/
Text
К.ПАРГАСАРАТИ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ТЕОРИЮ
МЕРЫ
INTRODUCTION TO
PROBABILITY AND MEASURE
K. R. Parthasarathy
Professor, Indian Statistical Institute
New Delhi
Μ
1980
К. Партасарати
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ТЕОРИЮ
МЕРЫ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
A. В. ПРОХОРОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
B. В. САЗОНОВА
Москва «МИР» 1983
ББК 22.17
П18
УДК 519.2
Π 18 Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию
меры: Пер. с англ/Под ред. В. В, Сазонова, — М.: Мир,
. 1983.
336 с, ил.
Монография индийского математика, посвященная изложению современных
разделов теории вероятностей и теории меры. Материал тщательно подобран и
проиллюстрирован многочисленными примерами.
Для специалистов по теории вероятностей и теории меры, для студентов и
аспирантов университетов.
„ 1702060000-122 а 00 , ЦБК 22.17
П 041(01)—83 6~83' 4· 1 517.8
Редакция литературы по математическим наукам
Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy, 1977
Перевод на русский язык, «Мир», 1983
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Хорошо известна связь теории вероятностей и теории меры.
С точки зрения аксиоматики теории вероятностей А. Н.
Колмогорова эта теория вкладывается в теорию меры и выделяется
в ней лишь спецификой изучаемых проблем. Естественна
поэтому идея написания книги, посвященной теории вероятностей
и теории меры, и таких книг немало. Однако практически все
они имеют определенный уклон: либо это теория меры с
элементами теории вероятностей, либо теория вероятностей с
элементами теории меры. Предлагаемая вниманию читателей книга
К. Р. Партасарати представляет собой естественное сплетение
этих теорий, и обе теории освещаются в ней с достаточной
полнотой.
Начинается книга с элементарного введения в теорию
вероятностей, и в этом введении на примере усиленного закона
больших чисел иллюстрируется естественность и необходимость
задачи о продолжении меры, к рассмотрению которой автор
затем и переходит. Далее изучаются борелевские (измеримые)
отображения пространств с мерой друг в друга и в сепара-
бельные метрические пространства. Теорема Колмогорова о
продолжении согласованных вероятностей выводится из
теоремы о продолжении меры на проективные пределы
пространств с мерой. Затем строится теория интегрирования,
изучаются меры (в частности, переходные меры) на
произведениях пространств, излагается теория условных математических
ожиданий. Теорию условных математических ожиданий автор
предпочитает строить не на основе теоремы Радона — Нико-
дима, а посредством проекций в гильбертовом пространстве.
Завершается книга изложением теории слабой сходимости мер
(включая критерий Ю. ВГПрохорова слабой компактности
семейства мер на полном сепарабельном метрическом пространстве),
элементов теории характеристических функций и теории
инвариантных и квазиинвариантных мер на группах и
однородных пространствах.
6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В книгу включено множество полезных для усвоения
предмета примеров и упражнений, конкретизирующих, а иногда и
продолжающих общую теорию.
Автор книги профессор К. Р. Партасарати — руководитель
Делийского отделения Индийского статистического института,
известный специалист в области теории вероятностей,
математической статистики и математических основ квантовой
механики. На протяжении многих лет советские математики
поддерживают с ним полезные научные контакты.
Книга рассчитана на студентов старших курсов и
аспирантов физико-математических и технических специальностей, а
также на научных работников, желающих глубже
познакомиться с теорией меры и теорией вероятностей.
В. В. Сазонов
Моему дедушке С. Рагунатачари
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В 1902 году французский математик Анри Лебег написал
свою знаменитую диссертацию Integrate, Longueur, Aire
(Интеграл, длина и площадь). Начиная с 1914 года теория меры и
интеграла Лебега стала частью учебных программ по анализу
для студентов старших курсов во всех развитых странах мира.
В 1933 году вышла замечательная книга Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitsrechnung (Основные понятия теории
вероятностей) советского математика А. Н. Колмогорова, в которой
были сформулированы основные аксиомы теории вероятностей.
Появление известных ныне книг П. Халмоша [7] и В. Феллера
[4] в 1950 году сделало оба предмета — теорию меры и теорию
вероятностей — доступными для студентов и аспирантов,
специализирующихся в математике.
Настоящая книга написана в надежде, что она послужит
толчком для включения в учебные программы единого
годового курса по теории меры и теории вероятностей. Поскольку
изучение теории вероятностей при повышенном уровне
требований невозможно без знания теории меры, были приложены
особые усилия для объединения в одной книге этих предметов.
В основу книги легли лекции, читанные автором студентам,
специализирующимся в области теории вероятностей и
математической статистики в Центре .высших математических
исследований при Бомбейском университете, а также в Индийском
статистическом институте (Дели) и студентам-математикам в
Индийском технологическом институте (также в Дели).
Книга составлена из восьми глав. Глава Ί в основном
посвящена комбинаторной вероятности и предельным теоремам
Пуассона и Муавра — Лапласа. В этой главе готовится почва
для продолжения меры с булевых алгебр на σ-алгебры.
Глава II посвящена продолжению меры на σ-алгебры с булевых
полуалгебр и некоторых классов множеств, имеющих важные
топологические свойства. Свойства борелевских отображений
пространства с мерой в сепарабельное метрическое
пространство изучаются в главе III. Здесь же доказываются
теорема Лузина и теорема об изоморфизме. Рассмотрен также
вопрос о продолжении меры на проективные пределы
борелевских пространств. Тема главы IV — интегрирование. Здесь
же дается теорема о представлении Рисса, которая
показывает, что интегрирование — это единственная линейная
операция в хороших функциональных пространствах, а также
рассматриваются свойства функциональных пространств, которые
возникли на основе пространств с мерой. Глава V посвящена
a
ПРЕДИСЛОВИЕ
мерам и переходным мерам на произведениях пространств.
Здесь же рассматриваются мера Лебега в Rkf формула замены
переменных для интегралов Лебега и конструкция семейства
бесконечно дифференцируемых функций. Самая большая в
книге глава VI вводит понятие условного математического
ожидания через ортогональные проекции в обход обычного
использования теоремы Радона — Никодима. Теорема Радона — Ни-
кодима и теорема Лебега о разложении появляются как
следствия из более общей теоремы о разложении, принадлежащей
фон Нейману. Кроме того, в этой главе обсуждается сходимость
в различных смыслах условных математических ожиданий,
понятие регулярной условной вероятности, эргодические теоремы
и эргодические разложения. Глава VII служит кратким
введением в теорию слабой сходимости вероятностных мер и теорию
характеристических функций. Последняя глава, глава VIII,
посвящена построению меры Хаара на локально компактной
группе, а также инвариантным и квазиинвариантным мерам на
однородных пространствах. Доказывается теорема Макки — Вей-
ля для групп с квазиинвариантной мерой. В помощь студентам
в книгу включено большое число упражнений. В замечаниях,
примерах и упражнениях прослеживаются многочисленные
связи теории меры и теории вероятностей с различными
разделами функционального анализа, математической статистики,
эргодической теории и других дисциплин.
Я приношу свою благодарность профессору С. С. Шрикхан-
де, энтузиазму которого я обязан своим возвращением из
Манчестера к преподавательской деятельности в Индии. На
руководимом им факультете я пользовался большой свободой
отклоняться от «стандартных» программ и включать в курсы лекций
все то, что мне хотелось. Особую благодарность я адресую
профессору С. Р. Рао, который привлек меня к преподаванию
в Индийском статистическом институте, где мне были
обеспечены возможности, намного превышающие уровень, принятый
в других учреждениях. Благодарю также руководителей
Индийского технологического института, предоставивших мне
комфортабельный дом на уютной территории их института. Я
благодарен С. Рамасубраманьяму за прочтение рукописи и
множество исправлений. Благодарю также Дев Раджа Джоши за
квалифицированную перепечатку рукописи на его массивной
старомодной пишущей машинке с математическими знаками.
Наконец, я благодарю мою жену Шьяму, которая без упреков
потратила немало сил, чтобы освободить меня от ухода за
детьми и обеспечить мне уединение, необходимое для написания
этой книги.
Нью-Дели, 1977
/С. Р. Партасарати
Глава I
ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
§ 1. Множества и события
В теории вероятностей рассматриваются все возможные
основные исходы статистического эксперимента и предполагается,
что они составляют множество Xt называемое выборочным
пространством. Точки или элементы этого множества называются
элементарными исходами. Приведем несколько примеров.
Пример 1.1. Самый простой статистический эксперимент
имеет два элементарных исхода. Например: бросание монеты,
где исходами являются выпадения «герба» или «решетки»;
наблюдение за полом новорожденных, где исходы суть рождения
мальчика или девочки; испытание промышленных изделий на
дефектность и годность и т. п.
В указанных случаях основные исходы обозначаются
символами 0 и 1. Стало привычным называть эти исходы
соответственно неудачей и успехом. Выборочное пространство состоит
из двух точек: 0 и 1.
Пример 1.2. Подкинем игральную кость и отметим число
очков на выпавшей грани. Кость имеет шесть граней и
возможные результаты образуют множество X = {1, 2, 3,4, 5, 6}.
Пример 1.3. Будем бросать монету до тех пор, пока не
получим первый герб, и зафиксируем исходы каждого бросания.
Если мы обозначим герб буквой «Г», а решетку буквой «Р», то
элементарный исход этого эксперимента представляется
конечной последовательностью вида РРР ... РГ. Выборочное
пространство содержит все такие последовательности.
Пример 1.4. Перетасуем колоду из 52 карт и поинтересуемся
порядком карт в колоде снизу доверху. Пространство X
состоит из 52! перестановок.
Пример 1.5. Будем наблюдать за температурой воздуха в
определенном месте. Элементарные исходы суть действительные
числа. Поэтому выборочное пространство — это действительная
прямая.
Пример 1.6. Измерим давление и температуру газа в сосуде,
Здесь за X можно принять плоскость R2.
10
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Пример 1.7. Рассмотрим температурный график атмосферы
в течение фиксированного часа. Выборочное пространство X
может быть отождествлено с множеством всех непрерывных
кривых на интервале [0, 1].
Пусть AczX — любое подмножество выборочного
пространства X для некоторого статистического эксперимента.
Проведение эксперимента сводится к наблюдению элементарного
исхода х, который является элементом X. Если хеЛ, то
говорим, что событие А произошло. Если χ φ А, то говорим, что
событие " не произошло, или, что эквивалентно, произошло
событие X — А (дополнение события Л). С практической точки
зрения не каждое событие может представлять интерес,
Скажем, в примере 1.5 можно рассмотреть событие «измеренная
температура есть иррациональное число». Такое событие не
имеет никакого практического смысла. Напротив, событие типа
«измеренная температура принадлежит интервалу [а,Ь]» имеет
определенную ценность. Мы резюмируем сказанное следующим
образом: существует система 2Г подмножеств выборочного
пространства, элементам которой соответствуют события, имеющие
«практическую ценность». Предположим, что такая система 3?
событий или подмножеств выборочного пространства X точно
установлена. Мы просто скажем, что (F — это система всех
событий, связанных со статистическим экспериментом,
выборочное пространство которого есть X. Под событием будем
понимать элемент системы #~.
Установим теперь естественные условия, которым должна
удовлетворять система или семейство $Г всех событий. Пусть
AczB аХ таковы, что Л, BGf. Если # е Л, то χεδ. Иными
словами, всякий раз, как происходит событие Л, происходит и
В. Таким образом, теоретико-множественное понятие
включения эквивалентно логическому понятию импликации.
Рассмотрим множества А[)В, А(]В и X — А для Л, В&&'.
Заметим, что появление по крайней мере одного из событий Л
или В равносильно описывается тем, что эксперимент приводит
к наблюдению х, принадлежащему А\}В. Естественно думать,
что А[}В также является событием. Осуществление и Л, и В
одновременно означает, что наблюдение χ принадлежит Af\B.
Непоявление события Л означает, что χ принадлежит X — Л.
Так что естественно требовать, чтобы ЗГ было замкнуто
относительно конечного числа объединений, пересечений и
дополнений. Ничего не нарушится, если предположить, что все
пространство X и, следовательно, его дополнение — пустое
множество 0 — также принадлежат iF. Все сказанное приводит
к следующему определению.
1. МНОЖЕСТВА И СОБЫТИЯ
11
Определение 1.8. Система @~ подмножеств множества X
называется булевой алгеброй, если выполнены следующие
условия:
(1) если Л, В<=&~, то А[)В<=&~ иА()В^&~\
(2) если Л ^ У, то дополнение X — 4sf;
(3) пустое множество 0 и все пространство X
принадлежат #~.
Замечание 1.9. В дальнейшем повсюду в тексте будем для
дополнения X — А множества А использовать обозначение А'.
Если Л, В — два подмножества пространства X, то будем
использовать обозначение АВ для пересечения Л f\Bt А — В — для
множества АВ' и ЛАВ — для симметрической разности (Л —
-В)[}(В-А).
Пример 1.10. Пусть X — любое непустое множество, и пусть
& класс всех подмножеств X. Тогда ЗГ — булева алгебра.
Пример-1.11. Пусть X = R — действительная прямая, а
семейство & определено условием
5^ = {все интервалы вида (—оо, + °°), (— °°> я],
(а, 4-°°), (я, Ь)9 где а, Ь ε #}.
Тогда
Р = {А: AczR, A=\J^Ah At&9\ A{ П Л,-0
при / =т^ / для некоторого положительного целого /г}
есть булева алгебра. (Мы рассматриваем здесь пустое
множество как интервал (а, Ь] с fr ^ а.)
Пример 1.12. Пусть У— любое множество, и пусть X —
пространство всех последовательностей элементов У, т. е. любой
элемент Jiei может быть записан как *™(ί/ι,ί/2, . ..)> где
Ui^Y при каждом «=*1, 2, ... . Пусть Л —любое
подмножество прямого произведения УХУХ...ХУс&
сомножителями. Подмножество С с: X вида
С —{x — Cft, #2, ...) :(^, */*2, ..., у^)еЛ}
(где 1\ < /2 < · · · < ί* — фиксированные положительные
целые числа) называется k-мерным цилиндрическим множеством.
Тогда система ЗГ всех конечномерных цилиндрических
множеств есть булева алгебра.
Возвращаясь к соответствию между языком теории
множеств и языком теории вероятностей, подытожим наши выводы
в форме таблицы. Пусть У — булева алгебра подмножеств
12
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
выборочного пространства X для некоторого статистического
эксперимента, так что У есть система всех событий. Далее
будем пользоваться следующим словариком:
теория вероятностей теория множеств
событие А А&&~
событие Л влечет за собой событие В А а В
событие А не происходит А'
по крайней мере одно из событий Л, В А\]В
происходит
оба события А и В происходят АВ
событие, которое всегда происходит X
событие, которое никогда не происходит 0
события Л и β не могут произойти одно- А[\В = 0
временно
§ 2. Вероятность на булевой алгебре
Рассмотрим статистический эксперимент, элементарные
исходы которого описываются выборочным пространством X с
булевой алгеброй У подмножеств X. Пусть эксперимент
выполняется η раз, приводя в результате к элементарным
исходам х\у Х2, ..., JCnel. Пусть АаХ — элемент #". Рассмотрим
рп(А) = т(А)/п,
где т(Л) — число элементарных исходов Хи принадлежащих
множеству Л. Число рп(А) можно назвать частотой появления
события Л в данных η испытаниях. Прежде всего заметим, что
А-+рп(А) есть отображение из $Г в единичный интервал [0,1].
Ясно, что
(i) pn(A U В)=*рп(А) + рп(В), если А П В=0, Л, Bef,
(И) Μ*)=ι.
Из свойства (i) следует, что
PniAiU A2[) ... UAk)=Zpn(Ai),
если Αι Π Л/ = 0 для всех ьФ\ и А\, Л2, *..-? Ak е ST. Будем
говорить, что рп есть неотрицательная конечно аддитивная
функция на W, такая, что ρ„(Χ)=1. Если имеет место
«статистическая регулярность» в появлении наблюдений, то можно
рассчитывать, что для A^!F частота рп{А) будет
стабилизироваться около ρ (Л). Если это действительно так, то
отображение А-+р(А) удовлетворяет свойствам (i) и (и). В свете
этих соображений введем следующие определения.
2. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЕ
13
Определение 2.1. Пусть {4,ае/}—семейство подмножеств
множества X, где / есть некоторое множество индексов. Это
семейство называется семейством попарно непересекающихся
множеств, если Аа Π ^β = 0 при α φ β и α, β ^ /.
Определение 2.2. Пусть ЗГ — булева алгебра подмножеств
множества X. Отображение т: #~->-[0, оо] называется конечно
аддитивным, если
m(A\JB) = m(A) + m(B) при Л, i5sf и А (] 5= 0.
Это отображение называется счетно аддитивным, если для
любой последовательности {Л«} попарно непересекающихся
множеств, принадлежащих #~, выполняется равенство
m
(О 4.)-Σ «Μ») при 0 4е^.
Отображение ρ: #"->·[0, 1] называется распределением
вероятностей на tFy если оно конечно аддитивно и р(Х)™ 1.
Рассмотрим теперь несколько примеров.
Пример 2.3. Пусть X — конечное или счетное множество и
ЯГ — булева алгебра всех подмножеств X. Пусть, далее,
{х\, JC2, ...}— занумерованная последовательность всех точек X
и {ри Р2у .♦.}—последовательность неотрицательных чисел. Для
любого AczX положим пг(А)= Σ Pj- Тогда очевидно,
m
что m есть счетно аддитивная функция на #". Если Σ Р/=1,
то m — распределение вероятностей на #".
Пример 2.4. Пусть F — монотонно неубывающая функция,
определенная на действительной прямой /?, и m((at b]) =
= F(b)— F(a) при а < й, α, b ^ R. Обозначим
F(_|-oo)= Hm /?(α) и /?(—оо)= lim F(a).
Положим
m((-oo, a]) —/>(*)-Z7 (-«>),
m((ft, +oo))-F(+oo)-m
m((-oo, + oo))-F(+oo)-F(-oo).
Тогда m является конечно аддитивной функцией множества,
определенной на классе 9 интервалов (см. пример 1.11), т. е.
m\ ,U // )= Σ т (L) всякий раз, когда /ь /г, ..., h и [J Λ
принадлежат 9 и семейство {//, 1 ^ / ^ k) образовано
14
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
попарно непересекающимися множествами. Пусть теперь А —
любое множество вида
i4-U/r, (2.1)
г=»1
где /ι, /г, ..., h принадлежат & и попарно непересекаются.
Определим
k
/й(Л)-Е/п(/г).
Возникает вопрос, корректно ли такое определение. Вполне
возмещено, что А также имеет вид
A-Uf* (2.2)
где Fu p2y . .·, Ft принадлежат Sf и попарно не пересекаются.
Таким образом, А имеет два представления (2.1) и (2.2).
Однако
£m(/r)-f m(/%). (2.3)
г-1 s=\
В самом деле, имеем
/ к
/г = /г П Л- U (/г П F,), F5 = F, П Λ- U (Ζ7· П /г).
Заметим, что семейство & замкнуто относительно конечного
числа пересечений. Так как функция т аддитивна на Э', то
ι k
т(lr) =Zm(/fn F8), m(Fs) = Σ m(F, П /r)·
Легко видеть, что (2.3) есть непосредственное следствие двух
приведенных выше равенств. Это рассуждение доказывает, что
т есть корректно определенное конечно аддитивное отображение
на булевой алгебре $Г всех подмножеств, которые являются
конечными непересекающимися объединениями интервалов из^.
Иными словами, задаваясь любой монотонно неубывающей
функцией F на Ry можно построить единственную
неотрицательную конечно аддитивную функцию на булевой алгебре У
примера 1.11. Эта функция становится распределением
вероятностей, если lim (F (b) — F (a)) = 1.
Утверждение 2.5. Пусть т — неотрицательная конечно
аддитивная функция на булевой алгебре У подмножеств X. Если
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 15
А с: В и Л, Вб^, то т(А)^т(В). Если Аи А2, ..., Л*<=#",
то
«Ш ^)<Σ^). (2.4)
Доказательство. Для доказательства первой части заметим,
что В '= А\}(ВА') при А а В. Так как У есть булева алгебра,
то Л и ВАГ суть непересекающиеся подмцожества,
принадлежащие У. Следовательно, m(B) = m(A) + m(BA')^ т{А).
k k
Для доказательства второй части заметим, что (J Αι= U ^>
г = 1 г=«1
где Bi = i4i, В2 = >Мь ..., Βι = ΑίΑΊ-ιΑΊ-2... Ли . .·> β* =
= AkA'k-iAk-2 ... Ль Поэтому Ви В2, ..., суть
непересекающиеся множества, принадлежащие У9 причем BiczAi для всех
i = 1, 2, ..., £. Следовательно,
/ ft \ / ft \ ft ft
mi 0 АЛ-т( \] ΒΛ^Σ^(ΒίχΣηι(Αί).
Замечание 2.6. Свойство (2.4) известно как свойство
конечной полуаддитивности. Если функция m счетно аддитивна, то
оо
(2.4) выполняется с k = оо,если только U At принадлежите".
Проведенное доказательство проходит и в этом случае. Если
k = оо, то (2.4) известно как свойство счетной
полуаддитивности.
§ 3. Распределения вероятностей
и элементарные случайные величины
Рассмотрим статистический эксперимент, выполнение
которого приводит к наблюдению χ в выборочном пространстве X.
Очень часто интересуются не самими наблюдениями, а какой-
либо функцией от наблюдений. Продемонстрируем это на
нескольких примерах.
Пример 3.1. Допустим, что некое лицо проводит эксперимент
с двумя элементарными исходами —успехом и неудачей (см.
пример 1.1). Пусть он получает рубль в случае успеха и теряет
рубль, если его постигает неудача. Тогда его выигрыш можно
выразить посредством функции /, определенной равенствами
f(0) =—1, /(1)=-|-1> где 1 и 0 обозначают соответственно
исходы — успех и неудачу.
16
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НЛ БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Пример 3.2. Предположим, что г предметов распределяются
по η ячейкам и что предметы отличимы друг от друга.
Рассмотрим все возможные размещения. Учтем при этом, что
в одной ячейке может находиться более чем один предмет.
Тогда выборочное пространство всех возможных размещений
содержит пг точек. Для каждого размещения х^Х определим
f (χ) как число пустых ячеек.
Пример 3.3. Пусть пуля вылетает из ружья и эксперимент
состоит в наблюдении за траекторией полета пули. Для
каждой траектории χ значение f(x) обозначает координату точки,
в которой пуля попадает в землю.
Приведенные выше примеры показывают, что значение
функции зависит от исхода, который подчинен случаю. Таким
образом, значение функции меняется «случайным» образом. До тех
пор пока мы не продвинемся дальше в освоении предмета,
будем рассматривать только те функции на X, которые
принимают лишь конечное число значений.
Обозначим через f: X-+Y отображение из выборочного
пространства X во множество У. Пусть ЗГ — булева алгебра
подмножеств Ху на которых будем рассматривать распределение
вероятностей. Предположим, мы хотим ответить на следующий
вопрос: какова вероятность того, что эксперимент приводит к
элементарному исходу xgX, такому, что функция f(x)
принимает заданное значение !/еУ? Рассмотрим множество
{х: f(x) = y}=lf~l({y})' Чтобы найти вероятность этого
события, необходимо потребовать выполнения f~l ({у}) е #". Для
объяснения введем следующее определение.
Определение 3.4. Пусть X — выборочное пространство с
булевой алгеброй SF подмножеств X. Отображение f: X-+Y
называется простой случайной величиной со значениями в У, если /
принимает лишь конечное число значений и для каждого j/еУ
выполняется f-1 ({у}) е Т. Если У —действительная прямая,
будем называть f простой случайной величиной. Обозначим
через S(X, &~) множество всех простых случайных величин.
Для любого множества A czX положим
( 1, если хеД
Кл(*) = |0^ если хфА
Тогда %а называется характеристической функцией или
индикатором множества Л. Если А е#~, то %а является простой
случайной величиной, принимающей два значения: 0 и 1. Если а\9
о>ь ..., о>н — действительные числа и Ль Л2, ..., Ak^iFy то
k
Σ αβΑι — простая случайная величина. Обратно, любая про-
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 17
стая случайная величина может быть выражена в указанной
форме" с попарно непересекающимися множествами Л/.
Очевидно, что для всех А> В аХ
%А U В =а= %А ■ 5Св ~~ Илв,
ХлХв = Хлв»
I ^Л -"" %в I = ^Л ΔΒ*
В частности, отсюда следует, что множество S(X> !F) всех
простых случайных величин есть алгебра с обычными операциями
сложения, умножения и скалярного умножения.
Определение 3.5. Под булевым пространством мы понимаем
пару (X, ЗГ)у где X некоторое множество и ЗГ булева алгебра
подмножеств X. Под булевым вероятностным пространством мы
понимаем тройку (Χ, 8Γ, Р), где (Xt ЗГ)—булево пространство и
Ρ— распределение вероятностей на ST. Если s — простая
случайная величина на (Xt (F) и Ρ — распределение вероятностей
на #", то определим интеграл от s по отношению к Ρ как
выражение
Σα,Ρ{8-Χ{{*ι))1
i
где суммирование ведется по всем значениям а/, которые
принимает s. Обозначим это выражение символом \sdP или
просто Es, если Ρ фиксировано. Величина Es называется также
математическим ожиданием s относительно Р.
k
Утверждение 3.6. Если 5 = Σ Ша^ гДе Аи ^2, .... Ak —
непересекающиеся множества из ЗГ и а\9 а2, ..., а* —
действительные числа, то
к
\sdP=YaiP{Ai\ (3.1)
Далее,
(i) \ (asx + bs2)dP = a^ sx dP + b ^ s2dP
для любых двух простых случайных величин s\ и 52 и любых
Двух действительных постоянных а и Ь\
(ii) функция Q m &Ί определенная равенством
Q(n=\sXFdP, Fef,
18
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
конечно аддитивна, т. е. Q ( [} Ft )= Σ Q(Fi), где Fu F2, ...,
Fj — попарно непересекающиеся элементы iF;
(iii) JsdP>0, если Ρ ({χ: s(x)< 0}) = 0;
(iv) inf 5(#)< \ 5dP<sups(χ).
x<=X J *e=X
Доказательство. Без ограничения общности можно предпо-
ложить, что щ различны и [} А( = Х. Тогда ε~ι({αι}) —Αι и
область значений 5 есть множество {аь аг, ..., #*}. Поэтому
равенство (3.1) следует непосредственно из определения
интеграла. Для доказательства свойства (i) предположим, что
k I
Si=Z<Wv *2—ζβ/Χβ/. гДе Аь А2> ..., Ak и Яь В2, ...
..., 5/ — два разбиения X на непересекающиеся множества,
принадлежащие #~. Тогда
α*ι + bs2 = ^Σ Σ (α<*ι + 6β/) зсдίΒ/,
где множества AiBj составляют еще одно разбиение X. Далее,
\ (as, + bs2)dP = У У (ащ + Ь^)Р(А{В,) =
=«Σ^{Σρ^β/)}+6Σβ/{Σρ^β/)}=
— α Σ αί/ϊ(^) + й Σβ'Ρ(β/)==α S Sl rfP + ά \s*dP'
i i
При этом мы используем тот факт, что распределение Ρ
конечно аддитивно и
, \^AlBt = Ai(\]Bj) = AlX = Al,
у л,в,-(у а^в, =xb, = b,
Свойство (и) следует из свойства (i). Свойства (iii) и (iv),
следуют непосредственно из равенства (3.1),
S. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 19
Замечание 3.7. Нужно отметить, что свойство (ii)
определяет способ получения новых конечно аддитивных функций на
& из одной данной посредством интегрирования.
Докажем теперь .некоторые совсем простые результаты,
используя понятие математического ожидания и его свойства,
описанные, в 3.6.
Утверждение 3.8. Пусть Ah А2, ..., Ап— подмножества из
η
л, причем В= [J At. Тогда
Π
%Β=Σ%Α1— Σ %AlA,+ ···
+ (-ΐΓ* Σ , хлгли...* +...+(-ir1Ju1AJ...v
l<i,<<8...<ir<« l 2 r 2 Λ
(3.2)
г
где Л/,Л/а ... Ai/p означает пересечение f] A{ .
Доказательство. Пусть χ не принадлежит ни одному из
множеств Аи Тогда χΒ(χ) = 0 и каждый член правой части
соотношения (3.2) равен 0. Если χ принадлежит ровно k
множествам из Аи А% ..., Ап, то r-й член правой части равен
(— 1)Г~Ч ],если r^li, и0 в противном случае. Таким
образом, правая часть (3.2) есть
|i(-ir1(r^)=i-(i-i)ft=i.
Поэтому %в(х)= 1 и равенство (3.2) всегда выполняется. ■
Следствие 3.9. Если Р — распределение вероятностей на
(X,iF), то для любых Ль Л2, ..., Ап&&~ справедливо
соотношение
/>iLU)= Σ (-1ГЧ, (3.3)
\ί«-1 / /—=1
где
^.«.«Д^/С'А-^). «">
Доказательство. Формула (3.3) следует из (3.2) посредством
интегрирования обеих частей и в силу утверждения 3.6.
Утверждение 3.10. Пусть Ль Л2, ..., Ап — любые
подмножества Х9 а В — множество всех таких точек, которые принад-
20
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
лежат ровно k множествам из числа Ли А2, ..., Ап, Тогда
Хв = £(-1Г*(1)Г , Σ *л.л.АЛ (3.5)
Доказательство. Пусть χ — точка, которая принадлежит ровно
m из множеств А\> Л2, ..., Ап. Если m < kf то %в(х) = 0 и все
члены правой части выражения (3.5) равны 0. Если m = kf то
%в(х)=1. В правой части (3.5) член, стоящий в квадратных
скобках, равен 1, если r=i, иО в противном случае. Таким
образом, вся правая часть также равна 1. Пусть теперь m > &.
Тогда χΒ(χ) = 0. Правая часть равна
ι<->>'-'(;)(;)=(ΐ>'-'>*-,=°·
Таким образом, равенство (3.5) всегда имеет место.·
Следствие 3.11. Пусть Ρ — распределение вероятностей на
(X,&*)> множества Аи А2у ..., Ап принадлежат $Г, a pk —
вероятность того, что ровно k событий из Аи А2у ..., Ап осуществи
ляются. Тогда
p* = E(-ir*(^)sr, (з.б)
где Sr определены в (3.4).
Доказательство. Результат получается посредством
интегрирования обеих частей соотношения (3.5) и использования
утверждения 3.6.
Пример 3.12. Пусть X — множество всех перестановок
целых чисел 1, 2, 3, ..., N и У — булева алгебра всех
подмножеств из X. Предположим, что распределение вероятностей Ρ
приписывает каждой перестановке одну и ту же вероятность
1/ΛΠ (см. пример 2.3). Пусть, далее, Л* — множество всех
перестановок, которые оставляют I на фиксированном месте.
В этом случае
Ρ (AhAh ... Aif) = (Ν - r)\/N\t если ix < i2 < ... < ir.
Таким образом,
Sr = (Nr)(N-r)l/Nl = l/rl
В силу следствия 3.9 вероятность того, что «случайная»
перестановка оставляет по крайней мере одно из / на фиксирован-
ном м.есте, равна 1 — -=г + -от — ... + -—тг{— · Согласно след-
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 21
ствию 3.11, вероятность того, что ровно т из 1, 2, ..., N будут
фиксированы при случайной перестановке, дается выражением
Рт=£(-1Гт(;)7Г=
г*=т
--!-Γι -JL + -L-.L+ ι (-Р"~т1 /37)
— mil/ 1! + 2! 3! + ' · ' ^ (N - т)\\ ' {0'П
Мы видим, что рт стремится к е-1/т\ при Ν-*-<χ>. При
каждом фиксированном N рассмотрим эксперимент по выбору
случайной перестановки χ из множества X всех перестановок
чисел 1, 2, ..., N. Пусть f(x)—число элементов в множестве
{1,2, ..., Ν}, остающихся на месте при перестановке х. Тогда
/ — простая случайная величина, принимающая значения О,
1, 2, ..., N. Вероятность того, что }(х)=т дается формулой
(3.7) при /η*ζ.Ν. Если Ν-><χ>> то мы получаем распределение
на множестве всех неотрицательных чисел, такое, что
вероятность для заданного т равна e-xjm\. Этот пример приводит
нас к одной из предельных теорем, входящих в нашу книгу.
Полученное предельное распределение представляет собой частный
случай распределения Пуассона.
Пример 3.13. Предположим, что г предметов (отличимых
друг от друга) распределяются случайным образом по η
ячейкам. Эксперимент заключается в наблюдении за размещением
предметов. Так как каждый предмет может занять любую из
ячеек, имеется пг возможных размещений. Таким образом,
выборочное пространство X состоит из пТ точек. Пусть ЗГ — класс
всех подмножеств X. Пусть Αι множество всех размещений,
в которых ячейка с номером i пуста. Говоря о «случайном»
распределении предметов, мы имеем в виду, что все
размещения имеют равные вероятности пгг. Теперь можно задать
вопрос: какова вероятность того, что ровно k ячеек окажутся
пустыми? Обозначим эту вероятность pk. Пусть i\ < i2 < ...
... < If. Тогда
Р{А1хА1%...Ач)*-(п-ГГ1пг.
Согласно соотношению (3.4), имеем
а в силу следствия 3.11 —
"=S<-»'-G)(;)(.-i)'. M
22
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Как и в предыдущем примере, число пустых ячеек при любом
размещении можно считать простой случайной величиной,
принимающей значения 0, 1, 2, ..., (п—1). Вероятность того, что
эта случайная величина примет значение k, равна pki
заданному формулой (3.8). Соответствующее математическое ожида-
п-\
ние равно Σ kpk.
Мы видим, что pk есть функция г и rv—числа предметов и
числа ячеек. Зададимся следующим вопросом: что происходит,
когда г и η стремятся к оо каким-либо подходящим образом?
Существует ли в таком случае предел pk при каждом
фиксированном к>
Положим / — k = s в (3.8). Элементарные выкладки
показывают, что
^НИ-)···'] <3-9>
Так как 1—χ ^L е~* при 0^х<1, то (1—(s + k)/n)rns+k sg:
^.(ne-r/n)s+k. Таким образом, член в квадратных скобках в
равенстве (3.9) оценивается сверху величиной (ne-r/n)s+k. Пусть
теперь г и η стремятся к оо таким образом, что пе~г/п^Х > 0.
Тогда каждое слагаемое в сумме в выражении (3.9) имеет
абсолютное значение, которое оценивается сверху (λ+ \)s+k/s\
оо
при всех достаточно больших г и /г. Поскольку ряд Σ (λ+ l)s/s\
s=»0
сходится, можно перейти к пределу в (3.9) под знаком суммы.
Так как lim [1 — (x/nf ex]io* п=\ при всех χ > 0 и lim (log n —
rt->oo Γ, tt->oo
— (г Ι η)) — log λ, то
lim (1-((s+ £)/«))V+ft =
Г, /l->oo
- lim [(I -(s + k)/nTe°+k]rlneS+<loen-d =λ°+".
Г, tl->oo
Таким образом,
λ*
lim рк = е-ь-гг.
Г, П->оо Kl
Распределение вероятностей на множестве всех целых
неотрицательных чисел, приписывающее одноточечному множеству
n-k
.Х(1-
5 = 0
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 23
{k} вероятность ε~λητ называется распределением Пуассона
с параметром λ.
Пример 3.14. Рассмотрим теперь г неразличимых объектов,
случайно размещаемых по η ячейкам. В этом случае
размещение соответствует вектору {х\, х% ..., хп), где Χι— число
предметов в i-й ячейке. Если X — выборочное пространство всех
возможных размещений, то можно узнать число точек в X.
Взглянем на каждое размещение как на последовательность
00 ... 0 |00 ... 01... |00 ... 0,
где 0 обозначает предмет, а | обозначает стенку ячейки. Так
как имеется η ячеек, то число вертикальных черточек на
приведенной схеме равно η—1. Общее число позиций, занятых либо
предметом, либо чертой, равно η—\ + г. Причем из них г
позиций заняты предметами. Поэтому общее число размещений
(п- 1+г\
равно I I. Если все размещения равновероятны, то
любая точка из X имеет вероятность 1/1 I. Это
распределение известно под названием статистики Бозе —
Эйнштейна. Открытое физиком С. Н. Бозе в статистической квантовой
механике, это распределение является основным в теории Бозе —
Эйнштейна.
Пусть в данном примере Αι обозначает событие,
заключающееся в том, что i-я ячейка пуста. Тогда при i\ < i2 < ... <//
события Α1χ, Αι2, ..., Αι означают, что / ячеек iu i2, ..., //
пусты. Число таких размещений равно числу способов,
которыми г одинаковых предметов могут быть распределены по
η — / ячейкам. Поэтому
*(W"*,)-( r )/( , \
Если pk обозначает вероятность того, что имеется ровно k
пустых ячеек, то
л=&-.г(1)(")("-'Г-1)/("+Г1)-<->
Упражнение 3.15. В (ЗЛО) имеет местоPk-+e~K-j-r при k = 0,
1, 2? ,,,, если п} г-+оо таким образом, что {п2/г)-*К,
24
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Пример 3.16. Рассмотрим урну с т белыми и η черными
шарами. Произведем выбор k шаров наудачу без возвращения.
Это означает, что вероятность любой выборки размера k из
общей совокупности т-\- η шаров одна и та же и, следовательно,
равна l/ί J. Ответим теперь на вопрос: какова
вероятность появления г белых шаров в выборке? Если в выборке г
белых шаров, то число черных шаров равно k — г. Такой вы-
/т\/ η \
бор может быть осуществлен I II I способами.
Обозначая интересующую нас вероятность через рг, получаем
*-(JU-J/( * > 0<r<mln(*.«).
Это распределение на множество целых чисел 0, 1, 2, ...,
..., min(&,m) называется гипергеометрическим
распределением.
Упражнение 3.17. Рассмотрим урну с шарами г различных
цветов: щ первого цвета, П2 второго цвета и т. д. Если из урны
извлекаются k шаров наудачу без возвращения, то вероятность
получить в выборке Ш\ шаров первого цвета, тъ шаров второго
цвета, ..., mr шаров r-го цвета равна
(*\ \( П*\ (пг \/ί П{+П2+ ...+ПГ \
Pmvm2t...mr \mx )\Щ ) ' ' ' \mr )/\mx +1Щ+ . . . + Μ, )'
О<!m,<Imin(kt /гД η%ι + ... + mT = k.
Упражнение 3.18. В условиях предыдущего упражнения
предположим, что пь П2, ..., пг->оо и при этом lini , „ ?' -г~г=
П\ "Т" «2 "Т" · · · Τ ПГ
= Pi для 1=1, 2, ... г. Тогда
Ит рт т т = —т~г г Р?1Р?2 · · · />ГГ> (3.11)
где k = m\ + п%2 + · · · + mf. (Вероятности, заданные правой
частью формулы (3.11), определяют мультиномиальное
распределение)
Замечание 3.19. Примеры 3.12 и 3.13 и упражнения 3.15 и
3.18 содержат специальные случаи предельных теорем теории
вероятностей. Полезность таких предельных теорем
определяется тем, что они облегчают вычисление соответствующих
вероятностей на практике. Примеры, иллюстрирующие это, будут
приведены позже.
Определение 3.20. Пусть si, s2 — две простые случайные
величины на булевом вероятностном пространстве (Χ, θ7, Ρ). Ко-
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 25
вариацией между s\ и s2 называется выражение E(si — Esi) (s2—
— Es2), которое обозначает cov(si, s2). Если S\ = s2 = s, то
cov(s, s) называется дисперсией s и обозначается V(s).
Очевидно, что V(s)^0; (V(s))1/2 называется стандартным
отклонением s и обозначается o(s).
Упражнение 3.21. V(s) = 0 тогда и только тогда, когда s
равна постоянной величине Es на множестве вероятности
единица; COV(Si, 52) = ES\S2— ESiEs2.
Утверждение 3.22. Если sb s2, ..., Sk — простые случайные
величины на (Xt9rfP)f то матрица S, у которой (ij)-vi элемент
равен оц = cov (st·, s/), является положительно
полуопределенной. Если αϊ, α2, . ..> α*, b\9 62, . ··, &*— действительные числа,
то
cov
/ k k \
[ Σ ал» Σ bjsA = a'Sb,
где a и b обозначают соответственно вектор-столбцы
hi
#2
ιβ*.
и
14
б2
bk\
а а'— транспонированный вектор а. Ранг матрицы S меньше k
тогда и только тогда, когда существуют постоянные аи о>% ...
..., α*, такие, что линейная комбинация Σ #/$/ постоянна на
/
множестве вероятности единица. (Матрица S называется
ковариационной матрицей случайных величин s\, $2, ..., s*.)
Доказательство. Так как математическое ожидание
обладает свойством аддитивности на алгебре простых случайных
величин, то
cov ( Σ diSh Σ ЬрЛ —:
=*= /j CLibfEsiSt — Σ afisi Y. btEsj =
= Σ αΦί cov (5/, sf) = a'Sb.
В силу того, что Es ^ 0 при s ^ О, неравенство V(s)^0
выполняется для всех простых случайных величин s. Следова-
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
тельно, при всех а. Таким образом, S
есть положительная полуопределенная матрица. Если ранг S
меньше &, то a'Sa = 0 для некоторого а Ф 0. В этом случае
ν(Σ а^Л = 0. В соответствии с упражнением 3.21 величина
Σ CiiSi представляет собой постоянную на множестве
вероятности единица.
Упражнение 3.23. Предположим, что
s = (sb s2, ..., sk)f
есть вектор-столбец простых случайных величин с
ковариационной матрицей S. Для произвольной k X k матрицы Г с
действительными постоянными элементами положим
Тогда ковариационная матрица для t есть ГБГ', где Г'
обозначает транспонированную матрицу Г. В силу этого любая
положительная полуопределенная действительная матрица может
рассматриваться как ковариационная матрица простых
случайных величин на некотором булевом вероятностном
пространстве (Х,#~,Р).
Упражнение 3.24. Если s — простая случайная величина с
математическим ожиданием μ и дисперсией σ2, то случайная
величина (s — μ)/σ имеет нулевое среднее значение и
единичную дисперсию. (Величина (s — μ)/σ называется
нормированной случайной величиной.)
Прежде чем продолжить, договоримся о следующем
обозначении. Пусть s — простая случайная величина на булевом
вероятностном пространстве (X, £Г, Р) и Ε — подмножество
действительной прямой, такое, что множество {х: s{x)^E}=*
= s~{(E)&iF. Введем обозначение
P(s-{(E)) = P(s^E)i
в частности, P(s^a) означает меру (или вероятность)
множества {х: s(x) ίζ α}.
Утверждение 3.25 (неравенство Чебышева). Пусть s —
простая случайная величина на булевом вероятностном простран*
стве (Ху 5Г, Р). Тогда для любого a > 0
Р(|в|>а)<1Ш-.
4. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ 27
Доказательство. Пусть s= Σ αιΐΕυ где {Ει}— конечное раз-
i
биение X на множества, принадлежащие #". Тогда
Ε\8\ = Σ\αι\Ρ(Εύ> Σ Ι α, |/>(£,)>
г: |аг|>а
>а Σ Р(£,) = аР(|*|>а). ■
*:|«/|>а
Следствие 3.26. При соблюдении условий утверждения 3.25
имеем
Р(|5|>а)<^1, если η > О,
Ρ(|β-Εβ|>α)<-^.
§ 4. Повторные испытания
и статистическая независимость
Предположим, что мы проводим два статистических
эксперимента, для которых (Хи9Г\) и (Хг, ^"г) суть соответствующие
булевы пространства. Естествен вопрос: можно ли описать два
эксперимента как единый эксперимент? Осуществление двух
экспериментов приводит к наблюдению (χι, дь)> где х\еХи
Х2^Х2. Таким образом, выборочная точка для совместного
эксперимента есть упорядоченная пара (яьЯг)· Иными словами,
выборочное пространство представляет собой декартово
произведение Х\ХХ2- Очевидно, что наибольший интерес
представляют события вида (*i e F\, *2 s F2), где F\ ε^Ί, F2 &&~2.
Такое событие описывается подмножеством F\ X F2 = {лгь X2): #i е
ш F\, X2&F2}. Подобные события можно назвать булевыми
прямоугольниками. Однако все булевы прямоугольники не
образуют булеву алгебру подмножеств пространства Х\ХХ2. Мы
вскоре докажем, что все конечные объединения булевых
прямоугольников составляют булеву алгебру. Эта алгебра
называется произведением двух булевых алгебр (F\ и #"2 и
обозначается ^ΊΧ^2. Таким образом, мы получаем метод
образования новых булевых алгебр из заданных алгебр. Булево
пространство (Х\ХХ2, &ΊΧ3Γ2) адекватно описывает события, связанные с
совместным экспериментом. Аналогично, можно определить
произведение (Χ\ΧΧ2Χ ... XXky STxXSFiX ... X#"ft)
нескольких булевых пространств (Xif&~i)t ί= 1, 2, ..., k>
рассматривая все конечные объединения булевых прямоугольников вида
FiXF2X ... XFki где Fi^&u f—1, 2, ..., k.
Класс всех множеств F\XF2t FiS^i, F2^^2t имеет
определенные особенности, которые очень полезно описать в форме
определения.
28
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Определение 4.1. Система 3) подмножеств X называется
булевой полуалгеброй, если
(i) Л,Ве2) влечет за собой АВ е 3)\
(и) Де2) влечет за собой представление А' в виде
конечного объединения непересекающихся множеств из 3)\
А\\\) Хе=2>.
Утверждение 4.2. Пусть 3)— булева полуалгебра. Тогда
семейство 2F всех конечных объединений непересекающихся
множеств из 3) представляет собой булеву алгебру. (&~ называется
булевой алгеброй, порожденной 2D. В частности, #" есть
семейство всех конечных объединений множеств из 3).)
к
Доказательство, Пусть А — любое множество вида. U R},
/«ι
/?/ е 2). Можно записать
A=RX U R2R[ U RZR'2R[ U ... U RkR'k_x .../?(.
Из свойств (i) и (и) данного выше определения следует, что
А можно представить в виде конечного объединения
непересекающихся элементов из 3). В частности, $Г замкнуто
относительно конечных объединений. То, что $Г замкнуто
относительно взятия дополнения, доказывается тривиально. Таким
образом, установлено, что 2F — булева алгебра.
Упражнение 4.3. Если 3>\ и 3)2 — булевы полуалгебры
соответственно подмножеств Х\ и Х2, то все прямоугольники вида
#iX#2, Ri^3)\, R2^3)2 составляют булеву полуалгебру. ·
Упражнение 4.4. Класс Э всех интервалов вида (— оо, + оо),
(—оо, а], (а, + оо), (а, Ь] саиб, принимающими значения из
R, составляет булеву полуалгебру.
Комбинируя упражнения 4,3 и 4.4, получим
Упражнение 4.5. Пусть класс ^тот же, что в упражнении 4.4,
Тогда класс &* всех прямоугольников вида ЛХ/гХ ... X/*,
/;·€^, /=1, 2, ..., ft, является булевой полуалгеброй
подмножеств ^-мерного действительного евклидова пространства
Rk. Все конечные объединения непересекающихся множеств,
принадлежащих 2fk, составляют булеву алгебру.
Упражнение 4.6. Пусть (Ха, У а), α е / — семейство булевых
пространств, Х= Π Χα —декартово произведение всех Ха, а
as/
ίΓ —семейство всех подмножеств вида {х: ^gX, (я(αϊ),
χ(α2), ...,φ*))εί}, где F s^ai X #~α2 Χ ... X&~ak и
{αι,α2, .«,, <%k} есть конечное подмножество /. Тогда £F есть
4. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ 29
булева алгебра. Пространство (Х> #") называется
произведением булевых пространств.
Утверждение 4.7. Пусть 2) — булева полуалгебра
подмножеств X, пусть отображение р: 3)-> [О, 1] такое, что р(Х) = 1 н
p([}Et)=tp(Ei),
где Ei суть попарно непересекающиеся элементы из 2) и
k
Μ ^е®. Тогда существует единственное вероятностное рас-
пределение Ρ на булевой алгебре, порожденной 2)> такое, что
Р(Е) = р(Е)у Ε <==£>.
Доказательство. Утверждение доказывается точно так же,
как в примере 2.4. Тем не менее мы повторим доказательство.
Пусть Φ — булева алгебра, порожденная 3). Согласно
утверждению 4.2, любое АеУ можно представить в виде
k
Определим
Я(А)-^р(£Д
Если
m
A=\]F,, F,&® и Ft(\ F,= 0 при i Φ j,
m k
то покажем, чтоР(Л)=£ p{Fi)- В самом деле, имеем F,= I] Ffiu
поскольку 3) замкнуто относительно пересечений и ρ аддитивно
k
на 2D, имеем p(FJ)= Σ p(FjEi). Следовательно,
m m k
Zp(Fi)=lZp(FiE,).
ft
В силу симметрии правая часть в то же время равна Σ Ρ {ΕΧ
i-\
Из определения также следует, что распределение Ρ конечно
аддитивно на &~. Единственность доказывается тривиально.·
Замечание 4.8. Доказанное выше утверждение остается
справедливым, если ρ представляет собой отображение из SD в
30
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
[0, оо] с тем отличием, что Ρ замещается конечно аддитивной
функцией.
Пусть (Xit &Ί), I = 1,2, ..., k, — булевы пространства.
Тогда, согласуясь с упражнением 4.6, можно построить
произведение булевых пространств (ΧιΧΧ2Χ ... Х^, &Ί X
Х#"гХ ... Х#"*). Если Pi — вероятностное распределение на
!Fi, то возникает вопрос: существует ли вероятностное
распределение Ρ на У ι X #"2 X · · · X У к» такое, что
Wi X F2 X ... X Fk) = P{(Fx)P2{F2)... Ρ,(^), (4.1)
Ftsri9 ί—1. 2, ..., Λ.
Приводимый далее результат дает утвердительный ответ на
поставленный вопрос и указывает способ получения новых
вероятностных пространств из данного.
Утверждение 4.9. Пусть распределение Ρ определено
формулой (4.1) на булевой полуалгебре всех прямоугольников. Тогда
функция Ρ конечно аддитивна и может быть продолжена
единственным образом до вероятностного распределения на &\ Χ
χ^2χ ... x*v
Доказательство. Пусть Fi^SFu i= 1, 2, ..., k, так что
Fi Χ ^2Χ · · .Ph- L) (Fu ΧF2i Χ ... Χ Ры),
где Fri^tFr, г=1, 2, ..., /г. Допустим, что прямоугольники
в правой части равенства не пересекаются. Тогда для любого
(х\, Х2> ...» **) у xf s X/, имеем
II Xf/ (*/) = Σ 3tF„ (*i) Xf2£ (*г)... %Fki (*k). (4.2)
Если k—1 величин фиксированы, то обе части равенства (4.2)
оказываются простыми случайными величинами, как функции
оставшейся величины. Если мы проинтегрируем обе части по
мере Pk, то получим
[Й Хр, (Xf)] Pk (Fk) = Σ [И %Pli (Xf) ] Pk (Fhi)-
По отношению к каждой из остальных величин х\, х2, ..., Xk-\
обе части представляют собой простые случайные величины.
Интегрируя последовательно по мерам Р*-ь Р*-2. . · ·, Р\>
получаем
Λ (Fy) P2 (Ft) ...Pk (Fk) = Σ Ρ, (Fu) P2 (F2l) ...Pk (/=■«).
4. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ 31
Это соотношение показывает, что функция Ρ конечно аддитивна
на булевой полуалгебре всех булевых прямоугольников. В силу
утверждения 4.7 распределение Ρ единственным образом можег
быть продолжено на произведение булевых алгебр W\ X
ХЗГ2Х ... ХЗГн.
Определение 4.10. Если (XitiFiyPi)t ί=1, 2, ..., й,
—булевы вероятностные пространства, то вероятностное
распределение Р, построенное в утверждении 4.9, называется
произведением распределений Р\, Р2, ..., Pk и обозначается Pi X Р2 X ...
... XPfe. Булево вероятностное пространство №ХХ2Х ...
... XX*. 0"iX ... X0%, P1XP2X ... X Ρ*) известно как
произведение булевых вероятностных пространств.
Замечание 4.11. Пусть теперь (Xat &~atPa),
αεΓ,-семейство булевых вероятностных пространств. Рассмотрим
декартово произведение X = Ц Ха. Любая точка χ е X есть функ*
(Х€=Г
ция, определенная на Г со значениями U Ха, так что х(а)&
asr
е Ха для всех а. Словами это можно выразить так: χ обладает
тем свойством, что его a-я координата принадлежит Ха. Для
любого конечного множества ДсГ, 4={αι,α2, ..., α*},
рассмотрим все множества вида
{х: (х (сО, χ (а2), ..., χ (aft)) <s £}, (4.3)
где Ε е ίΓαι Χ ^α2 Χ ... Χ ^"αΛ· Можно назвать такие
множества ^-мерными булевыми цилиндрами в X. Введем
отображение
«л: *-*αιΧ*«,Χ...Χ*«»,
задавая
лл (*) = (л: (щ)), χ (аз), ..., χ (ak)).
Тогда множество (4.3) есть не что иное, как Пд1(Е). Это
множество в X можно рассматривать как событие, относящееся
к координатам (или наблюдениям) в «моменты времени» αϊ,
о&2, ..., α*. Очевидно, что класс
^-{«лЧЯ). я«*Ч Х^-.Х.-Х*'.*}
представляет собой булеву алгебру в X. Класс §Га можно
рассматривать как систему всех событий, имеющих отношение к
наблюдениям в моменты времени αϊ, α2, ..., α*. Если ЛсВс
с:Г и Л, В конечны, то !ГаС1£Гв. Действительно, если А —
= {«ь «2, ..., α*}> β = {аь α2, ..., αΛ, ал+ь ..., а/}, то
событие, определяемое наблюдениями в моменты времени аь
32
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
сс2> ..., ос/е, является также событием, которое определяется
наблюдениями в моменты времени αϊ, α2, ..., α*, а*+ь ..., α/.
Поэтому отсюда следует, что семейство
<F = (J #Ά
Л<=Г, А конечно
— также булева алгебра. В силу предыдущего утверждения
можно построить распределение РА = Ра{ X Ра2 X ... X Pak на
булевой алгебре &~щ X &~а2 X ... Х#~аА,· Используя это,
можно построить распределение Ра на &Ά, полагая
РА (па{(Е)) = Ρ А (£), £е^ХГ„2Х...Х ^
всякий раз, когда Л={аь аг, ..., afe}. Ценой чуть больших
усилий можно показать, что РА корректно определено на #д.
Если А и В — конечные подмножества Г и Л с: β, то
рл (F) = ρβ (F) для всех Fe=<FAc: TB. (4.4)
Это дает возможность построить вероятностное распределение
Ρ на ^, полагая
Ρ (F) = Ρ a (F), если F €= ^А, (4.5)
для всех конечных множеств ДсГ. Таким образом, получаем
булево вероятностное пространство (Я, #\ Р) со свойством
Ρ (κα ' (Е)) = (Ра, X Р«2 X ... X Рч) (Е) (4.6)
для всех Ε <= 3Γαι χ ^ χ ... χ ρ^
Условие (4.4) играет важную роль в теории случайных
процессов. Оно известно как условие согласованности.
Замечание 4.12. Предположим, что два статистических
эксперимента, которым соответствуют булевы пространства {X\,!F\)
и {Х2,ЗГ2), осуществляются соответственно rt\ и п2 раз. Пусть
А\&(Г\ и А2^&~2 — два события. Обозначим через т\ и т2
числа появлений соответственно событий Ах и А2 в каждой из
серий экспериментов. Предположим, что исход первого
эксперимента не имеет никакого отношения к исходу второго и
обратно. Рассмотрим i-e осуществление (испытание) первого
эксперимента и /-е осуществление (испытание) второго
эксперимента как ij-e осуществление (испытание) «совместного
эксперимента» с выборочным пространством Х\ X Х2 и классом
событий #"ι Χ #"2. Тогда общее число испытаний, относящихся к
совместному эксперименту, равно ti\ti2. Событие А\У^А2
появляется в этих испытаниях m\tn2 раз. Поэтому частота А\У^А2
равна гп\т2/п\п2у что есть произведение частот т\/п\ и т2/п2
соответственно событий А{ и А2. Если частоты обладают свой-
4. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ' 33
ством устойчивости при п\ и /г2, стремящихся к бесконечности,
то естественно считать, что вероятность события А\ХАч в
совместном эксперименте равна произведению вероятностей
событий А\ и Л2. Это интуитивное заключение получено в
предположении, что исходы одного эксперимента не оказывают влияния
па исходы другого. Следующее определение основывается на
проведенном эвристическом обсуждении.
Определение 4.13. Статистический эксперимент, описываемый
произведением булевых пространств (Χχ X Х2 X ... X Х^
ТхХ&ъХ ... X&~k, P1XP2X ... XPk), называется
последовательностью независимых экспериментов (Χι,&Ί, Р*)> /=1,
2, ..., k. Если Xt = Xt Τι = Τ, Ρι = Ρ для всех /=1, 2, ...
<.., k, то мы говорим, что (ХХХХ ... XX, FXTX ...
..-. ΧίΓ, РХРХ ... Χ Ρ) есть последовательность к
независимых испытаний эксперимента (X, &~, Р).
Определение 4.14. Два события А и В в булевом
вероятностном пространстве (X, &~f P) называются статистически
независимыми, или просто независимыми, если Р(ЛБ) = Ρ (Α) Ρ (В).
Семейство {Аа}, аеГ, называется семейством взаимно
независимых событий, если
Ρ \Аа{Аа2у ... ла/) = Ρ (Α*,) Ρ (Αχ2) · · · Ρ (Аху)
для любого конечного множества {аь а2, ..., а/}с Г.
Определение 4.15. Семейство {sa}, as Г простых случайных
величин на булевом вероятностном пространстве (X, (F, Р)
называется семейством взаимно независимых случайных величин,
если для любого конечного множества {αι,α2, ,..,«/}сГ и
произвольных подмножеств Е\, £2, ..., Е\ прямой выполняется
соотношение
P{sJ{Pt) Π <(52)... П *;}(Ε,)} = ΤίΡ{8;;(Ει)}.
Пример 4.16. Пусть X — конечное множество, состоящее из
целых чисел 1, 2, ..., Ν, и ЯГ — класс всех подмножеств X.
Пусть, далее, Ρ — распределение на 8Г, такое, что
P({i}) = Pi, *-l, 2, ..., ΛΓ;
при этом Ρί^Ο, Σρ/=1· Рассмотрим η независимых
испытаний эксперимента (X, &*, Р). Ответим теперь на вопрос:
какова вероятность того, что в η независимых испытаниях,
каждое из которых соответствует эксперименту (Х,&~,Р), в
наблюдаемой последовательности (i\, /2, ..,, in) число 1 встречается
34
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
г\ раз, 2 встречается г2 раз, ...tN встречается Гц раз? Если
фиксированная последовательность (lu i2f ..., in) содержит Г/
чисел /, / = 1, 2, ..., Ν, то соответствующая ей вероятность
равна pixpi2 . · · Ριη = Ρι1/^2 · · · Рл^· Поэтому искомая
вероятность равна kp\xpr22... pr^t где k — число последовательностей
элементов из X длины п, в которых 1 встречается г\ раз, 2 — гч
раз, ..., N— rN раз. Из общего числа η позиций мы можем
выбрать ( ) способами η позиций и поместить на них 1. Из
(П—Г\\
I
( П — Г\ \
спо-
собами г% позиций и поместить на них 2. После выбора г\ пози*
ций под 1, т% позиций под 2, ..., г ι позиций под /, можно вьк
брать г/+1 позиций
ίη — π—га— ... — г,\
способами и занять их числами /+ 1. Таким образом, число
последовательностей, содержащих η чисел 1, т2 чисел 2, ..., л#
чисел Ν, равно
f"V"~*"M /п~-г{-г2-- ... -'лг-Л^ л!
где Л! -f Г2 + ... +γν — п, Поэтому искомая вероятность равна
"' Р?Й»...Р^. (4.7)
rji г2!... г^|
Таким образом, мы получили мультиномиальное распределение
(см. упражнение 3.18).
Можно интерпретировать то, что сделано нами, в терминах
случайных величин. Проведем п^ независимых испытаний
(X, &~,Р). Для любой наблюдаемой последовательности целых
чисел ii, /г, ..., in определим
г (iyy /2, .. м ln) — (/"], Γ2, ..., г#),
Где г/ есть число / в последовательности для каждого 1 ^ / ^
sg: N. Следовательно, г есть отображение из XX XX ... XX
в множество N-мерных векторов с неотрицательными
целочисленными координатами, сумма которых равна п. Иными
словами, г есть векторная простая случайная величина.
Вероятность того, что г принимает значение {ги Ъ> ..., /Ά?), дается
выражением (4.7).
Пусть X — пространство всех векторов г = (п, г% ..., гы)
5. ПУАССОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
35
ν
с целочисленными координатами г\\ О ^ л/ ^Nt Σ rf = n и
/=ι
SF — класс всех подмножеств X. Пусть, далее, Ρ—
распределение на (X, &~), такое, что Ρ ({г}) равно выражению (4·7)· Тогда
Ρ называется мультиномиальным распределением с
параметру
рами ри р2, ..., Ρν, где pi > 0 для всех /и Σ Pi = 1.
Случай N = 2 представляет особый интерес. Будем в этом
случае обозначать pi = ρ и р2 = 1 — Ρ = <7 и 1 называть
успехом, а 2 — неудачей. Тогда вероятность г успехов в η
независимых испытаниях выражается формулой
Ь(п, г, р) = (* )Prqn~r, r = 0t l, 2, ..., п. (4.8)
Если X — множество целых чисел {0, 1,2, ..., п}, $Г — класс
всех подмножеств X и Ρ — распределение на (X, (F) с Р({г}) =
= Ъ (/г, г, р) для г = 0, 1, 2, ..., п, то Ρ называется
биномиальным распределением с вероятностью успеха ρ и числом
испытаний /г. Это распределение описывает вероятности г успехов,
г = 0, 1, 2, ..., /г, в /г независимых повторениях эксперимента
с двумя элементарными исходами, один из которых называется
успехом, а другой — неудачей {).
В упражнении 3.18 показано, что гипергеометрическое
распределение сходится к биномиальному распределению, когда
число шаров в урне неограниченно возрастает таким образом,
что доля белых шаров в урне стремится к р.
§ 5. Пуассоновское приближение
для биномиального распределения
Рассмотрим η независимых биномиальных испытаний с
одной и той же вероятностью успеха р. Обозначим символом Sn
число успехов. Очевидно, что Sn — случайная величина и
P{Sn = r} = (nr)prq^r.
Несложные вычисления показывают, что
ε^ = Σγ(γ)^^γ==^ (б-О
V (Sn) = £ (г - rap)2 ( * ) ?q«-* = npq. (5.2)
*) Эти испытания обычно называют биномиальными. — Прим. nep$Q<
36
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Это можно получить двукратным последовательным
дифференцированием обеих частей тождества
Γ-(Λ Г '
по переменной р.
Предположим теперь, что ρ зависит от η так, что ηρ-^λπρπ
л->оо, т. е. ожидаемое число успехов стремится к
фиксированной величине λ > 0. Тогда V{Sn) также стремится к λ. Найдем
теперь при этих условиях предельное выражение для b(n,rfp).
Утверждение 5.1. Пусть рп> 0, η = 1, 2, ..., и lim ΑζρΛ = λ.
Λ-*οο
Тогда
lim b(nt r, ρη) = β-λ(λΓ/ή), r = 0, 1, 2, ... . (5.3)
Λ->οο
Доказательство. Имеем
=7г1 й=ш jx
χ(ηΡηγ(\-ψ)\
Мы видим, что выражение внутри фигурных скобок в правой
части равенства стремится к единице при п->оо. Кроме того,
из анализа хорошо известно, что Г1 —^^ 3 ""**"* ПРИ я-^°°»
когда Хп-+х* Следовательно, соотношение (5.3) выполняется и
доказательство завершено.
Замечание 5.2. Предельная теорема, заключающаяся в
утверждении 5.1, имеет важное значение. Вычисление
выражения (4.8) затруднительно при больших п, так как оно
содержит факториалы больших чисел. Если пр устойчиво меняется
около значения λ, можно использовать приближение (5.3).
Существует множество примеров, когда вероятность некоторого
события очень мала, а число наблюдений весьма велико и
ожидаемое число появлений события в большом числе испытаний
есть определенная фиксированная величина. Приведем
примеры.
-Посмотрим на человека, идущего по улице, с точки зрения
уличных происшествий. Вероятность ρ того, что с этим
человеком произойдет несчастный случай, мала. Рассмотрим теперь
большое количество людей, идущих по улице. Среднее число
6. НОРМАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
37
происшествий может быть взято равным фиксированному числу
λ. Если наблюдаемая случайная величина есть число Ζ
несчастных случаев в день и предполагается, что люди
подвергаются опасности независимо один от другого, то можно
использовать модель
P(Z = r) = e'hr/rl (5.4)
Теперь обратимся к человеку, который звонит по телефону
в определенный час пик. Вероятность ρ для отдельного
человека позвонить по телефону мала. Так как общее число
абонентов очень велико и различные люди звонят по телефону
независимо друг от друга, то можно сказать, что случайное число X
телефонных вызовов, сделанных в течение часа пик,
распределено в соответствии с формулой (5.4).
Большое число примеров читатель может найти в широко
известной книге В. Феллера [4].
Упражнение 5.3. Обозначим через Ai(n;ri, г2, ..., rN\ ри ...
..., ры) вероятность* (4.7) в мультиномиальном распределении.
Предположим, что ри р2> .. ·, Ρ ν зависят от η таким образом,
что npf-+Xf при П-+00 для всех /= 1, 2, ..., Ν—1. Тогда
lim Μ {η; гь r2, ..., rN\ plt p2i ..., pN) =
П-»оо
-(λ1+λ2+...+λΛ^_1)
rl\r2\...rN__ll ΛιΛ2 •••Алг-1 ·
§ 6. Нормальное приближение
для биномиального распределения
Пусть, как и в § 5, Sn обозначает число успехов в η
независимых биномиальных испытаниях с вероятностью успеха р,
0<р<. 1. Рассмотрим нормированную случайную величину
ζη = ^μ^. (6.1)
Ajnpq
Из равенств (5.1) и (5.2) следует, что ΕΖΛ = 0, ΕΖ* = 1.ΠρΗ
этом из неравенства Чебыщева можно вывести, что
P{|ZJ>a}<l/a2.
Это неравенство указывает, что случайная величина Ζη
принимает значения из интервала [—а, а] с вероятностью, не
меньшей 1—от2 при всех п. По теореме Больцано — Вейерштрасса
из анализа всякая ограниченная последовательность имеет
сходящуюся подпоследовательность. Вместо числовой
последовательности рассмотрим здесь последовательность случайных
38
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
величин Zn, значения которых с большой вероятностью
принадлежат ограниченному интервалу. Мы можем теперь задать
естественный вопрос: существует ли подпоследовательность
Znk с тем свойством, что Ρ {α < Znk ^ β} для любых α, β
сходится при £-*оо, т. е. распределения вероятностей величин Ζη
имеют сходящиеся в некотором определенном смысле
подпоследовательности? В связи с этим докажем следующую теорему.
Утверждение 6.1. (Теорема Муавра — Лапласа.) Пусть
случайные величины Ζη определены формулой (6.1). Тогда при всех
α<β
β
lim Ρ {α < Ζη < β} = -~ \ е~*Ч2 dx. (6.2)
η-»οο у2л J
α
Доказательство. Используем хорошо известную формулу
Стирлинга (см. [4])
Число Sn успехов и число η — Sn неудач выражаются через
величину Ζ η следующим образом:
Sn = np + ZnA/npqt n—Sn = nq--Zn ^lipq-
Обозначая через χ значение случайной величины ΖΛ,
соответствующее значению г случайной величины Srt, получаем
г = пр + χ ^/npq, n — r = nq~-x ^/npq·
Предположим, что χ лежит в ограниченном интервале [α, β].
Тогда г и η — г стремятся к оо как О (п). Используя
соотношение (6.3), запишем
п\
r\(n-r)l
■[к£=*Ш'(т£гГ <·+·<»*
где о(1) есть член, зависящий от η и х, но абсолютное значение
которого мажорируется членом последовательности гп, которая
стремится к 0 при я->оо; при этом гп зависит только от α, β, ρ
и л. Тогда
_ Г 1 Ι"2 χ
L 2π {пр + χ <y/npq) (nq — χ ^/npq) J
χ (ι + χ vra-^'^O - χ VpM)"(","JtV^)(i +o(i)).
6. НОРМАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
за
Так как α ^ χ ^ β, имеем
2π (яр + χ <\/npq) {nq — χ <φιρη) 2nnpq
Поэтому
6(^г>р)=уа^/Лл:)(1 + 0(1))> (6'4)
где
- log fn(x) = {np + x л/Tipq) log(l + χ л/д/пр) +
+ (nq — л: Y^P?) log (l — χ л/p/nq). (6.5)
Имеем
iog(i+W*)=*Y^~T^^
1
если a^x ^ β. Подставляя последние выражения в (6.5),
получаем
-log/.M-f+o^). (6.6)
Далее, из (6.4) и (6.6) имеем
й(/г'г'р)=в^б"х,/2(1+0(1))' (6·7)
где χ = г~аИ , α < л; ^ β. Следовательно,
Ρ(α<Ζη<β) = -^^|^^Γ^Ρ)ν2^|(1+0(1))> (6β8)
^2nnpq I ^ j
где сумма в фигурных скобках распространяется на все
неотрицательные целые числа г, такие, что
α л/npq + пр < г < β <y/npq + я/?.
Рассмотрим интервал [α, β]_π в нем Точки #гл = (г —#р)/Уяр<7*
Имеем Х{г+\)п — #/.*== l/<y/npq. Следовательно, при
фиксированном η точки {я™} образуют разбиение интервала [α, β] на
подынтервалы длины, не превосходящей Х/л/npq. Точнее, все
подынтервалы, за исключением двух концевых, имеют длину,
равную XJ^Jnpq. Поэтому, используя определение интеграла
Римана, получаем
lim -t=L=- T e'tnh . » f e-Wdx.
n->oo y2nnpq *—' γ2π J
40
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Теперь из формулы (6.8) следует
llm P(a<Zn<fl*=*-±=-[e-"i*dx. ■
Следствие 6.2. Если (г — пр)/л/прд ограничено, то
Ь(п, г, p)=-FL=-e-*-"№w{\ +о(1)).
^y/2nnpq
Доказательство. Это всего лишь другая форма записи
соотношения (6.7).
§ 7. Многомерное нормальное приближение
для мультиномиального распределения
Рассмотрим η независимых мультиномиальных испытаний с
N элементарными исходами 1, 2, ..., Ν, имеющими
вероятности ри р2 Pn, где 0<pi< 1 для всех i— 1, 2, ..., Ν,
и Σ Ρί= 1· Если 5η/ есть число появлений исхода / в η
испытаниях, то в соответствии с примером 4.16 имеем
— 2! nrl nr2 DrN _
Γ1ΐΓ2! ··· ΓΛΓ! 1 "■" *
«= Λί (λ; ru r2 ..., r„; рь Аь · · · > Pn)- (7.1)
Заметим, что
ESn} = nph V (Sn}) = лгр7(1 — ρ,).
Точно так же, как в § 6, проведем асимптотический анализ
вероятности
p|ay< Srt/"*P/<fr/ У— 1. 2, ..., tf-l}.
Получим , .
Утверждение 7.1.
ΗτηΡ{α/< Sn!^P! <β/, /=1, 2, ..., tf-l} =
/ —1. 2· .... JV—I
N
Где Xn определяется из равенства Σ xi = 0.
7. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
41
Доказательство. Пусть гп\ — значение Snj и
гщ-пр, t /β1 2,..., tf. (7.2)
Тогда
Σ*/ = 0, (7.3)
/-ι
Если α/<Α:/^β/ при /=1, 2, ..., W—1, то гп\ стремится
к бесконечности как О (п) при каждом /= 1, 2 N.
Применим формулу Стирлинга к мультиномиальным вероятностям
(7.1). Из формулы (6.3) следует
М{п; гпЬ гп2, ..., rnN\ pu р2> ···> Pn)~
„1/2
= Af-1 „ fni*U Х2. ■ · ·. Χν) 0 + Ο (1)) =
(2π) 2 Π (*/ V» + ηρι)Χβ
/=ι
— Af-l /»(*Ь *2 %) (1+0(1)),
(2ηη) 2 (PlP2...pN)U2
где в соответствии с (7.2) и (7.3) имеем
-bg/„(*,, χ2 %)= J]U/V« + «P/)iog(i +"7v^) =
=ίΣ^νφ,+Θ(^)=
_ifi+0( ■),
при этом слагаемое, записанное в форме 0(—у=Л, по
абсолютной величине не превосходит с/<\/п, где постоянная с зависит
Трльяо от ри р%* ..** Pn ъ «ь Рь а?, рг, .*., «лг-ь рлг-j. Таким
42 ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
образом,
М(П\ Гп\, f/i2i ·♦♦> rnN'* Pb Ръ ··♦> Рлг) =
12т) 2 (ΡΧΡ2...ΡΝ)112
Ν 2>
1 еХр(-^У^-1(1+о(1)), (7.4)
{-т>
rni"^flPi
когда *у = — ,_ лежит в ограниченном интервале [α/, β/])
"у ft
при /=* 1, 2, ..., #—1. Далее, точно так же, как при
доказательстве утверждения 6.1, из определения многомерного
интеграла Римана следует, что
Нт У Μ (η; rnU гпЪ ..., rnN\ pu p2 pN) =·
П-»оо *—
/-1.2 ЛГ-1
- [W-W~p„r „,4<i( ехр(-!ЕД)х
/-1. 2, ... JV-1
ΛΓ-Ι
где %== — Σα:λ ■
§ 8. Некоторые применения
нормального приближения
Рассмотрим монотонную неубывающую функцию
χ
Ф(*)в-1=г С е-»1'2 л.
л/2п J
Эта функция действительного переменного называется
функцией стандартного нормального распределения. Из теории
эйлеровых интегралов известно, что
lim Ф(*) = -р=г [e-Wdu=L
Очевидно, что
Нт Ф(*) = 0,
8. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 43
Согласно примеру 2.4, функция Φ определяет распределение
вероятностей на булевой алгебре ЗГ9 описанной в этом примере.
Функция
называется плотностью стандартного нормального
распределения.
Продемонстрируем теперь практическую пользу от
предельной теоремы Муавра — Лапласа, заключенной в
утверждении 6.1.
Пример 8.1. (Задача о телефонных линиях1*.) Пусть
имеется N абонентов телефонной станции Л, которые хотят HMeTjb
телефонную связь между станциями Л и β. Мы доЛжны
определить число линий связи между А и В. Предположим, что в
определенный час пик каждый абонент занимает линию в
среднем k минут. Будем считать, что в любой фиксированный
момент вероятность того, что абоненту понадобится линия, равна
ρ = β/60. Можно сравнить абонентов, добивающихся разговора
по телефону, с биномиальными испытаниями с вероятностью
успеха р. Вероятность того, что г абонентам одновременно тре-
буется линия, равна b(N, г, р) = \ )prqN~r. Предполагается
проложить η линий между Л и β с тем, чтобы вероятность
любому абоненту не получить соединение, не превосходила бы α
(α обычно выбирается равным 0.01 или 0.05). Если все η линий
заняты в некоторый момент, то это означает, что более чем η
абонентам нужна связь. Вероятность этого события дается
выражением
N
Σ b(N, r, ρ)<α. (8.1)
Так как довольно затруднительно найти η из соотношения (8.1),
можно использовать нормальное приближение в соответствии
с утверждением 6.1. Левая часть формулы (8.1) представляет
собой вероятность Ρ (S# ^ η), где Sn есть число успехов в N
независимых биномиальных испытаниях. Эта вероятность в
свою очередь равна
V л/ТГрд """" л/Npq /
1) См. также В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее прило·
жения, т. I, гл. VII, § 4, М., 1967. — Прим. перев.
44
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Последняя вероятность по утверждению 6.1 приближенно равна
~" I л/Npq )'
где Φ (а:) — функция стандартного нормального распределения.
На прямой существует единственная точка лга, такая, что
1-Ф(*«) = а. (8.2)
Полагая (п — Np)/<\/Npq =** ха, находим приближенное значение
для η: η = [Np + ха л/Npq] + 1, где квадратные скобки
обозначают целую часть. Для данного α значение ха можно найти
из стандартных статистических таблиц для функции
нормального распределения.
Пример 8.2. Предположим, что на фабрике для обеспечения
постоянного режима выпуска продукции должны работать
одновременно η одинаковых станков. Предположим, что
вероятность любому из этих станков выйти из строя равна р. Мы
должны определить общее число N станков, которые нужно
установить на фабрике, чтобы вероятность того, что в любой
определенный день число работающих станков будет меньше л,
не превосходила бы заранее выбранного числа а. Мы можем
сравнить работу N станков с N независимыми биномиальными
испытаниями с вероятностью успеха (т.е. «поломки»),равной/?.
Тогда
N
Ρ {число поломок > Ν — л} = J] ( ) РГЯЫ"Г-
При использовании нормального приближения мы должны
заменить указанную вероятность приближенным выражением
\ л/Wq ) \ л/Npq J
Вычислим ха как решение уравнения (8.2) при данном α и
приравняем
(Νς — η)/Λ/Νρς = χα.
Решая это уравнение относительно Ν, получим
При достаточно большом η число N приближенно равно (/х/#) +
+ U» л/np/q).
Пример 8.3. Рассмотрим юбобщение примера 8.1. Именно,
рассмотрим случай, когда необходимо протянуть линии теле-
8. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 45
фонной связи между станциями Л, В и С, D. Обозначим число
линий между Л, В через п\> а число линий между С, D через
/Z2. Пусть, как и прежде, N обозначает число абонентов и пусть
Pi и /?2 — вероятности того, что абоненту в любой момент
потребуется соответственно линия АВ и CD. Выберем р3 из
условия /?1+Р2 + Рз= 1. Предположим, что вероятность того, что
абонент не может получить соединение в нужный ему момент,
не превосходит заранее выбранного числа а. В силу этих
условий мы должны выбрать искомые числа щ и /г2 из соотношения
N1
Γι <i Пи *г ^ ttt
7J7^TpiP2p3>l~a'
Процедура определения rt\ и пъ из выписанного выше
неравенства представляет собой довольно трудную задачу. Однако
можно использовать многомерное нормальное приближение .в
силу утверждения 7.1. Если г\ и Г2 суть числа абонентов,
нуждающихся в данный момент соответственно в линиях АВ и CD,
то для случайной величины
вероятность
\ л/Npiqi ' 'slNpT.q* )
р^<Ш<ь- '-··*)
приближенно равна
(iLpg) \ \ [ехр (— 2(1_!.р2) (х2 + У2- 2рху)] dx dy,
2π
где
Функция
У *
ФР <*· У) - 2π(1-ρ2) S S [ехР { ^ 2 (lip») (^+"2-2Р^)}] * **
— оо —σο
называется функцией распределения двумерного нормального
распределения с ковариационной матрицей
CD·
46
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Теперь выбирая (ха, Уа) из условия 1 — ΦΡ(χα, ί/α)= а,
полагаем
п{ = [Νρχ + ха л/Щя\] + I»
п2 = [Np2 + ya У#/¥72] + 1,
где квадратные скобки обозначают целую часть. Однако
выбрать (#а, уа) можно не одним способом. Разрешим эту
неопределенность следующим образом. Предположим, что линии
между А и В являются в некоторой степени более важными,
чем линии между С и D. Мы должны гарантировать тогда,
чтобы вероятность того, что абонент не получит связь на линии
АВ, не превосходила бы β, где β < α. При этом выбираем #β,
такое, что 1 — Φ(#β)=β, где Φ (я) — функция стандартного
нормального распределения. Положим
/ii = [Νρχ + χβ Y^Ptfi] + 1.
Далее выберем у таким, что
φρ(*β> у)=1—α.
Отметим, что такое значение */ = #(а, β) существует. Положим
rh — [Νρ2 + У У#Р2<72] + 1.
Для выбора ΛΤβ и у (α, β) используются таблицы нормального
и двумерного нормального распределения.
Замечание 8.4. В примерах 8.1 и 8.2 можно использовать
пуассоновское приближение для биномиального распределения.
Однако распределение Пуассона само сближается с
нормальным распределением, если соответствующая случайная
величина нормирована, а параметр распределения неограниченно
возрастает. В самом деле, можно показать, что
λ+α νλ<Γ<λ+βΥλ α
Такое приближение позволяет нам полностью избежать
вычисления факториалов больших чисел.
§ 9. Независимые простые случайные величины
и центральная предельная теорема
Напомним (см. определение 4.15), что образующие
семейство {sa, a e /} простые случайные величины sa на булевом
вероятностном пространстве (X, У, Р) со значениями в Υ взаимно
независимы, если для любых различных αϊ, оьг, .·., а* из /,
9. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
47
целого положительного k и любого набора аь аг» ...» а* из У
к
P{sai = ah /=1,2, ..., й}вЦр{5а< = а,}.
Утверждение 9.1. Если простые случайные величины si, $г> ···
,.., 5д5 взаимно независимы, то
Es^S/ = ESiESj [ИЛИ COV (Sj, 5/) = 0] ПрИ 1ф\%
Доказательство. Если si и s2 принимают значения αϊ, аг, ...
..., ат и 6ι, й2, ..., δη соответственно на множествах £ь
£2, ..., Ят и Fu F2, *.♦, Frt, то S\S2 принимает значения aibj
на EiFj. Поэтому
Езд = Σ afigP (£,/>,) = Σ flift/P (Я,) Ρ (F,) =
-[Σ αίΡ(Ει)][Σ VWj-Es^.
Первая часть доказана. Вторая часть следует из
утверждения 3.22.
Упражнение 9.2. Пусть s и t суть Λ-мерные векторные
простые случайные величины, a si и U — соответственно их i-e
компоненты. Предположим, что s и t независимы и Es/ = Ε// = 0
для всех i=l, 2, ..., k. Пусть, далее, и — вектор, i-я
компонента которого равна siti, i=l, 2, ..., k. Если А =((ац)),
В = ((Ьц)) — ковариационные матрицы соответственно
векторов s и t, то ковариационная матрица С = ((сг/)) вектора и
имеет элементы сц = ((ацЬц)). Следовательно, для любых двух
положительных полуопределенных матриц ((а*/)) и ((Ьц))
матрица, ί/'-й элемент которой равен афц, также положительно
полуопределена (упражнение 3.23).
Пусть s\, S2, ..., Sk — простые случайные величины на
булевом вероятностном пространстве (X, &*, Р). Каждая из этих
случайных величин имеет конечное число значений. Рассмотрим
события вида Ε = {s\ == α, s2 = 6, ..., s* = с}. Такие события
образуют разбиение выборочного пространства на множества,
которые мы обозначим E\f E2t ..., ΕΝ. Тогда каждую
случайную величину Si можно представить в виде
ν
48
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Рассмотрим η независимых испытаний эксперимента {Х,2Г,Р)<
Пусть Х\, *2, ..., хп — исходы эксперимента. Введем
обозначение: lni = Si(xi) + Si(x2)+ ... +Si(xn). Тогда (|„г, ξ„2, ...
