М.В.Федорюк
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
В книге рассмотрены основные методы асимптотических оценок интегралов,
содержащих большой параметр: метод Лапласа, метод стационарной фазы, метод
перевала, как в одномерном, так и в многомерном случаях.
Книга снабжена значительным количеством примеров. Приведен ряд
приложений к дифференциальным и разностным уравнениям.
Рассчитанная на научных работников в различных областях математики,
математической и теоретической физики, на студентов и аспирантов
(математиков и физиков) книга будет также полезна инженерам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	5
Глава I Асимптотические разложения	7
§ 1. Простейшие асимптотические оценки	7
§ 2,	Асимптотические ряды	11
§ 3.	Степенные асимптотические ряды	15
§ 4.	Интегралы со слабой особенностью	20
Глава II. Метод Лапласа	28
§ 1.	Интегралы Лапласа (одномерный случай)	28
§ 2.	Модификации метода Лапласа (одномерный случай)	50
§ 3.	Некоторые сведения из анализа	61
§ 4.	Метод Лапласа для кратных интегралов	73
Глава III. Метод стационарной фазы	92
§ 1.	Метод стационарной фазы в одномерном случае	92
§ 2.	Метод стационарной фазы в многомерном случае. Вклад от внутренней	116
невырожденной стационарной точки
§ 3.	Применения многомерного метода стационарной фазы	124
§ 4.	Метод стационарной фазы Вклад от граничных стационарных точек 136
§ 5. Вырожденные стационарные точки	155
Глава IV Метод перевала	162
§ 1.	Метод перевала для интегралов Лапласа	162
§ 2.	Теоремы существования	176
§ 3.	Функция Эйри	184
§ 4	Функции Бесселя	187
§ 5.	Асимптотика коэффициентов Тейлора и Лорана аналитических функций. 190
Некоторые задачи теории вероятностей статистической физики и
теории чисел
§ 6.	Асимптотика преобразования Лапласа	202
§ 7	Асимптотика преобразования Фурье	212
§ 8	Асимптотика преобразования Меллина	235
*§ 9	Точка перевала на бесконечности	242
Глава V. Метод перевала (многомерный случай)	250
§ 1.	Основы метода перевала	250
§ 2.	Точки перевала полиномов и алгебраических функций. Теоремы	267
существования
§ 3.	Асимптотика фундаментальных решений корректных по Петровскому 285
уравнений
§ 4.	Устойчивость в С задачи Коши для разностных уравнений и уравнений с 319
частными производными
Глава VI Слияние особенностей	331
§ 1	Стационарная точка вблизи границы	331
§ 2.	Слияние двух точек перевала	341
§ 3.	Слияние полюса и точки перевала	356
Литература	363
ПРЕДИСЛОВИЕ
Тема настоящей книги — асимптотические оценки интегралов.
Многочисленные задачи математики, математической и теорети-
ческой физики, механики, техники приводят к необходимости
исследовать интегралы вида
F (А) = ехр [АД (х)] f (х) dx
. v
при больших значениях параметра А,—>4-оо. Здесь интеграл
может быть одномерным или многомерным, область интегриро-
вания у может быть интервалом вещественной оси или областью
n-мерного вещественного пространства, контуром в комплексной
плоскости или «-мерным контуром в «-мерном комплексном
пространстве.
Можно по пальцам пересчитать те случаи, когда такие
интегралы явно вычисляются. С другой стороны, при больших
значениях параметра вычисление значений таких интегралов
не под силу даже самым современным ЭЦВМ. Единственное,
что остается—это попытаться воспользоваться асимптотическими
методами.
В настоящей книге рассмотрены основные методы асимпто-
тических оценок интегралов: метод Лапласа, метод стационар-
ной фазы, метод перевала. В частных случаях асимптотические
разложения были открыты и применялись еще в XVIII столетии
Стирлингом, Маклореном и Эйлером. Дальнейшее развитие эти
методы получили в работах Стокса, Кельвина, Дебая и многих
других авторов. Тем не менее книги, посвященные специально
асимптотическим методам, начали появляться только в 60-х годах
нашего столетия.
Настоящая книга рассчитана на широкий круг лиц—мате-
матиков, физиков, механиков, инженеров-исследователей. Для
чтения книги достаточно знания основ математического анализа,
линейной алгебры и теории функций комплексного переменного.
Исключение составляет лишь гл. V; необходимые для ее пони-
мания элементарные топологические и алгебраические факты
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
приведены в тексте. Некоторые факты в книге сформулированы
в форме задач. Примеры, которые приводятся в книге, как пра-
вило, связаны с конкретными задачами; мы избегали примеров,
придуманых специально для демонстрации того или иного
метода.
Литература, посвященная асимптотическим оценкам интегра-
лов, в особенности одномерных, огромна, и приведенные нами
библиографические указания ни в коей мере не претендуют на
полноту. Имеется ряд монографий, полностью или частично
посвященных асимптотике интегралов, — это книги [10], [34], [44],
[66], [97], [106], [113], [128]. Подробная библиография имеется
в [66], [128].
Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои
границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла
вида F (А), даже одномерного, можно вычислить. Рассмотрим,
например, преобразование Фурье
оо
F(A) = e~iKxq> (х) dx.
Если про функцию ф(х) известно лишь, что она финитна и бес-
конечно дифференцируема, то про функцию F (А) можно сказать
только, что она убывает при А-> ± °° быстрее любой степени А;
но никакой асимптотической формулы (кроме написанного выше
интеграла) для нее получить нельзя. Имеется не такое уж
большое число эталонных типов интегралов, асимптотику кото-
рых удается вычислить. По-видимому, в недалеком будущем
наряду с таблицами интегралов возникнут и таблицы асимпто-
тик интегралов.
Нумерация формул в каждой главе независима от нумерации
в других главах. При ссылке на формулу из другой главы до-
бавляется номер этой главы.
Ав;ор
ГЛАВА I
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
§ 1. Простейшие асимптотические оценки
I. Символы —, о, О. Пусть функции f(x), g(x) определены
на некотором множестве М и а — предельная точка множества /VI.
Как правило, независимое переменное х будет вещественным
или комплексным числом; однако все утверждения данного раз-
дела пригодны и в том случае, когда х — элемент хаусдорфова
топологического пространства. Это замечание относится и к § 2.
Мы будем использовать следующие общепринятые обозна-
чения.
Формула	Определение
fix) — g (х)	(х->а, хе .И).
х->а, хеМ S (х)
f (х) = о (g (х)) (х->п, хеМ).
f (х) = О (g (х)) (хеМ).
f (х) = О (g (х)) (х -» а, хе Af).
Существует постоянная С
такая, что
IZWI<C|g(x)|
при всех х е М.
Существуют постоянная С и
окрестность U точки а такие,
что
I f U) К С | g (х) |
при х е /И П О’.
В этих формулах указание на множество А1 будем опускать
в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений.
Примеры. 1. 1пх = о(х-а) (х-> + 0), а > 0.
2.	1пх = о(ха) (х —> + °о), а > 0.
3.	sin г — г (г—>0).
4.	sinx = O(l) (—со < х < оо).
5.	п\'-~ \/2лпе~ппп (п-*оо).
8
ГЛ. I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
6. Пусть Se — сектор | argz|^4j—е < -у в комплексной
плоскости z, с > 0. Тогда
e~cz = о (е-с'|г|)	(ге5е), с' > 0.
Так как Rez^l z |(sine)—1 при zgSe, то
| е~сг	(zeSe).
7. При любых а, b > 0
е~а|г| = о(| г Г6)	(|г|—*оо).
Соотношение f (х) = о (g (х)) (х->а) означает, что функция
f(x) есть бесконечно малая по сравнению с g(x) при х-^а.
Аналогично, соотношение f (х) = О (g (х)) (х->а) означает, что
функция f (х) ограничена по сравнению с функцией g(x) при
х->а. В частности, если f(x) = o(l) (х-> а), то f (х) — бесконечно
малая величина при х->а; если же f(x) = O(l) (х—>а), то f (х)
ограничена при х-~>а. Отсюда нетрудно получить ряд правил
действий с символами о, О:
о (f (х)) + о (J (х)) = о (f (х)),
о (f (х)) о (g (х)) = о (f (х) g (х)),
о (о (f (х))) = о (f (х)).
В этих формулах х->а, х^М, множество Af и точка а — одни
и те же в левой и правой части каждого равенства.
Расшифруем и докажем первую формулу; остальные дока-
зываются аналогично. Пусть g, (х) = о (f (х)), g2 (х) = о (f (х)) при
х —> а; тогда g> (х) + g2 (х) = о (f (х)) при х -> а — это содержание
первой формулы. Доказательство:
Точно такие же формулы справедливы для символа О.
Далее, имеют место формулы
o(Hx)) + O(f(x)) = O(/(x)),
o(/(x))O(g(x))- о /’(х)/(х)),
О (о (f (х))) = о (f (х)), о (.0 V (х))) = о (f (х)).
(Здесь всюду х->а, х^М.)
§ I. ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
9
Соотношения вида
f(x)~g(x), f {х) ~ о (g (х)), f(x) = O(g(x))
называются асимптотическими формулами или асимптотическими
оценками.
2. Простейшие асимптотические оценки интегралов и рядов.
Приведем простые достаточные условия, при которых асимпто-
тические оценки можно интегрировать.
Предложение 1.1. Пусть функции f(x), g (х) непрерывны,
g(x) > 0 при а < х < Ь, и пусть
ь
jjg(x)dx = +оо,	(1.1)
где	а < х0 <	Ь. Тогда:
1°.	Если	f(x) — O(g(x)) (x->b), то
ь	/ k	\
f (х) dx = О М f (х) dx j (x->Z>).	(1.2)
X	'
2°. Утверждение Г остается в силе, если всюду заменить О
на о.
3°. Если f (х) ~ g (х) (х -> Ь), то
b	ь
f(x)dx ~ g(x)dx (x—>b).	(1.3)
Доказательство. Докажем 2°. Применяя правило Лопи-
таля, получаем
h
/ (х) dx
1 im —h-----= lim '	= 0.
x->b f6	«W
\ g (x) dx
X
Аналогично доказываются остальные утверждения.
В этом предложении достаточно потребовать измеримости
функций f, g и суммируемости на каждом отрезке I cz {а, Ь).
Задач,! 11 Если ' (х) = О (х“) (х -> + оо) то
i (t) dt = О (ха+')	(х-> + оо) а>-1
о
X
\  (t) dt = О (In х) (х -> + оо) а = —1.
о
10
ГЛ. Т. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Задача 1.2. Если / (х) ~ ха (х -> + то
\ • (t)dt ~
о
у Cl + J
(О dt---j- (х -> + оо) u<—1
Задача 1.3. Пусть : (х) = akxk + О (х~2) (х->+эо) Т >гда
& = —1
п a
/ (О dt = ’yzp’j-ь ^-1 1л X 4- о (1) (х > + 0OJ
о	&=0
п
Задача 1.4. Пусть / (х) = аАх-А + О (хга“*) (х-> +оо). Тогда
k=2
f(t)dt = У	+ О(х~Д (х-> + «>).
Задача 1.5. Доказать что
х
Vl +/J = х + у In х + О (1) (х -> + °°)
Приведем простейшие оценки для рядов.
Предложение 1.2. Пусть функция f (х) непрерывна, поло-
жительна и монотонна при х^О. Тогда
п	п
yf(k)=\f(x)dx + O(f(n+l)) + O(l) (х^оо).	(1.4)
k = ‘>	д
Доказательство. Пусть f (х) возрастает для определен-
ности. Тогда
ь	%+1
J	J	f(t)dt,
k-\	k
и, суммируя эти неравенства при	получаем
fl	п	n + 1	1
j mdt-^wdt^
£"=0	0	n	0
1
<f(rt+l) + f(O)-dt.
Тем самым (1.4) доказано.
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
11
Пр едложение 1.3. Пусть функция f (х) непрерывно диф-
ференцируема при х^>0. Тогда
п	п
\f(x)dx
k = ‘)	о
п
< J|f'(x)|dx + |f(O)|.
и
(1-5)
Доказательство. Имеем
k	k
J f(t)dt-f(k)= J [f(t)-f(k)]dt,
fe-1	/е —I
t
fit) - f(k)=\ f' (t')dt'.
k
Следовательно,
k	k
J (m-f^dt < J \ f'(t)\dt.
k —1	fe—1
Суммируя тождества (1.6) от k = 1 до k = n и учитывая послед-
нее неравенство, получаем (1.5).
Предложения 1.2 и 1.3 удобны при вычислении асимптотики
п
сумм типа Zf(k), если f (х) растет не быстрее некоторой сте-
R =’)
пени х при х-> Доказать что	- -4- оо. При п -> + оо
Задача 1.6.	Ёт~|г-"- k=\
Задача 1.7.	П Е‘"~о+1 <«> » k= 1
Задача 1.8.	У>(1п*)р~ П°+У- (а>-1). А=2
Задача 1.9	Y* tin k)a (In n)ra + l	_. 2-j k	а + 1	а k = 2
§ 2. Асимптотические ряды
1. Асимптотические последовательности. Пусть функции
<₽« (х), п — 0, 1, 2, ..., определены на множестве М, имеюшем
предельную точку а, и пусть <рп (х) =# О в некоторой окрест-
ности Un точки а.
12
ГЛ. I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Определение 2.1. Последовательность {<рп(х)} называется
асимптотической при х->а, х е М, если при любом целом п^О
Фп+i (х) = о(ф„(х))	(х->а, х<=М).	(2.1)
Приведем примеры асимптотических последовательностей.
В этих примерах х— комплексное переменное, Af — окрестность
точки а.
1-	{(х — а)п}, х->а.
2-	[х~п], х->°о.
Асимптотические последовательности такого вида называются
степенными.
3.	вещественны, An+i < при z->oo в секторе
Se: | argz |ДА л/2 — e, где 0<е^л/2.
Укажем некоторые свойства асимптотических последова-
тельностей.
Г. Любая подпоследовательность асимптотической последо-
вательности является асимптотической последовательностью.
2°. Пусть функция f (х) отлична от нуля в некоторой окрест-
ности точки а при х е М, а {ф„(х)}— асимптотическая после-
довательность при х —> а, х е М. Тогда последовательность
{/ (х) Ф'п(х)} является асимптотической при х->а, х^М.
3°. Пусть последовательности {<рп (х)}, {ф„ (х)} — асимптоти-
ческие (при ха, х е А1). Тогда последовательность {<р„ (х) фга(х)}
является асимптотической при х->а, .teAf.
Доказательство этих утверждений вытекает непосредственно
из определения.
2. Асимптотические ряды. Пусть а — предельная точка мно-
жества М, функция f (х) определена на множестве М.
Определение 2.2. Пусть {<рп(х)} — асимптотическая после-
довательность при х->а, х е М. Функция f (х) разлагается
в асимптотический ряд
оо
{х-+а, xeAf),	(2.2,
п==0
где ап — постоянные, если при любом целом
Л'
f (*) — £ адр» (X) = О (фд, (х))	(х->а, хеМ). (2.3
п = 0
Ряд (2.2) называется асимптотическим разложением фут
ции f (х) по асимптотической последовательности {фп (х)}. Опре
деление 2.2 принадлежит А. Пуанкаре, и разложение (2.2) на-
зывается асимптотическим разложением в смысле Пуанкаре.
Более общее определение было введено Эрдейи [97]. Пусть
<рп (х) — асимптотическая последовательность при хеД Пусть
§ 2 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
13
{ф„(х)}, п = 0, 1,2, ..., — последовательность функций, кото-
рые определены при х е М, и
где 0 < Сп < оо.
оо
Определение 2.3. Формальный ряд У, фп(х) называется
/1=0
асимптотическим разложением функции f(x) по асимптотической
последовательности {фп(х)}, если при любом целом
f(x) — у (х) = о («Pjv (х)).	(2.5)
п=0
Записывается это так:
оо
f (х) ~	(х) {ф„ (х)}.	(2.6)
п — J
Определение 2.3 используется в тех случаях, когда функции
ф„(х) могут иметь нули в любой окрестности точки а (напри-
мер, фп (х) = x~n sinx, х->4*оо).
Ниже мы рассматриваем асимптотические разложения в смысле
Пуанкаре. Асимптотический ряд дает нам последовательность
асимптотических формул для функции )(х), причем каждая
последующая формула уточняет предыдущую:
f (х) —	(х) = о (ф0 (х)),
f (х) — «оЧРо (х) — «1Ф1 (х) = о (ф| (х)), . ..
Из определения 2.2 следует, что асимптотический ряд мо-
жет расходиться (примеры такого рода см. в § 3). Действительно,
из (2.3) следует, что остаточный член ряда RN (х) = f (х) —
N
— X an(fn (х) имеет вид
Rx (х) = Фх (X) ev (х), 8jv(x) = o(1) (х-*а),
но ничего не говорится о поведении RlV (х) при фиксированном х
и при Л'->оо. В отличие от сходящихся рядов расходящийся
асимптотический ряд позволяет вычислить значение функции f (х)
в данной точке х0 лишь с некоторой относительной ошибкой
е = е(х0); при этом lim е(хо) = О.
х0->а
Таким образом, возможны три варианта для асимптотического
ряда функции f (х):
1)	ряд сходится к f (х);
2)	ряд сходится к функции ё(х)=£Цх);
3)	ряд расходится.
14
ГЛ. I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Все три варианта реализуются в действительности.
Установим некоторые свойства асимптотических разложений.
Теорема 2.1. Асимптотическое разложение в смысле Пуан-
каре данной функции по данной асимптотической последователь-
ности единственно.
Доказательство. Пусть {фп(х)}— асимптотическая по-
следовательность при х-+а, х е Af, и пусть функция f (х) имеет
разложения
f (х) ~ X а„<р„ (х), f (х) — ьп^п (х).
п=0
Покажем, что ап = Ьп. Имеем, по определению,
f (х) — аофо (х) = о (ф0 (х)), f (х) — &0<р0 (х) = о (ф0 (х))
при х->«, х е М. Вычитая второе соотношение из первого и
деля на ф0(х), получаем а0— Ь0 — о(1), так что а0 — Ь0. Анало-
гично доказывается, что а} = Ь1 и т. д. В частности, коэффи-
циенты асимптотического разложения (2.2) вычисляются по фор-
муле
ап = Нт И(х) — X адНх))/Фп (х)1 •
х~>а, xsAlLx	й=0	✓/	J
С другой стороны, две различные функции могут иметь одно
и то же асимптотическое разложение. Например:
0~0 • х°-ф 0 • х-1 + ... + 0 • х~п + ... (х—> + оо),
• х° + 0 • х”1 + ... + 0 • х~п + ... (х->-фоо).
Заметим, что в первом примере асимптотический ряд сходится
к функции, которую мы разложили, а во втором примере ря;.
сходится, но уже к другой функции.
Асимптотические ряды, как и обычные сходящиеся ряды,
можно складывать и умножать на константу.
Теорема 2.2. Пусть
f(x) ~ X М>п(х), й(х)~2М«(х){фя(х)}
/1=0	п=0
и а, р— постоянные. Тогда
оо
af (х) + pg (х) ~ X (аап -ф р&„) ф„ (х) {ф„ (х)}.
п=0
Доказательство следует непосредственно из опреде-
ления.
Однако перемножать асимптотические ряды, вообще говоря,
нельзя, так как не всегда можно упорядочить систему функций
§ 3. СТЕПЕННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
15
{<Рп ФтЬ п,т — 0, 1,2, так, чтобы получилась асимптоти-
ческая последовательность.
3. Асимптотические разложения, содержащие параметр. Пусть
функция f (х, у) определена на множестве х^. М, у е N и а —
предельная точка множества ЛТ Пусть функция f при каждом
фиксированном у е М разлагается в асимптотический ряд
f(x, У) ~ X ап (у) <р„ (х)	(х->а, х е= М).	(2.7)
Разложение называется равномерным по параметру у е N,
если соотношение
Л’
f (.X, у) —Хап (у) ф„ (х) = О (q>N (х))
^=0
при х —> а, х е /И выполняется равномерно по y<=N.
Рассмотрим вопрос об интегрировании асимптотических раз-
ложений по параметрам. Пусть М и N — области в Rx' и Ry*
соответственно, область N ограничена, dy = dyx...dy , функ-
ции ап(у) и /(х, у) (при каждом фиксированном хеМ) сумми-
руемы на множестве У. Тогда справедлива
Теорема 2.3. Если разложение (2.7) равномерно по y^N,
то его можно интегрировать почленно:
оо
J f (х, у) dy ~ ^пФп W,
Д’	'7 = 0
гд;- коэффициенты Ап имеют вид Ап = j ап (у) dy.
х
Доказательство теоремы мы опускаем ввиду ее ечевид-
ности.
Дифференцирование асимптотических разложений по пара-
метру у (так же как и по переменному х), вообще говоря, не-
допустимо.
§ 3. Степенные асимптотические ряды
оо
1. Основные свойства. Асимптотические ряды вида У ап%~п,
оо
У, ап(х — х0)" называются степенными. Введем обозначения: х —
вещественное, z—комплексное переменное, S—сектор вида | z
a^argc^p (здесь О^а — р^2л) в комплексной плоскости г.
В части л ти, сектор S может быть лучом или внешностью круга.
16
ГЛ. I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Покажем, что степенные асимптотические ряды можно пере-
множать и делить.
Теорема 3.1. Пусть функции f (z), g(z) непрерывны в 8 и
оо	оо
f (z) ~ £ fnz-n, g (z) — £ gnz~n
n=0
(z—> оо, z е S).
Тогда (при z—>оо, zeS):
Г Если а, b — постоянные, то
оо
af (z) + bg (z) — £ (afn + bgn) z~n.
n = 0
2° f (г) g (z) ~ £ cnz~n.
тг = О
3°. f (z)/g (z) ~ £ dnz~n, если g0=£O.
4°. Если g0 = 0, to f (g (z)) ~ £ enz~n.
n=i}
Коэффициенты cn, dn, en выражаются через fn, gn no тем же
формулам, что и в случае, когда ряды £jnz~n, £ gnz-n exo-
П — Q	72 = J
дятся при |z | > R.
Доказательство. Докажем 2°. Имеем
f (z) g(z) = ( £ fkz~k + o(z~ v)V£ gtz~l + o(z~'v)) =
\fc=0	/ \Z«0	/
= £ fkZ~k £ gi?~l +o(z-*} = CnZ~n + o{z~N),
fe=0	/=0	72 = 0
где cn = /ogn + fig„-i + ... +f„go-
Аналогично доказывается 3°. Докажем 4°. Имеем
f(z) = £ fkZ~k + о (z-'V), g (z) = £ gtz~l + о (z-v),
Л-1	Z=9
так что
f (g(z)) = £ fk (£ g/Z-z) + о (z-v) = £ enz~n + о (z-^v).
fe=l \Z=0	/	72 = 0
Коэффициенты en, по построению, не зависят от N и вычис-
ляются точно так же, как для голоморфных в точке г — оо
функций f(z), g(z).
Рассмотрим вопросы о почленном интегрировании и диффе-
ренцировании степенных асимптотических разложений.
$ 3, СТЕПЕННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
17
Теорема 3.2. Пусть f (г) голоморфна при zeSu а=лр.
Тогда функция
оо
Z
{интеграл берется по кривой, лежащей внутри S) разлагается
в асимптотический ряд
+	•••+4^ + ••• <2->о°’
Если а = р, то достаточно потребовать непрерывности функции f (г)
при | z | > R, arg z = а.
Доказательство. Имеем
ОО р .V
f(z)=$ £f„rn + o(rv-1)
z Ln=2
.V
dl=t
п=2
_____fn_____
(п + l)zn+I
+ o(2-w)
для любого П^2, что и доказывает утверждение.
Теорема 3.3. Если функция f (х) имеет непрерывную про-
изводную f'{x) при х^а, которая разлагается в асимптотический
степенной ряд при х—> + оо> то это разложение получается фор-
мальным почленным дифференцированием асимптотического ряда
для f {х), т. е.
f'(x)----£(« — l)fn_ix~n (х-*4-оо).
п=2
Доказательство. Пусть f' {х) ~ У апх~п. Имеем
гг=О
х
f(x) = f(a)+ ^f'(t)dt = f(a) + a0x + a1\nx + O{i) (х-> + оо).
а
ОО
Так как f (х) — У, fnx~n, то а0 = а{=0.
п=0
В силу теоремы 3.2.
“	оо
fw~-\rmdt—Е-.Ту— (»- + «=),
V	{II -Т- ПЛ
х	п=2 v ’
и из единственности асимптотического разложения следует, что
ап = — (п—
2. Асимптотические разложения голоморфных функций. Эти
разложения можно почленно дифференцировать, как показывает
18
ГЛ t. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Теорема 3.4. Если f(z) голоморфна в секторе S: |г|> R,
а < arg z < р, и если
f(z)~ Е fnz~n
при | z | -> оо равномерно no arg z в любом замкнутом подсекторе
сектора S, то
f'(z)~— Xnfnzn~'
п=\
раса :/ трно по arg г в любом замкнутом подсекторе сектора S.
Доказательство. Рассмотрим замкнутый сектор S:
щ < arg~ < рь лежащий внутри S, и обозначим I границу сектора
S": \z \'^R,, a2^argz^p2, такого, что S' <= S" cz S. Имеем
для любого А’^0
f(z)= £ fnz-n + z-N~l(pN(z),
п—о
где | Фуу (z) | С в S", если > R достаточно велико. Функция
<pv (г) голоморфна в S", так как f (z) голоморфна в S. При zeS'
= 1 С f (g) rfg
2л1 J (g — z)-
i Л C + 1 f
= Д?2Лк‘(Д4 J £'V+! (S - г)-
+	(3.1)
что следует из теоремы о вычетах Обозначим /' окружность
| £ — z | == р, лежащую в S'. Тогда /?,v равен интегралу по
так что
I фуу (g) I I rfg I

равномерно по arg г. Из этой оценки и (3.1) следует утвер-
ждение.
Из теоремы 3.4 следует
Теорема 3.5. Пусть S; а < arg г < р,	— сектор
в комплексной плоскости х, функция f (г) голоморфна при z^S
§ 3. СТЕПЕННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
19
и разлагается в асимптотический ряд f (г) ~ У, f„z" (z-*0, ге S).
/г=0
Тогда
где S* — любой замкнутый подсектор сектора S.
Доказательство. Имеем f (z) = а0 + О (г) (г -> 0, г s S),
откуда следует (3.2) при /г = 0. В силу теоремы 3.4 имеем
f Д(гТ (г->0, геХ),
п~ Э
что и доказывает (3.2).
Теорема 3.6. Пусть функция f (z) голоморфна при | z i > Я и
п — 0
Тогда
fnZ~n (\z\>R).
п = 0
Доказательство. Так как lim f (г) = f0, то функция f (z)
2->
голоморфна в точке г = оо и разлагается в ряд Лорана
f(z)=XfnZ~n,
п — 0
сходящийся при 7? < | z | < оо. Поскольку при любом целом N ^0
f (z)= f*z~nО (z~N~l) (z->°o),
ряд Лорана является асимптотическим для функции f(z) при
z—>оо. В силу единственности асимптотического разложения
Ц = д » = 0. 1,2,...
оо
Теорема 3.7. Для любого формального ряда У, anz~n
и для любого сектора S'. а arg z р (0 < а — р < 2л, | z ' R > 0)
существует функция f (z), голоморфная в секторе S и такая, что
f (?) ~ У anz~n (z-»oo, 2gS).	(3.3)
/г=0
20
ГЛ. I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать, что сектор S имеет вид| а г g z | < а < л, | z | > 1. Положим
оо
Ж= X anqp„(z)z-n, <[,, (z) = 1 — exp (— bnz4). (3.4)
п = 0
Здесь Ьп^0, а число у>0 выбрано настолько малым, чтобы
выполнялось неравенство RezY<0, |argz|^a. С помощью не-
равенства |1—(Re 0) получаем, что
Положим
[	(^) П I I I Ьп 1^1
bn = \an\~', ап=£0; Ьп = 0, ап = 0.
Тогда при z = S ряд (3.4) мажорируется сходящимся рядом
У | е |w. Так как члены ряда (3.4) голоморфны в секторе S, то,
по теореме Вейерштрасса, функция f (z) голоморфна в секторе S.
Докажем (3.3). Имеем
Л'-1
f(z)~ X anz~
оо	A/ —1
= £ апч>п (z) z~n+N — X a„exp(— b^v) z~n+N.
n=>N	n=0
Второе слагаемое в правой части стремится к нулю при z->oo,
zeS. Далее, при z е S
У an^n^}z n+N
n = N
< f |zr”+A,~v<|zrv->0
n = N
(z —> oo).
Эта теорема показывает, что существуют асимптотические
ряды, которые расходятся всюду в комплексной плоскости.
Более подробные сведения об асимптотических рядах см.
в [10], [15], [16], [97].
§ 4. Интегралы со слабой особенностью
1. Эталонные интегралы. В этом параграфе мы исследуем
поведение при е—>0 интегралов вида
F(e; а, р)= /в-1(/ +е)“<р(^)с//,	0<а<оо.	(4.1)
о
Здесь Р > 0, а — вещественное число.
§4. ИНТЕ1РАЛЫ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
21
Если ере С [0, а], то функция F (е; а, Р) голоморфна в ком-
плексной плоскости е с разрезом по полуоси (— оо, 0). В точке
е = 0 эта функция имеет особенность (за исключением случаев,
когда а ^0 —целое число или <р(/) = 0 в окрестности точки
/ = 0). Нас интересует характер особенности. Заметим, что
интеграл вида (4.1) по любому отрезку [6, а], 0 < б < а, есть
голоморфная функция в точке е = 0. Следовательно, особен-
ность функции F в точке е = 0 полностью определяется пове-
дением функции <р(/) при малых /^0, т. е. ростком функ-
ции ф(/) в точке t — Q.
Введем обозначение: S6— сектор 0 < | е |^r, |arge|^n — б
в комплексной плоскости е. Здесь г > 0, число 6 может быть
выбрано сколь угодно малым, но не зависящим от е.
Рассмотрим эталонный интеграл
а
Ф(е; а, ₽)= ^t^1 (t + е.)а dt.	(4.2)
о
Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что а не является целым
положительным числом.
Г. Пусть а + р < 0. Тогда Ф (0; а, р) = оо. Представим инте-
грал (4.2) в виде
Z ОО	ОО X
Ф(е;а,Р) = Н - J (/ + е)а dt = Ф, + Ф2.	(4.3)
Ч а '
ЕСЛИ 8 > 0, ТО
оо
ф, = еа+₽ J Z13-1 (f + 1)а dt = еа+|3В (Р, - а - р).	(4.4)
о
Поскольку функции Фь еа+|3 голоморфны в плоскости е с раз-
резом по лучу (— оо, 0], то по принципу аналитического про-
должения формула (4.4) справедлива при е^(—оо,0] и,
в частности, при eeS6, Функция Ф2 голоморфна в точке е = 0
и разлагается в сходящийся ряд по степеням е. Имеем
ОФ
ф2==-j (1 + ег‘)а dt.
а
Разлагая функцию (1 + еС')а в ряд по степеням еС! и инте-
грируя почленно, получаем, что при а + Р< — 1
Ф (е; а, р) = В (р, — а — Р) еа+|3 +
оо
П = 0
22
ГЛ, I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Итак, особенность функции Ф(е; а, р) в точке е = 0 имеет
вид const еа+в.
2°. Пусть а + Р > 0, а + р — нецелое число. Дифференциро-
ванием по е этот случай сводится к предыдущему:
(|)'ф(е; а, Р) = 7V! ( ^ ) Ф (е; а — TV, р).	(4.6)
Положим Д' = [а + р] + 1, тогда а + р — N < — 1, и для функ-
ции Ф(е; а — N, р) справедливо разложение вида (4.5). Инте-
грируя тождество (4.6), получаем для функции Ф(е; а, р) раз-
ложение (4.5).
В данном случае главный член асимптотики имеет вид
„а+₽
Ф(е; rz, Р) ~(е->0, geSj).
Однако, как и в случае 1°,
Ф (е; а, Р) = const еа+в -ф Ф,
где Ф — голоморфная в точке е = 0 функция.
3°. Остается рассмотреть случай, когда a + p = zV^O, где
N — целое число. Положим р = Л'— афр в (4.5) и перейдем
к пределу при р->-фО и при фиксированных а, е. При р = 0
обращаются в бесконечность только первое слагаемое в правой
части равенства (4.5) и член ряда, отвечающий п — т. е.
/ дг \ а + |3 — .V
А = еа+вВ (р, - а - р) + ( Л ---тг e'v.
м ’	1 ' 1 t a t « + Р -
Выражая бета-функцию через гамма-функции: В(ц, ц) =
= Г (р) Г (д)/Г (р + q), и используя тождество Г (.г) Г (1 — х) =
= n/sinnx, получаем
рщ	._Г(# + р-а)Г(-#-р)_ (—l) v+! лГ (.V + р — а)
Ф’ п W	Г (—а)	Г (—а) Г (JV + р + 1) sin яр'
Следовательно,
Л-₽^(о)о-< m (п) -	Г (Л^ + р - 1) пр ( К А
И —6 ф(р)р ,	<р(р) Г(-а)Г(УУ + р + 1)	8 +^«7
Нетрудно проверить, что <р (0) = 0. Применяя правило Лопиталя,
получаем
lim А — eNq>' (0) =
р-»о
= e4mina- 1П6+	Г(^_-_а + р) |	]
6 На) \а)П8’ Г (-a) dp Г(N + 1 + р) |p_0J-
§ 4 ИНТЕГРАЛЫ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
2,4
Подставляя в (4.5), получаем, что
Ф (е; a, N — а) =
_ с NX. а , (-1)" + 1 d r(N-a + p) I ]
— е	е1’ Г(—a) dp Г (N + 1 + р) |p=0J +
ОО
+ S ^Ve'!- её (-оо,0].	(4.7)
n=0,
Эта формула упрощается в случае, когда a — целое (отрица-
тельное) число. Применяя тождество Г(%+ 1)=хГ(х), получаем
при а < — 1
Г(дг_а_|_р) _J (У — а — 1 4- р) ... (А^ + 1 + р), а < — 1,
Г^ + 1 + р) — (	1,	а=-1.
Следовательно, при целых а=С—1
dp ГЦУ+ 1 + р) |р=0	' Ч 2 )'
и формула (4.7) принимает вид
Ф(.; а,,У-о)=84(‘’)|п^ + rf-(0+l)(W _|)] +
ОО
<“4	Л^ ~~
+ X тЬтг* - <4-8>
п=0, nsyfe.V
где N 0, а 0 —целые числа. Функция Ф имеет логариф-
мическую особенность.
Итак, если a + 0 не является неотрицательным целым числом,
то для функции Ф (е; a, 0) справедливо разложение (4.5). Если
же a4-p = Af^0, где У—целое число, то для функции
Ф(е; а, 0) справедливо разложение (4.7), которое упрощается
при целых а — 1 (см. (4.8)). Если же а^О — целое число, то
Ф(е; а, 0) есть полином от е. Эти разложения сходятся при
любом её(—оо,0]. Они состоят из регулярной части (ряды
в правых частях формул (4.5), (4.7), (4.8), которые являются
голоморфными в точке е = 0 функциями) и сингулярной части.
Последняя имеет вид const ea+g, если а + 0 =/= У, где У^О —
целое число, и вид const e'v In е, если a Р = А7. Эти константы
не зависят от а. Все разложения можно дифференцировать по е
любое число раз.
2.	Интегралы вида (4.1). Напомним, что a — нецелое число.
Теорема 4.1. Пусть а — вещественное число, 0 > 0, ф(/)е-
•щ С (0, а}).
24
ГЛ. I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
1°. Пусть ct + Р не является целым числом. Тогда справед-
ливо асимптотическое разложение
F& а, ₽)~£ B(₽ + n, _a-p_„)^1218^+n+ ^апгп
п=0	«=Э
(4.9)
(б —* 0, 8
2°. Пусть а + р = Af, где N— целое число. Тогда справедливо
асимптотическое разложение
F (е; а, Р)~
оо	оо
max [0, — AfJ	n = 0
(4.10)
(е->0, eeSj).
Эти разложения можно дифференцировать по в любое чис-
ло раз.
Для функций ev, 1пе выбрана в плоскости с разрезом
(—оо,0) такая ветвь, что eY > О при е > 0, 1пе веществен при
8 > 0.
Доказательство. Разложим функцию qp (/) по формуле
Тейлора
k (п)
Ф W = £ tn +	(0-	(4-11)
Функция t|);iф е С”([0, а]). Тогда
k (га)
F (в; а, Р) = У	Ф (в; а, р + п) + Rk (в),
п=0
(4-12)
ЯИе) = \t&+k(t + е)афй (t)dt.
о
Для интегралов Ф(е;а, Р +«) справедливы разложения (4.5),
(4.7). Функция /?й(е) голоморфна в секторе Se. Так как
а
/?jf’(O) = lim Rk\e)^(sn}\f+a+k-s^k(t)dt,
е->0, е е Sa	4 u 7 л
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
25
то производные Rk} (0) существуют при s<a + p + &+l. Сле-
довательно,
la+B+A]
£ 4^s)(°)+o(e'a+0+fe')	(4-13>
s=0
при е е S6, е->0. Подставляя в (4.12) и учитывая, что k можно
выбрать сколь угодно большим, получаем (4.9). Аналогично
доказывается (4.10).
Коэффициенты сингулярной части разложений (4.9) зависят
только от значений ср<®> (0) (т. е. определяются ростком функ-
ции ср (Z) в точке / = 0). Коэффициенты ап, Ьп регулярной части
разложений зависят от значений ср (/) при	Приведем
формулы для коэффициентов ап (т. е. a + |3 — нецелое число).
Из (4.11) — (4.13) и (4.5) получаем
k	о	а
а «а у............... ф,от|(°) + _J_(»u fi+a+k-nф (0dt
Яп \а ) а + ^ + т-п т\ n! k a ) }	VkWai,
т=0	0
(4.14)
где k таково, что a~h₽+& — п > 0, функция

k
ф (о — £
m=0
ф(т) (0)
ml
Если же функция ср (/) допускает аналитическое продолжение
в круг J11 < R, гд,е R>a, то в формуле (4.14) можно поло-
жить /? = оо, фй(/) = 0, так что в этом случае
a"=(a) £
m=0
Qa+B+Jn-n ф(ш) (0)
а + (3 + т — п ml
(4.15)
Если же ср(/)<=С°°([О, а]), то формула (4.15), вообще говоря,
неверна. Действительно, из формулы Коши — Адамара следует,
что из сходимости ряда (4.15) (при некотором п = п0) следует
V-I ф(т) (0) ,.п	, |
сходимость степенного ряда > ~~	‘ в кРУге И I < а.
т = 0
Замечание 1. Теорема 4.1 очевидным образом обобщается
на интегралы вида
а
F (е) = (t + е)“ ср (t, е) dt,	(4.16)
о
где функция ср (/, е) е С°° ([0, а] X {е: | в ) < г}) и голоморфна
по е в круге | е 1 < г при каждом фиксированном I е [0, а].
26
ГЛ. I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
При этом сингулярная часть асимптотического ряда имеет вид
£ 4- В (0 + п, - а - ₽ - п) |/=о 8“+₽+",	(4.9')
«=•
если а + р — нецелое число, и вид
- Z	<*•«
п >max [О, А/]
если а + Р = N.
Разложения (4.9), (4.10) остаются в силе и в том случае,
когда ср (t, е)еС°°([0, а] X [0, е0]), «о > 0, при е—> 4- 0.
Рассмотрим примеры. В примерах 4.1 и 4.2 предполагается,
что ф (/) е С°° ([0, а]).
Пример 4.1. Вычислим главный член асимптотики при
е—> + 0 интеграла
F (е) = dt, 0 < а < 1
J 1 Т ь
В данном случае а — —1, Р= 1, так что а + р = 0, и по
формуле (4.10) имеем
F (е)---ф(0)1пе	(е-> + 0).
Можно получить этот результат непосредственно:
F (е) = ф (/) In (/ + е) I — ф' (/) In (/ + е) dt.
Последний интеграл ограничен при е—>0. Из этой формулы
следует также, что при е—>4~0
F (е) = — ф (0) In е + ф (a) In а — ф' (t) \ntdt + о (1).
о
Пример 4.2. Вычислим главный член асимптотики при
е-> 4- 0 интеграла
а
FW=A-£^dt, 0<а<1.
о
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
27
Используя результат примера 4.1, получаем
, а	а	ч
F(e) = J_( {л^-dt - ( JLgL^) =
' 2ie, J t — is. J t + is J
= ^(ln i -ln(- 0 + 0(D) = ^-Ф(О) + 0(6-')	(e- +0).
П p и м e p 4.3. Вычислим главный член асимптотики при
е->-;0 интеграла
Мы ограничимся случаем а > 1/2 (так что Г(0) = оо). Делая
замену r —> t, получаем
F (е) = |	r'L dt.
2 J (/+еПа
Главный член асимптотики, как нетрудно показать тем же ме-
тодом, что и в доказательстве теоремы 4.1, равен
F(e)~ J rY,(t + ^-radt =
О
= Ф(eJ; -а, 1/2)~-^-В(1/2, а-1/2)е-2а+1	(е->+0).
Аналогично исследуются интегралы вида
F (е) = j (Z|J + еВ;)“ qp (/) dt.
о
ГЛАВА II
МЕТОД ЛАПЛАСА
§ 1.	Интегралы Лапласа (одномерный случай)
1.	Эвристические соображения. Интегралами Лапласа назы-
ваются интегралы вида
ь
Z7 (А) = / (х) exp [AS (х)[ dx,
а
(1.1)
Где S (х) — вещественнозначная функция, Л — большой положи-
тельный параметр. Функция f (х) может принимать комплексные
значения. Будем считать для простоты, что / = {а, 6] — конеч-
ный отрезок и что f (х), S (х) — достаточно гладкие при хе/
функции. Тривиальный случай
S (х) = const, f (х) sO не рассма-
тривается.
Пусть max S (х) = S (х0) и до-
стигается только в точке х0.
Тогда функция exp [AS (х)] имеет
максимум в точке х0, который
тем резче, чем больше А (рис. I).
Интеграл F (А) можно прибли-
: женно заменить интегралом по
малой окрестности точки мак-
симума х0, и это приближение
будет тем точнее, чем больше А
функции f, S можно приближена
и мы получим интеграл, асимп-
Далее, в этой окрестности
заменить по формуле Тейлора,
тотика которого легко вычисляется. Этот метод был предложе i
Лапласом.
Пусть а < х0 < Ь. Тогда S/(xo) = O; пусть для простоты
S" (х0)	0, / (х0)	0. Тогда
Хо+е
F (А) ж j f (х) exp [AS (х)] dx,
Xg —8
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
29
где е > 0 — малое фиксированное число, и
S(x)«S(x0) + -^/^S"(x0).
Следовательно,
F(A)«
8
f (х0) exp [AS (x0)] 5 exp
-8
Заметим, что S"(x0)<0. Последний интеграл равен
8	________________
—е д/А
(А -> оо),
так как
е~/!/2 dt = -у/2л.
Итак, мы получили асимптотическую формулу
(*- + “>	(1-2)
Пусть теперь х0 совпадает с одним из концов отрезка /,
например, х0 = а, и пусть для простоты S' (й) =И= 0, f(a) ф 0.
Заменяя F (А) интегралом по отрезку [а, а + е] и заменяя при-
ближенно на этом отрезке функции
f(x)«f(a),	S(x)«S(n)+ (х-й)5/(й),
получаем, что
ь
F (А)« f (a) exp (AS («)) exp [ZSZ (a)] dt.
О
Заметим, что S'(a) < 0. Вычисляя последний интеграл, получаем
; (а) (А3
-£-(<,)	(*-> + »)	(1.3)
Строгий вывод формул (1.2) и (1.3) будет приведен в сле-
дующих разделах. По существу, эти две формулы являются
основными асимптотическими формулами для интегралов Лап-
ласа. Нам удалось получить простые асимптотические формулы
по следующим причинам:
1°. Подынтегральная функция имеет при больших А резкий
максимум (т. е. интеграл по отрезку / можно приближенно
заменить интегралом по малой окрестности точки максимума).
30
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
2°. В окрестности точки максимума подынтегральную функ-
цию можно заменить более простой (например, такой, что инте-
грал от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).
Ясно, что если интеграл
ь
F (Л) = f (х, Л.) exp [S (х, A.)] dx
а
обладает свойствами 1° и 2°, то его асимптотику можно вычи-
слить, и применение метода Лапласа всегда сводится к про-
верке этих свойств. Для интегралов Лапласа (при условии, что
I — конечный отрезок и f, S — достаточно гладкие функции)
асимптотика вычисляется довольно просто. В случае же, когда
зависимость от Л является более сложной, имеются только
некоторые результаты, носящие частный характер (см. § 2).
2.	Простейшие оценки.
Лемма 1.1. Пусть
М— sup 5(х)<оо	(1.4)
а < х < Ь
и при некотором А,о > 0 интеграл (1.1) сходится абсолютно:
| f (х) | ехр [Ло5 (х)] dx < оо.	(1.5)
Тогда имеет место оценка
|F(Z)|<C|ew,|	(ReA.>A,0).	(1.6)
Доказательство. Имеем при ReA.^A.o
ъ
IF (Л) | < | ехр (Ш) Ц | ехр [Ло (S (х) - ЛД] | X
а
XI ехр [(Л — А.о) (S (х) — /И)] 11 / (х) | dx <
ь
| ехр [(Л — Ло) Л4] | | ехр [A,0S (%)] 11 f (х) | dx = С | ехр (ЛМ)
а
Так как подынтегральная функция является целой функ-
цией Л при каждом фиксированном хе(а, Ь) и интеграл (1.1)
сходится равномерно по А. при ReA,^A,0> то справедливо
Следствие 1.1. Пусть функции f(x), S (х) е С(а, Ь) и усло-
вия (1.4), (1.5) выполнены. Тогда функция F (Л) голоморфна
в полуплоскости ReZ>Z0.
Пусть I — некоторый интервал. Введем стандартные обозна-
чения: С (Г)—-класс непрерывных на / функций, С (Г) — класс
г раз непрерывно дифференцируемых на I функций.
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
31
3.	Лемма Ватсона. Рассмотрим интеграл Лапласа, в кото-
ром S — степенная функция
ф (Л)= (х)ехр(— kx?)dx,	(1.7)
где 0 < а < оо, Р > 0, а > 0. Так как в окрестности точки мак-
симума функцию 3 (х) можно приближенно заменить степенной
функцией (вообще говоря), то вычисление асимптотики инте-
гралов Лапласа (1.1) сводится к вычислению асимптотики эта-
лонных интегралов (1.7).
Получим асимптотические оценки для Ф(Л) при |?J-*oo,
к <= 3Е, где 3Е — сектор
I arg А, | -у — е <-у	(1.8)
в комплексной плоскости %. Во всех предложениях настоящего
параграфа е > 0 может быть выбрано сколь угодно малым (но
не зависящим от А,).
Замечание 1.1. Так как
Re А, (sin е) | К |	(/.	3Е),
то при | Л|->оо, A. eSE, с>0
О (\е~сК |) = О (е-с'|Х1), с' — с | sine Г1.
Нам понадобится формула
оо
^₽-1е-^а</х = Л~р/аг(|),	ReA,>0,	(1.9)
О
где a, Р > 0. Здесь и далее для функции A,-|i/a выбрана глав-
ная ветвь:
'₽ »
А. =|Л| е “	largA. | < yj.
Если А. > 0, то с помощью замены переменной Ах" = t инте-
грал (1.9) приводится к Г-функции. Так как обе части фор-
мулы (1.9) голоморфны при ReA>0, то по теореме единствен-
ности формула (1.9) справедлива при ReA>0.
Лемма 1.2 (лемма Ватсона). Пусть a > 0, р>0, f(x)e
е С°° ([0, а]). Тогда при Л-»оо, 1. gS£, справедливо асимпто-
тическое разложение
оо
ФШЩугИ'ЫА+ЦДй (1-10)
Ct Xi j	\ Cl J
fc=0
Это разложение можно дифференцировать по А, любое число раз.
32
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Выпишем главный член асимптотики:
ф (Л) = „’’Г (P/а) [f (0) + о(1)]	(1.10')
Доказательство. По формуле Тейлора
|гЛ,(х)КСЛ/хЛ'+' (0<Х<«).
Покажем, что при	i. eSe,
а
ФА (Л) ss л^+Р-1 exp (— /.xa) dx =
=¥г(_Ч^)л~(А+₽>/а+° ^~с| х|)’
где с > 0. Представим ФА (Л) в виде разности интегралов
по полуоси [0, оо) и [а, оо); тогда первый интеграл равен
у Г а~) V№+|3>/a (см. (1.9)). Так как — ха — аа > 0 при
х^0, то интеграл по полуоси х^а, в силу леммы 1.1 и заме-
чания 1.1, есть O(e~c|Xi) (с > 0) при |Л|—>оо, Л, е Se. Тем са-
мым (1.11) доказано. Оценим остаточный член:
I Rn (л)
а
(-v)exp (— Лха) dx
о
< CN J x₽+-v exp [-1Л | (sin e)-1 x“] dx = Cr | Л Г(₽+ЛГ+1)/“ (A, e
0
в силу (1.9). Так как О (е~с‘') = О ( |Л | w) (| Л|-•> оо) при
любом целом N 0, то
ф (л.) = £ -^-ф. (Л) + rn w =
N
1 у />fe)(0)
a 2_i kl
k=o
+ fl ) ^-(4+₽)/a
+ O([A.r(₽+?v+1)/“
Из этого соотношения и определения 1.2.2 следует справедли-
вость асимптотического разложения (1.10). Дифференцирова-
ние Ф(Л) по Л приводит к интегралу того же вида, откуда
следует возможность почленного дифференцирования асимпто-
тического ряда (1.10).
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
33
Лемма 1.3. Если функция / (х) непрерывка при хе [0, а]
и а > О, Р > 0, то при |Л|—>оо, /. s.SE, справедлива асимптоти-
ческая формула (1.10').
Доказательство. Пусть 0<б<1. Тогда интеграл вида
(1.7) по отрезку [ р. а] имеет порядок О (ехр (— с [ А. |6))
(все оценки пишутся при | А | —> оо, ?.е$с), в силу леммы 1.1.
Поэтому достаточно доказать (1.10') для интеграла по отрезку
[О, Л р6~1)/а]. Этот интеграл представим в виде
< [/$ — 1 )/а
f (0) j х3"' ехр (— Лхй) dx +
и
I ?. |(<5-1)/а
+	^-ДНх)-НО))ехр(--Лх“)Рх^Т1(А) + ТДЛ).
о
И меем
где с > 0. В силу непрерывности
| Дх)-/(0)Ке(Л)	(0 <.•;: Д
где е(л) = о(1). Следовательно,
I (Л) ; < е (л) Гхе '' | ехр (— Лх") ! dx = о (V3/“).
Замечание 1.2. Функция 1г (х) — ехр (— /л';;) достигает мак-
симума при х-=0, и отношение Л(х)/Л(0) есть величина по-
рядка 1 в окрестности точки максимума размера ж !Л|~|/а. Из
доказательства леммы 1.3 следует, что основной вклад в инте-
грал F (А) вносит чуть большая окрестность точки максимума
(мы выбрали ее в виде [0, | А |(б~1)/а] ).
Пример 1.1. Рассмотрим преобразование Лапласа
F (А) = f (х) е~Кх dx.
о
Пусть /’ (х) s С°° при малых х^эО и интеграл сх удится абсо-
лютно при некотором Ао> 0. Тогда
vYft)(0) (|Л|->оо, Ае58).
k=Q
2 М. В. Федорюк
34
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Действительно, интеграл по полуоси имеет порядок
с > 0, а к интегралу по отрезку [О, I] применима
лемма Ватсона.
Пример 1.2. Докажем, что при | z | -> оо, | arg z | л — е < л
справедливо асимптотическое разложение
In Г (г) ~ (г - 4) In г - z + -1ДМ. + £	|( г-Мп. (1.|2)
fe = l
которое можно дифференцировать любое число раз.
Ряд (1.12) называют обычно рядом Стирлинга. Здесь В2к—
числа Бернулли, которые определяются из соотношения
оо
<1J3>
1
При Rez>0 справедливо интегральное представление
оо
^г^ПчИ' = 1пг+1 1	(И4)
* V*/	J \ t	1 —“ Q J
О
где для In z выбрана главная ветвь.
Из примера 1.2 следует, что
ф(г)~1пг-^-£
при I args |	л/2 — е < л/2. Интегрируя это асимптотическое
равенство, получаем
In I (г) ~ (z — In z — z + С + £ 2k z -п:+1.
k= 1
Постоянная С находится из сравнения этой формулы с фор-
мулой Стирлинга (см. пример 1.2), и мы получаем (1.12) при
|z|->oo, | argz | Д л/2 — е < л/2.
Чтобы доказать (1.12) при I argz л — е < л, необходимо
предварительно аналитически продолжить правую часть фор-
мулы (1.14), так как интеграл в (1.14) расходится при Rez<0.
Повернем контур интегрирования на острый угол а, | а | < л/2,
т. е. рассмотрим интеграл
Фа(2)=
J \ I 1 — е /
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
35
где 1а — луч t = peia, 0^р<°о. Интеграл сходится абсолютно,
когда z лежит в полуплоскости Da: Re(ze/a)>0, и поэтому
является голоморфной функцией z в этой полуплоскости. Если
z = x>0, то, по теореме Коши, фа (.г) = ф (х); следовательно,
фа(г) является аналитическим продолжением функции ф(г) из
полуплоскости Rez>0 в полуплоскость Da. В силу единствен-
ности аналитического продолжения имеем
ф(г) = 1п£ +ДДД z^Da.
Положим z = e~ia^, тогда
Fa(z) — е‘" (teia) dt, qp (/) = --------
J	/1 — e
о
По доказанному выше, этот интеграл разлагается в асимпто-
тический ряд пэ степеням £-1 при | £ | —> оо, | arg £ |	л/2 — е <
< л/2, так что функция ф(с)— Inz разлагается в асимптоти-
ческий ряд по степеням z-i при |z|-*oo, | argz + а |	л/2—
— е < л/2. Это разложение имеет место, в частности, при ве-
щественных z—>4-оо; с другой стороны, при таких z справед-
ливо разложение (1.12). В силу единственности асимптотического
разложения коэффициенты обоих разложений совпадают. Тем
самым разложение (1.12) доказано при ( arg л/2— е,
| arg z + а |	л/2 — е. Так как а — произвольный угол такой,
что | а | < л/2, то (1.12) доказано при | z | —» оо, | args | л — е < л.
4. Вклад от граничной точки максимума (основной случай).
Рассмотрим интеграл Лапласа F (А) (см. (1.1)).
Теорема 1.1. Пусть I — [а, 6] — конечный отрезок и вы-
полнены условия'.
1°. maxS(x) достигается только в точке х = а.
2°. f(x), S(x)eC(l).
3°. f(x), S(.r)eCro при x, близких к а, и S' (а) =/= 0.
Тогда при А—>оо, /. E.S.,
F (А) ~ ехр[А5(а)] У ckK~k~x.	(1-15)
fe=0
Коэффициенты ck имеют вид
(LI6>
Это разложение можно дифференцировать по к любое чис-
ло раз.
Доказательство. Выберем б>0 такое, что
при х е[а, а + б], и положим F (А) = Ft (Л) + F2 (А), где F\ (А) —
2*
36
ГЛ II МЕТОД ЛАПЛАСА
интеграл по отрезку [а, а + 6]. В силу леммы 1.1 интеграл
F2(A) экспоненциально мал по сравнению с ехр [AS (а)]. Интегри-
руя по частям, получаем
а 4-6
Л(а) = а-Ч H^.d[exp(AS(x))] =
J о \Х)
а
о 4-6
_ /UWP.SW1 |“+"	it d с	Wi
AS (х)	la	A J dx у S (х) 7 г
а
Интегрируя точно так же по частям еще N—1 раз, получаем
F. (А) = £ (- A)-ft-1 Mk (-ДУг) ехР W) С' -
fe = 0
а 4-6
-Л-л’~' $ [^v(4^)]'exp[AS(x)N.r, (1.17)
а
где М — оператор из (1.16), М°— единичный оператор. Внеин-
тегральная подстановка в (1.17) при х = а дает N слагаемых
ряда (1.15), а подстановка при х = « + д экспоненциально мала
по сравнению с ехр [AS (а)]. Последний интеграл в (1.16) сеть
О (a-,v~1 ехр [AS (а)]), т. е. по крайней мере того же порядка,
что и последнее слагаемое в сумме в (1.17). Это очень грубая
оценка, но ее достаточно:
[.V-;	-]
£ ckK~k-' + o(a~v) ,	(1.17')
k=\)	J
и (1.15) следует из того, что N произвольно.
Дифференцирование F (А) по А приводит к интегралу того же
вида. Возможность почленного дифференцирования ряда (1.15)
вытекает также из теоремы 1.3.4 и следствия 1.1. Главный член
асимптотики имеет вид (1.3).
Теор ем а 1.2. Пусть условия Г и 2° теоремы 1.1 выполнены,
и S(x)^C‘ при х, близких к a, S'(a)=#=0. Тогда при
h^Se, справедлива формула (1.3).
Доказательство. Пусть д>0 таково, что 5'(х)=Д0
при х е [а, а + 6] = 16. Интеграл по оставшемуся участку мы
отбросим, так как он имеет порядок О (ехр (A (S (а)— с))), с > 0.
Сделаем замену
S (х) — S (а) = — t, хе 16,
тогда, по теореме об обратной функции, x = qp(f), где
еС [0, б'] (очевидно, что д' = S (а) — S (а, а + д) > 0).
§ 1, ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
37
Применяя к полученному интегралу
в'
exp (AS (а)) ехр (— А/) / (ср (/)) ср' (/) dt
лемму 1.3, получаем (1.2).
Основной вклад в асимптотику F (А) вносит окрестность
точки максимума х = а размера «А-1 (см. замечание 1.2).
Замечание 1.3. В теоремах 1.1 и 1.2 и во всех последую-
щих теоремах интервал (а, Ь) может быть бесконечным. На-
пример, заключения теорем 1.1 и 1.2 верны для интеграла по
полуоси [а, оо), если выполнено условие (1.5) и если S (а) Д'
^S(a) — 6, 6 > 0, вне некоторой окрестности Точки х — а. Ана-
логично, интервал может быть конечным, ио функции f, S могут
иметь особенности при х = Ь.
Замечание 1.4. Чтобы получить конечное число членов
ряда (1.15), достаточно потребовать конечной гладкости функ-
ций f и S. Например, формула (1.17') справедлива, если
SsC'’ (/), f е C‘v(/). Это замечание относится к последующим
теоремам и к лемме Ватсона. Отметим, что дифференциальные
свойства функций f, S существенны только в окрестности точки
максимума, т. е. асимптотика F (А) определяется ростками этих
функций в точке х = а.
Пример 1.3. Еще Лаплас получил асимптотическое разло-
жение для функции ошибок
п- г С « .п е * V 1 —(2fe — 1)!!	, I \ /1 1 о\
Erfc.v= J е dt~ — 2^ ----------------- (х-* + <х>). (1.18)
х	й = 0
Делая замену переменной t —>^jxt, получаем
Erfc х = х е~хЧ2 dt.
1
В данном примере f(/)=sl, S(/) = —/2, функция S достигает
максимума только при t — 1 и S'(l) #= 0. Применяя теорему 1.1,
получаем (1.18). Ряд (1.18) расходится при всех х. Из тео-
ремы 1.1 следует, что разложение (1.18) справедливо при
) х | > оо, | arg х |	л/2 — е < л/2.
Пример 1.4. Рассмотрим неполную гамма-функцию:
у (а, х) — ta~‘(T! dt,
о
38
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
где 0 < а < оо, х > 0. Найдем асимптотику у (а, х) при Ц- оо.
Имеем
у(а, х) = Г(а) — J dt = V(a}-xa J ta~}e~tx dt. (1.19)
X	I
К последнему интегралу применим теорему 1.1. Так как
( AS\k ta~} I — r (a)
\dt ) 1	|<=1 — Г (a — k) ’
To из (1.18), (1.19) получаем (x-»4-oo)
oo
у (a, x) — Г (a, ~ e~xxa~' г (a *~k-	(1.20)
fe=i)
Эта формула остается в силе и при целых а^1, если поло-
жить Г (а)/Г (а — /г) = 0 при k^a-\-\.
Пусть « — нецелое. Оценим остаточный член ряда (1.20). Ин-
тегрируя по частям последний интеграл в (1.19), получаем
Rn W = у (а, х) ~ Г (а) —	=
/г = 0
х
так что при N~^a
I П /	г а-v-i I Г (а) ta~N~{ I „ __w_. Г (а)
так что остаточный член меньше по величине, чем М-е слагае-
мое в (1.20). Если uk есть &-й член ряда (1.20), то |«fe+1/«ft| =
= | k + 1 — а |/| х |, так что этот ряд расходится при любом х.
Модули членов ряда вначале монотонно убывают, а затем при
k + 1 — а>х монотонно возрастают до бесконечности. Такое
поведение характерно для большинства известных асимптоти-
ческих рядов.
Задача 1.1. Пусть при х е [0, а] функции f (х), S (х) е С00, S (х) > J
S' (0) =й= 0 и функция f (х) достигает максимума только при х = 0. Доказать,
что при X -> оо, /,е6’е,
а
( / (X) [S (х)]х dx ~	[S (0)]*+1.
J	Ло
и
оо
Получить асимптотическое разложение I (A) ~ [S (0)]^+1 У, апк~п~1.
п=о
§ I ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
39
5. Вклад от внутренней невырожденной точки максимума.
Лемма 1.4. Пусть S(x)^C°° в окрестности точки х0,
S'Uo)= ... =S'v-"(xo) = O, S<">(xo)^O,	(1.21)
и S (х)— вещественнозначная функция. Тогда существуют
отрезки I х = [х0 — 6(, х0 -(- 62], 1у — [— 60, 6Э] (6, > 0) и функция
х = (р(у) такие, что-.
1°.	3(ф(у)) = 3(х0) + еГ, yt=Iy, е = sgn S(,V) (х0).	(1.22)
2°. Функция ф(у)еС°°(/Д взаимно однозначно отображает
отрезок 1у на отрезок 1Х и
ф(0)=0,	(1.23)
Доказательство. Пусть для определенности S(V)(х0) > 0.
Тогда
3 (х) — 3 (х0) — (х — x0)N h (х), h (х0) > 0,
при малых х — х0, где /г(х)еС°°, так что функция
у = (х — х0) tyh (х)
принадлежит классу С°° при малых х— х0 и у' (х0) ф 0. Из тео-
ремы об обратной функции следуют оба утверждения леммы.
Замечание 1.5. Можно показать, что если S е Сл+г при х,
близких к х0, г>1, то ((. = С' при малых у.
Все дальнейшие результаты настоящего параграфа мы по-
лучим, комбинируя лемму Ватсона и лемму 1.4.
Теорема 1.3. Пусть 1=[а, Ь] — конечный отрезок и вы-
полнены условия-.
1°. f(x), 5(х)еС(/).
2°. шахЗ(х) достигается только в точке х0, а < х0 < Ь;
X <= I
3°. f (х), S (х) е С°° при х, близких к х0, и S" (х0) ф 0.
Тогда при А,-> оо, /.e5e, справедливо асимптотическое раз-
ложение
F(A)~exp[AS(x0)]Z	(1.24)
fe=0
=	. (1.25)
\^КГ-	\ ах / L \ 1л — ло) / J \ХвлХ
Главный член асимптотики (1.24) имеет вид (1.2).
Это разложение можно дифференцировать любое число раз.
Доказательство. В окрестности точки х0 сделаем за-
мену переменной
3(х) _ 3 (Хо) = — у2, х = ф (у)
41
ГЛ II МЕТОЛ ЛАПЛАСА
и выберем окрестность такой, чтобы —6 у д. Интеграл по
оставшейся части отрезка I экспоненциально мал по сравнению
с exp[AS(xe)], и мы его отбросим. Имеем
б
F (Л) = ехр [AS (х0)] \ ехр (— A//2) f (ср (у)) ф' (у) dy =
-5
б
= ехр [AS (х0)] ехр (— ку2) [/ (ф (//)) ф' (у) + / (ф (— У)) ф' ф'Л dy.
И. 26)
Применяя лемму Ватсона (1.2), получаем, что при к->оо,
оо
F (А) ~ ехр [AS (х0)] £ Г (/г + |) (2я)! a2k,
k=v
/ d \2k
a2k = {-^-) (f (ф (г/)ф7 ({/))) lj/=o-
Тем самым существование разложения (1.24) доказано. Воз-
можность почленного дифференцирования ряда (1.24) доказы-
вается так же, как и в теореме 1.2.
Докажем (1.25). Нам достаточно рассмотреть случай, когда
функции f(x), S(x) голоморфны в точке х0, так как а?к выра-
жаются только через производные функций f, S в точке х0. По
формуле Коши (здесь х, у — комплексные переменные) имеем
при е > 0 достаточно малом
=	5 y~2k~‘f (ф (#)) ф'(#) ^ =
I и 1 = е
2л/ J 1 4 1 L (х — Xq)- J х и/
| х—ха I =6
Коэффициенты а2к можно явно выразить через производные
функций f(x), S(x) в точке х0, если воспользоваться формулой
дифференцирования сложной функции (Градштейн, Рыжик [31],
стр. 33)
dnl (<р(х))
dxn ~
п\
ср' (х) у1 / ср" (х) у*
ГГ-) \.~2! )
f <p(fe> (х) у* / d \‘i+ ••• +lk
k k\ ) к dy)
(1.27)
§ 1, ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
41
Здесь сумма берется по всем целым неотрицательным значе-
ниям , ik таким, что 1  z’j 2 • i2 + ... + k • ik = п.
Еще один прием, позволяющий вычислить а2ь заключается
в следующем. Разложим функцию
f (х) exp [Л (S (л) - S (х0) - [х S" (х0)]
в ряд Тейлора и заменим пределы интегрирования на ± со со-
ответственно. Тогда получим формальное разложение
bh С . Г ZS" (Хп) х- ч
F (Л) ~ exp [A.S (х0)] \х/гехр|_-------—J dx,	(1.25)
k=n '
= (4?)' (? Wexp [л (S (X) - S(x0) -	S"(x0)] ) I 
Вычисляя интегралы, получаем
Д Ь.,ь(>л ( XS"(xn)\-k~-/2 z 1Ч
T(X)~exp[XS(x0)]£	------Г (/<+-0. (1.24')
fe = 0
Нетрудно обосновать законность этой процедуры.
В конкретных задачах явное вычисление коэффициентов
связано с трудоемкими выкладками, и вычислить все члены
асимптотического разложения удается только в некоторых спе-
циальных случаях.
Точно так же доказывается
Теорема 1.4. Пусть все условии теоремы 1.3 выполнены,
за исключением одного: х0 = а. Тогда при Х-»оо, л г= .Зф,
F(X) ~exp[XS(a)] £ с^{к+'Л1.	(1.28)
Главный член асимптотики имеет вид
(М = 4 V - щДфУ И + о (1)] exp [XS (п)1	(1.28')
(т. е. правая часть (1.28') отличается от правой части фор-
мулы (1.2) множителем 1/2).
Теорема 1.5. Пусть условия 1° и 2° теоремы 1.3 выпол-
нены и
3'. f (х) еС, S (х) е С3 при х, близких к х0, S"(x0) =£ 0.
Тогда при X—>оо, /. eSE, справедлива формула (1.2).
Доказательство. С помощью той же замены перемен-
ной, что и в доказательстве теоремы 1.3, приводим F(X) к виду
(1.26). Затем применяем замечание 1.5 и лемму 1.3.
42
ГЛ. II МЕТОД ЛАПЛАСА
Задача 1.2. Пусть [a ft] — конечный отрезок, S (х) > 0, f (х), S (х) е С°°,
и пусть функция S (х) достигает максимума только в точке х0. Доказать что
если S" (х0) =Н= 0. то при /. > оо Z е Se,
ь	________
I W jj i W [S (х)]л dx ~ е/ (х0) д/-	Is <*о)1Л+1/;, (1-29)
а
где е = 1 если а < х0 < Ь, е — 1/2, если х0 = а или х0 = ft-
Пример 1.5. Докажем формулу Стирлинга
Г (х + 1) = ^!‘1‘лхе~ххх [1 + О (х-1)]	(х-> + оо). (1.30)
Воспользуемся интегральным представлением Г-функции:
Г(х+ 1)= J txe~l dt.
о
Метод Лапласа непосредственно неприменим к этому интегралу,
так как функция tx не имеет максимума при t е [0, + оо). Пре-
образуем интеграл, делая замену /—>xt, тогда
оо
Г (х + 1) — хх+' exp [x(ln t — /)] dt.
о
Последний интеграл имеет вид (1.1), где f(/) = l, S (/) = In t — t.
Функция S(t) достигает максимума на (0, + оо) только в точке
/=1, причем S(l)= 1, S"(l) = — 1. В силу леммы 1.1 можно
заменить интегрирование по полуоси интегрированием по любому
конечному отрезку, содержащему внутри себя точку /=1.
Применяя теорему 1.3, получаем (1.30). Так как Г (я + 1) = п\,
то из (1.30) следует формула Стирлинга
и! — '\]<Ьп.п. е~ппп (п->4"°°)-
Формула (1.30) пригодна и при х->ос, Из теоремы 1.3
следует, что
Г (х + 1) ~ х/2пх е~ххх( 1 + У akx~k ],	(1-31)
\ £=1 /
Явный вид ak см., например, в [74].
Пример 1.6. Покажем, что при «-»-]- оо
Л/2	___
$ sin11 tdt =	[1 + О (П-1)].
о
Имеем sin" t = exp(n In sin/), так что интеграл имеет вид (1.1),
где х = п, S(t) = In sin t, f (/) = 1. Функция S (/) достигает макси-
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
43
мума при £ = л/2, причем 5 (л/2) = S' (л/2) = 0, 5"(л/2) = —1,
и асимптотика вычисляется по формуле (1.28х).
Замечание. Известно, что
Л/2
sin" Z dt =
о
(2га — 1)!! л
(2га)!!	2 •
Сравнивая с
Валлиса:
асимптотической формулой, получаем формулу
= lim — Г
п L
(2га)!! I2
(2га — 1)!! J
л
Пример
Бесселя
1.7. Найдем асимптотику при х —>• + оо функции
Л
In (х) — ~~ е* cos е cos «9
о
где 0 —целое. Здесь f = cosn0, S = cos0 и maxS(0) =
!(>, л]
= S(0) = 1, S'(0) = 0, Sxx(0) = —1. Применяя теорему 1.3, полу-
чаем
(х) =-^==- [1 + О (х~^2)]	(х->оо, largxKy-e),
Где Vх >0 (х > 0). Аналогично получаем, что
In (х) =	• [ 1 + о (х~1/2)]	(х->оо, I arg(—х)К^- —е\
V— 2лх	\	2	)
где V — х > 0 при х < 0.
Пример 1.8. Найдем асимптотику при х>1, «—>-|-oa
полинома Лежандра
Л
Рп (х) = (х + V^2 — 1 cos б)"
о
где -у/х2 — 1 > 0. Воспользуемся результатом задачи 1.2. В дан-
ном случае S(0) = х + х1 — 1 cos0, f = l, функция S дости-
гает максимума при 0 — 0 и
S (0) = х + д/.?717!, S' (0) = 0, S" (0) =
= Vх2 — 1 (х + Vх2 — 1) *.
44
ГЛ. II. МЕТОЛ ЛАПЛАСА
Отсюда находим, что
Рп « = -^-+ Vx2~ ir — [1+0 (п^)].
V2лп д/т- — 1
Задача 1.3 Доказать что при п -> + оо
(1 — х-)п dx~^J
Задача 1.4. Доказать, что если 0 < а < 1, то
exp (— Д/а — xt) dt
~	,v-<i/2(l-a)-l exp^_L_+ х-а/(!-а)}	( г _> д оо).
Задача 1.5 Доказать что если а > 0, то
Пример 1.9. Покажем, что при п-> + оо
ft=:>
Воспользуемся тождеством
kln~k = \ e~nttk dt,
о
тогда сумма примет вид
( (1 + f)n e~nt dt.
J
о
В данном случае f(7)=l, S(/) = — t + In(1 + /); остается при-
менить теорему 1.3.
Задача 1.6. Доказать, что при 0 < X < 1, я-> + оо
£с>-ч>-г+-^+7+0(„-л
fe=O
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)
45
6.	Вклад от точки максимума (общий случай).
Теорема 1.6. Пусть 1 — [а, 6] — конечный отрезок,
f(x), S(x) еС (/) и maxS (х) достигается только в одной точке х0.
хе/
Пусть f(x), S(x)<=C°° при х, близких к х0. Тогда:
1°. Если а <х0<Ь и
S(/)(xo) = O, 1</<2т-1,	S(-m) (хо)^О,	(1.32)
где	то при X -> оо, ?, eS.,
F(K) ~X-,/2”’exp[XS(x0)] f akK~klm,	(1.33)
ak = — 2	Г ( 2\+ 1-) (h(x, x0)-^-\k (f (x)h (x, x0))|
R	(2k)‘.	\ 2m J k v ’ u/ dx ) a/ \ /	\	q 34)
h (x, x0) = (S(x0) - S (x))1 ~w-mls' (x).
2°. Пусть х0 = а и
Szft)= . . . =S('n“1) ft) = 0,	S(m)ft)=#0,	(1.35)
тогда при /.-><», heSt,
F ft) ~ X“i/m exp [XS ft)] X akK-klm,	(1.36)
k=0
ak =	Г (А“) (Л «) ftz)* W h «» La ’ (i ,37)
h (x, a) = (S (x) - S ft))'~1/m I S' (x).
Главный член асимптотики в случаях 1°, 2°, соответственно,
имеет вид (при f (х0)	0)
Fft) = m-rf-LU--------<^Ч/2ИХ
k 2m Л S(2m) (x0)J
X V1/2m exp ftS (x0)] [f (x0) + О (x-|/2m)],	(1.33z)
F ft) = m-ft (-M Г- X
X ^'lm exp ftS (a)] [/ ft) + О (V1/m)l d-ЗГ)
Эти разложения можно дифференцировать по X любое чис-
ло раз.
Доказательство. В случае 1° основной вклад в асимп-
тотику F ft) дает малая окрестность точки х0. Делая в этой
окрестности замену переменной х = ср(у) такую, что
S (Ф (у)) — S (х0) = — у2т
46
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
(см. лемму 1.3), получаем эталонный интеграл вида (1.7). Точно
так же исследуется случай 2°.
Замечание 1.6. Если функция S(x) имеет конечное число
точек максимума хь ..., xk на отрезке I, то асимптотика F (Л)
равна сумме вкладов от этих точек.
Именно, в силу леммы 1.1
k
F (М — X F {к; X;) + О (ехр (А (Л4 — с)))
(А->оо, A Se).
Здесь с > О, М = max S (х) и
х<^1
F (А; Ху) = f (х) ехр [AS (х)[ dx,
где U (ху) — достаточно малая окрестность точки Ху. Однако
вклады от точек максимума могут, вообще говоря, сокращаться.
Например, пусть S(x) — полином степени ^=2, S(±oo) =— оо.
Тогда асимптотика интеграла
Е (А) = S' (х) ехр [AS (х)] dx
равна сумме вкладов от точек максимума полинома S(x), но
F (A) ss 0 при А > 0.
7.	Дополнения. Докажем аналог леммы Ватсона в случае,
когда f (х) имеет логарифмическую особенность.
Теорема 1.7. Пусть у вещественно, р > 0, функция f (х) е.С'
при малых и непрерывна при 0^х^а< оо. Тогда при
А—>оо, ZsS[, справедливо асимптотическое разложение
а
х13-1 | In х |Y e~Kxf (х) dx ~
о
OQ
~ А“₽ (In A)Y £ ak (In А)Л a0 = Г (P) f (0).	(1.38)
Доказательство. Так как функция S (х) = — х достигает
максимума при х = 0, то можно считать, что а< 1; отброшен-
ный интеграл экспоненциально мал. Положим f (х) = f (0) + h (х);
так как h (х) = О (х) (х е [0, а]), то при А е Se
а
хр-1Л (х) j In-^J e~Kxdx
а
< сД х^в~х '-dx < С'& | А |0-1+б,
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
47
Мы воспользовались тем, что 1пх = О(х-6) (х-> + 0) при любом
сколь угодно малом б > 0. Следовательно, рассмотренный интег-
рал по порядку меньше любого из членов ряда (1.38); остается
исследовать интеграл (1.38) при f(x) = l, обозначим его Ф(А).
Сделаем замену переменной	тогда
ф (X) = (In Z)Y J (1 - е~х dx.
О
Воспользуемся следующим соотношением: если ze(—оо, —1),
N > у (у вещественно), то
N
(l+z)Y = £ (Y)z/; +A>,v(z),
где остаточный член допускает оценку
^(z) = o(|z|jV+1) (|z|<l/2),
^(z) = O(|zr) (|г|>1/2).
Здесь для функции (1 + z)Y выбрана главная ветвь в плоскости z
с разрезом по лучу (—оо, — 1). Первая оценка для ^у(г) сле-
дует из аналитичности функции (l+z)Y в круге \г 1/2; вто-
рая—из того, что Rn (z)------( )zv при | z |-> оо. Следовательно,
N (—1)* f Y \ аЛ
Ф(А) = £ ' (,п	(MVdx + ФДЦ (1-40)
k=v	и
Для остаточного члена в силу (1.39) справедлива оценка
I Фа (X) К С
С ( I In х |v . I In X |'v+1
J 11 In Z | + | In Z |
0
>)xfi~le~x dx
<C,|lnZ|~'v,
поскольку, совершив экспоненциально малую ошибку, можно
заменить верхний предел интегрирования на оо ехр(г argZ); полу-
ченный интеграл сходится абсолютно. Заменяя точно так же
верхний предел интегрирования в (1.40), получаем
N
Ф (А.) = 2 bk (In V)~k + О ((In Z)~v),
k—Q
так что коэффициенты разложения (1.38) имеют вид
оо
й) f (°) $ хВ-1 <1п е~х dx =
о
“(-!>*( »)Н»)(-^)‘Г(₽). (1-41)
48
ГЛ II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Рассмотрим примеры, в которых одна из функций f (х), S (х)
имеет нуль бесконечного порядка в точке максимума функции 3.
Пример 1.10. Найдем асимптотику приЛ->4-°° интеграла
F (л) = j ехр Г--— Хх) dx.
Этот интеграл имеет вид (1.1), где S(x) = x, f (х) = е~'1х. Макси-
мум S(x) достигается при х = 0, а функция f (х) обращается
в нуль при х = 0 вместе со всеми производными, и применение
теоремы 1.3 дает только оценку F (X) = О (л,-°°) (А,-> + °о).
Чтобы получить более точную оценку, заметим, что функ-
ция — А,х —х-! достигает максимума при х = А,-1/2. Сделаем
замену переменной х = /Л.~1/2, тогда
Vr
F = j ехр[-V^O + r1)]^.
в
Функция 3 (/) = — t — t~l достигает максимума при t = 1, причем
3(1) — — 2, Sz/(1) =— 2. Применяя теорему 1.3, получаем
F (А.) ~ 7л А-3/4е~2 (Л -> оо).
Задача 1.7 Доказать, что при х -> + оо
ОО
ехр (— xt — aZ-a) dt~
о
__________________________	• г	а *1
Л / 2п 2 (а+1) I /г .	\	1-Нх I / <
~ "v аТ+Т Х	ехр |_— (14-а)х J (а > 0).
Получить главный член асимптотики в случае, когда под интегралом доба-
вляется множитель f (t) (достаточно гладкая при i s [0, 1] функция, (0)	0).
Пример 1.11. Вычислим асимптотику при /.->оо, /. Зе,
интеграла
F (?v) = f (х) ехр [—	ах.
о
Здесь 0 < а < оо, f (х) <= С°° ([0, а]) и а > 0. Все производные
функции 3(х) = ехр(— х~а) обращаются в нуль при х = 0.
Делая замену переменной / = ехр(— х~“) и вводя обозначе-
ние g — — In t, получаем
ь
F “ Т $	(г1/а)г1/а~'
о
§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА (ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
49
где 0<&<1. По формуле Тейлора,
k=0
при t е [О, Ь]. Далее,
ь
Fk (A.) s=	dg =
О
ъ
= - J е~и (- In /рй+1)/а dt + О (е-? ь) ~
что следует из теоремы 1.7.
Остаточный член имеет порядок О ((In Z)-( ' +J)/u), так что
[оо
Н0)+ X М1п/-Гг;
k=;
Главный член разложения имеет вид F (X) ~ f (0) (In А,)-1'’0.
Пример 1.12. Вычислим асимптотику при п->4-оо интег-
рала
™	t
1п—\ ГФ'1 dt, Ф(/) = —\ е~и du.
J	ул J
Функция Ф(/) строго монотонна, возрастает от 0 до 1 на
полуоси /^0, так что эта функция достигает наибольшего
значения при t — -f- оо. Кроме того, Ф(4) (ф- оо) = 0 при всех k 1,
так что ситуация та же, что и в примере 1.11, с той лишь
разницей, что точкой максимума является точка / = ф-оо. Делая
замену t — т-1, получаем
оо
4=5 Ф'Чт-'Мт.
о
Теперь подынтегральная функция достигает максимума при т = 0.
Интеграл по полуоси б^т<оо, б > 0, по лемме 1.1, имеет
порядок О(ф'г(б-1)), т. е. экспоненциально мал. На отрезке [0, б],
где б > 0 достаточно мало, сделаем замену переменной
50
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
1п Ф (т-1) = х, тогда
б'	_
/п =	(х) dx, f (х) = Vn\2e_7
J	2₽-x
о
так что при т-> + 0
In Ф (Т-2)--^е-1^2
V л
(см. пример 1.2), и т ~ (—In х)-1'", так что
f (х) ~	(— 1п х)~3/2	(х-> + оо).
Из предыдущего примера следует, что
Задача 1.8. Доказать, что
/n = -J=r + o(—Ц	(/1->оо).
V In п \ In п /
§ 2. Модификации метода Лапласа
(одномерный случай)
1. Интегралы Лапласа, содержащие дополнительные пара-
метры. Рассмотрим интеграл по конечному отрезку
ь
F (к, а) = j f (х, а) ехр [7.S (х, а)] dx,	(2.1)
а
где а = (<Х|, ..., аА) — вещественные параметры. Если функция
S (х, а) при каждом фиксированном а из некоторой области
й cz R/; имеет на отрезке I = [а, 6] ровно одну, и притом не-
вырожденную, точку максимума х0(а) и если при аей точка
х0(а) не подходит близко к концам отрезка I, то полученное
в теореме 1.3 разложение будет пригодно при 7.—>оо, ZeS£,
равномерно по	Формализуем это утверждение. Введем
следующие условия:
Ар Функции f (х, a), S (х, а) е С (7 X й) П С°° (7 X й), где й —
область в R*, и функция S (х, а) вещественнозначна при (х, а) е
е 7 X й.
А2. При каждом фиксированном пыО функция S (х, а) имеет
единственную точку максимума Хо(а)е/.
А3. Точка максимума х0(а) невырождена:
-5"Дх0(а), а)>да>0, аеЙ,	(2.2)
§ 2. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЛАПЛАСА
51
и лежит строго внутри I: х0 (а) е Г = [а', Ь'] при а ей, где
а < а' < Ь' < Ь.
Теорема 2.1. Пусть условия — А3 выполнены. Тогда
для функции F (А,, а) справедливо асимптотическое разложе-
ние (1.24) при А.->оо, /.eSe, равномерно по а е Ж, где Ж —
произвольный компакт, лежащий внутри Q.
Это разложение можно почленно дифференцировать по К и
по а любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
А(Х, а) =
= а/—ic"	i х—ГехР	(*о (а), а)+О (2-3)
V	а)
где О (А.-1) равномерно по а е Ж.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
хо(а) = О, 5(х0(а), а) = 0 при а е й. Действительно, делая за-
мену переменной х* = х— х0(а), получаем
/7(A,) = exp[A.S(x0(a), a)] f* (х*, a) exp [A.S* (х*, a)] dx,
a-x-, (a)
где обозначено
Г (x*, a) = f (x, a), X* (x*, a) = S (x, a) - S (x0 (a), a)
и функция S*(x*, a) обладает указанными выше свойствами.
Пусть й0 — область, лежащая строго внутри й, тогда
X (х, а) = у SxX (0, а) х1 + х2/г (х, а),
где функция /г(х, а)еС,: по (х, а) и удовлетворяет оценке
[ h (х, а) | С | х |	(хе/, а е й0).	(2.4)
Пусть /й = [—6, 6]. Тогда, если д>0 достаточно мало, функция
у =	— 3 (х, а) = х	Sxx (0, а) — h (х, а)
обладает следующими свойствами при (х, «)е/6ХЙ0:
1) у (х, а) е С00;
2) у'х (х, а) > С > 0.
Это следует из условия А3 и оценки (2.4). По теореме о неяв-
ной функции существует функция х = ср (у, а) такая, что
S (<р (у, а), а) = — у2,	(у, а) е= J (а) X й0-	(2.5)
52
ГЛ II МЕТОД ЛАПЛАСА
Здесь J (а) = (— d\ (а),	(а)), df (а) > 0, функция <р е С°° (/ (а) X По)
и J (а) содержит отрезок вида [—е, е] при всех аеХ При
каждом фиксированном a£Q0 функция ср (у, а) взаимно одно-
значно отображает J (а) на Д.
Интеграл вида (2.1) по области | х | д экспоненциально мал
в силу леммы 1.1. Делая в интеграле по 16 замену x = q>(y, а)
и отбрасывая экспоненциально малые интегралы по отрезкам
!—<ф(«),	е], [е, d2(a)\, получаем интеграл
8
(А., а) = $ e~Ku'f (ф (у, а), а) (р'у (у, а) dy.
— 8
Остается повторить для этого интеграла рассуждения, приве-
денные в доказательстве леммы Ватсона.
Пример 2.1. Найдем асимптотику при х > 0, v->-|-oo
функции Макдональда (бесселевой функции)
оо
Kv (.г) = у ехр (vZ — х ch Z) dt.
— оо
Точка максимума Z0 = /0(v) подынтегральной функции находится
из уравнения v — х sh t = 0, так что
/0~ In (2v/x)	(v->-|~oo),	/0(+ оо) = + ОО.
Сделаем замену переменной так, чтобы «остановить» точку
максимума. Полагая t = t' -ф In (2v/x), получаем
Аф (х) = 2v * * *~?v~vx~"v ехр [v (Z — ef) — хе^ -J dt. (2.6)
Теперь точка максимума Z0->0 при т->-фоо. Представим этот
интеграл в виде (2.1), где S (Z) = Z — еф f(Z, а) = ехр(—ае~г) и
А = v, а = x/4v. Так как max S (Z) = S (0) = — 1, S" (0) = — 1,
— оо < t < оо
/ 2д
то, применяя теорему 2.1, получаем Ф~/\/—(v -> -ф °°),
где Ф — интеграл в правой части (2.6). Здесь интеграл берется
по всей оси; но, по лемме 1.1, интеграл по области ' 11	1
имеет порядок O(e~cv) (v->H~oo), с > 0. Следовательно,
v (х) ~ (фф) ^д/фХ (v-> + °o).
___ оо
Нетрудно видеть, что Ф ~ e~~J aJ ~~	а^~к.
А=0
§ 2. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЛАПЛАСА
53
Задача 2.1. Доказать что
''о«>-(7)'>’л/7 (' +
1 — 2х
8v
O(v-2))
(V-* + оо).
Пример 2.2. Наиде/М асимптотику функции Вебера (функ-
ция параболического цилиндра)
оо
D-v-! (х) =	е ехР ( - xt - v) dt
при x > 0, v—>4-oo. Подынтегральная функция имеет един-
ственный максимум в точке t0 = t0(y'), которая определяется
из уравнения — х — t + vC1 = 0, так что t0~ л/v при v -> 4- ею.
Делая замену t = x/vt', получаем
У-Н	оо
Д-v-i (х) = ----2/~ ехр<1п t — *72) — xtfл/v^dt.
Обозначим последний интеграл Ф(у) и представим его в виде
(2.1), где S (/, а) = In / —/2/2 — ах/, a = v_|/2, fe=l. Точка мак-
симума t0 = tQ{a) находится из уравнения С1 — t — ax = O, так
что t0 — 1 — -у- +	4- О (а4). Можно заменить участок инте-
грирования интервалом (1 — б, 14-6), 0< б< 1, так как остав-
шиеся интегралы экспоненциально малы при v—> 4-00 в силу
леммы 1.1. Вычислим S и S"t в точке t0 с точностью до О (а3),
О (а) соответственно с тем, чтобы остаточный член имел вид о(1).
Имеем
vS (t0, а) = - | - х V? +	+ О (v->/2), S't't = -24-0 (v- = /2).
Подставляя в последний интеграл
формулу Стирлинга к r(v4~l),
v —> 4- 00
эти разложения и применяя
получаем, что при х > О,
Д-v-i W
J_ v-v-i/2 expQ- — х д/v )(1 4- О (х-|/2))- (2.7)
Задача 2.2. Найти следующий член разложения D-v-i(x).
Задача 2.3. Доказать, что

(х -> 4- оо)
равномерно по | v | <1 R, при любом фиксированном R > 0.
54
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
2.	Более сложная зависимость от параметра. Рассмотрим
интеграл
Ь (А)
F(A) = j f (х, Л) exp [S (х, A)] dx,	(2.8)
а (М
где А > 0 — большой параметр, a, b, f, S — вещественнознач-
ные функции. Не приходится рассчитывать на то, что асимпто-
тику интеграла (2.8) в общем случае можно вычислить. Рас-
смотрим случай, когда основной вклад в интеграл дает неко-
торая окрестность точки максимума х0(А) функции S(x, А).
В этой окрестности заменим S квадратичной функцией. Для
вычисления размеров этой окрестности и вклада воспользуемся
очевидным соотношением
а (М
j ехр[--Ц^х2рх = д/-^ (1+о(1)),	(2.9)
-а (X)
если А-»+ оо, а (А), b (А) > 0 и lim а(А) V&(A) = +
Лемма 2.1. Пусть Rj(x, А), /—1, 2, г (А), ц (А) — веще-
ственнозначные функции, г(А)>0, ц (+ оо) = 4- оо и е/ непре-
рывны при | х | ц (А). Пусть
lim еДх, А) = 0,	/=1, 2,
ОО
равномерно по | х | ц (А). Тогда
H(A)/Vr (А)
Ф (А) — j (1 + ejexp^— -Цр- х2(1 + e2)]dx =
И (WVг (X)	_____
= д/лтг [1 + 0(1)1	(2-10)
Доказательство. Фиксируем
Ао > 0 такое, что |еДх, А)|^1б при
при А Ао
6, 0 < б < 2, и выберем
|х|^р(А), А^А0. Тогда
Ф_ (А) <Ф(А) < Ф+ (А),
ц (М/г (А)
Ф±(А) = (1±у) ехр[—-^^-(1 =F
—И (А)/г(А)
В силу (2.9)	____
(ч=(1 ± 4) (1 т 4)"в д/-Дг |>+»<ы
при А-» + оо. Из оценки (2.11) и произвольности б следует (2,10).
§ 2. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЛАПЛАСА
55
Пусть х0(Х) — невырожденная точка максимума функции
8 (х, X) (т. е. S'xx 4=0 в этой точке). Положим
U (х0 (X)) = {х: | х - х0 (X) |< Н (X) I (xj (X), X) |"1/2}.	(2.12)
Теорема 2.2. Пусть существует функция р(Л)->Н-оо при
Л > 4~ со такая, что
SXx(x, М = 8'Д(ММ, МП + o(l)L (2.13)
f(x, M = f(xe(X), МП +о(1)]	(2.14)
при А,->4-оо, xel/(x0(M), равномерно по х е [/(х0(Х)). Тогда
при А, —> -|- оо
j /' (х, Л) ехр [8 (х, X) dx] —
и	______
= A/--|^feXp(S)	[l+o(l)J.	(2.15)
V	х=Хц (Л)
Доказательство. Положим г (А.) = — S"x (хо (X), М- По
формуле Тейлора, при хе[/(х0(А)) имеем
8 (х, X) — 8 (х0 (М, М = I S''x (£, X) (х - х0 (А.))2,
где g s U (х0 (А.)), и в силу (2.13), (2.14) интеграл из (2.15) имеет
вид f (х0 (X), X) ехр [8 (х0 (X), X)] Ф (X), где Ф (X) — интеграл из (2.10).
Применяя лемму 2.1, получаем (2.15).
Пусть функция 8 (х, X) строго выпукла кверху при каждом
фиксированном X, т. е. при всех х, X
&(хД)<0.	(2.16)
Тогда при каждом фиксированном X существует, и притом един-
ственная, точка х0(Х), в которой достигается max S(x, X).
— оо < X < оо
Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (2.16) и (2.13)
(для некоторой функции р(Х)->4-°° при X—>4~°°). Тогда при
Л, —> -j- со
оо
ехр [8 (х, X)] dx~ д/— „ 2я ехр [8 (х0 (X), X)]. (2.17)
_JX>	V ^хх \х., W> Л)
Доказательство. Положим г (X) = | Sxx (х0(Х), X) |-1/2 и
разобьем интеграл из (2.17) на три: F{ (X) 4- Pi (X) + F3 (X), по
интервалам (—оо, х0 (X) — г (X) р (X)], [х0 (X) — г (X) р, (X), х0(Х)4~
4~ г (X) pi (X)], [х0(Х) 4- г (X) р(Х), оо) соответственно. Из теоремы 2.2
следует, что F2(X)~V(X) (Х->4-оо), где V (X) — правая часть
формулы (2.17). Остается показать, что
F;(X) = o(V(X))	(Х->+~), /==1,3.	(2.18)
5S
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Из условий теоремы следует, что функция S(x, К) монотонно
возрастает при х<х0(А,) и монотонно убывает (до —оо) при
х>х0(А). Сходимость этого интеграла следует из выпуклости
функции S. Оценим С3(л). Пусть h(t) — такая функция, что
h (+ °°) = + оо, IT (t) > 0, /г"(0>0 при t^a. Покажем, что
I = \ e~hw dt <
e~h (а)
h' (а)
(2.19)
Делая замену h(f) = x, получаем
С е~х ах 1 С т , e-hM
\------------<V ------- I (?~"т иТ —_______________
J	h'((a) J	h'(а)
(a)	1 '	t'-'hia)
поскольку функция [h't (/ (т))] ' монотонно убывает:
d
— ЫНП) =
dx
h‘‘{t (тр
/< (НтП
> 0.
