Author: Топтыгина И.Н. Румянцев В.В. Бредов М.М.
Tags: физика электродинамика теоретическая физика издательство наука классическая электродинамика
Year: 1985
Text
М.М. БРЕДОВ, В.В. РУМЯНЦЕВ, И.Н. ТОПТЫГИН
КЛАССИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Под редакцией
И.Н. ТОПТЫГИНА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей высших технических учебных заведений.
Москва ’’Наука”
Главная редакция физвко-математической литературы
19 85
22.31 Б 87
УДК 530.1
Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика: Учебное пособие/Под ред. И.Н.Топтыгина. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 400 с.
Настоящий курс электродинамики представляет собой один из разделов теоретической физики и предназначен для студентов вузов 2—3 годов обучения, прослушавших достаточно содержательные курсы общей физики и классической механики. Вместе с тем, благодаря соответствующему подбору материала и современному стилю изложения, книгой могут пользоваться для справок студенты старших курсов, инженеры и научные работники.
В книге содержится теория электромагнитных явлений в вакууме и в средах, а также специальная теория относительности. Изложение специальной теории относительности предшествует микроскопической электродинамике, которая строится как последовательно релятивистская теория. В электродинамике сред используются как микроскопический, так и макроскопический подходы к описанию явлений.
Для студентов физических факультетов университетов и других вузов. Может быть использована инженерами и научными работниками.
Библиогр. 104 назв. Табл. 2. Ил. 48.
Рецензенты:
кафедра квантовой теории и высоких энергий МГУ, докт. физ.-мат. наук В.И.Денисов, чл.-корр. АН СССР Л.П.Питаееский
1704000000 - 032 Б ------------------ 108-84
053 (02)-85
© Издательство "Наука".
Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................................... g
Часть I
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ВАКУУМЕ
Глава I. Специальная теория относительности и релятивистская кинематика ......................................................... 12
§ 1. Принцип относительности и преобразования Лоренца......... 12
1.1. Пространство и время в классической механике (12). 1.2. Принцип относительности Эйнштейна (16). 1.3. Преобразования Лоренца (18).
§ 2. Некоторые следствия преобразований Лоренца.................. 21
2.1. Сокращение масштабов. Преобразование объема (21). 2.2. Относительность одновременности. Собственное время (21). 2.3. Релятивистское преобразование скорости (22). 2.4. Преобразование направлений. Аберрация света (23). 2.5. Видимая форма быстро-движущихся тел (25).
§ 3. Геометрический смысл преобразований Лоренца. Интервал и причин-
ность .......................................................... 26
3.1. Преобразование Лоренца как поворот в четырехмерном мире (26). 3.2. Три типа интервалов. Причинность (29).
§. 4. Четырехмерные векторы и тензоры ............................... 30
4.1. Определение вектора. Контра- и ковариантные компоненты (30).
4.2. Четырехмерные тензоры (33). 4.3. Дифференциальные операции
(34) . 4.4. Четырехмерные скорость и ускорение частицы (35).
§ 5. Действие для свободной частицы. Энергия и импульс .............. 36
5.1. Принцип наименьшего действия для свободной частицы (36).
5.2. Энергия и импульс свободной частицы (38). 5.3. Связь между массой и энергией (39).
§ 6. Кинематика релятивистских частиц ............................... 41
6.1. Распад частиц (41). 6.2. Энергетический порог реакции (42).
6.3. Кинематика двухчастичных реакций (42). 6.4. Преобразование фазового объема и функций распределения (44).
Глава II. Специальная теория относительности и электромагнитные явления ................................................................ 46
§ 7. Взаимодействие между заряженными частицами и электромагнитное поле .............................................................. 46
7.1. Взаимодействие в теории относительности. Электрический зеряд и электромагнитное поле (46). 7.2. Действие для частицы, находящейся в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал (48).
§ В. Уравнение движения релятивистской частицы в электромагнитном поле. Напряженность поля............................................... 48
8.1. Функция Лагранжа и уравнение движения (48). В.2. Сила Лоренца. Напряженность электромагнитного поля (50). 8.3. Градиентное преобразование потенциалов (51). 8.4. Функция Гамильтона (52).
§ 9. Уравнение движения в ковариантной форме. Тензор электромагнитного поля.............................................................. 52
9.1. Вариация действия и уравнение движения (52). 9.2. Связь тензора поля с напряженностями Е, Н (55).
1
3
§ 10. Преобразование напряженностей электромагнитного поля. Инварианты поля................................................................ 56
10.1. Преобразование напряженностей (56). 10.2. Инварианты поля (56).
§11. Движение релятивистской частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях. Электрический дрейф . .............................. 57
11.1. Движение в однородном магнитном попе (57). 11.2. Электрический дрейф (59). 11.3. Гиперболическое движение (61).
§ 12. Теорема Лармора................................................ 63
Глава III. Уравнения электромагнитного поля........................... 64
§ 13. Вывод уравнений Максвелла в ковариантной форме из принципа наименьшего действия................................................... 64
13.1. Действие для системы, состоящей из частиц и электромагнитного поля (64). 13.2. Четырехмерная плотность тока (67). 13.3. Уравнения Максвелла (70).
§14. Трехмерная форма уравнений Максвелла и их связь с опытными законами электромагнетизма .............................................. 71
14.1. Уравнения Максвалпа в трехмерной форме (71). 14.2. Интегральная форма уравнений Максвелла (73). 14-3. Системы единиц измерения электрических и магнитных величин (75).
§ 15. Граничные условия для векторов электромагнитного поля........... 77
15.1. Условия для нормальных компонент (77). 15.2. Условия для тангенциальных компонент (78).
§ 16. Тензор энергии — импульса электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга 79 16.1. Тензор энергии— импульса релятивистских частиц (79). 16.2. Тензор энергии—импульса электромагнитного поля (81).
16.3. Энергия попя. Вектор Пойнтинга. Максвелловский тензор напряжений (83).
§ 17. Единственность решения уравнений Максвелла...................... 85
§ 18. Уравнения для электромагнитных потенциалов...................... 87
Глава IV. Постоянное электрическое поле в вакууме..................... 88
§ 19. Общие свойства постоянного электрического поля.................. 88
§ 20. Интегрирование уравнения Пуассона............................... 91
20.1. Интегральная форма уравнения Пуассона (91). 20.2. Единственность решения электростатической задачи (93). 20.3. Решение граничной задачи с помощью функций Грина (93).
§ 21. Потенциал на больших расстояниях от системы зарядов. Дипольный и квадрупопьный моменты................................................ 95
§ 22. Энергия и силы взаимодействия в электростатическом поле......... 98
22.1. Энергия электростатического поля (98). 22.2. Система зарядов во внешнем поле (101).
§ 23. Потенциал двойного слоя...................................... 103
Глава V. Постоянное магнитное поле в вакууме......................... 105
§ 24. Общие свойства постоянного магнитного поля в вакууме........... 105
24.1. Основные уравнения (105). 24.2. Закон Био— Савара (107).
24.3. Псевдоскалярный потенциал магнитного поля и магнитные листки (108). 24.4. Формула Ампера (109).
§ 25. Магнитный момент............................................... 110
§ 2ё. Энергия и силы в постоянном магнитном попе..................... 113
26.1. Магнитная энергия стационарных токов (113). 26.2. Энергия системы контуров с током. Коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции (113). 26.3. Система токов во внешнем поле (115).
26.4. Силы в постоянном магнитном поле (115).
Глава V I. Электромагнитные волны.................................... 117
§27 . Волновые уравнения............................................ 117
27.1. Уравнения электромагнитного поля в отсутствие зарядов (117).
27.2. Пример решения волнового уравнения — плоские волны (118).
§ 28. Плоские монохроматические волны............................. 120
28.1. Амплитуда, частота и волновой вектор. Фаза плоской монохроматической волны. (120). 28.2. Преобразование частоты и волнового вектора. Эффект Доплера (122). 28.3. Поляризация плоской волны (123).
§29. Немонохроматические волны. Спектральное разложение...........
§ 30. Когерентность и интерференция................................
30.1. Описание некогерентного поля излучения с помощью корреляционного тензора. Время и длина когерентности (128). 30.2. Влияние временной и пространственной когерентности на интерференцию волн (131). 30.3. Частичная поляризация электромагнитных волн (136).
§ 31. Гамильтонова форма уравнений электромагнитного поля..........
31.1. Собственные типы колебаний (моды) электромагнитного поля (139). 31.2. Число собственных колебаний (141). 31.3. Гамиль-тониен и гамильтонова форма уравнений поля (142).
Глава VII. Поля движущихся зарядов.................................
§ 32. Запаздывающие потенциелы.....................................
32.1. Функции Грина волнового уравнения (144). 32.2. Выбор запаздывающих потенциелов (148). 32.3. Спектральное разложение запаздывающих потенциалов (149).
§33. Принцип Гюйгенса и формула Кирхгофа..........................
33.1. Вывод формулы Кирхгофа (150). 33.2. Геометрическая оптика. Дифракция Френеля (153). 33.3. Дифракция Фраунгофера (155).
§ 34. Электромагнитное поле точечного заряда, движущегося произвольным образом............................................................
34.1. Потенциелы Пиенара— Вихерта (158). 24.2. Напряженность поля (159). 34.3. Спектральное разложение потенциалов Лиенера — Вихерта (160) .
Глава VIII. Излучение и рассеяние электромагнитных воли............
§ 35. Илучение релятивистской заряженной частицы
35.1. Угловое распределение излучения (161). 35.2. Потеря энергии и импульса заряженной частицей (163). 35. 3. Спектральное распределение излучения (166).
§ 36. Излучение нерелятивистской системы заряженных частиц.........
36.1. Электрическое дипольное излучение (169). 36.2. Квадруполь-ное и магнитно-дипольное излучение (171) . 36.3. Поле на близких расстояниях (173) 36.4. Примеры излучения простейших систем (174).
§37. Излучение макроскопических тел. Антенны......................
37.1. Вектор Герца (175). 37.2. Излучение антенны. Диаграмма направленности (176). 37.3. Принцип взаимности (178).
§ 38. Реакция излучения............................................
38.1. Взаимодействие заряженной частицы с собственным электромагнитным полем (180) . 38.2. Вычисление силы радиационного торможения из закона сохранения энергии (181).
§ 39. Излучение и рассеяние электромагнитных волн осциллятором.....
39.1. Излучение осциллятора. Естественная ширина спектральных линий (183). 39.2. Рассеяние электромагнитных волн осциллятором (184).
§ 40. Рассеяние электромагнитных волн свободными частицами.........
40.1. Формула Томсона (187). 40.2. Когерентное и некогерентное рассеяние (187).
Часть II
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ
И НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ СРЕД
Глава I. Уравнения электромагнитного поля в поляризующихся и намагничивающихся средах ...............................................
§ 1. Макроскопический и микроскопический подходы к описанию электромагнитных явлений в средах.........................................
1.1. Микроскопические уравнения поля. Сторонние и наведенные зеряды и токи (190). 1.2. Усреднение уравнений Максвелла (192) .
§ 2. Уравнения электромагнитного поля в средах....................
2.1. Связь наведенных зарядов и токов с удельными дипольными моментами. Уравнения Максвелла в средах (195). 2.2. Другая форма уравнений поля в средах. Вектор обобщенной электрической индукции (200).
§ 3. Тензор комплексной диэлектрической проницаемости. Временная дисперсия ..........................................................
3.1. Функция отклика и диэлектрически проницаемость (201).
3.2. Свойства диэлектрической проницаемости при действительных частотах (203). 3.3. Свойства диэлектрической проницаемости при комплексных значениях частоты (206).
§ 4. Тензор комплексной диэлектрической проницаемости. Пространственная дисперсия....................................................
§ 5. Соотношения Крамерса— Кронига..................................
§ 6. Дебаевское экранирование.......................................
6.1. Электростатический потенциал точечного заряда в среде (216). 6.2. Дебаевский радиус (219).
§ 7. Диссипация энергии поля в диспергирующих средах................
§ В. Энергия электромагнитного поля и поток энергии в диспергирующей среде...............................................................
§ 9. Уравнения электродинамики в движущихся средах..................
9.1. Уравнения Максвелла и материальные уравнения (232). 9.2. Граничные условия (235). 9.3. Уравнения Максвелла с обобщенным вектором индукции (237).
§ 10. Силы, действующие на элементы среды в электромагнитном поле . . . . 10.1. Силы, действующие на диэлектрик, помещенный в постоянное электрическое поле (238). 10.2. Силы, действующие на магнетик, помещенный в постоянное магнитное поле (241). 10.3. Силы в переменном электромагнитном поле (242).
§11. Среднее и эффективное поля в средах............................
Глава II. Постоянное электрическое поле в средах.....................
§12. Электрическое поле в окрестности проводников...................
§ 13. Электрическое поле в непроводящих средах.......................
§ 14. Термодинамические соотношения для диэлектриков во внешнем электрическом поле..................................................
14.1.Внутренняя энергия и свободная энергия диэлектрика(255).14.2.Изменение внутренней энергии диэлектрика при изотермическом включении поля (257). 14.3. Симметрия тензора диэлектрической проницаемости (259).
§15. Силы, действующие на жидкие диэлектрики в электрическом поле. Электрострикция.....................................................
§ 16. Статическая диэлектрическая проницаемость......................
16.1. Связь между статической диэлектрической. проницаемостью и флуктуациями вектора поляризации среды в отсутствие внешнего электрического поля (261). 16.2. Диэлектрическая проницаемость среды, состоящей из полярных молекул (265). 16.3. Диэлектрическая проницаемость среды, состоящей из неполярных молекул (265).
§ 17. Транспортные явления в среде, помещенной в постоянное электрическое поле ........................................................
17.1. Электрический ток и поток тепла в среде в присутствии внешнего электрического поля (267). 17.2. Эффект Пельтье (269). 17.3. Эффект Томсона (269). 17.4. Термоэлектродвижущая сила (269). 17.5. Соотношения Томсона (270).
§ 1В. Оценка проводимости в приближении времени релаксации...........
§ 19. Пьезоэлектрики и сегнетоэлектрики..............................
19.1. Пьезоэлектрический эффект (273). 19.2.Сегнетоэлектрики (275).
Глава III. Постоянное магнитное поле в средах ..................
§ 20. Классификация магнетиков.......................................
§21. Постоянное магнитное поле в среде, обусловленное токами........
§ 22. Термодинамические соотношения для магнетиков в магнитном поле § 23. Адиабатическое размагничивание.................................
§ 24. Теорема Бора — Ван Лёвен.......................................
§ 25. Транспортные эффекты в магнитном поле..........................
§ 26. Ферромагнетизм.................................................
§ 27. Магнитные свойства сверхпроводников............................
Глава IV. Электромагнитные волны в средах............................
§ 28. Плоские электромагнитные волны в изотропных средах. Продольные и поперечные волны..................................................
§ 29. Электромагнитные волны в анизотропных средах................... 300
§ 30. Распространение вопн в неоднородной среде. Поверхностные волны.
Скин-эффект .................................................... 302
30.1. Поверхностные волны (302). 30.2. Нормальный скин-эффект (306). 30.3. Аномальный скин-эффект (309). 30.4. Скин-эффект при высоких частотах (314).
§31. Электромагнитные вопны в волноводах............................ 316
§ 32. Отражение и преломление объемных поперечных электромагнитных волн на границе раздела сред.......................................... 319
§ 33. Диэлектрическая проницаемость плазмы и ппазмоподобных сред при конечных частотах..................................................... 321
33.1. Вычисление функции е (к, ы) электронного газа при конечных Лиш (321). 33.2. Продольные колебания бесстолкновительного невырожденного электронного газа (323). 33.3. Поперечные колебания электронного невырожденного бесстолкновительного газа (326). 33.4. Ионно-звуковые колебания (326). 33.5. Гидродинамическое описание волн в однородной изотропной плазме (328).
§ 34. Магнитогидродинамическое описание электромагнитных волн в плазме в магнитном поле.................................................... 331
34,1. Система уравнений магнитной гидродинамики (331) . 34.2. Магнитогидродинамические волны (334).
§ 35. Прохождение электромагнитных волн через гиротропные среды ..... 336
§ 36. Распространение жесткого излучения в кристаллах................ 339
36.1. Фундаментальные уравнения теории дифракции рентгеновских лучей в кристаллах (339). 36.2. Кинематическое и динамическое приближения в теории дифракции рентгеновских лучей (342). 383. Сечение дифракционного рассеяния рентгеновских лучей на кристеллах конечного объема (343). 36.4. Температурные эффекты при дифракции рентгеновских лучей (347).
Глава V. Излучение электромагнитных волн быстрыми частицами в средах 350
§ 37. Излучение быстрых частиц в пространственно-однородной среде.... 350
37.1. Описание потерь энергии быстрых нерелятивистских частиц в веществе в рамках диэлектрического формализма (350). 37.2. Торможение быстрой частицы за счет испускания объемных плазмонов (352). 37.3. Излучение Вавилова — Черенкова (354).
§ 38. Генерация электромагнитных волн при движении быстрой частицы в пространственно-неоднородной среде. Переходное излучение. Возбуждение поверхностных плазмонов......................................... 355
§ 39. Излучение гамма- и рентгеновских лучей при движении быстрых заряженных частиц в кристаллах............................................ 360
Глава VI. Нелинейные электромагнитные процессы в средах............. 362
§ 40. Нелинейная поляризация........................................ 362
40.1. Общее феноменологическое выражение для нелинейной поляризуемости (362). 40.2. Квадратичные по полю эффекты нелинейности (364). 40.3. Кубичные по полю эффекты нелинейности (365).
§ 41. Классические модели, обеспечивающие существование нелинейной восприимчивости..................................................... 366
41.1. Нелинейная восприимчивость газа свободных электронов (366). 41.2. Нелинейность, связанная с энгармонизмом колебаний (367).
Дополнения........................................................... 369
Д1. Элементы тензорной алгебры и анализа в трехмерном евклидовом пространстве......................................................... 369
Д.1.1. Определение тензора (369). Д.1.2. Операции над тензорами (370).
Д.1.3. Симметрия тензоров (371). Д.1.4. Инвариантные тензоры Ьар и вад-у (372). Д|.5. Приведение симметричного тензора II ранга к диагональному виду (373). Д1.6. Преобразование тензоров при инверсии системы координат. Псевдотензоры (374).
ДП. Дополнительные сведения о тензорах в четырех мерном псевдоевкли-довом пространстве................................................. 375
Д11.1. Связь между четырехмерными и трехмерными тензорами (375).
ДП.2. Теорема Остроградского—Гаусса в 4-пространстве (376).
Д1П. Вариационный принцип для непрерывных систем..................... 377
Д1П.1. Колебания упругой среды как предел колебаний дискретных точечных масс (377). Д1П.2. Лагранжева форма уравнений движения непрерывной среды (379).
flIV. Дельта-функция Дирака.......................................... 381
AIV.I. Определение и общие свойства (381). Д1\/.2. Некоторые представления 6-функции (383). Д1\/.3. Представление 6 -функции через контурные интегралы в комплексной плоскости (384).
Д V. Перевод электрических и магнитных величин из системы С И в гауссову и обратно....................................................... 385
Д\Л. О тензоре энергии — импульса.................................... 387
ДУ 1.1. Симметрия тензора энергии — импульса (387). Д VI.2. Об однозначности определения тензора энергии — импульса поля (388).
Д\/II. Сферические функции Лежандра.................................. 389
Д\/III.Постоянное электрическое поле внутри сферической полости в диэлектрике .......................................................... 391
Д1Х. Реактивное поле в диэлектрике................................... 392
Рекомендуемая литература............................................. 393
Предметный указатель..................................................396
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый курс электродинамики представляет собой часть курса теоретической физики. Он рассчитан в основном на студентов-физиков и написан в соответствии с существующими программами по теоретической физике для вузов. Авторы стремились отразить в книге современный уровень развития классической электродинамики и современные тенденции в преподавании теоретической физики как базовой дисциплины для всех физических специальностей. Для достижения этой цели при изложении любой физической дисциплины необходимо сделать упор на применение общих, фундаментальных принципов теоретической физики.
Возросший уровень преподавания общей физики и основных разделов математики также стимулировал написание такого учебника, который, с одной стороны, годился бы для первоначального ознакомления с предметом, а с другой — содержал такие факты из области теории электромагнетизма и изложенные таким образом, чтобы процесс изучения материала мог оказывать активное воздействие на формирование общефизических представлений и "языка", отражающего современное состояние науки. Этот принцип оказал большое влияние на выбор излагаемого в книге материала и на стиль изложения. Мы стремились изложить основные полученные к настоящему времени в классической электродинамике результаты, обращая особое внимание на тот материал, который подводит читателя к разделам электромагнетизма, интенсивно развивающимся в настоящее время.
Электродинамика является важной частью теоретической физики. Последнюю же можно назвать теоретической основой всего естествознания. Выработка в таких условиях общих понятий приобретает особое значение, потому что эти понятия оказывают большое влияние на оценку не только научных фактов сегодняшнего дня, но и тех фактов, которые появятся в ближайшем будущем. Обращая внимание читателя на возможные "точки роста" науки, мы стремились тем самым сделать восприятие читателем материала более активным, а поэтому и эффективным. Этой же цели служит довольно обширный список литературы, рекомендуемой для дальнейшего чтения. В него включены известные авторам основные учебники и монографии по вопросам, которые затрагиваются в настоящей книге или тесно к ним примыкают, а также обзорные статьи последних лет (в основном из журнала "Успехи физических наук"), которые дадут возможность читателю почувствовать "дыхание" сегодняшней науки. Из оригинальных статей в список литературы включены лишь те, которые были непосредственно использованы при написании книги.
От большинства имеющихся на русском языке учебников по электродинамике (таких, как известные книги И.Е. Тамма [88], Дж. Джексона [44], В. Пановского и М. Филипс [73], А.Н. Матвеева [66] и др.) предлагаемый курс отличается тем, что электродинамика с самого начала из-
лагается в нем как последовательно релятивистская теория. Большое внимание уделено вопросам релятивистской ковариантности уравнений и трансформационным свойствам физических величин. Последовательно релятивистский подход к электродинамике оказывается предпочтительным и в прагматическом плане; часто он более экономен, и уж определенно более надежен, даже в тех случаях, когда релятивистские эффекты малы. В основу вывода уравнений релятивистской механики и электродинамики положен принцип наименьшего действия. В этом смысле настоящая книга ближе всего к известной книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица "Теория поля” [58], а также к учебным пособиям "Начала теоретической физики" Б.В. Медведева [68] и "Электродинамика" Ю.В. Новожилова и Ю.А. Яппы [71].
Такой стиль изложения предполагает, конечно, чтобы кроме курсов общей физики и математики электродинамике предшествовал достаточно серьезный курс классической механики, читаемый как раздел теоретической физики, с изложением лагранжева и гамильтонова методов и вариационных принципов механики, в том числе и для непрерывных систем. Последний вопрос включен в настоящий курс в виде Дополнения III. Кроме того, предполагается, что в курсе общей физики достаточно подробно изложены физические основы специальной теории относительности, основные опытные законы электромагнетизма, введено понятие электромагнитного поля и состоялось первое знакомство с уравнениями Максвелла. Указанный материал содержится, например, в "Общем курсе физики" Д.В. Сивухина (см. [82]) или в серии "Берклеевский курс физики".
Большое внимание авторы уделяли также тем вопросам, изучение которых давало бы читателю возможность почувствовать, что классическая электродинамика, несмотря на прилагательное "классическая", является современной, живой и развивающейся наукой. Поэтому значительное место в книге занимают вопросы взаимодействия электромагнитного поля с поляризующимися и намагничивающимися средами. Мы отразили в книге, ввиду их важности, также и вопросы термодинамики диэлектриков, сегнетоэлектриков и магнетиков. Предполагается, что основы термодинамики известны читателю из курса общей физики. В крайнем случае, соответствующие параграфы можно при чтении опустить без ущерба для понимания последующий} чисто электродинамического материела.
Книга состоит из двух тесно связанных, но самостоятельных частей. Поэтому во второй части принята независимая нумерация параграфов. Ссылки на формулы даются без указания части книги во всех тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям.
Часть материала вынесена в дополнения. Это — вопросы математического характера (о тензорах, дельта-функции, сферических функциях Лежандра), лагранжева формулировка уравнений движения непрерывной среды, некоторые электростатические задачи физики диэлектриков, дополнительные сведения о тензоре энергии — импульса. Этот материал, а также часть основного текста — примеры, разъясняющие общую теорию, и краткие отступления в другие области физики — набраны петитом.
Мы обозначаем векторное произведение косым крестом (в X А), скалярное произведение ~ точкой (а • b).
Предполагается, что при систематическом изучении материала параллельно с чтением книги читатель работает со "Сборником задач по электродинамике" В.В. Батыгина и И.Н. Топтыгина [16]. Поэтому книга почти не содержит задач.
При написании книги авторы использовали опыт преподавания теоретической физики на двух физических факультетах Ленинградского политехнического института и опирались на общие принципы подготовки инженеров-физиков широкого профиля, заложенные основателем физикомеханического факультета акдемиком А.Ф. Иоффе и развитые его преемником академиком Б.П. Константиновым. Ранее курс электродинамики в Политехническом институте и лакции по избранным вопросам теории электромагнитных явлений в Ленинградском физико-техническом институте АН СССР около 20 лет с большим успехом читал профессор М.М. Бредов. Общаясь с ним, мы восприняли многие его педагогические идеи, касающиеся принципов изложения материала в области теории электромагнетизма. В некоторых параграфах первой части книги использованы конспекты его лекций. Эти обстоятельства, а также чувство глубокого уважения к профессору М.М. Бредову, побудили нас включить его в число авторов этой книги, которая была написана уже после его кончины.
Авторы приносят глубокую благодарность всем, кто оказывал им поддержку и помощь в работе над книгой. Особенно признательны за поддержку академику В.М.Тучкевичу, профессорам В.Л. Бонч-Бруевичу, А.Р. Регелю, Л.С. Стильбансу, Я.С. Уфлянду.
Авторы благодарят чл.-корр. АН СССР Л.П. Питаевского, профессора Ю.А. Фирсова, доктора физ.-мат. наук В.И. Денисова и доцента В.В.Батыгина за их труд по ознакомлению с рукописью и ценные замечания.
Мы очень признательны академику А.А. Логунову и сотрудникам кафедры квантовой теории поля и физики высоких энергий МГУ за их внимательное и доброжелательное отношение к нашей работе.
Мы особенно благодарны сотрудникам кафедры теоретической физики Ленинградского политехнического института, совместная педагогическая и научная работа с которыми и многочисленные обсуждения способствовали отбору материала книги и апробации вариантов его изложения.
Ленинград, декабрь 1983 г. В.В. Румянцев
И.Н. Топтыгин
Часть I
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ВАКУУМЕ
Глава I
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
Специальная теория относительности (СТО), на которой в настоящей книге базируется изложение релятивистской механики и электродинамики, была создана в начале текущего столетия трудами А. Эйнштейна и других выдающихся физиков и математиков*» (X. Лоренц, А. Пуанкаре, Г. Минковский, М. Планк и др.). Ее основой, в свою очередь, явились представления о свойствах пространства, времени и движения, выреботанные классической механикой, но углубленные, критически проанализированные и в некоторых важных пунктах измененные и дополненные Эйнштейном в связи с новыми опытными данными, полученными к тому времени в физике при изучении электромагнитных явлений, особенно в движущихся средах. Поэтому мы начнем этот пареграф, посвященный основам СТО, с креткого резюме некоторых понятий, известных из классической механики и необходимых для дальнейшего изложения. Предполагается, что эти понятия в основном известны читателю и требуют только некоторого напоминания.
§ 1. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
1.1. Пространство и врамя в классической механике. Из классической (ньютоновской) механики хорошо известно понятие инерциальной (галилеевской) системы отсчета — это такая система, в которой материальная точка, не взаимодействующая с какими-либо другими телами, движется равномерно и прямолинейно или покоится. Существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета, так как любая система, движущаяся относительно данной инерциальной системы с постоянной скоростью без вращения, также является инерциальной.
Координаты и время в различных инерциальных системах выражаются друг через друга посредством простых линейных соотношений. Пусть система S' движется относительно системы S со скоростью V = const, направленной вдоль оси х, причем в момент времени г = О начала координатных систем совпадали, а соответствующие оси параллельны (рис. 1.1). Тогда координаты х', у', г' и время г' в системе S' связаны с х, у, z, t, определенными в системе S, соотношениями
x'=x—Vt, у' = У, z'=z, t' = t, (1.1)
которые называются преобразованиями Гзлилея.
*) Оригинальные работы основоположников СТО можно найти в сборнике (77). 12
Обратим внимание на то, что время не преобразуется — во всех инерциальных системах время одно и то же, оно имеет абсолютный характер. Это свойство времени в классической механике очень четко выразил ее основоположник И. Ньютон*) **: "Абсолютное истинное математическое врамя само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью.".
Из преобразований Галилея (1.1) вытекает закон сложения скоростей в классической механике: если v и v' — скорости материальной точки относительно систем S и S’, то
v' = v-V. (1.2)
Скорости складываются по закону сложения векторов (правило параллелограмма) и ничем не ограничены по абсолютной величине.
Инерциальные системы отсчета отличаются от неинерциальных систем тем, что все законы физики формулируются в них наиболее просто. Физические явления в инерциальных системах также выглядят проще, чем в неинерциальных: на них не накладывается неравномерное движение самой системы отсчета.
В отсутствие каких-либо материальных тел и полей пространство, рассматриваемое относительно инерциальной системы, однородно и изотропно, а врамя — однородно. Под однородностью пространства понимается равноправие всех его частей: любая механическая система, помещенная в произвольную область свободного пространства, будет двигаться точно так же, как и в любом другом месте. Иными словами, поведение одинаковых механических систем при одинаковых начальных условиях — одно и то же в разных частях однородного пространства. По их поведению нельзя отличить одну область пространства от другой.
Изотропия пространства означает равноправие всех направлений в нем: поведение механической системы не зевисит от ее ориентации. Наконец, однородность времени означает, что все его моменты равноправны: движение механической системы будет происходить одинаково независимо от того, в какой момент времени она быле "запущена", т.е. когда были фиксированы начальные условия движения. Разумеется, начальные условия при разных "запусках" должны быть одними и теми же.
Говоря об одинаковости протекания механических явлений в различных ситуациях, следующей из свойств симметрии пространства и времени, мы пока все время имели в виду либо одну определенную инерциальную систему отсчета, либо системы, которые неподвижны друг относительно друга и лишь сдвинуты на некоторый вектор или повернуты на некоторый угол. Но, как уже говорилось, существует бесконечное множество инерциальных
*) И.Ньютон. Математические начала натуральной философии. — Собр. трудов
акад. А.Н. Крылова, т. VII. — М,—Л.: Изд-во АН СССР, 1936.
систем, движущихся друг относительно друга с постоянными скоростями. В связи с этим возникает важный вопрос — как будут протекать механические явления в движущихся инерциальных системах? Можно ли по наблюдению движения каких-либо тел узнать, движется ли система отсчета, в которой наблюдается то или иное механическое явление, или она покоится?
Ответ на эти вопросы дает принцип относительности классической механики, который является обобщением опытных данных о свойствах механического движения:
механические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково во всех инерциальных системах.
Это означает, что все инерциальные системы равноправны, ни одна из них не является чем-либо выделенной, привилегированной. Движение можно определить только по отношению к какому-либо телу или системе осей, связанных с телом, оно носит относительный характер, не существует "абсолютного" движения.
Следует подчеркнуть важность оговорки об одинаковости начальных условий. Если начальные условия движения тел в разных инерциальных системах различны, то движение тел будет происходит по-разному. Например, мяч, подброшенный вертикально вверх в вагоне поезда, будет двигаться по прямой в системе, связанной с вагоном, но его траектория будет параболой в системе, связанной с Землей. Различие в движениях связано с неодинаковостью начальных условий в двух системах — поезда и Земли. Если не трабовать тождественности начальных условий, то можно утверждать лишь об одинаковости законов механики (т.е. дифференциальных уравнений движения), но не самих движений (т.е. координат, скоростей, траекторий тел) в разных инерциальных системах.
Матеметическим выражением принципа относительности классической механики является инвариантность ее уравнений движения относительно преобразований Галилея (1.1). Запишем уравнение движения частицы с массой m в системе S:
d2r
m— = F, (1.3)
dt2
где F — сила, действующая на эту частицу, а г — радиус-вектор частицы. Из формул (1.1) следует: d2r/dt2 = d2r’/dt'2 - ускорение частицы в двух инерциальных системах одно и то же. Кроме того, в классической механике масса — инвариантная величина, одинаковая во всех системах отсчета: т' = = т. Таким же свойством обладает сила: F'-F.
Ивариантность силы — утверждение менее очевидное, поэтому остановимся на нем подробнее. В инерциальных системах отсчета существуют только силы взаимодействия между телами, которые могут зависеть от относительного положения тел и от их относительной скорости. Пусть, для определенности, рассматриваемая частица взаимодействует с некоторым телом малых размеров. Если обозначить его радиус-вектор в системе S через R, а скорость — через и, то сила F будет зависеть от разностей г — R, у — и:
F = F(r—R,v— и}. (1.4)
Но при переходе в другую инерциальную систему, согласно преобразованиям Галилея (1.1) и закону сложения скоростей (1.2),
г —R=r' —R', v — и = у' — и',
т.е, расстояния между телами и их относительные скорости не изменяются. Существенно, что согласно опытным данным, в области применимости 14
классической механики и само взаимодействие между телами не зависит от того, в какой инерциальной системе оно рассматривается. Поэтому
F'lr - Я',»' - «') = F(r- R, v - «) (1,5)
— как сами функции F (силы), так и их аргументы одинаковы.
Таким образом, при переходе в систему S' уравнение (1.3) сохраняет свой вид,
с/’г'
т (1.6)
dt 1
причем масса, сила и ускорение в обеих системах одинаковы, меняются только обозначения этих величин. Это означает, что уравнение движения (1.3) остается инвариантным (неизменным) относительно преобразований Галилея. Но тогда и решения уравнений (1.3) и (1.6) при одинаковых начальных условиях будут тождественны, в соответствии с содержанием принципа относительности.
Обратим внимание на одно важное свойство взаимодействия тел в классической механике, которое отражено в формулах (1.4) — (1.5). Сила зависит от координат (и, возможно, скоростей) взаимодействующих тел, причем координаты и скорости берутся в один и тот же момент времени. Это означает, что если положение одного из тел изменилось, второе тело почувствует это изменение немедленно. Взаимодействие передается мгновенно, т.е. с бесконечно большой скоростью.
Содержащееся в уравнениях классической механики предположение о бесконечной скорости распространения взаимодействий (иногда говорят о распространении "сигналов") находится в полном соответствии с абсолютным характером времени. Действительно, пусть в системе S имеется устройство, которое испускает изотропно во все стороны "сигнал", распространяющийся с бесконечной скоростью. Соответствующие приборы, находящиеся в любых точках пространства и в любых инерциальных системах, движущихся относительно S с конечными скоростями, зафиксируют этот сигнал в тот же момент, в который он был испущен. Тем самым такие сигналы могут служить "метками времени", с помощью которых во всех инерциальных системах будет отсчитываться одно и то же, т.е. абсолютное, время t' = t" = ... = t.
Аналогичным образом обстоит дело с определением одновременности: если два сигнала испущены одновраменно в двух разных точках в системе S, то они будут одновременно зафиксированы соответствующим прибором в системе S'. События, одновременные в одной инерциальной системе, одновременны и в любой другой системе. В классической физике одновременность абсолютна.
В заключение перечислим еще раз основные свойства пространства и времени в классической физике.
1. Существуют инерциальные системы отсчета, относительно которых свободная частица (материальная точка) движется равномерно и прямолинейно (покой — частный случай такого движения).
2. В любой инерциальной системе отсчета свободное от материи пространство однородно и изотропно, а время однородно.
3. Любое механическое явление при одинаковых начальных условиях протекает одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета (принцип относительности),
4. Взаимодействия между материальными телами и сигналы, служащие для передачи информации, могут распространяться с бесконечной скоростью.
5. Координаты и время в двух инерциальных системах связаны преобразованием Галилея (1.1). Врамя одинаково во всех инерциальных системах, т.е. абсолютно. Одновременность тоже абсолютна.
1.2. Принцип относительности Эйнштейна. Экспериментальные и теоретические исследования электромагнитных явлений, особенно в движущихся телах, потребовали пересмотра и уточнения основных представлений о свойствах пространства, времени и движения. Мы не будем обсуждать здесь экспериментальных основ СТО — предполагается, что читатель знаком с ними по курсу общей физики *1. Мы изложим основные свойства пространства, времени и движения в их современном понимании; при этом, в целях преемственности, мы примем за основу свойства, сформулированные выше.
1. Постулат о существовании инерциальных систем и их определение сохраняют полную силу и в СТО.
2. Пределы применимости утверждения о свойствах симметрии пространства и времени (однородность и изотропия свободного пространства, однородность времени) расширяются и распространяются не только на механические, но на все физические явления (электромагнитные, тепловые, процессы взаимодействия элементарных частиц и т.д.). Это означает, например, что следствием однородности пространства будет одинаковое протекание любого физического явления (колебание маятника, излучение радиоволн антенной, распад элементарной частицы и т.д.) в любом месте свободного пространства. Аналогичным образом обобщаются понятия изотропии пространства и однородности времени.
3. Принцип относительности классической механики обобщается на все без исключения физические явления и становится одним из самых общих законов природы. В этом обобщенном смысле его можно сформулировать следующим образом:
Любое явление природы протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчета, если начальные условия (I)
одни и те же.
4. Взаимодействия между телами и сигналы, передающие информацию, не могут распростреняться с бесконечной скоростью. Существует максимальная (предельная) скорость распространения взаимодействий. Многочисленные экспериментальные данные указывают на то, что эта предельная скорость совпадает со скоростью света в вакууме**).
Это утверждение обычно называют постулатом о постоянстве скорости света в вакууме. Его можно сформулировать в другой, эквивалентной форме:
Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных
системах отсчета, она не зависит от движения источника (II)
или приемника света.
Нетрудно понять, что приведенные формулировки эквивалентны. Если бы предельная скорость распространения сигналов и взаимодействий изме
*) Прекрасное изложение экспериментов, лежащих в основе СТО,и становления ее основных идей в историческом плане читатель нейдет в книге Л.И. Мандельштама [2].
♦•)При описании различных физических явлений могут быть использованы два рода величин: координетные и физические. Поскольку первые из них в большой мере отражают выбор координатно-временнбй сетки и требуют знания специальных правил обращения с ними, то они в этой книге не используются. Все утверждения, содержащиеся здесь и далее в тексте, относятся только лишь к физическим величинам. С использованием координатных величин и их свойствами можно познакомиться по книге А.А. Логунова [63].
нялась при переходе из одной системы отсчета в другую, то она утратила бы свой предельный характер: при переходе в другую инерциальную систему можно было бы как уменьшить, так и увеличить эту скорость. Следовательно, постулируя существование предельной скорости, мы обязательно должны считать ее одинаковой во всех инерциальных системах отсчета, т.е. инвариантной величиной. Тот факт, что именно скорость света (т.е. скорость распространения электромагнитных волн) совпадает с предельной скоростью передечи взаимодействий, не играет решающей роли для СТО, но является очень важным свойством самого электромагнитного поля.
Совокупность постулатов (I) и (II) называется принципом относительности Эйнштейна . ‘Нетрудно видеть, что эти постулаты противоречат классической механике. Законы классической механики, как мы видели, будут одинаковы во всех инерциальных системах, если координаты и время преобразуются по формулам Галилея (1.1). Но из последних вытекает закон сложения скоростей (1.2). Если скорость света в системе S равна с, то в другой инерциальной системе, согласно (1.2), она станет равной
ч' = с-Г. (1.7)
Скорость v' по модулю может быть как больше, так и меньше с, в зависимости от угла между с и К, что и доказывает несовместимость постулата о постоянстве скорости света с преобразованиями Галилея, а тем самым — и с законами классической механики; поэтому, если мы хотим принять приведенные выше общие положения (1) — (4), то должны отказаться от преобразований Галилея и абсолютности времени, т.е. от свойства 5 (см. п. 1.1).
Эйнштейн глубоко проанализировал свойства времени и понятие одновременности. Он показал, что классическая механика приписывала времени такие свойства, которые, вообще говоря, не согласуются с опытом и могли выглядеть как приблизительно правильные только при малых скоростях движения. Одним из центральных пунктов эйнштейновского анализа понятия времени является синхронизация часов, т.е. установление единого времени в пределах одной инерциальной системы отсчета. Если двое часов находятся в одной точке пространства, то их синхронизация производится непосредственно — стрелки ставятся в одно и то же положение (мы будем предполагать, что все часы одинаковы и идеально точны). Но как произвести синхронизацию часов, находящихся в разных точках пространства,-4 и В?
Эйнштейн предложил производить синхронизацию часов с помощью световых сигналов, которые распростреняются, как мы видим, с максимально возможной в природе скоростью передачи сигналов и взаимодействий. Испустим из точки А в момент rt короткий световой сигнал, который отразится от некоторого зеркала в точке В и вернется в точку А в момент f2. Времена распространения сигнала туда и обратно конечны (скорость сигнала конечна!) и одинаковы (изотропия пространства!). Поэтому часы в точке В будут синхронизованы с часами в точке А, если их показания Гв в момент прихода сигнала будут связаны с показаниями часов А в моменты испускания (rt) и возвращения (г3) сигнала соотношениями
Г1=^В~ГАв/с» ^2=^В+гАв/с»
где гдв — расстояние между точками А и В. Отсюда находим положение, в которое надо поставить стрелки часов В в момент прихода сигнала: г в = = (fi +Гг)/2. Совершенно очевидно, что синхронизацию часов с тем же
*) Впервые этот принцип был сформулирован в его основополагающей работе по СТО (102).
2. М.М. Бредов ,,
результатом можно произвести, испуская сигнал в точке В и принимая его в точке А. Такой же способ синхронизации можно применить для точек С, D и тщ., и таким образом синхронизовать все часы, неподвижные друг относительно друга в некоторой инерциальной системе S — все они будут показывать одно и то же время г.
А можно ли часы, движущиеся относительно системы S, синхронизовать с часами, неподвижными в S? Мысленные эксперименты со световыми сигналами, аналогичные описанному, показывают, что такая синхронизация невозможна, единого для всех инерциальных систем времени не существует. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим поучительный пример с эйнштейновским "поездом".
Пусть наблюдатель А находится посредине длинного "поезда", движущегося с релятивистской скоростью, а наблюдатель В стоит на земле близ полотна железной дороги. Приборы С и D, находящиеся в голове и в хвосте поезда на одинаковых расстояниях от А, испускают две короткие световые вспышки, которые достигают наблюдателей А и В одновременно — в тот момент, когда они поравняются друг с другом. Какие выводы из факта одновременного прихода к ним сигналов из С и D смогут сделать наблюдатели в поезде и на земле?
Наблюдатель А: сигналы были испущены из точек, удаленных от меня на равные расстояния, и пришли одновременно, следовательно, они и испущены были одновременно.
Наблюдатель В: сигналы пришли ко мне одновременно, но в момент испускания голова поезда была ко мне ближе, чем хвост. Следовательно, сигнал от хвоста прошел больший путь и был испущен раньше, чем сигнал от головы.
Этот пример показывает, что часы в системе поезда (S') синхронизованы только с точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно S'. Для наблюдателя в системе S (земля) часы в точках С, D, А показывают различное время. По этой причине события, одновременные в системе S' (вспышки в С и в D), неодновременны в системе S. Но это означает, что и синхронизация часов наблюдателя В, находящегося на земле, с часами в поезде невозможна — время в двух разных инерциальных системах, совершающих относительное движение, различно, г' ¥=г. Это не исключает возможности совпадения времени в разных системах в отдельный момент — например, наблюдатели А и В в момент встречи могут установить одинаково стрелки своих часов. Но уже в любой последующий момент показания часов разойдутся.
1. 3. Преобразования Лоренца. Нам нужно установить на основе рассмотренных выше свойств пространства, времени и движения в СТО формулы преобразования координат и времени при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, которые заменили бы преобразования Галилея. Логика вывода будет такой: мы будем последовательными этапами, исходя из физических постулатов, формулировать математические требования, которым должны удовлетворять формулы преобразований, и на каждом этапе искать соответствующие ограничения на искомые формулы, пока не определим их структуру до конца.
1. Из однородности пространства и времени следует, что преобразования должны быть линейными:
х' = ax + a'y + 0'z + 0t + p и т.д„ (1.8)
где а, 0, а ,.. . — постоянные коэффициенты. Если бы эти величины были функциями координат и времени (т.е. связь между штрихованными и
нештрихованными переменными была нелинейной), это означало бы, что закон преобразования (1.8) неодинаков для разных точек пространства и для разных моментов времени. Это противоречило бы однородности пространства-времени — по закону преобразования можно было бы отличать одни области пространства (и моменты времени) от других. Но коэффициенты а, 0 и т.п. могут зависеть, разумеется, от относительной скорости.
2. Конкретизируем теперь рассматриваемые системы (рис. 1.1). Пусть соответствующие им оси параллельны и относительное движение происходит вдоль оси х со скоростью V, а начала отсчета выбраны так, что при t = 0 точка х' = у' = z' = 0 (начало координат системы S') совпадает с точкой х =y=z=0 (началом координат системы S). Стрелки часов в системе S' мы поставим таким образом, чтобы в момент совпадения начал координат систем они показывали время t’ = 0. В этих условиях свободные члены в равенствах (1.8) (постоянная р и т.п.) обратятся в нуль.
Мы видим далее, что плоскость ху совпадает с плоскостью х'у'. Это означает, что при г' = 0 должно быть и г = 0, причем эти равенства должны выполняться при любых значениях х', у', t' и соответственно х, у, t. Это возможно только если связь между z и г'имеет вид z' = kz, к = const. Ввиду произвольности направлений осей у и г (изотропия пространства!) такая же связь с тем же коэффициентом к должна быть между у и у': у' = ку’
Теперь рассмотрим преобразования х' и г'. Запишем их в виде
х' = ах + 0Г + а у + 0'z,
, (19)
t' = ох + 6t + o'y + S'z.
В плоскости х' = 0 имеем х = Угпри любых z и у, так как система S' движется относительно S со скоростью V. Подставив эти значения х и х' в первое равенство (1.9), будем иметь а'=0'= 0, 0 = —аУ. Наконец, обратимся к формуле преобразования для t'. Мы установили часы в системе S'так, чтобы при х = 0и t = 0 было t' = 0. Это возможно только при а' = 6 = 0. В итоге имеем следующие формулы преобразований:
х' = а( У)(х- Уг), у' =k{V)y, г' = к( У)г, г' = а( У)х + 6(У)г. (1.10)
где у коэффициентов явно указана зависимость от относительной скорости.
3. Используем теперь условие равноправия систем S и S'. Оно означает, что формулы перехода из S' в S должны получаться из формул перехода (1.10) заменой У на—У:
х = а(- У)(х'+ Уг’), У = к{— У)у', z = k(— V)z', t = а(- У)х' + 6(- У)г'.
(1.11)
Обратимся сначала к формулам для у и z. Случаи (1.10) и (1.11) отличаются только направлением относительной скорости, которая и в том и в другом случаях перпендикулярна к плоскости yz. Но оба направления совершенно равноправны (изотропия пространства!), поэтому Л(-У) = = к( У). Совершая преобразование от у к у' и затем снова от у' к у, будем иметь у = к1 у, т.е. к2 = 1, к = ± 1. Значение к = — 1 отвечает противоположной ориентации осей у и у', поэтому соответствие с рис. 1.1. будет только при значении к = 1.
Обратимся к преобразованиям (1.11) и подставим в формулу для х значения х' и t' из (1.10) :
х= (а(- У)а(У) + Уа(У)а(— У)]х +а(-У)У[6(У) — а(У)] Г. (1.12)
Чтобы это равенство было справедливо при всех х и t, коэффициенты преобразования должны удовлетворять соотношению
5(U)=a(U). (1.13)
Второе соотношение, следующее из (1.12), нам не потребуется. Вместо него удобнее воспользоваться постулатом о постоянстве (правильнее сказать — об инвариантности) скорости света.
4. Пусть в момент совпадения систем S и S' (г = г' =0) из совпадающих начал отсчета испущен короткий световой сигнал. Точка пересечения фронта волны с осью х движется в системе $ со скоростью x/t = а Но вследствие того, что световой сигнал распространяется во всех системах отсчета с одинаковой скоростью, скорост фронта в системе S' будет той же самой: x'/t' = с. На основе этих условий получаем из (1.10), поделив уравнение для х' почленно на уравнение для г':
а(с- V) с =-------- .
ос + а
Отсюда
V
a(U) =a(U). (1.14)
с
Чтобы определить коэффициент а( V), рассмотрим уравнения сферического волнового фронта в системах S и S':
х2+y2 + z2 = (ct)2, х'2+/'2+z'2 =(ct')2. (1.15)
В этих уравнениях опять использовано свойство инвариантности скорости света, поэтому с — одинаковое. Поскольку у' = у, z’ = z, то
(ct')2 — х'2 = (ct)2 — х2. (1.16)
Спомощью (1.10), (1.13) и (1.14) получаем из последнего уравнения
а2(1 - U2/c2)(c2t2 -х2) = (ct)2 -х2
откуда
а(У) = ± (1-У2/с2Г1/2, (1.17)
Здесь снова нужно взять только знак плюс, так как минус соответствует противоположному направлению осей х и х'.
Собирая воедино результаты (1.10) —(1.17), приходим к релятивистским формулам преобразования координат и времени (преобразования Лоренца):
, x-Vt , , , t-Vx/c2
х=—======, у =у, z =z, t-------------------. (1.1В)
Vi - V2/c2 V2/c2
Обратные преобразования получаются из (1.18) заменой V на — V:
x'+Vt' , t'+Vx'/c2
х~ /~~ , 5 ' / = z = z, t=—. :.. =7- (1.19)
VI - V2/c2 \/l - V2lc2
Для сокращения записи формул релятивистского преобразования введем часто используемые обозначения:
&=V!c, 7= (1-02)~1/2. (1.20)
В этих обозначениях
х' = ?(х-Уг), у' = у, г=г, ct' = y(ct - 0х). (1.21)
При V/c< 1 имеем: \/l — И2/с2' * 1, и преобразования Лоренца (1.18) переходят в преобразования Галилея (1.1) .Таким образом, последние применимы только при малых, по сравнению с предельной скоростью с, относительных скоростях движения инерциальных систем. При V ->с коэффициенты в формулах (1.18), (1.19) обращаются в бесконечность и сами преобразования Лоренца теряют смысл. Это объясняется тем, что системы отсчета могут быть связаны только с макроскопическими материальными телами, относительные скорости которых не могут достигать предельной скорости с.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
2.1. Сокращение масштабов. Преобразование объема. Пусть в системе S' имеется неподвижная твердая линейка длиной 10 (масштаб), ориентированная вдоль оси х'. Какую длину будет иметь этот же масштаб в системе S? Определим эту длину следующим способом: одновременно (в системе S) сделаем зарубки на оси х против концов масштаба, движущегося в этой системе со скоростью V. Расстояние между зарубками (неподвижными в S) и примем за длину I движущегося относительно S масштаба.
Для вычисления длины I используем преобразования Лоренца (1.18). Пусть концам стержня в системе соответствуют координаты х’(, х'2. Зарубки лелеются в один и тот же момент ti = t2 = t в системе S в точках Xi,x2. Из (1.18) имеем х2 - х\ = (х2 - х, )/ч/1 - И2/с2'; нох2 - х\ равна /о — Длине неподвижного стержня, а х2 — х, равна I — длине движущегося стержня. Поэтому
Z = ZoVl - У2/с2 ' (2.1)
— при движении стержень сокращается (сокращение Лоренца — Фитцджеральда) .
Из формул (1.18) видно, что масштаб, ориентированный перпендикулярно относительной скорости, не испытывает лоренцева сокращения. Поэтому объем движущегося тела уменьшится только за счет сокращения продольного размера:
Г= Го \/1 - У21с2\ (2.2)
Мы видим, что длина и объем тел в СТО различны в разных инерциальных системах, тогда как в классической механике эти величины инвариантны, т.е. одинаковы во всех системах отсчета.
Необходимо подчеркнуть, что сокращение движущегося масштаба или уменьшение объема движущегося тела — это реальные, а не кажущиеся эффекты. Они устанавливаются в результате измерения расстояния между реальными метками, фиксирующими положение концов стержня в выбранной системе отсчета.
22. Относительность одновременности. Собственное время. Мы уже указывали в § 1.2, что понятие одновременности в СТО теряет свой абсолютный харектер. Здесь мы рассмотрим этот вопрос количественно. Пусть в системе S* в точках с координатами х\ и х2 произошли одновременно (r'i = Г2) два события. С помощью (1.19) найдем промежуток
времени между этими событиями в системе S:
У(х2 -хП с2 х/1 — V2/c2'
Дг = t2
(2.3)
Этот результат показывает, что абсолютный харектер имеет одновременность только таких событий, которые происходят в совпадающих точках пространства. При = х2 время между событиями Дг = 0 во всех системах, если Дг = 0. В том же случае, когда события пространственно разделены, они, будучи одновременными в одной системе отсчета, неодновременны, вообще говоря, в других системах.
Сравним теперь промежутки времени, отсчитываемые по часам в движущейся и неподвижной инерциальных системах. Пусть одни часы покоятся в системе S, а другие — в S'. Пока в системе S' пройдет промежуток времени т, в системе S пройдет согласно (1.19) большее время
Дt = т/Vi - V2/c2‘. (2.4)
Для дифференциалов времен в двух системах получим связь:
dr = \/l - У21с2' dt. (2.5)
Мы видим, что в движущейся системе время течет медленнее.
И пространственный объем, и время различны в разных инерциальных системах. Но их произведение инвариантно, в чем можно убедиться, перемножая равенства (2.2) и (2.4):
^ДГ= ^0T=inv. (2.6)
Время, отсчитываемое по часам, неподвижным относительно некоторого объекта, называется собственным временем этого объекта. Формула (2.5) дает связь между собственным временем покоящихся в системе S1 объектов и временем г, отсчитываемым в системе S. Собственное время можно определить и для неравномерно движущихся объектов. В этом случае для dr сохраняется определение (2.5), где V имеет смысл скорости инерциальной системы, мгновенно сопутствующей рассматриваемому объекту и совпадающей, следовательно, со скоростью самого объекта. Конечный интервал собственного времени получится интегрированием (2.5):
т = /’ Vi -v2{t}lc2'dt, (2.7)
ti
где и(г) - скорость объекта в системе S.
2.3. Релятивистское преобразование скорости. Рассмотрим произвольное движение некоторого тела малых размеров. По определению,
vx = dx/dt, vy = dy/dt, vs = dz/dt
— декартовы составляющие скорости тела в системе S, а
v’x = dx’/dt', v'y = dy'/dt', v's = dz/dt’
— декартовы составляющие скорости того же самого тела в системе S', если штрихованные и нештрихованные переменные связаны соотношениями (1.18). Чтобы найти связь между »'и», переписываем (1.1В) для дифференциалов,
, dx-Vdt , , dt - Vdxlc2
dx = .— , dy = dy, dz = dz, dt = —====—
Vi - V2lc? x/\-V2Ic2'
и делим первые три равенства почленно на dt'. Получим vx - V , vyy/T-V2 /с2' , уг л/l - У2/с2'
Vx l-vxV/c2' У l-vxV/c2 ’ Vz 1—vxV/c2
Эти формулы выражают релятивистский закон сложения скоростей, заменяющий правило пераллелограмма (1.2) классической механики.
В пределе V/c <1 формулы (2.8) переходят в (1.2), а при v ~*с обеспечивают предельный характер скорости света с. Так, если -*с, vy = vz = О, то Vy = v'z ~ 0, а
, с - V
--------= с, (2.9)
1 - Vic
в соответствии с принципом инвариентности скорости света. Результат не изменится, если скорость свете будет направлена навстречу V. В числителе и знаменателе предыдущей формулы изменятся знаки перед V, но результат сложения скоростей останется прежним. Следует подчеркнуть, однако, что при сложении скоростей остается неизменной только абсолютней величина скорости света. Направление же ее может измениться при переходе в другую систему.
Результат (2.9) не означает, что в СТО никекие скорости не могут превышать скорости света. Скорость светового зайчика на экране, достаточно удаленном от источника, фазовая скорость волны, скорость разлета или сближения частиц в лабореторной системе и т.п. могут быть больше с. СТО утверждает лишь, что со сверхсветовыми скоростями невозможна передача информации и взаимодействий.
24. Преобразование направлений. Аберрация света. Преобразование скорости (2.8) влечет за собой преобразование углов 0, Ф, определяющих ее направление. Пусть 0 — угол между скоростью тела v и относительной скоростью V, а Ф — соответствующий езимутальный угол, отсчитываемый в плоскости, перпендикулярной V. С помощью (2.8) находим: v'y/v'z -= vy/vz. Это означает, что азимутальный угол Ф не преобразуется:
Ф = Ф'. (2.10)
Формулу преобразования угле @ находим следующим образом:
\/hv + V, v sin ©'
tg 0 = -+-*---- = ---;-----;-----.
vx y(v cos 0 + И
(2.11)
Мы воспользовались здесь формулами (2.8), заменив в них V не -V.
При релятивистском относительно: * движении систем отсчета (I/ ~>с) имеем 0<0' во всех случаях за исключением того, когда скорость частицы в системе S’ тоже близка к с и направлена противоположно V.
Для света v' =с,и (2.10) —(2.11) дают
sin 0'
tg© =----------— , Ф = Ф. (2.12)
7(0 + cos © )
Эти формулы описывают преобразование направления луча свете при переходе в другую систему (явление аберрации света). Если 0 < | cos 0' | , то из (2.12) получим в первом порядке по V/c:
tg ©' - tg ©
0 tg 0' cos©'
(2.13)
т.е. изменение угла Д© = ©'-©- малая величина порядка 0 = Vic. Поэтому в первом приближении
V
Д© = — sin © . с
Аберрация света и элементарная формула (2.13) сыграли большую роль в истории развития СТО. Пусть в некоторой системе отсчета $' — системе неподвижной звезды — направление лучей света составляет угол ©' = тг/2 с направлением скорости Земли V (которую будем считать параллельной
Рис. 21.
земной поверхности). Тогда в телескоп, установленный на Земле, звезда будет видна под углом Д© = V/c к вертикали (рис. 2.1) . Через полгода, когда направление V изменится на противоположное, изменится и направление на звезду. Таким образом, неподвижные звезды будут совершать на небосводе видимые движения, причиной которых является движение Земли по орбите. Формула (2.13) хорошо подтверждается наблюдениями.
В заключение остановимся на преобразовании угловых размеров световых пучков. Пусть в некоторой системе $' пучок света распространяется внутри малого телесного угла d£l' = sin Какие угловые размеры
будет иметь тот же пучок в системе S ?
В этой системе d£l = — d cos @d<t>, где углы ©, Ф нужно выразить через ©' и Ф' с помощью формул (2.11). Удобно вычислить сначала cos©: cos &' + 0 cos 0 = -------------,
1 + 0 cos ©
причем знак при извлечении корня выбирается так, чтобы cos © - cos в' при 0 = 0. Дифференцируя (2.14), выражаем d£l через d£l'-.
1 -02 = ------------<Ш .
(1 +0COS©)2
Обратное преобразование, как обычно, получается переменой мест штрихованных и нештрихованных величин и изменением знака перед 0.
Чтобы лучше понять смысл преобразования телесного угла, представим себе, что в системе S имеется источник, испускающий свет изотропно во все стороны. Внутри телесного угла d£l' испускается доля от всего излучения, равная dN = d£l/tyn. Величина f' = dNld£l= 1/4ir представляет со-24
(2.14)
(2.15)
бой функцию распределения излучаемого света по углам. В системе S та же доля излучения dN будет приходиться в соответствии с (2.15'- на другой телесный угол, так что
1 -02 dN ----------------- dn.
4я(1 — (Seos©)2
(2.16)
Мы видим, ч to изотропное в одной системе распределение света по направлениям становится анизотропным в другой системе. Новая функция рас-
пределения
1-02
7(0) ------------------
4тг(1 -0 cos в)2
(2.17)
становится резко анизотропной при релятивистской относительной скорости, когда 1—Д<1. В этом случае излучения в направлении относительной скорости (0 = О) и в противоположном направлении (6 = л) относятся как о
ЯО)/Пя) = (1 +0)/(1 -0)*472 >1.
Это означает, что любой источник света, движущийся с релятивистской скоростью, будет в основном излучать вперед по движению внутри конуса с углом раствора *)
в0=7-1<1, (2.18)
даже если его излучение в сопутствующей системе близко к изотропному. Это свойство излучения играет большую роль для частиц с v ==с.
2.5. Видимая форма быстродвижущихся тел. Поскольку все тела испытывают лоренцево сокращение, как это ясно из § 2.1, то, казалось бы, наблюдатель, движущийся с релятивистской скоростью, должен видеть все предметы сплющенными в направлении движения. Так, шар должен выглядеть сплющенным эллипсоидом вращения, куб — прямоугольным параллелепипедом и т.д. Однако такое представление оказывается неверным. Эффекты СТО (конечная скорость света и сокращение Лоренца) фактически приводят к тому, что тела, рассматриваемые в параллельном пучке света (т.е. в малом телесном угле), кажутся не сплющенными, а повернутыми относительно наблюдателя на некоторый угол а.
Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим следующий пример: куб, фотографируемый в параллельном пучке света. Пусть непрозрачный куб с ребром 1„ в своей системе отсчета движется относительно наблюдателя со скоростью V. Наблюдатель фотографирует его в момент, когда лучи света, испускаемые поверхностью куба, попадают в объектив фотоепперата под прямым углом к направлению движения (в системе фотоапперата, рис. 2.2.). Какое изображение будет сфотографировано?
Лучи, испущенные разными точками ребра А'В' одновременно в системе $' (куба) , достигнут фотопластинки тоже одновременно. Длина изображения АВ будет такой же, как и в случае неподвижного куба, и будет определяться только тем сокращением, которое обусловлено расстоянием до предмета и фокусным расстоянием фотоаппарата. Примем эту длину за единицу.
У неподвижного куба изображение ребра Е'Е' в параллельных лучах было бы слито с изображением А'В'. В случае движущегося куба лучи от ребра E’F' должны быть
*) Как легко проверить с помощью (2.17), Ле0)/ЛО)«1/4.
При 0 > 0О, но при 0 4 1 отношение /(0)/ло) « (0„/е)4 < 1.
испущены раньше на время Дг = /0/с, тогда они достигнут фотопластинки одновременно с лучами от А'В'. В момент испускания света ребро E'F' занимало положение E\F\ и до испускания света ребром А'В' проделало путь, равный И/0/с. Следовательно, теперь изображения ребер А’В' и E'F' не наложатся, изображения ребер А'Е' и B'F' будут иметь длину И/с = 0, а не нуль, как у неподвижного куба, и вся грань A'B'F’E' сфотографируется в виде прямоугольника ABFE (рис. 2.3) с отношением сторон, равным 1 :0.
Лучи, создающие изображение ребер А'В' и C'D', испускаются кубом одновременно в системе 5. В системе S', как следует из преобразований Лоренца (1.21), лучи сребра C'D' должны быть испущены раньше, чем с ребра А ’В’, на время ДГ’ = yVl/c*. где / — длина ребер В’С’ и A’D' в системе S. Можно считать, что а системе 5’ на расстоянии Дх' = / 0 произошли два события, причем одно на Д t’ позже другого. Расстояние между ними в системе S определяется с помощью (1.19):
/ = Дх = ?(Дх' - ИД И = /0\/1 — 0*‘-
Ребра В'С’ и A’D'. параллельные направлению движения, испытали, таким образом, обычное лоренцево сокращение. Их изображения (с учетом сокращения в фотоаппарате) будут иметь длины V1 — £’ •
Остальные ребра куба будут находиться на невидимой наблюдателем в рассматриваемый момент времени стороне и не будут сфотографированы. Таким образом, на фотографии получится задняя (по отношению к направлению движения) часть куба, т.е. куб будет выглядеть повернутым на угол о = arcsin(VM (см. рис. 2.3), но его форма не будет искажена. Если бы время было абсолютным и сохранялись в силе преобразования Галилея, то ребра A'D' и В'С' не испытали бы лоренцева сокращения, отрезки AD и ВС имели бы на фотопластинке длины, равные 1, и форма куба была бы искажена.
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА.
ИНТЕРВАЛ И ПРИЧИННОСТЬ
3.1. Преобразование Лоренца как поворот в четырехмерном мире. Многим результатам релятивистской кинематики можно придать простой геометрический смысл. Такой подход облегчает их интерпретацию и позволяет развить изящный математический аппарат СТО.
Поскольку время в СТО теряет абсолютный характер и зависит от системы отсчета, то для изображения кинематических соотношений естественно использовать четырехмерное многообразие — "пространство — время", для которого применяют также выходящее из употребления название "мир" или, более подробно, "четырехмерный мир Минковского". Изобразим на рис. 3.1 двумерное сечение четырехмерного пространства и отложим
на взаимно перпендикулярных осях координаты х и ct (удобно умножить время на с, чтобы обе координаты имели одинаковую размерность). Отдельные точки в четырехмерном пространстве — времени указывают пространственные координаты и время некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого тела (т.е. его координаты в разные моменты времени) изображается "мировой линией".
Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики) обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной системе тела. Так, мировой линией тела, покоящегося в (пространственной) точке х0 оси х, будет прямая АВ, параллельная оси ct и проходящая через х0; мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью v = const (и проходящего через начало координат при t = 0) — прямая CD (tg а = v/c}; мировая линия тела, движущегося с переменной скоростью и(г) кривая MN; мировая линия светового луча, испущенного в момент г = 0 из начала координат в направлении оси х — биссектриса координатного угла OF.
Выясним теперь геометрический смысл преобразования Лоренца. Запишем его только для х и ct:
x' = y(x—Pct), ct'= y(ct - fix). (3.1)
Это — линейное однородное преобразование, очень напоминающее преобразование поворота в трехмерном евклидовом пространстве. Запишем, например, преобразование поворота на угол <р в плоскости ху в обычном пространстве:
х' =х cos <р + у sin tp, у' = — х sin <р + у cos <p. (3-2)
Новые оси x, у, получающиеся в результате такого преобразования, изображены на рис. 3.2. Важнейшим свойством этого преобразования является сохранение расстояния между любыми двумя точками:
(*2 - х'1 )2 + (у2 - У1 )2 = (х2 - Х1 )2 + (у2 - И )2 • (3.3)
Расстояние г12 = х/(*2 ~ xi )2 + (н _ И г между точками 1 и 2 остается инвариантным при преобразовании поворота.
Для выявления сходства и различий между поворотом в евклидовом пространстве и преобразованием Лоренца запишем (3.1) через гиперболи-
ческие функции:
х' = xch ф -ctsh ф, ct' = -xsh ф + etch ф, (3.4)
где
ch^ = 7=(1 - У2/с2Г1/2, shtf,=07=(V7c)(1 - У’/с2)-1/2, (3.5)
причем, как и должно быть
ch2i// — sh2 ф = 1. (3.6)
Преобразование (3.4) также обладает свойством оставлять инвариантной некоторую квадратичную комбинацию координат х и ct — интервал
s, 2 = \Z(ct, -ct2)2 -{xt -х2)2’. (3.7)
В самом деле, из (ЗА) —(3j6) непосредственно следует, что (ct'2 -ct',)2 — - (Х2 -х',)2 = (ct2 — ct,)2 — (х2 - х,)2, и, таким образом,s',2 =«12 = = inv. Интервал $,2 можно рассматривать как "расстояние" между точками плоскости х, ct. Но квадрат разности пространственных координат входит в выражение интервала со знаком минус. Пространство, в котором расстояние между точками определено формулой (3.7), называется псевдоев-клидовым. Наряду с очевидным сходством, между псевдоевклидовым и евклидовым пространствами имеются и существенные различия. Так, в евклидовом пространстве квадрат расстояния мажду двумя точками г2 2 > 0, причем равенство этой величины нулю означает, что точки 1 и 2 совпадают. В псевдоевклидовом пространстве s, 2 может иметь любой знак, а обращение интервала в нуль возможно и для двух совершенно различных точек в четырехмерном пространстве — времени.
Рассмотрим, далее, положаниа новых осей х', ct' на псевдоевклидовой плоскости. Отложим координаты х и ct на осях прямоугольной системы координат (рис. 3.3). Точка х.' = 0, совпадающая с началом координат системы S', движется в системе S со скоростью V. Ее мировая линия, очевидно, будет представлять собой ось времени ct' системы S . Таким образом, эта ось будет наклонена к оси ct на угол а = arctg (Vic). Осьх' новой системы можно определить условием ct' = 0. Но, согласно (3.1), в старой системе S это будет прямая ct=0x, проходящая через начало координат и составляющая тот же угол а = arctg (V/c) с осью х.
Новая система координат косоугольна) Было бы неправильно пытаться найти связь между *, ct' их, ct непосредственно из рис.3.3 путем проектирования отрезков, как это нетрудно сделать в евклидовом случае (см. рис.3.2). Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и меняют масштабы координат по осям.
С помощью рис. 3.3 нетрудно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Рассмотрим, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени — прямые, параллельные оси Ох. В системе S' — это прямые, параллельные Ох , не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не будут, вообще говоря, одновременными в S . Например, между одновременными в системе S событиями А и В в системе S пройдет промежуток времени &t’ = А'в'/с. причем событие В произойдет раньше *).
•I Многие другие геометрические пояснения основных соотношений СТО читатель найдет в книгах [89, 93].
Существует распространенный способ сделать преобразования Лоренца (3.1) формально тождественными преобразованию поворота (3.2) в евклидовой плоскости. Это достигается путем введения мнимой временной координаты ict и мнимого угла поворота. Заменим в (3.1) ф на -/у> и воспользуемся формулами ch(— ip} = cos р, sh(— ip} = — 7sin ф.
Получим
x'1 = x1cos^ + x4sin^, x'4 = —x1 sin i^+x4cos<^, (3.8)
где x1 =x, x4 = ict. Интервал в этих переменных примет вид
«11 =-(*2-х1)2 - (хЗ-х?)2, (3.9)
т.е. будет отличаться только знаком от квадрата расстояния г22 между точками евклидовой плоскости.
Но следует иметь в виду, что введение мнимой временной координаты приводит лишь к формальному сходству с евклидовым пространством. Глубокое внутреннее различие между двумя геометриями — евклидовой и псевдоевклидовой - этим, разумеется, не устраняется. Поэтому мы в дальнейшем будем пользоваться действительной временной координатой х° =• ct.
3.2. Три типе интервалов. Причинность. Обобщим определение интервала (3.7) на четырехмерный случай:
«21 = (ct2 - cti )2 - (х2 - Xj )2 - (у2 - И1 )2 - (z2 - Z, )2 =
= c2(t2 -М2 -ri,, (3.10)
здесь г2! — обычное расстояние между (пространственными) точками 1 и 2. В зависимости от соотношения между временной ct и пространственными х, у, г координатами двух точек s21 может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Применяют следующую терминологию: при $21 > 0 интервел незывают времениподобным, при s21 < 0 — пространственноподобным, при $11 0 — светоподобным или нулевым.
Характер интервала тесно связан с причинностью - он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно-временных точках 1 и 2. Если s21 >0, то событие 2 может быть причинно связано с событием 1 (и необорот): из точки 1 можно послать сигнал со скоростью v = T2\/(t2 — tt) < с, который вызовет событие 2. Это возмож-
но и в случае нулевого интервала, но только сигнал должен распространяться с предельной скоростью с. События, разделенные пространственно -подобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, так как сигналы не могут распростреняться со скоростью v = r2i/lt2 - tj) >с.
Псевдоевклидову плоскость (х, ct) в зависимости от свойств интервала s = ^c2t2 — х2'между началом координат (событие 0) и точками плоскости можно разделить на три области, различные по своим свойствам. Проведем биссектрисы координатных углов (рис. 3.4). Область 1 обладает следующими свойствеми: а) любое событие, изображаемое некоторой точкой этой области, в каждой инерциельной системе происходит позже события 0 (это следует из неравенства s2 > 0 для всех точек этой области); б) существует такая система отсчета, в которой рассматриваемое событие происходит в той же (пространственной) точке, что и нулевое событие, т.е. события являются одноместными. Для того чтобы найти текую систему, достаточно провести луч через начало координет и рассматриваемую точку. Угол а между этим лучом и осью ct определит скорость V = с tg а искомой инерциальной системы S' относительно исходной системы S. Область 1 называют "абсолютно будущей" по отношению к событию 0.
Область 2 является "абсолютно прошедшей" по отношению к 0. Все события этой области во всех инерциальных системах происходят раньше события 0 и могут быть сделаны одномастными путем подборе соответствующей инерциальной системы.
Аналогичным свойством обладают любые два события, разделенные времениподобным интервелом: понятия "позже" и "раньше" для них являются ебсолютными. Это означает, что если в некоторой системе времена этих событий t2 > ti, то в любой другой системе также t2 > tj.
Наконец, область 3 характерна тем, что любое событие из этой облести может быть сделано одновременным с событием 0. Для этого достаточно выбрать инерциельную систему, ось х' которой проходит через начало координат и рассматриваемое событие. Но не существует такой системы, в которой оно было бы одноместным с событием 0. В этом смысле все точки области 3 являются абсолютно удаленными от точки 0.
В четырехмерном пространстве — времени также, разумеется, существуют укезанные области. Они разграничены трехмерной гиперповерхностью s2 = 0 (световым конусом). Внутренние области этого конуса являются абсолютно прошедшей и абсолютно будущей, а внешняя — абсолютно удаленной от начала координат.
§ 4. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ
4.1. Определение вектора. Контр» и ковариантные компоненты. Для количественной формулировки законов природы с учетом требований СТО необходимо познакомиться с основами векторной и тензорной алгебры в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве. Она строится по аналогии с тензорной елгеброй в трехмерном евклидовом пространстве. Для удобства читетелей мы даем в Дополнении I в элементарном изложении сводку основных понятий алгебры трехмерных тензоров, е в Дополнении II — некоторые дополнительные (по сравнению с теми, которые изложены в этом параграфе) сведения по елгебре и анелизу четырехмерных тензоров * >.
• । Более точное название этих объектов — аффинные тензоры. Мы в дальнейшем будем опускать прилагательное "аффинный", поскольку никакие другие тензоры в данной книге не используются.
Начнем с определения вектора в четырехмерном пространстве (или, сокращенно, 4-вектора).
Рассмотрим координаты точки (события) в четырехмерном пространстве и перенумеруем их верхними индексами от 0 до 3:
x°=ct, х1 = х, х2=у, № =z. (4.1)
Как мы знаем, эти величины при переходе к другой инерциальной системе преобразуются по формулам
х0' = x°ch ф — х1 sh ф, х1' = — x°sh ф +Х1 ch ф,
2, 2 з-з (4.2)
X = Х, X =х , где th ф = V/c.
Дадим следующее определение 4-вектора, обобщающее определение вектора в трехмерном пространстве: четырехмерным вектором AZ(A°, А1, А2, А3) называется совокупность четырех величин, преобразующихся при переходе в другую инерциальную систему отсчета так же, как 4-координаты, т.е. по формулам (4.2):
А0' = A?ch ф — A1 sh ф, А1' = — A°sh ф + A1 ch ф,
<4-3’
Однако если мы захотим, по аналогии с трехмерным евклидовым пространством, вычислить квадрат вектора А1 А1 (сумма по повторяющимся значкем от 0 до 3), то легко убедимся, что такая величина не будет инвариантом преобразования Лоренца (т.е. поворота в четырехмерном пространстве) . Инвариантом оказывается комбинация компонент вида
(А0')2 - (А1')2 - (А2')2 — (А3')2 = (А0)2 — (А1)2 — (А2)2 — (А3)2. (4.4)
В случае координат 4-точки это — интервал (3.10):
s2 = (х0)2 - (х1)2 - (х2)2 - (х3)2. (4.5)
В справедливости равенства (44) легко убедиться с помощью формул (4.3).
Для того чтобы определить квадрат 4-вектора и скалярное произведение двух 4-векторов как инвариантные величины, вводят в рассмотрение два сорта компонент одного и того же вектора — ковариантные и контрава-риантные*). Контравариантные компоненты обозначаются верхними индексами (А1), а ковариантные — нижними индексами (AJ. Определим связь между ко- и контравариантными компонентами вектора:
Ао=А°, А, = —А1, А2=-А2, Аэ=—А3. (4.6)
Из (4.3), (4.6) следует, что преобразование Лоренца для ковариентного вектора выглядит так:
А'о = Aoch ф + At sh ф, A'i = Aosh ф + Ajch ф, А2 = А2, А3=А3.
(4.7)
Составим теперь сумму произведений ковариантных компонент на контравариантн ые:
А/А' = А0А0 Ч-AjA1 +А2А2 +А3А3. (4.8)
Эта сумма оказывается инвариантом преобразования, назовем ее квадратом 4-вектора. Аналогичным образом определяется скалярное произве
*) Мы увидим в § 4.3, что ковариантные — преобразующиеся так же, как компоненты градиента скалярной функции по четырехмерным координатам; контравариантные — преобразующиеся не так, как градиент, но так же, как сами координаты.
дение двух векторов:
AtB^AoB0 +Д101 +АгВ2 +А3В3. ' (4.9)
Его можно зеписать через временные Ао, Во и пространственные Л, Я компоненты векторов следующим образом:
А1В‘ = А0В° -А В.
Как следует из (4.6), безразлично, какой вектор в произведении кове-риантный, а кекой — контревериантный. Оба произведения, (4.8) и (4.9) — инвариенты преобразования Лоренце. Но анелогичная сумме, составленнея только из ковериентных или только из контравариантных компонент, не обладает простым законом преобразовения и поэтому не имеет смысле.
Термин "скаляр" является синонимом слова "инвариант". Это — величине, имеющая одно и то же знечение во всех инерциельных системах отсчета, А^А1'- Д/Д*ит.д. >
Формулы преобразования (4.3), (4.7) можно записать в сокращенном виде:
д" = а'кД\ A't=aikAk. (4.10)
Здесь а1к, ак — матрицы преобразовения, имеющие ковериантный и конт-равариантный индексы. Матрицы, согласно (4.3), (4.7), имеют сле-
дующий вид:
/ ch ф — sh ф 0 0 \ / ch ф sh ф 0 0
. 1 — sh ф ch фО 0 1 t / sh ф ch ф 0 0
<Э 1 0 0 1 0 1' (Э/ ,в| 0 0 10
\ 0 0 01/ \ 0 0 01
(4.11) Как видно из этих таблиц, а1к^а{к, т.е. вид метриц резличен в зависимости от того, какой индекс (первый или второй) верхний, е какой — нижний. Но обе матрицы симметричны, т.е. а*к = акt, at к =ак.
Перемножая матрицы (4.11), мы видим, что их произведение ревно единичной матрице:
( 1 0 0 0\
0 10 0 1
0 0 10 1 0 0 0 1 / (суммирование по к I). Обозначив элементы единичной матрицы через Ь1(, будем иметь
a^af^ti^, ака,1 = Ьк. (4.12)
Обратим внимание на то, что суммирование здесь производится либо по первым, либо по вторым индексам, причем один из них — нижний, а другой — верхний. Единичнея матрице, разумеется, симметричне, &1к=&к, и расположение верхнего и нижнего индексов у нее произвольное.
С помощью (4.12) нетрудно найти преобразовения, обратные (4.10). Умножея первую формулу (4.10) не а/ и суммируя по 7, имеем
а/А1' = Ь,кАк = А1. (4.13)
Аналогичным образом получаем
А,=а'/Дг (4-14)
Из формул (4.13) и (4.10) следует, что матрица а' к прямого преобразования контравариантных компонент вектора одновременно является и матрицей обратного преобразования его ковариантных компонент. Это разъясняет смысл термина "контравариантный" — преобразующийся с помощью обратной матрицы преобразования ковариантного вектора.
4.2. Четырехмерные тензоры. Примем следующее определение: 4-тензором II ранга называется совокупность 16 величин, преобразующихся как произведения компонент двух 4-векторов при переходе в другую инерциальную систему. Как и 4-векторы, 4-тензоры могут быть ковариантными (Т1к) и контравариантными (Т1к), а также смешанными (Ttk и Т1 к). При этом, вообще говоря, Тк/Т\, смешанный тензор зависит от того, какой именно значок — первый или второй — ковариантный, а какой — контравариантный. В соответствии с этим возможны следующие законы преобразования 4-тензора II ранга:
Т’к ' = а’ ак Tmn Т' = атя,пТ
' ата п' • 1 ik ai ак 'тп>
Тк' = атак Т п Т''=а' а п Тт
' i ai а п'т ' 'к а так 1 п
С помощью формул (4.12) легко найти обратные преобразования. Тензоры более высоких рангов определяются аналогичным образом.
Одним из наиболее простых тензоров II ранга является метрический тензор gik:
/ 1 0 0 0 \
I 0 - 1 о о
9ik ~ I о 0-1 О Г (4‘16*
\ 0 0 0 - 1 /
Преобразуя этот тензор с помощью (4.11), (4.12) к другой инерциальной системе, убеждаемся, что этот тензор — инвариантный, его компоненты одинаковы во всех системах. Поднимая один из индексов с помощью правила (4.6), т.е. переходя к смешанному тензору, получим
1 0 0 0\
0 1 0 0 | = к
0 0 1 0 I “5' '
0 0 0 1 /
(4.17)
Это — единичный тензор, хорошо известный из теории трехмерных тензоров. Наконец, поднимая и второй индекс, получим glk = gik — контрава-риантные компоненты совпадают с ковариантными.
С помощью метрического тензора производится опускание и поднятие индекса у любого 4-вектора или 4-тензора: из (4.6) и (4.16) следует, что
At = gtkAk, А‘=д1кАк (4.18)
(суммирование по повторяющемуся индексу к\) . Поэтому интервал (4.5) может быть записан через gik в виде
s2 = д(кх1хк, (4.19)
3. М.М. Бредов
а скалярное произведение — в формах
A(B,=g(kAiBk=g,kAiBk. (4.201
Формула (4.19) поясняет, почему тензор gjk называется метрическим: он позволяет определить инвариантное "расстояние" между двумя точками в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве, или, как говорят, установить метрику этого пространства.
Еще один важный для приложений 4-тензор - это единичный антисимметричный тензор IV ранга е1к1т. Он определяется по аналогии с соответствующим трехмерным тензором еа^т (см. Дополнение 1.4) двумя условиями:
1. еО|23 = 1.
2. е1к1т меняет знак при перестеновке любых двух индексов.
В результате остаются отличными от нуля (и равными ±1) только те компоненты, у которых все 4 индекса различны; их число равно 4! =24. При переходе к штрихованной системе имеем
е'0123 =a°pa1,a2ra3se₽<7". (4.21)
В силу определения eMrs, данного выше, правая часть (4.21) представляет собой определитель матрицы преобразования (4.11) . Но этот определитель равен единице, что следует непосредственно из явного вида матрицы и формулы ch2 ф — sh2 ф = 1. Таким образом, е*012 3 = 1. Изменение расположения индексов приводит к перестановке строк определителя, что вызывает изменение знака при каждой элементарной транспозиции (перестановке двух строк) . Но именно такими свойствами обладает и тензор е1к1т, так что e'iklm=eiklm (4.22)
iklm ik
т.е. е ,как и д , является инвариантным тензором.
4-тензор Ttk-im называется истинным, или просто тензором, если при инверсии пространственных координат (преобразование х'° = х°, х'“ = -х“, а = 1, 2, 3) он преобразуется как произведение координат х‘хк .. .х'хт. Если же при таком преобразовании тензор приобретает дополнительный множитель — 1, он называется псевдотензором (ср. с
трехмерным случаем, см. Дополнение 1.6). В соответствии с этим определением, д1к — истинный тензор, а е1к1т — псевдотензор.
Еще некоторые сведения о 4-тензорах приведены в Дополнении II. Они не необходимы для дальнейшего чтения этой книги, но полезны для лучшего понимания материала.
4.3. Дифференциальные операции. Найдем правило релятивистского преобразования оператора градиента Э/Эх*. В штрихованной системе
Э Эх* Э
Эх" ’ Эх" эй ;
но согласно (4.13) х*
Э _ к Э Эх" Э‘ Эх* ’
к It
= а/ x , поэтому —77 = a(-Эх
(4.23)
и
Полученное соотношение совпадает с законом преобразования ковариантного вектора^ (4.10), следовательно, оператор Э/Эх* представляет собой ковариентный вектор. Его пространственная часть совпадает с трехмерным 34
(4.24)
оператором V,a временная представляет собой производную Э/Эх°:
Э I Э \
—г = —« > V I-Эх* \ Эх0 /
Контравариантный оператор градиента может быть обозначен как Э/Эх* и, согласно (4S), имеет следующий вид:
Э / Э \
Эх*
(4.25)
причем х0 = х°, ха = -х“ («=1,2,3).
Теперь становятся очевидными следующие утверждения:
ЭФ
1. —г - ковариантный вектор, если Ф- скалярная функция 4-координат. Эх*
ЭЛ, Эх/
- четырехмерная дивергенция, инвариант преобразова-
ЭЛ'’ ЭЛ' ЭЛ,-
2. —г . ---- , —г - соответственно смешанный, контравариантный и
Эх* Эх* Эх*
ковариантный 4-тензоры II ранга.
ЭЛ'
3. —7 = Эх'
ния Лоренца.
ЭЛ/ ох II ранга.
ЭЛ* э/~
— четырехмерный ротор, антисимметричный тензор
Э2
1 9
- —- + V2 = :2 ЭГ2
(4.26)
Эх*Эх*
оператор Даламбера, инвариант преобразования Лоренца. Применение оператора Даламбера к некоторой величине не меняет закона преобразования этой величины; например, ОФ - скаляр, ПЛ, — ковариантный вектор и т.д.
4.4. Четырахмерные скорость и ускорение частицы. Трехмерная скорость частицы, v = dr /dt, не является 4-вектором. Это следует хотя бы из того, что зекон преобразования (2.8) величин vx, vy, vz не совладеет с (4.3) или (4.7). Но скорость нетрудно переопределить таким образом, чтобы она стала 4-вектором. Предварительно найдем связь между собственным временем частицы т и интервалом. Воспользовавшись инвариантностью интервала, запишем:
ds1 = g^dx1 dxk = ctdr1. (4.27)
Первое равенство — определение малого интервала в системе S; второе -его значение в мгновенно сопутствующей частице системе, в которой dxa = = 0 (а =1,2,3), a dx°=cdr. Из (4.27) находим:
dr = ds/c, (4.28)
откуда следует, что dr - инвариант, так как ds и с — инварианты. Следовательно, если определить 4-скорость через производные от координат по
собственному времени, u^dx^dr, (4.29)
то совокупность таких производных образует 4-вектор. Пользуясь формулой (2-5), находим связь 4-скорость с трехмерной скоростью v:
(с w \
... =Г . _______п ; (4.30)
\/l — v2/c2 \/l — v2/c2 /
из (4.30) находим = с2. (4.31)
4-ускорение естественно определить через вторые производные от координат по собственному времени:
w' = d2xl/dr2. (4.32)
Оно может быть выражено через трехмерное ускорение w и скорость v. Дифференцируя (4.31) по собственному времени, находим
u/w/ = 0, (4.33)
т.е-4-скорость и 4-ускорение взаимно перпендикулярны.
§ 5. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ.
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС
5.1. Принцип наименьшего действия для свободной частицы. Механику релятивистских частиц удобно строить исходя из принципа наименьшего действия. Такой подход позволяет с самого начала легко обеспечить основное требование СТО — релятивистскую ковариантность уравнений механики, т.е. запись йх в такой форме, чтобы они были справедливы в любой инерциальной системе отсчета.
Как известно из классической механики, основной величиной, из которой выводятся уравнения движения, является действие S — интеграл по времени от функции Лагранжа, взятый вдоль траектории движения частицы между двумя фиксированными точками — точками 1 и 2:
(2)
S= f Ldt. (5.1)
(О
В точках 1 и 2 задаются координаты частицы и моменты времени, в которые частицы проходят эти точки. Действие стационарно на истинных (физических) траекториях, т.е. его первая вариация обращается в нуль:
5S = 0. (5.2)
Функция Лагранжа свободной нерелятивистской частицы имеет вид
L=mv2/2. (5.3)
Мы потребуем, чтобы искомое действие для свободной релятивистской частицы обладало следующими двумя свойствами: а) релятивистской инвариантностью — это необходимо, чтобы был выполнен принцип относительности — одинаковость законов механики во всех инерциальных системах; б) функция Лагранжа релятивистской частицы при v/c-<1 должна переходить в известное из классической механики выражение (5.3).
Второе требование есть следствие принципа соответствия. Принцип соответствия представляет собой один из общефизических принципов, играю-36
щих Огромную роль при построении новых физических теорий. Он требует, чтобы уравнения некоторой общей теории, включающей в себя предыдущую более узкую теорию как частный случай, при соответствующих условиях переходили в уравнения частной теории. В данном случае частной теорией является классическая механика, а более общей физической теорией — релятивистская механика. Но уравнения релятивистской механики при малых скоростях движения должны переходить в классические уравнения, правильность которых в области их применимости подтверждается всей общечеловеческой практикой. Ранее мы уже использовали принцип соответствия, потребовав, чтобы преобразования Лоренца при V7c< 1 переходили в преобразования Галилея.
Вернемся к вопросу о действии для релятивистской частицы. При отсутствии каких-либо сил или полей единственная релятивистская инвариантная величина, характеризующая движение частицы из точки 1 в точку 2 четырехмерного простренства-времени — это; длина ее мировой линии между соответствующими точками. Поэтому запишем действие в виде
(2)
S= a f ds, (5.4)
(i)
где а — инвариантная постоянная. Чтобы привести его к виду (5.1), пе-ds
рейдем к интегрированию по t, записав ds -------------dt. Но, согласно
dt
(4.28) и (2.5),
ds I _ -.1
— = су/1 - и2/с2, (5.5)
dt
где v(r) — терхмерная скорость частицы. Таким образом, действие принимает вид
(2) -----------
S = ac f V1 - v2/с2 dt, (5.6)
(i)
и,следовательно, согласно (5.1), функция Лагранжа
L = ас у/у — v2 /с2.
Значение постоянной а устанавливается из принципа соответствия: при v/c < 1 имеем
L = ас — ан2/2с.
Сравнивая второй член, содержащий и2, с выражением (5.3), находим а = —тс, где т — масса частицы; при этом получаем в нерелятивистском пределе
L = — тс2 + mv2 /2. (5.7)
Здесь т — масса ререлятивистской (в том числе покоящейся) частицы — инвариантная величина. Иногда в литературе для этой массы используют название "масса покоя", в отличие от массы движущейся частицы, зависящей от скорости (см. § 5.3).
Вспомним, что функции Лагранжа, отличающиеся на постоянную, физически эквивалентны; поэтому постоянную тс2 в (5.7) можно отбросить, и, таким образом, мы получили нерелятивистскую функцию Лагранжа (5.31). В общем же случае функция Лагранжа свободной релятивист-
ской частицы имеет вид
L = -тс2 sj\-v2lc2' (5.8)
5.2. Энергия и импульс свободной частицы. Из лагранжева метода в механике мы знаем, как выражаются через функцию Лагранжа обобщенный импульс р и энергия £:
Э£
р =---, &=pv-L. (5.9)
Sv
Вычисляя эти величины путем дифференцирования (5.8), находим
£ =
тс2 у/\ - v2/c2'
Уравнение Лагранжа
d SZ. SZ.
= О, dt Sv Sr
(5.11)
(5.12)
поскольку L не зависит от г, сводится к равенству dp/dt = 0,т.е.р= const. Это вполне естественно: и импульс и энергия свободной частицы являются интегралами движения.
Сравнение формул (5.10) и (5.11) для р и £ приводит к полезному соотношению между импульсом, скоростью и энергией релятивистской частицы:
p = £v/c2. (5.13)
Формула (4.30), дающая определение 4-скорости, позволяет записать ра * тиа (а = 1, 2, 3), £/с = ти°; но mu' — 4-вектор, поскольку т — инвариант. Таким образом, энергия, деленная на скорость света,и трехмерный импульс частицы образуют 4-вектор энергии — импульса:
р' = mu' = (£/с,р). (5.14)
Установление этого факта позволяет с легкостью преобразовывать энергию и импульс из одной инерциальной системы в другую:.
р' + V&'lc2 , , &' +р V
Р = —i1 —г . Р =Р . Р =Р , £ =— х —~ • (5.15)
х \/l — 1/2/с2 у у 2 2 ч/1 - V2!c2
Пользуясь инвариантностью квадрата 4-импульса, найдем связь между энергией и импульсом свободной частицы. Выражения для квадрата 4-им-пульса одинаковы в системах S и S':
р‘р. = (£/с)2 -р2 = (£'/с)2 -р'2. (5.16)
Пусть S — система покоя частицы, в которой v' = 0, и, согласно (5.10), (5.11),р' = 0, £' = тс2. Из (5.16) получим
£2 =с2р2 +т2с4. (5.17)
В инерциальной системе отсчета энергия частицы, выраженная через ее импульс, совпадает с функцией Гамильтона Jf (р). Таким образом,
Jf(p) = &(р) = \/т2с4 + с2р2. (5.18)
Перед корнем выбран положительный знак, чтобы (5.18) согласовывалось с (5.11).
В природе существуют частицы (например, фотоны, кванты света), у которых масса покоя равна нулю. Но они, как и объекты, имеющие л? =#0, обладают энергией и импульсом, связь между которыми дается формулой (5.17) при т» 0:
&» ср. (5.19)
Из (5.11) следует, что конечная энергия у таких частиц может быть только, если их скорость v = с. Очевидно, что формула (5.19) приближенно справедлива для любой частицы с 0, если у неер >тс. Такие частицы называются ультрарелятивистскими. Но при т Ф 0 скорость частицы v всегда меньше с. Это следует из (5.11): при v -+с энергия частицы возрастает до бесконечности, что, очевидно, невозможно.
5.3. Связь между массой и энергией. Рассмотрим нерелятивистский предел для уравнений (5.10), (5.11). Полагая u/c< 1, получаем из (5.10) р = = ту, что находится в полном соответствии с известным выражением для импульса свободной нерелятивистской частицы. В (5.11) удерживаем при разложении член, содержащий и2/с2, и получаем
&=mc2+mv2/2. (5.20)
Второе слагаемое представляет собой кинетическую энергию нерелятивистской частицы. Первый же член, величина тс2 - постоянная. Как мы знаем, в классической механике полная энергия частицы определена с точностью до аддитивной постоянной. Поэтому возникает вопрос - следует ли рассматривать величину
£0=тс2 (5.21)
как "энергию покоя" неподвижной частицы, способную проявлять себя в различных физических процессах, или эта величина представляет собой ненаблюдаемую и не имеющую физического смысла постоянную, которую можно обратить в нуль изменением начала отсчета энергии? Для ответа на этот вопрос следует обратиться к опыту.
В явлениях, в которых массы частиц не изменяются и сами частицы не испытывают превращений, постоянные тс2 не играют роли, так как наблюдаемыми на опыте являются разности энергий покоящихся и движущихся нерелятивистских частиц, из которых эти постоянные выпадают. Так, если на покоящуюся частицу начинает действовать некоторая сила, которая сообщает ей скорость v<c, то изменение энергии частицы
Д& - & — g0 = mv2 /2
совпадает с известным выражением для нерелятивистской энергии, а постоянная тс2 в таком процессе никак не проявляется. Характерной чертой таких (нерелятивистских) процессов является приблизительное сохранение массы покоя участвующих в них частиц.
Например, при сжигании обычного (химического) топливе в реакции типа
С + О2 = СО2 + Q
на один акт выделяется энергия Q в форме кинетической энергии молекул или фотонов порядка нескольких электронвольт (эВ). Это означает, что масса образовавшейся молекулы СО2 меньше суммы масс молекул С и О на величину порядка Д/n = Q/c2. Энергия покоя молекулы СО2 составляет So = тс2 * 4 * 109 эВ; таким образом, относительное изменение массы покоя равно Д/п//п 10"’, т.е. эта величина сохраняется с огромной точностью. Поэтому при изучении явлений, происходящих с нерелятивистскими частицами (химические превращения, нерелятивистская механика сплошных сред и др.) сохранение массы покоя участвующих в таких процессах частиц рассматривают как точный закон природы.
При ядерных реакциях относительное изменение массы значительно больше. Например, в реакции
2Н + 3Н = 4 Не + п + Q,
играющей важную роль для решения проблемы управляемого термоядерного синтеза, ядро гелия 4 Не (а-частица) и нейтрон получают кинетическую энергию Q * 17,6 МэВ. Относительное изменение массы Ьт/т в этом случае порядка 3 • 10-3.
Но в природе происходят и такие процессы, в которых Дт/m достигает десятков процентов и даже может быть Дт/т = 1, т.е. частицы с отличной от нуля массой покоя превращаются в безмассовые частицы. Примером может служить превращение электронно-позитронных или мюонных пар в фотоны высокой энергии — 7-кванты:
е+ + е~ * 27, д* + д" -* 2у.
Таким образом, в общем случае релятивистских процессов масса покоя частиц (а следовательно, и макроскопических тел) не сохраняется.
Во всех перечисленных процессах та или иная часть энергии покоя исходных частиц Д&о = Дгпс2 превращалась в кинетическую энергию образующихся частиц (включая фотоны) и через нее — в другие виды энергии.Это означает, что энергия покоя So =тс2 является такой же физической реальностью, как и другие виды энергии. Во всяком неподвижном теле массы т заключена энергия So = тс2. Эту формулу с помощью (5.11) можно обобщить на случай движущегося тела, записав
&=т.с2, (522)
где
— полная масса или масса, зависящая от скорости. При таком обобщении каждая система частиц, движущаяся или неподвижная, если она имеет полную энергию S, то имеет и эквивалентную ей массу:
m. = S/c2. (5.24)
Определенную таким образом массу можно приписать любому объекту. Она эквивалентна энергии, отличаясь от нее лишь универсальным множителем с2. Но мы далее в этой книге будем называть массой только инвариантную величину т — массу покоя. Энергию S нередко называют "полной" в отличие от "кинетической" энергии
Т=&—тс2, (5.25)
не включающей энергии покоя.
§ 6- КИНЕМАТИКА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
Полезную и разнообразную информацию о процессах столкновений и распадов частиц можно получить только на основе законов сохранения энергии и импульса, не задаваясь явным видом взаимодействия между частицами. Энергия и импульс замкнутой системы частиц в релятивистской механике, как и в классической, являются интегралами движения: вспомним, что сохранение импульса связано с однородностью пространства, а сохранение энергии — с однородностью времени. Поскольку указанные свойства симметрии пространства — времени выполняются в СТО, как и в классической механике, то и законы сохранения энергии и импульса в релятивистской механике также имеют место.
Общая кинематическая задача может быть сформулирована следующим образом. Пусть у нас имеется несколько частиц а, Ь, .... первоначально находящихся на значительных расстояниях друг от друга и потому не взаимодействующих; 4-импульсы этих частиц в начальном состоянии обозначим через ра' . соответственно (7 = 0, 1, 2, 3). Пусть, далее, эти
частицы при своем движении сближаются и взаимодействуют друг с другом. Характер их взаимодействия при решении кинематических задач не играет особой роли и может быть весьма разнообразным: это могут быть упругие столкновения, при которых число частиц и их типы остаются неизменными, либо распады и неупругие столкновения, когда могут изменяться число частиц, их типы и внутренние состояния. Символически этот процесс взаимодействия можно записать в виде
а +Ь + ... -> т + п + ...
Считая, что в конечном состоянии частицы т, п, . .. находятся опять на значительных расстояниях друг от друга, имеют 4-импульсы.. и не взаимодействуют, мы можем записать закон сохранения 4-импульса всей системы в виде равенства сумм 4-импульсов всех частиц до и после взаимодействия:
Ра +р‘ь + ... = р‘т +р'п + ...
Эти равенства выполняются в любой инерциальной системе отсчета. Полезно также помнить, что квадрат любого 4-импульса есть инвариант и, следовательно, имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета.
В настоящем параграфе мы рассмотрим несколько типичных кинематических задач. Они позволят читателю быстрее освоиться с формулами релятивистской механики **. Кроме того, предлагаемые задачи представляют и самостоятельный интерес. Во всех приводимых ниже формулах выбираем систему единиц, в которой с = 1. В используемой системе, в частности,совпадают единицы массы и энергии.
6.1. Распад частиц.
Задача. Частица массы М распадается на две частицы с массами т|( т2. Найти энергии продуктов распада в системе покоя распадающейся частицы.
Решение. Исходим из закона сохранения 4-импупьса, записанного в системе покоя исходной частицы:
Р^р\^р\о. (6.1)
где Pq, Pi or Рто ~ 4-импульсы исходной и образующихся частиц: Р'„ - (М, 0) ,р/0 =
•) Значительное число полезных задач читатель может найти в [16].
- l&i и, Pi cJ. P*o ~ В трехмерной записи (6.1) эквивалентно законам
сохранения энергии и трехмерного импульса:
fc.o + s:o=w, (б2)
Рю + />:о “0.
Поскольку К , 0 > т,, & 2 0 > т2, то из первого равенстве получаем условие, необходимое для самопроизвольного (без подвода энергии извне) распада частицы:
М >т, + т2 , (6.3)
После простых преобразований (6.2) с использованием (5.16) получим
т2 — т2
£ , и + & 3 0 - М, Ь । 0 &*0— ,
М откуда
М2 + т2 — т2 М1 — т\ + т22
£ю = — ——&20 55--------------—. (6.4)
2М 2М
Нетрудно вычислить энергии Е ,, £ 2 и в лабораторной системе, относительно которой исходная частица движется со скоростью И. Для этого нужно задаться углом в., между />,0 = —р-о и Ки применить формулы (5.13).
6.2. Энергетический порог реакции.
Задача. Частица с массой т, налетает на покоящуюся частицу с массой т 2. В результате образуется несколько частиц с суммарной массой М> т, + т2. При малой кинетической энергии налетающей частицы реакция запрещена законом сохранения энергии. Найти минимальную кинетическую энергию налетающей частицы 7*itnin, при которой реакция становится энергетически возможной.
Решение. Значение Т\ mjn определяется условием, что образовавшиеся частицы покоятся в системе центра месс (в лабораторной системе частицы не могут покоиться — это противоречило бы закону сохранения импульса). Следовательно, в системе центра масс полный 4-импульс после реакции равен Pq = (М, 0). До реакции в этой же системе 4-импульс был равен Pq, причем Pq = Р&‘. Но поскольку PqPqi — инвариант, можем записать:
Pipi^P0iP0=P0iP0 ' <6.5)
где Р1 = (К 1 гп in + яг 2,Р1 min) — полный 4-импульс в лабораторной системе до реакции. Подставив в (6.5) значения 4-импульсов, будем иметь
<а 1 min + тг )2 — ₽1 min ~ М* •
откуда с помощью равенств 71 min = 81т(п-'т>|И £, min - Pl min = /T’j получаем: M2 — (m, + т2 )2
min =----------------- • (6.6)
2m 2
6.3. Кинематика двухчастичных реакций. Двухчастичными реакциями называются превращения элементарных частиц, идущие по схеме
а + Ь — с + d,
когда две частицы а и Ь, взаимодействуя, превращаются в две другие частицы, с и d. Частным случаем такого процесса является упругое рассеяние, при котором массы частиц не изменяются, но изменяются энергии и направления движения. Любые реакции, как правило, приходится рассматривать в двух системах отсчета— лабораторной (Л) и системе центра инерции (Ц): в Ц-системе удобно производить теоретический анализ взаимодействия частиц; в Л-системе ставятся реальные эксперименты.
Все кинематические соотношения, которым удовлетворяют двухчастичные реакции, выводятся из закона сохранения 4-импульса
Pa + Pb‘Pc + Pd- <6.7)
который справедлив в любой системе отсчета, и из инвариантности квадрата 4-импульса. Различные кинематические величины (энергии частиц до и после реакции, им
пульсы, углы их отклонения и т.д.) удобно выразить через инвариантные параметры:
* = <₽i + ₽b><pa/+p6/),
t-lp£-p‘cHpal ~Pci}- (68)
“ = <Pa-PdHPai-Pdi}-
Величины s, t, и и суть релятивистские инварианты, так как они представляют собой квадраты 4-импульсов. Они связаны линейным соотношением, вытекающим из (6.7):
з + r + u = гПд + т2ь +т’ + md, (6.9)
где квадрат массы каждой частицы совпадает с квадратом ее 4-импульса:
та = PqPai и т «•
Таким образом, из трех параметров (6.8) только два независимы.
Параметр з представляет собой квадрат полного 4-импульса частиц в начальном состоянии. Если в Л-системе одна из частиц первоначально покоится, то з выражается через энергию налетающей частицы (см. (6.15)). Параметр г при упругом рассеянии (когда частица с совпадает с частицей а) представляет собой квадрат 4-импульса, переданного частице Ь при рассеянии. При неупругом столкновении величина t является релятивистским обобщением переданного импульса. Этот параметр выражается через угол рассеяния (см. (6.14)). Параметр и также представляет собой квадрат импульса, переданного от частицы а частице d.
Выразим вначале энергии частиц в Ц-системе чераз параметр з. Для этого запишем определение з чераз 4-импупьсы в Ц-системе:
*4 Чо = ' 8а0 + 8 ЬО' °’ ₽с0 + 4) = '8сО + 8d0 °’-
Пространственные части этих 4-импульсов обращаются в нуль, так как по определению Ц-системы ра0 = — рьо и рс0 = —PdQ- Далее имеем:
J=,8ao + 8bo’’=,8eo + 8do’’-
Разрешая равенства (6.10) относительно импульсов, получим : _Xis’ma'mlb) г , _А(3,^,^)
Ра0 Pb0~ 4s ' Рс0 Pd0~ 4$
где величина
X (х, у, г) = х’ + у2 + z2 - 2ху - 2хг - 2уг
(6.10)
(6.11)
(6.12)
называется "кинематической функцией". Теперь нетрудно найти энергии &а0 = = А2о+т«и тд-:
s + т’ — т2. з + т2. - т2
я - а b _ Ь а
8оО ~' So '
2<Т^ 2 ч/s
(6.13)
з + т2 - т2 s + т2 - тг
п - с d с. de
8с0---------- &d0----------
2x/s 2 ч/з
Косинус угла между и р^ выражается через два инварианта, s и г, с помощью соотношения
t = m’+m’+2pe0Pc.ocoseo-28а08с0-
которое получается в результате подстановки в (6.8) 4-импульсов, определенных в Ц-системе. Выражая абсолютные величины импульсов и энергии с помощью (6.11),
(6.13), получим
s2 + s(2t т») + (гл* - /^((m* - irfy
00 ° Л1'1 (s, т2, m2b}XU2 (s, т2с, т2^}
(6.14)
Выразим теперь чераз кинематические инварианты энергии и импульсы частиц в Л-системе. Пусть в Л-системе частица с массой гп{, до столкновения покоилась. Подставляя в формулу (6.В), определяющую инвариант s, величины р'а = = (&а,ра> " Р^= (znft. О),находим j =/п’ + т2. + 2&т. , а о а о
(6.16)
(6.16)
откуда
£ .S~ma-mb
&в 2тй
В определении г заменяем разность — р‘с на Р^ — р'ь в соответствии с (6.7). Получаем соотношение
г = т2. + т2 - 2т.&., о а b а
(6.17)
(6.1В)
из которого определяется энергия частицы d в лабораторной системе: /п’. + т2. - г
а . = -5--------.
2тй
Наконец, из закона сохранения энергии находим 8^.: s + t — т2 - т2 1
£ = £ +/п, —£. =---------------- ------(т2.+т2-и).