..., Ink) есть /^мерная векторная случайная величина на
произведении вероятностных пространств (ХХХХ ... XX, ίΓΧ
Χ Τ Χ ... #", Ρ Χ Ρ Χ ... Χ Ρ), где в произведении участвует
η сомножителей. Если ввести обозначение
Srt/ = X£/(*i) + Xi?/(*2)+... +%Εί(Χη), У—1,2 tf,
то S/г/ есть число осуществлений события Е\ в η независимых
испытаниях. Поэтому (S«bSn2 Snu) имеет
мультиномиальное распределение. Пусть Р(£/) = р/ и
Zni=Sni~^Pi , У—1Р 2 JV. (9.1)
Заметим, что
ξ"*^Εξ"<=Σα'/Ζ"/> '-Ь2 ft. (9.2)
Проведем теперь асимптотическое исследование вероятности
P{ul<l*t~p*.,*£0t, ί=1, 2, .... ft}
при η-»- oo, где ы,·, у,- (ί = 1, 2, ..., ft) — постоянные.
Утверждение 9.3.
11т Ρ (и, < ξ"' ,-lnl <о„ /«=1,2 ft) =
= [(2κ)»-ν2...ρχΧ
X J expi- ^Σ^")^1^2 ·· dx"'
где uit Vit /==1, 2, ..., ky — произвольные, но фиксированные
действительные числ^,
(9.3)
9. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
49
Доказательство. Пусть
Л„ = {и/<1*^==р*1<^, /=1,2 *},
β»α = {|Ζ„,|<α при всех /=1,2 Ν — \},
f N
£=|х: x = (xit x2 %), Σ*/ = 0,
Ν Ν
«i< Σ <*//*/<»*, ί=1, 2, ..., k\
F, = {x:U,|<«, /— 1, 2, ....
Используя доказательство утверждения 7.1, получаем
lim Ρ (Л„ П Bm) = \ f (x) с?*! d*2 ... ^%-ь
n-*oo _ У _
вп^я
где
/(х) =
[(2rt)w-V,P2...%]
1/2
exp
( «,ξ'Ο*
(9.4)
(9.5)
(9.6)
(9.7;
(9.8)
Применяя утверждение 2.5 и неравенство Чебышева, имеем при
всех η
Ν Ν
ηΚα)<ΣρΗζ^>αϊ<^Σρι(ι-Ρι}<4τ-
/-1
/-ι
Так как функция /(х) интегрируема по Риману в Ζ?*-1, то для
данного ε > 0 можно выбрать такое а, что
J /(χ)dxxdx2 ... dxN_x <~
и P(B'na) < τ Для всех rt· Следовательно, имеем
Ρ (Л Λ) — J / (x) dxx dx2 ... dxN_x
<*(4А.) +
Р (4Αα) ~ J f W <**! ^2 · · · <*%-!
+ \ /(x)dxidx2 ... dxN_i
<
BFn
<ε +
+
Ρ {ΛηΒηα) — \ ϊ (Χ) ^ </ЛГ2 . . . rf^.j I.
EFn
50
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Второе слагаемое правой части в силу (9.8) стремится к 0 при
д-^оо. Поскольку ε произвольно, получаем
lim Ρ(Ап) = \ / (х) dx{ dx2 ... dxN_{. Ш
Замечание 9.4. Из утверждения 9.3 следует, что
„llra.p{»'<i2^<4=vfc|i[Mp(-^)]'fa·
где σ2 = V(5i).
§ 10. Условная вероятность
Следующий пример естественным образом подводит нас к
понятию условной вероятности. Предположим, что η лошадей
принимают участие в скачках и их шансы на выигрыш
оцениваются соответственно вероятностями ри р2, ..., рп-
Предположим, что по некоторым причинам лошадь под номером η не
может участвовать в скачках. Относительные шансы первых
η — 1 лошадей на выигрыш находятся в отношении р\: р2: ...
... :рл_ь Другими словами, вероятность того, что лошадь под
номером г выиграет при условии, что в скачках участвуют
η—1 лошадей, равна рг/(1—р«). Оформим эту простую идею
в определение. Предварительно отметим, что любая общая
вероятностная формулировка имеет отношение к некоторому
фиксированному булеву вероятностному пространству (X, SF, Р).
Определение ЮЛ. Для любых двух событий Л и β с Р(В)>
> 0 условная вероятность события А при условии В
определяется как отношение Р(АВ)/Р(В) и обозначается Р(А\В).
Замечание 10.2. События А и В независимы тогда и только
тогда, когда Р(А\В)= Р(А), если Р(В)>0. Если по крайней
мере одно из событий имеет вероятность нуль, то эти события
всегда независимы.
В § 4 мы видели, как строить новые вероятностные
пространства по заданным вероятностным пространствам (Χι, 2Ги
Pi)9 i = 1, 2, ..., k, посредством образования их произведений.
Здесь мы покажем, как построить новое вероятностное
пространство по данному пространству путем введения «условия».
Утверждение 10.3. Пусть (X,iFyP)—булево вероятностное
пространство, причем УеУ, YczXt P(Y)>0. Определим
Ργ (А) = ρ (А | Υ) = Ρ (ΑΥ)/Ρ (Υ).
Тогда (ХУ !F, Ργ) — булево вероятностное пространство.
10. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
51
Доказательство очевидно.·
Замечание 10.4. В условиях утверждения 10.3 определим
ЗГ П У как семейство {A(]Y, A *=&*}. Если E<=&~f\Y и Е =
= A(]Y = B(]Yt где Л, BGf, то ясно, что P(A(]Y) = Р(А(]
η В Π Υ) = Ρ (В Π У). Определим Рк (£) = Ρ (Α | У). Тогда
(YjtFOY, PY) есть булево вероятностное пространство.
k
Утверждение 10.5. Пусть Х= [} Ht задает разбиение X на
ί = 1
непересекающиеся множества #,е#", где Р(#*)>0 для всех/.
Тогда для любого Де?"
k
Доказательство. Очевидно, что А= Μ ΑΗ(. Поскольку Ht
не пересекаются, то ΑΗι также не пересекаются. Поэтому
ρ(Α)=Σρ(αη1)=Σρ(α\η1)ρ(η{). ш
i i
Утверждение 10.6 (теорема Байеса). В обозначениях
утверждения 10.5
ρ{ΗιΙΑ)=ρ^Α= Р(л\н,)рт , (10Л)
Σ Ρ (А | Я/) Ρ (Я/)
Замечание 10.7. Последнее утверждение имеет следующую
традиционную интерпретацию. События Hi рассматриваются как
вероятностные гипотезы, а вероятности Ρ(Ηι), ί=1, 2, ..., #,
называются априорными вероятностями этих гипотез.
Предположим, что эксперимент завершился появлением события А.
Тогда вероятности Р(Я/|Л), ί=1, 2, ..., k, заданные
равенством (10.1), можно интерпретировать как апостериорные
вероятности для гипотез (в свете информации о том, что событие
А произошло).
Пример 10.8 (урновая схема Пойа). Рассмотрим урну,
содержащую а белых и Ь черных шаров. Извлечем из урны один
шар наудачу и возвратим затем его назад в урну вместе с с
шарами того же цвета. Повторим эксперимент η раз. Отметим,
что исход г-го по счету извлечения зависит от исходов
предыдущих г—1 извлечений. Пусть события Wi и Bt заключаются в
том, что результатом /-го извлечения является соответственно
52
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
белый или черный шар. Введем обозначение: P(W\W2 ...
... Wj) = pj. Тогда
Pj = Ρ<Wi\WXW2 ... W^X)P{WXW2... W}_x) =
a + (j-\)c
a + b + (j-\)c μ!~1'
Вообще вероятность того, что первые /Ί извлеченных шаров
белые, следующие \2 шаров черные, следующие /3 шаров белые
и т. д. и наконец последние /V шаров черные (где ]\ + /2 +
··. +/г = п), равна
a(a+c)...(a + (h-\)c)b(b + c)...(b + (h-\)c)(a+hc)..^a + (h + h-l)c)
(a + b)(a + b + c)(a+b + 2c) ... (а +b + (η-\) с)
_a(a + c)(a + 2c)...(a + (rn-l)c)b(b + c)...(b + (n2 - 1) с)
~ (a + b)(a + b + c) ...(a + b + (n-\)c)
где щ = /ι"+ /з + /б +' ... + /г-ь «2 = /2 + А + ... + /г, п\ +
+ «2 = л. Таким образом, искомая вероятность равна
вероятности того, что первые п\ извлечений привели в результате к
белым шарам, а следующие п2 извлечений — к черным шарам.
Упражнение 10.9. В предыдущем примере выполняются
следующие равенства:
Ρ {Wt \Wj) = P (W; I W§)9 Ρ (Wt IB,) = Ρ (W} Ι Bt)9
Ρ (В< \Bt) = P (Bf I Bf), Ρ (Β, I IT;) - Ρ (β/1 IT,).
Упражнение 10.10. В примере 10.8 обозначим через pk(n)
вероятность того, что в результате η извлечений мы получили к
белых шаров. Тогда
/ 11\ / \ Ь + (п — k)c . / \ a + (k~ \)c
ph(n+l)-pk(n) Z+b + nc +P»-i(") a + b + nc '
Пример 10.11. Эксперимент в примере 10.8 можно
представить как последовательность биномиальных испытаний. Если ,
первые т испытаний привели к k белым и / черным шарам, то
в (агс+ 1)-м испытании белому шару соответствует вероятность
(a + kc)/(a + b + тс) у а черному шару — вероятность (Ь -+·
'+ 1с)/(а + 6 + тс). Можно рассматривать появление белого
шара как успех и появление черного шара как неудачу.
Вероятность pm+i успеха в (т+1)-м испытании зависит от исхода
предыдущих т испытаний. Таким образом, имеем
последовательность зависимых биномиальных испытаний. Дадим
следующее обобщение. Пусть S обозначает успех, a F — неудачу.
Допустим, что первые т испытаний закончились k успехами и /
неудачами. Пусть вероятность успеха в (т+1)-м испытании
10. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
53
равна (р + &а)/(1 + та). Тогда вероятность неудачи в
(т+1)-м испытании при k успехах в первых т испытаниях
равна [д + {т — k)a]/(l + та). Пусть n{k, η) — вероятность k
успехов в первых η испытаниях. Обозначим через Sk,n событие
«k успехов в первых η испытаниях», а через Sn и Рп
соответственно события «успех в /г-м испытании» и «неудача в п-ы
испытании». Тогда
где в объединении справа два события несовместны. Таким
образом,
Ρ (5*. п-и) - Ρ (Sn+1 !S*m. η) Ρ (Sk-u η) + Ρ (Fn+t IU. η) Ρ (Sk, η\
или, что равносильно,
Упражнение 10.12. В примере 10.11
π (k, n) =
ί η}ρ(ρ+ α) (ρ+ 2α)... ^ + (k-l)a) q (q +a)...(q +(n-k-\) a)
\k) (<х+1)(2а+1)...((я~1)а+1)
Если n->oo, p->-0, так что лр-^λ, ηα-^ρ-1, то
■»..*.>-('р+**~,)ш,,(тМ"·
При p->-oo последнее выражение сходится к e~%%k/k\.
Распределение Jt(k> η) для k успехов в первых η испытаниях известно
как распределение Пойа.
Замечание 10.13. Распределение Пойа используется в
качестве модели для изучения распространения инфекционных
заболеваний. Если уже k человек из общей совокупности η
получили инфекцию, то для (п-\- 1)-го человека, присоединившегося
к совокупности η людей, вероятность заражения инфекцией
зависит от Η п. Если заражение инфекцией рассматривать как
успех, то можно сравнить эту ситуацию с последовательностью
зависимых биномиальных испытаний.
Пример 10.14. Отметим, что утверждение 10.5 выполняется
при k = оо при условии, что функция Ρ счетно аддитивна. В
качестве примера можно рассмотреть следующую задачу.
Предположим, что курица кладет η яиц с вероятностью е~кХп/п\.
Предположим, что вероятность того, что из отдельного яйца
вылупится цыпленок, равна ρ и в этом отношении яйца ведут
54
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
себя независимо. Пусть событие Аг заключается в том, что из
г яиц вылупились цыплята, а событие Вп заключается в том,
что курица снесла η яиц. Тогда
оо оо
Ρ(ΑΓ) = Σ Р(АГ \Вп)Р(Вп) = £р(Аг\Вп)Р(Вп)=*
Таким образом, показано, что «смесь» распределения Пуассона
с параметром λ и биномиального распределения с вероятностью
успеха ρ снова будет распределением Пуассона с параметром
λρ.
Пример 10.15 (Лаплас). Рассмотрим Ν+ί урн и
предположим, что урна с номером k содержит k белых и N — k черных
шаров. Здесь k принимает значения 0, 1, 2, ..., N. Выберем
одну урну наудачу и произведем η извлечений с возвращением.
Вероятность рп того, что все извлеченные шары белого цвета,
есть
N
Условная вероятность того, что извлеченный (я+ 1)-м шар бу«
дет белым при условии, что первые η шаров были белыми,
выражается соотношением
N
-L V (ΑΥ+ι
ч
Рп
N
Ν Σι\ν)
Если N велико, последнюю вероятность можно
аппроксимировать выражением \
ι
( хп+{ dx
_о п+ 1
— п + 2 '
$*■
dx
Замечание 10.16. Понятие равновероятности до создания
современной теории вероятностей обычно итерпретировали как
П. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
55
«отсутствие предварительных сведений». Лаплас использовал
полученную в примере ЮЛ5 формулу для вычисления
вероятности того, что завтра взойдет Солнце,, в предположении, что
оно всходило ежедневно η = 5000 лет! Дальнейшие
исторические подробности см. в книге В. Феллера [4].
§ 11. Законы больших чисел
Пусть su $2, ···» 5« — независимые простые случайные
величины с одинаковыми средними и дисперсиями. Положим
Е^ = т, ν(^) = σ2, ί = 1,2, ,...
Пусть
с _ Sl + *2 + ' ' - + Sn
σ2
Тогда E(sn —т)2== — · По неравенству Чебышева
^(|5ft-m|>8)<-^. (ИЛ)
Отсюда, таким образом, следует, что при любом ε > 0
lim P(jsrt — m|>e) = 0.
Л-»оо
Это выражение известно как слабый закон больших чисел.
Сформулируем
Утверждение 11.1. Пусть s\, $2, ... —последовательность
независимых простых случайных величин на булевом
вероятностном пространстве (Х> (F, Р) с одинаковыми средними т и
одинаковыми дисперсиями σ2.Пусть sn = (si + S2 + ··» j-sn)/n.
Тогда для любого ε > 0
lim P (I sn — m | > ε) = 0.
Λ-»οο
Замечание 11.2. Рассмотрим булево вероятностное
пространство (X, 2Г, Р). Пусть Ε е ST. Повторим эксперимент (X, &~, Р)
η раз независимым образом. Если хи х2, ..., хп — исходы
испытаний, то χ£(*ι), %е(х2)у ···> %е(хп) — независимые
случайные величины, принимающие значения 1 и 0 соответственно с
вероятностями ρ (Ε) и 1—ρ {Ε). Следовательно, эти величины
имеют математическое ожидание р(Е) и дисперсию р(Е)(1 —
— ρ (Ε)). Отсюда получаем, что
цтр{|»^) + »^)+-+»^")-р(Д)|>в}-0.
n-»oo U П I )
56
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Таким образом, частота появления события Ε «сходится» в
вышеуказанном смысле к вероятности ρ (Ε) события Ε, когда
число испытаний стремится к бесконечности.
Теперь докажем более сильный вариант неравенства (11.1).
Утверждение 11.3 (неравенство Колмогорова). Пусть s\t
52, ..., sn — независимые простые случайные величины на бу«
левом вероятностном пространстве (Х>&~,Р). Пусть, далее,
Esi = mh V(si) = a2u /=1,2, ..., nf
Sk = S\ + s2 + ... + sk,
Mk = mx+m2+ ... +mk,
t>A = CTl + <72+ ... +Ok, k=e*l, 2, ..., Π.
Тогда
P{lSk~Mkl <*, *-1,2,...,/ι}>1-Γ2. (11.2)
Доказательство. Рассмотрим события
£=| |S*~Mftl >t для некоторого k=l, 2 «},
( \St-Mi\ , . |S,-Ai,| )
£'4 vn <tAMi=l,2,...,l-l,1 \п " >t\.
Π
Тогда события Ef несовместны и Μ Ε* = Ε. Следовательно, χΒ =
/-ι
η
= Σ %ε<- Имеем
/-ι '
^ = ν(5Λ) = Ε(5Λ^ΛίΛ)^
>E(Sn-MrfxE=t*(Sn-~Mn)>xEj =
= ΣΕ(5Λ-5/ + Λί/--ΛίΛ + 5/-Λί/)2χ^>
>t{b(Si-MifxEj + 2^Sn-Si + Mi-Mn)X
Χ (S/-Af ,)&,]}. (11.3)
Из определения Ef и независимости случайных величин s,-
следует очевидным образом, что (S/ — Mj)Xe, не зависит от $п—
П. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
sr
— 5/. В самом деле, первая из этих двух случайных величин
является функцией s\, $2, ,.», s/, а вторая — функцией s/+i,
S/+2, ..., s«. Следовательно,
Ε [(S„ - S, + Μ, - Mn) (S, - Μ,) щ] =
= E[S„-S/ + Af/-Ai„]E[(S/-M/)Xl?/] = 0. (11.4)
Из определения Я/ получаем, что
(St-Mp-ta^Pbfi. (11.5)
Из формул (11.3) — (11.5) следует, что
Таким образом, Р(Е) ^ t~2.M
В качестве применения неравенства Колмогорова докажем
следующее утверждение, а затем выведем очень важное
следствие.
Утверждение 11.4. Пусть $и $2, ·.., sn — независимые
простые случайные величины на булевом вероятностном
пространстве {Xf SF, Р). Пусть Esi — mh V{si) = a2i9 /==1,2, ..., п> ... .
Обозначим через Af(ε) событие | ' п~~—^^ε для по крайней
мере одного η из (&~\ 27] J, где Ain = m1 + /n2+ ... +тп и
Sn = s{ + s2 + ... + sn. Тогда
.-2 °°
Ση^))<^Σ^2^ (π·6>
/-1 й-1
Доказательство. Пусть и* = σ^ + о\ + ... + σ*. Тогда по
неравенству Колмогорова (11.2) имеем
ρμ/(ε)) = ρ|'^^|>^· для некоторого /г из (2М, 2;)}<
<р| \Jn^J^>^± дЛЯ некоторого /t из (г'""1, 2У]}<
58
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Следовательно,
,2 , JI
/-ι /-ι
««-'£4 Σ ψ\<
<4e-»£>-V»(i+1+£+...)<
^ 16 -2 V 1,-2 2 Ш
fe-l
Следствие 11.5. Пусть sb s2> ..., sn, ... — независимые
простые случайные величины на (X, #~, Р). Пусть E$i = mh ν(^) =
о©
= σ?, /=1, 2, ... . Предположим, что Σ А~2<** < °°- Тогдадля
любых ε > 0, δ > 0 существует целое число Ν, такое, что
Р[ |5^Мл| <е для каждого ne[JV, # + Γ]}>1--δ
для каждого г = 1, 2, ..., где Srt = 5! + s2 +. · ·. rh 5« и Л1Я =
= т! + т2 + ... '+ /Пя.
Доказательство. Поскольку ряд Σ k~~2o\ сходится, то из
k
утверждения 11.4 следует, что ряд в левой части неравенства
(11.6) тоже сходится. В частности, для любого б>0 сущест*
//o+ft \
вует /о, такое, что Р( \] Лу(е)1^б при всех k. Если положить
V- /о /
N = 2h~\ то доказательство на этом завершится.
Следствие 11.6. Пусть s\, S2, ..., sn — независимые простые
случайные величины с Es; = m и V(s*)—tf2 при каждом и
Тогда для любых ε > О, δ >0 существует целое число Ν,
такое, 4to для всех г *= 1, 2, 3, ...
р{1 + S?'+n *'*'* * ·"" m < е Длй каждого rt, такого, что
Доказательство. Утверждение немедленно выводится из след*
ствия 11.5.В
11. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
59
Замечание 11.7. Пусть (X,{F,P) — булево вероятностное
пространство и 5 — простая случайная величина, определенная на
(Ху iFt Ρ). Рассмотрим бесконечную последовательность
независимых испытаний, соответствующих (Х>&~,Р). Тогда исход'
испытания можно изобразить последовательностью χ =
= (хи х% .. ·, Xnt ...). Пусть, далее, Х°° — пространство всех
таких последовательностей х. Исход я-го испытания есть хп.
Пусть (X°°t #"°°, Р°°)—бесконечное произведение булевых
вероятностных пространств (XttFtP) (см. замечание 4.11).
Положим srt = (s(xi) + s(x2)+ ... s(xn))/n. Тогда sb s2, ... суть
простые случайные величины на булевом вероятностном
пространстве (Х00,^*00, Р°°). Пусть Ея = ц, V(s) = o2. Обозначим
ρ _/-. | s(*i) + s(*2) + ...+s(*n)
^n. e — \ χ. ι - μ
<ε
Далее определим sn(х) = 5(хп), η=1, 2, ... . Очевидно, что
Su 52, ..., sn, ... — независимые простые случайные величины
на (Х°°у ЯГ00, Р00). В силу слабого закона больших чисел
lim Ρ°°(Εη%ε)—1 для любого ε > 0. Согласно следствию 11.6,
И->оо
для любого ε > 0 имеем
HminfP00 Π ^.·)-1. (Η.7)
Рассмотрим теперь множество
н
S (jCi) + S (X2) + . . . + S (Хп)
х: v ; v v ■ сходится к μ при η -> оо
Множество Я можно представить с помощью
теоретико-множественных операций в виде
00 ОО ОО
£=П U Π Дм*
fe-Ι tf-1 я-!у
Равенство (11.7) поселяет в нас надежду, что «вероятность» £
также равна единице, т. е. «с вероятностью единица» среднее
значение sn, вычисленное на основе η независимых испытаний,
сходится к истинному математическому ожиданию μ.
Существует, однако, одна трудность на пути к признанию такого
утверждения справедливым. Поскольку #~°° — булева алгебра,
каждое событие ЕПг 8, которое касается только первых η
наблюдений, принадлежит #~°°. Однако событие Ε получено
посредством счетного числа операций из множеств Еп% \/k.
Следовательно, Ε не принадлежит 3Γ°°. Поскольку вероятность Р°°
определена только на #"°°, мы не вправе утверждать, что Р°°(Е) =
«= 1. Чтобы обойти эту трудность, можно попытаться
60
ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
распространить определение распределения Р°° с tF°° на более
широкую систему событий, которая включала бы множества
типа Е. В следующей главе мы продемонстрируем
существование единственного продолжения Р°° на систему событий, которая
включает 9го0 и замкнута относительно счетного множества
операций.
Следствие 11.6 представляет собой вариант утверждения,
которое называется усиленным законом больших чисел.
§ 12. Применение закона больших чисел
к одной проблеме анализа
В предыдущем разделе мы убедились в том, что слабый
закон больших чисел является непосредственным следствием
неравенства Чебышева. Сила этого элементарного неравенства,
найденного Чебышевым, была продемонстрирована в анализе
С. Н. Бернштейном, который дал замечательное доказательство
теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных
функций полиномами. Приведем здесь это доказательство.
Пусть / — действительная функция, непрерывная на
единичном интервале [0, 1]. Для любого 6 > 0 положим
ω(/;δ)= sup \f(x)-f(y)\.
*,#€Ξ[0, Π
Ι*-|Μ<6
Для каждого положительного целого числа η определим
полином rt-Ά степени Bn(ftx) (полином Бернштейна) равенством
влих)=^(пгУ(1-хГЧ{^)· 02.1)
Если Sn — число успехов в η независимых биномиальных
испытаниях с вероятностью успеха, равной х> то
Я„(/,*)=Е/(ф).
Можно теперь сформулировать
Утверждение 12.1. Для любой действительной функции /,
непрерывной на [0,1], и любого 6 > 0
sup \Βη(ϊ, Λθ-/(*)Ι<ω(/;δ) + ^, (12.2)
где Λί«= sup |/(*)|.
12. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ К ПРОБЛЕМЕ АНАЛИЗА 61
Доказательство. Имеем
\Bn(f, x)-f{x)\ =
=|w;)/(i-,r-[/(^)-/W]
Ir-Ο ч г '
<( Σ (")*r(i-*rrb(M)+
ЧН<* Г *
+ ( Σ (")«Ό-*ΓΊ(2Αί)<
Ι|-Η>β f J
<ω(/;6) + 2ΛίΡ(|4ί--Λ:|>δ), (12.3)
где Р представляет собой биномиальное распределение числа
успехов Sn в η независимых испытаниях с вероятностью
успеха х. По неравенству Чебышева
/>(Ι^-Η>δ)<-£τι<ιάτ· <12·4>
поскольку максимальное значение лг(1—х) достигается при
х= 1/2. Теперь (12.2) следует из формул (12.3) и (12.4). ■
Следствие 12.2.
sup \Bn(f9x)-f(x)\<n{f;n-W) + -!L·.
xe[Ot\] 2yn
В частности, Bn(f,x) равномерно сходится к f(x) на [0, 1].
Доказательство. Нужно положить в (12.2) 6 = пг1/А.
Замечание 12.3. Необходимо отметить, что даже тогда, когда
f не является непрерывной функцией, полиномы Бернштейна
сходятся к / во всех ее точках непрерывности при п->оо.
Упражнение 12.4. Пусть f(xu #2 Xk) — действительная
непрерывная функция k переменных х\, Х2, ..., Хн в области
k
*< ^5 0, /= 1, ..., k, Σ*/ —1· Пусть полином Бернштейна k-n
62 ГЛ. I. ВЕРОЯТНОСТЬ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
степени Вп, k задан равенством
Вп, к (/» ХЬ х2 xk) = 2^
п!г2! ... rk\
ri>°> rj + ...+r^-л
X xr*xr* xr*f(— -ϋ ^Λ
*XlX2 -·- Xkl\n ' n n J'
Тогда Bn,k(f,x\ xk) равномерно сходится к f(x\>X2, ..'., xk)
на множестве {(х\, Х2> ···, *л): **·^ Ο, Σ л:г = 1} при я-*оо.
Следовательно, можно установить, что любая действительная
непрерывная функция /, определенная на компактном
подмножестве пространства Rn, может быть равномерно приближена
последовательностью полиномов.
Глава II
ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
§13. σ-алгебры
и борелевские пространства
В § 11 мы говорили о плодотворности введения понятия
системы множеств, замкнутой относительно счетного числа
операций, и задания распределений вероятностей на такой системе.
Введем с этой целью
Определение 13.1. Система 9& подмножеств множества X
называется о-алгеброй, если выполняются следующие условия:
(i) 0е=$;
(ii) если Ле^, то А' е $ (А' —дополнение Л);
оо
(iii) если Аи А2 Ап, ... е $, то Μ At e $.
• Поскольку Π Αι = ( LI ^V, то из определения следует, что
$ замкнута относительно счетных пересечений. Таким образом,
σ-алгебра замкнута относительно счетного числа операций объ*
единения, пересечения, взятия дополнения, симметрической
разности. В частности, σ-алгебра является булевой алгеброй.
Если &\ и &2 — две системы подмножеств множества X то
через 9ί\ Π 5?2 обозначим систему всех подмножеств, которые
принадлежат и 91\, и $2 одновременно. Если {$2а}, аеГ, —
семейство систем подмножеств Xt то используем обозначение
Π ^α Для системы всех таких подмножеств X, которые при-
аеГ
надлежат каждому $?а, аеГ. Если ЛсХ и Ж есть система
подмножеств X, то запись 91Π А обозначает семейство {В Π Л,
Утверждение 13.2. Если {3§а}у а ^ Г — семейство .сг-алгебр
подмножеств множества X, то f] $a также будет σ-алгеброй.
Доказательство следует непосредственно из определения.·
Определение 13.3. Пусть 52— любая система подмножеств
множества X. Рассмотрим семейство Г = {38: $ есть σ-алгебра
64
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
подмножеств X, <%^э&}. Тогда σ-алгебра
$(<#) = Π Я (13.1)
называется σ-алгеброй, порожденной Я. ΰ$(31) называется
также наименьшей σ-алгеброй, содержащей Ы. (Отметим, что Г
непусто, так как σ-алгебра всех подмножеств X принадлежит Г.)
Утверждение 13.4. Пусть 91 — произвольная система
подмножеств множества X. Если & — любая σ-алгебра, содержащая 52,
то ®^эЗ&{Я)^эЯ.
Доказательство. Это непосредственное следствие из
предыдущего определения и формулы (13.1). ■
Утверждение 13.5. Для любой системы 31 подмножеств
множества X и любого подмножества Л множества X
${Ж) Π А = &А(Э1 Π Л),
Где &а{91[\А) обозначает σ-алгебру, порожденную семейством
02 Л Л подмножеств Л.
Доказательство. Прежде всего мы констатируем, что 3&{Я)[\
(]А действительно является σ-алгеброй подмножеств
пространства А. Следовательно, по утверждению 13.4
Л(Я)П Л=>$Л(#П А). (13.2)
Пусть теперь Ψ обозначает класс всех подмножеств X вида
В\)(СА')> где В<=®А{91[\А) и Се^(й). Тогда Ψ есть
σ-алгебра на X. Действительно, легко видеть, что Ψ замкнут
относительного счетного объединения. Теперь достаточно доказать,
что Ψ замкнут относительно взятия дополнения. Пусть Be
<=:9$А{Я{\А) и C<=$(5Z). Имеем
[В U (СЛ')Г —В* Π (CU А) = В'С'(}В'А =
= АВ'С U А'В'С U АВ' =
= ЛВ' [}C'A'f
так как В с А. Таким образом, ί? есть σ-алгебра. Далее, если
£<=#, то E = EA\]EAf и ЕА<~&[\Ас@А{91[\А). Таким
образом, Йс?. Согласно утверждению 13.4 !%(0ί)αψ.
Следовательно,
Λ (Я) П AczVft A = &A{&[\ Л).
Это вместе с (13.2) завершает доказательство.·
Определение 13.6. Борелевским пространством будем
называть пару {Х,9$)у где X — любое множество, а S3 есть σ-алгебра
13. σ-АЛГЕБРЫ И БОРЕЛЕВСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 65
подмножеств /Y. (Борелевское пространство является, в
частности, булевым пространством.) Любой элемент $ называется
измеримым множеством.
Замечание 13.7. Из утверждения 13.5 следует, что для
любого борелевского пространства (X, $) и УсХ, (У, ,$ Π У) есть
новое борелевское пространство. Это указывает один из
способов построения новых борелевских пространств из данного.
Позже мы познакомимся с другими способами построения
новых борелевских пространств.
Термин «борелевское пространство» принят в честь
французского математика Э. Бореля, который первым исследовал меры
на абстрактных σ-алгебрах.
Определение 13.8. σ-алгебра $ подмножеств множества X
называется счетно порожденной, если существует счетное
семейство 91 подмножеств X, такое, что $ = Я (91).
Утверждение 13.9. Пусть 91— произвольный класс
подмножеств X. Тогда для любого множества Ael(i?) существует
счетное семейство 9l\ a 91, такое, что А е $(91\).
Доказательство. Рассмотрим класс зФ = {А е $ {91), А &
&£8(Л{) для некоторого счетного семейства 0i\cz&}. Легко
проверить, что st> есть σ-алгебра и s4>zd 91. Следовательно,
si>zD!B(9i). Таким образом, & = Я(Я)М
Замечание 13.10. Все приведенные выше рассуждения дают
представление о самой общей технике доказательств, принятой
в теории меры. Если необходимо доказать свойство ρ для
каждого элемента σ-алгебры ^, то можно пытаться показать, что
класс всех множеств со свойством ρ есть σ-алгебра, которая
содержит семейство множеств, породившее Я.
Продемонстрируем это на примере.
Утверждение 13.11. Пусть Si — семейство подмножеств
множества Хи так что Xi^&i, и /=1, 2. Пусть &={Е{X Е2,
Ei^Su ί=1, 2}. Пусть 311 есть σ-алгебра, порожденная Su
а $ есть σ-алгебра, порожденная g. Тогда $ = Я, где $ есть
σ-алгебра, порожденная {Si X В2, S/ е #,·, i = 1, 2}.
Доказательство. В силу определений Я cz Ш. Пусть Е2 е <82
и^1= {А: АаХиАХЕ2еЕ@}. Если А е=3?и то
А' X Е2 = (А X Е2У П (Х{ X Е2) е= Я.
Следовательно, А' е &\. Если А\, А2, ... е S\% то
(LJ А^ХЕ2= у (^Χ£·2)^Λ,
66
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Следовательно, U А( е 2ЕХ. Таким образом, 2?\ есть σ-алгебра,
содержащая &\, и ΑχΕ2^$, если А^<%и £2^<SY Далее,
для А ^ &1 определим
2>2 = {β: SczX2, АХВ&Щ.
Так же как для 9?\> можно показать, что &ч есть σ-алгебра,
содержащая §2 и, следовательно, 5£2. Таким образом, ЛХВе^,
если /le^i, Sg^. Поэтому jtcz^?, что и требовалось дока*
зать.В
§ 14. Монотонные классы
Невозможно дать общую конструктивную процедуру
получения σ-алгебры, порожденной классом подмножеств множества
X. По этой причине σ-алгебры обычно задают посредством
идентификации с тем семейством подмножеств, которое их
порождает. Конечно, существуют исключения.
Пример 14.1. Самым очевидным примером является
σ-алгебра всех подмножеств множества X. Если X несчетно, то
класс {A: AczXy либо Л, либо А' счетно} есть σ-алгебра.
(Однако σ-алгебры этого сорта с точки зрения теории вероятностей
интереса не представляют.)
Легко дать конструктивное описание булевой алгебры,
порожденной классом 52 подмножеств множества X.
Действительно, для любого класса V подмножеств X пусть ф*
обозначает класс всех конечных объединений разностей множеств из
S7, т. е. любой элемент Be?'* имеет вид
s=(<V>i)U(c2£>;)... u(ckD'k),
где Си С2, ..., Ck, Du D2, ..., Dk^ff и k — некоторое
положительное число. Пусть 52ι — класс множеств, образованный
добавлением всего пространства X к 52. Определим классы $2,
523, ♦ · · равенствами
яп-я;-Р «=2,з,....
00
Пусть &'=[]01п. Очевидно, что ЗГ — булева алгебра,
содержащая 52. Далее, если &Ί — булева алгебра, содержащая 52,
то ЗГ\ zd &", т. е. $Г есть наименьшая булева алгебра,
содержащая 52. К сожалению, не существует такого четкого
описания наименьшей σ-алгебры, содержащей 52, без обращения к
Я. МОНОТОННЫЕ КЛАССЫ
67
трансфинитной индукции. Существует, однако, другой тип
класса, менее узкий, чем σ-алгебра, который часто используется в
доказательствах всех основных теорем теории меры.
' Определение 14.2. Система Ж подмножеств множества X
называется монотонным классом, если
(ι) Ελ cz Е2 с: ..., Еп -ъ Ж, η =» 1, 2 влечет [] Et e Ж\
(И) £j zd £2 zd ..., Εη s JT, η = 1, 2, ..., влечет [\ Ει^ Ж.
i
Замечание 14.3. Пусть 52 — любой класс подмножеств
множества X. Класс всех подмножеств X является монотонным
классом. Пересечение любого семейства монотонных классов —
снова монотонный класс. Следовательно, пересечение всех
монотонных классов подмножеств (Ху которые содержат 52, есть
монотонный класс. Это наименьший монотонный класс,
содержащий 52. Обозначим этот класс через Ж(31).
Следующее утверждение — один из самых полезных в
практическом отношении результатов в наших построениях.
Утверждение 14.4. Пусть &* — булева алгебра подмножеств
X. Тогда Ж{&') = ®{9Г).
Доказательство. Прежде всего отметим, что σ-алгебра сама
является монотонным классом. Отсюда $(ίΓ)ζ3 Ж(ЗГ).
Поскольку Ж(&~)=э&~, то X, 0 принадлежат Ж(&~). Достаточно
показать, что Ж{$Г) замкнут относительно взятия дополнения
и счетного объединения. Тогда Ж(ЗГ) будет σ-алгеброй,
содержащей наименьшую из них, а именно ^(^~). Для
доказательства определим для любого Ε cz X систему
^ (£)={/?: FcX, E\)Ff EF\ РЕ*е= Ж (&*)}.
Тогда 3? (Ε) является монотонным классом и F е 9?(Е) в том
и только том случае, если E^3?(F). Пусть £gJ". Так как
#" —булева алгебра и Ж(&~)id&~, to 9?{E)zDff~ и,
следовательно, 2£(Е)^Ж(&Г). Таким образом, для i4ei(f), £sf
имеем Ε<=ξ3?(Α). Отсюда &czS?(A). Поэтому Ж(&~)аЗ?(А)
Для каждого А^Ж(3Г). Иными словами, Ж{ЗГ) есть булева
алгебра. Так как Ж(У\— монотонный класс, то Ж{ЗГ\ есть
σ-алгебра. ■
68
ГЛ. И. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
§ 15. Меры на булевых полуалгебрах
и алгебрах
Пусть Ж) — булева полуалгебра. Отображение μ: iZ>->[0, oo]
называется мерой на 3), если выполнены следующие условия:
(i) если Ль Л2, ... — непересекающиеся элементы 3) и
[} Л<е=0, τομ(υ Λ,)=Σμ04*);
(π) μ(0) = Ο.
Так как булевы алгебры являются в то же время булевыми
полуалгебрами, то определение меры на них то же самое.
Утверждение 15.1. Пусть μ: 59-^[0, oo]—мера на булевой
полуалгебре iZ). Пусть Ф' — булева алгебра всех конечных
объединений попарно непересекающихся множеств из 3). Для лю-
k
бого £е?", такого, что Е= (J Аь где Αι[}Α} = 0 при ιφ],
определим
μ(Ε)=Σν(Αί).
Тогда μ корректно определена на $F и является мерой на У.
Доказательство. Тот факт, что μ корректно определена и
конечно аддитивна, уже доказан в утверждении 4.7 и
замечании 4.8. Мы должны установить счетную аддитивность. Пусть
оо
Л, Ль Л2, ... е#", Л= U Ап, где Ап не пересекаются. Пусть
ь К
соответственно Л = (J Bt и Ап = [] Вп} — разбиения Л и Ап
f = l /=1
на непересекающиеся элементы 3). Имеем
μ(Л)= Σ μ {Btl μ(Αη)=Σμ(Βηι).
Так как В( = [] [} (В( Π 5Λ/) и β,, β<· Π Bni e S>, то счетная
oo ^Λ
аддитивность μ на 3> влечет за собой μ (β*) = Σ Σ μ (^г Π
Π θ/г/). Складывая μ(5ί) по / и замечая,что ряды с
неотрицательными членами могут суммироваться в любом порядке, получаем
μ(Λ)=Σ μ(^)=Σ {ΣΣμ(^ηβη/)} = Σμ(^).·
15. МЕРЫ НА БУЛЕВЫХ ПОЛУАЛГЕБРАХ И АЛГЕБРАХ 69
Утверждение 15.2. Пусть 3)— булева полуалгебра всех
интервалов вида (—00, + оо), (—оо, а], (а, 6], (ft, + оо), где а,
b принимают всевозможные значения на действительной
прямой R. Пусть μ— мера на 3), такая, что μ ((α, Ь]) < оо для всех
а, Ь е R. Тогда существует монотонно неубывающая,
непрерывная справа функция F на R, такая, что для всех a, ftsi?
μ ((α, b]) = F(b)-F(a). (15.1)
Обратно, если F — действительная, монотонная, неубывающая,
непрерывная справа функция на R, то существует мера μ на 3),
такая, что выполнено равенство (15.1).
Доказательство. Пусть μ —мера на iZ>, такая, что μ ((α, Ь])<
< оо для всех а, Ь. Определим F(x) как
!μ ((α, λ:] ), если χ > α,
О, если лг = а,
— μ {{χ, α]), если χ < α,
где α — произвольное фиксированное действительное число.
Пусть х^а и хп — убывающая последовательность,
сходящаяся к пределу х. Тогда
(а, х{] = (а, л:] U (лг2, *j] U (лг3, х2] U ... U (*я, *Λ-ι] U ...
Так как μ — мера на 3), то
F(xx) = F(x) + [F(xl)-F(x2)]+...+[F(xn_l)-F(xn)]+...=
= llm[F(x) + F(xx)-F(xn)].
n->oo
Следовательно, F(x) = \im F (хп). Пусть теперь χ < α и а:л мо-
tt-»oo
нотонно убывают к х. Без ограничения общности предположим,
что χ < jti < а. Имеем
(*, α]«=(*„ α] (J (*2, *,] U ... U (хП9 хп_г] U ... .
Поэтому
μ((χ, α]) = μ((χι, α]) + μ((χ2> х{])+ ... + μ((*Λ, ^.J ) + ... =»
= lim μ ((*«, а]) = lim (F (а) - F (xn)).
rt->oo Л->оо
Поскольку μ((*,α]) = .Ρ(α)·— F(x)f то lim F(*J = F(*). Та-
ким образом, F непрерывна справа. То, что F монотонно
неубывающая, очевидно.
Обратно, пусть F — монотонно неубывающая, непрерывная
справа функция. Для любого интервала вида (а, Ь], где a, h
70
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
конечны, определим μ равенством (15.1). Определим
μ ((α, оо))- lim lF{x)-F(a)]>
μ((—оо, α]) = lim [F(a) — F(x)] для всех ае^,
μ((-οο,οο))= lim [F(x)-F(-x)}.
X->+oo
Из примера 2.4 следует, что μ конечно аддитивна. Докажем те-
оо
перь счетную аддитивность. Пусть (а, Ь] = (J (ап> Ьп\ — счет·
ное объединение непересекающихся, открытых слева и
замкнутых справа интервалов. Пусть ε > О, 6 > 0 произвольны.
Поскольку F непрерывна справа, мы можем выбрать ε* > 0,
такое, что
F (bk + sk)~-F (bk) < ·— для каждого k. (15.2)
Замкнутый интервал [а + б, Ь] покрыт открытыми интервалами
(вк, bk-\- ε/г), k = 1, 2, ... . Следовательно, по теореме Гейне-—
Бореля, существует целое число N, такое, что
Ν Ν
(α + δ, 6]cz[a + 6, 6]c U (ак. bk + ek)a [} (ak, bk + ek].
Так как из конечной аддитивности следует конечная
полуаддитивность, то в силу (15.2) имеем
F{b)-F(a+6)^Y[F(bk + ek)-F(ak)]^
оо оо
оо
Устремляя δ->0 и ε->0 и используя непрерывность справа F,
получаем
F(b)-F(a)^t[F(bk)-F(ak)]. (15.3)
Из утверждения 2.5, замечания 4.8 и того факта, что (a, b] zd
η
^ U (ak> bk], заключаем, что
η
F{b) — F (a) > £ [Ρ (Ы — Ρ {ак)\ при каждом п.
16. МЕРЫ НА БУЛЕВЫХ ПОЛУАЛГЕБРАХ И АЛГЕБРАХ
71
Таким образом,
F{b)-F(a)>^lF(b^-F(ak)]. (15.4)
оо
Если U (я*> bt] = (a, b), где — оо < а < b < + оо, то из (15.3)
и (15.4) следует, что μ счетно аддитивна. Довольно легко
показать, что для любого / е 2) '
μ(/)= Σ μ(/Π(Λ,Λ+1]).
П rs —ОО
ОО
Если теперь /= [} /,. где /, /ь /2, ... ^ 2) и // не пересекают*
/-ι
ся, то по уже доказанному получаем
Σμ(//)=Σ Σ μ(//η(η,η+1])-
/ /»1Λ«-οο
- Σ μ(/Π(η, «+1]) = μ(/)·
Λ=-οο
Это показывает, что μ— мера на 3).Ш
Замечание 15.3. Из факта существования монотонно
неубывающих функций, у которых отсутствует непрерывность справа,
следует, что существуют конечно аддитивные неотрицательные
функции, которые не являются мерами на 3). Если Р\ и F2 —
монотонно неубывающие и непрерывные справа функции на R,
такие, что
μ ((α, 6]) = Λ (b) - Fx (a) = F2 (b) - F2 (a)
для всех а и bt το существует постоянная α, такая, что F2(*) =
= F\ (χ) + α при всех я.
Если μ — мера на 3) с μ(#) = ρ<οο, то можно подобрать
такую монотонно неубывающую, непрерывную справа
функцию F на Rt что
lim F(*) = 0, lim F(x)^pt F(b)-~ F(α)«μ((α, b])
*-»-οο χ_>_|-οο
для всех α, бе/?.
Такая функция Ζ7 единственна. Если ρ = 1, то такая функция F
называется функцией распределения (вероятностей).
Комбинируя утверждения 15.1 и 15.2, получаем широкий
класс мер на булевой алгебре, порожденной интервалами на
действительной прямой вида (а, Ь]9 (-—оо,а]> (а, оо) и
7U ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
(—оо, оо). Эти меры определяются монотонно неубывающими,
непрерывными справа функциями. Укажем теперь другой
способ построения булевых алгебр и мер на них.
Утверждение 15.4. Пусть X — произвольное компактное
топологическое пространство и У — класс всех подмножеств из
Xt которые являются как открытыми, так и замкнутыми. Тогда
У — булева алгебра и любая конечно аддитивная мера на ЗГ
счетно аддитивна.
Доказательство. То, что 8Г — булева алгебра, очевидно.
Пусть теперь Ле^Г и Ви В2, ... — последовательность непере-
оо
секающихся элементов из !Г, таких, чтоЛ = (J В(. Поскольку Λ
замкнуто, то оно является компактом. Так как В{ открыты, то
конечное число их покрывает Л. Так как Bi(]Bf = 0 при ι Φ /,
то существует /г0, такое, что Вп = 0 при всех /г ^ /г0- Таким
по
образом, А= U В(. Следовательно, для любой конечно
аддитивной меры μ имеем
По ОО
μ(Λ)=Σμ(θ2)=Σμ(β<).
Иными словами, μ счетно аддитивна. ■
Пример 15.5. Пусть Χι— конечное множество {1, 2, ..., Nt)
при i= 1, 2, ..., пусть Х°° — декартово произведение Χι, τ. е.
оо
-Υ00 = Ц Α'ί. Пусть, далее, на каждом множестве Xi введена
дискретная топология (т. е. каждое подмножество объявлено
открытым) и на Х°° — топология произведения. Тогда Х°° —
компактное топологическое пространство. Для любых fl/Gi/,
/=1, 2, ..., k, положим Calt a2 ak = {x: χ = (*ι, лг2, ...)
Xi^Xh ί=1, 2, ... ; Xf = α/, /=1, 2, ..., k}. Такие
множества могут быть названы элементарными цилиндрическими
множествами. Вместе с пустым множеством и всем пространством
они составляют булевую полуалгебру. Конечные объединения
таких элементарных цилиндрических множеств составляют
конечномерные цилиндрические множества. Булева алгебра этих
множеств есть также булева алгебра всех множеств, которые
являются как открытыми, так и замкнутыми в топологическом
пространстве Х°°. (Нужно отметить, что открытые множества
в Х°° могут зависеть от счетного числа координат.)
Пусть для каждой конечной последовательности (аь а2, ..♦
..., а/г), aj^Xj, /= 1, 2, ..., k, и k = 1, 2, 3, ... р(аи а2, ...
15. МЕРЫ НА БУЛЕВЫХ ПОЛУАЛГЕБРАХ И АЛГЕБРАХ
73
...,α/г) принимают неотрицательные значения и семейство
{р(аи &2> ··■! я*)} удовлетворяет следующим условиям:
р(аи а2, . .*, α*-ι)=Σ Ρ(αι> α2» ···> а*-ь л). Σ р(я)=1.
(15.5)
Тогда существует счетно аддитивная вероятностная мера μ на
булевой алгебре У всех конечномерных цилиндрических
множеств в Х°°у такая, что
\>>{Cava2 ak) = p(aly d2, . . ., ak)9 ^G^,
/=1, 2, .... k; k=l, 2, 3, .... (15.6)
В самом деле, если мы определим μ для элементарных
цилиндрических множеств равенством (15.6) и положим μ(0) = Ο,
μ (Χ)= 1, το μ будет конечно аддитивной на булевой
полуалгебре цилиндрических множеств. Тогда μ естественным
образом может быть продолжена на J, и в силу утверждения 15.4
μ будет счетно аддитивной мерой на У.
Рассмотрим некоторые частные случаи формулы (15.5).
Пример 15.6. Пусть qrb qr2, ..., qrNr — такие неотрицательные
числа, что ι^ чп
/-ι
Σ 4ri = 1 для г = 1, 2, Положи
м
к
(15.7)
Тогда ρ удовлетворяет условиям (15.5), и поэтому существует
счетно аддитивная мера μ на #", удовлетворяющая (15.6).
Меры, определенные таким способом, описывают
«последовательность» независимых простых случайных величин. Случай,
когда каждое Xi представляет собой пространство {0, 1},
состоящее из двух точек, и qro = q, qn = ρ, р + q = 1, служит
для описания последовательности независимых биномиальных
испытаний {испытаний Берну лли).
Пример 15.7. Для каждого г= 1, 2, ... пусть Рг обозначает
следующую УУгХЛ^+гматрицу
Я =
D(r) D(r)
Pll ^12
№ 4,
(г)
Ρ»,
r+i
r+i
л(г) „(г)
Ρνγ\ Ρνγ2
n(r)
(15.8)
74
ГЛ. И. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
где каждый элемент неотрицателен и сумма элементов в строке
равна единице. Пусть, далее, рг·, /=1, 2, ..., N\,—
неотрицательные числа, сумма которых равна единице, и пусть
ρ («,, α2, ..., ak) - РаД>йД>аз · · · p»-JJv (15.9)
Эта функция удовлетворяет равенствам (15.5). Поэтому
существует вероятностная мера μ на #", такая, что μ(Οαρ α2 ak)
задается равенством (15.6). Вероятностные меры,
определенные таким способом, используются для описания
последовательности простых случайных величин, образующих цепь Маркова.
Матрица Рг называется матрицей переходных вероятностей
в Момент г.
Определение 15.8. Тройка (X, &~у μ), где (Х> ST) — булево
пространство, а μ—мера на #", называется булевым
пространством с мерой. Мера μ называется о-конечной, если
существует последовательность {Ап} множеств Ап, таких, что
со
*= U Ап> К^Р и μ(Αη)< оо при п= 1, 2, 3, ... . Такая
мера называется конечной, если μ(Χ)<οο. Она называется
вероятностной мерой, если μ(Χ) = 1.
Утверждение 15.9. Пусть (X, ЗГ)—булево пространство и
μ — конечно аддитивное и счетно полуаддитивное отображение
на У со значениями в [0, оо]. Тогда μ — мера. Обратно, любая
мера является счетно полуаддитивной.
Доказательство. Пусть Ль Л2, ... — непересекающиеся
элементы из SF, такие, что β= \] Ai^T. Тогда для любого по-
i
ложительного целого числа η имеем μ(β)^μ( Μ At 1= Σ μ (ЛЬ).
оо
Устремляя tt-^oo, получаем μ(Β)Ξ^Σμ(^*)·
Противоположное неравенство обеспечивается благодаря счетной полуадди-
тивности. Обратное утверждение следует из замечания 2.6. ■
Утверждение 15.10. Пусть (X, #", μ)—булево пространство
с мерой. Если А\ cz A2 a ... — возрастающая последователь-
оо
ность множеств из У и (J Лп е #~, то
««=-1
μ(υ4Λ-"π>μ(4,). (15.10)
16. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕР НА σ-АЛГЕБРЫ 75
Если Л ι => Л21э ... — убывающая последовательность
множеств из ίΓ, Π Ап е 9~ и μ (Л л) < оо при некотором k, то
μ(Π4Λ=-Ηιημ(ΑΛ). (15.11)
Доказательство. Пусть последовательность {Ап} возрастает.
Если μ(Αη) = оо при некотором /г = я0, то μ(Αη)= оо для всех
η ^ /г0 и, следовательно, μ ( U ЛЛ = lim μ (Л„) = оо. Пусть
μ^Λ)< оо для всех /г. Так как [} Ап = А{ \}(А2 — А{)\] ... (J
η
[J (Л„ — Лп^)и ... и μ(Αη) — μ(Αη-ι)=μ(Αη — Αη-{), то,
поскольку множества Ль Л2 — Ль ..., Лп— Ап~\, ... не
пересекаются, получаем
μ ( U АЛ = Σ [μ (Л„) - μ (Ап_х)] = lim μ (Л J,
где Л0 определяется как пустое множество. Формула (15.10)
доказана.
Для доказательства (15.11) предположим, без ограничения
общности, что μ^ι)<οο. Положим Вп — А{—Ап. Тогда Вп
возрастают к множеству А{ — f| Ап, т. е. U ^« — ^ι — Π Αη.
η η η
Тогда, используя первую часть доказательства, имеем
μμ,-П Αη)=μ(Αι)-μ([}ΑΛ=μ({] ΒΛ = lim μ(β„) =
= \ϊϊί\[μ{Α{)-μ(Αη)].
Таким образом,
μ (Γ) ΑΛ = 11πΐμ(Α„).Β
Замечание 15.11. Пусть F(x)^x в формулировке
утверждения 15.2 и мера μ определяется этой монотонно неубывающей
функцией (которая непрерывна). Положим An = (nt оо), η =
= 1, 2, ... . Тогда μ^η)=οο при каждом η и f) Лп= 0.
η
Этот пример показывает, что условие во второй части
утверждения 15.10, заключающееся в том, что μ^^)<οο при
некотором kf не может быть отброшено.
§ 16. Продолжение мер на σ-алгебры
В предыдущем параграфе мы построили примеры булевых
пространств с мерой, где булева алгебра не была σ-алгеб-
рой. Как отмечалось ранее в замечании 11.7, одна из наших
76
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
целей состоит в распространении понятия меры на булевых
алгебрах на более широкие классы множеств, а именно σ-ал-
гебры. Так как σ-алгебры замкнуты относительно счетного
числа операций, то естественно начать с изучения счетно
аддитивных функций на σ-алгебрах. Цель настоящего параграфа
заключается в построении примеров мер на σ-алгебрах.
На протяжении всего параграфа (Χ, &~, μ) будет
определять фиксированное булево пространство с мерой. Для
любого Ε аХ положим
μ*(^) = ίηί|Σμ(^), F^ST, UF^E}. (16.1)
Таким образом, μ* определена для любого подмножества Ε
множества X. Функция множества μ* называется внешней
мерой, соответствующей мере μ. Мера μ*(Ε) называется внешней
мерой множества Е. В известном смысле мы пытаемся измерить
любое множество Ε с помощью мер множеств из У. Однако μ*
не всегда оказывается счетно аддитивной на классе всех
подмножеств X. Поэтому мы постараемся найти достаточно
широкий класс множеств, включающий ίΓ, на котором μ* была бы
счетно аддитивной.
Утверждение 16.1. Для любого ЕаХ
μ·(5) = ιηί|Σμ(Λ), Fi^T, U Ft => Ε, Ft „e пересекаются}
и для каждого Fe^"
Доказательство. Пусть F^iF, /=1, 2,... таковы, что
U Ft =>Ε. Определим Λ = Fu Ft = Ft - \] F,. Тогда FUF2,...
не пересекаются и {] ?ι= \j F^ Ε. Поскольку #" — булева
алгебра, то Р{^&~. Далее FtczF{, и поэтому
Σμ(£)<Σμ(Λ).
В силу определения инфинума доказательство первой части на
этом завершено. Так как μ счетно аддитивна на &~, вторая
часть следует из первой. ■
16. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕР НА σ-АЛГЕБРЫ
,77
Утверждение 16.2. Внешняя мера μ* счетно полуаддитивна,
т. е. для любой последовательности {Еп} подмножеств X
(оо Ч оо
U £«)<Σμ*(£„).
Доказательство. Отметим, что когда правая часть равна
бесконечности, то доказывать нечего. В ином случае для каждого
η выберем последовательность Fn\9 Fn% ... множеств из У,
такую, что
оо оо
[}Fnl=>Enf Χμ(^/)<μ*(^) + ^τ,
/«ι /-ι
где ε — произвольно выбранное и фиксированное положитель-
оо оо оо
ное число. Тогда (J U Fn} => jj Еп и
ΣΣμ(^,)<ΓΣμ*(£„)1 + β.
п / L η А
Так как семейство {Fn}ij= 1, 2, ... ; /ι= 1, 2, ...} образует
счетное покрытие U ЕП9 то получаем μ* ( (J ЕЛ ^JJ μ*(£J + »·
η \ η J η
Поскольку ε произвольно, доказательство закончено.·
Определение 16.3. Множество Ε α Χ называется
^-измеримым, если для каждого A cz X
μ*(Α) = μ*(ΑΕ) + μ*(ΑΕ'). (16.2)
Замечание 16.4. Так как μ* является полуаддитивной, то
отсюда следует, что множество Ε μ^-измеримо тогда и только
тогда, когда для каждого АаХ
μ*(Α)>μ*(ΑΕ) + μ*(ΑΕ').
Упражнение 16.5. Еслл А а В, то μ*(Λ) ^ μ*(β).
Упражнение 16.6. Если μ*(£) = 0, то Ε μ*-Η3Μ6ρπΜ0.
Утверждение 16.7. Пусть $* обозначает класс всех μ^-изме-
римых множеств. Тогда ^* — булева алгебра. Кроме того,
Доказательство. Так как равенство (16.2) симметрично
относительно Ε и £', то 3&* замкнуто относительно взятия
дополнения. Пусть теперь £, Fg^*. Заменяя А на Af)(E[)F)
в (16.2), получаем
μ*(Α{](Ε{)Ρ)) = μ*(ΑΕ) + μ*(ΑΕ'Ρ). (16.3)
78
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Подставляя в (16.2) АЕ' вместо А и F вместо £, получаем
μ* (АЕ') = μ* (AErF) + μ* (AE'F'). (16.4)
Комбинируя (16.3) и (16.4), имеем
μ* (А П (Ε U F)) + μ* (Л Π (Я U FY) = μ* (АЕ) + μ* (А?) = μ* (А).
Таким образом, E\JF^&*. Этим показано, что $* — булева
алгебра.
Пусть теперь A cz X и Fg^". Тогда для любого ε > 0
существует последовательность {Fn} непересекающихся множеств
из #", такая, что (J Fn zd А и
η
β + μ*Μ)>Σμ(/7η) = Σμ(^^) + Σμ(^η.
η η η
Так как U FnF => Л/7 и U F„F' =5 Л^', то
η η
ε + μ·04)>μ·(^) + μ*04η
В силу произвольности ε имеем F^3$*f что завершает
доказательство.·
Утверждение 16.8. 3$* является σ-алгеброй, которая
содержит наименьшую σ-алгебру 3S(^)t порожденную &~. Внешняя
мера μ* счетно аддитивна на 3$*.
Доказательство, Пусть Еи Е2, ..., •Св. ··· —
последовательность непересекающихся множеств из 38*. Для любого А с X
имеем
μ'(Α) = μ*(ΑΕι) + μ*(ΑΕ\) =
= μ· (АЕ,) + μ* (АЕ2) + μ* (ΑΕ'β\) =
-[Σμ*№)] + μ*(^Χ-,..·^)>
^ [Σ μ* (^^)] + μ* (Л Л ( Q ^г) )
Так как η произвольно и μ* счетно полуаддитивна, имеем
μ*Μ) = μ·(^η(^2)) + μ*(^η(ί)^)') =
-=[Σμ*(^)] + μ*(^η(ζί^)).
17. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕРЫ
79
Первое равенство влечет за собой Μ Et e Jf*. Таким образом,
$* замкнуто относительно счетного объединения
непересекающихся множеств. Так как &*—булева алгебра, отсюда
следует, что 3§* есть σ-алгебра. Второе равенство влечет за собой
I если положить А = U Et ), что μ* счетно аддитивна на <%*%
Из утверждения 16.7 следует, что ^* =>.^(ίΓ).Β
Утверждения 16.7 и 16.8 дают возможность сделать вывод
о том, что любая мера μ, определенная на булевой алгебре #~,
может быть продолжена на σ-алгебру <%(ST), порожденную
дг. Сопрягая это с утверждением 15.1, получаем
Следствие 16.9. (теорема о продолжении). Пусть μ: 2>->
->[0, °°] — меРа на булевой полуалгебре 3) подмножеств
множества X. Тогда μ может быть продолжена до меры на σ-ал-
гебре, порожденной 3), т. е. существует мера ν на σ-алгебре
$(&))> такая, что
ν(£) = μ(£) для всех Е<=£>.
Теперь, когда мы знаем о мерах на σ-алгебрах, введем
Определение 16.10. Пусть (X, <%) — борелевское пространство
и μ — мера на 3$. Тогда тройка (X, 9S, μ) называется
пространством с мерой. Это пространство называется пространством с
О'Конечной мерой, если μ σ-конечна на 3§. Оно называется
пространством с вполне конечной мерой, если μ(Χ)<οο. Тройка
(Χ, 3S, μ) называется вероятностным пространством, если
μ(Χ)=1·
Всюду в тексте будем рассматривать только пространства с
σ-конечной мерой.
§ 17. Единственность продолжения меры
Убедившись в том, что любая мера на булевой алгебре ЗГ
имеет продолжение на σ-алгебру 3$(!F)f порожденную $Г,
естественно задаться вопросом, единственно ли такое продолжение
меры. Наша следующая теорема отвечает на этот вопрос
утвердительно.
Утверждение 17.1. Пусть (X, &*, μ) есть булево
пространство с σ-конечной мерой. Если μι и μ2 — меры на $(&~), такие,
что μι (F) = μ2 (F) = μ(F) для всех F <= У, то μ! (Ε) = μ2 (Ε)
Для всех Е&39{У).
80
Г Л II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Доказательство. Прежде всего докажем наше утверждение
для случая, когда μ вполне конечна. С этой целью положим
Ж = {Е: Ε е= £(&-), μ,(£) = μ2(£)}.
По условию &(8Г) iDjizDiF. В силу утверждения 15.10 Ж
является монотонным классом. В силу утверждения 14.4 Ж :=>
1э<$(&~). Таким образом, Ж = &(ЗГ). Пусть теперь μ σ-κο-
оо
нечна. Тогда можно написать Х= (J Xif где Χι — непересекаю-
щиеся элементы У с μ(Χι)<οο при каждом L Тогда μι и μ2
совпадают на σ-алгебре i?(#~) Π Χι — $χ.{&~ (]Χι) в
пространстве Χι (см. утверждение 13.5). Если Ле^(^), имеем А =
■= U (A{\Xt) и μι(Α) = Σμι(ΑηΧί) = Σμ2(Αί]Χί) = μ2(Α). Μ
i i i
Следствие 17.2. Пусть (Х,$)—борелевское пространство.
Если μ! и μ2 — меры на ^, 3) есть булева полуалгебра, такая,
что $ = J/(S5) и сужения мер μι и μ2 на 2) совпадают и σ-κο-
нечны на 3)> то μι = μ2.
§18. Продолжение и пополнение меры
В § 16 мы показали, как мера на булевой алгебре У может
быть продолжена (с помощью внешней меры) на σ-алгебру,
порожденную У. В процессе доказательства мы продолжили
меру на σ-алгебру 3S* μ*-измepимыx множеств. Естественно
задать вопрос: как «велика» &* по сравнению с &($Г). Мы
установим здесь, что ^* не может быть «много» больше, чем
$({Г). С этой целью введем
Определение 18.1. Пусть (X, <Я9 μ)—пространство с мерой.
Подмножество Ε множества X называется μ-нулевьш, если
существует Ле^, такое, что Ε а А и μ(Λ) = 0. Пространство с
мерой называется полным, если каждое μ-нулевое множество
принадлежит 3$.
Упражнение 18.2. Класс всех μ-нулевых множеств замкнут
относительного счетных объединений.
^Утверждение 18.3. Пусть (Χ, ^, μ) — пространство с мерой
и ,$ = {£ΔΝ, Ε^ΰ&, Ν — μ-нулевое множество}. Тогда $ есть
σ-алгебра. Если μ определена на $ равенством μ (ΕΔΝ) = μ(Ε)9
где Е^$ и N jiCTb μ-нулевое множество, то μ корректно
определена и (X, J?, μ) является полным пространством с мерой
^оно называется пополнением пространства (X, $, μ)).
18. ПРОДОЛЖЕНИЕ И ПОПОЛНЕНИЕ МЕРЫ
81
Доказательство. Если £g^, ]УсЛ, Лб^ и ц(Л) = 0, то
тождества
E[)N = (E-A)&[A{\(El)N)]9
ΕΔΝ = (Ε-Α)[)[Α()(ΕΔΝ)]
показывают, что
$ = {Ε\}Ν, Е<=$,' N — μ-нулевое множество}. (18.1)
Следовательно, $ замкнуто относительно счетного
объединения. Поскольку (ΕΑΝ)' = Ε'ΔΝ, то отсюда вытекает
замкнутость $ относительно взятия дополнений. Таким образом, 3$
есть σ-алгебра. Для того чтобы показать, что μ корректно
определена, положим Ε\ΔΝ\ = Ε2ΔΝ2, где Еи Е2^9& и N\t N2 суть
μ-нулевые множества. Так как операция Δ ассоциативна и
коммутативна, то (ΕιΔΕ2)Δ(Ν{ΔΝ2) = {ΕιΔΝι)Α(Ε2ΔΝ2) = 0.
Следовательно, (£ΊΔ£2) = (ΝιΔΝ2). Поскольку Ν\ΔΝ2 α Νχ [} Ν2,
отсюда заключаем, что Ν\ΔΝ2 представляет собой μ-нулевое
множество. Таким образом, μ(ΕιΔΕ2) = 0. Иными словами,
μ(£Ί) = μ(Ε2). Следовательно, μ (ΕιΔΝ{) = μ (Ε2ΔΝ2). Теперь
из формулы (18.1) вытекает, что μ счетно аддитивна на $.
Последняя часть утверждения очевидна.·
Утверждение 18.4. Пусть (X, &~у μ)—булево пространство
с мерой, и пусть AczX таково, что μ*(/4)<οο. Тогда
существует множество B^3$(iF)f такое, что (i) A cz В\ (π) μ*(/1) =
= μ*(β); (iii) μ*(Ο) = 0 для любого С, такого, что Се^(Я
и CczB — А.
Доказательство. При любом положительном целом η
существует последовательность {Fnk}, k=l, 2, ..., непересекаю-
щихся элементов из ИГ, таких, что
Bn=\jFnk=>A, μ·(Α) + ±>Σμ(ΡηΗ)>μ*(Α).
k k
Так как μ* = μ на У и μ* —мера на &(&*), то
μ* (А) < μ* (Вп) < £ μ (Fnk) < μ* (А) + -L.
k
oo
Пусть B=[\Bn. Тогда 8е^(Г) и В=>Л. Следовательно,
μ*^)ίξ; р*(В)<^(Вп)<^(Л)+ 1/п для всех п. Таким образом,
μ* (А) = μ* (В). Если теперь СсВ-ЛиСе^ (Т), то Л с В — С
и μ*(Λ)<μ·(Β-0 = μ·(Β)-μ·(<:) = μ·(Λ)-μ·(<;).
Следовательно, ц*(С) = 0. ■
82
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Определение 18.5. Для любого множества AczX множество
β, удовлетворяющее свойствам (i), (ii), (iii) утверждения 18.4,
называется измеримым покрытием А.
Утверждение 18.6. Пусть (Χ, &~, μ) — пространство с
мерой, и пусть Я* есть σ-алгебра μ*-η3ΜερπΜΗΧ множеств. Тогда
пространство с мерой (X, 3$*, μ*) является пополнением
(X, «$?(#"), μ*), где &{iF) есть σ-алгебра, порожденная &~.
Доказательство. Если $(&~) есть σ-алгебра, полученная
пополнением (Ху &(&~)t μ*), то из упр. 18.2 следует, что $(&~)cz
cz3S*. Пусть теперь Ле^*, μ*(λ)<οο. Пусть β —измеримое
покрытие Л и С — измеримое покрытие В— Л. Так как μ* —
мера на ,$*, то μ*(β — Л) = μ*(β) — μ*(Л) = 0. Следовательно,
μ*(Ο = 0. Ясно, что Л =(В —С)и(ЛС). Так как fi-Cg
еЯ(0"), ACczCy Се«(Я и ц*(С)=0, то А е£(&-). Из
σ-конечности меры μ* следует, что $(iF) = Я*. Ш
Утверждение 18.7. Пусть {Ху У, μ)—булево пространство
с мерой. Для любого μ*-Η3Μ6ρπΜ0Γ0 множества Ε с μ*(£)<οο
и любого ε > 0 существует множество FB e У, такое, что
μ·(£ΔΛ)<β.
Доказательство. Пусть ε > 0 произвольно. Тогда существует
последовательность F\f F2, ... непересекающихся элементов ST,
такая, что (J Fn => Ε и
/г
оо
μ*(£) + | >£μ·(^)>μ·(£). (18'2>
Так как μ*(£)<οο, то ряд Σμ-*(Λι) сходится. Следовательно
η
существует /го> такое, что
Σ μ*(^„)<ε/2. (18.3)
tt>rto
no
Пусть /?ε= U Fn и £ε = U /ν Поскольку μ* счетно адди-
/г=1 /г>/1о
тивна, из (18.2) и (18.3) следует, что
μ*(£ε)<ε/2, μ*((Εε[) FB) - Ε) <г/2.
В силу EF'Z cz Ее и /^β' с: (£ε [JFe) — E имеет место неравенство
μ*(£,Δ/7ε)<ε. Так как Fn^T при каждом п, то Ре^&~.щ
Замечание 18.8. Пусть (X, <$, μ) — пространство с мерой.
Для любых двух множеств Л, Bel, таких, что μ^)<;οο,
19. МЕРЫ НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
3
μ (β) < °о определим
d(A, Β) = μ(ΑΑΒ)=\\χΑ-χΒ\άμ.
(Отметим, что подынтегральное выражение представляет собок
простую функцию и определение интеграла совпадает с данным
в § 3.) Тогда d(A,B)^d(A,C) + d(C,B). Если d(A,B) = 0,
то отсюда не следует с необходимостью, что А = В. Иными
словами, d(.,.) есть «псевдометрика» на $.
Два множества Л, Ве^ называются ^-эквивалентными,
если μ(/4Δβ) = 0. В таком случае мы записываем А ~ β. Легко
проверить, что знак «~» определяет отношение
эквивалентности. Для любого А обозначим символом А класс всех
множеств, эквивалентных А (класс эквивалентности). Пусть 3$
обозначает систему всех классов эквивалентности. Тогда верны
следующие свойства:
(i) если Лу^В/, /=1, 2, ..., то U Af ~ [} В7;
(И) если Л/~В/, /=1, 2, ..., то Π Α,~ f] β/ί
(iii) если А ~ В, то А' ~ В'.
Следовательно, счетные операции над множествами в J?
естественным образом проникают в <М и Μ становится алгеброй, в
которой возможны счетные операции. Алгебра Л известна как
алгебра с мерой (соответствующая мере μ).
Пусть 9ία$— класс всех множеств конечной μ-меры и 91а
а<% — соответствующая 91 система классов эквивалентности.
Определим в 91 метрику 3 равенством
d(A, B) = d(A, Β) = μ(ΑΑΒ).
Тогда (91,3)—метрическое пространство. (В дальнейшем из
теоремы Рисса — Фишера станет очевидным то, что (91, 3) —
полное метрическое пространство.) Доказательство этих
утверждений предоставляется читателю в качестве упражнения.
Упражнение 18.9. Если ψ — счетное семейство подмножеств
множества X, то булева алгебра !F, порожденная семейством Ψ,
есть счетное семейство. Если $ есть σ-алгебра, порожденная ^",
и μ — мера на <%, то метрическое пространство (52,3),
построенное на основе пространства (X, 91, μ) в замечании 18.8, сепа-
рабельно.
§19. Меры на метрических пространствах
Вернемся теперь к гл. I и рассмотрим выборочные
пространства в примерах 1.1—1.7. Эти пространства варьируют в широких
пРеделах: здесь конечные и счетные множества, действительная
84
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
прямая, евклидовы пространства и пространства кривых,
заданных на интервале. Позже в § 4 мы встретились с
произведениями этих пространств. Все они являются примерами
топологических пространств. С топологической точки зрения открытые
множества, замкнутые множества, компактные множества и т. л.
очень важны. Раз уж теории вероятностей приходится иметь
дело с такими выборочными пространствами, было бы
желательно найти место всем в топологическом отношении важным
множествам в системе всех событий. С этой целью введем
Определение 19.1. Для любого топологического пространства
X σ-алгебра 9ίχ, порожденная классом всех открытых
подмножеств X, называется борелевской α-алгеброй пространства X.
Элемент 91 χ называется борелевским множеством.
Замечание 19.2. Если X — топологическое пространство и
У — подмножество X с заданной на нем относительной
топологией, то $γ = 9§χ(]Υ (см. утверждение 13.5). Если X —
топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счет-
ности, то Ых порождается счетной базой открытых множеств.
Если Хи %2> · · · — последовательность топологических
пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности, то Х°° =
= ΑΊΧΧ2Χ ··. также является топологическим пространством
с тем же свойством, если оно снабжено топологией
произведения. Далее, $А«> порождается классом всех открытых
цилиндров вида С = {χ:, χ = (хи х% .. .), хп^Хп для всех η, Χι е G/,
/=1, 2, ..., &}, где Gi — открытые подмножества X/, /=1,
2, ..., k и k — положительное целое число.
В настоящем параграфе мы увидим, что мера на
борелевской σ-алгебре любого метрического пространства полностью
определяется своими значениями на классе всех открытых или
замкнутых множеств.
Пример 19.3. Пространство X = Rk с его обычной
топологией заслуживает специального обсуждения, так как большая
часть моделей элементарной теории вероятностей основана на
этом пространстве. Обозначим произвольную точку Rk через
х = (л:ьа:2, ..., xk)y где Χι есть ί-я координата, ί= 1, 2, ..., й.
Класс всех множеств вида
{х: ai<Xi<bh /=1, 2, ..., k}, (19.1)
где а, и bi — рациональные числа, образует счетную базу
топологии в Rk. Таким образом, $Rk порождается классом
прямоугольников вида (19.1). В упражнении 4.5 мы ввели класс Эк
всех прямоугольников вида /1Х/2Х ... Х^*, где каждое
множество // есть интервал вида (а, 6], (— оо, а], (6, + оо),
19. МЕРЫ НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
85
(— оо, + оо). Покажем теперь, что
$Rk = %{2(k). (19.2)
Действительно, это следует из тождественных представлений
{х: аь<Х1<Ьи i = 1, 2, ..., k} =
оо
= |J {χ: at <xi<,bi — -^-, /=1, 2, ..., &},
{х: а4 <**<&/, /==1, 2, ..., £} =
оо
= f| {χ: α, <^<^ + 4» *»1, 2, .... ft}.
Из (19.2) вытекает, в частности, что всякая мера на борелев-
ской полуалгебре 3k единственным образом продолжается на
борелевскую σ-алгебру. Это означает, что можно определить
меру на произвольном открытом или замкнутом множестве.
Упражнение 19.4. Пусть F — монотонно неубывающая,
непрерывная справа функция, определенная на /?. Тогда
существует единственная σ-конечная мера μ на 3Sr, такая, что
μ((α, ft]) = F(b)—F(a) для всех α, ft e/?.
Упражнение 19.5. Если Λ, ^2, ..., Fk — монотонно
неубывающие, непрерывные справа функции на R, то существует
единственная σ-конечная мера μ на &Rk, такая, что
μ ({χ: α, < *, < ft J) = Π [Ft (*ι) - Λ Ы.
t = l
Упражнение 19.6. Пусть f(x\, x2i ..., Xk) — непрерывная
неотрицательная функция на Rkf такая, что ее интеграл Римана
равен единице:
+оо +оо
} .· $ f(x{t хъ ..., xk)dxldx2 ... dxk=l.
— оо —оо
Тогда существует единственная вероятностная мера μ на &Rk
такая, что
И{х: at<xt<bh /=1, 2, ..., ft}) =
bk b2 bx
= 5 ... 55 /(*i, хъ · · · > *k)dx{ dx2 ... dxk.
86
ГЛ. И. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Замечание 19.7. Пусть μ — вероятностная мера на 3SRk и
F(lu L· · ··> ^) = μ({χ: x\<lu *2<£2, ..·, Xk<L·))-
Функция F от k переменных ξι ξ2, ..., Ik называется функцией
распределения меры μ. Можно отметить, что F — монотонно
неубывающая функция по каждой переменной ξ,, когда
остальные переменные фиксированы. Кроме того,
lim F(lu ξ2, .··> L· ···> lk) = 0 для каждого /,
Hm F(lu ξ2, ..., ξ,)=1
ξι-*οο
и F — непрерывная справа функция по переменным ξ/, τ. е.
lim F(lu ξ2, ..., W = F(au α2, ..., ak\ \t > ah /=1, 2, ..., k
для всех αϊ, α2, ..., afe. Однако функция Ff удовлетворяющая
выписанным выше условиям, не обязана быть функцией
распределения вероятностной меры.
Для любой функции / от k переменных ξι, ξ2, ..., ξ^
определим
δι0/) (6.. ь 6*)-
Если теперь функция F(lu ξ2, ..., Ъ) удовлетворяет
дополнительному условию
(Д(%^)...А^)(|1Л2 |4)>0
для всех ξι, ξ2, ..., ξ* и всех неотрицательных hu Λ2, . .·> hk, то
F есть функция распределения вероятностной меры μ. В этом
случае
μ{χ: lt<xt<lt + fih /=1, 2, ..., k} =
для всех ξι, h, ■·., Ik и всех неотрицательных Αι, h% ..., Λ*.
Упражнение 19.8. Пусть F определена на R2 соотношениями
0, х<1, у<\,
а, 1<*<2, 1<г/<2,
F(x,y) = \ α + β, 1<*<2, ί/>2,
a + V, *>2, 1<#<2,
1, *>2, #>2,
19. МЕРЫ НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
87
где α, β, ν положительны и 1 — а > β > 1 — а — γ >0. Тогда
р — монотонно неубывающая по χ и по у отдельно функция,
которая непрерывна справа. Однако F не является функцией
распределения вероятностей.
Определение 19.9. Пусть μ — мера на борелевской σ-алгебре
$х топологического пространства X. Борелевское подмножество
А пространства X называется ^-регулярным, если
μ (Л) = sup {μ (С), С ^ Л, С замкнуто} =
= inf {μ (ί/), AczU, U открыто}.
Если каждое борелевское множество μ-регулярно,' то будем
говорить, что мера μ регулярна.
Мы вскоре докажем, что если X — метрическое
пространство, то каждая вполне конечная мера на Я χ регулярна. Ниже
под мерой, на топологическом пространстве X, будем понимать
меру на !%χ. Теперь установим некоторые определения и
докажем элементарное топологическое утверждение.
Определение 19.10. Пусть X — топологическое пространство.
Множество Acz-X называется G6-множеством, если существует
последовательность открытых множеств {£/*}, такая, что U\ zd
zd U2 => ... и А = Π Un. Дополнение любого О6-множества
Hart
зывается Рь-множеством.
Утверждение 19.11. Пусть X — метрическое пространство
с метрикой d. Для любого Л cz X положим d(x> A)= inf d(x, у).
У&А
Тогда
\d(x, A) — d(x\ A)\^.d(x, χ') для всех х,/еА (19.3)
В частности, d(x, А) есть равномерно непрерывная функция х.
Доказательство. Для любого г/еЛ имеем
d(χ, Л)<d(xt //)<d(χ, χ') + d(x\ у).
Поэтому d(x, A) ^ d(xf x')-\-d(x\ Л). Меняя местами х и х'у
получаем d{x', A) ^ d(x, x') + d(x, Л). Из этих двух неравенств
следует (19.3).И
Следствие 19.12. В метрическом пространстве X каждое
замкнутое подмножество является 06-множеством, каждое
открытое подмножество есть /^-множество.
88
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Доказательство. Пусть С — любое замкнутое множество.
Тогда
оо
С = {х: d(*,C) = 0}=p| {x: d(x,C)<-~).
Так как d(xfC) непрерывно, то множество {х: d(x, C)<\/n)
открыто.·
Утверждение 19.13. Каждая вполне конечная мера на
метрическом пространстве X регулярна.
Доказательство. Если А — любое μ-регулярное множество, то
ясно, что для произвольного ε > О можно найти открытое
множество V8 :э А и замкнутое множество СеаА, такие, что
\i(Ue — С8)<е. Обратно, если все это справедливо для
произвольного ε > 0, то А есть μ-регулярное множество.
Пусть теперь 91 обозначает класс всех μ-регулярных боре-
левских множеств. Множества 0 и X принадлежат 91, поскольку
они открыты и замкнуты одновременно. Докажем, что 91
замкнуто относительно образования дополнений. Действительно,
пусть А е 91 и ε > 0. Существует открытое множество Όζ гэ А
и замкнутое множество С8 ^ Л, такие, что μ(ί/8 — С8) < г.
Тогда i/JCiCcC;, С'г — К = иг — Сг и и'г есть замкнутое, а
С'ъ — открытое множество. Отсюда следует, что А' е 91.
Покажем, что 3ί замкнуто относительно счетного объеди-
оо
нения. В самом деле, пусть Аь Л2, ,,.ЕЙ, А= [} Αι и ε>0
произвольно. Тогда существует открытое множество Unt ε и
замкнутое множество Сп,е, такие, что Un,ezDAnziCn,e и μ(ί/η,ε—С„,е)<
оо оо
<ε/3η. Пусть i/8 = U Un.e и S=E* U сп.е- Так как μ —мера,
мы можем выбрать k столь большим, чтобы μ (β — (J Cn,el<
ft
< ε/2 (см. утверждение 15.10). Пусть Се= [} Сп,е. Тогда ί/β
л-1
открыто, Се замкнуто, Ubzd AzdC8 и
μ(ί/.-ββ)<μ(£/β-β)+μ(Α-Οβ)<
Таким образом, 91 есть σ-алгебра. Для завершения
доказательства достаточно показать, что 91 содержит все замкнутые мно-
19. МЕРЫ НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
89
жества. Если С — замкнутое множество, то в силу
следствия 19.12 С= (I Unt где {Un} — убывающая последователь-
п
ность открытых множеств. По утверждению 15.10 lim μ(ί/Λ) =
Я-»оо
= ц(С). Следовательно, для любого ε > 0 можно найти /го,
такое, что μ (Uпо — С) < ε. Если мы положим ί/ε = Uno и Св = С> то
Ub^CzdCb и μ(ί/ε — Се)< ε. Таким образом, Се$!.И
Следствие 19.14. Если μ, ν — вполне конечные меры на
метрическом пространстве X и μ(0) = ν(0) для каждого
замкнутого множества С, то μ = ν.
Теперь попробуем выяснить, можно ли меру в метрическом
пространстве полностью определить ее значениями на классах
множеств, более узких, чем класс всех замкнутых подмножеств.
В качестве примера рассмотрим класс всех компактных
подмножеств. Мы исследуем эту ситуацию ввиду ее особой
важности в теории вероятностей.
Определение 19.15. Вполне конечная мера μ на метрическом
пространстве X называется плотной, если для всякого ε > 0
существует компактное множество K^czXy такое, что μ(Χ —
-КгХ*.
Утверждение 19.16. Пусть X — метрическое пространство и
μ —плотная мера на нем. Тогда для любого борелевского
множества Ε и любого ε > 0 существует компактное множество
Кг cz Е, такое, что μ (Ε — Кг) < ε.
Доказательство. В силу утверждения 19.13 существует
замкнутое множество Се cz Ε, такое, что μ(Ε — Св) < ε/2. Поскольку
μ плотна, существует компактное множество КаХ, такое, что
μ (X — К)< ε/2. Пусть теперь Ке = К П Ct. Тогда μ (Ε — Kt) <
<μ(£-Οε) + μ(Οε-#ε)<^ + μ(Χ---/0<ε. Так как Кг
компактно, то доказательство завершено.·.