Применяя к F3(2v) оценку (2.19), получаем

ехр [S (х+ (АД Z1]
s' (х+ (А), Л)
х+ (А,) = Л-О (X) ф г(Х)и(А.).
В силу условия (2.13)
S(x+(A), A)-S(x0(A), А) = -^-[1 + о(1)],
V(x+(A),	=	[14-0(1)]
при А —>4-оо, так что
F3 (Л) < CV (А.) ехр [-	(14-о (1 ))]> (А) = о (V (X)).
Тем самым (2.18) доказано для F3(A). Аналогично оценивается
интеграл Д (Л).
Следствие 2.1. Пусть условия теоремы 2.3 выполнении
lim х0 (Л) V| S"x (хо (X), Л) | = 4- оо.	(2.20)
К -> 4- °°
Тогда формула (2.17) справедлива для интеграла j ехр [S (х, Л)] dx.
о
Для доказательства достаточно заметить, что x0(Z)/r(Z)->
—> 4- оо и что, не ограничивая общности, можно выбрать ц(А,)
так, чтобы х0 (Х)/г (Л) ц (А,) -> 4~ , так что U (х0 (А,)) =э 0 при A, 1.
В остальном доказательство то же, что и в теореме 2.3.
§ 2. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЛАПЛАСА
57
3. Асимптотика преобразований Лапласа и Меллина. Если
S(x) — выпуклая книзу функция, растущая при х-> -f- оо быстрее
лилейной функции, то функция
max [— S(x) + хр\ = S(p)	(2.21)
X IJ
конечна при всех р?^0, и этот максимум достигается только
в одной точке х0(р). Функции S (х), S (р) называются двойствен-
ными по Юнгу. Функция S (р) также выпукла книзу.
Теорема 2.4. Пусть функция S (х) е С2 [0, 4-оо] и удо-
влетворяет условиям’.
1°.	S'(x)-> + оо, x2S" (х) -> + 00	(х—>д-со).
2°. Существует функция р(х) такая, что р (+оо) =-J-оо и
S" (g) ~ S" (х) (|х — g |< р (х) | S" (х) Г1/2> х->- + оо).
Тогда при р->-\-оа
k”’s“~ei?wVsnn<H> 	<2'22)
о
Доказательство. Функция О(х, р) =— S (х)хр удо-
влетворяет условиям теоремы 2.3 и следствия 2.1; последнее
следует из условия x2S" (х) -> 4~ оо (х->-фоо). Применяя след-
ствие 2.1, получаем (2.22).
Рассмотрим преобразование Меллина.
M(Z) = хк~} exp (— S(x))dx.	(2.23)
о
Делая замену переменной х — е*, получаем
М (X) = ехр [Л/ — S (ef)] dt,
так что исследование этого интеграла сводится к случаю, рас-
смотренному в теореме 2.4. Имеем
~ S (е{) ~ е^'(е‘),
^TS(C) = eS'(C) + e-S"(e>),
так что условия 1° и 2° теоремы 2.4 принимают вид
x2S' (х) -» 4- оо, xln2x[S'(x) + xS"(x)] ->+ оо (v-» 4-оо), (2.24)
S" (Е) — S" (х)	(|х —Е,Кр(х)г(х), х->4-оо),	(2.25)
58
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
где обозначено
r(x) = (xS'(x) + x2S"(x))-|/2	(2-26)
и р(х)—>+°° при х —> + оо. Следовательно, справедлива
Теорема 2.5. Пусть S(.r)sC2[0, + оо) и условия (2.24),
(2.25) выполнены. Тогда для интеграла (2.23) справедлива асимп-
тотическая формула
F (А.) ~ ехр [A, In х0 (А.) — S (х0(А.))] X
X (2л)'/2 [хп (Л) S' (х0 (А.)) + х2 (A,)S" (х0 а)]-1/2,	(2.27)
где х0 (А) — решение уравнения
xS' (х) = А.	(2.28)
Пример 2.3. Покажем, что при р—> + оо
$ ехр (рх — ех) dx ~ -у/ рРе~Р.
о
Условие Г теоремы 2.4 выполнено. Далее,
S"(x)/S"(£)- 1=^-5- 1=0(1),
если |х —£| = о(1), так что в качестве р, можно взять любую
такую функцию, что ц (х) = о (ех/2) (х-> + °°). Имеем
x0(p) = lnp, S(p) = plnp — р, S"(x0(p)) = lnp;
остается подставить эти значения в (2.22).
Задача 2.4 Вычислить асимптотику интеграла из (2 22| при S = ха,
а > 2.
Задача 2.5. Вычислить асимптотику интеграла (2.23) при S — (In х)а,
S — ха (а > 0)
4. Интегралы с переменным верхним пределом. С помощью
интегрирования по частям можно вычислить асимптотику при
х -> + сю интегралов вида
ГДх)= Jf(f)exp[-S(O]^,	(2.29)
X
Pi (х) = f(t) ехр [S (/)] dt,	(2.30)
о
если подынтегральные функции имеют резко выраженный ма-
ксимум при / = х^> 1. Приведем условия на функции f, S.
§ 2. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЛАПЛАСА
59
А4. Функции f(t), S(t) вещественнозначны,
S(t)e=C-,	£'(/)> О
(/^0), S (+oo) =-f-oo.
A5. S"(0 = o(S'2(0) (/-> + ~).
A6. f(t) > 0 при t > 0, f' (t)/f (/) = о (S' (/)) (t -> + oo).
Задача 2.6. Показать, что функции S (t) вида ta (a > 0). ta (In 0®
(a > 0, р-любое), exp (AH) (4 > 0, a > 0), а также их произведения удовле-
творяют условиям Д4 А5.
Задача 2.7. Пусть S (?) = ta. a > 0 или S (/) — полином степени 1.
Показать, что функция f (/) = fl (In Z)Y (P О 0. у—любое) удовлетворяет
условию A6.
Теорема 2.6. Пусть функции f (f), S(t) удовлетворяют усло-
виям А4 — А6. Тогда при х —» + оо
H(x)~^exp[-S(x)],	(2.31)
Н(х)~ ^-ехр[8(х)].	(2.32)
Доказательство. Покажем, что интеграл (2.29) схо-
дится. Интегрируя по частям, получаем
У7! (х, а) = j f (У) ехр [— S (/)] dt —
а
= hx (х) — hx (а) + f t (/) ехр [— S (/)] dt, (2.33)
а
где обозначено
W =	=
Из условий А4 —- А6 следует, что
0(0 = о (ПО) (t->+oo).	(2.34)
Выберем а > 0 такое, что | (О/f (0 1^1/2 при t а; тогда инте-
грал в правой части (1.26) не превосходит по модулю величины
^-F](x, а). Следовательно, при х^а
у Fj (х, а) < h{ (а) — hx (х).
(2.35)
Применяя правило Лопиталя, получаем
lim
1П но .
S(0 ~
о,
lim
t -> + оо
In S'(t)
s (0 - u*
(2.36)
60
ГЛ II. МЕТОД ЛАПЛАСА
и так как 3(+оо) =-(-оо, то из (2.36) находим, что
lim /г, (/) = 0.	(2.37)
t -> -j-oo
Применяя правило Лопиталя, получаем, что
lim lim (1-4т4)=1-
х^+=о Fi(x) х->+оА t (*) '
и (2.31) доказано.
Обозначим h2 (0 = exp [S (/)] f (f)/S' (/). Из (2.37) и условий
/11 — Ай следует, что
У7? (-]-оо) =-f-оо,	Л2 (-|-оо) =оо.
Применяя правило Лопиталя к отношению /г2 (х)/Р2 (х), полу-
чаем (2.32).
Предложение 2.1. Пусть выполнено условие А4, f (()	0
при функции f (/), S (/) <= С°° ([0, + оо]). Пусть последова-
тельность
I	М = --^— 4~, /г = 0, 1, 2, . . ., (2.38)
( У 5 (/) 7 )	i> (х) dx	’	’ х 7
является асимптотической при /~>-]-оо. Тогда при х^-д-оо
справедливы асимптотические разложения
F, (х) ~ exp [- S (х)] J Mk (f (x)/S' (х)),	(2.39)
k — u
F2 (x) ~ exp ]S (x)] f	(f И/S' (x))	(2.40)
h — J
no последовательности (2.38).
Доказательство. Рассмотрим F, (x). Покажем, что
^^(0 = 0, M/) = exp[-S(/W(4^y). (2.41)
При /г = 0 это доказано в теореме 2.6. Далее, 1]5й+1 (Z) = о (ф^ (/))
((-> + оо), так как последовательность (2.38) — асимптотическая
при /—> + °°, что и доказывает (2.41). Интегрируя по частям,
случаем
F{ (х) = exp [— S (х)1 Mk (х) + exp [— S (/)] М'м (/) dt,
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА
61
Обозначим последний интеграл /?v(x). Применяя правило Ло-
питаля, получаем, что
RKT(x}	,. (х)
lim . = lim -гт-----------—., z , = О,
х^+оо ^+1(х)-Му(х)
и (2.39) доказано. Аналогично доказывается (2.40).
Задача 2.8. Доказать, что последовательность (2.38) является асимп-
тотической при /-> + оо, если:
1 S (/) = ta, j (/) = fi (In где a > 0, (5 > 0, у — любое.
2. /(/), S (0 — полиномы и степень S не меньше 1.
Задача 2 9. Доказать, что:
2. tae~t&dt ~^ха-&+'е-х& (х-> + оо). р > 0.
X
3. tae~l/t dt ~ Ха+2е~'/х (х -> + 0).
Получить асимптотические ряды в этих примерах.
§ 3. Некоторые сведения из анализа
1. Обозначения. Теоремы об обратных и неявных функциях.
Будем использовать следующие обозначения: Q — область в R"
(открытое связнее множество), дО. — граница области Q, [Q] =
= Q U dQ, a — мультииндекс: a = (a1, .... a„), где а/^0 —целые
числа,
।	।_ ।	।	I	г / \ __ / (X)
| а | = сц + а2 + ... + ап, д f (л) == —„—‘-д- •
дх“' ... дхпп
Граница ййеС00, по определению, если в окрестности каждой
точки х° ее дй ее можно локально задать уравнением вида xs —
= Ф (х'), х' U, х' = (хь .. ., X/-J, Ху+1, ..., xn), U — окрестность
точки х0' и функция ф(х') бесконечно дифференцируема в U'.
Введем классы функций: С([й]), Сг(й), Cr ([й]), Со(й)
(г > 0 — целое число или г = оо). Функция f (х) удовлетворяет
соответственно условиям: 1) f (х) непрерывна в [Q]; 2) daf(x) не-
прерывны при хеУ, | а | г; 3) daf(x) непрерывны при хе[й];
62
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
4) f(x)^Cr(Q) и f(x) = O в некоторой окрестности множества dQ.
Здесь С° — С. Функции f (х) е Со (R") называются финитными.
Носителем финитной функции f (х) называется замыкание мно-
жества, на котором f (х) =/= 0; обозначение носителя: suppf(x).
Рассмотрим отображение ф: Q.x->Q.y, заданное формулой
у = ф(х), .vsQ., или, в покомпонентной записи, г//=Фу..., х„),
По определению, отображение ср принадлежит классу С'’
(г>1—целое), если ф/ (х) е Cr (QJ, 1^/^». Взаимно одно-
значное отображение ф называется диффеоморфизмом (Qx на Qy)
класса Сг, если фЕСг(йл), ф_| е= Cr(Qy).
Пусть ф (х) = (ф! (х), .. ., ф£ (х)), х е R, где ф;- (х) — скалярные
функции. Матрицей Якоби называется (k X «)-матрица
Фх W дх~) >	1 < i < k, 1 < / < п.
Приведем формулировки известных теорем из анализа.
Теорема об обратной функции. Пусть вектор-
функция у = ф(х), где х е R", у е Rrt, удовлетворяет условиям:
1°. ф(х)еСг, г>1, в окрестности U точки х°.
2°- det (х°)	0.
Тогда существуют окрестность V точки у° = ф(х°) и вектор-
функция х = ф(г/) такие, что ф {у) е Cr (V) и
ф(Ф («/)) = У, y^V.
Обратная функция единственна в следующем смысле: если
существуют две функции ф(|)(#)> Ф(2)(у), обладающие указан-
ными свойствами в окрестностях 1/(|), П(2) точки у0, то
Ф(,)(г/)^Ф(2)(г/), уеРС’Лт
Теорему об обратной функции можно сформулировать сле-
дующим образом:
если условия 1°, 2° выполнены, то отображение у — ср(х)
является диффеоморфизмом класса С (U) в достаточно малой
окрестности U точки х°.
Справедлива формула
ф* (*) = (% (у))-'> у = ф(А
Пусть дана вещественнозначная вектор-функция F (х, у) —
= {Fx(x,y), ..., НДх, у)), xeRn, z/e R*. Рассмотрим уравнение
F(x, z/) = 0,
т. е. систему уравнений
Ft (х,...х„, yk) = 0. ..Fk{xx, хп, ylt .Ук) = 0.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА
63
Теорема о неявной функции. Пусть Й — область
в Rx X Ry, вектор-функция f(x, у')еСг(Р.), и пусть в точке
(х°, у°) е= Q
F (х°, у°) = 0, det F'y (х°, уа) =# 0.
Тогда существует окрестность U точки х° и вектор-функция
f (*) = (fi W, • • • > fk W) <= Cr(U) такие, что
F (x, f (x)) = 0, x e U, у (x°) = y°.
Вектор-функция f(x) единственна в следующем смысле: если
существуют две вектор-функции f(n(x),	(х), обладающие ука-
занными свойствами в окрестностях (7(|), U& точки х°, то
^(х)эрт(х), хеКДСХ
Справедлива формула
У'х W = ~ (Р'у (*> Р'х (х> УР
2. Лемма Морса. Пусть S(x)eCr(Q), г 2, -- вещественно-
значная скалярная функция. Введем обозначение
<3-')
Определение 3.1. Точка х° называется критической точ-
кой функции S (к), если
VS(x°) = 0.	(3.2)
Критическая точка х° называется невырожденной, если
detSX(X)^0.	(3.3)
Определитель из (3.3) называется гессианом функции S (х)
в точке х°.
Лемма 3.1 (лемма Морса). Пусть х° — невырожденная кри-
тическая точка функции S (х), х е R’, и пусть S(x) ^С°° в окрест-
ности точки х°. Тогда существуют окрестности U, V точек х = х°,
у — 0 и диффеоморфизм qr. V —>U класса С’00 такие, что
3(ф^)) = Ж) + 1£^,	(3.4)
/=|
detq/(O)=l.	(3.5)
Здесь Ц/ — собственные значения матрицы S’xx (х°).
Доказательство. Пусть х° = 0, S"(x°) = di a g (, ..., ц„).
Общий случай сводится к этому с помощью линейной замены
переменных х = х° + 7’х*1 где Т — ортогональная (п X п)-матрица
64
ГЛ. II МЕТОД ЛАПЛАСА
п
E()“S
дх dr~~ X'Xf
i, / = 1	' '
п
к виду Е И,х*2- П скажем, что S (х) можно при малых ; .г |
i, / = | 1
представить в виде
5(г)_5(0)4-1 У х;х.у>р(х),	(3.6)
I, /=^:
где Л’МеС” при малых ! х j,
*•/
S\?(x)^S^(x), 3^(0) = цД/.	(3.7)
Пусть Uo — малая выпуклая окрестность точки х = 0. По
формуле Тейлора, при х сн имеем
1	п
S(x)-S(O)=((l-p)(~yS(p.Y)dp==l £ хЛЗИ(л;,
и
Тем самым (3.6), (3.7) доказаны.
Будем теперь действовать по аналогии с методом Лагранжа
приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Предста-
вим 3 (х) в виде
1	( Д S'VW V 1 А
3 (х) - 3 (0) = ? S'iУ (х)	+ £ х; ) + I; £ х‘х^ W =
п
= |s'V(x)a<n« + | £
I, /“2
sF?(x) = s<Vw-
S<V(x)S^(x)
Sp? (x)
Функции S*/(x)> п0 построению, удовлетворяют условиям (3.7).
Применяя эту же процедуру к функции у	(х), получаем
п
3(х)-3(0) = 1£з7Лх)^,	(3.9)
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА
65
где обозначено
п
w—xi + S(p ^2 xk^(/k w>
и функции Ski (х) определяются из рекуррентных соотношений
SS (х) = St" (х) - St" (х) St" (х) [S/Г" (х)Г'.
Из этих формул следует, что 5Й'(х)еС°° при малых | х |. Сде-
лаем замену переменных у — ф (х), где
ys = lf (х) Vs</)(x)/p;,	!</<«.	(3.10)
Так как $у> (0) — р, ¥= 0, то функции «,(х)еС’: при малых | х |,
и при х = 0
Следовательно, матрица Якоби у'х (0) — треугольная, с единич-
ными элементами на диагонали, и потому dety(.(O)=l. Из тео-
ремы об обратной функции следует, что из (3.10) можно вы-
разить х через у\х = у{у) при малых | у |, где (|Ф/)еСм,
det ф' (0) = 1.
Подставляя (3.10) в (3.9), получаем (3.8).
Замечание 3.1. Из леммы Морса следует, что невыро-
жденные критические точки изолированы.
Замечание 3.2. Из доказательства леммы Морса следует,
что если S(x)sCr, г^З, в окрестности точки х°, то ф(у)еСг 2
в окрестности точки у = 0.
Пусть z = (z1; ..., z„) —точка «-мерного комплексного про-
странства С". Определение 3.1 остается в силе для функций S (z)
от « комплексных переменных. Докажем комплексный вариант
леммы Морса.
Лемма 3.2. Пусть z° — невырожденная критическая точка
функции S(z), голоморфной в окрестности точки z°. Тогда суще-
ствуют окрестности U, V точек z°, w = 0 и вектор-функция
п
£ = ф(ш) такие, что S (z) — S(z°) =	detq^^,(O)= 1- При
этом ф (ю) голоморфна при w eV и взаимно однозначно ото-
бражает V на U.
Доказательство точно такое же, как и в вещественном
случае. Достаточно заметить только, что функции Sh’(z) голо-
морфны в точке z°; тогда функции фДг), а затем и у, (г) будут
голоморфными при z = z°.
3 М. В. Федорюк
66
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Сформулируем аналог леммы Морса в случае, когда функ-
ция S зависит от дополнительных параметров.
Лемма 3.3. Пусть Six, а) — вещественнозначная функция,
удовлетворяющая условиям:
1.	S(x, а)еСю([/ХЮ> где U с: R", К ст R* — окрестности
точек х°, а°.
2.	S'x {х°, а) 0, а е V, S'x (х, а) #= 0 при х е t7 \ {хи}, а е V.
3.	detS"x(x°, u)7 0, «e l .
Тогда существуют окрестности Уо, £70> точек а = а0, х’==х°,
у — 0 и вектор-функция х = ф (у, а) такие, что:
Г. При а е V, у ell7 имеем <${у, а) е Uo и
S (Ф (у, а), а) = S (х°, а) + у Z -у/ “ 4 X ^3'1
/ = i	i=p+i
где р — число положительных собственных значений матрицы
S'xk (х° а0)
“2;’	‘ Ф(у, а)еС“(Г XVo)> ф(0, а°) = 0,
det <р'у (0, а0) = | det S"x (х°, а») |.
Эта лемма доказывается точно так же, как и лемма 3.1.
Вырожденные критические точки будут рассмотрены в гл. III, § 5.
3.	Преобразование Фурье экспоненты от квадратичной формы.
Введем обозначение: если х = (хь ..., хп), Е ==(&], . .., ё„), то
(х, I) = х^ + . . . + хп^п. Пусть А = (аИ) — симметричная (пХф-
матрица. Обозначим Re А матрицу с элементами Re « у, запись
ReX^O (ReЛ > 0) означает, что (Re Аг, х) (соответ-
ственно > 0) для любого х е R", х =А= 0.
П р е д л ожение 3.1. Пусть А — невырожденная симметрич-
ная матрица порядка пХп и Re А 0. Тогда при Л > 0, £ <= Rn
С г /	1
\ ехр I — —• {Ах, х) — i (х, g ) dx =
r"
= (^)"'2(det4r1/2exp[-	В)]- (3.13)
Ветвь у/det А выбрана следующим образом:
(det Л)~1/2 == | det А Г1'2 ехр [— i Ind Л],
1 А	л (3-14)
Indn = y ^argp/(X), |argp;(n)|<y,
/=।
аде Ц/(Л) — собственные значения матрицы А.
Доказательство. Пусть / (Л) — интеграл из левой части
(3.13). Докажем (3.13) в случае, когда ReA>0. Тогда инте-
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА
67
грал /(А) сходится абсолютно. Так как ReA>0, то квадра-
тичную форму можно привести к сумме квадратов, т. е. суще-
ствует вещественная (н X «(-матрица Г.такая, что
(ТАГ = Л = diag (щ (А), .... р„(А))
и
det Т = 1.
Делая замену переменных
х = Ту, п =
получаем
/ (А) = ехр[— у (Л г/, у) — I {у, т)>] dy =
к"
= П ] ехр[— 4 И, М)y'j — iyflj] dy. =
/ => 1 — ОО
П
= (2п)лЛ' exp[— <Л~'г|, n)]	(p/ (A))“'/2,
/=i
где ветви Vp/M) выбраны в соответствии с (3.14). Далее,
<Л-Д, т)) = <7’Л-иП, t) = <A-lT], п)>
так что (3.13) доказано при ReA>0.
Если хотя бы одно из чисел цДА) является чисто мнимым,
то интеграл J (А) не является абсолютно сходящимся, и его
необходимо регуляризовать. Один из возможных способов регу-
ляризации состоит в следующем: полагаем, по определению,
J(A)= lim /ДА),
е->+0
/Е (А) — ехр£— у (Ах, х) — у (х, х) — i (х, dx.
|А
Интеграл /3(А) при е>0 сходится абсолютно, так что для
него справедливы формулы (3.13), (3.14), где цДА) следует
заменить на собственные значения цДА, е) матрицы А + el
(/— единичная матрица). Так как цДА, е) --> цДА) при е->4~0,
!</<«, и |argp/(A, е) | < л/2 для ветвей д/рДА е), то
| arg р/ (А) К л/2.
В частности, при £ = 0 имеем
J y(Ax,x)]dx=(^)'1/2(detA)-1/2.	(3.15)
R"
3*
68
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Отметим важный частный случай формулы (3.13).
Предложение 3.2. Пусть А — вещественная симметричная
невырожденная («X п)-матрица. Тогда при c = R", Х>0
exp (Ат, х) — i {х,	dx =
r"
= (‘т) Idet ДГ'/2ехр[—£)]exp(^sgnA). (3.16)
Здесь sgnA— сигнатура матрицы А, т. е.
sgnA = v+(A)— v_ (А),	(3.17)
где v+ (А) — число положительных, v_ (А) — число отрицательных
собственных значений матрицы А.
3. Интегралы по множествам уровня. Пусть S(x|eCO-
вещественнозначная функция и Sc — множество уровня, задан-
ное уравнением S (х) = с (с — постоянная), х eQ. Если Sf непусто
и VS (х) #= 0 на Sc, то это множество является («—1)-мерным
С°°-многообразием в R". Дифференциальной формой Лере—
Гельфанда называется форма cos степени п— 1, удовлетворяющая
уравнению
dS (х) Д cos (х) — dxx Д ... A dxn.	(3.18)
Эта форма однозначно определена на Sc при х е Sc, если
VS(x)=#0 на Sc ([26]). Если dS(x)ldXj=£(] на Sc, то справед-
лива формула
. dx, А ••• A dx, Д ... A dx„
(OS (х) = (-1 у -1 —Д_1 А А(3.19)
*' ’	'	'	dS (х)/дх.	4	'
(крышка означает, что соответствующий сомножитель отсут-
ствует).
Приведем более удобную формулу:
п
W = £(-1)/_I ^^|VS(x)r2dx1A ... А Да ... /\dxn.
1
(3.20)
Обе формулы проверяются прямыми выкладками.
п
Пример 3.1. Пусть S (х) = — У, х2.. Тогда при х <=SC, с > 0,
/-1 1
имеем
п
=	... Adx/A ... A dxn. (3.21)
i-i
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА
69
Сделаем замену переменных х = ф(у) (ф есть диффеоморфизм
класса С°°). Пусть S* {у) = S (<р (z/)) и со*, {у) — форма Лере —
Гельфанда, т. е. со** (у) Д dS* (//) = dy. Д ... /\dyn. Тогда
<°s* <#)= (det Ту (#))”' ®s (х)	(х = <р (г/)),	(3.22)
что следует из уравнений для со, со* и тождества dx — det q/(у) dy.
Интеграл ^h(x)dx можно вычислять так: сначала проинте-
<2
грировать по множествам уровня Sc, а затем по с. Именно,
^h(x)dx — Фл(с)с/с, Фл(с)= /г (х) (х) ®s (х). (3.23)
Q	— оо	Sc
Здесь хй(х) — характеристическая функция области Q (равная 1
при х е Q и равная 0 вне Q). В частности,
F (X) s= j f (х) ехр [/.S (х)] dx — j е^Ф^ (с) de,
“	(3.24)
Ф/ (с) = \ f W (х) <os (х).
S (х) = с
(Мы не указываем здесь очевидных условий применимости
формул (3.23), (3.24).)
Из §§ 1 и 2 следует, что асимптотика интеграла F (к) при
Zоо определяется поведением функции Ф^ (с) в окрестности
точки максимума функции S. Пусть х° — изолированная точка
максимума функции S. Тогда множества уровня Sc: S (х) —
— S(x°)= — с при малых с > 0 являются (^-многообразиями,
диффеоморфными сфере S'1-1 размерности п — 1 и содержащими
внутри себя точку х°. Рассмотрим интеграл
ф/ (<0 = J f (х) cos (х).	(3.25)
Se
Предложение 3.3. Пусть х°— невырожденная точка макси-
мума функции S (х), и пусть f (х), S (х) е С°° в окрестности
точки х°. Тогда
ФДс)-^2-1 Z akck (с-^ + 0).	(3.26)
70
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
п
Доказательство. Пусть х° = 0, S (х) = — У хг Тогда
/=|
в силу (3.21)
I Г	_n/2—1 р ,
фДс)=27 j	= —— J f(*Vc)n(*),
i*l=VT	1x1=1	(3.27)
п
П (А')= X (—1)/-1 XjdXi Д ... Adx/A ... A dxn.
J = 1
Разложим f(xVc) по формуле Тейлора:
/(х7Г) = /(0) +Vc Л(х)+ ... +c^(x) + O(c<v+!>ft),
где fj (x) — однородные полиномы степени j, и заметим, что
ц (х) <р (х) dx = 0 для любой нечетной функции ф(х). Под-
I X м
ставляя это разложение в (3.27), получаем (3.26). Если S(x)
имеет изолированную невырожденную точку максимума х", то
в силу леммы Морса ее с помощью замены переменных x = <p(z/)
можно привести к виду S (<р (у)) = S (0) — У, у2.. Из (3.22), (3.24)
/=1 ’
следует, что
ФНС) = Д7 5 Г(г/)п(г/)> Г (y) = f (ф («/)) (det <р' (у))'1,
I У l=Vc
т. е. ФДс) имеет вид (3.27).
Если х° — вырожденная критическая точка функции S, то
асимптотику Ф^(с) в общем случае не удается вычислить. Не-
которые результаты, полученные в этом направлении, основаны
на теоремах 3.1, 3.2.
Пусть S (z), h (z) — функции, голоморфные в окрестности точки
~о е эти функции называются эквивалентными в точке z°,
если существует вектор-функция w = ф (г), которая голоморфна
в некоторой окрестности U точки z°, взаимно однозначно ото-
бражает U на себя, и такая, что 5 (ф (z)) = h (z), z e U. При
этом обратное отображение <р—1 (z) также голоморфно в U.
Теорема 3.1 ([1]). Пусть д'— изолированная критическая
точка функции S (z), голоморфной в окрестности точки z°. Тогда
функция S(z) в точке z° эквивалентна достаточно длинному
отрезку своего ряда Тейлора.
Пусть Р(х)— полином с вещественными коэффициентами,
Ф (х) е С. .. (Rn). Рассмотрим функцию
Р+ (Л) = j [Р (х)]?‘ ф (х) dx.	(3.28)
Р (х)>0
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА
71
Этот интеграл является голоморфной функцией Z в полупло-
скости Re Л > 0.
Теорема 3.2 ([7]). Функция Р+(ф) аналитически продол-
жается на всю комплексную плоскость К как мероморфная
функция Л.. Ее полюсы лежат на конечном числе арифметиче-
ских прогрессий вида kk.j —— ak, t—kbkj, k = Q, 1, 2,
где 6Zfe, j, bkt j — положительные рациональные числа, кратности
всех полюсов ограничены (одним и тем же числом). Имеет
место оценка
| Р+ (л) | < С | X Г'	(3.29)
при | Im X |	1, — Д С Re Л С 0 для любого Я > 0.
Теорема 3.3 [98]. Пусть Р(х)—вещественный полином,
[(,г)еС”(й). Тогда при любом вещественном а
ф}(а + с)= jj f(x)<s>p(x)~
Р (х) = а + с
ОО Z Л	X
cr*(ln|c|)Z“J (с-*±0). (3-.30)
Здесь rf—рациональные числа, г,+ < г+ < . . . < гд (/ —> оо),
и аналогично для гт.
Доказательство. Пусть а = 0, с > 0, для определен-
ности. Имеем при ReA>0
оо
Р+ Д)= j с?-ФДс)(/с,
т. е. Р+ (Л) является преобразованием Меллина функции гФ^ (с).
По формуле обращения,
о-b too
фЛс)=— J c-^P^dk, а > 0.
G —ice
Выберем b > 0 так, чтобы точка А, =-- — b не была полюсом функ-
ции Р+ (Л), и заменим контур интегрирования прямой Re А,— — b
(эт . можно сделать в силу оценки (3.29)). Тогда
— b + i°°
фДс)= res (с“Л-'Р+(Л)) + J c-K~lP+(E)dh,
ИеЛу>— Ъ 1	—b—ic°
где А, — полюсы функции Р+ (X). Последний интеграл имеет по-
рядок О (сь~е), где е > 0 сколь угодно мало, а вычет в полюсе Л,-
72
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
т
имеет вид У, akjc~Ki (In c)k, где rn — кратность полюса К, (на-
о
помним, что X/< 0). Тем самым (3.30) доказано при с > 0;
аналогично исследуется случай с < 0.
Из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1. Пусть S (х) — вещественная функция,
х° — ее критическая точка, f (х) е С™ (R") и supp f (х) не содержит
критических точек функции S(x), отличных от х°. Пусть S (х)
аналитически продолжается в комплексную окрестность точки х®,
и эта точка является изолированной критической точкой функ-
ции $(г), г = С”. Тогда все заключения теоремы 3.3 остаются
в силе.
Коэффициенты разложения (3.30) удается вычислить в явном
виде еще в одном важном случае. Напомним определение:
функция ср (х), х е R", называется положительно однородной сте-
пени а, если <р(/х) = Ар(х) при любых i > 0, xeR".
Лемма 3.4. Пусть S (х) — положительно однородная функ-
ция степени а =/= 0 и S (х) е С°° при х #= 0. Тогда множество
уровня S(x) = с при с =И= 0 либо пусто, либо является (^-много-
образием, звездным относительно начала координат.
Доказательство. Пусть множество уровня A4C: S (х) = с
непусто. Если луч I с вершиной в точке х = 0 пересекает Мс
в двух различных точках х' =/= х2, то
так что | х1 | — | х21. Следовательно, Мс звездно относительно
точки х = 0. Покажем, что Sx(x)#=0 на Мр, тем самым будет
доказано, что Мс есть С°°-многообразие. В силу тождества
Эйлера имеем S (х) = a”1 {Sx (х), х), и если S'x(x) = 0, то S (х) = 0,
что противоречит условию с =/= 0.
Предложение 3.4. Пусть S (х) — положительно однород-
ная. функция степени а =И= 0, S (х) е С°° при хФО и S (х) > 0,
х 0. Пусть f (х) е Со°° (R").
Тогда справедливо асимптотическое разложение
ОО	X
ФДС)~С“/“->	/ £ <Э^(0) J ХВ(о).	(3.31)
fe=0 \|₽|=fe S(x)=l '
Здесь со — дифференциальная форма Лере — Гельфанда, р =
= (фр .. ., Ри) — мультииндекс,
Xе = х1,1 ... х^,	= (д[дх^ ... (<3/<3х„)6«.
« 4 МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
73
Доказательство. В силу однородности S имеем
j / (х)© = <?"/«-1	/(с|/ах)со.	(3.32)
S=c	3=1
Множество уровня /И]! S=1 компактно, так как S(x)>0 при
х #= 0. По формуле Тейлора, имеем
¥
г| 13 |/а
f(cl/ax) = 2_j —pi—х W (0) + О (c(,v+1)/a), x^M,
||3|~0
при любом целом N'^-О, откуда следует (3.31).
Если же положительно однородная функция S(x) может
менять знак, то множества уровня S = с будут неограничен-
ными многообразиями. В этом случае вычисление разложения
(3.30) (даже тогда, когда S — однородный полином), весьма за-
труднительно, и мы ограничимся одним примером.
Пример 3.2. Пусть S (х) — положительно однородная функ-
ция степени а=/=0, S (х) е С°° при х=#0, f (х) е С“ (R”), и пусть
сходится интеграл j <о. Тогда
3 = 1
ФДс) — ^0-1/(0) J ®.	(3.33)
3=1
Для доказательства этой формулы достаточно показать, что
Разобьем этот интеграл на два: Ц (R) + /2 (R), где /Д/?) —инте-
грал по множеству | х |R, S(x) = l. Из ограниченности функ-
ции f и сходимости, интеграла j со следует существование
3= 1
R (е) > 0 такого, что | /2 (₽) I < е при R (е), 0 с <1 1. Далее,
/Д/?)-»0 при с —> 0, так что | Ц (R) | < е при малых с, и (3.34)
доказано.
§ 4. Метод Лапласа для кратных интегралов
1. Вклад от внутренней точки максимума. Рассмотрим
интеграл Лапласа
F (Z) — f (х) ехр [ZS (х)] dx.	(4.1)
С)
Здесь Й — ограниченная область в Rn, х==(Х], . .., хД, К — пара-
метр, 3 (х) — вещественнозначная функция. Как и в одномерном
74
ГЛ. IT МЕТОД ЛАПЛАСА
случае, основной вклад в асимптотику F ik) вносят окрестности
точек, в которых достигается maxS(x). Напомним обозначе-
ние: SE — сектор,
= larg^K-^ — е},
0<е<т,
в комплексной плоскости Z.
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия-.
1°. f(x), S(x)eC([Q]).
2°. max S (x) достигается только в точке TeQ.
.ГеЕ[О]
3°. fix), Six)^.C в окрестности точки к*.
4°. х° — невырожденная точка максимума.
Тогда при Х->оо, Z eS.,
F (Z) ~ ехр [ZS (х0)] к - У, akk k.	(4.2)
k=\
Это разложение можно дифференцировать по X любое число
раз. Главный член асимптотики имеет вид
п
F (Л) = ехр [XS (х0)] (2л/Л)'
/са+ои-1)
Vl detCu°)i
(4.2')
Доказательство. Выберем окрестность U точки х° такую,
что (,$£С"((/), и такую, что существует диффеоморфг м
ф: U-+V, указанный в лемме Морса, где V есть куб | у, | д,
Разобьем интеграл F (Л) на два:
F(M=j+ J ^W + Ш
и а\и
Тогда
Г.2 (Л) = О (ехр [Л (S (х°) - д')]) (XeSs), д'> О
(эта оценка доказывается точно так же, как и лемма 2.1.1).
В интеграле F,(Z) сделаем замену переменных х = ф(^), тогда
S(x) = S(x°) + £-J-^,
/=1
Z п \
(Л) = ехр (ЛЗ (х0)] ехр ( V ^2 р/ш (ф («/)) det ф' iy) dy, (4.3)
v '	/=i	'
§ 4 МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
75
где Ц/ — собственные значения матрицы Sxx (х°) и все < О,
так как х°— точка максимума. Рассмотрим
Л1(М = а (ф (у)) det <р' (y)dyv
-в
Здесь переменные у2, Уп играют роль параметров. Приме-
няя теорему 2.1, получаем, что при Z—>оо, /.sS£,
О°	1
F||(M~EA' -ak.(y'}’ у'= (у2>    ’ Уп) (М
k = Q
равномерно по у' е V' и что ак (у')	С°° (Г'), где V'— куб
|г/Д<б, 2<ДД/г Теперь применим эту же процедуру к инте-
гралам j ак (у') ехр (-у1 Уг~) dy2, снова получим разложение
I"
вида (4.4) и т. д. Тем самым существование разложения (4.2)
доказано.
Дифференцирование F (Л) по X снова приводит к интегралу
того же вида.
Приведем другое доказательство теоремы 4.1. Достаточно
рассмотреть интеграл по малой окрестности точки максимума х°;
выберем ее в виде {х: S (х)— S (х°) <—д), 6 > 0. В силу (3.24)
Мсжно заменить интеграл (4.1) одномерным:
6
Д (X) = ехр [ZS (х0)] е"^сФ[ (— с) de,	(4.5)
о
ФД—с) = j Дх)соДх),	(4.6)
S(x-)-S(x«) = -с
где ®s(x) — дифференциальная форма Лере—Гельфанда. Так как
при с->ф-0 для функции ФД—с) справедливо асимптотическое
разложение (3.26), то (4.2) следует из леммы Ватсона.
Задача 4.1. Доказать теорему 4.1, перейдя к полярным координатам
в окрестности точки х°.
В силу замечания к лемме Морса (см. § 3) справедлива
Теорема 4.2. Пусть условия Г, 2°, 4° теоремы 4.1 вы-
полнены и f (х) еС, S (х) еС3 е окрестности точки х°. Тогда при
2.—>00, /. eS£, справедлива формула (4.2).
Замечание 4.1. Пусть условия 1°, 2°, 4° теоремы 4.1 вы-
полнены. Тогда формула (4.2') справедлива при 2,->-Г<х>, если
С(х)еС и вещественнозначна, S(x)eC2 при х, близких к х°.
Это следует из теоремы 1.5.
76
ГЛ IT МЕТОЛ ЛАПЛАСА
Пример 4.1. Рассмотрим интеграл
G (М = р (х) hK (х) dx.	(4.7)
О
Пусть h (х) > 0, xgQ, и условия теоремы 4.1 выполнены. По-
кажем, что тогда при X—>оо, ZsS£,
G (X) = (f (х°) + о (1)) hK+~ (х°)	1 det U'°) Г‘/2. (4.8)
Действительно, G(X) имеет вид (4.1), где S (х) — In h (х). Так как
det S"v (х°) = (h (х0))’" det h”x (х°),
то из (4.2') следует (4.8).
Пример 4.2 ([10]). Вычислим асимптотику при	ин-
теграла
Л/2	л/2
F («) =	... jj [cos cpi .. . cos cpr sin (q>, + ... + <pr)]2rt c/qy . . . d<pr.
-Л/2	-л/2
Этот интеграл имеет вид (4.7), где Х = 2«, х = (<р1, ..., qpr)r
f = 1, h (ср) = cos ф, ... cos ф2 sin (<р, + . . . + фг)- Так как /г(ф) = 0
на границе области интегрирования, то тах/г2ф достигается
внутри области. Поскольку
~- = /г(с1ё(ф1 + ... + ФУ) — tg Ф/) = 0
в точках максимума и h У= 0 в этих точках, то Ф1 = Фг= ...
. .. = фг, так что мы получаем две точки максимума ф~ =
= + 9/ х л (1, 1>	1) функции /г2. Вклады от этих точек
одинаковы, так что достаточно вычислить вклад от точки ф+.
Имеем
17г (Ф+) | = (cos 2(Д1Т) + ,
= (1 + м (cos - h (ф+).
оср( а ср,	' 1 1,7 \	2 (г + 1 ) )
Определитель матрицы с элементами 1 +<5,;- равен г + 1, так как
она имеет собственное значение г + 1 кратности 1 и собствен-
ное значение 1 кратности г. Применяя формулу (4.8) и удваи-
вая полученное выражение, получаем, что
F (п) ~ 2 (2л)г/2 (г + 1)-,/2 (cos (cos 2 (гур-[у)
(п -> + оо).
§ 4. МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОк
77
Получим формулы для коэффициентов разложения (4.2).
Предложение 4.1. В условиях теоремы 4.1 справедливо
асимптотическое разложение при А—>оо, /.eSe:
F (л) ~ ехр [ZS (х0)] (~)Т I det S"x (х°) |",/2 X
оо
х Е 4^(44)i(fW'xp(lS(*- Ч (4'9)
Д=гЭ	Л —Л
Здесь Ls — дифференциальный оператор
Ls = <(S"x(x°))-'V, V),	(4.10)
5 (х, х°) = S (х) - S (х°) - 1 {S'ZX (х°) (х - х°), х - х°). (4.11)
Доказательство. Положим
A = -SL(x°),	S (х, х°) = 5 (х) — 5 (х°),
Н (х, X) = f (х) ехр [A.S (х, х0)],
и пусть й (|) — преобразование Фурье функции ы(х). Продолжим
/(х) на R”, положив f = Q вне й, и применим равенство Пар-
севаля; тогда в силу (3.14)
F (Л.) ехр [— KS (х0)] = ехр [AS (х, х°)] Н (х, A) dx =
r"
= (2nA)-ra/z (det A)~I/2	А)ехр[-^<А“^, g>]d£. (4.12)
Пусть Ф(А)— последний интеграл. Разлагая экспоненту под
интегралом в ряд Тейлора и учитывая, что
i)kH^ A)^==(2<(-l)4^(x, Л) | _ ,
Rn
мы, пока что формально, получаем (4.9). Приведем строгое
обоснование этих выкладок. Можно считать, что Н(х, А)еС“(й),
и так как асимптотика /ДА) не изменится, если заменить f (х) на
f (х) ф (х), где ф е С00, <р = 1 в малой окрестности Я6: | х—х° | < д
точки х° и ср = 0 при | х — х | > 26, то
F (А) ехр [— A.S (х0)] =
г	k
»(2nA)-n/2|detd	£(- Jc)	k)d^ +
L^=o R«
+	M^(g,	(4.12')
R"	J
78
ГЛ II МЕТОД ЛАПЛАСА
В силу неравенства
w->3)
k = 0
последний интеграл в (4.12') не превосходит по модулю вели-
чины
(2ixi)_JV_1-^TjT OOM ХШ^С^ХрЛ
кл
так как Н (х, X) — финитная функция. Далее, в шаре Дй
| S (х, х°) | с | х — х° |3,
так как эта функция имеет нуль порядка 3 при х = хп. Раз-
лагая функцию eAS в ряд Тейлора, получаем в силу (4.13)
Д(х, Х)= f Их) ^{X~X^ + RN^HN + Rf{,
I а|=0
= о (I х - х° |3,v+3 ехр [XS (х, х°) ]).
Здесь а = (а,, .. ., ап) — мультииндекс, ха = х“‘ ... х*п. Так как
S (х) — S (х°)	— а | х — х° Н в шаре Да, то
j ехр [XS (х, х0)] Rn (х, X) dx
j ехр [— 1а {у, г/)]| уГ:+'{ду =
\у I
( — ЛН~гс4*3 \
= оЦ 2 J (Х~>ОО, Xe=SE).
Следовательно, при любом целом N^O
F (X) = ехр [XS (х0)] HN (х, X) ехр [XS (х, х0)] dx + О (х - )].
Замечание 4.2. Ряд (4.9) не есть асимптотический ряд по
степеням X-1; чтобы получить последний, ряд (4.7) надо пере-
разложить. Коэффициент при K~k в ряде (4.9) есть полином
от X степени ^2/3/г, так как функция S (х, х°) имеет нуль по-
рядка 2>3 при х = х°, a Ls есть однородный дифференциальный
оператор второго порядка.
Рассмотрим случай вырожденной точки максимума.
Теорема 4.3. Пусть условия 1° — 3° теоремы 4.1 выпол-
нены. Тогда существует такое N<<x>, что при Х->оо, Z sSe,
§ 4. МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
79
справедливо асимптотическое разложение
оо / N	\
F(X)~ Z (	(In М1 •	(4.14)
*-0\Г-0	/
Здесь rk — рациональные числа, п/2 г0 < г, < ... < rs —> + оо
($->оо).
Доказательство. Достаточно рассмотреть интеграл (4.5).
Так как в силу теоремы 3.10 функция ФД—с) имеет асимпто-
тическое разложение (3.40) при с -> + 0, то, применяя лемму
Ватсона к одномерному интегралу (4.5), получаем (4.14).
Эта теорема является типичной теоремой существования и
не дает алгоритма для вычисления коэффициентов разложе-
ния (4.14).
Пример 4.3. Пусть условия 1° — 3° теоремы 4.1 выпол-
нены, х° = 0 и при малых х
S(x) = S(0)-S2m(x) + ...,
где S2m(x)— однородный полином степени 2m, положительно
определенный (т. е. S2m(x)>0 при х =# 0). Многоточием обо-
значены члены порядка ^2т+1. Покажем, что тогда при
X —> ОО, /, Е: S8,
F (X) ~ X"exp [XS (0)] £ afeX“,
(4.15)
«о = f (0) J exp [— S2m (х)] dx.
Пусть S (0) = 0. Достаточно рассмотреть интеграл по шару
К6: |х|<6, д>0 мало, так как отброшенный интеграл экспо-
ненциально мал. Переходя к полярным координатам
получаем
х = г<о, г = |х|, ass" £со?=1,
7=1
.в	.
F(X)= J Н е-ыъ’чцг, «>)rn-i dr pQ,
sn-l\0	/
где Sn 1 — единичная сфера, dQ. — элемент ее поверхности и
h(r, м) = /г2т (со) — rh^m+i (со)— ... Так как h2m (со) с > 0,
oeS'^!, то функция г2от/г при малых 6>0 достигает макси-
мума только в точке г = 0. Применяя к интегралу по dr лемму
Ватсона и интегрируя полученное асимптотическое разложение
ио сфере S'1-1, получаем (4.15).
80
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Рассмотрим интеграл
F (А, а) == j / (х, а) ехр [AS (х, а)] dx,	(4.16)
а
содержащий дополнительные параметры а = (аь . .., а*). Полу-
чим аналог теоремы 2.1. Пусть й cz RX 0 е Rq — ограниченные
области. Введем условия:
А3. Функция S (х, а) вещественнозначна, функция /(х, а)
комплекснозначна при (х, а) е й X 0 и функции f, Ss
еГ([ЙХ0]).
А4. При каждом фиксированном аеА функция 3(х, а) имеет
единственную точку максимума х°(а), причем р(х°(а), дЙ)2>
Ро > 0 при всех а е= 0.
Здесь р(х°(а), <ЗЙ) — расстояние от точки х°(а) до дй.
Теорема 4.4. Пусть условия А3, А4 выполнены. Тогда при
любом целом N^O
F (А, а) = ехр [AS (х° (а), а)] Жп1‘2 X
х(ЁМа)А~*+А“Л'“'^, а)).	(4-17)
\fe=0	/
I 7?.v (A, a)KC(A=Se, | А |> Ао, а 6= Jif), (4.18)
где Ж — любой компакт, лежащий в области 0. Формулу (4.17)
можно дифференцировать по К и по а любое число раз, с сохра-
нением равномерной по а, А оценки остаточного члена.
Коэффициенты разложения (4.17) вычисляются по тем же
формулам, что и для интеграла (4.1), и принадлежат С°° (0).
Доказательство. Сделаем замену
х — x°(a) = x*, S (х, а) — S(x°(a), a) = S*(x*, a), f (х, a) = f (х*, а).
Тогда область й заменится на Й(а) и
F (А, а) • ехр [—AS(x°(a), а)[ =	f*(x*, а.) ехр [AS* (х*, a)] dx*.
й (а)
Пусть Ж ей- компакт. Функция S*(х*, а) при каждом а е Ж
имеет единственную и притом невырожденную точку максимума
х* = 0. Интеграл по области й (а) можно с точностью до О (е~сЛ),
с > 0, заменить интегралом по шару | х* | < 6; здесь S > 0, с > 0
не зависит от аеХ Это можно сделать в силу условий А3, А4.
Применяя к функции S* лемму 3.3, получаем интеграл вида
(п \
—	) Г* («/> a) dy-
§ 4. МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
81
Последовательное применение теоремы 2.1 по переменным у{,
Уч, , Уп завершает доказательство.
Замечание 4.3. Замечания 1.4—1.6 остаются в силе для
кратных интегралов Лапласа.
Замечание 4.4. Коэффициенты асимптотических разложе-
ний (4.2), (4.14) и т. д. являются инвариантами в следующем
смысле. Пусть F(Z; 8, f) — интеграл (4.1) по малой окрестности
точки максимума U. Сделаем гладкую замену переменных
х = ф (у), тогда
F (Л; S, f) = F (Л; S*, Г) = $ Г (у) ехр [л8* (//)] dy.
[У*
Здесь f/* = cp-I(t/), 8* (у) = (S о <р) (у), f* (y) = (f ° ф) (г/) det ф'(#).
Так как асимптотическое разложение по асимптотической после-
f -й)
довательности (X 2 J единственно, то afe(S, f)=sak(S*, f*)
при всех k. В частности, при k = 0 получаем
I det S'xx (х°) Г1/2 = | det ф' (у°) | det (S ° ср)^ (г/°) | “1/2.
Следовательно, выражение
D (у°) = | det ср' (у0) 11 det (8 о q>)"y (^) |",/2	(4.19)
является инвариантным относительно диффеоморфизмов y — q>(z)
(у0 — ф (z0)). Эта величина имеет простой геометрический смысл:
Э (//') = lim ’ j a>s,
С’>°	S (x) = S (х°1 —с
где cos — дифференциальная форма Лере — Гельфанда. Следую-
щие коэффициенты разложения (4.2) также являются инвариан-
тами в указанном выше смысле, однако они не имеют столь
простого геометрического смысла.
Приведенное замечание относится ко всем асимптотическим
разложениям (по степеням Z) функций, заданных интегралами.
2. Вклад от граничной точки максимума. Пусть max 8(х)
х Е [О]
достигается в точке х° е <ЗЙ, и пусть 8 (х), <ЭЙ е С°° при х,
близких к х°. Точка х° не обязана быть критической точкой
функции 8(х), так как в этой точке должны обращаться в нуль
только производные по направлениям, касательным к дй. Назо-
вем х° невырожденной граничной точкой максимума, если:
1. <38 (х°)/дп #= 0, где д/дп — дифференцирование по внутрен-
ней нормали к <ЭЙ.
II d^S (х°) ||'г~1
2.	Матрица - 	= В отрицательно определена, где
II II/, /=|
— ортонормированный базис в касательной пло-
скости Т <ЗЙХ» к д& в точке х°.
82
ГЛ. II. МЕТОЛ ЛАПЛАСА
В частности, пусть х° = О и
Тогда при малых | х |, х„^0,
<2 — полупространство хп > 0.
имеем (поскольку S'x. (0) = 0,
1 </<»-!)
5 W = S (0) +
п— 1
bnxn Н 2" 2^
». /-
<32S (0)
дх. дх.
I /

d2s (0) , j, d*s (0) х2
дх/ дх 2 дх2п п
где многоточием обозначены члены порядка ^3. Условия 1, 2
эквивалентны следующим:
bn<Q,
d2S(0) Ip"1
dxidxj L/-1
Теорема 4.5. Пусть выполнены условия'.
1°. f, SeC([U]).
2°. max S (x) достигается только в точке х° е dQ, их0 — не-
хе [-Л
вырожденная граничная точка максимума.
3°. f, S, dQ е С°° в окрестности точки х°.
Тогда при Z -> оо, /. е Sf
F(Z)~A,	2 ехр[ХЗ(х°)] У. ak/.~k.	(4.20)
k=0
Это разложение можно дифференцировать по X любое число раз.
Доказательство. Заменив F (X) интегралом по малой
полуокрестности U точки х°, мы совершим экспоненционально
малую ошибку. Перенесем начало координат в точку х° и по-
вернем оси координат так, чтобы направление внутренней нор-
мали к dQ в точке х° совпало с вектором (0,0, ..., 0, 1). По-
лученные в результате из f, S функции обозначим f*, S , и
пусть U* — образ U. Уравнение dU* в окрестности точки у = 0
можно записать в виде
2/п = ф(/)>	У' = (У1, yn-i), (4.21)
где U' — окрестность точки у' — 0, причем qp (у') е С°° (U'),
<р (/) = О (! у' |2) (у' -> 0). Рассмотрим след функции S* (у) на dQ*,
т. е. функцию S* (у', <р (#')), и разложим ее по формуле Тей-
лор а
$*(/, <р(/))==1(Д/, /)+О(|/|3)(/-^0)	(4.22)
(линейные слагаемые отсутствуют, так как точка у' = о является
точкой максимума функции S*(y', <р(г/')) в области U').
§ 4. МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
83
Выберем U так, чтобы <р {у') уп &, д > 0, при y^U*.
Тогда
F (X) ехр [— XS (х0)] — Ф (у', X) dy',
U'
в
Ф (у', X) = jj ехр [XS* (г/)] Г (у) dyn.
ф (у')
Три каждом фиксированном у'^U' функция S* (у) на отрезке
<р(г/'), д] достигает максимума в точке г/„ = Ф (//'), причем
> О при всех у' е [(/], если область U до-
статочно мала. Следовательно, при любом целом N 1,
У' е ft/']
Ф(/, X) = Х-1 ехр (XS* («/', <₽(/))] X
-9у-: ф(/п + у х~ч (/)+х^л"’/?л- (/,
SyJ//'q>(X))
X)
где М/)еС°° ([£/']), \RAy', А)|<СУ (/ е [t/'], ReX>l,
XgS,). Из (4.22) и невырожденности точки х° следует, что
к интегралам
j ехр [XS* (/, <р (/))] bk {у') dy'
й
применима теорема 4.1, так что каждый из них разлагается
в асимптотический ряд по степеням Х~'. Тем самым (4.20) до-
казано.
Главный член асимптотики имеет вид
п~\-1	П—1
F (X) — — X 2 (2л) 2 ехр [XS (х0)] X
X () ”11 det В [/ (х°) 4-0(1)],	(4.20')
где п, В указаны в условиях 1 и 2 (стр. 81).
Задача 4.2. Пусть точка х° е йй является невырожденной критиче-
ской точкой функции S (х) и max S (х) достигается только в точке х°. До-
хе Ю)
казать, что при X -> оо, /, е Se,
1	> ч м/2	__..у
exP[Z5(x»)] |dets"x(x-°)| X
Главный член асимптотики (4.23) отличается от главного члена (4.2) мно-
жителем 1/2.
84	ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
3.	Асимптотика преобразования Лапласа. Рассмотрим инте-
грал
Ф (А) = j f (х, A) ехр [S (х, A.)] dx.	(4.24)
О (А)
Пусть f, S (= С°° (r2 X Ra ), где Rx — полуось X > 0, функцияS
вещественнозначна и х°(А)— точка максимума функции S(x, А).
Положим
Й(Х) = {х: | у Ж (х - х°) | < ц (X)},
Л (А) = — SX (х° (А), А).
Здесь -у/А (А) — положительно определенная матрица такая, что
(Va)2=a
Теорема 4.6. Пусть существует функция ц (А) —► + <х> при
А —> + оо такая, что
S''x (х, А) = Sxx (х° (А), А) (7 + в, (х, А)),
f (х, А) = f (х° (А), А) (1 + в2 (х, А)),	(4’2Ь)
lim 8, (х, А) = 0,	/=1, 2,	(4.27)
л->+«>
равномерно по хеЙ(А). Тогда при А -> + оо
Ф (А) — (2л)п/21 det S'X (х° (А), А) Г1/2 f (х° (А), А) ехр [S (х° (А)), А)].
(4.28)
Доказательство. Имеем при /. > I, х е Q(7.)
S (х, А) - S (х° (А), А) = - у < А (А) (х - х° (А)),
х — х° (А) > (1	е3 (х, А)),
где е3-»0 при А-> + оо, xgQ(.4) равномерно по х. Делая за-
мену д/Л(А) (х — х°(А)) — у, получаем
Ф(А) = Ф0(А)	(1 + е2)ехр[—(1 + е3)<1/, t/)]dt/,
I
где Фо (А) —правая часть (4.24). Тем же способом, что и
в лемме 2.1, доказывается, что последний интеграл стремится
к (2л)'1'2 при А->+оо.
Докажем следующую асимптотическую формулу для дву-
стороннего преобразования Лапласа при |£|—>°о;
& (e-s) (£) “ ехр [— S (х) + (х, g)] dx ~
Rn
(2«)W21 det S'X (x° (£)) Г1/2 exp [S (£)]. (4.29)
§ 4. МЕТОП ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
85
Здесь S(x) — строго выпуклая кверху при | х | з> 1 функция
(более точные условия указаны ниже), x°(g)— точка (единствен-
ная при |£|» 1), в которой достигается
тах(— 3(х) + < х, | > ) = 3(£).	(4.30)
Функция 3(g) двойственна по Юнгу (см. § 3) к функции S (х),
и из (4.29) следует, что
ln<?(e-W~Sfe)	(4-31)
Эта формула устанавливает связь между преобразованиями
Лапласа и Лежандра.
Теорема 4.7. Пусть
Г.	и строго выпукла кверху при |х|^«>0, т. е.
S"x(x)<0.
2°. Существуют постоянные а, Сн С2 такие, что
—	(1 + |x|),‘rU<S(x)^-C2(l + |х|)'+“, xeR’.
3°. Существует $ > О такое, что
3"х(х) = 3^(у)(/ + о(1))
при IV — 3"х(х) (х — у) |^|х|р, |х| —>оо, равномерно по у.
4°. При любом е > 0
In | det З'Д (х) | = О (| x |e)	(| x |) -> oo).
Тогда при | E, |-> оо справедлива асимптотическая формула
(4.29).
Доказательство. Разобьем интеграл З7 (e~s) (£) натри:
71 + /2 + Аз, гДе h ~ интеграл по области Q(E):
| V-S''(x°(^)) (х - х° (В)) I < I х°(Е) Is,
12 — интеграл по области | х | Со| £ V, где Со будет указано
ниже. Из условий Г — 4° и теоремы 4.6 следует, что асимпто-
тика Ц совпадает с правой частью формулы (4.49). Остается
доказать, что
7za) = o(/i(g))	(Ш-^оо),	/==2,3.	(4.32)
Имеем в силу условия 2°
$ еХр(- С. | х|1+а + |х III |)«х<
I X |>С0|£|1/а
< С' I в Г J гп -‘ ехр [(- С,гн а + г) II |1+1/а] dr.
с.
86
ГЛ II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Если Со > 0 достаточно велико, то подынтегральная экспонента
достигает при г^Са максимума только в точке г — С0, и инте-
грал /2(£) экспоненциально мал:
ш = О (ехр (— С"\ £ |,+,/а)),
причем постоянную С" можно выбрать сколь угодно большой
за счет увеличения Со. При больших |£|
S(g) <шах (- С, \х |1+а + I х || £ |)<С3| I |1 + ,/а.	(4.33)
,--к"
Из этой оценки, условия 4° и оценки для /2(s) следует (4.32)
при / = 2. Аналогично (4.33) доказывается оценка
S(i)>C4(l +Ш)1+Ш (geR").	(4.33')
Докажем, что при | g | ^> 1
| x°(g) |>C5|g |l/a > 0.	(4.34)
Допустим противное, тогда на некоторой последовательности
{cv} -->оо выполняется оценка | х° (£) | X е | £ |1/а, так что при
| S (Ш = I - S (х° О + (Ю, I < 6 (е) | !, |1+1/“,
где 6(e)->0 при е->0. Это противоречит оценке (4.33').
Оценим /3(|)._Пусть 0 < 0()	0 «С 0| < 1, A (g) = Sxx (х° (g)).
Тогда при | л/A (g) (х — х° (g)) | == 0 | х° (£) |р (р указано в усло-
вии 3°) имеем
5(х, £) = -S(x) + (x, £> =
= - ~ (А (В) и + о (1)) (х - х° (В)), X - х° (£)) =
= (-1 + о(1)) IVW (х-х°О|2 =(- | 4-0(1)) е2 |х°(Ю |2Р.
Следовательно, множества уровня S (х, £) = —	| х° (g) |2fi при
Щ » 1, 0 < 0О < 0 < 0[ < 1, близки к эллипсоидам | д/Л (g) X
X (х— х° (£)) | = -^=г | х° (|) Р и содержатся в Q (А.). Так как
S(x, |)—выпуклая кверху функция, то значения S(x,£) в R" \Q(A)
б*2	*
не превосх дят величины-----— I х°(£) |2(J‘ при некотором 0*е(О, 1)
(множества уровня выпуклой функции выпуклы). Пусть i.\(^) —
область, по которой берется интеграл /3. Тогда Qi (g) лежит
§ 4. МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ	87
в шаре ( х | Со| | |l/ct, так что
mesQ^XC'l^r,
max S (х , |) < - I х° (В) < - С" | | |2р/а.
геО 15'	2
Последняя оценка вытекает из (4.34). Таким образом,
/3 (Ю <С |Е, Г/аехр(— С" II |28/а).
Из этой оценки, (4.33') и условия 4° следует (4.32) при / = 3.
Пример 4.4. Пусть функция S (х):
1. Положительно однородная функция порядка а > 1, S (х) S
€= CXR'1 \{0}).
2. Строго выпукла при 0.
Тогда при 111—> оо
S! (е-S) (I) ~ (2л)“ 11 Гп " ~°') I det Sxx (х° (<о)) р X
X ехр (11 Г S (<о)) (1 + £ а* (со) 111	•	(4.35)
Здесь со = Е/| s I, +-^г = 1 и ak (со) е С°° где Sn~ — еди-
ничная сфера.
Чтобы получить главный член асимптотики, можно восполь-
зоваться теоремой 4.7. Но проще воспользоваться однород-
нсстью функции S. Делая замену переменных x = |||a”lz/,
получаем
(e-s) (I) = 1|1^ $ exp [1E,1“' (- S (z/) + <(0, z/»] dy. (4.36)
R«
Функция S (z/, co) = — S (y) + (<o, у} при любом aeS"”1 имеет
единственную и притом невырожденную точку максимума у° (со).
Нетрудно проверить, что
0<С, <|z/»|<C2,	| det S''y (у0(со)) | > С3 > 0
при всех со е S'2-1 и (4.35) следует из теоремы 4.4.
Задача 4.3 Найти асимптотику преобразования Лапласа S’ (e~s) (|)
при 111 -> оо где S (х) — полином степени 2т ^2 старшая однородная часть
которого строго выпукла книзу при х #= 0.
Пример 4.5. Пусть функция S(x) удовлетворяет условию 1
примера 4.4, но не является строго выпуклой. Тогда точка мак-
симума х°(|) может быть вырожденной.
88
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
Г. При всех R" справедлива оценка
,а
^(e-s)(£XU +	(4.37)
Рассмотрим интеграл (4.36). Точка максимума 1/°(<о) при
всех ogS'^' лежит в некотором шаре | у | Со, так как
3 (у) С | у |“, С > 0, и интеграл по этому шару допускает
оценку (4.37), поскольку — 3 (х) + {х, g) 3 (£) при всех х, g.
Оставшийся интеграл экспоненциально мал при больших | £ |,
так как
— S (у) + <©, у}
где Ср может быть сделано сколь угодно большим за счет
увеличения С’. Тем самым оценка (4.37) доказана при I;
в ограниченной области 111г эта оценка очевидна.
2°. Если Su таково, что точка максимума х°(£°) невырождена
и единственна, то для функции ^(e~s)(^) справедлива асим-
птотическая формула (4.35) на луче g = Z£°, /-> + оо, а также
при | £(| -> оо в некотором конусе, содержащем этот луч. По-
следнее следует из того, что при малых |£*—	| функция
— S(x) + (x, Е) будет иметь ровно одну и притом невырожден-
ную точку глобального максимума х°(£*), причем х° (g*) —> х° (у0)
при	Если же максимум достигается в нескольких не-
вырожденных точках глобального максимума при 2, = Т°, то
в некотором конусе /б, содержащем луч £ — Zg°, O^Z < оо,
асимптотика интеграла равна сумме вкладов от точек локаль-
ного максимума, лежащих вблизи исходных (на каждом луче
из К по крайней мере одна из этих точек является точкой гло-
бального максимума).
3°. Имеются пограничные зоны, в которых точки максимума
вырождены, и в общем случае неясно, как найти искомую
асимптотику.
Заметим, что максимум (4.30) может достигаться не в точке,
а на многообразии.
Пример 4.6. Функция S (х) = — (х2 + х- — I)2 достигает
максимума в R2 на окружности х2 + х2=1.
Теорема 4.8. Пусть
1°. f(x), SWeC([fl]).
2°. max З(х) = /И достигается на С°°-многообразии Мп 1 cz Q,
и только на нем.
3°. f(x), S (х) <= С°° в некоторой окрестности многообра-
зия Мп~1.
4°. Svv(x)^ 0 при х Мп~', где d/dv — производная по нор-
мали к Мп~1.
§ 4. МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
89
Тогда при A е Se, А-*оо,
F (А)	J f (х) ехр [AS (х)] dx ~ еш а^А 2 ,
a	k=:>
(4.38)
Доказательство. Как обычно, достаточно рассмотреть
интеграл по малой окрестности многообразия Мп~1. Пусть
А!"”1 —одна из связных компонент многообразия Al”-1, х° е Al”-1,
U — достаточно малая окрестность точки х°. Положим
h (х) = д/М — S(x).	(4.39)
С помощью гладкой замены переменных можно превратить А!"-1
в кусок гиперплоскости уп = 0. Именно, можно так выбрать U,
чтобы существовал диффеомоРФизм Ф: К —> [/, обладающий
следующими свойствами:
1)	V — куб |уу|^д, 1 С / п\
2)	ф’ (Мп~’ П и') есть множество у„ = 0, у е V', где обозна-
чено у' = (уь ..., p„-i), V' = {y': \tji\^6,	1);
3)	нормаль к АТ" ’! в точке х переходит в ось уп при ото-
бражении ф_|.
Положим S* (у) — .И — (S о ф) (у) и покажем, что при у <= V
S*(y) = y2S1(y); S, (/, 0) ¥= О, y'^V,	(4.40)
где Sj е ССО(Е). Действительно, minS*(y) = 0 достигается только
при у„ = 0. Функцию S* (у) при у eV можно представить
в виде
5* (у) = а (у') + упЬ (у') + y2S1 (у),
где a, b, S, ge 6”. По условию, S (у', 0) = 0, dS’ -- ^0(/е V),
иУп.
так что а (у') = b (у') = 0, /еП. Из условия 4° следует, что
St (у', 0) > 0, /еК. Так как h (х) = уп xjS, (у) и 32 (у) > 0
при у е V, если куб V достаточно мал, то heC”^); следо-
вательно, heC^U).
Если б>0 достаточно мало, то множество Мь"': — б<
< Л (х) < б содержит Л1"-1 и не пересекается с другими компо-
нентами множества Мп~>. Кроме того, уравнение h(x) — t,
— 6 < t < б, хеЛ4б-1 определяет С°°-многообразие. Имеем
из (4.40)
в
j f(x)e,-s^dx = ^M J e-Kt'Wh(t}dt,
м£-1	“e
Tft(0= J K,	(4.41)
h (x) -1
ГЛ. II. МЕТОД ЛАПЛАСА
«О
где юл — дифференциальная форма Лере — Гельфанда. Функция
'I', (7| е (|-б, 6]), и из теоремы 1.1 следует (4.38).
Главный член асимптотики интеграла (4.41) равен eKM у X
X (0), так что
Г(А) = е«<д/^Г j fWc0v___ + o(1)l	(4.42)
LS(x) = M	J
Задача 4.4. Доказать что при А -» оо, Л е Se, и при а > 0
ОО
ехр [— Л (х- + у2 — a2)2] dx dy ~ у .
4.	Интегральные операторы с 6-образными ядрами. Рассмо-
трим интегральный оператор
(О W = ^'l/2 j ехр [AS (у — х)] f (у) dy.	(4.43)
О
Здесь Q — ограниченная область в R'1. Будем предполагать, что:
1°. S(x) — вещественнозначная функция, S (х) (= C2(Q) f] С( [Q]),
точка OeQ.
2°. max S (х) — S (0) = 0 достигается только в этой точке,
хе [<>]
и точка максимума х = 0 невырождена.
Теорема 4.9. Пусть условия 1°, 2° выполнены, Ж — ком-
пакт, Ж сп, и функция f (х) е С (Q). Тогда
lim (XJ) (х) = (2л)2 |detSX(O)| 2 f (х)	(4.44)
оо
равномерно по хе Ж.
Так как
j б (у — х) f (у) dy = f (х)
О
(6 — есть дельта-функция Дирака), то при А-> + оо формально
получаем
Аге/2 ехр [AS (у — х)] —> const • 6 (у — х).
Доказательство. Имеем
(K)j) (х) = А"/2 j ехр (- AS (0) f (х + t) dt,
a
"X
где область получена из области Q сдвигом на вектор х.
Отбрасывая экспоненциально малый интеграл по области \ U,
где U — малая окрестность точки / = 0, и применяя замеча-
ние 4.1, получаем (4.44).
§ 4. МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
91
Литературные указания и дополнения
Результаты § 1 классические и восходят к Лапласу и Ватсону. Тео-
рем? 2.2 установлена Л Бергом [100], М. А. Евграфовым [34], теоремы 2.3,
2.4 — М А. Евграфовым [34]. Теорема 4.1 — классическая, теоремы 4.6, 4.7
принадлежат автору и публикуются впервые.
Точные оценки остаточного члена в условиях теоремы 1.3 получены
Ф Олвером [127].
Асимптотика при А + оо бесселевой функции
AoW = -| 5 (t? + W112 eiKt dt
вычисляется так: контур интегрирования можно заменить интегралом по раз-
резу [i, + i оо), так что
оо
KoW = J е~^(у2+ 1)“'/2dy.
1
Асимптотика этого интеграла вычисляется с помощью леммы Ватсона, глав-
ный член имеет вид [10]
Ло W ~ (2A)“1/2e~x
Равномерные по а е [0, оо) асимптотические разложения при х + со
интегралов вида
оо
ехр [— х (t — а)]7^~' j (/) dt,
а
получены А. Эрдейи [119]. Функция f (/) е С°° [0, + со) и ограничена вместе
сс. всеми производными при Z^0, /^ — оператор дробного дифференцирова-
ния, 1 i< А < 1.
/асимптотика при А - > + со интегралов вида
ь
j Ф (AS (()) / (?) dt
а
исследована Э. Я. Риекстыньшем [65] [66] и другими; подробная библиогра-
фия имеется в [66].
Асимптотика при а > + 0 континуальных интегралов вида
,	t	.	ч
Л4“ х, | ехр ( —Ду- V [% (т), т] dr ); х(т)еС|х (/) = .гс г
А \	0	/	7
(интеграл берется по винеровской мере) исследована М. Шилдером [132].
Аналог леммы Ватсона для интегралов вида
СО
е Аа f (/) dt
— ОО
где {Аа} — семейство операторов действующих в банаховом пространстве^
|| А ~ 1> 0 при а-> оо, доказан Дж. Вильямсом, Р. Уонгом [135],
ГЛАВА III
МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
§ I.	Метод стационарной фазы в одномерном случае
1.	Фазовая функция без критических точек. В этом пара-
графе рассматриваются интегралы Фурье-.
ь
F (А,) = f (х) ехр [z'ZS (х)] dx.	(1.1)
а
Здесь S (х) — вещественнозначная, f (х) — комплекснозначная
функции, X — большой положительный параметр.
Очевидно, что случай S (х) = const, или f (х) ss 0, мы не рас-
сматриваем. Функцию S (х) будем называть фазовой функцией.
Интеграл F (А) будет мал при А 1 за счет быстрой осцил-
ляции экспоненты exp(z’AS). Наиболее общим результатом такого
рода является
Лемма Римана — Лебега. Если f(x)^Ll(—оо, оо), то
j f (x)eiKx dx = o (1)
— оо
(x -> + оо).
Никакой более точной информации о скорости убывания
интеграла при этих условиях получить нельзя. Ясно только,
что основной вклад в асимптотику интеграла Фурье (при глад-
KHx__f, S) должны вносить стационарные (т. е. критические) точки
фазовой функции, так как вблизи них осцилляция замедляется,
а также особенности функций f, S или их производных. Заме-
тим, что в отличие от интегралов Лапласа (см. гл. II) для инте-
гралов Фурье гладкость функций f, S существенна на всем
интервале интегрирования.
В случае, когда фазовая функция не имеет стационарных
точек, асимптотика F (А) легко вычисляется с помощью интегри-
рования по частям.
Теорема 1.1. Пусть 1 = \а,	— конечный отрезок,
S'(х) О, хе/,	(1-2)
§ I. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
93
и |'(х')еС',,Ч117), S(.vjGCv+’(/). Тогда при А-» + оо
ь
f (х) ехр [z’AS (х)] dx —
а
N	Ь	ь
о-3*
k = 0
Доказательство. Интегрируя по частям так же, как и
в теореме 2.1.3, получаем, что разность между F (А) и суммой
в правой части (1.3) равна
ь
(tkyN (MN ^77-д^ ехр [z’AS (х)] dx,
J X О (XJ /
°	(1.4)
м =
S (x) dx
По лемме Римана — Лебега последний интеграл есть о(1) при
А —> + оо.
Главный член асимптотики (1.3) имеет вид
F(A) = (z’A)-1 [f (6)ехр [z’AS (&)] — f (а) ехр [z’AS (a)]] -j- О (а-2). (1.3')
Замечание 1.1. Если f(x), S (х) С" (Г), то F (А) разла-
гается в асимптотический ряд при А—> + °о.
Следствие 1.1. Пусть I — [0, оо], условия теоремы 1.1
выполнены и при 0 k N
'‘''(ТТЛ)”»’!)	«- + »).
Л- М" (-Атт ) <3 L, [о, <х>1.	<1,5)
dx \ S (х) J 1 L ’ J
Тогда
оо
f (х) ехр [/aS (a-)] dx =
о
-^(^^-'^^(xVSAxni^ + oCA-") (А-> + оо). (1.6)
k = 0
Стоит обратить внимание на полное сходство асимптотиче-
ских формул для интегралов Фурье и Лапласа: они получаются
друг из друга формальной заменой A->z'A.
94
ГЛ. Ш. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Задача 1.1. Доказать, что при а > О, X -> 4- оо:
1)	(1 + х)~аеЛх(1х = /Л-1 + О(Х~2);
и
оо
2)	(1 + х)“а sin Лх dx = X”1 + О (Л“2);
о
оо
3)	j (1 + х)~а cos Zx dx — а/.--’ 4- О (Л~3).
о
Найти асимптотические ряды в этих примерах.
Задача 1.2. Пусть ; (х) е СЛ' [0, 2л] и /и') (0) = /(/) (2л), 0 < / < V,
N^l. Доказать что
.л.
j / (х) eint dt — о (п~л + 1)	(и -> + со, п = 0. 1, 2).
о
С помощью интегрирования по частям можно вычислять
также асимптотику при х->4-°° интегралов вида
F (х) = f (/) eiSV> dt,
где S (/)— вещественнозначная функция, S'(/)y=0 при 1.
Рассмотрим
Пример 1.1. Пусть f(l)eC |0, оо), f(()>0, /'(/)< и,
/"(/)>() при />1 и f<n(/) = o(l), / = 0, 1,2, /'(() = о (/(1))
(t —> + оо). Тогда при х -* 4- оо
f (£)еи dt = — if (x)eix(l + о(1)).	(1.7)
X
Обозначим этот интеграл через F (х) и проинтегрируем по
частям дважды. Тогда
F (х) = - if (х) eix -f- f' (х) eix - j f" (/) e“ dt.
X
oo
Последний интеграл не превосходит по модулю j f" dt = — f'(x),
X
и (1.7) доказано.
Задача 1.3. Пусть а > 0. Доказать, что при х -> + оо
оо
\t-*e“dt~ У r±fe -+-4..
I	*а Г (a) (ixf
§ f. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
95
Пример 1.2. Получим асимптотическое разложение для
интеграла Френеля

оо
ф (х) = j elt'J dt
X
ielx‘ у
2 д/лх
k = о
х*
(1-8)
Чтобы доказать это, можно либо сделать замену t^-yt и вос-
пользоваться задачей 1.3, либо сделать замену t-»-x/x i и
воспользоваться следствием 1.1.
2.	Принцип локализации.
Лемма 1.1. Пусть S (х) е С°° (R), f(x)eCo°(R). Тогда при
К —► + оо
оо
f (х)ехр [/AS (х)] dx — О (а~°°).	(1.9)
Доказательство. Интеграл фактически берется по ко-
нечному отрезку а^х^Ь, так как функция f финитна. При-
меним теорему 1.1, тогда в (1.3) все внеинтегральные подста-
новки равны нулю в силу финитности f, так что F(A) = О
где N 0 — любое.
Эта лемма играет такую же роль в методе стационарной
фазы, что и лемма 2.1.1 в методе Лапласа. Именно, поскольку
главный член асимптотики F(A), как правило, имеет степенной
порядок, то интегралами, удовлетворяющими условиям леммы 1.1,
можно пренебречь.
Нам понадобится некоторый технический аппарат — разбиение
единицы. Будем вести изложение сразу для «-мерного случая.
Пусть х = (х1; . . ., х„) е Rre, □ — область в R". Через С” (Q) обо-
значим множество всех финитных бесконечно дифференцируемых
функций <р(х) таких, что supp qpczQ. Пример:
Фо W = { ехр (тгтгг) } ’	1*1 <1; 0, | х | > 1.
Функция Ф.еС” (R), supp ср = [—1, 1]. Функция <г0(-Ч) • • 	~
s Cq (r").
Теорема о разбиении единицы. Пусть множество
М ст R,z покрыто конечным или счетным числом открытых мно-
жеств {Па}. Тогда существует семейство функций Ф = {фа(х)}
такое, что:
Г”. Фа(х)еС(1>а).
2°. £фа(х)=^1, хеМ.
3°. 0 С Фа (х)< 1, X (= М.
96
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
4°. Каждая точка х <= М имеет такую окрестность, в которой
только конечное число функций ф0 (х) отлично от нуля.
Если множество М компактно, то покрытие {йа} можно вы-
брать конечным.
Рассмотрим интеграл (1.1). Продолжим f, S нулем при х < а,
х > б и обозначим полученные функции также через f, S. Будем
называть точку х0 обыкновенной точкой интеграла (1.1), если
функции f, SeC°° (х0 — 6, х0 + б) при некотором б > 0 и S/(xo)#=O.
В противном случае будем называть х0 критической точкой инте-
грала (1.1). Мы будем рассматривать только изолированные
критические точки. Вкладом от критической точки х0 в интеграл
F (А) мы назовем интеграл
оо
F{A;x0) = f (х) ф (х, х0) ехр [IAS (х)] dx. (1-10)
— оо
Здесь <р(х, х0) — финитная бесконечно дифференцируемая функ-
ция такая, что
I) supp ф не содержит критических точек, отличных от х0;
2) ф(х, х0)^1 в некоторой окрестности точки х0 (напомним,
что мы продолжили функции f, S нулем вне /).
Теорема 1.2 (принцип локализации). Пусть 1 = [а, Ь] —
конечный отрезок, и пусть интеграл (1.1) имеет конечное число
изолированных критических точек хь ..., xk е I. Тогда
k
F(A) = S Ffr, М)+ О(А"°°) (А->+«>)	(1.11)
/“I
т. е. интеграл F (А) равен сумме вкладов от критических точек
с точностью до О (А-00)).
Доказательство. Покроем отрезок / конечным числом
открытых интервалов Qa так, чтобы каждая критическая точка X/
содержалась ровно в одном интервале Qaj, и устроим разбиение
единицы {фа(х)}, отвечающее покрытию {Qa}. Тогда <pa (x)sl
в некоторой окрестности точки X/. Продолжим функции Цх),
S (х) на всю ось, полагая их равными нулю при хё/. Тогда
оо
F (А) = У j f (х) ехр [iAS (х)] фа (х) dx.
а —со
Если аУ=а/,	то интеграл, содержащий фа(х), имеет
порядок О(А“°°) в силу леммы 1.1. Тем самым (1.11) доказано.
Таким образом, как и в методе Лапласа, задача о вычи-
слении асимптотики F (А) сводится к задаче о вычислении асимп-
тотики интеграла по малой окрестности критической точки.
§ (. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
97
В этой окрестности функции f, S можно приближенно заменить
более простыми и исследовать затем полученный эталонный ин-
теграл.
Вычислим вклад от граничной критической точки в простей-
шем случае.
Теорема 1.3. Пусть f(x), S (х) е С°° [а, а + 6), б > О и
S' (а) =£ 0. Тогда при К + оо
Р(?.;а)~ехр[/ТЗ(а)]У	• (1J2)
4-J	\ о (л; / 1х=с
Это разложение можно дифференцировать по Л любое число раз.
Главный член имеет вид
F (Л.; а)-И •	(1 •12')
Доказательство следует из теоремы 1.1 и определения
вклада.
3. Эталонные интегралы. Рассмотрим интеграл
ф (Л) =	(х) eiK*a dx.	(1.13)
о
Лемма 1.2 (лемма Эрдейи). Пусть а 1, (3 > 0, функция
f (х) е С°° ([0, а\ ) и обращается в нуль вместе со всеми произ-
водными в точке х — а. Тогда
\ х0-7 (х) еЛха dx~ афЬ “	(Л.-> 4-оо), (1-14)
О	k = 0
(1.15)
Это разложение можно дифференцировать по X любое число раз.
Лемма Эрдейи играет такую же роль для интегралов Фурье,
как лемма Ватсона — для интегралов Лапласа.
Доказательство. Фазовая функция S = xa имеет един-
ственную критическую точку х = 0 на участке интегрирования.
Рассмотрим вначале случай, когда f (х) = 1 при О^х^б, где
0 < б < а. Тогда подынтегральная функция аналитична на интер-
вале (0, б). В секторе 0 < argx < л/а имеем Re(ix“) < 0. По тео-
реме Коши, интеграл по отрезку [0, 6/2] равен интегралу по
Г — 1 Г — 61
ломаной/ = /[ U4> где Т — отрезок [о, е2а p0J, /2—р2аРо, у] и
л 6
PoCOS2a='T- ТогДа
Фа(М = Ф^”(М + Фв)(М + Ф<Р,(Ч (1.16)
4 Ма В, Федорюк
98
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
где Фе*(Л) — интеграл (1.13) по отрезку ljt /3 = |^у, (напом-
ним, что f(x) = l при х е U /2)- Имеем
in
2а
Ро<(.	in(B-H) f'
Фр>(Л)= \ x&eiKxa dx — е 2а \ x$e~Kxadx =
о	о
„ , ,. ццр-ы) в+1
= а“‘Г(2Т2)е 2“ К а +°(е~сХ) (ОО) (1.17)
в силу леммы Ватсона. Интегрируя по частям, получаем
хВ ехр (;'Лха) 2
in
Ф^2)(Л) + Ф(Р3)(Л)=	-а_,
галх
— (zaZ)-1 exp(z’Zx“) (хв~а+>)' dx + (zZxa-1)-1 x$f (х) ехр (гЛха) |g/2 —
/г
а
— (z'Aa)-1	(/ (х) х6-а+1)Лехр (z'Zxa) dx. (1.18)
Л/2
in
Внеинтегральная подстановка при х = р0е2“ экспоненциально
мала, так как в этой точке ехр (z’Zxa) = ехр (—Лр“). Внеинтеграль-
ная подстановка при х = а равна нулю, так как f(a) = O. На-
конец, внеинтегральные подстановки в точке х = 6/2 сокращаются
(если функция /г(х) аналитична в точке х0, то ее производная
по любому направлению равна h' (х0)). Следовательно, внеинте-
гральные подстановки в (1.18) имеют порядок	Кроме
того,
фН^ + ФбЧ^ОО"1) (^-> + <*>),	(1.19)
так как | ехр (/7.x1) |	1
на отрезках /ь /2> к при ^^0. Далее,
Ф^(Л) + Ф^3,(Л) =
Г j xB“a ехр (z’Zxa) dx + j exp (г’Лх11) (x6+a“')/ f' W —
ii	1з
a
- (aa)~1 J x6+a- T (x) exp (zUa) dx + О U"“).
6/2
Поскольку функция f' (х) <= С00 ([0, a]) и f'(x) = O при 0<1х<1<5,
то последний интеграл имеет порядок О(А,”°°) в силу леммы 1.1,
§ I. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
99
так что
Фр ’ (X) + Ф(р3) (X) = [Ф^а (X) + ф'р3!а (X)] 4- о (X-00). (1.20)
Поскольку в силу (1.19) Фр_а (X) + Фр-а (X) = О (Х~‘), то в силу
(1.20.) Фр2) (X) + Фр3* (X) = О (Х-2). Повторение этих же рассужде-
ний показывает, что
Фв’М + Фз’ (X) = О (Х~°°).
Из этой оценки и (1.16), (1.17) следует, что
„	.	Ot(6+1)	6+1
Фе(Х) = а~Т(-Ш-)е 2“ X а +О(Х-О°) (Х->4-оо), (1.21)
если f(x)sl при малых х.
Докажем лемму в общем случае. По формуле Тейлора
/(*) = £+
*-0
Заменим в интеграле (1.10) / (х) на f(x)^(x), где феС°°([0, «]),
ф = 1 при 0^х^б<п и функция ф обращается в нуль при
х = а вместе со всеми производными. Обозначим полученный
интеграл VT(X). Так как f(x)— f(x)'V(x)^0 при О^х^б, то,
по лемме 1.1,
ф(Х) = Чг(Х) + о(х-о°).
Далее,
х k
У (А) = £	Фэ+* (V +	(X),
£=>0
а
Фр+* (А) = j х0+*ф (х) ехр (z'Xxa) dx.
о
По доказанному выше, асимптотика интегралов Фр+*(А) дается
формулой (1.21), и остается показать, что
RN (А) = О (X~Sjv) (А-> + °о),	(1.22)
где lim sv == + оо. Имеем
fJV(x) = x"+1^ (x), hN е= С°° ([0, а]),
а
Rn (X) — фд, (х) ехр (iAxa) dx,
Фх W = xB+‘v/z,v (х) ф (х).
4*
100
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Интегрируя по частям, получаем
Rn (М = GM”1 [<РЛ1 U)] ехР (^ха) lj —
а
— [х|_афл,(х)]/ехр(гЛ,хс') dx. (1.23)
о
Функция срд, (х) обладает следующими свойствами: 1) при х = а
она обращается в нуль вместе со всеми производными; 2) при
х = 0 она имеет нуль порядка s = p+A/\ Поэтому внеинтеграль-
ная подстановка в (1.23) равна нулю при N^O. Функция
(xl~a<fN (х))' обладает свойством 1) и свойством 2) при s = 0 +
+ N — а. Следовательно, можно повторить такое же интегри-
рование по частям, как в (1.23), [ раз. При этом все вне-
интегральные подстановки обратятся в нуль, и мы получим, что
ГВ-Ь.У] “
RfAh) = CNh *- “ J ) Qn W ехр (iZx“) dx,
о
где <7v(x)— непрерывная при	функция. Следовательно,
R.v (Л) = О	(X -► + оо),
и (1.22) доказано.
Лемма 1.3. Утверждения леммы 1.2 верны при | А. ]—* оо,
0	arg Л	л, равномерно по argZ.
Доказательство. Если e<J0 = argZ^n — е, где 0<е<л,
то интеграл (1.13) удовлетворяет условиям леммы Ватсона. По-
этому остается доказать, что асимптотика (1.14) справедлива
в секторах 0^0^е, п — е^0^л, где е>0 можно выбрать
сколь угодно малым. Пусть 0	0^ 8, тогда в секторе 0 argx<
л/2а имеем
Re (гЛха) == — | Л 11 х |а sin (0 + а arg х) 0,
так как 0	0 + a argx л/2 + е. Следовательно, | ехр (/Лха)
на отрезках 12, 13, построенных в доказательстве леммы 1.2,
и потому это доказательство полностью переносится на случай
0 ^0^8. Аналогично рассматривается случай л — е^0^л.
Задача 1.4. Доказать, что при Л -> + °°
1	in 1	°°
S ехр (/ЛхЗ) dx ~ Г	1 _ У Гг(^-Л3у-	’ еЛ.
J	\ о z	Z—i 1 (— 1 /о)
U	/г = 0
Эрдейи [97, 116] принадлежит другое доказательство леммы 1.2.
Л\ы приведем его, поскольку оно содержит полезный техниче-
§ I. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
101
ский прием. Пусть а^1, 0 <0^1. Представим Фр(А) в виде
и проинтегрируем по частям. Здесь интеграл берется по лучу
i П
/,: / = х + р<? 2\ Р > 0, в комплексной плоскости t. Интегрируя
по частям N раз, получаем
V-1
% = Е (- ’)" /(П> (°) Ф-П-> (°’ А) + (м,
(1-24)
^W = (-lf+' \q>_N(x,Vf{N4x)dx.
о
Здесь обозначено
Ф_„_| (х> М = “—(t — x)V~’ ехр(Ш°)dt. 11.25)
zx
Сумма из (1.24) дает первые N членов разложения (1.14); оце-
ним остаточный член. Имеем при х^О, р^О
х + рс-°- = rel'f, Г = (х + р cos-j^J + р- Sin- > pJ,
tg<p =
о sin -z—
2a
.v + pc°s^-
j Tt
fg-27-
Г (	(A)“l
Так что O^qp^ , и поэтому sin(aqp)^O, Re U \x + pc 2a ) J
cC — ra sin a<p s;C — Pa-
Далее, | /16~'«С xB~' на луче lx, так что |<p_n_, (x, A) |
XB-1 f	I / „ _L 1 \	—Itl
\ p"exp(—Apa)dp=	—-—Jxs~'A a .Следовательно,
о
| Rn (A) |< C-Л «J x6-' dx = C'vA~ “ .
о
(1.26)
Так как N произвольно, то (1.14) доказано.
4. Вклад от стационарной точки. Теперь мы будем действо-
вать по тому же плану, что и в § 1, гл. II, а именно, комби-
нировать лемму Эрдейи и лемму 2.1.2 о замене переменной.
102
гл. III. МЕТОЛ СТАЦИОНАРНОЙ фазы
Теорема 1.4. Пусть I = [х0 — 6, х0 + д] — конечный отрезок
и выполнены условия:
1°. f(x)t=C~(I), sw^cra).
2°. Функция S (х) имеет при х I единственную стационарную
точку х0.
3°. S" (х0) Ф 0 (г. е. хй — невырожденная стационарная точка).
Тогда при А->+ 00
Хо + б
F (А; х0) f (х) ехр [i/.S (х)] dx ~
Хо-д
00
~exp[/AS(x0) + -^sgnS"(x0)]O	(1-27)
k-o
где коэффициенты ak имеют вид
Г ink с„, Ч1 Г (#4-1/2)	.
ak = ехр [— sgn S" (x0)j-^#)Г— X
X (5 (х, х0)-1-—-¥*(/(x)S(x, х0))|	,
7	(1 28)
S(x,xo) = V2(S(x)-S(xo))SgnS"(xo)(S'(x))-1.
Разложение (1.27) можно дифференцировать по А любое чис-
ло раз.
Главный член асимптотики имеет вид
F(Л; х0)~ д/D <*о) + о(v1)] х
Xexp[iAS(x0) + ^sgnS"(x0)]	(А-+ + 00).	(1.27')
Доказательство. Сделаем замену переменной х = Д(г/)
такую, что S (х) = S (х0) ~Ь ~2~ 1 e = sgnS"(x0) (см. лемму 2.1.2).
При этом 6 > 0 можно считать настолько малым, чтобы функции
х=ф(г/), У — Т”! (х) С ". Тогда
б2
F (А; х0) = ехр [ZA.S (х0)] ехр (-^-) f (уУ) (г/) dy.
-б
<| б2
Применяя к каждому из интегралов лемму Эрдейи, по-
лучаем, что F(А,; х0) разлагается в асимптотический ряд (1.27).
Формула (1.28) доказывается точно так же, как и формула
(2.1.26).
§ 1. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
103
Имеет место также формула, аналогичная (2.4.9):
F (X, А'о) ~ д/'л|~^(х0)| ехр [/?“5	+
+ 4SgnS"(.r0)]f -^(2_)ft(s"(x0))-ftX
Х(тг) lHx)exp(i^U, х0))] |v=Xo, (1.29)
h (x, x0) = S (x) — 5 (x0) — j S" (x0) (x — x0)2.
Доказательство будет приведено в § 2 в многомерном
случае.
Теорема 1.5. Пусть I = [х0,х0 + 6] — конечный отрезок, 6 > 0,
функции f (х), S(x)e=C°°(Z) и S(k} (х0 + 6) = 0, 6 = 0, 1, 2, ...
Пусть функция S (х) имеет на I единственную стационарную
точку х = х0 и
Sw(xo) = O, 1	1, S<m> (х0)	0,	' (1.30)
где т^2. Тогда при + оо
F (Z; х0) f (х) ехр [/ZS (х)] dx ~
х0
~ Z '"exp [r7vS (х0)] У ak^k'm, (1.31)
А = и
где коэффициенты а^ вычисляются по формуле
п 1 гР+1 УхпГ'лд<-Го)(^+‘Ну
klm V гп ) Р L 2m ] X
k	fex 1	& +1 *11
X (77) р W ~ 6 (л'о) (S W - 5 (Xo))) (x - xo) -I Lx0  ° -32)
Здесь обозначено
6(x0) = sgn S!m,(x0).
