Вопросы теории плазмы. Выпуск 3 - Леонтович М.А.

Author: Леонтович М.А.
Tags: механика газов аэродинамика физика плазмы теоретическая физика сборник статей физические явления
Year: 1963
Similar
Теоретическая физика. Том 10. Физическая кинетика
Класическая электродинамика
Вопросы теории плазмы. Сборник научных статей. (Выпуск 15)
Сборник задач по электродинамике и специальной теории относительности
Text
                    ПРОСЫ
ТЕОРИИ
пллзлы
Под редакцией М. А. ЛЕОНТОВИЧА
ВЫПУСК 3
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗЧАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
ПО АТОМНОЙ НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
ГОСУДАРСТВЕННОГО КОМИТЕТА
ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ СССР
Москва 1963

УДК 533. 9
В третьем выпуске серии сборников «.Вопросы теории
плазмы-» излагаются теория линейных колебаний плазмы и ос-
основы теории слаботурбулентной плазмы. Исследуются коле-
колебания и их взаимодействие с зарядами в однородной плазме.
Излагается теория неустойчивостей неоднородной плазмы,
находящейся в магнитном поле. Рассматривается влияние
развивающихся колебаний на функцию распределения зарядов;
изучается взаимодействие плазменных волн.
Кроме того, третий выпуск содержит работу по исследо-
исследованию симметричных магнитогидродинамических течений.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
В. Д Шафранов
Введение
Предлагаемая вниманию читателя работа представляет собой
попытку дать систематическое изложение основных вопросов тео-
теории линейных колебаний однородной плазмы.
Большая часть материала (§ 1-—12) была издана ранее в виде
препринта. * При подготовке настоящего издания в этой части
сделаны небольшие дополнения: добавлены задачи к § 7 и 9; при
записи тензора электрической проницаемости вместо функции
W (х) введена для наиболее компактной записи формул функция
Z (х) = —iY^xW {x) и др. Кроме того, при подготовке к печати
добавлены вновь три параграфа (§ 13—15) и приложение III.
Колебания плазмы, как известно, описываются самосогласован-
самосогласованными уравнениями движения частиц (или соответствующими кине-
кинетическими уравнениями), с одной стороны, и уравнениями Мак-
Максвелла, с другой И—121. Однако в случае линейных колебаний
всю эту систему уравнений можно свести к одним лишь уравнениям
Максвелла, в которых плотности заряда и тока выражаются ли-
линейно через электрическое поле с помощью рассчитанного заранее
(из уравнений движения) тензора электрической проницаемости
еар (к, о) [13]. Такой подход, применявшийся сначала лишь
при изучении колебаний «холодной» плазмы (когда скорость теп-
теплового движения зарядов считается малой по сравнению с фазовой
скоростью электромагнитной волны), впоследствии стал все более
широко использоваться и при исследовании колебаний высоко-
высокотемпературной плазмы [14—24]. В настоящее время он с успехом
применяется и при исследовании колебаний неоднородной плазмы
(см. работу А. Б. Михайловского в настоящем выпуске).
С помощью тех же уравнений Максвелла, в которые включены
«микроскопические токи», можно описывать не только средние,
но и флуктуационные («тепловые») поля [25—28]. Однообразный
учет наряду с поперечным также и продольного электрического
*В. Д. Шафранов. Электромагнитные волны в плазме. Препринт
ИАЭ-194, 1960.

Поля позволяет сравнительно просто рассчитывать эффекты, свя-
связанные с кулоновским взаимодействием зарядов (торможение и
рассеяние заряда, движущегося в плазме, флуктуации плотности
заряда и т. п.). Для описания флуктуационных явлений, кроме
тензора электрической проницаемости, очень часто достаточно
знать только корреляционную функцию микротоков Сар (к, со).
Для обычно рассматриваемой не очень плотной плазмы эга функ-
функция легко рассчитывается. В термодинамически равновесной
плазме (т. е. при максвелловском распределении зарядов по ско-
скоростям с одной температурой) тензор GaP (k, ю) однозначно свя-
связан с антиэрмитовской частью тензора электрической проницае-
проницаемости 8ар (к, со). Такой способ описания флуктуации, развитый
М. А. Леонтовичем и С. М. Рытовым, обладает тем достоинством,
что расчет различного рода флуктуации сводится к решению хорошо
известных уравнений Максвелла. При термодинамическом равно-
равновесии результаты, выраженные через тензор eaft, пригодны не
только для плазмы, но имеют и более общую значимость (см. § 90
в работе [25]). Эквивалентность используемого метода описания
флуктуации и метода, основанного на уравнениях для корреля-
корреляционных функций [29—35] в случае плазмы, показывается в при-
приложении III.
Следует заметить, что с помощью корреляционной функции
микротоков легко рассчитывается интенсивность излучения (а
также сила радиационного трения, электромагнитная энергия
и т. п.) одиночного заряда. Смысл использования корреляционной
функции микротоков для расчета усредненных характеристик
в этом случае состоит в замене усреднения по времени усреднением
по фазам (т. е. усреднением по ансамблю невзаимодействующих
частиц).
В данной работе автор не стремился к полному освещению
материала и к строгому его изложению. Главной задачей было как
можно быстрее ввести в курс дела желающего ознакомиться с тео-
теорией электромагнитных колебаний в плазме и подготовить его
для изучения более трудных задач по исследованию неустойчи-
востей неоднородной плазмы и их влияния на состояние плазмы.
Соответственно приведенный перечень литературы является далеко
не полным. Обширный материал по теории электромагнитных волн
в плазме и по общим вопросам электродинамики плазмы имеется
в монографиях В. Л. Гинзбурга [36], В. П. Силина и А. А. Ру-
хадзе [37], а также в недавно вышедшей книге Т. X. Стикса [38],
в которых указана и более обширная литература.
§ 1. Дисперсионное уравнение (общие соотношения)
В случае, когда физические величины, определяющие состоя-
состояние плазмы, мало отклоняются от своих стационарных значений
(<? = <7о + <7i. <7i < <7о)> уравнения, описывающие поведение
плазмы, могут быть линеаризованы, и в ряде случаев удается
получить их решение. Если в стационарном состоянии плазма
4

однородна (v<7o = 0)> то линеаризованные уравнения получаются
с постоянными коэффициентами. В этом случае они могут быть
решены в общем виде, например, методом Фурье, т. е. путем раз-
разложения величин q± (r, t) в пространственно-временной ряд или
интеграл Фурье. При этом обычно бывает достаточно ограничиться
исследованием решения в виде плоской волны qt (k, со)е'<кг-ш')
(подробнее об этом см. в § 7). Если линеаризованные уравнения
однородны (отсутствуют сторонние источники поля), то для ампли-
амплитуд <7i (k, со) получается алгебраическая система однородных урав-
уравнений, имеющая, как известно, нетривиальное решение при усло-
условии, что ее детерминант обращается в нуль. Это условие называется
дисперсионным уравнением. Оно связывает между собой значения
частоты со и волнового вектора к. В зависимости от постановки
задачи либо со, либо к могут быть заданы, тогда дисперсионное
уравнение определяет в первом случае зависимость к (со), во вто-
втором со (к), причем обе эти величины соответственно могут быть
комплексными
k = kx (со) + ik2 (со); A. 1)
©(?) = ft)! (k) — <шя(Л). A.2)
Задание действительного значения со соответствует задаче
о распространении в плазме волн, генерируемых с этой частотой.
Вместо к в этом случае принято вводить показатель преломления
N:
k=^N = ^r(p + iq). A.3)
Пусть волна распространяется вдоль оси z (kx = ky = О,
kz= k). Тогда e(kr-at) = е с p[z~ р ) Tq\ как видно, дей-
действительная часть показателя преломления р определяет фазо-
фазовую скорость волны Уф = —, а мнимая часть q, в зависимости
от ее знака, определяет затухание или нарастание волны с рас-
расстоянием.
Задание действительного вектора к соответствует задаче о соб-
собственных колебаниях плазмы. В этом случае &(kz — at) _
_ enkz — «otO- tow. Действительная часть частоты сох опре-
определяет собственную частоту колебаний с заданной пространствен-
пространственной формой, мнимая часть со2, в зависимости от знака, определяет
скорость затухания или нарастания колебаний.
Для получения дисперсионного уравнения необходимо решить
уравнения Максвелла совместно с уравнениями, описывающими
движение зарядов. Удобнее сначала найти из уравнений движе-
движения связь средней плотности тока с электрическим полем. Посколь-
Поскольку эта связь линейна, то в общем случае она может быть выражена
в виде
!* = °а»(Ь> <°)?е> 0-4)
где сгор (к, со) — «тензор комплексной проводимости».

В рассматриваемом случае гармонических колебаний удобно
включить плотность тока в электрическую индукцию:
с J + с dt ~ с dt V-°>
или, учитывая зависимость е~ia>t,
Здесь введен «тензор электрической проницаемости» е„р, связы-
связывающий фурье-компоненты D и Е:
Оа = га,Е,. A.7)
Тензор е„р связан, согласно выражениям A. 4) и A. 6), с тензо-
тензором аор соотношением
Заметим, что слагаемое 6ар связано, как это видно из выраже-
выражений A. 5) и A. 6), с учетом тока смещения ~^-щ- и для продоль-
продольных волн (div Е = 4яд Ф 0) с возникновением объемного заряда.
Пренебрежение электрическим зарядом в плазме соответствует,
таким образом, условию |еар|> 1.
Тензор еар (или сгар) полностью определяет характер малых
колебаний среды, так как дисперсионное уравнение зависит только
от еар. Отметим, что наличие поглощающих свойств среды уста-
устанавливается без решения дисперсионного уравнения, по одному
виду тензора еар. Действительно, при слабом затухании, когда
волна является почти монохроматической, энергия электромагнит-
электромагнитного поля, поглощаемого в среде, определяется средним значением
по периоду колебаний скалярного произведения j и Е:
4E*=-r(/a?a + /X)- A.9)
Подставляя сюда выражение для тока A. 4) и меняя индексы во
втором слагаемом, получим
где аар —эрмитовская, а /е„р —антиэрмитовская части тен-
тензоров aap и еар соответственно:
• _
аР —
2• \1ш Ч)
Поглощение связано, таким образом, с антиэрмитовской частью
тензора электрической проницаемости.
б

Запишем уравнения Максвелла, учитывая пространственно-
временную зависимость e'<kr~M'':
-?-D; A.12)
^-B. A.13)
Уравнения div D = 0 и div В = 0, имеющие теперь вид условия
поперечности векторов D и В вектору k (kD = kB = 0), удовлет-
удовлетворяются, очевидно, как следствие этих уравнений. Исключая
из уравнений A. 12) и A. 13) магнитное поле, получим векторное
уравнение
k*E~ k(kE)— -J-D = 0. A.14)
kc
Вводя показатель преломления N = ¦—-, перепишем это вектор-
векторное уравнение в виде D = iV2Ej., или
Dj. = tf*Ej.; Du=0. A.14a)
Значки _]_ и || относятся к компонентам вектора, соответственно
перпендикулярной к вектору к и параллельной ему.
Пусть вектор к направлен по оси г. Расписывая уравнение
A. 14) в компонентах, получим
(Л/ Ехх) Ех — &xyl^y гхг^г = 0> ]
- гухЕх + (Л/2 - еуу) Еу - гугЕг = 0; A.15)
Рассмотрим эту систему уравнений сначала для случая изотроп-
изотропной плазмы (плазма без магнитного поля). Единственным выделен-
выделенным направлением в этом случае является направление распро-
распространения волны к. Поэтому тензор электрической проницаемости
должен иметь вид
В системе координат с осью z, направленной вдоль волнового
вектора, этот тензор диагональный: гхх — гуу = ех; ггг = 8ц;
остальные компоненты равны нулю. Уравнения A. 15) можно
записать следующим образом:
(Л/2-ех)Ех = 0; A.17)
ецЕ||=О, A.18)
где Ех = \ЕХ, Еу, 0\ —'Электрический вектор, перпендикуляр-
перпендикулярный к волновому вектору, а Ец —параллельный ему. Из послед-
последних уравнений видно, что продольные колебания не зависят от
?

поперечных. Дисперсионное уравнение для поперечных волн
N*=e±, A.19)
а для продольных
е II =0
A.20)
вид
(см.
1
\
§
(
К
9)
В1
-ig
Ч
— if
I
if
п
(дисперсионные уравнения исследуются ниже после получения
конкретных выражений для гор).
Рассмотрим теперь систему уравнений A. 15) для случая плазмы
в магнитном поле. Тензор электрической проницаемости обычно
вычисляется в системе координат х0, у0, z0, ось z0 которой направ-
направлена вдоль магнитного поля, а ось х0 лежит в одной плоскости
с векторами Во и к (рис. 1). В этой
системе координат тензор еар имеет
A.21)
причем величины гг, е2, r\, g, f, |
являются действительными числами,
если нет поглощения. Для холод-
холодной плазмы (Т = 0) компоненты ?
и / обращаются в нуль (см. § 3). В системе координат х, у, z
(с осью z, направленной по к), для которой записана система
уравнений A. 15), тензор еар выражается через e°g по формулам
преобразования тензоров. Пусть 0 — угол между векторами В
и к. Тогда компоненты еар будут
ехх = eY cos2 9 + r\ sin2 0 — I sin 29;
?ху = — ъУх — i {g cos 9 + / sin 9);
е„ = e,* = (e, — r\) sin 9 -cos 6 + ? cos 28;
Рис. 1.
гиу = e,
2>
Ryz = — ъгу = i (/ cos 0 — g sin 0);
&гг = ex sin2 0 + т] cos2 9 + I sin 29.
A.22)
В общем случае поперечные и продольные колебания, как
это видно из системы A. 15), не разделяются. Действительно, для
того, чтобы они разделялись, необходимо выполнение условий
гхг = &2Х = 0 и гуг — —ггу = 0. Эти условия выполняются только
в единственном случае продольного распространения волн 0=0
(как будет видно ниже, при 9 = 0 компоненты \ = f = 0). Однако
и в общем случае анизотропной плазмы имеются области частот,
в которых отношение продольной компоненты электрического
поля в волне к поперечной становится очень большим, так что
можно и здесь говорить о продольных колебаниях. Как видно из
уравнений A. 14а) и A. 15), такая ситуация, возникает для корот~
S

ких волн N2 -у со при ггг = 0. Поэтому приближенное диспер-
дисперсионное уравнение для продольных колебаний
ггг и e^sin2 0 + i\ cos2 0 + g sinj^ = 0. A. 23)
Его можно получить и непосредственно из уравнений Максвелла,
если положить rot Е = 0, т. е. для фурье-компонент, Е = -г-Е.
Тогда условие kD = 0 можно записать в форме уравнения A. 18)
с Ell = ?2 еар — егг-
Общее дисперсионное уравнение (равенство нулю детерми-
детерминанта системы A. 15)) имеет вид
AN* + BN2 + С = 0. A.24)
Коэффициенты А, В, С выражаются формулами
А = егг = e.j sin2 0 + т] cos2 0 + g sin 20;
Б = (g sin 0 — / cos 0J + f (cos2 20 + sin4 0) —
— exT] — e2 (ex sin2 0 + т] cos2 0 + | sin 20); ^ • 24a)
С = El82T] - T|g* - 6lf - 8,E» - 2g/g.
Два формальных решения уравнения A. 24) мы будем обозначать
через е, (/ = 1; 2)*
2А
или в несколько иной форме
A. 25)
A. 25а)
Здесь введены следующие величины, через которые, как будет
видно ниже, выражаются компоненты векторов поляризации:
sin2 6 + т) cos2 е + \ sin 26 '
? (СТ + ft) cos 8 + (gj + fa) sin 9 .
в! sin2 9 + t] cos2 6 + g sin 28 '
e2 (e, sin2 9 + т) cos2 6) — g2 sin2 9 + (e2g + fg) sin 29 — /2 cos2 6
zx sin2 9 + T) cos2 6 + | sin 26 ' *
A.26)
.* Формальные потому, что коэффициенту А, В, С злврсят от .Vs-

Если тензор еар не зависит от к (в случае плазмы это означает,
как мы увидим ниже, пренебрежение тепловым движением заря-
зарядов), то по формулам A. 25), A. 25а) iV2 определяется в явном
виде.
Два полученных значения квадрата показателя преломления
A. 25) относятся соответственно к двум типам волн, распростра-
распространяющихся в анизотропной среде. Волны одного типа принято
называть обыкновенными, другого типа — необыкновенными. Для
выяснения вопроса о поляризации этих волн получим выражение
для N2 несколько иным путем.
Обозначим через iax и iaz отношение х- и г-компонент вектора Е
к его г/-компоненте:
E = Ey\iax, I, ia,}. A.27)
Из последнего уравнения системы A. 15) аг выражается через о,.:
ихг = iaxe^x/ezz — егу/г2г. A. 28)
Исключив аг из первых двух уравнений A. 15), получим
Отсюда следует выражение N2 через отношение компонент вектора
Е:
^ rw + I'a*v- О-30)
Для величины ах, характеризующей поляризацию волны, полу-
получается квадратное уравнение
Соответственно двум значениям ах, определяемым этим уравне-
уравнением, имеются две волны EL и Е2, каждая, согласно формулам
A. 30), со своим показателем преломления. Поскольку ах1 +
+ аА2 = (цхх — т\уу)Н\х и ах1ах2 = у\ху!г\ух, то из выражений
A. 30) для iV2 нетрудно получить, что
N2i + N\ = r\xx + t)yy; N\N\ = r\xxi\yy — ti^t]^.
Отсюда следует, что N\t 2 определяется уравнением A. 24), полу-
полученным непосредственно из дисперсионного уравнения.
Заметим, что, как это вытекает из выражений A. 26), свободный
член в уравнении A. 31) для с^ равен У]ху!\х = —1- Следовательно,
аЛоЛ = -1. A.-32)
В отсутствие поглощения г\ух — мнимая, а г\уу и \\хх — действи-
действительные величины. Следовательно, оба корня ах1 и ах%, а также
10

а и аг2 _ действительные числа. Электрический вектор волны
данной Поляризации можно представить в виде суммы Двух век-
векторов: один направлен по оси у, другой, перпендикулярный к пер-
первому, лежит в плоскости xz и сдвинут по фазе на я/2 относительно
первого':
ЕС» = Еу {0, 1, 0}; ЕЮ = Еу {а„ 0, аг}.
Эти два вектора являются, очевидно, полуосями эллипса, который
описывается концом электрического вектора" (рис. 2). Таким обра-
образом, обыкновенная и необыкно-
необыкновенная волны обладают в общем
Рис. 2.
Рис. 3.
случае эллиптической поляризацией. Поперечная компонента
вектора Е также, очевидно, обладает эллиптической поляриза-
поляризацией, причем полуоси соответствующего эллипса
Е1? = Еи{0, 1, 0}; Е<±2) = Еу[ах, 0, 0}.
Условие A. 32), как нетрудно видеть, означает, что диагонали
прямоугольников, в которые вписываются эти эллипсы, относя-
относящиеся к разным поляризациям, взаимно ортогональны (рис. 3).
В ряде расчетов может представить интерес вектор поляриза-
поляризации в системе координат х0, у0, z0 (магнитное поле направлено
по оси z0, вектор к лежит в плоскости x0z0 и составляет угол 9
с Во). В этой системе координат компоненты вектора поляризации
определяются по формулам преобразования координат
= a* cos 0 -f
6 0 1 О
; а^ = I; az = <
,cos
е-
ах sine.
A. 34)
При подстановке значений еар, г\ху, ч\хх из выражений (I. 22)
и A. 26) получаются следующие выражения для компонент вектора
поляризации (при ау — щ = 1):
п ten + ll) cos е + (gg + ы sin e
_ (gr) -4- (I) sin 8 - чо;
г № (ex sin2 6 +
(8l sin2 6 + t] cos2 9 + I sin 29) —fit) + |»
+ /6t) cos 8 - iV2 (g sin 8 - f cos 6)
cos2 9 + | sin 26) - е^ + |2
A.35)
A.36)
1]

о __ gr\ + fl — A/2(gsin9 — /cos 6) sine
Л/2 (ex sin2 9 + т) cos2 6 + | sin 26) - eiT] + |2
о gg + /б! + JV2 (g sin 6 — / cos 6) cos 8
N* (El sin2 6 + т] cos2 9 + | sin 29) - eit] +
о
z
Задача. Показать, что при слабом поглощении мнимая часть частоты <вг при
вещественном k и мнимая часть волнового числа й2 при вещественном со связаны
следующим простым соотношением с проекцией групповой скорости du>ldk на
волновой вектор: .
»2 = к2Ж. A)
Решение. Исходим из дисперсионного уравнения
?2с2 = со2е (к, со). B)
Дифференцируя его по k, получаем
<Эсо д(со2е) 2кс2 5е /д\
дк со2йсо со2 дк
Полагая е = et + /еа, к = кх + гка, найдем в линейном относительно е2, к2
приближении (слабое поглощение) при заданном со:
Точно так же при заданном к, полагая со = <»! — ш2, найдем
5(со2е) „
-^- со2 = со2е2. E)
Сравнение соотношений C), D) и E) приводит к искомому равенству A).
§ 2. Плазма без магнитного поля.
Гидродинамическое приближение
Для выяснения характера колебаний целесообразно исполь-
использовать гидродинамическое описание плазмы. Сравнение с кинети-
кинетическим рассмотрением показывает, что гидродинамическое при-
приближение не учитывает ряда важных особенностей колебаний,
связанных с их затуханием вследствие теплового движения заря-
зарядов. Однако оно сравнительно просто позволяет получить каче-
качественную зависимость величин со и к. При использовании гидро-
гидродинамического приближения необходимо помнить, что оно со-
совершенно непригодно в области, где фазовая скорость волн на-
настолько мала, что становится сравнимой с тепловой скоростью
зарядов (или становится меньше ее), и где колебания затухают
(см. § 5, 10 и И).
Пренебрегая для°простоты трением между компонентами плаз-
плазмы, будем считать колебания адиабатичными."Тогда уравнения,
описывающие движение зарядов каждого сорта, будут
тп ~ = - ур + епЕ; B. 1)
= 0. B.3)
12

Линеаризуем эти уравнения, полагая Ео = v0 = 0, р = р0 -f рA>,
п = п0 + пA> и считая, что величины Е, v, pA), я(|) изменяются
гармонически по закону е'<кг —ш".
Согласно уравнениям B. 2) и B. 3), давление pW меняется
следующим образом:
— tcopO = — урй div v = — iy (kv) p0. B. 4)
Градиент давления отличен от нуля только в направлении
распространения волны, которое мы примем за ось г, и равен
нулю в поперечном направлении. Соответствующие проекции
уравнения движения B. 1) имеют вид
Е±\ B_5)
— i©y, = — iy — vz + — Ег. B. 6)
Отсюда находим плотность тока j = SenoV (суммирование про-
производится по сортам зарядов):
Коэффициенты, стоящие перед ЕХи и Ег, представляют собой
по определению соответственно величины а± и Стц. По формуле
A. 8), связывающей еар с аар, находим
Рассмотрим сначала поперечные колебания. В выражении для
ех можно опустить несущественные из-за большой массы ионные
слагаемые (что соответствует пренебрежению смещением ионов).
Показатель преломления N определяется, согласно уравне-
уравнению A. 19), соотношением
ЛР~1-§, B.10)
где со0е — ленгмюровская частота,
Как видно из вывода выражения для Л^2, слагаемое —¦
представляет собой отношение тока, создаваемого зарядами в
плазме, к току смещения в вакууме. При и < шОе показатель
13

преломления является чисто мнимым: р = 0, q —
со
волна экспоненциально убывает по закону е с . Невозмож-
Невозможность распространения волны объясняется экранировкой элек-
электромагнитного поля током зарядов плазмы *, подобной экрани-
экранировке поля индукционным током при обычном скин-эффекте.
В отличие от обычного скин-эффекта здесь нет, однако, поглоще-
поглощения, и поток энергии в плазму равен нулю.
В области низких частот со2 «С ©tL глубина проникновения
поля в плазму б = сЫц не зависит от частоты ю и равна
в = —. B. 12)
Получим этот результат без разложения поля на гармоники. Из
уравнений Максвелла следует для поперечных волн (div E = 0)
уравнение
А С J I ^^ /О 1 О\
с2 д^ с2 д?* ' \ • )
Если характерное время изменения поля t сравнительно велико
(t > 1/ю0), то можно пренебречь током смещения. Выражая
d\ldt из уравнения движения электронов,
т-^ = <*п.Е, B.14)
получим при этом уравнение
.р— Апе пе р — Е .„ . (.,
i-i 1^ л 1_/ ¦ « о • 1^. It/I
/яс2 б2 v '
Его решение для плоского слоя плазмы имеет вид Е = Еое-г/в,
где 6, очевидно, совпадает с выражением B. 12).
При ю > соОе показатель преломления N—действительная
величина @ <С N <С 1), и в плазме могут распространяться по-
поперечные волны. В этой же области частот возможны собствен-
собственные колебания плазмы, частота которых связана с волновым
числом соотношением B. 10), где JV2 = &V/co2:
ОJ = 0)^ + k2ci B- 1б)
Групповая скорость этих волн, определяющая, как известно,
скорость переноса энергии, равна
yrp== ^~JLf B. 17)
где Уф = (o/k — фазовая скорость волны.
* Поляризационный ток вносит сдвиг фаз у векторов Е и В. Распространение
волны возможно, если сдвиг фаз не равен я/2. При со < ш0 сдвиг фаз оказы-
оказывается равным я/2.
И

Влияние трения электронов в плазме на распространение
электромагнитных волн грубо можно учесть, добавив в правую
часть уравнения движения B. 5) слагаемое — vvj., где v — сред-
среднее число столкновений электронов с ионами. Вместо выраже-
выражения B. 10) получится формула
N2 = еА = 1 —
°е
@(С0
V) • 1 ' 2
B. 18)
где действительная и мнимая части квадрата показателя прелом-
преломления определяются соотношениями
1—¦
и0е
М2 + V2
е, = ¦
"Ое
(D ОJ + V2
B. 19)
Действительная и мнимая части показателя преломления
= р + iq выражаются через ех и е2 следующим образом:
B. 20)
Рассмотрим теперь продольные колебания плазмы. Упругой
силой, вызывающей продольные колебания, может служить как
продольное электрическое поле, вызванное разделением зарядов,
так и градиент давления плазмы. Ограничимся случаем, когда
имеются ионы только одного сорта с массой mL и зарядом ze.
Дисперсионное уравнение для продольных колебаний получается
из формул A. 20) и B. 9):
е и = l — ¦
= 0.
B. 21)
Введем обозначения
ft2 = Ii_f ;
/И/
B. 22)
Тогда уравнение B. 21) для величины N = kclu) может быть запи-
записано в виде
1 —
4t
0. B. 23)
Его решение представлено графически на рис. 4. Как видно из
графика, имеется две ветви колебаний, одну из которых условно
можно назвать ионной, другую — электронной.
Проанализируем сначала колебания, относящиеся к электрон-
электронной ветви. В области сравнительно высоких частот (са8>-'У/ -' ,
15

-^-^—-) третьим слагаемым в выражении B. 21) для ел,
учитывающим колебания ионов, можно пренебречь. При этом
получим
2 _ 2 , ., кЧе
B. 24)
или для показателя преломления
j ч_
B. 25)
т,сг
/Л
-и/
Рассмотрим собственные колебания плазмы, описываемые
формулой B. 24). Первое слагаемое в выражении для со2 связано
с упругой силой, вызван-
вызванной разделением зарядов,
второе обусловлено гидро-
тс?. у | динамическим давлением
электронного газа.
Аналогичные соотно-
соотношения, как будет показа-
показано в § 10, получаются и
из кинетического рассмо-
рассмотрения. Коэффициент уе
при кинетическом рассмо-
рассмотрении без учета столкно-
столкновений равен 3, что соот-
соответствует показателю ади-
адиабаты для случая одно-
одномерного движения (одна
Рис. 4. степень свободы). В гидро-
гидродинамическом приближе-
приближении предполагается, что во время движения энергия колебаний
успевает распределяться между всеми тремя степенями свободы,
поэтому показатель адиабаты ^=5/3 не совпадает с кинетическим
значением уе. В реальных случаях частота столкновений, при-
приводящих к перераспределению энергии колебаний, всегда меньше
частоты колебаний. Поэтому правильным значением является
Уравнение B. 24) показывает, что частота продольных коле-
колебаний всегда близка к ленгмюровской частоте. Увеличение ча-
частоты примерно в 1,5 раза происходит в области очень коротких
длин волн (k2 > 4ne2nJTk), сравнимых с дебаевской длиной.
В этой области фазовая скорость волн становится порядка тепло-
* Отметим, что при последовательном гидродинамическом подходе в уравне-
уравнении движения необходимо удерживать силу трения R = —0,7пеуГе. При этом
эффективное значение уе оказывается ближе к кинетическому: уе эл, = уе -4-
+ 0,7 (y.-1)= 2,13.
16

вой скорости электронов и, как будет показано при кинетическом
рассмотрении, при этом наблюдается сильное затухание. На рис. 4
соответствующая часть электронной ветви изображена пунктиром.
Дисперсионное уравнение в форме B. 25) удобно для выяснения
вопроса о распространении волн с заданной частотой. На основа-
основании сказанного выше относительно собственных колебаний ясно,
что продольные волны могут распространяться при со > соо, но
опять-таки в очень узкой области частот. «При со << со0 квадрат
показателя преломления отрицательный: jV2 = —q2- <C 0, и при-
приложенное к плазме поле экспоненциально затухает по закону е~г1ь.
Глубина проникновения б = c/mq оказывается равной
т. е. совпадает с выражением для дебаевской длины. Вторая фор-
формула получается из уравнения B. 21) путем вычеркивания членов
теи>2 и midJ. Это соответствует пренебрежению инерционными
членами в уравнениях движения, так что полученное выражение
B. 27) для глубины проникновения есть результат гидростатиче-
гидростатического равновесия электронов и ионов в электрическом поле.
Обратимся теперь к колебаниям, относящимся к ионной ветви.
Эта ветвь получается из уравнения B. 21) в результате опускания
члена тесо2, что соответствует пренебрежению инерцией электро-
электронов. При этом уравнение движения электронов приобретает вид
условия уравновешивания градиента электронного давления воз-
возникающим при колебаниях электростатическим полем Е:
епеЕ = - vpc- B. 28)
Разрешая дисперсионное уравнение B. 21) относительно со2 и
учитывая, что гпс = пе, находим
та _ v J^Ii ; v lfzTe ,п
Для длин волн, больших дебаевской длины,
ggl, B-30)
уравнение B. 29) дает уравнение звуковых колебаний
Условие B. 30) соответствует пренебрежению единицей в выра-
выражении B.21) для 8ц, т. е. пренебрежению объемным зарядом
2 Вопросы теории плазмы. Вып. 3. 17

(см. стр. 6). В случае, противоположном условию B. 30), возни-
возникает объемный заряд и получается дисперсионное соотношение,
аналогичное электронному B. 24):
а,я=а& + *2^. B.32)
Если частота столкновений зарядов мала по сравнению с ча-
частотой колебаний, то формулы B. 31) и B. 32) справедливы только
при условии со2 > ytk2Ti/mi; в противном случае, как уже отме-
отмечалось, происходит сильное затухание. Последнее условие в обоих
случаях выполняется только тогда, когда электронное давление
значительно выше ионного, т. е.
zTe» Tt. B. 33)
При этом условии можно пренебречь градиентом ионного давления
в уравнении движения ионов. Ионы, таким образом, находятся
под действием силы zeriiE, равной, как это следует из уравнения
B. 28) для электронов (и из условия нейтральности плазмы в ста-
стационар ног^срстоянии znt = ne), градиенту электронного давления.
В случае длинноволновых возмущений, когда заряд нейтрали-
нейтрализуется, электроны движутся вместе с ионами (ve = vt). Поэтому
отсюда сразу получается «ионный звук с электронной темпера-
температурой» [см. формулу B. 31) с Т{ = 0]. В предельн м случае корот-
коротких длин волн (k -> оо) скорость электронов в волне, равная,
согласно уравнению B. 6), vze = —i ¦ ,а^—Е, оказывается
Уе е
пренебрежимо малой по сравнению со скоростью ионов vzi =
а
— i Е. Движение ионов под действием электрического
поля при покоящихся электронах представляет собой колебания
с ленгмюровской частотой [формула B.32)].
§ 3. Плазма в магнитном поле.
Гидродинамическое приближение
Магнитное поле существенно усложняет характер колебаний
плазмы. Поэтому целесообразно рассмотреть сначала предельный
случай холодной плазмы, полагая электронное и ионное давление
равным нулю. Как вытекает из предыдущего раздела, в отсутствие
магнитного поля и в пренебрежении давлением электронов и ионов
в плазме возможны только высокочастотные электронные колеба-
колебания. Причина этого в том, что заряды колеблются в противофазе
с электрическим полем, создавая ток, противоположный по знаку
току смещения. При частотах, меььших ленгмюровской частоты
электронов, ток, создаваемый зарядами, по абсолютной величине
больше тока смещения, и колебания, следовательно, невозможны
(см. стр. 13—14).
При наличии в плазме магнитного поля Во частица под дей-
действием поля волны и постоянного магнитного поля будет совершать
18

сложное движение. Ток зарядов в общем случае не компенсирует
тока смещения. Так, например, при частотах колебаний, малых
по сравнению с циклотронной частотой, заряд, как известно, будет
двигаться в направлении, перпендикулярном к электрическому
полю, со скоростью v = с [ЕВо]ЛВо.
В результате всего этого оказывается, что в плазме возможны
колебания и с низкими частотами вплоть до со = 0.
Запишем уравнение движения заряда в поле монохроматиче-
монохроматической волны:
-icov = -^-E+[v<oB]; <*в = % C-1)
(для ионов ив = ©вг>0; для электронов сов = —соВе, ФВе^>0).
Умножая это уравнение векторно и скалярно на ыв, получим
— tco[vo)B] + vco| — 0)B(v©B) = -^-[Е(!>в]; C. 2)
? C.3)
Исключая из уравнений C. 1) — C. 3) [vwB] и (у<лв), найдем
-Z-- " (З4
V = I }—S ST < ^ ГГ5 i
Подставим теперь v в выражение для вектора электрической
индукции D= Е + t ^- j = Е + t 4г.
(з.5)
Отсюда нетрудно написать выражение для тензора электрической
проницаемости плазмы. В системе координат с осью г0, направлен-
направленной вдоль магнитного поля, этот тензор имеет вид
е ig 0
ig е 0 C.6)
\ 0 0 т, ]
где
е „_ j
^^ со2— со2 ' ^ ~ ^^
о (со2 - со|)
19

Пусть в плазме имеются ионы только бдногб сорта с Массой tnt и
зарядом ze. Введем обозначения *
М
А2 =
"Ое
4я (/я,- + zme) я,-с
гте a>Bt a>Bi аВе
Тогда выражения для е, g и т] будут
е = 1-Л2
C.7)
М (*2 — М)
TJ- 1—Л -^-.
C.8)
Квадрат показателя преломления определяется с помощью выра-
выражений A. 25) и A. 24а) с учетом того, что | == / = 0:
_ gi _ eT)) sin2 е -|- 2ет] ±
sin4 6 +
2 (е sin2 0 + r) cos2 6)
.C.9)
При подстановке в эту формулу значений C. 8) получается сле-
следующее выражение:
— М + I)х2 — М2}\ sin2 Q +
+ 2(х2~ МА2) [(х2 — 1) (х2 — УИ2) — ЛГЛ2 (х2 — М)] ±
±V{M3A'k~MA2l(M2 — M + l)x2 —M2]}2sin49+ ""* C.10)
'"* + 4 (х2 — МЛ2)М4Ж2 (М — IJ jc2 cos2 6;
Q = 2 [х2 {х2 — 1) (х2 — М2) — 7И Л2х2 (л;2 — М) sin2 0 —
— MAZ (x2 — 1) (х2 — УИ2) cos2 6].
Для получения графической зависимости N2 (ш) найдем значе-
значения х, при которых А/а обращается в нуль и в бесконечность.
Из формулы C. 9) нетрудно заметить, что vV2 обращается в нуль
независимо от угла 6 при условиях
1) Л = 0; 2) ея-?я = 0.
Первое условие дает значение х = х°, где
или to? = j/cog
g
co
g
C. 11)
C. 12)
* Параметр А представляет собой отношение скорости света к альфвеновской
скорости. Для дейтериевой плазмы он равен А = 0,2I^nt7B0.
20

Второе условие приводит к квадратному уравнению относительно
х = х\, з- Опуская промежуточные выкладки, приведем решение:
О -\/ 2,
3. 13)
В реальных случаях обычно параметр Л превосходит значение
ИУ~М. При этом условии
*§<*?<*§. C-14)
Условия C. 11) нетрудно получить из следующих соображений.
При jV2 = 0 отсутствует зависимость полей от координат («бес-
(«бесконечно длинные» волны), следовательно, вектор электрической
индукции равен нулю (D = 0) [см. уравнения A. 14а)]. Нетри-
Нетривиальное решение для Е получается отсюда при условии Det eap =
= 0. Так как детерминант является инвариантом, то для его вы-
вычисления можно воспользоваться тензором е°ар C. 6):
Det еаВ = (е2-?2)т1. C.15)
Условие обращения этого детерминанта в нуль приводит к соотно-
соотношениям C. 11). При этом, очевидно, условие т) = 0 есть следствие
компенсации продольных (по отношению к Во) компонент тока
смещения и поляризации, а условие е2 — g2- — 0 — следствие
компенсации поперечных компонент. Проекция электрического
поля на направление Во при этом является независимой величиной,
проекции же на плоскость, перпендикулярную к Во, связаны соот-
соотношениями
Е - —i-M- F ¦ F - i-i-F
Заметим еще, что значения частот со0, при которых показатель
преломления обращается в нуль, остаются неизменными и при
учете теплового движения зарядов, так как смещения зарядов
вследствие теплового движения несущественны при бесконечной
длине волны. Формально это вытекает из того, что параметром,
характеризующим учет теплового движения, является отношение
тепловой скорости зарядов к фазовой скорости волны vjv^. При
N = 0, очевидно, иф = оо, и этот параметр равен нулю.
Найдем теперь точки, в которых Л/2 = оо. В бесконечность Af2
обращается при трех значениях х = x?t 2, з, определяемых усло-
условием Q = 0. Для продольного распространения (Э = 0), как это
видно из выражения C. 10) для Q, эти значения таковы: х\ = 1,
21

%2 равняется меньшему из чисел М и АМх/г, ах" — большему
из этих чисел. Соответствующие частоты
со» = ?оБ.;
со- = мин {со&, со0};
со~ = макс {соВе, соо}
C. 16)
Для определения зависимости со, зF) перепишем условие
Q = 0 в виде
хв — ах* + рх2 — у = О, C. 17)
где
а = М2 -f 1 + МЛ2;
$ = М2A + А2) + М(М2 — М + l)A2cos*Q; C.18)
J
Будем предполагать, что А > 1. Тогда, используя тот факт, что
М > 1, уравнение C. 17) можно заменить приближенно уравне-
уравнением (х4 — ах2 + Р) (х2 — у/$), корни которого (положительные)
равны
оо I / V COS 6
cos2 0 +
A + A*) sin* 6 '
C. 19)
! + МА2 + 2 [М2 + М2А2 + МВА2 cos2 9] и ±
±]/М2 + МАг — 2 [М2 + А*2Л2 + MM2cos2 6]1/г } . C. 20)
Для всех углов 8 вне узкого конуса
C.21)
л

приближенные значения (с точностью до величин порядка ММ)
частот со00 равны:
со,00 = со •
а2. 3 = ~2
+ «L + 2%е°>Ве C0S 0 ±
C. 22)
Укажем следующую мнемоническую формулу для этих значений
корней ©!%¦ Пусть соВг — вектор, направленный вдоль Во>
а (о0е — вектор, направленный вдоль k. Тогда
со,
'2,3
-у { I «Ос + <ЛВе | ± | а>Ое —
C. 23)
22

При 0
-^- для корня со* из выражения C. 23) получаем
= ]/СОое
СО
C.24)
Значения же корней cof и со™ при 9 = -у- по формулам C. 22)
и C. 23) определить нельзя. Из выражения C. 19) видно, что
вблизи 9 = -у- значение со™ падает от ют до ауля. Формула
C. 20) в отличие от выражения C. 23) дает для со" конечное
значение, которое нетрудно по-
получить, разлагая подкоренные
выражения в формуле C. 20) по
внутреннему радикалу (для
углов, не очень близких к я/2,
этого сделать нельзя ввиду
того, что член М3А2 cos2 9 мо-
может быть большим). Соответ-
Соответствующее предельное значение
со~ равно:
ю- =
Рис. 5.
C. 25)
На рис. 5 схематически изображена зависимость х00 от угла 9.
Зная нули и полюса функции N2 (л:), нетрудно построить ее гра-
графически. Эта функция двузначная. Из формулы C. 9) видно,
что оба ее значения совпадают только при обращении радикала
в нуль. Это может быть в следующих трех случаях:
1) 9 = 0, g = 0; 2) 8 = 0, ti = 0;
о) О д-, 6 —g Щ — V-
C. 26)
Таким образом, кривые ./V2 (х) не пересекаются при косом рас-
распространении волн @ Ф 0, 9 ф -у) и лишь в предельных слу-
случаях (q ¦= 0 и 9 = -у-) имеют точки касания. При 9=0 кривые
имеют точки касания при со = 0 и на ленгмюровской частоте
со = соо. При 9 = -у с точностью до \1М значение частоты со,
при которой происходит касание, определяется соотношением
-2 - 1 + Л2, т. е.
C.27)
СО = У(йо( -f- (O2Bt .

Нетрудно видеть, что это значение со всегда больше значения со~
(при 9 = -тМ, определяемого формулой C. 25).
Отметим теперь некоторые частные значения N2.
При со -> 0 квадрат показателя преломления стремится к зна-
значениям
^ = Лэт-; N\=\+А*, C.28)
которые соответствуют следующим законам дисперсии:
С2С2 С2С2
2
с2 + с\
При с > с4 отсюда получаются хорошо известные соотношения
для гидромагнитных волн (в холодной плазме):
со2 = kVA co526; col = k2c2A. C. 29а)
Первое соотношение определяет альфвеновскую волну. Оно не
меняется и при учете давления плазмы. Второе соотношение опре-
определяет одну из магнитозвуковых волн (а именно «быструю волну»)
при условии, что альфвеновская скорость значительно больше
звуковой: сл > cs.
Заметим, что при 6 -> -у- показатель преломления N2 -> со.
Это соответствует нулевой частоте колебаний а>1 = 0 при любой
длине волны. Имеющееся здесь вырождение снимается в случае
неоднородного магнитного поля, причем собственные частоты
могут оказаться мнимыми, что соответствует неустойчивости
исходного состояния.
При со -> со оба значения iV2 стремятся к единице, так как
при частотах, значительно превышающих характерные собствен-
собственные частоты среды, поляризация несущественна. Плазма пере-
перестает влиять на распространение электромагнитных волн. Для
обеих поляризаций при этом
Nt = N2 = 1, сох = соа == kc. C. 30)
На ленгмюровской частоте, как отмечалось выше, один из
показателей преломления обращается в нуль. Другой при этом,
как следует из формулы C. 9), определяется выражением N2 =
= е ~8 . Подставляя сюда со = а>Ое, можно найти значение jV2.
С точностью до 1/М оно оказывается равным 1.
Приведенных данных достаточно для представления хода
дисперсионных кривых. На рис. 6 показано, как эти кривые де-
деформируются при изменении угла 8 от 0 до -у .
Значения N* в нижней полупло:кости определяют глубину
экранирования электромагнитного поля данной частоты в плазме.
24

Собственные колебания плазмы описываются кривыми, располо-
женными в верхней полуплоскости, где iV2 = —г > 0 и, сле-
следовательно, k — вещественное число. Рассматривая зависимость
I
F4 4- zb-=^=
ire
Ф?
ц° ц° w;
w; &>; ш,'
w
Схематическая зависимость квадрата показателя преломления от частоты:
а) ш„ > аВе; р = 0; е = 0;
б) ш0 > тВе; р = 0; е Ф 0, я/2;
в) соо > о>Ве; р = 0; 8 = я/2;
г) со„ > <лВе; рФО; 6 = 0;
д) ш0 > <лВе; р Ф 0; 9 ?= 0, я/2;
е) Во < аВе: Р = 0; 9?=0, я/2.
Р«С. 6.
со (&), т. е. учитывая только кривые в верхней полупло:кости,
мы видим, что в холодной плазме имеется пять ветвей колебаний.
При 8 ф 0 ветви колебаний отделены одна от другой. При
8-^0 три ветви сближаются вблизи плазменной частоты со = со0.
Ветвь продольных электронных колебаний ю = соо при 8=0
25

можно рассматривать как состоящую из частей трех различных
2
ветвей (аналогично при 9 = -^- ветвь jV2 = 1 ^ получается
при стремлении 9 к -у- путем слияния двух ветвей).
Для классификации ветвей колебаний необходимо рассмотреть
еще колебания плазмы в магнитном поле с учетом газокинетиче-
газокинетического давления. При учете давления общее число ветвей функции
со (к), как показано С. И. Брагинским [9], равно шести. Иссле-
Исследование дисперсионного уравнения в этом случае очень сложно.
Поэтому мы его проделывать не будем, а постараемся представить
общую картину, рассмотрев предельные случаи.
Уравнение движения заряда в магнитном поле при учете дав-
давления имеет вид
-tW = eE-^rVp(I) + [v(»B]) C.31)
где
lJ (M C.32)
Рассмотрим продольное распространение к||В0. В z-компо-
ненту уравнения, очевидно, не входит член [vB0], а в х- и г/-ком-
д
поненты не входит член с давлением, так как по условию -j— =
= -5jr = 0. Отсюда видно, что поперечные и продольные коле-
колебания' совершенно отделены, причем показатель преломления
поперечных волн не зависит от давления плазмы, а показатель
преломления продольных волн — от магнитного поля. Общая
картина при 0=0 получается путем наложения кривых, описы-
описывающих продольные колебания при Во = 0, на кривые, описы-
описывающие поперечные колебания при р = 0. Для продольных
электронных колебаний мы имеем теперь вместо вертикальной
линии со = со0 наклонную линию с насыщением при со > со0.
Из сравнения со случаем р = 0 можно заключить, что при пере-
переходе от 0 =0 к косым направлениям кривые вблизи ленгмюров-
ской частоты будут деформироваться так, как показано на рис. 7.
Точки, где А/2 = 0, как уже отмечалось, и при учете давления
не изменяются.
Рассмотрим теперь область низких частот, где существенны
ионные колебания. Низкочастотные длинноволновые колебания
(со -> 0, k -> 0) образуют, как это известно из магнитной гидро-
гидродинамики, три ветви: альфвеновскую (предполагаем сА <^ с)
<a = kcAcosQ, N%= 2 c\ C.33)
qcos 6
2fr

й две магнитозвуновых («быструю» и «медленную»):
4
(О =
с\ + 2cAcscos 9 ± У7Г+с\ — 2cAcscosl>} C. 34)
или, по аналогии с выражением C. 23а),
В случае сл > cs для быстрой волны имеем
C. 34а)
C. 35)
•-W
Рис. 7.
а для медленной
со = &cscos 8; N2 —
cos2 e
C. 35а)
При 6=0 медленная магнитозвуковая волна переходит в звуко-
звуковую. При 6 =h 0 групповая скорость этой волны направлена,
как и групповая скорость альфвеновской волны, вдоль магнит-
магнитного поля.
Чтобы составить представление о дальнейшем ходе этих трех
ветвей при учете давления плазмы, рассмотрим предельный
случай коротких длин волн k -> оо. Пусть вектор к направлен
по оси z. Из z-компоненты уравнения движения, сравнивая два
последних члена, находим оценку для р<'>:
^. C.36)
Таким образом, при k -> со р(') становится .и:чезающе малым.
Далее оценим vz, при со — сол
; °*~/-Sr-
C.37)
Как видно, при условии kvT > ©в продольная скорость пре-
пренебрежимо мала по сравнению с поперечной. Заряды движутся
2?

в плоскости, перпендикулярной к вектору к. Но при этом х-
и «/-компоненты уравнения движения имеют такой же вид, как
и для продольного распространения, с той разницей, что на дви-
движение зарядов теперь влияет не полное магнитное поле, а лишь
его проекция на вектор к, равная Bocos0. Поэтому показатель
преломления получается таким же, как для поперечных волн при
продольном распространении, только вместо сов будет входить
юв cos 0.
Таким образом, показатель преломления обратится в бес-
бесконечность при со = coB/cos0 и со = соВе соз 8 [9]. Следует от-
отметить, что в действительности при условии kvT > сов волны
должны сильно затухать, как это следует из кинетического рас-
рассмотрения. Поэтому исследование области коротковолновых воз-
возмущений в гидродинамическом приближении полезно, главным
образом, для полной классификации ветвей колебаний. При пере-
переходе к косым направлениям 0 =j= О кривые в месте пересечения
расщепляются, как и в случае отсутствия давления плазмы.
С учетом всех этих замечаний нетрудно представить общий вид
дисперсионных кривых (см. рис. 6, д).
В методических целях полезно произвести классификацию
ветвей колебаний. Наиболее постоянными свойствами обладают
длинноволновые части ветвей. Длинноволновые колебания слабо
затухают, тогда как о коротковолновых участках ветвей из-за
затухания колебаний вообще можно говорить только условно.
Далее, как мы видели, точки, где N2 = 0, являются своего рода
инвариантами: они не зависят ни от угла 6, ни от давления плазмы.
Поэтому классификацию ветвей колебаний целесообразно про-
произвести, основываясь на свойствах длинноволновых колебаний.
Три ветви колебаний, описывающие при -& ->• 0 магнитогидро-
динамические волны, будем называть соответственно альфвенов-
ской ветвью (А), ветвью быстрых (Б) и медленных (М) колебаний.
Ветвь, проходящую при k = О через ленгмюровскую частоту,
назовем обыкновенными (О) колебаниями или обыкновенной вол-
волной. Две другие электронные ветви назовем необыкновенными
волнами, ту, у которой при N* >> 0 фазовая скорость больше ско-
скорости света (N •< 1), назовем быстрой волной ЕБ, другую, имею-
имеющую резонанс на частоте, близкой к со0 или соВе (в зависимости
от того, какая из этих частот больше), — медленной необыкновен-
необыкновенной волной Ем*.
Рассмотрим более подробно случаи чисто продольного и попе-
поперечного распространения в холодной плазме.
При продольном распространении 0=0, цхх = г)уу = е;
цху = ig, N2 = е ± g. Согласно уравнению A. 31), о,. = ±1,
т. е. обе волны — обыкновенная и необыкновенная — поляризо-
* Заметим, что при ш0 ;§> к>Ве ветви А, Б, М отделены большим частотным
интервалом от ветвей О, Eg, Ем- В этом случае их можно назвать,соответственно,
низкочастотными и высокочастотными ветвями [9].
28

ваны по кругу. Для выяснения направления вращения электриче-
электрического вектора выпишем систему уравнений для Е:
(Nt-e)Ex-igEy = 0;
C. 38)
Для волны, в которой Ех = —iEy (левое вращение, в направле-
направлении вращения электрона в магнитном поле, рис. 8) *,
ШМ C.39)
Рис. 8.
для волны Ех = 1Еу (правое вращение)
Л/2 — Р 4- Р = 1
М)(х—\) -
C. 39а)
В первом случае имеется резонанс на электронной циклотронной
частоте, во втором — на ионной. Закон движения зарядов в поле
волны нетрудно найти из выражения C. 4). Так, для волны,
в которой Ех = iEy,
X; ¦
ге
" *' = *«,«.("-«>«)**• C-40)
j-co (со — а>вд х' vi " /Kico (со ¦
Пусть Ех = ?ое'*, так что ReEx = Ео cos ij). Тогда вещественные
координаты смещения зарядов удовлетворяют соотношению
Z72
О'
C. 40а)
Кроме двух волн с круговой поляризацией, в рассматриваемом
случае (9 = 0) имеется решение г\Ег = 0, т. е. т] = 0 при Ег =j= 0.
* Для определения направления вращения выпишем вещественные компо-
компоненты поля:
Еу - Re e-iat = cos at; Ex ~ Re (- 1еГш) = - sin at.
Отсюда tg ф s=
¦ = — tg a>t, т. е. ф = — at.
29

Это решение, как и в отсутствие магнитного поля, представляет
собой продольные колебания плазмы.
Рассмотрим теперь случай чисто поперечного распространения
0 = -^-. В этом случае N\ = ~~8 , Nl = r\, ^принимаетзна-
^принимаетзначения 0 или оо, что соответствует линейной поляризации волн
(в плоскости, перпендикулярной к направлению распростране-
распространения). Согласно формулам A. 22), в системе координат, где век-
вектор к направлен по оси г, еху = —е х = О, ехг = ггх = 0 (магнит-
(магнитное поле В 0 направлено по оси х).
Система A. 15) имеет вид
C.41)
Для волны, у которой электрический вектор направлен вдоль
магнитного поля (Еу = Е2 = О, Ех ф 0), квадрат показателя
преломления такой же, как и без поля: N2 = ц. Это чисто попереч-
поперечная, линейно поляризованная волна.
Для волны с электрическим вектором, лежащим в плоскости,
перпендикулярной к магнитному полю (Ех = 0), квадрат пока-
показателя преломления равен
д/2 _ e2-g2 _ (л:2 - 1) (х* - АР) - 27ИЛ2 (х* - М) + МЫ* п 4„.
е (л2 — 1) (л:2 — Ж2) — МЛ2 (л2 — М) ¦ \°-^>
Существенно, что в этой волне продольная компонента электри-
электрического поля не равна нулю (Ег ф 0). Причина этого заключается
в том, что заряды дрейфуют в направлении оси z в скрещенных
полях Еу, Во. Скорости дрейфа электронов и ионов одинаковы
только при ю <^ (оВ1. В общем же случае они различны, поэтому
происходит разделение зарядов, приводящее к возникновению
продольного поля Ег — —i— Еу. При низких частотах g/e~> 0,
и отношение Ег1Еу становится исчезающе малым. Однако в тех
точках, где N2 -> оо, ситуация совершенно противоположная.
Поперечное поле исчезает (это видно из второго уравнения системы
C. 41)).
Уравнение колебаний принимает вид ъЕг = 0, т. е. е = 0
при Ег ф 0.
Рассмотрим эти продольные колебания несколько подробнее.
Движение электрона в скрещенных полях Ег, B°x описывается
уравнениями
— i<ovy = — vza>Be;
30

Пусть Ег = Ейё^, так что Re?2 = ?0 cos -ф, тогда для веществен-
вещественных смещений получим J4
Чг Е° sin ^' z = —ТТ1—2Г ^о cos г|з. C.44)
Электрон в поле волны описывает эллипс
' 9
<°Ве
i 9~ 9~~7 9 9\9 9~ > \
который при со < ®Ве сильно вытянут в направлении, перпенди-
перпендикулярном к векторам к и В (рис. 9). Скорость электрона в направ-
направлении вектора к может быть
значительно меньше скоро- 0 Во
сти вдоль оси у и поэтому,
несмотря на большое разли-
различие в массах электрона и
иона, может сравняться со
скоростью ионов. Рассмо-
Рассмотрим, например, случай Рис. 9.
ат < w < тве- в первом
приближении электрон совершает дрейф в направлении оси у:
Ег. C. 46)
Скорость электрона в направлении распространения волны равна
vze = i —— vu == i 5— Ег. C. 47)
Для ионов при условии со > соВ? можно пренебречь влиянием
магнитного поля, так что
vzi = i -?— Ег. C. 48)
Таким образом, плотность тока равна /г = zen,- (угг — иге) =
= I——-( 1 — •— =—I ?,. Условие div D = 0 или экви-
эквивалентное ему Dz = —i —- Ег + — j = О дает дисперсионное
С С
уравнение
т2 / 2 -
~ =0. C.49)
Отсюда определяется значение со", совпадающее с выражением
C.25) при Л2 > 1 (что соответствует сделанному приближению
й ^ авд- В частности, при А2 > УИ можно пренебречь током
31

смещения
Ez. Значение со* определяется при этом из усло-
условия \г = 0, т. е. vze = vzl. Оно не зависит от плотности плазмы
и равно [66, 67]
При этом скорость электронов вдоль оси у в у М раз больше ско-
скорости вдоль оси z.
При переходе от чисто поперечного распространения к косому
(9 ф -к-) характер разобранных продольных колебаний суще-
существенно меняется. При 0 ф -»- в продольной волне имеется
компонента электрического поля вдоль Во. Электроны получают
возможность двигаться вдоль силовых линий магнитного поля:
JBe
vze = vxe ctg 0 — i
sin 9
C.51)
-— 0
При этом их вклад в плотность тока /г при
значительно превосходит вклад ионов. Из условия vze = О
(jz = 0) находим частоту продольных колебаний в виде
,,оо ,, „„с. Q /О СО\
Это же значение со™ получается при условии Л2 > М (т. е-
соог > ®ве) также из формулы C. 22).
При частотах со > со™ смещением ионов можно пренебречь
для всех углов 0. Рассмотрим снова продольные колебания при
0 = ~. Скорость электрона определяется из уравнений C. 43):
9
СОп
= i — — Ez. Отсюда Dz = 1 s—~—. Условие
7
те (с
|е
со2
со2 - со
|е
Dz = 0 определяет частоту колебаний со™ [сравните выражение
C. 24)]:
Упрощенные аналитические выражения для
чить для трех областей частот.
Первая область — низкие частоты: со
32

Учитывая, что величина т] очень велика, из формулы C. 9) полу-
получаем (первый член в разложении по \/г\)
Л/2 — е A -f cos2 6) ± ]/"i2 sinr9 + 4g2 cos2 Q .„ p.,-.
Если в е можно пренебречь единицей, то это выражение в явном
виде таково:
г-. C. 56)
1 + cos2 6 ± 1 / 1+2B — 1 ) cos2 9 + cos1 Q~
V \ ы%{
Это выражение справедливо при -^--
¦Л cos2 6 еще превышает е sin2 9 в знаменателе выражения C. 9).
Выпадение члена ц из N2 соответствует пренебрежению компо-
компонентой электрического поля вдоль магнитного поля EZa =
— — DZo. Это электрическое поле уничтожается движением
электронов вдоль силовых линий магнитного поля, происходящим
при малых частотах безынерционно.
Вторая область — высокие частоты: со > y^co0tcoB<, , где можно
вовсе пренебречь смещением ионов. При этом
2 2 2
> , когда член
7^
¦ - 1
2" >
2 (№ce-«2)+«L sin2 e ± 1/ < sin4 e + 4 Д^ (Щ2е _ Ш2) cos2 e
X L м . C.58)
Это выражение хорошо известно в теории распространения радио-
радиоволн в ионосфере. В плотной плазме (сооУшве > 1) это выражение
Для широкого диапазона углов, удовлетворяющих условию
и2@^ sin-» 9 - ,q
значительно упрощается:
^=1~-^Ь^щ- C-60)
Эта формула напоминает выражение для показателя преломления
при продольном распространении волн, с той разницей, что в зна-
знаменателе вместо соВе теперь стоит сове соз 8. Поэтому этот случай
называют «квазипродольным» распространением волн.
3 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 33

Третья область — промежуточные частоты: соВг С й С ^ве-
В этой области смещение ионов необходимо учитывать, но влия-
влиянием магнитного поля на их движение можно пренебречь, так что
еар = 4р —? Sap, где Бар определяется формулами C. 57)
при со <^ ыВе. Компоненты тензора еар при этом равны
14^^1^ <361)
Нетрудно видеть, что \г\\ > \g\, | е |, так что для углов -=
^> можно использовать формулу C. 55). Так как, кроме того,
V м
\g\ Э> 8> то эта формула сильно упрощается и дает
2
N2 = ± —i-r = ± ^—5- C. 62)
п
-i-r == ± ^-^
COS 6 WWr» COS 6
Для углов ~ 0 •< эта формула неприменима. Нужно
пользоваться общей формулой C. 9).
В заключение рассмотрим одну существенную особенность
поведения электромагнитных волн при частоте, совпадающей
с циклотронными частотами зарядов плазмы со = соВ(- и со = а>Ве.
Как мы видели, в случае продольного распространения имеется
две волны с круговой поляризацией, причем одна из них может
находиться в резонансе с вращением заряда. Случай чисто продоль-
продольного распространения 6=0 является, однако, особым случаем.
При переходе к косым направлениям (8 ф 0) характер поляри-
поляризации в корне меняется. Оказывается, что компонента электри-
электрического вектора, перпендикулярная к вектору Во, при со2 = ©|
также имеет круговую поляризацию, но в обеих волнах вращается
в направлении, противоположном вращению заряда. Если взять
нормировку векторов поляризации в виде ЕуХ = Е^ = const,
то при ю2 = <s?B эллипсы поляризации представляют собой сече-
сечения цилиндра с осью вдоль Во. На рис. 10 стрелками показано
относительное направление вращения векторов Е в волнах 1 и 2
и ^заряда (в основании цилиндра).
Эта особенность поляризации непосредственно вытекает из
формулы, связывающей Е и D. Из выражения C. 5) для вектора
индукции D нетрудно получить
Dx± <O^(l-^m(mmJ^)(^ ± iEy). C.63)
При конечном Е вектор D = N2 Ех конечен, если со2 = a>Bt
за исключением случая 8=0, где N2 — со. Поэтому из выра-
34

Жения C. 63), беря верхний, а затем нижний знак, соответственно
получим:
Ех = — 1Еу\ со = аВ1\ C.64)
Ех = iEu; со =
C. 65)
Как видно из сравнения с разобранным выше случаем продоль-
продольного распространения, направление вращения вектора Е противо-
противоположно направлению вращения зарядов.
Задача. Вывести выражение тензора га$ в гидро-
гидродинамическом приближении с учетом газокинетичес-
газокинетического давления заряженных частиц.
Рещение. Исходим из уравнений движения
-ггг
01
= — imnutv — — V Р
еп
— [vB0]
A)
(kv)
где, согласно выражению B. 4), р@ = у р =
-Y
(kv)
пТ. Разрешая это уравнение относительно
V, найдем плотность тока j = ^еп
4jt
ческой индукции D = Е + t — j.
и вектор электри-
Сравнивая полу-
полученное выражение с D,= eap Е$, находим eag. В си-
системе координат с осью z<>, направленной вдоль Во,
этот тензор имеет вид (вектор к лежит в плоскости
f- в- cosa (
2
1 ~J"
,2Ц2
X -
<-^Ч 1
CO
» <BZ
IP)
Здесь uT — yT/m, суммирование производится по сортам зарядов.
Полученный тензор полезен для оценки роли различных компонент
в дисперсионном уравнении при учете теплового движения зарядов.
3*
35

Б системе координат с осью г, направленной вдоль к по формулам преобразо-
преобразования A. 22) получаем
sin 9- cos 9
C)
2 2
@„ 0)„ 0O,
—=- sin 6- cos 9, (—2-sin©, 1 #-cos29
со2 ч> со2
§ 4. Резонансы при учете теплового движения
При рассмотрении колебаний в предыдущих параграфах пред-
предполагалось, что в нулевом приближении заряд находится в одном
месте, смещаясь только под действием поля волны. В действитель-
действительности же за время колебания заряд может сместиться благодаря
тепловому движению на расстояние, сравнимое с длиной волны.
Это смещение становится существенным для замедленных волн,
фазовая скорость которых меньше скорости света и может сравни-
сравниваться со скоростью заряда. При этом могут возникнуть харак-
характерные резонансные эффекты, приводящие к обмену энергией
между волной и зарядами. Для выяснения условий резонанса
определим силу, действующую на движущийся заряд при про-
прохождении волны вида е'(кг-и<>. В линейном приближении эта
сила, очевидно, равна
} {(^)^)} D.1)
Здесь v0 — скорость невозмущенного движения заряда, В =
= ¦—¦ tkE ] — магнитное поле волны. Электрическое поле Е =
со *
= Еое'(кг~(О') нужно брать в точке, где заряд находится в мо-
момент времени t. При этом, очевидно, в линейном приближении
под г (t) следует понимать радиус-вектор невозмущенного движе-
движений заряда.
Пусть начальный радиус-вектор заряда есть г0 = {х0, у0, zo\.
В отсутствие постоянного магнитного поля и в пренебрежении
взаимодействием между зарядами v0 — const и заряд движется
по прямой линии:
г = r0 + vo*. D. 2)
Фаза волны равна
kr — at = kr0 + (kv0 — ш) t. D. 3)
36

При условии
ш — kv0 = 0 D.4)
сила, действующая на заряд, не зависит от времени. Это условие
резонанса выражает тот факт, что проекция скорости заряда на
волновой вектор совпадает с фазовой скоростью волны
-|- = u0cos(kv0). D.5)
Поскольку в плазме без магнитного поля фазовая- скорость попе-
поперечных волн больше скорости света, то для поперечных волн
условие резонанса не выполняется. Резонанс может быть, однако,
на продольных волнах, фазовая скорость которых, как мы видели
в § 2, может стать сравнимой со скоростью теплового движения
зарядов. Взаимодействие продольных плазменных волн с зарядами
приводит к пецифическому затуханию волн, которое будет рас-
рассмотрено в § 5 и 10.
Пусть теперь плазма находится в однородном магнитном
поле В о, направленном вдоль оси z. Закон движения заряда в этом
случае таков:
vxo(t) = ^xocos (a>Bt + ф0) = vx0{0) cos aBt -f ^0@) sin ®Bt; j
vyo(t) = — Uxosin^f + cp0) = vyo(O)coso)Bt — vx0@)sinaBt; \ D.6)
Vz o(O = VZO . I
Здесь coB — циклотронная частота заряда, q>0 — начальная фаза:
= Vvlo + v2uo. D.6a)
Пусть волновой вектор волны лежит в плоскости xz:
k = {kx, 0, kz\. D.7)
Тогда фаза волны в точке, где находится в момент t рассматри-
рассматриваемый заряд, будет
кг — Ы = кг0 — (© — kzvZo) t + -^± [sin ((oaf + ф0) — sin cp0]. D.8)
Используя разложение (см. приложение I)
e<a.in,= +2 JMJ»\ D.'9)
/I sss — 00
находим
г (кг—шо
ln(Po-i——sin ф„—г (ш-яшд-S.o ) i
D.10)
37