Утверждение 19.17. Пусть X — полное метрическое
пространство и множество С ^ X замкнуто. Допустим, что при каждом η
существует целое число kn, такое, что Ссг Μ Snh где каждое
/-ι
множество 5/1/ есть замкнутый шар радиуса 1/п в X. Тогда С
компактно.
Доказательство. Пусть — любая
последовательность различных точек в С. Покажем, что эта
последовательность имеет предельную точку. Выберем целое /гь не
превосходящее k\ и такое, что множество Cf|5irtl = /Ci содержит
90
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
бесконечно много точек Я/. Поскольку К\ ^ U S2/, можно вы-
1 _
брать п% не превосходящее &2 и такое, что множество /Ci Π ^2η2 =
= К2 содержит бесконечно много точек */. Продолжая эту
процедуру, построим /Ci zd Я2 ^ . · · => Кп => ..., такие, что диаметр
/С„ не превосходит 2/п. Полнота X влечет за собой, что (| /Сл со-
держит одну точку х0. Так как Кп d С, отсюда следует, что
Хо е С. Кроме того, каждая окрестность х0 содержит бесконечно
много точек х/. Таким образом, С компактно.·
Утверждение 19.18. Пусть X — полное и сепарабельное
метрическое пространство. Тогда любая вполне конечная мера μ
на X плотна.
Доказательство, Пусть d — метрика в X. Выберем и
зафиксируем ε > 0. Для любого целого η открытые шары радиуса
\/п вокруг каждой точки образуют покрытие множества X. Так
как X сепарабельно, то можно выбрать счетное множество шаров
Sin, Sn2, ..., так что X— [] Snf. Поэтому Х= (J Snl. В силу
утверждения 15.10 можно найти такое целое kn, что
Х- U Snl)<s/2n. Положим *β= Π U Sn!. Тогда μ(Χ-ΚΒ)^
/-1 /у п-1 /-1
оо
^Σε/2η = ε. В силу утверждения 19.17 множество Кг ком-
пактно. Отсюда следует, что μ'плотна. ■
Следствие 19.19. Пусть μ — любая вполне конечная мера на
полном и сепарабельном метрическом пространстве X. Тогда
для любого * борелевского множества Ε имеем μ(£,) =
= sup {μ (К) у Κα Ε, К компактно}. В частности, если две вполне
конечные меры μ и ν совпадают на всех компактных
множествах, то μ = ν.
Упражнение 19.20. Рассмотрим меру μ на [0,1], определен·
ную равенствами
μ({0})=1, μ((α, b]) = log b - log а, 0<а<й<1.
Тогда μ есть σ-конечная мера на [0, 1]. Для любого открытого
множества Gz^{0} имеем μ(β) = οο. Поэтому μ — нерегулярная
мера.
Упражнение 19.21. Пусть X — полное и сепарабельное мет*
рическое пространство и Υ α Χ — борелевское множество.
Рассмотрим У как метрическое пространство с той же самой мет*
20. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОБЪЕМЫ
91
рикой, что и в X. Тогда любая вполне конечная мера на У
плотна. Кроме того, две вполне конечные меры на У совпадают
на всех борелевских множествах всякий раз, когда они
совпадают на всех компактных множествах.
Замечание 19.22. Пусть две вероятностные меры μ, ν на бо-
релевской σ-алгебре Звх метрического пространства X обладают
тем свойством, что μ(5) = v(S) для каждого замкнутого шара
SczX. Верно ли то, что μ = ν? (См. упражнение 53.14.)
Упражнение 19.23. Пусть X — компактное метрическое
пространство и {!Fn}—возрастающая последовательность булевых
алгебр подмножеств X, таких, что &*ncz&x для всех /г=1,
2, ... . Пусть μη— вероятностная мера на ЗГп, такая, что
(ι) μη(Α) = 3\ΐρ{μη(Κ), К с Л, К замкнуто, К е Тп),
(ϋ) μ™ (Л) = μη (Л), если т < η и А г {Гт.
Определим функцию множества μ на [} ffr'n = ^00 равенст-
п
вом μ(Α) = μη(Α), если ^еУл, при п= 1, 2, ... . Тогда μ —
вероятностная мера на У<».
§ 20. Вероятностные объемы
До сих пор мы изучали проблему продолжения аддитивных
функций с булевой алгебры на σ-алгебру, порожденную ею.
В случае метрических пространств мы нашли, что вполне
конечная мера на σ-алгебре определяется своими значениями на
замкнутых множествах. Возникает естественный вопрос: можно
ли аддитивную функцию на классе замкнутых множеств
продолжить на булеву алгебру и порожденную ею σ-алгебру? В
настоящем параграфе исследуем эту проблему.
Пусть X — метрическое пространство и Ψ χ и 9 χ обозначают
соответственно класс всех замкнутых подмножеств и класс
всех открытых подмножеств. Будем использовать букву С с
индексом или без него для обозначения замкнутого множества.
Аналогично, для обозначения открытого множества будем
использовать букву G с ^индексом или без. Для любого А а X
будем обозначать через А замыкание множества Л.
Определение 20.1. Отображение λ: Ψχ->[0,1] называется
вероятностным объемом, если
0) λ(0) = Ο, λ(*)=1;
(ϋ) λ(^)<λ(02), CtczC2;
(Hi) b(Ci\)C2XX(Ci) + k{C2) для любых Си С2,
причем равенство выполняется всякий раз, когда Сь С2 не
пересекаются.
92
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Вероятностный объем называется гладким, если для
каждого д&Фх
λ(0) = ίηί{λ((3), GzzC, G открыто}.
Для каждого вероятностного объема λ определим функцию
множества λ на классе всех подмножеств следующим образом:
τλ (G) = sup {λ (С): CczG, Cg^}, Ge^, (20.1)
λ(Λ)«= inf K(G): G => A, CgS^}, Л cX (20.2)
Докажем элементарное топологическое утверждение.
Утверждение 20.2. Пусть Сь С2<ее<&х, С\ [\ С2 = 0. Тогда
существует действительная непрерывная функция / на X, такая,
что 0 ^ f(x) ^ 1 для всех χ и С\ = {х: f(x) = 0}, С2 = {x-f(x) =
г= 1}. В частности, существуют непересекающиеся открытые
множества Gh G2, такие, что С\ cz Gu C2cz G2.
Доказательство. Для любых лгеХ, AczX определим число
d(x, А) в терминах метрики d пространства X так же, как в
утверждении 19.11. В силу этого утверждения функция /,
определенная формулой
f(x) = <*(*>с*>
непрерывна, 0<fW<l и {*:/(#) = 0}=~СЬ {*:/(#) = 1} =
5= С2. Если теперь введем множества G\={x: f(x)<\/2}>
G2 = {x: /(jc)>3/4}, то доказательство будет закончено.·
Утверждение 20.3. Пусть λ — вероятностный объем на &х.
Тогда функция т&, определенная равенством (20.1) обладает
следующими свойствами:
Ο)τλ(0) = Ο, τλ(Ζ)-1;
(ii) ^(OjXTxiOj), если О, с С2 и Gb G2<=SV>
(Ш) ^(OjUOaXTxiOO + TxiOa) для всех Olf G2<=3^.
Доказательство. Свойства (i) и (ii) очевидны. Для
доказательства (ш) рассмотрим любое замкнутое множество CczGi U G2.
Тогда CGi и CG2 — непересекающиеся замкнутые множества.
В силу утверждения 20.2 существуют непересекающиеся
открытые множества Ga, Gp, такие, что CG[ с: Ga, CG'2 cz G$.
Пусть Ci = CG'a, C2 = CG'p Тогда Сь С2 замкнуты, ClczGu
C2czG2 и C1UC2 = Cn(G^(jG3) = Cn(GanGp), = C.
Следовательно,
λ (CX λ (CO + λ (C2) < τλ (G2) + τλ (G2).
Взяв супремум по всем Cc:OiUG2, получим (iii).H
20. BEPOfltHOCTHblE ОБЪЕМЫ
93
Утверждение 20.4. Пусть λ — вероятностный объем на Фх.
Тогда функция множества λ, определенная формулой (20.2),
обладает следующими свойствами:
(i) λ(0) = Ο, λ(*)=1;
(ii) X(G) = xk(G) для всех Се^;
(iii) λ(/ΐχλ(β), если ΑαΒ\
(iv) i{A\)B)^i(A)+i{B) для всех Л, BczX;
(ν) λ(σ)<λ(0 для всех G€=^, Се~^х, таких, что GczC;
(vi) X(A) = K(A(]G) + l(A(]Gf) для любых Gs^ и Л с=А\
Доказательство. Свойства (i) — (iii) представляют собой
прямое следствие определения λ. Для доказательства (iv)
выберем для любого ε > 0 открытые множества G\ =>Л, G2=>B,
такие, что xk(G{)^XiA) + s/2, τλ(02)^λ(β) + ε/2. Так как г*
полуаддитивна, имеем
λΜυβ)<τλ(01υθ2)<τλ(01) + τλ(02)<
<λ(Λ) + λ(Β) + β.
В силу произвольности ε получаем (iv). Для доказательства (ν)
выберем любое С\ с: G. Тогда С\ а С и Я(С^ ^ λ (С).
Следовательно,
^(G) = %(G)= sup λ (СО < λ (С).
Это и есть свойство (ν). Для доказательства (vi) рассмотрим
любое открытое множество G\ZdA. Для любого ε >0 выберем
CidGflGb такое, что ta,(GGi)< λ(^) + ε/2. Выберем Cicz
с GzCu такое, что rx(G\C[) <λ(02)+г/2.Так как С{ и С2
непересекаются, λ аддитивна на непересекающихся замкнутых
множествах и G'Gi с GiC[, имеем
1(00,)+λ (0'Gj) <τλ (GGi) + τλ (ci(?i) <
<Я(С1) + Л(С2) + е«Л(С1иС2) + г.
Так как С ι U C2 cz Gi, имеем
λίΟΟΟ + λίίΤΟ,ΧτχίΟΟ + β.
Поскольку Gi =э Л, из свойства (iii) следует, что
l(GA) + i(G,A)^rK(G1) + e.
Взяв инфинум по всем таким Gb получаем
λ (GA) + λ (GM) < λ (Л) + ε.
94
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Здесь ε произвольно и λ полуаддитивна, так что доказательство
(vi) на этом закончено. ■
Утверждение 20.5. Пусть X— метрическое пространство и
Ух — булева алгебра, порожденная классом Ψ χ всех
замкнутых подмножеств X. Предположим, что λ есть вероятностный
объем на Фх. Тогда функция множества λ, определенная
формулой (20.2), является вероятностным распределением на Ух.
Кроме того,
(1) k(A) = lnf{k(G), GzdA.G открыто} =
= sup {λ (С), С с Л, С замкнуто} для всех Де^; (20.3)
(и) Л(С)<Л(С) для всех Сев*. (20.4)
Если λ — гладкий вероятностный объем, то
λ (С) = λ (С) для всех С е= Vx.
Доказательство. Пусть λ — вероятностный объем и λ
определена формулой (20.2). Будем считать множество ЕаХ λ-иа-
меримым, если для любого AczX справедливо равенство
Я(Л) = λ{ΑΕ)-\-λ(ΑΕ'). Так как λ полуаддитивна, то по тем же
соображениям, что были использованы при доказательстве
утверждения 16.7, класс всех λ-измеримых множеств есть булева
алгебра. По свойству (vi) утверждения 20.4 каждое открытое
множество λ-измеримо. Кроме того, λ конечно аддитивна на
булевой алгебре λ-измеримых множеств. Эта булева алгебра
содержит Ух. Первая часть утверждения доказана. Первое
равенство в (20.3) следует из определения λ и того факта, что
λ (G) = τλ(β), если G — открытое множество. Второе
равенство в (20.3) следует из первого, так как £(С)= 1 — λ (С) и
С пробегает &х, когда С пробегает ψχ. Для того чтобы
доказать (20.4), заметим, что λ(0)^τλ(0) для любого открытого
множества G =э С. Находя инфинум по всем таким G, получим
Я(С)<Л(С).
Для доказательства последней части утверждения
предположим, что λ — гладкий вероятностный объем. При любом
ε > 0 можно найти открытое множество G гэ С, такое, что
λ((?)ίζ Я(С) +ε. Так как G замкнуто, то из свойств (iii) и (ν)
утверждения 20.4 следуют неравенства λζΟ) ^ λ(ϋ)^ λ(6)^
^%(С)-\-е. Так как ε произвольно, получаем к(С)^.Х(С).Ш
Замечание 20.6. Будем говорить, что вероятностное
распределение λ на Ух регулярно, если оно удовлетворяет
соотношению (20.3). Тогда из последней части утверждения 20.5 следует,
Что любой гладкий вероятностный объем на Фх обладает един-
20. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОБЪЕМЫ
95
ственным продолжением на #"*, которое представляет собой
регулярное вероятностное распределение.
Упражнение 20.7. Пусть λ — вероятностный объем на Ψ χ.
Допустим, что для произвольной убывающей
последовательности {Сп} замкнутых множеств имеет место λ ( f| С Л =
= lim λ (Сп). Тогда λ — гладкий вероятностный объем.
Утверждение 20.8. Пусть X — компактное метрическое
пространство и iFx — булева алгебра, порожденная классом всех
замкнутых множеств. Тогда регулярное вероятностное
распределение на 8Гх счетно аддитивно и, следовательно, может быть
продолжено единственным образом в вероятностную меру на
борелевской σ-алгебре 38х.
Доказательство. Пусть μ — регулярное вероятностное
распределение на 2Γχ. Предположим, что Ляе {Fx, Аг^А2^ ... гэ
=> Ап =?...,' Π Ап=0. Докажем, что lim μ(Αη)=0. Предполо-
П П-»оо
жим, что это не так. Тогда существует δ > 0, такое, что μ (Ап)^
^ δ > 0 для всех /г. Используя регулярность μ, выберем
компактное множество СпаАп> такое, что
μ(Αη-€η)<~τ> п=\9 2, ... .
Тогда имеем
Так как μ(Λη) = μί f] Лг)>о, το μί f| С*)>б/2. Другими
η
словами, множество (| Ct непусто при каждом п. Следовательно,
оо
по свойству компактности (| С^0. Так как С ι cz At при всех /,
то Ρ) Α(Φ0. Мы пришли к противоречию. Следовательно,
lim μ(Αη) — 0.
Λ->00
Допустим теперь, что последовательность {β„} непересекаю*
оо
Щихся множеств из 9~х такова, что β = \] Вп принадлежит 1ГХ.
Обозначим Вп а= В{ [} В2 U · ·. U Вп. Тогда Вп возрастают к В
или, что эквивалентно, В — Вп убывают к пустому множеству.
96
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Следовательно, lim μ (β — β„) = 0. Отсюда следует, что
μ (В)- lim μ(β„)= lim Σ μ(β/) = Σ μ (5/)·
Таким образом, μ счетно аддитивна на $ГхШ
Следствие 20.9. Всякий гладкий вероятностный объем на
замкнутых подмножествах компактного метрического
пространства X может быть продолжен единственным образом до
вероятностной меры на борелевской σ-алгебре 3$х.
Определение 20.10. Пусть X — метрическое пространство и
Жх— класс всех компактных подмножеств X. Отображение λ:
Жх-+[0, оо) называется компактным объемом, если
(0 λ(0) = Ο;
(Η) λ(*ι)<λ(*2) при /CiC/Ca;
(Ш) λ(Κι[)Κ2)*ζλ(Κι)+λ(Κ2) для всех Ки К2<==ЖХ, где
равенство имеет место тогда, когда К\ и К2 не пересекаются.
Отметим, что Ж χ а Фх. Теперь постараемся продолжить λ
с Жх на булеву алгебру, порожденную ^х. С этой целью
пойдем точно тем же путем, как и в случае вероятностных объемов.
Положим
ηλ(σ) = 5ΐιρ{λ(/0: /C<=G, К^ЖХ), G<=9Xf (20.5)
λ (А) = inf {ηλ (G): G => A, G(=&x}f A^X. (20.6)
Утверждение 20.11. Пусть Χ — метрическое пространство и
Жх — класс всех компактных подмножеств X. Пусть, далее, λ —
компактный объем на Жх. Тогда функция Я, определенная
формулой (20.6), конечно аддитивна на булевой алгебре 3Γχ,
порожденной классом всех открытых подмножеств X. Для любого
ΑεξΤχ
Я (Α)ι = inf {λ (G), GzdA, G открыто}. (20.7)
Для любого компактного множества К
λ(/0>λ(/α К^Жх. (20.8)
ЕслиЯ(Х) = 1,тоЯ(*) = 1.
Если X локально компактно, то Я(/С)<оо и сужение Я на
Жх Π К счетно аддитивно для каждого компактного множества
KczX.
Доказательство. Прежде всего заметим, что функция ηλ,
определенная равенством (20.5), удовлетворяет свойствам (π) π
20 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОБЪЕМЫ
97
(Hi) утверждения 20.3 (с η* вместо τλ). Ясно, что ηλ(0) = Ο.
Аналогично, λ удовлетворяет свойствам (ii) — (vi) утверждения
20.4, если λ заменить на λ и замкнутые множества заменить
на компактные множества. Так же как в доказательстве
утверждения 20.5, будем считать множество Ε Я-измеримым, если для
любого AczX выполняется соотношение λ (А) = Я (АЕ) -|-
4-Я(Л£')· Тогда Я-измеримые множества составляют булеву
алгебру, содержащую класс &х всех открытых подмножеств X.
Равенство (20.7) непосредственно следует из определений.
Неравенство (20.8) доказывается точно так же, как
неравенство (20.4).
Пусть тетерь X локально компактно. Если К— компактное
множество, то можно найти открытое множество G, такое, что
G компактно и GzdGzdK. Так как Я (G) ^ Я(Сг) < оо, то
Я (К) < оо. Из равенства (20.7) теперь следует, что для любого
подмножества А компактного множества /С, такого, что А е ЗГХ,
имеем
Я,(A) — sup{λ(Κ\), K\CiAt Κι компактно}.
По утверждению 20.8 сужение Я на &~х()К счетно аддитивно.·
Следствие 20.12. Пусть X — локально компактное
метрическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности,
и Ж χ — класс всех компактных подмножеств X. Пусть, далее,
Я — компактный объем на Ж χ. Тогда существует σ-конечная
мера μ на борелевской σ-алгебре 9SX со следующими
свойствами:
(i) Я (К)<, μ (К) < оо для каждого К<= Жх\
(ii) если $Гх булева алгебра, порожденная классом всех
открытых подмножеств X и A^lFxflK, где /С —-компактное
множество, то
tx (Л) = inf {ηλ (G), GzdA, G открыто},
где
v\b(G) = sup {Я (Κι), /Ci<=G, Κι компактно}.
Доказательство. Построим функцию Я на классе всех под*
множеств X так же, как в утверждении 20.11. Выберем
возрастающую последовательность {Gn} открытых подмножеств,
такую, что Grc компактно при каждом η и [j Gn = £. Положим
Hi = Ои Η η = GnG'n-iG'n-2 ... G'u n = 2, 3, ... .
Для любого А е $Гх определим !
я~1
98'
гл. п. Продолжение меры
Так как HnczGn и Gn компактно, то из утверждения 20.11
следует, что λ(Ηη(]Α) счетно аддитивна на А при каждом
фиксированном /г. Следовательно, μ счетно аддитивна. Если А
содержится в компактном множестве /С, то конечное множество
подмножеств Нп покрывает Л. В таком случае μ(Α) = λ(Α).
Это доказывает свойство (и). Теперь μ может быть продолжена
единственным образом на борелевскую σ-алгебру 3$хШ
Замечание 20.13. В утверждении 20.11 будем считать λ
гладким на каждом компактном подмножестве Υ пространства X,
рассматривая Υ как метрическое пространство с той же самой
метрикой, что и на X. Тогда λ (Κ) = λ(Κ) для каждого
компактного множества К. При этом же условии имеем в
следствии 20.12, что μ(Κ) = λ(Κ) для каждого компактного
множества Я.
§ 21. Мера Лебега на действительной прямой
Рассмотрим монотонно неубывающую, непрерывную
функцию F(x) = x на действительной прямой R. В силу
утверждения 15.2 существует единственная мера L на булевой алгебре #",
порожденной классом всех интервалов вида {а, 6], (а,+ оо),
(—оо, й], (—оо, + оо), где а и Ь принимают значения на R.
Пусть JP обозначает класс всех /Лизмеримых множеств.
Функция множества L*, рассматриваемая на ^*, является σ-конечной
мерой. Будем обозначать эту меру тем же символом L. Тогда L
называется мерой Лебега на прямой. Любой элемент из $*
называется измеримым по Лебегу множеством. Из
утверждения 18.6 можно вывести, что (Rf$*tL) есть пополнение
пространства (/?, <%{&~)tL), где $(2Г) есть σ-алгебра,
порожденная ЯГ. Кроме того, из рассуждений в примере 19.3 следует, что
$(ЯГ) есть борелевская σ-алгебра на прямой с ее обычной
топологией.
Начиная детальное изучение меры Лебега, исследуем вопрос
существования множеств, не измеримых по Лебегу. С этой
целью введем некоторые обозначения.
Для любых Ε a R> a^ R обозначим
Е + а = {х + а> #<=£}, аЕ = {ах, х^Е}.
Если Ε и F— подмножества #, введем обозначения
E + F = {x + yf xg=E, y*=F}, E-F = {x-y, x<=E, y<=F}.
Утверждение 21.1. Если EczR — измеримое по
Лебегу-множество и α ε /?, то £ + α также измеримо по Лебегу и L(£) =
= L(E + а). Аналогично, аЕ измеримо по Лебегу и L(a£) =
= \а\ЦЕ).
21. МЕРА ЛЕБЕГА НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ
99
Доказательство. Если Ε — конечное объединение
непересекающихся интервалов, то очевидно, что Ε + а — множество
такого же вида и L(E + а) = L(E), L(aE) = \a\L(E). Из
определения внешней меры следует, что
щ L*(A + a) = L*(A),
L*(aA) = \a\Lm(A) для всех AaR,ae=R. (2M)
Если Ε есть //-измеримое множество, то для любого A a R
справедливо равенство L*{A) = L*(AE)+ L*{AE'). Из (21.1)
имеем
ГМП(£ + в)) = Г(М-а)П£),
Г (А П (Ε + αΥ) = Г (А П {Е' + а)) = Г ((Л - а) П £0.
Складывая эти равенства и еще раз используя (21.1),
получаем
L*(Ar\(E + a)) + L*(A(](E + aY) = L*(A-a) = L*(A).
Отсюда следует, что Ε + а /Лизмеримо. Для доказательства
второй части отметим, что
у L*(Ar\(aE)) = L*(a[(a-*A){)E]) = \a\L*((a->A)(]E)f
L*(A{](aE)') = L*(A(}(aE')) = \a\L*((a-lA)(}E').
Складывая эти два равенства, получим //-измеримость
множества аЕ. ■
Утверждение 21.2. Для любого измеримого по Лебегу
множества Ε cz R с конечной мерой Лебега функция L(Ek(E + χ))
равномерно непрерывна как функция χ в R.
Доказательство. Пусть 3?={Е: Ε — измеримое по Лебегу
множество, L(E) < oo, L(EA(E + х)) равномерно непрерывна
по л:}. Очевидно, что каждый ограниченный интервал
принадлежит S7. Если Л, В е S7, А П В = 0, то А [} В е 2. В самом деле,
имеем
На и в (У) - Х(а и в)+х (У)\<\ U (У) - Хл+* (У) \ + 1^в (0) - 5СВ+* fo) |·
Илтегрируя (см. § 3), получаем
Ц(А\)В)Щ(А[)В) + х])<>ЦАЬ(А + х)) + ЦВЬ(В + х)). (21.2)
Так как \L(A) — L(B)\^ L(AAB) для множеств конечной меры,
то для любого измеримого по Лебегу множества Л с конечной
мерой Лебега имеем
|1(ЛА{Л + *))-МЛА(Л+ */))|<
</,((Л + х)А(Л + ^)) = 1(ЛА[Л + ^-^)]). (21.3)
100
ГЛ. II. ПРОДОЛЖЕНИЕ MEPJrf
Из неравенств (21.2) и (21.3) следует, что А[}В^З?. Таким
образом, конечные объединения непересекающихся
ограниченных интервалов принадлежат SB.
Пусть теперь Ε — любое измеримое по Лебегу множество
с конечной мерой Лебега. Тогда из утверждения 18.7 следует,
что для любого ε > 0 существует конечное объединение Fe
непересекающихся интервалов, такое, что L(EAFe)<ie. Тогда
L (ЕА (Ε + x))<L (Ε AFe) + L (FeA (Fe + χ)) +
+ L (OF, + χ) Δ (Ε + χ)) < 2ε + L (FeA (F, + χ)).
Следовательно, lim L(EA(E + x)) = 0. Теперь из неравенства
(21.3) следует, что функция L {ЕА (Ε + χ)) равномерно
непрерывна по х.
Утверждение 21.3. Для любого множества Ε с конечной
положительной мерой Лебега
0 е= {х: L (ЕА (Е +x))<L (Ε)} α Ε-Ε.
Доказательство. Предположим, что Е(](Е + а)= 0. Тогда
L(EA{E + a)) = L(E) + L(E + a) = 2L(E). Отсюда следует,что
если L(EA{E + x))<L{E)y то Е(](Е + х)Ф 0. Другими
словами, х^Е — Е.Ш
Утверждение 21.4. Если L(E)>0f то множество Е — Е
содержит окрестность нуля.
Доказательство. Это есть непосредственное следствие
утверждений 21.2 и 21.3. ■
Утверждение 21.5. Существует по крайней мере одно
множество A czRy которое неизмеримо по Лебегу.
Доказательство. Пусть D czR — любая счетная, плотная
подгруппа аддитивной группы R (например, D — подгруппа всех
рациональных чисел). По аксиоме выбора отберем ровно по
одной точке из каждого класса смежности D + χ и образуем
тем самым множество А. Тогда R=A+D— [j (A+d).
de=D
Покажем, что А не будет измеримым по Лебегу множеством.
В самом деле, если А измеримо по Лебегу, то по крайней мере
одно из множеств А + d должно иметь положительную меру
Лебега и, следовательно, L (А) = L (А + d) > 0. По
утверждению 21.4 множество А—А содержит окрестность нуля. Так как
D — плотное множество, то (А—A){\D содержит точку άοφΰ.
Тогда do может быть представлена как ои — ссг, где αϊ, аг^Л,
Таким образом, αϊ, <х% — две различные точки множества Л,
принадлежащие одному и тому же классу смежности. Это про^
21. МЕРА ЛЕБЕГА НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ Ю1
тиворечит выбору Л, и, следовательно, наше утверждение
доказано.
Упражнение 21.6. Если EczR— борелевское множество и
а е /?, то Ε + а и аЕ являются борелевскими множествами. Если
μ — мера на борелевском пространстве (Rf$R)f такая, что
μ((0, 1]) = с< оо и μ(Α)= μ(Α + α) для всех Ле^иае/?,
т0 μ = cLy где L — мера Лебега на 3SRa
Упражнение 21.7. Пусть / — действительная функция на R,
такая, что множество {х: f(x)^a} при некотором α =7^0
измеримо по Лебегу и f(x) + f(y) = f(x + y) при всех*, у ei?.Тогда
(i) f(rx) — rf(x) для всех рациональных г и всех xg/?; (ii)
{χ: f(x)^ra) — измеримое по Лебегу множество при каждом
рациональном л; (Ш) {χ; |/(*)|<α} — измеримое по Лебегу
множество с положительной мерой Лебега при каждом а > 0;
(iv) / непрерывна; (v) f(x)=cx при всех х, где с —
постоянная. (Указание: используйте утверждение 21.4.)
Глава III
БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 22. Элементарные свойства
борелевских отображений
В гл. I мы познакомились со многими простыми случайными
величинами и их вероятностными распределениями. Однако
в теории вероятностей возникает необходимость изучения
случайных величин, принимающих несчетное множество значений,
а также значения в абстрактных пространствах. Поэтому
введем более общее определение.
Определение 22.1. Пусть (Χι,<%{)> ί=1, 2, — борелевские
пространства и /: Х\-+Х2— отображение. Тогда f называется
борелевским (или измеримым) отображением, если
f~l(E) = {xi: f(x{)^E} <=^ для каждого £g4
В теории вероятностей такое борелевское отображение /
называется также случайной величиной на выборочном
пространстве Х\ со значениями в Х2. Если, кроме того, / является
взаимно однозначным отображением «на» и обратное отображение из
(Хь$2) на (Χι,3$ι) является борелевским, то будем говорить,
что / есть борелевский изоморфизм между (Хи^8\) и (Х2у $2).
Если Х\ = Х2 и Зв\ = $2, то такой борелевский изоморфизм
называется борелевским автоморфизмом.
Определение 22.2. Борелевское пространство (Х> &)
называется стандартным, если существует полное и сепарабельное
метрическое пространство У и борелевское подмножество Ζ с: У,
такие, что (Х> 3&) изоморфно борелевскому пространству
(Ζ,3ίΥ[\Ζ).
Утверждение 22.3. Если (Χι,$ί), i = 1, 2, 3, — три
борелевские пространства и f: X\-+X2f g: Х2-*Хг — борелевские
отображения, то отображение — композиция отображений — gof; X{-+
-+Хъ, определенное равенством (gof) (x\) = g(f(x\))> является
борелевским отображением. Все борелевские автоморфизмы бо-
релевского пространства (X, $) составляют группу
относительно операции композиции.
Доказательство. Первая часть утверждения немедленно
следует из того факта, что (g о f)(-1 (Ε)« f-* (g-1 (Ε)) для любого
£с:Х^ Вторая часть следует из первой и определения 22Л,Я
22. СВОЙСТВА БОРЕЛЕВСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
103
Утверждение 22.4. Пусть (Xiy&i)y ί=1, 2, — борелевские
пространства, такие, что 9&2 порождено классом <$
подмножеств Хъ. Отображение /: Х\-^Х2 борелевское, если и только
если f_1 (Ε) s 98 \ для каждого Ε е 8.
Доказательство. Часть «только если» тривиальна. Для того
итобы доказать часть «если», рассмотрим отображение /: Χι-*·
->Х2, такое, что f-l(E)^9§i для каждого £g^. Тогда
семейство SB = {Л: /_1(Л)е $\) есть σ-алгебра, которая содержит <8
и, следовательно, ЗИ^.Ш
Утверждение 22.5. Пусть Χ, Υ — топологические пространства
и &х, $у — соответствующие им борелевские σ-алгебры. Тогда
любое непрерывное отображение /: Χ-+Υ является борелевским
отображением.
Доказательство. Прообразы открытых множеств суть открьь
тые множества, а открытые подмножества У порождают $γ. По
предыдущему утверждению / — борелевское отображение.·
Определение 22.6. Пусть (Х,9$)—борелевское пространство
и /? —действительная прямая. Отображение f: X-+R
называется действительной борелевской (или измеримой) функцией,
если f-{(E)^<% для каждого борелевского множества Ε a R,
т. е. Ε е $r. Компл^кснозначные борелевские функции
определяются аналогичным образом. Борелевская функция /,
определенная на (Х,9§), со значениями на расширенной
действительной прямой есть отображение f: X-*R\}{-{- °°}U{—°°} со
следующим свойством: frl(E)^9B для каждого E^98r,
/-1({+оо})еЯ^Ч{-е»})еЯ.
Определение 22.7. Пусть (Χί,&ί), ί=1, 2, — борелевские
пространства. Борелевским прямоугольником в пространстве
Ι1ΧΧ2 мы называем множество вида Е\У^Е2, где Ei^9Su
i=\, 2. Все борелевские прямоугольники образуют булеву
полуалгебру. Наименьшая σ-алгебра, порожденная классом всех
борелевских прямоугольников, называется произведением а-ал-
гебр и обозначается 9Й\ X 9&2. Борелевское пространство (Х\ X
X ^2, $\ X $2) называется произведением борелевских про-
странств.
Замечание 22.8. В § 4 (см. упражнение 4.6 и замечание 4.11)
мы видели, как строится произведение произвольного семейства
булевых пространств. Несколько видоизменим определение для
случая борелевских пространств. Пусть (Ха,9$а), аеГ, —
семейство борелевских пространств, и пусть Х= TL ^а~де-·
ае Г
картово произведение пространств Ха. Так же как в замечании
104
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
4.11, обозначим произвольную точку в Я через х> а ее «а-ю
координату» через χ (а). Пусть
πα: Х->Ха, па(х) = х(а)у аеГ,
— проективное отображение из Я на Ха. Так как $а являются
также булевыми алгебрами, то можно образовать произведение
булевых алгебр $ так же, как и в замечании 4.11. Наименьшая
σ-алгебра, порожденная §ЬУ называется произведением ^-алгебр
и обозначается через Ц $а. Борелевское пространство (X,
аеГ
Ц 3Sa\ называется произведением борелевских пространств
аеГ /
и обозначается через Ц {Ха) $а). Произведение σ-алгебр —
оеГ
это наименьшая σ-алгебра, относительно которой каждое
проективное отображение πα является борелевским отображением.
Упражнение 22.9. Пусть (Ω, S), {Xiy$i)y ί= 1, 2, — борелев-
ские пространства, a fr. Ω-*Χι, ί= 1, 2, — борелевские
отображения. Тогда отображение /: Ω->ΧιΧΖ2, определенное
равенством /(ω) = (/ι (ω), /2 (ω)), ω^Ω, является борелевским
отображением из (Ω, S) в {ΧΧΧΧ2, ^ιΧ^2).
Упражнение 22Л0. Пусть Xt Y — топологические
пространства со второй аксиомой счетности и ΧΧΥ — произведение
топологических пространств. Тогда $χχγ = $χΧ> $γ- В частности
Д# = ®RX$R, $Rn = Яц X $R X ... X $R {n раз).
(Предположение о второй аксиоме счетности существенно!) Если
{Хп}, п=1, 2, ..., — последовательность топологических про-
странств со второй аксиомой счетности и Хео = П.Хп — пРо-
оо
изведение топологических пространств, то #Хоо = Ц Λ* . (Ука-
зание: если &\, $2 Являются σ-алгебрами, порожденными
семействами Su <&2 соответственно, то ^1X^2 порождена
семейством {Е\У^Е2: Ei^&i, i= 1, 2}; см. утверждение 13.11.)
Упражнение 22.11. Пусть (Ω, S), (Xi> %',·), i = 1, 2, 3, —
борелевские пространства, fr. Ω->Χ/, / = .1,,2, — борелевские
отображения и g: Х\ У^Хъ-^Хг — борелевское отображение, где Хх X
X Х2 соответствует произведению σ-алгебр 9&\ X $2> Тогда
отображение h: Ω-*Χζ, определяемое равенством
Λ(ω) = £(Μω),/2(ω)), ω s Ω,
также является борелевским.
23. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Ю5
Утверждение 22.12. Если f,-g— действительные (или
комплексные) борелевские * функции на борелевском пространстве
(Х,$), то f + g и fg — также борелевские функции.
Доказательство. Рассмотрим отображения (ξ, η)-> ξ + η и
(ξ, η) — ξη из /?Х/? на R. Эти отображения непрерывны и,
следовательно, по утверждению 22.5 являются борелевскими. Из
упр. 22.9 и 22.10 следует, что отображение x->(f(x), g(x)) из .Υ
в /?Х/? является борелевским. Из упр. 22.11 заключаем, что
отображения x->f(x) + g(x) и x->f(x)g(x) также
борелевские. ■
Упражнение 22.13. Если /, g — борелевские функции со
значениями на расширенной действительной прямой, то f-\-g и
fg — также борелевские функции при условии, что они
корректно определены.
Упражнение 22.14. Допустим, что пространство всех
действительных матриц Υ размера /гХ/г имеет топологию
пространства Rn\ Если (Ху!%)—борелевское пространство и /: X-+Y,
g: X-+Y — борелевские отображения из (Х,$) в (У, 9&γ), то
отображение fg, определенное равенством (fg) (x) = f{x)g(x)y
является борелевским. (Пользуясь языком теории вероятностей,
можно сказать, что произведение двух матричных случайных
величин — снова матричная случайная величина.)
§ 23. Борелевские отображения
в метрические пространства
В предыдущем параграфе (см. упражнение 22.11) мы
видели, как «борелевские операции» над двумя борелевскими
отображениями приводят снова к борелевским отображениям.
В частности, борелевские функции являются замкнутыми
относительно обычных алгебраических операций сложения,
умножения, вычитания и деления. В этом параграфе мы докажем,
что «пределы» борелевских отображений также являются
борелевскими отображениями. Будет показано, что произвольное
борелевское отображение может быть построено как предел
борелевских отображений с конечной или счетной областью
значений. С этой целью рассмотрим борелевские отображения со
значениями в метрическом пространстве.
Как обычно, обозначим через Я χ борелевскую σ-алгебру
любого метрического пространства X. Любое борелевское
отображение со значениями в X должно рассматриваться
относительно З&х.
Утверждение 23.1. Пусть X— метрическое пространство. Бо-
релевская σ-алгебра 3βχ есть наименьшая σ-алгебра, отаоситель-
106
ГЛ. Ш. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
но которой каждая действительная непрерывная функция
является борелевской.
Доказательство. Пусть % — наименьшая σ-алгебра,
относительно которой каждая действительная непрерывная функция
на X является борелезской. Тогда 3$0 представляет собой σ-ал-
гебру, порожденную семейством
{/~1(В), йе,$д, / — любая действительная непрерывная
функция на Ху
Пусть U — любое открытое подмножество R. Тогда f~l(U) от*
крыто в X и, следовательно, принадлежит Ях, если / —
действительная непрерывная функция. В силу утверждения 22.4
f-l(B)^$x для любого B^3SR. Следовательно, <%qcz3Ix.
Пусть теперь V — любое открытое множество в X. Тогда до*
полнение V замкнуто. Рассмотрим функцию g(x) = d(x> V),
которая определена в утверждении 19.11. В силу этого
утверждения g непрерывна и V' = {x: g{x) = 0}. Следовательно, V =
= ίΓι(#— {0})е#0 и, значит, &хс:$1о. Таким образом, ^0 =
— ЯхМ
Упражнение 23.2. Пусть X—метрическое пространство. Тогда
9Sx — наименьшее семейство подмножеств Х> которое содержит
все открытые (замкнутые) подмножества множества X и
которое замкнуто относительно счетных пересечений и счетных
объединений. (Указание: используйте следствие 19.12.)
Замечание 23.3. Иногда полезно следующее видоизменение
предыдущего упражнения. Если X — метрическое пространство,
то 9Sx — наименьшее семейство, которое содержит все открытые
подмножества X и которое замкнуто относительно счетных
пересечений и относительно счетных объединений непересекающихся
элементов. Для доказательства обозначим через j?0
наименьший класс, содержащий все открытые множества и замкнутый
относительно счетного объединения непересекающихся
элементов и счетного пересечения. Утверждение будет доказано, если
окажется, что i?o замкнут относительно образования
дополнений.
В силу следствия 19.12 каждое замкнутое множество есгь
множество типа G6, и, следовательно, оно принадлежит 3?0.
Положим
s£ = {E: Е<^Ху Ε либо открыто, либо замкнуто};
23. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 107
Тогда s£cz2?icz3O. Теперь докажем, что 3?\ замкнут
относительно счетных объединений и счетных пересечений. В самом
деле, пусть Ai&S?u i=l, 2, ... , Так как Д/eSO, i=h
2, ... , то Π At e <?0. Кроме того, Г f] ΛΛ'= U 4= U ИМ1Л2...
i \ i J i i
... /4*-i) есть счетное объединение непересекающихся
множеств из «SPo и, следовательно, принадлежит 3?о. Таким
образом, Π Ai^Su Далее', [J At= \] (ΑιΑΊΑί ... AUi) есть счет-
i ι t
ное объединение непересекающихся множеств из j?0 и,
следовательно, принадлежит &0. Кроме того, ( (J Л*У = [\ А\ е2о.
Таким образом, [}Αι^2?ι и поэтому 2?ι = 2?0. ■
Утверждение 23.4. Пусть (р, S)—борелевское пространство,
и пусть X — метрическое пространство. Отображение /: Ω->Χ
является борелевским тогда и только тогда, когда для каждой
действительной непрерывной функции g на X функция g о f есть
борелевская функция.
Доказательство» Если / — борелевская функция, a g
непрерывна, то gof—борелевская функция. Обратно, если g°f —
борелевская функция для каждой непрерывной g, то
(go/)-i(B) = f-i(g-i(B))e=S для каждого В <=.$*. Так как по
утверждению 23.1 множества вида g~l(B) порождают 38Xf когда
g пробегает все непрерывные функции, а В пробегает <Йц, то
отсюда следует, что f — борелевская функция.·
Определение 23.5. Последовательность {fn} отображений из
множества Ω в метрическое пространство X называется
сходящейся поточечно к отображению f, если Mm d(frt(co), f (ω)) —0
Я-»оо
при каждом »eQ, где d—метрика в X. Последовательность
{fn} сходится равномерно к f, если lim sup d (fn (ω), / (ω)) = 0.
Утверждение 23.6. Пусть {fn}—последовательность боре-
левских функций на борелевском пространстве (Ω, S),
принимающих значения на расширенной действительной прямой.
Тогда функции supfn((s>), inf f„((o), ϊϊττί /Λ(ω), lim f„(co), ω <= Ω
являются борелевскими.
Доказательство. Пусть /(ω) = supfn(ω) для. всех ωεΩ.
Тогда f есть функция со значениями, принадлежащими расши-
108
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ
ренной прямой. Кроме того,
{ω: f (ω)<*} = f| {ω: /,»<*}, x^R,
η
{ω: f (ω)= + οο} = fl U {<* ϊη И > Щ,
{ω: f(co) 00} = Π Π {«>: f„ («>)<-#}.
Так как каждое множество в фигурных скобках, входящее в
правую часть приведенных равенств, является элементом S, то
мнЬжества в левой части также принадлежат S. Поскольку
интервалы вида (—ос^ #] порождают $Ry отсюда следует, что
J — борелевская функция. Так как inf /„(©) = — sup(— /Λ(ω))
η η
то очевидно, что inffn — борелевская функция. Для заверше-
η
ния доказательства остается заметить, что
Ит frt(u>) = infsup Μω),
Λ-»οο η k^ll
Jim/„(«>) Пт"(-/,»).
Л-*оо Λ-»ο©
Следствие 23.7. Если {fn}—последовательность борелевских
функций на борелевском пространстве (Ω, S) со значениями
из расширенной прямой и fn сходится к / поточечно, то / —
борелевская функция.
Доказательство. Нужно лишь заметить, что предельная
функция / не что иное, как lim fn.M
rt->oo
Упражнение 23.8. Пусть {fn}—последовательность
борелевских функций на борелевском пространстве (Ω, S) со
значениями из расширенной действительной прямой. Тогда множе*
ство {ω: Μω) сходится при /г->-оо} есть элемент S.
Утверждение 23.9. Пусть {/^—последовательность
борелевских отображений из борелевского пространства (Ω, S) в
метрическое пространство X. Если fn сходится поточечно к пределу
/, то / — борелевское отображение.
Доказательство. Пусть g— любая действительная
непрерывная функция на X. Так как lim /ν(ω) = /(ω), то lim g(fn(®)) =
tt-»oo rt->oo
=*fif(f (ω))· В СИЛУ следствия 23.7 g°f— борелевская функция*
Так как это выполняется для каждой непрерывной функции gf
то из утверждения 23.4 следует, что / — борелевская
функция.·
23. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 109
Определение 23.10. Пусть (Ω, S)—борелевское пространство
и X — любое метрическое пространство. Отображение s: Ω->·Χ
называется простым, если оно борелевское и имеет лишь
конечное число значений.
Замечание 23.11. Каждое простое отображение s имеет
следующее свойство: существуют конечное разбиение Ω на
множества Ль Л2, ..., Л/^eS и множество точек х\,Х2, ..*, х*
в X, такие, что s(cu) = #r, если ω^Αι, /= 1, 2, ..., k.
Утверждение 23.12. Пусть (Ω, S)—борелевское пространство
и X — компактное метрическое пространство. Если /: Ω->Χ
есть, борелевское отображение, то существует
последовательность простых отображений {sn}> такая, что sn сходится
равномерно к f.
Доказательство. Пусть ε > 0 произвольно. Тогда
пространство X может быть представлено как конечное объединение
открытых шаров радиуса ε/2. Поэтому X может быть представлено
как конечное объединение непересекающихся борелевских мно-
N
жеств'At, диаметр которых не превосходит ε: Χ= (J А{. Тогда
N
&=[]f~l(Ai). Пусть χι&Αι, /=1, 2; ..., Ν, произвола
ны. Определим простую функцию se следующим образом:
se((u) = Xi, если сое/-1 (Л,·), ί== 1, 2, ..., N. Так как / —
борелевское отображение, то f~l(Ai) принадлежат S. Едли сое
^f~l(Ai), то /(ω)6Λι и d(/(co), Xt)^ ε, где d— метрика в X.
Таким образом, supd(/(co), 5ε(ω))^ζε. Ясно, что последовав
тельность s\/n сходится к f равномерно при п-^оо.Ш
Утверждение 23.13. Пусть f—функция на борелевском
пространстве (Ω, S) со значениями, принадлежащими расширенной
действительной прямой. Тогда существует последовательность
{sn} простых функций на Ω, сходящаяся поточечно к f. Если /
неотрицательна, то sn можно выбрать неотрицательной и
монотонно неубывающей.
Доказательство. Для того чтобы доказать первую часть,
определим для любого N > 0
Π (ω), если \f(to)\<N,
Ы®) = 1 -Ν, если /(ω)<-#,
ΚΝ, если f{<*)> N.
по
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Тогда lim/Λ^(ω) = /:(ω) при любом ω^Ω. Так как /# принимает
iV->oo
значения из компактного интервала [—Ν,Ν], то используя
утверждение 23.12, можно построить такую простую функцию
sn, что sup|/tf(o>) — sN(®) К- l/N. Ясно, что sn сходится пото-
ω
чечно к f при N-*oo.
Теперь допустим, что /(ω)^0 для всех ω. Тогда
последовательность {fit}, определенная выше, монотонно возрастает к /.
Определим
tN (ω) = max { 0, sx (ω)- 1, s2(<o)-i-, ..., %(ω)-~-ί-}.
Тогда tN — также простая функция и 5^(ω)—l/Af ^ ^(ω)^;
^/W(co) для всех ω. Следовательно, ί#(ω) монотонно возрастает
к /(ω) при каждом ω, когда /г-> оо.И
Упражнение 23.14. Пусть (Ω, S)—борелевское пространство
и пусть / — борелевское отображение из Ω в сепарабельное
метрическое пространство X. Тогда существует последовательность
{fn} борелевских отображений из Ω в X, таких, что каждое fn
принимает только счетное число» значений и fn сходится
равномерно к f при /г->-оо.
§ 24. Борелевские отображения
на пространствах с мерой
Будем изучать теперь свойства борелевских отображений,
связанные с мерой. Пусть (Ω, S, μ) есть пространство с σ-κο-
нечной мерой и (X, 9&)—борелевское пространство. Для любого
борелевского отображения f: Ω^~Χ определим функцию μ/-1
на & равенством
(μΓι)(Β) = μ[Γ1(Β)1 fiGi
Если В\9 В2, ...— последовательность непересекающихся
множеств из ^f, то f-l(B\), f-l(B2)y ... — последовательность
непересекающихся элементов S и /~Ύ U ВЛ ^ U /"' (Вд-
Следовательно,
μΓ'^ Β^ = ΣμΓ1(Β{). Другим и словами, μ/^1
счетно аддитивна. Поскольку f~l(X) = Qt отсюда следует, что
μ/-1 вполне конечна, если вполне конечна μ. Кроме того, μ/-1 —
вероятностная мера, если μ — вероятностная мера.
Если μ/-1 есть σ-конечная мера на ^, то мы говорим, что
μ/-1 — мера, индуцированная борелевским отображением /.Если
μ—вероятностная мера, мы говорим, что μ/-1 — вероятностное
распределение случайной величины f со значениями в X.
24. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВАХ С МЕРОЙ 111
Замечание 24.1. В теории вероятностей любой
статистический эксперимент описывается вероятностным пространством
(Ω, S, μ). Осуществление эксперимента приводит к наблюдению
(о£Й. Вероятность того, что событие ω е Ε (где £eS)
произойдет, равна μ(Ε). Тогда мы можем вычислить
статистическую характеристику / в точке ω. Эта характеристика / может
принимать значения в любом абстрактном пространстве X.
Вероятность того, что эта характеристика принимает значение,
принадлежащее FczX> есть μ{ω: f(o)e F} = μ(/-1(/7)) =
= (μ/~1) (F). Для того чтобы эти утверждения имели смысл,
необходимо предположить, что X имеет борелевскую структуру, а
/ есть борелевское отображение на Ω.
Определение 24.2. Пусть (Ω, S, μ) есть пространство с σ-κο-
нечной мерой и (X, $)—борелевское пространство. Два боре-
левских отображения /, g из Ω в X называются μ-эквивалент-
ными, если существует множество N^S, такое, что μ(Λ^) = 0,
и f((o) = g((u) для всех ω^Ν. Если не возникает
недоразумений, мы просто говорим, что f и g эквивалентны, и пишем f ~
~ g. Отношение «~» есть действительно отношение
эквивалентности.
Утверждение 24.3. Пусть (Ω, S)—борелевское пространство
и X — сепарабельное метрическое пространство. Для любых
двух борелевских отображений /, g из Ω в X множество
{<o:f(<o)=£g(o)}eES.
Доказательство. Если d — метрика в X, то
{ω: /(ω)^£(ω)} = {ω: rf(/(co), 8(ω))φΟ).
Так как d — непрерывная функция на произведении
топологических пространств XX X, то d — борелевская функция на
(ХХХ9Дххх). В силу упр. 22Л0аХХх=ДхХЯх.
Следовательно, по упр. 22.11 отображение ω->ώ(/(ω),£(ω)) является
борелевским на (Ω, S). Это показывает, что {ω:/(ω)=^= #(ω)} ^
eS.
Упражнение 24.4. Пусть (Ω, S, μ) есть пространство с σ-κο-
нечной мерой и /, g-—эквивалентные борелевские отображения
из Ω в борелевское пространство (Х,$). Если μ/-1 σ-конечна,
то такова же и μ^-1, и μ/-1 = μg-{.
Упражнение 24.5. Если {/„}, {gn} — две последовательности
борелевских отображений из (Ω, S, μ) в метрическое
пространство X, fn~gn при любом пи fn-+f, gn-+g поточечно при
ft->oo, TO f ~ g.
112
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Упражнение 24.6. Пусть fif gi, i= 1, 2,— борелевские
функции на (Ω, S, μ), принимающие значения на расширенной
прямой. Предположим, что f\ ~ /2, g\ ~ g2> Тогда (i) ft + gx ~
~ f2 + g2\ 00 f\g\ ~ f2g2, если эти функции корректно
определены. Если {fn} и {gn}—последовательности борелевских
функций, принимающих значения на расширенной действительной
прямой, и fn~gn при каждом п, то (i) lim/n ~ Нт^я;
(ii) limfn ~ lhngn·
Замечание 24.7. Говоря в дальнейшем о борелевском
отображении на пространстве с мерой (Ω·, S, μ), мы будем
фактически иметь в виду класс эквивалентности, к которому это
отображение принадлежит. Таким образом, чтобы задать борелев-
ское отображение на пространстве с мерой (Ω, S, μ)
достаточно определить его вне множества JVgS с μ(Ν) = 0.
Из предыдущего упражнения следует, в частности, что
борелевские функции на (Ω, S, μ), принимающие значения на
расширенной действительной прямой, образуют класс, замкнутый
относительно lim, lim, сложения, умножения и т. д., при
условии, что получающиеся при этом функции определены.
Определение 24.8. Пусть (Ω, S, μ) есть пространство с σ-κο-
нечной мерой и {fn} — последовательность борелевских
отображений из Ω в сепарабельное метрическое пространство X
с метрикой d. Говорят, что fn сходится по мере к борелевскому
отображению f, если для всех ε > О
lim μ (Я Л {ω: d(fn(<»), f(a>))>e}) = 0
Λ->οο
для каждого £ с: Ω, такого, что £gSh μ(Ε) < оо. Говорят, что
fn сходится почти всюду к борелевскому отображению /, если
μ {ω: ϊϊίη d (fn (ω), / (ω)) φ 0} = 0.
Λ->00
В последнем случае мы записываем
fn~>f п. в. (μ).
Если μ — вероятностная мера, то сходимость по мере называется
сходимостью по вероятности, а сходимость почти всюду
называется сходимостью почти наверное или сходимостью с
вероятностью единица. Если сходимость по мере или сходимость почти
всюду имеет место в пространстве (У, У (IS, μ), где Уст Ω и
}'g S, то мы говорим, что fn сходится по мере или почти всюду
соответственно на множестве У.
Определение 24.9. Последовательность {fn} борелевских
отображений из (Ω, S, μ) в сепарабельное метрическое про-
24. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВАХ С МЕРОЙ ИЗ
странство X с метрикой d называется фундаментальной по мере,
если для каждого £gSc μ (Ε) <оо и любого ε > О имеем
lim μ(£Π{ω: ί(/„(ω), /ЛИ) > ε}) = 0.
m, n->oo
Замечание 24.10. Можно отметить, что в определениях 24.8
и 24.9 мы предполагали X сепарабельным метрическим
пространством для обеспечения того, чтобы ώ(/(ω), §(ω)) была бы
борелевской функцией ω при условии, что f и g — борелевские
отображения из Ω в X.
Утверждение 24.11. (Теорема Егорова.) Пусть (Ω, S, μ) —
пространство с вполне конечной мерой и
{fn}—последовательность борелевских отображений из (Ω, S) в сепарабельное
метрическое пространство X с метрикой d, такая, что fn
сходится почти всюду к борелевскому отображению /. Тогда для
любого ε > 0 существует множество NQ ^ S, такое, что μ(Νζ) <
lim sup d(M<°)> /N) = 0. (24.1)
Доказательство, Пренебрегая множеством меры нуль, мы
можем без ограничения общности предположить, что / η
СХОДИТСЯ К / поточечно на Ω. Пусть
^=П {<»: d(f{(<»), /И)<1/т}.
Тогда FTczFTcz .... Так как fn сходится к /, то [J F% = Q,
η
m= 1, 2, ... . Поскольку μ вполне конечна, существует п0(т),
такое что
μ \FZ (m)) < -«ρ/τ ·
Положим
οο
Λ/β= U «F^(m).
Тогда μ(Νε)<ε. Предположим, что ωφΝ&. Тогда (o^FZ(m)
при всех т=\> 2, .... Поэтому
"^(/ί(ω),/(ω))<^
при каждом i^n0(m). Другими словами, равенство (24.1)
выполняется.·
Утверждение 24.12. Пусть (Ω, S, μ) — пространство с вполне
конечной мерой и {fn} — последовательность борелевских
отображений из Ω в сепарабельное метрическое пространство X,
114
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Если / — борелевское отображение из Ω в X, то /«->/ п.в. (μ)
тогда и только тогда, когда для каждого ε > О
Нт μ( U Я«(е)) = 0, (24.2)
я->оо \т=п /
где
Еп (ε) = {ω: d (fn (ω), f (ω)) > ε}, η = 1, 2, ... . (24.3)
В частности, сходимость почти всюду влечет сходимость по
мере.
Доказательство. Ясно, что при п^~оо в отдельной точке со
Μω) ~Af (ω) тогда и только тогда, когда при некотором ε >ϋ
для бесконечно многих η ω^Εη(ε). Если D={gk /л(ω)τ4
т^Дсо)}, то
β=υή ϋs-w-ΰή ΰ*»(τ)·
Таким образом fn-*f п. в. (μ) тогда и только тогда, когда
μ(/)) = 0, τ. е.
\t=l m=/i '
при каждом Λ = 1, 2, ... . Это выполняется в силу
утверждения 15.10 тогда и только тогда, когда
Πηνμ((Κ(-9) = °
при каждом k=l, 2, ... . Это выполняется, в свою очередь,
тогда и только тогда, когда для каждого ε > 0 равенство
(24.2) справедливо. Последняя часть доказательства есть
прямое следствие (24.2) и (24.3).
Утверждение 24.13. (Лемма Бореля — Кантелли.) Пусть
(Ω, S, Р)—вероятностное пространство, и пусть {Ап}
последовательность событий Ап, таких, что
ЕР(Л„)<оо.
Тогда
• оо оо \
Η П, U 4.1-0.
\m=l n=m /
24 бОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВАХ С МЕРОЙ Ц5
т. е. с вероятностью единица Ап осуществляются только для
конечного множества п.
Если {Ап}—последовательность взаимно независимых собы-
оо
тий и Σ Р(Ап) = °°> то
(оо оо Ч
Π U 4,1-1,
т = \ п=т /
т. е. с вероятностью единица Ап осуществляются для бесконечно
многих п.
Если fn и f — случайные величины на Ω со значениями в се-
парабельном метрическом пространстве X с метрикой d и
Σ Ρ {ω: d(fn(<f>), f(<»))>e><oo
при любом ε > 0, то fn -> f п. в. (Ρ).
оо
Доказательство. Предположим, что Σ Р(Ап) < оо. Так как
/1=1
(оо оо Ч оо
П U Αη)κΣΡ(Αη)
для любого kt то устремляя &->оо, получим первую часть
утверждения.
оо
Допустим, что Ап взаимно независимы и Σ Я(Лп) = оо. Тог-
оо
да Π О — Р(Ап)) = 0 при каждом k. Так как дополнения
n=k
Ап также взаимно независимы, то для всех k
р{[\ аС\ = Ер(А'п)=о.
\n=k / n=k
Таким образом,
/ оо оо Ч
pfUn^J-o.
\k=ln=k /
или, что эквивалентно,
/ оо оо Ч
p(nU/„)=i.
\k=in=k /
Это доказывает вторую часть.
116
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Последняя часть утверждения непосредственно следует из
первой части и определения сходимости почти всюду.
Замечание 24.14. В качестве применения утверждения 24.12
рассмотрим еще раз следствие 11.5 из гл. I. Предположим, что
$и 52, ..., sn, ... — независимые простые случайные величины
на вероятностном пространстве (Ω, S, Р), где Ρ теперь вероят^
ностная мера на σ-алгебре S. Так как S, в частности, является
булевой алгеброй, то условия следствия 11.5 выполняются. Если
оо
Esi — trii, V(st) = a2i, г = 1, 2, ..., и Σ k~2a\ < оо, то для лю-
бых ε > 0, δ > О получаем, что
Р{ |5/ϊ~ΜηΙ<ε для всех дг>Лг}>1-б
для некоторого Ν, зависящего от ε, δ, где Sn = s\ + 52 + ...
... + sn. Другими словами,
lim />{ \Sn-Mn\ >ε при некотором n>N} = 0t
Из утверждения 24.12 теперь следует, что последовательность
случайных величин — ~ сходится к нулю с вероятностью
единица. Подытожим сказанное в форме утверждения.
Утверждение 24.15. (Усиленный закон больших чисел.) Если
s\9 52, ... — последовательность независимых простых
случайных величин на вероятностном пространстве (Ω, S, P), Est =
оо
= ти i — 1, 2, ..., V(si) ^=Oi2VL Σ k~2o\ < <*>, то
j. ($ι + 52 + ... + sn) — (mi + m2 + ... + mn) _ q
/l->oo
с вероятностью единица.
Следствие 24.16. Если su s2, ... — последовательность
независимых простых случайных величин на вероятностном
пространстве (Ω, S, Р) с Esi = /n, V(Si) = σ2 для всех /=1,2,...,
то — (s1 + s2+ ··· +srt) сходится к т с вероятностью единица.
Утверждение 24.17. Пусть (Ω, S, μ) — пространство с вполне
конечной мерой. Если {fn} — последовательность борелевских
отображений из Ω в сепарабельное метрическое
пространство X с метрикой d к fn сходится к борелевскому
отображению / по мере, то {/«} фундаментальна по мере. Если fn cxo«
24. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВАХ С МЕРОЙ Ц7
дится по мере к другому борёлевскому отображению g, то
Доказательство. Имеем для любого ε > О
{ω: d{fn(to), LW)>e}c
с {ω: d (fn (ω), / (ω)) + d (/ (ω), fm (ω)) > ε} с:
^{ω: d(fnK /(ω))>^}υ{ω: d(/w(o)), ί(ω)>|}.
Первая часть утверждения следует отсюда немедленно. Для
доказательства второй части заметим, что
{ω: *(ί(ω),*>))>β}<={ω: d(f(*)9 /„(<*))> f}u
U{co: rf(/nK *(ω))>-|}.
Так как мера множества в правой части может быть при
достаточно большом η сделана произвольно малой, то
μ {ω: d (f (ω), g (ω)) > ε} = 0.
Так как ε произвольно, доказательство закончено.·
Утверждение 24.18. Пусть (Ω, S, μ) — пространство с вполне
конечной мерой и X — полное и сепарабельное метрическое
пространство. Предположим,, что {/«}—последовательность бо-
релевских отображений из Ω в Х> которая фундаментальна по
мере. Тогда {/«} имеет подпоследовательность, которая сходится
почти всюду.
Доказательство. Для любого целого k пусть n{k) — такое
целое число, что
μ{ω: d(fn(<»), f»(*))>-jr} < -jr.
при n^5 n(k), m 5* n{k). Существование таких h(k) следует из
того факта, что {fn} фундаментальна по мере. Пусть щ = п(1),
n2 = max(n\ +\,п(2)), /г3 = тах(/г2+ 1, й(3)), ... . Тогда
п>\ < П2 < пг < .... и {/^ — подпоследовательность {/„}.
Положим
gk=fnk> k=lt 2, ...,
Ek = { ω: d (gk (ω), gh+l (ω)) > JL }.
118
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЁ ОТОБРАЖЕНИЯ
Если / > / > k и ω ^ U £/, то
/-ι
d (gi (ω), ί/ (ω)) < £ d (*, (ω), gr+1 (ω)) <
Это показывает, что вне множества Ek (J £Λ+ι (J ...
последовательность {grt(co)} представляет собой последовательность Коши
в X. Так как X полно, то существует g((o)Gl, такая, что
gn((u)^g((o) при /г->оо. Поскольку k произвольно, отсюда сле-
дует, что gn((o) сходится к g(co) при каждом <ь^Е= [] (Ek\J
U£*+iU ...)· Имеем
μ(£)=Ηπΐμ(^υ£*+ιυ ...)< ΙΙτη{μ(Εύ+μ(ΕΜ)+ ...)<
<Hm Г4- + -4г+ ..Λ =0
fc-»oo
(^г + ^т+ ··.)-'
При всех ω е £ определим g(co) как произвольную
фиксированную точку в J. Тогда gn-+- g п. в. ■
Утверждение 24.19. Пусть (Ω, S, μ)—пространство с вполне
конечной мерой и X — полное сепарабельное метрическое
пространство. Предположим, что {fn} — последовательность бо-
релевских отображений из Ω в X, которая фундаментальна
по мере. Тогда существует борелевское отображение /, такое,
что fn сходится к / по мере.
Доказательство. По предыдущему утверждению существует
подпоследовательность {fnk}, которая сходится почти всюду к
борелевскому отображению /. Для любого ε > 0 имеем
{ω: d (/„ (ω), f (ω)) > е} с { ω: d (fn (ω), f„, (©)) > |} U
U{«>: d(f„», f(®))>!}·
Меру первого множества в правой части можно сделать сколь
угодно малой при достаточно больших η и п*. В силу
утверждения 24.12 мера второго множества стремится к нулю при
k-+ оо.В
Упражнение 24.20. Пусть frn — индикатор интервала
Гг~~ , —1, г= 1, 2, ..., /г, в пространстве [0,1] с мерой Ле-
24. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВАХ С МЕРОЙ Ц9
бега (ее сужением на [0,1])· Рассмотрим последовательность
/и, /i2, Ы, /i3, /23, /зз, .··> f\n, Ϊ2η, ..., fnn, ..· . Эта последовав
тельность сходится по мере к нулю, но не сходится почти всюду.
Приведите пример подпоследовательности, которая сходится
почти всюду.
Утверждение 24.21. Пусть X — полное сепарабельное
метрическое пространство и У— компактное метрическое
пространство. Предположим, что μ —вероятностная мера на борелев-
ской σ-алгебре Звх пространства X и / — борелевское
отображение из X в У. Тогда для любого е > 0 существует компактное
множество /СеСгХ, такое, что (i) μ(/(ε)> 1 — ε; (ϋ) сужение /
на Кг непрерывно.
Доказательство, Докажем сначала утверждение для случая,
когда / = 5 есть простое -отображение. Предположим, что
η
Х= (J Ait где Ль Л2, ..., Ап непересекающиеся борелевские
множества и s(x) = yif если хеЛ/, i = 1, 2, ..., /г. По
следствию 19.19 мы можем найти компактное множество Ki cz Au
ί = 1, 2, ..., /г, такое, что μ (At ft Κϊ) < ε//ζ, i = 1, 2, ..., п.
Положим /С8= (J Κι- Так как Κι— непересекающиеся компакт-
i
ные множества и s(x) = t/i для всех хе/0, то отсюда следует,
что сужение s на Ке непрерывно. Кроме того, μ{Κε)>\—ε.
Таким образом, утверждение доказано для простых
отображений.
Если /—произвольное борелевское отображение, то мы
можем, следуя упр. 23.14, построить последовательность {sn}
простых отображений, такую, что sn сходится равномерно к / при
я->оо. Из рассуждений в предыдущем параграфе следует, что
существует компактное множество Кп<^Х, такое,что(i) μ(Κη)>
> 1 — ^г, /ι=1, 2, ...; (ii) сужение sn на Кп непрерывно.
оо
Пусть /Се= Π #η· Тогда Къ компактно, а сужение sn на Κε не-
прерывно при каждом п. Кроме того,
μ (*«)= 1 -μ Ж К'п)> 1 - Σ МК'п)> 1 - Σ -ψ= 1 ~ε·
\ /ι / я /ι=1
Так как sn сходится равномерно к / на Ке> то отсюда следует,
что сужение / на Ке также непрерывно.·
Следствие 24.22. (Теорема Лузина.) Пусть X и У — полные
сепарабельные метрические пространства, и пусть μ —
вероятностная мера на Six. Если /—борелевское отображение из К
120 ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
в У, то для любого ε > 0 существует компактное множество
KbCzX, такое, что (i) μ(/(ε)> 1—ε; (ii) сужение / на /С8
непрерывно.
Доказательство. По теореме Урысона и Александрова о
метризации из топологии (см. [12], стр. 125, 207, 208) существует
компактное метрическое пространство Z, такое, что YczZ η Υ
есть множество типа G6 в Ζ. В частности, У —борелевское
множество в Z. Таким образом, / может быть рассмотрено как бо-
релевское отображение из X в компактное метрическое
пространство Z. Теперь искомый результат следует из
утверждения 24.21.
,Следствие 24.23. Пусть Ху Υ — полные сепарабельные
метрические пространства и /: J-^У— борелевское отображение.
Пусть μ — любая вероятностная мера на X и f(X) обозначает
область значений {/(#)> х^Х} отображения /. Тогда
существует борелевское множество Y\cf(X)t такое, что (ц/-1)(У1) =
= 1. Именно, в качестве Υ χ может быть выбрано счетное
объединение компактных множеств.
Доказательство. В силу следствия 24.22 выберем
компактное множество КьаХ для каждого ε > 0, такое, что μ(/(8)>
оо
> 1 — ε, и сужение / на Ке непрерывно. Пусть Хх = [] К\(п и
оо
γ{= (J f(K\m). Так как / непрерывно на /С1/л, то отсюда сле-
дует, что f(K\/n) компактно. Таким образом, Y{ есть
/^-множество. Кроме того,
оо оо
f~l(Yi)= U /"'(№/»))=> U Кш = Х1.
Ясно, что μ(Χ\)=\Μ
Замечание 24.24. Заметим, что f(X) не обязано быть бо-
релевским множеством. Такие множества называются
аналитическими множествами. По этому вопросу читатель может
обратиться к монографии [17] (см. гл. I).
Следствие 24.25. Пусть Ху У — полные сепарабельные
метрические пространства и / — взаимно однозначное борелевское
отображение из X в У. Если μ — вероятностная мера на Ху то
существует борелевское множество X\czXy такое, что μ(Χ{) =
= 1 и сужение / на Х\ является борелевским изоморфизмом из
ΑΊ на (образ) f(Xl) = {f(x), х<=Хх) и f(X{) есть борелевское
πoдмнoжecfвo У.
25. ПОСТРОЕНИЕ МЕРЫ ЛЕБЕГА И ДРУГИХ МЕР
121
Доказательство, Мы выберем Х\, Y\ так же, как при
доказательстве следствия 24.24. Так как f непрерывно на каждом
Кипу то отсюда следует, что f на К\/п есть гомеоморфизм между
Κι/η и f(K\/n). Так как это выполняется при каждом /г, то
сужение f-1 на Y\ является борелевским отображением на Х\.Ш
Упражнение 24.26. Следствие 24.25 выполняется, если X и Υ
борелевские подмножества полных сепарабельных метрических
пространств X и Υ соответственно.
Замечание 24.27. Если X и У — несчетные борелевские
подмножества полных и сепарабельных метрических пространств Я
и 7 соответственно, то существует борелевский изоморфизм ме*
жду X и У (утверждение тривиально, если X и У — счетные
множества или имеют одинаковое конечное кардинальное число).
Этот факт составляет содержание теоремы Куратовского.
Доказательство этого результата очень сложно, и интересующийся
читатель может обратиться к гл. I монографии [17].
§ 25. Построение меры Лебега
и других мер на интервале единичной длины
с помощью двоичных, десятичных
и других fe-ичных разложений
Пусть X — конечное множество {0, 1, 2, ..., k—1} и пусть
Ω = Х°° — произведение счетного числа X. Любая точка
пространства Х°° может быть записана как χ = (x\t х%, ...)> где
Хп^Х при каждом п. Мы снабдим X дискретной топологией, а
Х°° — топологией произведения. Определим
ч;·
. ., если ххФх2, Х\, х2^Х>
Р\Х\> Х2) — 1 л
г \ ι» */ ι λ Β ИНом случае
d(x9 У)=Ер(*/> У ι) 2 '.
Тогда Х°° превратится в компактное метрическое пространство
с метрикой d. Борелевская σ-алгебра в Х°° есть наименьшая
σ-алгебра, содержащая все цилиндрические множества. Пусть
π — отображение из Х°° в единичный интервал [0, 1],
определенное равенством
я 00 = Σ*/*""7 ·
Так как отображения х-^х/ непрерывны и выписанный выше
ряд равномерно сходится, то отсюда следует, что π — непрерывное
122
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
отображение из Х°° в единичный интервал. Можно отметить, что
каждое ί е[0,1] может быть представлено как
оо
где xj(t)^X при всех /. Однако для каждого t можно указать
одно или два таких разложения. Если в подобном разложении
все Xj(t)y за исключением их конечного числа, равны нулю, то
такие разложения будем называть обрывающимися
разложениями, Каждое ί^(0,1] имеет единственное необрывающееся
разложение. Оно называется k-ичным разложением числа L
(Если k = 2 или k = 10, то такие разложения называются,
соответственно, двоичным и десятичным.) Пусть N аХ°°
определено равенством
оо
N= U {χ: */ = 0 для всех />я}. (25.1)
/1=1
Рассмотрим образ множества
{х: хх = а{9 х2 = а2у ..., xn = an}f а, е= X, /=1, 2, ..., пу
при отображении π. Образ этого множества состоит из всех
точек вида
ϋ _L _£l _L Ι αη ι 1 ( Χη+ι ι Χη+2 ι \
k -Γ* k2 -Τ . . . -Г kn -Τ kn у k -Τ k2 Τ . . . ) .
где яя+1, хя+2, ··· принимают различные значения из X.
Положим
kn ~ k "*" k2 ~т~ ' ·' "г 6" '
Тогда
π{χ: л:1=а1, лг2 = а2, ..., *„ = а„} = [-^, -^jir^]· (25.2)
Обратно, если т — неотрицательное целое число, строго
меньшее knt то можно выразить -р- в виде "Г" + тг + · · · + -иг *
C/Gl В таком случае
n~4[jF' "¥~4) = {χ: *ι = αι> *2 = а2, ·.·, *п = ал}. (25.3)
Множество точек вида рг, где тип пробегают все
положительные целые числа, плотно в [0,1]. Следовательно,
интервалы вида 1-р-, т^ 1 порождают борелевскую σ-алгебру в
[0,1]. Равенства (25.2) й (25.3) показывают, что отображение
π является взаимно однозначным борелевским отображением
из Х°° — N в (0, 1] с Ν, определенным равенством (25.1),
причем π-1 также является борелевским отображением.
25. ПОСТРОЕНИЕ МЕРЫ ЛЕБЕГА И ДРУГИХ МЕР
123
Построим теперь меры на Х°°, используя процедуру,
описанную в примерах 15.5 и 15.6. Пусть pi ^ О, i = 0, 1, 2, ..., к — 1;
£ pi = 1 задают вероятностное распределение на X,
Обозначим это распределение через р. Определим меру μρ на Х°°
равенством
μρ{χ: хх = а19 х2 = а2, ..., хп = ап} = р^ ... р^
при всех η -и αϊ, α2, ..., ап^Х. В силу утверждения 15.4 и
следствия 16.9 такая мера существует. Если мы определим
Si(x) = Xi, то случайные величины su s2t ... будут взаимно
независимыми простыми случайными величинами и будут иметь
одинаковое вероятностное распределение р. Обозначим через vp
вероятностную меру μρπ~\ индуцированную отображением π.
Рассмотрим частный случай, когда ρ0 = Ρι = ··· =Ρλ-ι=ίγ·
Обозначим соответствующее распределение через е (для
указания на равновероятность). Тогда
μβ = {χ: χ{=αν *2 = α2, ..., xn = an}=jfr.
Из (25.3) следует, что
Таким образом, ve совпадает с мерой Лебега для всех
интервалов вида \ψτ, т^ 1. Так как мера ve любого
одноточечного множества равна нулю, то отсюда следует, что ve и мера
Лебега совпадают на всех интервалах вида (ттг* ~ьп—I· В силу
утверждения о единственности в теореме о продолжении меры
отсюда следует, что ve в самом деле есть сужение меры Лебега
на множестве [0,1].
Замечание 25.1. Полученный результат имеет важную
статистическую интерпретацию. Мера Лебега на [0,1] является
вероятностной мерой. Она называется равномерным
распределением на единичном интервале. Для «построения» случайной
величины с равномерным распределением мы можем
использовать следующую процедуру. Рассмотрим последовательность
независимых случайных величин ζι, ζ2, ..., каждая из которых
принимает значения 0, 1, 2, ..., к— 1 с одной и той же вероят-
оо
ностью -г*. Положим ζ = 2_j frk (в частности, можно взять
1
& = 2). Каждая случайная величина ζη называется случайным
числом (цифрой) между 0 и к— 1. ζ называется случайный час*
мм из интервала [0,1]»
124
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Замечание 25.2. Во многих практических задачах возникает
необходимость построения случайной величины с заданным
вероятностным распределением μ на действительной прямой.
Пусть F(t) =νμ ((— оо, t]) — функция распределения,
соответствующая мере μ. Предположим, что F(t) — строго
возрастающая непрерывная функция переменной t, т. е. F(t)<.F(s) при
t < 5. Тогда F отображает расширенную прямую [— оо, + °°]
взаимно однозначным образом на единичный интервал [0, 1],
если F{—оо) = 0, /7(+оо)= 1. В таком случае обратная
функция задает отображение %^F~l(%) из [0,1] на расширенную
прямую [—оо, +°°]· Эта функция определяется равенством
F(F~l(%>))= i· Отображение F~{ также непрерывно. Если
случайная величина ζ имеет равномерное распределение на [0, 1],
то случайная величина Τ7-1 (ζ) имеет функцию распределения
F(t), —oo<t<oo. В самом деле, Р{/7-1(СХ0=^Й<
^F(t)}=F(t).
Недостаток этого метода заключается в том, что для
нахождения значения Ζ7-1 (ζ) по значению ζ нужно использовать
таблицы функции распределения F(t). Существует множество
практических ситуаций, в которых необходимо моделировать
большую выборку значений случайных величин с заданным
распределением F. Если имеется «предельная теорема», которая
позволяет заменить распределение F распределениями более
просто устроенных случайных величин, то можно обойтись без
обращения к таблицам. В качестве примера рассмотрим случай
нормального распределения с функцией Ф(х). Используем
предельную теорему из § 6. Рассмотрим последовательность
независимых, одинаково распределенных случайных величин ζ{,
ζ2,... с биномиальным распределением Ρ(ζη=0)=Ρ(ζη=1) =
= 1/2 при всех п. Выберем «большое» положительное целое
число N. Положим
N
ζ} + ζ2 "f* · · · Ί" £дг —2~
?ι = ϊ ~ ·
Ν
ι у*
Ν
£(/-1)ΛΤ+1 + £(/- \)Ν+2 + ··· +£/ΛΤ 2"
ξ = 9
2
26. ПОСТРОЕНИЕ МЕРЫ ЛЕБЕГА И ДРУГИХ МЕР
125
При условии, что N «достаточно» велико, случайные величины
tu %2> ··· по утверждению 6.1 приближенно нормально
распределены с нулевым средним и единичной дисперсией.
Упражнение 25.3. Предположим, что ζι, ζ2, ... —
последовательность независимых случайных величин с равномерным
распределением на [0, 1]. Постройте последовательность {ζι, ζ2,...}
независимых случайных величин с одинаковым вероятностным
распределением, которое будет «приближенно пуассоновским»
с параметром λ.
Замечание 25.4. Вернемся теперь к мерам μρ и νρ, которые
построены нами перед замечанием 25.1. Произведем разбиение
пространства Х°° и интервала [0, 1] на несчетное число
множеств {Лр} и {Вр} соответственно, так что μρ (Лр) = 1 и νρ (βρ) =
= 1 для всех невырожденных вероятностных распределений
ρ на множестве 0, 1, 2, ..., k—1. С этой целью введем
_ ( 1 при / = /,
//—10 при гф\.
Для любого /gIh любого q > 0 положим
Ai{q) = {x: иш _j ■_ t-,J.
Рассмотрим только такие распределения ρ, где нет р/, равных
единице (о таких невырожденных распределениях шла речь
в начале параграфа). Ясно, что если распределения ρ и q
различны, то i4pn^q=0> Ρ Φ Q. Из усиленного закона больших
чисел следует, что μρ(^ρ)= 1· Таким образом, «массы»
различных распределений μρ сосредоточены на непересекающихся бо-
релевских множествах. Кроме того, для любого одноточечного
множества χ μ ({χ}) = 0. Отсюда вытекает, что распределение
νρ —ПрЯ"1 имеет массу, сосредоточенную на Вр = л(ЛРП(Я°° —
— N))f где N определяется равенством (25.1). Таким образом,
меры νρ имеют массы, сосредоточенные на непересекающихся
множествах Вр, и vp ({/}) = 0 для каждой точки /^[0,1]. В
частности, vp и мера Лебега v€ сосредоточены на
непересекающихся множествах, если ρ Φ е. Используя эту процедуру, мы
можем построить широкий класс мер на единичном интервале
[0, 1]. Эта конструкция показывает, что несчетное множество
Be имеет меру Лебега нуль.
126
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Упражнение 25.5. Пусть £с[0, 1] задано равенством
£ = ■{ Σ 3"^/, где Xf либо 0, либо 1 ϊ.
Тогда L (Е) = 0, но
Е + Е={1 + ч, £<=£, ηε£} = [0, 1].
(Ε называется канторовым множеством в честь немецкого
математика Г. Кантора, основателя современной теории множеств.)
§ 26. Изоморфизм пространств с мерой
Начнем с определения.
Определение 26.1. Два вероятностных пространства (Х^Зви
μι) у i= 1,2, называются изоморфными, если существует
отображение Τ: Χι-+Χ2 и пара подмножеств Ni, i= l, 2, такие, что
(i) NtczXh NtZE^i и μι(Νι) = 0, i=\f 2;
(ii) Τ есть борелевский изоморфизм из (Хх — Nu $х Π (Χ\—Νχ))
на (X2-N2t Л2П№-^);
(iii) μ1Γ-1 = μ8.
Цель данного параграфа заключается в доказательстве
следующего факта: любое вероятностное пространство (Х,$, μ),
где X — полное и сепарабельное метрическое пространство, & —
его борелевская σ-алгебра и μ — вероятностная мера, такая, что
μ({χ}) = 0 для всех х^Х> изоморфно единичному интервалу
с его борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега.
Утверждение 26.2. Пусть μ — вероятностная мера на (Rf$R)9
такая, что μ({*}) = 0 для любого одноточечного множества
{х}, jcg/?. Пусть / обозначает единичный интервал [0,1] и
L — меру Лебега на нем. Тогда (/?, &R, μ) и (/, &It L)
изоморфны.
Доказательство, Пусть F (χ) = μ((— оо, х]) — функция
распределения μ. Так как μ({*}) = 0, то F — непрерывная и
монотонно неубывающая функция х. Пусть
χ- = \χύ{χ: F(x) = a}y '
х+ = sup{x: F(χ) = α}, aG [0, 1].
Если 0<α<β<1, то х~ <*+ < х$ ^x$· Докажем, что
множество {а: х~ < #+} счетно. Действительно,
00 ОО
{a: *-<^+} = U U {«: -п<х~ <х+<п, х+-x~>j}t
n-U-l
26. ИЗОМОРФИЗМ ПРОСТРАНСТВ С МЕРОЙ
127
и каждое множество, находящееся в фигурных скобках в
правой части, конечно, так как в конечном интервале [—/г, п]
имеется не более конечного числа непересекающихся
интервалов, длина которых ^sl/β. Обозначим
/(а) = *~, os[0, 1].
Тогда / есть отображение из [0,1] в [— оо, 4-°°]· Ясно, что
это отображение взаимно однозначно. При ξ е R
{o:*-<|} = [0,F(6)]. (26.1)
Далее,
/([α, β]) = [χ-,^-]- U (*;.<]. · <26·2)
1 р J γ«=/ П [о. β] ч у у J
/do, i])=/?- U 0ς.*ΐ]. <26·3>
Определим
^ = {0}UO}, *2= U/*;. *J]· (26.4)
Так как μ((*~, *ί]) = 0 для каждого α, то μ(Λ/,2) = 0. Ясно,
что L(N\) = 0. Из равенств (26.1) и (26.2) следует, что / —бо-
релевский изоморфизм между (0,1) и R — Nz. Кроме того, из
(26.1) следует, что
^_1((-оо, ξ]) = μ((-οο, ξ]), ge*.
Следовательно, Lf_I = μ. Это доказывает, что / есть
изоморфизм между (/, $и Ц и (R, <%Rf μ). ■
Определение 26.3. Пусть X—метрическое пространство.
Мера μ на 9Sx называется неатомической, если μ({χ}) = 0 для
каждого одноточечного множества {х}у х^Х.
Утверждение 26.4. Пусть X — полное и сепарабельное
метрическое пространство. Предположим, что существует взаимно
однозначное борелевское отображение f из X в единичный
интервал / = [0,1]. Если μ — неатомическая вероятностная мера
на <%Х) то вероятностные пространства (Х> &Xt μ) и (/, $h L)
изоморфны.
Доказательство, Так как отображение / взаимно однозначно,
то
(μ/""1) ({«}) = μ ({Γ* («)}) = 0, α е [0, 1].