с а b d 2 2 Ь с
ь ь
Теперь нетрудно с помощью (5.16) вычислить Рс и р^. Угол 6ас в лабораторной си-
стеме выделяется тем же способом, что и cos в0. Мы не приводим здесь этих формул. Применим полученные соотношения к упругому рассеянию двух частиц. При этом
т = т , т. = т., Xis, т2 т2.) = 4/п''(£’ - т2),
а а b а о о а в
с и
(6.19)
(6.20)
(6.21)
2т2 (£2 - т2 )
г ----“----------2_ (1 - cos00).
т2 + т2 + 2т. £ а b о а
С помощью (6.17), (6.18) и (6.19) найдем энергии частиц в Л-системе после рассеяния как функции &а и угла рассеяния в Ц-системе:
/п. (£2 - т2)
£д = £с = £а----------------------(1 - cos0o ),
т2 + т2. + 2т. £ a b о а
/njfi’ - т2)
£.=£.= т. +---------S—i-----1— (1 - cosfl0).
° d b Ж J. n V
ft) * ш’ 2/n. <ь a о ba
Передача энергии отсутствует при е0 = 0 и максимальна при в„ = п.
6.4. Преобразование фазового объема и функций распределения. При рассмотрении систем состоящих из большого числе релятивистских частиц (пучок частиц от ускорителя, космические лучи — газ релятивистских частиц и т.д.) обычно вводят функции, характеризующие распределение частиц по импульсам и в пространстве —функции распределения. Для многих целей необходимо знеть, как преобразуются такие функции при пере
ходе в другую инерциальную систему. Мы рассмотрим три типа функций распределения: по импульсам, по координатам и в фазовом пространстве.
Функцию распределения по импульсам f{p} определим следующим образом: произведение f{p} на элемент объема d3p = (PdpdSlp трехмерного импульсного пространства равно числу dN частиц в системе, импульсы которых направлены внутри телесного угла d£lp, а их абсолютные величины заключены между р и р + dp, т.е.
dN = f(p}d3p. (6.22)
Интегрирование (6.22) по всем значениям импульсов дает полное число N частиц в системе. Иногда вместо f(p} рассматривают величину w(p) =
= -jyf(p) • которая нормирована на единицу.
Закон преобразования f(p} установим из того очевидного факта, что как полное число частиц N, так и их малая часть dN суть инварианты, одинаковые во всех инерциальных системах:
dN = f(p)d3p = f'(p ')d3p' = inv. (6.23)
Отсюда
, , d3p
f (p ) = f(p} -г-; , (6.24)
P -где все величины в правой части равенства нужно выразить через р с помощью формул преобразования.
Вычислим отношение d3p/d3p’, воспользовавшись для определенности декартовыми проекциями импульса и формулами (5.15). Имеем
. Vd&'\ L V dS.'\, ,
dpx = yldpx+—T 1 = ?11 +— — }dpx.
\ c ) \ c dpx /
Ho
d&' = c2px
dpx S'
(6.25)
(6.26)
поэтому
-у F
^x=77<S' + Vp'x)dp'x = -^-dpx; (a <e
поперечные же проекции импульса не изменяются: dpy = dp'y, dpz = dp'2 . Отсюда
d3p « dpxdpydpz =-^d3p, (q
ИЛИ
d3p _ d^p_
*8 &Г'
Подставляя (6.25) в (6.24) и выразив S и р через штрихованные величины, будем иметь
Ир') = 7 А +^-И(7(р; + V&'/^Yp'y.p'^.
Найдем теперь закон преобразования функции распределения в фазовом пространстве f(r,p), определяемой следующим образом: число частиц
dN, находящихся в объеме и3х координатного и объеме d3p импульсного пространства, выражается в виде
dN = f(r,p)d3xd3p. (6.27)
Согласно (2.2).
d3x = (y’/yjd’x’, (6.28)
где 7 - релятивистский фактор. Но,поскольку £/£' = у/у'.тоиз (6.25) следует: d3p = ly/y')d3p'. Таким образом, фазовый объем
d3xd3p = d3x'd3p’ = inv. (6.29)
Следовательно,
Лг',р') = Лг,/>). (6.30)
- также инвариант.
Нам осталось найти закон преобразования функции распределения по координатам, т.е. концентрации частиц
л(г)=К(г,р)«/3Р. (6.31)
Как оказывается, для этого нужно рассмотреть ее совместно с вектором плотности потока частиц
/(r) = JW(r,p)d3p, (6.32)
поскольку указанные величины преобразуются друг через друга. Это будет сделано в § 13.
Глава II
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЗАРЯЖЕННЫМИ ЧАСТИЦАМИ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
7.1. Взаимодействие в теории относительности. Электрический заряд и электромагнитное поле. Взаимодействие частиц в теории относительности существенно отличается от взаимодействий, рассматриваемых в классической механике. В классической механике широко пользуются понятием потенциальной энергии. В случае двух материальных точек их потенциальная энергия зависит от разностей координат: Uirt (t) - Гг (г)). Концепция потенциальной энергии предполагает, что а) взаимодействие передается с бесконечной скоростью; б) частицы взаимодействуют на расстоянии, без какого-либо промежуточного агента, передающего взаимодействие (такая картина называется "дальнодействием").
Конечность скорости распространения взаимодействий радикально меняет эту картину. Изменение положения или скорости частицы 1 меняет силу, приложенную к частице 2, но это изменение дойдет до частицы 2 только через конечное время т = г t2/u, где и <с — скорость распространения взаимодействия. Это означает, что взаимодействующие частицы должны создавать в окружающем пространстве силовое поле, через которое и передается взаимодействие. Изменения координат и скоростей частиц создают возмущения поля, распространяющиеся с конечной скоростью. Рассматри-46
ваемая частица почувствует эти изменения состояний других частиц через изменение поля в той точке, в которой она находится ("близкодействие"). Концепция поля, таким образом, с неизбежностью вытекает из требований теории относительности. Если в классической механике "поле" могло играть лишь роль вспомогательного математического понятия, то теория относительности рассматривает поле как "физическую реальность, данную нам в ощущении" (через посредство соответствующих приборов), т.е. как одну из форм материи. Поле не менее материально, чем частицы.
Мы будем рассматривать в этой книге только один тип поля - электромагнитное поле. Взаимодействие частиц с электромагнитным полем, а также и сама генерация (создание) поля обусловлены важным свойством .элементарных частиц, называемым электрическим зарядом. Электрический заряд является одной из основных характеристик элементарных частиц, наряду с такими фундаментальными величинами, как масса, спин (внутренний момент импульса) и некоторые другие, изучаемые в квантовой теории. Понятие электрического заряда мы будем считать элементарным понятием, не требующим другого определения.
Простейшим и вместе с тем фундаментальным фактом, позволяющим обнаружить самое существование электрического заряда и количественно его охарактеризовать, является факт взаимодействия между зарядами. Опыт устанавливает, что силы взаимодействия между неподвижными заряженными телами малых размеров, находящимися в вакууме, подчинены закону ei₽2 ri2
(7.1)
(7.2)
(закон Кулона}. Это равенство справедливо и с учетом знаков зарядов е2.
Зависимость от расстояния может быть проверена путем изменения расстояния и измерения при этом сипы взаимодействия. Зависимость силы от elz е2 можно установить, если взять несколько зарядов — не менее четырех. Будем помещать их попарно в одни и те же точки 1 и 2 пространства, удаляя остальные заряды "на бесконечность". Тогда, если справедлив закон (7.1), то
?2 3 ^2 4 _ е2
^13 ^14 е1 '
и закон Кулона можно проверить при четырех независимых измерениях (с точностью до постоянного множителя, определяемого выбором системы единиц).
Из наиболее распространенных при обычных условиях элементарных частиц отрицательным (условно) зарядом е - — е0 обладают электроны, а положительным зарядом е = +е0 — протоны; численное значение элементарного заряда е 0 = 4,8-10"1 ° ед. СГС = 1,6-10-19 Кл.
Каждой элементарной частице соответствует ее античастица, заряд которой равен по абсолютной величине и противоположен по знаку заряду частицы. Некоторые элементарные частицы (нейтроны, нейтрино, нейтральные мезоны) не имеют электрического заряда, но нейтроны (и антинейтроны) имеют магнитный момент. Любопытно, что электрический заряд всех "элементарных" частиц равен по абсолютной величине либо элементарному заряду, либо нулю * >.
*) В состав элементарных частиц, называемых адронами, входят кварки, которые по современным данным имеют дробные электрические заряды.
7.2. Действие для частицы, находящейся в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Для количественного описания процессов взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем на основе лагранжева формализма, которым мы уже пользовались в гл. I при рассмотрении свободных частиц, нужно постулировать вид действия. Запишем действие для частицы с зарядом е, находящейся в заданном (т.е. не зависящем от движения рассматриваемой частицы) электромагнитном поле в виде
$ = Spart+ $int < (7.3)
где
(2)
Spart = ~тс S ds (7.4)
(1)
— действие (5.4) свободной частицы, Sjnt — слагаемое, описывающее взаимодействие частицы с электромагнитным полем. Действие Sjnt должно удовлетворять следующим очевидным свойствам: а) быть релятивистским инвариантом — для того, чтобы был выполнен принцип относительности; б) содержать (в виде произведения) величины, относящиеся к частице (ее заряд е) и величины, описывающие поле, поскольку частицы, не имеющие заряда, с электромагнитным полем не взаимодействуют * >.
Постулируем взаимодействие вида
е (2)
^int = / Ai(x°,xl,x2,x3)dxi, (7.5)
(1)
где интеграл берется вдоль мировой линии частицы, проходящей через точки 1 и 2, A t (7 = 0, 1,2, 3)— действительные функции координат и времени, описывающие электромагнитное поле и образующие ковариантный 4-вектор, множитель — 1/с выделен для удобства. Мы ввели, таким образом, для описания электромагнитного поля 4-вектор Ah который называется четырехмерным потенциалом. Взаимодействие (7.5) удовлетворяет сформулированным выше условиям а) и б), но не определяется ими однозначно. Мы увидим, однако, что выражение (7.3) и вытекающие из него следствия будут находиться в полном согласии с многочисленными опытными данными о взаимодействии частиц с электромагнитным полем, это и служит в конечном счете главным аргументом в пользу выбора взаимодействия (7.5).
$ 8. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ
8.1. Функция Лагранжа и уравнение движения. Действие, вид которого был постулирован в предыдущем параграфе, позволяет записать уравнение движения заряженной частицы. Мы получим здесь требуемое уравнение в форме, наиболее близкой к ньютоновской. На основе (7.3) — (7.5) имеем:
(2)
$= /
(1)
-meds — £ Д/</хЧ,
(8.1)
' Мы не рассматриваем здесь случай, когда нейтральная честица имеет магнитный момент.
где интегрирование производится вдоль мировой линии частицы между фиксированными точками 1 и 2 в 4-пространстве; х‘ — четырехмерные координаты в произвольной инерциальной системе отсчета. Поскольку ds и A idх' — релятивистские инварианты, то S — также инвариант, и полученное из релятивистски инвариантного действия уравнение движения будет справедливо в любой инерциальной системе. ,
Чтобы привести (8.1) к обычной форме (5.1), перейдем к интегрированию по г, записав предварительно A i = (<£, —А ) и A jdx1 = с</> dt—A -dr:
c ds , e .
s= !\-тсл-^+7АШГ
(8.2)
Здесь величины ^>(r, t) и Л (г, t) называются скалярным и векторным потенциалами электромагнитного поля (их совокупность образует 4-потен-циал). Далее, dr /dt = v — трехмерная скорость частицы, ds/dt выразим согласно (5.5), и, таким образом.
( 7 > /
S = f -тс2 V 1 —Ч- +
J V с2
(1)
Q \
— v • А — e<pjdt.
(8.3)
Тем самым определена функция Лагранжа заряженной частицы:
_ / у* Q
L(r,v,t) = —тс2 у 1------г + — »• Л (г, t) — eiz>(r, г).
с с
(8.4)
Отмеченный выше факт, согласно которому частицы могут взаимодействовать только через посредство поля, позволяет легко обобщить функцию (8.4) на случай системы взаимодействующих частиц:
/ к* &а
L = —£тас2 V 1-----+ S—ча Л(га, Г) 2е^(г„, г).
а С а С а
(8.5)
При этом под Л (га, г) и <р(га, г) нужно понимать потенциалы, создаваемые внешними телами и всеми частицами, кроме а-й, в точке нахождения а-й частицы. При переходе к нерелятивистскому пределу изменяется только первое слагаемое. Преобразовав радикал, как это делалось в § 5, и отбросив из функции Лагранжа постоянное слагаемое i,mac2, получим
(mv2 еа I
л опте! ~ 1 о + г *а’Л(Гд, t) г ?) (• (8.6)
a I * с I
Уравнение движения в лагранжевой форме имеет вид (5.12). Вычислим входящие в него производные (для одной частицы):
т v
(8.7)
Э£ _ /п у е
’’' УТТл? с
Как известно, производная Э/./Э» = Р носит название обобщенного импульса. Согласно (8.7), обобщенный импульс Р не совпадает с импульсом р (5.10) свободной частицы:
Р = р +—Л (г. Г). с
4. М.М. Бредов
(8.8)
(8.9)
Затем вычисляем производную по времени d bL dp е IЬА -------------+ —|----+ (v • V )А dt Эр dt с \ dt
и производную по координатам
V(»-X)-eVyj. dr с
В последнем равенстве удобно воспользоваться векторным дифференциальным тождеством
»X[VXX] = V(»-4)-(v - V)4,
в котором учтено, что оператор дифференцирования V не действует на вектор v. В итоге будем иметь
— = -»Х[?ХЛ]-- (»• VM-eVy), dr с с
а уравнение движения запишется в виде
— = е(-~ — — VyA +~ » X rotX. (8.10)
dt \ с bt /с
8.2. Сила Лоренца. Напряженность электромагнитного поля. Величина, стоящая в правой части равенства, по определению представляет собой силу, действующую на заряженную частицу:
(1 лл \ а
--- +— » X rot А. (8.11) с bt----------------------------------------------/ с
Сравним это выражение с известным из опыта выражением для силы Лоренца:
F = e£+-«Xtf. (В.12)
с
Здесь Е и Н — векторы, характеризующие электромагнитное поле. Они называются напряженностями электрического и магнитного полей соответственно. Мы будем рассматривать силу Лоренца (В.12) как фундаментальный опытный факт. Выражение (8.12) для силы Лоренца - это одна из самых красивых формул классической физики. Она производит глубокое впечатление своей простотой и общностью: любая заряженная частица, движущаяся с произвольной скоростью, будет испытывать в электромагнитном поле действие силы (8.12). В отличие от многих других формул релятивистской механики (например (5.10), (5.11)), содержащих релятивистский фактор (1 — и2/с2)1/2, сила Лоренца линейна по ». Она линейна также поЕ и И.
Сила Лоренца играет важную роль в классической электродинамике, описывая во всех возможных ситуациях действие электромагнитного поля на заряженные частицы. Она позволяет свести измерение напряженностей электромагнитного поля Е и Н к измерению механических величин F и v (а также заряда е, способы определения которого обсуждались в § 7). При этом напряженность Е определяется силой, действующей на неподвижную (р = 0) пробную частицу с зарядом е; напряженность Н — добавочной силой, которая действует на движущуюся частицу.
Сравнение (8.11) с (8.12) позволяет связать введенный ранее 4-потенциал с напряженностями электромагнитного поля:
1 ЭД
Е = — — — gradp, ff = rotA. (8.13)
Поскольку А — трехмерный полярный вектор, ар — скаляр, то Е и Н при вращениях в трехмерном пространстве преобразуются одинаковым образом по закону преобразования векторов. Но при отражении координатных осей (преобразование г’ = — г ) Е и Н ведут себя различно: вектор Е, как и г, изменяет знак на противоположный, а вектор Н не изменяет знака. Поэтому Н называется псевдовектором, или аксиальным вектором, в отличие от Е, который является истинным, или полярным вектором.
На примере измерения Н через силу Лоренца можно еще раз убедиться в псевдовекторном характере напряженности Н магнитного поля: хотя сила Fm = -^ v X Я определена путем измерения вполне однозначно, знак Я условен и зависит от определения векторного произведения. Если условиться понимать под *,Я и v X Я не правую, а левую тройку векторов, то знак Я заменится на обратный. Это — характерная особенность аксиальных векторов: определена лишь ось, но не ее направление (см. по этому вопросу также Дополнение 1.6). Напряженности электрического поля Е такея неопределенность не присуща: его направление при измеренной силе Fe = е£ и известном заряде е определяется единственным образом.
8.3. Градиентное преобразование потенциелов. Из (8.13) видно, что одним и тем же напряженностям электромагнитного поля Е;Н отвечает широкий класс электромагнитных потенциалов. В самом депе, векторный потенциал
Л=Л+дгабх, (8.14)
где х(г,Г) — произвольная дифференцируемая скалярная функция, не изменяет магнитного вектора: Й = rot Л = rot А = Я, так как равенство rot Vx - 0 выполняется тождественно при всех X- Чтобы при таком преобразовании не изменялся и электрический вектор Е, нужно преобразовать также скалярный потенциал:
= (8.15)
с 01
Таким образом, напряженности поля Е,Н — инварианты относительно преобразований потенциалов (8.14), (8.15), которые называются градиентными или калибровочными преобразованиями. Из калибровочной инвариантности электромагнитной теории вытекают глубокие следствия, некоторые из которых будут обсуждаться в гл. III.
Градиентное преобразование потенциалов нетрудно записать в 4-форме:
Эх
Ai = Al---Т-Г. (8.16)
Эх'
где х(*°, *3) — произвольный дифференцируемый 4-скаляр.
В классической электродинамике наблюдаемыми величинами являются напряженности Е и Я, потенциалы же выступают как вспомогательные функции, из которых Е, Н получаются дифференцированием по формулам (8.13). Несмотря на то что потенциалы не являются основными величина
ми, они играют важную роль в электродинамике. Они позволяют уменьшить число неизвестных функций с шести (£, Н) до четырех (А, у>). Как было продемонстрировано выше, без потенциалов невозможно обойтись при формулировке вариационного принципа. Особенно большое знечение приобретают электромагнитные потенциалы в квантовой механике и при квантовомеханическом описании электромагнитного поля. Именно потенциалы А, р, а не напряженности поля Е, Н входят в большинство уравнений квантовой механики и квантовой электродинамики.
8.4. Функция Гамильтона. По определению, известному из механики, функция Гамильтона зависит от обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени и определяется равенством
X(r,P,t}=Pv-L, (8.17)
где правую часть нужно выразить через г, Р и t. В качестве обобщенных координат выбраны декартовы координаты г = (x,y,z).
Подставив в (8.17) выражения (8.7) и (8.4), получим
... тс^
К =— - —+ eip.
у/1 - v2/c2*
Первое слагаемое в правой части представляет собой энергию свободной частицы (5.11). Выразив ее через р - Р — у А согласно (5.18), получим окончательно:
7C(r, Р, t) = у/т1 с* + с2^Р — +etP- (8.18)
Найденная функция Гамильтона позволяет записать уравнения в форме канонических уравнений Гамильтона:
9JC ----- г =-----. дг дР
(8.19)
Мы рекомендуем читателю убедиться самостоятельно, что уравнения (8.19) эквивалентны уравнению движения (8.10).
S 9. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В КОВАРИАНТНОЙ «ОРМЕ.
ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
9.1. Вариация действия и уравнение движения. Уравнение движения (8.10) релятивистски инвариантно (справедливо в любой инерциальной системе), но не ковариантно (правая и левая его части не являются 4-тензорами какого-либо ранга). Между тем, ковариантная запись имеет определенные преимущества: она делает релятивистскую инвариантность явной и позволяет найти закон релятивистского преобразования для напряженностей электромагнитного поля Е, Н.
Для получения уравнений движения в ковариантной форме произведем варьирование действия (8.1) непосредственно, не переходя к нековариантной записи через функцию Лагранжа, которая выделяет одну (временную) координату. Будем иметь:
(2), »
6S = f l-mcSds — ^-SAjdx'—^At&dx'}. (9.1)
(i) ' '
Затем вычислим вариацию ds: по определению ds = s/dxjdx',
dxiftdx' 1
5 ds ---------= — Uibdx1:
ds с
(9.2)
5S = I—mu, —Д,|5х/
в последнем равенстве мы использовали (4.28) и определение 4-скорости (4.29). Это позволяет представить (9.1) в виде
(2) / Л
5S= / I—mu,-5 с/х'— Д,5с/х/— 5Д,с/х'к
(О ' '
Далее интегрируем первые два члена по частям и получаем
/ \ . Р) Р)/ \
+ / ImdUjSx' dAjbx1 — SA/dx1!.
(П (9.3)
В фиксированных 4-точках 1 и 2 Эх' = 0, поэтому выделившийся внеин-тегральный член обращается в нуль. В подынтегральном выражении преобразуем отдельные члены следующим образом:
du.- ЭД, с/х* ЭД, .
dus ---с/т; dAt = —г-----с/т = —r-ukdT;
‘ dr дхк dr дхк
ЭД,- ь
ЬА< =---г5х*; dx,=uldT.
1 Ъхк
В результате подстановки этих формул в (9.3) получаем
(' du, . е дА{ . е ЭД,- . , \ т 6х dr + — ukbx'dT---------------—и Ьхkdri.
, dr с Эх* с Ъхк /
(9.4)
(9.5)
ЭД,-Эх*
(9.6)
(9.7)
В последнем слагаемом делаем перестановку немых индексов i ~ км вводим обозначение
с _ эд* '* " Эх''
Величина Fik представляет собой антисимметричный ковариантный 4-тензор II ранга — ротор 4-потенциала. Он называется тензором электромагнитного поля и играет огромную роль в электродинамике.
Вариация действия, записанная через тензор Fik, принимает вид
(2)/ du, е \ .
5S = / (т----------Fikuk 1 Эх'с/т.
(I)\ dr с /
Для того чтобы не нарушалась симметрия между 4-координатами, необходимо считать все четыре вариации, Эх',/ - 0, 1, 2, 3, произвольными и отличными от нуля. В нерелятивистской же механике варьирование обобщенных координат производится при постоянном времени, т.е. при 5х° = 0. Таким образом, в релятивистской теории вариационный принцип должен быть несколько обобщен. Однако это обобщение сказывается лишь на форме записи уравнений движения, но не на их содержании, так как ре
зультаты, которые мы ниже получим, будут эквивалентны результатам § 8, в котором варьирование производилось при t = const.
Ввиду произвольности и независимости вариаций 5х' из условия стационарности действия 5S = 0 следуют уравнения движения
du; е .
т—- = —Fikuk, i = 0.1,2, 3. (9.8)
dr с
По форме они представляют собой равенство между двумя ковариантными 4-векторами. Это равенство выполняется, конечно, и для контравариантных компонент:
ей/ е а.
=c-F ик- <99>
Вернемся теперь к равенству (9.3). Интегральный член в нем тождествен (9.7) и обращается в нуль при движении частицы по физической траектории. Если закрепить точку 1 и варьировать координаты точки 2, то вариация действия примет вид
SS = — \muj +^А убх'. dS .
С другой стороны, 5S = —т Эх', откуда Эх'
Э$ , е . .
Назовем
D dS е А
Эх
(9.10)
(9.11)
ковариантным 4-вектором обобщенного импульса; тогда контравариантный 4-вектор Р1 запишется в виде
. / & + еу> о \
р^\—г-.р^а\
Его пространственная часть совпадает с трехмерным вектором обобщенного импульса (8.8), а временная компонента представляет собой функцию Гамильтона (8.18), деленную на с. Таким образом, величины (К/с,Р) =Р' образуют контравариантный 4-вектор обобщенного импульса. Его компоненты, согласно (9.11) — (9.13), связаны с производными от действия теми же соотношениями, которые хорошо известны из классической механики:
Эг Эг
Это позволяет составить уравнение Гамильтона — Якоби и использовать его для решения задач о движении релятивистских частиц в электромагнитном поле.
Как известно из механики, уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
™ + 3<(P,r,t) = 0, or
(9.12)
(9.13)
где К — функция Гамильтона (8.18), в которой обобщенный импульс Р следует заменить величиной gradS в соответствии с (9.12). Пользуясь
(8.18), получим
у/т2с* +c2/grad$ —+ ер \ с I \ ot
или, избавляясь от радикала,
/ \2 . /Д5
IgradS — £а)---г(т— + е</>) + т2с2=О. (9.14)
х <• / с \ot /
Это и есть уравнение Гамильтона — Якоби для релятивистской частицы.
9.2. Связь тензора поля с напряженностями Е, Н. Выпишем отдельные компоненты тензора Ftk, подставив в определение (9.6) А( = (</>, -А). Получим
1 дАх др дАу
Fl2 =+ 17~'ъГ=~Нг и т д"
т.е., согласно (8.13), компоненты тензора F ik совпадают с проекциями трехмерных векторов Е, Н.
Запишем связь между 4-тензором электромагнитного поля и 3-векторами напряженности в виде
/ 0 Ex ЕУ /° — Е ~ЕУ ~Ег
Ftk " I ~ЕХ 0 -Hz НУ . Fik = Ex 0 -Hz НУ
~ЕУ hz 0 -Hx ЕУ Hz 0 -Их
\-Ez -Ну Hx 0 ) \EZ -Ну Нх 0 ,
(9.15)
Напряженности поля являются компонентами единого антисимметричного 4-тензора второго ранга.
Перепишем теперь уравнение движения (9.9) в трехмерной форме. Вспоминая связь трехмерного импульса с 4-скоростью (5.14), видим, что левая часть (9.9), mdua/dr при а = 1, 2, 3, сводится к производной ydp/dt, где у — лоренц-фактор. Правая часть с помощью (9.15) и (4.30) записывается в виде силы Лоренца (8.12), умноженной на у. В итоге получаем трехмерное уравнение движения: dp ~
-£ = eE+£v*H. (9.16)
Компонента (9.9) с i = 0 тем же путем приводится к виду
----- еЕ • v, dt
(9.17)
т.е. выражает изменение кинетической энергии частицы. Уравнение (9.17) не является независимым и может быть получено из (9.16) путем умножения обеих частей скалярно не v. При этом согласно (5.18) и (5.13)
d& dp d&
--- - v v —— ----
dp ' dt dt '
о wc2
где & — --------- есть сумма кинетической энергии частицы и энергии
\h-v2/c2'
покоя. Она не включает в себя энергию взаимодействия с электромагнитным полем. Отметим, что магнитное поле не производит работы над частицей, так как магнитная сила всегда перпендикулярна скорости.
§ 10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОСТЕЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ИНВАРИАНТЫ ПОЛЯ
10.1. Преобразование напряженностей. Выяснение того фундаментального факта, что векторы ЕпН представляют собой компоненты 4-тензора поля Fik, позволяет с легкостью найти преобразования этих векторов из одной инерциальной системы в другую. Исходим из закона преобразования тензора (4.15):
Fik' = а'так„Ртп, (10.1)
где матрица а'„, определена (4.11). Отсюда получаем, например,
Е10'=а1 оа° (F01 + a1 1a°0F10 = (ch2ф - sh2i//)F10 = F10,
. F20'=a2 2a° 0F20 +a2 2a" /21 = chi//F20 - shi//F21 и т.д.
Обращаясь к (9.15), находим следующие формулы преобразования:
Ех-Ех, Еу = у(Еу - 0HZ}, Ez = y(Ez + $Ну),
Н'Х=НХ, Ну = у(Ну + fiEz), Н'г = 7(HZ - $Еу).
Формулы (10.2) можно переписать в векторном виде, если ввести параллельные и перпендикулярные относительной скорости V составляющие векторов £ и Я:
<-£.- <-ткЧ,'х»)-
х (10.3)
я ' = я я; = yfcрхА
Важный частный случай формул (10.3) — относительное движение систем отсчета с нерелятивистской скоростью, V <с. При этом у 1 и с точностью до линейных по V/с членов
£'=£ + -| V\H. H'=H-^VXE. (10.4)
10.2. Инварианты поля. Составим все возможные независимые инварианты из компонент тензора Flk. Свертка тензора, являющаяся инвариантом — его след F1. — в данном случае обращается в нуль. Нетривиальным инвариантом является скалярный квадрат тензора Fik, т.е. его произведение на ковариантный тензор:
FikF,k = inv. (Ю.5)
Второй независимый инвариант строится с помощью единичного совершенно антисимметричного тензора e/Jt/m (см. § 4):
^ikimF,k F'm = inv. (10.6)
Произведения (10.5) и (10.6) нетрудно выразить через £ и Я с помощью (9.15):
FikFik = 2(Н2 - £2), eiklmFikFlm = 2£Я.
Таким образом, релятивистскими инвариантами являются
£2 — Н2 = inv, Е-Н = inv. (10.7)
Найденные величины по-разному ведут себя при отражении пространственных или временной оси. Разность Е2— Н2 является инвариантом и по отношению к преобразованию отражения осей. Произведение Е -И меняет знак при отражении трех пространственных или временной оси: в первом случае Е' = —Е, Н' = И, е во втором случае Е' = Е, ноН1 = —Н. Поэтому Е-И — не истинный скаляр, а псевдоскаляр. Однако Е-И остается инвариантным относительно отражения всех четырех осей.
Инварианты поля будут использованы в § 13 для построения релятивистски инвариантного действия. Кроме того, с их помощью можно находить инерциальные системы отсчета, в которых электромагнитное поле имеет наиболее простой вид. Пусть, например, в некоторой системе отсчета Е и И однородны и взаимно перпендикулярны, т.е. Е-Н — 0. Тогда, в зависимости от знака разности Е2— Н2, можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой Е' = 0 (при Е2—Н2 < 0) или Н' = 0 (при Е2-Н2>0).
В первом из указанных случаев полагаем скорость искомой системы отсчета К перпендикулярной плоскости (Е,Н} и записываем для нее на основе (10.3) уравнение
Е' = т^£ + ^КХя) = 0,
из которого находим
.. EXH
V=c-----—. (10.8)
н
Во втором случае тем же путем из условия Н'= 0 находим
„ EXH 1лпп.
V = c - . (10.9)
В обоих случаях V < с, что является необходимым условием существования искомой инерциальной системы.
§11. ДВИЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ
В СКРЕЩЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ
11.1. Движение в однородном магнитном поле. Здесь мы исследуем один из простейших случаев — движение частицы во взаимно перпендикулярных однородных электрическом и магнитном полях Е, Н. В конце §10 было показано, что при Е #= Н существует такая инерциальная система, в которой одна из напряженностей обращается в нуль. При Е < Н в системе, движущейся относительно исходной со скоростью
>z ЕХН
Ve=c Н2
остается только магнитное поле, которое будет иметь согласно (10.3) напряженность
Я2 _ е2\1/2 и
Н' =
(11.1)
(11.2)
Запишем уравнения движения зеряженной частицы (9.16), (9.17) в системе отсчета, в которой Е' = О, Я' =# 0: i’-Vx#, -£'-0. dt с dt
(11.3)
Последнее уравнение показывает, что в магнитном поле энергия частицы, а следовательно, и абсолютная величина импульса не изменяются — поле не совершает работы над частицей, а лишь изменяет направление ее движения. Первое уравнение (11.3) можно с помощью (15.14) записать в виде
& = Й' X р', (11.4)
dt'
где
Й' = —^Я' g'
(11.5)
(11.6)
- гиромагнитная (циклотронная) частота; для нерелятивистских частиц g' ^тсг и
й' = тс
Выберем ось г' в направлении поля Я и запишем (11.4) в проекциях на оси координат:
dp'x , , dp' dp'z
—- = —Q pv, —— = px, —- = 0.
dt' y dt' dt'
(11.7)
Последнее уравнение дает p'z ® const, т.е. частица движется в направлении поля Н1 с постоянной скоростью vz = у', определяемой начальными условиями. Первые два уравнения удобно привести к виду
Ipx +iPy) = i^'ip,x +iPy), (11-8)
где / - мнимая единица. Интегрируя (11.8), находим
f I . г'п11л't'
Рх + 'Ру ~ Се
где С - комплексная постоянная интегрирования. Записав ее в виде С = ру е '“ , где Ру == | С| и разделив действительную и мнимую части, получим
рх =PyCOs(n't' +а'), Ру =p£sin(Q't' + а'). (11.9)
Отсюда следует, что Ру = у/р'х +Руг - абсолютное значение проекции импульса на плоскость, перпендикулярную Я’, d — начальная фаза вращения, импульс частицы вращается с гиромагнитной частотой (11.5) вокруг направления магнитного поля, оставаясь постоянным по абсолютному значению.
Скорость частицы связана с ее импульсом соотношением (5.13) : v = c*pj&. Интегрируя скорость по времени с использованием (11.9) и
условия &' = const, находим зависимость координат от времени:
х' = fl^sinf£2't' + а'), у = —R'lcos(£l,t' + а'), z' = z'o + Иц'г'. (11.10)
Здесь , ср. я; = —t (н.п»
1 еН
— радиус вращения частицы в плоскости, перпендикулярной Н', который называют также гирорадиусом или ларморовским радиусом. Ось г' выбрана проходящей через центр ларморовского кружка. Частица движется по спирали, навитой на поверхность цилиндра радиуса R'l . Шаг спирали
Л = 2ттиу /Я',
где 2тт/П1 — период циклотронного вращения. При = 0 частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля.
11.2. Электрический дрейф. Рассмотрим теперь картину движения частицы в исходной (лабораторной) системе отсчета, в которой отличны от нуля обе напряженности поля, Е и Н. Координаты частицы в этой системе можно выразить через (11.10) с помощью преобразований Лоренца:
х = 7(х’(г') + VEt'}, y = y'(t'), z=z'(t'(,
/ . \ (11.12)
t = 7U' +-^-V£x'(*')), 7=(1 - У|/с2)",/2.
Мы выбрали ось x направленной вдоль VE, а ось у — вдоль Е. Формулы (11.12) задают движение частицы в исходной (лабораторной) системе в параметрической форме, причем в качестве параметра использовано время г’. Постоянные R’l, a’,Zo, которые входят в правые части (11.12), определяются из начальных условий.
Рассмотрим важный случай слабого электрического поля, Е <Н, что соответствует VE <с, т.е. нерелятивистскому относительному движению систем отсчета. Вычислим скорость v в лабораторной системе с точностью до членов, линейных по VE/c. В этом приближении 7=1- Поделив диффе-
ренциалы dx,dy,dz на dt — dt' + — V^tfx’, получим с требуемой точ-с ностью:
/ v' 2\ Hx-i'x’U’l + Vk 1----f-|.
\ с /
^ = ^(r')--^-v£i/x’(r')i/;(t').
Если движение частицы в штриховенной системе нерелятивистское, то слагаемые порядке и’2/с2 можно отбросить. Но при v* ~ с они не малы.
Имея в виду в дальнейшем усреднить скорость по времени г, запишем
в слагаемых нулевого порядка t ’ = t —тг VEx '(t'); в членах первого по-с
рядка, пропорциональных VE, можно положить t' = t. В итоге будем иметь
Их(г) = их'(Г)+ Ve[l-7 yj^x'lt)—у и;2 (Г)1,
[ с dt с2 J
иЛ,(Г) = Vy№--^ + иу'(г)и;(Г) j,
иг(Г) = иц' - p-Vfci-Vx(t).
Усредним теперь v(r) по периоду Т= 2я/£2' вращения частиц вокруг направления магнитного поля:
_ 1 » + г
vx = у S vx(s)ds и т.д.
С помощью формул (11.9), (11.10) находим
^x'(t) , 1 ,2 “7“ 1 ,2
——x[t) = -—v*, v*(t)=—v* и т.д.,
так что окончательно
vx = VE, vy = Q, Vz = v\,
или в векторной форме
Г=и'й + VE, h=H/H. (11.13)
Таким образом, усредненное движение частицы в лабораторной системе складывается из равномерного движения вдоль мегнитного поля и равномерного движения в направлении, перпендикулярном как электрическому, так и магнитному векторам со скоростью (11.1). Последнее движение называется электрическим дрейфом. Скорость электрического дрейфа VE зевисит только от отношения напряженностей электрического и магнитного полей. Она не зависит от заряда и энергии частиц, и, в частности, одинакова для релятивистских и нерелятивистских частиц, электронов и ядер. Но это не означает, что электрический дрейф испытывают и нейтральные частицы. Ларморовский радиус нейтральной частицы бесконечен, и усреднение по циклотронному вращению не имеет смысла.
Происхождение электрического дрейфа легко понять из наглядных соображений. Частица, вращающаяся вокруг Н, на половине окружности ускоряется электрическим полем, а на второй половине — земедляется, согласно формуле
& = &' +р' -VE, VE<c, &' = const. (11.14)
Поэтому ларморовский радиус на разных фазах вращения оказывается различным, что приводит к движению частицы перпендикулярно Е и Н (рис. 11.1). Детальная форма, траектории зависит от параметров задачи.
Поперечный дрейф может быть вызван не только электрическим полем, но и любой другой силой F, приложенной перпендикулярно Н, например, гравитацией или градиентом давления. Силе F. действующей на частицу, можно сопоставить эффективное электрическое поле Е. = F/e. Подстав-
ляя его значение в (11.1), находим скорость соответствующего дрейфа:
VF = (11-15’
еН
Эта скорость зависит от знака и величины заряда; частицы с зарядами разных знаков будут дрейфовать в разные стороны.
11.3. Гиперболическое движение. При£>Л/, Е Н = 0 существует система отсчета, движущаяся со скоростью (10.9), в которой
В этой системе движение заряженной частицы происходит только под действием электрической силы. Рассмотрим процесс ускорения первоначально покоившейся заряженной частицы постоянным и однородным электрическим полем. Для разнообразия решим эту задачу исходя из уравнения движения (9.9) в ковариантной форме.
Выберем ось 1 в направлении Е. Тогда уравнение (9.9) с помощью (9.15) сведется к системе двух уравнений первого порядка относительно иЧт},иь(т}-.
HI.W
dr с dr с
Эту систему следует проинтегрировать с начальными условиями
о°(0)=с, о1(0) = 0, (11.17)
причем отсчет собственного времени т выбран так, что
т = 0 при г = 0. (11.18)
Ищем решение системы (11.16) в форме
о1(т)=ДзЬХт, w0(r)=BchXr, (11.19)
где А, В, X — постоянные. Из начальных условий (11.17) находим: В = с. Подстановка (11.19) в (11.16) дает два алгебраических уравнения для определения А и X;
т\А=еЕ, т\с = ^ЕА,
откуда X = еЕ/тс, А = с. Тем самым, найдена 4-скорость в функции собственного времени:
=о*(т) =cshXr, =о°(т) =cchXr. dr dr
(11.20)
Последующее интегрирование позволяет найти связь х1 = х и х° = ct с собственным временем г:
x(r)=vchX.T, t=-~shX.T. (11.21)
Л Л
Начальные условия выбраны таким образом, что х(0) = с А.
Связь между координатой х и временем t в лабораторной системе получается в результате исключения г из равенств (11.21) с помощью тождества ch2a — sh2a = 1:
х2 (ст)2
(c/Х?2 ~ (с/Х)2
(11.22)
Из этого уравнения следует, что в плоскости (х,ct) частица описывает гиперболу (рис. 11.2). В зависимости от знака заряда частицы движение будет происходить по одной из двух ее ветвей.
Наконец, вычислим энергию & и трехмерную скорость v частицы. Имеем £(т) = тси°(т} = mc2chXr,
с2тих (т) v(t) =--------= cthXr,
£(т)
(11.23)
или, в функции времени t.
£(t) = тс2
(11.24)
Скорость частицы асимптотически приближается к с за характерное время порядка нескольких t0 = тс/еЕ, а энергия нарастает при больших временах линейно со временем. Предоставляем читателям самим убедиться, что при t < t0 из (11.22), (11.24) получаются известные формулы для равноускоренного движения нерелятивистской частицы.
§ 12. ТЕОРЕМА ЛАРМОРА
Рассмотрим систему одинаковых заряженных нерелятивистских частиц, находящихся во внешнем электрическом аксиально-симметричном поле. Как повлияет на такую систему частиц слабое однородное магнитное поле, направленное вдоль оси симметрии?
Ответ на поставленный вопрос дает теорема Лармора-, при наложении слабого магнитного поля система частиц приходит во вращение как целое с угловой скоростью
Это движение называется ларморовской прецессией. Наиболее простое доказательство теоремы Лармора можно получить путем сравнения функций Лагранжа системы частиц в магнитном поле и той же системы без магнитного поля, но рассматриваемой относительно вращающихся координатных осей. В отсутствие магнитного поля функция Лагранжа имеет вид, хорошо известный из классической механики:
m и2
L() = £~-~ U, (12.2)
a 2
где U — полная потенциальная энергия, включающая энергию взаимодействия частиц друг с другом и с внешним полем. При наложении магнитного поля функция Лагранжа приобретает, согласно (8.6), добавку
®а
2—va - A a, где A a - векторный потенциал в той точке, где находится а с частица.
При Н = const удобно представить А в виде
Л=’АЯХг, (12.3)
так как
rot 4 =%VX [ЯХг] = 1ЛЯ(Г-г) — У» (ЯТ)г = У2Я-йЯ=Я.
Функция Лагранжа системы частиц в магнитном поле приобретает следующий вид: mv* е
LH = + (12.4)
a * a
Теперь запишем функцию Лагранжа (12.2) относительно осей, вращающихся с угловой скоростью Г2 вокруг оси симметрии внешнего поля. Скорости частицы va в неподвижной и vj во вращающейся системе связаны соотношением
va = v'a + £2 X ra'. (12.5)
известным из классической механики. При выполнении условия
|ЙХга|<Ид' (12.6)
в функции Лагранжа достаточно учесть только линейные по Г2 члены. Подставляя (12.5) в (12.2), и отбрасывая слагаемые с Г22, получим
m v’„2
Ln = S + S rnvi • [ Q X r’a ] - U. (12.7)
a 2 a
Существенно, что потенциальная энергия U при переходе к вращающимся осям не изменяется:
U(r\, ...,rN) = U{r,,rN}.
Это связано с тем, что при нерелятивистских скоростях движения расстояния между частицами и расстояния ра от каждой из частиц до оси симметрии — одни и те же в неподвижной и вращающейся системах отсчета:
I ~ Гь I ~ I г а ~ ? b 1' Ра ~ Ра •
а только от таких комбинаций координат может зависеть потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц в аксиально-симметричном поле. Поэтому функции Лагранжа L п и LH становятся одинаковыми, если & = еШ2тс. Но это означает, что и поведение частиц одинаково: система частиц, наблюдаемая в лабораторной системе отсчета, при наложении магнитного поля приобретает угловую скорость £2£ = —еН12тс. Знак минус появляется потому, что направления вращения частиц относительно координатных осей и осей относительно частиц взаимно противоположны.
Уточним смысл условия (12.6). Пусть частицы без магнитного поля совершают финитное квазипериодическое движение, как, например, электроны в атомах. Тогда можно положить v’a «= сц, г’а , где сц, — частота вращения а-й частицы. Условие (12.6) сводится к неравенству
we > Q£, (12.8)
т.е. частота ларморовской прецессии должна быть мала по сравнению с собственными частотами частиц. Это условие играет существенную роль, и если оно не выполнено, то теорема Лармора неверна. Например, для свободных частиц (ша -* 0) частота вращения вдвое больше £2£ (см. (11.6)).
Из приведенного доказательства теоремы Лармора следует, что она справедлива и для таких частиц, у которых еа и т а различны, если только отношения еа/та одинаковы.
Глава III
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 13. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В КОВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ
ИЗ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
13.1. Действие для системы, состоящей из частиц и электромагнитного поля. В главах I и II мы применили принцип наименьшего действия для получения уравнений движения свободной частицы и частицы в электромагнитном поле. Естественно использовать тот же подход и для вывода уравнений движения самого электромагнитного поля, что мы и сделаем ниже. Общую формулировку вариационного принципа для непрерывных систем мы будем считать известной из классической механики * *.
Начнем с построения действия для системы "заряженные частицы + + электромагнитное поле". В духе общего подхода, основанного на понятии
** Для тех читателей, которым необходимо освежить в памяти эти сведения, они приведены в Дополнении III.
поля как физической реальности, и признании того факта, что взаимодействие частиц осуществляется только через поле, мы должны ожидать, что полное действие S рассматриваемой системы должно состоять из трех различных и допускающих четкую физическую интерпретацию частей:
$ = Spart + $int + Afield- (13.1)
Здесь
Spart = - m^Sdsa (13.2)
а = 1
- действие для свободных частиц, введенное в § 5; а - номер частицы; N е
Sint = - 2 — fAfixJdx' (13.3)
а = 1 С
— член взаимодействия, который уже обсуждался в § 7 для случая одной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. Запись взаимодействия в виде суммы членов по всем частицам вытекает из основного предположения о локальности взаимодействия — каждая частица взаимодействует с полем, взятым в той же точке, где она находится. При этом, поскольку мы рассматриваем движение частиц как функцию единого времени t в произвольной, но конкретной инерциальной системе отсчета, все пространственно-временные точки ха = (х°, jq, х*а, л^) следует брать при одном и том же значении координаты х° =ct. На геометрическом языке это означает, что точки ха берутся на трехмерной гиперповерхности г = const четырехмерного псевдоевклидова пространства. То же самое относится к вырежению (13.2): все дифференциалы dsa =с\/\ — v£jc*dt должны быть выражены через единое время t.
Обратимся теперь к третьему слагаемому в (13.1) — действию, описывающему электромагнитное поле. Его нужно построить из величин, выбранных для описания электромагнитного поля — компонент А{ 4-потенциала, наложив при этом ряд ограничений, вытекающих как из общефизических принципов, так и из опыта. Сформулируем эти ограничения:
1. Величина Sfjeid должна быть релятивистским инвариантом — это вытекает из принципа относительности.
2. Из опыта следует, что электромагнитное поле в вакууме удовлетворяет принципу суперпозиции: если имеется несколько источников электромагнитного поля и а-й источник в отсутствие остальных создает поле с напряженностями Еа, На, то полное поле будет представлять собой геометрическую сумму полей, создаваемых каждым источником в отдельности:
Е = ЪЕа, Н=ЪНа. (13.4)
а а
Принцип суперпозиции будет выполнен только в том случае, если уравнения поля будут линейными. Линейность уравнений поля требует, чтобы действие Sfie)(j было билинейным функционалом от компонент 4-потенциала и их производных.
3. Поскольку наблюдаемыми величинами являются компоненты тензора поля Ене, которые не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов (8.14), то и вся теория электромагнитного поля должна быть гради-ентно инвариантной. Это означает, что все уравнения, описывающие как само электромагнитное поле, так и его взаимодействие с заряженными частицами, могут быть записаны через градиентно инвариантные величины — компоненты F/*.
5. М.М. Брадов
65
4. Постулируем (чтобы получить согласие теории с опытными законами электромагнетизма), что уравнения электромагнитного поля должны содержать производные от 4-потенциала не выше второго порядка по координатам и по времени. Поскольку при варьировании порядок производных повышается на единицу, то действие должно содержать производные от 4-потенциала не выше первого порядка.
Таким образом, условия 3 и 4 требуют, чтобы ««еш не содержало компонент Aj, а только его первые производные в виде градиентно инвариантных комбинаций, т.е. компоненты Flk. Из условий 1 и 2 вытекает, что они должны входить в виде релятивистски инвариантных билинейных выреже-ний. Таковыми являются инварианты поля (10.5) и (10.6). Поэтому действие -Sfield можно записать в виде
«field =aSFikFikd*x + bfelklmFlkFlmd4x, (13.5)
где а и b — постоянные.
Второй интеграл, однако, представляет собой слагаемое, вариация которого обращается в нуль. Это следует из возможности записать подынтегральное выражение в виде 4-дивергенции:
Э / ... Э \
Jkhnp с =4---------le,klm А,____А I-
е rikrlm * Iе мк - г мт]‘
Ох' \ ОХ /
далее с помощью теоремы Остроградского — Гаусса в 4-форме имеем:
Seik,m FikFlm d4x = 4feiklm Ak-^-{ Am dSt, ox
где последний интеграл берется по трехмерной гиперповерхности, огреничи-вающей 4-мерный объем интегрирования. Но при варьировании действия значения поля на границе объема должны быть заданными, поэтому
^eik,mAk~- dSi = 0.
Эх'
В итоге остается только первый член в (13.5) **. Выбирая а = —1/16яс (что соответствует гауссовой абсолютной системе единиц), будем иметь
(13.6)
«field =--^~ fF,kFlkd*x. 167ГС
Это выражение и релятивистски, и градиентно инвариантно.
А как обстоит дело с градиентной инвериантностью Sint? Поскольку в него входит сам потенциал А/, то градиентная инвариантность отсутству-
ет: при замене Af на А( = At---- имеем
Эх'
, N еа Эх
«int ~ «int + 2) f ~ г dx'. a = 1 с dxj Эх j
Но—г dx'a=dx(xa) — полный дифференциал, который при интегрировании "ха
вдоль мировой линии частицы дает постоянную (разность значений х на
(13.7)
*) Вторая причина, по которой второе слагаемое в (13.5) не следовало бы включать в действие, связана с его псевдоскалярным характером. По этой причине уравнения
поля имали бы различный вид в правой и левой координатных системах (некоторые слагаемые имели бы в указанных системах различные знаки), что противоречит опыту.
концах мировой линии), не влияющую на вариацию. Поэтому, хотя действие Slnt не обладает градиентной инвариантностью, вариация величины S|nt и получающиеся уравнения движения градиентно инвариантны.
13.2. Четырехмерная плотность тока. Слагаемые $neid и $int записаны в различных формах: в то время как первое из них представляет собой четырехкратный интеграл по пространственно-временной области, <Sint выражается в виде суммы однократных интегралов вдоль мировых линий частиц. Для вывода уравнений поля нужно представить Sjnt также в "полевой" форме. Это достигается путем введения плотности заряда р(г, г) и плотности тока Цг, г), определенных в каждой точке четырехмерного пространства — времени.
В силу того, что даже в малых макрообъектах содержится очень большое число элементарных частиц, можно (как и в механике сплошной среды) ввести понятие о непрерывно распределенном в объеме заряде, понимая под плотностью заряда в данной "точке" пространства отношение
р = Де/ДУ, (13.8)
где ДУ — макроскопически малый объем, Де — полный электрический заряд в этом объеме. Под "макроскопически малым", или "физически бесконечно малым", объемом понимается такой объем, в котором содержится большое число элементарных зарядов, но линейный размер которого мал по сравнению с расстояниями, представляющими интерес в рассматриваемой задаче. Ввиду дискретной структуры электрического заряда переход в выражении (13.В) к пределу ДУ-*0 лишен смысла. При таком определении плотности заряда положение "точки", в которой эта плотность задается, определено с точностью до размеров объема Д V.
Плотность заряда можно определить и через функцию распределения в фазовом пространстве, введенную в §6:
p(r,t) = eff(r,p.t)d3p, (13.9)
где е — заряд отдельной частицы. Для того чтобы (13.8) и (13.9) были эквивалентны, функция распределения f(r,p, г) должна быть достаточно "крупнозернистой", т.е. должна описывать распределение частиц в макроскопически малых объемах.
При наличии в системе нескольких сортов частиц вводят функции распределения fa(r,p,t} для частиц каждого сорта. Формула (13.9) в этом случае обобщается следующим образом:
p(r, г) = Z eaffa(r,p, t)d3p, (13.9а)
а
где суммирование ведется по всем сортам частиц.
Но понятие объемной плотности заряда не обязательно должно быть связано с усреднением, его можно ввести и для описания "точечных" зарядов, т.е. заряженных объектов малых резмеров (в частности, элементарных частиц). Для этого используют 6-функцию Дирака (Дополнение IV). Точечный заряд еа, находящийся в точке с радиус-вектором га (г), создает объемную плотность заряда
pa(r, f) = еа6(г — га(г)). (13.10)
Аналогичным образом можно записать объемную плотность системы точечных зарядов:
p(r, t) = Sea6(r-ra(t)), (13.11)
а
где сумма берется по всем зарядам.
5
47
Поскольку заряженные частицы находятся все время в движении, то с этим движением связан, вообще говоря, и перенос электрического заряда. Явление переноса заряда носит название электрического тока. Количественная характеристика электрического тока может быть введена как вектор, определяющий в каждой точке направление скорости и количество переносимого заряда:
jlr,t)~p4, (13.12)
где р — объемная плотность заряда, a v(r, t) — средняя скорость зарядов в объеме ДУ. Вектор / называется объемной плотностью тока, которую можно выразить через функцию распределения f(r, р, г) следующим образом:
j(r, t) = efvf(r,p, t}d3p. (13.13)
При наличии частиц разного сорта вместо (13.13) будем иметь
/(г, t) = Е eaf 4fa{r,p, t)d3P. (13.13а)
a
Наконец, если мы имеем дело с системой точечных зарядов и не производим усреднения по макроскопически малым объемам, то
j(r,f) = Seave6(r-re(f)). (13.14)
a
Последняя формула получается из (13.11) и (13.12), если учесть, что заряды находятся в дискретных точках, причем скорость v в каждой такой точке совпадает со скоростью заряда.
Запишем теперь Sint через величины р и / .Имеем е„ е„ dxl
Sint = - 2— fAt(xa)dx‘a = - S At(ra, t)dt;
a C a C dt
здесь мы ввели единое время t для всех частиц. Далее, е dx° е dx°
Sint = + 2 — J vjt) A(ra, t) -S — f c<>(ra, t}~ =
а С С а С C
1 л 1
=— f 2 eava(t) 6(r - ra)A(r, t)d4x —- fZcea8(r- ra)>p(r, t}d4x, C~ a C a
где во втором равенстве мы перешли к интегрированию по 4-объему, введя 6-функции. Из последнего равенства видно, что если ввести четырехкомпонентную величину
/' = (ср,/) = Е еаи‘ --^-'б(г-гв(г)), (13.15)
а с
где р и / даются формулами (13.11), (13.14),то
1 , '
Sint -----Sj\x}AtMd4x. (13.16)
с
Поскольку Sint — инвариант и d4x — также инвариант (см. § 2), то j1 — четырехмерный вектор плотности тока. Его компоненты преобразуются как координата и время при переходе в другую инерциальную систему, т.е.
• , / V \
/х ~ 7( J'x -pV}, iy =jy, jz -jz, cp’ = ylcp----jx\. (13.17)
\ c /
Этими же формулами определяется закон преобразования концентрации п и плотности потока п v частиц, которые отличаются от р и / инвариантным множителем е. Равенства (13.15) дают связь плотности 4-тока с 4-скоростями заряженных частиц. Поскольку j1 - 4-векторы, а еа — скаляры, то произведение — i^/c2 5(r —re(t)), равно как и сумма таких произведений, обязано быть ралятивистским инвариантом. Это замечание будет использовано в § 16 при построении тензора энергии — импульса.
Посмотрим, каким свойством должен обладать 4-ток /, чтобы теория сохраняла градиентную инвариантность. Преобразовав 4-потенциал согласно (8.16), где х — произвольная дифференцируемая скалярная функция, будем иметь
1 Эх
Sint = Sjnt + 2 //'(•*) ~ j d4X. с Эх'
Далее праобразуем подынтегральное выражение с помощью тождества /9х 9 » bil
/ —t =Г7 ~ХТ1
Эх' Эх' Эх'
Первый члан в правой части представляет собой 4-дивергенцию и при интегрировании сводится к интегралу по трехмерной гиперповерхности, охватывающей 4-объем:
, 1 1 э/ л
Sint -Sint + — f (/'X)dSt--Sx-~t d4x.
c c ox
Здесь dSt — проекция элемента гиперповерхности на ось 7 . Поскольку на границе 4-объема все величины заданы, то вариация от второго члена обращается в нуль. Последний же интеграл, если он отличен от нуля, дает ненулевую вариацию и делает теорию градиентно неинвариантной. Для того чтобы он обратился в нуль при произвольной функции X и произвольном объеме интегрирования, требуется обращение в нуль 4-дивергенции плотности тока
Э/'/Эх' =0, (13.18)
или в трахмерной форме
Эр/Эг + div / = 0 (13.19)
(уравнение непрарывности или неразрывности).
Равенства (13.18) и (13.19) выражают один из наиболее важных законов электродинамики — закон сохранения заряда. Чтобы в этом убедиться, проинтегрируем (13.19) по произвольному трехмерному объему V и воспользуемся теоремой Остроградского - Гаусса. Получим равенство
d
----J pd3x = f j dS, (13.20) dt(V) (S)
которое показывает, что изменение заряда в объеме V может происходить только за счет его перетекания через границу объема. Если объем охватывает все пространство и на бесконечности плотность электрического тока равна нулю, то
dQ/dt=0, О = const, (13.21)
где Q = /pdV - полный заряд системы.
Рекомендуем читателям в качестве упражнения убедиться прямой подстановкой, что р и /, определенные равенствами (13.11) и (13.14), удовлетворяют уравнению неразрывности (13.19).
Отметим, что было бы неправильно рассматривать (13.18) и (13.19) как следствие градиентной инвариантности Sint. Эти соотношения выражают в дифференциальной форме один из фундаментальных законов природы — закон сохранения электрического заряда. Он должен рассматриваться как опытный закон, подтверждаемый всеми известными ныне физическими явлениями как макроскопического, так и микроскопического характера. Именно сохранение электрического заряда и делает величину Sint градиентно инвариантной.
13.3. Уравнения Максвелла. Теперь у нас есть все необходимое для вывода уравнений Максвелла. Воспользуемся вариационным принципом: эволюция поля в пространстве и во времени (при заданном его значении на границе четырахмерной области) происходит таким образом, что действие остается стационарным, т.е. его первая вариация обращается в нуль.
Для получения уравнений поля следует варьировать 4-потенциал, считая движение заряженных частиц (величину j1} заданным. Это позволяет записать действие в виде
S = -/f-!— FikFik + \ /'Л4х, \16яс с /
опустив слагаемое Spart, которое не зависит от 4-потенциала, а лишь от координат частиц. Напомним, что при выводе уравнений движения частиц (в § 8, 9) мы, наоборот, варьировали координаты частиц при заданном Aj.
При вычислении вариации 6S пользуемся возможностью перестановки операций интегрирования и варьирования, а также соотношениями
5 (Fik Flk } = Flk 8 Flk + Flk 8Flk = 2 Fik 8 Flk
И
(13.22)
(13.23)
bAk bAi
8Flk=8 —- - 8 — Эх' Эх*
Переобозначая индексы в первом члене, получаем
8(FikFik)=-4Fik8~;
Эх и записываем вариацию действия в виде / 1 dAj 1 , \ .
6$ = /-----Ftk8------ ———j8AAd*x.
\4яс Эх* с1 /
Далее меняем местами дифференцирование и варьирование.
ЭД, Э
5 ТТ ж Эх" Эх* и преобразуем подынтегральное выражение: Э Э bFik
Fik—8A( = — lFlk8Aj) - 8Ah Эх" Эх* Эх*
Интеграл от дивергенции (первое слагаемое) преобразуется в интеграл по поверхности, ограничивающей 4-объем интегрирования, и при варьировании обращается в нуль, так как поле нужно считать заданным на границе области интегрирования.
В итоге вариация действия приобретает вид / 1 dF'k 1 Л
««= -J -------+ —ПЬА^х. (13.24)
\4яс Эх с )
Равенство б S = 0 при произвольном 6Д, будет выполняться только, если bFik 4я ,
~Г =---------j1. (13.25)
Эх* с
Это есть одно из уравнений *) Максвелла, записанное в ковариантной форме — в виде равенства двух 4-векторов. Сама форма записи уравнения говорит о том, что оно имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах, хотя значения как правой, так и левой частей, вообще говоря, различны в разных системах.
Уравнение (13.25) связывает тензор поля F,k с источниками j1 - движущимися заряженными частицами. Еще одно уравнение можно получить, пользуясь определением (9.6) Flk через 4-потенциал. Составим тензор III ранга
_ bFlk dFkl dFlt
' Эх' Эх' Эх*
(13.26)
второе и третье слагаемое которого получаются из первого путем циклической перестановки индексов. Подставив в (13.26) вместо F/k их выражения (9.6) через производные от 4-потенциала по координатам, будем иметь
Э2/^ Э% Э2Д, д2Ак b2Aj d2At
R,kl Эх'Эх' Эх'Эх* Эх'Эх* Эх'Эх' Эх*Эх' Эх*Эх'
так как смешанные производные не зависят от порядка дифференцирова ния. В итоге мы получаем уравнение вида
bFik dFkt bFu
—IL +——"=Oi дх Эх' Эх*
(13.27)
которое представляет собой второе уравнение Максвелла, записанное, как и (13.25), в ковариантной форме. При совпадении любой пары индексов (с учетом антисимметрии, Ffk =~Fkl) левая часть уравнения (13.27) обращается в нуль тождественно. Поэтому нетривиальные дифференциальные соотношения между компонентами Fjk получаются из (13.27) только в случаях 7 &к&1. Таких комбинаций имеется всего четыре, т.е. уравнение (13.27) дает четыре дифференциальных уравнения первого порядка для компонент электромагнитного поля. Уравнения (13.25) и (13.27) образуют полную систему уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле движущихся зарядов в вакууме.
§ 14. ТРЕХМЕРНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
И ИХ СВЯЗЬ С ОПЫТНЫМИ ЗАКОНАМИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
14.1. Уравнения Максвелла в трехмерной форме. Для практических целей удобна трехмерная форма записи уравнений Максвелла через векторы напряженностей поля Е,Н. Ее нетрудно получить из равенств (13.25) и (13.27) с помощью таблиц (9.15). Например, полагая в уравнении (13.27)
•) При записи в проекциях равенство (13.25) дает 4 уравнения (7 ”0,1,2,31.
/ = 0, к = 1,1» 2, получим
ЬЕХ 1 dHz ЪЕУ
z. — - О, ду________________с dt_Эх
или
dHz
Другие комбинации индексов 0, 1, 2 дают еще две проекции этого равенства, которое принимает окончательный вид
1 ЭЯ rot£ =----------. (14.1)
с Эг
При / =1, к = 2,1=3 получим divtf=O. (14.2)
Из уравнения (13.25) при / = 0 следует div£ = 4яр,
а при / = 1,2, 3
4тг 1 ЪЕ
гохН = — j +---------.
с с Эг
(14.3)
(14.4)
В трехмерной записи, таким образом, мы получили четыра уравнения Максвелла: два векторных и два скалярных.
Отметим некоторые характерные свойства этой системы уравнений. Все уравнения линейны, что позволяет удовлетворить, как мы видели в § 13, принципу суперпозиции полей в вакууме. Если электромагнитное поле переменно во врамени, т.е. bEibt т^Оили bH/bt4~ 0, то оба вектора, Е\лН, одновременно отличны от нуля. Электромагнитное поле существует как единый объект и описывается двумя напряженностями. В случае же постоянных полей система распадается на две пары уравнений:
rot£ = 0, div£=4trp (14.5)
4тг rot//= —-j, div Я = О, (14.6)
с т.е. постоянные электрическое и магнитное поля могут существовать по отдельности. Плотность заряда р(г, г) и плотность тока j (г, Г) играют роль источников электромагнитного поля. Но очень важным свойством системы уравнений Максвелла является возможность существования поля и в отсутствие источников. При p=j =0 уравнения принимают вид
1 ЭЯ 1 Э£
rot £ = - — --, rot Я -----------,
с Эг с dt (14.7)
div£=0, divЯ=0.
Эта система имеет ненулевые решения, зависящие от координат и времени, которые будут подробно рассмотрены в гл. VI. Это — еще одно свидетельство физической реальности электромагнитного поля, его равноправия с другими формами материи. 72
14.2. Интегральная форма уравнений Максвелла. Мы уже отметили в п. 14.1 связь уравнений Максвелла с принципом суперпозиции полей. Убедимся теперь, что и другие опытные законы электрических и магнитных явлений могут быть выведены из системы (14.1) —(14.4). Начнем с закона сохранения электрического заряда.
Применив к обеим частям (14.4) операцию div, будем иметь
д
— div Е + Ait div/ = 0, (14.8)
Эг
так как div rot Я = 0 тождественно при любом Я. Подставив в (14.8) div Е = 4яр, получим уравнение непрерывности
Эр
— + div/ = 0. (14.9)
Эг
Связь последнего уравнения с законом сохранения полного заряда системы Q = $ pdV уже обсуждалась в п. 13.2.
Для дальнейшего анализа удобно записать уравнения Максвелла в интегральной форме. Проинтегрируем обе части (14.3) по произвольному объему V и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса
f divEdV = j E-dS,
(Г) (S)
где S — замкнутая поверхность, охватывающая объем V. Это дает интегральную форму уравнения (14.3):
/ Е- dS = Ait f pdV. (14.10)
(«) (Г)
Мы не будем останавливаться на использовании этого уравнения для вычисления полей от распределений заряда с простой симметрией, так как эти вопросы должны быть хорошо знакомы читателю еще из школьного курса физики. Напомним только, что в случае неподвижного точечного заряда е из (14.10) следует закон Кулона в форме
е г
Е=——, (14.11)
г г
где г — радиус-вектор, проведенный из точки, в которой находится заряд, в точку наблюдения.
Интегральная форма уравнения (14.2) получается из (14.10) заменой Е-*Н,р-*Ън имеет вид
f H-dS = 0 (14.12)
(S)
— поток напряженности магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. Из сравнения (14.12) с (14.10) следует, что в природе отсутствуют магнитные заряды, аналогичные электрическим. Их отсутствие приводит к несимметрии уравнений Максвелла: в то время как в уравнения (14.3) и (14.4) для div £ и rot Я входят плотности электрического заряда и тока, в уравнениях (14.1) и (14.2) для rot Ей div Я плотности "магнитных" зарядов и их токов отсутствуют. Эта несимметрия побудила П. Дирака выдвинуть в 1931 г. гипотезу о возможности существования элементарных магнитных зарядов (магнитный монополь Дирака). Но неоднократные попытки обнаружить магнитные монополи эксперименталь
но пока не увенчались успехом *). Поэтому в настоящее время нет оснований включать в уравнения Максвелла "магнитные" заряды.
Интегральная форма уравнения (14.1) достигается путем интегрирования обеих частей по некоторой незамкнутой поверхности $ и использования теоремы Стокса:
/ rot Е • dS = f Е • dl,
(S) (l)
где / — замкнутый контур, на который опирается поверхность S. После интегрирования выражение (14.1) приобретает вид
1 Э
$E-dl = ----------f Н dS. (14.13)
(О с 9t (S)
В правую часть равенства входит скорость изменения магнитного потока Ф- / И • dS через замкнутый контур. Стоящий в левой части интеграл
(5)
£= jE dl называется электродвижущей силой (ЭДС). Таким образом, (14.13) можно записать в виде
1 ЭФ = ' (14.14)
с dt
где сокращение "ind" указывет на природу ЭДС — это ЭДС индукции, вызвенная изменением магнитного потока. Равенство (14.14) выражает собой закон электромагнитной индукции, установленный Фарадеем: в замкнутом проводнике, находящемся в переменном магнитном поле, возникает электрический ток, пропорциональный скорости изменения магнитного потока через проводник. Причиной возникновения тока является электрическое поле, которое создает направленное движение зарядов в проводнике. Основываясь на объективном характере явлений природы, мы должны предположить, что при изменении в данной области пространства магнитного поля в ней возникает индуцированное электрическое поле вне зависимости от наличия проводника, в котором это поле может вызвать ток. Таким образом, уравнение Максвелла (14.1) можно рассматривать как дифференциальную форму закона электромагнитной индукции Фарадея.
Обсудим теперь смысл уравнения (14.4). Из структуры его правой части следует, что в природе существует два рода источников магнитного поля: электрические токи, создаваемые заряженными частицами, и изменение во
1 Э£
времени напряженности электрического поля.Слагаемое--------было вве-
с Эг
дено в уравнение электромагнитного поля Максвеллом и называется током смещения. Хотя физическая природа тока заряженных частиц и тока смещения различна, эти токи играют эквивалентную роль как источники магнитного поля.
При Э£7Эг = 0 уравнение (14.4) вместе с уравнением (14.2) опраделяет магнитное поле, создаваемое стационарными токами. Интегрирование этой системы уравнений позволяет получить закон Био — Савара, т.е. выражение для напряженности магнитного поля, создаваемого малым отрезком проводника с током. Этот вывод будет приведен в гл. V.
•) Более подробное изложение проблемы магнитного монополя, а также ссылки на соответствующие работы можно найти в книге С.В. Вонсовского [31].
Интегральная форма уравнения (14.4) получается тем же путем, что и уравнения (14.1). Она имеет вид
4тг 1 Э
$Hdl= — / /d5 +-------------------/ EdS, (14.15)
i c (S) c bt (S)
где / — произвольный замкнутый контур, ограничивающий поверхность5.
Формально уравнение (14.2) можно рассматривать как универсальное (т.е. одинаковое для всех задач) начальное условие для уравнения (14.1). В самом деле, взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (14.1), получим
Э
----div/f= О,
Эг
откуда dh/Я (г , t) =div Н {г, t0). Если div Я = 0 при t = t0, то уравнение (14.1) обеспечивает выполнение этого равенства во все моменты времени.
Аналогичным образом уравнение (14.3) можно рассматривать как универсальное начальное условие к уравнениям (14.4) и (14.9): из них следует независимость от времени разности divE —4тгр. Обращение ее в нуль в начальный момент г-to влечет за собой выполнение уравнения (14.3) для всех времен.
Возможны разные постановки электродинамических задач. Наиболее простым является случай, когда величины pwj можно считать заданными, т.е. распределения зарядов и токов в пространстве и во времени известны заранее. При этом, разумеется, должно выполняться уревнения неразрывности (14.9). Задача сводится к интегрированию системы линейных уравнений (14.1) и (14.4) с начальными условиями (14.2) и (14.3).
Однако такая постановка задачи является, как правило, приближенной и не всегда возможна. Очень часто движение заряженных частиц заранее неизвестно.
Уравнение Максвелла (14.1) — (14.4) нужно дополнить уравнениями движения частиц (9.16) и решать их совместно. Поскольку координаты и скорости частиц будут в общем случае сложными функционалами от напряженностей поля, система уравнений станет нелинейной. Такая постановка задачи, являясь более точной, оказывается и значительно более сложной.
14.3. Системы единиц измерения электрических и магнитных величин. До сих пор мы пользовались абсолютной геуссовой системой единиц. Она наиболее удобна для физических исследований, так как в уравнения Максвелла в качестве коэффициента явно входит фундаментальная постоянная с — скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, совпадающая с предельной скоростью распространения взаимодействий. Это облегчает установление связи теории электромагнитного поля со специальной теорией относительности и проверку релятивистской ковариантности уравнений Максвелла.
Но в последние годы для практических целей (связанных, главным образом, с нуждами электротехники и других видов технологии) все шире внедряется так называемая международная система единиц (СИ). Мы не будем подробно излагать вопрос о системах единиц, считая его известным из курса общей физики (см., например, § 85 учебника Д.В. Сивухина [82]) и ограничимся лишь записью основных соотношений в системе СИ. В указанной системе единиц электромагнитное поле в вакууме описывается
четырьмя векторами E,D,B и И. Уравнения Максвелла приведены ниже в СИ и рядом, для сравнения, - в гауссовой системе:
ЪВ 1 ЭЯ
rot Е = ----- , rot Е =----------,
Эг с Эг
ЭР 4я 1 ЭЕ
rot H=j+-----, rot Я = —j +----------,
bt с c dt (1416)
divP = p, divE = 4rrp,
div В = 0, divtf=0.
Векторы E,DhB,H попарно связаны следующими соотношениями:
D = e0E, В = р0Н, {14.17)
где
107 ,
е0 = ----- Ф/м и д0 =4тг • 10 7 Г/м (14.18)
4тгс
— электрическая и магнитная постоянные. Эти возникающие в СИ величины по отдельности лишены какого-либо разумного физического смысла; лишь их комбинация (еоДо)-1^2 представляет собой скорость распространения электромагнитных возмущений.
Внешне уравнения Максвелла в СИ ((14.16), левый столбец) выглядят проще, чем в гауссовой системе (правый столбец). Поэтому у читателя может сложиться впечатление, что использование СИ может упростить запись формул. Но это не так. Кроме упоминавшегося уже отсутствия в ней фундаментальной постоянной с и присутствия вместо нее физически бессмысленных "электрической и магнитной проницаемостей вакуума" е0 и /4), которые перешли в теорию электромагнетизма еще со времен "светоносного эфира", СИ имеет еще ряд принципиальных недостатков. Укажем некоторые из них.
1. Электромагнитное поле в отсутствие вещества описывается четырьмя различными векторами, тогда как по существу их всего два — используемые в гауссовой системе Ей Н.
2. Все четыра вектора E,D,H,B имеют разные размерности, поэтому часто необходимая операция сравнения по величине напряженностей поля, легко производимая в гауссовой системе (Е>Н,Е<Н), требует в СИ использования дополнительных коэффициентов во, Яо- Это столь же нелепо для единого электромагнитного поля, как измерение длины, ширины и высоты некоторого предмета величинами с разными размерностями.
3. Кроме трех основных величин — длины, времени и массы, имеющихся в гауссовой системе, в СИ вводится четвертая величина с независимой размерностью. В качестве таковой выбрана сила тока с единицей измерения ампер, установленной из чисто практических соображений
Указанные принципиальные недостатки затрудняют использованиеСИдля формулировки фундаментальных законов теории электромагнитного поля. Но для практических, инженерных вопросов СИ оказывается достаточно удобной, и в таких вопросах ее использование вполне оправдано. Перевод основных уравнений и единиц измерения из одной системы в другую можно без труда произвести с помощью таблиц, приведенных в Дополнении V.
§ 15. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим поверхности, на которых величины р и/ имеют особенности (т.е. испытывают скачки или обращаются в бесконечность). Конечно, такие особые поверхности могут быть созданы только материальными средами (проводниками, диэлектриками, намагниченными телами), изучение которых проводится во второй части книги. Но мы рассмотрим их уже в этой части, посвященной в основном микроскопической электродинамике, с тем, чтобы расширить круг задач для практических занятий. На особых поверхностях дифференциальные уравнения Максвелла, вообще говоря, неприменимы, так как производные от £ и Я на таких поверхностях могут потерять смысл. Поэтому дифференциальные уравнения заменяются некоторыми условиями сшивания компонент поля, которые выводятся из интегральной формы уравнений Максвелла.
15.1. Условия для нормальных компонент. Начнем с рассмотрения уравнения (14.10):
f Е-dS = 4ir f pdV. (15.1)
(S) (И)
Выберем объем V в виде цилиндра малого радиуса и высоты h, с основаниями, параллельными рассматриваемой особой поверхности S (рис. 15.1). Представим левую часть уравнения (15.1) приближенно в виде
AS + £;I1 AS + /Vside, (15.2)
где AS — площадь основания цилиндра, /Vsi(je — поток вектора Е через его боковую поверхность. Далее, очевидно,
^п2 = ^ni=~^in>
где через £\ и Ег обозначены значения вектора Е по обе стороны от особой поверхности. Нормаль л направлена из области (1) в область (2).
Правую часть равенстве (15.1), используя теорему о среднем, представим в виде
/ pdV^phbS. (15.3)
(И
В итоге находим
(£2„-£ln)AS+/Vside^4irp/jAS. (15.4)
Перейдем в этом равенстве к пределу h -»0 так, чтобы основания цилиндра совместились с поверхностью 2. Поскольку при этом боковая поверхность
цилиндра стремится к нулю, а поле Е остается ограниченным*), то /VSide * О при h -> 0. Обозначим
lim ph = о. (15.5)
h -О
Величина о называется поверхностной плотностью заряда. Она отлична от нуля, если обычная плотность р имеет особенность на 2, так что в тонком поверхностном слое находится конечный заряд. Если же р всюду ограничена, хотя и испытывает скачок, то о = 0. Окончательно граничное условие для нормальных компонент Е принимает вид
Eln - £ т = 4тга (15.6)
Это условие справедливо для любой поверхности. На регулярной поверхности а=0, и Е„ — величина непрерывная. На заряженной поверхности Е„ испытывает скачок.
Весь приведенный вывод полностью сохраняет силу и для уравнения (14.12). Но поскольку правая часть (14.12) всюду равна нулю, то нормальная компонента вектора И на любой поверхности непрерывна:
Hin-Hin=0. (15.7)
15.2. Условия для тангенциальных компонент. Исходим из уравнения
(14.15): л ,
4тг 1 оЕ
jHdl =— fj-dS+—f--------------. dS. (15.8)
(/) с (S) c(S)9t
Выберем замкнутый контур 1 в виде малого прямоугольника, плоскость которого перпендикулярна поверхности X (рис. 15.2). Векторы п, т,~р образуют тройку взаимно перпендикулярных ортов. Имеем
/ Н-dl = (Н2т - H1T}a + Ch (15.9)
(0
где Ch — интеграл по боковым участкам контура. Далее,
f j-dS^jvah. (15.10)
(S)
При Л-’О величина С обращается в нуль ввиду ограниченности поля Н (мы предполагаем отсутствие на поверхности 2 линейных контуров с
Э£ током).ИнтегралJ--- -с(5такжеобращаетсявнуль,таккак$->0, а произ-
Э t
водная ЭE/dt ограничена **). Наконец, величина
Hmjv-h=iv (15.11)
Л-0
представляет собой проекцию на направление v поверхностного тока. Вектор i лежит в касательной плоскости к поверхности 2 и отличен от нуля,
•) Напряженность. Е обращается в бесконечность только при наличии точечных зарядов (см. формулу (14.11)) и заряженных нитей. Мы исключаем здесь из рассмотрения оба этих случая.
") Очевидно, что скорость изменения любой физической величины конечна.
если ток конечной силы течет в тонком поверхностном слое. В итоге из формул (15.8) - (15.11) будем и меть:
4тг H2T-HiT=—iv. (15.12)
с
Последнее условие нетрудно записать и в векторной форме: 4тт
лХ(Я2-Я1)=------/. (15.13)
с
Из уравнения (14.13) аналогичным образом выводится граничное условие для касательных компонент вектора Е. Ввиду ограниченности величины bH/bt в правой части соответствующего равенства будет стоять нуль:
^2г-^1т = 0. (15.14)
В заключение выпишем сводку граничных условий в системе СИ:
D2n~D\n=0, B2n-Bin=Q,
H2r~HlT = iVl Е2т-Е1т=0.
§ 16. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ -
ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ, ВЕКТОР ПОЙНТИНГА
Ниже мы исследуем вопрос об энергии и импульсе электромагнитного поля. Этот вопрос имеет не только практическое, но и большое принципиальное значение, так как наличие у электромагнитного поля таких фундаментальных динамических характеристик, как энергия и импульс, присущих также и другим материальным объектам, делает очевидным материальность поля.
Логика рассмотрения будет следующей. Мы будем исходить из уже установленных ранее определений энергии и импульса релятивистских частиц, объединив их в единый 4-тензор энергии - импульса. Далее мы убедимся в том, что энергия и импульс частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем, не являются сохраняющимися величинами. Но если добавить к ним еще некоторые величины, выражающиеся через тензор электромагнитного поля, т.е. ввести в рассмотрение энергию и импульс полной системы частицы + электромагнитное поле, то они оказываются интегралами движения. Это соображение (сохранение полной энергии и полного импульса всей системы) и будет основным критерием для определения энергии и импульса поля. Таким образом, мы будем опираться на законы сохранения энергии и импульса как на всеобщий принцип, которому должны подчиняться не только механические, но и электромагнитные явления.
16.1. Тензор энергии — импульса релятивистских частиц. Определим тензор энергии — импульса Tpart системы частиц следующим выражением:
Гран ~ V^lc1'Ь{г - , (16.1)
где та - масса, га(г) и va(r) — координаты и скорость частицы, и'а - ее 4-скорость. Тензорный характер величины следует из того, что и‘аи^ — тензор И ранга, а величины та и у/1 — иа/с2 6(г - га} - инварианты (в отношении последней величины см. замечание в п. 13.2).
По определению тензор энергии — импульса симметричен: т‘к = Tki (16 2)
' part ' part-Для выяснения физического смысла его компонент перепишем их в трехмерных обозначениях. Пользуясь формулами (4.30), имеем
(16.3)
Проинтегрировав обе части равенства по произвольному объему V, получим тас
f T°P°andV^ , ,- = S Sa,
(Ю (И) V1 - va'c (И)
(16.4)
т.е. полную энергию невзаимодействующих частиц, находящихся в объеме V. Следовательно, величина Tpart представляет собой плотность энергии невзаимодействующих частиц.
Далее рассмотрим недиагональные компоненты тензора энергии — импульса:
ГрТп = S-, ? ? 5(r-ra(t)), а=1,2,3. (16.5)
"Vi -v2alc2
Эту величину можно интерпретировать двояко. Проинтегрировав (16.5) по некоторому трехмерному объему и записав интеграл в виде
f T°“tdV = cZ р°. (16.6)
(П (I)
мы видим, что величину 7*part = Tpaa°rt можно рассматривать как умноженную на с плотность импульса частиц. Но если (16.5) записать в виде
7^rt = - S£flv“6(r-ra(t)), (16.7)
с
то, сопоставляя выражение (16.7) с (16.3), мы можем рассматривать его как деленную на с плотность потока энергии частиц. Плотность импульса и плотность потока энергии отличаются множителем с2.
Наконец, на основе определения (16.1) находим:
rpart = Xp£rf6(r-ra(m, а,0=1,2,3. (16.8)
Совокупность девяти величин составляет 3-тензор плотности потока импульса, переносимого частицами. Плотность потока векторной величины представляет собой, естественно, тензор II ранга.
Если мы имеем дело с макроскопической системой одинаковых частиц, то тензор энергии - импульса нетрудно выразить через их функцию распределения f:
7p'*rt =mfu‘ukf(r,p, Г)>/| — v2/c2d3p, (16.9)
где/n — масса частицы (инвариант) .Тензорный характер величины (16.9)вы-текает из свойств подынтегрального выражения: вспомним, что f = inv и
— V /с2 d3p = d3p/y = inv (см. п. 6.4), а и‘ и ик — компоненты 4-вектора. Выражение (16.9) превращается в (16.1), если выбрать функцию рас-
пределения в виде
f(r,p, t) = S6(r -ra(ri)6(p -pd(r)) а
и считать массы частиц в (16.1) одинаковыми.
Вычислим дивергенцию 4-тензоре 7*Part> взятого в форме (16.1):
ЭТ/*Н Эи/ . /
~Гк~=^таТ~к 1 - —5<г-г^» +
Эх* а Эх с
Э /
+ S/nau'—ru/Vl ~~г 6(г-га(г)1.
а Ьх с2
Из определения 4-скорости (4.30) и 4-градиента (4.24) имеем:
Тр а
4 6(г - ra(t)) =—б(г - Га(г)) + va • V6(r - ra (г)) = с at
(16.10)
(16.11)
“а Эх*
dra
=-----V6(r -ra(t)) + va • V6(r-ra(r)J = 0.
dt
Далее, поскольку и' — функция только г, то
Эи/ 1 dg/
Эх0 с dt
Эи/ ----=0 при а =1,2,3. Эх“
(16.12)
(16.13)
(16.11) — (16.13), получаем
0,part V, с, ,ж11 ^иа
—Г—= S mab(r — ra(t))--------.
Эх* « dt
Дальнейшие преобразования правой части произведем с помощью уравнения движения (9.9), записав его через производную по обычному (координатному) времени: / Г"1
Fik иа V“ ----'а ик\1У —— С---с
В итоге, объединяя
Э7-'*. _ ..
(16.14)
du‘a т“ dt
(16.15)
(16.15) в (16.14), будем иметь
е / V2 * 1
= -^-6(r-ra(t))F'k =-Fik/k,
с с
где мы использовали плотность 4-тока (13.15) и одно из свойств б-функции:
б(г-га)Г'* = b{r — ra}Ftk (ra, t} =b(r — ra}F,k (r, t).
16.2. Тензор энергии — импульса электромагнитного поля. Представим правую часть равенства (16.16) в виде 4-дивергенции от некоторого 4-тензора II ранга, T/ieidr который был бы составлен из компонент 4-тензора поля F'k:
1 die- ат/ieid
— F lk =-------Г—
С Эх*
Подставив
А О'part
а с
(16.16)
(16.17)
6. М.М. Бредов
81
(16.18)
(16.19)
Тогда выражение (16.16) примет вид э .. п, -Т + T/i*Id) = 0 Эх*
и может быть интерпретировано как уравнение непрерывности для полного 4-тензора энергии — импульса системы, состоящей из частиц и электромагнитного поля:
I 'part Held*
Равенство нулю дивергенции тензора свидетельствует о сохранении связанных с ним величин, подобно тому как уравнение неразрывности (13.18) для плотности 4-тока обеспечивает сохранение полного заряда системы.
С помощью уравнения Максвелла (13.25), переходя к ковариантным компонентам и переобозначив индекс / через к, находим
1 1 bFk 1 / Э ... , 3F'*\
-F ik “-------F —7 =-------—7 (F Fk ) - Fk —7-
с 4я Эх' 4ir \Эх' Эх' /
Далее, преобразуем второй член в скобках путем опускания и переобозначения индексов:
, dFik dFik 1 /dFik dFu\
Fk i = Fkl = “ Fkl I + ) •
к Эх' Эх, 2 \ Эх, Эх* /
Выражение в скобках можно упростить с помощью уравнения Максвелла (13.27), в котором следует поднять все индексы, т.е. перейти к контрава-риантным компонентам:
, bFik 1 3F*'
Fk ^—r=--Fki---------
к Эх' 2 Эх,
(16.20)
(16.21)
(16.22)
13 1 3
_____с. pkl _______nikc elm ~~hkl>^_____~:~k9 rlmF
4 Эх, 4 Эх*
В итоге равенство (16.20) приобретает вид \.pikj,=_________!_ (рЧрк ,2. ikp phn\
с Jk Эх* 4я\ ' +43 FlmF )'
откуда определяется тензор энергии — импульса поля:
7- ik — iteiick . 2L nik г c^fri\ 'field-” \F Fi +—g FlmF I. 4ir \ 4 /
Этот тензор, как и тензор (16.1) энергии — импульса частиц, симметричен:
П/)=7*(П- <16.23)
Определение тензора энергии — импульса поля в принципе неоднозначно, так как в правую часть^ (16.21) можно добавить любой тензор Т'к с равной нулю дивергенцией: Э Т,к!Ъхк = 0. При этом равенство (16.21) не нарушится, а вид изменится. Но указанная неоднозначность не сказывается на значении полного 4-импульса ограниченной системы, который остается однозначно определенной величиной. Докажем это. Тензор II ранга с равной нулю дивергенцией можно представить как дивергенцию антисимметричного тензора III ранга: ^‘к‘ Ttk = Эх'
(16.24)
гдеХш = — Х11к (по первым же двум значкам тензор должен быть симметричен: Xlkl = Xkil, иначе не будет симметричным полный тензор энергии — импульса).
4-вектор энергии-импульса системы частицы + электромагнитное поле, согласно (16.4), (16.6) и (16.19) выражается в виде
pi = -LfTiOdV. (16.25)
с
здесь интегрирование производится по всему трехмерному пространству. При добавлении к тензору энергии — импульса величины (16.24) 4-импульс (16.25) получит добавку
1 ЭХ'0'
P'^-S—r-dV, (16.26)
с Эх
где в силу антисимметрии тензора X'0' индекс I принимает значения 1, 2, 3. Поэтому величина
ЭХ'0' _ ЭХ'Оа
Эх' ~ Эх“
представляет собой трехмерную дивергенцию и интеграл (16.26) преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, охватывающей весь трехмерный объем:
Р‘ = — fX'°“dSa. (16.27)
с
Этот интеграл обращается в нуль для ограниченной системы. Таким образом, Р‘ = 0, и неоднозначность в определении Tf'eid не нарушает однозначности определения полной энергии и полного импульса системы. Но плотности этих величин, вообще говоря, не определяются однозначно. Выражения, вытекающие из конкретного вида (16.22) тензора энергии — импульса, являются общепринятыми и, по-видимому, подтверждаются опытом для всех изученных до настоящего времени физических явлений.
16.3. Энергия поля. Вектор Пойнтинга. Максвелловский тензор напряжений. В соответствии с выражением (16.25) для 4-импульса системы мы можем интерпретировать =w как плотность энергии поля, а — 7f“°ld =
с
= да — как плотность его (трехмерного) импульса. С помощью формул (16.22) и (9.15) нетрудно выразить их через напряженности поля:
w = —(£2+№), (16.28)
8тг
1
g =----EXH. (16.29)
4 ire
Выше (в п. 16.1) мы уже видели, что величина c7^°“t может рассматриваться как плотность потока энергии частиц. Аналогичная интерпретация возможна и для с 1fi°“d = с2да = уа. Совокупность компонент 7f°^d ( с
а = 1, 2, 3) образует трехмерный вектор у, который называется вектором Пойнтинга:
у = ——ЕХН. (16.30)
4х
Ввиду важной роли, которую играют величины w и у в теории электромагнитного поля, выведем их еще раз непосредственно из уравнений Максвелла в трехмерной форме. Запишем
1 ЪН 4л 1 ЪЕ
rotE =-------, rotH=—j +-----------
с dt с с dt
и составим билинейное выражение
1 / ЭЯ ЭЕ\ 4тт
Н rotE-E rotH=---------Я — +£’—)---------j Е. (16.31)
с \ Эг dt / с
Пользуясь тождеством
rot [Е X Я] = Я • rot Е — Е rot Я
и поделив обе части равенства (16.31) на 4я/с, запишем его в виде
Эи/ _
— + div у -—j-E. (16.32)
dt
Это дифференциальное уравнение выражает собой баланс энергии электромагнитного поля: проинтегрировав (16.32) по объему и преобразовав интеграл от div у по теореме Остроградского - Гаусса, получим
dW
-----.^y.dS-$jEdV. (16.33) dt
Последнее равенство показывает, что полная энергия электромагнитного поля в объеме V,
1
f —(E2+H2)dV, (16.34)
(i j 8я
в отсутствие заряженных частиц (/ = 0) изменяется только за счет потока вектора Пойнтинга через поверхность этого объема:
dW
----= fy dS. (16.35) dt
Основываясь на законе сохранения энергии, мы должны рассматривать интеграл fy dS как поток энергии через замкнутую поверхность. Но (5)
интерпретация у как плотности потока энергии неоднозначна: добавление к у величины вида rot Г, где Г - псевдовектор, не изменяя полного потока энергии, изменяет его плотность. Однако эта неоднозначность определения вектора Пойнтинга не сказывается на той части энергии электромагнитного попя, которая передается веществу при взаимодействии последнего с полем. Энергия передается веществу, занимающему некоторый объем (макроскопический или микроскопический), и, следовательно, переданная энергия определяется интегралом по этому объему от div у, a div not Г = 0.
При наличии заряженных частиц энергия в объеме V изменяется также за счет работы электрического поля над частицами. Плотность мощности электрических сил, действующих на частицу, выражается произведением / Е. Магнитные силы не производят работы, а только изменяют направления скоростей частиц. Интеграл от j • Е входит в правую часть равенства (13.31) с отрицательным знаком, так как работа электрических сил над частицами уменьшает энергию поля.
(16.36)
(16.37)
(16.38)
При i = а = 1, 2', 3 уравнение неразрывности (16.18), будучи записанным в трехмерной форме, дает в отсутствие частиц (T^rt = 0)
+ Э^|Д _0.
Эг Эх*3
Интегральная форма этого уревнения имеет вид
ОТ (S) где
G= /gdV (V)
— импульс поля в объеме V. Равенство (16.37) показывает, что Г®* ld представляет собой плотность потока импульса. Величина о®*3 = — Effeld называется максвелловским тензором натяжений, в трехмерных обозначениях он имеет вид
1 1
оав=-~ lEaEe + HaHe}-— (Е2 +Н2)Ьав. (16.39)
4я 8я
Расположение индексов у трехмерного тензора, разумеется, безразлично: 0^ = 0^.
Если в объеме V присутствуют заряженные частицы, но они не пересекают при своем движении границу объема, то равенство (16.37) приобретает вид
+ $ O%<fS0.
at (g)
где Р = S ра — полный импульс частиц, находящихся в объеме V. Посколь-а
ку импульс Р частиц в отсутствие их потока через поверхность изменяется только за счет действия электрической и магнитной сил,то
dP 1
---- = f (рЕ +—jXH}dV, dt--(V) с
j a^dS^ f (^-+pE + — fXff) dV.
(S) (V)\ot c /e
Мы видим, что в статическом случае (dg/dt = 0) поток тензора натяжений через поверхность некоторого объема равен полной силе, действующей на заряженные частицы в этом объеме. В нестационерном поле к силе добавляется изменение импульса поля в рассматриваемом объеме.
§ 17. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Выясним, при каких условиях система уравнений Максвелла (14.1) -(144) имеет единственное решение. Пусть заряды и токи (функции р(г. Г) и /(г, t)) заданы. Пусть, далее, в начальный момент времени (t = 0) заданы значения Е(г, 0) и Н(т, 0) внутри некоторого объема V, а на его поверхности заданы касательные компоненты одного из этих векторов 1ЕТ или 85
Нт) во все моменты времени. Покажем, что при этих условиях решение уравнений Максвелла внутри указанного объема единственно.
Доказательство проводим от противного. Пусть имеется два решения, Е\, и Ег,Нг, каждое из которых удовлетворяет уравнениям Максвелла (14.1)-(144).Составим разности
Е' = ЕХ-Ег, Н' = Щ-Нг. (17.1)
Они удовлетворяют системе уревнений
, 1 dE’ rot Я --------, div Е = О,
с dt
(17.2)
, 1 ЭЯ'
rot £ =--------- , div Я = О,
с dt
а также начальным условиям
Е' = 0, Я' «О при г = 0 (17.3)
и граничным условиям
Е^ = 0 или Н'т =0 на S. (17.4)
Умножим уравнение для rot Я* скалярно на Е\ а уравнение для rot£' -на Я' и вычтем получившиеся равенства почленно:
— -^-(£'2 + Я'2) =£'• rot Я* —Я'• rot£'= — div[£'X Я']. (17.5)
2с Эг
Интегрирование (17.5) по произвольному объему V с использованием теоремы Остроградского — Гаусса позволяет получить уравнение энергии
d Е'2+Н’2 с
— f ------------ d3x =------f [E’XH]ndS: (17.6)
dt (lz) 8я 4я (1у)
множитель с/4я добавлен, чтобы уравнение (17.6) стало аналогом (1633). S — поверхность, ограничивающая рассматриваемый объем.
Нормальная составляющая векторного произведения Е' ХН выражается через касательные компоненты Е'т и Н'т на поверхности S и, согласно (17.4), обращается в нуль. Поэтому из (17.6) получаем
Е'2 + Я'2
/ -----------dV = const. (17.7)
(К) 8я
Но поскольку Е* = Я' = 0 при t = 0, то постоянная в правой части (17.7) тоже равна нулю. Это возможно лишь если Е1 = 0 и Я' = 0 тождественно во всех точках объема.
Заметим, что если интеграл / (£* X H']ndS стремится к нулю при S -* (S’)
-* °° (а зто имеет место при достаточно быстром убывании Е' и Н' с расстоянием), то граничные условия (17.4) являются излишними для доказательства единственности решения.
§ 18. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Уравнения Максвелла (13.25) и (13.27) записаны через тензор электромагнитного поля Ftk. При подстановке его выражения через 4-потенциал
дАк дА1
Fik =--------------
dxj дхк
уравнение (13.27), как мы видим, обращается в тождество, а (13.25) дает уравнение для потенциала:
, Э дАк 4п ,
□ Д’ +---------г =-------/.
Эх, Эх* с
(18.1)
Здесь мы воспользовались определением оператора Даламбера (4.26).
В § В мы уже говорили о том, что 4-потенциал при заданном тензоре F,k (т.е. напряженностях Е и Н электромагнитного поля) определен с точностью до градиентного преобразования (В.16). Этим произволом можно воспользоваться для упрощения (1В.1). Наложим на 4-потенциал дополнительное условие
ЪАк
—г =0. (18.2)
Эх*
Оно называется условием Лоренца и в трехмерных обозначениях имеет вид 1 Э(£ divA+------------ =0. (1В.З)
с Эг
Выбор потенциалов, подчиняющихся условию (18.3), называется лорен-цевской калибровкой. Уравнение (1В.1) упрощается и принимает вид
□Д' =-------(18.4)
с
или в трехмерных обозначениях
1 Э2!^
^'7 17 '->v-
Оба уравнения представляют собой неоднородные волновые уравнения.
Условие Лоренца (1В.2) не устраняет произвола в выборе потенциалов, а лишь ограничивает класс допустимых функций х, осуществляющих градиентное преобразование. Согласно (8.16), оба потенциала А1 и А', будут удовлетворять условию Лоренца (18.2), если
□х = 0. (18.6)
Вместо условия Лоренца (18.2) в некоторых задачах оказывается удобным дополнительное условие на потенциал вида
divH=0 (18.7)
(кулоновская калибровка). Эта калибровка не обладает релятивистской ковариантностью и в другой инерциальной системе отсчета изменит свой 87
вид. В кулоновской калибровке скалярный потенциал А° = согласно (18.1) и (18.7) удовлетворяет уравнению Пуассона
Др = —4тгр, (18.8)
Э2Л 4тг 1
--- /+—V — . Эг2-с---с bt
(18.9)
в которое время входит как параметр. Потенциал А должен определяться из уравнения (18.1) при /=1,2,3:
1
А4- —
Условие калибровки (18.7), наложенное на потенциалы А1 и At, приводит к следующему ограничению на функцию х градиентного преобразования :
Дх = о.
(18.10)
Если рассматривается электромагнитное поле в отсутствие зарядов и токов, т.е. при р = 0 и j = 0, то можно выбрать такую калибровку потенциалов, при которой р = 0 тождественно, а также div 4=0. При таком выборе потенциалов уравнение (18.8) удовлетворяется тождественно, а (18.9) превращается в уравнение Даламбера:
1 д2А
Д4 ——— —р=0. (18.11)
с2 dt2
Глава IV
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
$ 19. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОСТОЯННОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Как мы уже видели в § 14, если напряженность электрического поля не зависит от времени, то система уравнений Максвелле распадается не две пары уравнений, содержащих только электрические или только мегнитные величины. Уравнения Максвелла для постоянного электрического поля имеют вид
rotf=0, divF = 4jrp. (19.1)
Первое из этих уравнений укезывает на безвихревой херактер постоянного электрического поля. Оно удовлетворяется, если вектор Е будет представлять собой градиент некоторой скалярной функции:
E(r} = - grad у>(г). (19.2)
Величина у>(г) называется в этом случае электростатическим потенциалом, а формула (19.2) представляет собой частный случай соотношений (8.13) при ЭА/Эг = 0.
Чтобы выяснить физический смысл потенциала <р, вычислим работу А электрических сил по перемещению заряда е вдоль некоторого контура I из точки 1 в точку 2:
(2) (2) (2)
А= f eE dl=-e f v<p-dl = -e f d<p = e(<pt -<p2) (19-3)
(O (i) (i)
Здесь мы воспользовались формулой для скалярного произведения вакто-(dtp dtp dtp \ — , ~~ , —) и d/ » (dx, dy, dz}: ox dy dz /
Э<р dtp dip
V<p • dl = — dx + —dy + —-dz = dtp,
Эх dy dz
где dtp — полный дифференциал функции <р.
Из формулы (19.3) сладует, что работа электрических сил не зависит от пути перемещения заряда, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек. Если, в частности, эти точки совпадают (замкнутый контур), то работа обращается в нуль:
А=е$Е • d/ = 0. (19.4)
Независимость работы электрических сил от пути — важнейшее свойство электростатического поля. Таким образом, измеряемой величиной является разность потенциалов в двух точках — она определит работу электрических сил по перемещению единичного заряда между этими точками. Поэтому сам электростатический потенциал <р(г) определяется неоднозначно — с точностью до произвольной аддитивной постоянной, не влияющей на значение разностей потенциалов.
Уравнение для электростатического потенциала мы получим, подставив £ из (19.2) в уравнение (19.1) для div Е. Поскольку
div grad <р = V • V<p - V2<p = Д<р,
где Д - оператор Лапласа, то искомое уравнение имеет вид
Д<р=—4яр. (19.5)
Оно называется уравнением Пуассона. В частном случае, когда в рассматриваемой области пространства заряды отсутствуют, т.е. Р = 0, уравнение Пуассона превращается в уравнение Паппаса:
Д<р = 0. (19.6)
Оператор Лапласа в уравнениях (19.5) и (19.6) может быть записан, разумеется, в любой координатной системе.
Граничные условия на особых поверхностях для уравнений (19.5) и (19.6) получаются из условий (15.6) и (15.14) для компонент вектора Е = — и гласят:
дц
dn
Эт
Э<р2 .
--- = 4яа, Эл
^-0.
Эт
(19.7)
(19.8)
Э Э
где чареэ ---, ---- обозначены производные в направлении нормали и
dn Эт
касательной к поверхности. Без ограничения общности второе условие можно заманить условием непрерывности потенциала на поверхности:
<р2 = • (19.9)
Уравнение Пуассона (19.5) сохраняет силу и при наличии точечных зарядов, если объемную плотность заряда записать через 6 -функцию Дираке,
как это делалось в § 13. Аналогичное земечание относится и к случаю, когда в пространстве имеются заряженные нити или поверхности. Объемную плотность заряда на них можно выразить через одномерную и двумерную 5-функции. Например, если имеется точечный заряд в начале координат, то p(r) = е Ь (г) и уравнение Пуассона примет вид
= — 4яе 5(г). (19.10)
Найдем из этого уравнения потенциал точечного заряде. Для этого примем во внимание сферическую симметрию задачи и проинтегрируем обе части уравнения по объему шара радиуса г. Левая часть по теореме Остроградского - Гауссе преобразуется к виду
/ AipdV = f div grad pdV = <£grad • dS = Aitr2--, (19.11)
dr
e правая часть при теком интегрировании превратится в постоянную
/4яе5(г) dV = 4яе. (19.12)
В результате уревнение примет вид
г2 ----= -е, (19.13)
dr
и из него последующим интегрированием неходим
^(г)=у- + С. (19.14)
Постоянная С остается произвольной. Ее удобно выбреть равной нулю, с тем чтобы злектростетический потенциал обращался в нуль на бесконечности. Отметим, что при подстановке (19.14) в уравнение (19.10) получеется тождество
д/—) = _ 4тг 5(г), (19.15)
\ г /
которое нам понадобится в дальнейшем.
Наглядное представление об электростетическом поле дают поверхности равного потенциела (эквипотенциальные поверхности)
<^>(х, У, г) = const (19.16)
и силовые линии электрического поля. Последние определяются как линии, касательные в каждой точке пространства к вектору напряженности попя£. Поскольку — е вектор направлен по нормали к поверхности равного потенциала, то и силовые линии нормальны к поверхности (19.16). Они могут быть найдены из условия параллельности Е и элементе dl силовой линии:
£Хс// = О. (19.17)
Это векторное равенство можно переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, которая в декартовых коорди-нетах, выраженная через потенциал, принимает вид
dx dy dz ~~ * (19.18)
dp/dx dp/dy dp/dz
Интегралы этих уравнений определяют две системы поверхностей, линии пересечения которых и являются силовыми линиями электрического поля. При использовании криволинейных ортогональных координат qt, q2, q3 уравнения (19.18) примут вид
Л1СЙ7! />2<Й7г hjdq3
------- = ---------- = ----------- , (19.19)
Эу>/Э<71 Э<р/Эд2 dp/dq3
где ha — коэффициенты Ламе (функции координат).
§ 20. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
20.1. Интегральная форма уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона (19.5) можно преобразовать к интегральной форме. Последняя позволяет в некоторых частных случаях получить решение в квадратурах, а в общем случае — лучше понять свойства решений уравнения Пуассона и постановку граничных условий.
Воспользуемся тождеством Грина
(Эф Э<р \
{20.1)
Эи дп /
где и ф — две произвольные дифференцируемые скалярные функции, V — произвольный объем, S — ограничивающая его замкнутая поверхность, Ъф/Ъп и Э ф/Эл - проекции градиентов на внешнюю нормаль к поверхности. Тождество Грина (20.1) получается путем применения теоремы Остроградского — Гаусса, J dived V = fa dS. к вектору а = V ф — фГ р, для которого
dive = р Дф — ф Д<р.
Пусть мы интересуемся значением потенциала в точке М, лежащей внутри объема V. Выберем в качестве^ искомый потенциал,удовлетворяющий уравнению Пуассона (19.5), е в качестве ф — скалярную функцию ф = 1/Я, где R = | гм — г | — расстояние от точки М до элемента интегрирования dV. Заметим, что согласно (19.15), ф удовлетворяет уравнению
Дф = -4яб(гл/-г), (20.2)
которое получается, если в (19.15) заменить г на гм —г. В (20.2) оператор Лапласа может действовать как на координаты точки г, так и на координаты гм.
Подставим в (20.1) значения Д<р из (19.5) и Дф из (20.2). Это дает
1 др — -- dS.
t Г э I 1 dV = f I р —-I —
(S) I dn \ R J R dn
4n f (V)
Вычислив интеграл с S-функцией, Jp(r}&lrM - r}dV = p{rM ) = pM . находим
(20.3)
„ P(r) 1 Г 1 др d / 1 \1 pM~ f --------dV +------f------------+P —( —• dS.
(V) R 4 я (j) I R dn dn \ R / J
Первое слагаемое в этой формуле описывает потенциал, создаваемый зарядами, которые находятся внутри объема V. Эту часть потенциала можно получить и по принципу суперпозиции, поскольку малый заряд p(r)dV, согласно (19.14), создает в точке М потенциал pdV/R, а полный потенциал
от всех зарядов внутри I/ получается суммированием (интегрированием) по этим зарядам. Второе слагаемое в (20.3) описывает потенциал от зарядов, находящихся вне объама V и на его границе, т.е. на поверхности S. Но оно учитывает указанные заряды не явно, через их объемную и поверх -ностную плотности, а через значения потенциала и нормальной компоненты напряженности поля Е„ = — на границе объема.
Если все заряды, создающие электростатическое поле, находятся внутри конечного объема V, то поверхностный интеграл обращается в нуль и полный потенциал описывается выражением p(r')dV' 4><г) = f - ~
(20.4)
которое в этом случае является решением уравнения Пуассона (19.5). В этом легко убедиться, отодвигая поверхность S на бесконечность: на больших расстояниях потенциал ограниченной системы будет убывать не медленнее, чем потенциал точечного заряда, т.а. г-1, а производные Эу> 3 / 1 \ ,
---- и — ( — I - не медленнее, чем г. Следовательно, если устремить Эл--дп \ R /
поверхность к бесконечности, то подынтегральное выражение будет убы-— 3 “5
вать как г , а сама поверхность — нарастать как г , и в целом весь поверх* ностный интеграл будет стремиться к нулю как г-1, где г — радиус поверхности. Но, поскольку объемный интеграл не изменяется при изменении поверхности S, если она охватывает все заряды, то поверхностный интеграл обращается в нуль кек в случае бесконечной, так и конечной поверхности.
Выражение (20.4) сохреняет силу и при наличии точечных зарядов, а также зеряженных поверхностей и нитей, если ввести в объемную плотность заряда р(г) соответствующие 6-образные вклады. Например, если все заряды — точечные, то w
p(r)= S еа6(г-га), (20.5)
а = 1
и из (20.4) получим
N еа
^(r)= 2 ----------, (20.6)
а = 1 |Г-Га|
т.е. алгебраическую сумму потенциалов точечных зарядов.
Зададимся вопросом — можно ли рассматривать формулу (20.4) как общее решение уравнения Пуассона? Это можно делать, если известно распределение зарядов во всем пространстве (и интеграл (20.4) сходится). Но во многих случаях (особенно при наличии материальных сред) распределение заряда известно только в ограниченной области пространства. Вне этой области и на ее границе распределение зарядов неизвестно, зато заданы значения потенциала или его нормальной производной на границе области. В этих условиях более удобной является форма (20.3). Однако ни в каком случее выражение (20.3) при отличном от нуля поверхностном интеграле нельзя рассматривать как решение уравнения Пуассона. Это было бы возможно, если бы допускалось одновременное и независимое задание и на некоторой поверхности. Тогда (при заданной р(г)) обе слагаемых в правой части (20.3) были бы известными функциями координат, и (20.3) давало бы решение уравнения Пуассона. В действительности
же не произвольной замкнутой поверхности могут быть заданы произвольно либо р, либо Ъу/Ъп, но не обе эти величины одновременно (см. п. 20.2). Задавая одну из них, мы превращаем (20.3) в интегральное уравнение, так как неизвестная функция р (или ее производная др/дп) входит под знаком интеграла. Поэтому (20.3) можно рассматривать в общем случае только как интегральную форму уравнения Пуассона, но не как его решение.
