ведение в Li (S) определяется формулой (φ. Ψ)Γ = 2 |φ(Λ(2)ψ(/)(2)ώ; /="0 S отсюда вытекает формула для нормы в L^ (S); г ΙΐΦΐί = Σ J I Ф(/) (г) Ρ ifs. /=ο s Лемма 1. Пусть φ^Δ2(5) и ζ— точка кривой S. Интеграл s взятый в смысле его главного значения по Коши, предстй^ляет собой оператор, ограниченный в L2{S). Из леммы 1 вытекает существование постоянной К, зависящей только от кривой 5, для которой справедливо неравеиств0 ΙΙψΙΚΛΙΙφΙΙ. Доказательство леммы 1 можно найти в статье автор3 №1 В дальнейшем мы будем говорить, что некоторая посл£Дова" тельность сходится равномерно внутри Ω, если эта послеД°ва" тельность равномерно сходится во всякой замкнутой области, целиком лежащей внутри Ω. Теорема 2. Если функции /„(ζ) голоморфны в Ω и пред- ставимы формулой Коши1) и если \\f„\\ „^„^О, то эти фу№Чии равномерно стремятся к нулю внутри Ω. Имеем ш=ъг!щ*· Пусть ζ лежит в замкнутой области Ω'α Ω. Обозначим через а, d>0, наименьшее расстояние между границами 'области Ω и Ω и через I — длину кривой 5. Тогда \Ш\<-%а\\Ш\-\аи. ') Для этого достаточно, например, чтобы функции fn(z), голоМ°РФные в Ω, были непрерывны в замкнутой области Ω. 3) С. Г. Мрхлчн
466 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ или, применяя к последнему интегралу неравенство Буняков- ского, IM^K-^II/JI-tt^o. Следствие. В условиях теоремы 2 fn(z)->0 во всякой внутренней точке Ω. Теорема 3. Если f„ (ζ) голоморфны в Ω, f% (z) предста- вимы формулой Коши и Hfnllr—*0, то функции fn(z) вместе с их производными до порядка г — 1 включительно стремятся к нулю равномерно в Ω. Для простоты ограничимся случаем г= 1. Общий случай рассматривается аналогично. Прежде всего заметим, что f/^ (z) |-> О, если ||fnlli->0. Далее, интегрируя формулу Коши для производной, получим S где z0— точка внутри Ω. Теперь по неравенству Буняковского Wf'f Г\ Е- ifn(*)-M*o)p<-4i?-J \1пт- s \dl\ Если ζ лежит в замкнутой области Ω, то последний интеграл ограничен, и /„(г) — fn(2o)->0 равномерно в Ω. Но fn(z0)->0 (следствие из теоремы 2), и наша теорема доказана. Теорема 4. Пусть функция f (ζ) = и (χ, у) + iv (x, у) голоморфна в Ω и непрерывна в Ω, и пусть ν (О, 0) = 0. Тогда существует постоянная К, зависящая только от области Ω, такая, что Ш<№1|. (3) Конформно отобразим Ω на область единичного круга плоскости t; пусть t = %(z)—функция, реализующая это преобразование. Введем обозначения: t = rei%, и (χ, у)— {/(г, ΰ), f (z) — = F(t); обозначим еще через γ окружность |/|= 1. Внутри γ оо функция F(t) разлагается в ряд Тейлора F(t) = ^antn. Обо- значим еше ап = ап + фп. Конформное преобразование выполним так, чтобы точка ζ = 0 перешла в точку t = 0. Тогда lm(a0)= 0. Простой подсчет дает оо оо J U2 (1, ϋ)ά& = 2ηα\ + π J] I о». P. J IF" (β1ϋ) № = 2л J | an P.
§ 106 ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И HEFi^'iAHA 467 Отсюда J|/72(e№)|dd<2 J U2(l, 0)d*. (4) ■ν γ Возвращаясь к переменной ζ, получим /ΐΡ(2)Ι·|χ,(ζ)№<2|«2|χ,(2)|Λ. S 5- Так как кривая 5 достаточно гладкая, то %'(z) ограничена по модулю сверху и снизу. Пусть А <^ | χ'(ζ) j ^ В, тогда из (4) следует II/|</(IIи В, ΚΫ2Β/Α. При соответствующих дополнительных условиях, наложенных на f(z), нетрудно получить также оценку if\KKrHu\\r. (5) § 106. Задачи Дирихле и Неймаиа Рассмотрим задачу Дирихле для односвязной конечной области Ω. Искомую гармоническую функцию обозначим через и(х,у), ее значение на границе S области — через «(ζ), голоморфную в Ω функцию, вещественная часть которой совпадает с и(х,у), — через f(z). Функция f(z) определена с точностью до чисто мнимого слагаемого, которое мы нормируем условием lm{f(0)} = 0. (1) Следуя методу наименьших квадратов, будем искать приближенное решение задачи Дирихле в виде η fn (z) = ип + ivn = Σ akzk. (2) Чтобы удовлетворить условию (1), потребуем, чтобы 1т(оь) = 0. (3) Теперь коэффициенты в выражении fn(z) определим из условия \]u-unf = m\n. (4) Исследуем сходимость приближенного решения к точному. Условие А леммы 2 (§ 102) есть простое следствие теоремы Уолша. Далее, условие В вытекает из существования решения задачи Дирихле. Условие С также, очевидно, выполняется, так как в нашем случае Аи з= и. В силу леммы 2 § 102 ||и — ы„||—> 0.
468 ГЛ XII МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Докажем теперь, что fn(z)-*f(z) равномерно внутри Ω. Действительно, из оценки (3) § 105 следует, что |lf„(z)— /(г)||—>0 а из теоремы 2 § 105 — что fn (ζ)—f(z)->0 равномерно вну-' три Ω '). Замечания. 1. Последние рассуждения остаются, очевидно, в силе, если вместо (2) взять функцию вида fn(z)~ η = ~Σί a-k^kiz), если только {ωη{ζ)\ есть полная система голоморф- ных в Ω и непрерывных в Ω функций. 2. Можно изменить процесс так, чтобы равномерная сходи-ι мость имела место в Ω. Для этого достаточно подчинить функцию fn (z) условию ||«- w„||, = min. (4,) Вычисление коэффициентов при этом несколько усложняется. 3. Если потребовать обращения в минимум величины \\и—tinWr, то в Ω будет иметь место равномерная сходимость производных f^(z), /= 1, 2, ..., г—1, к соответствующей производной №(z). С целью иллюстрации метода рассмотрим задачу Дирихле для круга. Радиус круга положим равным единице, начало координат поместим в центре круга. Заданную на S функцию ιι(ζ) разложим в ряд Фурье: оо и (ζ) = А0 + 2 {Ак cos kQ + Bk sin fee), ζ = еге. Функцию fn(2) будем искать в виде полинома; это равносильно тому, что мы полагаем ωη(ζ) = zk = rheiM. η Полагая fn (z) = Oq + 2 (ak — ibk)zk, Im (a0) = 0, мы найдем ao = Ao: ak = An, bh = Bk. Это дает нам в качестве функции fn(z) п-й отрезок степенного ряда функции f(z). Задача Неймана состоит в отыскании голоморфной в Ω функции f(z)= u(x,y)+ iv(x,y), удовлетворяющей краевому условию -S- =*(«)■ (5> ') Этот результат, при некоторых дополнительных ограничениях, содержится у М. Пиконе 11], который рассматривал только случай односвязнэй области.
§ 106 ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА 469 функция f(z) определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого; мы нормируем его условием f(0)=0. (6) Теорема 1. Если условие (6) выполнено, то существуе) постоянная К, зависящая только от области Ω, такая, что в замкнутой области Ω выполняется неравенство |Иг)|<я|-^|. (7) Мы допускаем, что f (ζ) и f (ζ) непрерывны в Ω. Отобразим Ω конформно на единичный круг с помощью функции / = х(г); χ(0)=0. Обозначим, как и в § 105, / = reie, f(z)=F(t), u[x,y)= U{r,b). Имеем F(0) = /(0)=0, поэтому оо ^(0=2 aJn, an = an + /ββ, оо U (г, θ) = 2 rn (a„ cos ηϋ - β„ sin ηϋ) И 0 η=Ι |/Γ(/)Ρ<ίΣ|β»ΐ) = (оо \ 2 оо оо оо 2^ η ι α„ ι—Ι < 2^ η21 ο„ f 2j ί? = τ- Σ "2' α« ι2· β=Ι / η=Ι η=>ι η=>' Отсюда 2π I'W^t/^L*»· Возвращаясь к переменной ζ и замечая, что в силу конформности преобразования мы получим ду) |χ'(ζ)| * |f(2)F<^|(i!L\2_£L
470 ГЛ. XII МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Наконец, \χ'{ζ) |> А > 0, А = const, так как кривая S гладкая. Отсюда \т\<к £|. * = /£. В соответствии с методом наименьших квадратов, приближенное решение задачи Неймана можно искать в виде fn{z) = η = 2 GftZfe- Вместо многочленов могут быть взяты, как было ft=I указано выше, линейные комбинации из членов любой полной в Ω последовательности голоморфных в Ω и непрерывных в Ω функций. Коэффициенты выражения fn{z) определяются из условия |£-^f = mi„. ,8) Оно дает систему линейных уравнений, допускающую только единственное решение. Действительно, это вытекает из того, что условие леммы 1 § 102 в задаче Неймана выполнено, что в свою очередь следует из теоремы 1. Докажем теперь, что fn(z)-* f(z) равномерно в Ω. По следствию 2 § 105 можно найти полином φη<,{ζ) так, чтобы jf'Cz) — -·Οζ)|<β· Далее> 11 Зи диПг В силу (8) тем более имеем -^ -~ по методу наименьших квадратов. Когда η > по, то, очевидно, 1ди дип - " - |<ε, если иПо найдено а п > по, τι Г^ 1~λΖ Jfl^8, Отсюда следует, что ди дип ц _ q dv dv Теперь из (7) вытекает равномерная сходимость fn{z) к f(z) в замкнутой области Ω. Все выводы настоящего параграфа, очевидно, остаются в силе, если вместо /-2(5) ввести пространство L2(p\ S), при условии, что весовая функция ρ(а) ограничена сверху и. снизу положительными числами: 0 < α ■< ρ (с) ■< β < оо.
§ 107. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПСА 471 § 107. Задача Дирихле для эллипса Пусть требуется определить функцию и(х, у), гармоническую внутри эллипса x = acost, у = bsint, 0<Ct^2n, no краевому условию (S — контур эллипса) u\s = u{a). (1) Как и выше, будем считать и{х,у) вещественной частью некоторой аналитической функции f(z): и {χ, y)=Re{f(z)}, z=*x + iy. (2) В качестве координатных выбираем функции {c=Yd — b2) «И,(г)=1, ф,(г) = (г+1/?=?)А + (г-1/^^)\ k>\. (3) Система {<pft}, как известно, полна на линеале функций, голоморфных внутри эллипса и непрерывных вплоть до контура. Приближенные решения будем искать в виде η fn (^) = Σ akyk {ζ), Im (α0) = 0. (4) Обозначая длину дуги эллипса через da, имеем do = У a2 sin** + b2 cos2 / at. В качестве основного гильбертова пространства нашей задачи введем пространство Z,2(p;S), где p(ct)= l[Yc?s\n2t + b2cos2t; очевидно, в L2{p;S) скалярное произведение функций φ и ψ равно (φ,ψΗ |φ(σ)ψ(σ)Λ. (5) о В соответствии с методом наименьших квадратов будем определять коэффициенты Ой. из условия η 112 Re Σ akyk {ζ) - и (σ) = min. (6) k*-o II На контуре эллипса ζ = a cos t + ib sin / и, следовательно, г^—с2 = (Ь cos * + m sin/)2. Отсюда щ(г) = (a + Ь)кеш + + (a — b)he~ih\ k>0. Обозначим ак = аи— фи- Тогда на эллипсе Re Кфь (г)} = [(а + b)k + (а - fc)fe] aft cos kt + + [(a+b)fe-(a-b)fe]pftsinW, ft >0. (7)
472 ГЛ. XII МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Теперь из (6) видно, что коэффициенты в (7) суть коэффици енты Фурье функции и (а); отсюда а0 6JL afe = n[(a + b)k-(a-b)]k 2π и (σ) cos kt dt, β* = π [(α + &)* - (а - 6)fe] 2Л sin ktdt. (8 Коэффициенты осо, α^, β^, как это видно из (8), не зависят от номера п, поэтому в (4) легко осуществляется предельный переход при п-*оо, что дает точное решение задачи оо ί(ζ) = α0 + Σ ak\{z + V^^f + (ζ- Υ¥^?)% коэффициенты ah определяются по формулам (8). § 108. Случай кусочно гладкого контура. Задача Дирихле Пусть контур S, ограничивающий область Ω, — кусочно гладкий; обозначим через ζι, ζ2, ·-.. ζτ его угловые точки и через παι, ла.2, ..., яаг— внутренние углы в соответствующих точках. Введем в рассмотрение гильбертово пространство L2(p;S), где весовая функция рЮ-Пи-ьГ*-'. /г=1 (1) Скалярное произведение и норма в L2(/r, S) определяются формулами (Ф, *)s = J Ρ И Φ (ζ) Ψ(ζ) da, !| φ Щ = J ρ (σ) | φ2 (ζ) | da. (2) s s Лемма. Множество полиномов плотно, в смысле метрики (2), в классе голоморфных в Ω и представимых формулой Коши функций, предельные значения вещественных частей которых принадлежат пространству L* (p; S). Как и выше, при доказательстве будем считать Ω конечной односвязной-
§ 108. СЛУЧАИ КУСОЧНО ГЛАДКОГО КОНТУРА 473 Конформно отобразим Ω на единичный круг; пусть t=%(z) — преобразующая функция. Как известно, χ'ω = κ(3)Π(2-ζ,)1/σ*-Ι) (3) где κ (ζ) ограничена по модулю в замкнутой области Ω = Ω+5 положительными числами сверху и снизу 0<Л<>с(2)<Я<оо. (4) Окружность |^|=1 обозначим через γ. Введем в рассмотрение гильбертово пространство L2 (γ), в котором (φ.ψ)ν-/φ(0Ψ(0<Η>, 0ф15-/|ч?(О1<«>. '-<?*· (5) ν ν Пусть u<sL2 (p; S). Тогда ||«|ξ= J I и ?dft= 11 u2 \p(a) |x(z)\da <β||ug <oo. (6) V S Отсюда следует, что Hei2(v); полагая t = eiif, мы найдем, что и разлагается в ряд Фурье, сходящийся в среднем: оо и = oq + 2 (α*, cos Μ — β^ sin k-&). Обозначим Oft = aft + фй и положим, считая функцию и веще- ci венной, оо η F(t) = Oo + i&> +Σ akt\ Ρ„(0-«»ο + ίΡο+Σα*<*, βο = const. Функция /7(^) представима формулой Коши, и ее вещественная часть совпадает с w на окружности γ. Легко видеть, что 1Р-РпЦ = 2п 2 \akf, (7) и, следовательно, при η достаточно большом, \\F— Fn\\ < ε, где ε — произвольное положительное число. Положим теперь F(t) = — f(z), Fn(t) = fn(z). Формула (7) тогда переходит в следующую: оо / |ΐΗζ)-Μζ)Ρρ(σ)|κ(ζ)|Λτ = 2π £ |α^Ρ<ε2, k=n+l откуда легко вытекает ||f-/„||<e/l/X.