Таким образом, μ/-1 есть неатомическая мера на [0, 1]. Пусть
ε >> 0 произвольно. По теореме Лузина можно найти компактное
12£ ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
множество Ke^zXy такое, что μ(/(ε)>1—ε и сужение /
на Ке непрерывно, Так как / к тому же взаимно однозначное
отображение, то f — гомеоморфизм на /Се. Поэтому / есть боре-
левский изоморфизм на /^-подмножестве Х{ = U Κι/η· Если мы
введем N\ = Х — Хи N2 = I — f(X\), то получим, что μ(Ν{) =
= О, μ/-1 (Ν2) = 0 и f является борелевским изоморфизмом
между X — N\ и I — N2. Таким образом, (Χ, $χ, μ) и (7,^/, μ/-1)
изоморфны. Используя утверждение 26.2, получаем, что (/, $/,
μ/-1) и (/, $и L) изоморфны. ■
Утверждение 26.5. Пусть /==[0,1] — единичный интервал и
/°° — компактное метрическое пространство, которое является
счетным произведением /. Тогда существует взаимно
однозначное борелевское отображение / из /°° в /.
• Доказательство. Пусть D обозначает множество,
содержащее две точки 0 и 1. Пусть D°° обозначает счетное
произведение D и В cz D°° обозначает подмножество всех таких двоичных
последовательностей, в которых 1 появляется бесконечно часто.
Из рассуждений в начале § 25 следует, что между В и /
существует взаимно однозначный борелевский изоморфизм (в
действительности нужен лишь случай k = 2). Это показывает, что
между /°° и В°° существует борелевский изоморфизм.
Доказательство будет завершено, если мы покажем, что существует
взаимно однозначное отображение из В°° в В. С этой целью
рассмотрим (d^, d(2\ ...)eB°°, где
d(/) == (diu dj2i ..., din, ...),
djn s= 1 для бесконечно многих п и любого /= 1, 2, ... .
Рассмотрим двоичную последовательность, которая получается при
движении по направлениям, показанным на схеме.
d2\ d22 d2z ^24
d3i dzz ^зз ^34
dM" dA2 а4Ъ dAA . 4
I
27. МЕРЫ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ
129
В этой двоичной последовательности элемент 1 появляется
бесконечно часто. Обозначим эту последовательность через
/(d(1), d<2), ...). Тогда / представляет собой взаимно
однозначное борелевское отображение из В°° в В. Ш
Утверждение 26.6. (Теорема об изоморфизме.) Пусть X —
полное и сепарабельное метрическое пространство и μ —
неатомическая вероятностная мера на St χ. Тогда {Χ>$χ, μ)
изоморфно (/, ΰ§ι> L), где / есть единичный интервал и L — мера
Лебега.
Доказательство. Согласно утверждению 26.4, достаточно
построить взаимно однозначное борелевское отображение из X
в единичный интервал. Из утверждения 26.5 следует, что
достаточно для этого построить взаимно однозначное борелевское
отображение из X в /°°. По уже упоминавшейся теореме Уры-
сона и Александрова из топологии существует гомеоморфизм
между X и Об-подмножеством /°°. ■
Упражнение 26.7. Пусть X — полное и сепарабельное
метрическое пространство и У—борелевское подмножество X. Если
μ — неатомическая вероятностная мера на 3&γ, то (Υ,38γ,μ)
изоморфно пространству (I,&irL), где / есть единичный
интервал и L — мера Лебега.
Замечание 26.8. Пусть X—произвольное метрическое про*
странство и μ — вероятностная мера на 3§х. Точка jce X
называется атомом меры μ, если μ ({*})> 0. В качестве упражнения
читатель может показать, что мера μ обладает не более чем
счетным числом атомов. Далее, μ = ρλ + ^ν, где 0 ^ р, q ^ 1,
Р + <7=1> λ есть неатомическая вероятностная мера, a v —
«чисто атомическая» вероятностная мера, т. е. v(A)=l, где
А — счетное подмножество X. Вместе с утверждением 26.6 й
упражнением 26.7 это замечание обнажает структуру произ*
вольного вероятностного пространства в случае, когда выбороч*
ное пространство является борелевским подмножеством пол*
ного и сепарабельного метрического пространства.
Поскольку пространства с σ-конечной мерой могут быть
разложены в объединение непересекающихся пространств с
вполне конечной мерой, то проблема изоморфизма просто фор*
мулируется и решается.
§ 27. Меры на проективных пределах
борелевских пространств
Пусть (Χη,&η), η = 0, 1, 2, ..., — последовательность
борелевских пространств и fn: Хп-*Хп-\ для каждого η = 1, 2, 3, ...
есть борелевское отображение Хп на Хп-\* Определим
130
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
пространство X следующим образом:
Х — {х: х = (лгэ, хи лг2, ...), хп^Хп при каждом я = 0, 1, 2,...;
/«(*«) = *«-i при каждом л=1, 2, ...}. (27.1)
Определим теперь борелевскую структуру на Я. Введем
отображение
π„: Χ->ΧΛ, /ι = 0, 1, 2, ..., лл(х) = *«. (27.2)
Пусть
Утверждение 27.1. Пп1($п) есть возрастающая
последовательность σ-алгебр в пространстве X.
Доказательство. Пусть is^"1^), т. е. Л = {х: хп^Е}>
где Е^$п. Так как /п-ц (^η+ι) ===^λ> отсюда следует, что А =
- {Х: ^+l(*n+l)S£} = {X: *«+lSU№)}· TaK KaKJn+l еСТЬ
борелевское отображение, то А = πη_^ (/η"+\ (£))е яп+1 (Λη+1).
Таким образом, π» '(IJc^'ji^+i). Поскольку Ля1^) есть
прообраз σ-алгебры, то Яп1($п) есть σ-алгебра в JL ■
Определение 27.2. Пусть 9$ есть σ-алгебра, порожденная
оо
классом ST*«* [J πή{($η)- Борелевское пространство (^, ^) на-
зывается проективным пределом последовательности борелев-
ских пространств (Хп,&п), я = 0, 1, 2, ..., по отображениям
/ι, /г, ... . (^ есть булева алгебра подмножеств X.)
Определение 27.3. Пусть (Хп, &п, μ«), /г = 0, 1, 2, ..^ —
последовательность вероятностных пространств, и пусть fn: Хп->
->Х„-Ь /г =1,2, ..., — последовательностьборелевских
отображений Хп на Хя-ь Последовательность мер {μη} называется
согласованной относительно {ϊη}, β^ππμ^" = μ/ί_1, л = 1,2, ... .
Утверждение 27.4. (Теорема согласованности вероятностных
мер Даниэля —Колмогорова.) Пусть Xth η = 0, 1, 2, ..^ —
последовательность полных и сепарабельных метрических
пространств и fn: {Хпу ДХп) -> (Хп_и аХп^)9 /ι=1, 2, ...,-
последовательность борелевских отображений Хп на Яя-ь
Предположим, что μη—вероятностная мера на Ях при
каждом /г, такая, что последовательность {\ιη} является
согласованной относительно fn- Тогда существует вероятностная
мера μ на проективном пределе (X, Ш) борелевских пространств
(Хп, $χη), такая, что μπ„1 = μΛ при любом /г.
27. МЕРЫ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ
131
Доказательство. Обозначим через <%п σ-алгебру 3$х . Пусть
# и Ш те же, что в определении 27.2. Определим μ на ^
равенством
\ί(Α) = μη(Ε), если А = п~х(Е\ Яе1й, (27.3)
где пп задано формулой (27.2). Мы утверждаем, что μ
корректно определена. Действительно, пусть
А = Пт1(Е) = Пп1(Р), пг<п,
Для любой точки χ е А имеем χ = (лг0, хи · · ·), хт ^ Ещ хп <= /\
Тогда (fm+1ofm+2o ... ofn)(^) = ^m. Поэтому Е = Гпх (f^ (.. .
. . · (/m+iC^))· Из согласованности {μη}следует, что μ«(£) = μ™ (Ζ7)·
Таким образом, μ корректно определена. Теперь утверждаем,
что μ конечно аддитивна на #\В самом деле, пусть Д, Ве^
и А П В = 0. Если Л е π^1 C$m), Аея„ч(1„) и m < η, то из
утверждения 27.1 следует, что А и В принадлежат Пп ($п)-
Пусть
Л = я;!(Я), В = яЛ~У); EyFe=$n.
Так как Л П β=0, τοπ^ΟΕ Π ^)=0, и поэтому £'П/7 = 0.
Таким образом,
μ(Λ US) = pUn1(^U/7)) =
= μη(Ε \J Ε) = μη(Ε) + μη(Ρ) = μ(Α) + μ(Β).
Следовательно, jX конечно аддитивна.
Чтобы доказать счетную аддитивность μ на SF, достаточно
доказать, что для любой последовательности Л0 => А \ => Л2 и>
такой, что Π Ап = 0, Лл е π*"1 ($η), η = 0, 1,2, ..., имеет ме-
п-0
сто
lim р(Лл)=0. (27.4)
(См. доказательство утверждения 20.8.) Пусть Ап = Пп{(Еп),
Еп г ,$„. Если равенство (27.4) не выполняется, то существует
такое 6 > 0, что
μ{Αη)>*> ««О, 1, 2, .... (27.5)
В этом случае
μ„(£»)>*. «=-0, 1.4 .... (27.6)
132
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Из следствия 19.19 и следствия 24.22 вытекает теперь, что
существует компактное множество Кп cz En, такое, что при
каждом η ^ 1
ч б
(О μ* (£* — Кп) < -^тг,
(ii) сужение fn на Кп непрерывно.
Пусть
Вп = Дя/'Ч/С/), /1=1, 2, ... . (27.7)
η η
Тогда AnB'ncz \j (Л/ Π ^4^/)) = U nj\EiK'i)* Следовательно,
μ(^Χ)<2]μ(π/-1(^)) =
/-ι
Так как BnczAn, то из (27.5) вытекает, что
»(*«)>!■'. п=1,2, 3, ... .
Отсюда, в частности, видно, что ВпФ0 при любом η ^ 1. Вы«
берем точку х<л> = (хпо, хщ,Хп2, ...)еВ„ при любом η ^ 1. Из
определения βΛ (27.7) следует, что'
xnj<=Kj, /=1, 2, ..., /г; /г = 1, 2, ...,
f / (**/) — **> /-ь /=1,2,.... (27.8)
Так как каждое множество /С/ компактно, мы можем выбрать
(пользуясь диагональной процедурой) п\ < п2 < п3 < ...,
такие, что для любого /= 1, 2, ... существует lim *п*/ = */> где
лс/е/С/, /=1, 2, .... Так как сужение // на Kj непрерывно,
то (27.8) влечет за собой
fl{xi) = Xl~u / — 2, 3, ....
Зададим *0 = h (*ι) · Тогда χ = (#0, хи *2, ...) ^ Я и Xj&Ki
оо оо
при / = 1, 2, ... , Поэтому xs(] B„c[] Л„, что противоре-
оо
чит предположению о том, что f| Λη=0. Таким образом,
равенство (27.4) выполняется. Итак, μ счетно-аддитивна на Т.
27. МЕРЫ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ
133
и по следствию 16.9 она может быть продолжена до
вероятностной меры на Ш. Из (27.3) вытекает, что μπ~! = μΛ для всех
п.Ш
Упражнение 27.5. Утверждение 27.4 выполняется, если
последовательность (Хп, $χη) заменяется последовательностью
(Хп, &п) стандартных борелевских пространств.
Упражнение 27.6. Пусть {Ул}—последовательность полных
и сепарабельных метрических пространств и
Χη~ΥοΧΥιΧΥ2Χ..-ΧΥη, «-0,1,2
Пусть /л: Χη-+Χη~ι — проективное отображение:
Мйь У\ Уп) = (Уо> У и ···, fti-i).
Тогда проективный предел X можно отождествить с
декартовым произведением Υ0ΧΥ1ΧΥ2Χ ... следующим образом.
Если хп = (Уо,Уи ..·> Уп) и fn(xn) — x»-u то Хп-1 = (Уо,Уи ···
,.., Уп-ι). Таким образом, определено
f(xo* X\y Хъ · · ·) —(ί/ο> Уь Уь · · ·)»
где Хп = (Уо,Уи ..·, Уп). Последовательность {μη}9 где ιΐη —
вероятностная мера на Хп, согласована, если μη/^1 = /η-ι> л ==
= 1, 2,.... (В этом случае, мы называем μ„_ι маргинальным
распределением (уо,Уи ···> Уп-\) по отношению к μη как
распределению (уо,уи .··» Уп).) Из утверждения 27.4 тогда следует,
что существует вероятностная мера μ (= μ/-1) на FoX^iX ...
... ΧΥηΧ ..., такая, что μτ/;1=μη при всех /г = 0, 1, 2, ...,
где τ« есть проективное отображение, заданное равенством
τΛ(#ο, У и Уь ...) = (Уо, Уь Уъ Уп)>
(Уо,Уи Уь ...)<=ΥοΧΥιΧΥ2Χ ... ΧΥηΧ ... . Очевидно, что
мера μ определена на борелевской σ-алгебре произведения
метрических пространств Υ0Χ ΥχΧ Υ2Χ ....
Замечание 27.7. При изучении случайных процессов с
непрерывным временем возникает необходимость построения мер на
произведении пространств вида Ц Yit где /—интервал дей-
ствительной прямой. При этом данные, которые мы можем
наблюдать, относятся только к конечному числу моментов
времени U < t2 < ... < tk, f/e/, /=1, 2, ..., /L Предположим,
что нам известно вероятностное распределение μ, t t (для
любого конечного множества F={t\> t2, ..., **}) на
пространствах Ytl XYt^X ... XYth Семейство распределений {μ, 11 t X
134
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТ9БРАЖЕНИЯ
называется согласованным, если проективное отображение
• *ίή:::ί*+': ъ, χ г*, χ... χ ^, -*ъ, χ ъ, χ... χ^
заданное равенством
яЙ ·'··' 'Г1 Ov % ···' *4+,)=(«ν ν ■··· **)·
обладает свойством
при всех U < ^2 < ·♦· < i*+b *ь ^2, ·.·, iik+ie/ и всех Λ.
Теперь мы можем задать следующий вопрос. Пусть πΜ f ,
заданное равенством
я*,/,... *Λ(ίΚ·)) = (ίΚ*ι). 0('2). ···. У(*ь))>
есть проективное отображение из Ц Yt на У^ХК^Х ... X Y\k,
где */(·) — элемент, t-я координата которого есть y(t)^Yt.
Существует ли единственная вероятностная мера μ на Π Yu
такая, что
для всех t\ < U < ... < f*? σ-алгебра рассматриваемого
пространства Ц Yt есть наименьшая σ-алгебра, относительно ко-
торой все проективные отображения nt t t борелевские.
Обращаясь к утверждению 27.4, можно сделать вывод о
существовании такой вероятностной меры μ. Поступим следующим
образом: рассмотрим все конечные подмножества интервала /.
Обозначим полученное семейство через Г; Г называется
направленным семейством. Если F, GgT, то будем писать F ^ G,
если F с: G. Для каждого F <= Г обозначим
X{F) = YixXYttX...XYtk, F = [tut2f ..., tk).
Предположим, что все Yt являются полными и сепарабельными
метрическими пространствами. Тогда X(F) также является
полным и сепарабельным метрическим пространством. Далее, если
F ^ G, то можно задать проективное отображение
пР. X(G)^X(F)
обычным образом. Действительно, если U < U ... < h <
<>н< ··· <U и F=*{tut2, ..., tk}> G={tu ..., U), tq
27. МЕРЫ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ
135
Если F^G^Hf то π£π£==π". Если обозначить меру μ,^ ## ^
через μρ (где /? = {ί1, £2, ..., ^}), то условие согласованности
влечет за собой μ0 (η$)~{ = μ^ при всех F ^ Gy F, G е 1\ Имея
в виду эти свойства, мы можем ввести следующие определения.
Предположим, что Г — произвольное направленное
множество, частично упорядоченное соотношением <;, и (ХУ) $у, μγ),
γ е Г, — семейство вероятностных пространств. Для любых
Υ!, γ2^ Γ, γι ^ γ2, пусть f^ будет борелевским отображением из
Ху2 на Ζγι, таким, что
ВД = ^ Для всех Υι<γ2<γ3.
Будем говорить, что меры {μΥ} согласованы, если
к(!уУ1==к при Υι<Υ2·
Обозначим через Хт множество всех отображений х: Г-> (J Xv,
удовлетворяющих свойствам
x(v)gIy при каждом уеГ;
fj^ (χ (ν2)) = χ (Yj) при всех ^<72) γρ Υ2^Γ.
Пусть отображение % из X? на Ху определяется равенством
πΥ(χ) = χ(γ). Пусть $г является наименьшей σ-алгеброй в Хг,
по отношению к которой каждое отображение πΥ есть борелев-
ское отображение из Χν на Хг Тогда (Яг, <$г) называется яро-
ективным пределом борелевских пространств (ΧΥ, ^Υ), γ ^ Г.
Если обозначить
^г= U я;'(^),
то ^г — булева алгебра, которая порождает $?. Любое Ле^
может быть представлено как А = п~1(Е) при некотором Esl^
Определим
μΓ(Λ)=μΥ(£)·
Тогда μρ — корректно определенная конечно аддитивная
функция на #■>. Доказательство совпадает с доказательством
утверждения 27.4. Для того чтобы показать, что μρ счетно
аддитивна на &~г> достаточно доказать, что lim μΓ (А ) = 0 всякий
rt-»oo
оо
раз, -когда Ах zd Л2=э ..., []^4Λ==0 и Ап^&~т при всех п.
В этом случае можно выбрать такие у\ ^ Υ2 ^ ·.. ^ Уп ^ ...,
136
ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
что i4n е π^1 [Ιγ у Предположим теперь, что все Ху суть
полные и сепарабельные метрические пространства, а $у — их
соответствующие борелевские σ-алгебры. Если записать Хп = ХУп,
$п~^уп, ίη — ϊΊΊη > ^"Η-γ > то доказательство
утверждения 27.4 применимо к этой последовательности и μΓ(Αη)->0
при /г->-оо. Таким образом, μΓ становится счетно-аддитивной и
может быть продолжена в единственную вероятностную меру
на (ХТу $г)> такую, что μΓπ~! = μγ при всех γ. Суммируем это
в форме утверждения.
Утверждение 27.8. Пусть Г — направленное множество и
(Ху, &у> μν), уеГ, — семейство вероятностных пространств, где
Ху — полное сепарабельное метрическое пространство и JY —
его борелевская σ-алгебра. Пусть f£: Хуг->Ху1 будет борелев-
ским отображением из ХУ2 на ХУх для каждой пары у\ ^ γ2>
γι, γ2^Γ, таким, что /*/£ = /£ для всех γι^γ2<Υ3, уи V2,
уз^Г ΗΜ-Υ?(/γ') — Р^· Тогда существует единственная
вероятностная мера μΓ на проективном пределе (Хг> &т), такая, что
μΓπ~"1=μγ, где πΥ — естественная проекция из Χγ на Ху при
каждом γ.
Упражнение 27.9. Утверждение 27.8 выполняется в
предположении, что Ш(ХУ,ЗВУ)— только стандартные борелевские
пространства.
Пример 27.10. Пусть {Уа, а е /}— семейство полных cenapa-
бельных метрических пространств. Пусть Г — класс всех
конечных подмножеств /, частично упорядоченный соотношением с.
Тогда Г — направленное множество. Положим
aexF
Пусть для F czG fGF обозначает естественное проективное
отображение из Xg на Хр. Если μρ — вероятностная мера на Хр
при каждом ^сГи {μ^} согласована, то существует
вероятностная мера μ на ( Π Κα, Π #aV которая индуцирует меру
μ/? на Хр посредством естественной проекции из Ц Υα на Хр.
аеГ
Пример 27.11. Представим любую точку χ /г-мерного
евклидова пространства Rn в виде вектор-столбца
χ = (хи х2 хп)', Xt е= R, i = 1, 2, ..., я, (27.9)
27. МЕРЫ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ
137
где Χι называются /-ми координатами х. Для любого те^пи
любой действительной положительно определенной η Χ /г-мат-
рицы (ση) = Σ, 1 ^ /, j <; /г, положим
- *"(х; т> Σ)= (2я)^(^^еХ4~1(Х^тГ2"1(Х"т)]-
(27.10)
где (х — т)' обозначает транспонированный вектор χ — m. Из
теории гамма-интегралов известно Jcm. доказательство
утверждения 53.8), что
\ ... \ фп(х; m, l)dx{dx2 ... сГлгп = 1, (27.11)
— оо —оо
J ^п (х; т, Σ) dxn = *„_, (х°; т°, Σ0), (27.12)
— ОО
где
х° = (хи хъ ..., xn_xY, т° = (ть т2, ..., т,^)'; (27.13)
Σ0 = ((σ;/)), 1<ί,/</ι-1. (27.14)
Ясно (см. упражнение 19.6), что существует вероятностная мера
μη(-\ m, Σ) на борелевской σ-алгебре /?", такая, что
μΛ({χ: α^ < л:/ < 6/ для всех / = 1, 2, ..., л}; т, Σ) =
= S " ' S S ^η(χ; т» Σ)^ι dx2 ... dxn (27.15)
αΛ α2 at
для всех αϊ, аг, ..., ап, δι, Й2, ..., bn с a* < &,·, г = 1, 2, ..., п.
Мера, определенная в (27.15), называется многомерным
нормальным распределением со средним m и ковариационной
матрицей Σ. Во всех определениях мы используем только
интегралы Римана. Из теории гамма интегралов известно также, что
+оо +оо
\ · · · \ *άη (х; m> Σ) dxx dx2 ... dxn = mh (27.16)
— oo
+oo +oo
\ \ (xt —~ nti) (xf — mf) φη (χ; m, Σ) dxx dx2 ... dxn = ац.
— ОО —00
(27.17)
Рассмотрим теперь проективное отображение
П: \Х\у Х2, · « ·» Хп) "^ν^ΐι *2ι · · ·> #Λ-ΐ)
138 ГЛ. III. БОРЕЛЕВСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
из Rn в Rn~l. Тогда из (27.12) следует, что
μη (π"1 (Ε); m, Σ) = μη-1 (£; m°, Σ°) (27.18)
при всех Яе^я-ьгде m° и Σ° определены равенствами (27.13)
к (27.14) соответственно. Таким образом, многомерное
нормальное распределение в Rn со средним значением m и
ковариационной матрицей Σ имеет «маргинальное распределение»,
которое снова является многомерным нормальным распределением
со средним т° и ковариационной матрицей Σ'0 в Rn~K
Используя (27.18), построим вероятностную меру на
бесконечном произведении действительных прямых. Пусть K(syt)>
5, t ^ /, есть действительная функция на интервале / s R со
свойством
Σ afitK(fb t;)>0 (27.19)
l<t,/<n
для всех положительных целых чисел пУ всех t\t t2y ..., tn^l
и всех действительных чисел aXi α2, ..., αΛ. Такая функция
называется положительно определенным ядром. Если равенство
в (27.19) имеет место только тогда, когда все щ равны нулю,
то /((·, ') называется строго положительно определенным
ядром. В качестве примеров можно рассмотреть функции
Я ι (s> 0 ж <*2 min (s, t), s, / m (0, oo),
K2(s9 ^) = exp{ — j(s — 02}> s, t<==(— oo, +oo).
Пусть, далее, K(s,t) — строго положительно определенное ядро
на / и m(t) — действительная функция на /. Для любых tu
t2, ..., tk рассмотрим нормальное распределение μ, t ^t ,
которое имеет вектор средних значений и ковариационную матрицу
(m ft), m (/2), ..., m (tk))\ ((К (ti9 f,)), 1 < /, j < k,
соответственно. Тогда семейство {μ,, ttt \, где {t\> t2t ..., tk]
изменяется по всем конечным подмножествам /, согласовано.
Произведение борелевских пространств
(TLRu Π*Λ,
где Rt — R при любом t и 3Si = ii?/?, допускает такую
вероятностную меру μ, что
μπν2··.ί*βμΜΐ-ν
где π,, ? есть проекция
*(·)-*(*(Ί). *(«. ···, *('*))
27. МЕРЫ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ 139
ι. . " *il№ ■ inilin .,,..-, .ι .
из Π Rt на RXRX ... X/? (^-кратное произведение R).
Здесь х(·), произвольный элемент П#ь есть действительная
is/
функция, определенная на /. Таким образом, мы построили
меру на пространстве всех действительных функций на
интервале /, такую, что любое конечное число координат имеет
многомерное нормальное распределение. Многомерные нормальные
распределения называются также гауссовыми распределениями
в че<!ть немецкого математика К. Гаусса. Измеримое
пространство
(TlRt, TLntuv)
\t€=t t<=I )
описывает гауссовский случайный процесс с функцией среднего
m(t), t^I и ковариационной функцией (ядром) K(s, t), s, te/.
Глава IV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 28. Интегрирование неотрицательных функций
Уже в первой главе мы убедились в пользе
интегрирования простых функций, заданных на булевом пространстве. Во
многих задачах теории вероятностей и математической
статистики появляются случайные величины, которые не являются
простыми, и нужно уметь определять их «среднее значение» или
«математическое ожидание». Этого можно достичь путем
обобщения понятия интеграла. Следует также отметить, что такие
понятия механики, как центр массы, момент инерции, работа
и т. п., могут быть адекватно сформулированы в терминах
интеграла. Однако в начальном периоде своего развития теория
интегралов получила импульс благодаря работе А. Лебега,
посвященной многим новым проблемам, возникшим при
исследовании свойств сходимости рядов Фурье. В данной главе будет
введено понятие интеграла по мере в борелевском пространстве
vr будут изучены его основные свойства.
На протяжении всей главы мы будем использовать
обозначение (X, <%, μ) для фиксированного пространства с σ-конеч-
ной мерой. Рассматривая борелевскую функцию на этом
пространстве с мерой, мы будем иметь в виду класс
эквивалентности борелевских функций со значениями на расширенной
действительной прямой. Напомним, что любая такая функция
считается заданной, если она определена почти всюду, т. е. вне
подмножества Ν, имеющего μ-меру нуль. Для любого Ε ^38
будем говорить о каком-либо свойстве, что «свойство
выполняется почти всюду относительно μ на Е» и записывать
«свойство п. в. (μ) на £», если существует μ-нулевое подмножество
N множества Е, такое, что это свойство выполняется всюду на
множестве Ε—N. Если Ε совпадает со всем пространством, то
слова «на Я» будут опускаться.
Пусть s — любая неотрицательная простая функция на
(X, &, μ). Тогда можно указать разбиение X на
непересекающиеся множества A\t А^ ..., Ak, принадлежащие 38, и k чи-
k
сел аи а2, ..., ak из [0, оо], такие, что $=]>]а^#
Определим интеграл от функции s по любому множеству Ε ^98 как
28. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 141
k
сумму Σα№(ΑίΕ) и запишем
*-1
\8άμ^Υίαίμ(ΑίΕ). (28.1)
ί-Ι
Если интегрирование производится по всему пространству X,
то вместо \ s άμ будем писать просто \ s άμ. В частности, когда
χ
s = Xb> to
\%Εάμ = μ(Я), \%Εάμ = μ(Εί] F), E,Fse%. (28.2)
F
Из определения (28.1) следует, что Χεάμ является неотрица-
Е
тельной счетно аддитивной функцией на Е. В частности, это
счетно полуаддитивная функция на Е.
Определение 28.1. Пусть / — неотрицательная борелевская
функция на (X, $у μ). Интеграл от функции / по множеству Ε
определяется как
\ϊάμ = $\ιρ)\8(1μ9 s^O, 5 простая, s</ на Еу Е^$.
(28.3)
Иногда вместо \ϊάμ будет использоваться запись \ί(χ)άμ(χ)
Ε Ε
или \ϊ(χ)μ(άχ) для указания переменной интегрирования.
Ε
Замечание 28.2. Из определения 28.1 очевидным образом
следует, что для любых двух неотрицательных борелевских
функций / и g на (X, $, μ), таких, что f = g п. в. на £, имеет
место равенство
\ΐάμ= jjgi/μ.
Ε Ε
Утверждение 28.3. Для любой неотрицательной борелевской
функции / на (Ху $, μ) отображение Ε->\ϊάμ представляет
Ε
собой неотрицательную, монотонную, неубывающую и счетно
аддитивную функцию на 3&.
142
ГЛ IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Доказательство. В доказательстве нуждается лишь
последняя часть утверждения. Пусть Еи E2t ... — последовательность
множеств, принадлежащих 3$, и пусть £= Μ Et. Для любой
неотрицательной простой функции s, такой, что s <: / на Е, из
(58.1) и (28.3) имеем .
Ε i Et i E{
Переходя к супремуму по всем таким s ^ /, получаем
Ε i Et
Другими словами, интеграл, стоящий в левой части,
представляет собой счетно полуаддитивную функцию на Е. Для того
чтобы завершить доказательство, достаточно в силу
утверждения 15.9 доказать, что эта функция конечно аддитивна. С этой
целью введем два непересекающихся множества Еи Е2&$.
Пусть s\9 s2— две неотрицательные простые функции, такие, что
Si ^ / на Ei, i = 1, 2, и
$Μμ< $5^μ4-|, (28.4)
где ε — произвольное фиксированное положительное число.
Положим
!s{ на Еи
s2 на Е2у
О на (£, U Б2)'.
Тогда S ^ О и S <; / на Е{[)Е2. Ск.адывая неравенства (28.4)
при i= 1 и i = 2 и используя (2£. 1) и (28.3), получаем
\ίάμ+ $/ίμ<β + ξδέίμ+ $5ύίμ==
Е\ Ei E\ Е^
= ε + \ S^<8+ \ Ιάμ.
Ег [}Ё2 Ег U Вг
Так как ε произвольно, а \/<ίμ полуаддитивная функция, то
Ε
\ Μμ— \ίάμ+ [ϊάμ.Μ
Εχ U Ει Εχ Βι
28. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ИЗ
Утверждение 28.4. (Теорема Лебега о монотонной
сходимости.) Пусть 0 ^ /ι 5ζ /2 <; ... ^fn^ ... — борелевские
функции на (X, <%> μ) и lim fn = /. Тогда
П->00
lim \ fn άμ = \ / άμ для всех Е^&. (28.5)
Доказательство. Введем обозначение α для левой части
равенства (28.5). Так как fn^f при всех /г, то
α< ^άμ. (28.6)
Ε
Пусть s — неотрицательная простая функция, такая, что s ^.f
на Ε, и пусть с, 0<с<1, — постоянная. Обозначим
Еп = {х: хе£, 0<cs(*)<fn(*))·
Тогда множества £„ возрастают к £. Поэтому
\ϊηάμ> \ίη<1μ>ο J sώμ.
E En En
Переходя к пределу при л->оо и используя предыдущее
утверждение, получаем a^clsi/μ, Вычислим теперь супремум по
Ε
всем неотрицательным простым функциям s ^f и устремим
с-М, получим α^ \/ί/μ. Это неравенство в сочетании с (28.6)
Ε
доказывает утверждение.
Утверждение 28.5. Если fu f2 — неотрицательные
борелевские функции на (X, $у μ), то
$(Λ + /ί)<*μ=$/ι<ίμ+ \ϊ*άμ, Ε<
Доказательство. Это равенство в точности совпадает с
пунктом (i) утверждения 3.6 в случае, когда f\ и /г — простые
функции, а место Ρ занимает μ. Если же функции fu f2 не являются
простыми, то можно построить две последовательности
{sn}> {s'n} неотрицательных простых функций, которые
монотонно возрастая, сходятся при /г-^-оо к f\ и /г соответственно
(см. утверждение 23.13). Тогда s + s'n, возрастая, стремится ц
144
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
/ι + /2· По предыдущему утверждению имеем
\(ίί + ΐ2)άμ=1ίτη \{8η + ^)άμ^
Б "+<" Ε
= lim \ sn άμ + lim \ s'n άμ = \ f { άμ + \f2 άμ. ■
n+~B - П-*°° Ε Ε Ε
Утверждение 28.6. Для любой неотрицательной борелевской
функции / на (X, $, μ) и любой постоянной с ^ О
^ο!άμ = ο ^ΐάμ,Ε£Ξ&.
Ε Ε
Доказательство предоставляется читателю.
Утверждение 28.7-, \ / άμ = 0 тогда и только тогда, когда
Ε
f(x) = 0 п. в. на Ε для любой неотрицательной борелевской
функции / на (Χ, 3§, μ).
Доказательство. Допустим, что но / не обращает-
е
ся в нуль п. в. на Е. Тогда существует постоянная с > О и
множество РаЕ, такие, что μ(/?)>0 и f(x)^c для всех xeF,
В этом случае имеем
$/ί/μ> \ϊάμ^ο^ Ιάμ==ομ{Ρ)>0.
В . F F
Необходимость доказана. Доказательство достаточности
предоставляется читателю.
Определение 28.8. Пусть / — любая борелевская функция на
(Χ, $,μ) и Ε щ <%. Существенным супремумом f на Ε называется
ess sup f = inf {sup / (*), F(=&f FczE, μ (EF') = 0}.
Существенным инфинумом f на Е называется
ess inf f = sup {inf f(x), Fei, FaE, μ(£Ό = 0}.
Ε xe=F
Ясно, что ess inf f = — ess sup (— f).
Ε Ε
Упражнение 28.9. Для любой борелевской функции / на
(X, &, μ) и любого Ε ^ <% существует множество FczE, такое,
4Τθμ(£/?/) = θΗ
ess sup f = sup/.
28. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 145
Упражнение 28.10. Для любой неотрицательной борелевской
функции / на (Χ, &,μ) vlE^SS
μ (Ε) ess inf f < \ f άμ < μ (Ε) ess sup f.
E i B
Упражнение 28.11. Если μι, μ2 — две σ-конечные меры на
(X, 3$) и р, q — неотрицательные числа, то
\ f d {ρμχ + ?μ2) = Ρ $ f άμχ + q jj / ώμ2.
Ε ЕЕ
Упражнение 28.12. Если / — неотрицательная борелевская
функция на (Х9 $, μ) и \ /άμ < оо для некоторого £εί5, то
μ({*: *е=£, /(*) = оо}) = 0,
т. е. f (χ) < оо для почти всех л; е £.
Утверждение 28.13. Пусть (Χ, ί%) и (У, <в) — два борелевских
пространства и Τ: Χ^~Υ — борелевское отображение. Пусть
σ-конечная мера μ на & такова, что мера μΓ-1 σ-конечна на Ф.
Тогда для любой неотрицательной борелевской функции / на У
и любого множества F е ^
\ (ϊοΤ)άμ=\ΐάμΤ-\
T~l (F) ^ F
где f о Τ есть композиция f и Т.
Доказательство. Пусть сначала / = χβ для Be?'. Тогда
\ Хв άμΤ~1 = μίΓ1 (В Л F) = μ ((Τ^θ) П (Г"'/7)) =
F
Таким образом, утверждение справедливо для индикаторов
множеств из Ф. Так как неотрицательные простые функции
являются неотрицательными линейными комбинациями
индикаторов, то утверждение выполняется для всех неотрицательных
простых функций. Если теперь / — любая неотрицательная
борелевская функция на У, то существует последовательность {sn}
простых функций на У, которая монотонно возрастая, сходится
к f. Тогда {sn ° T} есть последовательность неотрицательных
простых функций на X, которая монотонно возрастая, стремится
к /оГ. Применяя утверждение 28.4? заканчиваем
доказательство. Щ
146
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Замечание 28.14. Если в утверждении 28.13 положить X = К,
<% = <g? и μΤ~ι = μ, то Τ называется преобразованием,
сохраняющим μ-меру. Если Τ сохраняет μ, то
\(ϊοΤ)άμ=\ϊάμ.
Г(*)={
Если это равенство справедливо для любой неотрицательной
борелевской функции /, то преобразование Τ сохраняет меру μ.
§ 29. Интегрирование борелевских функций
Теперь мы попытаемся перенести все результаты,
полученные в предыдущем параграфе, на произвольные борелевские
функции, которые могут принимать и отрицательные значения.
Утверждение 29.1. Пусть f—борелевская функция на боре-
левском пространстве (Х,$), и пусть
/ (х), если / (х) > О,
О, если f(#)<0,
( — /(*), если /U)< О,
' {Х) { 0, если /(*)>0.
Тогда /+ и /- являются неотрицательными борелевскими
функциями и
/М = /+(*)-Г(*).
(Функции f+ и f- называются соответственно положительной и
отрицательной частями функции f.)
Доказательство. Это утверждение является прямым
следствием определений и поэтому предоставляется читателю.
Определение 29.2. Борелевская функция / на (X, 3$, μ)
называется интегрируемой на множестве Е&<%, если \|/|ύ?μ< οο.
Ε
В этом случае интеграл от функции f по множеству Ε
относительно меры μ определяется как
\ϊαμ=\ί+άμ-\Γάμ. (29.1)
ЕЕ Ε
Если Ε = X, где X — все пространство, то вместо \ / ήμ пишется
\ίάμ.
29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ БОРЕЛЕВСКИХ ФУНКЦИЙ
147
Замечание 29.3. Если / интегрируема на £, из неравенств
/+<:|/| и /~^|/| следует, что /+ и /- интегрируемы и,
следовательно, правая часть равенства (29.1) определена и
Ε Ι Ε Ε
Замечание 29.4. Если fu f2 — две борелевские функции на
(Ху $, μ) и /ι = /г п. в. на £, то из интегрируемости одной из
них на £ вытекает интегрируемость другой и в этом случае
\!ιάμ = \ϊ2άμ. Таким образом, значение интеграла не зави-
Е Ε
сит от значений подынтегральной функции на множествах
нулевой меры. Для определения интеграла на £ достаточно
определить подынтегральную функцию на Ε почти всюду.
Утверждение 29.5. Если /, g— две борелевские функции на
(X, $> μ), которые интегрируемы на £, то при любых
действительных постоянных а и Ь функция af + bg определена п. в. на
£, интегрируема на £ и
J (af + Ьg)dμ = a\ ϊάμ + ΰ^άμ. (29.2)
Ε ЕЕ
Доказательство, Поскольку / и g интегрируемы на £, то из
упражнения 28.12 следует, что |/(*)|<оо, |g(*)l<°° п.в. на
Е. Поэтому af + bg определена п. в. на Е. Далее,
\af + bg\K\a\\f\ + \b\\g\ п. в. на £.
Так как
\(\a\\f\ + \b\\g\)dp = \a\\\f№ + \b\[\g№ <оо9
Ε ЕЕ
то af + bg интегрируема на Е. Из утверждения 29.1 и равенства
(29.1) следует, что для любой интегрируемой на Ε функции / и
постоянной с функция cf также интегрируема на £ и
\εϊάμ — ε\ϊάμ.
Поэтому достаточно доказать равенство (29.2) при а = b ~ 1.
Имеем
/ + g = (f + g)+ -if + g)~ = f+ -Г +i+ - i~.
Следовательно,
148
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Обе части равенства являются суммами неотрицательных
функций, которые интегрируемы на £. В силу утверждения 28.5
Ε ЕЕ
= \(f + grdμ+\f+dμ+\lg+dμ
Ε ЕЕ
и все интегралы в этом равенстве конечны. Отсюда и из (29.1)
следует (29.2).■
Упражнение 29.6. Если \\ϊ\άμ<οο и Еи Е2, ... —
непересекающиеся множества из 3§9 то
оо
U Ei '-I Bt
Упражнение 29.7. Пусть /—неотрицательная борелевская
функция на (Χ,^ί, μ), и пусть функция множества ν,
определенная на & равенством
Ε
σ-конечка. Тогда борелевская функция g, заданная на (X, 3§f μ),
интегрируема на Ε по мере ν тогда и только тогда, когда
функция gf интегрируема по мере μ на £, и в этом случае
\gdv=*\gfdμ.
Ε Ε
Упражнение 29.8. Если /—борелевская функция на (Х,^,μ),
такая, что [[άμ = 0 для любого Е^3§, то / = 0 п. в. (μ).
Ε
Утверждение 29.9. Пусть (X, <%) и (У, Ф) — два борелевских
пространства и Τ: Χ->Υ—борелевское отображение. Пусть
σ-конечная мера μ на <% такова, что μΤ~ι также σ-конечная
мера. Пусть f—борелевская функция на У. Функция f
интегрируема по мере μΓ-1 на множестве F е Ψ тогда и только тогда,
когда функция /оΤ интегрируема по мере μ на T-l(F), и в этом
случае
J ΐοΤάμ=\ίάμΤ-\ (29.3)
r~!(F) F
29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ БОРЕЛЕВСКИХ ФУНКЦИЙ
149
Доказательство. Утверждение выводится непосредственно из
равенства |/оГ| = |/| °Г и утверждений 28.13 и 29.1.
Замечание 29.10. Пусть X = У, @ = ψ, μΤ~ι = μ. Пусть f —
любая борелевская функция на X. Для интегрируемости / о Τ
необходимо и достаточно, чтобы f была интегрируемой, при
этом
\ΐοΤάμ=\ίάμ.
До сих пор мы исследовали «алгебраические» свойства
интегралов. Теперь мы рассмотрим свойства «непрерывности».
Известно, что для любых двух последовательностей {ап} и
{Ьп} неотрицательных чисел
lim (ап + Ьп) > Ит ап + Ит Ьп.
rt-»oo rt->oo Λ->οο
Следующее утверждение обобщает это свойство на тот случай,
когда суммирование заменяется интегрированием.
Утверждение 29.11. (Лемма Фату.) Пусть
{/„}—последовательность неотрицательных борелевских функций на (X, <%> μ).
Тогда
Ит \fnd^^\(\\m ϊη)άμ (29.4)
/ί->00 β β rt->00
для всех Е е 38.
Доказательство. Пусть gn (х) = inf {fi (χ), ι ^ η}, χ e Χ.
Тогда gn(x) монотонно неубывает и стремится к пределу
lim fn(x). Поэтому по теореме Лебега о монотонной сходимости
(утверждение 28.4) имеет место
Ит J gn άμ = \ ( Ит fn) άμ. (29.5)
/ί->Οβ β β /ί->00
Поскольку gn *ζ fn при любом η, το \ gn άμ < \ fn άμ при лю-
Е Ε
бом п. Отсюда и из (29.5) следует (29.4). ■
Утверждение 29.12. (Теорема Лебега о мажорированной
сходимости.) Пусть {fn}—последовательность борелевских
функций на (Ху 38, μ), сходящаяся по мере к /. Предположим, что
существует неотрицательная борелевская функция g, такая, что
150
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
|/«| ^ g п. в. на Ε и g интегрируема на Е. Тогда / интегрируема
на £ и
lim \ίηάμ = \ϊάμ.
Доказательство. Переходя при необходимости к
подпоследовательности, мы можем, используя утверждения 24.17 и 24.18,
предположить, что fn сходится к / в каждой точке. Можно
также предположить, что \fn(x) | ^ g(x) при всех х. Тогда при
всех χ
g(x)-fn(x)>0; g(x) + fn(x)>0.
В силу предыдущего утверждения
Jim \ (g — fn) άμ > J lim (g - /„) άμ = Ug - f) ίμ
/l->00 β β Λ->00 β
Левая часть выписанного неравенства равна \ g άμ — lim \ fn άμ.
в п+°°в
Так как g интегрируема на Ε и |/|^g", |Μ*ζ£, то fn и /
также интегрируемы на Ε и поэтому
lim \ fn άμ < \ f <
Аналогично, применяя лемму Фату к неотрицательным
функциям g + fn, получаем
lim
П->оо β
Комбинируя два последних неравенства, получаем требуемый
результат.
Пример 29.13. Пусть (/?, .$*, L) — пространство с мерой, где
L есть мера Лебега на действительной прямой. В этом
случае вместо \faL употребительна запись \f(x)ax или \fax.
б в в
Положим
. , . [ п, если /г<л:</г+ —,
I 0 в ином случае.
Тогда \ fn (χ) άχ = 1 при всех п. Но fn->0 п. в. (L) при /г->оо.
Таким образом,
lim \ fn άχφ \ (lim /я) d*.
29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ БОРЕЛЕВСКИХ ФУНКЦИЙ 151
Пример показывает, что условие «мажорированное™»
посредством интегрируемой функции g не может быть ослаблено в
утверждении 29.12. Этот пример также показывает, что в лемме
Фату может выполняться строгое неравенство.
Утверждение 29.14. Пусть {fn}—последовательность
неотрицательных борелевских функций на (X, $, μ) и /„ сходится к f
по мере. Если fn и /интегрируемы на Ε и \ίηάμ-+\ίάμ, то
Нт \ΐ/«-η</μ = 0.
Доказательство. Отметим, что (/ — fn)+^f, f интегрируема
на Ε и (/ — /я) + ->0 по мере при п->оо. Следовательно, в силу
утверждения 29.12
Нт \(ϊ-ίη)+άμ = 0, (29.6)
Так как (f - fn) = (f -/»)+ -(/ -/я)" и $ (/_/я) <*μ-► О, to
Ε
Нт \(ϊ-ϊηΓάμ = 0. (29.7)
Складывая (29.6) и (29.7), получаем
Нт \\ϊη-ΐ\άμ = 0.Μ
П + ooJ
Замечание 29.15. Пусть (Xf Jf, μ) есть пространство с σ-κο-
нечной мерой и fn, f — интегрируемые неотрицательные борелев-
ские функции на X. Предположим, что \ / άμ = \ fn άμ == 1 при
всех п. Определим
νη(Ε)=\ϊηάμ, ν(Ε)=\ϊάμ.
Ε Ε
Тогда ν η и ν представляют собой вероятностные меры на $> а
fn и f называются плотностями этих мер относительно меры μ.
Если fn-*f по мере, то из предыдущего утверждения 29.14
следует, что \\fn — fli/μ-^Ο при^->оо. В частности,
K(£)-v(£)|<
для всех Ε е ^. Следовательно,
$ (/»-/)^μ|<5ΐ/η-/|φ
lim sup |vn(£) —v(£)| = 0.
152
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(Более точно,
см. [1], стр. 306.) Итак, сходимость по мере вероятностных
плотностей влечет равномерную сходимость вероятностных мер
на 38.
Упражнение 29.16. Пусть {fn}—последовательность
интегрируемых борелевских функций на пространстве (X, 3St μ) с вполне
конечной мерой μ. Пусть fn^^f п. в. (μ).. Пусть, далее,
любому ε > 0 соответствует δ > 0, такое, что при μ(£) < б
sup
\ίηάμ
< е (29.8)
при всех Ε <^&. Тогда функция / интегрируема относительно μ и
lim [ίηάμ=[ίάμ.
(Свойство, заключенное в формуле (29.8), обычно называется
равномерной абсолютной непрерывностью.)
§ 30. Интегрирование комплекснозначных функций '
Пусть S обозначает комплексную плоскость, a @U{°°} —
расширенную комплексную плоскость. Топология на ©
порождается метрикой d: d(z\t ζ2) = |ζι — z2\ для всех z\, 22^5.
Как обычно, ^g обозначает борелевскую σ-алгебру
подмножеств 6. Расширенной комплексной плоскости будет
соответствовать наименьшая σ-алгебра, содержащая Stz и
одноточечное множество {оо}. Пусть, далее, f — любое борелевское
отображение из пространства с мерой (Xt $t μ) в расширенную
комплексную плоскость. Такое отображение естественно
назвать комплекснозначной борелевской функцией. Если f(x) =
= оо, то положим |f (χ) I = + оо, в ином случае \f(x) | —
обычный модуль комплексной величины.
Комплекснозначная борелевская функция f на (Xt <%> μ)
называется интегрируемой на Ε е $ относительно меры μ, если
\|/|ί/μ< + οο. В таком случае |f(*)|<oo п. в. на Е. При
Ε
этом можно записать f(x) = f\(x)+ if2(x)y где f\(x) и f2(x)
суть действительная и мнимая части f(x) п. в. на Е. Тогда
интеграл от функции f на Ε определяется как
$/έ/μ=$Μμ + /$/2<*μ.
31. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕРОЯТНОСТНОЙ МЕРЫ 153
Заметим, что интегрируемость fx и /г есть следствие того, что
\f\ интегрируемо на Ε и |fiK|/|, IfrKlfl.
Упражнение 30.1. Для любой комплекснозначной борелев-
ской функции /, которая интегрируема на Е9
\ϊάμ\*ζ\\ϊ\άμ.
(Указание: это можно доказать для простых функций, а затем
использовать аппроксимацию.)
Замечание 30.2. Несложно перенести на комплексный
случай замечание 29.4, утверждения 29.5, 29.9, 29.12, а также
упражнения 29.6, 29.7 и 29.8.
§31. Интегрирование относительно
вероятностной меры
Пусть (X, <%> μ) — вероятностное пространство. Борелевские
функции на Ху принимающие действительные значения,
называются случайными величинами. Если / — случайная величина
на X, то μ/-1 есть вероятностная мера на действительной
прямой. Эта мера называется распределением /. Если fu /2, ...
...,/л — случайные величины, то отображение f: #->(fi(*)>
/2(я), ..., fn(x)) является борелевским отображением из X
в Rn. Вероятностная мера μί^1 называется совместным
распределением случайных величин /ь /г, · · ·, /л.
Если / — случайная величина на X и / интегрируема на X
относительно меры μ, то говорят, что существует
математическое ожидание Ef случайной величины f (относительно меры μ),
и записывают Е/= \ / άμ. В силу утверждения 29.9
Εϊ=\ίάμϊ~4ί).
Если φ—борелевская функция на R и Е^(/) существует, то
E*(/)-$*(0^r!(')·
Эти определения очевидным образом распространяются на
комплекснозначные случайные величины.
Утверждение 31.1. Пусть (X, 3$, μ) — вероятностное
пространство. Тогда справедливы следующие свойства математических
ожиданий:
(i) если f — неотрицательная случайная величина, то Ε/^ 0;
154
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(ii) если /ι = /2 п. в., то Ε/ι и Е/2 существуют одновременно
и Ε/ι = Е/2;
(iii) если Ε/ι и Е/2 существуют, то при любых постоянных а
и Ъ существует Ε(α/ι + ί?/2) и равно aEfr + 6Е/2;
(iv) если {fn}—последовательность случайных величин,
IM^g при всех п, Eg существует и fn сходится по
вероятности к /, то Е/ существует и
limE|frt-/| = 0,
П-»оо
НтЕ/„ = Е/.
П-+оо
Доказательство следует прямо из определений. ■
§ 32. Интегралы Римана и Лебега
Сейчас мы установим, что интегрируемость по Риману
влечет интегрируемость относительно меры Лебега и оба интеграла
при этом совпадают.
Пусть [а, Ь] — ограниченный интервал и / — ограниченная
действительная функция на нем. Рассмотрим разбиение [а, Ь\
на η интервалов: а = to < t\ < t2 < ... <tn = b. Положим
M{ = sup f (*);
Af/= sup f(x)t / = 2, 3, ..., n\
*e (</-ι· </]
tnx — inf f (λ:);
λ e= [ίο» *ι]
m,= sup /(λ:), / = 2, 3, ..., λ.
*β ('/-!'*/]
Обозначим через γ разбиение [α, 6] на интервалы [ίο, ^ι]>
(fi, f2]. ..., (//ι-i, ij, и определим
^«-{*г.
если χε^,,ί;], / = 2, 3, ..*, л;
если χ е [/0, М;
γ (χ) = { m>' если x s ^-ь ^' 1 = 2' 3' * * *' П;
\ tnu если х е [ί0, ^].
^=Σή/('/-*/-ι).
/ = 1
S^ и s* называются соответственно верхней и нижней суммами
разбиения γ. Если функция / интегрируема по Риману на
32. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ЛЕБЕГА
155
[а, 6], то существует последовательность разбиений {уп}, п=*
г= 1, 2, 3, ..., такая, что множество точек, определяющих
разбиение уп, возрастает вместе с /г, максимальная длина
интервалов разбиения уп стремится к 0 при л-^оо, S^n9 убывает s*n
возрастает и интеграл Римана от функции / определяется тогда
равенством
ъ
\f(x)dx = HmSv« = lim sV (32Л)
a
Положим Sn = Syn, 5n = 5Y/I. Тогда
Положим
/0W=lim5„W,
fo(x)— Hm sn(x\
rt-»oo
Так Как о/г ^^ f^*Sn, то /°^/^/o. Функции f° и /о являются
борелевскими, и
ί f°dL= lim ( SndL = lim S4
[Λ Λ-*°°[Λ ^
\ f0dL= lim V sndL= lim sV
Ια, ο] [α, ft]
Из (3.21) теперь следует, что
b
5 PdL=\f(x)dx= J /0rfL
[a, Ы a [a, b]
и поэтому
J (/°-fo)^«0.
Таким образом, /°, /, /0 совпадают почти всюду. Иными
словами, функция / измерима относительно ([a, b], Дд, &j, L) и
ъ
а [а, 6]
где 36{at ь] получено пополнением <%[а, ь) относительно меры
Лебега. Кроме того, множество {х: f°(x) = f(x) = f0(x)} является
множеством точек непрерывности f. Оформим полученный
результат в виде утверждения.
156
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Утверждение 32.1. Пусть / интегрируемая по Риману
функция на интервале [а, Ь]. Тогда / интегрируема по Лебегу
(относительно меры Лебега) на [а, Ь] и оба интеграла на [а, Ь]
совпадают. Кроме того, / является непрерывной п. в. (L)
функцией х.
Замечание 32.2. Следует сказать, что существуют
интегрируемые по Лебегу функции, которые неинтегрируемы по
Риману. Например, если А и Аг — всюду плотные борелевские
подмножества [а, 6], то χΑ интегрируема по Лебегу, но неинтегри-
руема по Риману.
§ 33. Теорема представления Рисса
Пусть X — метрическое пространство, и пусть С(Х) —
пространство всех ограниченных действительных непрерывных
функций, определенных на X. Если μ — вероятностная мера на
Ях и /е С(Х), определим -
Λμ(/)-$Μμ.
Тогда Лц будет обладать следующими свойствами:
(i) если />0, то Λμ(/)>0;
(ϋ) Λμ(1)=1, где 1 также обозначает непрерывную
функцию, тождественно равную единице;
(Ш) Λμ (af + bg) = αΛμ (f) + 6Λμ (g), α, 6 e /?, /, * е С (X).
Возникает естественный вопрос: если отображение Л: C(X)~*R
удовлетворяет трем указанным свойствам, то существует ли
такая вероятностная мера μ, что Л = Λμ? Именно этой проблеме
и посвящен настоящий параграф.
Определение 33.1. Отображение Л: C(X)-+R называется
нормированным неотрицательным линейным функционалом, если
(1) Л(1)=1, Л(/)>0 при />0;
(ii) Л (af + bg) = αΛ (f) + 6Л (g) при всех fl,fte«,f,geC (X).
Для любого нормированного неотрицательного линейного
функционала Л, определенного на С(Х), введем
λΛ (С) = inf {Л (/): f е= С (X), f > χ0} (33.1)
для любого замкнутого множества С. Используем в
дальнейшем систему обозначений из § 20.
Утверждение 33.2. Пусть X — метрическое пространство и
Л «г- нормированный неотрицательный линейный функционал на
С(Х). Тогда функция λ\, определенная в (33.1), представляет
33. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РИССА
157
собой гладкий вероятностный объем на замкнутых
подмножествах X (см. определение 20.1).
Доказательство. Из свойства (i) и равенства (33.1)
очевидным образом следует, что 0<λΛ(Ο<1 для всех Се^ и
λΑ{Χ) = 1. Если С,1эС2 и Ср С2е^, то XCl>XC2. Поэтому
Ял (С\) ^ Ял (Сг). Предположим теперь, что С χ и С2 —два
замкнутых множества. Тогда ЗСс,ис,<Хс| + Хс,· Если f >Хс, и £>Хс,>
то / + g>Kc,uc2· Следовательно,
bA(Cil)C2)^A(f + g) = A(f) + A{g).
Вычисляя последовательно инфинум по / и g, удовлетворяющим
требуемым условиям, получаем
*a(CiUC2)^a(Ci) + Xa(C2).
Пусть теперь Си Съ — два непересекающихся замкнутых
множества. В силу утверждения 20.2 существует функция fte
еС(1), такая, что Ο^ΛίζΙ, Λ(λ;) = 0 для всех jceCi,
h(x)= 1 для всех jce С2. Если f е С(Х) и f>XCluc2> то /0~"
""■А)^хс и fh^*%Ci. Следовательно,
Λ (/) = Λ (/ (1 - h)) + A (fh) > λΛ (C{) + λΛ (С2).
Вычисляя инфинум по /, получим
XA(Cl[iC2)>XA(Cl) + XA(C2).
Таким образом, показано, что Ха — вероятностный объем на Φχ.
Теперь докажем гладкость λ\. Пусть е>0, 0 <С γ <С 1 —
произвольные постоянные, и пусть С — фиксированное
замкнутое множество. Согласно определению, можно построить /е
еС(1), такую, что
/>Хс. Λ(Α<λΔ(0) + β. (33.2)
Положим
{х: f (χ) > γ} = GY; {x: f (χ) > γ} = CY.
Так как -L- > %Су, то
Λ(/) = γΛ(//γ)>γλΛ^γ). (33.3)
Из (33.2) и (33.3) следует, что
MCv)<|(MC) + e).
158
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Так как Су= GyzD GyZD С, то
ίηί{λΛ((ϊ), GzdC, G открыто}<-(Лл(С) + е).
Полагая β->0 и γ->1, приходим к выводу о том, что
вероятностный объем λ\ является гладким, что и требовалось
доказать.
Замечание 33.3. В соответствие с утверждением 20.5
вероятностный объем Ял может быть продолжен и при этом
единственным образом до регулярного конечно аддитивного
вероятностного распределения (см. замечание 20.6) на булевой
алгебре ЗГх, порожденной классом &х всех открытых
подмножеств X. Обозначим это распределение через μ. Таким образом,
отправляясь от линейного функционала Л, мы пришли к
булевому вероятностному пространству {Ху &~χ, μ).
Для дальнейшего необходимо представление об
интегрировании на булевом вероятностном пространстве (Χ, &~χ, μ).
Рассмотрим разбиение Φ пространства X на конечное число
непересекающихся множеств F\, ^2> .. · > Fkt принадлежащих
булевой алгебре $Γχ. Для любой ограниченной действительной
функции /, определенной на X, определим верхнюю и нижнюю
суммы
/-ι
где
Λί, = sup {/ (χ), xgeFj},
mI = ini{f(x), x&Fj), j=l, 2 ft.
Будем говорить, что / интегрируема относительно меры μ, если
infS(^) = sups(^), (33.4)
где инфинум и супремум берутся по всем разбиениям, которые
строятся по тому же типу, что и в начале параграфа. Если /
интегрируема, то интегралом \ f d\i называется общее
значение равенства (33.4). Точно так же, как в классической теории
интегрирования, из определения следует, что любая
ограниченная функция /, удовлетворяющая при всех a, b^R условию
f-~l((a, b])&{FXf интегрируема. В частности, интегрируемы все
ограниченные непрерывные функции на X (в самом деле,
множество t~l{{a, й]) = f~l((a, b))[)f-{({b}) представляет собой
33. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РИССА
159
объединение открытого и замкнутого множеств). Легко
проверить справедливость следующих свойств интеграла.
(i) если a, b —действительные постоянные и /, g <=С(А), то
\ (af + bg) άμ = a J / άμ + b J g άμ;
(ϋ) ^/ί/μ>0, если />0 и ft=C(X)\
(Hi) Κ/φ|< sup Ι/(χ) Ι; (ΐψ-1;
(iv) если ifle^, A()B=0, feC(X), то $ /ώμ =
= W Ψ + \ / Ф, где \ / άμ обозначает A %Ef άμ при всех E^{FX>
Читатель может заметить, что если X — интервал [α, β], $Γχ —
булева алгебра всех конечных объединений непересекающихся
интервалов вида [α, α], (а, Ь] (где а и b принимают значения
из [α, β]) и μ — мера Лебега, то определенный выше интеграл
совпадает с интегралом Римана.
Утверждение 33.4. (Теорема представления Рисса.) Пусть
X — метрическое пространство и С(Х)—пространство всех
действительных ограниченных непрерывных функций на X. Пусть
Λ — нормированный неотрицательный линейный функционал на
X. Тогда существует единственное регулярное (конечно
аддитивное) вероятностное распределение μ на булевой алгебре &~Xf
порожденной классом всех открытых подмножеств Ху такое, что
Λ (/) = J / άμ для всех / <= С (X). (33.5)
Обратно, каждое регулярное вероятностное распределение μ на
&~х определяет нормированный неотрицательный линейный
функционал Λ на С(Х) в соответствии с формулой (33.5).
Доказательство. По линейному функционалу Λ посредством
равенства (33.1) мы определяем гладкий вероятностный объем
λ\> а затем строим булево вероятностное пространство
(Ху &~х, μ) так, как указано в замечании 33.3. Докажем теперь
равенство (33.5). Пусть fsC(I), 0</ίζ 1. Для любого
положительного целого числа η положим
Gi = {x: f(x)>i/n}9 г = 0, 1, 2, .♦., п.
Тогда Go^Gi'T) ... :э G„ = 0. Пусть функция ос/,
непрерывная на единичном интервале [0, 1], принимает значение 0 в
интервале 10, ^—— , значение 1 в l-i-, 1 и линейна на I * ~~ , —1.
160
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Положим
fi(x) = (ti(f(x)), *e=J, г=1, 2, ..., п.
Тогда
^М0 + <*2(0+ ... +α„ (/)) = /
и, следовательно,
-£- (Л (*) + /г (*) + · · · + /„ (*)) -/(*).
4-(Л(/1) + Л(/2)+ ... + Л (/„))-Л (f).
Так как ft^%ot и Хо^Хс Для любого замкнутого множества
С cz Git то Д ^ %с и, следовательно,
Л(/,)>Ял(С) = ц(С),
где Ял определена в (33.1). В силу регулярности μ Л(/е·)^
^μ(Οί) при каждом /. Поэтому из (33.6) следует, что
ι=ι ι~\
η |-/г-1 -Ι
>\Σ S ί*Α-Τ»(Οι)= \ϊάμ—1-μ(01)>\ϊάμ-±.
Li=-1 GrGi+i J G, X
При /г-^оо имеем
A(/)>J/d|i (33.7)
для всех feC(X), O^f^l. Если />0 и /sC(i), то
существует положительная постоянная с> такая, что 0 ^ с/ ^ L
В силу неравенства (33.7)
Α(ϊ) = ±Α(αϊ)>±\οίάμ = \ϊάμ.
Если / — произвольный элемент С(Х)> то существует
постоянная Си такая, что /(*) + Ci^O при всех д:. Поэтому
31 теорема Представления рисса
161
Таким образом, неравенство (33.7) справедливо для всех f&
е С(Х). Заменяя / на —/, получаем
-Л(/) = Л(-/)>$(-/)^ = -$/ф,
или, что эквивалентно,
Λ(/)<$Μμ
при всех f^C(X). Это неравенство в сочетании с (33.7) дает
искомое равенство (33.5).
Допустим теперь, что ν —другое регулярное вероятностное
распределение на (Х> £Гх), такое, что для всех f^C(X)
Л
(/) = $№
Пусть С — любое замкнутое множество. Можно указать две
последовательности {Gn} и {Нп} открытых множеств, такие, что
G{zdG2zd ... zdC,
Я1=)#2:э ... =>С,
lim μ (Gn) = μ (С), lim v (Hn) = ν (С).
Введем Vn= Оп(}Нп. Мы видим, что Vn также убывают и
Пт μ (Vп) = μ (С), lim v (Vn) = ν (С). (33.8)
П->оо rt->oo
Выберем теперь последовательность таких непрерывных
функций /я, что 0 <; fn «ζ 1 и
если JisC,
/.«-{£
если л: ψ V,
η·
Это может быть сделано, так как С и V'n — непересекающиеся
замкнутые множества. Имеем
$/„ф=$/„Ф + J /„ф = ц(С)+ J /„ф. (33.9)
с к„-с vn-c
Далее, имеем
J /„ώμ<μ(Κ„-0 = μ(Κη)-μ(0.
В силу (33.8) и (33.9)
lim \ /„ ί/μ = μ (С).
162
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Аналогично,
Hm [fndv = v(C).
Таким образом, для всех замкнутых множеств μ(ί?) = ν(ί?)ί
Вследствие регулярности имеем μ = v. Таким образом,
доказана единственность μ. Обратное утверждение следует из
определения интеграла относительно меры μ. ■
Следствие 33.5. (Теорема представления Рисса для
компактного случая.) Пусть X — компактное метрическое пространство
и С (X)— пространство действительных непрерывных функций
на X. Каждому нормированному неотрицательному линейному
функционалу Л на С(Х) соответствует единственная
вероятностная мера μ на борелевской σ-алгебре 3Sx пространства X,
такая, что для всех f^C(X)
Λ(/)=$Μμ.
Обратно, каждая вероятностная мера на 9Sx определяет
нормированный неотрицательный линейный функционал на С(Х).
Доказательство. Следует непосредственно из утверждений
33.4, 20.8 и того факта, что интеграл от функции / относительно
меры μ, определенный в замечании 33.3, есть не что иное, как
интеграл от непрерывной функции, рассмотренный в § 28 и 29.
Упражнение 33.6. Пусть X — локально компактное
метрическое пространство со второй аксиомой счетности и Cq(X) —
множество всех непрерывных функций с компактным носителем
(т. е. для любой f^Co(X) существует компактное множество
/С, зависящее от f, такое, что /(я) = 0 при всех χ ψ К). Пусть
линейное отображение Λ: Cq(X)-*R таково, что Л(/)^0 при
/ ^ 0. Для любого компактного множества К а Х определим
X(K) = ml{A(f): f>%Kf /е=С0 (*)}."
Тогда λ — компактный объем, при этом λ удовлетворяет
условию гладкости:
λ (/С) = inf {λ(6), G открыто, GzdK и G компактно}.
Тогда существует единственная σ-конечная мера μ на <Ях9
такая, что μ(Κ) = λ(Κ) для всех компактных множеств и
Λ(ί)=\[φ для всех f е С0 {Х).
(Указание: нужно использовать следствие 20.12 и
замечание 20.13.)
33. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РИССА
163
Утверждение 33.4 и следствие 33.5 показывают, что
единственный метод построения неотрицательных линейных
функционалов на С(Х) основан на интегрировании относительно
конечно или счетно аддитивных мер на алгебре множеств,
содержащей класс всех открытых множеств. Остается лишь
ответить на вопрос: как устроены линейные функционалы, не
являющиеся неотрицательными. Мы докажем здесь, что любой
«ограниченный» линейный функционал может быть представлен
как разность двух неотрицательных линейных функционалов.
Определение 33.7. Пусть А(Х)—множество ограниченных
действительных функций на множестве X, удовлетворяющих
следующим условиям:
(i) если /, g^A{X) и α, бе/?, то функции af + bg, fg и
max (/, g) принадлежат А (X);
(ii) если f g Л (I) и функция -г ограничена, то -γ^Α(Χ);
(iii) функция, тождественно равная единице, принадлежит
А(Х).
Будем называть А (X) кольцом функций над X.
Замечание 33.8. В качестве примеров кольца функций
укажем следующие:
(i) пространство С(Х) всех ограниченных действительных
непрерывных функций на топологическом пространстве Х\
(ii) пространство всех ограниченных действительных боре-
левских функций на произвольном борелевском пространстве;
(iii) пространство всех действительных простых функций на
произвольном борелевском пространстве.
Определение 33.9. Пусть А (X) — кольцо функций над X.
Отображение Λ: A(X)-*R называется ограниченным линейным
функционалом, если (i) Λ(α/ + bg) = aA(f) + bA(g) при всех
α, b e R и f, g e A (X); (ii) существует такая постоянная α >> О,
Фго |Λ(/)|^α||/|| при всех / е А (X), где Ц/1|= sup | / (лг) |. Вели-
хг X
чина || Λ ||, определяемая как
||A|| = inf{a: \A(f) |<α||/|| при всех f еЛ(1)},
называется нормой Λ, а величина ||/||—нормой /. Имеем
|Λ(/)|<||Λ||||/||.
Пусть A+(X) = {f: /еЛ(Х), /^0}. Линейный функционал
Λ называется неотрицательным, если Л(/)^0 при всех /^
еД+(Х), Любому линейному функционалу Λ поставим
164
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
в соответствие функционал |Л| следующим образом:
IA|(f)-eup{|AW| + |A(i|))|: *+'♦-/; ф,Ъ^А+(Х)},
если fe*A+(X), (33.10)
|Л|(/) = |Л|(/+) + |Л|(Г), если f&A(X)t (33.11)
где
/+ = max (/, 0), Г = max (— f9 0). (33.12)
Положим
A+(f)as|AK/) + A(»t (ззлз)
А-(У)-|А|ОТ2-Аф· (33·14)
Тогда |Λ|, Λ+ и А~ называются соответственно вариацией,
положительной частью и отрицательной частью Л.
Утверждение 33.10. Пусть Л (X) —кольцо функций над X,
и пусть Λ — ограниченный линейный функционал на нем. Тогда
|А|, Λ+ и А- являются неотрицательными линейными
функционалами на А(Х) и Λ = Λ+ — Λ-, |Λ| = Λ+ + Λ-. Кроме
того, Λ+(/)^Λ(/) для всех /еЛ+(Х). Если At—такой
неотрицательный линейный функционал, что Ai(f)^A(/) для всех
f<=A+(X), то Ai(/)> A+(f) при всех feA+(X).
Доказательство. В силу условия (i) из определения 33.7 /+
и f-t заданные равенствами (33.12), принадлежат А+(Х), Из
равенств (33.10) и (33.11) следует, что
|А|(/)<4||А||||Л1 при всех f&A(X);
\A\(cf) = c\A\(f), если csi? и f(3A(X).
Пусть f,ge А+(Х) и f + g^c>0. Пусть фи ф2, фг, Фа θ
& Л+(Х), ^ι + ф2 = /, фъ + ф*=* g. Тогда
Σιλ(*,)|-|α( Σ *Λ| + |λ( Σ *Λ|<ΙΑ|<γ+*).
Вычисляя супремум по фи 02, а затем по фъ, фь получаем
|A|(f) + |A|te)<|A|(f + ff). (33.15)
При любом 8>0 выберем ф> -феЛ+(Х) так, что ф-\-$ =
= f + g и
|Λ|(/+*)«|Α(*)| + |Α(ψ)| + β. (33.16)
33. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РИССА
165
Так как f + g^c>0, то в силу условий (i) и (и)
определения 33.7 имеем
f + g f|*' (33.17)
a_ Фё | №
g~ f + g ^ f + g
ш*>\<\*ш\+\аыь)\.
1А№)1<|аШ| + |лШ1· '
Из (33.16), (33.17) и определения |Л) получаем
|A|(/ + i)<e+|A|(f) + !A|(ff).
Отсюда в силу произвольности е и из (33.15) следует, что
|Л|(/ + £) = |Л|ф + |Л|(£). (33.18)
Пусть теперь f, gmA+(X) произвольны. Тогда 1+/^1> 1+,
+ / + g^ 1 и по формуле (33.18)
ΙΛΚ1+/+*)-! Л|(1) + | A|(f+ $)-
-|А|(1+Л + 1Л|(йг) = |Л|(1) + |А|(/) + |А|(г).
Так как |Л| принимает только конечные значения, то
равенство (33.18) справедливо при f, geA+(I). Если f и g
произвольны, то
f + g-(f + g)+-(f+g)-=f+ + g+-r-g-
и, следовательно,
(f + g)+ + r + g~=(f + gr + f+ + g+'
Так как обе части равенства представляют собой суммы
элементов А+(Х)> то из равенства (33.11) следует, что |Л| —
линейный функционал. Следовательно, Л+ и Л"", определенные
формулами (33.13) и (33.14), также являются линейными
функционалами. Если / еЛ+(1), то (33.10) влечет за собой
|A|(/»|A(f)|.
Поэтому Л+ и Л~— неотрицательные линейные функционалы.
Производя сложение, а затем вычитание выражений (33.13) и
(33.14), получаем
|Л| = Л+ + Л~ и Л = Л+-Л~.
Для доказательства последней части утверждения
рассмотрим любой неотрицательный линейный функционал Ль такой,
166
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
что Λι(/)^Λ(/) для всех f^A+(X). Пусть ε > 0 произвольно
и f^A+(X). Выберем такие функции <£, ψ в A+(X)f что
# + ♦ = /, А(#)>0, Λ(ψ)<0,
|Л|(/)<Л(«-Л(1Й + в.
Тогда
A-h(/)=lAl(f) + A(f) ^{Affl-AW + e + Affl + A^b
-A(« + |<A1»)+f<A1(0) + A1(i|)) + -|=A1(/) + f.
Так как ε произвольно, то Λ+(/)^Λι(/) для всех f&A+(X).M
Упражнение 33.11. Пусть А*(Х) обозначает пространство
всех ограниченных линейных функционалов на кольце функций
А(Х). Если Αι, А2еЛ*(1) и Αι —Л2 — неотрицательный
линейный функционал, то будем писать Αι ^ Л2. Положим
Λ1νΛ2 = Λι + (Λ2-Λι)+,
Aj Л Л2 = А{ — (Л! — Л2)+.
Тогда (i) Αχ V Л2 > Ль Л2; если Л > А{ и Л > Л2, то Л > Aj V Л2;
(ii) Л! Л Л2 < Ль Л2; если А < Ai и Д <Л2, то Л<Л! л Л2. (Иными
словами, AjVA2 есть точная верхняя грань, a AjAA2 есть
точная нижняя грань Л! и Л2 при отношении порядка >.)
Замечание 33.12. Пусть (Х,$)—борелевское пространство,
и пусть отображение μ: ,^-^[0, оо] обладает следующими
свойствами:
(Ι) 8ΐΐρ|μ(£)|<οο;
оо
(ii) если £ = [} Eif где множества Еь Е2, ♦ .. попарно не
пересекаются, то μ(£)= £ μ (£,·), где ряд справа сходится аб-
г = 1
солютно.
Тогда μ называется конечной знакопеременной мерой на (Х,Ш).
Для любого Ε ^ $ определим
|μ|(£) = 8ΐιρ{|μ04)| + |μ(β)|: ДВе1, А(}В=0, А[}В = Е}\
μ+(Ε)=^ΗΕ)2+»(Ε),
μ-(£)=1μ|(£)~μ(*).
34 НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
167
Незначительно изменяя доказательство утверждения 33.10,
можно показать, что |μ|, μ+ и μ-— конечные меры и μ=μ+ —
— μ-, |μ| = μ+ + μ~· Для двух конечных знакопеременных мер
μ! и μ2 определим
μι νμ2 = μι + (μ2—μι)+,
.μ1Λμ2==μ1—(μι—μ2)+.
Будем считать, что μι ^ μ2, если μι — μ2 является мерой.
Тогда отношение ^ задает частичный порядок. Имеют место
соотношения: (ι) μι V μ2 ^ μι, μ2; если μ ^ μ,, /=1, 2, то
μ>μινμ2; (ϋ) μιΛμ2<μι, μ2; если μ ^ μ/, ί=1, 2, το
μ <Ι μι Λ μ2. Таким образом, μ{ ν μ2 есть точная верхняя грань,
а μι Λ μ2 есть точная нижняя грань μι и μ2 при соотношении
порядка ^5.
Упражнение 33.13. Для любой конечной знакопеременной
меры μ на борелевском пространстве (Х,$) введем ||μ|| =
Ημ|(Χ). Тогда 1М1 = МЫ1, ΙΙμι + μ2ΙΚΙΙμιΙΙ + ΙΙμ2ΙΙ и ||μ||=0
в том и только том случае, если μ = 0. Если
{μ„}—последовательность конечных знакопеременных мер, таких, что lim ||μ^—
— μ„|| = 0, то существует мера μ, такая, что ||μ„ — μ||->0.
(Иными словами, пространство всех конечных
знакопеременных мер является полным нормированным линейным
пространством, которое обычно называют банаховым пространством.
Это название дано в честь польского математика С. Банаха,
одного из создателей современного функционального анализа.)
Замечание 33.14. Подводя общую черту под замечанием ЗЗЛ2
и упражнением 33.13, можно сказать, что пространство всех
конечных знакопеременных мер на борелевском пространстве
(X, Ш) есть банахова структура. Под структурой понимается
частично упорядоченное множество с отношением порядка ^,
такое, что любые два элемента имеют единственный максимум
и единственный минимум при ^.
§ 34. Некоторые интегральные неравенства
В этом параграфе будет доказан ряд фундаментальных
неравенств, которые приводят к построению многих
функциональных пространств. Эти пространства составляют основу
современного функционального анализа. >
Утверждение 34.1. Если O^p^l, q=\—ρ и χ > 0, то
ерх ^ рех + q. Если ρ > 0, то равенство здесь возможно тогда
и только тогда, когда χ = 0.
168
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Доказательство. Имеем
еР*=1+рх + р*^+ ... <
<1+Р* + />4+ ··· +Р^+ ··· <? + ***·■
Утверждение 34.2. Если α ^ О, 6^0, 0<а<1, а + β =
= 1, то
αα^<αα + β&. (34.1)
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = Ь.
Доказательство. Если а, Ъ или а — Ь равны нулю, то
неравенство тривиально. Поэтому можно предположить, что а >
> Ъ > 0. Поделив обе части неравенства (34.1) на 6,
соображаем, что достаточно доказать неравенство
(-*)·<·φ+*
Полагая в предыдущем утверждении # = log-r-, ρ = α, ^ = β,
завершаем доказательство.·
Утверждение 34.3. (Неравенство Гёльдера.) Пусть р>1,
q> 1, Ь— = 1. Пусть далее, (Χ, ^, μ) есть пространство с
σ-конечной мерой, а / и g — комплексные борелевские функции,
такие, что
Тогда fg интегрируема на X и
\\!8а»\<(\\!\рацУ"'(\\дГс1»)1"'. (34.2)
Доказательство. Введем
ΙΙ/ΙΙ„ = (5ΐ/Ιρ<*μ)1/Ρ. (34.3)
№!!, = ($ Ι*Νμ)"' (34.4)
и положим в неравенстве (34.1)
Получим
34. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
169
Интегрируя обе части относительно μ, получим неравенство
■<1,
\lf\\p\\gl\g
которое сильнее, чем (34.2).■
Замечание 34.4. (Неравенство Шварца.) Положим ρ = q =
= 2 в неравенстве Гёльдера и заменим g на ее комплексно
сопряженную g. Тогда
|$/£ф|<11Ш№
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда g — cf для
некоторой постоянной с, если ||/U2< °°> Wgh < о°.
Утверждение 34.5. Пусть (X, 3$, μ) есть пространство с σ-κο-
нечной мерой, и пусть /, g — комплексные борелевские
функции на X, такие, что ||/||р < оо, \\g\\p < оо (см. (34.3)) при
некотором ρ > 0. Тогда ||/ + g\\p < оо.
Доказательство. Имеем |/ + g| ^ Ι/Ί + Ιδί < 2max(j/|, \g\).
Следовательно, \f + g\t> < ^maxdfl", \g\pX&(\f\p + \g\p).
Поэтому |/ + g"|/? интегрируема, и это доказывает
утверждение. ■
Определение 34.6. Пусть (X, <%, μ) есть пространство с σ-κο-
нечной мерой. Пространство £ρ(μ) определено при 0 < ρ < оо
равенством
£» = {f: $1ЛР4К°°}.
где / обозначает класс эквивалентности комплекснозначных
функций относительно меры μ. Если ρ = оо, то
^00(μ) = {ί: ess sup I f |< оо}.
Для любой /^ί,ρ(μ) ее норма \\f\\p определяется равенством
(34.3), если 1 s^ ρ < оо. В ином случае [| / Ц^ = ess sup | /1.
Упражнение 34.7. Если /^Δι(μ), £е£«>(ц), то
ll/fflli<Ofllillil..
Утверждение 34.8. (Неравенство Минковского.) Пусть р^ 1.
Тогда для любых /,geLp(μ)
ii/+giip<imip+iigiip. (34.5)
170 ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ч Доказательство. Если ρ = 1 или ρ = оо, то доказательство
тривиально. В противном случае имеем
\\f + g\Pdμ^\\f\\f + gΓldμ'+\\g\\f + gΓldμ.(г4.Q)
Пусть q= ^ t . Тогда —|—= 1. В силу утверждения 34.5
/> g и / + g принадлежат Lp(\i). Применяя далее неравенство
Гёльдера к парам функций |/|, |/ + g|p_1 и \g\, \f + g\p~\
получим из неравенства (34.6)
Ίι/+^ιι;=5ι/+^ιρ^μ<ιι/ιιριι/+§ΐ!Γ+ιι^ιιΡιι/+^ιΓ·
А отсюда следует неравенство (34.5).■
Следствие 34.9. При р^ 1, £ρ(μ) есть векторное
пространство с нормой ||· ||р, которая удовлетворяет условиям:
(0 II f lip = 0 тогда и только тогда, когда / = 0;
00 ||с/||р = |с|И/11р для любой постоянной с;
(Ш) ll/ + ffllP<llfl|p + llffllp.
Иными словами, Lp(\jl) есть нормированное линейное
пространство при любом ρ ^ 1.
Утверждение 34.10. (Теорема Рисса — Фишера.) Пусть
(X, &, μ) есть пространство с σ-конечной мерой. Пусть /яе
είρ(μ), п= 1, 2, ... и р^£ 1. Если lim ||/w — f„ ||p= 0 при
m, n->oo
rt-^-oo, то существует функция /^Ζ,ρ(μ), такая, что \\fn — /||р-И)
при /г->-оо.
Доказательство. В силу неравенства Минковского rf(/, g") ==
= 11/ — glip является метрикой в £ρ(μ). В этой4 метрике {fn}
есть последовательность Коши. Поэтому для доказательства
утверждения достаточно показать, что подпоследовательность
{fn} сходится к некоторому пределу. Переходя при
необходимости к подпоследовательности, можно без ограничения
общности допустить, что
llf»-fii+illP<^r. л=1, 2, ... .
Используя неравенство Минковского, получаем
1ςι/*-/*+ι| <Σιι/*-/*+ιΐ|ρ<ι.
IU-i Up k=\
Определим
оо
g= Σ i /а — i-
34. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
171
lim
Я->оо
η
\Z\h
lft-1
"" fk+1 I
По теореме о монотонной сходимости
Поэтому функция g конечна п. в. (μ). Следовательно, ряд
оо
Σ (/«— fn-i)» гДе fo = 0, сходится абсолютно п. в. (μ). При
этом сумма η членов этого ряда мажорируется функцией |fi| +
+ g, которая является элементом Lp(\x). Однако сумма η
членов этого ряда в точности равна /я. Полагая теперь lim fn = f
tl->oo
п.в. (μ), по теореме Лебега о мажорированной сходимости
получаем lim \\fn — f\\p = 0. Доказательство закончено в случае
р < оо. Случай ρ = оо остается читателю в качестве
упражнения.
Замечание 34.11. Из следствия 34.9 и теоремы Рисса —
Фишера вытекает, что Lp([\) является полным нормированным
линейным пространством или банаховым пространством с
нормой ||.||р.
Упражнение 34.12. Если σ-алгебра 38 порождена счетным
семейством множеств S, то £Ρ(μ) есть сепарабельное
метрическое пространство с метрикой d, заданной равенством d(lg) =
= \\f — g\\p, f, g^ ίρ(μ). (Указания: (i) множество простых
функций плотно в Lp(\i)\ (ii) множество простых функций с
рациональными значениями плотно в Lp{\i)\ (Hi) булева алгебра,
порожденная <g\ счетна; (iv) утверждение 18.7.)
Утверждение 34.13. Если μ — вероятностная мера и /е
е £ρ(μ) при некотором ρ > 1, то f ^Lp (μ) для любого ρ,, 1 ^
<ρι<ρ, и imipt<imi,.