Таким образом, на заряд, движущийся в магнитном поле, действует
сила, состоящая из слагаемых с временной зависимостью е~шч,
где со' = со — ncog — kzvZo. Резонанс, как мы знаем из § 3,
наступает при совпадении ±со' с циклотронной частотой:
со — (п ± 1) сов — kzvi(i = 0. Вводя переобозначение п ± \ -у п,
получим условие резонанса в виде
со — гшв ~ kzv20 = 0, п = 0, ±1, ±2, . . . D.11)
Отметим, что, согласно эффекту Допплера, частота со излучателя,
движущегося вдоль оси z со скоростью иг0, связана с наблюдае-
наблюдаемой частотой в лабораторной системе координат соотношением
-^i-LzJi^L D.12)
Движение заряда в магнитном поле можно рассматривать как
движение осциллятора конечных размеров («ларморовский кру-
кружок») вдоль силовой линии. Учитывая, что сов = co^Vl— р2,
где сод = -^ собственная частота этого осциллятора в си-
системе, в которой он покоится, мы видим, что условие D. 11) озна-
означает совпадение частоты электромагнитной волны с одним из
обертонов собственной частоты осциллятора. В частности, при
п = О это условие, как и условие D. 4), означает, что в Системе
координат, где заряд покоится, частота волны равна нулю (по-
(постоянное поле).
Заряды, находящиеся вблизи резонанса, как уже отмечалось,
могут эффективно обмениваться энергией с волной. В зависимости
от вида функции распределения зарядов по скоростям это взаимо-
взаимодействие может приводить к затуханию волн или к их усилению.
Уравнение движения заряда при v0 ф 0 может быть записано
в линейном приближении в виде
/ '
/ | kro+ k j vb(t')dt' ~IAt
где г (t) = r0 + f v0 (С) dt' — радиус-вектор заряда в отсут-
0
ствие волны.
Можно поступить несколько иначе, написав для движения
частиц гидродинамические уравнения (в переменных Эйлера):
Г +(voV)v~[vwB]) = F(r, t) - Foe'<k'-«">,
где теперь г — независимая переменная.
При расчетах тензора еаK удобнее пользоваться более фор-
формальным методом кинетического уравнения-
38

§ 5. Затухание плазменных колебаний
Наиболее характерными для плазмы являются продольные
колебания, происходящие с частотой (§ 2)
2 2 , k2Te ,- ,.
Колебания плазмы с частотой © = со0е были теоретически и эк-
экспериментально исследованы впервые Ленгмюром и Тонксом
A929 г.). Власов A938 г.) на основе впервые примененного им
кинетического уравнения с самосогласованным полем установил
закон дисперсии этих волн. Несколько позднее Ландау теорети-
теоретически показал [2], что плазменные волны затухают даже в отсут-
отсутствие столкновений.
Причина затухания, исследованного Ландау, может быть
уяснена из следующих качественных соображений [68]. Заряды,
движущиеся со скоростью, несколько большей фазовой скорости
волны (t>o>-x/, МОГУТ затормозиться электрическим полем
волны и изменить направление своего движения относительно
волны. Но при отражении от потенциального барьера, движу-
движущегося со скоростью ш/fe, энергия частицы изменяется на ве-
величину *
^(^) E.2)
При v0 > -р изменение энергии Ае < 0, т. е. частица теряет
энергию, отдавая ее волне. Точно такой же формулой выра-
выражается изменение энергии частицы, движущейся со скоростью,
несколько меньшей фазовой (уо<С-г")« Эти частицы как бы
подхлестываются догоняемой их волной и приобретают энергию
Ае > 0. Очевидно, что отражение испытывают те заряды, энер-
энергия которых в системе координат, связанной с волной, меньше
потенциальной энергии заряда в поле Е = Ео sin kx, т. е.
Ширина интервалов скоростей, в которых Ае > 0 и Ае ¦< 0,
одинакова. Но в одинаковом по величине интервале скоростей при
максвелловском распределении число быстрых частиц (теряющих
энергию) меньше числа медленных (отбирающих энергию у волны).
* Относительная скорость частицы и = v0 г- при отражении изменит
ft
знак и станет равной иг = -г v0; следовательно, абсолютная скорость ча-
частицы после отражения будет vi = и{ + -г- — 2 -г v0. Вычитая mv\l2
Щ tnv /2, найдем Де в соответствии с выражением E. 2).
39

Поэтому суммарная энерп- ^обретаемая зарядами, положи-
положительна, волна поглощается."ьа рис. 11 знаками плюс отмечена
доля частиц, поглощающих энергию, а знаками минус — доля
частиц, отдающих свою энергию волне. Если функция распреде-
распределения при у =-г- растет с v (как это показано на рис. 11, б),
то будет происходить усиление волны. Частицы, занимающие
статистически менее вероятные состояния с большей энергией,
под влиянием волны будут переходить в более вероятные состояния
с меньшей энергией, отдавая
избыток энергии волне. Если
частоту колебаний разделить
на действительную и мнимую
части (о = о)! — гш2), так
что положительным ш2 соот-
соответствует затухание колеба-
колебаний, то, как видно из пре-
предыдущего, знак сс>2 противо-
противоположен знаку производной
функции распределения по v
со
при v = -г- :
со, •—• —
df
dv
E.4)
Рис. 11.
Эффект затухания (усиле-
(усиления) волн, как видно из при-
приведенных рассуждений, по-
получается при учете лишь
однократного отражения за-
Если за время прохожде-
ряда от потенциального бугра. _
ния зарядом расстояния между двумя соседними буграми волна
не затухнет (не усилится), то при отражении от противоположного
бугра те заряды, которые потеряли энергию при первом отраже-
отражении, теперь приобретут ее, а те, которые приобрели — потеряют.
В среднем изменения энергии зарядов не будет. Эффект затухания
(усиления) волны будет отсутствовать. Частота колебаний заряда
1 Г 2еЕ0
в потенциальной яме равна примерно ku ~ у —^— «, так что
условие достаточно сильного затухания (усиления) волны имеет
^^-k. E.5)
Как будет^видно ниже, затухание существенно при kvT ~ ю0.
при этом у ~ со0. С учетом этих значений k и у неравенство E. 5)
перепишется в виде
^»i|L. E.6)
40

Таким образом, затухание, рас ,-й данное Ландау, существует
лишь в достаточно слабом поле, ко/Да энергия, набираемая заря-
зарядом в электрическом поле на расстоянии порядка длины волны,
значительно меньше первоначальной энергии заряда. Это есть
обычное условие линейного приближения в электродинамике.
Отсутствие ^бесстолкновительного затухания в нелинейном при-
приближении можно по~ясн*йтъ~тём,"™чт'*оТГрГёзультате взаимодействия
зарядов с волной их функция распределения исказится так, что
ПрИ v = ijL появится «ступенька»
А
dv
(О
Заметим, что учет лишь одного отражения заряда от потен-
потенциального бугра эквивалентен наличию некоторого слабого меха-
механизма диссипации, например столкновений заряда с другими
частицами, происходящих с частотой v, которая много больше
частоты отражений, однако может быть еще значительно меньше,
чем у iy > v > 1/ -^-^ k\, так что суммарный эффект от v не за-.
висит. Введение столкновений, частота которых впоследствии
устремляется к нулю, является удобным формальным методом для
расчета бесстолкновительного затухания.
Дисперсионное уравнение для плазменных колебаний с учетом
бесстолкновительного затухания можно получить непосредственно
из закона движения зарядов. Сначала получим это уравнение
нестрого.
Рассмотрим группу частиц с плотностью Дя0 = nQfAv0, имею-
имеющих скорости, близкие к v0. Напишем уравнение движения
и уравнение непрерывности для этой группы частиц при нали-
наличии волны Ег = ?0е'(';г-<0'>, приняв во внимание потерю
импульса и числа частиц из-за столкновений, частота которых v
в дальнейшем будет устремлена к нулю:
т (-^- + v0 ^- + vt>e>) = еЕг; E. 7)
= _„дпо div v,,). E. 8)
Учитывая зависимость e'<ftz—ш/>, находим
иA) = l IT/ 1 г^-г Е*> Ап0) = -Г, kf\ ¦ Д"о- E- 9)
Плотность тока, вызванная электрическим полем волны, оказы-
оказывается равной
А/г = е (ЛпоуС) + Дп^'Оц) = Да „ Ez. E. 10)
41

где
Да и = i
. е2Ап0
со -f iv
E.11)
(со — kv0 +-«vJ '
Как указывалось в § 1, энергия, поглощаемая средой, опре-
определяется через эрмитову (в данном случае реальную) часть комп-
комплексной проводимости
Л Г) ^ Лгг' Р^ /К 10\
/\[^ — ——— l\\j [| CQ' [о, { Z.J
Из выражения E. 11) находим
т [(со — kv0J -f- v2j2 ' v • /
При v -*0в числителе можно опустить va. Из полученного выра-
выражения видно, что заряды поглощают энергию (Дац>0), если
их скорость меньше фазовой
скорости волны (в согласии
с приведенными выше дово-
доводами). Наоборот, при усло-
условии v0 > —г- заряды отдают
энергию волне. Суммарный
эффект должен зависеть от
значения производной df/dv0
*" Т при v0 — -г-. Действитель-
у», у«, у.
Рис. 12.
но, выражение для суммар-
суммарной комплексной проводи-
проводимости можно преобразовать, используя интегрирование по ча-
частям, к интегралу, содержащему df/dv0:
^ е2п0
т
со + i v
(со ¦
Действительная часть а и равна
о „ = —
oo
f
J (m-
dv0
со — kv -f- iv
7^dva-
E. 14)
E. 15)
Для выделенных групп частиц со скоростями, близкими к ио1,
Wo2), i>o3) и т. д., подынтегральное выражение имеет вид горбов
с полуширинами, определяемыми значением v (рис. 12). При
переходе к непрерывному распределению по скоростям расстоя-
расстояния между горбами уменьшаются. В результате наложения от-
отдельных кривых получается суммарная кривая (изображенная
42

пунктиром), которая при v^-О зависит только от формы функции
распределения. Интеграл E. 15) берется очень просто. Выражение
. г^тал—§ обладает свойством б-функции. При v -> 0 оно
((О — KVq) -\- v
исчезающе мало всюду, за исключением узкой окрестности точки
уо = -т--. В этой окрестности значение функции v0-^- можно
считать постоянным. Вынесем это значение из-под знака интеграла.
Оставшийся интеграл равен
E. 16)
J (со-,
Таким образом,
df
Дисперсионное уравнение для рассматриваемых колебаний
имеет вид
е„= 1+1—^=0. E.18)
9
В отсутствие теплового движения ец = 1 ^-, и собственная
.частота колебаний равна со = wOe. Предполагая, что тепловые
поправки к собственной частоте колебаний малы (kv0 < <оое),
.найдем Iта || разложением знаменателя подынтегрального выра-
выражения E. 14) по отношению ~^~- и интегрированием по частям:
E. 19)
Итак,
е и = 1 — -^
43

Условие ец = 0 дает
2 2 / , , о k V
со ^1+3
А
Считая поправки, связанные с учетом теплового движения, ма-
малыми, заменим всюду в правой части со на соОе. Полагая далее
(ю2 < Wj)
со = (Oj — /со2, E. 22)
найдем
E.23)
При максвелловском распределении/ = (ут~) e 2Т имеем
= (ут~) e
о
m и~
E.24)
2~ ° BЛ22
где а = У^Т/4яе2п0 — дебаевский радиус. —•
Длинноволновые возмущения (ka <? 1) затухают слабо, воз-
возмущения же, длина волны которых приближается к дебаевскому
радиусу (ka ~ 1), затухают за один период колебаний (строго
говоря, при со2 ~ со0 формула E. 25) уже неприменима, но каче-
качественный вывод о сильном затухании при ka > 1 правилен).
Таким образом, как уже указывалось в § 1, электронные колеба-
колебания плазмы происходят в очень узкой окрестности значения со =
= соОе.
Нестрогость приведенного вывода дисперсионного уравнения
заключается в следующем. Как видно из формул E. 14) и E. 15),
знак Reau связан со знаком мнимой части знаменателя подын-
подынтегрального выражения E. 14). Так, для максвелловского рас-
распределения из v > 0 следует Яеоц >0 и соответственно Imco =
= —со2 ¦< 0, что дает затухание. Но, вычисляя интеграл E. 14),
мы не обращали внимания на то, что впоследствии со оказалась
комплексной величиной. Если бы мы учли, что со = со,- — гсо2
при v -> 0, где со2 > 0, то знаменатель в выражении E. 14) при-
принял бы вид сох — kv0 + i (v — со2) и при v < со2, казалось бы,
мы получили Rea ц < 0, что соответствует усилению колебаний (!).
Но этот вывод совсем неправилен. Что это так, видно хотя бы из
того, что при Reau < 0 дисперсионное уравнение дало бы
Imco >> 0, но это противоречит только что использованному при
вычислении Reon значению со = сох—гсо2, со2 >> 0. Такое же
противоречие получилось бы, если при вычислении интеграла
44

Обложить о) = и>х 4- i(fl2 (Ш2 > 0), что соответствует раскачке
колебаний. При этом, как и в случае, когда знаменатель имеет
вид <и — kv0 + /v, из дисперсионного уравнения получается
Imco <0 в противоречии с принятым предположением Imco =
= со2 > 0. Эти парадоксы связаны с некорректностью метода,
которым было получено дисперсионное уравнение при учете
теплового движения. Дело в том, что решение вида е/(*2~и(\
подразумевающее определенную зависимость собственной ча-
частоты от волнового числа © = со (k), не имеет места при наличии
теплового разброса зарядов по скоростям. Точно также, например,
не получилось бы решения в виде e~ia>t,
если бы скорость заряда была опреде- v*~
ленной, но возмущение имело бы вид
) J fik dk {f
, у \^j
волнового пакета f (г) = J fkeikz dk {fk ф Рис_ 13
=f б (k — k')). Формально это ясно и
из дисперсионного уравнения. Это уравнение трансцендентное
и имеет неограниченное число корней. Найденный корень E. 23)
выделяется тем, что имеет минимальную мнимую часть.
Строгое решение задачи о собственных колебаниях плазмы,
проведенное ниже (§ 7), показывает, что решение e'<ftz-°>'> OCy.
ществляется асимптотически (для больших /). При этом оказы-
оказывается, что входящий в дисперсионное уравнение интеграл сле-
следует вычислить именно так, как это сделано выше, т. е. предпо-
предполагать, что в знаменателе подынтегрального выражения со ве-
вещественна и имеется всегда малая положительная мнимая часть
v > 0, которую потом можно устремить к нулю. Если с самого
начала считать, что v = 0, то такое правило вычисления озна-
означает, что при интегрировании по v полюс v = -г- необходимо при
k > 0 обходить снизу (рис. 13). Это правило вычисления назы-
называется «правилом обхода Ландау». Обоснование этого правила
будет дано в § 7. Предварительно рассмотрим некоторые общие
соотношения электродинамики сред, обладающих пространствен-
пространственной дисперсией, т. е. сред, у которых тензор еай зависит от к.
§ 6. Уравнения Максвелла в анизотропной среде
с пространственной дисперсией
В случае немагнитной среды (ц = 1) уравнения Максвелла
можно записать в виде
rotB~ — -д1 _J(E)=-7-jCTOp;
F.1)
div E — 4яд (Е) --- 4лрстор;
div В = 0.
45

В первом уравнении выделена часть плотности тока j (E), вызван*
ная электрическим полем волны. Под сторонней плотностью
тока jCTop понимается плотность тока, не зависящая от Е, напри-
например ток в проводниках, помещенных в плазму, или ток, создавае-
создаваемый отдельным зарядом (при рассмотрении поля, создаваемого
этим зарядом), и т. п. Соответствующее разделение сделано и
в плотности зарядов.
Общая связь плотности тока j (E), вызванного электромагнит-
электромагнитным полем в однородной среде, находящейся в стационарных
условиях, может быть записана (в рамках линейности уравнений
Максвелла) в виде линейного функционала
/а(г, *)= J^'Kp(r-r', t-t')E^r', t')dv'. F.2)
Здесь и всюду далее предполагается, что при t = —оо электро-
электромагнитное поле в среде отсутствовало. Формула F. 2) выражает
тот факт, что ток в точке г в момент t зависит от электрического
поля, которое было в точке г' в предшествующие моменты времени
t' <C t. Такая связь между j и Е проистекает из-за того, что вклад
в плотность тока j (r, t) дают те заряды, которые за промежуток
времени t — .t' передадут воздействие электромагнитного поля
из точки г' в г. В простейшем случае пренебрежения взаимодей-
взаимодействием между зарядами этот перенос воздействия осуществляется
перемещением заряда из г' в г вследствие теплового движения.
Так, для плазмы без магнитного поля вклад в ток дают заряды,
перемещающиеся со скоростью v0 = (г — r')/(t — t') из г' в г'.
Таким образом, ядро аар (г — г', t — Г) зависит от закона
движения зарядов в рассматриваемой среде. Эта зависимость
имеет наиболее простой вид в случае среды, находящейся в ста-
статистическом равновесии, когда функция распределения зарядов
имеет вид
А,(Яо, po)dqorfpo = const-е-«ЯР- *°"Tdqodpo F.3)
(q0, p0 — совокупность координат и импульсов всех N зарядов,
находящихся в рассматриваемом объеме). При наличии электро-
электромагнитного поля это распределение искажается:
D(t)=D0+Dl(t), F.4)
причем Dt (t) подчиняется уравнению
-f [v<B(r/f t)]\
,-=i
N
¦ г —^-^о> F-5)
где Е и В — среднее электрическое и магнитное поля, определяе-
определяемые уравнениями F. 1), Но — гамильтониан системы зарядов
46

В отсутствие электромагнитной волны *. Перейдем от переменных
г,-, р,, t к переменным r0/, roi, t, определив связь между ними из
закона движения зарядов в отсутствие волны:
r* = rf(r0,-, t); vt = v,(voi, t). F.6)
Тогда уравнение F. 5) примет вид
iaMM^j(r,/)E(r', t)dr', F.7)
1 = 1
где jM — микроскопическая плотность тока:
f (r, t) = ^eivl(t)d(r~ri@). F.8)
Таким образом,
Dl = -§?- [ Л' f /р (г', *') ?„ (г', t) dr. F. 9)
— CO V
Среднюю плотность тока мы получим, умножив jM(r, t) на Dj
и проинтегрировав по координатам и скоростям всех зарядов:
t
ja (Г, t) = -Ljjdt' j /а (Г, *)/р(г\ О'^Э (Г'' '') ^Г'- F- 10)
Здесь черта означает усреднение по равновесному распределению
Do.
Сравнение выражений F. 10) и F. 2) для плотности тока пока-
показывает, что ядро 0ар (г — г', t — t') связано с функцией корре-
корреляции токов
Ga&(R, t) = /S(r, 0/р (г', О: R = r-r', x = t~t F.11)
простым соотношением
°ap(R. t) = ^-Gap(R, т). F.12)
Функция aap (R, t) по своему смыслу определена только при
t > 0. Но ее можно продолжить (произвольным образом) и в об-
область х < 0. Определим ее при т < 0 следующим образом:
<?ap (R, -t) = стра (—R, т), или аар (—R, -т) = ара (R, т). F. 13)
Такое продолжение естественно получается, если формулу F. 12)
распространить на область т ¦< 0 из очевидного свойства
* Имея в виду получение соотношений между основными электромагнитными
характеристиками среды максимально наглядным способом, мы не останавлива-
останавливаемся здесь на уточнении смысла Но. В случае плазмы все используемые в этом
параграфе соотношения можно получить регулярным способом (см. приложениеШ).
47

^аэ (R> т) ^ ^ра (—R. —т)- Соотношения F. 13) можно однако
использовать и в случае, когда формула F. 12) вовсе неприме-
неприменима (в неравновесной среде).
Как видно, уравнения Максвелла в общем случае являются
интегро-дифференциальными, и их решение представляет большие
затруднения. Одним из рациональных методов решения этих урав-
уравнений в случае однородной среды является метод Фурье — разло-
разложение всех величин по плоским волнам. Остановимся на полу-
получении соотношений между фурье-компонентами величин j и Е,
<?ар и Gap-
При разложении по плоским волнам фурье-компоненты будем
обозначать той же буквой, изменяя только аргумент:
j (г, t) = Jj(k, co)e'(kr-«')afkdco; F. 14)
j (k, со) = -^yr J j (r, t) e-'<kr-»O drdt; F. 14a)
E(r, *) = jE(k, coje^1"—»»dkrf<o и т. д. F. 15)
Интегрирование по kx, ky, kz, со, x, у, z и t, если не отмечено
особо, производится от —со до -{-со. Подставляя электрическое
поле F. 15) в выражение F. 2), связывающее j и Е, и вводя вместо
г', f новые переменные R = г — г' и т = t — t', получим вы-
выражение для j (r, /) в виде разложения F. 14), причем
/а(к, со) = стаД (к, со)?„(к, со); F.16)
0afJ(k, со) = J drjaa^(R, T)e-'<kR-«*><iR.' F. 17)
Обратим внимание на то, что интеграл по х здесь берется в преде-
пределах от 0 до оо (а не от —со до +оо). Это обстоятельство непо-
непосредственно связано с причинной зависимостью j от Е, выражаемой
тем фактом, что в формуле F. 2) интегрирование производится
только по предшествующим моментам времени.
Представим тензор aap (k, со) в виде суммы эрмитовской и
антиэрмитовской частей:
. • _
F. 18)
Делая простые преобразования переменных интегрирования и
воспользовавшись свойством F. 13), из уравнения F. 17) находим
!т; F. 19)
* dx. F. 20)
48

В интегралах (б. 19) и F. 20) интегрирование пот производится
в пределах от —оо до +эо. Второй интеграл, фактически пред-
представляющий собой разность двух интегралов с пределами от 0
до +оо и от —со до 0 записан в том же виде, что и первый, с по-
помощью разрывной функции
1. *>0;
j_1)T<0_ F.21)
В дальнейшем потребуется фурье-компонента этой функции.
Найдем сначала фурье-компоненту функции Sgn f -,e v I T I,
а затем устремим v к нулю. Имеем
Функция
— = lim—Н^-т-, F-23)
называемая главным значением 1/х, ведет себя как Ух всюду,
за исключением точки х. = 0, где она обращается в нуль. Если эта
функция стоит под знаком интеграла, то интеграл берется в смысле
«главного значения»:
ъ ъ
^^j^dx. F.24)
Из соотношения F. 22) имеем
i P 1
F.25)
я х 2л
— оо
так что
оо
(* 1хх
"— dx. F. 26)
Формулы F. 19) и F. 20) дают выражение эрмитовской и
антиэрмитовской частей тензора оа^ (к, со) через одну и ту же
функцию аар (R, т). Эти же формулы позволяют найти и непо-
непосредственную связь аир (к, со) и Оаз (к, <») (формулы Крамерса).
Действительно, производя обратное преобразование Фурье, из
формул F. 19) и F. 20) соответственно находим:
^obCR. t) = -^r f сгар(со',к')е'(к'к~ш'т)^к'Ло'; F.19a)
op(R, t) = ~ \
(co',k')SgnT.e'(k'R-B'T)dk'dco'. F.20а)
4 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 49

Подставляя выражение F. 19а) в F. 20), а выражение F. 20а)
в F. 19) и используя формулы F. 25) и F. 24), получаем формулы
Крамерса * для тензора стаР (к, со):
-*»'- F-28)
При решении уравнений Максвелла, как отмечалось в § 1,
удобно включать плотность тока j (E) в электрическую индукцию
и пользоваться тензором электрической проницаемости
. F.29)
Этот тензор связывает векторы D (к, со) -с Е (к, со):
Da (к, со) = еар (к, со) ?р (к, со). F. 30)
Эрмитовская и антиэрмитовская части тензоров еар и аар связаны
соотношениями:
4я0"о „ 4яст 'о
е«з = <VP ^ ; fеоЭ = i —^-. F.31)
Заметим, что поскольку ааВ (R, т) — вещественная функция,
то, как это видно из уравнения F. 17), alp (к, со) = ааM (—к, —со)
и, следовательно,
Еар (к, со) = eaJ3 (—к, —со). F. 32)
Воспользуемся методом Фурье для нахождения электромагнит-
электромагнитного поля в плазме по заданным токам. Уравнения Максвелла
F. 1) для фурье-компонент превращаются в алгебраическую
систему уравнений, причем' дифференциальные операции заме-
заменяются следующими алгебраическими:
яд
div A -> i (kA); rot A -> i [kA]; -^f- ->¦ —icoA. F. 33)
Первые два уравнения Максвелла принимают, таким образом, вид
^ ^ F.34)
* Заметим, что в исходной формуле F. 2) интегрирование производится факти-
фактически по «релятивистскому конусу» R < ст. Явный учет этого ограничения
области интегрирования приводит к дополнительным связям в формулах Кра-
Крамерса, установленным М. А. Леонтовичем [39]. При использовании конкретного
значения 0ap (R, т) учет релятивизма производится автоматически, поскольку
О(ф (R, т) = 0 при R > ст. [сравните, например, формулы F. 12) и (8. 12)].
50

Вторые два уравнения являются следствием этих двух, если
учесть, что div j = г coq.
Исключая В, получаем систему уравнений
^p F. 35)
(в дальнейшем индекс «стор» будем опускать).
В случае изотропной среды, когда тензор еаР имеет вид
F-3б)
эта система может быть записана в векторной форме
ш3 „ 4 т'со .
k (kE)
где Еу =—p-i компонента вектора Е вдоль к (продольное
поле), а Ej_ = — 2 —поперечное (относительно к) поле.
Из этого уравнения следует
Ец = ^-j || (к, со); F.38)
j i (к, ш)
= i^ х \ -. F.39)
Полное поле Е (г, t) равно
]ц (к, со)
E(r, *) =
(О2
с2
fr2 -
-J±
CO2
Г2
(k,
CO)
(k,
«)
(к, (О)
F. 40)
Как видно, электрическое поле слагается из двух независимых
частей. Первое слагаемое удовлетворяет условию div E = 0.
Это поперечное поле. Второе слагаемое удовлетворяет условию
rot E = 0. Это продольное поле.
Рассмотрим теперь анизотропную среду. Для решения системы
уравнений F. 35) воспользуемся методом нормальных колеба-
колебаний {40, 41], в котором поле Е разлагается по «нормальным
векторам поля», или векторам поляризации а. Эти векторы поля-
поляризации определим как решение следующей системы однородных
уравнений:
{е, (бар — лапр) — еаР} аы =0; п = —, F.41)
4* 51

Где соответствующее вектору at собственное значение е, (/ = 1; 2)
определяется соотношением A. 25а). Наряду с этой рассмотрим
следующую вспомогательную систему уравнений для взаимных
векторов Ь*:
|е„Л<5аЗ~ па4) — Ча)Ь1т = 0. F.42)
(Векторы а и b являются собственными функциями взаимно со-
сопряженных операторов. Если еар — зрмитовская матрица
(бар = ЕРа), то векторы а и b совпадают). Умножая первое урав-
уравнение на Ьат, а второе на аа1 и переобозначая немые индексы
суммирования во втором уравнении, получим
е/ (ба0 — ла«р) Ьатпр — &^а^Ь*ат = 0; }
* » [ (о. 46)
8>п (баЭ — «а%) Ьата^ — га&а^Ьат = 0. J
Вычтем второе уравнение из первого:
(е/ — ет) (ба3 — пап&) Ъ1таы = 0. F. 44)
Отсюда следует, что при I =j= m множитель при (ег — еЛ) обра-
обращается в нуль. При I — т для анизотропной среды он не равен
нулю и может быть приравнен единице. Этим условием опреде-
определяется нормировка векторов а и Ь.
Итак, векторы а и b удовлетворяют следующим условиям:
1) условию ортонормировки *:
Ь1т\
F.45)
2) из уравнений F. 43) с учетом условия F. 45) следует экви-
эквивалентное соотношение
еаЦаЩЬ*ат = Бгб,т. F. 46)
Решение неоднородной системы уравнений F. 35) представим
теперь в виде
2
Е = 2^>/. F-47)
/-=1
* Условием F. 45) нормируется поперечная компонента вектора поля.
В случае изотропной среды, когда имеется независимое продольйое поле, выраже-
выражение (бар — nQrtp) Ь*апа&1 = a;b^ — (na;) (nb^) тождественно равно нулю для
продольного поля, и указанный способ нормировки не является удовлетворитель-
удовлетворительным. Вместо нормировки поперечных компонент можно использовать другие
нормировки, например, нормировку длины вектора поля (см. задачу 1 к § 6).
52

где Ег — амплитуды, подлежащие определению. Подставляем
выражение F. 47) в уравнения F. 35):
= -jj- /а (к, ©)• F.48)
/=1
Умножая это уравнение на Ь*ат и учитывая условия ортонорми-
ровки, получим
(^^^^-ObJ). F.49)
Из выражений F. 49) и F. 47) для фурье-компоненты электриче-
электрического поля получаем выражение
Е(к;ш)== y__.__A__Z__. F>50)
Наконец,
^ с 4т &l (Jb*)
Е (г, t) = V Кг • Аас2 е' (««-«Odkd©. F. 51)
^JJ -^i—е«(к.ш)
Вектор поляризации в системе координат с осью 2, направленной
вдоль к, был найден в § 1 [формула A. 27)]:
a = ay\iax, I, iaz\, F.52)
где а^. и аг удовлетворяют уравнениям A. 28) и A. 31). Аналогич-
Аналогичным образом можно найти вектор Ь*:
Ь* = ау {— iax, 1, — iaz\. F. 53)
(Здесь положено ау = а* = Ьу так, чтобы в случае зрмитовского
тензора eag векторы а и b совпадали не только по направлению,
но и по абсолютной величине.) Условие ортонормировки имеет вид
o-yflym A + axlaxm) = Ь1т. F. 54)
Согласно выражению A. 32), v.xlax% = —1, так что при I Ф т
это условие действительно выполняется. При I — т получаем
В системе координат, для которой обычно вычисляется тензор еар
(магнитное поле направлено вдоль оси z, вектор к расположен
в плоскости xz и составляет угол 6 с вектором Во\ компоненты
5 о

вектора поляризации определяются по формулам преобразования
координат и равны
а„„ =•
аго ¦¦= Гг==^2 a™' F" 56)
где
ало = ах cos fJ + «^ sin в; аго = аг cos 6 — ах sin 9. F. 57)
Выражения ах, а,, а^0 и а20 через компоненты тензора е° были
приведены в § 1 [формулы A. 35)—A. 38)].
Поскольку в интеграле F. 51) по к производится интегриро-
интегрирование, для вычисления Е необходимо иметь вектор поляриза-
поляризации в фиксированной системе координат с произвольно направ-
направленным вектором к. Пусть вектор Во направлен по оси z, а век-
вектор к имеет компоненты
k:- {A'jcosx, k_L sin к, kz\. F.58)
Компоненты вектора поляризации в этой системе координат на-
находятся по правилам преобразования векторов:
ах (к) = ах0 cos х — ау0 sin %, ау (х) = ах0 sin х -+- ау0 cos к. F. 59)
Задача 1. Вывести формулу для определения поля Е по заданной плотности
тока j, взяв за нормальные векторы поля векторы а и Ь, у которых нормированы
не проекции, а полная длина (a;bjra = 6/m).
Решение. Нетрудно видеть, что векторы а и Ь* вместо уравнений F. 41)
и F. 42) должны удовлетворять теперь следующим уравнениям:
—еар ) ар; = 0; • A)
г
Действительно, умножая уравнение A) на Ьат, а уравнение B) на aai и вычитая
затем уравнение B) из уравнения A), получим 6ар (е; — ет) а^Ьта — 0, т. е.
Ьта = д[т. C)
При I = m имеем
ab* = l. (За)
Из уравнения A) после умножения на Ьат с учетом соотношения C) следует
Ч =—^Т (па/) (ПЬ/) + еарйр^о • D)
54

При фиксированных к и © система A) имеет в качестве решения три собственных
вектора (/ = 1,2, 3), соответствующих двум «квазипоперечным» и одной «квази-
з
продольной» поляризациям. Представляя Е в виде суммы Е = ^ ?/а; и ис-
1=1
пользуя выражения C) и D), по аналогии с выражением F. 51) найдем
Е (г, t) =
1=1
E)
По этой формуле легко прослеживается переход к изотропной среде, когда урав-
уравнение A) имеет вид
— е ,
==().
F)
Для продольного поля, в частности, учитывая, что согласно уравнению F) е,, =
fe2c2 ~ ~*
= j—I" е|] • а согласно уравнению (За) а ,, b „ = 1, получаем
что совпадает с выражением F. 40).
При нормировке C) величины 8;, аа и 6» даже без учета пространственной
дисперсии зависят от k, поскольку фактор й2с2/и2 явно входит в уравнение A).
Поэтому в расчетах формула E) оказывается менее удобной, чем формула F. 51).
Задача 2. Найти е; (см. предыдущую задачу) для продольного (8 = 0) и по-
поперечного ( 6 = —д- \ распространения волны.
Решение. При продольном распространении (пх = пу = 0, пг = 1)
система A) имеет вид
(е —ej ax—igay = 0;
tga-x + ( е — e'i) ay - 0;
(ё— Nl — ц) ~az --¦ 0.
Условие обращения в нуль детерминанта дает
A)
81, 2 ~ ;
?; е3 =
B)
При поперечном распространении (пх = 1;пу= пг=- 0; В = Во [0, 0,1})
имеем;
е —
— гЛ ах— igcty —
- ( е — е2) ау = 0;
C)
55

Отсюда
1,2
D)
е3 = т). E)
Из уравнения ^— = е3 = т) определяется показатель преломления обыкно-
венной (поперечной) волны. Уравнение — = 8| 2 определяет показатели пре-
преломления необыкновенной и «плазменной» волны. Нетрудно видеть, что это ура-
ураем
внение сводится к следующим:
i!?
n
2) J .
Первое из этих уравнений определяет «необыкновенную», а второе — «плазмен-
«плазменную» волну.
§ 7. Задача о собственных колебаниях плазмы
и о распространении электромагнитных волн в плазме
Пусть в плазме в момент времени t = 0 задано электрическое
поле Е (г), причем Е (г, /) = 0 при t <C 0. Возникает вопрос,
какова дальнейшая судьба электрического поля? Для выясне-
выяснения этого вопроса необходимо решить уравнение Максвелла
с заданным начальным условием. Для решения поставленной
задачи удобен метод Лапласа, автоматически учитывающий усло-
условие Е @ = 0 при t < 0. В методе Лапласа, однако, вместо ча-
частоты со фигурирует переменная р = —/©. Поскольку тензор еа&
обычно рассматривается как функция от со, то желательно решить
задачу с начальным условием методом Фурье. В методе Фурье
начальное условие можно учесть включением в исходные урав-
уравнения Максвелла соответствующего стороннего тока. Нетрудно
видеть, что плотность этого тока равна
Ьхор = ^Е(г)б@- G.1)
Действительно, предположим, что других источников поля нет,
тогда Е = 0 при t < 0. Интегрируя далее уравнение
rot В = Т •> (Е> + Т ¦ ~Ж + ~Г Jct°p G" 2)
по t от t = —е до t = -f s при е -> 0, получим
Е (г, О;=+о = ~4л] jCTOp dt = E (г). G. 3)
— Е
Таким образом, решение неоднородных уравнений Максвелла
с источником G. 1) удовлетворяет заданному начальному условию.
56

Фурье-компонента от jCTOp (r, t) равна
j(k',©) = — -j^f JE(r)e-'k'rdr. G.4)
Для исследования колебаний достаточно рассмотреть поле вида
Е(г) = Еое<*«. G.5)
Соответствующая фурье-компонента плотности стороннего тока
равна
• i\ t \ С S / ?. t»'\x/l^ /7 С\
](К- * Си) ~= '— п п С>лО \fv iC ) К) In. [ / • (/ • у))
I/nu
Re и
Рис 14.
Подставляя это значение j (k', со) в решение уравнений Мак-
Максвелла F. 40) и F. 51), получим выражение для поля в виде
интеграла по da>. В случае изотропной плазмы
Fo
г> ^ " l 2rt
ше,
fe, со)
G.7)
сое
— со2е , (fe. to)
—г da.
G.8)
В анизотропной среде электромагнитное поле определяется по
начальным условиям согласнр выражениям F. 51) и G. 6) следую-
следующей формулой:
"~ 2я с
(Eob*)
(k. ш)
dco.
G.9)
T=T —
В качестве примера вычисления интегралов этого типа получим
Ец @ в отсутствие теплового движения, когда е = 1 —^TuT+Iv)"
(в дальнейшем положим v --= 0). Интеграл G 7) легко вычисляется
путем перехода в плоскость комплексного переменного ю (рис. 14).
57

В этой плоскости подынтегральное выражение имеет два полюса,
равные при v <^ аое:
ю - ± а»ов - t-J-. G.10)
При t > 0 сместим путь интегрирования далеко вниз. Тогда
интегрирование сведется к обходу полюсов, так как интеграл по
горизонтальному участку Im со = —оо равен нулю. Итак, при
v -> 0 получим, учитывая, что полюса обходятся по часовой
стрелке,
'е 2" '. G.11)
При t << 0 путь интегрирования сместим вверх. Так как полюсов
сверху нет, то интеграл сведется к интегралу по горизонтальному
пути Im со = +оо. Благодаря подынтегральному множителю e.~~i(at
интеграл при t <С 0 обращается в нуль, т. е. решение действительно
удовлетворяет начальному условию.
При учете теплового движения е (к, со) является трансцен-
трансцендентной функцией. Подынтегральное выражение может иметь
неограниченное число полюсов, в том числе существенно особые
точки и точки ветвления. Однако для сравнительно больших про-
промежутков времени интеграл сведется к вычету относительно одного
полюса с минимальной по абсолютной величине мнимой частью.
Для среды, не находящейся в статистическом равновесии,
полюса подынтегрального выражения могут лежать и в верхней
полуплоскости комплексного переменного со. В этом случае
электромагнитное поле оказывается экспоненциально нарастаю-
нарастающим во времени, так что разложение Фурье становится неприме-
неприменимым. Но и при этом можно рассмотреть аналитическое про-
продолжение интеграла в область, где метод Фурье неприменим.
Правило вычисления интеграла при наличии полюсов, лежащих
в верхней полуплоскости, вытекает- из условия, что при t <C О
электрическое поле равно нулю. Из этого условия следует, что
путь интегрирования должен всегда обходить полюса сверху
(рис. 15). Действительно, в этом случае, смещая его в область
Im со = +оо, получим, как и в разобранном примере, Е = О
при t <C 0. Заметим, что при решении задачи методом Лапласа
поле Е (/) выражается интегралом вдоль мнимой оси в плоскости
комплексного переменного р = —/со. При этом путь интегриро-
интегрирования должен обходить все полюса справа, что соответствует,
как нетрудно убедиться, указанному выше правилу обхода полю-
полюсов сверху в плоскости комплексного переменного со,
58

Из сказанного ясно, что задача о собственных колебаниях
сводится к нахождению полюсов подынтегральных выражений,
т. е. к решению соответствующих дисперсионных уравнений.
При выводе дисперсионного уравнения частоту со следует считать
действительной величиной независимо от того, каким получится
решение. Это фактически и было сделано в § 5 при исследовании
затухания плазменных колебаний.
Перейдем теперь к задаче о колебаниях плазмы во внешних
полях. Рассмотрим следующую идеализированную постановку
задачи. Пусть в однородной среде в плоскости г = 0 заданы
1т и
Рис. 15.
поверхностные токи и заряды, меняющиеся во времени по закону
e~iai. Требуется найти поле при г > 0. Как известно, поверх-
поверхностным токам и зарядам соответствуют разрыв тангенциальной
составляющей магнитного поля и нормальной составляющей
электрического поля. Обозначим через Вх амплитуду магнит-
магнитного поля, а через Ео амплитуду электрического поля при z = 0
справа от плоскости разрыва;.через п = {0, 0, 1} обозначим нор-
нормаль к поверхности. Тангенциальная составляющая магнитного
поля при z = +0 равна [пВх], а при z = — 0 равна — [nBJ.
Граничное условие гласит, что 2 [nB J — -^— jnoB. Соответствующая
этому значению поверхностной плотности тока объемная плот-
плотность тока, сосредоточенного при 2 = 0, равна, очевидно,
б (г). G.12)
Аналогично объемная плотность заряда выразится через Ео в виде
G. 13)
59

Ее можно включить в плотность тока согласно соотношению
div j = djjdz = /coq. Учитывая, что *
2
\d(z')dz'=-±-Sgnz, G.14)
о
находим плотность тока, соответствующую заряду G. 13),
(nE)Sgnz G.15)
Таким образом, суммарная сторонняя плотность тока может быть
выражена через граничные значения полей следующим образом:
JCTOp
(r, 0 = {-^r[nB1]d(z) + i-^-(nEo)n.SgnZ}e^»'. G. 16)
Ее фурье-компонента j (k, со') равна
j (к, со') = -?р [nBJ б (со - со') б (к±) -f
^? G.17)
В таком виде фурье-компоненту j (k, со) следует подставить в фор-
формулы F. 40) и F. 51), выражающие поле через сторонний ток
в изотропной и анизотропной средах. Так, например, для про-
продольных колебаний изотропной плазмы, согласно формулам
F. 40) и G. 17), имеем
Ег(г, t) = —i-Etr*' f ^ll^dk. G. 18)
Чтобы не иметь дела с главным значением интеграла, вычтем и
прибавим к 1/ец член 1/е0, где
ео = ец(? =0) = 1 °4-. G.19)
Учитывая, что, согласно формуле разложения функции Sgn z
в интеграл Фурье F. 26),
00
JL f^l^^_sgnz, G.20)
* Эта формула следует из четности б-функции и условия j 6 (г') dz' = 1,
—г
60

из уравнения G. 18) для z >> 0 получим
Ee~'«" + E
Е(г, t) =
ео
z, t);
00
7 (z f\ = — —- \
e „ (k)
dk
k '
G. 21)
Знак главного значения с интеграла снят, так как точка k — О
автоматически выпадает из области интегрирования благодаря
разности е0 — 8 ц (k). Особенностью интеграла, входящего в выра-
выражение для электрического поля, является то, что подынтеграль-
подынтегральное выражение не является аналитической функцией k, так как
б|| (k) содержит в мнимой части модуль k (см. § 5 и 10). Поэтому
интеграл не сводится к вычетам, и поле, вообще говоря, не имеет
СО
вида е с , как это было бы в отсутствие теплового движения.
Выражение G. 21) для поля было исследовано Ландау [2]. При
z -> оо ?\ исчезает и поле оказывается таким же, как и без тепло-
теплового движения:
E(z, 0^—е-'щ<. G. 22)
(г->«.) 8о
Добавочное поле ?х (z, t) при г > а — I/ -т—|— имеет вид
р /,ч _ 2Я0 / со у
«о,
У« , 2
G. 23)
если частота поля отличается от плазменной частоты со ф соое.
Вблизи резонанса (со ^ а>ое) результат зависит от знака разности
со — wQe. При со <С соое и б0 4С 1 общее поле имеет вид
?B) = ^-\1_е
При со >> со0е и |ео| < 1 оно равно
Ео
1 — ехр
Sq О
"з^ Г
я_\ е
2~
G. 24)
. G.25)
Задача. В момент f = 0 в плазме возникает заряд ех. Найти связанное с этим
зарядом электрическое поле.
Решение. Включению заряда ег соответствует сторонняя плотность
заряда, определяемая уравнением
61

Мли, для фурье-компонент, —t'toQ (k, со) = -тк—гт-. Отсюда j,, = — (kj) —
к . к е, _
= -gj- coq = г —-j- . Подставляя это выражение продольного тока в фор-
/с /с I ^ ЭХ J
мулу F. 40), находим общее выражение для электрического поля:
Е(г, 0 = —Vq>;
*г (г, о — * j рше в (к
, со)
Интеграл по со сводится к обходу полюсов со = 0 и е .. (k, cos) - 0 против часовой
стрелки:
. e«kr _dk
я)» r^J fj йе„ 1 Bя)
Второе слагаемое описывает здесь процесс установления поля. При / -> оо оно
исчезает. Первое слагаемое, получившееся из-за обхода полюса со=0, описывает
статическое поле заряда в плазме. Учитывая, что е,, (k, 0) = 1 + 2 2 ,
Г 1 VI 4ле2п 1
где d — дебаевский радиус -—^ = У ——— ; см. формулы B. 21) и (9. 27) ,
получим, выполняя интегрирование по dk:
Ф (г, оо) = ех —г— .
§ 8. Корреляционная функция микротоков
Корреляционная функция Gap (R, т), через которую в случае
равновесной среды выражается тензор aap (R, т) и в конечном
итоге тензор электрической проницаемости, имеет важное и само-
самостоятельное значение. Если в уравнениях F. 1) под jCTOp пони-
понимать микроскопическую плотность тока F. 8), то решение этих
уравнений даст флуктуационное поле. Его среднее значение,
конечно, равно нулю. Представляющие же практический интерес
средние значения квадратичных величин, которыми определяются
энергия, интенсивность излучения, средний квадрат флуктуа-
ционной ЭДС и т. д., отличны от нуля и выражаются через кор-
корреляционную функцию микротоков. В случае высокотемпера-
высокотемпературной плазмы основной интерес представляет корреляционная
функция микротоков без учета взаимодействия, между зарядами.
Эта функция может быть легко вычислена, если известна обычная
одинарная функция распределения зарядов F (р).
Обозначим через г? положение t-ro заряда в момент t = 0,
а через v,- (t) — его скорость в момент времени /. В однородной
среде, которую мы здесь только и рассматриваем, v(- (t) зависит
лишь от начальной скорости v,- @), но не от начального положе-
62

ния заряда. Микроскопические плотности тока и заряда запишутся
в виде
(8. 1)
6м (г, t) = 2 е,Ь (г - г° -1 v, (О dt j . (8. 2)
2 (
Здесь N — полное число зарядов в рассматриваемом объеме.
По определению функции корреляции токов Gap (R, т) —
= /a(r, 0/?(«"'. О, имеем
Gap (R, T) = J-J M S Jj W« @ ^ (O 6 (Г ~ Г,@) X
X s (r' T r kV)) Do *» • • ¦ <П Ф? • • • dP% ¦ (8- 3)
Если пренебречь взаимодействием между зарядами, то Do будет
представлять собой произведение максвелловских распределений
N в(.
и в двойной сумме отличными от нуля будут только слагаемые,
содержащие произведения, относящиеся к одному и тому же
заряду (г = k), причем координаты и скорости данного заряда
не зависят от координат и скоростей остальных зарядов. Выполняя
интегрирование по переменным этих зарядов (число которых
jV — 1), будем получать выражения типа
N—1 N—1
j ' • • \ \ ¦ ¦ ¦ f Dodr°...drldpl...dp% = -lrF (p0), (8. 4)
где F (р0) — одинарная функция распределения. Выполняя за-
затем в оставшемся выражении интегрирование по dr°p получим
для каждого сорта зарядов Na одинаковых слагаемых (Na —
полное число зарядов сорта а). Обозначая плотность зарядов дан-
данного сорта через
b (85)
63

найдем корреляционные функции плотности токов и зарядов:
(8.6)
= 2 4«„ J na @ t>p (О 6 (R - Ra (t, t')) F (p0) dp0; (8. 7)
Ra if> *') = J va @ df. (8. 8)
t'
Рассмотрим в качестве примера простейший случай — идеаль-
идеальный электронный газ в отсутствие магнитного поля. Здесь
v@ = onst = vD; , (89)
В подынтегральных выражениях формул (8. 6) и (8. 7) произведем
следующее преобразование переменных:
б (R - v0 (t - О
(8. 10)
где
= t-t'.
К-
V0
"с2"
Интегрирование по v0 дает нуль для расстояний и промежутков
времени, удовлетворяющих условию R>c|t|, и сводится к за-
замене v0 на R/|t| в множителе перед б-функцией, если R < ст.
Так, для максвелловского распределения
ф0; Л =
(Р
получаем Goo = GaP = 0 при Я > с | т | и
(8.11)
с\Х\
еЧА г
е
R<c\x\. (8.12)
В нерелятивистском случае эти формулы имеют вид
,8/. _
I т I5 V 2яГ
'е 2№\ (8.13)
64

При Т -> О предельное значение функции Gap (R, т) будет
Эту формулу проще получить непосредственно из выраже-
выражения (8. 7), полагая R (t) = 0.
При расчетах больший интерес представляет не пространствен-
пространственно-временная функция корреляции токов, а корреляционная
функция фурье-компонент микротоков, равная, согласно опреде-
определению фурье-компоненты плотности тока F. 14а):
/Л (к, со) jlM (к", со') = -^ \ GaP(R, т) X
Хе-Цкв.-<а%)+Щк'-У)г' -ы'-*>)п dr dr' dt dt'. (8. 15)
Переходя от переменных г, г', t, t' к переменным R = г — г',
г', t = t — t', t', найдем
/a (k, со) /;м (к', со') = GaP (k, со) б (k - k') б (со - со'), (8. 16)
где GaB (k, со) оказывается ни чем иным, как фурье-компонентой
GaA(R, t):
Gap(k, (о) = 1гй)г[ Gap(R, T)e-'<«-«t)dRdT. (8. 17)
Заметим, что в однородной среде, находящейся в стационар-
стационарных условиях, наряду с корреляционной функцией микротоков
можно ввести корреляционные функции и других величин, на-
например Еа (г, 0 ?р (г', О, ?a (r. t)Hp(r', t'~) и т. д., которые
в силу однородности и стационарности являются функциями от
R = г — г' и т = t — t'. Для краткости будем обозначать
г', О- (8.18)
По аналогии с выражением (8. 16) можно написать соотношение
?a(k, со)Яр(к', со'-) = (?аЯе)к,а>б(к — к') б(со — со'), (8. 19)
причем
(;) f ()-'(kR^T)dT; (8.20)
(8. 21)
Согласно определению (8. 18), (ЕаН^H0 представляет собой просто
среднее значение произведения ЕаНо. На основании соотноше-
соотношения (8. 21) при R = х = 0:
(?„#рH0 = J (?a#;)kl со dkdco (8. 22)
Вопросы теории плазмы. Вып. 3. 65

величину (?аЯр)к, m называют спектральной плотностью сред-
среднего произведения ЕаН^. Последнюю формулу можно написать
также в виде
(?аЯрH0 = \ \ {(EaHl)k. « + (Е^Н^к, *} dkdw. (8. 23)
Так, например, для средней энергии, поглощаемой средой, за
единицу времени получим
К (^) (8.24)
Это выражение поглощаемой энергии с помощью aap (к, со) в от-
отличие от формулы A. 10) верно и при сильном поглощении.
Вернемся теперь снова к корреляционной функции микро-
микротоков.
В случае среды, находящейся в статистическом равновесии,
как мы видели, функции Gap и aap связаны соотношением
Gap(R, T) = Taa3(R, т). (8.25)
Сравнение йа„ (к, со) с о'а* (к, со) [формула F. 19)] с учетом этой
связи позволяет получить соотношение между фурье-компонен-
той Gaa и антиэрмитовской частью тензора электрической про-
проницаемости еар (к, со):
G (k ) ° (к ш) щ8«р (к> 0))- (8> 26)
Функция Gap (k, со) может быть вычислена либо как фурье-ком-
фурье-компонента от Gap (R, т), либо непосредственно, исходя из выраже-
выражений для фурье-компонент микроскопической плотности тока:
1 = 1 V
(8. 27)
Благодаря наличию 6-функции интегрирование по г легко вы-
выполняется и для среднего статистического от произведения
двух спектральных компонент плотности тока в приближении
некоррелирующих зарядов будем иметь, учитывая определе-
определения (8. 4) и (8. 5):
/а
-i(k-k
Хе
(к.,
')г0-
Г t
i kj
L о
vdt-
со'
-к'
t'
J vd
0
Х
F(po)dtdt'dpodro (8.28)
66

(Суммирование производится по сортам зарядов). Интегрирова-
Интегрирование по г0 дает б-функцию BлKб (к — к'), так что в подынтеграль-
подынтегральном выражении можно положить к' = к. Получающийся при
t
—Ik ,f v(t")dt"
этом множитель va (t) v^(t') e '' после усреднения по на-
начальным скоростям может зависеть только от разности х = t —
— t', так как момент f ничем не выделен. Вводя далее пере-
переменные х и V вместо t и V и выполняя интегрирование по f,
получим еще одну б-функцию: 2лб (со — со'). В оставшемся ин-
интеграле по х, поскольку подынтегральное выражение зависит
только от разности х = t — t', можно положить V = 0. Таким
образом, мы получаем выражение вида (8. 16), где GaK (k, со)
определяется по формуле
/ t \
„ 2„ f 1 [<Ot- к j V(t')dt')
GaP (К со) = 2 7W" I Va (t) УР@) e ° F (po) dPo dL
(8. 29)
Здесь переменная интегрирования х заменена на t. Полученное
выражение для спектральной корреляционной функции микро-
микротоков годится при произвольной функции распределения зарядов,
удовлетворяющей условию однородности и стационарности не-
невозмущенной колебаниями среды (разумеется, при сделанном
допущении, что взаимодействием между зарядами можно пре-
пренебречь).
Преобразуем это выражение для случая движения зарядов
в однородном магнитном поле.
Пусть kx = kx cos x, ky = k sin x. Используя закон движения
зарядов D. 6), находим
t
к \ v (t')dt' = -^ х- [sin (wBt -Ь ф0 + x) — sin (q>0 + x)] + k ц v ц t.
(8. 30)
Функция Gap (k, со) может быть представлена в виде разложения,
отдельные члены которого соответствуют рассмотренным в § 4
резонансам. Воспользуемся разложением (см. приложение I)
В импульсном пространстве используем цилиндрическую систему
координат, в которой dp = p^dp^dp^d^^ Выражая компоненты
скорости, входящие в интеграл (8. 29), в виде
МО = »х cos (<aBt + cpn) = -^ [е^в* Кр„) + е~Ч*!?+*,)) и т. д.,
(8. 32)

будем получать, учитывая осевую симметрию функции распределе-
распределения, интегралы по dy0 и dt вида
2я
sin (ф,
о
1 е'1
-L JL
(8. 33)
)' dt — 2лб (со — k || v ц — (п + р) сов), (8. 34)
где /пир — целые числа. Заменяя далее индекс суммирования п
на п ± р так, чтобы аргументы у б-функций имели вид со — k ц v ц —
ясов, получим после весьма простых, но несколько громоздких
преобразований
Здесь сов = -
комбинации:
(8. 35)
а через П^р" обозначены следующие
/«-i cos 2x);
"->cos 2x);
B_, sin
г(л)
1
2
f i f II
(8. 36)
У всех функций Бесселя аргументом является
Задача. Найти корреляционную функцию Сар (R, т) для зарядов одного
сорта в плазме, находящейся в однородном магнитном поле.
Решение. Из закона движения зарядов в однородном магнитном поле
Во = {О, О, Во] следует для проекций вектора R (т), входящего в уравнение
(8. 7):
х\ (*) = -^ег- [sin {<aBt + ф0) - sin (со/ + ср0)] = /?f cos ф,;
Р±?
cos
Z! (Т) =
¦«-о.
68

Здесь
Рх
Перейдем от переменных рх, р , рг к переменным /?^, <plf Zx:
б (Л- - Хг) в (У - KJ б (Z - ZJ dPxdpydpz =
30 2
Выполняя простое интегрирование, при условии R2X -f- Z2 << с2т2 получаем
GUB = *a @ »- (<')• Goo = ка @ ^ «') е2/г 1§- - (P) ^ tW
Условие R2^ -\- Z2 <С с2т2 получается из-за ограниченности скорости зарядов
(у < с). Если это условие не выполняется, то Gag = 0. В уравнении для Gag им-
импульс должен быть выражен через Rj_, тиз условий Z= Zj, R^ = R^, которые
приводят к уравнениям
sin!&]/ 4^+pi=e^^-
Компоненты ua (t), tig (?') выражаются через R, т с помощью уравнений движе-
движения и равны:
В нерелятивистском приближении Ga^ имеет вид
2
т
2Г I 7^ ^TJ
69

§ 9. Электрическая проницаемость
Электрическая проницаемость среды, находящейся в статисти-
статистическом равновесии, может быть определена через корреляцион-
корреляционную функцию микротоков Gap (k, со). Для этого можно воспользо-
воспользоваться выражением е^ через GaP [формула (8. 26) ] и формулой
Крамерса F. 27), определяющей с учетом соотношения A. 8)
еар через ги$. Однако его можно получить проще, сопоставив
формулы F. 17), (8. 17) и (8. 29) для aafi (k, со) и Ga(J (к, со). Учи-
Учитывая, что cafj (R, т) = ^7-Gap (R, т), мы видим, что стар (к, со)
выражается интегралом того же вида, что и Gaf3 (к, со), отличаясь
только множителем и пределами интегрирования. Чтобы полу-
получить ofap (к, со), нужно в выражении (8. 17) для Ga(j (к, со) инте-
интегрировать по т (а в выражении (8. 29) соответственно по t) не от
—со до +со, а от 0 до +со- Кроме этого, необходимо ввести мно-
множитель BлL/7\ Таким путем для тензора еаC (к, со) = 6af3 --
.4яааЭ(к, со)
г г получается формула [17 J:
р „ (к dt\ — ft „ 4- / NT v
t
i(a>t — к J v (Г) dt'
a(t)v&@)e ° dt}, (9.1)
где угловые скобки означают усреднение по равновесной (мак-
свелловской) функции распределения F (р0).
Предположение о равновесности распределения зарядов выра-
выразилось в том, что при нахождении функции распределения D х
(§ 6) было использовано условие -^ = ~ Do, благодаря чему,
в частности, выпало магнитное поле волны. При выводе фор-
формулы для еар без этого ограничения удобнее исходить непо-
непосредственно из кинетического уравнения для одинарной функции
распределения
J)^ ' (9-2)
где Я0 — гамильтониан заряда в отсутствие электромагнитной
волны.
Решение этого уравнения можно написать в общем виде,
если перейти от переменных г. v, / к переменным r0, v0, t, связь
между которыми определяется законом невозмущенного движе-
движения заряда:
r(f)-ro + jvW- (9-3)
о
70

Кинетическое уравнение в этих переменных принимает вид
= -e\E(r(t),t) + -L[V(t)B(r(t),t)]\^._ (9.4)
Как и прежде, считаем, что электромагнитной волны при t — —оэ
нет, соответственно fA) = 0 при t = —со. Тогда решение этого
уравнения запишется в виде
t
р = -е f {Е(г(О,О+4-ИОВ(г(О. n]}$ftdt'. (9.5)
Плотность тока, усредненную по начальным координатам г0 и
импульсам р @) зарядов, можно записать в виде
. /в (г, 0 = S en J иа @ б (г - г @) /О (г0, Ро) dr0 ф0. (9. 6)
Рассмотрим теперь это выражение для отдельной спектральной
гармоники. При этом Е = Eoe'(kr- at\ В = — [kE] и выраже-
выражение в фигурных скобках (9. 5) принимает вид
(9.7)
Подставляя теперь выражение /<•> в уравнение (9. 6) и выполняя
интегрирование по г0 (г0 входит в аргумент б-функции через
г (t), получим
/а (Г- 0 =
¦г у^ \ у |
~ р * - -.. i "«я 1 : > - ¦ '' ' dt' dpn. (9- 8)
Выражение в интеграле по /' после усреднения по скоростям
может зависеть от t и f только через разность х = t — t' (так
как /' ничем не' выделено). Таким образом, мы имеем интеграл
типа
jf(t-t')dt' = - J/(T)dt = Jf(o<tf. (9.9)
— оо со О
Отсюда видно, что в интеграле для /„ можно положить V = 0
и интегрировать при этом следует по t от 0 до со.'Сравнивая
71

выражение (9. 8) с соотношением /а = оа$Ер, находим оа& (к, со)
и тензор еа„ = бар + i 4лу :
(at-kSv{f)dt')
Если ^"""г5"' т0 0ТС1°Да получается формула (9. 1).
Вычислим ЕаР (к, со) в однородной изотропной плазме без
магнитного поля. В этом случае v (t) = const = v0. Выберем
систему координат, в которой волновой вектор направлен по оси z:
к = {0, 0, к]. Тогда тензор еаР (к, to) равен
(к, со) = 6ар + i <B ^ J ^ge' ^*") ' Л> ¦ (9.
Здесь и в дальнейшем при вычислении тензора еор (к, со) ветре-
оо
чается интеграл типа t, (х) = —I \ eixtdt. Для вычисления этого
о
интеграла введем подынтегральный множитель e"~v^, впослед-
впоследствии устремим v к нулю. Имеем
о
ai-
С первым слагаемым мы встречались [см. выражение F.23)].
При v -> 0 оно обращается в главное значение 1/jc. Второе сла-
слагаемое при v ->- 0 обращается в б-функцию, умноженную на я:
. , .- =п6(х). * (9.13)
Таким образом,
I {х) e _,- [ ew<« = 4 - tofl W- (9- 14)
о
Знак мнимой части функции ? (л:) однозначно связан с тем, что
интегрирование по t производится от 0 до оо, что в конечном итоге
связано с принципом причинности, выражаемым тем фактом,
что ток j (t) определяется значениями Е (/') только в предшествую-
72

щие моменты времени. Учитывая соотношение (9. 13), из урав-
уравнения (9. 11) получим теперь
tnvz
Остальные компоненты еар равны нулю. Заметим здесь, что
при рассмотрении колебаний плазмы при наличии пучков обычно
в качестве функции распределения зарядов в пучке принимают
максвелловское распределение, сдвинутое на среднюю скорость
пучка vQ [3]:
т (v 2—о 0K
(9-17)
Если пренебречь влиянием магнитного поля, создаваемого заря-
зарядами пучка, то среда — плазма плюс пучок — может рассматри-
рассматриваться однородной. Компонента ех тензора электрической прони-
цаемоЬги не меняется, а компонента 8ц, очевидно, равна
^-\ T ' Up-kv,)/. (9. 18)
Мнимая часть компонент е ц и в^ вычисляется просто, так как
(9.19)
Действительную часть приходится обычно вычислять прибли-
приближенно.
В приложении II показано, что при максвелловском распреде-
распределении зарядов по скоростям (в нерелятивистском случае)
где
Z(x) = X(x)~iY(x); 1
X (x) = 2xe~x' f e'1 dt;
b
Y(x) = Vnxe-*\
(9.21)
* Функция Z (д-) связана простым соотношением с табулированной функ-
функцией [42] W (х) : Z (л-) = —I Vn xW (x).