474 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ По теореме Уолша непрерывную в Ω = Ω + S и голоморфную в Ω функцию fn(z) можно аппроксимировать полиномом f*(z) равномерно и тем более в смысле метрики L2(p;S). Но \\f-rh<\\f-fn\\s + \\fn-r\\s<zlV^ + \\fn-rL· и так как оба слагаемых справа произвольно малы, то и \\{ — f*|| произвольно мала, что доказывает лемму. Перейдем теперь к задаче Дирихле. Нетрудно видеть, что Оценка (3) § 105 сохраняет силу в L2(p;S). Действительно, она верна в ^(γ). Таким образом, если f(z) = u + iv голоморфна в Ω и Im{JF(0)} = 0, то по неравенству (3) § 105 \\f\\y < К\\и\\у, или κ (ζ) Ι da; подставив ν ν это в последнее неравенство и используя (4), получим II f lis > К' II uh, K'=KVb]A, (8) что совпадает с той же оценкой (3) § 102. Решая задачу Дирихле, мы будем требовать, чтобы выражение \\и — Re {f (ζ)} Ι| = = min, где f*(z)—полином. Лемма настоящего параграфа позволяет утверждать, что условие А § 102 выполнено; условие В вытекает из теоремы существования задачи Дирихле, а условие С — из неравенства (8). Таким образом, сходимость метода наименьших квадратов в метрике L2(p; S) установлена. § 109. Смешанная задача теории потенциала Здесь мы будем рассматривать следующую задачу: найти непрерывную в замкнутой области Ω = Ω + 5 гармоническую функцию и(х,у), если на одних частях контура S заданы значения самой функции и(х,у), а на других — значения ее нормальной производной. Ограничимся случаем, когда область Ω конечная односвяз- ная. Контур S, как всегда, считаем достаточно гладким. Пусть точки αϊ, а2, ..., а2т, 02т+1 = «ι разбивают S на дуги γι, γ2, ... • · ·, Y2m так, что дуга γ^ имеет начало и конец в точках а& и ah+i. Обозначим 2 Y2fe_i = λ,, 2γ2Α = λ2. Пусть, далее, на λι даны значения и (х, у) = φ (σ), а на λ2 значения -^■ = 'ψ(σ)· обозначим еще R (σ) = 1/ Ц | ζ — aft |.
§ 109. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 475 Теорема 1. Если φ (σ) = 0, го существует постоянная К, не зависящая от функции и (х, у), такая, что справедливо неравенство J R(а) и2(σ)άα<κ\ [^f da. (]) Отобразим Ω конформно на полуплоскость с помощью функции 2 = χ(0> t — I + Щ- Отображение выполним так, чтобы точка t=oo отвечала некоторой точке внутри λ|. Точки αϊ, α2, ··· ..., a,2m перейдут при этом в некоторые точки а\, а% ..., а2т действительной оси ί·. Обозначим через Г^, Δι, Δ2 образы γ^, λι, λ2. Пусть, далее, и(х, у)= Ufa ц). Сопряженную с ί/(ί=, η) функцию обозначим через !/(£, η). Краевые условия для ί7(|, η), очевидно, таковы: на Л, 1/(6, п)-0, (2) Из уравнений Коши — Римана следует, что на T2h I V=- l~dt + Ck^^(l) + Ck; (4) a2fe постоянные Ck должны быть подчинены условию непрерывности функции 1У(|, η). Одна из постоянных Ch может быть зафиксирована произвольно, так как У(|, η) определяется с точностью до произвольной постоянной. Мы зафиксируем эту последнюю, потребовав, чтобы в общей формуле Шварца для полуплоскости ') "+<"-± ί Ψ!1^ было С = 0. Тем самым произвол в выборе Сй полностью устраняется. Краевые условия (2) и (4) позволяют найти значение £/(£, 0) на Лг, именно2), на Δ2 1/(1, 0) = т^{^ /Л,(Г)Л(Г)Д+ Q»-i(l)l 1 Л, > (5) ') См., например, книгу автора [7], § 67, формула (2), г) См. там же, формула (10).
476 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ II11 - o-k I; Qm-i (|) — полином степени т — 1: Qm-i(£) = 9orn-,+<7i£m-2+ ... +9m-i и, наконец, Б(|)= φ·(6)—Cft. Формула (5) содержит 2m постоянных С^ и gft. Докажем, что при подходящем их выборе L/(£, η) будет непрерывной в точках Gh. Для непрерывности [/(£, η) достаточно, чтобы при 1-е* выражение в скобках в формуле (5) обратилось в нуль. Это дает систему уравнений с 2т неизвестными: ^ { f=^ θ (£')<«'+ Q«-ι («**)-О, fe«l, 2, .... 2/и. (6) Λ, Система (6) имеет единственное решение — это вытекает из единственности решения смешанной задачи. Решив систему (6), мы, очевидно, получим решение в виде c*-if^«o*', "-J fHf4*· <*'>*'· (7) Λ2 Λ2 где μίι(Ι') и Vh(l') — непрерывные на Дг функции. Определим на Δ2 непрерывные функции μ\(|) и vft(i-), полагая на Г2б ι**®* J Жю^> Vfc^-J ЖИТ^· ι ι Интегрируя (7) по частям и замечая, что (p*(«2») = p.fc(02s+i) = = vft(o2s+i)=0, имеем Λ. Λ2 Подставив это в (5) и меняя порядок интегрирования в получающихся при этом двойных интегралах, мы легко приведем указанную формулу к виду U (1, 0) = -^ | Μ (6, Г) -^- <*Г (на А,), (8) где Λί (£, |') такова, что интеграл \ ΝΡ&, %)d% ограничен. По- л, следнее вытекает из того, что функции p.ft(£), ν&(ί;) удовлетворяют условию Липшица с показателем 1/2, а тогда Λί(£, £') удовлетворяет тому же условию внутри Δ? и самое большее
§ 109 СМЕШАННАЯ-ЗАДАЧА 477 логарифмически бесконечна в точках о*')· Применим к (8) неравенство Буняковского 1 vb/ Aj Лг -^ ί (l£)8 # <на ^ С-const. (9) <"?ϊ(ξ) Вернемся к плоскости ζ = χ + iy. Ha Δ2 преобразующая функция ζ = χ(ί) остается конечной; тогда, как нетрудно видеть, %'(t) и 1/χ'(0 ограничены на Δ2. Но тогда отношения Ri(i)/R(o) и R{a)lRi(l) также ограничены, и мы легко найдем из (9), что на Лг RWuHaX-^j^Jdo, /Г-const. (10) λ. Наконец, интегрируя (10) по Яг и полагая К = К" ~57^г« мы придем к неравенству (1). Теорема 2. Каковы бы ни были заданные на λ ι « λ2 зно- нения и и -д—, существует такая постоянная Κι, что λ, Ι ^ λ, ' Построим непрерывную на 5 функцию «ι(σ), совпадающую на λι с и(а); на λ,2 мы ее доопределим, подчинив только двум требованиям J"U»Ar<fe $ it {a) da, j" (^-)2da<fe J [%ff da, (12) Л2 Л] Л2 Λι £ = const. Далее, построим гармоническую в Ω функцию Ut(x,y), принимающую на S значение щ(а), и положим и = ut + «2· Функция и2 удовлетворяет условию теоремы I; по неравенству (1) /««■>««*>>*<* J (£ -%-f *>< w J [(-£№)> *" *■ "* (13) ') См., например, Η. И. Мусхелишвили [1].
478 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Оценим последний интеграл в (13). Конформно отобразим Q на круг с помощью функции 2=ω(ί), t=pe™, 0<р<1, „ пусть щ(х, ί/)= ί^ι(ρ> ^) = Re{^(O}. Разложим F(t) в степенной пап ряд Тогда Отсюда оо оо оо Uι (ρ, θ) = 1JJ Ρ" (апе1п6 + ane-inf>). n=0 h, следовательно, в силу равенства Парсеваля, или, возвращаясь к старым переменным: i(^)V(t),*-J(^)VMWfa. s s Пусть Α = ΐϊΐϊη|ω'(ί)|, β = max|cu'(i) |. Очевидно, 0<А< <β<οο, так как контур 5 гладкий. Тогда из последнего равенства следует Тем более J(*r*<-?i(*r*'· & S ** 'λ, λ, ■* и, в силу определения «,(0) и неравенств (12), J(^.)'*<JLlLfiLj(*)'4r. >Ч λ»
§ 109. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 479 Подставив это в (13), получим K' = 2BK(l+k)/A. (14) Теперь нетрудно доказать неравенство (11). Имеем J" R (σ) и2 (α) da = J" R (σ) [гг, (σ) + u2(a)f do < <2R' j u2{o)da + 2J R(a)u\(a)da, A- Aj где R* — maxR(a). Воспользуемся неравенствами (12) и (14) я положим Κι = max(2kR*,4K,2K/); мы получим тогда J R (о)ы«(о)*><*,{ J (^)2rfa+ j[(-£)2 + иЦа)] do]. Займемся теперь решением смешанной задачи теории потенциала. Пусть v(x,у) —функция, сопряженная с искомой и(х,у), равная нулю в начале координат, и f(z) = и + iv. Будем искать η приближенное решение в виде fn (г) = un+ivn = 2 о·^, Im (α0) = 0. fc=0 Коэффициенты многочлена fn(z) определим из условия h<"-"»Mi-iH>+i(£-iif'te-mi"· <15) Условия (15) приводят к системе линейных уравнений с неизвестными яй; докажем ее разрешимость. Рассмотрим гильбертово пространство, элементы которого суть гармонические в Ω функции, представимые через функцию Грина, а скалярное произведение определяется формулой , ч Г / — , ди dv \ , , Г ди dv « . {и, o)-J (™+w-to)da + }l*-*do· Теперь минимальное условие (15) принимает вид \\и — un||2= min; так как ип есть линейный агрегат линейно независимых функций 1, Re(z*), lm(zk), то по доказанному в § 102 линейная система, к которой приводит условие (15), разрешима единственным образом. Докажем теперь, что fn{z)-*f{z) равномерно внутри Ω. Прежде всего, опираясь на следствие 2 из теоремы 1 § 105, мы,
480 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ как и в предшествующем параграфе, докажем, что каждый из интегралов в (15) стремится к нулю, но тогда стремится к нулю, в силу неравенства (11), и интеграл R (а) (и — unf da. Теперь λ, J R(a)(u-unfda^R' § (u-unfda + J" R (a) (u - uj da -> 0. Далее, f{z)-fn(z) = ±-j(u-un)T(z;£)do = s -^jVR(o)(u-un)^da, где Τ(ζ\ζ) — ядро Шварца1) области Ω. По неравенству Буня- ковского I f (*) - ϊη (г) ? < 4^ { ' Т'^ ldaJR (а) (и - unf da. (16) s . s Если геО', где Ω' — замкнутая область, лежащая внутри Ω, то Τ(ζ;ζ) непрерывно, первый интеграл в (16) ограничен, и так как второй интеграл стремится к нулю, то fn{z)—>f(г) равномерно в Ω. § ПО. Плоская задача теории упругости Мы ограничимся случаем заданных смещений; случай заданных напряжений не имеет никаких существенных отличий. По- прежнему мы здесь ограничимся рассмотрением односвязной конечной области. Точку 2 = 0 поместим внутри области. Как известно2), наша задача сводится к отысканию двух голоморфных в рассматриваемой области Ω функций ф(г) и г])(г), связанных на контуре 5 области Ω соотношением κφ(ζ)-ζφ71)-ψ(ζ)=^(ζ)· (О Здесь κ = 3 — 4σ, где σ — постоянная Пуассона, g(£) — заданная непрерывная на 5 функция. Решение краевой задачи, таким образом сформулированной, существует2), причем можно еще потребовать, чтобы φ(0)=0. Можно доказать3), что контурные ') Определение и свойства ядра Шварца см. в книге автора [7]. 2) См. Н. И. Мусхелишвили [2] 3) См. статью автора [1]. Доказательство, данное в этой статье, может быть упрощено.