Доказательство. Поскольку / е Lp (μ), то | f |pl <= L± (μ) и
Pi
функция, тождественно равная 1, принадлежит Lp>(\\) при любом
р'^0. Рассматривая функции I f Г и 1 как элементы
пространств L_p_{\jl) и L ρ (μ) соответственно, применяем к этим
р\ Р-Р\
функциям неравенство Гёльдера и получаем
$iff^<(Smp#)ir
Возводя обе части неравенства в степень, приходим к
искомому результату.
172
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Утверждение 34.14. (Неравенство Чебышева.) Пусть /е
е £/?(μ), гДе Ρ ^ 1· Тогда для любого а > О
μ{*:|/(Α0Ι>α}<(^)Ρ.
Доказательство. Имеем
\\ϊ\Ράμ> \ \ί\ράμ>
{x:\f(x)\>a}
>αρ J άμ = αρμ{χ: |/(д:)|>а}.И
{χ: \f(x)\ >a]
Определение 34.15. Пусть (X, <%, μ)—вероятностное
пространство. Семейство случайных величин {/а} со значениями
из метрического пространства У называется семейством
взаимно независимых случайных величин, если для любого
конечного числа а/, скажем αϊ, с&2, ..., ccfe, и борелевских
множеств Е\9 Яг, ..., Ek из X события f~l (Ει), i = 1, 2, ..., k, вза-
i
имно независимы, т. е.
"(Λ'ΐ и)-о" ('·>■»>
Упражнение 34.16. Если {/а}—последовательность взаимно
независимых случайных величин на вероятностном
пространстве (Ху &у μ) со значениями в метрическом пространстве У и
{φα}—семейство борелевских отображений из У в другое
метрическое пространство Ζ, то {^α°/α} есть семейство взаимно
независимых случайных величин.
Упражнение 34.17. Если fu /г, ·.., fk — взаимно независимые
действительные (или комплексные) случайные величины на
вероятностном пространстве (Χ, ^, μ) и существуют
математические ожидания Е//, /= 1, 2, ..., k> то Е^/г ... f* существует
и равно E/vEfr .♦. Ε/*. (Указание: достаточно доказать это
для двух случайных величин. Поскольку это равенство
справедливо для простых случайных величин, оно выполняется для
неотрицательных случайных величин. Так как любая случайная
величина может быть расщеплена на положительную и
отрицательную части, то общий случай сводится к предыдущему.)
Определение 34.18. Пусть (Xf <%> μ) — вероятностное
пространство и /ь Ну ···» h — комплекснозначные случайные величины.
Пусть η — неотрицательные целые числа при i= 1, 2, ..., k и
r = (rb г2, ..., rk)'.
34. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
173
Выражение Ef[xfr22... frkk (если оно существует) называется г-м
моментом случайного вектора
f = (/ь /г> · · ·> ikY-
Если f\, /2^Ζ,2(μ), то по неравенству Шварца и
утверждению 34.13 Efif2, Е/ь Ef2 существуют и величина -
cov(/lf /2) = E/If2-E/1Ef2
называется ковариацией между f\ и /2. Если f\ = /2 = /, то
cov(f»/)= E|/|2 — |Е/|2 называется дисперсией / и обозначается
V(/). (Отметим, что cov(/b /2) = E(fc — Ε/ι) (/2— Ε/2). В
частности, V(/)^0. V(/) = 0 тогда и только тогда, когда / есть
постоянная величина п. в.)
Упражнение 34.19. Пусть с\, c2i ..., сп — постоянные и fu
f2, ..., /neL2 (μ) — комплекснозначные случайные величины.
Тогда
V (Cxfi + C2f2 + . . . + Cnfn) = Σ Cfii COV (fu ff).
1.1
Ковариационная матрица ((σ*/)) с элементами ση = cov(fi, //)
положительно полуопределена. Если ковариационная матрица
вырождена, то существуют постоянные с> Си с2, ..., сПу такие,
что
cJi + c2f2+ ... +cjn = c п.-в. (μ).
Замечание 34.20. Если /, g—комплекснозначные случайные
величины в £2(μ), то (V(/))l/2 называется стандартным
отклонением f и обозначается σ(/). Величина
соу (f, g)
r(/,*)·
o(f)a(g)
называется коэффициентом корреляции между f и g. Из
неравенства Шварца следует, что |г(/, g)|^l, причем равенство
достигается тогда и только тогда, когда существуют такие
постоянные α, β, чтЪ / = α£ + β п.в. (μ). Таким образом,
коэффициент корреляции может быть использован как мера
«линейной зависимости» одной случайной величины от другой.
Упражнение 34.21. (Неравенство Колмогорова.) Пусть
(X, $, μ) — вероятностное пространство, и пусть, далее, fu- /2, ...
..., fn — взаимно независимые действительные случайные
величины cEfi = mnV(fi) = o2ii /=1,2, ...,/ι. Если Sk=fx + f2+...
-.-+fk,Mk = m{ + m2+...+mkf v\ = o\ + o\+ .. ·! + <& k —
— 1, 2, ..., n, то
μ{'5*~ **'<*.*-1.2 «}>1-
Г
174
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(Указание: используйте без изменений доказательство
утверждения 11.3.)
Упражнение 34.22. Докажите утверждение 11.4 и следствия
11.5 и 11.6 для действительных случайных величин,
определенных на вероятностном пространстве (Χ, ^, μ) (в свое время эти
утверждения были доказаны для простых случайных величин).
В результате будет доказан усиленный закон больших чисел:
если /ь f2, ... — последовательность независимых
действительных случайных величин на (X, 38, μ), таких, что
Ε/^m,, ν(/,) = σ? и Σ *"Ч < °°>
/5=1
ТО
lim h+h+ - +Ь-<"" + '"»+ - + ""> =о п. в. (μ).
П-»оо П
В частности, если Е/,· = т, V(/,) = a2 при всех i, то
lim ft + ft+ "- + Ь =m п. в. (μ).
η->οο
Докажем теперь неравенство, включающее интегралы от
выпуклых функций. Это неравенство широко используется во
многих задачах теории вероятностей и математической статистики.
Введем сначала несколько определений.
Определение 34.23. Множество EaRk называется
выпуклым, если px + qy^E всякий раз, когда х, у^Е, O^p^l,
Οίζ^^Ξΐ» p + q=\. Действительная функция φ,
определенная на Е, называется выпуклой, если
φ (рх + qy) < рф (х) + qφ (у)
при всех х,уе£,0<р,?^ 1, р + q = 1.
Упражнение 34.24. Если Ε — открытый интервал в R и ф —
действительная, дважды дифференцируемая функция с Ф"(х)^
^ 0 при всех χ^Ε,τοφ выпукла на Е.
Упражнение 34.25. Если Ε — открытое выпуклое
подмножество Rk и φ — действительная, дважды дифференцируемая
функция с непрерывными производными второго порядка на £ и
(&Х&)-матрица ((-=—g—J J положительно полуопределена на
Е, то φ выпукла на Е. (Указание: используйте разложение
Тейлора вплоть до члена со второй степенью.)
Утверждение 34.26. Пусть φ — действительная выпуклая
функция на выпуклом множестве EczRk. Пусть pi^O, ί=1,
34. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
175
2, ..., /г, Σ pi = 1 и χ' е £, i = 1, 2, ..., п. Тогда
*ίΣΡίΧ')<Σ^(χ'). (34.7)
Доказательство. Без ограничения общности можно
предположить, что pi > 0 при всех /. Если η = 2, то неравенство
(34.7) следует из определения выпуклости. Докажем теперь
неравенство (34.7) для произвольного η в предположении, что
оно выполняется вплоть до η— 1. Имеем
Используя индукцию, получаем
+ р^ (х") < £ р# (хг) + рпф (х"). Ш
i = \
Утверждение 34.27. Пусть К cz Rk — компактное выпуклое
множество и φ — действительная непрерывная выпуклая
функция на К. Если μ—вероятностная мера на борелевских
подмножествах К, то
где \χί/μ есть вектор-столбец, г'-я координата которого, равна
к
\Xid\i, i— 1, 2, ..., k.
к
Доказательство. Поскольку множество К компактно и
выпукло, то отсюда следует, что \ χ άμ е К для каждой вероят*
к
ностной меры μ. Из непрерывности φ следует ее равномерная
непрерывность. Пусть ε > 0 произвольно. Тогда существует
такое δ > 0, что
| ^ (х) — ^ (у) К ε, если ||х-у||<б, х, у €= К,
176
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
где || χ|| = ( Σ χ\V/2 (обычная евклидова норма). Разобьем К
на попарно непересекающиеся борелевские множества £/, / =
= 1, 2, ..., /г, такие, что /С= Μ ε* и Диаметр (£/) < δ. Пусть
х' е £/, /=1,2, ..., /г, — η точек. Тогда
\φ{χ)άμ-Σφ(*?)μ(Ε,)\<Σ \\ф(х)-4>(х')№(х)<
К I I / Ef
<β2)μ(£/)-β. (34.8)
Далее
Ιί
/ II / Ef i
Поэтому
\φ^χάμ\-φίΥίμ(Εί)χίλ\<ε. (34.9)
Из неравенств (34.8), (34.9) и утверждения 34.26 получаем
φ(\χάμ\<Β + φΓΣμ(Ε,)χΐ\<
<Β+^φ(χί)μ(Εί)^2Β+\φ(χ)άμ.
i К
В силу произвольности ε доказательство на этом
заканчивается. ■
Утверждение 34.28. (Неравенство Иенсена.) Пусть EaRk —
выпуклое множество, представимое в виде Ε« |J Κι, где К\ с:
i
сг/Сгс: ... есть возрастающая последовательность компактных
выпуклых множеств. Пусть μ—вероятностная мера на борелев-
чжих подмножествах £, такая, что \ ||χ||ί/μ < оо. Если φ —
действительная непрерывная выпуклая функция на Ε и φ
интегрируема относительно μ, то
φ(\χάμλ<\φ(χ)άμ.
>Qx4i)<j
34. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 177
Доказательство. Мы видим, что Ит μ (/Сл) = μ (£) = 1. Из
rt-»oo
условия интегрируемости φ следует, что
К С
,im η IK ϊ = \Х^»
. ^ Ψ (χ) <ίμ
Поэтому в силу утверждения 34.27 и непрерывности φ
φί\χάμ\ = limj Γ(μ (Kn))~l J X άμ\ <
< lim (μ (Κη)Γ1 \Φ (Χ) αμ - U (Χ) <ίμ, ■
Замечание 34.29. Пусть EaRk — выпуклое множество вида
[JKiy где {Кп}—возрастающая последовательность компактных
i
выпуклых множеств. Пусть φ — действительная непрерывная
выпуклая функция на Е. Пусть (Xf<%tP) — вероятностное
пространство и /ь /г, ..., fk — действительные случайные величины
нд X, такие, что отображение
х^Пх)~иг(х), h(x),.... fkMY
принимает значения в Е. Если E|^(f)|<oo и E||f||<oo, где
||ί|| = (Σ/?)1/2, то
#(Ef)<E*(f), (34.10)
где Ef есть вектор-столбец, /-я координата которого равна Eft.
Это заключение следует непосредственно из предыдущего
утверждения, если положить Pi~l = μ и использовать
утверждение 29.9. Неравенство Иенсена для выпуклых функций часто
используется в приложениях в форме (34.10).
Следствие 34.30. Если φ — действительная функция на
интервале (а, Ь), такая, что Ф"(х)^0 и ф" непрерывна, то
#(Efl<E#(f)
Для любой случайной величины /, определенной на
вероятностном пространстве (Х> 3&> Р) и принимающей значения из
интервала (а, Ь)Л
178
ГЛ. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Замечание 34.31. Сейчас будет показано, что любая
выпуклая функция, определенная на открытом выпуклом
подмножестве Rk, непрерывна. Тогда можно в утверждении 34.28 и
замечании 34.29 опустить предположение о непрерывности ф, если
Ε — открытое выпуклое подмножество Rk.
Утверждение 34.32. Пусть f — монотонно неубывающая
выпуклая функция, определенная на интервале [а, й). Тогда
Нт/(*) = /(а).
*-*оо
Доказательство. Используя тождественное равенство
у — χ , χ — а . .
χ = а Н у, а <х <у,
у — а х у — а *" *"
и выпуклость функции /, получаем
Поэтому
f(x)-f(a) < f(y)-Mfl) ш
χ — а "^ у — а
Если f(x)-&f(a) при χ->·α, то получаем, что f(y) — Да)=оо.
Это противоречит условию, и, следовательно, доказательство
завершается.·
Утверждение 34.33. Пусть φ— действительная выпуклая
функция на открытом выпуклом множестве G cz Rky такая, что
φ ограничена на ограниченных множествах. Если
{хп}—последовательность точек из G, таких, что хл->х при п^~оо и
xeG,to
lim^(xn)<<Mx). (34.11)
tt-»oo
Доказательство. Рассмотрим замкнутый шар S(x, р) =
=:{у: Ну — xll5^ р} с центром χ и радиусом р, где
||·||—евклидова норма. Так как б_открыто и xg G, то существует
постоянная а > 0, такая, что S(x, p)cz G при всех 0 ^ ρ < а. Положим
/(р)= sup{0(y), yG5(x,p)}. Так как ф выпукла, то
/(P) = sup{^(y), ||у-х|| = р}
(т. е. супремум по всем точкам замкнутого шара равен
супремуму, достигаемому на его границе). Далее, функция /(р)
монотонно возрастает на [0, а) и выпукла^ Действительно, если
О ^ pi < ρ < α, то любая точка у шара S(x, ρ) имеет вид ρζ -{-у
к+ ^η, где ξ е 5{χ, ρ!), η ^ 5 (х, р2). Следовательно,
Φ (У) < рФ (I) + ЯФ (Л) < pf (Pi) + qf (p2).
34. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
179
Взяв супремум-по у, получим
f(p)<pf<Pi) + <7f(p2).
В силу предыдущего утверждения lim f (ρ) = / (0) = φ (χ). Οτ-
ρ-»0
сюда следует неравенство (34.11).И
Утверждение 34.34. Пусть 0—-действительная выпуклая
функция на открытом выпуклом множестве 5 е: /?*, причем
φ ограничена на ограниченных множествах. Тогда φ
непрерывна.
Доказательство. Пусть xgG,h пусть хпе G, lim xn = x и
П->оо
lirti φ (χη) < Φ (χ). Тогда без ограничения общности можно
предположить, что существует такая постоянная а > 0, что при
всех η
ф(хп)<ф(х)-а.
Так как G открыто, то можно выбрать точку уп на прямой,
соединяющей точки χ и хя, так что ||х — γ„|| = γ > 0 и yrt e G, где
γ > 0 — подходящая постоянная. Тогда
Цх„-х|) . 11х-уд11 _
Х~\\*п-Уп\\Уп^ \\Хп~Уп\\ Хп'
Имеем
Следовательно,
а<ф(х)-ф (х„) < „^Ty'l, [* (у„) - 4> (х„)]·
Правая часть неравенства стремится к нулю при η->·οο. Это
приводит к противоречию. Следовательно, из утверждения 34.33
вытекает выпуклость ф. Ш
Глава V
МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
§ 35. Переходные меры и теорема Фубини
В этом параграфе будет исследована проблема построения
мер на произведениях пространств с помощью мер, которые
называются «переходными мерами». Произведения мер
оказываются при этом частными случаями такой конструкции. Кроме
того, будет показано, что интегрирование на произведении
пространств сводится к последовательному интегрированию по
маргинальным пространствам. В том случае, когда переходные
меры являются переходными вероятностными мерами, они
приобретают особенную практическую ценность, составляя основу
для изучения марковских процессов.
Определение 35.1. Пусть (Xi> &), ί=1, 2,— борелевские
пространства. Рассмотрим борелевское пространство (X, $) и
борелевское отображение f из (Х\ X Х2у &\ X ^г) в (Χ>ΰ8),
которое будем называть борелевским отображением пары
переменных (х\уХ2)у Xi^Xiy i= l, 2. Если X = R (или X есть
расширенная действительная прямая) и 3$ — соответствующая бо-
релевская σ-алгебра, то / называют борелевской функцией двух
переменных (х\,х2). Для любого фиксированного значения
х\ е Х\ определим отображение fXl из Х2 в X равенством
f4*2) = f(*l> *2), *2<Ξ*2.
Аналогично, для любого фиксированного х2&Х2
f* и fXi называются сечениями отображения f в точках хх и х2
соответственно. Если Ε<ζ:ΧχΥ,χ2, то введем обозначения ΕΧι
и EXt для множеств
EXl = {x2:(xu лг2)€=£},
EXi = {xi:(xu X2)e~E).
EXl и EXi называются сечениями множества Ε в точках Х\ и х2
соответственно.
35. ПЕРЕХОДНЫЕ МЕРЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ
181
Упражнение 35.2. Сечения подмножеств пространства Х\ X
ХХ2 удовлетворяют следующим свойствам:
0) ( υ Ε,)*1 = U E?i ОИ) (ЕТ = (**')'?
(И) (Q £,)*'= Qe?; (iv)5#-XB*.
Утверждение 35.3. Пусть /—борелевское отображение двух
переменных из (Х\ХХ2, «$1X^2) в борелевское пространство
(Х,3$). Тогда сечение £* есть борелевское отображение из
(Х2,$2) в (X, J?). В частности, если Ε^&χΧ#2, то сечение £*'
принадлежит 3§2.
Доказательство, Для любого В czX имеем
Чх*Гг (В)= %г1 (в)β *[г W-
Поэтому для доказательства измеримости fXi достаточно
показать, что множество ЕХх измеримо, когда Ε ^$ХХ<%2. Положим
& = {Е : Яе^Х4 £*'<==$2 Для каждого Χχ^Χχ)
(см. замечание 13.10). Если £„£^и множества ΖΓΛ возрастают
или убывают к Е, то £„' соответственно возрастают или
убывают к Е*1 при каждом ^е^, Следовательно, SB —
монотонный класс. Если Ε = ΒχΧ В2у В ι е Ли * = 1, 2, то
£*ι β ί Вз ПРИ ** S Я|»
I 0 при α;! §έ Β1β
Поэтому каждый борелевский прямоугольник ΒχΧΒ2
принадлежит S, и, следовательно, конечные объединения
непересекающихся борелевских прямоугольников принадлежат 2\
Поскольку конечные объединения таких прямоугольников
образуют булеву алгебру, то из утверждения 14.4 следует, что
Определение 35.4. Пусть (Xifu$i)y ί=1, 2, — борелевские
пространства. Отображение λ: Χ\ Xi?2-*[0, °°] называется
переходной мерой, если
(i) при каждом фиксированном Вб^2> λ(χχ,Β) есть боре-
левская функция х\\
(и) при каждом фиксированном χχ^Χχ %(χχ,Β) есть σ-κο-
нечная мера как функция В.
оо
λ называется ^-конечной переходной мерой, если Х2 = и Βι и
182
ГЛ. ,V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
λ(*ι, £,·)<; оо для всех jcisXi и каждом / = 1,2, ... . λ
называется переходной вероятностью, если λ(χ\, Х2) = 1, х\ ^ Х\.
Пример 35.5. Пусть μ есть σ-конечная мера на {Х2,$2)-
Пусть λ(χ\,Β)=μ(Β) при всех х{^Хи В^<М2. Тогда λ
—переходная мера.
Пример 35.6. Пусть f(x,y)—неотрицательная непрерывная
функция на [О, 1]Х[0, 1]. Для любого борелевского множества
β с: [0, 1] положим
λ(*. fl)=J/(*, y)dy,
в
где dy обозначает интегрирование относительно меры Лебега.
Тогда λ есть переходная мера.
Пример 35.7. Пусть
/ Ри Ρ\2 ··· P\k \
р=\ Ρ** Ρ22 - - - P2k I
\ Pk\ Pk2 · · · Pkk J
есть (k X k) -матрица неотрицательных чисел, таких, что
ΣΡί/—1 ПРИ каждом L Пусть Х{ = Х2= {I, 2, ..., k). При
/
любом /eZj иВс12 определим
λ(ί, Β)= Σ Ρα-
Тогда λ есть переходная вероятность на (Χι X Х2> 38\ X ^2)
(матрица Ρ называется матрицей вероятностей перехода).
Замечание 35.8. Переходные вероятности имеют такую
интерпретацию. Пусть имеются две системы, состояния которых
описываются точками пространств Х\ и Х% Статистическое
описание состояний (элементарных исходов) второй системы
зависит от состояния первой системы. Если первая система
находится в состоянии хи то вероятность того, что состояние второй
системы относится к множеству β, описывается переходной
вероятностью λ(#ι, В).
В качестве частного случая рассмотрим следующую
конкретную ситуацию. Предположим, что между пунктами Si и S2
установлена связь. Сообщения, передаваемые из Si, составляют
множество Х\. Сообщения, которые принимаются в S2y
составляют множество Х2. Если одно и то же сообщение х\ ^ Х\
передается многократно, то совершенно необязательно, чтобы
принимаемое сообщение всякий раз было бы тем ,же самым.
35. ПЕРЕХОДНЫЕ МЕРЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ
183
В этом случае обычно говорят, что передача идет с помехами
(или с шумом). Если передается сообщение х\, то вероятность
того, что принятое сообщение принадлежит множеству 5, равна
переходной вероятности λ(χι,Β). Будем говорить, что λ есть
переходная вероятность «канала связи» между Si и S2-
Утверждение 35.9. Пусть f — неотрицательная борелевская
функция двух переменных на (Χι Χ Χ2, $\ Х^г), и пусть
λ(χ\,Β) есть σ-конечная переходная мера на ΧιΧ^2· Тогда
\f(x\9 *2)M*i, d*2)eCTb борелевская функция на (ХиЯ\) (здесь
dx2 обозначает интегрирование относительно меры. λ(χ\, ·))·
Доказательство. Неотрицательные функции являются
пределами монотонно возрастающих последовательностей
неотрицательных простых функций. Поэтому в силу теоремы о
монотонной сходимости достаточно доказать утверждение для простой
функции f. Это в свою очередь означает, что достаточно
провести доказательство для случая, когда / — индикатор
множества. Поскольку по условию- λ есть σ-конечная переходная мера,
то существуют непересекающиеся множества Ви В2, ... в $2,
такие, что для всех х\ е Х\ и всех /==1,2, ...
Х2=\] Bh K(xu В,)<оо.
i
Если f — %е и £ G ^ι Χ ^2, то из утверждения 35.3 и теоремы
о монотонной сходимости следует, что
оо
%Е(хи χ2)λ(χ{, άχ2) = Υ^ ]%ε(χ\, Χ2)%Β{(*2)λ(Χ\, dx2)
i = \
(здесь χι фиксировано, а интегрирование происходит
относительно λ(*ι,·) по переменной х2). Таким образом, достаточно
показать, что для всех Ε ef $\ X $2 функция
%в(х\> *2)ЗСв,(*2)*(*ь dx2) (35.1)
есть борелевская функция на (Х\, ${). Определим
&i = {E : £*= Ях XЯ2> \ Хе (х\> *2) Jto,(*2)λ (*ь dx2) —
борелевская функция |
(см. замечание 13.10). Для борелевского прямоугольника Ε =
= ЛХ£ функция (35.1) равна χΑ(χχ)λ(χ\9 ΒΒι). Поэтому Ε е
е &и Класс Si замкнут относительного конечных объединений
184 ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
непересекающихся множеств и, следовательно, содержит булеву
алгебру всех конечных объединений непересекающихся боре-
левских прямоугольников. Если En^3?i и Еп монотонно
возрастают или убывают к Е, то из теоремы о мажорированной
сходимости следует, что
lirr^ J %Вя (хи х2) χΒι (*2) λ (*lf dx2) =)%Е (х\> *2> %вг te) λ (хи dx2).
Следовательно, Si— монотонный класс. По утверждению 14.4
Si = &\ X &2 при всех /. ■
Определение 35.10. Пусть (Xi,<%i)> ί=1, 2, — борелевские
пространства, σ-конечная переходная мера λ на Х\ХЗ$2
называется равномерно о-конечнойу если существуют
последовательности {Ап} и {Вп} непересекающихся множеств, такие, что
(0 0 4 = 4 4^4 /ι = 1,2,...;
00 \J Вп = Х2, Впе=&2, п=\,2, ...;
(iii) sup λ(^ι, βΛ) < °° Для всех т= 1, 2, ... и п= 1,2,... .
Утверждение 35.11. Пусть (Хи $i),i=l, 2, — борелевские
пространства, и пусть λ —равномерно σ-конечная переходная
мера на (Х\У^З§2). Если μ есть σ-конечная мера на (Χ\,38\) и
Ε е $\ X ^2, то функция множества
ν (В) — J [ J χ£ (хи х2) λ (*lf rfxa)] μ (dxx\ (35.2)
корректно определена и является σ-конечной мерой на 33\ X
Х^2· Если / — неотрицательная борелевская функция на
(ΧιΧ*2,ΛιΧ#2),το
J / dv - J [J / (*lf *2) λ (*,, tfx2)] μ (rfxj). (35.3)
Доказательство. Из утверждения 35.9 следует, что ν
корректно определена. Свойство счетной аддитивности ν
непосредственно следует из теоремы о монотонной сходимости.
Поскольку λ представляет собой равномерно σ-конечную меру, то
существуют счетные разбиения {Ап} и {Вп} пространств Хх и
Х2 соответственно, удовлетворяющие свойствам (i) — (iii)
определения 35.10. Так как μ σ-конечна, то, существует разбиение
{Сп} пространства Хи такое, что μ(ί?η)<οο при каждом п.
Следовательно, {(Л*С/)Х5*}, /=1,2, ...; / = 1,2, ...; k =
s= 1, 2, ,,., есть счетное разбиение Χ\ΧΧ2 на борелевскиепря-
35. ПЕРЕХОДНЫЕ МЕРЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ
185
моугольники. Кроме того,
v((AiCj)XBk)= J λ(χϊ9 ΒΗ)μ(άχχ)^
Afit
<[supX(*„ θ*)]μ(0,)<οο.
Отсюда вытекает, что ν есть σ-конечная мера.
При f = %E равенство (35.3) превращается в (35.2). Таким
образом, (35.3) справедливо для всех неотрицательных простых
функций; а по теореме о монотонной сходимости (35.3)
справедливо для всех неотрицательных борелевских функций. ■
Замечание 35.12. Если λ — переходная вероятность и μ —
вероятностная мера, то ν, определенная формулой (35.2), есть
вероятностная мера на произведении борелевских пространств
№ΧΧ*#ΐΧΑ).
Замечание 35.13. Если λ(χ\,Β) не зависит от Х\ и λ(χι,β) =
= λ(β), где λ есть σ-конечная мера на ^2, то мера ν,
определенная равенством (35.2), обладает свойством
ν (Л Χ β) = μ (Л) λ (β) (35.4)
при всех i4eli, δεί?2. Если ν' — другая мера с тем
свойством, что для любого борелевского прямоугольника АХ В
ν' (Α X В) *. μ (Α) λ (β),
то ν и ν' совпадают на всех борелевских прямоугольниках и,
следовательно, на булевой алгебре конечных объединений
непересекающихся прямоугольников. Поэтому ν = ν' на σ-алгебре
$ιΧ^2· Таким образом, получен следующий результат: для
заданных σ-конечных мер μ и λ на борелевских пространствах
(XuSli) и {Х%&ъ) существует единственная σ-конечная мера ν
на произведении пространств (Х\ X Х2, $\ X ^2), которая
удовлетворяет равенству (35.4). Эта мера ν называется
произведением двух мер μ и λ и обозначается μ Χ λ.
Если (Xu&i), /=1, 2, ..., k,— борелевские пространства
и μ* есть σ-конечная мера на д&{ при каждом /, то можно,
повторяя указанную выше процедуру, построить единственную σ-κο-
нечную меру ν = μι Χ μ2 Χ ... Χ μ* на произведении
борелевских пространств (Χ1ΧΧ2Χ ... Χ**, ΛιΧΛ2Χ ... Χ Λ*),
удовлетворяющую условию
k
ν(βιΧΒ2Χ...Χ^) = Πμί№).
186
ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
Мера ν называется произведением мер μ,·, i = 1, 2, ..., k. Если
Xi = R, $i = $R и μι — мера Лебега на R при каждом /= 1,
2, ..., k, то произведение мер ν называется мерой Лебега в Rk.
Ее пополнение также называется мерой Лебега.
Произведение мер ν==μΧλ имеет следующее свойство: для
любой неотрицательной борелевской функции f(x\,X2) на
№Χ4^ιΧ*)
Это есть одна из форм теоремы Фубини.
Утверждение 35.14. (Обобщенная теорема Фубини.) Пусть
(Xi,!8i), ί=1, 2, — борелевские пространства. Пусть
λ—равномерно σ-конечная переходная мера на Χ{>ζ382. Если мера ν
определена на ^Х^2 по λ и μ равенством (35.2), то борелев-
ская функция / на (Χι Χ Х2, 3ί\ Χ $2) интегрируема
относительно ν в том и только том случае, когда
(i) Jl/Ui, *2)|λ(*ι> dx2)< 00 для п.в. χ{(μ);
(И) J [J I / (*ь *г) Ιλ (*ь ^2)] μ (dxi) < 00.
При этом
\f dv = S [J ^ ^ь ^ λ ^ь d*2)] μ ^Χι)
Доказательство. По определению / интегрируема
относительно ν тогда и только тогда, когда \ | f \dv < 00. В силу
утверждения 35.11 условия (i) и (ii) необходимы и достаточны.
Поскольку f = f+ — f-f причем /+<|/|, /~^|/| и f+ и f-
неотрицательны, то последнее равенство в утверждении есть
следствие справедливости (35.3) в отдельности для f+ и /-.
Следствие 35.15. (Теорема Фубини.) Если μ и λ суть σ-κο-
нечные меры на (Х\,$\) и (X2f З&ъ) соответственно, то борелев-
ская функция / на (Х\ X X2f $\ X ^г) интегрируема относительно
μ Χ λ в том и только том случае, когда
0) \ I / (*ι, *г) Ιλ №2)< °° Для п. в. Μμ);
(ϋ) J[$lf(*i. Χ2)\λ(άχ2)]μ(άΧι)<οο.
35. ПЕРЕХОДНЫЕ МЕРЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ
187
При этом
$ / (*ι, *2) (^ Χ λ) (d*i> ^2) = 5 [jj / (*ι, *2) λ {dx2)] μ (rfjc,) =
в$[$/(*ь *2)μ(^ι)]λ(ί/*2).
Доказательство. Первая часть утверждения есть
непосредственное следствие предыдущего утверждения при λ(χχ,Β) =
= Х(В) для всех β е ^2, х\^Х\. Для доказательства второй
части следует поменять ролями λ и μ, а также Хх и Х2, т. е.
рассмотреть μ(χ2, Β)= μ(β), Βείίι, *2^#2 как переходную
меру и учесть тот факт, что измеримые пространства (ΧιΧΧ>,
^ιΧ^2, μ Χ λ) и (Χ2ΧΧι, #2Χ#ι, λ Χ μ) изоморфны при
отображении (χι,Χ2)-*(*2, *ι).
Следствие 35.16. В условиях утверждения 35.14 любая боре-
левская функция / на (XxXX2t ^1X^2) удовлетворяет
равенству
f(*u *г) = 0 для п. в. (лгь *2)(v)
тогда и только тогда, когда
/(*ь *?) = 0 Для п. в. *2(М*ь-))» для п. в. хх (μ).
В частности, если μ и λ суть σ-конечные меры на (XXf$x) и
(X2f 3S2) соответственно и ν = μ Χ λ, то
f(*u *г) = 0 Для п. в. (хь χ2) (μΧλ)
тогда и только тогда», когда
/(*ь *г) = ° Для π· Β· ^(λ) и п. в. *!(μ).
Доказательство. Это следует из обобщенной теоремы Фу-
бини и того факта, что / = 0 в том и только том случае если
1/1 = о.
Утверждение 35.17. Пусть (Xi9£i)f ί=1, 2, — борелевские
пространства, и пусть μ и λ суть σ-конечные меры на <%х и ЗВ2
соответственно. Тогда
(μ Χ λ) (Ε) = J μ (Я*2) λ (rf*2) = $ λ (£*') μ (dxx) (35.5)
для всех Е <=$ιΧ 3S2t где £Xl и £*2 являются сечениями Ε
соответственно в точках х\ и я2.
Доказательство. В утверждении 35.11 положим Х(хиВ) =
= λ (В) при всех х\. Тогда из равенства (35.2) и следствия 35 15
вытекает (35.5).■
188
ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
Упражнение 35.18. Если (Xit&ι, μ/), г=1, 2, ..., kt есть
σ-конечные измеримые пространства и борелевское
отображение Тг. Xi-+Xi таково, что μ<7,~1 = νί при каждом iy то (μι Χ
Χμ2Χ ... Χμ*) Γ"1 = νιΧν2Χ ... Xvki где Г
—отображение, которое переводит (xiyx2i ..., Xk) в (Т\хиТ2х2у ..., TkXk)·
В частности, если мера μ* инвариантна относительно Г/, т. е.
μ;77 = Г, при каждом i, то μ! Χ μ2 Χ ... Χ μ* инвариантна
относительно Г. Если L — мера Лебега в Rk> то L инвариантна
относительно всех сдвигов Га:х^х + а,аЕ^.
Упражнение 35.19. Пусть (Xii^i)i i=l, 2, 3, 4, — борелев-
ские пространства. Если λι и λ2 являются переходными
вероятностями на Χι X $2 и Х2 X ^з соответственно, то
(λ{ ο λ2) (хи В) = ξ λ2 (лг2, β) λ! (xlf d*2)
есть переходная вероятность на Х\Х^ Если λ3 — переходная
вероятность на Х$ Χ ^4> то (λι ο λ2) о λ3 = λι ο (λ2 ο %ζ).
Упражнение 35.20. Пусть X — конечное множество {1, 2, ...
..., k) и 3$ — алгебра всех подмножеств X. Пусть λι и λ2 —
переходные вероятности на XX &> определенные матрицами
вероятностей перехода Pi и Р2 соответственно (см. пример 35.7).
Тогда λι ο λ2 соответствует матрица вероятностей перехода
ял.
Упражнение 35.21. Пусть (Χί,ΰ&ι), /= 1, 2, ..^ —
последовательность стандартных борелевских пространств. Пусть, далее,
%ι — переходная вероятность на ΧιΧ3Βι+\, ί=1, 2, ..., и μ —
вероятностная мера на (Χχ,&χ). Для любого множества Еп&
&&ιΧ&2Χ ... X3Sn определим
μη (Ε) — J [... [J [J %E (xu x* · ·., xn) К-ι (*n-b dxn)] X
X K-2 (*n-2> dxn_i)\]...] λΛ (xu dx2)] μ {dxx).
Тогда {μ*} есть согласованное семейство вероятностных мер на
пространствах {ΧιΧ#2Χ ... XXJ. Следовательно, по утверж-
/ оо оо \
дению 27.4 и примеру 27.6 существует мера μ на ί Π %ι> Π &ι )>
такая, что μπ'^μ^, η= 1, 2 где π« есть проекция из
Π Χι на (Χι X Х2 Χ ... Χ Χ*). Измеримое пространство
* оо оо Ч
Ι Π ^ь Π ^*> μ) обычно называется марковским процессом а
35. ПЕРЕХОДНЫЕ МЕРЫ И ТЕОРЕМА ФУБИНИ 189
дискретным временем, которому соответствует начальное
распределение μ в момент 1 и переходная вероятность Кп в момент
п. (Название дано в честь русского математика А. Маркова,
который первым исследовал такого рода процессы.)
Замечание 35.22. Упражнение 35.21 можно интерпретировать
следующим образом. Рассмотрим последовательность
статистических экспериментов и предположим, что элементарные исходы
/г-го эксперимента принадлежат выборочному пространству Хп
с σ-алгеброй событий &п. Исходы первого эксперимента
осуществляются в соответствии с распределением μ. Если хи
Х2, ···> Хп — исходы первых η экспериментов, то исход (п-\-1)-
го эксперимента распределен в соответствии с
вероятностной мерой %п{хп, ..·)· Вероятностное поведение результатов
(п+ 1)-го эксперимента зависит только от исхода η-го
эксперимента, если известны результаты первых η экспериментов.
В этом и заключается марковское свойство процесса.
Замечание 35.23. Пусть (X, <%) — борелевское пространство.
Пусть {kt, />0} — семейство переходных вероятностей на
{X X &), такое, что
λ,ολ, —λί+ΙΙ f>0, s>0. (35.6)
Тогда {λ*, / > 0} называется однопараметрической полугруппой
переходных вероятностей, а равенство (35.6) — уравнением
Колмогорова— Чепмэна. Пусть μ — вероятностная мера на S&.
Пусть для любых U < U < ... < tn вероятностная мера
μ^2 t определена на (ХХХХ .., XX, 3SX3SX ... ХЯ)
равенствами
VtlH...tnW=*\tE{Xx> **..., Хп)\-гп_х{хп-Х> dxn)X
Χ 4-,-*Λ-, К-*' dxn-\) · · ■ Ч-Ί (*'» dx^ \ (*ο· dx\) Iх (rf*o)>
если ίχ > 0,
\t2... tn (Б) - J %Б (xv χ» · · · > xn) \-tn_x (*n-v dxn) Χ
Χ \_,-*„_, (*«-*» dxn-d · · · Ч-<, (*р d*2) μ (<Ц). если tx = о.
Тогда семейство вероятностных мер i\itt t \ согласовано и,
следовательно, в силу утверждения 27.8 и примера 27.10
определяет вероятностную меру μ на произведении пространств
ГП^/, Π#*Υ Xt = X при всех f£zOt такую, что конечно*
мерными распределениями для нее служат μί t t%
ι" - " * η
190 ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
В качестве примера рассмотрим случай, когда X = /?, $ =
= $R и
Это — переходная вероятность стандартного процесса
броуновского движения,,
§ 36. Свертка вероятностных мер на R1
Пусть λ и μ — вероятностные меры на борелевской σ-алгебре
пространства Rn. Рассмотрим произведение вероятностных мер
λ Χ μ в R2n. Тогда по теореме Фубини для любого борелевского
множества Ε a Rn имеем
(λΧμ){(χ, у) : χ + γ^Ε}=\χΕ(χ + γ)ά(λΧμ) =
= \[\%Ε(Χ + Υ)άλ(χ)]άμ(γ) =
= J λ (Ε - у) άμ (у) = J μ (Ε - χ) άλ (χ), (36.1)
где Ε — y = {z — у, z^Rn}. В переводе на язык теории
вероятностей этому можно дать следующую интерпретацию: если λ и
μ суть распределения независимых случайных величин f и g со
значениями в Rny то распределение их суммы f + g
определяется равенством (36.1). Меру, заданную в (36.1) обычно
обозначают λ*μ. Таким образом,
(λ*μ) (Ε) = jj λ (Ε — у) άμ (у) = $ μ (Ε — χ) άλ (χ) = (μ*λ) (Ε)
есть распределение f + g· Мера λ*μ называется сверткой λ и μ.
Упражнение 36.1. Для трех вероятностных мер λ, μ, ν в Rn
(λ*μ)*ν = λ*(μ*ν),
(ρλ + qμ)*v = ρ (λ*ν) + q (μ*ν)
при 0</?<1, 0<<7<1, /7 + 9 = 1.
Упражнение 36.2. Вероятностная мера λ называется
вырожденной в точке х, если λ({χ})= 1. Если λ * μ вырождена в
точке х, то меры λ и μ являются вырожденными в точках у и ζ,
таких, что χ = у + ζ._ (Указание. Используйте следствие 35.16.)
Замечание 36.3. Если L обозначает меру Лебега на R и / —
любая действительная борелевская функция на Rn, то для ин*
36. СВЕРТКА ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА RU 191
теграла \fdL будем использовать запись \f(x)dx или \f(x\,
Ε ЕЕ
x2i ..., xn)dxidx2 ... dxn. Говорят, что вероятностное
распределение μ на Rn имеет плотность вероятности /, если μ (Ε) =
= \ / (χ) dx для всех борелевских множеств Ε с Rn. Посколь-
Е
ку μ(£)^0 для всех £, то f(x)^0 для п. в. x(L). Кроме того,
[f(x)dx=l. Если μ и ν — вероятностные распределения с
плотностями вероятности / и g соответственно, то
(μΧν)(£χ/4 = μ(£)ν(/4= $ / (х) g (у) dx dy.
EXF
Поэтому для конечных объединений непересекающихся боре-
левских прямоугольников имеет место равенство
faXv)(A)=\f(x)g{y)dxdy.
Таким образом, это равенство распространяется на все боре-
левские множества A cz R2n. Иными словами, f(x)g{y) есть
плотность вероятности меры μΧν. Из теоремы Фубини
следует, что
fa*v){E)=\xB(x + y)f{x)g(y)dxdy =
= \[\%E(* + y)g(y)dy]f(x)dx.
Так как мера L инвариантна относительно сдвигов (см.
упражнение 35.18), то
J %е (х + У) 8 (У) dy = $ %е (у) g (у - х) dy.
Следовательно (снова в силу теоремы Фубини!),
^*v)(E) = $[$s(x-y)/(x)rfx]rfy. .
Ε
Таким образом, μ#ν имеет плотность вероятности\g(y—x)/(x)dx.
Обозначим ее g*f. Так как μ*ν = ν*μ, то отсюда следует, что
(f*g)(x) = \f(x-y)g(y)dy=\g(x-y)f(y)dy =
= (g*/)(x) Для п. в. x(L). (36.2)
Упражнение 36.4. Пусть μ/ — многомерное нормальное
распределение с вектором средних т, и ковариационной матрицей
№
ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
Σί, /= 1, 2. Тогда μι*μ2 есть многомерное нормальное
распределение с вектором средних mi + ni2 и ковариационной
матрицей Σι + Σ2.
Упражнение 36.6. Пусть μα, β — вероятностная мера на
действительной прямой с плотностью вероятности
если χ > О,
если χ < О,
где α>0, β>0. Тогда (/α§β */α,β') (*) = /α,β+β' (*) при всех
а > О, β > 0, β' > 0. (μαβ называется гамма-распределением
с параметрами α и β. Если α = 1/2, β = я/2, то μα, β
называется хи-квадрат распределением с я степенями свободы.
Случайная величина, имеющая это распределение, называется
случайной величиной χ*. Если fm и χ^- независимые
случайные величины, то их сумма %2т + %2п является случайной
величиной %2т+п.)
Упражнение 36.6. Пусть μ и ν — вероятностные меры на
действительной прямой, такие, что μ(Ζ) = ν(Ζ) = 1, где Ζ есть
множество всех целых чисел. Предположим, что
μ({/}) = Ρ/, ν({/}) = <7/, / = 0, ±1, ±2, ....
Тогда (μ#ν) (Ζ) = 1 и
(μ*ν)({/})=ΣΡ/-^=Σ?/^Ρ^ / = 0, ±1, ±2,....
k k
В частности, если μ и ν суть распределения Пуассона с
параметрами α и β соответственно, то μ*ν есть распределение
Пуассона с параметром α + β.
Упражнение 36.7. Рассмотрим последовательность
независимых биномиальных испытаний с вероятностью успеха р. Пусть
Xk есть номер испытания, при котором появился k-й успех.
Тогда
P(**-n)«(£~[)pV-*. n = k> k + l> ····
Распределение Xk представляет собой β-кратную свертку
распределения Х[. (Распределение Χι называется геометрическим
распределением, а распределение Xk — распределением
Паскаля.)
37. МЕРА ЛЕБЕГА В Rn
193
Упражнение 36.8. Если /, g — независимые действительные
случайные величины с распределениями μ, ν соответственно,
найдите распределение случайной величины fg.
§ 37. Мера Лебега в Rn
Напомним, что мера Лебега в Rn есть /г-кратное
произведение меры Лебега на действительной прямой. Из
упражнения 35.18 мы знаем, что мера Лебега в Rn инвариантна
относительно всех сдвигов. Примем следующие обозначения: для
всех £с/?лиае^
£ + а = {х + а, х<=£},
Ε — а = {х — а, х е Е).
Имеет место следующая характеризация меры Лебега.
Утверждение 37.1. Пусть μ есть σ-конечная мера на боре-
левской σ-алгебре пространства Rn. Пусть, кроме того,
(i) μ{χ: 0<**< 1, ί= 1, 2, ..., η} = 1;
(ϋ) μ(£,)=μ(£ + a) для всех борелевских множеств Е и
всех а ^ Rn.
Тогда μ есть мера Лебега в Rn.
Доказательство. Из условия (и) следует, что мера
прямоугольника {х: а, < Xi^ at + bi, i=l, 2, ..., η) не зависит от
вектора а, имеющего at своей ί-й координатой, i= 1, 2, ..., η.
Пусть bi=l/kf ί=1, 2, ..., п9 где k — положительное целое
число. Тогда единичный куб {χ: 0<*/^1, ί=1, 2, ..., ή)
можно представить как объединение kn непересекающихся
кубов вида |х: at < х% <^а{ + у, /=1, 2, . ..,я}, которые
имеют одинаковую меру. Таким образом, каждый куб со
стороной l/k имеет меру l/kn. Так как каждый прямоугольник,
длина стороны которого выражается рациональным числом,
может быть представлен как объединение непересекающихся
кубов со стороной, имеющей длину l/k при некотором
положительном целом k> то мера каждого прямоугольника равна
произведению длин сторон. Это означает, что μ совпадает с мерой
Лебега на всех множествах, которые представимы в виде
объединений конечного числа непересекающихся прямоугольников
со сторонами, длина которых есть рациональное число.
Поскольку такие множества порождают борелевскую σ-алгебру,
то отсюда следует, что μ есть мера Лебега.
Утверждение 37.2. Пусть L — мера Лебега в Rn и Τ —
невырожденное линейное преобразование на Rn. Тогда L(T(E)) =
= |det Γ|ί,(£) для всех борелевских множеств Е.
194 ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
Доказательство. Пусть U(Е) — L(T{E))% Так как Τ не
вырождено, то U есть также σ-конечная мера. Кроме того,
V (Е + а) = L (ТЕ + Га) = L (ТЕ) = V (Е\
Следовательно, U инвариантна относительно всех сдвигов. Если
множество Ε открыто, то Ь'(Е)фО. В частности, и(Е)фО,
если £={х: 0<*/<1, /=1, 2, ..., п}— куб. Тогда по
предыдущему утверждению существует такая постоянная с (Г),
что L'(E)= c(T)L(E). Таким образом, для всех борелевских
множеств Ε и любого невырожденного линейного
преобразования Г
L(TE) = c(T)L(E). (37.1)
Для любых двух невырожденных линейных преобразований Γι
и Τ2 имеем Т\Т2(Е) = Т\(Т2(Е)). Поэтому повторное примене*
ние равенства (37.1) показывает, что
с(ТхТ2) = с(Тх)с(Т2) (37.2)
для всех невырожденных линейных преобразований Тх и Г2.
Если Τ — ортогональное линейное преобразование, то возьмем
в (37.1) в качестве Ε открытый шар радиуса 1 с центром в
начале координат в /?л. Тогда ТЕ = Ε и из равенства (37.1)
следует, что с(Т)= 1 для всех ортогональных линейных
преобразований. Любое невырожденное линейное преобразование Г
может быть представлено в виде OxD02f где Οι, 02—
ортогональные преобразования и D — диагональное преобразование,
матрица которого имеет диагональную форму с положительными
элементами вдоль диагонали. Тогда в силу (37.2) с(Г)=сф).
Теперь для любого χ
Dx = (dxxu d2x2y ♦.., dnxn)'t d{ > 0, i = 1, 2, ..., n.
Такое преобразование переводит прямоугольник со сторонами
/ι, 12, ..., In в прямоугольник со сторонами lxdx, l2d2f ..., lndn.
Если Ε — прямоугольник со сторонами /ι, 12ι ..., Ιη, το
lxdxl2d2 ... lndn = L(D (Ε)) = c(D)L (Ε) = с (D) lxl2 ... ln.
Следовательно, c(D) = dxd2 ... d„±= |detD|. Так как для
любой ортогональной матрицы О |det 0\ = 1, то с(Т) = |det Т\.Ш
Упражнение 37.3. Если Г—вырожденное линейное
преобразование, то L(T(Rn)) = 0. Поэтому утверждение 37.2
справедливо, даже если Τ — вырожденное преобразование.
Утверждение 37.4. (Формула замены переменной.) Пусть
Ω — открытое подмножество Rn и мера Лебега сосредоточена
на Ω. Пусть
τ (χ) = (у ι (χ), г/2 (χ)> ... > у η (χ))', χ = (хи *2> · · · * χηΥ е Ω
37. МЕРА ЛЕБЕГА В Rn
195
задает гомеоморфизм Г: Q->i?n из Ω в Rnf и пусть -г-^ для
всех i и / непрерывны на Ω. Пусть, далее,
} (7\ х) = det ((|^)). 1 < /, / < п. (37.3)
Тогда для любой неотрицательной борелевской функции
/^определенной на открытом множестве Γ(Ω),
\f(y)dy=\f(Tx)\j(Tfx)\dx, (37.4)
ΤΩ Ω
где dxt dy обозначают интегрирование относительно меры
Лебега.
Доказательство. Для любого хе/?я положим |х| =
= max(|*i|, i = 1, 2, ..., η). Для любого линейного
преобразования V из 7?" в Rn определим
\V\= sup \Vx\.
|х|~1
При условии, что χ — любая точка Rnf a V — любое
преобразование из класса линейных преобразований, |х| и \V\
обладают всеми свойствами «нормы». В самом деле,
0) 1х + уК1х| + 1у1;
(и) |сх| = |с||х|, где с — скалярная величина;
(iii) |х| = 0, если и только если х = 0;
(iy)Wi + V%\<\Vll + \V2\l
(ν) I ей | = | с || К [, где с —скалярная величина;
(vi) | V | = 0, если и только если V = 0;
(vii) \VlV2\<\Vl\\V2[9
(viii) |Kx|<|7||x|.
Обозначим через /(Г, х) = (("57"))» 1 ^ *\ / ^ л, матрицу
якобиана для гомеоморфизма Г. Матрица /(Г, х) является
невырожденной при всех χεΩ. Отметим, что если Т\ —
гомеоморфизм из открытого множества Q\CiRn на открытое
множество Q2czRny а Т2 — гомеоморфизм из Ω2 на открытое
множество Ω3 cz Rnt то для всех χ ^ Ωι
J(T2Tl,x) = J(T2iTlx)J(Tux). (37.5)
На самом деле это соотношение есть следствие стандартной
формулы для вычисления производной сложной функции.
(Формула (37.5) известна под названием коциклическое равенство.
Это равенство возникает во многих разделах математики. Оно
196
ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
служит отправной точкой теории когомологий.) Если Г—
линейное преобразование с матрицей Vy то /(Г, х)= V. Пусть
теперь А си Ω— компактный прямоугольник. Пусть
ω(δ)= sup I / (Г, χ) — / (Г, у) |. (37.6)
1х-у1<б
X, У €Е А
Матрицу J(Тух) рассматриваем здесь как линейное
преобразование в Rn. Из непрерывности /(Г, х) в Ω и, как следствие, из
равномерной непрерывности на множестве А вытекает, что
1ιιτιω(δ) = 0. Полагая в равенстве (37.5) Γι = Г-1, Т2=Т,
б->0
а также Ωι = Ω3 = ΓΩ, Q2 = Ω, получаем
/ = /(Г, Г~!х)/(Г"\ χ), (37.7)
где / обозначает единичную матрицу порядка /г. Пусть
sup |/(Г, х)~1\ = т. (37.8)
хе А
Если
К (а, о) = |х: — γ<Χι — a*<-j для всех '}»
то L(/C(a, δ)) = δη. Если теперь /С(а, δ) с: Л, то по формуле
Тейлора для функции нескольких переменных имеем
η -
(Гх), - (Га), = у, (х) - у, (а) = £ -£- (а + Θ, (х - а)) (х, - а})
/-ι !
при некотором О <С θ< < 1. Поэтому
Гх-Га = /(Г, a)(x-a) + v(x),
где в силу (37.6)
|v(x)|</i(max|^
для всех хе/((а;$). Таким образом, используя (37.8), полу·*
чаем для всех χ е К (а; б)
|/(7\ ъГ1Тх-1(Т, аГ!Га|<|/(Гр *у1\\v(x)| + |x-a|<
Следовательно, для всех хеК(а, 6)
mm (δ)δ + 4 =4 (1 + 2тшо (δ)).
/(Γ, a)" ^x «#(/(?, a)"1 fa, β(1+2/η/ιω(6))).
37. МЕРА ЛЕБЕГА В R*
197
Поэтому
I (/ (Г, а)"1 Т (К (а, δ)) < [δ (1 + 2тт (δ))Γ =
— [l+2/nft<D(6)PI(tf(af δ)).
Левая часть этого неравенства по утверждению 37.2 равна
\j(Ty2L)\-lL(T(K(a,8))), где /(7\х) задано в (37.3). Получаем
L (Т (К (а, δ))) < [1 + 2ηυιω (δ)Γ Ι / (Γ, a) | L (K (a, δ)).
Пусть Αι — наибольший открытый слева и замкнутый справа
прямоугольник, содержащийся в компактном прямоугольнике/!,
введенном в начале доказательства. Тогда при любом ε > О
можно разбить Αχ на конечное число непересекающихся кубов
вида /C(a(i), δ), где δ < ε. Тогда
иТАх)=ЪИТ(К(&\ δ)))<
i
< [1 + 2mm (δ)Γ Σ Ι / (Γ, a«) | L (Κ (а«>, δ)).
Из непрерывности ] / (7", χ) ] получаем, устремляя ε->0 и, стало
быть, δ->0,
КГ^Х \\j(Tfx)\dx (37.9)
(здесь справа стоит интеграл Римана, который совпадает,
конечно, с интегралом Лебега). Таким образом, неравенство
(37.9) выполняется для каждого ограниченйого открытого
слева и замкнутого справа прямоугольника А\, замыкание
которого полностью содержится в Ω. Следовательно, для всех бо-
релевских множеств Ε с Ω
L(r(£))< \\J(Ttx)\dx.
в
Это неравенство может быть переписано так:
\ %в (T-lx) dx < J %Б (х) | / (Г, х) \dxt Б α Ω.
TU Ω
Следовательно, для любой неотрицательной борелевской функ-»
ВДи / щ Ω
\f(T'vx)dx^\f(x)\l(Ttx)\dx.
ΤΩ Ω
Наконец, применяя полученное неравенство последовательно к
Гомеоморфизмам Τ и Г*1, получаем для любой неотрицательной
198
ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
борелевской функции g на ΤΩ
\g(x)dx = \{goT)(T-lx)dx<\(goT)(x)\j(T, x)|rfx<
ΤΩ ΤΩ Ω
< \g (χ) Ι / (τ, τ~ιχ) 11 у (г-1, χ) I dx. (37. ίο)
ΤΩ
В силу (37.7) |/(Γ, T-lx)j(T-\ χ) | = 1. Следовательно, из
(37.10) вытекает, что
\g(x)dx=\j(goT)(x)\j(Tix)\dx.m
TQ fit
Следствие 37.5. Если Τ — отображение открытого интервала
/ι на другой открытый интервал h, такое, что V (х) фЬ для
всех χ е Λ, то
\g{x)dx=\g{Tx)\T'{x)\dx
h /ι
для всех неотрицательных борелевских функций g на 1^
Пример 37.6. Покажем, что для любой положительно
определенной (пХ п) -матрицы Σ с действительными элементами и
любого вектор-столбца m
5exp{^^(x~m),E""1(x-ni)}dx = (V2Sr(detE)1t (37.11)
где χ' обозначает транспонированный вектор х. Действительно,
так как мера Лебега инвариантна относительно сдвигов, то
левая часть равенства (37.11) не зависит от m (см. упр. 35.18).
Положим m = 0. Так как Σ положительно определена, то
возможно представление Σ = Т'Т, где Τ — невырожденная
матрица. Совершая преобразование Гх = у, выводим из
утверждения 37.4, что левая часть равенства (37.11) равна
|detr|$exp{-i(tf + i£+ ... + y2n)}dy{dy2 ... dyn =
Rn
' =1 det ΤIft e"yi dy\ =[ detT |(λ/2^)* = I detZ \l!2{^btf.
Пример 37.7. Пусть Qk(x)=£xT- Найдем меру Лебега
множества £ = {х: Qk(Ax)^. 1}г где А — невырожденное ,динед«
ное преобразование #Л на себя»
$7. ΜΕί>Α ЛЕБЕГА В R*
19$
Прежде всего мы замечаем, что когда χ пробегает все точки
Еу то точка Ах изменяется во множестве F = {x: Qk(x)^ 1}.
В силу утверждения 37.2
L(F) = L (АЕ) — | det A \ L (Е). (37.12)
Обозначим
vn = L{x: Q*(x)<l}. (37ЛЗ)
Мера Лебега в Rn есть произведение мер в Rn~l и R. Сечение
множества F в точке хп = χ есть множество
^ = {(*..*2 V-i): x? + xf+ ... +>Ζ.ι<1-*).
Таким образом, Fx = 0 при \х\> 1. При |я|< 1 разделим обе
части неравенства, входящего в определение Рх, на 1—x2k и
получим из (37.12), что
L(Fx) = on_l(l-x2k)in-mk.
В силу утверждения 35.17
vn = L(F) = vn^ J (l-x*f*-l)iakdx-
-ι
« r(w+0
Из этого рекуррентного соотношения следует, что
Таким образом,
I det л г1 Lr(w)]
L{x: <?*(Λχ)<1}=-
kn
(*+')'
В частности, объем единичного шара в R" равен
-я/2
{x:J>Kl}
Упражнение 37,8. Мера Лебега стандартного симплекса
\ х: лгг > О, ί = 1, 2, ..., л, V xt < 1 г равна —г.
200
ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
Упражнение 37.9. Если С есть замкнутая выпуклая
оболочка, порожденная началом координат 0 и точками vb V2, ...
..., vrt в Rn> где векторы vb V2, ..., vn линейно независимы,
то мера Лебега С равна -^|detr|, где Г представляет собой
матрицу, /-й столбец которой есть V/, 1 ^ / ^ п. (Указание.
Образ стандартного симплекса при линейном преобразовании Г
есть С.) Полученный результат носит название формулы Гаусса.
Отметим, что
Г η η \
С = { Σ PiVh Pi^Q при всех / и Σ Pi = 1 г·
I *=i i-i )
Утверждение 37.10. Пусть Ω — открытая область в Rn и
{Tt, t^R} — семейство гомеоморфизмов Ω на себя, такое, что
Ttts = Tt+S для всех t, s^R (такое семейство называется од-
нопараметрической группой гомеоморфизмов). Пусть 7\х =
ду, д2у.
= y(f,x) для каждого χεΩ. Пусть, далее, уи jf-, dtdx
существуют и непрерывны на /?ΧΩ. Тогда Tt при всех t
сохраняет меру Лебега L в Ω в том и только том случае, когда
η
при всех χ е Ω.
Доказательство, Так как TtTs = Tt+S, то То = Го, и поэтому
Го =/, где / — тождественное преобразование. Следовательно,
у(0, х) = х, или, что эквивалентно, #,(0, \) = х( при всех 1^
^ i ^ п. Из утверждения 37.4 следует, что Tt при всех t
сохраняет меру L, если и только если
| / (Ти х) | = 1 при всех t е= /?, χεΩ, (37.14)
где /(Г/, χ) = det ί ί -^(t, х)))· Введем обозначение α(/, χ) =
== /(7\, χ). Тогда в силу (37.5)
α (t + st χ) — α (s, Ttx) a (t, x).
Вычисляя производные по s от обеих частей в точке s = 0,
получаем
%(t,x)~£(0,Ttx)a(t,x). (37.15)
Из непрерывности α в ΛΧΩ следует, что (37.14) справедливо
тогда и только тогда, когда j{Tt,x) не зависит от t, или, что
37. МЕРА ЛЕБЕГА В Я*
201
эквивалентно,
да
dt
(t, χ) = 0 при всех /GJ?, χ
В свою очередь это условие выполняется тогда и только тогда,
когда
•§£-(0, х) = 0 при всех xgQ,
так как Tt— гомеоморфизм и справедливо равенство (37.15).
Совершив стандартную процедуру дифференцирования
детерминанта, получим
£<·■ *>=Σ
дух
дх\
d2yt
dsdxi
дуп
дхх
дух
дхг
д'У!
dsdx2
дуп
дх2 "
дуг
дхп
d2yt
dsdxn
дуп
дхп
где в i-u слагаемом только /-я строка детерминанта дифферент
ду.
цируется по s. При 5 = 0 имеем -^- = 6i}, где 6ц = 1 или 0,
если / = / или i Φ j соответственно. (Следовательно,
ds
*=ι
Замечание 37.11. Проиллюстрируем теперь предыдущее
утверждение на примере из классической механики. Пусть Ω —
открытое подмножество R2n. Произвольную точку R2n обозначим
через (х, у), где χ и у —вектор-столбцы из Rn, имеющие x-t и
yi своими ί-ми координатами соответственно. Пусть функция Η
на Ω имеет непрерывную вторую производную. Предположим,
что однопараметрическая группа {Tt, t^R} гомеоморфизмов Ω
такова, что Tt(x, y) = (q(/, χ, у), р(/, χ, у)), где
q = (<7ь ft.···» Яп)', Ρ = (Ри Ръ · ·., Рп)'·
Допустим, что qi и pi удовлетворяют дифференциальным
уравнениям
дд( дН
dt
dpt
(q> ρ),
dpi
dt
дН
(37.16)
^г = -а^7(ч»Р)
202 ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
Система уравнений (37.16) называется гамильтоновой системой
с гамильтонианом Н. Из (37.16) и того факта, что q(0, х, у)= χ
и ρ (0, χ, у) = у, следует
d2q, д2д, д2Н
- ЖдГ^ х> y) = ^(°· х> у>= а^<х· у)»
д2р, Й д2р, Й д2Н
ww;(0>х> у)=^(0>х> у)=~^ж7(°> х> у)·
Таким образом,
L· dt дх. ^ L· dt ду. и'
i i i l
если t = 0. Другими словами, условие утверждения 37.10
выполнено. Поэтому Tt сохраняет меру Лебега в Ω. Этот
результат известен в классической механике как теорема Лиувилля:
динамическая группа преобразований, заданных
гамильтонианом Я, который зависит только от положений и импульсов,
сохраняет меру Лебега в фазовом пространстве Ω. Мы обратили
особое внимание на этот результат по той причине, что он
служит отправной точкой современной статистической механики и
эргодической теории.
Упражнение 37.12. Если случайная величина / имеет
стандартное нормальное распределение, то f имеет χ*-
распределение. (Указание. Используйте следствие 37.5.) Если f имеет
n-мерное нормальное распределение с вектором средних m и
невырожденной ковариационной матрицей Σ и Σ = СС\ то
вектор g = C~1(f — m) имеет многомерное нормальное
распределение с вектором средних 0 и ковариационной матрицей /.
Поэтому случайная величина
(f-m)'E-1(f-m) = ^ + ^+ ... +g2n
имеет распределение, которое представляет собой я-кратную
свертку %|-распределения, иначе, имеет χ^-распределение
(см. упражнение 36.5),
§ 38. Сверточная алгебра Li[Rn)
Пусть L\(Rn) — пространство всех действительных (или
комплексных) борелевских функций на Rnt которые
интегрируемы относительно меры Лебега в Rn. Если f, g^L\(Rn)t то
из теоремы Фубини следует, что f(x)g(y) принадлежит L\(R2n).
Снова используя теорему . Фубини, а также инвариантность
39. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ Lp 203
меры Лебега относительно сдвигов, получаем
\f(x)g(y)dxdy = J/(x— y)g(y)dxdy.
функция \ /(χ — y)g(y)dy конечна почти всюду и
принадлежит L\(Rn). Так же как в § 36, обозначим (f *g) (х)= \ f (х —
— y)g(y)dy. Тогда f*g называется сверткой f и g.
Следующий результат есть непосредственное следствие теоремы Фу-
бини.
Утверждение 38.1. Если /, g e L\(Rn)> то f*g определена и
принадлежит L\ (Rn). Кроме того,
0) f*g = g*fr
•00 (f*g)*fi = f*(g*h);
(iii) {af + bg)* h = af * h + bg*h для всех скалярных
величин а и Ъ\
(iv) ||/ *g|l!< II f Οι Iff lb в L{(Rn)\
(ν) если ||fn-/lli->0, \\gn^g\\l^0 B Lx(R% то \\fn*gn-
— f*fflli~>0 при n->oo.
Замечание 38.2. Из этого утверждения и теоремы Рисса —
Фишера можно сделать вывод о том, что. L\(Rn) со сверткой яв*
ляется банаховой алгеброй.
§ 39. Аппроксимация функций в пространствах Lp
относительно меры Лебега в Rn
Построим обширное семейство гладких функций, которые
в том или ином смысле аппроксимируют борелевские функции.
Это является отправным пунктом теории распределений или
обобщенных функций в смысле Л. Шварца и С. Л. Соболева.
Пусть
Lp{Rn) = {f:\\f(x)fdx<*>},
где f обозначает класс эквивалентности относительно меры
Лебега.
Утверждение 39.1. Для любого борелевского множества Ε cz
czRn, имеющего конечную меру Лебега, функция L(E&(E -\-х))
равномерно непрерывна по х.
Доказательство аналогично доказательству утверждения
204
ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
Следствие 39.2. (Теорема Лебега.) Для любой функции /о
е Lp(Rn)9 ρ ^ 1, функция
равномерно непрерывна по у. В частности,
Нт f|/(x + y)-f(x)pdx«0.
у-»0 J
Доказательство. При / = χ£, где L(E) < оо, следствие
справедливо в силу утверждения 39.1. Этот же результат
справедлив для любой простой функции из Lp(Rn) в силу неравенства
Минковского. Так как множество простых функций плотно в
Lp(Rn)t можно πρΉ любом ε>0 выбрать простую функцию s,
такую, что ||/ — s\\p < ε. Для любого y^Rn обозначим через
Ту отображение
0У)(х)-/(х + у). (39.1)
Если f^Lp(Rn)t то инвариантность меры Лебега относительно
сдвигов приводит к тому, что Tyf e Lp (Rn) и || Tyf \\D = || f \\p.
Поэтому
<2€ + ||Гу5-5||р.
Следовательно, lim \\Tyf — /|L^2e. Так как в произвольно, то
у-»0
lim || Tyf — f \L == 0. Требуемая равномерная сходимость следует
у-»0
теперь немедленно из соотношения
\\τΥιί-τΥ2ϊ\\=\\τγι-Ύ2ϊ-ϊ\\ρ.Μ
Замечание 39.3. Рассмотрим банахово пространство Lp(Rn)<
Отображение Т: Lp(Rn)-+-Lp(Rn) называется автоморфизмом
банахова пространства, если
(i) T(af + bg)=aTf + bTg для всех f, ge*LD(Rn) и
скалярных величин а, 6;
(И) 1 Г/||р-||/Ь!
(Ш) Τ есть отображение «на».
Все такие автоморфизмы образуют группу А. Пусть для
каждого уе/?л отображение Ту: Lp{Rn)->Lp{Rn) задано
формулой (39.1). Тогда Ту принадлежит А при каждом у. Кроме
того, Tyjy2 = ГУ1+У2 при всех уь у2 s А и lim || Tyf — / ||р = 0 при
у-»0
всех f&Lp(Rn). Иными словами, отображение у->-Ту есть
гомоморфизм из аддитивной группы Rn в группу Л, обладающий
39. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ 1р 205
тем свойством, что отображение у-^Гу/ из Rn в Lp(Rn)
непрерывно. Будем говорить в этом случае, что отображение у->Гу
есть непрерывное представление группы Rn в группе Л.
Перейдем теперь к задаче построения гладких функций.
Утверждение 39.4. Пусть
( е1», если / < 0
'·"> = { 0. если (>0. <39·2»
Тогда функция /0 бесконечное число раз дифференцируема
всюду на действительной прямой.
Доказательство предоставляется читателю.·
Утверждение 39.5. Определим функцию φ в точках Rn
равенством
»(») -'·<"■'-'> , хаГ,
S'·
\)dx
где ||х||2 = Σ х] и /о задана в (39.2). Тогда φ корректно
определена и обладает следующими свойствами:
(i) ф(х)>0,
(ϋ) ^(χ) = 0, если ||х||>1,
(Ш) $*(χ)Λι = 1,
(iv) φ бесконечно дифференцируема всюду в Rn.
Доказательство. Так как функция /о(Цх||2—1) обращается
в нуль за пределами единичного шара и строго положительна
в открытом единичном шаре, то
o<$Mllxll2-i)dx<<*>
и, следовательно, φ определена. Поскольку φ есть композиция
двух бесконечно дифференцируемых функций f0 и ||х||2—1, то
отсюда следует, что φ бесконечно дифференцируема. Свойства
(i) — (iii) очевидны.·
Для любой борелевской функции / и любого ε > 0
определим
Mx) = $/(x-ey)#(y)rfy. (39.3)
где функция φ та же, что и в утверждении 39.5. Так как φ
обращается в нуль за пределами единичного шара, то
интегрирование в (39.3) происходит только по области ||у||< 1. Когда у
206 ГЛ. V. МЕРЫ НА г1Р0ИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
перемещается по точкам единичного шара, то χ — гу пробегает
шар радиуса ε с центром х. Таким образом, fe(x) есть среднее
взвешенное значений f в шаре радиуса ε с центром х. При ε-*О
можно надеяться, что /8 будет приближенно равно f. Вскоре мы
докажем это строго.
Определение 39.6. Пусть Ω — открытое подмножество Rn. Бо-
релевская функция / на Ω называется локально интегрируемой,
если \|f(x)|dx<oo для любого компактного множества Ксг
к
cz Ω. Говорят, что функция f имеет носитель, содержащийся
в К> если /(х) = 0 при х^/С. В этом случае говорят также, что
f имеет компактный носитель. Для любого компактного
множества KczRn определим
K* = {x:d(x9K)<e}9
где rf(x, K)= inf{||x — y||, уеЯ}. /С8 называется е-окрест-
ностью /С.
Замечание 39.7. Пусть функция f локально интегрируема на
открытом множестве Ω cz Rn и ее носитель содержится в
компактном множестве ΚαΩ. Тогда существует 6 > 0, такое, что
ΚδαΩ. При этом функция /ε, определенная формулой (39.3),
имеет смысл при ε << 6. В самом деле, для того чтобы
вычислить /ε(χ)> достаточно знать значения / в ε-окрестности точки х.
Если носитель / содержится в /С, то можно рассмотреть %Kf в Rn
и обозначить fB = (yiKf)e. В этом случае носитель /ε содержится
в /Се с= Ω. Таким образом, /ε есть функция с компактным
носителем в Ω при ε < δ.
Утверждение 39.8. Пусть функция / локально интегрируема
на Rn. Тогда функция /ε, определенная формулой (39.3),
дифференцируема бесконечное число раз. Если f имеет носитель,
содержащийся в компактном множестве /С, то /ε имеет
носитель, содержащийся в ε-окрестности /С. Если sup | / (я) | ^ с, то
sup|fe(*)|<£?.
χ
Доказательство. Переходя к новой переменной в (39.3) и
используя утверждение 37.2, получаем
fe(x) = e-»$f(y)^(|(x-y))dy. '
Так как носитель φ содержится в компактном множестве, 0 ^
<^<1 и f локально интегрируема, то f8 корректно
определена. Так как производная любого порядка φ имеет компактный
носитель, многократное применение теоремы о среднем значе-
39. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ Lp 207
нии и теоремы Лебега о мажорированной сходимости
показывает, что /ε дифференцируема бесконечное число раз. Вторая
часть утверждения очевидна.
Утверждение 39.9. Пусть f^Lp(Rn), p^s 1. Тогда функция
/ε, определенная в (39.3), дифференцируема бесконечное число
раз. Кроме того, /ε е Lp (Rn) и lim || /β — / \\р = 0.
Доказательство. Так как f^Lp(Rn)y то из неравенства
Гёльдера следует, что / локально интегрируема. В силу
утверждения 39.8 /ε корректно определена и бесконечно
дифференцируема. Поскольку φ — плотность вероятности, то из
утверждения 34.13 и теоремы Фубини имеем
5l/e(x)~/(x)rrfx = 5|5[/(x^8y)-/(x)]^(y)dy|Pdx<
<$[$1/(х-ву)-/(х)Г*(у)*у]Л<
< S [S'f (x"ey) -f (x) {P dx] ф (у) dy- (39·4)
В силу неравенства Минковского \ | / (χ — еу) — / (х) |р dx есть
ограниченная функция у. Кроме того, из следствия 39.2
вытекает, что этот интеграл стремится к 0 при ε-^O.
Следовательно, по теореме Лебега о мажорированной сходимости правая
часть (39.4) стремится к 0 при е->0.И
Упражнение 39.10. Пусть Ω — открытое множество в Rn, и
пусть Ζ,ρ(Ω) обозначает пространство Lp функций,
рассматриваемое относительно сужения меры Лебега на Ω. Для любой
/^Ζ,ρ(Ω) существует последовательность {fn} бесконечно
дифференцируемых функций с компактным носителем, такая, что
lim \\fn — f\\p = 0. (Указание. Используйте замечание 39.7.)
П-»оо
Упражнение 39.11. Пусть Ω — открытое множество в ίί" и
/ — действительная непрерывная функция на Ω. Тогда
существует последовательность {/„} бесконечно дифференцируемых
функций с компактным носителем, такая, что
lim suplMx)-f(x)l = 0
П->оо хе=/С
для каждого компактного множества /С сг Ω.
Замечание 39.12. Пусть Ω —открытое множество в Rn, и
пусть Со°(й) обозначает пространство всех действительных
бесконечно дифференцируемых на Ω функций с компактным носи-
208 ГЛ. V. МЕРЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ
телем. Тогда Со° (Ω) — линейное пространство. Для любой
ψ е Со° (Ω) рассмотрим
sup
χεΩ
dxri дхг2 ... дхгп
1 2 η
(χ)
-11*11,
где
r = (ru гъ ..., rn)'9 I r I == γι + r2 + ... + rn,
есть вектор-столбец неотрицательных целых чисел. Определим
на Co°(Q) топологию, вводя сходимость элементов следующим
образом: последовательность ψι, ψ2, ... сходится к ψ тогда и
только тогда, когда существует компактное множество /С,
такое, что носители всех ψΛ и «ψ содержатся в К и lim || ψ„-— ψ||Γ =
= 0 для каждого неотрицательного целочисленного
вектора г. При этом Co°(Q) становится топологическим линейным
пространством. Отображение Λ: Co°(Q)->/? называется
обобщенной функцией или распределением (в смысле Шварца —
Соболева), если
(i) Λ (β^ι + α2ψ2) = βιΛ (Ψι) + α2Λ (ψ2) для ^всех аь а2е=/?;
ψ„ a|>2eCS°(Q);
(ii) Λ(ψ„)->0, если ψη->0 (в описанной выше топологии).
Для любой локально интегрируемой функции / на Ω можно
определить обобщенную функцию посредством отображения Λ/:
Λ,(ψ) = $Μ>Λ. a|)eCo°°(Q).
Легко проверить, что Λ; действительно обобщенная функция.
Если f\—другая локально интегрируемая функция и
обобщенные функции Af и Af4 тождественны, то при всех ψ е Со° (Ω)
J(f-/i)*dx = 0. (39.5)
Из утверждений 39.8, 39.9 и упражнения 39.10 следует, что
индикатор χ# любого компактного множества К с: Ω можно
аппроксимировать по мере последовательностью φηεΰο°(Ω),
которая равномерно ограничена. Следовательно, (39.5) влечет за
собой
s
(f-f{)dx = 0
к
для всех компактных множеств ΚαΩ. Следовательно, / =/ι
для п. в. х, Таким образом, существует взаимно однозначное
39. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ Lp 209
соответствие между обычными функциями / и обобщенными
функциями Af.
Если μ есть σ-конечная мера в Ω и каждое компактное
множество /С с= Ω имеет конечную μ-меру, то Λμ, определенная
равенством
Λμ(ψ) = $ψ</μ, ψ^Οο°°(Ω),
также есть обобщенная функция. Таким образом, меры яв*
ляются обобщенными функциями.
Допустим теперь, что / — такая функция на Ω, что ее
производная -gj- определена на Ω и /, у£- непрерывны. Установим
соотношение между обобщенными функциями Af и Adf/dxv
Имеем, производя интегрирование по частям,
для всех ψ е Со° (Ω). Копируя это равенство, определим для
любой обобщенной функции А на С£° (Ω) ее производную D/Λ,
полагая
(ВД(Ф) = -л(-^>
Тогда ДА — обобщенная функция. Повторяя эту процедуру,
можно построить новые обобщенные функции
(р№ ... вГпа) W = (- !/.+'.+ - ^ л ( ^ д,п Υ
Это дает возможность разработать анализ обобщенных
функций и изложить теорию дифференциальных уравнений в
терминах обобщенных функций, что приводит к далеко идущему
обобщению классического дифференциального исчисления. Цель
данного замечания состоит лишь в том, чтобы
продемонстрировать читателю, какую роль играет теория меры в возбуждении
новых идей в функциональном анализе. Интересующийся
читатель может обратиться к [11], [19], [20].
Упражнение 39.13. Пусть Ω — открытое множество в Rn и
Л — обобщенная функция, такая, что Λ(ψ) ^ 0, если ψ^Ο и
^eC0M(Q). Тогда существует σ-конечная мера μ на борелев-
ской σ-алгебре множества Ω, такая, что Λ(ψ)= \ ψ φ для всех
ψ е CS° (Ω) и μ (/() < оо для всех компактных множеств К с: Ω,
Глава VI
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
И УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
§ 40. Элементарные свойства
банаховых пространств
В § 34 мы ввели пространства £Ρ(μ)' при р>1 и указали,
что они являются банаховыми пространствами. Среди них
пространству Ζ,2(μ) отводится особая роль в нашем изложении.
В самом деле, все статистические проблемы, которые
сконцентрированы вокруг «экстраполяции» и «прогнозирования»,
основаны на фундаментальных свойствах пространства Ζ,2(μ). Для
развития этой темы мы изложим здесь самый минимум теории
банаховых и гильбертовых пространств.
Определение 40.1. Пусть множество SB удовлетворяет
следующим свойствам:
(i) SB— действительное или комплексное векторное
пространство;
(и) для каждого элемента χ ^SB существует
неотрицательное число IUII, называемое его нормой, такое, что (а) ||л:|| = 0,
если и только если χ = 0; (b) ||α*||=|α|||*|| для всех
скалярных величин а; (с) \\x-\- i/II^IUII + lli/ll для всех х, у;
(iii) SB— полное метрическое пространство относительно
метрики d: d(x,у) = \\х — у\\.
Тогда SB называется банаховым пространством или просто
В-пространством.
Замечание 40.2. Как указано в замечании 34.11, Lp{\x) есть
S-пространство при любом 1 ^ ρ ^ оо и для любой σ-конечной
меры μ. Согласно упражнению 33.13 пространство всех вполне
конечных знакопеременных мер на борелевском пространстве
(X, 3$) есть β-пространство. Обозначим это последнее
пространство через М(Х).
Упражнение 40.3. Пусть (Xt $)— борелевское пространство,
и пусть В(Х) — пространство всех ограниченных
(действительных или комплексных) борелевских функций на X, Для любой
f^B(X) положим ||/1| = sup | / (х) |. Относительно этой нормы
В(Х) становится S-пространсгвом.
Упражнение 40.4. Пусть X — компактное метрическое
пространство и С{Х) — пространство всех (действительных или
40. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 211
комплексных) непрерывных функций на X. Для любой /е С(Х)
определим ||/|| так же, как в предыдущем упражнении. Тогда
С(Х) есть β-пространство.
Содержательность этих примеров, безусловно,
свидетельствует о том, что β-пространства заслуживают отдельного
изучения. Так оно и есть, β-пространства составляют важнейшую
часть предмета современного функционального анализа.
Определение 40.5. Последовательность {хп}> п=1, 2, ...,
в β-пространстве S6 называется сходящейся к элементу χ е $?,
если lim \хп — д:|| = 0 при п-*оо. В таком случае мы исполь-
П-»оо
зуем обычную запись: хп-*х при п->оо или lim xn = x.
Л->оо
Определение 40.6. Пусть SB, У суть β-пространства.
Оператором из $в в °у называется отображение А из SB в ^, такое,
что
(i) А(ах\ + Ьх2) = αΑχγ + ЬАх2 для всех х\, xz^SB и всех
скалярных величин а, Ь\
(ϋ) ПтЛл:,г = 0 для любой последовательности {хп} в #?,
такой, что lim #n = 0.
Если у является β-пространством скалярных величин (именно
действительных или комплексных) с абсолютной величиной в
качестве нормы, то оператор из 8В в У называется линейным
функционалом.
Утверждение 40.7. Для любого оператора А из
β-пространства 9В в β-пространство У введем
|| А ||= sup || Л* ||.
1*1-1
Тогда ||А || < оо и 1И*||^|И||||*|| для всех х.
Доказательство, Допустим, что ||Л||=оо. Тогда существует
последовательность {хп} в $?, такая, что ||*я||= 1 при п=1,
2, ... и lim || ЛлгЛ [) = оо. Положим х'п = „ *п ,. . Тогда || Ах'п II = 1
для всех я и lim лг« = 0. Получено противоречие. Это дока-
tt-^oo
зывает первую часть утверждения. Если χ Φ 0, то
1М = Ь—Ι<ιιλιι
iwi 1л(1^1|||^|,л|1'
откуда вторая часть утверждения вытекает немедленно.·
Замечание 40.8. Если отображение А из β-пространства $β
в другое β-пространство °У удовлетворяет условию (i) опреде-
212
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
ления 40.6 и ||Л*||^ c|UH для всех χ и некоторого
фиксированного положительного числа с, то А является оператором.
Замечание 40.9. Пусть 86, °Ц суть В-пространства.
Обозначим через £φ(ββ,°ψ) пространство всех операторов из SB в <у.
Для любых Л, Bsi(^, 4θ и любых скалярных величин а, Ь,
определим аА + ЬВ как (аА + ЬВ)х = аАх-\- ЬВх. Тогда
<&{ββι°ψ) становится векторным пространством. Более того,
так как ||Л|| удовлетворяет всем свойствам нормы, то
относительно этой нормы ^{ёв,6^) превращается в В-пространство.
Если °Ц есть В-пространство скалярных величин, то В-простран-
ство зФ{8В,°Ц) называется пространством, сопряженным к 8S и
обозначается #?*.
Из утверждения 33.10 и теоремы представления Рисса
следует, что для любого компактного метрического пространства
X сопряженным к В-пространству С(Х) служит пространство
М(Х) вполне конечных знакопеременных мер на борелевской
σ-алгебре Х. Если f^C(X) и μεΜ(Ι), то соответствующий
линейный функционал задается равенством μ(/)=\/β?μ.
Если S6 = ^, то вместо sHJS,6^) естественно использовать
обозначение $t>(SS) и в этом случае в $Ф(ЗВ) можно определить
умножение: для любых A, Bg^(^) их произведение задается
равенством (АВ)х = А(Вх). Тогда пространство s&(36)
становится алгеброй с тем свойством, что ||ЛВ||<;||Л[|||В||, Будем
говорить, что s&(3S) есть банахова алгебра или просто В-алгебра.
Замечание 40.10. Отметим, что пространства В(Х) и С(Х)
из упражнений 40.3 и 40.4 соответственно являются В-алгеб-
рами относительно обычного умножения функций. В-простран-
ство L\{Rn) есть β-алгебра относительно операции свертки.
Пространство M(Rn) также превращается в В-алгебру
относительно свертки, если понятие свертки вероятностных мер
естественным образом распространить на вполне конечные
знакопеременные меры. Еще раз отметим, что обилие таких примеров
пробуждает интерес к исследованию В-алгебр. В случае когда
операция умножения является коммутативной, рассматривают
коммутативные В-алгебры. Глубокое исследование таких
алгебр было предпринято советским математиком И. М. Гельфан-
дом (см. [16]).