Функция X (х) имеет следующее асимптотическое разложение:
Х{х) = \ +-^L + -JL+ ... (9.22)
Используя свойство функции ? (х)
*?(*)= 1, . (9.23)
находим:
kv? (со — kvz) = —1 + со? (со — ?иг); (9. 24)
&2у| ? (со — kvz) = со2? (со — kvt) — со — *ог. (9. 25)
Учитывая разложение (9. 22), а также то, что (vz) = 0 для мак-
свелловского распределения и (vz) = v0 в пучке, находим окон-
окончательно для изотропной плазмы:
При со > /feur, согласно разложению (9. 22), имеем:
О)'
I.2..2
(9.26а)
е и = 1 -
(9. 27а)
При со <^ kvT
(9. 266)
Заметим, что в мнимые части 8 ц и ех входят нечетные степенл
-модуля волнового числа. Следовательно, электрическая прони-
проницаемость не является аналитической функцией k.
74

Для пучка
k2v2T
Рассмотрим теперь тензор еар (к, со) для плазмы в магнитном
поле в системе координат, где Во = {О, О, Ео\, а к = \kx, О, kz\.
В отсутствие взаимодействия между зарядами функция распре-
распределения в невозмущенной однородной плазме является функцией
от поперечной ех и продольной ея энергий частиц:
F0 = F0(t±, en). (9.29)
При этом х- и ^/-компоненты выражения, стоящего в квадратных
скобках в уравнении (9. 10), имеют вид (выписываем х-компоненту)
ъР-. (9.30)
пк~ ni°B I dF0 dF0 \
Добавляя и вычитая член vr—— -г-1--—т-2- . получим это
со \де,х де]} J
выражение в виде
',1, (9.31)
где
_f_ dF0 _ dF0
дг | " (
(9. 32)
/О
Дальнейшие расчеты аналогичны расчетам корреляционной
функции (§ 8), за тем исключением, что интегрирование по / про-
производится теперь от 0 до со, -так что вместо б-функции (8. 34)
получается, согласно выражению (9. 14), -=—? (со — k,vz—
— псов). Аналогично преобразуются компоненты тензора еар при
Р = z. Пользуясь далее соотношением (8.33), получим* после
* Если Fo= const е ^ " , то в формулах (9. 34) можно про-
произвести интегрирование. Соответствующие формулы при Т , = Т,, приведены
• в работе «Колебания неоднородной плазмы», написанной А. Б. Михайловским
(см. стр. 148). Выражения для еая в интегральной форме, удобной для исследо-
исследования высокочастотных колебании (со > (>>в)> имеются в работах [21, 43].
75

несложных вычислений, которые здесь опущены, тензор еар в
виде
„о ,_
о о
2 (ел+-?-'•)
X
/./;
я л
=' +
60=60 =
xz гх
(9. 34)
)
Здесь /„ еэ Jn ( ^ -Ч — функция Бесселя, ?„ ^ ? (со — пюв —
— kzv^). При максвелловском распределении F2 обращается
в нуль, a Fx = —FJT.
Входящие в подынтегральные выражения антиэрмитовских
компонент тензора еа~ б-функции показывают, какие частицы
участвуют в поглощении (или раскачке) волны. Как видно, усло-
условие обращения аргументов б-функций в нуль совпадает с рассмо-
рассмотренными выше (§ 4) условиями резонансов. Относительный вклад
того или иного резонанса определяется множителями 6-функций.
Эти множители содержат функции Бесселя с аргументом ^ L ,
равным отношению длины ларморовской окружности —— к по-
поперечной (по отношению к магнитному полю) длине волны Я, =
2я
= -j—. Для больших длин волн аргумент функций Бесселя мал,
так что можно положить Jn (х) — —rl-^) • При х = < 1
роль резонансов на обертонах (п = ±2, ±3 , . .) уменьшается

с возрастанием п. Для коротких длин волн
1I преобла-
"zy
дающую роль могут играть, однако, обертоны исп» 1.
При продольном распространении (&х = 0) аргумент функций
Бесселя обращается в нуль, и компоненты &xz — &гх и гуг =
исчезают. Тензор еар принимает вид
е ig ON
-ig е 0 I (9. 35)
0 0 цУ
причем в е и g отличны от нуля только члены с п = ± 1, а в ц —
слагаемое с п = 0. При максвелловском распределении с различ-
различными температурами вдоль и поперек магнитного поля Т( и Т±
квадрат показателя преломления поперечных волн с круговой
поляризацией равен (&ц = ~\f2Tilm):
_ / (\\ ~ frt a\ I I I
"•2
(9. 36)
(9. 37)
Дисперсионное уравнение для продольных волн
Т)=1-
2ша
2
II
СО
kzv.
— 1 -0
при &х = 0 совпадает с дисперсионным уравнением ец = Ов от-
отсутствие магнитного поля.
При косом распространении волн сохраняются резонансные
члены и с \п\ > 1. Для колебаний с длиной волны, намного пре-
превышающей средний радиус ларморовской окружности
«1,
существенными будут опять-таки члены сп = 0ия= ±1. Выпи-
k.v,
шем компоненты еаР в предположении —=^=-<1, сохраняя
только члены'с п = 0 и п = ±1:
.2
рО — 1
1
^ "^ ~Т \ ^и ~ *s ~
8у/( —— б/ЛГ ' |
(йв — ?гиг) —
/5
(9. 38)
?7

о о
со
О 1
со 2
I — kzVz)\
(со — сов — kzvz) —
(ш
<й
(9. 38)
Задача. Найти связь фурье-компоненты поправки функции распределения /A)
с электрическим полем ? (к, со) в плазме без магнитного поля в нерелятивистском
случае. - .
Решение. Подставляя в выражение (9. 5)' Е (г, t) = Е (к, со) е' 'кг~в''
и выделяя перед интегралом множитель е''кг~ю", получим, учитывая закон
движения (9. 3) г (t) = r0 + vt:
t
/d) =-«|!«Е (к, со) е' <кг~@^ Г е' (ffl-kv) <(~("> dt'= /A) (к, со) е' <кг"и').
•—оо
Используя соотношения (9. 9) и (9. 14), получим отсюда
/С (к, со) = g (к, со) Е (к, со),
где
g (к, со) = - ie ^р- I (со - kv) = - ел -^ (б (со - kv)+ — ?
s' dp ь dp { ' ' я со —
Л .
kv;
§ 10. Колебания плазмы в магнитном поле
с учетом теплового движения зарядов при Во = 0
В настоящем параграфе будет кратко рассмотрено влияние теп-
теплового движения зарядов на колебания плазмы в том случае,
когда взаимодействием между зарядами можно пренебречь. Выше
уже был произведен учет теплового движения для продольных
электронных колебаний. Были найдены частота колебаний и дек-
декремент затухания, вызванного попаданием группы зарядов в ре-
резонанс с волной. Было отмечено также, что, в отличие от продоль-
продольных, поперечные колебания в плазме без магнитного поля не зату-
затухают, так как их фазовая скорость всегда болите скорости заря-
зарядов, и следовательно, резонансные условия не могут осуще-
осуществиться.
Рассмотрим теперь другие ветви колебаний. Возьмем сначала
плазму без магнитного поля. Кроме рассмотренной ветви электрон-
электронных колебаний, здесь имеется, как мы знаем, ионная ветвь низко-
низкочастотных колебаний, соответствующая звуковым колебаниям
обычной жидкости. При получении этой ветви в § 2 мы пренебрегли
78

инерцией электронов — t'mncov по сравнению с градиентом элек-
электронного давления —VpA)- Воспользуемся и теперь этим усло-
условием, имеющим вид
®<^kvTe. A0.1)
В выражении (9. 27) для е ц электронное слагаемое при этом сильно
упрощается, поскольку Z (¦, м ) ^у—1~[/~я-г . Дисперсион-
ное уравнение принимает вид
kvr
При a>/kvTl — 1 мнимая часть в дисперсионном уравнении срав-
сравнима по величине с действительной частью. Это значит, что такие
колебания сильно затухают. Причина этого ясна. Условие со ~
>~ kvTt означает, что преобладающая часть ионов имеет скорости,
сравнимые с фазовой скоростью волн, и потому все они участвуют
в поглощении. Колебания возможны только, если a>/kvTi > 1.
В этом случае в поглощение дают вклад ионы, движущиеся со ско-
скоростью много большей тепловой ( и =-т- > ип)> т- е- ионы из
хвоста максвелловского распределения. Используя разложение
функции Z (-г—) при больших аргументах, получим
2 _ k4Te т,ю • 1/ ш У гТе
~т~г / zT \'!* &2,
Рассмотрим сначала колебания с длиной волны, большей «элек-
«электронного дебаевского радиуса»:
Полагая со = coj — t'co2, находим (со2
СО,: ,- I/ -гг- k I/ ~ I I/ -^- + ( -^ ) 2 е 2Г''
A0. 5)
79

Условие применимости этих формул со > kvT. означает, что
электронное давление должно быть значительно больше ионного,
т. е.
zT,yTt. A0.6)
Благодаря этому условию фазовая скорость колебаний оказы-
оказывается больше средней скорости движения ионов. Заметим, что
наряду с ионами из хвоста распределения Максвелла, число кото-
, / mi \ 7« ~ 27^
рых пропорционально ft~ (~fM e » в поглощении уча-
участвуют медленные электроны (из максимума распределения Макс-
Максвелла), число которых пропорционально величине /, — (~ ) '.
Поглощение зависит от величины плотности тока. Учитывая, что
средняя скорость зарядов в волне обратно пропорциональна дав-
— 1 - 1
лению ve < TjT-, Vi ~ -~—, получим отношение энергии, погло-
щаемой ионами, к энергии, поглощаемой электронами:
Поскольку величина поглощаемой энергии пропорциональна мни-
мнимой части частоты со2, то естественно, что таково же отношение
второго слагаемого в со2> связанного с ионами, к первому, обуслов-
обусловленному электронами.
В случае коротких волн
k<tzJ° - > 1, A0. 8)
Anz eini '
когда становятся существенными колебания объемного заряда,
решение дисперсионного уравнения имеет вид:
2 _
е2п\ (.
X
A0. 9)
Условия применимости A0. 8) и со > kvTl (слабое затухание)
дают
Ь2Т // 4п72р2п¦ & k2zT ПО 101»
Таким образом, ионные «ленгмюровские» колебания возможны,
как и звуковые, только при большом различии электронной и ион-
ионной температур. *
80

Подытожим кратко результаты исследования колебаний изо-
т,ропной плазмы, в которой столкновениями зарядов можно пре-
пренебречь. В такой плазме возможны:
а) поперечные незатухающие колебания с частотой выше ленг-
мюровской
©2 = (d§, + *V; A0.11)
б) продольные электронные колебания вблизи ленгмюровской
частоты
СО=ОHе + ——J~\ ——е-<Ще, A0.12)
в) продольные ионные колебания; в области длинных волн
это «звук», в области коротких — колебания плотности заряда
с «ленгмюровской» ионной частотой:
mi
2 2
со ~= щ i
A0. 13)
Условие существования этих колебаний
гГе»Г,-. A0.14)
§ 11. Колебания плазмы в магнитном поле
с учетом теплового движения зарядов при Во =j= 0
При наличии магнитного поля в плазме заряды участвуют
в поглощении при условии:
со — п<лв — kzvz = 0; п = 0, ±1, ±2,...
Условие A1. 1) есть не что иное, как формула допплер-эффекта,
связывающая частоту излучателя ясод в системе покоя с часто-
частотой со, наблюдаемой в «лабораторной» системе координат. Если
п <С 0, то говорят об «аномальном» допплер-эффекте. Считая
со > 0, найдем частоту со, при которой заряд, движущийся со
скоростью vz вдоль силовой линии, попадает вследствие допплер-
эффекта в резонанс с волной. При нормальном допплер-эффекте
(л>0)
и=='1-М/cose* (П-2)
Нормальный допплер-эффект имеет место при условии
pztfcos6<l. A1.3)
6 Вопросы теории плазмы. Вып. 3. 81

Аномальный допплер-эффект (п < 0) дает
со = „ Л COsq_ ! ' (U-4)
Он возможен только для «сверхсветового» движения заряда:
>1, (П.5)
т. е. в области, где N > 1. При п Ф О поглощение можно назвать
циклотронным, при п = 0 — черенковским, так как в этом слу-
случае условие поглощения со— kzvz = 0 совпадает, с условием
черенковского излучения заряда, движущегося с постоянной ско-
скоростью вдоль оси z.
При максвелловском распределении зарядов по скоростям
число зарядов, участвующих в поглощении, пропорционально
2
mvz
экспоненте е .С учетом условия (П. 1):
е 2Г = е г =е и2Р2-Л/2 cos2 в . «2 = _?Z1_. A1.6)
пгс=
Это выражение справедливо, если можно пренебречь зависимостью
сов от р («релятивистский» допплер-эффект). Релятивистский допп-
допплер-эффект сравнивается с обычным при k2vz ~ сор2, т. е. при
cos 0 ^ь p/yV. Если р/Л/ <С 1, то область, в которой следует учиты-
учитывать релятивистский допплер-эффект, весьма узка:
Р
е
N
A1.7)
В данном разделе мы не будем подробно касаться этой области.
Следует отметить также, что поскольку vz <C с, то поглощение
имеется лишь при выполнении условия
Как видно из выражения A1. 6), в области, где (Ш cos 8 > 1,
весьма широка область циклотронного поглощения {п Ф 0). При
этом же условии существенно черенковское поглощение.
Для выявления областей поглощения можно в качестве оценки
взять Л/2 для холодной плазмы. Из рассмотрения кривых (см.
рис. 6) квадрата показателя преломления C. 10) становится ясно,
что черенковское поглощение происходит на электронной части
ветви Б (aBi < со < соВе) при условии (й1е/а%е > 1, когда
Л^2 > 1. Черенковское поглощение наблюдается также на. низко-
низкочастотных (со < сош) частях ветвей Б, М. Это поглощение при-
приводит к затуханию магнитозвуковых волн даже в отсутствие
столкновений между зарядами. На ветви А, как мы увидим ниже,
82

черенковского поглощения нет. Наконец, черенковское поглоще-
поглощение существенно также вблизи частоты cof на ветви Ем. Однако
здесь область частот, где N2 > 1, сравнительно невелика.
Сделаем еще одно замечание относительно области, примыкаю-
примыкающей к частотам со™ 2, з- При со = со" в холодной плазме Л^2 = оо,
что соответствует нулевой фазовой скорости волны. При учете
теплового движения фазовая' скорость волн при со = со00 стано-
становится конечной, но значительно меньшей скорости света с. По-
Поэтому в области со > со00 колебания сильно затухают.
Рассмотрим более детально области черенковского поглощения.
Исследуем сначала затухание магнитогидродинамических волн.
Как и для низкочастотных колебаний при Во = О, будем предпо-
предполагать выполненным условие со ^ kvTe. Кроме того, магнито-
гидродинамические волны характеризуются условиями
При этих условиях, как нетрудно видеть из выражений (9. 38)
для еор, компонента exz = e°zx мала по сравнению с остальными,
и мы ею вовсе пренебрежем. Компонента е°хх не содержит слагае-
слагаемого с п = 0 и поэтому при со < <»ш не содержит поправок на
тепловое движение. В предположении соо;/со|г > 1 имеем
8^=8! = -^-= 4"- A1Л0)
Компонента г°ху = —е°уХ также не изменяется существенно при
учете теплового движения: е°ху ^ i^xx-— ICM- выражение (9. 38)].
Поскольку предполагается со <^ aBi, этой компонентой тензора
также пренебрежем.
При выписывании остальных компонент,содержащих ?(со —
— kzv2) следует иметь в виду, что при со <; kvT{ мнимые части
этих, компонент будут сравнимы по величине с действительными.
Это означает, что колебания с со < kvTl невозможны (они сильно
затухают). Поэтому следует рассмотреть только случаи, когда
со> kvTi. (И. 11)
При этом условии функцию Z (-^-т) . появляющуюся при усред-
усреднении Z, (со — kzvz), следует взять в виде \v\i = —-\.
83

И»
СОСОд;
в!,
_ 4яг2е2« со
4яг2е2я
['-
A1.13)
Компонента г), как легко видеть, примерно в сов//ю или &BilkvTi
раз больше остальных компонент (это означает малость компо-
компоненты электрического поля вдоль Во)- Благодаря этому диспер-
дисперсионное соотношение сильно упрощается. Из выражений A. 26)
имеем:
^ = ; Ч = 8^; п = v = о (! L 14)
Согласно выражению A. 25а), дисперсионное соотношение имеет
*
вид
cos2 6 :
A1.15)
Первое из этих соотношений определяет альфвеновскую волну:
со
= klc2A.
A1.16)
Черенковское поглощение здесь отсутствует. Циклотронное
'же поглощение, характеризующее экспонентой (при а> <^i a>Bi)
9 9 9
kyTi
, чрезвычайно мало, а при со
а
В1
согласно формулам A1. 8) и A1. 16), вообще отсутствует. Таким
образом, альфвеновская волна в отсутствие столкновений зату-
затухает очень слабо.
* Точнее N2 = л\хх =
Это уравнение имеет боль-
cos2 6 + — sin2 9
шое значение в исследовании колебаний неоднородной плазмы (см. работу
А. Б. Михайловского в настоящем выпуске).
84

Второе дисперсионное соотношение A1. 15) определяет быструю
и медленную магнитозвуковые волны. Рассмотрим случай v\i <
С А ИЛИ
Т // °
A1.17)
Кроме того, будем считать v2Te > c\ (kvTc > со). При условии
A1. 17) гидродинамическое рассмотрение дает
(О = kfs\ СО = ЫА.
Как уже указывалось, колебания возможны лишь при со ^> kvTi.
Поэтому медленная волна (ш = fezcs) будет слабозатухающей при
выполнении условия
zTe> Т{. A1. 18)
Перепишем дисперсионное уравнение в виде
¦п II A1 191
При со — kcs, как нетрудно установить, правая часть мала по
сравнению с каждым из слагаемых, входящих в ч\. Таким образом,
приближенное дисперсионное уравнение медленных магнитозву-
ковых волн будет г) = 0. Оно в точности совпадает с уравнением
для ионных продольных колебаний при Во = 0 с тем отличием,
что под k теперь следует понимать kz:
Быстрая волна при сделанном предположении (П. 17) будет сла-
слабозатухающей. Затухание может быть обусловлено как ионами,
так и электронами. При (olkzvTe ^ 1 из соотношений A1. 15)
и A1. 3) можно найти [20]:
со2 =
X
X
Уя
A1.21)
а при a>/kzvTe > 1 [т. е. при углах, весьма близких к л/2 (cos Э
€. СА lvTe) 1 ^
,2 к2
A1.22)
85

Заметим, что поправки на тепловое движение к действительной
части со несколько отличаются от соответствующих поправок,
полученных в гидродинамическом приближении. Из формулы
гидродинамического рассмотрения следует при сА > vTi:
со2 = (с2А + c2s sin26) k2. A1.23)
Это выражение совпадает с вещественной частью со2, определяе-
определяемой формулой A1. 21), если в с\ — (уеТе + yiT^lnii положить
Y,- = 2, уе = 1. Это означает, что ионы ведут себя как газ с двумя
эффективными степенями свободы. Для электронов рассматривае-
рассматриваемые колебания являются медленными, так что в каждый момент,
двигаясь вдоль силовых линий, они успевают принять равновес-
равновесное (больцмановское) распределение, а такому изотермическому
движению как раз и соответствует уе — 1. Для колебаний A1. 22)
уе = Y/ — 2, т. е. в волнах, идущих поперек магнитного поля,
электронный газ (так же, как и ионный) имеет две эффективные
степени свободы.
Рассмотрим теперь черенковское поглощение колебаний с ча-
частотами, значительно превышающими ионную циклотронную ча-
частоту. При этом мы полностью пренебрежем вкладом ионов в плот-
плотность тока. Рассмотрим ветвь Б (см. рис. 6) при условии со^/со^ >
> 1, когда особенно существенно черенковское поглощение. При
выполнении этого условия ветвь Б для всех углов 0, за исключе-
исключением очень близких к я/2, описывается формулой C. 60) «ква-
«квазипродольного распространения». Для холодной плазмы
V2 = < (п m
со (а>ве cos G — со) ' \ ¦ )
Учет теплового движения приведет к появлению мнимой части Ыг
и небольшим добавкам к действительной части N2. Пренебре-
Пренебрежем этими добавками, лишь несущественно изменяющими фазо-
фазовую скорость волн, и будем интересоваться только эффектом «ну-
«нулевого» порядка, вызванного тепловым движением, а именно эффек-
эффектом затухания. Это значит, что тепловые поправки следует учесть
только в антиэрмитовских частях тензора еар, которые будем счи-
считать малыми, а это при черенковском механизме поглощения тре-
требует условия со > kvTe.
Если частота колебаний со близка к циклотронной соВе, то
наряду с черенковским играет роль и циклотронное поглощение.
Мы будем предполагать, что частота со мала по сравнению с соВе
и станем учитывать только черенковское поглощение. Практиче-
Практически циклотронное поглощение становится значительно меньше
(т-(ОдJ ц'
klvTe klvTe
черенковского при сравнении экспонент е и е , т. е.
при
o^J-a)^, A1.25)

благодаря тому, что перед циклотронной экспонентой стоит
меньший множитель, чем перед черенковской. При условии A1. 25),
как вытекает из выражений (9. 38) для eag и формул (9. 22)—(9. 25),
следует учесть только мнимую часть компоненты e°z, так как
антиэрмитовские части компонент е° и е°г составляют малые
доли — и т' от Ime° . Таким образом, для вычисле-
<0<оВе a>WBe zz
ния N2 нужно исходить из тензора вида (9. 35), где
^^Ля R2 Л/ 2 ппг2 Q . - .
Считая Лг С ^о. е> ff. получим в линейном приближении из
выражения для Л/2 C. 9):
со (шВе cos 8 — w) )
а ( ш о cos 9—о))
Рассмотрим теперь еще одну область, где N2 > I, и, следова-
следовательно, возможно черенковское поглощение. Это область вблизи
частоты со", где колебания являются приближенно продольными.
Дисперсиснное уравнение продольных колебаний при наличии
магнитного поля получается из условия (см. § 1) А = егг = О,
т. е. ,
e1sin26 + Ticos2e 4-? sin 26 = 0. A1.28)
Предположим, что ©3° не близка к шВе, тогда циклотронное погло-
поглощение не играет роли. Как и выше, учтем тепловые поправки
только в антиэрмитовских частях еар. При этом найдем снова
Im 6j <^ Imt], так что следует положить
2 — \
ш — шВе
A1.29)
ш2 '
-L 9r'i
ш2
У =
<
2
V
; Б =
cos 9
= 0;
е
2
о 9
> у, cos 8
87

Полагая со = to~ — ico2, найдем при со"
со2
со, =
2со°
(с
A1.30)
иВе)
При 9 = 0 со~ = со0е и со2 = Y(9 = o) совпадает с декрементом
затухания Ландау.
Рассмотрим теперь области, в которых существенно цикло-
циклотронное поглощение. Из выражения /V2 для холодной плазмы
видно, что почти для всех углов 9, за исключением узкого конуса
~2 6 ;5= ]/ ~, показатель преломления обращается в беско-
бесконечность при со ^ сош. Вблизи этой частоты, следовательно,
должно быть довольно сильное поглощение. При условии k^vTl -С
¦С coB/ тензор еаВ, как нетрудно видеть из формул (9. 38), имеет
такой же вид, как и для холодной плазмы, причем е ~ g ~ ¦—^—,
В1
1
тогда как r\ ~ -у^-. Поскольку tj > e, g, то выражение для N2,
k v
k v
T[
как и в случае холодной плазмы, определяется формулой C. 55):
Полагая
/V2 — е
е
ео
со
\
ei Si ""
0 -
=
а
2
ЛЯ
2
4-
е
—
а
cos2
0 +
ш2'
03
2|М
6) ± V е2
2 cos
ie,; я =
60
2
cos eсхр
sin4 e -
2е
¦-go +
<1
\ {
{ {
f- 4g2 cos2 0
igi, j
СО
9 '
швг-м П
сорту cos 9 / J '
A1.31)
A1.32)
получим показатель преломления в виде N = р A + Ь<), (х С 1).
причем
C°Bl' I + cos2 9 + l / 1 + 2 ( 2 -^1- - 1 \ cos2 9 + cos4 9
V v ®Bi i
A1.33)
к = ¦
Vn
со2р3 cos 9
X
A + cos2 0)
X
sin4 9 + 4w2 cos2 9 ± (шв. sin4 9 + 4co cos2 6)
2 cos2 6 |/"co^.sin4 0 + 4m2 cos2 6
A1.34)
88

Поглощение при циклотронном электронном резонансе рас-
рассмотрим для простейшего случая продольного распространения.
Согласно формуле (9. 36)
< ("^Ч A1.35)
zvTe
Ионное слагаемое при со ~ аВе дает очень небольшой вклад и по-
поэтому вовсе опущено. Беря знак плюс перед аВе, получим Z^ 1 и
и0е
со (соВе + со) •
Для другой волны (знак минус перед соВе) существенна мнимая
часть Л/2. Полагая N — р (I + in), получим следующие уравне-
уравнения для определения р и к:
A1.36)
При co^/co|e > 1 ширина полосы поглощения может быть очень
бо'льшой. Так, например, при со = -^ соВ(, можно положить р2 =
= 1 + —. г =& 4 —~ = ^— • ПРИ этом х = ±~^— X
со(шВе —и) шВе Вг0 г
р
Уп
2
с
2с
' "Ге
со2рзС
со
со
—2!
0*
0
г
/@ п — @^ С
шигр
X ^д^1^у/2ез2Жг_ При 8япГ/В2_о,1 значение х^0,1.
Длина поглощения с/со хр при Во — Ю4 составляет доли санти-
сантиметра.
Циклотронное поглощение при 0 Ф 0 описывается довольно
громоздкими формулами, которые здесь не приводятся. Их можно
найти в работе Гершмана [12].
При чисто поперечном распространении (д ~ -о-] условие ре-
резонанса имеет вид
со —/гсоВе = 0, A1.37)
и размазывания линии поглощения из-за движения зарядов вдоль
силовых линий здесь нет. Размазывание возможно только иа-за
«релятивистского допплер-эффекта». Учитывая, что соВе =
= а>вЛ/1 — Р2> перепишем условие A1. 37) в виде
(о = псоее"|/1—§'. A1.38)

Заряд, имеющий скорость v = О, поглощает частоту со = п&Ве.
По мере увеличения скорости заряда поглощаемая частота умень-
уменьшается до нуля. Величина коэффициента поглощения пропорцио-
пропорциональна числу зарядов, имеющих скорость v, связанную с часто-
частотой со соотношением A1. 38), т. е. пропорциональна экспоненте
°Ве
е Vt-rr =е ' . A1.39)
При малых скоростях коэффициент поглощения, как это видно
из выражений (9. 38) для еар, пропорционален некоторой степени
скорости заряда, так что при v = О, где со = "щВе. он равен
нулю, затем с увеличением v
(уменьшение частоты со) он рас-
Дсо
пи>ве — со. Т
>>—5
тет. При
г, со со 0
рост коэффициента поглощения
зарезается экспонентой A1. 39).
-* о) Линия поглощения оказывается
примерно такой, как она изо-
изображена на рис. 16.
Из рассмотрения графиков
N2 при 0 = л/2 для холодной плазмы видно, что собственные
колебания и распространение волн возможно в областях (А/2>>0):
ПШ.
Рис. 16.
О < со < со2°° = <овгсоВе -
13 Bf
б)
в)
г)
со > соо;
A1.40)
В первой области поглощение существует при частотах, совпа-
совпадающих с циклотронной частотой ионов и ее обертонами, со =
= пи>В1 (/i = l, 2, . . .). Общее число 'резонансов в плотной
плазме (и>% > ишсоВе) равно, примерно, корню квадратному из
отношения массы иона к массе электрона:
При N$ < 1 послощение на обертонах, естественно, несуще-
несущественно (так же как и излучение при скорости заряда, малой по
сравнению с фазовой скоростью волны). В плазме возможны,
однако, условия, когда большая часть зарядов имеет скорости,'
сравнимые с фазовой скоростью волн (UT/nii ~ c2/N2). В рассма-
90

триваемой области N2 ~ сг1с2А, так что последнее условие имеет
вид 8япТ,- ~ В2. При таких условиях максимум поглощения
(и излучения) может приходиться и на частоты со=псоВе с п > 1.
Такое смещение максимума интенсивности излучения заряда,
движущегося в вакууме со скоростью, близкой к скорости света,
хорошо известно из теории .ветящегося электрона в синхро-
синхротроне.
Ширина же линий поглощения зависит только от отношения
средней скорости заряда к абсолютной скорости света в вакууме
(а не* к фазовой скорости волны, как это наблюдается в обычном
допплер-эффекте при 9 =f-?r) и поэтому для ионов чрезвычайно
мала. Таким образом, при со > совг имеется большое количество
сравнительно близко расположенных одна от другой узких линий
поглощения, так что можно говорить о «квазинепрерывном» спек-
спектре поглощения. Практически наличие столкновений и неодно-
неоднородность магнитного поля могут привести к размазыванию линий
поглощения на ширину А со ~ и>В1 так что образуется сплошная
полоса поглощения.
В этом случае поглощение в области 8 = у > ю > швг можно
рассчитать следующим образом. Как уже было указано в конце § 3,
при со > аВ[ можно пренебречь влиянием магнитного поля на
движение ионов и рассматривать ионный газ как изотропную
среду. Тензор еар будет складываться из электронного тензора
проницаемости и слагаемых, связанных со свободно двигающимися
ионами. В системе координат, где ось z направлена вдоль к, имеем:
&?? ~~ &ZZ
A1.41)
В остальные компоненты еар ионные слагаемые не входят. Оче-
Очевидно, что с помощью такого тензора еар можно рассматривать
ра:пространение колебаний и под произвольным углом 0. При
8 = -х- уравнения для «необыкновенной» волны имеют вид C. 41)
(магнитное поле направлено по оси х):
91

Поскольку рассматриваемые частоты ю < Ya>Be(aB{ значительно
ниже электронной циклотронной частоты, то поправки на тепловое
движение в е^ несущественны:
эл эл
Таким образом,
ЕУУ ,-,2
шВе
О)
0е
со;
Ое
A1.43)
"Be
JTi
(T —
,,2 о, ,2
в?ч О~ '
A1.44)
Будем предполагать выполненным условие со > kvTi (по порядку
величины -^- ~ сл, поэтому это условие означает, что —/
JTl
= „ ° > 1). Считая мнимые части малыми и пользуясь разло-
разложением (9. 22), найдем:
a>kvTi
:.)
co|e со2 \ + 2co2
9 9 / /99
о __< _^«_/ , , 3 Щ-i
ZZ о 2 \ ' 9^2
A1.45)
При vTi = 0 величина e°z обращается в нуль при со = УолВ1(оВе,
соответственно N = <х>, фазовая скорость волны равна нулю.
При со > ]/шВесовг величина Л^2 < 0, и колебания при 7У= О
невозможны. При учете теплового движения, как уже отмечалось
в § 3, фазовая скорость в нуль не обращается, а стремится при
а» -»¦ оо к тепловой скорости зарядов, но при этом имеется силь-
сильное затухание волн. При со = ]/а>В?,сов/ фазовая скорость волны,
как вытекает из формул A1. 45), равна
A1.46)
92-

При частоте и>, в несколько раз меньшей 1^юВе©вг, тепловыми
поправками в ReN2 можно пренебречь, кроме того, можно поло-
2
жить е°уу = е°г = J-. Поскольку со > ат, то в°У!/ < g2/e
°zz,
и, следовательно, RejV2 = ^— — —^ . Таким образом, в ука-
занных условиях
-A1.47)
Механизм поглощения ионами здесь черенковский. В области
коротких (по сравнению с радиусом ларморовского кружка) волн
движение ионов можно считать прямолинейным, и при N > 1
цикло/гронное поглощение (и излучение) сводится к черенков-
скому. Первое слагаемое в Im N2, связанное с Im гуи, характери-
характеризует поглощение энергии поперечного поля волны, второе слагае-
слагаемое, полученное из Im e2z, описывает поглощение энергии продоль-
продольной компоненты электрического поля волны.
Во второй из указанных выше A1. 40) областей существования
колебания при аОе > соВе можно произвести расчет таким же
методом, как и для первой области. Вторая область является,
2
однако, очень узкой Асо ^ ——. Формула A1. 45) здесь приме-
примеров
нима, если вместо aoi и vTl подставить соответственно шОе и vTe,
а вместо е° , e°z и g подставить следующие величины:
° ^W 4- ^
_, соое/ 3
~ 1 ^ \1 ~7~~Т
ё CD3
В холодной плазме фазовая скорость равна нулю при со =
= у иое + ^ве ^ Ще- При учете теплового движения в этой точке
во
При черенковском механизме поглощения должно быть иф < с.
Таким образом, поглощение имеется лишь при условии
\2nnTjBl < 1.
93

В третьей и четвертой областях существования колебаний по-
показатель преломления близок к единице, фазовую скорость можно
принять всюду равной с. Эта область сравнительно высоких ча-
частот (и >¦ сов, со 0) существенна в задаче определения потерь
энергии в высокотемпературной плазме вследствие излучения элек-
электронов на обертонах циклотронной частоты. Подробнее этот вопрос
будет освещен в следующих выпусках.
§ 12. Потери энергии при движении заряда в плазме
При движении заряда в среде возникает электромагнитное поле.
Если закон движения заряда считать заданным, то создаваемое
им поле определяется формулами F. 40) и F. 51). Это поле, оче-
очевидно, в свою очередь воздействует на заряд, изменяя закон его
движения. Сила, с которой электромагнитное поле, создаваемое
движущимся зарядом, действует на заряд, называется, как изве-
известно, силой лучистого трения. Работа этой силы отрицательна,
т. е. заряд теряет энергию, тормозится.
При наличии совокупности зарядов величина потери энергии
единицей объема в единицу времени может быть подсчитана как
взятое с обратным знаком среднее значение скалярного произве-
произведения плотности тока, создаваемого движущимися зарядами, на
возникающее электрическое поле. Эта величина может быть выра-
выражена через свою спектральную плотность по аналогии с форму-
формулой (8. 22) следующим образом:
/с„тор (г, 0 Еа(г, t) = J 0aCTOp?a)k. adkdco. A2. I)
Фурье-компоненты электрического поля Е (к, ») и плотности
тока jct°p (k, со) :вязаны соотношением вида
Еа(к, co) = Lap/ST°P(k, со), A2.2)
где тензор Lap для изотропной и анизотропной плазмы, согласно
выражениям F. 38), F. 39) и F. 50), определяется формулами
Подставляя соотношение A2. 2) в выражение A2. 1) и учитывая,
что (/aCTOp/pTOp)k,(o = Gpa(k, со), получаем
Q = - /атор (г, 0 Еа (г, 0 = - I Ср„ (к, ш) 1ЙР (к, со) Л dco. A2-5)
94

Пользуясь свойством Gag (—к, —со) = Gap (к, со) и Lap (—к,
-ь-со) = Lap (к, со), вытекающим из аналогичного свойства тен-
тензора еаВ F. 32), можно записать выражение для потерь в виде
интеграла по положительным частотам:
Q = - 2Re j da j Gpa (k, со) Lap (k, со) dk.
A2.6)
Поскольку тензор Gap эрмитовский, то выражение для Q можно
записать также в виде
Q = - JGpaL;p dkdco = - 2 J AoJGpaLapdk, A2. 7)
где Lap = (Lap + Lpa)/2 — эрмитовская часть тензора Lap. Из
выражений A2. 3) и A2. 4) для Lap видно, что при эрмитовском
тензоре еар величина Lag = 0, так что потери энергии происходят
только при наличии поглощающих свойств среды.
Для получения потерь энергии, испытываемых отдельным за-
зарядом, необходимо взять функцию распределения, входящую в вы-
выражение (8. 29) для Gap, в виде F (v) dv = 6 (v — v0) dv. В этом
случае
Gafi = «GU; A2.8)
2 °°
f
f °о
dL
Потери энергии отдельного заряда определятся формулой
- 4f=-2Re
В отсутствие магнитного поля (va (/) = const = va) имеем
e
A2.11)
Подставляя выражения A2. 11) и A2. 3) в формулу A2. 10), по-
получаем
_ (kv)«
dE e\ „. I , dco I (kvJ
v'—-
/г2
j
X
X б (со — kv)dk. A2. 12)
Разбивая бц и Sj. на действительную и мнимую части:
95

представим входящие в подынтегральное выражение множители,
содержащие ец и ех, в виде
A2. 13)
2*
Е_1_
Если мнимые части электрических проницаемостей исчезающе
малы, то эти выражения по аналогии с формулами (9. 13) можно
записать соответственно в виде
A2. 14)
Как видно из выражений (9. 26) и (9. 27) для ех и ец, их мни-
мнимые части будут малы при условии ю > k'vT. Согласно же выра-
выражению A2. 12), вклад в потери энергии дают частоты
со = kv = kv cos 9. A2.15)
Следовательно, выражения A2. 14) можно использовать в случае,
когда скорость заряда значительно превышает среднюю тепловую
скорость зарядов плазмы (v > vT).
Рассмотрим этот случай. Сначала исследуем вторую часть ин-
интеграла A2. 12), соответствующую поперечным волнам. Согласно
второму из соотношений A2. 14),
A2.16)
Подставляя это значение k в формулу A2. 15), находим условие,
при котором энергия теряется в виде поперечных волн:
1 = — l/e7cos0. A2. 17)
Это условие, называемое условием черенковского излучения, оче-
очевидно не выполняется в плазме, поскольку е,±<С 1; следовательно,
поперечные волны в холодной плазме (и > vT) не излучаются.
В среде с е± > 1 вторая часть интеграла A2. 12) имеет вид
(a ss cos Э):
-1 О
X b(\i — -j^-)dk2. A2. 18)
96

Выполняя простое интегрирование по &2 и \i, находим
__f_dE_\ __^
V dt )x'-~ с2
Это хорошо известная формула черенковского излучения.
Исследуем теперь потери энергии в плазме, связанные с про-
продольным полем (так называемые поляризационные потери). Учиты-
Учитывая, что б (ец) = б ( 1 1- ) = —^-g6 (со— соо), получим пер-
\ m / 2ш0
вую часть интеграла A2. 12) в виде
— (—j— ) = efvku,2b (\i г— ) б (со — со0) dkd\i da. A2. 20)
\ dt J i| J \ rv J
Выполняем сначала интегрирование по со и по \л. Поскольку мак-
симал'ьное значение \i равно 1, то из первой б-функции следует,
что минимальное значение k, при котором подынтегральное выра-
выражение отлично от нуля, равно
А«.н = -^-. A2.21)
Таким образом,
A2. 22)
ln.
J k v (o0
со о/и
Расходимость интеграла на верхнем пределе связана с тем,
что большим значениям k в выражении F. 40) для электрического
поля соответствуют малые расстояния от движущегося заряда,
где среду нельзя считать непрерывной. Для устранения расходи-
расходимости обычно интегрирование производится до некоторого значе-
2
ния. В работе Ахиезера и Ситенко [44] положено k0 = ;
Y = 1,78 . . ., где р0 — параметр удара, делящий взаимодействие
заряда с электронами среды на парное (q <C q0) и коллективное
(б > Qo)- Этот параметр удовлетворяет условиям
^±^. A2.23)
При этих условиях теория парных соударений приводит к следую-
следующему выражению для потерь:
=М.ЫЯв.ш A2.24)
q<Qo v a v '
' Вопросы теории плазмы. Вып. 3 97

так что суммарные потери оказываются равными
с2 2
— 4т- = -i-iln-^L_. A2.25)
Ландау и Лифшиц в своей книге [25 ] поступают иначе, связы-
связывая верхний предел интегрирования k0 с передачей импульса
q = uk0 электрону среды, если эта передача импульса достаточно
велика, чтобы можно было рассматривать электрон свободным *.
Согласно классической механике, передача импульса связана с па-
параметром удара соотношением (q > a)
q=*?.-L. A2.26)
Следовательно, формула для парных столкновений может быть
переписана в виде (для определенности считаем т1 > те)
jn 12 2?)
Суммируя ее с выражением A2. 22), находим полные потери
в виде
4? ^^ A2-28)
4? = 1п.
dt v пш0
Формулы A2. 25) и A2. 28) соответствуют хорошо известной
формуле торможения Бора, полученной классическим методом,
и формуле Бете, полученной квантовомеханическим методом в бор-
новском приближении. Для получения связи между этими фор-
формулами следует более аккуратно рассмотреть коллективное взаи-
взаимодействие. Будем рассматривать область Q <C Qo как вакуум
с находящимися в нем зарядами, а область Q > Qo как среду с элек-
(Од
трической проницаемостью е=1 г• Для потерь энергии
в этой среде получается ^ г г мула (см. задачу 1 к § 12)
Q>Qo
При &oQo > 1 интегрирование можно распространять до беско-
„ / QqCOo N 1 2 V ^
нечности, тогда интеграл равен До ( —) ^ ~v ' ^кла"
* Из квантовой механики известно, что при-взаимодействии поля вида e'kr
со свободным электроном электрону передается импульс ftk.
98

дывая с выражением A2. 24), получим классическую формулу
A2. 25). При k0Q0 С 1 можно положить JQ (kxQ0) = 1. Тогда
интеграл равен In——. Складывая с формулой A2. 27), получим
квантовомеханическуюформулу A2. 28). Согласно формуле A2. 26)
о о 2ее
koQo — Т — f,1 • Следовательно, формула A2. 25) спра-
справедлива при 2еех!Ии > 1, тогда как формула A2. 28) справедлива
при 2ee1/fiv <С 1 —это хорошо известное условие борновского при-
приближения.
Перейдем теперь к потерям энергии в плазме, находящейся
в магнитном поле" [45—57]. Выражение Ga^La^ является инва-
инвариантом относительно поворота координатных осей, поэтому его
можно вычислить, например, в системе координат х, у, z, где век-
вектор Во направлен по оси z, а вектор к лежит в плоскости xz.
Согласно выражению (8. 35), тензор GaC (k, со) в этой системе
координат равен
со) =
Л.
(со
пыв),
- 30)
причем л(а"р есть значение Пар при к = 0:
(л) ..2 И2^ т2 / -.. (п.) (л) _ ,2 П j , . .' , . _
пхх — и ± ~Z% <1 п \л)> пху — Пух :— IV х —— J п{л) J п\Х),
ЗУуу = и±Jп \Х)\ Луг == Игу = WхРг-Ч—Jп(Х) Jп\Х)\
U)B
A2. 31)
В этой же системе координат векторы поляризации а и b имеют вид:
a = ay{ia°x, l,mz0}; Ъ* = а„ {—ia°x, 1, — ia°z]. A2.32)
Учитывая, что а^ =
лучить
. 1
[см. формулу F. 55)], нетрудно по-
по. A2. 33)
99

Подстайляя теперь Значения La{i A2. 4) и GaP A2. 30) с учетбм
выражения A2. 33) в формулу A2. 10), находим выражение для
потерь энергии зарядом, движущимся по винтовой линии:
со 2 со
V "
П=— со 1=1
X — ^2 ' б (со — kvz cos 6 — ti(off). A2. 34)
5 Si (CO, к)
При выводе этой формулы не предполагалось, что поглощение
слабое или что плазма холодная. Поэтому в принципе по фор-
формуле A2. 34) можно определить силу торможения заряда в самом
общем случае.
Мы, однако, рассмотрим формулу A2. 34) только в простей-
простейшем случае холодной плазмы. В этой формуле содержатся как
потери на излучение, так и поляризационные потери, выступаю-
выступающие здесь как излучение продольных волн. В отсутствие магнит-
магнитного поля излучения продольных волн происходит на ленгмюров-
ской частоте со0, о чем свидетельствует, например, наличие 6-функ-
ции б (со — со0) в выражении A2. 20) для поляризационных по-
потерь. При наличии магнитного поля в холодной плазме частота
продольных волн, определяемая, как мы видели в § 2, из условия
ег = оо, зависит от угла 6. Расчеты здесь гораздо сложнее, и мы
их производить не будем. Отметим только, что, как и в выраже-
выражении A2. 22) для поляризационных потерь при Во = 0, в выраже-
выражении A2. 34) получится расходящийся интеграл, связанный с не-
неприменимостью используемых уравнений на малых расстояниях
от заряда. Расходимость должна быть устранена указанным выше
способом для случая Во — 0.
Отвлекаясь от поляризационных потерь, условимся не рас-
рассматривать в выражении A2. 34) области частот и углов, где ег =¦
= оо и появляется расходимость. В случае холодной плазмы
выражение ez = NJ не зависит от k и определяется фор-
формулой C. 10).
Для прозрачной плазмы следует положить по аналогии с вы-
выражениями A2. 14)
Re ~' = яб (—-2- Nf). A2. 35)
СО2 '
Поскольку /г2с2/иJ > 0, то аргумент б-функции может обратиться
в нуль только -ру N'i > 0. Таким образом, заряд излучает лишь
в той оеласги частот и углов, где могут .распространяться волны.
1U0

Производя интегрирование по k и заменяя в сумме по п от —оо
до 0 п на —п, получим
1 1
ШЕ—-«
dE
dt
i=\ -1 о
1+а?
л=1
(со —
Здесь р || = уг/с; аргументом функций Бесселя является
х, —
СОд
; A2.36)
A2. 37)
; A2. 38)
. A2. 39)
A2. 40)
Аргументы б-функции показывают, что /0 определяет черенков-
ское излучение заряда, /„ — циклотронное излучение с учетом
нормального допплер-эффекта (при соа > 0), /_„ — циклотрон-
циклотронное излучение с учетом аномального допплер-эффекта (это слагае-
слагаемое отлично от нуля только при А^ > 1). Если излучателем яв-
является электрон, то сов •< 0. В этом случае удобнее переписать
выражения A2. 37)—A2. 39), вводя положительную циклотрон-
циклотронную частоту соВ(, = — сов >> 0:
/0 = (а°иг/0 — v±j'oJ б (со — сор и N^); A2. 37а)
= 11 а»
¦a°zvz
Jn +
,12
VxJnj
A2.38а)
Ь((й + паВе — сор и ^(х). A2.39а)
Здесь теперь хь = -—--±N^1 — li2. Выражение A2. 38а) по-
получено из выражения A2. 39), а A2. 39а) — из выражения A2. 38)
путем замены сов на — соВе. Из формулы A2. 36) нетрудно полу-
получить формулу для излучения заряда в вакууме. Для этого следует
учесть, что поскольку в вакууме электромагнитные волны попереч-
поперечные, то аг ¦= 0. Учитывая также, что ах1«х3 = — 1 1СМ- фор-
формулу A. 32)], из формул преобразования F. 57), полагая ах1 =
й
= ах
найдем:
= aA.cos о; a2i = — ах siu Ч;
1
= — — cos i
ах
о 1 .
ссг2 = — sin I
A2. 41)
101

Слагаемые /0 и /_„ дают вклад только при «сверхсветовом» дви-
движении заряда, в вакууме они равны нулю. Полагая в оставшихся
слагаемых N1 = N2 = 1 и объединяя обе поляризации, найдем
со t ос
— cos 9—уг sin В j\ (х) + v\j'г (х) х
X б(со —n|coB| —©Piifi) A2.42)
(множитель 1 + a2x в знаменателе сократился с таким же множи-
множителем в числителе). Это же выражение можно получить из общей
формулы A2. 7), полагая, согласно выражениям A2. 3) и A2. 14),
L
» W
Исследуем качественно зависимость интенсивности излучения
п-й гармоники от номера п. Рассмотрим сначала случай vz = 0.
Согласно выражению A2. 38), в этом случае излучаются частоты
со = п(йв. Интенсивность излучения, согласно формуле A2. 36),
пропорциональна квадрату частоты (а следовательно, квадрату
номера гармоники п2) и, грубо говоря, квадрату функции Бес-
Бесселя J2n[n-~y\ — jj,2), где уф = cIN — фазовая скорость волны,
излучаемой в направлении 8 относительно магнитного поля. Если
скорость заряда меньше фазовой скорости волны, то функция
Jn [п ——У 1 — ИЛ монотонно падает при возрастании номера п,
причем тем быстрее, чем меньше отношение vlv^. При Vj_/v$ 4C 1.
в частности, произведение nJn максимально при п = 1. При
v± "•" ^ф функция Бесселя падает с ростом п более медленно и бла-
благодаря множителю п произведение nJn может оказаться макси-
максимальным при сравнительно больших значениях п. В изотропной
среде, в частности, оказывается, что при 1 — <^ 1 максимум
интенсивности излучения смещается в сторону весьма высоких
частот:
п <~
В бетатроне, например, в излучении ультрарелятивистского
электрона могут оказаться существенными п ~ 10б. В плазме
даже при нерелятивистском движении заряда (и <С с) его скорость
может оказаться сравнимой со скоростью излучаемых волн уф =
= cIN благодаря тому, что в некоторой области частот показатель
преломления плазмы может значительно превышать единицу. Ко-
Конечно, максимум излучения нерелятивистского заряда не может
сместиться в область очень высоких частот, так как при ю > соо
102

показатель преломления становится равным единице. Однако при
со < соо распределение интенсивности излучения заряда в плазме
"может существенно отличаться от излучения в вакууме.
В наиболее чистом виде смещение максимума интенсивности
излучения в сторону больших п при нерелятивистском движении
проявляется у ионов [52]. Как мы видели в § 2, показатель пре-
преломления в очень широкой области частот, простирающейся от
со — 0 до со ~ (?>BlYщ1те, равен примерно N ~ со0//сош. Таким
образом, при v — с~^~ ~ са область, где фазовая скорость
волн сравнима со скоростью заряда, простирается до нескольких
десятков п (п < ]/ mjm^). Расчеты [52] показывают, например,
что при условии соо; > соВ(- максимум интенсивности излучения
(на ветви Б) приходится на значения п = 3 при s~~ = 0,5,
С <°Bi
о
п = 25 при — —?- = 0,9.
Кроме эффекта, связанного с медленностью волн (иф <С с),
в плазме существует еще один эффект, приводящий к резкому раз-
различию интенсивностей излучения в плазме и вакууме, даже если
скорость заряда значительно меньше фазовой скорости волн
(в<< иф) [49 ]. Этот эффект связан с отмеченной в § 3 особенностью
поляризации волн при со = сов,- и со = аВе. Как неоднократно
уже указывалось, эффективное излучение (поглощение) волн за-
зарядами происходит при наличии резонанса между зарядом и вол-
волной. Если vz = 0, то для резонанса необходимо, чтобы вектор Е
вращался в направлении вращения заряда. Но как раз при со' =
= совг и со = (оВе волн с такой поляризацией нет (за исключением
случая 9=0). Поэтому при и <? Рф следует ожидать отсутствия
излучения в плазме на этих частотах. Действительно, при х< 1
интенсивность излучения на частоте со = пыв равна в плазме
<12-44)
Верхний знак относится к излучению иона, нижний — к излуче-
излучению электрона.
В вакууме соответственно имеем
A2.45)
— 1
При п — 1 в плазме для ионов а°х = — 1, для электронов сх° = +1.
[см. C.64) и C.65)], так что действительно /х = 0. В вакууме же
103

в нерелятивистском случае (х <С 1) на основной тон (п = 1) при-
приходится все излучение.
Если скорость движения заряда вдоль силовой линии не равна
нулю (vz ф 0), то вследствие эффекта Допплера частота излуче-
излучения будет отличаться от циклотронной и может попасть в область,
где jV2 > 1 (для ионов это ветвь А (см. рис. 6), для электронов —
ветвь Б при соо > и>Ве и ветвь Еи при со0 < шВг). При этом может
наблюдаться большая интенсивность излучения на частотах, близ-
близких к циклотронным. Результаты численного расчета интенсивно-
интенсивности такого излучения приведены в работе [56].
В заключение этого раздела остановимся на тепловом излуче-
излучении слабопоглощающей плазмы.
Аналогично тому, как это было сделано для одного заряда,
можно определить потери энергии и совокупностью зарядов, беря
соответствующий тензор Gap. Если излучателями являются те же
заряды плазмы, которые определяют и электрическую проницае-
проницаемость, то излучение можно назвать флуктуационным или тепло-
тепловым. Найдем интенсивность теплового излучения при максвеллов-
ском распределении зарядов плазмы для случая, когда поглоще-
поглощение в плазме можно считать пренебрежимо малым (прозрачное
излучение). При слабом поглощении векторы поляризации а и b
совпадают, так что эрмитова часть тензора Lap равна
.' 4Я20) VI * s / ,, (О2 ,,2\ /1О ,с,
L*f> = ^2jat<*a^(k --pr NlJ- A2>46)
i
Тензор Gap при максвелловском распределении зарядов по
скоростям выражается через тензор электрической проницае-
проницаемости (8. 26):
Caf3(k, «) = -^ш^Х A2.47)
Из условия ортонормировки векторов а F. 46) следует
^lmNl A248)
Подставляя Gap и Lap в выражение A2. 7), учитывая последнее
соотношение и вводя коэффициент поглощения a~-^j —>
получим
2
1=1 О
Здесь dQ — элемент телесного угла в направлении волнового
вектора. Чтобы получить выражение для излучательной способ-
способности среды, нужно выражение A2. 49) записать в виде
Q =JdQ02 I TW*D» A2.50)
104

где dQ0 — элемент телесного угла в направлении распростране-
распространения потока энергии, т. е. в направлении групповой скорости vrp =
= Укш- Наряду с преобразованием телесных углов, введем вместо
коэффициента поглощения а вдоль волнового вектора коэффи-
коэффициент поглощения а вдоль луча, определив связь между ними из
соотношения e~az = e~as. Очевидно, s = г/cos (кугр) (рис. 17);
следовательно,
a = acos(kvrp). A2.51)
Из сравнения выражений A2. 49) и A2. 50) находим излучатель-
ную способность
Пы = ^^^~ ^—, A2.52)
где /0(й—равновесная интенсивность
излучения в вакууме
Тсо2
' ош —
A2. 53)
Значения dQ/dQ0 и cos (kvrp)
вычислены в монографиях [26, 36 J.
Приведем их без вывода:
dQ __
dQ0 ~ с
Рис. 17.
sin |
cos 6 -f- sin Qd (®N)/dQ)
COS
= V 1
A2. 54)
В изотропной среде dQldQa — 1 и для суммарной излучатель-
ной способности получаем
Чш — u(o'0co'v ¦ viz" JlJ/
В анизотропной среде в области частот, где показатель прелом-
преломления близок к единице (Л/2 ^s 1), направления векторов группо-
групповой скорости и волнового также не различаются, так что в этом
случае
A2. 56)
1
Формулы A2. 52), A2. 55) и A2. 56), связывающие излуча-
тельную способность среды с ее коэффициентом поглощения, выра-
выражают собой закон Кирхгофа для слабопоглощающих сред, глася-
гласящий, что отношение излучательной способности к коэффициенту
поглощения равняется интенсивности равновесного излучения
среды:
-> = /,»¦ A2-57)
105

Задача 1. Заряд ег движется со скоростью v по оси канала радиуса q0,
окруженного плазмой (s = 1 — cOg/co2). Определить поляризационные потери при
Qo С v/щ.
Решение. Исходим из формулы
оо
- ~ =—2Re Г rfco f егх)Ег (к, со) dk =
о
оо
= 2е1и Г dcokz Im ф (к, oi)dk, A)
о
где ф (к, со) — фурье-компонента скалярного потенциала. Она может быть
выражена следующим образом:
k- ш) = !ы? \ dx\f (kz' Q) e
О О
—ik Q cos
причем f (kz, 5)есть, в свою очередь, фурье-компонента скалярного потенциала,
разложенного по времени и по продольной координате г. Функция / удовлетво-
удовлетворяет уравнению (q Ф 0)
Его решения соответственно при Q<C Qo и q> Qq таковы:
C)
/< = -~ ^о (**Q) б (со - fe2y) + В/о (йг6); D)
/, = СКо (кд). ' E)
Константы В и С находятся из условия непрерывности потенциала и радиаль-
радиальной компоненты вектора электрической индукции. С учетом соотношения
Im— = яб (е) = -й- со0б (со — со0) F)
и условия kzQ0 = —- Qo С 1 получается
co0); G)
Выполняя в уравнении A) интегрирование по со и kz и считая на основании кван-
товомеханических соображений верхний предел по k± ограниченным и равным k0
(см. примечание на стр. 98), находим
106

Задача 2. Вывести формулу для определения поляризационных потерь
в плазме при наличии магнитного поля.
Решение. Поляризационные потери можно рассчитать как взятую с ми-
минусом работу, которую совершает над зарядом продольное поле, создаваемое
этим зарядом в плазме. Из уравнения divD = 4яо|стор имеем
ikeafiEt(k, со) = 4яе«°Р (к, со). , A)
Полагая rot Е = 0 или Eg = —-—Е, получаем, выражая с помощью уравнения
непрерывности Q (к, со) через j (к, со) ( 6 = ^—^- ) :
где е,, = —jj~ea&— продольная электрическая проницаемость, выражение для
которой получается из уравнения (9. 10):
/ t \
il at—к f v(t')dt'
Л 0 J
X e v u ' dt. C
Если Fo = Fo (ex, By), то, согласно формулам (9. 34), для вц = е°хх sin2 0 +
+ 8° cos2 6 + е° sin 20 получаем
е и = 1 + ?.—
-[.-^^-^sm^e Up. D)
В холодной плазме
m2 coBcos2e ^ E)
Для потери энергии с помощью выражения B) получаем формулу
, со)
d© -Л
о
Г О'Лк, со)
-Л—T-Imeudk, F)
J m ell2 "
где G,i = —Tg—G^p. Согласно выражению A2. 9),
(kv(O)(kVo)e
107

Если использовать разложение A2. 30), то
+ 0О
X J2n [-—) б (м - kzvz - пшв). (8)
§ 13. Влияние силы радиационного трения
и флуктуационных полей на движение заряда
в плазме
Торможение заряда в плазме. В § 12 потеря энергии зарядом
была подсчитана как (взятая с минусом) работа А силы трения над
движущимся зарядом. В некоторых случаях представляет интерес
среднее значение самой силы трения. Плотность силы трения равна
F(r, t) = Q(T,t)E(r,t) + -L[](r, 0 В (г, *)]. A3.1)
Среднее значение силы трения можно выразить по общим прави-
правилам (см. § 8) через спектральную плотность этой силы
[ !(Q*E)ki и+-^Ш*В])к, Jdkrf(B= f Fk, adkda>. A3. 2)
Учитывая, что В (к, со) =— [kE (k, со)] и что, согласно урав-
уравнению непрерывности (для фурье-компонент),
е(к,со) = -М^>_, • A3.3)
находим (раскрывая двойное векторное произведение и сокращая
члены, содержащие q и kj) следующее выражение для спектраль-
спектральной плотности силы трения:
Fk, а^~Ак, в, A3.4)
где Аи, и = (j*E)k, ю — спектральная плотность работы силы
трения (отнесенная к единице объема).
Помножив и поделив выражение A3. 4) на постоянную План-
Планка ft, мы получим квантовую интерпретацию выражения силы тре-
трения. Величина — Л к, а<йю представляет собой, очевидно, спек-
спектральную плотность числа квантов, испускаемых в единицу вре-
времени движущимся зарядом. Импульс, уносимый каждым кван-
квантом, равен Ш. Произведение этих величин, совпадающее с —Fk, ю,
представляет собой, следовательно, спектральную плотность им-
импульса, теряемого зарядом в единицу времени.
Итак, рецепт получения выражения для усредненной силы
трения очень прост: в подынтегральное выражение формулы для
108

изменения энергий заряда —тт- = Ль, ис/кс?со нужно ввести мно-
житель —.. Обще
формулы A2. 10):
житель —.. Общее выражение для силы трения получается из
где Gpa определяется формулой A2. 9), a Lap — эрмитова часть
тензора Lap, выраженного формулами A2. 3) и A2. 4).
Для заряда, движущегося в плазме без магнитного поля, с по-
помощью формулы A2. 12) получаем
F - -JL
1 —— о
(kv
й2
J
m
12 1
2
«1-
(kvJ
fe2
/А2
со2
;Ime± x
Xfi((o — kv)dk. A3.6)
Поскольку скорость заряда v = const (в_нулевом приближении),
то работа силы ' трения А = vF = vF. Действительно, умно-
умножая силу трения A3. 6) на v, получим (учитывая, что благо-
k
даря наличию б-функции
kv
1) выражение для dEldt, совпа-
совпадающее с выражением A2. 12).
Среднюю силу трения заряда, движущегося в плазме при нали-
наличии магнитного поля, можно получить с помощью формулы A2. 34).
Запишем эту формулу в виде
ОО 00 СО
— fdco [ Ak,mdk= fdco 2 Л.И, A3-7)
dt
где Рп (со) — интенсивность излучения (черепковского при п — О,
циклотронного с учетом нормального допплер-эффекта при п —
= 1, 2, 3, . . ., циклотронного с аномальным допплер-эффектом
при п = —1, —2, —3, . . .):
2
X
k±v
X
—ег(и, k)
X б (со — kzvz — /гсов).
A3.8)
109

Усредненная сила трения, согласно уравнениям A3. 2) и A3. 4),
выражается формулой
со
F- Г Ad \~Ak, adk. A3.9)
о
С помощью этой силы трения можно найти, как при излучении
перераспределяется энергия поступательного и вращательного дви-
движений заряда. Поскольку скорость движения вдоль магнитного
поля постоянна (иг = const), то работа силы трения над поступа-
поступательной степенью свободы А ц = игрг = vzFz, т. е., согласно
выражению A3. 4),
j^ A3.10)
Благодаря наличию S-функций в выражении для Аи, и, множи-
kzVz СО — П(х>в
тель ——^~ заменяется в каждом члене суммы по п на -.
Переходя, как и при выводе формулы A2. 36) к суммированию
по положительным п, для потери энергии поступательного движе-
движения будем иметь
Потери энергии вращательного движения заряда получатся вы-
вычитанием выражения A3. 11) из выражения A3. 7):
dt \ dt dt
¦P_nd(o\. A3. 12)
Это выражение очень наглядно на языке квантов. Напомним, что
Рп — это интенсивность излучения «нормальных допплеровских
частот»
(^ ) A3ЛЗ)
(О
а Р_п — интенсивность излучения «аномальных допплеровских
частот»
ПО

С квантовомеханической точки зрения излучение нормального
допплеровского кванта сопровождается изменением энергии осцил-
осциллятора (вращающегося заряда) на величину й/шв, т. е. уменьше-
уменьшением поперечной энергии заряда. Излучение же аномального доп-
допплеровского кванта сопровождается изменением энергии осцил-
осциллятора на величину —Япа>в, т. е. увеличением поперечной энер-
энергии, происходящим вследствие уменьшения энергии поступатель-
поступательного движения. Число первых квантов, отнесенное к единичному
интервалу частот, равно Р„/йсо, число вторых равно Р_п/На.
Отсюда для энергии, уносимой квантами, и получается выраже-
выражение A3. 12).
Приведенные выражения A3. 11) и A3. 12) для потерь энер-
энергии, так же как и формулы A2. 34) и A2. 36), не удобны для выде-
выделения из общих потерь, связанных с поляризацией плазмы и воз-
буждением продольных (плазменных) колебаний. Эти «поляри-
«поляризационные» потери удобнее находить, предполагая с самого начала
продольность волн (rot E = 0). Суммарные поляризационные по-
потери, полученные таким способом, определяются формулой (см.
задачу 2 к § 12)
dF С dm Г 8яС„(к, со)
\ \ ^ Imeiidk, A3. 15)
так что средняя сила трения
G1,, (k. in)
-Imsydk. A3. 16)
Выражения для е ц и G ц приведены в задаче 2 к § 12. Введем обозна-
обозначения:
п" е ( П(йв ¦ л , n\2 r2 IRJ_VX \ т Ь II л /ю 1-7\
"л = —5— I —г Sin U А- V, COS D J л -1 пг «к. ( Id. 17)
я2со 1 I k±
Тогда формулы для потери энергии поступательного и вращатель-
вращательного движения получатся совпадающими с формулами A3. 11)
и A3. 12), если в последних сделать замену Р„ -> Р"п(п = 0,
±1, ±2, . . .).
О поглощении флуктуационного поля движущимся зарядом.
Кроме собственного поля, приводящего к силе трения, на заряд,
движущийся в плазме, действует флуктуационное поле всех осталь-
остальных зарядов. Среднее значение этого поля равно нулю, однако
работа над вызываемыми этим полем флуктуациями скорости за-
заряда, будучи квадратичной по полю величиной, отлична от нуля,
т. е. заряд поглощает энергию. Энергия, поглощаемая в единицу
111

времени в единице объема совокупностью зарядов с функцией
распределения Fo (v), может быть рассчитана по формуле (8. 24):
A3. 18)
где с/р (к, со) — эрмитова часть тензора проводимости, рассчи-
рассчитанного по известной функции распределения Fo (v) с помощью
формулы (9. 10). Взяв в качестве Fo (v) функцию распределения,
соответствующую единственному движущемуся заряду, получим
энергию, поглощаемую в единицу времени этим зарядом. Для
заряда, движущегося прямолинейно со скоростью v0, эта функ-
функция такова:
F0(v) = 6(v — v0). A3. 19)
Рассмотрим случай движения заряда в изотропной среде. Здесь
поглощаемая энергия представляется в виде суммы Q = Q± +
+ Qn, где Qx и Q|[ — части, связанные соответственно с погло-
поглощением поперечного и продольного полей:
Qx = f crl (k, со) (?i)k. udkda; A3.20)
A3.21)
Из выражения (9. 10), учитывая связь aap = i — (еаВ — бар),
находим:
^j<!^;^ (I3.22)
03.23,
Подставляя выражения A3. 22) и A3. 23) в формулы A3. 20)
и A3. 21) и выполняя простое интегрирование по со и v, находим:
4
*•
Входящие в эти формулы спектральные плотности (?ц)к, со
и (?j_)k, со в стационарных условиях и в отсутствие посторонних
112

источников поля выражается согласно формуле F. 40) следую-
следующим образом:
G,
16 л2
/ксо —
<Х)к, а
16я2
(О2
г
k%c2
ш2
±
где G „ = -*&- GaP и 2GX = ^
с помощью формул A2. 8) и A2. 11):
еЧ / (kvJ
A3.26)
GaC определяются
Bя)«
6 (со — kv)
2G, =
A3.27)
Здесь суммирование производится по сортам зарядов плазмы,
угловые скобки означают усреднение по скоростям. Если плазма
находится в состоянии термодинамического равновесия (максвел-
ловское распределение по скоростям с одинаковой температурой Т
всех зарядов), то G\\ и GL связаны с 1тец и 1т е^ соотноше-
соотношениями (8. 26) (при Па С Т):
G» =
ш1те
Bя)»
A3.28)
Для выяснения роли поглощения флуктуационного поля рас-
рассмотрим случай, когда скорость заряда мала по сравнению с тепло-
тепловой скоростью движения электронов плазмы (со <С kvre), но велика
по сравнению с тепловой скоростью ионов (случай «неподвижных
ионов»). Основной вклад в изменение энергии заряда дает про-
продольное поле. Поэтому влиянием поперечного поля можно пре-
пренебречь. Общее изменение энергии заряда, включающее в себя
как поглощение энергии A3. 24), так и поляризационные потери
A2. 12), дается формулой
dE
at
X
Im e,
dk —
Cfl = kv°
/г2
X
Im e |
dk;
A3.29)
|/(O=kvo
В рассматриваемом приближении kvTi <C ш С &Уге выраже-
выражение A0. 2) для ец принимает вид
ш \ ,2 Те
en = 1
1
ЙУ
Те
так что
Im ец = i
Vя ш
A3.30)
A3.31)
8 Вопросы теории плазмы. Вып. 3
113