§ ПО ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 481 значения φ (ζ) выражаются через g(z) формулой вида φ (*)=^ g (ζ) + 2^- J f^l άΐ + j {κ, (ζ, ζ) 8 (ζ)+κ2{ζ, ζ) β№ε, s s (2) где Κι и Λ'2 — непрерывные функции точек г и ζ на кривой S. В силу леммы 1 § 105 отсюда легко следует оценка || φ || < С || g||, С-const. (3) Заменим в (1) все члены комплексно сопряженными, умножим на ~2^г & , ζεΩ, и проинтегрируем по 5. Это даст ♦w~wJf£«-a-j£!?-«+iJi5* S S S или, если взять по частям второй интеграл, S S S Если z меняется в замкнутой области Ω', целиком лежащей внутри Ω, то, применяя к последней формуле неравенство Буняков- ского, легко найдем |ф(г)|<СЦ£|, C = const. (4) Приближенные значения функций φ (г) и ψ (г) будем искать в виде полиномов я я <Рп (г) = Σ akz\ фя (г) = Σ Pfez\ (5) fc=I fc=0 коэффициенты которых найдем из условия |gn-if = Jwpn(2) + 2<(2)-*B(2)-gp = min. (6) Как обычно, это условие приведем к некоторой системе линейных алгебраических уравнений. Докажем, что эта система разрешима единственным образом. Изменим обозначения полиномов ψη(ζ) и tyn(z) и будем писать я η Ψη (ζ) = Σ Kfe-I + ta2k) Zh, ψη (Z) = Σ ((Ы+2П+1 + *«2*+2«+2) Д k-1 fe=0
482 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ где на этот раз через а-} обозначены величины вещественные Введем далее обозначения: <P(2fe-i)(z) = 2fe, l</e<n; <p(2fe) (z) = lzk, 2</г<;п; <P(m) (ζ) = 0, in > 2η; ψ(ίη) (ζ) = 0, 1 < /η < 2η; ■$>(2k+2rn;i)(z) = zk, 0</г<«; i])(2fc+2,i+2) (г) = izk, 0<βΐζπ. Тогда, очевидно, in + l in+\ 4rt+I <P« (г) = Σ Gfe<P(fe) (г), г]),г (г) = Σ аИ></а (г), gn (г) ·= Σ Gfeg(fe) (г), fe=.i fe=i fe=>i где 8{k) (z) = κ(Ρ(^) (г) - zv'{k) № - %) (*)· 4rt+l Тождество 2 ^fe^(fe) (ζ) = 0. ζ е S. где feft — вещественные числа, возможно лишь, если все эти числа равны нулю. Действительно, если Σ bkg,k) (ζ) = 0, то одновременно, по теореме о единственности решения задачи теории упругости, 4п+1 4п + 1 Σ bk4(k) (z) = 0, 2 6Λψ й (г) = 0, или Σ (b2fe-i + г'Ы 2fe = 0, 2 (b2n+2fe+i + ib2k+2n+2) zk = 0, откуда следует, что все bj равны нулю. Условие (6) теперь принимает вид II 4"+' IP Sofeg(fe) -g =min, или, так как числа аи — вещественные, 4п+| 4П+1 Σ a,ak(gU), g{k))-2 Σ afeRe(g, g(fe)) + (g, g) = min. /, fe= ι fe= ι Дифференцируя это по а} и приравнивая нулю результат, мы получим систему линейных уравнений с неизвестными ah: 4п + 1 Σα^(§Μ^{η)^ηε(§,§α)), }= 1, 2, ..., 4η+1. (7)
§111. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 483 Докажем, что система (7) разрешима, для чего рассмотрим однородную систему 4П+1 JlbkRe(£lk),gu)) = 0, /=1, 2, ..., 4п + 1. (8) 4П + 1 Полагая £(ζ)= 2 b{k)g{k)(i), можно ее записать в виде Re(& £(/>) = 0, /=1, 2, ..., 4п + 1. Умножая на Ь,- и складывая, получим, учитывая, что Ь;- — вещественные: Re(g,g) = 0. Но Re(g, g) = Rejlgll2 = \\g\\2. Отсюда g = 0 и по доказанному выше bh = 0, β = 1, 2, ..., 4« + 1. Система (8) имеет, таким образом, только тривиальное решение. Отсюда следует, что неоднородная система (7) всегда разрешима. Исследуем сходимость приближенного решения к точному. Если данная функция g(£) достаточно гладкая1), то φ'(г) и ψ (г) будут непрерывны в Ω. Опираясь на следствия из теоремы Уолша и на теорему существования и единственности нашей задачи, мы легко найдем, что \\gn — g\\ ->0. На основании неравенства (3) IIq>n — φ||—>0; в силу теоремы 2 § 105 <ри(г)—>-ф(г) равномерно внутри Ω. Наконец, из (4) следует, что равномерно внутри Ω будет г])и(г) —>-ф(г). Равномерная сходимость будет иметь место в Ω, если потребовать, чтобы минимальное значение приняла величина \\8n-gPr Результаты настоящего параграфа без затруднений переносятся на случай неизотропной среды. §111. Периодическая задача теории упругости Рассмотрим односвязную область Ω плоскости ζ = χ + iy, ограниченную кривой у = у{х), где у(х)—периодическая, непрерывная и достаточное число раз дифференцируемая функция от х. Период у(х) обозначим через L. Пусть к контуру области Ω приложены внешние силы, которые также изменяются периодически с тем же периодом L. Как было установлено2), функции φ (г) и ψ (г) могут быть представлены в виде <р(г) = Ф0(г) + Рг, ψ(ζ) = ψ„(ζ)-ζφ'(ζ) +βκζ. (Ο ') Достаточно, чтобы £'(ζ) удовлетворяло условию Липшица с положительным показателем. 2) См книгу автора [7], § 55.
484 ГЛ XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Здесь фо(г) и ψ0(2)—периодические, с периодом L, функции, κ = 3 — 4σ (σ—коэффициент Пуассона) в условиях плоской деформации и κ = (3 — σ)/(1 + σ) в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. Наконец, β=ί(Χ + ιΎ)/(1+κ)Ζ„ (2) где X и Υ суть составляющие по осям хну гласного вектора внешних сил, приложенных со стороны положительной нормали к дуге контура, отвечающей периоду'). Подставляя (1) и (2) в краевое условие плоской задачи теории упругости Φ (Ε) + ζΨΈ) + Ш) =l \ {Xv + Wv) da, άΰ = \άζ Ι, So где ζ — точка дуги С. Χν и Κν — составляющие напряжений, действующих на эту дугу, мы приведем это условие к виду %(ζ)+(ζ-Ό^Ό(ζ) + %(Ό=ϊ(ζ), (3) где ϊ(ζ)—некоторая заданная непрерывная и периодическая функция точки ζ. Преобразование eL * = t (4) переводит полосу O^Cx^CL в плоскость t, разрезанную вдоль положительной действительной полуоси, а дугу С—в некоторый замкнутый контур Г. Будем считать, что упругая среда заполняет область над кривой у = у(х), тогда часть полосы 0 ^ χ <^.L, заполненная упругой средой, перейдет в область Σ', расположенную внутри Г и разрезанную вдоль положительной действительной оси. Функции Φ (t) = ψ0 f-g^T- In t) и Ψ(t) = %{-ξΜ In Δ голоморфны в Σ'. Будучи периодическими относительно г, эти функции принимают одинаковые значения в геометрически совпадающих точках разреза и, следовательно, непрерывно продолжимы через разрез. Но тогда, как известно, эти функции аналитически продолжимы через разрез и голоморфны во всей области Σ, заключенной внутри Г. Задача сводится к определению голоморфных в Σ функций Φ(ί) и Ψ (/), удовлетворяющих на Г краевому условию Φ(τ)-2τ1η|τ|ΦΓ(ϊ) + Ψ(ϊ) = ί(τ); F(x) = f (-^j-Int). (5) Мы придем к уравнению (5), если положим в (3) ξ = γ-τ1ητ. ) Эту дугу мы будем рбозначать через С.
§ III. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 485 Применим к нашей задаче прием, аналогичный тому, которым воспользовался Д. И. Шерман1), давая свой вывод уравнений Лауричелла. Будем искать Ф(^) и W(t) в виде г г г г где σ означает комплексную координату точки на Г и ω(σ)—неизвестная функция точки σ. Составим теперь выражение Ф(/) — 2ϊΙη\ί\Φ'(ί) + 'ψ(ί), где t — точка внутри Г: 0(t)-2Jln\t\WM+W) = ~j^-da + г ш J а — ί 2ш J σ — ί πι J σ — t ν/ г г г Допустим теперь, что t->x, где τ — точка контура Г. Используя известную теорему о пределе интеграла типа Коши, получим Φ(τ)-2τ1η|τ|Φ'(τ) + Ψ(τ) = ι \ , 1 Г / wi„ σ~χ 1 Г σ1η|σ|-τ1η|τ| ,—г~\ г г В силу уравнения (3) полученное выражение равно F(r). Теперь в первом интеграле положим σ — x = reib, а второй интеграл возьмем по частям. Мы получим тогда интегральное уравнение, эквивалентное системе двух уравнений типа Фредгольма с непрерывным ядром2): / \ . I Г , ид , 1 Г—Т~\ d σ1η|σΙ-τ1η|τΙ ,_ „.. ._ №(t)+-J W(a)dd + ^-J ω(σ)^ *._. da = F{x). (7) г г Докажем, что уравнение (7) разрешимо, какова бы ни была функция F(x). С этой целью рассмотрим однородное уравнение ωοω + ^{ω0(σ)^ + ^{^)15'η|^1η'τ|^ = 0 (8) г г ') Д. И. Шермав [1], см. также книгу автора [7], § 56. 2) Мы получим эту систему, отделив в (7) действительные и мнимце части и приняв за неизвестные Йе{о(т)} и 1гп{о(т)}.
486 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ и допустим, что оно имеет некоторое решение ωο(σ). Положил г (9 Эти функции решают однородную задачу теории упругости, поэтому если мы положим Ф0(г) = Ф(е2я^), ψο(2) = Ψ(β2"ι*№), ψ(ζ) = ψό(ζ)-2φζ(2), то необходимо φ0(ζ) = laz + Ь, г])(г) =—Ъ и, следовательно, ψο(2) = —ίαζ— Б, где ои 6 — постоянные. Так как φ0(2) и \]з0(2) периодичны, то а = 0 и потому <ρο(ζ) = Ь, ψο(2) = —Ъ. Подставив это в (9), мы получим тождества 1 Г °O(°)-ftdg = 0 2πί J σ —f * 1 2πί г ^ο(ρ: ") + 2σ Ιπ | σ | ωό (σ) + Ь ίίσ = 0, (10) верные, если t лежит внутри Г. Отсюда следует, что функции 6{i) и e(t), определенные на Г равенствами ΐδ(σ) = ω0(σ)-&, ίβ (σ) = ω0 (σ) + 2σ In | σ | ω' (σ) + Б ,) (И) голоморфны вне Г и равны нулю при t = оо. Исключая из (11) ωο(τ), получим 6(σ)-2σΙη\σ\?Π~&) + φ)-2Μ = 0. (12) Область плоскости t, лежащая сне Г, отвечает на плоскости ζ части полосы 0<<x<CL, лежащей под С. Уравнение (12) показывает, что b(i) и s(i) + 2Ы решают периодическую задачу теории упругости при отсутствии внешних сил для области, лежащей под кривой у = у(х). Но тогда δ(ί) = b\ e(t) + 25/=—b'. Так как 6(оо) = 0, то Ь' = 0 и, следовательно, 6(а)з=0. Далее, е(оо) = 0 и, поэтому, Ь = 0; теперь из (11) следует ωο(σ)^0. Интегральное однородное уравнение (8) имеет единственное решение ωο(σ) = 0. Отсюда следует, что уравнение (7) имеет решение, и притом единственное, какова бы ни была его правая часть.