Упражнение 40.11. Пусть (X/, $/), i = 1, 2, 3, — борелевские
пространства. Рассмотрим переходную вероятность Р\ (Хх X
Х^2)">[0, 1]. Пусть В(Xi) и M(Xi) суть В-пространства
ограниченных борелевских функций и соответственно вполне
конечных знакопеременных мер на (Χι, $ϊ). Определим операторы Ар
40. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 2l3
и ВР соотношениями
(APf) (хг) = J / (х2) Ρ (xh dx2), f <= Β (X2),
(ΒΡμ) (Ε) = J Ρ (χ{, Ε) άμ (χ{), μ <== Μ (Χ{), Ε s #2.
Тогда Лр есть оператор из В(Х2) в β (Χι), а ВР — оператор из
Μ (Χι) в М(Х2). Кроме того, ||ЛР|К 1, ||5я||< 1. Если Q
—переходная вероятность на Х2Х^з, a P°Q — композиция Ρ и Q,
то
ЛрЛд = Лрод, BqBp = BpoQ·
Если, в частности, {Р*, tf > 0} есть однопараметрическая
полугруппа переходных вероятностей на ХХ^, где (X, 3$)—боре-
левское пространство (см. замечание 35.23), иЛ* = Л^, Bt — Bpf
то
AtAs = At+S, BtBs = Bt+S
при всех t, s > 0. (Это показывает, что изучение марковских
процессов с непрерывным временем тесно связано со свойствами
однопараметрических полугрупп операторов на β-простран-
ствах.)
Определение 40.12. Подмножество S В-пространства 36
называется подпространством SB, если оно удовлетворяет
следующим условиям: (i) 5 замкнуто в топологии пространства 36,
порожденной метрикой, которая определяется с помощью
нормы; (и) 5 есть векторное пространство.
Для любого χ е SB и любого подпространства SozSB
определим расстояние d(x, S) между χ и S, полагая
d(x, S) = inf{||*-y||, 0€=S}.
Если существует такой элемент х0 е S, что d(je, 5)=||jc — λγ0||,
то будем говорить, что Хо служит наилучшим приближением
элемента х^ЗВ в 5.
Замечание 40.13. Может случиться, что для данных х^ЗВ
и подпространства 5 наилучшее приближение не существует, а
если даже оно существует, то может быть не единственным.
Однако мы покажем, что в гильбертовом пространстве для
каждого элемента существует единственное наилучшее
приближение в любом подпространстве. Таким пространством является,
например, пространство L2(μ), и этим-объясняется причина, по
которой £2(μ) выделяется среди^ других пространств типа
Μμ)·
214
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Определение 40.14. Пусть SB, °У суть β-пространства.
Последовательность {Ап} операторов из s^{S6,°^) называется
сходящейся сильно к оператору А из зф\Зв,сЦ), если для любого
lim Anx = Αχ.
Замечание 40.15. Совершенно очевидно, что если S6 = ^ и
пределы lim An = А и lim Вп = В существуют в смысле силь-
/1->оо /1->оо
ной сходимости, то lim (Ап + Вп) = А + В. Тот факт, что АпВп
Я->оо
сходится сильно 'К АВ, нуждается в доказательстве, но оно
остается за пределами этой книги.
§ 41. Проекции в гильбертовом пространстве
Определение 41.1. Пусть Ж есть β-пространство. Пусть для
любых х, у е Уё скалярная величина (х, у) удовлетворяет
следующим свойствам:
(i) норма \\х\\ любого элемента х^<Уё задается равенством
\\х\\2 = (х,х)>0;
(ϋ) (αχχ + bx2t y) = a(xlt y) + b (x2i у) для всех χ, у <=Ж и
всех скалярных величин а, Ь\
(iii) (χ, у) = (yt χ) для всех χ, у е Ж
Тогда Ж называется гильбертовым пространством. Величина
(х, у) называется скалярным (или внутренним) произведением
χ и у. (Эти пространства получили свое название в честь
немецкого математика Д. Гильберта, который изучал операторы
на таких пространствах в связи с теорией интегральных
уравнений.)
Пример 41.2. Простейшим примером гильбертова
пространства служит пространство Rn со скалярным произведением
η
(χ, у)= Σ*ί0/. χ> y^Rn>
i = \
где n-мерные вектор-столбцы χ, у имеют своей i-й координатой
Χι, Уи i = 1, 2, ..., п.
Рассмотрим случай η = 2. Угол θ между векторами χ и у
(между прямой, соединяющей начало координат 0 с точкой х,
и прямой, соединяющей начало 0 с точкой у) определяется
формулой
cos6= (*. У)
C0SU lixllllyll *
41. ПРОЕКЦИИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 215
где ||х|| = (х, х)1/з. Расстояние между χ и у равно (х — у, χ — у)1/з,
В частности, две прямые перпендикулярны тогда и только
тогда, когда (х, у) = 0. Таким образом, значимость скалярного
произведения объясняется тем, что оно заключает в себе сразу
два фундаментальных понятия геометрии, именно понятия угла
и расстояния.
Пример 41.3. Рассмотрим пространство с σ-конечной мерой
(Χ, ^, μ) и пространство L2(μ). Пусть для всех /, §€ί2(μ)
Тогда (/, g) есть скалярное произведение, которое превращает
Ζ^(μ) в гильбертово пространство.
Условимся, что до конца параграфа 96 обозначает
фиксированное гильбертово пространство со скалярным произведением
(х, у) между двумя элементами ху у е Ж
Утверждение 41.4. Для любых х, у, г^Ш выполняются
следующие соотношения:
(О II* — У If = 11* II2 + 11УII2 — 2 Re (x, у), где Re обозначает
действительную часть;
(И) ΙΙ*-ί/ΙΙ2 + ΙΙ*-ζ||2 =
о (II у + ζ II2 ι II у + г ¥\
"41*- 2 I +р— 2 1);
(ПО К*, у) КII* IIII у II.
Доказательство. Два первых тождественных равенства
следуют из свойств (i), (ii), (iii) в определении 41.1 скалярного
произведения. Для того чтобы доказать неравенство (iii),
сначала перепишем его в виде
\(ύ' m)\<l пРи**о,**о
и заметим, что достаточно доказать это для случая ||*1| = ||#|| =
= 1. Для любой скалярной величины /имеем
0<\\x-ty\r = \\xf + \t?\\y\f-2R*lHx,y)] =
= l+\t?-2Re[t(x,y)].
Полагая / = (х9 у), получаем 0 ^ 1 — | (ху у) |2. ■
Замечание 41.5. Неравенство (iii) известно под названием
неравенства Шварца. Если из точек х, у, ζ можно составить
треугольник ABC, тождество (ii) представляет собой аналог
216
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
классического тождества Аполлония ]) АВ2 + АС2 = 2(AD2 +]
+ SD2), где D есть середина стороны ВС. Поэтому будем
называть равенство (И) тождеством Аполлония.
Утверждение 41.6. Если lim хп = х и lim yn = y, где хПУуп,
П-*оо Л->оо
х9 у принадлежат Ж, то
lim (хЯ9 уп) = {х, у).
/г->оо
Доказательство. Требуемое соотношение вытекает из
ограниченности \\хп\\ и \\уп\\ и из неравенства
\(*п, Уп)~(х> У)К\(хп — х> Уп)\ + \(х9 Уп — У)\<
<\\Хп-х\\\\Уп\\ + \\х\\\\Уп-у\\
(здесь использовано неравенство Шварца).
Утверждение 41.7. Пусть 5 — любое подмножество Ж. Тогда
множество
S1 = {х: (ху у) = О для любого j/eS}
является подпространством. (Это подпространство называется
ортогональным дополнением S.)
Доказательство. Это есть прямое следствие определения 41.1
и утверждения 41.6. ■
Утверждение 41.8. (Теорема о проекции.) Пусть S —
подпространство Ж, и пусть х^Ж— произвольный элемент Ж Тогда
в 5 существует единственное наилучшее приближение Psx
элемента jcg! Отображение x->Psx есть оператор на Ж. Ps
удовлетворяет следующим свойствам: ,
(ι) χ ~-Psx^Sx для всех х;
(ii) (Psx, */) = (*, Psy) = (Psx, Psy) для всех χ, у<=Ж;
(iii) (psf = ps.
(iv) любой элемент х может быть единственным образом
представлен в виде χ = у + г, где у^S, 2GSx, при этом
в действительности y = Psx;
(ν) psx = i — ps;
(vi) И * |p = И Ρ5* |p+ || λ:-Ρ** |p для всех х.
Доказательство. Пусть χ фиксировано. Выберем такую
последовательность уп ^ 5, что
lim \\x~yn\\ = d(x, 5).
Λ->οο
*) По-русски это тождество обычно называется тождеством параллело*
грамма. — Прим, перее.
41. ПРОЕКЦИИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
21?
Обозначим d(x, S) = 6. Рассмотрим три точки л;, уту уп и
применим к ним тождество Аполлония. Тогда
\\х-ут\? + \\х-Уп\?-ч\х-Щ^\=^\\ут-уп\?'
Так как ут, уп <= S, то Ут * Уп- eS, и поэтому
Таким образом,
ITS" i-1| #m - ί/„ |p < ό2 + δ2 - 2δ2 = 0.
m, n-»oo *
Так как 5# полно, то уп сходится к пределу Psx при п->оо.
Поскольку 5 замкнуто, Psx^S. Кроме того,
o-HmH*-yJ«||*-i**l|.
Таким образом, Psx есть наилучшее приближение для л: в 5.
Если /gSh |[#— х'\\ = 6, то, применяя тождество Аполлония
к точкам х, х'у Psx, получаем
Следовательно, Ps# = х\ и таким образом доказана
единственность наилучшего приближения.
Для доказательства (i) рассмотрим тождества
\\х- Psx- ty\\2 = \\x -Psxf +12\\y\\2 -2tRe(x ~Р*Х> у),
\\x-Psx-ity\f = \\x-Psxf + t2\\yf-2tlm(x-Psx, у),
где у — произвольный элемент S, t — действительный параметр,
Re и Im обозначают действительную и мнимую части. Так как
Psx есть наилучшее приближение для χ в S, то квадратичные
формы (относительно t) в правых частях последних тождеств
достигают своего минимального значения при t = 0. Вычисляя
их производные в точке t = 0, получаем
0 = Re (χ - Р5лг, у) = Im (χ - Psx, у).
Следовательно, (i) доказано.
Чтобы доказать (И), отметим, что для любых χ и у
(Р*х, y) = (Psx, Psy) + (Psx, y-Psy)*=(Psx, Psy),
(Xt psy) = (x-psXt Psy) + (psXt psy) = (Psx, Psy),
так как Psx, PsyszSnx — Psx, y — Psye= 5X.
218
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Заметим далее, что для x^S наилучшее его приближение
в S есть сам х. Поскольку Psx^S, то Ps(Psx)= Psx и,
следовательно, (iii) доказано.
Для доказательства (iv) рассмотрим x = y-\-zf где г/eS,
ζ s S1. Тогда у + ζ = Psx + (x — Psx) и элемент у — Psx —
= x — Psx — z принадлежит и S, и S1. Следовательно, ||# —
— Psx\\2 = (y — Psxty — Psx) = 0. Это доказывает свойство (iv).
Свойства (ν) и (vi) следуют из (iv).
Покажем теперь, что Ps — оператор. Пусть ^ i/g^ и а,
Ь — скалярные величины. Тогда мы имеем два разложения
ах + by = [Ps (αχ + by)] + [ax + by-Ps (αχ + by)],
ax ±by = [aPsx + bPsy] + [a (* — Psx) + b(y- Psy)],
где первые элементы принадлежат S, а вторые — S1. По
свойству (iv) имеем
Ps (ax + by) = aPsx + bPsy.
Теперь из (vi) следует, что при всех χ ||Ps#II^||a:||. Отсюда
вытекает, что Ps — оператор. ■
Определение 41.9. Оператор Ps называется проекцией на S.
Оператор А на Ж называется самосопряженным, если (Ах, у) =
= (х, Ау) для всех х, у.
Утверждение 41.10. Для любого подпространства SczSffi Ps
есть самосопряженный оператор, такой, что (Ps)2 = Ps.
Обратно, если А — самосопряженный оператор на Зв, такой, что
А2 = Л, то существует подпространство S, такое, что А = Ps.
Доказательство. Прямая часть утверждения представляет
собой точное повторейие свойств (И) и (iii) оператора Ps в
утверждении 41.8. Докажем обратное. Пусть
S = {x: Ля = л:}.
Так как А — оператор, то 5 — подпространство. Рассмотрим
разложение х = Ах-\>(х — Ах). Поскольку А (Ах) = Ах, то
Ах ^ S. Далее для любого у ^ S
(х — Аху у) = (*, у) — (Ах, у) = (х, у) — (*, Ау) = 0.
Поэтому х — Ax^S1. По свойству (iv) утверждения 41.8
Ax = PsxM \
Определение 41.11. Рассмотрим семейство {Sa, kgT}
подпространств Ж Обозначим через V Sa наименьшее подпро-
a
странство, содержащее [} Sa. Через Λ Sa обозначим подпро-
a a
41. ПРОЕКЦИИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 219
странство Π 5α, которое представляет собой обычное теоре-
α
тико-множественное пересечение. Будем говорить, что семейство
{Say аеГ} взаимно ортогонально, если (хау х$) = 0 при том,
что α, β е Г, α Φ β, ха е Sa, *β е S$. В этом случае будем
использовать вместо V 5а обозначение φ Sa и называть это под-
a a
пространство прямой суммой подпространств Sa. При S1CS2
будем обозначать подпространство Sz Π S\ символом S2©Si
и называть его ортогональным дополнением Si в S2.
Для любого множества А а Ж будем называть наименьшее
подпространство, содержащее Л, линейной оболочкой А,
Утверждение 41.12. Рассмотрим для любого гильбертова
пространства 36 класс Ь{Ж) всех подпространств Ж Тогда L(M)
является частично упорядоченным множеством по отношению
к теоретико-множественному включению с:. Если принять
обозначение 0 для подпространства, состоящего из нулевого
элемента, то OczSczffi для всех SeL(^). Кроме того, для
любых трех элементов Sb S2> S^L(2e) справедливы следующие
свойства:
(i) Sx ν 52 =э Sh I = 1,2; если 5 =э Sh i = 1, 2, то S =э Sx V S2;
(ii) S{ Λ 52 с: 5Ь /==1,2; если SczSh i = 1, 2, то 5 с 5t Λ S2;
(Hi) (5х)1-S;
(iv) (SiVS2)x = SxaS2x; (SiAS2)x = Sx vS2x; 0X = ^;
(v) если S{czS2, то Sx=dS2x.
Доказательство, Свойства (i), (ii) очевидны, равно как и
тот факт, что включение есть отношение частичного порядка,
при котором OcSc^g для всех Se !(<?#). Свойство (iii)
следует непосредственно из свойства (iv) утверждения 41.8.
Свойство (ν) есть прямое следствие определения
ортогонального дополнения. Таким образом, остается доказать лишь
свойство (iv). Пусть x^(S{\/S2)x. Тогда xsSi1 и #^SX.
Следовательно, (SiA52)x c:5xaS2". Если xeSxASx, to {xyy\+i
к+ ί/г) === 0 для yi^Si, i=l, 2. Поскольку любой элемент
Sj vS2 может быть приближен последовательностью уп\+уП2у
где yni^Su i = 1, 2, /г = 1, 2, ..., то из утверждения 41.6
следует, что л; e(S! vS2)x. Это подтверждает первую часть (iv),
Вторая часть следует из (Ш).И
Замечание 41.13. Система Ь(Ж) с отношением частичного
порядка «с» и тремя операциями V, Λ и ± обладала бы
всеми характерными для класса множеств теоретико-множ^-
220
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
ственными чертами, если бы ни одно обстоятельство.
Действительно, с: подобно теоретико-множественному включению,
V подобно объединению U, Λ подобно пересечению П> a J_ —
теоретико-множественному дополнению. Однако л не
дистрибутивно с ν, тогда как Π дистрибутивно с U· В то время как
булева алгебра подмножеств некоторого множества служит
областью определения вероятностного распределения, система
Ь(Ж) подпространств гильбертова пространства Ж является
областью определения так называемого «состояния» по
терминологии квантовой механики. Именно состояние μ есть
отображение из Ь(Ж) в единичный интервал [0, 1], такое, что (i)
μ(^)=1,μ(0) = 0;(ϋ) μ (S{ V S2) = μ (SO + μ (S2), еслиЯ^Яг.
Состояние μ называется счетно-аддитивным, если μ/ν5Λ =
= Σ μ (S;) при том, что последовательность {S J взаимно орто-
ί
тональна. Изучение таких счетно-аддитивных состояний
составляет предмет так называемой «некоммутативной теории
вероятностей». Читатель может обратиться за разъяснением к [15],
[18], [22].
Используем теперь теорему о проекции для описания
пространства, сопряженного к Ж
Утверждение 41.14. (Теорема о представлении Рисса для
гильбертова пространства.) Пусть Ж— гильбертово
пространство и λ — линейный функционал на Ж. Тогда существует
единственный элемент Х\ в Ж, такой, что для всех χ
λ (*)-(*, ль). (41.1)
Доказательство. Пусть S%= {χ:Χ(χ) = 0}. Тогда S% —
подпространство Ж. Допустим, что λ не равен тождественно 0.
Тогда 5λ не совпадает с Ж и, следовательно, по теореме о
проекции St есть ненулевое подпространство. Выберем в SJt
такой элемент лсо, что ||*0||=1. Поскольку %(хо)¥10> то элемент
λ (χ)
χ — Т/Т χο определен и принадлежит S*. Поэтому
A \Xq)
(x~T(kXo' *°) = °·
Таким образом, λ (я) = λ (х0) (χ, χ0). Положим χχ = λ (лг0) Xq.
Тогда равенство (41.1) выполняется. Единственность х%
очевидна. ■
Следствие 41.15. Пусть А — оператор на Ж. Тогда
существует единственный оператор А* на Жц такой, что {Ах,у)=*
41. ПРОЕКЦИИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 221
= (я, А*у) для всех х> у. Если Л, В — любые два оператора, то
(i) (аА + ЬВ)* = аЛ* + ЬВ* для всех скалярных величин а, Ь;
(И) (ЛВ)* = Я*Л*;
(Ш) Л** = Л;
(iv)H*n = Hi|.
(Оператор Л* называется сопряженным оператору Л.
Оператор Л является самосопряженным тогда и только тогда, когда
А* = А.)
Доказательство. Рассмотрим линейный функционал λ,
определенный равенством λ (л;) == (Лχ, у) при любом фиксирован*
ном у. По предыдущему утверждению существует единственный
элемент Л*{/ е Д такой, что для всех χ имеет место (Axty) =
= (х,А*у). Имеем
(л:, А* (аух + Ьу2)) = (Ах, ау{ + Ъу2) = а (Ах, у{) + В (Ах, у2) =
= а (х, А*у{) + В (х, А*у2) = (х, аА*у{ + ЬА*у2)
Так как это выполняется для всех х, то
А* (ауг + Ьу2) = аА*у{ + ЬА*у2.
По неравенству Шварца
\(х,А*у)\ = \(Ах,у)\^\\Ах\\\\у\\.
А* и
Положим в этом неравенстве χ = „ ./.. , если А*у φ 0. Тогда
IIл У\\
\\А*у || < || Л || || у ||.
Отсюда следует, что ||Л*||^||Л||. Таким образом, Л* — оператор.
Из равенства (Ах, у) = (я, А*у)> которое справедливо для всех
х, у&Ж и всех операторов Л, немедленно следуют свойства (i),
(И) и (iii). Из (ш) вытекает (iv).B
Определение 41.16. Будем говорить, что оператор Л на 26
обратим, если существует оператор В, такой, что АВ = ВА = /,
где / — тождественный оператор, т. е. такой, что 1х = χ для
всех х. При этом мы будем писать В = А~{ и называть Л-1 об-
ратным к Л.
Упражнение 41.17. Если Л и В — обратимые операторы на 5^,
то оператор АВ обратим и (АВ)-1 = B~lA~l. Кроме того,
оператор Л* обратим и Л*-1 = (Л-1)*.
Докажем теперь некоторые элементарные алгебраические
свойства проекций.
Утверждение 41.18. Пусть S, и S2 — подпространства
гильбертова пространства Ж Тогда PSl -f Ps? является проекцией
222
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
тогда и только тогда, когда S{ и S2 ортогональны. В этом
случае Р5' + PS7 = PSl®s\ pSlpSi есть проекция тогда и только
тогда, когда ps*ps> = ps>ps\ в этом случае ps'ps' = PSlAs'.
Доказательство. Предположим, что PSl + Р5а — проекция.
По утверждению 41.10 PSl + Ps* совпадает тогда со своим
квадратом. Поэтому
Ps'PSa + Ps'Ps, = 0. (41.2)
Если χ ^S{ л52, to
2χ = PSlPs*x + PSiPS]x = 0.
Таким образом, S{aS2 = 0. По свойству (iv) утверждения 41.12
Si~ vSit — 2e. Если xgSi1 или x&S^, то из равенства (41.2)
вытекает, что
p*pS2* = PS2PSlJt = 0.
Следовательно, PSlPSi = Ps*PSl = 0. Теперь ясно, что
pSi ι pSa == pSi Φ 5?
Обратно, если S\ и 5г — взаимно ортогональные
подпространства, то последнее равенство справедливо. Доказательство пер-»
вой части закончено.
Для доказательства второй части утверждения
предположим, что pS}Ps — проекция. Из самосопряженности PSips* и
свойства (ii) следствия 41.15 следует, что
pSipSi __ {pSipSi\* __ pSzpSi
Обратно, если ps\ps' = ps'Ps\ T0
ipSipSi\2 ___ pSipSi. ipSipS^Y =_ pSipSt
Из утверждения 41.10 вытекает, что pSlps* ~ проекция. В та*
ком случае
' х, если χ е S{ Λ 52,
если x^Si" или л: е S2*.
>sips>x=(x>
10,
Следовательно, PSiPs* = PSlA Sa.■
Докажем теперь непрерывность проекций Ps,
41. ПРОЕКЦИИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
223
Утверждение 41.19. Пусть SiC^c: ,.. есть возрастающая
последовательность подпространств в^и STO = V S*. Тогда для
i
всех χ
lim Psnx=psooX.
П->оо
Если Si гэ S2 => ... — убывающая последовательность
подпространств в Ж и S°° = J\Sh то
lim Ps*# = Ps°°#.
Доказательство. Пусть последовательность {Sn} возрастает,
и пусть m < /г. Тогда по теореме о проекциях
о <|/А* - р*«*Р = ||ps^||2 + ||pVf -
- 2 Re (Ps**, Ps*»x) = \\ Ps"x f - \\ Ps™x ||2.
Отсюда следует, что |Р^лг||2 монотонно возрастает и
ограничена а потому сходится к некоторому пределу. Таким образом,
lim \\PSnx — Psm#|| = 0. Поскольку 3% полно, lim Ps*x су-
m, n->oo n->oo
ществует. Пусть он равен Рх. Поскольку PSn — оператор при
любом η и IPSf2x|^||χ||, то Ρ — оператор и при этом ||Р#||<;
^\\х\\ для всех х. Так как для всех η и всех х, у
{PsnXi PS) = U, Psny) = (psnXf у\
то, переходя к пределу во всех трех частях равенства,
получаем
(Рх, Ру)*=(х, Ру) = {Рх, У)
для всех ху у. Следовательно, Р* = Ρ = Р2 и Ρ есть проекция.
Если x^Sk при некотором k, то x^Sn при всех «>А й
Рх= limP5"* = *.
Так как Р — оператор, то Рх = х для всех л; е V Sn — S^. Если
η
при каждом η #<=£„, то Ps"# = 0 при всех п> и поэтому
Рх = 0. Итак, показано, что Ρ = Ps°°·
Вторая часть утверждения следует из первой, если заметить,
что для убывающей последовательности подпространств {Sn}
последовательность подпространств {Sn} возрастает и S°° =
η \ η J
$24 ГЛ VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Пример 41.20. Пусть подпространство Scz3@ является
линейной оболочкой конечного числа элементов хи х% ..., хп из
Ж (говорят, что S натянуто на хи х2, ..., хп). Предположим,
что хи Х2, ..·, Хп линейно независимы, т. е. Σ с**/ = 0 для не-
i
которых скалярных величин а, с2> ..., сп тогда и только тогда,
когда все ci = 0, i = 1, 2, ..., п. Пусть л: — произвольный
элемент Ж и
2 = ((**/)). *„ = (*,, */),
h = (Xh χ)> 1 <*> /<л.
В силу линейной независимости элементов #/, 1 ^ / ^ /г, и
свойств скалярного произведения матрица Σ является
невырожденной эрмитовой матрицей порядка /г. Выразим теперь Psx
в явном виде через матрицу Σ и вектор-столбец ξ с
координатами £,·. Поскольку Р5х е S, то можно записать
η
Psx = Σ а&и
где α/ — скалярные величины. По теореме о проекциях
(x-Psx, *,) = 0
при всех и Тогда |* = Σ а!°ц ПРИ всех *· В матричных обозна*
чениях Σ'& = ξ, где ξ обозначает вектор-столбец с
координатами \и а Σ' есть транспонированная матрица Σ. Таким
образом,
Следовательно, Ps# можно выразить в виде
P^lV'x, (41.3)
где χ есть «вектор-столбец», ί-я координата которого равна хи
а ξ* есть вектор-строка с координатами \и Таким образом,
задача о наилучшем приближении сведена к задаче обращения
матрицы Σ. Квадрат ошибки при замене χ его наилучшим
приближением Psx равен
|| Х - PSX ||2 = || χ ||2 _ || pSx ||2 = |, χ ψ _ g-j- ^
Замечание 41.21. Рассмотрим вероятностное пространство
(Ху &, μ) и <2ί? = Ζ,2(μ). Пусть g, /ь /2, ..., /« — действительные
интегрируемые с квадратом случайные величины на (X, &> μ).
Предположим, что доступны наблюдению /i, f2, ..., /«, но не g.
Тогда можно «предсказать» g посредством линейной
комбинации случайной величины, тождественно равной 1, и случайных
41. ПРОЕКЦИИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
225
величин fu f2, ..., fn, проектируя^ на подпространство S —
линейную оболочку {1, /ι, /2, -.., М- Из примера 41.20
следует, что
psg = Eg + rz-l(f-Ei)f (41.4)
где Σ — ковариационная матрица случайных величин fu /г, ...
..., fn и
f = (fu h LY, Ef-(E/lf Ef2, .., Efn)\ g-fo, |2, ..., g„)'
с |f = cov (g, //), г=1, 2, ..., п. Равенство (41.4) задает так
называемую линейную регрессию g по fu /2, ..., fn- Средне*
квадратическая ошибка предсказания определяется равенством
Ε (g - PSgf = V (g) - ξ'Σ"1!, (41.5)
где V (g) — дисперсия g.
Пример 41.22. Пусть (Xt $t μ) есть пространство с σ-κο-
нечной мерой. Для А^<% определим оператор Р&(А) на Ζ,2(μ)
формулой
М4)/ = Кл/,/Ξ=Μμ).
Тогда Рц(А) есть проекция на подпространство
S = {f: f(x) = 0 п. в. на Л'},
где А' — дополнение Л. Кроме того,
(i) PVL(A)P[l(B)=Pli(A(]B) для всех Л, BeiH;
(и) если Л„ последовательность попарно непересекающихся
множеств из <%, то Ρμ I U Ai\ = YuP[k{Ai), где ряд сходится
в смысле «сильной сходимости».
Определение 41.23. Пусть (Xt$) — борелевское
пространство и Ж — гильбертово пространство. Пусть отображение Л->-
-+Р(А) из $ в пространство всех операторов проектирования
на Ж таково, что
(1) Р(А)Р(В)^Р(А П В) для всех Л, Я«#;
00
(Η) Ρ (N АЛ = Σ Ρ (Л/), если Ль Л2, ... — последователь-
ность непересекающихся элементов из 3S и ряд сходится в
сильном смысле. Тогда Ρ называется спектральной мерой. В
частности, в предыдущем примере Ρμ есть спектральная мера, которая
называется канонической спектральной мерой в Ζ,2(μ)»
226
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Интересно было бы изложить теорию интегрирования
относительно таких спектральных мер, однако это уже выходит за
рамки книги. Читатель может обратиться за необходимыми
сведениями к [8].
§ 42. Ортонормированные последовательности
Определение 42.1. Гильбертово пространство Ж называется
сепарабельньш, если оно сепарабельно как метрическое
пространство относительно метрики, заданной при помощи нормы
в Ж.
Последовательность {хп}> /г= 1, 2, ..., элементов Ж
называется ортонормированнойу если для всех тип имеем (лгт,
х„) = бот, Пу где бот, η = 1, если т = п> и бт, η = 0 в
противоположном случае. Ортонормированная последовательность {хп}
называется полной, если линейная оболочка {хп} совпадает
с Ж.
Утверждение 42.2. Пусть {хп} — произвольная
последовательность в гильбертовом пространстве Ж и Sn —
подпространство, натянутое на первые η элементов хи х% ..., хп при
каждом /г. Тогда существует такая ортонормированная
последовательность {уп}> что Snc:Sn при каждом п, где Sn есть
линейная оболочка у\9 у2у ..., Уп при всех п. Если последовательность
{хп} имеет своей линейной оболочкой Ж, то Ж также служит
и линейной оболочкой {уп}. В частности, любое сепарабельное
гильбертово пространство Ж содержит полную ортонормиро-
ванную последовательность.
Доказательство, Только для удобства доказательства
предположим без ограничения общности, что Х\ φ 0. Положим
г1~Т^Т· Если SnQSn-\ — ненулевое подпространство, то вы-
II Х\ II
берем такой элемент znmSnQSn-u что ||ζη||=*= 1. В ином
случае положим Ζη τ= 0. Так как по теореме о проекциях
Sn — Sn-\ ® ν^/ίθ^η-ι)»
то применяя метод индукции, получаем, что при всех η
линейная оболочка 2ъ *2, ..., Ζη есть Sn- Выбрасывая из
последовательности {Ζη} нулевые элементы, получим новую
последовательность, которую обозначим {уп}. Так как zn^SnQSn^[ при
любом п, то последовательность {zn} ортогональна. Поскольку
Hznll = 1 или 0, последовательность {уп} является ортонормиро-
ванной. Ясно, что Sn содержится в линейной оболочке у\, у% ...
..., уп. Если V S„ *= 50, то V Sn -*Ж.
η η
42. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 227
Допустим теперь, что Ж сепарабельно. Выберем тогда
плотную в Ж последовательность {хп} элементов. Эта
последовательность имеет линейную оболочку, совпадающую с Ж Тогда
из предыдущих рассуждений следует, что Ж является линейной
оболочкой и для последовательности {уп}.Ш
Замечание 42.3. Пусть Ж — сепарабельное гильбертово
пространство. Если полная ортонормированная последовательность
имеет конечное число элементов, то Ж называется
конечномерным гильбертовым пространством. В этом случае все полные
ортонормированные последовательности имеют одинаковое
число элементов. Это следует из линейной независимости любого
конечного числа ортонормированных элементов. Тогда Ж есть
конечномерное векторное пространство и любая полная
ортонормированная последовательность имеет k элементов, где k —
размерность пространства Ж.
Таким образом, все полные ортонормированные
последовательности в сепарабельном гильбертовом пространстве имеют
одинаковое число элементов. Если это число бесконечно, то
соответствующее пространство Ж называется бесконечномерным.
Утверждение 42.4. (Тождество Парсеваля.) Пусть Ж —
сепарабельное гильбертово пространство и {хп}—полная
ортонормированная последовательность. Тогда
η
(i) lim Σ (λ:, Χι)χι — χ для всех щ
Λ->οο \
оо
(И) Σ (х* *ι) (У* χι) = (*» У) Аля всех х, у, где ряд сходится
абсолютно.
(Если полная ортонормированная последовательность
обрывается на п-м члене, то в (i) можно не писать lim, а в (и)
заменить оо на п.)
Доказательство. Пусть Sn — линейная оболочка х\, х2, ...
^.., хп. Так как эти векторы ортонормированы, то в частности
из примера 41.21 (см. также (41.3)) следует, что
η
Ρ5»* =»£(*, Xi)Xi. (42.1)
Так как последовательность подпространств Sn> возрастая,
стремится к Ж, из утверждения 41.19 следует, что PSnx->x
чпри /г->оо. Это доказывает соотношение (i). Далее
(х, у) = lim (Psnx> Psny)
П-»оо
228
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
и из (42.1) вытекает, что
^ η
(х, У) = Hm Σ (х, Χι) (У, **)·
Таким образом, доказано равенство в (ii). Для доказательства
абсолютной сходимости заметим, что для всех χ
|| χ ||2 - Hm I Ps*x f = Σ Ι (*, хд I2 < ».
η 1
Используя неравенство Шварца, получаем
• оо \ 2 оо оо
[Σ\{χ, хг)(у77д\) <Σ \(x,xd?-Z\(y, *,)р<оо.и
Замечание 42.5. Если {#„}—полная ортонормированная
последовательность, то можно любой элемент Ж разложить в бес-
оо
конечный ряд Σ (*> *д*и который сходится в Ж. В таком слу·
I оо
чае, если χ = Σ aixh то из теоремы о проекциях следует, что
(ц = (х9 χι) для всех и Таким образом, разложение по
элементам последовательности xt является единственным. Ввиду этого
полная ортонормированная последовательность называется
также ортонормированным базисом.
Упражнение 42.6. Пусть Ж — сепарабельное гильбертово
пространство. Ортонормированная последовательность {хп}
является полной тогда и только тогда, когда из равенства
(я, Хп) = 0, выполняющегося при каждом /г, вытекает
равенство χ = 0 для любого элемента χ е Ж.
Пример 42.7. Пусть ^([0,1]) обозначает гильбертово
пространство всех комплекснозначных борелевских функций,
которые интегрируемы вместе с квадратом относительно меры
Лебега на [0,1]. Пусть
gn = exp2ntnxf n = 0, ±1, ±2, (42.2)
Тогда для всех /и, η
ι
(gm> gn) — J ехр 2π/ (m — n)xdx=* om, n.
о
Таким образом, (двусторонняя) последовательность {gn}
является ортонормированной. Далее будет установлено, что это
полная ортонормированная последовательность.
42. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
229
Для любой интегрируемой по Лебегу функции φ на [0,1]
определим
ι
ап = \ф(х)£Л*)<1х, л —0, ±1, ±2,
о
Числа {ап} называются коэффициентами Фурье функции ф.
Функция
+Ν
**(*, χ)^Σαηβίηχ
называется N-й частичной суммой ряда Фурье
+оо
Σ aneinx.
«-оо
Классическая теорема Фейера утверждает, что
lim supl 8ι(φ' *> + *'<»' *>+··■ + *"<*■ *> -f(x)Uo, (42.3)
если ф^С*{[0,1]), где С'([0, 1]) — пространство всех
непрерывных функций φ на [0, 1], удовлетворяющих условию ^(0) =
= 0(1). Доказательство этой теоремы читатель найдет в [23].
Пусть |eL2([0,1]) и (f,gn) = 0 для всех п. Тогда из
теоремы Фейера вытекает, что (f, ^) = 0 для любой функции ф&
еС([0, 1]). Так как множество таких функций плотно в
£г([0, 1]) (см. упражнение 39.10), то (f, /) = 0. Следовательно,
/ = 0. Это и означает, что {gn} есть полная ортонормированная
последовательность.
Замечание 42.8. Поскольку определенная в (42.2)
последовательность {gn}, η = 0, ±1, ±2, ..., является полной орто-
нормированной последовательностью, из тождества Парсеваля
следует, что для любой функции /gL2([0, 1]) ряд Фурье
Σ angn, где an = {lgn) при всех /г, сходится в L2([0, 1]) к /.
— оо
Если последовательности {ап} и {Ьп} представляют
коэффициенты Фурье двух функций f{ и f2 из L2([0, 1]), то
1 +оо
(/i, h) = J fihdx = £ anbn, (42.4)
0 -оо
где ряд в правой части сходится абсолютно.
Для того чтобы продемонстрировать силу тождества
Парсеваля (42.4), мы приведем решение изопериметрической задачи.
230
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Рассмотрим замкнутую кривую С = {(x(t)>y(t))> /еГО, 1]} на
плоскости /?2, такую, что х(0) = x(i)f y(0) = y(l).
Предположим, что производные -^- и -^- принадлежат L2([0, 1]).
Рассмотрим частицу, которая перемещается из точки (х(0)>у(0))
по кривой С в ту же самую точку за единицу времени с
равномерной скоростью. Тогда эта скорость равна периметру С,
который обозначим /. Выразим это равенством
Площадь F, ограниченная кривой С, может быть вычислена
по классической формуле
Из равенства (42.5) получаем
Ответим теперь на следующий вопрос. Если периметр I
фиксирован, а кривая С может меняться, то какая кривая
соответствует максимально возможной величине площади? Иными
словами, мы хотим найти
sup ί \y-jrdt - x(t) и y(t) варьируют по множеству функций,
dt
определенных на [0, 1] и таких, что
ж(0)-*(1). WO)-if(l) и ([(494 (!)> = /«}
и определить кривую, для которой этот супремум достигается,
Запишем для функций x(t) и y(t) их ряды Фурье:
— оо
43, ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Щ
Интегрируя по частям, получаем коэффициенты Фурье для
-£г и -я-- Действительно,
+ оо
- 2ш V пЬпе
Используя тождество Парсеваля, получаем
+оо
— οο
- οο
Пусть αη = αη + φη> bn = yn + i6n, где оья, βΛ, γΛ, δ„ —
действительные числа. Так как x(t) и y(t) — действительные функции, то
^Γ = 2Σ«2Κ + β« + Υ^ + δ^
оо
4τ=2Σ "(αΑ-βηΥη).
Таким образом,
Ρ - AnF - 8π2 Д {(/mn - δ„)2 + («β„ + γ„)2 +
+ («"-0 № + <*)}> ο.
Кроме того, /2 = 4л/7 тогда и только тогда, когда
пъп — δ/ιв 0» >*βη + Υ« = 0 для всех я > 1,
Υη = δη = 0 для всех л ^2.
Отсюда ап = &* = 0 при всех |я| ^ 2. Если η = 1, то
«ι = бь βι = — уь а{ = α! + ίβ|, 6ι = — βι + ία,.
Следовательно,
χ^^αο + α^2^ + <Μ-2π",
232
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
для всех t^[0f 1]. Таким образом, (л:(/) — а0)2 + {у(/) — 60)2 =
= 4(α2 + β?) для всех t. Иными словами, I2 = 4л;/7 тогда и
только тогда, когда кривая С — окружность. Следовательно,
замкнутая кривая, которая максимизирует ограниченную ею
площадь при заданном периметре /, есть окружность радиуса //2π.
Пример 42.9. Пусть μ—вероятностная мера на /?, для
которой все моменты
тп= ^χηάμ, n = 0f 1, 2, ...,
конечны. Тогда функции {хп}, η = 0, 1, 2, ..., принадлежат
L2(μ). Согласно утверждению 42.2, можно построить ортонор-
мированную последовательность полиномов {рп}, где рп при
каждом η имеет степень п, (Последовательность обрывается на
/i-м члене тогда и только тогда, когда существует конечное
множество Л, состоящее из п+1 точек, такое, что μ(/4)=* 1.)
Такая последовательность полиномов определяется единственным
образом, если выполнено условие, что коэффициент при
старшем члене полинома рп> т. е. при хп, строго положителен при
каждом п. Полином рп называется ортогональным полиномом
степени п.
Возникает естественный вопрос: в каком случае
последовательность {рп} ортогональных полиномов представляет собой
полную ортонормированную последовательность в Δ2(μ)?
Оказывается, существуют распределения μ, для которых
последовательность {рп} не является полной.
Вскоре будет доказана полнота последовательности {рп}
в случае, когда существует α φ 0, такое, что \ еа'х' άμ < оо.
Упражнение 42.10. Пусть (Χι, &и μ0> ί— 1> 2, суть
пространства с σ-конечной мерой. Пусть {fn} и {gn}t η = 1, 2, 3, ..., —
полные ортонормированные последовательности функций в
Ζ,2(μι) и £2(μ2) соответственно. Определим функцию
Х\ Χ Χ2 равенством
Ьтп(Хи *2) = /m(*l)ffn(*2)> /Я = 1, 2, . . . , П =» 1, 2, ....
Тогда семейство {hmn} представляет собой полную
ортонормированную последовательность (подходящим образом
занумерованную) ΒΖ,2(μιΧμ2).
Упражнение 42.11. Пусть (X/, Ли щ)> ί™1, 2, ...,
—последовательность вероятностных пространств. Пусть μ = μι Χ
X щ X ... — бесконечное произведение мер на (Х\ X Х2 X ...
..., Λι Χ #2 X ...) с конечномерными проекциями μι Χ
Χμ2Χ ... ΧμΛ (при различных я). Рассмотрим полную орто-
43. ПОЛНОТА СЕМЕЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ
нормированную последовательность функций {fin}, η = О, 1,
2, ... в 12{\ы), такую, что fi0 = 1 при каждом и Для любой
конечной последовательности (щ, п2> ..., пк) неотрицательных
целых чисел определим функцию g„ n „на бесконечном
произведении пространств Х{ X Х2 X ... равенством
S/tp п2, ... nfe (*1> *2> · · · ) = ' 1«ι (*0 ' 2п2 (Х2) * ' · /A/t£ (Xfe)·
Тогда семейство {gnttt ###|П } представляет собой полную
ортонормированную последовательность функций в ^(μ).
Упражнение 42.12. Пусть (Χι,&ή, ί=1, 2, — борелевские
пространства и μ есть σ-конечная мера на (ХиЗ$\). Пусть
отображение Т: Х\-*-Х2 представляет собой борелевский
изоморфизм, такой, что μΓ_1 также σ-конечная мера.
Последовательность {fn} в Ζ,2(μ) является полной ортонормированной
последовательностью тогда и только тогда, когда {fn°T-{} есть
полная ортонормированная последовательность в /^(μ/-1)·
Упражнение 42.13. Для любой двоичной дроби вида /2-rt,
где i — положительное целое нечетное число <2", определим
hi2-n(x)·
2^\ если^1<^<^,
-2^\ есш^<х<±+1,
О в иных случаях
для всех х^[0у 1]. Пусть ft0(x)= 1 для всех х. Тогда семейство
{А0; hi2-n, 0<i<2", / — нечетное целое, /г = 1, 2, 3, ...} есть
полная ортонормированная последовательность в L2([0, 1]).
(Функции hi2-n образуют систему функций Хаара.)
§ 43. Полнота семейства ортогональных
полиномов
Принимая во внимание важную роль ортогональных
полиномов в задачах нелинейного регрессионного анализа в
математической статистике, мы примемся за доказательство
полноты последовательности ортогональных полиномов в £2(μ), где
распределение μ на R удовлетворяет условию регулярности. Это
условие выполняется для большей части распределений,
которые обычно появляются в статистических задачах.
Утверждение 43.1. Пусть вероятностная мера μ на R такова,
что при некотором α > О
[βαΐχΙ(1μ(χ)<οο. (43.1)
234
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Тогда все моменты меры μ существуют и последовательность
ортогональных полиномов полна в £2(μ).
Доказательство, Из неравенства
следует существование всех моментов
\ χηάμ, η = 0, 1, 2,
Пусть {рп}—последовательность ортогональных полиномов,
построенная по последовательности {хп}> л = 0, 1, 2, ... . Пусть
feL2^) такова, что
\ίρηάμ = 0
для всех η = 0, 1, 2, ... . Так как подпространство, натянутое
на ро, Рь ···> Pk в £2(μ), то же, что и подпространство,
натянутое на 1, х, х2, ..., xk при каждом k, то
^χηάμ = 0 (43.2)
при всех η = 0, 1, 2, ... . Так как [Εί2(μ) и в силу (43.1)
функция £°Н/2^ Ζ,2(μ), то с помощью неравенства Шварца
получаем
J|/|e^,JC,^W<oo. (43.3)
Не ограничивая общности рассмотрим действительное
гильбертово пространство Ζ,2(μ). Рассмотрим в комплексной плоскости
область
D = {z:-f <Rez<-f}.
— UI
Так как | егх | ^ е2 для всех геО, то из (43.3) следует,
что
\\i\\ezx\d[i{x)<oo (43.4)
для всех 2GD. Если /+ и /- — соответственно положительная
и отрицательная части /, положим
μχ{Ε) = \ϊ+άμ,
Ё
43. ПОЛНОТА СЕМЕЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ 235
для всех борелевских множеств EczR. В силу (43.3) μι и μ2
вполне конечные меры на R. Определим
Φι (*) = \ *гх d\M (*), /=1,2; гей.
Так как
Σνχτ
ή
Г-0
<е
4ι*ι
для всех / из (~~~2~> ~γ)> то по теореме Лебега о
мажорированной сходимости и из равенств (43.2) и (43.3) имеем
J J*f (Х) άμ = lim £ £ \ xrf (χ) άμ (χ) = 0.
Другими словами,
Λ(')-Λ(0 при -£</<-«.
(43.5)
Докажем теперь, что функция φι (ζ) является аналитической в
области D. Прежде всего отметим, что из неравенства (43.3)
вытекает, что
(43.6)
\\ί\\χ\(***1(1μ(χ)<οο
при 0 ^ θ < α/2. Если Re z = ξ, то имеем
h \<,\х\ё^^н^х\.
Если z&D, то J Re г I +1A j < a/2 для всех достаточно малых
\h\. Поэтому из неравенства (43.6) и теоремы Лебега о
мажорированной сходимости следует, что существует предел
при z&D. Это свидетельствует об аналитичности функции φι.
Тогда в силу (43.5) ф\ (ζ) =* ф2 (г) при всех z&D. В частности,
при всех / ег /?
J в"*4чМ=$е"*Ф2(*).
Из утверждения 53.9 (из взаимно однозначного соответствия
между преобразованиями Фурье и мерами) следует, что μι =
236
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
= μ2. Иначе для всех борелевских множеств Ε czR
Ε
Таким образом, / = 0 п.в. (μ). Согласно упражнению 42.6,
последовательность {рп} есть полная ортонормированная
последовательность.·
Замечание 43.2. Прежде чем продолжить построение
конкретных систем ортогональных полиномов, покажем, как
ортогональные полиномы могут быть использованы в задачах
предсказания. Предположим, что заданы две действительные слу- .
чайные величины /, g с совместным распределением Ρ на
плоскости R2, таким, что Eg2 <оо и E|f |л < оо при всех η = 0,1,
2, ... . Пусть μ = Ρ/-1—распределение случайной величины /
на действительной прямой, и пусть {рп}> η = 0, 1, 2, ...,
—последовательность ортогональных полиномов в £2(μ)·
Найдем наилучшее приближение g по {I,/,/2, .♦., fn}>
проектируя g на линейную оболочку {1, f, f2, ..., fn} в L2(P).
Линейная оболочка {1, /, /2, ..., fn) является в то же время
линейной оболочкой Ро(/)=1, Pi(f)> ♦··, Pn(f)- Поэтому линей-
п \
ная регрессия g по 1, f, f2, ..., fn просто равна Σ №gp/(/)]/?#(/).
/-о
Эта регрессия называется полиномиальной регрессией g no f
/г-й степени.
Пример 43.3. Пусть μ —стандартное нормальное
распределение в /?, т. е.
μ(Ε) = -^\β~τχ2άχ, EcR.
Пусть {Нп(х)}> /г = 0, 1, 2, ..., —последовательность
полиномов, заданных равенством
Рдг (/, х) - «™* {V~2tX) =Σ^Ηη (χ), (43.7)
где t — действительный параметр. Несложные вычисления
показывают, что
$Рлг('> *)Pn(s> x)d\i(x)*=eis
при всех tt 5Si?. Отождествляя коэффициенты при степенях
tksl для различных пар положительных целых k, l в обеих час-
43. ПОЛНОТА СЕМЕЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ 237
тях последнего равенства, получаем
^Ji^JLLM_dlx{x) = 6kh Λ — Ο, lt 2 / = 0,1,2,....
Так как Нп— полином степени /г, то из утверждения 43.1
следует, что последовательность | п,_ 1, η = 0, 1, 2, ..., есть
полная ортонормированная последовательность ортогональны*
полиномов для стандартного нормального распределения Ня
называют полиномом Эрмита п-й степени.
Из (43.7) следует, что
•"'-"-Στ*.»·4*·
С другой стороны, разложение левой части в ряд'Тейлора дает
^"-Σ м>-4£г (."*')
я=0
Отождествляя коэффициенты при Vх в двух разложениях функ«
ции е г , получаем
Hn{x)^-lfe^^^xt)
dxn
(43.8)
Используя полученную ортонормированную
последовательность, докажем интересное свойство нормального
распределения.
Утверждение 43.4. Пусть случайные величины /, g имеют
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором сред-
них значений и ковариационной матрицей I I. Пусть <j>{f)
и i|)(g) — две случайные величины, которые являются
функциями соответственно только f и только g. Предположим, что
Е^(/) = ЕяН£) = 0, .....
E^(f) = Ei|>2te)=l. (43·9)
Тогда
lcovtf(f), + (ff))Klp|. (43.10)
Равенство достигается здесь тогда и только тогда, когда ^(/) —
= ±f и ψ(ί)=±ί.
238
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Доказательство. Рассмотрим функции ф(х) и ψ(χ) на
действительной прямой. Из условий теоремы следует, что ^ и ψ
интегрируемы вместе с квадратом относительно стандартного
нормального распределения на /?. В соответствии с
примером 43.3 можно разложить функции φ и ψ по ортонормирован-
ному базису полиномов Эрмита, т. е.
оо
Φ(χ) = Σ°ηΡηΜ>
о
оо
о
где
рп(х) = ^Ш-, « = 0,1,2
Тогда из (43.9)
оо оо
Σ 4=1, Σ^=1, c0=tfo = 0. (43.11)
о о
Далее
00
covtf(f), ♦&))= £ 2πνΤ% \ρ*Ιχ)Ρ'ΜΧ
M-i
х ехР { ~ 2(1 — Р2) ^2 + У2"~ 2?ХУ)} dxdy-
Предположим, что k φ 1, Пусть для определенности k < /. Тогда
(и,/)-член указанного выше двойного ряда равен
ЩрЛ\ VT=?+рл) pi (η) Γ* (ξ'+η,) ч\ *,.
По теореме Фубини мы можем сначала интегрировать
относительно η, а затем относительно ξ. Поскольку любой полином
степени k по переменной η может быть записан как линейная
комбинация ри Ръ, ...» pk, то отсюда следует, что
рассматриваемый интеграл равен 0.
Если k = /, то этот же интеграл можно записать как
*&\РЛ\ VT^"2 + Ρη) Pk (Л) Г* "^ rfl Λμ
Тогда
pk (6 УГ^? + рл) = ρ*λ (η) + <7 (S, η),
где 9(1, η) — полином по η, (при фиксированном ξ), степень
которого не превосходит k — 1. Поэтому интеграл равен c&d*pft,
43. ПОЛНОТА СЕМЕЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ 239
Таким образом,
covtftf), *(?)) = p(ZM/-').
Теперь из этого равенства и (43.11) выводится неравенство
(43.10). Равенство в (43.10) достигается тогда и только тогда,
когда ck = dk = 0 при всех k > 1 и с\ = ±1, d\ = ±1. Так как
Р\(х) = Ху то на этом доказательство завершается.
Упражнение 43.5. Пусть /, g— действительные случайные
величины, причем / имеет нормальное распределение со средним
т и дисперсией σ2. Тогда полиномиальная регрессия g no f
η-Ρί степени равна
где Hj — полином Эрмита /-й степени.
Упражнение 43.6. Пусть μ есть гамма-распределение на
(0, оо), т. е.
Ε
где α > 0. Пуеть {Ln(x)}—последовательность полиномов при
η = 0,1, 2, ..., определенных формулой
ρ* е» *>=ттгтуг *~~^ - Σ -£·L"w' <43·12)
где параметр ί принимает значения в (—1, 1). Несложные
вычисления показывают, что
J p0 (t, χ) ρ0 (β, χ) φ (χ) = -^ - £ ?(α+1);;>.(α + η-1)^Β
(43.13)
Сравнивая коэффициенты при tksl в левой и правой частях,
получаем, что
$ Λ (*)/>/(*) 4* (*) = аы. ^ — 0. 1. 2, .... / = 0, 1, 2 ....
где
P*(*H^(«+l).-U + *-l)} ^ *-0,1.2.... (43.14)
Нетрудно показать, что
Μ*)-<*Σ(ί)<-1>'τΐη
г--- ·+α)*
240
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
где ck — нормирующие постоянные. Полином Ln известен под
названием полинома Лагерра степени /г.
Так как \ etx άμ < оо при всех t&(—1,1), то из
утверждения 43.1 следует, что последовательность {/?*}, определенная
формулой (43.14), является полной ортонормированной
последовательностью в Ζ,2(μ).
Упражнение 43.7. Пусть μ — распределение Пуассона с
параметром λ > 0, т. е.
μ({^}) = β-λ_| л:ь=0, 1, 2,
Пусть
рр(/, χ) = β-'(ΐ+λ-ιί)χ, 43.15)
где t — действительный параметр. Тогда
\ 9р С. *) 9р (5, х) άμ (х) = ехр {-£-}, (43.16)
оо
9?{t, χ) = Σ^Ρη{χ), (43.17)
о
^w-Z(r)(""1)e"4"r*(*"el)---(*"r+1)· (43Л8)
Если
дя/2
PnW = -j=Pn(x)> л = 0, 1, 2, ...,
Х° {рп}—полная ортонормированная последовательность в
1*2 (μ)- Ρ η называется полиномом Пуассона — Шарлье степени п.
Упражнение 43.8. Пусть μ — биномиальное распределение,
определенное на множестве целых чисел 0, 1, 2, ..,, η
равенством
~ μ({*})=(^)рх?*-*, *=о, ι, 2,..., п.
Пусть
РвС x) = (l+tq)x(l -ίρΓ*. (43.19)
Тогда
\ 9в (U х) 9в (5, х) άμ (χ) — (1 + pqtsf. (43.20)
43. ПОЛНОТА СЕМЕЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ 241
Далее
9Bif,x)^YJ^\YJ{-\),(k)p^->x(x-\)...
kt=Q V/=0 \ / /
...(* — £ + /— 1)(п — χ) (η — * — 1) ... (я — * — /+1)| =
00
βΣΐτΚ*Μ· (43.21)
fc«0
Последовательность {ρ*}, определенная равенством
>*We sr2—**(*>' * = 0> !· ··■■ n>
образует ортонормированный базис в Ζ,2(μ). Полином Кк
называется полиномом Кравчука степени k.
Упражнение 43.9. Пусть р#, рр, рв определены формулами
(43.7), (43.15) и (43.19) соответственно. Тогда
(i) lim ρβ f—γ=, ηρ + χ л/ηρςλ = pN{t, x);
(ii) lim ρΒ(ίλ \ лг) = рР(/, л:).
rt-^oo
ηρ->λ
(Свойство (i) можно сравнить с предельной теоремой Муав-
ра — Лапласа из утверждения 6.1; свойство (ii) следует
сравнить с утверждением 5.1.)
Замечание 43.10. В примерах и упражнениях этого
параграфа мы фактически построили так называемую производящую
функцию p(t,x)> обладающую двумя свойствами
(О р(/, *)=J] -£-<ΐη(χΥ>
(И) \p(t, x)p(s, χ)άμ(χ) = Φ#8),
где qn — полином степени η, а ф — функция действительного
аргумента. Полиномы qn после подходящей нормировки образуют
полную ортонормированную последовательность. Однако не
существует никакой систематической процедуры для прямого
построения таких производящих функций р(/, х) для произвольно
242
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
заданного вероятностного распределения μ на /?. Читатель,
который заинтересуется этим вопросом, может заглянуть в книгу
[21].
§ 44. Условное математическое ожидание
Пусть (Xf $> μ)— вероятностное пространство и f —
действительная случайная величина, доступная для наблюдения в
эксперименте, соответствующем (X, J/, μ). Задача состоит в том,
чтобы, основываясь на наблюдениях за /, «предсказать»
другую действительную случайную величину g. В замечании 43.2
предыдущего параграфа был предложен способ предсказания g
посредством полинома по степеням /, основанный на теории
ортогональных полиномов. Однако этот способ предсказания не
использует всю информацию о наблюдаемой случайной
величине f.
Как только мы получаем сведения о значениях, принятых
случайной величиной </, мы можем сказать, осуществилось или
нет событие f"l(E) для любого борелевского множества EczR.
Для всевозможных Ε из борелевской σ-алгебры $r все
события вида f~l(E) составляют а-подалеебру 3SoCz3Sy которую мы
будем также обозначать f-l(&R). Борелевскую функцию,
определенную на (Ху $о) у будем называть 3$0-измеримой функцией
на X (измеримой относительно ^0)» Отметим, что если φ—
любая борелевская функция на действительной прямой, то <f>(f)
измерима относительно σ-алгебры ^0. Докажем теперь
обратное утверждение.
Утверждение 44. 1. Пусть ψ— действительная случайная
величина на (Ху $)у которая .^-измерима, ^2 = f~!(#*)» и
пусть f — любая действительная случайная величина на (Ху&).
Тогда существует борелевская функция φ на действительной
прямой, такая, что ψ = φ ° f.
Доказательство, Пусть ψ есть ^-измеримая простая
случайная величина. Тогда ψ может быть представлена в виде
k
Ψ(χ)=Σιαι%Γ* (Ε()(χ)>
где k — положительное целое число, а,- — действительные числа
и Ει — борелевские подмножества /?. Отсюда следует, что
Ψ(χ) = {ΣααΕ^(ί(χ)),
и, стало быть, утверждение справедливо, если ψ — простая
функция. Если же ψ— произвольная ^-измеримая случайная
44. УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
243
величина, можно построить последовательность простых
^-измеримых случайных величин ψ„, таких, что ^n(x)-^^(x) при
каждом *. Пусть tyn(x) = sn(f(x))> где sn — простые борелев-
ские функции на действительной прямой. Положим
( lim sn (/), если lim sn (/) < оо,
I О в ином случае.
Тогда φ является борелевской функцией на R и ty(x) = <f>(f(x))
для всех х.Ш
Из доказанного утверждения можно сделать такой вывод:
для того чтобы предсказать случайную величину g в
пространстве /^(μ) по наблюдениям за случайной величиной /, нужно
рассмотреть проекцию g на подпространство всех случайных
величин, которые являются функциями от /, или, что
эквивалентно, проекцию g на подпространство ^-измеримых
случайных величин в Ζ,2(μ).
Теперь оставим в стороне / и непосредственно рассмотрим
подпространство всех интегрируемых с квадратом функций,
которые измеримы относительно произвольной σ-подалгебры ^ос
с=С Для такого подпространства S0 и любой ^ε!2(μ)
определим
Е(г|Я0)-/*г, (44.1)
где PSo обозначает ортогональную проекцию на
подпространство So. Выражение (44.1) называется условным
математическим ожиданием g относительно α-подалгебры С0- Это понятие
будет использовано для предсказания g по подпространству So.
Выведем из свойств ортогональных проекций некоторые
элементарные свойства условного математического ожидания.
Будем считать, что заданы вероятностное пространство (Χ, 9&, μ)
и действительное гильбертово пространство £2(μ).
Утверждение 44.2. Пусть С0 с: С — любая σ-подалгебра 9S и
ge L2(μ). Тогда для любого Bg^0
\gd\i=\E{g\®0)d\x. (44.2)
в в
Доказательство. %в, индикатор множества В, является
Соизмеримой функцией. Рассмотрим подпространство S0
^-измеримых функций в Ι2(μ). Тогда
\§άμ= (g, χβ) = (g, PS°%B) - (PS°g, b) = J Ε (g | %) άμ. Μ
244
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Утверждение 44.3. Пусть 3S0czi%} — любая σ-подалгебра и
£^Ζ,2(μ). Если для любой ^-измеримой функции h
в в
при всех BgIo, то Л= E(g\$f0).
Доказательство. Из утверждения 44.2 следует, что при всех
Belo
$[Α-Ε(£|Λ0)]*μ=«0.
в
Подынтегральное выражение представляет собой случайную
величину, определенную на (X, $0f μ). Отсюда следует, что
Д = Е(£|До).Н
Замечание 44.4. Мы предполагали, что g^L2^). Однако
левая часть равенства (44.2) имеет смысл и для g^L\fa).
Так как μ — вероятностная мера, то £ι(μ)=> Ь2(\х). Возникает
естественный вопрос, можно ли в этом случае определить
E(g|^o) посредством равенства (44.2)? Следующее
утверждение отвечает на этот вопрос положительно.
Утверждение 44.5. Пусть (Xt J?, μ) — вероятностное
пространство и <%0а$ есть σ-подалгебра. Для любой функции
§είι(μ) существует единственная ^о-измеримая функция
h = E(g\3$0)> такая, что Ае Li (μ) и
\gdv = \hd\x (44.3)
в в
при всех В е 380.
Доказательство. При любом положительном целом η
определим
, ч f g(*)> если |g(*)|</i,
δΛ Ι 0 в ином случае.
Из теоремы Лебега о мажорированной сходимости имеем
Hm \\gn(x)-g(х)I**(х)-0. (44.4)
Так как функция gn ограничена, το ^θΙ2(μ). Определим
hn= E(gn\$to) равенством (44.1). Из утверждения 44.2 имеем
при всех B&OSo
\gndv.= \hnd\\„ л—1, 2, (44.5)
44. УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 245
Тогда
sup \\ Η„άμ - \ hn άμ\^\\ gm — gn\dμ.
в s #о \ i g J
\ ΰ ο Ι
Пусть Si = {*:(А«(*)—АЯ(*))^0>, β2 = {^:(/imW-A«W)^
^0}. Тогда Βι,β2^^ο из последнего неравенства следует, что
J |Лт —ΑΛ|έ/μ< Jlffm —«ΤηΙέίμ, ί=1, 2.
Складывая эти неравенства по г = 1, 2, получаем
$|Ат— Αη|ί/μ<2 Jlgm —gnli/μ.
Из равенства (44.4) и теоремы Рисса — Фишера теперь
вытекает, что hn сходится к пределу h в Ζ,ι(μ). Из (44.4) и (44.5)
следует теперь (44.3). Так как h является пределом Att, то
заключаем, что h есть До-измеримая функция. Единственность h
доказывается точно так же,- как в утверждении 44.3. ■
Замечание 44.6. Единственная ^-измеримая функция Λ,
удовлетворяющая равенству (44.3), называется условным
математическим ожиданием g относительно Д0 и обозначается
E(ffl^o). Если 9§0 совпадает с σ-алгеброй 9§, то E(g\9&0) = g.
Если Д0— тривиальная σ-алгебра, состоящая из пустого
множества 0 и пространства Ху то E(g\$o)= Eg есть постоянная
величина.
Если / — действительная случайная величина на X и 9&о =
=/-1 (91 r), то по утверждению 44.1 существует борелевская
функция φ на действительной прямой, такая, что E(g\9S0) =
= Φ (Π- Функция φ(ί), t e #, определена однозначно п. в. (μΗ)·
Она называется регрессией g по /:
4>(t) = E(g\f = t).
Случайная величина ф(1) используется для предсказания g
по f.
Утверждение 44.7. Условное математическое ожидание имеет
следующие свойства:
(i) E(agl + bg2\@o) = ab(gl\&0) + bE(g2\$0) для всех gu
g2 ^ Lj (μ) и постоянных α, b\
(и) если g(*)>0 п. в. (μ) и geiL^^), то E(g|J0)>0
п. в. (μ);
(Hi) если g^ L{ (μ), h ^-измерима ngh^L{ (μ), το Ε (gh \$0)=*
= hE(g\%yt
(iv) Ε (Ε (g ΙД0)) = Eg для всех g e Lx (μ);
(ν) если ${ с: Д2 c= Д суть σ-подалгебры, το Ε (Ε (g | Д2) I $\) —
— Etol^i) для всех g^Mn)·
246
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Доказательство. Свойство (i) есть прямое следствие
линейности интеграла и единственности условного математического
ожидания. Для доказательства (и) отметим, что для fieCo
$Ε(£|$0)ΰίμ=$£φ>0,
в в
если g ^ 0 п. в. Отсюда E(g|Co)^0 п. в. в силу
^-измеримости E(g|Co). Для доказательства (iii) заметим, что |g|s
Είι(μ) и |g| |A|e Δι(μ). Поэтому достаточно доказать (iii)
для неотрицательных функций g и h. Для любых β, Се Со
имеем
В ВС ВС В
Следовательно, для любой неотрицательной Co-измеримой
простой функции s
в в
при всех BgI0. Если h — произвольная неотрицательная
Соизмеримая функция, то ее можно приблизить возрастающей
последовательностью Co-измеримых простых функций sn.
Используя теорему о монотонной сходимости, получаем, что при
всех β ен Со
\ghdμ=^hE{g\^)dμ.
в в
В силу того что подынтегральное выражение в правом
интеграле есть Co-измеримая функция и условное математическое
ожидание определено однозначно, свойство (iii) справедливо.
Свойство (iv) будет доказано, если положить В = X в
равенстве (44.3). Для доказательства (ν) отметим, что
\gdμ = \YL{g\Я2)dμ=\Έ(Έt(gm\<%x)dμ
в в в
для всех β е 9t\. Так как подынтегральная функция в
последнем интеграле Соизмерима, то свойство (ν) вытекает из
единственности условного математического ожидания.·
Следствие 44.8. Пусть (Ху С, μ) — вероятностное
пространство и Со с: С есть σ-подалгебра. Отображение
g-+E(g\£0)9 *«Ιι(μ),
задает оператор Ρ из β-пространства £ι(μ) на β-пространство
L\(Xy Co, μ), подпространство всех Co-измеримых функций в
44. УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
247
Ζ,ι(μ). Оператор Ρ обладает свойствами: (а) ||Р|] = 1; (Ь) Р2 =
= Р; (с) если g ^ 0, g <= Ιι(μ), то Pg ^ 0.
Доказательство. Если g^L\fa)t то IgJ + g^O, \g\ — g^
>0 и
-Ε(Ιί||^ο)<Ε(^|Λο)<Ε(ΙίηΐΛο).
Следовательно, для всех g^L\ (μ)
|Е(*|Яо)|<Е(|*||Я0). (44·6)
Интегрируя обе части неравенства и используя свойство (iv)
из утверждения 44.7, получаем
|Ε(£|Λ0)ΙΙι<ΙΙ*ΙΙι.
Из свойства (i) утверждения 44.7 следует, что ||Р||^ 1. Если
g равна постоянной функции 1, то Р\ = 1. Поэтому ||Р||= 1.
Положим ^ι = ^2 = ^ο в формулировке свойства (ν), тогда
получим Р2 = Р. Наконец, (с) есть не что иное, как свойство
(и) утверждения 44.7. Ρ является единичным оператором на
подпространстве L\(Xt &о, μ), поэтому Ρ есть отображение на
Ιι(Χ,^ο,μ).»
Следствие 44.9. Если gn-^g в £ι(μ) при п-*оо, то
Е(£я|Яо)-*Е(£|Я) в Μμ) при п->оо.
Доказательство. Это утверждение сводится к предыдущему
следствию, так как условное математическое ожидание есть
определенный на £ι(μ) оператор.
Утверждение 44.10. (Неравенство Иенсена для условных
математических ожиданий.) Пусть {X, &, μ) — вероятностное
пространство и $ocz$ есть σ-подалгебра. Пусть U — открытое
выпуклое множество в Rn и g: X-+U — векторная случайная
величина, которая представляет собой вектор-столбец, t'-й
компонентой которого является случайная величина gi из £ι(μ).
Предположим, что
E(g|#o) = (Eteil#o)f Е(й1Я0), ·■·· Е(ёп\@о))'^и п. в. (μ).
Если φ — действительная, дважды дифференцируемая функция
на £/, такая, что матрица (( dt dt ))> 1<Λ/<λ,
положительно полуопределена, непрерывна в каждой точке i^JJ и
tf>(g)e=LiM, то
E(*(g)|*o)>#(E(gl*o)) п. в. (μ). (44.7)
Доказательство, Пусть
248
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
При любых t, | е U по формуле Тейлора получаем
^ (t) == ^ (i)+(t—^^ (νί>> (fe> + i-(t—у / ^+θ (t — ι» (t—i),
где 0 < θ < 1 зависит от t и ξ. В силу положительной полуод*
ределенности /
Полагая t = g и ξ &= E(g|$0), получаем
Φ (g) > Φ (Ε (g I Λο» + (β - Ε (g I *ο))' (W>) (E (g I Jo)) п. в. (μ). (44.8)
Пусть
Ек = {х:\ф(Е(ц\<Я0))(х)\<к,
|^<E(g|0o))(*)|<*. /=1,2,..., η}.
Тогда £ft6l0. Умножим обе части неравенства (44.8) на %в
и вычислим условные математические ожидания относительно
380 (умножение на %Ек производится для того, чтобы случайные
величины, для которых вычисляется условное математическое
ожидание, принадлежали £ι(μ)). Тогда из утверждения 44.7
следует, что
%ЕкЪ(Ф(и)\Яо)>%вкФ№(и\Яо)) п. в. (μ).
При £-*оо получаем неравенство (44.7).■
Докажем теперь еще один вариант неравенства Иенсенадля
условных математических ожиданий, когда φ есть «гладкая»
выпуклая функция на интервале действительной прямой.
Утверждение 44.11. Пусть (X, 38, μ)— вероятностное
пространство и $о с: Jf есть σ-подалгебра. Пусть g — действительная
случайная величина на X, принимающая значения из открытого
интервала U. Если φ — действительная непрерывная функция
на U, такая, что ψ непрерывна, ψ' существует и остается
неотрицательной в U и #^Ζ,ι(μ), £(#)^Ζ,ι(μ), то E(g\&Q)(=U
п. в. (μ) и
Е(*(*)|Яо»*(Е(*|*о)) п' Β· (μ)· <44·9>
Доказательство. Допустим, что g>c п. в. (μ), где с —
постоянная. Тогда для любого Ве10с μ(β)>0 имеем
\E(g\$o)dμ=\gdμ> εμ(Β).
§ 9
44. УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
249
Откуда для всех В ^ <Я0 с μ (β) > 0
\[Ε№\$ο)-ο]άμ>0.
в
Поэтому
E{g\%)>c п. в. (μ).
Аналогично, если g<c п. в. (μ), то E(g\<%0)<.c п.в. (μ).
Таким образом, E(g\$o)^ U п.в. (μ), если g^U п.в. (μ).
Используем далее формулу Тейлора в следующем виде
(см. [10], стр. 286): для любых tf ξ е U
*(O-0(l) + (i-6)fft) + y(i-Sir(6 + e(/-6))>
где 0<θ<1. Отсюда £(*)> 4>(l) + (t — 1)Ф'(1). Полагая
i = f и l= E(g\$o) и повторяя рассуждения доказательства
утверждения 44.10, получаем неравенство (44.9). ■
Утверждение 44.12. Пусть (Х,^, μ)—вероятностное
пространство и 3$о^$ есть σ-подалгебра. Если §Εΐρ(μ) при
некотором ρ > 1, то для любого 1 ^ р\ < ρ
{Ε(ΐ?Π^ο)}1/Ρι<{Ε(|^Π^ο)}1/Ρ п.в. (μ).
В частности, E(g\@0)<= 1ρ(μ) и l|E(g|#0)||P ^\\g\\P для всех
Доказательство. Пусть g>0 п.в. (μ), и пусть g&Lpfo).
Положим h = gpi и j>{t) = tplp* при f>0. Тогда для всех J > 0
*"юНИ-£—0'*~>>0·
По утверждению 34.13 ήΕΐι(μ). Кроме того, <f>{h) =g*>^ £ι(μ).
Следовательно, в силу утверждения 44.11
E(^0)>[EGrP,U)]P/P'. (44.10)
Возведя обе части в степень 1/р, получим требуемое неравенство.
Если g^O п.в. (μ), то при любом ε > 0 неравенство (44.10)
справедливо с g + 8 вместо g. Полагая ε->0, получаем искомый
результат. ■
Таким образом, условное математическое ожидание есть
оператор из β-пространства Ιρ(μ) на подпространство ^0-изме*
римых функций в Ζ,/(μ), имеющий единичную норму. Если gn-+g
в Lp(\i) при л->оо, то E{gn\&o)-+E(g\$o) в Ιρ(μ) при
260 ™. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Упражнение 44.13. (Неравенство Гёльдера для условного
математического ожидания.) Пусть 0 < α г^ 1, 0 < β ^ Ι,α + βίζ
^ 1. Если /, £^Ζ,ι(μ), то
Ε(!ΠΊ?|βΙ ^о)<[Е(|/||ЗДа[Е(|£| \<%0)f.
Положим а=1/р, β = 1/^, |/| = ^, \g\ = W, где #Εΐρ(μ),
ψε^(μ), Тогда
' Ε(^ΨΙ^ο)<[Ε(|^|1^ο)]1/Ρ[Ε(|ψ|1^ο)]1/(7.
(Указание. Функция ф(ху у) = —x<*yl· удовлетворяет условиям
утверждения 44.10, если U = {(х, у): χ > 0, у > 0} и 0 < α<: 1,
0<β<1, α+β<1.)
Замечание 44.14. До сих пор мы обсуждали свойства
E(g\$o) в предположении, что σ-подалгебра &о фиксирована,
а случайная величина g изменяется. Теперь займемся
свойствами условного математического ожидания в случае, когда
σ-подалгебра $о принадлежит некоторому семейству.
Усовершенствуем обозначения. Если {38а, αεΤ}~семейство σ-алгебр, то
наименьшую σ-алгебру, содержащую U $а, будем обозначать
α
V $α> а cr-алгебру f] ^α будем обозначать Λ #α·
α α α
Утверждение 44.15. (Неравенство Дуба.) Пусть 9$\ сг
с^с: ... — возрастающая последовательность σ-подалгебр
σ-алгебры 98 в вероятностном пространстве (X, &, μ). Пусть
g^L{^) и gt=E(g|&*)> *—1> 2, ... . Тогда для любого
ε>0
μ {χ: sup \gi(x)\>G}^J— . (44.11)
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
предположить, что g — неотрицательная случайная величина. Пусть
£ = {*: sup g{(x)>e}t
Я/ = {*: giW<e, g2{x)<e, ..., £/_i(*)<e, £/(*)> в},
η
j = 1, 2, ..., п. Очевидно, что Ej не пересекаются и Ε «· U Вр
Поскольку Ej^fflj, j =* 1, 2, ..., л, το
\gd\a> \gd\i = Yj \gdv~* £ $£,φ>β 2]μ(£/) —βμ(£).
я /в, / ε/ /
Это неравенство и есть (44.11).·
44. УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
261
Утверждение 44.16. Пусть (Ху 38, μ)—вероятностное
пространство и 3B\Ci!%2CZ ... — возрастающая последовательность
(7-подалгебр 38. Положим J?TO = V $п. Для любой g^L{ (μ)
lim E(g|<0J = Ete|$J п. в. (μ).
Λ-»οο
Кроме того,
lim E(gr|^) = E(gr|^J в /,!(μ).
Λ->οο
Доказательство, По свойству (ν) утверждения 44.7
Z(g\@n) = E(E(g\$J\&n) для всех п.
Поэтому можно без ограничения общности предположить, что
38оо есть σ-алгебра &у и доказывать, что E(g\u8n) сходится п. в.
(μ) к g. Пусть Sn — подпространство ^-измеримых функций в
Ζ,ι(μ). Тогда S1CS2C: ... и (J Sn плотно в £ι(μ). Положим
η
S = [J Sn. Пусть ε > 0 произвольно. Тогда существует такая
η
функция fteS, что E\g — Λ|<ε2. Имеем
§~Ш\Е(8\Яп)--8\<:Ш\Е(§-Г1\<8п)\ +
Л-»оо П-»оо
+ m\E(h\<8n)-h\ + \g-h\.
П->оо
Так как fte5« при всех больших л, то Е(/г[^л) ===== Λ при всех
больших п. Поэтому второй член в правой части последнего
неравенства равен нулю. По неравенству Дуба
μ{*: M\E(g-h\$n)\>s}^
<μ{*: Sup|E(g-/t|^»)|>e}<E|g"A| < е.
η ε
По неравенству Чебышева
μ{χ: lg-/H>e}< £'^ΑΙ <β.
о
Таким образом,
μ{χ: §(χ)>2ϋ}^μ{χ: ШЕ{д-Н\ЗИп)>ъ} +
Λ-»οο
+ μ{*: I fir — AI > е}< 2е.
Так как в произвольно, то £(я)== О для п. в. χ (μ). Это
доказывает первую часть утверждения. Для доказательства второй
части заметим, что при достаточно больших η
E|E(fir|^rt)-g|<2E|g^A| + E|E(A|^)-A|<282. ■
252
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Упражнение 44.17. Пусть В&\ z=>.J?2 zd ... — убывающая
последовательность σ-подалгебр й?, и пусть 0Г = Λ ■$«. Для любой
η
g^Li (μ)
llmE(g\£n) = E(g\<F°) п. в. (μ),
Λ-»οο
11тЕк\ая) = Е<£1ЯГ) в Δ,(μ).
л->оо
(Указание. Примените неравенство Дуба для любой конечной
возрастающей последовательности $ncz<%n-\c: ... cz3S\.)
Перейдем теперь к исследованию сходимости E(g\3Bn) в
Lpfa) при р> 1. Докажем сначала одну элементарную лемму.
Утверждение 44.18. Пусть f — неотрицательная случайная
величина на вероятностном пространстве (X, J?, μ). Пусть ρ > 1 и
оо
( *Р~У {х: f (χ) >t)dt< oo. (44.12)
oJ
Тогда feLpfo).
Доказательство. Для любого положительного целого числа
η имеем
η
5 /'"Vi* f(*)>/)d/>(n-l)'"V{*: /(*)>"}>
>(n - 1)P_1 μ{*= If Wl > n), (44.13)
где [/(*)] обозначает целую часть /(*). Пусть
ρη = μ{χ: [f(x)] = n}.
Из (44.12) и( 44.13) имеем
оо П оо
00 > Σ j /Ρ~'μ ίχ:'w > 0 * > Σ (« - Ο""1 μ (*= Ι/ (*)1 > »)=
οο
= ^(п-1Г'(рп+1 + р„+2+ .·.) =
η-1
-Σ"»+^1'"Ι+2Ρ'Ι+ ■·'■ +<Λ-1)Ρ_1)>
>£*·+«"£ $*-'**-Σ α*.*^.
η*2 fc-Ι £-1 Λ-2 ^
44. УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
253
Следовательно, Σ прРп<°°> или> что эквивалентно, [f(x)]&
εΐρ(μ). Так как дробная часть / ограничена, то отсюда
следует, что / е Lp (μ). ■
Утверждение 44.19. (Теорема о мажорированной сходимости в
Lp для условных математических ожиданий.) Пусть (X, $, μ)—
вероятностное пространство и JiC^c ... — возрастающая
последовательность σ-подалгебр й?. Предположим, ЧТО ^оо —
= V Яп> §εζίρ{μ)> где р> 1 и
Тогда g*^Lpfa) и gn сходится к E(g\$oo) в £Ρ(μ) при гс-^оо.
Доказательство. При доказательстве утверждения можно
без ограничения общности предположить, что g —
неотрицательная случайная величина. Определим случайную величину h
равенством
ut ч I 8(х), если g{x)>j,
I 0 в ином случае.
Тогда g{x)^h(x) + -^t при всех х. Если /г„ = Ε (Λ | $rt) и А* =
= sup Ε (А | $rt), то gn</*rt + T' при всех л и, следовательно,
g*^A* + -£-. Из неравенства Дуба следует, что
μ{χ; β4*)>/}<μ{*: Λ* (*) > γ} < у J /*ώμ = y J ί</μ.
{*.g(*)>4-}
Следовательно, используя теорему Фубини, имеем
\ίρ-ιμ{χ: g*(x)>t}dt^\tp~l U J £ф Ь/ =
0 L {-<*»4} J
00
-2ί^'[)χ(4'·-)®ξΜ',(έίδ)]Λ"
оо 2ξ
Я О Я О
254
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
В силу утверждения 44Л 8 #*^Ζ,ρ(μ). Так как gn сходится к
Е(^|^оо) п. в. (μ) и |£л|<£*, причем g* интегрируема в £Ρ(μ),
то из теоремы Лебега о мажорированной сходимости следует, что
gn сходится к g в пространстве Ζ,ρ(μ).Β
Упражнение 44.20. Утверждение 44.19 остается
справедливым, если 3&\ гэ ^2 => ... и ^оо заменяется на $°° = Λ ^Λ·
η
Упражнение 44.21. Пусть ^ь &2 — две σ-подалгебры ^? в
вероятностном пространстве (X, .$, μ). Пусть Еь Е2 —операторы
условного математического ожидания относительно 3Su $2
соответственно в β-пространстве £ι(μ). Тогда (ΕιΕ2)" сходится
сильно к оператору условного математического ожидания
относительно ^{А^2» (Указание.. Используйте упражнение 41.20
и тот факт, что ί2(μ) плотно в Ιι(μ).)
§ 45. Условная вероятность
Пусть вероятностное пространство (X, ,$, μ) и σ-подалгебра
&ο<ζ:3$ фиксированы. Положим для любого isJ
Я(*,Л) = Е(зы|Я0)(*).
Тогда функция Р(х, А) определена на IX J и обладает
следующими свойствами:
(i) 0<P(*, Л)<1;
(ii) P(x,X)=U
(iii) для фиксированного Α Ρ (χ, А) является ^-измеримой
функцией χ;
(iv) \P(x, Α)άμ(χ) = μ(Α(]Β) при Bsl0, Лей?;
в
(ν) если А\у Л2, ... — последовательность непересекающихся
множеств, принадлежащих ^, то существует множество N е <Jg0f
оо
такое, что μ(Λ0 = 0 и Σρ(χ, Αι) = Ρ(χ, [} ЛЛ, если x&N.
Действительно, первые четыре свойства следуют
непосредственно из определения условного математического ожидания и
утверждения 44.7. Для доказательства (ν) отметим, что Σ %α
сходится к χ(j A в £ι(μ), и применим следствие 44.9.
ι ι
Функция Р{х,А) называется вариантом условной вероятно-
сти А относительно 9SQ (иногда обозначается Р(Л|^0).
Возникает вопрос: существует ли переходная вероятность P(xtA)
(см. определение 35.4), которая удовлетворяет первым четырем
45. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТИ
255
свойствам, сформулированным выше для Р(х,Л)? Рассмотрим
эту проблему вначале на действительной прямой.
Утверждение 45.1. Пусть μ — вероятностная мера на (Rf$R)
и $qcz<%Ir есть σ-подалгебра. Тогда существует переходная
вероятность Р(х,А) на R X <%Ry такая, что
(a) Р(х, А) есть $о-измеримая функция χ при
фиксированном А\
(b) [ Ρ {χ, Α) άμ (χ) = μ (Л П В) Для всех Ле1, В <е= Д0.
в
Доказательство. Пусть Р(х,А)—вариант условной
вероятности А относительно $о. Определим при любом
рациональном г
F(x, r) = P(x, (—ос, г]).
В силу основных свойств условного математического ожидания
имеем
(i) F(x, r)^F{xt s) для п. в. χ (μ), если г ^s и г, s —
рациональные числа;
(И) lim F(x, r) = 0 для п. в. χ (μ);
(iii) lim F(x, r)=l для п. в. χ (μ).