(1.33)
Доказательство. Пусть S(m) (x0) > 0 для определенности.
Сделаем замену переменной (см. лемму 2.1.2) х=ф(#) такую,
что S (х) — S (х0) = ут при малых х — х0, и к полученному ин-
тегралу применим лемму Эрдейи. Коэффициенты ak вычисляются
точно так же, как и в теореме 2.1.6.
104
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Главный член асимптотики (1.31) имеет вид
г(—)
F (А; х0) = -	< A т ехр [/AS (х0) + sgn S(m,(x0)] X
X D(xo) + О (а~™)]. (1.31')
Пример 1.3. Функция Бесселя целого индекса п^О имеет
интегральное представление
Л
/п(х) = л-1 cos (х sin ср — шр)Фр.
о
Вычислим асимптотику /„(х) при х->Н-оо и фиксированном п.
Имеем
Л
/„ (х) = л~! Re ехр (Zx simp — itvp) dtp.
о
Функция 5(ф) = 81Пф имеет на отрезке [0, л] единственную ста-
ционарную точку ф = л/2, в которой S=l, S" ——1. Поэтому
главный вклад в асимптотику дает эта точка. Из формулы (1.27')
получаем, что
/«w = V^C0S(x“2F“t) + 0^,)>
так как вклад от концов имеет порядок О(х~')-
Пример 1.4. Функция Бесселя вещественного индекса v
имеет интегральное представление
Л
(vx) = cos [v (ф — х sin ф)] йф —
о
оо
— n-'sin'vn^ ехр [— v (I -f- хsh /)] dt. (1.34)
о
Вычислим асимптотику 7v(vx) при v->-|-oo, х> 1 фиксирован-
ном. Второе слагаемое в (1.34) имеет порядок O(v_|), так как
оо
интеграл не превосходит величины e~yt dt-v^1. Первое сла-
о
гаемое в правой части (1.32) равно
Л
1 Re ехр [ZvS (ф)] с?ф, S == ф — х sin ф.
о
§ I. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
105
Стационарная точка единственна и имеет вид <Po = arccosx, при-
чем S" (фо) = д/х2 — 1, S (ф0) = arccos х — д/х2 — 1. По формуле
(1.27'),
Jv (vx) =
= л/-----2 ...- cosfv arccosx — v д/х2 — 1 -f- — + O(v_I) (1.34')
V nv V x2 — 1	\	4 /
(v-> + OO, x > 1).
Вычислим асимптотику /V(v) при v—>-|-oo. Имеем
Jv (v) = Д-1 Re exp [ZvS (<p)] dcp + О (v-1),
S — ф — sin <p.
Стационарной точкой является точка <р = 0, причем S (0) =
= S" (0) = 0, 3"'(0) = 1. Применяя формулу (1.31'), получаем
Г (I)
К<У) = 22/з31/6--^|/3 + O(v-2'3)	(v->+oo).
Рассмотрим пример, когда функция f (х) имеет логарифми-
ческую особенность в стационарной точке функции S (х).
Лемма 1.4. Пусть f (х) е С” ([0, а]), где 0 < а < 1, обра-
щается в нуль при х = а вместе со всеми производными, и а > 0,
Р > 0. Тогда при Л -> -ф оо
^(Л) н= f (х)х0-1 lnxexp(z7vxa) dx~ (-4 а > (1-35)
О	k = 0
аИ^) = а-2г(-^±)[- 1пЛ + ф(-Ц^) +4]><
ХеХр[^Шк]^1-, (1.36)
где ф (х) = Г' (х)/Г (х).
Главный член асимптотики имеет вид
»лЗ	.
Г(Л) = -а-2е 2а Г (p/а) In Л [/(0) + О	(1-35')
Доказательство. Повторяя те же рассуждения, что и
в доказательстве леммы Эрдейи, получаем, что
= £	+	(1.37)
fe=0
106
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
где уд,-»- 4~ оо при ,V—>оо,
Ч*/(^) = хр+*ф (х) In х ехр (t’A.x“) dx.
о
Снова заменим контур интегрирования на Ц U k U Z3; тем же спо-
собом, что и в лемме 1.2, можно показать, что интеграл по
/2 U l-s имеет порядок О (V°°), а интеграл по Z, равен
ехрр^] $	(in у + (£-) dy.
о
Разобьем этот интеграл на два: Л + /2, где Ц содержит In у,
а 12 содержит К первому из них применим лемму 1.2,
а ко второму — лемму Ватсона, тогда
/, + /2 = а-2Г (-Ш) [— In Л, + гр (-Ш) + -£-]	+ О(е-П
Подставляя полученные выражения в (1.37), получаем (1.34),
(1.35).
Задача 1.5. Пусть условия леммы 1.4 выполнены, у — вещественное
число. Доказать, что при Л -> + оо
а
f (х) хр"1 (In л-)7 ехр (?Лха) dx =
и
= _ е~а-2г (J.) р(0) + 0 (_J_)jx-T(lnMV. (1.38)
5. Более сложная зависимость от параметра. Рассмотрим
интеграл, содержащий дополнительные вещественные параметры
а = (аь ..., ak):
F (Л, а) = f (х, а) ехр [iz.S (х, а)] dx,	(1.39)
а
и докажем результат, аналогичный теореме 2.2.1. Пусть й — об-
ласть в Ra, / = [а, 6] — конечный отрезок. Введем условия:
Ар Функции f, S е С( [Z X ^]) П С°°(/X Й), функция S(x, а)
вещественнозначна при (х, а) е IX Й.
А2. При каждом фиксированном а е й функция S (х, а) имеет
единственную критическую точку х0(а)е/. Эта точка невы-
рождена,
|S" (х0(а), а)|>д0>0, а ей,
§ I. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
107
и лежит строго внутри I, т. е. х0 (а) е Г = [а', Ь'], а < а' <
< Ь' < Ь, при всех а е Q.
А3. D*f (х, а) = 0 при х = а, Ь; а е 9, k — 0, 1, 2, ...
Теорема 1.6. Пусть условия А, — А3 выполнены. Тогда для
функции F (А, а) справедливо асимптотическое разложение (1.27)
при А, --> + оо равномерно по Ж, где Ж — произвольный ком-
пакт, лежащий внутри Q. Это разложение можно почленно диф-
ференцировать по А и по а любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
F(A, а)=	/Я' ;- --Г[Их0(а), а) + О (/Г1)] X
X exp[z’AS(x(l (а), а) + sgn S". (х0 (а), а)], (1.40)
где О (А-1) равномерно по а е Ж.
Доказательство почти дословно повторяет доказатель-
ство теоремы 2.2.1. Как показано в этой теореме, достаточно
рассмотреть случай, когда хо(а) = О, 3(х0(а), а) = 0 при aeQ.
Из условия А2 следует, что 6 (а) = sgn S''x (х0 (а), а) есть кон-
станта при usQ; пусть d (a) = -J- 1 для определенности. Пусть
6>0 выбрано так же, как и в теореме 2.2.1, /а = [— б, 6].
Устроим разбиение единицы: 1 = <р0 (х) + <pj (х) + <р2 (х), х е
е (— оо, оо), где <р0(х)=1 при хе/б/2, <ро(х) = О при |х|^6, и
фиксируем область Qo, такую, что [Qo] cz Q. Тогда при х ё 1&/2,
a е [Qo] имеем | S"v(x, а) |^с > 0 и, интегрируя по частям точно
так же, как и в лемме 1.1, получаем, что при любом А^О
f(x, а) ф;-(х) ехр [z’AS (х, a)] dx = О (A~v),	/=1, 2,
—- оо
равномерно по «е [Qo], Здесь функция f продолжена нулем
вне 7. Делая в интеграле, содержащем ф0(х), замену переменной
у — -фЭ(х, а), получаем интеграл
F0(A, a) = ехр (z’Az/2) ф (у, a) dy,	(1.39')
/(a)
где функция
Ф = fix (у, а), а) ф0 (х (у, а)) х'у (у, а)
бесконечно дифференцируема по (у, а) при у е 7(a), ae[Qn],
и обращается в нуль вместе со всеми производными на концах
отрезка 7(a). Повторяя доказательство леммы Эрдейи для ин-
теграла (1.39'), получаем утверждение теоремы.
108
ГЛ. Ш МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Задача 1.6. Доказать, что асимптотическая формула (1.34') для функ-
ции Бесселя пригодна при v-> + оо, 1<а^х^6. равномерно по х
(числа а. Ь фиксированы).
Пример 1.5. Рассмотрим интеграл
оо
т) (t, x) = -^-^ e-2v<ft2cosx£cos/ л/gk dk.
и
Здесь г) — профиль волн, вызванных сконцентрированным в на-
чале координат поднятием жидкости площади S, на свободной
поверхности жидкости в канале бесконечной глубины. Далее,
t — время, х — пространственная переменная, v — кинематическая
вязкость и g — ускорение силы тяжести.
В работе [63] с помощью ряда линейных замен переменных ц
приводится к виду
| = 2 ие~^и‘ cos (xu2) cos (tu) du,
о
где £ пропорциональна rj, и вычисляется асимптотика на кри-
вых x = cta,	при различных а. Мы Модифицируем это
решение. Делая замену и—>С|/4и, получаем
g = rl/2Re(/+ + 7_),	(1.41)
оо
1± = j ф (u) ехр [fi3/4S± (и, a)] du,
о
где обозначено
ф(п) = ие-2и, а = хГ5/4,	S±, — ui:au2. (1-42)
Точки и±(а) = + 1/(2сс) являются стационарными точками фазо-
вой функции S±. Параметр а может быть и большим, и малым.
Стационарные точки и± лежат далеко от начала контура и = 0
при а< 1 и лежат близко к этой точке при а > 1.
1°. а—>0. Положим /± = /± +/±, где — интеграл по от-
резку [о, Тогда при а—>0
оо
I /(±’ I < 5 ue~2Ut du ~	= О (е-Са“‘) (С > 0).
1/4а
(Здесь и далее С, С{ — постоянные, не зависящие от х, t.) Ин-
тегрируя /+’ по частям дважды (так как ф(0) = 0), как в дока-
зательстве теоремы 1.1, получаем
;о> = -/-3'2[1 + о(г3/4)].
§ 1. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
109
Следовательно,
I = Г2 [1 + О (Г3'4)] + Г1/2 О (ехр (- Cf/x4))
(/->4-°°, /5/х4-><х>).
(1-43)
2°. а е I, где / — конечный отрезок, 0 е /. В этом случае
интеграл 1+ по-прежнему имеет порядок О(/-32), равномерно
по а е I, так как | s'u (и, а) | С > 0 при всех и 0, а е I. Асимп-
тотика интеграла по теореме 1.5, равна вкладу от стацио-
нарной точки и- (а); этот вклад имеет порядок, больший чем /+.
Окончательно получаем
„ /Ул ( х4 \ Г (t2 л \ , г-./.-зйчТ
Е, = —ехр----------) cos I -----— | + О(t 1 )
2х3/’	k	8/5/L к4л'	4/ v 'J (1.44)
(/ —> 4~	°°,	0 < Р1	< /5/х4	р2 <	оо)
равномерно по а.
3°. а—> 4~ °°- В этом случае стационарные точки w±(a)—>0,
т. е. «садятся» на конец контура интегрирования, так что ос-
новной вклад в асимптотику Z± вносит окрестность точки и = 0.
Сделаем в интеграле | замену переменной u-+ut[x, тогда
?=(т)2кеЛ + '->-
Г°°	(1-45)
/± = \ и ехр (— 20ц4 ± iXS± («)) du,
о
где обозначено
Х = /2/х,	0 = х4//5, S± = и ± и2,
и₽- малый параметр. Рассмотрим два случая:
а)	Х->4-°°. Тогда основной вклад в 1± вносят точка м = 0
и стационарная точка и =1/2 соответственно. Имеем
i+ = (/%)-2[1 + о (х-1)],
/-=I л/те-е/8е‘ [I + 0
так что
t л/л (	( t2 Jt\.r./X\|r>/X4\T
I = —vT cos--------) 4~ 0 | — 4- o —)
b 2x3/2 \	\4x	4? k t2 J ' k ts J]	(1 4g.
(4-+- 4-°)-
по
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Ь)	Х->0. В этом случае оба параметра X, 0 в интеграле (1.45)
являются малыми. Преобразуем £ к интегралу, содержащему
большой параметр, делая замену u-+ult; тогда
£ = Re(Z+4-ZL),
Т+ = 21~'2 «ехр ( —	+ iu} ехр (± -y^-u2) du.
о
В данном случае х//2—> + <х>, обе фазовые функции имеют точку
стационарной фазы и = 0, и мы получаем
=	+	(1-47)
Полученные формулы (1.44), (1.46), (1.47) не решают постав-
ленной задачи полностью, так как остаются пограничные зоны,
в которых асимптотика, вообще говоря, выражается через спе-
циальные функции (см. гл. VI).
Докажем аналог теоремы 2.2.2. Рассмотрим интеграл
Ь (А.)
F(X) = f (х, %) ехр [i’S (х, Л)] dx,	(1-48)
а (М
где a, b, f, S — вещественнозначные функции. Введем условия:
А4. Функция S (х, %) при Л 1 имеет единственную стацио-
нарную точку х = х0(Х), которая невырождена при X» 1.
А5. Существует функция р(Х)>0 при 1 такая, что
р2 (X) SxX (хо (X), X)—>4-оо	(Л—>4- 00),	(1-49)
SL (хо (X), X) - S''x (хо (X) + h, X) =
= о [(р (X))-3 (S’tx (хо (X), Х))-,/2] (1.50)
при Х-> + °о, | h | С р (X).
Теорема 1.7. Пусть условия А4, А5 выполнены. Тогда
xt (Л)+р(Х)
ехр [iXS (х, X)] dx ~
Xt (X)-О (А)
~ л/.- /~Ъ'ЛехрР5(х»<Л)’ Л) + -т1	(X—*--(-оо). (1.51)
V (*0 W’ л) L	4 J
Доказательство. По формуле Тейлора имеем при
х «= (х0 (X) — Р (X), х0 (X) + р (X))
S (х, X) = S (х0 (X), X) + ~ S''x (ф (х, X), X) (х - х0 (X))-,
Iх0(Х) — ф(х, Х)Кр(Х).
§ t. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
111
Далее, из (1.49) следует, что при А,—>-4-00
о(Х)
(L52>
_р-(Л)	“	J	V Sxx (х0 W>
Поскольку | 1 — ег0|^|0| при вещественных 0, то
о (А.)
ехр [у Sxx (х0 (А), Л) х2] — ехр [у S’ix (ф, X) х2] dx <
-Р (А>
1	(А)
11	- ехр (S"x (х0 (X), Л) - SL (Ф (х, А.), А))] | dx
-р W
<|p3W|S"x(x0(A), А) -5^(ф, А)| =
= o(|S''x(x0(A), А)|-1/2)	(А->-
6. Асимптотика главных значений интегралов. Рассмотрим
ь
интеграл	dx, где а, b > 0. Подынтегральная функция
—а
имеет особенность в точке х = 0, если ф(0)=И=0, так что этот
интеграл, вообще говоря, расходится. Главным значением (v. р.)
по Коши этого интеграла называется предел
G- 8	Ах	Ь
+ H^rfx = v. р. J-^dx. (1.53)
u	е '	—а
Этот предел существует, если функция ф(х) дифференцируема.
Для симметричного	интервала [—	а,	а]	имеем
а	а
v.p.	j	Ф(4-<Р(0)	(1.53')
—а	—а
Пусть функция ф(х) голоморфна в некоторой комплексной
окрестности | х | < R точки х — 0, и пусть it — контур в ком-
плексной плоскости х, состоящий из отрезков [—а, —в], [е, 6],
и полуокружности у+: | х | = е, Imx^O, где 0 < е < R. Тогда
lim ( <р(--> dx — lim f	ф- 0^^-dx + lim ^-^-dx =
е-»+9 J х	e-»+uV J J x	e-»+o J x
,+	'-о в '	+
ve
= v. p.
j ^t-dx — я<ф(0)
— a
112
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
(знак минус берется потому, что полуокружность у+ ориенти-
рована по часовой стрелке). Но по интегральной теореме Коши
интеграл по контуру it не зависит от е при 0 < е < R. Следо-
вательно, при малых е > О
ь
v. р.	dx— ф dx ш'ф (0).	(1-54)
—а	,+
1г
Аналогично, если It — контур, симметричный с it относительно
вещественной оси, то при малых е > 0
ь
v. р.	dx = dx — ш'ф(0).	(1.54')
'Г
Лемма 1.5. Пусть f (х) е Ct (R). Тогда при X —> + <х>
оо
V. р. $ e±/x7(x)^=±m7(0) + o(v°°).	(1.55)
— оо
Доказательство. Пусть для определенности интеграл
содержит е1>'х. Введем функцию rj (х) е Ct (R) такую, что ц s 1
при | х | < 6, и преобразуем подынтегральное выражение в рас-
сматриваемом интеграле F (л) следующим образом:
eiKxf (х) = eiKx [f (х) — г] (х) f (0)] + eaxri (х) f (0).
Тогда
оо
F (л) = J еЛх 1(-х) ~ ^(х)-f (0) dx +
— 00
оо
+ V. р. f (0) J eiKx dx — F, (X) + F2 (X).
— оо
Функция ф (х) = х-1 [f(x) — Л (х) f (0)] финитна и тождественно
равна нулю при малых | х |. Следовательно, Ft (X) = О при
Л->-)-оо в силу леммы 1.1. Далее, подынтегральная функция
в F2(K) голоморфна при малых комплексных х, так что в силу (1.54)
F, (Л) •= f (0) J etKx dx + mf (0),
it
если в > 0 достаточно мало. Фиксируем е. Интегрируя по частям
и учитывая, что функция г) обращается в нуль на концах
§ 1. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
ИЗ
контура it вместе со всеми производными, получаем, что при
любом целом этот интеграл равен
.+
е
Так как Imx^O на it, то |<?u* |	1, и мы получаем оценку
| А2 (К) \^.CnK~n (напомним, что е фиксировано). Лемма доказана.
Теорема 1.8. Пусть f (.г) е Cf (R), 3 (х) е С°° (R), функция
S (х) вещественнозначна и S'(0)#=0. Тогда при
v. р.	ехр [z’ZS (х)] dx —
— оо
= nif (О)ехр [/AS (0)] sgn S' (0) + О (А. °°). (1.56)
Это разложение можно дифференцировать по К любое число раз.
Доказательство. В силу принципа локализации можно
считать, что S' (х) =/= 0 на suppf; пусть S' (х) > 0 для определен-
ности. Сделаем замену переменных S(x)—S(0) =/; пусть х = ф(/).
Тогда рассматриваемый интеграл F (А) примет вид
оо
F (Л) = e'AS(0) v. р. ем dt,
— оо

функция f * (/) <= Со° (R). Так как lim = -Д-1	= S'jO), то f (0) =*
t-+o х ах lf=0
= ((0), и (1.56) следует из (1.55). Аналогично рассматривается
случай S' (х) < 0.
Покажем, что асимптотические ряды можно интегрировать
почленно и в том случае, когда интеграл берется в смысле
главного значения.
Лемма 1.6. Если <р(х)еС’[—а, а], то справедлива оценка
^-dx
X
v’ р‘ J
— а
2а max | ср' (х) |.
х е [— а, а]
(1-57)
Доказательство. При х^[—а, а] имеем по формуле
Лагранжа ф (х) — ф (0) = хф'(g), |е[— а, а]. Оценка (1.57) сле-
дует из (1.53').
114
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Рассмотрим интеграл
F (А) = v. р. \	’--1 eas м dx.
(1.58)
Пусть
1°. f(x, А) е Ст при xsR, A^l; f = 0 при | х |а.
2°. S (х) е С°° при | х | a, S' (х) #= О, S — вещественнозначная
функция.
3°. При любом целом N ^0 справедливо разложение
N
f(x, А)= £ ^kfk(x) + ^-lRk(x, А),	(1.59)
k = d
где fk (х) — бесконечно дифференцируемые функции, Цх)^0
при |х|^а, и для остаточного члена справедлива оценка
|/?iv(x, Л)|^Сдг, /?х(х, А) | C'N
при | х | а, А Ао > 1.
Теорема 1.9. Пусть условия 1° — 3° выполнены. Тогда при
А -> + оо справедливо асимптотическое разложение
F(A)~exp[zAS(O)]rasgnS'(O) £	(0) А~*.	(1.60)
k=‘d
Доказательство. Теорема 1.7 применима к каждому из
ОО
интегралов j x~lfk(x)elKx dx, а для остаточного члена в силу
леммы 1.6 справедлива оценка
A-JV~
а
j ехр [z’AS (х)] х~' 7?м(х, A) dx
— а
^-n~\KCn + C'n).
Теорема 1.10. П усть f (х) е С“ (R), S(x) sC"(R), функция S
вещественнозначна. Пусть S' (0) = 0, S"(0)=/=0 и фаза S не
имеет других стационарных точек на supp f.
Тогда при А->4~ °° справедливо асимптотическое разложение
оо
F (A) s v. р. f (х) ехр [z’AS (х)] dx ~
~exp[iAS(0)]A-1'2 £ akk~k. (1.61)
k-0
Это разложение можно дифференцировать по А любое число раз.
§ I. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ
115
Главный член асимптотики имеет вид
F (А) = А"1/2 ехр [zAS (0) +	sgn S" (0)] X
xViyw[f'(0)-ST5r?(<,’+o<v,4- <l61'>
Доказательство. В силу принципа локализации можно
считать supp f настолько малым, насколько это необходимо.
Пусть для определенности S"(0)>0. Сделаем замену перемен-
ной S (х) — S (0) = t2, х = <р(0, тогда рассматриваемый интеграл
равен
F (А) = ехр [z’AS (0)] v. р. eikt’  dt,
— оо
где обозначено
Функция f (0 е Со° (R). В силу (1.53х) имеем
F (А) = ехр [z’AS (0)] $	t} dt.
— а
Функция <р (0 = (20-’ [Г (0 - г (- 0] е Со” (R), ср (0) = ft (0). При-
меняя теорему 1.4, получаем асимптотическое разложение ин-
теграла F (А). Главный член асимптотики равен exppAS(0) +
+	ф(0).
Вычислим <р (0) = df* (O)/dt. Имеем
S(x) = S(0) + -^ + ^-+ ..., f(x) = f0 + flX+ ...
(многоточием обозначены члены более высокого порядка ма-
лости). Далее, при малых t имеем
Г(;)=^±^д=?о + (?1_^?о)х+...
Так как х ~ д/~ t ПРИ /->0, то получаем (1.6Г).
Замечание 1.2. Рассмотрим интеграл
оо
F (А, а) = V. р. ДдДк еХр J/XS (х, а)] dx,
116
ГЛ. Ш. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ фазы
содержащий вещественные параметры а = (аь ..., а„). Пусть f, S
бесконечно дифференцируемы по (х, а) при — оо < х < оо,
а е Q, f(x, а) = 0 при |х|^а и при всех а ей.
Тогда теорема 1.8 остается в силе для интеграла /•'(Л, а),
если | S'x (х, а) |	> 0 на supp f, где 6 не зависит от (х, а).
Аналогично обстоит дело с теоремой 1.9. Теорема 1.10 остается
в силе, если Si(0, а) = 0 при всех а и | Sxx (х, а) | б > 0
на supp f.
§ 2. Метод стационарной фазы в многомерном случае.
Вклад от внутренней
невырожденной стационарной точки
1. Вклад от невырожденной стационарной точки.
Лемма 2.1 (принцип локализации). Пусть f (х) е СТ (й),
S (х) <= С°° (й), функция S (х) вещественнозначна и
S'x(x)^0, хе supp f.	(2.1)
Тогда для любого целого	существует постоянная CN
такая, что при К 1 выполнено неравенство
f (х) ехр [z’ZS (х)] dx

(2.2)
Здесь ||f ||c.v(O) = max X I Daf (x) |.
Доказательство. Пусть /.—дифференциальный опе-
ратор
L = |S'(x)r2f	(2.3)
О Л j \J Л а
/=| 1 1
Тогда справедливо тождество
L (ez*s W) = i^s (X).	(2.4)
Если F(М — интеграл (2.1), то, интегрируя по частям, полу-
чаем
F (X) = -1- j f (х) L (eiKS dx = -~\fL(f (х)) e^s w dx, (2.5)
Я	Q
так как внеинтегральная подстановка обращается в нуль в силу
финитности функции f. Здесь *L — формально сопряженный
п
к L оператор: 'Lf = У'
7=1
— f| S'x (х) | 2 Л. Следовательно,
§ 2. МНОГОМЕРНЫЙ случай
117
|F(^)KC1^-'||f ||с, (Q). Повторяя интегрирование по частям еще
N — 1 раз, получаем (2.2).
Таким образом, в условиях этой леммы F (К) — О (Х-00)
(л -+ + оо).
Из леммы 2.1 вытекает тот же принцип локализации, что
и в одномерном случае (см. § I, п. 2).
Пусть Я3(R”) — пространство Л. Шварца; его элементами
являются функции f (х) е (Rra), которые при |х|->оо убывают
быстрее любой степени | х | вместе со всеми своими производ-
ными.
Предложение 2.1. Если функция f(x)e^(R(J), то ее
преобразование Фурье f (£) е (R^).
Доказательство. По условию, для любого N и для
любого мультииндекса а существует постоянная CN>a такая,
что
l^fWl^.Jl+Ixir", xeR".
Имеем
Dff (I) = j exp (i (x, |>) • ga (x) dx,
Rl
ga W = • • • ХУ (*) e (Rn)-
Интегрируя M раз по частям так же, как и в (2.5), и учи-
тывая, что внеинтегральные подстановки на бесконечности
обращаются в нуль в силу быстрого убывания функции ga,
получаем
z п	\ М
Dtf (|) == 11Г2М J ехр (г (х, £)) ( £	-— J ga (х) dx.
R?	Ч/=1	7
S
Следовательно, при |£|>1 справедлива оценка
Cu, м 11 Г'И, что и требовалось доказать.
Теорема 2.1. Пусть Q е R'1—конечная область, f (х) е С™ (Q),
S (х) е С°° (Q). Пусть функция S (х) вещественнозначна и имеет
в области Q единственную и притом невырожденную стацио-
нарную точку х°. Тогда при	справедливо асимптотиче-
ское разложение
оо
F (Z) = j / (х) ехр [Z/.S (x)J dx ~}E~nl2 ехр [z%S (х0)]	akK~k. (2.6)
и	ьо
Это разложение можно дифференцировать по К любое число раз.
118
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Выпишем главный член асимптотики:
F (X) = ехр [aS (х°) + 4 sgn 5"х(х0)] X
X I det S"x (х°) Г1/2 [f (/) + О (X-1)].	(2.6')
Здесь используется обозначение: если А — вещественная
симметричная невырожденная матрица, то
sgn А = v+ (Л) — v- (Л),
где v+ (Д) (v_ (Л)) — число положительных (отрицательных) соб-
ственных значений матрицы А.
Доказательство. По лемме Морса, функцию S (х)
в малой окрестности точки х° можно с помощью гладкой замены
переменных х = ср (у) привести к сумме квадратов:
(5оф)(1/) = 5(х0) + 4£е.^ (Л = ±1).
/“I
Вектор-функция х = ср(у) диффеоморфно отображает некото-
рую окрестность V точки у = 0 на окрестность U точки х°.
В качестве V выберем куб вида	Далее,
в силу принципа локализации можно считать, что f(x) = O
вне U.
После замены переменных получаем, что
С	Г	/	\
F (Л) = ехр [aS (х0)] j ... J ехр(If (у) dy + О (Л,-°°).
-в	-в	'	/-1	'
(2.7)
Применяя к полученному интегралу теорему 1.5, последова-
тельно по переменным уъ у2, ..., уп (сравните с доказатель-
ством теоремы 2.3.1!) получаем (2.6).
Главный член асимптотики имеет вид
п
ехр [aS (х0)] Г (0) Д
/=1
оо
— оо
„ / ч п/2
= ехр [aS (х0)] (—)	ехр
’ п \
^-£е/lH.r°)det<p'(O).
/=i	/
Из этой формулы и леммы Морса 2.2.3 следует (2.6').
§ 2. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
119
Следствие 2.1. В условиях теоремы 2.1 для любого це-
лого jV^O существуют постоянные CN, a:V такие, что при
справедлива оценка
F(A)-A~~exp[/AS(x0)] £ a^-k <C(2.8)
bo	 ' '
Коэффициенты ak разложения (2.5) имеют вид
ak = (M2kf)(^),
где M2k — линейные дифференциальные операторы порядка ^2k.
В виду важности теоремы 2.1 приведем другие варианты
ее доказательства. Достаточно ограничиться случаем, когда
supp f есть малая окрестность точки х°, detS"x(x) =й= 0 на supp f.
Применяя формулу (2.3.24), получаем одномерный интеграл
оо
F (А) == ехр [/AS (х0)] eAcOf(e)dc
— оо
(интеграл в силу финитности функции f берется в конечных
пределах). Из предложения 2.3.3 следует, что Ф^(с)~
~ сп!'2 У, q>kCk (с -> 0) и что Of (с) s Со° (R”), откуда в силу
леммы Эрдейи следует (2.5). Третий вариант доказательства
основан на равенстве Парсеваля
j ф(х)ф(х) dx = (2n)~n $ ф(£)ф(—£)d£.	(2.9)
r"	r"
Здесь ф (g) — преобразование Фурье функции ф(х):
Ф(£) = Ь->&ф (х)= J ф(х)ехр[—i(x, |)]dx.	(2.10)
Rrt
Применяя лемму Морса, получаем (см. доказательство тео-
ремы 2.1)
F (А) = ехр [iXS (х0)] ехр [-j- (Ау, «/>] f * (у) dy + О (А"00),
и
где U — малая окрестность точки у = 0, А — вещественная не-
вырожденная симметричная матрица. Применяя равенство Пар-
севаля (2.9) и учитывая формулу (2.3.16), получаем
F (А) = ехр [/AS (х0)] (-у-) ехр sgn /1] / (А),
/(А)= j ехр[^-(Д-'|, 0]Гт-
r"
120
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Теперь экспонента, стоящая под знаком интеграла, содержит
малый параметр V1. Разложим ее по формуле Тейлора:
зг(4)‘(л-|6,р* + Лл.а,Л).
k = 0
Из оценки
fe=0
Jz|
PV + 1)!
(Rez^O)
следует, что
| R„& М	|2CV+1),
CN—постоянная, так что
R™
< CNK~N~' J | g |2 (ЛГ+1> I Г (б) I
R"
Последний интеграл сходится, так как функция f*(g) принад-
лежит пространству Шварца & (Rn). Окончательно получаем
7 (Л) — У, а-,,). О (л )	(А, —> -|- оо),
/г = 0
что и доказывает теорему 2.1.
Приведем формулы для коэффициентов разложения (2.5),
аналогичные формулам (2.4.9). Положим
Hs(x0) = S''x(x°), As(x°) = det/7s(x°)	(2.11)
и введем дифференциальный оператор
T=A-(Hs-!(x°)Vx, VJ	(2.12)
Предложение 2.2. Пусть условия теоремы 2.1 выполнены.
Тогда при и при любом k 1 справедливо разложение
F = (^у121 Дз Г'/2 ехР [-Т s§n X
X Е ^7Г L> W exp [as (x, x°)]) |x=x, + K-a^Rk (M,
/=o
aft = -^ + A: ~[4]-	(2-13)
Здесь обозначено
S (x, x°) = S (x) — S (x°) — {Hs (x°) (x — x°), x — x°),	(2.14)
§ 2. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
121
и для остаточного члена справедлива оценка (при А,^1)
(2.15)
при некотором у = у (k) < оо.
оо
Доказательство. Рассмотрим формальный ряд
о
полученный из (2.13) заменой k на + оо. Так как функция
S(x, А'°) имеет в точке х° нуль порядка ^3, то X/(А) есть по-
лином степени С [2//3]. Переразлагая этот ряд по степеням Г1,
оо	оо
получаем У, (Л) = У, арГ1 (равенство формальных степен-
0	о
ных рядов) и формальное разложение
F (К) « ехр [/Z.S (х0)] /Лга'“ У
о
Покажем, что а^ — а^
Пусть п=\. Тогда для интеграла Лапласа (2.11) справед-
ливы асимптотические разложения (2.1.24) и (2.1.25). Асимпто-
тическое разложение (1.27) для интеграла Фурье получается
из (2.1.24) формальной заменой
Vl S"(x°)j VlS"(x°)l ехр [-£ sgn S" (х°)].
Разложение (1.29) получается из (2.1.25х) с помощью той же
формальной замены. В силу единственности асимптотического
разложения по степеням /Л1 предложение доказано при п—1.
Поскольку разложение (2.5) получается в результате последо-
вательного применения метода стационарной фазы к одномер-
ным интегралам, из (2.4.9) следует (2.13).
Сумма, стоящая в правой части равенства (2.13), содержит
все коэффициенты а>, при k < п/2 -J- ak. Отправляя в остаточный
член все слагаемые вида const/Л "г,	и учитывая (2.8),
получаем (2.15).
Пример 2.1. Пусть — вещественные числа, отличные
от нуля, f (х) s Со° (R"). Тогда при А -> оо справедливо асимп-
тотическое разложение
122
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Метод стационарной фазы очевидным образом распростра-
няется на интегралы от дифференциальных форм по многооб-
разиям. Именно, пусть Мп есть «-мерное С“-многообразие, ю"
есть С°°-форма размерности п на А4п и S:	R — функция
на Мп класса С°°. Рассмотрим интеграл
F(X) = j eiKsa>n.	(2.16)
мп
Если Мп — некомпактное многообразие, то потребуем дополни-
тельно, чтобы форма со" имела компактный носитель. Опреде-
ления критической и невырожденной критической точки вводятся
стандартным образом. Именно, пусть точка Р°^Мп, (щ, ...
. . ., ип) — и — локальные координаты в окрестности этой точки,
(м“, ...,	— координаты Р°. Тогда S — S(u). Точка Р° назы-
вается критической, если S'u (и0) — О, и невырожденной, если
det S„„ (tz°)y=O. Нетрудно проверить, что эти определения инва-
риантны относительно выбора локальной системы координат.
Если на supp со" нет критических точек функции S, то F (Л,) =
= О(Л-”) (Л.—>•-|-оо). Это доказывается с помощью разбиения
единицы, перехода к локальным координатам и применения
леммы 2.1. Для вклада от невырожденной стационарной точки
справедливо асимптотическое разложение (2.6).
2. Дополнительные параметры. Как правило, фазовая функ-
ция зависит от дополнительных параметров. Если при измене-
нии параметров стационарная точка остается невырожденной,
то разложение типа (2.6) остается в силе. Приведем соответ-
ствующие достаточные условия.
Пусть a = (<Xj ..., am), Qx, Qa — ограниченные области в R",
R™ соответственно. Рассмотрим интеграл
F {К, а) = f (х, а] ехр [i/.S (х, а)] dx.	(2.17)
Сформулируем дифференциальные условия на функции /, S.
1°. f, S е С” (Qx X йа), фаза S вещественнозначна.
2°. Существует компакт	такой, что f(x, а) = 0 при
Ct Qa, % 'ТКо-
Сформулируем условия на стационарную точку фазы, т. е.
на решение уравнения
S'x (х, а) = 0.
(2.18)
3°. При каждом	фаза S (х, а) имеет единственную
и притом невырожденную стационарную точку х° (а) е Q^.
§2. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
123
Теорема 2.2. Пусть условия Г—3° выполнены. Тогда при
любом целом справедливо разложение
__п	N
F(k,a)=k 2 ехр [iZS (л'° (а), а)]	(а) 'rRN(k,a). (2.19)
/-о
Пусть Л' cz йа— компакт, а е Ж, Z^l. Тогда для остаточ-
ного члена справедлива оценка
I D^dIrn (Z, а) I < CN, в, Y (Ж) ^'V-1+l 0 l+v. (2.20)
Здесь постоянная С не зависит от а, А и 0, у — любые муль-
тииндексы. Коэффициенты а, (а) == [M2l (х, a, Dx) f] (х°(а), а), где
M2j — линейные дифференциальные операторы порядка 2/.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
Ж —• шар вида |а— а°|^р, лежащий в й; после этого теорема
будет следовать из леммы Гейне — Бореля. Положим Ж — х°(Ж)
и выберем области V2 cz й, такие, что КсУ,, [1Д] cz V2.
Устроим С°° — разбиение единицы: 1 =<р, (х) + <р2 W, где <pj (x)sl,
хеГ,, <pj (х)	0, x&V2, и соответственно представим К(А, а)
в виде К] -j- F2. Оценим интеграл F2. Применяя тождество (2.4),
получаем
F2 = 4г eiKS И (fq>2) dx.
If* J
Так как supp q>2 не пересекается с Ж и при а е Ж,
х^Ж, то | VS(x, а) | 6 > 0 при х е supp qp2, и^Ж. Следова-
тельно, | Д (/ф2) I const при гей, а^Ж, так что | F21 «С CZ-1
при Z^l, а е Ж. Повторяя интегрирование по частям, полу-
чаем: для любого целого А''^0 существует постоянная CN
такая, что \F2\^.CNk~N (A^l, а е Ж}. Так как дифферен-
цирование F2 по Z, а приводит к интегралу того же вида, то
такие же оценки имеют место для всех производных по Л, а
функции F2.
В интеграле F, сделаем замену переменных x = h\y, а) (см.
п
лемму 2.3.3) такую, что (S ° h) {у, а) = Е ±^ + $(х°(а), а).
Тогда интеграл F\ примет вид
/ п \
F\ = ехр [/ZS (х° (а), а)] j ехр I ZZ Е ± yjj f* (у, а) dy.
' /-1 '
Применяя к этому интегралу метод стационарной фазы
последовательно по переменным ух, .... уп (см. теорему 1.5),
получаем утверждение теоремы.
124
ГЛ. Ill МЕТОЛ СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
§ 3. Применения многомерного
метода стационарной фазы
1. Вывод законов геометрической оптики. Пусть .0—конечная
область в Rs с гладкой строго выпуклой границей Г, точка уа
лежит вне Г. В приближении Кирхгофа задача о дифракции
поля точечного источника, расположенного в точке у0, на иде-
ально отражающем теле D, ограниченном поверхностью Г,
приводится к вычислению интеграла (см. [43], [48])
v k>=5 5 [- g ^гх g (х’у}+°(х>у} £-х g {х’ dY-(з-
г	х	х
Здесь d? — элемент поверхности Г, д!дпх — производная по
внешней нормали к Г в точке х, G = —-^elkr, г = | к — у |,
точки у, у0 лежат вне Г и v (у, k) есть отраженное поле. Нас
интересует коротковолновое приближение, т. е. асимптотика
v (у, k) при /?->+оо. Применим метод стационарной фазы.
Фазовая функция S имеет вид S (х) = | к — у° | + | х — у |.
Поверхность уровня S (х) = С | у — у°) есть эллипсоид вра-
щения с фокусами в точках у, у°. Точка х° е Г тогда и только
тогда является стационарной точкой фазы на поверхности Г,
когда эллипсоид S (х) — | х° — у(> | + | х° — у | касается поверхно-
сти Г в точке х°. Пусть х° = х° (у, у°) — та из стационарных
точек, для которой величина S (х°) минимальна. В силу строгой
выпуклости Г имеется только одна такая точка. Вычислим
вклад от этой точки (кстати, вклады от остальных стационарных
точек не имеют физического смысла).
Проведем плоскость л через точки у°, у, х°; тогда нормаль
п — пхо будет лежать в этой плоскости. В силу известного
свойства эллипса п образует равные углы 6 с лучами, соеди-
няющими х° с у и с уй. (Для читателя, знакомого с геометри-
ческой оптикой, это утверждение звучит так: угол падения
равен углу отражения.') Введем в окрестности точки х локаль-
ную декартову систему координат (zb z2, z3). Начало координат
поместим в точку х°, ось z3 направим по нормали к п, ось zt
поместим в плоскости л. Уравнение Г примет вид
z3 = — zf — bztz2 — ~ z| + . . .,
где многоточием обозначены члены степени 3. Здесь а > О,
с > 0, ас — Ь2 > 0. Кроме того, dV — [1 + О (z2 + z^j dz{ dz2
при малых | z |. Так как нас интересует только главный член
асимптотики, то мы можем ограничиться квадратичными по zb
г2 членами в разложении Тейлора функции S. Введем обозна-
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
125
чения: гх = | у — х° |, г2 = | у0 — х° |, 0 — угол между осью z3 и
вектором у — х° (о < 0 <	. Тогда при малых | z |, геГ,
имеем,
| х — у | — [г- + I 2 |2 — 2t\zx sin 0 — 2r,z2 cos 0]1/2 =
Z~, COS' 0 + z~, Z,
= H + —-2-........ - -^COS0+
ZC j	z
и аналогичная формула справедлива для |х— у°\. Оконча-
тельно получаем
5 = Г] + г2 + 4	[(77 + 7г) cos2 0 — 2а cos 0] +
+ z2	—Н у-) — 2с cos 0^ — 2zxz,,b cos 0 j + ...
Следовательно, гессиан функции S в точке х° равен
e-ik | х-у | PGS-h.y.l. = e-ik I х-у \ikQ (хо d.l*0 У\ +О(1) =
дп	' ’ у ’ ди	' '
Далее, в точке х°
-rJIFi
и аналогично для G(x, у®}. Следовательно, главный член асимп-
тотики v(у, k) равен
»(!/. » ~ У(- + М °р 'Д',Д11 со» е. (3.2)
2 г, г.,)	у/Нs (а0)
Заметим, что sgnS"(x°) = + 2, так как х° —точка минимума
функции S на Г.
Пример 3.1. Рассмотрим интеграл
F (Л.) = j f (х) ехр [г’Л, (| х — х° | + | х — х11)] dx.
r"
Здесь х° =И= х1, х1 — фиксированные точки, f (х) е Со° (R”). Вычис-
лим асимптотику F (Л.) при Z,->4-oo.
Множества уровня фазовой функции S — c являются при
с > | х° — х! | эллипсоидами вращения, фокусы которых распо-
ложены в точках х°, х1. Значение с = | х° — х11 является стацио-
нарным значением (минимум) фазовой функции, при этом мини-
мум достигается на целом отрезке [х°, х1]. Будем считать, что
х° = (—I, 0,	0), х' = (/, 0, ..., 0); этого всегда можно
126
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
добиться с помощью движения. Перейдем к эллиптическим коор-
динатам, полагая
Xi=a/gT], Xj = l V(£2~ 1)(1 — П2)9/>
п
где 6/ — угловые переменные, У, 02 == 1. Тогда
dx = ln [а2 - 1) (1 - П2)](п“3)/2 а2 - П2) rfs dn dQ, S = 2/g,
где dQ — элемент поверхности единичной сферы S'1-2. Область
изменения переменных следующая:
Вычислим главный член асимптотики. Имеем
F (К) = \	ехр (Z2Mg) g(Ю dl,
I
g а)=а +	J j й2 - т]2) (1 - п2)('г-з,/2 х
X f ten, I V(^-l)(l-n2) 02________I V(£2-l)(l-n2j e„) dn dQ.
Функция g(|) финитна, фаза S = 2/g не имеет стационарных
точек. Поэтому основной вклад в интеграл вносит точка £=1.
По лемме Ватсона,
F (Л) — Л"('г-|)/2 ехр[2гЛ/ + /и(”4~ °] X
xr(24Li)g(i)2~l'i-|)/2.
Далее,
§(1) = 2<'г-3)/2(оп-2 §(1—Л2)*” 1>/2/(/П>0>	0)dq,
-1
где <оп_2 — площадь поверхности сферы Sn~'. Так как соп_2 =
9 п~2
2 2
»= —г-----гс > то окончательно получаем
 т
F (Л) — (лД)('г-1)/2 /(п+1,/2 ехр [2Ш + ~ п~ -1] X
X j (1 -n^'^fGn, о, ..., 0)dn.
-1
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
127
Остаточный член имеет порядок О (v(rt+2>/2). Отметим, что глав-
ный член зависит только от значений функции f на отрезке [х°, х1],
т. е. на том множестве, где достигается min S.
xe=Rn
2.	Интегральные операторы с б-образными ядрами. Рас-
смотрим интегральный оператор
п
OW = (-^)’' Р (у) ехр [z’ZS (х — у)] dy. (3.3)
й
Здесь й cz R'1 — ограниченная область, 0 е Q, f е С,[° (й),
S <= Coo(R't) и фаза S имеет единственную, и притом невырожден-
ную, стационарную точку х = 0. Тогда оператор Кх. С“(й) —>
—»С°°(Й) есть оператор с 6-образным ядром. Именно, в силу
теоремы 2.2 имеем при Л.->+оо
(О W = ехр sgnSL (0)] | det Sxv (0) |,/2 [f (х) + О (V)]
равномерно по xeQ. Если же к ё= Й, то (KJ) (х) = О (Л-о°)
(Z-> + °°)> так что при хёдй
lim (KJ) (х) = const f(x)Xo(x),	(3.4)
X —> + оо
где —характеристическая функция множества й (т. е. xQ(x)= 1,
хей, %п(х) = 0, хёй).
3.	Преобразование Фурье и преобразование Лежандра.
Введем ^-преобразование Фурье, содержащее параметр Z > 0:
п
[Ел. .V-» J (*)] (р) =	2 ) ехр [- А (х, р)] f (х) dx. (3.5)
Rn
Здесь х!i —е 4 . Обратное преобразование имеет вид
п
[^Л->.г£(р)](х) =	' J expfzTjx, p}]g{p)dp, (3.5')
iK
___ in
где J-i = e 4- Вычислим асимптотику Z-преобразования
Фурье от быстро осциллирующей функции вида ср (х) ехр [zZS (х)]
с вещественной фазой S (х). Оно имеет вид
п
("2S7 ) J (р ехР W ~ dx- <3-6)
Rn
128
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Точки стационарной фазы определяются из уравнения
p — Sx(x).	(3.7)
Если х = х(р)— решение этого уравнения, то значение фазы
в стационарной точке равно
S (р) = (S ° х) (р) — (р, х (р)>.	(3.8)
Преобразование
L: (х, 5(х))^(р, 5(р)),	(3.9)
задаваемое формулами (3.7), (3.8), называется преобразованием
Лежандра. Приведем основные свойства этого преобразования.
Пусть Q — область в R", функция S (х) е С°° (Q), вещественно-
значна и многообразие xn+1 = S(x), xsB, имеет отличную от
нуля гауссову кривизну, т. е.
det Sxx (х) ф 0, xeQ.	(3.10)
Ниже мы предполагаем, что эти условия выполнены. По теореме
об обратной функции отображение р =	(х) задает диффеомор-
физм достаточно малых окрестностей Uo, Iz0 точек х°ей,
p'' = S((x°) соответственно, причем S(p) е C°°(Vo). Ниже х е Uo,
p^U0.
1°. Преобразование Лежандра инволютивно: L2—!.
Действительно, в силу (3.7), (3.8)
dS (р) = (§р (р), dp) — (х, dp} + (р, dx} — {s'x (х), dx) — (х, dp),
так что 5р(р) = х, и формулы преобразования Лежандра при-
обретают удивительно симметричный вид:
p = S'x(x), x — Sp(p), S (х) + S (р) = (х, р).	(3.11)
2°. Справедливо тождество:
Sxx(x)S';p(p) = I.	(3.12)
Действительно,
dx = d(s'p(p)) = S''p(p)dp,	dp = S"x(x) dx.
3°. Гауссова кривизна многообразия pn+1 = S(p), psly,
отлична от нуля, и это многообразие выпукло, если выпукло
многообразие хл+1 = 5(х), хе[/0.
Следует из 2° и условия (3.10).
Если же условие (3.10) не выполняется, то функция §(р)
может не быть гладкой, а соответствие (3.7) между х и р может
не быть взаимно однозначным.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
129
Геометрическая интерпретация преобразования Лежандра
такова. Пусть уравнение xn+! = S(x) задает строго выпуклое
(для простоты) n-мерное многообразие Г класса С°° в Rn+1.
Эту же гиперповерхность Г можно задать как огибающую
семейства п-плоскостей — а именно, касательных плоскостей к Г.
Уравнение n-плоскости л, которая касается Г в точке (х°, S(x°)),
имеет вид
Хп+, = (х, S'x (?)) + [5 (?) - <?, Sx (?))].
Поэтому числа Sx (х°) = р°, S (х°) — (х°, Sx (?)) = S (р°) одно-
значно определяют эту n-плоскость, так что (р°, S(p0))— коор-
динаты л.
Пусть А — вещественная симметричная (п X п)-матрица.
Введем обозначение: inerdexЛ (индекс инерции матрицы Л) —
число отрицательных собственных значений матрицы А. Имеет
место соотношение (если det А ф 0)
sgn А + 2 inerdex А = п.	(3.13)
Напомним, что х(р)— решение уравнения (3.7).
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия-.
1°. S (х) е С” (Rn), <р е Cq° (Q), функция S вещественнозначна
(Q — область в R").
2°. Отображение х^>- р — Sx(x), xsQ, есть диффеоморфизм.
Тогда при любом целом N 1 и при любых p<=Rn, Л.^1
имеем
[Ex' Х->Р (ф (х) ехр [aS (х)])] (р) =
= ехр [aS (р)] { ехр ( — -у- inerdex Sxx (х)} | det S"x (х) | 1/2 X
X Ф (х) + У К k (Rkq>) (х)
+ R-N(p,V)-	(3.14)
Х — Х. (р)
Л=1
Для остаточного члена при Z^>1, | р | R (R > 0— любое)
справедлива оценка
\R-n(P,	(3.15)
Разложение (3.15) можно дифференцировать по р и по К
любое число раз, с сохранением равномерной по р ^-оценки
остаточного члена.
Доказательство. Интеграл, стоящий в левой части
равенства (3.14), имеет вид (3.6), и его стационарные точки опреде-
ляются из уравнения (3.7). Пусть Q = {p: p = Sx(x), xesuppq:}.
Если реЙ, то в силу условий 1°, 2° стационарная точка х(р)
5 М, В. Федорюк
130
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
единственна и невырождена, и из теоремы 2.2 следует суще-
ствование разложения (3.14) и оценка (3.15). Вычислим главный
член асимптотики. Он равен
X ехр [zZ (S (х) — (х, р» + -J- sgn S'£x (х)] |	,
и из (3.13) следует (3.14).
Замечание 3.1. Пусть точка р лежит вне сколь угодно
малой окрестности множества Q = Sx(suppcp) (определение Q
приведено в доказательстве теоремы). Тогда все слагаемые
в формуле (3.13), кроме R-N, равны нулю.
Следствие 3.1. Пусть условия теоремы 3.1 выполнены и
О,р — произвольная область в R", замыкание которой не пересе-
кается с множеством Q. Тогда для любого мультииндекса а и
для любых целых р, N имеем
I DapDi [П, х->Р (Ф (х) ехр (zZS (х)))] | < C.v> а,	v (1 + I р I)“ v (3.16)
при р е Qp, Z 1.
Доказательство. Пусть р е Qp, Z 1 и Ф (Z, р) — интег-
рал (3.14). Применяя формулу (2.5), получаем
Ф (Z, р) = (2^7) 2	4)1 ('Х’ Р}еХр	— dx'
Здесь обозначено
п
Ti=Е dlr (а/(₽)’ а.=с5*,. (*) - р/) । to - р г2-
/=1 1
При х е supp ф, | а | > 0 имеем
0<С,(1-Нр1)^К(х) - р|^С2(1 -н р I),
|Р“ ($;(х)-р)|сСз,
где С,- — постоянные. Поэтому
|Ф1|^С(1 +|р|)- , | Ф(Л, р)|< С)~~' (1 +|р|)->.
Снова применяя (2.5), получаем (3.16) при | а ) = 0. Дифферен-
цирование Ф по Z, р приводит к интегралу того же вида.
Таким образом, интеграл (3.14) убывает быстрее любой сте-
пени при |р|—>00, Z^Z0>0 равномерно по Z.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
131
Главный член асимптотики (3.14) допускает следующую гео-
метрическую интерпретацию. Рассмотрим в пространстве R”XR”
многообразие
Д'1 = {(х, р): р = S'x (х); х е Q}.
Это многообразие лагранжево ([55], [57]). В условиях теоремы 3.1
уравнение Л" можно записать в виде
Лп = {(х, р): x = Sp (р), р е й'},
где Q' — образ Q при отображении (3.7). Поэтому в качестве
локальных координат на Л" можно взять либо х, либо р. Если
х — локальные координаты на Л", то
det р'х (х) — det S"x (х),
и аналогично, если р — локальные координаты на V1, то
detXp(p) = detSpp(p).
Учитывая эти тождества, получаем из (3.14) следующую сим-
метричную формулу для главного члена асимптотики (при
х е supp ср):
Их. х-+р Ф (*) | det Р'х W |l/4exP U)l] (Р) =
= Ф (х (р)) | det х’р (р) ]1 /4 ехр [aS (р)] X
Хехр (— -у inerdex хр (р)} + О (V1)-	(3.17)
4.	Действие псевдодифференциального оператора на быстро-
осциллирующую экспоненту. Псевдодифференциальным опера-
тором (п. д. о.) называется интегральный оператор вида
(stu)(x) = F^xa(x, l)Fx^u(x).	(3.18)
Здесь преобразование Фурье определено в (2.3.13), .rsR’‘,
jeR’. Скалярная функция а(х, £) называется символом опера-
тора st. В частности, если символ а есть полином от а —
m
— £ аа(х)1а, то оператор st — дифференциальный: (stu) (х) =
I га | =0
= |u^ aa(x)Dau(x).
Пусть Q с Rnограниченная область. Хёрмандер [90] ввел
класс Sm(Q). Функция а(х, £)<=.Sm(Q), если
1) aeC“(QXR?);
132
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
2) для любых мультииндексов а, 0 и для любого компакта
Ксй выполняется оценка
\DaxDla(x, £)|<Са,в,И1 +1£1Г'1в1	(3.19)
при х е К., g <= R".
Можно показать, что если ae=Sm(Q), то формула (3.18)
задает ограниченный линейный оператор лД.	(Q)-> С” (Q).
Теорема 3.2 ([89]). Пусть ф (х) е Со°° (Q), S(x) еГ (Q),
функция S вещественнозначна, и пусть
S'x (х) О, хе suppф.	(3.20)
Тогда при любом целом zV^O
ехр [— ITS (х)] S& (f (х) ехр [MS (х)]) =
= У д1а (*> kS'x W) Dy ехР (*> V)])	+ Rn (х, Z),
iaK.V	(321)
где обозначено
S (x, y) = S(x) — S (y) — {y — x, S'x (x)>.	(3.22)
Для остаточного члена при Z 1, xeZ справедлива оценка
\Rn(x,^\<Cn.kK
(3.23)
где К czQ. — компакт.
Эта теорема играет такую же роль в теории п. д. о., как
и формула Лейбница в теории д. о. Приведенное ниже доказа-
тельство см. в [82].
Доказательство. Имеем из (3.18)
(^«) (х) = (2л)''п j ехр [/ <х, g>] а (х, g) f j ехр [— i {у, g>] и (у) dy\ dt,.
Этот интеграл понимается как повторный и сходится абсо-
лютно, если иеС”(й), так как преобразование Фурье й (g) этой
функции убывает быстрее любой степени |g| при |g|—>°о.
Ограничимся для простоты случаем пг < — п; тогда абсолютно
сходится соответствующий двойной интеграл по dy di,. Случай
пг — п сводится к случаю tn < — п интегрированием по частям.
Имеем
Ф (х, Z) s ехр [•— MS (х)] S& (ф ехр (MS)) (х) =
= Х ехрdy d=’
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
133
где интеграл берется по Ry X Re? и
X = а (х, Л£) <р (у), ф = <х — у, Q + S (у) — S (х).
Имеем
% = — £ + S'y (у),	^ = х — у,
так что функция ф имеет единственную стационарную точку Q(x)
с координатами у = х, % = S'x (х).
Доказательство теоремы проведем в два этапа.
1°. Покажем, что вклады от областей 1< а, г/ е Q и | £ | > 6,
г/е Q в интеграл Ф имеют порядок О (Л~“), если а>0 доста-
точно мало, b > 0 достаточно велико. Так как, по условию,
Sy (у)	0 при у esuppqp, то существуют а', Ь' > 0 такие, что
а! | S'a (у) | b при у е supp <р. Выберем а < а', и пусть функция
Ci (£) е= Со°° (R"), ?j = 0 при I g | > а, = 1 при I £ | < а/2. Положим
ф1 = J J Х?1 ехр (г’Лф) dy d%.
Пусть К cz Q — компакт. Покажем, что для любых а, |3 и для
любого целого N^Q справедлива оценка
| DaxDl®i (х, Л) | < Са з, N,	(3.24)
при хеХ, Z^l. Рассмотрим интеграл
h = X?i ехр (/Л.ф) dy
при ?esupp?|, хеХ. Применяя к этому интегралу фор-
мулу (2.5), получаем
Л =	ехр dy’
L—^ д/дуjttj,	(3.25)
«/ = (5у/ (f/) - ?/)l Sy (у) - ? Г2.
Пусть х <= К, ?esupp?1; у е Q. Тогда | S'y (у) — ? | С > О,
так что коэффициенты Я/ бесконечно дифференцируемы и огра-
ничены при указанных у, ?. Так как, по условию, \а(у, Л£)
С(1	|	|)т и при дифференцировании символа по у эта
оценка сохраняется, то мы получаем, что |/,	(все по-
стоянные, не зависящие от х, у, Л, обозначаются одной и
той же буквой С). Следовательно,
| Ф] (х, Л) |	при хеК,
134
ГЛ III. МЕТОЛ СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Повторяя интегрирование по частям, получаем оценку (3.24)
при | а | = р = 0. Дифференцирование Ф1 по х и по Л приводит
к интегралу того же вида.
Выберем теперь b > b' = max |S(,(y)|, и пусть функция
g2 (С) е С°° (R"), ^ = 0 при |£|</ ^2=1 при | £ |>26. Обозна-
чим Ф2, /2 интегралы, полученные из Ф>, Ц заменой на £2,
и докажем оценку (3.24) для Ф2. В отличие от Ф! область
интегрирования в интеграле Ф2 неограничена. Применяя фор-
мулу (2.5), представим интеграл /2 в виде (3.25). Так как
\S'Ay) — S I + 0 при	то |SyQ/) —£|>С(1 Н-Ш^при
£ esupp g2, у е supp ср. Следовательно, функции a^sS” (Q).
Далее, \а(у, Л£) | Скт | £ \т при тех же у, g, и дифференциро-
вание по Л не меняет этой оценки. Поэтому

так что
|Ф2 к Скт~[ J I g Г-1 dl < Скт~1.
Повторяя интегрирование по частям, получаем оценку (3.24)
для ф2 при |а| = р = 0. Дифференцирование Ф2 по х и по к
приводит к интегралу того же вида.
2°. Положим £3=1 — — g2, и пусть Ф3 — интеграл, полу-
ченный из Ф, заменой gj на g3. Тогда Ф = Ф, Д-Ф2 + Ф3. Для
интегралов Ф,,2 мы уже получили опенку (3.24); к интегралу Ф3
применим теорему 2.2. функция ф имеет единственную стацио-
нарную точку Q(x) = (x, Si(x)), как было показано выше. Делая
замену
В = Si W + у (х) у' + д', у = х + у',
при малых g', у' получаем
ф = -5(у)-(/, g') + 0(1/ 12 + 1/12).
Следовательно,
собственные
значения матрицы
1 j^n, в стационарной точке равны ±1, так что все усло-
вия теоремы 2.2 выполнены. В точке Q(x) имеем
ф = 0, detip" ==(— 1)", sgni|i"=0.
Тем самым существование асимптотического разложения функ-
ции Ф по степеням >+’ доказано, и остается получить формулу
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
135
(3.21). Если иеСГ(й), то
ехр [— Цх, т]>] & (и (х) ехр [i (х, т])]) =
= (2л)-п j а (х, £) ехр [/{х — т)>] й (g — т})	~
~	П)$(£~ П)“ехр[г<х, £ ——пМ =
I а 1 = 3
= 52	т])£)"ц(х).
1а 1=0
Применяя эту формулу (при r)=ZSi(x), u — (pelKS) к тождеству
e-iKss^ (s>eiKS) = e~iKS мз£у (exp [i (y, kS'x (x))] <p (y) exp (z'ZS (x, p))),
получаем (3.21).
Выпишем первые два члена разложения (3.21):
(eixs) = ф (х) а (х, Z£) — i (а^ (х, g), д/ (х)) —
_ASp(a"(x^)S;;(x))| , +0(л"!-2). (3.2Г)
’5=s v (.0
Рассмотрим k-псевдодифференциальный оператор:
(з&и) (х) = Fx'p^.xa (х, Zp) Fx, x-^pU (х).	(3.26)
Функция а(х, р) называется символом Z-n. д. о. Такого рода
Z-n. д. о. возникают в различных задачах математической
физики. Например, оператор Гельмгольца fe-2A +/? (х) есть
k-n. д. о. с символом а = — (р, р)-\-п2(х), оператор Шредингера
с) Л2	-I
z/i — +А — V (х) есть h -п. д. о. с символом а = Е +
+ ~^р{р, p)+V (х), где Е, р — двойственные к t, х переменные.
Класс Тт, по определению, класс функций а(х, р), удовле-
творяющих условиям:
1°. а(х, p)geC°°(r;XRp).
2°. Для любых мультииндексов а, р
| DaxD&pa (х, р) | < Сар (1 + | х If (1 + | р |Г
при всех х, р.
Примером символа а е Тт при т>0 целом служит полином
от {х, р) степени ^т.
Теорема 3.3. Пусть есть k-n. д. о. с символом а клас-
са Тт, функция S (х) е С°° (Rn) и вещественнозначна, функция
136
ГЛ III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
ф(х) е Co“(Rn). Тогда при 1^1 и при любом целом
ехр [—ITS (х)]	(ф (х) ехр [z'ZS (х)]) =
= £ Rt (х, Dx) ф (х) + RiV (х, Л). (3.27)
/-о
Здесь Rf — линейный дифференциальный оператор порядка /
с коэффициентами класса С°° (R"), и для остаточного члена
справедлива оценка
\DxRn(x, Ml^CrZ-"“1+ia|(l +1х|Гг,	(3.28)
где г > 0 — любое, х <= Rn.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 3.2 (см. [57]).
Дальнейшие применения метода стационарной фазы к п. д. о.,
7,-п. д. о. и к более общим операторам (интегральные опера-
торы Фурье) см. в [55] — [57], [90], [91]. В § 4 мы рассмотрим
другие приложения метода стационарной фазы.
§ 4. Метод стационарной фазы.
Вклад от граничных стационарных точек
1. Граничные стационарные точки II рода. Рассмотрим
интеграл
F (X) — j f (х) ехр [iXS (х)] dx,	(4.1)
£2
где Q — ограниченная область в R" и, как обычно, f(x), S (х) е
<= С°°(Й)П С ([□]), функция S (х) вещественнозначна. Введем
понятие вклада от границы д£1 области Q в интеграл (4.1).
Пусть для простоты фаза S имеет конечное число стационарных
точек х1, ..., /'eQ. Устроим С°°-разбиение единицы в R*:
m	N
1 = Е Ф/ w + Фда w + Е Ф/ W-
Здесь функции фу, ф еС”(й), причем ф;. = 1 в окрестности
точки х1, ф = 0 в окрестности точки х° при k ф j. Функция
Фда=0=1 в некоторой е-окрестности множества dQ и вне обла-
сти Q. Тогда
F(Z)= £ F(>., х^Д-Т(л, г?О) + Ф(Х),	(4.2)
/=1
§ 4. ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
137
где функция Ф (А) = О (А °°) при А -> + оо и
F (А, х') = j f (х) ф/ (х) ехр [z'AS (х)] dx,
“	(4.3)
F (A, dQ) = \ f (х) ф^ц (х) ехр [iAS (х)] dx.
Q
Действительно,
V
Ф (А) = ^yexp(AS)dx.
/ = 1 и
По построению, supp ф/ не содержит стационарных точек функ-
ции S и не пересекается с дО,. В силу леммы 2.1 каждый
из интегралов, составляющих Ф, имеет порядок О(А~“) при
К —> Д- оо.
Интеграл F(k, dQ) будем называть вкладом от границы dQ
в интеграл F (А). Формула (4.2) означает, что асимптотика F (А)
равна сумме вкладов от стационарных точек фазы S, лежащих
в области Q, и от границы области dQ.
Выбор функции Ф5й(х) в определении вклада не играет роли:
интегралы вида (4.3) с разными функциями фбй отличаются
на величину порядка О(А~°°).
Если на dQ фаза S не имеет стационарных точек, то инте-
грал F(k,dQ) сводится к интегралу по dQ (с точностью
до о(А~°°)).
Лемма 4.1. Пусть Q— ограниченная область в R" с гра-
ницей класса С°°, функции f (х), $(х)еСю([й]), фаза S веще-
ственнозначна и не имеет стационарных точек на dQ. Тогда
при любом целом N^O справедливо разложение
N
F (A, dQ) =	(zA)-/ j ехр [z’AS(x)] g>z (х) + 7? v (А).	(4.4)
/-о ап
Здесь (Oj(x) — дифференциальные формы степени п — 1 и
класса С°° на dQ,
(4.5)
при А > 1.
Как обычно, разложение (4.4) можно дифференцировать по А
любое число раз.
138
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Формы о>/ имеют вид
СОу (х) =
= | VS (х) г2 £ -^1 CL)1'1 f(x)dxx\ ... Л dx, Л ... Л dxn (4.6)
k=i k
(крышка означает, что соответствующий сомножитель отсут-
ствует), где L — оператор (2.3). В частности, со, (х) = f (х) cos (х),
где g>s — дифференциальная форма Лере — Гельфанда (см. гл. II,
§ 3), отвечающая функции S. Выпишем первый член разложения:
f <’••“)=Ф S жет “Р p-s «I ЁТх
ас	,=i к
Xdx\/\ ... AdxfeA ... Adxn + O(z-2).	(4.7)
Учитывая, что
У S'x (х) dx} А ... Л dx-k Л •  • Л dx„ = d- (x}-d<y,
UiLv
k=l
где du — элемент поверхности dQ, d)dnx — производная по напра-
влению внешней нормали к й в точке х, главный член асим-
птотики можно записать в виде
Г (*. «9 = Ф $ “Р l^S W|	+ О (1-г). (4.7')
<Э'->
Доказательство. Для краткости обозначим <рая через ср.
Интеграл (4.3) берется по некоторой е-окрестности Qe гра-
ницы dQ. Имеем dQe — dQ U Г, где Г не пересекается с dQ. По
построению, ф = 1 на dQ, ф = 0 наГ. Применяя к интегралу (4.3)
формулу (2.4) и интегрируя по частям, получаем
F (Л, dQ) = (zA)-1 f (х) <р (х) L (ехр [/AS (х)]) dx —
п
= (/A)-1 J ехр [/AS (x)J f (х) | VS (х) Г2 X
дй
X £	(х) dx. А ... Л dx, Л ... Л dxn — (z'A)-1 (A, dQ).
fe=i
Интеграл получается из F заменой ftp -> ZL (f<p) (см. (2.5)),
где L — оператор (2.3). Так как подынтегральная функция
в интеграле F{ ограничена, то А-1/7) = О (А-1). Интегрируя по
§4. ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
139
частям интеграл Flt получаем F< = (A)”1 Ft — (A)'1 Л,, где
F] — интеграл по dQ, F2 — интеграл по Q, который получается
из F заменой ftp -> *L2 (ftp).
Так как Fl = O(l), F2 = O(1), то мы доказали (4.7). Про-
должая интегрирование по частям, получаем (4.4), (4.5).
Докажем (4.6). При /=1 эта формула доказана. Пусть
/> 1, тогда соответствующий интеграл равен
ехр [/7.3 (х)] У ак (х) (Д)*-1 (f (х) ср (х)) dxt Л  • • A dxk А ... A dxn,
dil	*=1
где ak (х) = S'v (х) I VS (х) Г-'.
Так как ср (х) = 1 в некоторой окрестности границы dQ, то
все ее производные равны нулю на dQ. Следовательно, при
х е dQ имеем (z£)*-1 (f (х)ср (х)) = (^L)*-1 (f(x)), и (4.6) доказано.
Проанализируем результаты теоремы 4.1. Мы показали, что
вклад от границы F(V, dQ) асимптотически равен сумке инте-
гралов по границе. Но каждый! из этих интегралов есть инте-
грал по многообразию dQ от быстро осциллирующей функции.
Чтобы получить окончательные асимптотические формулы, не-
обходимо вычислить асимптотику этих интегралов, чем мы и
займемся.
Рассмотрим функцию S (х) на многообразии dQ. По условию,
VS (х) =F= 0; однако эта функция, как функция на dQ, имеет на dQ
стационарные точки (например, она достигает наибольшего и
наименьшего значения на dQ). Стационарные точки функции S (х)
на dQ, как функции на многообразии dQ (т. е. S (х) рассматри-
вается только при xedQ), будем называть стационарными точ-
ками II рода или граничными стационарными точками.
Пусть многообразие dQ в окрестности точки х° задается
параметрически, т. е.
А = Ф1 («1- • •	«п-1). х„ = фп(«1- • 
(«ь . . ., Un-f) е= и,
где U — окрестность точки (0, . . ., 0). В векторной записи имеем
х = ф (и), х° = ф (0).
Точка х° является стационарной точкой II рода функции S, если
VHS (0) = 0‘,	3 (u) = (S о ф) (и).	(4.8)
Стационарная точка II рода х° называется невырожденной, если
det|^°^.||	=/= 0.	(4.9)
II ди1ди! 1=0	'
140
ГЛ. 1П МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Нетрудно проверить, что оба эти определения инвариантны
относительно выбора локальных координат на <9Й. Стационар-
ной граничной точкой I рода, очевидно, называется точка х°,
в которой VS (х°) = 0.
Пусть дО в окрестности точки х° задана уравнением
g(x) = 0, Vg (х°) =# 0,	(4.10)
где g есть функция класса Ста. Тогда хй будет стационарной
точкой II рода тогда и только тогда,
rjjg	когда существует а=# 0 такое, что
^^1	VS(x°) = aVg(x°). (4.11)
Геометрически это означает, что мно-
гообразие уровня S(x) — S(x°) касает-
ся <9Й в точке х° (рис. 2).
Хотя бы одна из компонент век-
Рис- 2.	тора Vg(x°) отлична от нуля; пусть
dg (х°)/дх„ =# 0 для определенности.
Тогда из уравнения (4.10) можно выразить хп через остальные
переменные:
хп = ф(х'), х'(=U, х' = (х1, ..., xn-i), (4.10')
где U — окрестность точки х0', так что в качестве локальных
координат на дО можно взять хь ..., xn-t. При х е дй имеем
S (х) = S (х', ф (х')) = S (х').
Пусть для простоты х° = 0, S (0) = g (0) = 0. Тогда
S(x')= £ S/Xy+y £ SijXiXj + ...	(4.12)
/=i	i,/ = i
Коэффициенты этого разложения имеют вид
S; = Sj Sngj/gn,
(4.13)
Sii = Sn + gn'Sn(~ + 2gtglng~l - gnngtgtg^) -
-	+ S^giS^2-
Здесь S/ — S'Xl (x°), Sij = SxiX{ (x°) и аналогично определяются
gh gii-
Из условия dS = 0 получаем S}/Sn== gi/gn, т. e. (4.11). Не-
вырожденность стационарной точки означает, что det Sx'x' ¥= О
в этой точке.
Теорема 4.1. Пусть условия леммы 4.1 выполнены, и пусть
на dQ имеется ровно одна, и притом невырожденная, стаиио-
§ 4. ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
141
нарная точка II рода х° функции S(x°). Тогда	>-|-оо
справедливо асимптотическое разложение
F(X, dQ)~V(n+1)/2exp[zXS(x0)] £ aft4. (4.14)
l=o
Это разложение можно дифференцировать по К любое
число раз.
Выпишем главный член асимптотики. При этом предпола-
гаем, что dQ задана уравнением g(x) = 0 при х, близких к х°,
и что g' (х°) Ф 0. Тогда
хп
F ft, dQ) = i (2n)('t-1>/2Z_(n+1)/2 exp [t7,S (x°) + -j- sgn (x0)] X
XI det S">X’ (x°) Г1/2	D (x°) + О (V1)]. (4.14')
Здесь S'x’x’ (x°) — матрица с элементами 5ц (см. 4.13)).
Замечание 4.1. Из сравнения формул (2.6') и (4.14')
видно, что внутренняя стационарная невырожденная точка вно-
сит в F ft) больший вклад, чем невырожденная граничная ста-
ционарная точка II рода: порядки их вкладов равны Л-п/2,
^-(n+D/2 соответствеино.
Доказательство теоремы 4.1. Устроим С°°-разбиение
единицы на dQ- 1 = ср0 (х) + дц (х), х е dQ. Здесь ср0 = 1 при х,
близких к х°, и supp<p0 сосредоточен в малой окрестности
точки х°. Тогда каждый из интегралов, стоящий в правой части
равенства (4.4), разобьется на два слагаемых. Интегралы, со-
держащие qpi, имеют порядок O(Z-°°). В остальных интегралах
остается перейти к локальным координатам на dQ и воспользо-
ваться теоремой 2.1.
Очевидно, что если на dQ имеется конечное число невыро-
жденных стационарных точек II рода, то асимптотика вклада
от границы F ft, dQ) равна сумме вкладов вида (4.14) от этих
точек.
Вклад от границы в интеграл F ft) может иметь больший
порядок, чем О (ft~nl2). Рассмотрим
Пример 4.1. Пусть условия леммы 4.1 выполнены и
S (х) = So = const на dQ. Тогда при X -> + оо в силу (4.4), (4.7')
F ft, dQ) ~ ехр (iA.S0)Г $^I|VS(x)r2da+£a& (a)"4 ,
*-<за	k=i	J
(4-15)
d<y — элемент поверхности dQ, так что главный член асимпто-
тики имеет порядок X"1, независимо от размерности dQ. Такая
142
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
ситуация имеет место, например, в известном опыте Араго
(см. [39]) при дифракции на круглом диске поля точечного
источника света, лежащего на прямой, перпендикулярной к диску
и проходящей через его центр.
Замечание 4.2. Лемма 4.1 и теорема 4.1 без всяких изме-
нений переносятся на интегралы, содержащие дополнительные
параметры
F (А, а) = \ ехр [zAS (х, а)] f (х, а) dx,
2 (а)
если все условия выполняются равномерно по а.
2.	Вклад от граничной стационарной точки I рода. Пусть
й—ограниченная область в R" с границей dQ класса С",
функции f(x), S (х) е С°° ([й]) и функция 5(х) вещественно-
значна. Пусть х° е <ЭЙ, VS (х°) = 0. Назовем х° невырожденной
граничной стационарной точкой, если матрица В (х°) = ||	(х°) ||
невырождена, где £ = (gi, ..., Ёл-1) — координаты в ортонорми-
рованием базисе, расположенном в касательной плоскости ТдО.^
к <ЭЙ в точке х°.
Теорема 4.2. Пусть х° е <ЭЙ — невырожденная граничная
стационарная точка функции S (х) и /(х) = 0 вне некоторой
достаточно малой окрестности точки х°. Тогда при Z, —> + оо
справедливо асимптотическое разложение
оо
F (A)~Vn/2exp[zAS(x0)] X а^12.	(4.16)
Это разложение можно дифференцировать по А любое число
раз. Главный член асимптотики равен правой части (2.6'), по-
множенной на 1/2, т. е. попросту равен половине вклада от
внутренней стационарной точки.
Доказательство. Мы предполагаем, что suppf не со-
держит стационарных точек (I и II рода), отличных от х°. Пусть
х° = 0, S(x°) = 0 для простоты. Введем в окрестности точки х°
локальные координаты и = (ult ..., «,,), х = ф(«) так, чтобы
<ЭЙ имела вид un = Q и чтобы точке х = 0 отвечала точка
и = 0. Тогда
F (А) = j qp (zz) ехр [zAS (zz)] du,
v
где обозначено
S (и) = (S ° ф) (и), ф (и) = (f ° ф) (м) det ф' (zz)
и V — полуокрестность точки и — 0. Пусть ип > 0 пр и и е V
для определенности.
§ 4. ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
143
Применим к интегралу F (А) метод стационарной фазы по
переменным щ, ..un-i- Тем самым мы сведем интеграл к одно-
мерному. Не ограничивая общности, можно считать, что V есть
куб: V — 1ХУ, где I — интервал 0 <ип < б, V — куб — б<«/ <б,
1 j п—1, и б>0 настолько мало, насколько это необ-
ходимо. Это утверждение следует из принципа локализации.
Тогда
F(A) = Fx (A, ип) dun,
О
F, (А, ип) = ф (и) ехр [/AS (zz)] du',
v
где «' = («], ..., и„-1). Стационарные точки функции S, как
функции от и', определяются из уравнения S'U’ (и) = 0. Имеем
при малых и
S(u)^^ul + un(b,u'} + j{Bu', и')+
где b есть н-вектор, В — симметричная матрица порядка п.
Следовательно, уравнение =0 имеет вид
ипЬ Ви' ... = 0.
Так как, по условию, det В 0, то
«'(«„) = — unB~'b + .. .,
и эта стационарная точка невырождена при малых б, так как
S (и', 0) = у {Ви', и'} + ...
Применяя теорему 2.2 к интегралу получаем асимптоти-
ческое разложение
оо
F\ ип)	ехр [r’AS {и' (ип), «„)] X («„),
1-0
где а, (ип) е Ссо( [0, б]). При этом функции Ну обращаются в нуль
при ип — б вместе со всеми производными. Далее,
S {и' (ип), ип) = ~ (bnn — (ft, B~'b)) ип + ...
Коэффициент при ип равен detS«u (O)(detB)-1 и поэтому отличен
от нуля. Применяя теорему 1.5, получаем разложение (4.16).
144
ГЛ. Ш. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ фазы
3.	Асимптотика преобразования Фурье характеристической
функции выпуклого множества, и аналогичные задачи. Рас-
смотрим асимптотику при | & I интеграла
F(£) = Jf(x)exp[— i{x,$]dx,	(4.17)
где й — ограниченная область в R" с границей dQ s ; gR",
функция f (х) <= Сю( [й]). Если f(x)^l, то F (|) есть преобра-
зование Фурье характеристической функции множества й (эта
функция равна 1 при хе Q и равна 0 вне й). Пусть для
простоты начало координат лежит внутри й.
Фазовая функция S — {x, £) не имеет стационарных точек
при £=/=(), так как Sv = g. Но она имеет на дй стационарные
граничные точки II рода. Именно, это те точки х(|), в которых
гиперповерхность {х,	= const касается 5Й.
Лемма 4.2. Стационарная точка II рода х(|)е<9й невыро-
ждена тогда и только тогда, когда гауссова кривизна много-
образия dQ в этой точке отлична от нуля.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно счи-
тать, что g = (0, 0, ..., 0, g„), §„=/=0. Пусть x°(g) —одна из
граничных стационарных точек, тогда нормаль пх° к дй в этой
точке параллельна или антипараллельна вектору В окрест-
ности точки x°(g) выберем локальные декартовы координаты у
так, чтобы ось Оу была направлена по внешней нормали к dQ
и чтобы точки (у', 0), у' = (yi ..., уп-\) лежали в касательной
плоскости Tx«dQ к дй. Здесь у = 0 •«-* х — х° (£). Тогда уравнение
дй при малых у примет вид
Уп=~(.Ву', у'}+ ....	(4.18)
где В — симметричная квадратная матрица порядка п— I, и
5(хЛ) = (х°(^)Л) + ^.	(4.19)
Из этих формул и (4.13) следует, что невырожденность точки
х°(|) эквивалентна невырожденности матрицы В. Но из (4.18)
вытекает, что det В равен гауссовой кривизне гиперповерхности
дй в точке х°(|). Лемма доказана.
Пусть Ж — конус
Ж = {£ е= R”: 0 < | g | < оо, Ш | е U},
U — область на единичной сфере |g|=l.
Теорема 4.3. Пусть Ж — односвязный конус, и пусть при
любом £ е [Ж], S, #= 0, гауссова кривизна границы дй отлична
от нуля во всех стационарных точках II рода функии S = (х,
Тогда:
§ 4, ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
145
1°. Функция S при всех £ е [Ж], g =/= 0, имеет одно и то же
число т = т(Ж) стационарных точек II рода х(1)(£),	х(от)(£),
и все они невырождены.
2°. Асимптотика F(|) при £ е [JP], |g|—>оо, равна сумме
вкладов от этих точек
м
/=1
(4.20)
Выпишем формулу для вклада от точки x(g):
F(Z, хО~йехр[сДЙ), ^(2<-|)/2|§r(n+n/“|xI • • •	Г'/2
Хехр
-^£sgn(ex/)
/=1
(f 0 х) (ё) + а/г (®) I 1 I
® = Ш1-
(4.21)
Здесь х1(	%n-i— главные кривизны dQ в точке x(g),
— e = sgn(g, пх®),
(4.22)
где nX(j) — внешняя нормаль к Ж в точке х(£).
Доказательство. Невырожденность стационарных точек
вытекает из леммы 4.2. Пусть и0 = g°/| g° | <= (7; тогда имеется
конечное число стационарных точек II рода х(/) (и0), 1^/^т.
Действительно, если бы их было бесконечно много, то, в силу
компактности dQ, они имели бы предельную точку, которая
также являлась бы стационарной точкой. Но невырожденные
стационарные точки изолированы. По теореме о неявной функ-
ции при всех coeS"”1, достаточно близких к со0, имеется также
ровно ш стационарных точек х(/) (со), причем х(/) (со)-> х(/) (и0)
при со -> со0. Применяя лемму Гейне—Бореля, получаем, что
число стационарных точек одно и то же при всех £ е [X],
£ =/= 0. Поэтому асимптотика F(g) равна сумме вкладов от то-
чек х(/) (g).
Пусть х(£)— одна из этих точек. В обозначениях леммы 4.2
(см. (4.18), (4.19)) для главного члена вклада Г(£, х(£)) полу-
чаем из (4.7') формулу
F (£, х (£)) ~ /е (2л)(/г-,)/211 Г(п+1>/2 ехр [/ (х (£), £)] | det В Г1/2 X
X ехр [-^- sgn (ей)] (f о х) (|),
где е указано в (4.22). Отсюда следует (4.21). Теорема доказана.
146
ГЛ. Ill МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Многообразие размерности п— 1 в Rn называется строго
выпуклым, если все его главные кривизны в любой точке по-
ложительны. Если й— ограниченная область в R" со строго
выпуклой границей, то при любом | ф 0 функция S = (x, g)
имеет ровно 2 стационарные точки II рода х- (g). Нормаль к дй
в точке х+ (g) (соответственно х~ (g)) параллельна (антипарал-
лельна) вектору g. Обозначим fe±(g) гауссовы кривизны дй в точ-
ках х± (g). Из теоремы 4.3 вытекает
Следствие 4.1. Пусть й— ограниченная область со строго
выпуклой границей класса С°°. Тогда при | g | -* оо
F (g) ~ - Z (2ЛУ"-”'-1 g Г("+!)/2 {ехр(Z <х+ (g), g))| k+ X
4	(f°O(g) + X^^IgH -
L	/=i	J
ГЛ	.	Г	ОО	1
— ехр (i (х~ (g), g)) | k~ (g) | ‘ ’e 4	” (f ° x~)(g) + E a~ (®) I g Г' •
L	f=\	J
(4.23)
Коэффициенты af (co) e C°o(Sn~l), где S'!~' — сфера |g | = I.
Следствие 4.2. Пусть область Й — неограниченная, усло-
вия теоремы 4.3 выполнены и при всех выполнено свой-
ство 1° теоремы 4.3. Тогда, если f (х) — финитная функция, то
заключение 2° теоремы 4.3 остается в силе.
4.	Асимптотика главных значений интегралов. Пусть Р(х) —
вещественнозначная функция класса C°°(Rn), имеющая веще-
ственные нули, и f (х) е С” (R”). Тогда интеграл/ = \ dx,
й”
вообще говоря, расходится. Приведем один из способов регу-
ляризации этого интеграла.
Пусть множество нулей {х: Р(х) = 0) функции Р содержит
ограниченную компоненту Мо, и пусть VP(x)=£0 на Мо. Тогда Мо
является С°°-многообразием размерности п— 1. Кроме того, мно-
жество {х: Р(х) = е) при всех достаточно малых е содержит
компоненту Ме с теми же свойствами, что и Мо, и Ме Мо при
е —► 0. Пусть функция f (х) = С“ (Rn) и сосредоточена в доста-
точно малой окрестности многообразия Мо.
Главным значением интеграла I, по определению, называется
предел
v-P- S TWdx= lim J	(4-24)
R
I Р(х)| > е
§ 4. ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
147
Пусть <ор — дифференциальная форма Лере — Гельфанда,
отвечающая Р: dP/\ap=dx (см. гл. II, § 3). Тогда
С I (X) л I-
v. Р- \ -р7ТГах== 11т
J r W е^+о
J	= V. р.
I с | > е
J Фг(с)4-.
Ф? (с) = j f (х) Ир (х),
Р (X) =с
(4.243
откуда немедленно вытекает существование предела (4.24).
Рассмотрим интеграл
F (А.) = V. р. 4-^-ехр [j'ZS (x)J dx.
J г \л /
Rn
(4.25)
Перечислим условия на функции f, S, Р.
1°. Функция Р (х) е С°° (R3 и вещественнозначна, множество
{х е R”: Р (%) = 0} ее вещественных нулей содержит компактное
С°°-многообразие Л4о~' размерности п — 1, VP(x) =£ о при x^AlJ-1.
2°. Функция f (х) е С” (r’1) и сосредоточена в малой окрест-
ности множества Л4о~’. Функция S (х) е С°° в некоторой области,
содержащей supp f, и вещественнозначна.
3°. VS (х) =£ 0 при хе supp/', и на многообразии Mo~‘ функ-
ция S (х) имеет конечное число, и притом невырожденных, ста-
ционарных точек II рода х1, . . ., хт.
Вычислим асимптотику интеграла Г (Л) при этих условиях.
Рассмотрим вначале интеграл .
Ф(0, Л) = f (х) ехр [ZZS (х)] а>р (х),	(4.26)
Р(Х) = 0
где и? — дифференциальная форма Лере — Гельфанда. Асим-
птотика этого интеграла равна сумме вкладов Ф; (0, Л) от ста-
ционарных точек
Ф (0, Л) ~ Е Ф/ (0, Л).	(4.27)
Теорема 4.4. Пусть условия 1°—3° выполнены. Тогда при
Л —> оо для интеграла (4.25) справедливо асимптотическое раз-
ложение
F (X) ~ л/ Е Ф/ (0, Л) sgn [<VS (хЗ, VP (xz)>].	(4.28)
/-I
Это разложение можно дифференцировать по Л любое чис-
ло раз.
148
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Формулы для вкладов ФДО, Л) будут приведены ниже.
Доказательство. Положим
Ф (с, Л.) = j ехр [i7.S (х)] f (х) со₽ (х),
Р(х)-с
тогда
оо
Г7 /Л \ _ С Ф (^, J
F (К) = v. р. —--------de.
— оо
При малых с > 0 множество Мс = {х: Р(х) = с} П supp f является
С°°-многообразием размерности п— 1, а функция S имеет на Мс
ровно т, и притом невырожденных, стационарных точек II рода
х1 (с), хт(с). При этом x'icjeC” при малых с, х/(0)==х/.
Асимптотика Ф (с, Л) при Л-» + оо равна сумме вкладов Ф;(с, %)
от точек х’(с) равномерно по се[—с0, с0], если с0 > 0 доста-
точно мало. Каждый из этих вкладов имеет вид
ФДс, Л) ~ Л,-(п-1)/2 ехр [zA (S ° х1) (с)] X Qki (с) k> (4.29)
k=Q
где функции aki е С°° при малых | с |. Покажем, что
sgn4-(Sox')(C)L_o = ±l
в зависимости от того, являются ли векторы VS, VP в точке х
параллельными или антипараллельными. Так как х1— стацио-
нарная точка II рода, то VS = ctVP, аэ^О, в этой точке. Диффе-
ренцируя тождество Р(х) = с, получаем при х—х1: (УР, = 1,
откуда следует, что = ^VS, — а | VP |2 =^= 0. Применяя
г Ф, (с, Л)
теорему 1.8 к интегралам V. р. \-----------de, получаем (4.27).
Выпишем формулу для главного члена вклада ФДО, Л).
Пусть дР {х1))дхп =# 0, х' = (х{, ..., хп-^,
S(x') = S(x), хеС1.
Тогда аналогично (4.14') имеем
Ф7 (0, Л.) = (2n)(n-1>/2A-(n~1)/2exp[ZAS(х7) +
+ Sgn S".,. (?)] I det K'.,. (?) Г,,! [^Г [/ W + о (V)].
(4.29')
§4. ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
149
Следствие 4.3. Пусть <х = (а1,	где dQ—
область в Rfe,
r/л \	С f (х, а) ехр [ZXS (х, а)] ,
F (X, а) = v. р. J - p(Lx)------- dx.	(4.30)
r"
Тогда все заключения теоремы 4.4 остаются в силе для инте-
грала (4.30) равномерно по а^Ж, если f, S е С°° по (х, а),
условия 2°, 3° выполнены равномерно по а е Q. Здесь Ж — про-
извольный компакт, лежащий в области Q.
5.	Асимптотика фундаментальных решений некоторых клас-
сов дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами и условиями излучения. Рассмотрим уравнение
P(D)8 (х) = б(х).	(4.31)
Здесь х е Rn, D = (D{, . .., DJ, Df = — id[dX] и Р (g) — полином
от g = (gH .. ., gn) с постоянными коэффициентами. Решение <£ (х)
уравнения (4.31) называется фундаментальным (или элементар-
ным) решением оператора P(D).
Будем предполагать, что выполнены условия:
1°. P(g)— гипоэллиптический полином, Р (g) = Т (g) Q (g), где
Т (г) — полином с вещественными коэффициентами, полином Q (g)
не имеет вещественных нулей.
2°. Вещественные нули полинома Т (g) образуют т^1 глад-
ких замкнутых, строго выпуклых многообразий ..., Кт раз-
мерности п— 1. Эти многообразия не пересекаются, и VT(g)=^O
при g <=
Нас интересует асимптотика фундаментального решения <£ (х)
при | х | -► ОО.
Простейшим примером служит оператор Гельмгольца А + й2,
k > 0. Рассматриваемый класс уравнений был введен в [18] и [19].
Получим интегральное представление для <8 (х). Применяя
преобразование Фурье в (4.31), получаем P(g)^ = l, откуда
8 — 1/P(g), и, применяя обратное преобразование Фурье, полу-
чаем 8 (х) = (2п)~п ехр (i (х, g)) t/g/P (g). Однако этот интеграл
расходится, так как Р имеет вещественные нули, и его необхо-
димо регуляризовать.
Пусть п—\ и gH ..., gm — вещественные нули Р; все они
простые. Тогда функция
1 С PlXi
= <4-32)
Y
является фундаментальным решением. Зедсь у — контур в ком-
плексной плоскости g, который совпадает с вещественной осью
150
ГЛ. Ill МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
всюду, кроме малых окрестностей точек В этих окрестно-
стях у идет по полуокружности, которая обходит точку снизу
или сверху. Формулу для S можно записать также следующим
образом:
“ '>1 .
J	' Х/ММТГ' ^4-32 )
— оо	/ = 1
Здесь е,= + 1 (— 1), если у обходит точку сверху (снизаК
Функция <S (х) является решением уравнения (4.31) в сле-
дующем смысле. Она является функционалом над простран-
ством К функций, принадлежащих С”(— оо, оо). Ее преобразо-
вание Фурье (£) удовлетворяет уравнению Р (g) & (£) = 1, т. е.
для любой функции ф (£) е Z (это пространство функций, кото-
рые являются преобразованиями Фурье функций из К) спра-
ведливо тождество
оо
(Р(£)О), М))= $ мм 	(4.33)
Всякая функция ф <щ Z, очевидно, аналитически продолжается
на всю комплексную плоскость £ и убывает быстрее любой сте-
пени при вещественных |->оо. По определению,
(^а), ф(&))=5^|1^.
V
Следовательно,
00
(М)М), Ф(£))= $Ф(£М= $ Ф(£Ж
Y	— со
так как ф —целая функция, и (4.33) доказано.
Заметим, что формула (4.32') задает 2Ш фундаментальных
решений (каждый нуль можно обходить либо снизу, либо
сверху).
При п > 1 для <£ (х) имеет место формула, аналогичная
(4.32'). Приведем ее. Пусть функция /!i'|)sC(r") и /г^1
в некоторой окрестности всех многообразий К}. Тогда
Z (x)==(2n)-!v. р. ^--а)ехрр([^хЛ>1	+
Rn
т
+ (2л)_,г У е,ш J ехр [i (х, g)] а>Р (g) +
f=l K{
+	(x) + ^2(X) + ^3(X).	(4.34)
§ 4. ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
151
Числа ву равны ±1, знак зависит от ориентации К,. Именно,
е/ = +1, если К; ориентирована так, что в качестве положи-
тельного направления нормали к Kf в каждой точке х выби-
рается направление вектора VT (g) и е, = — 1 в противном слу-
чае. Ниже мы считаем, что ориентации Ду фиксированы, так
что набор (б], . . ., ет) фиксирован.
Мы покажем, что <?3(х) убывает быстрее любой степени при
| х | —>оо, а асимптотику 2(х) вычислим с помощью теорем
4.3 и 4.4.
Лемма 4.3. Для любого и для любого мультииндекса а
существует постоянная CN,a такая, что
|даз(.г)|<С¥,и(1+|x|)-v, ,veRr‘. (4.35)
Доказательство. При любом целом 34^0 имеем
^3 (х) = (- i I X ITM (а-М	.