Подставляя выражения A3. 31) в формулу A3. 29), находим
)
dE
<13-32)
(относительно верхнего предела &Макс см. § 12 и задачу 1 к § 12).
Второе слагаемое здесь определяет торможение заряда, кото-
которое в отличие от случая быстрого заряда [формула A2. 22) ] растет
с увеличением скорости. Первое слагаемое, не зависящее от v0,
определяет набор энергии зарядом.
Выражение A2. 32) становится несправедливым при vo < ,
так как при скорости движения заряда, сравнимой с тепловой,
его траекторию нельзя считать прямолинейной. Однако из этого
выражения можно сделать качественный вывод о необходимости
лГ~Т
учета взаимодействия заряда, имеющего скорость v ~ I/ —,
с флуктуационным полем зарядов плазмы.
Следует отметить, что в областях прозрачности плазмы, где
собственные частоты колебаний (решения дисперсионных урав-
уравнений ец =0, —^ e_L = 0) не имеют мнимых частей, спек-
спектральные плотности {е\)ь, © и (?j_)k, а могут в принципе значи-
значительно превосходить «тепловой» уровень, определяемый форму-
формулами A3. 26). Если спектры (е\)ь, и и (Е2х)к, ш известны,то фор-
формулы A3. 24) и A3. 25) позволяют рассчитать набор энергии заря-
зарядом и в «надтепловых» флуктуационных электромагнитных полях.
Выражение столкновительного члена через электрическую про-
проницаемость плазмы. В предыдущем изложении основные электро-
электромагнитные характеристики плазмы — тензор электрической про-
проницаемости еар и корреляционная функция токов Gap — брались
приближенными: они были вычислены для невзаимодействующих
зарядов. Соответствующее кинетическое уравнение (в отсутствие
возмущений) для частиц сорта а имеет вид
—— -4- V -^—г г»-^ = U, Но. оо)
at ОТ ° дра '
где
В действительности на движущиеся заряды действуют, как
мы видели выше, радиационная сила трения и флуктуационные
поля.
114

Радиационную силу трений, поскольку она мала, можно вы-
вычислить по невозмущенному движению заряда и, как это делается
в электродинамике, добавить в исходное уравнение движения
зарядов. Флуктуационное поле Е тоже можно вычислить, исходя
из невозмущенного движения зарядов. Рассматривая это поле Е
как возмущение, можно найти флуктуационную часть /М функции
распределения fa и учесть действие флуктуационного поля в «ква-
«квазилинейном приближении». Соответствующая суммарная добавка
к кинетическому уравнению (в правой его части), называемая
столкновительным членом, имеет вид
5 (fa) = —^ {FTp-fa + Я')./A)), A3. 34)
где
Рассмотрим S (fa) для плазмы без магнитного поля. Наиболь-
Наибольший вклад в S (fa) дает продольное поле (учет поперечного поля
становится существенным только для релятивистской плазмы),
которое мы только и учтем. Поправка к функции распределения
/у (к, со) связана с продольным полем Е (к, со) соотношением (см.
задачу к § 9)
)) = g(k, co)E(k, со), A3.35)
где
^{AJ A3.36)
Соответственно необходимая нам электрическая проницаемость,
согласно выражению (9. 10), имеет вид
где суммирование производится по всем сортам зарядов плазмы.
Входящая в первый член выражения столкновительного члена
сила трения заряда, обусловленная создаваемым им продольным
полем (так называемая динамическая сила трения), определяется
первым членом формулы A3. 6). Подставляя в него явное выра-
выражение 1тец из формулы A3. 37), находим
, A3.38)
115

Среднее Значение произведения f'/i'' = ^а/^'Е. входящего во
второй член выражения для S (fa), в согласии с общим прави-
правилом (§ 8) можно записать в виде интеграла по со и к от соответ-
соответствующей спектральной плотности еа (Ef^)k щ. Учитывая соот-
соотношение A3. 35), по аналогии с выражением (8. 24) имеем
р A3.39)
где go — эрмитовская часть оператора g (k, со):
^(k,co) = -^a^-6(co-kva). A3.40)
Продольное поле Е (к, со), создаваемое зарядами, согласно выра-
выражениям F. 38), A2. 2) и A2. 3), имеет вид
Е=г i^LlglL. A3.41)
we кг v '
Учитывая, что, согласно формулам (8. 29), A2. 8) и A2. 11),
(Шк. Ш - G«p = 2 j %F" б (Ш ~ kV&) f (Рб) Фб'
для корреляционной функции микрополей, входящей в выражение
A3. 39), получаем
2
Ъ
A3.43)
Подставляя выражения A3. 40) и A3. 43) в выражение A3. 39),
находим
ь
Хб(со — kvaN(co — kvb)dkdto. A3.44)
Вставляя теперь полученные выражения для силы трения A3. 38)
и для произведения /!у)Е<1> A3. 44) в формулу A3. 34), получим
окончательное выражение для столкновительного члена (подроб-
(подробнее см. [69])
- J /ap (/e A __/, ^-) dPb, A3. 45)
где
X б (со — kva) б (со — kvfc) da dk. A3. 46)
116

§ 14. Флуктуации в плазме. Рассеяние волн [58—60]
Как уже указывалось в § 8, решение уравнений Максвел-
Максвелла F. 1), в которых под jCTop понимается микроскопическая плот-
плотность тока jM F. 8), позволяет найти различные флуктуацион-
ные величины — энергию флуктуационного электромагнитного
поля, флуктуации плотностей токов и зарядов и т. д.
Все эти величины выражаются в конечном итоге через две
основные характеристики среды — тензор электрической прони-
проницаемости еар и корреляционную функцию микротоков Gap (или
их парциальные части, относящиеся к зарядам какого-либо выде-
выделенного сорта).
В настоящем параграфе мы рассмотрим наиболее важные флук-
туационные величины — энергию кулоновского взаимодействия
зарядов, которая связана непосредственно с энергией продоль-
продольного электрического поля Е\/8п, а также флуктуацию полного
заряда плазмы и электронной плотности, через которую выра-
выражается сечение рассеяния электромагнитных волн.
Энергия кулоновского взаимодействия. Энергия продольного
электрического поля может быть записана по общим правилам
[см. формулу (8. 22) ] в виде интеграла по спектру
где, согласно выражениям A3. 26) и A3. 28), в термодинамически
равновесной плазме
Для вычисления этого интеграла рассмотрим вспомогательный
интеграл ф -, где контур интегрирования охватывает верхнюю
полуплоскость комплексного переменного со, исключая точку
со = 0. Поскольку уравнение Ец = 0 имеет корни со = Reco +
4- t lm со с lm со <С 0 (что соответствует устойчивости термодинами-
термодинамически равновесной плазмы), то функция 1/ец в верхней полупло-
полуплоскости комплексного со не имеет полюсов. Следовательно, интеграл
по замкнутому контуру, который можно разбить на три части:
1) главное значение на действительной оси, 2) интеграл по полу-
полуокружности | со | -> 0, обходящей точку со = 0 по часовой стрелке,
и 3) интеграл по дуге | со | -»¦ со (против часовой стрелки), — равен
нулю
t = 0. A4.3)
J2 +,t = 0.
сое ц е |( @) ^
117

Отделяя действительную и мнимую части, находим
lm = —я ——- . A4.4)
Знак главного значения здесь снят, поскольку lm —~ со.
Входящая в формулу A4. 4) статическая электрическая про-
проницаемость, согласно выражению (9. 27),
е у @, к) = 1 + j}#, A4.5)
где d — дебаевский радиус:
Из выражений A4. 2), A4. 4) и A4. 5) находим
Е\ = Г Т 1 rfk ' пл 7)
8я J 2 1 -\-k4* BлK " к >
При k -> оо этот интеграл расходится, так как в энергию электри-
электрического поля A4. 7) включена «ненаблюдаемая» энергия кулонов-
ского поля невзаимодействующих точечных зарядов, которую
можно определить из выражений A3. 26) и A3. 27):
еапа * ,„ к_. \ j.. л. Т 1 dk ... g
Вычитая выражение A4. 8) из выражения A4. 7), получим энер-
энергию кулоновского взаимодействия зарядов плазмы (ср. [61 ]):
U~ 2 J k4* (I + k*d*)
Флуктуация заряда. Зная флуктуацию продольного электри-
электрического поля, с помощью уравнения divE = 4nQ нетрудно полу-
получить и флуктуацию заряда в плазме. Для пространственной фурье-
компоненты плотности заряда из этого уравнения следует: Qk —
¦ kE \\
= — i -j~ , так что
Для термодинамически равновесной плазмы, согласно выраже-
выражениям A4. 7) и A4. 1),
Т 1
""" 2л2
118

следовательно,
32я*
Применяя общие правила [см. формулу (8. 21I, с помощью
формулы A4. 11) нетрудно получить одновременную простран-
пространственную корреляцию плотности заряда:
A4.12)
где функция корреляции v (г — г') определяется формулой
I г-г' |
Формулу A4. 11) можно получить и из полной плотности тока
(микроскопической плюс наведенной флуктуационньш полем):
. /ц =/;+о-ц?||, A4.14)
эпределяется форм
Отсюда
4ш
где Е|| определяется формулой F. 38): Ец = ——j™.
0)8
A4.15)
Используя связь Q с in [см. выражение A3. 3) ], получаем:
Если воспользоваться термодинамическим значением бц A3. 28)
и проинтегрировать выражение A4. 16) по со, то получится ре-
результат A4. 11).
Флуктуация электронной плотности. Если необходимо вы-
вычислить флуктуацию зарядов только одного сорта (например,
только электронов или только ионов), то в формуле A4. 14) сле-
следует взять /"jj и а ||, относящиеся только к данному сорту зарядов.
Напомним, что величины /м, а и G — аддитивные:
]м = 2 JT- о = 2 ctq; G = 2 Ga. A4. 17)
a a a
Рассмотрим флуктуации электронного заряда в двухкомпо-
нентной плазме. В этом случае
119

(значки е и i относятся соответственно к электронам и ионам);
(«o-kv)\. A4.19)
При максвелловском распределении электронов по скоростям [ср.
выражение (9. 27) ]
Аналогично выражается о^.
Суммарная плотность продольного тока, связанного с электро-
электронами, определяется формулой
i Lj'". A4.21)
сое I, " v '
С помощью формулы A4. 18) выражение в скобках можно запи-
записать несколько иначе:
4яа,!
1—t-
A4.22)
Учитывая, что je"j',|M = 0, для спектральной плотности флук-
флуктуации продольного тока получим
У ll) к. ш -
4Я0',
16я2 \ое.
21 е , ,2
¦G\. A4.23)
Флуктуация электронного заряда связана с флуктуацией про-
продольного тока простым соотношением ($)к ю = -~г {i\)\iW > вы"
текающим из уравнения непрерывности. Если электроны и ионы
имеют максвелловское распределение по скоростям с температу-
температурами Те и Тi соответственно, то
A4.24)
120

Здесь
2= 1 +
1
е
г
хе —
1
1
k
\
Y (у \л
л \хеI
Y(xe)
со
\vTe '
/2Те .
/п, '
кЧ\
1
Y(xt)
\k\vTi
X (x) = 2xe-x*
\
о
0 .= 1/27^;
f; Г (х) = ^Гхе-^2.
A4.25)
Как видно из формулы A4. 21), плотность электронного тока (а сле-
следовательно, и электронная плотность) состоит из трех слагаемых.
Первое из них /е,,м связано с «голыми» электронами, второе и
третье — с поляризационными облачками вокруг электронов и
ионов соответственно. Наличие поляризационного облака вокруг
ионов объясняет факт зависимости флуктуации электронной плот-
плотности от ионных характеристик.
При Те — Т[ = Т флуктуация электронной плотности может
быть записана в виде *
Bя)8со
где
е,=
8/ = 1 +
4яа'
Эта форма записи позволяет использовать тот же прием инте-
интегрирования по со, что и при вычислении (?2)к (с той разницей,
что здесь интеграл по дуге | со | -> с» равен нулю). Производя ука-
указанное интегрирование, получим
Для одновременной корреляции плотности электронного заряда
по аналогии с формулой A4. 12) найдем
i(r-r')-
На эту форму записи автору указал О. П. Погуце.
121

В этих формулах
Спектральная плотность флуктуации электронного заряда
A4. 24) имеет важное значение, так как через нее выражается се-
сечение рассеяния электромагнитных волн на флуктуациях плот-
плотности.
Рассеяние электромагнитных волн в плазме. Пусть в плазме
(без магнитного поля) распространяется поперечная волна, элек-
электрический вектор которой
Е = Eocos(xr — Ш). A4.26)
Уравнение движения г-го электрона плазмы в поле волны имеет
вид
—fii- = — cos(xr4-— Ш), A4.27)
где Г; (t) — радиус-вектор рассматриваемого электрона. С по-
помощью уравнения A4. 27) находим изменение микроскопической
плотности тока электронов j= —2ev/ о (г — гг (/)), связанное
с полем волны:
-зт" б (г — г,- U)) = — Of cos(xr —¦ Ш). A4. 28)
Здесь Qe = — 2Je6 (г — г(- (/)) — микроскопическая плотность за-
заряда электронов.
Разложим, как обычно, Qe и 5j в интегралы Фурье:
Qe=$Qe(k', со') е'<к''-и'<>dW da'; A4. 29)
6j = j 6j (к, со) е' <к'-ю<) dk' dee. A4. 30)
Из уравнения A4. 28) вытекает следующая связь между Фурье-
компонентами этих величин:
6j(k,co)= f
Отсюда нетрудно получить корреляцию индуцированных волной
токов:
— к') б (со —со'); A4.32)
5G — е2?"?Р (бе/к—д«. (о-й + (Qe)i<+*. to+a . /J4
аР т2(о2 4 \ •
Излучение, индуцированное волной A4. 26), определится теперь
по формуле A2. 7):
6Q = — j6GPaL;pa!kdco, A4.34)
122

где, согласно выражению A2. 42),
Заметим, что (<g)k+Xi ш+й = (о2)_ь_и, _M_a • Воспользовав-
Воспользовавшись этим и заменяя переменные интегрирования «->-—со и &->¦—А
в той части интеграла A4. 24), которая содержит (ol)k+x ш+а>
для энергии рассеянного излучения (отнесенного к единице объема)
получим
A4.36)
Пусть электрический вектор проходящей волны A4. 26) на-
направлен по оси х, а ее волновый вектор к — по оси z. Тогда
где 0 — угол между волновыми векторами проходящей и рассеян-
рассеянной волн, а ф — угол между проекцией волнового вектора рассеян-
рассеянной волны на плоскость ху и электрическим вектором проходящей
волны. Поток энергии~в проходящей волне равен
e(Q), A4.38)
Записывая dk = k2dkdQ и производя в выражении A4. 36) с по-
помощью б-функции интегрирование по k, получим формулу для
сечения рассеяния
A4.39)
Относительный сдвиг частоты при рассеянии обычно мал,
С 1 поэтому можно считать |к| |х|
) поэтому можно считать |к| = |х|= — ]/е(со). При
этом
A4.40)
123

В предельном случае коротких волн, kd > 1 (т. е. со ^> со0 — ],
имеем: е = 1; (<?)ь_х,и_0 = 8jt4((a_Q) У { |к,и, Vu) , так что
(ш-йJ
^ ()
2J/ЯЙУГе Sin-у
Это есть сечение рассеяния на изолированных электронах,
имеющих тепловой разброс скоростей. При vTe -> 0 фактор, учи-
учитывающий допплеровское уширение рассеянной «линии», превра-
превращается в б (со — Q):
JN(co~fi). A4.42)
Рассмотрим теперь случай Ы<1, т. е. со < со0—(но, разу-
разумеется, со > со 0, так как в противном случае волна не проходит
в плазму). В этом случае вклад в рассеяние дают и поляризацион-
поляризационные облачка вокруг электронов и ионов. Вклад в интенсивность
рассеяния с неизменившейся частотой со = Q дают заряды, имею-
имеющие скорость, близкую к нулю. Поскольку при сравнимых тем-
температурах электронов и ионов число ионов (в единичном интер-
интервале скоростей), имеющих скорость о = 0, в |/j- раз больше
электронов, то ясно, что форма линии рассеяния при со — Q = О
будет определяться поляризационными облачками, связанными
с ионами. При со — Q = 0 сечение A4. 39) имеет следующее
значение:
1 +
ХК^ ha./,, ^2^И2Ш, • О4'43)
"тс2")
— Q >¦ kvTi число резонансных ионов становится экспонен-
экспоненциально малым; в этой области ам С аоа.
Сечение рассеяния может иметь максимум при тех значениях
разности частот со — Q, при которых входящая в знаменатель
флуктуации плотности A4. 24) электрическая проницаемость
близка к нулю, т. е. когда частота рассеянных волн сдвинута на
величину частоты собственных колебаний плазмы. Острый макси-
124

мум сечение рассеяния имеет на ленгмюровской частоте со — Q —
= соо (при Ы « 1). Однако интегральное сечение в этой области
частот составляет малую долю (~k2d2 < 1) от полного сечения.
В сильно неизотермической плазме при Те > Т{ сечение рассея-
рассеяния имеет максимум на частоте, сдвинутой на величину частоты
Ujp-io*
Дифференциальное сечение рассеяния для плазмы
с различными температурами электронов и ионов:
Кри-
Кривая
1
2
3
4
5
5
5
5
25
50
Tf эв
50
25
5
5
5
/ 2
atot' r0
0,812
0,808
0,500
0,236
0,360
Рис. 18.
ионного звука A0. 5): со — Q = |k — х | j/ ¦^J- . Зависимость диф-
дифференциального сечения ст^ рассеяния от частоты при рассеянии
под прямым углом (э = -тЫ для некоторых параметров плазмы
приведена на рис. 18, взятом из работы Розенблюта и Росто-
кера [60]. Частота проходящей волны здесь взята равной удвоен-
удвоенной ленгмюровской частоте Q = 2соо, Q/c = 3,76 см'1. На кри-
кривых видно появление максимума на ионной звуковой частоте при
увеличении отношения Те Tt.
125

Суммарное (проинтегрированное по частотам) дифференциаль
е2 \ 2
ное сечение по порядку величины atot ~ г^ = I —^ ) • В изо-
изотермической (Те = Т{) плазме, например, когда интегрирование
по частотам нетрудно выполнить аналитически, отношение сече-
сечения рассеяния в плазме к сечению рассеяния на изолированном
электроне меняется в пределах от 1 (при kd > 1) до 1/2 (при kd <C 1)-
Задача. Найти флуктуации магнитного и поперечного электрического полей
в плазме при Во = 0.
Решение. Воспользуемся формулой A3. 26):
/„9ч 16я2 2G, _ A)
Поскольку В = — [кЕ], то
О)
>к, со
?!*!
2 \с ±
) к, и —
16я2
B)
Для термодинамически равновесной плазмы с помощью выражения (8. 26) находим:
_
к, со -
^¦ — lm-
i
й2с2 ,.
1
, @
k, со •
C)
Так же, как и в § 14, можно произвести интегрирование по со. Интегралы
и Ал ; Г5~5— по замкнутому контуру, ох-
03 [ех-
(О3 8
*-&-)
ватывающему верхнюю полуплоскость, сводятся к интегралам по действительной
оси и по полуокружностям: | со | -у оо для первого интеграла и | со | ->• 0 для
второго. Оба интеграла дают один и тот же результат. В итоге получаем
D)
Одновременные пространственные корреляции
г',П = f (
e'k<r-r')
(г - г');
В (г, t) В (г', Г) = 8яГб (г — г')-
E)
F)
Для полной плотности энергии электрического и магнитного поля с помощью
выражений D) и (8. 22) получаем
F2
8я
J
Bя)=< •
G)
126

§ 15. Уравнение переноса энергии
электромагнитных колебаний [62—64]
Из уравнений Максвелла F. 1) вытекает теорема Пойнтинга
в следующей форме:
dt
+ div Ш [ЕВ1 + j (Е) Е j -E. A5. 1)
Применим эту теорему к квазимонохроматической волне (волно-
(волновому пакету)
Е(г,0 = Ео(г,/)е'С"-">, A5.2)
где Ео (г, t) — комплексная амплитуда, медленно меняющаяся
во времени и пространстве, со и к — вещественная частота и волно-
волновой вектор. Такая волна существует в области частот, где мала
антиэрмитовская часть e^B тензора электрической проницаемо-
проницаемости еор. Поэтому в дальнейшем будем считать е"ао, а также скорость
изменения амплитуды волны величинами первого порядка малости:
dt Or
A5.3)
Для получения связи между вещественными а» и к следует пре-
пренебречь антиэрмитовской частью тензора еад и зависимостью
амплитуды Е 0 от г и /. Тогда однородные уравнения Максвелла
для амплитуды будут выражаться формулой A. 14):
Dap(k,co)?p = O, A5.4)
где
?>ap(k> a) = ^26ap — kak^—~ eap. A5. 5)
.Найдем связь плотности тока j (E) с квазимонохроматической
волной A5. 2). Подставим с этой целью выражение A5. 2) в урав-
уравнение F. 2), связывающее j (Е) с Е (г, t), и выделим там множи-
множитель e'(kr-ffl'>:
a<> I <ft'J<xap(r-r',/-Ox
со
X ?0(г',Ое-(к(г-г'Жм('-гМг'. A5.6)
Учитывая медленную зависимость амплитуды Ей (г, t) от коор-
координат и времени, разложим ее по г — г', t — t'\
Eo(r',f) = Eo(r,0 + -^(r'-r)+^(f-0+--- A5.7)
127

По определению тензора комплексной проводимости F. 17) имеем:
J dt' J 0аР (г - T',t - Г) е-'к e-'W» а-п dr' = аар (к,со);
— со
t
J ^'Joap(r —Г',/ —/')(Г' —Г) e-'k(r-r')+t0)(f-r)dr' ^
J Л'|огар(г — г',/ — *')(/'
A5.8)
Поэтому подстановка разложения A5. 7) в уравнение A5. 6) дает
/„ (г, t) = е'<¦"-»<> {оар (к, со) ?0 (г, t) - i -^f X
(г, t) . . dOafi d?o0 (r, t)'
х
dt
A5.9)
Сделаем во втором и третьем слагаемых замену iaa^ = (eap —
— 6ap)-2— . Тогда третий член левой части уравнения A5. 1) при-
примет вид *:
дк
16я
A5. 10)
В последнем члене уравнения A5. 1), выражающем величину
флуктуационного излучения (см. § 12), следует выделить ту долю
излучения, которая приходится на волны рассматриваемой поля-
поляризации и частоты:
=ТГЕ->1л«,^о- A5Л1)
Подставляя выражения A5. 10) и A5. 11) в уравнение A5. 1)
и группируя слагаемые, содержащие производные по времени и по
координатам, получим теорему Пойнтинга в виде
dW
dt n
О5-
* Напомним, что среднее значение (за период колебания) билинейных по
полю величин вида A5. 2) определяется следующим образом:
1
128

где W — плотность энергии и S — плотность потока энергии
электромагнитных колебаний, выражаемые формулами:
ди>
A5.13)
Заметим, что для электромагнитного поля, удовлетворяющего
однородным уравнениям Максвелла A5. 4), или A. 12) и A. 13),
справедливо соотношение
Fs-DB = 4-e«p?a?p, A5.15)
с помощью которого выражение для энергии A5. 13) можно запи-
записать также в виде
d^)E}^. A5.16)
16л v '
Плотность потока энергии S с помощью соотношения В = — [кЕ]
можно записать так:
Входящие в уравнение A5. 12) плотности потока энергии S
и диссипируемой энергии о'а„ЕтаЕ^ можно выразить через W, если
da ,
ввести групповую скорость v = -тг и декремент затухания (на-
(нарастания) волн. С этой целью рассмотрим уравнение A5. 4) (с уче-
учетом антиэрмитовской части е" ) для волн Е = const e'(kr'"M')
с вещественным к. В этом случае частота ю комплексна: со = а>1 —
— гсо2, причем, ввиду предполагаемой малости е'^, со2 С a>i-
Выделим в тензоре Da^, входящем в уравнение A5. 4), неэрмитов-
скую часть, связанную с наличием со2 и е" :
¦Sa6
A5. 18)
Умножая теперь уравнение A5. 4) на Е*а, отделяя действитель-
действительные и мнимые части и приравнивая мнимую часть нулю, получим
ia;p?;?p==2co2r-YW\ A5.19)
При получении связи S и W следует ограничиться нулевым
приближением (так как учет поправок, связанных с поглощением,
9 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 129

дал бы в уравнении A5. 1) уже члены второго порядка малости).
Поэтому можно исходить из уравнения
Д;р?« = 0. A5.20)
Продифференцируем это уравнение по к:
+D' ^- = 0. A5.21)
' «Р ok '
ok P ' «Р ok
Умножая полученное выражение на Е*а и учитывая, что D'~E'a =
= D*E*a [в силу уравнения A5. 20)], получим
^ °- A5-22)
Выполняя дифференцирование по к с учетом зависимости со (к),
получаем известную связь потока энергии с энергией:
S = ^-W, A5.23)
где S и W выражаются формулами A5. 17) и A5. 16).
С учетом полученных соотношений A5. 19) и A5. 23) урав-
уравнение для энергии A5. 12) запишется в виде
v =
da
A5.24)
где, согласно формуле A5. 19), у = 2со2.
Добавки в выражениях для W и S, получившиеся из члена jE,
имеющего смысл работы, производимой полем над зарядами,
представляют собой, очевидно, энергию и поток энергии, заклю-
заключенные в колебаниях зарядов. Рассмотрим, например, плазму
в отсутствие магнитного поля. Для поперечных волн в гидродина-
мическом приближении еор = ej_
так что плотность энергии равна
W j {х) _ j j
W — 8it + 8я аи ~ 8я ^ со2 8я • VD-*°)
Последнее слагаемое здесь — энергия колебания электронов. Дей-
Действительно, скорость электрона в волне v = i ——Е, следовательно,
^ = #-?-• 05-26)
130

Для продольных волн (ограничимся только высокочастотными
колебаниями) в области слабого затухания (k2Te < meco2)
(О? / Ь2Т
со2 \ ' ' /тге
Поток энергии целиком обусловлен добавкой в S, связанной
с dealijdk (так как 5 = 0):
де и рг 2vk7\ cojL 2
Как известно из гидродинамики [65], средний поток энергии
малых колебаний равен q = pA)v. Учитывая, что изменение давле-
kv
ния связано со скоростью соотношением р(') = у — р0, полу-
получаем q = ^p°v к, т. е. формулу, совпадающую с выражением
потока энергии по электродинамической формуле.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ВЫВОД СООТНОШЕНИЯ D. 9)
Функция Бесселя имеет следующее интегральное представление:
j {)
Г е"" sin |р+(''"
е-г'* sin
Интегрирование производится по любому промежутку длиной 2я. Разложим
etasin<p в ряд фурье
e^sin(P= У) ame'm(p. (I 2)
m=—со
Умножая (I. 2) на е~*Лф и интегрируя по (р от 0 до 2л, с учетом (I. 1) находим
Um==-ir\е"sin ф~""р rftp =/m fx)' (I ¦3)
та< что
einin»
A.4)
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ВЫВОД СООТНОШЕНИЯ (9. 20)
Рассмотрим интеграл (k ^> 0)
/
9*

где
-V-
2Г со — гнав 4- iv
; z = '
m
; z =
. Учитывай, Что 1шг=
л
О,
запишем
1 /Г
rUT^-'J
(II. 2)
Далее
z — t
-i\-"V
\ 0 0
(П. 3)
При v -+ 0 / (v) -> < ? (со — ишв — ?yz) > • Таким образом
г, .' о) —
(? (Ш — П(?>В —
где
Z(z) = X (z) - «Г (г);
ЙОГ У
(II. 4)
(г) =
f е(г dt;
(II. 5)
F(z)= Кяге-2".
г
Рассмотрим интеграл f ef* dt при | z | > 1. Положим t = z — а. Тогда
0J
е-2аге°2 da = егг j е~2аг >, ~da.
2 dt = e2
-2az у
б п=0
С экспоненциальной точностью верхний предел при |г| > 1 теперь можно поло-
положить равным бесконечности. Пользуясь известным соотношением
°\e-ttxdt= x\.
132

находим
г
[-t.., ,Т.У B")! = е* Л | 1 , 3 15 \
О n=3 ' V '
Таким образом, при | г | > 1
^(г)=1 + 4т +
2г2 ' 4г4 ^ 8гв
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА, ПОЗВОЛЯЮЩИХ
ОПИСЫВАТЬ ФЛУКТУАЦИОННЫЕ ПОЛЯ
Покажем, как из точных уравнений движения всех зарядов плазмы и из точ-
точных уравнений Максвелла в пустоте (иначе — уравнений Лоренца) получается
система уравнений Максвелла F. 1) для среды, позволяющая описывать как сред-
средние, так и флуктуационные поля. Вывод этих уравнений удобно производить
с помощью «микроскопической функции распределения» — фазовой плогности
частиц сорта а *:
Na (Г, р, 0 = 2 в (Г - Г«- W) б (Р - Pai С)). A)
Среднее значение функции Na пропорционально обычной функции распределе-
распределения fa:
Та (Г, р, t) = fa = nj'a (Г, р), B)
где па — плотность частиц сорта а.
Пусть уравнения движения i-го заряда имеют вид
dt
О)
D)
где Fs — суммарная сила, действующая на /-й заряд. Она складывается из внеш-
внешней силы Fe, не зависящей от распределения зарядов плазмы (например, силы
тяжести, силы Лоренца во внешних электрическом и магнитном полях), и электро-
электромагнитной силы F, возникающей из-за взаимодействия всей совокупности зарядов
плазмы с рассматриваемым зарядом:
F2 (rai. О = Fe Ы, *) + F (гй«, t). E)
Тогда уравнение для Na можно записать в виде
KeNa + -А { F (Г, 0 Na] = 0, A)
где Ке — «кинетический оператор»:
K + {V) + {F{rt)] F)
* Такой метод был развит в работах Ю. Л. Климонтовича и др. Ниже при
изложении использована также работа О. П. Погуце (в печати).
133

Здесь индексом е отмечено то обстоятельство, что в Ке входит внешняя сила Fe.
В справедливости уравнения (I) можно убедиться непосредственно дифференци-
дифференцированием с учетом соотношений C) и D).
Кроме уравнения (I), необходимо использовать микроскопические уравнения
Максвелла, которые мы запишем в символической форме для величины F:
M0F(r,t) = l(r,t) (II)
(Fe в объеме, занятом плазмой, удовлетворяет однородным уравнениям M0Fe =
= 0).
Здесь полная микроскопическая плотность тока j (r, t) может быть записана
с помощью Na:
j(r, t)-^^eavaNadpa. (Ill)
a
Индекс 0 у максвелловского оператора М означает, что уравнения Максвелла
берутся для вакуума.
Последующая процедура вывода будет заключаться в разделении системы
уравнений (I) и (II) на уравнения для средних величин и флуктуационных откло-
отклонений от средних.
Отклонение Na от среднего значения Nn = fa обозначим через ANa:
Na = W~a-hNa. G)
Имея в виду получение уравнений, которые наряду с внутренними свойст-
свойствами системы описывали бы распространение электромагнитных волн в плазме,
будем выделять в N , малую добавку Л^'^А^0', связанную с полем этой волны
Nа = jV^-j-jVy. Аналогично разделим на два слагаемых и флуктуационную часть:
AiVfl = ДЛ^0' -f- ДЛ'У'. Таким образом, функцию Na представим в виде
Na = NW+bNW + NM + bNt\ (8)
Подставляя Na в выражение (III) для тока, получим соответствующее разделение
полной плотности тока
j = j<°> -f- Aj<°> +j0) + Ajd). (9)
В силу линейности уравнений Максвелла (II) «поле» F также разделится на че-
четыре части:
F = F<°>+AF<°> + F<I> + AF<1>, A0)
удовлетворяющие соответственно уравнениям:
/И„Р<0) = j@); (Па)
(Пб)
(Иг)
где
(Шб)
134

Напомним, что 7V@), JVA), F(o), FA), j@^, jA) — это «средние» величины;
Д означает флуктуирующую величину, среднее от которой равно нулю; нулем
обозначены величины в отсутствие электромагнитной волны индексом 1 обозна-
обозначены величины, связанные с электромагнитной волной. Все величины с индек-
индексами 1 считаем величинами первого порядка малости, по ним можно произвести
линеаризацию (т. е. будем отбрасывать произведения типа FA)jV(I), AFA'/VA)
и т. д.
Произведя усреднение уравнения (I) и отделяя величины нулевого и первого
порядка малости, получим два уравнения для средних величин:
A1)
= 0. A2)
+
где оператор К выражается так:
KKe+-L\F{r, i).\ =^ + (VaV)+A{(Fe
Напомним, что Fe — внешняя сила, F^0' — внутренняя (f'°* зависит от
вида функции распределения).
Вычитая теперь уравнения A1) и A2) из уравнения (I) и отделяя снова вели-
величины первого порядка малости, получим два уравнения для флуктуирующих
величин:
±- {AFWa + (AtfJ,AF - (A<AF))} = 0; A4)
А { F(D ANW + NV) AF@) + p +
= 0. A5)
Система уравнений A1)—A5) фактически представляет собой другую запись
уравнения (I) [с точностью до членов второго порядка малости по полю электро-
электромагнитной волны FA*; при F'1* = 0 уравнения A1) и A4) тождественны уравне-
уравнению A)].
Обычное упрощение полученных уравнений (или эквивалентных им) связано
с использованием условия малости энергии взаимодействия по сравнению с кине
тической энергией зарядов (е2я'/з < mv2). При этом условии члены в круглых
скобках в уравнениях A4) и A5) можно опустить. Будем также предполагать,
что частота колебаний электромагнитной волны F'1' значительно превышает
частоту столкновений. Тогда можно опустить и произведения флуктуирующих
величин (учитывающие «столкновения») в уравнении A2). Окончательная система
уравнений для функций распределения .принимает вид:
A6)
(Ib)
= 0. (Ir)
135

Уравнения для AJVjJу и ДЛ^1' удобно разбить каждое на две части. Выделим
из AN^ часть, связанную с взаимодействием AF*0':
A6)
A7)
). A8)
Уравнение A7) описывает флуктуации в системе зарядов, движущихся во
внешнем Fe и усредненном (самосогласованном) F'0* полях, но не взаимодей-
взаимодействующих микроскопически. Его решение имеет вид
AN™ = ^б (г - г<°> @) б (у - v<°/ (t)) - <). A9)
г
Из определения оператора К A0) следует, что r°t- (t) и v^ (t) определяются
уравнениями
Уравнение Aг) разделим на две части следующим образом:
B2)
-A- (Ft» Д<) + Д^0'^1») = 0; B3)
^ ANa (ДРО) + А (др<')^°)) = 0. B4)
Произведенное разбиение позволяет ввести «сторонние» токи — микроскопический
ток
JM = 1 2 °а*а *<° dPa = S «„V,,, @ б ( Г. - Т°а[ (t)) - j°, 'B5)
a i, a
являющийся источником флуктуационных полей Д^о), и индуцированный элек-
электромагнитной волной F'1' ток
(>} = ^eaxa6Nadpa, B6)
а
являющийся источником рассеяния волны F'1'.
Теперь удобно объединить уравнения Максвелла для F* ', AF* ' и Д F^ '.
Введем обозначение для суммы этих полей
B7)
136

и для суммы соответствующих функций распределения
/</> (Е) = Л#> + A^(AFC)) + Д< (AF°). B8)
Суммируя уравнения (Иб)—(Пг), а также A6)—Aг), получим
ЖЕ - j (E) = jM + 6j; B9)
НЕ) = 12>Л/^<Ч; C0)
i^() C1)
При j° = 0 (однородная плазма) и 6j = 0 (пренебрежение рассеянием) получен-
полученная система совпадает с теми уравнениями, которые использовались в тексте
(§ 6, 9 и 13).
Флуктуационное поле AF°, входящее в уравнения B3) и Aа), определяется
уравнениями B9) при б/ = 0 [которым и соответствуют использованные в тексте
уравнения'F. 1)]. Флуктуационная часть функции распределения ДЛ?а (AF°),
связанная с взаимодействием зарядов, как видно из сравнения уравнений A8)
и C1), удовлетворяет такому же точно уравнению, как и для поправки к функции
распределения, вызванной электромагнитной волной.
Система уравнений B9)—C1) записана в символической форме. В явном виде
она выглядит так:
rotB-i-f—^1(Е) = ^Ом + в]); C2)
rotE+J--fr = °; C3)
divE — 4jTQ(E) = 4Jt(QM + SQ); C4)
divB = 0; C5)
C6)
dt ¦ ' dr '"V г с lv" v dp
ляются по формулам B5), B0),
(°)° C8)
Сторонние плотности тока и заряда определяются по формулам B5), B0), B1)
и. B6), B3).
a dv\ бе = j2eaSA^v; D0)
D1)
137

Здесь Е*1' и В*1' — решения однородных уравнений Максвелла C2)—C5); Ем
и Вм — микроскопические поля — решение уравнений C2)—C5) при 6j = 0;
№ (^A*) ~~ Решение уравнения C7), в правую часть которого вместо Е и В входят
ЕA) и ВA). Входящие в уравнения C7), C8), C9) и D1) средние величины /°, Е°,
В0 и j° являются решением уравнений (Па) и Aа). Эти уравнения представляют
собой систему самосогласованных уравнений Максвелла и кинетического уравне-
уравнения со столкновительным членом:
rote---Li* i«J";
с dt с '
rot E° -4 =— = 0;
с dt
div E° = 4лр°;
divB° = 0;
3t
*< = 2 6(r - rl (t)) 6 (v - v% @) - t°a + /<" (EM).
i
Здесь Ем, Вм и № ' (Ем) имеют такой же смысл, как и в предыдущей системе
уравнений.
ЛИТЕР AT У Р А
1. В л а с о в А. А. Теория многих частиц. М. — Л., Гостехиздат, 1950.
2. Л а н д а у Л. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 16, 574 A946).
3. АхиезерА. И. иФайнбергЯ- Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 21,
1262 A951).
4. В о h m D., Q r о s s E. P. Phys. Rev., 75, 1851 A949); 75, 1864 A949).
5'. G г о s s E. P. Phys. Rev., 82, 232 A951).
6. Г о р д е е в Г. В. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 27, 19 A954).
7. ГершманБ. Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 24, 453 A953);. 24, 659 A953).
8. Гершмач Б. Н., Гинзбург В. Л. иДенисовН. Г. «Усп. физ.
наук», 61, 561 A957).
9. Брагинский С. И. «Докл. АН СССР», 115, 475 A957).
10. В е г n s t e i п I. В. Phys. Rev., 109, 10 A958).
11. Г е р ш м а н Б. Н. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 37, 659 A959).
12. ГершманБ. Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38, 912 A960).
13. Г и н з б у р г В. Л. Теория распространения радиоволн в ионосфере. М.,
Гостехиздат, 1949.
14. Г е р ц е н ш т е й н М. Е. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 22, 303 A952).
15. Г а л и ц к и й В. М. и М и г д а л А. Б. Диэлектрическая постоянная высо-
высокотемпературной замагниченной плазмы и оценка лучистой теплопроводности.
В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций».
Т. I. M., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 16.
138

16. С и т е н к о А. Г., С т е п а и о в К- Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 31, 642
A956).
17. Ш а ф р а н о в В. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 1475 A958).
18. Трубников Б. А. Электромагнитные волны в релятивистской плазме
при наличии магнитного поля. В кн. «Физика плазмы и проблема управляе-
управляемых термоядерных реакций» Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 104.
19. С а г д е е в Р. 3., Ш а ф р а н о в В. Д. Поглощение высокочастотного
электромагнитного поля в высокотемпературной плазме. В кн. «Тр; Второй
международной конференции по мирному использованию атомной энергии».
Докл. советских ученых. Т. 1 —«Ядерная физика». М., Атомиздат, 1959,
стр. 202.
20. Брагинский С. И., Казанцев А. П. Магнитогидродинамические
волны в разреженной плазме. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций)) Т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 24.
21. Ст е п а н о в К- Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 1292 A958).
22. С и л и н В. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38, 1577 A960).
23. Bernstein I. В., Т г е h a n S. К- Nucl. Fusion, I, 3 A960).
24. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 39, 845 A960); 40, 1444 A961); 41, 1527 A961).
25. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.,
Гостехиздат, 1957.
26. Р ы т о в С. М. Теория электрических флуктуации и теплового излучения.
М., Изд-во АН СССР, 1953.
27. Б у н к и н Ф. В. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 32, 811 A957).
28. Шафранов В. Д. К выводу тензора диэлектрической проницаемости
плазмы. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реак-
реакций». Т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 416.
29. К л и м о и т о в и ч Ю. Л. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 173 A958).
30. Климонтович Ю. Л., С и л и н В. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 42,
286 A962).
31. К л и м о н т о в и ч Ю. Л. Диссертация. МГУ, 1962.
32. С и л и н В. П. «Ж- эксперим, и теор. физ.», 40, 1768 A961).
33. Thomson W. В., Hubbardl. «Rev. Mod. Phys.» 32, 714 A960).
34. Hubbardl. Proc. Roy. Soc, A, 260, 114 A960); A, 261, 369 A961).
35. Rostoker N. Nucl. Fusion, 1, 101 A961).
36. Г и н з б у р г В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.,
Физматгиз, 1960.
37. Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и
плазмоподобных сред. М., Госатомиздат, 1961.
38. S t i х Т. Н. The Theory of Plasma Waves. Me Craw-Hill Company Inc., 1962.
39. Л е о н т о в и ч М. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 40, 907 A961).
40. Г и н з б у р г В. Л. «Ж- Э1 спорим, и теор. физ.», 10, 601 A940).
41. Коломенский А. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 24, 167 A953).
42. Фадеева В. Н., Т е р е и т ь е в Н. М. Таблицы значений интеграла ве-
вероятностей. М., Гостехиздат, 1954.
43. М и х а й л о в с к и й А. Б. «Ядерный синтез», 2, 162 A962).
44. А х и е з е р А. И. и С и т е н к о А. Г. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 23,
161 A951).
45. Ц ыт о в и ч В. Н. «Вестник МГУ», 11, 27 A951).
46. Ситенко А. Г. иКоломенскийА. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
30, 511 A956).
47. Б у н к и н Ф. В. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 32, 338 A957).
48. Э й д м а н В. Я- «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, 131 A958); 36, 1335 A949).
49. Гинзбург В. Л., Железняков В. В. «Изв. высш. учебн. заведений,
Радиофизика», 1, № 2, 59 A958).
50. Г и н з б у р г В. Л. «Усп. физ. наук», 19, 537 A959).
51. Степанов К- Н., П а х о м о в В. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38,
1564 A960).
52. Пистунович В. И., Шафранов В. Д. «Ядерный синтез», 1, 189
A961).
139

53. Пахомов В. И.,Алексин В. Ф. иСтепановК-Н. «Ж- эксперим.
и теор. физ.», 31, 1170A961).
54. К i h а г а Т., А о п о О., S u g i h a r a R. Nucl. Fusion, I, 181 A961).
55. П а х о м о в В. И., С т е п а н о в К- Н. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 42,
2153 A962).
56. Б а ж а н о в а А. Е., Ш а ф р а н о в В. Д. «Докл. АН СССР», 149, 1049
A963).
57. Пахомов В. И., Степанов К- Н. «Ж- техн. физ.», 33, 437 A963).
58. АхиезерА. И., Ахиезер И. А., Ситенко А. Г. «Ж- эксперим. и
теор. физ.», 41, 644 A961).
59. Ахиезер А. И.,Прохода И. Г.,Ситенко А. Г. «Ж- эксперим. и
теор. физ.», 33, 750 A957).
60. R о s е п b I u t h N.. N., R о s t о k e r N. Phys. Fluids 5, 776 A962).
61. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Статистическая физика. М., Гостехиздат,
1951, стр. 251.
62. Р ы т о в С. М. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 17, 930 A947).
63. ГерцеиштейнМ. Е. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 26, 680 A954).
64. Гершман Б. Н. и Гинзбург В. Л. «Изв. высш. учебн. заведений».
Радиофизика, 5. 31 A962).
65. Ландау Л. Д., Л и ф щ и ц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гостех-
Гостехиздат, 1954.
66. Франк-КаменецкийД. А. «Ж- Эксперим. и теор. физ.», 39, 669
A960).
67. Франк-Каменецкий Д. А. Теория мягнитозвукового резонанса
в плазме. Доклад, представленный на конференцию по физике плазмы
и контролируемым термоядерным реакциям. Зальцбург, сентябрь, 1961.
68. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. «Усп. физ. наук»
73, 701 A961),
69. Трубников Б. А. Столкновение частиц с помощью ионизованной
плазмы. В кн. «Вопросы теории плазмы». Вып. I. M., Госатомиздат, 1963.

КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ
А. Б. Михайловский
Введение
В настоящей работе излагаются вопросы теории колебаний
неоднородной плазмы.
В работе В. Д. Шафранова [1] уже были рассмотрены неко-
некоторые свойства колебаний плазмы, в предположении, что эффекты
неоднородности равновесных параметров плазмы несущественны.
Как будет показано ниже, такой подход оправдан, если фазовая
скорость колебаний alk значительно превосходит дрейфовые ско-
скорости частиц vдР ~ -|- vт (q — ларморовский радиус частиц,
vT — их тепловая скорость, а — характерный размер неодно-
неоднородности плазмы). В последнее время, однако, выяснилось важ-
важное значение и более-медленных волн, a>lk < удр, обычно назы-
называемых дрейфовыми волнами, так как оказалось, что с ними свя-
связаны некоторые типы неустойчивостей плазмы. Основное внимание
в настоящей работе уделяется именно таким медленным волнам.
Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией колебаний
однородной плазмы в объеме указанной выше работы В. Д. Шафра-
Шафранова. Исходя из этого, мы будем пользоваться в основном таким
же методом исследования и той же системой обозначений, как
и в работе [1 ].
§ 1. Диэлектрическая проницаемость неоднородной плазмы
Общее выражение для плотности электрического тока, инду-
индуцируемого в плазме электромагнитным полем малой амплитуды,
приведено, например, в § 9 работы [1 ]. В случае нерелятивистской
плазмы, удерживаемой постоянным магнитным полем, направлен-
направленным по оси г, и неоднородной в направлении у, плотность тока
можно представить в виде
) A.1)
141

где
V V (t)
J
Г
( to (<_<')-k j v(t")dt"
Используемые здесь обозначения те же, что и в работе [1 ] *.
Таким образом, плотность тока в неоднородной плазме очень про-
просто связана с величиной еаK (к, со, у), аналогичной тензору диэлек-
диэлектрической проницаемости однородной плазмы в представле-
представлении к, со.
Ясно, что вид sap существенно зависит от закона движения
отдельных частиц плазмы в равновесных полях. Если рассматри-
рассматривать участок плазмы, на котором равновесное электрическое
поле равно нулю (Е° = 0), и если давление плазмы мало по срав-
сравнению с магнитным давлением ф = 8пр/В% С 1). так что вели-
величинами типа VB0 можно пренебречь, то закон движения частиц
(электронов, ионов) будет таким же, как и в однородной плазме:
каждая частица вращается по ларморовской окружности в пло-
плоскости, перпендикулярной к силовым линиям, и движется с по-
постоянной скоростью вдоль силовых линий. Поэтому специфиче-
специфический характер неоднородной плазмы низкого давления с Е° = 0,
как диэлектрической среды, определяется, как это следует из вы-
выражения A. 2), только видом равновесной функции распреде-
распределения /V
Ясно, что F0 не может быть совершенно произвольной функ-
функцией координат и скоростей; она должна удовлетворять равно-
равновесному кинетическому уравнению
^—O A.3)
или, что то же самое, быть функцией только интегралов движе-
движения — величин, сохраняющихся при движении частицы. Из урав-
уравнений движения
[v*>] ^ = v A.4)
следует, что интегралами движения, не содержащими времени
явно, являются: полная энергия частицы е = mi>2/2, продольная
скорость частицы Уг = vz и величины Y = у — vx/(oB и X =
= х + vyl(s)B. Поэтому наиболее общим видом равновесной функ-
* Кроме функции Fo, которая здесь представляет собой функцию распределе-
распределения, отнесенную к единице объема, а в работе [1] — к одной частице.
142

ции распределения, зависящей только от одной из Координат (у),
является / „ ч
/"(v, «/) = /„ (в, Уг,у—?), A.5)
где /0 — функция произвольного вида.
Смысл /0 весьма прост: это функция распределения лармо-
ровских центров вращающихся частиц. Если считать ларморов-
ский радиус частиц пренебрежимо малым (q = vJ(ub -> 0), то
число частиц в точке у совпадает с числом центров кружков в этой
же точке (Fo (у) = /0 (у)У> ПРИ конечных q числа частиц и кружков
различны. Это обстоятельство приводит, например, к тому, что
в неоднородной плазме могут течь токи поперек магнитного поля,
хотя в среднем каждая отдельная частица и не смещается (т. е.
центры кружков стоят на месте). Действительно, предполагая
vximB малым, разлагая в ряд правую часть равенства A. 5) и инте-
интегрируя ур-авнение A. 5) после умножения на vx, можно получить
/Ws fo>Mv = -4- lfov2dv^~ -^т^-фО. A.6)
оо* j о х шв ay J 10 х шв ay v '
Эти явления подробно обсуждаются в работе Брагинского [2J.
Все эффекты, которые в дальнейшем будут рассматриваться в на-
настоящей работе, также определяются этими свойствами (вызы-
(вызывавшими в свое время парадоксы) неоднородной плазмы — нали-
наличием равновесных потоков в направлении, поперечном магнитному
полю и направлению неоднородности, в условиях, когда все ча-
частицы в среднем покоятся.
Выяснив связь функций Fo и f0 [уравнение A. 5)], возвра-
возвратимся к главной задаче настоящего параграфа — вычислению тен-
тензора A. 2), что позволит в дальнейшем рассматривать задачи
о колебаниях. Ограничимся более простым видом функции /0,
положив ее независящей от интеграла движения Vг, т. е. исклю-
исключим из рассмотрения неизотропную плазму и плазму с пучками
(тензор еар для случая dFJdVz ф 0 вычислен в приложении I).
Т°ГДа ¦ -^- = -т^^у—^~V 0-7)
Величины dF0/de и dF0!dY являются интегралами движения
и могут быть вынесены за знак интеграла по f в уравнении A. 2),
так что t
t
; A.8)
( и (t-t')-v j k (f')dr
143

Последнее слагаемое правой части можно привести к более про-
простому виду, если воспользоваться тождеством
-?r A (t, t') = - i [ш - kv (*')] A (t, t').
Поэтому первый член в фигурных скобках правой части уравне-
уравнения A.8) дает интеграл от полной производной по времени; таким
образом, получим
еар (к, «в, у) = 6аE — i 2 -JJ- J dvova (t) x
I
^\ A.9)
Сравним это выражение с соответствующим результатом для одно-
однородной плазмы (dFJdY == 0). Отличие состоит в том, что вместо
члена mdFJdz, входящего в еар для однородной плазмы (см. ра-
работу [1 ]), в случае неоднородной плазмы мы имеем комбинацию
аркц± AЛ0)
Второй член существен по сравнению с первым, если
kx I dp
ш а»в п0 ду
1. A.11)
Это соотношение имеет очень наглядный смысл, если иметь
в виду также уравнение A. 6): члены с неоднородностью суще-
существенны, если скорость ларморовского дрейфа не слишком мала
по сравнению с фазовой скоростью волны вдоль направления х,
т. е. Удр > <i>/kx. Именно в этой области фазовых скоростей и сле-
следует ожидать проявления своеобразных свойств колебаний неодно-
неоднородной плазмы.
Для плазмы, слабо неоднородной на ларморовском радиусе
частиц, функцию /„ в уравнении A. 5) можно разложить в ряд
по vJaB, так что в этом случае выражение A. 10) принимает еще
более простой вид:
A.12)
де ша>в дУ сод ду
Здесь
Ф = Ф (v2, у) = т — -, — ¦—¦—. A.13)
4 ' де ша)? ду ч '
144

Подставляя эти выражения в уравнение A.9) и представляя dv0
в виде dv0 = dv2x0dvz0da0, получим
где
2я
\v^(t')A{t,t')dt'; A.15)
2я
Вычисление тензоров Qap и Pag производится следующим
образом. Пользуясь уравнениями движения A. 4), находим
Тогда
V20.
A.17)
- g [sin (a0 —aBt' - -ф) - sin (oo - uBt -
kzv20 (t — Г). A.18)
Здесь I = k±vXolaB, kx = Y& + k2y, -ф = arctg (kylkx). Экспо-
Экспоненту exp [—i\ sin (a0 — <uBf — ¦§) ] представляем в виде ряда
по функциям Бесселя [3]:
ехр [- Ц sin (a, -
4 A)
Затем интегрируем по f, получая, например:
A.19)
и аналогично для Рар. Здесь функция ^ге зз ^„ (и — исов —
—• ^zuz0) имеет тот же смысл, что и в § 9 работы [1 ]:
^) = -~-inb(x). A.20)
Ю Вопросы теории плазмы. Вып. 3 145

Вектор <7р имеет компоненты
Ях = vxo
cos
l7n sin Ч>) ,
A-21)
Яг = »*Л-
Далее производим усреднение по а0, используя соотноше-
соотношение [3]:
В результате получаем
+ 00
A.23)
A.24)
где д* — вектор, комплексно сопряженный с qa, а вектор ра имеет
компоненты:
A.25)
Таким образом, выражение для токов, индуцируемых в слабо
неоднородной плазме низкого давления с изотропной по скоростям
функцией ларморовских центров частиц, найдено. Оно опреде-
определяется формулами A. 1), A. 14), A. 13), A.23), A.24), A.20),
A. 21) и A. 25).
Особый интерес представляет случай, когда f0 является макс-
велловской функцией f0 = п0 (-^f) ' e~e/T, поскольку она наи-
наиб
более «равновесная» в пространстве скоростей. При этом интегри-
интегрирование по скоростям в уравнении A. 14) производится так.
Интегралы по dvz0 берутся с помощью формулы (см. приложе-
приложение II в работе [1J):
2яТ
-mvlJiT
(О —
— kzVZO
kzvT
(О — П(йВ\
kzvT )
A. 26)
146

где
4t\; vT =
A.27)
W — функция Крампа от комплексного аргумента, табулирован-
табулированная в книге [4 ].
При интегрировании по поперечной скорости пользуемся фор-
формулой [3 ]
A.28)
где /„ — функция Бесселя мнимого аргумента. В результате
получаем:
i , kx д
i,
dy
Те1 4-
ар '
-
k± ду
Компоненты eL равны:
и
ду
¦А.,2 9
A.29)
ху
УХ
I
хг
\г
\х
ZZ
= е°
— оО
~ их
= e°xz
= elz
= е°-
_ рО
— Bzz'
+ ((
sin2
COS!)
cos ij
cos г
[?0 «О \
Zi О 1
|з + e°z sin
E — 8°f Sin
A.30)
где е° совпадает по форме с тензором диэлектрической 'прони-
'проницаемости однородной плазмы, вычисленным в системе координат
10* * 147

в которой kx — kx, т. е. г|з = 0. Этот тензор хорошо известен
и имеет вид:
е° = —
XX
е° =
ху
еи = еи -
уу хх
в0 = е° =
XZ ZX
е° = — е°
yz гу
@0%
+ '
A.31)
Здесь
Тензор е" не удается выразить через е° . Мы будем представлять
его в виде выражения, не проинтегрированного по скоростям,
так как операция интегрирования не приводит к упрощению
записи.
Таким образом,
ц 4яе%0
со
A.32)
A.33)
В задачах о колебаниях плазмы часто вместо одного из уравне-
уравнений Максвелла
(rot rot E)e = ~ е^Я
удобно-использовать уравнение Пуассона
divE =
A.34)
A.35)
148

Плотность зарядов q с помощью уравнения непрерывности
может быть выражена через плотность тока, так что
где
, со, у)=
Для максвелловской /0 вектор хр имеет вид
I V J д/ II
Здесь
= Х° cos
sin i(j;
Вектор Xr имеет компоненты
ТОГ
Yo =
T <? k , k vT
)z(l
— /„ е~
X» = -
/ne-*.
Вектор Хя! имеет вид
A.36)
A.37)
A.38)
A.39)
A.40)
A.41)
Выше мы выяснили, при каких фазовых скоростях волн ди-
диэлектрическая проницаемость неоднородной плазмы существенно
отличается от проницаемости однородной плазмы [см. уравне-
уравнение A. 11)]. Теперь качественно определим, при каких часто-
частотах со это отличие существенно. Для этого составим отношение
«характерной дрейфовой частоты» со* = kxvKp к циклотронной
частоте ионов соВ(- и выясним порядок величины этого отношения.
Тогда
J?L^M-kxQl. A.43)
149

Здесь мы воспользовались тем, что по порядку величины удр ^
^ Q[Vn!a [см. уравнение A. 11)], где а — характерный размер
неоднородности. Из выражения A. 43) видно, что со*/соВ(- < 1,
если
kxQi<jr- A-44)
Справа стоит большая величина. Поэтому (во всяком случае для
длин волн, больших или порядка ларморовского радиуса ионов)
характерная дрейфовая частота значительно меньше циклотрон-
циклотронной частоты ионов. При дальнейшем увеличении волнового числа
отношение co*/coSj- будет оставаться малым вплоть до величины
K~J> 0-45)
зависящей от степени неоднородности плазмы.
Удобно ввести понятия слабо неоднородной плазмы, для кото-
которой k*x < l/Qe, так что
. о-46)
и сильно неоднородной, если k*x >¦ l/Qe, т. е.
. A 47)
где де — ларморовский радиус электрона. Для слабо неоднород-
неоднородной плазмы характерная дрейфовая частота со* будет оставаться
меньше совг вплоть до длин волн порядка ларморовского радиуса
электронов. Можно ограничиться изучением только низкочастот-
низкочастотных колебаний такой плазмы, не рискуя при этом потерять из виду
какие-либо эффекты, существенно связанные с ее характерными
диэлектрическими свойствами. В случае сильно неоднородной
плазмы A. 47) могут встретиться явления, разыгрывающиеся при
частотах порядка ионной циклотронной частоты и длинах волн,
меньших ларморовского радиуса ионов.
Особенно простым для исследования является случай низко-
низкочастотных колебаний (со <С a>Bi). Связано это с тем, что удается
избавиться от сложных сумм по п (по гармоникам циклотронной
частоты) в выражениях для еар, ^р- Примером таких бесконечных
сумм могут служить правые части уравнений A. 31). При со <^ соВ(-
вклад членов с различными индексами суммирования в диэлектри-
диэлектрическую проницаемость плазмы оказывается различным: наиболь-
наибольший вклад дают члены с п = 0, меньший — члены с п ф 0. Это
связано с тем, что
150

В действительности приходится учитывать также и остальные
члены суммы, так как в некоторых элементах еа&,
нулевая гармоника, например в ъхх, е°ху, г°хг.
Для упрощения выражений типа A. 31) при со
еще одно предположение:
отсутствует
aBi сделаем
A-48)
означающее малость эффектов циклотронного поглощения (см.
§ 11 в работе [1 ]). В противном случае колебания оказались бы
сильно затухающими. В случае коротких по х, у волн (kXQi S 1)
из неравенства A. 48) следует, что kt <^ k±, т. е. слабо затухающие
волны могут распространяться лишь почти поперек магнитного
поля. В дальнейшем мы всегда будем полагать kz < kL, так как
при частотах ю ~ k±vKP и kz ~ kx волны оказываются сильно
затухающими из-за черенковского поглощения (см. § 11 в ра-
работе [I])'.
В результате упрощений, т. е. в случае, когда со и kzvT <? юв,
a kz < kx, выражение для е°„ принимает вид:
4
е".„ = — е° = — i
Е°
УХ
СО@в
е-2 (/о -Л);
е° =е° —
УУ XX
е° = е° ;
гх хг
0;
е° = — е° •
уг гу
г
г Т
1&—[\+1Ц{ха\
A.49)
Вследствие отмеченной выше малости некоторых элемен-
элементов е°р, связанной, как нетрудно видеть, с замагниченностью
поперечного движения частиц при со <^ совг, необходимо учесть
вклад в соответствующие элементы еар от слагаемых типа е"
[см. уравнение A. 29)]. Существенными (для ряда случаев) ока-
оказываются следующие элементы е": е^., е^, e'J.. Например,
-2
1 — е~г (/0 — /j)] cos гр. A.50)
Видно, что
ду
того же порядка, что и е°
151

При тех же предположениях (со < <вв; kzvT < coB; kz < kx)
выражения для %« и %" имеют вид:
„О _ le "о п / р
lx
0 _
¦5-z(/„-/I);
A.51)
Итак, мы получили упрощенные выражения для еаВ и %р
которые в дальнейшем будут использованы в задачах о низко
частотных колебаниях плазмы.
Если силовые линии постоянного магнитного поля не являются
параллельными прямыми, как это предполагалось выше, то полу-
полученные в этом параграфе выражения для еа3 и %р должны быть
уточнены. Часто, чтобы качественно учесть кривизну силовых
линий, поступают следующим образом: силовые линии считают
по-прежнему прямыми, но вводят фиктивное гравитационное
поле g, действующее в направлении неоднородности плазмы.
Величина g выбирается так, чтобы скорость гравитационного
дрейфа ионов была такой же, как и скорость центробежного дрейфа
(из-за кривизны). Для этого должно быть
где R — радиус кривизны. Диэлектрическая проницаемость
плазмы в поле тяжести вычисляется в приложении II.
Другой удобной моделью, учитывающей как кривизну, так
и перекрещенность силовых линий, является винтовое магнитное
поле цилиндрической симметрии. Этот случай разобран в прило-
приложении III. Там же показано, к каким изменениям в еаР и Хр
приводит учет неоднородности магнитного поля (т. е. учет магнит-
магнитного дрейфа частиц).
§ 2. Дрейфовая неустойчивость плазмы
Колебания неоднородной плазмы с фазовыми скоростями a/kX'
порядка или меньшими скоростей ларморовских дрейфов частиц,
интересны тем, что они могут самопроизвольно раскачиваться
(в этом случае говорят, что «плазма неустойчива»). Используя
полученные выше выражения для eag, можно предсказать, когда
следует ожидать раскачки колебаний, и убедиться, что раскачка
происходит как раз при со/^х ~ идр- Проиллюстрируем это на
152

примере колебаний, продольная фазовая скорость которых
удовлетворяет соотношению
»п « т- « "г.- B. 1)
Энергия, передаваемая волной частицам плазмы, характери-
характеризуется мнимой частью электронного слагаемого ггг (мнимая часть
ионного слагаемого егг экспоненциально мала, роль осталь-
остальных еар — невелика):
волн->част '
)
ду) vTe
- 2)
В однородной плазме (д/ду = 0) эта величина всегда положи-
положительна, так что волна обязательно затухает. В неоднородной
плазме знак энергии может измениться на обратный, если
j_/e<0. B.3)
. ду J vTe ° ^ K '
Это и есть критерий неустойчивости плазмы относительно воз-
возмущений с частотой со. При уТе = 0 условие неустойчивости
имеет крайне простой вид:
где veQ — — -^-^ 1—- — скорость ларморовского дрейфа элек-
электронов. Таким образом, если в неоднородной плазме существуют
волны с достаточно малой фазовой скоростью, то они могут быть
неустойчивы. В этом параграфе мы покажем, что такие очень
медленные волны существуют, если силовые линии удерживающего
плазму магнитного поля не слишком сильно отличаются от па-
параллельных друг другу прямых. Вопрос о волнах в кривом магнит-
магнитном поле рассмотрен в § 5.
Уравнения для медленных волн можно получить следующим
способом. Подставим найденные в § 1 для случая ш < сов/ токи
и плотность заряда в уравнения Максвелла и Пуассона A. 34)
и A. 35). Взяв проекцию уравнения A. 31) на ось у, можно найти
+<*«Л B5)
Для интересующего нас случая (alkx < v№ < vTt правая часть
(e^pfp) значительно меньше отдельных членов левой части.
Поэтому приближенно получим
р ' гдЕх ,п г/\
153

так что поперечные компоненты электрического поля потен-
потенциальны. Это равенство справедливо с точностью до членов по-
порядка
В = -^р- и -=?ЗР)р.
В\ \ » )v
С помощью соотношения B. 5) и выражения для еаР убе-
убеждаемся, что с точностью до р
е ? 4- е ? ^ 0 B. 6)
Используя выражения B. 5) и B. 6) и выбирая в качестве двух
других электродинамических уравнений уравнение Пуассона и
проекцию A. 34) на ось г, можно прийти к следующей системе
уравнений:
J elkyydky {-j- (k2Ln± — ik/±) Ex (ky) + kzz u Ez (ky)J = 0;
B.7)
e' V d? ((k\ — ^- e || ) Ez {ku) — A fe^?.r (v)] = о.
Здесь введены обозначения:
i, e
B.8)
В § 3 рассматриваются различные частные случаи колебаний,
описываемые системой уравнений B. 7) и B. 8). Здесь же остано-
остановимся на исследовании только одного частного случая колебаний,
представляющего, по нашему мнению, наибольший интерес и
позволяющего проиллюстрировать характерные черты проблемы
дрейфовых волн и дрейфовой неустойчивости.
Ограничимся рассмотрением колебаний с Ху!а <С 1> достаточно
быстро меняющихся по амплитуде в направлении неоднородности
плазмы. Вводя волновое число Ку (у), слабо меняющееся на рас-
расстоянии Ху ~ UKy, т. е. выбирая поле волны в виде
Е[у)~ъЧкушЛу, . B.9)
и пренебрегая членами типа dKJdy и (К^а)'1, из уравнений B. 7)
и B. 8) получим следующее дисперсионное уравнение:
е41--&-г±)+^г^=0' BЛ0)
\ с Rz I кг
154

где К2± (у) = k\ rf Ку (у), а &у и ец определяются выраже-
выражениями B. 8), в которые вместо ^должно быть подставлено К (у).
Уже общий вид дисперсионного уравнения позволяет дога-
догадаться, что интересующий нас тип колебаний некоторым образом
связан с ионно-звуковыми и альфвеновскими волнами, суще-
существующими в однородной плазме. Действительно, если в уравне-
уравнении B. 10) пренебречь эффектами неоднородности и считать волны
достаточно длинными (К2 -> 0), то это уравнение распадается
на два [1 ]: одно описывает ионный звук
6|| =0,
другое — альфвеновские волны
е, =0.
B.11)
B. 12)
При учете дрейфовых членов в выражениях ец и е± в том же
приближении, т. е. при К.2 -> 0, из уравнения B. 10) также можно
получить уравнения, по форме совпадающие с уравнениями B. 11)
и B. 12), хотя вид входящих сюда ец и е± иной. Удобно, по ана-
аналогии со случаем однородной плазмы, волны типа B. 11) называть
ионно-звуковыми, а типа B. 12) — альфвеновскими. Если в урав-
уравнении B. 10) учитывать член с К,2 и не предполагать К.2, малым,
то это уравнение не может быть представлено в виде совокупности
двух уравнений (если только kz Ф 0). Однако и в этом случае мы
будем считать, что имеем дело с ионно-звуковыми и альфвенов-
альфвеновскими волнами, хотя и существенно перепутанными между собой.
Ниже мы будем считать плазму достаточно плотной: с2д гэ
es В2 4nnomi С с2 {сА — альфвеновская скорость) и достаточно
горячей: р* = 8яр/В<; > mjtrii (но, конечно, C < 1!); длину
волны — большей ларморовского радиуса электронов: ге <^ 1;
продольную фазовую скорость — лежащей в интервале vTi С
<С <ulkz < vTe; температуру ионов и электронов — не зависящей
от координат: VT(- = WTe = 0. При этих предположениях из
уравнения B. 10) следует
V
"Л )(]
со Д1
х
fcfl2
1
z =
л- со
kxVl0(H -
J
1 -
Z
-V
= —
те
ОJ
со j
srz 1 1
2 \ _
со
)?
B. 13)
155

Предположим, что возмущение (т. е. некоторый волновой пакет),
возникнув в окрестности какой-либо фиксированной точки у = у*,
прежде чем распространиться на расстояние порядка размера неод-
неоднородности плазмы а, успеет значительно возрасти во времени
и стать нелинейным. Такое предположение имело бы смысл, если
среди решений уравнения B. 13) имелись бы такие со = со (К), что
Считая неравенство B. 14) выполненным, можно рассматри-
рассматривать решения уравнения B. 13) в окрестности у = у*, не заботясь
о том, что делалось бы с возмущением вдали от этой точки, в част-
частности не выясняя, является ли найденное решение собственным
значением какой-либо граничной задачи. Такие решения мы будем
называть локальными. (В § 4 рассмотрены также случаи, соответ-
соответствующие условию, обратному условию B. 14), когда локальные
решения теряют смысл.)
Будем считать Те = Tt. Тогда из уравнения B. 13) следует
B.15)
При Z < 1 три корня © = ю (К) имеют вид:
1 х 0 г Л
\ kxV0
2 1 "A
— 1
со2 = — 4" ^ио + У 4" (^оJ + cAk\ + (Члены порядка Z) —
.2 ¦ .
/1+4(tlr
х^т^гт; BЛ7)
/ ^ ¦
соз = 2" ^f о — У -j- (*л;^оJ + сл^г + (Члены порядка Z) ¦
11
-»V^fe^ /^V 2-2 V ;*— B.18)
156

Видно, что при kzcA ~ kxve0 условие B. 14) означает
Таким образом, необходимым условием существования локаль-
локальных решений, т. е. возмущений, для которых не важны граничные
условия, является достаточная малость поперечной длины волны
по сравнению с размером неоднородности плазмы.
Из выражений B. 16)—B. 18) следует, что волна, связанная
с корнем сй3, затухает при всех значениях kz, тогда как волны
с а>! и сй2 могут быть как затухающими, так и раскачивающимися:
при kzcA > У 2 \kxv% | раскачивается волна с © = <аг, а при kzcA <
<СУ 2\kxve0 —волна с со = со2. Уравнения B. 16)—B. 18) хо-
хорошо иллюстрируют общий критерий,раскачки, сформулирован-
сформулированный в начале настоящего параграфа [см. условие B. 4) ]: раска-
раскачиваются те волны, у которых u>/kxv^ <C 1.
Таким образом, видно, что в плазме существуют очень медлен-
медленные волны [условие существования B. 19) ], неустойчивые при
(a/kxveQ <C 1. Неустойчивость подобного рода будем называть дрей-
дрейфовой неустойчивостью (можно показать, что дрейфовая неустой-
неустойчивость имеет место не только при VT = 0, но и при любом соот-
соотношении VT и Vn0.' см- § 3).
Заметим, что если в уравнениях B. 16)—B. 18) пренебречь
членами порядка Z, то получающиеся в результате выражения
со = со (К) есть решения уравнений B. 11) и B. 12), причем ш =
= ©j (k) соответствует ионному звуку, а со = со2> 3 (К) — альфве-
новским волнам. Вещественные части со1; 2,3. как функции kz,
отложены на рис. 1. При достаточно больших kz мы, в согласии
с уравнением B. 13), учли член, соответствующий продольному
движению ионов (~k?), и схематически показали, как происходит
переход от обычных ионно-звуковых ветвей однородной плазмы
к ветви со = (х>1 (kz). Видно также, что вторая ионно-звуковая
ветвь (нижняя)'оказывается сильно замедленной и при достаточно
малых k2 уже не удовлетворяет условию со//гг > vTi даже в сильно
неизотермической плазме (Те > Tj).
Если kzcA^y2\kxVo\, то частота быстрой ионно-звуковой
волны почти совпадает с частотой медленной альфвеновской волны
(«! ^г со2). В этом случае уравнения B. 16) и B. 17) теряют силу.
Из выражения B. 15) можно найти, что инкремент у, как функ-
функция kz, достигает максимума как раз при kz=ay2~\kxveQ\/cA
и имеет вид
Видно, что у растет с ростом Z. Поэтому наиболее интересная
область волновых чисел лежит в интервале Zg 1. Из уравне-
157

иия B. 15) можно найти, что при Z, фиксированном и меньшем
вт,7те, инкремент максимален при kz = k* ~ р1/гх, а для боль-
больших z — при k\ ~ C^fr
-ш*
' х (к = д In по/ду). При &2
/
k\ и
/
V
\
\
Рис. 1. Зависимость со = w (kz) для альфвеновских и ионно-
звуковых колебаний в неоднородной плазме при уГ = 0.
_ , сТ д In п0
и>* = k
еВ0
- характерная дрейфовая частота.
уменьшении длины волны (с ростом Z) инкремент растет вплоть
до Z < В —- , а затем остается постоянным:
УМакс = Т77=-- B-21)
Вещественная часть со при kz -~ k* и Z > р —- не зависит от Z
и порядка инкремента Умакс- Зависимости ^* = k* (Z) и Умакс(^)
изображены на рис. 2 и 3.
Таким образом, мы видим, что в плазме, удерживаемой магнит-
магнитным полем с прямыми, взаимно параллельными силовыми ли-
линиями, должна происходить раскачка дрейфовых волн — дрейфо-
дрейфовая неустойчивость. Можно ожидать, что эта неустойчивость
будет представлять опасность для экспериментов по удержанию
плазмы, так как частицы плазмы, рассеиваясь на сильно раз-
развившихся колебаниях, могут покидать объем удержания.
158

Рис. 2. Зависимость волнового числа kz, соответствую-
соответствующего максимальному инкременту, от 2 = \^
у=const
Z-1
г
Рис. 3. Зависимость инкремента Умакс от Z.