(13) § 111. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 487 Отделив в (7) вещественные и мнимые части и приняв за неизвестные функции ωι(τ) = Re{ro(r)} и ω2(τ) = 1т{со(т)}, мы аолучим систему фредгольмовых уравнений вида «ι Μ + J {/Си К σ) ω, (σ) + Κί2 Κ σ) ω2 (σ)} ds0 = Fl (τ), г ω2 (τ) + J {Κ2! (τ, σ) ω, (σ) + Κ22 (τ, σ) ω2 (σ)} ds0 = F2 (τ), г dsa = ]da\, где ядра Kmn(r, σ) непрерывны и где обозначено /7ι(τ)== = Re{F(T)}, F2(t)=Im{F(T)}. Как мы доказали, система (13) разрешима единственным образом. Разрешающие ядра этой системы, которые мы обозначим через Rmn(t, о), непрерывны в силу непрерывности ядер Ктп(% σ). Решение системы (13) имеет вид «ι Μ = f\ (τ) + J {Rn Κ σ) F, (σ) + R12 (τ, σ) F2 (σ)} ds^ г ω2 (т) = /^ (τ) + J {#21 (τ, σ) F, (σ) + #22 (τ, σ) F2 (σ)} ds0. г Второе выражение умножим на i и прибавим к первому. Обозначая #1, + iR2l = /?i, #i2 + t/?22 = /?2. будем иметь ω (τ) = F (τ) + J {/?, (τ, σ) F, (σ) + #2 (τ, σ) F2 (σ)} ds0. (14) В качестве основного пространства нашей задачи введем гильбертово пространство L2(T) ^). Ядра Ri и R2, будучи непрерывными, ограничены. Отсюда следует, что J J|«fc(t, o)fdsads,<B2, k=l, 2, г г где В — некоторая постоянная. Из формулы (14) следует, что ΙΙωΙΚΙΙ^ΙΙ + βίΙΙ^ιΙΙ + ΙΙ^ΙΙ). Далее, II Ftf = J I F (τ) |2 dsT = J {if (τ) + F\ (τ)} dsT = || F, ||2 +1| F2 if. ') С тем же успехом можно ввести пространство £г(р;Г) с любым весом р, ограниченным сверху и снизу положительными числами. Мы этим воспользуемся в § 112.
488 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Отсюда 0ЛН<11Л1, 11^11 < IIЛ1. Это дает ||ω||<β,||ηΐ, Я, = 1+25. (15) Из второй формулы (6) следует, что во всякой замкнутой области, целиком лежащей внутри Ω, имеют место оценки вида ') |Φ(0ΚΑΙ|ω||, |Ψ(0Ι<β2Ι|ω||, D» D2 = const, или, если воспользоваться оценкой (15), |Ф(01<£М1Л1. 1 ΙΨ (01 <D'\\F\\. j <lb) Далее, на основании той же формулы (15) и леммы 1 § 105 ЦФ1КАЛП А, = const. (17) Сделаем теперь следующее замечание. Из краевого условия (5) Φ(ί) и Ψ(0 определяются не вполне однозначно^-можно заменить Φ(ί) через Φ(ί) + A,aW(t) — 4epe3W(t) — 'Л.гдеЛ — произвольная постоянная. При нашем способе решения этот произвол устранен благодаря специальному представлению функций Ф(0 и Ψ(ί) по формулам (6), и именно для функций, определяемых этими формулами, установлены оценки (16) и (17). Докажем теперь, что указанные оценки сохраняют силу (разумеется, при измененных значениях постоянных D, D' и D0), если нормировать Φ(ί) так, чтобы ф(0) = 0. Действительно, чтобы добиться такой нормировки, достаточно из функции Φ(ί), определяемой формулой (6), вычесть постоянную Л =-2—г ——da. К функции Ψ{ί) необходимо прибавить г А = — 2^-| —^-άδ. Обозначая новые функции через Φι (t) г и Ψ| (t), имеем г г Г ') Чтобы получить оценку для |Ψ(ί)Ι» следует сперва второй интеграл в выражении Ψ(ί) взять по частям.
§ 112. ОБЛАСТЬ, ОГРАНИЧЕННАЯ СИНУСОИДОЙ 489 Теперь ||Ф, (ί) || < ||ф(*) || + ||Л|| <D0\\F\\ + \\А\\. Далее, VAf=\\Afds0 = \A?l, (18) г где I — длина контура Г. С другой стороны, 1Г ' Г Г Обозначим через δ кратчайшее расстояние от начала координат до Г. Тогда 1/|σ|<1/δ, и 1 A f < ^^ [[ ω \f. Подставив это в (18) и воспользовавшись оценкой (15), мы получим IMIKj^-im Отсюда ||Ф,|| < C0\\F\\, C0 = D0 + В1Ц{2пЬ). Таким образом, Φι (0 имеет оценку типа (17). Точно так же доказывается, что Φι (0 и Ψι(0 имеют оценку типа (16). Оценки (16) и (17) позволяют обосновать применение метода наименьших квадратов к нашей задаче. Положим приближенно Φ (0 - Ф„ (0 = Σ akt\ Ψ (t) « Ψ„ (t) = Σ bktk; k=\ k=0 обозначим Fn (τ) = Φη (τ) - 2т in Ι τ Ι Φ'„ (τ) + Ψ„ (τ) и определим коэффициенты oft и bh из условия || F - F„ IF = min. (19) Повторяя рассуждения § ПО, найдем, что \\F — /7ί1||~>0. Отсюда на основании оценок (16) и (17) вытекает, что ||Ф — Ф„||-*0 и что Фи(0-*Ф(0. Ψη(0-*Ψ(0 равномерно во всякой области, целиком лежащей внутри Г. § 112. Напряжения в упругой области, ограниченной синусоидой Для иллюстрации метода рассмотрим случай, когда упругая среда заполняет область, расположенную над синусоидой у = sin*. Для упрощения вычислений допустим, что к границе области приложены только нормальные усилия, которые изменяются периодически по закону Υ у = — q cos xJYl + cos2 x , q = const. (1)
490 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Тогда f{s)=i J (Xv + iYv)ds = q sin χ. (2) Преобразование t = eiz (3) переводит дугу синусоиды 0^х^2я в контур Г, уравнение которого (здесь χ играет роль параметра) T = ei(*+ism x) = e-sin*(cosx + is'mx). (4) Уравнение (5) в § 111 в нашем случае принимает вид Ф(т)-2т1п|т|ФЧг) + Щт)=- qln |τ |. (5) Контур Г симметричен относительно мнимой оси, поэтому если точка τ лежит на Г, то на Г лежит и точка — т. Заменим g (5) τ на — τ и в полученном равенстве заменим все члены сопряженными: Φ(-τ) + 2τΙη|τ|Φ'(- ϊ) + ψ(-τ)=· - q\n\x\. (6) Равенство (6) показывает, что наряду с функциями Φ(ί) и Ψ(/) нашу задачу решают также функции Ф(—?) и Ψ(—t). Но функции Φ (О и Ψ(0 определяются единственным образом, если только выполнено условие нормировки, например, вида Ф(0)=0. Отсюда следует, что ф1=Т)=Ф(0, ψρΐ)-Ψ(ί). (7) Если Ф(/) и Ψ(ί) разложены в ряды по полиномам оо η оо ГС Φ if) = Σ Σ ankz\ Ψ (/) = Σ Σ bnkz\ η=0 6=0 η=0 6=0 το 13 силу (7) можно считать, что ank = {-\)kank, bnk = (-l)k6nk. (8) Отсюда следует, что коэффициенты при четных степенях t вещественные, а при нечетных — чисто мнимые. Приближенные значения Ф(0 и Ψ(0 будем искать в виде полиномов четвертой степени. В силу сказанного выше их можно искать в виде Φ (0 = ш,/ + a2t2 + ш3/3 + с/1, Ψ (0 = c5 + iaet + a7f + ia8t3 + agt\
§ 112. ОБЛАСТЬ, ОГРАНИЧЕННАЯ СИНУСОИДОЙ 491 где коэффициенты а\, а2, ..., ад — вещественные. Условие (19) §111 принимает вид || Ιαχχ + а2х2 + /α3τ3 -J- α4τ4 — 2τ In | χ | (— ΐα,χ + 2α2χ — 3/α3τ2 + 4α4τ3) + + β5 — έα6τ + α7τ2 — /α8τ3 + й9т4 If = min. (9) Обозначим через <р&(т), k = I, 2, ..., 9, множитель при оа под знаком нормы в (9), так что, например, Φι(τ) = ϊ(τ + 2τΙη|τ|), φ2(τ) = τ2-4τ21η|τ|, (10> и т. д. Условие (9) принимает более простой вид 9 Σ a-kVk + <7ln| т I fe-=l min. (11) Отсюда, учитывая, что коэффициенты ah вещественные, мы придем к системе 9 S«fcRetofe^/)}=-9Re{(In|t|, φ,)}, /=1,2,..., 9. (12) Введем пространство L2(p, Г) с весом р= l/]/ 1 +cos2at Тогда вычисление интегралов, входящих в коэффициенты системы (12), может быть довольно просто выполнено с помощью известной формулы π JL Г e«-zcoSecosme rfe = г-т/т (2)f о верной при т целом; здесь Jm— функция Бесселя первого рода и индекса т. Заменив ζ на in, мы приведем эту формулу к виду π JL Г е~ η ces θ cos m0 rf0 = i'njm (Щ ш 0 Вычислим, например, величину (φι, φι), которая является коэффициентом при а\ в первом уравнении системы (12). Имеем (Φι, Φι) = \ (τ + 2τ In J χ |) (τ + 2τ1η| χ |) -= rfs-t ί У1 + cos2 λ; {|τ|2 + 4|τ|21η2Μ + 2(τ2 + τ2)1η|τ|} ds Υ1 + cos2 χ
492 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Введем в качестве переменной интегрирования χ по формуле t = e{^+isinx\ Тогда at (Φι, Φι)= fe-3sln*(l + 4 sin2 x -4 sin χ cos 2χ) dx = о at = J e-3sin *(3 + 2 sin χ - 2 cos2x - 2 sin3x) d*. о Сделаем подстановку х = л/2 + у; в силу периодичности под- интегральной функции можно принять за пределы интегрирования —π и π: я (φι. Φι)= Je-3cos*/(3 + 2cosi/ + 2cos2i/ + 2cos3i/)<ii/ = —π π = 2 j e~3cosy(3 + 2co&y + 2cos2y + 2cosSy)dy = о - 2л [3/0 (30 + 2i/i (30 - 2/2 (30 - 2i/8 (30]. По таблицам Янке и Эмде ([1], стр. 342) находим (φι, φι) = = 2π(3·4,8808 — 2·3,9534 +2-2,2452—2-0,9598) = 18,6128η. Точно так же (Φι, <fe)-i f (т + 2*1п|т|)(т2-4т21п|т|)-7==Ц=- = •J у 1 + cos2 x 2η e-4 sin χφ-ΐχ _ (2ie~slx - 4Сеш) sin χ - 8ielx sin2 χ) dx. о Отделяем вещественные части: 2π Re (φι, Фг) = J е-4 sin * {sin л: - 6 sin 3* sin χ + 8 sin3 χ) dx = о 2π = Je-4sln>:(7sinx- 3cos2A; + 3cos4A:-2sin3x}iix, о что после подстановки χ = я/2 + у дает л Re (φι, φ2) = 2 J e~4 cos »(7 cos у + 3 cos 2y + 2 cos 3y + 3 соб4#) <% = о = 2π (- 7 · 9,7595+3 · 6,4222-2-3,3373 + 3 · 1,4163) = - 102,9512π.