где А — оператор Лапласа. Так как полином Р гипоэллиптичен,
то существуют постоянные с, С > 0 такие, что при любом р
1^|<С(1 + ШГС|В|,
(1 —I
-р- )
С' (1 + | g | )_n-1, так что при |х|>1
| ^з(х) х ГИ(2лГ $ (I +|^|)^“'4^С"|хГ2Л1.
r"
Тем самым (4.35) доказано при |а| = 0; случай | а | > 0 иссле-
дуется аналогично.
Фазовая функция S = (x, g) имеет на каждой поверхности К/
ровно 2 стационарные точки II рода gy1 (х) в силу леммы 4.2.
Пусть gy" (х) (соответственно gf (х)) — та из этих точек, в кото-
рой положительное направление нормали к К] совпадает с х
(соответственно с —х). Введем обозначения: kj (х) — гауссова
кривизна многообразия К/ в точке gy" (х), пу— направление внеш-
ней нормали к Ду в точке gy~ (х), со = х/| х (.
Теорема 4.5. Пусть условия 1°—3° выполнены. Тогда при
| х | -> оо
S (х) = (2«)"->« | х Г “,Е f (vw	' X
/=14 '
✓	со	\
Хехр[/(х, gy+ (х)> + -^(«- 3)ву]( 1 + £ а;/(со)|хГЧ, (4.36)
где функции ац^С°° при | со | = 1.
152
ГЛ III МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ фазы
Это разложение можно дифференцировать по х любое чис-
ло раз.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай m = 1.
Пусть К — множество вещественных нулей полинома Р. Так как
— компактное строго выпуклое многообразие, то, по лемме 4.2,
функция S = (x, g) имеет на ровно 2 стационарные точки
II рода g* (х), и обе они невырождены. Пусть g+ (х) — такая
точка, что вектор х параллелен внешней нормали к К в этой
точке. Тогда при |х|->оо асимптотика равна сумме вкла-
дов от точек g±(x). Аналогично, по теореме 4.3, асимптотика
Й’Дх) равна сумме тех же вкладов, умноженных на msgn(g, VT),
так что при суммировании мы получаем удвоенный вклад от
точки g+ (х).
6. Дополнения. Главный член разложения (4.14) можно
записать в более инвариантном виде ([20]). Пусть условия
теоремы 4.1 выполнены. Введем функцию Лагранжа L (х, ц) =
= S(x) + pg(x). Если х° — стационарная граничная точка фазы 8
II рода, то (х°, ц0) — стационарная точка функции Лагранжа,
при Цо таком, что VS(х°) + p0Vg(x°) = 0. Покажем, что главный
член асимптотики выражается через значения Vg и матрицы
Q (х, ц) s det и) = I S'xx + ^8хх '^8)	(4.37)
дхдц || ys о
в точке (х°,ц0). Пусть х° = 0, g(x°) = 0,	¥= 0; перейдем
к координатам у. у{ =х,, ..., уп-} = х„_1, уп — g(x), и обозначим
через 8*, g* функции 8, g, записанные в переменных у. Далее,
положим
У = (У1, Уп-д, Q(y)=^^.	(4.38)
Тогда справедливы тождества
dctQ= — (-^-)2 detQ, sgnQ = sgnQ (4.39)
при х = х°, ц = ц0. Действительно,
НИМ! п
где матрица Q* строится по 8‘, g* так же, как и матрица Q,
Т = ду (0)/дх, 0 и Е — нулевая и единичная (п X п)-матрицы.
Имеем
det Q = det Q* (det T)2, sgnQ = sgnQ*.
Так как g* = yn, detQ* = — detQ, то det Q = — g2n det Q, и пер-
вое из тождеств (4.39) доказано. Далее, матрица Q* приводится
§ 4. ВКЛАД ОТ ГРАНИЧНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК
153
линейным преобразованием к виду
II Q О О
0 1	0	,
II 0 0 —1
откуда следует второе из тождеств (4.39). Поэтому коэффи-
циент а0 в разложении (4.14) равен
га-1
а0 = (2л) 2 Vg/VS|detQr1/2exp[—(sgnQ + 2)],	(4.40)
где х = х°, ц = цо и ориентация границы дй такова, что век-
тор — Vg(x°) направлен по внешней нормали к дй.
Рассмотрим еще один важный пример: интеграл
оо оо
Ф(А,)=^ dy дхехр(— thxy)q(x, у).	(4.41)
0	— оо
В данном случае условия теоремы 4.2 не выполнены: именно,
все точки границы — оси у = 0— являются граничными стацио-
нарными точками фазы I, II рода. Кроме того, точка (0, 0)
является стационарной точкой фазы I рода.
Предложение 4.1. Пусть функция qp <= С00 при у^О и
финитна. Тогда при Л-»+°о справедливо асимптотическое
разложение
Ф (А)~ £ апК~п~\	(4.42)
п=э
коэффициенты которого имеют вид
p„ = in+‘v.p.	*р(а-. o)rfx +
+ ^г(4)”Ш“4<».0). ««)
Доказательство. Представим интеграл (4.41) в виде
Ф(/.) = Л-1 I dt, I~ \	e)dx,
о	— оо
где е = Д.-'. По формуле Тейлора, имеем
Ф U, е) = У	<р (х, 0) + RN,
п = 0
е
1 Г	/ /9
\~dTJ ф(*>
о
154
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
так что
ОО
Ф(Л)=Е ^""-‘ч-ФИА),
п=0
где коэффициенты ап имеют вид
оо	оо
if С / Л \п
ап = ^\ yndy \ \ —Л ф(х, 0)гМх,
О	— со
(4.44)
а остаточный член равен
Ф„(/.) = Г! J INdt,
О
оо	е	, оо
//v= j e~itxRN dx = (e — t) v (	е-'^ф(x, r) dxJ dx.
— oo	0	' —oo	'
Здесь ф = (д/дт)Л,+1 qp(x, т). Интегралы можно переставлять в силу
финитности функции qp. Так как ф — гладкая финитная функция,
то при любом k > 0 справедлива оценка
e~ltx^(x, х) dx
<ck{\+\t\rh
равномерно по т<= [0, оо]. Следовательно,
+/)-'фе -т)\/т = С;г(1 +/)-ftev+1,
О
| ФЛ I < C'k^N~- [ fv+1 (1 + trk dt^CkK~N~2,
О
и тем самым формула (4.42) доказана. Далее, имеем ([26])
S—itx.n jj .n+I . — п— 1 i .п c(n) / \
е t dt == t nix -J-гло (x),
о
где равенство понимается в смысле обобщенных функций, и из
(4.44) следует (4.43).
§ 5, ВЫРОЖДЕННЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ
155
Напомним, что (см. [26])
V. р. х~ (х) dx = x~-k £ф (х) 4* ф (— х) —
— оо	(1
- 2 (ф (0) +	(°) + ‘ ‘ • + (Др ^~2) (°))] dx>
оо	оо
V. р. х-2^-1ф (х) dx = х~2к~] р|> (х) — ф (— х) —
— оо	0
- 2 (хф' (0) + 4 Ф'" (0) +	+ (2Д,Ф(2^1) (°))] rfx.
Главный член асимптотики имеет вид
Ф(Л) = Л
л<р (0, 0) + i J ф (х’-0) х ф-(0, 0) dxl + О (V2).
— ОО	J
§ 5. Вырожденные стационарные точки
1.	Существование асимптотического разложения. Пусть
фаза S(x)eC” в окрестности стационарной точки х°, и пусть
выполнено одно из условий:
1°. Функция S(x) аналитически продолжается в комплексную
окрестность точки х°, и точка х° является изолированной кри-
тической точкой функции S (z), z е С”.
2°. Локальное кольцо отображения x->VS(x) конечномерно.
Локальное кольцо отображения х—>VS(x) есть фактор-про-
странство F [ [х — х°] ]/, • • •,	, гДе F [[х — х0]] — кольцо
формальных степенных рядов от переменных х, —х°, . .., хп— х“
( dS	dS \	„	„ „	0
и ( -5— , • . •, -з— ) — идеал, натянутый на ряды Гейлора в точке л '
\ С/Х 1	C/Xft /
функций dS/dXj.
Тогда (см. гл. II, § 3) существует диффеоморфизм х = ф(г/),
ф(0) = х° такой, что ($оф)(//) есть полином. Таким образом,
в случаях 1°, 2° вычисление вклада от вырожденной стационар-
ной точки приводится к случаю, когда фаза есть полином.
Теорема 5.1 (Атья [98]). Пусть х°— вещественная стацио-
нарная точка фазы S, функция f (х) е (Rn), supp f не содержит
стационарных точек, отличных от х° и выполнено одно из усло-
вий 1°, 2°. Тогда при Л-»4-оо справедливо асимптотическое
156
ГЛ. Ill МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ фазы
разложение
F(X)s= f (х) ехр [zAS (х)] dx ~ V | V (In Л)1-1 |. (5.1)
Rn	fe = 0 \(>о	/
Здесь rk — рациональные числа, п/2 ^г0<г} < ... < гт -> оо
(?п->оо) и N— некоторое фиксированное целое число.
Эта теорема следует из теоремы 2.3.3 и леммы Эрдейи
(ср. доказательство теоремы 2.4.3).
Числа rm, N являются инвариантами стационарной точки.
Именно, при гладкой замене х = <р {у) они не меняются, так как
не меняется значение интеграла Г(Л), а асимптотическое раз-
ложение вида (5.1) единственно. Наиболее важным инвариантом
является г0. Вычисление г0 основано на теореме Хиронака [92]
о редукции особенности, т. е. о приведении полинома S к неко-
торой канонической форме с помощью замены переменных.
Однако эффективно осуществить такую редукцию весьма затруд-
нительно. В п. 2 мы приведем только некоторые из результатов
о редукции, принадлежащие Арнольду ([1] — ]3]).
2.	Некоторые примеры.
Теорема 5.2. Пусть S (х)— положительно определенный
однородный полином степени 2m, f (х) е С,Т (R"). Тогда при Z —► + оо
справедливо асимптотическое разложение
п inn °°	k
F (Л) — %” 'lm е~^ У akl^,	(5.2)
й = 0
ak = e^ J У xiW(O)cos.	(5.3)
S-1 1М=1
Здесь as — дифференциальная форма Лере — Гельфанда.
Доказательство следует из предложения 2.3.4 и леммы
Эрдейи.
Лемма 5.1. Пусть х° — критическая точка фазы S и
rankS"x(x°) = г. Тогда с помощью диффеоморфизма х = ф(у)
(х° = <р(0)) можно в малой окрестности точки х° привести фазу S
к виду
(S ° ф) (z/) = const + У ± у1 + S, (г/г+1, . . ., уп). (5.4)
У”1
При этом все частные производные первого и второго порядка
фазы 5, равны нулю при у = 0.
Доказательство. Пусть г^1 и х° = 0, S(x°) = 0. Не
ограничивая общности, можно считать, что второй дифферен-
S 5. ВЫРОЖДЕННЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ
157
циал функции 5 в точке х = 0 есть сумма квадратов У, ± х’р,
/+1
этого можно добиться с помощью невырожденного линейного
преобразования. Положим х' = (хь хг), х" = (хг+1,	х„),
тогда
S(x) = S(0', x")-\-S2(x', х").
функция 5(0', х") имеет нуль порядка ^3 в точке х" = 0
Далее,
Г
S2 (х', х") = У ± Xj + S3 (х', х").
Рассмотрим S2 как функцию от переменных х' и от параметров х"
при малых | х" |. Так как, по построению, функция S2(x', 0")
имеет нуль порядка ^3 в точке х’ = 0, то, по теореме об
обратной функции, уравнение -|р- = 0 при малых | х" | имеет,
и притом единственное, решение х'° = ф (х"). При этом | ф (х") | =
х=О(|х"|). В силу леммы 2.3.3 с помощью гладкой (по у' и по
параметрам х") замены переменной х' = х' (у', х"), у' = {у\, ..., уг)
Г
можно привести функцию S к виду S., = У, ± у’, и что дока-
/-1
зывает (5.4).
Следствие 5.1. Пусть rankS'x*(х°) = п—1. Тогда с по-
мощью гладкой замены переменных х — qp (у) фаза S в окрест-
ности точки х° приводится к виду
п-1
(S о ф)(у) = S(х°) + 4 £ р.у] ± ау^, а > 0.	(5.5)
г-
Здесь — ненулевые собственные значения матрицы S"x(x°),
— целое число. При этом detq/(0) = 1.
Доказательство следует из теоремы 5.2 и леммы 2.3.1.
Тем самым задача о редукции особенности полностью решается
в случае rank З'Д (х°) = п — 1. Асимптотика интеграла F (А,)
с фазовой функцией вида (5.5) легко вычисляется (с помощью
теоремы 2.1 и теоремы 1.5), и главный член асимптотики имеет
вид
Г<Ч~(т) ’ XrG)<±,A>- "“p[tZs8"I‘' + )7 X
/“1
X I Pi • • • Hn-i Г1/2 exp [as (x0)] f (x°).	(5.6)
158
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Разность п — г, г — rank det SiVU0) называется корангом ста-
ционарной точки х° (особенности). Особенности корангов 0, 1
уже исследованы; рассмотрим особенность коранга 2.
Теорема 5.3. Однородный вещественный многочлен (^0)
третьей степени от двух переменных можно с помощью невы-
рожденной линейной замены переменных привести к одному из
следующих четырех видов:
х3 + у3, х2у — уЛ, х2у, х3.	(5.7)
Доказательство. Имеем Р3(х, г/)=ах3bx2y + сху2 + dy3-,
пусть для определенности а ф 0. Кубическое уравнение Р3 (Л, 1)=0
имеет по крайней мере один вещественный корень Xj, и форма Р3
делится на линейный множитель х — кщ. Полагая х — ^у = у',
у — х', получаем Р3 = у'Р2(х', у'), где Р2 — вещественная квад-
ратичная форма. Приводя ее к сумме квадратов, получаем
Р3 = /[± (А*' + By'Y + ^у' ]• Форма Р3 приводится к виду у" ,
если А = С = 0, к виду у"х” , если С — 0, А У= 0, и к виду
у"(х"2 ± у"2), если АС =/= 0. Пусть Р3 — у(х2 + у2)- Делая замену
y — uA-v, х = д/3(м —о), приводим Р3 к виду 4 (и3 Ди3).
Теорема 5.4 (Арнольд [2]). Пусть S (х) имеет вид
(a) S = х3 + у3 + ...;	(b) S = ух2 — у3 + . ..,
где многоточием обозначены члены степени ^4. Тогда в некото-
рой окрестности точки (0, 0) с помощью гладкой замены перемен-
ных S приводится к виду
(a)S = x'3 + /; (b)S = /x'2-/’
соответственно.
Замечание 5.1. Если функция S голоморфна в комплекс-
ной окрестности точки (0, 0), то с помощью голоморфной замены
переменных функция S приводится к виду х' + у' .
В случае (а) интеграл F (Л.) приводится к виду
F (Л) — \ ехр [Д (х3 Д у3)] ф (х, у) dx dy ~
cV2/3
о©
Но, о) + £л-*Ч
Для доказательства достаточно последовательно применить
одномерный метод стационарной фазы по переменным х, у (см.
теорему 1.5).
Заметим, что постоянная с есть инвариант, который выра-
жается через производные третьего порядка фазы S в стацио-
нарной точке.
§ 5. ВЫРОЖДЕННЫЕ СТАЦНОН-ЛРНЫЕ ТОЧКИ
159
Пример 5.1. Вычислим асимптотику при Л —> -ф °° интеграла
F (М = j $ f (х, у) ехр [Л (ух — у3)] dx dy,
R!
где f е С” (R2). Интеграл со, где со — дифференциальная
5 = 1
форма Лере—Гельфанда, отвечающая фазе S = ух' — у3, схо-
дится, и в силу примера 2.3.2 имеем
Фс(/) =	~ с!/3/(0, 0) j со	(с—►()).
5 = с	5=1
Следовательно, по лемме Эрдейи главный член асимптотики
имеет вид
Г(А) = [/(0, 0) + о(1)]Л-1/3^Я J со.
(5.8)
Вычислим со. Кривая S=1 имеет вид х=±/у/--------------------~
5=1
и состоит из трех ветвей. Одна из них лежит в полуплоскости
у < — 1, симметрична относительно оси у и имеет асимптотами
прямые у = ± х. Две другие ветви лежат в полуплоскости у > 0,
симметричны относительно оси у, и одна из них имеет асимп-
тотами лучи у==0, х > 0; z/ = x>0. Имеем
— 1	оо
с ш	\ dy I f dy =
S=1 s=i s^-	-1	(1 + yi) 0 "Jy + iFd
Ч[В(Ф4)+В(Ф Ш
Пусть Pm (xj, ..., xj — однородный полином степени m^2
от n ^2 переменных. 32 (n, R) — группа невырожденных матриц
порядка п X п. Группа 32(п, R) есть многообразие веществен-
ной размерности п2 (= числу элементов (п X «/-матрицы). Поли-
ном Рт имеет Cm+ t-! коэффициентов. Неравенство п СПт+п~\
выполняется только при т — 2,	или при т = 3, п = 2.
В противном случае линейная группа содержит меньше пара-
метров, чем множество полиномов {Рт(х)}, так что с помощью
линейной замены переменных х—Ту нельзя привести любой
полином степени т к одному из конечного (или даже дискрет-
ного) числа канонических типов при т = 3, п^Зи при т > 3,
п 2. Семейство канонических форм в этих случаях зависит
от непрерывных параметров. Это имеет место уже для
160
ГЛ. III. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
однородных многочленов Р4(х, у) четвертой степени от двух
переменных.
Рассмотрим функции
Si (х, у) = ху (х2 — у2), S2 (х, у) = х (х + /у) (х2 — у2) + .. .,
где многоточием обозначены члены степени ^5 и / =# 0 доста-
точно мало. Покажем, следуя [2], что не существует гладкой
замены переменных (х, у) = ф (х', у'), ф(0, 0) = (0, 0), пере-
водящей S, в S2 (в малой окрестности точки (0, 0)). Положим
S*(x', y/) = S2(x, у); тогда разложение S* по формуле Тейлора
начинается с членов степени 4, коэффициенты при которых
определяются только линейной частью преобразования qp в нуле.
Инвариантом линейного преобразования является двойное отно-
шение четырех прямых. Именно, пусть прямые т}, т2, тл, т4
выходят из одной точки О, прямая т пересекает прямые т/
в точках Mj. Двойным отношением называется число
d___ MiM4 . M|M3
~’ лДлГ4 ’ м2м\
которое не зависит от выбора прямой т. Пусть nij— прямые
x + y = 0, x+ty — О, х = 0, х = у; тогда d =	для
функции S2, d = 2 для
Таким образом, при классификации вырожденных крити-
ческих точек возникают модули (семейства неэквивалентных
относительно гладкой замены ростков, зависящие от непрерыв-
ных параметров), и задача о классификации вырожденных
критических точек в настоящее время не является полностью
решенной.
Литературные указания и дополнения
Результаты § 1 в основном являются классическими и восходят к Стоксу,
Кельвину и Ватсону. Строгое обоснование метода стационарной фазы для
одномерных интегралов принадлежит Ван дер Корпуту [111], [112] и А. Эр-
дейи [97], [116].
В одномерном случае метод стационарной фазы сводится к методу пере-
вала, если подынтегральная функция аналитична, но для неаналитических
функций это не так. По этому поводу Ван Кампен [108] писал: «Я полагаю,
что неверно рассматривать метод стационарной фазы как незаконнорожденное
дитя метода перевала».
Лемма 1.4 доказана А. Эрдейи [117], теорема 1.6 —Л. Бергом [106],
теорема 1.9 —Б. Р. Вайнбергом [20], теорема 1.10 — автором.
Теорема 2.1 принадлежит автору [78], [83]. При п = 2 эта теорема дока-
зана ранее И. Фоке [121] для аналитических функций /, .S'; для неаналити-
ческих f, S эта теорема была известна ранее в случае, когда стационарная
точка фазы есть точка минимума или точка максимума [123]. Формула (2.13)
получена с помощью приема, принадлежащего Л. Хёрмандеру [91]. Другой
подход к обоснованию многомерного метода стационарной фазы предложен
В В. Кучеренко [46], Ле Бу Ань [52].
§ 5. ВЫРОЖДЕННЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ
161
Теоремы 4.1 и 4.2 принадлежат автору [82] [83] (при п — 2 аналогич-
ные результаты были получены ранее И. Фоке [121], М. И Конторовичем
и Ю К. Муравьевым [43] ), теоремы 4.4 4.5 принадлежат Б Р Вайнбергу [19]
[20] теорема 5.1 — М. Атья [98].
Асимптотика характеристической функции выпуклого множества была
исследована в работах [122] [123], [133]. Наиболее полные результаты
получены И. Свенссоном [133]; сформулируем их Пусть С — выпуклое огра-
ниченное множество в R"+I,
(?) = и (х) el а’ dx
с
п+2
й (?) = sup г 2 \йс (г?) |	| ? | = 1
r>o G
Точка х° е дС называется точкой уплощения порядка если расстояние
от точки х <= дС до касательной плоскости в точке х имеет нуль порядка
^?/ + 2 Пусть К (х) — гауссова кривизна границы дС в точке х
Теорема ([133]). Пусть oeC^(R'!+l) где р — наименьшее целое
число, большее . Пусть дС е С^+1 и дС не имеет точек уплощения
Г 2~Р
порядка выше, чем и \ (К (х)) 2 ds < со Тогда й е Lp (Sn).
дС
Все условия этой теоремы выполнены, если дС е С°° и дС не имеет
точек уплощения бесконечного порядка Более точные результаты получены
при п = 2.
В работах В. П. Маслова [55] В Л. Дубнова [33] В. П Маслова
М В Федорюка [57] метод стационарной фазы развит для интегралов ви/ja
<р (х) ехр [z MS (х)] dx
r"
где А — производящий оператор сильно непрерывной группы операторов,
действующей в банаховом пространстве. Асимптотические разложения пре-
образований Фурье обобщенных функций для ряда классов исследованы
в работах Ю А. Брычкова [11] [12], Ю М Широкова и Ю А. Брычкова [13].
Добавление при корректуре. Асимптотика интегралов Фурье
с аналитической фазой н вырожденными критическими точками исследована
В. А. Варченко (Фуикц. анализ 10, № 3, 1976).
6 М. В. Федорюк
ГЛАВА IV
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
§ 1. Метод перевала для интегралов Лапласа
1. Эвристические соображения. Нас интересует асимптотика
при А,-> + оо интегралов Лапласа
F (Л) = j f (z) eKS (г) dz.	(1.1)
v
Здесь у— кривая в комплексной плоскости z, функции f(z),
S (z) голоморфны в окрестности кривой у.
Аналитичность функций f, S позволяет деформировать кон-
тур у, что наводит на мысль продеформировать контур у
в контур, наиболее удобный для получения асимптотических
оценок.
Рассмотрим вначале более простую задачу об оценке сверху
функции | F (Л) |. Пусть f(z) = l, S (z) — полином, у = у0 —конеч-
ная кривая для простоты. Тогда
I F (МI < ехр [Л Re S (z)] | dz | ZYomax ехр [Л. Re S (z)],
¥0
где /Yo —длина контура у0. Но, по теореме Коши, интеграл
ехр fA.S (z)J dz равен интегралу по любому контуру, концы
V»
которого совпадают с концами у0; пусть Г — множество всех
таких контуров у. Тогда оценка вида (1.2) справедлива для
всех у е Г, и получаем, что
I F (Л) | inf (/Y max ехр [Л Re S (z)]).	(1.2)
уеГ zg=y
Так как нас интересуют большие значения Л, то можно ожидать,
что длина /v несущественно влияет на точность оценки (1.2),
так что
IF (Л) I I inf max ехр [A. Re S (z)],	(1.2')
?еГ геу	.
где I — постоянная, не зависящая от А,. Наконец, допустим, что
существует контур у‘еГ такой, на котором достигается
min max ReS(z).	(1.3)
zey
§ 1. МЕТОД ПЕРЕВАЛА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА
163
Тогда из (1.2) следует оценка
| F (X) |	/Y* ехр [X max Re S (г)].
zsy*
Продеформируем в (1.1) у в у* (допустим, что это возможно),
тогда
F (М = jj f (^) ехр (A.S (г)] dz.	(1.4)
у*
Покажем, что асимптотику этого интеграла можно вычислить
с помощью метода Лапласа. Пусть для простоты max Re S (г)
достигается только в одной точке za s у*. Имеются две воз-
можности:
1. г0 —один из концов контура у*.
Пусть z0 — начало у* и S'(z0) =й= 0 для простоты. Тогда можно
заменить интеграл по у* интегралом по малой дуге у* с началом
в точке 20, на которой S'(zo)=4=O; отброшенный интеграл имеет
порядок О (ехр [А (5 (г0) — с)]), с > 0. Так как Re (5 (г) — S (г0)) < 0
при геу', г=И=г0, то, интегрируя по частям точно так же,
как и в доказательстве теоремы 2.1.1, получаем асимптотическую
формулу
+	(1.5)
2. г0 — внутренняя точка у.
Из минимаксного свойства контура у* следует, что z0
является седловой точкой функции ReS(z). Положим z — x-f- iy.
д
Так как седловая точка является стационарной, то — Re S (г0) =
= Re S (г0) = 0, и из условий Коши — Римана следует, что
S'(4 = 0.
Определение 1.1. Точка г0 называется точкой перевала
функции S(z), если S'(z0) = O. Порядок точки перевала равен
1, если
S'(z0) = ••• = S"”(zo) = O, S("+11 (z0) =И= 0.	(1.6)
Точка перевала zfl называется простой, если S"(z0)=/=0. Ве-
личина ReS(z0) называется высотой точки перевала.
Заменим у* достаточно малой дугой у*, содержащей точку zQ,
и пусть S"(zo)=H=O для простоты. Тогда на у* имеем
? = S (г) - S (г0)« (г - г0)2,
Пусть : = иф iv, тогда Re = id — v'!, и линии уровня Re £2 = 0
Делят плоскость £ на 4 равных сектора. В двух из этих секторов
6:
164
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Re£2>0, в остальных Re£2<0. Точно так же линии уровня
Re [S (2)— S(2o)] = O делят окрестность точки z0 на 4 сектора;
в двух из них (скажем, Sj и S2) функция Re [S (2) — S (z0)J отри-
цательна, в остальных (S3, S4) — положительна (см. рис. 3).
Поверхность w = u2—v2 в пространстве (w, и, v) есть гипер-
болический параболоид (рис. 4). Контур у* проходит через
секторы Sj и S2. Действительно, если бы он лежал в одном
Рис. з.
из них, скажем, в Sb то, по теореме Коши, можно было бы
заменить у* контуром у', лежащим внутри S) и не содержащим
точки 20. Тогда max Re S (2) < Re S (zQ) = max Re S (x), что про-
z&y'	zey*
тиворечит минимаксному свойству контура у*.
Линия уровня Im [S (г) — S (г0)] = 0 при малых г —20 рас-
падается на две линии Ц и /2, одна из которых проходит через
секторы S] и S2, вторая через S3 и S4. Действительно, в пло-
скости £ эта линия имеет вид uv = 0, т. е. состоит из прямых
и = 0, п = 0. Так как контур у* проходит через Si и S2, то
можно заменить у* дугой линии Zr Переходя к переменной
получаем, что
f (2) ехр [AS (г)] dz=^f (г) ехр [AS (2)] dz =
= ехр [AS (z0)J	ехр (—Аи2) f (2 (Д) ~ dt,,
J	<-l's
-6,
Применяя метод Лапласа, получаем, что при А-> + °°
Г(А) = д/~ ехр	+ О (А'1)].	(1.7)
§ 1. МЕТОД ПЕРЕВАЛА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА
165
Аккуратные рассуждения будут проведены в последующих
разделах.
Метод перевала состоит из двух частей.
I. Топологическая часть. Деформация контура у в наиболее
удобный для получения асимптотических оценок контур у*.
II. Аналитическая часть. Вычисление асимптотики интеграла
по контуру у*.
Аналитическая часть содержит трудности того же порядка,
что и в методе Лапласа. Во многих случаях можно восполь-
зоваться готовыми формулами, полученными методом Лапласа
Топологическая часть почти во всех применениях метода
перевала вызывает значительные трудности, что неудивительно,
так как эта задача — глобальная. Выше мы искали контур,
на котором достигается минимакс (1.3). Такой контур может
попросту не существовать даже в том случае, когда S (г) — целая
функция. Далее, строго говоря, следует искать контур, на ко-
тором достигается
min max, f (2) ехр [AS (2)] |	(1.8)
у ее Г геу
(Г — множество контуров, по которым интегралы (1.1) равны),
что еще больше осложняет задачу.
Таким образом, если минимаксный контур (в смысле (1.3)
или (1.8)) можно найти, то асимптотика интеграла (1.1) вычи-
сляется. Но, к сожалению, не существует (и не может суще-
ствовать) простого алгоритма, позволяющего найти такой контур.
Некоторые приемы, позволяющие это сделать, а также теоремы
существования таких контуров, будут приведены в последующих
параграфах. Несмотря на эти трудности, методом перевала
получен ряд блестящих результатов, и он является, по суще-
ству, единственным методом получения асимптотических оценок
для интегралов Лапласа. Этот метод был впервые предложен
и применен к ряду задач известным английским физиком
Питером Дебаем.
Метод перевала носит также названия «метод наискорей-
шего спуска», «метод седловой точки» (method of the steepest
descent, method of the saddle point, method of the cool).
2. Локальная структура линий уровня гармонических
функций.
Лемма 1.1. Пусть функция S (2) голоморфна в точке 20
и S'(2o)=/=O. Тогда связная компонента линии уровня ReS(z) =
= ReS(20), которая содержит точку z0 и лежит в достаточно
малой окрестности точки z0, является аналитической кривой.
То же самое верно и для линии Im S (2) = Im S (г0). Эти линии
уровня ортогональны в точке z0.
166
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Доказательство. Так как S'(z0) = 0, то функция w —
= S(z) —S(z0) взаимно однозначно и конформно отображает
некоторую окрестность U точки z0 на окрестность V точки
цу = О. В качестве V можно взять квадрат вида | Re w | < б,
| Im w | < 6; для этого достаточно изменить U. Тогда дуга I
линии уровня Re S (г) = Re S (г0), лежащая внутри U, отобра-
зится на отрезок /: Rea> = 0, | Im w | < б мнимой оси, который
является аналитической кривой. Так как обратная функция
г = ф(ге») голоморфна в V, то I = ф (/) — аналитическая кривая.
Аналогично доказывается аналитичность дуги линии уровня
Im S(z) = ImS(zo).
Лемма 1.2. Пусть z0— точка перевала порядка п функ-
ции S (z). В малой окрестности U точки z0 линия уровня ReS(z) =
==ReS(z0) состоит из (п + 1) аналитических кривых, которые
пересекаются в точке z0 и разбивают U на 2п + 2 секторов
с углами л/(п+ 1) пРи вершине. В соседних секторах знаки
функции Re [S (z) — S (z0)] различны.
Доказательство. В силу леммы 2.1.4 существуют окрест-
ность U точки z0, функция ф(ш) и р>0 такие, что:
1)	S (ф(w)) = S (z0) + wn+1 в круге Е: | w | < р;
2)	функция ф(ау) голоморфна в области V и взаимно одно-
значно отображает V на U, ф (0) = 20, Ф'(0)=И=0;
3)	функция и) = ф-1(г) голоморфна в области U.
В плоскости w уравнение Re S (z) = Re S (z0) примет вид
Reu)«+1==0, и его решение в V состоит из (п+1)-го интер-
вала lk: w = ret4>k, — р<г<р, ф* = (у +	+ 1), k =
— 0, 1, ..., п, которые являются аналитическими кривыми,
делят Е на 2п 4~ 2 равных сектора, и знаки Rev!1+I в соседних
секторах различны. Прообразы интервалов lk обладают пере-
численными свойствами, так как функция да = ф-1 (z) голоморфна
в U и отображение ф: V -> U конформно.
Простую кривую с началом в точке z0 будем называть линией
наибыстрейшего спуска функции ReS(z), если на этой кривой:
1) Im S(z) = const;
2) ReS (z) < ReS(z0), z z0.
Если выполнены условия 1) и
2') Re S (z) > Re S (z0), z =/= z0, то такая кривая называется
линией наибыстрейшего подъема функции ReS(z).
Лемма 1.3. Если z0 не является точкой перевала, то из
точки z0 выходит ровно одна линия наибыстрейшего спуска. Из
точки перевала z0 порядка п выходит п -ф- 1 линия наибыстрей-
шего спуска. В малой окрестности точки z0 в каждом из секто-
ров, в котором ReS(z)< ReS(z0), лежит ровно одна линия наи-
быстрейшего спуска.
§ I. МЕТОД ПЕРЕВАЛА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА
167
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай z0 = О,
5(2) = с + 2га+1, где с — постоянная, так как общий случай сво-
дится к этому заменой переменной (см. доказательство леммы 1.2).
Линиями наибыстрейшего спуска в данном случае являются
лучи arg г = (2 k + 1) л/(п +1), k = 0, 1, ..., п.
Поясним термин «точка перевала». Пусть S(z'} — u(x, у) -|-
-\-iv(x, у) — голоморфная в области D функция, отличная от
тождественной постоянной. Рассмотрим поверхность S:u — u(x, у)
в трехмерном пространстве (х, у, и). Так как и(х, y) = ReS(z) —
гармоническая функция, то она не имеет ни точек максимума,
ни точек минимума в области D. Следовательно, поверхность S
не имеет ни вершин, ни впадин, а точки, в которых S'(z)~0,
будут седловыми точками. Пусть 20— простая точка перевала.
В силу леммы 1.3 окрестность этой точки состоит из двух «до-
лин», в которых Re S (г) < Re S (z0), и двух «хребтов», в кото-
рых Re S (z) > Re S (z0), т. е. устроена так же, как окрестность
точки перевала в горах. На рис. 3 изображена окрестность
простой точки перевала. Долины Re S (z) < Re S (z0) заштри-
хованы.
В простейшем случае S==z2 поверхность S есть гипер-
болический параболоид (седло) и — х2— у2. Поверхность
и = х3 — 3xz/2 = Rez3 называется «обезьяньим седлом».
Пусть F (А) — интеграл (1.1). Контур у' назовем эквивалент-
ным контуру у, если интегралы вида (1.1) по этим контурам
равны
j / (2) e}-s (z) dz = j f (2) e's *2> dz
v	v'
при всех A > 0.
Лемма 1.4. Пусть у — конечный контур, функции f (2) и
S (2) голоморфны на у. Пусть среди точек, в которых дости-
гается max Re S (2), нет ни точек перевала, ни концов контура у.
Тогда существует контур у', эквивалентный контуру у и
такой, что
max Re S (г) < max Re S (г).	(1.9)
Z €S Y ’	Z €E V
Доказательство. Пусть max Re S (2) = ’достигается
z e y
в точке 20. Так как S7(2o)^=O, то существует такая окрест-
ность U (20), которая взаимно однозначно отображается функ-
цией ш = S (г) — S (20) на круг V: |w|<p. Положим y(z0) =
= уП{7(г0), тогда образ у*(г0) этой кривой лежит в полукруге
Rew^O, | w | р. Если Rew<0 на концах у*(20), то заменим
у*(20) отрезком у*(20), соединяющим концы y*(z0); если же
Re w = 0 на обоих концах у* (г0), то заменим у* (z0) кривой у* (г0),
168
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
лежащей в указанном полукруге и такой, что Rew<0 всюду
на этой кривой, кроме концов. После этого заменим контур у
контуром, в котором дуга у(г0) заменена прообразом ,у0(г0)
дуги у*(г0). По лемме Гейне — Бореля, можно разбить дугу у
на конечное число дуг у, (2У), 1	к каждой из которых
можно применить проведенную выше деформацию. Тогда у за-
менится эквивалентным контуром у, на котором Му достигается
в конечном числе точек 2/. Применим описанную выше дефор-
мацию к малым дугам у/, внутри которых лежат точки.zf, мы
получим дуги у,-, на которых, по построению, ReS (2) < Му. Таким
образом, для полученного контура у' условие (1.9) выполнено.
Если maxReS(2) достигается на конце 20 контура у, то на
2 е у
нем достигается минимакс (1.3). Действительно, если контур у'
имеет те же концы, что и у, то
max Re S (г) Re S (20) = TfY.
ге у'
Покажем, что если maxReS(2) достигается в точке перевала г0,
z е у
лежащей внутри у, то, вообще говоря, нельзя заменить у экви-
валентным контуром у', на котором Mv’ < Му. Пусть S =— г2,
у — отрезок [—1, 1]. Если контур у' имеет те же концы, что и у,
то Му' Re S (0) — 0. Однако если взять в этом примере кон-
тур, внутри которого лежит точка 2 = 0, а остальные точки
контура лежат в секторе | arg 2 | < л/4, то такой контур не будет
минимаксным: его можно заменить контуром, целиком лежащим
в области Re(—22)<0.
Теорема 1.1. Пусть Г — множество всех контуров, эквива-
лентных у, и пусть существует контур у* е Г, на котором до-
стигается минимакс (1.3). Тогда среди точек, в которых дости-
гается jnax Re 5(г), имеются либо концы контура, либо точки
z е у*
перевала z,, удовлетворяющие условию Ао. В окрестности точки
контур у* проходит через два различных сектора, в которых
ReS(2) < ReS(27).
Доказательство. В силу леммы 1.4 среди точек, в ко-
торых достигается max Re S (2) = Му*, обязаны быть или концы
z е у*
контура, или точки перевала. Допустим, что среди этих точек
нет концов контура и что точки перевала, в которых дости-
гается Му*, не удовлетворяют условию Ао. Достаточно рас-
смотреть случай, когда имеется только одна такая точка пере-
вала 20. Так как у* в окрестности 20 лежит в одном из секторов,
в которых Re S (2) Re S (г0), то можно заменить малую дугу у*
§ 1. МЕТОД ПЕРЕВАЛА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА
169
кривой у*, содержащую z0, дугой у’, которая лежит в указанном
секторе и не содержит точки z0. К полученному контуру можно
применить лемму 1.4, тогда получим контур у7, эквивалентный
контуру у* и такой, что' max ReS(z)<max ReS(x). Это проти-
z е у'	z е у*
воречит минимаксному свойству контура у*.
Замечание 1.1. Пусть минимакс (1.3) достигается на у*
только для тех контуров у, которые получены из у* достаточно
малой деформацией. Тогда все утверждения теоремы 1.1 остаются
в силе.
3. Аналитическая часть метода перевала. На протяжении
всей главы будем предполагать, что выполнены условия:
А], у — кусочно-гладкая кривая (конечная или бесконечная).
А2. Функции f(z), S(z) голоморфны в каждой точке у (за
исключением, возможно, концов у).
А3. При К > О
I f (2) [ | ехр (AS (г)) 11 dz [ < 00.
v
Кроме того, будем предполагать, что у — простая кривая.
Это упрощает рассуждения, ничуть не умаляя их общности.
Лемма 1.5. Если maxReS(z)^C, то
F(k) — O(eCK) (А>1).	(1.10)
Доказательство дословно повторяет доказательство
леммы 2.1.1.
Теорема 1.2. Пусть max ReS (г) достигается только в на-
ze у
чале г0 контура у, функции f (г), S (г) голоморфны в точке z0 и
S' (г0) =/= 0.
Тогда при А—> + °°
F (А) = $ f(z) ехр [AS (2)] dz ~ ехр [AS (z0)] £ ak7Fk~', (1.11)
Y	k-=0
Разложение (1.11) можно дифференцировать любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
F(A) = -	exp[AS(z0)]. (1.11')
Доказательство. Заменим у дугой у0, которая содержит
точку z0 и на которой S' (z) =^= 0. Тогда интеграл по у \ у0 имеет
170
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
порядок О (ехр [Л (3 (г0) — 6)]), 6 > 0, в силу леммы 1.5. Инте-
грируя по частям интеграл по у0 тем же способом, что и
в доказательстве теоремы 2.1.1, получаем (1.11), (1-12).
Теорема 1.3. Пусть max Re 3 (г) достигается только в точке z0,
z е y
которая является внутренней точкой контура у, простой точкой
перевала функции S (г) и удовлетворяет условию Ао. Тогда при
К —> -|" °°
F (%) == f (г) ехр [ЛЗ (z)J dz ~ ехр [/.3 (г0)] ak^k^[li. (1.13)
у	fe=0
Это разложение можно дифференцировать любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
F (Л) = д/- [f (г0) + О (/. ')] ехр [Л5 (г0)], (1.13')
Выбор ветви д/— S"(z0) будет указан ниже.
Доказательство. В силу леммы 2.3.2 существует ок-
рестность U точки г0, функция ф (w) и р > 0 такие, что при
| W | < р
3 (ф (w)) = 3 (г0) —,	(1.14)
функция г = ф(и>) голоморфна в круге V: | w | < р и взаимно
однозначно отображает этот круг на U. При этом
Ф(0) = 0, ф'(0) = [—3" (г0)]~'/2>	(1.15)
где ветвь корня будет указана ниже. Положим Уо = уП^; ин-
теграл по оставшейся части у экспоненциально мал по сравне-
нию с | ехр [ЛЗ (г0)] |. После замены переменной у0 перейдет
в кривую у*, которая проходит через точку w — 0 и через
секторы Sj: | arg w — л | < л/4 и S2: | arg w | < л/4, в которых
Rew2 > 0. Пусть е 3/; /= 1, 2 — концы у*. После замены (1.14)
интеграл Г0(М по Уо будет иметь вид
Го (М = ехр [ЛЗ (г0)] ехр ( —	f (ф (w)) ф' (w) dw.
*
Vo
По теореме Коши, интеграл по у* равен интегралу по кон-
туру у*, состоящему из отрезка / =[—р, р] и дуг у*, у* окруж-
ности | w | = р; здесь yJsS. и у* соединяет точки — р,
а у* — точки р, w2. Так как Rew2>c>0 на у^, /=1, 2, то
интегралы по этим дугам экспоненциально малы по сравнению
§ 1. МЕТОД ПЕРЕВАЛА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА
171
с exp[^S(z0)b так что функция F (Z) с точностью до экспонен-
циально малого слагаемого равна интегралу
р
± ехр [A.S (z0)] e~M>/2f (ф (/)) ф' (!) dt,
-р
где знак зависит от ориентации у. Применяя лемму Ватсона
к последнему интегралу, получаем (1.12), (1.13). Главный член
асимптотики имеет вид
± ехр [A.S (z0)] [f (ф (0)) ф' (0) + О (V')]
и в силу (1.15) совпадает с (1.13').	________
Выбор ветви корня в (1.13') следующий: argV“5"(z0) равен
углу между положительным направлением касательной к у
в точке 20 и положительным направлением вещественной оси.
Замечание 1.2. При доказательстве теоремы 1.3 мы за-
менили контур у в окрестности точки перевала z0 контуром,
идущим по линии наискорейшего спуска. Однако нет необхо-
димости каждый раз заново проделывать эту процедуру.
Коэффициенты ak разложения (1.13) определяются следую-
щим образом. Пусть ф(щ) — функция, определенная соотноше-
ниями (1.14), (1.15) и
f (ф И) ф' (w) = £ bkwk.	(1.16)
i	k-0
Тогда	__
„ __p (к I 1 A h __ д/2л (2&) 1! ,	,	.
ak — i [K + -Jb2k — ——b2k.	(1.17)
Теорема 1.4. Пусть maxReS(z) достигается только в на-
2 <= -у
чалъной точке г0 контура у, которая является точкой перевала
порядка п, и функция f (z) голоморфна в точке z0.
Тогда при Л -> + ею
00	fe-f-1
Г (/.)= ) Z(z)exp [л5’(г)]б/2 —ехр [/.5’(20)]^2 а/г/. п . (1.18)
Это разложение можно почленно дифференцировать любое чис-
ло раз.
Доказательство проводится по той же схеме, что и
в предыдущем случае: делается замена переменной г = ф(ге»),
S (ф (да)) = S (г0) — wn,	(1.19)
и к полученному интегралу применяется метод Лапласа.
172
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Главный член асимптотики имеет вид
F (%) = а/_	»!— [f (г0) + О (V1/n)] ехр [AS (г0)].
п
(1-18')
Коэффициенты ak в (1.18) имеют вид
(L2°)
где bk определяются из разложения
f (Ф W) Ф' W = S bkwk.	(1.21)
fe = 0
Функция ф(ау) удовлетворяет уравнению (1.19) и нормирована
условиями
Ф(О) = 2О,	Ф'(0) = л/-^йГГТ- (Е22>
V S'"’ (г0)
В этой формуле и в (1.18') argV- S(re> (20) равен углу между
положительным направлением касательной к у в точке z0 и по-
ложительным направлением вещественной оси.
Замечание 1.3. Случай, когда функция f (2) имеет сте-
пенную или логарифмическую особенность в точке z0, в которой
достигается max ReS (2) и которая является точкой перевала
z е у
или концом у, также приводится к лемме Ватсона или к тео-
реме 2.1.7.
До сих пор мы рассматривали случай, когда maxReS(2)
г е у
достигается только в одной точке контура у.
Теорема 1.5. Пусть у —- конечный контур, функции f (z) и
S (г) голоморфны в окрестности контура у. Пусть среди точек,
в которых достигается max ReS (2), имеются точки ..., zk,
z е у
которые являются концами контура или точками перевала, удо-
влетворяющими условию Ао. Тогда при А —> + оо интеграл (1.1)
асимптотически равен сумме вкладов от точек 2Ь ..., г*.
Понятие вклада будет введено в процессе доказательства.
Доказательство. Покажем, что существует контур у*,
эквивалентный контуру у и такой, что max ReS(2) = A4 дости-
2 Е у*
гается только в точках гь ..., zk. Тогда, по лемме 1.5,
k
К (А) =	(2) ехР 1^*5	(ехР — )»
/=1 Ту
§ 1. МЕТОД ПЕРЕВАЛА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА
173
где с > 0, а у/ — малые дуги контура у*, содержащие точки zt.
Интеграл по дуге у;- и назовем вкладом от точки Zj в асимпто-
тику интеграла F (X). Эти вклады вычисляются с помощью тео-
рем 1.2 — 1.4.
Пусть S')1’ — один из секторов с вершиной в точке г/, в ко-
тором ReS(z)^44 и через который проходит контур у. Пусть
у*1* — достаточно малая дуга контура у с началом в точке zjt
лежащая в Sjn. Заменим у*0 эквивалентной ей дугой у*, на
которой Re S (г) < М всюду, за исключением, быть может, концов.
Полученную таким образом кривую можно разбить на ко-
нечное число дуг уа, каждая из которых либо содержит одну
из точек zs, либо не содержит точек zjt и ReS(z)<Al на кон-
цах дуги уа. Применяя к каждой из дуг уа второго типа де-
формацию, описанную в лемме 1.4, получим искомый контур у*.
Контур у, удовлетворяющий условиям теоремы 1.5, будем
называть перевальным контуром. Асимптотика интеграла по
перевальному контуру легко вычисляется с помощью формул,
полученных в теоремах 1.2—1.4.
Особо следует выделить такой случай:
Предложение 1.1. Пусть	const на у, функ-
ции f (z) и S (z) голоморфны в каждой точке контура (за исклю-
чением, быть может, его концов). Пусть на у лежит конечное
число точек перевала.
Тогда при | X |-->оо, | arg X |	л/2— 6 < л/2, асимптотика ин-
теграла (1.1) равна сумме вкладов от точек перевала, лежащих
на у, и концов контура.
Доказательство следует из того, что
ехр [AS (z)] = ехр (г’Ас) ехр [A Re S (z)], z е у,
где с — константа. Поэтому интеграл (1.1) с точностью до мно-
жителя ехр (г’Ас) совпадает с интегралом вида (2.1.1).
4. Дополнительные параметры. Рассмотрим интеграл Ла-
пласа, зависящий от дополнительного параметра а:
К (А, а)= j / (z, а) ехр [AS (z, a)\ dz.	(1.23)
v
Будем предполагать, что:
Г. Функции f(z, a), S(z, а) голоморфны по (г, а) s X йи,
где йг, йа — области в комплексных плоскостях z, а соответ-
ственно.
2°. у — конечный контур, у ст йг.
Теорема 1.6. Пусть условия 1°, 2° выполнены, а0 е йа.
Пусть max Re S (г, а0) достигается только в конце z0 контура у и
(г0, «о)	0.
174
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Тогда существует 6>0 такое, что при Л—>4~°° равномерно
по а, | а — а01 < 6, справедливо асимптотическое разложение
F (Л, а) ~ ехр [ЛЗ (z0, а)] У а^ (a)k~k.	(1-24)
/г=0
Это разложение можно дифференцировать по Л и по а любое
число раз.
Коэффициенты ak (а) определяются по формуле (1.12) и голо-
морфны при малых | а — а01.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать, что г0 = 0, а0 = О, 3 (г, 0) = — z 4~ О (г2) при малых | z |.
Продеформируем контур у в окрестности точки z = 0 в кон-
тур у' так, чтобы у' совпадал с интервалом / = [0, е], 8 > 0.
Имеем при ге/ и малых | а |
Re S (z, а) = [-I + О (а)] z 4-О (z2),	(1.25)
так что ReS(z,a) при малых |а| достигает максимума на I
только в точке z = 0. Следовательно, при малых | а | эта функ-
ция достигает максимума на у' только в точке z«=0. Далее
остается повторить доказательство теоремы 1.2.
Пусть условия Г, 2° выполнены и выполнено условие
3°. Функция 3 (z, a0), a0 е Qo, имеет простую точку пере-
вала z0 е Qz, z0 является внутренней точкой контура у и
max Re 3 (z, a0) достигается только в точке z0.
z s V
Тогда при 1иалых | a — a01 функция 3 (г, а) имеет ровно одну
точку перевала z0(a) такую, что limz0(a) = z0, и точка пере-
a->a0
вала z0(a) невырождена при малых |а — а01.
Теорема 1.7. Пусть условия 1°—3° выполнены. Тогда суще-
ствует 6>0 такое, что при К —>4-°°, |а— а01	6 асимптотика
интеграла Г(Л, а) равна вкладу от точки перевала z0(a):
F (Л, а)~ехр[ЛЗ(г0(а), а)] У, ak (а) ДЬ|'2.	(1-26)
fe=0
Главный член асимптотики имеет вид (1.13'), где z0 следует
заменить на z0(a).
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать, что а0 —0, zo = O, 3"г(0, 0) = — 1. Далее, контур у
можно продеформировать так, чтобы он совпадал с отрезком
у0*=[—80, е0] в окрестности точки z«=0. Тогда
3 (z, a) - b0 (а) 4- (a)z 4- —^-z2 4~ • • •
§ 1, МЕТОД ПЕРЕВАЛА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА
175
при малых | z |, | а |, где функции bt (а) голоморфны при малых | а |,
и МО) — (0) — 0, М0) = —1. Имеем при малых |а|
г0(а) = 61(а)[1+ О(а)], S (z0 (а), а) = О (а),
S (z, а) — S (z0 (а), а) = у (г — z0 (а))" h (z, а),
где функция h(z, а) голоморфна по совокупности переменных
в точке (0,0), /г(0, 0) = —1. Сделаем замену переменной
? = (г — г0(а)) л/— h(z, а),	(1.27)
где V — h (0, 0) = 1, тогда
S (z, а) — S (z0 (а), а) =-.
Функция C==S(z, а) голоморфна по совокупности переменных
в точке (0,0), £'(0, 0) = 1. По теореме о неявной функции
уравнение (1.27) относительно неизвестной z имеет решение
г = ф(С, а), голоморфное в точке (0, 0) и такое, что ф(0, 0) == 0,
ф£(0, 0)=1. Пусть в,, 6, > 0 достаточно малы; тогда функция
г = ф(£, а) при каждом фиксированном а однолистно отобра-
жает круг 111 < е на окрестность Va точки z = 0, причем Va
содержит круг | z | е2 при всех а, | а |^<\. Можно считать,
что е2 = е0. Представим интеграл (1.22) в виде Fo (А, а) + Fj (А, а),
где Fo— интеграл по отрезку у0. По непрерывности, ReS(z, а)
— с < 0 при z е у \ уо, | а | если 62 > 0 достаточно мало,
так что F2 (Л, а) — О (ехр(— сА)) (А—>ф-оо); можно считать,
что 62 = 6j. После замены переменной г = ф(с, а) интеграл Fo
примет вид
Fo (^, «) = ехр [AS (z0 (а), а)] ехр ( — f (ф (£, а), а) ф' (£, а) d£,
1а
(1.28)
где 1а — образ отрезка у0. По построению, 1а лежит в круге
1^8] и задается уравнением ? = рфО(а), — е0<р^е0.
Пусть (а), g2 (а) — концы 1а и /«’, 1„} — дуги окружности | £ | = е,,
соединяющие точки —еь (а) и е1; g2(a) соответственно. Тогда
интеграл (1.28) равен сумме интегралов по отрезку /' = [— 8 , е,]
и по дугам /а\ /а*. На этих дугах Re(— £2/2) = — е?/2 + О (| а |),
так, что интегралы вида (1.26) по этим дугам имеют порядок
О(ехр(—сА)), с > 0, если | а |	6 и 6>0 достаточно мало.
Применяя к интегралу по отрезку 1'0 теорему 2.2.1, получаем
утверждение данной теоремы.
176
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
§ 2. Теоремы существования
1. Глобальная структура линий уровня гармонических функ-
ций. Пусть функция S (г) голоморфна в области D и отлична
от тождественной постоянной. Через {ReS = cJ обозначим
множество уровня ReS(z) = с, z е D. Аналогично вводятся
обозначения {ImS = с), {Re S < с} и т. д. Множество {Im S = с}
(соответственно {ReS = c}) состоит из конечного или счетного
числа связных компонент, которые назовем линиями уровня
функции ImS(z) (соответственно ReS(z)).
Лемма 2.1. Пусть 1С — линия уровня {ReS = c}, не содер-
жащая точек перевала. Тогда:
1°. Функция w = S(z) взаимно однозначно отображает 1С на
горизонтальный интервал вида
w = c-\-iv,	—
2°. I,. — простая аналитическая кривая, диффеоморфная ин-
тервалу.
Доказательство. Покажем, что функция Im S (z) строго
монотонна вдоль 1е. Пусть функция ImS(z) имеет экстремум
в точке zoe/c. В силу леммы 1.1 дуга 1С, проходящая через z0,
является аналитической кривой; пусть z = ср(т), —б^тй^б, —
ее уравнение, где т — длина дуги, cp(O) = zo. По условию,
ReS (<р (г))sO, | т | ^б. По предположению, ImS(cp(r)) = 0
при т = 0. Следовательно, S'(z0) = ‘J, т. е. z0 — точка перевала,
что противоречит условию. Из монотонности Im S следует 1°,
а из 1° следует 2°.
Линию уровня {ReS = c) (или {lmS = c}), содержащую
точку перевала, будем называть критической линией уровня.
Следствие 2.1. Критическая линия уровня {ReS = c}
состоит из конечного или счетного числа линий, обладающих
свойствами 1°, 2°.
Далее будем рассматривать множества уровня {ReS = c},
{ImS = c} мероморфной функции S (г). Структура линий уровня
{Re S = с} в окрестности точки перевала исследована в лемме 1.3.
Рассмотрим окрестность полюса.
Пример 2.1. S = aozra, п 1 целое, а0 = poeilt>«, р0 = | а0 | > 0.
Полагая z = re1®, получаем уравнение множества Мс = {Im S = с}:
rn sin (мер + Фо) = с/р0.
Множество Мо состоит из 2/г лучей arg z ss <р^ s (kn — ф0)/п,
fe = 0, 1, ..., 2n — 1, которые разбивают плоскость на 2п сек-
торов Sk: <pft < arg z < <рь+1 (S2„ = So). При c =#= 0 множество Mf.
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
177
состоит из 2п линий /с> к, которые являются кривыми типа
гиперболы: lCtk лежит внутри Sk и имеет своими асимптотами
лучи, ограничивающие Sk.
Функция w = S(z) конформно отображает каждый сектор Sk
на полуплоскость вида Im w > 0 или Im w < 0, а каждую
линию 1с,к при с=#0 — на горизонтальный луч
1тда = с, —oo<Reaa<oo.
Пример 2.2. S = а02~п, п 1 — целое, аа = роеЛ1’|>. Уравнение
Мс = {Im S = с}:
г-" sin (фо — /мр) = с/р0.
Множество Мо состоит из 2п лучей arg2 = qpft = (ф0 + kn)jn
k = 0, 1, 2п—1, которые разбивают плоскость на 2п сек
торов Sk. При с=#0 множество
Мс состоит из 2п кривых lC'k,
которые имеют вид лепестков
(см. рис. 5, S — с вер-
шиной в точке 2 = 0. Каждый ле-
песток 1с,к лежит внутри секто-
ра Sk и касается в точке 2 = 0
лучей, ограничивающих сектор.
Функция w = S (г) конформно
отображает Sk, lc,k на те же мно-
жества, что и в примере 2.1.
Лемма 2.2. Пусть точка г0 является полюсом функции S (г)
порядка п. Тогда:
1°. Если г0у=оо, то существуют окрестности U, V точек z = z0,
да = 0 и функция ф(да), голоморфная при да eV, такие, что
1) 5(ср(да)) = aQw~n, где а0= lim (г — z0)n S (2);
2->20
2) отображение ф: V—>U однолистно, ф'(0) = 1.
2°. Если г = оо, то существуют окрестности U, V точек z — ос,
w = oo и функция ф (да) такие, что
1) S (ф (да)) = aQwn, где аа— lim z~nS(z);
2) ф: V—>U, отображение однолистно',
3) ф (да) = даср (да), функция <р (да) голоморфна в точке да = оо
U <р (оо) = 1.
Доказательство. В случае 1° имеем (S(z))-’ = a^z — 20)nX
ХМ2 3). функция /г(г) голоморфна в точке г0 и /г(г0)=1.
Из леммы 2.3.2 следует существование искомой функции ф (да).
Случай 2° сводится к этому заменой z=l/g.
Таким образом, если г0 — полюс функции S(z), то в до-
статочно малой окрестности г0 линии уровня ImS = c устроены
так же, как и линии уровня эталонной функции aa(z — 20)
z0 #= оо, или aozn, 2 = 00.
178
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Задача 2.1. Доказать, что если S (z) = аогп + ... Ц-ап, то асимп-
Q1 1Чь
тотами линий 1С являются лучи z ---------pre , O^r^oo <pt =
— (kn — arg ай)1п.
Пусть S(z) — мероморфная функция, C (z) — расширенная
комплексная плоскость (риманова сфера), Cs (г) — риманова
сфера, из которой удалены особые точки функции S(z). Мно-
жества уровня функций ReS(z), ImS(z) рассматриваются
в области C5(z); концами линий уровня {ReS = c}, {ImS = c}
могут быть только особые точки функции S (z). Пусть 1С — линия
уровня {ReS = c}, z0 — один из ее концов. В силу леммы 2.1
существует предел
lim ImS(z) = a.	(2.1)
Z->ZO, z e lc
Если z0— полюс, то a = ± оо в силу леммы 2.2. Аналогично,
для линии уровня Ту. {ImS = c} существует предел
lim ReS(z) = &,	(2. Г)
z^z0, z е l'
причем 6 = ±оо, если z0 — полюс. Следовательно, если п=И=оо
(или Z?^=oo), то z0 = <x> и является существенно особой точкой
функции S(z). Число с + ia (соответственно b + ic) является
асимптотическим значением функции S (z).
Пример 2.3. Пусть S — ez, 10— вещественная ось. Тогда
ImS(z) = 0 на /0, lim Re (<?*) = 0.
Х-> —ОО
Если предел (2.1) или (2.1х) конечен, то естественно наз-
вать точку z=oo особой точкой перевала функции S (z). За-
метим, что если S (г) — трансцендентная мероморфная функция,
не имеющая асимптотических значений, то точка z = оо не
является точкой перевала.
Определение 2.1. Линия уровня le: {ReS = с} (соответ-
ственно Ту. {ImS = c}) называется критической, если она содер-
жит точку перевала z0 оо или если одним из ее концов
является точка z=oo, и предел (2.1) (соответственно (2.1х))
конечен.
Из определения 2.1 и проведенных выше рассуждений
вытекает
Лемма 2.3. Пусть 1С, Тс— некритические линии уровня
{ReS = с}, {ImS =» с} соответственно. Тогда функция w = S{z)
взаимно однозначно отображает 1С {соответственно Т) на прямую
Re w = с {соответственно Im w = с).
2.	Структура множеств а < Re S < b для мероморфных
функций S (z).
Теорема 2.1. Пусть Ма<ь — максимальная связная ком-
понента множества уровня {а < Re £<£>}, не содержащая кри-
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
179
тических линий уровня {ReS = c}, а < с < Ь. Пусть хотя бы
одно из чисел а, b конечно.
Тогда функция w — S(%) взаимно однозначно отображает Ма ь
на полосу а < ReS < b.
Замечание 2.1. Если а = —оо, 6 < Д-оо (или а> — оо,
й==4-оо), то образ множества Ма,ь есть полуплоскость.
Доказательство. Множество Ма>ь вместе с каждой
точкой z0 содержит всю линию уровня l(z0): {ReS = ReS(z0)},
проходящую через точку г0. По лемме 2.3, функция w = S(z)
взаимно однозначно отображает линию /(z0) на вертикальную
прямую Re® = ReS(z0)- Таким образом, множество Ма,ь рас-
слаивается на линии уровня /(.г0), а его образ —на верти-
кальные прямые Re да = с, а < с < Ь.
Задача 2.2. Пусть S (z) — рациональная функция, cQ = min Re S (гД
где минимум берется по всем точкам перевала функции S (г). Доказать, что
при с с0 множество уровня {Re S < с} состоит из конечного числа связных
компонент, каждая из которых взаимно однозначно отображается функ-
цией S(z) на полуплоскость Re ю < с.
Теорема 2.2. Пусть S (z) — мероморфная функция, не
являющаяся линейной функцией. Тогда критические линии уровня
функции ReS(z) разбивают комплексную плоскость на области,
каждая из которых взаимно однозначно отображается функ-
цией S (z) на область вида а < Re S < b.
При этом одно (и только одно) из чисел а, b может быть
бесконечным.
Доказательство. Функция w = S(z) отображает область
Cs(z) на некоторую риманову поверхность £№, лежащую над
римановой сферой С (да). Это отображение S однолистно во
всех точках геСДг), кроме точек перевала. Пусть Ф —мно-
жество всех критических линий уровня функции ReS(z), Ф =
= 5(Ф), и $T = 9ft\4r. Если	то вся вертикальная
прямая {Re да == Re дау} е Ж. Действительно, пусть да0 = 5(г0),
где 20ёФ; тогда линия уровня {Re S — Re S (z0)}, проходящая
через точку г0, является некритической. Поэтому эта линия
лежит в С5(г)\Ф и, по лемме 2.3, взаимно однозначно отоб-
ражается на прямую Reny = Rew0. Следовательно, всякая
максимальная связная компонента D' множества Ж' однократно
покрывает полосу вида а < Re да < Ь.
Допустим, что а = — оо, £> = -}-оо для некоторой области
ГУ cz ПЛ'. Тогда функция г = 5-1(да) взаимно однозначно ото-
бражает комплексную плоскость да на некоторую область D.
Отсюда следует, что S (да) — линейная функция, так что
S (z) — линейная функция.
180
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Будем называть область D <=. Cs(z), которая ограничена кри-
тическими линиями уровня функции ReS(z), областью типа
полосы (полуплоскости), если функция w = S (г) взаимно одно-
значно отображает D на полосу вида «<Rea’<b (на полу-
плоскость вида Reoy>zz или Rew<a).
Из теоремы 2.2 следует, что критические линии уровня
функции ReS(z) разбивают комплексную плоскость на области
типа полосы и типа полуплоскости.
Заменяя S(z) на iS(z), получаем, что теоремы 2.1, 2.2 ос-
таются в силе, если вместо линий {ReS = c} взять линии
{ImS = c}.
Рассмотрим примеры. Пусть S (z) — ayzn + ... 4~ ап, а0 =4= 0,
—полином. Если 1С — некритическая линия {ReS = c}, то
она имеет две различные асимптоты. Если 1С — критическая
линия, с началом в точке перевала и концом в бесконечности,
то она имеет асимптоту, параллельную одному из лучей
Re(aozn) = O. Граница области типа полуплоскости (полосы)
состоит из одной (двух) связных компонент. Аналогично устроены
линии {ImS = с) и области, ограниченные критическими линиями.
Пример 2.4. S (г) = i (г3/3 + z). Точки перевала zli2 = ±z—
обе простые, S (zj,2) = + 2/3, так что ImS(zL2) = 0. Уравнение
линии ImS(z) = 0 имеет вид х(х2— Зу2 + 3) = 0, так что эта
линия состоит из оси Оу и гиперболы. Критические линии раз-
бивают плоскость на 6 областей типа полуплоскости.
Линия наибыстрейшего спуска, проходящая через точку
перевала z = i, есть ветвь гиперболы х2 — 3z/2 + 3 = 0, у > 0.
Пусть S (z) — мероморфная функция, z0 =£ оо — полюс по-
рядка п, S(z) = a0(z— z0)~п + ... Если г0— один из концов 1С,
то 1С касается в точке z0 одного из лучей Re [а0 (^ — 20)-и] = 0.
Если оба конца 1С совпадают с z0, то 1С в точке z0 касается
двух различных лучей, указанных выше.
Пример 2.5. S (z) = у (z — j). Точки перевала z1,2=±/—
обе простые, S(±z) = ±z, так что ReS(±z) = O, ImS(±z) =
= ± 1. Уравнение линии Re S (z) = 0 имеет вид х (х2 + у'2— 1) = 0,
так что она состоит из оси Оу и единичной окружности |z| = 1.
Построим линию ImS(z) = l, проходящую через точку пе-
ревала Z]=z. В окрестности простой точки перевала эта линия
состоит из четырех кривых, две из которых идут внутрь окруж-
ности |г|=1, две —наружу. Линии, направленные внутрь, не
могут выйти из круга |z|< 1, так как ReS(z) = 0 на окруж-
ности | z | = 1 и Re S (z) — строго монотонная функция вдоль
этих кривых. Следовательно, обе эти линии оканчиваются в по-
люсе г = 0 и касаются лучей Iml/z = 0, т. е. касаются веще-
ственной оси. Аналогично линии, выходящие из круга | z | < 1 ,
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
181
целиком лежат вне круга и оканчиваются в точке z = °o; их
асимптотами являются полуоси (— оо, 0), (0, + оо). Так как
$(?)==$ (z), то линии уровня Im S (г) = ± 1 симметричны отно-
сительно вещественной оси. Эти линии разбивают плоскость
на 4 области типа полуплоскости и 2 области типа полосы.
Пример 2.6. S(z) = ez. Эта функция не имеет конечных
точек перевала. Линия Im S (z) = с имеет уравнение ех sin у = с.
При с = 0 получаем линии lOtk: у = kn, —оо<х<оо, где
fe = 0, ±1, ±2, ... Эти линии — критические, так как Reez =
= excos у ~>0 при z е lOik, Rez—> — оо. Следовательно, z = оо —
точка перевала; естественно считать, что кратность ее равна
бесконечности, так как через нее проходит бесконечно много
критических линий. Линии lOik разбивают плоскость на области
типа полуплоскости.
Ряд примеров будет рассмотрен в следующих параграфах.
3.	Теоремы существования. Рассмотрим интеграл
F (Л) — ехр [XS (z)] dz,	(2.2)
у
где S (z) =й const — мероморфная функция, у — простая кусочно-
гладкая кривая, функция S (z) голоморфна во всех внутренних
точках кривой у. Будем предполагать, что
| ехр [A.S(z)] 11 dz | < оо, Л, > 0,	(2.3)
v
и что если конец кривой у является полюсом функции S(z),
то в достаточно малой окрестности этого полюса (на римано-
вой сфере) у является интервалом или лучом.
Теорема 2.3. Пусть S (z) — рациональная функция. Тогда
либо существует перевальный контур у' такой, что
F (Л) = ехр (z)] dz,	(2.4)
V'
либо F (Л) = 0 при Л > 0.
Напомним, что перевальным контуром называется контур,
Удовлетворяющий условиям теоремы 1.4, и что асимптотика
интеграла по перевальному контуру легко вычисляется. Следо-
вательно, имеет место
Следствие 2.2. В условиях теоремы 2.2 либо Р(Л) = О
при X > 0, либо асимптотика F (К) при К—>-ф оо равна сумме
вкладов от точек перевала, лежащих на у', и концов контура у',
в которых достигается max Re S (z).
182
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Таким образом, асимптотику интеграла (2.2), где S(z)~
рациональная функция, всегда можно вычислить с помощью
метода перевала.
Рассмотрим интеграл (1.1), где S(г) — рациональная функ-
ция, и условие А3 из § 1 выполнено. Тогда либо К(Л)^0 при
Л > 0, либо
F (Л) = ( f (з) ехр [AS (z)] dz + 2л/ V res (/ (z) ехр [KS (г)]), (2.5)
J	2 = 2 ,
Y	*
где сумма берется по всем вычетам функции f(z), которые
лежат в области, ограниченной контурами у и у'. Так как
асимптотика интеграла по у" вычисляется (см. теорему 1.4),
то асимптотика интеграла (1.1) в случае, когда f, S— рацио-
нальные функции, также всегда вычисляется методом перевала.
Доказательство теоремы 2.3. Рассмотрим вначале слу-
чай, когда функция S(z) голоморфна на концах у. Введем
обозначения: z1; ..., zn— все точки перевала функции S(z),
C/ = ReS(zp, и пусть	••• w (IV)— образ множе-
ства 9JiczCs(z) (это риманова сфера с выколотыми полюсами
функции S(z)) при отображении w = S(z), w~‘(3V)— прообраз
множества КаС(да), с* = max ReS (г), с** = min ReS(z). Дефор-
zey
мация у в у' проводится в несколько этапов. Пусть Ма,ь —
одна из максимальных связных компонент множества {а < ReS<
< b}, не содержащая точек перевала. Тогда, по теореме 2.1,
функция w — S(z) взаимно однозначно отображает Ма,ь на по-
лосу (или полуплоскость) a <Rew < Ь. Поэтому все деформа-
ции удобнее проводить в плоскости w.
1°. Пусть (у \ ду) с ь, и пусть с* < Ь. Так как w (Л/в, &)—
полоса или полуплоскость, то кривую w (у) можно продефор-
мировать внутри w(Ma,b) в отрезок у, соединяющий концы
этой кривой. Контур y/ = w~1(y) эквивалентен контуру у и
является перевальным.
2°. Пусть (у \ ду) cz Ма, ь, и пусть ReS(z*) = b, ReS(z*’) <b,
где z*, z** — концы у. Тогда кривую w (у) можно внутри w(Mab)
продеформировать в ломаную у, состоящую из двух звеньев.
Именно, проведем из точек w* = S (z*), w'* = S (z**) прямые
Rew = Rew*, Imw = Imw**; они пересекутся в точке w°. Соста-
вим у из отрезков [w*, w°] и [w**, ai‘], ориентация которых со-
гласована с ориентацией w(y). Контур у' = w~l (у) эквивален-
тен контуру у и является перевальным.
Пусть для определенности высоты точек перевала at, . .., сп
различны: Cj < с2 < • •  < сп\ общий случай исследуется точно
так же. Положим с0 = — оо, сп+1 — + оо для удобства. Пусть
Cj < с* <Д/+) (j < п). Покажем, что тогда контур у можно про-
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
183
деформировать либо в перевальный контур у', либо в такой
контур у*, что max Re S (г) — Су. После этого доказательство
ZEEY*
завершается индукцией по /.
Множество {с/ < Re S < с/+1) не содержит точек перевала
и в силу теоремы 2.1 состоит из конечного числа связных
компонент Dj'P, каждая из которых взаимно однозначно ото-
бражается функцией w = S(z) на полосу Cy<Reu)<c/+i (или
на полуплоскость, если / = 0 или j = п). Положим У/,р = уП
П {Dj,p U dDh р}. Не ограничивая общности, можно считать,
что у,, р состоит из конечного числа кривых У/,Р1<Г Применим
к каждой из этих кривых деформацию Г или 2°; пусть у^ р q—
полученные кривые, у{ р = U Y;- р q и Y*— контур, полученный
из у заменой у. р на у' р. Если контуры у' , у'- р при неко-
торых pt ф р2 проходят через точку перевала z/+1 (она является
концом для обоих контуров) и их ориентации противоположны,
то контур у) р. U Уу Р2 заменим эквивалентным контуром, уже
не содержащим точки z/+1. К полученному контуру применим
деформацию 1°. Будем считать, что при построении у* такие
деформации уже проделаны. Имеются следующие возможности:
A.	max Re S (z) > Су.
Тогда у* — перевальный контур. Действительно, по построе-
нию деформаций 1°, 2°, указанный максимум обязательно до-
стигается либо на одном из концов контура у*, либо в точке,
перевала zj+i; в последнем случае выполнено условие Ао тео-
ремы 1.1.
В.	max Re S (z) = су.
Тем самым теорема доказана в случае, когда функция S (z)
голоморфна на концах контура у. Пусть один из концов кон-
тура у — полюс функции S (г). Положим
Vi = У П {ReS < min(ci, с") — е}, е > 0.
Тогда контур Yi можно продеформировать в перевальный кон-
ТУР У(, контур '/ = (у\ у.) U у' является перевальным. Пусть
оба конца контура у являются полюсами функции S (z). Пов-
торяя ту же конструкцию, что и выше, получаем контур у',
эквивалентный у, который либо является перевальным, либо
max Re S (z) < Cj — e. Так как множество {Re S < ct — e} состоит
z= Y'
из конечного числа связных компонент, то у лежит в одной
из них, скажем, Z),. Тогда dDt—это линия уровня {ReS==c1—е},
184
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
с началом и концом в некотором полюсе z0 функции S(z), и
Dj — односвязная область. Пусть для простоты z0=^=oo. Тогда
из условий на контур у, наложенных в теореме, следует, что
интеграл по у' равен нулю. Теорема доказана.
Точно так же доказывается следующая
Теорема 2.4. Пусть S (z)— мероморфная функция, удовле-
творяющая условиям:
1°. S (z) не имеет асимптотических значений.
2°. На каждом конечном отрезке а с b имеется конечное
число критических значений функции ReS(z).
Тогда, если функция S(z} голоморфна в окрестности конеч-
ной кривой у, то существует перевальный контур у', эквива-
лентный у.
§ 3. Функция Эйри
1. Определение и простейшие свойства. В своих исследова-
ниях по оптике в 1838 г. Эйри ввел функцию
Ai{z) = ]-\^(~ + tz'\dt	(3.1)
Jl> J \ о	/
о
(z вещественно), которая называется теперь функцией Эйри.
Она выражается через функции Бесселя порядка 1/3:
Функция Эйри часто встречается в задачах дифракции волн,
квантовой механики, асимптотической теории дифференциаль-
ных уравнений и многих других. Из (3.1) следует, что при
вещественных z
оо
Ai $ехр D (-4+г0]dt 	(3-2>
— оо
Функция Ai (z) аналитически продолжается на всю комплексную
плоскость как целая функция г. Действительно, пусть 10 — кон-
тур, состоящий из лучей (ооег5л/6, 0] и [0, оое‘я/5). По лемме
Жордана, имеем при вещественных г
^•(z) = i $ехр(1'(4 +^))л.	(3.3)
Интеграл, стоящий в правой части, сходится при всех z и
потому является целой функцией.
§ 3. ФУНКЦИЯ ЭЙРИ
185
Из (3.2') следует, что Ai(z) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
w" — zw = 0.	(3.4)
Это уравнение имеет решения Ai (z), Ai (coz), Ai (<o2z), где co =
==e2lt^3— корень кубический из единицы. В силу (3.3) имеем
Ai (z) + со At (toz) + со2 At (co2z) sh 0.	(3.5)
В качестве второго линейно независимого решения уравнения (3.4)
используется функция
Bi (z) = zco2Az (co2z) — zcoAz (coz).
Функции Ai (z), Bi (z) вещественны при вещественных z.
2. Асимптотика функции Эйри.
Предложение 3.1. Пусть 0 < е < л. Тогда'.
1°. При |z|-*-oo, |argz|^jr —е
оо Г (.У? + 1 \ (_ i)fe
At (z)----Ц—ехр (— 4 г3/2) У------— -------z~W2 •	(3.6)
---	4 _
Здесь для л/z , л/z берутся главные ветви.
2°. При | z | -> оо, |argz —л|^е
X—й>.	2~"“+
оо Г <	+ 1 Л
+ iехр (-1z3'2) £ -.-- 2	Z-W2].	(3.6')
й=0	' ’
Здесь выбор ветвей следующий'.
л/z = е'я'41 д/z |, Vz = i lVz |
при z e (— oo, 0).
Эти асимптотические разложения можно дифференцировать
любое число раз.
Доказательство. Пусть | arg z | л — е. Функция g (/, z) =
== i (/з/З + tz) при фиксированном z имеет ровно две точки пере-
вала Z1j2(z) == ± z д/z , где для Vz выбрана главная ветвь.
Пусть z вещественно, z>0, тогда в (3.3) maxReg(f, z) = 0
на контуре интегрирования. Так как g{t2(z), г) = (2/3)z3/2 > 0,
то точка перевала t2 (z) не может вносить вклад в асимптотику
интеграла (4.3).
186
ГЛ. IV, МЕТОД ПЕРЕВАЛА
В этом примере можно не исследовать структуру критических
линий уровня. По лемме Жордана, можно в (3.2) заменить
контур интегрирования параллельной прямой i — lx/z. 4 т,
— оо < т < оо, проходящей через точку перевала Л (г), так что
при ге (0, + оо)
Лг(г) = 2^ехр(— 2:3/2) j ехр (— хУ z +	=
— ОО
00
= ^-ехр(—уг3/2) ехр (—f ) cos(3.7)
о
Последний интеграл в (3.7) сходится абсолютно при всех
z s (— оо, 0), так что эта формула справедлива при гё(- оо, 0).
Применяя лемму Ватсона к последнему интегралу в (3.7), полу-
чаем (3.6).
Пусть |argz — л|^е. Имеем из (3.5)
At (z) = — aAi (coz) — <o2Ai (co2z),
где со = е2лг/3. Если e>0 достаточно мало, то точки nz, a2z
лежат в секторе | arg z | л — 6 < л, ик функциям Ai (со).. Ai (шТг)
можно применить формулу (3.6). Отсюда следует (3.6').
Из предложения 3.1 следует, что функция Эйри
1)	экспоненциально убывает в секторе | arg z | < зт/3;
2)	экспоненциально возрастает в секторах л/3 < arg z < л,
— п < arg z < — л/3;
3)	осциллирует на лучах argz = ±n/3, л.
На вещественной оси имеем
Лг (х)~^=х-1/4ехр(—-|-х3/2)	(х->4-оо),	(3.8)
Лг-(х)== ’ (_x)-1/4fcos(4(-x)3/2 +-J-) + Q(.r-3/2)]	(3.8')
(х—> — оо).
Таким образом, функция Эйри экспоненциально затухает
при х-* + °° -и осциллирует и затухает степенным образом при
х->— оо, т. е. ее поведение существенно различно при поло-
жительных и отрицательных х. На полуоси (—оо, 0) функция
Эйри имеет бесконечно много нулей; можно показать [23], что
все нули функции Эйри вещественны.
Асимптотика функции Bi(z) легко находится из соотноше-
ния (3.6) и предложения 3.1.
§ 4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
187
§	4. Функции Бесселя
1.	Асимптотика функции Jn(z) при п целом, г-^-оо. Если
п — целое число, то при всех z справедливо интегральное пред-
ставление
(4.1)
1/| = 1
] , -A t~п ~ 1
Этот интеграл имеет вид (1.1), где S = -^(t — t ), f =—п-
a	ZTl I
Функция S (t) имеет точки перевала t = ±i’, обе они простые и
лежат на контуре интегрирования. Вычислим асимптотику Д(г)
при фиксированном индексе п и при z->oo. Полагая t =
2 = | z | ‘9, S(t, 0) = ei& S (/), получаем
ReS(/, 0) = — sin 0 sin ф, eie S (± i) = ± ieie. (4.2)
Поэтому max ReS(Z, 0) = Мв при любых 0 достигается в одной
। /1=1
из точек перевала, и только в них. Исключение составляет слу-
чай, когда z вещественно; но когда контур интегрирования
можно продеформировать так, чтобы Л1() достигался только
в точках t — + i. Применяя теорему 1.4, получаем, что асимпто-
тика /„(z) равна'сумме вкладов от точек перевала при |z|->oo
и при всех argz
(оо	\
^+Ум-/гГЬ|;2 +
yZntz	J
k я 1
+ e~tz(	+ £ aft(/z)-ft~1/2) .	(4.3)
\ V — 2ntz	J
Здесь ветви ^iz, л/—iz выбраны в плоскости с разрезами
по лучам [0, + /оо), [0, — /оо) соответственно так, что корни поло-
жительны при положительных значениях /г (соответственно
— iz). При этом неоднозначность выбора ветвей при отрица-
тельных значениях iz (соответственно — iz) несущественна, так
как при таких z соответствующая экспонента е‘г(е~‘г) экспонен-
циально мала по сравнению с другой экспонентой в (6.3).
Поясним выбор ветвей. Пусть z = iy, у > 0, тогда 6 — л/2,
максимум Мв достигается только в точке t = — i, S"tt (— i, л/2) =
= — 1. Поэтому касательная в точке /= — / к линии наибы-
стрейшего спуска горизонтальна, так что argV—S"tt (—/, л/2)=0.
Далее аргумент продолжается по непрерывности.
188
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Главный член асимптотики при |z|->oo, | argz | л — е < л
имеет вид
4(z) = -^U[cos(z-^ - -J) + O(z- *)].	(4.4)
Асимптотическое разложение (4.3) можно дифференцировать
любое число раз.
Непосредственное вычисление коэффициентов ak, bkno методу
перевала, как обычно, весьма затруднительно. Воспользуемся
тем, что функция у — z~'/2 Jn (2) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению Бесселя
/' + (1-^-)9 = 0.
Полагая y~eizw, получаем
„ , о. z п2 —1/4 п
w 4- 2iw------г. w — 0.
1	г2
оо
Подставляя сюда разложение w ~ bk(iz)~k и приравнивая
k = 0
нулю коэффициенты при степенях z~k, получаем рекуррентные
соотношения
,	_ (2k + 1)2-п2
°k + l—	8(^+1)
Так как Ьп известно из (6.3), то отсюда находим bk. Оконча-
тельные формулы см. в [23], [45], [75].
2.	Функция Бесселя нецелого аргумента при г—>оо. Вос-
пользуемся интегральным представлением Зоммерфельда для
функции Ханкеля порядка v I рода:
ОО +Л1
//V)(z) = X ezsi>t~vtdt,	(4.5)
которое пригодно при Rez>0 и любом комплексном V. Контур
интегрирования состоит из лучей (— оо, 0], [ш, ш’ +оо) и от-
резка [0, т]. Найдем асимптотику этой функции при z-^оо и
при фиксированном v. В данном случае S = sh/, f = e~vt. Точки
перевала имеют вид 4 =-у-+, k — Q, ±1, ... и все они
простые. Покажем, что контур интегрирования можно проде-
формировать в линию наибыстрейшего спуска I: Imsh/ =
= Imsh/0=l, проходящую через точку перевала /0. Функция
w = sh t взаимно однозначно отображает полуполосу 0<Re/<
<00, -5-<1т/<л, на левую полуплоскость Rem><0, и про-
§ 4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
189
образом полуоси (— оо, 0) является половина /+ линии I. Линия I
симметрична относительно мнимой оси, так что I лежит в по-
лосе 0 < Im t < л и имеет своими асимптотами лучи (— оо, 0),
(гл, гл + оо). Поэтому контур интегрирования можно продефор-
мировать в эту линию, и из теоремы 1.2 следует, что
(г) ~ ехр [г (г -	f)] д/ ~
оо
1 + У akz~k
k=i
(4.6)
при |z|->oo, | argz |	л/2 — e < л/2, где для Vz выбирается
главная ветвь. На самом деле этот результат справедлив при
— л < — л + e=Cargz^2n— е < 2л. Доказательство этого утвер-
ждения несколько утомительно; оно может быть проведено
тем же способом, что и в § 3. Аналогично вычисляется асимп-
тотика Ханкеля II рода Н®* (z) и функции Бесселя Jv(z)~
= 4[//V>(z) + <) (г)].
3.	Асимптотика Jx(x) при х-> + оо. При Re.r>0 имеем
оо + гл
W — j ехр Iх (sh t — /)] dt.
oo — i Л
Здесь интеграл берется по контуру, состоящему из отрезка
(—яг, пг] и лучей [яг, лг + оо), (+°о — лг,—гл]. Точка / = 0
является двукратной точкой перевала функции S = shZ — t. Линия
уровня Im 5 (/) = (), проходящая через точку перевала / = 0, за-
дается уравнением chcrsinr = T, /=о + гт, и содержит веще-
ственную ось. Так как t — Q — точка перевала второго порядка,
то остальные ветви I образуют углы ± л/3, ± 2л/3 с вещест-
венной осью. В силу симметрии I относительно осей достаточно
рассмотреть уравнение ch о — т/sin т при п > 0, т > 0. Это дает
нам линию наибыстрейшего спуска llt которая выходит из точки
t — 0 под углом л/3 к вещественной оси и имеет асимптоту
т = л. Линия 12, симметричная с Ц относительно вещественной
оси, также является линией наибыстрейшего спуска.
Продеформируем контур интегрирования в контур, состоя-
щий из линий /], /2. Так как 5(/) вещественна при веществен-
ных t, то значения интегралов по 1\ и /2 комплексно сопряжены.
Следовательно,
J х (х) = 2 Re ехр (xS (t)) dt.
г,
Далее, S(0) = 0, S'" (0) = 1, угол между 1\ и осью Ох в точке
1 = 0 равен п/3. Применяя теорему 1.4, получаем, что при
190
ГЛ IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
X —> + ОО
Л(х)~л-'^6 sin Г (у) х-
оо
1 + ^akx~kl3
k=\
Можно также показать, что все =
Приведенные в §§ 3, 4 примеры носят иллюстративный ха-
рактер; кроме того, мы, как правило, ограничивались главным
членом асимптотики. Метод перевала многократно применялся
к вычислению асимптотики специальных функций при различ-
ных соотношениях между аргументом и индексами, а именно,
к функциям Бесселя, к функциям параболического цилиндра
(Вебера), к функциям и полиномам Лежандра и ко всем другим
ортогональным полиномам, к функциям Уиттекера, гипергео-
метрической функции и т. д. Мы не ставим своей целью напи-
сать справочник по асимптотике специальных функций и отсы-
лаем интересующегося этими вопросами читателя к работам
[23], [45], [68], [75].
§ 5. Асимптотика коэффициентов Тейлора
и Лорана аналитических функций.
Некоторые задачи теории вероятностей,
статистической физики и теории чисел
1. Класс интегралов. Выбор перевального контура. Пусть ряд
оо
f (?) = 2 anzn	(5.1)
сходится при | z | < R оо. Требуется найти асимптотику коэф-
фициентов Тейлора ап при /г-->оо.
По формуле Коши, имеем
J	(5.2)
lzl=r
В этой формуле в качестве г можно взять любое число такое,
что 0 < г < R. Рассмотрим семейство окружностей {| z | *== г}.
Пусть п фиксировано, гп таково, что
min max (| f (г) 11 z Г™-1)	(5.8)
0<г<Я |г|=г
достигается на окружности | z | = гп, и пусть zn — одна из точек
в которой достигается этот минимакс. Тогда, вообще говоря,
точка zn является седловой точкой функции gn(z)=* f (z)z~n~l,
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
191
так как в ней достигается
min max | gn (ге,ф) |.	(5.3')
0< г < R 0<ф<2л
Во всяком случае мы немедленно получаем следующую оценку:
max |f(z)|.	(5.4)
1г1 = гп
Пусть все коэффициенты Тейлора ап неотрицательны:
а0 > 0,	{п= 1, 2, ...).	(5.5)
Покажем, что минимакс (5.3) достигается в точке z — rn, кото-
рая является точкой перевала функции gn(z).
Лемма 5.1. Если условие (5.5) выполнено, то
max | f (z) | = f (r).	(5.6)
|z|=r
Если этот максимум достигается также в некоторой точке
z^r, то существует целое число р^2 такое, что
оо
f(z)=Zapnzpn.	(5.7)
п = 0
Доказательство. Пусть 0^ф<2л, тогда
1Ш1 =
£ апгпе1п*
оо
< Е апгп,
так как а„^0. Пусть равенство имеет место при некотором
Ф =#= 0, и пусть ап„ ап,, ..., где 1	< п2 < ... — все ненуле-
вые коэффициенты ряда (5.1). Тогда = 1 при k = 1,2, . ..,
так что фп^ = 2лтА, где — целые числа. Следовательно, П/=
= -j^nij = rnih где г — рациональное число, и 0 <r < 1, так
как 0 < ф < 2л. Пусть г = p/q, где p^l, <7^2 —взаимно про-
стые целые числа, тогда nj — pnijlq, так что nij делится на
q: nij — qSj, nj = pSj, и f (z) имеет вид (5.6).
Таким образом, минимакс (5.3) достигается в точке, в ко-
торой достигается min (г)
Лемма 5.2. Пусть условие (5.5) выполнено, f (z) не имеет
вида azk. Тогда
i (ттг) >0	<5-8>
при 0<r <R.
Доказательство. Пусть М (г) = max | f (z) |. Тогда М(г) =
| Z I = Г
~1(г) в силу леммы 5.1. По теореме Адамара о трех кругах
192
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
функция In М (г) является строго выпуклой книзу функцией от
In г, если только f(z) не имеет вида anzn. Следовательно,
lnAI(r) = r^-(4rr)-
\ d In г 7	4 ' dr \ f (г) )
Приведем элементарное доказательство этой леммы. Левая
часть (5.8) равна
Г"1 (/ (г))-2 If (г) (гТ (г) + rf' (г)) - (гГ (г))2] =
Г оо	ОО	/ 00	\2-|
= r~' (f (г))-2 х akrk  X k2akrk — ( X kakrk I <0
Lk=u	fe=o	\fe-o	/ J
при r #= 0 в силу неравенства Коши — Буняковского; равенство
возможно только тогда, когда akrk — pk2akrk, где ц не зависит
от k, при всех £ = 0,1,..., и так как а0 > 0, то при г =£ О
имеет место строгое неравенство.
Лемма 5.3. Пусть условие (5.5) выполнено, функция f(z)
не является функцией вида azn. Тогда при любом ре(0, ц5),
ц0= lim xf' (x)/f (х) существует, и притом единственная, точка
х0(ц), в которой достигается min /(г)г_ц. Эта точка является
0<r<R
невырожденной точкой перевала функции
S (z, ц) = In f (г) — ц In г.	(5.9)
Доказательство. Функция ср (г) = f (г) г~и строго поло-
жительна при 0 < г < R, <р(0) = 4 оо, и потому достигает ми-
нимума на интервале (0, /?]. Точка минимума определяется из
уравнения
и в силу леммы 5.2 единственна. При z = x0(p) имеем
4~S(z, g) = -£-S(r, p) = l-_JL = o,
dz 4 ’	dr	'	’	t	r	’
d‘ с/	ч	rf2	е/ ч	f"	f'2	i	H
p)—	df2	S(r,	p)—	f	f2	+	r2	—	r	( f	)>	0
в силу леммы 5.2.
Следствие 5.1. Функция
ф(ц) = min (In f (г) — ц In г)
0<r<R
является строго выпуклой кверху функцией ц.
Задача 5.1. Пусть  (z) — полином степени п 1 с неотрицательными
коэффициентами / (0) > 0. Доказать, что все утверждения леммы 5.3 спра-
ведливы если < р < п.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
193
Лемма 5.4. Пусть
оо
f (z) = 2 anZn, ао > 0,	п — ± 1, ±2, .. ., (5.12)
— оо
и областью сходимости ряда Лорана является кольцо 0 <	<
< [г ,</?]. Пусть среди коэффициентов ап имеется бесконечно
много отличных от нуля коэффициентов с положительными и от-
рицательными номерами. Тогда все заключения леммы 5.3 спра-
ведливы при любом вещественном ц.
Задача 5.2. Пусть : (г) — рациональная функция, / (г) = У
n=-Nl
где	при всех k и a_N > 0, aN >0, а0 > 0. Уу > 0. Доказать, что все
утверждения леммы 5.3 справедливы, если — АД < ц < У2.
Задача 5.3. Пусть / (г) имеет вид (5.12). Доказать, что для /' (г) спра-
ведливы все утверждения леммы 5.1
В условиях лемм 5.3, 5.4 контур интегрирования | г | = гп
является перевальным контуром, на котором лежит только одна
точка перевала z = rn.
2. Асимптотика интегралов вида
W, n) = -^ j	>dz	(5.13)
JZ| = P
при N-><x>, N/n-^ const.
Мы рассмотрим эту задачу при следующих условиях на
функцию f (z).
1°. Функция f (г) голоморфна в кольце R: R\ <|z| < R2, где
Ri > 0, Rs С °°-
В (5.12), очевидно, R, < р < R2. Функция f (z) разлагается
в ряд Лорана
оо
f (z) = У, anzn, К.
2°. ай > 0, а„^0(п = ±1, ±2,...). Если {nf,} — номера всех
ненулевых коэффициентов ап, =# 0, то числа щ не имеют
общего делителя, отличного от единицы.
Теорема 5.1. Пусть условия 1°, 2° выполнены, lim f(x)=oo,
j = 1, 2 и ц. > 0 — фиксированное число.
Тогда при N-+<x>, \n\/N-+p справедливо асимптотическое
разложение
F (N, п) = ,.J =... fN (х)х-"-11	,	(б. 14)
VWiNh (х) '	1х-х,(»/лц
7 М. В, Федорюк
194
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
где х0 (n/N) — единственное решение уравнения (5.10) (при ц = n/N),
h(x) = — -ТГТ- + (1 - v)-^-	(5.15)
х '	п f (х)	\ N) х-	х ’
Разложение (5.14) равномерно по n/N е [— р, р].