§ 3. Обзор работ по дрейфовой неустойчивости
История кинетических неустойчивостей неоднородной плазмы
начинается с работы Церковникова [5]. Тип неустойчивости, рас-
рассмотренный Церковниковым, все же отличается от разобранного
в § 2 — в работе [5] речь шла о неустойчивости, вызываемой
магнитным дрейфом. Тем не менее эта работа послужила отправ-
отправным пунктом для последующих авторов, исследовавших неустой-
неустойчивости, связанные с ларморовским дрейфом. Обзор работ этих
авторов составляет содержание настоящего параграфа.
Первоначальная группа работ. Начало изучению кинетических
неустойчивостей, связанных с ларморовским дрейфом, было поло-
положено работами Рудакова и Сагдеева [6 и 7], выполненными в на-
начале 1961 г. Сейчас, два года спустя, некоторые результаты этих
работ можно сформулировать так.
Имелись в виду безвихревые колебания плазмы (rot E = 0)
с длинами волн, значительно превосходящими ларморовский ра-
радиус ионов, QjK2x -> 0, и с kz 4= 0 (т. е. длинноволновые ионно-
звуковые колебания при u>/kz С сА). Дисперсионное уравнение
для таких колебаний имеет вид [это следует, например, из полу-
полученного позже уравнения B. 10) ]
Авторы рассмотрели интервал частот kzvTi С и С kzvTe, когда
уравнение C. 1) очень похоже на дисперсионное уравнение для
ионно-звуковых колебаний однородной плазмы
1
/и,-соа
i V Яш
kzvTe
1 —¦
-X
X 1 ft =
C.2)
Te д In n0 .
mecoBe йг/ '
1 dpt _ d\uTe
n0 dy ' 'e c* In n0
При Те ^: Т(- в этом уравнении не важны члены, соответствующие
продольному движению ионов, так что колебания описываются
еще более простым уравнением
Ъ 71е -лГ~ Г k Vе I n \ 1
1_M + 4j«!L|i_^L(i_^. =0. C.3)
0)
Отсюда следует
kzVTe д\ппо
C.4)
160

Видно, что у зз Im со > 0, если
д in ге
д In n0
<0. C.5)
Таким образом, оказывается, что изотермическая плазма не-
неустойчива, если помимо градиента плотности имеется еще и гра-
градиент температуры, направленный в противоположную сторону
(обращаясь к рис. 1, замечаем, что здесь идет речь о раскачке
быстрой (см. стр. 157) ионно-звуковой волны).
В сильно неизотермической плазме (Те > Tt) вещественная
часть частоты, как функция волнового числа kz, может принимать
два значения [см. выражения C. 2) ]:
Re со,,
= i k*vo ± V ("Г
(т. е. имеются и быстрая и медленная ионно-звуковые волны).
Если учесть малые мнимые части в уравнениях C. 2), то окажется,
что критерий раскачки волны со знаком плюс (быстрая ветвь)
остается прежним [см. соотношение C.5)]. Вторая волна (мед-
(медленная, см. рис. 1) оказывается также раскачивающейся, если
для нее
_<о C.7)
Отсюда при достаточно малом kz следует критерий раскачки
Л^1 C.8)
Таким образом, из работ Рудакова и Сагдеева следовало, что
при некоторых соотношениях между градиентами температуры
и плотности в неоднородной плазме, удерживаемой прямым ма-
магнитным полем, возможна раскачка ионно-звуковых волн. Эта
раскачка обязана взаимодействию резонансных электронов с вол-
волной, которое в отличие от обычной ситуации в однородной плазме
не обязательно приводит к затуханию волны (см. также сказанное
в начале § 2).
В этих же работах было показано, что раскачка колебаний не
обязательно связана с мнимыми членами дисперсионного уравне-
уравнения. Так, при д In Т1д 1п0 -> со, даже в случае пренебрежения
мнимыми членами в уравнении C. 2), из него следует (если
klTJmy « 1)
k2T
со3 = - -~ кУ0, C. 9)
и один из трех корней соответствует неустойчивости.
Таковы наиболее существенные результаты первой группы
работ [6 и 7 ] по дрейфовой неустойчивости плазмы.
*1 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 lol

Усовершенствование теории Рудакова — Сагдеева посредством
учета членов типа (TJT()K2XQ2{. Результаты Рудакова и Сагдеева
были получены с помощью «дрейфового кинетического уравне-
уравнения» [8], не позволяющего продвинуться в область коротких
длин волн K±Qi 5 1 и даже не учитывающего малые члены типа
K2±Q2r В свое время это казалось неважным, так как было распро-
распространено мнение, что при длинах волн порядка ларморовского
радиуса ионов любые колебания должны быть сильно затухаю-
затухающими и потому не интересны. Поэтому после написания ра-
работ [6 и 7 ] не сразу было уделено внимание исследованию вопроса
о том, есть ли дрейфовая неустойчивость при конечных K2XQ2.
Более интересным казался другой вопрос: нет ли какой-либо
неустойчивости в неоднородной плазме с нулевым градиентом
температуры, так как, согласно Рудакову и Сагдееву, неустойчи-
неустойчивой могла быть плазма лишь с д In 77 d In n0 ф 0. Ответ на этот
вопрос был дан А. В. Тимофеевым. Он показал, что в неизотерми-
неизотермической плазме (Те > Tt) может происходить раскачка колебаний
при VT = 0, если учесть «поперечную инерцию ионов», т. е. если
в дисперсионном уравнении для безвихревых колебаний
e±/q +6,^ = 0, C.10)
являющемся частным случаем уравнения B. 10), не отбрасывать
член с е К2. Если считать, что частота колебаний лежит в интер-
интервале kzvTi <С со <С kzvTe, то члены типа & LK\ относятся к членам,
входящим в выражение e.^k\, как K2XQ2 (TJTi).
При этом получается дисперсионное уравнение
kzVTe
При достаточно малых k2 отсюда следует
Mn r-(Rea>f К, Т.
0) = —х-1 + iynL—LJl±-J-, C.12)
т. е. колебания при VTe = 0 оказались раскачивающимися.
Таким образом, стало ясно, что учет членов типа (TJTt) K.Q2
приводит не к стабилизации старых неустойчивостей, а, напротив,
к появлению новых. Никаких стабилизирующих эффектов со сто-
стороны более коротких волн здесь не обнаружилось и не было видно,
как они могут получиться.
Разработка математического аппарата для исследования коле-
колебаний с произвольным KxQ2r Дальнейшему развитию теории
дрейфовой неустойчивости в большой степени способствовали
успехи другой группы исследователей — Розенблюта, Кролля,
Ростокера [9] и их последователей 110, 11], работавших над
162

проблемами другого типа неустойчивости плазмы — желобковой
(теория желобковой неустойчивости плазмы при конечном лармо-
ровском радиусе ионов излагается в § 6). Особенно большую роль
сыграла работа Розенблюта и др. [9], в которой был разработан
метод решения кинетического уравнения для неоднородной плазмы
при произвольном отношении qAx- Рудаков [10] показал, что,
используя гидродинамические уравнения с магнитной вяз-
вязкостью [2 ], можно учесть члены типа кхУ101<л, необходимые в тео-
теории дрейфовых волн с /C^Q? <C 1- Автором рассмотрен [11 ] случай
колебаний с/C^q? > 1, причем было показано, что в некоторых
случаях такие колебания раскачиваются (см. более подробно в §6).
Таким образом, прогресс в теории желобковой неустойчивости
при конечном ларморовском радиусе ионов привел к более
правильному представлению о важности колебаний с KiQi — 1 и
способствовал разработке математического аппарата для иссле-
исследования таких колебаний.
В дальнейшем в теории колебаний неоднородной плазмы стали
учитываться следующие факторы: длины волн, сравнимые с лар-
моровским радиусом ионов; произвольное отношение частоты
колебаний к циклотронной частоте частиц; произвольное направ-
направление волнового вектора; случаи непотенциального электричес-
электрического поля колебаний.
Существенный шаг в этом направлении был сделан в ра-
работе [12], где при перечисленных выше широких предположениях
было найдено выражение для токов в плазме, индуцируемых полем
волны (изложение результатов этой работы вместе с усовершенство-
усовершенствованиями, сделанными автором позже, составляет содержание § 1).
Этим была создана более широкая база для исследования различ-
различных типов колебаний неоднородной мазмы. Однако физическая
суть проблемы оставалась еще неясной.
Исследование дрейфовой неустойчивости при произвольных
K^qI- Продвижение в область коротких длин волн было сделано
тремя группами авторов [13, 14, 15 3 почти одновременно.
Работа Кадомцева и Тимофеева [13], являющаяся развитием
более ранних результатов Тимофеева, посвящена вопросу об устой-
устойчивости плазмы с нулевым градиентом температуры (V71 = 0).
Авторы предполагали колебания потенциальными, так что их
дисперсионное уравнение по-прежнему можно представить
в виде C. 10), хотя в е± и е'ц необходимо сохранить все степени Z
[см. уравнение B. 10)]. В работе [13] показано, что дрейфовая
неустойчивость плазмы имеет место при произвольном отношении
ларморовского радиуса ионов к длине волны. Ввиду принятого
авторами предположения о потенциальности колебаний, их ре-
результаты, относящиеся к области со > k2vTe, справедливы только
при р < tnjmi и К2± > а>ое/с2 (если K±Qt ;S l). Если эти условия
выполнены, то оказывается, что инкремент максимален при
kz ~ <ulvTe и одного порядка с вещественной частью частоты:
11* 163

у ~ Re со ^ kxvo (при kiq] < l). При k^qf > 1 (авторы пола-
полагают kx > К1) инкремент, как функция kx, стремится к конечному
пределу B. 21). В работе показано, что при kjn > 0,16 (к — 1/а —
обратный размер неоднородности) колебания не раскачиваются.
Это связано с тем, что при столь больших kz велико взаимодей-
взаимодействие с волной резонансных ионов, поглощающих энергию волны.
Работа Галеева и др. [15] преследовала цель выяснить вопрос
об устойчивости плазмы с произвольным отношением градиентов
температуры и плотности. Исходные предположения этой работы
аналогичны предположениям Кадомцева и Тимофеева, за исключе-
исключением условия VT ф 0. Оказывается, что отличие от случая VT =
= 0 существенно только в области длинноволновых колебаний
(ZCxQ< ~ О- В области коротких длин волн плазма оказывается
неустойчивой при любом соотношении между градиентами темпе-
температуры и плотности. Имея в виду это свойство рассматриваемой
ими неустойчивости, авторы [15] назвали ее «универсальной».
В настоящей работе используется термин «дрейфовая неустойчи-
неустойчивость», употреблявшийся Кадомцевым и Тимофеевым.
Работа Михайловского и Рудакова [14] является более общей
по сравнению с работами [13] и [15] в том отношении, что в ней
не предполагается rot E = 0, т. е. рассматриваются непотенциаль-
непотенциальные колебания. В частности, это позволяет исследовать колебания
плазмы с не слишком низким давлением (E > те/т(). Некоторые
результаты их исследования составили содержание § 2 настоящей
работы. Другие результаты работы [14], как и некоторые резуль-
результаты работ [13] и [15], мы приведем несколько позже, упомянув
предварительно, что к этому же циклу работ примыкает, в част-
частности, более поздняя работа [16], в которой рассматривается
вопрос о границах неустойчивости плазмы при произвольном
соотношении градиентов температуры и плотности, а также неко-
некоторые разделы уже упоминавшейся работы [12], где получены об-
общие уравнения для дрейфовых волн.
Суммарные сведения, которые можно извлечь из последней
группы работ, можно сформулировать так.
1. При K2±Q2t S 1 и достаточно малых kz в плазме существуют
возмущения, неустойчивые при любых соотношениях между гра-
градиентами температуры и плотности (и, по крайней мере, при
Те = 7\). В этом можно убедиться с помощью уравнений B. 8)
и B. 10), если положить 1 < K^Q2 < mi/me, kzvTi < со < kzvre-
Тогда
Те
kx ( Те \Vi l/
Pe ^ X2 0 ,
2 /B k2
Д. ^
8яп0Ге .
R2 '
so
2nm( K \
/~ me v
d\nn0 ,
ду '
2
-)
й1пГ
dln«0
2 J
164

Знаку = Im со определяется знаком произведения A —-
X A —*у) > а последнее при Tt — Te всегда положительно.
Если считать, что kz > n/L, где L — продольная длина уста-
установки, то при любом д In Т/д In n0 неустойчивость отсутствует,
,4-0,5
д\пТ
Неустой-
Рис. 4. Границы устойчивости плазмы при различных ц = ——
чивые области лежат между соответствующей кривой 0 (Z) и осью абсцисс. По оси
ординат отложено о = отношение «характерного размера» изменения
плотности к «продольной длине волны» х = —¦=—-; по оси абсцисс Z = K\q\ .
если продольный размер L не слишком велик по сравнению с попе-
поперечным размером а, так что alL > 1/10-ь-1/30 (это относится,
по крайней мере, к тем из систем, где силовые линии на концах
установок вморожены в проводник). Такой критерий качественно
следует из условия малого ионного затухания (ш > kzvTi). Если
вместо со взять kxv0, a kx положить —1/q^ , то это условие озна-
означает kz -С к, т. е. LIа > 1 (см. также рис. 4 и 5).
2. Раскачка длинноволновых колебаний определяется различ-
различными критериями в зависимости от величины |3<. = 8пре/в1.
А именно,
165

2а. В сильно разреженной плазме (р* <? mjmt), где альфвеновская
скорость превышает тепловую электронную (сА > vTe), интерес-
интересной оказывается не только область частот kzvTi <C й С KvTe>
но также и со > kzvTe- При и > &г1)Г(, и /C^Q? <C 1 дисперсион-
дисперсионное уравнение B. 10) принимает вид [14]:
(СО2 + «КО* —
О)
— СО*) =
с2к2
(СО + <й*)\ C. 14)
со = kxve0(l +т)) s
Г,-
Видно, что градиент температуры всюду входит в сумме с гра-
градиентом плотности, поэтому все критерии неустойчивости, полу-
-3-2-10 1 Z 3 4 5 В
Рис. 5. Отношение «эффективного» поперечного размера
неоднородности плазмы к длине самой короткой неустойчивой
д\пТ
волны (стЭф;
: 1/A + IЛ I) как функция т] =
д In n0'
чаемые для случая VT = 0, останутся в силе при любом VT
(кроме д In Т/д In п0 ^ —1, когда со* -> 0).
В случае очень длинных волн (k2± <^ со2е/с2) правая часть урав-
уравнения C. 14) мала, так что для его решения можно воспользо-
воспользоваться методом последовательных приближений. Тогда получаем,
что вблизи k*z2 = 2со*2/сл происходит пересечение ветвей коле-
колебаний (быстрого ионного звука и медленной альфвеновской
волны), аналогичное рассмотренному в § 2 (см. также рис. 1).
В окрестности этого ^.частоты двух ветвей комплексны, инкре-
инкремент равен
166

При VT = 0 это выражение отличается от инкремента B. 20),
полученного для случая р4 > те1т(, лишь численным множителем
порядка единицы (хотя выражение B. 20) в отличие от инкре-
инкремента рассматриваемого случая связано с электронным вычетом,
т. е. определяется взаимодействием волны с электронами, имею-
имеющими скорость вблизи a>/kz).
Интервал Akz, где происходит раскачка колебаний, по порядку
величины равен
^-^. C.16)
ft*
Если выйти из этого интервала в сторону больших kz, то не-
неустойчивость исчезает вплоть до kz < kxve0/vTe, после чего члены,
определяемые электронным вычетом, становятся существенными,
и может начаться область кинетической неустойчивости. Однако,
начнется ли кинетическая неустойчивость или колебания будут
все же затухающими, это зависит теперь от соотношения между
?градиентами температуры и плотности, так как последние входят
вовсе не аддитивно, как это было при со/&г > vTe. Как можно
найти из уравнения B. 10), при всех кг вплоть до kz < ®lvTl гра-
граница устойчивости "определяется приближенным соотношением
Если продвинуться в область еще больших kz, т. е. kz >, a>lvn,
то можно показать, что здесь и изотермическая плазма (Те =к Т{)
неустойчива при д In Т/д In п >.2 [16], аналогично тому, как
и при Те > Т/ в-теории Рудакова—Сагдеева [7].
Такова картина устойчивости сильно разреженной плазмы
(Р С tnjnii) в случае достаточно длинноволновых возмущений
(i74
i
Возникает вопрос: как изменится эта картина при уменьшении
длины волны? Область гидродинамической неустойчивости будет
расширяться по kz и при (соое/с2) К2±_ С 1/Q? все три волны — две
альфвеновские и быстрая ионно-звуковая — будут сильно пере-
перепутаны между собой, а уравнение C. 14) примет вид [13, 15].
me
.„
со+со* - mt k\ со2ш "
Условие неустойчивости теперь таково [131:
kzvTe< З.Зш* /CxQ,. C.19)
Видно, что с ростом KxQi область гидродинамической неустойчи-
неустойчивости начинает перекрываться с областью кинетической неустой-
неустойчивости, а интервал устойчивых д In Т/д In n0 уменьшается [см.
уравнение C. 17)]. При еще более коротких волнах (K2±Qi > l)
картина неустойчивости описывается уравнением C. 13).
167

26. В более плотной плазме (Р > те1т^ область рассмотренной
выше дрейфовой гидродинамической неустойчивости отсутствует.
При S7T = 0, неустойчивость плазмы с Р > те/т( была уже рас-
рассмотрена в § 2. При VT Ф 0 и при kz > b)/vTi ситуация ничем
не отличается от случая Р < me/mt. Если рассматривать только
потенциальные колебания, то оказалось бы, что в такой плазме
(Р 3> mJmi) нет длинноволновой неустойчивости {K2±Q2 <С 0> если
О < д In 77<3 In и0 < 2. В действительности же и в этом случае
есть раскачивающиеся колебания — это альфвеновские волны [J4 ].
Убедиться в этом можно следующим образом. Согласно уравне-
уравнению B. 10), длинноволновые альфвеновские колебания в плазме
с г] зе д In Т/д In п0 Ф 0 описываются уравнением
со2 + акЛ A+ц)-с2А? = -i У л -^- с\Ык\ X
X i Г-11^^ ^ • C- 20)
Считая для определенности ^у2>0, находим, что волна типа
B. 18) затухает при любых ц, тогда как у волны типа B. 17)
C.21)
Отсюда следует, что эта волна раскачивается при (—4) <
1^
с In «0
2в. Случай плазмы промежуточного давления Р ^s mei'mt выде-
выделен тем, что здесь электронная тепловая скорость примерно совпа-
совпадает с альфвеновской (vTe ^s сА). Поскольку максимальный инкре-
инкремент длинноволновых колебаний обычно лежит в области kz ~
— utlcA, а при таких kz аргумент электронной W-функции по-
порядка единицы, то этот случай неудобен для исследования. Однако
при VT = 0 нетрудно и здесь получить простые результаты,
позволяющие, кстати, понять связь между уже рассмотренными
предельными случаями Р <^ mjmi и Р>> melmt. При VT = 0
и при /CxQi < 1 из уравнения B. 10) следует
(со - kxve0) (ю2 + kxv'o — c2Ak2z) =
168

Вклад малой правой части максимален при k2z = 2 (kxve0/cAJ-
При таком kz частоты двух из трех ветвей колебаний близки
к kxve0, а добавки к ним равны
. . 2 QAA"
Отсюда следует, что при Р -~ те/т1 инкремент примерно равен
у ~ Q.K±kxv^. Из полученной здесь формулы можно также по-
получить инкремент B. 20) для р > mjtrii и инкремент C. 15) для
Р < mjnii.
Таковы главные результаты, вытекающие из названной выше
группы работ, посвященных дрейфовой неустойчивости плазмы
при конечном ларморовском радиусе ионов.
Исследование дрейфовой неустойчивости плазмы при частотах
порядка ионной циклотронной частоты. Параллельно с исследова-
исследованием дрейфовой неустойчивости низкочастотных колебаний (со <^
<С <°в;) был рассмотрен вопрос о дрейфовой раскачке колебаний
более высоких частот. Этому посвящена работа Михайловского
и Тимофеева [17] и частично работа [18].
В работе [17] рассмотрен случай потенциальных колебаний
(уравнения для потенциальных колебаний произвольной частоты
см. в приложении IV). Авторы показали, что при достаточно силь-
сильной неоднородности плазмы и достаточно коротких волнах, когда
дрейфовые частоты могут стать порядка циклотронной ионной
(см. в § 1 о том, когда это может быть), возможна раскачка колеба-
колебаний, частоты которых близки к циклотронным обертонам (цикло-
(циклотронная неустойчивость). Результаты работы можно легко понять,
обратившись к уравнению (IV. 1) приложения IV. Тогда, напри-
например, найдем, что при kz = 0 и при упрощающих предположениях
V7\ = VTe — 0, Те = 0 и Zt- > 1 дисперсионное уравнение
для потенциальных колебаний имеет вид
(з.24)
Т[
г0 ду
Здесь возникает уже знакомый нам эффект пересечения ветвей,
если только
[(^J/3 «=1,2,... C.25)
«Пересекаются» ветвь циклотронных колебаний плазменного типа
со ^s naBt (см., например, работу [19]) и быстрая альфвеновская
169

волна со = kxvQ [см. уравнение B. 18)]. Решая квадратное урав-
уравнение C. 24), нетрудно убедиться, что при пересечении ветвей,
т. е. при выполнении условия C. 25), частота колебаний стано-
становится комплексной, так что одна из волн раскачивается, а другая
затухает. Характерные инкременты у ~ (f^~\ aBi, характер-
характерные длины волн — порядка ларморовского радиуса электронов.
Несколько другими соотношениями описываются колебания
при (n/kz <^ vTe. В этом случае дисперсионное уравнение имеет вид
1 , 4ле2п0 \ 11 iV"n 1 , 2\
W kA l - 0. C. 26)
Отсюда находим, что при Re со ss naBi инкремент равен
; у C-27)
а условие раскачки имеет вид
В работе [18] рассматривалась дрейфовая раскачка обыкно-
обыкновенной волны, распространяющейся поперек магнитного поля
(kz = 0). Из рис. 1 видно, что быстрая ионно-звуковая волна при
kz -> 0 имеет отличную от нуля частоту со = kxveu. Однако при
уменьшении kz поляризация этой волны существенно изменяется,
так что при kz = 0 ионно-звуковая волна становится чисто попе-
поперечной (div E = 0) с поляризацией типа обыкновенной волны
(Е || Во) [П.
Уравнения, описывающие этот тип колебаний, приведены в при^
ложении IV. Если kxv^ сравнивается с ионной циклотронной ча-
частотой, то дрейфовая ветвь «пересекается» с циклотронной, су-
существующей и в однородной плазме [20], в результате чего обеим
ветвям может соответствовать комплексная частота. Дисперсион-
Дисперсионное уравнение, описывающее раскачку обыкновенной волны
вблизи циклотронных гармоник, имеет вид (см. приложение IV)
J ? *х°0 , «. jne_ /
w * со2 ' ^ т,- <в
-1
• C-29)
\ woe /
170

Отсюда следует, что условие раскачки имеет вид
^' C-30)
а максимальный инкремент раскачивающихся колебаний порядка
Раскачка подобного, рода колебаний может происходить
в сильно неоднородных переходных слоях с достаточно горячими
электронами.
§ 4. Прогресс в методике исследования колебаний
неоднородной плазмы
Дальнейшие исследования в области дрейфовых волн привели
к прогрессу в понимании следующих важных вопросов:
а) вопроса о методах описания волн в плазме, как в среде с изме-
изменяющимися в пространстве параметрами;
б) вопроса о влиянии искривленности силовых линий магнитного
поля на раскачку колебаний.
В настоящем параграфе, являющемся продолжением обзора,
начатого в § 3, мы разберем цикл работ, относящихся только к пер-
первому из этих вопросов, а в § 5 остановимся на работах, посвящен-
посвященных вопросу о роли искривленности силовых линий.
Как мы видели, однородная и неоднородная плазмы [см., на-
например, формулы A. 31) и B. 8)] отличаются тем, что величины е±
и е || для неоднородной плазмы содержат дрейфовые члены, кото-
которых нет в случае однородной плазмы. Выше мы всюду акцентиро-
акцентировали внимание именно на этой характерной черте неоднородной
плазмы, приводящей в конечном счете к ряду интересных эффек-
эффектов, в частности, к дрейфовой неустойчивости.
Однако между характеристиками однородной и неоднородной
плазмы имеется еще и то существенное различие, что величины е±
и е у для неоднородной плазмы являются функциями координат,
тогда как для однородной они от координат не зависят. Это озна-
означает, что в неоднородной плазме свойства волны в различных точ-
точках пространства будут различными. Математически это соответ-
соответствует тому, что уравнение B. 7) не имеет решений типа плоских
волн. Это обстоятельство ставит перед нами проблему исследова-
исследования пространственной структуры волны.
Средства, с помощью которых можно разрешить эту проблему,
зависят от того, в каком отношении находится характерный раз-
размер неоднородности плазмы а и предполагаемый характерный
размер пространственного изменения поля волны в направлении
неоднородности %у. Можно предполагать, что наиболее просто
исследовать систему уравнений удастся в двух предельных слу-
случаях: когда \1а < 1, т. е. когда «длина волны» мала по сравнению
с характерным размером неоднородности плазмы, либо при XJa >
> 1, т. е. если волны очень длинные (или плазма сильно неодно-
неоднородна).
171

В первом случае мы сможем исследовать свойства волны, если
будем поступать аналогично тому, как и при изучении колебаний
однородной плазмы, т. е. характеризовать пространственное изме-
изменение поля с помощью волнового числа Ку = Ку (у), слабо за-
зависящего от координат:
if Ky(y)dy\. D.1)
Здесь Еоя у0 — некоторые постоянные. Такой подход носит назва-
название метода геометрической оптики (или «метода квазиклассиче-
квазиклассического приближения»).
Во втором случае мы придем к задаче о распространении волн
в двух однородных средах, разделенных между собой бесконечно
тонким поверхностным слоем. Соответствующее приближение
будем называть приближением поверхностного слоя.
Можно надеяться, что, выяснив свойства колебаний при "kja <
< 1 и Ху/а > 1, мы получим приближенную картину и для коле-
колебаний с любой длиной волны.
В § 2 и 3 мы интересовались случаем волн с %у1а -С 1- Поэтому
мы использовали «квазиклассическое» представление поля
типа D. 1) [см. уравнение B. 9) ] и свели проблему к решению
дисперсионного уравнения B. 10). Это уравнение мы исследовали
в духе работы Церковникова [4], предположив, что имеем дело
с некоторым волновым пакетом, локализованным в окрестности
какой-либо фиксированной точки, и изучая его поведение (рост
амплитуды возмущения во времени) за времена гораздо меньшие,
чем время его перемещения на расстояние порядка а [и считая,
что за это время он успеет значительно возрасти, т. е. требуя вы-
выполнения условия B. 14)].
По существу здесь было сделано допущение о том, что имеется
возмущение, характеризуемое тем, что его дисперсионное уравне-
уравнение, записанное около произвольной фиксированной точки у = у*,
может быть удовлетворено при некотором наперед заданном поло-
положительном К.2У. Для возмущений, начальная амплитуда которых
не бесконечно мала (реально мы всегда имеем дело именно с та-
такими возмущениями) и достаточно быстро растет во времени, это
допущение может быть подтверждено или опровергнуто (или
уточнено) лишь с помощью теории нелинейных колебаний. Однако
можно стать на более формальную точку зрения и предполагать,
что начальная амплитуда растущих возмущений бесконечно мала,
так что в течение сколь угодно большого промежутка времени
амплитуда колебаний будет еще оставаться достаточно малой.
При таком подходе мы, оставаясь в рамках линейного приближе-
приближения, можем проследить за поведением даже быстро растущего
возмущения в течение времени, за которое оно может перемещаться
на расстояние порядка характерного размера неоднородности
плазмы а. В этом случае формальная схема исследования быстро-
быстрорастущих возмущений, очевидно, не должна отличаться от методов
172

исследования медленно растущих возмущений (для которых соот-
соотношение B. 14) не выполнено), а также затухающих во времени
(Y "^ 0) или нейтральных (у = 0).
Исходя из этих соображений, попытаемся, оставая:ь в рамках
линейного приближения, получить информацию о разумности
используемого в § 2 и 3 «локального метода», т. е. выясним спра-
справедливость сформулированного выше допущения. Кроме того,
поскольку мы не будем теперь прибегать к соотношению B. 14),
включим в рассмотрение и те возмущения, у которых инкремент,
определяемый с помощью локального метода, оказывается еще
меньшим или отрицательным.
Интересующие нас сведения могут быть получены следующим
путем. Будем продолжать считать, что в точке у = у* уравне-
уравнение B. 10) может быть удовлетворено при некотором К2У > 0.
Тогда мы можем найти из него частоту колебаний со. Станем
следить за возмущением, перемещающимся из окрестности точки
у = у* в какой-либо другой участок пространства. При этом
дисперсионное уравнение B. 10), уже позволившее нам установить
связь между частотой колебаний со и волновым числом Ку =
= Ку (у*), даст теперь возможность проследить, каким будет
волновое число в других точках пространства Ку = Ку (у, со),
где у Ф у*. Проиллюстрируем это обстоятельство на примере
длинноволновых колебаний K2±Q2 С 1> когда стоящие в уравне-
уравнении B. 10) величины ец и е± не зависят от К2У- В этом случае
квадрат волнового числа в точке у равен
D.2)
а частота колебаний, входящая в правую часть равенства, опреде-
определяется из того' условия, что Kl = К*2 = К2У (у*) есть заранее
фиксированное положительное число. С помощью уравнения D. 2)
и соотношения D. 1) мы можем определить амплитуду волны в лю-
любой точке пространства, если она была известна при у = у*.
Однако при этом мы не можем быть уверены, что получающееся
в результате выражение для поля Е (у) будет удовлетворять пра-
правильным граничным условиям, которые могут, например, озна-
означать, что поле Е должно исчезать в области, где плазма отсут-
отсутствует. Необходимость учета граничных условий приводит к не-
некоторым ограничениям на выбор Kl (у*) или, что то же самое, на
возможные значения частоты колебаний. Здесь уместно упомянуть
об аналогичной ситуации в квазиклассической задаче о движении
частицы в потенциальной яме, где учет граничных условий при-
приводит к квантованию энергии частицы. Однако в нашей задаче
дело осложняется тем, что в правой части уравнения D. 2) стоят,
вообще говоря, комплексные величины, тогда как в аналогичных
173

квазиклассических уравнениях соответствующее выражение (по-
(потенциальная энергия частицы) всегда подразумевается веществен-
вещественным.
Как показал Силин [21 ], «правило квантования», т. е. условие,
которому должно удовлетворять волновое число (а следовательно,
и частота колебаний), в задачах о дрейфовой неустойчивости фор-
формально имеет тот же вид, что и в квазиклассическом приближении
квантовой теории.
Получение «правил квантования» для задачи о дрейфовой
неустойчивости можно проиллюстрировать следующим способом.
Разрешив уравнение B. 10) относительно К2У (у), мы будем иметь
соотношение типа
К2уЦ)=<Ир,У), D-3)
где Q есть некоторая функция координат и частоты колебания
[например, в случае длинноволновых колебаний функция Q имеет
вид правой части уравнения D. 2)]. Если мнимые члены в Q зна-
значительно меньше вещественных, что справедливо, например,
в наиболее интересном случае kzvn <^ со <^ kzvTe, то в комплекс-
комплексном уравнении D. 3) можно просто разделить действительную
и мнимую части и получить следующие соотношения для ве-
вещественной и мнимой частей волнового числа:
K2i(y) = Qi(®i,y)\ D-4)
2K1@)*,(y) = Q,(<Di,y) + Y-!^. D-5)
Здесь /Ci = Re Ku, K2 — Ini Ку С Ki, <*>i = Re со, у == со2 =
= Im со <С <*>!, Qi = Re Q (со = со^, Q2 = Im Q (со = сйг) <С Qi-
Если обратиться к уравнению D. 1), то легко заметить, что
Кг (у) характеризует изменение фазы поля колебаний при пере-
перемещении возмущения в пространстве, а /С2 (у) показывает, как при
этом меняется амплитуда (речь идет о пространственной части
поля волны). Пусть возмущение «пропутешествовало» по всей
области локализации, которая простирается от «точки поворота» ух
до точки у2, где уг и г/2 удовлетворяют соотношению
QiK,yi) = QiKife) = o. D.6)
Тогда, отразившись от обеих границ и возвратившись в исходную
точку, возмущение должно обладать прежней фазой и прежней
амплитудой (так как Е (у) — однозначная функция). Следова-
Следовательно, изменение фазы должно удовлетворять условию
§К1(у)с1у = 2яп, D.7)
где я — натуральное число, значительно превосходящее единицу,
а результирующее изменение амплитуды должно быть равно
нулю, т. е.
0. ' D.8)
174

Здесь интегрирование производится от ух до уг и обратно, a /Ci —
положительный корень уравнения D. 4).
Соотношения D. 7) и D. 8) представляют собой искомые до-
дополнительные ограничения на возможные значения частоты коле-
колебаний и аналогичны правилу квантования Бора. Заметим, что оба
эти соотношения можно записать в виде единой формулы, имеющей
точно такой же вид, что и правило квантования Бора:
§Ky{y)dy = 2nn. D.9)
Теперь проанализируем, какие следствия вытекают из соотно-
соотношений D. 7) и D. 8), касающиеся локального метода исследования
неустойчивости, использованного в § 2 и 3. Соотношение D. 7)
свидетельствует о том, что при у = у* вещественная часть квадрата
волнового числа К\ (У*) в действительности может быть не совер-
совершенно произвольным положительным числом, а лишь таким, для
которого связанная с ним частота колебаний алх удовлетворяет
соотношению
D.10)
Таким образом, вещественная часть частоты колебаний и К\ (у*)
оказываются квантованными величинами. Однако приближенно
можно продолжать считать их спектр непрерывным, так как при
больших п расстояния между соседними «уровнями» невелики.
В результате можно заключить, что учет дополнительного усло-
условия D. 7) может привести лишь к несущественному уточнению
значения вещественной части частоты колебаний, определяемого
«локальным методом». Если бы мы вовсе не интересовались инкре-
инкрементом колебаний, то вопрос о справедливости сформулирован-
сформулированного ранее допущения (см. стр. 172) можно было бы считать пол-
полностью исчерпанным.
Однако поскольку эффекты, связанные с мнимыми членами
дисперсионного уравнения, представляют для нас существенный
интерес (именно они ответственны за возможную раскачку коле-
колебаний), то мы должны еще позаботиться, чтобы удовлетворялось
и второе из дополнительных соотношений — условие D. 8). Необ-
Необходимые следствия, связанные с этим соотношением и касающиеся
правомочности локального метода, можно получить следующим
образом.
,Мы постулировали, что имеем право в окрестности произволь-
произвольной . фиксированной точки у = у* записывать дисперсионное
уравнение B. 10), предполагая в нем Ку равным положительному
числу. Обращаясь к уравнению D. 5), можно заметить, что на
самом деле это может оправдываться лишь при условии К2 (</*) =
= 0, т. е. если
ftK^ + Y^-O. D.11)
175

Это соотношение дает некоторую связь между у и у*, так как
частоту колебаний а^ с помощью уравнения D. 4), записанного
в точке у = у*, можно выразить через параметры плазмы в этой
точке. Но, с другой стороны, уравнение D. 8) — это еще одна
связь между у и у*. Поэтому мы приходим к необходимости сле-
следующего уточнения основного постулата локального метода:
точка у = у*, около которой К2У вещественно, должна быть неко-
некоторым образом фиксирована.
Среди всех уточнений локального метода, вытекающего из бо-
более последовательного рассмотрения, проведенного в настоящем
параграфе, последнее является наиболее важным. В связи с этим,
разумность применения локального метода должна зависеть от
того, насколько существенна выделенность точки у = у* среди
других, находящихся на участке локализации возмущения.
Чтобы выяснить это, разберем, какой же смысл, в таком случае,
имеет точка у*. Для этого введем понятие «локального инкре-
инкремента» уй = Yo (y)> т. е. понятие о некоторой функции координат,
удовлетворяющей уравнению [ср. с уравнением D. 11)]
Сравнивая это уравнение с уравнением D. 5), замечаем, что
локальный инкремент может быть представлен еще так:
^^ D-13)
Величина l/(d/<Vdwi) s d<&JdK\ имеет, очевидно, смысл груп-
групповой скорости возмущения vrp, а — /С2 — характеризует увели-
увеличение амплитуды возмущения при перемещении возмущения
в пространстве. Поэтому произведение —• KiVlvdy равно показа-
показателю приращения амплитуды волны за время перемещения пакета
на расстояние dy. Таким образом, функция у0, учитывающая на-
нарастание амплитуды волны как во времени, так и в пространстве,
как "видно, вполне оправдывает свое название локального инкре-
инкремента.
Используя понятие локального инкремента^ можно очень
просто понять смысл точки у — у*: в этой точке локальный инкре-
инкремент (уо) совпадает с истинным (у), т. е.
Yo(y*) = Y. D.Н)
Уравнение D. 8) свидетельствует о том, что имеются участки
как пространственного нарастания, так и пространственного зату-
затухания волны. Это значит, что где-то внутри интервала уъ у2
имеется по крайней мере одна точка, в которой /Са = Q, т. е.
как раз имеющая смысл у*. Таким образсм, существенная для
локального метода точка у = у* лежит где-то внутри области
176 /

локализации волны. Поскольку в § 2 и 3 все точки, лежащие в об-
области неоднородности плазмы, считались равноправными, т. е. при
получении критериев неустойчивости мы не имели в виду таких
ситуаций, когда в одной из точек критерий неустойчивости выпол-
выполнен, а в другой — нет, то нет никаких причин сомневаться в пра-
правильности результатов § 2 и 3 (см. также работу [22]).
Заметим, что уравнение D. 8) может быть записано в виде
Уо tiy
Видно, что, усредняя локальный инкремент по пространству с соот-
соответствующим весом, мы получаем истинный инкремент у. В част-
частности, если область локализации возмущения мала по сравнению
с размером неоднородности плазмы, то истинный и локальный
инкременты совпадают один с другим. Это имеет место для не
слишком больших «квантовых чисел», п, т. е. для достаточно глу-
глубоких уровней. Кроме того, из этой формулы видно, что если бы
из-за нелинейных эффектов область локализации могла стать до-
достаточно малой *, то и тогда у — у0. В обоих случаях мы имели бы
не только качественное, но и количественное совпадение резуль-
результатов, получаемых разными методами.
Сформулируем итоги проведенного рассмотрения.
1. Исследование мелкомасштабных колебаний неоднородной
плазмы можно проводить двумя, взаимно дополняющими, в из-
известной степени, методами: при больших инкрементах, удовлетво-
удовлетворяющих условию у > а~гд Re (л1дКу, физически оправданным
является локальный метод; при малых инкрементах (у <
< а~гд Re co/d/C^) удобно пользоваться методом «правил кван-
квантования».
2. Формальное исследование в линейном приближении быстро-
быстрорастущих волн (удовлетворяющих условию а * CYCto)
методом «правил квантования» качественно подтверждает крите-
критерии неустойчивости, получаемые локальным методом.
Мы рассмотрели методы описания колебаний с длиной волны,
значительно меньшей размера неоднородности плазмы (hy/a < 1),
когда возможно «квазиклассическое» представление D. 1). В слу-
случае' сильно неоднородной плазмы (ку/а > 1), как мы отмечали
в начале параграфа, может быть использован метод поверхностных
волн. Проиллюстрируем применение этого метода на следующем
примере.
* Б. Б. Кадомцев, исследовавший нелинейные колебания, сообщил, что
вполне возможна такая ситуация, когда благодаря рассеянию волн на волнах
происходит «запирание излучения».
12 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 1''

Рассмотрим длинноволновые (О^х <С 1) безвихревые колеба-
колебания неизотермической плазмы (Те > Тс) с частотами k2vTi <
« иС ^гиге- Из уравнений B. 7) и B. 8) можно получить сле-
следующее дифференциальное уравнение для потенциала поля ср:
(8хф')'-(в^2 + е||?2)ф = 0. D.16)
Здесь
, ?жГг д \ (. ¦1/- со
+ ««со !?) П° V + l V ЯК^
Твк\
Считая, что потенциал слабо меняется на ширине неоднород-
неоднородного слоя и проинтегрировав по слою, получим
\2O, D.17)
где k2 и kx определяют спадание электрического поля в однород-
однородных областях 1 и 2, т. е. Е2 = Еое~кг!/; Е1 = EoeklU (здесь у —
расстояние от слоя). Там, где плазма однородна, пишем обычные
дисперсионные уравнения, откуда получаем выражения для k2
j(/S^) D-18)
Ql,2 = Ti
Подставляя полученные kx и k2 в уравнение D. 17), найдем,
что частота и инкремент колебаний поверхностной волны имеют
вид
Re « — *,/-% W-%-; D.19)
«г + «i у -y~
^-^-l/S^^-fl-^^). D.20)
Видно, что эта волна может раскачиваться, если только
-5s-<-^-. D-21)
Чтобы сравнить этот результат с результатом § 3, предположим,
что \Т2 — 71! | <С Тх; п2 — «1 С rti'. тогда неравенство D. 21)
можно записать еще так:
АА,1пГ < 1, D. 22}
Л In п0 ^ \ г
т. е. Сильно неоднородная плазма неустойчива, если д In Т/д In п0
отрицательно (или 31n 77dln nQ невелико).
178

§ 5. Дрейфовая неустойчивость плазмы в поле
с переменным шагом
Для медленных волн, рассмотренных в § 2 и 3, весьма харак-
характерна сильная чувствительность частоты колебаний со к величине
волнового числа kz; малейшее изменение kz приводит к существен-
существенному изменению свойств волны. Для дрейфовых волн ионно-зву-
кового типа должно быть kjkx < q/a, а для дрейфовых волн
альфвеновского типа kz еще меньше, такое, что kjkx < —"|/р
(при больших kz и ионный звук, и альфвеновские волны обладают
частотой со, значительно превосходящей характерные дрейфовые
частоты kxvnp и не раскачиваются).
Учитывая это, можно предвидеть, что дрейфовая неустойчи-
неустойчивость не должна наблюдаться, например, в не слишком длинной
экспериментальной установке, на концах которой силовые линии
вморожены в проводник. Действительно, в этом случае kz огра-
ограничено снизу величиной ~1/L (L —длина установки), так что
при kx — 1/qi неустойчивость заведомо отсутствует, если L не
слишком велико (см. § 3).
Можно представить себе и другую возможность стабилизации
дрейфовой неустойчивости, когда проекция волнового вектора
на направление силовых линий зависит от координат и не может
быть слишком малой сразу во всех точках пространства, занимае-
занимаемого плазмой. Такая ситуация может быть, например, в случае
винтового цилиндрически-симметричного поля с переменным по
радиусу шагом. В этом примере роль проекции к на направление Во
играет величина кц = A/В) (йф — + Bzkz\ (см. приложение III).
Если в некоторой точке k\\ (r0) = 0 при г = г0, то в соседних
точках, где г ф г0,
k*(r) = (r-ro)k't(ro), E.1)
где k\ — производная по радиусу. Если, ввести понятие проек-
проекции волнового вектора на бинормаль к силовой линии kb =
(Л
(эта величина аналогична kx), то, как не-
трудно убедиться,
k\ =-roli'kb, E.2)
где ц = 2n/h = В'ч/гВг — величина, обратная шагу силовой ли-
линии. Таким образом, видно, что при переменном по радиусу шаге
силовых линий (|х' Ф 0) величина ?ц действительно меняется
от точки к точке.
Ясно, что в § 2 и 3 мы имели право считать ?ц постоянным
лишь при не слишком сильной зависимости шага от г, когда изме-
изменением k\\ на участке локализации возмущения можно пренебре-
пренебрегать:
в*II «АII, E-3)
12* 179

где k ц — интересующие нас характерные продольные волновые
числа. Как следует из § 2 и 3, максимальное из существенных
для дрейфовых волн k\\ по порядку величины равно
*Г-|*.. E-4)
иначе волны оказываются сильно затухающими из-за резонанс-
резонансного взаимодействия ионов с полем колебаний. Поэтому необхо-
необходимое условие раскачки дрейфовых волн имеет вид [учтены соот-
соотношения E. 1) — E. 4)]:
9 < о/б. . E. 5)
где 9 = аго\а'; эта величина имеет смысл угла между силовыми
линиями, отстоящими одна от другой по радиусу на расстоянии
порядка а (напомним, что а — характерный размер неоднородности
плотности или температуры); б — характерный размер локали-
локализации возмущения.
Условие E. 5) с увеличением 8 раньше всего, нарушается для
очень протяженных по радиусу возмущений. Например, если
возмущение локализовано на участке, сравнимом с размером
неоднородности плазмы а, то оно окажется сильно затухающим
уже при [23]
6 > о,/а. E. 6)
В § 2 мы видели, что при k^Qt -~ 1 можно говорить о возмущениях,
локализованных на участке б, размером, не сильно превышаю-
превышающим величину (д Re m/dky)ly. Однако и такие'возмущения не мо-
могут реализоваться, если 9 ф 0 и
Таким образом, уже небольшая перекрещенность силовых ли-
линий существенно влияет на возмущения, типа рассмотренных
в § 2, и приводит к стабилизации дрейфовой неустойчивости.
Однако критерии E. 6) и E. 7) еще не могут дать полного от-
ответа на вопрос о том, при каких 9 вообще отсутствует дрейфовая
неустойчивость плазмы. Соотношение E. 5) показывает, что наи-
наиболее опасными являются сильно локализованные возмущения,
и нужно выяснить, нет ли таких при 8 =/= 0.
Уравнения для медленных волн в винтовом поле, необходимые
для выяснения этого вопроса, можно получить примерно та-
таким же способом, что и систему уравнений B. 7) — B. 8) (см. при-
приложение III). Предполагая, как и в § 2, Е (г) ~ exp [i ] K.r (r)dr],
мы снова придем к дисперсионному уравнению, имеющему вид
уравнения B. 10), в котором вместо kx, ky и kz стоят kb, Kr и k\\.
Несмотря на внешнее сходство дисперсионных уравнений для
прямого и винтового полей, вид их решений существенно разный,
если только 0 ф 0. Связано это с тем, что появляется новый пара-
180

метр, характеризующий неоднородность плазмы: скорость изме-
изменения по радиусу продольного волнового числа k\\. Если при 6 =
= 0 неоднородность плазмы можно связать с а ^» (din njdr)'1,
то теперь таких размеров два: а и а* = (д In k\\/dr)~x. При
k\\^-^- kb [см. соотношение E. 4)], а * s= q/Q, так что с увели-
увеличением 6 размер а* сравнивается с а при 6 ~ Q/a, а при еще боль-
больших Э — с а* < а. Радикальных изменений свойств дрейфовых
колебаний можно ожидать уже при а* < а, что вполне подтвер-
подтверждается ранее написанным соотношением E. 6). Поэтому ниже
мы будем предполагать а* С а и выясним, существуют ли дрейфо-
дрейфовые волны, во всей области локализации которых выполняется
это неравенство.
Предполагая выполненным также неравенство E. 7), мы уже
не можем использовать локальные решения и должны исследо-
исследовать вопрос о том, как ведет себя вдали от точки г* возмущение,
осциллирующее вблизи этой точки г = г* [т. е. такое, что
Re Kr {г*) > Im Кг (г*) ]. Если окажется, что с обеих сторон
от г*, например, при г <^гх, г > г2 (гх < г* < г2) поле волны
пространственно затухает, а всюду между гг и г2 выполнены усло-
условия (о/?ц > vTi, a < kbve0, то это будет означать, .что дрейфо-
дрейфовые волны существуют и неустойчивы.
Вблизи точек гъ г2, где Кг ^ 0, можно полагать KrQi ¦€. 1
и тогда из уравнения B. 10) следует:
где в правой части все функции z берутся при z = —-г-
Ув1
(z. ъ 0).
Полагая, как ив § 2, Р > те/т(; ю/&ц < vTe; Те = Т{ — Т\
S/T — 0; ze < 1, с помощью уравнения E. 8) находим:
1 — "—"ь~ I —¦ fc и 1 п "¦« к
Здесь q ^ q(.; yQ s у«; в' — вклад в е |. от ионов. Малые мнимые
члены от электронного вычета здесь опущены.
181

Отсюда следует, что даже при 8 >> q/g действительно сущест-
существуют две точки, гх и г2, в которых k2r = 0, а между ними Kl > О
р у
(если только Y$ <С Q^a). Особенно наглядным является случай
г С 1. когда выражение в правой части сильно упрощается
fe||°n
х
_!_
Видно, что область локализации возмущения ограничена точ-
точками, в одной из которых частота колебаний совпадает с локаль-
локальной частотой ионного звука, а в другой — с локальной частотой
медленной альфвеновской волны [ср. с выражениями B. 16)
и B. 17)]. Видно также, что во всей области локализации
kbv0 > со, т. е. при учете электронного вычета мы получили бы
раскачку колебаний.
Условие-достаточной глубины ямы приводит к следующему
условию на величину перекрещенности 6:
. E.П)
Это и есть критерий существования длинноволновых
(bQ 1) сильно локализованных возмущений, приводящих
к неустойчивости плазмы. Ясно, что качественно этот результат
должен оставаться в силе вплоть до kbQi ~ 1.
Однако при более коротких волнах (д,йь > 1) критерий E. 11)
теряет силу: оказывается, что коротковолновые возмущения мо-
могут быть стабилизированы при 6 ¦< д(/а.
Таким образом, перекрещенность силовых линий приводит
к стабилизации дрейфовой неустойчивости плазмы. Существен-
Существенных эффектов стабилизации следует ожидать при 8 ~ Qja, хотя
некоторые возмущения стабилизируются уже при меньших зна-
значениях 8, а другие — при несколько больших.
§ 6. Желобковая неустойчивость плазмы
при конечном ларморовском радиусе ионов
Если плазма удерживается магнитным полем с искривлен-
искривленными силовыми линиями, то она может быть неустойчива относи-
относительно возмущения желобкового типа. Гидродинамическая тео-
теория желобковой неустойчивости изложена в обзоре Б. Б. Кадом-
Кадомцева [24]. Результат гидродинамического исследования можно
сформулировать так: устойчивой оказывается плазма в установ-
установках, где «эффективный» радиус кривизны силовых линий совпа-
182

дает по направлению с градиентом давления плазмы (выпуклость
силовых линий — внутрь плазмы), и неустойчивой, если направ-
направление эффективного радиуса кривизны противоположное.
В последнее время теория желобковой неустойчивости была
усовершенствована, главным образом, благодаря исследованиям
Розенблюта, Кролля и Ростокера [9], показавших, что желобко-
желобковой неустойчивости может не быть, если ларморовский радиус
ионов не слишком мал по сравнению с размером системы, так что
qVc?>o/R, F.1)
где R — эффективный радиус кривизны.
В настоящем параграфе излагаются некоторые результаты
кинетической теории желобковой неустойчивости, развитой в упо-
упомянутой работе Розенблюта и др. [9], а также в более поздних
работах [10, 11]. Кинетическая теория позволяет довольно
просто учесть конечность ларморовского радиуса ионов, хотя
приходится привязываться к определенной, по возможности про-
простейшей конфигурации магнитного поля, либо моделировать кри-
кривизну силовых линий введением фиктивного поля тяжести, исполь-
используя известную в гидродинамике аналогию между эффектами же-
желобковой неустойчивости в кривом магнитном поле и в гравита-
гравитационном поле g, равном по порядку величины T/mfi, где Т —
температура плазмы, a mt — масса иона.
Желобковая неустойчивость в поле тяжести. Будем считать,
что плазма находится не только в поле однородного магнитного
поля с прямыми силовыми линиями, но также и в поле тяжести,
направленном вдоль неоднородности плазмы: g = @, — g, 0).
Чтобы исследовать колебания такой плазмы, необходимо знание
ее тензора диэлектрической проницаемости. Поскольку закон
движения частиц при'наличии g отличен от случая g = 0, то
нельзя непосредственно использовать выражение для еар, вы-
вычисленное в § 1. В приложении II показано, как изменится выра-
выражение для еар при введении g. Используя уравнения Максвелла
и Пуассона, а также вычисления, сделанные в приложении 11,
можно получить систему уравнений, описывающих медленные
волны в плазме, находящейся в поле тяжести. Эта система уравне-
уравнений аналогична уравнениям B. 6) и B. 7) и может быть записана
так:
e'V dky {-L-1 к]_г*± - iky7g\ Ex (ky) + kA Ez(ky))--=0;
-^4) E. (*„) - ?klEx (A,))} = 0;
F.2)
183

Здесь е* = е. + 6е , где s имеет тот же вид, что и в уравнении
B. 8), а величины 6е± и eg, e*j равны
I. e
F.3)
S II — * г т . n i * ~т~ ~T7~.: ' i \ л i .: -\
2
X (l 4-1У nxW (x)) noe z/0(z);
Представляя поле в виде B. 9) и полагая Kfi > 1. можно полу,
чить дисперсионное уравнение, аналогичное уравнению B. 10);
Ь4М = О. F.4)
Заметим, что и при наличии силы тяжести структура диспер-
дисперсионного уравнения медленных волн оказывается точно такой же,
как и при# = 0, что видно из сравнения уравнений B. 10) и F. 4).
Поэтому разграничение медленных волн на альфвеновские
и ионно-звуковые, приведенное в § 2, остается в силе.
В работе Розенблюта и др. 19] рассматривается случай потен-
потенциальных колебаний, распространяющихся поперек магнитного
иоля, кг — 0. С помощью уравнения F. 4) нетрудно понять, что
речь идет о предельном случае альфвеновских колебаний, описы-
описываемых при кг = 0 уравнением
е'± - 0. F. 5^
Предполагалось, что плотность плазмы достаточно велика
(с2а С с2), а ларморовский радиус ионов мал по сравнению с дли-
длиной волны (/CiQ? С 0- Нетрудно видеть, что при этих условиях
уравнение F. 5) принимает вид
(о2 —.kxv[a> + gK = 0; F. 6)
184

Отсюда следует, что если считать kxvl0 < со, как это обычно
делается в гидродинамике, то существует неустойчивость, назы-
называемая желобковой, инкремент которой равен
F.7)
Розенблют, Кролль и Ростокер [9 ] обратили внимание на то,
что в некоторых случаях учет членов типа kxvy(n весьма необхо-
необходим и может привести к качественно совершенно другим резуль-
результатам. Действительно, при учете kxvlQ из уравнения F. 6) сле-
следует, что желобковая неустойчивость отсутствует, если
(kAJ>4gx. F.8)
Таким образом, в работе [9] было показано, что имеет место
стабилизирующий эффект, который был назван «эффектом конеч-
конечного ларморовского радиуса». Смысл этого названия станет ясным,
если g в неравенстве F. 8) заменить эквивалентным ему выраже-
выражением TlmJR, а вместо v'o подставить определяющее его выраже-
выражение vl0 = —Тм,/т1<лвг Тогда критерий F. 8) примет вид
Q?kl>4a/R. F.9)
Отсюда видно, что стабилизирующего эффекта не было бы,
если формально считать ларморовский радиус бесконечно малым
по сравненикьс длиной волны.
Из неравенства F. 9) следует, что самыми опасными являются
наиболее длинноволновые возмущения. Если считать эксперимен-
экспериментальную установку круглой, то, полагая &™ ~ I/a, можно полу-
получить качественный критерий отсутствия в ней желобковой неу-
неустойчивости, имеющий вид соотношения F. 1).
Стабилизирующий эффект имеет место и в случае резкой гра-
границы между плазмой и вакуумом, когда толщину переходного
слоя а можно считать малой по сравнению с поперечным разме-
размером установки (в приближении плоского слоя это означает возмож-
возможность существования очень малых волновых чисел kx, таких, что
k,fl < 1). Крускал и Шварцшильд [25] рассматривали устойчи-
устойчивость резкой границы с помощью обычной гидродинамики и по-
показали, что плазма неустойчива при любой величине g, направлен-
направленного в сторону вакуума. Однако, используя наши уравнения
F. 2) и F. 3), учитывающие конечность ларморовского радиуса
ионов, можно найти, что при резкой границе (но все же такой,
что Qi/a С 1) и при очень малом g плазма устойчива. Действи-
Действительно, предполагая что k±qt < 1 (при kz = 0, с2д <^ с2), из этих
уравнений можно получить следующее дифференциальное уравне-
уравнение:
«о ( 1 — )Ех\— kxn01 1 — + -^г)Ех = 0. F. 10)
185

Проинтегрируем это уравнение вдоль переходного слоя, считая
его достаточно тонким (kji <^ 1) и пренебрегая на нем измене-
изменением Ех. Учитывая, что вне слоя Е ~ еГкх\у\ t получим
В гидродинамическом приближении («в > соВ12г) отсюда сле-
следует результат [25], свидетельствующий о неустойчивости плазмы
с инкрементом
Y = УЖ- F- 12)
Однако при очень малом g, когда
~~ F-13)
неустойчивости нет. На границе условий применимости
(kx ~ \/а) этот критерий качественно совпадает с критерием
устойчивости F. 1), полученным Розенблютом и др. [9] для
плавного переходного слоя.
В дальнейшем, после опубликования работы Розенблюта
и др. [9], несколькими авторами [10, 26] показано, что стаби-
стабилизирующий эффект может быть описан и гидродинамическим
способом, однако для этого обычные гидродинамические уравне-
уравнения (используемые, например, в энергетическом методе исследо-
исследования устойчивости [27 ]) должны быть дополнены членами
с магнитной вязкостью [2].
Рассмотренный выше случай колебаний с kz = 0 является
наиболее опасным. Действительно, не полагая kz = 0, мы
имели бы, например, вместо уравнения F. 5) уравнение]
откуда при с\ < с2, со > kzvT{ следует
со2 — kxvo(a+gK — cWz = 0. F.15)
Вместо неравенства F. 8) критерий стабилизации опреде-
определяется следующим соотношением:
(^oJ>4(gx-^). F.16)
Отсюда видно, что неустойчивость отсутствует при сколь
угодно малом ларморовском радиусе ионов, если только
кг>У!йсА. F.17)
При закрепленных на концах установки силовых линиях,
когда k2 > n/L, критерий отсутствия желобковой неустойчи-
неустойчивости, согласно неравенству F. 17), имеет вид [28]
^ZA -. - F.18)
* V ,
186