20.2. Единственность решения электростатической задечи. Чтобы завершить дискуссию, начатую в конце п. 20.1, докажем теорему единственности.
Решение электростатической задачи внутри заданного объема V единственно, если в объеме V задано распределение зарядов р(г), а на его поверхности S - либо потенциал р, либо его нормальная производная Ър/Ъп.
Воспользуемся тождеством Грина
dip
f (ф &р+Уф- f ф — dS, (20.7)
(Г) (S) Эл
которое получается путем применения теоремы Остроградского - Гаусса к вектору а = ф¥ р, где фп р - произвольные дифференцируемые скеля-ры. Предположим, что существуют два различных решения электростатической задечи,^] и р2, удовлетворяющие уравнению Пуассона
Д^( 2 = - 4тгр внутри объема V (20.8)
и граничным условиям
2 = f на S
(условия Дирихле), либо
(20.9а)
(20.96)
(условия Неймена), где f и F - заданные функции координат.
Положим в (20.7) р = ф= <pt — р2. Из (20.8) следует, что Др = 0. Интеграл в превой части (20.7) также обращается в нуль, так как в силу (20.9а) и (20.96) на поверхности S либо р = 0, либо Эр/дл = 0. В итоге получаем
/| Vpl2</U=0, (20.10)
что возможно только при условии V р = 0, т.е. р = const. В случае (20.9а) const = 0, т.е. = р2. В случае (20.96) const =/= 0, но два электростатических потенциала, отличающиеся на постоянную, физически эквивалентны. Таким обрезом, и в том, и в другом случее решение единственно.
20.3. Решение граничной задачи с помощью функций Грина. Соотношению (20.3) можно придать такую форму, что оно будет давать явное решение электростатической зедачи, если ввести в него соответствующим образом подобранную функцию Грина. Функцией Грина G (г, г') электростатической задачи называется решение уравнения Пуессона для единичного точечного заряда
Д'С(г,г') = — 4тг5(г-г') (20.11)
внутри данного объеме V. Если вне объема V и на его поверхности другие заряды отсутствуют, то решением (20.11), справедливым во всем безгранич-
ном пространстве, является
, 1
G(r,r) =------— (20.12)
\r-r |
(см. (20.2)). Но если вне объема имеются другие заряды, заданные не явно, а через посредство соответствующего граничного условия на S, то вид функции Грина усложняется:
G{r,r ) --------- +F!r,r \. (20.13)
|г-г |
Здесь Fir, г'} удовлетворяет уравнению Лапласа
Д'Лг,/) = 0 (20.14)
и, следовательно, учитывает действие зарядов, находящихся вне заданного объема.
При задании граничных условий Дирихле (20.9а) подберем функцию Fir, г'} так, чтобы выполнялось условие
Glr, г') = 0 для г' на S. (20.15)
Отождествим в равенстве (20.1) функцию - с искомым потенциалом, а ф - с функцией Грина (20.13), удовлетворяющей граничному условию (20.15). Получим равенство (20.3), в котором следует заменить 1/Я на G(r, г *). Но в силу (20.15), поверхностный интеграл будет содержать только одно слагаемое:
, , , 1 , dGlr.r')
y>(r) = f G{r,r]plr}dV--------f <p(r ) -------—-dS. (20.16)
(F) 4я (j) dn
Поскольку y>(r*) задан на S, то в (20.16) правая часть известна и дает значение потенциала в любой точке объема V.
При задании граничных условий Неймана (20.96) оказывается невозможным наложить на функцию Грина граничное условие
9G(r,r')
----— = 0 для г на S, дп
так как оно противоречит уравнению (20.11), из которого следует: dG(r, г') ,
f --- dS’ = _ in. (20.17)
(S)
Простейшее условие, согласующееся с (20.17), имеет вид
9G(r, г') 4я
;— для г на £ (20.18) дп-------------------------------------------------------------S
Тогда, подставив в (20.3) вместо 1/Я функцию Грина (20.13), удовлетворяющую условию (20.18), получим
- 1 9tzj(/',J
y>(r) = y>+ f Glr,r)plr }dV' +— fG(r,r)--------—dS'. (20.19)
(V) 4я (j) Э/т
Здесь = — J <p(r}dS — среднее значение потенциала на поверхности S,
s (S)
которое может быть выбрано произвольно.
Пример. Найти потенциал внутри сферы радиуса а, если на расстоянии Ь < а от ее центра помещен точечный заряд q, а на поверхности сферы поддерживается потенциал <р = 0.
Решение. Построим функцию Грина, удовлетворяющую внутри сферы уравнению (20.11), а на ее поверхности — условию (20.15). Это достигается путем выбора F(r, г') в виде потенциала точечного заряда
F(r,r'} = —, (20.20)
(Г. -г I
величина е, и положение г,(г) которого подбираются так, чтобы выполнить условие (20.15). Из соображений симметрии очевидно,что г и rt, отсчитываемые от центра сферы, должны быть направлены вдоль одной прямой. Выбирая ось; сферической системы координат вдоль этой прямой, получим из (20.15) условие для определения параметров et и г,:
1 е
...... - + ...... - = 0. (20.21)
•Jr* + а’ —2arcos о'' Jr\ + a’ — 2 ar, cos в’
Уравнение (20.21) имеет два решения: а, =— 1, г, =г (тривиальное решение, потенциал равен нулю всюду в пространстве) и а, =— a/r, rt=a2/r. Второе решение и позволяет построить функцию Грина, которая в сферических координатах имеет вид
1 а/г
6(г, г') = — ’ , - —---------- -------(20.22)
х/r’ +г'’ — 2rr'cos o' Jr\ + г'2 — 2r,r‘ cos в'
Вычисляя затем потенциал с помощью (20.16), где следует положить
p(r') = q 6 (г' — b), ip = 0 на S,
получим
Я Я
v:(r) = -.. - ..........(20-23)
Jr2 + Ь1 — 2br cos 0 ’ х/а1 + b2r2 /а2 — 2brcos 0
где О — угол между линией расположения зарядов и радиус-вектором г.
21. ПОТЕНЦИАЛ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ ОТ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ.
ДИПОЛЬНЫЙ И КВАДРУПОЛЬНЫЙ МОМЕНТЫ
Если известно распределение в пространстве всех создающих электрическое поле зарядов, то, согласно (20.4), потенциал этого поля будет определяться интегралом
r p(r'}dV'
J 7----г? •
Такое представление потенциала предполагает, что плотность р(г) отлична от нуля в ограниченной области пространства или достаточно быстро убывает при г по любому направлению.
Интеграл может быть взят и представлен в аналитическом виде в сравнительно небольшом числе случаев, при относительно простой функции р(г Затруднения при вычислении этого интеграла в заметной степени связаны с тем, что в знаменателе подынтегрального выражения стоит иррациональное выражение I г — г' | = V(х - x')J'. Поэтому в общем случае установить
вид функции <plr) бывает довольно сложно. Существуют, однако, случаи, когда вид этой функции может быть установлен с хорошей точностью при довольно общих предположениях о виде функции р(г'). Важнейшей задачей такого типа является задача нахождения электростатического поля на больших расстояниях от ограниченной системы зарядов.
Пусть заряды занимают объем с характерным размером /. Выбрав начало отсчета внутри системы, найдем потенциал на расстояниях г > I. Для этого разложим величину
1 1 / г г' г'2 \ ~,/2
------- = — (1—2—— +—-
|r-r I г \ г2 г2 /
в ряд по малому параметру — отношению г'/г. Использовав известное разложение бинома в степенной ряд, получим с точностью до квадрата указанного малого отношения
Если записать квадратичные слагаемые через декартовы координаты и использовать тензорные обозначения, то указанные слагаемые приводятся к виду
3 (г г'\2 г'2 1 , , ,,
--- —5—) т = —г хахАЗхахв - г 28аД 2г \ г2 / 2г3 2rs
(21.2)
где по повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается суммирование.
Используем выражение (21.1) для приближенного вычисления интеграла (20.4). Подставив (21.1) в (20.4) и воспользовавшись представлением (21.2), получим
q р г ОааХаХа
ф(г) = — + —В~. (21 -3)
г г3 2rs
Здесь использованы следующие обозначения:
g = /p(r')dV' (21.4)
— полный заряд системы;
p = fr'p(r')dV' (21.5)
— дипольный момент системы;
Qap =f p(r’)(3x'ax'p -r,28aj})dV' (21.6)
— тензор квадрупольного момента системы зарядов.
Продолжив разложение (21.1), мы могли бы определить высшие муль-типольные моменты системы. Поэтому разложение (21.3) называется разложением электростатического потенциала по мультипольным моментам или, более кратко, по мультиполям. Фактически, как уже указывалось, это есть разложение по степеням l/г, поэтому на больших расстояниях от системы каждый последующий член разложения мал по сравнению с предыдущим.
Главным членом в (21.3) является потенциал точечного заряда = = q/r. Его смысл очевиден: на больших расстояниях детали распределения заряда не существенны и система действует как точечный заряд, помещенный в начало координат. Но если полный заряд равен нулю, то первым 96
неисчезающим членом разложения оказывается потенциал диполя
*Pdip ^p-rlr3- (21.7)
этим опраделяется его важное значение во многих задачах электродинамики. Такой потенциал создает на больших расстояниях нейтральная система зарядов (например молекула).
В этом случае, т.е. при q = 0, дипольный момент (21.5) оказывается не зависящим от выбора начала отсчета: сдвинув его на вектора, будем иметь в новой системе отсчета
р, = f rp(r)dV = f(r'-a)p(r')dV’ =p-aq=p. (21.8)
Для системы точечных зарядов
Р^е^. (21.9)
/
Если, в частности, имеется всего два заряда +е и — е на расстоянии /, то Р = е1, (21.10)
где вектор / направлен от отрицательного заряда к положительному (рис. 21.1). Такая система называется элементарным диполем.
Напряженность электрического поля диполя вычисляется дифференцированием потенциала (21.7)
г- d Р'г \ Зг(Р -г) р ^dip ~ — VI 3 I =
\ Г / г Г
(21.11)
В сферических координатах (г,#,а) с полярной осью, направленной вдольр, составляющие £dip имеют вид:
2р cos д р sin t?
Er-----------, Е$ ----------— , Еа = 0. (21.12)
г г
Обсудим теперь квадрупольный член в разложении потенциала,
‘Pqu =
(21.13)
(21.14)
2г5
Если ввести единичный вектор п = г 1г, то (21.13) можно представить в виде
*44 - 2гз
Из этих выражений видно, что <pqu ~ 1/г3.
Чаще всего квадрупольный член выступает как поправочный к потенциалу точечного заряда или диполя. Но при достаточно симметричном расположении зарядов он может оказаться главным в разложении потенциала. Примеры таких систем изображены на рис. 21.2.
-е
+е
Рис. 21.1.
+е
I
-2е
I
। +е
Рис. 21.2.
7. М.М. Бредов
97
Квадрупольный момент Qa@ представляет собой тензор II ранга. Из определения (21.6) следует, что он симметричен,
Qa0 = Q0a, (21.15)
а его след (сумма диагональных элементов) равен нулю:
Qaa = Qii + О22 +Q33 =0. (21.16)
Как и всякий симметричный тензор, может быть приведен к главным осям, в которых отличны от нуля только диагональные элементы, связанные соотношением (21.16). Поэтому только два из них независимы. Если же система зарядов аксиально-симметрична (О г - ось симметрии), то
=О22 =-—О33. (21.17)
2
Величину Q33 -Q называют в этом случае просто квадрупольным моментом. Квадрупольный потенциал при этом упрощается и приобретает в сферических координатах вид
О , а
<А>и = ~: (3 cos2#- 1) = — Р2 (cos д), (21.18)
4г3 2г
гае Р2 (cos &) — полином Лежандра.
В случае, когда распределение зарядов близко к сферически-симметрич-ному, более удобным оказывается разложение в ряд по мультиполям в сферических координатах. Используя разложение
1 “ i г'1
-----— = 4тг s S ,+ 1 У/m (<»,<*) у /%(<»> ), (21.19) 1Г-Г| 1=0 т=-Г (2/+1)г' *
приведенное в Дополнении VII, представим потенциал у>(г) при г >г в виде
«о I
<p(r) = S S
1=0 т = — 1 21+1 г”‘
Здесь Qtm — мультипольный момент порядка I, т:
У4тг , „ ...
^у/р(г )г'У/% W'.a’WV. (21.21)
/ 4тг QlmYlm(d, а)
V _ - f -L. 1
§ 22. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
22.1. Энергия электростатического поля. Плотность энергии электрического поля дается формулой (16.28) при Н = 0:
w=_1_£2 (22.1)
8 тг
Вычислим полную энергию ограниченной системы неподвижных зарядов
И'’—- SE2dV, (22.2)
ОТТ где интегрирование нужно производить по всему пространству. Для постоянного электрического поля Е = — ^<р, поэтому, пользуясь правилами
векторного дифференцирования, находим
Е2 =-£-V^=-V-(£1p) + ^V-£. (22.3)
Заменим в последнем слагаемом V- £ на 4ттр, согласно (19.1), и подставим (22.3) под интеграл (22.2). Это дает
1 1
W = — JpydV--------/div (Erfd V (22.4)
2 8п
Последний интеграл для ограниченной системы обращается в нуль, как нетрудно показать с помощью теоремы Остроградского — Геусса. В самом деле,
/ div(£^)c/U= f En^dS, (Ю (S-)
где So, — бесконечная поверхность, охватывающая все пространство. Но на больших ресстояниях от системы зерядов, согласно (21.4), у убывает не медленнее г"1, а Еп — не медленнее г-2, тогда как сама поверхность нарастает как г 2. В итоге
jE^dS^Q,
и в случае ограниченной электростатической системы мы имеем две различных выражения для полной энергии: (22.2) и
1
JV= — JpfdV. (22.5)
2
Применим последнюю формулу для анализа некоторых частных случаев. Пусть имеются две ограниченные системы зарядов (рис. 22.1). Они не обязательно должны быть разделены в пространстве. Обознечим через У>1 (Н, (г) электростатические, потенциалы, создаваемые в заданной
точке зерядами первой и второй систем. Воспользовавшись принципом суперпозиции и подстевив в (22.5) paPi + ft Mip=<pi +^2, будем иметь +W12+W22, (22.6)
где
^i-y/p^icTK (22.7)
1
IVt2 - f (Pi^2 + Pi *Pi)dV. (22.8)
Выражение для IV22 аналогично (22.7). Интегрирование в формулах (22.5) — (22.8) можно производить по всему пространству, но области, в которых р равно нулю, не дадут вклада.
7
99
Разложение (22.6) имеет простой физический смысл. Величины IVt t и И/22 представляют собой энергии систем 1 и 2 по отдельности, a Wi2 — их взаимная энергия или энергия взаимодействия. В механике ее называют потенциальной энергией взаимодействия. Очевидно, что эта энергия зависит от взаимного расположения систем, т.е. от их обобщенных координат 7а1 и ) По общим правилам механики, производная от потенциальной энергии по координате, взятая с противоположным знаком, определяет силу, стремящуюся увеличить эту координату:
эи<12
ЭИ\2
Энергию взаимодействия можно записать в более компактном виде, если воспользоваться формулой
,, r Plows'
'Pl,2^} =f~T--Ч----
(22.9)
(22.10)
Поменяв местами в одном из слагаемых (22.8) переменные интегрирования гиг', получим
, Pi(r)p2(r)
Wi2=f ... dVdV'
(22.11)
Из этой записи следует, что энергию взаимодействия можно представить также в формах
И<12 = /Р1Л dV = f p^dV.
(22.12)
Энергию отдельной системы заряде тоже можно записать через двойной интеграл типа (22.11):
1 Pi (г) Pi О') Ни = - / —-------г-- dVdV.
2 lr-rl
(22.13)
Обратим внимание на множитель 1/2, отличающий энергию одной системы от энергии взаимодействия двух систем (22.11).
Рассмотрим теперь систему точечных зарядов*) е2,... ,eN, имеющих радиус-векторы rit... ,rN. Записав
p(r)= S еа5(г —га)
з= 1
и подставив эту сумму в формулу типа (22.13), получим
1 " еаеъ 1 » е2
W = — S ------—------+— S -----------.
2 a.*=i |га-гь1 2 а=1 1га—га1
а*Ь
(22.14)
Здесь первая сумма, в которой индексы а и b не совпадают, представляет собой энергию взаимодействия системы точечных зарядов. Ее можно
•) Отметим, что неподвижная система точечных зарядов может существовать только при наличии связей, закрепляющих положение зарядов в пространстве. Равновесие системы неподвижных частиц, взаимодействующих только электрическими силами, неустойчиво (это утверждение, на доказательстве которого мы не будем останавливаться, называется теоремой Ирншоу).
записать без множителя 1/2, учитывая каждый член в сумме по одному разу:
Wint= 2 —е',е<’ (22.15)
а,Ь=1 1Га-Г61 а>Ь
Вторая сумма в (22.14) описывает сумму собственных энергий точечных зарядов. Каждый член в ней расходится ввиду расходимости кулоновского потенциала при г -*0. Очевидная бессмысленность этого результата означает, что классическая электродинамика становится неприменимой на малых расстояниях. Трудность с расходимостью собственной энергии точечного заряда является фундаментальной и проявляется не только в классической электродинамике, но и в современной теории элементарных частиц, основу которой составляют квантовая механика и теория относительности. Для того чтобы избежать расходимости собственной энергии, следует считать элементарные частицы протяженными. Но это неизбежно означает наличие у них внутренней структуры, т.е. "неэлементарность".
Ввиду невозможности вычислить в рамках классической электродинамики собственную энергию системы точечных зарядов, мы должны ограничиться вычислением энергии их взаимодействия, которая дается формулой (22.15).
Можно оценить характерный размер элементарной частицы, если ее рассматривать как протяженный классический объект. Электростатическая энергия заряженного шара радиуса г „ записывается в виде W= ае2 /г 0, где а — множитель порядка единицы, зависящий от распределения заряда. Так, при равномерном поверхностном распределении заряда а = 1/2, при равномерном распределении по объему а - 3/5 и т.д. Предположив, что вся масса частицы имеет электромагнитное происхождение, и приравняв энергию покоя тс2 ее электростатической энергии е:/г0, получим
г0 = е2/тс2 (22.15')
Для электрона величина г 0 =2,8- 10’13 см и называется классическим радиусом электрона. Этот параметр появляется во многих задачах электродинамики. Однако ему нельзя приписывать буквальный смысл радиуса элементарной частицы, так как классическая теория, на основе которой получена оценка (22.15'), из-за квантовых эффектов теряет силу уже на значительно больших расстояниях А = h /тс (где h = 1,05 • 10‘2’ эрг • с — постоянная Планка). Для электрона А = 137г0 = 3,9 • 10'1 'см. Величина А называется комптоновской длиной волны.
22.2. Система зарядов во внешнем поле. Вычислим энергию ограничен ной системы зарядов во внешнем электрическом поле, слабо изменяющем ся в пределах размера системы (рис. 22.2). Это условие позволяет произ
вести разложение в ряд и выразить энергию через мупьтипольные моменты системы, введенные в § 21.
Будем для определенности считать заряды точечными. Воспользуемся формулой (22.12), понимая в ней под
потенциал внешнего поля Для точечных зарядов указанная формула примет вид
N
W= (22.16)
Воспользуемся предполагаемой гладкостью потенциала в пределах сис-
Рис. 22.2.
темы и разложим его в степенной рнд.
dtp 1 . . д2<р
у>(Л+г,)=<д(Л)+^ — +~ Т— • (22.17)
Эха 2 охаох&
Здесь использованы тензорные обозначения и правило суммирования по повторяющимся индексам.
Если в пределах рассматриваемой системы зарядов нет источников внеш-
него поля, то потенциал </> в этой области удовлетворяет уравнению Леп-Э2^
ласа Д</> ----------- 0. Это позволяет записать последний член разложе-
Эха Эха
ния в (22.17) в виде
(4°4°-4 • <22-18)
\ 3 / дхадхр
Подставив разложение (22.17) и (22.18) в (22.16), будем иметь Э2</>
W = (ftp-p-£,+— --------— +... (22.19)
6 дхадхр
Здесь величины Е и <р берутся при аргументе R, а величины N N
q~-leh ра= S е,х<'> (22.20)
/=1 /=1
и N
Qai}= е,(3х^х^-г}ба0) представляют собой полный заряд системы, ее дипольный момент и квадру-польный момент соответственно. Формулы (22.20) являются аналогами (21.5) — (21.7), относящимися к случаю точечных зарядов.
Разложение (22.19) производится по отношению размера системы I и масштабу L неоднородности потенциала <р. Если, в частности, <р создается точечным зарядом, находящимся в начале координат, то параметром разложения является IIR.
Первый член в (22.19) прадставляет собой энергию точечного заряда во внешнем поле, И/о = q<p. Дифференцирование ее поддает известное выражение для силы:
Fo =*—qV<p = qE. (22.21)
Второй член, ^dip = -р-Е, (22.22)
дает энергию диполя во внешнем поле. Вычисляя ее градиент с помощью формул векторного дифференцирования, найдем силу, действующую на диполь во внешнем поле:
*diP в <Р -V )£. (22.23)
Но энергия диполя зависит не только от координат, но и от ориентации р по отношению к Е. Поэтому в общем случае на диполь действует не только сила, стремящаяся сдвинуть его в пространстве, но и крутящий момент
сил. Последний можно вычислить, дифференцируя энергию Wdip = —рЕ cos в по углу между р\лЕ‘.
9IVdip N-------2!L = _p£sin6.
Ьв
(22.24)
Знак минус указывает на то, что момент сил стремится уменьшить угол 6, т.е. ориентировать диполь вдоль поля.
§ 23. ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ
Кроме объемных, поверхностных и точечных зарядов возможны еще распределения электрических зарядов вдоль некоторых линий (заряженные нити), а также двойные электрические слои. Последние представляют собой тонкие слои, на одной стороне которых имеется положительный заряд с плотностью а, а на другой — отрицательный заряд с плотностью —а, так что в целом слой электронейтрален (рис. 23.1). Пусть б — толщина слоя (т.е. расстояние между положительно и отрицательно заряженными поверхностями). Эта величина будет считаться малой по сравнению со всеми другими расстояниями в задаче. Тогда на элемент поверхности слоя dS будет приходиться электрический дипольный момент dp = об dS, (23.1)
а на единицу поверхности слоя — дипольный момент -> dp к ---------- ООП,
dS
где орт нормали п должен быть направлен от отрицательной стороны поверхности к положительной (см. рис. 23.1).
(23.2)
Рис. 23.1.
Вычислим потенциал двойного слоя. Воспользуемся принципом суперпозиции и полученным выше выражением для потенциала элементарного диполя (21.8):
(23.3)
*Рм ~ f Ч dS. (S) г
Здесь радиус-вектор г соединяет точки поверхности с точкой наблюдения М, а интегрирование ведется по поверхности, занятой двойным споем. Формуле (23.3) можно придать другой вид, если заметить, что
(23.4)
——- dS = ± к dn. г
где dn — элемент телесного угла, под которым из точки наблюдения М
видна площадка dS , знак плюс соответствует случаю, когда видна положительная, а минус — отрицательная сторона поверхности.
С помощью (23.4) будем иметь
= f (± к)«т. (23.5)
(Я)
Если, в частности, поверхность ориентирована так, что для всех ее элементов знак в (23.4) один и тот же, то
^„=±«£2. (23.6)
Для замкнутой поверхности с двойным слоем имеем
I ± 4п к, точка М внутри поверхности:
= Л „ (23.7)
| 0, точка М снаружи.
Если точка наблюдения находится вблизи поверхности двойного слоя, то, очевидно,
<РМ = ± 2як. (23.8)
Это означает, что на самой поверхности потенциал испытывает скачок:
<р2 -<Р1 =4як. (23.9)
При этом, поскольку полная плотность поверхностного заряда двойного слоя равна нулю, напряженность поля непрерывна на поверхности:
^2П-^1П = 0, или — ——г—= 0. (23.10)
Эл Эл
Эти условия очевидным образом отличаются от граничных условий (19.7) и (19.9) на заряженной поверхности.
Примером физической системы, в которой реализуется двойной слой, является поверхность раздела твердое тело — вакуум. Электроны, как более легкие по сравнению с ионами частицы, с большей вероятностью, чем атомные ядра, могут оказаться на периферии среды, так что поверхность раздела является двойным слоем с определенной поверхностной плотностью дипольного момента. Этот поверхностный дипольный момент может быть изменен, если на поверхность среды высадить полярные молекулы так, чтобы вектор дипольного момента каждой из молекул был перпендикулярен поверхности. Такой же эффект может быть достигнут нанесением на поверхность тонкой пленки щелочного металла. Атом щелочного металла может отдать свой электрон в объем среды, и на поверхности останутся заряженные положительно ионы металла. Это приводит к уменьшению дипольного момента поверхности. Величина этого дипольного момента определяет разность потенциалов внутри среды и в вакууме.
Если поверхность раздела плоская и однородная, то скалярный потенциал электрического поля будет удовлетворять уравнению
—- = -4rrp(z). (23.11)
dz*
Здесь г — нормальная к поверхности раздела координата. После первого интегрирования это уравнение примет вид
</u? z
---- = -4тг J p{z )dz ,
dz
а после второго мы будем иметь z z'
<pU)= —4тт / [ S p^"}dz"]dz'. (23.12)
Интеграл в правой части этой формулы берем по частям:
S [ S p(z")dz"]dz' = [z' J p(z")dz"]l - f p(z')z'dz' = -OO OO -OO I oo OO
= z f p(z')dz'~ f dz'z'p(z'). (23.13)
z
Если полный заряд среды равен нулю, то / p{z'}dz' при z есть
нуль и в правой части (23.13) остается только одно последнее слагаемое
y?(°°) _^(—0°) =4я / zpWdz. (23.14)
Таким образом, разность потенциалов в глубине среды и в вакууме на большом от нее расстоянии определяется поверхностной плотностью дипольного момента поверхности раздела. Поскольку работа по перемещению единичного заряда из среды в вакуум представляет собой разность «р (°°) — (— °°), то эту последнюю величину принято называть работой выхода.
Глава V
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
§ 24. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В ВАКУУМЕ
24.1. Основные уравнения. В отсутствие зависимости от времени напряженность магнитного попя удовлетворяет системе уравнений (14.6):
4тт rottf =— /, (24.1)
с
div//=O. (24.2)
Поскольку Эр/Эг = О, то из уравнения неразрывности вытекает условие стационарности токов:
div/ = O. (24.3)
Последнее соотношение можно получить и из уравнения (24.1), применив к обеим его частям операцию div. Заметим, что для существования тока, /^О, необходимо, чтобы заряды двигались. Поэтому постоянное магнитное поле может создаваться стационарной, но не статической системой зарядов.
При расчете магнитных полей от симметричных распределений токов полезна интегрельная форма уравнения (24.1). Она получается из (14.15) при £ = 0, либо непосредственно из (24.1) путем интегрирования по произ
вольной незамкнутой поверхности S:
4л
$Hdl =----- И-dS. (24.4)
i с (S)
Здесь I — контур, на который опирается поверхность S, а интеграл в правой части представляет собой силу тока, протекающего через поверхность S.
Применим уравнение (24.4) для расчета магнитного поля, создаваемого длинным цилиндрическим проводником радиуса а с током J, распределенным равномерно по сечению. Основываясь на цилиндрической симметрии системы, прадполагаем, что силовые линии представляют собой окружности с центрами на оси проводника. Выбрав в качестве контура I такую окружность, находим
fHdl = 2пгН;
в правой части равенства при J = Jlita1 = const имеем
HdS =
г > а;
таким образом.
г <а.
(24.4а)
Уравнение (24.2) позволяет представить Я(г) в виде ротора некоторого вектора А (г) — векторного потенциала:
H=rotA. (24.5)
Это представление является частным случаем (8.13). Ввиду неоднозначности векторного потенциала (градиентное преобразование А =А+ grad х не изменяет значения Я(г)) на него можно наложить дополнительное условие. Условия калибровки Лоренца (18.3) и Кулона (18.7) для постоянных полей совпадают:
div Л = 0. (24.6)
Векторный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона 4л
ДА -------/, (24.7)
с
которое является частным случаем уравнения (18.5) для А и может быть получено подстановкой (24.5) в (24.1).
Запишем решение уравнения (24.7) для случая ограниченной системы стационарных токов, исходя из аналогии с уравнением электростатики (19.5). Последнее уравнение для ограниченной системы зарядов имеет решение (20.4). Ввиду одинаковости уравнений (19.5) и (24.7) решение для векторного потенциала можно записать в виде
1 /(И ,
А(г)=—/--------dV , (24.8)
с R
где R = г — г'.
Отметим, что решение (24.8) удовлетворяет дополнительному условию (24.6). В самом деле, применив к (24.8) оперецию div и поменяв порядок дифференцирования по координатам г и интегрирования по dV', получим 1 /('')
div Л = — f V •--- dV'. (24.9)
с R
Заметим, что
где через V' обозначен оператор Гамильтона, действующий на координаты г', и учтено условие (24.3). Подставим (24.10) в (24.9) и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса:
div Л (г) =---f ——- dS.
с R
Последний интеграл берется по бесконечно удаленной поверхности и обращается в нуль, если jn{r’] убывеет при г' -+ °° быстрее, чем г' , Не этом заканчивается доказательство равенства (24.6) для векторного потенциала (24.8).
24.2. Закон Био — Савара. Формула (24.8) позволяет записать в виде интеграле по объему напряженность Н магнитного поля, создаваемого ограниченной системой токов. Применим к (24.8) операцию rot и используем (24.5). Это дает
1 j(r')
Я(г)-----/VX------- dV'. (24.11)
с R
Делее, используя правила векторного дифференцирования, находим
VX — = — VXj(r’) -/(/') XV (—У (24.12)
R R \R /
Поскольку V X j(r') = 0, так кек /(г') не зависит от векторе г, на который действуетV, a V( 1/Я) =Я/Я3, то
и
1 /(/') X Я
Н(г)= — /-— --------dV'. (24.14)
с R3
Формула (24.14) показывает, что элемент объема dV', в котором течет ток плотности /, создает магнитное поле
/(г')ХЯ
dH{r} ” ~^R3 dV (24.1 5)
(закон Био - Савара). Если поле создается квазилинейным замкнутым током, текущим вдоль
некоторого контура I, то в формулах (24.14), (24.15) нужно сделать
очевидную замену jdV'^Jdl,
(24.16)
где J — сила тока в контуре. Малый элемент квазилинейного тока создает поле
dH(r} =— с
dIXR
R3
(24.17)
а полное магнитное поле получится путем интегрирования (24.17) по всему контуру.
Закон Био — Савара может быть положен в основу магнитостатики, исходя из него, можно придти к уравнениям (24.1), (24.2).
24.3. Псевдоскалярный потенциал магнитного поля и магнитные листки. Ввиду того, что использование векторного потенциала магнитного поля менее удобно, чем использование скалярного потенциала в электростатике, возникает вопрос — нельзя ли и для магнитостатического поля ввести некоторый псевдоскалярный ** потенциал ф(г)?
Рассмотрим подробнее эту возможность. Пусть
Я(г) = - дгабф(г). (24.18)
Поскольку, согласно (24.1), rotH = (4тг/с)/, а из (24.18) следует, что rot#= — rot grad ф = 0, то формула (24.18) может быть верна только в областях, где / = 0.
В этих областях потенциал ф должен удовлетворять уравнению Лапласа
Лф = 0, (24.19)
которое вытекает из (24.2), (24.18) и выражает собой факт отсутствия в природе магнитных зарядов, рт = 0. Но даже в областях, где j = 0 и формально может быть введен скалярный потенциал ф, он обладает очень неприятным свойством — неоднозначностью.
Проиллюстрируем это на примере квазилинейного контура с током (рис. 24.1). Выберем произвольный контур интегрирования /, охватывающий контур с током J. Вычислим значение потенциала в точке А после обхода по этому контуру:
Фа = Фа + # <*ф. (24.20)
(0
Если бы 0(г) был однозначной непрерывной функцией координат, то <Мф = 0. Но фактически
/) и
„ 4я
f dф = j ^d!=-$H-dl =---------J, (24.21)
(/) (О (О с
и, таким образом, 4я
Фа~Фа = ~ J- (24.22)
с
Последнее соотношение показывает, что Фа (г) — неоднозначней функция координат и после обхода по любому замкнутому контуру, охватывающему контур с током, приобретает приращение ЬпЛс, где J — полный ток, протекающий через произвольную поверхность, которая опирается на контур интегрирования.
*) Напомним, что Н — псевдовектор.
Обратим внимание на формальное сходство соотношения (24.22) с граничным условием (23.9) на поверхности электрического двойного слоя: роль мощности слоя в (24.22) играет величине
кт=Лс. (24.23)
Второе граничное условие, аналогичное (23.10), также выполняется на любой поверхности, так как нормальная компонента магнитного поля непрерывна:
Э^2 /Эл = dipt (24.24)
Таким образом, квазилинейный контур с током математически эквивалентен двойному магнитному слою, называемому также магнитным листком. Подчеркнем, что смысл магнитных листков чисто формальный. Положение поверхности магнитного листка неоднозначно, и на этой поверхности
отсутствуют реальные магнитные заряды или токи. Но само введение скалярного потенциала магнитного поля и связанного с ним понятия магнитных листков полезно для решения некоторых магнитостатических задач.
24.4. Формула Ампера. На заряженную частицу малых размеров действует в магнитном поле сила Лоренца £ е f = — ч ХН. (24.25)
с
Найдем силу, действующую на малый макроскопический элемент dl квазилинейного тока. Пусть частицы движутся со скоростью v в проводнике сечением S. Их концентрация п, а плотность тока дается формулой j = р v = = ет. Величина J=jS будет представлять собой силу тока в проводнике, а элемент его объема запишется в виде dV = Sdl.
Сила dF, действующая на элемент dl проводника, получится суммированием (24.25) по всем частицам внутри объема dV:
„ „ е endV envS J
dF = E — [»ХЯ]---------[»ХЯ] ------[dlXH} = —[dlXH],
(dV) c c c c
Здесь был использован факт параллельности v и dl, а также постоянство Я в пределах малого объема dV. Последняя формула,
J dF=—[dlXH], (24.26)
с называется формулой Ампера. Сила, действующая на малый элемент объемного тока, получается из (24.26) заменой Jdl-+jdV: 1 dF= — [jXH]dV=fdV, (24.27)
с где 1 f=—jXH (24.28)
с — плотность силы (в расчете на единицу объема).
(25.1)
(25.2)
(25.3)
(25.4)
9 25. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
В этом параграфе мы вычислим магнитное поле на больших расстояниях от ограниченной системы стационарных токов. Эта задача похожа на ту, которая решалась в § 21, и сводится к разложению векторного потенциала (24.8) по мультипольным моментам. Но здесь мы ограничимся только учетом дипольного члена.
Пусть токи текут в конечном объеме с линейным размером I. Если расстояние до точки наблюдения г > 7, то можно ограничиться в разложении (21.1) линейным по Иг членом:
1 1 гг' — = — +------.
R г г3
Подставив это разложение в (24.8), получим
Л(г)=— fj(r')dV' +~~ f {г r‘)J(r')dV'. сг с г
Покажем, что //(r’)dV' = 0.
Исходим при этом из тождества div'[(а • г ')j(r')] = а /(г),
где а — произвольный постоянный вектор, a div' берется по координатам г'. В (25.4) использовано условие стационарности токов div'/(r') = 0. Интегрируя (25.4) по всему пространству и используя теорему Остроградского — Гаусса, будем иметь
/в - /(г') dV' = Jinir'Ha • r')dS = 0,
так как jn = 0 на бесконечно удаленной поверхности. Ввиду произвольности вектора а, иэ последнего равенства следует (25.3). Оно означает, что члена, аналогичного кулоновскому потенциалу, в данном случае не существует.
Преобразуем теперь второй интеграл в (25.2). Исходя иэ тождества
[г'Х/(г')] X г =/(г')’(г• г')-г'(/-г). (25.5)
В последнем слагаемом сделаем замену j • г = div'[/(г •г')]. Далее умножим обе части этого равенства скалярно на произвольный постоянный вектор а и проинтегрируем по всему пространству:
«[/[<' X/(r')]cfV' X г] =
= afj(r')(r- r')dV' - f(a- r’)div’[/(r’)(r • r')]dV'. (25.6)
Последний интеграл преобразуем с помощью тождества
(в• г')div'[/(r')(г• г')] = div'[/(r-г')(в • г')1 -(в-/)(г-г').
После интегрирования по всему пространству и применения теоремы Остроградского — Гаусса слагаемое в левой части, содержащее div', обращается в нуль. В итоге равенство (25.6) примет вид
в[/[г' X /(г’)]dV' X г] = 2e//(r’)(r- r')dV'. (25.7)
Ввиду произвольности вектора а из (25.7) следует: f[r' Xj(r"l]dV' Xr = 2fj(.r'Ur r’)dV'. (25.8)
tto
Подставляя (25.3) и (25.8) в разложение (25.2), получим
Л(г) =
МХг
(25.9)
з
где вектор 1 М= ДгХ/(г)]сП/ (25.10)
2с
называется магнитным дипольным моментом.
Формулы (25.9) и (25.10) решают задачу о вычислении векторного потенциала вдали от системы стационарных токов. Заметим, что магнитный момент Минвариантен относительно сдвига системы отсчета: замена г на г + в не изменяет интеграла (25.10) в силу равенства (25.3).
В качестве примера использования формулы (25.10) вычислим магнитный момент плоского контура с постоянным током J, лежащего в плоскости ху (рис. 25.1). Произведя замену jdV-+Jdl (см. (24.16)), запишем
J
М-----flrXdl], (25.11)
2с
Легко видеть, что вектор ’A(rX dl] по величине равен площади заштрихованного треугольника и направлен вдоль нормали л к плоскости контура. Поэтому
-f(rXd/]=Sn, (25.12)
2
где S - площадь, ограниченная контуром с током. В итоге магнитный момент плоского контура с током запишем в виде
J
M=—Sn. (25.13)
с
В качестве второго примера рассмотрим вычисление магнитного момента, создаваемого системой заряженных частиц. Пусть заряды и массы частиц равны et и mtсоответственно (7-1, 2, . . . , /V). Пользуясь формулой (13.14) для плотности тока
/ = S eeve6(r - гв), (25.14)
a
получим из (25.10)
M=Z — [Г/XvJ-S ~[г,Хр,]. (25.15)
/ 2с 1 2mt
Здесь Pt = mtvt — импульс частицы, а
>t = X Pt
(25.16)
— момент импульса относительно начала координат. Таким образом,
— 1{. (25.17)
‘ 2 т £
Эта формула упрощается в случае тождественных частиц, у которых заряды и массы (или хотя бы их отношения) одинаковы:
М = — L, (25.18)
2т с
где L = 21{— полный момент импульса системы частиц. В частности, фор-t
мула (25.18) всегда справедлива для отдельной заряженной частицы, совершающей финитное (ограниченное) движение в некотором внешнем поле. Коэффициент пропорциональности между механическим и магнитным моментами
т? = е!2тс (25.19)
определяется отношением заряда частицы к ее массе.
Соотношение (25.18) дает связь между магнитным и механическим моментами, создаваемыми движением заряженных частиц в пространстве. Но многим частицам как заряженным (электроны, протоны), так и нейтральным (нейтроны, атомы) присущ также внутренний (спиновый) магнитный момент, определяемый их внутренней структурой. Между спиновыми магнитным Ms и механическим Ls моментами выполняется соотношение типа (25.18),
Ms ~ Чз^З’
однако коэффициент пропорциональности % не совпадает с (25.19) и различен для разных частиц. Спиновый магнитный момент представляет собой квантовое явление, не объясняемое классической электродинамикой.
Вернемся к формуле (25.9) и вычислим напряженность магнитного поля Н = rot Л вдали от системы токов. Имеем
МХг 1 /1 \
Я= VX-----— =— vx [Л/X г] - [MX г] XVI-—),
г г \г /
И _/1 \ Зг
V X [MX г] =M(V • г) - (M-V )r = 2М, V —-
\ г / г поэтому
Отметим, что формула (25.19) совпадает с точностью до обозначений с напряженностью поля электрического диполя (21.11). Сферические компоненты Н имеют вид 2Mcos д Msint?
Нг=---------- , =, На*0. (25.21)
г г
(ср. с (21.12)). Форма силовых линий у электрического и магнитного диполей одинакова. 112
§ 26. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
26.1. Магнитная энергия стационарных токов. Вычислим полную магнитную энергию ограниченной системы стационарных токов. Исходим из выражения для плотности магнитной энергии (формула (16.28) при Е = 0):
п = Н2/Зтг. (26.1)
С помощью тождества div[Н X А ] = А • rotH — И rot 4 и формулы (24.5) находим divfHXA] A rotH w =------------+-------. (26.2)
8тг 8тг
Полная энергия дается интегралом от w по всему пространству. Объемный интеграл от div[//X4] преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и обращается в нуль ввиду быстрого убывания произведения [ЯХ А ] ~ r~s на больших расстояниях от системы. Множитель rotH выражаем через/ с помощью уравнения (24.1). В результате получаем полную магнитную энергию системы в виде
1 И/ =--fJAdV. (26.3)
2с
Найденное выражение является аналогом формулы (22.5) для электростатической энергии.
26.2. Энергия системы контуров с током. Коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции. Пусть имеется несколько проводников с током. Запишем А = ЪАа, где Аа — векторный потенциал, создаваемый а-м провод-а
ником. В силу линейности уравнений электродинамики значение Аа не зависит от наличия других проводников и силы тока в них. С помощью (26.3) получим
JV=SJVee+S Wab, (26.4)
а а> b где 1 Waa=—HaAadV (26.5)
2с — собственная магнитная энергия а-го проводника,
Wab ~fia AbdVa + ^~f/b AadVb (26.6)
2c 2c
— энергия взаимодействия проводников а и b. Интегрирование производится по объему проводников. Оба интеграла в правой части последнего равенства одинаковы, в чем легко убедиться с помощью формулы (24.В). Использовав укезанную формулу, найдем
Wab = "Т dVadVb. (26.7)
С i г — г |
Плотность тока в проводнике и создаваемое им поле пропорциональны силе тока: ia^da, Aa^Ja. Поэтому собственную и взаимную энергии
8. М.М. Бредов
113
проводников можно записать в виде
J2 JaJb
Waa=~~ t-aa, VVab-Lab, (26.8)
2с2 с1
где Laa, Lab = Lbg — коэффициенты, которые не зависят от силы тока, но зависят от формы и размеров проводников, от их взаимного расположения, а также, вообще говоря, и от распределения тока по их сечениям. Они называются соответственно коэффициентами самоиндукции и взаимной индукции.
Если мы имеем дело с квазилинейными проводниками, толщина которых мала по сравнению с их длиной, то, заменив в (26.7) jdV -* Jdl и сравнив результат с (26.8), найдем выражение для коэффициента взаимной индукции в виде двойного контурного интеграла:
Видно, что Lab имеет размерность длины, причем по порядку величины Lab^ lyl-ilH. где If и /2 - длины проводников, R — среднее расстояние между ними.
Однако приближение бесконечно тонкого проводника неприменимо при вычислении коэффициента самоиндукции, так как оно приводит к расходимости соответствующего интеграла. Поэтому коэффициент самоиндукции следует вычислять через магнитную энергию:
Laa= 2c2Waa/J2a. (26.10)
Оценим, например, по порядку величины самоиндукцию тонкого замкнутого проводника радиуса а и длины Z> а- Не расстояниях г < I от оси проводника его поле мало отличается от поля прямого провода. Считая распределение тока равномерным по сечению и использовав формулы (24.4а), запишем магнитную энергию внутри проводника в виде
н1 /’ /
IV^ = f ----- 2irrdrdl-=--.
r<a 8я 4C2
Для энергии, запасенной снаружи, будем иметь
,Л W2 J2 drdl
= 5 ----2itrdrdl=—— f --------.
r>a 8я c2 r>a г
Подынтегральное выражение правильно описывает поле только на расстояниях г < I. При г > I поле убывает значительно быстрее, Н - г"3, так как на таких расстояниях контур с током можно рассматривать как магнитный диполь, и интеграл сходится. Мы получим оценку по порядку величины, если обрежем интеграл по г на расстояниях порядка I:
waa
с2
Из этой оценки видно, что йХ'2 меньше на фактор In(Z/a), и если этот логарифм велик, то
Laa • 2с2 tv*'* U2 * 2Zln (Z/a). (26.11)
Установим связь коэффициентов индуктивное: и с магнитными потоками для системы квазилинейных проводников. Заменим в формуле (26.5) jadVa на Jadla, где dla — элемент осевой линии квазилинейного замкну-
того проводника. Получим
Waa " *Aadla =— SHadSa =^- 7аФаа, (26.8а)
2с 2с 2с
где Фа — поток напряженности магнитного поля, создаваемого током в проводнике, через поверхность, ограниченную осевой линией проводника. Переходя к интегрированию по контуру, мы пренебрегли неоднородностью собственного поля тока в пределах толщины проводника. Это допустимо для тонкого проводника, поскольку, как мы видели выше, внутренняя область вносит малый вклад.
Аналогичное преобразование даст 1 1
Wab =—Ja*ab= — Ja*ba, (26.86)
с с
где ФаЬ = $HbdSa - магнитный поток, создаваемый контуром b через контур а. Путем сравнения двух последних формул с (26.7) находим
Фаа = LaaJaic, ФаЬ= LabJb/c, (26.12)
т.е. индуктивности выступают как коэффициенты пропорциональности между соответствующим магнитным потоком и силой тока.
26.3. Система токов во внешнем поле. Используем выражение (26.6) для вычисления энергии взаимодействия малой системы стационарных токов с внешним магнитным полем, слабо неоднородным в пределах рассматриваемой системы токов. Выбрав начало отсчета О' внутри рассматриваемой системы (рис. 26.1), представим векторный потенциал внешнего поля в виде
Л(Л+г) =Л(Л)+(гГ)Л(А), (26.13)
где оператор V действует на координаты R. Искомая энергия выражается в виде
W = — fj(r) A(R)dV +— ffir) (r-V)A(R)dV, (26.14)
c c
* интегрирование производится по координатам вектора г . В силу равенства (25.3) первый интеграл обращается в нуль. Второй интеграл преобразуется с помощью формулы (25.8), в которой г следует заменить вектором V:
— //(r)(r V)cH/ = — J[rX/(r)]cH/X V=.WXV, (26.15)
с 2с
и использовано определение магнитного момента (25.10).
Чтобы получить второй интеграл в равенстве (26.14), нужно умножить (26.15) скалярно на Л(Я), что позволит записать:
(Vint = [MXV] A(R)=M H, (26.16)
гдеЯ(Л) =V X Л (Я) - напряженность внешнего магнитного поля.
26.4. Силы в постоянном магнитном поле. Вычислим силу, действующую на контур с током в магнитном поле. Удобно исходить из выражения для элементарной работы 8 А магнитного поля по перемещению каждого элемента контура dl на малое расстояние 8г (рис. 26.2):
J J J J
dA = $dF br=-fldlXH] dr = — $H[SrXdl]=— f ЯЙ=-5Ф. (/) c (i) с (/) с(65) с
(26.17)
8* 115
dl
Рис. 26.2.
При написании этой цепочки равенств использована формула Ампера (24.26). Через 6S обозначена дополнительная поверхность, описываемая рассматриваемым контуром с током при его перемещении и деформации. Таким образом, 6Ф — это дополнительный магнитный поток через контур. Ток J в контуре считается постоянным. Это означает, что полученная формула (26.17) дает выражение для элементарной работы при медленном (адиабатическом) перемещении контура, когда можно пренебречь изменением тока в нем за счет электромагнитной индукции.
Заметим, что величина, стоящая в правой части (26.17), представляет собой приращение магнитной энергии (26.86) контура с током во внешнем магнитном поле:
- 5Ф = 6И6п1. с
Если ввести величину
с
(26.18)
(26.19)
которая называется потенциальной функцией контура с током в магнитном поле, то элементарная работа выражается в виде
5А=-5(/, (26.20)
т.е. так же, как в механике выражается работа через потенциальную энергию. Поскольку, с другой стороны, работа связана с обобщенными силами Q/ и приращениями обобщенных координат 6qt обычной формулой
54=2 0,5^, (26.21)
/
то, сравнивая (26.20) с (26.21), находим выражения для обобщенных сил / ди \
Q/ = - -----) . (26.22)
\ Э<7,- / 7
Как видно из последнего соотношения, а также из (26.20), величина U играет такую же роль при вычислении сил, как и потенциальная энергия. Но, поскольку магнитное поле не потенциально, эта величина называется не потенциальной энергией, а потенциальной функцией.
Хотя формула U= - W доказана нами только для случая контура с током, но она сохраняет силу и для других систем (доказательство этого мы проводить не будем).
В частности, для магнитного диполя во внешнем поле
U=-M-H. (26.23)
Это выражение приводит к следующему значению силы, действующей на диполь:
F= — VU = (М -X7VS (26.24)
и к моменту сил:
N-MKH (26.25)
(ср. с соответствующими формулами (22.23) и (22.24) для электрического диполя).
Глава VI
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 27. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
27.1. Уравнения электромагнитного поля в отсутствие зарядов. Система уравнений Максвелла при р =/ =0 принимает вид (14.7):
1 дН 1 ЭЕ
rotE =------—, rot//= — --,
с dt с dt
(27.1) divE = 0, div//=O.
Легко получить уравнения II порядке для каждого из векторов Е, И по отдельности. Применяем операцию rot к первому уравнению и получаем
1 Э 1 Э2Е
rotrotE=---------rotH=------—т-, (27.2)
с ЭГ с2 dt2
где использовано также уравнение для rot Я. Далее преобразовываем:
rot rot Е= VX (VXE) = V(V-E) -Г2Е = -ДЕ, (27:3)
так как divE= V-E = 0. В итоге (27.2) принимает вид волнового уравнения Даламбера:
1 d2E =0- (27.4)
с2 dt2
Точно таким же путем получается волновое уравнение для Я:
1 Э2Я
ДЯ- — —— =0. (27.5)
с2 Эг2
Перейдем теперь к вопросу о наиболее удобном выборе электромагнитных потенциалов для описания поля в отсутствие зарядов. В общем случае, как мы знаем, необходима четырехкомпонентная величина (у>,Л). Воспользуемся калибровочным преобразованием
~ ~ 1 Эх
А = А + V х, Р =*р-------
с 3t
для того, чтобы обратить скалярный потенциал в нуль: = 0. Выберем лоранцеву калибровку и воспользуемся уравнением (18.6). Дифференцируя его по времени, получим
Но такому же уравнению, согласно (18.5), удовлетворяет при р = 0 и скалярный потенциал:
□ <р = 0. 1 Эх Поэтому мы можем выбрать х таким образом, чтобы----------------- т.е.
с dt ?=0.
Опуская теперь значок "тильда" у векторного потенциала, выпишем формулы, связывающие его с напряженностями поля £*, Я:
1 дА
Е =------------, Н = rot А. (27.6)
с Эг
Векторный потенциал удовлетворяет при j = 0 однородному волновому уравнению
□ 4=0, (27.7)
а условия Лоренца (18.3) и Кулона (18.7) совпадают:
div 4=0. (27.8)
Заметим, что выбор калибровки, при которой у = 0, релятивистски неинвариантен: в другой инерциальной системе отсчета потенциал /, представляющий собой одну из компонент 4-вектора, будет отличен от нуля, и чтобы обратить его в нуль, нужно будет выполнить еще одно градиентное преобразование. 27.2. Пример решения волнового уравнения — плоские волны. Кек следует из уравнений (27.4), (27.5), (27.7), любая декартова компонента и векторов Е, НиА удовлетворяет волновому уравнению. Исследуем его решение, зависящее только от одной координаты х и времени г. Разумеется, направление оси х совершенно произвольно.
В принятых предположениях величине и(х, г) удовлетворяет уравнению
/ Э 1 Э \ / Э 1 Э \
I -------— I — + - — о(х, Г) = 0, (27.9)
\Эх с Эг / \ Эх с Эг /
в котором мы записали оператор Даламбера в виде произведения двух сомножителей. Введем новые переменные
%=x-ct, rj=x+ct, (27.10)
так что обратное преобразование дает
x = U + j?)/2, г = (т?-$)/2с. (27.11)
Имеем
Э дх д dt Э Э 1 Э
2—- = 2----------+2--------------------—
Э$ Э£ дх Э£ dt дх с dt
и Э д 1 Э
2 — = — +-----------,
Эт/ Эх с dt
в результете чего уравнение (27.9) принимает вид
Э2ои,т?) -------- = 0. ЭОт?
Решая последнее уравнение, получаем
(^, т?) Эт?
= FW,
а интегрируя еще раз по 17, неходим
и(%, т?) =0b?)+й($).
Здесь dg!dr\ = F (17) , a h ({•) играет роль постоянной интегрирования по 17, которая может зависеть от второй переменной как от параметра. Вид функций д и h не определяется из решения уравнения и должен быть установлен путем задания начальных условий. Возвратившись к исходным переменным, получим
u(x,t)=g(x +ct)+h(x-ct). (27.12)
Решение представляет собой наложение двух возмущений, каждое ' из которых распространяется вдоль оси х (в сторону возрастания или убывания х) со скоростью с. Это следует из условия постоянства аргумента: x±cf= const. Точка с постоянным значением д или h перемещается по закону х = ± сг+ const. Такие возмущения называются бегущими плоскими волнами.
Определим теперь взаимную ориентацию векторов Е,Н,А в плоской волне. Из условия (27.В) следует:
ЭДЛ.
div Л =---- = 0.
Эх
Но поскольку х входит в аргумент А в линейных комбинациях х ±ct, последнее равенство дает Ах = const. Следовательно,
1 ЭДХ
Ех =----------= 0 и Нх - rot* А = 0.
с it
Проекции напряженностей поля на направление распространения отсутствуют — плоские электромагнитные волны в вакууме поперечны.
Последующие соотношения получим для волн, бегущих в одну сторону.
Полагая А (х, г) -А (х — ct), находим
1 ЭЛ ЭЛ
f = SC
с Эг Эх
Далее,
ЭД- ЭД., ЭЛ
м = , нг >- , Я = е,Х — ,
у Ъх Эх Эх
или
Н = п ХЕ. Е = НХ п. (27.13)
где п — единичный вектор в направлении распространения. Поскольку, как мы видели выше, fl л, то из (27.13) вытекает равенство абсолютных величин магнитного и электрического векторов:
Н = Е. (27.14)
В заключение вычислим вектор Пойнтинга:
7=—£ХЯ= — Е X (пХЕ) = — E2n=cwn. (27.15)
4тг 4тг 4тг
где w = Ег/4тг = (£2 + #2)/8я — плотность электромагнитной энергии в плоской волне. При выводе (27.15) использовано условие поперечности л • £ = 0. Формула (27.15) наглядно демонстрирует перенос электромагнитной энергии в плоских волнах со скоростью света с.
Нетрудно получить решения волнового уравнения и в виде сферических волн. При наличии сферической симметрии волновое уравнение вне области, занятой источниками, примет вид
Если искать решение в виде
то новая функция х (г, г) будет удовлетворять одномерному волновому уравнению
Э2х _ 2_ Э2х
Эг2 с2 Эг2
= 0,
решения которого уже были найдены. Таким образом, общее решение (27.16) имеет вид
Первое слагаемое описывает расходящуюся сферическую волну, распространяющуюся из начала координат со скоростью с . Ее амплитуда убывает, как г"*, в силу того, что заданный поток энергии распределяется на все большую площадь. Второе слагаемое описывает волну, испущенную на бесконечности и сходящуюся к центру.
§ 28. ПЛОСКИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
28.1. Амплитуда, частота и волновой вектор. Фаза плоской монохроматической волны. Среди бегущих плоских волн важное место занимают плоские монохроматические волны:
и(х. Г) =u0cos[Ar(x — ct) +^ol. (28.1)
где Ar,u0,^0 - постоянные, их значения определяются условиями возбуждения волны. В такой волне зависимость электромагнитного поля от времени в заданной точке пространства — синусоидальная. Величина ш = ск называется круговой частотой, к — волновым вектором (который в данном случае направлен по оси х). Аргумент косинуса $=к(х — ct) + ^0 называется фазой волны, постоянная и0 — ее амплитудой.
Нетрудно обобщить формулу (28.1) на случай, когда плоская монохроматическая волна распространяется в произвольном направлении относительно координатных осей. Запишем ее для электрического поля £:
E(r, t) = &0cos(fc • г - wt + (28.2)
Подставляя эту функцию в (27.4), имеем
dt2
= -w2E, АЕ=-к2Е,
так что волновое уравнение удовлетворяется при
со2 = (ск}2 или ы = ск. (28.3)
Последнее уравнение определяет закон дисперсии электромагнитных волн в вакууме. Из него следует, что фазовая vp и групповая vg скорости волн совпадают:
vp=~Z =с' vs = ~X ~с- (284>
Л ОК
Это означает, что скорости распространения волн не зависит от их частоты со, а волновые пакеты (суперпозиции плоских монохроматических волн с разными частотами) распространяются в вакууме без изменения формы.
Поверхность постоянной фазы ip=k-r — wt +^0 в некоторый заданный момент времени представляет собой плоскость, описываемую уравнением со
Г| = — t + const, (28.5)
к
где г и — проекция г на к. Плоскость постоянной фазы перпендикулярна волновому вектору к и перемещается вдоль к со скоростью г ц = ш/к = с. Частота и волновой вектор связаны с периодом изменения поля Т и длиной волны X известными соотношениями:
2тт 2тт 2яс
Г=----- , Х= — ------------
со к со
(28.6)
Ввиду линейности уравнений Максвелла и вытекающих из них волновых уравнений их решением является не только (28.2), но и более общая комплексная функция
E(r, t) =Е0 ехр(/А -r-iwt), (28.7)
действительной частью которой при Ео =S0 является (28.2). Иметь дело с экспонентой математически гораздо удобнее, чем с тригонометрическими функциями, поскольку применение дифференциальных операторов div, rot, Д, d/dt не изменяет ее вида:
div Е = ik-E, rotE = ikXE, ДЕ=—к2Е, -------- =-ОоЕ. (28.8)
„ 9f
Поэтому в электродинамике, как правило, пользуются комплексным представлением полей, имея в виду, что измеряемыми физическими величинами являются действительные части соответствующих комплексных выражений. Мы в дальнейшем также будем использовать преимущественно комплексные функции, обозначая их прежними символами,Е, И и т.д., во всех случаях, когда это не будет вызывать путаницы.
Следует, однако, помнить, что при переходе к энергетическим величинам, квадратичным относительно напряженностей поля, нужно использовать действительные поля. При вычислении средних по периоду поля 2тг/w значений квадратичных величин удобны следующие формулы:
если А = Аое 'шг и В = В ое~'шг, то
А2 = [Re(40e-/wr)l2 = 1Д012/2 = 1Д12/2, (28.9)
АВ = Re(4oe“/wr>Re(fioe-/wr ) = = */4Иово +Дово) = 1/2 Re(4fi*).
(28.10)
Вернемся к анализу свойств плоской монохроматической волны. Магнитное поле в ней должно зависеть от г и f по тому же закону (28.7), что и электрическое поле, иначе не будут удовлетворяться уравнения Максвел-лэ. (27.1):
Н(г, Г) =Яоехр(/Л -г-/сот). (28.11)
Подстановка (28.7),(28.11) в систему (27.1) позволяет получить связь между комплексными амплитудами полей:
Я0=лХ£0, £о=ЯоХл, л-£о=О л-Яо=О. (28.12)
Здесь п=ск!ы=к!к (28.13)
— единичный вектор в направлении распространения волны. Соотношения (28.12) означают, что векторы Е0,Н0, л образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов, причем модули амплитуд Ео и Но одинаковы: I Ео I2 = I Но I2 .
28.2. Преобразование частоты и волнового вектора. Эффект Доплера. Выясним закон преобразования фазы плоской монохроматической волны при переходе в другую инерциальную систему отсчета. Записав формулы преобразования напряженностей (10.3) в виде
foil»'*’ = ит.д..
мы видим, что они могут удовлетворяться в любой точке пространства — времени только при условии инвариантности фазы: у?' = у? - inv. Это связано с тем, что величина Ду>/2тг представляет собой число максимумов или минимумов поля между двумя пространственно-временными точками, которое не зависит от выбранной системы отсчета.
Из инвариантности фазы следует, что
к-г — cofeinv, (28.14)
а поскольку х'(сt, г) образуют 4-вектор, то частота со и волновой вектор к плоской монохроматической волны также образуют 4-вектор:
(28.15) \ с /
Закон преобразования к и со вытекает из общих формул (1.18) преобразования 4-вектора.
Найдем связь между частотой со0 волны в системе источника и частотой со той же волны в системе наблюдателя. Источник и наблюдатель движутся с относительной скоростью V. Запишем закон преобразования временных компонент к°:
(28.16)
со со/с — Vkxlc
с y/l -V2lc2' » w Полагая со =со0, кх =— cos 6, где в — угол распространения волны от-.
с
носительно V в системе наблюдателя, находим
со = СОо
\/l — V2/c2
1 - (Vic] cos 6
(28.17)
Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызванное относительным движением источника и приемника.
При Vic < 1 имеем
Дсо = со — соо ~ шо< V/c) cos в. (28.18)
Частота волны возрастает при сближении источника и наблюдателя (проекция скорости на направление луча Vh = Vcost? >0) и убывает при их удалении (1/ц < 0) (продольный эффект Доплера). Если относительная скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos в = 0), то уменьшение частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/c:
соо / V\2
Дш--------2 _) (28.19)
2 \ с /
- поперечный эффект Доплера.
Из формул преобразования волнового 4-вектора можно получить также закон аберрации света, уже рассмотренный в § 2.
28.3. Поляризация плоской волны. Здесь мы более подробно изучим свойства амплитуды Ео плоской монохроматической волны. При комплексном описании поля Ео - комплексный вектор, который может быть разложен на два действительных вектора:
Eq —Eqi + /Eq2. (28.20)
В силу условий (28.12) Е01 и Ео2 должны быть перпендикулярны волновому вектору к, в остальном же они произвольны.
Выделим из (28.20) фазовый множитель е1*0 таким образом, чтобы оставшиеся два действительных вектора были взаимно перпендикулярны:
Ео = (£ i + i&2 )е'*’в. £ i • £2 = 0. (28.21)
—> —>
Выразив из (28.21) £j и£2,
—>
£ 1 - Eq j COS (^q + Eq 2 sin , (2g 22)
® —Eq j Sin t^Q + Eq2 COS
—> —* получим из условия перпендикулярности &2 = 0значение фазы ^0:
22Tq 1 • Eq2
tg2^0= с2 "2 ' • (28-23)
£ 01 -£02
После этого действительная часть Е, т.е. наблюдаемое поле, запишется в виде
Е- &1 cos (Л - г - wt + ^0) + &2sin (к - <ot + *р0)- (28.24)
Выбрав оси х и у вдоль векторов £t и £2 соответственно, найдем уравнение кривой, которую описывает конец вектора Е:
£2/£? + Е2у/&22=1. (28.25)
В общем случае это — эллипс с полуосями £i и £2, т.е^ поляризация волны эллиптическая. В зависимости от того, составляют ли £1( &2, п правую или левую тройку векторов, направление вращения называется соответственнс левым или правым. (Исторически сложившаяся терминология противоположна той, которая была бы более естественной).
Магнитный вектор также описывает эллипс, оси которого повернуты относительно осей электрического вектора на тт/2, а направления вращения ЕнН совпадают.
При £( = £2 эллиптическая поляризация вырождается в круговую, которая также может иметь два направления вращения. При £t #=0, £2 =
= 0 или & t = 0, &г Ф О поляризация становится линейной — электрический и магнитный векторы колеблются вдоль фиксированных взаимно перпендикулярных направлений. Подчеркнем, что при заданном к возможны две независимые поляризации плоской монохроматической волны — эллиптическая (в частном случае — круговая) с правым и левым направлениями вращения или две линейные поляризации во взаимно перпендикулярных направлениях.
§ 29. НЕМОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Переменные электромагнитные поля, создаваемые реальными источниками, как правило, в той или иной степени являются немонохроматическими. Предположим, что поле в данной точке может быть разложено в интеграл Фурье. Запишем это разложение, обобщая формулу (28.1), в виде
1 °»
U (г) ----/ w(w)cos[i^(w) — <ot]dco. (29.1)
2я о
Здесь U'(t) — какая-либо декартова компонента векторов Е, Н или А, являющаяся действительной величиной. Фактически в разложение (29.1) основной вклад обычно вносит некоторая конечная область частот со, которая определяется видом функции с/(со) .
В данном случае, как и для монохроматических волн, удобно комплексное описание поля. По аналогии с (28.7) свяжем с полем (29.1) комплексную функцию
1 оо
t/(r) = --J c/(co)exp[Ap(co)-/cotldco, (29.2)
2я о
причем
U(t) = U'(t) + HJ"(t). (29.3)
Мнимая часть
1 °°
U"(t) = --f и(со) sin [уг(со) — cor] dco (29.4)
2ff о
однозначно определяется действительной частью U'(t), так как она получается из последней путем замены фазы i^(co) каждой фурье-гармоники на цр(со) -тг/2.
Величина U{t} называется аналитическим сигналом. Она часто используется в теории волновых полей, теории колебаний, радиотехнике и др. Характерной особенностью функции U{t} является то, что она содержит гармоники Фурье только с положительными частотами. Следовательно, если U(t) ограничена при всех действительных t (т.е. интеграл по w в (29.2) сходится), то она останется ограниченной и при комплексных значениях t = t' + it", лежащих в нижней полуплоскости (t" < 0). В самом деле, заменяя в (29.2) t на t’ + it", мы получим под интегралом дополнительный множитель ехр (сог"), который при t" < 0 только усилит сходимость интеграла по со. Это показывает, что функция U(t), рассматриваемая при комплексных t, аналитична (не имеет особенностей) в нижней полуплоскости.
Аналитичность U(t) в нижней полуплоскости комплексного t позволяет установить простую интегральную связь между U'(t) и U"(t). Для
этого рассмотрим интеграл (295) по замкнутому контуру С (рис. 29.1), при этом точка t' = t обходится по дуге малой полуокружности снизу. Поскольку U(t') и (г* - г)-1 не имеют особенностей внутри контура интегрирования, этот интеграл обращается в нуль:
„ Иг') ,
f ------dt =0. (29.5)
с t -t
Интеграл по дуге большого круга обращается в нуль ввиду быстрого убы-вения U(t') при г' -*» в нижней полуплоскости. Интеграл по малой полуокружности с вычисляется непосредственно и деет полувычет подынтегральной функции:
U(t')
f -----dt = /яU(t). (29.6)
с t - t
Наконец, оставшийся интеграл по действительной оси с исключенной точкой должен вычисляться в смысле главного значения, т.е. из интегрирования исключается отрезок (t - р, t + р) действительной оси, причем р ->0. В итоге, учитывая (29.6), приведем (29.5) к виду
+ ” (У(г')
/я4/(Г) + / -------dt = 0. (29.7)
— “> t — t
Резделив в (29.7) действительную и мнимую части, найдем искомые соотношения между ними:
, 1 и"^'1 , „ 1 V и'^ ,
U'(t) =----f ---------dt', U"(t) = ~~i ---------dt'. (29.8)
Я f — t Я —“ t — t
Соотношения (295), связывающие действительную и мнимую части некоторой комплексной функции действительной переменной, в матеметике носят название преобразования Гильберта. Они играют важную роль в
физике (см., например, § 5 части II этой книги) и называются обычно дисперсионными соотношениями, так как впервые были исследованы в теории дисперсии света.
Более удобной, чем (29.1), является комплексная форма записи фурье-разложения действительной функции U'(f):
1 +00
U'(t) =---f v(cj)e-Zwfdw, (29.9а)
2я —«
v(w)= +f°U'(t)eicjrdt, (29.96)
где интеграл (29.9а) действителен, так как
k(-w) = k*(w). (29.10)
Переписав (29.9а) в виде
1 00
(/(г) =--f [и(а?)е_ 1шг + n*(w)e/GJ,]dw
2тг о
и сравнив эту запись с (29.1), найдем связь между действительной u(w) и комплексной и(о>) амплитудами Фурье:
u(w) = 2K(w)e-/*’(w). (29.11)
Последнее соотношение позволяет записать разложение Фурье аналитического сигнала в виде
1 00
6/(t) = — / v(u)e~'“rdu. (29.12)
тг о
Оно по-прежнему, разумеется, содержит только положительно-частотные гармоники Фурье.
Разложение Фурье позволяет найти спектральный состав энергии немонохроматического электромагнитного поля. Рассмотрим, например, полную энергию И/ плоской электромагнитной волны, прошедшую через единичную площадку, перпендикулярную л, за все время существования волны. На основе (27.15) имеем
W= — +f E2(t)dt. (29.13)
4тг —
Отождествив действительную величину £(r) с с помощью (29.9) получим
/ E2lt}dt= ——- f du f du'v(u} и(ш') f e- 1(ш + dt =
_<» (2тг)2
----- f du f du'v(u) и(ш') 6(w + w'). (29.14) 2тг —04 —о®
Здесь мы использовали предстевление 5-функции (Д. IV.21). Учитывая далее (29.10) и выполняя интегрирование по du' с помощью 6-функции, неходим
/ E2(t}dt = — f | и(ш) |2dw =—г f |Hw)l2dw. (29.15)
—ж. 2тг —тг о
Таким образом, вновь обращаясь к (29.13), мы видим, что
^=—7 f !?(<*>) I2du. '29.16)
4тг2 о
Поэтому величина
dW^ с
-------- ------- — I и(сс) |2 (29.17) du-------------------------------------------------------------4тг
может рассматриваться как спектральная плотность потока электромагнитной энергии. Интегрирование (29.17) по всем (положительным) частотам дает полную энергию W.
Легко проверить, что рассмотренную выше энергию поля легко выразить и через комплексную функцию U(t} — аналитический сигнал. С помощью (29.12) убеждаемся, что
7° £2(t)dt = +/ U'2(t}dt = —~ +f° U*(t)U(t)dt. (29.18)
—*оо — оо 2 —~°О
Это представление приводит к прежнему спектральному разложению (29.15).
Понятие аналитического сигнала оказывается весьма полезным при попытке представить реальное немонохроматическое поле U'(t) в виде синусоидальной волны с медленно меняющейся амплитудой. Записав U'(t) в виде
U'(t) = Д(г)со$[Ф(г) - wod, (29.19)
где w0 - некоторая заданная "центральная" частота, мы должны указать критерий, по которому одна заданная функция U'(t) расщепляется на две-амплитуду Д(г) и медленно меняющуюся часть фазы Ф(Г). Использование аналитического сигнала позволяет сформулировать такой критерий.
Представим аналитический сигнал U{t), действительной частью которого является (29.19), в виде
U(t) = Д(г)ехр[/Ф(г) -/ы0Г] (29.20)
с положительной амплитудой Д(Н > 0. Согласно (29.12) и (29.20),
1 °°
А(Г)ехр[7Ф(Г)] =----J u(w)exp[7(w0 — w)t]t/w =
я о
1 °°
= ----- f a(e)e~letde, (29.21)
2тт
где е = w — w0, а(е ) = 2u(w0 + е ). Если полоса частот Дш, определяющая фурье-разложение U(t), достаточно узка, Дсо < соо, то гармоники, входящие в разложение (29.21), будут низкочастотными по сравнению с w0:
I е I Деи « wo (29.22)
Отсюда следует, что амплитуда A(d и фазовый множитель ехр [7Ф(Г) ] будут изменяться медленно по сравнению с exp(7wot) и поле (29.20) можно считать квазимонохроматическим. При выполнении (29.22) нижний предел последнего интеграла в (29.21) можно заменить на -°°, ошибка будет мала.
Амплитуду А (г) и фазу Ф(г) нетрудно выразить непосредственно через заданный аналитический сигнал £/(г) . Записывая (29.20) в виде (29.19) и
U"(t) = Xi(t)sin[Ф(Г) - wod ,
находим:
A(d= [t/'2(Г) +(/'2(d] 1/2 -- (t/*t/)l/2 = I U\,
U"(t) / U' - U
Ф(И = w0 f + arctg —-— = w01 + arctg I i —------
U'{t] \ (/*+(/
(29.23)
Приведенные формулы сохраняют силу при любой ширине спектра, в том числе и при До? соо, но само представление (29.20) полезно лишь для узкополосного спектра (29.22), когда А и Ф являются медленными функциями времени.
Важно отметить, что длительность сигнала во врамени просто связана с шириной Дш его частотного спектра. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим снова разложение (29.21). Пусть при |е | > Дш амплитуда Фурье а(е ) быстро убывает, так что фактически интеграл по de берется в пределах (— Дш, + Ды). При 11| 1/Да множитель е",£ ' будет слабо осциллировать в области интегрирования, и интеграл (29.21) будет заметно отличаться от нуля. Но при 111 > 1 /Д со число изменений знаков синуса и косинуса,на которые разлагается е~1е'будет велико на характерном интервале — Дсо < е < Дсо, и интеграл (29.21) будет мал при таких значениях t. Из сказанного следует, что длительность At сигнала U{t} и ширина его спектра Дсо удовлетворяют условию
ДгДсо^1. (29.24)
Сделанная выше оценка определяет написанное произведение только по порядку величины, точное его значение зависит от определения величин Дг и Дсо, а также от конкретного вида а(е ) или U(t). Но во всех случаях произведение Дг Дсо не будет сильно отличаться от единицы.
В качестве примера рассмотрим сигнал, генерируемый в некоторой точке затухающим источником излучения:
U'(t) = >40©(t)exp(-7t/2)cos(w0t), (29.25)
где 7 > 0 — постоянная затухания. Присутствие ступенчатой функции 0(г)(см. Д. IV.14) означает, что l/'(t) = 0 при t < 0. По изложенным выше правилам строим аналитический сигнал:
UM =y»o0(f)exp(-7t/2-/a>ot) , (29-26)
для которого
4(f) = До0(г)ехр(-7t/2), Ф(Г) = 0.
Находим амплитуду Фурье а(е):
а(е) = J AMeietdt = . (29.27)
О т/2 - /е
Согласно (29.15) распределение энергии по частотам будет пропорционально
Определим длительность сигнала l/(t) как время дг, за которое его интенсивность /(f) ~ I U(t) 11 уменьшится в е раз относительно максимального значения. Обращаясь к (29.26), находим ДГ“ 7"’. Если теперь определить ширину спектра Дш условием, чтобы спектральная мощность при расстройке е = Ди уменьшилась также в е раз, т.е. (а(До>) [2 = |а(0) |3/е, то Ды = 7х/е — 1 72 и
Дг Дш = х/е — 172,
что согласуется с общим результатом (29.24).
§ 30. КОГЕРЕНТНОСТЬ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
30.1. Описание некогерентного поля излучения с помощью корреляционного тензора. Время и длина когерентности. Большинство реальных источников электромагнитных волн состоит из большого числа независимых (некогерентных) излучателей, испускающих волны со случайными значениями начальных фаз и амплитуд, а также со всевозможными поляризациями. Таковы, например, тепловые и люминесцентные источники света, а также источники, в которых электромагнитные волны испускаются пуч-
ком быстрых электронов при торможении их в веществе или в магнитном поле. Значительно ббльшая степень согласованности достигается при излучении радиоволн антеннами или при излучении света оптическими квантовыми генераторами, в которых главную роль играет вынужденное излучение. Но и в этих устройствах возможны флуктуации фазы, амплитуды и поляризации из-за теплового движения частиц, спонтанного излучения и рассеяния на различных флуктуирующих неоднородностях.
Кроме того, каждый отдельный излучатель испускает немонохроматические волны. Поэтому поле, созданное реальными источниками, во многих случаях имеет очень сложную структуру: значения поля меняются непредсказуемым, случайным образом в пространстве и во времени. Такие поля называются случайными.
Для задания случайного поля нужно указать некоторые усредненные величины, характеризующие такое поле. Способ усреднения тесно связан со способом измерения соответствующих величин. Чаще всего измерительные приборы производят усреднение по времени. Промежуток усреднения Дг должен выбираться так, чтобы он превышал периоды всех основных гармонических составляющих случайного поля. При таком усреднении среднее значение поля излучения обратится в нуль:
Ea{r. г) = 0. (30.1)
Отличным от нуля будет корреляционный тензор II ранга:
fi: fi, f2) = Ea(/\r ti }Ep(r2, f2), (30.2)
где Ea — комплексная функция (аналитический сигнал), описывающая поле. Для полного описания случайного поля следует, вообще говоря, задать и бесконечную совокупность корреляционных тензоров более высоких рангов, но при решении многих задач можно ограничиться тензором II ранга. Что же касается усредненных характеристик магнитного поля, то их можно выразить через соответствующие значения электрического поля с помощью уравнений Максвелла. При совпадающих аргументах (rt - т2, Г] = t2, a = 3) тензор (30.2) пропорционален энергии, заключенной в а-й компоненте электрического поля.
Для того чтобы усредненный тензор (30.2) остался функцией времен fi, fi, усреднение нужно производить следующим образом:
1 дг/2
^aelri, ft; г2, ti) =f Еа(г!,ц+t')E0(r2, t2+t')dt'. (30.3)
ДГ -Дг/2
Часто, особенно при измерениях в оптическом диапазоне, усреднение типа (30-3) осуществляется в процессе измерения за счет инерционности измерительного прибора. Времена срабатывания детекторов оптического излучения составляют 1О“10 — 10-12с, тогда как периоды оптических колебаний - порядка 10-ls - 10-16с.
Мы в дальнейшем будем интересоваться только стационарными случайными полями, усредненные характеристики которых не изменяются со временем. Это означает, что Ja$ будет зависеть только от разности времен т = ti — t2, но не от начала их отсчета:
Jafilri, ti; r2, t2}=Ja^i,r2,T}. (30.4)
Если случайное поле однородно также и в пространстве, т.е. его средние (но не мгновенные!) характеристики не зависят от координат, то и радиус-векторы г 1, г2 войдут в Ja$ только в виде разности Г = Г J - г2. Такими свойствами, например, обладает поле теплового излучения в замкнутой
9. М.М. Бредов
129
полости. Но поле, создаваемое источником конечных размеров в свободном пространстве, неоднородно.
Для случайных полей корреляционный тензор JQ.^(ri, г2, г) обычно достаточно быстро убывает с ростом т. Пусть, например, поле излучения создается тепловыми источниками — атомами, возбужденными в случайных столкновениях друг с другом. Каждый атом испускает немонохроматическую волну конечной длительности rcoh (волновой пакет) в случайные моменты времени, поэтому волновые пакеты от отдельных атомов взаимно независимы. Излучение же каждого отдельного атома когерентно в течение времени rcoh испускания отдельного волнового пакета.
Фиксировав некоторую точку пространства Г1 = г2 = г, рассмотрим среднее:
£a(r, t + т)£р(г, t) = Japir, r, r) . (30.5)
Нетрудно сообразить, что это среднее будет отличаться от нуля только для таких значений т, которые меньше или порядка длительности отдельного волнового пакета, rcoh. Если же r> rcoh, то усредняться в (30.5) будут поля различных волновых пакетов, независимые друг от друга. Между ними будет отсутствовать заметная корреляция, и среднее от произведения можно будет заменить произведением средних:
Japlr. г, г) « £a(t + т) • Epit) = 0, т > rcoh.
Время г, в течение которого тензор Jap заметно отличен от нуля, называется временем корреляции или временем когерентности компонент поля £а и Ер. Это время можно определить и формально, например, следующим образом:
1 “
’’coh = ----------f Г, T)dT. (30.6)
Japir, Г, 0) О
Оно может быть, вообще говоря, различным для разных пар компонент, но мы в дальнейшем для простоты будем считать его одинаковым для всех составляющих поля.
Зависимость корреляционного тензора Jap от координат носит аналогичный характер: с ростом разностей— х2. yt - у2, zt — z2 корреляция ослабляется. Можно по аналогии с (30.6) ввести корреляционные длины (длины когерентности) Iх, 1у, 1г. Они по порядку величины равны пространственным размерам волновых пакетов, в пределах которых отдельные фурье-гармоники поля связаны по фазе. В однородном и изотропном поле излучения корреляционные длины по всем направлениям одинаковы, а тензор Jap зависит только от разности rt — г2. В таком поле /Соь ^ст’соь, тек как размер волновых пакетов в пространстве порядка crcoh, а корреляция будет сильно ослаблена., если поля в точках г i и г 2 будут принадлежать разным волновым пакетам.
В анизотропном поле излучения, например, когда волновые пакеты испускаются некоторым далеким источником и движутся все в одну сторону, соотношение ^oh «= crCOh будет справедливо только для продольной (в направлении распространения) длины когерентности. Поперечная длина когерентности в этом случае определяется другими факторами и не связана прямым образом с тсоь.
Для строго детерминированного процесса, каким является в стационарном случае плоская монохроматическая волна, длина и время когерентности бесконечны. Но для всех реальных процессов они имеют конечные
значения. Так, обычный тепловой источник света (например, натриевая лампа) имеет характерное время когерентности тсоь == 10"* °с и соответствующую длину когерентности /ц = стсоь *=3 см. Газовый гелий-неоновый лазер, работающий в непрерывном режиме, имеет время когерентности ’’coh = 0-02 — 0,002 с, и длину продольной когерентности /ц = 60 - 600 км.
Усреднение по времени (30.3) часто заменяют усреднением по ансамблю всевозможных реализаций случайного поля. Представим себе большое (в пределе - бесконечное) число невзаимодействующих макроскопических систем, тождественных исходной, т.е. состоящих из одинаковых источников излучения вместе с той частью пространства, в которой это излучение распространяется. Такая совокупность макроскопически тождественных физических систем называется ансамблем. Из-за случайного характера излучения электромагнитных волн значения полей Е’а, Е1^, ... в эквивалентных точках пространства в один и тот же момент времени у разных систем будут, вообще говоря, различными:
Ealr, г) E'alr, г) £a"(r, t) ...
Среднее по ансамблю (или статистическое среднее) - это среднее арифметическое ,
<£alri,ti)Ee(r2,t2)>= hm-------------
лг-«
N
(30.7) где N — полное число систем ансамбля. Для произвольных излучающих систем нет оснований считать, что усреднение по ансамблю (30.7) и по времени (30.3) дают одинаковые результаты. Однако для широкого класса случайных процессов, в том числе для многих реальных излучающих систем, средние по ансамблю и по времени (при достаточно большом времени усреднения) совпадают. Такие системы называются эргодическими.
Условие эргодичности > для стационарных случайных полей требует достаточно быстрого ослабления корреляции с ростом т:
1
I im ----J Jaa (г, г, T}dr = 0.
д t — «> Д г о
При теоретическом анализе случайных полей, как правило, пользуются статистическим усреднением. Мы в дальнейшем также будем производить усреднение по ансамблю, считая рассматриваемые поля излучения эргодическими. В условиях эргодичности полученные таким образом результаты будут совпадать со средними по времени, которые измеряют детекторы излучения.
30.2. Влияние временной и пространственной когерентности на интерференцию волн. Возможность получения картины регулярного усиления и ослабления волн в пространстве и во времени при их интерференции (наложении) тесно связана с их когерентными свойствами. Из качественных соображений ясно, что регулярная интерференционная картина будет наблюдаться, только если разность фаз отдельных гармоник с одинаковыми частотами остается приблизительно неизменной за время наблюдения, т.е. колебания являются когерентными.
Связь временной когерентности с интерференционной картиной можно проследить с помощью интерферометра Майкельсона, схема которого
*• Доказательство эргодической теоремы и ее более точную формулировку можно найти в книгах [80, 81 ].
изображена на рис. 30.1 Луч света от небольшого источника S. состоящего из независимых излучателей (возбужденных атомов), делится полупрозрачным зеркалом 3 на два луча, лучи 1 и 2. Эти лучи в свою очередь отражаются от зеркал 3lz 32 и смешиваются в области 12, создавая интерференционную картину (чередование темных и светлых полос) на экране Э. Меняя длины путей и s2, можно вводить временную задержку (разность хода) между интерферирующими колебаниями.
Выясним условия появления интерференционной картины в описанной установке. Пусть каждый атом излучает квазимонохроматическую волну (волновой пакет) длительностью тсо(1 в интервале частот Дш. Поскольку волновые пакеты от разных атомов имеют случайные начальные фазы, то при наложении таких пакетов интерференционной картины не образуется— максимумы и минимумы поля отдельных пакетов будут накладываться случайным образом. Интерференция возникает при наложении полей, генерируемых одним атомом и прошедших разные пути s( и s2. Но для того чтобы такое наложение было возможно, время задержки т = (st — s2)/c не должно превышать длительности волнового пакета — в противном случае его часть, распространявшаяся по более длинному пути, дойдет до экрана, когда вторая часть уже поглотится экраном или отразится от него.
Максимальное время задержки, при котором еще наблюдается интерференционная картина, не должно превышать длительности отдельного волнового пакета, которое и есть время когерентности:
T^Tcoh == 1/Дш. (30.8)
Здесь время когерентности на основе соотношения (29.24) выражено через спектральный интервал волн, испускаемых отдельным атомом.
Рассмотрим теперь интерференционный эксперимент в другой постановке (опыт Юнга). Пусть квазимонохроматический свет от некоторого теплового источника конечных размеров а (рис. 30.2), пройдя через две щели D t и D2 в непрозрачном экране, создает на другом экране Э интерференционную картину. Стабильную интерференцию могут создать только волны, испускаемые одним и тем же атомом, так как излучение разных атомов некогерентно. Для наблюдения интерференции от всего протяженного источника необходимо, чтобы интерференционные картины от отдельных атомов складывались примерно с одинаковыми фазами. Найдем соответствующие условия.
Пусть расположение диафрагм, источника и экрана симметричное, как показано на рис. 30.2. Пусть, далее, расстояние до источника велико:
R > а и R>lL.
Относительный сдвиг в пространстве двух пучков света, прошедших через щели Di и D2, определяется разностью путей I PD t - PD2 | . Интерферен
ционные картины от разных атомов будут усиливать друг друга, если указанная разность путей не будет превышать длины волны излучения X 0 для всех атомов-излучателей, независимо от их расположения на поверхности источника.
Очевидно, что максимальное значение I PDt - PD2 | будет достигаться для атомов, находящихся на краю источника. Записав
(PDt )2 = R2 + (lL - а)2/4, (PD2 )2 =R2 + (4 + а)2/4,
получим
| PDi - PD2 I « alJ2R и al JR £ Xo.
где в последнем неравенстве, справедливом по порядку величины, опущен множитель 1/2. Итак, интерференционная картина будет наблюдаться при расстоянии между щелями, не превышающем
4 coh ^\>R!a, (30.9)
которое играет в данном случае роль поперечной длины когерантности. Величина
А = (4coh)2 ^^R2/S (30.10)
представляет собой "площадь когерентности", а произведение
А У ~ /|| coh* СТсоьА (30.11)
называют объемом когерентности. Здесь S ~ а2 — площадь поперечного сечения источника.
При квантовом описании свет (и вообще любое электромагнитное попе излучения) представляет собой совокупность фотонов — квантов электромагнитного попя. Энергия каждого фотона частоты w равна h ы, где h — постоянная Планка. Важной характеристикой когерентных свойств попя является параметр вырождения б, который равен среднему числу фотонов, находящихся в одном и том же состоянии поляризации внутри объема когерентности, т.е. среднему числу фотонов данной поляризации, пересекающих площадь когерентности за время когерентности.
Пусть 1Ш — среднее число фотонов, испускаемых в единицу времени единичной площадкой поверхности источника в единичном интервале частот и в единичном телесном угле нормально к поверхности источника. Если оба возможных направления поляризации представлены равновероятно,то
6 = 14 /WS До» Д12 rcoh,
где Д12 = А!Нг — телесный угол, под которым площадь когерентности видна из источника. С помощью (ЗО.В) и (30.10) будем иметь
2f’c’
6 • ----- /w. (30.12)
w1
Записанный в такой форме параметр вырождения не зависит от геометрии и характеризует только свойства источника излучения.
Из определения б следует, что чем больше этот параметр, тем бопее когерентным является попе данного источника. Для тепловых источников света наибольшее значение б порядка 10"’, т.е. б< 1. Для лазерных источников б > 1 и может достигать значений порядка 1014.
Найдем количественную связь между интерференционной картиной, которая наблюдается на экране интерферометра Майкельсона или в опыте Юнга, и корреляционным тензором поля излучения. Будем считать для простоты, что свет поляризован линейно и при распространении его поляризация не меняется. Тогда поле излучения можно описывать скалярной комплексной функцией U(r, t). Поле в точке Q (см. рис. 30.2) представляет собой результат наложения полей на отверстиях Dt и D2. Его можно
записать в виде
U(r, г) = ai Uk\. t- ti) + a2U(r2, t- t2), (30.13)
где ti = Si/с и t2 = s2/c — времена распространения возмущений из Di и D2 в О; а{ и а2 — "коэффициенты передачи", вообще говоря, комплексные, зависящие от размеров и формы отверстий. Их фазы мы в дальнейшем будем считать одинаковыми.
Интерференционная картина на экране будет определяться интенсивностью поля /(г) — усредненным по ансамблю квадратом модуля < U\r, Г) U{r, г)> = / (г). Ввиду предполагаемой стационарности источника величина / не будет зависеть от времени. С помощью (30.13) получаем
/(г) = | Р/(Г!) + |а2 l2/(r2) +2|aja21 Re Г(г1(г2, т). (30.14)
Здесь r = ti - t2 = ($i -з2)/с, комплексная величина
Г(г 1, г2, т) = < U* (г 1, t)U(r2, t + тГ) (30.15)
называется взаимной функцией когерентности. Она представляет собой скалярный вариант корреляционного тензора, рассмотренного в п.30.1 (или отдельную диагональную компоненту указанного тензора). Интенсивности света в точках г/, /=1,2, связаны с взаимной функцией когерентности соотношением
/(Гу) = Г^/.Г;, 0). (30.16)
Интенсивность поля в точке О, создаваемая одним отверстием (когда второе отверстие закрыто) дается выражением
//(г) = |а/|2/(г/). (30.17)
Определим также нормированную функцию взаимной когерентности 7(гь г2, т), которую называют еще комплексной степенью когерентности: rtrj.ra.r)
' ,30',В1
Запишем интенсивность поля в точке Q через интенсивности волн, прошедших через каждое из отверстий по отдельности:
/(г) = /1 (г) +/2(г) + 2[/| (г)/2 (г)] 1/2Re7(r1(r2, т). (30.19)
Для квазимонохроматического света, у которого Дш<ш, зависимость г) от времени будет определяться в основном множителем ехр (-/шг). Амплитуда А(г) и добавка к фазе Ф(Г) (см. (29.20)), будучи для некогерентного света случайными функциями, изменяются тем не менее значительно медленнее, как ехр (—/Дшг). Поэтому, если записать
7^1, гг, т) = I 7(г2, г2, т) | ехр[/а(г!, г2, т) - /шт], (30.20)
то 7 и ехр (/а) будут медленными (по сравнению с ехр(-/шг)) функциями т, они существенно изменятся только за время т тсо11, тогда как ехр(— /шг) сильно изменяется за период оптических колебаний.
Использовав (30.20), перепишем (30.19) в виде
/(г) = /ц (г) + /2 (г) + 2[/, (г)/2 (г)]1/2 l7|cos(a- шт). (30.21)
С учетом сказанного выше о медленности изменения | ?| и а мы видим, что cos (а — шт) при т^Тсо), меняется в основном за счет шт. Следовательно, при перемещении точки Q по экрану и при изменении разности Sj - s2 =
= ст интенсивность освещенности экрана будет изменяться в пределах от /тах0’) = /1 +6 + 2(/1/2),/2|у| (30.22)
ДО
= + /2 -2(/1/2)1/2171. (30.23)
Поскольку / > 0 при любом соотношении между и /2, то из (30.22) и (30.23) следует, что модуль комплексной степени когерентности может изменяться в пределах
0< lT'(r1,r2, г) 1. (30.24)
Определим контрастность (видность, видимость) интерференционной картины в данной точке г параметром
2^ ~ ((max — ^min)/((max + /min) • (30.25)
Из (30-22), (30.23) имеем
|y(r1(r2,r)|. (30.26)
В частности, при /1 = /2
?i = ly(ri,r2, т)1. (30.27)
т.е. контрастность интерференционных полос, измеряемая на опыте, равна модулю комплексной степени когерентности.
Фазу комплексной степени когерентности можно измерить по положению максимумов интенсивности интерференционной картины. Согласно (30.21), положение максимумов определяется условием
(®i — s2 \ 2тт
rt ,гг, --— I —=- (si — s2) = 2m п, m - 0, ± 1, ... (30.28)
с/Х
Интенсивности /1 и /2 — также измеримые величины. Таким образом, функцию взаимной когерентности Г(г 1, г2, г) можно (по крайней мере, в принципе) определить по наблюдаемой интерференционной картине и по измеренным интенсивностям /2.
Возвращаясь к выражению (30.19), мы видим, что при I у I - 0 не возникает никаких интерференционных полос, экран освещен равномерно. Это означает, что два световых пучка, достигающих экрана из отверстий и D 2, полностью некогерентны. Если I у I = 1, то интерференционные полосы обладают максимально возможной контрастностью, а интенсивность поля излучения в минимумах освещенности падает до нуля. Оба пучка полностью когерентны. В промежуточных случаях, 0 < | у I < 1,они частично когерентны.
Если в опыте Юнга (см. рис. 30.2) наблюдать интерференционную картину вблизи оси симметрии системы (в точке 0, т = 0) при различных расстояниях между О] и О2, т.е. меняя разность — г2, то по исчезновению интерференционной картины можно определить поперечную длину когерентности /ioh- Такой опыт позволяет исследовать пространственную когерентность поля излучения, т.е. функцию y(ri, г2, 0). В интерферометре Майкельсона (см. рис. 30.1), наоборот, исследуется временная когерентность и измеряется временная корреляционная функция у(г, г, г). Здесь координаты г j = г2 = г задаются положением зеркала 3, которое делит свет на два пучка для введения временной задержки между ними.
В заключение запишем интенсивность (30.21) в форме
/= (1 - l?l) (/1 + /2) + lyl{/i +/2 + 2(/,/2)1/2cos(a-шт)}. ,30.29)
Мы видим, что поле в точке Q можно представить как смесь полностью некогерентного и полностью когерентного света. Первый имеет интенсивность (1 — I 71 ) (/i + /2), а второй представляет собой полностью когерентную смесь двух пучков с интенсивностями | у | /2, | у |/2 и разностью фаз а-шт.
30.3. Частичная поляризация электромагнитных волн. Выше при рассмотрении интерференционной картины мы пользовались скалярной функцией взаимной когерентности. Однако при изучении поляризационных свойств частично когерентного света нужно рассматривать полный корреляционный тензор Ja£.
Пусть поле излучения представляет собой поток квазимонохроматичес-ких некогерентных волн, распространяющихся вдоль оси г. Тогда тензор Jap имеет только 4 компоненты, индексы а, /3 принимают значения 1, 2. Полная интенсивность поля в точке г будет равна сумме диагональных компонент тензора Ja0. взятого при rt =г2 =г и tt = t2 = t:
/(r)=Jaa(r,r,0). (30.30)
Здесь предполагается, что поле стационарно, интенсивность не зависит от времени.
Рассмотрим вначале некоторые частные случаи.
1. Полностью неполяризованный свет. Все направления колебаний в плоскости ху равновероятны, тензор Jap инвариантен относительно поворотов вокруг оси г. Это означает, что Ja^ пропорционален единичному тензору 6а^:
^ = 1/2/б^- (30.31)
Величина / представляет собой полную интенсивность света.
2. Плоская монохроматическая волна. Используем формулы (28.7) и (28.21). В осях, направленных вдоль взаимно перпендикулярных действительных векторов & i, &2 будем иметь
i /&1 &2
J
(30.32)
Такой тензор при произвольных , &2 описывает волны с эллиптической поляризацией.
Линейно поляризованным волнам отвечают тензоры
0
1
/ 1
(/03) “ м
\ о
и
/ 0
(Л1(з) ~ ! (
(30.33)
циркулярно поляризованным —тензоры с мнимыми диагональными компо нентами
1
i \
I и 0 /
(30.34)
где всюду / - полная интенсивность. Характерной особенностью тензоров (30.32)-(30.34), описывающих полностью поляризованную волну, является обращение в нуль их определителей:
Ma/3 I = М22 — Ml 2 I2 ~ 0. (30.35)
При частичной поляризации волн | Ja0 | #= 0, хотя, по-прежнему, тензор Jap эрмитов: Jap =^0а- Представим его в виде суммы двух тензоров,
(30.36) из которых один .(») - Л/ 1п Ja& _ I -2 \ 0
D
С
(30.37)
(30.38)
° \ !п / описывает полностью неполяризованную, а второй
Jae " 2 \ D
— полностью поляризованную волну. Имеем на основе (30.36)— (30.38) ln+B=2Jn, D = 2Jl2, D*=2J2i, l„+C=2J22.
Требуя, чтобы было
В>0, О 0 и BC-DD’=0
(условие полной поляризации), получаем уравнение для /„:
(2Ji 1 — /„) {2J22 — 1п) — 47] 2J2 j = 0.
Отсюда находим
!п ~ Л 1 - "'JUw —•Л2)2 + 4 |7] 2I2
Решение со знаком минус перед корнем дает
В = J\ 1 — J22 + х/Mi 1 — J2г)2 + 4|712 I2 0,
С = J2 2 — 1 + \/Ui 1 — ^22 )2 + 4 17] 2 |2*> 0, тогда как решение со знаком плюс дает SCO, С СО и отброшено.
Полная интенсивность волны
/ = /„+’/г(8 + С)=711 +J22, а интенсивность полностью поляризованной волны
/р = Уг(В + С) = VU1 1 -J22? +4U12 I2’ = х/Мм +^22 )2 -4|Ja<?|'.
(30.42)
Свертка Jaa = Ju + J22 и определитель I Ja$ | - величины, инвариантные относительно поворотов, поэтому разделение полной интенсивности на 1„ и /р не зависит от выбора осей х и у в плоскости, перпендикулярной Ог. Отношение интенсивности полностью поляризованной волны к полной интенсивности называется степенью поляризации Р исходной волны,
/
(30.39)
(30.40)
должно быть
(30.41)
4 I Ja{j | Mil +*^2 2 )2
а величина р = 1 — Р — степенью ее деполяризации. Нетрудно убедиться, что 0СРС1, 1>р>0. (30.44)
Возможно и другое представление тензора поляризации. Найдем его
собственные значения /М\ Л2> и собственные векторы е^’\ ej'\ кото-137
(30.43)
рые мы выберем нормированными, e^^e^ = 1. Для этого составим и решим уравнение
Аз б/з = Zea. (30.45)
Собственные значения Z<*12 > можно найти из равенства нулю определителя
I Jap ~ l^ap I = О, откуда получаем
/<1 2) = ’AU)! + л2) ± %VVn + Аг)2 -41 Аз I'. (30.46)
Собственные значения Z<’\ Z^2^ в силу зрмитовости Аз действительны и, вообще говоря, различны; равенство Z( 1 = Z<2), как следует из (30.42), возможно только в одном случае: Ju = Ju, J\i = 0. Этот случай соответствует полностью неполяризованному полю с тензором (30.31).
Собственные векторы ер\ е„2^ при Z^1^ =# Z<2^ взаимно перпендикулярны. Чтобы убедиться в этом, преобразуем (30.45) к следующим формам: /0)е(Ое-(2) =е*(2)/ „e(D /(2)р(1)р-(2) = е<,>/» е*(2) ' еа еа еа Jap ер > ' еа еа еа Jaf} ер
Составляя разность последних двух равенств, найдем (/О_/(2))е(.)е.(2) = е.(2)7а/зе(1)_е.(2^а е(О = 0( где мы воспользовались эрмитовостью Аз- Отсюда е(,)е*(2) = 0. (30.47)
Разложим Jap по собственным векторам е^\ е^2). Записав
J й=/<1)р(1)р«(1) + /(2)р(2)е«(2)
*'аЗ J еа ер т J еа е0 и использовав свойство ортогональности (30.47), получим с помощью (30.45)
/,)=е;(1)Азе<,)=/(,), 7(2) = еа*<2)Азе<2) = /(2)-
Комплексные векторы е<*\ е<2> в общем случае, как мы видели в §28, описывают эллиптически поляризованные волны, поэтому представление
Jap = l(i)e^e^ + Z<2>e<2>e;<2> (30.48)
можно рассматривать как некогерентную суперпозицию двух волн с эллиптической поляризацией. Записав его в виде
Jap-I(2}^e^ + е<2>е;<2>) + (Z<»> - Z<2>)e<»>e;<1>, (30.49)
учитывая,что 5аз = + е^2^е^2\ и сравнивая с (30.36),находим
Z„=2Z(2), Ip = Z(1)-Z(2). (30.50)
Слагаемое дает представление полностью неполяризованной волны в виде некогерентной суперпозиции двух поляризованных волн одинаковой интенсивности.
тензора поляризации: 2/(2)
Р= /<О + /<2> ’
Степени поляризации и деполяризации можно выразить через собственные значения /<2) /(1) _/(2)
Р= 7<*> + /<2)
(30.51)
Тензор поляризации иногда выражают через полную интенсивность / и параметры Стокса (а = 1, 2,3):
г —L( 1 + ?3
Jqq I
2 \ ь +/ь
£ 1 - 'Ъ
1-h
(30.52)
Компоненты Jup и параметры Стокса нетрудно определить по измеренным значениям интенсивности, связанным с проекциями вектора Е на разные оси в плоскости ху.
§ 31. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В § 28 мы установили, что плоские монохроматические волны являются возможными типами колебаний электромагнитного поля в вакууме, которое представляет собой, таким образом, колебательную систему с бесконечным числом степеней свободы. Ниже мы введем нормальные (главные) координаты этой колебательной системы и запишем уравнения поля в гамильтоновой форме. Такой подход оказывается удобным при решении многих задач о взаимодействии заряженных частиц с электромагнитным полем*) в рамках классической электродинамики. Но особенно полезен гамильтонов метод при квантовом описании электромагнитного поля.
31.1. Собственные типы колебаний (моды) электромагнитного поля. В отсутствие зарядов электромагнитное поле можно описывать векторным потенциалом А (г, t), удовлетворяющим уравнениям (27.7) и (27.8):
1 Э2 А
Д4-----т£-4’=0, div4 = 0. (31.1)
с2 ЭГ
Удобно рассматривать поле внутри куба со стороной L, наложив на поле условия периодичности по каждой из декартовых координат:
А(х, у, z, Г) = А(х + L, у, z, Г) = А(х, у + L, z, Г) = 4(х, у, z + L, Г). (31.2)
Это означает, что мы разбиваем все пространство на кубические области объемом L3 = V, и считаем, что во всех таких областях поле ведет себя подобным образом. Из физических соображений очевидно, что при достаточно большом L поведение поля внутри объема V будет слабо зависеть от условий на его границах. Поэтому никакие физические результаты не будут содержать объема V основной области. В то же время наложение периодических граничных условий (31.2), оставляя число собственных колебаний системы бесконечным, позволяет сделать их дискретными, что дает определенные преимущества.
*) См. книгу В. Л. Гинзбурга [32], в которой широко используется гамильтонов метод.
Рассмотрим частные решения уравнений (31.1) в виде плоских волн с определенными значениями волнового вектора А и поляризации:
Ako(r,t)=qko(t)AkoH. (31.3)
Здесь Ако(г) — координатная собственная функция, удовлетворяющая граничным условиям (31.2) и уравнению div Л = 0. Выберем ее в виде
АкоИ = еко\/ —— exp(ikr), (31.4)
где ека — единичный вектор, описывающий поляризацию плоской волны. Он удовлетворяет условию
к-еко=0. (31.5)
Индекс о определяет тип поляризации плоской волны и принимает два значения: о = 1,2. Если выбраны волны с плоской поляризацией, то можно положить
eJti=eAr ек2=еу. (31.6)
где ех, е,, — орты декартовой системы координат с осью г, направленной вдоль к. При круговой поляризации волн имеем
ек 1 = (lA/2’)(eJC + iey), ек2 = (1/х/2)(ех - iey). (31.7)
Нетрудно аналогичным образом описать и эллиптическую поляризацию. Во всех случаях орты поляризации удовлетворяют условиям ортогональности:
ека '6ка'~$оа" (31.8)
Удобно также потребовать выполнения условия
е-ка=ека <31-9>
с тем, чтобы собственная функция обладала аналогичным свойством:
А_ко[г) = А*ко[г). (31.10)
Из условия периодичности (31.2) можно получить возможные значения волнового вектора:
exp(ikxL) = exp(ikyL) = exp(ikzL) = 1, откуда
. 2тг , 2тг , 2тт ...
kx=—nt, ку= — п2, kz=—n3, (31.11)
Здесь rtlf п2, п3 = 0, ±1, ±2, ... — произвольные целые числа. С помощью (31.11) нетрудно вычислить интеграл от произведения собственных функций:
j (л;,ст,.л*а)^.
(И)
Пользуясь декартовыми координатами, будем иметь
е .... . у , ехр{2тг/(л1 - п{)} -1 [0 при
( ехр{/(/с„ — kx)x}dx -------------;---------
о Цкх - к'х) |£ при п,=п;
В итоге получим условие ортогональности и нормировки собственных функций:
J (А*ка Ako>dV = 4irc4klc.8oo.. (31.12)
(Г)
Выбор нормировочного множителя, разумеется, произволен и диктуется соображениями удобства записи последующих формул.
Вернемся к (31.3) и получим уравнение, которому удовлетворяют зависящие от времени функции qka(t), играющие роль обобщенных координат. Подставив (31.3) в волновое уравнение (31.1), получим
^a + w*9*a=0- (31.13)
где шк = ск. Мы видим, что величины qka удовлетворяют уравнению гармонического осциллятора и являются, следовательно, главными координатами колебательной системы.
Запишем решение (31.13) в виде
qko = qko^-iwkt}. (31.14)
но наложим определенную связь между qka и q_ka,~ потребуем, чтобы выполнялось соотношение, аналогичное (31.10):
(31.15)
При таком условии полный векторный потенциал А (г, г), записанный как сумма частных решений (30.3) со всеми возможными к и о, будет действительной величиной:
А (г, г) = Zqko(t)Ako(r). (31.16)
Действительность А обеспечена тем, что каждому члену qkaAka в сумме (31.16) сопутствует комплексно-сопряженный член
Ч-коА-ко = ^коАко^'
С математической точки зрения разложение (31.16) представляет собой ряд Фурье. Его можно записать и в такой форме, чтобы каждое слагаемое с заданными к, с было действительным:
Air, Г) = Z[qko(t}Akoir] + qko(t)Ako(rYl. (31.17)
По сравнению с (31.16) число слагаемых в (31.17) удвоено — каждый член учитывается по два раза.
31.2. Число собственных колебаний. Подсчитаем число собственных колебаний поля в заданном интервале частот или волновых векторов. Каждому значению тройки собственных чисел П\,п2, п3 в (31.11) соответствует некоторое значение волнового вектора. Поэтому на заданные интервалы
, Дл2, Дл3 собственных чисел будет приходиться число значений волнового вектора
ДА/ = Дг»1 Дл2 Дл3.
Если L велико и значения nlf п2,п3 также достаточно велики, то приращения Дл,- можно считать бесконечно малыми:
dN = dnidn2dn3.