Γ->+οο
Так как множество всех рациональных чисел счетно, то
существует такое множество N^&о, что μ(Ν) = Ο и для всех χφΝ
справедливы свойства (i), (ii) и (iii). Введем для /ей
( lim F (χ, г) при χφΝ,
I F(t) при x<=zN,
где F(t) — фиксированная функция распределения. Тогда
F(x, t) при каждом фиксированном χ является функцией
распределения (как функция t), а при фиксированном t есть
^-измеримая функция х. Действительно, непрерывность справа
функции F(x,t) есть следствие монотонности F(x, r) по
рациональному аргументу г в случае, когда χ φ N. Так как
ν-, nW-rli?j.0X(—. г] <*)
в Ζ,ι(μ), то из следствия 44.9 выводим, что при любом t
F (x, t) = Ε (χ^ t] J #0) (χ) для π. β. χ (μ).
Обозначим через Ρ (χ, ·) ту единственную вероятностную меру,
которая соответствует функции распределения F(x, ·) при каж-
256
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
дом х. Определим класс множеств
2? = \Л: Р{х, А) есть ^-измеримая функция х,
\ Ρ (χ, Α) άμ (χ) = μ (Α f\ В) для всех В е $0}
в
(см. замечание 13.10). Из предыдущих рассуждений следует,
что (—оо, t\^SB при любом t. В силу того что Р(х, ·) и μ —
меры, конечные объединения непересекающихся интервалов
вида (а, Ь] принадлежат SB. Так как 9? — монотонный класс,
то отсюда следует, что 9? = $. Таким образом, Ρ
удовлетворяет свойствам (а) и (Ь).И
Следствие 45.2. Если переходная вероятность Ρ определена
так же, как в утверждении 45.1, то для любой функции ge
βΐι (μ)
b(g\<%o)(x)=\g(y)P(x,dy) п. в. (μ). (45.1)
Доказательство. Если А — борелевское множество и g = %At
то (45.1) совпадает со свойством (Ь) утверждения 45.1.
Следовательно, (45.1) верно и тогда, когда g — простая функция.
Так как любая неотрицательная борелевская функция может
быть представлена пределом возрастающей последовательности
простых функций, то применяя теорему о монотонной
сходимости, выводим справедливость (45.1) для неотрицательных g.
Представляя произвольную g в виде g+— g-, завершаем
доказательство. ■
Замечание 45.3. Если μ—вероятностная мера на (/?*, $Rk)
и $о есть σ-подалгебра σ-алгебры dtR%t то утверждение 45.1
доказывается для этого случая тем же способом, но с учетом
замечания 19.7. Вместо рациональных чисел используются
векторы с рациональными координатами.
Замечание 45.4. Переходная вероятность Р(х>Л), введенная
в утверждении 45.1, называется вариантом условного
вероятностного распределения относительно 9Sq.
§ 46. Регулярные условные
вероятностные распределения
Рассмотрим вероятностное пространство (/?, Λκ, μ) и
действительную случайную величину f, определенную на этом
пространстве. Обратимся к понятию условного распределения при
условии, что f принимает некоторое значение g.
46. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
257
Утверждение 46.1. Пусть f — действительная случайная
величина, определенная на вероятностном пространстве (/?, <%R, μ),
где $r — борелевская σ-алгебра подмножеств действительной
прямой. Тогда существует функция ρ(ξ,Л) на /?Х^«,
обладающая следующими свойствами:
(i) ρ (ξ, Л) есть переходная вероятность на /?Х«$р·
(ϋ)ρ(ξ, ГЧШ)) = 1 Для п. в. ΐ(μΓι);
(iii) для любой ^Ε^(μ)
\[\ёМР & **)] d*rl И)=\ё (х) άμ (*)·
Доказательство, Рассмотрим 3&ο = f~l($R). Пусть Ρ (χ, Α) —
вариант условного распределения относительно 9$о. Так как
при любом фиксированном А распределение Р(х, А) как
функция χ является ^о-измеримой, то по утверждению 44.1
существует функция Q(|, Л), такая, что
ρ (я, Л) = Q (/(*), Л) для всех *<=#, Л<=Я*. (46.1)
В силу следствия 24.23 существует борелевское множество
BoczRy такое, что множество f(B0) также является борелев-
ским и
μ(β0)=1, (μΓ1)σ(«α)) —1. (46.2)
Определим
it л^ /««. Λ), если l&f(Bo), _ _.
Л«М)-(МЛ)§ если ^/(fio), (46.3)
где λ — произвольная, но фиксированная вероятностная мера
на $R. Из равенства (46.1) следует, что р\ является переходной
вероятностью на /?Х^/?. Если Е, F — произвольные борелев-
ские множества действительной прямой, то из свойства (Ь)
утверждения 45.1 и формул (46.1) — (46.3) имеем
μΓ1(£η/7) = μ(Γ1(^)ηΓ1(^))= $ Ρ(χ9Γ1(Ε))άμ(χ)^
rl{F)
\ Pl (f (*), Γ1 №)) άμ (X) = \ Px (ξ, /-1 (Ε)) άμΓ1 (ξ). (46.4)
Γ1 (F)
С другой стороны,
μΓ1(Ε()Ρ)=\χΒ(1)άμΓ1(1). (46.5)
F
Сравнивая (46.4) и (46.5) при различных F, получаем
ρΛΐ,Γ1(Ε)) = Χβ® Для п. в. β (μ/ О
25β
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
для каждого E^$R. Пусть теперь булева алгебра $Г
порождена открытыми слева и замкнутыми справа интервалами
с рациональными концами. SF есть счетное семейство. Выберем
борелевское множество N czR, такое, что μ/-1 (Ν) = 0 и
Pi (i, Г* (Ε)) = %е (I) Для всех Ε е Τ% \ ψ N.
Так как обе части равенства, как функции переменного
множества Еу являются вероятностными мерами, то
ρΛΐ>Γ1(Ε)) = %Ε(1) для всех E^$Ril<£N.
В частности,
pAlJ~X№)) = l Для всех ΙΦΝ.
Определим далее
fPi(l, >1), если ΙφΝ, Ae=$Ry
р(1' Л)~( λ(Α), если ξ<=Ν, A<=$R.
Тогда
Ρ (б. Γ'({Ι}))-Ι Для всех Ι φ Ν
и ρ (Ι, А) есть переходная вероятность. Наконец, в силу
следствия 45.2 для любой g ^L\ (μ)
\ [$*<*)ρ(ξ. dx)]dvr\l)=\[\g{x)px{l> άχ)]άμΓ1(1) =
= \[\e(*)Q№. dx)]άμΓ1 (I) = S[Jff(*)Q(/(у), rf*)]^μ(у)-
= 5 [J ί (x) Ρ (У, dx)] άμ (у) = Ε (Ε (g IЛ0» - Eg. H
Следствие 46.2. Пусть В0 — борелевское подмножество R
и μ — вероятностная мера на 3&R f\ Bq. Если / — борелевское
отображение из В0 в /?, то существует переходная вероятность
ρ (ξ, Л) на ЯХ(Я*ПЯо), такая, что
(О ρ(ι,Γ1№))=ι для п. в. ιίμ/'1);
(ii) для любой g eiLi (μ)
$ β ί (*) Ρ (6, ЖО] <ΨΓ' (6) - J ff (*) * Μ·
Доказательство. Определим меру μι и функцию f\ на /? pa*
венствами
μΛΑ) = μ(Α(]Βο)9 A<=$Ry
\_7 ^· если хе5»»
1 \ а, если лг<^£0»
46. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
259
где точка а е R такова, что μ\~ι({α})~ 0. Используем
утверждение 46.1 и построим переходную вероятность ρι(ξ, Α)>
удовлетворяющую свойствам (i), (ii) и (Hi) того же утверждения.
Тогда
\ р{ (|, В0) άμ^1 (ξ) = J χβο (*) άμ{ (χ) = μ, (50) = 1.
Поэтому
Ρι (1> Α)) = 1 Для п. в. ξ.
Другими словами, существует борелевское множество N a Ry
такое, что μ,/,"1(Λ^) = 0 и ρ, (ξ, fi0)=l для всех ξ ^ N.
Определим
/ Ρ!(ξ, Л) для ЛеДлПЛ0, i^iVLKfl},
ρ (ξ, Л) = < . ,-ν
Ι л(Л) в ином случае,
где λ — произвольная, но фиксированная вероятностная мера
на @r(}Bo. Ясно, что μ^^ — μ!'1. Если ΙφΝ[]{α}, то
Ρ (ξ, Г1 «ξ»)-Ρ, (6. /ГЧШ))=1 Для п. в. ξίμΓ1)·
Таким образом, ρ удовлетворяет свойству (i). Если #^£ι(μ),
то
$[$*(*)Р«. dx)^rl(l) = \[\g(x)p(t, άχ)]άμιηι(ΐ) =
- $ И * (*) Pi ft. dx)l άμ{ί;1 (i) = J gr φ. Β
Докажем теперь вариант утверждения 46.1 для стандартных
борелевских пространств.
Утверждение 46.3. Пусть {Х,&) и (Υ,Φ) — стандартные бо-
релевские пространства, и пусть f: X^~Y—борелевское
отображение. Если μ—вероятностная мера на (X, $), то
существует переходная вероятность р(уУА) на (УХ$), такая, что
0) Ρ (ί/, Г* ({*/}))=! Для п. в. ί/(μΓ1);
(ii) для любой g gLj (μ)
$[$ s(*)ρ (у. rf*)]Φ/"1 (y) = \g(χ) αμ (χ).
Доказательство. В соответствии с определением
стандартного борелевского пространства можно предположить, что X
и У являются борелевскими подмножествами полных и сепара-
бельных метрических пространств. Пусть ν = μ/-1. По
утверждению 26.6 (теорема об изоморфизме) и замечанию 26.8 суще-
260
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
ствует вероятностная мера ν' на борелевской σ-алгебре 9SR
прямой /?, такая, что вероятностные пространства (Υ,Φ,ν)
и (R,&Ryvf) изоморфны. Обозначим соответствующий
изоморфизм через τ'. По определению 26.1 можно выбрать такое
множество Y\ cz У, что
Yx<=Vf v(F1)=l, xf(Yt)^^R9
(46.6)
а τ' есть борелевский изоморфизм между Υ\ и т'(У0. Пусть
Xi = f~l(Yi). Тогда Х\^9$ и μ(Χ{) = 1. По тем же
соображениям существует вероятностная мера μ' на &R, такая, что
вероятностные пространства (Х\,$(]Хи μ) и (R> <J$r, μ')
изоморфны. Пусть τ-^ соответствующий изоморфизм. Выберем такое
Х2 с= Хи что
μ(Λ-2)=:1, т(Де^
R>
(46.7)
а τ есть борелевский изоморфизм между Х2 и τ№). По
следствию 24.23 можно выбрать такое Х3 <= X2, что
Х3е$, №)e=<g>, μ(Χ3) = 1·
Пусть Yz = f(Xz). Обратимся к схеме, на которой Yz = f(Xz)cz
czf(X2)^f(Xl)=Yu
t'(r3)
φ^τ'/тг1
В этой схеме все множества являются борелевскими, / —
отображение «на», τ, %' — борелевские изоморфизмы и
x(Xs)e=$Rl т'(У3)е^;
μ (Χζ) = ν (Уз) - ^ (τ (Χ*)) - ν' (τ' (У3)) - 1;
μτ * = μ'
ντ'-ι = ν'.
Так как схема обладает свойством перестановочности и так как
в силу следствия 46.2 утверждение справедливо для
вероятностной меры μ' и отображения ф, то отсюда следует, что
утверждение верно для меры μ и отображения f. Щ
46. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
261
Замечание 46.4. Раскроем смысл утверждения 46.3 с
помощью следующей иллюстрации.
Л1 Ну}) /НСАГ)
Υ-Ν Ν
Пространство X представляется прямоугольником,
основание которого изображает пространство У. Итак, пространство У
представляется прямой линией. Для каждой точки j/еУ
множество f~~l({y}) изображается вертикальным отрезком. Если
исключить множество N из У и множество /-1 (N) с μ/"1 (Ν) = 0
из Xf то положение может быть описано следующим образом.
Для любой фиксированной точки г/еУ — Ν ρ (у, ·) есть
вероятностная мера на вертикальном отрезке f~l({y})> Для
любого множества AczX его мера μ(Α) вычисляется по формуле
μ(Α) = J ρ (у, Αί)Γι(Μ))<ΙμΓ1№
Υ-Ν
Другими словами, мера μ выражается «непрерывной» суммой
мер ρ (уу ·) на пространствах f"-1 ({*/})·
Распределение p(yf ·) на /~1({#}) называется регулярным
условным распределением при условии, что / = у. Оно
естественно определяется для почти всех у (μ/""1)· Иногда
используется форма записи: p(y9A)=P{A\f = y). Для почти всех
yil^t"1) это есть вероятностная мера на слое f~l({y})>
Утверждение 46.5. Пусть (Χ,&) — стандартное борелевское
пространство ιι <%0α& есть σ-подалгебра. Пусть μ
—вероятностная мера на <%. Тогда существует переходная вероятность
Ρ (xt А) на X X Я, такая, что
(i) при фиксированном Ael функция Р(х, А)
^-измерима;
(ii) \P(x, Α)άμ(χ) = μ(Α[\Β) при всех Де|, BgI0;
β
(iii) для любой g^L{fa)
Е(£|Я0)(*)= Ji(S)P(*, dD *ля 4· Β· *{V)<
m
ш
ж
Ш
262
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Доказательство. Рассмотрим гильбертово пространство ^(μ)
и подпространство 5 всех ^о-измеримых функций. Так как
£<2 (μ) сепарабельно, то можно выбрать плотную
последовательность функций фи #2ι ... в S. Пусть У «s R°° —- счетное
произведение действительных прямых /?. Рассмотрим отображение
/: Х-+ У, заданное равенством
f(*)-(#i(*). &(*). ·.·).
Тогда / есть борелевское отображение из стандартного боре-
левского пространства X в стандартное борелевское
пространство У. Пусть ^1 = /""1(^оо). Так как фь /= 1, 2
^-измеримы, то $iCi3lo. Так как линейная оболочка всех
функций Φι совпадает с 5, то отсюда следует, что пополнения
38\ и i#o относительно меры μ совпадают. Определим Р(х> Л) =
= р(/(х),Л), где ρ (у, А)— регулярное условное распределение
при условии / == у. При фиксированном А функция Р(х,А)
^-измерима и, следовательно, ^-измерима. Если Ве$0, то
существует В\ е Я\% такое, что μ(Β ΔΒι) = 0 и
J Ρ (χ, Α) άμ (Х)=\Р (х, Α) άμ (х)=\р (f (*), Α) άμ (χ).
В Βι В,
Пусть борелевское множество СсгУ таково, что В\ = f~]{C).
Так как ρ (у, f"1 ({#})) = 1 Для п. в. у (μ/-1)» то
$/>(*, Α)άμ(χ)= \р{у, Λ)<*μΓ'(ί0-
£ с
- J ρ G/, А П Г1 (О) ^Г1 (У) = μ (Л П Г1 (С)) -
-μ(ΛΠθι)-μ(Ληθ).
Итак, свойство (и) доказано. Отметим, что при g — χ>ι, Α ^93
свойства (И) и (iii) совпадают. Переходя к линейным
комбинациям индикаторов %а, а затем к их пределам, завершаем
доказательство. Ш
Утверждение 46.6. (Неравенство Иенсена для условного
математического ожидания.) Пусть (Х> &, μ) — стандартное
вероятностное пространство и 3toCz3} есть σ-подалгебра.
Рассмотрим выпуклое множество EaRk вида \] Kt> где {/(/} —
возрастающая последовательность компактных выпуклых
множеств. Пусть φ — действительная непрерывная выпуклая
функция на Е. Пусть, далее, fu /2, . ., fk — действительные
случайные величины на {X, В$, μ), такие, что отображение
*-*fW-tfi(*)P/2(*),..., /*(*))'
47. ТЕОРЕМА РАДОНА - НИКОДИМА И ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА 263
принимает значения в Е. Если E|^(f)|<oo и Ε || f |) < оо, где
||f|| = (Σ /?W)1/2> то E(f|^0) принимает значения в Ε и
#(E(f|0o))<E(*(f)|*o) π· в* (I*)·
Доказательство. Утверждение следует из замечания 34.29
и того факта, что
Ε(ί|#0)(*)=$*(δ)^(*. <® Для п. в. χ (μ),
где Р(х,А) есть переходная вероятность^ удовлетворяющая ус*
ловиям (i) — (ii) утверждения 46.5. ■
§ 47. Теорема Радона — Никодима
и теорема Лебега о разложении
Пусть (Х,&)—борелевское пространство и λ, μ — две вполне
конечные меры на (X, ^). Произведем разложение
пространства X на три непересекающиеся части, обладающие
некоторыми специальными свойствами по отношению к мерам λ и μ.
Выскажем это в форме утверждения.
Утверждение 47.1. Пусть λ, μ — вполне конечные меры на
(Х,^). Существуют непересекающиеся множества Хь Х2> Χζ^
е 38, такие, что
d) Χ=[]Χϊ>
i = l
(ϋ) λ(Χ3) = μ(χι) = ο;
(iii) существует строго положительная борелевская
функция g на X2i такая, что для любого Ε a X2t Ε е 38
λ(E)=\gdμi μ(E)=\g-ldλ.
Ε Ε
В частности, для ЕаХ2, Ε ^38 равенство нулю λ {Ε) возможно
тогда и только тогда, когда равна нулю μ(Ε).
Доказательство. Пусть λ + μ = v. Рассмотрим
действительное гильбертово пространство Ζ,2(ν). Поскольку ν — вполне
конечная мера, любая f, принадлежащая L2(v), принадлежит
также Li(v) и, стало быть, Δι(λ). Пусть
A(f)=\fdk, /sL2(v),
По нерайенству Шварца
\A(f)\<(\\f?dXyi\K(X))m<(K(X)Y'2([\ffdvyi\
264
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Следовательно, Λ — ограниченный линейный функционал на
гильбертовом пространстве Ζ,2(ν). По теореме Рисса
(утверждение 41.14) существует такая борелевская функция }0^12(ν),
что
A(f)=\fdk=\ff0dv для всех /sL2(v). (47.1)
Полагая / = χ£, Ε е ^?, получаем
λ (Ε) = J /о ^ν > 0 для всех Еш&. (47.2)
Ε
Поэтому /о ^ 0 п. в. (ν). Далее имеем
ν(£)>λ(£) = Jforfv
я
или, эквивалентно,
^(1 —/0)dv>0 для всех £е=$.
Поэтому 1— /о 5* 0 п. в. (ν). Таким образом, функция f0
такова, что 0 ^fo(x)^\ для всех χ и равенство (47.1) имеет
место. Пусть
*ι = {*: /о(*)=1},
Х2 = {х: 0<М*)<1},
*з = {*: /oW = 0}.
Тогда три множества Хи Х2> ^з не пересекаются и условие (I)
выполнено. Далее, в силу (47.2)
M*s) = \fodv = 09
χ*
μ(Χ{) = ν(Χι)-λ(Χι)= \[l~fo(x)]dv(x) = 0.
Χι
Итак, условие (ii) выполнено. Пусть теперь EczX2, Яб^,
Тогда из (47.2) следует, что
Ε Β
Поэтому для любой неотрицательной борелевской функции /
j/(l —/0)^λ=χ $//0*μ. (47.3)
Х\ Хч
47. ТЕОРЕМА РАДОНА — НИКОДИМА И ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА 265
Положим /= . Е, . Тогда
1 —/о
λ(£)= St^tt^ E(=lX*
Ε
Положим в (47.3) / = χε/fo. Тогда
μ(£)= \±^άμ, Е^Х2.
Определим функцию g = fo/(l —fo) на Х2> тогда g будет строго
положительной борелевской функцией на Х2 и условие (iii)
будет выполнено. ■
Упражнение 47.2. Утверждение 47.1 справедливо и в том
случае, когда λ и μ суть σ-конечные меры. (Указание. Нужно
разложить X на непересекающиеся множества Л/, такие, что
μ(Αί) + λ (At) < оо при каждом /, и использовать утверждение
47.1 для каждого At.)
Следствие 47.3. (Теорема Радона — Никодима.) Пусть λ и μ
суть σ-конечные меры на (Х,$). Допустим, что λ(£) = 0
всякий раз, когда μ(£) = 0, где Е^<%. Тогда существует
неотрицательная борелевская функция f на X, такая, что
% (Б) = jj / άμ для всех Ε е= 3&. (47.4)
Ε
Обратно, если λ есть σ-конечная мера, заданная равенством
(47.4), где f — неотрицательная борелевская функция, а μ есть.
σ-конечная мера, то Х(Е)=0 всякий раз, когда μ{Ε) = 0 при
всех Е<=$.
Если равенство (47.4) выполняется для другой функции f\,
то f=fi п. в. (μ).
Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда
λ и μ вполне конечны. Используя утверждение 47.1, разделим X
на три части Хи ^2, Χζ> удовлетворяющие условиям (i) —(iii).
Тогда λ(Χζ)= μ(Χ[) = 0. В силу условий настоящего следствия
λ(Χ{) = 0. Таким образом,
λ(Ε) = λ(Ε(]Χ2)= ^%χ2άμ для всех Ε <s 3S.
Ε
Для того чтобы завершить доказательство первой части,
остается положить f = gxx2* Вторая и третья части являются
тривиальными следствиями основных свойстр интегралов, β
266
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Замечание 47.4. Если λ, μ суть σ-конечные меры на (X, $)
и если для всех Е^<% имеем λ(£) = 0, как только μ(£)=:0,
то λ называется абсолютно непрерывной относительно μ или
доминируемой μ. Функция f, определенная в следствии 47.3
и удовлетворяющая равенству (47.4), называется производной
Радона — Никодима меры λ относительно μ. По аналогии с
производной в классическом дифференциальном исчислении
используется запись / = --—. Эта производная -г- определена
п. в. (μ). Если λ абсолютно непрерывна относительно μ, то
пишут λ «С μ. Если λ < μ и μ <С λ, то пишут λ ξ= μ и говорят,
что λ эквивалентна μ. Тогда <С есть отношение частичного
порядка в пространстве всех σ-конечных мер на (X, $)f a =
есть отношение эквивалентности.
Следствие 47.5. Пусть λ, μ суть σ-конечные меры на (Х,$)
и λ < μ. Если g<= Lx(λ), το g-rj-ei,(μ) и
S*rf*"-J*|rrf'i·'
Доказательство. Очевидно, что результат справедлив, если
g = χ^. В общем случае результат следует из линейности
интеграла и того факта, что неотрицательные борелевские функции
являются пределами возрастающих последовательностей
неотрицательных простых функций. ■
Упражнение 47.6. Если для трех σ-конечных мер λ, μ, ν на
(Х9 9&) выполняется λ «С μ «С ν, то
dX dX du, / ν
iur=-xr'i£r π· Β· (μ)
dv
Если λ = μ, το
άμ \ άλ )
Β. (μ).
Упражнение 47.7. (Теорема Лебега о разложении.) Для
двух заданных σ-конечных мер λ, μ на (X, $) существуют две
σ-конечные меры λι и λ2, такие, что
(ι) λ = λι + λ2,
(ϋ) λι < μ,
(Hi) существует множество ^gI, обладающее тем
свойством, что μ(/4) = 0, λ2(/4/) = 0, где Л' —дополнение Л. Такое
разложение единственно.
Замечание 47.8. Две меры λ и μ на борелевском
пространстве (X, $) называются сингулярными или ортогональными по
отношению друг к другу, если существует множество Л^$,
48. СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ РАДОНА - НИКОДИМА 267
такое, что λ(/4')=0 и μ(Λ) = 0. Теорема Лебега о разложении
может быть сформулирована теперь следующим образом: если
заданы две σ-конечные меры λ, μ на (Χ,ΰ§)> то мера λ может
быть единственным образом разложена в сумму двух мер λι
и %2> таких, что λι <С μ, а λ2 ортогональна μ. λι называется
абсолютно непрерывной частью λ относительно μ, %2 называется
сингулярной частью λ относительно μ.
Упражнение 47.9. Пусть λ — произвольная σ-конечная мера
на (/?*, $Rk). Тогда λ может быть единственным образом
разложена в сумму λ == λι + %2 + λ3, где λι абсолютно непрерывна
относительно меры Лебега, %2 есть неатомическая мера,
сингулярная относительно меры Лебега, и λ3 есть чисто
атомическая мера, т. е. существует счетное подмножество А
пространства Rk, такое, что %Ъ(А')~ 0. (О существовании неатомических
мер, сингулярных относительно меры Лебега, см.
замечание 25.4.)
§ 48. Элементарные свойства
производных Радона — Никодима
Следующее утверждение крайне полезно для вычисления
производных Радона — Никодима во многих статистических
задачах.
Утверждение 48.1. Пусть λ, μ — две вероятностные меры на
(X, <%) и λ < μ. Пусть последовательность σ-подалгебр &\ cz
а$2С2 ... такова, что J=V^n. Пусть fn — производная
Pari
дона — Никодима меры λ относительно μ в (Xf$n). Тогда
lim ^=*^τπ· Β· (ν)·
lim ^=4ггв LiM·
П->оо «P
Доказательство. Имеем
λ (Ε) = \ / άμ для всех Ε
где / = — · Если Е^$ПУ то
λ(Ε)= \ίάμ= $Εμ(/|$η)Φ,
где Εμ(/|^?/,) есть условное математическое ожидание /
относительно &п по вероятностной мере μ. Так как /^Ζ,ι(μ), то
268
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
такие условные математические ожидания полностью
определены. В силу единственности производной Радона — Никодима
так как обе части равенства ^-измеримы. Применяя
утверждение 44.16, завершаем доказательство.·
Упражнение 48.2. Пусть R°° — счетное произведение
действительных прямых с заданной на нем топологией произведения.
Пусть λ, μ—вероятностные распределения на борелевской
σ-алгебре пространства /?°°. Пусть, далее кп — проектирующее
отображение
пп(х) = (хи х2> ..;., хя)9
где xe/?°° и х = (лгь х2, ...). Если меры λπ~! и μπ*1 имеют
плотности fn и gn (относительно меры Лебега) в Rnf то
последовательность {р„}, где
сходится для п. в. χ (μ) к функции р, причем
//ι
рМ = "^гОО Для п. в. χ (μ),
где λι есть абсолютно непрерывная часть λ относительно меры
μ. (Указание. Последовательность {&п}у где ^„ = π„1(^Λ)>
представляет собой возрастающую последовательность σ-под-
алгебр, такую, что V $„ = $„«>.)
Λ
Замечание 48.3. Пусть (Xt$) — борелевское пространство.
Конечным или счетным разбиением 9* пространства X называют
конечную или счетную последовательность {Л/}
непересекающихся множеств из <%, таких, что Х= (J Л/. Каждое множество
А] называется элементом разбиения ^. Если &\ и ^2 — два
разбиения, то говорят, что 9>% мельче, чем &*и и записывают
&\ < ^2, если любой элемент &\ представляет собой
объединение каких-либо элементов ^2.
Пусть &\ < ^2 < ... <&*п<. ... —возрастающая
последовательность конечных или счетных разбиений, таких, что для
σ-алгебр ЗвП9 порожденных всеми элементами ^л, п= 1, 2, ...,
имеет место равенство V $п = 3$. Если λ и μ — две
вероятного
стные меры на &, то при каждом η определим
/ч 1тЙг· если хеА> Ле^ πμ(Α)Φ0,
10 в ином случае.
48. СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ РАДОНА — НИКОДИМА 269
Пусть, λι — абсолютно непрерывная часть λ относительно μ.
Тогда prt есть производная Радона — Никодима меры λι
относительно меры μ в борелевском пространстве (X, $п).
Утверждение 48.1 влечет сходимость
Птрп(х) = ^±(х)
Л->оо "И
для п. в. л; (μ) ив L\ (μ).
Следующее утверждение касается использования
производной Радона — Никодима в качестве статистики для различения
двух эквивалентных вероятностных распределений λ и μ. Перед
тем, как сформулировать утверждение, введем некоторые обо*
значения. Пусть (Χ, ^, μ)—вероятностное пространство и g —
действительная случайная величина на X. Отметим, что для
любой /^Ζ,ι(μ) E(f\g~l(&R)) является функцией вида p(g), где
ρ есть борелевская функция на R (см. замечание 44.6). Введем
обозначение p(g) = Εμ(/Ί#), где индекс μ показывает, что
условное математическое ожидание вычислено относительно меры
μ. Функция ρ определена однозначно почти всюду (μ^Γ1).
Сформулируем утверждение.
Утверждение 48.4. Пусть λ, μ — две эквивалентные
вероятностные меры на борелевском пространстве (Х>3$). Пусть
&(χ)~~(χ)· Тогда Для любой ограниченной действительной
случайной величины / на (X, 3S)
Ej/lg) = Eti(f|gr) п. в. (λ).
Доказательство, Для любого борелевского множества А с/?
имеем
$ Μλ» $ Ех(/|г)Л. (48.1)
С другой стороны,
β"1 (Λ) g-UA) £-1(Л)
= J g*v(f\g№~ \ E*(f\g)dX. (48.2)
г"1 (A) g-1 (Л)
Сравнивая (48.1) и (48.2), получаем
Ελ(η$) = Εμ(η$) п. в. (λ). Η
Следствие 48.5. Если λ и μ — эквивалентные вероятностные
меры на (X, $), то условные вероятностные распределения от-
270
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
носительно —, вычисленные по λ и μ, совпадают почти всюду.
(В математической статистике говорят, что -τ— есть
достаточная статистика для семейства распределений, содержащего
только λ и μ.)
Пример 48.6. В качестве иллюстрации полученных
результатов рассмотрим простой пример. Пусть X = R°° с борелевской
σ-алгеброй $. Пусть μ — вероятностная мера на $, в
соответствии с которой координаты хи Х2> ... точки хеХ
представляют собой независимые, одинаково распределенные случайные
величины со стандартным нормальным распределением. Пусть,
далее, λ — вероятностная мера на 3§, в соответствии с которой
*и хь ... независимы и нормально распределены со средними
т\, Ш2у ... и единичной дисперсией. Если пп — проектирующее
отображение из X на Rn, определенное в упражнении 48.2, то
dksT1
d№Z Г NT* Vй* mi I
При /г->оо это выражение сходится п. в. (μ) тогда и только
тогда, когда сходится Σ mr Предел в этом случае положите-
i
лен п.в. (μ). Таким образом, λ = μ тогда и только тогда, когда
сходится Σ m\. При этом
i
Г 00 00 "Ι
-^(х) = ехр Χ>Λ~γ£>2 .
oo
Линейный функционал /*(χ)=Σ Щ%{ служит достаточной ста*
тистикой при различении λ и μ, иначе, Ея(/|Л)= Εμ(/|Λ) η. в.
(λ) для любой ограниченной борелевской функции / на (Х,£8).
Исследуем теперь поведение производной Радона — Нико-
дима при преобразованиях.
Утверждение 48.7. Пусть заданы борелевские пространства
(X, $) и (У, Ф) и борелевский изоморфизма из (Х> Ы) в (У, ψ).
Пусть λ и μ — σ-конечные меры на $> такие, что λΓ~* и μΓ-1
являются σ-конечными мерами на $*. Если λ<μ, то λΤ""1 «С
< μΤ~ι и
т^(у)=-?г(т~*1у) для π· в· у№~1)-
d\xT άμ
49. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 271
Доказательство. Если Ε ^ <&у то
ХТ~1(Е)= J %(χ)άμ(χ)=[%(Τ-10)άμΤ-ιΟ,).
Г-1 (Ε) Ε
Принимая во внимание единственность производных Радона —
Никодима, получаем искомый результат. ■
Упражнение 48.8. Пусть μ—мера Лебега на (Rn, $R"),
Пусть Г — гомеоморфизм пространства Rn с непрерывными
производными первого порядка. Тогда μΓ = μ и
^f(x) = |det/(r, χ) Ι,
где матрица / соответствует якобиану преобразования Т.
(Указание. Используйте утверждение 37.4.)
Упражнение 4.89. Пусть (X, Шу μ) есть пространство с σ-κο·
нечной мерой и G — класс всех взаимно однозначных
отображений Г: 1^1 (X на I), обладающих свойствами:
(a) Т и Г-1 — борелевские отображения;
(b) μ(Γ£) = 0, если μ(£) = 0 для всех Е^З$.
Пусть α (Г, я) = —j— (х). Тогда для любых Ти Т2^ G
а(Т{Т2, х) = а(Ти Т2х)а(Т2у х) для п. в. л:(μ). (48.3)
Пусть для любой функции / ^ L2{\x)
[и(Т)П(х) = [а(Т,Т-1х)Т1!2!(Т-1х).
Тогда U(T)f^ £2(μ). U{J) — оператор в гильбертовом
пространстве L2(\\)y удовлетворяющий следующим условиям:
(i) U{TX)U{T2) = U{TXT2) для всех Ти T2<=G;
(ϋ) U(Ty{ = U(T)*.
(Равенство (48.3) известно как коциклическое равенство, см.
(37.5). Отображение Γ->ί/(Γ), которое представляет собой
гомоморфизм из группы G в группу всех унитарных операторов
на £2(μ), называется унитарным представлением группы G. Это
один из многих известных методов построения унитарных
представлений.)
§ 49. Закон больших чисел и эргодическая теорема
В § 11 мы рассматривали арифметические средние
о Si + $2 + · . . + Sn
где si, s2, ... представляли собой независимые и одинаково
распределенные случайные величины, принимающие конечное чис-
272
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
ло значений. Желательно изучить поведение подобных средних
величин в том случае, когда величины sn, η = 1, 2, ..., не
предполагаются независимыми и не являются, вообще говоря,
простыми. С этой целью мы сформулируем задачу в терминах
преобразований, сохраняющих меру.
Пусть (Ω, S, Р) — вероятностное пространство и fu Ы ··· —
последовательность независимых и одинаково распределенных
случайных величин на Ω. С помощью этой последовательности
построим отображение f из Ω в пространство R°°
последовательностей действительных чисел, полагая f (ω) = (/ι(ω), /г(ω), ...).
Обозначим произвольную точку пространства R°° через χ =
= (хи *2> ...)· Пусть 38°° есть σ-алгебра, порожденная
открытыми множествами из топологии произведения в /?°°, или, что
эквивалентно, σ-алгеброй, порожденной семейством всех
конечномерных борелевских цилиндрических множеств. Тогда f есть
борелевское отображение из (Ω, S) в (/?°°, ^°°). Пусть μ =
= Pf-1. Тогда (R°°f $°°, μ) есть вероятностное пространство.
Рассмотрим в R°° отображение Г, заданное равенством
(Тх)п = хп+и n=U 2, .г.,
иначе, Τ переводит последовательность (х\9 х% ...) в
последовательность (*2> хг, ···)· Для любого борелевского
цилиндрического множества
Е = {х: *,€=£,, /=1, 2 k) cz R°°
имеем
μΤ'ι(Ε) = μ{χ: х2^Ёь xz<=E2i ..., xk+i<=Ek} =
= Ρ{ω: /2(ш)е£ь f3(<»)e=£2f ..., f*+1 (ω) <=£*} =
k k
= UP {«>: f,+i (ω) s Ε,} = Π> {со: f, (со) е Ε,} = μ (Ε),
так как /ь f2, ... независимы и одинаково распределены. Таким
образом, меры μ и μΓ-1 совпадают на всех конечномерных
цилиндрических множествах, которые составляют булеву алгебру,
порождающую <%°°. Поэтому μ = μΓ-1. Таким образом, сдвиг
Τ сохраняет меру μ. Теперь ясно, что арифметические средние
? }\ + h + ... + f П
In— п
будут сходиться п. в. (Р) тогда и только тогда, когда в R°°
μ J χ: Χι *2 + ''' сходится при η -> οο 1 =1.
Определим функцию g на R°° равенством
g(x) = #i для всех х. (49.1)
49. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 273
Тогда для всех η
gfr) + g(r«)+ -·» +§(Τη~1χ) = ΧΧ + Χ2+ ... +Хп
η η
Таким образом, изучение закона больших чисел сводится к
исследованию поведения средних вида
, + ,Г + ,Г»+ ...+,!«-·' § (492)
где Τ — сохраняющее меру преобразование, a g—
действительная случайная величина.
Назовем множество Ε е ^°° Τ-инвариантным, если Ε с: Т~1Е.
Так как μ(Ε)= μΤ-χ(Ε), то μ(Τ-ι(Ε) — Ε) — 0. Поэтому для
любого инвариантного множества Ε
ХвОО — ЫГх) п. в. (μ).
По индукции имеем для любого k
%ε(χ) = %β(Τ*χ) п. в. (μ).
Иными словами, при любом фиксированном k χΕ есть функция
Xk+u ^fe+2, ... . Если функция g определена формулой (49.1),
то §> §Tt gT2t ... есть последовательность независимых и
одинаково распределенных случайных величин на /?°°.
Следовательно, для любого Г-инвариантного множества Ε случайная
величина χΕ не зависит от всех случайных величин g, gT, ...
..., gTk при фиксированном k. Иначе, Ε и любое
конечномерное цилиндрическое множество Ссг/?°° независимы, т. е.
μ(£ΠΟ«μ№)μ(0.
При фиксированном Ε обе части равенства, как функции
множества С, являются мерами, значения которых совпадают на
всех конечномерных цилиндрических множествах.
Следовательно,
μ(Ε(]Ρ) = μ{Ε)μ(Ρ)
для всех Fg^°°. В частности,
μ(Ε) = μ(Ε(]Ε) = (μ(Ε))\
Таким образом, для любого Г-инвариантного борелевского
множества Ε μ{Ε) равно 0 или 1. Имея в виду эти свойства, к
которым мы пришли, отправляясь от последовательности
независимых и одинаково распределенных случайных величин, введем
следующее определение.
Определение 49.1. Пусть (Χ, ^, μ) — вероятностное
пространство. Борелевское отображение Г: Х^Х называют сохраняю-
274
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
щим меру μ, если μ{Ε) = μΤ~ι(Ε) для всех Е<=.$. Множество
Ε е $ называется Τ-инвариантным, если μ (EAT-1 (Ε)) = 0.
Мера μ называется эргодшеской, если любое Г-инвариантное
множество Ε имеет вероятность 0 или 1. В этом случае
отображение Τ также называют эргодическим относительно μ. σ-ал-
гебра всех Г-инвариантных множеств называется инвариантной
а-алгеброй.
Теперь облечем в форму утверждения те рассуждения,
которые предшествовали данному определению.
Утверждение 49.2. Пусть (Х> $, λ) — вероятностное
пространство и (Х°°у <%°°t λ°°) — соответствующее счетное произведение.
Для любого x = (*i,#2, ...)^X°°t где χι^Χ при всех /, пусть
Тх есть последовательность (х2, Хг> ..♦)· Тогда отображение
Т: Х^-^Х00 является сохраняющим λ00-мepy и эргодическим.
Исследуем теперь сходимость средних величин (49.2) в
случае произвольных сохраняющих меру отображений.
Приведенные здесь доказательства результатов предложены А. Гарсиа.
Утверждение 49.3. (Максимальное неравенство.) Пусть
(X, $, μ)—вероятностное пространство и Τ: Χ-+Χ — борелев-
ское отображение, такое, что μΤ~{ = μ. Пусть /е £ι(μ),
fn(x) = f(x) + f(Tx)+ ... +/(Г-1*),
EN = {χ: max (ft (x), f2 (x), .... fN (x)) > 0}.
Тогда
\ f άμ >0.
EN
Доказательство. Обозначим
F (χ) = max (/0 (*). /, (x) fN (x))- Ш
Тогда
F{Tx)>f,(Tx), / = 0, 1, 2 N;
f(x) + F(Tx)>f{x) + f,(7*) = /,+,(*). / = 0, 1, 2 N.
Поэтому
f{x) + F(Tx)>max(fAx), Μ*) fjv+iM)·
Таким образом, для любого χ е ΕΝ
f(x) + F(Тх)>max(/0(х), /ι(х), ..·,/*(x)) = F(х).
49. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 275
Следовательно,
$/ф> $/?ф- \ρΤάμ.
EN EN EN
Так как F(x) = 0 на En и F(x)^0 при всех л:, то из
инвариантности μ следует, что
$Μμ> ^άμ- $/Тф = 0. Ш
ΕΝ Χ Χ
Утверждение 49.4. (Индивидуальная эргодическая теорема
Биркгофа.) Пусть (Х> ί%, μ) — вероятностное пространство и Т:
X -> X — борелевское отображение, такое, что μί~ι = μ. Для
любой функции /^Ιι(μ) последовательность
Δ f_ f + /r + /r2+ ... +/гл"1
л"' Л
сходится почти всюду к E{f\&)9 где # —инвариантная σ-ал-
гебра. Кроме того, при /г-^оо
E\AHf-E{f\9)\-+0.
Доказательство. Пусть a <Z b. Определим
Za, b - {χ: lim (Л J) (x)< a < b < Шп (Л J) (χ)}. (49.3)
Тогда Χα, ь — инвариантное борелевское множество. Докажем,
что μ(Χα,ΰ) = 0- Допустим, что это не так. Рассмотрим
вероятностное пространство (Хи $и μι), где
*<*>--$&· *е*·
Тогда сужение Г на -ΧΊ сохраняет меру щ. Определим
g(x) = f(x)-b, h(x) = a-f(x). (49.4)
Из (49.3) имеем
Ш(Апё)(х)>0,
lim {Anh) {χ) > 0 для всех χ е Х{.
В частности,
sup{g(x) + g(Tx)+ ... + g(^~!*)}>0,
sup {/*(*) + /№) + ... +A(r~]jc)}>0.
я>1
276
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Поэтому
где
Xi= LI**- 1К,
EN = {x: max (ff(*) + ff(r*)+ ... + g(Tn~lx))> θ},
^ = {χ; max (Λ (χ) + h {Τ χ) + ... + h (Tn'lx)) > θ}.
В силу утверждения 49.3 при всех N
EN fn
Так как последовательности {EN} и {/*#}, возрастая, стремятся
к Х\у то
Складывая эти неравенства и используя (49.4), получаем а —
— 6^0, что противоречит выбору а и Ь. Следовательно,
μ {Χα, ь) = 0. Отсюда вытекает, что
μ( U ха.ь)=о,
\а<Ь, а, Ь рациональны /
или, эквивалентно,
μ {χ: lim {AJ) (χ) = Щ£ (A J)(χ)} = 1.
П->оо Λ->οο
Пусть (Л/(*)) = lim (/l„f)(дс). Тогда (Af) (Тх) = (Л/) (д). По-
этому Л/ есть инвариантная борелевская и, стало быть,
^-измеримая функция. Если f ^5 0, то Anf ^ 0 при всех η и по
лемме Фату
\ Af άμ < lim \ AJ άμ = \ / άμ < οο.
Λ->οο
Таким образом, Af ^Ζ,ι(μ). Если / не является неотрицательной
функцией, то, расщепляя f на f+ и f-, заключаем, что Л/ по-
прежнему интегрируема. Таким образом, Anf сходится почти
всюду к интегрируемой функции Л/. Если / ограничена, то \Anf\
равномерно ограничена постоянной функцией и, следовательно
по теореме Лебега о мажорированной сходимости получаем
тпЕ|Лл/-Л/| = 0.
П->0О
49. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 277
Для инвариантного измеримого множества В имеем
\ Ιάμ = \ Αηϊάμ= lim \ Αηϊάμ= \ Afd\i.
в в л">00 в в
Поскольку Af ^-измерима, то Af = E(f\3f). Если / не
ограничена, то при любом ε > 0 найдем ограниченную функцию g,
такую, что Е|/ — g\ < ε. Тогда
E\AJ-EQ\3r)\<E\An{f-g)\ + E\Ang-E(g\3r)\ +
+ E\E{g-f\3r)\<2E\f-g\ + E\Ang-E(B\3r)\-
При п-+оо получаем
\hHE\Anf-E(f\3r)\<e.
Λ->οο
В силу произвольности ε утверждение доказано. ■
Следствие 49.5. В условиях утверждения 49.4
lim ' + 'Γ+·<|··+'Γ,,-1-Ε/η.Β.(μ),
если мера μ является эргодической относительно Г.
Доказательство. В этом случае каждое множество из 9
имеет вероятность 0 или 1. Следовательно, Е{\\3) = Е/.И
Следствие 49.6. Пусть (X, $)—борелевское пространство и
Τ — произвольный борелевский автоморфизм X. Если μ и ν —
две эргодические инвариантные вероятностные меры, то или
μ J_ ν, или μ = v.
Доказательство. Если μ Φ ν, то существует такое
борелевское множество £, что μ(Ε) Φ ν (Ε). Пусть
λ ί %Ε(χ) + *Ε(Τχ)+ ... +%Β(τ"-ιχ) fm χ
Л= |λτ: -s s _ Κ >μ(Ε), η-+οο |,
D ί %Β(χ) + χΒ(Τχ)+ .·. + %Β(τ*-ιχ) ,_ \
£ = i χ: — - >ν(£), λ->οο г.
Тогда А(]В — 0 и μ(Α) = ν(Β) = 1. Следовательно, μ±ν.Β
Следствие 49.7. Пусть (Χ, 9&у μ)—стандартное вероятностное
пространство и Τ1 — борелевское отображение из (X, $) в себя,
такое, что μΤ~ι = μ. Тогда существует стандартное борелевское
пространство (У, &) и отображение y-+μy из У в пространство
вероятностных мер на (Х>&), такие, что
(i) μϋΤ~ =μν и μ^ —эргодическая мера для всех i/eF;
278 ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
(И) для любого Е^$ отображение у~+\ьу(Е) является
борелевским;
(Ш) отображение у-^\*>у взаимно однозначно;
(iv) существует вероятностная мера ν на У, такая, что μ(£) =
= \ μу (Е) dv (у) для всех Ε <= $.
Доказательство. Пусть & есть σ-алгебра всех инвариантных
множеств из ^. Выберем в подпространстве всех ^-измеримых
функций в Ζ,2(μ) счетное всюду плотное множество {фп}> η = !,
2, ..., и рассмотрим отображение γ из X в /?°° (счетное
произведение прямых), заданное равенством
Υ(*) = (Φι(*)» <h(*)> ···)·
Пусть &°° — борелевская σ-алгебра подмножеств R00. Тогда
пространство (R00,^00) стандартно. Пусть «9Ό — V""1 ($°°) · Так как
γ(χ) = у(Тх)> то Si^aSf. Пусть /?(|,Л)—регулярное условное
вероятностное распределение по μ при условии у = ξ, и пусть
ν = μγ-1. Пусть, далее, Ей Е2, ... — фиксированные множества
из 3$, которые составляют булеву алгебру, порождающую 3&.
Рассмотрим для любого Feilf00 функцию χ*(ν (*))ite/(*)·
В силу инвариантности меры μ относительно Τ
\ %f (Υ (х))Xej(Τχ)άμ (χ) = \%Р(у (х))щ(х)άμ(χ).
В силу свойств регулярного условного распределения имеем
ptt.Y"l(tt»)~l Для п. в. ξ (ν),
\[\%B,(Tx)P&dxj\dv®~
F
= ][\%Bf(x)p(l>dx)]dv(l) при всех Fe^, /=1,2....
F
Следовательно, существует такое множество NqCzR00, что
ν(Ν0) = 0 и
Ρ&γ-!(β}))-ΐ;
ρ (ξ, Γ"1 (£,)) = ρ (ξ, Ε/) для всех / = 1, 2, ..., ξ φ Ν0.
В силу выбора множеств Е\ имеем
ρ(ξ,Τ-ιΕ) = ρ(1, Ε) для всех £е$, | ^ ΛΓ0. (49.5)
Если А е 3Ό, то, ясно, что при каждом ξ ^ Λο ρ (ξ, Л) == 0 или 1,
когда соответственно γ-1 ({ξ})с:Л или γ-1 ({ξ})с:Л'. Поэтому
каждая З'о-измеримая функция постоянна почти всюду относи-
49. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 279
тельно меры р(|, ·) при каждом |^jV0. Для любой борелев*
ской функции / на X положим
Ш)(х)= Ит /(*> + №)+·■■+/(**-'«).
П->оо
Рассмотрим для любого Е\ функцию
ψ/ = Λχ£/, /= 1, 2, ..,.
В соответствии с выбором функций {фп} очевидно, что
существует З'о-измеримая функция ψ/, такая, что
ψ/ = ψ7 п. в. (μ)
при каждом /=1,2, .... Так как
μ(Ε)=\ρ(ΙίΕ)άν(1)ί
то ψ/(χ) постоянна п. в. (р(£, ·)) при всех ξφΝ/, где v(iV/) =
оо
= 0. Пусть ξ φ U Ns. Тогда
Λχβ/ постоянна п. в. (р(|,.)), /=Ь ° (49.6)
Определим
о
μ^ (£) = ρ (^ Я) для всех £ е $, уеУ,
Обозначим условное математическое ожидание по мере μ^
относительно инвариантной σ-алгебры Sf через Еу(- \2f). Из (49.5),
(49.6) и эргодической теоремы Биркгофа следует, что функция
ΑχΕ — Еу (%Е} | У) постоянна п. в. (μ*,) при всех /=1, 2, ... и
y^Y. Поскольку линейной оболочкой %Efi /=1, 2, ...,
служит пространство L\{\iy), то при любом фиксированном у
функция Еу(]\2() постоянна п. в. (μ^) для каждой функции /е
^L\(\iy). А это имеет место тогда и только тогда, когда
μυ(Ε) = 0 или 1 для каждого множества Е^9. Иными
словами, мера щ является эргодической при каждом у. Так как
при этом μμ — регулярное условное распределение относительно
V, то свойства (ii), (Hi), (iv) безусловно выполнены.·
Пример 49.8. Рассмотрим единичный интервал [0, 1] с
равномерным распределением на нем. Определим преобразование
Τ равенством
71* = λ; + α (mod l),
280
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
где α — иррациональное число. Читатель может самостоятельно
в качестве упражнения показать, что Τ сохраняет меру. Мы
утверждаем, что Τ — эргодический автоморфизм. В самом деле,
пусть f — любая ограниченная Г-инвариантная борелевская
функция на [0, 1]. Разложим f в ряд Фурье:
+ 00
— оо
(см. пример 42.7). Тогда
+оо
/ (х + α) = Σ ane**in* · e2*ina.
— оо
Так как f(x-\-a,) = f(x) при всех х> то в силу однозначности
определения коэффициентов Фурье
ane*nina — йп ПрИ всех п = оу ±. 19 ±2, ....
Так как α иррационально, то равенство e2nimx = 1 имеет место
тогда и только тогда, когда η = 0. Отсюда ап = 0 при всех
пфО. Другими словами, / постоянна почти всюду. В частности,
если Ε есть Г-инвариантное множество, то χΕ — инвариантная
борелевская функция и %е постоянна почти всюду. А это верно
тогда и только тогда, когда мера Ε равна 0 или 1. Таким
образом, Τ — эргодическое преобразование.
Этот результат оказывается полезным при численном
интегрировании функций. Действительно, для интегрируемых на
единичном интервале функций f по теореме Биркгофа
справедливо почти всюду равенство
[f(x)dx= lim H*) + f(* + a) + f(* + 2a)+... +f (, + (»-!)«) >
где х + /α взято по модулю 1.
Упражнение 49.9. Пусть αϊ, аг, ...,α* — такие
иррациональные числа, что ни для каких целых (положительных или
отрицательных) чисел п\, п2, ..., пи число П\а\ + ^2^2 + ···
... + Пк<*к не является рациональным (можно сказать, что о&ь
ct2, ..., oLk рационально независимы). Пусть /* есть β-кратное
произведение единичного интервала с мерой Лебега. Пусть
преобразование Τ определено равенством
Тх = χ + a (mod 1), хе Ik,
где χ обозначает произвольную точку /* и сложение
производится покоординатно. Тогда Τ — эргодическое преобразование.
Замечание 49.10. Комбинируя утверждение 49.2 и эргодиче-
скую теорему Биркгофа, получим усиленный закон больщцх
49. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 281
чисел: если /ь f2, ... — независимые, одинаково распределенные
случайные величины с распределением μ и конечным средним т,
то
Hm fl+f>+ - "И"=т п. в.
П->оо П
Применим этот результат к задаче численного интегрирования.
Предположим, что задано распределение μ на действительной
прямой и существует метод моделирования независимых
случайных величин ξι, ξ2, ... с заданным распределением μ. Для
любой ф^Ь\ (μ) по теореме Биркгофа
П-»оо П J
Таким образом, выражение * Κι)+ 0(62)+ --· +»(Сл> М0Жет
быть использовано для аппроксимации интеграла \φάμ.
В частности, если функция / на R интегрируема
относительно меры Лебега и независимые случайные величины ξι
ξ2, ... имеют одинаковое стандартное нормальное
распределение, то, полагая
получаем, что почти всюду
Игл »(Ь) + »(Ь)+...+»(С,)д Tmdx.
г->оо П J
Λ-»οο
Для выполнения численного интегрирования на
положительной части прямой (0, оо), можно рассмотреть, например,
экспоненциальное распределение μ, заданное равенством
если χ ^ О,
если χ > 0.
μ((-οο,*]) = {°'_^
Если случайные величины ξι, ξ2, ... независимы и одинаково
распределены с распределением μ, а функция / интегрируема
на (0, оо), то, полагая ф(х) = f(x)ex, получаем, что почти всюду
Hm
0(Ь) + 0(Ь)+ ... +Φ(ζη) ^_
I.»-
\ f{x)dx.
Метод вычисления функционалов (подобных интегралам;
на основе моделирования последовательности случайных
величин с заданным распределением μ обычно называется методом
Монте-Карло (см. замечание 25,2),
282
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Упражнение 49.11. Пусть (X, $, μ) — вероятностное
пространство и Τ — борелевский автоморфизм (Х,$)> сохраняющий
меру. Пусть функция k(x) на X определена равенством
fe(*) = inf{/: />1, Т}х<=А),
где А — некоторое фиксированное множество из $ с μ(Α)>0.
Тогда k(-) является целочисленной случайной величиной.
Определим преобразование ТА на А следующим образом:
( TkMx, если k(x)<oo,
ТдХ = s
t xf если я(л:) = оо.
Пусть Л/ = {х: k(x) = /}. Тогда μ(Αοο) = 0. Если вероятностная
мера μ,4 определена на 3S(] А таким образом, что
то ТА сохраняет μ^. Кроме того, ТА является эргодическим
преобразованием относительно μΑ, если преобразование Τ эргоди-
ческое относительно μ. (ΤΑ называется преобразованием,
индуцированным на Л.)
Упражнение 49.12. Пусть (X, &, μ)—вероятностное
пространство и Τ — борелевский автоморфизм (Х,<%), такой, что μΤ =
= μ. Определим меру ρ на (ХХ/?,^Х^) как ρ = μΧν, где
v(£)=S
e-*dt.
Ε
Предположим, что ${x) = \og~£--{x) конечна во всех точках х>
и пусть
T(x,t) = (Txtt + <b(x)).
Тогда Τ — борелевский автоморфизм XX/?, сохраняющий меру
р. Если борелевские автоморфизмы Т\ и Т2 таковы, что μΤι = μ,
/=1,2, то (Т]Т2У = Τ\Τ2. (Продолжение ?, построенное на
пространстве X^R называется косым произведением,)
§ 50. Эргодическая теорема
с мажорированной сходимостью
В § 49 было показано, что для любой /^Ζ,ι(μ) и любого
сохраняющего меру преобразования Τ средние величины
. f + fT+ ... +fT«~l
ΆηΤ — -
сходятся как п. в. (μ), так и в смысле £ι(μ). Естественно
поставить вопрос: если /εΖ,ρ(μ) при некотором р> 1, то будет
60. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА С МАЖОРИРОВАННОЙ СХОДИМОСТЬЮ 283
ли Anf сходиться в £Ρ(μ)? Для ответа на этот вопрос докажем
эргодическую теорему, которая известна как эргодическая
теорема с мажорированной сходимостью и принадлежит Н.
Винеру, Доказательство подобно доказательству утверждения 44.19.
Утверждение 50.1. Пусть (Χ, 3§, μ)— вероятностное
пространство и Τ — сохраняющее меру μ преобразование. Пусть /е L\ (μ)
n*) = suPIC4J)(*)l, x^X.
Тогда для любого ε > 0
μ{*: Π*)>ε}<1$|/|φ.
Доказательство. Пусть
Ее = {х: ГМ>е}.
Без ограничения общности предположим, что / неотрицательна.
Тогда Ап{ ^ 0 при всех п. Если μ(£ε) Φ 0, то рассмотрим
функцию / — ей применим утверждение 49.3 к пространству Ев с
вероятностной мерой
Точно так же, как и в начале доказательства утверждения 49.4,
получаем
$(/-β)*μ>0.
Ег
Тогда
μ(ΕΒ)<^\ίάμ<^\\ί\άμ.Μ
Ег
Утверждение 50.2. Пусть (X, 3S, μ)—вероятностное
пространство и Г, /, /* определены так же, как в утверждении 50.1. Пусть
/ е Lp(\\) при некотором ρ > 1. Тогда /* е ΙΡ(μ).
Доказательство. Будем действовать точно так же, как при
доказательстве утверждения 44.19. Без ограничения общности
предположим, что / ^ 0. Определим
, /(*), если /(*)>-«·.
g(x) = \ 2
0 в ином случае.
Ч
284
ГЛ. VI. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Тогда
f(x)<g(x) + Yt9
f*(x)<g*(x)+±t,
где
g* (*) — sup (Ang) (χ).
Точно так же, как при доказательстве утверждения 44.19
(заменяя g и h соответственно на / и g), получаем
5 ίρ-1μ{χ: f*(x)>t}dt <oo.
о
Из утверждения 44.18 следует, что /*^Ζ,ρ(μ).Β
Следствие 50.3. (Эргодическая теорема с мажорированной
сходимостью в Lp.) Пусть (Xt &, μ)—вероятностное
пространство и Т— борелевское отображение из (X, 9$) в себя, такое,
что μΤ~{ = μ. Для любого ρ > 1 и любой /е £Ρ(μ)
limEMJ-E(/|30f = 0,
Л->оо
где 3f есть σ-алгебра Г-инвариантных множеств и
. / + /Г + ... -ИГ1"1
Кроме того, существует неотрицательная функция f 6ίρ(μ),
такая, что
MnfKT для всех п = \9 2,
Доказательство. Определим Γ = δυρΜΛ/|. В силу утверж-
дения 50.2 [*Είρ(μ). Тогда требуемый результат выводится
из эргодической теоремы Биркгофа и теоремы Лебега о
мажорированной сходимости. ■
Упражнение 50.4. Пусть (X 3$, μ) и Г заданы, как в
предыдущем следствии. Пусть log+1 = log t при t > 1 и log+1 = 0
в ином случае. Пусть, далее, f — случайная величина на Х>
такая-то |/| log+|/|eLi (μ). Тогда функция Г = sup | Л Л
Интела
грируема.
Мы завершим этот параграф замечанием, что результаты
двух последних параграфов составляют начала другого
предмета, который называется эргодической теорией.
Интересующийся читатель может обратиться к [3], [5], [9].
Глава VII
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
§ 51. Критерии слабой сходимости
в пространстве вероятностных мер
На протяжении этой главы мы будем рассматривать
вероятностные меры только на сепарабельных метрических
пространствах. Как и раньше, для любого метрического пространства X
будем обозначать Six борелевскую σ-алгебру подмножеств X.
Мы будем также использовать обозначение С(Х) для
пространства всех ограниченных действительных непрерывных функций
на X и обозначение Mq(X) для пространства всех
вероятностных мер на Six.
Еще в первой главе мы смогли убедиться в важности
предельных теорем теории вероятностей. Такие распределения, как
биномиальное, мультиномиальное, гипергеометрическое, Бозе —
Эйнштейна, включающие сложные выражения типа
факториалов больших чисел, были аппроксимированы распределениями
Пуассона и нормальным, которые аналитически устроены более
просто. Таким образом, роль предельных теорем в теории
вероятностей с вычислительной точки зрения совершенно ясна.
Постараемся обосновать это представление теоретически.
Пусть {μη}—последовательность вероятностных
распределений на X. Можно говорить, что μη сходится к распределению μ
для некоторого достаточно широкого класса & множеств Ε из
Ях, если μη(Ε)-*μ(Ε) при /г-^оо. Это эквивалентно тому, что
\ %е άμη -* \ %е άμ при η -> оо. Легко понять, что эта
сходимость может быть интерпретирована как сходимость
Ιιπι\ϊάμη=\ϊάμ (51.1)
для достаточно широкого класса 3) функций, определенных на
X. Пусть для любой точки χεί величина б* есть
вероятностная мера, вырожденная в точке х. Если хп-*х в X при п-+оо,
то было бы естественно, чтобы ЬХп->Ьх при /г-^оо. Поскольку
\ f dbx==f(x)9 соотношение (51.1) в этом случае означает, что
f(xn)^f(x) для f^S). при /г->-оо. Фактически мы ожидаем,
что функции, составляющие класс 2)у будут непрерывными,
В связи с этим замечанием введем следующее определение.
286 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Определение 51.1. Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство. Последовательность мер {μη} из М0(Х)
называется сходящейся слабо к мере μ из М0(Х), если
lim [ f άμη = [ f άμ
для любой /eC(X). В этом случае пишут: μη^μ при п-*оо.
Утверждение 51.2. Пусть {μη}—последовательность, μη^
GMo(Ji), и пусть μ^Μ0(Χ). Следующие условия
эквивалентны:
(i) μη=^μ;
(ii) lim \gdμn=\gdμ для каждой g^U(X), где U(X)
есть пространство всех ограниченных действительных
равномерно непрерывных функций на X;
(iii) lim μη((?)<Ιμ((?) для любого замкнутого множества С;
П->оо
(iv) lim μη (β) ^ μ (G) для любого открытого множества О;
(v) lim μη {Α) = μ (А) для любого борелевского множества Л,
Я->оо
граница которого имеет μ-меру О.
Доказательство. Поскольку C(X)^U(X)> очевидно, что
(i)-^(ii). Докажем теперь, что (ii)-*(Hi). Рассмотрим для
любого замкнутого множества С функцию d(xf С), которая
определена в утверждении 19.11. Ясно, что d(x, C)e U(X). Пусть
Gn = \x: d(xfC)< — |. Тогда замкнутые множества С и Gn
не пересекаются. Если
d (*, С)
fn(*) =
d(x,C) + d(x,G'n) f
то irif d(xyy)^— и из утверждения 19.11 следует, что
χ <= С, y&Gn
/яе U(X) при всех /г. Далее имеем: 0 ^/я *ξ 1, fn(x)= 1 при^
jted /rt(^)==0 при хеС. Имеем Gi=>G2:=> .,. и f| Gn = CJ
Таким образом,
ϊϊϊπ μη (С) < Urn \ίΗάμη=\ίΗ(Ιμ^μ(βύ.
При &-^оо получаем
ШЙ μη"(0)<μ(0).
П-»оо
61. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ
287
Теперь очевидно, что (iii) и (iv) эквивалентны, так как
открытые множества и замкнутые множества взаимно дополняют
друг друга до всего пространства, а любая вероятностная мера
принимает значение 1 на всем пространстве. Докажем теперь,
что (iii) и (iv) влекут за собой (ν). Пусть /isft и Л° и Л
обозначают соответственно внутренность и замыкание
множества Л. Предположим, что μ (Л — Л°) = 0. Так как A^czAczA,
то
Ш μη (А) < Ит μη (Л)< μ (Л) = μ (Л),
П->оо ГС->оо
Ит μ„ (А) > Ит μη (Л°) > μ (Л°) = μ (А).
Поэтому lim μη (Л) = μ (Л).
Для завершения доказательства покажем, что (ν) влечет
за собой (i). Пусть f^C(X) и μη(Α)-+μ(Α) при_/г-*оо для
каждого борелевского множества Л, такого, что μ (Л — Л°) = (Х
Распределение μ/-1 на действительной прямой сосредоточено на
ограниченном интервале (а, Ь). Кроме того, распределение μ/-1
обладает не более чем счетным числом атомов. Следовательно,
при любом фиксированном ε > 0 найдутся такие числа tu h,
..., tm, что (a) a = t0<t{< ... <tm==b\ (b) a<f(x)<b
при всех х; (с) tj — ί;·_ι < ε для всех /=1, 2, ..., m; (d)
μ/-1 ({^}) = 0 для всех /=1,2, ..., m. Пусть
Λ/= Г*(['/-!>'/))> /=1, 2, .., m.
Тогда Ль Л2, ..., Лт — непересекающиеся борелевские
множества и Х= [J А}. Кроме того,
Α,-Α0,<=Γ*({ί,-ι))\)Γ*№,}).
так что μ (Л/ — Л/) = 0. Таким образом,
lim μ„(Л/) = μ(Д;), /==1,2, ., т.
Пусть
Тогда |/*(лс) — f(x) Ι < ε для всех χ и
|$<*μΛ-$/ίίμ|<$Ι/-Π<ίμ,.+ 5ΐ/-Π</μ +
m
+ К Г ώμ„ ~ \ Γφ|<2ε+ £l μ„(Λ -μ (Л;) ||/,_, |.
ί-1
288 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
При п->~оо получаем
Hrn \\fd\Kn—\fdvn- ί/ί/μ|<2ε.
При ε-^-O получаем (i).B
Следствие 51.3. Пусть (Ω, S, Ρ) — любое вероятностное
пространство и {fn}, {gn}—две последовательности случайных
величин со значениями в X, такие, что
lim d (fn (ω), gn (со)) = 0 по мере Р. (51.2)
Если Ρ/;'=^μ в М0(Х), то Pg~1^.
Доказательство. Пусть φ— любая ограниченная
действительная равномерно непрерывная функция на X. Тогда
lim Ы/>))^И= lim \φάΡί;1 = \φάμ. (51.3)
Пусть ε > 0 произвольно. В силу равномерной непрерывности φ
можно выбрать такое δ > 0, что \ф(х)— 0(ί/)|<ε, если
d(x, у) < δ. Имеем
Р{\Ф(LИ) - Φ(gnИ) \<*}>P{d(fn (со), gn (со)) < δ}.
В силу (51.2) правая часть неравенства, а стало быть и левая
часть стремится к единице. Отсюда следует, что
Нт№(/яН)-^(гЛ®))] = 0 по мере Р.
Так как φ ограничена, то по теореме Лебега о мажорирован-»
ной сходимости
lim \ [ф (L И) - φ (gn (ω))] dP (со) = 0.
Из (51.3) следует, что
lim \ φdPgn-ϊ= lim U (gn(со)) dP (со) = \ φάμ.
Применяя критерий (ii) (утверждение 51.2) слабой сходимости,
завершаем доказательство.·
Определение 51.4. Для любой вероятностной меры μ на X
назовем множество А ^ $х μ-непрерывным множеством (или
множеством непрерывности μ), если μ(Α — Α°) = 0 (τ. е.
граница множества А имеет μ-меру О).
Упражнение 51.5. Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство и μ^Μο(Χ). Тогда все μ-непрерывные множества
образуют булеву алгебру, ,
51. КРИТЕРИЙ СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ
289
В случае когда X — действительная прямая, можно придать·
критерию слабой сходимости (ν) из утверждения 51.2 более
простую и удобную форму.
Утверждение 51.6. Пусть μΛ, μ—вероятностные
распределения на /?, и пусть Fn, F — соответствующие этим
распределениям функции распределения (п= 1, 2, ...). Тогда μ«=φμ при
м->-оо в том и только том случае, когда Fn(x)-*F(x) при
П-+-00 в каждой точке χ непрерывности функции F.
Доказательство. Пусть μη φ μ и χ — точка непрерывности
функции F. Тогда (— оо, х) есть μ-непрерывное множество. По-
этому Fn(x)->F(x) прип->оо.
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим
любую ограниченную непрерывную функцию ψ на R, для которой
sup I ф{х)\ = а. Пусть ε >0 произвольно. Так как множества
JC€= R
точек разрыва F счетно, можно выбрать две точки
непрерывности F — а и 6, такие, что
F(b) — F(a)>l—s._ (51.4)
Так как Fn{b)-+F(b) и Fn(a)->-F(a) при /г-^оо, то существует
такое целое число я0, что
Fn(b) — Fn(a)> 1 — ε при всех п > /г0. (51.5)
Так как ψ равномерно непрерывна в любом ограниченном
интервале, то можно выбрать точки t0 = а < t\ < t2 < ... < tk =
= b непрерывности функции F, удовлетворяющие соотношению
sup
iaj]
Обозначим
k-l
<ε. :5Ι.6>
ft-l
Σ<
Так как точки tj суть точки непрерывности F, то
Hm \ <t>kd\JLn=* \ φΗάμ. (51.7>
{а.Ь\ (а.Ь]
Имеем
|$^μ»-$^μ|<α J 1·<*μΛ + α J 1 · ώμ +
(α, 6] ν ία ftl
290 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Первые два члена правой части при η > /г0 меньше αε в силу
неравенств (51.4) и (51.5). Следующие два члена меньше ε
в силу неравенства (51.6). Последний член стремится к 0 при
/1->оов силу неравенства (51.7). Следовательно,
Так как ε произвольно, то
lim \φάμη=\φάμ.
Таким образом, μη =Φ μ при η ->- οο. ■
В качестве полезной иллюстрации этого результата докажем
центральную предельную теорему для одинаково
распределенных случайных величин (см. утверждение 9.3). С этой целью
выведем вначале одно элементарное неравенство.
Утверждение 51.7. Пусть /, g— случайные величины на
вероятностном пространстве (Ω, S, Р) и F, G — соответствующие
им функции распределения. Предположим, что Ejf — #|2<ε2.
Тогда для всех t e R
G(f-V^-e<F(f)<Q(* + Ve~) + e.
Доказательство, Используя неравенство Чебышева, получаем
P(f<t)-P(g^t + ^)^P(f^tyg>t + <y/E)<z
<P(\f-g-\>*sfi)<*.
Следовательно, F(t) ^θ(ί + Vе) + ε· Меняя местами F и Q
и заменяя t на / — Vе» получаем F(t)^G(t — Vе) — ε· ■
Утверждение 51.8. (Центральная предельная теорема.) Пусть
(Ω, S, Р) — вероятностное пространство и fu /2, ... —
независимые и одинаково распределенные случайные величины на Ω
с Efi = 0, ЕД·2 ===== 1. Тогда распределение случайной величины
—7="(fi + /2+ ·■· +fn) сходится слабо к стандартному нор-
мальному распределению.
Доказательство. Для простых случайных величин fu f2f ...
результат следует из замечания 9.4 и утверждения 51.6.
Произвольные случайные величины будем приближать простыми
величинами. Рассмотрим последовательность неотрицательных
простых функций {uk} на [0, оо), которые, возрастая, стремятся
к t при А-^оо и любом t^O. Определим функции vk, полагая
(t) i Uk®f еСЛИ f^0>
»*U —^ -αΛ(-ί). если / < 0.
51. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ
291
Тогда \Vk{t) \^\t\ при всех t и vi,(t)-*-t при &-»-оо. Определим
случайные величины {skn} на Ω, полагая
σΙ = ν(οΑ (/„)),
о, _ vM-mb
skn- ч ·
Тогда при каждом фиксированном k случайные величины Sku
Sk2> . ■. независимы и одинаково распределены с нулевым
средним и единичной дисперсией. По теореме Лебега о
мажорированной сходимости
lim E|5ft„-frt|2 = Q
при любом л. Определим
bkn 7= . ύΛ = 7=
η
и пусть Fkn и Fn — функции распределения Skn и Sn
соответственно. В силу независимости случайных величин sm — /ь
Sk2 — /2, ...
E(Skn-Sn)2 = E(skl-f{?
при любом фиксированном &., Пусть ε > 0 произвольно. Так как
правая часть последнего равенства стремится к 0 при Л-^оо,
можно найти &о> столь большое, что при всех η
Из предыдущего утверждения имеем
Fk*(t - У») - e<F„ (t)<Fbn(t + Ve) + ε
при всех /. Из центральной предельной теоремы для простых
случайных величин имеем при всех t
lim Fbn(t) = <S>(t),
П-»оо
где Φ(ί) — функция распределения стандартного нормального
распределения. Тогда
ф(/-Ув)-в< Ит Fn(t)^ Ш Fn(t)<0(t + ^e) + e.
При ε->-0 получаем
KmFn(t) = ®(t).
292 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Теперь из утверждения 51.6 вытекает слабая сходимость
соответствующих распределений, чем и завершается доказательство.
Упражнение 51.9. Пусть μ„ и μ — вероятностные меры на R
•с функциями распределения Fn и F соответственно. Если μη=τ>μ
при λ-voohF непрерывна почти всюду, то
lim sup\Fn(t)-F{t)\ = 0.
% 52. Теорема Прохорова
В данном параграфе будет дан критерий существования
сходящейся подпоследовательности последовательности
вероятностных распределений. Этот критерий принадлежит Ю. В.
Прохорову.
Утверждение 52.1. Пусть X — компактное метрическое
пространство и {μη}—последовательность вероятностных мер наХ.
Тогда {μη} содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Рассмотрим банахово пространство С(Х)
с нормой
1*11-sup |*(*)|.
Так как X компактно, то С(Х)—сепарабельное метрическое
пространство относительно метрики, индуцированной этой
нормой. Выберем в С(Х) плотную последовательность {фп}. Затем
с помощью диагонального метода выберем
подпоследовательность {μ^} в последовательности {μ«}, такую, что предел
lim
fc-»oo
[Φΐάμη^αι, /=1, 2, ...,
существует при всех /. Рассмотрим любую функцию fsC(Z)t
Для любого ε >0 выберем φι так, что \\ф — ф}-\\< е. Тогда
\ϊάμηΗ - $^Лт|<| \ Φίάμ^ - \ Φιάμηη\ +
+ \\φ-φ,\άμηΗ+\\Φ-φ,\(ΙμΛη.
Два последних члена в правой части неравенства меньше е.
Первый член стремится к нулю при &->-оо, ап-^оо. Так как 8
произвольно, то
lim \\φάμηΐι-1φάμηηι\ = 0.
52. ТЕОРЕМА ПРОХОРОВА
293
Таким образом, \ φάμηΐζ сходится при любой функции фу когда
&->оо. Пусть
Тогда Л представляет собой неотрицательный линейный
функционал на С(Х)У такой, что Л(1) = 1. В силу следствия 33.5
существует мера μ^Μ0(Χ)> удовлетворяющая равенству
Α(Φ)=\φάμ при всех ф&С(Х). Отсюда следует, что {μη^}
сходится слабо к μ при k-^ооШ
Определение 52.2. Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство и {μη}—последовательность из пространства М0(Х).
Последовательность {μη} называется равномерно плотной, если
для всякого ε > 0 существует компактное множество Кг d X9
такое, что
μη(Κε)>\-Β
при всех η = 1, 2, ....
Утверждение 52.3. (Теорема Прохорова.) Пусть X —
сепарабельное метрическое пространство и {μΛ}—равномерно плотная
последовательность из М0(Х). Тогда {μ„} содержит слабо
сходящуюся подпоследовательность.
Если X — полное сепарабельное метрическое пространство и
последовательность {μη} слабо сходится, то {μη} является
равномерно плотной.
Доказательство. Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство. Тогда по теореме Урысона (см. [12], с. 125) X можно
рассматривать как подмножество компактного метрического
пространства X с относительной топологией. Любой μ^Μ0(Χ)
сопоставим μΛίο(^) посредством равенства
μ (Л) = μ (Л П *), Л®%.
Согласно утверждению 52.1, выделим из последовательности
{μη} подпоследовательность {Р^}, которая слабо сходится в
пространстве X к вероятностной мере v. При каждом г=1,
2, ... выберем компактное множество Кг с: X, такое, что для
всех k
μ^(ΚΓ)>1-±. (52.1)
Так как множество Кг компактно в Х> то Кг есть компактное
множество в X и потому — борелевское множество в X. Кроме
294 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
ТОГО,
Vnk{Kr) = Vnk{Kr), г=1, 2, ..., k=ly 2, ....
По утверждению 51.2
' Ш\хПк(Кг)<чЮ, г=\, 2, ....
fe->oo
Из неравенства (52.1) следует, что
v(/Cr)>l-f, г=1, 2, ...,
Пусть Eq= U Кг> тогда EqCzX, E0—борелевское множество
в X и v(£o)= 1. Покажем, что существует μ^Λί0(Χ), так что
μ = v. Действительно, 9ох = $ ^ f| X. Для любого А ^ЗИХ
существует Bj e β^, такое, что Α = Βι()Χ. Тогда положим
μ(Λ) = ν(βι). Если В2<=Щ и Л = В2П*, то ΒχΔΒ2α Χ'<=Ε'0
и ν(βιΔβ2) = 0. Тогда ν(βι)=ν(β2) и, таким образом, μ(Α)
вполне определена. Рассмотрим последовательность
непересекающихся множеств Ai = Bi[\Xy где в**е#£ при всех ί.
Поскольку Bi(]E0cz Bi(]X при всех /, множества Bi(]Е0 не
пересекаются. Следовательно,
μ(υ ^)=ν(^ ^) = ν(^ (Bfn£0)) =
= Σν(β<η£ο) = Σν(β<) = Σμ040.
Таким образом, μ является вероятностной мерой, такой, что
μ = v.
Пусть С — замкнутое подмножество X. Тогда существует
замкнутое подмножество D пространства X, такое, что С =
s= D Π Χ> Так как \ink =Φ·μ, то
Ш μ (С) — Пт ДЛА (D) < μ (D) - μ (С).
Тогда по утверждению^ 61.2 μη^=>μ, что доказывает первую
часть.
Для доказательства второй части предположим, что
пространство X полно и сепарабельно. Пусть μ„=#>μ в М0(Х) при
л->-оо. Так как X сепарабельно, то существует
последовательность открытых шаров Sn\> 5я2, ... радиуса 1//г, таких, что при
всех /г = 1, 2, ., 4
52. ТЕОРЕМА ПРОХОРОВА
295
Покажем, что для любого б > 0 существует целое число kny
такое, что
μ*(^5η/)>1-δ
при всех i= 1, 2, ... . Допустим, что это не так. Тогда
существуют бо > 0 и последовательности целых чисел i\ < i2 < ... и
k\ < &2 < ..., такие/что
при т= 1, 2, ... . Для любого фиксированного г при т^г
Kr Km
Us^czUs»/-
Поэтому при т^г
ft«QIs-/)<i*««(/!3s./)<1-e»·
Поскольку μί/π=*-μ при m^-oo и множество \j Snj открыто, из
утверждения 51.2 следует ·
μ(ϋ 5я/)< Итцгт(и Sre/)<1 -δ0.
При г->оо получаем μ(Χ)^. 1—60, что противоречит условию
теоремы. Следовательно, при каждом фиксированном п,
полагая б = г/2п, можно выбрать такое kn, что
при всех ί=1,2 Теперь определим
Так как μ; (СЛ) > 1 —-|г при всех я, то μ/(/()> Ι—ε при
всех /==1, 2, ... . Для завершения доказательства осталось
показать, что множество Л* компактно. Так как каждое Сп
замкнуто, то и К замкнуто. Докажем теперь, что любая
последовательность хи Х2> ... точек из К имеет предельную точку,
296 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
принадлежащую /С Поскольку /CczCi, то существует такое
ny^kiy что множество I(f]S\ni = K\ содержит бесконечно много
точек Xi. Поскольку Ку с: С2, существует такое п% ^ k2, что
множество К\ Π $2^2= Къ содержит бесконечно много точек х^
Повторяя эту процедуру, получим последовательность К\ =>
гэ Х2 ^ . ·., где каждое множество /С/ содержит бесконечно
много точек хи Так как Kj с: S/n , то диаметр /С/ не превосхо-
2
дит -г при /= 1, 2, .... В силу полноты пространства X
где хо^^. Любой шар с центром в х0 при некотором
достаточно большом / содержит К} и, вместе с ним бесконечно много
точек Xi. Следовательно, Xq есть предельная точка
последовательности хи х% ... . Таким образом, К компактно.·
Определение 52.4. Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство и {μη}—последовательность элементов М0(Х).
Говорят, что последовательность {μη} слабо относительно компактна
или просто компактна1), если любая подпоследовательность
{μη} содержит в свою очередь подпоследовательность, которая
слабо сходится.
Замечание 52.5. С учетом последнего определения теорема
Прохорова может быть сформулирована следующим образом:
если X — полное и сепарабельное метрическое пространство, то
каждая компактная последовательность {μη} является
равномерно плотной; если X — сепарабельное пространство, то
каждая равномерно плотная последовательность {μη} компактна.
Полученный результат дает мощный метод для развития теории
слабой сходимости вероятностных мер, но это остается за
пределами книги. Интересующийся читатель может обратиться к [1],
[17].
Упражнение 52.6. Пусть {μη}—последовательность
вероятностных мер на Rk, и пусть отображение щ задано равенством
я/х = Xj при каждом /=1, 2, ..., k. Предположим, что при
каждом / последовательность {μ^Γ1} компактна. Тогда {μη}
компактна.
Утверждение 52.7. Пусть {λ*}, {μη}, {νη}~-три
последовательности вероятностных мер на Rkt и пусть при каждом η
1) Обычно говорят об относительной компактности или секвенциальной
компактности в пространстве вероятностных мер. — Прим. перев.
52. ТЕОРЕМА ПРОХОРОВА
297
имеем λη = μη*νη· Если последовательности {λη} и {μη}
компактны, то и {ν,ζ} является компактной.
Доказательство. Так как {λη} и {μη} компактны, то из
замечания 52.5 следует, что для любрго ε > 0 существует
компактное множество /Се, такое, что при всех η
λη(/ίβ)>1-β, μΛ(*β)>1-β·
Тогда
1-ε<λη(Κε)=\νη(Κε-χ)άμη(χ)^ J vn (Ke - x) άμη (χ) + ε
«ε
или
£νΛ(*Γβ-χ)Φ«(χ)> 1 —2ε.
«ε
Следовательно, существует точка xtt e /(ε, такая, что при всех п
ν„(^ε-Χη)>1-3ε.
Так как Кг — χηαΚζ—Кг={х — у: хе/(6, уе/(е}, то при
всех η
vn(Ke-Ke)>l-3e,
где Кг — Ке есть компактное множество. Таким образом,
последовательность {vn} равномерно плотна и, следовательно,
компактна. ■
Утверждение 52.8. Пусть {λΛ}, {μΛ}, {νη}—три
последовательности вероятностных мер на Rkf и пусть при каждом η
имеем λη = μη * ν*. Пусть, далее, для любой точки χ е Rk
вероятностная мера бх вырождена в х. Предположим, что
последовательность {λη} компактна. Тогда существует
последовательность {хп} в Rk, такая, что последовательности {μ„ * 6Xfi} и {v„ *
* δ-Χ/ι} компактны.
Доказательство. Пусть {еп}— последовательность
положительных чисел вп, таких, что Σε„ < оо. Следуя теореме Прохо-
п
рова, можно выбрать такую последовательность {Кг}
компактных множеств, что λη{Κτ) > 1 — εΓ при г=1, 2, ... . Пусть
убывающая последовательность положительных чисел {цп} стре-
оо
мится к 0, так что ^ βΛη~! < у. Например, можно взять гп =
= гт2 и ηΛ = ί:η-δ, где 0<δ< 1, а с —подходящая постоян-
298 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
ная. Определим
оо
Апг = {χ: μη (Кг - х) > 1 - ηΓ}, Вп = Π Кг
г=\
Тогда
1-ег<Лл(/Сг)= J μη(ΚΓ-~Χ)άνη(χ)+ J μη(ΚΓ-χ)^ν„(χ)<
Anr Anr
<\(Ю + (1-\)\(Кг),
откуда νη(^Γ)<β/.η-1. Тогда
оо
Следовательно, ВпФ0. Иными словами, существует такая
точка хп e ВПу что
μη(ΚΓ-Χη)> 1 — Пг
при всех г и η или
(μ« * δΧ/ι) {Кг) = μη (Кг - Хп) > 1 - ηΓ
при всех г и п. Таким образом, последовательность {μ**δΧ/ι}
равномерно плотна и поэтому компактна. Имеем
К = μη * Vn = (μ» * SXJ * (vn * δ-Χ|ΐ).