§ 112. ОБЛАСТЬ, ОГРАНИЧЕННАЯ СИНУСОИДОЙ 493 Свободный член о СО г* CD ю ч* СО СМ - 2,01609 -110,91 59,119 28,774 -11,323 -2,7558 897,26 -339,25 -102,95 18,613 - -14.4819 939,67 -440,15 -184,47 64,222 15,162 -7343,8 2492,9 670,49 - 102,95 СМ -42,9789 4490,7 -1847,3 -668,19 197,78 40,356 -34528 10485 2492,9 -339,25 со 101,579 -16430 6001,1 1904,5 -491,45 -89,697 126150 -34528 -7343,8 897,26 ■ч· -1,13049 10,216 -6,6746 -4,4904 3,1812 2,5332 -89,697 40,356 15,162 -2,7558 ю -2,96859 60,301 -35,011 -19,519 9,7616 3,1812 -491,45 197,78 64,222 -11,323 CD 4,91329 -248,02 122,68 54,480 -19,519 -4,4904 1904,5 -668,19 -184,47 28,774 t~. 7,83859 -799,75 337,19 122,68 -35,011 -6,6746 6001,1 - 1847,3 -440.15 59,119 00 12,4899 2187.2 -799,75 -248,02 60,301 10,216 о 7 4490,7 939,67 -110,91 СП
494 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Аналогично определяются и остальные коэффициенты. Для вычисления функций Бесселя от мнимого аргумента были использованы таблицы Янке и Эмде [1], а также «Таблицы значений функций Бесселя от мнимого аргумента», изд. АН СССР, 1950; в тех случаях, когда нужные значения аргумента отсутствовали в таблицах, была использована известная рекуррентная формула Jn+1 (Χ) = J η-1 (х) — J n (*)· На стр. 493 приведена таблица коэффициентов и свободных членов системы (12). Решая систему (12), получим Й1=-0,6053, а4=-0,002533, я7 = 0,2241, я2=-0,1226, й5 = 0,01649, Ов=-0,1723, й3 = 0,007774, я6 = - 0,3763, Од = - 0,04594. Величина (11), соответствующая построенному приближению, равна 0,0159π<72. Отметим, что In || In Ι τ Ι |J2 = J sin2 xe~^ *dx = l ,4018π. о Отсюда видно, что построенное приближение удовлетворяет в среднем краевым условиям с погрешностью, равной / 0.0159 _ шо 1,4018 ~ Ш 1° § 113. Об одном прямом методе, близком к методу наименьших квадратов') 1°. Рассмотрим уравнение Lu = A$i+K.u = f, (1) в котором Ао и К — некоторые линейные операторы, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н\ будем считать, что DaoCzD^. Для приближенного решения уравнения (1) иногда используется2) прямой метод, весьма близкий к методу наименьших квадратов: выбирается координатная последовательность (р^е/Эд,, п= 1, 2, ..., и строится приближенное решение в виде η "η = 2 ak<pk; (2) fe = l ') См. статью автора [21]. г) См., например, Μ. Φ. Кравчук [1].
§ 113, ОБ ОДНОМ ПРЯМОМ МЕТОДЕ 495 коэффициенты а& определяются из линейной алгебраической системы (Lun, A0q>f) = (f, Α0ψ/), /=1, 2 п. (3) Теорема 1. Пусть 1) уравнение (1) разрешимо единственным образом; 2) оператор Л0~ ограничен и определен на всем пространстве Н; 3) оператор Τ = KAq1 вполне непрерывен в II; 4) система элементов {φη} А0-полна в Н. Тогда для достаточно больших η система (3) разрешима единственным образом и имеют место соотношения ип -* «ν (4) Lun->f, (5) где и0 — решение уравнения (1). Доказательство. Положим Αοφη = ψη, А0ип = ν „, Л0«о = fo· Элемент vo удовлетворяет уравнению v0 + Tv0=*f, (6) в котором оператор Τ вполне непрерывен; к уравнению (6) можно применить процесс Бубнова — Галеркина1), причем, в силу условия 4) теоремы 1, систему {§п} можно принять за координатную, а это приЬедет нас к системе (3). Отсюда сразу вытекает, что эта система единственным образом разрешима, если только η достаточно велико. Далее, имеем νη -> vo или А0ип->■ Aquq\ так как оператор AT1 ограничен, то ип-*ио. Наконец, Кип = Tvn ~* Tvo = Kuo и, следовательно, Lun —> Lu0 = /. 2°. Рассмотрим случай, когда А0—невырождающийся эллип- m тический оператор вида AQu= — j^ -^- М/ь"^Г~)> заданный на /, fe=l ! ^ к' функциях, которые обращаются в нуль на границе данной конечной области Ω m-мерного пространства. Пусть К — дифференциальный оператор первого порядка, коэффициенты которого по крайней мере ограничены; координатные функции выберем так, чтобы условие 4) теоремы 1 было выполнено. Краевую задачу предположим разрешимой единственным образом. Нетрудно видеть2), что к этой задаче можно применить теорему I. Действительно, условие 2), очевидно, выполнено, более того, оператор ЛГ1 вполне непрерывен в H = L2(Q). ·) См. § 94. 2) Дальше используются некоторые факты теории соболевскиХ Пространств, а также некоторые понятия и теоремы функционального анализа. См. В. И. Смирнов [4], Н. И. Ахиезер и И. Μ Глазман [1].
496 ГЛ XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Проверим условие 3). Как известно, оператор А0''' переводит любую функцию из L2(Q) в некоторую функцию из ψψ (Q)· последующее применение оператора К дает опять функцию из Ζ,2(Ω). Оператор КАо'!* определен, таким образом, на всем пространстве L2(Q); из замкнутости оператора обобщенного дифференцирования вытекает, что оператор КАо~ замкнут и потому ограничен в Н, но тогда оператор КА^ вполне непрерывен в Н. 3°. Введем теперь в рассмотрение гильбертово пространство Hi, в котором скалярное произведение и норма определяются формулами (и, а), = (Л0«, Α0υ), ||ы||| =|| Л0«||. Теорема 2. Пусть выполнены условия I) и 2) теоремы 1, и пусть, кроме того, оператор 7" = ДГ К вполне непрерывен в Н\, а система {сри} полна в Η χ1). Тогда справедливы все утверждения теоремы 1. Система уравнений (3) очевидным образом преобразуется в следующую: (ип + Т'ип, фД =- (F, φ,\; F-V/. (7) Систему (7) можно получить также, применяя метод Бубнова — Галеркина к уравнению и + Т'и = F, которое эквивалентно уравнению (1) и содержит вполне непрерывный оператор. Отсюда сразу вытекает, что система (3) единственным образом разрешима при достаточно большом η и что ||«„ — «olli = =|| А0(ип—г/о)||—^^->0. Теперь из ограниченности оператора А~1 вытекает соотношение (4). Далее, lim || К (и„ - «О || - Нт || Г {ип - щ) ||, - О, и справедливо соотношение (5). Сходимость рассматриваемого процесса для указанного выше эллиптического уравнения вытекает также и из теоремы 2. § 114. Применение метода наименьших квадратов к отысканию собственных значений Пусть А — самосопряженный (но не обязательно положительный) оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Будем считать, что спектр оператора А дискретен, т. е. что его собственные числа, которые могут быть поло- ') Для этого достаточно, чтобы система {φ„} была /40-полна в Н.
§ 114 ОТЫСКАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 497 жительными, отрицательными или равными нулю, все имеют конечную кратность и сгущаются только на бесконечности, а система собственных элементов оператора полна в Я1). Пусть собственные числа оператора А, занумерованные в каком-либо порядке, суть λι, Яг, ..., Κι, ■·., и пусть φι, <рг, ... ..., ψη, ... суть соответствующие им ортонормированные собственные элементы. Если μ — некоторое вещественное число, то оператор В —А— μΕ (Ε — тождественный оператор) также самосопряженный, и его спектр состоит из собственных чисел λη — μ, я = 1, 2, ..., которым соответствуют те же собственные элементы ψη, η — 1, 2, ... Докажем, что собственные числа оператора В2 = (А — μΕ)2 суть (λη — μ)2, «=1,2, ... Имеем Βψη =· (λ„ - μ) ψη- i\) Применив к обеим частям этого равенства оператор В, получим Β2φη = (λη-μ)Βφη = (λ„-μΤφη. (2) Отсюда-следует, что (λη — μ)2 есть собственное число оператора В2. С другой стороны, пусть Я'— собственное число оператора В2 и φ' — соответствующий собственный элемент Β2φ'—λ'φ'= 0. Это можно представить в виде (В + УУЕ) {В - ΥΪΤΕ) ср' = 0. Положим (β — Y%' E)q>' = ω. Может случиться, что ω = 0, тогда + yV есть собственное число оператора В. Если же ωΦΟ, то равенство [В + γ%' Ε) ω = 0 показывает, что — Υ~λ' есть собственное число того же оператора. Таким образом, либо + ΥΤΓ, либо — f/λ7 (а, может быть, и оба эти числа) находятся среди чисел λ„ — μ; во всех случаях число λ' находится среди чисел (λ„ — μ)2, что и требовалось доказать. Равенства (1) и (2) показывают, что все собственные элементы оператора А суть также собственные элементы оператора В2; этот оператор имеет, следовательно, полную в Я систему собственных элементов. С другой стороны, поскольку К-КЦ^>°°, то и (λη-μ)2 пн^>00' и· ясно> чт0 оператор В2 имеет дискретный спектр. Из известных теорем теории операторов в гильбертовом пространстве вытекает, что В2 — самосопряженный оператор. Его наименьшее собственное число есть наименьшее из чисел ') Требование дискретности спектра на самом деле необязательно и может быть ослаблено. О понятии самосопряженного оператора см. В. И. Смирнов [4] или Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман [1].
498 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ {λη — μ)2 — пусть это будет (λ^· — μ)2. По формулам (6) и (7) § 40 (λ/ — μ)2 = min (B2u, и), (3) 9 " е DB где минимум ищется при дополнительном условии (и, и) = || и ||2 = 1. (4) Если μ есть собственное число оператора А, то μ = λ^ оператор В2 имеет собственное число, равное нулю, и не является положительно определенным. Если же μ не есть собственное число оператора А, то (λ^· — μ)2>0 и оператор В2 положительно определен. В этом случае, как доказано в п. 1 теоремы 3 § 40, можем написать (λ;--μ)2= mi n \ufB2 (5) при дополнительном условии (4). Ниже мы предполагаем, что μ не есть собственное число оператора А. Для дальнейшего существенно, что множество элементов энергетического пространства Нв* совпадает с областью DA определения оператора А и что I и \в2 ~ || Аи — μη ||. (6) Наметим доказательство последнего утверждения. Нетрудно доказать, что DB = DA\ каждое из этих множеств состоит из тех и только тех элементов, для которых сходится ряд со со Σ I (и, φ„) f λ2η; при эгом Ви = Σ (и, Ф«) (К - μ) Φ„· (7) η —Ι ιι=Λ Аналогично DB* состоит из тех и только тех элементов, для кото- оо оо рых сходится ряд 2 I (и, φ„) \2λη, и В2и = 2 («. Ψη) (Κ-μ)2ψη· п=1 п=1 Рассмотрим оператор |θ|, определяемый формулой со \В\и= Σ(". <Ρη)|λ„-μ|φ„. ' (8) Это самосопряженный положительно определенный оператор, квадрат которого равен В2; можно писать поэтому Ιβ^ν^β2. Очевидно, область D\B\ состоит из тех и только тех элементов, для которых сходится ряд со со ΣΙ (и. Φη)Ρ·|λ„-μ|2-ΣΚ«, ίΡ„)Ρ(λ„-μ)2. η = 1 η—Ι Но этот ряд сходится одновременно с рядом (7); отсюда следует, что D\b\-Db — D4-
§ 114. ОТЫСКАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ 499 Как известно из теории операторов, такой «квадратный корень» можно построить для любого положительного оператора. В книге автора [11] показано, что энергетическое пространство Нс любого положительно определенного и самосопряженного оператора С состоит из тех же элементов, что и область D) ^-, и что | ы |с =· II l/C и Ц. В нашем случае это означает, что Нвг и /)|в|=Дд состоят из одних и тех же элементов и что |«|β2 = = ||| β |«||. Но из формулы (8) видно, что ОО СО 0|θΙ«ΙΡ=Σΐ(". Φ„)Ρ·|λ„-μΡ=·Σ|(«, φ„)Ρ(λ„-μ)2 = η="1 η=1 = 0θ«ΙΡ-0Λ«-μ«ΙΡ. и наше утверждение доказано. Теперь ясно, что (λ, —μ)*=Ίηϊη||Λίί-μΐίΙΡ (9) при дополнительном условии (4); очевидно, что минимум достигается при и = φ3·. Формула (9) показывает, что для определения собственного числа, ближайшего к заданному числу μ, можно пользоваться методом наименьших квадратов. Более определенно, эта формула дает способ уточненного определения любого собственного числа λ3· самосопряженного оператора А с дискретным спектром, если известно приближенное значение для λ;·, более близкое к Kj, чем к любому другому собственному числу. Пусть μ — указанное приближенное значение. Чтобы определить точное значение λ^ достаточно найти величину δ2 = min || Аи — μα |р; \\и\\2 = 1. Тогда λ, = μ ± δ; знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли μ приближенным значением с недостатком или с избытком. Для приближенного вычисления величины б, т. е. минимума (9), воспользуемся обычным приемом. Выберем координатную систему {ψη}, β-полную в Н; такая система одновременно полна в Η (см. § 102); из формулы (6) легко усмотреть, что система {■фэт} полна и в энергетическом пространстве #В2. Заметим, что если нуль не есть собственное число оператора А, то существует ограниченный оператор А-' и полнота в Η вытекает из А-пол- ноты. В этом случае достаточно выбрать координатную систему А-полной — нетрудно видеть, что такая система одновременно и β-полна. Потребуем еще, чтобы при любом и элементы η ■ψι, %. ■ ■ ■. ψη были линейно независимы. Положим ип = 2 afeajjfc
500 ГЛ. XII. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ и определим постоянные ah из условий η II и |P=fe 2=i akam (ψ6, ^j = 1, (10) η ||/3«--μ«|Ρ = Σ_ο*α,„(Λ%--μψ6, Λψ„,-μψ„,)=4τπη. (Π) Обычным способом мы приходим к линейной однородной алгебраической системе η Σ ah(afem-PPfcm) ="0, m=»l, 2, .... и, (12) где α^„ = (Λ%-μ^, Лфт-^т), pfem = (^fe) ^j; через р обозначен множитель Лагранжа. ИклЮЧая из системы (12) неизвестные а^ получим уравнение для р: | «и — Ρβιι «12 — Ρβΐ2 ... α1η-ρβ,„ «21— Ρβ21 «22 —Ρβ22 ... (Χ^ — ρβ2„ = Q Q3) αηί — Ρβηΐ «η2 — Ρβη2 ... α„„ — ρβ„„ Оператор Л самосопряженный, а число μ вещественное. Отсюда следует, что ahm = amh, т. е. что матрица элементов ahm эрмитова и корни уравнения (13) вещественные. Подставив какой-либо корень этого уравнение в систему (12), мы сделаем ее определитель равным нулю; значения неизвестных определяются тогда с точностью до произвольного множителя, который можно будет найти из уравнения (10). Уравнение (12) умножим на ит и просуммируем по т. Используя (11) и (12), получим ρ == \\Аип — μ«η||2. Отсюда видно, что min \\Aun — μ&η||2 равен наименьшему из корней уравнения (13). Уточненное значение числ^ я, мы найдем по формуле λ/ «s λ" = μ ± У Ρ", где pi" означает наименьший из корней уравнения (13); знак плюс или минус, как и выше, выбирается в зависимости от того, будет ли μ приближенным значением с недостатком или с избытком. Нетрудно доказать, что НтХ/'г) = Я;. П-»оо Формула (9) получена в статье Н. М. Крылова и Η. Η. Боголюбова [1] применительно к двум случаям, когда оператор "Л есть либо симметричный оператор Фредгольма, либо обыкновенный линейный дифференциальный оператор второго порядка, самосопряженный в смысле Лагранжа и определенный на функциях, которые обращаются в нуль на концах заданного сегмента. В этой работе авторы производят также некоторые оценки разности |λ,— λ/η)| в зависимости 0т п.