Пользуясь (31.11), находим число собственных колебаний поля (с одной поляризацией на каждое значение к), приходящееся на заданный интервал значений проекций волнового вектора:
у dN --------г dkxdkvdkz.
(2я)3 ' 3
Записав d3k в сферических координатах, получим число собственных колебаний dN в других переменных:
V ,
dN --------- k2dkd£li,,
(2я)3
где d£Lk — телесный угол, внутри которого направлен к. Наконец, положив в (31.19) к = и/с, найдем dNa функции частоты:
dN ----------- со2 du d£lk.
(2тгс)3
(31.18)
(31.19)
(31.20)
Полное число собственных колебаний с учетом двух типов возможных поляризаций при каждом к будет равно 2dN.
Если спектр значений к близок к непрерывному (большой объем V), то суммирование в (31.16), (31.17) можно заменить интегрированием. При этом ряды Фурье превратятся в интегралы Фурье, например (31.16) примет вид
Л(г,г) = —2 /^JtM.(r)d3/r. (31.21)
(2я) а = 1.2 *
31.3. Гамильтониан и гамильтонова форма уравнений поля. Вычислим энергию поля в объеме V. С помощью (31.16) и формул (27.6) найдем
E = ~~C 2 ^каАка = ~~С 2 ^коАко'
‘° (31.221
Я-/ S 04о[*ХЛ,о|.-1 Z
к, а к, а
Здесь вторые суммы написаны на основе сделанного выше замечания о действительности А (г, г).
Энергия поля
W = f (Е2 +H2)dV.
8я
(Г)
Вычисляя интегралы от Е2 и № по отдельности, находим
w,E’dV'-^ ? *;д,.
(I ) к, к , а, а к, а
где использовано условие (31.12). Двойная сумма Н2 содержит произведение
(А' X А*к,о. 1 • [А X Ака] = (к'-А)(Л;.О. • Ака) - (к А'к.а.Мк -Ака}.
(31.23)
(31.24)
(31.25)
Интегрирование этого произведения по dV приводит к условию к' = к, и второй член дает нуль в силу поперечности волн. В результате имеем
к, о
С помощью (31.14) находим qko = —и получаем энергию поля в виде
W= 2 ^ко^ко' к, о
Полная энергия поля выразилась в виде суммы энергий отдельных собственных колебаний:
W = S W. W. = ко ко к к о к о к, о
Аналогичный расчет позволяет найти импульс поля:
1 kwtn
Р = -^ S [EKH\dV = S (Г) к, а к
Величина kWka/^k представляет собой импульс одной собственной моды.
Связь между энергией и импульсом каждой моды — такая же, как для ультрарелятивистской частицы, Wka - сРка.
Введем вместо комплексных главных координат qko(t} действительные канонические переменные О*о, Рко'.
1 / iPk, О. = -----[Qi, +
4ко .—Д ко со л/T' к
(31.26)
Из (31.13) и (31.26) следует, что они также удовлетворяют уравнению осциллятора, в частности,
Q. + шк°к„ = °- (31.27)
ко к к о
Энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и импульсы, представляет собой функцию Гамильтона. Подставляя (31.26) в (31.23) и используя для функции Гамильтона обозначение -К, получим
= S (Pl +colQln), (31.28)
ко к ко к, о
т.е. гамильтониан системы невзаимодействующих гармонических осцилля-торов. Канонические уравнения имеют вид
Q. =~^~ = Ркп, Ркп=~ ^~ = ~шк°ка (31.29)
ко Ко Ко К Ко
ко ко
и приводят к правильному уравнению движения (31.27). Это и доказывает, что Рко и Qkо — канонически-сопряженные переменные.
Глава VII
ПОЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ
$ 32. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
В этой главе мы построим для наиболее важных случаев решения неоднородных волновых уравнений
л - 1 Э2Л 4 я .. .
ДЛ----— ------------
с2 dt2 с
1 Ъ2^ <321>
Д^----г —- = -4np(r, г),
с2 bt2
в которых j и р — произвольные функции координат и времени. Будем считать, что источники распределены в конечной области пространства, и найдем потенциалы, создаваемые этими источниками во всем безграничном пространстве. Следует подчеркнуть, что такая постановка задачи с самого начала носит приближенный характер. В действительности создаваемое заряженными частицами поле влияет на их движение, поэтому стоящие в правых частях j и р, строго говоря, представляют собой нелинейные функционалы от искомых потенциалов. Но во многих случаях (хотя и не всегда) обратное влияние поля на движение зарядов оказывается малым и им можно пренебречь. При этом задача линеаризуется. Именно такая постановка вопроса и предполагается в настоящем параграфе.
32.1. Функции Грина волнового уравнения. Решение неоднородного уравнения удобно находить с помощью функции Грина, как это уже делалось в электростатике (§ 20). Определим функцию Грина G(r,t, как решение уравнения:
AG----7 = -4я5(г-г')5(Г-г') (32.2)
с2 ЭГ2
для безграничного пространства. Решение волновых уравнений можно записать с помощью функции Грина в виде интеграла:
А (г, г) = f G(r, t,r', t)d3r'dt'. (32.3)
Аналогичный интеграл можно написать для . Применяя к А (г. Г) оператор Даламбера и пользуясь (32.2), убеждаемся, что уравнение (32.1) удовлетворяется.
Ниже мы увидим, что уравнению (32.2) удовлетворяет не одна, а широкий класс функций Грина, которые, если их использовать в (32.3), приведут к различным решениям для А (г, t). Для того чтобы выделить единственное решение, адекватное рассматриваемой задаче, нужно будет привлечь физические соображения, эквивалентные заданию некоторых граничных условий. Если мы рассматриваем излучение электромагнитных волн заданным источником в бесконечном пространстве в отсутствие каких-либо границ, то для выделения единственного физически допустимого решения достаточно привлечь принцип причинности. Он требует, чтобы причина (движение зарядов в источнике, приводящая к излучению) предшествовала следствию (возбуждению поля в точке наблюдения). Удовлетворяющие такому критерию потенциалы называются запаздывающими. Дополнитель-
ное обсуждение этого важного вопроса будет проведено в п.32.2.
Обозначая R — г — г' и т = t — t', приведем (32.2) к виду
A/jG—7 -4n6lR}8lr).
с2 дт2
(32.4)
Отсюда следует, что функция Грина зависит только от разностей аргументов: G(r - г ', t - t') = G(R, т).
Уравнение (32.4) удобно решать с помощью разложения искомой функции в интеграл Фурье:
GIR, т) = (21)4’ f Glk, co)exp(/Jt/{ — iwr}d3 kdu,
(32.5)
Glk, со) = f G{R, т)ехр(/сот — ik-R)d3Rdr,
где интегрирование производится в бесконечных пределах. Умножим (32.4) на ехр(/сот — ik-R} и выполним интегрирование по d3Rdr. Левая часть преобразуется путем двукратного интегрирования по частям, например,
j ——ехр(/а>т)ат =—exp(/a>T) | — /се f -----ехр(/сет)ат.
__ Эт2 Эт _« Эт
(32.6)
Выделившееся слагаемое обращается в нуль вследствие убывания больших т и R. Интегрируя (32.6) еще раз по частям, получим
/ — ~^ехр(/сот — ik-R)d3Rdr = —co2G(&, co).
Эт2
G при
(32.7)
Преобразовывая аналогичным образом член с лапласианом в (32.4), получим алгебраическое уравнение для фурье-образа G (к, со):
{к2 - со2/с2 )G(A, со) = 4я. (32.8)
На первый взгляд кажется, что фурье-образ G (к, со) определяется из (32.8) единственным образом:
Glk, со) = 4я/(Аг2 - со2/с2). (32.9)
Однако это не так. Дело в том, что множитель (Аг2 — со2/с2) обращается в нуль при со = ±кс. Это позволяет записать уравнение (32.8) в эквивалентной форме:
(к2 -со2/с2)^(*,со) = 4я+Г0(*,со)(^2-со2/с2)5(*2-со2/с2), (32.10)
где Folk, со) — произвольная функция, ограниченная при к2 = со2/с2. В силу свойств 5-функции произведение
(А-2 - со2/с2)5(А2 - со2/с2) = 0,
именно поэтому (32.10) эквивалентно (32.8). Но из (32.10) видно, что, записав решение в форме (32.9), мы пропустили слагаемое, содержащее произвольную функцию:
6(Jt, со) = 4я/(Аг2 )+F0(*. со)5(Аг2 --(32.11)
I \ с / \ с I
10. М.М. Бредов
145
Это слагаемое, как видно из его структуры, представляет собой решение однородного волнового уравнения.
Для наших целей достаточно построить функцию Грина не самого общего, а некоторого частного вида, поэтому мы ограничимся частным решением (32.9). Но даже фурье-образ (32.9) не приводит к одной-единствен-ной функции Грина. Это объясняется тем, что знаменатель (32.9) обращается в нуль при действительных значениях к и ш, поэтому при вычислении интеграла Фурье (32.5) нужно задать дополнительное правило интегрирования сингулярной функции. В зависимости от этого правила, как мы увидим, будут получаться разные функции Грина.
Запишем интеграл Фурье (32.5) в виде
С(Л,т)=/-^гехр(/Л-Л)+7 ^G(k,a>}exp(-ia>T). (32.12)
(2я)3 2я
При вычислении внутреннего интеграла в(к,т)= f -х^С(Л,ш)ехр(/шт) = 2 / С ехр(-/'шт) (32.13) „ ш2 - О}2
подынтегральное выражение имеет полюсы в точках ш = ±шк = ±ск, поэтому интеграл (32.13), понимаемый буквально, не имеет смысла. Для того чтобы определить его, нужно задать правила интегрирования особенностей. Эти правила должны сводиться к некоторой деформации контура интегрирования, в результате которой полюсы оказываются вне контура и интеграл определяется однозначным образом.
Рассмотрим плоскость комплексной переменной со. В интегралах (32.13) путь интегрирования проходит по действительной оси. Деформируем его таким образом, чтобы оба полюса были обойдены по бесконечно малым полуокружностям в верхней полуплоскости (рис. 32.1). Теперь интеграл по контуру Cr легко вычислить с помощью вычетов. При т > 0 замкнем контур интегрирования дугой полуокружности большого радиуса R в нижней полуплоскости. При R -><» интеграл по большой полуокружности обращается в нуль, так как показатель экспоненты приобретает большую действительную отрицательную часть. Но интеграл по замкнутому контуру определяется суммой вычетов относительно полюсов, лежащих внутри
контура:
G = 2c2 f
CR
ехр(-/шт)
—;------r-c/ш
u>2 - u>2
n i, „ (ехр(/соЛт exp(-/cjfcrH sin(cofcr = 2c2 (—2я/и —-— ----------------1= 4тгс2--------—
2шк 2шк шк
т>0.
При г < 0 следует замкнуть контур дугой полуокружности в верхней полуплоскости, на которой подынтегральное выражение экспоненциально мало. Внутрь замкнутого контура не попадает ни одного вычета, поэтому G (к, т) =0 при т < 0. В итоге окончательный результат для внутреннего интеграла в (32.12) выглядит так:
GR(k,r) =
4яс2 sin(o>£ т)
co, к
о.
т> 0;
т < 0.
(32.14)
Функция Грина, отличная от нуля только при т > 0, называется запаздывающей. Мы отметили этот факт индексом Я (от английского Retarded}.
Переходя к вычислению интеграла по d3k, введем в пространстве к сферическую систему координат с осью г, направленной вдоль R. Поскольку GR (к, г) не зависит от углов вектора к, можно проинтегрировать множитель ехр(ik-R) по углам отдельно:
/ exp(ik-R}dnk = 2тт/exp(/Xr/?cosd)sini?di> = ——sin(/r/?). (32.15)
о
Подставляя затем (32.14) и (32.15) в (32.12), где d3к = k2dkd£lk .будем иметь при т > 0:
Gr(R, t) = ——J sin(kR}sin(kcT}dk =
яЯ0
= —f [cos(Xr/? — кст} — cosl/гЯ + kcT)]dk.
ttR о
Воспользовавшись представлением 6-функции (Д.IV.21), получим
Gr(R, т) =
| [6(Я - ст) - 6(Я + ст}], т>0;
Л
(32.16)
Т < 0.
Поскольку по определению R > 0, то при т > 0, 6(Я + ст) = 0 тождественно. Окончательный вид запаздывающей функции Грина:
GR(r-r',t-t') =---Ц-б/т- г' — ——-
\Г-Г'I \ С
(32.17)
Здесь мы использовали формулу 6 (ах) = 6(х)/|а|. Тот факт, что GR = 0 при t < г', можно не отмечать специально, так как зто условие обеспечивается структурой аргумента 6-функции.
Выясним теперь, как повлияет на вид функции Грина другой выбор контура интегрирования. Рассмотрим контур СА (рис. 32.2), который обходит особые точки в нижней полуплоскости комплексного со. В этом случае отличный от нуля результат интегрирования no dw будет при т < 0, что отвечает замыканию контура в верхнюю полуплоскость. Получающаяся
функция Грина называется опережающей (Advanced} и имеет вид
. , , 1 / , |Г-Г |\
GA (г - гt - t ) ------8t-t +----------. (32.18)
Ir-r I \ c /
Поскольку и Gr , и GA удовлетворяют одному и тому же неоднородному уравнению (32.2), то их разность GR — GA удовлетворяет однородному уравнению Даламбера:
□(Gw-G4)=0. (32.19)
Это показывает, что GA можно получить из GR путем специального выбора функции Fo (к, cj) в (32.11), т.е. решения однородного уравнения.
Варьируя правила обхода особых точек, мы можем получить еще несколько типов функций Грина, которые находят применение в квантовой теории поля. Но в классической электродинамике главную роль играет запаздывающая, а иногда применяется и опережающая функция Грина, рассмотрением которых мы и ограничимся.
Иногда в приложениях применяются фурье-образы GR и G^J, по времени т = t - t':
GRA(r-r') = f GRA(r-r',T}e'UTdr = —-——exp(±/7r | r - r' |), Ir-r I
(32.20) где к = м/с. Плюс соответствует GR, минус отвечает G^. Функции Грина (32.20) удовлетворяют неоднородному уравнению Гельмгольца
AGra +k2GR,A = —4тт5(г — г'),
(32.21)
которое получается из (32.2).
32.2. Выбор запаздывающих потенциалов. Построим с помощью запаздывающей функции Грина GR решения неоднородных волновых уравнений (32.1). В интеграле (32.3) интегрирование по времени легко выполняется с помощью 5-функции и результат имеет вид
п 1 j(r',t-\r-r'\/c} .
AR(r,t} = -^f ------------'—dV,
Ъ F — F
^(r,t) = J
p(r', t- Ir-r' l/c) , ------------------
|r-r I
(32.22)
(32.23)
Потенциалы (32.22) и (32.23) являются запаздывающими. Структура их временного аргумента показывает, что поле в точке г в момент t определяется состоянием источников в предшествующий момент времени t' - t — \г — г' \/с, отличающийся на время распространения электромагнитного возмущения от источника в точку наблюдения. Запаздывание в данном случае выступает как форма проявления принципа причинности: причина (движение зарядов в точке г ') предшествует следствию (появлению поля в точке г) на время |г — г ' |/с, необходимое для передачи сигнала (электромагнитного возмущения) из г ' в г.
Если в пространстве отсутствуют другие источники поля, то AR и будут описывать полное поле, созданное заданными распределениями j и р. Если же вдали от заданных источников (на бесконечности) имеются другие источники, ток потенциалам AR и $R следует добавить решение однородного волнового уравнения, описывающее поле удаленных источников. Но это решение никак не будет зависеть от заданных / и р.
При выборе опережающей функции Грина GA для построения решения можно найти опережающие потенциалы:
. 1 j(r', t + lr-r' | /с) ,
AA(r, t} = 4 f ------------------dV , (32.24)
c \r-r\
, p(r',t + |r — r' |/с У ,
/(r,t) = J--------------------dV'. (32.25)
lr-r I
Хотя эти потенциалы, так же как и (32.22), (32.23), удовлетворяют уравнениям (32.1), они не могут быть использованы для описания поля от заданных источников в безграничном пространстве, поскольку не удовлетворяют принципу причинности.
Решениям в форме запаздывающих и опережающих потенциалов можно дать и другую интерпретацию. Если система зарядов способна излучать электромагнитные волны, то запаздывающие потенциалы (32.22), (32.23) на больших расстояниях от системы будут иметь вид расходящихся сферических волн, что соответствует переносу электромагнитных возмущений от излучающей системы в окружающее пространство. Опережающие же потенциалы будут описывать сходящиеся сферические волны, которые могли бы создаваться некоторым источником, находящимся на бесконечности, но не заданной системой зарядов.
32.3. Спектральное разложение запаздывающих потенциалов. Если изменение запаздывающих потенциалов со временем в каждой точке пространства представляет собой апериодический процесс, то они могут быть разложены в интеграл Фурье (29.9а). Амплитуда Фурье
Л*(г)= S A(r, t)exp(/cct)dt (32.26)
с помощью (32.22) приводится к виду
exp(iut)dV’dt.
(32.27)
Если проинтегрировать (32.27) сначала по т = t — |г — г ’ 11с, то (32.27) приведется к виду
„ 1 ехр(/ш | г — г' | /с) , " ,
Л* (г) = 7 -Г -------->------dV f • r)e,UTdr, (32.28)
c |r-r I
или
1 exp(/w |r-r' I/с) , ,
Л*(г) = ^/---;---г------lu(r'W.
c r — r
(32.29)
Аналогичным образом выражается (г):
_ ехр(/ш|г-г'|/с) , ,
= f----------г------PJr')dV'.
(32.30)
В обоих случаях под интеграл входит фурье-образ (32.20) запаздывающей функции Грина.
§ 33. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА И ФОРМУЛА КИРХГОФА
Запаздывающие потенциалы (32.22), (32.23) дают полное решение задачи об электромагнитном поле, создаваемом ограниченной системой движущихся зарядов в безграничном пространстве. При этом предполагается также, что движение зарядов происходит по заданному закону.
Но постановка задачи может быть иной: заряды и токи могут быть заданы только в ограниченном объеме V пространства. Источники же, находящиеся за пределами V, могут задаваться не распределением зарядов и токов в них, а тем электромагнитным полем, которое они создают на поверхности S, ограничивающей объем V. В этом случае для расчета поля внутри V нужно учесть источники поля, находящиеся внутри V, и те возмущения, которые будут исходить от поверхности S.
В отсутствие зарядов внутри объема V все поле в этом объеме будет создаваться внешними источниками. Однако явное рассмотрение источников можно заменить рассмотрением поля, которое они создают на поверхности S. Как мы увидим ниже, каждой элемент поверхности S может рассматриваться как источник вторичных возмущений, распространяющихся во все стороны. Накладываясь, эти возмущения и создают результирующее поле в объеме V.
Качественные соображения такого рода были развиты еще X. Гюйгенсом (XVII в.) и носят название принцип Гюйгенса. Впоследствии их уточнили и сформулировали в количественном виде другие исследователи, особенно О. Френель и Г. Кирхгоф. Ниже мы выведем формулу Кирхгофа, которая дает решение поставленных выше задач.
33.1. Вывод формулы Кирхгофа. Исходим из тождества Грина (20.1):
, • , /Эф dip \
/ (уД ф-фДip)dV‘ = <f L>— -ф—-)с/5 . (33.1)
(Г) (5)\ Эл Эл /
Будем понимать под ip (г', г') скалярный потенциал, удовлетворяющий второму из уравнений (32.1), а под ф — запаздывающую функцию Грина (32.17):
ф = бя(г - г', t - t'). (33.2)
Здесь г — радиус-вектор некоторой точки, лежащей внутри V, по координатам г'(х’, у', г'} производится интегрирование, а л' — внешняя нормаль к поверхности.
Проинтегрируем (33.1) по вермени dt' в пределах от —°°до некоторого значения Т> t и подставим величины
1 Э2у>
Д ip=— —--------4trp(r , t )
с2 Эг 2
Д'ф = =— ——- -4?г6(г-г )5(t — t ),
с2 dt'2
получающиеся из уравнений (32.1) и (32.2). Левая часть (33.1) принимает следующий вид:
т
f dt'f dV'kpA^ — фЛ'^) = (П
т
= 4irf dt' f dV'{GR(r-r', t-t')'p(r’,t’)-6(r-r')8(t-t'Mr',t')V
-oo (J7)
1
7
r I b2GR
f dt' f tfi/'U—— _«> (и) 1 at
-gr
d2^
172
(33.3)
С помощью явного вида (32.17) функции Грина и правил интегрирования выражений с 8-функциями вычисляем первые два интеграла в правой части (33.3):
r , , R , , , , p(r',t — R/c)
f dt f dV GR(r -r ,t -t )p(r ,t ) = f------------------dV,
(v) (и) R
т f dt'f dV'bir -r'}b(t - t'}<p(r,t'} = <p(r,t}, ( v )
где R =r — r'. В оставшемся интеграле выполняем сначала интегрирование
по времени:
т / э2ея „ э2^ J dt [<р-г -Gr-----
о» I Эг2 Эг2
/ bGR ~т
L— - gr—-)
Эг' Эг' / ,
= 0.
Нули на верхнем и нижнем пределах получаются из-за наличия 8-функции в Gr (ее аргумент при г' = Т> г и при г' = отличен от нуля). В итоге левая часть (33.1) после интегрирования по dt' даст
т , , , р{г', г - Я/с)
f dt f dV (^Д ф - ф Д = 4тг f--------------------dV - 4n^r, г).(33.4)
-» (Г) (И) R
Преобразование правой части начнем с вычисления производной от функции Грина:
dGR
Ъп'
= п' • V'GR
п' R
R3
»' я
8(г - г - R/c)-----
cR2
d6(t-t'-R/c)
ЭГ
(33.5)
где мы учли тот факт, что R=r — r’ и V'R = —R!R. С помощью (33.5) вычисляем правую часть (33.1):
т . ,/ дф Эу> \
J dt £ dS k—, -ф—, =
_«. (s) \ Эл bn'j
(S)
dS
/n'-R
\ R3
n ' R Э 1 , ,\
—7-tv—я • r)
cR2 Эг R /
t' = t-R/c
(33.6)
Слагаемое с производной от 8-функции было проинтегрировано по частям.
Приравняв (33.4) и (33.6), получим выражение для скалярного потенциала в произвольной точке внутри объема V:
у(г, г) = / (Г)
p(r',t - R/c) R
dV' +
1 ,/1 , , n R 9
+--/ dS I—и V -———
4Я($) cR bt
n'R\
R3 I
t'= t-RJc
(33.7)
Замену г'на t — R/c следут произвести после применения к у>(г', г') оператора, стоящего в скобках. Полученная формула полностью решает задачу о представлении скалярного потенциала внутри объема V через распределение источников в этом объеме и значения <р, Vy> и Эу>/Эг на границе объема.
В отсутствие зарядов внутри объема V поле будет определяться только поверхностным интегралом:
1 ,/1 , n'-R
$(r,t) =---f dSj—n -у--------------
4n(s) \ R cR2
9 л'й\ t ----- dt' я3 /
t’ = t - R/c
(33.9)
(33.8)
Эта формула носит название интеграла Кирхгофа и дает количественную формулировку принципу Гюйгенса: связывает поле в произвольной точке с его значением на некоторой замкнутой поверхности. Тем самым, электромагнитные возмущения на поверхности играют роль источников, возбуждающих вторичные возмущения, которые и создают поле в точке г . Следует отметить, что формулы (33.7) и (33.8) нельзя рассметривать как решение волнового уравнения, так как знечения у>, Vy> и на поверхности зеранее не известны и не могут быть заданы произвольным образом. Но полученные формулы весьма полезны в задачах дифракции электромагнитных волн, когда значения поля на некоторой поверхности можно задать приближенно.
При гармонической зависимости от времени, (г' г) = (г ) е'шг, (33.8) принимает вид
1 [etkR Ыг) , 9 etkR 1 У>(Г) -$ { —— , ~У>(г ) —;--—
4W(s) | R Ьп bn R J
где к = ы/с.
В отсутствие зарядов каждая декартова компонента А, Е и Н удовлетворяет тому же волновому уравнению, что и <р. Поэтому (33.8) справедливо для любой компоненты указанных векторов. Пользуясь этим обстоятельством, нетрудно записать интеграл Кирхгофа в векторной форме. Не приводя выкладок*), выпишем для справок окончательный результат:
Е(г) =—- $ { й[л'ХЯ]6яы + [п'ХЕ] X V'GR+{n'-E)V’GR}dS’, 4Я (5) ' 7 (33.10)
Я(г)=-— f {-ik[n'XE]GR+[n’Xff] XV'Gr + (л'• H)v'GR}dS'. 4Я($)
(33.11)
* ) Их можно найти а книге Дж. Джексона [44].
Поле предполагается монохроматическим, л' — внешняя нормаль к поверхности 3, функция Грина определяется формулой (32.20).
33.2. Геометрическая оптика. Дифракция Френеля. Скалярная и векторные формулы Кирхгофа (33.9) — (33.11) особенно полезны для анализа распространения коротких электромагнитных волн (для краткости ниже будем говорить о свете). Случай, когда длина волны света мала по сравнению с размерами тел и расстояниями от них до источника и точки наблюдения, называется приближением геометрической оптики.
Рассмотрим дифракцию света от точечного источника 3 (рис. 33.1) на краю непрозрачного экрана в приближении геометрической оптики. Будем
предполагать, что длина волны света X мала по сравнению с расстояниями от источника 3 и от точки наблюдения Р до края экрана. Эти расстояния мы будем считать конечными. В силу последнего обстоятельства нужно учитывать кривизну фронта как падающей, так и дифрагированной волн. Явления, наблюдающиеся при таких условиях, называются дифракцией Френеля. Если же точки S и Р находятся на очень больших расстояниях от экрана, то волновые фронты падающей и дифрагированной волн можно считать плоскими. Такой случай называется дифракцией Фраунгофера.
Воспользуемся скалярным вариантом формулы Кирхгофа (33.9), понимая под *р(г ) одну из декартовых компонент электрического поля, которую обозначим через и. В качестве поверхности интегрирования примем полуплоскость уг (г > 0). Примем также обычное в теории дифракции приближение, согласно которому волновое поле на указанной плоскости совпадает с невозмущенным полем источника. При сферически-симметричном распределении излучения источника 3 будем иметь на плоскости уг (ср. с (27.17))
А
и(У',г'}=— exp(ikR0}, (33.12)
где А = const,- Ro — расстояние от источника до dS' (см. рис. 33.1).
Учитывая, что kR, kR0 > 1 и дифференцируя по этой причине в (33.9) только экспоненты, получим
ik u(r') /Ro R \
uplz) =---f -----ехр(/ХЯ)— +--------IndS',
4тг (S) R \R0 Rj
или, су четом (33.12), ikA exp[ik(R0 + Я)] /Ro R\
up(z) ----f -----—----------- ---- +—I n'dS .
4ir (s) Rt>R \Rq R
(33.13)
(33.13a)
Мы увидим ниже, что свет при малых (по сравнению с другими расстояниями задачи) длинах волн распространяется в основном прямолинейно,
испытывая лишь сравнительно малые отклонения от прямолинейности, приводящие к огибанию препятствий (дифракции). Ввиду этого в интеграле (33.13) существенна только малая часть поверхности интегрирования вблизи прямой, соединяющей источник и точку наблюдения. В данном случае — это часть плоскости уг вблизи начала координат. В этой области можно заменить {Ro/Ro + R/R)n' * — 2, в предэкспоненциальных множителях положить Ro ъ a, R * Ь, а в показателе экспоненты
1 / 1 1\ ,, 1 Г г'2 (г — г')2 1
Rf> + R а + b + — I—+—I/ ‘ + — I------ +-------- I. (33.14)
2 \а Ь/ 2 [ a b ]
В рассматриваемом приближении от переменных интегрирования будет зависеть только показатель экспоненты. При интегрировании по dy' воспользуемся табличными интегралами
+ оо + оо
J sint2dt - f cost2dt =
(33.15)
Будем иметь
+ “ f/X/1 1\ , 1 , / 2ab +“ .,2 / trab'
f exp —I — + — }y 2 dy =xj-------- J e'f dt = x/------ (1+/).
L 2 \a b) k{a+b) X(a+6)
(33.16)
Из (33.16) следует, что основной вклад в интеграл вносит отрезок длиной [2Ха6/(а + 6)]1/2 где L — меньшее из расстояний а, Ь. Ввиду
малости отношения X/Z. существенная для интегрирования область имеет линейные размеры (X/Z.)1'2 L < L. Отрезок, существенный для интегрирования по dz’, имеет такой же порядок величины.
Из слагаемых, зависящих от г', выделим полный квадрат:
** , , 1W , । _Z1_. (33.17)
2a 2b 2 \a b l\ a+bj 2(a + b)
/k(a + b) , Произведя замену переменной t - yj------г , будем иметь
2ab
“ \ik\z2 (г- г)1) , / 2ab Г ikz2
f expl— —+-------- }dz =\Г------exp----
о I 2 [ a b Jj k(a+b) L2(a+6)
где I ka ’ S = ZsJ ----------
26(a+6)
Интеграл no dt выражаем через интегралы Френеля:
д * , /г *
C(s)=y— J cosrcft, S(s)=v— J sint2dt. и о tt о
fe^dt,
-s
(33.1B)
(33.19)
(33.20)
С помощью (33.15), (33.20) получим
/ elf2dt = felf,dt + /eit2dt = \/—l(c(s) + -) +/(s(s) + —) . (33.21)
-s о о 2 L\ 2 / \ 2'J
Собирая воедино (33.12) — (33.21), запишем поле в точке наблюдения Р: 4(1 -/) ' / г2 \1 ( 1 / 1 \1
ир(г) =---------ехр /Аг(а + Ь +-------1 C(s) + — + /|S(s) +—I,.
2(а + Ь) \ 2(a + b)/J I 2 \ 2/1
(33.22)
При свободном распространении волновое поле на расстоянии а + b от источника имело бы значение
А и0 =-----ехр[ ik(a + Ь)]. (33.23)
а +Ь
Вводя интенсивности /(z) = \иР (z) |2, /0 = I w0 I2. получим
/(Z) = Уа /0 [ (C(s) + Уа)2 + (S(s) + Уа)2 ] .
(33.24)
Распределение интенсивности в области тени (z<0) ив освещенной области (г >0) определяется значением параметра (33.19). На границе геометрической тени, чему соответствует s = О, имеем С(0) = S(0) = 0 и /(0) = /0/4. Вдали от этой границы, |$ |> 1, нетрудно найти приближенные выражения для интенсивности.
Область тени, s<0, Is |> 1. Интегрируем последовательно по частям:
“ „а “ ei,2dt2 1 , 3 e/f’df2
/ е dt = f------------------------efs +/ -------:—= •
I j I I j I 2t 2/1 s I I s I 4/t
В получившемся асимптотическом ряду достаточно учесть первый член, что позволяет получить в области геометрической тени:
/(z) =/0/4я$2. (33.25)
Освещенная область, s > 1. С точностью до первой степени малого параметра s*1 имеем
fei,2dt = y/~ (1 +/) + —e/,J;
2 2/s
это позволяет получить с той же точностью
“ „а 2 I 1 sin(s2 — я/4)
I / е" Л | = я 1 - -=-----------------
-S I Vя S
и найти интенсивность светового поля в освещенной области:
/(*) = /0
1 sin(s2 - я/4)
(33.26)
При удалении от границы геометрической тени интенсивность осциллирует бесконечное число раз, приближаясь к постоянному значению /0 (рис. 33.2).
33.3. Дифракция Фраунгофера. Рассмотрим теперь дифракцию на отверстии в плоском непрозрачном экране в условиях, когда точечный источник
света удален от экрана на расстояние, большое по сравнению с размером отверстия. Наблюдать дифракцию будем также на расстояниях, значительно превышающих характерный размер отверстия /. Длина волны света будет считаться малой по сравнению со всеми расстояниями, в том числе с /. При этом падающую на отверстие волну можно считать плоской, т.е. лучи света, попадающие в разные точки плоскости отверстия — параллельными. Но за отверстием вследствие дифракции лучи разойдутся веерообразно — волновой фронт искривится. Однако при малом отношении X// углы дифракции будут малы. Вычислим интенсивность дифракции в заданный телесный угол dSl.
Воспользуемся общей формулой (33.13а). Как и в случае дифракции Френеля, предполагаем, что поле на отверстии равно неискаженному полю источника. Выберем начало отсчета координат в некоторой точке О в плоскости отверстия (рис. 33.3). Ввиду малости размера отверстия I по сравнению с а и b можем положить в показателе экспоненты
Ro a+a-r’/a, R* b + br'lb, (33.27)
а в предэкспоненциальном множителе Ro ~ a, R Ь.
Вектор а указывает направление распространения падающей, а вектор Ь — дифрагированной волн. Поскольку частота волны при дифракции не меняется, то ка/а - к0, kb/b = к — волновые векторы падающей и дифрагированной волн. С помощью (33.13а) и (33.27) получим для
дифрагированной волны:
ikA иР =--------X
2ir.
eik(a+b)
X ----------f e* r' dS',
3b (s)
(33.28) где fl = к — k0 — изменение волнового вектора при дифракции, интегрирование производится по площади отверстия.
Интенсивность света, попадающего в результате дифракции в телесный угол dЯ, получится умножением I иР 12 на площадь элементарной площадкой b2dn, на которую
Рис. 33.4.
рассматриваемый телесный
угол:
А 2
dl = \иР \2b2dn -----— | / e""7' r'dS’ I dn.
(2ff) a (S)
(33.29)
Удобно ввести эффективное дифференциальное сечение дифракции du = dill о.
где /0 = I и0 I2 -А2/а2 — интенсивность падающего на отверстие света. Величина dl пропорциональна потоку электромагнитной энергии дифрагированной волны внутри телесного угла сЮ, a /<> — плотности потока энергии падающей волны. Поэтому дифференциальное сечение do имеет размерность площади:
2
du =------ I / eiq r dS'\ dn. (33.30)
<2тг)2 (S)
Формула (33.30) решает задачу о дифракции плоскопараллельного пучка света на отверстии произвольной формы.
Применим (33.30) к дифракции света на прямоугольном отверстии площадью 2/( X 2/2 при нормальном падении. Вычисляем интеграл по площади отверстия:
'2 . . 4sin(o„/| )sin(ov/2)
/ е"*7 • r dS = f eQx dx'f elqyy dy' =------- y
(S) -Z, -Z2 dxdy
Обозначив углы отклонения света в направлениях осей х и у через 0хи в у соответственно, будем иметь qx = квх, qy = кву,
du \21ыпкЦвх \2/smkl26y
dn \ X / \ kltex / \ к12ву
(33.31)
Угловое распределение дифрагированного света по каждому из взаимно перпендикулярных направлений дается функцией
f( х) = sin2x/x2.
где x = kld. Эта функция максимальна при х = О, /(О) = 1, и быстро убывает с ростом х, испытывая колебания (рис. 33.4). Заметные отклонения света происходят только в пределах главного максимума на углы
О 2тг/к1 = X//.
Этим условием и определяются характерные углы дифракции.
§ 34. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА, ДВИЖУЩЕГОСЯ ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОБРАЗОМ
34.1. Потенциалы Пиенара — Вихерта. Применим найденные в § 32 запаздывающие потенциалы для вычисления поля заряженной частицы малых размеров (точечного заряда), совершающей заданное движение. Пусть s(t) — радиус-вектор частицы, v(t) = i(t) — ее скорость, е — заряд. Плотности заряда р и тока / выразятся через 6-функцию Дирака:
p(r, t) =e8(r-s(t)), j = ev(t)6(r-s(t)). (34.1)
Для вычисления потенциалов удобно использовать общую формулу (32.3) с запаздывающей функцией Грина (32.17) :
е в , , , ,
A(r, t) =—JG* (г-г , г - t )v(t )8(r -s(t ))dV dt = с е
=-/( v(t )/Я(г'))8(Г + R(t )/с - t)dt , (34.2)
с
где Я(г') =г-s(t'). Интегрирование по объему произведено с помощью 8(г' — s(t)). Последующее интегрирование по времени выполняем с использованием формулы (Д. IV. 10), где в данном случае д(t') = t' + R(t')/c — f.
dg(t'}/dt' = д' = 1 - n v !c, n = A(t')/R(t'). (34.3)
Из (34.2), (Д. IV.10) и (34.3) получаем
ev
A(r,t)=-------------
cR(1 - n- v/c)
Таким же путем находим скалярный потенциал:
е
<р(г, г) =--------------
/?(1 -п -v/c) ,
Значение t', при котором берутся правые части (34.4) и определяться из условия g(t'} = 0, т.е.
C(t-t') = |r-s(t')l,
(34.4)
(34.5)
(34.5), должно
(34.6)
где s(t') — координаты частицы, г — координаты точки наблюдения. Разность t — г'= |r — s(t') |/с представляет собой время распространения электромагнитного возмущения от частицы до точки наблюдения поля.
Получим из потенциалов Пиенара — Вихерта потенциалы равномерно движущейся заряженной частицы. Для этого нужно выразить знаменатель (R - R -v/c)t' через координаты частицы в момент наблюдения г. Пусть S'— положение заряда в момент генерации электромагнитного возмущения, S — его положение в момент наблюдения возмущения в точке М (рис. 34.1). Расстояние SS равно произведению скорости заряда на время запаздывания, S'S = vR/с. Отрезок S'N =vR(t')/c, а длина отрезка MN = = R(t'} -vR(t')/c равна знаменателю выражений (34.4), (34.5). Из тре-158
угольников MNS и S/VS'находим
/?2
(MN}2 = r2 — (NS}2 = r2-v2— sin20 ,
С
где r(t} - расстояние от заряда до точки наблюдения в момент г. Далее, ffsin0=p — расстояние от точки наблюдения до линии пролета заряда. Таким образом,
(Я - v • R/c}t = \/r2 - v2p2lc2'= \/(vt)2 + р2/у2.
Потенциалы А и «р равномерно движущегося заряда определяются формулами (34.4), (34.5) после подстановки в них найденного выражения.
Рис. 34.1.
Начало отсчета времени выбрано так, что при t = 0 частица находится на кратчайшем расстоянии (равном р) от точки наблюдения поля.
34.2. Напряженность поля. Вычисляем Н = V X А, пользуясь представлением (34.2). Оператор V действует на координаты г, которые входят только в R = I г — s | под интегралом no dt'. Выполним дифференцирование под интегралом, пользуясь формулой
Э< bf
W(fl) =— 7Я=—л. (34.7)
ЭЯ ЭЯ
Получим е ( 1 1 , , 1 ,
Я(г,г) =-/(,Хл) - 5(г +Я/с-г)--------5 (г’+Я/с-г)\dt'.
с | Я2 сЯ I
dg , ( л • у \ , Далее переходим к интегрированию по dg =—, dt = (1------jdt и,
dt \ c ' пользуясь правилами интегрирования выражений с 5-функциями (Д. IV. 10) и (Д. IV. 12), находим
с(»Хл) е d v X л
H(r, t) = —---------+----------------; -----------, (34.8)
сЯ2(1 -л • v/с} с(1-л ч/с) dt сй(У-п у/с}
где правая часть берется при значении г’, определяемом уравнением (34.6). При вычислении производной по t’ находим:
dv(t'} , , dR(t'}
— = »( t ), — = - л • *, dt-------------------------dt
dn(t'} v л(л-у) л X (л X v) --------=-------+---------------------------- =-
dt' R R R
(34.9)
Выполнив дифференцирование в (34.8) с помощью этих формул, после приведения подобных членов получим
е(1 - v2 /с2 )(v X л) е {cvX п +п X[(vX v) X л]}
Н =------------------— +-------------------------- . (34.10)
cR2 (1 - л v/c)3 саЯ(1 - л v/c)3
1 М Вычисление электрического поля£= — Vip---------производится анало-
с Эг
гичным образом: представляем скалярный потенциал в виде
е
^r, t) = f---- 8(t + R(t )/с - t)dt (34.11)
R(t )
и дифференцируем величины (34.2) и (34.11) под знаком интеграла. Это дает
j л / R \ л — v/c ' / R \)
f = ef(—-Sit +-------t +--------6 It +----t dt =
I R2 \ c ' cR ' c /)
en e d n — v/c
= —-------------+----------------- ---------- (34.12)
R2 (1 - л • v /с} с{\-п-ч!с} dt Ril-n-v/c}
Последующее дифференцирование по г’ с помощью формул (34.9) позволяет получить:
е(1 - v2/c2 )(л — v/c) ел X ((л - v/c) X v)
Е =------------------ + ------------- (34.13)
/?2 (1 - л • v/c)3 c2R(1 -п v/c)3
В формулах для напряженностей поля (34.10), (34.13) все величины, входящие в правые части, берутся в запаздывающий момент времени t', который определяется из уравнения (34.6). Отметим некоторые характерные черты полученных напряженностей поля. Сравнение (34.13) с (34.10) показывает, что они связаны соотношением
H(r, t) = ti(t') X E(r, г), (34.14)
т.е. вектор Н перпендикулярен Е и линии, которая соединяет заряд в запаздывающий момент времени с точкой наблюдения (но вектор Е имеет проекцию на эту линию). Каждая из напряженностей состоит из двух слагаемых: первое изменяется в пространстве как R~2 и не содержит ускорения заряда, а второе пропорционально ускорению v и убывает как /?"’. Слагаемые первого типа образуют квазистационарное поле, так как оно присуще и равномерно движущемуся заряду, а закон убывания с расстоянием — такой же, как у статического поля. Слагаемые второго типа описывают волновое поле излучения, поскольку оно медленно спадает с расстоянием и создает конечный поток электромагнитной энергии через замкнутую поверхность сколь угодно большого радиуса, окружающую частицу. Поле излучения возникает только при ускоренном движении заряда (v Ф 0).
34.3. Спектральное разложение потенциалов Пиенара — Вихерта. В случае апериодического движения частицы используем представление (32.28), положив в нем
/(г’, т) = ev(r)S(r' - s(r)).
Проинтегрировав сначала по dV ’, получим
е ~ v(r)exp(/WT+ /ш/?(т)/с)
(г) =- f---------—---------------dr. (34.15)
с R(t)
Фурье-образ скалярного потенциала запишется в виде
“ехр(/шт + иЯ(т)/с)
У’и (Н = е f-----------------dT- (34.16)
Жт)
Здесь Я(т) = I г - з(т) |.
Если движение частицы периодично с периодом Г = 2тг/ш0. то ее поле может быть разложено в ряд Фурье. Гармоника с частотой лш0 (п — целое) выражается интегралом
е т v(r)
Лп(г) -----f------ехр[/7?ш0(т- R(T)/c}]dT. (34.17)
сТ о Я(т)
Скалярный потенциал >рп (г) отличается от (34.17) отсутствием множителя v(r)/c.
Г лава VIII
ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
£ 35. ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
35.1. Угловое распределение излучения. Как уже отмечалось, на больших расстояниях от частицы выражения для напряженностей поля упрощаются; остается только волновое поле:
еп X [(л - v/c) X v] с2 Ж1-л -v/c)3
Н=пХЕ.
(35.1)
Вычислим поток энергии внутри телесного угла (Ш на больших расстояниях от частицы:
dl = 4nR*cin = -Z-E'lR1dtl. (35.2)
4я
или, подставляя (35.1),
dt е2[л X ([л - v/c) X у)]2 .
--- —11----------------- , (оо.Л dti 4тгс3 (1 — л • v/c)6
где все величины в правой части берутся в запаздывающий момент t'. Поток энергии на единицу телесного угла dl/d£l зависит от R только через временной аргумент t' = t - R(t') /с. Это означает, что поток энергии через площадки R2d£l внутри выбранного телесного угла t/П, находящиеся на разных расстояниях от частицы, в соответствующие моменты времени (с учетом конечной скорости переноса энергии) будет одинаковым — электромагнитные возмущения распространяются от генерировавшей их заряженной частицы на бесконечность. Они образуют поле излучения, которое, возникнув, отрывается от своего источника. Величина (35.3) и дает поток энергии изпучения, распространяющейся внутри единичного телесного угла.
Квазистационарное поле (т.е. слагаемые в (34.10), (34.13), не содержащие у и пропорциональные R ~2) таким свойством не обладает. С ростом R
11. М.М. Бредов
161
поток энергии квазистационарного поля внутри данного телесного угла убывает как R~2. Следовательно, квазистационарное поле остается все время связанным с частицей и не создает потока на бесконечности.
Проведем анализ углового распределения излучения (35.3) для некоторых частных случаев.
1. Нерелятивистская частица, v <с. Пренебрегая членами порядка v/c, получим из (35.3)
dl dSl
4irc3
[у2 - (л - v)2] = e *,~sin20, 4irc
(35.4)
где в - угол между ускорением (в запаздывающий момент г') и направлением наблюдения. Излучение распределено симметрично относительно направления у и максимально в направлении, перпендикулярном у.
2. Ультрарелятивистская частица, 7 = (1 - v2/c2)~V2 > 1, ускорение направлено вдоль скорости: у || у. Обозначая через в угол между ли v, получаем из (35.3)
dl e2y2sin20 юс с»
dn 4яс3[1 - (u/c)cos0]6
Высокая степень знаменателя, весьма малого при cos 0 & 1, приводит к тому, что почти все излучение сосредоточено в области малых 0 (хотя при 0=0 интенсивность обращается в нуль). В наиболее интересной области малых углов произведем разложения sin20 = 02, cos0 = 1 — О212. Учитывая, что v *с, получим
dl 16е2 v2 7,о(70)2
--=-----;----, , (35.6) сШ яс3(1+7202 )6
Излучение сосредоточено в конусе с углом раствора порядка нескольких 1/7. Это свойство излучения ультрарелятивистских частиц объясняется релятивистским преобразованием углов и уже было отмечено в § 2.
3. Ультрарелятивистская частица, ускорение перпендикулярно скорости: у 1 у. Простое преобразование числителя (35.3) приводит к формуле
dl - (1 -у2/с2)(л-у)2) ,.
* { А .tit (w5,7)
dn 4 яс3} (1-л-у/с)4 (1-л-у/с)6 J
которая после введения угла 0 между л и у записывается в виде
d! _ е2 у2 ( ______1_________(1 - и2/с2 )sin20cos2i|
dn 4яс3| [1 - (y/c)cos0]4 [1 — (u/c)cos0]6 J
Здесь- угол между плоскостями (у, л) и (у, у).
Распределение (35.В), как и (35.5), сконцентрировано в направлении вперед. При малых 0 оно имеет вид
dl 4е2У2 7е Г 47202cos2<^1
dn яс3 (1 + 7202 )4 L (1+7202 )2 J (35.9)
Выражение в скобках, как и должно быть, неотрицательно ни при каких значениях углов. Направления векторов поля в волновой зоне (т.е. поляри
зация волны) определяются формулами (35.1) и могут быть проанализированы для различных случаев движения частицы.
35.2. Потеря энергии и импульса заряженной частицей. Вычисленная в §31.1 величина d!/dn представляет собой поток электромагнитной энергии внутри единичного телесного угла, который может измерить неподвижный в лабораторной системе наблюдатель. Она отличается от скорости потерь энергии частицей за счет излучения в единичный телесный угол в данном направлении —d2&/dt'dП, где dt' — интервал "запаздывающего" времени. Очевидно, что порция d/dt электромагнитной энергии, излученной внутри телесного угла </П и проходящая мимо неблюдателя в интервале времени от t до t + dt, испущена частицей в интервале между t' и t' + dt’. Поэтому излученную частицей энергию —d2& нужно относить именно к интервалу времени dr' и к телесному углу dn, который совпадает с телесным углом наблюдателя, так как оба определены в одной (лабораторной) системе отсчета. Интервалы времени dt и dt’ также оба определены в лабораторной системе, но связаны соотношением
dt = (1 (35.10)
вытекающим из (34.6). Приревнивая энергию, испущенную частицей за время dt’, й энергию, прошедшую мимо наблюдателя за время dt, будем иметь с помощью (35.10)
d2& _ dl dt (, n-v(t')\dl
. “ , “ I I I “ JZ • f • /
dt dn dn dt' \ c /dn
Величина d!/dn согласно (35.3) зависит от аргумента t’. Это соотношение устанавливает связь между потерей энергии частицей и интенсивностью излучения, регистрируемой наблюдетелем.
Проинтегрировав (35.11) по всему телесному углу, получим полную (или суммарную по всем неправлениям) потерю энергии излучающей частицей:
= - f - d~- dn = J А - л</Q. (35.12)
dt dt dn \ c /dn
Как видно из (35.12), она не совпадает с полной интенсивностью
Величина —d&/dt’ является более удобной характеристикой излучения, чем полная интенсивность /, так как она релятивистски инвариантна. Чтобы в этом убедиться, сравним скорость потери энергии частицей в двух системах отсчета: мгновенно сопутствующей So, в которой частица в данный момент покоится, и лебораторной S, в которой честица имеет скорость v. В системе So интенсивность излучения (совпадающая со скоростью потерь энергии -tf&o/drо) дается формулой (35.4). Поскольку она — четная функция угла, то потери импульсе частицей в этой системе не происходит, dp0 = °-
Рассмотрим энергию —d&0, излучаемую частицей в сопутствующей системе за время dt0' == dr. С помощью преобразований Лоренца, учитывая, что
11
143
dp0 = 0, получим потерю энергии в системе S: (2x1/2
1 Z* • /
(2 V 1/2 у \
1-----— I . Отсюда для скорости
с2 /
пшерь энер| ии находим
-d&/dt' = -d&tJdT, (35.13)
что и доказывает релятивистскую инвариантность этой величины. Полная интенсивность / таким свойством не обладает.
Скорость потерь энергии (35.13) можно выразить через v и v, воспользовавшись (35.3) и проведя интегрирование по углам. Но более простой путь — релятивистское обобщение скорости потерь энергии —dti^/dr в мгновенно сопутствующей системе, основанное на релятивистской инвариантности этой величины. С помощью (35.13), (35.12) находим
-d&ldt' = / (d/0/d£2)d£2.
Но dl0/d£l — это интенсивность излучения (35.4) нерелятивистской частицы. Проинтегрировав (35.4) по телесному углу, получим
— dfi/dt' = 2eV(r')/3c3, (35.14)
где v — ускорение в такой системе отсчета, в которой v < с. Это важное соотношение называется формулой Лармора.
Релятивистское обобщение формулы Лармора очевидно: v2 следует заменить релятивистским инвариантом, переходящим при v 0 в v2. Таким инвариантом является взятый с противоположным знаком квадрат 4-ускорения — wkwk. При v -* 0 временная компонента wk = duk/dr обращается в нуль, а пространственная переходит в v. Таким образом,
d& 2е2 к
-----; =------г и/ и/,..
dt' Зс3 к
(35.15)
Определим теперь потерю импульса излучающей частицей. В сопутствующей системе, как уже отмечалось, dp0 = 0. В лабораторной системе с помощью преобразования Лоренца (5.15) находим:
vd&0
dp~------- "..i" ,<
с2\/1 —u2/c2
(35.16)
Отнесем эту потерю к "времени частицы" dt' в лабораторной системе:
dp
dt'
d&o
у/1 - i/2/c2 dt '
Но х/1 — и2/с2 dt' = dr — дифференциал собственного времени частицы, поэтому с учетом (35.13) получаем простую связь между потерями частицей энергии и импульса на излучение:
v / d& dt' с2\ dt'
(35.17)
Эта формула справедлива при любой скорости частицы.
Соотношения (35.15), (35.17) можно записать в единой релятивистски ковариантной форме:
dp' 2ег к j
dr Зс5 к
(35.18)
Выразим потерю энергии при произвольной скорости частицы через трехмерные величины. Вычисляем 4-ускорение,
к duk d , , ( 4 v • у j. . 4 »<* *) 1
w =—— = 7—, (7C,7»)=l7---------,7 * + 7 --j---/
dr dt \ c c‘ /
и находим его квадрат:
wkwk = — 76[ v2 — (у X у)2 Л:2 ].
Это позволяет записать релятивистское обобщение формулы Лармора через трехмерные величины:
dg 2е276 Г , (v X у2 )21
------ =----1- v2-2----------I (35.19)
dt’ Зс3 L с2 J
Если ускорение частицы создается внешним электромагнитным полем, его можно выразить через напряженности Е, Н. Из уравнения движения частицы, записанного в трехмерной форме, имеем
।-4V♦
. сг I с
(у • у)2 с2
И у У.
/777
Комбинируя последние два равенства, находим величину у2 - (у X у)2/с2 и получаем потерю энергии в виде
------I-с J
(35.20)
Ультрарелятивистская частица (7 > 1) теряет энергию на излучение со скоростью, пропорциональной квадрату ее кинетической энергии и квадрату напряженности внешнего поля. Исключение составляет случай, когда частица движется строго вдоль электрического поля при /7 = 0. При этом ускорение направлено вдоль скорости частицы, а скорость потери энергии
I d&\ _ 2е4Е2 l^dt' /ц 3/772с3
(35.21)
не зависит от самой энергии. Если же£ = 0, а Н =#= 0, то ускорение перпендикулярно скорости и
dg\ 2e472Z72v2
dr' / ± 3/772С5
(35.22)
2
При одинаковых напряженностях поля (Е = Н} отношение
(dg/dt'lx = 2 vj
(</8/Л')|( 7 с2
(35.23)
велико для ультрарелятивистской частицы, если только составляющая скорости перпендикулярная магнитному полю, не слишком мале. Этот результат показывает, что при произвольном ультрарелятивистском движении частицы главную роль играет ее излучение за счет поперечной составляющей силы.
35.3. Спектральное распределение излучения. Рассмотрим расстояния, большие по сравнению с размером области движения частицы и с длиной волны ее излучения:
г > s(t), г > X. (35.24)
В этой области, называемой волновой зоной, векторный потенциал (34.15) можно упростить. Представим Я(т) в виде
Я(т) = |г-з(т)| * r-n-s(r), (35.25)
где п = г /г — единичный вектор, s(t ) — радиус-вектор частицы. В знаменателе под интегралом (34.15) можно ограничиться нулевым приближением, Я(т) ^г.с точностью до членов sir < 1. Но в показателе экспоненты следует учесть и слагаемое л-з(т), поскольку произведение ws(r)/c =2irs(r)/X не обязано быть малым.. Следующие члены разложения (35.25), имеющие порядок s2/г и меньше, пренебрежимо малы на больших расстояниях.
Введя обозначение к = шп/с для волнового вектора излучаемой волны, получим из (34.15)
е e*p(ikr) °°
Аш(г) = ~ -------- f »(т)ехр(/шт - Л -s{T))dT. (35.26)
' с г —
Это — расходящаяся сферическая волна, ее амплитуда убывает вдали от источника как г"1.
При вычислении напряженности магнитного поля Нш = rot на больших расстояниях от частицы достаточно дифференцировать только экспоненциальный множитель, так как дифференцирование знаменателя приведет к членам относительного порядка (кг )-1 = Х/2яг< 1. В итоге получим
Нш=1кХАш. (35.27)
Вычисляя затем напряженность электрического поля из уравнения
IGJ
Максвелла для амплитуд Фурье-------Еш = гохНш, аналогичным образом
с
будем иметь
(35.28)
Из (35.27), (35.28) следует, что векторы ЕШ,НШ взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения л волны. Ранее, в § 27, 28, эти свойства поля излучения уже были отмечены для плоских волн. Сферическая волна на больших расстояниях от источника в малых областях пространства близка к плоской, чем и объясняются отмеченные ее свойства.
Вычислив Нш и с помощью (35.27), (35.28), получим /еа> ехр (/*/) °°
=-----— --------- f пХ (пХ »(т))ехр(/о>т - ik • s(r))dT,
С Г —«О
(35.29)
7ео> ехр(/Ат) »
= —- ------------ / n X »(т)ехр(/а>г -ik •
с г —»
Фурье-компоненты поля излучения (35.29), в отличие от (35.1), не содержат ускорения. Но в этом нет противоречия, так как подынтегральные выражения (35.29) можно преобразовать путем интегрирования по частям и использования тождеств типа
d я X (я X у) я X I(я — v/c) X у]
dt с(\—п-Мс) сг(\—п- Мс)г '
таким образом, чтобы в них входило ускорение частицы. При таком преобразовании, так же как и при записи интегралов (35.29), предполагается, что излучение (т.е. ускоренное движение частицы) длится конечное время, исчезая на±°°.
Интенсивность излучения на заданной частоте а> в данном направлении п с
равна произведению вектора Пойнтинга у = —I/Е, I л на элемент поверх-8я
ности сферы большого радиуса, окружающей частицу:
с/2/ с . .
------ = — \Н„\2г2.
dco d£l 8я
(35.30)
Эта величина усреднена по периоду изменения поля. Полная интенсивность излучения / получится в результате интегрирования (35.30) по всему телесному углу и по всем частотам от - °° до + °°. Поскольку = Н^, то при вычислении полной интенсивности можно удвоить интеграл и интегрировать только по положительным частотам:
» t/o> с
/ = /----- f ~\НШ |2r2t/Jl (35.31)
о 2я 4я
(ср.с (29.15)).
Величина под интегралом (35.31) имеет смысл дифференциальной интенсивности излучения на заданной частоте и в заданном направлении, отнесенной к единичному телесному углу и к единичному интервалу частот. Обозначив дифференциальную интенсивность через /лш, будем иметь с помощью (35.29)
е2о>2 I «
8я2с3 | -»
л X у(т)ехр(/о>т -/Л • s(t)) dr.
(35.32)
Эта формуле решает задачу о спектре и угловом распределении излучения заряженной частицы при ее заданном движении.
Излучение при нерелятивистском движении частиц будет детально рассмотрено в § 36. Здесь мы выясним качественные особенности спектра излучения ультрарелятивистских частиц. Выше было показано, что ультра-релятивистская частица излучеет в основном вперед, вдоль скорости v в узкий конус с углом раствора в0 = Му <1. Как оказывается, в зависимости
от свойств внешнего поля, в котором движется частица, можно выделить два характерных случая формирования спектра излучения.
1. Полный угол отклонения частицы во внешнем поле велик по сравнению с углом излучения 1 /у. С таким случаем мы имеем дело, например, при излучении частицы в магнитном поле. В данном направлении л частица излучает с малого участка траектории, на котором направление скорости изменяется на угол порядка 1/7. Длина этого участка /coh ^р/у, где р -мгновенный радиус кривизны, играет роль длины когерентности (или длины формирования излучения).
Пусть на длине /соь внешнее поле F меняется слабо:
pl V F | /7 < F.
Тогда скорость и ускорение частицы можно считать постоянными на такой длине. Далее, согласно (35.23), главную роль играет составляющая силы, перпендикулярная скорости. Поэтому в рассматриваемых условиях излучение близко к тому, которое испускает частица, движущаяся по окружности радиуса р.
Зная длину формирования излучения, можно найти интервал частот, определяющий спектральный состав излучения. Согласно (35.29), за время излучения г =^/coh/n ^p/yv фаза волны с частотой ш изменится на
Ду? = сот - л Д$(т)ш/с.
Здесь Д$(т) — смещение частицы за время т. Поскольку угол между л и » не превышает 1 /7 по порядку величины, то
л • Дз(т) vr р
с с ус
с точностью до членов порядка 1 /73. Оценивая приращение фазы, получим порядок величины:
шр / v \ шр
Д^^ ---- h-------U ~3- .
yv \ с / 27 с
Излучаться могут волны только таких частот, для которых Ду><^ 1; при Ду? > 1 волны внутри конуса излучения имеют большие сдвиги фаз и гасят друг друга. Интервал излучаемых частот определяется условием
с .
Дш<Сшс =—73. (35.33)
Р
При ш > ыс интенсивность излучения сильно (во многих случаях экспоненциально) уменьшается.
Если частица движется в однородном магнитном поле перпендикулярно его напряженности, то, согласно результатам § 11, р = ср/еН ъ тс2у/еН. При этом
еН 2
шс= ----у2. (35.34)
тс
Критическая частота шс пропорциональна квадрату энергии частицы и первой степени напряженности магнитного поля. Движение в магнитном поле строго периодично, поэтому спектр состоит из дискретных линий, расстояние между которыми равно частоте вращения релятивистской частицы S1 = есНЦо = еН/тсу. При у > 1 спектр становится квазинепрерывным. Максимум интенсивности излучения приходится на частоты порядка шг.
2. Полный угол отклонения за все время пролета частицей внешнего поля мал или порядка угла излучения 1/у. Все излучение происходит в узкий конус и определяется всей траекторией частицы (точнее, тем ее участком, на котором частица испытывает ускорение) Пример — излучение ультрарелятивистской частицы при рассеянии на малый угол (t?
1/у) в кулоновском поле ядра.
Пусть внешнее поле существует в области размером а (это может быть, например, радиус экранировки кулоновского поля). Частица будет испытывать ускорение в течение времени At' =» a/v ъ а/с. Для неподвижного в лабораторной системе наблюдателя этот процесс будет длиться в течение времени
At , / пv\ а а
Дг =» —; At =» I 1-----I - = ..— .
At \ с / с у2с2
Спектральный интервал оценим с помощью соотношения (29.24): До> % =» 1/Дг=»су2/а. Спектр в данном случае простирается вплоть до частот
С 2 — у2
а
(35.35)
Характерная частота, как и (35.34), пропорциональна квадрату энергии частицы.
§ 36. ИЗЛУЧЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ СИСТЕМЫ
ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
36.1. Электрическое дипольное излучение. Исследование излучения упрощается, если время распространения электромагнитных возмущений в пределах излучающей системы мало по сравнению с характерным временем движения заряженных частиц в системе:
Ис<Т, (36.1)
где I — размер системы, Т — время, за которое распределение зарядов существенно изменяется. При периодическом движении Т — это период, поэтому неравенству (36.1) можно придать форму
КХ. (36.2)
здесь X - длина волны излучения. Наконец, ЦТ =»и - характерная скорость частиц, и условие (36.1) сводится к требованию, чтобы указанная скорость была нерелятивистской:
(36.3)
Проанализируем поле излучения системы зарядов, удовлетворяющей условиям (36.1)—(36.3). Как мы видели в предыдущем параграфе, для этого достаточно вычислить векторный потенциал в волновой зоне (г > X) и учесть лишь члены, обратно пропорциональные расстоянию г до системы, так как только они дают вклад в излучаемую системой энергию.
Исходим из запаздывающего потенциала (32.22) и разлагаем | г - г ' | в ряд по отношению размеров системы к расстоянию г: | г — г' | г — п- г'. Представим плотность тока, стоящего под интегралом, в виде разложения
(, f п г' \ / г \ • I , г \ п г
г, t----+------ ) =/(г, t----)+/ (г, t---)------ + .... (36.4)
с с / \ с / \ с / с
где точками обозначены производные по времени. В знаменателе же подынтегрального выражения оставляем член нулевого приближения, заменяя |г - г' | на г.
Взяв из разложения (364) первый неисчезающий член, будем иметь
1 / , г \ ,
4(r,t)= — J/(r, t-- \dV. cr \ c /
Далее пользуемся тождеством
«7 = j ’ V'(ar -г') = V' • (/(в • г')] -a r'(V' -/),
где а - постоянный вектор, и получаем
(г \
г, t----)t/V = — а • /г'div/dV =
с /
Э , / , г \
= а — frplr,t------IdV .
dr \ с /
Здесь мы использовали уравнение непрерывности div/ + bp/bt = 0. Вспоминая определение дипольного момента (21.5), можем записать
J/(r', t -r/c)dV' = pit - r/c)
и pit — r/c)
A(r,t} =----------
cr
(36.5)
При вычислении напряженностей поля следует удерживать только члены порядка г-1, которые получаются при дифференцировании аргумента р (но не знаменателя):
р X п г
H=rotA — , л = —. (36.6)
С2Г г
Электрический вектор Е можно выразить через мегнитный вектор Н с помощью формул (27.13) для плоской волны, поскольку сферические волны в волновой зоне локально близки к плоским:
1р Хп)Хп
Е = НХп = ——:-----
*
(36.7)
Гармоники Фурье напряженностей поля, согласно (36.6), (36.7), выражаются через фурье-гармоники производной дипольного момента
(36. В)
С помощью (36.6) -(36.8) легко вычисляются интенсивность излучения на заданной частоте о> в данном направлении я, с со4
= Re[r= —3 |ршХл|2, (36.9)
Bit2 Bit2 с3
а также интенсивность излучения в единицу телесного угла,
dl с
----— л • (£ХЯ)г2 = dQ 4тт
р2 sin2 0 4irc3
r <Н 2P2
/•f— dn = — dSl 3c3
(36.10)
(36.11)
Последняя величина для одной излучающей частицы (р = ег) переходит в формулу Лармора (35.14).
Рассмотренное излучение называется электрическим дипольным излучением, поскольку все величины выражаются через производные от электрического дипольного момента. При равенстве нулю дипольного момента или при его постоянстве электрическое дипольное излучение отсутствует, и для расчета поля излучения нужно учесть следующие члены разложения (36.4). Такая ситуация возникает, например, в случае системы заряженных частиц с одинаковым отношением еа/та = т}:
р = 2 еага = т) "L mara=riR S ma. а а а
Здесь R — .радиус-вектор центра масс; в отсутствие внешних сил R = V = -const, R = 0, следовательно дипольное излучение обращается в нуль.
36.2. Квадрупольное и магнитно-дипольное излучение. Второй член разложения в правой чести (36.4) содержит по сравнению с первым членом, малый множитель r’/cT //Л< 1. Преобразуем его с помощью тождества
1 , • 1 , • • , 1 , •
— (и • г )/= — [(л • г )/ + (л 7)г 1 + — (г Х/|Хл.
с 2с 2с
Подстановка этого выражения в (32.22) дает векторный потенциал вида
m X п 19, , , ,
А = ------ + —-------fHnr'y + (nj)r']dV'. (36.12)
cr 2с г dt
Здесь m = — f [г' X j}dV’ — производная от магнитного момента системы 2с
по времени. Второй интеграл в (36.12) преобразуем с помощью тождества
fBdV = — frdivBdV, (36.13)
которое легко проверяется путем интегрирования по частям, причем В — вектор, отличный от нуля в конечной области пространства, а интегрирование производится по всему пространству.
С помощью указанного тождества находим
f (л r)jdV' = — f г (л • r')div/dV' - fr'ln j)dV'.
Использовав уравнение неразрывности div/ - — dp/dt, запишем векторный потенциал (36.12) в виде
m X л 1 92
А =-------+ —— — /г'(л • r')P dV . (36.14)
cr 2c2r dt2
Интеграл в (36.14) можно записать через электрический квадрупольный момент. Введя тензорные обозначения, будем иметь:
fx'a(n -r')pdv' = — n0f (Зх'ах'0 -r'26a0)p dV' +
3
+ — По f pr'2 dV' = — Qa0n0 + — па f pr'2 dV'.
(36.15)
В итоге находим векторный потенциал в волновой зоне: т X п Q п /, г \ ,,
А = ------- + —— + —— fplr, t------------)r 2dV . (36.16)
cr 6c r 6c г \ c I
Здесь
Qa = @aflnf3. (36.17)
a Qa0 — тензор квадрупольного момента.
При вычислении напряженностей поля последнее слагаемое в (36.16) не дает вклада, поле излучения выражается только через магнитный дипольный и электрический квадрупольный моменты:
1 ( .. 1 ... 1
Я=— (тХл)Хл +— Q Хл , с2г ( 6с )
(36.18)
1 ( .. 1 .. )
Е = — я X т + — (Q X л) X л . с2г ( 6с )
Обратим внимание на симметрию поля излучения электрического и магнитного диполей: поле магнитного диполя получается из поля электрического диполя заменой р~*т, Е ~+Н, Н ~^—Е. При гармоническом движении зарядов р = - и>2р, т = - ш2т, Q = iu>3Q, поэтому интенсивности электрического и магнитного дипольных излучений пропорциональны со4, тогда как электрическое квадрупольное излучение пропорционально со6.
В заключение вычислим полную интенсивность излучения системы, имеющей электрический квадрупольный момент Qa0 и магнитный дипольный момент т. С помощью (36.18) находим:
1 Л .. , 1 - , 1 .. ... I
/ =----г / (л1 X л)2 +------ (<?Хл)2------Л1 (О X л) сК2. (36.19)
4тгс3 ( 36с2 Зс J
Интегрирование здесь производится по всем возможным направлениям вектора л. Записывая
(т X л)2 - т2 — (тл л)2,
т • (О X л) = еа0ута Q0U пр пу, (36.20)
(Q X л) — @а0 Г10 пу О&0 Qpp /7^ /7р /7У,
убеждаемся, что интегрировать нужно произведения компонент единичного вектора.
При вычислении соответствующих интегралов удобно использовать их тензорные свойства. Так, интеграл /па п0 dSl /4тт является трехмерным тензором II ранга, не зависящим от ориентации координатных осей (поскольку по углам проинтегрировано). Существует единственный незави
симый тензор с такими свойствами — это единичный тензор Ьар, поэтому
— f nan0dSl = XSa/3. (36.21)
4я
Свертывая правую и левую части по паре индексов, находим X = 1/3. Аналогичным образом находим
1 1
j Па 1^(5 Пц Пу~ “““ Sдр + 5),
4ir 15
(36.22)
--- J па пв пу dSl = 0. 4я
Подставляя (36.20) - (36.22) в (36.19), получаем
1 = ~ т* 2 + Зс3 *
1 ***2
180с5 ° 0113'
(36.23)
По сравнению с интенсивностью (36.11) слагаемые (3623) содержат малый множитель (/Л)2 Поэтому они будут играть существенную роль только в отсутствие электрического дипольного излучения *>.
36.3. Поле на близких расстояниях. Если расстояние до системы движущихся зарядов удовлетворяет условию
/<г«Х, (36.24)
то вычисление поля, как и в волновой зоне, упрощается, но поле на таких расстояниях носит существенно иной характер и называется квазисгацио-парным. Условие (36.24) означает, что время распространения злектромаг• нитного возмущения до точки наблюдения г/с мало по сравнению с характерным периодом движения зарядов Х/с = Г, поэтому при вычислении потенциалов можно пренебречь запаздыванием:
. Plr'.t) ,
yHr, t) “ f --г dV ,
\r-r I
(36.25)
1 /(/, f) ,
А (г, t) = — J ----- dV .
C I г - r I
Лоле определяется мгновенными распределениями зарядов и токов в системе.
Разложение скалярного потенциала в ряд по отношению//г производится таким же образом, как и в статическом случае (см. § 21). Ограничи-
*) Казалось бы, что при р ¥ 0 и при необходимости учесть члены порядка (//X)2 следует взять сумму выражений (36.11) и (36.23) . Но недавно было выяснено, что это не так [104] : наряду с указанными членами в интенсивность излучения войдет
2 .. -
дополнительное слагаемое ---- (/>" Л), также имеющее порядок (//Х)‘.Внем
15с5
1<1 = “ J pr2xadV-f (ЗХцХд- t4a&}jpdV.
ваясь дипольным приближением, будем иметь q pit)-г
<д(г, t) = — + , (36.26)
г г
где q — полный заряд системы,
pit) = fr’plr', t)dV' (36.27)
— ее электрический дипольный момент.
При разложении векторного потенциала возникают некоторые отличия от статического случая. Производя разложение, как в § 25, получим с точностью до магнитно-дипольного члена
Alr,t) = —f jlr, t)dV' + fir- г') jlr', t)dV'.
cr cr
Второй член преобразуется к потенциалу магнитного диполя (25.9) Первый же член для нестационарной системы не обращается в нуль:
..............................Э , ,
fjlr,t)dV = - fr div jlr,t)dV = — frp(r,t)dV -pit), dt
Таким образом, векторный потенциал принимает вид pit) mlt)Xn
A(r,t) =----- +-------— .
cr г
Ему соответствует магнитное поле р X г 3rlm • г) т
(36.2В)
(36.29)
Последние два члена описывают поле магнитного диполя. Первый же член представляет собой поле, создаваемое элементарным током. Пусть, например, pit) = qlt)l, где / - расстояние между двумя одинаковыми по абсолютной величине зарядами диполя, а g(t) - величина положительного заряда. Тогда ток вдоль отрезка /, соединяющего заряды. Jit) = qlt). Магнитное поле за счет первого члена в (36.29)
Jit)
Hbs ~ J I/ X г] сг
представляет собой вычисленное по закону Био — Савара поле элементарного тока, текущего в отрезке /.
Комбинируя приближения, использованные в п. 36.1 — 36.3, нетрудно вычислить поле во всей области г > /, в том числе в переходной зоне г ®=X. Но мы не будем приводить здесь соответствующие, довольно громоздкие формулы.
36.4. Примеры излучения простейших систем.
Элементарный электрический ди пол ь. Такая система часто встречается в физике и технике и может быть реализовена многими способами, например, в виде короткого (/ < X) отрезка провода,возбуждаемого переменным током ,/(t) = Josinwt. Дпя наглядности предположим, что эпементерный диполь представляет собой две одинаковые приводящие сферы, соединенные проводником длиной /. В системе возбуждены электрические колебания, в результате которых заряды на сферах + q и — q периодически меняются: g(t) = 40сЬ$ыГ. Это вызывает колебания дипольного момента р = оо/ coswt и ток в проводнике J(r) Энергия, диссипируемая
в проводнике и расходуемая на излучение, восполняется внешним источником (генератором электромагнитных колебаний).
Ориентировав диполь вдоль оси г, получим с помощью (36.6) , (36.7) отличные от нуля компоненты поля в волновой зоне:
. „ w2p(t - г/с)
wy> = fe =------------sinfl. (36.30)
Как следует из (36.30), поле представляет собой расходящуюся сферическую волну с линейной поляризацией. Излучение максимально в экваториальной плоскости (0 = = я/2), а его суммарная по всем направлениям интенсивность дается формулой (36.11):
/ = 2ш‘р2/Зс3. (36.31)
Средняя по времени интенсивность, будучи выражена через дипольный момент, пропорциональна четвертой степени частоты:? = w'’pJ/Зс3, где р0 = е0/ — амплитуда дипольного момента. Но асли интенсивность выразить через силу тока, онв оказывается пропорциональной квадрату частоты: I = w’Jj/2/3c3.
Магнитный ротатор. Пусть тело, имеющее магнитный момент т, равномерно, с частотой ы вращается вокруг оси, составляющей угол а с вектором т. Найдем угловое распределение и полную интенсивность излучения, усредненные по вращению тела.
Напряженности поля в волновой эоне вычисляем по формулам (36.18), где полагаем Q- 0 ввиду отсутствия квадрупольного момента. Угловое распределение излучения
— = — г’£’(г) * —Ц- |иХ ml’.
(KI 4я 4яс3
Для вычисления правой части используем уравнение движения магнитного момента m = си X т. Из него получаем
т = ы X (ыХт) = - w’mj..
где mi — составляющая, перпендикулярная оси вращения. Таким образом, (л X т)2 = ы* [т| - (л • mi)2 ],
или
(л X m)2 = cj4m^(1 — sin’0 cos2 (cut — ^)),
где 0 — полярный угол, отсчитываемый от направления ы; wt и азимуты векторов Их и и в плоскости, перпендикулярной ы.
Усредняя по времени, находим окончательно:
<Н w’m’sin’a ,
--- = ----------- (1+cos20). (KI 8ясэ
(36.32)
Интегрирование по телесному углу дает / = 2ы4тг sin’a/Зс3.
Модель магнитного ротатора часто используют для объяснения электромагнитного излучения нейтронных звезд — пульсаров. Но механизмы излучения пульсаров намного более сложные, чем рассмотренный выше, так как звезда вращается в плазме и имеет плазменную оболочку — магнитосферу.
§ 37. ИЗЛУЧЕНИЕ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТЕЛ. АНТЕННЫ
37.1. Вектор Герца- Если излучателем является макроскопическое тело размерами 7 X, то разложение поля излучения по мультиполям неприменимо, и следует пользоваться точными выражениями (32.22), (32.23) для запаздывающих потенциалов. Количество неизвестных функций можно уменьшить, если вместо потенциалов А (г, г) и у»(г, г), связанных условием Лоренца (18.3), ввести одну векторную функцию Z(r,t), через которую
выражаются электромагнитные потенциалы:
1 dZ
u? = — div Z, А = — --- .
с Эг
(37.1)
Величина Z называется вектором Герца или поляризационным потенциалом.
Распределение зарядов и токов электронейтральной системы при этом целесообразно описывать с помощью одной векторной функции P(r, t) посредством соотношений
ЭР
р = —divP, /= -----. (37.2)
dt
P(r, t) носит название вектора поляризации (ср. с вектором поляризации вещества, введенным в § 2,ч. II книги). Связь зарядов и токов (37.2) с вектором поляризации обеспечивает выполнение уравнения непрерывности: divj + dpldt = 0. Полный заряд ограниченной системы при этом должен быть равен нулю,
р= J pdV=— f div PdV = f PdS=0, *oo у —> oo $
а полный электрический дипольный момент р выражается интегралом fPdV по объему системы. В самом деле, по определению р = f rpdV, или с помощью (37.2)
p = -frdwPdV=fPdV. (37.3)
Последнее равенство представляет собой тождество лри условии, что вне системы Р = 0, и свидетельствует о том,что вектор Р можно рассматривать как дипольный момент на единицу объема рассматриваемой системы движущихся зарядов.
Подчиним вектор Герца неоднородному уравнению Даламбера:
1 32Z
AZ------- —-=-4тгР. (37.4)
с ЭГ т э
Применяя к обеим частям (37.4) попеременно операторы —div и-------,
с Эг
мы получим уравнения для потенциалов (18.5), что доказывает правильность выбора уравнения (37.4) для вектора Герца. По аналогии с запаздывающими потенциалами (32.22), (32.23) можно записывать решение уравнения (37.4) для ограниченной системы в свободном пространстве:
Z(r, t) = f
P(r, t -|r -r' |/c) ----------;----- dV .
Ir-Г I
(37.5)
В заключение приведем выражения для напряженностей поля через вектор Герца:
1 Э
Е = rot rot Z - 4-пР, Н=---------rotZ. (37.6)
с dt
Они получаются с помощью (37.1) и (37.4).
37.2. Излучение антенны. Диаграмма направленности. Рассмотрим излучение проводника длиной I, в котором возбуждена стоячая волна тока (рис. 37.1):
J(z, t) = Jo sin[Ar(z +//2)1е~'“'. (37.7)
На концах проводника сила тока равна нулю, поэтому
к = ш/с = т-п/1, (37.8)
здесь т — число полуволн, укладывающихся на длине проводника. Такой проводник представляет собой простейшую (линейную) антенну, на примере которой мы рассчитаем излучение макроскопического тела.
Считая провод бесконечно тонким, записываем объемную плотность тока в виде / = ezJlz, t) б (х) б (/) и с помощью второй формулы (37.2) находим вектор поляризации:
Р(г,г) = —/(г, г). (37.9)
ш
Теперь вектор Герца может быть найден согласно (37.5). Рассмотрим расстояния, большие по сравнению с I. В знаменателе (37.5) полагаем
Рис. 37.1.
|г — г’ | = г, а во временном аргументе |г — г' | — z’ cos в. В этом
приближении вектор Герца выразится интегралом
iJo 'Г Г / , 1
Zlr, t) = е, — explikr — iwt) j sin I к I z + — II exp(— ikz cos 0)dz, ШГ -1/2 l \ 2/|
вычисление которого производится элементарно и дает
Zlr, Г) = ег
2УоС
explikr — iut) sin20
(та \
---cos 0 ) —т четное,
2 /J
(та \ |
— cos О | — т нечетное. 2 /
(37.10)
Вектор Н определяется по формуле (37.6). В сферических координатах
Я=е^,
2J0
cr
explikr - /а>г) sin 0
/ mat
— sin I — cos 0
\ 2
(mn
--- cos 0
2
— m четное.
— m нечетное.
(37.11)
12. M.M. Бредов
177
Далее находим угловое распределение излучения, усредненное по времени:
dl cr1 Jq
— =------ |W|2 =-----
d£l 8я 2m
— m четное,
— m нечетное.
(37.12)
Характер углового распределения излучения виден из полярных диаграмм, изображенных на рис. 37.2. Штриховой линией показано распределение тока по длине антенны, сплошной - угловое распределение излучения. Разделение диаграммы направленности излучения на отдельные лепестки связано с интерференцией полей, создаваемых разными участками антенны.
Излучение имеет наибольшую интенсивность в направлениях, определяемых осями наружных лепестков.
Энергия, излучаемая антенной в виде электромагнитных волн, черпается из энергии тока, возбуждаемого в антенне генератором электромагнитных колебаний. Поэтому с излучением можно связать некоторое дополнительное сопротивление, которое назывеется сопротивлением излучения и характеризует потерю электромагнитной энергии на излучение. Определим сопротивление излучения соотношением
Rr = 2TUl.
где / — суммарная по всем направлениям интенсивность излучения, усредненная по времени, Jq - амплитуда силы тока в антенне. Проинтегрировав интенсивность (37.12) по телесному углу, найдем
1
Rr = —[In (2ял?) + С + Ci (2ттт)], с
где
* cos г — 1
Ci(x) ₽ С + In х + / ------dt
о г
- интегральный косинус, С« 0,577 - постоянная Эйлера.
Сопротивление излучения выражает собой обратное влияние излучения на колебания тока в антенне.
37.3. Принцип взаимности. Рассмотрим два источника, характеризуемые распределениями тока /> и/2 и создающие монохроматические поля одинаковой частоты со. В силу принципа суперпозиции эти поля по отдельности
удовлетворяют системам уравнений
4 я iu> 4я iu>
rot Я1 = — /1-------£1, rot Н2 = — /2-----------Ег.
с с с с
(37.13) ш ш
rotEi ~ i — Hi, rot£2 = i — H2.
с с
Умножив эти уравнения соответственно на Е2, Н2, Ек, Hi и вычитая их попарно,получим
4я iw
div (Я, Х£2) = —/, -Е2-------(Ei -Е2 +Hi -Н2),
с с
4 я /ш
div(£G Х£,) = — /2 -El-------(El -Е2 +Hi -н2).
с с
Наконец, вычитая почленно получившиеся равенства, найдем
4я
div(tf, Х£2 -Н2 Х£,) =----(ji -Е2 ~j2 Ei). (37.14)
с
Проинтегрируем обе части уравнения (37.14) по всему пространству. Это дает
/Л -E2dV = fj2 EtdV+— f (HiXE2-H2XEi) dS, 4я s — “
где объемный интеграл преобразован в поверхностный с помощью теоремы Остроградского — Гаусса. В вакууме интеграл по бесконечно удаленной поверхности при наличии поля излучения отличен от нуля. Но реальные излучатели всегда находятся в среде, которая вызывает некоторое затухание электромагнитных волн. Поэтому поверхностный интеграл можно считать равным нулю, хотя на конечных расстояниях влияние поглощения может быть пренебрежимо малым. В итоге мы приходим к следующей формулировке теоремы взаимности:
fji E2dV = fj2 EidV. (37.15)
Для случая двух источников поля, размеры которых малы по сравнению с длиной волны, а расстояние между ними велико по сравнению с их размерами, равенство (37.15) допускает упрощения. При указанных условиях каждый из векторов £i и £2 можно считать постоянным в пределах другого источника и вынести за знак интеграла:
Ег fjidV = Ei fj2dV.
Далее применяем ранее неоднократно использовавшееся тождество
J/ dV = — Jr div/ dV
и с помощью уравнения непрерывности находим
Э „
$jdV=—— JrpdV=iwp,
где р — дипольный момент. Теорема взаимности для электрических дипольных излучателей принимает вид
Pi Ег=р2 Ei. (37.16)
Если дипольные излучатели представляют собой квазилинейные проводники, длины которых малы по сравнению с длиной волны излучения, то (37.15) можно придать другую форму. Заменяя j dV — Jdl и обозначая
fE2 dh = (/2(1), • dl, = U, (2)
— разности потенциалов, создаваемые источником 2 на концах проводника 1 и источником 1 на концах проводника 2,будем иметь
J,t/2(1)=J2(/I(2). (37.17)
Пусть ориентация первой антенны изменяется. В соответствии с ее диаграммой направленности будет изменяться и <7, (2). Но
(У2(1) = М2М)(Л(2).
т.е. наводимая на первой антенне разность потенциалов пропорциональна U{ (2). Следовательно, диаграмма направленности антенны в режимах приема и передачи одна и та же.
Это свойство, как оказывается, сохраняется и для произвольных антенных систем. Диаграммы направленности любой антенны при работе на прием и на передачу совпадают.
§ 38. РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
38.1. Взаимодействие заряженной частицы с собственным электромагнитным полем. Мы уже столкнулись в § 22 с трудностью определения собственной электростатической энергии заряженной частицы. Для точечной частицы эта энергия оказывается бесконечной. Введениа конечного радиуса частицы
г0=е2/тс2 (38.1)
и связанного с этим предположения о наличии у нее внутренней структуры позволяет сделать собственную энергию конечной . Но объект размером г0 не описывается классической теорией: квантовые эффекты становятся существенными уже на значительно ббльших расстояниях,
Л = Гт/хпс * 137 г0 • (38.2)
Параметр Л называется комптоновской длиной волны.
К сожалению, квантовая теория не разрешает трудностей, связанных с вычислением собственной энергии. В ней появляется, кроме бесконечной собственной энергии, еще одна бесконечная величина — добавка к заряду частицы *).
При ускоренном движении заряженной частицы возникает ее дополнительное взаимодействие с собственным полем. Ускоренное движение порождает излучение электромагнитных волн, что приводит, как мы видели в § 35, к потере частицей энергии и импульса. Следовательно, само движение частицы будет зависеть от излучения ею электромагнитных волн, и корректная постановка задачи о движении заряженной частицы требует включения в уравнение движения членов, учитывающих влияние излучения на движение.
Во многих случаях, однако, это влияние оказывается малым, что и позволяет считать движение излучающей частицы заданным. Количественный
*) Рассмотрение этих вопросов выходит за рамки классической электродинамики. С ними можно ознакомиться по книгам [8,18].
критерий малости реакции излучения можно получить, сравнивая потерю энергии на излучение за некоторое время Дг с изменением кинетической энергии частицы под действием внешних сил за то же время. Оценим обе энергии в системе отсчета, в которой скорость частицы — нерелятивистская:
Agrad * 2е2 у2 Дг/Зс3 <= 2е2 v Д v/Зс3,
где Ди — изменение скорости за время Дг; Д£к|П /л Д * • *.
Неравенство A£rad A&kin Дает
Дг =»и/й> 2е2!Зтс3 = 2г0/Зс = т, (38.3)
где т — время распространения электромагнитных возмущений на расстояние порядка классического радиуса частицы (множитель 2/3 написан для упрощения последующих 4юрмул). Наибольшее значение время т имеет для самой легкой элементарной частицы — электрона: те = = 0,63 • 10‘23 с.
При квазипериодическом движении частицы ее средние скорость и ускорение возвращаются к исходным значениям через каждый период Го = = 2я/ш0, и потерю энергии на излучение за период нужно сравнивать со средней кинетической энергией:
Д£rad * (2е2/2ш?/Зс3)Т0, ASkin ==/nwJ/2, где I — размер области движения частицы. Сравнение дает
70 >7 ИЛИ <л)07<1. (38.4)
Таким образом, реакцию излучения можно рассматривать как малый эффект, если движение частицы достаточно плавное: ее состояние слабо изменяется за время т или на расстояниях ст %г0-
38.2. Вычисление силы радиационного торможения из закона сохранения энергии. Рассмотрим движение нерепятивистской заряженной частицы под действием внешней силы Fo. При ускоренном движении частица излучает электромагнитные волны. Для учета реакции излучения добавим в правую часть уравнения движения силу реакции излучения Frad:
mi = F0+Fiad. (38.5)
Сконструируем силу Frad таким образом, чтобы работа этой силы за конечный промежуток времени была равна энергии, излучаемой частицей за то же время. С помощью (35.14) находим:
2е2
Д£га<1 =—г / ii 2(t )dt = -f Frad • v dt . (38.6)
Зс3 г,
Интегрируя по частям, получаем
G , 2е2 G 2е2 Ч .
/ Frad vt/T=-------- ii v +—- f v-vdt. (38.7)
rt Зс3 tt Зс3 rt
Во многих случаях слагаемое v • v I J - обращается в нуль. Это имеет место при периодическом движении, если t2 — f । равно периоду, или при движении в магнитном поле,когда* v =0, или при конечном времени ускорения, когда v (fj =v (f2) =0. Во всех указанных случаях, как следует из (38.7), интегральный баланс энергии будет соблюдаться, если 2е2
Frad=— V. (38.8)
В итоге уравнение движения (38.5) примет вид 2е2
Л7¥ = ГО + —г». (38.9)
Зс3
Мы установили вид силы радиационного торможения из нестрогих полу-качественных соображений. Применение более последовательных подходов *)либо приводит к той же самой формуле (38.8), либо требует рассмотрения неизвестной и не описываемой классической электродинамикой внутренней структуры элементарной частицы.
Лоренцева сила лучистого трения (38.8) описывает реакцию излучения не вполне удовлетворительным образом. Прежде всего, она повышает порядок уравнения движенья, так как содержит третью производную от радиус-вектора. Такая структура уравнения движения находится в противоречии с основными положениями классической механики, вся схема которой предполагает, что уравнения движения должны иметь второй порядок по времени. Поэтому некоторые решения уравнения (38.9) оказываются физически бессмысленными. Например, при Fo = 0 уравнение
2е2 ч =------ v
Зтс3
имеет решение
v (t) = »o +»ie,/r, (38.10)
которое описывает неограниченное самоускорение частицы в отсутствие внешних сил.
Но в тех случаях, когда сила лучистого трения (38.8) входит в уравнение движения как малая добавка к внешним силам, учитываемая по методу последовательных приближений, она дает физически осмысленные результаты (см. § 39). Эту силу приходится использовать ввиду отсутствия другого, более удовлетворительного описания реакции излучения.
Нетрудно сформулировать условия малости радиационной силы по сравнению с внешней электромагнитной силой. Записывая
Fo =е£о + “ »ХЯ0, (38.11)
с
находим из (38.9) в нулевом приближении по радиационной силе е . е е •
¥=—£о+ -------- »ХЯ0 +------ тХЯ0. (38.12)
т тс тс
В мгновенно сопутствующей системе v = 0, а ускорение в нулевом приближении имеет значение i = еЕо/т. С учетом этого получим из (38.8) и (38.12) следующее приближенное выражение для радиационной силы в мгновенно сопутствующей системе отсчета: 2е3 . 2е4
/7ad = -: Ео + —TV Ео X Яо . (38.13)
Зтс3 Зт2с
В периодическом внешнем поле Ео— 1ш0Е0, поэтому сравнение (38.13) с (ЗВ.11) в сопутствующей системе дает два неравенства:
со0т<1 или Х0>г0 (38.14)
и
Но < е/г2о = т2с* /е3. (38.15)
•) Их можно найти в книгах [44, 58, 11].
Первое из этих неравенств уже было получено раньше (см. (38.4)) из других соображений. Второе неравенство требует, чтобы внешнее поле было малым по сравнению с максимальным полем "клессической" частицы — протяженного объекта, имеющего радиус г0. Квантовые поправки ограничивают область применимости классической электродинамики значительно меньшими полями:
Но <т2с3/he = е/137 rj.
Сила радиационного торможения (38.8) допускает релятивистское обобщение. Приведем для справок соответствующее четырехмерное выражение:
d2u‘
и‘ик сРик
Зс3 \ dr2 с2 dr2 Пространственная часть R1 при v ->0 переходит в (38.8). Вывод (38.16) можно найти в книгах [44, 58,11 ].
(38.16)
§ 39. ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН ОСЦИЛЛЯТОРОМ
Излучение, поглощение и рассеяние волн атомными системами — это квантовые процессы, последовательное описание которых возможно только на основе квантовой механики и квантовой электродинамики. Но многие качественные характеристики этих явлений хорошо передаются моделью взаимодействия электромагнитных волн с гармоническим осциллятором. Под осциллятором мы будем понимать заряженную частицу, связанную с некоторым центром упругой силой. Последняя моделирует связь электронов в атомах.
39.1. Излучение осциллятора. Естественная ширина спектральных линий. Пусть электрон, связанный с началом координат изотропной упругой силой Fe = —тшоГ, совершает свободные колебания. В отсутствие излучения нерелятивисткое уравнение движения электрона имело бы вид
тг + тыоГ = 0. (39.1)
и описывало бы незатухающие гармонические колебания с частотой to0. Но реакция излучения, как мы видели в § 38, приводит к появлению силы радиационного трения
2е2
Fr = —- г, Зс3
которую следует добавить в правую часть уравнения (39.1):
- 2 2в’
г + Wo г = —--
Зтс3
Решение будем искать методом последовательных приближений, считая силу радиационного трения малой. В нулевом приближении г = -о>оГ, поэтому г = — Шо г . Введя обозначение '
2е2Шо
7 Зтс3
где г0=е2/тс2, получим уравнение движения осциллятора с трением:
г + уг + Ыо г = 0. (39.4)
(39.2)
2 too ~----го,
Зс
(39.3)
Здесь 7 <ш0. если ш0<с/г0 или Х0>г0. Для электрона w0< 1023с-1, что соответствует энергии 7-квантов £7 = h 100 МэВ.
Решая (39.4) с учетом малости 7, в пренебрежении членами (7/соо)2 найдем:
r(t) =дехр(-7Г/2-/а>0Г), (39.5)
где а — начальная амплитуда осциллятора. Поскольку поле излучения заряженной частицы пропорционально г = — , то в волновой зоне
Е = £оехр(-yt/2 -iwot}, (39.6)
где Ео — зависящая от координат амплитуда поля. С таким сигналом мы уже имели дело в конце § 29. Он приводит к распределению интенсивности излучения по частотам вида (29.28):
I _ / 7 1
ш ° 2тг (ш - ш0)2 + 72/4
(39.7)
Постоянная /0 — это полная интенсивность:
/о = / о
Отсутствию лучистого трения соответствует 7~»0. При этом, согласно (Д-IV. 17), 7 1
--------------:---:— S (ш - ш0), 2я (ш - ш0)2 + 72/4 7-о
и спектральное распределение становится бесконечно узким: /ы =/06(ш-ш0). (39.8)
Таким образом, учет радиационного трения приводит к качественно новому эффекту — конечной ширине спектра излучения.
Квантовомеханический расчет дает для атомных спектров такую же форму линии (39.6), что и классическая модель осциллятора, но с другим значением постоянной 7 . Такая форма линии называется лоренцевским контуром, а постоянная 7 — естественной шириной линии. Обратная величина т = 7~* характеризует время жизни возбужденного состояния осциллятора: за время порядка нескольких т осциллятор высвечивается и его колебания прекращаются.
В реальных условиях форма и ширина спектральных линий атомов определяются не только реакцией излучения, но и другими факторами, среди которых главную роль обычно играют столкновения атомов и их тепловое движение.
39.2. Рассеяние электромагнитных волн осциллятором. Рассмотрим взаимодействие плоской монохроматической волны с осциллятором. В правую
часть уравнения (39.2) нужно добавить сипу взаимодействия заряженной е ( 1 \
частицы с полем волны — IF + — v ХЯ). Но магнитная составляющая m \ с /
сипы Лоренца для нерепятивистской частицы имеет относительный порядок v/c < 1. Пренебрегая этой силой, запишем уравнение движения:
2е2 ...
г + шог = е£оехр(/Л г - wt) +-- г. (39.9)
Зтс3
Но и в таком виде уравнение слишком сложно. Поэтому введем дальнейшие упрощения: а) будем считать амплитуду колебаний электрона а малой по сравнению с длиной волны внешнего поля, а <Х0, чтобы можно было положить exp (ik • г ) 1; б) учтем радиационную силу по методу последо-
вательных приближений, т.е. подставим в нее г = —w2r + е£оехрС—!ол}' . Это позволяет получить окончательное уравнение движения:
е
г + ш20г + уг= — Еое~1шг, (39.10)
т
где в правой части отброшен член порядка roft •< 1.
В задаче рассеяния достаточно найти частное решение уравнения (39.10), колеблющееся с частотой вынуждающей силы, поскольку собственные колебания осциллятора затухнут за время 7'1. Получаем
(e£oA”)exp(-/wt) а>о — ш2 — /а>7
(39.11)
и находим дипольный момент колеблющейся частицы: р = ег. Далее с помощью формулы (36.10) находим усредненную по времени интенсивность излучения вторичных волн осциллятором:
di 1 .. ,
---- -------- Ip X л I2 .
dn Bite3
(39.12)
Процесс рассеяния обычно характеризуют эффективным дифференци альным сечением
do _ 1 dl dn 7о dn
(39.13)
где 7о = cl £012/8я - средняя по времени плотность потока энергии в падающей волне. Угловое распределение рассеянного излучения зависит от характера поляризации падающей волны.
1. Рассеяние линейно-поляризованной в о л н ы. При этом Ео = Еое, где е — действительный единичный вектор поляризации. С помощью (39.11) - (39.13) находим
do 2 w4sin20
dn Г° (w2 -wj)2 +w272
(39.14)
где 0 - угол между e и направлением распространения рассеянной волны.
2. Циркулярно-поляризованная волна. Выбирая ось z вдоль направления ее распространения, полагаем Ео = Ео (ех ± iey} I\f2 и получаем
do Го со4 (1 + cos2$)
--- =— —:------------ГТ (39.15) dn 2 (ш2 - Wo)2 + w272
где $ — угол между направлением распространения падающей волны и направлением рассеяния. Сечение не зависит от направления вращения вектора Ев волне. Поскольку неполяризованную волну можно рассматривать как некогерентную смесь двух циркулярно-поляризованных волн с равными интенсивностями и противоположными направлениями вращения (см. п. 30.3), то сечение рассеяния неполяризованной волны описывается той же формулой (39.15).
Интегрируя (39.14) и (39.15) по телесному углу, получаем для этих случаев одинаковые значения полного эффективного сечения рассеяния:
8irrJ о = ------
3
w4
(w2 - Wo)2 + w272
(39.16)
При частотах, близких к w0, т.е. при I w — wol < w0, общую формулу (39.16) можно упростить. Полагая w+woa2wo и оставляя члены с разностью w — w0 только в знаменателе, получим
2irrj _____ш2_______
3 (w-w0)2+72/4
(39.17)
Зависимость от частоты — такая же, как для спектра излучения осциллятора (39.6). При w= Wo имеется резкий максимум:
_ 8irrJ / w0 \2
°tnax = _ I I
3 \ у J
Если рассеяние происходит вдали от резонанса, w> w0, то
8* 2
о = — rj = const 3
(39.18)
— зависимость от частоты исчезает. Фактически, однако, применимость формулы (39.18) ограничена сверху условием hw</nc2 — энергия отдельного кванта электромагнитного поля должна быть мала по сравнению с энергией покоя частицы. 8 противном случае нужно учитывать квантовые эффекты.
В области малых частот, w< w0, 8ттг2 / w \4
а- ----- ( — | (39.19)
3 \ w0 /
— полное сечение пропорционально четвертой степени частоты.
Полученные выше результаты позволяют построить простую модель поляризации среды в переменном поле. Пусть в среде имеются осцилляторы разных сортов, с различными собственными частотами w7- и постоянными затухания yf. Полное число осцилляторов на единицу объема п, причем относительная доля осцилляторов сорта / равна fj. Под действием внешнего поля каждый осциллятор колеблется по закону (39.11). Дипольный момент на единицу объема среды Р мы получим, умножив каждое г; на заряд электрона и просуммировав по всем осцилляторам:
е2п
P = enZ f/rj =--------S
i m i
fjEoexp(-iut)
W;? — W2 ~1ШУ;
(39.20)
Коэффициент пропорциональности между поляризацией Р и электрическим полем £ = Еоехр (—/wt) называется диэлектрической восприимчивостью среды:
m j w2-w2-/w7;
(39.21)
Квантовомеханический расчет для разреженной газообразной среды дает для х выражение, совпадающее по форме с (39.21). Роль собственных частот осцилляторов w7- играют частоты переходов wm„ - (£m — $,) /h между различными уровнями энергии атомов.
S 40. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН СВОБОДНЫМИ ЧАСТИЦАМИ
40.1. Формула Томсона. Дифференциальное и полное сечения рассеяния электромагнитных волн свободной заряженной частицей легко получить из предыдущих результатов для осциллятора, положив ш0 = 0 и пренебрегая радиационной силой (которая дает вклад порядка г 0/Х < 1). В итоге получим:
для волны с линейной поляризацией из (39.14)
da , ,
—— = r1 2sin20, (40.1)
а для циркулярно поляризованной или неполяризованной волны из (39.15) do 1
— = — rg(1 + cos2d). (40.2)
d£l 2
Интегрирование по углам приводит к формуле (39.18) для полного сечения (формуле Томсона}:
8тг / е2 \2
Полное сечение является универсальной постоянной, не зависящей от частоты волн до тех пор, пока выполняется условие применимости классического расчета ti тс2.
Рассеяние волны частицей сопровождается действием на частицу некоторой силы F со стороны рассеиваемого поля. В первом порядке по амплитуде поля F = eEoe~iut. Эта сила обращается в нуль при усреднении по периоду поля.
В следующем приближении средняя по времени сила отлична от нуля и определяется импульсом поля, поглощенным частицей в единицу времени. Излучение же вторичных волн нерелятивистской частицей связано с изменением ее импульса, как было показано в п. 35.2. Плотность импульса в плоской волне, согласно (16.29), (28.12), есть
1 ----- Г —,
g = ---- lEXff] = ------ Е2п. (40.4)
4ттс 4ттс
Поглощаемый частицей в единицу времени импульс есть ego. Таким образом,
F='/, г§1£012л, (40.5)
где Ео — амплитуда волны. Сила направлена в сторону распространения падающей волны.
40.2. Когерентное и некогарентное рассеяние. Рассмотрим теперь взаимодействие плоской монохроматической линейно-поляризованной волны с системой одинаковых частиц, совершающих колебания, каждая около своего положения равновесия г;- . Мы по-прежнему будем пренебрегать неоднородностью падающей волны в пределах области колебаний отдельной частицы, но расстояние между частицами может быть произвольным по сравнению с длиной волны. Поэтому на частицу с номером/ будет действовать поле Е = Еоехр (7А0 • г/ — /wt), а ее радиус-вектор
Гу = a ехр (ik0 • г; - 7w г), (40.6)
где а —амплитуда колебаний, одинаковая для всех частиц, кй — волновой
вектор падающей волны. В случае упруго связанной частицы, согласно (39.11),
еЕп/т
а = —--------—'---- . (40.7)
а>о - аг -/ш?
а для свободной частицы следует положить а>0= у = 0.
Поле излучения в волновой зоне можно записать по принципу суперпозиции, пользуясь (36.6) и условием vic < 1:
Я = S [erjit'A X л] =
/ c2R/ 1
ш2
= - 2 — [р X л] ехр {/Ло • г, Rj/c)} . (40.8)
i с Rj
Здесь р = еа, Rj = Ir -Г/1, где г отсчитывается от некоторого начала координат внутри объема, занимаемого частицами. Аппроксимируя в показателе экспоненты R/ = г — л • г;,а в знаменателе R/ = г, находим ш2 (л X р)
Я = ----------ехр[/(Л г - шг)] S ехр(-/^-Г/), (40.9)
с* г j
где q = к — к0 — изменение волнового вектора при рассеянии, а к = шп/с — волновой вектор рассеянной волны.
Обозначив эффективное дифференциальное сечение рассеяния волн зарядов через dS/d£l и вычислив его по формуле (39.13), по-
N |2 do
2 exp(-ty n) ------- (40.10)
i=\ I dSl
ш4(л Xp)2
c4l£012
— сечение рассеяния одиночной частицей, которое было вычислено раньше и дается формулами (39.14), (39.15) либо (40.1), (40.2).
Множитель
N
F(co,n0,n} = I 2, ехр(—/</ zy) 12 (40.11)
представляет собой фактор когерентности, показывающий, в какой мере рассеяние системой зарядов отличается от рассеяния на отдельной частице. Он сильно зависит от соотношения между обратным переданным импульсом q~l и размерами области, в которой движутся частицы. Рассмотрим два предельных случая.
1. Переданный импульс мал, так что для всех j I q - г, I «С 1. Заменяя в (40.11) экспоненты единицами, имеем
F = N2, (40.12)
где N — полное число рассеивателей. Это — случай полностью когерентного рассеяния, когда поля от отдельных частиц складываются в одной фазе. Сечение пропорционально квадрату числа рассеивателей:
dS/dtl = N2 do/dtl. (40.13)
системой лучим dS dSl
Здесь do dQ.
Если рассеиваются длинные волны, Х>г,, то формула (40.13) справедлива при всех углах рассеивания. Если же Х<С rj, то (40.13) справедливо только при рассеянии на малые углы, при которых qrj < 1, несмотря на то, что krj ^1. Поскольку q = 2к sin в /2, где в — угол рассеяния, то область углов, в которой работает формула (40.13), дается неравенством
0<ес^1/к1. (40.14)
Здесь / — размер области, занятой зарядами, 6С — характерное значение угла рассеяния.
2. Переданный импульс вепик, I q -Г; I > 1. Запишем (40.11) в виде N
F= S exp [iq (г, - )] + S exp [iq • (r, - r,)]. /=1
Первая сумма, очевидно, равна N. Значения же второй суммы зависят, вообще говоря, от расположения зарядов, и если оно является случайным, то при достаточно большом N произойдет взаимное гашение осциллирующих слагаемых ехрЕ/'ф- (г,-Г/)]. Поэтому будем иметь F=N, dSldtl= Nda/dSl. (40.15)
Здесь складываются не амплитуды, а интенсивности волн, рассеянных отдельными частицами, и эффект пропорционален числу рассеивателей, а не их квадрату.
Рассмотренные выше интерференционные эффекты наблюдаются, например, при рассеянии рентгеновских лучей атомами и кристаллами.
Часть II
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ И НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ СРЕД
Г л а в а 1
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ И НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ СРЕДАХ
§ t. МАКРОСКОПИЧЕСКИЙ И МИКРОСКОПИЧЕСКИЙ подходы
К ОПИСАНИЮ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ В СРЕДАХ
Уравнения Максвелла, которые были сформулированы и изучены в ч. I, справедливы и тогда, когда кроме электромегнитного поля и создающих его зарядов имеется еще и взаимодействующее с этим полем вещество. Заряды, из которых состоит вещество, под действием электромагнитного поля могут двигаться, поэтому в среде возникают токи; плотность этих наведенных токов будем обозначать буквой/.
Перегруппировка зарядов приводит к появлению областей пространства с не равной нулю плотностью заряда р. С другой стороны, эти наведенные заряды и токи сами должны быть источником электромагнитного поля. Возникает положение, при котором электромагнитное поле определяет движение зарядов и токов в веществе и в то же время само определяется им же наведенными зарядами и токами. Если изменение напряженностей электрического и магнитного полей, обусловленное взаимодействием поля с веществом, порядка напряженностей исходного поля, задача сводится, как говорят, к нахождению самосогласованного электромагнитного поля. Решение такого рода задач и составляет предмет электродинамики сред.
Из этого определения электродинамики сред вытекает и то, какое количество вещества следует считать средой. Пока вещества так мало, что изменение электромагнитного поля, обусловленное наведенными в веществе зарядами и токами, относительно мало, соответствующая задача может решаться методами, развитыми в ч. I книги. Иначе говоря, в этом случае мы имеем дело е движением зарядов в заданном поле. При этом не только заряды и токи, но и само наведенное этими зарядами и токами электромагнитное поле может быть найдено по уже известному после решения первого этапа этой задачи движению зарядов. Влиянием же возникающего поля на движение зарядов можно пренебречь. Если же этого сделать нельзя, вещество следует считать взаимодействующей с полем средой.
Другая причина, по которой движение составляющих вещество частиц нельзя рассматривать как движение в заданном поле, есть тепловое движение частиц среды и их взаимодействие друг с другом, не сводящееся к взаимодействию через самосогласованное электромагнитное поле.