После открытия эффекта стабилизации желобковой неустойчи-
неустойчивости при конечном ларморовском радиусе ионов появились на-
надежды, что последовательный учет конечного ларморовского
.радиуса снимет другие, ранее предсказывавшиеся неустойчи-
неустойчивости. Но эти надежды не оправдались. Более того, как мы ви-
видели в § 2—5, при со < kxv0, т. е. как раз в области стабилизи-
стабилизирующего эффекта желобковой неустойчивости, начинается не-
неустойчивость другого типа — дрейфовая, не исчезающая даже
при длинах волн порядка Q; (напротив, при K±Qi — 1 она как раз
сильнее всего проявляется).
У
10г\
10
10'
10
Неустойчиво
Устойчидо
10
10
Рис. 6. Желобковая неустойчивость в сильно разреженной плазме при g = -г=
I хГ
т.
2 „2
По оси абсцисс отложено Z = Kj_QJ, по оси ординат — плотность
У =
4япо/л,-с2
? 2
В0
Кроме того, оказалось, что даже желобковая неустойчивость
не всегда может быть стабилизирована, хотя длина волны возму-
возмущений и сравнима с ларморовским радиусом ионов. Речь идет
о не слишком плотной плазме сА > с. Как показано в работе [11 ],
при сА> с дисперсионное уравнение для желобковой неустойчи-
неустойчивости с произвольным kxQi имеет вид [оно вытекает из уравне-
уравнения F. 4) ]:
1 +
4ле2п0
= 0,
F. 19)
Если с помощью этого уравнения найти границы устойчивости,
то мы придем к картине, изображенной на рис. 6. Из рисунка
187

видно, что в достаточно разреженной плазме неустойчивы даже
возмущения с KxQt ~ 1- Устойчивость плазмы чрезвычайно ма-
малой плотности (нижняя часть рисунка) объясняется тем, что дви-
движение частицы в такой плазме почти не связано с движением дру-
других частиц [29]. Более того, при KxQi ~Э> 1 появляется своеобраз-
своеобразный тип коротковолновой неустойчивости, несколько напоми-
напоминающий пучковую, так как здесь со/К ^s —g/coB, т. е. фазовая
скорость равна скорости гравитационного дрейфа ионов.
Желобковая неустойчивость в винтовом цилиндрически сим-
симметричном магнитном nojre [30]. Рассмотрим вопрос о желобковой
неустойчивости на более реальном примере (хотя и здесь остается
еще ряд идеализируемых положений), считая, что плазма нахо-
находится в винтовом цилиндрически-симметричном поле. Этот слу-
случай конфигурации силовых линий был использован и в § 5, где
иллюстрировалось влияние перекрещенности силовых линий на
дрейфовую неустойчивость плазмы-.
Как следует из уравнения (III. 22), пространственно-плавные
возмущения, соответствующие длинноволновым (K±q1 С 1) альф-
веновским колебаниям, описываются уравнением
8яр' k\ iEb = Q {6 2Q)
Чтобы исследовать это уравнение, перейдем к новым переменным,
F = ?,1/=
ГД6 1
Предполагаем, что к < 0. Тогда уравнение F. 20) можно записать
в виде уравнения Шредингера
L\^0 F.21)
для частицы с энергией
e = lkl F.22)
и потенциалом
U = — -^-р + -7-ТГТ-П2- • F- 23)
Здесь
188

В магнитогидродинамическом приближении (ш ^> кьь1Л ча-
частота колебаний, как нетрудно заметить, входит в уравнение
F. 21) квадратично: А, = u>2lc\k\\. Поэтому условие устойчивости
плазмы в этом приближении совпадает с условием существования
решений уравнения F. 21) с К -< 0 (т. е. связанных состояний).
Условие существования решения (границу появления' первого
уровня) можно найти, положив в уравнении F. 21) X ¦> 0, s ¦> оо;
тогда оно принимает вид уравнения Бесселя для функций от мни-
мнимого аргумента. Решение, сходящееся на бесконечности, имеет
вид: _____
F~Kv{s); v = l/V—1/4, F.25)
где Ks — функция Макдональда. Поскольку е ез Kkl < 0, то эта
функция не должна быть осциллирующей на бесконечности,
т. е. должно быть
Х2>1/4. F.26)
Если это- соотношение выполнено, то, оставаясь в рамках
гидродинамического приближения, следует считать плазму не-
неустойчивой. Этот критерий неустойчивости был впервые получен
Сайдемом [31]. Поскольку х2 обратно пропорционально квадрату
перекрещенности силовых линий (х2 ~ 1/92), то из неравенства
F. 26) следует, что и здесь перекрещенность силовых линий
играет стабилизирующую роль, как это было в случае дрейфовой
неустойчивости (см. § 5).
Оказывается, однако, что учет членов порядка kbvlja> приво-
приводит к более благоприятному условию устойчивости. Действи-
Действительно, при kbvlo Ф 0 из условия существования решения F. 26)
еще не следует неустойчивости, так как в этом случае
со =
(это соотношение следует из hkl = е„, где е„ — собственное зна-
значение энергии е), и колебания устойчивы, если
¦ (б-28)
Поскольку | е„ | во всяком случае не превосходит модуля мини-
минимума потенциала U, то из уравнений F. 23) и F. 27) следует, что
плазма устойчива даже при больших %2, если ларморовский ра-
радиус ионов достаточно велик, так что
(¦=¦«.)>¦*¦('+?)• F-29)
Здесь т — азимутальное волновое число (см. приложение III).
Этот критерий устойчивости хорошо согласуется с аналогич-
аналогичным результатом F. 13) в задаче с силой тяжести.
189

§ 7. Дрейфйвая раскачка желобковых возмущений
Как отмечалось в § 6, при достаточно большом ларморовском
радиусе ионов происходит стабилизация желобковой неустойчи-
неустойчивости. Однако учет взаимодействия с волной резонансных частиц
может приводить к тому, что желобковые возмущения будут
все же неустойчивыми, хотя и с меньшими инкрементами. Впер-
Впервые такие существенно негидродинамические эффекты были рас-
рассмотрены в той же самой работе Розенблюта и др. [9], где был
указан стабилизирующий эффект конечного ларморовского ра-
радиуса. Оказалось, что учет взаимодействия волны с резонанс-
резонансными электронами, дрейфующими под действием неоднородности
магнитного поля, приводит к раскачке желобковых возмущений.
Но этот эффект является экспоненциально малым и вряд ли на-
находится в пределах точности используемых приближений.
В настоящем параграфе будут рассмотрены желобковые возму-
возмущения с k\\ ф 0. В этих условиях существенны резонансные ме-
механизмы раскачки, связанные с движением частиц вдоль силовых
линий и проявляющиеся при со <С kxv0, где v0 — скорость лармо-
ларморовского дрейфа. Если давление плазмы невелико ф < 1), то
скорости ларморовских дрейфов значительно превосходят ско-
скорость магнитного дрейфа (в (J раз), так что можно ожидать,
что эффекты раскачки косых желобковых возмущений окажутся
гораздо сильнее, чем рассмотренные в работе [9].
Дрейфовая раскачка желобковых возмущений в поле тяжести.
Длинноволновые колебания плазмы (с К2±($ С 1) в поле тяжести
описываются, как это следует из уравнений F. 2) и F. 3), сле-
следующим дифференциальным уравнением четвертого порядка:
где
e II = fe2r 1 ] ^Tl(l +tVnT^-Wo)- G-2)
Для простоты мы положили УТ[ = VTe = 0; с > Сл-
190

Сравнивая по порядку величины Члены в уравнении (?. 1),
можно заключить, что в этом уравнении при старших производ-
производных стоит малый параметр. В случае
kz > ®lvTe G. 3)
таким параметром является величина порядка qJ, а при
kz < со/иге G.4)
— величина с2/(а2Ве.
Считая Q, и с/(йОе малыми по сравнению с другими характер-
характерными поперечными размерами (к ним относятся размеры двух
типов: характерная длина неоднородности а и длина волны коле-
колебаний в направлении х, равная l/kx), можно заключить, что два
из четырех решений уравнения G. 1) соответствуют простран-
пространственно-плавным возмущениям, «длина волны» которых (вдоль у)
определяется характерными размерами а и \/kx, а два других
соответствуют возмущениям с более короткой «длиной волны»,
связанной с Qi или с/ыОе. Поэтому из уравнения G. 1) можно по-
получить два приближенных уравнения, одно для крупномасштаб-
крупномасштабных возмущений
другое для мелкомасштабных возмущений
E"x = 0. G.6)
Последнее уравнение эквивалентно уравнению второго порядка
для поля Ег
А-^в Л ?, = о. G.7)
Это уравнение является типичным для проблемы о дрейфовой
неустойчивости плазмы; оно уже было подробно обсуждено в § 4.
В дальнейшем главное внимание будет обращено на исследование
другого класса возмущений — желобковых, описываемых прибли-
приближенным уравнением G. 5) или более точным уравнением G. 1).
Пока рассмотрим уравнение G. 5). О нем также шла речь
в § 6. Если предполагать, что длина волны возмущения все же
мала по сравнению с размером неоднородности плазмы, то, пред-
представляя поле волны в виде Ех — exp [i J Ку (у) dy], можно с его
помощью получить дисперсионное уравнение
kl (ю2 — ®kxvl0 — c2Ak2z + gx) +
+ Kl (со2 - (i>kj>l0 - c2Ak\) - 0, G. 8)
частным случаем которого является рассматривавшееся в § 6
уравнение F. 15) (там мы считали К2У < k2x).
191

Выражая отсюда К2У (у, со),
/ «... V
G.9)
видим, что волна с вещественным иа некотором участке про-
пространства волновым числом Ку может существовать лишь при
g ф 0. Помимо этого, необходимо, чтсбы в области локализации
волны, где Ку > 0, выполнялось условие
1 j 8* -Л л 1П\
если считать, что область локализации гораздо больше чем l/kx.
Границы области локализации определяются точками, в которых
либо
со2 — akxvo — c2Ak\ -f gn = 0, G. 11)
и тогда в этой точке К,у = 0, либо
со2 — (ukxvo — c\k\ = 0, G. 12)
и тогда Ку -*¦ ±оо. Ситуация первого типа является обычной
в теории колебаний неоднородной плазмы и была обсуждена в § 4.
Если же в некоторой точке у = уа реализуется соотношение
G. 12), то на самом деле наше упрощенное уравнение G. 5) те-
теряет силу, так как нарушается предполагавшееся при его полу-
получении условие крупномасштабности колебаний. Будем называть
такую точку (г/ = у0) критической.
Критическая точка имеет следующий смысл: локальная альф-
веновская частота в этой точке совпадает с частотой колебаний со.
Таким образом, в окрестности у = у0 нужно решать полное урав-
уравнение G. 1), сшивая затем его решения с решением упрощенных
уравнений G. 5) и G. 6). В результате оказывается, что решения,
удовлетворяющие условиям сшивки, уже не относятся к классу
крупно- или мелкомасштабных, а являются смесью обоих классов
возмущений.
Будем считать, что критическая точка отсутствует, а область
локализации ограничена двумя обычными точками поворота,
удовлетворяющими уравнению G. 11).
Существование двух точек у1 и уг, в которых удовлетворяется
уравнение G. 11), является типичным для таких случаев распре-
распределения плотности, когда и з= 1/«0 —? имеет максимум, напри-
например, при х = а/ (у2 + а2).
Если работать с уравнением G. 7), содержащим лишь нулевые
члены по /Cle2, то мы получим некоторый спектр вещественных со
при условии, что ларморовский радиус ионов достаточно велик
и имеет место эффект стабилизации Розенблюта и др. [9]. Этот
192

вопрос мы рассмотрели в § 6. Однако, если учесть мнимые Ёели-
чины в членах порядка К2±0и, то вместо уравнения G. 9) получим
Лт-Ц. G.13)
Тогда частота колебаний станет комплексной, а ее мнимая
часть y будет иметь вид [используется соотношение D. 8) ]
1-1
G. 14)
В частности, для самых нижних уровней: (у2 — у^ < с;
о < A^tV, Ге = Г,-; отсюда следует:
Y = - i^L ^е2 ^ , G. 15)
где
Инкремент медленной волны (знак минус перед корнем) поло-
положителен и имеет вид
v = "Л &,' '* — G. 16)
Таким образом, учет взаимодействия резонансных электронов
с волной привел к тому, что желобковые возмущения, даже при
наличии стабилизирующего эффекта Розенблюта и др. [9], все же
оказываются неустойчивыми, хотя и с меньшим инкрементом.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ТЕНЗОР еар (к, со, у) ДЛЯ ПЛАЗМЫ С НЕИЗОТРОПНОЙ
ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНТРОВ
ЛАРМОРОВСКИХ КРУЖКОВ
Если /0 зависит от Vz, то вместо выражения A. 9) будем иметь
еар(к, со, (/) = баВ — I 2j-^ ] d\0-va(t) X
«
ИГ + со
13 Вопросы теории плазмы. Вып. 3. 193

После интегрирования по f и а0 получаем:
2сов
где
Ф = т
XI зг '
kzvz
де
) coco g ду со <Э&2'
. 2)
A.3)
a Qag и Pag определяются по-прежнему уравнениями A. 23), A. 24), A. 21)
и A. 25).
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ТЕНЗОР е„з (к, со, у) ДЛЯ ПЛАЗМЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ
В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
Закон движения частиц в поле тяжести имеет вид:
•« = *о - (ухо/«в) [sin («о - ав() - sin «ol -
У = i/0 -f (f± о/ив) [cos («о - шв0 - cos a0];
г = z0 + »г0<;
где
11/2
= @, -g, 0),
Константы движения: е = /тгу2/2 + /п^г/; К = у — vx/a>B; Vz = vz. Если
/о изотропна, то и при наличии g формула A. 9) сохраняет силу. Справедливы
соотношения
dF0 ___ а/0(в0у)
vx(t)
/о(Вд, У) .
(II. 2)
194

Где
ео = mvl/2'
Окончательное выражение для eag:
!2*К
со в \ д</
где
±dfo
ду
<Ч . (И-3)
= 2
<осов
dfa.
(II.
Вектор поляризуемости %р (z/, fe, ш) равен
°1 odvza
m
где
-\ mg \ ^r— d\n
del
о \ т
1Г \ 1 f
(П. 5)
rt =— со
(II. 6)
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ПЛАЗМЫ
В ВИНТОВОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ [32]
Будем считать, что плазма занимает бесконечно длинный цилиндр, находя-
находящийся в магнитном поле с компонентами Вф = Вф (г), Вг = Bz (г) и Вг = 0.
Вместо декартовой системы координат, которая использовалась до сих пор, будем
работать в цилиндрической системе координат г, ф и г. Вместо волновых чисел kx,
ky и kz введем т, kr и kz. Поле волны будет зависеть от координат так:
'тф + '*«* + '*-Г
? = 2 J
E (m, k,, kr) е
(III. 1)
13*
195

Удобно сконструировать из цилиндрических волновых чисел т, kr и kz
такие комбинации, которые имели бы смысл проекций волнового вектора на напра-
направления, связанные с силовой линией, — вдоль силовой линии, на нормаль к ней
(т. е. по радиусу) и по бинормали; Такими комбинациями, аналогичными проек-
проекциям kx, ky и kz для плоского слоя, будут величины kj), kr и kx, где kr уже было
определено выше, а 1ц, и kx имеют вид
«, ._ ВЧ> и Вг т .
В~
В
Подобным же образом вместо цилиндрических компонент поля Ег,
вводим Еь, Ег и Ех, где
В< B
~В~
В
(III. 2)
% и Е2
а вместо проекций тока jr, jy и /2 будем использовать }/,, jr и jx, где
/ft — ~~к~ lz б~ .
D LJ
/т==;1
(III. 3)
(III. 4)
Тогда, как нетрудно убедиться, связь между / и Е может быть выражена форму-
формулами, аналогичными формулам A. 1) и A. 2):
la (r, t) = 2d\d<S) dkr dkz {-щ&ая — в<«э)
4яе2
eiikr-<i>t)Esi(k, и)}; (III. 5)
к, со, л) = баВ-
dFo
т, X
XI —
kv (Г'
(f)
1[ш
¦t')-\ kv(t")dt")
Г
(HI. 6)
Здесь индексы аи Р пробегают значения b, r и т.
Для полного вычисления диэлектрической проницаемости нам остается про-
проинтегрировать уравнения движения частиц и произвести усреднение в уравне-
уравнении (III. 6) по некоторой равновесной функции распределения Fg.
Предварительно выражаем dF0/dVy через интегралы движения. В качестве
последних в винтовом магнитном поле могут быть взяты величины
_ Md2
8 2~~'
P2= Vz —
)
(HI. 7)
196

Тогда
dF0
dvv
Mv
~w
Вг dF0
Здесь было использовано следующее соотношение мажду ортами Ь, X и е2, вф
_ ^г ^бф
— D 2 I |э *-ф»
?5 О
Ь = -^ег--^еф. (III. 9)
Используя преобразование типа A. 8), запишем уравнение (III. 6) в виде
[ср. с уравнением A. 1)]:
V^ Але2
есцз (к, w, г) = баВ — i 2i -тггг. I dvnva (t) X
± _ _ ф ц j
Ф,
(III. 10)
где
1 В"
dF0
Во, BFn
В dPz
а/>ф.
Закон движения частиц в винтовом цилиндрически симметричном магнитном
поле может быть записан следующим образом:
dr . dw I / Ва
== w sin a; I = _
dt dt i
dz
~Ж
dw
~di'
__ШС05а_
ф.
+ w cos а -
i sin а + 2ц4 sin 2а);
-I [— cos a (us
(Ш.'П)
- cos
где
uw
Здесь штрих означает дифференцирование по г; w, а и и — компоненты скорости
в цилиндрической системе координат.
197

Предполагая магнитное поле слабо меняющимся на расстояниях порядка
ларморовского радиуса частиц, нетрудно найти решение этой системы уравнений
Для наших целей его удобно представить в виде:
w = w0 + иг cos a If + и4 cos 2а If;
w0);
а = а0 — u>Bt Bux + u2 + 2u3) sin а
-^ sin 2a
w
r[t) = r-\ 2- cos a
/яср + kzz = /ncp0 -f kzz0 + tkxti0 -
Wfl
X
Xsin(a —
-г Щ) h-
(III. 12)
Здесь введены следующие обозначения:
/ (a) |? = / («о — швО — / (a0 — о)ДГ);
ш2 и' А
"^П JJ . /. о . о\ 1 /о . . кг
Мы пренебрегли в экспоненте малыми членами типа k^Q?/LB, где LB — ха-
характерный размер изменения магнитного поля, в результате чего она приобре-
приобретает такой же вид, что и в § 1, только вместо kx и kz здесь стоят kt, и kx. (В даль-
дальнейшем мы иногда будем опускать также члены типа fegUi/ca, малые как отношение
скорости микроскопических дрейфов к фазовой скорости волны). Члены, содержа-
содержащие производные магнитного поля, имеются и в предэкспоненциальных выраже-
выражениях (III. 10). Здесь они малы по сравнению с остальными как q/Ls- Вследствие
дополнительной малости старших членов, которая может возникнуть при усред-
усреднении по углам, результирующий вклад старших членов, может стать порядка
-^ ~ vri/LB(u.
Нетрудно видеть, что такие члены следует учитывать в случае достаточно
длинных волн, когда
*±
—.— -— =21, т. е. при
all,
тогда
q со ~ —.-—
как при более коротких волнах ими можно пренебречь. Кроме того, в предэкспо-
предэкспоненциальных выражениях имеются члены типа q/г, которые также должны быть
учтены.
Учитывая эти замечания и выбирая .Fo близкой к максвелловской (так что
максвелловской является функция центров ларморовских кружков), можно
характеризовать диэлектрическую проницаемость плазмы в винтовом магнитном
поле при co/ftfc ^> и-у, «2 выражениями типа
(III. 13)
где ejjp и х«л имеют такой же вид, что и eag, Хр в § 1 (с заменой kx, kz ->¦ kb, kx
и д/ду -у д°/дг = -г-? -J \- -f--flf). а беар и 6%р существенны лишь для длин-
198

новолновых низкочастотных колебаний и при этих условиях отличные от нуля
элементы имеют вид:
i. e
(остальные компоненты 6eag и %g несущественны).
Заметим, что при получении выражений (III. 13) и (III. 14) мы не учли зави-
зависимости .Fo от комбинации Рф, Рг, аналогичной Vz в § 1, предположив тем самым,
что равновесный ток, текущий вдоль силовых линий (так как ?ф Ф 0), несуще-
несуществен для рассматриваемых всюду в настоящей работе колебаний с очень ма-
малыми kx.
Используем полученные выше выражения eag и %$ для исследования медлен-
медленных волн в винтовом магнитном поле.
Из уравнения Максвелла для тока по направлению г получаем следующее
соотношение, аналогичное выражению B. 5'), но учитывающее и члены порядка Р:
i . I (Bzy
-~1ГьЬъ-1пь\-в) Eb
1[
— -г- Еь
-п!-Еи + АьЕк + КЕ„. (Ш. 15)
Используя выражения для eag из § 1, нетрудно найти, что входящая сюда ком-
комбинация &гЬЕь + ггг \ ~ь~Е'ь ) может быть записана так:
е,гЬЕь-\-гГГ у~-^
ikrr k. I kb д°
dk±(l+
X (s°rb cosil? + z\b sin^)~Eb (kr). (III. 16)
Подставляя Ег, выраженное через Eb и Ех, в два другие электродинамические
уравнения, использованные в § 1, получим:
X (fab + АХЕХ)} = div E; (III. 17)
k'x ' К
Н
К
to2 V
j етЬ?й + etr I j^l + eTxEt + e^UiEft + AfEr) . (III. 18)
Вскоре мы увидим, что члены с Л нужно удерживать лишь при рассмотрении
длинноволновых колебаний (к2±д] < 1), тогда же, когда существенны и добавки
6еТ? и 6%ь. В тех же случаях, когда все эти выражения несущественны, уравне-
199

ния (III. 17) и (III. 18) принимают более простой вид, аналогичный системе
уравнений B. 7):
(III. 19)
)
где величины е^, е± и 8 ц имеют такой же вид, что и в § 2.
Теперь выясним, когда справедливы эти упрощенные уравнения. Для этого
предположим, что k^Q2 < 1 и разложим в ряды функции Бесселя, входящие в ецр.
Тогда уравнения (III. 17) и (III. 18) можно записать так:
-г-?' X
(III. 17')
ОГ
со2
+ ^"Г (8*1 + (члены порядка РI = 0;
i, e
X
X
^T) n°l2+'¦
Здесь е^, вц определяются уравнениями типа B. 8) при z -> 0, т. е
(III. 20)
dr
Видно, что учтенные добавки никогда не могут существенно влиять на коэффи-
коэффициенты перед Ех, лишь изменяя их на величину порядка Р <С 1. Однако коэффи-
коэффициенты перед Еь более чувствительны к этим добавкам: они существенно изме-
изменяются в случае длинноволновых колебаний, когда
e2,^<JL. (III. 21)
Таким образом, теперь можно сформулировать условия применимости упро-
упрощенных уравнений (III. 19): волны должны быть не слишком длинными, так что
/s^q? J> a/R. Если же волны очень длинны (q?^< a/R^, to вместо уравнений
200

(III. 19) следует пользоваться уравнением, вытекающим из уравнений (III. 17')
и (III. 18'):
*/fe_i JL_{e y!L_L
М b di*) е*^х Г-L ?л*шов Rkb
i T)"°[2x2 (I +
k2
- ¦ ¦ ¦ (III. 22)
Исследование системы уравнений (III. 19) и уравнения (III. 22) проведено
в §&-7.
Так обстоит дело с исходными уравнениями для волн, у которых фазовая
скорость <o/ftfc значительно превосходит скорости микроскопических дрейфов «х
и иг. Если же w/kb йЬ ии и2, то в таком случае s^, как нетрудно проверить,
можно найти с помощью формулы A. 14), в которой надо заменить: (х, у, г) ->
д д°
—> (&, г, Т); — у -^-;?„->[сй— «сод— kxu—kb (ux -j- u^jY1, а в выражениях
A. 23) и A. 24) нужно считать qa, qr, qx и ра прежними, тогда как вместо qb
следует брать qb + bqb, где
bqb = («i +  + "з) Jn- (III. 23)
Подставляя в уравнения Максвелла получающееся в результате 8ajj, можно
получить систему уравнений для амплитуд электрического поля волны.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ КОЛЕБАНИЙ
1. Получим уравнение, описывающее безвихревые колебания плазмы при
произвольном отношении частоты колебаний к циклотронной частоте.
Полагая Е = — уф и используя соотношения A. 35), A. 37)—A. 42), нахо-
находим искомое уравнение
k у [ дг , \
у I k2ea — iku 5" & ео\ Ф (ku)dku =» О, (IV. 1)
I дудк\ I
где ео играет роль скалярной диэлектрической проницаемости:
д
(IV. 2)
2. Получим уравнение, описывающее обыкновенную волну, распростра-
распространяющуюся поперек магнитного поля при произвольном со/сод.
При kz = 0 система уравнений Максвелла распадается на две подсистемы,
одна из которых представляет собой искомое уравнение для обыкновенной волны
(Егф0, Ех=Еу=0):
] [ kl - 1Г е« (kv)} *ШУУЕг (ky) dy = 0. (IV. 3)
201
е

ЛИТЕРАТУРА
1. Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме. См. настоящий
выпуск, стр. 3.
2. Брагинский СИ. Явления переноса в плазме. В кн. «Вопросы теории
плазмы». Вып. 1. М., Госатомиздат, 1963.
3. ГрадштейнИ. С. иРыжикИ. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений. М., Физматгиз, 1962.
4. ФаддееваВ.Н., ТерентьевН.М. Таблицы значений интеграла веро-
вероятностей от комлексного аргумента. М., Гостехиздат, 1954.
5. Церковников Ю. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.» 33, 67 A957).
6. Р у д а к о в Л. И., С а г д е е в Р. 3. «Докл. АН СССР», 138, 581 A961).
7. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. «Ядерный синтез», Дополнение 1962,
кн. 2, 481 A962).
8. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. В кн. «Физика плазмы и проблема
управляемых термоядерных реакций». Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958,
стр. 268.
9. RosenbluthM. N, Krall N. A, R о s t о k e r N. «Ядерный синтез»,
Дополнение 1962, кн. 1, 143 A962).
10. Р у д а к о в Л. И. «Ядерный синтез», 2, вып. 1, 107 A962).
11. Михайловский А. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 43, 509 A962).
12. Михайловский А. Б. «Ядерный синтез», 2, вып. 3—4, 162 A962).
13. Кадомцев Б. Б., Т и м о ф е е в А. В. «Докл. АН СССР», 146, 581 A962).
14. Михайловский А. Б.,Рудаков Л. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
44, вып. 3, 912 A963).
15. Г а л е е в А. А., Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. «Ж- эксперим.
и теор. физ.», 44, вып. 3, 902 A963).
16. Михайловская Л. В., Михайловский А. Б. «Ж- техн. физ.»,
10 A963).
17. Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 44, вып. 3, 919 A963).
18. Михайловский А. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 44, вып. 5, 1552
A963).
19. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П1 «Ж- эксперим. и теор.
физ.» 41, 1527 A961).
20. Днестровский Ю. Н.,Костомаров Д. П. «Ж- эксперим. и теор.
физ.» 40, 1404 A961).
21. Си л и н В. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 44, вып. 4, 1271 A963).
22. Г а л е е в А. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 44, вып. 6, 19гО A963).
23. R о s e n b I u t h M. N. Harwell, 17—22, sept., 1962.
24. Кадомцев Б. Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы. В кн. «Вопросы
теории плазмы». Вып. 2. М., Госатомиздат, 1963.
25. К г u s k a I M., S с h w a r z s с h i 1 d M. Proc. Roy. Soc, A 233, 348 A954).
26. R о b e r t s K. V., T а у 1 о r J. В. Phys. Rev. Let., 8, 197 A962).
27. Bernstein I., FrimenE., KruskalM., KulsrudR. Proc. Roy.
Soc, A 244, 17 A958).
28. В е л и х о в Е. П. «Ж- техн. физ.», 31, 180 A961).
29. К а д о м ц е в Б. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 40, 328 A961).
30. Михайловская Л. В..Михайловский А. Б. «Докл. АН СССР»,
150, № 3, 531 A963).
31. СайдемБ.Р., Михайловская Л. В., Михайловский А. Б.
«Ядерный синтез», 3, вып. 2 A953). В кн. «Труды Второй международной
конференции по мирному использованию атомной энергии». Избр. докл.
иностр. ученых. Т. 1 — «Физика горячей плазмы и термоядерные реакции».
М., Атомиздат, 1959, стр. 89.

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛАБОТУРБУЛЕНТНОЙ
ПЛАЗМЫ
А. А. В е д е н о в
Взаимодействие плазмонов с частицами
Характернейшим свойством плазмы является наличие спек-
спектра коллективных колебаний — плазменных волн (плазмонов).
Частота колебаний и скорость распространения этих волн
определяются величиной волнового вектора и «грубыми» пара-
параметрами плазмы: плотностью, средним разбросом скоростей ча-
частиц, магнитным полем и т. п.; это "обстоятельство является
отражением того факта, что в плазменных колебаниях прини-
принимают участие все частицы коллектива. Иначе обстоит дело со
скоростью затухания (или возрастания) этих колебаний — она
определяется «тонкими деталями» распределения частиц в фазо-
фазовом пространстве, например, производными функции распреде-
распределения по скорости; это указывает на специфическую роль ре-
резонансных частиц (таких, для которых выполняется условие
©к — kv = «соя; « = 0,1,2,. . . ; со^ и к — частота и волновой
вектор колебания; v — скорость частицы; соя -= еШтС), которые,
обмениваясь энергией с волнами, усиливают или ослабляют их.
Важная роль таких частиц в затухании плазменных волн
видна уже из того факта, что декремент затухания волны с часто-
частотой со и волновым числом k в термодинамически-равновесной плаз-
плазме, найденный Ландау! 1] с помощью уравнений с самосогласован-
самосогласованным полем [2, 3], оказался пропорциональным производной
электронной функции распределения /' (и), взятой в точке v =
= щ/k.
В целом ряде более поздних работ отчетливо выявилось то
обстоятельство, что декремент затухания (или инкремент на-
нарастания) волн в разреженной плазме пропорционален производ-
производной функции распределения резонансных частиц (см. напри-
например [4]).
Подробный физический анализ процесса взаимодействия ча-
частиц плазмы с распространяющимися в ней волнами (а также
анализ вопросов, касающихся распространения плазменных
203

волн) был проведен Бомом, Гроссом и Пайнсом [5], отметившими
важность частиц, которые являются резонансными для каждой
данной волны.
Таким образом, определяющая роль резонансных частиц в
поглощении и рождении плазменных волн была хорошо изве-
известна.
С другой стороны, неоднократно поднимался вопрос о влиянии
плазменных волн на процессы переноса в разреженной плазме.
Вопрос этот возникал в связи с неопределенностью известного
«кулоновского логарифма» в члене столкновений кинетического
уравнения разреженной плазмы [6, 3]. Оценка вклада плазмен-
плазменных волн в кинетические коэффициенты для плазмы, находящейся
вблизи от состояния термодинамического равновесия, проведен-
проведенная Давыдовым [7], показала, что учет процессов испускания
и поглощения плазменных волн частицами (наряду с процессами
парных столкновений частиц) приводит к изменению величины,
стоящей под знаком «кулоновского логарифма» *.
Ясно, однако, что независимый учет этих двух процессов для
плазмы, близкой к термодинамически-равновесному состоянию,
является превышением точности, поскольку точное значение ве-
величины, стоящей под знаком «кулоновского логарифма», остается
при таком подходе неизвестным. При последовательном же фор-
формальном расчете [12] кинетических .коэффициентов процессы
столкновения частиц между собой и процессы испускания—по-
испускания—поглощения волн частицами разделить невозможно — они учиты-
учитываются одновременно.
Иначе обстоит дело, если мы рассматриваем слаботурбу-
слаботурбулентную плазму, в которой плотность энергии, содержащейся
в волнах (плазменных колебаниях) еще мала по сравнению с плот-
плотностью тепловой энергии, но значительно превышает плотность
энергии термодинамически равновесных плазменных шумов (та-
(такая ситуация не только возможна, но и часто реализуется в разре-
разреженной плазме, см. ниже). В этом случае можно вначале вообще
не принимать во внимание процессов столкновений частиц между
собой и описывать поведение плазмы с помощью уравнений с само-
самосогласованным полем. Оказывается, что эти уравнения можно
заменить более простыми уравнениями квазилинейной теории
[4, 13—15]: уравнением для скорости роста (затухания) энергии
плазменных волн и уравнений диффузионного типа для функции
распределения резонансных частиц плазмы (причем коэффициент
диффузии пропорционален плотности энергии волн в турбулент-
турбулентной плазме).
* Идеи работы [7] развивались Галицким, а также Романовым и Филиппо-
Филипповым [9], постулировавшими систему кинетических уравнений для системы элект-
электронов и плазменных волн по аналогии с кинетическими уравнениями для электро-
электронов и фононов в твердом теле. Аналогичные уравнения исследовались Силиным,
Климонтовичем (см., например, [10]) и Пайнсом и Шриффером [11].
204

Нужно подчеркнуть, что вывод уравнений квазилинейной
теории из уравнений с самосогласованным полем удается провести
лишь в том случае, когда резонансные частицы образуют неболь-
небольшую группу, не изменяющую существенно «грубых» характеристик
плазмы (плотности, температуры и т. п.).
Квазилинейная теория, основы которой изложены ниже, опи-
описывает динамику взаимодействия резонансных частиц с волнами.
Последовательный вывод уравнений и рассмотрение таких про-
процессов оказывается возможным в случае, когда энергия, сосредо-
сосредоточенная на коллективных степенях свободы — плазменных ко-
колебаниях, значительно меньше энергии хаотического движения
всех частиц и, в то же время, намного превышает энергию тепло-
тепловых шумов на коллективных степенях свободы.
Сущность метода квазилинейной теории состоит в разбиении
функции распределения резонансных частиц на быстро осцилли-
осциллирующую и медленно меняющуюся части и в учете влияния среднего
квадрата осциллирующей части на медленно меняющуюся часть
(метод, близкий к известному в нелинейной механике методу
Ван дер Поля). При этом оказывается, что поведение медленной
части функции распределения описывается уравнением диффузии
в фазовом пространстве, а скорость роста или затухания быстрых
осцилляции (плазменных колебаний) определяется формулами
линейной теории, в которых неосциллирующая часть функций
распределения медленно меняется со временем.
Известно, что в однородной разреженной плазме в условиях,
когда столкновения между частицами не играют существенной
роли, имеется большой произвол для стационарной функции рас-
распределения частиц по скоростям. Квазилинейная теория ука-
указывает на существование выделенных состояний, к которым при-
приходит неустойчивая плазма в результате развития в ней возму-
возмущений.
Эти состояния характерны тем, что в них функция распреде-
распределения f в некоторых областях фазового пространства оказывается
постоянной (на функции f появляются «плато»), а в соответствую-
соответствующих областях пространства волновых чисел плазменных коле-
колебаний присутствуют шумы с уровнем, значительно превышающим
тепловой.
Основные уравнения квазилинейной теории
Выведем основные уравнения квазилинейной теории для пол-
полностью ионизованной разреженной плазмы. Будем считать, что
функции распределения fa частиц сорта а с зарядом е„
и массой та подчиняются системе уравнений с самосогласованным
полем
За
dt
205

где самосогласованные поля Е и Н в свою очередь определяются
распределением всех зарядов плазмы:
B)
VхЯ = 4ЯС ~^еа] и/аdv + с
Система уравнений с самосогласованным полем A)—B) правильно
описывает поведение плазмы, если последняя является почти
идеальной *, т. е. если усредненная амплитуда кулоновского
рассеяния пары частиц eVT (где Т — средняя кинетическая энер-
энергия частицы) значительно меньше среднего расстояния между
частицами г ^ п~'/3 (где п — плотность плазмы). В этих усло-
условиях число частиц в сфере дебаевского радиуса ND ^ п (Т/пе2K'2
значительно больше единицы, и величина МЪ1 представляет
собой малый параметр, по которому и проводится обычно разло-
разложение точных уравнений движения всех частиц плазмы, приво-
приводящее в первом приближении к системе A)—B), а в следующем —
к появлению члена столкновений в правой части уравнения A) [3 ].
Однако, если мы рассматриваем вопросы динамики такой
плазмы**, то оказывается, что параметр А^д1 не является един-
единственным малым параметром в задаче о разреженной плазме.
Действительно, в разреженной плазме существуют плазменные
колебания. Например, для плазмы без магнитного поля — это
электронные ленгмюровские и ионно-звуковые колебания, частота
и скорость распространения которых определяются грубыми свой-
свойствами плазмы (плотностью, средним разбросом скоростей и т. д.).
Декремент (или инкремент) этих колебаний зависит уже от тон-
тонких деталей распределения частиц в фазовом пространстве.
Частицы плазмы, испытывая беспорядочное воздействие электри-
электрического поля многих волн, диффундируют в фазовом пространстве.
При этом меняются именно те детали функции распределения
частиц, которые определяют затухание волн. Грубые свойства
системы при этих процессах не меняются; энергия волн слишком
мал? для того, чтобы в процессе ее изменения могли проявиться
заметные поправки к средней плотности плазмы, к различным
моментам функции распределения и т. д.
Скорость диффузии частиц в пространстве скоростей под
действием волн пропорциональна плотности энергии этих волн е.
* Кроме того, мы будем дальше считать, что эффекты квантового вырождения
несущественны (это условие налагает еще одно ограничение на плотность плазмы:
эффекты вырождения несущественны, если % ^. г, где к & H/mv — средняя длина
волны частицы).
** В отличие от задачи о свойствах термодинамически равновесной, почти
идеальной плазмы, где отношение средней амплитуды рассеяния при парном столк-
столкновении к среднему расстоянию между частицами представляет собой единствен-
единственный малый параметр, последовательным разложением по которому можно найти
уравнение состояния такой плазмы [17].
206

Если отношение е/пТ значительно превышает величину Nd ,
то эффект «диффузии на волнах» намного превысит эффект столк-
столкновений между частицами (также приводящий к диффузии в про-
пространстве скоростей), -и столкновениями между частицами в пер-
первом приближении можно пренебречь.
Отношение плотности энергии неравновесных плазменных
колебаний к плотности кинетической энергии в/п Т представляет
собой второй малый параметр задач динамики разреженной плазмы.
В дальнейшем будем считать выполненным условие
физический смысл которого состоит в том, что плотность энергии
на коллективных степенях свободы системы — плазменных вол^
нах —• намного превышает плотность энергии кулоновского взаи-
взаимодействия: е > nT/ND*. В то же время е гораздо меньше плот-
плотности тепловой энергии пТ.
Уравнения квазилинейной теории получим, разлагая систему
уравнений с самосогласованным полем A)—B) по малому пара-
параметру г/пТ, путем учета членов, квадратичных по амплитуде
плазменных колебаний.
Для определенности рассмотрим случай электронных продоль-
продольных ленгмюровских колебаний в плазме без магнитного поля.
В качестве исходных уравнений выберем уравнение с самосогла-
самосогласованным полем для функции распределения электронов
tit ~tV дх ~ m dv { >
и уравнение
4леп f vf dv = —дЕ/dt D)
(здесь п — равновесная плотность плазмы, так что в равновесии
J f о dv = 1). Как известно из линейной теории, гармонические
(во времени) решения уравнений C)—D) описывают ленгмюров-
ские колебания; декремент затухания этих колебаний в равно-
равновесной плазме мал по сравнению с их частотой, если длина волны
значительно превышает дебаевский радиус. Действительно, пере-
переходя в линеаризованных уравнениях C)—D) к пространственным
компонентам Фурье
Е = У
* Величина пТ/Nq, с точностью до числового множителя порядка единицы
равна известной дебаевской поправке к свободной энергии системы частиц с куло-
новским взаимодействием; эта же величина характеризует плотность энергии
тепловых плазменных волн.
207

получаем, пренебрегая для длинных волн членом v -~:
П — е F dfo -
Ek = —4яе/г j vGk dv,
откуда следует, что длинноволновая спектральная компонента
поля удовлетворяет уравнению осциллятора
Ёк =. -<i?pEk E)
с ленгмюровской частотой сор = DппеУт)^2. В этих колебаниях
принимают участие все частицы плазмы, причем кинетическая
энергия движения всех частиц в такой волне равна электростати-
электростатической энергии (теорема вириала):
¦nm I [vGhdv
I *) к I
8я
так что полная энергия колебания равна Е\1\л. Колебание с вол-
волновым числом k не затухает, если в плазме отсутствуют частицы
со скоростью v > (йр/k [в этом случае можно пренебречь членом
vdf/dx со kvGk по сравнению с df/dt со (apGk, что и было сделано
при выводе уравнения E)].
Если в плазме присутствуют электроны, скорости которых
совпадают с фазовой скоростью Wp/k какой-либо из ленгмюров-
ских волн, то становится возможным обмен энергией между
волнами и этими «резонансными» электронами. Будем предпола-
предполагать, что число резонансных частиц мало, и пренебрежем тем
изменением дисперсионных свойств плазмы (частоты колебаний,
фазовой и групповой скорости — но не затухания!), которое обу-
обусловлено резонансными частицами. В рассматриваемом здесь слу-
случае это означает, что и при наличии резонансных электронов мы
будем считать частоту ленгмюровских колебаний равной сор.
Взаимодействие плазменных колебаний с резонансными части-
частицами приведет к двум эффектам: во-первых, будет меняться
средняя энергия ленгмюровских осцилляторов E2k/4n;во-вторых,
одновременно будет меняться распределение резонансных электро-
электронов в пространстве скоростей. Для вывода уравнений, описываю-
описывающих эти процессы, поступим следующим образом.
Представим функцию распределения резонансных частиц F
в виде суммы быстро осциллирующей части ^F^'^ и медленно
k
меняющейся функции F; при этом электрические поля Е —
= ^ Ekelkx будут иметь вид произведений быстро осциллирую-
k
щих в пространстве и времени функций на медленно меняющиеся
амплитуды (предполагается, что среднее поле равно нулю). Сред-
208

ние за время, много большее периода плазменных колебаний, зна-
значения осциллирующей части функции распределения и электри-
электрического поля равны нулю:
(Fk) = (Е) = О,
так что F представляет собой среднее значение полной функций
распределения резонансных электронов F. В кинетическом урав-
уравнении для резонансных электронов
dF . dF еЕ dF ,й.
—— 4- v -т~- = д— F)
ot ' дх in dv v '
проведем усреднение по пространству:
dp eE dp д в
dt m dv dv m
ft
Gа)
Далее, вычитая уравнение Gа) из уравнения F) и пренебрегая
разностью * EdF/dv — EdF/dv, получаем
^? G6)
m ov
Из кинетического уравнения для нерезонансных частиц имеем
/, eEk df0
т dv '
и следовательно, производная по времени от плотности тока,
создаваемого всеми частицами плазмы, за исключением резо-
резонансных, есть
Учитывая это равенство, из уравнения для полного тока D)
получаем
Ёк + щЕк — 4пеп J" vFkdv. Gв)
Проинтегрируем G6):
t _
Fk (t) == Fk @) e-^-" - -^ j dt'Ek (f) ^L
* Эта разность дала бы в уравнении G6) члены, нелинейные по Е — такие
члены соответствуют взаимодействию плазменных волн между собой. Влияние
подобных процессов мало, если плазма возбуждена не слишком сильно.
14 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 2ЦЭ

и, подставив это выражение в уравнение Gв), умножим обе части
получившегося равенства на Et и сложим с комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженным выражением:
= 4nenEt j v dv \-ikvFk @) e-"«" -
ikv jЛТ* (O -^P- e-'*»('-'')} + с с.
Подставляя в это равенство Ek (t) = у ek (t) е шр и вынося
медленно меняющиеся функции гк и dF/dv за знак интеграла
по /', получаем уравнение для квадрата амплитуды волны:
2
~- 2с0р8А = — 4лпешр УТк (
J
~ikvFk @)е~1к"{
+ ikv^V4~\^^-kv)(t-ndt U с. с.
о
Переходим к пределу t-^ со; тогда первое слагаемое в фигур-
фигурной скобке исчезает, а второе, в соответствии с формулой
/ t \
lim Г &1а^—*') dt' -\- с. с. = 2яб (а),
'•>-\Ь /
дает
v-^-6((op~kv)dv,
т. е. скорость роста энергии отдельной гармоники
deb r, /О\
я = 2уа6а, (о)
где
Мы видим, таким образом, что в квазилинейной теории скорость
роста (или уменьшения) энергии отдельной фурье-гармоники
определяется фактически формулой линейной теории, с тем лишь
отличием, что место «невозмущенной» функции распределения
в формуле линейной теории для инкремента (декремента) занимает
«усредненная» функция F.
210

Второе урайнеНие квазилинейной теории Мы получим, под-
подставляя в уравнение Gа) выражение
t _
Fkif) = Fki^-ikvt-~ \dt'Ek(t') Ш1-е
и складывая получившееся уравнение с комплексно-сопряженным:
6F 1д
dt 2
t __
о Г
-¦^idtE>
Fk@)e
-ikvt
Заменяя здесь Ek (t) на V sk (t) e lb>kt, получим, аналогично
предыдущему, следующее уравнение для усредненной функции
распределения резонансных частиц F:
дТ д е2 V а / и \ д~?
dt dv т2 ^ й ч Р 'до
Таким образом, второе уравнение имеет вид [4, 14, 15]
. dt ~ dva «P dtip ' K '
где
D°z =я 4f 2e*6 (w* - b) t" • (9a)
Уравнения (8) и (9) представляют собой замкнутую* систему
уравнений квазилинейной теории для спектральной плотности ек
и усредненной функции распределения F (и) **. Уравнение (9)
имеет вид уравнения диффузии, однако величина коэффициента
диффузии D, пропорциональная, согласно выражению (9а), плот-
плотности энергии плазменных колебаний, в свою очередь зависит от
функции распределения.
Система квазилинейных уравнений (8)—(9), полученная из
уравнений самосогласованного поля C)—D), содержит, конечно,
меньше информации, чем исходные уравнения (например, можна
* Зависимость юд. от k, определяемая грубыми параметрами плазмы, предпо-
предполагается известной.
• - ** В дальнейшем знак усреднения у функции распределения мы будем опу-
опускать.
14* 211

найти лишь амплитуды ]/е4, но нельзя найти фаз быстрых осцил-
осцилляции). Кроме того, область применимости квазилинейной теории
значительно уже, чем исходной системы. Однако эти недостатки
искупаются сравнительной простотой уравнений квазилинейной
теории.
Система квазилинейных уравнений (8)—(9), описывающая
взаимодействие резонансных частиц с плазменными колебаниями,
обладает, как нетрудно убедиться, интегралом энергии. Действи-
Действительно, рассмотрим выражение для производной по времени от
полной энергии Q системы резонансных частиц и колебаний.
Величина Q складывается из кинетической энергии резонансных
электронов, из энергии электростатического поля плазменных
колебаний У] -~- и из равной ей (по теореме вириала) кинетической
k
энергии всех электронов плазмы, принимающих участие в этих
колебаниях. Таким образом
4я
Подставляя в это выражение значения dF/dt из уравнения (9)
и de/dt из уравнения (8) и интегрируя по частям, получим
-^--0
т. е. закон сохранения полной энергии системы плазмоны —
частицы.
Чтобы выяснить физический смысл квазилинейной теории
и обобщить полученные уравнения (8)—(9), рассмотрим плазму
с сильно возбужденными коллективными степенями свободы как
совокупность двух газов: газа частиц (фермионов), который
мы будем считать невырожденным, и газа плазмонов (бозонов).
Рассмотрим уравнение баланса числа частиц и волн в фазо-
фазовом пространстве, предполагая, что система однородна и что
выполняются условия А/Б1 С е/лГ < 1 (плотность газа волн зна-
значительно превышает термодинамически равновесное значение).
Поскольку процессы взаимодействия частица — частица и волна—
волна несущественны*, в первом приближении нужно учитывать
лишь процессы взаимодействия частиц с волнами.
Основной процесс, влияние которого мы должны рассмотреть,
есть процесс первого порядка — излучение (рис. \,а) или погло-
поглощение (рис. 1, 6) плазмона q частицей k.
* Следует помнить, что «волны» в действительности представляют собой кол-
коллективные колебания, в которых участвуют все частицы плазмы; «частицы» же,
рассматриваемые здесь, — это лишь небольшая группа «резонансных» частиц
плазмы, занимающая малый объем скоростного пространства и интенсивно взаимо-
взаимодействующая с «волнами».
212

Процесс а есть черенковское излучение плазмона электроном,
движущимся в плазме со скоростью v, превышающей фазовую
скорость плазменной волны (ajk:
_ (Ok 1
v ПГ;
обратный процесс б — есть черенковское поглощение плазмонов
частицами. '
Матричные элементы этих процессов в рассматриваемом нами
случае, когда плотность волн в фазовом пространстве Nq велика,
У*
к-q.
Рис. 1.
пропорциональны YNq и, следовательно, вероятность обоих
процессов W одинакова и равна
Щ, k+q = Wk+q, k ¦
В результате излучения или поглощения волн частица меняет
свой импульс и переходит в другую точку фазового пространства.
Изменение числа частиц в точке k фазового пространства скла-
складывается из «членов ухода» вследствие поглощения плазмонов
— 2 FkNjVk, а+?° (в* + Йсо9 - вк+ч)
я
и излучения плазмонов
ki 4_„б (в* - fi(dq ~ &k_q)
и из аналогичных «членов прихода» вследствие поглощения плаз-
плазмонов
+ 2 Fb^NfDb.,, kb {?k_4 + ftffl, - Zk)
я
и излучения плазмонов
+ У) Fk+qNqwk+qt k6 (ek+4 — Ыя ~ Ч).
я
Здесь Fk — функция распределения частиц в фазовом простран-
пространстве; ek — кинетическая энергия частицы с волновым вектором k;
/гю. — энергия волны q,
213

Суммируя вклады различных процессов, получим для функ-
функции распределения частиц F уравнение
dFk/dt = ^Nq(Wk+thq~Wk>Cl,), (96)
где
Щ
, k-
Аналогичным образом можно найти и уравнение для распре-
распределения волн Nq. Изменение Nq происходит в результате тех же
процессов испускания и поглощения плазмонов частицами, так
что в рассматриваемом пространственно-однородном случае
dNJdt = NqJ1%+q.q. (86)
k
Чтобы из уравнений (86)—(96)* получить, например, выведен-
выведенные ранее уравнения для разреженной плазмы (8)—(9), доста-
достаточно учесть то обстоятельство, что относительное изменение
импульса частицы при рождении (поглощении) волны в разре-
разреженной плазме весьма мало (q/k -> 0), и воспользоваться следую-
следующими формулами для вероятности w и числа квантов ленгмю-
ровских колебаний Nq:
Щ
k-q = 4Ke\/q; Nq
Nq=\E2q |/4тсйа>
(здесь соо — плазменная частота). При этом уравнение (96) совпа-
совпадает с уравнением (9), а уравнение (86) переходит в формулу для
инкремента (8).
Заметим, что практически кинетическое уравнение для функции
распределения плазмонов (или спектральной плотности шумов)
проще получать, решая линеаризованное кинетическое уравнение
с самосогласованным полем и находя из него декремент (инкре-
(инкремент) у; при этом у является функционалом усредненной функции
резонансных частиц F, на фоне которой и ищутся малые коле-
колебания. Таким образом, вместо уравнения (86) имеем:
= 2Y {F\. (8в)
Е
dt
Уравнения (86) и (96) описывают взаимодействие плазмонов
с частицами в слаботурбулентной плазме.
Задача 1. Вывести уравнения (86)—(96) из уравнений для матрицы плот-
плотности плазмы [20].
Решение. Как и в случае классической плазмы, будем исходить из урав-
уравнений с самосогласованным полем <р; при этом для матрицы плотности в предста-
представлении Вигнера
' , -V „-«5ро (х_А- х 4- -1-
/ Хр — . ¦• , *- У \ су i I fj
* Уравнения (86)—(96) можно вывести из уравнения для матрицы плотности
плазмы (см. задачу 1),
21.4

где q (у, г) удовлетворяет уравнению *
у, z)/dt = [-Д/2 + Дг/2 + еФ (у) - еФ (г)] q {у, г) =
ф \х + -2-)~е<?\х T)\Q \Х + ~Г* X 2")'
имеем:
dt ~ J
— п \ 7 ро> у 4- _?-1 emit- _l_l Pl5(?-P)f /Д\
~ Р дх + г f ГГ+ 2 ]"-^\-*- 2 j Г '**' ( J
Уравнение (А) вместе с уравнением Пуассона **
в квазилинейной теории плазмы заменяются системой уравнений для среднего
значения квантовой функции распределения f°p= (lxp) и для осциллирующего
во времени отклонения функции распределения fxp от ее среднего значения (это
отклонение предполагается малым).
" Выделяя в уравнениях (А) и (Б) осциллирующие члены и переходя к про-
пространственным фурье-компонентам
получаем для пространственно-однородного случая (V*/0 = 0)'
о о
f k_ f _к_
/1,т< = ^ 2 . " 2 ; Ф, = -4ш^224,. (В)
р
С другой стороны, проводя усреднение по х в уравнении (А), имеем:
(Г)
Подставляя решение обыкновенного дифференциального уравнения (В)
в равенство (Г) и вводя обозначения
получаем:
* Мы полагаем Й = m = 1 и для простоты рассматриваем ниже квадратич-
квадратичный изотропный спектр ер = ра/2.
** Для простоты рассматривается случай продольных колебаний электрон;-
ной плазмы с положительным «фоном» пространственного заряда,
215

Аналогично для изменения N^ имеем:
P
Релаксация плазменных колебаний
Рассмотрим в рамках квазилинейной теории задачу о затуха-
затухании плазменных колебаний. Линейная теория предсказывает
экспоненциальное затухание колебаний за время порядка 1/у.
При этом декремент затухания у определяется в линейной теории
термодинамически равновесной (максвелловской) функцией рас-
распределения, поскольку предполагается, что к моменту создания
колебаний плазма находилась в состоянии термодинамического
равновесия. Так, созданное в плазме бесконечно малое возмуще-
возмущение, согласно линейной теории, постепенно затухает, и система
возвращается к термодинамически равновесному состоянию.
Если, однако, энергия созданных в начальный момент плаз-
плазменных колебаний значительно превышает энергию тепловых шу-
шумов в равновесной плазме, то процесс затухания колебаний про-
протекает иначе. До тех пор, пока плотность энергии волн е много
больше плотности энергии тепловых шумов пТ/Нп, столкновения
между частицами плазмы не играют заметной роли и происходит
процесс диффузии на волнах и выравнивание функции распреде-
распределения в той области пространства скоростей, где имеются частицы
с резонансным значением скорости. В результате такого выравни-
выравнивания частицы переходят из области меньших значений скоростей
в область больших и одновременно с затуханием плазменных ко-
колебаний кинетическая энергия частиц увеличивается (величина у
отрицательная), а полная энергия системы волны — частицы
сохраняется. Такой процесс квазилинейного поглощения заканчи-
заканчивается, когда у обращается в нуль. При этом энергия плазменных
колебаний остается, вообще говоря, конечной и значительно
превышает уровень тепловых шумов. После этого колебания
больше не затухают, поскольку декремент у = 0, и функция рас-
распределения не меняется. В дальнейшем под влиянием столкнове-
столкновений между частицами происходит медленная диффузия в про-
пространстве скоростей, приводящая в конце концов к установлению
термодинамически равновесного максвелловского распределения
и затуханию колебаний до уровня тепловых шумов; эта вторая
стадия длится по времени значительно больше, чем первая. Здесь
мы исследуем лишь первый этап процесса — квазилинейную
релаксацию колебаний.
Рассмотрим простейший случай электронных ленгмюровских
колебаний. Предположим, что в начальный момент времени / = О
в термодинамически равновесной плазме (функция распределения
электронов по скоростям — максвелловская) равномерно во всем
пространстве в некотором интервале волновых векторов к созданы
216

плазменные колебания со спектральной плотностью энергии
ek @), значительно превышающей энергию теплового шума. Будем
считать, что все векторы k параллельны друг другу, т. е. рассмо-
рассмотрим 'задачу с одномерным спектром колебаний. В этом случае
уравнения существенно упрощаются и можно написать анали-
аналитическое решение задачи. При одномерном спектре и достаточно
длинных волнах скорость резонансных частиц однозначно свя-
связана с волновым вектором простым соотношением
v = njk, A0)
где соо — ленгмюровская частота. Коэффициент диффузии на вол-
волнах в рассматриваемом случае
W = 4f1~-) (И)
а декремент определяется выражением
где f — нормированная на единицу (j f dv = 1) усредненная функ-
функция распределения электронов плазмы по компоненту скорости
вдоль выделенного направления волнового вектора k.
Система уравнений квазилинейной теории принимает, таким
образом, вид
de/dt = Aedf/dv; A3)
где е = Е\/8л и f — функции времени t и скорости v = (or/k,
а коэффициенты А я В зависят лишь от скорости, но не зависят
от времени:
2 В = (ol/nmv. A4a)
Начальные условия для системы уравнений A3)—A4) таковы:
при / = 0 величина е = е0 @, v)\ f = fM (v); здесь спектральная
плотность е0 @, v) отлична от нуля в конечном интервале ско-
скоростей vx <C v <C v2, a fM — максвелловская функция распре-
распределения.
Под действием диффузии на волнах в области vx < v < v2
отрицательная производная функции распределения увеличи-
увеличивается, т. е. функция распределения становится более пологой.
В то же время происходит затухание волн, и коэффициент диффу-
диффузии падает. Е^сли начальная спектральная плотность шумов
е @, v) достаточно велика, то в результате процесса релаксации
значение df/dv обратится Р нуль, а плотность шумов е (да, v)
217

останется конечной. При этом система перейдет в состояние, в ко-
котором у-=0в интервале Vi<iv<^v2\[.f = fM вне этого интер-
интервала скоростей. Коэффициент диффузии D (и плотность энергии
плазменных колебаний) будет отличаться от нуля в области
u1<t)<f2 и останется равным нулю вне этой области. Такое
состояние с плато на функции распределения согласно квазили-
квазилинейной теории должно быть стационарным, поскольку уравне-
уравнения A3)—A4) удовлетворяются при этом во всем пространстве
скоростей. В действительности же процессы столкновений между
частицами, которые не были учтены в уравнениях A3)—A4),
приведут, как уже было указано, к медленной диффузии частиц
в пространстве скоростей и постепенному установлению термо-
термодинамического равновесия. Таким образом, описанное распре-
распределение с плато является квазистационарным. Если, однако,
мы не рассматриваем этих медленных процессов, то можно гово-
говорить о стационарном конечном состоянии.
Уравнения квазилинейной теории A3)—A4) дают возможность
связать спектральную плотность энергии плазменных колеба-
колебаний е (оо, v) в стационарном состоянии с начальной спектраль-
спектральной плотностью е @, v). Действительно, подставляя edf/dv =
= A^de/dt из уравнения A3) в уравнение A4), мы убеждаемся,
что в процессе релаксации сохраняется величина / —-^-ВА'^г:
Поэтому в любой момент времени
В частности, в конечном состоянии (при t .->- оо)
так что
8 (да, V) = 8 (О, V) - AS'1 ] {fM - /.) dV. A6)
Поскольку высота плато /м — известная постоянная величина
(она определяется законом сохранения полного числа резонанс-
ных частиц * J (fM — fx) dv = 0, т. е. fm = (у2 — Uj) X
* Этот закон вытекает из закона сохранения полного числа частиц;
поскольку функция распределения / (о) при v < ах и v > v2 не меняется, то
полное число резонансных частиц (их < v < u2) должно сохраняться.
218

X J futdv), то соотношение A6) определяет спектральную плот-
ность энергии колебаний в конечном стационарном состоянии.
Уменьшение энергии колебаний в результате процесса квази-
квазилинейной релаксации компенсируется возрастанием кинетической
энергии частиц, переходящих в процессе диффузии в фазовом
пространстве в область больших скоростей. Действительно, из
соотношения A6) следует, что
(В/О,
2 J {е@, 0 — 6@0, u)l-g- =
= $ dv'nmv' I (fM-U)dv. A7)
о, vl
Интегрируя правую часть этого равенства по частям, получим
закон сохранения энергии
2J [е@, 0)-e(oo,o)]-g-= jn^-{fM-U)dv. A8)
Может оказаться, что начальной энергии волн не хватит для
установления плато на электронном распределении (соотноше-
(соотношение A6) приведет при этом к бессмысленному отрицательному
выражению для е^). В таком случае стационарное состояние
не будет достигнуто и система придет к термодинамически рав-
равновесному состоянию за время порядка среднего времени между
парными соударениями частиц.
До сих пор мы рассматривали разреженную плазму без учета
столкновений частиц. Вообще говоря, влияние столкновений на
движение частиц сравнивается с влиянием волн только в том слу-
случае, когда волна равновесная, т. е. когда ее амплитуда не превы-
превышает амплитуды соответствующей гармоники в спектре тепловых
шумов плазмы. Только для теплового шума сравниваются такие
процессы, как черенковское излучение волн движущейся части-
частицей, излучение при столкновениях, затухание волн, иссяедован-
ное Ландау, поглощение при столкновениях. Уровень теплового
шума колебаний плазмы как раз и определяется балансом этих
процессов.
Однако и для колебаний большой амплитуды («надтепловых»)
столкновения частиц могут определять ряд процессов и прежде
всего процесс резонансного поглощения.
Под действием волны происходит сильное искажение функции
распределения в области резонансных частиц. В результате же
столкновений частично восстанавливается максвелловская функ-
функция распределения и устанавливается стационарное поглощение
волн. Все прочие эффекты от столкновений по-прежнему малы.