§ 115 ПРИМЕР 501 (1) (2) (3) § 115. Пример Для иллюстрации метода § 114 рассмотрим задачу о соб ственных числах оператора —£ϊ' "(°)-°. и'(1) + «(1) = 0. Общий интеграл уравнения — d2uldx2 = λιι имеет вид и = С, cos У λ χ + С2 sin У λ χ; краевые условия дают С ι = 0 и ν + tg ν = 0, ν = У λ', корни этого уравнения нетрудно найти с достаточной точностью; их квадраты дают собственные числа задачи. " Оператор (1) положительно определенный (§ 21) и имеет дискретный спектр (§ 45); наименьшее собственное число оператора (1) λι > 0. Положим μ = 0. Ближайшее к нулю собственное число оператора (1) есть λι. По формуле (9) § 114 λί = ι ι = min ί [и"(х)]2dx при дополнительном условии \u2{x)dx = \. о о В качестве координатных функций возьмем простейшие полиномы, удовлетворяющие краевым условиям (1). Соответствующая собственная функция имеет вид С2 sin У~к\ χ и, следовательно, нечетная, поэтому достаточно ограничиться полиномами нечетной степени. Нетрудно проверить, что полиномы ιΜ*)-*2"-'- п+ 1 ■ χ2η+! п=1, 2, удовлетворяют краевым условиям (1); полнота этой системы, а также ее Л-полнота очевидны. Ограничиваясь тремя членами, положим из = αιψι + «2^2 + йз^з; уравнение (13) § 114 принимает вид 3- 2- _3__ 2 71 420 Р 19 270 Р 211 2- 5544 340 63 7 19 270 Р 273 2079 Р 107 5148 _3_ 2 _??- 7 2263 308 211 5544 Р 107 5148 р 149 I 11440 -о или, после раскрытия определителя, - 0,25547 ■ 10~6р3 + 0,193776 ■ 10~2р2— 1,0794647р + 17,731598 = 0. Наименьший корень этого уравнения pf> = 16,940326, откуда Я(!3)= Ур(,3) =4,11586. Значение vf= Vkf =2,02876 удовлетворяет уравнению (3) с точностью до единицы последнего знака.
ЛИТЕРАТУРА А н д е ρ с е н Р. С. (A n d е г s s е η R. S.) 1. Variational methods and parabolic differential equations, University of Adelaide, South Australia, 1967. Андерсен Р. С, Осборн Μ. P. (ред.) (Anderssen R. S., Osborne M. R. (ed)) 1. Least square methods in data analysis, The Australian Nat. Univ., Computer Centre Publ., Canberra, 1969. Ахиезер Η. И. и ГлазманИ. Μ. 1. Теория линейных операторов, «Наука», 1966. Б а р и Н. К. 1. Обобщение неравенств С. Н. Бернштейна и А, А. Маркова, Изв. АН СССР, сер. матем. 18, № 2 (1954), 159—176. Бергман С. и Шиффер М. (Bergmann Stefan and Schiffer M.) 1. Kernel functions and elliptic differential equations in mathematical physics, N. Y., Acad. Press, 1953. Бертрам Г. (Bertram G.) 1. Fehlerabschatzung fur das Ritz — Galerkinsche Verfahren bei Eigenwert- problemen, ZAMM 37, H. 5/6 (1957), 191—201. Бирман Μ. Ш. 1. Некоторые оценки для метода наискорейшего спуска, УМН V, вып. 3 (37) (1950). 2. О вычислении собственных чисел методом наискорейшего спуска, Зап. Ленингр. горн, ин-та 27, вып. 1 (1952). 3 О минимальных функционалах для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка, ДАН СССР 93, № 6 (1953) 4. О спектре сингулярных граничных задач для эллиптических дифференциальных уравргений, ДАН СССР 97, № 1 (1954). 5. О вариационном методе Трефтца для уравнения Δ2« = f, ДАН СССР 101, № 2 (1955). 6. Вариационные методы решения краевых задач, аргалогичные методу Трефтца, Вестн. ЛГУ, № 13, сер. матем., мех. и астр., вып. 3 (1956). Б у б и о в И. Г. 1. Отзыв о сочинениях проф. Тимошергко, удостоенных премии им. Жу- равского, Сб. Ин-та инж. путей сообщения, вып. 81, СПБ. (1913). Бэзли Н. (Bazley N. W.) 1. Lower bounds for eigenvalues, J. math, and mecan. 10, № 2 (1961), 289—308. Б э 3 л и Η. и Φ о к с Д. (В а ζ 1 е у N. W., F о χ D. W.) 1. Truncations in the method of intermediate problems for lower bounds to eigenvalues, J. Res Nat. Bur. Standards —B. Math, and math. phys. 65B, № 2 (1961), 105—111. 2. A procedure for estimate eigenvalues, J. Math, and Phy-s. 3, № 3 (1962).
ЛИТЕРАТУРА 503 3. Lower bounds to eigenvalues using operator decomposition of the form B*B, Arch, ration, mecan. and analys. 10, № 4 (1962), 352—360. Вайникко Г. М. 1. Оценки погрешности метода Галеркина для линейного дифференциального уравнения, Уч. зап. Тартуск. ун-та, Тр. по матем. и мех III П962). 394-416. ν 2. Некоторые оценки погрешности метода Бубнова — Галеркина I. Асимптотические оценки, Уч зап. Тартуск. ун-та, Тр. по матем. и мех. IV (1964), 188—201. 3. Некоторые оценки погрешности метода Бубнова — Галеркина. 11. Оценки п-го приближения, Уч. зап. Тартуск. ун-та, Тр. по матем. и мех. IV (1964), 202—215. 4. Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в проблеме собственных значений, Ж. выч. матем. и матем. физ. IV, № 3 (1964), 405—424. 5. Оценки погрешности метода Бубнова — Галеркина в проблеме собственных значений, Ж. выч. матем. и матем физ. V, № 4 (1965), 587—607. 6. О сходимости и устойчивости метода коллокации, Дифференциальные уравнения 1, № 2 (1965), 244—254 7. О сходимости метода коллокации для нелинейных дифференциальных уравнений, Ж. выч. матем. и матем. физ. VI, № 1 (1966), 35—42. 8. О быстроте сходимости некоторых приближенных методов типа Галеркина в проблеме собственных значений, Изв. вузов Математика, № 2 (51), (1966), 37—45. 9. О сходных операторах, ДАН СССР 179, № 5 (1968), 1029—1031. ВайнштейнА. (WeinsteinA.) 1. Etude des spectres des equations aux derivees partielles de la theorie des plaques elastiques, Mem. sci. math., fasc 88 (1937). 2. Some numerical results in intermediate problems for eigenvalues, Numerical solution of partial differential equations, 167—191, Ν Υ., Acad Press, 1966 Вейерштрасс К. (WeierstrassK.) 1. Ueber das sogenannte Dirichletsche Princip, Mathematische Werke V. K. Weierstrass, 2, 1895. ВейльГ. (WeilH.) 1. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen eines belie- big gestalteten elastischen Korpers, Rend. Circolo tnat. Palermo, 39 (1915). 2. The method of ortogonal projections in potential theory. Duke Math. J. 7 (1940). Вейпбергер Χ. Φ. (Weinberger Η. F.) 1. Error estimates in the Weinstein method for eigenvalues, Proc Amer. Math. Soc. 3 (1952), 643—646. 2. An optimum problem in Weinsteins method for eigenvalues, Pacif. J. Math. 2 (1952), 413-418. Вержбинская Ю. С, Канарев'а Н. П., Михлин С. Г., Само- к и ш Б. А. 1. Решение одной трехмерной задачи теории упругости методом Ритца, Ж. выч. матем. и матем. физ. 7, № 5 (1967), 1134—1143 В и ш и к М. И. 1. Метод ортогональных проекций для самосопряженных уравнений, ДАН СССР 56, № 2 (1947). 2. Метод ортогональных проекций для общих самосопряженных уравнений, ДАН СССР 58, № 6 (1947). 3. Метод ортогональных и прямых разложений в теории эллиптических дифференциальных уравнений, Матем. сб. 25 (67), № 2 (1949). 4. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, ДАН СССР 93, № 1 (1953).