1.1. Микроскопические уравнения поля. Сторонние и наведенные заряды и токи. Основу электродинамики сред составляют микроскопические уравнения Максвелла, справедливые всегда, когда справедлива сама класси-190
ческая теория электромагнитного поля:
1 ЭЯ rot£ =-----— ,
с dt
4п 1 Э£
готЯ = — (/+/ех«)+ , (1.П
с с dt
div Н = О,
div£ = 4fr(p + Pexth
Токи и заряды в (1.1) состоят, вообще говоря, из двух частей. Величины j и р в этих уравнениях должны считаться функциями (точнее, функционалами) напряженностей Е и Я тех же самых полей, которые эти заряды и токи в значительной степени сами и определяют. Часть зарядов и токов может быть обусловлена внешними по отношению к данной задаче причинами. Такие заряды и токи, не зависящие от £ и Я, иногда называют сторонними и обозначают как pext и/ext.
Характер решения электродинамической задачи в очень большой степени определяется видом зависимости величин р uj от напряженностей £ и Я. Эта зависимость, в свою очередь, определяется характером движения зарядов в полях и, в принципе, может быть найдена из решения уравнений (механики — классической или квантовой.
Уравнения механики для каждой частицы среды могут быть символически записаны в виде уравнений Ньютона*):
/ 1 \
Л7г = е1£+— тХЯ1 + £ехс. (12)
\ с /
В правую часть уравнения Ньютона кроме силы Лоренца входит также сила Fext неэлектромагнитного происхождения (такие силы могут быть связаны, например, со столкновениями частиц, а также гравитационным или ядерным взаимодействием).
Совместное решение системы уравнений поля (1.1) с уравнениями механики (1.2), в принципе, полностью определяет электромагнитное поле. Такой подход к описанию электромагнитного поля в средах называется микроскопическим, а сами поля £ и Я — микроскопическими полями.
Однако столь детальное описание поля в средах, как правило, невозможно ввиду невообразимо большого числа уравнений типа (1.2), поскольку такое уравнение нужно написать для каждой частицы вещества. Более того, такое детальное описание в большинстве случаев и не нужно. Это означает, что свойства вещества, проявляющиеся в том, какой вид имеют функции j и р (описывающие реакцию вещества на электромагнитное поле), следует описывать статистически. Иными словами, уравнения Максвелла следует усреднить по статистическому ансамблю. (Понятие статистического ансамбля обсуждалось в § 30 в связи с некогерентными полями излучения.) Усредненные по ансамблю уравнения Максвелла и следствия из них и являются предметом изучения электродинамики сред.
Иногда (с таким случеем мы встречаемся в гл. V) это усреднение является единственным усреднением, которое необходимо провести. Чаще, однако, производят еще одно усреднение — по физически малым объемам. Дело в том, что микроскопическое электромагнитное поле в любом веществе
•) Фактически, удобнее может оказаться решать уравнения движения в лагранжевой или гамильтоновой форме или их квантовые аналоги.
испытывает очень сильное и нерегулярное изменение в пространстве и во времени.
Пусть, например, среда состоит из отдельных нейтральных атомов. Если измерять или вычислять микроскопические значения поля, т.е. его значения в отдельных точках в фиксированные моменты времени, то окажется, что наиболее сильным (порядка 1016 в гауссовой системе) электрическое поле будет в областях с размерами около 3 10"13 см, занятых атомными ядрами. При удалении от ядра поле будет ослабевать и станет весьма малым на расстояниях, превышающих характерный размер электронной оболочки. При попадании в область пространства, занятую следующим атомом, снова произойдет резкое увеличение поля, и тд.
Движение атомов приведет к добавочным временным флуктуациям поля. Такие быстрые флуктуации микроскопического поля имеют место в плазме, в кристаллах и в других средах и происходят на расстояниях порядка расстояний между соседними частицами вещества (атомами, молекулами, ионами).
1.2. Усреднение уравнений Максвелла. В большинстве случаев не требуется детального знания микрополей в веществе. Чаще всего (но бывают и исключения) интерес представляют те значения электромагнитного поля, которые усреднены по некоторым конечным областям пространства и по соответствующим промежуткам времени *). В результате такого усреднения микрофлуктуации, связанные с дискретной структурой вещества, оказываются сглаженными. Усредненное таким образом электромагнитное поле называется макроскопическим.
Усреднение поля имеет смысл производить по области пространства, внутри которой находится большое число частиц среды, но которую можно считать малой по сравнению с другими характерными для физической системы размерами. Например, область усреднения должна быть мала по сравнению с длиной электромагнитной волны, если в системе имеются электромагнитные волны. Введенный таким образом объем Д V будем называть физически мапым (или макроскопически малым}. Промежутки времени Дг, по которым имеет смысл проводить усреднение, должны превышать характерный "период" движения зарядов в физически малом объеме.
Для перехода к макроскопическому описанию нужно прежде всего усреднить по пространству и времени уравнения Максвелла (1.1). Определим среднее значение некоторой компоненты Л (г, г) электромагнитного поля обычным образом:
1 , +д'/2
h (г, г) = --- / d3p J drh{r + р, t + г). (1.3)
ДУДГ (дг) -ьф
Здесь Дг — соответствующий макроскопически малый промежуток времени, d3p — элемент объема ДУ, центр которого можно выбрать в точке с радиус-вектором г.
Определенное таким образом среднее (макроскопическое) поле является функцией координат и времени. Дифференцируя обе части (1.3) по какой-либо координате или по времени г (соответствующую переменную
*) Последнее, соглесно представлениям статистической механики, соответствует основному усреднению по ансамблю. Усреднение по физически малым объемам и промежуткам времени адекватно процедуре измерения полей макроскопическим прибором, так как такой прибор (из-за конечных размеров датчиков и инерционности) производит указанное усреднение в процессе измерения.
обозначим буквой х); будем иметь:
bh
Эх
1 , Д»/2
----- J d3p f ДУДГ (АГ) — Аг/2
dr
bh(r + & t + т) Эх
или bh bh
bx bx
(1.4)
Те же средние получатся и в случае усреднения по ансамблю. Чтобы в этом убедиться, запишем согласно равенству (30.7) из ч. I книги:
_ Л'(г, t) + h”(г, t) + . . .
h (г, t) = lim -----------------,
N—“ N
где h '(г, t), h "(г, t) и т.д.— микроскопические значения поля, соответствующие разным системам ансамбля.
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим снове (1.4) (в предположении, что операции дифференцирования и перехода к пределу переставимы). Таким обрезом, производнея от среднего равна среднему значению производной. Поэтому можно написать:
____ _ ________ _ Зя ьн
rot Е = rot Е, div Н = div Н, -- =---- и т.д.
Эг Эг
Следовательно, после усреднения по физически малым объемам и времени уравнения Максвелла принимают вид:
_ 4п _ _ 1 ЭТ”
го1Я =— (/+/ext) +----------
с с ЭГ
div Я = 0,
div£ = 4тг(р + pext).
В макроскопической электродинамике среднюю напряженность £ макроскопического электрического поля принято обозначать через Е, опуская знак усреднения. Среднюю же напряженность магнитного поля Я принято обознечать через В и называть вектором магнитной индукции. Кроме того, принято также опускать черту усреднения и у величин/,/ext, Р, понимая в дальнейшем под/,/ext. Р усредненные (макроскопические) значения этих величин. В таких обозначениях системе уравнений Максвелле (1.5) примет вид:
Е =---
bt
4тт 1 ЬЕ
rot 5= — ( /+/ext) +-------— >
с с bt
div В = 0, div£ = 4тт(р +pext).
13. М.М. Бредов
(1.6)
193
Уравнения (1.6) сохраняют свой вид независимо от величины области усреднения, которую можно выбрать в соответствии со спецификой задачи и экспериментальной методикой измерения полей и других макроскопических величин.
Система уравнений (1.6) не является полной до тех пор, пока не установлена зависимость либо между усредненными значениями плотности наведенных зарядов и токов в веществе р v\j и макроскопическими напряженностями полей ЕпН, либо между р и/ с одной стороны и pext и /сх t — с другой. Обычно для установления такой связи привлекают статистические представления о движении частиц вещества — вводят в рассмотрение функцию распределения f (г ,р, г) частиц в исследуемом электромагнитном поле (при квантовом описании вещества — матрицу плотности). Функция распределения — это средняя плотность числа частиц в фазовом пространстве, которая уже рассматривалась в § 6,13, 16 ч. I. Произведение flr.p, t)d3rd3p дает среднее число частиц, координаты которых лежат в физически малом объеме dV ~d3r, а компоненты импульса—в объеме d3p импульсного пространства. Знание функции распределения позволяет найти наведенные полем токи j(r, Г) и заряды р(г,Г)*). Функция распределения может быть найдена из решения уравнения, которое называется кинетическим.
Описание электромагнитных свойств среды с помощью кинетических уравнений для функции распределения является наиболее подробным способом описания. Кинетический подход позволяет выяснять тонкие детали физических явлений и доводить решение задачи "до числа", выражать ответ через микроскопические параметры, характеризующие структуру и свойства среды. Такой способ описания является, однако, весьма сложным и требует достаточно подробной информации о структуре среды. Недостаток этой информации заставляет вводить различные феноменологические модели или использовать экспериментальные зависимости между j, pvtE,B.
Часто, например, считают (и это подтверждается экспериментом при слабых, по сравнению с атомными, полях), что величины j и Е связаны соотношением
j = aE, (1.7а)
известным как закон Ома (в дифференциальной форме). Формула (1.7а) в том виде, как она здесь написана, справедлива только в случае изотропных сред. В анизотропных средах закон Ома принимает вид
jot ~ (1.76)
При этом а является макроскопической характеристикой вещества и не зависит от Е.
Важно, однако, отметить, что формулы (1.7) и другие подобные феноменологические соотношения справедливы далеко не всегда. Хорошо опи
*) Найденные с помощью функции распределения величины /и р являются средними по ансамблю. Эти величины выражаются через функцию распределения с помощью формул
Р (г. Г) = е / f!r,p. t}d3p, / fr, г) = е / v fir, р, t}d3p.
При наличии в веществе разных сортов частиц нужно знать функции распределения частиц каждого сорта и просуммировать правые части написанных уравнений по всем сортам частиц. Следует, наконец, добавить, что при усреднении по ансамблю в случае макроскопических теп соответствующие средние достоверно предсказывают результаты также и каждого единичного опыта.
сывая некоторую совокупность экспериментов при одних условиях, они могут оказаться неадекватными действительности в новых условиях. Для примера укажем, что в сильных полях и в анизотропных средах вместо (1.7) следует пользоваться соотношением
Л» ~ QaffEp + Чару ЕрЕу » (1.8)
где по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3.
Плотность наведенного тока может определяться не только напряженностью электрического поля, но и тем, как оно изменяется от точки к точке. В этом случае связь между током и напряженностью электрического поля примет вид
!а ~ + ?а|3> (1.9)
Как мы увидим ниже, в сверхпроводниках связь между плотностью тока и магнитным полем принимает вид
rot/= —ЛЯ. (1.10)
Несмотря на то, что при феноменологическом подходе возникает значительное число определяемых из опыта параметров, такой подход представляется очень привлекательным вследствие своей простоты и безмодельнос-ти. Но установление пределов применимости той или иной зависимости, а также вычисление соответствующих мекроскопических констант среды требует, как правило, статистического описания движения частиц в рассматриваемом веществе в присутствии электромагнитного поля. Во многих случаях это статистическое описание должно быть к тому же квантовым.
Решения уравнений электродинамики в средах отличаются исключительным разнообразием. Это связано с разнообразием свойств самих сред. В качестве среды может выступать плазма, лабораторная и космическая. Сходными в некоторых отношениях свойствами обладают металлы и полуметаллы, а также полупроводники. Иначе ведут себя заряды в непроводящих средах, в частности, в твердых и жидких диэлектрикех. Совсем другими свойствами обладают заряды в сверхпроводниках. Весьма разнообразны также свойства магнетиков — сред, сильно взаимодействующих с магнитной компонентой электромагнитного поля.
Развитие науки приводит к тому, что мы постоянно сталкиваемся с новыми или со старыми, но находящимися в необычных условиях средами. Поэтому электродинамика сред является современной, развивающейся наукой.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СРЕДАХ
2.1. Связь наведенных зарядов и токов с удельными дипольными моментами. Уравнения Максвелла в средах. В уравнениях (1.6) величины /’ext и /ех( задаются внешними условиями и могут рассматриваться как неоднородные члены уравнения. Величины же наведенных зарядов и токов Р и j зеранее неизвестны,и их необходимо выразить через некоторые макроскопические величины, характеризующие свойства вещества и зависящие от значений напряженности электромагнитного поля. Соответствующие соотношения могут быть записены по типу зависимости (1.7), но особенно удобно выражать р и j через плотности Р и М макроскопических электрического и магнитного дипольных моментов среды,определенных следую-
13
195
щим образом:
1 1
Р =---- 2 Л. М=------------ 2 mh (2.1)
AU (ДИ Ди (ДИ
Здесь Р/ и т,- — дипольные моменты отдельных микрочастиц, из которых состоит'вещество. Суммирование производится по всем частицам в макроскопически малом объеме Д U.
Плотность наведенных зарядов р можно выразить через вектор электрической поляризации Р. Для этого рассмотрим произвольное электронейт-ральное тело конечных размеров и потребуем, чтобы его полный дипольный момент JPdV выражался известным образом через плотность наведенного заряда р:
fPdV=fprdV (2.2)
(интегрирование здесь ведется по всему объему тела). Интеграл в правой части (2.2) не зависит от выбора начала координатной системы, если
fpdV = 0. (2.3)
Умножим обе части (2.2) на произвольный постоянный вектор а и воспользуемся тождеством а • Р - (Р V)(a • г). При этом
Ip(e r)t/U = f(P.V)(e-r)t/U = jVlP(fl -Ж dV-flfl rjdwPdV. (2.4)
Первый интеграл в правой части (2.4) по теореме Гаусса — Остроградского может быть превращен в интеграл по поверхности, охватывающей рассматриваемое тело. Этот интеграл равен нулю, так как вне тела равен нулю вектор Р. В оставшемся равенстве можно опустить вектора ввиду его произвольности, так что
f prdV= -frdivPdV. (2.5)
Это равенство превращается в тождество, если положить
р=—divP. (2.6)
При этом, как легко видеть, выполняется и равенство (2.3).
Вектор Р на гренице тела обращается в нуль скачком. В этом случае на поверхности возникает поверхностный заряд. Для его вычисления нужно выполнить в (2.6) предельный переход такого же характера, как и при выводе граничного условия на основе последнего уравнения Максвелла, div Р = 4npext (см. § 15, ч. I). В результате имеем
э = Рп. (2.7)
Выразим теперь плотность тока / через векторы электрической и магнитной поляризации. Удобно использовать уравнение непрерывности для наведенных зарядов и токов
Эр
— + div/ = 0, (2.8)
дг
которое при подстановке в него (2.6) дает
/ ЭР div I /---
V dt
Из (2.9) следует, что
ЭР
/------= rotAf, (2.10)
Эт
где М'~ некоторый вектор, обладающий тем свойством, что он, как и вектор Р, отличен от нуля только в занятом телом объеме. Из (2.10) следует, что плотность наведенного тока может быть представлена в виде суммы двух слагаемых. Первое, имеющее вид ЭР/Эг, называется током поляризации, поскольку этот ток связан с перетеканием зарядов, составляющих электрический дипольный момент вещества. Второе слагаемое, rot М', обусловлено наличием в веществе замкнутых микротоков, не связанных с макроскопическим электрическим полем.
Чтобы лучше понять смысл второго слагаемого, рассмотрим сначала соответствующий ток в отсутствие электрического поля, когда bP/bt = 0. В этом случае ток j = rot М' должен, очевидно, обладать следующими свойствами :
а) полный ток через любое сечение среды равен нулю:
I/O'S = 0: (2.11)
б) интеграл
-7 frXjdV
2с
по всему объему среды должен быть равен полному магнитному моменту тела:
1
— f rX j dV = f М dV. (2.12)
2с
Применим далее такой же прием, как при преобразовании р. Умножим (2.12) на произвольный постоянный вектор а и преобразуем подынтегральное выражение в левой части (2.12) следующим образом:
a • (г X rot М') = (в X г) • rot M' = div[Af' X (в X г)] +М' • rot(e X г), причем
М' • rot (а X г) = 2a М
В итоге, после интегрирования с использованием теоремы Гаусса, получаем 1
- / М' dV = f MdV.
с
Следовательно М'=сМ, где М — плотность магнитного момента среды. Таким образом, в отсутствие электрического поля
/ = crotM; (2.13)
при этом, как можно убедиться с помощью теоремы Стокса, выполняется и равенство (2.11). Ток (2.13) принято называть током намагничения. Полученное выражение для тока намагничения сохраняется и при наличии статического электрического поля.
При наличии переменного электрического поля, когда ЭР/dt =# 0, вели-1
чина —- М может и не совпадать с вектором намагниченности. Тем не с
менее, формула (2.10),
ЭР
/ = — + с rot М, (2.14)
dt
сохраняет свою силу, если М не считать плотностью магнитного момента.
Возвращаясь к системе уравнений (1.6) и подставляя в нее соотношения (2.6) и (2.14) для плотностей наведенных зарядов и токов, получаем систему:
Э
— (Е + 4?тР),
4тг 1
rot {В - 4ттЛ/) = — /ext + — с с
divZ? = 0,
div(E + 4тгР) - 4тгрех1.
Система (2.15) приобретает наибольшее сходство с системой уравнений Максвелла в вакууме, если ввести два новых вектора поля:
Р = Е + 4тгР (2.16)
и
Н = В-4ъМ. (2.17)
Вектор D называется электрической индукцией, а вектор Н — напряженностью магнитного поля. Смысл этих векторов заключается в том, что они учитывают наведенные в веществе заряды и токи. Теперь система уравнений (2.15) принимает вид
1 дВ
4тг 1 3D
TOtH - /ext + ~
С С dt
div В = 0,
divD = 4Tipext.
В отличие от системы уравнений Максвелла в вакууме в систему уравнений в среде входят четыре вектора: E.B.Dvt И. Поэтому система уравнений (2.18) не замкнута и ее следует дополнить уравнениями, устанавливающими дополнительные связи между четырьмя векторами поля.
В отличие от системы (2.1В), уравнения связей не носят универсального характера и определяются, как правило, конкретными свойствами рассматриваемой среды. В этой книге мы получим уравнения связи для некоторых наиболее простых по своим свойствам сред. Пока же сделаем одно только предположение, — что уравнения связи линейны, — и запишем их в символической форме:
D = eE
и
В=рН.
(2.19)
Под еид следует понимать некоторые линейные операторы, которые, в частности, могут быть тензорами второго ранга, дифференциальными или интегральными операторами. В случае медпеннно изменяющихся в пространстве и во времени полей операторы е и р могут свестись к умножению величин Е и Н на некоторую алгебраическую (может быть тензорную) величину. Операторы е и jl называются операторами диэлектрической и магнитной проницаемостей.
Мы связали линейной зависимостью попарно векторы D и Е, В и Н. Не следует ди обобщить эту зависимость, записав, например, D=eE + £Ви н=а~'в+$Е?
Написав уравнение
1 ЭВ rot Е = —------
с Эг
в виде
В = — с f rot Е dt,
мы видим,что в соотношении D = еЕ + можно исключить вектор В.
D = eE -cfj rot Е dt. (2.20)
Правда, при этом в (2.20) вошли пространственные производные от Е. Но поскольку мы понимаем поде линейный оператор произвольного вида, который может содержать и дифференцирование по координатам, то (2.20) не является более общим, чем первое из уравнений (2.19). Что же касается второго уравнения (2.19), то общий характер этой связи с помощью уравнений Максвелла установить затруднительно. Отсюда видно, что по крайней мере первое из уравнений (2.19) носит достаточно общий характер и необходимость в его дальнейшем обобщении возникает только при рассмотрении нелинейных явлений.
Заметим, наконец, что по своим свойствам ближе всего к микроскопическим напряженностям Е и Н находятся макроскопические векторы напряженности электрического поля Е и магнитной индукции Я. В частности, именно эти векторы определяют силу, действующую на внесенный в среду сторонний заряд:
/ 1 \
F = q £+-»ХЙ . (2.21)
\ с /
На поверхности среды, там, где свойства среды меняются скачком, дифференциальные уравнения (2.18) теряют силу и должны быть заменены соответствующими граничными условиями. Формальное сходство уравнений (2.18) с уравнениями Максвелла в вакууме позволяет на основе результатов § 15,ч. I записать граничные условия для векторов поля:
D2n — D\,, = 4тгоех1,
4, , <2'221
£гг-Е|г.
с
Индексами тип здесь мы обозначили тангенциальные и нормальные компоненты векторов, индексом 7 — орт, касательный к поверхности разрыва и перпендикулярный вектору F, цифры 1 и 2 показывают, по какую сторону поверхности среды берутся векторы. Нормаль п направлена из первой среды во вторую. Величины iext и oext суть плотности стороннего поверхностного тока и стороннего поверхностного заряда соответственно.
2.2. Другая форма уравнений поля в средах. Вектор обобщенной электрической индукции. Система уравнений (2.18) очень удобна для описания стационарных или медленно изменяющихся полей. В быстропеременных полях разделение наведенного в веществе тока на ток поляризации и ток намагничения, чем обусловлен вид второго уравнения в системе (2.18), становится неоднозначным. Действительно, ток намагничения легко выделяется тогда, когда он замкнут. Именно в этом случае выполняется условие (2.11).
Приближенной замкнутости токов намагничения можно, однако, ожидать только в случае, если путь 1т. проходимый заряженными частицами за период Т изменения поля, много больше радиуса их траектории. Если это условие не выполняется, то отличить ток намагничения от тока поляризации невозможно.
В такой ситуации удобно ввести новый, отличный от (2.16), вектор электрической индукции 91 связав его непосредственно с плотностью всего наведенного тока:
3) (г, г) = E(r. f Hr. (2.23)
Будем называть его вектором обобщенной электрической индукции.
По аналогии с (2.16) интеграл по времени в (2.23) можно обозначить JJ: г
&(r.t} = f (2.24)
хотя введенный таким образом вектор & не имеет наглядного смысла электрического дипольного момента, приходящегося на единицу объема. Из (2.24) следует, что
а -
J(r,t) = — .6?'(r,t). (2.25)
а из уравнения непрерывности следует, что плотность наведенного заряда г , ,
р(г. Г) = - J div/(г, t )dt = - div.$> . (2.26)
При записи выражений (2.23)-(2.26) предполагается, что электромагнитное поле, а следовательно, и индуцированный ток при t °° отсутствовали и появлялись лишь при конечных временах, так что интеграл по г’ сходится.
В итоге для описания электромагнитных явлений в веществе оказалось достаточно ввести три вектора: Е, В и ИГ>. Теперь система уравнений Максвелла в среде принимает вид
1 ЪВ rot£ =---------.
с dt
rot В =
4я 1 Э25
•/ext+ ТТ • с с Эг
div В = О, div25 = 4rpext.
(2.27)
Система уравнений (2.27), как и система (2.18), - Неполная. Для определения трех векторов мы имеем всего два векторных уревнения (два первых уравнения системы (2.27)). Уравнения же, содержащие div2? и div 30, как указывалось в § 14, ч. I, можно рассматривать как некоторые универсальные начальные условия. Поэтому систему уравнений (2.27) следует дополнить уравнениями, связывающими векторы поля. Требуемое материальное уравнение по анелогии с (2.19) и на основе тех же аргументов мы запишем в виде
f = е£. (2.28)
Теперь все свойства среды, в том числе и магнитные, описываются одним только оператором е. Следует заметить, что хотя этот оператор обозначен той же буквой, что и один из операторов в формулах (2.19), он не совпадает с последним. Вектора Н в системе (2.27) вообще нет. Соответственно, нет и необходимости вводить второе материальное уравнение. Что же до возможного влияния вектора В на индукцию S), то она уже учтена в (2.28). Это следует из рассуждений, эквивалентных тем, которые приводят к формуле (2.20).
Описание электромагнитных явлений в среде на основе уравнений (2.27) имеет, наконец, еще и то преимущество, что при этом не возникает вопроса о том, достаточно ли общим является второе из материальных соотношений (2.19), содержащее оператор д. Поскольку оператор е описывает теперь все электромагнитные свойства среды, знание е в (2.28) должно быть эквивалентно знанию двух операторов в (2-19), е и д. Связь между этими тремя операторами мы установим позже.
В заключение получим граничные условия для векторов поля, входящих в систему (2.27). Из первого, третьего и четвертого уравнений этой системы таким же методом, как и в § 15 ч. I, получим граничные условия:
^2т~^1т, ®2п=®1и> ®2n ~ SOln = 4,Гоех1. (2.29)
которые совпадают с условиями (2-22) для соответствующих векторов. Отличие от предыдущих граничных условий возникает, однако, в связи с уравнением, содержащим rot В. Удобно переписать это уравнение в виде
4тг 1 Э£
rotZ? =—</+/ext> +---------- (2.30)
с с at
воспользовавшись формулой (2-23). Записав (2.30) в интегральной форме и производя предельный переход как в § 15 ч. I, получим
В2т~В1т = ~ (/.,+/;’“), (2.31)
с
где iv — индуцированный в веществе поверхностный ток. При выводе (2.31) было использовано условие ограниченности производной по времени от измеряемой физической величины - напряженности Е электрического поля.
§ 3. ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ. ВРЕМЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ.
3.1. Функция отклике и диэлектрическая проницаемость. Наиболее общая форма линейного материального уравнения, связывающего вектор S) или D с вектором Е (так же как и В с Н), есть интегральное тензорное
соотношение*! вида
0*М) = f dt'fdV'ea0(t,r; t',r)E0lr',t'). (3.1)
— oo
Здесь ea@ — некоторая действительная тензорная функция (ядро интегрального оператора), которую иногда называют функцией отклика.
Физический смысл соотношения (3.1) прост: реакция среДы (т.е. ее поляризация и намагничение) в общем случае в заданной точке пространства г в момент времени г определяется электромагнитным полем во всем пространстве и во все моменты времени, предшествующие или совпадающие с рассматриваемым моментом г. Пределы интегрирования по времени в (3.1) отражают, таким образом, принцип причинности: поляризация и намагничение среды в данный момент не может зависеть от будущих значений напряженности поля. Зависимость реакции среды от предшествующих данному моменту значений поля объясняется конечностью времени перестройки системы зарядов — при изменении поля система зарядов в веществе' перестраивается, но не мгновенно, а за конечное время, "помня" в данный момент о предшествующих значениях поля. Фактически такая "память" сохраняется только в течение конечного времени, порядка времени релаксации т зарядов среды. Поэтому функция отклика еа/3 быстро убывает при г - t > т.
Физическая причина зависимости поляризации или индуцированного тока в точке г от значений поля в соседних точках пространства г' связана с тем, что в данную точку вследствие теплового движения могут приходить частицы среды из соседних областей пространства с другими значениями полей, и поэтому связь между реакцией системы и напряженностью поля оказывается нелокальной. Эффекты нелокальное™ тем больше, чем сильнее поле изменяется в пространстве. Обычно с ростом разности | г — г' | функция еар достаточно быстро убывает.
Тензорный характер функции отклика еа$ отражает анизотропию свойств среды: в анизотропных средах направления векторов 3) и Е могут не совпадать, при этом линейная связь между векторами осуществляется через тензор второго ранга. В изотропных средах векторы 3) и Е коллинеарны, а тезор еа0 пропорционален единичному тензору: ео(г ~ Sap.
Если рассматриваемая среда — однородная, то зависимость функции отклика (ад от переменных г и г' упрощается. Указанная функция описывает влияние поля в точке г' на реакцию среды в точке г. В однородной среде это влияние может зависеть только от относительного расположения точек г и гно не от их абсолютного положения. Следовательно, величина еа/3 должна быть функцией разности г - г'. Аналогичные аргументы позволяют сделать вывод, что если свойства среды не зависят от времени г, то еа$ будет зависеть только от разности г - г'. В дальнейшем в этом параграфе мы будем иметь дело именно с таким случаем однородной среды с постоянными свойствами.
*) Элемент объема, по которому ведется интегрирование, обозначен здесь dV. В дальнейшем эту же величину иногда будет удобнее обозначать d3r. В дальнейшем, кроме интегралов по обычному объему, будут встречаться интегралы по объему в пространстве импульсов или скоростей. Элементы соответствующего объема будут, как правило, обозначаться d3p или d3v . Элемент 6-мерного фазового объема,таким образом, будет d3 р d’ г.
Заметим, что зависимость вида (3.1) охватывает и упомянутый в предыдущем параграфе случай, когда 3) выражается через пространственные производные от Е. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно разложить Е(гt') в степенной ряд по разности г’ - г вблизи точек г' = г. Удерживая в этом разложении нулевой и первый члены разложения, получим, что
-^а(Г, О tapEplf, t) + I'afl'y
дЕ^т, t)
Эх7
(3.2)
где
= J eap(r - r', t — t’}d3r',
= f еар(Г-Г, t -t’) (r -r)yd3r'.
Здесь величины еар и ?а(з7 суть операторы уже только по отношению ко времени. От координат эти величины в пространственно-однородной среде вообще не зависят.
Далее в этом параграфе мы будем изучать те аспекты соотношения (3.1), которые связаны с зависимостью реакции системы от времени. В связи с этим мы не будем выписывать пространственные переменные в (3.1) и будем опускать интегралы по объему V
Введем новую величину fap(t - г'), связанную с ядром уравнения (3.1) соотношением
ea0(t - t') = bap&{t - t') + fap(t - t') ,
так что (3.1) примет вид
#ttU) = Ea(t) + f fap(T)Ep(t - r)dr. (3.3)
0
Умножая это уравнение на e+,UJf и интегрируя по t от — °° до + получим фурье-образ уравнения (3.3):
®„(ш) = Еа(ш) + f fap{T)e‘^TEp(u)dT. о
Эта формула существенно отличается от формулы (3.3) тем, что напряженность электрического поля, стоящая в правой ее части, больше не зависит от переменной интегрирования, так что связь между фурье-образами векторов электрической индукции и напряженности поля из интегральной превратилась в алгебраическую,
®а(ш) =еар(со)Е13(ш), (3.4а)
где коэффициент пропорциональности
eag(w) = Ьар + J fap(T)e‘^TdT. (3.46)
о
Эта функция носит название зависящей от частоты комплексной диэлектрической проницаемости.
3.2. Свойства диэлектрической проницаемости при действительных частотах. Комплексная диэлектрическая проницаемость обладает целым рядом математических свойств, отражающих физические свойства этой важнейшей в электродинамике величины.
Непосредственно из (3.46) видно, что при действительных значениях частоты со можно записать:
еад(со) = Sa(j + J fafi(T)e~tWTdT = ea(J(- со). (3.5)
о
Следовательно,
еа|?(со) = еа|?(-со) и еа|?(со) = -еаи(-со). (3.6)
Таким образом, выражение для комплексной диэлектрической проницаемости
(со) = еаи(со) + /e^fco)
имеет действительную и мнимую части, которые являются соответственно четной и нечетной функциями действительной частоты.
Функция е(со) действительна на мнимой оси комплексной плоскости со.
В самом деле, из (3.46) следует, что
еа/з(со) = еа/з(-со’),
поэтому
eijjVco") = ea(3(zco"), (3.7)
чем и доказывается сделанное утверждение.
Из соотношений (3.6) также видно, что если при действительных частотах величина ea|j(co) при всех со > 0 имеет один знак, то при со < 0 функция e^lco) будет везде на отрицательной действительной полуоси иметь противоположный знак.
Как мы увидим далее в § 7; в изотропной и не обладающей магнитными свойствами среде, которая находится в термодинамическом равновесии, величина е"(со) обладает свойством: е"(со>0)>0. Таким образом, в этом случае
е"(со>0)>0 и е"(со<0)<0. (З.В)
Установим теперь низкочастотную асимптотику функции е (со). В диэлектриках при малых частотах е (со) стремится к статическому значению е(со = 0) = е0. В проводящих средах низкочастотная асимптотика имеет другой вид; ее можно установить на основе следующих рассуждений.
В проводящей среде при низких частотах наведенный ток и ток омический - это один и тот же ток. Поэтому, в соответствии с формулой (2.23), фурье-образ вектора электрической индукции имеет вид
S) (со) = £(со) + 4тг f dte+,u>t f dt'oE(t'). (3.9)
Здесь была использована обычная формула для плотности тока j = аЕ, в которой проводимость а при низких частотах совпадает со статической проводимостью. Подставляя в интегральное слагаемое формулы (3.9) разложение f(t') в интеграл Фурье, 1+00 (
£(t') =---- f c/co^coje''^',
(2тг) —~
и меняя порядок интегрирования в получившемся тройном интеграле, получаем:
_ а +<» с7со, / 4то\
Z) (со) =£(со) -4я — J ------- £(со! )5(сс>1 -со) = 11 + -1£(со).
7 со, \ со / 1П>
При выводе этой формулы было использовано интегральное представление d-функции (Д. IV.21):
6(w-w1) = (27г)-1 j” cfte'(w-‘J1)f. — оо
При ш -> О, когда 4яо/а> > 1, диэлектрическая проницаемость
е(а>)-*47г/о/а>. (3.11)
Таким образом, из (3-6) и (3.11) следует, что при малых со разложение eafj(co) в ряд Тейлора по степеням со начинается постоянной 6^(0) и содержит только четные степени со. Разложение e^co) в непроводящих средах начинается линейным по со членом и содержит только нечетные степени со. В таких средах е" -» 0 при со -* 0. В проводящих средах разложение е "(со) напоминает разложение в ряд Лорана и начинеется членом А-па/ш.
В отличие от асимптотики функции е(со) при малых со, которая оказывается разной в различных средах, высокочастотная асимптотика е для всех сред одинакова. Это связано с тем, что при очень высоких частотах путь /7-, проходимый частицами за период изменения поля, мал по сравнению с характерными размереми траектории частиц в собственном поле вещества. Поэтому собственное поле вещества (этим полем может быть, например, поле атомных ядер, около которых движутся электроны) не оказывает заметного влияния на движение частиц на участках их траектории порядка длины If, и движение таких частиц в высокочастотном поле может рассматриваться как движение частиц свободных. Поэтому уравнение движения частицы в высокочастотном монохроматическом поле имеет вид
mr = eE^~iwt. (3.12)
здесь Ео — амплитуда высокочастотного поля. Интегрируя это уравнение, получаем:
для скорости
тш
для плотности тока
„2 „Г г,— iblt е пяое
j - еп v = /---------
тш
(3.13)
где п — концентрация заряженных частиц., Все заряженные частицы для простоты считались одинаковыми.
Поскольку в знаменатель правой части (3.13) входит масса, то достаточно учитывать лишь самые легкие частицы. Почти всегда такими частицами являются электроны. Из формул (2.24) и (3.13) следует, что
# = f jdt, поэтому
— / 4ттле2 \
3) =Е + 4я$> =11---------— If.
\ тш2 /
Отсюда имеем
е(со) = 1 — Шр/ы2, (3.14)
где = у/4-ппе2 /т '- важная характеристика вещества, называемая плазменной частотой.
При характерной для твердых тел концентрации электронов, л ^1О22 — 1023см-3, плазменная частота имеет порядок 10|6с-1, что соответствует ультрафиолетовому участку спектра. В других средах она может быть намного меньше. Например, при характерных для полупроводников концентрациях носителей заряда в зоне проводимости плазменная частота может лежать в инфракрасной области. В случае лабораторной плазмы частота и>р может оказаться в СВЧ-диапазоне.
При выводе формулы (3.14) мы не учитывали диссипации энергии движущихся частиц. Учет столкновений частиц приводит к появлению в уравнении движения для каждой частицы "силы трения", так что уравнение движения приобретает вид
mf = еЕие~'ш' — 2vr.
Решение этого уравнения приводит к выражению для тока электронов с плотностью
ie2 шпЕ
т(ы2 + 2/рш)
Таким образом, комплексная диэлектрическая проницаемость при ы > р имеет вид
ы2
е(ш)=1--------£— . (3.15)
(w + iv)
Частота v называется эффективной частотой столкновений колеблющихся электронов. Вид функции е(ш) = 1 — ш2/ш2 приведен на рис. 3.1. При ы = <jJp функция е(и>) проходит через нуль.
3.3. Свойства диэлектрической проницаемости при комплексных значениях частоты. Очень важны те свойства функции е(ш), которые проявляются, если частоте ш придавать комплексные значения. Дело в том, что строго гармоническое изменение поля во времени является, скорее, абстракцией, чем реальностью. Фактически любое поле является суперпозицией ряда гармоник; часто оно является наложением гармонических полей широкого спектра. Но только в случае строго монохроматического поля комплексная диэлектрическая проницаемость е(ш) непосредственно связывает электрическую индукцию и напряженность поля. Гораздо чаще физические величины выражаются через интегралы по частоте, в подынтегральных выражениях которых оказывается комплексная диэлектрическая проницае-206
мость и аналитические свойства которой определяют как существенные физические особенности решения задачи, так и фактические возможности вычисления соответствующих интегралов.
Самым существенным из аналитических свойств функции е(ш) является то, что она не имеет особенностей в верхней полуплоскости комплексной переменной ш. Действительно, при комплексной частоте ш = ш'+ /ы" экспонента в подынтегральном выражении формулы (3.4) принимает вид ехр((/ш'— ш ”)т]. Поскольку т > 0, то множитель ехр(-ш 'т) при ш" > О обеспечивает быструю сходимость интеграла. Напротив, в нижней полуплоскости комплексной переменной ш указанная экспонента может неограниченно возрастать, что соответствует появлению особенностей функции е(ш). Аналитичность интеграла в (3.4) в верхней полуплоскости ш связана с условием т> 0. Последнее же условие есть следствие того, что реакция системы в момент времени t определяется воздействием на нее полей £(f) таких, что г' < г. Можно поэтому сказать, что аналитичность комплексной диэлектрической проницаемости е(ш) в верхней полуплоскости переменной ш является прямым следствием принципа причинности.
Функция е(ш) в верхней полуплоскости переменной ш не имеет также и нулей. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим интеграл
1 , F'(w)
j------/-------dw, (3.16)
2 ni с
в подынтегральном выражении которого стоит
Л(ш) = е(ш) - А, (3.17)
где А — некоторое действительное число. Интегрирование в (3.16) ведется по изображенному на рис. 3.2, а контуру.
Как известно из теории функций комплексного переменного, интеграл J равен разности между числом нулей и числом полюсов функции Г(ш). Функция F (ш), определенная формулой (3.16), при ш" > 0 не имеет полюсов, поэтому интеграл J равен только числу нулей. Перейдем в интеграле (3.16) к новой переменной е. Тогда
1 defdtjj 1 de
j =---- /---------dw = — J---------. (3.18)
2я/ c e(w)-A 2iti ce~A
Контур С' в плоскости e является отобрежением контуре С на плоскость е. Дуга большого круга контура С стягивается при таком отображении в точку е=1. Это соответствует асимптотической формуле (3.14) и есть следствие того простого факта, что при ш -»00 система частиц конечной массы не может испытывать никакого движения, а поэтому наведенный дипольный момент будет стремиться к нулю. Точка ш = 0 при отображении перейдет в точку е(ш = О) = ео. Это справедливо в случае непроводящих сред (специфику проводящих сред мы учтем ниже). Части контура С, идущие вдоль действительной оси, преобразуются в сплошные кривые (изображенные на рис. 3.2,6 символически в виде кривых Ct и С2). Кривая С| соответствует правой полуоси на плоскости ы. В соответствии с (3.8) она идет выше действительной оси; кривая С2 соответствует левой полуоси и в согласии с (3.8) идет ниже действительной оси.
Интеграл (3.18), в соответствии с теорией вычетов, равен единице, если 1 < А < е0, и нулю — при других значениях А. Отсюда следует, что если бы при со" > 0 существовали нули функции е(ш), то в соответствии с интегралом в средней части (3.18) интеграл J не равнялся бы нулю и при А = 0. Поскольку J ^Столько если А>1, функция е(<о) не имеет нулей при 207
w" > 0. Из условия, что J = 1, следует также, что на мнимой оси в верхней полуплоскости величина е(со) является монотонной функцией со". В самом деле, каждому числу А соответствует один только нуль разности е(со) — А. Если бы е(со") не была монотонной функцией со", то уравнение е(со") - А = = 0 при произвольном А имело бы больше одного корня.
Утверждение об отсутствии нулей функции е(со} при со" >0 справедливо и в случае проводящих сред, но чтобы убедиться в этом, нужно учесть особенность функции е(со) при со -* 0. Согласно (3.11), при со = 0 функция е(со) имеет полюс, который в интеграле (3.16) следует обойти так, как показано на рис. 3.2,в. При отображении контура С на плоскость е дуга малого радиуса переходит в дугу Сз большого радиуса, изображенную на рис. 3.2,г. Контуры Ci и С2 на рис. 3.2,г, имеющие общую точку при е = 1, не имеют теперь второй общей точки и начинаются и кончаются, соответственно, в точках + /оо и -,/о°. Из второго интеграла в (3.17) теперь следует, что 7=1 прй А > 1 и J = 0 при А < 1. Поскольку 7 = 0 при А = 0, то функция е(со) не имеет нулей в верхней полуплоскости.
Функция е(со) кроме перечисленных обладает еще и другими аналитическими свойствами. В частности, вблизи действительной оси она может иметь точки ветвления. Установление этих свойств требует, однако, знания вида функции f(r), которая может быть найдена, если только принята определенная модель среды.
Существование временной дисперсии диэлектрической проницаемости обусловлено, в сущности, тем, что реакция среды запаздывает и определяется полем не только в данный, но и во все предшествующие моменты времени. Параметр, который позволяет оценить степень существенности временной дисперсии, есть со/со0 — отношение частоты поля к характерным собственным частотам движения зарядов в среде.
Частот со0 у среды может быть несколько. Важнейшей из них является, по-видимому, частота движения электронов на длинах атомного масштаба, при этом частота со0 * 10*5 - 10*6 с'1. Дисперсия существенна, если со/со0 1, что соответствует оптическим частотам и ультрафиолетовому 208
излучению. Однако среда может иметь, вообще говоря, частоты <о0, которые много меньше, чем частота атомного масштаба. В частности, характерные частоты движения атомных ядер в кристаллической решетке, из-за сравнительно большой массы ядер, имеют порядок 1013 с*1, что соответствует инфракрасной области спектра. В качестве характерных частот могут выступать также частоты коллективных движений электронов. Порядок величины соответствующих частот ш0 зависит от концентрации частиц в веществе (например в плазме) и может изменяться в больших пределах. Совсем низкими будут собственные частоты, описывающие характерные движения в хороших магнетиках.
§4.ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ
Связь между воздействием поля и реакцией среды является интегральной не только во времени. Уже отмечалось, что эта связь может быть нелокальной, т.е. реакция системы в некоторой точке может определяться не только напряженностью полей в той же самой точке, но и полями в окрестности данной точки. Этому соответствует интеграл по объему в соотношении (3.1) .Такую нелокальную связь принято называть пространственной дисперсией. Если ограничиться важнейшим случаем пространственно-однородных сред, то ядро интегрального соотношения (3.1) будет зависеть только от разности координат г — г', так что интегральная связь
S)a(r, ш) = /eQ/3(w, г-r')Ep(r', u}dV' (4.1)
после преобразования Фурье, как и в случае временной дисперсии, превратится в алгебраическую связь вида
3ja(k, w) = ea0(k, ы)Ер(к, ш). (4.2)
Переход от (4.1) к (4.2) был совершен при помощи преобразования Фурье:
A(r) = fA(k)e+ikrd3k,
1 .кт (4-3’
Ак) ------- С А(г)е' krdV.
(2тг)3
Если бы связь между реакцией и полем была локальной, ядро интегрального соотношения (4.1) свидилось бы к 6-функции:
eQ(3(w, г - г') -*аа/3(ш)6(г - г').
В этом случае функция еа$(к, ш), как это сразу видно из (4.3), не зависела бы от А и ее можно было бы записать в виде функции только одной частоты, положив в ней к равным нулю. Таким образом, переход к пределу е(Л, ш) е(0, ш) соответствует пренебрежению пространственной дисперсией, а учет зависимости е от к — нелокальному характеру связи между полем и реакцией среды.
Насколько пространственная дисперсия существенна, определяется параметром kl, в котором к — фигурирующий в (4.2) волновой вектор поля, / — характерный пространственный масштаб движения частиц среды. В качестве / может выступать, например, длина свободного пробега частиц в твердом теле или в плазме. Значение / может быть порядка размеров структурных элементов среды или пути, проходимого частицами среды за период изменения поля. Пространственную дисперсию необходимо учитывать, если kl^ 1. Это условие означает, что частицы движутся в существенно неоднородном поле.
14. М.М. Бредов 209
Существует не так уж много физических задач, в которых выполняется условие £/> 1. В этом смысле можно сказать, что эффекты пространственной дисперсии менее существенны, чем дисперсии временной, поскольку условие cq/coo 1 достигается легче. Тем не менее, эффекты пространственной дисперсии существуют. Некоторые из них имеют даже принципиальное значение (например эффект экранирования, который будет рассмотрен в § 6). В настоящем параграфе мы выясним, какие принципиальные изменения описания электромагнитных явлений в изотропной среде вызывает учет пространственной дисперсии, а также что означает описание не только электрических, но и магнитных свойств вещества с помощью одного материального уравнения (2.28).
В изотропной среде с пространственной дисперсией диэлектрическая проницаемость, определенная соотношением (2.2В), не обязательно будет скалярной величиной. В изотропной среде без пространственной дисперсии в материальном уравнении (2.28) могут фигурировать только векторы поля. Поскольку в линейной электродинамике диэлектрическая проницаемость £ не может зависеть от векторов поля, то величина е, в которой не учитывается пространственная дисперсия, в этом случае может быть только скаляром.
Появление зависимости е от к меняет дело. Существование такой зависимости не только означает то, что е стала функцией вектора к, но и дает возможность из компонент вектора А образовать тензор. Поскольку тензор есть величина, компоненты которой преобразуются как произведение векторов, то можно образовать тензор вида *> каке/к2.
Л Зависимость £от каке/к2 не противоречит линейности теории. Величину е теперь можно, отбрасывая тензоры рангов выше второго, записать в виде
еа0(к, со) = At (к, co)6a(J + А2 (к, ы}как0/к2,
гдеД| и А2 — некоторые зависящие от [к |и от частоты со коэффициенты. Такой вид диэлектрической проницаемости означает, что
$)-АХЕ + А2к[к Е)/к2. (4.4)
Выясним смысл скалярных величин А । и А2. Предположим, что Е1 к, т.е. к Е = 0. Тогда уравнение (4.4) примет вид 3) = А{Е, при этом коэффициент At описывает отклик среды на поперечное поле и его естественно обозначить etT(k, со). Связь (4.4) в случае продольного поля ЕЙЛ дает:® = = (Д( + А2)Е. При этом величину At + А2 следует считать продольной диэлектрической проницаемостью е'(к, со).
Таким образом, соотношение (4.4) оказывается эквивалентным формуле
еар(к, со) = е*Цк, co)6a(J + [е7(Аг, со) -etT(k, ы)]как0/к2.
Последнему соотношению, после перегруппировки входящих в него членов, придадим вид
еае[к, co) = etr(*-, - какр/к2] + e'(Jr, ш)каке/кг. (4.5)
Как видно из формулы (4.5), существование пространственной дисперсии приводит к тому, что отклик среды на продольное и поперечное поля определяется, соответственно, продольной и поперечной проницаемостями.
** Единственный тензор II ранга, состоящий из компонент вектора к.
Выясним теперь физический смысл различия между величинами e'lk, ш) и е,г[к, ы). Сравним для этого две эквивалентные системы уравнений поля в изотропной среде - систему (2.18) и систему (2.27). Осуществим преобразование Фурье для каждого уравнения обеих систем, перейдя, таким образом, от пары переменных г и t к паре новых переменных, к и w.
Система (2.18) после преобразования Фурье (при этом следует учитывать и материальные уравнения, дополняющие эту систему уравнений поля) примет вид:
со
кХЕ =-----В,
с
/ /со 4тг
— кХВ =------еЕ+----/сх1, (4.6)
д с с
к В = 0,
ik Ее = *прехХ.
Все входящие в эту систему величины, включения е, p,/cxt и pext, есть функции к и со, причем величины е и д в изотропной среде — скаляры.
Система (2.27) после преобразования Фурье примет вид:
со
кхЕ =— В, с
со (Г Ш#)] к(к-Е} ,| 4тт
ikXB = — /— Е----------- е* +—— е' + — /ехЬ
С И к к ' С (4.7)
к • В = О,
ik Ее' = 4n-pext.
Сравнивая последние уравнения этих двух систем, видим, что
е'(к, со) = е(к, со). (4.8)
Вычтем теперь из второго уравнения (4.7) соответствующее уравнение системы (4.6); тогда a-компонента разностного выражения принимает вид
/(l - Д (к X В)а = - Е0(е,г - е').
\ м / v \ * /
Вектор В, содержащийся в левой части этого уравнения, можно с помощью соотношения к X Е = (oj/c)B выразить через вектор Е. Раскрывая получившееся при этом двойное векторное произведение и сокращая на Е обе части, получим соотношение между фурье-компонентами диэлектрической и магнитной проницаемостей:
р(к, w) = {1 - (ш/сЛ)2[е,г(Л, со) -e'tk, ш)]}-1. (4.9)
Формула (4.9) впервые была получена И.Линдхардом. Из этой формулы видно, что различие между etr и е1 обусловлено магнитными свойствами среды. Таким образом, при всех w О, пока вектор В можно выразить через вектор Е по формуле В = — cJrotEdt, для полного описания и электрических и магнитных свойств среды достаточно знать 2 величины: зависящие от к и от ш диэлектрические проницаемости е; и etr. При ш = О
вектор В нельзя выразить через Е, поэтому в этом случае для описания электромагнитных свойств однородных сред требуется знание е1 (к, 0) и зависящей только от волнового вектора магнитной проницаемости ц{к). Следовательно, при всех способах описания электромагнитных свойств сред необходимо знать две характеристики среды.
Приведем еще полезную для дальнейшего формулу, дающую выражение тензора еа0(к, со) в изотропной среде через обычные электрическую и магнитную проницаемости (она получается с помощью (4.5), (4.8) и (4.9)):
^а/3 ^а(3
к ак р ~к*~
(4.10)
Тензор еа^(А, со) обладает, как это ясно из его определения, следующими свойствами:
еа0(к, о>) = еа0(-к,-со),
е^(А, со) = е'а0(-к,-со), (4.11)
е^(А, со) = e^0l-k, -со).
Из этих формул следует, что
е1 (к, со) = (к,-со), el (А, со) = —ez (А,-со);
е,г (А, со) = е,г (А,—со) , е,г (А, со) = —е,г (А,-со),
т.е. действительные части величин е1 и etr являются четными функциями частоты, а мнимые части — нечетными функциями частоты.
§ 5. СООТНОШЕНИЯ КРАМЕРСА - КРОНИГА
Аналитичность функции е(со) в верхней полуплоскости комплексной переменной со = со' + ia>" означает, что действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости е(со) не являются независимыми. Они связаны между собой формулами, носящими название соотношений Коши — Римана
Эе'(со) Эе"(со) Эе'(со) Эе"(со) Эсо’ Эсо” ’ Эсо” Эсо'
(5.1)
На опыте величины е' и е" обычно измеряют как функции действительной частоты, поэтому связь между ними удобно записыветь в другой форме — в виде интегралов по действительным частотам. Такую связь можно получить с помощью интегральной формулы Коши. В соответствии с формулой Коши интеграл по замкнутому контуру Г, ограничивающему область, внутри которой некоторая функция А (со) аналитична, сводится к функции f, взятой в некоторой точке со внутри контура Г:
1 f (а>! )с/со1 | f(co), если со внутри контура,
~~ /---------- = ) _
2iri г cot—со (0, если со вне контура.
Если точка со лежит на контуре интегрирования, формула Коши имеет вид
1 f(coi)dco>
Лео) = — /----------5------
Я/ СО) — со
(5.2)
Символ / обозначает интеграл, понимаемый в смысле главного значения.
Выберем в качестве функции /(со), аналитичной везде в верхней полуплоскости со (кроме, может быть, точек действительной оси), функцию
f (со) = е(со) - 1,
а контур Г проведем так, как показано на рисунке 5.1. Контур Г состоит из двух частей - участка, идущего вдоль действительной оси с обходом
точек со( = 0 и СО| = со, и дуги Сд большого круга, радиус которой стремится к бесконечности. Поскольку внутри контура Г нет особенностей, то интеграл Коши равен нулю:
СО| ) — ----------dcoi = 0. С01 -со
(5.3)
Вклад в этот интеграл участка контура CR равен нулю, поскольку на дуге большого радиуса подынтегральное выражение в (5.3) стремится к нулю быстрее, чем 1/coi. Это следует из вида функции е (со) при больших частотах. В соответствии с (3.14) е(со) - 1-----сор/со2, и подынтегральное вы-
ражение в (5.3) на участке контура Cr при | со| -* <» ведет себя, как 1 /со3. Поэтому интеграл по дуге большого радиуса стремится к нулю. Остается вклад от участка контура, идущего вдоль действительной оси, а также от обхода особенностей подынтегрального выражения при coi = со и coi = 0. Последняя особенность связана с поведением функции с (со) в проводящих средах при со -» 0 (см. формулу (3.11)). Обход этих двух особенностей дает, соответственно, вклад в интеграл (5.3):
/я[е(со)-1] и -4я2о/со.
Таким образом, (5.3) принимает вид
+ ” е(со() — 1 4Я2О
f ---------dcoi - /я[е(со) - 1J----------- 0.
СО| — со со
Разделяя в этой формуле действительную и мнимую части, получаем:
е'(со) = 1 + ± dcot , (5.4а)
** со । — со
». ,_4яо 1 +Т е'(со()-1
е (ш)-—-я f —."-.и
(5.46)
— со
Эти формулы, связывающие е'(со) и е "(ш), называются дисперсионными соотношениями или соотношениями Крамерса — Кронига.
Формулы (5.4) можно переписать таким образом, чтобы интегрирование по Gj] проводилось только по положительным частотам. Разбивая контур интегрирования на два участка, от —до 0 и от 0 до + °°, вводя в первом из двух интегралов новую переменную интегрирования Wj Wj и учитывая четность и нечетность функций е '(gj) и е "(о>), получаем:
, 2 ” Wie"(wj)
е (ш) = 1 + — / —z--r-dW] -
п О - ш2
(5.5а)
», . 4яа е (ш) =---
2со 7 е ~ я о со2 - со2
dajj.
(5.56)
Такая форма записи соотношений Крамерса — Кронига оказывается особенно удобной в случае анализа экспериментальных результатов. Соотношения Крамерса - Кронига используются в оптике для восстановления полной функции е(со) по ее действительной или мнимой частям, измеренным в возможно более широком интервале частот. Формулу (5.5а) иногда записывают в виде
(5.6)
Определяемая этой формулой функция называется силой осцил-
ляторов или числом дисперсных электронов в интервале частот с/ш. Между функциями f(o>) и е "(со) существует соотношение
тше "(ш)
Нш) -----—— .
2тга2 (5.7)
Физической основой дисперсионных соотношений и связанных с ними формул является принцип причинности. Тензорный характер диэлектрической проницаемости в анизотропных средах не меняет сделанных выводов. Учет же пространственной дисперсии приводит к появлению новых моментов.
Существование соотношений (5.5) означает, что между D и Е имеется причинная связь. Такая связь предполагает, что вектор Е является контролируемой величиной, которая не зависит от временной эволюции реакции системы. В известных случаях такая ситуация действительно имеет место. Такой случай реализуется, если в эксперименте возможно поддерживать постоянную разность потенциалов между некоторыми областями пространства. Фактически это означает, что при эволюции системы в эти области пространства контролируемым образом добавляются, или из них изымаются, заряды, таким образом, чтобы разность потенциалов между областями была бы все время определенной и не зависела от реакции системы. Такого рода управление вектором Е возможно, по-видимому, при условии, что расстояние между областями пространства с фиксированными потенциалами настолько большое, что возникающая при этом неоднородность электрического поля не требует учета пространственной дисперсии. Соотношения Крамерса — Кронига для е (к = 0, ш) (см. (5.5)) как раз и отражают такую ситуацию.
Пространственная дисперсия проявляется в системах с достаточно быстрым пространственным изменением поля. Такое поле трудно контролировать указанным выше способом. Его естественно создавать за счет внедрения в среду сторонних зарядов, величина которых фиксирована и не зависит от реакции системы. В этом случае поле Е уже не будет незавиг симой переменной в причинно-следственной связи, определяющей реакцию системы. Из уравнения di \iD = 4тгрех1 следует, что в этом случае контролируемыми величинами будут рех( и D.
Из сравнения фурье-образов последнего из уравнений Максвелла, записанного в случае однородной среды в форме
ie'afi[k,w}kaE& ~ 4jrpt.xt(*, (5.8а)
и в форме
ik Е = 4ffptot(A, ш), (5.86)
можно сделать вывод, что между плотностью сторонних зарядов рехХ и плотностью всех зарядов ptot (последние складываются из сторонних и наведенных, так что ptot = pext + р) существует соотношение:
Ptot<*> w) =
к2
~ “ р (А;,ш).
В изотропной среде это соотношение имеет вид: 1
Ptot ~ Pext^'
е'(*. ш)
(5.9а)
(5.96)
Формулы (5.9), каки (2.10), могут служить определением диэлектрической приницаемости. Независимой переменной в (59), в соответствии со сказанным выше, следует считать величину рех1. Это означает, что принцип причинности в этом случае должен применяться к [е 1 {к, со) ] -1в изотропных средах, и к к2Ikjc^et^k, со)— в анизотропных. Соответственно, соотношения Крамерса — Кронига в изотропных средах для продольной диэлектрической проницаемости принимают вид:
--------- = 1 + — / — г 1m , е'(Л, ы) я о V ----------------------------е'(А, £)
еЦк, со) тг о I е'(Л,?) ] со2 —
(5.10а)
(5.106)
В случае поперечного поля независимой переменной будет плотность сторонних токов /ехг В соответствии с формулами §4, ч. II электрическое поле, определяемое сторонними токами, может быть найдено из уравнения
со Г / к^ка \ к&кл I
-у- (5в0 - ) еи(к. со) + -V еЧк. ш) -
с L\ к / к* J
-к2^ае-
как{$ ~кГ
4тгсо
Е0 ~ ~ (/ext)a-
Из этого уравнения следует, что
4тг
Е ------------------- i
со(е*г -с2к2/ш2) ехг
Поэтому соотношения Крамерса — Кронига должны иметь место для величины (е ,г — сгк2/ы2)~1. В случае длинных волн, когда можно пренебречь пространственной дисперсией, соотношения Крамерса — Кронига выполняются и для е,г (к = 0, ш).
$ 6. ДЕБАЕВСКОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ
6.1. Электростатический потенциал точечного заряда в среде. Способность среды поляризоваться приводит к ослаблению внешнего, вызванного сторонними зарядами электрического поля. Особенно важно понять, как именно выглядит это ослабление в простейшем случае, когда электрическое поле обусловлено одним точечным зарядом, помещенным в среду. Такого рода явление экранирования важно для рассмотрения в самых различных областях физики. Но, кроме этого, оно имеет принципиальное значение в том смысле, что позволяет оценить максимальные расстояния, разделяющие объекты, взаимодействие между которыми следует считать существенным. Явление экранировки интересно также и в том плане, что, с одной стороны, оно показывает, как слабый в некотором смысле эффект пространственной дисперсии может приводить к принципиально важным явлениям, и с другой стороны — позволяет понять, что является статическим пределом введенной в § 4, ч. II диэлектрической проницаемости среды.
Как известно, в вакууме свойства электростатического поля определяются уравнениями rotE= 0 и divf = 4яр. Электростатическое поле в среде также описывается первым и последним уравнениями системы (2.27). Структура первого уравнения позволяет, как и в вакууме, ввести скалярный потенциал электрического поля таким образом, что
Elr) = - grad $!/}.
Фурье-образ этого соотношения при ш = 0 есть
£(Л,0) = -Л^(А, 0). (6.1)
Поэтому последнее из уравнений системы (4.7),
ik-Ее1 Ik, ш) = 4ярех,(Л, ш),
в статическом пределе имеет вид
к2е'1к, 0)<р(Лг,0) = 4ярех((Л, 0). (6.2)
Если поле обусловлено одним точечным зарядом, находящимся в точке г 0, то
Pext(r. Г) =e5(r-r0)-
Тогда
В
рех,(к,ы) =----— / ехр[ - Цк г + wt)]5(r-r^cPrdt =
(2яГ
е
= — 5(ш)ехр( — /к - Го).
2я
Следовательно, имеем ехр( - Л-Го)
>р(к, со) = 2е —---------8 (со). (63)
к e'lk, со)
Производя обратное преобразование Фурье и возвращаясь, таким образом, к переменным г и г, получим
^(г, г) = (2тг)" 2 / ^1к, со) ехр[/(Л г - cot)]d3Xrdco =
, ехр[А • (г - г0)]
= 2е(2тт)“2 ------------- d3k. (6.4)
к2еЦк.О)
От времени этот потенциал не зависит, поскольку заряд неподвижен. Если бы заряд находился не в среде, а в вакууме, потенциал имел бы вид
2е , ехр[Л(г—г0)]
у>(г) =---: f —------d *• (6.5)
(2тт)2 к2
Ясно, что этот интеграл равен е/| г — г0|. Наличие в подынтегральном выражении формулы (6.4) зависящей от волнового вектора к функции е1 (к, 0) означает, что зависимость (6.4) от координат будет отличаться оте/| г - г0|. Подчеркнем при этом, что речь идет не просто об ослаблении поля, а об изменении его зависимости от координат. Это обстоятельство целиком обусловлено зависимостью е1 от к, т.е. пространственной дисперсией.
Чтобы выяснить характер такой зависимости, нужно оценить в каком-либо приближении или в какой-нибудь модели вид функции еЧк, 0). В этом параграфе мы проведем такую оценку в простом и важном приближении- когда заряженные частицы могут передвигаться свободно, сталкиваясь между собой или с частицами других сортов таким образом, что длина свободного пробега частиц много больше характерного для задачи электродинамического масштаба (т.е. расстояния, на котором существенно меняется поле). Диэлектрическая проницаемость, полученная в этом приближении, называется проницаемостью однородной изотропной бесстолкновительной плазмы (заметим сразу, что, вообще говоря, столкновениями можно пренебречь еще в одном предельном случае — когда частота поля много больше частоты столкновений). В этой модели возможно довольно простое кинетическое описание среды, которое основано на анализе вида функции распределения f(r, р, г).
Согласно известной из механики теореме Лиувилля, функция распределения статистической механической бесстолкновительной системы определяется уравнением
df/dt = 0. (6.6а)
Равенство нулю полной производной от функции распределения можно выразить также в виде формулы
df bf df
— + р — + v — = 0; (6.66)
Эг Эр Эг
/ 1 \
здесь р — импульс, р— сила elE + — v X ВI. Уравнение (6.66) называет-\ с J
ся кинетическим уравнением бесстолкновительной системы или уравнением Власова.
Если уравнение (6.66) решается совместно с уравнениями Максвелла, то плотность наведенных зарядов и токов следует выражать через функцию распределения:
р = е f (f—f0)d3p,
(6.7) j=e f v (f — f0)d3p,
где f0 — равновесная, не возмущенная электромагнитным полем функция распределения.
Тот факт, что под интегралами в выражении (6.7) стоит разность f — f0, означает, что в системе, не возмущенной внешним полем, макроскопические заряды и токи предполагаются отсутствующими. Таким свойством и обладает равновесная изотропная плазма: из-за квазинейтральности и отсутствия в ней упорядоченных движений
Ро =е ff0 d3p = 0, /о =ejvfo d3p = 0.
Поскольку не возмущенная внешним полем плазма считается однородной, равновесная функция распределения f0 зависит только от энергии (т.е. от р2), но не от г и г.
Обозначим разность f — f о — возмущенной и равновесной функций распределения — как &f. Поскольку рассматривается задача об экранировке электрического поля, то В = 0. Поле будем рассматривать как суперпозицию гармоник, каждая из которых изменяется в пространстве по закону е'кг со своим волновым вектором к. Оставаясь в рамках линейной электродинамики, следует удерживать в кинетическом уравнении (6.66) только линейные по полю члены. К линейным членам относятся члены, содержащие произведение Е на равновесную функцию распределения (точнее — производную от fo по импульсам) или неравновесную часть 8f функции распределения. Слагаемые, содержащие произведения 8f на напряженность поля Е, являются квадратичными по полю членами и поэтому должны быть отброшены. В случае, если Е = Ео е - г (потом о> устремим к нулю), в линейном по£ приближении фурье-образ кинетического уравнения (6.66) принимает вид
3f0
— /w8f + ik + eE -- = 0. (6.8)
Эр
(6.9)
Решение этого уравнения есть /е£ 9f0
8f =--------------.
w - kv Ър
Подставляя выражение (6.9) в формулу для плотности тока, получим . 2 . vaE0 3f0 Ja= ~ie2 f--------~—d3p.
CJ — «V op0
Вспомним, что тензор диэлектрической проницаемости еа0Цк, связан с тензором проводимости оа0(к, ш) соотношением
(6.10)
4maa(j (Л, а>) еа01к, ш) - оа0 +
CJ
Тогда
4тг/
О)
4тге2
= &ар + ------- f
0J
э/о j3
------- ----- dp w — kv др^
иа Э/о , -------- ---- dp
w — Av дрр
(6.11)
6-2. Дебаевский редиус. Подынтегральное выражение в (6.11) содержит полюс, который следует обойти, как всегда в случае существования особенности в подынтегральном выражении. Правило обхода устанавливается на основе следующего соображения. Любое поле, которое мы считаем постоянным во времени, на самом деле существует не бесконечно долго. Оно появляется при г . Поэтому при г неравновесная часть 5/ функции распределения стремится к нулю. Это будет иметь место, если 5/ ~ е _ г, причем частота о> имеет бесконечно малую мнимую часть s, т.е. w -* w + is и s -+ + 0. Иначе говоря, знаменатель интеграла в (6.11) следует понимать как ш + is - Av. При этом полюс оказывается не на действительной оси, по которой идет интегрирование, а на расстоянии s от нее, что эквивалентно задению правила обходе этого полюса.
Тот же самый результат можно получить инече. Для этого в кинетическом уравнении (6.66) следует учесть существование столкновений, устремляя в конечных формулах частоту столкновений v к нулю. При наличии столкновений кинетическое уравнение принимает вид
Э/ . bf bf !bf\
— +р— +v—= I—I .
Эг Эр Эг \Эг/
r SC
Стоящее спрева слагаемое, называемое столкновительным членом, учитывает влияние столкновений на функцию распределения. В самом простом варианте столкновительный член может быть записан в виде
/Э/\
— I =-«'(/-/о)-
\ Эт / ' 'SC
Величина v называется частотой столкновений (соответственно т = л-1 называется временем релаксации). Таким образом, в приближении времени релаксации кинетическое уравнение принимает вид
bf Э/ bf f-f0
— + р—+v— -------------.
Эг Эр Эг т
Решение этого уравнения совпадает с (6.10), если в (6.10) частоту ш заменить на w + iv. Частота столкновений v играет, таким образом, ту же роль, что и параметр s, определяя правило обхода полюса в (6.11).
Выражение (6.11) содержит, в соответствии с (4.5), информацию как о величине е1, так и о е,г. Для рассмотрения явления экранирования поля кулоновского заряда, к которому поперечное поле отношения не имеет, из (6.11) нужно выделить функцию е'(А, ш). Умножая (4.5) на как^, убеждаемся в том, что
, к&ка
е'(к, ш) е<»(з(А, о>).
С помощью этой формулы из (6.11) получаем:
ez(Jk, со) = 1 +
4тге2 к2 со
kakevav0 ш-к-у
dfp
9S
d3p.
(6.11а)
Здесь мы использовали возможность представить производную от равновесной функции распределения по ^-компоненте импульса в виде
df0 af0 as df0
-------------------------- ve , dpp as bp^---------as
где S — энергия, являющаяся аргументом равновесной функции распределения.
Рассмотрим предел, к которому страмится е1 (к, со) при ш-*0. Если бы мы устремили к нулю сначала к, а затем со, т.е. перешли бы к пределу
е'(ш->0,/г/ш~*0),
то пределом величины е1 была бы бесконечность. Физический смысл этой бесконечности совершенно ясен. Этот результат соответствует бесконечно высокой проводимости газа свободных, не испытывающих столкновений заряженных частиц в однородном постоянном электрическом поле.
Иной результат получится в пределе к Ф 0, ш = 0. В этом случае нет оснований ожидать бесконечной проводимости, поскольку при к Ф 0 частица может совершать только финитное движение и не может разогнаться до очень высокой скорости. Это означает, что входящее в (6.11а) отношение
со со — к • * 9S
при си ->0 ведет себя как неопределенность типа отношения "нуль на нуль". Такого типа неопределенность можно раскрыть по правилу Лопиталя:
1 , We ,3 , df0
lim —f --------------dp -> —f------------dp.
w~o w w-fc.w 3S (Jt-v)2d£
Следовательно, в пределе w = 0, к Ф 0 продольная диалектр веская проницаемость е1 принимает вид:
. 4тге2 bf0 , е‘ = 1------ f ——d3p.
к2 Э£
Эту формулу обычно записывают следующим образом:
е'=1+-ТТ. (6.12)
* Пэ
где
гд2 = —4ле2 J d3p. (6.13)
Величина г D является одной из важнейших характеристик среды, она носит название дебаевского радиуса экранирования. Скалярная величина положительна, поскольку в равновесии bf0! 9S < 0.
Изложенный способ получения rD неуниверсален. Прежде всего, он справедлив, если гП<1 (I - длина свободного пробега заряженных частиц). Правда, условие это выполняется часто, в металлах, например, оно выполняется всегда. Другое ограничение общности вывода связано с применимостью самого метода получения функции распределения с помощью линеаризованного кинетического уравнения. Но каковы бы ни были пределы применимости приведенного способа вычисления дебаевского радиуса rD, из проделанных вычислений видно, что существует некая характеристика среды, связанная с пространственной дисперсией (к и rD входят в (6.12) в виде произведения) и характеризующая реакцию среды на статическое электрическое поле.
Выясним теперь физический смысл параметра rD. Для этого вернемся к формуле (6.4) и подставим в нее (6.12). Выражение для скалярного потенциала электрического поля точечного стороннего заряда будет при этом иметь вид
2егр (2я)2
ехр[/7с(г - г0)]
--------Т-;-----d к-
Входящий в эту формулу интеграл равен
expIZfc | г — г0 11 , ехр[/Аг | г —г0 |х] „
/ 2 ° ~d3k = 2nf ——--------------k2dkdx, (6.14)
1+k2r2D 1+к 2r2D
где х - косинус угла между векторами к и (г - г0). В (6.14) сначала возьмем интеграл по переменной х. В результате получим
2я “> ехр[/* |г-г0 |] —ехр[—|г-г0 | ] —-------- /---------------—----------------kdk. (6.15)
/ |r-r0 I о 1 + к rD
Во втором слагаемом под интегралом произведем замену переменной к -*—к'. После такой замены (6.15) примет вид
2я ( - ехр{/*|г-г0 | ] jt о ехр[*'|г-г0 | ] |
--------—( Г -------------kdk + ( ---------тт-z---к dk ) =
i I г - r0 I lo 1 + k 'I - - 1 +k ro '
2я +,,e exp[/Ar |г — Го I ] ----- /----7“--kdk /Ir-'o I\+k2r2D
(6.16)
Будем теперь придавать переменной к комплексные значения. В верхней полуплоскости, при больших значениях к, подынтегральное выражение быстро обращается в нуль из-за экспоненты. Поэтому проходящий по действительной оси контур интегрирования можно дополнить дугой большого радиуса, замкнув контур интегрирования в верхней полуплоскости. Внутри этого контура в точке к — ir оказывается один полюс первого порядка. Вычисляя соответствующий вычет, получаем, что
+ ” ехрр* |г -г0 |} 1+*2г^
in I к dk = — ехр rD I
I г — г0 11 rD J
a (6.4) принимает вид
е Г I г — г0 Г (/>(/)=--------ехр-------------
|Г-Го1 L rD
(6.17)
Таким образом, потенциал точечного заряда е в среде не является ослабленным в некоторое число раз кулоновским потенциалом. Среда меняет сам вид функции у (г ). Вблизи от заряда, когда |г — г о I < гв, поле заряда в среде совпадает с таковым в вакууме. При |r — г0| > rD поле экспоненциально спадает, существенно отличаясь в этом плане от кулоновского поля в вакууме. Последнее обстоятельство является очень важным.
Если, как это естественно для среды, имеется система зарядов, окружающих некий выделенный заряд, то каждый из зарядов, находящихся в окружающем выделенный заряд шаровом слое толщины dr, воздействует на этот заряд. В случае, когда экранирование не учитывается, соответствующая сила пропорциональна г~2, где г — радиус слоя. Эта сила уменьшается с удалением слоя от заряда, но число частиц внутри слоя растет как г , поэтому полная сила, действующая на заряд, существенно определяется всеми частицами среды, даже такими, которые находятся бесконечно далеко. Этот результат кажется не имеющим физического смысла. Действительно, дебаевское экранирование приводит к тому, что взаимодействие между далекими объектами на самом деле малосущественно.
Другой вывод, который можно сделать из проведенного рассмотрения, заключается в том, что физический смысл следует приписать той диэлектрической проницаемости в статическом поле, в которой полагают w -»0, но удерживают зависимость е от к.
В заключение параграфа приведем типичные значения дебаевского радиуса rD в различных средах. В металлах rD ~ 10"7 см, в полупроводниках значение rD ближе к 10"5 см, в термоядерной плазме rD~ 10"3—КГ4 см, в ионосфере — порядка 10"1 см, в межпланетной плазме rD * 103 см. Экранирование имеет место не только в случае статического поля, поле движущегося заряда тоже испытывает экранирование, хотя оно и выглядит несколько иначе. В таком случае говорят о динамическом экранировании поля.
§ 7. ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ ПОЛЯ
В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Частицы среды, двигаясь в переменном электромагнитном поле, получают от поля энергию; при этом уменьшается энергия электромагнитного поля и растет механическая (кинетическая и потенциальная) энергия частиц. Поскольку при перемещении частиц генерируется поле, то существует и обратный процесс преобразования механической энергии частиц в энергию электромагнитного поля. Наличие такого обмена энергией означает, что в энергию электромагнитного поля в среде следует включать собственно энергию поля, которая имеет вид интеграла по объему V от квадратов напряженности электрического поля Е и вектора магнитной индукции В
— J (£2 + B2)dV, оя
и энергию той части механического движения частиц среды, которая обусловлена электромагнитным полем в среде.
Частицы среды вместе со взаимодействующим с ними полем не всегда образуют замкнутую систему. Они могут, например, испытывать столкновения, передавая свою энергию и импульс таким возбуждениям среды, которые уже не взаимодействуют непосредственно с полем и поэтому не генерируют его. Часть энергии электромагнитного поля переходит из-за столкновений в неупорядоченную механическую энергию заряженных частиц и не может быть возвращена полю. Эта энергия в конечном счете переходит в тепло. Такой процесс называется диссипацией энергии электромагнитного поля.
Как известно из термодинамики, количество тепла не является термодинамической функцией в том смысле, что оно не определяется параметрами системы в каждый определенный момент времени (в нашем случае — векторами Е, В и Ж). Количество тепла определяется всей историей процесса и зависит от того, каким образом система пришла к данному состоянию. Это означает, что не существует формул, которые бы давали количество поглощенной энергии как функцию векторов поля, взятых в некоторый момент времени. Существенно знать, как именно менялось поле во все предшествующие моменты. Поэтому в данном параграфе будет рассмотрен частный, но очень важный случай диссипации энергии монохроматического поля.
Амплитуда этого поля считается неизменной. Это означает, что существует внешний источник поля, такой, что подвод энергии поля от источника компенсирует диссипацию энергии поля в среде. Энергия самого электромагнитного поля в среде не меняется. Среднее, по периоду попя, значение плотности поглощенной энергии
q=j-E (7.1)
равно средней работе сил электромагнитного поля над заряженными частицами. Оно описывает ту часть энергии поля, которая систематически переходит в механическую энергию частиц среды. Операция усреднения здесь весьма существенна. Неусредненная величина /-Е включает в себя и ту энергию, которая в дальнейшем может возвратиться от частиц полю и поэтому не описывает диссипируемую энергию. Если, как это удобно делать при монохроматическом поле, величины j и Е считаются комплексными, то
р= Re/ - ReE = (/аЕ* + /a*Fa).
Подставляя в эту формулу выражение для тока,/а = оа0Е^, получим
1 • • • 1 h
Q ~ “д"(о®~ (7.2)
Здесь - эрмитова часть тензора проводимости. Переходя от средней части формулы (7.2) к правой, мы воспользовались тем, что любой тензор (и тензор проводимости оа^ в том числе) можно разложить на эрмитов и антиэрмитов. Эрмитова часть тензора проводимости определяется соотношением
°а0 = ’ (7-3)
а антиэрмитова — выражением
°% = - °0<Л <7-4»
Возможность такого разбиения и свойства эрмитовой и антиэрмитовой частей тензора обсуждаются в Дополнении I.
Воспользовавшись связью между проводимостью и диэлектрической проницаемостью,
(7.5)
формуле (7.2) можно придать вид
Л С* С
ч- ^ea0bab0-
(7.6)
Отсюда следует, что поглощения нет, если тензор диэлектрической проницаемости не содержит антиэрмитовой части.
Если среда изотропна и не обладает магнитными свойствами, то
и р=-£-|£|’е". (7.7)
В изотропной, но магнитной среде, согласно (4.10),
,Oh - с "х
~ е °ае
( , \2 / ,\ah , к п \
I ск | / 1_| L КаК0 |
/ \ ц) \ “0 к2 /
. .... „ /<*У
' какр а& к2
(7.8)
Подставляя (7.8) в (7.6), получаем
8тг[ / \ к / |Д|
Преобразуем полученное выражение, воспользовавшись первым из уравне-
СО
ний Максвелла (2.18), записанным в виде к X Е = — цИ. Беря квадраты с
модулей правой и левой частей этого уравнения, будем иметь
(ЛХ£)(ЛХ£*)=*2 |£|2 -(Л £)(*•£*) = (ш/с)2 |ц |2|Я|2,
что позволяет написать формулу для плотности электромагнитной энергии, диссипируемой в единицу времени, в виде
р = -^-[е"|£|2+р"|Я|2]. (7.9)
О»
Из последней формулы следует, что диссипация электромагнитной энергии в веществе определяется мнимыми частями величин е и ц.
Если
| е |" < | е |' и | ц" | < | ц' |, то диссипация за период изменения поля мала (по сравнению с запасенной в веществе электромагнитной энергией). Области частот, в которых удов-
летворяются эти неравенства, называются областями прозрачности вещества.
Если вещество в отсутствие поля находится в состоянии термодинамического равновесия, то закон возрастания энтропии требует выполнения неравенства q > 0. Это приводит к неравенствам
ше" > 0, шд" > 0, (7.10)
т.е. мнимые части диэлектрической и магнитной проницаемостей положительны при положительных частотах.
Напряженности полей Е,Н в формуле (7.9) - комплексные величины вида Е(г, г) = £e(r ) exp.( —/wt). На опыте измеряются их действительные части Е = Re £ и Я' = Re Я. Поскольку при усреднении по времени выполняется соотношение
|£)2 = 2Е'г.
то выражение (7.9) можно записать таким образом, что в эту формулу будут входить действительные значения напряженностей поля:
UJ 72 ft 2~
q = — (е?Е + д Я ). (7.11)
4 я •
§ 8. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
И ПОТОК ЭНЕРГИИ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
В § 16, ч. I было показано, что из уравнений Максвелла в вакууме непосредственно следует уравнение баланса энергии (теорема Пойнтинга), причем анализ различных членов уравнения Пойнтинга позволил найти выражения для плотности энергии и плотности потока энергии электромагнитного поля.
Формула Пойнтинга (см. ч. I, (16.32)) справедлива и в электродинамике сред, если под плотностью тока понимать плотность суммы стороннего и наведенного токов. Иначе говоря, баланс энергии в электродинамике сред выражается уравнением
—( £2 * —+ — div(f X В} = -[/• +/(£, £)] £, (8.1)
Эг\ 8я / 4тг ех‘
где j(E,B} — наведенный ток, зависящий от векторов £ и В (и равный нулю, когда £ = В = 0). Интегрирование этой формулы по времени позволило в § 16, ч. I ввести выражения для плотности энергии поля в вакууме
w--^—(E2 +В2)
8 7T
и вектора Пойнтинга
у = ~~£ X В. 4тг
Мы всюду здесь пишем В вместо Я, имея в виду смысл этого вектора в макроскопической электродинамике. Нужно особенно подчеркнуть, что эти выражения справедливы при любой зависимости векторов £ и В от времени.
Несмотря на внешнее сходство уравнения баланса энергии в вакууме с уравнением (8.1), справедливым для сред, между этими двумя случаями существует глубокое различие. Чтобы отчетливее выявить природу этого различия, перепишем (8.1) в другом виде. Поскольку / связано с вектором плотности поляризации формулой (2.25), уравнению (8.1) можно придать вид
ъ(Е- f - *Е и)Е - г,di’|£ х |8 Я
Отсюда видно, что выражение
1
4 it
bS)
+в t
ьв bt
(8.3)
Е
определяет одновременно и приращение энергии поля в среде, и диссипацию энергии (как мы увидим ниже, (8.3) вносит вклад и в поток энергии). В формуле Пойнтинга не содержится никаких указаний на то, как именно выражение (8.3) должно делиться на части, описывающие приращение энергии поля в среде и диссипацию. Такого рода указания можно ожидать только от материальных уравнений. В настоящее время не существует методики извлечения этой информации из феноменологического материального уравнения вида S>a ~ $а0 Ер-
Такое деление удается, однако, провести в ряде случаев при использовании микроскопических материальных уравнений, непосредственно основанных на анализе уравнений движения. Выражение для энергии поля без специального анализа микроскопических материальных уравнений возможно получить только в том случае, если диссипация пренебрежимо мала. Фактически это означает, что можно найти энергию поля только в случае, когда поле это близко к монохроматическому. Потому что только в этом случае возможно положение, при котором энергия поля определенной частоты велика по сравнению с диссипацией (сама по себе диссипация может быть и не мала, но она существенна в другой области частот). Произвольным же зависимостям Е (Г) и В (г) соответствует широкий спектр частот, а при этом диссипация может оказаться весьма существенной.
Переходим теперь к определению энергии квазимонохроматического поля. Пусть поля в уравнении Пойнтинга (8.1) являются квазимонохрома-тическими, так что
E = E0(r, r)exp[Z(fc-r-wt)]. (8.4)
Амплитуда Ео такой волны является плавной функцией координат и времени, так что характерное время изменения амплитуды много больше ы"1, а характерная длина, на которой амплитуда меняется существенным образом, много больше 1/£. Эти два условия можно также записать в виде
l(*-lV)£Oal<£o
<Е0.
(8.5)
Кроме того, будем полагать, что диссипация мала, так что
max е“Д < max е'ая. а>0 а,0
(8.6)
Плотность тока, обусловленная квазимонохроматической волной в однородной среде, есть
/о(г, Г) = f dt'f dr'aa0(r-r',t-t')E0(r',t') =
= exp[/(Ar -г-о>Г)] f dt'f dr'oa0(r - r, t - t')Ea0(r'. t') X.
X ехр {/ [Л • (/ - г) - а> (г' - г)]} .
Медленно меняющуюся амплитуду разложим в ряд Тейлора: , , , , Э£о
E0(r,t ) = £’о(с Г)+ [(г -г) • V]£o + U -7) - +•••
dt
После подстановки этого разложения в (8.7) возникают кратные интегралы трех типов. Интеграл, на который умножается величина Ео (г , г), имеет вид
(8.7)
(8.8)
f dt'fdr'oa0 lr-r' ,t - t')exp {i[k ir' -r)-a>(r' - t)]} =
(8.9a)
= оа0 (к, а>).
Два других интеграла, на которые умножаются величины V - Ео vidE0/dt, равны
f dt'fdr'oa0(t-r',t-t')(r' — r)exp {/[Л • (r'-r) - w(t'- t)]}
9
i °а0 (*. ок
f dt'fdr'oa0 (r-r', t- t')(t' - Г)ехр{7[Л • (r'-r) -a>(t'- t)]) =
э
-— аа0(к, CJ). Эш
(8.96)
(8.9b)
С учетом формул (8.9), связь между/и напряженностью квазимонохро-матического поля принимает вид
ia (r, t) = exp [/(Л • r - a>t)] J oa0 (к, a>)Eo0 (г, t) -
daa0(k, ш) dEo0(r,t) daa0(k,a>.) dEo0(r,t)
(8.10)
дк дг Эо> dt J
Воспользуемся теперь связью между проводимостью и диэлектрической проницаемостью еа0 = 5а0 + Дтг/оГ1 оа0. Выразив проводимость через еа0, а> = ~ teajj — 8a(j), 4lt
подставим эту величину во второе и третье слагаемые формулы (8.10). Тогда a-компонента плотности тока будет иметь вид
/а (г. t) = ехр [7(Л - г -wt)] | аар (к, ы)Еор —
а> Эеар(Л, а>) Э£О0(г, t) Гвар-8а0
4я дк dr I 4я
+ w ЭМ 1 Э£о^> I (811)
4 я Эа> J dt I
В правой части уравнения (В.1) стоит произведение действительной части тока (8.11) на действительную часть напряженности электрического поля. Среднее по периоду 2я/о>от этого произведения есть
1 1
— (/+/*) •(£ + £*)= — Re(/-£‘), (В.12)
где при усреднении по периоду медленно меняющиеся амплитуды считались постоянными, так что средние от членов j* • Е* и j • Е равны нулю. Подставляя в (8.12) выражение для тока (В.11), получим
1 (1 ш Эеая Э£ов
— Re(/£*) = Re — oafiE0*a ЕО0 - -----------— Еоа —--------+
2 (2 8я дк дг
1
+ — 8я
(<оеа^) — I ^Оа
at j
(8.13)
Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части (8.13). Произведение представляет собой эрмитов тензор II ранга. Как мы знвем(см. Д.1.3), свертка эрмитова и антизрмитова тензоров — чисто мнимая величина. Поэтому, полагая аар = имеем
/ 1 , \_ * 1 „ .
ReI ^а/З^а ^0-
(8.14)
В двух оставшихся членах правой части (8.13) на основе равенства (8.6) пренебрежем антиэрмитовой частью тензора еа^, т.е. положим еа0 = е^. Пользуясь снова тем, что свертка эрмитова и антизрмитова тензоров— чисто мнимая величина, производим следующие преобразования:
\ W аеа<3 д£ор
—— | _ . - 1£Оа——
Эг / 16л дк \ дг
*£”V
(8.15)
„ / <*> Эе^
Rel“ "Т7~ f0a
\ 8я дк
W д€&я д — . - ,
= --- ----- —(EoaEos} = ---- div/------ ЕаЕв}.
1бя дк дг 0 1бя \ дк 0)
Здесь было учтено то, что среда является пространственно-однородной.
Последнее слагаемое в (8.13)
( 1 Г Э . 1 Э£0/з 1
Re(—— ~— (шеа(3)- 6ар ЕОа —- / -
18я L дсо J dt I
1 Г Э . 13
I - (wea0) — 8а0 I ——(Еа Ед).
16я L J dt
(8.16)
В правых частях формул (8.14) — (8.16) всюду вместо Е$аЕор написано С учетом этих формул получаем:
--- 1 „ .
/Г= — +
я 1 Э
в*| Эг \ 16тт
-<М—- £«£4 (8.17)
\16я ЭЛ /
Усредним теперь обе части равенства (8.1) по времени и подставим в него найденное значение j -Е в форме (8.17). Усреднение по времени призводится путем представления действительных векторов Е и В через комплексные величины типа (8.4) по обычной схеме,
£-»%(£ + £*), В~*11г{В+В*),
где в правые части входят комплексные векторы поля. После усреднения остаются отличными от нуля только члены вида Е*-Е,Е X В* и тл., не содержащие множителей exp (± 2iwt). После усреднения и подстановки (8.17) уревнение (8.1) принимает вид:
3 | + f Э(ше^^) f j Еа Ер | _
Эг I 16я L Эсо ₽J 16я J
(с ы Эёйл )
----(ЕХВ*+Е*ХВ)------------— Е£ Ед} =
16я 16я ЭЛ ₽)
(8.18)
Уравнение (8.1) приобрело форму уравнения непрерывности с отличным от нуля источником, стоящим в правой части равенства. Величина /ext Е представляет собой работу электрического поля над внешними зарядами, а величина 1/2о^£££в — плотность мощности джоулевых потерь. Обе эти члена входят в (8.18) со знаком минус, так как приводят к убыли энергии электромагнитного поля. Величина, стоящая в (8.18) по знаком производной по времени.
w =
(8.19)
имеет смысл плотности энергии квазимонохроматического электромагнитного поля в среде. Наконец, вектор
_ с ( w Эе*8 ж 1
7= ---- 1ЕХВ*+Е*ХВ--------------- Е*аЕв , (8.20)
16тт I с дк Р1
стоящий в (8.18) под знаком дивергенции, должен быть отождествлен с плотностью потока энергии в среде. Все эти величины усреднены по периоду. Поток энергии оказывается не равным нулю и в случае безвихревого поля, когда В = 0. В этом случае весь перенос энергии полем обусловлен пространственной дисперсией.
Формула (8.19) для плотности энергии электромагнитного поля в среде существенно упрощается, когда среде является недиспергирующей, не-
магнитной (д = 1) и изотропной. В этом случае, согласно (4.10), =
= е6а0и
1
w=-------(е£*-Е + В*-В). (В.21)
16я
Если напряженности поля — величины действительные, то формула (8.21} приобретает вид
1 —, -г 1 —----------г -л-
w= —(е£' +В )= —!£ -Я +£ ). (8.22)
8я 8я
В случае, когда среда является магнитной (но недиспергирующей), удобно ввести магнитную проницаемость д и через нее выразить плотность энергии. Предполагая, что в (4.10) величины еидне зависят от частоты, будем иметь
8 h , / ск \2/ 1 \/ kQks
-- (wCafl) - е + (-) (1 — “7 )|8а0-— Зш----------------------------------------\ ш / \ д /\ к
и из (8.19), пренебрегая мнимой частью д", получим
w = —- (е'Е’г + д'Я'’) = ~ (Е1-D'+Н’-В'). (8.23)
8я 8тт
Для этого же случая недиспергирующей изотропной среды можно упростить и выражение (8.20) для плотности потока энергии. Вычислив производную Эеац/зл с помощью (4.10) в предположении, что е и д не зависят от к, получим:
ы deh„a с I д' \
---------2? £•£--------(1- — )[2Л1£)2-£(*£’)-£•(*•£)].
с Ък !Д 12/
В дальнейшем будем предполагать, что д' > д", так что
1-д'/1д|2«1-1/д'.
со t
Фурье-образ первого уравнения Максвелла кХЕ = —цН векторно умно-с
жим на £* и прибавим к нему комплексно-сопряженное выражение (опять предполагая, что величиной д" можно пренебречь), после чего получим
2Л1£ I2 -£(*•£•)-£•(*£)= — д'(£* ХН + ЕХН*).
с
С помощью этой формулы находим
---------2£_ £•£ = (1 — д )(£• X Я + £Х Я*), с Ък
что позволяет записать выражение (8.20) для плотности потока энергии в изотропной среде без пространственной дисперсии в следующем виде:
7= — (£ХЯ*+£’ХЯ)= — Re(£X Я‘). (8.20а)
16я вл-
Или, для действительных значений поля, в виде:
7 = —£'ХЯ’. (8.206)
4я
Формулы (8.19) и (8.20) удобны для вычисления величин w и 7 по распределению полей, найденному^ теоретически из решения уравнений Максвелла. При вычислении w и 7 по измеренным значениям напряженностей поля удобно иметь формулы, в которых фигурируют не комплексные, а действительные напряженности, Е' - Ref, В’ = ReE и действительный вектор индукции 3' = Re 3 . Очевидно, что при усреднении по времени произведение _______ ___________
В* В = В* В = 2В’г, Е D = 0 ит.д.
Но вектор Е входит в (8.19) не в виде квадрата модуля, поэтому произведем следующие преобразования:
9 . 1 Г Э ,
(^^ag)Ea Eg “ I “ (co€ag)Ea Eg +
da> 2 I ow
9 1 1 Г Э Э I
+ -— = ---------(шЗ)а)Еа + (w®S)£q -
ow J 21 dw dw J
1 1 Г 9
Eg = — E * • —- (w 3 ) + H I О I .
9 1 ы | ЭЕ -»
+E- — (w 3 *)------l$* ---- + 3
daj J 2 I daj
1 3-*->-.lw-».-»9
« — (E + E*)-oj(3 + 3 )-(3 + &*} —(E+E*)
2 9a> J 2 1
, d _ ЭЕ'
= 2E — (w 3 ) - 2w 3 - .
dco
В результате имеем__________
1 f — , Э -» 9
w~—<Е + Е • -------3 } 3 --- Е
8тт I Эей Эей
(8.24)
Аналогичным образом преобразуем выражение для 7:
_ с ( со 9eJfl )
7= -----Е* ХВ + ЕХВ* ------------Е’ЕВ} =
16тт1 с дк PJ
С ( —--------- со
= ----- 4Е X В--------
16я I 2с
а,» л
с* с °е 0a с, с а + а
Выражение в прямой скобке можно переписать в виде
“ ЭЛ
9 -(Е + Е*)в — дк а ок - _ 9 13 + 3 )а ~(3 + $•)<»— (Е + Е*)в = ок , эе; — 4 з; —- ; дк
здесь мы воспользовались эрмитовостью (е^ = е*Д) тензора диэлектрической проницаемости.
В итоге плотность потока энергии в среде приобретает вид
с Г —;---г w ~
7= ---- £'ХЛ'+ — 3); —-
4тг I с \ дк
(8.25)
“ Ьк
Следует помнить, что под 3) здесь подразумевается та честь вектора электрической индукции, которая выражается через Е с помощью эрмитовой части тензора комплексной диэлектрической проницаемости.
§ 9. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ
9.1. Уравнения Максвелла и материальные уравнения. При выводе уравнений электродинамики мы предполагали, что среда, взаимодействующая с электромагнитным полем, покоится в системе координат, в которой находится наблюдатель. Бывают, однако, случаи, когда среда движется относительно наблюдателя. Это может иметь место, если, например, электромагнитные явления разыгрываются в текущей плазме. При деформации ди-злек рических сред в электромагнитном поле макроскопические участки среды также могут испытывать заметные движения. Хотя эти движения всегда происходит с нерелятивистскими скоростями, удобнее, как это было найдено Г. Минковским, рассматривать релятивистскую задачу и затем, при необходимости, переходить к нерелятивистскому пределу.
Прежде всего заметим, что движущаяся среда никак не меняет вида микроскопических уравнений поля. Текая среда в этих уравнениях учитывается видом плотности тока j и плотности заряда р в уравнениях Максвелла. С уравнениями же для макроскопических величин дело обстоит несколько сложнее. Херактер усреднения от движения среды не зависит, потому что усреднение происходит по объему —времени, определенных по отношению к лабораторной системе координат. Однако следует выяснить, как поведут себя векторы Dv\H в случае движущейся среды.
Появление в теории этих векторов связано с возможностью представить наведенные ток j и заряд р в виде
ЭР
j = с rot М + - и р = — div Р,
дг
где Р есть плотность электрического, а М — магнитного дипольного моментов.
Рассмотрим, например, ток намагничения (плотность которого есть с rot М} в двух координатных системах — сопутствующей и лабораторной. Пусть этот ток будет обусловлен существованием в среде (при рассмотрении процесса в сопутствующей системе координат) замкнутых токов. Легко понять, что те же самые токи, если на них смотреть из лабораторной системы координат, будут казаться незамкнутыми, а при большой скорости движения среды траектории заряженных частиц среды (по отношению к лабораторной системе) могут вообще не иметь участков, соответствующих возвратному движению. Это означает, что ток, определенно являющийся током намагничения, если на него смотреть из соответствующей системы координат, по отношению к лабораторной системе координат выступает как ток поляризации. Поэтому, если даже структура формул (2.6) и (2.14) в случае движущихся сред и сохраняется, то векторы М и Р уже не могут во всех случаях считаться соответственно плот-232
ностью магнитного и электрического дипольных моментов среды. Иэ этих же рассуждений ясно, что движущийся магнитный момент может генерировать электрическое поле, в то время как движущийся электрический момент может создавать магнитное попе.
Убедимся теперь в том, что хотя в формулах (2.6) и (2.14) векторы М и Р в случае движущихся сред уже не имеют того физического смысла, который они имели в сопутствующей координатной системе, сама структура формул (2.6) и (2.14) может быть, тем не менее, сохранена. Действительно, определим в лабораторной системе координат некоторый вектор Р как величину, связанную с плотностью заряда р (которая опять-таки определена в лабораторной системе) соотношением типа соотношения (2.6): р = — divP. Эта возможность определяется тем, что в случае движущихся сред вектор Р должен обращаться в нуль вне среды. Из уравнения непрерывности, с учетом структуры (2.6), следует, что
div(/ — ЭР/Эг) = 0.
Следовательно, величина (/ — ЭР/Эг) является ротором некоторого вектора, который как-то характеризует свойства среды и обращается в нуль вне ее (обозначим этот вектор той же буквой М, которой мы ранее обозначали плотность магнитного момента). А иэ этого следует, что структура формул (2.6) и (2.14) сохраняется и в случае движущихся сред. Но это означает, что структура уравнений Максвелла
1 ЭЯ rot Е =----------,
с Эг
4тг 1 ЭЯ
rot Н = -г- / +---------,
С 'ext с Эг
(9.1)
divP = 0, div D = 4тгрех|
также сохраняется в этом случае, хотя векторы D иН уже не имеют того же физического смысла, что и в сопутствующей системе координат.
Из последнего утверждения непосредственно следует, что связь между D и В и, соответственно, Я и Я в случае движущихся сред будет не такой, которая имеет место в сопутствующей координатной системе. Очевидно, что вектор D В лабораторной системе будет описывать реакцию среды и на электрическое и на магнитное поля, то же самое можно сказать и о векторе Я.
Релятивистская ковариантность уравнений (9.1) позволяет записать их в явно ковариантном виде:
ЭГМ ! dFkl ! 9Fff
Эх* Эх' Эх*
ЭЯ'* 4тг
И =~^'
где Fik — тензор вида:
(9.2а)
(9.26)
(9.3)
Величина Hik также является тензором:
/ 0 — Dx -Dy ~Dz \
x. 1 Dx 0 - Hz Hv I
Hlk = I ,, , (9.4)
1 Dy нг 0 ~HX 1'
\ Dz -Hy Hx 0 '
а 4-вектор /'ext имеет тот же вид, что и в отсутствие среды.
Выясним теперь, какой вид имеют связи между векторами D.B мЕ.Н в случае движущихся сред. Ограничимся случаем изотропной среды без дисперсии. В сопутствующей системе отсчета имеем, как и для неподвижной среды,
D = eE, В = рН, (9.5)
где тильдой обозначены векторы поля в сопутствующей системе. Материальные константы е, м — те же самые, что и в неподвижной среде. Далее выражаем значения векторов поля в сопутствующей системе через их значения в лабораторной системе, пользуясь тем установленным выше фактом, что {Е, В) и (D.H) образуют попарно 4-тензоры II ранга. Можно воспользоваться формулами (10.3) из ч. I, произведя очевидные изменения обозначений:
Fh =F||, Ek = 7 | ( 1 > F, + - VX В \ c J
! 1 '
5ц =5ц. Bk VXE < c ,
( 1
bn =P||, 01=T| Z>j.+ — VXD \ c
/ 1
Я1 = -y| 1Я± VXD
с
(9.6)
Здесь у — лоренц-фактор, V — скорость среды в лабораторной системе. Подставив в (9.5) по отдельности продольные и поперечные компоненты и сократив фактор у из уравнений для поперечных компонент, получим следующие материальные уравнения:
1 / 1 \
D + — КХЯ=е(£ + -КХЯ), (9.7)
с \ с /
1 / 1 \
В----VXE = p\H-----VXD}. (9.8)
с \ с /
Они называются уравнениями Минковского.
Эти уравнения можно получить и другим путем, записав релятивистски ковариантную связь между тензорами Fik и Hik, которая переходила бы в уравнения (9.5) в сопутствующей системе. Такое ковариантное обобщение последних соотношений имеет вид
Hikuk = eFikuk, (9.9)
Ftkui + FkiUj + Ftiuk = p(Hikut + HklUi + Htiuk}, (9.10)
где Uj — 4-вектор скорости среды. Мы предоставляем читателям самим убедиться в эквивалентности этих уравнений и (9.8) и (9.7). Это можно сделать с помощью приведенных выше соотношений (9.3), (9.4) и (4.30) изч. I.
В нерелятивистском пределе уравнения Минковского (9.7) и (9.В) упрощаются:
ец - 1
Z> = e£’ + ---- VXH, (9.11)
с
ед - 1
В = цН +-------Е X V. (9.12)
с
Фактически, именно с этими последними уравнениями и приходится иметь дело, поскольку макроскопические тела всегда движутся со скоростями, которые много меньше скорости света.
9.2. Граничные условия. Кроме материальных уравнений нужно также переформулировать и граничные условия к уравнениям поля. На первый взгляд может показаться, что поскольку уравнения (9.1) имеют тот же вид, что и в сопутствующей системе координат, то и граничные условия к ним тоже не изменятся. Это, однако, не так. Граничные условия в сопутствующей системе координат имеют вид (2.22) в том только случае, когда частные производные по времени, входящие в уравнения Максвелла, являются ограниченными величинами. Именно это и имеет место, если среда покоится. Но если среда движется, то в момент, когда граница среды пересекает некоторую точку, поле в этой точке изменяется скачком и производные dB/dt и dD/dt обращаются в бесконечность.
Рассмотрим случай слаборелятивистского движения среды, который и представляет основной интерес. Чтобы учесть при получении граничных условий особенность задачи с движущимися средами, прибавим к правой и левой частям уравнений Максвелла, которые содержат производные по времени, выражения, дополняющие до полных производных частные производные по времени. Эти полные производные, имеющие вид Э/Эг + (V • V), будут описывать изменение поля в точке, движущейся со скоростью перемещения среды и поэтому в процессе движения не пересекающей границу. Следовательно, такие полные производные все время будут оставаться конечными величинами. Поступая таким образом, например, со вторым уравнением Максвелла, получим
1 4тт 1 Г &D 1
rot// + —(К-VU) = —+(KV)D . (9.13)
с с с 1 Эг J
Если плотность тока/ext конечна и в граничном слое, то левая часть уравнения (9.13) должна быть ограничена и в точках, находящихся на границе. Теперь временно представим себе, что система координат расположена так, что некоторый бесконечно малый кусок граничной поверхности оказывается параллелен плоскости ху. Тогда производные от всех величин по х и по у на поверхности - конечные величины. Следовательно, и содержащие производные по г члены левой части уравнения (9.13) также должны быть ограничены. Эти слагаемые имеют вид
Э Э 1 Э
- вх — Ну + е;, — Нх+ — Vz — D. дг дг с дг
Величины ех и ег здесь - орты, направленные вдоль соответствующих осей. Отсюда сразу получается, что на границе раздела остаются конечными проекции этого вектора,
V2 dDz Vz dDx bHy Vz dDy dHx
c dz ’ c dz dz ' c dz dz
Следовательно, величины
Vz vz
Dz, — Dx — Hy и — Dv + Hx c c
имеют одинаковые значения по обе стороны граничной поверхности. Поскольку Dz и V непрерывны, два последних выражения можно представить в виде
Нх - ~(VvDz — VzDv) и Hy--(VZDX-VXDZ). с ' с
Теперь удобно освободиться от специального выбора положения координатных осей по отношению к рассматриваемому элементу граничной поверхности, переписав результат в векторной форме: компоненты
D,, и (9.14)
должны быть непрерывны на поверхности раздела. Если плотность тока j на поверхности раздела бесконечна, то конечной является величина
1 4тг
rot/f + — (uV)D-------/ext,
с с
откуда следует, что на наружной и внутренней поверхностях границы раздела разность выражений
/ 1
(Я------uXD
\ с
равна величине 4тг/7с, где / - плотность поверхностного тока, а =
= 4тга (а - плотность поверхностного заряда). Последняя формула легко получается, если учесть, что поверхностные заряды, которым соответствует объемная плотность р = ob(z) (здесь мы для определенности начало координат совместим с границей раздела), при движении среды тоже создают ток/ех, = ри.
1 дВ
Аналогичное рассмотрение уравнения rot Е = —-------показывает,
с dt
что величины
1 E+-UXB с
непрерывны на поверхности раздела. Из (9.14) и (9.15) следует, что эти граничные условия сводятся к обычным, справедливым в случае неподвижных сред граничным условиям,если нормальная к поверхности компонента скорости и среды равна нулю.
(9.15)
9.3. Уравнения Максвелла с обобщенным вектором индукции. Описание электромагнитных явлений в движущихся средах упрощается, если пользоваться уравнениями Максвелла, записанными в виде (2.27). Эти уравнения также могут быть представлены в явно релятивистски ковариантном виде (9.2), с тем же тензором Fllc, но тензор Н,к будет при этом иметь вид
/О - 35 х - 25 у - 35 z \
а I О -Вг Ву I
" = BZ о -Z <9-16’
\ $>z By в, 0 J
Из сравнения тензоров Hlk и F,* следует, что вектор 35 преобразуется по тому же правилу, что и вектор Е. Для получения материального уравнения в движущейся среде снова будем исходить из известного уравнения (4.2) в сопутствующей системе:
= ea0ik, w)F0.
Преобразуем 3) и Е в лабораторную систему, имея в виду для простоты случай нерелятивистского движения среды:
1 / 1 \
0а+ - [ИХЛ]а=еа/}(*,^)) £0+ - [ИХ Я] Л. с \ с /
(9.17)
В случае изотропной немагнитной среды эта формула принимает вид
~ ~ е“1
35 = е(к, w)F + ---- ИХ В.
С
Здесь Е. В и 3) зависят от со и к, определенных в лабораторной системе. В аргументе же тензора еа$ остались пока частота и волновой вектор в сопутствующей системе. Их нужно выразить через w и к с помощью формул релятивистского преобразования (см. § 2В, ч. I), которые в первом порядке по V/c имеют вид
<5 = €□-*• И, к = к. (9.18)
Отсюда следует, что если даже величина еар не зависит от к, то после преобразования частоты волновой вектор к войдет в аргумент диэлектрической проницаемости. Это означает, что движущиеся среды — среды не только с временной, но и с пространственной дисперсией. Величина дисперсии может стать существенной при достаточной скорости движения среды даже тогда, когда в сопутствующей системе координат этой дисперсией можно пренебречь. Физическая причина появления пространственной дисперсии в этом случае заключается в том, что информация о поле в некоторой точке переносится в другие точки не только иэ-за микроскопического движения частиц среды, но также и вследствие существования макроскопического движения всей среды в целом. Если V > и (где v -характерная скорость частиц среды), то пространственная,дисперсия в движущейся среде целиком обусловлена макроскопическим движением среды. В (9.18) может быть учтена также пространственная дисперсия микроскопического происхождения. Заметим, наконец, что вектор к в первую из формул (9-18) входит в виде сомножителя в скалярном произведении с вектором V. Это означает, что электромагнитные свойства среды зависят от угла между векторами к н V, иначе говоря, у изотропной среды при ее движении.появляется анизотропия даже в том случае, если в покоящейся среде она отсутствует.
§ 10. СИЛЫ. ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЭЛЕМЕНТЫ СРЕДЫ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Если среду поместить в электромагнитное поле, то это не изменит электрической нейтральности такой среды, но приведет к появлению в среде наведенных зарядов и токов. Взаимодействие этих зарядов и токов с электромагнитным полем обусловливает существование сил, действующих со стороны поля на элементы среды.