Доказательство. Заменим в (5.12) контур интегриро-
вания окружностью | z | = хй (n/N). В силу леммы 5.4 окружность
является перевальным контуром, причем в силу задачи 5.3
I f (z) | достигает максимального значения только при z — x0(n/N).
Эта точка является невырожденной точкой перевала подынте-
гральной функции. Применяя теорему 1.1 и учитывая (5.11),
получаем (5.14), (5.15).
Следствие 5.2. Пусть условия теоремы 5.1 выполнены.
Тогда при N-^-oo, n/N->p, где р— любое вещественное число,
lim F(N, п) = In f (хи (р)) — рх0 (р).	(5.16)
iV-»OO
Правая часть этой формулы является выпуклой кверху функ-
цией р.
Для доказательства (5.16) достаточно заметить, что x0(n/N) =
= х0(р) + О (| n/N — р |). Выпуклость правой части (5.16) выте-
кает из следствия 5.1.
Аналогично теореме 5.1 доказывается
оо
Теорема 5.2. Пусть f (z) — У anzn, ряд сходится при \ z \< R,
условия 1°, 2° выполнены и имеется бесконечно много ненулевых
коэффициентов ап. Пусть 0 < pi < р2- Тогда при N—foo, р,
«С n/N Иг, равномерно по n/N, справедливо асимптотическое
разложение (5.14).
Следствие 5.2 также остается в силе, если р > 0.
N,
Следствие 5.3. Пусть f(z) = а,,гп, где 0 < Nf < + оо,
-А,
и условия 1°, 2° выполнены. Тогда все утверждения теоремы 5.1
и следствие 5.1 остаются в силе при Ni^n/NN2.
Задача 5.4. Пусть условие 1° выполнено, an^‘J, m^2 — наибольший
общий делитель ненулевых коэффициентов ап с п =f= 0. Вычислить асимпто-
тику F (N, п) при N -> оо, n/N -> ц.
Указание. В этом случае max | f (z) 1 достигается только в точках
|z| = r0
т_
zk = ®Д где ®А — различные значения V1 •
3.	Асимптотика коэффициентов Тейлора и Лорана. Пусть
f (z) — целая трансцендентная функция с неотрицательными коэф-
фициентами Тейлора, т. е. условие (5.5) выполнено. Тогда из
(5.4) и леммы 5.3 следует оценка
(5.17)
где х0 (п) — единственное решение уравнения (5.10).
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
195
Точка z = хп (п) является единственной точкой перевала подын-
тегральной функции из (5.2) на окружности | z | — х0 («), к тому же
невырожденной (если условия 1°, 2° теоремы 5.1 выполнены).
Поэтому естественно ожидать, что асимптотика а„ равна вкладу
от этой точки перевала, т. е. что справедлива асимптотическая
формула	_______
“-.-VwTTfw^’L.to,<1+c,(l”’	<5J8>
где обозначено
(х) X-
Доказательство этой формулы требует дополнительных пред-
положений относительно функции f (z). Положим
S(r, ф) = In f (гегф)	(5.19)
и введем следующие условия:
3°. Существует функция со (г) -> оо при г->-фоо такая, что
Зфф(г, ср) ~ Звд (г, 0)
при г->оо, | ф | ф0 (г) = со (г) [h (х0 (п), /г)]~|/2. Кроме того,
Фо(+ оо) = 0.
4°. При больших фиксированных г функция ReS (г, ф) моно-
тонно убывает на интервалах (0, л), (0, — п).
Теорема 5.3. Если выполнены условия 1° — 4°, то справед-
лива асимптотическая формула (5.18).
Доказательство. Положим г = х0(«) в интеграле (5.2)
и положим ап = а'п + а'п, где а'п — интеграл (5.2) по дуге | ф | С
<Фо(г). Тогда
$ ехр [ReS (г, ф)] dtp,
где интеграл берется по дуге ф0(г)^|ф|^л. Напомним, что
г = х(1(п) - -> оа при ц->оо. Повторяя те же рассуждения, что
и в доказательстве теоремы 2.2.2, получим, что «„ = 0 (К„) (« —> оо),
где Vn — правая часть формулы (5.18). Остается показать, что
а'п ~ Vn- В силу условия 3° имеем
Ч>0 (г)
а'п. = r~n ехр [S (г, ф) — intp] dtp ~
-ч>о (г>
(I) (Г
~\ ехр —	(1 + о (1)) dtp.
Последний интеграл стремится к д/2л при г -> оо
196
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Аналогичный результат имеет место для коэффициентов
Лорана, если f(z) имеет вид (5.12).
4.	Метод Дарвина — Фаулера в статистической механике.
Наше изложение следует работам [95], [96]. Ансамблем назы-
вается набор из М различных физических систем ..., Ам
(подсистемы ансамбля). Каждая из подсистем полностью характе-
ризуется заданием своей энергии. Требуется найти наиболее
вероятное распределение энергий по подсистемам, если заданы М
и энергия Е всего ансамбля. Вводятся следующие предположения:
Г. Энергия каждой подсистемы может принимать любое из
заданных значений Ek, & = 0, 1, 2, . . . Числа Ek— целые,
О < Ео < Ei < . . ., и не имеют общего делителя, отличного от
единицы.
Это означает следующее: единица энергии выбирается на-
столько малой, что все уровни энергии Ek подсистем и полную
энергию Е ансамбля можно с любой степенью точности считать
целыми. Имеются, конечно, случаи, когда это предположение
не выполняется — например, электронные уровни атома водорода,
которые сгущаются к нулю. Такие случаи исключаются; они
вообще недоступны статистическому исследованию без специ-
альных предосторожностей.
2°. Энергия Е ансамбля равна сумме энергии подсистем.
Число и = Е)М (средняя энергия ансамбля) — целое.
Пусть в состоянии с энергией Ek находятся т;< подсистем.
Тогда должны выполняться соотношения
оо
У, mk = М,	(5.20)
А-0
оо
XinkEk = E = MU.	(5.21)
/г = 0
Очевидно, что обе суммы содержат конечное число ненулевых
слагаемых.
Набор целых чисел {пг} = {т0, т{, т2, .. .} будем называть
допустимым, если выполнены условия (5.20), (5.21). Заданному
допустимому набору {т} отвечает число
W ({т}) = —НгЦ-------	(5-22)
различных ансамблей, так как перестановка любых двух под-
систем (они неразличимы) оставляет набор {т} неизменным.
В (5.22) имеется конечное число сомножителей mJ, отличных
от 1; остальные равны 1. Вводится предположение
3°. Все допустимые наборы {т} (т. е. распределения энергии
по подсистемам, удовлетворяющие условиям (5.20), (5.21)) равно-
вероятны.
J 5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
197
Как уже говорилось выше, требуется найти наиболее вероят-
ное распределение по энергиям, или, в силу предположения 3°
найти такой допустимый набор {tn}, что
max W {пг) = W {th).	(5.23)
{т)
Мы будем решать эту задачу при условии, что 1.
Введем среднее значение (математическое ожидание) компо-
ненты mk:
{mk} и =	,	(5.24)
{m}
где суммы берутся по всем допустимым наборам (Л4, U фикси-
рованы). Следует ожидать, что
thk = lim {mk)M,	(5.25)
Л1->оо
т. е. что при М 1 почти все возможные наборы {пг} совпадают
с наиболее вероятным набором {th}. Если среднеквадратичная
флуктуация {дисперсия} стремится к нулю при ЛГ->оо, т. е.
HVWm-*0’ М->ео,	(5.26)
то отсюда следует (5.25).
Вычислим асимптотику (tnk)M при Л1-*оо. Введем вспомога-
тельные переменные g0, g1; g2, . . ., положим g = (g0, £i, &, • • •) и
...
(5-27)
где все gt, изменяются в интервале (1—6, 1+6), 0<6< 1,
6—фиксированное число. Из условий (5.20), (5.21) следует, что
все сомножители в (5.27) равны 1, начиная с некоторого k.
Обозначим 1 = (1, 1, 1,...). Тогда
W{{tn}, \) = W{tri).	(5.28)
Введем вспомогательную функцию
Г (/И, U, g) = ElE({»i}, g),	(5.29)
{m)
где, как обычно, сумма берется по всем допустимым наборам.
В правой части (5.29) стоит конечная сумма, так как число
допустимых наборов {пг} конечно. Имеем
Ы = gk In Г I ,	(5.30)
le-i
198
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
поскольку
-у—Г((7, М; g}=.Miym^-8\ ••• 
dg. v s/	mA... mA...
я	(m) u й
Аналогично показывается, что среднеквадратичная флукту-
ация тк равна
<m*> - W2 - е, (g„ г) .	(5.31)
Так как нас интересует (тА) при фиксированном k, то достаточно
считать, что все gt= 1 при i =£ k, и только gk изменяется
в пределах (1—6, 1+6). Таким образом, все интересующие
нас величины выражаются через Г, так что остается вычислить Г.
Введем производящую функцию G:
G(z, М; g) = fM (z; g), f(z, g)=Ig/<	(5.32)
k=0
Так как gAe(l—d, 1+6), то радиус сходимости степенного
ряда (5.32) R = 1, что следует из формулы Коши — Адамара. Из
полиномиальной формулы Ньютона следует, что
G(z, М; g) = J>Z at = £ g	,	(5.33)
z=o
где суммирование в формуле для at производится по таким
наборам {т}, что
У, mk = Л4, У mkEk = /•
Сравнивая (5.29) и (5.33), получаем, что Г(Л4, U, g) — aMU,
т. е. Г — коэффициент при zMU в разложении Тейлора функции G.
Отсюда по формуле Коши находим, что
Г (2И, U-, g)=--^-\fM (z; g) dz, (5.34)
с
где С — простой контур, охватывающий начало координат и ле-
жащий в круге | z | < 1. Асимптотика этого интеграла при М—> оо,
Е/М-^-Е вычисляется с помощью теоремы 5.1.
Исследуем свойства наиболее вероятного распределения. По-
ложим в (5.22) все gj— 1 при / += k, и обозначим х0 (g^) =
единственный корень уравнения
-т^0-	<5-35)
I (*» 8k) л
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
199
лежащий на интервале (0,1)- Через х0 = е~$ обозначим х0(1). Из
(5.14) находим, что при М-+<х>
i In Г (Л!, U- Ы =
= In f (х0; gk) + ₽[7 - ~ In (2nMg" (х0)) + О (ЛГ ‘). (5.36)
Это разложение кожно дифференцировать по gk любое число
раз. При этом достаточно дифференцировать только первые
два слагаемых. Для краткости будем писать gk = g, Ek = E.
Учитывая, что
== _ _ 1 dx0 д: (х, g) Е
dg '" dg ' dg
и что соотношение (5.35) выполняется тождественно по g, если
x — x0(g) в (5.35), находим из (5.36), что
d In Г (g) _ xf dx0 Г Д (xu, g\ _	/ In Л1 \
dg ~~ f (x0, g) ' dg L f (x0, g) x0 J n U \ M )
x.f	( In M \
=Trhr+°(—)• (5.37)
Далее, учитывая (5.35), получаем
^-(glnr(S|) =
- gx‘~' (£-{/) 4^ (f (x,, g)g' -gxg (f (x,„ «))->+ (f (,t„ j;))’
Дифференцируя тождество (5.35) no g, получаем
4^[(I -У»,+ <,] = ((/-£)<,
где все производные берутся в точке (х0, g). Учитывая (5.35)
и (5.14), получаем, что
rf (g In Г (g))
dg
xE	С Xе \2	gtE - U)2 x’,E-'2	flnM\
=------------------— -4----------5—------FO ------ . (5.38)
' (xC, g)	\ / (x0, g) /	g :x (Xo) f (x0, g)	\ M J
Теперь положим gk = 1, т. e.
и пусть x0 = e — корень уравнения (5.35). Из (5.37), (5.11)
находим, что при М -> оо
(mA е $Ek ( In /И \
Af °° RF
fe=0
(5.39)
200
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Далее, учитывая (5.35), получаем, что
ОО	/ ОО	X — ]
h" (%о) = Л Е (4 - t/2)	( Е e~$Ei) = Л (е2 - U2} > 0.
о	\ о	/
Из этой формулы и (6.31), (5.38) получаем, что при Л1->оо
(«0 - (mk)2
М2
1 wL	w	Н) (£k~u)2 , г/|пА1а|
М М L	Al М {Е2 - U2) U \ М J] • ’'°-
Таким образом, среднеквадратичная флуктуация стремится к
нулю при М—> ОО.
5. Симметричное случайное блуждание на прямой. Пусть
частица совершает случайное блуждание по целочисленным
точкам вещественной оси. За единицу времени частица совер-
шает скачок из данной точки в соседнюю, слева или справа,
с вероятностями, равными 1/2 (симметричное блуждание). Вы-
числим вероятность PL(M) нахождения частицы в данной точке Л4
после L испытаний. Испытание — это серия из п скачков; испы-
тания считаются независимыми. В начальный момент времени
частица находится в точке 0.
Пусть рт — вероятность попадания в точку т в результате
одного испытания (т= — п, —п + 1, ..., «). Введем произ-
п
водящую функцию f (z) = Е тогда Рд(Л4) — коэффициент
т = — п
при zM в разложении
/L(z) = (p_rtz-"+ ... + p„zn)£ = Е PL{M)zM.
M =—nL
Следовательно,
S (f (z))Lz~M^ dz,	(5.41)
|z|=p
где окружность |z| = p ориентирована положительно.
Рассмотрим задачу об асимптотическом поведении PL(M)
при /. - > оо (число испытаний неограниченно возрастает) в пред-
положении, что Al/L->p (—ц^ц^ц). Эта задача решается
с помощью следствия 5.3 из теоремы 5.2, и ответ дается фор-
мулой (5.14) (гл? следует заменить (/И, п) на (L, М).
6. Задача Харди — Рамануджана. Пусть « — натуральное
число, р(п) — чичДо неотрицательных целочисленных решений
(хь х2, ...) диофантова уравнения
и = 1 • ху + 2 • х2 ... + г • хг + ...
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
201
Иными словами, натуральное число всевозможными способами
разбивается на натуральные слагаемые, где число 1 встреча-
ется раз, число 2 встречается х2 раз и т. д. Введем произ-
водящую функцию
оо
5(2)=Пт^-	<5’42)
1
Имеем
F(z) = (l +z + z2+ ...)(1 +z2 + z4+ ...)Х ...
оо
... х(1-г’чх+ ...)х ... = и-Ер(Фл.
п = 1
Функция F (г) голоморфна в круге | z | < 1, так что
Р(п) = -^г 5 F (z)z~n~'dz,	(5.43)
!z|=p
где 0 < р < 1. Мы получили интеграл вида (5.2), и в силу
леммы 5.3 подынтегральная функция на окружности \z\ = rn
имеет единственную, и притом невырожденную, точку перевала
z = rn, в которой достигается max | F (z) |. Здесь гп— единст-
|г| = гп
венное положительное решение уравнения
r-^-lnF(r) = n.	(5.44)
Нас интересует асимптотика р (н) при н—>°о. Чтобы вычис-
лить ее, заменим контур интегрирования в (5.43) окружностью
| z | = гп и применим метод перевала. Положим г = е~р, тогда
точка р„ = — 1пг„ будет корнем уравнения
Ет
ерт _ ] п'
т= 1
Отсюда следует, что р„—>0 при п-->оо. Представим это урав-
нение в виде
оо	00
1 V Рт 1 Г _ л/
П - р2 L Р етР __ ] ~ р2 J _ 1 ~ ^2- ’
r m=l	'I	г
так что р„ ~—Д=-. Приведенные рассуждения являются не-
V6ra
строгими.
В данной задаче основную трудность представляет не при-
менение метода перевала, а исследование поведения функции
202
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
F (г) при малых | z |. Положим х = е~и, u = v-\-iw, тогда
Л
Р («) = I (v + en{v+iw) dw, f(u) = F (е -“).
-л
В [62] доказано, что
И’о	____
/3('г)==уу J f (и + гМ еп(и+,'®) dw + О (7г~5/4+е ехр (л д/у
-а’о
где е>0 — сколь угодно малое фиксированное число, w^ =
= П“3'4+8'3, и что
In f (v + iw) == я ---->-wn —П	~ ffi’2 + ~ In -1—О (n~l/4+e)
' v 1	’	6	л	4	24 n 1	'	'
при | w |	w0. После этого асимптотика интеграла по отрезку
[— ш>0, щ?0] легко вычисляется, и окончательно для р (п) полу-
чается асимптотическая формула
р(п) =	[i + 0(„-i/4+e)]_
4 -уЗп
§ 6. Асимптотика преобразования Лапласа
В этом параграфе исследуется асимптотика интегралов вида
оо
F (X) = ехр [— S (х) + Хх] dx
о
(6.1)
при комплексных Л-> оо. Рассмотрены примеры: S (х)— полином,
степенная функция, сумма степенных функций и некоторые
другие. Центральным местом в методе перевала является выбор
перевального контура. В рассмотренных примерах перевальным
контуром является либо сама полуось [0, оо), либо луч, либо
ломаная из двух звеньев, а асимптотика F (к) всегда равна
сумме вкладов от конца контура х = 0 и от некоторой точки
перевала подынтегральной функции.
1. Случай, когда S — степенная функция. Рассмотрим ин-
теграл
оо
Fty, а)=^ ехр(—у- + Хх) dx,	(6.2)
о
где а> 1, ха > 0 при х > 0. Функция F(Z, а) является, оче-
видно, целой функцией Л. Исследуем асимптотику F (К, а) при
комплексных Х->оо.
§ 6 АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
203
Лемма 6.1. Пусть а> 1. Тогда асимптотика F (К, а) при
| X | -> оо равномерно по argX равна'.
1°. Вкладу от точки перевала г0(Х) = Х1'а~'1 при
где для функции Х1/а 1 выбрана главная ветвь.
2°. Вкладу от начала контура при
|arg(-X)|<-^ + ^-e.
3°. Сумме вкладов от точки перевала z0(X) и от начала кон-
тура при
л (а — 1) .	. , , л
—+ e<|argX|<--e.
Здесь е > 0 может быть выбрано сколь угодно малым, но
фиксированным.
Приведем явные формулы:
оо
К(Х, а) « У (-'^гуа + п (_ л)' -'"1-1,	(6.3)
k=o
|arg(-X)|<f
F(X, а) ~ехр[(1 — а"1)и/2л X
Г	а-2 ~]~ ll~ /	°°	ka \
Х1(а-1)Х“-Ч	I. (6.4)
и асимптотика F(X, а) равна сумме выражений (6.3) и (6.4)
в оставшемся секторе. Разложения (6.3), (6.4) можно дифферен-
цировать по X любое число раз. Коэффициенты ak определяются
по формуле
оо
ak = ехр(— ^~-^-y2')c2k(y)dy,	(6.5)
— оо
где Ck (у) — коэффициенты разложения по степеням -у/ц функции
expCpcG/Vp)],
с(у) = ехр(— --Нау-- + у + ^ +	У2) •	(6-6)
204
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Выпишем главные члены асимптотики:
___Г	а-'2 ~|~|/2 Г.	° 1
F (А, а) — -л/2л |_(а — 1) А а~‘ J ехр Ц1 — — J А а-1 J ,
УДА, а)~ — A-1,	|arg(-A)|< я(а+1)
(6.7)
(6.8)
и асимптотика У7 (А, а) равна сумме выражений (6.7), (6.8)
в оставшемся секторе. Таким образом, функция УДА, а) экспо-
ненциально возрастает в любом секторе, лежащем строго внутри
сектора So: | arg А | Д Я	эквивалентна — 1/А в любом сек-
торе, лежащем строго внутри дополнительного к So сектора,
и асимптотически равна сумме выражений (6.7) и (6.8) в остав-
шихся секторах.
Доказательство. Положим А = | А ] ф = arg А. Делая
замену переменной х -> | А |1/(“-1) х, получаем
У7 (А, а) = | А |1/<а-1) f! (А, а),
У7, (А, а) = J ехр [- | А Г/(а-1) S (х, ф)] dx, (6.9)
о
S (х, ф) = х“/а — хе1'1’.
Интеграл ЕДА) имеет вид (1.1), и естественно ожидать, что
его асимптотика при | А | -> оо и при каждом фиксированном ф
равна сумме вкладов от некоторых точек перевала функции S
или от конца х = 0 контура интегрирования. Займемся отыска-
нием перевального контура.
1°. Если cos ф ДО, то minReS(x, ф) на полуоси .ДО дости-
гается только в точке х = 0, поскольку
d/dxReS = xa~1 — созф>0, х > 0.
Следовательно, асимптотика интеграла УДА) при [А|->оо,
I arg (—А) | Д л/2 равна вкладу от точки х = 0. Разлагая экспо-
ненту ехр (— ха/а) в ряд по степеням х, получаем
оо	°°
У7 (А, а) ~ У* eKxxakdx,
А=0	' о
откуда следует (6.3); строгое обоснование этой формулы выте-
кает из леммы Ватсона.
2°. Подынтегральная функция в Ft (А, а) экспоненциально
убывает в секторе | arg z | < л/2а. Точка перевала г0(ф) =
= ехр(/ф/(а — 1)) лежит в замыкании этого сектора, если
§ 6. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
205
| ф | л (а — 1)/(2а). По лемме Жордана, контур интегрирования
в (6.9) можно заменить лучом /0(ф): 2 == Р^о (40> 0^р<оо, про-
ходящим через точку перевала г0(ф). На этом луче имеем
Re S (z, ф) = h (р) cos , /г = ^_ — р.
Так как функция /г(р) имеет на полуоси р^О единственную
точку минимума р = 1 и так как cos _ }	0, то на контуре /0 (Ф)
функция ReS (г, ф) достигает минимума только в точке пере-
вала г0(ф), если | ф | <	и ReS = 0 на контуре, если
. ф — ± я(а2ц—. Поэтому контур /0(ф) перевальный при | ф | гС
sy)——, и асимптотика Fi (X, а) при |Л |->оо, | ф | -у--------е
равна вкладу от точки перевала г0(ф), а при — ег^[ф| —
-----— сумме вкладов от этой точки перевала и от
конца х = 0 контура интегрирования. Вычисляя вклад от
точки г0(ф), получаем (6.7).
3°. Остается исследовать случай я ' ”а 1 < | ф | < у. Так как
А(Х, a) = F(A., а), то достаточно рассмотреть случай я - 1 * <
<ф<у. Пусть Q — сектор, ограниченный лучами /0 и
Рис. 6.
L/ф): 2 = рг-1(ф), 0<р <оо, где г-1(ф) = ехр[/ ац_2я ф] — точка
перевала. Функция S (г, ф) конформно отображает Q на об-
ласть Q, ограниченную ломаными Lo, L-x. Ломаная L;- (/ = 0, —1)
состоит из отрезка LjQ = [0, S;], S; = (у — 1) е1фг;(ф) и луча L!x
с вершиной в точке Sf. угол между L/o и Ljx в точке S;
равен Зл/2 (рис. 6). Полуось [0, оо] отображается на линию I,
206
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
с асимптотическим направлением arg5 = 0. Пусть А — ломаная,
состоящая из отрезка [0, /Л],	1), и луча 5 = М + р,
0^р<°о. Ее прообраз L лежит в секторе | arg z | < л/2а, и
интеграл ЕДА, а) равен интегралу по линии L. Так как min Re 5
на L достигается только на отрезке [0, iA\, и в частности,
в начальной точке контура 5 = 0, то L — перевальный контур;
тем самым лемма полностью доказана.
Остается вывести формулы (6.7). Ограничимся случаем А > 0,
так как ак не зависят от Л. Тогда
F (Л, а)=
А “-1
о
А “_| 5 (х, 0)J dx.
Асимптотика интеграла равна вкладу от точки перевала х=1,
лежащей на контуре интегрирования. При х« 1 имеем х — 1 + у,
у^0 и 5 (х, 0) = 5 (1, 0) — а 2 1 у2 с (у), где с (у) имеет
вид (6.6). Положим ц = Аа/(а-1), тогда при А -» + °о
б
А" ’ ’’Е (А, а) « j ехр [— ру2 + рс (у)] dy =
-6
в УТ
-6 -УГ
Разлагая последнюю экспоненту в ряд Тейлора по степеням у
и заменяя пределы интегрирования на ± <х>, получаем (6.7).
Обоснование этих выкладок было проведено в гл. II, § 2.
Теорема 6.1. Пусть а, а — фиксированные числа, а> 1,
Rea^O, и
оо
F (А, а, а) — ехр (— аха + Ах) dx.	(6.10)
о
Тогда асимптотика F (А, а, а) при |А|->оо равномерно по arg А
равна:
1°. Вкладу от точки перевала z0 (А) = (А/аа)1'<и~1) при
| arg А —а arg а К—-------------е;
2° Вкладу от начала контура при |arg(— Л) -ф а~* argaj^
§ 6. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
207
3°. Сумме вкладов от точки перевала г0(Х) и от начала кон-
тура в оставшихся секторах.
Здесь j arga|^ л/2, и для функции z0(X) выбрана главная
ветвь.
Доказательство. Выразим F (X, а, а) через интеграл (6.2).
Подынтегральная функция в интеграле (6.10) экспоненциально
убывает в секторе | aargz-ф arga | < л/2, и, по лемме Жордана,
F можно заменить интегралом по любому лучу с вершиной
в точке z = 0, лежащему в этом секторе. Следовательно, функ-
ция Ф(Х, а, а) равна интегралу по лучу z = г ехр (—arg а) , т. е.
оо
F (X, а, а) — ехр arg а) ехр(— | а | г1 -ф '/.re1 ars а/11) dr.
О
Делая замену г = х(а|а|) 1,а, получаем
F (X, а, а) = (а| а |) 1/а ехр ( —arg F (ц, а),
р, = X (а I а |)~|/а ехр ( — arg а) .
(6.11)
Из этого соотношения и леммы 6.1 следует теорема.
Выпишем асимптотические разложения. При условиях п. 2°
теоремы 6.1 имеем
оо
F(X, а, а) ~	а)*У"- - (- Х)"“*~',	(6.12)
k = 0
где для функции (—Х)а выбрана ветвь, положительная при
Xs(—оо, 0). Формула (6.12) доказывается точно так же, как
и формула (6.3). При условиях п. Г теоремы
а-2
F(X)~Cik 2(a-1)exp
aftX
(6.13)
C2 = (l -a-,)(aa)^'/(a-1).
(6.14)
2. Случай, когда S(x) — полином или сумма степенных
функций. Этот случай приводится к теореме 6.1. Действительно
рассмотрим интеграл (6.1), где S(z)— полином:
S (z) aozn + aizn~> -ф ... -ф ап
(6.15)
208
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
и aQ =£ 0, nZ>2. Пусть интеграл (6.1) сходится абсолютно.
Делая замену х->| к |1/<п-1)х, получаем
оо
F (А) = | А J ехр [- | A \nl[n~'} S (х, ф, в)] dx,
о
где обозначено
if> = argA, е = | А Г1/(п-1),
S (х, ф, е) = — аохп — alexn~i — ... — апеп + хе‘^.
При е = 0 имеем S = — аохп + е‘^х, т. е. эта функция имеет
вид (6.9). Поэтому при |А|» 1 полином S (z) можно рассма-
тривать как малое возмущение степенной функции aozn, и все
утверждения теоремы 6.1 остаются в силе для интеграла (6.1).
Нам понадобится только лемма, устанавливающая связь
между точками перевала полинома — S(z) + Az и функции
— aozn + Az при А -> + оо.
Лемма 6.2. Пусть z^fk), 1^/^м—1, —все точки пере-
вала функции — айгп + Az (Л =^= 0). Тогда существует гй > 0 такое,
что при | А | > г0 все точки перевала полинома S (г) — Az имеют
вид
/	оо	\
Zj (А) = zj0) (А) ( 1 +Х ckix~kl(n~i} ,	(6.16)
\	a=i	/
где все ряды сходятся при | А | > г0.
Доказательство. Делая замену z = Al/(n-,>(; в уравнении
S'(z) = A, получаем уравнение
па£п~'— 1 + £ kaken~k^Q, е = A-1/("-1).	(6.17)
А=1
При | е |	1 нули этого уравнения лежат вблизи нулей функ-
ции h (£) — па0^п~'> — 1. Так как все нули этой функции простые,
то при малых | е | все корни уравнения (6.16) простые и потому
являются голоморфными функциями е при малых | е |.
Пусть z‘0) (А) = (A/(na0))l/(ra-I) и z0 (Л) — соответствующая
(см. (6.16)) точка перевала полинома — S(z)-f-Az. Из теоремы 6.1
и проведенных выше рассмотрений вытекает
Теорема 6.2. Пусть S (z)— полином (6.15), интеграл (6.1)
сходится. Тогда при |А|-*оо равномерно по arg А асимптотика
интеграла (6.1) равна:
1°. Вкладу от точки перевала z0(A) при
I 1	1 I . л (и - 1)
|argA — — arga0| < —-------------е.
§ 6. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
209
2°. Вкладу от конца контура х = 0 при
I ( л I 1	\ I j»-' Л , ЗТ
| arg^-A + -arga0J|<T+ —-е.
3°. Сумме вкладов от точки перевала г0(А) и от конца кон-
тура в оставшихся секторах.
В случае 1° имеем
[п	I	п-2
а (Cj + ft (a)) J c2r [i + h (A)L (6.18)
где обозначено
C’ = (1 -7)^0)^’
__Г	1 -l~i/2
C2 = V2л [(ft—l)(««o) n~' J ,
00	___fe	(6.19)
Л(а)=Х^а "-1.
fc = l
Ш = E 42U"~J a n-J-
a=i
(	1 A
Здесь /ДА), dki\^ n~') — сходящиеся ряды при | А |	г0, г0 > 0
достаточно большом, и /2(А)— асимптотический ряд. Главный
член асимптотики получается из формулы (6.18) вычеркиванием
функции /2(А).
В случае 2° имеем
F(A)~AV4l + Е cfeVfeY	(6.20)
\ /г ss 1	/
Аналогично исследуется случай
S(z)==aoza° + а^1 + ... + akzak,
где a0 > a[ > ... > ak, a0>l, Reao^O, и для функций zal
выбраны главные ветви. Асимптотика F (А) также определяется
вкладом от точки перевала такой, что z0(A) ~ (A/aao)' *1'*
(| А |->°о), или от точки z = 0.
8. Случай, когда S = — axlnx. Рассмотрим интеграл
оо
Ф (А, а) = ехр (— ах In х + Ах) dx,	(6.21)
о
210
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
где Rea^O, а 0. Функция Ф(А, а} является целой функ-
цией А при каждом фиксированном а, и
Ф(А, п) = 4-ф(4 + 1па> 0’	(6.22)
где для In а выбрана главная ветвь. Пусть а = |а|е‘“, | а | < л/2.
Интеграл Ф(А, 1) можно заменить интегралом по лучу z — at,
O^t < оо, так что
Ф(А, 1) = аФ (Аа — а In а, а).	(6.22')
Тем самым (6.22) доказано при Rea>0. Пусть Rea = 0, a =# 0,
тогда интеграл (6.21) абсолютно сходится и является голоморф-
ной функцией А в полуплоскости ReA<0. Тождество (6.22')
при Re А < 0 выполняется. Так как левая часть этого тождества —
целая функция А, то функция Ф(А, а) при Rea = 0 допускает
аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость А,
как целая функция, и это продолжение дается формулой (6.22').
Таким образом, чтобы исследовать асимптотику функции
Ф(А, а) при | AI ->оо, достаточно исследовать асимптотику функ-
ции Ф(А, 1). Подынтегральная функция из (6.21) при а=1
имеет единственную точку перевала 20(А) = ех-_|.
Теорема 6.3. Асимптотика Ф(А, 1) равна:
1°. Вкладу от точки перевала z0(A) = e?"~l при [1тА[<л/2,
Re А —> + оо.
2°. Вкладу от конца контура х = 0 при Re А -> + <х>, I Im А | >
> л/2 или при Re А -> — оо, равномерно по Im А при | Im А | const.
Асимптотические разложения в случаях 1°, 2° соответственно
имеют вид
Ф(А, 1)-72л	(1 +	(6.23)
\	fe = 1	/
Ф(А, 1)~-A~'(1 +Х Ы1пАГ*1	(6.24)
\	k — 1	/
Доказательство. Контур интегрирования в интеграле
Ф(А, I) можно заменить лучом argz = <p, если | <р | < л/2. Пусть
|1тА|<л/2, тогда Ree?b>0. Заменяя контур интегрирования
лучом z = eKt, 0^/<оо, проходящим через точку перевала
”о(А), получаем
Ф(А, 1) = ел^ ехр (— eKt In f) dt.
о
(6.25)
Функция S == — ZlnZ на полуоси /^0 достигает наибольшего
значения только в точке / = е-1, которая является невырожден-
ной точкой перевала. Тем самым утверждение 1° доказано, так
§ 6. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
211
как контур интегрирования в (6.25) является перевальным
(см. теорему 1.4). Вычисляя вклад, получаем (6.23).
Если ReZ<0, функция | еКх | достигает максимума в точке
х = 0, так что полуось х^О является перевальным контуром,
и основной вклад в асимптотику Ф(Х, 1) вносит точка х = 0.
Представим Ф(л, 1) в виде суммы интегралов по интервалам
[О, 1/2],	[1/2, оо); последний интеграл имеет порядок
О (ехр (— с | Re Л |)), с > 0. В первом интеграле разложим
ехр(—xlnx) в ряд Тейлора, тогда
X	1/2
Ф (Л, 1) •= У Цр - еКх (х In х)' dx +
& = 'J	о
1/2
4- jV (х) dx + О (е~с 1 Re А'),
где для остаточного члена выполняется оценка
| фд, (х) | CN | х In х Г+1, О^х^ 1/2.
Следовательно, модуль интеграла, содержащего не прево-
сходит величины
1/2
CN ехр (— х |ReZ |)| хInх|,v+l dx<^
о
1/2
Сдт, e j ехр (— х |ReZ |) xN+'-6 dx = О (z~JV-2+s),
о
где 6 > 0 может быть выбрано сколь угодно малым, | arg (— Z) |
<йл/2 —е. Далее, при этих значениях Z
1/2	оо
j е"х (х In x)k dx = Z-*-1 In Z c„fe(lnZ)~n
0	n = 0
(см. гл. II, § 1). Тем самым утверждение 2° доказано. Асимп-
тотическое разложение (6.24; пригодно также при ReZ-a>—со,
равномерно по |1тг|^С при любом С.
Остается исследовать случай | ImZ | > л/2, ReZ-> + °°. По-
ложим Z = о +ix и заменим контур интегрирования контуром
/ = Zi U/г, где /1 — отрезок [0, —1], 12 — луч z-—\-\-iy,
0^г/<оо, и соответственно положим Ф^, 1) = ©1(Z, 1)4-
-ЬФ2^, 1). Оценим последний интеграл. При гей имеем
Re(— zlnz4-Z.z) = - о 4- ~ In(р 4- 1)4-//[arg (iy — 1) — т].
212
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Так как lim arg(zy — 1) = л/2, то интеграл Ф2 сходится при
т > л/2, и
оо
|Ф2(^,	exp[y(arg(zi/— 1) —т) +
О
+ у In (у2 + l)jdz/	(6.26)
Далее,
1
Ф] (%, 1) — J е~ах ехР [х In X + i (л — т) х] dx,
о
и асимптотика этого интеграла равна вкладу от точки х~ 0.
Разлагая экспоненту в ряд Тейлора, получаем
оо	1
ФДА, 1) = ^Г -Ц-р—j [х In .V +/х(л — т)]'г Дг.
А = 0	О
Асимптотика таких интегралов была вычислена в гл. II, § 1.
Эти же рассуждения справедливы при г < — л/2, ст—> + оо,
так как Ф(л, 1) = Ф(Л, 1).
Задача 6.1 ( [40] ). Доказать, что при х -> + оо
ОО
л-1 Re ехр Их — t ( 1-----у- In dt =
о
= —-7=-ехр (— х — — г-ях/?И1 +0 (г-я*/4)].
2 V е \ 4 лг /
§ 7. Асимптотика преобразования Фурье
В этом параграфе исследуется асимптотика интегралов вида
F (Л) — j ехр [S (х) + ikx\ dx	(7.1)
при комплексных Л-*оо. Рассмотрены примеры: S (х) — полином,
рациональная функция, экспонента и некоторые другие.
1. Случай, когда S — степенная функция. Рассмотрим эта-
лонный интеграл
Ф (X, 2m) =
С / х2т \
J еХЧ“ДД-+ ^x)dx,
(7-2)
§ 7. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
213
где 2 —целое число (при т=1 интеграл берется). Точки
перевала функции S (г, %) = — z2m!2rn + ikz имеют вид zk (Л) =
о<й<2т-2.
Лемма 7.1. Асимптотика интеграла ФД, 2m) при | Л | -> оо
равна:
Г. Вкладу от точки перевала
/л \	|, |1/(2ш-1) Г i (ф + л/2) 1
z0 (Л) = I % I ехр [2^=1—] 	ф = arg Л,
при — л + е -С arg Л — е.
2°. Вкладу от точки перевала
zm_j Д) = — | Z ||/(2т~1) ехр
Г Z (ф — л/2) ~|
L 2m — 1 J
при e^iargX^n — е.
3°. Сумме вкладов от точек перевала г0Д), гт_](Л) при
| arg(±X) |<е.
Здесь е > 0 может быть выбрано сколь угодно малым, но не
зависящим от X.
Как обычно, полученные асимптотические формулы можно
дифференцировать по Л. любое число раз.
Прежде чем доказывать лемму, проанализируем асимптотику
функции ФД, 2m). Вклады Фо, Фт_] точек z0, zm-t равны
Ф/ ~ ехр [л;- (1 - l/2m) | X |^~] д/ X
т—1 Г 00	2mk ~1
X I х В, 1 + £	• (7.3)
L ^=1	J
Здесь
лп _ ех0 Гi2m	1
д0 — ехр 2т _ , j,
D Г i (пг — 1) (ф + л/2) "I	(7-4)
5о = ехр[-----------------J,
причем 4> = argX — л^ф^О. Далее,
.	Г i2m (ф — л/2) Т
Лт-! = ехр[—j-^J,
о — pvnf	Z (m — I) (ф — л/2) I
Bm_! - ехр ------------J,
(7.5)
и в этих формулах 4i = argX
Такой разнобой в формулах вызван тем, что главный член
вклада имеет вид const (z2m~2)~~1/2 ехр (—z2m/2rn + tkz). Поэтому
нам приходится выбирать ветви двух различных многозначных
214
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
функций от X: z0(A), ^Jz^1-2^) для вклада Фу и аналогично
для Фт-,.
В частности, при вещественных Л-> + <х> имеем
Функция Ф(Л, 2т) является, таким образом, целой функ-
цией X порядка роста 2т/(2т— 1) и конечного типа. Ее инди-
def -------------------
катриса Л(ф) = lim [In| Ф(ге1^, 2т) \r~2in'i2m~'>] равна
Г->оо
О «С Ф :С л,
Л (— ф) = Л (ф).
(7.7)
Следовательно, функция Ф(Л, 2т) экспоненциально растет
вне секторов | arg (± Л) | л/4т и экспоненциально убывает
в этих секторах. Она имеет бесконечно много вещественных
нулей и не более конечного числа невещественных нулей.
Доказательство. Функция ехр(— z2ml2m) экспонен-
циально убывает в секторах S±: | arg (± z) | < п/4т. Точка пере-
вала z0(X) при — л + п/ Im ;Сф — л/4т, ф = arg Л, лежит внутри
или на границе секторов, и по лемме Жордана контур ин-
тегрирования в (7.2) можно заменить прямой /+(Л): г =
г t (ф + л/2) I	.
= р ехр  2m _ [ I, — оо < р < оо, которая проходит через точку
перевала г0(Л). На /+ (Л) имеем
г> е /	, \ Л » , р2т А 2/72 (ф + л/2)
ReS(z, ^) = t|Z|P~^rJC0S " 2/Л-1—•
Последний косинус отрицателен, если z0(X) лежит внутри S+,
и равен нулю, если эта точка лежит на границе 3+, а функция
| Л | р — p9m/2m имеет единственную стационарную точку р — | Л ||/2т,
которая является точкой максимума. Следовательно, прямая /j (Л)
является перевальным контуром при указанных выше argX, и
асимптотика Ф(Х, 2m) равна вкладу от точки перевала г0(Л).
Так как
ф (z, 2m) = Ф (— Л, 2m), Ф(Л, 2m) = Ф (— X, 2m),	(7.8)
то тем самым асимптотика интеграла (7.2) найдена вне секторов
§ 7. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
215
D+' I arg (± Z) | < л/4т. Если	то в секторах S± нет то-
чек перевала функции S (г, Z). Но в силу соображений непре-
рывности естественно ожидать, что если значение argZ близко
к ± л/4ш, то асимптотика по-прежнему дается вкладом от точки
перевала г0(Л).
Пусть Л > 0. Заменим контур интегрирования в (7.2) прямой
/(Z): Imz —Imz0(Z), проходящей через точку перевала z0(k), и
покажем, что max ReS(г, Л) достигается только в точках пе-
zel(l)
ревала г0 (Л),	(Z) = — z0 (Z) ехр ( 2yz~j~) > лежащих на этой
прямой. Тем самым будет доказано, что при Z-->4-°o асимп-
тотика интеграла (7.2) равна сумме вкладов от точек перевала
z0(Z), zm-i(A). Критическими точками функции ReS(z, Л) на
прямой Z(Z) являются точки, в которых Rez2mH=0. Непосред-
ственным вычислением проверяется, что искомый максимум до-
стигается только в точках z0(Z), zm-t(%).
Фиксируем ф, 0 < ф < л/4т, и пусть /(Z)— ломаная, состоя-
щая из лучей z — zm-i (Л) + х, — оо < x^Rezm_! (Z); z = z0 (Л)-4-х,
Rez0(Z)^x < оо, и отрезка /0(Z), соединяющего точки zm~i(k),
z0(Z), тогда интеграл (7.2) равен интегралу по ломаной / (Л). Из
доказательства леммы 6.1 следует, что на каждом из указан-
ных лучей наибольшее значение функция ReS достигает только
на конце, т. е. в точках перевала z,„_|(Z), z0(Z) соответственно.
Покажем, что отрезок /0(Л) можно продеформировать в контур
/0(Z) такой, что max ReS(г, Z) достигается только в точках
z еТ. (X)
zm_[ (Л), z0(Z). Тогда контур I (Z), полученный из /(Л) заме-
ной Z0(Z) на 10 (Z), будет перевальным, и асимптотика O(Z, 2т)
при 0 < ф < л!4т будет равна сумме вкладов от точек пере-
вала z0(Z), г.,г_|(Л).
Аналогично вычисляется асимптотика при — л)4т < ф < 0 и
при | ф — л | < л/4/ц в силу свойств симметрии (7.8).
Функция S (z, Z) однолистно отображает сектор argzfe(Z)<
< arg г < argzfe+1 (X) на область Dk, граница которой состоит
из отрезков [0, Sfe], [0, Sfe+1], где S/ = S(z/(Z), Z), и лучей с вер-
шинами в точках Sk, Sfe+1; углы при этих вершинах равны Ззт/2
(рис. 6). Поэтому сектор
arg z0 (Л) < arg z < arg zm-l (Z)
отображается функцией S(z, Z) (напомним, что ф = argZ фикси-
ровано) на область в плоскости S, которая содержит точки So,
Sm_j и отрезок, соединяющий эти точки. На этом отрезке ReS
достигает максимума только на одном из концов. Выберем в ка-
честве 10(Ъ) прообраз этого отрезка. Лемма доказана.
216
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Рассмотрим эталонный интеграл
оо
C /	, ’m+l	\
Ф(Л, 2m+D= \ ехр(--^-—1- + ^)^,	(7.9)
J	\	“j- 1J	/
— оо
где т^2— целое число, Л вещественно. При т=1 этот ин-
теграл выражается через функцию Эйри.
Лемма 7.2. Функция Ф (A, 2m + 1) аналитически продолжается
на всю комплексную плоскость Л, как целая функция. Асимпто-
тика Ф(Л, 2m 4-1) при | А | —> оо равна:
1°. Сумме вкладов от точек перевала z0 (А) = | A |l,‘m e1'i’/2m,
•гт(Л) = —г0(А) при | ф |< 2	, ф = аг§А.
2°. Сумме вкладов от точек перевала z0(A), zfft_1(A,) =
, , |l/2m	( i (if 4- 2л) \	.л
= exPl 2m, ) при
В оставшемся секторе асимптотика вычисляется с помошью
соотношения (7.16).
Проанализируем асимптотику функции Ф (A, 2m 4“ !)• Вклады Ф/
от точек Zj (Л) равны
°°	(2/n+l) k ~
1 + £ akfk
k=\
(7.10)
Здесь
А0 = ехр рф (1 4--^-)], Ат= —Ао,
Ат-х-= — Ай ехр(-^),
,	(7-11)
Во.т = ехР [^ + 1(1 -i)].
5m_1 = 5mexp(^).	(7.12)
На вещественной оси А эта функция по-разному ведет себя
при А -> ± оо; экспоненциально убывает при А->—оо, убы-
вает степенным образом и сильно осциллирует при А -> 4- оо.
$ 7. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
217
Функция Ф(л, 2т -ф 1) является целой функцией порядка
1 + 1/2щ. Ее индикатриса равна
/zW==_(1__LT)Sin(4,(i +^)),
— л С Ф :С 0;
Л (—ф) = Л (ф), ф = аг§Л.
(7.15)
Таким образом, функция Ф(Л, 2т + 1) экспоненциально убы-
вает в секторе | arg (— Л.) | < л/2т, экспоненциально растет
в секторах 0 < arg Л < л — п/2т, — л -ф п/2т < arg /.< 0 и ос-
циллирует на лучах Л = ре'(|’ при ф = 0, ± (л — л/2т).
Доказательство. Подынтегральная функция убывает
в секторах
S+: — л/(2т -ф 1) < <р < 0,
— л<ф<л — л/(2т-ф1), <p = argz,
прилегающих к вещественной оси. При вещественных А. интеграл
Ф(Л, 2т -ф 1) в силу леммы Жордана можно заменить интегра-
лом по ломаной, состоящей из биссектрис секторов S+. Полу-
ченный интеграл сходится абсолютно при всех К и поэтому
является целой функцией Z,. Тем самым мы аналитически про-
должили интеграл (7.9).
1
Точка перевала z0 (Л) = | Л |2m+1 eW2m при —2тл/(2/и-ф 1)
^ф^О лежит внутри или на границе сектора S+. Заменим
интеграл (7.9) интегралом по ломаной I — l0{] lh где /0 —полу-
ось (— оо, 0], Ц — луч <р = ф/2т, проходящий через точку пере-
вала г0(Л). Покажем, что max Re S (г, /) достигается в точке
2 = 1
г0(Л); тем самым будет доказано, что /—перевальный контур.
На луче /0 имеем г = х<0, так что ReS(x, Л)= — xlmA^O.
218
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
На луче /j имеем z =	0Хр<°°, так что
ReS(z, Л) = —Л(р, X)эшф(1 + ^-),
h = р | X | —
р'т|:
2т + 1 '
Функция h имеет единственную точку максимума р = | к | на
полуоси р^О, и в этой точке ReS>0 при — р < ф < 0.
Поэтому при этих значениях ф функция ReS достигает наи-
большего значения на контуре I только в точке перевала z0(A).
При ф = —	функция ReS = 0 на луче /1; однако на Ц
имеется только одна точка перевала, так что I является пере-
вальным контуром. Следовательно, асимптотика Ф(л, 2/пф-1)
при | л I —> оо, — 2~от [ X ф X — е, где е > 0 может оыть сколь
угодно малым, равна вкладу от точки г0(Л). При ф = 0 контур I
по-прежнему является перевальным, но на нем имеются две
точки перевала г0(Л) = Л!/2т, zm (Л) = — z0 (А,) (ветвь арифмети-
ческая), так что асимптотика Ф при | % | —-> оо, — е X Ф X 0 равна
сумме вкладов от этих точек.
Функция Ф вещественна при вещественных л, так как
Im Ф — интеграл от нечетной функции. Следовательно,
Ф (Л., 2т) = Ф (А, 2т)
(7-16)
при всех А, и мы вычислили асимптотику Ф в секторе | arg A IX
X 2^”+! ' Остается вычислить асимптотику Ф в секторе
— л XargA < 2yy"i • Предварительно вычислим асимптотику Ф
при вещественных А —>— оо. Проведем через точку перевала
z0 (А) = е-!Л,'2т| А |1/2т прямую I, параллельную вещественной осп.
На этой прямой имеется еще одна точка перевала zm+I(A) =
= — г0(А). Покажем, что наибольшее значение функции ReS
на прямой I достигается только в точках z0(A), zm+1(A); тем
самым будет доказано, что асимптотика Ф при А-> — оо равна
сумме вкладов от этих точек. Можно считать, что А=—1; для
этого достаточно сделать замену х —»|А||/2тх в интеграле (7.9).
На прямой I имеем Re (ikz) = const, так что в точках, в кото-
рых ReS достигает максимума на /, имеем -^-Re(—iz-'m+:) = 0.
Следовательно, в этих точках z2m=±p, где р > 0. Система
z2m=p, Im г = у = — sin л/2т имеет решения zk — уе[кя'т X
X(sin kn/m)~', k^=Q,m, так что Re(—Zz£m+l)==z/2m+1 (sin &л//гг)-2т.
§ 7. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
219'
I (2fe+'1 л
Система z2m = — р, \mz = y имеет решения zk = ye 2т X
X(sin(^rn)) - так что Re (—iz2km+')=—y2m+i (sin л)
Отсюда видно, что max Re S достигается только в точках z0, zm,
z^l
т. е. в точках z0 (Л,), zm+1(%), и I—перевальный контур.
Пусть —	< Ф < — л. Тогда точки перевала г0(Л),
z,n+i(K) лежат в нижней полуплоскости. Заменим контур инте-
грирования в (7.9) контуром, состоящим из лучей /2: z =
= гт+|(Х)~ р, /3: г = г0(Л) + р, 0<(р<оо, и отрезка /4 =
= |гт+1(л), г0 (л)], и покажем, что этот контур можно проде-
формировать в контур /, на котором max ReS(z, Л) достигается
только в точках перевала z0(A), zm+1(A). Тем самым будет
доказано, что асимптотика Ф при указанных выше ф равна
сумме вкладов от этих точек перевала. Учитывая (7.16), мы
получаем асимптотику Ф при всех arg Л.
Покажем, что maxReS достигается только в точке z0(A,).
2-Z,
Имеем г = |г|е‘ф при z <= /3, где ф/2т X ср < 0. Следовательно,
Re S (z, Л) = — (2m -f- 1) | z |2m+l sin (2m — 1) qp < 0,
так как — л (2m—l)/2m < (2m—l)qp < 0. Поэтому функция ReS
выпукла кверху на /3, и так как djdzReS = 0 в точке г0(Л),
то Re S достигает наибольшего значения на /3 только в точке
z0(k). Аналогично доказывается, что max Re S достигается
только в точке гт+1(Л).
Продеформируем отрезок /4 в контур /4, который имеет
те же концы и на котором наибольшее значение ReS дости-
гается только на концах. Тем самым доказательство теоремы
будет завершено.
Пусть Dk (Л) — сектор argzA_] (Л) < argz < arg zk (Л). Функция
S(z, X) взаимно однозначно отображает этот сектор на область
Dfe(%), граница которой состоит из отрезков [0, S*-i], [0,
= S (z;- (Л), Л) и лучей, которые выходят из точек S,, j —
= k— 1, k, и образуют углы Зл/2 с соответствующими отрез-
-m + l
ками. Образ области D = [J (Л.) содержит круговой сек-
А=0
тор D, граница которого состоит из отрезков [0, Sfe], k = 0, m — 1
и дуги окружности с центром в точке z = 0, соединяющей концы
отрезков. При этом ReS<0 на концах этих отрезков. Пусть
220
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
/ — отрезок [S-m+1> So], тогда / лежит в D и max Re S дости-
S^l
гается только на концах /. Обозначим прообраз 1 через и
продеформируем отрезок /4 в контур 1\. Лемма доказана.
Наконец, рассмотрим интеграл
Ф(Л, 2m; а0) = ехр (— а0х2т + ikx) dx, (7.17)
— оо
где Rea0^O. Этот интеграл выражается через Ф(Л, 2m).
Лемма 7.3. Если Rea0^O, то
Ф(Х, 2m; а0) = (2ma0) 'i,jmФ(ла?1'2”1, 2m),	(7.18)
где | arg а','2т | a^lm.
Для доказательства достаточно повернуть контур интегри-
рования на угол — ф0/2т, где ф0 = а^а0, I Фо |^л/2.
2. Случай, когда S — полином. Рассмотрим интеграл (7.1), где
S(z) = — айгп— ... — ап,	(7.19)
а0 =£ 0, и7>2. Вычисление асимптотики интеграла F (Л) сводится
к вычислению асимптотики интегралов вида (7.2), (7.9). Пред-
варительно исследуем точки перевала функции S(z, Л) = S(z) +
+ ikz.
Лемма 7.4. Существует > 0 такое, что при |Л|^/?0 все
точки перевала функции S (z, %) невырождены и имеют вид
1 Z	оо	У \
1 + У ^),	0^Л<«-2. (7.20)
\ 11 и о /	\	1
4 /=1 7
Эти ряды сходятся при | К |	/?0.
Доказательство следует из леммы 6.2.
Делая в интеграле (7.1) замену х-* | Л |1/(п-1) х, получаем
оо
F (A) = |/Ji/'ri~l) j exp[|Z r/iri'l)S(x, ф, 6)] dx,
— оо
где обозначено ф = ащЛ, 6 = |Л |1/(1~га),
S (х, ф, б) = [— аохп + /хе’’1’] — У, akbkxk.
k=i
При 6 — 0 функция S совпадает с эталонной функцией
— сцхп + ie'^x, и асимптотика интеграла F (Л) вычисляется с по-
мощью лемм 7.1—7.3. Кроме того, при 16 ]	60 < 1 и при
| z | 3> 1 функция S (г, ф, 6) является малым возмущением функ-
ции S (z, ф, 0), так как их разность есть полином степени
§ 7. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
221
меньше п. Поэтому в качестве перевальных контуров можно
каждый раз выбирать те же контуры, что и в леммах 7.1, 7.2,
слегка продеформировав их в окрестностях точек перевала, и
асимптотика F (Л) будет равна сумме вкладов от тех же точек
перевала. Таким образом, мы получаем следующий результат.
Теорема 7.1. 1°. Пусть п^2 четно, |ф0|^л/2, To = argao.
Тогда асимптотика интеграла
оо
/?(л) = ехр (— аохп — а-1хп~'"' — ... — ап ф- Их) dx (7.21)
при | Л, | -» оо равна
а)	вкладу от точки перевала
20 VV I а0 I	I Л I ехР 1-------~ _]----J
при — л — 8 ф — ф0/п	— е, где ф = arg Л;
Ь)	вкладу от точки перевала
~ /п_________и рлгг-п, l/(n-1) Г НФ - ФоМ ~ л/2) 1
Zn/2—1 (л)	| Л I | Oq I ехр	__। J
при е Ф — Фо/П л — е;
с)	сумме вкладов от точек перевала za(H),	в остав-
шихся секторах.
2°. Пусть пТ^З нечетно, Reа0 = О, Im а0 > 0 и
Rea!= ... = Re п,г-2р-1 = 0,	Rea2/)>0.	(7.22)
Тогда асимптотика интеграла (7.21) при |Л|—> °© равна
а)	сумме вкладов от точек перевала
г0(Л) ~ 1 а0 Г1^1’ | Л. |'/(«-‘) eW(n-05 Z(n_i)/2 (А) ~ _ 2о (х)
при | ф I	—-— л;
Ь)	сумме вкладов от точек перевала
z0(X),	гп/2_2(Л)----ег^«-»г0(М
при — л Ф :С л — л/п;
с)	сумме вкладов от точек перевала
2n/2-l(^), Zra-i (Л)
при л — л/п 'С Ф :// Л.
Условие (7.22) необходимо для сходимости интеграла (при
р = 0 условие на а2р излишне). Окончательные формулы, ввиду
222
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
их громоздкости, мы не станем приводить. Отметим только, что
вклад ст точки перевала г(Л) равен
У(2(л))=Л/-р44- exp[S(z, Л)]	.
V .S-,-(г. А.)	г=г(м\	/
(7.23)
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 7.1. Пусть S (г) — полином (7.19), п ^2 четно,
Rea0>0, /(z) —целая функция порядка роста <nln — 1. Тогда
асимптотика при | X | -> оо интеграла
F (Л) = j f (х) ехр [S (х) -|- /%х] dx
— оо
равна сумме вкладов от тех же точек перевала, что и инте-
грала (7.21).
Замечание 7.2. Пусть S(z) = P(ez), где Р — полином.
Селая замену ex — t, получаем
ехр (S (х) + ikx)dx = eP{t]tl,'~' dt,
— ОО	о
т. е. этот интеграл есть преобразование Меллина функции
ехр(Р(0). Асимптотика таких интегралов будет вычислена в сле-
дующем параграфе.
3.	Приложения к дифференциальным уравнениям. Рассмо-
трим уравнение с постоянными коэффициентами
-зг—р(тлг)“ <'>»•	<7-24>
где Р (g) — полином. Фундаментальным решением (ф. р.) этого
уравнения называется функция G(t, х), удовлетворяющая урав-
нению и данным Коши
G|i=o = 6W,	(7.25)
где 6(х) есть дельта-функция Дирака. Уравнение (7.24) назы-
вается корректным по Петровскому, если Re Р (g) const при
— оо < | < оо; мы будем рассматривать только такие уравнения.
Получим интегральное представление для G. Применяя пре-
образование Фурье по переменной х, получаем
•f- = P(g)G, G|i=0=l,
§ 7. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
223
откуда G = ехр (tP (£)). Применяя обратное преобразование
Фурье, получаем
G (/, х) = ~ J ехР U) + ix^	(7-26)
Пусть Р (g) = а0^п + a£n~l + . . . + ап. При п — 1, 2 интеграл
(7.26) легко вычисляется; рассмотрим случай п^З. Сделаем
замену переменных g -> (| х I. Тогда
оо
G(G *)=	S ехР^^> е)Ж (7.27)
где обозначено
__ I х|,г/"г“п	_/ t \W--V
’ е v77|J
п п--	п	(7.28)
S (£, е) = а^ + ва^ ‘ + ... + Е а„ + /£ sgn х.
Нас интересует асимптотика G(t, х) при / —>+0, х фиксиро-
ванном, или при |х|~*оо, t > 0 фиксированном. Асимптотику G
можно вычислить методом перевала при
-Ц^-ОО,	' <6,	(7.29)
где д>0 достаточно мало, так как при е = 0 получаем эта-
лонный интеграл типа (7.17) или (7.9), и эта асимптотика равна
сумме вкладов от точек перевала, указанных в теореме 7.1.
Мы ограничимся качественной характеристике!! поведения
О (/0, х) при |х|->оо, где i0 > 0 фиксировано; асимптотические
формулы см. в [80].
1°. Уравнение (7.24) — параболическое по Петровскому, т. е.
п четно, Re ай < 0. В этом случае ф. р. экспоненциально убы-
вает при |х|->оо и, в частности,
I G (1, x)K Cj ехр (-С21 х Г^*’)	(7.30)
при вещественных х, где Сь С2 > 0.
2°. Уравнение (7.24) — параболическое по Шилову, т. е.
Rea(, = ... = Re a„-2p-i = 0,	Rea2.;<6}
где р^*1. В этом случае
|G(1, х)|^С3ехр(-С4|х|^),	(7.31)
т. е. скорость убывания меньше, чем в случае 1°.
224
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
3°. Уравнение (7.24) — собственно корректное по Петровскому,
т. е. Reay = 0, 1 j п. Здесь приходится различать два
случая.
А.	п четно. Тогда G (1, х) сильно осциллирует при веще-
ственных х и убывает как степень х:
п—2
G(l, х) — C5j х Г 2(п~‘> [cos(C6|x|n/(^1) + C7) +
+ О ( lx| - J-L-)].	(7.32)
В.	п нечетно. Пусть Im ай > 0 для определенности. Тогда
асимптотика 0(1, х) имеет вид (7.32) при х-*4-оо и (7.30) при
х—>— оо, т. е. G убывает экспоненциально при х-> + оо и сте-
пенным образом при х —> — оо. Этот случай наиболее интере-
сен в том отношении, что фундаментальное решение обнару-
живает резко несимметричное поведение на бесконечности при
вещественных х.
Простейшим примером такого рода является уравнение
ди ___ <Ри
dt дхг
Следующее приложение относится к дифференциальному
уравнению
y(,,)-x^ = 0.	(7.33)
Это уравнение решается явно с помощью метода Лапласа. Бу-
дем искать решение в виде
г/(г)= e^v(Qdl,
с
где z, £ — комплексные переменные, С — контур в комплексной
плоскости g, v — неизвестная функция. Имеем
ym (z) = e&t,nv(Qdr,
с
zy (z) = e^v (?) |с — e&v' (?) dt,.
c
Выберем в качестве v решение уравнения
^ + ^=0, т. е. t>(g) = exp[ — V+nJ,
и выберем контур С так, чтобы внеинтегральная подстановка
e^v (0 )с обратилась в нуль. Тогда функция
у (z; с) = ехр (Jz - J d?
С
будет решением уравнения (7.33).
§ 7. асимптотика ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
225
/ \
Укажем выбор контура С. Функция ехр I------^~гт) экспонен-
пиально убывает в секторах Sk: — у + 2kn < (п + 1) arg t, <
k = 0, 1, ... Пусть Yo — контур, состоящий из
лучей /о = [О, + оо) и 1{ — (+ оо е n+l, о]. Тогда функция
z/o (z) = ехр (gz — -7^7) dt,	(7.34)
Yi
будет решением уравнения (7.33) и является целой функцией z.
Уравнение (7.33) инвариантно относительно преобразования
п+1_
x->tz, где t = V1, так что функции
yk (z) = e~~^y0 (ze^)	35>
являются решениями этого уравнения (k — целое число). Имеет
место тождество
Уо(г) + У1(?) + ... +z/„(z) = 0.	(7.36)
Действительно, уь(?) есть интеграл вида (7.34) по контуру yft,
полученному из контура Yo поворотом на угол —2fen/(n + 1).
Контур Y = YoU Yi U U Yn состоит из лучей ImSrt+I = 0,
Regrt+i >0, причем каждый луч входит в у дважды и с проти-
воположной ориентацией. Сумма, стоящая в левой части ра-
венства (7.36), есть интеграл по контуру у и поэтому равна
нулю. Отметим еще следующую симметрию решения уа:
ya(zeill) = — e~lay(z), а=-^у.	(7.37)
Вычислим асимптотику решения у0. Асимптотику остальных
решений определим из (7.35). Точки перевала функции
f-n + l
S (£, z) = gz — -5-j-
определяются из уравнения t,n = z. Положим argz = i|),
g0 (z) = | z |1/n	£i(z) = |z|I/ne - .	(7.38)
Теорема 7.2. Асимптотика решения y0(z) равна'.
1°. Вкладу от точки перевала g0(z) при
~ тг+т +	2(га+ 1) ~е, е>0.
8 М. В. Федорюк
226
ГЛ. IV МЕТОЛ ПЕРЕВАЛА
2°. Вкладу от точки перевала (z) при
л	Зл
2	2 (/г + 1)
+
Л
п + 1
3°. Сумме вкладов от точек £о(г), £i (z) в остальных секто-
рах.
Здесь е > 0 может быть выбрано сколь угодно малым, но
не зависящим от z. Любые п решений из набора {z/0(z), ...
..., уп (z)) линейно независимы.
Формулы для вкладов V, от точек Zj имеют вид
Ис Ы ~ ехр | z Г"+|> ехр (AiZl+ll)] X
‘~п ( 00 кп \
z 2п 11 + ^aokz "+' I, (7.39)
и, й----ехр [pXV- I 2 I Л, ехр (TL!±+I1 + -!£-)] х
Хд/« г (1 + £alftz "+1 I. (7.39')
4 = 1	'
I -п
Для г 2п выбрана положительная при г е (0. + оо) ветвь
корня. Эти разложения можно дифференцировать любое чис-
ло раз.
Таким образом, функция г/0(г) экспоненциально растет на
любом луче из сектора — х,	.,---< argz < о ,	.. и
J	г 2(п+1) п + 1	6	2(п + 1)
экспоненциально убывает на любом луче из дополнительного
(открытого) сектора. Она имеет бесконечно много нулей в окре-
„	лп	л	пл	2 л
стности лучей argz — -^-.—г-пг.--гт > — тп—гт-----гт- и
J 6	2 (п+ 1) ’	п+1’	2 (п+ 1)	п+1
конечное число нулей в остальной части плоскости z. Инди-
катриса /г(ф), ip = argz функции у$(г) имеет вид
п п+1.	л , , , Злп
/г(ф) =—j—rc°s-----ф,	----—гт“ >
17 п +1	п т’	п + 1т /г + 1
, / , \ п /п+1,. 2л \
пл	2л	л
2(п+1) п +1	— ТГ+Т ’
у0 (г) — целая функция порядка роста 1+ 1/п.
Доказательство. В силу леммы 6.1 асимптотика инте-
грала вида (7.34) по лучу Zo = [0, + оо) равна вкладу от точки
перевала £0(г) в секторе Do: | ф I < 9 ( ”7 п . причем этот вклад
J \П “г 1)
§ 7. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
227
есть растущая при | г | оо экспонента. В любом секторе D
плоскости z, который не пересекается с Do (кроме точки z = 0),
асимптотика этого интеграла имеет порядок О (г-1), а в секто-
рах, содержащих лучи ф — ±	, асимптотика равна сумме
вкладов от точки £0(z) и от начала контура; последний имеет
порядок O(z_|). Точно такие же утверждения справедливы для
интеграла вида (7.34) по лучу — /ь с той лишь разницей, что
(U Do) -> (?!, Dt), где £>1 — сектор 1ф + j < ууутгу-  Тем
самым асимптотика у0 вычислена при z е Do (J D{.
Покажем, что если z лежит в секторе D: -я ,,-^бф^
1	2 (/г Н- I »
Т(Ту 1 >  Дополнительном к OqUT)], то линия наибыстрей-
шего спуска L, проходящая через точку перевала £0(z), имеет
своими асимптотами лучи /0, Следовательно, интеграл (7.34)
равен интегралу по L, а асимптотика последнего равна вкладу
от точки перевала £0(г).
Пусть D-i — сектор в плоскости £, ограниченный лучами
Го, Г., проходящими через точки перевала £0, g-j, и содержа-
щий полуось [0, + оо). При £ е Га имеем
£ _ ру'ЧСу О?~бр<оо,
S = ехр [zip (1 + ^-)] h (р, I z |),
O« + !
A = pi *1 - y^y.
Функция h при фиксированном | z | =/= 0 монотонно возрастает
на интервале (о, | z |"") и монотонно убывает на полуоси р>
> | z |'/п до — оо. Следовательно, функция S отображает луч Го
на ломаную 1Г в плоскости S, состоящую из отрезка I —
— [0, S(g0(z), г)] и луча, который начинается в конце отрезка I
и идет в обратном направлении (так что I проходится дважды).
Аналогично устроен образ LT.\ луча Сектор D_} отобра-
жается функцией S на область, ограниченную линиями L'o, L'_}.
Это отображение неоднолистно, а именно, каждая точка из сек-
тора с острым углом при вершине 5 = 0, ограниченного этими
линиями, имеет 2 прообраза. Так как cos (1 + 1/м) ф 0, то
образ 50 точки £0(z) лежит в левой полуплоскости ReSs^O;
следовательно, луч S = £0(z)—р, О^р < оо, содержится в образе
сектора D. Прообразом этого луча является «половина» L+
линии наискорейшего спуска L, так что L+ содержится в сек-
торе D. Нетрудно видеть, что асимптотой L+ является луч
228
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
10 — [0, + оо). Аналогично доказывается, что вторая «половина»
L~ линии L лежит в секторе, ограниченном лучами l'lt (по-
следний проходит через точку перевала (z)) и имеет асимп-
тотой луч 1г.
Линейная независимость решений (г),	—1, сле-
дует из того, что они имеют разную асимптотику, например,
при вещественных z—> + 00-
4. Функции с особенностями. Рассмотрим функцию
Фа W = ехр	, х > 0; Фа(х) = 0, х<0, (7.40)
где а > 0. Эта функция бесконечно дифференцируема на всей
оси. Ее преобразование Фурье
оо
Фа(Ю = j qa(x) e~ix* dx	(7.41)
о
расходится при вещественных но этот интеграл легко per. -
ляризуется при £ #= 0. Именно, будем понимать под <pa(g) при
|>0 интеграл вида (7.41), взятый по лучу argx = — е в ком-
плексной плоскости .х. Заметим, что функция qa (г) — ехр (—га/а)
имеет особенность в точке z = 0; при целом а эта точка яв-
ляется существенно особой. Очевидно, что фа(£) убывает бы-
стрее любой степени £ при || |->оо, так как все производные
функции Фа(х) обращаются в нуль на конце х = 0 контура инте-
грирования. Мы покажем, что фа(1) экспоненциально убывает
при | £ |-* со, но медленнее, чем ехр(—с | g |).
Лемма 7.5. При ^->-фоо справедливо асимптотическое раз-
ложение
—-  in (а+2)	а+2
4(а+н |2(а+.) Х
[х'л а ~| /	00	_	\
-(1 +^)е-2(а+1,^“+Г]1 1	(7-42)
х	а-i 7
Это разложение можно дифференцировать по | любое чис-
ло раз.
Так как Фа(£) = Фа(—£), то асимптотика фа(£) ПРИ £-> — 00
легко вычисляется.	,
Доказательство. В комплексной плоскости z с разрезом
по лучу (—оо,0) рассмотрим функцию Фа(г) ==ехр (— z~a/a),
где х~а > 0 при х > 0.
Эта функция экспоненциально убывает при 2->0 в секторе
| argz | < л/2а, функция ехр(— ixt) экспоненциально убывает на
§ 7. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
229
любом луче с началом в точке г = 0, который лежит в ниж-
ней полуплоскости. Поэтому можно заменить контур интегри-
рования в интеграле (7.41) лучом /: z = p/X‘(a+l> ехр( —
0<Jp<oo, который проходит через точку перевала г0(с) =
= |“'/1а+1)ехр(— _25—подынтегральной функции S (г, |) =
= — z~aja — izt,. На луче I имеем
Функция /г(р) при 0^р<оо имеет единственную точку макси-
мума р= 1; следовательно, max Re S достигается только в точке
Z<^1
перевала z0(£). Вычисляя вклад от этой точки, получаем (7.42).
Рассмотрим преобразование Фурье
Фа.р(Ю = j Фа.р
— ОО
финитной функции
, , г А 1
<Г..еМ = ехр[—а<х<Ь-
(7.43)
Фа.рМ — 0, хе (а, Ь).
Здесь А, а, р > 0, ветви арифметические, — оо < а < b <. оо.
Финитные функции такого типа будем называть «аналитиче-
скими», так как экспонента из правой части (7.43) допускает
аналитическое продолжение с интервала (а, Ь) вещественной оси
на всю комплексную плоскость z с разрезами по лучам (—оо, а),
(Ь, + оо). В силу леммы 3.1.1 имеем <ра, р (Ю — О (l & Г°°) при
|||—>оо. Вычислим асимптотику этой функции.
Теорема 7.3. При £->+ оо справедливо асимптотическое
разложение
Фа, рU) ~&2(а+,) ехр[- Д,^ (1 + 0 (Г “ТГ))] X
°°	/	__\ kg	В + >
a+1 h а+1 х
fe«=O
оо
X ехр [- д2р^" (1 + О (г^))] Е a2k G" • (7,44)
230
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
З.Зесь At, 2 — постоянные, ReAli2>0, ауДе)— голоморфные
функции 8 при малых | е |.
Так как фа. р (£) = Фа, р(—£)» то тем самым искомая асимп-
тотика найдена и при Д->— оо.
Доказательство. Подынтегральная функция имеет вид
ехр [3 (z, £)], где 3 = — A (z— а)~а (b — z)~&— izZ,. Здесь ветвь
функции (z — а)а выбрана в плоскости с разрезом по лучу
(—оо, — а] и положительна при вещественных х > а, ветвь
(6 — zf — в плоскости с разрезом по лучу [&, + оо) и положи-
тельна при вещественных х < Ь. При z ~ а имеем 3 За —
= — A* (г — а)~а — izc,, где А* — постоянная. Асимптотика инте-
грала Fa = j es“ dx вычислена в лемме 7.5. Аналогично, S «Sb =
а
b
= В* (b — z)~a — izl,, и асимптотика интеграла Fb = eSbdx
— оо
также вычисляется с помощью леммы 7.5. Мы покажем, что,
грубо говоря, асимптотика фа,р(|) равна Fa + Fb.
Функция 3 экспоненциально убывает при z->a в секторе
— л/2« < arg (г — а) < 0. В этом секторе функция 3 при веще-
ственных g 3> 1 имеет точку перевала
U) = а + е~2(а + 1>&-^7 -^^-[1 + О	)] •
Точно так же, как и в лемме 7.5, можно показать, что если б > 0
достаточно мало, то на отрезке 1а\ 0^|г —а|^б, arg (г — а) —
= arg(га (£) —«) функция ReS достигает максимума только
в точке га(£). Аналогично, функция 3 экспоненциально убывает
в секторе — л/2р < arg (b — г) < 0, при вещественных 1 3> 1
имеет в этом секторе точку перевала
zb U) Ь -	TTr.(L-^)(t [t +0Q-ttt)]
и на отрезке lb: arg (z — b) — arg (zb (g) — b), 0<|z — при
6 > 0 достаточно малом Re S достигает максимума только в точке
перевала г6(£). Имеем
Фа, ₽ (£) = J ехР I5 (z> Ю] dz<
i
где / —/aU/U/&, / —отрезок, соединяющий концы отрезков
1а, 1Ь. Асимптотика интегралов по отрезкам 1а, 1Ь равна сумме
231
вкладов от точек перевала za(g), zb(g) соответственно, а
\ ехр S dz
Г
<Сехр(— С'1),
С, С' > 0.
Рассмотрим следующий класс интегралов:
F(h) =	f (z) ехр [7? (z) + A z] dz. (7.45)
I Z-Zol =P
Здесь функция R (z) имеет полюс в точке z0, функция f (z) голо-
морфна в точке z0 и р > 0 достаточно мало, так что на контуре
интегрирования и внутри него функция R (z) голоморфна. Инте-
грал (7.45) равен
2ш X (вычет подынтегральной функции в точке г0).
Если вычислять этот вычет непосредственно, то мы получим его
в виде ряда по степеням А, что не позволяет вычислять асим-
птотику F (А) при А-> + оо. Заметим, что F (А) — целая функ-
ция А.
Эталонным интегралом служит интеграл вида
ф(А, щ) = f (z)exp (-^pn- + kz^dz, (7.46)
|z|=0
где —целое число. Точки перевала zk (А) подынтеграль-
ной функции
5(z, X) = ^r + Xz
определяются из уравнения zm+1 = A 1 и лежат на окружности
I z ( = | А Г1/(т+1). Аналогичные интегралы исследованы в [17].
Лемма 7.6. Асимптотика интеграла (7.46) при | А, | —> + 00
равна сумме вкладов от тех точек перевала zk (А), в которых
величина ReS(zft(A), А,) максимальна.
Формулы для вкладов будут приведены ниже.
Доказательство. Фиксируем argA = ip. Тогда точки
перевала имеют вид
2д?ь) = |^Г1/("!+1,е^(М,
<Pk (А) = — m + i (Ф + 2/гл), k = 0, 1, ..., гп.
Пусть lk (А) — луч в плоскости z с началом в точке z — 0,
проходящий через точку г* (А); его уравнение имеет вид z —
= р| А |-1/<т+‘’ехр (гф(Л)), 0^р<оо. При ге1и(Х) имеем
S (z, А) = АгДА)/г (р), h = р + mp т.
232
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Функция /г(р) отображает полуось [0, оо) на полуось [1, оо),
проходимую дважды, так что функция S отображает lk (А) на
луч Lk(K)i S = kzk(k)x, 1г^т<оо, проходимый дважды. Сле-
довательно, сектор Dk: ф& (А) < arg z < фА+1 (А) взаимно одно-
значно отображается функцией S на плоскость S с разрезами
по лучам Л*(A,), Lk+i(k). Отметим, что при т=1 функция S
является суперпозицией линейной функции и функции Жуков-
ского.
Контур интегрирования в (7.46) при | л | » 1 можно заменить
окружностью | z | = | л |	, на которой лежат все точки пере-
вала. Возьмем в плоскости S отрезок (А,), соединяющий концы
лучей 4* (A), Lft+1(A), и пусть ik (А)— прообраз этого отрезка
в плоскости z. Функция ReS(z, А) принимает наибольшее зна-
чение на дуге 4(A) только на одном из ее концов, либо по-
стоянна вдоль 4(A), так как образом 4(A) является отрезок.
Заменим меньшую дугу окружности | z | = | A |-i/(m+1), соединяю-
щую точки zft(A), 21*4-1 (А), кривой 4(A), и сделаем это при
всех k (/г берется по модулю m ф- 1). Тогда полученный контур
является перевальным (см. § 1), что и доказывает лемму.
Приведем асимптотические формулы для интеграла (7.46).
Имеем
S^SJzJA), А) = (1 + -±-)| А Г/(т+1>ехр[(
Если ф — 0, то maxReSfe достигается при k = Q. Так как
точки Sk расположены на окружности и угол между отрезками
[О, SJ, [0, Sft+1] равен 2л/(/п+1), то этот максимум дости-
гается при k = 0, если — л/m < ф < л/т. При ф = п/т максимум
достигается при fe = 0, —1, и асимптотика равна сумме вкладов
от этих точек. Выпишем формулу для вклада Уо от точки z0(A):
V. (Ч ~ ехр [(1 + Л) д/^ X
т+2 ity(m+2)
i 2(m + l) g	m+l
f(0) + £aQfeA-fcKrn+l>
(7.47)
Итак, асимптотика Ф(А, m) равна вкладу (7.47) от точки
z0(A) при |ф|^л/т—е и сумме вкладов от точек z0(A), 2—t(A)
при |ф — л/т|^е. При остальных значениях А асимптотику
легко выписать, используя тождество
Ф(А, пг) = ei2nlmF (№12л1т, т),
(7.48)
§ 7 АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
233
справедливое при f(z)^\. Нули целой функции Ф(Л, пг) со-
стоят из т серий, расположенных асимптотически вблизи лучей
a st “р
arg л =--------.
ь	tn
Следующий интеграл легко выражается через функцию
Ф(Л, т) (при f (г) = 1):
j ехр (az~m + Лг) dz = /Ф (М, т), tm — та. (7.49)
1г| = 1
Вернемся к интегралу (7.45). Функция R (г) — (z — z0)~m g (г),
g(zo)=^=O, функция g(z) голоморфна в точке z0. Точки пере-
вала функции R (г) при | Л | ^> 1 имеют вид
Ч (М = г0 + z° (Л) [1 + О
(z°fe (A))m+I = — mg (z0) Л,-1,
т. е. асимптотически расположены на окружности.
Из доказательства леммы 7.6 вытекает
Теорема 7.4. Асимптотика интеграла (7.45) при \Л,]-+оо
равна сумме вкладов тех. точек перевала zk (Л), в которых зна-
чение Re So (Л), Л) максимально.
Здесь S0 = (z — z0)~m g (г0) + Л (г — z0).
В заключение покажем, что функция
|г| = 1
(- Лг) dz,
(7.50)
где Р, Q — полиномы, является решением дифференциального
уравнения
НФ)] ';п+ф' (ф) р(Н) -р' (ФМФ)? =°-
(7.51)
Это вытекает из тождества
5
|г|=1
5. Интегралы типа Зоммерфельда. Рассмотрим интеграл
л
--,оо
F (k) — ехр [ik cos (0 — 90)] f (0)d9.	(7.52)
—7" +i 00
234
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Контур интегрирования состоит из луча (—Дi°°, — лу].
отрезка Д, yj и луча [-у. у — i°°). Далее, k — большой
положительный параметр, 0О вещественно, | 0О | < л/2, функция
/(0) голоморфна в полосе | Re 0 | л и удовлетворяет оценке
| f (0) | С ехр (ее10'), е < 1.
Такого рода интегралы возникают в теории дифракции волн,
в частности, в задачах, которые удается решить с помощью
интегрального преобразования Зоммерфельда.
Теорема 7.5. При сделанных выше предположениях асимп-
тотика интеграла (7.52) равна вкладу от точки перевала 0 == 0О.
Доказательство. Функция S = icos(0 — 0О) взаимно
однозначно и конформно отображает полуполосу — л + 0о <
< Re 0 < 0О, Im 0 > 0 на полуплоскость ReS<0. Прообразом
полуоси (— оо, 0) является ветвь 1+ линии I наибыстрейшего
спуска, проходящей через точку 0О; ее асимптотой является луч
0=—у + 9с| + ф, 0^р<°о. Вторая ветвь Г линии I лежит
в нижней полуплоскости и имеет асимптотой луч 0 = у +0О + ip,
0<^р<оо. Контур интегрирования в (7.52) можно заменить
контуром I, поле чего остается применить теорему 1.4.
Главный член асимптотики имеет вид
р W = - д/2^ e- in ' [/ (0О) + О (fe-1)].	(7.53)
Из доказательства теоремы и предложения 1.1 вытекает,
что эта формула справедлива при |&|->оо, Re/г^О.
Интересный случай возникает, если функция f (0) имеет
вещественную точку ветвления 0у пусть для определенности
0 < 0j < 60 < л/2,
f(0) = V0^O7(p(0),	(7.54)
при 0, близких к 0Ь функция ср(0) голоморфна и отлична
от нуля в точке 0]. Оценка для | f (0) | прежняя, контур инте-
грирования обходит точку 0! снизу.
Теперь мы не можем продеформировать у в I — мешает
точка ветвления. Соединим точку 0[ простой гладкой кривой
с точкой 0* е I. Тогда контур интегрирования у в (7.52) можно
заменить контуром у = lx U to U io" U h- Здесь Zj— часть I
(от -Д—too до 0"), 1g — берег разреза Zo (от 0* до 0,), 1g —
второй берег разреза и Z2— оставшаяся часть линии I. Тем
самым доказано, что при k—> + 00
Ftky-Fg^ + Fdk'),
§ 8. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИИЛ
235
где — вклад от точки 0О, FJfe) —вклад от точки 0, (т. е.
интеграл по разрезу it U !/)
Выбор разреза 10 довольно безразличен; требуется лишь,
чтобы max Re S на 10 достигался в точке 0Р Тогда асимптотика
Fj (k) определяется интегралом по «носику» разреза. Выберем 10
так, чтобы он совпадал с отрезком [0,, 0j + 16], 6 > 0, вблизи
точки 0,, и вычислим асимптотику Fi (k). Положим 0 = 0 — 0.,
тогда при малых | 0 j имеем
S (0) = i cos (0О — 0j) + i sin (0O — 0J 0 + ...
Пусть V0 — 0) >0 при 0 > О. и малых 0.
Мы ограничимся нестрогим выводом; для аккуратного дока-
зательства достаточно сделать замену 3 (0) = 3 (0О) + £ при ма-
лых 0 и применить метод Лапласа к полученному интегралу.
Отбрасывая квадратичные по 0 члены, заменяя f (0) на /(0,)
и полагая 0=iy, получаем
/5 (%) ~ 2/ ехр (-- ik cos (0и — 0[)) X
&
Xf(0i) J ехр[— A? sin(0o — 0,)у] у у dy.
о
Отсюда находим, что
(fe) ~ 2//е ' д/л ехр [— ik cos (0О — 0,) ] f (0|) [sin (0O — 0.) ]"3/2.
(7.55)
§ 8.	Асимптотика преобразования Меллина
Преобразованием Меллина М (г) функции f (/) называется ин-
теграл
М(г)= j f(t)f~ldt.
о
Здесь tz — ezlnt, функция In / вещественна при 0<1<оо. Фор-
мула обращения имеет вид
i оо -j-С
=	$ M(z)t~z dz.
— i оо + с
В этом параграфе мы исследуем асимптотику М (г) при комп-
лексных z —> оо в случае, когда f (I) = ехр (Р (I)), Р (I) — полином.
1.	Асимптотика гамма-функции. При вещественных и поло-
жительных z справедливо интегральное представление
r(z)=jj e~‘tz'1 dt = е~Чг dt.	(8.1)
о	о
236
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Гамма-функция есть преобразование Меллина функции е_<.
Подынтегральная функция имеет вид ехр(—/ + z In/) и имеет
единственную точку перевала f0(z) = z.
Теорема 8.1. При |z|->oo, | argz л — е < л, асимпто-
тика Г (z) равна вкладу от точки перевала t0 (z) = z.
Асимптотическое разложение гамма-функции имеет вид
Доказательство. 1°. RezZ>0. Интеграл (8.1) сходится
абсолютно при Rez^O и потому является голоморфной функ-
цией z в полуплоскости Rez>0. Пусть Rez^O; тогда интег-
рал (8.1) равен интегралу по лучу /2, проходящему через точку
1 = 0 и точку перевала t = z. Делая в этом интеграле замену
i-> iz, получаем, что
Г (z) = zz ехр [zS (/)] dt,
о
S = — t + In t.
(8.1')
Так как функция S (/) вещественна, то maxRe(zS(0) на полу-
оси t^O при Rez> 0 достигается только в точке перевала t— 1
функции S; при Rez = 0 имеем Re(zS(0) = O на этой полуоси.
Следовательно, по теореме 1.3 асимптотика гамма-функции при
| z| —> оо, Rez^O равна вкладу от точки перевала t — 1, и (8.2)
доказано при | argz л/2, |z|->oo.
2°. Rez<0. Интеграл (8.1) расходится при Rez<0; про-
должим его аналитически. Пусть у — контур в комплексной
плоскости t, обходящий полуось 0	< оо в положительном
направлении,
F (z) — j e~*tz dt.	(8.3)
v
<>десь ветвь функции tz = ez]nt при г>0 выбрана в плоскости t
с разрезом [0, + оо) так, что tz > 0 на верхнем берегу разреза.
Пусть z > 0, тогда F (г) равна разности интегралов по берегам
разреза [0, + оо):
F (г) = е !t? dt — e21liz е dt — z (1
о	о
е2я/г) Г (г),
так что
r(z) = z-!(l-e2/tT' ^e-'fdt.
(8.4)
v
§ 8. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА
237
Интеграл F{z) сходится абсолютно при всех комплексных г и
поэтому является целой функцией z; следовательно, функция Г (z)
аналитична во всей комплексной плоскости z, за исключением
точек z = 0, — 1, —2, ... Сделаем в интеграле (8.3) замену
/ = тогда
F (z) = ехр (—	+ £z) el d£.
у
Выберем в качестве у контур, состоящий из полуоси [1,-фоо),
окружности |Z|=1 и полуоси (+ оо, 1], идущей по нижнему
берегу разреза [0, оо). Тогда у — граница полуполосы Re £ > О,
0<1т£<2л, ориентированная по часовой стрелке. Подынтег-
ральная функция имеет точку перевала £ — In z = In | z | -ф i arg z,
где |argz|<n. Сделаем замену £-»£-]-In z, тогда
F (z) == z j exp (zS (£)) el d£, S (£) = £ — el, (8.5)
контур уг получен сдвигом из контура у на In г.
Пусть л/2 < ф < л, Ф = argz. Покажем, что асимптотика F (z)
при таких argz и при |z|—>оо равна вкладу от точки пере-
вала £ = О функции S. Для этого исследуем структуру линий
наибыстрейшего спуска функции 5ф (£) = ei<fS (£), выходящих из
точки £ = 0.
Лемма 8.1. Пусть л/2 < ср < л. Тогда линия наибыстрей-
шего спуска I (ф) функции 5Ф (£) = ег'( (£ — е^), выходящая из
точки £ = 0, состоит из двух бесконечных кривых (ф). Одна из
них имеет асимптотой луч 0<Re£<oo, Im£ = —ф, другая —
луч 0<Re£<oo, 1т£ = 2л — ф.
Доказательство. При ф = л функция S„(£) имеет точки
перевала £* = 2Ал/, & = 0, ±1, ±2, ... Множества уровня
Mk: Im Sn (£)== Im S„(£ft), содержащие точки £ft, получаются
из А10 сдвигом на 2kni, так как
Im Sn (£ + 2kni) = Im (£) + Im S„ (£ft),
несли Im Sn (£) = Im Sn (£0), to Im (£ + 2/глг) = ImSn(£fe). Мно-
жество Mo определяется из уравнения
e° sin т — т — 0	(£ = a + zt)
и состоит из линий наибыстрейшего подъема ZOi = [—0),
/и2=-[0, + °°) и двух линий /оз, /о4 наибыстрейшего спуска.
Так как функция Sn(£) вещественна при вещественных £, то ли-
нии 103, /04 симметричны относительно вещественной оси; пусть
238
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Im£ > 0 на /03. Из уравнения следует, что /03 имеет асимптотой
луч 0^о<-|-оо, т = л.
Обозначим через lkj линии, полученные из loj сдвигом на 2£л/,
и пусть D — область, ограниченная линиями Z02, Z03. Функция
w ='Sn(Q взаимно однозначно отображает область D на ниж-
нюю полуплоскость 1шьу<0. Положим ф = л —- ср (напомним,
что л/2 < ф < л), тогда (£) = e~^Sn (С), и функция ау = 5ф(£)
взаимно однозначно отображает D на полуплоскость Im^^XO.
Последняя содержит полуось — сю < w < 0; прообразом этой
полуоси является ветвь /+ (ф) линии наибыстрейшего спуска
1т5ф(£) = 1т5ф(0), проходящая через точку £ = 0. Асимптотой
этой линии является луч т = — ф.
Пусть D — область, ограниченная линиями Z0), Z03, 1ц и Zi2.
Функция = £„(£) взаимно однозначно отображает D на об-
ласть О — полуплоскость lmoi<0 с разрезом по лучу Imw =
= — 2га, 0<Ёеьу<оо (на этот разрез отображается Z1( (J Z12).
Так как 5Ф(£) = е-'Ч’Зя (£), то функция w — S(. (£) взаимно одно-
значно отображает D на область <т.ф, полученную из области G
поворотом на угол — ф. Область Оф содержит полуось
— oo<Ret£><0, 1тда = 0; ее прообразом является ветвь Г (ф)
линии наибыстрейшего спуска I (ф), и ее асимптотой является
луч 0 < а < оо, т = 2л —ф. Лемма доказана.
Покажем, что контур уг можно продеформировать в ли-
нию /(ф); тем самым (8.2) будет доказано при л/2 < ф < л. При
— л < <р < — л/2 доказательство аналогично (можно также вос-
пользоваться тем, что Г (z) = Г (г), так как функция Г (г) ве-
щественна при вещественных г). При л/2 < ф < л функция
exp(zS(£)) экспоненциально убывает при | £ | -> оо в полосах
Re £ > 0, 2/гл — л/2 < ф + т < 2/гл + л/2, контур уг состоит из
лучей — 1п|г|<о<оо, т = — /ф и —1п | г | < о < оо, т =
—— 1ф + 2л1 и отрезка, соединяющего их концы. Поэтому у2
можно продеформировать вначале в границу полуполосы
0<сг<оо, —ф<т<2л — ф, а затем, в силу структуры ли-
нии /(ф) (см. лемму 8.1), в линию /(ф). Тем самым теорема
доказана.
Замечание 8.1. Достаточно было бы вычислить асимпто-
тику гамма-функции при |г|-*оо в правой полуплоскости
Rez^O и затем, используя тождество
Г(г)Г(1-г)
л
sin лг ’
вычислить асимптртику в левой полуплоскости. Достоинство
приведенного выше доказательства состоит в том, что оно по-
зволяет вычислить асимптотику ряда других интегралов.
§ 8. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА
239
Найдем рекуррентные соотношения для коэффициентов раз-
ложения (8.1). Сделаем в окрестности точки /=1 замену
t = 1 + qp (u), In t — t + 1 = — и2,
где ф(0) = 0, ф'(0) = д/2. Функция ф разлагается в ряд ф(и) =
оо
= У, <fkuk, сходящийся при малых | и |. Из формул (8. Г) и (2.1.25)
k=\
следует, что
aft = r(fe + y)(2fe+l)!T2ft+1.	(8.6)
Дифференцируя тождество для ф по и, получаем тождество
2«ф («) + 2и — ф («) ф' (м) = 0.
Подставляя в это тождество ряд для ф и приравнивая нулю
коэффициенты при степенях и, получаем рекуррентные соотно-
шения
k+t
2фй= Е tnq>m<fk-m+2, /г >2.
m=l
Так как ф^д/2, то окончательно
У2Фк 1	V*	/я
Ф*+1~ k + 2	V2 Д + 2) 2. тсрЛ-т+2- (8’7)
т — 2
2.	Укороченная гамма-функция. Эта функция определяется
формулой
оо
Г (a, z) = J е~*е~'(Н,	(8.8)
а
где 0<а<оо, и при фиксированном а является целой функ-
цией г.
Теорема 8.2. Пусть а>0 фиксировано, |z|->oo. Тогда
асимптотика функции Г (а, г) равна:
1°. Вкладу от точки перевала iQ(z) — z—1 при | arg z |
«С л/2 — е < л/2.
2°. Вкладу от конца контура t—a при | arg(—z) |^л/2— е<л/2.
3°. Сумме вкладов от точки перевала tQ(z) и от конца контура
в оставшихся секторах.
Вклад от точки перевала совпадает с правой частью (8.2).
Вычислим вклад от конца контура. Имеем
со
Г (a, z)= е~еХехг dx.