Из утверждения 527 следует, что последовательность {νΛ * δ-Χ/ι}
также компактна.·
Замечание 52.9. Утверждения 52.7 и 52.8 остаются
справедливыми, если Rk заменить сепарабельным В-пространством,
Доказательство остается тем же самым. Различные
применения утверждения 52.8 читатель может найти в [17].
Упражнение 52.10. Пусть {μη}—последовательность
вероятностных мер на R1 и последовательность {μ* ι\ компактна при
некотором положительном целом /. Тогда {μη} компактна.
§ 53. Преобразования Фурье
вероятностных мер на Rk
При изучении сумм независимых случайных величин и их
предельных распределений в Rk одно из основных средств — это
теория преобразований Фурье, или характеристических
функций. Мы кратко коснемся этого вопроса. Введем необходимые
63. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА Rk 299
обозначения и определения. Произвольная точка xg^ есть
вектор-столбец, /-я координата которого равна xuiz=z U 2, .., k.
Для двух точек х, у из Rk введем
к
<х>У>=Е*/#/·
Определим для любой меры μ е M0(Rk)
ji(t)=^<t>*>4i(x), t<==R\ (53.1)
Определенная на Rk комплекснозначная функция μ называется
преобразованием Фурье, или характеристической функцией
вероятностной меры или распределения μ. Если случайная
величина f, определенная на вероятностном пространстве (Ω, S, Р),
принимает значения в Rk и μ = РН— распределение f, то
характеристическая функция μ равна
ji (t) = J el <*· x> άμ (χ) = J el <*■f< dP = Ее1 <*· f>.
Ω
В этом случае говорят также, что μ есть характеристическая
функция случайной величины f.
Утверждение 53.1. Пусть μ^Λίο(^), тогда
(О А(0)-1; _
(Н) A(-t)-A(t);
(iii) Σ αβ^μ (t/ —17) > 0 для любых комплексных чисел
йи йъ . · ·, «пи любых точек tb t2, ..., tn из Rk;
(iv) μ — равномерно непрерывная функция t.
Доказательство. Первые два свойства μ немедленно следуют
из определения (53.1). Для доказательства (Ш) заметим, что
are N г 7
J] W (tr — *-) = S Σ α^<V"VX> ^ (χ) -
Γ, 5
-$|£α,«νΓ,*'Γ<ίμ(χ)>0.
Докажем последнее свойство (i(t). Имеем для любого h^Rh
ΙΑ(ί + «-Α(ί)Ι<5ΐβ'Λ.«>-1|£ίμ(χ).
Поэтому
sup lAit + hJ-AWKjle'^^-ll^W.
300 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Подынтегральное выражение в правой части ограничено и
стремится к 0 при h-*0. Следовательно, по теореме Лебега о
мажорированной сходимости
lim sup |£(t + h)-Mt)| = 0,
где |Η| = ΓΣ^γ/2. Таким образом, μ равномерно непрерывна.·
Замечание 53.2. Теорема С. Бохнера утверждает: если комп-
лекснозначная функция φ на R* непрерывна, ^(0)= 1 и при
любом целом положительном я, комплексных числах αϊ, й2, ..., ап
и точках ti, t2, ..., tn справедливо Σβί^/^(^ —ί/)Ξ^°> то Φ
является характеристической функцией μ некоторого
вероятностного распределения μ в Rk. (Доказательство можно найти
в [И]).
Утверждение 53.3. Пусть μ е Mo(Rk) и \ | xf \ άμ (χ) < оо при
некотором /. Тогда μ имеет частную производную по */ и
-$^{ϊ)-ί\χ^«-*>άμ{χ). (53.2)
Производная -gp(t) равномерно непрерывна по t.
Доказательство. Пусть е/ — вектор, /-я координата которого
равна 1, а остальные координаты равны 0. Тогда
_V J> = ^ ei<t, x)y__ jάμ(χ)β
Подынтегральное выражение в правой части по абсолютной
величине не превосходит |лг/|. Полагая Л->0 и используя теорему
о мажорированной сходимости, получаем (53.2). Вторая часть
утверждения доказывается так же, как и последняя часть
утверждения 53.1. ■
Упражнение 53.4. Пусть μ€ΞΜο(#*) и
^ | х[1х[2 ... Xrkk | άμ (χ) < оо
для всех η ^ 0, г\ + Г2+ ... +гк^г. Тогда производная
~7—ψ r~(u(t)) существует, равномерно непрерывна и для
53. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА Rk 301
всех η ^ 0, /*! + · ·.- + г*, ^ г
/i+;"+rfer u(t)-r>+ -+^Ц1··· ^α'χ>^μ(χν
dt{ldt22 ...dtkk J *
Обратно, если μ(ί) дифференцируема k раз по переменной tu
причем k — четное целое число, то \ x\d\i{x) < оо.
В § 36 была определена свертка вероятностных мер в Rk.
Если f и g — независимые случайные величины со значениями в
Rk и распределениями μ и ν соответственно, то μ*ν есть
распределение f + g. Тогда характеристическая функция
распределения μ#ν равна
Eei <t. i+g> = Ее1 <*· V <*· *> = μ (t) v (t).
Таким образом, доказано следующее
Утверждение 53,5. Для любых μ, v^M0(Rk)
(μ*νΓ(ί) = μ(ί)ν(ί).
Упражнение 53.6. Пусть случайная величина f со значениями
в Rk имеет распределение μ. Если А есть (k X k) -матрица с
действительными элементами и ае Rk, то характеристическая
функция случайной величины Af + a равна el(t» a)ji (A't), где А'
есть транспонированная матрица А.
Упражнение 53.7. (i) Биномиальное распределение числа
успехов в η независимых испытаниях с вероятностью успеха ρ
имеет характеристическую функцию {peu + q)n.
(ii) Распределение Пуассона с параметром λ имеет
характеристическую функцию {X(elt— 1)}.
(Hi) Гамма-распределение μ на Ry заданное формулой
μ(Ε) = γ^ \ е-ахх*-Чх, а > О, а>0,
Ε П(0,оо)
имеет характеристическую функцию Π — ^-) ·
Утверждение 53.8. Многомерное нормальное распределение
в Rk с вектором средних m и ковариационной матрицей Σ имеет
характеристическую функцию ехр | / (t, m> — yt'Etj.
Доказательство. Пусть
+ 00 ι
^2)= νΐτ S eZXe~^dx-
302 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Отметим, что ψ является аналитической функцией на всей
комплексной плоскости. При ζ = t действительном, вычисляя
интеграл, получаем
L
Таким образом, аналитическая функция ψ (г) совпадает с
ехр | γ г2 J на всей действительной оси в комплексной
плоскости. Следовательно, они совпадают всюду. Таким образом,
ф(й) = ехр{-^2}.
Другими словами, характеристическая функция стандартного
нормального распределения равна ехр | — — /2}.
Рассмотрим теперь многомерное нормальное распределение
с вектором средних 0 и ковариационной матрицей /. В этом
случае координаты случайного вектора независимы и имеют
стандартное нормальное распределение. Тогда характеристическая
функция многомерного нормального распределения равна
ехр{--^ + '2+ ... +^)} = exp{--i-(t, t)}.
Пусть |—многомерная случайная величина в Rk и ее
координаты ξι, ξ2, .. ·, Ъ независимы и имеют стандартное
нормальное распределение. Рассмотрим η = А| + т, где А есть (к X k)-
матрица и m — неслучайный вектор. Из упражнения 53.6
следует, что характеристическая функция η равна
ехр {/ (t, m> -1 <А'*> А'*> } = exP {' <*. m> ~ Τ *'АА'< } ·
Но распределение случайной величины η является
многомерным нормальным распределением с вектором средних m и
ковариационной матрицей АА', а льобая положительно
полуопределенная матрица Σ имеет вид АА' для некоторой матрицы А. ■
Утверждение S3.9. (Теорема обращения.) Пусть μ, ve
^M0(Rk), и пусть ji(t) = v(t) при всех t. Тогда μ = v.
Доказательство. Имеем для всех х, ug/J
k
i (x-ti, y>—5- a2<y. y> _, 1 —5-5- <x-u. x-u>
1 Г /(x-u,y>—s-σ2<y. y>
2n)k J J
(2я)* J " (2n)KfZa
mnk
e
2σ2
где dy указывает на интегрирование относительно меры Лебега.
Интегрируя обе части равенства относительно μ по переменной
53. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА Я* 303
х и применяя теорему Фубини, получаем
^$»«.-'"-*"*"*-^$.-*~-"*»·
Теперь интегрируя обе части последнего равенства по
переменной и в области
А = {и: — оо <Ui<ah /=1,2, ...,£} (53.3)
и применяя теорему Фубини только к правой части равенства,
получаем
-$[nW?'"*0,,""4*w-
■-/ = 1 —оо J
Г* ^ ι 1
-S[nwl ·"** *■]*<*>. <53·4>
Заметим теперь, что функция, стоящая в квадратных скобках в
правой части (53.4), всегда не превосходит 1. Если σ->0, то эта
функция стремится к функции р(х):
0, если xf > α/ при некотором /,
1, если Xf < а} для всех /,
h_t , если Xf <α/ для / значений /
и лг/ = а/ для k — l значений /.
Полагая σ-^O в (53.4) и применяя теорему о мажорированной
сходимости, получаем
к
=Σ*^ Σ μ{χ: хч=ач>/=1,2> ···'г;
. Г-0 ix<i2< ...<ir
xt < cii при /<£ (iu i2t ..., /r)}, (53.5)
где А определено в (53.3). Это равенство справедливо для
любой вероятностной меры μ. Пусть μ = ν и ае/?* такова, что
р(х) =
304 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
при всех i
μ {χ: xi = ai} = v{x: л;г==а;} = 0.
Тогда из равенства (53.5) следует, что
μ{χ: Xj^cij для всех /=1, 2, ..., k} =
= v{x: Xf^a} для всех /=1, 2, ..., k).
Следовательно, μ и ν совпадают на множествах, являющихся
конечными объединениями непересекающихся разностей
указанных выше множеств. А это означает, что μ и ν совпадают на
булевой алгебре множеств, порождающей борелевскую σ-алгебру
в Rk. Таким образом, μ = v. ■
Замечание 53.10. Равенство (53.5) можно назвать формулой
обращения для характеристических функций. Эта формула
выражает меру μ через характеристическую функцию μ.. В случае
действительной прямой эта формула приобретает следующий
простой вид:
χ Г +оо ! η
I Г I f —iuy — о3уг I 1
1[τη0ΈΓ )\ \ V(y)e 2 <ΜΛ« = μ((-οο, *)) + у μ ({*}).
Упражнение 53.11. Пусть μ^Λί0(/?), и пусть μ —
характеристическая функция меры μ. Тогда
. μ ((α - h, a + h)) + 1[μ ({α - ft}) + μ ({α + ft})];
00 lim!£T 5Α(0β-,ίβΛ = μ({α}){
Γ->οο ^
Τ
(HI) Hm-^jr JlAiOM- J] μ({α})2ν
Γ"*β0 -Γ «:μΐ{«»>°
(Указание. Используйте (ϋ) и тот^факт, что |μ(01ζ есть
характеристическая функция μ»μ, где μ(Ε)= μ(—Ε) для всех боре-
левских множеств Е.)
(iv) Функция распределения меры μ непрерывна тогда и
только тогда, когда
τ
lim i- \|μ(0|2^ = 0.
Γ->οο l JT
53. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА Нк 305
В частности, если lim μ (0 = 0, то функция распределения μ
f->00
непрерывна.
Упражнение 53.12. Если μ^Λί0(/?) и μ(/ι)= 1 при
некотором h Φ 0, то
μ | л:: χ — ~Ψ~ при некотором п = 0, ±1, ±2, ... \ = 1.
В частности, если |μ(Λι) | = |μ(Λ2) |= 1 и отношение Λι/Λ2
не выражается рациональным числом, то μ вырождена в
некоторой точке.
Упражнение 53.13. Если μ^Μο^*) Hjie L\(Rk), то мера μ
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в Rk и имеет
плотность f(x), которая выражается равенством
-оо
Упражнение 53.14. Пусть Ac Rk— ограниченное борелевское
множество с положительной мерой Лебега. Предположим, что
вероятностные меры μ и ν на Rk таковы, что μ(Λ+χ) = ν(Λ+χ)
для всех χεί*. Тогда μ = v. (Указание. Пусть вероятностная
мера λ определена равенством
λ(^) = ^(Λ)Γ15χΛ(χ)ί/χ,
F
где L(A) — мера Лебега множества А. Тогда μ*λ = ν*λ.
Приравняем характеристические функции, соответствующие обеим
частям равенства, и заметим, что мера Лебега множества
{t: λ(ί) = 0} равна нулю. Функция \ exp (χχζχ + ... + xkzk) άλ (χ)
представляет собой целую функцию комплексных переменных
Ζ\, Ζ2, . . ., Zk.)
Докажем теперь одно неравенство с участием
характеристических функций.
Утверждение, 53.15. Пусть μ^Λ40(/?*) и μ —
характеристическая функция μ. Тогда для всех τ > 0
μ{χ: max |χ,|>2\<2Γΐ -l-i-j- \ H(t)dt\],
где dt указывает, что интегрирование совершается относительно
меры Лебега.
306 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Доказательство. По теореме Фубини
1
(2τ)*
\ A(t)
rft
max J t^ | <τ
(2τ)«
5 5ег<*,х>Ф(х)л
max|<;|<x
ί/μ(χ)<
max|*,|<a max|*,\>a /=1 '
<μ{χ: max | ^ Κ α} + —μ {χ: max|*#|>a}=s
= 1 — (l — —)μ{χ: max | Xj \ > α)
при всех а > 0. При а = 2/τ получаем то неравенство, которое
требовалось доказать.·
Следствие 53.16. Пусть {μη}—последовательность
вероятностных мер на Rk. Последовательность {μη} компактна, если
последовательность соответствующих характеристических
функций {μη} равностепенно непрерывна в точке 0, т. е.
lift! sup Ι μη(ί) — 1 | = 0.
t->0 n
Доказательство. Пусть последовательность {μη}
равностепенно непрерывна в 0. Пусть ε > 0 произвольно. Тогда
существует такое т > 0, что при всех η
IMt)-l|<e,
если только тах|//|^т. Тогда при всех η
i
-А- \ Mt)rft|<(2x)-* J H-Mt)Uft<e.
Следовательно, по предыдущему утверждению
μΛίχ: max|*/|>—J < 2ε
при всех п. Таким образом, последовательность {μ„}
равномерно плотна. Следовательно, по теореме Прохор9ва {μ„}
компактна. ■
Утверждение 53.17. (Теорема непрерывности Леви — Кра--
мера.) Пусть {μη}—последовательность вероятностных мер на
53. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА Rk 307
Rk. Предположим, что последовательность {μη}
характеристических функций сходится по мере Лебега к функции φ на каждом
ограниченном прямоугольнике, причем ^(0)= 1 и φ непрерывна
в точке 0. Тогда существует такая вероятностная мера μ, что
μ (t) = ^>(t) всюду, за исключением множества с мерой Лебега
0, и при η -> оо имеем μη =>- μ.
Обратно, если μη=>*μ при /г->оо, то последовательность
{μ„} характеристических функций сходится в каждой точке к
характеристической функции μ.
Доказательство. Поскольку |(itt(t)|^l при всех η и t, то
можно без ограничения общности предположить, что |^(t)|^ 1
при всех t. В силу непрерывности ^ в 0 для любого данного
ε > 0 найдется τ > 0, такое, что
H-*(t)l<-}
при всех t, для которых тах|//|<т. Поэтому
1-
<т· <53·6)
Так как {μη} равномерно ограничена и сходится по мере Лебега
к ф, то по теореме Лебега о мажорированной сходимости
х ' тах|^|<т λ max|^|<t
Комбинируя (53.6) и (53.7), заключаем, что существует такое
целое положительное По, что при всех я > щ
1
1-
v ' maxj/y|<t
<τ
Из утверждения 53.15 имеем
μη j χ: max I x} \ > — J < e
при всех п > /г0. Таким образом, последовательность {μη}
равномерно плотна. По теореме Прохорова существует
подпоследовательность {μ/jj, слабо сходящаяся к вероятностной мере μ.
Так как при каждом фиксированном t функция eia>x)
непрерывна по х, то из определения слабой сходимости следует, что
Нт μηA(t) = £(t)
308
ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
для каждого t. Поэтому μ(ί) = ^(ί) всюду, за исключением
множества t, имеющего меру Лебега 0. Если ν — какая-либо
другая предельная мера для последовательности {μ„}, то v(t) =
= ^(t) = jl(t) для п. в. t. Так как μ и ν непрерывны, то μ(ί) =
= v(t) при всех t. Следовательно, по теореме обращения μ = ν.
Таким образом, последовательность {μ„} компактна и μ
является ее единственным пределом. Иными словами, μη =>- μ при
я->оо. На этом завершается доказательство первой части
утверждения. Вторая часть тривиальным образом вытекает из
определения слабой сходимости.■
Упражнение 53.18. Если при л->оо имеет место μ„=*-μ в
Λίο(/?*), то μη сходится к μ равномерно на каждом
ограниченном интервале. (Указание. Необходимо установить
равностепенную непрерывность последовательности {μ„} и применить тео-
рему Асколи.) Тогда существует метрика d в M0(Rk)f которая
превращает Mo(Rk) в полное и сепарабельное метрическое
пространство, при этом μ*=^μ, п-+ооу тогда и только тогда, когда
ά{μη, μ)^0, ΑΖ-^οο.
Используем теорему непрерывности Леви — Крамера для
доказательства некоторых основополагающих результатов в
теории вероятностей.
Утверждение 53.19. Пусть μ — вероятностная мера на
действительной прямой /?, такая, что \\χ\άμ(χ)<οο.
Предположим, что ^χάμ(χ) = 0. Тогда
«ϋ>[»(τ)Γ-'·
4-
Если, кроме того, }Χ2άμ(χ)—\, то
лт.[*ШГ-':
Доказательство. Предположим, что γχ\άμ(χ)<οο. По
утверждению 53.3 μ(0 дифференцируема и ее производная
непрерывна. Если \)χάμ{χ) = 0, то μ'(0) = 0. Применяя теорему
о среднем значении к действительной и мнимой частям,
получаем, что μ(0 = μ(°)+*α(') пРи всех И^ 1' где аМ непРе"
рывна в 0 и а(0) = 0. Поэтому
Ишла.(0 —0
53. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА Rfc 309
при каждом f. Следовательно, при всех t
Л-ЮГ-'·
Первая часть доказана. Пусть теперь \ χ2άμ(χ)= 1. Тогда из
упражнения 53.4 следует, что μ дважды дифференцируема, μ"
непрерывна и μ'(0)=0, μ"(0)=—1. Используя формулу
Тейлора, получаем, что при всех |/| ^ 1
μ(0 = μ(0) + ^(0) + }^(/),
где β (t) непрерывна в 0 и β(0)= —1. Таким образом,
НтлМ0 = 4-<У«» h"
при всех t. Тогда
[>шг--
Следствие 53.20. (Слабый закон больших чисел.) Пусть
(Ω, S, Р)~ вероятностное пространство и /ь f2, ... —
последовательность независимых и одинаково распределенных случайных
величин со средним значением т. Тогда случайная величина
— (Л+/2+ ··· +f«) сходится по мере Ρ к постоянной т.
Доказательство. Введем
L=4(fi + f2+ ... +fn)-m =
= i«fi-m) + (f2-m)+ ... +{fn-m)).
Пусть распределение fi — m при всех i есть μ. Тогда
характеристическая функция fn равна [А (—)] ■ По утверждению 53.19
эта характеристическая функция сходится к функции,
тождественно равной 1, которая представляет собой характеристическую
функцию распределения, вырожденного в точке 0.
Следовательно, по теореме непрерывности Леви —Крамера
распределение fn слабо сходится к распределению, которое вырождено
в0.1
4*
310
ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Упражнение 53.21. Используйте утверждение 53.19 для
вывода центральной предельной теоремы, которая сформулирована
в утверждении 51.8.
Сформулируем и докажем вариант центральной предельной
теоремы для разнораспределенных случайных величин.
Утверждение 53.22. (Теорема Ляпунова.) Пусть (О, S, Р) —
вероятностное пространство и /ь /2,, ... — последовательность
независимых случайных величин на Ω. Пусть
Е/, = т,; Ε(f, - mtf «о»; Ε| /, -т, f = β,;
Ai^tob β„=Σβ<.
Предположим, что
ПтВпАп3 = 0, ИтЛ„ = оо. (53.8)
Тогда распределение случайной величины
^=л;1[/1 + /2+ ... +/„-(«1 + ^+ ... +тя)]
слабо сходится при я-*оо к стандартному нормальному
распределению.
Доказательство. Выразим log(l+*) при |г|<1 степенным
рядом ζ2 χΖ
l0g(l+z)=2 2~ + "3 "*'
Тогда при | ζ \ < j
|log(l+z)-z|<|z|2. (53.9)
Пусть характеристическая функция fr — гщ равна &(*). Тогда
функция фг трижды дифференцируема и #' непрерывна (см.
упражнение 53.4). Используя разложение Тейлора для
действительной и мнимой частей фи получаем
^(/)-l+'«(0) + T^(0) + -JaiW
при |ί|^ 1, где а, непрерывна в 0. Снова из упражнения 53.4
выводимГчто при всех t и г= 1, 2, ... имеем |α,(/)|<2β,.
Таким образом, при \t\^ 1
ГДе I <*,(/) К 2β, (53.10)
53, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА Rk 311
при всех t и при всех L Характеристическая функция fn равна
t = l
Пусть t фиксировано. Поскольку Лл-*°о, то при всех
достаточно больших η имеем -j- ^ 1. Поэтому
для всех достаточно больших п. Положим
*»=-^+44i)- (53">
Так как σ;<β!/3 (см. утверждение 34.13), то при * ^ η
ω
3 β/ Β»
<^<-ж (53·12)
и из неравенства (53.10) следует, что
тз <-JT- (бзлз)
Из (53.8), (53.11) и (53.13) получаем, что
lim sup \zin|^=0.
В силу неравенства (53.9) если η достаточно велико, то
при всех /s^n. По неравенству (53.10)
|[Σ1°β^(^-)]+τ/'|<Σ·^ι,+ίϊΛ»· (53·14)
Так как для любых двух комплексных чисел α, β
|α + βΙ2<2(|α|2 + [β|2),
то из (53.11) имеем при i ^ η
1*«-1*<^ + ^гЙ· (63.15)
312 ГЛ. VII. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Но
п п п
Σ °i max о, Σ °i Σ ft о
^-<-Ji—i^-<di5-=# (53Л6)
η / η \ 2
Σ β? Ι Σ ft) /в \2
л;
Из неравенств (53.14)—(53.17) вытекает
|[?™&)Н]<(4^)М
В силу (53.8) получаем
И» Σ Ιο* Λ (£)--**
или, эквивалентно,
Λ0
4*
л-*°°га
Применение теоремы Леви — Крамера завершает
доказательство. В
Замечание 53.23. В доказательстве предыдущего
утверждения проявляются характерные черты, свойственные предельным
теоремам для сумм независимых случайных величин. Для
основательного изучения этого предмета читатель должен
обратиться к [1], [6] и [17].
Упражнение 63.24. Рассмотрим случайную величину χ2η. Рас-
Пределение величины п-±- сходится слабо к стандартному
нормальному распределению.
Упражнение 53.25. Пусть (Ω, S, Р)— вероятностное
пространство, и пусть непересекающиеся множества At из S осущест-
k
вляют разбиение Ω: Ω = jj Л^. Пусть, далее, pi = Р{А{)ф О,
ί = 1, 2, .,., k. Произведем η повторных независимых испыта-
53. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА R* 313
ний эксперимента (Ω, S, Р). Пусть ωι, ω2, ..., ωΛ —
соответствующие исходы и
Положим
** L· npf
l = \ t
Тогда распределение χ2 слабо сходится к %\_{-распределению с
k—1 степенями свободы при л->оо. (Указание. Используйте
утверждение 9.3 и упражнение 37.11.) Заметим, что х2-критерий
согласия в математической статистике основан на этой
предельной теореме.
Глава VIII
ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
§ 54. Мера Хаара
Рассмотрим пространство /?* с мерой Лебега L на борелев-
ской σ-алгебре &Rk. Ранее мы убедились в том, что для всех
ае= /?* и £g^
L(£) = Z,(£ + a).
Заменим Rk группой X с борелевской структурой SS и
предположим, что отображение (л:, у)^ху-х из (ΧΧΧ, &Χ&) на
(Xt 3S) является борелевским отображением. Возникает вопрос:
существует ли не равная тождественно нулю σ-конечная мера μ
на 3$, такая, что для всех Е&&, х&Х
μ (£*)«■ μ (£),
где £#*= {yxt у&Е}? Настоящая глава посвящена детальному
исследованию этой проблемы. Тему этой главы можно считать
пробным камнем для понимания взаимодействия теории меры,
топологии и теорий групп. Отсюда берет свое начало теория
представлений групп.
Всюду на протяжении этого параграфа будем рассматривать
X как локально компактное метрическое пространство со
второй аксиомой счетности и как группу с единичным элементом еу
обозначая через ху произведение двух элементов χ и у к через
х~х элемент, обратный любому элементу х. Будем также
предполагать, что отображение (л:, у)-^ху1 из XX X на X
непрерывно. Для краткости будем называть X локально компактной
метрической группой со второй аксиомой счетности. Для любых
двух подмножеств Л, В cz X и любого элемента геХ определим
АВ = {ху: х^А, у^В},
А~1 = {х"\ х&А),
Αζ = {χζ, χ о Л},
zA = {ζχ> χ е А).
Замечание 54.1. Пространство /?* с обычной топологией и
операцией суммирования представляет собой локально ком*
пактную метрическую группу со второй аксиомой счетности.
Другим примером подобной группы является пространство
64. МЕРА ХААРА
315
GL(nf R) всех невырожденных действительных (яХ η) -матриц
с относительной топологией пространства #п2 и умножением
как групповой операцией. На практике наиболее
распространенными примерами таких групп служат замкнутые подгруппы
группы GL(n, /?).
Утверждение 54.2. (Теорема о мере Хаара.) Пусть X —
локально компактная метрическая группа со второй аксиомой
счетности. Тогда на З&х существует σ-конечная мера μ, которая
обладает следующими свойствами:
(i) μ(/()<οο для каждого компактного подмножества К\
(ϋ) μ(β)>0 для каждого непустого открытого
подмножества G;
(Ш) для любых yislji и х&Х множество хА
принадлежит $х и μ(χΛ)= μ (Л).
Доказательство. Пусть d — метрика в X. При каждом ε > О
обозначим через 5ε = {#: d(x, £)<е} открытый шар радиуса
ε с центром е. Не ограничивая общности, предположим, что
замкнутые шары 5В являются компактными множествами при
всех ε^Ι. Для любого компактного множества К при любом
е > 0 семейство {xSBi xeX} является открытым покрытием К-
Следовательно, оно содержит конечное подпокрытие. Пусть
/п(е, К)—наименьшее число множеств вида xSB, необходимое
для покрытия /С. Определим
где Ж χ есть класс всех компактных подмножеств X. Тогда имеем
K(Si) = L K(K)<m(lf К),
λε(χΚ) = λ6(Κ) при всех х,
M*,U*2)<Mtfl) + M*2). { '
Κ(Κι)<λζ(Κ2), Κι с: К»
Пусть /Ci и /Са — непересекающиеся компактные множества.
Существует зависящее от Κι и Яг положительное число δ, такое,
что при всех ε ^ δ
/СА Г)/t2Se=0.
Тогда при всех ε ^ δ
К (Κι U К2) = λβ (Κι) + λε (*2). (54.2)
Рассмотрим теперь компактное топологическое пространство
Г= Π [0, m(l,K)\.
К9Х*
316 ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
В силу (54.1) λ8εΓ при всех es^l. Кроме того, множество
индексов для сети {λε} есть направленное множество (0, 1],
рассматриваемое относительно обратного порядка на числовой
прямой. Так как Г компактно, то при ε-νΟ можно выделить
сходящуюся подсеть {λε} с пределом λ. Из (54.1) и (54.2)
следует, что λ представляет собой компактный объем на Жх. В
соответствии со следствием 20.12 мы строим меру μ,
удовлетворяющую свойствам (i) и (и) упомянутого следствия. Тогда
λ(/0<μ(/()<οο,
μ (хК) = μ (К) для всех К ^ Ж χ и х^Х.
Регулярность меры μ на каждом компактном множестве влечет
за собой равенство μ(χΑ) = μ(Α) для всех i4e^ и xg!
Допустим теперь, что множество G открыто и μ(ΰ)=0.
Тогда {xGy x^X} есть открытое покрытие X и, следовательно,
существует счетное подпокрытие. Так как μ(χ, Ο) = μ(ΰ)=0
для всех Ху то μ(Χ) = 0. Однако μ(5ι)^λ(5ι) = 1, что
приводит к противоречию. Таким образом, μ(β)>0 для каждого
непустого открытого множества. ■
Замечание 54.3. Построенная выше мера μ называется левой
инвариантной мерой Хаара на X. Положим теперь μ (Е) =
= μ (Я-1), тогда μ(Κ)<. οο для любого компактного множества
К и μ(Εχ) = μ(Ε) для всех Е^$х, хеХ. Кроме того, Десть
мера. Ее естественно назвать правой инвариантной мерой Хаара
на X.
Следующее элементарное утверждение очень полезно для
непосредственного построения инвариантных мер.
Утверждение 54.4. Пусть Ω cz Rk — открытое множество и
Τ — гомеоморфизм Ω:
Τ (х) = & (х), h (х)> ···#'* (х))' Для всех х ^ Ω·
Допустим, что U имеют непрерывные производные первого
порядка. Пусть на Ω существует неотрицательная функция р,
которая интегрируема относительно меры Лебега L на каждом
компактном подмножестве Ω и которая удовлетворяет равенству
|йе4((1г))|=р(х)р""1(гх) для п·в·х α)·
Тогда мера μ, заданная равенством
μ(Ε)=\ρ(χ)άχ, Е^$ъ%
Ε
инвариантна относительно Г,
54. МЕРА ХААРА
317
Доказательство, Пусть φ— любая неотрицательная
непрерывная функция на Ω. По формуле замены переменной
J φ (Тх) 1μ (х) - \ф (Тх) ρ (χ) dx =
= J Φ (у) ρ (г- V) [р Or~V) ρ'1 (у)Г' rfy=
= S^(y)p(y)dy=J^^.
Следовательно, μ = μΤ^1. ■
Пример 54.5. Пусть X — мультипликативная группа всех
(2X2)-матриц вида
(о О·
где χ > О, —оо < у < оо. Для любой фиксированной матрицы
fa b\
I j I имеем
fx ή/α b\_fxa xb + y\
\0 lAo 1У-V 0 1 У
fa b\fx y\_fax ay + b\
U 1A0 l)~{ 0 1 У
Можно отождествить X со множеством Ω с: R2:
Ω = {(*, у): χ > 0, — с» < у < оо}.
Для фиксированного элемента (а, 6) отображения
(*, У) -* (*а, 6л: + у), (л:, у) -* (ал:, ау + Ь)
с якобианами а и а2 соответствуют правому и левому сдвигам
на этот элемент. Введем
Тогда из предыдущего утверждения следует, что меры μΓ и μ/,
определенные равенствами
Vr(E)=\^dxdy>
Ε
μ/(£,)= J -^rdxdyx Ε e= #fll
318 ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
являются соответственно правой и левой инвариантными
мерами Хаара на X.
Упражнение 54.6. Пусть X — мультипликативная группа всех
треугольных (наддиагональных) действительных (η Χ п)
-матриц вида
[*п
0
0
[ о
Х\2
*22
0
0
*13
*23
*33
0
... xin
• · · *2л
• · · ΧΖη
• · · % tin J
где все диагональные элементы Хц положительны. Тогда правая
и левая инвариантные меры Хаара μΓ и μι определяются из
соотношений
άμΓ(1) = [χη *L *зз ... Хпп]"1 Π dxiu
άμι (1) = [xn X22X Хгъ2 ... XnnV l Π dxiU
где Ц dXii обозначает меру Лебега в евклидовом про-
п(п+\)
странстве размерности—^—-.
Определение 54.7. Пусть X — локально компактная
метрическая группа со Второй аксиомой счетности. σ-конечная мера μ
на X называется правой (левой) квазиинвариантной мерой, если
μ(Εχ)=0 (μ(χΕ)=0) при всех χ всякий раз, когда μ(£) = 0,
Εζζ&χ.
Утверждение 54.8. Пусть X — локально компактная
метрическая группа со второй аксиомой счетности и λ — правая или
левая квазиинвариантная мера. Пусть μι и μΓ соответственно левая
и правая инвариантные меры Хаара на X. Тогда λ за μι = μΓ,
Доказательство. Пусть λ — правая квазиинвариантная
σ-конечная мера. Пусть λ(£) =0 для некоторого множества Е&31х.
По теореме Фубини
0 = J λ (Ey~l)άμι (0) =* J J X*ШΜ(*)άμι (у) —
- \ [\ Хв(ху)^|(У)]Л (X) = \ μ<(χ-Έ)*λ(*)- $μι(£)Λ(*),
84. ΜΕί>Α ΧΑΑΡΑ
319
Отсюда вытекает, что μ/(£)=0. Обратно, если μ/(£) = 0, то
проходя по цепочке равенств в обратном порядке, получаем
Поэтому при некотором уо&Х имеем λ(£'^1)==0. Так как
λ — правая квазиинвариантная мера, то λ(£) = 0. Таким
образом, λ ев μι. В частности, μΓ ев μι. ■
Следствие 54.9. (Теорема единственности.) Пусть μ, μ' — две
левые (правые) инвариантные меры Хаара на локально
компактной метрической группе X со второй аксиомой счетности.
Тогда существует такая постоянная с, что μ'(£) = ομ(Ε) для
всех Ε е &χ.
Доказательство. В силу предыдущего утверждения μ' as μ.
Пусть f=*^jj£. Тогда
^μ-μ'(£)-μ'(*-ΐ£)- \ ϊάμ^\ϊ(ζχ)άμ(χ)
В ζ~ιΒ В
для всех Ε^&χ и геХ. Поэтому при любом ζ
/Μ = /(2*) Для п. в. χ(μ).
Из теоремы Фубини (см. следствие 35.16) вытекает, что
существует такое *<ь что
/(*ο) = /(ζ*ο) Для п. в. ζ (μ).
Так как μ есть правая квазиинвариантная мера, то f(z)= с цля
п. в. ζ (μ), где с — постоянная. Следовательно, μ' (Ε) = ομ (Ε)
для всех Е е $χ. Ш
Замечание 54.10. Предположим, что μ — левая инвариантная
мера Хаара на X. При любом χ функция множества μ(Εχ),
Ε^$χ, снова является левой инвариантной мерой Хаара.
Согласно следствию 54.9, существует такая постоянная Δ(χ), что
для всех Ε &3$х
μ(£*)«=Δ(*)μ(£). (54.3)
Ясно, что Δ (ху) = Δ (χ) Δ (у) для всех л;, у. Легко убедиться в
том, что определенная на X со значениями в (0, оо) функция Δ
непрерывна. Такая функция называется модулярной функцией
группы X.
Если не существует нетривиальных непрерывных
гомоморфизмов X в полупрямую (0, оо), рассматриваемую как
мультипликативная группа, то Δ(#)ξξ 1 и левая инвариантная мера
Хаара автоматически совпадает с правой инвариантной мерой.
320
ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
Такие группы X называются унимодулярньши. Например, любая
компактная метрическая группа унимодулярна.
Если Δ — модулярная функция, определим
ν(Ε)=\(Δ(χ))-4μ(χ).
Б
Тогда из (54.3) следует, что ν является правой инвариантной
мерой. Таким образом, левая и правая инвариантные меры μ и
ν всегда могут быть выбраны так, что -Ji- = A.
Упражнение 54.11. Группа SL(n, R) всех действительных
(п Хл) -матриц с детерминантом 1—унимодулярна.
Упражнение 54.12. Пусть μ — левая инвариантная мера Хаа-
ра на X. Для любого борелевского множества £сХс μ(Ε) < оо
функция μ(χΕΔΕ) непрерывна как функция х. Если μ(£)> 0, то
множество Е~1Е является окрестностью е. (Указание. Следуйте
доказательству утверждения 21.2.)
Упражнение 54.13. Мера μ определена так же, как в
предыдущем упражнении. Рассмотрим при некотором ρ ^ 1 В-про-
странство £ρ(μ). Пусть отображение Lz задано равенством
{Lzf)(x) = f{z^xl /<=ί,ρ(μ), 2El
Тогда Lz есть оператор на Δρ(μ) и ||Lzfl|p = ||f||P. Кроме того,
Ег,Егг = LZlz2 для всех ги Z2^X и
НтЦ/,ж/-/||-0
г-> е
для всех /^Ζ,ρ(μ). (Указание. Следуйте доказательству
следствия 39.2.)
Упражнение 54.14. Пусть Х0с=Х — счетная всюду плотная
подгруппа X. Пусть подмножество DczX таково, что Dfl(zXo)
при каждом ζεΐ является одноточечным множеством. Если
μ — левая инвариантная мера Хаара, то множество D не будет
μ*-измepимым.
Обозначим через Х/Хо пространство всех левых классов
смежности вида ζΧ0, геХ. Пусть π — каноническое
отображение ζ^~ζΧ0 из X на Х/Х0. Назовем множество Ε а Х/Хо
измеримым, если ят1(Е) измеримо в X. Рассмотрим такую
вероятностную меру λ, что λ = μ. Определим λ0 = λπ-1 на σ-алгебре #о
всех измеримых множеств в Х/Хо. Тогда пространство (Х/Хо,
ΰ&ο, λ0) не является стандартным вероятностным пространством.
(Указание. Следуйте доказательству утверждения 21.5.)
55. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
321
§ 55. Квазиинвариантные меры
на однородных пространствах
Пусть X — локально компактная метрическая группа со
второй аксиомой счетности,,Г — локально компактное метрическое
пространство, и пусть непрерывное отображение (х> t)-^xt из
XX Τ на Τ обладает следующими свойствами:
(\) у(xt) = (ух)ί для всех г/.ХЕ^и ί£Γ;
(ii) при любом фиксированном х^Х отображение t-+xt
есть гомеоморфизм Г;
(iii) для любых двух точек tu t2^T существует такой
элемент хеХ, что xt\ = U\
(iv) при всех /еГ равенство xt = t имеет место тогда и
только тогда, когда χ = е.
В этом случае Τ называется однородным пространством
относительно группы X. Будем рассматривать только такие
однородные пространства.
Фиксируем to е Г. Тогда множество {я: xt0 = /0} есть
замкнутая подгруппа X, которая называется малой группой в t0 или
изотропной подгруппой в t0.
Обозначим через π каноническое отображение x->xt0 из X
в Т. По условию (iii) π в действительности отображение «на» Г.
Для любого борелевского множества ЕаТ и любого xg!
примем обозначение хЕ &ля множества {xt, t^E). Тогда хЕ
также борелевское множество.
Выберем левую и правую инвариантные меры Хаара μ/ и μ,
в Ху связанные соотношением
где Δ — модулярная функция X. На малой группе Хо в t0
выберем левую и правую инвариантные меры ν/ и vr, такие, что
где δ — модулярная функция Х0.
В этих обозначениях мы исследуем проблему существования
инвариантных мер на Г. Введем следующее определение.
Определение 55.1. σ-конечная мера λ на Г называется ква-
зиинвариантной относительно группы X, если для любого
борелевского множества ЕаТ из равенства λ(£)=0 при всех
х^Х вытекает равенство λ(χΕ) = 0. λ называется инвариантной
относительно группы X, если λ(χΕ)=λ(Ε) для всех Jtei и
£slr,
322 ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
Утверждение 55.2. Пусть Τ — однородное пространство
относительно группы X. Тогда существует квазиинвариантная
вероятностная мера λ на $г. Если λι—любая квазиинвариантная
σ-конечная мера на Г, то λ = λι.
Доказательство. Выберем строго положительную функцию
φ на X, так что \ φάμι = 1. Определим вероятностную меру μ
равенством
А
Пусть λ = μπ-1, где π — ранее введенное каноническое
отображение. Тогда λ — вероятностная мера на 7. Пусть множество
£е9$т таково, что λ(Ε)== 0. Для любого χ имеем
λ (хЕ) — μ (π"1 (χΕ)) — μ (хпГх (£)),
поскольку л(ху) = хп{у) для всех х, j/el Если λ(£)=0, то
μπτι(Ε)=0. Так как μ=μ/, то отсюда следует, что μ (ялт1 (£)) =
== 0. Следовательно, мера λ квазиинвариантна.
Пусть теперь λι — любая σ-конечная квазиинвариантная
мера. Тогда
λι(Ε) = 0=*λι(χ~ιΕ) = 0 для всех х
^^λι{χ-χΕ)άμ{χ) = 0
=>\ \%Ε(χί)άμ(χ)άλχ(ί) = 0
=> μ {χ : xt <= Ε) = 0 при некотором t.
Выберем х0 так, что x0t = t0. Поскольку мера μ
квазиинвариантна относительно правого сдвига на Хо, то
μ {χ : xt0 ε Ε) = μπ~ι (Ε) = λ (Ε)» 0.
Таким образом, λ < λι. Проходя цепочку импликаций в
обратном порядке, убеждаемся в том, что λι «С λ. ■
Упражнение 55.3. Пусть λ — квазиинвариантная σ-конечная
мера на Τ относительно X. Для любого х^Х определим меру
λχ равенством λχ(Ε)=Κ(χΕ) для всех Е<=£%т. Определим на
£2(λ) оператор Ux:
(UJ)(t) = ^-^ (x~lt)f(x-%
Оператор Ux на Ι2(λ) обладает следующими свойствами:
(UJU I/,/2)-(flf /,) при хе=Х\ fu /2eLaWf
U$Uy = Ux„ при всех х, У^Х^
65. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
323
где (·, ·) означает скалярное произведение в Ζ,2(λ) (см.
упражнение 48.9).
Упражнение 55.4. Пусть μ — вероятностная мера на X,
такая, что
μ(Α)=\φ(χ)άμί(*)> Ле^,
А
где ф(х)>0 при всех л;. Пусть мера μ* определена для всех х
и А &33х равенством μχ(Α) = μ(χΑ). Тогда
-γ—(χ) = Φ(Χ{Χ)φ^ι(χ) Для п. в. χ(μι) для всех х{.
Утверждение 55.5. Пусть Τ — однородное пространство
относительно X, и пусть ft) ^ Τ, Для любого компактного множества
КаХ рассмотрим функцию
a(x)^\%K(xl)dvl(l)9
где Хо есть малая группа в t0i а νι — ее левая инвариантная
мера Хаара. Тогда а(лг) является ограниченной функцией χ и
правой инвариантной относительно X0j т. е. а(д:|)=а(л:) для
всех £еХо.
Доказательство. Часть утверждения, касающаяся правой
инвариантности а, тривиальна. Ясно, что
αΜ~νι(*-»*η*ο).
Если хгхК Π ^о Φ 0у то существует точка k(x)^K, такая, что
xrlk{x) = Л(лг)еХо. Таким образом, χτγ = h(x)krl(x) и
V! (jr1* П Хо) - ν/ (h (χ) ΙΓ1 (χ) К П Хо) -
Утверждение 55.6. Пусть Т — однородное пространство
относительно группы X и Х0 — малая группа в to^T. Пусть μι и
ν/ — левые инвариантные меры Хаара на X и Хо соответственно.
Пусть Л0 = {Α: Α^&χ, Αξ = Α для всех ξ^Χ0} есть σ-под-
алгебра 38χ. Пусть, далее, μ — вероятностная мера,
эквивалентная μ/, и α(χ) = γ^(χ). Пусть при любом #еХ определена
вероятностная мера μ*, такая, что μχ(Α)= μ(χΑ) для всех
А <■= 3$х. Тогда
ъ(^\Яо)(у)-М*У)Г1(у) Для п. в. у (μ), (55.3)
324
ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
где
β(ί/)=5«(ί/Γ1)Δ-1(Ι)^ν/(ξ), (55.4)
и Δ — модулярная функция X. Кроме того, для любого ξ^^ο
β № = β (У) !§- Для п. в. у (μ), (55.5)
где δ — модулярная функция Х0. Пространство Τ допускает
σ-конечную инвариантную меру тогда и только тогда, когда
δ(ξ) = Δ (ξ) для всех ξ^Χο- В таком случае инвариантная мера
единственна.
Доказательство. Обозначим γ (л:, у) = Ε y-j— &Л (у)- Так
как γ (л:, ·) .^-измерима, то при любых фиксированных xel,
У(х, #ξ) = Υ(*> У) Для п. в. у (μ). (55.6)
В силу предыдущего утверждения при любом компактном
множестве К функция
\xKmdvt(t)
является правой инвариантной относительно Х0 и ограниченной.
Следовательно, она .^-измерима. Из определения условного
математического ожидания следует, что
\ (\ %к Ш dvi (1)λ у (χ, у) α (у) άμι (у) =
= \(\u(yl)dvt(t^x(y) =
= \(\и Ш dvi (1)λ α Ш dVi (У)-
Положим yl = y'. Из теоремы Фубини и (55.1), (55.6) следует,
что
\%к (у') ν (*> у') Г \« (уТ1) δ~1 (ξ) <fv, (1)1 αμι (у') =
= \ %κ (у') [\« (хуТ1) δ-1 (i) dvt (i)] άμι (у')
для любого компактного множества К. Поэтому
у(х, «/) = -т ! Для п. в. у (μ),
55. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
325
откуда следует (55.3). При любом ηΕΧ0 имеем
Заменяя ξ на ξη, получаем (55.5).
Допустим теперь, что существует σ-конечная мера λ на 7,
которая инвариантна относительно X. По утверждению 55.2
λ ξξξ μπ-1. Пусть
Тогда
λ(£)=5ρ(0^μπ-40= J р(я(*/))^(#).
β π- * {Ε)
С другой стороны,
λ(£) = λ(*£)= 5 ρ(π(ί/))^μ(ί/)= J ρ (π (у)) άμ (у) =
= ξ ρ(π(Χί/))^(ί/)^μ(ί/) =
π- 1 (Ε)
- J р(я(^))Е(^-|^0)ЫфЫ.
π-* (Я)
Следовательно,
Ε(-^-|^ο)(ί/) = ρ(π(ί/))ρ-1(π(Α:ί/)) для п. в. у (μ).
В силу (55.3) имеем для любого χ
β (л:г/) β'1 (ί/) = ρ (π (г/)) ρ"^1 (π (л:г/)) для п. в. у (μ).
Таким образом, для любого χ
р(п(у))$(у) = р(я(ху))$(ху) для п. в. у (μ).
По теореме Фубини функция ρ (π (у)) β (у) постоянна для п. в.
у (μ). Но если |еХо, то ρ (π (yl)) = ρ (π (у)) для всех у. Поэтому
при каждом |еХо имеем β(*/ξ) = β(ί/) для п. в. у.
Следовательно, из (55.5) следует, что δ(|) = Δ(ξ) при каждом l^Xo.
Обратно, если δ(ξ) = Δ(ξ) для всех £еХ0, то β (у) из (55.4)
является правой инвариантной относительно Xq. Тогда
существует функция р(/) на Г, такая, что р(п(у)) = β-1(ί/)· Полагая
λ(Ε)=\9(ήάμη-*(ή>
Ε
326
ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ ΜΕΡμ ИА ГРУППАХ
получаем σ-конечную инвариантную меру. Если λ'— какая-либо
другая σ-конечная инвариантная мера на 7, то λ' = λ. Пусть
^(/) = α(0, <еГ.
Из инвариантности λ и λ' вытекает, что при каждом χ е X
a(xt) = a(t) для п. в. /(λ).
По теореме Фубини при некотором t\
a{xti) = a(t]) для п. в. χ (μι).
Тогда существует хи такой, что xiti = tQ. Поэтому a(xt0)
постоянна вп.вл (μι). Поскольку μ= μι и μπ_1 « λ, то отсюда
следует, что a(t) постоянна для п. в. t (λ). Таким образом,
λ' = сХ для некоторой постоянной с. Ш
Пример 55.7· Рассмотрим пример, подсказанный
физическими задачами. Обозначим произвольную точку пространства
R4 через
х = С*о> χι> %2> *з) ·
Для любых двух точек х, у е R4 определим
<х, у) = х0у0 — х{у{ — х2у2 — *з#з>
или, что эквивалентно,
<х, у) = х'Лу,
где
/1 О О (К
л (0-1 о о |
л=1 о о-1
όνο О О - 1 /
Пусть
SO(l, 3) = {А:А=*((аи))9 0</, /<3, detЛ= 1,
<Лх, Лу) = (х, у) при всех х, уе=/?4}.
Тогда 50(1, 3) есть группа. Ясно, что
SO(l, 3) = {Л:Л'ЛЛ = Л, det Л = 1>, (55.7)
где Л' обозначает транспонированную матрицу А. Пусть
Г-{х:<х, х) = т%
где т — фиксированная положительная постоянная.
Отображение (Л,х)->Лх превращает Τ в однородное пространство отно-
55. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
327
сительно группы S0(1, 3). Положим
р = (т, 0, 0, 0)'.
Малая группа в ρ состоит из всех матриц ((а//)) из 50(1,3),
которые обладают свойством
#00 = 1» #01 = #02 β #03 = #10 === #20 = #30 = 0.
(Эта группа изоморфна группе ортогональных (3X3)-матриц
с детерминантом 1 и, следовательно, является компактной.)
Группа 50(1,3) и малая группа в ρ имеют унимодулярные
функции, равные 1. Следовательно, на Τ существует
инвариантная σ-конечная мера. Определим ее. Имеем
Г = {х:*0>0, *0 = (тЧ*1 + *2 + *з)1/2}и
{х:*0<0, х0 = -(т2 + χϊ + х1 + х1У/2} = Т+{)Т-.
Таким образом, Τ представлено объединением двух связных
множеств Г+ и Г_, каждое из которых гомеоморфно /?3. Для
любой матрицы А = ((а*/)) рассмотрим преобразование х->Лх
в Г. Тогда в Т+ и Г_ оно имеет вид
/ Х\ \ /аЮХ0+аИХ1+^2^+а13Хз\
I *2 I ♦ Ι *20^+σ21*Ι+α22*2+α23Χ3ΐ
\ *з / \ ^+вз1*!+<ЧА+АзЛ/
где х0= ± (т2 + х\ + ^2 + л:з)1/2. Следовательно, абсолютное
значение якобиана равно абсолютному значению детерминанта
a\of +an flio^ +aJ2 «ю - +<Ί3 '
det *ιο$+αν *2о-+*22 σ20-+α23
1 Χο *t> ль
*3θ3+*31 «30^+^32 *30^ +«33-
χο х0 х0
Последний детерминант равен
(Xq ~Xt -Хг
*ю flu atl
fl20 *21 σ22
°Ь0 «31 *32
а это выражение в свою очередь равно в силу (557) хо/яо, где
Хо = aQ0xQ + α0ι*ι + а02х2 + а0з*3.
328
ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
Таким образом, абсолютное значение якобиана преобразования
имеет вид р(х)р_1(Лх), где ρ (χ) = Ί—г. Из утверждения 54.4
следует, что инвариантная мера λ на Г определяется из
соотношения
jjl / \ dxx dx2 ахг
{)~ (mt + xl + xl + xiyV
Упражнение 55.8. Пусть GL (л, R) = X есть группа всех
невырожденных (ηΧαζ)-матриц ((хц))> 1 ^ i, / ^ п. Тогда левая
и правая инвариантные меры Хаара μι и μΓ определяются из
соотношения
^r = ^, = |det ((*,,)) Г Π dxit.
Модулярная функция подгруппы Х0 всех треугольных (над-
диагональных) матриц ((#*/)), где хц = О при j < i, имеет вид
ТТ «„-ί"-2/*1)
г-/"
Следовательно, не существует инвариантной относительно X
меры на пространстве (факторпространстве) Х/Х0.
§ 56. Теорема Макки — Вейля
Покажем теперь, что стандартная борелевская группа
(Ху&) с квазиинвариантной мерой μ имеет локально
компактную топологию, так что определяемая ею σ-алгебра есть $, а μ
эквивалентна мере Хаара.
Пусть (Xf $) — стандартное борелевское пространство и к
тому же группа, такая, что отображение (х,у)-*ху~1 из (XX
XX, &У^Ы) на (X,Ш) является борелевским. Такая группа
(X, $) называется стандартной группой. Воспользуемся
обозначениями § 54. Рассмотрим множество Ε = {(χ,у): ху-{^А},
где i4Gl, Так как А-{ = {у: (е, y)t=E} и Ау = {х: (х, у)е Е)
являются сечениями измеримых множеств, то они сами
измеримы. Следовательно, множество уА также измеримо. Таким
образом, инверсия, а также правый и левый сдвиги являются
борелевскими автоморфизмами (Х,3$). σ-конечная мера μ на
(Х,&) называется левой квазиинвариантной мерой, если для
любого А<=!% из μ(Α) = 0 следует μ(χΑ) = 0 при всех х.
Пусть (X, ,$, μ) —стандартная группа с левой
квазиинвариантной мерой, и пусть £2(μ) — действительное гильбертово
56. ТЕОРЕМА МАККИ - ВЕИЛЯ
329
пространство интегрируемых вместе с квадратом функций
относительно меры μ. Для любого хеХ определим оператор Lx,
такой, что
(и)(у)=Л^(х-1У)!(х~1У)> f^L2fr), (56.1)
где мера μχ задана равенством μχ(Α)= μ(χΑ) при всех 4ei
Оператор Lx имеет следующие свойства:
LXlLX2 = LXtX2 для всех х\9 Х2^Х,
(LJU LJ2) = (fu f2) для всех /lf /2^Ι2(μ),
где (/ι, f2) — скалярное произведение в L2fa). Пусть
<*(*, y)=-jfc(y)>
тогда а(е,г/)=1и α(*ι*2, у)=а{х\, *2*/)а(х2, у) для п. в. у (μ),
где хи х2^Х (см. упражнение 48.9). В частности,
£-«*"й-^<1>.
Пусть °Ы — множество всех операторов V на £2(μ), которые
являются операторами «на» и такие, что (Ufu ί//2) = (/ь /2) Для
всех /ι, /2^ί,2(μ). Тогда °Ы есть группа. Снабдим °U
наименьшей топологией, относительно которой всякое отображение
U-+(Uf,g) непрерывно для каждой фиксированной пары
элементов f, g из £2(μ). Поскольку £2(μ) является полным и сепа-
рабельным метрическим пространством, то °U — также полное
и сепарабельное метрическое пространство, такое, что
отображение (ί/, V)-*UV-1 из ШУ^Ш на °Ы непрерывно. <U
называется унитарной группой операторов на £2(μ)» а каждый
элемент °U называется унитарным оператором.
Утверждение 56.1. Пусть (Χ, ΰ&, μ)—стандартная группа с
левой квазиинвариантной вероятностной мерой μ. Тогда
отображение x-+Lx из X в °U, определенное равенством (56.1),
является борелевским.
Доказательство. Достаточно показать, что борелевской
является функция
Фа. в (х) = J Ufc)112 (*_1#) %л (х~:У) %в (У) άμ (у) (56.2)
при любых Л, В е <%. Соотношение
λ (С) = $%с (х, ху) d (μ Χ μ) {χ, у), CeJXJ, (56.3)
330
ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
задает меру λ на 31 Х&. Так как μ —левая квазиинвариантная
мера, то отсюда следует, что мера μΧμ квазиинвариантна
относительно преобразования (#, */)->(*, ху). Поэтому λ^μΧμ,
Пусть
ψ(*· у)=Т^(*> у)-
Тогда
λ (Л ХВ)= \ [\ *(х, υ)χΒ(υ)άμ(ΰ)]χΑ(χ)άμ{χ). (56.4)
В силу (56.3)
λ (Л X В) = \ [\ %А (Χ) χβ (ху) άμ (у)] άμ (χ) -
= $ Χα (x)[\ Хв {ν)^Γ{ν)άμ(ν)]άμ{χ)^
= \ Ха (х) [\ Хв (У) ^ (х~1У) άμ (у)] άμ (χ). (56.5)
Сравнивая (56.4) и (56.5), заключаем, что
-^(х~1У) = Ъ(х* У) Для п. в. у (μ) и для п. в. χ (μ).
Следовательно, равенство (56.2) можно переписать так:
Фа. в (х) = \ Ψ (х> У)Щ %а (*~ 1у) Хв (У) άμ {у).
Так как подынтегральная функция измерима на ΧΧ,Χ, то по
теореме Фубини функция Фа, в является борелевской.И
Утверждение 56.2. Отображение x-+Lx из X в °U взаимно
однозначно.
Доказательство, Если при Lx = Ly хфу, то Lxy~\=LxLy =
s= /, где / есть тождественный оператор. Поэтому достаточно
доказать, что χ = е, когда Lx = /. Предположим, что при
некотором хо Z,*o = /. В этом случае функция, тождественно
равная 1, принадлежит ί,2(μ) и 1ЛД = 1. Отсюда следует, что
~^~ (*о~ 1У) ~ ^ для тв* УМ- Так как μ —левая
квазиинвариантная мера, то —^г{у) = 1 для п. в. у (μ), или, эквивалентно,
μχ* = μ. Поскольку LX.%A = %A для всех Ле1, то %а(хо1у) =
= Ха(у) Для п. в. у (μ) и μ{χ0ΑΔΑ)=0 для всех Αεί Так
как X имеет топологию сепарабельного метрического
пространства и борелевские множества в этой топологии составляют <%,
TQ можно выбрать метрику d и счетное всюду плотное в X мно-
66. ТЕОРЕМА МАККИ - ВЕЙЛЯ
331
жество D={zuz2, ...}, такие, что шары с центрами в точках
г/, /= 1, 2, ..., в метрике d будут принадлежать <%. Для
любого положительного рационального числа г и любого
положительного целого числа / определим S/r = {#: d(x, zy) < г}. Тогда
μ{/υ^ο5/,Δ5/Γ)| = 0.
Однако множество в фигурных скобках совпадает с множеством
{х : Xq1x Φ х}. Следовательно, х0 = е, что завершает
доказательство.·
Утверждение 56.3. Пусть А ^& и μ (А) > 0. Тогда
{х: \ \LX%A-χΑ\2άμ<μ(Л)} cz AA~\ (56.6)
Если Υ = {Lxfx^X}f то У есть локально компактная подгруппа
унитарной группы °11.
Доказательство, Используя неравенство Шварца, получаем
\\LxxA-%Afd\i = 2v{A) — 2 \%ALx%Ad\x =
~=2^Л) -2 \ [^(У)Т*хлпл(У)<111(у)>
> 2μ (Α) - 2μ (Л Π λΓ'Α)1'2 μ (*Α П А)1'2.
Обозначим множество в левой части (56.6) через В. Если х& В,
то
μ(JcЛΠЛ)1/2μ(Лn^1Л)1/2>|μ(Л)>0.
Поэтому хА[\АФ 0 и хе АЛ"1, что доказывает (56.6).
Так как отображение L: x-+Lx из стандартного
пространства (Х>&) в стандартное пространство °U является борелев-
ским, то по теореме Лузина существует множество Ао&38,
такое, что L(A0) есть борелевское множество в <U и μ(Α0)= 1.
Поскольку μ/τ-1 есть вероятностная мера в °U, то существует
компактное множество KczL(A0)f такое, что μί-ι(Κ)>0.
Рассмотрим (56.6) с А = L~l(K). Пусть
Г = {f/ : И С/%л — Хл |р < μ (Л)}
— окрестность тождественного оператора в °U. Тогда
соотношение (56.6) можно переписать так:
Так как К компактно в °U, то и ККг1 компактно в °U. Таким
образом, окрестность / в У содержится в компактном подмно-
332 ГЛ. VIII. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ГРУППАХ
жестве У. Иными словами, Υ есть локально компактная
подгруппа °и.ш
Утверждение 56.4. Пусть {Ху 39, μ) — стандартная группа
с σ-конечной левой квазиинвариантной мерой μ. Тогда на X
можно задать топологию, относительно которой X будет
локально компактной метрической группой со второй аксиомой
счетности и следующими свойствами: (i) борелевская σ-алгеб-
ра 39о, соответствующая этой топологии, содержится в 33; (и)
мера μ эквивалентна левой инвариантной (и, следовательно,
правой инвариантной) мере Хаара на 3§о\ (Ш) пополнение ЗВ0
относительно меры Хаара содержит 39.
Доказательство. Без ограничения общности предположим,
что μ есть вероятностная мера (в ином случае можно построить
эквивалентную μ вероятностную меру ν и заменить μ на v.
Рассмотрим группу Υ <zz<U, введенную в утверждении 56.3. Пусть
3$γ— ее борелевская σ-алгебра. Положим 38о = {L~l (Ε), £е
^33γ}, где через L обозначено отображение x-+Lx. Снабдим
X наименьшей топологией, относительно которой L непрерывно.
Так как отображение L взаимно однозначно и Υ является
локально компактной группой, то отсюда следует, что
относительно введенной топологии X является локально компактной
метрической группой со второй аксиомой счетности и ее
борелевская σ-алгебра есть 3§0. Так как отображение L борелевское,
то 39qCz38. Поскольку μ на 330— левая квазиинвариантная мера,
то из утверждения 54.7 вытекает, что μ = λ, где λ — левая
инвариантная мера Хаара на {X, 3§0). Таким образом, уже
доказаны свойства (i) и (и).
Так как (X, 3S) и (<2/, 39^) являются стандартными борелев-
скими пространствами и L есть взаимно однозначное
борелевское отображение из X в Ш, то может быть найдено такое
множество А ^39, что L(A)e3l<u и μ(/4) = 1. Отсюда следует, что
/4е1ои λ(Α') = 0. Таким образом, (iii) выполнено и
доказательство на этом закончено.·
Замечание 56.5. Если использовать теорему Куратовского
(см. замечание 24.27), то можно сделать вывод, что L есть бо-
релевский изоморфизм между X и У, и тогда 3§0 = $?. Таким
образом, любая стандартная группа (X, &) с левой
квазиинвариантной σ-конечной мерой μ имеет топологию, относительно
которой X становится локально компактной метрической
группой со второй аксиомой счетности, борелевская σ-алгебра кото*
рой есть 3$. Кроме того, мера Хаара на X эквивалентна μ.
В этом и заключается теорема Макки — Вейля.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Billingsley P. Convergence of Probability Measures, N. Y., Wiley, 1968.
[Имеется перевод: Биллингслей П. Сходимость вероятностных мер. —
М.: Наука, 1977.
2. Doob J. L. Stochastic Processes, Ν. Υ., Wiley, 1953. [Имеется перевод:
Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. — М.: ИЛ, 1956.]
3. Dunford Ν., Schwarz J. Т. Linear Operators, vol. I, N. Y., Interscience,
1958. [Имеется перевод: Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы.
Общая часть. Т. I,—М.: ИЛ, 1962.]
4. Feller W. An Introduction to Probability Theory and its Applications,
Vols. I, II, N. D., Wiley Eastern, 1972. [Имеется перевод: Феллер В.
Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. I и II.— М.: Мир, 1967.]
5. Friedman N. A. Introduction to Ergodic Theory, N. Υ., 1970.
6. Гнедеико Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин. — М. — Л.: Гостехиздат, 1949.
7. Halmos Ρ R. Measure Theory, Princeton, N. J., Van Nostrand, 1962.
[Имеется перевод: Халмош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953.]
8. Halmos P. R. Introduction to Hubert Space and the Theory of Spectral
Multiplicity, N. Y., Chelsea 1951.
9. Halmos P. R. Lectures on Ergodic Theory, The Math. Soc. of Japan, 1956.
(Имеется перевод: Халмош П. Лекции по эргодической теории. — М.: ИЛ,
1959.]
10. Hardy G. Η. A Course of Pure Mathematics, London, Cambridge Univ.
Press, 1952. [Имеется перевод другого издания: Харди Г. X. Курс чистой
математики. — М. — Л.: 1949.]
11. Hormander L. Linear Partial Differential Operators, Berlin, Springer-Ver-
lag, 1969. [См. также перевод другого издания: Хермаидер Л. Линейные
дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир, 1965.]
12. Kelley J. L. General Topology, Ν. Υ., Van Nostrand, 1961. [Имеется
перевод: Келли Дж. Л. Общая топология, изд. 2. — М.: Наука, 1981.]
13. Kingman J. F. С, Taylor S. J. Introduction to Measure and Probability,
London, Cambridge Univ. Press, 1966.
14. Lukacs E. Characteristic Functions, London, Griffin, 1970. [Имеется
перевод. Лукач Е. Характеристические функции.—Μ.: Наука, 1979.]
15. Mackey G. W. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, N. Y.f
Benjamin, 1962.
16. Наймарк Μ. А. Нормированные кольца, изд. 2. —-М.: Наука, 1968.
334
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
17. Parthasarathy К. R. Probability Measuies on Metric Spaces N. Y.,
Academic Press, 1967.
18. Parthasarathy K. R. Probability Theory on the Closed Subspaces of a Hil«
bert Space, Les probabilites sur les Structures Algebriques, Paris, C. N. R. S.»
1970, 265—292.
19. Schwarz L. Theorie des distributions Paris, Hermann, 1966.
20 Soboiev S. L. Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics,
TransL of Math. Monographs, Vol. 7, Amer. Math. Soc, 1963. [См. также:
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике. — Л., 1950; Новосибирск, 1962.]
21. Szego G. Orthogonal Polynomials, Coll. Publicat., Amer. Math. Soc, 1948.
22. Varadarajan V. S. Geometry of Quantum Theory, Vols. I, II, Princeton,
Van Nostrand, 1968, 1970
23. Zygmund A. Trigonometrical Series, N. Y., Dover, 1955. [Имеется перевод:
Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. I, II.— Μ.: Мир, 1965.]
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЯ
μ* 76
а* 77
(лг, Ш, μ) 80
/ · 8 102
f*£ 190
Ы 210
A(»,V) 212
(*. У) 214
5-L 216
V 218
Λ 218
θ 219
θ 219, 226
λ < μ 266
μ _L ν 266
ί/?°°, #°°, μ) 272
(χ, χ) 299, 326
μ(/) 299
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная непрерывность 266
Абсолютно непрерывная часть меры
267
Алгебра с мерой 83
Аналитические множества 120
Апостериорные вероятности 51
Атом меры 129
Байеса теорема 51
Банахова алгебра 203, 212
— структура 167
Банахово пространство 167, 210
Бесконечномерное гильбертово
пространство 227
Биномиальное распределение 35
Биномиальные испытания 37
Биркгофа теорема 275
Борелевская функция 103
— О-алгебра 84
Борелевский автоморфизм 102
— изоморфизм 102
— прямоугольник 103
Борелевское множество 84
— отображение 102, 182
в метрические пространства 105
пары переменных 180
сохраняющее меру 274
— пространство 64
Булев прямоугольник 27
Булева алгебра 11
порожденная полуалгеброй 28
Булева полуалгебра 28
Булево вероятностное пространство
17
— пространство 17
Вариант условного вероятностного
распределения 256
— условной вероятности 254
Вариация линейного функционала 164
Вероятностная мера 74
Вероятностное пространство 79
Вероятностное распределение
случайной величины 110
Вероятностный объем 91
Взаимная независимость 172
Внешняя мера 76
Внутреннее произведение 214
Выбор без возвращения 24
Выборочное пространство 9
Выпуклая функция 174
Выпуклое множество 174
Вырожденная мера 190
Гамильтониан 202
Гамильтонова система 202
Гамма-распределение 192
Гауссовский случайный процесс 139
Гауссовы распределения 139
Геометрическое распределение 192
Гильбертово пространство 214
бесконечномерное 227
конечномерное 227
сепарабельное 227
Гипергеометрическое распределение
24
Гладкий объем 92
Даниэля — Колмогорова теорема 130
Двоичное разложение 122
Декартово (прямое) произведение 11.
27
Десятичное разложение 122
Динамическая группа преобразований
202
Дисперсия 25, 173
Доминируемая мера 266
Егорова теорема 113
Закон больших чисел 271
слабый 55, 309
усиленный 60, 116
Знакопеременная конечная мера 166
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
337
Измеримая функция 103
Измеримое множество 65
— отображение 102
— покрытие 82
Измеримость по Лебегу 98
Изоморфизм пространств 126
Изопериметрическая задача 229
Изотропная подгруппа 321
Инвариантная σ-алгебра 274
— мера 321
Инвариантное множество 273
Индикатор множества 16
Индуцированная мера ПО
Индуцированное преобразование 282
Интеграл 17, 141, 146, 152, 158
Интегрируемость 146, 152
— локальная 206
Испытания Бернулли см.
Биномиальные испытания
Каноническая спектральная мера 225
Квазиинвариантная мера 318, 321,
328
Квазиинвариантность 318, 321, 328
Класс эквивалентности 83
Ковариационная матрица 25
Ковариационное ядро 139
Ковариация 25, 173
Кольцо функций 163
Компактная последовательность 296
Компактность относительная 296
Компактный носитель 206
— объем 96
Комплекснозначная борелевская
функция 152
Конечная мера 166
Конечная полуаддитивность 15
Конечно-аддитивное отображение 13
Конечномерное гильбертово
пространство 227
Косое произведение 282
Коциклическое равенство 195, 271
Коэффициент корреляции 173
Коэффициенты Фурье 229
Лебега теорема 143, 149, 204, 263,
266
Левая инвариантная мера Хаара 316
— квазиинвариантная мера 328
Леей — Крамера теорема 306
Лемма Фату 149
Линейная независимость 224
— оболочка 219
— регрессия 225
Линейный функционал 211
неотрицательный 163
ограниченный 163
Локально-интегрируемая функция 206
Лузина теорема 119
Ляпунова теорема 310
Мажорированная сходимость для
условных математических
ожиданий 253
Макки — Вейля теорема 328
Максимальное неравенство 274
Малая группа 321
Маргинальное распределение 133
Марковский процесс с дискретным
временем 188
Марковское свойство 189
Математическое ожидание 17, 153
Матрица переходных вероятностей
74, 182
— якобиана 195
Мера 68
— вырожденная 190
— доминируемая 266
— инвариантная 321
— квазиинвариантная 318, 321
— Лебега в RK 186
на прямой 98
— на топологическом пространстве
87
— неатомическая 127
— сингулярная 266
— Хаара 314
— эргодическая 274
Метод Монте-Карло 281
Многомерное нормальное
приближение для мультиномиального
распределения 40
распределение 137
Множества аналитические 120
Множество, измеримое по Лебегу 98
— непрерывности меры μ 288
Множество μ-меры нуль 80
Модулярная функция 319
Моменты 173
Монотонный класс 67
Муавра — Лапласа теорема 328
Мультиномиальное распределение 24,
35
Мультиномиальные испытания 24
Наилучшее приближение элемента 213
Наименьшая σ-алгебра, порожденная
# 64
Наименьший монотонный класс 67
338
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Направленное семейство 134
Неатомическая мера 127
Независимость 27
Независимые простые случайные
величины 46
— события 33
Неотрицательный линейный
функционал 163
Непрерывное множество 288
— представление группы 205
Неравенство Гёльдера 168
для условного математического
ожидания 250
— Дуба 250
— Иенсена 176
для условного математического
ожидания 247, 262
— Колмогорова 56, 173
— максимальное 274
— Минковского 169
— Чебышева 26, 172
— Шварца 169, 215
Неудача 9, 35
Норма 163, 169, 210
— в ίρ(μ) 169
Нормальное приближение для
биномиального распределения 37
Нормированная случайная величина
26
Нормированный неотрицательный
линейный функционал 156
Носитель 206
— компактный 206
Обобщенная функция 208
Обратимый оператор 221
Обратный оператор 221
Ограниченный линейный функционал
163
Однопараметрическая группа
гомеоморфизмов 200
Однородное пространство 321
Оператор 211
— обратимый 221
— обратный 221
— самосопряженный 218
—- сопряженный 221
Ортогональное дополнение 216, 219
Ортогональность 219
Ортогональные меры 266
Ортогональный полином 232
Ортонормированная
последовательность 226
Ортонормированный базис 228
Отрицательная часть линейного
функционала 164
функции 146
Паскаля распределение 192
Переходная вероятность 182
— мера 181
— σ-конечная мера 181
Плотная мера 89
Плотность меры 151
— вероятности 191
— стандартного нормального
распределения 43
Подпространство 213
Пойа распределение 53
Полином Бернштейна 60
— Кравчука 241
— Лагерра 240
— Пуассона — Шарлье 240
— Эрмита 237
Полиномиальная регрессия 236
Полное нормированное линейное
пространство 167
— пространство с мерой 80
Полнота семейства ортогональных
полиномов 233
Положительная часть линейного
функционала 164
функции 146
Положительно-определенное ядро 138
Полуаддитивность меры 15
— конечная 15
— счетная 15
Попарно-непересекающиеся
множества 13
Пополнение пространства с мерой 80
Последовательность компактная 296
— независимых испытаний 33
экспериментов 33
— слабо относительно компактная
296
— сходящаяся 211
Поточечная сходимость 107
Правая инвариантная мера Хаара
316
Преобразование индуцированное 282
— сохраняющее меру 146, 274
— Фурье 299
Приближение Пуассона для
биномиального распределения 35
Пример Лапласа 54
Проективный предел борелевских
пространств 130, 135
Проекция 218
Произведение борелевских
пространств 103, 104
— булевых" алгебр 27
вероятностных пространств 31
пространств 29
— косое 282
— мер 185
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
339
Произведение прямое (декартово) 11,
27
— распределений 31
— σ-алгебр 103, 104
Производная Радона — Никодима 266
Производящая функция 241
Простая случайная величина 16
Простое борелевское отображение
601
Пространство с вполне конечной
мерой 79
— с мерой 79
— с σ-конечной мерой 79
Прохорова теорема 293
Процесс броуновского движения 190
Прямая сумма подпространств 219
Пуассона распределение 23
Равномерная абсолютная
непрерывность 152
— сходимость 107
Равномерно σ-конечная переходная
мера 184
— плотная последовательность мер
293
Равномерное распределение 123
Радона —Никодима теорема 263,
265
Разложение двоичное 122
— десятичное 122
— Личное 122
— Лебега 263, 266
Распределение 153
— в смысле Шварца —Соболева 208
— вероятностей 13
— гамма 192
— Гаусса 139
— геометрическое 192
— гипергеометрическое 24
— нормальное 139
— Паскаля 192
— Пойа 53
—· Пуассона 23
— случайной величины 153
— χ2 с η степенями свободы 192
Регрессия 245
Регулярное вероятностное
распределение 87, 94
•^- условное распределение 261
Рисса — Фишера теорема 170
Ряды Фурье 229
Самосопряженный оператор 218
Свертка вероятностных мер 190
— функций 203
Сверточнач алгебра Щ
Сдвиг 272
Семейство взаимно независимых
случайных величин 172
событий 33
ортогональное 219
Сепарабельное гильбертово
пространство 226
Сечение борелевского множества 180
отображения 180
Сильная сходимость 214
Сингулярная мера 266
— часть меры 267
Скалярное произведение 214
Слабая сходимость 286
вероятностных мер 286
Слабо относительно компактная
последовательность 296
Слабый закон больших чисел 55, 309
Случайная величина 102, 153
— цифра 123
Случайные числа 123
Событие 10
Совместное распределение 153
Согласованная последовательность
мер 130
Согласованное семейство
распределений 133
Сопряженное пространство 212
Сопряженный оператор 221
Состояние 220
— счетно-аддитивное 220
Спектральная мера 225
каноническая 225
Среднеквадратическая ошибка 225
Стандартная группа 328
— нормальная плотность 43
Стандартное борелевское
пространство 102
— нормальное распределение 42
— отклонение 25, 173
Стандартный процесс броуновского
движения 190
Статистика Бозе — Эйнштейна 23
— достаточная 270
Статистическая независимость 33
Строго положительно-определенное
ядро 138
Существенный инфинум 144
— супремум 144
Сходимость по вероятности 112
— по мере 112
— почти всюду 112
наверное 112
— с вероятностью единица 112
— сильная 214
— слабая 286
Сходящаяся последовательность 2Ц
340
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Счетная аддитивность 13, 220
— полуаддитивность 15
Счетно-порожденная σ-алгебра 65
Теорема Байеса 51
— Биркгофа эргодическая 275
— Егорова 113
— единственности для меры Хаара
319
— Лебега 204
о мажорированной сходимости
149
о монотонной сходимости 143
о разложении 263, 266
— Лиувилля 202
— Лузина 119
— Ляпунова 310
— Макки — Вейля 328
— Муавра — Лапласа 38
— непрерывности Леей — Крамера
306
— о мажорированной сходимости для
условных математических
ожиданий 253
— о мере Хаара 315
— о монотонной сходимости 143
— о представлении Рисса в G(X)
156, 159, 162
для гильбертова
пространства 220
— о продолжении меры 79
— о проекции 216
— об изоморфизме 129
— обращения 302
— Прохорова 293
— Радона — Никодима 263, 265
— Рисса —Фишера 170
— согласованности вероятностных
мер Даниэля — Колмогорова 130
— Фубини 186
обобщенная 186
— эргодическая 271
с мажорированной сходимостью
в ίρ(μ) 284
Тождество Аполлония 216
— параллелограмма 216
— Парсеваля 227
Топологическое линейное простран
ство 208
Унимодулярные группы 320
Унитарная группа 329
Унитарное представление 271
Унитарный оператор 329
Уравнение Колмогорова — Чепмэна
189
Урновая схема Пойа 51
Усиленный закон больших чисел 60.
116
Условие согласованности 32
Условная вероятность 50
Условное вероятностное
распределение 256
Условное математическое ожидание
242, 243, 245
Успех 9, 35
Фазовое пространство 202
Фату лемма 149
Формула Гаусса 200
— замены переменных 194 '
— Стирлинга 38
Фубини теорема 186
Фундаментальная последовательность
по мере 113
Функции Хаара 233
Функционал линейный 211
Функция распределения 71, 86
— среднего случайного процесса 139
— стандартного нормального
распределения 42
Характеристическая функция
множества 16
распределения 299
Хи-квадрат распределение с η
степенями свободы 192
Центральная предельная теорема 46,
290
Цепь Маркова 74
Цилиндрическое множество 11
Эквивалентные меры 266
— множества 83
Элементарные исходы 9
— цилиндрические множества 72
Эргодическая теорема 271
Биркгофа 275
с мажорированной сходимостью
в 1Ρ{μ) 282
Эрмитовы полиномы 237
предметный указатель
341
Якобиан 195
В-алгебра 212
В-пространство 210
Fa-множество 87
G& -множество 87
&-ичное разложение 122
r-й момент случайного
вектора 173
7,-инвариантность 273, 274
μ*-Η3ΜβρπΜοσπ> 77
μ-непрерывное множество 288
μ-нулевое множество 80
μ-регулярная мера 87
μ-регулярное множество 87
μ-эквивалентность 83
σ-алгебра 63, 274
σ-конечная мера 74
σ-подалгебра 242
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава I. Вероятность на булевых алгебрах 9
§ 1. Множества и события 9
§ 2. Вероятность на булевой алгебре 12
§ 3. Распределения вероятностей и элементарные случайные величины 15
§ 4. Повторные испытания и статистическая независимость .... 27
§ 5. Пуассоновское приближение для биномиального распределения 35
§ 6. Нормальное приближение для биномиального распределения . . 37
§ 7. Многомерное нормальное приближение для мультиномиального
распределения 40
§ 8. Некоторые применения нормального приближения 42
§ 9. Независимые простые случайные величины и центральная
предельная теорема 46
§ 10. Условная вероятность 50
§ 11. Законы больших чисел 55
§ 12. Применение закона больших чисел к одной проблеме анализа 60
Глава II. Продолжение меры 63
§ 13. σ-алгебры и борелевские пространства 63
§ 14. Монотонные классы 66
§ 15. Меры на булевых полуалгебрах и алгебрах 68
§ 16. Продолжение мер на σ-алгебры 75
§ 17. Единственность продолжения меры 79
§ 18. Продолжение и пополнение меры 80
§ 19. Меры на метрических пространствах 83
§ 20. Вероятностные объемы 91
§ 21. Мера Лебега на действительной прямой 98
Глава III. Борелевские отображения 102
§ 22. Элементарные свойства борелевских отображений 102
§ 23. Борелевские отображения в метрические пространства . . . .105
§ 24. Борелевские отображения пространств с мерой ПО
§ 25. Построение меры Лебега и других мер на интервале единичной
длины с помощью двоичных, десятичных и других &-ичных
разложений 121
§ 26. Изоморфизм пространств с мерой 126
§ 27. Меры на проективных пределах борелевских пространств . . .129
Глава IV. Интегрирование 140
§ 28. Интегрирование неотрицательных функций 140
§ 29. Интегрирование борелевских функций 146
| 30. Интегрирование комплексного ачных функций ..,.,, г , 162
ОГЛАВЛЕНИЕ 343
§ 31. Интегрирование относительно вероятностной меры 153
§ 32. Интеграл Римана и интеграл Лебега 154
§ 33. Теорема представления Рисса 156
§ 34. Некоторые интегральные неравенства . 167
Глава V. Меры на произведениях пространств 180
§ 35. Переходные меры н теорема Фубини 180
§ 36. Свертка вероятностных мер на Rn 190
§ 37. Мера Лебега в Rn 193
§ 38. Сверточная алгебра Li(Rn) 202
§ 39. Аппроксимация функции в пространствах Lp относительно меры
Лебега в Rn 203
Глава VI. Гильбертово пространство и условные математические ожидания 210
§ 40. Элементарные свойства банаховых пространств 210
§ 41. Проекции в гильбертовом пространстве 214
§ 42. Ортонормированные последовательности 226
§ 43. Полнота семейства ортогональных полиномов 233
§ 44. Условное математическое ожидание 242
§ 45. Условная вероятность 254
§ 46. Регулярные условные вероятностные распределения 256
§ 47. Теорема Радона — Никодима и теорема Лебега о разложении 263
§ 48. Элементарные свойства производных Радона — Никодима . . . 267
§ 49. Закон больших чисел и эргодическая теорема 271
§ 50. Эргодическая теорема с мажорированной сходимостью . . . . 282
Глава VII. Слабая сходимость вероятностных мер 285
§ 51. Критерии слабой сходимости в пространстве вероятностных мер 285
§ 52. Теорема Прохорова 292
§ 53. Преобразования Фурье вероятностных мер на Rk 298
Глава VIII. Инвариантные меры на группах 314
§ 54. Мера Хаара 314
§ 55. Квазиинвариантные меры на однородных пространствах .... 321
§ 56. Теорема Макки — Вейля 328
Список литературы 333
Указатель обозначений 335
Предметный указатель 336
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, Москва, И-110г ГСП, 1-й
Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Кальянапурам Партасарати
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ТЕОРИЮ МЕРЫ
Научный редактор Л. Н. Бабынина
Младший научный редактор И. В. Герасимова
Художник С. А. Бычков '
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова
Корректор Н. А. Гиря
ИБ Кя 3097
Сдано в набор 27.05.82. Подписано к печати 17.01.83.
Формат 60Χ907ιβ· Бумага типографская № 2. Гарнитура
литературная. Печать высокая. Объем 10,75 бум. л.
Усл. печ. л. 21,50. Усл. кр.-отт, 21,50. Уч.-изд. л. 16,89.
Изд. № 1/1841. Тираж 8000 экз. Зак. № 228. Цена 2 руб.
Издательство «МИР>
129820, Москва, И-110, ГСП.
1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное
предприятие ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им.
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.