10.1. Силы, действующие на диэлектрик, помещенный в постоянное электрическое поле. Среду будем для простоты считать диэлектрической изотропной жидкостью. В случае твердых диэлектриков природа действующих на тело сил не меняется, но описание явления усложняется, поскольку вызванные этими силами деформации тела не сводятся к одному только изменению плотности тела, как это имеет место в жидкостях. Энергия постоянного электрического поля в жидком диэлектрике имеет вид
kV= — feE2dV, (10.1)
8л
где е — диэлектрическая проницаемость среды в статическом поле, dV — элемент объема. Эта энергия может быть также записана в форме
1
W = ~ fPe^dV- (10.2)
Изменение энергии (10.1) при деформации среды имеет вид
6W= — fE26edV + — feEbEdV. (10.3)
8л 4л
Эквивалентное изменение энергии, представленной формулой (10.2), есть
1 1
bW = — f<pbpexidV+—fpextb<pdV. (10.4)
Символ 5 стоит перед величинами, которые изменяются при деформации среды. Подынтегральное выражение второго интеграла в (10.3) равно
еЕЬЕ = -Dgrad(5^>) = — div(D5i/>) + S<^> div D,
поэтому выражению (10.3) можно придать вид
bW= — fE2bedV + SpexXbydV. (10.5)
8л
Вычитая теперь (10.5) из удвоенного выражения (10.4), получим 1
bW =-----f E2be dV + f bpextdV. (10.6)
8л
Если деформация среды происходит при фиксированном распределении сторонних зарядов, создающих затравочное поле, то изменение энергии поля
1
bW =-----fE2bedV. (10.7)
8л
Близкую по структуре формулу аналогичным образом можно получить и в том случае, когда при деформации фиксируются не сторонние заряды, а потенциалы на выделенных поверхностях.
При деформации среды изменяется ее диэлектрическея проницаемость, и это изменение бе обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, при деформации, описываемой вектором деформации и, элементы среды из точки г - и переносятся в точку г, и вместе с каждым элементом среды переносится соответствующее значение диэлектрической проницаемости. Обусловленное этим переносом изменение диэлектрической проницаемости есть
е(г - и) -е(г) = -и grad е. (10.8)
Во-вторых, деформация вызывает изменение плотности среды в каждой точке. Из механики сплошных сред известно, что изменение плотности т при деформации связано с вектором деформации соотношением
dr = - т div и.
Поэтому изменение диэлектрической проницаемости равно
Эе
бе = — и grad е - г — div и, дт
а изменение энергии электрического поля
6kV = — (Е2 (и grad е + г — divu jdV Bit \ Эт /
(10.9)
(10.10)
(10.11)
равно взятой с обратным знаком работе $fudV сил, действующих на среду. Таким образом, для того чтобы получить выражение для плотности силы/, подынтегральное выражение в формуле (10.11) необходимо представить в таком виде, чтобы вектор деформации и входил в него мультипликативно. В таком виде и содержится только в первом слагаемом. Второе же слагаемое следует преобразовать:
, де / Эе \ / Эе
тЕ2 — div и = div I Е т — и I - и grad I Е т — дт \ дт / \ дт
Формула Гаусса - Остроградского позволяет интеграл от дивергенции превратить в поверхностный, который оказывается равным нулю. Следовательно,
Я.ис/у = _ 8т
/ Эе \‘
Е grad е - grad IЕ т — | \ дт /
udV.
(10.12)
Из этой формулы следует, что плотность действующей на среду силы
1 , 1 / , Эе \
— Е2 grad е + — grad £ т — ) - Vp0. 8п 8тг \ Эт /
(10.13)
Слагаемое — Vp0 связано с наличием в любой жидкости давленияр гидростатического типа, изменение которого от точки к точке приводит к появлению в жидкости соответствующего вклада в объемную плотность силы /. Поскольку в основу вывода формулы (10.13) положено выражение для энергии (10.1) или (10.2), то производные в (10.13) следует понимать как производные при постоянной энтропии. Соответственно, давление р0 в (10.13) есть то давление, которое было бы в жидкости в отсутствие поля при заданной плотности т и энтропии.
Если бы поле включалось в процессе изотермического типа, то зависящий от поля вклад в свободную энергию был бы равен
1 , 1
— /е£2<Л/ = ~f^PextdV.
8тг 2
При этом правые части формул (10.3) и (10.4) были бы вариациями 6 JF dV свободной энергии. В таком случае плотность силы по-прежнему имела бы вид (10.13), но производные в этой формуле следовало бы уже понимать как изотермические, а давление р0 было бы давлением в отсутствии поля при заданных плотности и температуре.
Любая компонента плотности силы fa может быть представлена в виде производной от величины, которая называется тензором напряжений оа0. Эта возможность является прямым следствием закона сохранения импульса. Сохранение импульса, как известно, означает, что для каждой компоненты импульса может быть написано соотношение типа уравнения непрерывности
fog _ dr Зхр
(10.14)
в котором тензор — оа0 имеет смысл плотности потока импульса. Эта формула эквивалентна выражению
'о " "g
Эхр
(10.15)
которое и связывает плотность силы с тензором аар. Найдем теперь тензор оа0, соответствующий полученному выражению для плотности силы /. Для этого первому слагаемому в (10.13) следует придать вид пространственной производной, а второе слагаемое в этой формуле уже имеет вид пространственной производной:
1 , Эе 1 Э , 1 Э
- — Е2 —---------— (е£2)+ — е--------Е2 =
8тг Эха 8я Эха 8тг Эха
13,1 ЭЕр
=---------(е£2) + — еЕ0—. (10.16)
8тг Эха 4тг Эха
1 ЭЕа
Прибавим к выражению (10.16) и вычтем из него величину — D0 -;
4тг Эхр
тогда (10.16) примет вид
1 3
8тг Эх,
, 1 дЕ0
(е£2) + — еЕ0 -4ТГ Эха
— — еЕд--------- + — eEfl------ .
4тг Эх,} 4тг Эхр
В этой формуле второе и третье слагаемые в сумме дают
1 / ЭЕр ЭЕа
^(3 ( - - ---- 4тг-------------------\ Эха Эхр
Стоящее в круглой скобке выражение есть компонента вектора rotE. Поскольку в случае постоянного поля rotE = 0, от (10.16) останется выражение
1 Э , 1 дЕа
---------(еЕ2) + — De— ,
8л Эха 4 л Эхи
Будем считать, что в среде нет объемных зарядов, так что в занимаемой средой области пространства div D= 0. Прибавляя к (10.16)
1 _ dDp
нуль, представ-
W №
ленный в виде — Еа-------- , получаем, что
4 л Эх л
Эх^
1 Э ,1 — — (еЕ2) + — 8л дха 4л
Таким образом, объемная плотность силы
1 Э fa =---------
8л Эх0 .
а тензор напряжений
. Е2 °ар ~Ро^ар~ ~" 8л
1 , Эе
-----Е2------= 8л Эха
Э
—- (еЕаЕ0). дхр
, / Эе
Е2 (е-т— \ Эт
1 Э
Sa0 + ~ — teEaEp} 4л дхе
др о дха
Эе \‘ э7/.
, Ва Ер
°ар + С
4л
(10.17)
е - т
Первое слагаемое в (10.17) описывает неэлектрическую часть тензора напряжений, два остальных обусловлены наличием электрического поля.
Вычисление полной силы, действующей на среду, с помощью тензора оа/3 может оказаться более удобным, чем ее вычисление при помощи fa, поскольку в первом случае достаточно взять двукратный, а не трехкратный интеграл.
Силы, с которыми поверхности раздела двух соприкасающихся сред действуют друг на друга, в условиях равновесия должны быть равны и противоположны по направлению:
аар ПР °ар ПР
Поскольку орт нормали к поверхности первой среды /И*) = — л(2), то
„(1) (D - „<2>„<‘>
° ар ПР ° ар Пр
Это означает, что если первая среда находится в равновесии со второй, то при вычислении силы интеграл foapnpdS можно брать как по внешней^ так и по внутренней поверхностям среды.
10.2. Силы, действующие на магнетик, помещенный в постоянное магнитное поле. Рассуждение, вполне аналогичное приведенному выше, позволяет определить силу, действующую на среду в постоянном магнитном поле. Соответствующий тензор напряжений получается из (10.17) заменой е на д'1 и Е - на В:
В2 , ВаВр
Оар Ра^ар---------Р ~~ т I “7----) &ар + Р-------- (10.18)
8л \ Эт / J 4л
Обусловленная же магнитным полем часть плотности объемной силы равна
1
/= + — grad 8л
В2т
д
дт
1 , 1
— В2 grad — . Вл р
(10.19)
10.3. Силы в переменном электромагнитном поле. Обобщим теперь полученные результаты на случай переменного электромагнитного поля, когда нужно учитывать временную дисперсию диэлектрической проницаемости. Рассмотрим жидкий диэлектрик (диэлектрическая проницаемость которого является функцией частоты поля), помещенный в переменное электрическое поле с частотой, попадающей в область прозрачности диэлектрика. Вывод формул (10.13) и (10.17) существенно основывался на выражении (10.1) для энергии электрического поля в среде, справедливом только в случае постоянного поля. Средняя по времени плотность энергии электрического поля в диспергирующей среде имеет, как известно (см. формулу (8.19)), вид
Ё7 d
w=----------(сое(со)). (10.20)
8тг с/со
Поэтому можно было бы ожидать, что и в выражении для тензора натяжений в переменном поле появятся дополнительные члены, содержащие cfe(o>)/c/w. Ниже будет показано, что это, однако, не так, тензор напряжений и в переменном поле дается формулой (10.17), только усредненной по времени.
Рассмотрим конденсатор, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е(со), на пластины которого подан переменный потенциал
у? = 0О COS OJf, (10.21)
частота изменения со которого лежит в области прозрачности среды, так что Im е (со) = 0. Такой конденсатор сам по себе не является электрически-замкнутой системой, но его можно сделать частью такой системы, если соединить конденсаторе катушкой индуктивности, образовав таким образом колебательный контур с собственной частотой со.
Получим теперь выражение для энергии конденсатора емкостью С, заполненного диспергирующим диэлектриком .Энергия конденсатора,к которому приложено постоянное напряжение у и который несет на пластинах постоянный заряд Q, равна
W- IV0 + Q2/2C=W0 + Op2/2). (10.22)
Здесь было использовано понятие электрической емкости, определенной как отношение заряда к разности потенциалов на пластинах конденсатора.
С другой стороны, энергия конденсатора может быть записана в виде (10.1). Обобщением формулы (10.1) на случай переменного Поля является формула (10.20). Поэтому обобщением формулы (10.22) на случай переменного поля является выражение
Ф2 d
W=W0 + ----------(wC). (10.23)
2 с/со
По определению самоиндукции, средняя связанная с ней энергия есть £J2/2c2. Если пренебречь сопротивлением, то потенциал 0 на обкладках конденсатора будет связан с током J в колебательном контуре известным соотношением:
1 dJ
*Р =---2 L Т'
с2 dt
Причем ток J выражается через заряд Q на обкладках конденсатора формулой J х dQ/dt, непосредственно следующей из уравнения непрерывности.
Если характеристики электрического поля изменяются по гармоническому закону, то J = — /шО и dJ/dt = — ш2О, так что
1
у> = — Дш2О. с
Имея в виду определение емкости С(ш) = О/у>, из предыдущей формулы получаем
w = dy/LCku}'.
Таким образом, томсоновское соотношение между частотой и основными характеристиками колебательного контура имеет место и при наличии дисперсии. Приведенные выше формулы позволяют энергию, связанную с самоиндукцией, представить в другом виде:
U2
= —- Lu2Q2 = — if)2.
2c2 2
Общая энергия замкнутой системы имеет, таким образом, вид
<л2 d Ор2 •р2 d .
W=W0+-----------(wC) + — =tV0 + — — (w2C). (10.24)
2 </w 2 2w </w
Подвергнем теперь конденсатор медленной деформации. При этом внешние силы будут совершать над ним работу
М = аа(з лр S. (10.25)
Здесь % - смещение поверхности, л - нормаль к поверхности, S - ее площадь.
Вычислим изменение энергии W системы и, приравнивая 5А и 8tV, найдем вид тензора оар. Из механики известно, что при бесконечно медленном изменении параметров линейной колебательной системы остается постоянным так называемый адиабатический инвариант, равный отношению энергии колебаний Wosc к частоте ш:
tVosc/w = const. (10.26)
Из этой формулы следует, что 8W - W8u/u = 0, так что изменение собственной частоты при деформации бш связано с 5 W соотношением
5 cd <р2 d
8W = — -----------(w2C). (10.27)
w2 2 du
Поскольку собственная частота колебаний и = с/ V£ С,' то изменение частоты при деформации связано с изменением емкости конденсатора формулой
Общее изменение емкости б С обусловлено непосредственно деформацией конденсатора (это изменение обозначим какбС^ег) и изменением частоты, так как емкость есть функция частоты,
dC
6C = 6Cdef+—Sw. (10.29)
du
'1 d(co2C)
Величина 3Cdef выражается через вектор % так же, как и в статическом случее. Исключая из (10.28) и (10.29) отношение 6С/С, находим
6 со - ^Cdef СО
(10.30)
со dco
Подставляя эту формулу в (10.27), получеем
<р2
5W= — SCdef.
(10.31)
(10.32)
Изменение электрической энергии конденсатора с постоянным зарядом на пластинах, как это следует из (10.22), имеет вид
Q2 J
SW=-------- f>C----SC.
2с2 2
Из (10.31) и (10.32) видно, что формулы, описывающие изменение энергии поля в статическом случае и изменение усредненной по периоду энергии переменного поля, имеют одинековую структуру. Поэтому и тензор напряжений в случае переменного поля получается усреднением формулы (10.17) по периоду:
(10.33)
F2 Г /де\1 F^F^
~ -Po^afi-----— e “ f I ~l + e~~.---
О7Г L \ ОТ / J 47Г
С переменным электромагнитным полем связано появление еще одного слагаемого в выражении для плотности объемной силы. Происхождение этого слегаемого легче всего понять, если эеписать выражение для законе сохранения импульса в виде
Эг
Здесь р*'- плотность импульса среды, a pF - плотность импульса собственно электромагнитного поля. Полный импульс системы "взаимодействующие среда - поле" равен р = pF +рм. Коль скоро мы интересуемся силой, действующей на среду, ее можно написать в виде
_ диа[) Эра
'а “ ----- — -----
дх0 Эг
Возникающее при этом в правой части (10.35) второе слагаемое не имеет вида пространственной производной от тензоре напряжений. В формуле f 1
(10.35) р = — ЕХВ. Это последнее слегеемое обычно мало.
4т
ЭрУ _ daafi _ Эг ‘
(10.34)
Эхр
(10.35)
§ 11. СРЕДНЕЕ И ЭФФЕКТИВНОЕ ПОЛЯ В СРЕДАХ
До сих пор мы имели дело либо с микроскопическими, либо с макроскопическими полями в средех. Макроскопическое поле, фигурирующее в макроскопических уравнениях Максвелла, есть результат усреднения микроскопического поля по состояниям всех частиц среды. Именно этим макроскопическим полем и определяется сила, действующая в среде на внесенный извне макроскопически малый заряд. Однеко сила, действую
щая на каждый отдельный собственный, принадлежащий среде заряд, определяется не средним полем. Дело в том, что на частицу среды, находящуюся в некоторой точке г, помимо поля внешних зарядов и токов, действует поле, создаваемое всеми частицами среды, кроме рассматриваемой.
Если иметь в виду наиболее важный случай — случай электрического поля, то можно быть уверенным в том, что действующее на рассматриваемую частицу поле будет не меньше среднего. Действительно, реакция частиц среды на внешнее электрическое поле сводится к ослаблению этого поля. Не учитывая вклад рассматриваемой частицы в эту реакцию, мы получаем поле, которое во всяком случае не меньше среднего. Хотя число всех остальных зарядов среды кроме того, за которым мы следим, велико по сравнению с единицей, вклад выделенного заряда в суммарное поле может быть достаточно велик, поскольку мы интересуемся самой ближайшей окрестностью этого заряда. Это действующее на отдельную частицу среды или на отдельный поляризующийся элемент среды поле принято называть эффективным полем*}.
Эффективное поле связано с силой, действующей на частицы среды. Плотность этой силы определяется формулой (10.13), в которую входит среднее поле Е. В случае однородного изотропного жидкого диэлектрика, помещенного в постоянное электрическое поле, плотность действующей на среду силы
т / де\
— (E-V)E. (11.1)
4тг \ от /
С другой стороны, эта сила может быть представлена в виде
<S [р,„. V)Е,„ >. (11-2)
m
Здесь р1Н — микроскопические значения каждого отдельного дипольного момента, наведенного полем в веществе, Е,„ — микроскопическое значение электрического поля в месте расположения этого элементарного дипольного момента. Сумма по m берется по всем диполям в единице объема вещества. Угловые скобки являются символами усреднения.
Разлагая микроскопическое электрическое поле в ряд Тейлора по степеням координат г,„ элементарных диполей и удерживая в этом разложении первые два слагаемых, плотность силы (11.2) запишем в виде
<2 (р„,-VIE,,, > = <S (/>,„ V)[E0 + (r,„ -Г)Е0] > (11.3)
in in
(предполагается, что начало координат находится в центре единичного объема), Ео — напряженность электрического поля в начале координат; стоящий в квадратной скобке оператор V, примененный к Ео, надо понимать как производную от поля, взятую в начале координат. Прямое вычисление этого выражения в проекциях дает/= (Р -V)E0, гдеР = t,pm — плотность дипольного момента. Напряженность электрического'"поля Ео, как это следует из предыдущего, есть среднее микроскопическое
) Строго говоря, существует еще одна причина, приводящая к отличию действующего на отдельный поляризующийся элемент поля от среднего. Ясно, например, что в кристалле вблизи атомного ядре действующее поле всегда будет существенно отличаться от среднего по кристаллу, просто в силу пространственной неоднородности атома и регулярного расположения атомов в кристаллической решетке. Эта причина тривиальна. В настоящем параграфе обсуждается различие между действующим и средним полями в средах, которые можно считать пространственно-однородными.
поле, действующее на отдельный диполь, поэтому величину Ео можно отождествить с эффективным полем £eff, af — представить в виде
f = (P-VJf®"
(11.4)
Сравнивая выражения (11.1) и (11.4) находим, что напряженности среднего и эффективного полей связаны соотношением
.. т /де\
£eff = -----( — £.
дт/
(11.5)
е- 1
Как было установлено в предыдущем параграфе, формула (11.1) справедлива не только в случае статических полей, поэтому формула (11.5) справедлива также и в случае переменного поля в диспергирующей среде без поглощения.
Если диэлектрическая проницаемость е зависит от плотности т среды линейным образом, так что е = 1 + ст, где с — некоторая константа, то
т / Эе\
----1 —) = 1
е — 1\Эт/
и среднее поле совпадает с эффективным. Линейную зависимость е от г можно ожидать в разреженных средах, например в плазме. В конденсированных же средах диэлектрическая проницаемость является нелинейной функцией плотности среды.
Соотношение (11.5) между эффективным и средним полями позволяет установить связь между макроскопической величиной — диэлектрической проницаемостью е и микроскопической величиной — атомной или молекулярной поляризуемостью. Для этого приравняем два выражения для плотности дипольного момента среды Р:
— Е = п^Ееи.
4тг
Здесь п ческая учетом соотношения (11.5), получим:
е — 1 т /Эе\
4тг е — 1 \ дт /
— концентрация атомов или молекул в среде, ха — микроскопи-(атомная или молекулярная) поляризуемость. В результате, с
(11.6)
По смыслу определения поляризуемости ха ее иногда бывает можно считать величиной, не зависящей от плотности среды т. Тогда формула
= (е- D2 1_______
Ха ~ 4ппт (Эе/Эт)
(11.7)
позволяет, с одной стороны, оценить микроскопическую величину ха> 00’ новываясь на измерениях макроскопической величины е, и, с другой стороны, дает дифференциальное уравнение, решение которого определяет вид зависимости е(т), совместной с предположением ха = const. Соответствующее уравнение имеет вид
dT 4тгха пт
Если концентрация п пропорциональна плотности т, так что п = Ьт, то уравнение (11.8) сводится к уравнению de 1 1
(е-1)2. (11.9)
dr 4nbxa т
Однако может оказаться невозможным представить плотность дипольного момента Р в виде суммы элементарных дипольных моментов, поляризуемость которых не зависит от т. Так это будет или не так, должно выясняться в каждом случае на основе микроскопической электронной теории строения среды. Поэтому величина
е — 1 \дт/ быть найдена, в зависимости от характера среды, и на основе других, модельных соображений.
Близкие к модельным соображения необходимы при вычислении производной Эе/Эт в (11.7) ив тех даже случаях, когда соотношение л = Ьт выполняется. При этом производную Эе/Эт удается выразить через е и т. Продемонстрируем пример такого подхода.
Выделим в веществе сферическую облесть с макроскопическим радиусом R, окружающую точку, в которой находится один выбранный диполь. Энергия взаимодействия U этого диполя со всеми другими диполями сферической области есть
р Pi — 3(л,-pHnt • р,)
2 г3
I ri
где р — выделенный дипольный момент; сумма берется по всем остальным дипольным моментам ph находящимся внутри сферической области, г,— расстояние от центра сферы до /-го диполя. Считая, что все диполи параллельны друг другу, эту сумму представим в виде
1 - 3cos2
---------5---- , i Г
здесь tyi - (n^Pi) При макроскопическом описании эту сумму можно заменить интегралом по объему сферы:
Если диполь (а вместе с ним и начало координат) находится в центре сферы, угловая часть интеграла обращается в нуль. Это следует иэ того, что величина 1 — 3cos2 с точностью до постоянного множителя совпадает с полиномом Лежандра Fj(cos $).
Нулем является не только U, но и сила F = —VU, с которой находящееся внутри сферы поляризованное вещество действует на диполь в центре сферы. Покажем это. Для этого рассмотрим диполь, находящийся на расстоянии z от центра сферы, заполненной веществом (рис. 11.1). Энергия U взаимодействия диполя с веществом будет иметь вид
+ 1 'max(J.'f') tfr
2irpP f dcos ф(1 — 3 cos2 ф) J — ,
-i or
где г - расстояние от точки х = у = О, z =# О, в которой находится диполь,
до любой точки в пределах сферы. При фиксированных г и ^величина г может меняться от 0 до ^так(^ Ф) Зависимость гтах<< Ф) может быть найдена с помощью соотношения
'max ^,ф) = x* 2 3R + ил + (z-zR)2.
Здесь zR,xR и yR —декартовы координаты произвольной точки поверхности сферы. Так как zR - г = rmaxcos Ф- то
<тах = R2 + г2 — 2z(z + rmax cos ф}.
Решение этого квадратного уравнения определяет зависимость гтах от г и cos ф:
rmax = -г cos ф + Vz2 cos2 ф + R2 - г2' .
Поэтому
+ 1
U = 2itpP f d cos ф(1 — 3cos2 0}ln ( -г cos ф + v z2 cos2 ф + R2 - zr), -1
а производная от U по г (производные по остальным направлениям равны нулю, как это ясно из соображений симметрии)
dU +>
F- = — — = — 2itpP J d cos ф (1 — 3 cos2 ф) X дг -1
z(cos2 ф - 1)
, , , , - cos ф
х/г2 cos2 ф + R‘ — г2
х/ г2 cos2 ф + R2 — г2 — г cos ф
При г = 0 эта сила равна
2ърР +1
Fz = ----- J d cos ф(1 — 3 cos' ф} со$ф.
R -1
Но 3cos2 ф— 1 пропорциональна полиному Лежандра Р°, acos ф ~Р°, поэтому, вследствие ортогональности полиномов Лежандра, £г(г = 0) =0.
Следовательно, в эффективное поле находящиеся внутри сферы диполи вклада не дают. В среднее же поле эти диполи вносят вклад, не равный нулю. Поэтому |£е’ — £| отличается на величину, равную сумме полей всех * диполей сферической области £sph- Поле£5рн есть поле диэлектрического шара с постоянной в пределах шара поляризацией Р. Такой шар создает внутри себя none£sph = —4/3 тгР. Таким образом, 4 е + 2
£ *=£+ —тгР =--------- £. (11.10)
3 3
Знание эффективного поля позволяет установить соответствие между макроскопической величиной — диэлектрической проницаемостью е и микроскопической величиной — атомной или молекулярной поляризуемостью Хи- Последняя определяется соотношением
Р = nXaEeff, (11.11)
здесь л - концентрация диполей. Из (11.10), (11.11) иформулыР =--Е
4я
следует, что е и связаны соотношением
3 е-1
Ха = --------~
4 тгл е + 2
(11.12)
Эта формула носит название формулы Клаузиуса — Моссотти. В оптической области спектра, в которой принято работать с показателем преломления N = \/~е, эта формула принимает вид
N2 - 1 3
N2 + 2 4тгл
(11.13)
и называется формулой Лоренца — Лоренца.
Из сравнения формулы Клаузиуса — Моссотти с формулой (11.7) следует, что
/ Эе \ (е - 1) (е + 1)
\ дт / Зт
(11.14)
Подставляя (11.12) в (11.9), опять приходим к (11.14). Это означает, что формула Клаузиуса — Моссотти согласуется с предположением о пропорциональности лит. Наконец заметим, что формула Клаузиуса — Моссотти является точной для кубических кристаллов с фиксированным расположением поляризующихся молекул и приближенной — для жидкостей.
Формулы (11.6) — (11.13), полученные в предположении о том, что микроскопическая поляризуемость определяется свойствами только каждого отдельного структурного поляризующегося элемента, применимы к неполярным диэлектрикам. Свойства полярных диэлектриков наиболее интересны в случае статических или низкочастотных полей и будут изучаться в следующей главе.
Глава II
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В СРЕДАХ
§ 12. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
В ОКРЕСТНОСТИ ПРОВОДНИКОВ
Внешнее электрическое поле приводит к появлению на проводниках индуцированных зарядов. Индуцированные заряды, в свою очередь, изменяют исходное электрическое поле. Результирующее поле в пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям электростатики:
rot£ =0 и div£ = 0. (12.1)
После включения внешнего поля и вызванного им перераспределения зарядов электрическое поле внутри проводника устанавливается ревным нулю. В противном случае в проводниках должны существовать ток и наблюдаться диссипация энергии. Такой процесс в известных условиях может быть стационарным, но не статическим. Чтобы поле Е внутри проводников было равно нулю, все наведенные заряды должны быть сосредоточены на поверх-
ности проводящих тел. Все это означает, что граничные условия на поверхности раздела проводник — вакуум имеют вид
^rls = 0, или «р|$ = const, (12.2)
Э«р £„L = ИЛИ Эл = —4тга, (12.3)
здесь а — поверхностная плотность заряда. Из условия (12.2) следует, что силовые линии электрического поля вблизи проводящей поверхности направлены нормально к этим поверхностям; из условия (12.3) — что полный заряд на поверхности
1
Q = £ adS =------$EdS. (12.4)
4 я
Для того чтобы поле в пространстве между проводниками и на их поверхностях было полностью опраделено, следует задать либо потенциалы проводников, либо их полные заряды. Поверхностная плотность заряда а не может быть задана произвольно: она зависит от расположения, формы и заряда всех проводников в системе, включая данный, и вычисляется по формулам (12.3) после определения электростатического потенциала «р во всем пространстве.
На поверхность находящегося в электрическом поле проводника действует сила, которая может быть определена с помощью максвелловского тензора натяжений (см. формулу (16.39), ч. I). Из условия Ет| $ = 0 сразу получаем, что поверхностная плотность этой силы равна (£2/8тг)л. Сила зта направлена по внешней нормали к поверхности, в направлении от проводника в вакуум.
Скалярный потенциал поля может иметь максимальное и минимальное значения только на поверхности проводников. Если бы потенциал «р мог иметь экстремальные значения и в вакууме, в пространстве между проводниками, то можно было бы выделить такую малую замкнутую поверхность, охватывающую точку пространства, в которой «р экстремально, чтобы производная Э«р/Эл на этой поверхности всюду имела бы один и тот же знак. Тогда интеграл fbyldndS, взятый по этой поверхности, был бы отличен от нуля. Но это противоречило бы уравнению div£ = 0, из которого сразу следует, что интеграл fdp/dndS по любой замкнутой поверхности, находящейся между проводниками в вакууме, равен нулю. В этом плане существование поляризующихся проводников не меняет положения, существующего в микроскопической электростатике с одними только сторонними зарядами.
Для потенциалов электростатического поля можно сформулировать теорему взаимности. Для этого в формуле Грина (см. формулу (20.1), ч. I)
/ Э«р Э«Д\
ЛФ&р - «рД \]/)dV = /1^--------«р----I dS (12.5)
\ Эл Эл /
в качестве функций и ф примем два различных рашения электростатической задачи, которым соответствуют два разных распределения создающих поле зарядов. Интеграл в левой части (12.5) берется по всему пространству, интеграл в правой части — по бесконечно удаленной поверхности и по поверхности всех проводников. Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль, если все заряженные проводники находятся в конечной области пространства.
Поскольку в окружающем проводники пространстве = Дф = О, из формулы Грина и из формул (12.2) и (12.3) следует, что
S = S 0aQja); (12.6)
а а
здесь сумма берется по всем проводникам. Скалярные потенциалы фи^ — величины, постоянные на поверхности каждого проводника, и их можно вынести из-под знаков интеграла. Принимая во внимание также формулу (12-4), соотношению (12.6) можно придать вид
^аО<'МфаО<а>. (12.7)
а а *
Здесь 0<.а) и — полные заряды на a-проводнике, соответствующие потенциалам \р и ф в окружающем проводники пространстве. Формула (12.7) является математической формулировкой теоремы взаимности в электростатике. Из теоремы взаимности непосредственно следует, что если, например, имеется два проводника, I и II, первый несет на себе заряд Q (при этом потенциал на его поверхности ^), а второй не заряжен (потенциал на его поверхности ), и если перенести весь заряд Q с первого проводника на второй, то на проводнике I установится такой потенциал ф, который был раньше на проводнике II. Действительно, в случае двух таких проводников формула (12.7) примет вид - ОФь откуда сразу следует, что
Фт = ^ц. (12.8)
Этот результат не зависит от формы проводников.
Введем теперь понятие электрической емкости проводников. Рассмотрим систему проводников и изменим каким-либо образом потенциал на одном из них, скажем, на 9-проводнике. Потенциалы других проводников пусть при этом останутся неизменными. Для того чтобы эти потенциалы остались неизменными, придется изменить заряды на всех проводниках, так чтобы новые заряды стали равными Q(a> + 8Q<fl). Потенциал на^-про-воднике обозначим \pg + Sipg. В этом случае соотношение (12.7) примет вид
Q<*>8y>g = S у>а 8Q<a) а
И
Q(g) = Sy>a 8Q(a)/8y>g. (12.9)
а
Суммирование здесь производится по всем проводникам, включая и 9-про-водник.
Введем обозначение
8Q<a>/8y>g = Cga, (12.10)
так что
Q(g> = S Cga<pa . (12.11)
а
Формула (12.11) показывает, что заряды проводников являются линейными функциями их потенциалов, линейная связь между которыми обусловлена линейностью уравнений электростатики.
Диагональные элементы матрицы С. определенной формулой (12.10), называются коэффициентами электростатической емкости, недиагональ-
ные — коэффициентами электростатической индукции. В случае, когда имеется один только проводник, формула (12.11) принимает вид Q= Ср. Коэффициент С называется емкостью такого проводника. Энергия электрического поля 1 _ 1 1
W = —S&dV = - —JE-VpdV= - — fV(pE}dV, (12.12) 8я 8 я 8я
поскольку E = 0. Преобразуя по формуле Гаусса — Остроградского объемный интеграл в поверхностный, получаем, что
W = - S paf Ea-dSa = -S ¥?вО(в). (12.13)
2 а 2 а
Подставим в (12.13) формулу (12.11) и запишем энергию в виде 1
Ж«-2 СвЬ<рв<рь. (12.14)
2 ab
Энергия W всегда положительна, поскольку положителен первый интеграл в (12.12). Из положительности W следует, в частности, что все диагональные элементы матрицы С положительны, а недиагональные — отрицательны.
Изменение энергии поля при бесконечно малом изменении зарядов или потенциалов на проводниках имеет вид
1 5JV = — (EbEdV. 4 я
При изменении зарядов проводников 1 1
8W =------bEdV---------------f div(^ bE}dV =
4 я 4 я
= — 2 Va f &Ea dSa = S «Q<a> ; 4 Я a a
здесь было использовано уравнение div5£ = 0, следующее из (12.1). При изменении потенциалов аналогичный расчет дает
Ы¥=--------fE-V&pdV- S Q(a)5pa.
4 я о
Из этих формул находим:
dW/dQ(a) = pa, bWlbpa = Q(a}. (12.15)
Поскольку энергия W является функцией состояния, то смешанные производные Э5И//Эузв дрь и Э2 W/Ърь Э^а Должны быть равны друг другу: 92IV _ 9Q(a) с b2W 3Q(b)
&Va&Vb &Vb “ dVbdVa &Va
Здесь была использована формула (12.11). Из равенства смешанных производных делаем вывод, что матрица С является симметричной и
Cab = Cba- (12.16)
Наконец, введем понятие о тензоре поляризуемости проводящего тела. Наведенные в проводнике внешним однородным полем заряды создают 252
дипольный момент Р, который зависит от формы тела. Такой дипольный момент линеен по полю, так что
Ра = (12.17)
где У — объем тела, яа/3 — тензор, учитывающий влияние формы тела на наведенный дипольный момент, Е$ — значение поля вдали от тела. Величина Уло/з называется тензором поляризуемости тела. Легко видеть, например, что энергия взаимодействия Интела с точечным зарядом, находящимся от него на большом расстоянии и создающим поле Е, имеет вид
W = -'/г Vua0EaEp. (12.1В)
$ 13. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В НЕПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ
В непроводящих средах не может существовать стационарный ток, но могут существовать наведенные объемные заряды. Уравнения электростатики в таких средах имеют вид
rotF = О,
div D = 4 npext. (13.1)
Отличие вектора D от напряженности электрического поля Е обусловлено появлением индуцированных зарядов, объемная плотность которых
D-E
р = -divP = -div---------. (13.2)
4 я
Из последней формулы следует, что на поверхности поляризованного диэлектрика могут существовать поверхностные наведенные заряды, плотность которых а равна нормальной компоненте вектора плотности поляризации
о = Рп- (13.3)
Из уравнений (13.1) обычным образом получаются граничные условия на поверхности раздела сред:
~ ~ &пг = (Text- (13.4)
Из первого уравнения (13.1) следует, что Е= —gradip, а второе уравнение (13.1) дает нам уравнение для нахождения скалярного потенциала электрического поля;
Э / Эу>\
Т I Т I = ~4ffpext- (13.5)
OXq \ '
Тензор еар, фигурирующий в уравнении (13.5), связывает векторы D и Е. В случае, если можно пренебречь пространственной дисперсией (а это всегда возможно при достаточно плавном изменении поля в пространстве), диэлектрическая проницаемость сводится к алгебраической (неоператорной) величине. В следующем параграфе будет показано, что тензор еа/5 — симметричный (еар = ера). Как и всякий симметричный тензор второго ранга, он может быть приведен к главным осям, после чего он будет иметь только диагональные компоненты.
Если все три главных значения тензора еар окажутся совпадающими, то диэлектрическая проницаемость будет скаляром. Это может иметь место не только в случае изотропных сред. В кубическом кристалле тензор тоже сводится к скаляру. Анизотропия же кубического кристалла
будет проявляться в тензорах более высоких рангов. Среды, в которых хотя бы два или все три главных значения тензора еар различны, являются электрически-анизотропными. Если эта среда — твердое тело, то в первом случае говорят об одноосном, а во втором - о двухосном кристалл ех.
Кроме диэлектрической проницаемости е в электростатике пользуются также понятием диэлектрической восприимчивости к, которая определяется соотношением
Ра = КарЕр. (13.6)
Диэлектрическая восприимчивость связане с диэлектрической проницаемостью формулой
Как видно из соотношений Крамерса - Кронига (5.4), статическая диэлектрическая проницаемость в отсутствие пространственной дисперсии всегда больше единицы. Соотношение (5.4а) можно записать в виде
, 1 °°
е (0, 0) = 1 + -f —е"(0, w). п о ы
Левая часть этой формулы и есть статическая диэлектрическая проницаемость. Величине е"(0, ш) в правой части — положительна при всех ш > 0, поскольку через нее выражается энергия электромагнитного поля, диссипируемая в веществе. Если диссипация происходит в среде, находящейся в термодинамически-равновесном состоянии, то е" (0, ш) > 0 при всех
В случае, когда среда электрически-изотропна, однородна и можно пренебречь пространственной дисперсией, уравнение (13.5) превращается в уравнение Пуассоне:
Ду> = -4ir Pestle. (13.В)
Граничные условия (13.4) на границе раздела двух диэлектриков принимают вид (ср. с формулами (19.7) и (19 В), ч. I)
Эу>1 Эу>2
^1 = ^2. ci -------е2 —— = 4я oeXf (13-9)
on on
Если поле в диэлектрической среде создается заряженными проводниками, то при задании потенциалов проводников граничные условия на них записываются в виде
У>1хя=У>2, (13.10)
где >pS—потенциал а-го проводника. Если фиксированы заряды (№ проводников, то граничные условия принимают вид
е ,
у>|с= const, -—$—dS = Q(a\ (13.11)
а 4 я sа дп
будет проявляться в тензорах более высоких рангов. Среды, в которых хотя бы два или все три главных значения тензора еар различны, являются электрически-анизотропными. Если эта среда - твердое тело, то в первом случае говорят об одноосном, а во втором - о двухосном кристаллах.
Кроме диэлектрической проницаемости е в электростатике пользуются также понятием диэлектрической восприимчивости к, которая определяется соотношением
Ра = “«рЕц- (13.6)
Диэлектрическая восприимчивость связана с диэлектрической проницаемостью формулой
Как видно из соотношений Крамерса — Кронига (5.4), статическая диэлектрическая проницаемость в отсутствие пространственной дисперсии всегда больше единицы. Соотношение (5.4а) можно записать в виде
, 1 “
е (0, 0) = 1 + — f—— е"(0, со). и о со
Левая часть этой формулы и есть статическая диэлектрическая проницаемость. Величина е"(0, со) в правой части — положительна при всех со > 0, поскольку через нее выражается энергия электромагнитного поля, диссипируемая в веществе. Если диссипация происходит в среде, находящейся в термодинамически-равновесном состоянии, то е" (0, со) > 0 при всех со.
В случае, когда среда электрически-изотропна, однородна и можно пренебречь пространственной дисперсией, уравнение (13.5) превращается в уравнение Пуассона:
Ду> = -4п pext/e. (13.8)
Граничные условия (13.4) на границе раздела двух диэлектриков принимают вид (ср. с формулами (19.7) и (19.8), ч. I)
Эу>1 3l/>2
^1 = ^2, 61 ------ 62 —— = 4 7TOexf (13.9)
on on
Если поле в диэлектрической среде создается заряженными проводниками, то при задании потенциалов проводников граничные условия на них записываются в виде
(13.10)
где потенциал а-го проводника. Если фиксированы заряды (№ проводников, то граничные условия принимают вид
е Ъу , .
15 = const, / — cfs = Q(a). (13.11)
а 4 тг $ Эл
D = e £ *). Диэлектрическая проницаемость е не зависит от поля и может быть выражена как функция S и р. Частный дифференциал внутренней энергии при постоянных S и римеет вид
1
(tW)s 0 -------D dD,
s‘p 4 ire
откуда интегрированием находим
Da
U(S, р, D\ = Uo (S, p) +----. (14.5)
8тге
Здесь Uo (S, p) — плотность внутренней энергии диэлектрика в отсутствие поля, О2/8тге = е£2/8тг - добавка к внутренней энергии за счет поля при адиабатической поляризации диэлектрика.
Добавив в (14.4) слагаемое-d(TS), получим дифференциал свободной энергии:
1
dF = -S dT + {dp +--------D dD, (14.6)
4 ire
где e теперь нужно рассматривать как функцию плотности и температуры. Из (14.6) получаем
О2
F (Г, р, D) = Fo (Т, р) +---. (14.7)
8?ге
Таким образом, то же самое слагаемое D2/8ire представляет собой добавку к плотности свободной энергии диэлектрика, если процесс поляризации проводится изотермически. Поскольку обычно поляризующиеся диэлектрики находятся в контакте с окружением (термостатом), которое поддерживает в них постоянную температуру, то величина
w = О2/8тге = е£2/8тг (14.8)
должна рассматриваться как добавка к плотности свободной энергии диэлектрика.
Иногда бывает удобно оперировать свободной энергией, из которой исключена энергия поля, существующего и в отсутствие диэлектрика. Плотность такой свободной энергии
<F=F-&2/8ir. (14.9)
Здесь & — напряженность поля, которое существовало бы в данном месте, если бы диэлектрика не было, а источники поля_рстались прежними. Изменение такой свободной энергии при изменении 6 Я поля есть
_ 1
---(E-SD-& -8S). (14.10) 4 тг
Это выражение перепишем в виде
5F = (47Г)'1 lD-g)5g+£(5jD-6S) + (£-D)8g.
Большая часть формул этого параграфа записана для изотропных сред. Учет анизотропии усложняет вид некоторых формул, но не вносит существенных изменений в интерпретацию основных соотношений.
При вычислении интеграла от 8F по объему диэлектрика интегралы f{D — &)-8&dV и /£ (8D — 8&)dV обратятся в нуль. Действительно, f(D-&)-8&dV = Jdiv[(0-g)fy]dV'-/8tf-g.div(Z)-g)dV'
& (14.11)
В этом выражении 8<р -связано с 5g формулой 8g=-grad 8^.Последний интеграл в (14.1 Т) равен нулю, так как в объеме, занимаемом диэлектриком, div D = div g = 0. Первый же интеграл может быть представлен в виде поверхностного интеграла f (D — g) S$gdS, взятого по поверхности проводников, создающих поле, и по бесконечно удаленной поверхности.
На поверхности проводников выполняется соотношение const, так же как и соотношение = const, поэтому интеграл по этой поверхности принимает вид
fysf(D-&)dS.
Но f DdS = f g dS, поскольку каждый из этих интегралов равен полному заряду на проводящей поверхности. Этот заряд считается фиксированным и при помещении в поле диэлектрика. Интеграл же по бесконечно удаленной поверхности можно считать равным нулю на обычном в таком случае основании. _
Легко убедиться в том, что интеграл /£ (8 D - 8 g) dV тоже равен нулю. Поэтому
= 5gdv= fPb&dV. (14.12)
4 я
Если внешнее поле однородно, то
fd?'dV=-8&fPdV=-fP-8&, (14.13)
—►
где & — полный дипольный момент всего диэлектрика. Таким образом, изменение плотности свободной энергии 5*в случае однородного внешнего поля имеет вид
d9r=-P-d&. (14.14)
Поскольку плотность дипольного момента Р является линейной функцией £, то она пропорциональна и if. Поэтому выражение (14.14) можно проинтегрировать, и получим
5- Уо (Г р) = - ’/г Р -1. (14.15)
14.2. Изменение внутренней энергии диэлектрика при изотермическом включении поля. Если поле включается изотермически, то изменение внутренней энергии диэлектрика не будет описываться выражением (14.8). Найдем его следующим путем.
Выберем в качестве независимых переменных температуру Т, плотность р и электрическую индукцию D. Полагая р - const, можно записать:
ъи ъи
dU = — dT + —- dD2.
ЪТ bD2
С другой стороны, согласно (14.4), 1 dU = TdS +-------dD2.
8яе
Из двух последних равенств находим изменение энтропии: 1 / 1 ,\ 1 dU 1 (dU 1 \ ,
dS = —(dU-------dD2 ) =--------dT + — —г-----------IdD2. (14.16)
Г\ 8яе / Г dT T\dD2 8яе/
Поскольку энтропия есть функция состояния, то dS — полный дифференциал и
dS _ 1 dU dS 1 / dU 1 \
дТ ~ Т дТ ' dD2 ~ T\dD2 8тге/
Приравнивая перекрестные производные, находим
9 Р ди\ _ 9 [ 1 ( ди 1 dD2 \ Т дТ ) дТ I Т \ dD2 ~ 8тте ) J '
откуда сразу следует, что
dU 1 / Т де
шотам* от а^шамот 1 ш^ша. ^^мм
dD2 8тге \ е дТ
(14.17)
Правая часть (14.17) не зависит от D. Поэтому дифференциальное соотношение (14.17) легко интегрируется:
, D2 ( Т де \
U(T, р, D2) = U0(T, р) +---- |1+- — • (14.18)
8тге \ е дТ /
Функция £/0(7-, р) есть плотность внутренней энергии среды в отсутствие поля. Примем в качестве независимых переменных величины ТпЕ (последнее означает, что заданной считается не Pext, а потенциалы на создающих поле заряженных проводниках). Тогда термодинамическое тождество можно записать в виде
е , Е2 Эе
dU=TdS+ — dE2 +---------dT, (14.19)
8тг 4тт Э Т
так как изменение вектора электрической индукции может быть (при заданных потенциалах) обусловлено изменением температуры среды, от которой зависит диэлектрическая проницаемость, поскольку
Эе
dD = d(eE) = edE + E — dT.
Процедура, аналогичная той, которая (14.18), дала бы в Лом случае
, ef2 / Т
U(T,p,E2) = U0(T,p) +------ (l + -
8тг \ е
приводит к формулам
Эе \ дт) ’
(14.17) и
(14.20)
Формулы (14.18) и (14.20), как видно, могут быть получены одна из 1
другой заменой D -* еЕ и, наоборот, Е -* —D. Из этих формул следует, что е
добавка к внутренней энергии диэлектрика, находящегося в электрическом поле, не равна (14.8) и содержит слагаемое, учитывающее "чувствительность" диэлектрической проницаемости к изменению температуры.
Поучительно вычислить энтропию среды в электрическом поле. Из (14.16) и (14.18) следует, что
Э$ _ 1 / Э1/о f2 Э2е \ 3S _ 1 Эе
ЭГ 7 \Э7 +8тг ЭГ2/' Э£2 ~ 8тг ЭГ
Правая часть в последней формуле не зависит от £ и поэтому это дифференциальное соотношение легко интегрируется. После интегрирования получаем
Е2 de
S = SolT,p) +--------, (14.21)
8тг dT
где S0(T, р) — энтропия среды в отсутствие поля. С помощью (14.19) и (14.21) можно записать выражение для свободной энергии F = U — TS:
F = Fo + еЕ2 /8it. (14.22)
где Fo — свободная энергия среды в отсутствие электрического поля. Мы вновь получили выражение, эквивалентное (14.7).
Возвращаясь к формуле (14.21), можно видеть, что характер влияния поля на энтропию определяется знаком производной de/dT. При de/dT > О энтропия с включением поля возрастает. Поскольку энтропия является мерой беспорядка, то возрастанию энтропии в этом случае отвечает возрастание беспорядка в среде при включении или увеличении поля.
Существуют и такие среды, в которых de/dT < 0. При этом увеличение поля вызывает уменьшение энтропии, а значит, и увеличение порядка в среде. Физической моделью такого процесса может быть поляризация разреженной среды, состоящей из диполей заданной величины. В отсутствие поля все такие диполи будут ориентированы совершенно беспорядочно, а средний дипольный момент такой среды будет равен нулю. При включении поля происходит некоторое упорядочение направления диполей в среде, что приводит поэтому одновременно к появлению не равной нулю средней поляризации среды и уменьшению ее энтропии.
14.3. Симметрия тензора диэлектрической проницаемости. В заключение этого параграфа убедимся в том, что тензор диэлектрической проницаемости является симметричным. Для этого вернемся к формуле (14.3). Непосредственно из вида этой формулы ясно, что она справедлива и в случае анизотропных диэлектриков. Введем новый термодинамический потенциал U, определив его следующим образом:
Е D
U = U--------. (14.23)
4тг
Формулой (14.23) осуществляется преобразование Лежандра, позволяющее перейти от потенциала U= (S, p.D) к потенциалу U= U{S,p,E), так что
1
dU = TdS + Sdp-------DdE
4тг
и
/Э(М
D = - 4тг I —) (14.24)
' ' S, р
17
259
ъ1 2й
Поскольку U (как и И - функция состояния, то производные ---и
Ъги ЪЕаЩ
------ не должны зависеть от порядка дифференцирования. Но
ЪЕ&ЪЕа
ъ2й _ 1 эоа _ 1 ъгй _ 1
ЪЕаЪЕ^ 4тг дЕ^ 4тг ЪЕуЪЕа 4тг
Поэтому
= е0а •
(14.25)
§ 15. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЕ ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОСТРИКЦИЯ
Силы, действующие на среду, помещенную в электромагнитное поле, были рассмотрены выше, в § 10, ч. II. В соответствии с полученными результатами, на жидкий диэлектрик в электрической поле действует объемная сила с плотностью
Е2 1 / Эе \
f= — Vp0 — — grad е + — grad I Е2т — I, (15.1)
8rr 8rr \ Эт /
которой соответствует тензор напряжений
х £2 [ /ML .
°ав-Рооаа— I 6 — Т I I оар + е
8тг L \ Эт / 4тг
(15.2)
Существование такой силы приводит к изменению плотности диэлектрика, что связано с изменением в нем давления. Это явление называется электрострикцией.
Условие равновесия каждого элемента жидкости заключается в том, что полная сила, действующая на такой элемент среды, должна быть равне нулю. Эта сила складывается из силы /, обусловленной полем, и силы, связанной с изменением гидростатического давления от точки к точке. Запишем это условие в форме
f-Vp = 0. (15.3)
Сила / здесь дается выражением (10.13). Перепишем второе слагаемое в (10.13) в виде
/ Эе \ / Эе \ Эе
grad I Е2 т — I = т grad I £ — I + £ — grad т.
\ Эт / \ Эт / Эт
Эе
Если среда является однородной, то grad е = — grad т. Поэтому условие Эт
равновесия (15.3) принимает вид
1 / , Эе \ 1
— grad I £2 — 1 = — grad р.
8тг \ Эт / т
Интегрируя это уравнение, получаем
dp 1 2 Эе
г 8тт Эт
(15.4)
Если известна зависимость т = т(р), можно получить интегральную связь между Р и Е2.
Поскольку жидкости обычно можно считать несжимаемыми, в этом приближении из (15.4) получаем
Р-Ро = — (е2т— . (15.5)
8тг \ Эт /
Эта формула дает электрострикционное изменение давления, обусловленное включением электрического поля.
§ 16. СТАТИЧЕСКАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
Статическая диэлектрическая проницаемость в явном виде может быть вычислена, конечно, только в той или иной модели вещества. Однако модельные представления о среде не обязательно вводить с самого начала, можно продвинуться довольно далеко, не делая конкретных предположений о структуре вещества. Модели же можно и следует использовать в конце для оценки того, к чему приводит теория в тех или иных конкретных случаях.
16.1. Связь между статической диэлектрической проницаемостью и флуктуациями вактора поляризации среды в отсутствие внешнего электрического поля. Выделим в рассматриваемой среде сферу объема V макроскопически малого радиуса. В присутствии внешнего электрического поля вещество, находящееся внутри этой сферы, так же как и в остальных точках среды, будет поляризовано. Если среда изотропна, то вектор поляризации будет направлен по внешнему полю£.
Следуя методу Лоренца, развитому применительно к данной задаче X.Фрёлихом, описание поведения вещества внутри выделенной сферы будем проводить на основе классической статистической механики. Вещество же, находящееся снаружи по отношению к сфере, будет рассматриваться как сплошной диэлектрик с проницаемостью е. При поляризации зарядов, находящихся внутри сферы, эти заряды будут смещаться по отношению к положению равновесия. Такое смещение а-го заряда обозначим через иа, а совокупность всех таких смещений — через Q = Q(Ui,иа,... j.
Пусть С/0(О) - потенциальная энергия системы зарядов, находящихся внутри выделенной сферы, в отсутствие внешнего электрического поля. Энергия t/0(Q) включает в себя как взаимодействие рассматриваемых зарядов друг с другом, так и их взаимодействие с зарядами, находящимися вне выделенной сферы. При включении внешнего электрического поля (которое будем считать однородным и имеющим вдали от сферы напряженность £) потенциальная энергия зарядов сферы получит добавку, которая будет представлять собой энергию взаимодействия зарядов сферы с полем Eit создаваемым внутри сферы внешними источниками и внешними (относительно сферы) зарядами диэлектрика. Поскольку диэлектрик вне сферы рассматривается как сплошная среда с диэлектрической проницаемостью е, то £, — напряженность поля внутри сферической полости, вырезанной в однородном диэлектрике. В Дополнении VIII показано, что это поле однородно и его напряженность
Зе
£,=------- Е (16.1)
2е + 1
Потенциальная энергия зарядов сферы в однородном поле примет вид
Зе ТГ
L/(Q, Е) = L/o (О) — X еамаЕ| = L/o (О) —- (О) Е, (16.2)
а 2е + 1
где для дипольного момента, создаваемого зарядами сферы, введено обозначение:
$(Q) = Sefl«fl. (16.3)
а
Суммирование здесь идет по всем зарядам (а - номер заряда) внутри сферы, и предполагается, что в равновесном состоянии (когда все иа = 0) сфера не поляризована.
Сферическая область находится в тепловом контакте с внешней частью диэлектрика и через нее — с термостатом. Вероятность того, что сфера окажется в состоянии с энергией 1ДО, Е), дается распределением Больцмана: / U \ , / U \
oW=expl--------jdO/f expl------IdQ, (16.4)
\ Т/ \ Т/
где T — температура, выраженная в энергетических единицах.
Вычислим среднее значение проекции электрического дипольного момента сферы на направление поля Е-.
< > = f ^(Q)cos в exp I — — I dQ I f exp ——\dQ. (16.5)
Здесь в - угол между векторами и Е.
Если напряженность Е достаточно мала, так что | 3> • Е, | < Г, то экспоненты в (16.5) можно аппроксимировать следующим образом:
ехр
U(Q,E}
Т
= ехр
U0(Q} 1 Г Зе
----- 1 + ------
Т J L 2е + 1
&(0}Е 1
------ cos О I , Т-----J
(16.6)
удерживая лишь члены, линейные поЕ. Далее подставим (16.6) в (16.5) и примем во внимание, что
J S^IQJcos в ехр
и0 Т
dQ = Q.
(16.7)
Последнее равенство следует из того, что в отсутствие поля среднее значение проекции д'* на любое направление равно нулю. Равенство (16.5) примет вид:
< £РЕ > = - — f дь2 (Q)cos20exp (------ ) dQ/f ехр f---- JdQ.
2e + 1 T \ T / / \ T /
(16.B) Подынтегральные выражения в (16-8) не зависят от E, а в отсутствие внешнего поля все направления вектора д5 равноправны. Поэтому интегрирование по углу в будет относиться только к множителю cos20 и приведет к замене его на cos20 = 1/3. В итоге (16.8) можно представить в виде
е Е
< д^> = --- — {SP2}, (16.9)
2е +1 Т
где стоящая в правой части (16.9) величина
da
(16.10)
Величина ( 3j2 ) представляет собой среднее значение квадрата дипольного момента сферы за счет тепловых флуктуаций в отсутствие внешнего электрического поля.
Поскольку D = eE = Е + 4тгР, а РЕ = ( 3>Е} / V, то
47гР£ 4тг < 33Е )
(16.11)
где U-объем сферы. Подстановка величины < 3JE ) из (16.11) в (16.9)
позволяет получить
4тг е (З32)
е-1 = — -------- -----
V 1 + 2е Т
(16.12)
Формула (16.12) связывает, таким образом, диэлектрическую проницаемость среды е со средним квадратом спонтанной (флуктуационной) поляризации среды: е оказалась выраженной через флуктуации дипольного момента сферической области в отсутствие внешнего электрического поля. Важное значение этой формулы заключается в том, что она выражает реакцию среды на внешнее воздействие (на внешнее электрическое поле), выводящее среду из положения равновесия (эта реакция и описывается диэлектрической проницаемостью) через те свойства среды, которые относятся к равновесному ее состоянию. Существование такой связи характерно не только для рассматриваемой задачи. Она существует и в других случаях, когда система выводится из состояния равновесия внешними силами (например, внешним магнитным полем) и является частным случаем так называемой флуктуационно-диссипативной теоремы.
В формуле (16.12) диэлектрическая проницаемость среды е выражается через флуктуацию дипольного момента сферы, взаимодействующей со своим окружением. Этой зависимости также можно придать вид
VT (1 +2е) (е~ 1)
4?г е
(16.13)
Среднее значение квадрата дипольного момента всей сферы, входящее в (16.12), удобно выразить через дипольные моменты отдельных молекул, находящихся внутри сферы. Пусть внутри сферы находятся N молекул. Это могут быть также Л/ элементарных ячеек решетки в случае, если диэлектрик является кристаллом, или Л/ атомов. Дипольный момент сферы складывается из дипольных моментов всех этих структурных элементов (в дальнейшем эти структурные элементы будем условно называть молекулами) :
& = Я,-
а = I
(16.14)
Здесь ра=ра(иа} - дипольный момент а-й молекулы. Среднее значение квадрата дипольного момента всей сферы
- 3 - АГ _
> = ($ • ^ > = ( 2 -ра> -а = 1
1 * f ~ / U0(Q} \
= - X fpa(ua)& (Q)exp I-------------c/Q, (16.15)
Z а=1 \ T /
где
f / С/0(О) \
Z = Jexpl------— \dQ (16.16)
- нормировочный интеграл. Каждое слагаемое в сумме (16.15) удобно представить в виде
1 , - Г U0(Q) 1
— /Ра(иа) ^(Olexp I---------- I dQ =
= fPa(ua^f ^(Q)exp
dOaX
Uo (О) T
(16.17)
Символу dQa отвечает та часть конфигурационного пространства смещений зарядов, которая связана со смещениями всех зарядов, кроме зарядов, входящих в а-ю молекулу. В (16.17) возникли две комбинации интегралов, имеющих ясный физический смысл. Величина
Г Up{Q} 1 / Г U0(Q} 1
#>(иа) =/^(QJexp I-----— lc/Qa/Jexpl--------— I dQa (16.18)
имеет смысл среднего дипольного момента сферы при фиксированном смещении зарядов а-й молекулы. Величина
1 . Г U(Q) 1
— Jexp I-----— I dQa = р(иа) (16.19)
есть вероятность того, что смещение зарядов в а-й молекуле равно иа, причем смещения всех остальных зарядов могут быть произвольными. Таким образом, - N -Z
<3>2> = X fpa(ua) & (ua)p(ua)d3ua. (16.20)
а = 1
Если все молекулы - одинаковые, то < 93 2 ) = /V fp(u)&(и)р(и)с/3о. (16.21)
Теперь формуле (16.12) может быть придан вид 4тгле 1 е-1=--------------/р(и) 3>(u}p{u}d3u, (16.22)
1 + 2е Т
здесь п = N/V - концентрация молекул. 264
16-2 Диэлектрическая проницеемость среды, состоящей из полярных молекул- Если диэлектрик состоит из полярных молекул, абсолютную величину дипольного момента р которых можно считать неизменной, то
<Jp(«) SP Mp{u)d3u> = р2.
В этом случае общая формула (16.22) принимает вид 4тгле р2
е — 1 = --- — •
1 +2е Т
(16.23)
Это соотношение называется формулой Онсагера. Его можно считать оценкой, показывающей, какой порядок и какую структуру имеет правая часть (16.22) в случае полярных молекул. Для случая диэлектрика, состоящего из полярных молекул, характерно, как это видно из (16.23), существование зависимости диэлектрической проницаемости от температуры.
16.3. Диэлектрическая проницеемость среды, состоящей из неполярных молекул- Неполярные молекулы существенно отличаются от полярных в том отношении, что абсолютнея величина дипольного момента неполярной молекулы ни в каком приближении не может считаться величиной постоянной. Она существенно зависит от приложенного поля и от температуры. Дипольный момент такой молекулы пропорционален смещению атомов и. _
Оценим величину (fP2} (16.21) в простейшем случае — в случае сферических молекул. Эта величина в случае сферических молекул имеет вид:
, ~ , Г U{u)
Ne J и ехр - --------
о L Т
—
~ Т
и2 du.
(16.24)
Энергия деформации сферической молекулы в гармоническом приближении есть
U(u} = yu2. (16.25)
Интегралы в формуле (16.24) могут быть выражены через интеграл вероятностей и поэтому могут быть взяты. Обозначим у/Т = тогда интеграл
7 2 2. 3\/7 .-5/2
fu2exp - ------ u2du= ------- £ 5'2,
о I Т 8
а стоящий в знаменателе формулы (16.24) интеграл
Jexp(- £и2 }u2du = — £“3/2. о 4
Следовательно, оценкой величины (16.24) является
з/2 Ne2 - . (16.26)
t
Величина % ~ МкТ. Поэтому в случае неполярных молекул, как это видно из (16.22), диэлектрическая проницаемость не зависит от температуры. В этом отношении неполярные диэлектрики существенно отличаются
(16.27)
от полярных. Формула (16.22), представленная с помощью (16.26) в виде бтгпе е2
е-1 = ------ N —,
1 +2е -у
обладает той особенностью, что величину у в этой формуле следует еще непосредственно выразить через макроскопическую диэлектрическую проницаемость е. Коэффициент у зависит также от микроскопической молекулярной поляризуемости Ха. Покажем это следующим образом.
Согласно (16.25) у = U(u)!u2, причем U = Ut + Ue. Энергия Ц = '/геи2 есть внутренняя энергия молекулы. Молекулярная константа с, характеризующая "жесткость" молекулы, связана с молекулярной поляризуемостью ха. Эта связь очевидне и ее можно установить с помощью следующего простого рассуждения.
Если на молекулу действует поле Eeff, то ее потенциальная энергия равна U(u) =Угси2 - ей Eefr. Энергия £/(и) минимальна при ей = (e2/c)£*eff. Но ей = м =XaEeff. так что е2/с - ха ис = е2/Ха- Таким образом, U, = = (е2/2ха)о2.
Энергия Ue обусловлена взаимодействием молекулы с окружающей сплошной диэлектрической средой. Поляризованная молекула вызывает поляризацию окружающей среды. Поляризованная таким образом среда, в свою очередь, вызывает появление добавочного вклада в действующее на молекулу поле. Последнее принято называть реактивным. Напряженность реактивного поля, созданное однородно-поляризованным шаром (с плотностью поляризации Р) , как показано в Дополнении IX имеет вид
£геас = 2 1—— 4яР=2 ——- ^а‘3. (16.28)
3 2е + 1 2е +1
г
Здесь было принято во внимание, что полный дипольный момент есть 4/з тгРа = 3* (где а - радиус сферы). С реактивным полем связана энергия -5s £геас взаимодействия молекулы с окружающей средой и энергия самого реактивного поля. Последнюю можно оценить, представив ее в виде Х(£геас)2.
Коэффициент X, в свою очередь, можно оценить, исходя из условия минимальности Ue при фиксированном значении 3 . Функция Ue = = - З5 £геае + Х(£геас)2 минимальна при З3 = 2Х£геас. Подставляя последнюю формулу в Ue, получим,что ие = — '/г 3> -Егеас, или
е — 1 З52 е2 е-1 (/ =------------- = _ — ------
2е + 1 а3 а3 2е +1
Поэтому
Ui + Ue , [ 1 е - 1 '
7 = ---;— =е I — - -----------
и \2ха 2е + 1 >
(16.29)
(16.30)
Теперь формулы (16.22) и (16.27) принимают вид соотношения Клаузиуса — Моссотти:
е-1 Ха е + 2 " а3
(16.31)
S 17. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СРЕДЕ, ПОМЕЩЕННОЙ
В ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
17-1. Электрический ток и поток тепла в среде в присутствии внешнего электрического поля. В случае проводящих сред электрическое поле приводит к возникновению ряда эффектов, столь же важных, как поляризация в случае непроводящих сред. Поскольку заряженные частицы в проводящих Средах способны перемещаться, то приложение электрического поля вызывает процессы переноса или, как еще говорят, транспортные процессы. Важнейшие среди них — это появление постоянного тока зарядов и перенос тепла.
В однородном изотропном проводнике, во всех точках которого температура одинакова, электрический ток обусловлен только электрическим полем. В линейном по полю приближении плотность тока
/=а£. (17.1)
Коэффициент о называется проводимостью среды и является важнейшей характеристикой проводящих сред. Соотношение (17.1) называется законом Ома.
При протекании тока вереде происходит диссипация энергии поля,плотность которой в единицу времени
Q =/•£= а£2 = а*1/2. (17.2)
Последнее соотношение принято называть законом Джоуля - Ленца.
При диссипации энергии поля происходит рост энтропии. В единицу времени энтропия $ проводника с током возрастает на величину
dS , 1
— -j-EdV- (17.3)
dt Т
здесь интегрирование производится по всему объему проводника. Из положительности производной dSIdt в случае среды,находящейся в равновесии, с учетом (17.2) вытекает положительность о. Взаимодействие электронов и ионов в среде приводит при наличии поля Е к появлению потока тепла, плотность которого в линейном приближении равна
q = yE. (17.4)
В неоднородных средах формулы (17.1) и (17.4) усложняются. Наиболее важным случаем, который только и будет рассмотрен, является температурная неоднородность — наличие в среде конечного градиента температуры. Г радиант температуры приводит к диффузии заряженных частиц из нагретых областей в менее нагретые. С этими процессами преимущественного движения зарядов будут связаны как дополнительный электрический ток, так и поток тепла; формулы (17.1), (17.4) с учетом градиента температуры примут вид
/ = оЕ + 0 grad Т, (17.5)
q = ?£ + £ grad Т. (17.6)
Коэффициент 0 характеризует величину термоэлектрического эффекта, коэффициент t обусловлен обычной теплопроводностью.
Коэффициенты а, 0, у, ? и другие подобные коэффициенты, которые описывают реакцию системы на внешнее воздействие, выводящее систему из состояния термодинамического равновесия, называются кинетическими коэффициентами. Различные кинетические коэффициенты не независимы.
Их взаимная связь выражается принципом симметрии кинетических коэффициентов, установленным Онсагером. Принцип Онсагера, подробное рассмотрение которого проводится в курсах статистической механики, формулируется следующим образом.
Обозначим через Jt плотность тока или потока какой-либо физической величины. Индекс i указывает, какая именно физическая величина имеется в виду. Следуя Онсагеру, производную от энтропии по времени запишем в виде
ds
— (17.7)
dt
Величины Xj в (17.7) называются обобщенными силами. Сами потоки Jj выражаются линейно через обобщенные силы:
Л = (17.В)
Формулу (17.8) можно рассматривать как определение кинетических коэффициентов Математическая формулировка принципа Онсагера гласит:
а/*=а*,. (17.9)
Соотношение (17.9) называется также принципом симметрии кинетических коэффициентов.
Чтобы применить этот принцип к установлению связи между коэффициентами в формулах (17.5) и (17.6), надо обобщить формулу (17.3) на случай, когда в среде имеется температурный градиент. В этом последнем случае ds 1
— = — (jE-divq). (17.10)
dt Т
Последнее слагаемое описывает вклад энергии направленного теплового потока в рост энтропии, обусловленный диссипацией. Формуле (17.10) следует придать вид соотношения (17.7). Это позволит определить обобщенные силы Xj. Если путем интегрирования второго члена в (17.10) по всему объему тела и обращения в нуль поверхностного интеграла преобразовать (17.10) к виду
ds Г j • Е 1 1
— = ------------q grad — , (17.11)
dt L T T J
то из сравнения (17.11) с (17.7) получим, что имеются две обобщенные силы:
Xj = —EIT и X<? = -grad(1/7).
Придавая уравнениям (17.5) и (178) вид соотношения (17.8), получаем, что кинетические коэффициенты а/* в нашем случае выражаются следующим образом:
aii = aT- а)ч = -^Тг. aqi = yT, aqq=_$T2. (17.12)
В соответствии с (17.9) aiq = aqj,r.e.
7~-РТ. (17.13)
Вернемся к мощности, выделяющейся в среде в виде тепла. Согласно (17.5), (17.6), (17.10)*и (17.13), эта мощность может быть представлена в виде
dQ j2 / 3 \
— = — +/TVI- +div(KV7), (17.14)
dt о \ о /
где к = - (f + 02Т/о). Первое слагаемое в правой части формулы (17.14) есть джоулево тепло, третье - обусловлено обычной теплопроводностью. Второе же слагаемое связано с существованием термоэлектрических эффектов. Его вклад в тепловыделение линеен по / и поэтому может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от направления тока.
17.2. Эффект Пальтье. Если ток проходит через спай двух различных проводников, то в области спая может поглощаться или выделяться тепло. Такое явление носит название эффекта Пельтье.
Выражение для плотности потока тепла (17.6), согласно (17.5)и (17.13), может быть записано в виде
37
q-------j-кЧТ. (17.15)
о
Если оба контактирующие проводника поддерживаются при одной и той же температуре, то q определяется только первым слагаемым. Обозначим II = - 37/а. Эта величина является характеристикой метелла, и у разных металлов — разная. Поэтому разность плотностей потоков тепла, подводимого и уносимого током от контакта, есть
q= (П, -П2)/„, (17.16)
где индексы 1 и 2 у коэффициентов П относятся, соответственно, к первому и второму проводникам. Знак эффекта Пельтье зависит от направления тока, чему соответствует выделение или поглощение тепла на контакте.
17.3. Эффект Томсона. Если температуре разных точек однородного по составу проводника различна и grad 7 ¥= 0, то в правой части второго слагаемого в формуле (17.14)
/3\ d /3 \
/7V - =/7— - V7.
\ о / dT \ о /
Вводя обозначение
d / 3 \
р = -Т — - , (17.17)
dT \ о /
мы получаем следующую формулу для величины тепловыделения в проводнике с температурным градиентом, по которому протекает ток:
OTh=P/V7. (17.18)
Этот эффект называется эффектом Томсона. Он отличается от эффекта Джоуля — Ленца тем, что линеен по току. Поэтому, в зависимости от направления тока по отношению к направлению температурного градиента, а также в зависимости от знака коэффициента р, может наблюдаться как поглощение, так и выделение тепла.
17.4. Термоэлектродвижущея сила. Если привести в контект три проводника, из которых первый контактирует со вторым, а второй — с третьим (причем первый и третий сделаны из одного и того же материала), и под
держивать температуры зон контактов соответственно равными и Тг (7\ Ф Г2), а температуру концов цепи — одинаковой, то в такой цепи возникнет разность потенциалов. Разность потенциалов, измеренных на концах цепи, называется термозлектродвижущей силой &т.
Величину термоэлектродвижущей силы можно получить из формулы (17.5), записанной в виде
где / -* 0 и интегрирование проводится вдоль всей цепи:
0
&T = -f - Vr-d/. о
Этот интеграл распадается на сумму трех интегралов, взятых вдоль каждого из проводников; после интегрирования получаем
T7/3i fa \
= f - - — </Г. (17.19)
Г, \О( О2 /
17.5. Соотношения Томсона. Коэффициенты Пельтье П и Томсона р не являются независимыми. Из сравнения (17.15), (17.16) и (17.17) видно, что между ними существует связь:
d /П\
Р= Т — I - . (17.20)
dT \ TJ
Далее, из сравнения (17.19) и (17.20) видно, что
dT
&т = f — (П] -П2). (17.21)
т, Т
Соотношения (17.20) и (17.21) называются соотношениями Томсона.
§ 18. ОЦЕНКА ПРОВОДИМОСТИ
В ПРИБЛИЖЕНИИ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ
Вычисление кинетических коэффициентов и, в первую очередь, — проводимости о среды во внешнем электрическом поле, проводится обычно с помощью кинетического уравнения. Кинетическое уравнение, являющееся следствием теоремы Лиувилля о неизменности функции распределения при движении вдоль фазовой траектории, при наличии внешнего электрического поля принимает вид
bf bf bf
— + —v + —= ЛИ. (18.1)
Эг Ьг Ьр
В случае стационарного процесса частная производная bf/bt = 0. Правая часть этого уравнения называется интегралом столкновений. Это слагаемое описывает то изменение функции распределения, которое обусловлено рассеянием частиц среды друг на друге. В задачах, связанных с вычислением реакции среды на постоянное однородное или слабо меняющееся в пространстве внешнее поле, именно интеграл столкновений определяет основные характеристики реакции системы.
В общем случае интеграл столкновений имеет очень сложный вид, а кинетическое уравнение является интегро-дифференциальным уравнением по отношению к искомой функции f(p). Поэтому это уравнение изучается в важнейших частных случаях металлов, полупроводников и плазмы. Но и в этих частных случаях кинетическое уравнение остается очень сложным уравнением, чувствительным к деталям взаимодействия частиц друг с другом.
Простейшим, самым грубым приближением в описании интеграла столкновений, является приближение времени релаксации. В этом приближении интеграл столкновений записывается в виде
/(Г(р))=-8Нр)/т, (1В.2)
где — отклонение функции f от равновесной. Основанием к записи интеграла столкновений в таком виде является то обстоятельство, что, как показывают наблюдения, приближение к состоянию равновесия системы, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе, часто происходит примерно по экспоненциальному закону. Действительно, из (18.1) и (18.2) следует, что релаксация пространственно-однородной системы описывается уравнением
dbf/dt = —bf/r. (18.3)
Интегрируя его, получаем
bf(p, г) ~ ехр(-г/т). (18.4)
Величина т = т(р) называется поэтому временем релаксации. Приближение времени релаксации правдоподобно, но в каждом конкретном случае требует теоретического обоснования.
В приближении времени релаксации кинетическое уравнение, описывающее стационарный процесс, принимает вид
df ЭГ bf
v— + eE— =-----------. (18.5)
дг др т(р)
Если электрическое поле — слабое, так что нелинейные эффекты в проводимости не проявляются, то уравнение (18.5) можно упростить, подвергнув его линеаризации. Подставляя функцию распределения f = f0(p} + bf(r,p} в уравнение (18.5), будем удерживать в этом уравнении лишь слагаемые, линейные по Е или по bf. Если считать, что равновесная функция распределения 70(р) не зависит от координат, то линеаризованное кинетическое уравнение примет вид
dbf df0 bf
v-----+ еЕ---------------. (18.6)
дг др т (/>)
dbf
В это уравнение теперь не входит слагаемое -----еЕ, которое описывает
Эр
отклонение от закона Ома.
Пусть поле Е однородно в пространстве. Тогда неравновесная добавка bf также не будет зависеть от координат, bbfldr = 0, и уравнение (18-6) легко решается;
ЭЛ,
bf = -е(» Е}т--------. (18.7)
д&
Плотность тока, определяемая этой неравновесной добавкой к функции распраделения, выражается в виде интеграла по всем значениям импульса:
j = ejv bf (p)d3p = -e2Jrv (»£) — d3p =
9£
»(»•£) 9f0
= — e2fr-------------dS d&. (18.8)
v d&
Величина dS является здесь элементом поверхности постоянной энергии в импульсном пространстве. Если связь между энергией и импульсом у частиц-носителей электрического заряда такая же, как у свободных частиц, т.е. £ (р) = р2 /2т, то
dS = 21/2m3/2&1/2dnp.
Но в твердых телах часто из-за взаимодействия частиц с кристаллической рашеткой и друг с другом связь £ {р) усложняется. В таком случае величина dS будет определяться конкретной зависимостью £ (р).
Из (18.8) следует, что коэффициент пропорциональности а, связывею-щий плотность тока / и напряженность поля Е, который называется проводимостью, является тензором:
- V aV я bf0
аа0 = - е2 f т (р)--------dSd&. (18.9)
к Э£
При вычислении интегралов в (18.9) удобно сначале брать интеграл по поверхности постоянной энергии, а затем - по всем энергиям. Проще всего вычисление интеграла (18-9) проводится в металлах. В металлах равновесной функцией распредаления является функция Ферми, производная от которой по энергии близка к 6-функции и отлична от нуля только при £ =£р — энергии Ферми. Учитывая, таким образом, что
Э^о
--- >= -6(£ -£f),
Э£ F
получаем
аав-е2!т{р}--------dS.
v
Интеграл в этой формуле берется по поверхности Ферми.
Если предположить, что время релаксации т зависит только от модуля импульса р, то полученная формула упрощается и принимает вид
, vavn
°ae=efT(p)-------*dS. (18.10)
v
Формула (18.10) может оказаться применимой даже к таким металлам, поверхность Ферми у которых несферич^а. Это связано с тем, что геометрия поверхности Ферми определяется в основном взаимодействием электронов проводимости с регулярно расположенными атомами кристаллической решетки, в то время как характер зависимости т(р) определяется процессами рассеяния электронов, например, на хаотически расположенных примесях. Тем не менее, нужно помнить о том, что могут существовать случаи, когда независимость т от направления вектора р может оказаться неадекватной действительности.
Выражение (18.10) определяет симметричный тензор, который может быть диагонализован. В случае кубических кристаллов все три диагональные компоненты тензора проводимости совпадают, так что тензор оа(з становится скаляром и может быть записан в виде
а = Ч$е2 f v т (p)dS. (18.11)
В простейшем случае сферической поверхности Ферми
о = 41з1ге2р3гт (Рр)/т.
Величина /з тгрг в этом выражении есть объем в пространстве импульсов, заключенный внутри поверхности Ферми. Если обычный объем равен единице, то в состояниях, соответствующих полученному таким образом фазовому объему, будет находиться в случае статистики Ферми л частиц, так что последняя формула примет простой вид:
а = е2п т (рр) /т.
В случае полупроводников и других систем, подчиняющихся классической статистике, в (18.9) в качестве функции f0 следует брать максвелловское распределение. В этом случае (и в том же, что и раньше, предположении об изотропии времени релаксации) формулу (189) удобно записать в виде
е2
а =---- fforv2d3p (18.12)
ЗГ
(Г - температура). Если функцию распределения нормировать на концентрацию носителей тока, то последнюю формулу можно переписать в виде
ле2 ——
а =----(rv2). (18.13)
ЗГ
Здесь (tv 2) — среднее по максвелловскому распределению значение произведения v2t(v ). Если принять, что т = const (что является, конечно, грубым приближением и справедливо далеко не всегда), и учесть, что 7г лгТ1 = 3/i Т, то (18.13) примет вид
а = пе2т/т. (18.14)
Эта формула, называемая формулой Друде, может быть получена и из совсем элементарного рассмотрения.
Проводимость конденсированных сред определяется рассеянием электронов на примесях и на фононах, а проводимость слабоионизованной плазмы -рассеянием электронов на нейтральных атомах.
Фактически, для того чтобы достичь удовлетворительного описания экспериментов по измерению проводимости сред в широком интервале значений параметров этих сред, требуется учитывать многие тонкие особенности структуры интегралов столкновений в кинетическом уравнении. Такое рассмотрение является предметом физической кинетики.
§ 19. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКИ И СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ
19.1. Пьезоэлектрический эффект. Согласно § 15, ч. II внутренние напряжения и, соответственно, тензор напряжений оа$ в изотропном диэлектрике зависят от электрического поля квадратично. Это связано с тем, что в жидкостях изменение 5е диэлектрической проницаемости обусловлено 18. М.М. Бредов 273
только изменением плотности жидкости в данной точке. В кристаллических твердых телах деформация тел и соответствующее изменение диэлектрической проницаемости могут происходить и без изменения плотности среды. В этом случее внутренние напряжения в среде могут оказаться пропорциональными первой степени поля. Среды, в которых деформация линейно зависит от приложенного поля (или в которых при деформации среды появляется линейная по деформации электрическая поляризация) , называются пьезоэлектриками.
Среда является пьезоэлектриком, если вектор электрической индукции D зависит не только от Е, но и от оар. Иначе говоря, в пьезоэлектриках*)
OQ — €q,@E@ + 4 Т^Уа0е @0е • (19.1)
Тензор III ранга уа0е называется пьезоэлектрическим. Поскольку тензор напряжений а$е симметричен, то и тензор уа$е симметричен по двум последним значкам.
Установим связь между деформацией тела и приложенным к нему электрическим полем. Для этого запишем дифференциал свободной энергии (в расчете на единицу объема) для случая, когда кристаллическое тело деформировано и на него наложено электрическое поле. Вместо (14.6) будем иметь
1
dF = -SdT +------EdD + oapduap, (19.2)
4 тг
где тензор деформации иар, как это известно из механики сплошных сред, при малых де^юрмациях имеет вид
1 /Ъиа Ъи0 иа& ~----I --- +----
2 \ 3*0 Эха
Здесь иа — вектор смещения элементов среды при деформации.
Если в качестве независимых переменных выбираются Т. Е и оа^, то вместо свободной энергии удобно ввести термодинамический потенциал
1
Ф(Т,Е, оа(}) = F----ED-oapuap. (19.3)
4тг
Комбинируя (19.3) с (19.2), будем иметь
1
d$> = -SdT-----DdE - uapd<Jap. (19.4)
4тг
Отсюда следует связь между иа& и термодинамическим потенциалом Ф: / ЭФ \
"а0 = - ------ • (19.5)
\ Эо^з Т.Е
Интегрируя (19.4) с учетом (19.1), получим
1
Ф = Ф0(Т, оа0) - — еа^ЕаЕ0-уа0еЕао0е. (19.6)
*> В некоторых типах кристаллов в правую часть (19.1) могут входить компоненты постоянного вектора Dqq.
Здесь в явном виде выделены члены, зависящие от электрического поля. Дифференцируя (19.6) по оа(3, найдем
ЭФ0
иар Т + Уеар •
Последнее слагаемое определяет деформацию среды, возникающую при наложении электрического поля:
= УесфЕе- (19-7)
19.2. Сегнетоэлектрики. До сих пор мы имели дело с веществами, которые поляризовались под действием внешнего электрического поля или механической деформации среды. Существуют, однако, и такие вещества, которые самопроизвольно поляризуются в некотором интервале температур. Такие веществе называются сегнетоэлектриками. Сегнетоэлектрики можно считать электрическими аналогами ферромагнетиков, в связи с чем их иногда незывают ферроэлектриками. Сегнетоэлектрики отличаются большой диэлектрической проницаемостью и наличием петли диэлектрического гистерезиса. Сегнетоэлектрики, спонтанная поляризация которых сохраняется во всем интервеле температур, называются пироэлектриками.
Переход сегнетоэлектрика из состояния, в котором спонтанной поляризации нет (из параэлектрической фазы), в состоянии с не равной нулю спонтанной поляризацией (в пироэлектрическую фазу) может быть фазовым переходом I или II рода. Независимо от типа фазового перехода, температура, при которой происходит переход, называется сегнетоэлектрической температурой Кюри.
Направление вектора спонтанной поляризации может быть изменено при приложении внешнего поля. Для такой переориентации направления поляризации сегнетоэлектрика может понадобиться поле конечной величины. Соответствующую величину принято называть коэрцитивной силой. При температуре ниже температуры Кюри 0, при равном нулю внешнем поле, сегнетоэлектрик может оказеться разбитым на области с противоположно направленной поляризацией, которые принято называть доменами. Это связано с тем, что в случае однодоменного тела конечных резмеров вне кристалле возникает электрическое поле. Это поле принято называть деполяризующим- При разбиении сегнетоэлектрике на домены это деполяризующее поле сильно уменьшается. Разбиение на домены происходит так, что энергия деполяризующего поля и поверхностная энергия граничных слоев оказывается одного порядка. Граница между доменами сантипарал-лельной ориентацией векторе обычно является тонкой (у сегнетоэлектриков она порядка нескольких атомных расстояний; у ферромагнетиков толщина переходной области между доменами — много больше).
Рассмотрим поведение одномерного однодоменного сегнетоэлектрика вблизи температуры Кюри без учете внутренних напряжений. Начнем со случая, когда переход из параэлектрической в пироэлектрическую фазу является фазовым переходом II рода. Плотность добавочной свободной энергии вещества, связенная с появлением спонтанной поляризации, может быть представлена в виде ряда по степеням вектора поляризации
F = — P2 + — Р* + ... (19.8)
2 4
Разложение функции F идет по четным степеням поляризации, поскольку свободная энергия не зависит от направления вектора Р.
W 275
Поляризация, при которой свободная энергия экстремальна, определяется из уравнения
dF[P)/dP=0, (19.9)
которое, с учетом (19.8), принимает вид
аР + 0Р3 = Р(а + 0Р2) = 0. (19.10)
Экстремум свободной энергии будет именно минимумом,если положительна вторая производная от F по поляризации, чему соответствует неравенство
а + 30Р2>О. (19.11)
Если температура Т выше температуры Кюри ©, поляризация сегнетоэлектрика равна нулю. Поэтому, как это следует из (19.11), а > 0 при 7">©. При 7" < ©
Р2=-а/0, (19.12)
причем а и 3 имеют разные знаки. Подставляя (19.12) в (19.11), убеждаемся, что а < 0. Соответственно, 0 > 0. Таким образом, вблизи перехода коэффициент а зависит от температуры таким образом, что при переходе через точку Кюри он меняет знак. Поэтому вблизи точки Т = © коэффициент а можно разложить в ряд Тейлора по степеням Т- ©.оставив в этом разложении только линейный член:
да
а=—- • (Т-©) = аа(Т-©). (19.13)
Э/ т-&
Отсюда
Р2 = — (©— Г) при Т<©. (19.14)
3
Вид функции F при температурах, близких к точке Кюри ©, изображен на рис. 19.1. Из рисунка и из формулы (19.14) видно, что спонтанная поляризация возникает в точке Кюри и квадрат этой поляризации линейно растет с уменьшением Т при малой разности © — Т.
Для того чтобы понять, как ведет себя диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектрика вблизи точки перехода, сегнетоэлектрик следует поместить в электрическое поле. Плотность свободной энергии вещества при этом запишется в виде
F = Fo +'АаР2 + %0Р* -РЕ. (19.15)
Здесь Fo — свободная энергия вещества в параэлектрической фазе. Свободная энергия F экстремальна при
аР + 0Р3-£ = О. (19.16)
Минимальность свободной энергии F будет обеспечена, если будет выполняться неравенство
а + 30Р2>О, (19.17)
которое совпадает по форме с неравенством ЪЕ/ЪР > 0. При Г> © и в слабых полях уравнение (19.16) может быть переписано в виде
Е = аР. (19.18)
Следовательно, а'1 есть диэлектрическая восприимчивость вещества, находящегося в параэлектрической фазе. Поскольку е = 1 + Дтго-1, то диэлектрическая проницаемость вещества в этих условиях
4тг Гс
е(Г) * ---------- = ------
аа(Т-0) Г-0
(19.19)
Формула (19.19) является математическим выражением так называемого закона Кюри — Вейсса, постоянная Тс = Дтг/а^ называется константой Кюри - Вейсса. Порядок величины постоянной Тс для различных сегнетоэлектриков составляет 103 — 105К.
Из (19.19) видно, что при Г ~»0 диэлектрическая проницаемость вещества становится очень большой. В нашем выводе не были учтены потери энергии при поляризации вещества, поэтому при Г-*0 диэлектрическая проницаемость, согласно (19.19), стремится к бесконечности. Фактически, е(Г) при Г -* 0 должна показывать отчетливо выраженный максимум. При Г < 0
Е = аР + $Р3,
причем поляризация Р состоит из двух частей, спонтанной поляризации Psp и поляризации Pinij, наведенной электрическим полем. Если поле слабое и можно считать, что Fsp a Psp = - а//3, то
Pin d = - — Е (19.20)
2а
Таким образом, в случае пироэлектрической фазы величина е также сильно возрастает при 0 - Т -* 0. На том же расстоянии от точки Кюри диэлектрическая проницаемость вещества, находящегося в параэлектрической фазе, в два раза больше, чем в пироэлектрической фазе.
Формула Е = аР + $Р3, если из нее найти Р = Р(Е), дает зависимость поляризации от поля. Эта зависимость изображена на рис. 19.2. Участок ab кривой Р = Р(Е) соответствует неустойчивому состоянию. На этом участке, как видно из рисунка, дР/ЪЕ < 0, в то время как минимуму свободной энергии соответствует неравенство ЪР/ЪЕ > 0. Из рисунка видно также, что при уменьшении поля Е и изменении его знака поляризация Р меняет знак не сразу, а только тогда, когда поле достигнет определенной величины. Соответствующим значениям поля на оси абсцисс отвечают точки f и д. Отрезки Of и 0? как раз и определяют коэрцитивную силу. Изменение 277
направления поляризации происходит скачком (переход из точки а в точку d и из точки b в точку с) .
В некоторых сегнетоэлектриках при приближении температуры к температуре Кюри спонтанная поляризация возникает скачком, а не нарастает постепенно. Это означает, что в этом случае переход из параэлектрического в пироэлектрическое состояние является фазовым переходом I рода. Для достаточно корректного описания перехода разложение F в ряд по степеням Р (это разложение иногда называют разложением Гинзбурга -Девоншира} в этом случае должно быть продолжено до члена, пропорционального Р6:
а в у
F = Fo +—Р2 +— Р4 +—Р6 - РЕ. (19.21)
2 4 6
Из рис. 19.3 видно, что при 7=0 возникают два минимума свободной энергии, чему соответствует одновременное сосуществование параэлектрической и пироэлектрической фаз. При Г < 0 остается только одна пироэлектрическая фаза. Совпадение при 7 = 0 свободной энергии двух фаз означает, что в этом случае
a + MPjp + 7Р*р =0. (19.22)
С другой стороны, условие экстремальности F приводит к уравнению
a+i3Ps2p+7P*p = O. (19.23)
Уравнения (19.22) и (19.23) должны выполняться одновременно. Умножим (19.23) на 1/3 и вычтем из него уравнение (19.22). Тогда члены, содержащие Psp, сократятся, и получится, что
/>s2p = -4a/0. (19.24)
Подставляя полученное таким образом значение квадрата спонтанной поляризации Р2р в (19.23), находим, что коэффициенты а, 0 и у связаны между собой соотношением
07 = з/16 02. (19.25)
Из (19.24) следует, что а и 0 должны иметь разные знаки, а из (19.25) — что знаки коэффициентов а и 7 должны совпадать. Коэффициент а>0.
это вытекает из того, что при 7 = 0 один из минимумов свободной энергии F имеет место при Р = 0,следовательно 0 < 0 и 7 < 0.
Диэлектрическая восприимчивость вблизи точки фазового перехода I рода может быть найдена из выражения
£ = a/’ + /3/’3 + уР*, (19.26)
которое прямо следует из разложения Гинзбурга — Девоншира. Поляризация P = Psp +/’jnd- Выше точки перехода Psp = 0 и (19.26) в случае слабого поля принимает вид Е = аР, так что
K|r>e = Va. (19.27)
Ниже точки перехода
Е - Ot[Psp + /’ind) + 0(^sp + ^ind) + У (^sp + ^ind>5 •
В слабом поле Psp >PjI1C|, так что последняя формула может быть записана как
£ = (а + З/ЗР^р +57/’s4p)/’ind(
откуда
| 1
“ I Т < ° ' ’а + З/ЗР’р+57/’^р ’
С учетом (19.24) и (19.25) имеем
к|г<н = 1/4а. (19.28)
Из сказанного ясно, что при фазовом переходе первого рода в точке перехода как спонтанная поляризация, так и диэлектрическая восприимчивость (и диэлектрическая проницаемость) испытывают скачок; спонтанная поляризация на величину x/3/s I /3/7 I, а диэлектрическая восприимчивость на величину 3/4 а.
При данном рассмотрении предполагалось, что среда не испытывает деформаций. Де^юрмирование среды приводит к усложнению диэлектрических свойств сегнетоэлектриков.
Глава III
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СРЕДАХ
$ 20. КЛАССИФИКАЦИЯ МАГНЕТИКОВ
Среды, магнитная проницаемость ц которых отлична от единицы, называются магнетиками. В таких средах магнитное поле Н и магнитная индукция В не совпадают между собой. Связь между Н и В может быть не только линейной. В некоторых магнетиках (в первую очередь — ферромагнетиках) она нелинейна и даже неоднозначна. Кроме магнитной проницаемости ц часто используется другая характеристика магнетиков — магнитная восприимчивость х- Она связывает плотность магнитного момента 4/и напряженность магнитного поля Н,
М=хН, (20.1)
и связана с магнитной проницаемостью р соотношением
Х=(д—1)/4я. (20.2)
Магнитная восприимчивость различных магнетиков может быть положительной или отрицательной величиной. Если х > 0, то такие вещества называются парамагнетиками. В качестве примера парамагнитных сред можно привести щелочные металлы или молекулярный кислород. Порядок величины молярной магнитной восприимчивости парамагнетиков X 10’3 — 10’6. Парамагнетизм обусловлен ориентацией внешним полем собственных, существующих и в отсутствие внешнего магнитного поля магнитных моментов структурных элементов, из которых состоит вещество.
Вещества, магнитная восприимчивость которых отрицательна, называются диамагнетиками. В таких средах молярная восприимчивость X ~ Ю'6. Примером диамагнитной среды могут служить инертные газы. Диамагнетизм - явление универсальное и присущее всем телам без исключения** . Но непосредственно оно наблюдается обычно тогда, когда атомы или молекулы при Н = 0 не имеют собственного магнитного момента, потому что более сильный парамагнетизм обычно маскирует диамагнитный эффект.
Среды, в которых макроскопический магнитный момент существует и в отсутствие внешнего поля, составляют третий класс магнетиков. Их типичным представителем являются ферромагнетики. Кроме ферромагнетиков могут существовать также антиферромагнетики, в которых существуют спонтанно возникающие цепочки атомов с противоположно направленными магнитными моментами. Могут существовать также и другие магнитные структуры.
§ 21. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СРЕДЕ, ОБУСЛОВЛЕННОЕ ТОКАМИ
Уравнения Максвелла, описывающие постоянное магнитное поле, имеют вид
4п
rot Я-----fcxt, (21.1)
с
div/J = O. (21.2)
Последнее уравнение тождественно удовлетворяется соотношением
5 = rot4. (21.3)
Уравнения (21.1) и (21.2) должны быть дополнены материальными уравнениями:
В = цН, (21.4а)
или
М = хН. 1 (21.46)
причем, как обычно, М= — (В — И).
4тг
Выберем калибровку div А = 0. Тогда из (21.1) и (21.3) получаем: / 1 \ 4я
roti — rot4) = — /ext. (21.5)
\p / с
Решая это уравнение, можно найти векторный потенциал А по заданному распределению сторонних токов. В пространственно-однородной среде уравнение (21.5) упрощается и принимает вид
4тгд
Д4=-------/ехг (21.6)
С
** В качестве примера приведем значения молярной диамагнитной восприимчивости ряда инертных газов. В случае гелия хсоставляет —13'10‘‘ см’/моль, неона —7,2 -10‘‘. аргона — 19,4-10Г‘, криптона — 28 10"ксенона —43 • 10’‘.Молярная диамагнитная восприимчивость некоторых ионов в кристаллах имеет тот же порядок. В случае иона F" — зто — 9,4 • 10’‘, Li— 0,7 • 10"‘, Са21, — 10,7 10’6, Ва2* -29 • 10"‘, I ‘ -50- 10" ‘.
Поэтому в однородной и изотропной среде
А= — /-------— dV . (21.7)
с |г-г I
Из последней формулы и из (21.3) видно, что Н в магнетике при заданном /ext оказывается тем же самым, каким бы оно было и в отсутствие всякой среды.
При наличии резкой границы раздела сред из (21.1) и (21.2) легко могут быть получены граничные условия:
4тг
бщ = ®2п< Wir —Я2г = 'ext- (21.8)
С
где 'ext ~ поверхностная плотность сторонних токов. Если решается уравнение (21.5), то при наличии резкой границы раздела следует сформулировать граничное условие для векторного потенциала А. Особенности, которые могли бы возникнуть при наличии поверхностного тока, можно оценить, записав вклад As в векторный потенциал А со стороны поверхностных токов в виде
Р - 'ext^^
As=-f-^~r. (21.9)
с |Г-Г.|
Интегрирование здесь ведется по поверхности раздела. Эту область интегрирования разобьем на две. Одна из них будет находиться внутри окружности малого радиуса, описанной вокруг точки, в которой ищется As, а другая — вне этой окружности. Последняя область не может приводить к особенностям в подынтегральном выражении формулы (21.9). Область же внутри окружности требует специального рассмотрения, поскольку в этом случае знаменатель может обращаться в нуль. Оценим вклад в Ag ат этой области следующим образом:
р Rpr'dr д|то|Яо
М$1 ~ |/'ol J ~ •
с о Г с
Здесь /?0 есть радиус выбранной окружности. При стремлении /?0 к нулю значение |Л5| также стремится к нулю. Таким образом, все компоненты векторного потенциала оказываются непрерывной функцией координат и в том случае, когда имеется резкая граница раздела сред.
$ 22. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МАГНЕТИКОВ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Магнитное поле само по себе не производит работы. Это связано с тем, что обусловленная магнитным полем часть силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частиц среды. Но изменение магнитного поля связано с работой над средой. Изменение магнитного пол г индуцирует в среде электрическое поле, которое за время Дг производит над средой работу
Atf j-EdV. (22.1)
с
Подставляя сюда значение/= — гохН, получаем 4я
сДг сДГ
--- f Е rot HdV=--- (HroxEdV =
4я 4я
Эй \ 1
— | dV =----(H&BdV.
dt / 4я
Здесь dB есть изменение магнитной индукции за время Дг. Теперь второй закон термодинамики может быть записан в виде
dU = T5S + — SH 6В dV. (22.2)
4я
Изменение свободной энергии, отнесенной к единице объема, принимает вид 1
dF = -SdT+tdr + — HdB. (22.3)
4я
В этой формуле учтена зависимость свободной энергии от плотности т вещества, величина f — химический потенциал. При описании магнитных явлений используются также потенциалы
НВ - 1
U=U---------и F =F----------НВ. (22.4)
4я 4я
Для введенного таким образом потенциала F независимыми переменными являются температура Т, плотность т и магнитное поле Н. причем
1
dF = - SdT+ f dr----BdH. (22.5)
4я
При наличии линейной связи В = цН будем иметь
В2 В2
U = UOIS,T)+---- , F = F0(T,t) +—.
8яр 8яр
~ цН2 ~ цН2 (22.6)
U=U0(S,r)-------. F = F0(T,t)-------.
8я 8я
Удобным может оказаться и потенциал
f=F—H2IQ-n, (22.7)
независимыми переменными для которого являются Г, г и намагниченность М, df= — SdT + f dr + HdM. (22.8)
Приращение потенциала f=F+ H2ldix имеет вид
d7=- SdT+^dr-MdH. (22.9)
Работа — / HdB dV над "полем" со стороны той сторонней силы, ко-4я
торая обеспечивает существование токов, модет быть представлена так-
же в другом виде:
11 1 1
— fH&BdV = — fHrotbAdV = — f ЬА rolHdV = - f jbAdV.
4л 4л 4л c
(22.10)
Введем, наконец, потенциал, независимой переменной по отношению к которому будет то магнитное поле Не, которое существовало бы в отсутствие среды:
7=J(F+«’/8ff)dU, (22.11)
так чт° / 1 Hef>He \
df = fdVl-SdT+tdT------ВЬН+——- ).
\ 4я 4л >
Преобразуем члены, в явном виде содержащие магнитное поле:
JdV{Bf>H-Hef>He} = - — fdV ((Н-Не)ЬНе + ВЬ(Н-Не) + 4я 4я
+ (В-Н)ЬНе } = - — fdV {(H-He)rotbAe + 4л
+ rotAb(H-He)+ 1В-Н)ЬНе} .
Здесь правая часть состоит из трех интегралов. Подынтегральное выражение первого интеграла представим в виде
бМ(Я-Яе)Х SAe] + 5Ле-го1(Я -Не}.
Интеграл по объему от дивергенции равен нулю. Нулю ревен также rot (Я - Не), если считать, что сторонний ток не меняется при появлении среды. Анелогичным образом преобразуется подынтегральное выражение второго интеграле, после чего становится очевидным, что и второй интеграл равен нулю. Таким образом, остается не равным нулю только интеграл
- — f (В - H}f>HedV = - f MbHedV. 4л
Поэтому изменение термодинамического потенциала f можно записать в виде
df =-SdT+tdr-MdHe. (22.12)
В линейном случае, когда В = цН, можно найти не только df , но и f = f W.He):
f= f0(T,T)-— f (H-B-H2e)dV. (22.13)
8л
Часть этой формулы, зависящую от магнитного поля явно, можно представить в виде
- f(H B-H2)dV= f (H-He)(B+He)dV+ jHe(B—H)dV.
(22. 14)
Подынтегральное выражение первого из стоящих справа интегралов можно представить в форме
(Я-ЯД(в + Яе) = (Я-Яе)гог(4 +Ле) =
= div[(ff-fff)X (А + ЛД + {А + 4Дог(Я - ЯД
Интеграл от дивергенции, как обычно, обращается в нуль, a rot (Я — Не} = = 0. Поэтому (22.13) принимает вид
f = &0(Т, т}-'/гМ-Не.
(22.151
§ 23. АДИАБАТИЧЕСКОЕ РАЗМАГНИЧИВАНИЕ
В качестве примера того, что может дать термодинамический подход в применении к описанию магнитных свойств среды, рассмотрим задачу об изменении температуры парамагнитной среды в условиях, когда происходит размагничивание теплоизолированного тела. Такое адиабатическое размагничивание используется для получения сверхнизких температур. Последовательность действий при этом такова. Сначала парамагнетик намагничивается в изотермическом процессе. Затем производится его адиабатическое размагничивание. Как мы увидим, при этом парамагнетик будет охлаждаться.
В нашем примере мы будем работать с идеальными парамагнетиками. Идеальным парамагнетиком называется среда, намагниченность которой зависит только от отношения величины напряженности магнитного поля Н и температуры Т среды
M = f{H/T). (23.1)
В частности, как мы увидим в § 24, формула (23.1) может принимать вид
М=хН, где х=СГГ.
Последнее соотношение принято называть законом Кюри.
В качестве независимых переменных выберем температуру Т и намагниченность М. Характерной особенностью идеального парамагнетика является независимость его внутренней энергии от напряженности магнитного поля. В этом можно убедиться следующим образом. Согласно формуле (22.8) предыдущего параграфа имеем:
dU=TdS+ HdM. (23.2)
Экстенсивные величины в этом выражении считаются удельными. Из (23.2) следует, что
/ dU \ ( Э$ \ I дМ \
--- = П------- + Я — • (23.3)
\дН -1Т \дН/т \дН 1 т
Из предыдущей формулы также следует, что
/ dU \ / Э$ \ / дМ \
-----) =Г —I +Я ----------I • (23.4) \дт/н \дт!н \дТ )н
Продифференцируем (23.3) по Т, а (23.4) - по М. В результате получим два соотношения:
д2 U d2S д2М /8S \
-------f ------ + /у -----+ I - I
дТдН дТдН дТдН \ дН )т
d2U ~ d2S , Э2Л/ (дМ\
дНдТ дНдТ дНдТ \дт/н
Сравнивая левые и правые части двух последних формул, получим, что
/Э$\ _/ дМ\ \ ЭН / у \Э7" / /у
(23.5)
Вернемся теперь к формуле (233). Первое слагаемое в превой части с помощью (23.5) можно переписать тек, что формула (23.3) примет вид
/ SU \ /дМ\ /дМ\
— = Л--- ) —I (23.6)
\дН ' т* \ЭГ /ту \дН /т*
Если известна зависимость М от Т нН, то по формуле (23.6) можно судить о характере зависимости внутренней энергии U от магнитного поля при постоянной температуре. Поскольку в случае идеальных парамагнетиков зависимость М от Т и Н определяется соотношением вида (23.1), то
(дМ\ Н df / дМ\ 1 df
— =------ ----- , ---- ) ------------. (23.7)
\дт )н Т2 д(Н/Т) \дН fT Т д(Н/Т)
Подставляя (23.7) в (23.6), убеждаемся в том, что
/ dU \
( — =0. (23.8)
\дН )т
Опыт свидетельствует, что зависимость от температуры внутренней энергии идеального парамагнетика близка к следующей:
U = aT\ а>0. (23.9)
При изотермическом намагничивании, которое является первым этапом процедуры при получении сверхнизких температур рассматриваемым методом, внутренняя энергия, согласно (23.8) и (23.9), не меняется. Поэтому
«I / Н\
dQ--HdM и Q = - f Hdf\ — . о \Т]
8 случае линейной функции f, т.е. в случае, если выполняется закон Кюри, С м. CHf
Q = —---f HdH=------------. (23.10)
Л о 2Tt
Здесь Т{ есть та температура, при которой ведется изотермический процесс и с которой начинается понижение температуры при адиабатическом размагничивании.
Теперь можно вычислить удельную энтропию S парамагнитной среды.Изменение этой энтропии 1 , н ( н \
dS =---- (dU- HdM) = 4aT2dT - С----- d ------ , (23.11)
T T ' Т '
поэтому сама энтропия
/ /У \2
S = 4/3aT3 - */2 С*(—) + const. (23.12)
Теперь перейдем ко второму этапу процесса - собственно адиабатическому размагничиванию. При этом напряженность магнитного поля меняется от Н х до 0 так быстро, что теплообмена не происходит и значе
ние энтропии сохраняется. Однако в связи с исчезновением магнитного поля
S = А/3аТ\ + const. (23.13)
Приравнивая (23.12) к (23.13), получаем выражение, определяющее тем-перетуру в конце процесса адиабатического размагничивания:
, , ЗС { н} \2
Г?=Т?---------I----- . (23.14)
8а ' Г, >
Поскольку а> 0 и О 0, то Т2 < 7^. При малых значениях поля
СН2
ДТ=Т2 - Г,------------. (23.15)
8а Г*
Это и есть то понижение температуры, которое возникает при адиабатическом размагничивании. В знаменателе правой части формулы (23.15) стоит малая при низких температурах величина Tt. Именно поэтому адиабатическое размагничивание является эффективным методом понижения температуры. Если начальная температура уже очень близка к О К, то формула (23.15) может предсказать охлаждение парамагнетика до температуры, которая меньше О К. Это объясняется тем, что при предельно низких температурах уже не существует идеальных парамагнетиков. Идеальным парамагнетиком может являться, например, система невзаимодействующих спинов. Но при самых низких температурах даже очень малая энергия взаимодействия спинов может оказаться существенной в том смысле, что при таких температурах парамагнетик уже не может считаться идеальным.
$ 24. ТЕОРЕМА БОРА - ВАН ЛЁВЕН
В предыдущих параграфах магнетизм и сопровождающие его явления описывались на феноменологическом уровне. Это не является случайностью. В настоящем параграфе будет показано, что последовательное описание явления намегничения в рамках классической физики невозможно. Сделанное утверждение является содержанием теоремы Бора — Ван Лёвен, которую можно сформулировать так: магнитный момент среды, обусловленный движением зарядов в магнитном поле по законам классической механики, в стационарном состоянии равен нулю.
Теорема доказывается следующим образом. В соответствии с (22.12)
М = -Ъ $1ЪНе . (24.1)
Потенциал & , согласно классической статистике, определяется статистическим интегралом
Z = Jexp(-Jf/T)(cf<7cfp), (24.2)
где JC — функция Гамильтона системы во внешнем магнитном поле, а (dqdp} — произведение дифференциалов обобщенных координат и импульсов всех частиц.
В нерелятивистской классической теории функция Гамильтона имеет вид
g (Ра+Леа^ Jt — Z, + и
0=1 2m а
(24.3)
(сумма по а означает суммирование по всем частицам, U - потенциальная энергия взаимодействующих частиц). Имея это в виду, статистический
интеграл (24.2) можно записать в виде
f 1 / N (ра+Аеа/с)2
Z = f(dqdp]exp {-----I S -------------- + L/H, (24.4)
I Т 'а=1 2л?а ')
интегрирование ведется по всему фазовому пространству.
е
Проведем в (24.4) замену переменных />+ — А -*Р. После такой заме-с
ны векторный потенциал А, а следовательно, и магнитное поле больше не входит в показатель экспоненты. Не входит оно и в якобиан преобразования J = I Ъра/ЬРр\ , который просто равен единице. Тогда
( 1 / n р*
Z = f {dqdP}exp\---S ----------- + С/) f (24.5)
I T ' a=i 2ma > J
и статистический интегрел Z оказывается величиной, которая не зависит от магнитного поля. Поэтому и М = —9^ /ЪНе = 0. Таким образом, согласно классической теории, намагниченность любого вещества равна нулю.