Формально уравнение, описывающее поведение усредненной функ-
функции распределения во времени, получается как первый член в раз-
разложении точного кинетического уравнения по l/ND (по отно-
отношению энергии тепловых шумов к тепловой энергии плазмы):
df _ д п df
где последний член описывает парные столкновения резонансных
частиц с прочими частицами плазмы.
Существуют различные формы записи члена столкновений
для плазмы. Можно записать, например, этот член в форме,
предложенной Ландау [3, 6], и линеаризовать его, так как ре-
резонансных частиц мало:
<?f -• / д 71-3 Гп f | (М я я Т
Xcuq
где L = ¦ (здесь А, — «кулоновский логарифм»).
Если мы, интересуясь распределением частиц лишь по одному
компоненту скорости иц, проинтегрируем член столкновений
по остальным компонентам, то в результате получим
\SfdvA
<19а)
^0
где Т — температура электронов, a v ^«—g частота столк-
новений.
Парные столкновения между частицами приводят к постепен-
постепенному исчезновению плато на функции распределения и переходу
системы в термодинамически равновесное состояние. Характер-
Характерное время процесса приближения системы к максвелловскому
распределению можно оценить следующим образом. Уравнение
квазилинейной теории для функции распределения с учетом диф-
диффузии, обусловленной испусканием и поглощением волн и парными
столкновениями, имеет вид
4(^) B0)
Интегрируя уравнение B0) по времени и учитывая, что D-J- —
= А'1-^-, где А дается формулой A4а), получим (индекс у Уц
в дальнейшем опускается)
(^i^)|;^j B0а)
9
220

Если мы рассматриваем случай, когда изменение функций
распределения /0 — fM значительно меньше, чем dD0A~x/dv,
то первым слагаемым в левой части можно пренебречь. Тогда,
интегрируя уравнение B0а), по и от —со до v, воспользуемся
тем обстоятельством, что в процессе затухания функция распре-
распределения / меняется незначительно (чего нельзя, конечно, сказать
о ее производной df/dv), и заменим / под знаком интеграла в правой
части уравнения B0а) на термодинамически равновесную функ-
функцию fM = BлТ/т)-^2ехр —~fr- При этом получим следующее
трансцендентное уравнение для D (t, v), определяющее зави-
зависимость коэффициента диффузии D (или энергии волн е = В~Ю)
от времени:
Из этого уравнения видно, что в начальной стадии шумы
затухают по линейному закону Do —D ~ /, а экспоненциальное
затухание \n-jj-~t возникает лишь в последней стадии про-
процесса, когда уровень шумов станет достаточно малым.
Следовательно, обратное влияние волн на частицы, учитывае-
учитываемое 'квазилинейной теорией, приводит к резкому уменьшению
поглощения: резонансные частицы перераспределяются, и на функ-
функции распределения образуется плато; столкновения же постепенно
сглаживают края плато и устанавливают стационарное состояние,
в котором
df _ vvf
dv "~~ T . _ "
v Ь D
m
Поскольку в результате обратного действия волны изменяется
в основном не сама функция распределения, а ее производная, то
df _ 1 dfM = 1 dfM_ m)
dv /n dv fc / v \з g dv ' ^ '
~T^~ ]+X~KF\vT) nT/ND
где k — среднее волновое число пакета; Ыг — его полуширина;
Из уравнений A3) и B1) находим
dD = n 1 Ум
dt
Интегрируя это обыкновенное дифференциальное уравнение для
D (/) (скорость v входит как параметр), мы снова приходим к фор-
формуле B06).
221

Подставляя уравнение B1) в уравнение (8), получим (рис. 2)
г. 1 де 1 п
1+1-^^
-jf
B2)
При е С пТ/Nd (здесь Л/d — число частиц в сфере радиуса
vlсо) величина у -»• Yoi гДе То получается из линейной теории.
При —jr
j ^ 1 величина y ^ -jf- ^ v- Таким образом, эффектив-
эффективное время затухания пакета меняется от времени порядка
C/ZE
е/лГ
Рис. 2.
для волны, не превышающей уровня теплового шума, до времени
порядка времени столкновения для волны большой амплитуды.
Фактор, уменьшающий величину производной df/dv вслед-
вследствие искажения функции распределения, может быть записан
в виде
I I
1+D
Т\
!+¦
E\Ak
mTvk До
и, следовательно, в случае «монохроматической» волны (где
Av =к ]/еф(//п; E\b.k = Е2) равен
B3)
mTvk
VmTvX
где А и А' равные 1.
Рассмотрим теперь задачу о прохождении через слой плазмы
ленгмюровских волн, непрерывно создаваемых генератором на
границе слоя *.
* Следует отметить, что в рамках квазилинейной теории можно рассматри-
рассматривать лишь задачу о прохождении волнового пакета достаточной ширины, так
чтобы выполнялось условие Д (со/й) > ]Леф//п, где ф — средняя амплитуда
потенциала в волнах.
222

Линейная теория малых колебаний разреженной плазмы преД-
сказывает наличие бесстолкновительного затухания волн, распро-
распространяющихся в плазме. Проявлением такого бесстолкновитель-
бесстолкновительного затухания, в частности, является уменьшение амплитуды
продольных ленгмюровских волн, возбуждаемых на границе
плазмы внешним электрическим полем с частотой со >> со0 и распро-
распространяющихся в глубь плазмы перпендикулярно границе. Для
длинноволновых колебаний, которые мы только и будем рассма-
рассматривать, падение амплитуды волны по мере прохождения в глубь
плазмы дается выражением [1] *
к дх 3 k3 Т dv '
где k = — волновой вектор; со2 = со? + 3— кг\ f — функ-
функция распределения электронов по компоненту скорости, парал-
параллельному направлению распространения волн и перпендикуляр-
перпендикулярному к границе. Таким образом, линейная теория, где энергия
пакета волн считается бесконечно малой, приводит к выводу об
экспоненциальном законе затухания энергии пакета в зависимости
от расстояния. Декремент затухания определяется выражением B4)
при
/ = /м (У) = Bя77тГ1/2 ехр — mv2/2T.
В действительности же энергия волн конечна, и под влиянием
диффузии на этих волнах происходит выравнивание функции
распределения резонансных электронов и уменьшение затухания.
Если бы мы, учитывая то обстоятельство, что параметр NDe/nT
(где е — плотность энергии волн) значительно превышает единицу,
вообще пренебрегли столкновениями, то из уравнений квазили-
квазилинейной теории следовало бы, что на некотором расстоянии от гра-
границы волны создают на функции распределения плато
0-JL *Da 0 D 0
дх dv dv ' '
и дальше распространяются без затухания:
/(о,*)-'const; ^- = 0.
Таким образом, чтобы получить конечное поглощение, мы
должны учесть член столкновений в уравнении для функции
распределения частиц
* Это выражение (справедливое лишь при удалении от границы плазмы на
расстояние в несколько длин волн) следует из уравнения (86), если учесть, что
в рассматриваемом случае
223

Уравнения B4) и B5)~с"'"начальными условиями е @, v) =
— 8о (w)> f @> у) = fo (v) полностью определяют закон изменения
спектральной плотности энергии волн и функции распределения
в зависимости от расстояния. Для упрощения расчета мы, однако,
ограничимся случаем достаточно сильных волн, требуя выполне-
выполнения неравенства
Как показывает оценка, в этом случае можно пренебречь
членом vdf/dx в уравнении B5). При этом
JL = _ v Л.
dv D
поскольку в интересующей нас области скоростей величина —-
пренебрежимо мала по сравнению с vf. Если ширина пакета
плазменных волн не очень велика, то функция распределения
изменяется под их действием незначительно (чего нельзя, конечно,
сказать о производной функции распределения: она меняется
очень существенно) и в правой части уравнения B6) можно заме-
заменить f на максвелловскую функцию /м. Подставляя затем най-
найденное значение df/dv в уравнение B4), находим:
dek _ я v f2
так что энергия волнового пакета по мере удаления от границы
падает линейно:
е*@) ~ L '
а характерная длина затухания L прямо пропорциональна энер-
энергии волн на границе и по порядку величины
Таким образом, L значительно превышает ту длину затуха-
затухания ?лин, которая дается линейной теорией. Для длин волн по-
порядка дебаевского радиуса -,— sk ^-M-.
В задаче о затухании волн, распространяющихся в анизо-
анизотропной плазме, формула для квазилинейного декремента затуха-
затухания усложняется, однако, ее структура остается такой же, как
и в уравнениях B2)—B3):
1 -4- —
здесь ve — частота столкновений электронов, a v' — обратное
время квазилинейного образования плато.
224

Развитие возмущений в неустойчивой плазме
Рассмотрим в рамках квазилинейной теории задачу о развитии
возмущений в неустойчивой разреженной плазме. Исследуем
прежде всего динамику системы, неустойчивой относительно
раскачки электронных ленгмюровских колебаний. Для.упрощения
задачи ограничимся случаем, когда волновые векторы колебаний,
нарастающих в неустойчивой плазме, параллельны один другому
и спектр волн является одномерным *. Предположим, что функ-
функция распределения электронов плазмы / @, v) в начальный момент
времени такова, что в некотором небольшом интервале скоростей
(когда средняя скорость этого интервала значительно превышает
среднюю7 тепловую скорость электронов плазмы) она возрастает,
й величина df/dv в этом интервале положительна. В таком случае
состояние плазмы неустойчиво и спектральная плотность энер-
энергии ей в соответствующем интервале волновых чисел k = —
начинает расти в соответствии с уравнением
о
-ar = 2YeA; У = ^-?-^г- B7)
Рост колебаний приводит к увеличению коэффициента диф-
диффузии резонансных частиц на волнах
Одновременно происходит сглаживание функции распределе-
распределения и расширение области неустойчивости:
. -|_ = -!-"л#- B9)
dt Ov dv v '
Рост колебаний и диффузия резонансных электронов происхот
дят до тех пор, пока на функции- распределения не образуется
плато, т. е. область, где -j- = 0. После этого колебания больше
не нарастают и устанавливается стационарное состояние. Элек-
Электронное распределение в конечном состоянии f«, (v) можно найти
из условия сохранения полного числа резонансных частиц, про-
диффундировавших в фазовом пространстве в процессе уста-
установления стационарного состояния в область меньших скоростей:
]'v)dv = Uff(<x>,v)dv.. C0)
* Такой случай реализуется, когда в плазме имеется выделенное направле-
направление (внешнее магнитное поле, ось трубки, заполненной плазмой, и т. д.) и инкре-
инкремент колебаний с волновым вектором, параллельным этому направлению, макт
сима лен.
15 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 225

Значения скоростей V\, 2 определяют границы области плато
и должны находиться одновременно с f @0, v) путем совместного
решения уравнения C0) и равенств
f @, оа) = / @, vt) = f (со); C1)
это означает, что площади под кривыми f @, v) n f (со, v) (рис. 3)
должны быть равны; точки t>i, 2 обозначены на этом рисунке.
Система уравнения C0)—C1) однозначно определяет значе-
значение / (со, v) в области плато и границы этой области vi, 2', в об-
области же вне плато f (со, v) = f @, v).
Спектральная плот-
' ность шумов в конечном
состоянии 8„о связана (как
yft и в случае квазилинейной
\ /*~\^ релаксации ленгмюров-
v^ITfl ^v ских колебаний, рассмот-
I ^* ренном в предыдущем раз-
—( i ¦—-4 1- v деле) с начальной спек-
'I 2 тральной плотностью е0 и
I' | изменением функции рас-
I пределения /@, v)—/(со,
I.I v) соотношением
!/\J е(оэ, о)-е@, v) =
1 1 fc? 2* щ
S(f0f)
Рис. 3. "i
C2)
где функций А к В определяются равенствами A4а). Если уровень
шумов в системе в начальный момент времени был тепловым, то
мы можем пренебречь величиной е @, у), так что спектр ленгмю-
ровских колебаний в конечном состоянии будет определяться
одним лишь начальным распределением электронов вблизи об-
области возрастания /0 [14, 18]:
e(v, со) = АВ~1] (/.-/„) do. C3)
Плотность энергии колебаний, устанавливающихся по окон-
окончании процесса диффузии, по порядку величины равна
где V[t 2 — границы плато, а дп — плотность той части электро-
электронов, которые переходят в область меньших энергий в пространстве
скоростей.
Длительность т рассмотренного процесса возбуждения ко-
колебаний и релаксации электронного распределения, приводящего
к установлению плато, можно оценить как время диффузии в про-
226

СтранСтве Скоростей, воспользовавшись выражением Для коэффи-
коэффициента диффузии Dx в конечном достоянии:
. (fa —
D
где У — среднее значение скорости в области плато.
В результате процесса развития неустойчивости кинетическая
энергия резонансных частиц переходит в энергию электрического
поля ленгмюровских колебаний и в кинетическую энергию всех
электронов плазмы, участвующих в этих коллективных колеба-
колебаниях; в целом, конечно, энергия плазмы сохраняется.
Взаимодействие пучка с плазмой
Известно, что система, состоящая из плазмы и проходящего
через нее потока заряженных частиц (пучка), при определенных
условиях становится неустойчивой. Исследованию этой, так назы-
называемой электростатической неустойчивости, посвящен ряд экспе-
экспериментальных и теоретических работ. Согласно линейной тео-
теории [4], электростатическая неустойчивость имеет несколько раз-
различный характер в двух предельных случаях. Когда пучок плотный,
почти моноэнергетический и движется относительно плазмы с боль-
дюй скоростью, в плазме возникают нарастающие колебания, час-
частота и инкремент которых определяются параметрами всей системы.
Если же скорость и плотность пучка не очень велики, а разброс
скоростей в нем не слишком мал, частота колебаний равна ленгмю-
ровской частоте плазмы и лишь их инкремент определяется
свойствами всей системы — он пропорционален производной по
скорости полной функции распределения электронов плазмы
и пучка ! в точке v = -j- \.
Изложенная выше квазилинейная теория пригодна для иссле-
исследования динамики взаимодействия пучка с плазмой лишь во
втором случае.
При анализе взаимодействия пучка с плазмой мы ограничимся,
как и в предыдущих разделах, рассмотрением одномерных элек-
электронных ленгмюровских «олебаний. Пусть пучок движется сквозь
плазму в положительном направлении оси х; в точке х = 0 за-
заданы функции распределения электронов плазмы и пучка и спек-
спектральная плотность шумов ek = |?f|/8jt. Если для частиц,
(—f
находящихся в резонансе [ v = —) с плазменными волнами,
выполнено условие — >¦ 0, волны начинают нарастать. Одно-
Одновременно происходит процесс диффузии электронов пучка и плазмы
в пространстве скоростей, сглаживающий функцию распределе-
распределения в области, где отличен от нуля коэффициент диффузии на вол-
волнах, и приводящий к уменьшению инкремента. По мере движения
пучка производная функция распределения по скорости падает,
15* 227

а энергия волн растет. При х. ->¦ оо система переходит в описанное
выше стационарное состояние, в котором на функции распределе-
распределения электронов системы плазма — пучок имеется плато, а в соот-
соответствующей области волновых векторов — незатухающие плаз-
плазменные колебания. Поскольку плотность энергии этих колебаний
больше, чем на входе в систему (при х = 0), очевидно, что кине-
кинетическая энергия электронов пучка уменьшилась. Действительно,
в результате образования плато на функции распределения элек-
электронов группа частиц переместилась ближе к началу координат
пространства скоростей, что и привело к уменьшению кинети-
кинетической энергии пучка — к его торможению. Квазилинейная тео-
теория позволяет найти эту потерю энергии пучком и определить
форму спектра плазменных колебаний, возникающих в системе.
Уравнения квазилинейной теории в рассматриваемом случае
имеют вид *
дх ~ "" dv
dx dv dv '
C4)
где vg — групповая скорость плазменных волн, а значения не-
независящих от координаты х коэффициентов А и В даются равен-
равенствами A4а). Система уравнений C4) должна решаться при сле-
следующих граничных условиях: / @, v) — f0 {v); е @, v) = е0 (и).
Можно считать, что волновой вектор и скорость резонансной ча-
частицы связаны между собой соотношением <в = kv; здесь со =
3 Т
= соо + -д- k2 , где со0 — электронная плазменная частота,
Т — электронная температура.
Уровень плато, образовавшегося на функции распределения,
можно определить из условия сохранения полного числа резо-
резонансных электронов
J f(O,v)dv = J f.dv,
и, vt
так что
/(oo) = (t;,-o1)-1J1/@, v)dv. C5)
Здесь vi, 2 — точки в пространстве скоростей, определяющие
границы плато; значения i»i, i должны быть найдены одновре*
менно с /с» путем совместного решения уравнения C5) и уравне-
уравнений
/@, Oj) =
* Они следуют из общих уравнений (86) и (96).Проще, однако, их можно по-
получить из уравнений (8)—(9), произведя следующую очевидную замену:
de dcoft дв _ _де_ ^ _3/_ д (p2/2m) df _ df
dt "*" dk дх ~~ Vg дх ' dt "* dp dx ~v 17'
228

Спектральная плотность энергии плазменных колебаний при
х -> со может быть найдена следующим образом. Подставляя
значение vdf/dv из первого уравнения системы C4) во второе урав-
уравнение, получим
[vf-
ВА-
т. е.
~lvJl
е (у, со) - е (у, 0) + AB~lv
fo)dv.
C6)
Таким образом, при развитии пучковой неустойчивости и
размывании «пика» на электронном распределении по скоростям
часть кинетической энер-
энергии электронов пучка пе- /
реходит в энергию плаз-
плазменных волн. При этом
полный поток энергии
остается, конечно, посто-
постоянным, что можно прове-
проверить следующим образом.
Рассмотрим, например,
случай, когда уровень шу-
шумов на входе в систему
тепловой: е (v, 0) = 0.
Умножая обе части выра-
выражения C6) на 2ve и ин-
mv2
лэв
е
тегрируя по волновым чис-
числам k=—-,
v
получим ра-
равенство потоков энергии
Рис. 4.
через сечения х — 0
то2
со:
= 0. C7)
"ft о,
Пределы интегрирования в уравнении C7) можно распространить
и до бесконечности, так кбк вне интервала vx < v < v2 спектраль-
спектральная плотность е (оо) равна нулю, а функции f 0 и f«, тождественны.
В заключение заметим, что теоретический вывод о релаксации
неустойчивой плазмы к состоянию с плато на функции распределе-
распределения согласуется с экспериментом [16, 21, 25] (рис. 4).
Задача 2. Исследовать развитие возмущений в случае неподвижных границ
области неустойчивости (рис. 5).
Решение. Поскольку df/dv -*¦ —со в двух точках: Vq ± и (см. рис. 5), то
эти точки и будут границами области неустойчивости, и функция распределения
будет меняться лишь при —и<С v — Vq<C и. При условии, что в этой области
начальное распределение электронов / @, v) достаточно гладкое, его можно раз-
разложить в ряд, ограничившись двумя первыми членами:
f @, v) = const + Ац (о — ч9
229

Из закона сохранения числа частиц следует, что постоянная в этой формуле равна
f (со).
Уравнения A3) —A4), как легко проверить, имеют в этом случае решение
F (о. t) = / (со) + A (t) (v - v0);
где
Здесь Ло = df (О, v)/dv, а величина
Во пропорциональна амплитуде на-
начальных шумов.
Функция распределения в рассмо-
рассмотренном решении в течение всего про-
процесса остается линейной, а спектр —
параболическим.
Задача 3. Найти спектр ионно-
звуковых колебаний, возбуждаемых
электрическим током в слабоионизо-
ванной плазме.
Решение. В стационарном со-
состоянии уравнение для усредненной
функции распределения электронов /
Рис. 5. в интересующей нас области резонанс-
резонансных скоростей имеет вид
-еЕ„ df д D df Q
tn dv dv dv i
где Eo — внешнее электрическое поле, Sf — член столкновений.
Уравнение для волн сводится к равенству скоростей рождения волн электро-
электронами и поглощения при столкновениях ионов с нейтралами [4]
т dv M vzk ' к '
где т, М — массы электрона и иона соответственно; v,- — частота столкновений
ионов с нейтралами; k — волновое число. Вид спектра в низкочастотной области
можно найти следующим образом. Поскольку
Е\
(где vs — групповая скорость), и, с другой стороны, из уравнений (А) и (Б)
следует, что для малых k
то
E\~{v-vg)k. (В;
Подставляя в соотношение (В) выражения для v — -~ и vg = —~, найден-
ные" из дисперсионного уравнения
\~а~) = ~и- (kRD)*~
23Q

(здесь Q — ионная ленгмюровская частота, a Rq — дебаевский радиус), приходим
к выражениям для плотности шумов в низкочастотной области спектра
ч
\
\
\
\
I
и частотной спектральной плотности ква-
квадрата потенциала
п
Таким образом, величина ф^ в слабо- ^1 1 -Q-
турбулентном состоянии линейно растет •"
с увеличением частоты ш при ш < О. рис g
(рис. 6).
При дальнейшем повышении частоты величина ф^ достигает максимума,
а затем начинает уменьшаться и обращается в нуль при со = (Oj ~ п.
Эффект порогового поглощения волн в плазме
и турбулентный нагрев
При распространении в плазме волны с амплитудой, превы-
превышающей определенное пороговое значение (зависящее от типа
распространяющейся волны и ее периода), состояние плазмы
может стать неустойчивым. В этом случае в результате развития
неустойчивости часть энергии упорядоченного движения в волне
переходит в энергию спектра неравновесных плазменных колеба-
колебаний, возбуждаемых в системе.
Для иллюстрации эффекта мы рассмотрим задачу о возбужде-
возбуждении волной большой амплитуды одномерного спектра ионно-
звуковых колебаний в плазме, предполагая, что под влиянием
поля волны электроны приобретают среднюю скорость U (отно-
(относительно ионов, находящихся в покое), превышающую критиче-
критическое значение cs % ~\fTJM. В таком случае в плазме возникают
и нарастают ионно-звуковые колебания, что приводит к включе-
включению механизма диффузии электронов на этих колебаниях. В ре-
результате BbipaBHHBaHHsf электронной функции распределения
область неустойчивости распространяется в пространстве скоро-
скоростей и охватывает всю область допустимых значений фазовых
скоростей ионно-звуковых колебаний с; <С v <C cs (ct да ]/уЛ1),
так как и в этой области электронное распределение выравни-
выравнивается.
Если по плазме распространяется волна достаточно большой
амплитуды, то электронное распределение периодически про-
проходит через зону — cs < v < cs, где существуют ионно-звуковые
колебания, и поэтому квазилинейный коэффициент диффузии
в пространстве скоростей D отличен от нуля. Функция распределе-
распределения электронов будет постепенно сглаживаться, и на ней через
231

достаточно
(рис. 7):
большой промежуток времени появится плато
/„ = const; (\v\<CU)\
fQ(v); (\v\>U),
где ?/ — максимальное смещение электронного распределения
в пространстве скоростей, вызванное внешним полем (предпола-
(предполагается, что U > cs), а /о, = -g^r J /0 (о) do. Процесс сглаживания
J
функции распределения описывается уравнением диффузии
dt dv*
(с граничным условием
(df/dv)±u = 0), где k ^ ®c\
при U > cs; k — 0 при
i/ <C cs; cs — ширина зоны,
в которой возбуждены над-
тепловые шумы, а ш — час-
частота внешнего поля. Таким
образом, время сглаживания
Рис. 7.
Следовательно, внешнее поле с напряженностью, превышаю-
превышающей пороговое значение, перемещая электроны в пространстве
скоростей, совершает работу и, возбуждая коллективные колеба-
колебания плазмы, осуществляет так называемый бесстолкновительный
нагрев электронов.
Турбулентный нагрев электронов при развитии возмущений
в неустойчивой плазме, в которой имеется относительное движе-
движение электронов и ионов, проявляется в том, что в плазме возни-
возникают интенсивные высокочастотные колебания, в полях которых
электроны совершают хаотическое движение [23]. Наличие таких
колебаний стабилизирует систему; пусть, например, в плазме,
состоящей из холодного покоящегося электронного газа и движу-
движущегося холодного ионного газа, возбуждены высокочастотные
колебания; тогда плазма будет устойчивой, если хаотическая ско-
сков колебаниях больше скорости движе-
5)
рость электронов ]
йия ионов относительно электронов Uo (см. задачи 4—5).
Задача 4. Вывести уравнения, описывающие медленные процессы в плазме,
в которой возбуждены ленгмюровские колебания.
Решение. При наличии колебаний высокой частоты на частицы плазмы
действует сила
(А)
232

Медленные (по-сравнению с характерным периодом в. ч. колебаний < 1/о)»
изменения функции распределения F описываются (в отсутствие внешних сил)
уравнением
¦г-+-?+-й?-.-* ¦ .
Последним искомым уравнением является уравнение для спектральной плот-
плотности энергии в. ч. колебаний; изменение спектральной плотности дается следую-
следующим уравнением для величины Nk — E\/ak:
^™1 (В)
dt * dx dx dk
(vg — групповая скорость).
Задача 5. Исследовать устойчивость ионного потока, движущегося сквозь
холодный электронный газ, в котором возбуждены ленгмюровские колебания.
Решение. Вычисляя два первых момента равенства (Б) задачи 4, полу-
получаем
дП ' dnU. = 0; (А)
dt ^ dx
dU _ f
dt ~ m
(Б)
где / дается формулой (А) задачи 4.
Линеаризуя первое из этих равенств и уравнение (В) задачи 4, находим
изменение бЛ^ величины jV* в плоской волне, все величины в которой меняются
пропорционально е
— iQdn + iqnU = 0,
т. е.
. Ьп ( ш0 \ dNb
Изменение спектральной плотности в. ч. колебаний равно
ЬЕ\ = 6 (UkNk) = UkbNk + Nk (-%L ^-
Ьп
n
к Q W оHЛ/. <р0 dNk \
^J ш„ ){ 2 + fi q dk )•
Подставляя это значение 6E2k в формулу (Б) (и ограничиваясь для простоты
случаем, когда k= 2*^ft/2^A= 0), получаем:
k k
Из формулы (В) видно, что наличие колебаний эквивалентно существованию
теплового разброса скоростей у электронов (т. е. электронного давления):
233

поэтому по линейной теории устойчивости ионного потока, движущегося со ско*
ростью Uo сквозь электронный газ [4], плазма будет устойчивой при условии
где <С^2> дается формулой (Г).
Плазмон- плазменное взаимодействие
До сих пор мы рассматривали слаботурбулентную плазму,
предполагая, что плотность энергии волн достаточно мала, так
что взаимодействием волн можно было пренебречь, и основную
роль играли процессы испускания и поглощения коллективных
плазменных колебаний резонансными частицами. При увеличении
энергии волн становится существенным их взаимодействие; по-
поскольку в турбулентной плазме одновременно возбуждено много
волн, и их фазы случайны, взаимодействие волн сводится к «столк-
«столкновениям» волн и может быть описано на основе кинетического
уравнения для функции распределения волн (плазмонов) в фазо-
фазовом пространстве *.
Вывод кинетического уравнения для волн удобно производить,
исходя из лагранжиана плазмы, разложенного в ряд по степеням
амплитуд коллективных плазменных колебаний. Полный лагран-
лагранжиан L для плазмы можно записать в следующем виде (см. ра-
работу [8]):
— evcp (x + yv) + ev(v+ Dvyv) (Ao (x + yv) + a(x + yv)) J +
x{ (Eo + ef-(Bo + bf). C8)
Здесь yv (x, v, t), ф и а — переменные, по которым производится
варьирование, а /v (x, v) — стационарная функция распределения
частиц сорта v в стационарных полях Ео = —VV0, Во = VX AQ,
удовлетворяющих системе уравнений Максвелла:
, v)dv;
C9)
Оператор Z)v, фигурирующий в выражении C8), представляет
собой полную производную по времени вдоль траектории частицы
сорта v в полях Ео и Во:
* Взаимодействие плазмонов между собой, аналогично взаимодействию
фононов в конденсированных средах, и кинетические уравнения для двух этих.
случаев записываются аналогично.

где
D1)
Величины у, ф и а представляют собой смещение частиц и от-
отклонения скалярного и векторного потенциалов от равновесных
значений в стационарном состоянии. Разлагая лагранжиан L
в ряд по степеням у, ф, а, мы получим лагранжианы нулевого,
первого, второго и т. д. порядков Lo, Ьъ L2,. . . Лагранжиан
нулевого порядка Ьо не содержит у, ц> и а; лагранжиан Lx то-
тождественно исчезает; лагранжиан L2 описывает гармонические
колебания плазмы (см. работу [8 ]). Что же касается лагранжианов
третьего и четвертого порядков Ь3 и L4, то они описывают взаимо-
взаимодействие этих гармонических колебаний (плазмонов).
Для простоты мы ограничимся сначала рассмотрением про-
продольных колебаний в однородной изотропной плазме (Ео = Во —
= 0); в этом случае из выражения C8) получаем
L, = - V -^ \[ dx dvfv (x, v) ЗД^ф; D2)
x, v) ylylyFJflyV. D3)
Трехплазмонные процессы
Рассмотрим сначала такие процессы взаимодействия волн,
в которых участвуют три плазмона. Такими процессами могут
быть: а) распад одного плазмона на два; б) слияние двух плазмо-
плазмонов в один (рис. 8).
/ \
/ \
1 <v ) 3
6
Рис. 8.
При таких процессах должны выполняться законы сохране-
сохранения частоты со и волнового вектора k (в противном случае ампли-
амплитуда вероятности перехода обращается в нуль), имеющие для
случаев а) и б) следующий вид:
а) kx = кг + k3; сох = ©2 + о3- D4
б) kx + k* = K\ »i+»8= «з- D5)
?35

В изотропной плазме, где имеются плазмоны двух типов —
ионно-звуковые (s) и ленгмюровские (/) колебания (мы предпола-
предполагаем, что выполнено необходимое условие существования слабо-
слабозатухающих ионно-звуковых волн: электронное давление намного
превышает ионное и, кроме того, рассматриваем лишь слабоза-
слабозатухающие длинноволновые ленгмюровские колебания), зако-
законами сохранения D4—45) разрешены только такие трехплазмон-
ныё процессы, в которых участвуют два леягмюровских плаз-
мона и один звуковой. Действительно, длинноволновые /-плаз-
/-плазмоны имеют приблизительно одинаковую частоту со =к соов, так
что один /-плазмон не может распасться на Два, и наоборот, два
/-плазмона не могут слиться в один. Ионно-звуковые колебания
не могут взаимодействовать между собой в трехплазмонных про-
процессах вследствие того, что их спектр является «нераспадным» —
частота этих колебаний со увеличивается с ростом волнового
числа k медленнее, чем по линейному закону (см. задачу 6). На-
Наконец, трехплазмонные процессы, в которых участвуют два
s-плазмона и один /-плазмон, невозможны в плазме с достаточно
малым отношением массы электрона т к массе иона М, поскольку
в этом случае максимально возможная частота ионно-звуковых
волн значительно меньше частоты ленгмюровских колебаний,
и закон сохранения частоты в таких процессах не может выпол-
выполняться.
Рассматривая единственно возможные трехплазмонные про-
процессы с участием одного s-плазмона и двух /-плазмонов, выразим
в лагранжиане D2) смещения уе через потенциал ф (ионное слагае-
слагаемое в L3 можно опустить, так как его вклад мал, если т/М < 1 —
при этом ионные скорости и смещения в ленгмюровских колебаниях
малы по сравнению с электронными):
+^'h D6)
где ф^ и ф! — пространственные фурье-компоненты потенциала
в ионно-звуковых и ленгмюровских колебаниях, соответственно.
Подставляя это значение уе в формулу D2), мы находим следую-
следующее выражение для лагранжиана, описывающего трехплазмонные
процессы в изотропной плазме:
где
Исходя из классического лагранжиана D7), мы можем с по-
помощью метода вторичного квантования написать систему кине-
236

тических уравнений для функций распределения /- и s-плазмонов.
Для функции распределения /-плазмонов nk имеем;
+ 2>ч { ~Пг(п3 4- 1)#, + (п, + l)na(Nt+l)\, D9)
где ш12 — вероятность распада /-плазмона kt на s-плазмон k2
и /-плазмон /г$, а да21—вероятность слияния /-плазмона &х
и s-плазмона ?2 в /-плазмон k3. Суммирование в уравнении D9)
ведется по волновым числам k<, и k3, удовлетворяющим законам
сохранения D4) в первом и законам сохранения D5) во втором
интеграле столкновений.
Аналогичное уравнение для функции распределения s-
плазмонов Nk имеет вид
Ж2 = 2 Щг {- #,Л1 («з + О + (N-% + 1) К + 1) п3}. E0)
Здесь w-n — вероятность слияния s-плазмона k2 и /-плазмона kx
в /-плазмон k3. Второй интеграл столкновений в уравнении E0)
отсутствует, так как распад низкочастотного s-плазмона на два
высокочастотных /-плазмона запрещен законом сохранения ча-
частоты (как и обратный процесс слияния двух /-плазмонов в один
s-плазмон).
Вероятности до, фигурирующие в формулах D9) и E0), выра-
выражаются через матричные элементы лагранжиана D2):
Щ% = -jf-I ( «1. #2.' п31L31 пх — 1, #2 + 1, п3 + 1 ) |2;
таким образом,
Здесь 9s , ф' — матричные элементы потенциала для s- и /-волн
Подставляя значение до21 E1) в кинетическое уравнение для
-плазмонов, получаем
X ^^2Ц
E4)
23?

El I2
Из этого уравнения, подставляя nk = й > находим поря-
порядок характерной «частоты столкновений» s-плазмонов с /-плаз-
монами
E5)
(выражение для у3 полезно записать в виде
У» ъ
V \2
где и_ — хаотическая скорость электронов в колебаниях, a U —
фазовая (или групповая) скорость для волн с k < ЯЪХ).
Величина.ys определяет ряд характеристик слаботурбулент-
слаботурбулентной -^рлазмы; например, характерная длина затухания L ионно-
звуковых волн в плазме с сильно возбужденными ленгмюровскими
колебаниями примерно равна длине свободного пробега s-плаз-
мона до соударения с /-плазмонами, и следовательно, связана
с частотой столкновений ys формулой
JLj ¦****- i/cl |Q» 1<J\JI
Кинетическое уравнение E0) для функции распределения
/-плазмонов после подстановки в него значения вероятностей
перехода w E1) принимает вид:
_ , dk3 2я ¦ . ,2 2яйсо5(^2)
"Bя^*'Bя)" Ш I *«:.*«*.! k2 X
« Г
1 ~~ J
+ («! + l)N2n3) б (?x — k2 — k3) б (шх — co2 — co3) +
+ (- niN2 (na+l) + (n1 + l)(Ni + l) n3) б {kx + k2 — k3) X
X б^ + соа — co3)}. . E7)
Система уравнений E4) и E7) полностью описывает динамику
слаботурбулентной изотропной плазмы в отсутствие резонансных
частиц. При наличии же резонансных частиц для исследования
процессов в турбулентной плазме нужно пользоваться системой
уравнений для волн и резонансных частиц, учитывая взаимодей-
взаимодействие волн (плазмонов) в виде интегралов столкновений E4) и E7).
Следует заметить, что структура интегралов столкновений
E4) и E7) несколько упрощается в случае классической плазмы.
Действительно, поскольку средние «числа заполнения» Nk свя-
связаны со спектральной плотностью энергии колебаний Qk соот-
соотношением Nk = Qk/ft®k *, то в случае классической плазмы
Например, для длинноволновых ленгмюровских колебаний
E\ Е\ Е\
4лЯо)о
238

(й -> 0) в интегралах столкновений нужно удержать лишь члены
наиболее высокого порядка по N или п; при этом интегралы столк-
столкновений E4) и E7) оказываются квадратичными по N и п:
+ 1) п3 -+ - Ыфг + N^n3 + Л1л8; E8)
й->0
П->0
и после замены Nk = Q^/ft©^ постоянная Планка исчезает из
уравнений E4) и E7) *.
Рис. 9.
Кинетические уравнения, описывающие трехплазмонные про-
процессы в анизотропной (а также и неоднородной) плазме, можно
получить аналогично, выделяя члены третьего порядка по ампли-
амплитуде колебаний в лагранжиане C8). Такие трехплазмонные про-
процессы определяют ряд важных характеристик турбулентной
плазмы, в частности, турбулентные коэффициенты, переноса ве-
вещества, импульса и энергии. Знание этих коэффициентов необ-
необходимо для решения ряда задач: о структуре турбулентного фронта
ударной волны в разреженной плазме (см. работы [27, 28], об
«аномальной» диффузии плазмы (см. задачу 7) и т. п.
Задача 6. При какой зависимости со = со (k) законы сохранения частоты
и волнового вектора допускают трехплазмонный процесс, в котором участвуют
плазмоны одного типа?
Решение. Для наглядности рассмотрим случай, когда частота со зависит
лишь от модуля двумерного волнового вектора k = {kx, ky) ; при этом функ-
функция со = со (| к |) представляет собой в пространстве (kx, ky, со) поверхность вра-
вращения вокруг оси со (рис. 9).
Законы сохранения разрешают трехплазмонный процесс, если уравнение
со (к) + со (q) = со (к + q) имеет решение, т. е. если поверхность со пересекается
* Непосредственный вывод классических (Й = 0) интегралов столкновений
для плазмонов из уравнений гидродинамического типа был проведен в работах [27,
28].
239

С такой же поверхностью, но изображенной в координатной системе, начало кото-
которой лежит на поверхности со (рис-. 9, а); в противном случае трехплазмонный про-
процесс запрещен (рис. 9, б). Из рис. 9 видно, что процесс запрещен для спектров,
у которых со растет медленнее, чем k.
Задача 7. Оценить величину коэффициента «аномальной» диффузии слабо-
слабонеоднородной разреженной плазмы в магнитном поле.
Решение. Причиной аномальной диффузии является возбуждение в не-
неустойчивой неоднородной плазме дрейфовых волн [24]. Эти волны излучаются
электронами и поглощаются ионами, вследствие чего возникает перенос импульса,
т. е. сила трения между электронным и ионным газами
f^y'Nnk^ = \^nmU. . . (А)
Здесь N ?s» nMiPJU® — плотность газа дрейфовых волн; со и k^—характерные
частота и волновой вектор, U — дрейфовая скорость, у'— частота испускания
волн электронами (инкремент линейной теории).
В стационарном турбулентном состоянии частота испускания волн у' должна
быть равна частоте столкновений волн между собой в трехплазмонных процессах;
при k^Qi о 1
(Б)
Находя из выражения (Б) величину tr_ и подставляя ее в выражение (А),
найдем эффективную частоту столкновений \Эф и коэффициент аномальной диф-
диффузии:
п -, V'2 сТ m * сТ
а* шсош еН
шсо//,- еН ы А?р а еН '
Процессы высших порядков
В ряде случаев зависимость частоты коллективных колеба-
колебаний плазмы от волнового вектора такова, что процессы взаимо-
взаимодействия волн с участием трех плазмонов запрещены законами
сохранения частоты и волнового вектора при взаимодействии.
В этом случае для учета взаимодействия волн необходимо рас-
рассмотреть процессы, в которых участвуют четыре волны. '
Матричные элементы четырехплазмонных процессов и, еле-;
довательно, вероятности перехода, можно найти с помощью ла-
лагранжианов Ls и L4 аналогично тому, как это было сделано выше
для трехплазмонных процессов (вклад в вероятности четырех-
четырехплазмонных процессов вносят матричные элементы первого по-
порядка теории возмущений от L4 и второго порядка теории возму-
возмущений — от L3).
В случае изотропной плазмы, который мы рассматриваем ниже,
законами сохранения запрещены трехплазмонные процессы с уча-
участием только ленгмюровских волн или только ионно-звуковых
колебаний. По этой причине кинетика электронных ленгмю-
ленгмюровских колебаний, возбужденных в плазме, описывается уравне-
уравнением, учитывающим наряду с рассмотренными выше трехплазмон-
ными процессами процессы взаимодействия четырех ленгмю-
ленгмюровских волн; если же в плазме возбуждены ионно-звуковые коле-
240

бания, то их кинетика определяется процессами взаимодействия
четырех этих волн.
При взаимодействии четырех плазмонов возможны, вообще
говоря, следующие процессы: а) переход двух плазмонов в два;
б) распад одного плазмона на три; в) слияние трех плазмонов
в один (рис. 10, а, б, в). Поэтому кинетическое уравнение для волн,
>' V
a S В
Рис 10.
учитывающее только четырехплазмонные процессы, имеет вид
ИМ
f 1I +
j.(Nt + 1)(N3 + 1) (iV4 + 1)} +
-NW, (N% + 1)}. F0)
Суммирование в уравнении F0) производится по волновым
числам k2, ks, kt с учетом законов сохранения, которые для пер-
первого, второго и третьего слагаемых правой части уравнения F0)
имеют соответственно следующий вид:
а) k1 + kt = k3 + Ь; ©? + co2 = ©з + C04;
б) kx = k2 + k3 + ki] ©x = co2 + (o3 + co4;
в) &i + кг -Y k3 = ki\ (ui + cd2 + ©3 = ©4.
Для ионно-звуковых колебаний кинетическое уравнение со-
содержит все три слагаемых; что же касается длинноволновых
электронных ленгмюровских колебаний, то для них процессы
б) и в) запрещены (поскольку для этих колебаний частота примерно
одинакова и равна соое), так что уравнение F0) принимает вид
+l)\. F1)
Таким образом, интеграл столкновений от четырехплазмон-
ных процессов в кинетическом уравнении для ленгмюровских
колебаний есть
< = J В {(Nt +l)(N%+ l)N,N, - NXN2 (N3 + 1) (JV4 + 1)} X
X 6 (©! + ©2 — ©3 — ©4) dkt dk3, F2)
16 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 241

где ki — kj -f k% —
Из уравнения F2), подставляя N^ = EjHtik, находим харак-
характерную частоту столкновений в газе ленгмюровских волн:
где ш^ аОе, а -т^-= 2j?|/4я — плотность энергии колебаний'..
Следует заметить, что оценку частоты столкновений yt в газе
можно получить следующим образом. Поскольку интеграл столк-
столкновений пропорционален Na, частота Y4 должна быть пропор-
пропорциональна A^2,t. e. четвертой степени отношения амплитуды хаоти-
хаотической скорости электронов в ленгмюровских колебания!Х к фазо-
фазовой (или групповой) скорости U этих колебаний (с волновым;
числом k < \/RD). Коэффициент пропорциональности* по со©%а-
жениям размерности, должен быть равен частоте колебаний, так
что
Подставляя v~ ^ -^-; U ^v угТ/т, мы снова приходим к соот-
соотношению F4).
Частота у4 определяет ряд характеристик турбулентной плазмы.
Время раепада турбулентного спектра ленгмюровских колеба-
колебаний, возбужденных в плазме, примерно равно у~]; частота Yi;
(или длина свободного пробега ленгмюровских волн до столкно-
столкновения между собой) определяет и поток энергии q в газе ленгмю-
4
ровских волн; q ^s V?2; декремент нелинейного затухания;
ленгмюровской волны конечной амплитуды по порядку вели-
величины также равен у4.
Как отмечалось выше, структура интеграла столкновений
(между собой) для ионных волн более сложна, чем для ленгмю-
ленгмюровских; частоту столкновений в газе ионно-звуковых волн
можно оценить с помощью формулы F5), подставляя в нее
Ь N F6)
Возможна ситуация, в которой для описания физических
явлений в слаботурбулентной плазме необходимо учитывать про-
242

цессы более высокого порядка, чём рассмотренные выше процессы
излучения — поглощения плазмона частицей или трех и четырех-
плазмонные процессы. К таким процессам относятся, например,
рассеяние плазмона на частице (рис. 11, а), одновременное по-
поглощение (см. рис. 11, б) или испускание (см. рис. 11, в) двух
плазмонов частицей. Необходимость учета такого процесса может
возникнуть, например, в случае, когда в силу законов сохра-
сохранения частоты и волнового вектора запрещен процесс погло-
поглощения— испускания одного плазмона частицей [26].
a S б
Рис. 11.
Член столкновений в кинетическом уравнении для плазмонов,
описывающий процесс, изображенный на рис. 11, а, имеет вид
Nx = 2 WX2; 34 {- N, (N2 + 1) /3 A - /4) +
F7)
(суммирование проводится с учетом законов сохранения частоты
и волнового вектора) и приводит в разреженной плазме к следую-
следующей формуле для относительного изменения числа плазмонов:
Аналогичным образом можно найти вклад того же процесса в
член столкновений для частиц.
При решении вопросов динамики турбулентной плазмы может
оказаться необходимым суммирование рядов теории возмущений
подобно тому, как это делается в физике твердого тела, однако
для исследования большинства задач слаботурбулентной плазмы
учет процесса испускания — поглощения плазмонов электронами
и ионами и трех или четырехплазмонных процессов оказывается
достаточным.
Таким образом, квазилинейные уравнения (8) — (9) с учетом
интегралов столкновений для плазмонов E4), E7), F2) и F7)
представляют собой замкнутую систему, с помощью которой
можно исследовать процессы в слаботурбулентной плазме.
ЛИТЕРА ТУРА
1. Л а н д а у Л. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 16, вып. 7 A946).
2. В л а с о в А. А. Теория многих частиц. М. — Л., Гостехиздат, 1950.
3. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической
физике. М., Гостехиздат, 1946.
16* • 243

4. В е д е н о в А. А., В е л и х о в Е. П., С а г д е е в Р. 3. «Усп. фаз. наук»,
73, 701 A961).
5. Распространение волн в плазме. Сб. «Пробл. совр. физ.». М., Гостехиздат,
1952.
6. Л а н д а у Л. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 7, 203 A937).
7. Д а в ы д о в Б. И. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций», т. I. M., Изд-во АН СССР, 1958. стр. 77.
8. L о w F. Ргос. Roy. Soc, A 248, 282 A958).
9. Романов Ю.,Филиппов Г. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 40, 123 A961).
10. Plasma Physics. Сб. под ред. Drummond'a, New York, 1960.
11. Pines D. SchriefferR. Phys. Rev., 125, 804 A962).
12. Константинов О. В., ПерельВ. И. «Ж> эксперим. и теор. физ.»,
39, 861 A960).
13. В е д е н о в А. А., В е л и х о в Е. П., СагдеевР. 3. «Ядерный синтез», 1,
82 A961).
14. ВеденовА. А., Велихов Е. П., СагдеевР. 3. Доклад № J98,
представленный на конференцию по физике плазмы и контролируемым термо-
термоядерным реакциям. Зальцбург, сентябрь, 1961.
15. ВеденовА. А. «Атомная энергия», 13, 5 A962).
16. X а р ч е н к о И. Ф., Ф а й н б е р г Я- Б. и др. Доклад № 230, представлен-
представленный на конференцию по физике плазмы и контролируемым термоядерным
реакциям. Зальцбург, сентябрь, 1961.
17. В е д е н о в А. А., Л а р к и н А. И. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 36, 1133
A959).
18. Drummond W, P i n e s D. Доклад № 134, представленный на конферен-
конференцию по физике плазмы и контролируемым термоядерным реакциям. Зальц-
Зальцбург, сентябрь, 1961.
19. В е д е н о в А. А., В е л и х о в Е. П. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 43, 964
A962).
20. В е д е н о в А. А. «Докл. АН СССР», 147, 334 A962).
21. Р u t п a m L. H. et al. Phys. Rev. Lett. 7, 77 A961).
22. ВеденовА. А., Велихов Е. П. «Докл. АН СССР», 146, 65 A962).
23. 3 а в о и с к и й Е. К- «Атомная энергия», 1963, № 1,
24. Михайловский А. Б. Колебания неоднородной плазмы. См. настоящий
выпуск, стр. 141
25. Е t i e v a n t С, Р е г u I I i M. Compt. rend., 255, 855 A962).
26. М a t s u u r a K-. О g a w а К- Progr. Theoret. Phys., 28, 946 A962).
27. С a m а с М. et al. «Ядерный синтез». Дополнение 1962, кн. 2, 423 A962).
28. Г а л е е в А., К а р п м а н В. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 44, 592 A963).

СИММЕТРИЧНЫЕ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ
ТЕЧЕНИЯ И ВИНТОВЫЕ ВОЛНЫ
В КРУГЛОМ ПЛАЗМЕННОМ ЦИЛИНДРЕ
Л. С. Соловьев
Введение
Симметричными или двухпараметрическими стационарными
течениями называются такие течения, в которых все величины
зависят от двух пространственных координат qlt q2 и не зави-
зависят от третьей координаты q:i. Наличие симметрии позволяет
найти ряд интегралов движения и существенно упростить задачу
исследования таких течений. Наиболее общим видом пространст-
пространственной симметрии является винтовая симметрия, когда все вели-
величины постоянны вдоль винтовых линий ф — az = const, r = const,
имеющих постоянный шаг L = . Для построения общей теории
симметричных течений, которая включала бы также и случай вин-
винтовой симметрии, необходимо вести вычисления в неортогональ-
неортогональной криволинейной системе координат qt (см. приложение).
Впервые симметричные магнитогидродинамические течения
рассматривались С. Чандрасекаром [1], который ограничился
случаем аксиально-симметричных течений несжимаемой жидкости.
В работах В. Ткалича [2, 3] получены уравнения симметричных
течений несжимаемой жидкости в произвольной ортогональной
системе координат, однако они описывают только случаи транс-
трансляционной и аксиальной симметрии. Мы рассмотрим здесь общий
случай течений сжимаемой жидкости, обладающих винтовой сим-
симметрией, но будем использовать для простоты обычные цилиндри-
цилиндрические координаты г, ф и г, поскольку преобразование получен-
полученных уравнений к новым координатам не представляется сложным.
Уравнения для аксиальной и трансляционной симметрии полу-
получаются из случая винтовой симметрии предельными переходами
при стремлении шага винта L к нулю и бесконечности.
Симметричные магнитогидродинамические течения включают
в себя в. качестве частных случаев симметричные равновесные
плазменные конфигурации [4—7 ] и симметричные течения в обыч-
34)

ной гидродинамике [8]. Винтовые магнитогидродинамические те-
течения представляют особый интерес, так как они позволяют рас-
рассмотреть винтовые волны в плазменном цилиндре, являющиеся
наиболее опасными с точки зрения проблемы устойчивости плаз-
плазменного шнура с продольным током.
§ 1. Стационарные винтовые течения
Стационарные течения идеально проводящей жидкости в маг-
магнитном поле при отсутствии диссипативных процессов описы-
описываются следующей системой уравнений магнитной гидродинамики
e(vV)v = ~V/0 + ^r[rotBB]-eVO; A.1)
rot[vB]=0; (vVS) = O; A.2)
divQV = 0; divB = 0. A.3)
Здесь v — скорость жидкости, q — ее плотность, р — давление,
S — энтропия, В — магнитное поле, Ф — потенциал внешних
сил неэлектромагнитного происхождения, например, силы тя-
тяжести. Первое из уравнений A. 2) является условием вморожен-
ности силовых линий магнитного поля, а второе представляет
собой условие сохранения энтропии вдоль линий тока жидкости.
Введем тепловую функцию W согласно термодинамическому соот-
соотношению
dW = ^- + TdS, A.4)
где Т — температура.
Для более симметричной записи введем обозначения
Д w = w + 4- + ®; A-5)
у Ал ~
j=rotH; j0 = rotv. A.6)
Тогда уравнения A. 1) — П. 3) можно представить в виде
divH=0; divQV = 0; A.7)
[vH] = УФЕ; [jov] L [jH] = -Vw + TVS, A. 8)
где ФЕ — функция, пропорциональная потенциалу электриче-
электрического поля.
Введем предположение о винтовой симметрии течения, т. е.
предположим, что все величины зависят только от двух перемен-
переменных
<7i =' П ?2 s 9 = Ф — аг- 0- 9)
где г, ф, 2 — цилиндрические координаты; а = —j—; L = const —¦
шаг винта (рис. 1),
246

1. Равенство нулю дивергенции векторов qv, H, j0 и j позво-
позволяет ввести «функции тока» if 0, if, /0 и /, определяемые равенствами
n fir ' ^ Ли ' \ * /
¦агНг= w;
dl
_ д1„ . . . _ а/0 . . ___ dl . /I
— <* =
а/
дг
Нетрудно убедиться, что линии тока жидкости лежат на по-
поверхностях г|}0 (г, 6) = const, магнитные силовые линии — на
поверхностях if (г, Э) = const, линии электри-
электрического тока—на поверхностях / (г, 0) = const,
а вихревые линии — на поверхностях /0 (г,
6) = const, причем все эти поверхности имеют
винтовую симметрию. *
Функция тока if для магнитного поля вы-
выражается через Л,
торного потенциала (Н = rot A)
if = А2 + агЛ,,. В
и Лф — компоненты век-
Величина if пропорциональна магнитному по-
потоку, проходящему через геликоидальную
поверхность, образованную нормалями к оси z,
опущенными на винтовую линию, лежащую на
рассматриваемой винтовой магнитной поверх-
поверхности. Действительно, этот поток равен
I H dS = $ A d\ = LAZ + 2ягЛф = Lif, где ин-
интегрирование производится по контуру
ОАВА'О'О. Аналогично функция if0 пропор-
пропорциональна потоку жидкости, протекающему через такую поверх-
поверхность, а / (г, 0) и /0 (г, 0) пропорциональны соответственно
току и потоку вихря rot v через ту же поверхность.
2. Умножая первое из уравнений A. 8) последовательно на v
и Н, получим якобианные равенства 1,"' й, = 0 и j., J^ = 0,
из которых следует, что ФЕ = ФЕ (if) и if = if (ifa), т. е. магнит*
ные поверхности являются эквипотенциальными и жидкость течет
по этим поверхностям. Не отдавая предпочтения ни одной из
функций if и if0, введем новую переменную ? [2], нормировка
* Их можно представлять себе состоящими из винтовых линий с постоянным
шагом L; в плоскости же, перпендикулярной к оси г, сечение этих поверхностей
может быть произвольным. На рис. 1, например, изображена винтовая поверх-
поверхность, нормальное сечение которой является эллипсом..
247

которой пока остается произвольной. Таким образом, будем счи-
считать, что -
!>=»!> (Б); Ч>о = ФоФ- A-12)
3. Из определений векторов j0 и j вытекает, что /0 и / про-
пропорциональны винтовым составляющим v и Н:
/0 - vz + arvv; I = HZ + агН9, A.13)
а также и то, что справедливы следующие выражения для соот-
соответствующих комбинаций компонент j0 и j:
§^ -|Ч; A. Н)
Здесь введены обозначения
r or p dr 'r* oGa r
4. Из первого уравнения A. 8) следует якобианное уравне-
уравнение
d(r, В) 0 (г, 6) " v '
5. Второе уравнение A. 8) дает еще одно якобианное равенство
д ftp, I) _д (%, /0) ,. ,~
<>(/¦, в) ~ й(/-, 0) * V- 10)
Из уравнений A. 16) и A. 15) вытекает соответственно, что
/„¦ф0 — /i|/ = А (?); /— — /oij;'= р5 (|). A-17)
Штрихом здесь и далее обозначена производная по ?; А и 5 —
произвольные функции, зависящие только от ?, или по терми-
терминологии, принятой в работе [9 I, — «поверхностные величины».
Разрешая уравнения A. 17) относительно /0 и /, получим
A- 18)
где
Sas_^ ф". A. 19)

6. Преобразуя поперечные компоненты второго уравнения
A. 18), приходим к системе
I 10 _] ! . ] = U —~ 4- (J / I. ^UI
а<У; \ S J OCjl OQl
где
I д А* й д В* 2аЛ
а частная производная по ? берется при постоянной плотности q.
Из уравнения A. 20) получаем
d(D, l) д@. q)
д(г, 6) д(г, 6) "
A.21)
Отсюда, так как Q = Q (q, s). следует, что д Q) — -щ д *r ^ .
т-т * Л ' ао
Переходя к переменным q и § от г и 0, получим уравнение -g- =
dQ
= -g?, интегрирование которого дает
где U' (I) — произвольная функция |. Функция t/ E) может быть
определена из уравнения A. 20), поскольку
^ ) A.23)
Интегрируя уравнение A. 23) и преобразуя выражения Л*г|H
и Д*г|) в формуле A. 20) к переменной ?,, окончательно получаем
s 1 л. гЬ'2 1 а Л2
АП + t (УБIИУП) ++
а В2 2аЛ а АВ% , у ' п
ш=: P- + U. A.25)
Соотношение A. 25) позволяет, в принципе, выразить q, кото-
которое входит также в уравнение A. 24), через | и ее частные произ-
производные по гиб 1см. уравнения A. 4) — A. 5)]. Таким образом,
исходная система уравнений для стационарного винтового тече-
течения идеально проводящей жидкости в магнитном поле сводится
к одному уравнению A. 24) для ?. Это уравнение нелинейное и со-
содержит шесть произвольных функций ?: ij)o, if», А, В, S и U
249

В задаче о винтовых волнах, которые могут распространяться в
первоначально круглом плазменном цилиндре, эти функции
определяются невозмущенными распределениями плотности q (г),
.скорости v (г) и магнитного поля В (г).
Полная система уравнений, описывающая стационарные тече-
течения идеально проводящей жидкости, обладающие винтовой сим-
симметрией, имеет вид *
s I ds
'2
Р д Я2 д
_ |
2 dl s ^ dl
V
2аЛ
Id A2
г))' /
"Ф1_аг/ "«
А
s
¦?/'=0;
у
(I)
Здесь s s= —• — а|/2; штрих означает полную производную по 5;
частная производная по | берется при фиксированном q;
"л ал р dr "т" г2 (Эе2*
Уравнения аксиально-симметричных течений (| = | (г, г))
получаются отсюда предельным переходом при а -> со. Таким
образом, мы получаем следующую систему:
s I ds ib'2 1 д Аг
д?
+ 2 +ф s '
АВ%
дг*'\Нг
= -
(И)
* Поскольку компоненты векторов v и Н выражаются через \ весьма симмет-
симметричными формулами, мы будем записывать, их для краткости в матричной форме.
250

Здесь, так же как и в общем случае (I), величины г|з0, о|з, А, В, S
и U являются произвольными функциями, зависящими только
от \, а оператор А* равен
1 д 1__д_ 1 &_
~Г~дГ~~д7'~7*~ дг*'
В важном частном случае, когда магнитное поле имеет лишь
одну Вф компоненту (ф' = 0), уравнения (II) дают *
W
Ф = -
о dz '
(II')
Яф = QrB,
где I = i|H.
Для плоской задачи, когда нет зависимости от продольной
координаты z, в обратном предельном случае а -> 0 получим
ds
1 д В2
дг
н,
А
s
+.?(¦:
аи»
где А — оператор Лапласа, ? = ? (г, ср). Легко написать соответ-
соответствующие уравнения также и в декартовой системе координат
? — !(*. г/), при этом в системе (III) изменятся только выраже-
выражения для поперечных компонент v и Н:
ду
Н
дх
За исключением § 6, мы ограничимся далее рассмотрением
волн лишь в случае несжимаемой жидкости, для которого все
* Член, содержащий г))' в знаменателе, как легко можно видеть из вывода
A. 24), в этом случае исчезает.
25 J

полученные выше уравнения существенно упрощаются. Крите-
Критерием применимости модели несжимаемой жидкости, как и в обыч-
обычной гидродинамике, является условие малости скорости по срав-
сравнению со скоростью звука.
Выпишем полную систему уравнений винтового течения для
того случая, когда жидкость можно рассматривать как несжи-
несжимаемую. В этом случае q = const и уравнение A. 24) содержит
только одну неизвестную функцию ?. Полагая плотность q равной
единице, W — р, S — const, и обозначая
А В АВ$'О
— ^а; —=Ь; U sjt — su,
получим согласно системе уравнений (I) уравнения винтового
течения в виде [10]:
±2 (us)' = 0; A. 26)
--q/2; A. 27)
) = -[у)-дГ' (L28)
Здесь i|H, г)з, a, b и и — функции 1, которые могут быть заданы
произвольно. Нормировка функции | может быть выбрана различ-
различным способом в зависимости от удобства решения той или иной
задачи. Можно, например, следуя В. Ткаличу, определить \ из
требования s = const, т. е. из уравнения
¦фо2 — V2 = s = const. A. 29)
При этом уравнение A. 26) существенно упрощается, и мы полу-
получаем
+ рбб'--^ + и' = о. A.30)
Однако в общем случае к уравнению A. 30) добавляется сложное
уравнение A. 29), и поэтому для решения ряда задач удобнее,
по-видимому, пользоваться непосредственно уравнением A. 26).
В частности ниже, при рассмотрении винтовых волн, мы будем
использовать другую связь \ с функциями тока о|з0 и т|). Член
¦р- as в уравнении A.26) характерен для собственно винтовой
симметрии; в обоих предельных случаях как аксиальной (а -> оо),
так и трансляционной симметрии (й -> 0), он исчезает.
252

В качестве частных случаев из уравнений A. 2§) — A. 30)
получаются:
1. Уравнение для винтовых равновесных магнитогидродинами-
ческих конфигураций [6, 7] (г|>0 = /„ = 0, откуда следует, что
s = —1, ? = г|э, а = I, 6 = 0, и = до)
д*,|,+ 1 ^_*? + jto = 0; A.31)
до = р + Ф.
2. Уравнение для винтовых течений обычной гидродинамики
для несжимаемой жидкости (г|з = / = 0, т. е. s = 1, 1 = г|з0.
а = /0) 6 = 0, м = —до)
1 d/g 2<z/0 dan
'o+'or'wS Ra w^T = ^» A.32)
В этих уравнениях функции до (г|)) и / (г|)) [или до (oj)o)
и /0 (гр0) ] могут быть заданы произвольно.
Из уравнений A. 28) следует, что величины квадратов скорости
и напряженности магнитного поля представляются в виде
A. 33)
Соответственно величина «полного давления» равна
р + ? + Ф = _^(УБ)«-$-ф-«в. A.34)
Соотношения A. 33) и A. 34) будут использованы ниже для вывода
граничных условий на свободной поверхности плазмы.
Отметим в заключение, что для вывода соотношений A. 26) —
A. 28) достаточно предположить что плотность q постоянна на
магнитных поверхностях г|) (г, Э) = const [10]. При этом v сле-
следует заменить на "|/qv, где v — скорость жидкости, ар —ее плот-
плотность. \
Приведем теперь для полноты уравнения для аксиально-
симметричных и плоских течений несжимаемой идеально прово-
проводящей жидкости [1—3], которые получаются из соотношений
A. 26) — A. 28) предельными переходами a -> оо и a -> 0.
253

А. Для аксиально-симметричных течений, когда нет зависи-
зависимости от азимута ф, из уравнений A. 26) — A. 28) получаем:
^ ^ + (us)' = 0; A. 35)
-3(и + г*Ь*); A.36)
\L(A?L ()-( *A3
нг)~ [v) dzi r\Hzj ) ;
где if0, -ф, a, b я и — произвольные функции, зависящие только
от ?, а оператор Д* равен A* s —d7~T17 + 7^a?-
Уравнения аксиально-симметричных магнитогидродинами-
ческих течений A. 35) — A. 37) можно рассматривать как обоб-
обобщение соответствующих уравнений для равновесных плазменных
конфигураций (v = 0) или для течений несжимаемой жидкости
без магнитного поля (Н = 0). Для этих случаев уравнение A. 35)
переходит в уравнения:
1. Для v = 0; w = р + Ф:
» Л . . 1 dl2 . dw Л ., оо.
А ^+2^df+lt==°- (L38)
2. Для Н =0; w = p + ^- + O:
1 dl2a dw
^ ° A39)
Величины /0 = rVy, I = гНщ и w являются произвольными
функциями от г|H или, соответственно, от i|). Для аксиально-сим-
аксиально-симметричной задачи ty определяется Лф компонентой векторного
потенциала г|з = Мф, и пропорциональна магнитному потоку,
проходящему через поперечное сечение магнитной поверхности
л|) = const. Аналогично а|H пропорциональна потоку жидкости
внутри поверхности -ф0 = const.
Б. Для плоской задачи, когда отсутствует зависимость от
продольной координаты z, из уравнений A. 26) — A. 28) при
а -> 0 находим:
A.41)
254

Как видно из соотношений A. 42), величины vz и Нг для пло-
плоского течения несжимаемой жидкости зависят только от ?.
Полученные выше соотношения позволяют рассмотреть воз-
возможные типы симметричных магнитогидродинамических течений.
Однако мы ограничимся далее лишь более специальной задачей,
а именно рассмотрением винтовых волн, которые могут распро-
распространяться в круглом плазменном цилиндре.
§ 2. Винтовые волны
Рассмотрим винтовые волны, распространяющиеся в круглом
плазменном цилиндре и вызывающие деформацию его первона-
первоначально цилиндрических магнитных поверхностей. Пусть в не-
невозмущенном состоянии цилиндр имеет заданное распределение
магнитного поля Вг = Вг (г), Бф = Бф (г) и скоростей vz =
= vz (г), 1)ф = иф (г) (плазменная струя) и удерживается внешним
магнитным полем, также имеющим компоненты Bze (r) и Вфе (г)
(рис. 2).
Рис 2.
Задача о распространении винтовых волн установившегося
вида в плазменном цилиндре со свободной границей г = R сво-
сводится к одному, вообще говоря, нелинейному уравнению для
функции \, которая должна удовлетворять нелинейному гранич-
граничному условию на его возмущенной поверхности ? = |2 = const,
вытекающему из баланса давлений. Мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением только установившихся волн, которые в движущейся со
скоростью V0 системе координат представляются стационар-
стационарными винтовыми течениями. Спецификой волн, отличающей их
от произвольных стационарных течений, является возможность
изменения амплитуды волн вплоть до нуля, или, точнее, наличие
невозмущенного состояния — цилиндрической струи. Математи-
Математически это означает, что уравнение, описывающее такие волны,
должно содержать также решение, соответствующее наличию
цилиндрических магнитных поверхностей и отвечающее отсут-
отсутствию волн.
1. В равновесном состоянии Н = Н (г) и v = v (r) величина
1 = 1 также должна быть функцией только г. Выберем ее равной
4- B-1)
255

При таком выборе функции ? (г) невозмущенные функции Тока я^о
и 1|з определяются уравнениями [см. уравнения A. 28)]:
^о = Л (r)rdr, d^ = J (r) rdr, B. 2)
где через Jo и J обозначены равновесные величины
/. = «>,—?; J = aHz-^. B.3)
Полагая в уравнении A. 26) \ = \ (г) и подставляя туда вели-
величину us, полученную из соотношения A. 27), получим следующее
уравнение для распределения равновесного давления внутри
плазменного цилиндра *
^)f (Я2Ф-4) = О. B.4)
Распределение полей в невозмущенном состоянии может быть за-
задано произвольно, при этом выражения для компонент плотности
тока определяются формулами
дН, 1 d и /о с\
/ф = --5Г; /* = —-5ГгЯф; <2*5)
аналогичные соотношения получаются и для компонент j0 = rot v.
2. Если вдоль плазменного цилиндра распространяется вин-
винтовая волна, то магнитное поле вне плазмы также получает неко-
некоторое винтовое возмущение. В системе координат, где движение
жидкости представляется стационарным течением, внешнее ма-
магнитное поле не зависит явно от времени и обладает винтовой
симметрией. Для описания этого поля удобно также воспользо-
воспользоваться функцией тока tye (r, 0), поскольку граничное условие
касательности Не на возмущенной поверхности плазмы записы-
записывается с ее помощью наиболее просто (%\х = const). Уравнение,
которому удовлетворяет функция tye (r, 0) для внешнего без-
безвихревого магнитного поля, можно получить из общих уравне-
уравнений A. 26)—A. 28), полагая в них | = i|>e, a v и р равными нулю.
Таким образом, получаем
ДЧ.--р-'« = 0; B.6)
Нге + агН9е = /,. B.7)
Здесь 1е является функцией только от i|v Вид этой функции опре-
определяется невозмущенным состоянием; в не
продольное поле Нг однородно, а азимут
откуда следует, что Ie = const. Полагая
е фу
деляется невозмущенным состоянием; в невозмущенном состоянии
Г)
продольное поле Нг однородно, а азимутальное Яфе = ЯфК —,
B.8)
* Здесь и далее считаем Ф = 0, т. е. силами неэлектромагнитного происхожде-
происхождения пренебрегаем.
256