еа
240
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Из теоремы 1.2 следует, что
Г (a, z) ~	(| arg(—z) |^л/2 — е, |г |
fe = 0
Ck =	7?) <ехР(-И)|я=а.	(8-9)
Доказательство. Подынтегральная функция в (8.8) имеет
вид exp[S(Z, z)], S= — t + (z—1)1п/. Имеем ReS( = —1 +
+ t~l Re(z — 1) < 0, если t^a, Rez<a-(-l. Поэтому при
Rez < a+ 1 функция ReS(Z, z) достигает максимума только на
конце t — a контура интегрирования, и асимптотика Г (a, z)
равна вкладу от точки t — a. Тем самым 2° доказано. Далее,
Г (a, z) = Г (z) — е~Чг~х dt.	(8.10)
о
Функция \tz\ при Rez^O достигает максимума на отрезке [0, а]
только в точке t — a, так что асимптотика последнего интег-
рала в (8.10) при | г |-> оо, Rez > 0 равна вкладу от точки t — а,
который равен
(— 1)Х (вклад от точки t — a в интеграл (8.8)).
Из (8.10) и асимптотики гамма-функции следуют утвержде-
ния 1°, 3°.
3,	Обобщенная гамма-функция. Эта функция определяется
равенством
G(z) — J е~р xt}tz~x dt (Rez>0),	(8.11)
о
где Р (I) — полином:
Р (t) === aat “Т a-tt -|- . . . -|- ап, Re а§ X 0, ti 1.
При P = t имеем G(z) = r(z). Покажем, прежде всего, что
функция G(z) допускает аналитическое продолжение на всю
комплексную плоскость z и является мероморфной функцией
с простыми полюсами в точках z = 0, —1, —2, ... Предста-
вим G (z) в виде G (z) = Gi (z) + G2 (z), где Gj (z) — интеграл no
отрезку [0, 1], G2(z) — интеграл по полуоси [0, оо). Функция G2(z)
является целой функцией, так что остается аналитически про-
должить интеграл G2(z).
По формуле Тейлора при любом целом ;V2>0 имеем
e~PW = X bktk + RN(t), /?„(/) = О (fv+1)	(/->0).
§ 8. АСИМПТОТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА
241
Следовательно, при Rez>0
V	1
=	+	dt.
fe=0	0
(8.12)
Последний интеграл сходится и потому является голоморфной
функцией z в полуплоскости Rez>—N—1. Тем самым фор-
мула (8.12) дает мероморфное продолжение функции О( (г) в эту
полуплоскость; полюсы полученной функции могут быть только
в точках z = 0, —1, —2, . . . Так как N произвольно, то про-
должение функции G (z) получено для всей плоскости.
Задача о вычислении асимптотики G(z) при |z|—>оо в сек-
торе | argz | л — е < л сводится, как мы покажем, к задаче
о вычислении асимптотики гамма-функции. Подынтегральная
функция в (8.11) имеет вид expS, S (t, z) = — Р (t) 4- • (z — 1) In t;
исследуем ее точки перевала.
Лемма 8.2. Пусть |argz|^n— е^л, | z | R 1. Тогда
функция S (t, z) имеет точку перевала
/ п \
= I 1 +£ b^~kln]- (8.13)
\ iLLIq / 1	X. i	f
\	k—\	/
Этот ряд сходится при | z|R и
агё(^Г=4 (аг£2 — агёао), |argaol<v- (8-13')
Доказательство. Уравнение St =0 имеет вид tP' (I) +
(2 \ 1М
---) т, получаем уравнение
IIUq /
хп — 1 + У, (п — k) a/lxn~ktfi + bn = 0, 6 = (z//za0)1/ra•
ы
Пусть f(x, 5)— левая часть уравнения, тогда /(1, 0)=0,
/'(1,0)=/= О, и по теореме о неявной функции это уравнение
имеет решение т = т(б), х (0) = 1, голоморфное при малых | б
Теорема 8.3. Асимптотика функции G(z) при |z|->oo,
| arg z | л — e < л равна вкладу от точки перевала t0 (z).
Выпишем главный член асимптотики:
____ ,	ОО	V
G (z) ~ л/5 ехР Ь Р + г 1П /о (Z) ] ( 1 + £ bkz~kln ). (8.14)
\ fe-l	z
Функция, стоящая в экспоненте, имеет вид
z In z — z/n -J- О (z1-1/rt).
242
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Доказательство. Пусть z вещественно и положительно,
а0 > 0. Сделаем замену переменной	” > тогда
оо
'>]<" <8J5>
О
где обозначено
е==(~йоГ)	’ ‘$(^е)==— / + 1п/+	к,п.
° ^=1
Формула (8.15) справедлива при Rez>0 по принципу аналити-
ческого продолжения. При е — 0 функция S (t, е) совпадает с функ-
цией S = —t-j-lnt, входящей в интеграл (8.Г). Асимптотика
этого интеграла равна вкладу от точки t=l. Так как S(t, е)
при малых е (т. е. при больших | z |) является малым возму-
щением функции S(t, 0), то асимптотика G(z) равна вкладу
от точки перевала /0(е) такой, что /о(О)=1.
Пусть а0 = рог,’ч>% | фо I < л/2. Заменяя контур интегрирования
в (8.11) лучом t — e~i<r‘lnp, 0^р<оо, получаем
tzq?o
G(z) = e п е~р> (р)рг_| dp.
и
Здесь Р1(р) = рор'г+ . .., так что старший коэффициент поли-
нома Р, положителен, и мы пришли к рассмотренному выше
случаю.
Задача 8.1. Пусть ct > 1 Re а > 0. Доказать, что при | г | -> оо,
ОО
| arg г | л — е < л асимптотика интеграла Л1 (г) = ехр (— <if“) tz dt равна
о
вкладу от точки перевала t0 (г) = (г/аа)^“ (выбор ветви тот же. чт> и
в (8.13')).
Аналогично вычисляется асимптотика интеграла
М (z) = j ехр (— ataP (О) f dt,
о
где Р (/) — полином, Р (/) — tn при t-+ + оо, и Re а > 0, а + n > 1.
§ 9. Точка перевала на бесконечности
В § 2 мы назвали точку z = oo точкой перевала (целой)
функции S (z), если Re S (z) -> const при z -> оо вдоль некоторой
линии уровня Im S = с. Вычислим асимптотику некоторых интег-
ралов с точкой перевала z = oo. Если z0 — конечная точка пере-
§ Я. ТОЧКА ПЕРЕВАЛА НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
243
вала, то 8 (z) ~ с (z — z0)'!, с 0, при z -> z0. Если г = оо — точка
перевала, то поведение 8 в ее окрестности не описывается
универсальными асимптотиками.
Будем предполагать, грубо говоря, что линии уровня Re 8 = с
устроены на бесконечности, вблизи полуоси (0, + оо), так же,
как и для функции e~z (см. § 2, пример 2.6).
Именно, пусть функция 8 (z) голоморфна в неограниченной
области D, и пусть выполнены условия:
Г. S(z)~> аib при гей, z—>оо; S' (z)	0 при геД.
2°. В области D имеется 2п + 2 линии уровня Ц, ..., 12п+2,
уходящие на бесконечность, и на которых Re8(z) = a. Эти
линии разбивают D на области; пусть D,— область, ограничен-
ная линиями I/, li+l и частью dD. При этом Re 8 < а в областях
с нечетными номерами и Re8>a в областях с четными номе-
рами.
В частности, если 8 = e/z, то а = & = 0, 1, — прямые
у = (п0 + /) л + л/2, п0 — целое число.
3°. Пусть уравнения линий Ц, l2n+i имеют вид
у = /?о(.г), у = Мх),	(9.1)
где hl(x)>h0(x) при вещественных х^> 1, и
lim h'v (х) = lim h\ (х) = 0,	(9.2)
Х-» + <х>	Х->+оо
\^Tdx<°°’	м
где обозначено
0 (х) = (х) — h0(x).	(9.5)
Пример 9.1. 8 (z) = ехр (—- za), a > 0, z е= (— °°, о), и для z“
выбрана главная ветвь. Тогда a = b = Q, уравнение линий
Re 8 = О имеет вид
ra sin сир = /л 4- л/2,
j = 0, ± 1, ±2, . . .,
так что hj(x), 0(х) — const x1-a, и все условия Г—3° выпол-
нены.
Из условий 1°—3° вытекает [77],
244
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
2т+!
Предложение 9.1. При х->-|-оо, zs [J Df
/-i
S (z)—C exp j — (2n + 1)	(0 (iz))”1 (1 + ij)'2(u)) du +
x9
+ /л(0(х)Г‘ (у — ф(х)) J, (9.6)
где обозначено ф (х) =	(h0 (х) + Aj (х)).
<эо
Теорема 9.1. Пусть условия 1°—3° выполнены, f (г)~ У, a^z-4
fe—0
2n+l
при z—>оо, ze [J Dj, zz0 =4= О, и пусть у — простая кривая,
/-1
концы которой гь z2 лежат в областях D,, D2n+i соответственно.
Тогда при К -* 4* 00
F{K)^\f (z) ехр [AS (г)] dz ~ ехр [AS (оо)]	f (оо) 0 Q (V1)). (9.7)
v
Здесь t, — функция, обратная к функции
<р (х) == ехр
X
- (2n + 1) я J (0 (х)Г1 (1 + ф'2 (х)) dx
X,
(9-8)
Доказательство. Пусть a-[-ib = 0. Для нахождения
асимптотики интеграла (1) естественно поступить следующим
образом: закрепив концы контура у, тянуть его в бесконечность.
Тогда асимптотика F (К) определится суммой асимптотик интег-
ралов по частям у, лежащим внутри D\ и Z)2rt+1 и интеграла
по перемычке, их соединяющей. Однако если контур бесконечен
и лежит в области D1; то интеграл по нему расходится в силу 2°.
Поэтому поступим следующим образом: проинтегрируем F (А)
по частям и затем применим описанный выше метод. Мы имеем
случай, когда перевал расположен на бесконечности, и прово-
дим контур через бесконечность, т. е. через перевал, как это
обычно и делается в методе перевала. Проинтегрируем по
частям:
F (А) = zf (z) ехр [AS (z)]
2 — j zS' (z) exp [AS (z)[ dz —
Zi V
— A j zf' (z) S (z) exp [AS (z)] dz. (9.7')
v
§ 9. ТОЧКА ПЕРЕВАЛА ПА БЕСКОНЕЧНОСТИ
245
В силу предложения 9.1 можно в качестве у взять контур,
идущий по линии Im 5 = 0 в Dlt затем по вертикальному отрезку
и затем снова по линии Im5 = 0 в D2n+i. Интегралы по верти-
кальному отрезку стремятся к нулю при х->-|-оо, что следует
из Г—3° и (9.6).
Найдем теперь уравнения линий Im 5 = 0. Из (9.6) следует,
что при больших г уравнение Im5(z) = 0 запишется в виде
sin [(2п 4- 1) л (у — ф (х))/0 (х)] = 0.
Отсюда для искомых линий получаем уравнения
У = 2(2Д 1) W + (4и + W’
у = 2(2* + 1)	+ (4« + 1) Al (х)] = Н2 (х).
Обозначим эти линии через и 12. На 12
Re 5 (z) ~ — С expl — (2п + 1) л (1 4~ ф/2 (0)/б (0 dt —
L	X,	-*
= —Сф(х), (9.9)
на /2 также Re 5 (г)-------С<р(х). Сделаем в (9.7') замену
<р(х) = /, х = £(/)•	(9.Ю)
Напомним определение: функция /(/) называется медленно
растущей при /—>4-0, если lim = 0. Если 1(f)— медленно
<->+о 1 О)
растущая функция, то (см. [34])
lim
*-»+0
I (ct)  .
НО
при любом с > 0.
Нам понадобится
Лемма 9.1. g(f), 0 (g(f)), O.'(gO)) при t -* 4- 0 являются мед-
ленно растущими функциями t.
Доказательство. Докажем вначале лемму для £(f),
т. е. покажем, что
lim 0)0) = 0.	(9.11)
t-»+0
В силу (9.9)
t = ехр Г— (1 4- ф/2 («))/9 («)
L х,
du,
ln/ = — <p(x),	^(/) = <р-‘(—In/) = <?(—Inf).
246
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Заметим еще, что поскольку S(z)—> const при z—>оо, z^D,
оо
Г
то dx/Q (х) = оо. Отсюда
dq (— In t)
jt-z . 7\	-:------ \
dv
,• rfqno	..	etc)	..	9' (v)	_
= — lim —1----------=— lim —---------------j—г = — bin --------------- = 0,
v (1 + (ci)	t^ + oo	V
так как в силу (9.2)
lim 9/(о) = 0.
Остальные случаи исследуются аналогично.
Продолжим доказательство теоремы. Из (9.9) следует
F(A) =
= — У' nanz~ne'-s dz — к S'(z)e',s anz~n dzО (е~&к). (9.12)
у n-1	Y	п-0
Исследуем каждое слагаемое в отдельности:
A zS' (z) ехр [AS (z)] dz = A zS' (z) e'-s dz — A zS' (z) eKS dz =
v	Zi	h
OQ	OO
= —A (x + iHi (x)) е~?ч dx + A (x +	dx =
X(J	Xq
( e(x)4^e-^rfx = zv^7r A ( 6(^)е-х<Л =
2n + 1 J v ’ dx	2n + 1 J w
U	If (-Vo)
(.Vo)
= -'уггг ) 9(тКл---------------------"'апл-чй^')) (813)
о
В силу (9.11)
A J S'eKS dz = Ае« = О	0 > 0,	(9.14)
V	Zi
$ 9. ТОЧКА ПЕРЕВАЛА НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
247
и то же самое имеет место для интегралов к S'z~neKs dz.
v
Наконец, рассмотрим интеграл
dz =	f	z~neKS dz =
y	\h	h)
0 ,
J	s L +
Ф (X,)
Ф (x,)	<p (x„)
 2/1^ C —— Zl—ln z«.\ i •	2/Z	C —Kt.S-—flii
} e	+ i 2^H J 6
0	0
Выведем вспомогательную формулу
Ф (х0)
$	(t) е~М dt----feCv1))-1.
(9.15)
ч Действительно,
Ф (Xj)
— к j r‘We-Wd/ =
О
ф(Х0|
d/==-r'(0^u
о
Хф (х0)
= 0(е-^)_ j	Г1^1).
О
С помощью этой формулы находим
Ф (Г!)1
J iun]"+1 dt
Хф. (х0)	Л<р (х,)
= ( e-t Q(uw ~ efe q-')) с c_t d^t/k)
J	i2(t/k> ~ V'-’U-') J t2(t/k)
Аналогично получаем
Ф (x,)
J e-kte'&'rn dt^-Q'i (g (V')h1 ~n (k~l).
0
Мы видим, что все слагаемые в первом интеграле (9.12) при
больших к малы по сравнению с первым слагаемым:
Z 2ЯГТ К ')) +	<V‘) 0 (r‘W-	<9Л6)
248
ГЛ. IV. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Но (9.16) мало по сравнению с 0 (| (л. ')). Поэтому
6 (в (*"'))>
что и требовалось доказать.
Следствие 9.1. Если а0 = а,= ... =а*_1 = 0, а* =И= О,
k > 0, то
^W~^rexp[AS(oc)]fe(V,)]1-ft X
x[note(v'))r' (л-1) + OsQU-’))]- (9.17)
Пример 0(х) = ха, а< 1, показывает, что стоящие в скобках
слагаемые могут иметь одинаковый порядок, и потому нельзя
ограничиться только одним из них.
Пример 9.2. Пусть S — za, а > 0, у — контур описанного
в теореме 9.1 типа. Тогда (см. пример 9.1) 0(х)~Сх|~а, так что
1-а
\ ехр (Л ехр (za)) dz ~ С0(1п Л) а .
v
Пример 9.3. Рассмотрим интеграл
Е(Л) = ехр(ле~г) dz,	(9.18)
— оо— i л
где контур интегрирования состоит из лучей (— оо, — гл, — гл],
[гл, гл — оо) и отрезка [— гл, гл]. В данном случае п = 1, 0(х) — Зл,
так что Р(А,)~2л (А,->- + оо). Точно такую же асимптотику
имеют интегралы
— oo+fJt
F (Л) = ехр (кгпе~г) dz, n 0 — целое число.
— 00 —ГЛ
Замечание 9.1. Если F (Л) — интеграл (9.18), то F (Л) = 2л
(Л > 0). Действительно, этот интеграл равен интегралу по кон-
туру уг, состоящему из лучей /* = ± (— оо ± in, ± /л + г] и
отрезка 1Г = [— гл -]- r, in + г] при любом г > 0. Если г -> + оо,
то е~г->1 на перемычке 1Г, а интегралы по сокращаются,
в силу периодичности функции е~г.
Пример 9.4. Пусть f(z) = l, S(z) = e~e . Линии уровня
1ше~е =0 задаются уравнениями
ех sin у = /гл.
§ 9 ТОЧКА ПЕРЕВАЛА НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
249
Пусть у — контур с концами на линиях, отвечающих k—\,
k = 3, и лежащих внутри полосы | у | < л/2. Тогда 0 (х) ~ Зле_<
откуда
F (Z) = ехр (Xe-eZ) dz ~	.
v
В примерах 9.1—9.4 можно также получить асимптотические
разложения по степеням (In Л.)-1, но мы не будем их выписывать
ввиду их громоздкости.
Литературные указания и дополнения
Результаты §§ 1, 3, 4, 8 являются классическими и восходят к Дебаю п
Ватсону, результаты § 5 содержатся в монографии Э. Шредингера [96).
Теорема 6.3 принадлежит Н. Бакхуму [99], результаты § 7, п. 1 см. в [34],
[40] [80], результаты § 7, п. 5 принадлежат Л. М. Бреховских [9]. Тео-
ремы 2.3, 2.4, результаты пп. 3, 4 из § 7 и § 9 принадлежат автору и частично
опубликованы им ранее в [80].
1.	Асимптотика при п -> -j- 00 интегралов вида
___________Г (2га + 1)____________________Г dz
Г (га + г 1) Г (га — z + 1) J 2i sin лг
исследована де Брейном [10]. Здесь s 7s 1 —целое
внутри себя точки — га, — га 4- 1...0, 1. ..., га
лых точек.
2.	Асимптотика при га -> 4- 00 интеграла
число, контур С содержит
и не содержит других це-
ехр (ez — 1) z " 1 dz
с
исследована де Брейном [10]. Здесь С — окружность малого радиуса с цент-
ром в начале координат.
3.	Асимптотика интеграла
‘’Г	(A"v)w (? I) w

cos Л-'g (л — ср)
sin Ал|
dl
исследована В. М. Бабичем [4]. Здесь N -> 4- °° — большой параметр-
0<а^р^г0, О^ф^л и а>0 — достаточно малое фиксированное число.
4.	Различные применения метода перевала имеются в монографиях
В. М. Бабича, В. С. Булдырева [5], Ю. В. Линника, И. В. Островского [54]
В. А. Фока [87] и других.
ГЛАВА V
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
(МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
§ 1. Основы метода перевала.
1. Предварительные соображения. Рассмотрим интеграл
Лапласа
F (А,) = j f (z) ехр [А,3 (z)] dz.	(1.1)
v
Здесь z = (z1; zJeC", dz = dzx ... dzn, у есть n-мерное
гладкое многообразие (возможно, с краем), к — большой поло-
жительный параметр. Функции f (z), 3 (z) голоморфны в неко-
торой окрестности контура у. Нас интересует асимптотика F (к)
при Л-^-фоо. Как обычно считаем, что f(z)=/=O, 3 (г) Ф const.
Основная идея метода перевала в многомерном случае та же,
что и в одномерном (см. гл. IV, § 1). Рассмотрим интеграл
К] (А.) == ^ ехр [AS (z)] dz,	(1.2)
V»
где ув — компактное многообразие с краем и S (г) — полином.
Очевидно, что
| F[ (Л) | V (уо) ехр ГЛшах Re 3 (z)l,
L z e y0	J
где V (y0) — n-мерный объем многообразия у0. В силу интеграль-
ной теоремы Коши — Пуанкаре значение интеграла (1.2) не
изменится, если мы заменим у0 любым многообразием, которое
имеет тот же край. Пусть Г — множество всех таких много-
образий. Тогда
| Fx (А,) | inf fV (у) ехр ГА, max Re 3 (z)“| 1.
усГ t	L гсу	J J
Как и в гл. I, § 1, п. 1, будем предполагать, что можно огра-
ничиться только такими у е Г, для которых V (у) С = const.
Наконец, допустим, что существует у* = Г такое, на котором
достигается минимакс
max max Re 3 (z).	(1.3)
у = Г z<=y
§ 1. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА
251
Тогда получим оценку
| F( (X) | «С С ехр jV min max Re X (z)J.	(1.4)
Ниже (лемма 1.2) будет доказано, что если у* — минимаксный
контур, то max Re X (z) достигается либо на краю этого много-
геу’
образия, либо в точке г° такой, что
ХС(г°) = О.	(1.5)
Такая точка z° называется точкой перевала функции X (г).
Определение 1.1. Точка перевала z° функции X(г) назы-
вается невырожденной, если det S'iz (z°) =£ 0.
Как и в одномерном случае, вклад от точки перевала в ин-
теграл (1.1) вычисляется с помощью метода Лапласа. Однако
задача об отборе тех точек перевала, которые дают основной
вклад в асимптотику интеграла (1.1), в многомерном случае
связана с еще более существенными трудностями, чем в одно-
мерном. Кроме того, имеются и дополнительные аналитические
трудности, связанные с вычислением вклада от вырожденных
точек перевала.
В настоящей главе собраны практически все примеры много-
мерных интегралов вида (1.1), асимптотику которых удается вы-
числить.
Этот параграф написан по тому же плану, что и § 1 гл. IV.
2. Локальная структура множеств уровня аналитических
функций. Рассмотрим отображение £ = <p (z), или, в покомпо-
нентной записи,
bi = <Pi(zi, z„), ...,	(z1; .... z„).
Это отображение называется голоморфным в области t/сд С", если
все функции qpj (z), . . ., <р„ (z) голоморфны в области U. Далее,
отображение £ = qp (z) называется биголоморфным в области U,
если оно голоморфно в U, область U взаимно однозначно ото-
бражается на область V сд С? и обратное отображение аг =	1 (£)
голоморфно в области V.
Как и в одномерном случае, введем обозначения для мно-
жеств уровня: {Х=с}—множество всех геС" таких, что X (г) = с,
{Re X - множество всех г s С" таких, что Re X (z) с и т. д.
Далее, Dk есть fe-мерный шар, Sk есть fe-мерная сфера.
Лемма 1.1. Пусть функция X (z) голоморфна в окрестности
точки zti, которая не является точкой перевала. Тогда существует
биголоморфное отображение z = qp(£): V -+U, где U, V — окрест-
ности точек £ = 0, z = z°, такое, что
(Xoqp)® = x(z0) + c,.	(1.6)
252
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Доказательство. По условию, не все частные производные
функции S (г) в точке z° равны нулю, пусть dSjdzi У=0. Сделаем
замену переменных £ = <р (г):
S(z)-S(z^ = £1, г2-г° = £., ..., г„-г’=£„.
Якобиан det ср'(г°) =И= 0, и лемма следует из теоремы об обратной
функции.
Следствие 1.1. Пусть условия леммы 1.1 выполнены,
U—достаточно малая окрестность точки z°. Тогда:
1°. Множество {S = S (z°)г} (] U при малых |е| является
(п — \)-мерным аналитическим множеством, диффеоморфным
шару lfn~2.
2°. Множества {Re S=Re S (z°)4-e} П U, {Im S=Im S (z°)+e) П U
при малых вещественных г являются С°°-многообразиями размер-
ности 2п—1, диффеоморфными шару D2n~l.
Действительно, в переменных £ уравнение множества {S =
= S (z°) + е) имеет вид £1 = 8 — это есть плоскость размерности
2п— 2 в Cj. Аналогично, множество {Re S = Re S (z°) + e} в пе-
ременных £ определяется уравнением Re ^=6—это есть плоскость
размерности 2п — 1 в С£.
В частности, если множества {S = c}, {ReS = 6z} не содержат
точек перевала, то первое является (п— 1)-мерным комплексным
аналитическим многообразием, а второе — (2п—1)-мерным ве-
щественным аналитическим многообразием.
Функция ReS(z) наиболее быстро меняется в направлении
градиента Vx> у Re S (г). Линии, принадлежащие векторному полю
{Vx, у Re S), определяются из системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений {z — х + iy)
A = _V1,ReSW.
Учитывая соотношения Коши — Римана, можно переписать эту
систему в виде
(1.7)
Здесь t — вещественный параметр, выбранный так, что ReS
убывает с ростом t, т. е. (1.7) — уравнение линий наибыстрейшего
спуска.
Точками покоя системы (1.7) являются точки перевала функции
S (z). Если z° не является точкой перевала, то фазовая траектория
системы (1.7), проходящая через точку z°, есть кривая класса С°°
при малых t.
Докажем многомерный аналог леммы 4.1.4.
§ I. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА
253
Лемма 1.2. Пусть у— компактное гладкое многообразие
размерности п {возможно, с краем), функции f (2), S (г) голо-
морфны при ге у.
Пусть среди точек, в которых достигается max ReS(г), нет
zey
ни точек перевала, ни точек края ду.
Тогда существует многообразие у0 такое, что-.
Г. j f (2) ехр [A.S (г)] dz = f (2) ехр [XS (г)] dz.
V	То
2°. max Re S (2) < max Re S (2).
z e Yo	z e y
Доказательство. Пусть у (S)— множество всех точек,
в которых достигается max ReS, и точка 20 е y(S). Тогда линия
zey
наискорейшего спуска, проходящая через точку 2°, трансверсальна
к у. Действительно, производная функции ReS в точке 2° по
любому направлению, касательному к у, равна нулю. Если бы
траектория z = z{t), г(0) = 2° касалась у в точке 2°, то в силу (1.7)
т. е. 2° была бы точкой перевала.
По непрерывности, линии наискорейшего спуска трансвер-
сальны к у в некоторой окрестности U множества у (S); вы-
берем U так, чтобы ее замыкание не пересекалось с краем ду.
Сдвинем каждую точку 2 е [J7] за время t(z) вдоль линии
наибыстрейшего спуска, выходящей из г, в сторону возраста-
ния t, и пусть U* — полученное множество. Последнее выберем
так, чтобы было Дг) > 0, геУ; t (г) = 0, 2 е дП и чтобы функ-
ция t(z) была непрерывна на [J7]. Если выбрать /(г) достаточно
малыми, то все траектории останутся в области голоморфности
функций f, S.
Пусть уо — множество, полученное из у заменой U на С7*;
тогда утверждение 1° леммы выполняется. Докажем 2°. При
2 е у0, 2 е U* имеем
Re S (2) < max Re S (г) = M.
Это же неравенство верно при z^dU\ при 2 е U*, Zf=dU
неравенство выполняется по той причине, что ReS убывает вдоль
траекторий (1.7) с ростом t. Из компактности множества U*
следует утверждение 2°.
Таким образом, как и в одномерном случае, основной вклад
в асимптотику интеграла (1.1) могут вносить только точки
перевала функции S (2), край контура интегрирования и особен-
ности функций f, S.
254
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Нам понадобятся следующие топологические понятия: отно-
сительный цикл, группы относительных гомологий (литературу
см. в указаниях к гл. V). Напомним коротко эти понятия.
Пусть X — подмножество в Сп, А с= X. В рассматриваемых
ниже примерах: X = {а <1 Re S < 6} или X = {а Re S < 6} П U,
где S—голоморфная функция, U — область в С1, и соответственно
A = {ReS = a}, А — {ReS = а} П U.
k-мерным элементом цепи <т называется 6-мерное ориентирован-
ное многообразие (возможно, с краем), содержащееся в X; эле-
мент, отличающийся от <т ориентацией, обозначается — <т;
k-мерной цепью у на X называется формальная линейная комби-
нация с целочисленными коэффициентами конечного числа
6-мерных элементов цепи у = YJniai. Если со есть форма сте-
i
пени k на X, то со = nt со. Сложение цепей производится
V	i
пскоэф Ьициентно и, по определению, коммутативно; в частности,
о + (—о) = 0. Цепь у на X называется циклом mod А (относи-
тельным циклом), если ду содержится в А. Относительный 6-мер-
ный цикл называется гомологичным нулю mod А (запись: у ж
ж 0 mod А), если он вместе с некоторой цепью, содержащейся
в А, ограничивает (k + 1)-мерную цепь в X, т. е. у = у' + ду,
где у' есть 6-мерная цепь на А, у есть (kA- 1)-мерная цепь на X.
Два относительных цикла у, у называются гомологичными mod А
(ж пись: у ж у mod А), если их разность гомологична нулю mod А:
у — уж 0 mod А. Пусть Bk(X, А) — группа относительных 6-мер-
ных циклов на XmodA, Zk(X, А)—группа относительных 6-мерных
циклов, гомологичных нулю mod А. Фактор-группа Hk (X, А) —
= Bk(X, A)/Zk(X, А) называется 6-мерной группой относительных
гомологий пары (X, А). Мы рассматриваем группы относительных
гомологий с целочисленными коэффициентами. Далее, X вложено
в С" и топология на X индуцирована обычной евклидовой то-
пологией пространства С”. В наших примерах, как правило,
X некомпактно в этой топологии, а элементы цепей допускают
компактное замыкание в С'1, т. е. рассматриваются гомологии
с компактными носителями. Если А — пустое множество, то
группа относительных 6-мерных гомологий Hk (X, А) является
группой 6-мерных гомологий Hk(X).
Пусть Q —область в С", функция f (z) голоморфна в области й
и у", у" — цепи размерности п, гомологичные в Й. Тогда в силу
интегральной теоремы Коши — Пуанкаре
f (z)dz — f (z) dz.
V"	V"
§ 1. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА
255
Пусть А— множество {Ref = a}, X = й Г) {Re f а}, А не-
пусто. Если цепи у", у" гомологичны в A mod А и функция g(z)
голоморфна в й, то
j g (г) ехр [Af (г)] dz— ^g (г) ехр [А/ (г)] dz = О (e~aX) (А > 0).
v"	v"
Действительно, у" — У2 = у/ + <?у, где цепь у' содержится в А,
цепь у размерности «+1 содержится в X. Интеграл по ду
равен пулю в силу теоремы Коши — Пуанкаре, а интеграл по у'
имеет порядок О(е~аК) при А > 0, так как Rc/(2) = a на у'.
Группы относительных гомологий инвариантны относительно
гомеоморфизмов пар. Именно, пусть отображение f: (X, А)-*
->(А', А') является гомеоморфизмом, т. е. оно взаимно одно-
значно и непрерывно вместе с обратным отображением (здесь
X <= А, X' <= А'). Тогда, как известно, Hk (X, А) аг Hk(X', А') при
всех k.
Два непрерывных отображения fp X-+Y, j = 0, 1, называются
гомотопными (обозначается fo^fi), если их можно «проинтер-
полировать» с помощью непрерывного семейства отображений
fp. X -> Y, 0</<1. Непрерывное отображение г: А-*А назы-
вается ретракцией, если оно тождественно на А (т. е. все точки
множества А остаются на месте). Ретракция называется дефор-
мационной, если отображение i ° г гомотопно единичному ото-
бражению X на себя. Здесь i: А -* X — включение А в X.
Аналогично определяется деформационная ретракция пары
г: (X, А)~+(Х', А'), где АсдА, А'сХ', и г отображает X на А',
А на А'. Имеет место следующее важное свойство:
Если существует деформационная ретракция пары г: (А, А)—>
->(А', А'), то все относительные группы гомологий этих пар
изоморфны: Hk(X, A)^Hk(X', А').
Пусть U — область в С". Введем обозначение:
Hvk(a^ReS<b, = =
= Hk({a<JteS<b}(\U, {ReX = a}{W (1.8)
Пример 1.1. Пусть (/—малая односвязная окрестность
точки z°, функция Х(г) голоморфна в области U и Х'(г°)=И=0.
Тогда группа Нп (Re X Re X (z°) + с, Re X = Re X (z°) + с) три-
виальна.
Действительно, в силу леммы 1.1 можно считать, что X(z) =
= Х(г°) + г1. Далее, мы можем считать, что U есть куб вида
—	—б у] A) b(Zj = X/ + [у,). Множество {ReX^
ReX (z°) + c} f| U можно непрерывно продеформировать в мно-
жество {Re X = Re X (z°) + с} f] U, откуда и следует наше
утверждение.
256
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Деформационная ретракция задается формулой
г (г) = (zt + t (с — zj, г2, ..., z„),	0 < t < 1.
Пример 1.2. Пусть U — односвязная окрестность точки
г = 0 в комплексной плоскости z и с > 0. Тогда
(Re г2 Д; — с, Re г2 = — с) «s Z,
где Z — группа всех целых чисел.
Образующей этой группы гомологии является отрезок уг =
= [— z , г Vе ]•
Действительно, множество {Re г2 Дг 0} И U можно непрерывно
продеформировать в множество {Re z2 = 0} f] О, сдвигая каждую
точку вдоль проходящей через нее линии уровня Im z2 = const.
Множество {— с Re г2 0} П U можно продеформировать
в отрезок ус, сдвигая каждую точку вдоль проходящей через
нее линии уровня Re z2 = const. Таким образом, рассматриваемая
нами группа гомологий изоморфна группе (yr, z=±r VC)~Z.
Относительный цикл ус называется исчезающим циклом, по-
скольку при с->0 он стягивается в точку («исчезает»).
Отсюда следует, что если г0 — простая точка перевала
функции S(z), U — ее малая односвязная окрестность и с>0
достаточно мало, то
Н'\ (Re S (z) Re S (z0) — c, Re S (z0) = Re S (z0) — c)« Z.
Действительно, функцию S с помощью биголоморфной замены
переменных z=qp(£) можно привести к виду (S ° <р)(?) = S (г0) -+ Д.
Пример 1.3. Пусть U, с те же, что и в примере 1.2, k Дг2.
Тогда
//f7 (Re zfe	— с, Rezft = -c)~Z®Z® ... ®Z (fe - 1 раз).
Образующими этой группы служат относительные циклы
У/ = lj — ll+i, 0-^J^n— 1, где lj — отрезки [о, Vе е‘2л//,г]
(исчезающие циклы).
Точно такую же структуру имеет группа Н\' (ReS(z)^>
Re S (z0) — с, Re S (z) = Re S (z0) — с), если z0 является точкой
перевала порядка k функции S(z), (/ — окрестность точки z0.
Следующий пример является наиболее важным.
Пример 1.4. Пусть U — шар | г | а в С" и с > 0 — доста-
точно малое число, тогда
— с> (~ S = — с) ~ Z.
$ 1. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА
257
Образующей этой группы является исчезающий цикл
Ус | г: ^ = 0, ...» уп = 0, £ х) < с },
т. е. ус есть n-мерный шар-пересечение U с вещественной
«-плоскостью R".
Наметим доказательство. Перейдем к биполярным коорди-
п	п
натам: х^гур у , = (>&,, где г = | х |, р = | у |, Е ф2= Е 0^= 1.
/“1	7-1
Тсгда рассматриваемые множества примут вид X: р2 — г2^ — с,
А: р2 — г2 == — с. Как и в примере 1.2, их можно непрерывно
продеформировать в множества X': —х! с	Р = 0:
А'-. г2~с, р = 0, ieU, где <р, 0 пробегают единичные сферы,
так что рассматриваемая группа изоморфна группе гомоло-
гий Н}(Х', A')«Z.
Пусть у есть элемент рассматриваемой группы, причем
1) у — гладкое многообразие с краем, содержащее точку z = 0;
п
2) Re £ г? > 0 при геу, z =/»(). Тогда можно показать, что
У ± Yc mod Q Re Е (— zj) = — с j Л 6J .
Число ± 1 есть индекс пересечения у с ус.
Лемма 1.3. Пусть z° — невырожденная точка перевала функ-
ции S(z), U — шар \г — z° | < р, с>0 и р, с достаточно малы.
Тогда
Н" (Re S > Re S (z°) - c, Re S = Re S (z°) - c) « Z.
Доказательство следует из примера 1.4 и аналитического
варианта (лемма 2.3.2) леммы Морса. Действительно, функцию S
можно с помощью биголоморфной замены переменных z = <р(£)
п
привести к виду (S о <р) (£) = S (z9) — Образующей этой
группы является исчезающий цикл ус (прообраз исчезающего
цикла из примера 1.4).
Замечание 1.1. Пусть z° — вырожденная точка перевала,
тогда группа Нп (ReS Re S (z°)— с, ReS = ReS(z°)— с) при
малых U, с>0 изоморфна прямой сумме Z®Z© ... ©Z
(k 1 раз). Здесь k не зависит от с и называется п-мерным
типовым числом точки 2°. Базис этой группы относительных
гомологий образуют исчезающие циклы у1; . . ., у*, конструкция
которых такова. Рассмотрим траектории системы (1.7), которые
при /-> —оо входят в точку z°, т. е. устойчивое интегральное
0 М, В, Федорюк
258
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
многообразие Эй, отвечающее этой точке покоя системы (1.7).
Пусть ЭЙ[/=ЭЙП U; тогда Заесть «-мерное многообразие, связные
компоненты которого являются исчезающими циклами и образуют
базис уь ..., yk. При этом maxReS(г) достигается только
в точке г°.
3.	Вклад от точки перевала. Рассмотрим интеграл F (Л)
вида (1.1), где у есть «-мерное гладкое компактное многообразие
с краем, функции f (z), S (г) голоморфны при г°еу
Теорема 1.1. Пусть max Re S (z) достигается только в точке
z° е у, которая является невырожденной точкой перевала и
внутренней точкой контура у. Тогда при А->Н-оо
F (А) = j f (z)exp[AS (г)] dz ~ A-rt/2exp[AS (г0)] а/гА~/г. (1.9)
у	А = 0
Это разложение можно дифференцировать по А любое чис-
ло раз.
Доказательство. Положим y = YeUy8, где е>0 доста-
точно мало, yE = {ReS>ReS(z0— е)} П U. Тогда интеграл по уЕ
имеет порядок О (ехр [A (S (z°) — е)]), и мы его отбросим. Рассмотрим
группу $ — Нп (Re S с° — г, ReS = c° —е), где c°=ReS(z°),
U — достаточно малый шар с центром в точке z°. Из примера 1.4
следует, что уе х, ± у®, где у° — канонический относительный
цикл, который является образующей группы 9 (см. лемму 1.3).
Следовательно,
F] (А) = j f (z) ехр [AS (z)] dz = ± f (г) exp [AS (z)] dz.
VE	V0
Сделаем биголоморфную замену переменных z = <р (£), при-
водящую функцию S к сумме квадратов (см. лемму 2.3.2):
п
S(z) = S (z°) — 2	Тогда
1=1
Fi (А) — ± ехр [AS (z°)] j
2 Й<р2
(f о ф) (I) det ф' (g) ехр
где с = ^-|-гг]. Асимптотика полученного интеграла вычисля-
ется с помощью метода Лапласа (см. теорему 2.4.1) и имеет
вид (1.9).
§ 1. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА
259
Предложение 1.1. В условиях теоремы 1.1 главный член
асимптотики интеграла (1.1) имеет вид
=	И/)-1/2[) (г°) + О (V1)]. (1.10)
/ = 1
Здесь [ij — собственные значения матрицы S"z(2°) и
|argV~ М/ I <л/4.	(1.11)
Знак в (1.10) совпадает со знаком в тождестве ус яг ± у®,
где ус = {Re(X(z) — X (z®))>c) f) у, с > 0 мало, у® — канонический
исчезающий цикл.
Короче формулу (1.10) можно записать так:
F(X) = (2л/Мге/2ехр [XX (z0)] [det (- X" (г°))Г'/2[f (г°) + О (V1)],
(1.10z)
однако -выбор ветви корня гессиана в такой записи неясен.
Доказательство. Поскольку главный член асимптотики
выражается только через 3"г (z°), то достаточно ограничиться
рассмотрением квадратичной функции X. Пусть z° — 0, X (z°) = 0.
С помощью линейного преобразования с определителем, равным
единице, X можно привести к сумме квадратов, так что рас-
п
смотрим функцию X =	Контур у® в данном случае
____ /=|
имеет вид Zj = pil^/—р/,	где р;- вещественны, ветви
х/ — р/ выбраны в соответствии с (1.11). Следовательно,
п	/ п \
F(A) = ± Д(- ц,)-,/2 J ехр[ - у £ p)Up,
/=1	I' \	/=1	/
где V — вещественная окрестность точки р = 0. Окончательно
F (А) = ± Д (- Цу.)-!/2(^)ге/2 [1 + О (V1)],
/=|
и тем самым (1.10) доказано.
Следствие 1.2. Пусть условия теоремы 1.1 выполнены,
z° — вещественная точка и у—вещественная окрестность точки z°.
Тогда в формуле (1.10) берется знак плюс.
Рассмотрим интеграл (1.1), где у — гладкое «-мерное мно-
гообразие (возможно, с краем), функции f, X голоморф-
ны на у.
9*
260
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Контур у называется перевальным (для интеграла (1.1)),
если:
Г. Среди точек, в которых достигается М = max Re S (z),
ze[y]
имеются точки перевала функции S(z).
2°. Re S(z)< М на ду.
Теорема 1.2. Асимптотика при А, ф- оо интеграла (1.1)
по перевальному контуру равна сумме вкладов от тех точек
перевала, в которых достигается max Re S(z).
геу
Понятие вклада будет введено в процессе доказательства.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
на у имеется ровно одна точка перевала z° такая, что
ReS(z°) = A/l. Если RcS(z)<.W при геу, z=/=z°, то интеграл
F (А) равен сумме интеграла по малой окрестности точки z°
(который назовем вкладом от этой точки) и величины порядка
О (ехр [А, (/И — б)]), б > 0, которая экспоненциально мала по
сравнению с ехр [AS (г0)]. Пусть на у имеются точки z = z°,
в которых ReS(z) = JW, и пусть у0 — малая окрестность точки z°
на у, у1 = у \ у0. Если Re S (z) < М на дуа, то в силу леммы 1.2
можно, не меняя значения интеграла, продеформировать у1
в контур yi, на котором ReS(z)^M— е, е > 0 (напомним, что
ReS(z)<.W на ду). Тогда мы придем к рассмотренному выше
случаю. Если же на ду° имеются точки, в которых ReS(z) = /W,
то можно тем же способом, что и в лемме 1.2, продеформи-
ровать у] в контур yi с тем же краем, на котором ReS(z) < М
при zedyi- Положим у = y0|J Yi, фиксируем достаточно малое
число б > 0 и выберем окрестность у0 точки z° на контуре у
такую, что ReS (z) = М — б на ду0. Тогда интеграл по контуру у0
можно продеформировать в контур у0, на котором ReS(z) < М
при z=/=z° (см. замечание 1.1); этот интеграл назовем вкладом
от точки z° в интеграл (1.1). На оставшейся части контура
имеем Re S (z) AI — 6', 6х > 0, и этот интеграл экспоненциально
мал по сравнению с ехр(А.И) при А,->-|~оо.
Если у — перевальный контур и те точки перевала, в которых
достигается maxReS(z), —простые, то асимптотика F (А) вы-
геу
числяется. Вклад от вырожденных точек перевала удается
вычислить в явном виде только в некоторых частных случаях.
Приведем примеры. Если z° — точка перевала, то
00
S(z) = S(z°) + XSj(z)	(1.12)
при малых |z — z°|, где Sy — однородный полином степени / от
переменных z — z°.
§ 1 ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА
261
Пример 1.5. Пусть у — вещественная окрестность точки
max ReS(г) достигается только в точке х°, и пусть при
ze(vl
вещественных х
Sj(x) = Q, 2</<2р —1;	ReS2p(x)<0,	х¥=х°,
где pZ>2. Тогда при А->-|-оо
F (А) ~ ехр [AS (х°)]А-ге/2рХ
X f (х°) ( exp(S2p (%)) dx + £ akK k!p
(1-13)
Доказательство точно такое же, как и в примере 2.4.3.
Пример 1.6. Пусть контур у тот же, что и в примере 1.5,
max Re S достигается только в точке х°, и пусть
zefyl
s (х) = S (х°) + S2₽1 (х< Д + S-p. (х'-Д + ...
... +S2pft(xW) + S,Pft+i(x)+ ...
Здесь х = (х|, .... х(А)), т. е. x(1) = (xj, ..., X/,), х<2) — (x/.+i, ...
..., xZ|+z2), ..., х^ = (xz|+ . . +zft_,+i, • •., х„), ReS2p/(x(/>) < О
при вещественных х(/)#=х9. Тогда при А-*Н-оо
F (А) — ехр [AS (х0)] А'(п<7,/2
«.Ж) X аА 1г
i=i
(1-14)
где обозначено
г/ = тг + д-+ ••• +?-’	«9 = (ехр £s2p(x) (1.15)
Р1 Р2	Pk	-i Iх-' 1
и г — рациональное число, г^1.
Для доказательства достаточно сделать замену переменных
х(7) — х (/) = к~'12р1у{1> в интеграле F (А) и затем провести те же
рассуждения, что и в примере 2.4.3.
4.	О вкладе от границы. Пусть max Re S(z) достигается
ze[vJ
только в граничной точке контура г°е<Эу. При п=1 асимптотика
интеграла F (А) равна вкладу от точки z° и легко вычисляется
(см. гл. IV, § 1). При nZ>2 асимптотика F (А) в этом случае,
вообще говоря, не вычисляется и во всяком случае, не опреде-
ляется точкой г°.
Пусть для простоты у — ограниченная область в R" с гладкой
границей ду. Можно свести интеграл по у к интегралам по ду
аналогично тому, как это было сделано в гл. III, § 4, тогда
262
ГЛ. V. МЕТОЛ ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)
получим интегралы вида
Ф (А) = \ ехр [AS (х)] ю (х),
ду
где и —гладкая дифференциальная форма, S(x)—сужение
функции S на ду. По условию, maxReS(x) достигается только
х<=ду
в точке х°. Но точка х° не является точкой перевала функции S,
так как она является стационарной точкой функции ReS, но
не функции ImS. Если VS(x°)=/=0, то асимптотику интеграла
F (А) мы не можем вычислить. Подтвердим эти соображения
примером.
Пример 1.7. Пусть у — круг х1 + у2 1 в вещественной
плоскости (х, у),
F (А) = j j ехр [А (х + iy)] dx dy.
v
Здесь S — х + iy, ReS достигает максимума на у только
в точке (1,0). Имеем
।
F(A) = A-i J (ехр [AS+(р)] — ехр [AS_ (г/)]) rfz/.
5± (у) = iy ± V1 — •
При этом max ReS±(z/) достигается только в точке у = 0,
»е[-Ь И
которая не является точкой перевала и поэтому не дает вклада
в асимптотику F (А) (лемма 4.1.4). Конечно, в данном конкретном
случае асимптотика F (А) вычисляется, но она не выражается
через значения фазы и ее производных в точке х° = (1,0).
5.	Малые возмущения. Рассмотрим интеграл
F (А, а) = f (г, а) ехр [AS (г, а)] dz,	(1-16)
т
где а = (аь ..., ak) — параметр, у —гладкое многообразие в С"
с компактным замыканием (возможно, с краем). Пусть вы-
полнены условия:
1°. Функции f(z, a), S(z, а) голоморфны при (г, а) е U X й,
где U — окрестность контура у, Q — окрестность точки а°еС\
2°. Контур у является перевальным при а —а0.
3°. Все точки перевала г1, . . ., zs функции S(z, а0), в которых
достигается max ReS(z, а°), невырождены.
Z65 [у]
§ 1. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА
263
Из условия 3° следует, что при малых | а — а01 функция S (z, а)
имеет точки перевала zx (а), zs (а) такие, что г/(а°) = г/, и
все они невырождены.
Теорема 1.3. Пусть условия 1° — 3° выполнены. Тогда су-
ществует S > 0 такое, что при | а — а01 < <5, А —> Д оо асимптотика
интеграла (1.16) равна сумме вкладов от точек перевала
zx (а), .... zs(a).
Доказательство. Пусть a° = 0, .W (а) = max Re S (z, а).
Можно считать, что М (0) достигается на у только в точ-
ках z1; это следует из доказательства теоремы 1.2. Выберем
е0 > 0 достаточно малым, и пусть U1 — окрестности точек г1,
на у такие, что ReS(z, 0) = .-И (0) — е0 на dU1; можно считать,
что U! не пересекаются. При малых | а | имеем
г1 (а) = г1 Д О (| а |), S (z11 а |, а) = S (z', 0) -4- О (| а |).
S
Если у = у\ (J U1, | а | Д 60, &) > 0 достаточно мало, то
! =
ReS(z, а) Д .И (а) — е()/2 на у, по непрерывности, так что интег-
рал по у имеет при А > Д порядок О (ехр [А (М (а) — ес/2)]).
Покажем, что асимптотика интеграла по U1 равна вкладу
от точки перевала z’ (а) при малых | а тем самым теореме
будет доказана. Пусть j = 1, Ux (а) сд U1 — окрестность точки zx
на у такая, что ReS(z, а) = М (а)— е(/2 на dU1 (а). Интеграл
по области Ul \ Ux (а) экспоненциально мал по сравнению
с ехр [АЛ1 (а)] (при А->Доо равномерно по а при малых | а |),
так как ReS (г, а)ДА1(а)— ег/2 Д О (а) в этой области. Контур
U1 (а) есть относительный цикл mod {Re S (z, а) — M (а) — ес/2}
в множестве ReS(z, а) Д М (а) — ег/2, и его можно, не меняя
значения интеграла, продеформировать в канонический исче-
зающий цикл у р (а), если а достаточно мало. Сделаем биголо-
морфную по £ и голоморфную по (Д а) при малых | £ |, | а | за-
мену переменных, приводящую функцию S к сумме квадратов:
z z1 (а) Д ф (£, а), (S ° ф) (£, а) = — X = S*,
тогда интеграл по области U1 (а) примет вид
F! (А, а) = ехр [AS (zx (а), а)] jj f* (£, а) ехр [AS* (£)[ dt,,
и
где й—шар X (Re^.)2== е0/2, Im£=0, f = (/оф)(^, а) det ф' (С, а).
Применяя к интегралу Ft теорему 2.4.1, получаем утверждение
теоремы.
264
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Формулы для вкладов от точек z‘ (а) имеют вид (1.10) с той
лишь разницей, что S, at зависят от а.
6.	Интегралы с неаналитической фазой. Рассмотрим интеграл
F(Z) = j f (х) ехр [ZS (х)] dx.	(1.17)
r"
Пусть выполнены условия:
1°. f(x) е СГ (R'1), S (х) (= С°° (R'1).
2°. max Re S (x) = Re S (x°), S* (x°) = 0, и на supp f нет стацио-
парных точек функции S, отличных от х .
3°. Точка х° невырождена, т. е. det S"x (х°) =# 0. Покажем, что
асимптотика интеграла (1.17) равна вкладу от точки х°; анали-
тичность функций f, S в окрестности этой точки не предпола-
гается.
Теорема 1.4. Пусть условия 1° — 3° выполнены, тогда при
Z-> 4-оо асимптотика интеграла (1.17) имеет вид (1.9) — (1.11)
и в формуле (1.10) берется знак плюс.
Доказательство. Пусть х° = 0, S(х°) = 0 для простоты;
можно считать, что U — малая окрестность точки х°, так как
ReS(x)^c<0 вне этой окрестности. Устроим разбиение еди-
ницы 1 = ф0(х) + ф1 (х), х е R", класса С°°, где ф0(х) = 1 при
малых |х| и ф0(х) = О при |х| > 1. Фиксируем е, 1/3 < е < 1/2,
и положим
Fj (А,) = ехр [ZS (х)] f (х) g, (Z8x) dx, j = 0, 1,
и
так что F (А) = Fo (А) + F\ (А). Покажем, что
Д1(А) = о(А~°°)	(А^ + <ю).	(1.18)
Введем оператор
^=(±КГУ'<тЙ7-	<11»)
\/=11 ' 1 / 1 '
Тогда ezs = V'L (Zs), так что при любом целом fe^O
F\ (А) = ехр [ZS (х)] *Ьк [/ (х) qg (Zex)] dx, (1.20)
и
гда lL — сопряженный с L оператор (напомним, что [цц — фи-
нитная функция).
Покажем, что при xetZ
ГТЙ(/Ф1)|<С^28\	(1.21)
§ 1. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА
265
Имеем
LJ A j	<_/ -Л. •
/=1 ! /=| '
a/=-fS'/(x)|VS(x) Г2.
Так как х = 0— единственная, и притом невырожденная, ста-
ционарная точка функции S, то
| VS(x) |2>С|х |2, S'y(x) = O(!x|),
DaS(x) = O(l) (|a|>2)
при x^U, если U достаточно мала. Следовательно,
а/(х) = О(|хГ’)> дад^ =0(|*Г2)>
= о (V), .г е U,
так что
I'Z.(f<Pi)l = О(| х Г2) + О(Ае| х |~1) = 0 (A. е), xe=U,
поскольку |х|^СЛ”е на suppд, (Лех). Тем самым (1.21) дока-
зано при k~ 1. Аналогично исследуется случай &>1; доста-
точно заметить, что при x^U имеют место оценки
D“a;(х) = О (| х Г'~,а|),
(Л) = О (Г'а 1), I х | > Ск~е,
„а ( 1 д \а'	( 1 д \а>1 , ,	,	, тл
где D =(Т^) •••(TdTj ’ |a|=a' + ••• +“- Из
(1.20), (1.21) следует, что Fj (Л) = О (V<2e-I)) при любом це-
лом k, и так как е < 1/2, то (1.18) доказано.
Итак, остается исследовать интеграл F0(A.). Мы сведем его
к интегралу с квадратичной фазовой функцией, разложив в ряд
экспоненту
ехр [ZS, (х)] = £	+ О ((^ (х)/+}).
k = 0
Здесь S, (х) = S (х) — So (х), So (х) — квадратичная форма с ма-
трицей -g-S"x(O) = А. Из условий 2°, 3° следует, что ReS0(x)^O
при всех xsRn. Имеем |х | = О(к~Е) на зиррф0, и так как
S, (х) = О (| х |3), то AS) (х) = О(л1-3е)->0 при Л->+оо (е > 1/3).
266
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Следовательно,
j ехр [AS0(x)] О ((ASj (х))л+!) фо (А8х)dx = О (r,|V)>
и
aN — (Л + 1) (Зе — 1) + «е
(напомним, что ReSo(x)^O при малых |х|). Так как «№->4-оо
при JV—>оо, то интеграл F0(A) с точностью до слагаемого,
убывающего быстрее любой наперед заданной степени Л, равен
сумме слагаемых вида
Fo (А) — ехр [XSq (х)] ф (х) ф (а8х) dx,
v
где ф е С°° при малых | х |. Если ф (х) = О (| х |-v), то F0(A) =
= О (z~(‘v+'l)8), поэтому с точностью до слагаемого, убывающего
быстрее любой наперед заданной степени А, функцию ф(х)
можно заменить отрезками ее ряда Тейлора по степеням х.
Таким образом, достаточно исследовать интеграл вида
Fo (Л) = j ехр [AS0 (х)] х“ф0 (А8х) dx,
Rn
х“ = ха‘. . . х“п 0 — целые числа). Делая замену х->лТ8х,
получаем
Ао (Л) = Vе (п+1 “1 > j ехр[pS0 (х)] х“ф0 (х) dx,
кп
Л I —_‘е
[I = Л ,
так что остается вычислить асимптотику при ц-*-|-оо инте-
грала вида
Ф (р) = j Ф (х) ехр [pS0 (х)] dx,
r"
где ф « С™ (R"), S0(x)— невырожденная квадратичная форма,
Re So (х)^ 0 при xeR" Применим равенство Парсеваля, тогда
Ф(р) = сц-ге/2 j ф(—g)exp[p-'S0(g)]dg.
Rre
Здесь ф — преобразование Фурье функции ф, Sq (g) =	g)-
Разлагая экспоненту по формуле Тейлора, получаем
N
J Ф (- Ю ехр [Ц-‘So (I)] dg = £ J Ф (- g) So (g) dg + Rn (p).
r"	r"
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
267
Остаточный член имеет вид
j ф(_ £) о (I &Г+2И = О
r"
так как ReSo(£)^O при >eR'‘.
Суммируя все выкладки, получаем для исходного интеграла
разложение вида (1.9). Теорема доказана.
§ 2. Точки перевала полиномов и алгебраических функций.
Теоремы существования
!. Элементарные сведения о комплексных и вещественных алгебраиче-
ских множествах и об алгебраических отображениях. (Приведенные в этом
пункте сведения содержатся в [8], [9], [22], [29], [60], [94].) Подмножество
V с Сп называется алгебраическим, если оно задается конечным числом
алгебраических (полиномиальных) уравнений
V = {г е Сп: Р, (г) = 0, ..., Pk (г) = 0],
где Pj (г) — полиномы. .Все пространство С” и пустое множество являются
алгебраическими множествами.
Критерий непустоты алгебраического множества в СРге.
Система однородных полиномиальных уравнений имеет нетривиальное
решение.
Иными словами, система уравнений
Р,(2) = 0, ..., Pft(z) = 0,
где Pj(z) — однородный полином степени т/, всегда имеет нетривиальное
решение z° #= 0.
Если система алгебраических уравнений состоит из однородных урав-
нений и z°—ее решение, то при любом (ЕС точка tz° также является ре-
шением: множество (еС называется прямой решений.
Теорема Безу. Пусть система п—1 однородных алгебраических
уравнений с п неизвестными
Pt (z) = 0,..., Pn-j (г) = 0, геСп,
имеет конечное число прямых решений. Тогда их число (с учетом крат-
ности) равно произведению степеней уравнений.
Теорема Гильберта о корнях. Пусть полином Р (г) обращается
в нуль на алгебраическом множестве V = (ге С'1, Р] (г) = 0, ..., Р^ (г) = 0].
Тогда существуют целое число m и полиномы Qi (г)........Qk(z) такие,
что
Pm (z) = Qi (z) Pl (z) + ... + Qk (z) Pfe (z).
Полином P (z) называется приводимым, если его можно представить
в виде Р («) = Pi (г) Р2 (z), где Pj (z) — полиномы ненулевых степеней.
В противном случае полином Р (г) называется неприводимым.
Всякий полином Р (z) может быть представлен в виде произведения не-
приводимых полиномов. Именно,
P(z) = p71(z)...p'^ (г),
где /Пу 1 — целые числ , Ру (z) — неприводимые полиномы ненулевых
степеней, Ру (z)IPk (z) const при / k. Это разложение единственно
268
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
в следующем смысле: если имеется другое разложение
Р (2) = Q?1 (2) . . . Q"‘ (2),
то k = I, и для каждого сомножителя Р/ (г) существует I (/) такое, что
Pj (г) = const (/) (г), т/ =	(/).
Отметим еще два алгебраических факта.
Г. Если полином P(z)^0 неприводим и полином Q (г) обращается
в нуль всюду, где Р (г) = 0, то Q (г) делится на Р (г).
2°. Пусть п = 2, Р, Q — полиномы, и система
P(2i,22)=0;	Q(2j>22)=0
имеет бесконечно много решений. Тогда полиномы Р, Q имеют общий мно-
житель — полином R (г,, г2) const.
Введем в С” топологию Зариского: замкнутыми множествами назы-
ваются алгебраические множества. Объединение конечного числа и пересе-
чение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Замкнутое множество V cz Сп называется неприводимым, если его нельзя
представить в виде V' = V'iL)V'2, где V/ — непустые собственные замкнутые
подмножества множества V. В противном случае множество V называется
приводимым. Всякое замкнутое множество V cz Сп единственным образом
(с точностью до перестановки слагаемых) представимо в виде объединения
конечного числа неприводимых замкнутых множеств: V— Vt UV2U ••• U Vfe.
Пусть M cz Сп—произвольное множество. Его замыканием в топологии
Зариского (обозначается [Л/]z) называется наименьшее замкнутое множество,
содержащее М (или, что то же, пересечение всех замкнутых подмножеств,
содержащих М).
Отображение ч С” -> С” называется алгебраическим, если Wj = /у (г),
1 т, где fj — полиномы от г.
Образ алгебраического множества при алгебраическом отображении
может не быть алгебраическим множеством. Пример: V — множество zxz2 — 1
в С2, /(21, г2) = 2] (проектирование на плоскость 2J. В этом случае /(У) —
комплексная плоскость 2j с выколотой точкой г, = 0 (т е. множество
г, е С, 2j =/= 0).
Имеется класс множеств, инвариантных относительно алгебраических
отображений. Назовем стратом в Сп множество, задаваемое конечным
числом полиномиальных равенств и неравенств:
Р, (2) = 0, ... Pk (2) = 0. Q, (г)	0... Qt	(г) =£ 0.
Множества, представимые в виде объединения конечного числа стратов, на-
зовем комплексными полуалгебраическими множествами. Класс таких мно-
жеств замкнут относительно всех теоретико-множественных операций.
Теорема Шевалле. Образ комплексного полуалгебраического
множества при алгебраическом отображении является комплексным полу-
алгебраическим множеством.
Пусть Р (z) = a2zm + a\Zm~'... + am — полином, геС, а0 =/= 0 Ди-
m
скриминантом D полинома Р называется число D = Р' (г Л, где
I=t
— корни полинома Р (каждый корень считается столько раз, какова его
кратность). Чтобы Р имел кратный корень, необходимо и достаточно, чтобы
D = 0. Далее, дискриминант D является полиномом от коэффициентов
ао, ..., ат полинома Р.
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
269
Пусть геС, £е=Сл и Р (z, g) — полином от переменных (z, g). Тогда
дискриминант Р, как полинома от z, является полиномом D (£) от пере-
менных £. Если полином Р зависит от и неприводим, то Р)([)=^0.
Пусть Vcz Сп — неприводимое алгебраическое множество. Тогда V можно
задать с помощью системы уравнений Pj (z) = О....Pr(z) = 0, где Pj(z) —
неприводимые полиномы, и Р/ (z)!Pk (г) ф const при / /= k. Размерностью V
(обозначается dim V) называется число г = 2 max rank (dPJdz^. Точки V,
в которых ранг матрицы Якоби равен г, называются неособыми точками.
Размерностью произвольного алгебраического множества называется максимум
из размерностей его неприводимых компонент. Коразмерность V (codim R)
определяется по формуле dim V + codim V = 2n.
Мы всюду используем вещественную размерность. Размерность ком-
плексного алгебраического множества У сС" равна, по определению, раз-
мерности его замыкания [V]z в топологии Зариского.
Отметим несколько элементарных свойств комплексных алгебраических
множеств.
3°. Пусть алгебраическое множество V cz Сл содержит комплексную
или вещественную окрестность некоторой точки. Тогда V = Сп.
Под вещественной окрестностью точки г°®Сл понимается множество
вида z = z° + х, x^U, где [/ — окрестность точки х = 0 в R”.
4°. Пусть комплексное полуалгебраическое множество V с. Сл обладает
указанным в 3° свойством. Тогда Сп \ V содержится в собственном алге-
браическом подмножестве в Сл.
5°. Если алгебраическое множество V cz Сл дискретно, то оно состоит
из конечного числа точек.
6°. Если алгебраическое множество V cz Сл содержит бесконечно много
точек, то dimVi^2.
7°. Ненульмерное непустое алгебраическое (комплексное полуалгебраи-
ческое) множество в Сп некомпактно (в обычной топологии).
Приведем еще некоторые аналитические факты. Рассмотрим систему
из п уравнений
Л(г) = 0....(г) = О, геС»,
где функции // (г) голоморфны в области U cz Сл. Положим f (г) =
= (й (г), ..1П (г)). Пусть z° — изолированное решение уравнения [ (г) = 0.
Кратностью ц решения г° называется степень отображения г -> f (z)/| f (г) |
сферы достаточно малого радиуса с центром в точке г° в единичную
сферу 5Л-1. Число ц всегда является целым и положительным. Если
det f'z (z°) =/= 0, то ц = 1.
Принцип Руше. Пусть z° — изолированный нуль кратности ц вектор-
функции ! (г). Тогда существуют е > 0, б = б (е) > 0 такие, что уравнение
f (z) = w
при | w | < e имеет ровно ц решений (с учетом их кратности), и все они
лежат в шаре | z — z° [ < б.
Теорема Сарда. Пусть М,, М2 — дифференцируемые многообразия
одинаковой размерности со счетной базой и отображение f: Mi -> М2 при-
надлежит классу С1. Тогда образ множества критических точек отображе-
ния f имеет в М2 меру нуль.
Критическая точка отображения f — это точка, в которой якобиан вы-
рожден.
Вещественное алгебраическое множество V cz R” определяется так же,
как и комплексное, т. е. V = {х е R”: Pi (х) = 0, ..., Pfe(x) = 0}. где Pj (х) —
полиномы от х с вещественными коэффициентами.
270
ГЛ, V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)
Объединение конечного числа и пересечение любого числа вещественных
алгебраических множеств являются вещественными алгебраическими множе-
ствами. Понятия проводимости полинома, размерности алгебраического мно-
жества, алгебраического отображения полностью переносятся на веществен-
ный случай; утверждения 3°, 5° справедливы для вещественных алгебраи-
ческих множеств.
Назовем стратом в R” множество, которое задается конечным числом
полиномиальных уравнений и неравенств:
Р,(х) = 0, ... Pft(x) = 0, Qi (х) > 0, ..Qi (х) > 0.
Вещественным полуалгебраическим множеством называется объединение
конечного числа стратов. Класс вещественных полуалгебраических множеств
замкнут относительно всех теоретико-множественных операций.
Теорема Зайденберга — Тарского. Образ вещественного полу-
алгебраического множества при вещественном алгебраическом отображении
является вещественным полуалгебраическим множеством.
Размерность вещественного полуалгебраического множества V можно
определить, например, как максимум размерностей шаров, которые можно
поместить в V.
Если V cz R" — собственное вещественное полуалгебраическое подмноже-
ство, то его граница dV содержится в некотором собственном алгебраическом
подмножестве R”.
Вещественнозначная функция ф (х) называется кусочно-алгебраической,
если существует такой полином Р (ф, х) от (ф, х) с вещественными коэффи-
циентами, что
Р(ф(х), х) = 0, х е R'!.
Кусочно-алгебраическая функция, определенная при всех х е Rn, бесконечно
дифференцируема всюду в R” за исключением, быть может, некоторого полу-
алгебраического множества коразмерности 1.
Теорема Уитни. Всякое вещественное алгебраическое множество V
может быть представлено в виде конечного дизъюнктного объединения
п
С°°-многообразий'. V = [J V j, dim V j — j. Каждое из многообразий V/ имеет
i=o
конечное число компонент связности.
Эта теорема верна, очевидно, и для комплексных алгебраических мно-
жеств.
2. Точки перевала алгебраических функций. Пусть P(z) —
полином степени mi>2, zeC". Его точки перевала опреде-
ляются из уравнения Р'г (z) = 0. В одномерном случае любой
полином степени mi>2 имеет ровно (tn— 1) точек перевала
(с учетом кратности). При д>2 это не так. Именно, возможны
следующие варианты:
1. Имеется конечное, не меньшее 1, число точек перевала.
Пример: Р z2) = z™ + z™.
2. Нет ни одной точки перевала.
Пример: Р (zI, z2) = z, + z™.
3. Имеется бесконечно много точек перевала.
Пример: Р (z) = (Q (z))2 3, где Q Ф const — полином. Все
точки, в которых Q(z) = 0, являются точками перевала поли-
нома Р.
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
271
Трудно указать сколь-нибудь общие критерии (в терминах
коэффициентов полинома Р), какой именно из этих вариантов
реализуется. Мы несколько по-другому поставим задачу о струк-
туре множества точек перевала.
Рассмотрим градиентное отображение Р :	заданное
формулой
w = P'z(z).	(2.1)
Если рассматривать это соотношение как уравнение относи-
тельно z, при фиксированном w, то его решения — точки пере-
вала функции
S (z, w) = Р (z) — {z, w),	(2.2)
п
как функции от z. Здесь (z, w) = У ZfWj. Заметим, что пре-
/-1
образование Фурье функции exp(P(z)) имеет S своей фазовой
функцией.
Задача о разрешимости уравнения (2.1) эквивалентна задаче
об описании образа Р' (Сга) градиентного отображения. Далее,
если уравнение (2.1) разрешимо при данном да0, то задача
о структуре множества точек перевала функции S (z, да8) — это
задача о структуре слоя (Р')-1 “’° отображения Р'. Критиче-
скими точками отображения Р' являются точки, в которых
det P"Z2 (г) = 0; им отвечают вырожденные точки перевала функ-
ции S (z, да), где да = Рг(з).
Предложение 2.1. Образ Р' (Сга) градиентного отобра-
жения является комплексным полуалгебраическим множеством.
Доказательство. Множество
1)( = {геС,!. иеС": да-Р'2(г) = 0}
— алгебраическое. Множество Р' (Сга) является проекцией мно-
жества на С" и, по теореме Шевалпе, является комплекс-
ным полуалгебраическим.
Отсюда немедленно вытекает, что возможны 2 варианта:
1) р' (с:) совпадает с С“ с точностью до алгебраического
множества коразмерности ^2;
2) Р' (С") содержится в собственном алгебраическом под-
множестве в С®.
Иными словами, уравнение (2.1) либо разрешимо при почти
всех да, либо неразрешимо при почти всех да. Так как (2.1) —
система из п уравнений с п неизвестными, то случай 2) реали-
зуется только тогда, когда полином Р в некотором смысле
вырожден. Ниже (теорема 2.2) мы получим необходимые и де-
статочные условия, при которых для полинома Р реализуются
варианты 1), 2).
272
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Предварительно рассмотрим более общую задачу, а именно,
исследуем структуру множества точек перевала алгебраических
функций.
Пусть
Р&, *)“ £	k>\,	(2.3)
/ “О
где Pj (г) — полиномы от zsC", PQ(z)^0, и полином Р(£, г)
неприводим. Рассмотрим алгебраическую функцию g(z), задан-
ную уравнением
p(Z,z) = 0,	(2.4)
и положим
S(z, да) = £(г) —(z, да).	(2.5)
Точки перевала функции S (как функции от г при фиксиро-
ванном да) определяются из уравнения £'(«) = да. Точка пере-
вала z называется невырожденной, если в этой точке
dett"(z)^O.	(2.6)
Сделаем несколько замечаний о свойствах алгебраической
функции £(г). Пусть D («^-дискриминант полинома Р(£, г), как
полинома от Тогда £>(г)«^0 в силу неприводимости по-
линома Р. Если U —- од иосвязная область в С* и £)(z)=/=0
в U, то уравнение (2.4) определяет k функций (г)....£a(z),
голоморфных в области U (ветви алгебраической функции £(г)),
причем t,j (г) t,k (z) при j =/= k, z^U. Для каждой из этих
ветвей имеем
где все производные берутся в точке (£ (z), z), а точки перевала
функции S определяются из уравнения
где £, z связаны уравнением (2.4). Таким образом, все точки
ветвления функции £ (г) содержатся в дискриминантном мно-
жестве Д = (геС": D(z) = 0}. Матрицу с элементами (2.7)
обозначим А (%, z).
Рассмотрим множество — {£ <= С, ге С п: Р(£, г) = 0) и
введем отображение t, : 2R—► С" по формуле (2.8). По построе-
нию, точка да тогда и только тогда является точкой перевала
S(£, да), когда да eg'(Эй). Критическими точками отображе-
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
273
ния % являются те и только те точки (£, z) е ВД, в которых
rank А (£, z) < п.
Теорема 2.1. Пусть Р($, w) — неприводимый полином
вида (2.3), Po(z)^O, и пусть выполнено условие
max rank А (g, z) = п.
(С, z) е= ал
Тогда существует такое алгебраическое множество Me с С" ко-
размерности не меньше 2, что'.
1°. При любом w & Мс уравнение (2.8) имеет одно и то же
конечное число 1 решений, и все они невырождены (г. е. вы-
полняется (2.6)).
2°. Если U cz С» \ Мс — односвязная область, то уравне-
ние (2.8) определяет k голоморфных в U функций (да), . . .,	(да),
причем
£/ (w) ф (да) (/ =/= k, w e= C7).
Доказательство. Отображение, вообще говоря, не опре-
делено на следующих алгебраических множествах в С?+г:
М = {(С, г); P'z & г) = 0), ЛП = {(£, г): Ро (г) = 0).
Так как полином Р неприводим и P0(z)^O, то множество
Эй \ (Mj (J ЛГ2) непусто. Критические точки отображения со-
держатся в множестве А43 = {(£, г): detX(£, г) = 0}, и, по усло-
вию, множество W ~ЯЯ \ (Mi U М2 U АД) непусто. Множество Эй*
является комплексным полуалгебраическим и, по теореме
Шевалле, его образ t,' (Эй*) также является комплексным полу-
алгебраическим множеством. Пусть точка Дп, 2°) е Эй", тогда
существует функция £(z), удовлетворяющая уравнению (2.4),
голоморфная при малых | z — г° | и такая, что С (z°)--= £°,
det£"2(z°) =/= 0. Положим да° = £'(г°), тогда по теореме об обрат-
ной функции уравнение Z'z(z) = w разрешимо при w, близких
к да0. Следовательно, множество Д (Эй*) содержит окрестность
точки да0. Так как оно является комплексным полуалгебраиче-
ским, то существует алгебраическое множество Me cz С” кораз-
мерности 2 такое, что
Мс то С" \ (Эй*).
Итак, уравнение (2.8) разрешимо при всех w ё= Мс. Фикси-
руем w°^Mc', тогда слой (£')~' дискретен, так как все точки
перевала функции S(z, да') невырождены и поэтому изолиро-
ваны. Этот слой является комплексным полуалгебраическим
множеством, и потому состоит из конечного множества точек.
274
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Действительно, слой (£') ' w° состоит из точек (£, z) е
таких, что
Р'^, Z)w0 + P'^, г) = 0,	Р(£, z) = 0,
Ро(г)У=О, Р'^,	det Д(£, z) #= 0.
Покажем, что при w = Мс число решений k (w) уравне-
ния (2.8) не зависит от w. Так как codimAfc^2, то множе-
ство CJ \ Мс связно. Пусть да11 ё= /Ис- Тогда, если точка да1
достаточно близка к w°, то k (да1) k (да0), так как, в силу
теоремы об обратной функции, вблизи каждого решения урав-
нения £'(г) = да° имеется решение уравнения t>'z(z) = wi. Анало-
гично, (да1) й (да0), и в силу связности множества С%\Мс
функция- k (да) s const. Тем самым утверждение 1° доказано;
утверждение 2° вытекает из полученных выше результатов и
того факта, что U не содержит образов критических точек
отображения t,'.
Следствие 2.1. Пусть условия теоремы 2.1 выполнены,
Mr = Мс П Rh (да = и + iv).
Тогда MR есть вещественное алгебраическое множество кораз-
мерности Та 1. Если К — одна из связных компонент множества
R" \ то функция S (г, и) при любом вещественном ие
имеет конечное число k 1 точек перевала, не зависящее от и,
и все они невырождены.
Покажем, что codim/Ик^1; остальные утверждения выте-
кают из теоремы 2.1 и ее доказательства. Если codim/Ия = 0,
то T1« = R„; тогда Мс => R2, т. е. Мс = С®, что противоречит
соотношению codim Мс^ 2.
Теорема 2.2. Пусть Р (г) — полином или рациональная
функция и
det Р"г (г)	0.	(2.9)
Тогда все заключения теоремы 2.1 и следствия 2.1 справедливы
для уравнения (2.1).
Для доказательства достаточно заметить, что в данном
случае
Р(С, г) = £-Р(г); А (£, z) = Р"г (г).
Выясним, насколько широким является класс полиномов
данной степени пг, удовлетворяющих условию (2.9), и к чему
приводит нарушение этого условия.
Предложение 2.2. Пусть P(z)— такой полином, что
det Рг'г (z) == 0.	(2.10)
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
275
Тогда Р' (С2) содержится в алгебраическом множестве кораз-
мерности 1>2.
Доказательство. В силу условия (2.10) все точки гг С"
являются критическими для отображения Р'. По теореме Сарда
множество Р' (С") имеет меру нуль, и поскольку оно является
комплексным полуалгебраическим, то его коразмерность 2^2.
Итак, если P(z) удовлетворяет условию (2.10), то уравне-
ние (2.1) неразрешимо при почти всех w. Достаточно очевидно,
что таких полиномов «мало»; придадим точный смысл этому
утверждению. Пусть М (т, п)— множество всех полиномов сте-
пени гп^2 от п переменных: Р(г) = У ра%а- Это множество
| а | < m
изоморфно пространству CN<m>n} размерности N (т, п); каждому
полиному Р взаимно однозначно соответствует набор {ра},
| а | <1 т, его коэффициентов. Положим |Р| = У, | ра |.
I а J < т
Предложение 2.3. Полиномы Р^М(т,п), удовлетво-
ряющие условию (2.10), содержатся в собственном алгебраиче-
ском подмножестве в пространстве коэффициентов
Доказательство. Соотношение (2.10) определяет алге-
браическое множество Эй в пространстве CNim’n)C". Его про-
екция Эй* на пространство CN{m’n} является комплексным полу-
п
алгебраическим множеством. Полином P0(z) = У, zT1 g= Эй*. Если
/=1 '
Р (z) е М (tn, п), | Р — Р(1 | < е, е > 0, достаточно мало, то поли-
ном Р ё= Эй*. Действительно, пусть det (Ро)"г (г°) =/= 0; тогда
det P'zz (г°) =#= 0 при |Р — Ро | < е < 1 в силу непрерывности.
Следовательно, дополнение к ЭИ* в	содержит шар, и
потому codim Эй* 2> 2.
Тем самым доказано, что полиномы, удовлетворяющие усло-
вию (2.9), являются полиномами «общего положения».
3. Критерии конечности множества точек перевала. Рассмо-
трим полином
fe-1
/XW+УШ',	(2.11)
/=и
где P/(z) — полиномы от z е С", и алгебраическую функцию £(z),
заданную уравнением (2.4). Точки перевала функции S (z, w) =
= g(z) — (г, w) определяются из системы
Р (£, г) = 0, Р'г (£, z) - wP'z (С, z) = 0.	(2.12)
Полином Р(£, z) называется q-однородным (q— целое число),
если полином P(ff, г) — однородный по переменным (£, г). Не-
трудно видеть, что в этом случае Ps (г) — однородные полиномы
276
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
степени jq и что для любого
P(t%, tz) = tkqP^, z).	(2.13)
Теорема 2.3. Пусть Р (£,, z) есть q-однородный полином
вида (2.11). Тогда для того, чтобы функция S(z, w) при любом
w е С" имела конечное и ненулевое число решений, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие
{P(g, г) = 0, Р'г(£, z) = 0}=>{£ = 0, z = 0}.	(2.14)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную систему
p(tf,z) = Q, p'z№,	г) = 0,	(2.12')
где w 0 фиксировано, С. В силу ^-однородности полинома
Р (2.12') есть система однородных относительно переменных (/,
g, z) уравнений и потому всегда имеет нетривиальное решение
(t°, £°, г°) #= (0, 0, 0). Если условие (2.14) выполнено, то 1° ф 0,
и система (2.12') имеет решение вида (1, £*, г*), так что си-
fl _
стема (2.12) имеет решение (д/?*, г*)- Итак, из условия (2.14)
следует существование точек перевала функции S (г, w) при
любом w е Сп. Покажем, что из условия (2.14) вытекает ко-
нечность числа точек перевала при любом w #= 0. При w — 0
это очевидно. Допустим, что при некотором система (2.12)
имеет бесконечно много решений. Множество ЗЯ этих решений
является комплексным полуалгебраическим множеством и по-
тому некомпактно в С^. Из ^-однородности полинома Р сле-
дует, что | £ (z) | С | £ при всех £. Поэтому 2)? содержит по-
следовательность точек (£'s, zs), s = 1, 2, .. ., такую, что | zs | -> оо
при s —> оо и
Р (£Os, zOs) = 0,
Р'г (£°s, Л - | zs Г/+1 wP'z (Л zos) = 0,
где обозначено zOs — zs/ [ zs |, £Os = £s | zs | Тогда | zOs | = 1,
| £Os | С и последовательность (£Os, zOs) имеет предельную точку
(£*, z*), | z* | = 1. По непрерывности,
P(£‘, z*) = 0,	Р'(Г,^) = 0,
где z* =/= 0, что противоречит условию (2.14).
Если условие (2.14) не выполняется, то система (2.12) при
w — 0 имеет решение (£°, z°)	(0, 0). При этом z° =^= 0 (в про-
тивном случае Р(£°, 0) = 0, откуда £° = 0). Следовательно, точка
(tqZ°, tz°) является решением системы (2.12) при любом ком-
плексном t, так что все точки z = tz°, t е С, являются точками
перевала функции S(z, 0).
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
277
Итак, условие (2.14) необходимо для того, чтобы функция
S (г, w) при всех w имела не более конечного числа точек
перевала.
Пусть система (2.12) неразрешима при некотором w ¥= 0.
Тогда вспомогательная система (2.12') имеет нетривиальное ре-
шение (t°, 1°, г°), где t° = 0 (если t° =£= 0, то, как показано выше,
система (2.12) разрешима). Следовательно, в точке (g°, z°) =^= (0, 0)
условие (2.14) нарушается. Теорема доказана.
Теорема 2.4. Пусть Р (г) — однородный полином степени
т^2. Тогда для того чтобы уравнение Pz(z) = w было раз-
решимо и имело конечное число решений при любом w е С'1,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
{Х(г) = 0}=ф{г = 0}.	(2.15)
Кроме того, если условие (2.15) выполнено, то при любом
w =/= 0 уравнение (2.1) имеет (/и —1)" решений (с учетом их
кратностей). Это следует из теоремы Безу.
Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть поли-
ном P(£, z) = t, — P(z) и убедиться в том, что условие (2.14)
для Р(£, г) эквивалентно условию (2.15) для P(z). Отметим
еще, что условие (2.15) эквивалентно неравенству
|д;(г)|>С|гГ-1,	2ЕС".	(2.16)
Теорема 2.5. Пусть P(z)— полином степени пт^2, старшая
однородная часть которого удовлетворяет условию (2.15). Тогда
при любом	уравнение (2.1) разрешимо и имеет конечное
число решений.
Доказательство. Положим Р (г) = Р° (г) Д- Р‘ (z), где
Р° — однородный полином степени m, Р1 — полином степени не
выше т—1. Так как | Рг (z) | С | z | при всех z по усло-
вию, то
|p;(z)|>cizr-‘-c'(i+\г\)т~2,
так что lim |Pz(z)| = °o. Поэтому множество
| Z |“>оо
cor = {z: |p'(z)| = r}
компактно при любом г^О. Если уравнение (2.1) при некото-
ром ш е Сп имеет бесконечно много решений, то множество
(zeC‘: Pz(z) = w}, будучи алгебраическим, некомпактно, и тем
более некомпактно множество со|а)(. Следовательно, уравне-
ние (2.1) при любом w имеет не более конечного числа решений.
Остается доказать разрешимость уравнения (2.1) при любом
w s С". Из условия (2.15) и теоремы 2.2 следует, что
278
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)
det (Р*)" (г)	0. Имеем
Р';г (г) = I г Г2[(Р°)"г W\ г |) + О (| г I"1)] (| г | -> оо),
и так как det (Р°)"г (z)	0 на сфере |z| = 1, то det Р''г (z)	0.
В силу теоремы 2.2 множество Р' (С”) совпадает с С™ с точ-
ностью до алгебраического множества коразмерности ^2.
Поэтому для любого w° е С'! существует последователь-
ность (zft, wk), k=\, 2, . .., такая, что P'z (zk) «= wk Так как
последовательность | w | ограничена, то, в силу компактности
множеств (ог (см. выше), последовательность {zk} ограничена.
Следовательно, существует подпоследовательность {z‘4,	>
->(z°, w°); по непрерывности, Pz(z°) = w°.
Резюмируем полученные результаты, ограничившись уравне-
нием (2.1), где P(z)— полином степени ml>2.
1°. Если detPzz(z) 0, то уравнение (2.1) при всех w ё= Мс
разрешимо, имеет конечное число решений, и все они невы-
рождены. Здесь Мс — некоторое алгебраическое множество
коразмерности 1>2.
Полиномы Р, удовлетворяющие условию (2.9), являются поли-
номами «общего положения» (см. предложение 2.2).
2°. Если старшая однородная часть полинома Р удовлетво-
ряет условию (2.15), то уравнение (2.1) при любом w е С” раз-
решимо и имеет конечное число решений.
Такие полиномы также являются полиномами «общего поло-
жения».
Предложение 2.4. Множество полиномов tn^2, старшие
однородные части которых не удовлетворяют условию (2.15),
содержится в некотором собственном алгебраическом мн >жестве
в пространстве коэффициентов.
Доказательство. Рассмотрим множество в Cp(m're>XCz,
заданное соотношениями (P°)'(z) = 0, z =# 0. Его проекция
на Ср(т,'г) есть комплексное полуалгебраическое множество SW,
точками которого являются не удовлетворяющие условию (2.15)
m
полиномы. Полином Р°(г)= У, z™ ё= Ж и все близкие полиномы
/=1
также удовлетворяют условию (2.15), что следует, например,
из (2.16). Следовательно, дополнение к содержит шар,
так что ЗЯ содержится в собственном алгебраическом подмно-
CN (т, п)
р
В частности, полиномы, старшая однородная часть которых
удовлетворяет условию (2.15), устойчивы относительно малых
возмущений коэффициентов.
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА, ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
279
Пример 2.1. Полином P(z)
творяет условию (2.9), но не удовлетворяет условию (2.15).
Уравнение (2-1) не имеет решений тогда и только тогда, когда
п
У аг»2 = О, w 0. Если w = 0, то все точки гиперповерхности
/=1 '
п	п
У, г2 = 0 являются решениями уравнения (2.1). Если У w'1. ф 0,
/=| 1 '
то все точки перевала полинома S(z, w) невырождены и имеют
вид
0„	.-1Л2/П-1)
£ w~J w/t 1	(2.17)
где ветвь корня одна и та же для всех / (т. е. всего имеется
2m — 1 точек перевала).
Пример 2.2. Полином
Р (г) = | [(^ + - О2 + АгД, А =# 0,
удовлетворяет условию (2.9) и не удовлетворяет условию (2.15).
Множество решений уравнения P'z (z) = 0 имеет вид {z <= С3: г2 +
+ z2 = 0, г3 = 0}. Уравнение (2.1) не имеет решений тогда и
только тогда, когда г®2 + г®| = 0, ш3 = 0, w #= 0.
п
Пример 2.3. Полином /)(г)=^г", т^2, удовлетворяет
/=1 '
условию (2.15). Функция S(z,w) имеет вырожденные точки
перевала тогда и только тогда, когда w принадлежит гипер-
поверхности wt w2 . .. wn = 0.
Для однородных полиномов от двух переменных справедливо
более сильное утверждение, чем теорема 2.2.
Теорема 2.6. Пусть Р (г) — однородный полином от двух
переменных степени т^2. Тогда либо уравнение (2.1) при
любом w =/= 0 имеет конечное {быть может, пустое} множество
решений, либо
Р(г) = (а,г1 + о2г2)т,	(2.18)
где а, — постоянные.
Доказательство. Рассмотрим уравнение (1.2), где
w = wn =И= 0. С помощью замены z = Tz*, где Т — невырожденная
матрица, это уравнение можно привести к виду
р*' (z*) -1=0,
zi
Р*' (2’) = о.
г2
(2.19)
280
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Если Р*, (z*)=s0, то Р* (г*) = cz* , так что Р имеет вид (2.18).
г2
Допустим, что Р 4 (z*) 5^ 0, и что система (2.19) имеет беско-
z2
нечно много решений. Тогда полиномы — 1, имеют общий
21	г2
делитель — полином f (г*); этот полином — однородный, так как
Р— — однородный полином. Следовательно,
<(?*)-!=mg(z*),
zi
где g — некоторый полином. Полагая г* = 0, получаем, что 1 = 0,
и приходим к противоречию. Теорема доказана.
4. Малые возмущения. Установим связь между точками
перевала полинома P(z) и его старшей однородной части Р°(г).
Пусть т>2,
Р (2) = Р° (Z) + Р1 (Z) + ... +Pm(z),
где Р' — однородный полином степени пг — j. Положим
So (z, w) = Р° (z) — (г, w),
п
и пусть S”’'1-1 — единичная сфера У, | wt |2 = 1 в С®. Так как
/ = !
полином Р° однороден, то точки перевала z(w) функции S0(z, w)
являются однородными функциями степени 1/(т—1).
Пусть выполнено условие:
А. Все точки перевала функции S0(z, да0) невырождены, где
| да0 | = 1.
Тогда существует окрестность U точки да0 на сфере S2n~'
такая, что при да/| w | е U функция S0(z, да) имеет одно и то же
число точек перевала г01 (да), . . ., г04(да). Все они являются голо-
морфными функциями да при да/| да | е U, да =# 0, и однородными
функциями да степени 1/(т— 1).
Предложение 2.5. Пусть условие А выполнено. Тогда
существуют р > 0 и окрестность Uo точки да0 на единичной
сфере S2tl~l в Сш такие, что при да/| да | е [70, | да | > р:
1°. Функция S(z, да) имеет одно и то же число точек пере-
вала zl(w), ..., zk(w). Эти точки перевала невырождены и
являются голоморфными функциями w.
2°. Справедливо разложение
оо
z* (да) == zok (да) + £ йц (да),
!
где akj (да) — голоморфные и однородные степени — i/(m — 1)
функции.
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
281
Доказательство. Положим 6 = |да| l/(zn ° и сделаем
замену z = 5~1z' в уравнении (2.1). Тогда оно примет вид
f(z', wl\w\, д) = [Х (z') — w/\ w i] + X &’P'z (z') = 0. (2.20)
/='
Уравнение (2.20) при 5 = 0, w = w°, по условию, имеет k
решений z1 (ay0),	и det f'z, =/= 0 в этих точках. Утверж-
дение 2° вытекает теперь из теоремы о неявной функции.
Следствие 2.2. Пусть условия предложения 2.5 выполнены,
и полином P°(z) удовлетворяет условию (2.15). Тогда при р» 1
в достаточно малой окрестности Uo все точки перевала функ-
ции S (z, да) при | w | > р, w/\ w | е Uo исчерпываются точками г1 (да),
1 СП -Д k.
Замечание 2.1. Если Р° не удовлетворяет условию (2.15),
то следствие 2.2 не имеет места. Это означает, что функ-
ция S (z, да) может иметь точки перевала, отличные от точек гДда)
(при | да р 3> 1, да/| да |et70), даже если полином Р° невырожден.
Рассмотрим
Пример 2.4.
P(z., у(2Г + ^)2+ »у = (р>0), р > 0,
так что да0 = (1,0). Функция S0(z, да0) имеет 3 точки пере-
вала Тл z3 = 1, z2 = 0, и все они невырождены. Функция S (г, да0)
имеет 3 точки перевала
zs (р): г., = 0, z3 + z{ = р, s = l, 2, 3,
которые обладают указанными в предложении 2.5 свойствами,
и еще 2 точки перевала: г4-5 (р) = р (1, ±/). Заметим, что
| zs (р) | ~ Ср|/3, s = l, 2, 3, | zs (р) | ~ Ср, s = 4, 5, при р—>оо,
так что точки z4>5(p) быстрее уходят на бесконечность, чем
точки г!’2> 3 (р). Кроме того, точки z4’5(p) расположены на много-
образии z2-|-z2 = 0 нулей полинома Р°.
Рассмотрим вопрос о поведении точек перевала при малом
изменении коэффициентов полинома. Пусть для простоты
Р — однородный полином степени пг, Pe(z) — Р (z)eQ(z), где
Q — полином степени =Дт. Нас интересует поведение реше-
ний z(e) уравнения
(^8)U2) = ®’ w=£0,	(2.21)
при фиксированном да и при е-+0. Из теоремы 2.5 следует,
что если Р удовлетворяет условию (2.15), то корни возмущенного
уравнения (2.1) стремятся к корням невозмущенного уравнения
(2.1) при е->0. В противном случае это не так.
282
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Пример 2.5. Пусть Р (г) — полином из примера 2.1, Q(z)=>
п
— У zf1. Тогда полином Р (г) при е 4 О удовлетворяет усло-
/=1 1
п
вию (2.15). Пусть У wj =4= 0. Тогда уравнение (2.1) имеет 2т — 1
решений (см. пример 2.1), и все они простые; уравнение (2.21)
имеет (2m— 1)" решений (с учетом их кратностей) z1 (е). Из них
(2m— 1)"—(2m— 1) стремятся к бесконечности.
Можно показать, что справедливо
Предложение 2.6. При е-> + 0 решение возмущенного
уравнения (2.21) либо стремится к решению невозмущенного
уравнения, либо уходит на бесконечность.
В частности, если уравнение (2.1) неразрешимо, то все решения
возмущенного уравнения уходят на бесконечность при е —> + 0.
5.	Теоремы существования. Мы покажем, что асимптотика
интеграла вида (1.1) при Z- > 4~ 00 в случае, когда S (г) —поли-
ном, удовлетворяющий некоторым достаточно общим условиям,
равна сумме вкладов от точек перевала. При доказательстве
используются методы теории Морса, причем приходится иметь
дело с некомпактными в С" многообразиями.
Напомним, что линии наибыстрейшего спуска функции ReP(z)
являются фазовыми траекториями системы (1.7). Будем предпо-
лагать, что эти траектории лежат в области голоморфности
функции Р.
Лемма 2.1. 1°. Функция 1тР(г) является первым интегра-
лом системы (1.7).
2° Если z(t)— решение системы (1.7), то при t>0
ReP(z(/)) — ReP(z(0))	— t min I P' (z (т)) I2 (2.22)
о<т 1	1
Доказательство. Имеем
-^^ = -|^(z(/))|2>
так что Im Р (г (0)^0. Далее,
t
Р (г (/)) - Р (г(0)) = - J I Р'г (г (/)) I2 dt' = Re Р (z(t)) -ReP(z (0)),
о
откуда следует (2.22).
Лемма 2.2. Пусть Ма, ь — максимальная связная компонента
множества {а Re Р (г)	Ь}, функция P(z) голоморфна при
Z GE Мд U
|р'(г)|>С >0, z^Ma,b.	(2.23)
Тогда Hn(Ma,b, {ReP = a})«0.