При рассмотрении поляризации диэлектриков в электрическом поле существенным образом использовалось соотношение (являющееся частным случаем флуктуационно-диссипативной теоремы), связывающее диэлектрическую проницаемость среды со средней квадратичной флуктуацией поляризации среды в отсутствие внешнего поля. Поэтому можно ожидать, что такого рода соотношение, связывающее магнитную восприимчивость среды со средней квадратичной флуктуацией магнитного момента вещества в отсутствие магнитного поля может явиться основой микроскопического описания магнитных свойств среды. Такое соотношение действительно имеет место, но, как это следует из теоремы Бора — Ван Лёвен, носит существенно квантовый характер. Классическое же рассмотрение, применяемое иногда для оценки величины эффекта намагничения, обязательно содержит (хотя бы и в неявном виде) такие утверждения, которые не могут быть доказаны в рамках одной только классической физики. В качестве примера последнего утверждения можно привести оценки магнитной восприимчивости, основанные на классическом подходе.
Оценим сначала величину магнитной восприимчивости в диамагнетиках. Электроны в каждом атоме, помещенном во внешнее магнитное поле, прецессируют, что эквивалентно добавочному вращению их с угловой скоростью сод вокруг оси, проходящей через центр атома и направленной параллельно магнитному полю И. Согласно теореме Лармора (§12, ч. I), эта частота cj£ = — еН/2тс. Ларморовская прецессия обусловливает появление у каждого электрона добавочной скорости
» = X г,
что приводит к появлению магнитного момента
1 1
M=—frXjdV = —fpr* (<3L Xr)dV =
= ——/plcS/.r2 -r(ZL r}]dV.
2c
Направим ось z вдоль магнитного поля. Составляющая вектора М, направленная вдоль оси z, есть
Т—/Р[<*>£г2 -z(bJLz)] dV =---fp(x2+y2)a}LdV.
(24.6)
Среднее по времени значение этой составляющей ____ шL —s------------------Ze (х2 + у2) Mz = —----------------------/р(х2 + у2)</У* --
2с 2с
причем вектор i3L направлен против поля. Поэтому намагничение единицы объема
NZe2a2 М= —--------—Н.
4т с
Здесь Л/ — число атомов в единице объема, Z — число электронов в атоме (атомный номер), а2 = (х2 + у1). Таким образом, восприимчивость диамагнетика имеет следующий порядок величины *):
(24.7)
NZe2a2 4тс2
(24.8)
Это классическое рассмотрение приводит к значению восприимчивости, порядок и знак которого совпадают с тем, что наблюдается на опыте. В проведенном рассмотрении сделано допущение того, что а2 - (х2 + у2) при усреднении по периоду вращения электронов может быть стеционарной величиной. Это допущение невозможно оправдать, оставаясь в рамках классической механики.
Если атомы имеют отличные от нуля собственные магнитные моменты (обоснование существования таких стационарных моментов требует привлечения квантовой механики), то диамагнетизм обычно маскируется парамагнетизмом. Рассмотрим газ парамагнитных атомов. Средняя проекция магнитного момента каждого атома на направление магнитного поля может быть найдена по формуле
(Ma)H = Maf е~и‘Тcos 0 sinedOtf e~ulT sine d9, (24.9)
в которой U=— ЩВ, e= lMa,B). Беря интегралы в (24.9), получаем / MaB Т\
(Ma }н = МJ cth —-----------. (24. 10)
\ Т MaB '
Стоящее в скобках выражение называется функцией Панжевена. Эту функцию будем обозначать символом L (Ma BIT). ,
В слабых магнитных полях, когда Ма В/Т< 1, функция Ланжевена
( МаВ ) МаВ
' т / зт
и удельная намагниченность
ЛЯ *" зт
в.
(24.11)
Из (24.11) следует, что в этом случае для парамагнитной восприимчивости характерно существование температурной зависимости вида
Х = С/Г (24.12)
•) В случае разреженной среды формула (24.8) является точной, если в1 вычисляется методами квантовой механики.
Зависимость (24.12) носит название закона Кюри. В сильных магнитных полях и при низких температурах, когда МаВ> Г, намагниченность, как это следует из (24.10), перестает зависеть от Т и В и стремится к пределу
M = NMaB!B. (24.13)
Иначе говоря, в этом случае наблюдается насыщение намагниченности.
§ 25. ТРАНСПОРТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Магнитное поле оказывает влияние на поток электрических зарядов и поток тепла, возникающих в среде под действием электрического поля и градиента температур. Как показано в § 17, ч. II, эти потоки в изотропной среде могут быть записаны в виде
/ Е \ ,1
/=(аГ) - -(072) V- ,
' Т > Т
[Е \ ,1
« = (77)[—J-(f72)v у •
(25.1)
Величины, стоящие перед онсагеровскими "силами" EIT и V(1/7), являются кинетическими коэффициентами. Формулы (25.1) часто также записывают в виде
£ = p/ + avr, (25.2)
q = 0/ - к V 7,
причем коэффициенты
—0 у у0
р = сГ1, а=-----, 0 =----- и кж------+ f.
а а а
При включении магнитного поля с напряженностью И коэффициенты р, в, 0 и к начинают зависеть от И. Если магнитное поле слабое, то эти коэффициенты можно разложить в ряд по степеням Н. В линейном по Н приближении магнитное поле, которое является аксиальным вектором, может входить в (25.2) только в виде векторного произведения И на полярный вектор, так чтобы результирующий вектор относился к классу полярных векторов, к которому принадлежат стоящие в левой части уравнений (25.2) векторы Е и q. Таким образом, удерживая в разложении Е и q по степеням Я слагаемые нулевого и первого порядков малости, получаем
Е = poj-a0VT+RHXj+ NHX V 7, (25.3а)
q = М - k0VT +NTHXj + LHX V7 (25.36)
Нулевой индекс у коэффициентов р, а, 0 и к означает, что значения этих коэффициентов берут в отсутствие магнитного поля. То, что перед векторными произведениями HWT и Н Xj оказываются коэффициенты, выражающиеся друг через друга, является следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов Онсагера, обобщенного на случай наличия магнитного поля. В статистической механике доказывается, что это обобщение принципа Онсагера приводит к выводу о том, что коэффициенты перед произведениями Н XV Т и Н Xj должны отличаться на множитель 7.
Слагаемое RH X/ в (25 За) описывает эффект влияния магнитного поля на ток. В соответствии с этим выражением, магнитное поле приводит к появлению тока, перпендикулярного к электрическому полю и пропорционального напряженности магнитного поля. Это явление называется эф-19. М.М. Бредов 289
фектом Холла. Из (25.3а) следует, также, что эффект Холла приводит к появлению электрического поля, перпендикулярного к току и пропорционального магнитному полю и току. Коэффициент R называется постоянной Холла, он может быть как положительным, так и отрицательным.
Последнее слагаемое в (25.3а) описывает влияние магнитного поля на термоэлектродвижущую силу, это — так называемый эффект Нернста. Третье слагаемое (25.36), содержащее произведение H\j, описывает влияние мегнитного поля на эффект Пельтье — эффект Эттингсгаузена. Наконец, слагаемое, содержащее коэффициент L, описывает влияние магнитного поля на теплопроводность и называется эффектом Риги — Ледюка.
$ 26. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Ферромагнетики являются типичными представителями нелинейных магнетиков. Самым простым внешним признаком ферромагнетика является существование насыщения намагниченности, которое имеет место уже в сравнительно слабых полях (от единиц до сотен эрстед). Другой важной характеристикой является то, что намагниченность в ферромагнетиках может существовать и в отсутствие внешнего поля. Эта спонтанная намагниченность зависит от температуры и исчезает при температуре выше некоторой, характерной для кеждого ферромагнетика, — называемой температурой Кюри. Температура Кюри может быть порядка 1000 К. Это означает, что между электронами, ориентация магнитных моментов в которых создает спонтанную намагниченность, должны действовать силы электрического происхождения.
Преимущественная ориентация магнитных моментов электронов за счет магнитных взаимодействий не может обеспечить температуру Кюри поядка 0,1 эВ (здесь температура выражена в энергетических единицах). Магнитное взаимодействие — слабее на три порядка, чему соответствует температура Кюри Тс1 К. Из этих же соображений ясно, что внутри спонтанно намагниченного вещества существует магнитное поле высокой напряженности Н ~107 Э. Это поле заметно больше обычных внешних полей. Причина, приводящая к появлению преимущественной ориентации магнитных моментов электронов за счет электрон электронного взаимодействия, как и механизм других магнитных явлений, может быть понята только на основе квантовой механики. Поэтому в данном параграфе будет приведено только простейшее описание некоторых основных свойств безграничных ферромагнетиков, носящее феноменологический характер и основанное на понятии эффективного поля.
Пусть ферромагнетик содержит в единице объема п электронов, каждый из которых обладает магнитным моментом р0. Проекция собственного магнитного момента электрона на выделенное направление, как изьестно из квантовой механики, может принимать только два значения. Условно назовем их "правой" и "левой" проекциями. Пусть в данный момент в единице объема системы г правых проекций. Тогда число левых проекций есть / = п — г . Отношение намагниченности к той, которая существовала бы при насыщении, есть
М/Мо = у = (г -1) /п. (26.1)
В этих обозначениях
г/л = 72(1+у), //n = ,/j(1 -у).
Мегнитное уравнение состояния М= М(Н, Т ) получается из условия минимума свободной энергии F = U— TS. Если нет внешнего поля (Н = 0), и внутренняя энергия мегнетика U не зависит от у, то зависящая от у часть 290
свободной энергии сведется к —TS, причем, согласно формуле Больцмана, энтропия S = кв In W. Здесь И/=л|/г1/| — число способов реализации состояния с заданной величиной намагниченности, так что
АН
S = kB\n---- . (26.2)
г!/!
Имея теперь в виду формулу Стирлинга, In п! ==n(lnn - 1), получаем, что свободная энергия
F=-FS= */2 пквТ[Ц + у)1п(1 +у) + (1 -у)1п(1 -у)]. (26.3)
Из условия минимума этой функции получается у = 0, следовательно, в этих условиях спонтанной намагниченности нет. Однако она появляется, если предположить, что внутренняя энергия U зависит от у. Будем считать, что эта зависимость квадратична, так что U не зависит от направления намагничения. Это предположение соответствует введенному Вейссом представлению об эффективном поле:
U=-nJy2. (26.4)
Коэффициент пропорциональности J имеет размерность энергии и J > 0; таким образом, насыщению (у2 = 1) соответствует минимум функции U. Теперь свободная энергия
F = */2 пквТ[Ц + у)Ш(1 + у) + (1 -у)1п(1 -у)] -nJy2. (26.5)
Условие минимальности этой функции дает:
4J 1 +у
у = in , (26.6) квТ----------------------------------------------------------1-у
ИЛИ
Здесь величина 0 имеет размерность температуры и равна 2J /кв.
Решение трансцендентного уравнения (26.7) можно получить графически, как точку пересечения прямой f = 2 {®/Т)у и кривой 1п[(1+у)/(1-у)].
Из рис. 26.1 видно, что чиспо корней уравнения (26.6) существенно зависит от величины Г. При Г>0 уравнение имеет только тривиальное решение, у = 0. При Т< ® возникает добавочное решение с конечным значением у2, чему соответствует появление спонтанной намагниченности (при этом d2F/dy2 > 0). Точкау = 0при Т< ©соответствует не минимуму, а максимуму функции F. Порядок величины J «=0,1 эВ (приА:в0 ~ 1000К). Полученная таким образом функция у = у {T/Q) дает качественно правила ное описание температурной зависимости спонтанной намагниченности ферромагнетика. Наибольшее отклонение кривой у = у(Г/0) от эксперимента наблюдается в области низких температур, где различные квантовые эффекты особенно существенны.
19* 291
Существование внешнего магнитного поля может быть учтено введением в свободную энергию добавочного слагаемого, равного —прЦуН. Минимизация такой свободной энергии приводит к уравнению
/ 0 y = th|— у +
X Т
MoW \ ГМо ---- =th ----- кТ > L квТ
у + Н .
(26.8)
Слагаемое (Лв0/до) у называется молекулярным полем Вейсса. Это поле пропорционально степени намагниченности Моу с коэффициентом /гвв/(WoMo). который называется коэффициентом молекулярного поля. Этот коэффициент обычно много больше % я, поэтому лоренцевой поправкой на эффективное поле в ферромагнетиках обычно можно пренебречь.
Формула (26.8) может быть также записана в виде
/ Н + wM \
М = пц0 £( Мо--------). (26.9)
' квТ /
Символом w здесь обозначен коэффициент молекулярного поля, a L (х) -функция Ланжевена,
Z.(x) = cthx — 1/х, (26.10)
которая встречается также в теории парамагнетизма. В случае малых намагниченностей и при высоких температурах (т.е. при малых х) из (26.9) и (26.10) следует, что
М=СЦТ-в}, (26.11)
где С = п$/3кв — константа Кюри — Вейсса.
$ 17. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ
Сверхпроводники являются примером того, как радикально могут измениться материальные уравнения электродинамики вследствие взаимодействия между частицами среды.
Основные электродинамические свойства сверхпроводника заключаются в том, что его проводимость а бесконечна, а вектор магнитной индукции В в объеме сверхпроводника обращается в нуль (эффект Мейсснера -Оксенфельда). Бесконечная проводимость при протекающем через сверхпроводник конечном токе означает, что в сверхпроводнике Е - 0. Поэтому из уравнения Максвелла
1 дВ
следует, что
ЪВ
---- =0 и В = const.
Эг
Таким образом, в идеальном проводнике, в котором проводимость бесконечна, вектор магнитной индукции должен иметь то значение, которое он имел до перехода среды в сверхпроводящее состояние. То, что величина В — не просто константа, а константа, равная нулю, означает следующее: с одной стороны, в момент перехода среды в сверхпроводящее состояние из нее выталкивается магнитное попе, с другой стороны, идеальный проводник и сверхпроводник — зто разные понятия.
Из условия В = 0 и из граничного условия В 1п = В2п следует, что магнитное поле вне сверхпроводника у его поверхности касательно к поверхности. Имея в виду формулу (10.18) для тензора напряжений в магнитном поле, получаем, что поверхностная плотность силы, действующей со стороны магнитного поля на находящийся в вакууме сверхпроводник, Р“на ,
Aurf= — [Я(Яя)-72Я2л1.
4тг
Поскольку магнитное поле у поверхности сверхпроводника имеет только тангенциальную составляющую, то Н • л = 0 и
/surf /8зг.
Таким образом, на поверхность сверхпроводника действует сжимающее магнитное давление, равное по величине плотности энергии поля.
Из уравнения Максвелла
4тг
rot В = ---/ (27.1)
с
следует, что в основной области, занимаемой сверхпроводником, в которой В = 0, не может протекать электрический ток, т.е./ = 0. Весь ток, протекающий через сверхпроводник — это ток поверхностный, существующий в той области среды, в которую еще проникает какое-то магнитное поле. Поверхностные токи существуют и в нормальном металле, находящемся в магнитном поле. Обусловленный магнитным полем ток в нормальном металле / = crotM причем М = (4тг)"’ (В —И}. Поэтому уравнение (27.1)примет вид
rot {В - AirM) = 0.
Если В^О, то в нуль обращается ротор именно разности В — АяМ. При этом М =#0 и существует ток такой, что // dS по любому сечению проводника есть нуль. В случае, когда В = 0, как это имеет место в сверхпроводнике, уравнение (27.1) примет вид
—4rrrotAf = 0.
Следовательно, если в сверхпроводнике и есть ток, то он не может быть представлен в виде / = crotM, а поэтому значение // dS не обязательно равно нулю. Ниже мы увидим, что связь между током и магнитным полем в сверхпроводнике на самом деле имеет необычный вид.
Теперь попробуем, следуя X. и Ф. Лондонам, в некотором смысле "объяснить" электромагнитные свойства сверхпроводников, оставаясь в рамках классической физики. Рассмотрим движение электрона в электромагнитном поле; уравнение движения такого электрона
dv е г 1
~~ =-- £ + —vX/?
dt т L с
Поскольку dv dv
= ~Г~ + (v grad) v , (v grad)v = grad— -vXrotv, “t dt 2
то уравнению (27.2) можно придать вид
dv , v2 \ е е
—- + grad ----)-----E = vX rotv +—v X В.
dt \ 2 / m me
(27.2)
(27.3)
Возьмем ротор от обеих частей этого уравнения и с учетом первого уравнения Максвелла получим, что
Э / е
----(rot V +---- 9f \ тс
ВI = rot
Введем обозначение
е
= rot v +-В;
тс
(27.4)
(27.5)
тогда уравнение движения можно написать в виде
dw/dt = rot(v X и1). (27.6)
Это уравнение обладает важным свойством. Если в некоторый момент времени значение w обращается в нуль, то производная Эн7Эг в этот момент времени также будет равна нулю, а поэтому значение н* будет равно нулю и во все последующие моменты времени. Далее, если
е
»v = rotv+—В = 0, (27.7)
тс
то и
9v /v2 \ е
---+ gradl---1-----£ = 0 (27.8)
Эг \ 2 / т
также во все моменты времени.
Случай и' = 0 является, конечно, весьма специальным случаем движения электронов в одном только электромагнитном поле без трения. В обычном идеальном проводнике, для которого написаны уравнения (27.2) и (27.6), значение w не обязано быть нулем и классическая физика не дает возможности объяснить, почему должен реализоваться этот весьма специальный случай, w = 0. Такое объяснение дает квантовая теория. Однако, как будет показано ниже, именно случаю w = 0 отвечает тот идеальный проводник, который при этом является еще и сверхпроводником.
Рассмотрим уравнения (27.7) и (27.8) подробнее. Поскольку / = печ, то уравнение (27.7) можно записать в виде
е2п
rot/ =-------В. (27.9)
тс
Уравнение же (27.8) тогда примет вид
(Здесь мы пренебрегли слагаемым, содержащим и2, считая скорости малыми.) Уравнения (27.9) и (27.10) называются уравнениями Лондонов. Кроме идеальной проводимости они описывают и эффект Мейсснера— Оксенфельда.
Уравнение (27.9) является особенно важным. Его можно рассматривать как материальное уравнение, замыкающее в случае сверхпроводников уравнения Максвелла. Видно, что оно не может быть приведено ни к уравнению / = оЕ, ни к уравнению / = с rot М.
Будем теперь решать уравнение Максвелла rot В = — j совместно с с
материальным уравнением (27.9). Подставляя в уравнение
4тг
rotrot/? = -— rot/ с
правую часть лондоновского соотношения (27.9), получим, что
В случае плоской геометрии это уравнение примет вид d*B Ляпе2 — =----------
dz2 тс2
Его решение есть
B = Ate-lb + A2e~z'i', где ____________
6 = с/Ыр = \/тс2 /4 яле2.
В полупространстве, занятом сверхпроводником (z > 0),
£? = Soexp(-z/5). (27.12)
Это решение и описывает эффект Мейсснера — Оксенфельда. Из (27.12) следует, что глубина, на которую все же проникает магнитное поле, равна
5 = \/тс2/Аяпе2' = с!шр. (27.13)
Типичное значение величины 5 * 5 • 1СГ6 см.
Уравнения Лондонов являются локальными в том смысле, что они выражают плотность тока / через значение В в той же точке пространства, в которой определена и /. Они описывают электродинамические свойства реальных сверхпроводников в узкой области температур около температуры перехода сверхпроводника в нормальный металл, когда магнитное поле у поверхности сверхпроводника изменяется достаточно медленно. В случае быстрого пространственного изменения магнитного поля у поверхности лондоновское локальное уравнение должно быть заменено на нелокальное (так называемый пиппардовский случай).
Глава IV
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ
§ 28. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ. ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ
Уравнения Максвелла в случае монохроматических волн упрощаются, если напряженности поля представить в комплексной форме
£(t) = £(w)e’/wf' £(f) =fi(w)e’/ujr.
Я(Г) = Я(ш)е’,шг/ ®(t)= ® (w)e’/wr
так, чтобы измеряемые величины могли быть описаны действительными частями написанных комплексных напряженностей. В этом случае уравне
ния Максвелла в среде, в которой нет сторонних зарядов и токов, мог^ быть представлены в виде
со со -*
rot£(w) = 7—rotB(ai) = -i—2) (w), (28 11
с с . ' 1
Два других уравнения из системы уравнений Максвелла
div£ = 0, div®=0 (28.2)
при описании электромагнитных волн в явном виде учитывать не надо, поскольку они следуют из уравнений (28.1). В этом легко убедиться' применяя оператор дивергенции к уравнениям (28.1). При этом левые части этих уравнений обращаются в нуль и из (28.1) сразу следуют уравнения (28.2).
Из (28.1) можно получить уравнение, содержащее только вектор £. Имея в виду, что
®(Л, ш) = е(Л, ш)£(Л, ш)
вычисляя ротор левой и правой частей первого из уравнений (28.1) и исключив rotЯ(ш) с помощью второго уравнения, получим
Лш2
ЛЕ - grad div£ + е—— Е = 0. (28.3)
с2
Использованное здесь обозначение е для диэлектрической проницаемости означает, что при учете пространственной дисперсии величина е даже в изотропнной среде остается тензором. Второе слегаемое в (28.3), вообще говоря, не равно нулю даже в прост^мнственно-однородных средах, несмотря на существование уравнения div(e£) = 0. Даже в случее, когда можно пренебречь пространственной дисперсией, из уревнения
div(e£) = 0
еще не следует, что величина div £ тоже равна нулю. Из этого уравнения в простренственно-однородной среде и без учета пространственной дисперсии следует только, что
е(щ)бй/£(щ) = 0,
тек что div £ может и не быть нулем при частотах, при которых обращается в нуль диэлектрическея проницаемость.
В плоской волне все векторы поля зависят от координат, как ' г, поэтому уравнение(28.3) можно представить в виде
кгЕ - к(к Е) = (ы/с)2 е(к, ш)£. (28.4)
Поскольку в изотропной пространственно-однородной среде диэлектрическая проницаемость имеет вид (4.5), то это уравнение можно записать в форме
e,r)£-[l + (—У (е'-е,г) \ с / L \ск/
к(к - £) = 0.
(28.5)
Спроектируем это уравнение на ось, направленную вдоль волнового вектора к. Проще всего зто можно сделать, умножив скелярное уравнение (28.5) не волновой вектор к. В результете уравнение (28.5) примет вид
(со/с)2 e/(Zc, ш)(Л • £) = 0. (28.6)
Напряженность электрического поля, определяемая этим уравнением, отлична от нуля, если при со =# 0
е'(к, ш) = 0. (28.7)
Таким образом, продольная компонента электрического попя оказывайся не зависимой от поперечной компоненты, причем частота продольного электрического поля определяется уравнением (28.7) как функция его волнового вектора. Уравнения, связывающие частоту и волновой вектор, принято называть дисперсионными уравнениями. Таким образом, уравнение (28.7) есть дисперсионное уравнение продольных колебаний электрического поля в среде. Дисперсионное уравнение (28.7) может иметь по крайней мере несколько корней. Самое высокочастотное решение можно легко найти, если вспомнить выражение (3.14) для высокочастотной асимптотики диэлектрической проницаемости. В этом случае дисперсионное уравнение принимает вид
1 - ш2 /ш2 = 0. (28.8)
Отсюда следует, что продольные колебания электрического поля во всяком случае имеют место на частоте, которая совпадает с так называемой плазменной частотой Формула (28.8) написана без учета пространственной дисперсии. Учет этой дисперсии приводит к тому, что частота продольных колебаний электрического поля оказывается зависящей от волнового вектора, но при всех не слишком больших волновых векторах она не очень сильно отличается от сор.
Первое же решение уравнения (28.5), которое мы получили, оказалось таким решением, которое не имеет аналогов в случае электромагнитных явлений в вакууме, где, как известно, не могут существовать продольные волны. Появление новых колебательных мод электромагнитного поля в среде — характерная черта электродинамики сред. Но кроме новых мод существуют, конечно, и такие решения, которые в некотором смысле являются обобщением уже известных из первой части книги. В частности, в среде, как и в вакууме, могут существовать поперечные волны. Полагая
в (28.5), что к • Е = 0, получаем, что
/ со2 \
(к2-----etr£ = 0. (28.9)
\ с /
Это означает, что дисперсионное уравнение для поперечной моды электромагнитных колебаний в среде имеет вид
. 2
etr(< ш) = (с/с/ш) . (28.10а)
Уравнению (28.10) можно придать такой вид, что вместо поперечной диэлектрической проницаемости etr в дисперсионное уравнение для поперечной моды электромагнитных колебаний будут входить две другие характеристики среды, е ид. С помощью (4.9) из (28.10) легко получается:
ер = (ск/ы)2. (28.1 Об)
При низких частотах, когда можно пренебречь временной дисперсией диэлектрической проницаемости, дисперсионное уравнение (28.10) превращается в уравнение
ш = с^/х/^ (28.11)
которое в пределе е'г -» 1 переходит в обычное вакуумное решение. Из (28.11) следует, что так называемая фазовая скорость низкочастотной волны в веществе, которая определяется как
Uph=w/A: (28.12)
и которая показывает, с какой скоростью перемещается в пространстве поверхность равной фазы плоской монохроматической волны, связана со скоростью света в вакууме соотношением.
Uph=c/v/eTT (28.13)
Величину \Д,Г* принято называть показателем преломления
п=у/ёТГ (28.14)
В этих обозначениях дисперсионное уравнение (28.11) принимает вид
<л=ск!п. (28.15)
Формула (28.15) может быть написана и в случае высоких частот, но при этом показатель преломления становится функцией частоты п = п (со), так что простая линейная зависимость со от А: уже не будет иметь места. Обращаясь опять к справедливому при очень больших частотах асимптотическому значению (3.14) диэлектрической проницаемости, из (2В.15) получаем, что при таких частотах связь со с £ в явном виде может быть написана как
ш2 =ш2+с2Х2. (28.16)
Несмотря на то, что и в этом случае мы имеем дело с поперечными волнами, дисперсионное уравнение (28.16) сильно отличается от дисперсионного уравнения для волн в вакууме.
Диэлектрическая проницаемость является комплексной величиной. Поэтотому решения дисперсионных уравнений (28.7) и (28.10) могут оказаться комплексными. Иначе говоря, при действительном волновом векторе к комплексной может оказаться частота со. И наоборот, при действительной частоте со волновой вектор к будет комплексным. Что именно -частоту или волновой вектор — следует считать величиной действительной, зависит в первую очередь от условия возбуждения волн. Если электромагнитная монохроматическая волна попадает в среду из вакуума, то ее частота не меняется. Волновой же вектор меняется. Это приводит, во-первых, к тому, что в среде длина волны будет уже не такой, как в вакууме, и, во-вторых, наличию мнимой части волнового вектора будет отвечать появление пространственного затухания волны по мере ее распространения внутрь среды. В тех же случаях, когда условия возбуждения обусловливают появление стоячих волн, длина волны, а вместе с ней и волновой вектор (они связаны соотношением X - 2п/к) могут считаться величинами действительными, а частота будет комплексной величиной. Последнее означает, что интенсивность волн со временем будет затухать или нарастать. Комплексные частоты, в частности, возникают в задаче о затухании заданного электромагнитного поля в среде после выключения поддерживающих его источников.
В тех случаях, когда волновой вектор является комплексным, могут быть два случая: когда действительная и мнимая части к' и к” волнового вектора параллельны друг другу и когда к' к" =#= к1к". В последнем случае волна — плоская только в некотором условном смысле. При этом плоскости, перпендикулярные вектору к', являются плоскостями постоянной фазы, плоскостями же постоянной амплитуды являются перпендикулярные вектору к" плоскости.' Поверхности постоянного значения векторов напряженности поля вообще могут не быть плоскими. Такие волны называются неоднородными плоскими волнами.
Заметим, что величина к" (так же, как и мнимая часть показателя преломления) описывает явление диссипации или нарастания энергии поля
волны. Показатель преломления может оказаться мнимым и в случае действительной диэлектрической проницаемости, если е' < 0. При этом в объеме среды волна распространяться вообще не может, а падающая на поверхность среды волна проникает в эту среду лишь на глубину порядка длины волны и отражается обратно в вакуум * >.
Действительную и мнимую части показателя преломления п = п + /к можно выразить через е' и е" (величина к иногда называется коэффициентом поглощения среды). Из равенства п' + / к = уТследует, что п' - к2 + + 2/л'к= е/ + /е" и
(28.17)
В вакууме значения напряженности электрического и магнитного полей поперечной электромагнитной волны, как известно, одинаковы, в среде же могут очень сильно отличаться. Рассмотрим, например, низкочастотную поперечную волну в металле.
При низких частотах в металлах е" > е' и е" = Aito/иэ (см. формулу (3.11)). Следовательно, в (28.17) величиной е можно пренебречь по сравнению с е" и
п ’ = к = у/2-по/щ!
(28.18)
Это означает, что низкочастотные волны в металлах затухают на длине порядка длины волны.
Из первого уравнения Максвелла следует, что в случае поперечных волн векторы Е и В связаны соотношением
/Л\ 1
— )Х£=— В. (28.19)
\к / п
Вектор k/k является единичным вектором. Следовательно, абсолютные значения напряженностей поля Е и В связаны соотношением пЕ = В. Представив комплексный показатель преломления п в виде
гт*—? • к
'п +к ехр /arctg—;
L п
« / f* 2
получаем, что вектор магнитной индукции по модулю в ул + к раз больше модуля вектора Е. Кроме того, эти векторы в случае хорошо проводящих сред сдвинуты по фазе на тг/4.
Примером такого явления может служить отражение волны от плазмы при ы < и>р. Из дисперсионного уравнения (28.16) следует, что при таком отражении волновой вектор является чисто мнимым: k =-~- -УсиД — <*Х Это означает, что внутри плазмы волна с частотой о> распространяться не может. Если же волна падает из вакуума нормально на плоскую резкую границу раздела плазма — вакуум, то она проникает в плазму на глубину / « с/\/ыр — ш2', причем напряженность поля волны в плазме будет уменьшаться по закону ехр/— х/шД — о>г\ (Плазме соответствуют \ с /
значения нормальной к поверхности координаты г > 0.)
§ 29. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
В анизотропных средах комплексная диэлектрическая проницаемость е является тензором, вид которого определяется структурой среды. Уравнение, определяющее поле, и в этом случае имеет вид (28.4), но тензор е теперь уже не может быть представлен в виде (4.5). В изотропных средах, в которых диэлектрическая проницаемость определяется формулой (4.5), выделенным направлением является только одно направление — направление волнового вектора. В анизотропных средах появляются выделенные направления, присущие самому веществу или внешним (в том числе и по соотношению к электромагнитным волнам) полям, в которых это вещество может находиться.. Поэтому изменение тензора еа0 при изменении направления распространения волны относительно осей симметрии среды обычно более существенно, чем зависимость еа£от модуля вектора к. Согласно § 7, ч. II, тензор еар среды без потерь является эрмитовым: еар = = е$а. Эрмитов тензор может оказаться вещественным, и тогда он симметричен 1еа0 = ера). но в принципе он может иметь также и мнимую часть. Среды с действительным симметричным тензором еар называются анизотропными, а среды с комплексным эрмитовым тензором еар— гиротроп-ными. Гиротропия — это более сложный вид анизотропии. В этом параграфе мы будем рассматривать только анизотропные среды, а с гиротропными средами познакомимся в § 35.
Спроектируем уравнение (28.4) на a-направление. Тогда будем иметь уравнение, определяющее компоненты вектора Е:
к1 Еа -kJtpEp = (—) еаеЕ0. (29.1)
\ с /
Поскольку индексу а можно придавать различные значения от 1 до 3, то (29.1) фактически является системой трех уравнений. Система эта — однородная, поэтому условием совместности уравнений этой системы является обрещение в нуль детерминанта, составленного из коэффициентов при неизвестных компонентах вектора электрического поля:
det = |/г25а/}- каке еае | =0. (29.2)
Это уравнение является дисперсионным уравнением, оно определяет частоту ш (которая входит в последнее слагаемое непосредственно и в виде аргумента величины еар) как функцию волнового вектора к. Введем вместо вектора к новый вектор л, связанный с вектором к соотношением
к = — п. (29.3)
с
При этом дисперсионное уравнение примет вид
|л25а0 - пап0 - еа0(п, ш)| =0. (29.4)
Особенно просто дисперсионное уравнение выглядит в системе координат, в которой тензор е является диагональным. В такой координатной системе уравнение (29.4) принимает вид
"2(еххл| + еууп2. + еггп2г)-[п2ехх1еуу + е„) +
+ оуеуу{ехх + сгг) + пг€гг(ехх + fj.y)] + ^xx^yy^zz = 0- (29.5)
Уравнение (29.5) принято называть основным уравнением кристаллооптики или уравнением Френеля.
Нужно, однако, иметь в виду, что анизотропная среда вовсе не обязательно является кристаллом. Анизотропия проявляется и в первоначально изотропной среде, которая оказывается во внешних полях; к таким средам, конечно, также применимо уравнение Френеля. Обычно уравнение Френеля удобно решать, находя из него л как функцию со . Это связано с тем, что частота может довольно сложным образом, входить в уравнение через величины ехх, €уу и е22. Вектор же л в пренебрежении пространственной дисперсией входит в (29.5) явно. При заданных частоте со и направлении вектора л уравнение Френеля определяет величину п2. Оно является квадратичным по отношению к п2. Поэтому каждому значению л/л соответствуют два значения величины п2. Иначе говоря, в каждом направлении будут распространяться одновременно две волны с одной и той же частотой, но разными волновыми векторами.
Из уравнения (28.4), написанного в виде
п2Е- п(пЕ} = D, (29.6)
следует, что в анизотропной среде векторО всегда перпендикулярен волновому вектору. Действительно, умножая (29.6) на л скалярно, получаем, что левая часть этого уравнения после умножения на л обращается в нуль, так что п - D = 0. Перпендикулярен вектору л и вектор магнитной индукции. Это непосредственно видно из уравнения Максвелла rot Е = — (1/с)ЭВ/Эг, написанного в виде л ХЕ = В. Перпендикулярность же вектора Е вектору л не следует ни из каких уравнений. Из уравнения л X Е = В следует только, что Е 1 В. Поскольку вектору Я перпендикулярны векторы л ий, то можно только утверждать, что вектор Е лежит в плоскости, образованной векторами к и D. Иначе говоря, в общем случае вектор Е электромагнитной волны в анизотропной среде не является ни поперечным, ни продольным. Поэтому поляризацию волн в анизотропных средах удобнее определять с помощью вектора D.
Для определения характера поляризации электромагнитных волн удобно ввести систему координат, одна из осей которой направлена вдоль вектора л. Спроектируем на оси этой системы уравнение (29.6). Проекции на перпендикулярные к л оси будут иметь вид
n2Ea = Da. (29.7)
Исключим из этого уравнения Е, используя материальное уравнение Еа = = e'apty-Тогда (29.7) примет вид
Оа = п2 e-^Dp. (29.8)
Индексы а и Р здесь могут принимать два значения. Поэтому (29.8) является системой двух однородных уравнений по отношению к неизвестным величинам — компонентам вектора D. Обратный тензор как и исходный является симметричным. Обозначим индексами 1 и 2 направления, совпадающие с главными осями двумерного тензора а его главные значения обозначим через еГ/и е22. В главных осях тензора система (29.8) примет вид
(1/л2 - е?*,)/?, =0,
, . (29.9)
(1/л2 - }D2 =0.
При 1/л2 = e'i‘1 скобка в первом из уравнений (29.9) обращается в нуль, поэтому Di Ф 0. Скобка же во втором из уравнений (29.9) отлична от нуля, это означает, что D2 = 0. При 1 /л2 = ёЛ, напротив, D t = 0 и D2 =#0.
Отсюда следует, что в анизотропных средах волна с каждым из двух возможных значений пг полностью линейно-поляризована по вектору/) в определенной плоскости. Эти две плоскости совпадают с главными осями двумерного тензора Главные оси любого симметричного тензора взаимно перпендикулярны. Поэтому и плоскости, в которых располагаются векторы Di и /)2, тоже взаимно перпендикулярны.
Важным и сравнительно простым частотным случаем анизотропной среды является такая среда, в которой два из трех главных значений тензора еад совпадают между собой. В кристаллооптике такие среды называются одноосными кристаллами.
Если принять, что ехх = еуу = и ezz = вц, то уравнение Френеля (29.5) примет вид
(л2 - ег) [е#л2 + eL(nx + л2) - ejej.] = 0. (29.10)
Иначе говоря, оно распадается на два уравнения
л2 = еь (29.11)
л2/б1 + (л2 + л2)/ец =1. (29.12)
Из (29.11) следует, что одна из двух возможных в анизотропных средах волн ничем не отличается от волны, которая распространялась бы в изотропном кристалле с показателем преломления л = чЛёр. В случае же волны, поведение которой определяется уравнением (29.12), величина 1/л2 зависит от угла 6 между вектором л/л и оптической осью (т.е. направлением оси г):
Мпг = sin2 0/ец + cos2 в/е^. (29.13)
Волна первого типа называется обыкновенней волной, волна второго типа — необыкновенной волной.
§ 30. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ. СКИН-ЭФФЕКТ
Волны в неоднородных средах описываются все тем же уравнением (28.3), но диэлектрическая проницаемость в нем теперь зависит от координат. Кроме уравнения
л
LE —grad div £ + е ~~г- = 0, (30.1)
с
в которое входит только напряженность электрического поля Е, иногда бывает удобно работать с уравнением, содержащим только магнитное поле. В неоднородных средах такое уравнение имеет вид
ДЯ + е Н + — grad е X rot Н = 0. (30.2)
с е
30.1. Поверхностные волны. Важнейшей особенностью неоднородных сред является то, что в неоднородных средах могут появляться новые решения уравнений (30.1) и (30.2), которых не может быть в случае пространственно-однородных сред. Наиболее простой и физически прозрачный вид такие новые моды электромагнитных колебаний имеют в важном предельном случае резкой границы раздела двух сред, или среды и вакуума. Мы рассмотрим этот последний случай и покажем, что существование границы раздела приводит к появлению новой, так называемой поверхностной
волны, которая оказывается локализованной вблизи области резкой неоднородности среды, и амплитуда которой убывает по мере удаления от этой области.
Вообще говоря, существование поверхностных волн известно из гидродинамики, это — всем хорошо известные волны, образуемые идущими судами. Скорости распространения таких волн и другие их характеристики резко отличаются от таковых у волн объемных, примером которых в той же гидродинамике являются звуковые волны, распространяющиеся в толще воды. Если скорость распространения для объемной моды порядка километров в секунду, то для поверхностной — километры или десятки километров в час. Не менее сильно различаются и свойства поверхностных и объемных мод электромагнитных колебаний.
Итак, рассмотрим плоскую границу раздела среды с диэлектрической проницаемостью е(ш) и вакуумом. Границу будем считать резкой. Координатную систему выберем так, чтобы ось г была направлена вдоль нормали к границе, по направлению — внутрь среды. Соответственно, поверхностная волна будет распространяться в плоскости ху. Будем искать такое решение уравнений (30.1) и (30.2), когда вектор Н (среду будем считать для простоты немагнитной, т.е. ц = 1) находится в плоскости раздела. Пусть, например, вектор Н параллелен оси у. Тогда уравнение (30.2) во всех точках внутри среды принимает вид
э / 1 ън,п \ / ш2 о2 bz \ е bz / \ с2 е
(30.3)
Индекс т означает, что это — магнитное поле в среде, магнитное поле в вакууме будем обозначать символом Hv . Буквой q здесь обозначен расположенный в плоскости раздела волновой вектор.
Уравнение для магнитного поля, справедливое для всех точек вакуума, имеет вид
b2Hv Эг2
-q2]Hv = 0.
(30.4)
Решения уравнений (30.3) и (30.4) должны быть сшиты на поверхности раздела с помощью граничных условий
s, = т|$> ~ (30.5)
Решения уравнений (30.3) и (30.4) для Hv и Нт ищем в виде
Hv = Hv0 ехр (iqx + k^z), (30.6)
Нт = Нт0 expUqx- ктг), (30.7)
так, чтобы и Н,„ стремились к нулю при г ->+ °° соответственно. Другими словами, ищутся именно поверхностные моды электромагнитных волн. Подставляя (30.6) и (30.7) в уравнения (30.3) и (30.4), получаем
g2)Hk = 0,
к2
к»‘ ,, "т
нт =0. е /
€
Из первого из этих уравнений получается
к у = у/ q2 — ш1 /с2',
(30.8)
из второго
г
Кт = х/ Q1
Ы2 'с~е
(30.9)
Переходим к сшиванию решений на границе. Из равенства тангенциальных компонент Hv и Нт следует, что Hv0 = Н,п0 = Н0. Равенство тангенциальных компонент электрического поля дает
дНу дг
z=o е дг
откуда получается
2 = 0
Ку =-------, или
е
Это равенство может выполняться, если только е(со) < 0. условия Dm„ | s = Еуп ls следует, что
Из
граничного
дНу Эх
Эх
1 энт
2 = 0
2 = 0
Таким образом, ничего нового это последнее условие не дает.
Разрешая уравнение (30.10) относительно q2, получаем следующее дисперсионное уравнение для нашей поверхностной волны:
е(со) / со\2
е(со) + 1 \ с /
(30.11)
В этом уравнении е(со)<0. Формула (30.11) дает в неявном виде связь между частотой поверхностных электромагнитных колебаний и волновым вектором. Переходя от (30.10) к (30.11), мы сделали предположение о том, что пространственной дисперсией можно пренебречь. Только в этом случае возможно в явном виде разрешить дисперсионное уравнение по отношению к q2. Если пространственной дисперсией не пренебрегать, то формуле (30.11) тоже будет справедлива, но при этом нужно помнить, что е = e(q, о), так что волновой вектор будет входить и в левую, и в правую части уравнения. Оба квадратных корня в (30.10) должны быть действительными, только в этом случае кт и Ку действительны и положительны и волна и в самом деле является поверхностной. Из действительности указанных квадратных корней следуют неревенства
(qc/ы)2 > 1 и (qc/ы)2 > е.
Комбинируя первое из этих неравенств с дисперсионным уравнением, записанным в виде
(cq/a>)2 = е/(е + 1),
получаем, что
е/(е + 1)> 1, (30.12)
откуда следует, что е(со) должна быть хотя бы немного меньше единицы.
Полезно рассмотреть предел дисперсионного уравнения (ЗОЛ) в случае, когда можно пренебречь электродинамическим запаздыванием. Это можно сделать, когда длина поверхностной волны удовлетворяет неравенству
Х< с Г,
т.е. длина волны меньше пути, который свет проходит за период колебаний поля. В этом случае скорость света с в уравнении (30.11) можно считать равной бесконечности и дисперсионное уравнение примет вид
q2 [е(ш) + 11 =0,
откуда получаем, что
e(w) = -1. (30.13)
Из последнего уравнения видно, что в пределе поверхностных электростатических волн (когда с -* °°) и в пренебрежении пространственной дисперсией частота поверхностной волны не зависит от ее волнового вектора. Легко найти самый высокочастотный корень уравнения (30.13). Воспользовавшись высокочастотной асимптотической е (ш), получаем
1 - Шр/ш2 = -1, или
ы = (30.14)
Колебания такого типа называются поверхностными плазменными колебаниями (или короче — поверхностными плазмонами). Поскольку вектор И в такой поверхностной моде лежит в плоскости раздела и перпендикулярен волновому вектору q, то волну можно назвать поперечной Н-вол-ной (сокращенно — ТН-вопной).
Распределение электрического поля в пространстве может быть вычислено по найденному магнитному полю с помощью второго уравнения Максвелла
Е = /---- rot Н.
ше
Ротор магнитного поля, направленного вдоль оси у и зависящего от координат х и г, имеет две составляющих, направленных вдоль ортов ех и ez. Это означает, что поверхностная волна, будучи поперечной по отношению к магнитному полю, по отношению к электрическому полю не является ни продольной, ни поперечной. Вектор Е находится в плоскости х, г, а направление этого вектора по мере изменения координаты х меняется от точки к точке.
Убедимся теперь в том, что поверхностная поперечная по электрическому полю волна (Г£-волна) существовать не может. Примем, что Е = Ev, Ех = Ег = 0. Решение уравнения (30.1) будем искать в виде
= £Ои ехр (iqx + к^), Е„, = Elll0 ехр (iqx - к,„г).
Подставляя зти функции в уравнение, получаем выражения для к,,, и к„, совпадающие с (30.8) и (30.9). Сшивая решения на границе, получим уравнение
= —кт.
Это соотношение не может выполняться при положительных значениях величин к.у и к.т, откуда и следует, что поверхностной Г£-волны не существует.
20. М.М. Бредов
305
Существование поверхностных волн означает, что энергия электромагнитного поля может передаваться в избранном направлении по поверхности открытых волноводов, которые могут быть диэлектрическими.
30.2. Нормальный скин-эффект. Другой эффект, связанный с существованием поверхности, заключается в том, что если в вакууме вблизи проводящей среды существует переменное электромагнитное поле, то это поле проникает в проводящую среду только на конечную глубину. Это явление носит название скин-эффекта.
Наиболее просто скин-эффект описывается в случае низкочастотных полей. В этом случае возникеют два упрощающих обстоятельства. Первое из них заключается в том, что низкочастотные колебания являются длинноволновыми. Длина этих волн в среде такова, что она много больше длины свободного пробега носителей тока в среде. Таким образом, носители тока движутся в электромагнитном поле, которое, хотя и является переменным во времени, но может считаться почти однородным в простренст-ве. Поэтому связь между током и полем является локальной. Иначе говоря, эффекты пространственной дисперсии в этом случае оказываются несущественными. Второе упрощающее обстоятельство связано с возможностью сами уревнения Максвелла внутри проводника и в его окрестности записать в упрощенном виде.
Пусть характерные размеры проводника равны L. Рассмотрим первое уравнение Максвелла:
1 ЬВ
Поскольку частота изменения поля считается известной, перед нами стоит задача нахождения только его пространственного распределения. В правой части уравнения, содержащей временную производную, зеключена информация о пространственном изменении поля на длинах порядка сТ, где Т - 2яш~1 — период колебания поля. Левая же часть уравнения должна содержать информацию о его пространственном распределении на длине L порядка размеров проводящей среды. Если частота со = 2яГ"’ настолько мала, что
L < сТ, (30.15)
то информация о пространственном распределении поля, содержащаяся в левой части первого уравнения Максвелла, является более детальной, чем информация, содержащаяся в правой части. Это же относится и.ко второму уравнению Максвелла в вакууме. Таким образом, электромагнитное поле в вакууме на не слишком больших расстояниях от проводника, теких что
X > L,
(30.16)
(здесь X = 2яс/со = сТ - длина волны электромагнитного поля в пустоте, L — характерные размеры проводника и расстояние от проводника до точки наблюдения) можно описывать уравнениями
rot Е = 0, rot Я = 0, div£ = 0, div#=0.
(30.17)
Уравнения, определяющие электромагнитное поле внутри среды, должны, конечно, содержать характеристики среды, определяющие ее реакцию на внешнее поле. В случае хороших проводников при низких частотах основной такой характеристикой является статическая проводимость о. Поэтому
второе уревнение Максвелле в среде следует записывать в виде 4тга rot Я -------- Е. (30.18)
с
Током смещения в этом уравнении можно, конечно, пренебречь. Поле Е в правой части (30.18) само по себе может быть небольшим, но оно умножается на большую величину а и поэтому существенно. По этой причине в первом уравнении Максвелле в металле следует оставить временную производную, чтобы учесть, в соответствии с законом Фарадея, возможную генерацию электрического поля переменным магнитным:
1 ЬВ
rotE =------— . (30.19)
с Эг
Остальные уравнения Максвелла имеют вид
div В = 0, div Е = 0.
(30.20)
Последнее уравнение является однородным, поскольку наведенные полем в проводнике заряды рассасываются за время порядка сор1. При со< сор и на временах Т проводник является квазинейтральным. Уравнения (30.17)-(30.20) описывают электромагнитное поле, как принято говорить, в квази-стационарном приближении.
Исключая из (30.18) и (30.19) электрическое поле, можно получить одно уравнение второго порядка для магнитного поля в среде
4яор ЭЯ dt
Исключая из этих уравнений магнитное поле Я, получаем, с учетом (30.20), уравнение 4тг
ДЯ =
(30.21)
(30.22)
ЭЕ
ДЕ = —- ор — . г эг
Опираясь на полученные уравнения, рассмотрим теперь задачу о проникновении электромагнитного поля частоты со в металл, зенимающий полупространство г > 0.
Будем считать, что поперечное поле падает на поверхность металла нормально, так что электрическое поле имеет только х-компоненту, а магнитное — составляющую Ну. Уравнение (30.22) для электрического попя в среде, записанное в форме
d2 Е 4тиыоц
будем иметь решение
(30.23)
Е = Ео ехр (± кг}.
Подставляя (30.24) в уравнение (30.23), получим
, 4я/соод ,
к =----------— = Дясоадс ехр (—7тг/2).
с
Теким образом, / я \ --------------------------, 2яасод'
к = с ехр( —/ — I V 4ясоад = (1 — /)--------------
\ 4 / с
(30.24)
20
307
так что решение уравнения для поля в металле имеет вид [л/ 8яошд* \/ впыоц 1 +----------------------------------г Т z------------г . (30.25)
2с 2с J
В этом решении следует оставить член, обращающийся на бесконечности в нуль. Таким образом, кроме осциллирующей части, в решении (30.25) имеется множитель ехр I----2яаа>д г2 , обеспечивающий локализацию
L с J
поля в проводнике вблизи поверхности. Характерная толщина этого скин-слоя есть
6 = cly/2itowil. (30.26)
Видно, что скин-слой тем тоньше, чем выше частота поля и проводимость среды. Напомним, что формула (30.26) справедлива, если выполняются неравенства / < 6 (обеспечивающие возможность пренебречь пространственной дисперсией) и wr < I (здесь т— характерное время столкновений электронов в проводнике). Последнее неравенство соответствует пренебрежению временной дисперсией и обеспечивает возможность пользоваться статической проводимостью а. Магнитное поле в металле убывает по тому же закону, что и электрическое.
Найдем теперь соотношение между величинами напряженностей электрического и магнитного полей на поверхности проводника. Из (30.18), (30.24) и (30.26) следует, что векторы Е и И связаны между собой соотношением
£=(1 -/•)_£— ЯХ п, (30.27)
4тгаб
где п = к/к есть единичный вектор, направленный вдоль оси г. Соотношение (30.27) справедливо для любой точки среды и для поверхности в том числе. Величине
с Г цы'
f = (1-/) —~- = (1-z) V--------- (3028)
4яаб оно
связывающая векторы Е и Н, называется поверхностным импедансом.
Соотношение (30.27) можно использовать как граничное условие для нахождения электромагнитного поля вне проводника. Как показывеют предыдущие результаты, поле внутри проводника существенно изменяется на длине 5, а вне его — на длине L порядка размеров проводящего тела (предполагаем, что L < X). При достаточно высокой электропроводности 6 < L. Это неревенство обеспечивает малость тангенциальных производных от напряженностей поля внутри проводника по сравнению с производной по нормали к поверхности. Это означает, что при любом характере падения электромагнитной волны на поверхность проводника поле внутри него будет иметь тот же характер, что и при нормальном падении, и будет справедлива формула (30.27).
Вследствие непрерывности тангенциальных компонент векторов поля на границе, соотношение (30.27) справедливо и для полей на внешней стороне поверхности проводника. Поэтому соотношение
Ег = $НгХп (30.27а)
можно рассматривать и использовать как граничное условие, позволяющее находить поле вне проводника, не рассматривая поля внутри среды. Оно называется граничным условием Леонтовича.
Из приведенных выше оценок ясно, что граничное условие Леонтовича (3027а) справедливо и для неплоской поверхности проводника, если локальный радиус ее кривизны велик по сравнению с величиной 6.
30.3. Аномальный скин-эффект. При возрастании частоты со характер скин-эффекта меняется. Это связано с тем, что толщина скин-слоя уменьшается с ростом частоты, и при некоторых характерных частотах толщина скин-слоя 6 может стать сравнимой с длиной свободного пробега / электронов проводника. Из (30.26) следует, что толщина скин-слоя 6 становится сравнимой с / при dx/a<2= /, откуда следует, что характерная частота , при которой происходит переход от нормального скин-эффекта к аномальному, имеет порядок
wa==c2/a/2. (30.29)
Проводимость а при оценке можно считеть равной а = пегт!т, а длина свободного пробега в металлах / = vft (где vF — скорость электронов на поверхности Ферми, г — время между столкновениями электронов). Таким образом,
we * • (30.30)
пе1!1
Здесь pF — импульс электронов на поверхности Ферми, л — концентрация электронов проводимости. Видно, что частота <х)а существенно зависит от величины / и при характерных для металлов значениях / с ростом частоты условие Ъ ® / достигается обычно раньше, чем условие сот ~ 1. В этом случае (и тем более в случае, когда 5 < /) электроны движутся в поле, которое уже нельзя считать однородным, и нужно учитывать пространственную дисперсию. Временная же дисперсия при сот < 1 еще не существенна. Скин-эффект в условиях, когда 6 / и необходимо учиты-
вать пространственную дисперсию, называется аномальным скин-эффектом.
При аномальном скин-эффекте, по сравнению со случаем нормального скин-эффекта, меняется соотношение между плотностью наведенного в металле тока и напряженностью электрического поля Е. Чтобы нейти это соотношение, напишем кинетическое уравнение для функции распределения электронов металла
'dbf Эб/ ЭГ0
--- + м-----+ еЕ----- = —vbf,
Эг Эг Эр
в котором — равновесная фермиевская функция распределения, а Э/ — отклонение функции распределения от равновесной, обусловленное проникающим в металл полем. Считая, как и в случае нормального скин-эффекта, что поле падает из вакуума на металл в направлении оси г, нормальной к поверхности и направленной в глубь металла, кинетическое уравнение можно записать в виде
dbf v-iu> eE(z} bf0
---- + —------ bf =----------
dz Vz v2
(30.31)
Мы будем считать, что электрическое поле направлено вдоль оси х. Уравнение (30.31) удобно переписать в виде
dbf
— + Af,f = BE(z}. (30.32)
dz
Из сравнения (30.31) и (30.32) следует, что
1 - /шт е bf0
А ---------- В =-----------.
rvz vz Ърх
(30.33)
Решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (30.32), есть
bf=Ce~Az,
где С — постоянная. Решение неоднородного уравнения (30.32) запишем в виде
bf=C(z}e~Az,
что соответствует простейшему варианту метода вариации произвольных постоянных. Подстановка последней формулы в (30.32) дает
C(z) = J BE(z')eAl dz' + Ci,
1 -1шт
1 —/0)7 \
-------w I dw.
TV, I
z (30.36)
exp
так что
bf = {Bf E(w}eAwdw +C\}e~Az. (30.34)
Функция bf должна обладать свойством
bf(z, vz < 0)|г=» =0. (30.35)
Условие vz < 0 в аргументе функции bf в асимптотической формуле (30.35) означает, что речь идет о функции распределения электронов, движущихся по направлению к поверхности. Из асимптотического условия (30.35) можно определить константу Ct, входящую в решение (30.34) для bf (vz < 0). Из сравнения (30.34) и (30.35) следует, что
е
bf(z, v2 < 0) = —---
ЭРх
Таким образом, функция распределения движущихся к границе электронов определяется значением электрического поля во всем пространстве от z до 00.
Вид функции bf (z, vz> 0), описывающей удаляющиеся от границы электроны, определяется характером рассеяния электронов на границе. Существуют две предельных случая рассеяния электронов на границе -зеркальное рассеяние и диффузное рассеяние. На самом деле, конечно, реализуется некоторая промежуточная ситуация. Математически наиболее просто описывается скин-эффект при зеркальном отражении электронов от границы. Имея это в виду, а также то, что самая главная особенность — неэкспоненциальный спад поля по мере его проникновения в глубину металла — проявляется уже при зеркальном отражении электронов от границы, мы и ограничимся последним случаем.
При зеркальном рассеянии электронов на границе
6^+)(ух, vy, vz, z = 0) = 6f(-)(vzz vy, — vz, z = 0). (30.37)
В этом граничном условии функция bf^ относится к электронам, удаляющимся от поверхности, a — к электронам, приближающимся к ней. Из (30.37) с учетом (30.36) имеем
8f(+)(vx, Vy, vz,z = 0) = - — —— J°£(w)exp ( — -—w Jdw. (30.38) vz dpxo \ TVz /
Интеграл в этой формуле есть величина, зависящая только от ш, т и и,. Поэтому из общего решения (30.34), записанного в виде
(1-/шт \l_ е * / 1-/шт \ ]
--------z 1|С1-------Jt(w)exp(------wldw, ТЪ /1 bpx о \ tvz / )'
z I j£(w)exp / Lo
1 -1шт \.
-----widw + ти, /
получаем 6^(+)(z)= е / 1 — /шт
=---------ехр I---------
дрх \ TVZ
+ f Е(и/)ехр( -—. о \ TVz / J
Формула (30.36) дает нам решение ции формула (30.39) — для летворяют поставленным граничным помощью обычным образом вычисляется плотность наведенного тока: /(z) = efvx8fd3v. Подставляя в эту формулу функции и и вводя полярные координаты (и, в, а) в пространстве скоростей, получим 90 I 2 it V Ai/
/(z) = — f dw2 --- f dflsinfl f da-------X
mi Эи l*/2 о vz Qvx «• Zi — ii^T \ 2ir и, Эи
X JdwE(w)exp(---------(w — z)l — j dO sin в f da-------X
z \ Tncosfl / о о vz Эих
1-/WT. . A . / . . / 1-7ыт. ДЦ
-------(z + w) I + J dwE( w)exp I-----(w - z) 11), rncosfl-/о \ TVCOS0 /])
(30.40) Интегрирование по а здесь можно провести сразу, поскольку подынтегральное выражение не зависит от а. Подынтегральные выражения в интегралах по в являются нечетными функциями 6, поэтому (30.40) можно представить в виде
s2 т vx Эи
/(z) =----fdisv2 --- f dflsinfl—-— X
m о Эи о Vi Эи,
X Jdw£(w)exp .о
(30.39)
кинетического уравнения для функ-функции . Эти функции удов-и асимптотическим условиям. С их
I “ 11 —itjjT
X JdwE(w)exp--------------
( 0 I 7VCOS0
(z + w) + f dwE( w)exp I -— o L 7VCOS0
+ Jdw£(w)exp I — -—(w — z)I ] . z L TVCOS0 I)
Два последних интеграла в фигурной скобке
Jdw£(w)expl -———-о I cosfl I
+ fdwE{w)exp
1 — 7шт w — z cos в I
(30.41)
= Jt/w£(w)exp о
1 — /шт I z — w cos# I I
(30.42)
Здесь I = tv — длина свободного пробега электронов. Таким образом, получаем следующее выражение для плотности тока:
00 / 7 + !А/ \ 00 / I .7 — |А/ I \
j(z} = fE(w}M —- }dw + fE{w)Xl ------------ dw,
о \ I / о \1 I I/
(30.43)
где X — ядро интегральной связи между напряженностью электрического поля в точке с z-координатой, равной w, и током в произвольной точке с координатой г, имеющее вид
а2 °° . ЭЛ Vх Я|/ 1 — !(jJT 1
X(s) =------f dvv2 ---- f dO sin#--------exp-------------s . (30.44)
m о Эи о vz dvx cos0 J
Интегральный характер формулы (30.43) означает, что мы имеем дело с пространственной дисперсией. Подставляя (30.43) в уравнение
d2E dz2
2 л _ 4itiu .
получим основное уравнение теории аномального скин-эффекта ч *(-У* dz2 \с /
4я/шГ 7 ««/ z + 7 ~Л\г~ wl\ ct i-t I
= ----- J ---------— ) £( w)dw + j XI ------ j £(iv)div| ,
c [o \ I / о \i / I/ ]
(30.45) «
определяющее электрическое поле в среде. Поле в вакууме считается заданным или может быть найдено из обычного волнового уравнения, решение которого следует сшить на границе раздела металл — вакуум с решением интегро-дифференциального уравнения (30.45), определяющего поле в среде, с помощью обычных граничных условий:
Еп, = Еп 2 и ~ 2
Интегро-дифференциальное уравнение (30.45) можно решить с помощью следующего приема. В первом интеграле в правой части уравнения (30.45) проведем замену переменной w -> -w', после чего этот интеграл примет вид
0 / у w\
/ XI -—- I £(-w)dw. (30.46)
—00 \ I /
Продолжим теперь формально решение уравнения (30.45) в область z< 0. Это продолжение можно провести совершенно произвольным образом. Проще всего продолженное таким образом поле Е считать или четным (по отношению к плоскости z = 0), или нечетным, или даже нулевым. Окончательное решение задачи от способа продолжения зависеть не будет. Выберем для определенности четное продолжение, т.е. будем считать, что
£(-z) = £(z). (30.47)
Тогда уравнение (30.45) с учетом (30.46) примет вид
d2 Е + 4я/ш
’o'z7’ \^7 с
------1 If (w}dw. I I/
(30.48)
S х\
В этом уравнении г> 0 и оно определяет поле внутри металла, причем при формальном продолжении решения этого уравнения в область z < О выполняется условие (30.47). По своей математической структуре уравнение (30.48) значительно проще исходного уравнения (30.45), так как в (30.48) ядро интегрального члена имеет только разностный аргумент. Это дает возможность решить уравнение (30.48) с помощью преобразования Фурье.
Найдем фурье-образ уравнения (30.48). Для этого уравнение (30.48) следует умножить на ехр (-/to) и проинтегрировать по всему пространству:
+,“ I , v d2 Е 4тг/ш +г"
f exp(-/to) —г dz + I — I E(k) =------ f dwE(w) X
—co dz* \ / c — °°
X / dzexp (- /to)^"/l - IY (30.49)
—“ \ I I ' /
Первое слагаемое в этом соотношении следует дважды проинтегрировать по частям. После первого интегрирования получим
° I -и \ dE + exp(-/to) — dz
*
+," . .. . d-E . . .. xdE
j exp(—/to) — - dz = exp(—/to) —
dz' (Л t 4C
+ ik f exp(-ito) — dz = £'(-0) - E'(+0) + ik f exp(-/to) —dz.
—« dz —« dz
(30.50)
Поскольку функция Е (г) - четная, то производная от этой функции в точке*/= 0 может испытывать разрыв, так что £'(-0) = —£'(+0). Сама же функция Е (г) в точке z = 0 при этом непрерывна, так что £ (-0) — — Е (+0) = 0. С учетом этого обстоятельства и после второго интегрирования по частям первое слагаемое в уравнении (30.49) примет вид
-2£'(+0) - к2Е(к).
Правую часть (30.49) можно записать в виде
4тг/о> +,“ . +,” , ., t~.fl z-w|\
----- f dwE(w) f dzexp(-zkz)JTl -- I =
c _•«. —« \ I / I /
4тг/о>/ +.°° , ., . +f“ dz f .fz - w\l _/| z — w
= --- f dw£(w)exp(-/kw) J —exp -/tol-----1I-a I I-
c _— <» / [ \ I /] \l I
Qniwl c
Ж(кПЕ(к).
Таким образом, фурье-образ уравнения (30.48) принимает вид
-2£'(+0) — к2Е(к) + (— X Е[к) = Х(к1)Е(к), (30.51)
\ с / с
так что
Е(к)~
__________2£’(+0)_________________
со2 /с2 — к2 — (4тг/а>//с) JT(A:/)
(30.52)
По найденному фурье-образу находим искомое электрическое поле:
_ £'(+0) +« dkexp(ikz) (
£(Z) __ ш2/сг _к2 _ {^1Шцс}Х{к1} '
Физический смысл функция Е (z) имеет при г > 0. Множитель Е' (+0) определяется интенсивностью и длиной волны падающего на поверхность металла электромагнитного излучения. Основной особенностью полученной таким образом функции Е (z) является то, что она не имеет экспоненциального вида. Оценка интеграла в (30.53), деталей которой мы не приводим, дает, что глубина проникновения поля в металл при аномальном скин-эффекте имеет следующий порядок величины:
/ c2fi3 \1/3
5 * I • (30.54)
\ ше1Рр/
Зависимость 8 от w имеет вид и1'3, т.е. она несколько слабее, чем в случае нормального скин-эффекта.
30.4. Скин-эффект при высоких частотах. При дальнейшем увеличении частоты характер скин-эффекта снова изменяется. Это обусловлено тем, что в задаче о скин-эффекте присутствуют, вообще говоря, не две, а три характерные длины. До сих пор учитывалось наличие двух характерных длин — глубины скин-слоя 5 и длины свободного пробега электронов /. И не подчеркивалось, что существует еще одна характерная длина — путь 1т, который электрон проходит за один период Т изменения поля. При тех частотах, при которых имеет место нормальный скин-эффект, длина 1т = была много больше и глубины скин-слоя 5 и тем более — длины свободного пробега электронов /, поэтому величина 1т была несущественна. В условиях аномального скин-эффекта и /, и 1Г больше 6, причем в теории, изложенной в п. 30.3, соотношение между / и 1Т было произвольным. Важно было только то, что 6 — наименьшая из всех характерных длин.
С ростом частоты уменьшаются значения и S, и 1Т (величина / от со, конечно, не зависит), но значение 1т уменьшается быстрее, чем 6. Действительно, согласно (30.54), 1т!ъ> ~ ш-2^3, так что при достаточно высоких частотах / у < 5.
Если lr S, то электроны снова, как и в случае нормального скин-эффекта, будут двигаться в почти однородном электрическом поле и в этом смысле скин-эффект при высоких частотах напоминает нормальный скин-эффект, с той, однако, разницей, что роль величины / теперь начинает играть величина 1т- Иначе говоря, скин-эффект при высоких частотах можно считать нормальным скин-эффектом, но при этом оказывается существенной временная дисперсия.
Из условия 5 > 1Т. которое можно переписать в виде со > vF!b, следует, что из первых двух слагаемых в левой части кинетического уравнения наибольший вклад дает временная производная от функции распределения, поскольку dbf/dt > чЪМ/Ъг. Из неравенства / > 1т> записанного в виде co>vF//, получаем, что
bbf bf bfvF
---> _ = —L.
Эг т I
Таким образом, кинетическому уравнению при высоких частотах можно придать вид
Э5< ЭЛ>
+ еЕ • v- = 0. (30.55) Эг---------------------------------------------------------Эй
Волновой вектор к в это уравнение не входит, поэтому пространственная дисперсия при высоких частотах так же несущественна, как и при низких. 314
Решение кинетического уравнения (30.55) имеет вид
evE Э70 bf=i----------- (30.56)
w 3S
функция распределения bf зависит от частоты ш изменения поля, следовательно, временная дисперсия должна обязательно учитываться. Плотность тока, обусловленная полученной функцией распределения, равна
S‘£/3p-ш oS
В изотропном случае вектор / направлен вдоль вектора Е, так что
/ = i — Efv2—-cos20d3p, w Эй
где 6 = (», Е). Таким образом /= оЕ, причем o~i — fv2 —- cos20d3p. w д&
Интеграл в (30.58) легко вычисляется:
4тг/е2Рр о =------------•
Зт о>(2тгЬ)3
Порядок этой величины составляет (S^/h) (SF/hu>). Подставляя в уравнение для поля, получаем:
d2 Е 1 j 2 Г 2
—v + ш -е fv
dz2 с2 J
ЭГ0 , ‘
---cos20d3p Е = 0. as
(30.57)
(30.58)
(30.57)
(30.59)
Это уравнение имеет решение Е = £oexp(-z/6), причем
5-2 =—-e2fv2 —-cos20d3p\ (30.60)
с2\ 3S /
В соответствии с оценкой, приведенной для случая сферической поверхности Ферми, второе слагаемое в скобке в формуле (30.60) имеет порядок (S/r/h). Поэтому при hu> < &/.• величина 5 является действительной.
Таким образом, при частотах, больших тех, при которых b становится порядка или больше Iт (эти частоты обычно лежат в далекой инфракрасной области спектра), но меньших SF/h, поле по мере проникновения в глубину металла спадает экспоненциально, причем глубина скин-слоя
5 * c//(gF/N2 ~<‘>2’- (30-61)
Частота S/?/h, входящая в эту формулу, обычно соответствует по порядку величины коротковолновому оптическому или ближнему ультрафиолетовому участкам спектра. Частота о> < Sf/h, поскольку при о> -> SF/h кроме собственно скин-эффекта начинают проявляться и другие физические явления (такие, например, как фотоэффект), которые нужно Учитывать при вычислении пространственного распределения поля. Поэтому фактически 5 —сЫ&р.
§ 31. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДАХ
Волноводом принято называть металлическую бесконечно длинную трубу произвольного сечения и, вообще говоря, произвольной формы. Волновод может быть и конечной длины, но в этом случае труба должна иметь отверстия на концех, через которые в трубу поступает и из нее вытекает электромагнитное поле. Задачи о волноводах решаются, конечно, методами электродинамики. Однако большое число вопросов, связанных с описанием распространения электромагнитных волн в таких системах, носит прикладной характер. Поэтому в данном параграфе будет уделено внимание только одному, имеющему наибольшее принципиальное значение, вопросу о типах волн, которые могут распространяться в простейшем прямом цилиндрическом волноводе произвольной формы, стенки которого являются абсолютно проводящими. Будем также считать, что внутри волновод не заполнен диэлектриком. Это дает возможность показать, что даже в вакууме электромагнитные волны не обязательно являются поперечными, если область, в которой эти волны распространяются, примыкает к проводящим поверхностям.
Для волновода справедливы уравнения Максвелла:
rot£ = /— Н, rox.H=-i—E. (31.1)
с с
Поскольку стенки волновода считаются идеально проводящими, то на его стенках Ет = 0. Возьмем компоненту первого из уравнений (31.1), нормальную к поверхности в некоторой точке поверхности волновода. Проекция вектора rot£ на эту нормаль содержит пространственные производные от тангенциальных компонент электрического поля по тангенциальным же координатам. Поскольку Ет = 0 в любой точке поверхности, то rot„£ - 0, откуда сразу следует, что на поверхности волновода значение Н„ также равно нулю. Таким образом, формулы
Ет = 0 и Нп = 0
могут рассматриваться как граничные условия к уравнениям (31.1). Исключая из (31.1) магнитное поле, получим уравнение для нахождения электрического поля,
Д£+ ~Е=0. (31.2)
с
с дополнительным условием div Е - 0.
Систему координат выберем так, чтобы ось г была направлена вдоль волновода. Убедимся, что в волноводе может распространяться волна ТМ-типа, т.е. что в волноводе может существовать z-компонента электрического поля, которая зависит от координат следующим образом: Е2 - П(х, y)exp(ffcz). Здесь к — волновой вектор волны, распространяющейся вдоль волновода. Неизвестная функция П (х, у) удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца:
Э2П
Эу2 где
+ ^ + к2П = 0, Эх2
к2 =
w2 ,
- к2.
с*
(31.3)
(31.4)
Спроектируем уравнения (31.1) на оси х и у:
Эу Эг с Эг с
Э£х Э£г . w ЭН> . ш (315)
Ъг Эх с у Эг с у
Отсюда следует, что
= * Э£г f =ik ~г
* к2 Эх У к2 Эу
и _ *Ег и Э£г <31-6»
ск* Эу ск2 Эх
Из этих соотношений видно, что, решив уравнение (31.1) и найдя таким образом Е., через эту компоненту электрического поля можно выразить все остальные компоненты электрического и магнитного полей. Следовательно, вся задача сводится к решению только одного двумерного уравнения (31.3) с граничным условием П(х, y)|s - 0. Решение уравнения (31.3) получается с помощью методов математической физики и зависит от формы волновода. Но при любой форме волновода, сечение которого конечно, функция П (х, у) ограничена и удовлетворяет граничным условиям только при определенных значениях величин к2, которая образует набор так называемых собственных значений. Найдя этот набор, в каждой конкретной задаче можно с помощью формулы (31.4) найти частоту колебаний:_______
ш = с \/к2 + к2'. (31.7)
Эта частота зависит от волнового вектора к, но при к -» 0 частота со в нуль не обращается. Из (31.7) видно, что существует минимальное значение частоты (определяемое минимальным собственным значением кт1П), с которой в волноводе еще может распространяться электромагнитная волна. Величина Kmin порядка 1/£, где L — поперечные линейные размеры волновода, следовательно, cjmin ^c/L
Групповая скорость волны в волноводе
vg = Эш/dfc = ск/у/к2 + к2. (31.8)
При к = 0 vg = 0, при к -* °° vg -» с.
Аналогичным образом можно убедиться в том, что в волноводе также возможно распространение волны Г£-типа. В этом смысле волновод отличается от незамкнутой поверхности, которая тоже может в некотором смысле служить волноводом (см. § 30, ч. II), но вдоль такой поверхности волны 7*£-типа распространяться не могут.
Поперечные волны одновременно по векторам Е и по Н в обычном односвязном волноводе распространяться не могут. Качественную причину этого явления можно понять, если учесть, что в соответствии с граничным условием Нп = 0 силовые линии магнитного поля в волноводе Должны замыкаться в плоскости ху, это означает, что rot Я имеет г-ком-поненту. В соответствии со вторым из уравнений (31.1) должна существовать и г-компонента электрического поля. Положение изменяется, если внутри волновода имеется еще один проводящий цилиндр. Тогда магнитное поле может замыкаться вокруг токов, наведенных во внутреннем
цилиндре. В таком более сложном волноводе могут распространяться поперечные волны.
В качестве примера применения изложенных принципов к конкретным системам рассмотрим задачу о нахождении возможных типов волн и их частот в простом прямо, угольном волноводе со сторонами а и Ь, причем а > Ь.
В таком волноводе могут распространяться и волны ГМ-типа, и волны Г£-типа. Рассмотрим волны ГМ-типа. Уравнению (31.3) с граничными условиями П(0, у) =
= П(а, у) = П(х, 0) = П(х, Л) = О отвечает решение
П(х, у) = n„sin(nmx/a)sin(nnyA>), (31.9)
причем т и п — целые числа (неравные нулю). Поскольку уравнение (31.3) является однородным, постоянная По определяется условиями возбуждения волн и может иметь любые значения. Подставляя (31.9) в (31.3), получим связь между к2 и величинами тип:
к2 = (ят/а)’ + (яп/Ь)2. (31.10)
Спектр возможных частот, согласно (31.7), имеет вид ш = с xjk2 + (ят/а)2 + (яп/Ь)2.
Минимальная возможная частота
“min “ стт\/(а2 + Ь2 )ia2b2
Компонента электрического поля, направленная по оси волновода, равна
F-(x, у, г) = По sin (ятх/alsin (япуЛЬ)ехр ДОгг).
(31.11)
Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через (31.11) по формулам (31.6).
Рассмотрим волны Г£-типа. В случае Г£-волны Н2 = П(х, у)ехрркг), и для определенной таким образом функции II будут справедливы уравнения (31.3) и (31.4). Аналогами уравнений (31.6) в случае Г£-волны являются уравнения
/<*> ЪН2 Е* ск2 ду iw ЪНг Еv = . ск.2 Эх (31.12)
ik ЪНг ik дН2
нх = — . к2 Эх к Эу
Граничное условие записано в виде Нп = 0, согласно вторым двум из этих уравнений, может быть
ЬНг/Ьп = 0. (31.13)
Поэтому и в случае условием Г£-волны следует решать уравнения вида (31.3), но страничным
(31.14)
ЭП ЭП ЭП ЭП
» Ч — SB — .г... —— = 0.
Эх 0,у а, у 0>/ х.О дУ х.й
Соответствующее решение имеет вид
П = По cos(mnx/a)cos(nny/b), (31.15)
причем связь между к2 и величинами т к п имеет тот же вид, что и в случае ГМ-волны. Однако в отличие от ГМ-волны, одно из чисел, m или п, может оказаться равным нулю. Это означает, что минимальная частота волны Г£-типа меньше, чем в случае волны ГМ-тила и равна
“min = «*/'’• (31.16)
Соответствующая волновая мода называется ТЕ10 -волной.
§ 32. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД
Граница раздела сред не только обусловливает появление новых мод электромагнитных колебаний, но и оказывает влияние на распространение обычных объемных мод. Наиболее важно описать это влияние на распространение поперечных электромагнитных волн, которые имеют возможность пересекать границы раздела и выходить в вакуум или генерироваться в вакууме и падать на границу раздела вакуум — среда.
Рассмотрим падение поперечной электромагнитной волны (рис. 32.1) из прозрачной среды (в частности, это может быть и вакуум) на плоскую границу раздела прозрачной среды (эту среду будем обозначать индексом I) с любой другой средой (которую обозначаем индексом II) (Гадающую волну обозначим индексом 0, отраженную — индексом 1, преломленную — индексом 2. Угол падения волны на границу, отсчитываемый от нормали к границе, обозначим 0о, угол отражения - t)t и угол преломления — 0г-Координатную плоскость ху расположим в плоскости раздела. По отношению к координатам х и у задача является пространственно-однородной. Это означает, что тангенциальные компоненты волнового вектора всех трех волн - падающей, отраженной и преломленной — одинаковы. Из равенств кОх = ktx = к2х следует, что в первой среде
ш ______
кОг = - --- Vel COS0O И =0).
с
(32.1)
Таким образом, равенство угла падения углу отражения является прямым следствием сохранения тангенциальной компоненты волнового вектора падающей и отраженной волн. Во второй среде
кг2 = v~; е2 -klx = — sin20o'. (32.2)
с с
Эта компонента волнового вектора в поглощающей среде может оказаться величиной комплексной. Если вторая среда является прозрачной, то из (32-1) и (32.2) следуют простые законы, связывающие углы падения, от
ражения и преломления:
0о=0) и sin02/sin0o = Vei/fj = л,//72.
(32.3) Из полученных выражений можно определить ход лучей, но эти формулы ничего не говорят об их интенсивностях. Для того чтобы найти эти интенсивности, следует принять во внимание граничные условия на поверхности раздела.
Сначала рассмотрим случай, когда полеЕ0 перпендикулярно плоскости падения. Имея в виду обычные условия непрерывности тангенциальных компонент напряженностей электрического и магнитного полей, получаем, что на поверхности раздела
E0+Et=E2. (32.4)
Величину Н удобно выразить через Е с помощью первого уравнения Максвелла rotE = = - (1/с) ЭЯ/Эг; компонента Нх,например, равна
- ip/cc}ktEy. Имея это в виду, получаем на поверхности раздела сред
кчг(Е0-Е^ = к2гЕ2. (32.5)
Находя из двух последних уравнений величины Е кОг~к2г 2кОг
= -------7— £°' = Т ГТ------to'
коз + к2г кОг + k2l
Подставляя сюда (32.1) и (32.2), получим
р у/ё\ cos0o — Ve2 — ti sin2 0О ₽
1 х/е? cos0o + х/е2 + fi sin200‘ °’
2 х/ё? cos0o
£ _ __________ _________________
х/ё! COS00 + х/^2 — et sin2 00
и Е2, получим
(32.6)
(32.7)
(32.8)
Эти формулы называются формулами Френеля. В случае, когда среды прозрачные и = sin02/sin0o, формулы Френеля упрощаются:
sin (02 — 0О ) 2 COS 00 sin 02
Е, =--------------—Ео, Е2= ---------------------------Ео. (32.9)
Sin(02 +0q) Sin(02 +0О)
Можно убедиться, что граничные условия для Dn и В„ не дают новых результатов.
Если вектор Е лежит в плоскости падения, то удобнее работать с магнитным раздела, мулы.
полем, вектор напряженности которого оказывается в плоскости Способом, аналогичным предыдущему, получаем еще две фор-
М, =
ег*ол-е|*2г
^1 Лг2 - +
«о =
е2cos0о - xAi (е2 -elsin20o)'
„ / , 5» J Но'
e2cos0o + x/^i (ег -eiSin'Oo)
(32.10)
«2 =
2e2cos0o
2б2^0г ,,
—) )— “о ~
el^2i + Cikoz
Френелем. В прозрачных средах эти формулы
Г*о,
(32.11)
примут
также полученные вид
Н _ tg(0o -0г)
1 tg(0o + 02)
Введем понятие ние /-компонент
Нт.1,1
Без учета пространственной дисперсии и в случае немагнитной среды (напряженности поля считаются комплексными величинами)
х/ё] COS0] IEJ2 R =—=-------------
х/б! COS0O |Е0 I
При нормальном падении волн с помощью (32.7) и (32.В) получаем, что
2
sin20o
Н2 -------------------------Но.
sin(0О + 02 )cos(0o — 02 )
коэффициента отражения. Определим его как отноше-векторов Пойнтинга отраженной и падающей волн:
«о.
(32.12)
(32.13)
— ve2
(32.14)
е2
Если показатель преломления среды n2=\/ej = п2 + /к2, то при волн на такую среду, например, из пустоты (ej = 1), будем иметь 02 - 1) + «2 /? ~ “ • 02 + D + «2
падении
(32.15)
(32.16)
При наклонном падении, согласно (32.9), _ sin2(02—0О) _ tg2(02-0o)
1 ’ sin2(02 +0О)' " ’ tg2 (02 +0О)
Здесь /?2 и Яц — коэффициенты отражения падающих волн, поляризованных, соответственно, перпендикулярно и параллельно плоскости падения.
Замечательным является случай, когда волна падает под таким углом, что сумма углов падения и преломления 0О +02 = тг/2. Обозначим этот выделенный угол падения 0О символом др; угол 0р называется углом Брюстера. Имея в виду определение 0Р и закон преломления (32.3), получаем
sin02 х/l — cos202" х/l — sin20p
sin0p sin0p sin0p ' e2
Таким образом, угол 6P определяется величиной отношения ei/e2. При е0 = ер
= ctg0p =
(32.17)
/?н =
tg2 (02 -вр} —-------— -< 0.
tg2(02+0p)
Поэтому при любой поляризации падающего под углом вр пучка электромагнитных волн отраженные от среды 2 волны оказываются полностью поляризованными в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Преломленные же волны линейно-поляризованными не будут.
Другое важное явление, возникающее при падении электромагнитных волн на поверхность раздела двух сред, — полное внутреннее отражение. Оно возникает при отражении от оптически менее плотной среды, т.е. при е2 < б!. Когда имеет место полное внутреннее отражение, то преломленная волна не проникает в оптически менее плотную среду; величины Я2 и /?ц при этом обращаются в единицу. Соответствующий угол падения вп = 0Г, при котором наступает полное внутреннее отражение, определяется из того условия, что при этом 02->-тг/2. Этот предельный угол вг определяется формулой
0г = Ve77e7 (32.18)
При 60>Огвся энергия падающего электромагнитного поля отражается обратно в первую среду.
-§ 33. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ПЛАЗМЫ
И ПЛАЗМОПОДОБНЫХ СРЕД ПРИ КОНЕЧНЫХ ЧАСТОТАХ
33.1. Вычисление функции е(к, ш) электронного газа при конечных к и ш. В предыдущих параграфах распространение электромагнитных волн в основном рассматривалось с позиций макроскопической электродинамики. Более подробное изучение этих процессов требует знания явного вида функциональной зависимости диэлектрической проницаемости от частоты и волнового вектора.
В качестве практически важного и сравнительно простого примера вычисления е(Л, со) найдем диэлектрическую проницаемость пространственно-однородного изотропного электронного газа в бесстолкновительном приближении. Такое приближение будет оправданным в том случае, когда частота колебаний поля со велика по сравнению с частотой столкновений v или если описываемые процессы протекают на характерных расстояниях, которые много меньше длины свободного пробега электронов. В качестве такого характерного расстояния может выступать, в частности, путь, проходимый электроном за период изменения поля. Как было показано в 5 6, ч. II, диэлектрическая проницаемость в этом случае может быть представлена в виде (см. (6.11))
. . 4™2 г П
елр = + ----f dP -----------,
Cl) Cl)—КУ
(33.1)
где — символ Кронекера, к — волновый вектор, со — частота изменения поля, v и р — скорость и импульс электронов среды.
В 5 6, ч. II было получено предельное значение диэлектрической проницаемости при ш-*0. В данном разделе со будем считать отличной от нуля. При конечной со интеграл в формуле (33.1) перестает быть определенной величиной, поскольку в (33.1) не содержится правило обхода полюса со = Л- v. Это правило, в соответствии с которым знаменатель подынтегрального выражения в (33.1) следует записать в виде со — к • у + /р, причем v -* 0, было установлено в § 6.
Согласно (4.5), выражение (33.1) может быть представлено в виде комбинации продольной и поперечной диэлектрической проницаемости. Из (4.5) и (33.1) следует, что если в среде имеется продольное электрическое поле, то вектор электрической индукции может быть записан в виде
--* 4яе2
+ — fd*p
df0
£ ||
о) - к • у + iv \ др
v
4ле2 ч
1 + —Zi fd р шк
к - у / df0 \ 1
---------------I к------1 I £ц
со — к • у + iv \ др / J
Следовательно,
е' = 1 +
4 ле2 шАг2
fd3p
к' v / 3f0 ------------- | h------ со - к - у + iv \ др
(33.2)
Аналогичным образом можно получить выражение для поперечной диэлектрической проницаемости в изотропной среде:
е
2яв2
1 +------
со
/d3p
1
со - к • у + п>
df0 к - v / df0 \ ] v -..... — 1 1 1 1 । Iq —- । I
Эр к2 \ др0 / I '
(33.3)
Производную от равновесной функции распределения можно преобразовать:
Э/q э/0 Э/q
Эр д& др д& ’
где &—энергия электрона. С учетом этой формулы продольной е1 и поперечной е,г диэлектрическим проницаемости м можно придать вид
j 4те2 е.3
е = 1 +--rfdP--------------•
ыкг ш - к' v + iv Эй
,г . 2тГв2 , Л I* Х »>2 Э'о е* = 1 +------- f d3p-----------------
шк2 ш — к - » + iv Эй
(33.4)
(33.5)
При вычислении интегралов в этих формулах следует пользоваться правилом, которое принято записывать символически в виде (см. (Д IV. 25)) 1 1
------------ = :-----+ йг8(&- »- ш). (33.6) к - ч — ш — iv к’ ч — ш
Здесь есть символ главного значения интеграла, а само соотношение (33.6) есть операторное соотношение, которое понимается в том смысле, что оно может быть умножено на функцию, не имеющую особенностей в определенной области, после чего все это выражение интегрируется. Важной характеристикой диэлектрической проницаемости является то, что, несмотря на отсутствие столкновений, она наряду с действительной частью имеет и конечную мнимую часть.
33.2. Продольные колебания бесстолкновительного невырожденного электронного газа. Выясним, какие новые результаты (по сравнению с теми, что были найдены в § 28) относительно продольных электромагнитных волн могут быть получены, если известен явный вид функции e(fc, ш). Для простоты рассмотрим случай плазмы, равновесная функция распределения в которой имеет вид распределения Максвелла:
/V / р2 \
f° = ----7^2 ехр “ ) • (33.7)
(2птТг2 \ 2тТ /
В этом распределении величина /V —плотность электронов. Г —температура электронного газа в энергетических единицах. Подставляя (33.7) в (33.4) и (33.5), получим:
е' = 1-
dx
р шх/Ттг
х2ехр(-х2/2)
ш — хк \J17m + iv '
(33. В)
е,г = 1 -
dx
ехр(—х2/2)
(33.9)
Здесь было введено обозначение: Л-р=хАг-\/тЛп?Такимобразом, интегралы по х соответствуют интегрированию по продольной (по отношению к к} компоненте импульса р. Интегрирование по поперечной компоненте импульса р в этих формулах уже проведено.
Формула (33.8) существенно упрощается в предельном случае длинноволновых колебаний. При этом в ней можно провести разложение по степеням малого параметра (к/ы}\/Т/т', после чего (33.8) примет вид
, о>2 / ЗТк2 \
e'-1--£(l +-------г) +
о: \ mw /
/я"* охор / m \ 3!2 / ты1 \
2 к3 \ Т ) \ 2к2Т /
(33.10)
21
323
Видно, что здесь диэлектрическая проницаемость — величина комплексная. Мнимая ее часть обусловлена тем вкладом в интеграл (33.8), который свя-зан с обходом полюса в подынтегральном выражении (33.8) (напомним, что правило обхода определяется наличием бесконечно малой мнимой части в знаменателе). При малых к мнимая часть функции е1 экспоненциально мала и ее можно не учитывать. Тогда из условия существования продольных волн, е1 (к, со) = 0, следует связь между частотой этих волн и волновым вектором к:
/ 2Т 1 3 к2 Т
со = у/шр +-----к2 = а>р +--------. (33.11)
m 2 тшр
Таким образом, частота продольных колебаний поля оказывается зависящей от волнового вектора. Хотя зависимость вида со = сор +ак2, можно было бы написать и из общих соображений в феноменологической теории, знание явного вида диэлектрической проницаемости позволило вычислить коэффициент а в последней формуле. Соотношение (33.11) можно переписать несколько иначе, выразив коэффициент а через дебаевский радиус rD. Согласно (6.13), дебаевский радиус определяется формулой
, Э/о
rD2 = -4те2 fd3p —
Ow
Подставляя сюда формулу (33.7) и беря интеграл, получим, что в электронном газе с максвелловской функцией распределения
го= 4ire2N/T = тШр/Т. (33.12)
Имея в виду это выражение для дебаевского радиуса, запишем формулу (33.11) в виде
<о=сор[1+ 3/2(Ато)2]. (33.13)
Видно, что для того чтобы это дисперсионное уравнение можно было считать справедливым, необходимо, чтобы длина волны поля была многд больше дебаевского радиуса экранирования.
Мнимая часть функции e'lk, со) растет с увеличением значения волнового вектора. Поскольку в изотропной среде именно мнимая часть диэлектрической проницаемости обусловливает диссипацию энергии поля, то можно заключить, что с ростом волнового вектора будет увеличиваться зетухание продольных колебаний поля. Затухание собственных колебаний поля можно описывать, введя комплексную частоту колебаний со — iy, так что изменение поля со временем будет задаваться формулой
ехр [-/(со - /7)г] = exp(-zcof) exp(-?t).
Здесь со — действительная часть частоты колебаний, а 7 — мнимая часть, — называется декрементом колебаний, при этом предполагается, что 7 > 0. Если же амплитуда колебаний со временем возрастеет и 7 < 0, то говорят об инкременте колебаний.
Вычислим декремент колебаний в случае продольных волн. Декремент может быть найден из дисперсионного уравнения
е7 (С0-/7, Аг) + /е'(со-/7, Аг) = О, е' < е'.
Последнее неравенство позволяет затухание колебаний считать слабым. Решим дисперсионное уравнение
е'(со - iy, к) + ie' (со - iy, к) = 0 (33.14)
методом итераций. В нулевом приближении, когда полностью пренебре-гается затуханием. Это уравнение переходит в е'(со, Аг) = 0.
Функцию е1 (со - /у, Аг) представим в виде разложения в ряд Тейлора по малому параметру у/со, оставив в нем нулевой и линейный по у члены. Тогда (33.14) примет вид
.* Эе' .«
е (со. Ar) - iy- + /е' (со - iy, к} = 0.
Эсо у = о
В слагаемом, пропорциональном мнимой части диэлектрической проницаемости, величиной у можно пренебречь. Функция ez — сама по себе величина первого порядка малости, поэтому сохранение в ее аргументе величины у соответствовало бы учету членов второго порядка малости по У, которыми в разложении функции е1 мы пренебрегли. Теперь дисперсионное уравнение принимает вид
. Эе'
е'(со, к} - iy -
Эсо
(33.15)
(33.16)
+ ie1 (со, Ас) = 0. 7=0 Но е‘ (со. Ас) = 0, поэтому сразу получаем, что декремент колебаний е' (со, к) * У = —------,-------- .
Эе'(со, Аг)/Эсо
Подставляя сюда е1 из (33.10) и вычисляя соответствующую производную в знаменателе, получаем /тГ сор Г I со \2 1 У = V — ----------г ехр - I----- I ------х
8 (Асгд)3 [ \сор / (ArrD)2 или, учитывая (33.11), /V со„ Г 1 3
у = v----------г ехр----------г-------
v 8 (Ато)3 [ 2(krD? 2 .
(33.17)
Затухание, описываемое этой формулой, называется затуханием Ландау. Из (33.17) видно, что затухание мало при малых к и быстро нарастает при приближении к к обратному дебаевскому радиусу.
! Физическая картина, приводящая к появлению затухания Ландау, может быть представлена следующим образом. Из (33.4) и (33.6) следует, что мнимая часть диэлектрической проницаемости связана с выполнением условия к • v = со. Поскольку со/Аг = kph есть фазовая скорость волны, то указанное условие можно сформулировать так: vt = Ирв (здесь *ц — параллельная вектору к проекция скорости v частиц). Это означает, что энергия поля переходит к тем частицам, которые движутся так, что все время находятся в плоскости одной и той же фазы. При этом электроны долгое время находятся в поле волны одного знака и могут за счет поля получить значительную энергию. Электроны, для которых сформулированное фазовое соотношение не выполняете^, движутся в переменном Поле, и поэтому последовательно как получают энергию от поля, так и отдают ее полю.
3 Заметим, что условие к • v = со соответствует тому, что электроны ,Могут не только получать энергию от поля. Быстрые электроны могут отдавать ее полю, что приводит к раскачке продольных колебаний. Но
обычно функция распределения электронов в среде, близкая к равновес ной, такова, что медленных электронов в среде больше, чем быстрых. Соответственно, продольные волны, распространяющиеся в термодина-мически-равновесной среде, всегда затухают.
33.3. Поперечные колебания электронного невырожденного бесстолкно-витального геза. Спектр поперечных электромагнитных волн определяется дисперсионным уравнением (28.10)
to2
к2-----— etr(k, to) = 0.
с2
Поперечную диэлектрическую проницаемость при малых к вычисляем, разлагая (33.9) в ряд по степеням к. С точностью до квадратичных по к слагаемых
, ш2 / к2Т
е,г(*.ш)=1-----7 (1 +-----,
to \ т<л
(33.18)
Отсюда можно получить дисперсионное уравнение
to2 = с2к2 + Шр 11 +
к2 Т/т \ top + с2 Аг2 /
(33.19)
из которого видно, что эффект пространственной дисперсии, связанный
с существованием теплового движения электронов, в случае поперечных волн мал. Полученное дисперсионное уравнение (33.19) оказалось весьма близким к уравнению (28.16).
Бесстолкновительное затухание поперечных волн можно считать равным нулю. Это связано с тем, что фазовая скорость vph поперечных волн при всех к больше, чем скорость света с, поэтому нет электронов, для которых могло бы выполняться условие vph = i/ц, а с этим условием связано существование мнимой части диэлектрической проницаемости.
33.4. Ионно-звуковые колебания. В предыдущих пунктах этого параграфа подразумевалось, что двигаться могут только электроны, ионы же считались неподвижными. При высоких частотах колебаний поля ионы даже в газовой плазме, и тем более в твердом теле, могут считаться неподвижными из-за их большой массы. Но ионы газовой плазмы могут оказывать существенное влияние на распространение низкочастотных волн, приводя даже к появлению новых колебательных мод с низкими частотами. Диэлектрическая проницаемость двухкомпонентной газовой плазмы, состоящей из электронов и ионов, отличается от функции е электронного газа тем, что во вторых слагаемых в правых частях формул (33.4) и (33.5) должна стоять сумма по всем компонентам (в частности -по электронной и ионной)
/ toAr to - к • v + iv Э&
е
(33.20)
_ 2те?
2-----Г
/ toAr2
г.э
fd3p ----------
to - к • * + iv bS>
(33.21)
Обозначим массы электронов и ионов соответственно те и т{, а температуры — Те и Т(. В электронной и ионной функциях, вообще говоря, 77*7,.
Существование подвижных ионов приводит, кроме усложнения формул для е1 и etr, также к дополнительному уравнению
eNe + = 0, (33.22)
выражающему факт электронейтральности плазмы. Для того чтобы новая, возникающая благодаря движению ионов мода колебаний поля затухала слабо, необходимо, чтобы фазовая скорость этой волны была далека от средних тепловых скоростей как ионов, так и электронов. Это может быть достигнуто, если Те > Т( (что возможно в бесстолкновительной системе) и V Tj/m/ < i/ph < у/Te/me'. Вклад ионов в величину е' - 1 будет определяться формулой (33.10), в которой вместо электронных характеристик нужно подставить ионные. Вклад электронов в е7 — 1 получается из (33.20) разложением этой формулы в ряд по степеням малого параметра (ы!к)у/ meIT'e. Этот вклад равен
оЛ ш2те Гп w
—L£_ 1 + /у/----------——
кТе/те к2Те 2 к у/ Те/те
(33.23)
Мнимая часть формулы (33.23) является малой, поскольку она пропорциональна малому параметру {ш1к}у/те1Те. Малым является также и второе слагаемое в квадратной скобке, и в дальнейшем мы его учитывать не будем. Таким образом, при yfti/ml < i/ph < у/те!те продольная диэлектрическая проницаемость
е‘(к,ы) = 1 +
^рете кТе
/ к2 Tt 1+3 ш \
•у ы mj
(33.24)
Экспоненциально малым вкладом в мнимую часть функции е1 от ионной компоненты мы пренебрегли по сравнению с мнимой частью функции е‘ электронного происхождения. Из уравнения е\к, ш) = 0 получаем дисперсионное уравнение (в пренебрежении малым затуханием):
1+3*2rL(1+ 1/(*2гЬ(,)1 2
1+1/(*2 rbj Шр'"
(33.25)
При выводе этого уравнения учтено соотношение (33.22).
Дисперсионное уравнение особенно упрощается в случае, когда не только krD. < 1, но и krDe < 1. В этом случае (33.25) переходит в
Щ = кь)р .гd g. (33.26)
Спектр колебаний оказывается линейным по волновому вектору. Поскольку таким же свойством обладает и спектр звуковых возбуждений, то рассматриваемые волны носят название иснно-зеукоеых. Из (33.26) следует, что фазовая скорость ионно-звуковых волн i/ph у/Те/т’. Она определяется температурой электронов, но массой — ионов. Декремент ионно-звуковых волн
/ irme N/
у = шу---------
(33.27)
ВтМ и полностью обусловлен электронами.
При более коротких длинах волн, когда гре < к < гр., дисперсионное уравнение (33.25) принимает вид
w = wPr
Это — ионные колебания, аналогичные рассмотренным ранее колебаниям электронного газа.
33.5. Гидродинамическое описание волн в однородной изотропной плазме. Кроме уже рассмотренного кинетического описания взаимодействия среды с электромагнитным полем, часто используется другой, более грубый метод описания, который привлекателен своей простотой и который в сложных случаях часто используется для первоначального, оценочного рассмотрения задачи. Этот метод (он носит название гидродинамического} заключается в следующем.
В уравнения Максвелла функция распределения непосредственно не входит. В зти уравнения входит плотность наведенного тока (и плотность наведенного заряда), которая выражается через интеграл от функции распределения
/ = fd3p v f(p}
Иначе говоря, в уравнения Максвелла входит только среднее значение скорости частицы среды. В уравнения же механики, определяющие характер реакции среды на поле, скорость v входит непосредственно.
Если предположить, что детали фактического распределения частиц по скоростям мало сказываются на характере реакции среды на внешнее поле, то мы придем к гидродинамическому описанию движения среды, в котором в уравнения движения срады с самого начала входит только средняя скорость. В гидродинамическом приближении свойства среды описываются пятью скалярными величинами: тремя компонентами средней скорости частиц среды v и двумя величинами, описывающими внутреннее состояние среды в каждой точке (как известно из термодинамики, двух величин для этого достаточно). Такими величинами могут быть, например, плотность среды т и давление р, или т и температура Т. Это означает, что в гидродинамическом приближении средняя скорость частиц среды зависит не только от величины приложенного поля, но и от внутреннего состояния вещества. Поэтому, по сравнению с самым грубым возможным приближением, в котором все частицы под действием приложенного поля движутся с одной скоростью, гидродинамическое приближение позволяет получить относительно детальное описание реакции среды на поле.
Сравнивая гидродинамическое приближение с кинетическим, можно сказать, что если гидродинамическое описание обеспечивает детальное описание взаимодействия среды с полем, то кинетическое описание является исчерпывающим.
Сформулируем теперь уравнения, используемые при описании взаимодействия среды с полем в гидродинамическом приближении. Пренебрегая для простоты трением между разными компонентами плазмы, запишем уравнение движения зарядов каждого сорта:
dv е
т---- = -Vp +-----тЕ. (33.28)
dt m
Это уравнение следует дополнить уравнением непрерывности: дт
— + div (tv) = 0. (3X29)
ot
Внутреннее состояние плазмы описывается уравнением состояния. Очень часто в качестве такого уравнения выступает уравнение состояния идеального газа
Р = — Т. (33.30)
m
Будем считать, что распространение волн в среде происходит адиабатически, так что
рт~у = const. (33.31)
Здесь параметр у = 1 + R/cy. Приведенные уравнения содержат неизвестные v, р, Т, т и Е; поэтому совместно с четырьмя записанными выше уравнениями должны решаться уравнения Максвелла, определяющие электрическое поле Е.
Линеаризуем эти уравнения, полагая, что Г = Го + ТР = Ро + Р\ и т = т0 + т 1. Будем считать, что Vo = Ео = 0, так что v и Е — уже величины первого порядка. Поскольку равновесная система предполагается пространственно-однородной, то grad р0 = grad Го = grad т0 = 0. Таким образом, из адиабатического уравнения (33.31) получим, что
Р1=Ро7Г1/то,
а из уравнения непрерывности — что
71 /т0 = (к - v)/u>.
Поэтому pi = у(к v)p0/a>. При вычислении производных имелось в виду, что все величины: Pi, 7"i, 71 — зависят от г и г по закону ехр [7(к • г — а>г)].
Далее вычисляем Vpi. Будем считать, что этот градиент направлен вдоль вектора к, так что
V(Jt • v) = к Vi/ц = ikkvti.
Подставляя полученную величину в (33.28), будем иметь е£±
И. = 7—t . (33.32)
тш
Здесь Иц, Hj_ — соответственно параллельная и перпендикулярная вектору к компоненты вектора v, причем
7е£ц
Hl =-------/ х- (33'33)
/ К 0 \
mw 11-7 -i—- I
\ mw /
Поэтому продольная и поперечная компоненты плотности тока имеют вид
7е27всо£ц 7е27оЕ|
/|| = \ 2 ~ (33-34)
m (тыу к То)
Все эти формулы написаны для одной компоненты плазмы. Но поскольку ток обусловлен всеми ее компонентами, то в (33.34) следует подразумевать суммирование по всем этим компонентам.
Иэ (33.34) получаем выражения для продольной и поперечной проводимостей: • 2 *2
/е т0о> /е То
а.. =-----1----- , Oi-----------" . (33.35)
т(ты2 - укг 70) тгш
329
i
Поскольку 4 717 О е = 1 +-----------,
а> то для диэлектрической проницаемости получаем 4тгл0е2 „ 4лл0<
€|| “ 1 - S ---г-----— , = 1 - S-------2
Л7о> - укТ
(33.36)
здесь л0 = То/m — концентрация, знак суммы означает суммирование по всем компонентам плазмы.
Поперечная диэлектрическая проницаемость в этом случае выглядит так же, как и в случае простейшей модели, в которой все частицы одного
сорта под действием поля движутся с одинаковой скоростью. Для продольной составляющей такого совпадения нет. Этот результат в простейшей модели движения частиц с одинаковой скоростью места не имел, он получается именно в гидродинамической модели (а также, конечно, и в кинетической).
Рассмотрим первой поперечную составляющую диэлектрической проницаемости, как более простую. При со < соРе = V4тглоег/л7ё
Re х/ёР < 0.
Это означает, что волна с такой частотой не может распространяться в среде. При со > соРе в плазме могут распространяться поперечные волны, для которых закон дисперсии, со2 = сор₽ + к2с2, совпадает с тем, что было получено раньше. Вкладом ионов в спектр поперечных колебаний из-за их инерционности можно пренебречь.
При описании продольных колебаний вкладом ионов пренебрегать, вообще говоря, нельзя в связи с наличием второго слагаемого в знаменателе в . Дисперсионное уравнение в этом случае примет вид
, , 4 47глОее2 4тгл0/г2е2
ец(со) = 1-------5------:---- — ------:------:------ 0. (33,37)
Л7СО2 - уек2 ТОе т^2 - у/к2 Toi
Здесь предполагалось, что существуют ионы только одного типа с зарядом Ze. Решение уравнения (33.37) представлено на рис. 33.1. Видно, что решение имеют две ветви — электронную и ионную.
В области высоких частот, когда движением ионов все же можно пренебречь, третье слагаемое вклада в (33.37) не дает и
со2 = со2 +уе— к2. (33.38)
е те
Зависимость частоты от волнового вектора здесь обусловлена давлением электронного газа.
Ионной ветви колебаний соответствуют частоты, при которых электроны адиабатически следуют за ионами. Поэтому квадратом частоты в электронном слагаемом в (33.37) можно пренебречь, после чего дисперсионное уравнение принимает вид
2 k2TOi
U ~ 7/----------+ Уе
mj mill + уек2 ТОе/4яе2пОе)
При малых значениях волнового вектора
уек2ТОе/4ппОее2 = к2уе/к2п < 1,
И
2 2 7|^"о/ "* 7e^^0f
U = к* ---------------- .
*2zrOe
(33.39)
(33.40)
(33.41)
/п,-
Это и есть ионно-звуковые колебания.
При к2уе/кЪе > 1
2 2 л. l.2
U = U7, . + к2 -------,
mt
что соответствует плазменным ионным колебаниям. В этих колебаниях электроны участия не принимают.
§ 34. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
34.1. Система уравнений магнитной гидродинамики. Если в среде имеется постоянное внешнее мегнитное поле, то в такой среде модифицируются уже рассмотренные в предыдущем параграфе колебательные моды и, что особенно существенно, — возникают новые. Изучение этих колебательных мод может проводиться на той же основе, что и в среде без магнитного поля. Новым здесь будет то, что в "силовом" члене кинетического уравнения будет теперь стоять полная сила Лоренца, вместе с ее магнитной частью. Внешнее магнитное поле выделяет в среде некоторое направление, поэтому такая среда является анизотропной.
Вследствие большой сложности задач с магнитным полем для их решения особенно удобно применять сравнительно простой гидродинамический способ описания взаимодействия плазмы с полем. При этом будет достигнуто упрощение (по сравнению с кинетическим) описания взаимодействия среды с полем, и кроме того, оказывается возможным сравнительно просто учесть явления, возникающие в случае, когда под действием поля элементы среды испытывают макроскопические перемещения. Основным гидродинамическим уравнением и здесь будет уравнение Навье — Стокса. Но при наличии магнитного поля наиболее существенным оказывается взаимодействие этого поля с токами среды, которые могут быть большими и в электрически-нейтральной плазме. Поэтому в случае кваэинейтральной и проводящей среды уравнение Навье — Стокса примет вид
Г Эе 1 1
т|—+ (v-V)vl = -gradp + — jXB + Ff. (34.1)
L dt J c
Здесь т — плотность среды, р — давление в среде, Ff — силы трения, обусловленные столкновениями частиц среды, v — гидродинамическая скорость. Среду считаем немагнитной, так что В = И. Плотность среды считается такой, что силой тяжести можно пренебречь. В тех же случаях, когда среда достаточно плотная, к правой части уравнения (34.1) следует добавлять слагаемое rg. Здесь g — ускорение свободного падения.
В систему уравнений гидродинамики кроме (34.1) входит уравнение непрерывности:
от
— + div (tv) = 0. (34.2)
Эг
Эти уравнения должны решаться совместно с уравнениями Максвелла:
1 ЭЯ 4л
rot £ =----------, rot В =----У, div В = 0. (34.3)
с Эг с
(Во втором уравнении Максвелла мы пренебрегаем током смещения, поскольку нас будут интересовать лишь низкочастотные колебательные моды.) Кроме того, нужно еще учесть материальное уревнение
/ 1 \
/ = а(£ + — v X Я). (34.4)
\ с /
1
Комбинация £ + — v X В есть электрическое поле в системе, движущей-с
ся вместе со средой. Именно в такой системе определен обычный закон Ома.