получим, что % удовлетворяет однородному уравнению А*гре = О,
решения которого, периодические по <р, имеют вид i|)e =
= Д, (г) cos m0, где функция /е для /n-ой моды определяется
уравнением
Решения B. 9) выражаются через производные бесселевых функ-
функций мнимого аргумента: fe (г) = А/1'т (атг) + В/К'т (атг).
Таким образом, внешнее магнитное поле имеет винтовые ма-
магнитные поверхности tye (г, 0) = const, одну из которых можно
отождествить с возмущенной поверхностью плазменной струи.
Линейные волны распадаются на отдельные гармоники, с каждой
из которых можно сшить одну из гармоник внешнего поля tyme.
В случае же нелинейных волн для удовлетворения граничных
условий требуется, вообще говоря, набор гармоник.
3. При выводе уравнения для функции |, описывающей винто-
винтовые волны внутри плазменного цилиндра, мы используем далее
то обстоятельство, что г[>0 (Е), г|з (|), а (?), Ь (Е) и и (|) являются
поверхностными величинами, и вид этих функциональных зави-
зависимостей должен быть одинаковым для возмущенного и равно-
равновесного состояния.
Поскольку f = ~ , то используя инвариантность функций
г|H (|) и i|) (|), из соотношений B. 2) для равновесного состояния
найдем, что "ф„ (|) и г|з (|) определяются уравнениями
^o = /o|d|; Йя|) = /6Й|. B.10)
Индекс | внизу означает, что данная величина берется в равновес-
равновесном состоянии и вместо аргумента г в нее подставляется ]^2|.
Соответственно, для s (?) получаем выражение
s = J20% — Jl B.11)
Волновое уравнение для 1 получим из уравнения A. 26), исполь-
используя теперь то обстоятельство, что величина и является функцией
только от | и, следовательно, также может быть определена из
равновесного состояния. Полагая в уравнении A. 26) i = i = -н- >
определим (us)' (отмечая, аналогично предыдущему, индексом |
равновесные величины) и вычтем его из того же уравнения A. 26).
После некоторых несложных, но громоздких преобразований,
получим следующее уравнение для f = Е ^-:
| , rs' dl I 4аЧ 4а2а? , 2а\
1 s
17 Вопросы теории плазмы. Вып. 3 257

Здесь штрих означает производную по с, а через «t и Ьх обозна-
обозначены функции g, равные
oMhy—J~)%^ bx^[J^-J±i. B. 13)
Таким образом, вид уравнения B. 12) определяется равновесным
распределением магнитного поля К (г) и скоростей v (r) внутри
плазменного цилиндра. Полученное уравнение является линей-
линейным только в том случае, когда s n аг постоянны. Последнее реали-
реализуется, если иф ~ г, vz = const, Яф -~ г и Нг = const, т. е. для
цилиндра с однородным продольным током, вращающегося как
целое вокруг своей оси. В этом случае уравнение для | линейно
) B.14)
а его решения, периодические по ф, имеют вид
1 =/ (г) cos тв, B. 15)
где / (г) удовлетворяет уравнению
%)™0- B16)
в котором е = ——- =-- const. Решения B. 16) выражаются через
бесселевы функции:
/(/¦).-= eJm (xr) — xurJm (xr)\
Xs = е2 - а?/п2. B.17)
В рассматриваемом случае задача о волнах внутри плазменного
цилиндра решается до конца.
При произвольном равновесном распределении магнитного
поля и скоростей уравнение B. 12) является, вообще говоря,
нелинейным. Легко, однако, написать соответствующее линеари-
линеаризованное уравнение. При этом | считаем малой величиной и отбра-
отбрасываем в уравнении B. 12) квадратичные по | величины. Кроме
того, в s, ах и Ьг можно положить с~^= ~ и заменить произ-
производную -т~ — ----. Таким образом, мы получим линейное
уравнение для |, периодические решения которого также имеют
вид выражения B. 15), причем радиальные части / (г) удовлетво-
удовлетворяют уравнению
258

Коэффициенты этого уравнения являются известными функ-
функциями г, определяющимися равновесным распределением магнит-
магнитного поля и скоростей. Для случая покоящегося плазменного
цилиндра (уф = 0, vz = -^-\ уравнения, эквивалентные урав-
уравнению B. 18), были получены в работах [14, 15].
4. В общем случае функция ? должна удовлетворять нелиней-
нелинейному уравнению B. 12), условию конечности внутри плазменного
цилиндра и условию ? = const на возмущенной границе цилиндра.
Последнее условие обеспечивает касательность как скорости, так
и внутреннего магнитного поля на поверхности 2 идеально
проводящей плазмы. Кроме того, на этой поверхности должно
выполняться условие равенства давлений р + -у = —у . По-
Поскольку внешнее магнитное поле Не описывается функцией тока г|зв,
то г|)е также должна быть постоянной г|5в/2 = const на границе
плазмы с внешним полем и должна удовлетворять соответствую-
соответствующим граничным условиям на внешних проводниках или диэлектри-
диэлектриках, если таковые имеются, или же условию убывания при г -> оо,
если рассматривается плазменный шнур в свободном пространстве.
Согласно соотношениям A. 27)—A. 28) давление внутри и вне
плазмы выражается формулами
Н2 s ( 1 а2 }
Z Z [ р Р J
поэтому учитывая, что s и и являются функциями ? и, следова-
следовательно, постоянны на границе плазмы 2. запишем граничное
условие равенства давлений в виде
Преобразуем это соотношение, выразив \ и tye через возмущения |
и г|зе. В результате получим
+ {Т (V*f + Т * + "-L - const. B.20)
Здесь ах, Ьх и s — известные функции ?, определенные равен-
равенствами B. 11) и B. 13), /е = аНге —, где Hze = const
и Яф(, = —^ невозмущенные компоненты внешнего магнит-
магнитного поля.
17* 1526 259

Таким образом, на свободной границе плазмы с магнитным по-
полем должны выполняться три условия: ?2 = const, я|)е2 = const
и условие B. 20). Граничное условие B. 20) всегда нелинейно,
поэтому задача о волнах в плазменном шнуре со свободной гра-
границей может быть точно решена только численными методами.
Специфичным здесь является задание граничных условий на неиз-
неизвестной (искомой) границе. Для аналогичной задачи о стационар-
стационарных нелинейных волнах на плоской поверхности тяжелой жидко-
жидкости в обычной гидродинамике доказаны теоремы существова-
существования [11—13], однако эффективное решение даже этих более про-
простых задач получается только с помощью приближенных методов.
Граничные условия для | [удовлетворяющего уравне-
уравнению B. 12)] существенно упрощаются, если плазменный цилиндр
касается внутренней поверхности идеально проводящего полого
металлического цилиндра при г = R. В этом случае ? должно
удовлетворять только одному простому граничному условию
| д = 0, и задача о волнах в таком плазменном цилиндре может
быть решена точно, если уравнение B. 12) линейно [см. уравне-
уравнение B. 14)].
В случае малых колебаний линеаризованные граничные усло-
условия сводятся к одному условию для функции / (г), определяемой
уравнением B. 18). Действительно, линейные волны представ-
представляются суперпозицией гармоник вида
г2
I = -j- + /W cos rnQ;
4>е = "ге ~о " <Рег 'П Г ~Г 1е V) cos т®>
и можно рассматривать отдельно распространение каждой такой
гармоники. Граничные условия, согласно выражению B. 20),
можно записать в виде
?2 = const; %j, = const; sP.s + Pfi2 = const, B.22)
где Рг- и Ре с точностью до линейных по \ и i|)e членов равны
Ааг , 2 ^q, — ^ф \, ~.
B. 23)
' Р дг ^ \ Ps ^~ s ,* i S>
р _ HqRK 2rJe д^е
1 е ~ г* + р дг •
Граница 2 плазменного цилиндра с внешним магнитным полем
имеет уравнение
г = R + QiCos m9, B. 24)
260

ГДе фх = const, так Же как и |, является величиной первбгб
порядка малости. С учетом выписанных соотношений граничные
условия B. 22) в первом приближении дают
= 0; B 25)
Отсюда, исключая q1? окончательно получаем граничное условие
для функции / (г):
( г2 ,2\ Rf , ft Rfe ,а 2аг , vv~Hq> + И' д>е ] _ л /9 nf^
WO — •/ J— + Je-J^- + P I -p" И ^2 / ~~ ' ^-^b)
в котором все величины берутся на невозмущенной границе г = JR.
Уравнение B. 18) и граничное условие к нему B. 26), совместно
с условием / @) = 0, представляют собой полную систему уравне-
уравнений для определения фазовой скорости иф линейных винтовых
волн /0 = a (v°z + иф) — . Поскольку логарифмическая про-
производная fe (для внешнего поля) является известной функцией г,
то условие B. 26) представляет собой линейное краевое условие
типа Штурма—Лиувилля, связывающее значение функции / (R)
и ее производной /' (R).
5. Все полученные выше соотношения легко обобщить на слу-
случай, когда плазменный шнур находится в атмосфере нейтрального
газа с давлением ре. Рассматривая внешнюю среду как несжимае-
несжимаемую (для скоростей много меньших, чем скорость звука), мы можем
полностью использовать развитую выше технику расчета, выбрав
функцию тока для внешнего газа также в виде ?0 = -^—Ь ^0-
Опуская вычисления, аналогичные проделанным выше, приведем
лишь линеаризованное уравнение для 10 = /0 (г)-cos mQ и гра-
граничное условие, заменяющее B. 26) для плазменного шнура при
учете внешнего давления:
B-27)
i о j 2 ai — ^o ev<p/R _j_ "ф ~ "фе ~ Нч> + " <pe 1 _ q ^ 28)
«2
261

Здесь Joe = a (v°ze + v0) у-; vze (г) и уф(, (г) — продольная
и азимутальная невозмущенные скорости внешнего газа, и все
величины в уравнении B. 28) берутся на границе г = R.
% 3. Об устойчивости цилиндрической плазменной
струи в магнитном поле
Рассмотрим некоторые применения полученных выше уравне-
уравнений для исследования устойчивости стационарных плазменных
конфигураций. В линейном приближении уравнения, описываю-
описывающие винтовые волны в круглом плазменном цилиндре, находя-
находящемся во внешнем магнитном поле, имеют вид
, / Л, 4а*га?
Граничное условие при г = R представляет собой дисперсионное
уравнение для определения фазовой скорости v<p— ~y отдельных
гармоник -~ехр i (kz — mq> — со^) винтовых волн:
Здесь s = Ро - Р; га, = Jov^ - /Яф;
7Г
; / аЯ;
P = l+aV; a = ^; v(r) и В (г) =/4яе Н (г) -
— скорость и напряженность магнитного поля, а индекс е пока-
показывает, что данная величина относится к магнитному полю вне
плазменного шнура.
1. Рассмотрим прежде всего плазменный шнур с однородным
током, вращающийся как целое вокруг своей оси (Яф, иф — г;
Hz, vz = const). В этом случае уравнение C. 1) имеет решение:-
где х2 = е2 — /г2; е = -?^L = const.
' ms
а. Если шнур оторван от стенки, то дисперсионное уравне-
уравнение C. 3) представляется в виде
i
, ,2 am*Fe (R) a / 2 H2 i нМ — О И
/?/'(/?) ~^" ф ~ ~~
262

Здесь fe = rF'e, где функция Fe (r) — удовлетворяет уравнению
Бесселя и при наличии идеально проводящего кожуха при г =
= Rk, равна
Fe (г) = К'т (kRk) In (kr) - Im (kRk) Кт {kr). C. 5)
Ограничиваясь случаем длинноволновых колебаний (kR <^ 1;
eR <^ 1), получим следующее выражение для фазовой скорости Уф:
киф = (m—l)v(S>±
(ll)tl-"^A. C.6)
Мы положили здесь R = 1. Из полученного равенства следует, что
при т = 1 величины Яф и иф из дисперсионного уравнения выпа-
выпадают. Следовательно, как однородный ток [16], так и вращение
не влияют на критерий устойчивости по отношению к длинновол-
длинноволновому извиванию шнура т = 1. Условием устойчивости является
требование положительности подкоренного выражения в уравне-
уравнении C. 6).
Для плазменного шнура без кожуха (Rk -> оо) критерий устой-
устойчивости можно представить в виде
АA+е?)
V
+ е?)а§ + те? [1 -(т- 1)а?] -
(т— l)(af — гац/пв! + т) ' l ;
где введены обозначения aL = Яф/Яфе, ех = Hze/Hz и а2 = vJH^.
Для случая покоящегося цилиндра (иф = 0) критерий C. 7) полу-
получен В. Д. Шафрановым [16]. Выражение C. 7) позволяет видеть,
что вращение цилиндра только наращивает величину продоль-
продольного поля Нг, необходимую для стабилизации, и следовательно,
способствует неустойчивости. В следующем пункте мы покажем,
что в случае, когда шнур касается кожуха (при г = R), происхо-
происходит обратное, т. е. вращение цилиндра является необходимым
условием его устойчивости. Отметим еще, что для покоящегося
цилиндра (уф = 0) без поверхностных токов (Нг = Hze, Яф =
= Яфе), из выражения C. 7) следует условие устойчивости
тНп,
H> <38>
или J (R) > 0. Нетрудно убедиться, что это условие справедливо
независимо от значения Fe (r), т. е. от наличия или отсутствия
кожуха. Кроме того, ниже будет показано, что J (R) = 0 является
границей области устойчивости также и в случае произвольного
распределения токов внутри плазменного .цилиндра, . . . .

б. Задача о стационарных волнах в плазменном цилиндре,
касающемся идеально проводящей стенки при г = R, решается
точно, так как в рассматриваемом случае однородного тока и одно-
однородного вращения линейное уравнение C. 1) не является прибли-
приближенным и граничное условие / (R) = 0 также может быть удов-
удовлетворено точно.
Используя приведенное в предыдущем пункте выражение
для / (г), запишем условие / (R) = 0 в виде
т Vk*R* + х* Jm (х) + kRxJm+1 (x) = 0. C. 9)
Обозначим корни уравнения C. 9) через (х„ [в случае длинных
волн (kR<^l), например, \in являются корнями бесселевой функ-
функции Jm (х)]. Полагая х = xR = \хп, получим для /0 выражение
i!/y._^*/ + (i5LJ. C.10)
Отсюда следует, что для невращающегося цилиндра (уф = 0)
условие устойчивости имеет вид J > . Для длинноволновых
колебаний (kR <С 1) оно близко к условию У >¦ 0, т. е. к критерию
устойчивости для случая оторванного от стенки шнура при непре-
непрерывности полей Hz и #ф на его поверхности.
В случае вращающегося плазменного цилиндра (иф Ф 0), рас-
рассматривая подкоренное выражение в формуле C. 10), как квадра-
квадратичную форму от /, получим условие ее положительной опреде-
определенности v\ > #ф. С другой стороны, условием возможности
спадающего по радиусу давления р' (г) <С 0 согласно уравне-
уравнению B. 4) является v\ <i 2H\. Таким образом, существует интер-
интервал скоростей вращения
В%<4 Qvl<2Bl, C.11)
при которых плазменный шнур с параболическим распределением
давления, обращающегося в нуль на стенке г — R, устойчив
относительно произвольных винтовых возмущений.
2. Представляет интерес получение локальных критериев
устойчивости, не зависящих от граничных условий. Если при не-
некотором распределении внутреннего магнитного поля и скоростей
удается построить локальное решение уравнения C. 1) при фазо-
фазовой скорости уф, содержащей мнимую часть, то такое распределе-
распределение неустойчиво. Фазовая скорость входит в уравнении C. 1)
только в /0, и следовательно, необходимым условием устойчивости
является отсутствие решений уравнения C. 1) с комплексными /0.
а. Ограничимся случаем v || H и рассмотрим окрестность
точки г = rs, где / (г) = 0, т. е. возмущение направлено вдоль
некоторой внутренней винтовой силовой линии Н. Предположим,
что в точке rs величина Д (г) < 0 и достаточно мала по абсолютной
264

величине, a/n» 1. Разлагая уравнение C. 1) в окрестности г
= rs, придем к уравнению
е N М )
где
F =
у2 - j'o2J '
При действительной переменной Z, = х условием существования
локальных решений уравнения C. 12) является М > 1/4 [17].
Локальное решение на действительной оси ? = х можно анали-
аналитически продолжить и в комплексную плоскость ? = я + »/• Сле-
довательно, для ? = л; + t-p- также существуют локальные реше-
ния, если | /о <!| •/' |, т. е. если параллельный сдвиг оси х меньше
расстояния до особых точек уравнения C. 12), расположенных
при у = ±i. Последнее условие эквивалентно требованию v2 <C
< Н2. В развернутой форме необходимое условие устойчивости
М <С~г- имеет вид
Здесь ц = —?- и при выводе учтено условие равновесия B. 4).
Критерий C. 13) является обобщением критерия устойчивости
в2
Сайдема [18] на случай отличных от нуля скоростей v2 <"^~
параллельных магнитному полю. При Вф ~ г он переходит в по-
полученное выше условие v\ < В\1Ащ.
б. Для частного случая аксиально-симметричных колебаний
(т = 0) вращающегося плазменного цилиндра без продольного
магнитного поля (Bz = 0), к которому предыдущее рассмотрение
неприменимо, уравнение C. 1) дает (v0 = ~\:
])-°- (ЗЛ4)
265

Из общей теории Штурма—Лиувилля [22 ] следует, что необхо-
необходимым и достаточным условием существования собственных зна-
значений со2 > 0 для краевой задачи / @) = / (R) = 0 является
положительность выражения в квадратных скобках уравне-
уравнения C. 14). Отсюда получаем следующее условие устойчивости:
4 (Q>X)'—т4(Яф/'л)';>0, C.15)
которое при Бф = 0 переходит в известный критерий устойчивости
Релея, а при Йф ~ г и ^ ~ /¦ — в условие v2 > 0, которое может
быть получено и из конкретного решения соответствующей задачи
(для т = 0, Вг = 0). Критерий C. 15), так же как и C. 14),
определяется внутренними параметрами и не. зависит от гранич-
граничных условий на поверхности плазменного цилиндра. Он может
быть получен и на основе анализа баланса сил [19], действующих
на выделенный элемент объема плазмы.
3. Из граничного условия C. 3) в случае непрерывности полей
на свободной поверхности плазмы (т. е. при отсутствии поверх-
у TJ LJ
ностных токов) следует, что J (R) =* — /Г--= 0 представ-
представляет собой границу области устойчивости. Действительно, пусть J
и иф достаточно малы, тогда, пренебрегая в уравнении C. 3) их
квадратами и полагая Яф = Яфг и Нг = Нге, получим
Величина Уо, а следовательно, и фазовая скорость иф получают
мнимую часть, когда J переходит через нуль. Таким образом, при
C.17)
возникает неустойчивость которая развивается на поверхности
плазменного цилиндра при к || В. Этот результат не зависит от
распределения внутреннего магнитного поля, а следовательно,
и от выполнения критерия Сайдема. В рассматриваемом случае,
когда отсутствуют поверхностные токи, винтовые силовые линии
внутреннего и внешнего магнитных полей не перекрещиваются
на границе плазменного цилиндра, и плазма имеет возможность
просачиваться наружу, раздвигая силовые линии магнитного
поля *. В § 5 путем учета нелинейных членов будет показано,
что плазма действительно образует «узкие» языки, направленные
вдоль винтовых силовых линий на поверхности плазменного
цилиндра.
* Из соотношения B. 28) следует, что такая «поверхностная» неустойчивость
возникает также и при наличии внешнего нейтрального газа.

§ 4. Нелинейные длинноволновые
аксиально-симметричные колебания
плазменного цилиндра
В настоящем параграфе рассматриваются аксиально-симметрич-
аксиально-симметричные волны в плазменном цилиндре, расположенном внутри коак-
коаксиального с ним идеально проводящего кожуха (рис. 3). Предпо-
Предполагается, что длина волны велика по сравнению с радиусом ко-
кожуха, в то время как амплитуда колебаний поверхности плазмен-
плазменного цилиндра может быть и не малой по сравнению с его радиусом.
Пусть в невозмущенном состоянии плазменный цилиндр по-
покоится, а внутреннее (Вг) и внешнее (Вге) магнитные поля —
Рис. 3.
однородны, и имеется продольный поверхностный ток, который
вне плазменного цилиндра создает азимутальное магнитное поле
Бфа —. В рассматриваемом случае функции тока я|з0 (г, 2) для поля
скоростей и tye {r, z) для внешнего магнитного поля (в системе
координат, движущейся вместе с волной) удовлетворяют линей-
линейному уравнению
дг г дг ~*~ дгг ~ ' \ ¦ )
причем v и Не выражаются через г|H и tye посредством соотношений
гиг - дг . rVr - — дг ,
гЯг = -^; гНг = ~^, D.2)
г дг г дг у '
а внутреннее магнитное поле описывается функцией г|>г, пропор-
пропорциональной a|v Нетрудно убедиться, что в случае однородного
(невозмущенного) магнитного поля соответствующие стационар-
стационарные течения являются безвихревыми и бестоковыми (rot v =
= rot H = 0).
Для приближенного определения а|э будем считать, что г)) =
= г|) (г, гг), где е — малый параметр, и решение уравнения D. .1.)
будем искать в виде ряда по е. Оказывается, что этот ряд содержит
Ж

только четные степени е. Методом последовательных приближе-
приближений, удерживая члены порядка е2 включительно, находим я|) =
= г|з(°> + М1) + ¦ ¦ ¦. где
D-3)
a ft = ft (z) — произвольные функции z.
Для определения линий тока жидкости (или магнитных сило-
силовых линий внутреннего поля) разложение D. 3) должно быть
справедливым в области, включающей ось z. При этом/х = f3 = О
из условия конечности при г = О, кроме того, положим /2 = О,
чтобы скорость на оси г полностью описывалась функцией /.
Отсюда
%(r, z) = fo(z)r*-U(z)~+---, D.4)
где /0 (г) =Ц- г=й.
Для определения магнитных поверхностей внешнего поля не-
необходимо потребовать, чтобы цилиндр г = 1 * также был магнит-
магнитной поверхностью, т. е. Hr\r=i = 0. Тогда /х = —/и/2 = 72/" —
из условия, что поле при г = 1 описывается только функцией /,
а/з = 1IJ" — из граничного условия при г = 1, и следовательно,
получаем
Уравнения ty (r, z) = const являются уравнениями аксиально-
симметричных магнитных поверхностей с осевой силовой линией
г = 0 в первом-случае D. 4) и с цилиндрической магнитной по-
поверхностью г = 1 во втором случае D. 5), с точностью до чле-
членов ~е2 включительно. Они содержат произвольные функции/0 (г)
и fe (г), определяемые распределением продольного поля соот-
соответственно при г = 0 и г = 1.
Пусть искомая поверхность плазменного цилиндра в движу-
движущейся вместе с волной системе координат определяется уравне-
уравнением г = г (z). Тогда согласно разложениям D. 4) и D. 5) в нуле-
нулевом приближении /о (z) = -%- и fe (г) = ^2 _ , где г|зр = const
* Радиус кожуха принимаем за единицу.
268

и tye = const — значения i[>0 (r, z) и % (г, z) на поверхности г =
= г (г). Подставляя эти выражения в уравнения D. 4) и D. 5),
найдем в следующем приближении
2r2 In/-2 — (r*~ 1)
8 (r2 - 1)
Определим теперь квадраты скорости и внешнего магнитного
поля, выразив их также через г (г). С принятой точностью (с уче-
учетом внешнего азимутального поля) получим
D.7)
-^« ' A - Г2L
2 A - гУ + A -f 3/-') [2 In г» + A - ^ C-- а2)] ,8
Дифференциальное уравнение для границы г = г (z) плазмен-
плазменного цилиндра с внешним магнитным полем получается из условия
баланса давлений на этой границе: v2 — Н\ + Н2е = Р = const.
Подставив в его левую часть выражения D. 7) и D. 8), приходим
к дифференциальному уравнению второго порядка для г (z). Это
уравнение имеет интегрирующий множитель гг'. Обозначая че-
через а значение г в экстремуме г (г) и выражая постоянную Р через
вторую производную га в точке г = а, путем однократного ин-
интегрирования получаем
2 _ 2 , 2 4 2 In г2 + С —/-2)C —г2)
2 (г2 — а2J I , „ , „ , , о4/-2
|Н-о Т« ^A_о2J(,_г2)
| _ а2 — а2 In r2/a2 , V1''2 Г 2
(г2 — а2J "•" 2 (^ — а2) |_^0
В полученном уравнении D. 9) для профиля волны постоянные o|H,
¦ф,- и г|5е определяют потоки жидкости внутреннего и внешнего
магнитных полей, а величина г^ характеризует кривизну профиля
в экстремуме г = а. Нетрудно убедиться, что ограниченнбш реше-
решения этого уравнения либо периодические, либо имеют вид уеди-
уединенной волны, т. е. одиночного горба или впадины.
269

Для получения уравнения, описывающего уединенную волну
(рис. 4), потребуем, чтобы радиус г = а достигался при г = ±со,
где га = га = 0. При этом, согласно разложениям D. 4) и D. 5),
i|H, i|>(- и i|)e выражаются через значения невозмущенных величин
скорости и магнитных полей (при z = ±оо, г = а):
„2 1
I rr U I / А 1 Г\\
% = Нге—^-. D. 10)
а'
а*
Т
Рис. 4.
Величина vz является фазовой скоростью волны. Уравнение для
профиля уединенной волны получается в виде
r*\v-, — .
л A-а2J
-г2)C —л2)
2(/-.а2);
A-г2)^
.2 /-3
H
Я
2 л2-а2— а2 In j
фа
D.11)
Фазовую скорость как периодических, так и уединенных волн
можно определить, приравнивая нулю правые части уравне-
уравнений D. 9) и D. 11) в точке второго экстремума решения, г = гт
(отличного от г = а). Эта скорость зависит от величин обоих экс-
экстремумов а и гт и от кривизны профиля волны г"а в экстремуме
г = а. Величины я|>0, г|^ и г|зе для периодических волн выражаются
через фазовую скорость vz и невозмущенные поля Нг1 и Нге теми же
формулами D. 10), что и для уединенной волны, если вместо а
подставить невозмущенный радиус цилиндра R. Однако при задан-
заданных величинах экстремумов а и гт величина R. остается неопреде-
неопределенной, и в этом смысле существует трудность в определении фа:
270

зовой скорости * и невбзмущенных магнитных полей. Поэтому при
рассмотрении периодических волн целесообразно оперировать не-
непосредственно с потоками ij)o, i|5,-, tyc, которые являются однозначно
определенными величинами. Мы ограничимся далее для простоты
рассмотрением лишь уединенных волн. Фазовая скорость их опре-
определяется выражением
„а
1—С
*-« T
При заданных магнитных полях v2z зависит от радиуса плазмен-
плазменного цилиндра а и от величины экстремума гт. Область существо-
существования стационарных волн имеет гра-
границу t>2 = о, за которой действи- гт~3
тельных уг не существует. Из выра-
выражения D. 12) следует, что при до-
достаточно больших амплитудах воз-
возмущения всегда может быть достиг-
достигнута граница области устойчивости
Исследование уравнения D.11)
показывает, что помимо границы,
определяемой обращением в нуль
фазовой скорости vz, имеются еще
границы области существования ре-
решения, связанные с заострениями
гребней или впадин волн. На рис. 5
изображена область существования
уединенных волн для случая Нг[ = О
и Яфа^О- Наклонные прямые пред-
представляют собой ось г = 0 и кожух
г = 1, при приближении к которым -1,0
горба или впадины волны они «за-
«заостряются», в чем нетрудно убедить-
убедиться, вычислив вторую производную г (z) в точке гт. Очевидно,
что угол при вершине волны образоваться не может, и получен-
полученный результат указывает только на соответствующую тенденцию,
так как используемое приближение предполагает гладкость
профиля волны. Кроме того, на рис. 5 показана граница обла-
области существования волн, которая определяется уравнением
A1\г = - A ^2 чз I2 In /? + A - rl) C - r2m)], D.13)
при приближении к которой волны также заостряются. Кривая
г2т — о? пересекает ось абсцисс в точке a2 c=l 0,42. Если радиус
* Аналогичная трудность возникает и в обычной гидродинамике [8], при
построении теории так называемых кноидальных волн.
271
Рис. 5.

плазменного цилиндра меньше 0,65 радиуса кожуха, to может
распространяться только перетяжка, если жей> 0,65, то может
распространяться только вздутие. В окрестности а ~ 0,65 за-
заостряются волны даже малой амплитуды, причем заостряется
либо горб, либо впадина, в зависимости от того, а > 0,65 или
а <С 0,65. При наличии продольного тока (Яфа =j= 0) критический
радиус плазменного цилиндра увеличивается [21].
Заострение волн малой амплитуды для магнитогидродинамиче-
ских поверхностных волн является характерным явлением, не
имеющим аналога в обычной гидродинамике. Как отмечалось выше,
заострение волн наблюдается также при возникновении «поверх-
«поверхностной» неустойчивости плазменного шнура в отсутствие поверх-
поверхностных токов. В следующем параграфе мы рассмотрим нелиней-
нелинейные винтовые волны, причем методом расчета будет разложение
по малой амплитуде волны. Однако оба метода исследования (как
примененный в этом параграфе, так и метод разложения по ампли-
амплитуде) позволяют лишь выявить положение заострений волн, но
не дают возможности их детально проанализировать.
§ 5. Нелинейные винтовые волны
Рассмотрим теперь влияние конечности амплитуды для случая
винтовых волн, распространяющихся в плазменном цилиндре
со свободной поверхностью. Будем считать, что основной гармо-
гармоникой является /л-ая гармоника, которая имеет первый порядок
малости, 2т-ая гармоника имеет второй порядок малости и т. д.
Для нахождения поправки к фазовой скорости, определяющей
влияние нелинейности на устойчивость, необходимо вести вы-
вычисления с точностью до третьего приближения. Мы ограничимся
сначала учетом лишь членов второго порядка малости, что позво-
позволит определить положение заострений профиля волны, а затем,
ограничиваясь частным случаем скинированного плазменного ци-
цилиндра, определим поправку к фазовой скорости линейного при-
приближения.
1. В общем случае равновесного распределения скоростей v (r)
и магнитного поля В (г) функции тока | и tye должны удовлетво-
удовлетворять уравнениям B. 12) и B. 6). Представим | (г, 0) и \ре (г, 0)
в виде сумм гармоник
г2
% = -$- + fm(r) cos m0 + f2m (r) cos 2mQ + ...;
E. 1)
% = foe (Г) + fme (r) COS /лб + f2me (r) COS 2тв + . . . ,
где fm и fme — величины ~е, а f2m и f2me ~ е2. Граничные усло-
условия для | и 1|зе имеют вид
Is = const; i|)e2 = const; sPi2, -f Pe% = const E. 2)
272

И должны удовлетворяться на границе 2 плазменного цилиндра
с внешним магнитным полем. Уравнение этой границы представим
в виде
г = R 4- Qi cos tn% 4- q2 cos 2mQ 4- • • •, E.3)
где соответственно qx ~ е, q2 ~ e2 и т. д. Величина s ~ s (?,)
постоянна на поверхности Е, а Р,- и Р, равны
Р,=
Hi
1г
дг
E.4)
Здесь не выписаны члены —Щ, ip| и более высоких порядков ма-
' ' Act
лости, a fOe к N соответственно равны foe = rje(r); N = —jr- +
2 v2 — Я2
Ч —г1—- > где й] hs определены в § 2.
С точностью до членов порядка q? включительно на гра-
границе E. 3) имеем следующие выражения для величин, входящих
в граничные условия E. 2):
Ь =
+ /m)cos/n0
X cos2mQ +
+ fme) COS mQ +
X cos 2m9 +
2Hi
2/,
/2m + a2) X
X
E.5)
cos2m9 4-
/
Здесь все величины берутся при г = R; сс2, а2е, р2 и Р2е являются
величинами второго порядка малости и не содержат характеристик
второй гармоники. Для определения положения заострений волн
конкретные выражения для этих величин нам не понадобятся.
18 Вопросы теории плазмы. Вып. 3
273

Подставляя выражения E. 5) в граничные условия E. 2)
получаем:
1. В первом приближении:
fm = 0; f'OeQl + fme = 0;
E.6)
Исключая
ных волн
находим дисперсионное соотношение для линей-
линейI
= 0, E. 7)
которое было получено также в § 2.
2. Во втором приближении:
#Q2 + /а» + а2 = 0; Г0еЯ2
«ге = 0;
2R
2/о
= 0.
E.8)
Отсюда для амплитуды второй гармоники волны на поверхности
цилиндра получаем
e2 = 7jr> E-9)
где
2R hm
Р hm
ЛМ а,
о 2JeR hme
Рге R f ^2
X
lime
u2
px
E. 10)
E.11)
Обращение D в нуль и определяет положение заострений волн
на поверхности плазмы. Величина, стоящая в фигурных скобках
выражения E. 11), отличается от левой части дисперсионного
уравнения линейных волн E. 7) только заменой логарифмических
производных ~р~ и —- на -^- и -~^-. Следовательно, для
1т /те /гт 1гте
«среды без дисперсии», когда эти логарифмические производ-
производные совпадают, или, если дисперсионное уравнение удовлетво-
удовлетворяется при произвольных fm и fme, как, например, в случае
274

I т k , .
возникновения «поверхностной» неустойчивости I J ¦=— //_,—
^- = 0) при непрерывности полей Н, и Яф на границе (см. § 3),
величина D обращается в нуль. Таким образом, развитие «поверх-
«поверхностной» неустойчивости связано в общем случае с заострением
волн на поверхности цилиндра. Если Г и D имеют одинаковые
знаки, то заостряются.гребни волн; при различных знаках Г и D
заостряются впадины волн. На конкретном примере волн в плаз-
плазменном цилиндре с однородным током можно убедиться, что в слу-
случае «поверхностной» неустойчивости заостряются именно гребни,,
так что плазма как бы вытекает узкими языками, ориентирован-
ориентированными вдоль магнитных силовых линий на поверхности плазмен-
плазменного цилиндра. Последнее (в случае отсутствия поверхностных
токов) справедливо и для основной моды винтовых волн m 1.
В случае приближения к границе области устойчивости, опреде-
ляемой критерием Крускала—Шафранова В2 =-- -J-, на плазмен-
ном шнуре появляются два языка с противоположных его сторон.
Наличие «заострений» делает неприменимым используемый
здесь метод расчета и не позволяет исследовать влияние нелиней-
нелинейности на развитие «поверхностной» неустойчивости. Поэтому мы
рассмотрим далее лишь случай скинированного плазменного ци-
цилиндра с продольным поверхностным током.
II. Рассмотрим плазменный цилиндр, имеющий в равновесном
состоянии однородное продольное поле Вг, продольный поверх-
ностный ток, создающий вне плазмы поле BvR — и азимутальный
поверхностный ток, определяющий скачок продольного магнит-
магнитного поля. В этом случае, как показано в § 2, уравнения для функ-
функций тока являются линейными, и трудность решения задачи о не-
нелинейных волнах связана только с удовлетворением нелинейному
граничному условию, вытекающему и*з баланса давлений на сво-
свободной границе плазмы с внешним магнитным полем.
Уравнения последовательных приближений получаются ана-
аналогично тому, как это сделано в предыдущем пункте, если считать,
что основная га-ая гармоника имеет первый порядок малости,
2/п-ая гармоника имеет второй порядок малости, Зт-ая — тре-
третий и т. д. При этом, как легко убедиться, выражения для 3/и-ой
гармоники можно не учитывать, но в выражениях для m-ой и
2т-ой гармоник E. 5) следует учесть члены до третьего порядка
малости включительно.
1. В первом приближении для рассматриваемого случая по-
получим:
R f' PF'
/oQi—^"- = 0; /;3l ^ = 0; E.12)
18- 275

Здесь f. = aRH2i; f'e = aRHze — Яфе; ?, = arvz; vz — фазовая
k 2jt
скорость волны; а = —; k = —г- ; % — длина волны; tm —
= ^ ; ^ = "^И^Г ; f«(r) и F™ W - ФУНКЦИИ Бесселя, ч?-
рез которые выражаются решения внутренней и внешней задач,,
соответственно равные
Fm = AmIm (kr); Fme = Лт, [Кт (kRk) Im (kr) -
-I'n(kRk)Kn{kr)}, E.14>
где /?ft — радиус идеально проводящего кожуха.
Соотношение E. 13) представляет собой дисперсионное урав-
уравнение, определяющее в линейном приближении фазовую скорость
vz = ~ распространения m-ой гармоники винтовой волны.
2. Во втором приближении получаем:
/оС8—^гЧ-аа = 0; /;Qs_^!L-batt = 0; E.15)
RH2
DQi = Г; D = —^- + tinef? -4- /2m (/;2 - /;2); E. 16)
р _ f n f' (*т.а2 /с'2 ?[24 ,
'0
Соотношения E. 16) и E. 17) определяют амплитуду q2 второй
гармоники волны на поверхности плазменного цилиндра г — R
(в дальнейших формулах положим R = 1). Входящие сюда вели-
величины а2с, Р2е, а2 и р2 равны
1% + -т-!!!Чг-у*ъ
2 2 72
„/2
E. 18)
«4= D—^)&>?: Р,= --i + ^K/W E-19)
Исключая из выражения E. 16) фазовую скорость линейных волн
с помощью дисперсионного соотношения E. 13), получим следую-
следующее выражение для величины D, обращение которой в нуль опре-
определяет положение заострений профиля волны на поверхности:
t,nD = (tj2me - tmet2m) f? - -^ DtIm - tm). E.20)
276

3. Уравнения третьего приближения, которые получаются при-
приравниванием нулю коэффициентов при cos m0 в граничных усло-
условиях E. 2) при учете величин третьего порядка малости по qu
имеют вид
2Hle + 2m2tmef'2 + 2m2tm (f'o2 - f?)} Ql ^
f'2 _ f'2
= - 2m2tmef'ea3e + p3e + -^r- {- 2m2tmf'«a3 + p3) • E. 22)
'o
Последнее уравнение позволяет найти поправку к фазовой ско-
скорости линейных волн. Полагая v\= v\n + Аи|, где иг ч — фазо-
фазовая скорость линейных волн, определяемая уравнением E. 13),
получим, что левая часть уравнения E. 22) равна a2tmAv2zq1.
В результате преобразований правой части уравнения E. 22)
придем к следующему выражению для поправки к квадрату фазо-
фазовой скорости Ли2,:
] »/ ^2 I т те 19. Ъ\
" °hmea2e Н g— \Р ~~ 6>
Qt el
2m 9 2 j
-2Hje(\ — tme). E.23)
Здесь a2 = -vV» a2e = -j^t - гДе a2 и аге определяются фор-
/oQi 'eQi
p
мулами E. 18) и E. 19); q2 = -^, где ГиО определены выраже-
выражениями E. 16) и E. 17), а величины f'o, f. и /^связаны дисперсионным
уравнением первого приближения E. 13).
Выражение E. 23) показывает, что Аи2, вообще говоря, про-
пропорциональна квадрату амплитуды основной (m-ой) гармоники qx,
но обращается в бесконечность при D ->¦ 0, т. е. при таких значе-
значениях параметров, когда происходит заострение волн на поверх-
поверхности плазменного шнура.
Рассмотрим некоторые частные случаи:
А. Азимутальные волны. Случай азимутальных волн, т. е.
волн, бегущих по азимуту <р вокруг плазменного цилиндра (рис. 6),
получается из общего случая винтовых волн предельным перехо-
переходом a -> 0, avz -> со, где со — угловая скорость движения гребней
азимутальной волны. При получении соответствующих выражений
1526 277

для азимутальных волн в предыдущих формулах следует поло-
положить f'e = —Hve; f't = 0. При этом
I I уь
E.24)
m ' '"" m xlm—\ ' V R /'
а дисперсионное уравнение линейного приближения принимает вид
(О'
2 ^
E. 25)
"ВТ"
Т.:'.-.\^:.\:-::.:::У::1:':':-:--::
V. .•.•.¦•'.¦'.¦.'.•: : : ¦¦ ¦.".
)': ;-:• ¦¦.•¦•.;¦.;:•'.•.•¦:.-':
:¦'. ..¦: ¦.-¦.'. :'¦:¦*;'.
\\:i ::-/-::::А
й.-.у и z
Рис. 6.
Поправка к квадрату угловой скорости со определяется выра-
выражением
i)
8/ла те) "»"
E.26)
где -д- = Q2 — амплитуда второй Bт-ой) гармоники волны на
поверхности
D =
г
ea2e H g^l" К2г( "Ч
a величины
m -
P2 = -
2mH
mHl,
E. 27)
E.28)
E.29)
278

а. Б случае плазменного шнура без кОжуха ime = ,
и дисперсионное уравнение линейных волн дает
<о»= (l_-L)#2e, E.30)
т. е. существует безразличное равновесие относительно смещения
шнура как целого (т = 1) в поперечном направлении и устойчивое
равновесие относительно азимутальных волн сш>1. Поправка
к со2 согласно выражению E. 26) оказывается равной
Н2
Аи* = "EL \2т (т — 2J + Зт - 4} (от— 1) Q2. E. 31)
При тп = 1 эта поправка обращается в нуль, так что, как и следо-
следовало ожидать, и в нелинейном приближении шнур находится
в безразличном равновесии относительно поперечных смещений.
За исключением моды m — 1, поправка к со2 оказывается отрица-
отрицательной для любого т, и следовательно, имеется тенденция к раз-
развитию неустойчивости на азимутальных волнах.
б. Если плазменный шнур находится внутри идеально прово-
проводящего кожуха, расположенного при г = Rk, то уравнение
первого приближения для ш2 имеет вид
И2 /«, 1 \ . 2m I „, | ,
о гае [ttl — I) X -4-/72 + 1 /г <лг>\
ю — —^ S^— — • E- ^2).
В этом случае шнур устойчив относительно азимутальных волн
с любым т, включая m = 1. Величина
/72 „4т
Она обращается в нуль, когда R ~ RKp, где RKp =
= Bm + |/2/n2 + l) 2m#?- Следовательно, при таком радиусе
плазменного цилиндра происходит «заострение» азимутальных по-
поверхностных волн. Ограничиваясь случаем d = Rk — R^R,
для Асо2 имеем:
^1 E.34)
Полученная, величина положительна, и следовательно, идеально
проводящий кожух, достаточно близко расположенный к плазмен-
плазменному цилиндру, стабилизирует нелинейные азимутальные ко-
колебания.
Б. Аксиально-симметричные волны. Случай аксиально-сим-
аксиально-симметричных волн получается предельным переходом а -> оо, а/л ->
279

, , 2я и и
-*• к где волновое число к = -^- является конечной величиной.
Для tn и tne получаем следующие выражения (п = 1,2):
. I0(nk) .
11 hklx (nk) '
, = 1 /„ (nk) Ki (nkRk) +
i (nk) * W' ° '
Дисперсионное уравнение линейных волн, пропорциональных
cos kz принимает вид
№ - Н2г) /, + Н2ге1и + 4^ = 0- E- 36)
Амплитуда второй гармоники (~cos 2kz) определяется форму-
формулой q2 = Г/D, где
D = (vl-Hl)ti + HUu-r^-, E.37)
E. 38)
а величины а2, а2е, р2 и^2е соответственно равны
2 ' 2Hl. ¦
. ОН)
ге
С учетом уравнения E. 36) выражение E. 37) для D приводится
к виду
ф = (V* - /ug Hi - Dt2 -Q-^-- E- 40)
Разлагая бесселевы функции в ряд по аргументу, можно убедиться
в том, что обращение D в нуль для длинных волн (kRk <? 1) при-
приводит к тем же значениям параметров положения заострения волн,
которые были получены в § 4 методом разложения по обратной
длине волны, если считать там малой амплитуду волны. Таким
образом, и для периодических волн существует критический
радиус RKp, такой, что для R >¦ RKp заостряются гребни волн
на поверхности, а при R < RKp — их впадины. В случае отсут-
отсутствия продольного тока этот радиус равен ^кр ~ 0,65Rk.
280

Формула для поправки к квадрату фазовой скорости Av2z для
аксиально-симметричных волн имеет вид
*М 8Г2 ,2 Н2
Мы ограничимся только длинноволновыми колебаниями (k <^ 1),
причем, поскольку волны при наличии кожуха рассмотрены в § 4,
мы остановимся вкратце лишь на случае аксиально-симметричных
колебаний плазменного шнура без кожуха. Для достаточно длин-
длинных волн, таких, что In -г-^> 1, величины Г и D приближенно
равны
Г = ^Ink-Hl-^ ; D = ^\nk.Hl--^f.y E.42)
Величина D отрицательна и в нуль не обращается, т. е. при от-
отсутствии кожуха волны не заостряются. Поправка к квадрату
фазовой скорости оказывается равной
ЗА» 8ff2,ln*-tf'e l ;
Здесь знаменатель отрицателен, а в числителе стоит положительно
определенная квадратичная форма. Следовательно, учет конеч-
конечности амплитуды волны q2 для случая длинноволновых аксиально-
симметричных колебаний плазменного цилиндра без кожуха дает
дополнительную неустойчивость. Аналогичный результат, как
показано в § 4, справедлив и для случая аксиально-симметричных
колебаний при наличии кожуха.
В. Винтовые волны. При рассмотрении нелинейных винтовых
волн предположим, что продольная компонента поля Вг непре-
непрерывна на границе плазменного цилиндра. При этом плазменный
шнур внутри идеально проводящего кожуха устойчив относи-
относительно всех мод колебаний, за исключением моды т = 1, т. е.
извивания шнура, причем неустойчивость возникает при Вг = -г%-
(критерий Крускала—Щафранова). Рассмотрим влияние конеч-
конечности амплитуды волны в этом наиболее интересном случае на гра-
границе области устойчивости линейного приближения f'e = aRHz —
— Яф = 0. Полагая т = 1; Нге = Нг; f'e = 0; f'o = 0 и замечая,
что для длинноволновых колебаний
tm^±-;tme^~±.^±±, E.44)
281

находим амплитуду второй гармоники q2 = T/D:
D fL Г
E.45)
В рассматриваемом случае D Ф 0 и поправка к квадрату фазовой
скорости пропорциональна квадрату амплитуды основной гар-
гармоники qx:
bvl = ^-H2zQl E.46)
Из полученного выражения следует, что при х* = (—|-) <' 3
\ к /
или при R > 0,76/?ft нелинейность стабилизирует неустойчивость,
и наоборот, если R <C 0,76Rk, то конечность амплитуды усиливает
неустойчивость.
В заключение подчеркнем, что полученный здесь результат
справедлив только при наличии поверхностного тока. В случае же
непрерывности магнитного поля на границе плазменного цилиндра
из линейной теории (см. § 3) следует возникновение неустойчивости
р
при Вг = -г#- Учет же нелинейных членов показывает (nl),
что при этом волны на поверхности заостряются, и последнее об-
обстоятельство делает невозможным вычисление (в рамках приме-
применяемых здесь методов) фазовой скорости волн.
§ 6. Линейные волны в сжимаемой плазменной струе
В § 2 выведено уравнение для линейных волн в плазменной
струе в предположении ее несжимаемости. Здесь мы избавимся от
этого ограничения. Исходной системой уравнений является си-
система (I) в § 1, описывающая стационарные винтовые течения
идеально проводящей жидкости в магнитном поле.
I. Считая, что в равновесном состоянии все величины зависят
только от г, а скорость и магнитное поле имеют только азимуталь-
азимутальную и продольную компоненты v = {0, оф, vz\, В = {0, 5ф, Вг\,
легко получить связь равновесных распределений плотности,
давления скорости и магнитного поля В = "|/4яН. Полагая Ф =
= 0, мы получим
4( ?) /*ф-е^ = о, F.1)
где vv = ^; h,=^.
Выберем функцию тока ? в равновесном состоянии равной
? = -С-. Тогда при наличии волны | = -^- + | (г, 0). Равновес-
Равновесная плотность q (г) также получает некоторое возмущение q (г, 0),
так что q =Ц> (г) + q (г, 0). Связь между q и | получается из вто-
282

рого уравнения (I), если использовать то, что U зависит только
от |. Дальнейшие вычисления аналогичны тем, которые были про-
проведены в § 2. В линейном по q и 1 приближении, полагая
Q—IlWl^g-^e^e F.2)
и имея в виду, что S = S (I), найдем
f
C2 s H2 r2j2
где использованы обозначения G = —~ -\ ;
q4 Q P
/0 = а(Уг-уФ)-гф; а = 4'. P = 1 + а2г
Э = Ф — аг; иФ = ~ фазовая скорость волны; ст = (^ ) г =
= V )
скорость звука.
Уравнение для возмущения | получается из первого уравне-
уравнения системы (I), если использовать зависимость U' = U' (|)
и учесть уравнение состояния р = дкТ и уравнение адиабаты
pQ-t = ехр У ~ ¦ S. Уравнение для f содержит q. Если исклю-
чить g (r) с помощью соотношения F. 3), то в результате получим
уравнение для / (г)
rs /' У , f тЧ , 4aVa» , (Q^vtfV +
Здесь
x==i2o(^L.f ?!)"'. F-5)
Аналогично предыдущему, если плазма граничит с идеально
проводящим экраном, расположенным при г = R, то граничным
условием будет f (R) = 0. Если же плазменный цилиндр удержи-
рается внещним магнитным полем В(, то граничным условием
283

является условие баланса давлении р + -у- = -у- на возму-
возмущенной поверхности цилиндра г = /? + б^ F).
Будем описывать возмущенное внешнее поле функцией тока
Уе = 1Г Н\~ H%r ln r + fe М е""9- Компоненты поля опреде-
определяются через tye (г, 9) соотношениями гНе = .-Jr , arHez — Щ —
= -р и Я* + агЯе = const. Радиальная часть возмущения fe (r)
удовлетворяет линейному уравнению B. 9), решениями которого
являются производные от бесселевых функций гГт (атг) и
)
На невозмущенной поверхности плазменного цилиндра, гра-
граничащего с внешним магнитным полем, должно выполняться
граничное условие
1 —к /
которое вытекает из баланса давлений и требований
= const и % | R+6R = const.
Величины Уе = аЩ — h и /г = —^ аналогичны введенным
выше для внутреннего поля. Функция fe (r) выбирается либо
из требования убывания при г-> до, если рассматривается плаз-
плазменный цилиндр в свободном пространстве, либо из условия
fe (Ra) — 0, если при г — R3 находится идеально проводящий
экран и т. п. Отношение f'Jfe является однозначно определенной
известной функцией, и для / (г), как и в случае несжимаемой
плазмы, мы имеем уравнение F. 4) с граничным условием типа
Штурма—Лиувилля F. 6).
Отметим, что согласно определению ? [см. третье соотноше-
соотношение (I) ], радиальная часть f (г) возмущения % (г, 0) пропорцио-
пропорциональна радиа
ветственно fe ^ .
•I e
Вблизи границы и<р = 0 области устойчивости покоящегося
плазменного цилиндра (vz = иф = 0) величина х -> 0, и, за исклю-
исключением случая / = 0, в уравнении F. 4) можно пренебречь всеми
членами ~х. Далее к -> 0 при с2Т -> оо и при Я2 -> со. В тех
284
нальна радиальным частям vr и #,, т. е. / ~ -^ ~ r—jL и соот-

случаях, когда в уравнениях F. 4) и F. 6) можно пренебречь чле-
членами порядка х, мы приходим к уравнениям [20]:
= 0, (b.
которые совпадают с полученными в § 2.
Поскольку уравнения F. 4)—F. 6) описывают волны общего
винтового типа ~ехр i (kz — пир — at), то при k -у 0 и k -э- оо
из них легко получить'уравнения соответственно для азимуталь-
азимутальных и аксиально-симметричных волн.
II. Рассмотрим некоторые вопросы устойчивости вращаю-
вращающейся плазмы. Ограничимся случаем / = аНг — /гф = 0 или
кН = 0, когда возмущения направлены вдоль силовых линий
магнитного поля. Если возмущения винтовые, то поскольку
а = const, этот случай реализуется при \а эе -jL = const; для
аксиально-симметричных волн должно быть Н — Яф, а для азиму-
азимутальных Я —- Я..
При J = 0 уравнение F. 4) запишется в виде
¦ +
//2
где c2s ss c| -) . Рассмотрим некоторые случаи, когда из урав-
уравнения F. 9) можно просто получить условия появления неустой-
неустойчивости, т. е. условия существования решений с частотой со,
содержащей мнимую часть.
1. а. Пусть плазма вращается как целое* (тф = const), так
что /0 = —аюф — тф = const. Тогда при /0 -> 0 уравнение F. 9)
примет вид
/ = 0. F. 10)
Отсюда следует [22], что необходимым условием устойчивости
(J20 > 0) плазменного цилиндра, граничащего с идеально прово-
проводящим кожухом, по отношению к винтовым возмущениям является
* Здесь это ограничение не является существенным.
285

положительность выражения в квадратных скобках в уравне-
уравнении F. 10):
б. Если плазменный цилиндр с однородным продольным током
(/гф = const) вращается как целое (уф = const), то для длинно-
длинноволновых колебаний (аЧ2 < 1) в случае у2 < с\ уравнение F. 9)
дает
ШУ + { - т2 + 7f BJo\ + *l)} / = о. F-12)
Рассмотрим цилиндр со свободной границей и без поверх-
поверхностных токов; тогда Je (R) = 0, и граничное условие F. 6) запи-
записывается в виде
Уравнение F. 12) и граничное условие F. 13) удовлетворяются
решением / ~> гт, откуда для частоты ю получим выражение
со = Vq) A — т ±уТ^т). F. 14)
Если продольного тока нет, то рассматриваемый здесь случай
/ = 0 соответствует азимутальным волнам. Неустойчивость ази-
азимутальных волн описана в работе [23 ], а для конкретного рас-
распределения плотности q ~ ехр (—qr2) — в работе [24]. При
q = const уравнение F. 7) решается точно [см. решение C. 6) ],
и для длинноволновых колебаний мы получим, естественно, ту же
формулу для со, поскольку она не содержит д. Таким образом, при
произвольной зависимости q (г) вращающийся как целое плазмен-
плазменный шнур со свободной границей гидродинамически неустойчив
относительно возмущений, параллельных В. Инкремент развития
неустойчивости v^m — 1 растет с т, что указывает на тенден-
тенденцию к расшнуровыванию вращающейся плазмы.
2. Для аксиально-симметричных волн во вращающейся плазме
при Я = Яф, уравнение F. 9) принимает вид
,0. F.15)
При фф -> 0 из него получается уравнение типа F. 10), откуда
следует необходимое условие устойчивости

Достаточность этого условия по отношению к аксиально-
симметричным возмущениям установлена в работе [19]. Для не-
вращающейся плазмы (уф = 0) условие F. 16) совпадает с необ-
необходимым условием устойчивости плазмы с замкнутыми силовыми
линиями магнитного поля, которое вытекает из критерия Кадом-
Кадомцева [25 ]
(^yp{^T, F.17)
где и = — (j)^, w= j)Hdl при Я = #ф.
3. Для азимутальных волн (</ 0 = уф) при Н = Нг
уравнение F. 9) дает
, J
'1
о (с2
Устремляя /0 к нулю, аналогично предыдущему получим критерий
устойчивости относительно азимутальных (желобковых) возму-
возмущений в виде
Формула F. 19) показывает, что в случае однородного вращения
(уф = const) для устойчивости необходимо q' > 0.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Кривизна и кручение координатной линии х3 в случае, когда -М^- — 0.
ох3
Покажем, что требование ^ = 0 эквивалентно требованию винтовой
ох3
симметрии задачи, и следовательно, общим видом двухпараметрических течений
являются винтовые течения. Доказательство основывается на том, что кривизна
1/R и кручение \/Т координатной линии х3 выражается через компоненты метри-
метрического тензора gik- Поскольку по предположению -^~ = 0, то R и Т постоянны
аха
вдоль линии х3, откуда и следует, что х3 — винтовая линия.
Будем исходить из формул Френэ ,
dx_ __ jn_# dn_ т_ . _b_. db^ _ __ n .
a? ~ R ' 4s ~~ /? + T ' ds ~ ~~T' {)
287

dx
где х = ¦—: единичный вектор касательной к линии х3, п — нормаль, b —
бинормаль. Для определения R и Т используем выражения
ds ) ' T ~ K [X ds J ds2' B)
которые легко получить из формул A), если учесть, что Ь= [тп].
В криволинейных координатах Х{ дифференциал dr записывается в виде dx =
= \idxt, а единичный вектор т и элемент дуги вдоль линии х3 равны
т-—к=; ds= Vg^dx3 C)
Подставляя эти выражения в формулы B), получим
1 1 /д\я \а. 1 _ Я2 Г д\.
Производные от 1,- выражаются через gik — (I/U) следующими уравнениями
векторного анализа:
dU Т1 1 E)
11 E)
где
1 = в Г 2Г ^ +
F)
_ , dR dT .
Таким образом, сделанное выше утверждение, что -^— = -^— = 0, если
ох3 ох3
-§^- = 0, доказано.
ох3
Для нахождения явного выражения Т и R через g<& следует подставить соот-
соотношения E) и F) в формулы D). В результате несколько громоздких преобразова-
преобразований с использованием тензорных тождеств
giiglk = 1/1* = t>ik, П/lft] = V~8bilk \! . Sik = gG/ft.
где Gib и G1* — миноры g1'* и gi^, a g = Det (g^), мы получим
\dXlJ 6 \dxt ' ' '^r(" ' -• I - 'I • (8)
Исходя из формул Френэ легко убэдиться, что линии с постоянными R и Т
в общем случае являются винтовыми линиями,
288

Выражения G)—(8) показывают также, что при вычислениях в ортогональных
координатах (g-12 = g13 = g«s — 0) кручение линии ха равно нулю, и следова-
следовательно, требование —If = 0 эквивалентно ограничению аксиальной или
ох3
трансляционной симметрией.
ЛИТЕР АТУРА
1. ChandrasekharS. Astrophys. J., 124, 232 A956).
2. Т к а л и ч В. «Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», № 4, 134
A959); там же, № 5, 122 A959).
3. Т к а л и ч В. «Прикладная математика и механика», 26, вып. 1 A962).
4. Chandrasekhar S., Prendergast К- Proc. Nat. Acad. Sci., 42,
5 A956).
5. ШафрановВ. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 33, 3 (9), 1957.
6. Джонсон, Оберман, Кулеру д, Фримен. Некоторые устойчи-
устойчивые магнитогидродинамические равновесные конфигурации. В кн. «Труды
Второй международной конференции по мирному использованию атомной
энергии». Избр. докл. иностр. ученых. Т. 1. — «Физика горячей плазмы
и термоядерные реакции». М., Атомиздат, 1959, стр. 193.
7. Кадомцев Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 5 A1), 1959.
8. Лэмб Г. Гидродинамика. М., Гостехиздат, 1947.
9. Крускал и Кулеру д. Равновесие удерживаемой магнитным полем
плазмы в тороиде. В кн. «Труды Второй международной конференции по мир-
мирному использованию атомной энергии». Избр. докл. иностр. ученых. Т. 1. —
«Физика горячей плазмы и термоядерные реакции». М., Атомиздат, 1959,
стр. 221.
10. Соловьев Л. «Ж- техн. физ.», 31, 4 A961).
И. Некрасов А. Точная теория волн установившегося вида на поверхности
тяжелой жидкости. М^, Изд-во АН СССР, 1951.
12. L e v i-C i v i t а Т. Math. Ann., 93, 264 A925).
13. Теория поверхностных волн. Сборник статей. М., Изд-во иностр. лит., 1959.
14. Т а у 1 о i\R. Proc. Phys. Soc, 70 В, 1049 A958).
15. ВандакуровЮ.,ЛурьеК- «Ж- техн. физ.», 29, вып. 9 A959).
16. Ш а ф р а н о в В. Об устойчивости плазменного шнура с распределенным
током. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реак-
реакций». Т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 61.
17. К а д о м ц е в Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 6 A2), 1959.
18. С а й Д е м Б. Устойчивость самосжатого линейного разряда. В кн. «Труды
Второй международной конференции по мирному использованию атомной
энергии». Избр. докл. иностр. ученых. Т. 1 — «Физика горячей плазмы
и термоядерные реакции». М., Атомиздат, 1959, стр. 89.
19. ВеденовА.,ВелиховЕ.,СагдеевР. «Усп. физ. наук», 73, 4 A961).
20. С о л о в ь е в Л. «Докл. АН СССР», 147, 6 A962).
21. Соловьев Л. «Ж- техн. физ.», 32, 8 A962).
22. С а неоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. I. M.,
Изд-во иностр. лит., 1953, стр. 198.
23. ВандакуровЮ. «Ж- техн. физ.», 33, 9 A963).
24. Rosenbluth M., Krall N., Rostoker N. «Ядерный синтез».
Приложение, ч. I, 1962, стр. 143.
25. Кадомцев Б. О конвективной неустойчивости плазмы. В кн. «Физика
плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций». Т. IV. М., Изд-во
АН СССР, 1958, стр. 380.
19 Вопросы теории плазмы. Вып. 3.

СОДЕРЖАНИЕ
Электромагнитные волны в плазме. В. Д. Шафранов 3
Введение 3
§ 1. Дисперсионное уравнение (общие соотношения) 4
§ 2. Плазма без магнитного поля. Гидродинамическое приближение 12
§ 3. Плазма в магнитном поле. Гидродинамическое приближение 18
§ 4. Резонансы при учете теплового движения 36
§ 5. Затухание плазменных колебаний 39
§ 6. Уравнения Максвелла в анизотропной среде с пространствен-
пространственной дисперсией 45
§ 7. Задача о собственных колебаниях плазмы и о распространении
электромагнитных волн в плазме 56
§ 8. Корреляционная функция микротоков 62
§ 9. Электрическая проницаемость 70
§ 10. Колебания плазмы в магнитном поле с учетом теплового движе-
движения зарядов при Bq = 0 78
§11. Колебания плазмы в магнитном поле с учетом теплового движе-
движения зарядов при Во ф 0 81
§ 12. Потери энергии при движении заряда в плазме 94
§ 13. Влияние силы радиационного трения и флуктуационных полей
на движение заряда в плазме 108
§ 14. Флуктуации в плазме. Рассеяние волн 117
§ 15. Уравнение переноса энергии электромагнитных колебаний ... 127
Приложение 1. Вывод соотношения D. 9) • 131
Приложение П. Вывод соотношения (9. 20) 131
Приложение III. Вывод уравнений Максвелла, позволяющих описы-
описывать флуктуационные поля : . . 133
Литература 138
Колебания неоднородной плазмы. А. Б. Михайловский 141
Введение 141
§ 1. Диэлектрическая проницаемость неоднородной плазмы 141
§ 2. Дрейфовая неустойчивость плазмы 152
§ 3. Обзор работ по дрейфовой неустойчивости 160
§ 4. Прогресс в методике исследования колебаний неоднородной
плазмы 171
§ 5. Дрейфовая неустойчивость плазмы в поле с переменным шагом 179
§ 6. Желобковая неустойчивость плазмы при конечном ларморовском
радиусе ионов 182
§7. Дрейфовая раскачка желобковых возмущений 190
Приложение I. Тензор еар (k, со, у) для плазмы с неизотропной функ-
функцией распределения центров ларморовских кружков .... 193
Приложение II. Тензор eag (k, со, у) для плазмы, находящейся в поле
тяжести 194
Приложение III. Диэлектрическая проницаемость плазмы в винтовом
магнитном поле 195
Приложение IV. Исходные уравнения для некоторых типов колебаний . . 201
Литература 202
290

Введение в теорию Слаботурбулентной плазмы. А. А. Веденов 203
Взаимодействие плазмонов с частицами 203
Основные уравнения квазилинейной теории 205
Релаксация плазменных колебаний 216
Развитие возмущений в неустойчивой плазме 225
Взаимодействие пучка с плазмой 227
Эффект порогового поглощения волн в плазме и турбулентный нагрев 231
Плазмон-плазмонное взаимодействие 234
Трехплазмонные процессы 235
Процессы высших порядков 240
Литература 244
Симметричны магнитогидродинамические течения и винтовые волны
в круглом плазменном цилиндре. Л. С. Соловьев 245
Введение 245
§ 1. Стационарные винтовые течения 246
§ 2. Винтовые волны 255
§ 3. Об устойчивости цилиндрической плазменной струи в магнитном
поле 262
§ 4. Нелинейные длинноволновые аксиально-симметричные коле-
колебания плазменного цилиндра 267
§ 5. Нелинейные винтовые волны 272
§ 6. Линейные волны в сжимаемой плазменной струе 282
Приложение. Кривизна и кручение координатной линии хз в случае,
когда dgikldx3 =0 287
Литература 289

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
108
234
254
285
Строка
2-я сверху
16-я снизу
4-я »
14-я сверху
Напечатано
Щ
Jv
——- (o?sr)
гНг
Должно быть
"г
fv
— (ats)'
Лф
Hz
На стр. 202 в пункте 31 по вине типографии допущена ошибка. Следует
читать:
31. Сайдем Б. Р. В кн. «Труды Второй международной конференции
по мирному использованию атомной энергии». Избр. докл. иностр. ученых.
Т 1 — Физика горячей плазмы и термоядерные реакции. М., Атомиздат,
1959, стр. 89.
32. Михайловская Л. В., Михайловский А. Б. «Ядерный
синтез», 3, вып. 2 A963).
Вопросы теории плазмы. Вып. 3. Зак. 1526.
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ
ВЫПУСК 3
Редактор А. П. Бутусов
Переплет художника Ю. К. Мосеева
Техн. редактор Е. И. Мазель
Корректор Т. А. Салдатенкова
¦
Сдано в набор 13/V1I 1963 г.
Подписано в печ. 2/Х 1963 г.
Бумага 60x90/,, Физич. печ. л. 18,25
Уч.-изд. л. 18,24 Заказ изд. 1080
Тираж 6800 экз. Т-08893
Цена 1 р. 01 к. Заказ тип. 1526
Госатомиздат, Москва, Центр,
ул. Кирова, 18
*
Тип. № 6 УЦБ и ПП Ленсовнархоза,
Ленинград, ул. Моисеенко, 10