§ 2. ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
283
Доказательство. Фиксируем точку
sC ReP (г°) < b, и пусть z (/, z°) — решение системы (1.7) с данны-
ми Коши z(0)==z°. В силу оценки (2.22) соответствующая фазо-
вая траектория придет на границу {ReP = a} множества Ма<ь
за время t (г0) tQ = (b — а) С~2. Если уеА4а, 6 есть относитель-
ный цикл mod {Re Р — а} и ду содержится в множестве {Re Р = а},
то можно продеформировать у в цепь у' cz {ReP = а}, сдвигая
каждую точку у вдоль фазовой траектории.
Лемма 2.3. Пусть условия леммы 2.2 выполнены, с той
лишь разницей, что функция Р (z) имеет при z е Ма, ь конечное
число k точек перевала, все они невырождены, ReP(z) > а в этих,
точках и (2.23) выполняется вне окрестностей этих точек. Тогда
Нл(Ма.ь, {ReP = a})«Z®Z® ... ©Z (фраз). (2.24)
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда
в Ма,ь имеется ровно одна точка перевала z°, ReP(z®) — C,
где а < с < Ь. Пусть у cz Мв ь есть ц-мерный относительный
цикл mod{ReP = a}. В силу леммы 2.2 у я» у'mod {ReP — а},
где у' cz Ма, с = {а«С ReP Л Ма, ь. Пусть U — достаточно
малая окрестность точки z°, U = MaiCT\U. Если у' не пересе-
кается с U, то у'«О mod {ReP —а} в множестве Ма, с, что
вытекает из доказательства леммы 2.2. Следовательно,
/Д (АД с, {Re Р = а}') « Н&(С — е Д Re Р < С, Re Р = С — е), где
е > 0 достаточно мало. Последняя группа гомологий изо-
морфна Z (см. лемму 1.3), и ее образующей является исчезаю-
щий цикл.
Пусть Р(г) имеет k точек перевала z\ ..., zk, ReP(zl) = Cl,
и пусть Cj различны: а < Ci < С2 < ... < Ck < b. Выберем е > О
настолько малым, чтобы было С; 4- е < С2, С24-е<С3, ..., и
рассмотрим множества
В/= {С;-!-{-е ReP < С/-{-е}, / = 2, ..., k—1,
Д = {Re Р < Ci + е},
лежащие в АД,ь. По доказанному выше, Нп(В], ReP=Cz —е)яз Z,
и образующей этой группы является исчезающий цикл у;-, выхо-
дящий из точки перевала z’ (см. лемму 1.3)). Продолжим эти
циклы у; до пересечения с {ReP = a} и обозначим полученные
циклы mod {ReP=a} снова у-/. Тогда всякий цикл ymod{ReP = a}
гомологичен линейной комбинации п\Yi + . .. + n^k с цело-
численными коэффициентами. Можно показать, как это делается
в теории Морса, что эти циклы У]........у^ гомологически
284
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
независимы. Их независимость следует также из того факта, что
А,п/2 j ехр [АР (г)] dz ~ а{ ехр [АР (zy)],
где a.j 0 постоянные. Действительно, интегралы по у у имеют
экспоненциальные асимптотики, и экспоненты растут с разной
скоростью при А->оо.
Аналогично исследуется случай, когда среди чисел С/ есть
равные.
Следствие 2.3. В условиях леммы 2.3 базис группы го-
мологий Нп{Ма,ь, ReP = a) состоит из циклов у, таких, что у/
совпадает в окрестности точки перевала z! с каноническим исче-
зающим циклом.
Замечание 2.2. Если среди точек перевала z1 есть вы-
рожденные, то
Нп(Ма.ь, ReP = a)»
«яУ‘(С1-е<КеР<С1, ReP = C1-e)® ...
... ®//?(C*-e<ReP<CA, ReP = C,-e),	(2.25)
где Cj — ReP(z'), e > 0 — достаточно малое число и U' — доста-
точно малая окрестность точки z1. Этот факт доказывается
так же, как и лемма 2.3. Размерность j-й группы из правой
части (2.25) называется n-мерным типовым числом точки z’.
Применим полученные результаты к асимптотике интегралов
вида
F (X) = f (г) ехр [AS (г)] dz,	(2.26)
V
где у — компактное n-мерное многообразие с краем в С".
Теорема 2.7. Пусть функция P(z) удовлетворяет усло-
виям 2.3, функция f (z) голоморфна при z^Ma,b и ReP(z) = a
на ду. Тогда либо асимптотика F (А) при А—>®оо равна сумме
вкладов от некоторых из точек перевала z\ . . ., zk, либо F (А) =
= О (еа>').
Доказательство. Имеем
У«П1У1+ ... +nkyk mod {Re Р = а},
где П) — целые числа. Асимптотика интеграла (2.26) по циклу у7-
равна вкладу от точки перевала г1, и теорема доказана, если
не все числа щ равны нулю. Если же все п} равны нулю,
то у можно продеформировать в контур у', на котором
ReP(z)sa, так что | F (А) | СеаК (А > 0).	п
Применим эту теорему к интегралу вида (2.26) по R" в слу-
чае, когда P(z)— полином.
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
285
Теорема 2.8. Пусть Р (z) — полином степени т'^'2, удо-
влетворяющий условиям:
1°. Старшая однородная часть Р°(г) этого полинома удовле-
творяет условию (2.15).
2°. Существует постоянная С > 0 такая, что
ReP(x)<-C(l Д|х|)т, xeR". (2.27)
Тогда асимптотика интеграла
F (X) — ехр [АР (х)] dx	(2.28)
r"
при к -> Д оо равна сумме вкладов от точек перевала.
Доказательство. В силу условия Г и теоремы 2.4 по-
лином Р имеет конечное число точек перевала г1, .. ., г*. Пусть
а= min ReP(zz), b= max ReP(zz).
1< / -C k	i < / < fe
Положим y = {ReP^a—l)riR", y = R"\y. Из (2.27) сле-
дует, что интеграл по у имеет порядок О (ехр (А (а—1)))
(А —> Д оо). Далее, у есть относительный цикл mod {Re Р = а — 1}
в множестве Ma-ljb+I = {а — 1 ^ReP^ft Д 1); пусть А4° — одна
из максимальных связных компонент этого множества, у° = Л1°П у.
Проверим, что Р удовлетворяет условиям леммы 2.3; тогда тео-
рема будет доказана. Имеем Р (z) — Р° (г) Д Р1 (г), где Р° — одно-
родный полином степени m, Р1 — полином степени —1.
В силу (2.16) имеем
\P'Z (z)|>|(P0)'z(2)|-|(P%(z)|>C|z|m-C1(l ДИ)"-1,
так ЧТО | Рг (z) | с' I z |т, с' > 0, при больших I z |.
Замечание 2.3. Вместо R" в (2.28) можно взять беско-
нечный контур у, диффеоморфный R" и имеющий структуру
типа n-плоскости или конуса на бесконечности.
§ 3. Асимптотика фундаментальных решений
корректных по Петровскому уравнений
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение с постоянными
коэффициентами
^M + P(D)«(U) = 0,	(3.1)
где xeR", t > О, D = (4-ДД >  • •, у у^у) • Уравнение (3.1)
называется корректным по Петровскому, если
sup ReP(E) < оо.
Г.Я
286
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Фундаментальным решением задачи Коши для уравнения (3.1)
(или функцией Грина) называется функция G(t, х), удовлетво-
ряющая уравнению (3.1) и данным Коши
G|f=0 = 6(x).	(3.2)
Здесь 6(х) есть 6-функция Дирака. Тем же способом, что и
в гл. IV, § 6, получаем интегральное представление
G (t, х) = (2л)-" J ехр [- tP (I) + i (х, £)] dl, (3.3)
Rn
где интеграл понимается в смысле обобщенных функций. Нас
интересует асимптотическое поведение G(t,x) при фиксирован-
ном t > 0, |х|->0. Асимптотику интеграла (3.3) будем иссле-
довать с помощью метода перевала.
2. Параболические уравнения. Оценки функции Грина.
Уравнение (3.1) называется параболическим, если
ReP°(£)>0,	(3.4)
где Р° (Е) — старшая однородная часть полинома Р. Такие по-
линомы называются параболическими. Степень параболического
полинома четна.
Введем класс 5s (2m, п) однородных параболических поли-
номов степени 2m, m^l, от п переменных. Если Ре 5s (2m, п),
то в силу однородности
G(t, x) = t~nl2mG(\, xt~ll2m).	(3.5)
Далее предполагается, что п^2, т^2, так как при т=1
интеграл (3.3) берется; в частности, функция Грина уравнения
теплопроводности
dt
имеет вид
О(/, х) = (2д/лО nexp(-i^-),
так что G(I,x) в данном примере экспоненциально убывает
при |х|->оо. Известно, что функция Грина параболического
уравнения допускает оценку
| G (1, х) Сх ехр (- С21 х |2"*/(2т~10, С/ > О,
т. е. экспоненциально убывает при |х|->оо.
Нас интересует асимптотика G(l,x) при|х|->оо. Введем
обозначения
£ =	$« = -Р(0 + &®>. (3.6)
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ
287
Наиболее трудным при применении метода перевала является
вопрос об отборе точек перевала, дающих основной вклад
в асимптотику. Из общих соображений (лемма 1.2) вытекает,
что асимптотика интеграла G (1, х) дается теми точками пере-
вала, в которых достигается минимакс
min max ReS (g, ix)	(3.7)
(если он существует). Здесь {у} — множество всех контуров у,
эквивалентных Rn, т. е. таких, что
G (1, х) = (2л)~" exp(S(£, ix)) dt,	(3.8)
v
при всех х е Rn. Семейство {у} контуров, эквивалентных у, трудно
обозримо. Рассмотрим подмножество этого семейства, состоящее
из сдвигов Rr‘ на векторы вида гт], ц е Rn, т. е. семейство
n-плоскостей t, = g + rq, g e Rn, ц фиксировано. Введем функцию
v (г]) = min Re P (g + гт]);	(3.9)
e-r"
тогда минимакс (3.7) примет вид
min (—v (n) — (х, т]>) = И (х),	(3.7')
а точки, в которых достигается минимум (3.7'), определяются
из уравнения
v'(n) = —х.	(3.10)
Эти соображения приводят к следующему правилу отбора
точек перевала (доказательства приведены ниже). Пусть v е
eC fR"), тогда находим ц = т](х) из уравнения (3.10) и затем
на «-плоскости т] = т](х) находим точки, в которых достигается
max — Re Р (£ + rq (х)). Эти точки и будут точками перевала
функции S (£, ix), а «-плоскость ц = ц (х) будет перевальным
контуром. Однако если veC1 (Rn), то этот метод не позволяет
найти нужные точки перевала для всех направлений в R”.
Установим некоторые свойства функции v и получим оценки
для | 0(1, х) |.
Теорема 3.1. Пусть Р (Е)	(2m, «). Тогда функция v(r]):
1°. Выпукла кверху.
2°. Однородна степени Чпг и удовлетворяет оценкам
-Cdnl2m^v(n)<-C2|'nl2m,	С1>2>0,	(3.11)
при г] е R".
3°. Кусочно-алгебраическая и бесконечно дифференцируема
всюду в R%, за исключением, быть может, алгебраического мно-
жества коразмерности ^1.
/88
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)
Доказательство. Функция /?л (g, л) = R (ъ + + гт1)
является плюригармонической при любом /isR'1. Так как
v (r]) = min (—г])), то v(r]) — плюрисупергармоническая функ-
i)e r"	*
ция от (g, т]). Функция т(ц) выпукла кверху, поскольку v (г])
не зависит от % ([24]). Однородность функции v(t]) следует из
однородности полинома Р(£). Чтобы доказать (3.11), достаточно
показать, что у(ц)<0 при ц =/= 0. Выберем aeR такое, что
(а + z)‘m = — b < 0. Так как Р (ат] + /ц) = — ЬР (ц), то при т]=И=О
имеем
v (ц) Re Р (ar] -R й]) ~ — bReP (ц) < 0.
Тем самым утверждения 1°, 2° доказаны.
Докажем 3°. Рассмотрим алгебраическое множество М ст
czR^XR^XRt, заданное уравнением v = — ReP(£ + rq), и пусть
// — проекция М на R^XRv- Из определения функции v сле-
дует, что N = {(y, г]): v^v(t])}. По теореме Зайденберга — Тар-
ского, множество М является полуалгебраическим, так что его
граница dN = {(v, т]): v = v (т])} содержится в некотором собст-
венном алгебраическом подмножестве RVv- Можно считать,
что это множество задается одним полиномиальным уравнением
f(v,T]) = O, так что v(n) — кусочно-алгебраическая функция.
Следовательно (см. § 2, п. 1), существует алгебраическое мно-
жество V ст R[] коразмерности 1 такое, что veC°°(R^\V).
Лемма 3.1. Пусть Р (£) е 5s (2m, п), тогда существуют по-
стоянные С1; С2 > 0 такие, что
RePa+zn)-v(n)>C1|g|2m	(3.12)
при |£ |>С2| i] |.
Доказательство. Имеем
2 m
ReP(g + zT]) = ReP(g, 0) + £
lal = l
Qa (I) = dn Re P (I + Й]) k=0-
Так как P e X (2m, ri), to
ReP(g, 0)>c|£|2m, c > 0,
Qa (I) — однородные полиномы степени 2m — | a |, и при | g | >
с' | ц | имеем
z 2m	\
ReP(g + /т]) У ^Гса(И '"''J И2т>
*	I а Iм 1
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
289
где са не зависят от £. Если czS> 1, то
ReP(^ + ii1)>c1|^2m>0,	1^0.
Так как v(t])^0, то (3.14) доказано.
Пусть ц (х) — функция, определенная в (3.7'). Функции ц (х),
v (— ц) двойственны по Юнгу.
Лемма 3.2. 1°. Функция р(х) выпукла кверху.
2°. Функция ц (х) однородна степени 2m/(2tn— 1), и при всех
х е R”
- С, | х	(х)< - С21 х |2m/(2m~n,	(3.13)
где С|, 2 > 0 — постоянные.
3°. Пусть Н(х) — точка, в которой достигается минимум (3.7').
Тогда существует такая постоянная с > 0, что
|Н(х) KC|x|1/(2m~1)J xsR",	(3.14)
для всех таких Н(х).
Доказательство. Утверждения 1°, 2° вытекают из свойств
двойственных, по Юнгу, функций и из однородности v. Дока-
жем 3°: в силу однородности ц достаточно показать, что
sup | Н (х) | < оо. Допустим противное; тогда существует после-
|Х| = 1
довательность {х1}, | х! | = 1, limx/ = x°, lim | Н (х1) | — оо, откуда
7 -> оо	j -> оо
следует, что
р (х°) — lim (— v (Н (х!)) — (х1, Н (х1))) — оо,
/ -> оо
так как — v (ц) при ) т] | —> оо растет как | ц |2т. Полученное про-
тиворечие доказывает (3.14).
Теорема 3.2. Пусть P^.^(2m,n), тогда
I G (t, х) |< С} ехр рц (у)] [С21 j- |П/(2т-1) + С3Гп/т] .	(3.15)
В частности, при всяком д > 0
|G(/,x)|^C(d)exp[/jx (у)]|у|П/<2т_1>	(|х|2тГ!>б). (3.16)
Доказательство. Заменим в (3.3) интеграл по R? инте-
гралом по n-плоскости $ =	1 е Rn, ц фиксировано. Тогда
| G (t, х) |<
< (2л)~п ехр [— tv (ц) — <х, ц)] j ехр [if (v (ц) — Re Р (g + й]))] dt,
r"
при любом r)sRn. Пусть I (t, т]) — последний интеграл; пред-
ставим его в виде Ц Д-12, где Ц — интеграл по множеству
1Q М. В. Федорюк
290
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
| £ | <1 С21 т| и С2 — то же, что и в лемме 3.1. Тогда
15КС2|Т1|
так как подынтегральная функция в интеграле Ц не превос-
ходит 1. Далее, в силу (3.12) имеем
/2< j ехрС-С^ЦГО^С jexp(-C1/|g|2m)^ = Q -'I'l-m).
Rn
Окончательно получаем, что
I G (/, x) |< С ехр [- tv (n) - (х, n>] (С31 n I" + С4Г'!Лт)
при любом т] е Rn. Полагая ц = Н (x/t), где точка Н(х) дает
минимум — v (ц) — (х, г]), и учитывая (3.14), получаем (3.15).
Чтобы получить (3.16) из (3.15), достаточно заметить, что при
|х|2т//>6 второй член в квадратных скобках из (3.15) оцени-
вается через первый.
Из (3.16) следует, что функция G(l,x) экспоненциально убы-
вает при |х |оо.
3. Параболические уравнения. Асимптотика функции Грина
при вещественных х.
Лемма 3.3. Пусть (2m, п), функция v (ц) е С в окрест-
ности точки т)°. Тогда все точки п-плоскости ц = ц°, в которых
достигается шах (—Re Р (g -f- /ц°)), являются точками перевала
функции S (£, гх°), где х° = —	(ц°).
Доказательство. Пусть Г — множество всех точек на
«-плоскости ц — т]°, в которых достигается max (— Re Р). Имеем
ReP(Q+zn°) = O, 1еГ.
Пусть I е Rn, |/|=1, тогда ([32]) имеет место формула
^=raax(-(R;a,A')).
где <?/<?/ — производная по направлению I. Так как veC*
n dv (т1°)
в окрестности точки то --------тт— =----х-.—4-, так что
1 ’	д!	<?(—/)
min (Re Рц (g + zn°), I) = max (Re Р'ц (с + й]°), I).
Следовательно, (Re (£ 4-й]°), l) = const на Г, и так как это
верно для любого единичного вектора I, то Re P'Tl(| + ip") =
§ 3 АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
291
= const на Г. Следовательно, (q°) = — ReР' (g Д- гт|°) при
It Так как
Re S (£, zx°) = — Re Р (g + /ц) — (q, х°),
то при х° — —v'(т]°) в точке £°=£°-Hq0 имеем ReS^ = 0, ReS' = 0.
Из условий Коши — Римана вытекает, что S'(£°, zx°) = 0.
Отметим, что n-плоскость q=q° является, в условиях
леммы 3.3, перевальным контуром для функции S(g, ix°).
Лемма 3.4. Если Р е 5s (2/п, п), то det Р'^ (£)	0.
Доказательство. Достаточно показать, что Re Р'{$ (g°) > 0
в некоторой точке |°eR” (т. е. матрица положительно опреде-
лена). Тогда det (£°) =И= 0. Действительно, если А, В — веще-
ственные симметрические матрицы и Л > 0, то det (Л + iB) =А= 0.
Положим (здесь g <= Rn)
a = maxReP(l)(|g|T'n,
151-1
f(g) = ReP(§), g(g) = a|m
и пусть £° —точка, в которой достигается максимум. Функция
g(£) строго выпукла при £	0, т. е. g^'(£)>0, £ =й= 0. Далее,
fW) = g№), f'^ = g'^0), f®>g® (I sR"),
так что
£-Ч°)>а11-£°12, а>0,
при малых || —|°|, так что f"(^°)>0. Лемма доказана.
Точки перевала интеграла G (1, х) определяются из уравнения
P'z(£) = ix.	(3.17)
Отметим один важный частный случай.
Лемма 3.5. Пусть коэффициенты полинома Р (2m, п)
вещественны. Тогда уравнение (3.17) разрешимо при любом веще-
ственном х, и если £ (х) — точка перевала, то — £ (х) также
является точкой перевала.
Доказательство. В силу однородности полинома Р мно-
жество == {с £ Rn: |£|=1) является компактным ^-много-
образием размерности п—1, звездным относительно начала
координат. Следовательно, нормаль к может иметь любое
направление. Так как нормаль в точке |° е и вектор Р((1°)
параллельны, то уравнение Р'(£) — х имеет решение t(x)ER'!
2/n- 1 __
при любом х s R”. В силу однородности Р ТОЧКИ	'xj i’ l(x)
10*
292
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
являются решениями уравнения (3.17). Пусть £ (х) — решение
уравнения (3.17), тогда, в силу вещественности и однородности Р,
имеем P't(—l (х)) = — Р' (g (х)) = ix.
В силу леммы 3.4 и теоремы 2.2 существуют такие алгебраи-
ческие множества Л1ссеСх, Mr се R* коразмерности 1>2, 1>1
соответственно, что при х ё Мс, х s MR функция S (g, ix) имеет
конечное (ненулевое) число точек перевала и все они невыро-
ждены. Однако при х е Мс (или при х е MR) функция S может
иметь вырожденные точки перевала, может иметь бесконечно
много точек перевала и может вовсе не иметь точек перевала
(см. примеры 2.1, 2.2). В этих случаях мы не умеем (за очень
редкими исключениями) вычислять асимптотику G(l, х), даже
если известно, какие точки перевала дают основной вклад
в асимптотику.
Приступим к формулировке основной теоремы. Пусть
Mr cz Rx — указанное выше исключительное алгебраическое мно-
жество, тогда
R" \ MR = U ЭИ/,
/=1
где ЗН/— связные непересекающиеся открытые множества. Все
они, в силу однородности Р, являются конусами, с вершиной
в точке х — 0. Уравнение (3.17) при каждом х е имеет одно
и то же число kj решений (х), . .., ^ki (х) на п-плоскости
т|=Н(х), и все эти точки перевала невырождены. Положим
ЗИ/ = 3)1, П S'! l, где — единичная сфера |х|=1 в Rn.
Теорема 3.3. Пусть v (rj) е= С1 (R”). Тогда при x/t^3)lj,
I х \lm^t ->4-о° справедливо асимптотическое разложение
ki
G(t, x)=X Gis(t,x),	(3.18)
0!s (t, x) ~ (2n)-nl21 x Г" (m“ 0/2 (2m- ° rnl2 <2m~” X
X ldet	X (T7T) )Гl,a exP I? (1 - i) X'(т))] x
(CO
‘+1^(щ)(цкГ“"]' <319)
Здесь функции ajsq e C°° при x e ЭИ/, это разложение равно-
мерно по (0 = х/| х j егде У£\ слЗЯ/— произвольный компакт.
Разложение (3.18) можно дифференцировать по t, х любое
число раз.
§ 3 АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
293
Выбор ветви корня в (3.19) следующий:
arg [det Р'^ (g,s (?))] 'Л = — 1 £ arg (—A^s (/)),
r=l	(3.20)
I arg (— Zr(x°))|<-y ,
где A[s (/’) —собственные значения матрицы P^(g/S(x0)).
Доказательство. Заменим в интеграле (3.3) контур ин-
тегрирования n-плоскостью ? = £ + ir\(x/t) и в полученном ин-
теграле сделаем замену g —> (| х |/Z)1/(2z”-n Е,. Тогда
G(t, х) = (2ЯГ(|хК/(2т-!,7(А, со),
I = jj ехр РД (I, <о)] d^,
re
где обозначено
f (£> м) = — Р (s + г’Н (ш)) + i \и, I + ® (“)),
Большим параметром является X. Функция f(£, со) при каждом
фиксированном со е 3Jij имеет одно и то же число веществен-
ных точек перевала ^s(co), l^s^fey, где £/s(и) + г'Н(со) ==	(со),
и все они невырождены. В силу леммы 3.2 существуют Ct, С2 > 0
такие, что Re f (£, со) — v (ц) — С, | g \~т при | £ | С2 \ ц |. Пусть
Jify cz SW" — компакт, тогда |Н(<о)|^С , >0 при со е Ж/. Имеем
} ехр [Af (g, со)] d\
|51>С2|Н(и)1
ехр(—Av(rj)) j ехр(—A|g|2m)^<
15 j С2Сз
ехр (— Av (ц) — СА),
С > 0,
так что этот интеграл экспоненциально мал по сравнению
с ехр (—Av (т])). Интеграл от функции exp[Af(g, со)] по области
11С2| Н(со) | в силу теоремы 1.2 равен сумме вкладов от
точек перевала £/s(co). Заметим, что, в силу однородности Р
и формулы Эйлера,
2тР(?) = (/Ш ?>,
294
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
в точке перевала имеем
fd, <о)=i(i --2^-)а,
Вычисляя вклады (см. (1.9), (1.10)), получаем (3.19).
Следствие 3.1. Пусть функция v(r])eC1 в окрестности
точки т|° =4= 0, точка х° =» —	(т]°) принадлежит одному из кону-
сов	Тогда разложение (3.18), (3.19) имеет место при
| х |2тД-> оо, х е= Ж = {х: х — рш, 0 < р < оо, w е U}, где U — до-
статочно малая окрестность точки со0 = х°/| х“ | на единичной
сфере | х | — 1.
Замечание 3.1. Главный член асимптотики имеет вид
(при х е 3W/)
G (1, х) =
П (rn-Tl Г kj	/	2m \	/	1	\ ~|
= |х|	4s/expV‘Bs/|x|2'n-J+OMx|
(3.23)
где Asj, Bsj — постоянные, Bsj вещественны. В частности, если
Р — вещественный полином, то (см. лемму 3.4) kj четно, и сла-
гаемые в (3.23) входят парами:
(
Asl ехр \iBsj | х | -m -1 J -j- (комплексно сопряженная величина).
В этом случае G(l,x) имеет на каждом луче х = рхг>,
О < р < оо, х°<=№1, бесконечно много нулей.
Обсудим вопрос об эффективности правила отбора точек
перевала, построенного в лемме 3.3. Очевидно, что оно непри-
годно, если v s С (Rn). Такие функции v должны существовать:
функция v (ц)— кусочно-алгебраическая, т. е. она «склеена»
из различных гладких ветвей алгебраических функций, и в местах
склейки может не быть гладкой.
1°. Если v е С1 (Rn), то этот метод позволяет вычислить
асимптотику G(l, х) при | х |-> оо, xe=MR.
2°. Существует открытое множество полной размерности (в про-
странстве коэффициентов) полиномов Р е^(2и, п), для которых
veC (R'j. Далее, если Р^£р(2т, п) и удовлетворяет условию
(2.15), или если п = 2, то получаем асимптотику G(l,x) на
множестве полной размерности в R".
3°. Существуют такие полиномы Ре^(2т, п), что функция
v (Rn) (т. е. ее график v — v (ц), ц е= R'1 имеет угловые точки).
В частности, если е > 0 достаточно мало, то функция v, отве-
чающая полиному
Р (z , ?.,) = (г; + z2)2 + /ezfz2,
§ 3 АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ
295
не принадлежит С! (R2) (см. [30]). Полиномы с негладкими v
также содержат открытое множество в tP(2m, п).
Рассмотрим примеры.
Пример 3.1. Пусть G(l, х)— фундаментальное решение
уравнения
/ п \ т
ди   (— 1 )т |	д2 ]
dt ~ 2т dx'j J U‘
Здесь P (£) = \/2m (X > точки перевала функции S(£, ix)
вычислены в примере 2.1. В данном случае минимум (3.9) до-
стигается в точках g = + r| sin ~2 ^т — i j * Функция v равна
v(ti) =
hl2m ( .	«
---!—L!  I qin-------
2m V 2(2w—1)
Асимптотика G (1, x) при | x | -> оо равна сумме вкладов от точек
перевала £(х), — £(х), где
Цх) = е^(х), С00 = 2 (2т — 1) ’ Ш =
так что
G (1, х) = 2 (2лГп!? [det	(£ (х))]~1/2 ехр [-(2m-1) Р (g (х)) sin ат,,] X
X [cos (Р (Е, (х)) COS <£>0 + О ( 1))].
В работе [36] доказано, что если Р(£) —сильно выпук-
лый полином с вещественными коэффициентами, то минимум
(3.9) достигается при всех х в тех же самых точках, функция
v (т]) = — (sin 2{2т— 1) )	и асимптотика G(l, х) при
| х | —> оо равна сумме вкладов от двух точек перевала.
/ п X т
Пример 3.2. Pa(g) ~-^е‘а ( Zj I > а > 0. Если а>0
достаточно мало, то Р„^.Р (2т, п), и минимум (3.9) дости-
гается только в точке (ц) = ц ctg <о0, <о0 =	” . Асимпто-
тика G(l, х) при | х | —> оо равна вкладу от точки перевала
£“ (х) = е1И”£ (х) (£(х) см. в примере 3.1) и имеет вид
G (1, х) = (2л) '1й [det Р'^ (Za (х))Г‘/2 X
X ехр [(2m - 1) Р № (х))] [1 + о (1)].
Если а фиксировано, и полином Р(£) достаточно близок
к полиному Ра(£), то минимум (3.9) достигается при всех ц
296
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)
в точке 5, (л)> близкой к точке £“(т]), и асимптотика G(l, х) при
| х | -> оо равна вкладу от точки перевала, близкой к точке £а(х).
Перенесем полученные в теореме 3.3 результаты на неодно-
родные параболические полиномы. Пусть
+	... +р'т®,
где Р1 — однородный полином степени 2т— j, Р' ^-Р (2т, п),
и положим S°(£, ix) = — /Jl (g) + i(x, £). Пусть MR, 2)1., $)lnf —
множества, отвечающие полиному Р°, и v° — функция, построен-
ная по Д’. В силу предложения 2.5 точки перевала функции 3
при хе=ЭЙ/, | х | » 1, близки к точкам перевала функции 3°;
обозначим их ^'s, Qs соответственно.
Предложение 3.1. Пусть Р — неоднородный параболи-
ческий полином степени 2m, функция v°eCl(Rn). Тогда при
|x|2m/Z—>оо, t/\ х | < б, x/t^3)tj и при б>0 достаточно малом
справедливо асимптотическое разложение (3.18), где
Gjs (t, х) = (2 л) ~'1-'1 х pi-» [det (х/| х । х
X ехр [- tP (x/t)) + i (x/t), x>] (1 + Qjs),
Qis~l + £Gnvr2m)z/a'^1’a/.5/(Glxr')l'(2m~'))> (3.24)
/= )
и функции ajsi (e) — аналитические функции e при малых | е |. Раз-
ложение (3.18) можно дифференцировать по t, х любое число раз.
Следствие 3.1 также остается в силе.
Доказательство проводится по той же схеме, что и
доказательство теоремы 3.3. Именно, деформируем контур
интегрирования в n-плоскость т]=Н(х//), показываем, что
интеграл по множеству | g | С | Н (x/t) | (| х \/t)lK2m+‘}, лежащему
в этой n-плоскости, экспоненциально мал по сравнению
с ехр(—А (| х |2тД)1Л2"!-,)) ПрИ любом Л > 0, если С>1, и при-
меняем теорему 1.2 к оставшемуся интегралу.
4. Корректные по Петровскому уравнения с чисто мнимой
и дефинитной старшей частью. Пусть P°(g) (старшая однород-
ная часть полинома Р) есть полином с чисто мнимыми коэф-
фициентами и полином Р° (g) дефинитен-.
Р°(Ю¥=0,	|eR"\{0}.	(3.25)
Тогда Р°(£) — полином четной степени 2пг^2. Пусть Ж+(2т, п) —
класс всех таких полиномов степени 2m от п переменных.
Типичным примером служит уравнение Шредингера:
ди . ,
-т— = IIXU.
dt
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ
297
В этом примере функция Грина имеет вид
так что при х?—>°о, />0 фиксированном функция Грина
сильно осциллирует, но не убывает экспоненциально.
Интеграл (3.3) не является абсолютно сходящимся, если
Р <= Ж+ (2т, п), и его необходимо регуляризовать. Будем рас-
сматривать G(t,x) при фиксированном t > 0 как функционал
под пространством К (R") финитных бесконечно дифференци-
руемых функций. Преобразование Фурье переводит К. в про-
странство Z (/?£). Если	то ф(^)е;У’(Я") и аналитически
продолжается на все комплексное пространство С" как целая
функция первого порядка роста и конечного типа ([26]).
Пусть F — преобразование Фурье (х->£), тогда G(t, х) =
= F-(exp (—/Р (£))). Применяя равенство Парсеваля и переходя
к полярным координатам, получаем
(G(t, х), ф (х)) = (2л)“" (ехр (— tP(g), ф (—&)))>
где ф е= К (Rn), ф е Z (R”), так что
(G, ф) = j ехр (- tP О ф (- £) d% =
R£
= ( I ехр (— tr-mP (9)) ф (— r0) rn~} dr JdS.
5гг— 1 О
Здесь £ = г0, г — Sn 1 = [ 0: У 0) — 1 | и dS — элемент
I /=1	)
поверхности сферы Sn~ . Перестановка порядка интегрирования
законна, так как фе/.
Рассмотрим интеграл по dr (t, 0 фиксированы). Так как
4’sZ, то | ф(£) |^С1ехр(С2| £ |) при всех комплексных £. По-
этому интеграл равен интегралу по контуру I (Д) (в комплексной
плоскости г), который состоит из отрезка [О, Л], Л > 0, и луча
г =/1 + ре '®л'2"г, О^рС-фоо, где в — знак ImP(|) при £ =И= 0.
Пусть е = +1; тогда P(S>) = iQ(£), Q(^)^0, и при г е 1(A),
г -> оо имеем
ReS(r0, х)~Q(0).
Поскольку Q(0)J>c>O при 0<=Sn-1, то интеграл по контуру
1(A) сходится абсолютно и равномерно по 0. Выражая ф через ф,
298
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
получаем
ехр [— гУ2тР(г0)] ф (— г0) гп~х dr =
НА)
= j f ехр[— tr2mP(r&) + ir{x, &)]гп~1 dr dS^^x) dx.
,,n I c«-l I {A)	/
К v \o	/
Перестановка порядка интегрирования законна, так как ф е
бСГ(Г). Итак,
(G, ф) = (2л)~п G (t, х) ф (х) dx,
где для G имеет место формула
G (t, х) = (2л,у'п	( j ехр [— tP (g) + i(x, g)] rn~' dA dS. (3.3')
gH — 1 V (X)	/
Заметим, что интеграл (3.3') не зависит от А. Из этих рас-
суждений вытекает
Предложение 3.2. Если полином Р^Ж+(2т, п), то
функция Грина G (I, х) является при каждом фиксированном
/>0 целой функцией от хеС". Если ImP(g)>0 (< 0) при
g е Rn, g #= 0, то G (t, х) является голоморфной функцией (t, х)
при Im/^0 ОО), хеС'11.
Отметим еще, что если Р е 7zf+ (2m, п), то
G(l, х) = G(l, — х)	(3.26)
в силу однородности Р.
Если Р е Ж+ (2m, п), то функция S (g, zx) при любом х е R™
имеет вещественные точки перевала; они-то и дают главный
вклад в асимптотику G. Действительно, P(g)^=zQ(g), где Q —
вещественный полином. Пусть Q (g) > 0 при g <= Rra, g =?= 0;
тогда множество AfQ = {g е Rn : Q (g) = 1} есть С” — многообра-
зие размерности (п—1), звездное относительно начала коорди-
нат. Поэтому нормаль к MQ может иметь любое направление
в Rn, вектор нормали m в точке g параллелен вектору Q£(g).
Если g(x) е ,VIq таково, что ng(x)||x, то точка g = Xg(x), при
некотором % #= 0, есть вещественная точка перевала функции
S (g, zx). Далее, если Р е (2m, п), то полином Р (e-ilie'?mg) е
s.?’(2m, п), так что в силу леммы 3.4 detP^(g)^O. Выро-
жденные вещественные точки перевала — это точки, в которых
P((g) = zx, ^Ж = {g е R": detP^(g) = O},
§ 3 АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
299
т. е. точки, в которых многообразие £rt+1 = iP (с) в Rn+1 имеет
нулевую гауссову кривизну. Пусть — множество всех х е R”,
которым отвечают вырожденные вещественные точки перевала,
тогда Mr есть вещественное полуалгебраическое коническое
множество коразмерности 1. Имеем R"\ АД = U •   U
где 3Jlj — связные открытые конусы в R". При любом х е Эй,
функция S (£, ix) имеет одно и то же число kj вещественных
точек перевала £71 (х), ..., 1'к1(х).
Теорема 3.4. Пусть полином Р е УА+ (2m, п), m 1. Тогда
при x/t^3ft, \x\2mlt—>oo справедливо асимптотическое разложе-
ние (3.18), где
Gjs(t, x)^(2nrnl2\xrn(m-i}‘Vm~l)X
Xr”'”-”|detPh(^(TyT))pi'iX
х [г (1 -	{x- V (frr)>] x
Здесь функции a!sq e C°° при x/\ x | s это разложение
равномерно no x/| x | е М/, где У£\	— произвольный компакт.
Разложение (3.27) можно дифференцировать по t, х любое чи-
сло раз.
Таким образом, функция G(l, х) сильно осциллирует при
|х|->оо и убывает при т^2 степенным образом: |G(1, х) | =
= О ( |х |~п <m-1)/(2m~l)).
Доказательство. Делая в интеграле (3.3) замену £->
—>(|х |Д)|/<2т~1)Д получаем для G(t, х) представление (3.21), где
А, <о те же, что и в (3.22),
Ж a>) = -P(g) + z(g, со).
Выберем А > 0 такое, что все вещественные точки перевала
функции f лежат в шаре | g |	А/2 при [ <о | = 1, и заменим
контур интегрирования в (3.21) контуром Sra-‘X I И) (см. (3.3')).
Пусть Im/’(£)> О при вещественных £ =И= 0 и 1(A)— луч г =
= А -ф Сре~‘п/2т, 0^р<оо. Тогда, если С>0 достаточно ве-
лико, то
Re f (r0, <о)	— C'p2m, г е I (Л), В, aeS”‘ 4,
где С > 0 может быть выбрано сколь угодно большим за счет
увеличения С. Поэтому интеграл по контуру Sn~l X I (А) имеет
300
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)
порядок О(е~ск). К интегралу по оставшемуся контуру при-
менима теорема 1.2.
Следствие 3.2. Пусть многообразие
М = {1 + R": ImP(£) = e},
е = sgn Im Р (£) (g =# 0)
строго выпукло. Тогда при | х | —> 0 асимптотика G(t, х) равна
вкладу от (единственной) вещественной точки перевала g (x/t).
Пример 3.3. Рассмотрим уравнение
Тогда при | х | -» оо
G (1, х) ~ (2л)~п/2| х Гп (m~1)/(2m-'’ (2m -	Х
Хехр[.(1
Полученные выше результаты переносятся на тот случай,
когда Р — корректный по Петровскому неоднородный поли-
ном, старшая однородная часть Р°(£) которого принадлежит
классу Ж+(2пг, п). Пусть S0(g, ix) = — Р° (£) + i (х, Q, £lk(t,x)—
точки перевала функции S такие, что (t, х) ~ t,ik (t, х) при
t/\ х |-> 0, где Vk — точки перевала функции So, указанные в тео-
реме 3.4.
Следствие 3.3. Пусть Р — корректный по Петровскому
полином, Р’^Ж+(2т, п). Тогда при x/t	I х \2т 11 -> оо,
t/\ х Кб, и при достаточно малом д>0 справедливо асимпто-
тическое разложение (3.18), где G,s имеют вид (3.27).
Отметим важный частный случай:
Предложение 3.3. Пусть
Р(1) = Р°® + Р'® + ... +Р2т(£),
где Р1 — однородный полином степени 2m — j, Р° е Ж+ (2m, п)
и при вещественных g
ReP!(£) = ... = ReP2?-1 (£) = 0,
ReP2X)<0 а=#0, р>0).
(3.28)
Тогда при тех же условиях, что и в следствии 3.2, справед-
ливо разложение (3.18), где
ReS^(co) = ... =ReS^_i((o) = 0,
ReS^((o)<O,	| co |=1.
(8.29)
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
301
Доказательство. Пусть у е Rn \ {0}, |° (у) — простая
вещественная точка перевала функции So(£, iy), г = \ y\~'l(2m~l},
(a — yj\y\. При малых е>0 функция S(£, iy) имеет точку пе-
ревала
Ш = £°(у) + ^Ъ) + •••,
где ряд сходится при | е | С 1 (см. предложение 2.5). Покажем,
что
Re£°(y) = Re£!(y) = ... = Re^-‘(y) = 0, z ч
1ш^(у)^0	(3‘30)
при вещественных у ¥= 0. Делая замену £->е(; в уравнении
S£ = 0, получаем
P°z © + ePf(C) +	+е-т->РГ~1' © = /<о,	(3.31)
причем £ (у) —> £ (<о). Ниже будем считать, что <о фиксировано,
0 < е -С 1. Так как полиномы Р°, ..., Р2р~{ имеют чисто мни-
мые коэффициенты, то Re£°(o>)= ... = Re£2р-1 («) — 0. Разла-
гая левую часть уравнения (3.31) по степеням е, для Im X"
получаем уравнение
- Im Р^ (*>) Im + Re Р'2р (?°) = 0,
и так как матрица ImP^'(^) невырождена, то (3.30) доказано.
Докажем (3.29). Имеем из (3.30), (3.28), что
Re [- Р (£ (®)) + i (со), <о>] = - е2р Re Р2р (£° (со)) + О (е2₽+').
В условиях предложения (3.3) имеет место оценка
zj(m-i)	п
| G (1, х) | CJ х Г 2 (2т-1) Г2*2"1-» X
[2р —1	2m—2 р 1
—	2m-1 J,	С2>0,
т. е. G(t, х) убывает экспоненциально, но медленнее, чем функ-
ция Грина параболического уравнения.
5. Общие корректные по Петровскому уравнения. Если
уравнение (3.1) корректно по Петровскому, но не является
параболическим или уравнением рассмотренного в п. 2 класса,
то функция Грина является обобщенной функцией конечного
порядка над пространством C“(R”) при фиксированном t > 0.
Если Р е SP (2т, п), то G(l,x) экспоненциально убывает при
] х 1 —> оо; если Р е .7Г+(2m, м), то G(l,x) сильно осциллирует
и убывает только степенным образом. Если же Р — однород-
ный полином, не входящий ни в один из этих классов, то
G(l, х) может по одним направлениям в R" убывать экспонен-
302
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
циально, как функция Грина параболического уравнения, а по
другим — сильно осциллировать и убывать только степенным
образом. При п=1 типичным примером служит уравнение
ди __ д3и
dt дх3
Пример 3.4. Уравнение С. Л. Соболева ([71]):
1 ди д3и
4 dt	dxidx2dx3 '	' ' ’
Вычислим функцию Грина; мы ограничимся формальным выво-
дом (см. [80]). Имеем из (3.3')
G & Х) = ‘8F’ S ехр — i(*, £)) dl-
R3
Интеграл no равен 2л6 (4^jg2 — х3), откуда
G (/, х) = ехр (— ixfa — Zx2g2) б (4/gjg2 — *з) d^ d%2.
R2
Полагая 4/£1£2 = и, — v, получаем
R2
1 С /	. ix2x3 \ dv
•=- WF pxp(-zxp--^-J —.
1	/	~х^х-
Сделаем замену переменной а/ ± g; здесь и далее
знак «+» берется при Х!Х2х3 > 0, знак «—» берется при
Х[Х2х3 < 0. Тогда
оо
= —Тёк $ exp(-/zlF)f’
— ОО
Выражая последний интеграл через бесселевы функции, полу-
чаем
Q (t, х) =
(вл/Г'Уо^^^),
-(4^)-1Л0(д//-А1£Л
х(х2х3 > 0,
Х)Х2х3 < 0.
(3.33)
Отсюда следует, что G(l,x) имеет логарифмические особен-
ности на координатных плоскостях. Далее, при |х|->оо функ-
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ
303
ция G(t, х) экспоненциально убывает в тех квадрантах, где
Х]Х2х3 < 0, и осциллирует и убывает степенным образом в осталь-
ных квадрантах, что следует из известных асимптотик бессе-
левых функций.
Пример 3.5. Рассмотрим уравнение
=	.	(3.34)
dt dxt дх2
Имеем
G (i, х) = jj jj ехр [itt>£2 — i {х, I)] d%.
R2
Интеграл по dh равен 2лб(^ —х,), откуда
оо	оо
G (/, х) = J б (%2 - х,) е~1^ dl, = 4- $ 6	- х,) cos (12х2) d^.
В частности, G(t, х)^0
при Xj > 0, получаем
при xt < 0. Вычисляя этот интеграл
G (t, х) =
Лл/tXj
cos
X] > 0,
(3.35)
0,
так что G (1, х) имеет особенность на оси xt = 0.
Покажем, что G(t, х) является при каждом фиксированном
/>0 обобщенной функцией порядка [пг] "Ь 1 наД простран-
ством Со° (Rn). Интеграл
Gk (/, х) = (2лГп j ехр [- tP ft) + i (х, |>] а2 + 1)"&
сходится абсолютно и равномерно на каждом компакте в Rx,
если k~>n[2, так как | ехр (—tP (£)) | const, и G(t, х) =
=(—А + \fGk{t, х), где дифференцирование понимается в смы-
сле обобщенных функций. Однако нерешенным остается вопрос,
где расположены и как устроены особенности G.
Мы приведем ниже два результата о регуляризации инте-
грала (3.3). Один из них получается с помощью замены кон-
тура интегрирования контуром в Сга, другой — с помощью пре-
дельного перехода (3.38), который обычно применяют для регу-
ляризации быстро осциллирующих интегралов.
Предложение 3.4. Пусть уравнение (3.1) корректно по
Петровскому, и пусть на любом луче s = | £ 19, & е Rra> I 9 I2 — 1,
выполняется неравенство
|Р(£)|>С0(9Ж1 >0 (I^OC, (9)).	(3.36)
304
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Тогда G{t, х) является целой функцией х при каждом фиксиро-
ванном t > 0 и бесконечно дифференцируема при t > 0, .re Rra.
Доказательство. Повторяя проведенные при выводе
формулы (3.3х) (см. п. 3) рассуждения, получаем для G фор-
мулу
G(t, х) = (2л)~п j А ехр [—(0) + г (х, 9>] г"-'t/Л dS. (3.37)
Sn.-l\(e	/
Здесь контур /е зависит от 0 и выбирается так: /0—луч г = ре‘т<0\
0^р<°о, такой, что ReP(r0)^— Ср2 при г е /е, г-*оо. Из
(3.36) нетрудно получить существование постоянных Со, С. та-
ких, что | Р (g) Со| ё I2 ПРИ Igl^Ci- Интеграл по dr в (3.37)
сходится абсолютно и равномерно, когда 0е5"”', 0<Д,^
х принадлежит компакту в Сга. Отсюда вытекает пред-
ложение 3.4.
Предложение 3.5. Пусть уравнение (3.1) корректно по
Петровскому и выполнены условия:
1°.
I Р'&)\ >Сх!?
при | g |	С2, где д, С, > О — постоянные, — степень по-
линома Р (g).
2°. Функция S(g, iy) имеет не более конечного числа веще-
ственных точек перевала в некоторой области U с R^.
Тогда функция G(t, х) е С°° при хЦ^.и.
Доказательство. Воспользуемся следующим способом
регуляризации интеграла (3.3):
G (t, х) = lim (2л) п \ ехр [— tP (g) + i{x, g)] ср (eg) d%. (3.38)
-»+o J
Здесь функция ср e Cq° (Rra) равна единице при | g |s^ 1/2 и равна
нулю при |g |>1. Пусть t > 0, х е Rra фиксированы; положим
£=1 для удобства. Выберем г > 0 такое, что функция S(g, ix)
не имеет вещественных точек перевала при |g| = r/2, и введем
функцию zgC/(r'1), равную 1 при | g и равную нулю при
I g I 2г. Тогда интеграл в правой "части (3.38) / (е) = Ц (е) + /2(е),
где Д содержит %, /2 содержит ср (eg) — %. Интеграл
при всех х <= Rn. Интеграл /2 проинтегрируем по частям так же,
как и в доказательстве теоремы 1.4:
Д (е) = J ехр [S (g, ix)]* Lk (ср (eg) - Х О dl,
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ
305
где *L — оператор
Lf = S -7F" ’	=' St' ix) Г S4 & ix>-
/=i	'
Так как Р— полином степени пг, то для любого мультиин-
декса а
IW а)|<С(1 +ШГ~1а|-
Следовательно, | фу (|) | С' (1	| g | )-е, и нетрудно показать,
что для любого мультииндекса [3
|лЬмп1<св(1 + 1&1Г|Р|-6.
Следовательно, при целом /г^О
(<Р (её) - X (ё)) = Z (Ю М,- (ср (eg) - X (ё)),
/=и
где Mf — однородный дифференциальный оператор порядка /,
I Ф/.Нё) I = С/Ц1 + шгй (1+6)+/.
Если функция f е (R"), то
lim (И) Д'ф (eSM = 0,	| а | > 0.
Выберем k > 0 такое, чтобы было fed > и; тогда существует
lim /2 (е) в силу того, что е (Rn), а функция | exp(S (g, ix)) |
£	Н"0
ограничена, так как уравнение (3.1) корректно по Петровскому.
Дифференцируя интеграл /2(е) по х> получаем
DrH> (е) = ха (g) ехр [S (g, /х)] [ср (eg) — х (ё)] d^,
Rn
где %а — полином степени | а 1 (пг—1). Интегрируя по частям
тем же способом, что и выше, получаем, что lim П“/2(е) су-
е-»+о
ществует при х е U.
Пример 3.6. Функция Грина уравнения
ди _ сГи . . .
dt dxt дх2 дх2 ' 1 Ы
306
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
является целой функцией х при любом фиксированном t > 0
в силу предложения 3.3.
Лемма 3.6. Пусть вещественные точки перевала полинома
Р(£) содержатся в некотором шаре, m(R) = min | Р'^ (£) |. Тогда
существуют постоянная а > 0 и рациональное число а такие,
что
m(R)~aRa (R->oo).	(3.39)
Доказательство. Множество |Р‘(£)|2^цг, |£|2 = /?2
в R^,+m, к является полуалгебраическим. Его проекция М на R™, ю
по теореме Зейденберга—Тарского, является полуалгебраиче-
ским множеством, имеет вид М = {(rn, R): tn^tn(R)} и не сов-
падает с R2. Следовательно, его граница содержится в неко-
тором собственном алгебраическом множестве, и потому суще-
ствует полином f (tn, R) такой, что
f(m(R), R) = Q, — оо<Д<оо.
Поэтому функция m(R)— кусочно-алгебраическая. Можно счи-
тать, что разложение полинома f на неприводимые сомножи-
тели не содержит кратных сомножителей. Тогда существует
До > 0 такое, что дискриминант D(R) полинома f отличен от
нуля при R~^R0. При R^R0 всякое решение уравнения f = 0
разлагается в ряд Пюизе:
/ПДД) = ао//?ао/+	+ ...,
где а0/> а1;-> ... —рациональные числа. Функция m(R) сов-
падает при R > Ro с одной из функций mj(R). Так как, по
условию, m(R)>0 при R 1, то асимптотика rn(R) имеет
вид (3.39).
Заметим, что число а в (3.39) может быть отрицательным.
Лемма 3.7. Пусть уравнение (3.17) имеет вещественное
решение при любом вещественном х из некоторой области U cz R".
Тогда все коэффициенты полинома P(Q— P(Q)— чисто мнимые.
Доказательство. Из разрешимости уравнения (3.16)
при x^U следует, что det (£)	0. В силу предложения 2.2
можно взять область U^U такую, что при х е U уравнение
(3.17) имеет одно и то же конечное число решений (х), ...
...,	(х), и все они невырождены и различны. Множество
М/ = {^еС”: t, = Z!(x), xet/} есть С”-многообразие размер-
ности п; по условию, хотя бы одно из них содержит область
V cz R". Тогда ReR((£) = 0,	так что ReP^(^) = 0 при
Е f= Rra, и все коэффициенты полиномов Р' (|), 1=О ^«,
il
являются чисто мнимыми.
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
307
Исследуем асимптотику G(t, х); она будет существенно раз-
личной, в зависимости от того, будет ли полином Р°(£) иметь
вещественные точки перевала или нет. Введем обозначения
<о = -|7р Sn-| = {(oeR": |«|2=1},
S0(g, r.t) = -P°(C) + Z<x, C).
В силу леммы 3.7 функция So может иметь вещественные
точки перевала в целой области в R" только тогда, когда все
коэффициенты полинома Р°, кроме свободного члена, являются
чисто мнимыми. Пусть Р°(£)— полином с чисто мнимыми коэф-
фициентами. Положим
2)? = {х е Rra: Pl (g) = ix для некоторого g 6= Rra}.
Множество ЭК является полуалгебраическим конусом в R”.
Пусть detP^(g) 0; тогда ЭК есть конус полной размерности.
По теореме 2.2 имеем
N
ЗЛ = и ЭК/ и ЭК*; ЭК? = 3)ij C\Sn-’,
1=1
где ЭК; — открытые связные конусы, dim ЭК* п — 1. При каждом
х^ЗЛ/ функция So(&, ix) имеет одно и то же конечное число kj
вещественных точек перевала V W, >	(х), и все они-не-
вырождены.
Конус ЗЛ имеет простую геометрическую интерпретацию.
Именно, положим P(g) = rQ(£), тогда Q — однородный полином
с вещественными коэффициентами. Рассмотрим множества
уровня MQ={geRra: Q (£) = ± 1}. Тогда 3)1 = ЗЛ+ (J ЗЛ~ U3K°U
и {g = 0}. Если степень Р нечетна, то ЭК* — конус, составлен-
ный из лучей, которые ортогональны к Mq и направлены в сто-
рону возрастания Q, 2К°—аналогичный конус, образующие
которого ортогональны к множеству Q = 0. Действительно,
пусть	тогда нормаль к Mq в точке параллельна
вектору Qj(£), который направлен в сторону возрастания Q.
В силу однородности Qj (^°) = tm~1 Qg (£°) и при т нечетном
Г- >0, t 0.
Уравнение (3.17) имеет вещественные решения при всех х
вида х = tm ~'Q№), feR. Если же т четно, то конусы ЗЛ+’ 0
составлены не из лучей, а из прямых.
Теорема 3.5. Пусть полином Р°(£) имеет чисто мнимые
коэффициенты и удовлетворяет условию (2.15). Тогда при
\x\2m/t —>оо, t/\x\<6, Цх^ЗЛ°1 и при <5 > 0 достаточно малом
308
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
асимптотика функции G (t, х) равна сумме вкладов от точек
перевала, близких к точкам s/1 (x/t), t/kl(x/t). Это разло-
жение равномерно по х, если х/\ х | лежит в компакте Ж cz
Доказательство. В силу предложения 3.4 функция
G(t, х) е С°° при t > 0, хе R". Делая замену £->(| х |//)>/(«-D £,
получаем для G представление (3.21), (3.22), где
/=-р°й)-еда)- ... -л^+см,
/ t \l/(m-l)	(3.40)
Пусть со е Ж cz Зй°, где Ж — компакт. Так как Р° удо-
влетворяет условию (2.15) то существуют положительные по-
стоянные е0, /?о, Со такие, что
lft(L ico, 6)|>С0||Г'
при |g|>/?0, Os^es^8O. Устроим С°°-р азбиение единицы 1 =
— Ф1(Ю + фг(ъ) в Rg, где функция cpj е С”(Rra), равна 1 при
|£|^2/?0 и равна 0 при | £ |ДгЗр0. Соответственно положим
1 = Ц + /2, где / — интеграл (3.21). Асимптотика интеграла
равна, по теореме 1.2, сумме вкладов от точек перевала,
близких к вещественным точкам перевала (со), ..., t,<ki (со).
Покажем, что /2 = О (л-°°) при л —> + оо. Интегрируя по частям
так же, как и в доказательстве предложения 3.4, получаем
/2 = А 1 j dt,, ф! = f Аф2.
|Д
В силу условия (2.15) и ограниченности функции ср2
|ф,|<С(1 + ШГ+,1 jeR",
так что интеграл /2 сходится абсолютно и допускает оценку
|/2 Is^CV1. Интегрируя по частям далее, получаем, что /2 =
= O(A-JV) (Л->4-оо) при любом N.
Следствие 3.4. Теорема 3.5 остается в силе, если коэф-
фициенты полинома Р° — чисто мнимые, а полином Р удовле-
творяет условиям предложения 3.4.
Рассмотрим случай, когда функция S0(C, ix) не имеет веще-
ственных точек перевала.
Лемма 3.8. Пусть Р(Т)— однородный многочлен степени
пг^З, функция S (£, w°) имеет точки перевала. Положим
d (w°) = inf S a, w°),	(3.41)
где inf берется no всем точкам перевала. Тогда либо d(w°)<0,
либо Р° = 0 во всех точках перевала.
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ
309
Доказательство. Пусть £° —точка перевала, тогда, по
формуле Эйлера, S (£°, w°) = (1 — 2т) Р (£°) = So. В силу одно-
родности Р все точки ^ = 6^°, е/ = т дЛ, являются точками
перевала и S (^, w°) = e,jSQ. Если Р (£°) =?£= 0, то So =£= 0, и хотя
бы одно из чисел S/ лежит в нижней полуплоскости.
Рассмотрим конус ВД cz R" вида {х е R1. х = р<в, со е Q,
0^р<оо}, где Q — односвязная область на единичной сфере
S'1-1. Пусть Ж a: Q — компакт, ')Л(Ж)— конус, полученный
из 9)1 заменой Q на Ж. Пусть Р(£)— однородный полином
степени /п^З, и пусть при х е 2W функция S (£, ix) имеет
одно и то же число точек перевала g1 (х), ..., L'1 (х), все они
невырождены. Для этого достаточно, чтобы Зй не пересекался
с исключительным множеством (см. теорему 2.2).
Теорема 3.6. Пусть Р (£) — однородный полином, степени
m 3, sJJl — описанный выше конус и
1°. Р удовлетворяет условию (2.15).
2°. При х <= 2)1 уравнение (3.17) не имеет вещественных
решений и Р {Q Q в точках перевала (/(х).
Тогда асимптотика функции G(l,x) при |х|—>оо, равномерно
по xe2)J(j^), равна сумме вкладов от некоторых из точек
перевала, удовлетворяющих условию
ReS(£, ix)<0.	(3.42)
Доказательство. Основная трудность связана с регу-
ляризацией интеграла (3.3). В силу предложения 3.4 функция
G (1, х) е С°° (Rn). Однако при вычислении асимптотики G мы
не можем пользоваться полученными в этом предложении фор-
мулами, так как они содержат неаналитические функции.
Рассмотрим G как функционал над пространством С“ (R”) и
воспользуемся равенством Парсеваля для функции G = G(1, х):
(G, <р) = (2л)га (G, ф (-Ю) = (е-Р ф (-£)).
Пусть С = |+ 1х\, тогда, если ф е С™ (Rra), то при любом N^O
1Ф(-ЮК^е-«^>(1 +1^)'"	(3-43)
Поэтому интеграл
/ = $ e-p<^(-№
r”
сходится абсолютно.
Положим d= inf ReP(£(x)), где нижняя грань берется
X е ЗП (X)
по всем точкам перевала функции S(£, ix); тогда — оо < а < 0.
310
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Фиксируем х e2R(J^). Пусть М— связная компонента мно ке-
ства {2 (т — 1) d ReS 0}, S = S(g, ix), содержащая Rj,
М° — множество, полученное из М удалением малых окрестно-
стей Uj всех точек перевала функции S. Тогда |Sj|^=
С(1+| £ l)m~ ’ ПРИ g е М0. Линия наибыстрейшего спуска
g = g(i, g; ix), t^O, выходящая из точки ceR", является ре-
шением задачи Коши:
ц=0=в.
В силу леммы 2.2 за конечное время t = t(£) точка t,(t, g; ix) при-
дет либо на dUj, либо на множество {ReS = 2(tn — 1) d} cz дМ.
Если R > 0 достаточно велико, то все точки множества Dk =
={|eR'!: (g)J>R} за конечное время выйдут на дМ, причем
/(/?)= sup /(g) < ОО.
Пусть Dr — сдвинутое множество; покажем, что оно мало
отличается от R$ при |g|»l. Имеем ReS (g, ix) = 2d (rn — 1)
на Йд. При фиксированном g и при малых t
ReS(g(i, g; ix), ix) =
= Re S U + t |<=o + О (i2) = - 11 S| (g, ix) I- + О (i2).
Следовательно,
/(g)~|S£(g, ix) r2 = O (|gr2(m-1)) при Igl-oo.
Положим у = Dr U Dr U D, где D — цилиндр из траекторий
g = g(i, g; ix), O^i^i(g), |g| = R, тогда, в силу оценки (3.43)
и свойств L)r, интеграл I равен интегралу по у. Так как bR
есть почти «-плоскость на бесконечности, то тем же способом,
что и в предложении 3.4, можно доказать сходимость интег-
рала от exp[S(g, ix)] по у. Следовательно, при ] х [ == 1, xs iffl(X’)
G (1, х) = j ехр [S (g, ix)] dg.
v
Нетрудно показать равномерность проведенных выше построе-
ний относительно xeSftQSf), |х|=1.
Далее,
G (1, х) = | х J ехр (| х r^-’S (g, i -pj)) dg.
v
По построению, ReS = 2d(m—1) на bR, и интеграл no DR
имеет порядок
О (ехр (2d (т - 1 + е) | х	1 *)),
§ 3 АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
где е > 0 можно выбрать сколь угодно малым. Оставшаяся
часть у контура у есть ограниченное многообразие в Сп и, по
построению, является относительным циклом mod |ReS
= 2d (in—!)}. По теореме 2.2, асимптотика этого интеграла
равна сумме вкладов от точек перевала функции S.
Замечание 3.2. Мы ограничились для простоты одно-
родным полиномом Р. Можно показать, что теорема 3.6 оста-
ется в силе для неоднородных полиномов Р, старшая одно-
родная часть которых удовлетворяет условиям теоремы.
6. Параболические по Петровскому уравнения высокого
порядка по t. Рассмотрим уравнение
P(Dt, Dx)u(t, х) = 0,	(3.44)
где / <= R, xsR", = Dx = (4--^-, .. ., 4- -=7-) и
л	’	1 i dt х X, i дх	I охп /
Р (т,	— полином,
Р(х, 0 = ^+ X ap-k(Z)xk.
Пусть т;-(£) —решения уравнения Р = 0 относительно т. Будем
предполагать, что т,-(£)— однородные функции степени 2т.
Положим
т = а-Нр. £ = б + Й (о-, oeR, g, i] ё=R")
и введем функцию
Т (Z, n)= min Imr; (£ + ir\).	(3.45)
Уравнение (3.44) называется параболическим по Петровскому,
если Т (с, 0) > 0 при Z Rn, £¥=0. Отсюда следует, что m — целое
число,
Фундаментальным решением G (t, х) задачи Коши для урав-
нения (3.44) называется решение этого уравнения с данными
Коши
G |<=о = DtG |/=0 — ... —	2G|f_0 = O,
Dl~‘G\t_0= — ib (х),
продолженное нулем при t > 0.
Функция G удовлетворяет уравнению
P(Dt, Dx)G(t, x)=6(t, х).
Применяя преобразование Фурье, получаем интегральное пред-
ставление
G (t, х) = (2л)~га-1 (	+ dx
J	(Т. fej
Ц.тп)=
312
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
где интеграл берется по области 1тт = с<0, -eR". Пусть
разложение Р на неприводимые сомножители не содержит
одинаковых сомножителей. Тогда, по теореме о вычетах,
G (Z, х) = i (2л) 1 У,
ехр [itHj (g) + Z <х, g)]
I)
dl.
(3.46)
Заметим, что стоящая под знаком интеграла сумма при любых
фиксированных t > 0, xgR'! аналитически продолжается с Rg
на С? как целая функция £.
В силу однородности Р
Нас интересует асимптотика G (/, х) при |х|-+оо, />0
фиксированном. В силу однородности символа из асимптотики
G(l, х) при I х | -> оо мы получим асимптотику G(t, х) при
| х оо. Будем исследовать эту задачу по тому же плану,
что и в пп. 2, 3. Сформулируем полученные результаты и по-
кажем новые явления по сравнению с уравнениями первого
порядка по /, которые здесь возникают.
Введем функцию
v(n)= min T(g, q).
юв"
Эта функция обладает такими же свойствами, что и введен-
ная в п. 1 функция v. Именно, v выпукла кверху, однородна
степени 2т, кусочно-алгебраическая и удовлетворяет оценкам
(3.11). Пусть функция ц (х) — двойственная по Юнгу к функции
v(—г)); тогда функция ц (х) обладает перечисленными
в лемме 3.2 свойствами.
Аналогично тому, как это было сделано в пп. 2, 3, можно
доказать, что при t > 0, х е Rra
| G (t, х) К Ct°~' ^1£1у/(2'п-” _|_ ехр (/ц (х//)); (3.47)
так что G(l,x) экспоненциально убывает при ,reR'!, |х|->оо.
Пусть т (£) —алгебраическая функция, заданная уравнением
Р = 0, S (£, ®) = т (С) + {Z, w). Точки перевала функции S опре-
деляются из уравнения ты (£) = — w, или (см. (2.8))
Р£(т, ?) + ®Р((т, £) = 0.
Пусть выполнены условия:
1°. Функция veC1 в окрестности точки q°=#0.
2°. Множество Г (т]°) = {| s Rn: Т (§, т]°) = v (q0)} состоит из
конечного числа невырожденных точек минимума ^(q0).
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
313
Тогда, аналогично лемме 3.3. можно показать, что все
точки 2/(х°) == £'(г)°) + являются точками перевала функции
S (£, ix°), где х° = — Тг|(ц°). Кроме того, эти точки перевала не-
вырождены.
Точно так же, как и теорема 3.2, доказывается
Теорема 3.7. Пусть условия Г, 2° выполнены. Тогда при
х — рх° (0 < р < оо, х° = —- (т]°))
и при | х |2m/t—> оо асимптотика фундаментального решения
G(t,x) равна сумме вкладов от точек перевала t,’(x/f).
Выпишем явную формулу для вклада Gk точки перевала
£k(x/f) в асимптотику G(t, х). Учитывая соотношения однород-
ности
получаем
Gk it, х) = (-2nr7)~rt/2 (1yL)-a[det <(ft)	(x°))]~1/2 X
Однако асимптотика G(l, x) может не определяться точками
перевала функции S (£, ix) даже в том случае, когда символ Р
устроен достаточно «хорошо» (например, удовлетворяет условию
(2.14)). Рассмотрим
Пример 3.7. Фундаментальное решение G(t,x) уравнения
где ak, bk > 0, имеет вид
G(/,x) = i(2n)-ra $ ехр 2	° ехр [Z <х, £)] 4- (3-50)
r”
Здесь Т] (£) = i Е а?$, т2 (g) = i У, b-ftp Применим теорему 3.7.
В данном случае
v(r]) = min (vj (т)), v2(n))>
Vj (n) = — E «/П/, v2 (n) = — E bffi.
314
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Если параболоиды v = Vi(t]), v — пересекаются трансвер-
сально в точке (v°, т]°), то точка т]° является точкой негладкости
функции v. Пусть Ц; (х)— функция, двойственная по Юнгу
к функции V/(—т|)- Тогда

множество р(х)^— 1 есть граница выпуклой оболочки объеди-
нения ЭЛЛИПСОИДОВ {ц! (х)	— 1 } U {ц2 (х)	— 1}.
Вычислим асимптотику G(l,x). Положим
Si^,x) = ixi^ + i{x,Q, /=1,2.
Функция S;- имеет единственную и притом невырожденную
точку перевала: £1 (х) = —у, К(х) =—7- Правило отбора
2а| B 2bi 
(теорема 3.7) показывает, что асимптотика G(l, х) равна
вкладу Vi(x) от точки перевала (х), если |х|->оо в области
> 0.
Имеем
(3.51)
Аналогично, асимптотика G(l, х) равна вкладу У2(х) от точки
перевала £?(х), если |х|->оо в области D2: при этом D.,, V2
получаются из Dit V{, если поменять ор, Ь, местами.
Пусть один из элипсоидов V](r]) = — 1, v2(t])= —1 содер-
жится в другом — скажем, первый во втором. Тогда v (ц) = у| (т])
при всех г), так что veC°°(Rra), и асимптотика G(l, х) имеет
вид (3.51) при |х|->оо.
Пусть эллипсоиды v/(r)) = — 1, /= 1, 2, пересекаются транс-
версально. Тогда функция v имеет угловые точки, а функция
р, —плоские куски. В этом случае Dt (J D не совпадает с Rrt
и теорема 3.7 не позволяет вычислить асимптотику G для всех
направлений в Rx.
§ 3. АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
315
Используя специфику данного примера, асимптотику G
можно вычислить при всех х. Имеем
t
G(t, x) = Gi*G,= ^ G| (х — g, t — t)G2(|, r)dldx,
0 R«
где Gi, G2 — фундаментальные решения уравнений с символами
п	п
т — I У, а^2-, т — i У 6%’ соответственно. Явный вид Gi, G2 поз-
7-1 ' '	i = \ ! 1
воляет вычислить интеграл по R^:
(П	2	\ п
~ Е Pt + q, ) П	dx’ <3’52i
7 = 1	' ' l-l
^ = 4^(1—т).
Рассмотрим функцию, стоящую под знаком экспоненты:
п <>
s(’^)-"Zt7+T7'	<3-ю>
Основной вклад в асимптотику G(l, х) вносят точки отрезка
I = [0, 1], в которых достигается максимум S. Заметим, что
3(0; х) = ц.2(х), 5(1; х) = ц, (х), и если бы функция S при всех
х=/=0 достигала бы максимума только на концах отрезка, то
асимптотика G определялась бы одной из точек перевала (/(х)
при всех х. Но при разных х максимум S достигается на разных
концах отрезка; из непрерывности S по параметрам х следует,
что при некоторых х функции S достигает максимума внутри
отрезка I. Подкрепим сказанное прямой выкладкой. Пусть п = 2;
положим а;. = а~. — Ь2.,	= Ь2, так что
сит + р, ах +
При этом Ру > 0, cty + py>0. Пусть ot] > 0, а2 < 0. Из уравне-
ния 3( = 0 находим (те/)
(сцт + ₽() V—“2 х2 = д/«1 •^1(а2т + р2),	(3-54)
и так как функции — (а/т-I-Ру)-1 выпуклы кверху при те/,
то решение уравнения (3.54), принадлежащее /, является точкой
максимума функции S. Из (З.Б4) находим
т (х) = -I - Vzr7?>l .	(3.55)
а, V— а2 | ж? | — а_> Vai | xt |
316
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
)га точка лежит на интервале (0, 1), если
V— «2 <- I х‘ I < ~ а- «1 + Р1
Vai р2 I х2 I Va, a2 4- р2
Следовательно, если | х | —> оо в области (3.56), то
G (1, х)~ n~nl'2 ехр [S (т (х); х)] X
(3.56)
X П [(д- + 7/) (т (х))]-1/21S" (т(х); х)|-1/2
Здесь п = 2,
S (т (х); х) —
I^?l + V&2- а2 I *1 О'
4 (а2&2 ~~ ^аг)
(3.57)
(3.58)
Аналогично исследуется случай п > 2. Окончательно полу-
чаем, что асимптотика функции G (1, х) равна вкладу от точки
т(х), в которой достигается max 8(т; х). Точка т(х) единственна.
0<Т < I
Если т (х) лежит внутри отрезка [0, 1], то вклад определяется
формулой (3.51). Если т(х) совпадает с одним из концов
отрезка [0, 1], то
G (1, х) ~ л-га/2 ехр [S (т (х); х)] X
г п	-1-1/2
Х[П(Р/+ <?,)(* (*))]	|5((т(х); х)|"' (3.59)
(здесь т(х) = 0 или т(х) = 1, если Si #=0). Границей между зо-
нами применимости асимптотик (3.57), (3.59) служат, очевидно,
множества Si (О, х) = 0, Si (1, х) = 0, т. е. множество
Д (а2, — b?) xj	A (a? — б,) x'j
Г / =0 или E - &t—=0
/=1 I	/=1 I
Асимптотика (3.58.) определяется точкой перевала не функ-
ции 8(£, х), а функции, стоящей под знаком интеграла (3.52):
F (I, х} = “р1ХтХ±;1И »Р [/ <л. 01.
И \Ь7	12
Точками перевала этой функции называются точки, в которых
F; = 0. Делая замену переменных £->|х|£, получаем для точек
перевала уравнение
Vti (£) + © +
г (Ут, (g) - Ут2 (;))
I X Г (Т1 (?) - т2 ($))
= [Vt2 (0 + (0 +	ехр [i\ X |2 (т2 (0 - т. (£))]. (3.60)
§ 3 АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
317
Заметим, что если одна из экспонент ехр (г |х |2 г, (?)) много
больше другой, то соответствующая точка перевала функции
F (?, х) близка к точке перевала функции S(?, ix). Например,
если ехр(г|х|2т1) = о(ехр(г|х|2т2)), то функция F (?, х) имеет
точку перевала, близкую к точке ?2(х). Рассмотрим случай,
когда рассматриваемые экспоненты примерно равны; именно,
пусть
i\ X |2(т2(?) — Т! О = с + о(1)	(|х|->оо),	(3.61)
где с — постоянная. Подставляя это соотношение в (3.60) и
исключая с, получаем
(2ia{ + со,?, ’) = (й2 — а)') (2га2 + с>ц?2 ') + о (1). (3.62)
Из уравнений (3.61), (3.62) находим
?г =	+ 0 (1)) ?i>	—
?! = V6l~a2 (“1 V62 - а2 +ю2	~ b‘i ) Е2г'~аЯ)Г' +°(1 )•
Далее, значение функции гт( (?) + i{x, в найденной точке
перевала (их две), как нетрудно проверить, совпадает со зна-
чением функции, стоящей под знаком экспоненты в (3.57),
так что именно эта точка перевала и дает главный вклад
в асимптотику G(l, х) в области (3.56). Эта точка перевала при
больших х лежит вблизи дискриминантного множества тй (?) —
— т2 (?) = 0 полинома Р.
7. Асимптотика фундаментального решения при комплекс-
ных х. Рассмотрим уравнение
P'i (?) = w,	(3.63)
и пусть {? (w)} — множество его решений.
Теорема 3.8. Пусть Р (?) — однородный полином степени
пг'^2 такой, что det Р’{& (?)	0. Тогда существует вещественное
алгебраическое множество М cz Сш коразмерности ^1, обладаю-
щее следующими свойствами:
1°. Если w^M, то {?(ш)} состоит из конечного 1) числа
невырожденных точек перевала.
2°. Если ?\ ?2е{?(и/)}, ?J =F= t2, w&M, то
Re P (?')=# Re P(?2).	(3.64)
Доказательство. В силу теоремы 2.2 существует алге-
браическое многообразие /Ис cz С£> коразмерности 1>2 такое,
что если w е Л4С, то множество {?(w)J обладает свойством 1°.
Ниже мы считаем, что w е Мс.
318
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Система уравнений и неравенств
=	P'M = w,
ReP(£!) = ReP(£2),	£'^£2	1 J
определяет вещественное полуалгебраическое множество в X
ХС^ХС®. Его проекция Зй на С" является, по теореме
Зайденберга—Тарского, вещественным полуалгебраическим мно-
жеством. Допустим, что 6ппЗЙ = 2/г. Тогда существует такая
точка w°^Cw, что система (3.65) совместна при всех w из не-
которой окрестности U этой точки. Так как dim?Tc^2n— 2,
то можно считать, что U не пересекается с Мс. Выберем U
настолько малой, чтобы множество {£ (да)}, weU, состояло из
конечного числа голоморфных в U функций g1 (да), . . ., £* (да).
Из конечности k следует, что соотношения (3.65) должны вы-
полняться для некоторой пары £“(да), £₽(да); пусть а=1, 0 = 2.
Тогда
Re [Р <£“(да)) - Р (Д0 И)]	0, wt=U,
так что
рД'Дда))-	w<=U,
где а — вещественная постоянная. В силу однородности Р имеем
а = 0. Дифференцируя это тождество по w, получаем
(е « (?е и);	® е д (з.бб)
так как Р( Д' (да)) — w. В силу однородности Р
<£“(да), w) =	(да), да), wall.
Дифференцируя это тождество, получаем
(s“ (w))'w w + £" (да) =3 (сй (да))^ W + (да).
Учитывая (3.66), находим, что £“ (да) s £0 (да) при да s U, что
противоречит предположению £а^£е. Тем самым доказано, что
codim Зй^ 1.
Из этой теоремы и теоремы 2.8 вытекает
Теорема 3.9. Пусть полином P^£P(2tn, п) и удовлетворяет
условию (2.15). Тогда при | да |-+ оо, w <= М,
J ехр [- Р Д) + Д, да)] dt, = (2л)~'1/2 [del Р^ Д (да))]"1/2 X
r"
X ехр [(2m - 1)РД(да))][1 + о(|даГ2",/(2т-]))]> (3.67)
где £ (да) —одна из точек перевала функции S(£, да).
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ В С ЗАДАЧИ КОШИ
319
Действительно, асимптотика этого интеграла равна сумме
вкладов от точек перевала. Поскольку при w ё= М. значения ReS
в этих точках различны, то в сумме вкладов остается только
слагаемое с максимальным значением ReS.
Интеграл F(w), стоящий в левой части (3.67), является целой
функцией w порядка роста 2т/(2т — 1). Индикатором LF(w)
целой функции F называется функция
LF (да) = lim [г-^ц2т-\) |п । р
Следствие 3.5. При w^M
Lf (да) == {2т — 1) Re Р (£ (да)).
В частности, Ьг(да) при да М является кусочно-алгебраи-
ческой плюрисубгармонической функцией. Из (3.67) следует
также, что нули целой функции F (да) сосредоточены в кониче-
ской окрестности множества М.
Для произвольных Р возможен случай, когда асимптотика
G (1, х) вообще не определяется точками перевала, даже если они
имеются. Например, в примере 3.5 при xt < 0 есть точки пере-
вала, но G (1, хь х2)=^0 при X] < 0. Далее, точек перевала
может не быть (т. е., грубо говоря, точка перевала находится
на бесконечности).
Пример 3.8. Рассмотрим интеграл
F (А) = J ехр [- (^ +	<Й2.
R2
Подынтегральная функция при Л =р= 0 не имеет точек перевала
(см. пример 2.1).
Этот интеграл вычисляется, так что можно найти асимпто-
тику F (А) при |А|—>оо. Переходя к полярным координатам
(г, <р), получаем при любом комплексном К
оо	оо
Sr	Г	3/2
\ ехр (— г4 + AreI't₽) г dr rf<p = 2л \ г ехр (— г4) dr = —•
0 0	о
§ 4. Устойчивость в С задачи Коши
для разностных уравнений и уравнений
с частными производными.
1. Постановка задачи. Принцип локализации. Рассмотрим
задачу Коши для однородной двуслойной линейной разностной
схемы с постоянными комплексными коэффициентами
X = X «/«/+/>	<4л)
ti} = r„	(4.2)
320
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
где /, / — мультииндексы, j — (h,   , !т), II! II = max| Js |. Пусть
S
v = {vj}, j пробегает всю целочисленную m-мерную решетку.
Введем С-норму || v || = sup | vt |. Задача (4.1), (4.2) называется
устойчивой в равномерной метрике (или в С), если существует
такая постоянная а, не зависящая от п, что
II11с < «II11с	(4-3)
при всех п. Исследование устойчивости в С сводится к иссле-
дованию разностной функции Грина Г" (функция единичной
ошибки), которая, по определению, является решением уравне-
ния (4.1) с начальными данными Го=1,Г/ = О, /=И=0. Положим
Y(«) = Z I Г/1.	(4.4)
/
Здесь и далее сумма берется по всем целочисленным /«-векторам.
Лемма 4.1. Для устойчивости в С задачи (4.1), (4.2) не-
обходимо и достаточно, чтобы
sup у (п) < оо.	(4.5)
Доказательство. Решение задачи (4.1), (4.2) имеет вид
«/ = X	(4.6)
Так как || Ис V («) ||«°||с, то из (4.5) следует (4.3). Пусть (4.5)
не выполняется. Рассмотрим данные Коши vk такие, что vk_t =
= Г/ / |Г/ |, « = 0,1,2, ... Тогда j[ vk = 1. Если и" k — решение
задачи Коши с данными v!l, то, по построению, м"’” = у(п), и
оценка (4.3) не имеет места.
Разностная функция Грина вычисляется в явном виде с по-
мощью дискретного преобразования Фурье. Обозначим
P(z) = £ a![zl, Q(z) = a\zl,
н/Kfe	(4.7)
f(z) = P(z)IQ (z),
где z = (zp . . ., zm), zl — z\l ... z'™, и положим и1 (z) = У w"zz.
Тогда уравнение (4.1) примет вид
grt+i (2) _ i (2) йп(г),
так что йп(г) = [/ (г)]га й°(г). Отсюда находим, что
Г/ = (2ш)-т j [/(z)]"^-' dz,	(4.8)
§ 4 УСТОЙЧИВОСТЬ в с ЗАДАЧИ КОШИ
321
где Тт — единичный тор | Zj | = 1.|	zm I = 1,
1 = (1, 1, ..., 1), dz = d.Z\ ... dzm.
Кроме того,
=	ze=Tm.	(4.9)
I
Потребуем, чтобы Q(z)#=0 при z е Тт-, это условие необходимо
для разрешимости задачи (4.1), (4.2). Положим
M(f)= max |f(z)|.	(4.10)
г~Тт
Лемма 4.2. Если М (f) < 1, то при п 0
у (п)< Cri’m [44 (f)]ra,	(4.11)
где С — постоянная. Если М (f) > 1, то при
у(п)>[Л1(ПГ.	(4.12)
Отсюда следует, что задача Коши (4.1), (4.2) устойчива в С,
если М (f) < 1, и неустойчива в С, если M(f)> 1.
Доказательство. Из (4.9) следует, что | fn(z) | у (п),
и (4.12) доказано. Пусть все /s > 0. Интегрируя по частям
по dzs, получаем
=	J Г1 
откуда следует оценка | Г" | Cnj~l (М Проинтегрируем
по частям еще раз по г, и затем точно так же по переменным
z2, . . ., zm; это дает оценку
От	]
ПШ+1)) 
Из этой оценки и сходимости ряда >	.. следует оценка
*V 1 rv |	1 }
А=1
(4.11).	Случай /1 < — 1, /2 > 0, . . ., jm > 0 сводится к рассмо-
тренному нами с помощью замены z{ = С[-1, и аналогично иссле-
дуются остальные случаи. Тем самым (4.11) доказано.
Наиболее интересным является случай 44(f)—-1; именно он
и возникает при аппроксимации дифференциальных уравнений
разностными. Всюду в дальнейшем
Пусть Tm (f) — множество точек z е Тт, в которых | f (z) | = 1.
П М. В. Федорюк
322
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Лемма 4.3 (принцип локализации). Г. Существует Ь>0
такое, что при п^О
Е |Г/|<С!е
с2 > 0.
(4.13)
2°. Устойчивость или неустойчивость задачи (4.1), (4.2) в С
зависит только от поведения функции f в окрестности множе-
ства
Доказательство. Так как функция f(z) голоморфна
при z е Тт, то f (г) голоморфна при 1 — ег^| г 1 + е,
если е > 0 достаточно мало. Пусть все j > 0 и Те": I zs | = 1 — е,
По теореме Коши,
Г" = (2ni)-m fn(z)z'~l dz,
т?
| Г" | < <f(I - 8)Ш,
где q— max|f(z)|. Пусть N (t) — число всех целочисленных
векторов таких, что ||/||^/, тогда
А(/)~с0Г‘	(/-> + «>),	Си>0.	(4.14)
Следовательно,
S= Е	J (1-е)^А(/) =
/а>0.	Ъп
ОО
(1 -е)ь^(И-1п(1 — е) J (1 N(t)dt
bn
Учитывая асимптотику N (t), получаем
s^cnmqn(l — е)Ьп^С1е~СзП, с2 > 0,
если Ь^>1. Аналогично исследуется случай, когда / лежит
в других октантах.
Докажем 2°. В случае Тт(ф) = Тт лемма очевидна. Пусть
Tm(f)#=Tm. Устроим на Тт разбиение единицы 1 — ф (г) + ср (г)
класса С°°, где ф(г] = 0 вне некоторой окрестности множества
Тт (f), и положим Г'" = Г” + Г". Так как | f (z) |	1 — е на supp <р,
то тем же способом, что в лемме 4.2, можно показать, что
| Е Г/ | < с^-^,	с2 > 0.
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ в с ЗАДАЧИ КОШИ
323
Таким образом, при
Y («) = Е I ?! I + О (е"сп), с > 0.	(4.15)
2. Критерии устойчивости и неустойчивости в С задачи
(4.1), (4.2). Мы ограничимся исследованием случая, когда мно-
жество Тт (f) = {z е Тт: [f(z) 1=1} состоит из конечного числа
изолированных точек. Пусть z°e7’"1(f); положим
Г" (z()) = (2ш)-П1 fn (z)<p(z, z°)z/-' dz,
тт	(4.16)
у (n, z°) = Е I Г" (z°) |,
i
где функция ф е Со° (Тт), равна нулю вне некоторой окрест-
ности точки z°, равна 1 при г, близких к z°. Назовем изолиро-
ванную точку г° точкой устойчивости, если
sup у (п, г°) < оо,
и точкой неустойчивости — в противном случае.
Лемма 4.4. Если Тт (f) состоит из конечного числа точек
zl, ..., zs, то при п^О
у (п) с max у (n, zk),	(4.17)
k
где с > 0 и не зависит от п.
Доказательство. Пусть ФН2) — финитная функция,
обладающая теми же свойствами относительно точки zk, что и
функция ф(г, z°) (см. (4.16)) относительно точки г°. Разложим Ф*
в ряд Фурье (при z<=Tm): Ф6 = Е ^ikZl\ тогда
г;(/)-ЕфХ+/-
Следовательно,
v(n, гй)<Е(Е|Ф/А||г"+^<£|ф,А|(£| г”, |) = у(«)Е|ф«|,
и (4.17) доказано, так как не все ф;й. равны нулю.
Следствие 4.1. Если Tm (?) состоит из конечного числа
точек, то задача (4.1), (4.2) устойчива в С тогда и только тогда,
когда все эти точки являются точками устойчивости.
Итак, задача свелась к оценке сумм y(n, zk). Положим
z — el<f при z е Тт, т. е. г/ = егф/, 1 С/Си.
^(ф) = 1п/(г).	(4.18)
Н*
324
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Это представление мы используем только вблизи точки z°, и
выбор голоморфной ветви In f (г) несуществен. Действительно,
ветви логарифма отличаются на 2kni, ехр(п2&ш) = 1. Если
z° е (/), то Re F (<р°) = 0, ReVE(<p°) = 0, так как z° — стацио-
нарная точка функции | f | на Тт. Положим
_____________	/ — inVF (ф°) = х,	(4.19)
где г = д/—1. Тогда
Г" (z°) = (2ш)~т ехр \_nF (<р°) + i (j, <р°>] I (х, п),
I (х, п) = ехр [nS (<р, х/п)} h (ф) z/ф.	(4.20)
U'
Здесь UQ— малая вещественная окрестность точки ф = 0, h (=
5(ф, //) = Е(ф + ф°)-Е(ф0)-(ЕИф0), Ч>) + Иу, Ф>- (4.21)
Уточним принцип локализации.
Лемма 4.5. Пусть z° — изолированная точка
Tm (f). Тогда при любом д>0
множества
у (п, z°) = уб (и, г°) + О (е~сп),	(4.22)
где с = с (6) > 0,
у6(м, г°)= X |Г"(г°)|.	(4.23)
||/||<«п
Доказательство. Разобьем сумму у(п, г°) на три: по
областям Dp ||х||^бп, D2: bn 1| х || bn, Dp | х | Ьп. Если
b > 0 достаточно велико, то последняя сумма имеет порядок
О(е~сп), что доказывается так же, как и лемма 2.3, и п. 1°.
При ф е U° функция ReS (см. (4.21)) равна нулю в точке ф = 0
и отрицательна во всех остальных точках. Точка ф = 0 не
является точкой перевала функции S, так как S^(0, y) = iy,
6 ^|| у || ^6. Следовательно, по лемме 1.2, можно заменить
окрестность U°czU° точки ф = 0 контуром у cz С”, на котором
Де5(ф, у)^ — е < 0; это можно сделать равномерно по у,
б ^|| z/||^6. Тогда Ре5(ф, у) — е0 < 0 на полученном кон-
туре, так что
I Г/ (z°) | < (2л)~т 11 (х, п) К Се~е‘п.
Из этой оценки и (4.14) получаем
Z I Г" (z°) I < ce-^N» (bn) < с'пте~е°п,
Ьп<II /1|<Ьп
и лемма доказана.
Получим основные критерии устойчивости и неустойчивости
изолированной точки множества Tm(f). Нам понадобится
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ В С ЗАДАЧИ КОШИ
325
Лемма 4.6. Пусть функция Н(х)^Ск', вещественна при
1И1<6 и
Н'х(0) = 0;	Н(х)<0,	||х|| = 6.	(4.24)
Тогда при п^--\-°° и при достаточно малом 6>0
£ expR(O=
= nm [ 1 + О (6)] ехр[и// (~)] dx + О (е~сп), с > 0. (4.25)
Доказательство. Воспользуемся тождеством
b	b	ь
£ Л (&) = h(y)dy+ ^(y)h'(y)dy, ф = у — [у],
а	а—1	а—1
где у — одно переменное, а, b — целые числа, [z/] — целая
часть у. Сумма в (4.25) берется по всем целочисленным точ-
кам х таким, что — bn^Xj^bn, 1	Фиксируем х'=
= (х., . . ., хт), тогда
6п
£ ехрИ(£)]= $ ехрИ(т-’ +
I Х[ I bn	—bn
bn
+ ^(x^H^jdx^ O(e~™),	c>0.	(4.26)
— bn
Последнее слагаемое появляется из-за изменения пределов ин-
тегрирования (мы берем 6п вместо [дм] и т. д.), а оценка для
него следует из (4.24) и с не зависит от п. Так как Н'х(0) = 0,
то Н'х (х) = 0(6) при малых 6, и модуль второго интеграла
в (4.26) не превосходит величины с 6/, где / — первый интеграл,
с не зависит от х'. Следовательно,
Ьп
£ ехр [/г// (£)] = (! + О (6)) J ехр[«/7 (£)] dx, + О (е~™)
|Х [-'6'1	-6.7
равномерно по х'. Суммируя далее по х2, ..., хт, получаем,
что сумма из левой части (4.25) равна
[1 + 0(6)] ехр [л// (-^)]dx+ 0(е~сп),
||х||<бп
и (4.25) доказано.
326
ГЛ V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
Теорема 4.1. Пусть z° <=Tm (f) и
ReF^(<p°)<0.	(4.27)
Тогда z° — точка устойчивости, и при
О < С] < у (п, z°) С с2.	(4.28)
Доказательство. В силу леммы 4.5 достаточно иссле-
довать сумму y6(n, z°), где 6>0 можно выбрать сколь угодно
малым, но не зависящим от п. Положим В — F'^v (<р°), тогда при
малых | <р | функция S (см. (4.21)) имеет вид
5 = у (Вф, ф) + i {у, ф) + ....
где многоточием обозначены члены порядка 3 и выше. При z/ = 0
уравнение S^ = 0 имеет при малых |ф| единственное реше-
ние ф = 0, которое является невырожденной точкой перевала.
При малых || г/1| точка перевала, близкая к точке ф = 0,
имеет вид
$(z/) = -zB-|z/ + O(||z/||2),
и асимптотика интеграла 1(х, п) (см. (4.20)), по теореме 1.3,
равна вкладу от этой точки при ||у1Хб, если 6>0 доста-
точно мало. Следовательно, при п->оо, ||х/п|Х6,
Цх, n) = (^)m'2exp[nS(<p(J). y)J [1 + О (6)] (det В)~1/2 (4.29)
при подходящем выборе ветви корня (см. (1.10), (1.11)). Далее,
S-1*>[l+O(6)l.	(4.30)
Так как, по условию, матрица Re В положительно опреде-
лена, то матрица Re В-1 также положительно определена. Сле-
довательно, существуют постоянные alt а2> 0 такие, что
— 2Ц[ || х ||2 Re (х, В~>х)	— 2а21| х ||2
при всех вещественных х, и мы получаем оценку
Л щ~т/2 ехр ( —	< | / (х, п) К А2 ехр ( — °2 [|-)
при || х||/п^д. Поэтому
Ya (п, г°) < А2п-т» £ ехр ( — а' \х ||2 ),
||л||<лв
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ В С ЗАДАЧИ КОШИ
327
и справедлива аналогичная оценка снизу. Применяя лемму 4.6,
получаем
у (п, z°) < Впт'2	ехр (— na2 IIх II2) dx —
= в'(1 + о(1))	(rt->oo), В'#= О,
так как асимптотика последнего интеграла равна const п~т1~.
Аналогично доказывается оценка (4.28) снизу.
Теорема 4.2. Пусть z°^.Tm(f) и
det Авд (ф°) =/= 0, rank Re F'^ (ф°) == г < tn. (4.31)
Тогда z°— точка неустойчивости, и при п^О
О <	-С у (n, z°)	С2П{т~г}/2& (п),
lim е (и) — 0.	(4-32)
П-» ОО
Доказательство. Так как ф°— точка максимума функ-
ции Не/Дф), то ReB^O, В = F'w (ф°). Покажем, что тогда
ReB~‘^0, rank Re В~! = rank Re В. Имеем
Re В~' = 4 (В ~ + В~!) = В~' Re (ВВ~‘)>
так что ранги матриц Re В, Re В-1 равны. Так как Re В — ве-
щественная симметричная матрица, то существует веществен-
ная ортогональная матрица Т такая, что Re В = 7’~1Л7’, где Л —-
диагональная матрица. Положим у — ТВ~'х, х е R", тогда
<(ReB~')x, х) = (Лу, z/)= X Re^|i|)J‘<0,
S= 1
так как ReZs^0, и потому ReB-l^0.