504 ЛИТЕРАТУРА 5. О краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, ДАН СССР 93, № 2 (1953). 6 Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, Матем. сб. 35(77), № 3 (1954). 7. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения, Матем. сб. 39(81), № 1 (1956), 51 — 148. 8. Квазилинейные сильно эллиптические системы, имеющие дивергентную форму, Тр. Моск. матем. о-ва 12 (1963), 125—184. В о ρ о в и ч И. И. 1. О существовании решений в нелинейной теории оболочек, Изв. АН СССР, сер. матем. 19, № 4 (1955). В у л и χ Б. 3. 1. Введение в функциональный анализ, изд. 2-е, «Наука», 1967. Галеркин Б. Г. 1. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластин, Вестн. инженеров, № 19 (1915), 897—908. Гантмахер Φ Р. 1. Теория матриц, «Наука», 1967. Гельфанд И. М. 1. Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1966. Г о б с о и Е. В. 1. Теория сферических и эллипсоидальных функций, ИЛ, 1953. Годунове К,Прокопов Г. П. 1. Вариационный подход к решению больших систем линейных уравнений, возникающих в сильно эллиптических задачах, 1—41, Ин-т прикл. матем. АН СССР, 1968. Г у л д С. X. 1. Вариационные методы в задачах о собственных значениях, «Мир», 1970. Гусман Ю. Α., Оганесян Л. А. 1. Оценки скорости сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений, Ж. выч. матем. и матем. физ. 5, № 12 (1965), 351—356. ДаугаветИ. К. 1. О быстроте сходгшости метода Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений, Изв. вузов, Математика, № 5(6), (1958), 158—165. 2. Исследование быстроты сходимости метода Б. Г Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений, Автореферат диссертации, ЛГУ, 1959. 3. О методе моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений, Сиб матем. ж. 6, № 1 (1965). Де Вито Л., Фикера Г., Фу шар д и Α., Шерф М. (De Vrto L., Fichera G, Fusciardi A, Schaerf M.) 1. Sul calcolo degli autovalori della piastre quadrata incastrata longo il bordo, Rend Accad. Naz. d Lincei, CI. Sci. fis, mat. e nat., XL, ser. VIII, fasc. 6 (1966), 725—73a Демьянович В. К, Демьянович Ю. К. 1. О скорости сходимости проекционных методов для параболических уравнений, Ж. выч. матем. и матем. физ. 8, № 2 (1963), 344—362. Демьянович Ю. К. 1. Устойчивость метода сеток для эллиптических задач, ДАН СССР 164, № 1 (1965), 20—23. 2. Об аппроксимации и сходимости метода сеток в эллиптических задачах, ДАН СССР 170, № 1 (1966), 27—30. 3. Об оценках скорости сходимости некоторых проекционных методов решения эллиптических уравнений, ДАН СССР 174, № 3 (1967), 518—521,
ЛИТЕРАТУРА 505 Джишкариани А. В. 1. Некоторые оценки погрешности метода Ритца — Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений, Тр. Тбил. матем. ин-та 26 (1959) 285—306. 2. Оценки погрешности метода Ритца для неоднородного дифференциального уравнения, Сообщ. АН Груз. ССР 25, № 3 (1960), 257—262. 3. О быстроте сходимости приближенного метода Ритца, Ж. выч. матем. и матем. физ. 3, № 4 (1963), 654—663. 4. О быстроте сходимости метода Бубнова — Галеркина, Ж. выч. матем. и матем. φ из. 4, № 2 (1964), 343—348. ДиасХ. (Diaz J. В.) 1. Upper and lower bounds for quadratic functional, Proc. Sympos. Spectral Theory and Different. Problems, 279—289, Stillwater, Oklahoma, 1955. 3 a p e μ б а С. (Ζ a r e m b a S.) 1. Sur le principe de minimum, Bull, intern. l'Acad. d. sciences de Cracovie, CI. des sciences math, et natur, № 7 (1909), 197—264. 2. Sur un probleme toujours possible comprenant, a titre de cas particu- liers, le probleme de Dirichlet et celui de Neumann, J. math, pures et appl. 6, №2 (1927), 127—163. 3. L'equation biharmonique et une classe remarquable de functions fonda- mentales harmoniques, Bull, intern. l'Acad. d. scfenses de Cracovie, № 3 (1907). 4. Sur l'integration de l'equation biharmonique, Bull, intern. l'Acad. d. sci- enses de Cracovie, № 1 (1908). Ильин В. П. 1. Оценка погрешности в методе Ритца для обыкновенных дифференциальных уравнений, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 53 (1959), 43—63. 2. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 53 (1959), 64—127. Канторович Л. В. 1. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных, ДАН СССР 2, № 9 (1934), 532—536. 2. Функциональный анализ и прикладная математика, УМН III, № 6 (28), (1948). Канторович Л. В. иАкилов Г. П. 1. Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз. 1959. Канторович Л. В. и К Ρ ьг л о в В. И. 1. Приближенные методы высшего анализа, Гостехиздат, 1949. Карпиловская Э. Б. 1. О сходимости интерполяционного метода для обыкновенных дифференциальных уравнений, УМН VIII, № 3 (55), (1953), 111—118. 2. О сходимости метода коллокации, ДАН СССР 151, № 4 (1963), 766—769. 3. О сходимости метода коллокации для некоторых граничных задач математической физики, Сиб. матем. ж. 4, № 3 (1963), 632—640. КатоТ. (KatoTosio) 1. On some approximate methods concerning the operators T*T, Math. Ann. 126, №3 (1953), 253—262. К е л д ы ш Μ. Β. 1. О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач, Изв. АН СССР, сер. матем. 6, № 6 (1942). 2. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области, ДАН СССР 77, № 2 (1951).
506 ЛИТЕРАТУРА Кирхгоф Г. (KirchhoffG.) 1. Ueber die Gleichgewicht und die bewegung einer elastischen Scheibe, J. f. d. reine und angewande Math. 40 (1850). Клиот-ДашинскийМ. И. 1. Решение задачи о статической деформации анизотропной однородной пластины методом ортогональных проекций, Уч. зап. ЛГУ, № 146, сер физ наук, вып. 8 (1952), 131—145. 2. Об одном способе решенпя плоской задачи теории потенциала, Сб. научи, тр. Ленингр. инж.-строит, ин-та, вып. 17 (1954). Кравчук Μ. Φ. 1. Застосування способу моментгв до розв'язания лшшних дифференциальных та штегральних р1внянь Видавн. АН УРСР, 1936. 2. М. Krawtchouk. Sur la resolution approchee des equations integrates Hneaires, Compt. rend. Acad. sd. Frangaise, 188 (1929), 978. Красносельский М. A. 1. Сходимость метода Галеркина для нелинейных уравнений, ДАН СССР 73, № 6 (1950). 2. Некоторые задачи нелинейного анализа, УМН IX, вып. 3 (61), (1954). 3. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, Гостехиздат, 1956. Крылов Η. Μ. (Krylof f N.) 1. Les methodes de solution approchee des problemes de la physique ma- thematique, Mem. sci. math., fasc. 49 (1931). Крылов Η. Μ. и Б о г о л ю б о в Н. Н. 1. Sur la calcul des racines de la transcendante de Fredholm etc, Изв. АН СССР, сер. ОМЕН, № 5 (1929). Курант Р. (CourantR.) 1. Ueber ein Konvergenzerzeugen des Prinzips in der Variationsrechnung, Gott. Nachrichten, 1922. 2. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bull. Amer. Math. Soc. 49, № 1 (1943), 1—23. Курант Р. и Гильберт Д. 1. Методы математической физики. 1, Гостехиздат, 1951. 2. Методы математической физики. 2, Гостехиздат, 1951. Курант Р., Фридрихе К· иЛеви Г. 1. О разностных уравнениях математической физики, УМН, вып. V11I (1940), 125—160. ЛейбензонЛ. С. 1. Вариационные методы решения задач теории упругости, Гостехиздат, 1943; см. также Л. С. Л е й б е н з о н, Собрание трудов 1, Изд. АН СССР, 1951. 2. Курс теории упругости, Гостехиздат, 1947. ЛиньХун-сун 1 Вариационные методы решения задачи кручения для многосвязных областей (на китайск. яз., резюме англ.), Ули сюэбао, Acta phys. sinrca 9, № 4 (1953), 221—237. Μ а з ь я В Г. 1. О разрешимости задачи Неймана, ДАН СССР 147№ 2 (1962), 294—296. 2. О задаче Неймана в областях с нерегулярными границами, Сиб. матем. ж. 9, № 6 (1968), 1322—1350. Маховер Е. В. 1. Изгиб пластинки переменной толщины с острым краем. Уч. зап. Лен. гос. пед. ин-та, физ.-матем. ф-та XVII, вып 2 (1957), 28—39. 2. О спектре собственных частот пластинки с острым краем, Уч. зап. Лен. пед. ин-та им. Герцена 197 (1958), 113—118. Миранда К. 1. Уравнения с частными производпьыи эллиптического типа,- ИЛ, 1957.
ЛИТЕРАТУРА 507 Μ и χ л и н С. Г, 1. Плоская задача теории упругости для неоднородной среды, Тр. Сейсмолог, ин-та АН СССР, № 66 (1935). 2. Об одной теореме ф. Нетера, ДАН СССР 43, № 4 (1944). 3. О сходимости метода наименьших квадратов, ДАН СССР 59,№ 7 (1948). 4. О сходимости метода Галеркина, ДАН СССР 61, № 2 (1948). 5. Сингулярные интегральные уравнения, УМН III, вып. 3 (25), (1948) 6. Метод наименьших квадратов в задачах математической физики, Уч. зап. ЛГУ, № 111, сер. матем. наук, вып. 16 (1949). 7. Интегральные уравнения, изд. 2-е, Гостехиздат, 1949. 8. Некоторые достаточные условия сходимости метода Галеркина, Уч зап. ЛГУ, № 135, сер. матем. наук, вып. 21 (1950). 9 Некоторые теоремы теории операторов и их приложение к теории упругих оболочек, ДАН СССР 84, № 5 (1952). 10. Оценка погрешности расчета упругой оболочки как плоской пластины, Прикл. матем. и мех. 16, вып. 4 (1952). 11. Проблема минимума квадратичного функционала, Гостехиздат, Ш52. 12. О вариационном методе решения краевых задач, Уч. зап. ЛГУ, № 144, сер. матем. наук, вып. 3 (1952). 13. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям, ДАН СССР 91, № 4 (1953). 14. Интегрирование уравнения Пуассона в бесконечной области, ДАН СССР 91, № 5 (1953). 15. К теории вырождающихся эллиптических уравнений, ДАН СССР 94, № 2 (1954). 16 Вырождающиеся эллиптические уравнения, Вестн. ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., вып. 8 (1954). 17. Упругие оболочки, близкие к плоским пластинам, В сб. «Вопросы прочности лопасти водяной турбины», 5—92, Изд. ЛГУ, 1954. 18. По поводу метода Ритца, ДАН СССР 106, № 3 (1956). 19. О решениях с конечной энергией у эллиптических дифференциальных уравнений, Уч. зап. Лен. пед. ин-та им. Герцена, 183 (1958), 5—21. 20. Лекции по линейным интегральным уравнениям, Физматгиз, 1959. 21. О сходимости одного прямого метода, УМН 15, № 91 (1960), 221—22а 22. Об устойчивости метода Ритца, ДАН СССР 135, № 1 (1960), 16—19 23. Некоторые условия устойчивости метода Ритца, Вестн. ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., вып. 4 (1961), 140—151. 24. О рациональном выборе координатных функций в методе Ритца, Ж. выч. матем. и матем. физ. 2, № 3 (1962), 437—444. 25. Об устойчивости некоторых вычислительных процессов, ДАН СССР 157, № 2 (1964), 271—274. 26. Численная реализация вариационных методов, «Наука», 1966. 27. Некоторые свойства полиномиальных приближений по Ритцу, ДАН СССР 180, № 2 (1968), 276—278. 28. Курс математической физики, «Наука», 1968. 29. Неравенства типа А. А. Маркова и полиномиальные приближения по Ритцу, Тр. симпоз. по уравн. в часта, произв., «Наука», 1970. 30. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Физматгиз. 1962. Μ ο ρ э н К. 1. Замечания о методах Трефтца и Ритца, Бюлл. Польск. АН, отд. 3, III, вып 11 (1955), 569—573. 2. Методы гильбертова пространства, «Мир», 1965,
508 ЛИТЕРАТУРА МусхелишвилиН. И. 1. Сингулярные интегральные уравнения, «Наука», 1968. 2. Некоторые основные задачи математической теории упругости «Наука» 1966. ' ' ' Η а й м а р к М. А. 1. Линейные дифференциальные операторы, Гостехиздат, 1954. Η а т а н с о н И. П. 1. Теория функций вещественной переменной. Гостехиздат, 1957. 2. Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949. Новожилов В. В. 1. Основы нелинейной теории упругости, Гостехиздат, 1948. О б э н Ж. П. (A u b г π J. P.) 1. Approximation des espaces de distributions et des operateurs differen- tielles, Bull. Soc. maih France, mem. 12 (1967), 1—139. Оганесян Л. А. 1. Численный расчет плит, В сб «Решение инженерных задач на электронно-вычислительных машинах», ЦВТИ ЛСНХ, 1963. 2. Сходимость вариационно-разностных схем при уточненной аппроксимации границы, ДАН СССР 170, № 1 (1966), 41—44. Папкович П. Ф. 1. Строительная механика корабля, ч. II. Гос. изд. суд. пром., 1941. Петров Г. И. 1. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости, Прикл. матем. и мех. 4, вып. 3 (1940). Петровский И. Г. 1. Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиэ, 1961. Π и к о н е Μ. (Μ Ρ ϊ с о π е) 1. Nuovo metodo d'approssimazione per la soluzione del probleme di Di- richlet, Rend Acad. d. Lincei, ser. 5, 31 (1922). ПланшерельМ. (Plancherel M.) 1. Sur la methode d'integration de Ritz, Bull. sci. maih. 47 (1923), 376— 383, 397—413 Польский Н. И. 1. Про збгжщсть методу Б. Г. Гальоркина, ДоповШ АН УРСР, вгддш ф13.-мат. та хгм наук, № 6 (1949). 2. Некоторые обобщения метода Б. Г. Галеркина, ДАН СССР 86, № 3 (1952), 469—472. 3. О сходимости рюкоторых приближенных методов анализа, Укр. матем. ж. 7, № 1 (1955), 56—70. 4. Об одной общей схеме применения приближенных методов, ДАН СССР 111, № 6 (1956), 1181—1184. 5. Проекционные методы в прикладной математике, ДАН СССР \43, №4 (1962), 787—790. Ρ а ф а л ь с о гг 3. X. 1. К вопросу о решении бигармонического уравнения, ДАН СССР 64, № 8 (1949). 2. К вопросу о решении бигармонического уравнения, Уч. зап. ЛГУ, № 144, сер. матем. наук, вып. 23 (1952), 165—191. Релей 1. Теория звука. I, II, Гостехиздат, 1955. Ρ е π м а н Ю. В 1. К вопросу математического основания метода Галеркина решения задач об устойчивости упругих систем, Прикл. матем. и мех. 4, вып. 2 (1940).
ЛИТЕРАТУРА 509 Рис Φ. иСекефальви-НадьБ. 1. Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954. Ритц В. (R г t z Walter) 1. Uber erne neue Methode zur Losung gewisser Variatfonsprobleme der mathematischen Physik, J. f. d reine und angewandte Math. 135, H. 1 (1908), а также W Ri tz, Gesammelte Werke, Paris, 1911. 2. Theorie der Transwersalschwingungen efner quadratischen Platte mit freien Randern, Gesammelie Werke, Paris, 1911. С в и ρ ск и и И. В. 1. Об оценке точности приближенных методов определения частот колебаний, Изв. Казанск. фил. АН СССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, № 3 (1953), стр. 59—86. 2. Методы Бубнова—Галеркина и последовательных приближении, «Наука», 1968. Слободецкий Л. Н. 1. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных, Уч. зап. Лен. пед. ин-та им Герцена 197 (1958), 54—112. СлободянскийМ. Г. 1. Оценка погрешности искомой величины при решении линейных задач вариационным методом, ДАН СССР 86, № 2 (1952). 2. Оценки погрешности приближенного решения в линейных задачах, сводящихся к вариационным, и их применение к определению двусторонних приближений в статических задачах теории упругости, Прикл. матем. и мех. 16, вып. 4 (1952). 3. Оценки погрешности приближенных решений линейных задач, Прикл. матем. и мех. 17, вып. 2 (1953). 4. О приближенном решении линейных задач, сводящихся к вариационным, Прикл. матем. и мех. 17, вып. 5 (1953). 5. Приближенное решение некоторых краевых задач для эллиптического дифференциального уравнения и оценки погрешности, ДАН СССР, 89, № 2 (1953). 6. О преобразовании проблемы минимума функционала к проблеме максимума, ДАН СССР 91, № 4 (1953). 7. О построении приближенного решения в линейных задачах, Прикл. матем. и мех. 19, № 5 (1955). Смирнов В. И. 1. Курс высшей математики. III, ч. I, Физматгиз, 1958. 2. Курс высшей математики. III, ч. Ц, Физматгиз, 1958. 3. Курс высшей математики. IV, Физматгиз, 1958. 4. Курс высшей математики. V, Физматгиз, 1959. С м и ρ и о в М. М. 1. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические урав., «Наука», 1966 СоболевС. Л. 1. Уравнения математической физики, изд. 1-е, Гостехиздат, 1950; изд. 3-е, Гостехиздат, 1954. 2. Некоторые приложения функционального анализа к математической физике, Изд. ЛГУ, 1950. Сретенский Л. Н. 1. Теория волновых движений жидкости, ОНТИ НКТП, 1934. С τ е φ а и о в а Л. Б. 1. Об одном обыкновенном дифференциальном уравнении, зависящем от параметра, УМН XIV, вып. 1 (85), (1959), 231—236. Τ и м о ш е н к о С. П. 1. Теория упругости, ОНТИ, 1937. 2. Пластинки и оболочки, «Наука», 1966.
510 ЛИТЕРАТУРА ТрефтцЕ (TreftzE) 1. Ein Gegenstuck zum Ritzschen Verfahren, Verlianl. d. 2 internat Kon- gress fur technische Mechanik, Zurich, 1926. 2. Математическая теория упругости, Гостехиздат, 1932. Трикоми Φ. 1. О линейных уравнениях смешанного типа, Гостехиздат, 1947. УолшДж (WalshJ.) 1. Ueber die Entwickelung einer analytischen Function nach Polynomen Math. Ann. 96 (1926/27), 430—436. Фаддеев Д. К. и Фаддеева В. Н. 1. Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгиз, 1963. Фаддеева В. Н. 1. В. Н. Замятина, О фундаментальных функциях оператора X1V, Тр. ЛИИПС, № 6 (1937). 2. О фундаментальных функциях оператора Χτν, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 28 (1949). Φ и к ер а Г. (Fichera G.) 1. Linear elliptic differential systems and eigenvalue problems, Berlin, Springer—Verlag, 1965. 2. Approximations and estimates for eigenvalues, Vortr. d. 3. Tagung fiber Probl. und Method d. Math. Physik, Technische Hochshule Karl—Marx — Stadt, Η 1 (1966), 60—98. Фихтенгольц Г. М. 1. Основы математического анализа, т. 1, «Наука», 1968. Фридрихе К. (FriedrichsK.) 1. Randwert- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Plat- ten, Math. Ann 98 (1928). 2. Spektraltheorie halbeschrankter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differenlialoperatoren, Math. Ann. 109, H. 4-5 (1934). 3. On the boundary-value problems of the theory of elasticity and Korn's inequality, Ann Math 48, № 2 (1947). X а й η ц Ε. (Heinz E.) 1. Beitrage zur Storungstheorie der Spektralzerlegung, Math. Ann. 123, H. 4 (1951), 415—438. ХаррикИ Ю. 1. О приближении функций, обращающихся в нуль на границе области, функциями особого вида, Матем. сб 37 (79), № 2 (1955). 2. Об одном аналоге неравенства Маркова, ДАН СССР 106, № 2 (1956). 3. О приближении функций, обращающихся на границе области в нуль вместе с частными производными, функциями особого вида, Сиб. матем. ж. 4, № 2 (1963), 4£8—425. Ч а п л ы г и н С. А. 1. О газовых струях, В сб. «С. А Чаплыгин, Избранные труды по механике и математике», Гостехиздат, 1954. Ш е в ч е н к о К. Н. 1. Применение вариационного метода к решению задач теории упругости, Прикл. матем и мех. 2. вып. 2 (193S). Ш е ρ м а н Д И. 1. К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных внешних силах, ДАН СССР 28, № 1 (1940) Эй д ус Д. М. 1. О смешанной задаче теории упругости, ДАН СССР 76, № 2 (1951). 2. Контактная задача теории упругости, Матем. сб 54, № 3 (1954). Я н к е Е. и Э м д е Ф. 1. Таблицы функций с формулами и кривыми, Физматгиз, 1959.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютно непрерывные функции 79 Альтернатива Фредгольма 58 А-полная система 453 Вариационно-разностные схемы 106 Вариационные задачи 11 — методы 12 Встречные методы 26 , 298 Вырождения линия 158 *— множество 158 *— поверхность 158 Гильбертово пространство 28 , 35 — — неполное 42 ■ полное 42 функциональное 36 Дивергенция обобщенная 194 Дирихле принцип 12 , 13 Дискретный спектр 220 Задача Дирихле 15 , 20 , 21 , 63 , 124 , 132 , 133 — 135 , 147 , 193 , 254 , 278 , 299 , 328 , 467 , 471 , 472 — — для системы уравнений 289 <- Коши 451 вг- кручения 138 — Неймана 64 , 126 , 127 , 131 , 133 — 135 , 147 , 187 , 195 , 310 , 328 , 338 , 468 ■— смешанная 63 , 137 , 147 , 185 Задачи вариационные 11 Закон Гука обобщенный 269 Замкнутое множество 43 Замкнутости уравнение 45 Звездная область 323 Идеальный элемент 43 Изгиб стержней 145 Измеримые множества 29 — функции 31 Интеграл Дирихле 12 — Лебега 28 , 32 , 33 Интегральный оператор со слабой особенностью 55 Иитерпсляционный метод 25 Квадратичная форма 50 Квадратично суммируемые функции 34 Коллокацин узлы 449 Компактное множество 55 Константы упругости 161 Конуса условие 284 Координатная система 96 Координатные функции 14 — элементы 96 Коэффициенты Фурье 45 Краевая задача 65 Краевое условие 63 ь главное 83 » естественное 83 Критические нагрузки 247 Линеал 34 Линейное множество 34 Метод интерполяционный 25 — коллоканил 25 , 449 Метод наименьших квадратов 26 , 453 в- наискорейшего спуска 104 — негармонического остатка 321 , 385 — ортогональных проекций 298 , 299 , 304 , 308 , 378 — промежуточных операторов 347 — Релея 15 =- Трефтца 298 . 317 . 324 , 325 . 326 . 328 . 329 , 331 . 382 — энергетический 12 Методы вариационные 12 — встречные 26 , 298 — проекционные . 447 — прямые 11 Метрика 35 Миннмаксимальный принцип 225 Минимизирующая последовательность 21 , 92 Множество вырождения 158 — замкнутое 43 — измеримое 29 — компактное 55 — линейное 34 — открытое 28 =— плотное 43 Невязка приближенного решения 291 Негармонический остаток 323 Неполная система 44 Неравенство Бесселя 45 — Корна 391 — Коши — Буняковского 36 — Пуанкаре 131 — треугольника 36 — Фрндрихса 129 Норма оператора 51 , 280 — функционала 49 *— элемента 35 •— энергетическая 76 Нормированный элемент 35 Обобщенная дивергенция 194 — производная 43 , 133 Обобщенное решение 90 — — задачи Дирихле 136 Обратный оператор 52 Оператор 50 — аннулирования 51 — вполне непрерывный 54 — вырожденный 54 — интегральный со слабой особенностью 55 — конечномерный 54 — косого проектирования 54 — краевой задачи 65 — линейный 51 — непрерывный 51 — , область его значений 50 — , — — определения 50 *— обратный 52 «— ограниченный 51 — , — снизу 213 «— ортогонального проектирования 53 — положительно определенный 73 — положительный 69 — самосопряженный 53 — симметричный 53
512 ПРЕДМЕТНЫЙ указатель Оператор тождественный 51 — только положительный 81 — Трикоми 149 fc- Фредгольма 54 — эллиптический в замкнутой области 147 вырождающийся 149 , 152 Операторы полусходные 371 — сходные 292 Определитель Грама 40 Ортогонализации процесс 46 Ортогональная проекция 47 — система 44 —• сумма подпространств 48 Ортогональное дополнение 48 Ортогональные подпространства 48 .— элементы 44 Ортогональный ряд* 45 Ортонормированная система 44 Острый край пластинки 202 Открытое множество 28 Оценка апостериорная 26 , 273 , 297 — априорная 26 , 273 Парсеваля равенство 478 Плотное множество 43 Подпространство 46 — тривиальное 47 Полная система 44 Полусходные операторы 371 Последовательность фундаментальная 43 Правильные значения параметра 58 Предел 40 Предельный элемент 43 Преобразование Фрндрнхса 26 . 333 Принцип Касгильяно 312 , 316 — мишшаксимальиый 225 — минимума потенциальной энергии 163 Проектор ортогональный 53 Проекционные методы 447 Проекция ортогональная 47 Произведение скалярное 35 — операторов 52 — энергетическое 76 Пространство гильбертово 28 , 35 — ЫЙ) 36 — £а(Й) вещественное 37 — Ls(£2) 38 — £г(Й , О) 37 — h 39 — сепарабельное 46 — энергетическое 76 Процесс Бубнова — Галеркнна 21 , 22 , 25 , 420 и далее — ортогоналнзации 46 — Ритца 96—97 ^ — , видоизменение 105 — м , его неустойчивость 370 — — , — устойчивость 370 Прямые методы 11 Ранг собственного числа 207 Расстояние 35 Решение обобщенное 90 — , приближенное по Ритцу 96 •" сингулярное 362 — с конечной энергией 192 — тривиальное 207 Ряд ортогональный 45 ^ Фурье 45 Сепарабельное пространство 46 Сингулярное оешеиие 362 Система Л-полияя 453 ** координатная 96 Система неполная 44 — ортогональная 44 — ортонормированная 44 — полная 44 — Ритца 97 , 193 Скалярное произведение 35 Собственные функции 207 — числа 207 — элементы 207 Собственный спектр 207 Спектр дискретный 220 Сумма операторов 52 Суммируемые функции 33 Сходимость в среднем 34 Сходные операторы 292 Тензор Сомильяна 270 , 362 Теорема Бредта 142 — Риса 49 — Риса — Фишера 34 , 41 Треугольника неравенство 36 Тривиальное решение 207 Узлы коллокацни 449 ■Упругости константы 161 Уравнение замкнутости 45 — Лапласа 15 , 62 , 185 неоднородное 64 , 124 — Матье 363 •- Пуассона 20 , 64 , 124 , 141 Уравнение Ляме 162 Усечение 357 Условие конуса 289 — краевое 63 Формула интегрирования по частям 67 — Остроградского 66 — Шварца 475 Формулы Беттн 162 — Грина 68 — 69 — — для оператора Лапласа 69 Фундаментальная последовательность 43 Функцив измеримые 31 — квадратично суммируемые 34 — координатные 14 —- собственные 207 — суммируемые 33 Функционал 48 «- билинейный 50 ь— квадратичный 50 — линейный 49 — непрерывный 49 ►= ■ область его определения 49 — ограниченный 49 — энергии 87 Числа правильные 58 — собственные 207 rt характеристические 58 Элемент идеальный 43 — нормированный 35 w предельный 43 Элементы координатные 96 " линейно зависимые 39 *- — независимые 40 — ортогональные 44 — собственные 207 Энергетическая норма 76 Энергетическое произведение 76 ■— пространство 76 задачи Дирихле 133 , 135 , 195 — =- — Неймана 135 . 195 Ядро Шварца 480