В силу леммы 4.5 достаточно оценить сумму ye(n, z°) при
малом б > 0. Из (4.29) и леммы 4.6 получаем оценку
у6 (п, z°) cnmliI (п, 6) + О (е~с'п),	(4.33)
где обозначено
/ (п, б) = ехр [пН (у)] dy,
И«11<в	(4.34)
Я (у) = Re S (ф(у), у),
и такая же оценка имеет место для уб снизу. Далее, из (4.30)
следует, что Н (у) = (Ноу, у) + О (|| у ||3), где Яо — симметричная
матрица, Яо^О, rank/70 = r. В силу леммы 3.5.1 с помощью
328
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
гладкой замены у = q (/), det ф' (0)	0 переменных можно при-
вести Н при малых \\у || к виду
Г
ft (у) = — X t'i + И, (/), t' = (4+1, .. •, tn),
где функция Я1 имеет нуль порядка в точке t' — О. По
построению, И (у) < 0 при малых || у ||, у =/= 0, и это свойство
сохраняется при переходе к переменным t. Следовательно, функ-
ция Я) (Л) имеет нуль порядка ^4 в точке t' — Q, Я1(/,)<0
при малых / #= 0, так что (/)	— с 1t' |4. Переходя к пере-
менным /, получаем
I (п, d) = det ф; (/) ехр [пН (у)) dt,
и
где (7—малая окрестность точки t — 0. Применим метод Ла-
пласа по переменным tx, ..., tr, тогда
I (п, д) = п~г/2 ехр [пН (/')] [ф (4) + О (n-1)] dt', (4.35)
U'
где ф(0)у=0, U' — малая окрестность точки t' = 0. В силу
полученной выше оценки для FF имеем
I (п, 6) СП~гР- j ехр (— Пс' | t' I4) dt' с"п~гГ:-(т-гУ1'
U'
и оценка (4.32) снизу доказана. Интеграл, стоящий в правой
части равенства (4.35), есть о(1) при п—>-фоо, так что / (п, 6) =
— о(ггг'2), что доказывает оценку (4.32) сверху.
Замечание 4.1. В (4.32) имеются «ножницы» между
оценками сверху и снизу Это вызвано тем, что в данном слу-
чае поведение у6(п, z°) не определяется только квадратичными
членами тейлоровского разложения функции Г(ф) по степе-
ням ф — ф°.
Разложим F (ф) в ряд Тейлора при ф, близких к точке ф°:
F(?) = f (фО) + Л,(ф)+ ... +^(ф)+ ...,	(4.36)
где Fq (ф) — однородный полином степени q от переменных ф — ф°.
Следствие 4.1. Пусть условия теоремы 4.2 выполнены,
г = 0 и
КеЛ(ф)^0,	3<s<27- 1;
ReF2»<0,	ф=^ф0.	( °
Тогда z° —точка неустойчивее™ и
m /	— i)	m (	—1\
0 < ерг -	4 у (n, z°) сгп2 q .	(4.38)
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ В С ЗАДАЧИ КОШИ
329
Доказательство. Из условия (4.37) и доказательства
теоремы 4.2 следует, что
ув (п, г°) sC сптр j ехр[— пс'Ц х Ц24] dx,
||Х||<6
и аналогичная оценка имеет место для уб снизу. Последний
интеграл имеет порядок const п~т1‘2‘1 при ц->оо.
Рассмотрим один пример вырожденной стационарной точки <р°.
Теорема 4.3. Пусть z°еТт (f) и
Л/(ф) = 0,	2</<2р—1; Re Д,/; (ф) < °> ф¥=ф°- (4.39)
Тогда z°— точка устойчивости, и при п^О выполняется нера-
венство (4.28).
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
z°—изолированная точка множества Tm (f). Оценка (4.28) снизу
доказывается точно так же, как и оценка (4.12); докажем
оценку сверху. Мы не можем в данном случае вычислить
асимптотику интеграла Г/, так как точки перевала являются
вырожденными, и получим только оценку для | Г"1. По усло-
вию, Re F2p (ф)	— с | <р — ф° |2р, так что Re F (ф)	— с' | ф — ф° |2р,
с' > 0, при малых | ф — ф° |. Следовательно,
| Г/1ехр[— пс' |ф — ф° |2р] d<p сп~т,{2р}.
I ф—ф® I <6
Разобьем сумму ys(n, z°) на две: у^ + у|, где — сумма по х,
|| х || п’12е. В силу полученной выше оценки имеем
Оценим у£. Введем обозначения:
е==Г MLY7*2'’-1’, Л-М
У
и разобьем интеграл (4.20) на два: Ц +12, где Д —интеграл
по области |ф — ф° | «С е.
Сделаем замену ф —ф° = е/, тогда
Д = е"1 ехр [ц<8 (t, е, z/)] dt,
S = F2p (t) + i (у, t) + eF2p+1 (0 + • • •
Имеем Re S — c < 0 при || 11| = 1, так что 1I21 cem exp (— c'p),
c' > 0. Уравнение (F2o + iy — 0 не имеет вещественных ре-
шений при вещественных у =И= 0. Действительно, если Р — ре-
шение этого уравнения, то, в силу однородности F2p и фор-
мулы Эйлера, 2pF2p (Р) — — i' {у, Р), так что Re F2p (Р) = 0, что
противоречит условию (4.29). Применяя лемму 1.2, можнр
330
ГЛ. V. МЕТОД ПЕРЕВАЛА (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)
заменить область интегрирования контуром у в CJ таким, что
ReS«С — 60<0 на у равномерно по у, || у || = 1. Это дает для 1Х
ту же оценку, что и для /2. Из полученных оценок для I] и
леммы 4.6 получаем, что
&п
у|^с ет ехр (— с'р.) dx
,il/2 р
«С с j || х ехр (— c'||x||2p/Lp_I))d,r== const.
IMI>!
В теории разностных схем важную роль играет следующее
понятие, которое является обобщением понятия характеристики
дифференциального уравнения.
Множество т(/г) целочисленных /n-векторов называется зоной
размазывания единичной ошибки на n-м слое при п—>оо, если
_£ |Г”| = о(1) (и-*оо)-
/ег(л)
Если z°e7’"!(/)— изолированная точка этого множества, то
обозначим т(и, z°) множество целочисленных векторов таких, что
_Е |Г/(г°)| = о(1)	(п->оо).
J ЕТ (п, 2°)
Если множество Tm(f) состоит из изолированных точек z1, ..., zk,
k
то очевидно, что т (n) = U т(и, zz).
Z=l
Из доказательств теорем 4.1—4.3 следует, что
т (n, z°) <= {/: II j — NF (ф°) II < е (и) ф (п)},
где е (и)— любая такая функция, что е (+оо) = + оо, и
_ 2р_
ф(п) = д/« в условиях теоремы 4.1, <p(n) = V« в условиях
следствия 4.1 и теоремы 4.3.
Аналогичные результаты получены в [61] для систем раз-
ностных уравнений и для систем уравнений в частных произ-
водных с постоянными коэффициентами вида (3.1).
Литературные указания
Результаты § 2, пп. 2—4 и § 3, пп. 2, 3. 5 принадлежат С. Г. Гиндикину
и автору ( [28] [29] [30]), остальные — автору ( [80], [81], [85] ) и частично
публикуются впервые.
ГЛАВА VI
СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
§ 1. Стационарная точка вблизи границы
1. Эталонные интегралы. Рассмотрим интеграл
а
F (%, а) = ехр [—А,(х — а)2] f (х, а) dx.	(1.1)
о
Здесь 0 < а < оо, К > 0 — большой параметр, а лежит на от-
резке I — [— д0, 6о], д0 > о.
Функция S = — (х — а)" достигает максимума на участке
интегрирования в точке х = а, если а > 0, и в точке х = 0,
если а^О, так что асимптотика F имеет разную структуру
при разных а. При а->0 происходит слияние стационарной
точки и конца контура интегрирования. Асимптотика инте-
грала (1.1) при X —>4-00, равномерная по а при малых а, вы-
ражается через специальную функцию — интеграл Френеля:
Интеграл Френеля является целой функцией г. Главный член
асимптотики интеграла (1.1) выражается через функцию
оо
Ф(Х а) = ехр[—^(х —a)2] dx = y/^/-^-[1 — Ф(—а	(1-3)
О
Разложим функцию f(x, а) в ряд по таким функциям, которые
имеют нули в точках х = 0, х — а, причем кратности нулей
растут с ростом номера, так как именно эти точки могут вно-
сить основной вклад в интеграл (1.1) при фиксированном а.
Лемма 1.1. Пусть f (х, а)еС"(/Х /), где / = [0, а],
/==[—д, д]. Тогда при любом целом А^О справедливо разло-
жение
f (х, а) = S а* (а) [х(х — а)]* +
/г=0
4- (х — а) У, bk (а) [х(х — a)]fe + [х(х — а)]л+1	(х, а), (1.4)
ЬО
где остаточный член	(/ X функции (a), bk (a) s С (/).
332
ГЛ VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Доказательство. Применим индукцию. Положим
Д (х, а) = f (х, а) — а0 (а) — Ьо (а) (х — а),
a0(a) = f(a, а),	60(а) = а_| If (а, а) — f (0, а)],
функции а0(а), Ьо (а) е С00 (Г),
и ft(0, а) = Л(а,
f2(x, а) =	и покажем,
'2'	’ х (х — а)	’
по построению, функция е
а) —0. Рассмотрим функцию
что (/X-0- Имеем
1 Г /1 (х, а) ___ fi (х, а) •
а L х — а х
 dxfi (а, а) — dxft (0, а)
а
, f dt [/i (< + а, а) — fi (г а)]
' J	а
о
(х — 7) dt,
где обозначено dxf [и, а) = - а> и аналогично опреде-
лено df. Первое слагаемое в правой части принадлежит ^(7).
Далее, функция а-1 [<ф (ф (7 ф а), а) — fx (t, а)] sC(/X 7), так что
f2 (х, а) е С°° (7 X Д Следовательно,
f (х, а) = а0 (а) ф Ьо (а) (х — а) ф х (х — а) 7?! (х, а).
Тем самым лемма доказана при N = 0. Чтобы доказать ее при
N=l, достаточно представить в таком же виде функцию 7?!
и т. д.
Следствие 1.1. Пусть функция f (х, а) голоморфна по
(х, а) в окрестности точки (0, 0). Тогда коэффициенты ak(d),
bk (а) разложения (1.4) и остаточный член голоморфны при
малых | х I, | а |.
Вычислим асимптотику интеграла (1.1).
Лемма 1.2. Пусть f(x, а)е= С°° (/X Д где 7 = [О, а],
7=[—б0, 6], б > 0. Тогда для интеграла (1.1) при А —> ф оо
равномерно по ае/0 = [—б0, б], где б0>0 достаточно мало,
справедливо асимптотическое разложение
оо	оо
F(A, а) ~	(а) А“*Ф (А, а) ф У Bk (а) А-*”1 ехр(— Аа2),	(1.5)
k=0	fe=0
где Ак, ВкЕСю(1}- Это разложение можно дифференцировать
по А и по а любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
F (A, a) = f (а, а) Ф (А, а) ф-
ф (2аА)-1 [f (а, а) - f (0, а)] ехр (- Аа2) ф- О (А~’Ф (А, а)). (1.5')
§ 1 СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
333
Для интеграла Ф(А, а) при вещественных а, | а | д/А, —> -ф- оо,
имеют место асимптотические формулы
Поэтому в формуле (1.5') при фиксированном a, А-»+°о
главным членом является первое слагаемое, если а > 0, и оба
слагаемых, если а < 0. При а->0 второе слагаемое мало по
сравнению с первым.
Доказательство. Фиксируем W и представим функцию f
в виде (1.4). Тогда
N
F СЧ а) = X ak (а) Flik (А, а; а) +
fe=o
+ Z bk (а) F2, k (А, а; а) + F^+I (А, а),	(1.7)
ЬО
где обозначено
а
Fj' k (А, а; а) = фу (х) [х (х — a)]ft ехр [— А (х — a)2] dx,
о
ф1 (х) = 1, ф2 (х) = х — а,	(1.8)
а
FN+l (А, а)= [х (х — а)]6 7?у+1 (х, а) ехр [— А (х — a)2] dx.
о
Представим Ftik в виде разности интегралов по полуосям
[0, оо) и [а, оо). Тогда при ае/
Fik (А, а; а) = Flk (А, а) + О (е-*),	(1.9)
где Fjk(h, а) — Fjk (А, а; оо), с > 0 не зависит от а, поскольку
(х — а)2^(а —б)2 при х^а, ае/. Интегрируя по частям, по-
лучаем рекуррентные соотношения
Flk (A, a) = gi [(2k - 1) Л,ft_, (А, а) +
+ a(fe-l)F2,ft_2(A, a) + a2(fe- l)F,.ft_2(A, a)],
F2k(b, a) = |[2F2, fe_,(A, а) + аД1р6-,(А, a)]
при k 1. Далее,
Г,.о = Ф(1.а).	ОН)
334
ГЛ. V[. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Из рекуррентных соотношений (1.10) и из (1.11) следует, что
при k1
=	(a, А~‘)^ю +	(а, А"1)^],	(1.12)
где Д/й — полиномы от а, А и, в частности, что
при А 1, вательно,	|F,-ДА, а) 1 < Cikrk+l (| FI0 | + | F20|)	(1.13) ие/, где постоянная Ctk не зависит от А, а. Следо- | Fn | < CwA-jV(| Fl0 l + l Fw |).	(1.14)
Подставляя (1.9), (1.12) в (1.7) и учитывая, что N можно взять
любым, получаем (1.5). Дифференцирование интеграла (1.1)
по А и по а приводит к интегралу того же вида.
Вычислим главный член асимптотики. Имеем из (1.6)—(1.8)
F (А, а) = f (а, а) Fw (А, а) + а-1 [f (а, а) — f (0, а)] F20 (А, а) +
а
+ х (х — а) 7?! (х, а) ехр [— А (х — а)2] dx.
о
Из (1.9) следует, что первые два слагаемых в правой части
совпадают с первыми двумя слагаемыми в правой части (1.5'),
с точностью до О (е-Хс), с > 0, а последний интеграл равен
а
(2АД ехр [— А (х — а)2] {xR^ (х, а)) dx + О (е-Хс),
о
так как внеинтегральная подстановка в точке х = а экспонен-
циально мала. Полученный интеграл есть О(Ф(А, а)).
Следствие 1.2. Пусть условия леммы 1.2 выполнены и
Тогда главный член асимптотики имеет вид
F&, а) = /(0, а)Ф(А, а) + о(Ф(А, а)).	(1.14х)
Доказательство. При а|>0 имеем Ф(А, а)^Ф(А, 0) =
/дд
""V А •
При а<0 формулу (1.5х) уже нельзя упростить (из за-
дачи 1.1 следует, что при «<0 фиксированном, А—>-(-оо оба
слагаемых в (1.5х) равноценны).
Рассмотрим интеграл с осциллирующей фазовой функцией:
F (А, а) = ехр [ZA (х — а) ] / (х, а) dx.	(1-15)
о
§ 1. СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
335
Лемма 1.3. Пусть I, J — те же интервалы, что и в лемме 1.2,
функция f (х, а) е С°° (7 X 7) и обращается в нуль в окрестности
точки х = а. Тогда при А—>-|-оо, равномерно по	спра-
ведливо асимптотическое разложение
ы
F а) = X (- i^~k Ль (а) Ф (- /А, а) +
+ X (-Ar^'BH^expO'M + oCz^-1). (1.16)
Здесь Ak, Bk — те же, что и в (1.5), и можно взять любым.
Это разложение можно дифференцировать по К и по а любое
число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
F (А, а) = f (а, а) Ф (— /А, а) -ф-
+ (— 2iaA)-1 [( (а, а) — f (0, а)] ехр (z'Aa2) + о(а-1).	(1.16')
Для интеграла Ф(—/А, а) имеют место асимптотические
формулы (1.6) при |а|дД~> + °°, в которых V—/А =
= е-,я/4(д/^)-
Доказательство. Метод доказательства является ком-
бинацией методов, использованных в лемме Эрдейи 3.1.5 и
в лемме 1.2. Пусть К (А, а) — интеграл вида (1.15), подынтег-
ральная функция которого содержит дополнительный множи-
тель q>(x). Здесь феС”(7), q~0 при |х|^Х, где б < а' < а,
и ф= 1 при х е [0, б]. Тогда в силу леммы 3.1.1 F* = F + О (А~°°)
равномерно по ае/, так что вместо F можно исследовать F*.
Подставляя (1.4) в (1.16), получаем для F разложение вида (1.7),
в котором следует заменить Flk на
а
F*jk (А, а; а) = ф (х) [х (х — а)]* <р (х) ехр [/А (х — a)2] dx (1.17)
о
(ф(х) см. в (1.9)). Используя то обстоятельство, что значени!
подынтегральной функции на отрезке [0, а"], где б < а" < а',
совпадают со значениями целой функции ф (х) [(х — а) х]А X
X ехр [/А (х — а)2] (как функции от х), заменим интеграл по
[О, а] в (1.17) на интеграл по контуру в комплексной пло-
скости х: 7 =/1 U/а U 73 [J 74. Здесь Zj = [0, а], /2 = [а, а + е^‘л/4]>
l3 — [ein^, а"}, 14 = [а",а\. Функция Re [г (х — а)2] неположительна
в квадранте х = а + /, Re/^0, Im/^О, поэтому экспонента
под знаком интеграла в (1.17) по модулю ^1 при хе/3. Точно
так же, как и при доказательстве леммы Эрдейи, доказывается,
что интеграл по Ц U /4 есть О(А-°°). Так как iA(x —а) —
336
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
= — А. (х — а)2 на отрезке /2, то интеграл по /2 равен интегралу
по лучу arg (х — а) = л/4, О «С | х — а | < оо, с точностью до сла-
гаемого О(е~Кс), с > 0. Следовательно,
F*ik (А, а; а) = Fik (А, а) + О (а~°°),
~ 0 in' 1
с , ь	О-18)
F/*(A, а) = \ ф (г) [z(z — а) ] ехр [г'А (г — а)2] dz.
Используя рекуррентные соотношения (1.10), получаем для Fjk
формулы, аналогичные (1.12).
Для доказательства (1.16) остается оценить остаточный
член Fn. Интегрируя его по частям тем же способом, что и
при выводе соотношений (1.10), и учитывая, что функция q (х)
при х = а обращается в нуль вместе со всеми производными,
а модуль экспоненты 1, получаем оценку Fn = O(t~ ’+ ), рав-
номерную uoaeJ. Так как N можно взять любым, то мы вы-
берем его достаточно большим, а затем отправим в остаточ-
ный член все слагаемые порядка О(а-л,+ 1). Теорема доказана.
Докажем (1.16'). При X = 0 остаточный член имеет вид
а
Fi~ х (х — a) R! ехр [z’A (х — а)2] <р (х) dx =
а
= — (2zA)~' ехр [z’A (х — a)2] h (х, a) dx,
и
где h е С°° (Z X J)• Последний интеграл есть о(1) при А —>4~оо.
Распространим полученные результаты на случай комп-
лексных А, а. При этом необходимо, чтобы точка х = а не да-
вала вклада в асимптотику, что приводит к условию
Re[Z (х — a)2] lx=.a>0.
Лемма 1.4. Пусть функция f (х, а) удовлетворяет условиям
леммы 1.2 и голоморфна при малых |х|, |а|. Тогда разложе-
ние (1.5) справедливо при	|А|-»оо, |а|^б0, равномерно
по а, где Se —сектор | argA |г=^ л/2— е < л/2, б0 > 0 достаточно
мало.
Доказательство. При условиях леммы на А, а имеем
Re [А (х — а)2] с | А | х2
при х^а, с > 0, где с не зависит от А, а, так что (1.9) оста-
ется в силе. Интеграл Ф(А, а) Кгожет убывать как ехр(—Аа2),
т. е. медленнее, чем ехр(—сп2А) при малых | а |. Соотношения
(1.10)—(1.12) и оценка (1.13), (1.14), таким образом, остаются
в силе.
§ I. СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
337
2. Общий случай. Рассмотрим интеграл
а
F(k, а)= exp[Z,S(x, а)] f(x, a) dx.	(1-19)
о
Введем обозначения: 7 — [0, а],	— круг | а |<1 6 в комплексной
плоскости а.
Будем предполагать, что функции f, 3 е С°° (/X Л.'6) и голо-
морфны по (х, а) при |х|^а0< а, а ефункция 3 веще-
ственна при вещественных х, а.
Нас интересует случай, когда функция 3 имеет простую
точку перевала х0(а), которая при а->0 стремится к концу х = 0
контура интегрирования. Достаточными условиями являются
следующие:
S'(Q, 0) = 0,	S"(0, 0)#=0, S" (0, 0)^0.	(1.20)
Л х	ЛЛ '	ЛхЛ
Тогда при малых | а |
хо(а) = -а32а(О,О)(3^(О, О))'1 + О (а2).	(1.21)
Далее, максимум S(x, 0) на отрезке I должен достигаться
только в точке х = 0 (иначе основной вклад будет вносить
точка х — а), т. е.
S(x, 0) <3(0, 0),	0<x<a.	(1.22)
Сведем интеграл (1.19) к эталонному. Сделаем замену пере-
менной х = ф(/, а) такую, чтобы
S(x, a) —S(x0(a), a) = -f2,	(1.23)
и положим
:(a) = Vs(xo(a), a)-3(0, a) .	(1.24)
Функция t(a) голоморфна при малых | а |; нормируем ее усло-
вием
t(a)~aS"„(0, 0)(-2S"J0,0))-'p	(a^0),	(1.25)
где ветвь корня — арифметическая. Обозначим Se сектор
| arg К | <1 л/2 — е < л.
Теорема 1.1. Пусть функция 3 удовлетворяет условиям
(1.21), (1.22) и функции f, S голоморфны по (х, а) при малых
[ х |, | а |. Тогда при А,—>оо, z. е Se, | а | <1 б и при б>0 доста-
точно малом для интеграла (1.19) справедливо, равномерно по а,
асимптотическое разложение
F (л, а) ~ ехр [A.S (х0 (а), а)] Г £ Ak (а) Л,-ЙФ (X, — С (а)) +
Lfe=o
00	т
+ Z Bk (а) Г ехр (- Ч2 (а)) , (1.26)
А=0	J
12 М. В. Федорюк
338
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
где Ak, Вь голоморфны при малых | а |. Это разложение можно
дифференцировать по А и по а любое число раз.
Функция £(а) определяется из (1.24), (1.25), Ф — интеграл (1.3).
Доказательство. Сделаем замену переменных (1,23) и
затем t -> t + £ (а). Тогда
F (Z, а) = ехр [Z.S (х0 (а), а)] I (Л, а),
1= ехр[— Л,(Г 4-ё(а)) ] Г (Л a)rf/,
о
где обозначено
а (а) = д/S (х0 (а), а) — S (а, а) — 5 (а),
f‘ = f (Ф(/ + £ (а)), а) (t + t, (а), а).
Так как S(a, 0) < 0, то a (a) = b + О (а), b = о/— S(Q, а)
при малых |а| и интеграл с точностью до слагаемого вида
О(ехр(—W)), d > 0, равен интегралу по отрезку [0,6]. При-
меняя лемму 1.4, получаем (1.26).
Выпишем главный член асимптотики
F (Л, a) = exp [XS (х0 (а), а)] [Л (а) Ф (%, - £ (а) + В (а)	+
L	(a) J
+ О Ст11 Ф(%, - 5(a)) |), (1.27)
где обозначено
Л (а) = - / (х0 (а), а) д/- s,r^^ .
В (а) = - А (а) - -2^>} о(°’а) -.	(1.28)
U, f
Вычислим асимптотику интеграла с быстроосциллирующей
фазой
а
F (Л, а) = ехр [г AS (х, а) ] f (х, a) dx.	(1.29)
о
Будем предполагать, что функции f, S е С°° при (х, а) е
е/ХД, функция S(x, а) вещественнозначна, функция f и все
ее производные по х обращаются в нуль в точке х = а. Далее,
функция S удовлетворяет условиям (1.20), (1.22) и
Si (х, 0) =/= 0,	0 < х < а.
Теорема 1.2. Пусть выполнены сформулированные выше
условия. Тогда при Л-* + °о, — б0^а^б0 и при б0>0 доста-
§ t. СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
339
точно малом для интеграла (1.29) справедливо асимптотическое
разложение, равномерное по а:
F (л, а) ~ ехр [гЛЗ (х0 (а), а)] Г У*, Ak (а) (—	Ф (— IX, — Z, (а)) +
1л=о
+ S Bfe(a)(—A)-ftexp(—ZZg (a))l, (1.30)
k=o	J
где Ak, Bk e Cx при малых a.
Это разложение можно дифференцировать по X, а любое
число раз.
Функция g(a) по-прежнему определяется по формуле (1.24).
Док а з ате л ьство следует из леммы 1.3 и доказатель-
ства теоремы 1.1. Заметим только, что функции х0(а), £(а) ве-
щественны при вещественных а и что при замене переменных
(1.23) функция t — t(x, а) вещественна.
Главный член асимптотики имеет вид (1.27), где следует
заменить X на —IX, а остаточный член есть о(Х~1) (см. (1.16')).
Полученные результаты переносятся на многомерные интег-
ралы. Пусть х <= R", Q — ограниченная область в R" с грани-
цей dQ класса С°° и функция S(x, а) имеет невырожденную ста-
ционарную точку х°(а)ей, которая при а->0 выходит на гра-
ницу области. Рассмотрим случай осцилляции:
F(X, a) = ехр [rXS (х, a)] f (х, a) dx.	(1-31)
о
Интегралы такого рода встречаются в задачах теории дифрак-
ции при исследовании дифракции от тел с краем. Перечислим
условия на функции f, S.
1°. Функции f, SgC” при (х, a) е U X Д, где U — окрест-
ность в R'1 точки х°е<9й, функция S вещественнозначна, функ-
ция f (х, а) при х s dU обращается в нуль вместе со всеми про-
изводными по х.
2°. Функция S (х, 0) имеет в области U единственную, и при-
том невырожденную, стационарную точку х° и
S"a(x9, 0)=А0, detS£(x°, 0) =/= 0.	(1-32)
Здесь g — (gi, ..., gn-i) — координаты в касательнойпло-
скости ТдО.х« в точке х°. Тогда х° является невырожденной гра-
ничной стационарной точкой функции S(x, 0) (см. гл. Ш, § 4,
п. 2). Далее
хи(а) = х° - a (3"х (х°, О))-1 S”a (х°, 0) + О (а2)	(1-33
(а—>0).
12*
340
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Из этой формулы следует, что х°(а)—>х° по некоторому
направлению. Потребуем, чтобы это направление было транс-
версально к dQ в точке х° (с точностью до членов второго по-
рядка), т. е.
{(S"x(x°, 0)Г' S"a(x°, 0), п*) =/= 0,	(1.34)
где пх‘ — единичный вектор внутренней нормали к dQ в точке х°.
Теорема 1.3. Пусть функции f, S удовлетворяют сформу-
лированным выше условиям. Тогда при А,-> + <», —
и при $о > 0 достаточно малом для интеграла (1.31) имеет место
асимптотическое разложение, равномерное по а:
F (A, a) ~7X|n~1,/2exp[AS(.T (a), а)] X
[оо
2 Ak (а) (- Ф (- И, I (а)) +
k—0
+ 2в6(а)(-гЛГ6ехр(гЧ2(а)) (1.35)
fe=0
Здесь Ak (a),	(а) е С°° при малых а. Это разложение можно
дифференцировать по /., а любое число раз.
Формула для 2(a) и главный член асимптотики будут при-
ведены ниже.
Доказательство. Выберем в окрестности точки х° ло-
кальные координаты и = (щ, ..., «„), х = ф(«) так, чтобы dQ
имела вид ип — 0, ип>0 в Q и чтобы точке х° отвечала точка
u — Q. Тогда
F (А, а) = ф (и, а) ехр [ihS(u, a)] du,
v
где обозначено
S («, a) = (S°r|?) («, а), ф(м, a) — (f°ty)(u, a) det 1|/ц (u),
где V — полуокрестность точки и = 0. Далее поступаем так же,
как и при доказательстве теоремы 3.4.2. В качестве V выбе-
рем куб —1</<и—1, 0^.ип^.а, где а>0 до-
статочно мало. Имеем
S (н, a) = S (х° (а), а) + у Ьпп (а) (ип — и” (а))2 +
+ (ип ~ ио (“)) (Ь (“)> и' — и'° (“)) +
+ у (а) (и' — и0' (а)), и' — и°' (а)) + . ..,
где и'= (щ, ..., un-i), и0(а) — стационарная точка функции S,
отвечающая точке х°(а). Применяя метод стационарной фазы
§ 2. СЛИЯНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ПЕРЕВАЛА
341
по переменным и', получаем асимптотическое разложение
F(%, а) ~ V<n~')/2exp[Vs(x0(a), а)] X
а	оо
X j ехр [ikg(un, а)] У а, (ип, а) L4 dun.
о	/-о
Здесь коэффициенты е С°° при малых а,	обра-
щаются в нуль вместе со всеми производными при ип = а, функ-
ция g имеет вид
g(«n, a) = yGnn(a) — (b(a), B~l (a) b (а)) X
X («„ - (а))2 + О (| ип - (а) |3) .
Применяя к последнему интегралу теорему 1.2, получаем (1.35).
Выпишем главный член асимптотики в случае, когда гра-
ница дО. выпрямлена в окрестности точки х°. Пусть х° = О для
простоты, дО. = {х: хп == 0}, хп > 0 при хей вблизи точки 0
Тогда
F (А,, а) = У ”/2 ехр (z/.S + -j- sgn Sx X ) X
X I S'^ Г112 л/2 |x=x0 (a) [- f (x°(a), а) Ф (- tk, (a)) + О (X ~
(1.36)
Здесь предполагается, что &x xn (0, 0) < 0,
£ (a) = д/S (x° (a), a) - S (X (0, a), 0, a),	(1.37)
x' (x„, a) — решение уравнения
S'X'(x, a) = 0.	(1.38)
§ 2. Слияние двух точек перевала
1. Постановка задачи. Рассмотрим интеграл вида (1.1), где
функция S (х, а) имеет при а 0 две невырожденные точки пе-
ревала, которые сливаются при а = 0. Простейшим примером
служит функция S0 — az— z3/3: при а =й= 0 точки перевала
Zii2(a) = ± Va невырождены, при а = 0 они сливаются.
Покажем, что с помошью подходящей замены переменных
можно привести S к виду So. При этом S'z (0, 0) = 0, Szz (0, 0) = 0,
так как функция S (z, 0) имеет вырожденную точку перевала
z — 0, и Szzz (0, 0) #= 0, поскольку в противном случае при ма-
лых | а | функция S (z, а) будет иметь 3 точек перевала, близ-
ких к точке z = 0.
342
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Лемма 2.1. Пусть функция S(z,a) голоморфна по совокуп-
ности переменных при малых | z |, | а | и
S'z (0, 0) =	(0, 0) = 0, S"a (0, 0) =/= 0, S'zzz (0, 0) #= 0. (2.1)
Тогда при малых | a |, a #= 0, функция S(z,a) имеет ровно две
невырожденные точки перевала z1>2(a) такие, что г112(0)—0.
Функции Zi,2(a) являются голоморфными функциями от д/« пРи
малых | а |, и
2S''a (0, 0) a
S"'z °)
ОО
1 + X
/=1,2. (2.2)
Значения з11г отличаются выбором корня.
Доказательство. В окрестности точки (0,0) имеем
ОО
S(z, a) = £-^zft.
fe=0
Сделаем в уравнении S'z(z, a) = 0 замену z = Va£. тогда оно
примет вид
+	+	>о,
где коэффициенты являются голоморфными функциями от \/а ,
так как (0) = g2 (0) = 0 по условию. При а = 0 это \равне-
V2g'. (0)
----7— , причем 0)=?/§з(0)#=0.
8з (О)
Утверждение леммы следует из теоремы о неявной функции.
Теперь с помощью голоморфной замены переменной z = z(£,a)
приведем функцию S к кубичному трехчлену.
S(z,a) = X(a)-B(a)C + g3/3.	(2.3)
Вычислим Л (а) и В (а). Формально дифференцируя обе части
этого равенства по z, получаем
a)(£'-B(a))-’.
Чтобы функция £(z, а) была голоморфна по z, необходимо,
чтобы S'z(z, a) = 0 при g = ±V^(a)- Это дает соотношения
S (zlt2 (a), a) = Л (a) =F (2/3 В (a))3/2,	(2.4)
откуда находим
Л (a) = у [S (zi (a), a) + S (z2 (a), a)],
[q	42/3	(2.5)
j (S (z2 (a), a) — S (z, (a), a))] .
§ 2. СЛИЯНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ПЕРЕВАЛА
343
Лемма 2.2. Пусть функция S (z, aj удовлетворяет усло-
виям леммы 2.1. Тогда функции А (а), В (а) голоморфны в точке
а = 0, причем
В (а) = - < (0) (2/g3 (0))1/3 [1 + О (а)].	(2.6)
Доказательство. В силу леммы 2.1 имеем
zli2(a) = a(a) ± д/Д(а) ,
где а (а), О (а) голоморфны при а = 0 и а (0) = 0, £>(0)=^0,
О' (0)	0. При аналитическом продолжении по окружности
с центром в точке а = 0 ветви Zj (a), z2 (а) переходят друг
в друга, т. е. zx (a)—>z2(a), z2 (a)-> Zj (а). Следовательно, /1(«)—
однозначная, а стало быть, и голоморфная функция а при
малых | а |. Далее,
S (Z] (a), а) — S (z2 (а), а) =
оо	9 й +1
= 2 V-О (а) У  ~ j-.-— Уд- g (a (a), a) (D (а))2* = 2 д/D (a) g (а),
4—( (2/г 4- 1)! dzi +
где g(a) — голоморфная функция при малых ] а |. Учитывая (2.2),
получаем
g (a) = g'z (a (a), a) + 4 g'zzz (a (a), a) D (a) + О (a2) =
= g\ (a) + 4 Ss (a) О (a) + О (a2) = -^g' (0) a + О (a ).
Следовательно,
S (z2 (a), a) — S (Z| (a), a) = (-i В (a)}3 =
= 4/3 (- g, (0) a)3'2 (2/g3 (0)),/2 (1 + h (a)),
где h голоморфна при малых ] a] и /г (0) — 0. Поэтому много-
значная функция В (а) распадается на три ветви, голоморфные
в точке a = 0, для которых выполнено (2.5).
Лемма 2.3. Пусть функция S (z, а) удовлетворяет условиям
леммы 2.1. Тогда существуют числа г', г'2> 0 и функция £ =
= £(z, а), голоморфная при | z | < г', | а | < г', такие, что при
таких z, а функция S (z, а) имеет вид (2.3).
Обратная функция z = z(£, а) голоморфна по (?, а) в неко-
торой окрестности точки (0, 0).
Здесь Л (а), В (а) определяются из (2.5), и при z — £i,2(a)
имеем £= ± д/В (а) соответственно.
Доказательство. Рассмотрим соотношение (2.3) как
уравнение относительно g: F (£, z, a) = 0. Пусть точка (£0, z0, a0)
344
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
удовлетворяет уравнению F — Q и F[=^0 в этой точке. Тогда,
по теореме о неявной функции, существует решение g = g(z, а)
уравнения (2.3), равное £0 в точке (z0, а0) и голоморфное по (г, а)
в окрестности этой точки. Поэтому решения £ = £(г, а) урав-
нения (2.3) могут не быть голоморфными только в таких точ-
ках (z, а), при которых совместна система В = 0, В( = 0. Исклю-
чая £, получаем дискриминантное уравнение D(z, а) = 0, где
функция D голоморфна при малых |z|, | а |. Это уравнение
распадается на два:
S (z, а) = S (Zj (а), а),	/=1, 2.	(2.7)
Пусть | г| = г1( Q < | а |	г2, где г, > О достаточно малы. Тогда
уравнение (2.7) (относительно z) имеет ровно 3 корня {г, (а),
Zj(a), гДа)}, лежащих в круге | z |	г0. Нормируем функцию S
условиями S"a(0, 0) = — 1, S'z'zz(0, 0) = 2 (для этого достаточно
сделать преобразование подобия г—>Ь|2, a->-bxa, bs — постоян-
ные). Тогда (см. (2.2))
Zj (a) = ± д/ap (± V“)»	Z/(a) = =F 2 y/aq (± д/a),
где p (p), q (P) — голоморфные функции p в точке P = 0, p(0) =
= q (0) = 1. Ниже мы рассматриваем уравнение (2.3) и свой-
ства его решений при фиксированном a, 0<|a|^rj. Пусть
/=1, тогда при z, близких к zx (а), уравнение (2.7) имеет вид
I а - д/В )2 а + 2 VB ) = 1 (z - z, (a))2 f"z (г„ а) + ....
а) = — 2 д/а (1 + О д/а ) =/= 0.
Следовательно, в окрестности точки z = zl(a) уравнение (2.7)
имеет три решения, равных д/в, — д/В, — 2д/В в этой
точке и голоморфных в ее окрестности. Поэтому точка z = zx (a)
не является точкой ветвления функции
В окрестности точки г — уравнение (2.7) имеет вид
у (^ — д/в)2(^ + 2 д/В) = (z — Zj (a)) f'(z, (a), а) + ....
f'z (zx (а), а) = 5а (1 + О (д/а )) =/= 0.
Следовательно, функция £ имеет в окрестности точки z = z,(a)
голоморфную ветвь, равную —2д/В в этой точке, и ветвь, рав-
ную д/В в этой точке, для которой точка (а) есть точка
ветвления второго порядка.
Аналогично, точка z = z2(a) не является точкой ветвления
функции в окрестности этой точки имеются 3 голоморфные
§ 2. СЛИЯНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ПЕРЕВАЛА
345
ветви, равные — у/В, — д/В , 2 д/В в этой точке. Точка г =
= г2(а) является точкой ветвления второго порядка; одна ветвь,
равная 2д/В, голоморфна в этой точке, и двузначная ветвь
равна — д/В в этой точке.
Итак, алгеброидная функция £ — £ (z, «) имеет при 0 < | а
в круге | z | гх только две точки ветвления г — г1.2(а), обе
второго порядка. Покажем, что трехлистная риманова поверх-
ность функции £ распадается на двулистную риманову поверх-
ность, листы которой «склеены» в точках z1>2(a), и отдельный
лист. Пусть g0(z, a) — элемент функции £, заданный в близкой
к 2] (а) точке z0, аналитическое продолжение которого вокруг
точки Zi (а) дает двузначную функцию. Аналитически продол-
жим £0 вдоль замкнутой кривой, обходящей точку z2(a). Если
при таком обходе, то риманова поверхность функции g
содержит двулистную поверхность, листы которой склеены
в точке Zi (а). Но тогда с помощью аналогичных рассуждений
получаем, что риманова поверхность /? функции £ содержит
двулистную поверхность, листы которой склеены в точке z2 (a),
так что R распадается на две двулистные поверхности. Это
невозможно, так как R трехлистна.
Из этих рассуждений вытекает, что функция g(z, а) имеет
ветвь g a)> голоморфную при | z | rx по z, при каждом фикси-
рованном а, 0 < | а | г2 (ей отвечает отдельный лист), причем
ветвь Z, равна л/В, — д/В , — 2 В, 2 д/В в точках zx (a), z2(a),
2i(a), z2(a) соответственно. Если же a = 0, то уравнение (2.3)
имеет вид £3 = z3g(z), g(0)=H=0.
Функция g голоморфна в точке z = 0, g (0) = 1, так что
t(z, 0) = z3 Vg(z) , где ^g(O) = 1; следовательно, ветвь t,{z, a)
голоморфна по z при каждом фиксированном а в области
\z\<rx, | а | < г2. Далее, функция £(z, а) голоморфна по сово-
купности переменных, если D(z, a) =/= 0, и ограничена при малых
| z |, | а |. По теореме об устранимых особенностях ([9]) функция
g(z, а) голоморфна по совокупности переменных в окрестности
точки (0, 0).
Итак, исследование асимптотики интеграла (1.1) с двумя
близкими седловыми точками приводится к исследованию эта-
лонного интеграла с кубической фазовой функцией (2.3).
2. Эталонные интегралы. Рассмотрим эталонный интеграл
Ф (X, a) = ехр [ikA (а)] f (z, а) ехр [£S0 (z, a)] dz,
7	(2.8)
S0 = /(-B(a)z + 4)-
346
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Его асимптотика выражается через функцию Эйри — Фока
оо
у(/) =—U=7- ( ехр [i (tx + г;/3)] dx	(2.9)
2 Vn J,
и ее производную. Функция v(t) является решением уравнения
Эйри
v"-tv = 0.	(2.10)
Укажем выбор контура у. Область ReS0(z, 0) < 0 состоит
из трех секторов: Зд 0 < ср < л/3, 32: 2л/3 < <р < л, S3: л + л/3 <
< <р < л + 2л/3, ср = argz. Выберем контур у следующим обра-
зом: он совпадает с отрезком [— а0, а0] вещественной оси вблизи
точки z = 0, его начало z} лежит в секторе S{, его конец z2
лежит в секторе 32. Тогда ReS0(z/, а) Э/— с < 0, /=1, 2, если
| а | Д/ 6, где 6>0 достаточно мало, с не зависит от а. Таким
образом, подынтегральная функция имеет порядок O(e~kc) при
/г -> д- оо на концах контура. Это приводит к тому, что концы
контура у не будут давать вклада в асимптотику.
Лемма 2.4. Пусть функция f(z, а) голоморфна в окрест-
ности точки (0, 0), функция В (а) голоморфна при малых |а|,
В (0) — 0. Тогда справедливо разложение
f(z, а) = £ pj (а) (z- — В (а))' Д- z £	(а) (г: — В (а))',	(2.11)
/=о	/=о
равномерно сходящееся в некоторой окрестности точки (0, 0).
Коэффициенты pj(a), q, (а) голоморфны в точке а = 0.
Доказательство. Представим f в виде суммы четной
и нечетной по z функций: f = f+ + f_, f+ = у (f (z, а) Д- f (—Z, a)).
Функция f является голоморфной функцией от (z, а) при
малых | z I, | a |: f (z, a) = g(z2, а). Наконец, если функция g(£, a)
голоморфна в окрестности точки £ = 0, а = 0, то ее, очевидно,
оо
можно разложить в ряд g(£, a)=£p/(a) (£ — В (a))z с голо-
/=о
морфными по а (при малых | а |) коэффициентами. Аналогично
доказывается, что функцию f_ можно представить в виде по-
следнего ряда из (2.11).
Заметим, что z2 — a = (Sq)z(z, a), z = -$ (So)zz (z, а). Далее,
Po («) = у Ef (VB > “) + f (—	> “)]>
i	_	(2.12)
%(a) =	(V^, a) —f (—д/В, a)].
§ 2. СЛИЯНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ПЕРЕВАЛА
347
Вычислим асимптотику эталонного интеграла (2.8).
Лемма 2.5. Пусть функция f(z, а) голоморфна в окрест-
ности U точки (0, 0), контур у лежит в проекции U на плоскость z
и выбран так, как указано выше. Тогда существует 60 > 0 такое
что при +	|а|^6о и при любом целом N^Q для инте-
грала (2.8) справедливо асимптотическое разложение
Ф (/г, а) = ехр [ZM (а)] [£~1/3и (— k~2l3B (а)) X
x(i>
+ ГХ(-Г23В|а))(1гУ(«)-О(г';“!))] • (2.13)
Это разложение равномерно по а, коэффициенты ajs(a) голо-
морфны при малых | а |.
Доказательство. Представим f в виде суммы (2.11),
где O^.j^.N, и остаточного члена. Обозначим
Ft. = ехр [£S0(z, a)] ф/ (z) (z2 — В)“ dz, (2.14)
V
где 'ф|(г)=1, ty2(z) — z. Так как dS0/dz = I (— В + z2), то, инте-
грируя по частям, получаем рекуррентные соотношения
~	1-2 + О (*~П
Fv = -	F2.!-2 + О (е-П (2’15)
Таким образом, функции Ftj выражаются через функции F[o.
Покажем, что
Fw = 2 д/л k~'l3v (— aft2'3) + О (e~kc\
F20 = - z2 Ул k~ l3v' (- a А2/3) + О (e-kc).	16)
Продеформируем контур у в ломаную, состоящую из отрезков
[zj, 0], [0, z2], где Zj — концы контура. Тогда интеграл по
отрезку [0, z2] равен разности интегралов по лучам z = pz2,
где Os^p<oo, 1^р<оо для этих лучей. Последний интеграл
имеет порядок O(e~kc). Аналогично заменяем отрезок [г^ 0]
лучом z— —рг,, О^р < оо. Пусть у— полученный контур; тогда
ехр (£S0)	— k~'/3 ехр (iak2/3z—iz3l3)dz = 2 д/л k~'/3v (—ak23).
v	v
Тем самым первое из соотношений (2.16) доказано; аналогично
доказывается второе. Следовательно, интеграл (2.8) равен сумме
слагаемых указанного в (2.13) вида и остаточного члена вида RN.
348
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Последний есть интеграл вида (2.8) где f —	(z~—B)N gN (z, a),
функция g голоморфна при малых | z |, | а |.
Чтобы оценить остаточный член, получим следующую оценку:
ср (г) ехр (feS0) dz
v
< С (>-|/31 п (- Й~2/За) | + k~^ | v' (- fe2/3a) |). (2.17)
Здесь ф (z) — голоморфная в окрестности контура функция.
Напомним, что функция у (/) имеет бесконечно много нулей,
все они вещественны и отрицательны. То же самое верно для
функции v' (Z); нули этих функций v (Z), v' (Z) перемежаются.
Пусть |a|fe2/3^a < оо, /(а, &)—интеграл из левой части (2.17).
Делая замену z->k~i/3z и разлагая функцию ф в ряд Тейлора,
получаем
7 (a, k) = й~1/3ф (0) ехр (Д (z, £)) dz +
Yfe
+ ф' (0) k~213 exp (Sj (z, £))zdz +
Yfe
+ й~1/3 j exp (Si (z, £)) R (z, k) dz, (2.18)
Yfe
где yfe —контур, полученный из у растяжением в &|/3 раз,
£ = ай2/3 — ограниченная величина. Оценим последний интеграл
в (2.18). Имеем | R (z, k) | С | zk~l/312 на Yfe- Далее, заменим
контур у ломаной у, состоящей из отрезков Ц — [0, e'^pj,
Z2 = [р2ег'5я/6, 0], где ру > 0; тогда / (a, k) равен сумме интеграла
по у и величины порядка О (е~ск). На Zj имеем Re S] р | £ | — р3/3,
так что модуль интеграла по Zi не превосходит величины
оо
Ck~‘ р2 ехр (| £ Iр — р3/з) dp Ck~\ так как величина |£| огра-
о
ничена, а интеграл является непрерывной функцией от | g |.
Аналогично оценивается интеграл по /2. Первые два интеграла
в правой части (2.18) вычисляются, и мы получаем
2 Vя 7 (fe, а) = ф (0)	(— £) — /ф' (0) k~wv' (— £) -|- О (й-1).
Тем самым оценка (2.17) доказана, так как |f(—$)i +
-|-&~1/31 o'(—£) |^ 6~'/3, если |£| ограничен.
Докажем оценку (2.17) при \a\k2/3^a, где а>0—фикси-
рованное, но достаточно большое число. При | £ | —> оо асимпто-
тика интеграла 1 (a, k) определяется точками перевала функции
§ 2. СЛИЯНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ПЕРЕВАЛА
349
Si:z = ±Vg. Отметим, что Sj (± д/g , g) = =р i~ йа3/2, а на
концах контура yfe имеем ReSi^ —Сй, С > 0, так что, если
|а Кб и д>0 достаточно мало, то вклад от концов экспо-
ненциально мал по сравнению с вкладами от точек перевала.
Повторяя в точности те же рассуждения, что и при вычислении
асимптотики функции Эйри (см. гл. IV, § 3), получаем, что
асимптотика /(а, й) равна вкладу от точки перевала х = д/?
в секторе Da: |arga|^n — е<л и сумме вкладов от точек
z = ±V? в оставшемся секторе D\. В секторе D(i, как следует
из асимптотики функции Эйри, й-1/3у'(—g) = О (a | v (—g) |, и
оценка (2.17) доказана. Точно так же доказывается оценка (2.17)
в секторе £)2, вне кружков К, радиусов ру с центрами в нулях gy
функции v(—g). Эти окрестности выбираются таким образом,
чтобы о (— g) = O (1) при ge/Cy. В секторе О2 в силу (4.36')
имеем
£-I/3u(-g) =
_ > 4-'Д_ЕГ'«[е-Ц1 + о (£-•«))+ ,-„»(! +о(Г,е!))],
2 V Л
2	3/2
где S = -g-(— g) , S > О при a < 0. Асимптотика интеграла
7(a, й) имеет тот же вид, только^коэффициенты при e±s равны
соответственно г<р(д/“"), ф(—Va)- Так как в круге /Су экспо-
ненты e±s ограничены, то
7 (а, й) = й~1/3ср (0) у (—g)+
+ й~2/3<р' (0) v (- g) + О (ай’1/31 g Г1/4). (2.19)
Поскольку в круге /Су правая часть неравенства не меньше,
чем /К31 v' (— g) |	Сй~2/31 g |1/4, то отношение остаточного члена
в (2.19) к правой части (2.17) не превосходит const |Va I- Итак,
оценка (2.17) полностью доказана. Очевидно, что эта оценка
справедлива и в том случае, когда ф = ф(г, а), функция ф
голоморфна по (z, а), когда z лежит в окрестности контура у,
| а |<д.
Завершим доказательство леммы. Остаточный член RN есть
интеграл вида /(а, й), где ф = (z2— a)N gN (z, а), функция gN
голоморфна при малых [ а |. Интегрируя по частям так же,
как и при выводе рекуррентных соотношений (2.15), получаем,
что RN есть сумма слагаемых вида / (а, й) с множителями й /,
где Рл>у~> оо при V—> оо. Для этих интегралов имеет место
оценка (2.17). Чтобы получить (2.13), достаточно выбрать М. > N
350
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
достаточно большим, оставить только слагаемые, выписанные
в формуле (2.13), а остальные отправить в остаточный член.
Выпишем главные члены разложения (2.13):
Ф(fe, а) =
= УУ (VB, а) + f (- Ув, а) + О (V )] v(- S”B) -
- фф к[f (Ув, ») - f (- Уе, «) + О (S’1)] V' (-	.
у о
(2.20)
Рассмотрим важный частный случай: функция В (а) веще-
ственнозначна, функция f неаналитична.
Лемма 2.6. Пусть функция /еСХ/Х-Ц г^е 1 — отрезок
[—а, а], Д— отрезок О^а^б, функция f и все ее производ-
ные по х обращаются в нуль при х — ± а, а е /б. Пусть В (а) ~ са
при а-*0, функция В (а) вещественна при вещественных а. Тогда
для интеграла
Ф (k, а)— exp(ikS0(x, а)) f (х, a)dx	(2.21)
—а
справедливо разложение (2.13) при k—> ф-оо, О^а^бо, где
б0 > 0 достаточно мало, равномерно по а.
Доказательство. Точно так же, как и в лемме 1.1,
можно доказать, что при любом целом для функции f
имеет место представление
N	N
f (х, а) = £	— В)’ + х^ <7/(а)(х — В/ ф- (х1 — B)N RN(x, а),
/-и	/=и
где Rn е С°° (/ X /&,), если б0 > 0 достаточно мало. Покажем,
что если f е С°° (/ X Ze0), то
Ф(й, а) = д/2л р0(а)о(—£)&~1/3ф-
+ /2 q0(а) v' (- £) k~213 ф- О (fe~'/3). (2.22)
Имеем
а
ехр (/tS0 (х, а)) dx =
—о
а	со
= 2у'/лф|'3в(—£)—	exp(kS0(x, a))dx— exp(kS0(x, a))dx —
—со	а
= 2Vn *-’%(-£)+ О (£-')•
Действительно, функция Во чисто мнимая и не имеет стацио
§ 2. СЛИЯНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ПЕРЕВАЛА
351
парных точек на полуосях х^а, х^. — а; поэтому асимптотика
этих интегралов равна вкладу от конца х=±а и потому имеет
порядок О (ft-')- Аналогично,
х ехр (kSo) dx = — Й Vя ^-2/3 v' (— 2) + О (&-1),
—а
и, наконец,
а
(х‘ — a) g| (х, а) ехр (feS0) dx —
— а
= — ik~l ехр (iA-S0 (х, а)) gx Ца + О (ft-1) = О (ft-1).
Заменим интеграл (2.21) интегралом Ф, в котором вместо f
стоит функция ftp и ф(х)еС;’, ф(х) = 0 при | х | > а/2, qp (х) = 1
при малых | х |. Тогда при малых вещественных а имеем
Ф = Ф 4- О (й-о°) равномерно по а в силу принципа локализа-
ции. Далее доказательство проводится по тому же плану, что
и в лемме 2.4. Именно, пусть Рц(1г, а) — интегралы вида (2.14)
со следующими отличиями: контур у = [ — а, а], и подынтеграль-
ная функция содержит множитель ф(х). Тогда соотношения (2.15)
остаются в силе, только вместо O(e~kc) в правой части будет
стоять О Действительно, если интегрировать по частям
так же, как и при выводе соотношений (2.15), то внеинтеграль-
ная подстановка обратится в нуль в силу финитности функ-
ции ф, но появится интеграл, содержащий функцию ф'(х). Этот
интеграл имеет порядок О при k -» + с», так как ф' (х) s О
в окрестности точки х = 0, так что эиррф' не содержит стацио-
нарных точек х=±д/3(а) функции 30 при малых |а |. По-
этому асимптотическое разложение для Ф имеет вид (2.13).
Остаточный член оценивается так же, как и в лемме 2.5, только
вместо (2.17) мы используем (2.22).
Замечание 2.1. Если функция f (х, а) имеет конечное, 3,
число непрерывных производных, то можно получить конечное
число членов разложения (2.13).
3. Общий случай. Вычислим асимптотику интеграла
F (К, а) = J f (z> а) ехр (ikS (z, а)) dz	(2.23)
v
при & —> + оо и малых | а | в случае, когда функция S имеет
при малых j а | две близкие простые седловые точки. Здесь у —
конечная простая гладкая кривая. Введем условия:
1°. Функции f(z, a), S(z, а) голоморфны по (z, а), когда z
лежит в окрестности контура у, | а | < &.
352
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
2°. При малых | z — г0|, | а |
S (г, а) = (— аа + О (а2)) (z — z0) +
+ (г - z0)2 О (а) + 1 (Ь + О (а)) (z - z0)3, (2.24)
где а=/=0, b=/=Q, Im а = Im 6 = 0.
Тогда в силу леммы 2.1 функция S имеет при малых [ а [
две простые близкие точки перевала zh2(a). Можно считать,
что b > 0; этого можно добиться с помощью замены z -> cz.
Теорема 2.1. Пусть условия 1°, 2° выполнены, 6>0 и
контур у выбран так же, как и в (2.8). Тогда при k-
| а | д0 и при д0>0 достаточно малом для интеграла (2.23)
справедливо асимптотическое разложение (2.13), равномерное по а.
Это разложение можно дифференцировать по k, а любое число
раз. Здесь
А (а) = j [S (21 (a), a) + S (z2 (a), a)],	(2.25)
$=-fe2/3?o(a), to (a) = (|)2/3[S(z2(a), a) - S(2[ (a), a) ]2/3. (2.26)
Выпишем главный член асимптотики:
F (й, a) = ехр [ikA (а)] д/л й-1/3 X
(2.27)
Ветви корней выбраны следующим образом: при а > 0, a > 0
£0 ~ ca, Zj (a) ~ c1Va (с > 0, ct > 0, д/а>0). (2.28)
Доказательство. Выберем д0 > 0, г>0 настолько ма-
лым, чтобы при | а |д0, |z — z0|^r были справедливы ут-
верждения леммы 2.3. Заменим контур у его пересечением у
с кругом |z|^r/2; тогда, если dj^do достаточно мало, то
exp(£S) = O(exp(— kc)) на контуре у)у, где с > 0 и не зависит
от a, k. Интеграл по у в силу леммы 2.3 имеет вид (2.8), и
остается воспользоваться леммой 2.4.
Аналогично доказывается
Теорема 3.2. Пусть функция f(x, a), S(х, а) е С°° при | х |^ц,
| а | д (а вещественно), функция S вещественнозначна, удовле-
творяет условию 2°, функция f обращается в нуль при х = ±а
вместе со всеми производными по х, и b > 0.
§ 2. СЛИЯНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ПЕРЕВАЛА
353
Тогда все утверждения теоремы 3.1 справедливы при k -> + оо,
О а д0, если 60 > 0 достаточно мало, для интеграла
а
F(k,a) — ехр [z\VS (х, а)] / (х, а) dx.	(2.29)
-а
В формуле (2.27)
3" (*! (а), а) < О, 3" (х2 (а), а) > 0,	(2.30)
ветви корней арифметические.
Пример 2.1. Рассмотрим функцию Бесселя Jv(x) и иссле-
дуем ее асимптотику при v, + x^v. Имеем
оо+лг
S ехр[ЙЗ(/, 0)]Л,	(2.31)
оо-лг
где обозначено
k = xv, х = -^а-, S = sh/— /ch0.	(2.32)
ch р	1
При х= 1, т. е. при р = 0, функция 3 имеет двукратную точку
перевала / = 0. В окрестности точки t = 0, 0 = 0 имеем
5 = -^[1 + 0(р2)] + 4 + 0П
т. е. S имеет вид (2.1), где а = 02. При малых |0| функция 3
имеет две простые точки перевала 2 (0) = ± 0 [1 + О (02)], ко-
торые сливаются при 0 = 0. В качестве контура интегрирования
в (2.31) выберем линию наибыстрейшего спуска у функции
ReS(/, 0), выходящую из точки t — Q (см. гл. IV, § 4, п. 2).
Далее, можно заменить контур у его конечной дугой, содер-
жащей внутри себя точку / = 0; тогда контур у удовлетворяет
условиям теоремы 2.1, а интеграл по контуру у\у имеет по-
рядок О(е~кс), c>Q, при k-> + <x>. К полученному интегралу
применима теорема 2.1. Это позволяет получить равномерные
по 0 при малых комплексных | 0 |. В частности, при 0 > 0 (т. е.
при х < 1, х ~ 1, v-+4-oo) получаем
+ 0(^)1
где обозначено
k = -^'	63=|(0ch0-sh0),
6~2“1/30	(0->О).
354
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Рассмотрим многомерный интеграл
F (k, а) = f (х, а) ехр [ikS (х, а)] dx,	(2.33)
и
где х е R", й — окрестность точки х°, функция S вещественно-
значна при вещественных х, а. Мы рассмотрим случай, когда
функция S (х, а) при малых вещественных а имеет две невыро-
жденные точки перевала, близкие к точке х°. Пусть в окрест-
ности течки (х°, 0) функция S имеет вид
п
S(x, a) = S(x°, a)+ 4 £ clf (a) (x; - x°) {x, - x°) + • •• (2.34)
r,
Обозначим через Л/ (a) собственные значения матрицы С (а) =
= 5"%(х°, а), и пусть
Л,1(а) = а, (0) =	0,	2^/^ц.	(2.35)
Линейной невырожденной заменой переменных х — х1< = А(а)у
можно привести функцию S к виду
п	п
S (х, а) = S (х°, а) + У £ (a) + -g У с,л (а) у^Ук + . ..
/=|	(2.36)
Если
Ои (0) =/= 0,	(2.37)
то нетрудно видеть, что функция S (х, а) имеет при малых а
ровно две стационарные точки х1 (а), х2(а), которые при а = 0
совпадают с точкой х°. Обе эти точки вещественны и невыро-
ждены.
Теорема 2.3. Пусть функции f(x,a), S (х, а) е С°° (й X 76),
где J6 — интервал — 6 < а < д, и выполнены условия-.
1°. Функция S (х, а) вещественнозначна, имеет вид (2.34) и
удовлетворяет условиям (2.35), (2.37).
2°. Функция f(x, а) обращается в нуль вместе со всеми про-
изводными по х в некоторой окрестности границы <5Й области Й.
Тогда при k->-\-oo, —д0^а^60 и при д0 > 0 достаточно
малом для интеграла (2.33) справедливо асимптотическое раз-
ложение
F (k, а) - k~{n~l)/2 ехр [ikA (а)] £ Фт (k, а, £) k~m, (2.38)
m=o
где Фт — ряды вида (2.13), равномерно по а. Это разложение
можно дифференцировать по k, а любое число раз.
Здесь А (а), £(а) определяются по формуле (2.5).
Доказательство. Можно считать, не ограничивая общ-
ности, что х° = 0, S(x, а) имеет вид (2.36). Мы применим к инте-
§ 2. СЛИЯНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ПЕРЕВАЛА
355
гралу (2.33) метод стационарной фазы по переменным х2, ..., хп,
а к полученному интегралу применим теорему 2.2. Положим
х' = (-*2, •••, хп), тогда точка перевала функции 3, как функции
от х', определяется из системы
Л;. (а)х/ + ус||/(а)х( + ... =0,	2</<«.
Эта система при малых хь а имеет, в силу условий (2.35),
(2.37), единственное решение х’ (х1( а), причем
С\I i (а)
3] (хь а) ^3 (X], х(х1; а), а) ==
= S (0, а) + ^х( +	4 + 0 (4).
Далее, можно считать, что функция f отлична от нуля только
в малой окрестности V точки х = 0 вида |хД^е,
Положим V/ = {x/: |xz|^e, 2^j^n). Тогда
е
F(k,a) = \ dx>, । \ exp{ikS)fdx' ].
-г XV	)
Стационарная точка х’ (х1; а) невырождена при малых | а |, и
потому асимптотика интеграла по области V' равна вкладу от
этой точки, так что
оо	8
F (k, а) ~	ехр [ikSt (хь а)] f] (хь а) dxj. (2.40)
/=9	-е
Здесь функции	при IxJ^e, | а | + 6, если 6 > О доста-
точно мало, и обращаются при х=±е вместе со всеми произ-
водными по х. Применяя к каждому из слагаемых (2.40)
теорему 2.2, что возможно в силу (2.35), (2.37), получаем раз-
ложение (2.38).
Выпишем первые два члена асимптотики. Положим
D/(a) = S^(?(a),a), у = 1,2,
d; (a) = sgn Dj (а),
тогда первые два члена разложения (2.38) имеют вид
F (k, a) « (2n)"/2	+ <p,) v (0 +
+ в-1/4дг1/3(ф2 - ФО],
Г.л. А	(2л2}
ехр ( « —д/ (a) 1
ф,- = —..--=4 [ (х,- (а), а).
V| det Dj (а) | М
356
ГЛ VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
§ 3. Слияние полюса и точки перевала
1. Эталонные интегралы. Рассмотрим интеграл
ЧДг, е)= -Р/7егЛ) dt,	(3.1)
— оо
где г —большой, е — малый (невещественный) параметры. При
е = 0 сливаются полюс / = е подынтегральной функции и точка
перевала Z = 0.
Интеграл (3.1) выражается через интеграл Френеля (1.2).
Лемма 3.1. Пусть z^D, ееС, где D — плоскость с раз-
резом по полуоси (— оо, 0). Тогда функция F (г, е) аналитически
продолжается из области Rez>0, Im е > 0 в область D X С,
как голоморфная функция (z, е) и
Чг (г, е) — л1 ехр(— e2z)[l — ф(— ге д/г )]	(3-2)
Доказательство. Пусть z, е вещественны и положи-
тельны. Дифференцируя по г, получаем
оо
W'z (z, ze) = е2Чг (z, ze) — ze ехр (— zt2) dt = е2Чг (z, ze) — ze -у .
—- oo
Решая это уравнение и учитывая, что ЧГ(+ оо, ге) = О, получаем
+ □0
Ч7’(г, ze) = ze д/л ехр (e2z)	Z-1/2exp(— zt)dt =
Z
4-00
«= 2г д/л ехр (e2z) ехр(— t2) dt == in exp(e2z) (1 — ф(е л] z )),
eVz"
где Ф —интеграл Френеля (см. (1.2)).
Следовательно, при Ree = O, Ime>0, z>0
Чг (z, е) = zn ехр (— e2z) [1 — Ф (— iz^z )].
Интеграл Френеля Ф(£) является целой функцией £, так что,
по принципу аналитического продолжения, ^функция Чг(г, е)
является целой функцией от аргумента ед/z . В частности,
функция F (г, е) голоморфна по (z, е), когда z лежит в плоскости
с разрезом по полуоси (— оо, 0), а е пробегает всю комплексную
плоскость.
Рассмотрим другой эталонный интеграл
оо
Фо (г, е) = J е?.Р..Ье/22) dt,	(3.3)
о
§ 3. СЛИЯНИЕ ПОЛЮСА И ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА
357
Здесь при в = 0 происходит слияние точки перевала, полюса
и конца контура интегрирования Этот интеграл также выра-
жается через специальные функции — интеграл Френеля и инте-
гральный логарифм. Действительно, пусть 8 > 0, z > 0; диффе-
ренцируя (3.3) по z, получаем уравнение
Интегрируя это уравнение и учитывая, что %(+ оо, te) = 0,
получаем
-|- оо
До (z, ie) — ехр (в2г) ехр(— в2*1) С1/2 dt +
Z
-f- оо
+ у ехр (e2z)	ехр (— в2/) t~' dt —
2
= ехр (в’z)	(1 — Ф (в )) — у Е1 (— e2z) j,
где Ei (х) — интегральная показательная функция
£t(x) = — ^e~‘t~2dt, х < 0.
Следовательно,
^(z, в) = ехр(— e2z)[-y-(l — ф(— /в Vz )) — y£V (eQz)].	(3.4)
Эта формула пригодна, например, при Rez.;>0, в® [0, + оо).
Рассмотрим интеграл
а
F(K,z} =	в) А,	(з,5)
— а
где 0 < а < оо, X > 0, 1тв<0.
Лемма 3.2. Пусть функция h(t, в) голоморфна по (t, в),
когда t лежит в окрестности отрезка [—а, а], и |е|^е0. Тогда
существует в( > 0 такое, что при
л—>-фоо, | 8 |^8i, d^argesg^n — 6	(0 < 6 < л)
справедливо асимптотическое разложение
N
F (А, в) = £	№ (0, в) Fk (Л, в) + О (VW2),	(3.6}
fe-0
358
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
где обозначено
Pk (А, е) = j	dt.	(3.7)
Здесь N^O — любое целое число, О (A-v/~) равномерно по е.
Интегралы Fk выражаются через интеграл (3.1) и его про-
изводные. Именно,
Fin&, в)= (- ^)"v0(A, 8),
F2n+I(z, e) = j_Ay[e¥o(^ е) + д/«](	(38)
так как Ft = 8% + д/л/А.
Доказательство. В интеграле (3.5) можно заменить а на а',
О <а' < а-, отброшенный интеграл имеет порядок О (ехр (— Аа/2)).
Поэтому а > 0 можно считать настолько малым, что функция
hit, е) голоморфна при 111 < 2а, | е | < 80. Имеем
Л (Л е)= X (е) th + hN (t, 8), | hN </,e)| < CN | /
fe = 0
при 111 a, | 8 | < 8j. Соответственно
F (A, e) = X dk (e)F^ (A, e) + 7?v (A, s),
t=o
Fk (A, 8) = J	dt,	(3.9)
— a
a
Оценим остаточный член. Положим е = ! е j ei<p, л — бф б,
где 0 < 6 < л. Тогда
так как е1® невещественно. Следовательно, при
б^ arg л — 6, А 1,
оо
|7?jv(A, еЖСд, $И"-'ехр(—АИЖСЖ^2. (3.10)
— оо
Наконец, Fk — /Д + 0(ехр(—Ап2)), и (3.6) доказано.
§ 3. СЛИЯНИЕ ПОЛЮСА И ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА
359
Лемма 3.3. Пусть условия леммы 3.2 выполнены. Тогда
сущее<вует е, > 0 такое, что при А->-ф оо, б arg е 2л — б,
| е j «С е справедливо асимптотическое разложение
а	V
f еху-.ЛП е)	g) (/> е) ц. q	(д } })
О	*=о
Ft (t, е) = / L R ’ ехр (—M’}dt.	(3.12)
I)
Здесь N— любое целое число, д>0 может быть выбрано
сколь угодно малым, но не зависящим от е.
Доказательство полностью повторяет доказательство
леммы 3.3, за исключением оценки остаточного члена. При
б^ф^2л — б (qp = arge) имеем
t	t	г-
------С max -----т— С С < оо,
И-е| <>о И-е/ф1
и для остаточного члена получаем оценку (3.10).
Покажем еще, что разложение (3.6) пригодно в более широ-
ком секторе.
Лемма 3.4. В условиях леммы 3.2 разложение (3.6) спра-
ведливо при |е] ^8Ь —л/4 + б arg е Зл/4 — б. Здесь б>0
сколь угодно мало, но не зависит от е.
Доказательство. Рассмотрим интеграл (3.5) и положим
Ф = arg е. Выберем б > 0 достаточно малым. При Im е > 0 имеем
F(Z, е)=/, + J2+ J3,	(3.13)
где Zj—интеграл по отрезку [—а, а], /2 — интеграл по отрезку
/: / = ре’4*’, О^р^и, ф = — л/4 + 6/2, и /3 — интеграл по дуге
окружности \t\ = a, соединяющей точки t — a, t = ре'1*’- Правая
часть формулы (3.13) голоморфна по е (при фиксированном X)
в секторе S: |е|^е0, —л/4-фб^ф^б, так что эта формула
дает аналитическое продолжение функции F (К, е) с полуокру-
жности 1гп8>0, | е | ЙС е0 в сектор S. Интеграл 73 экспоненци-
ально мал при А,—>-фоо, eeS равномерно по е, и мы его от-
бросим. Повторяя ту же процедуру, что и в доказательстве лем-
мы 3.2, получаем, что остаточный член примет вид = JIJV + hw
При —а, 0], esS имеем
——!max т— . с < оо,
И — е |	11 + е,ф I
так как eeS, и для | JiN | получаем оценку (3.10). При t^l
имеем
360
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
так как ф —ф^О,
| ехр (— X/2) | < ехр (— /Л2 cos 2лр),
и для | J2N | также имеет место оценка (3.10). Аналогично иссле-
дуется случай л — л/4 — б^ср^л — д.
2. Общий случай. Рассмотрим интеграл
„ ч Г ехр [Л5 (t, е)]
F(A, е)=] f(t,e) dt’	(3.14)
Y
где у — конечная кривая в комплексной плоскости t. Введем
условия:
Г. Функции f, S голоморфны по (/, е), когда t лежит в окре-
стности контура у, | е | < е0.
2°. Функция 3 ((, 0) имеет простую точку перевала t = 0, кото-
рая лежит на у, maxReS(Z, 0) достигается только в точке t = 0.
Тогда функция S(t, е) имеет при малых е невырожденную точку
перевала /0(е) такую, что /о(О) = О. Функция /0(е) голоморфна
при малых е.
3°. f (0, 0) = 0, /е(0, 0)^0, МО, 0)#=0.
Тогда функция [/(/, О)]”1 имеет простой полюс / = 0, а при
малых е функция [f (/, е)]“' имеет простой полюс /=4(е), причем
е/' (0, 0)
(е^0)- (3-15)
Необходимо еще указать взаимное расположение точек tj (е)
и контура у. Заметим, прежде всего, что контур у можно заме-
нить его сколь угодно малой дугой, содержащей точку / = 0.
Действительно, если Уб = уГ1 {(: 111 =^д), то в силу условия 2°
max Re (t, е) <^Re 3 (0, 0) — с, c>0 при | е | -С е,, если е, > 0
^Y\Ya
достаточно мало, так что интеграл по контуру у\у6 экспоненци-
ально мал по сравнению с ехр (/.3 (0, 0)). Поэтому можно счи-
тать, что у — отрезок вида [— а, а] или [0, а], а > 0. Положим
£о (е) = V S (t0 (е), е) — 3 (е), е) .	(3.16)
Так как 3<(<0(е), в)=0, то при малых е
(е) ~ (tt (е) - t0 (е)) д/ - у Stt (0, 0).	(3.17)
Ветвь корня будет указана ниже.
Теорема 3.1. Пусть условия 1°—3° выполнены и
1т6>0(в—>0).	(3.18)
§ 3. СЛИЯНИЕ ПОЛЮСА И ТОЧКИ ПЕРЕВАЛА
361
Тогда существуют в, > 0, д > 0 такие, что при К —> + оо; | е |
large справедливо асимптотическое разложение
[.V 	-1
£ hk (в) Fk (К, (в)) + О (VW2) (3.19)
fe=0	J
равномерно по е. Здесь :V ^0 — любое целое число, функции hk (е)
голоморфны при малых | е |.
Доказательство. Сделаем замену переменной £ = Z(£, в)
такую, что
S(t& в), b) = S(4(b), в)-^,
и функция t голоморфна в точке (0, 0). Как обычно, можно
ограничиться рассмотрением достаточно малой дуги контура у„
содержащей точку 1 = 0; оставшийся интеграл экспоненциально
мал. По условию, ReS»(0, 0) < 0, и выбор ветви корня в (3.16)
следующий: Re V—	(0, 0) > 0. При малых (t, в) имеем f (t, е) ==
— (t — 4 (в)) ft (t, е), где f, (0, 0) =£ 0, так что
в), e) = (g-^(e))f2(C, е),
где f2(0, 0)=/=0 и функция f2 голоморфна при малых е. Пусть у —
образ контура у в плоскости
Контуру образует в точке £ = 0 угол ф0 + <Э(в), ф0 =
= argV—So (0,0) при малых е, и интеграл по у можно заме-
нить интегралом по отрезку у0 = [— dei<fa, dei4,‘>] с точностью до
слагаемого порядка О(е~Хс), с > 0. Далее,
(С, е) _ h (g, е)
i (А в) — £о (е)
где функция h голоморфна при малых £, е. Окончательно полу-
чаем
F (А, в) = $ У Т	 h№ + О (е~Лс).	(3.20)
Если е таково, что be лежит на верхней мнимой полуоси, то
F (А, е) можно с экспоненциальной точностью заменить интегра-
лом по отрезку [—d, d]. После этого остается воспользоваться
леммой 3.3.
Главный член асимптотики имеет вид
F (А, в) = ехр [AS (4 (в), в)] X
(8)	. /	2 С еХр (~ ^2) п (Г 1/241
Это вытекает из (3.20) и того, что (в) = h (0, е).
(3.21>
362
ГЛ. VI. СЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Литературные указания и дополнения
Результаты § 1 пп. 1.2 известны в .физической литературе, см. также
В. А. Каратыгин, В. А. Розов [41] [42]. Теорема 1.3 принадлежит автору и
публикуется впервые. В [42] в качестве эталонных берутся интегралы вида
Gm (х, а) = (т ]~)Г \ (£ — х)т *(£2 + а2) 'ехр [г (£2 + а2)]
где контур интегрирования — луч, наклоненный под углом л/4 к вещественной
осн в плоскости | и а ^0. В этой же работе доказано, что функция | Gj (х, а) |
является монотонно убывающей функцией х при фиксированном а > 0. Резуль-
таты § 2, для аналитических [, S принадлежат К. Честеру, Б. Фридману,
Ф. Ерселлу [109] (см. также В. С. Булдырев [14]); неаналитические !, S и
многомерный случай рассмотрены автором [79]. Результаты § 3 являются
обобщениями результатов Г. Отта [129].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Арнольд В. И., Особенности гладких отображений, УМН 23, Ns 1
(1968), 3—44.
2.	Арнольд В. И., Нормальные формы функций вблизи вырожденных
критических точек, группы Вейля Ал, Dk, Ek и лагранжевы особенности,
Функц. анализ 6, № 4 (1972), 3—25.
3.	Арнольд В. И., Замечания о методе стационарной фазы и числах
Кокстера, УМН 28, № 5 (1973), 1—44.
4.	Б а б и ч В. М„ О коротковолновой асимптотике функции Грина для
уравнения Гельмгольца, Матем. сб. 65, № 4 (1964), 576—630.
5.	Бабич В. М., Б ул ды рев В. С., Асимптотические методы в задачах V
дифракции коротких волн, М., «Наука», 1972.
6.	Бартман А. Б., Перельман Т. П., Новый асимптотический метод
в аналитической теории переноса, М., «Наука и техника», 1975.
7.	Бернштейн И. Н., Гельфанд С. И., Мероморфность функции Р\
Функц. анализ 3, Ns 1 (1969), 84—86.
8.	Борель А., Линейные алгебраические группы, М., «Мир», 1972.
9.	Б р е х о в с к и х Л. М., Волны в слоистых средах, М., «Наука», 1973.
10.	Де Б р ё й н Н. Г., Асимптотические методы в анализе. М., ИЛ, 1961.
11.	Б рычков Ю. А., Асимптотические разложения обобщенных функций,
Теор. и матем. физ. 5, № 1 (1970), 98—109.
12	Б р ы ч к о в Ю. А., Об асимптотических разложениях обобщенных функ-
ций, Матем. заметки 12, № 2 (1972), 131 —138.
13.	Б рычков Ю. А., Широков Ю. М., Об асимптотическом поведении
преобразований Фурье, Теор. и матем. физ. 4, Ns 2 (1970), 301—309.
14.	Булдырев В. С., Обобщение метода седловых точек на случай двух
близко расположенных седловых точек, в сб. «Вопросы динамической
теории распространения сейсмических волн», сб. 5, Изд-во ЛГУ, 1961.
15.	Б у р б а к и Н., Функции действительного переменного, М., «Наука», 1965.
16.	В а з о в В., Асимптотические разложения решений обыкновенных диффе- \
ренциальных уравнений, М., «Мир», 1968.
17.	Вайнберг Б. Р., Асимптотика функции Грина для уравнения Собо-
лева— Гальперна, ДАН СССР 136, № 5 (1961), 1015—1018.
18.	Вайнберг Б. Р., О некоторых корректных задачах во всей плоскости
для гипоэллиптических уравнений, Матем. сб. 62, Ns 2 (1963), 186—248.
19.	Вайнберг Б. Р., Принципы излучения, предельного поглощения и пре-
дельной амплитуды в общей теории уравнений с частными производными,
УМН 21, № 3 (1966), 115—194.
20	В а й н б е р г Б. Р., К методу стационарной фазы, Вестник МГУ 1 (1976'-.
21	В а к м а н Д. Е., Асимптотические методы в линейной радиотехнике, М.,
«Советское радио», 1952.
22.	Ван дер Варден, Современная алгебра, т. 2, М. — Л., Гостехиздат,
1947.
23.	Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, т. I, М., ИЛ, 1949.
364
ЛИТЕРАТУРА
24.	Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных пе-
ременных, М., «Наука», 1966.
25.	Гельфанд И. М., Г р а е в М. И., Виленкин Н. Я., Интегральная
геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений, М., Физ-
матгиз, 1962.
26.	Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над
ними, М., Физматгиз, 1958.
27.	Гельфонд А. О., Вычеты и их приложения, М., «Наука», 1966.
28.	Г ин дик ин С. Г., Федорюк М. В., Асимптотика фундаментального
решения для параболического по Петровскому дифференциального урав-
нения с постоянными коэффициентами, Матем. сб. 91. № 4 (1973), 499—
522.
29.	Г инд икин С. Г., Федорюк М. В., Точки перевала параболических
полиномов, Матем. сб. 94, № 7 (1974), 385—406.
30.	Гиндикин С. Г., Федорюк М. В., Асимптотика функции Грина кор-
ректных по И. Г. Петровскому дифференциальных операторов с постоян-
ными коэффициентами. Задачи механики и математической физики. Сбор-
ник памяти И. Г. Петровского, «Наука», 1976.
31.	Гр адштейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений, М., Физматгиз, 1962.
32.	Д е м ь я н о в В. Ф., Малоземов В. Н., Введение в минимакс, М.,
«Наука», 1972.
33.	Дубнов В. Л., Об абстрактном методе стационарной фазы, Тр. МИЭМ,
вып. 5 (1969), 252—286.
34.	Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, М., Физ-
матгиз, 1962.
35.	Евграфов М. А., Бежанов К. А., Сидоров Ю. В., Федо-
рюк М. В., Шабунин М. И., Сборник задач по теории аналитических
функций, М., «Наука», 1972.
36.	Евграфов М. А., Постников М. М., Асимптотика функций Грина
параболических и эллиптических уравнений с постоянными коэффициен-
тами, Матем. сб. 82, № 1 (1970), 3—29.
37.	3 а р у ц к а я В. В., Асимптотика интегралов по кривым на римановых
поверхностях, Тр. МИЭМ, вып. 30 (1974), 51—92.
38.	3 е й ф е р т В., Трельфалль Н., Вариационное исчисление в целом,
М„ ИЛ, 1947.
39.	3 оммерфельд А., Оптика, М., ИЛ, 1953.
40.	Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно свя-
занные величины, М., «Наука», 1965.
41.	Каратыгин В. А., Розов В. А., Метод стационарной фазы для ин-
теграла в конечных пределах с произвольно расположенной стационарной
точкой, Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 10, № 2 (1970), 300—312.
42.	Каратыгин В. А., Розов В. А., Метод стационарной фазы для двой-
ного интеграла с произвольно расположенной стационарной точкой, Жур-
нал вычисл. матем. и матем. физ. 12, № 6 (1972), 1391 —1405.
43.	Конторович М. И., Муравьев Ю. К-, Вывод законов отражения
геометрической оптики на основе асимптотической трактовки задачи ди-
фракции, Журнал технич. физики 22, № 3 (1952), 394—409.
44.	Коп с он Э., Асимптотические разложения, М., «Мир», 1966.
45.	Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, М., ИЛ, 1963.
46.	К у ч е р е н к о В. В., Об одном способе вычисления членов асимптоти-
ческого разложения интеграла ^e'aS<,x',q> (х) dx, х Rn при <о -> оо,
Тр. МИЭМ, вып. 4 (1968), 189—216.
47.	Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплекс-
ного переменного, М., «Наука», 1974.
48.	Ландау Л. Д., Л н ф ш и ц Е. М., Теория поля, М., «Наука», 1973.
ЛИТЕРАТУРА
365
49.	Ландау Л. Д.. Лифшиц Е. М., Квантовая механика, М «Наука»
1974.
50.	Ларичев В. Д., Асимптотическое поведение интегралов, содержащих
большой параметр в аргументе функции Бесселя, Журнал вычисл. матем.
и матем. физ. 13, № 4 (1973), 1029—1035.
51.	Левин Б. Я-, Распределение корней целых функций, М., Гостехиздат
1956.
52.	Л е By Ань, Квазиклассическая асимптотика свободного уравнения
Шредингера для вычисления поправок в методе стационарной фазы, Теор.
и матем. физ. 25, № 2 (1976), 270—276.
53.	Л и Цзун-дао, Математические методы в физике, М., «Мир», 1965.
54.	Линник Ю. В., О с т р о в с к и й И. В., Разложения случайных величин
и векторов, М., «Наука», 1972.
55.	М а с л о в В. П., Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во
МГУ, 1965.
56.	Маслов В. П., Федорюк М. В., Канонический оператор (веществен-
ный случай), в сб. «Современные проблемы математики», Изд-во
ВИНИТИ, 1973, 85—167.
57.	Маслов В. П., Федорюк М. В., Квазиклассическое приближение для
уравнений квантовой механики, М., «Наука», 1976.
58.	Милнор Дж., Теория Морса, М., «Мир», 1965.
59.	Милнор Дж., Особые точки комплексных гиперповерхностей, М., «Мир»,
1971.
60.	Повзнер А. Я., Сухаревский И. В., О нахождении асимптотики
решений задач дифракции коротких волн, Журнал вычисл. матем. и ма-
тем. физ. 1, № 12 (1961), 224—245.
61.	Полна Г., Сёге Г., Задачи и теоремы из анализа, т. I, М„ Гостехиз-
дат, 1956.
62.	Постников А. Г., Введение в аналитическую теорию чисел, М., «Нау-
ка», 1971.
63.	П о т е т ю н к о Э. Н., Срубщик Л. С., Ц а р ю к Л. Б., О применении
метода стационарной фазы в некоторых работах по теории волн на по-
верхности вязкой жидкости, ПММ 34, № 1 (1970), 153—161.
64	П р у д к о в с к и й А. Г., Метод стационарной фазы и применения к ин-
тегралам, зависящим от параметра (неаналитический случай), Журнал
вычисл. матем. и матем. физ. 14, № 2 (1974), 299—311.
65.	Риекстынып Э. Я., О применении теории нейтрис к асимптотическому
представлению некоторых интегралов, Латвийский матем. ежегодник 2,
Рига, «Зинатне», 1966, 5—21.
66.	Р и е к с т ы н ь ш Э. Я., Асимптотические разложения интегралов, т. I,
Рига, «Зинатне», 1974.
67.	Р и е к с т ы н ь ш Э. Я., Ц и р у л и с Т. Т., О методах, применяемых к
представлению функций, определяемых интегралами, при больших значе-
ниях параметра, Латвийский матем. ежегодник 7, Рига, «Зинатне», 1970,
193—253.
68.	Сегё Г., Ортогональные многочлены, М., Физматгиз, 1962.
69.	Сердюкова С. И., Исследование устойчивости в С в явных разност-
ных схемах с постоянными действительными коэффициентами, устойчи-
вых в /2, Журнал вычисл. матем. и матем физ. 3, № 2 (1963), 365—370.
70.	Спивак М., Математический анализ на многообразиях, М., «Мир», 1968.
71.	Соболеве. Л., Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения
х-ад3ц ,------= F (х, у, г, /), ДАН СССР 129, № 6 (1959), 1246—1249.
дхду дг	4 dt \ а	'
72.	Т и х о н о в А. Н., Об асимптотическом поведении интегралов, содержа-
щих бесселевы функции, ДАН СССР 125 (1959), 982—985.
73.	Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, т. I,
М., Физматгиз, 1963.
366
ЛИТЕРАТУРА
74.	Уиттекер Э. Т., В а т с о н Дж. Н., Курс современного анализа, т. [I,
М., Физматгиз, 1963.
75.	Ф а м Ф., Введение в топологическое исследование особеннестей Ландау,
М., «Мир», 1970.
76.	С и д о р о в Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И., Лекции по
теории функций комплексного переменного, М., «Наука», 1976.
77.	Ф е д о р ю к М. В., Об асимптотике контурных интегралов, Успехи матем.
наук 16, № 1 (1961), 171—178.
78.	Федорюк М. В., Метод стационарной фазы для многомерных инте-
гралов, Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2, № 1 (1962), 145—150.
79.	Федорюк М. В., Метод стационарной фазы. Близкие седловые точки
в многомерном случае, Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 4, № 4
(1964), 671—681.
80.	Федорюк М. В., Асимптотика функции Грина при 1-*+0, |х|->оо
для корректных по Петровскому уравнений с постоянными коэффициен-
тами и классы корректности решения задачи Коши, Матем. сб. 62, № 4
(1963), 307—468.
81.	Федорюк М. В., Об устойчивости в С задачи Коши для разностных
уравнений и уравнений с частными производными, Журнал вычисл. ма-
тем. и матем. физ. 7, № 3 (1967), 510—540.
82.	Ф е д о р ю к М. В., Метод стационарной фазы в многомерном случае.
Вклад от границы, Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 10, № 2 (1970),
286—299.
83.	Федорюк М. В., Метод стационарной фазы и псевдодифференциальные
операторы, Успехи матем. наук 26, № 1 (1971), 67—112.
84.	Федорюк М. В., Три лекции по элементарным асимптотическим мето-
дам, Изд-во ЛГУ, ротапринт, 1972.
85.	Федорюк М. В., Асимптотика преобразования Фурье экспоненты от
полинома, ДАН СССР 227, № 3 (1976), 580—584.
86.	Фок В. А, Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности, Изд-во
АН СССР, 1946.
87.	Фок В. А., Проблемы дифракции и распространения электромагнитных
волн, М., «Советское радио», 1970.
88.	Фукс Д. Б., Фоменко А. Т„ Гутенмахер В. Л., Гомотопическая
топология, М., Изд-во МГУ, 1969.
89.	Херман дер Л., Псевдодифференциальные операторы, в сб. Псевдо-
дифференциальные операторы, М., «Мир», 1967, 63—87.
90.	Херман дер Л., Интегральные операторы Фурье. I, «Математика», сб.
переводов 16, № 1 (1974), 17—61.
91.	Херман дер Л., Интегральные операторы Фурье. II, «Математика»,
сб. переводов 16, № 2 (1974), 67—136.
92.	Хиронака X., Разрешение особенностей, «Математика» 9, № 6, 1965,
2—70; 10, № 1 (1966); 3—89; 10, № 2 (1966), 3—58.
93.	Хуанг К., Статистическая механика, М., «Мир», 1966.
94.	Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., «Наука»,
1972.
95.	Шрёдингер Э., Статистическая термодинамика, М., ИЛ, 1948.
96.	Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., «Наука», 1969.
97.	Эрдейи А., Асимптотические разложения, М., Физматгиз, 1962.
98.	A 11 i у a h М. F., Resolution of singularities and division of distributions.
Comm. Pure and Appl. Math. 23, № 2 (1970), 145—150.
99.	Backhoom N. G., Asymptotic expansion of the function fft(x) =
00 k
= $ e~u +xu du, Proc. Lond. Math. Soc. 33 (2) (1933), 83—100.
6
100.	Berg L., Asymptotische Entwicklung einer Klasse von Integralen, Math.
Nachr. 16, 3—4 (1957), 207—214.
ЛИТЕРАТУРА
367
101	Berg L.. Ober das asymptotische Verhalten der Laplace — Transformation
(Forsetzung), Math. Nachr. 17, 1—2 (1958), 57—61.
102	Berg L., Asymptotische Darstellungen fur verallgemeinerte Fourierinte-
grale, Math. Nachr. 20, 3—6 (1959), 166—170.
103	Berg L., Ober das asymptotische Verhalten der inverten Laplace-Trans-
formation, Math. Nachr. 22, 1—2 (1960), 87—91.
104.	Berg L., Asymptotische Entwicklungen fur Parameterintegrale. Il Math.
Nachr. 27, 3—4 (1964), 133—143.
105.	Berg L., Asymptotische Entwicklungen fur Parameterintegrale. Ill, Math.
Nachr. 27, 5—6 (1964), 265—275.
106.	Berg L., Asymptotische Darstellungen und Entwicklungen, Berlin, 1968.
107.	В oin P. W. M„ On the method of stationary phase for double integrals,
Uitgevrij Waitman-Delft, 1965.
108.	Van Campen N. C., The method of the stationary phase and the me-
thod of Fresnel Zones, Physica 24, № 6 (1958), 437.
109.	Chester C., Friedman B., U r s e 1 1 F., An extension of the method
of the steepest descent, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53 (1957), 599—611.
110.	Cohen P., The analytic properties of C-function Harischandra, Lecture no-
tes in mathematics, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1975.
111.	Van der CorputJ. G., Zur Methode der stationaren Phase. I, Compo-
sitio Math. 1 (1934), 15—38.
112.	Van der Corput J. G,, Zur Methode der stationaren Phase. II, Com-
positio Math. 3 (1936), 328—372.
113.	Dingle R. B., Asymptotic expansions: their derivation and interpretation,
London, Academic Press, 1973.
114.	Douglas S. J., Kline M., Asymptotic expansions of multiple integrals
and the method of stationary phase, J. Math, and Phys. 37, 1 (1958),
1—28.
115.	Duistermaat J. J., Oscillatory integrals, Lagrange immersions and
unfolding of singularities, Comm. Pure and Appl. Math. 27, № 2 (1974),
207—281.
116.	Erdelyi A., Asymptotig representation of Fourier integrals and the me-
thod of stationary phase, J. Soc. Industr. Appl. Math. 3, 1 (1955), 17—27.
117.	Erdelyi A., Asymptotic expansions of Fourier integrals involving loga-
rithmic singularities, J. Soc. Industr. Appl. Math. 4, 1 (1956), 38—47.
118.	Erdelyi A., General asymptotic expansions of Laplace integrals, Arch.
Rat. Meeh, and Anal. 7, 1 (1961), 1—20.
119.	Erdelyi A., Asymptotic evaluation of integrals involving a fractional
derivative, SIAM J., Math. Anal. 5, 2 (1974), 159—171.
120.	Erdfelyi A., Wyaman M., The asymptotic evaluation of certain inte-
grals, Arch. Rat. Meeh, and Anal. 14, 3 (1963), 217—260.
121.	Focke J., Asymptotische Entwicklungen mittels der Methode der stationa-
ren Phase, Ber. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss., Leipzig, 101 (1954), H. 3.
122.	Herz C. S., Fourier transform to convex sets, Ann. of Math. 75, (1962),
81—92.
123.	H 1 a w к a E., Uber Integrale auf konvexen Korpern. 1, Monastch. Math.
54 (1950), 1—36.
124.	H s u L. C., On the asymptotic ekaluation of a class of multiple integrals
involving a parameter, Amer Journ. Math. 73, 3 (1951), 625—634.
125.	Nagel G., Asymptotische Auswertung spezieller Quotienten von Para-
metererintegralen, Math. Nachr. 29, 5—6 (1965), 291—300.
126.	О 1 v e r F. W. J., The asymptotic expansions of Bessel functions of large
order, Phil. Trans. R. Soc., London, A-247, № 930 (1954)
127.	Olver F. W. J., Error bounds for the Laplace approximations for definite
integrals, J. of approximations theory 1 (1968), 293—313.
128.	Olver F. W. J., Asymptotics and special functions, New York — London,
Academic Press, 1974.
368	ЛИТЕРАТУРА
129.	О 11 Н., Die Sattelpunktsmethode in der Umgebung eines Pols., Ann. Phys.
43 (1943), 393.
130.	Randol B., On the asymptotic behaviour of the Fourier transform of the
indicator function of a convex set, Trans. Amer. Math. Soc. 139 (1969),
271278.
131.	Ridel R., Asymptotische Darstellungen von Parameterintegralen mit Ex-
ponenten beliebiger Ordnung, Wiss. Z. Univ. Halle 16, 1 (1967), 109—123.
132.	Schielder M., A Laplace asymptotic formulas for Wiener integrals,
Trans. Amer. Math. Soc. 1, 125 (1966).
133.	Svensson I., Estimates for the Fourier transform of the characteristic
function of a convex set, Ark. for Math. 9, 11 (1971), 11—22.
134.	Van der W a e r d e n L., On the method of saddle points, Appl. Sclent.
Res., ser. B, 2 (1951), 33—45.
135.	Williams J. J., Wong R., Asymptotic expansions of operator-valued
Laplace transform, J. of approximation theory 12 (1974), 378—384.