Введем теперь некоторые важные понятия, используемые в магнитной гидродинамике. Прежде всего изучим особенности поведения магнитного поля в жидких проводниках. С помощью уравнения (34.4) выразим £ через У и Я и проводимость о: , 1
£ = о-1/------v X Я.
с
Вычислим ротор от этого соотношения:
rot £ = — rot у------rot(v X В).
о с
с
В последнем соотношении rot / выразим через — rot rot В и получив-4тг
шуюся формулу подставим в левую часть первого уревнения Максвелла. В результате получим уравнение, связывающее напряженность магнитного поля со скоростью перемещения элементов среды:
дВ с2
--- = rot(v X В) +----- ДЯ. (34.5)
Эг 4тго
В случае, если среда неподвижная, это уревнение упрощается и принимает вид
ЭЯ _ эГ ‘ с2 ДЯ. (34.6) 4тго
Поскольку уравнение (34.6) по своей структуре является уравнением типа уравнения диффузии, то сразу можно определить харектерное время "диффузии" магнитного поля:
td = (4тго/с2) L2, (34.7)
где L — характерная длина, на которой существенно изменяется магнитное поле. Другому предельному случаю отвечает движущаяся среда с очень высокой проводимостью. При этом о->°° и уравнение (34.5) переходит в уравнение
ЪВ/bt = rot (»Х й|. (34.8)
Можно видеть, что это уравнение описывает магнитное поле, "вмороженное" в вещество, и поэтому поле перемещается вместе с веществом. Действительно rot (» X Я) = (Я • V) v — (v • V) в — В div v + v divfi. Здесь четвертое слагаемое справа £>авно нулю в силу третьего уравнения Максвелла. Третье слагаемое может быть преобразовано с учетом соотношения непрерывности
/ 1 Эт\ /v \
в div v = fi I---) — й( — Vt|.
\ т Эг ' \т /
Теперь уравнению (34.8) можно придать вид
ЪВ В Эт В
— +-------= (В • V) v — (v • V )В----(v-Vt).
Эг т Эг т
Деля это уравнение на т и группируя в нем члены, получим d /В\ (В \
— { — )=(-. V ) V. (34.9)
dt \ т / \ т /
Сравним это выражение с уравнением, описывающим скорость изменения линейного элемента жидкости. Пусть скорость движения одного конца элемента 5/ есть v ; тогда скорость другого конца есть v + (5/- V) v. Поэтому за время dr элемент изменит свою длину на величину dt(S/V)», так что d
— 5/ = (SZ- V)v. (34.10)
dt
Поскольку структура уравнений (34.9) и (34.10) полностью совпадает, можно сделать заключение о том, что величина В/т в процессе деформации среды оказывается, как говорят, "вмороженной" в вещество.
Перейдем теперь к изучению механической части системы уравнений магнитной гидродинамики. Все силы в правой части уравнения Навье — Стокса делятся на силы электромагнитного (обозначим их через Fem} и силы неэлектромагнитного (Fnem) происхождения
а а о о
Fem— ЕХВ+ — (vXB)Xfi= — EXB- — v.fi2. (34.11) с с с с
Здесь v± - перпендикулярная относительно направления магнитного поля компонента скорости движения среды. Из (34.11) следует, что все электромагнитные силы перпендикулярны по отношению к направлению магнитного поля. Последнее слагаемое в (34.11) направлено против перпендикулярной по отношению к В компоненте скорости перемещения элементов среды и линейно зависит от величины этой компоненты. В этом отношении эта часть силы Fein напоминает силу трения в механике. Поэтому ее принято называть магнитной вязкостью. Сила магнитной вязкости
(34.12)
пропорциональна квадрату вектора В, что существенно сказывается на Динамике хорошо проводящих сред.
В Fem можно выделить еще одно важное слагаемое. Электромагнитную 1
силу — jXB с помощью второго уравнения Максвелла можно записать а с
виде 1
Fem =-------В X rot В.
С помощью тождества ’A grade2 = В X rotB + (В grad) В эту силу представим в виде 1
Feni = -grad (52/&г)+ — (В grad)В. (34.13)
4тт
Первое слагаемое в правой части (34.13) может быть объединено со слагаемым -grad р в уравнении (34.1). Это означает, что магнитное поле создает некоторое давление
Рт = В1 /8я, (34.14)
которое называют магнитным давлением и которое, наряду с обычным гидростатическим давлением, может быть причиной течения проводящей жидкости или проводящего газе.
34.2. Магнитогидродинамические волны. Магнитное поле в среде может приводить к появлению новых колебательных мод электромагнитного поля. Рассмотрим простейшую свободную деформируемую среду - идеально проводящую жидкость с нулевой вязкостью. Ее движение описывается уравнениями гидродинамики
Эт Г Э» т 1
— + div ту = 0, т —+ (v • V)v| = - grad р------ВХ rot В, (34.15)
Эг L
вместе с уравнениями поля. Будем описывать поле уравнением (34.5), в котором а-*°°, так что
ЭЯ/Эг = rot(vX2J). (34.16)
К этим уравнениям следует еще прибавить уравнение состояния среды, связывающее давление в среде с ее плотностью. При колебательных процессах в жидкостях давление р обычно бывает связано с плотностью т соотношением
р = $^т, (34.17)
где з - скорость звука в среде. Предположим, что и в нашем случае можно пользоваться уравнением состояния (34.17). Будем искать колебательные решения системы (34.15) - (34.17). Поскольку при линейных колебаниях отклонения системы от положения равновесия обычно малы, проведем линеаризацию >:ашей системы уравнений. Кеждую величину представим в виде суммы ее равновесного значения (обозначая его индексом 0) и слагаемого, описывающего отклонение от положения равновесия (со штрихом):
т = т0+т', В=В0 + В', р=р0+р'.
Поскольку предполагается, что v0 = 0, то v = v'. Поле Во будем считать однородным и постоянным. После линеаризации уравнений (34.15)-(34.17) система уравнений магнитной гидродинамики примет вид
Эт' Эу ,1 ,
— + т0 div v = 0, То — = -grad р---------Во X rot В,
Эг Эг 4я
а» , , , |34’8’
— = rot vX Во, gradp = j2gradT.
Эг
Из этой системы можно получить уравнение, содержащее только скорость и комбинацию £ о и т0:
Э2 v ,
—_ _ si graddiv v + vA X rot rot (v X vA ) = 0. (34.19)
dt
Величина v4 = Bo (4;tt0) "l/2, имеющая размерность скорости, называется альвеновской скоростью, Нзй am волновое решение уравнения (34.19):
v = va ехр (Л-r-iwt), (34.20)
где »а — амплитуда колебаний скорости.
После подстановки (34.20) в (34.19) получаем
-ш2 v + (s2 + v\ ) к (к v) + (к • ) [»(Л • чА) - k(v чА ) - vл [к - v)] =0.
(34.21)
Если волна распространяется перпендикулярно магнитному полю и к vA - 0, то уравнение (34.21) упрощается и принимает вид
vw2 = (s2 + vA)k (к • v),
следовательно, направления векторов v и к должны совпадать. Поэтому скорость v выпадает и уравнение принимает вид дисперсионного уравнения для волн, распространяющихся перпендикулярно магнитному полю:
с? = (s2 + )к2. (34.22)
Как видно из дисперсионного уравнения, полученное решение описывает модифицированные за счет присутствия магнитного поля продольные звуковые волны в том смысле, что при Но ->0 они переходят в обычные звуковые волны.
Если волна распространяется вдоль магнитного поля и к У уА, то уравнение (34.21) принимает вид
(к2у2л - ш2) v+(s2/v2a -1)Хг2»л(»- ча |=0. (34.23)
Здесь возможны два случая. Во-первых, возможно, что *У*Л. При этом уравнение (34.23) принимает вид
w=s*. (34.24)
Это - обычная звуковая волна. Во-вторых, возможен случай, когда v • vA = - 0. Тогда уравнение (34.23) превращается в простое соотношение
ш = ил/с. (34.25)
Эта волна тоже, как и звуковая, имеет линейную дисперсию. Но она является совершенно новой волной, поскольку в пределе при Во -> 0 фазовая скорость vph = vA, а с нею и частота шэтой волны обращается в нуль. Такая волна с фазовой скоростью
•'ph = VA = B0A/4nto (34.26)
называется альвеновской. Альвеновская волна является примером того, что магнитное поле приводит к появлению новых колебательных мод.
Следует, наконец, заметить, что действие магнитного поля не сводится только к появлению альвеновской волны. Число колебательных мод в среде в магнитном поле огромно, и не все они в достаточной степени изучены.
§ 35. ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ЧЕРЕЗ ГИРОТРОЛНЫЕ СРЕДЫ
Если среда прозрачна, то это означает, что тензор диэлектрической проницаемости среды эрмитов:
еар = ера (35.1)
Эрмитов тензор может иметь не только действительную, но и мнимую часть, причем из (35.1) следует, что
t _ f. II _ ft /ОЕ
еар ~ eap ~ ~e0a- IJO.2)
Такими же свойствами обладает и обратный тензор е^р = (ej^)' + Це~ар}". Таким образом, как у тензора еар, так и у тензора имеется антисимметричная часть. Антисимметричный тензор второго ранга имеет только три независимых компоненты и, как объяснено в Дополнении I, эквивалентен аксиальному вектору. Вектор, эквивалентный тензору е^, обозначим символом;, а тензору (ейр)" — символом G. Вектор G и тензор (е'^)" связаны между собой совершенно антисимметричным единичным тензором третьего ранга еару. обладающим тем свойством, что все его компоненты равны 1 или —1, если а Ф 0 =# у, и равны нулю при совпадении хотя бы двух тензорных индексов:
(^ар) = ^apyGy. (35.3)
Поэтому связь между напряженностью электрического поля и вектором электрической индукции D может быть записана в виде
Ftt = Gap Dp = (^ag^ Dp + ieapyGyDp. (35.4)
В Дополнении I показано, что с помощью тензора еа(37 векторное произведение двух векторов можно представить в виде
eaffyGyDg = —SypaGyDp = |Z)XG)a- (35.5)
Объединяя (35.4) и (35.5), получим
Fa = (е^)'О(З + HDXG}a. (35.6)
Совершенно аналогичным образом можно получить:
Da = eip Е0 + ЦЕ X g}a. (35.7)
Среды, в которых связь между D и Е имеет вид (35.6) или (35.7), называются гиротропными. Связанный с антисимметричной частью тензора еар вектор g называется вектором гирации. Вектор G может быть выражен через вектор g. Поскольку вектор g определяется свойствами среды, то это означает, что гиротропная среда одновременно является и анизотропной.
Гиротропная среда оказывает существенное воздействие на характер поляризации распространяющихся в ней электромагнитных волн. Поляризация волн в анизотропной среде определяется уравнением (29.8), которому можно придать вид
1
7
t>ap — еаР ) Dp -
5a0 — (ea0 ) — ' (ea0* ) Dp =0.
(35.8)
Индексы а и 0 здесь пробегают два значения. Выбрав оси, соответствующие индексам а и 3, направленными вдоль главных осей двумерного тензора (^а/з) и обозначая главные значения этого тензора через 1/г»о i и 1/л022, мы
можем уравнению (35.8) придать вид
/ 1 1 \ / 1 1 \
__ - — D, + /G3D2 =0, —/63О,+(—---------?|D2=0;
\ПО1 п / \ПО2 Л /
(35.9)
здесь ось 1 соответствует величине 1/nJ,, а ось 2 — величине 1/nJ2- Эта система уравнений совместна, если
/ 1 1 \ / 1 1 \
— - — I — = 623 . (35.10)
\ ГГ По1/ \ 1Г п101 /
Решая это уравнение относительно л2, получаем два решения (чему соответствуют два возможных значения знака перед прямой скобкой)
(35.11)
Подставляя эти два корня уравнения (35.10) в уравнение (35.9), найдем.
что этим корням соответствует отношение
£i = _L 141.
G3 | 2 \ nJ,
1 V
-j-) + G3
Л02 /
1/2
(35.12)
Отношение — величина мнимая. Это означает, что обе волны поляризованы эллиптически и главные оси эллипсов совпадают с главными осями двумерного тензора (6^)’, причем отношение осей двух эллипсов одинаково, но соответствующие оси повернуты на я/2. Направления вращения вектора Dy этих двух волн противоположны.
Наиболее ярким примером гиротропной среды является прозрачная изотропная среда, помещенная в постоянное однородное магнитное поле. В этом случае связь между DnE имеет вид
£=e’1D+/DXG, (35.13)
причем аксиальный вектор G может быть, естественно, направлен только вдоль вектора напряженности Н внешнего магнитного поля. В слабых полях векторы; и Я связаны линейной связью:
g = fH. (35.14)
здесь f — скалярный коэффициент пропорциональности. В изотропной среде л01 = п0 2 = где е — диэлектрическая проницаемость среды без внешнего магнитного поля. Уравнения (35.10), (35.11) принимают теперь вид
1/п2 = 1/е G3, л| = е + д.. (35.15)
Подставляя эти решения в уравнения (35.9), получаем, что
О, = + /О2. (35.16)
Абсолютные значения векторов В, и D2 равны, но эти векторы сдвинуты по фазе друг относительно друга на + я/2. Это означает, что одна волна имеет правую круговую поляризацию, а другая — левую. Показатели преломления этих двух волн различные, поэтому они будут иметь и разные волно-вые векторы:
со
*± = — nt. с
22. М.М. Бредов
337
Следовательно, если на поверхность среды падает в направлении магнитного поля плоско-поляризованная волна, то на выходе из среды направление поляризации волны на будет совпадать с направлением поляризации волны на входе. Легко видеть, что на выходе
— =tg(/--(35.17) \ 2с у е /
где / — длина пути, пройденного волной в среде. Величина /О| — вещественная; это соответствует тому, что линейная поляризация волны сохранилась, но плоскость поляризации по сравнению с плоскостью поляризации на входе оказывается повернутой на угол
сод
Величина cofl2c\J~e называется постоянной Верде, а сам эффект вращения плоскости поляризации — эффектом Фарадея. Постоянная Верде зависит от частоты. Если атомы среды рассматривать как гармонические осцилляторы, собственная частота которых равна соц, то частотная зависимость постоянной Верде будет иметь вид
со2/(со2 - о>о)2-
Магнитное поле, если оно достаточно сильное, может сделать прозрачной и непрозрачную среду. В качестве примера рассмотрим металлы. В § 28, ч. II было показано, что металлы непрозрачны для электромагнитного излучения, частота которого меньше сор. Наложение на металл магнитного поля может существенно изменить положение. Считая электроны в металле свободными, уравнение движения для электронов можно записать в виде
е
mr = еЕ +—»ХЯ0; (35.18)
с
здесь Е — электрическое поле электромагнитной волны, Но — постоянное и однородное магнитное поле *). Будем считать, что волновой вектор А поля параллелен вектору Но. Проектируя тогда уравнение движения на оси координат, перпендикулярные вектору к, получим два скалярных уравнения: е е
тх\ = е£1 + — х2Н0 и т’х2 = еЕ2---------*\НР. (35.19)
с с
Как и при описании эффекта Фарадея, оси, перпендикулярные вектору к, обозначены индексами 1 и 2. Умножая второе из уравнений (35.19) на И и складывая его с первым получим уже не систему, а два отдельных уравнения, каждое из которых определяет одну из двух величин х± = = Xj ±/х2, причем неоднородности в этих уравнениях будут иметь вид еЕ ± =е(£| ИЕ2). Решая эти уравнения, находим плотность тока, создаваемого каждой из циркулярно-поляризованных волн Etl и затем — соответствующую диэлектрическую проницаемость:
СО2
б± = 1---------Р---, (35.20)
со (со + со,.)
где со,. = еН0/тс — циклотронная частота. Из (35.20) видно, что при со<сор одной из циркулярно-поляризованных волн отвечает значение е_ < 0.
Магнитными свойствами металла мы здесь пренебрегаем, так что Ни =В°.
Соответствующий показатель преломления л_ является чисто мнимым и низкочастотная волна с такой поляризацией распространяться в металлах не может. Зато волна с другой циркулярной поляризацией может распространяться в металлах, деже если со < при условии, что со<юс. При этом G >1 и показатель преломления — величина действительная.
При этих рассуждениях мы не принимали во внимание пространственную дисперсию и процесс столкновения электронов. Столкновения электронов и бесстолкновительное затухание колебаний типа затухания Ландау (имеющее место при выполнении условия со =к • ч) могли бы привести к быстрому затуханию низкочастотной волны в металле. Однако если Гц < I (где гц = vu>c1 и / - длина свободного пробега электронов), - ш > v и
кгн<У, то такая низкочастотная волна оказывается слабозатухающей. Это связано с тем, что при этих условиях столкновения малосущественны, а бесстолкновительное затухание будет сильно подавлено, так как магнитное поле, искривляя траекторию электронов, будет препятствовать продолжительному нахождению электронов металла в фазе с волной. Незатухающие низкочастотные колебания, обусловленные существованием магнитного поля в среде, носят название геликоидальных (или спиральных) электромагнитных волн.
§ 36. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЖЕСТКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
В КРИСТАЛЛАХ
36.1. Фундаментальные уравнения теории дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. При частотах выше тех, которые соответствуют ультрафиолетовому излучению, длина волны излучения становится сравнимой или может быть меньше расстояния а между атомами в среде, даже в таких плотных средах, как твердое тело. При этом возникают новые физические явления, важнейшее среди которых — дифракция жесткого излучения в кристаллах.
При исследовании распространения жесткого излучения в кристаллах следует уточнить определение микроскопических величин и, в первую очередь, — определение диэлектрической проницаемости. В случае когда ХА<1, теряет смысл усреднение уравнений Максвелла по физически малому объему, т.е. по объему, который содержит еще много атомов, но характерные размеры которого уже много меньше длины волны X. Поэтому при описании взаимодействия жесткого излучения с веществом усреднение микроскопических уравнений Максвелла по физически малому объему не проводится, но проводится их усреднение по ансамблю.
Такое усреднение фактически выполнялось и раньше. Мы его проводили, например, когда при вычислении диэлектрической проницаемости заменяли точное микроскопическое значение плотности тока / в уравнениях Максвелла на его среднее статистическое значение, причем соответствующую Функцию распределения находили из решения кинетического уравнения. Такое статистическое усреднение возможно и при Х/а^ 1, но переход от (3.1) к (4.1) при этом невозможен, так как ядро интегральной связи между В и Е теперь будет зависеть не от разности координат г и г', а от каждой из них в отдельности. Это связано с тем, что атомы в кристалле занимают определенные положения в пространстве, и необходимо учитывать пространственную неоднородность среды на расстояниях а^Х. Зависимость же ядра от г и г' по-прежнему будет разностной. Таким образом, связь между В и Е при высоких частотах имеет вид
Da(r, со) = fdV' ea{j(r, г', ш)Е^(г', со). (36.1)
Проводя преобразование Фурье от переменной г к переменной к, будем иметь
Оа(Л, w) = fdVfdV' ехр(-Л- r)ea0<r, г , w) Е0<г , ш) =
1 , ,
= ------ fd3k еав[к, к', ы)Ев(-к', ш). (36.2)
(2яГ
Таким образом, при высоких частотах связь между фурье-образами вектора электрической индукции и вектора напряженности электрического поля стала интегральной в пространстве волновых векторов. В случае периодических структур, к которым, в первую очередь, относятся кристаллы, формула (36.2) может быть детализирована.
Основное свойство кристалла, которое необходимо учесть при определении диэлектрической проницаемости, заключается в том, что ядро интегрального оператора в (36.1) обладает трансляционной симметрией:
eajj(r, г, w)= ea(J(r + fl, г'+д, ш). (36.3)
Здесь а — постоянная кристаллической решетки или кратная ей величина. Чтобы математически учесть это обстоятельство, вместо г и г' в (36.3) введем две новые переменные: rt и г2. Определим их так, чтобы г(= г — г и г2 =г. Выражая старые координаты через новые, получим: г - Г| + г2 и г'=г2. Трансляционная инвариантность (36.3) не затрагивает переменной г1( по отношению же к переменной г2 ядро ett^(ri, г2, ш) является периодической функцией с периодом а. Имея это в виду, ядро e„0(ri, r2, ш) можно разложить в ряд Фурье по векторам обратной решетки*':
еа0(г, г', w) = еа(3 (г, ,r2, w) = S бай(г|(£, ш)ехр(-/£-г2) = g
= S ea0lr -г', g, w)exp(-/g- г') - (36.4)
g
Суммирование здесь производится по всем векторам g обратной решетки. Из (36.4) следует, что
еа/3(А, к', ш) =
= JdV'dVexp [-ilk • г + к г')] S еа0 (г - r’.g, w)exp(-/g- г'} = g
= (2я)3 Sеа0(к, g, ы)(>(к+к' +$), (36.5)
g
*) Система векторов g обратной решетки определяется соотношением expdg• а) = 1. Здесь а — система векторов, с помощью которых может быть построена вся кристаллическая решетка и которые кратны трем основным векторем : а,, а2, а3. Из определения системы векторов g следует, что трем основным векторам а,, о2, а3 кристаллической решетки будут соответствоветь три основных вектора gt, gf g)' с помощью которых может быть построена вся обратная решетка и которые могут быть определены следующим образом:
а2 X а, а3 X а, а, X а2
gt = 2я------ , g2 = 2я ---------, g, “2я--------- ,
Vc Vc
где Vc =at(a2 X а3) —объем элементарной ячейки кристаллической решетки. В случае простой кубической решетки обратная решетка тоже является простой кубической решеткой с постоянной, равной 2я/а. Если, например, кристаллическая решетка является объемно-центрированной кубической, с постоянной а, то обратная решетка есть гранецентрированная кубическая, с постоянной 4я/а, и наоборот.
где фигурирующая в (36.5) величина
еа/з1к, g, ы) = fdVt ea0(rt,g, cj)exp(-Zfc-zj. (36.6)
Если в (36.5) отбросить все слагаемые с g&0, то
еаР\к, к', о>) = (2я)3еа^(Л, 0, о>)3(Л + Ас').
Подставляя это в (36.2), получаем, что
Da(k, ы) = еаР{к, 0, ы)Ер(к, w).
Этот естественный результат соответствует тому, что пренебрежению всеми g, кроме нулевого, отвечает переход к полностью пространственнооднородной среде. В случае же кристалла
Da[k, w)= fd3k Zeatl{k, g,cj}b(k + k' + g)Ep(-k’, w) = g
= %€аР1к. g, w)Ep(k+g, co). (36.7)
g
Эта формула является частным случаем формулы (36.2); она справедлива в правильной дискретно-неоднородной среде. Связь между D и Е в прост ранстве волновых векторов нелокальна, эта нелокальность имеет специфический характер и отражает факт пространственной периодичности кристалла.
Подставляя (36.7) в (28.4), получим уравнение . со \ 2
кгЕа - какрЕр = —I 2еО1(3(Л, g, w)£^(*+g, со), (36.8)
\ с ' g
из которого могут быть найдены связь между со и Л излучения в кристал ле, соотношения между компонентами Е с разными аргументами и, таким образом, дифракционное электромагнитное поле. Уравнение (36.8) можно переписать в виде
— ) к28а1}-[—) какр - еаР[к, 0, со) ш / \ со /
Ер1к, со) -
- S еаР{к, g, a>)Ea(k + g, со) = 0. (36.9)
г*о
Выражение (36.9) является системой уравнений для амплитуд жесткого электромагнитного излучения в кристалле: эти уравнения — фундаментальные уравнения теории дифракции электромагнитного поля в кристалле. Из (36.8) следует, что кроме поля с волновым вектором к, которое соответствует падающему излучению, в кристалле появляются волны и с волновыми векторами, отличающимися от к на полное число векторов обратной решетки. Интенсивность этих волн зависит не только от интенсивности, но и от направления вектора к падающей волны. Это легко видеть, если волновой вектор к' одной из таких волн представить в виде
k'=k+g. (36.10)
Формула (36.10) носит название уравнения Лауз. Возводя обе части этого Уравнения в квадрат и имея в виду, что в заметной степени интерферируют волны только одной длины, так что к2 = к'2, получаем
kg~-'/ig2. (36.11)
Отсюда следует, что при заданном векторе g вектор к должен иметь определенное значение. В тех случаях, когда вектор к не удовлетворяет
условию (36.11), волны с волновыми векторами k+g имеют пренебрежимо малую интенсивность. Отсюда же следует, что вполне возможна ситуация, когда при данном к в кристалле возникает только небольшое число волн с волновыми векторами k+g, например две или три. Последние волны принято называть сильными волнами или рефлексами.
Если рефлексам отвечают векторы g, параллельные границе раздела кристалл — вакуум, на которую падает излучение, то говорят о дифракции Лауз. Другой предельный случай соответствует векторам#, перпендикулярным границе раздела. Это - случай дифракции Брэгга.
Уравнение Лауз часто записывается в несколько иной форме. Обозначая угол между векторами к и к' буквой 0, из (36.10) получаем
д = .2* sin (0/2). (36.12)
Такая форма записи уравнения Лауз носит название уравнения Брэгга-Вульфа.
36.2. Кинематическое и динамическое приближения в теории дифракции рентгеновских лучей. Рассмотрим для простоты дифракцию рентгеновских лучей в кубической решетке. В такой решетке тензоры второго ранга сводятся к скалярам, так что в уравнении (36.9) (Л, 0, ш) и c^ik, g. w)
можно опустить тензорные значки. Если еще ограничиться одним сильным рефлексом, то система фундаментальных уравнений примет вид
Й) Е(к) - е(к, #) Е(к + #) = 0, £(к + g}E(k +g\-e(k. -g}E(k\ = 0.
Здесь
(36.13)
(36.14)
Приближение, в котором фигурирует падающая волна и один рефлекс, принято называть двухволновым. В этом приближении имеется только один существенный для задачи вектор обратной решетки. Если полностью пренебречь явлением дифракции, то (36.13) примет вид
. Щ)ЕШ = 0.
Дифракционные рефлексы могут быть сильными (это означает, что интенсивность каждого рефлекса сравнима с интенсивностью падающей волны) и слабыми. В последнем случае система уравнений (36.13) может быть решена следующим образом. Из уравнений (36.13) исключаем поле Е(к +#). Получившееся уравнение для Е(к] будет иметь вид
£(А)£(А) - Г' (k+g)e(k, -g. uj)e(k, g. сэ)Е(к) = 0. (36.15)
Слабость рефлекса означает малость второго слагаемого в этом уравнении. Примем, что Е(к) =£(0)(А) + E(i \к), где — поправка первого по'
рядка, обусловленная существованием дифракции. Е^(к) удовлетворяет уравнению ^(A)F^°^(A) = 0. Следовательно,
£(1)(Л) = Г1 (Л +#)е(Л, -#, ш)е(Л,#, ш)£<0)(А).
Используя теперь первое из уравнений (36.13), получаем, что
£(*+#)= —— --------i(*)£<1>((t) =
e(k,g, u>)
= --------- Uk)rl{k + g)e(k,-g,a))e(k,g, w)f<°)(*). (36.16)
e(k,g, w)
Эта формула выражает амплитуду поля, обусловливающего рефлекс, через амплитуду падающего поля. Такое приближение, в котором амплитуда Е{к + g) считается малой по сравнению с Е(к), называется кинематическим приближением.
Если рефлекс является сильным, то интенсивности волн с волновыми векторами к и к + g могут быть сравнимы по порядку величины, а амплитуда Е(к} уже не обязательно по величине близка к амплитуде падающего поля. Система уравнений (36.13) совместна, если обращается в нуль детерминант, составленный из коэффициентов перед неизвестными величинами Е(к) и Е(к + g). Полученное таким образом уравнение есть дисперсионное уравнение, связывающее со с к. Основное слагаемое в £ квадратично по к, поэтому дисперсионное уравнение квадратично по отношению к2. Следовательно, одной частоте соответствуют два разных значения к2, так что решение (36.13) можно представить в виде
E = Ai {E(kt)exp[Hkir - cot)] + Е{кt + g) ехрЩк, +g)r - wt]} +
+ A2 (E(k2 )exp[/(k2r - cot)] +E(k2 +g)exp[/(fc2 + g)r-wt]} . (36.17)
Амплитуды Elk)), E[kt + g), E(k2), E(k2 + g2) получаются после подстановки в (36.13) корней дисперсионного уравнения, которые были обозначены символами к\ и к2. Коэффициенты А1 и А2 находятся из условия сшивания на поверхности кристалла решения (36.17) с падающей из вакуума волной. Таким образом, падающая из вакуума на кристалл волна в среде возбуждает (в двухволновом приближении) четыре плоские волны с различными волновыми векторами. Теория, в которой система (36.13) решается без предположения о малости амплитуд рефлексных волн, называется динамической теорией дифракции.
Величины ев уравнениях (36.13) являются, вообще говоря, комплексными величинами. Это означает, что к{ и к2 — также комплексные. Мнимая часть у к\ или к2 описывает затухание рентгеновского излучения в кристалле, причем Im к^ Ф Im к2, поэтому разные волны в (36.17) затухают по-разному.
Аномально малое затухание некоторых волн носит название эффекта Бормана. Основной вклад в е в рентгеновской области частот вносит поляризация электронов, а в случае у-излучения заметным становится поляризация ядер вблизи мёссбауэровских переходов.
36.3. Сечение дифракционного рассеяния рентгеновских лучей на кристаллах конечного объема. Кинематическая теория дифракции применяется в первую очередь при описании рассеяния рентгеновских волн на кристаллах сравнительно небольшого объема. Что именно нужно понимать под сравнительно небольшим объемом, мы уточним в конце этого раздела. При дифракционном рассеянии рентгеновских лучей на небольших кристаллах основной интерес представляет нахождение поля не внутри кристалла, как в случае динамической дифракции в толстых кристаллах, а поля в пустоте, вне кристалла, причем на большом расстоянии от него. В этом случае постановка дифракционной задачи напоминает обычную задачу о рассеянии электромагнитных волн на малых объектах, когда рассеяние удобно описывать с помощью понятия эффективного сечения рассеяния.
Поле вне кристалла можно найти, сшивая полученное в п. 36.2 выражение для вектора Е внутри кристалла с соответствующими решениями в Вакууме, на входе волны в кристалл и на выходе ее из кристалла. Практически, однако, удобнее написать уравнение для поля, содержащее вектор А так чтобы одно и то же уравнение описывало поле как в кристалле, так и в вакууме.
Из первых двух уравнений Мексвелла w 4я w
rot E-i — В и rot В ---------j — i----Е
с с с
получаем
(ы \2 4яе2л(г)
----) Е---------— Е, с / тс2
где п(г) — локальная плотность электронов в кристелле (ядра можно не учитывать вследствие их большой массы). Введем обозначение 4лп(г)е2
/ ы
— ДЕ + grad div Е = I — \ с
Тогда уравнение для поля примет вид
2
Z>, (36.18)
4тгле2
где Щг, ы) = е (г, w) Е (г, ы). Таким образом, Е = D +------- Е. Под-
ты
ставим последнее соотношение в левую часть формулы (36.18), после чего она примет вид
4тгле2 / ш \2
— AZ) + grad div D + rot rot -- E = I---) D.
ты \ с I
Слагаемые, содержащие D, сгруппируем в левой части уравнения и учтем, что d iv D = 0. После этого будем иметь
/ ы \2 4тге2
Д£) + (-I D --------- rot rot [л (г)£1. (36.19)
\ с / ты
На частотах, характерных для рентгеновского излучения, значение е (г) уже настолько близко к единице, что величину 4тгле2/ты2 можно считать малым параметром. Поэтому в правой части (36.19) вместо точного зна чения вектора Е можно оставить напряженность поля только падающей волны. Это можно сделать вследствие кинематического характера дифракции, при которой вклад в Е, обусловленный дифракцией, много меньше поля падающей волны. В соответствии с этим правую часть уравнения (36.18) можно считать известной величиной.
Решая уравнение (36.19) с такой правой честью, можно найти поле Е волны, рассеянной в результате дифракции вне кристалла и на большом расстоянии от него. Такого рода волновые уравнения с заданной правой частью уже рассматривались в первой части книги, где было показано, что решение уравнения типа (36.19) можно записать в виде
4яе2 D , , , , , ,
D (г) =------- f Gk(r,r )rot rot [л (г )Е(г )] d3r ,
ты2
причем функция Грина волнового уравнения (см. (32.20), ч. I)
G'T (r,p)= ---------—- expO'A: \r-r I).
4тг1г-г I
Здесь к’ = ы/с. . Следовательно, в вакууме на большом расстоянии от кристалла напряженность электрического поля волны, рассеянной в результате
дифракции, равна е2ехр (/*'/-)
£(Г; -------------[fc X [i X £0] ] $d3rn(r )ехр{/(к - к )г ). (36.20)
тшг
Здесь начало координат выбрано внутри кристалла; £0 - амплитуда падающего поля, к' — волновой вектор рассеянной в результате дифракционного процесса волны. Модуль этого вектора к’ = к, т.е. предполагается, что дифракция не сопровождается изменением частоты рассеянного излучения. Показатель экспоненты в функции Грина при переходе к (36.20) разлагается в ряд по степеням малой величины г '/г так, как это делалось в ч. I при описании дипольного, квадрупольного и магнетодипольного излучения.
Модуль вектора Пойнтинга рассеянной волны с / е2 \2 El
1 = — I ------— sin20lfd3r'n (г')ехр[/(Л —к'} • г] 12,
4тг \ты / г1
поэтому дифференциальное эффективное сечение рассеяния в элемент телесного угла d£l' равно
yr2d£L’ / &2 \2
da= ; I г . i =(--------г) sin201/of3/-'/? (г')ехр [Г(Лг-*')/•'] 12сШ'.
(с/4тг) I Ео I \ тс /
(36.21)
Здесь 0 — угол между векторами £0 и к' . Величина е2/тс2 есть классический радиус электрона. Очевидно определенное сходство этой формулы с формулой Томсона (см. § 40, ч. I) для дифференциального сечения рассеяния электромагнитных волн на свободном точечном заряде. При выводе (36.21) падающее рентгеновское излучение считалось линейно-поляризованным. В случае рассеяния неполяризованного излучения следует, как и при томсоновском рассеянии, множитель sin2# в (36.21) заменить на ’/, (1 + cos2 77 ), где О = к, к' .
В случае правильного кристалла электронную плотность л (г) можно резложить в ряд по векторам обратной решетки, аналогично тому, как мы это делали в п. 36.1 с величиной еа(3 (г, г ', со). Подставляя резложение л (г) = S л (g) ехр (7# г) g в (36.21), получеем 1 7 е2 do = — |---------
2 \ тс2
Педающее излучение здесь и делее считается неполяризованным. Из (ЗС.22) сразу видно, что в тех случеях, когда к — к' } g = 0, т.е. когда выполняется условие (36.10), в сечении появляются резонансы. Это и есть дифракционные рефлексы. Если бы кристалл был бесконечным, то и do обращалось бы в бесконечность. При всех остальных значениях к и к' сечение рассеяния очень близко к нулю. Таким образом, дифрагирующее на правильном кристалле излучение образует систему рефлексов, причем по мере удаления от каждого рефлекса интенсивность рассеянного излучения очень быстро падает, а интерференция излучения, связанная с различными рефлексами, ничтожна. Поэтому элемент телесного угла всегда можно выбрать так, что внутри него окажется только один рефлекс или даже часть его. Имея
2
(1 + cos2£>)I2 л(^)/ехр[-/(Л -k’+g) • r']d3r'\2dSl'.
g (36.22)
это в виду, формулу (36.22) будем записывать в виде
1 / е2 V
dog = — I-------—) (1 + cos2i?)lп(g)l 2| Jexp[/(Jt-Jt' + ;) r'J d3r\2dnL
2 \mc2 / s
(36.23) для каждого отдельного рефлекса, связанного с данным вектором; обратной решетки.
В случае бесконечного кристалла интеграл по объему в (36.23) сводится к S-функции вида (2тт) 38 (к — к' +;). Это означает, что электромагнитное поле, создающее рефлексы, сконцентрировано в чрезвычайно узких телесных углах и имеет в этих областях пространства очень высокую напряженность, которая больше напряженности падающего поля. Следовательно, в рамках кинематического подхода можно рассматривать дифракцию на кристаллах только конечного объема. В этом случае
f ехр[/(Л-к' +;) r]d3r = Уб*-*-*, (36.24)
и (36.23) принимает вид
1 / е2 \2
da.^—- --------- J (1 + cos2 tf)ln(^) I2 и2</£2^. (36.25)
* 2 \тс2 /
Сечение рассеяния, относящееся к центру рефлекса, или, как говорят, в точном отражающем положении, оказалось, таким образом, пропорциональным квадрату объема V кристалла. Пропорциональность эта является признаком когерентности процесса рассеяния волны на всех атомах, из которых состоит кристалл, при котором происходит сложение амплитуд, а не сечений рассеяния на отдельных атомах.
При отклонении от точного отражающего положения интенсивность рассеяния падает, а зависимость сечения от объема кристалла оказывается промежуточной между У2иУ. При фиксированном направлении вектора к падающей волны вектор к' рассеянной волны, соответствующий точному отражающему положению, обозначим символом k's. Согласно уравнению Лауэ, Jtj = к + g. Отклонение вектора к' от точного отражающего положения обозначим через Дк' - к' — k's. Напишем выражение для элемента телесного угла dn' = sin xdx da , в котором полярный угоп х отсчитывается от направления k's точного отражающего положения. Поскольку модуль вектора к' не зависит от его направления, имеет место формула
Дк'/2к' = sin х'/2 = V(1 -cos х') /2. (36.26)
Дифференцирование этой формулы дает
ДАг'<У(ДАг')/Аг'а = sin xdx.
Следовательно,
, , , , da' , , 1
dn = sin xdxda--------- bk’d(Ak’) = — d(Ak'x)d(A.k’ ). (36.27)
к2 к
Оси х и / лежат в плоскости, перпендикулярной направлению k's. Используя эти обозначения, (36.23) записываем в виде
1 / е2 \2
dog дк' =— I—(1 + cos2i?) In(g)| 2|/с(3г'ехр(-/Д*'• г') I2 X
2 \тс2 J
X —~d(Ak'x)d[Ak'y). (36.28)
к2
Интеграл по объему в (36.28)
/</3г'ехр(-/ДЛ' г') = $ dz'dx'dy'e.x.p[-i[&k{ х' + Дк’уу’)], так как Дк'. < Дк'х, Дк’у. Следовательно, этот интеграл упрощается:
J</Vexp(—iSk' г' ) = Jdx’dy'L2 (х', у'}ехр [—7(ДЛ'{ х' + Дк'у - у')].
(36.29) Величина L. (х', у ) есть линейный вектор кристалла вдоль z, направленный no/tf. Формула (36.28) с учетом (36.29) дает изменение сечения диф ракционного рассеяния в окрестности точного отражающего положения.
Формулу (36.28) можно проинтегрировать по всей окрестности направления ку. Для этого следует использовать соотношение типа того, которое было получено в ч. I при нахождении спектральной плотности дипольного излучения и которое в нашем случае принимает вид
2
d {Дк x}d {Дк у} (2тт)2
f dx'dy'Lz {х', у')ехр[-/(Д^х' +
= $ dx'dу'L* lz{x’, у').
(36 30)
С учетом последнего соотношения получим
2я2 / е2 V > , , , , ,
/ dog = ---— I---— 1(1+ cos2#) In (#) fdx dy Lj (x , у ). (36.31)
к2 \mtr )
Значение интеграла в этой формуле порядка £4, так что сечение (36.31) пропорционально 1/4/3. Характер зависимости / dag от объема указывает на заметный вклад в это сечение процессов, которые, можно считать когерентными только приближенно.
В заключение определим, какой кристалл можно считать достаточно малым, чтобы дифракцию на нем можно было описывать в рамках кинематической теории. Дифракция будет кинематической, если /</(£</.2, откуда получаем
1 I ег \
— ( ----- Jln(g) l£2 <1.
к \ тс /
36.4. Температурные эффекты при дифракции рентгеновских лучей. Тепловые колебания атомов решетки кристалла приводят к нарушению правильной периодичности локальной электронной плотности Это, в свою очередь, приводит к двум основным эффектам.
Во-первых, с ростом температуры уменьшается интенсивность рассеяния жесткого электромагнитного излучения в точном отражающем положении., и в связи с этим имеет место резкое уменьшение интенсивности рефлексов, которым соответствуют очень большие значения g,
Во-вторых, появляется заметное рассеяние излучения в направлениях, далеких от рефлексов, что приводит к появлению диффузного рассеянного фона. Диффузное рассеяние связано с некогерентным (и, следовательно, линейным по У) процессом, обусловленным взаимодействием падающего излучения с флуктуациями электронной плотности. В сечении диффузного рассеяния появляется множитель, пропорциональный температуре кристалла. Значительно более резкую температурную зависимость имеет сечение дифракции в области рефлексов.
Существование тепловых колебаний кристаллической решетки можно учесть, представляя локальную электронную плотность в виде
л(г) = Г njr- r/), (36.32)
I
где сумма берется по положениям всех атомов с координатами г/. Если бы атомы не испытывали тепловых колебаний, то все г/ были бы фиксированы и были бы равны векторам /, описывающим положения атомов в правильной решетке. При наличии колебаний положения атомов описываются векторами г, = / +и,, где и, — вектор отклонения положения /го атома от равновесного. Поскольку функция п(т ) теперь не обладает правильной периодичностью, ее следует разлагать не в ряд по векторам обратной решетки, а в интеграл Фурье. Фурье-образ функции п(г ) есть
1
л (q ) =-^- / л (г)ехр(-/, r)d г =
1
= — S f drna(r -I- u/}exp(—iq г) =
V i
= — S exp [-/^ (/ + «/)] f d3rna(r -1 - и/} exp[-iq(r -1— и/}]. (36.33)
Величина
J d3rna (r-l- и/)ехр [—iq (r -1 - «/)] = na (q ) (36.34)
является фурье-обраэом электронной плотности, обусловленной каждым отдельным атомом; в теории дифракции ее называют атомным фактором. От индекса / атомный фектор не зависит, так как интеграл в (36.34) берется по всему пространству. Таким образом,
л (q ) = na (q ) S exp [- iq (I + «/)]. (36.35)
/
Атомный фактор na (9) в правой части (36.35) умножается на сумму по /, которая называется структурным фактором. Если все ц = 0, то структурный фактор принимает вид
S ехр(— iq • /) = N&q,g,
т.е. n(q} ФО только в том случае, когда вектор q равен одному из векторов g обратной решетки. Если учесть, что при наличии тепловых колебаний решетки q^g, то тем самым будет принят во внимание эффект расплывания рефлексов, если же в (36.35) положить q =g, то будет описан эффект уменьшения сечения дифракционного рассеяния в точном отражающем положении вследствие тепловых колебаний.
Тепловые колебания решетки опишем, представив вектор и, в виде
И/ = S (Up ехр (ip • / ) + U р ехр (- ip • 1}). (36.36)
Р
Наличие двух слагаемых в этой формуле обеспечивает действительность векторов tq. С учетом (36.36) структурный фактор принимает вид (при 4=«)
S ехр {-ig[l + S (Upexp(ip -l} + Up exp(-ip- /))]} =
I P
= £ Пехр{ -ig[Upexp(ip • /) + U„exp(-ip /)]}. (36.37)
I P
Экспоненты в последней формуле можно разложить в ряд по степеням малых величин Up:
ехр {—ig[Up exp(ip • /) + t/рехр(—/р - /)]}
* 1 - ig[Up expUp I) + Upexp(-ip I)] -^lg- Upl2... (36.38)
Теперь структурный фактор следует усреднить по тепловым колебаниям решетки с соответствующей функцией распределения. Среднее от линейных по U слагаемых в (36.38) не дает вклада в упругую дифракцию, вклад же от I; Up\2 — величина конечная, так что после суммирования ряда (36.38) и подстановки его в выражение для структурного фактора получаем множитель
ехр (-IV) = ехр {-|<’/г|^-С/р|2>}, (36.39)
который называется фактором Дебая - Валлера. Скобки <...) в этом выражении являются символом усреднения по колебаниям решетки.
Таким образом, в сечении рассеяния рентгеновских лучей в точном отражающем положении, полученном в п. 36.3 в случае правильного кристалла, величину I л(;) | при учете конечной температуры следует заменить на фактор
^^-ехр(-W), (36.40)
*с
в котором v(. — объем элементарной ячейки. Величина W в (36.40) тем больше, чем больше вектор обратной решетки g, которому соответствует рассматриваемый рефлекс, так что наиболее интенсивными будут рефлексы, отвечающие малым g. Величина W зависит также и от температуры Т. Проще всего эта зависимость выглядит в случае высоких температур, причем именно в этом случае особенно важно учитывать фактор Дебая - Валлера. При высоких температурах средняя энергия колебаний решетки, соответствующая величине Up, имеет порядок величины Т. Следовательно,
T^NMup\Up\2.
Р
где М — масса атомов, из которых состоит решетка (предполагается, что в элементарной ячейке содержится только один атом). Из приведенной формулы следует, что
I ир i2 = —
так что
<li-t/pl2>
92Т
N2M2co*
92Т
(36.41)
где (-)/> — дебаевская температура (как и температура Т, она измеряется в энергетических единицах). Следовательно, при высоких температурах существование фактора Дебая — Валлера приводит к температурной зависимости интенсивности дифракционного рефлекса, имеющей вид
/ 92Т \
ехр ( ~ ТГЧГ ) ' (36.42)
которая описывает быстрое уменьшение интенсивности кинематической Дифракции при Т> &D[M&D/g2).
Глава V
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН БЫСТРЫМИ ЧАСТИЦАМИ В СРЕДАХ
§ 37. ИЗЛУЧЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ В ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
37.1. Описание потерь энергии быстрых нерелятивистских частиц в веществе в ремках диэлектрического формализма. Быстрыми принято называть такие частицы, скорости которых много больше, чем характерные скорости движения зарядов, составляющих вещество. Например, быстрым
электроном при его движении в металле можно считать электрон, скорость которого намного больше скорости электронов металла vF на поверхности Ферми. Выполнение этого условия дает возможность считать потери энергии AF величинами относительно малыми и непрерывными. Пока потеря энергии AF остается малой по сравнению с начальной энергией быстрой частицы Ер, можно в первом приближении пренебрегать влиянием потерь энергии и импульса быстрой частицы на скорость
и траекторию ее движения.
Вообще говоря, в потери энергии вносят вклад столкновения как с малыми, так и со сравнительно большими переданными импульсами. Столкновения первого типа, как будет видно, отвечают возбуждению в веществе таких состояний, которые связаны с движением сразу многих частиц среды. Текие коллективные движения, захватывающие объемы, превышающие атомный, оказывается возможным естественным образом описать с помощью обычной диэлектрической проницаемости. Столкновения с большой передачей импульса тоже можно описывать в рамках диэлектрического формализма, но в этом случае возникает диэлектрическая проницаемость типа той, которая используется в теории распро-
странения жесткого, рентгеновского и гамма-излучения в веществе и которая не связана с усреднением уравнений электродинамики по физически малым объемам.
Фактически, такие столкновения бывает удобнее рассматривать, описывая реакцию системы на электромагнитное поле быстрой частицы непосредственно с помощью уравнений механики (часто — квантовой механики) , не вводя в явном виде диэлектрическую проницаемость. Поэтому в данной главе они рассматриваться не будут. Будет также предполагаться, что вклады в удельные потери энергии от столкновений с малой передачей импульса и от столкновений с передачей большого импульса (последние иногда называют парными или двухчастичными столкновениями} аддитивны. Такая аддитивность, собственно, и позволяет рассматривать их по отдельности. Фактически, они могут быть или не быть аддитивны в
зависимости от структуры и от параметров среды. В последнем случае описание процессов потерь энергии быстрой частицей резко усложняется.
Из двух первых уравнений Максвелла в среде следует, что
1 Э2® rot roti + —-----—
с2 Эг2
3/ext с2 Эг
(37.1)
Фурье-образ этого уравнения имеет вид
(Ut , , w2 V 4тг/о>, .
~ (/exJa-С / С
(37.2)
Поскольку движущаяся быстрая частица создает ток /ext(r'f>=e*P6</'-*Pf>-
то фурье-образ этой величины
= -—^-/</и/Лехр[-/(Лг • г- сог)]8(г- vpt) = (2л)’
®*р -
= ------8(со - к • v).
(2л)4
(37.3)
Имея в виду, что
, /< к&к@\ к^кп 1
еар(к, =|8аа-------)е‘ (к, со) + —е (к, со),
\ к / к
уравнению (37.2) можно придать вид
со2 . к(кЕ) I
—^-е'(к, со) —-----к2-------etr(k, со)
с2 к2 с2
к(кЕ) Е~—
Attics .
(37.4)
Неизвестной величиной в этом уравнении является электрическое поле Е. Оно входит в (37.4) как непосредственно, так и в виде скалярного произведения к Е. Чтобы исключить из уравнения комбинации к Е, умножим уравнение (37.4) скалярно на к и получим
со2 ... 4л/со, .
— е (к, со) (Л- Е) =--к-]ехЛк, со),
с с
так что произведение к Е оказывается выраженным через фурье-образ плотности тока быстрой частицы:
*.£=-^*./ечДы|. (37.5)
Подставляя теперь (37.5) в (37.4), приходим к уравнению, в котором Е будет фигурировать непосредственно, а не в виде комбинации с к. Из это-
го уравнения находим, что
£а(*. W) =
4л/со j как@ к2 | со2е'(к, со)
/c2(8a<J-fca/c0/fc2)
с2 к2 - -^-etr(/c, со) с2
Производя теперь обратное преобразование Фурье, получаем
[/ех t(Л, со)]
(37.6)
4лie r_,3l exp[i(k г - к vpt)]
=------- f dk -----------------—
(2л)3 к2
е'(к,к- vp)
к2(к - vp) lvp -к(к- чр}!к2]
с2 к2 - ^—~~etr(k,k Vp} С*
(37.7)
Взяв значение Е в точке местонахождения быстрой частицы, т.е. в точке г = Vpt, и найдя потери энергии частицы на единицу длины ее пути по формуле
dS _ е(»р-Е) dx vp
получим
dx 2и2 vp к2
Введя обозначения
1
е'(к, ш)
I р______к2 I_____________
, I , (*-»J2 tr 1
с21 к2 —~~ е
(37.8)
к чр = ш и к2 - ы2/Ур - q2,
мы перешли от старых переменных интегрирования, к и cos (к, vp), к новым переменным, q и ш. Теперь формула (37.8) примет вид
d& ie2 F . Г dq q ( 1
... = —— J Q -------------- f _____________________—
dx Ttv'p — 0 q2 + u2/v2 I e/(W( +w2/K2')
c q2 + u2[1/vp - (1/c2)etr(o>, \/q2 + u2/vf] >
37.2. Торможение быстрой частицы за счет испускания объемных плазмонов. Рассмотрим первую часть формулы (37.9), содержащую только продольную диэлектрическую проницаемость:
dx ли2 — о q2+w2/k2 е/(ш +
Для того чтобы можно было взять интегралы в (37.10), нужно знать вид функции 1/е' (ш, x/q2' + о>2/ир ). Вообще говоря, это есть функция, которая должна получаться из микроскопического рассмотрения и которая может обладать довольно сложными аналитическими свойствами. Но если говорить об общем характере этой величины как функции q, то при малых q эта функция слабо зависит от q, затем при дальнейшем увеличении q она резко уменьшается из-за быстрого увеличения мнимой части е1. Одним из механизмов, который был рассмотрен в гл. IV и который действует в плазме и плазмоподобных средах (например в металлах) , обеспечивающих такое резкое уменьшение подынтегрального выражения (37.10) при увеличении q, является механизм затухания Ландау. В случае невырожденного электронного газа экспоненциальный рост (е/)" при увеличении волнового вектора прямо следует из (33.10).
При дальнейшем увеличении q, когда q становится больше обратного дебаевского радиуса экранирования, подынтегральное выражение интеграла по q может опять возрастать. При этом возможен ряд максимумов, один из которых может быть обусловлен упругими парными столкновениями (особенно, если средой является достаточно разреженная плазма) быстрой частицы с составляющими вещество частицами, другие же — возбуждением электронных переходов в атомах. При рассмотрении по-
следних следует, вообще говоря, пользоваться функцией е1, вычисленной на основе квантовой теории.
Парные столкновения можно описывать с помощью функции е1 при больших значениях волнового вектора и без учета квантовых эффектов. Но при этом все же нельзя пользоваться формулами § 33, поскольку в этом параграфе был применен способ вычисления е1, основанный на использовании кинетического уравнения. В этом кинетическом уравнении функция распределения описывала отклик среды на внешнем поле, причем в столкновительный член это поле явным образом не входило. При больших значениях волнового вектора, которые соответствуют парным столкновениям быстрой частицы с частицами среды, вычисления е1 требуют учета столкновительного члена в кинетическом уравнении в таком виде, чтобы поле Е непосредственно входило в столкновительный член.
Обычно потери энергии нерелятивистских частиц, обусловленные коллективными столкновениями (как мы увидим ниже, таким процессам соответствуют малые ?), и процессы, которые связаны с большими q, одного порядка. В ряде случаев коллективные столкновения вносят наибольший вклад в потери энергии; так, например, обстоит дело при движении электронов с энергией в сотни и тысячи электронвольт через твердые тела.
В этом разделе мы будем рассматривать только те столкновения, которые можно описывать с помощью макроскопической диэлектрической проницаемости. Такой подход и дает возможность учесть коллективные эффекты.
Величина 9тах, при которой столкновения можно еще рассматривать на макроскопической основе, может быть оценена следующим формальным способом. Использование макроскопической диэлектрической проницаемости, зависящей только от одного волнового вектора и от одной частоты, оправдано в том случае, когда характерные длины в задаче много больше атомных размеров а. В нашем случае характерной длиной является величина q~l, поэтому должно выполняться неравенство 1/g > а. С другой стороны, значение вектора q не должно быть слишком малым, так как оно должно быть больше ш/ир. Таким образом,
^VP < 9,„ах < Va.
Имея это в виду, в формуле (37.10) теперь можно пренебречь пространственной дисперсией -.
d&t ie2 °° duu 4 у* dq2 dx 2rtVp e'(w) 0 q2+u2/v2p
Интеграл по частоте
“ du и “ du co 1
f —:-----;—;--------- — 2Z / — -----—— Im -----,
{q2 + u2/v2)e‘(u} о q2+u2/vp е'(ш)
(37.11)
поскольку действительная часть продольной диэлектрической проницаемости с/г(о>) — четная функция частоты. Таким образом, (37.11) после выполнения интегрирования по q принимает вид
б/(о| 2е2 dx rrvp
I 1 . ^maxVp
j du coIm ------- In--------
0 e'(co) и
23. M.M. Бредов
353
Теперь возьмем интеграл по со. Логарифм является слабо меняющейся функцией своего аргумента, поэтому можно написать
JdcDCDlm —— In = In Qm^Vp fdcocDlm —— . (37.12)
о e'(w) co cd о €>(go)
Это выражение можно рассматривать как определение величины cd.
Продольная диэлектрическая проницаемость е 1 (cd) в интеграле (37.12) есть весьма сложная и, самое главное, неизвестная функция cd. Замечательно, однако, что получившийся интеграл по cd можно взять точно, даже не зная явного вида функции е1 (cd) . Для этого запишем интеграл по cd в (37.12) в виде
1 ~ 1
— Im fc/cDCD-------- (37.13)
2 Л c'(cd)
и примем во внимание, что функция е1 (cd) не имеет нулей в верхней полуплоскости комплексной переменной cd. Поэтому контур интегрирования, идущий в (37.13) вдоль действительной оси от — до +°°, можно, не меняя начала и конца контура, поднять в верхнюю полуплоскость комплексной переменной cd так, что контур интегрирования превратится в дугу бесконечно большого радиуса. На таком контуре функция е1 (cd) будет иметь свой асимптотический вид
еЦсо} = 1 - cDp/cD2.
Получившееся таким образом подынтегральное выражение — функция, опять-таки аналитичная в верхней полуплоскости переменной cd. Поэтому контур интегрирования, не меняя значения интеграла, и сохраняя вид функции еЦсо) = 1 — cDp/cD2, можно опустить на действительную ось, обходя сверху две особенности (в точках cd - ± cdp) функции 1 — cd|/cd2 . Теперь мнимая часть интеграла будет определяться вкладом от обхода точек cd = ± cdp сверху по дугам бесконечно малого радиуса. Этот вклад равен — % тга$. Таким образом.
dx v2 CD
Значение </&/ /dx, как оказалось, целиком определяется точками функции ez(c*D) , в которых диэлектрическая проницаемость обращается в нуль. Но уравнение (‘(со} =0 есть условие существования объемных продольных плазменных волн, называемых также плазмонами. Поэтому та часть потерь энергии быстрой частицы, которая связана с функцией е'(со), обусловлена передачей энергии быстрой частицы возбуждающимся в среде плазмонам.
37.3. Излучение Вавилова - Черенкова. Рассмотрим теперь ту часть величины </£ /dx, которая связана с etr. Эта часть удельных потерь энергии с/&„ ie2 " - dqq3
—— =--------— fdco со J — ------j—— X
dx пс _» о q + со /V2
(37.15)
В пренебрежении пространственной дисперсией
dx
2е2 “
—г- f du>u> f яс о у
dC,q । 2 2 Г 1
—-----ПТ ,m\q + ш т
<7 +W2!v2 I L У2
Д-е'г(ш) с2
(37.16)
В непоглощающей среде, в которой е,г (ш) имеет бесконечно малую мнимую часть,
2е2 " “ dqq3 ( г 1 1 1 )
—— - —j- / du)U) j — --------ПТ । q + w I —~ — Т etr (w) <
dx itc2 о о Я + w /Vp I [ vi> c2 J )
(37.17)
Это выражение отлично от нуля в том только случае, если точка, в которой аргумент 6-функции обращается в нуль, оказывается в пределах контура интегрирования. Интегрирование в (37.17) идет ло положительным и действительным значениям переменных, поэтому выражение в прямой скобке в аргументе 6-функции должно быть отрицательным:
1 1 ,
_ __ e,r(w) < 0.
Vp с2
Отсюда следует, что vp > с/ у/e!r’ = с/п = kph. Таким образом, <У&ц /dx обусловлена излучением поперечных электромагнитных волн, фазовая скорость которых имеет обычный для поперечных волн вид чрь =с/ Ve ,г' Эти волны излучаются в том только случае, когда
vi> > л •
(37.18)
Такое излучение поперечных волн равномерно движущейся в среде частицей называется излучением Вавилова — Черенкова. Полная интенсивность излучения Вавилова — Черенкова быстрой частицей на единичном пути
d&\\ dx
е2 /
= f ctawp —
C \
с2
Vpn2 (w)
(37.19)
$ 38. ГЕНЕРАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ПРИ ДВИЖЕНИИ БЫСТРОЙ ЧАСТИЦЫ
В ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ.
ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.
ВОЗБУЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПЛАЗМОНОВ
При движении быстрой частицы в пространственно-неоднородной среде проявляются новые, по сравнению со случаем движения в однородной среде, процессы генерации быстрой частицей электромагнитных волн. Рассмотрим самый простой и самый яркий пример такой генерации, имеющей место при пересечении быстрой заряженной частицей резкой границы раздела двух сред.
Пусть все пространство состоит из двух полупространств, разделенных плоской границей раздела (рис. 38.1), причем е ] — диэлектрическая проницаемость среды, занимающей одно полупространство, е 2 — другое. Ось z направлена по нормали к поверхности раздела, начало координат находится на этой поверхности.
Электромагнитное поле, возникающее при пересечении равномерно Движущимся зарядом границы раздела, описывается уравнениями
Максвелла: 1 dH rot£=-------------,
с dt _ (38.1)
4тг 1 dD
rot« =---/ext+—— •
с C at
Среда считается немагнитной, так что И = В. Сторонний ток создается равномерно движущимся зарядом, так что
/ext(r, =evpd(r- vpt). (38.2)
На скорость движения заряда ограничений не налагается. Но в первую очередь мы будем интересоваться движением не слишком быстрых за-
ег
е vp Z
рядов, когда vp < v р|,. Это позволит считать, что черенковского механизма генерации поперечных электромагнитных волн нет и все уходящее на бесконечность излучение обусловлено, таким образом, новым механизмом генерации электромагнитных волн.
Спроектируем уравнения (38.1) на координатные оси и одновременно проведем преобразование Фурье этих уравнений от переменных х и у к переменным qx и qy и от переменной t — к переменной ш. Таким образом, вектор q будет двумерным волновым вектором, расположенным в плоскости раздела. Проекции первого уравнения Максвелла будут иметь вид
9 Т Е — Чу Ех - i Н2 , ' ’ с
с ( dEx \ с ( dEv \
- Г ~ + ЧхЕг = - Ну , — / —+q Е = Нх. (38.3)
<лД dz / } w \ dz } /
Проекции второго уравнения Максвелла
4тг/ е о>
С>хНу - ЧуНх =----</ехЛ ~ '--eEz-
r r С С
Э о>
iq., Н,-— H=-i—eEx, (38.4)
OZ с
dHx ш
--iqxHz^-i—eEy.
dz с }
Фурье-образ плотности тока, фигурирующий в первом из уравнений (38.4), есть
/extU,d. w) =e(vp/Vp)exp(/cjz/i4.
(38.5)
8 первом из уравнений (38.4) компоненты магнитного поля могут быть, с помощью второго и третьего уравнений (383), выражены через компоненты и производную по г от компонент электрического поля, в результате чего получаем
(' . о.2 \ Э 4ш'ше / z \
q-----г е)£г + i — (q -Е} =------— ехр(/о> —). (38.6)
. с2 / Ъг с2 \ v }
Подставим также из (383) выражения для Нх, Ну и Hz в два последних уравнения (38.4), затем умножим первое из них на qx, а второе — на qv и результат сложим, после чего получим
/ Э2 о? \ , Э£2
—т + ~Г би = *-------------- (38.7)
\ Эг2 с2 / Эг
Уравнения (38.6) и (38.7) определяют продольную и поперечную по отношению к вектору v;l компоненты электрического поля.
С помощью (38.7) из (38.6) можно исключить поперечную составляющую поля Е и получить уравнение для одной только продольной составляющей Е. электрического поля Е. Для этого надо подействовать на
/ Э2 со2 \
(38.6) оператором I —- + —— е | и воспользоваться уравнением (38.7). \Эг2 с2 /
8 результате получаем уравнение
Э2 / VJ2 \ 4ir/we , с2 \ / со \
—5 еЕ + —г e — q2)eE, =----------— е------г ехр(/— z , (38.8)
Эг2 \ с2 ! - с2 \ VP) \ *Р )
определяющее продольную 'составляющую электрического поля. Решив это уравнение, полученное решение можно подставить в правую часть (38.7), после чего нетрудно найти и поперечную компоненту электри
ческого поля.
Уравнения (38.7) и (38.8) надо решить в каждом полупространстве и эти решения сшить на ранице раздела, используя обычные граничные условия D,(j = D„^ и ЕТ1 = ЕТ1. Уравнение (38.8) имеет простую структуру, формально напоминающую структуру уравнения вынужденных колебаний в механике (с соответствующими переобозначениями, главное из которых — замена времени на переменную г). Решение этого уравнения может быть написано по аналогии с решением уравнения механики. Оно состоит из двух слагаемых. Первая часть этого решения
4те[1 - с2/Ле)] / ш \
--------—= „—— ехр|/— z w(e - c2/v2p - <72с2/о>2 ) \ vp /
(38.9)
не связана с излучением, она описывает квазистационарное поле движущейся частицы. Вторая часть
rad Ш
Е. =-----А ехр1±/—г
ш X с
(38.10)
может описывать поле излучения, если е > (qc/ca)2. Коэффициенты А (в выражении для поля их два. А! и Д2 — по одному в каждой среде)
должны быть найдены из граничных условий. Тангенциальные компоненты (^Е;)/ди (^Erad) /q, получающиеся из (38.7), имеют вид
_ q2c2Efz {q-^} rad /
q uv(e -c*/vp) q cq “ о/
(38.11)
Теперь с помощью граничных условий могут быть найдены коэффициенты At йДг:
. {q2cvp /w2ei )(е2 - ei1
Формулы (38.10), (38.12) и (38.13) описывают два эффекта. Первый эффект — излучение поперечных электромагнитных волн, возникающее при пересечении зарядом границы раздела двух сред — переходное излучение. Происхождение переходного излучения можно представить себе наглядно, например в случае, когда заряженные частицы падают на границу раздела металл — вакуум. Приближающаяся к поверхности металла заряженная частица поляризует металл так, что поверхностная плотность электронов в ближайшей к заряженной частице области поверхности ме-талла уменьшается вследствие оттока электронов из этой области, если знак заряда частицы отрицателен и увеличивается, если движущаяся частица заряжена положительно. Возникающие таким образом разноименные заряды создают дипольный момент, величина которого является функцией времени. В момент, когда падающая частица достигает поверхности металла, всякое макроскопическое поле исчезает вследствие сильного экранирования заряда электронами металла. Это выглядит так, как будто частица "аннигилировала". Изменяющийся таким образом во времени дипольный момент и является причиной переходного излучения. Из (38.12) и (38.13) видно, что при нерелятивистском движении падающей частицы излучение назад и вперед по отношению к направлению ее дви-358
женин имеет примерно одинаковую интенсивность. При релятивистском ее движении максимум излучения сосредоточен в направлении вперед.
Второй эффект — возбуждение поверхностных плазмонов. В случае, когда е — qrc2/w2 < 0, формула (38.10) перестает описывать уходящее на бесконечность поле. При этом электромагнитное поле оказывается "прижатым" к поверхности таким образом, что возникает бегущая вдоль поверхности электромагнитная волна с волновым вектором q, напря-_ rad
женность поля Е. которой экспоненциально убывает при увеличении | г|:
4й7е / СО !q2C2\
Е1ай -----Аг 2(q, со) expl- | г | - у/ —т - е . (38.14)
со \ с со /
Чтобы понять, что здесь мы действительно имеем дело с поверхностной волной, рассмотрим опять простейший случай, когда при г >0 имеется полупространство с диэлектрической проницаемостью е, а при г < 0 — вакуум. Согласно (30.11), дисперсионное уравнение для поверхностных плазмонов в этом случае имеет вид
c2q2 е
—— =-------, причем е<0. (38.15)
со е + 1
Из положительности левой части этого соотношения следует, что е + 1 < 0. С другой стороны показатель экспоненты в (38.14) при подстановке в него (38.15) принимает вид
со / ё2 '
-|z|—V-----------. (38.16)
с е + 1
Поскольку е + 1 < 0, мнимой единицы в показателе экспоненты не возникает. Особенно отчетливо идентичность поверхностной волны (38.14) поверхностному плазмону проявляется в случае, когда значение q настолько велико, что можно пренебречь электродинамическим запаздыванием. При с -> «> формула (38.14) принимает вид
, . 4тг/е
frad = ---дехр(- |z|q),
со
а (38.15) превращается в уравнение
е(со) + 1=0.
Последнее уравнение по определению есть дисперсионное уравнение для поверхностных плазмонов, написанное в пренебрежении электродинамическим запаздыванием (и, так же, как и все остальные формулы этого параграфа, в пренебрежении пространственной дисперсией).
В заключение можно сказать, что если движущийся в безграничной среде заряд генерирует продольные электромагнитные волны (объемные плазмоны) и поперечные электромагнитные волны (излучение Вавилова — Черенкова) , то потери энергии заряда, пересекающего границу раздела двух сред, обусловлены возбуждением поверхностных плазмонов и переходным излучением поперечных электромагнитных волн.
§ 39. ИЗЛУЧЕНИЕ ГАММА- И РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В КРИСТАЛЛАХ
Хотя пространственная структура среды должна оказывать влияние на потери энергии быстрых частиц, до сих пор мы это обстоятельство в расчет не принимали. На самом деле при движении быстрых частиц в правильных монокристаллах наблюдаются так называемые ориентационные эффекты. При движении частиц вдоль некоторых направлений пробеги частиц могут увеличиваться в несколько раз по сравнению с пробегами в неупорядоченных структурах. Существуют и другие интересные ориентационные эффекты. Среди них мы рассмотрим только один, имеющий непосредственное отношение к электромагнетизму и заключающийся в том, что движущаяся в монокристалле с релятивистской скоростью частица является источником мощного жесткого излучения.
Быстрые частицы в кристалле, движущиеся вдоль атомных цепочек (или в некоторой кристаллической плоскости) могут в течение сревнитель-но долгого времени иметь близкий к нулю средний поперечный импульс. Фактически в каждый момент времени поперечный импульс хотя и мал, но отличен от нуля. Величина поперечного импульса такова, что движущийся вдоль цепочки атомов заряд не в состоянии преодолеть потенциальный барьер между соседними атомными цепочками (обычно величина этого барьера порядка или больше 5 эВ). Легко видеть, что угол между вектором импульса частицы и осью атомной цепочки, обеспечивающий сохранение такого состояния движения (такое состояние назывеется каналированием), должен находиться в пределах
0<ф\/и7Ё^, (39.1)
где U — потенциальный барьер между соседними цепочками атомов. Быстрая частица может влетать в кристалл не параллельно цепочке. Если при этом условие (39.1) выполняется, частица каналирует, двигаясь вдоль цепочки по спирали. При высоких энергиях это движение можно описывать уравнениями классической механики в том даже случае, если этой частицей является электрон или позитрон. Это связано с релятивистским ростом массы легких частиц при увеличении их скорости. Легко оценить, какую энергию должен иметь, например, электрон, чтобы его масса по порядку величины совпадала с массой покоящегося протона. Скорость такого электрона определяется из соотношения
М = /т?(1 - v1 /с1 Г1/2,
где т и М - массы покоя электрона и протона соответственно. Отсюда видно, что разница между скоростью электрона и скоростью света должна иметь порядок величины 10~6 от скорости света. Соответствующая энергия в тысячу раз больше собственной энергии электрона и составляет по порядку величины 1 ГэВ.
Потенциал, удерживающий частицу около атомной цепочки, в первом приближении можно считать гармоническим, V = Vax2. Здесь ось х направлена перпендикулярно оси канала. Таким же будет и потенциал, зависящий от второй, поперечной по отношению к оси канала, координаты. Уравнение движения вдоль оси х будет иметь вид
d rm.
!---ТТ? =-2Vox.
dt [Vi -
Скоростью поперечного движения в лоренц-факторе можно пренебречь по сравнению со скоростью vz движения вдоль цепочки. Запишем решение
(39.2)
уравнения (39.2):
х(г) =xosinwor, (39.3)
где х0 — начальная амплитуда. Подставляя это решение в уравнение (39.2), получаем, что частота колебаний (точнее, частота вращения) частицы в поперечной плоскости
/2Уо\1/2/ V2 \ 1/4
ш0 = --- 1~~7
\т / \ с
(39.4)
w = соо
(39.5)
При вращении заряженной частицы, движущейся по законам классической механики, должно возникнуть излучение. Частота этого излучения в системе отсчета, движущейся вместе с каналирующей частицей, и есть Поскольку это излучение наблюдается в лабораторной системе, нужно учесть существование эффекта Доплера, так что частота ш в лабораторной системе будет связана с частотой си0 соотношением
v \
1----cos а);
с /
здесь а -угол между осью z и направлением на наблюдателя. Если а = 0, то
„ /2U0\l/2 1/2
60 = 26007=21---I 71'2
\ т /
поскольку для частиц с такими скоростями справедливо соотношение
V 1 / I/2 \ 1
1 --«= -1 - — = — 7, с 2 \ с2 / 2
где у — лоренц-фактор. Частота w0 с ростом Е падает, как 1/7^2, частота ео растет, как Е112. При а Ф О
ео-1/7^2 -Е^2.
Мощность, излучаемая движущейся с ускорением w релятивистской частицей (см. (35.19), ч. I), имеет вид
, /v X w \2 w — ( —__ _ 2е \ с Зс3 (1 - v2/c2)3
Эта формула является релятивистским обобщением известной формулы Лармора. При вращении частицы вокруг атомной цепочки * • н’ = v- w, если пренебречь при этом изменением продольной скорости. Тогда
2е2 w2 2е2 —-----:----- е274ш4Хо
/=—- ---------—— =—г 7 (eo xosineot) ------;----
Зс3 (1-v2/c2)2 Зс3 Зс’
Частота еоо, определяемая формулой (39.4), зависит от величины градиента Vox поля атомной цепочки. Возможность управлять пучками частиц очень высокой энергии, пропуская их через кристалл, связана с тем, что Vox к кристеллах может быть очень большой величиной, порядка 1011 - 1012 эВ/см.
Кроме частоты ы важно также оценить предельную частоту спектра излучаемых волн. Согласно (35.33), ч. I максимальная излучаемая частота
с з
Wmax “= - ~ р
(39.6)
(39.7)
если угол отклонения частицы в процессе излучения велик по сравнению с 1/у. Именно такая ситуация обычно имеет место при каналировании ультрарелятивистских частиц. Из последней формулы следует, что umax ~ £3- Согласно приведенным оценкам, спектр излучаемых частот простирается от 1015 до 107 — 1О,ос-1. Из приведенных
оценок видно, что зависимость интенсивности излучения от энергии очень сильно зависит от характера углового распределения излучения, так что может меняться от / ~ Е6 в случае, когда все излучение идет точно вперед, до /~£'2, когда большая часть излучения идет под большими углами. Более аккуратное рассмотрение динамики движения частицы в канале дает, что /~-£2, а шП1ах ~ Е3/2. Средние частоты излучения оказываются в районе рентгеновского и мягкого у-излучения, а его интенсивность превышает интенсивность тормозного излучения.
Глава VI
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СРЕДАХ
§ 40. НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
40.1. Общее феноменологическое выражение для нелинейной поляризуемости. Мы уже встречались с положением, когда реакция силы на внешнее поле является нелинейной функцией величины этого поля. Такими свойствами обладают, в первую очередь, ферромагнетики, а в постоянном электрическом поле — сегнетоэлектрики. Но реакция среды на высокочастотное поле до сих пор предполагалась линейной. Это связано с тем, что высокочастотная поляризация обусловлена обычно движением электронов в атомах. Кроме внешнего поля, на электроны действует также собственное поле атома (или ядра - в случае водорода). В случае водорода это поле £0 = 5 ' 109 В/см. В конденсированных средах это поле может быть несколько меньше. В полупроводнике с узкой запрещенной зоной оно может быть порядка 107 В/см. Во всяком случае, значение £0 * 10® В/см можно считать типичной напряженностью собственных полей в той области пространства, где находятся электроны, которые вносят наибольший вклад в поляризацию вещества. Обычные источники высокочастотного поля создают внешние поля, напряженность которых на много порядков меньше £0. Поэтому существует малый параметр Е1Е0, по которому можно разлагать вектор Р, и ввиду крайней малости этого параметра в таком разложении обычно достаточно бывает ограничиться первым тейлоровским слагаемым.
Единственным источником высокочастотного электромагнитного поля, напряженность которого в какой-то степени приближается к величине £0, является лазер. Поэтому можно ожидать, что в поле лазерного луча могут проявиться и высшие слагаемые разложения вектора плотности поляризации в ряд Тейлора по степеням параметра £/£о- В немагнитных средах, таким образом, плотность вектора поляризации есть сумма
Р(г, г) =Р(1)(г, г) + Р(2)(г, г) +Р(3)(г, г) + ..., (40.1)
где Р^ есть слагаемое л-го порядка по полю. В общем случае учету временной и пространственной дисперсии отвечает следующая связь между
pW(r,t} и напряженностью поля:
Р(апЧг, t)= f eft t f dt2 f dt3 ... f dt„ fd3rtf d3r2 fd3r3 ... f d3r„ X ao — oo _______________eo — oo
X . i><S, rl.r2..rn. .....t-tn)X
X Ед(Г|, t|)E7(r2, t2}Et(r3, t3).. . Ev(rn, tn). (40.2)
Пространственной дисперсией в (40.2) часто можно пренебрегать, временная же дисперсия обычно является существенной. Вводя новые переменные, t — fi=Ti, t — t2 = т2,... ,t — tn = тп, формулу (40.2) можно записать в виде
Р<пЧг, = f dr, f dr2 ... f drn . А Ъ.т2...............тп)Х
X Ee(r, t - т, )£y(r, t - т2). .. £p(r, t - т„). (40.3)
Как и в линейной теории, нас будет интересовать фурье-образ этого выражения :
pW(r, со) = —- f Pa(r,t)exp{ia>t)dt. 2тг . «
Производя соответствующие вычисления, получим
+ оо + оо +оо
P(an)(r, со) = f dcJi f du2 f dco3 . . . ____________oo — ao — oo
+ oo
... J dco„8(co - wt - co 2 - co3 co„) Fgfco! )£7(co2)...
— oo oo oo
••• Fp(co„)/ drt f dT2 ... f dTnX^ рехрЦсо, т, + co2t2 + .. ,+ со„т„)]. 0 0 0
(40.4)
Вводя обозначение
Х<"Л...е(Г' W' • • • wj = oo oo ое
= 6 (co - co, - co2 -... - co„)/ сУтI fdT2 fdT3 ...
0 0 0
• • •/dr„ MW v(r, г,, r2........т„)ехр[/(Ш|Т| + w2r2 +... +co„t„)1,
° »(») (405) связь между f и напряженностью электрического поля можно представить в виде
pW(r, со) = f duj / c/coj.../ dco„x(^7 „(г, w, w,,w2...........ы„) X
_ oo — oo — oo
X Ep(r, Wi )Ey(r, co2)... Ev[r, co„). (40.6)
Эта формула является обобщением обычной линейной связи
Ра(г, со) = Ха/?(Л WEpir, со)
на случай, когда нелинейные свойства среды по отношению к сравнительно высокочастотному полю становятся ощутимыми. Практически, наиболее
существенными нелинейными коэффициентами являются коэффициенты Х(2) и х(3). Уже сейчас, непосредственно по виду формул (40.5! и (40.6), можно установить, какие новые физические эффекты обусловлены нелинейными восприимчивостями х(2) и Х(3)-
40.2. Квадратичные по полю эффекты нелинейности. Они связаны с коэффициентом х(2)- В этом случае
+ ОС
Р(а2)(г, Gj) = J </а>| GJ, GJ, , GJj = GJ -GJ, )£^(Г, GJ, )£7(г, GJ -GJ, ) .
(40.7) Представим себе, что в среде распространяются две волны с частотами Я] и Я2 *!
£a(t) = ехр(- /Я( t) + f0(2> ехр(- /Я2Г). (40.8)
Фурье-образ поля (40.8) имеет вид
£«(ы) = 2я£0(2)«(ш - Я|) + 2я£0(2)5(ш - Я2).
Подставляя это выражение в (40.7), получим
Яо<2)(ш) = (2я)2 /° gji,gj2 =gj-gj,)X
— <ж>
х ifo(3)fOT)5<tJi -П1)5(ш-ш, -Я,) +
+ -HJSIgj-gj, -Я2) +
+ Е£}Ео(‘}S(gj, - Я2 )5(gj - ш, - Я,) +
+ ^оГ£о?>5,ш' -^2)6(w-w, -Я2) ; . (40.9)
Беря интеграл по переменной gji, получим
PQ(2 ‘(ш) = (2я)2 х '“ Я|, w - Я, )5(gj - 2Я, )Е<'} > +
+ X(^, Я,, gj - Я, )5 (gj - Я, - Я2)> £0(2 > +
+ Х^1 (w, Я2, gj — Я2 )S (gj — Я2 — Я, ИоТ£о(т ’ +
+ х S7 (w, Я2, gj - Я2 )5 (gj - 2Я2 )£о(2 >£0(2 >} . (40.10)
Появлению первого и последнего слагаемых в (40.10) отвечает новый, обусловленный нелинейностью среды, эффект — генерация вторых гармоник распространяющихся в среде волн, возникновение в нелинейной среде второй гармоники падающего на среду излучения сравнительно высокой частоты было первым по времени наблюдением нелинейных свойств среды
) При описании нелинейных явлений следует, вообще говоря, с самого начала работать с действительными полями. В следующем параграфе, где в некоторых моделях фактически вычисляются нелинейные восприимчивости, мы так и будем поступать. В этом же разделе напряженность поля записана как комплексная величина. При этом, естественно, следует помнить о том, что в формуле (40.В) опущены, но подразумеваются комплексно-сопряженные слагаемые. На самом деле при проводимом здесь качественном анализе удобнее работать с комплексным полем (40.В), но следует помнить, что при этом в некоторых окончательных формулах одна или обе частоты Я могут оказаться отрицательными.
с применением лазерных пучков электромагнитных волн. Второе и третье слагаемые в (40.10) описывают другой эффект, обусловленный нелинейностью, — генерацию в нелинейной среде волн с разностной или суммарной частотой (разностной частоте соответствует случай, когда одна из частот, П । или £2 2, отрицательна). Если имеются две волны, такие, что
Еа = f0(J>exp(- iSlt} +• E^expi* iSlt},
то среди членов, из которых слагается 7*(gj), появляется член вида
(2ir)2x(a2e\lu. £2, gj - Q)£oj>fo(7 ’6(w> • (40.11)
Это означает, что нелинейность среды может приводить к появлению постоянной составляющей поляризации (иногда этот эффект называется оптическим выпрямлением}.
Частным случаем нелинейных явлений второго порядка является такой случай, когда в среде имеется одно переменное и одно постоянное поле. Этому отвечает формула (40.10), в которой £21 = £2 =# 0, £23 = 0. Соответствующий вклад в поляризацию имеет структуру
П,ш-П}Е^Е^У8(ш - £2). (40.12)
Из (40.12) следует, что существует электронно-оптический эффект, заключающийся в том, что приложенное к среде постоянное электрическое поле оказывает влияние на величину дополнительной переменной поляризации, возникающей при наложении переменного поля. Поскольку для создания сильного постоянного поля не требуется лазера, этот нелинейный эффект (он называется эффектом Поккельса] наблюдался еще в прошлом веке. К нелинейным эффектам такого же типа, в сущности, относится уже знакомый нам эффект Фарадея, который, по существу, заключается во влиянии постоянного магнитного поля на поляризуемость вещества в переменном электромагнитном поле.
40.3. Кубичные по полю эффекты нелинейности. Кубичные эффекты нелинейности описываются следующим слагаемым плотности поляризации:
P<J3)(r, gj) = f f j(r, w, =
— oo — oo
= GJ - GJ। — GJ2 ) Ео[Т, GJt }Ey[r, GJ2)£j (r, GJ3 = GJ - GJ। — GJ; ) . (40.13)
Из структуры этой формулы видно, что слагаемые третьего порядка могут описывать целый ряд новых нелинейных эффектов. Прежде всего, это возбуждение третьей гармоники, чему соответствует gj( = gj2 = gj3 = £2, так что gj = 3£2. Второму эффекту соответствует gj, = gj2 = 0, gj3 = £2, это — статистический квадратичный электрооптический эффект. Этот эффект, носящий также название эффекта Керра, сводится к появлению двойного лучепреломления в постоянном электрическом поле. Случаю GJ] = = —gj2, gj3 = £2 и lmx(3) отвечает двухфотонное поглощение, случаю Gj| = - gj2, gj3 = £2 и Rex(3) — оптический эффект Керра. Кроме того, слагаемое третьего порядка описывает большое число вариантов смешения четырех волн, среди которых наиболее популярным случаем является тот, который соответствует когерентной антистоксовской спектроскопии (gj। ~ gj3 = £21, gj3 = — £22, gj = 2£2| — £23).
Й 41. КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
В этом параграфе будет показано, что существуют микроскопические физические механизмы, фектически обеспечивающие наличие нелинейных эффектов, которые обсуждались выше на феноменологической основе. Мы рассмотрим здесь два важнейших классических механизма, хотя в разных конкретных задачах могут оказаться существенными и другие процессы, приводящие к нелинейности.
41.1. Нелинейная восприимчивость газа свободных электронов. Рассмотрим движение одного электрона в плазме под действием электромагнитной волны, компоненты которой имеют вид
f, = Bv = Е expf/fcz - /wt). (41.1)
Уравнения движения одного электрона имеют обычный вид:
е
тх = еЕх-----г Ву — mxv,
с
my=~myi>, (41.2)
.. е .
тг = —хВу — mzv. с
Величина v — это частота столкновений, которые обеспечивают затухание колебаний электронов и тем самым приводят к существованию стационарных колебаний, не зависящих от начальных условий. Нелинейность возникает благодаря магнитной части силы Лоренца. Эта сила определяется произведением скорости электрона на вектор магнитной индукции (или напряженность магнитного поля). Поскольку скорость пропорциональна полю, в правой части уравнений (41.2) возникает квадратичная по полю сила. Решение уравнений (41.2) в линейном приближении имеет вид
х----------------,
m(w +7шр) . (41.3)
у = у0 ехр(— pt). г = za ехр(- rt).
При больших временах, когда устанавливается стационарное состояние, у -* 0 и z 0. Учету нелинейности соответствует подстановка величины х, определяемой первой формулой (41.3), в последнюю формулу (41.2). В результате из последнего уравнения (41.2) получаем
/ше2 Ех В у
г-- ------,..----у------------- . (41.4)
2ст1{ш + 7wp) (2ш + zcjp)
Поскольку правая часть этого уравнения содержит произведение ЕхВу, то координата г зависит от времени, как ехр(—/2шг). Следовательно, электрон испытывает колебания с частотой 2ш, продольные по отношению к вектору к падающей волны. Поэтому он излучает на частоте 2ш; происходит генерация второй гармоники электромагнитной волны. Подставляя (41.4) в первое уравнение (41.2), легко видеть, что координата х будет иметь составляющую, соответствующую колебаниям на частоте 3oj и т.д Из (41.4) следует, что генерация второй гармоники идет в направлении, перпендикулярном вектору к. Колебания электронов с частотой Зш яв ляются поперечными по отношению к вектору к, и излучение с такой 366
частотой распространяется вдоль направления падения исходной волны. В реальной плазме существуют и другие механизмы возникновения нелинейности .
41.2. Нелинейность, связанная с энгармонизмом колебаний. Пусть имеется одномерный ангармоничный осциллятор в поле двух электромагнитных волн с частотами и со,. Соответствующее уравнение движения имеет вид
е
х + Хх + о>ох + к х = --- (£j ехр[/(/гtz — г)] +
2т
+ Е2 exp[/'(/r2z - w2t)J) + к.с. (41.5)
Нелинейность здесь связана с существованием квадратичной по отклонению от положения равновесия силы. В линейном приближении (считается, что к2 -»0) решение этого уравнения имеет вид
2т *
*/. =
expt/f/r^ - W] г)] ехр(- Цк2г- w, г)]
..........................- 1 ..
Wo — со, —/XW] wj — со2 +/XW!
+ *з
exp[/(k2z - w2r)] ехр(- i(k2z - w2r)] 1)
u>o — w2 — 7Xw2 wj — w2 +/'Xw2 |
(41.6)
Нелинейное уравнение (41.5) можно решить методом итераций. Представим решение нелинейного уравнения (41.5) в виде
x = xl+xnl- (41.7)
где xNL — часть решения, обусловленная нелинейными эффектами. Нелинейность считается слабой, поэтому при подстановке (41.7) в (41.5) в слагаемом, содержащем к2, следует в первом приближении опустить xNL. Учет слагаемых к2хЛ-Лх/, или K2x^t соответствует учету следующих порядков малости. Теперь, помня о том, что функция xL удовлетворяет уравнению
„ , е
xL + *XL +w6xt =— { £, exp[/'(A-,z - Wj Г)] +
m
+ £2 exp(/(/r2z - w2t)] +k.c.’.
получаем уравнение для функции хЛ-^:
XNL + ^XNL + ^0xNL =-К2*1- (41.8)
Правая часть этого уравнения известна, поскольку известна функция xt (выражающаяся формулой (41 6)).
Решение уравнения (41.8) запишем в виде
xnl = Bi exp[/2(/riZ - wtr)] + S*exp[-/2(^)2 — со,г)] +
+ S2 exp[/2(fr2z - w2t)] + B2 expt- i2(k2z - w2t)] +
+ Di exp {7[ (ki + k2 k - (Wj + w2)r] } +
+ D* exp \ - /[ (ki + k2}z - (Wj + w2 )t] ’ +
+ D2 exp {/[(Xri -k2)z - (W| - w2)r]} +
+ D2 exp i—7[(A’i— k2 )z - (Wj - w2 )r]} + C. (41.9)
Подставляя (41.9) и (41.6) в (41.8), получаем коэффициенты В, D и С. Они имеют вид
/ екЕ, \2 1
Bi = ------) —---------z--------х—;-----------------, (41.10)
\ 2т ) (юо - со, -/Хсо 1) (coj — 4со, - 2/Хсо,)
/ ек.Е2 \ 2 1
В г = (----) -------------------;------------------- . (41.11)
\ 2т / (о>о - col - /Хсо2) (coj, - - 2/Хсо2)
2e2K2EtE2
Di --------------------—------------------X
m2(wj — co2 -/X<o,) (wo -/Xco2)
1
X —------------------------------- , (41.12)
[w§ — (cd, + w2) —/X(co, + <o2)l
2е2Е1Е2к2
D2 ---------------1----------------------- X
Z772 (cOq — CO, —/XcO, ) (сОц — cof + /XcO2)
1 X ----------------------------.-------------- '
[cOq — (co 1 — U>2 > ~ /X(<O, — CO 2 )]
(41.13)
I ек \2
C=2 -------
\ 2mco0 '
E2 ........ ...... " •— — + (coo — co2)2 + X2co,
El
(COq -col)2 + X2CO2
(41.14)
Из (41.9) и (41.10) видно, что коэффициенты В и В* определяют нелинейную восприимчивость, описывающую генерацию второй гармоники по отношению к волне с частотой со,, а коэффициенты В2 и В2 — генерацию второй гармоники по отношению к волне с частотой <о2 • Коэффициенты D j и D* описывают процесс преобразования двух волн с частотами со, и со2 в одну волну с суммарной частотой со, + со2, а коэффициенты D2 и D2 связаны с генерацией в среде волны с разностной частотой со, — со2. Наконец, коэффициент С описывает появление постоянной поляризации в переменном электромагнитном поле (эффект "выпрямления света").
Из полученных формул следует, что все эти эффекты обладают существенной частотной дисперсией, так что в определенном интервале частот те или иные из этих эффектов могут оказаться преобладающими. Продолжая процесс итерации, можно аналогичным образом найти нелинейные восприимчивости третьего порядка.
ДОПОЛНЕНИЯ
Д1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА
В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Д1.1. Определение тензора. Скаляр, вектор, тензор — математические величины, которые определяются своими законами преобразования при поворотах системы координат. Это — абстракции, отражающие общие свойства реальных физических величин — таких, как плотность, скорость, напряженность поля, момент инерции и др. Именно с этим связано их широкое применение в физике.
Рассмотрим две декартовы системы координат — исходную и повернутую, имеющие общее начало (рис. Д. 1.1). Скаляром {инвариантом) называется величина, которая не изменяет своего значения при поворотах координатной системы, т.е. имеет одно и то же значение в исходной и повернутой системах координат:
= Я (Д.11)
Примерами скаляров могут служить плотность массы или электрического заряда р, расстояние между двумя точками 2 /время г и многие другие величины.
Вактором в трехмерном пространстве называется совокупность трех величин Аа (а= 1,2,3), которые определены во всех системах координат и преобразуются при поворотах по формулам
(Д-1-2)
(сумма по повторяющемуся значку & от 1 до. 3<). Здесь Ад (0 = 1,2, 3) - проекции вектора на оси исходной, а Аа (о = 1, 2, 3) — на оси повернутой системы координат; аад — коэффициенты преобразования, представляющие собой косинусы углов между 0-й осью исходной и о-й осью повернутой системы. Их можно записать через единичные векторы (орты) координатных систем:
ва0 = еа'е0- (Д.1-3)
Вектором является, например, совокупность декартовых координат точки, х1, хг, х3, образующая ее радиус-вектор; приращения координат dx,, dx,. dx, также образуют вектор, а поскольку приращение времени dt — инвариант, то отношения va - dxjdt образуют вектор скорости.
Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется девятикомпонентная величина Тад (а, 0=1,2,3), определенная во всех системах координат и преобразующаяся при поворотах координатной системы как произведения компонент двух векторов АаВд, т.е. следующим образом:
^а0 “ aapa0v'^pi,‘ (Д-1.4)
Читатель, по-видимому, знакам по курсу механики с тензором моментов инерции твердого тела.
Тензором s-га ранга в пространстве трех измерений называется 3*-компонентная величина Ги0...рь, преобразующаяся как произведение s компонент векторов:
^0'0' ... p’v’ ' ec/oe0'0 - * ap'pau‘if ^0 ... др- '-5^
Из приведенных определений ясно, что скаляр и вектор можно рассматривать как тензоры нулевого и первого рангов соответственно.
Матрица поворота аад обладает важным свойством — ортогональностью. Составим сумму по р:
аар3/Зр ~ <е0 ’ ер > •
24. М.М. Бредов 369
Поскольку орты fp.KSK и е'аобразуют ортогональный базис, можно записать (О, а + (3 3ар30р = Ч>/с?я = << , <Д16)
I 1, а « р, т е.
аар^р = Ла(з. (Д.1-71
Здесь величина Ьа^ = 1 при а =/3, Ьа& = 0 при а + /3 — символ Кронекера. Мы увидим ниже, что это — тензор II ранга.
Суммирование произведения элементов матрицы поворота по первому значку дает тот же самый результат;
Яра3д0 ~ s»|3 * (Д-1-8)
Равенства (Д.1.7) и (Д.1.8) выражают свойство ортогональности матрицы преобразования. Из них следует, в частности, что девять матричных элементов связаны шестью
соотношениями, т.е. только три из них независимы. Таким образом, произвольный поворот координатной системы задается тремя независимыми параметрами — например, тремя углами Эйлера.
Соотношения (Д.1.7) и (Д.1.8) можно использовать для построения обратной матрицы преобразования. Обозначив ее через а"' , будем иметь по определению обратной матрицы:
а" ‘а = аа"1 = 1,
или в подробной записи
Зарвц|3 = аам3дР ° 6а(3- (Д.1-9)
Из сравнения последнего уравнения с (Д.1.7)и (Д.1.8) находим:
аа'ц = (ДЛЮ)
Это означает, что матрица обратного преобразования получается из исходной заменой строк на столбцы и наоборот (транспонирование). Например, соотношение, обратное (Д 1.2), запишется в виде
~ (Д. 1-11)
В качестве упражнения рекомендуем читателю самостоятельно показать, что определитель матрицы поворота равен единице.
Д 1.2. Операции над тензорами. Определим сумму тензоров и как тензор
Qa@, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент тензоров-слагаемых, т.е.
Оад = Тад + . (Д. 1.12)
Складывать можно только тензоры одинакового ранга!
Под произведением скаляра X на тензор будем понимать тензор того же ранга, компоненты которого равны произведениям скаляра на компоненты исходного
тензора, например,
Qap~Wa0' (Д-1.13)
В том, что Qag в обоих случаях — тензор, если и Pop — тензоры, а X — скаляр, можно убедиться, проверяя закон преобразования Qap.
При перемножении компонент двух тензоров (без суммирования их по каким-либо индексам) получается тензор, ранг которого равен сумме рангов тензоров-сомножителей. Проиллюстрируем это на примере умножения тензора I ранга Аа на тензор II ранга Тру . Обозначим Qapy = Аа Тру. В штрихованной системе по определению
~ Аа '0у
Пользуясь формулеми (Д.1.2) и (Д.1.4), находим
@ос0у = Bafi^puBye ^fi^ve = Дадв^ра-уеОдре • (Д.1.14)
откуда следует, что Qapy- тензор III ранга.
Свертывание тензора — это суммирование его по двум значкам, которые приравниваются. В результате свертывания ранг танзора уменьшается на две единицы. Свернем, например, тензор III ранга Qapy по первым двум значкам. Получающаяся величина Qaay представляет собой тензор I ранга (вектор), что прямо видно из равенства (Д. 1.14), если вспомнить, что aaflaav = 6дУ и индекс суммирования (немой значок) можат быть любым:
Qaay ~ ауе
Согласно (Д.1.2), величина Оаау — вектор.
При свертывании тензора II ранга получается тензор нулевого ранга — инвариант:
Таа ~ inv- (Д. 1.15)
Следовательно, сумма диагональных компонент тензора II ранга не изменяется при поворотах системы координат.
Рассмотрим еще некоторые дифференциальные операции. Найдем закон преобра-3
зования оператора градиента -- (а = 1,2, 3). Имеем
Эха
3 Зхд 3 3
ГТ = “— = Да/3 “— (Д.1.16)
Зха Ъха дхр " дхр
Следовательно, согласно (Д.1.2), оператор гредиента — вектор. Умножение его на 3^>
скапяр ^(х,,х2,х3) приводит к вектору ----- , а умножение на вектор Ар(х,,х3,х3)
Эха
дает тензор II ранга (а,0= 1,2,3). Свертка последнего тензора по определению дха
есть дивергенция вектора:
= div/l = inv. (Д.1.17)
3xQ
В заключение предоставляем читателю самостоятельно доказать следующее полезное утверждение: асли Аа и Вр — векторы и во всех координатных системах между ними существует связь вида Аа = еарВр. то — тензор 11 ранга.
Д 1.3. Симметрия тензоров. Тензор II ранга называется симметричным, если он не изменяется при перестановке индексов:
Sap ~ S|3q • (Д. 1.1В)
Симметричный тензор содержит 6 независимых компонент. Если же при такой перестановке меняется знак, то тензор называется антисимметричным'.
Аар=-Ара. (Д.1.19)
Антисимметричный тензор имеет всего 3 независимые компоненты. Его диагональные компоненты — нули. Понятие симметрии и антисимметрии нетрудно распространить и на тензоры более высоких рангов.
Произвольный тензор второго ранга Тар можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:
= §а0 + А<х0 •
где 1
S<x|J= ~ (Тар +
1
А&0 ~ ~ ~ Tffa}.
(Д.1 20)
(Д.1 21)
Компоненты тензоров могут быть как действительными, так и комплексными величинами. Во втором случае важную роль играют понятия эрмитова и анти эрмитова тензоров. Тензор II ранга называется эрмитовым, если он удовлетворяет соотношению
7*0 = Тра. (Д.1.22)
где звездочка означает комплексное сопряжение. Определение антизрмитова тензора:
(Д-1-23>
Произвольный тензор II ранга можно представить в виде суммы эрмитова и анти-эрмитова тензоров:
То0 - Thap + Т$. (Д.1.24)
где
т'а0 = + T^^[Tall-T*0a). (Д.1.25)
Отметим некоторые свойства таких тензоров. Свертка эрмитова и антизрмитова тензоров — величина чисто мнимая. Действительно, с л мощью (Д.1.22) и (Д.1.23) получаем
lah _ T/i „ah = Th „ah
' a0ra0 ' 0ar0a ' atTafi'
что совпадает с определением мнимого числа. Аналогичным путем нетрудно убедиться в том, что и действительные величины.
Д1Д. Инвариантные тензоры Ьар и еару. Пусть в некоторой координатной системе симметричный тензор Ьар имеет компоненты, равные 0 при а р, и равные 1 при а = 0. Такой тензор называется единичным симметричным тензором II ранга. Найдем значения его компонент в повернутой системе:
&ар~ во^аруЬрр - аа^а0ц = bap. (Д.1.26)
Таким образом, единичный тензор bap во всех координатных системах имеет один и тот же вид, несмотря на преобразование по правилу (Д.1.4). Он является инвариантным тензором.
Определим единичный антисимметричный тензор III ранга еа0у в исходной координатной системе следующими условиями:
1.е|13=1. (Д.1.27)
2. Тензор меняет знак при перестановке любых двух индексов, т. е.
hficcy = ~~ еа0у = еау0 = • . (Д. 1.28)
Отсюда следует, что значения компонент л^ру могут быть равными только ± 1 или 0:
е12> = еЭ|2 = е23| = 1, е,,, = е3,, = е, 3! = - 1,
все остальные еар7 , у которых хотя бы два индекса одинаковы, равны нулю.
Символ еару удобен при записи векторных произведений и роторов. Вспоминая определение векторного произведения и пользуясь определением еару, можем записать следующие полезные формулы:
[А X Д] у - &а0у Aq Др, (Д. I -29)
ЭАд
rot7 А = (V х А ] у = еару . (Д. 1.30)
Найдем вид тензора о^0у в повернутой системе координат:
ea0y ~ ааца0ааусецае ~ ^а^^0^^еу^ерае = ^еа х е0^ 'еу = еа0у ' (Д.1.31)
Второе равенство здесь написано на основе (Д-1.3), а третье — с помощью (Д-1.29). Мы видим, таким образом, что тензор еару, как и является инвариантным — его компоненты одинаковы во всех координатных системах.
Пусть имеется некоторый антисимметричный тензор II ранга Bag = — Вяа- Составим вектор
1 еа^уВ^у- (Д.1.32)
Так образованный вектор называется вектором, дуальным тензору В$у Тензор Вру который имеет три независимые компоненты, и вектор Аа несут в себе абсолютно одинаковую информацию, так как фактически дело свелось к переобозначению компонент:
А, =В2}, А,=—В13, Л3=В,,. (Д.1.33)
Всякому антисимметричному тензору II ранга можно сопоставить дуальный вектор.
Д1.5. Приведение симметричного тензора II ранга к диагональному виду. Пусть имеется действительный симметричный тензор II ранга Sa(> = Spa-Рассмотрим направление в пространстве, определяемое единичным вектором л, который удовлетворяет следующему условию:
So^n^ = Ала, (Д.1.34)
где Л — некоторое неизвестное пока число (скаляр). Направления, удовлетворяющие условиям (Д.1.34), называются главными направлениями, а величины X — главными значениями симметричного тензора II ранга. Докажем следующую теорему:
Действительный симметричный тензор II ранга имеет не менее трех взаимно перпендикулярных главных направлений и не более трех вещественных главных значения.
Установим сначала вещественность главных значений. Дпя общности не будем предполагать, что вектор я действителен. Умножив (Д. 1.34) на л„. будем иметь
= Knana- (Д 1-35)
Произведя комплексное сопряжение обеих честей последнего равенства, использовав действительность и симметрию Sap, а также поменяв немые значки, получим
naSaffnp = Х*пкЛа. (Д.1.36)
Сравнение правых частей последних двух равенств доказывает действительность А:
А = А*. (Д.1.37)
Для нахождения возможных значений А рассматриваем (Д.1.34) как систему однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных ла (а = 1,2, 3). Для совместности уравнений необходимо приравнять нулю определитель системы:
s,, - х s12
Stl Six - А
Sj, Sj х
S2 з
(Д-1.38)
Это — алгебраическое уравнение 3-й степени относительно А, причем его корни вещественны. как было показано выше. Итак, имеем корни А^.А^.А^.В общем случае ^(1) ф (2) ^.^(3)" хотя возможны и кратные корни А^ = Л^2’ # А^ или А^*» = = Х(2»-Л<3>.
Рассмотрим сначала случай различных корней. Подставляя в (Д.1.34) поочередно д(1), х^3\ можем выразить две проекции каждого из векторов л^*\л^2\л^3^
через третью, которая определяется из условия нормировки, л^1 ^л^1^ = 1 и т.д. Все три проекции действительны, так как коэффициенты уравнений (Д.1.34) — действительны. . ...
Для доказательства взаимной перпендикулярности л^ и л^ запишем уравнение
S^nj” = А(,)ЛО(,); (Д.1.39)
умножаем его на л^2* и суммируем по а:
n^’s^nj" . A<'W>.„<2>). (Д.1.40)
Поменяв местами индексы (1) и (2) .будем иметь
(Д.1.41)
Вычитая эти равенства почленно и учитывая симметрию Sap - Spa . получим
откуда
Я0).„(2> = 0 при Х<'>#Х<2>,
(Д.1.42)
что и требовалось доказать. ... ...
В случае двух кратных корней (X' ' = Х'2') из трех уравнений системы (Д. 1.34) только одно независимое, а два других — его следствия. Поэтому опреде-
лятся неоднозначно — в плоскости, перпендикулярной л^3\ можно выбрать любую пару взаимно перпендикулярных направлений. Наконец, при Х^*^ = Х^2^ = Х^^ любое направление в пространстве является главным, поэтому любые три взаимно перпендикулярные оси можно принять за главные направления.
Важное значение главных направлений состоит в следующем: если совместить оси координат с главными направлениями, то тензор примет диагональную форму.
/ Х<«> 0 0
IS'ap) = 1 0 х<2> 0
\ 0 0 Х<3)
(Д.1.43)
причем на главной диагонали будут стоять его главные значения. В этом можно убедиться, записав уравнения (Д.1.34) в главных осях, в которых л’,0,0), л'(2\о, 1,0) , л'(3\о,0,1). Непосредственно из равенств (Д.1.34), записанных для Х<’> и nJ* >, имеем S',, =Х^*\ Sj, = S,, =0 и т.д.
Зададимся вопросом — а можно ли привести к диагональному виду антисимметричный тензор В^ = — Вра? Как мы видели выше (см.формулы (Д.1.33)), такой тензор эквивалентен вектору, и самое большее, что можно сделать путем поворота координатной системы — это совместить одну из осей с направлением вектора. В результате останутся отличными от нуля только две недиагональные компоненты тензора, например, В3, = — Bi2 # 0. Но их уже невозможно обратить в нуль.
По аналогичной причине нельзя поворотом координатных осей придать диагональную форму эрмитову тензору (с Im * 0). Как следует из определения (Д.1.33) , Im Тар является антисимметричным действительным тензором, дуальным некоторому действительному вектору. Поэтому поворотом координатных осей можно диагонализировать только Re .который представляет собой действительный симметричный тензор. При этом у останутся по меньшей мере два чисто мнимых недиагональных элемента.
Д1.6. Преобразование тензоров при инверсии системы координат. Псевдотензоры. Выше мы рассматривали только повороты системы координат. Важное значение в физике имеет преобразование инверсии:
= (Д.1.44)
т.е. зеркальное отражение координатных осей, или замена знаков координат. Заметим, что инверсии достаточно подвергнуть одну ось, так как отражение трех осей сводится к отражению одной из них и повороту на угол я в плоскости, перпендикулярной отраженной оси.
Величины, преобразующиеся как координаты при поворотах, могут по-иному вести себя при инверсии. Примером является угловая скорость тела: ее направление определяется направлением вращения, а последнее не изменяется при зеркальном отражении, в чем каждый может убедиться, рассматривая в зеркале диск проигрывателя или волчок. Поэтому при инверсии координатной системы проекции угловой скорости не изменяют знака:
тогда как проекции линейной скорости или радиус-вектора изменяют знак, vx = v'z=-vz и т.д.
Существуют, таким образом, два типа векторов. Те векторы, которые ведут себя "нормальным образом", т.е. их проекции изменяют знак при инверсии координатных осей, называются истинными или полярными векторами. Те векторы, проекции которых подобно угловой скорости или векторному произведению двух полярных векторов не изменяют знака при инверсии координатных осей, называются аксиальными или псевдовекторами. Впоследствии мы увидим,что напряженность электрического поля — полярный, а напряженность магнитного поля — аксиальный векторы.
Если исходить из геометрического определения вектора, т.е. рассматривать его как направленный отрезок, "стрелку", то истинные, или полярные, векторы будут характеризоваться тем, что их ориентация никак не зависит от выбора системы координат. В связи с этим их проекции на оси исходной и инвертированной координатных систем будут иметь разные знаки. Таковы радиус-вектор г фиксированной точки, скорость частицы v, импульс р, сила F, напряженность электрического поля £’ и многие другие.
Аксиальные же векторы, такие, как угловая скорость ш, момент импульса М = = г X р и, вообще, любое векторное произведение двух полярных векторов, характеризуются тем, что их направление вдоль некоторой заданной прямой устанавливается по соглашению. Например, направление г х р можно условиться определять по правилу левого или по правилу правого винта, и оба эти определения одинаково возможны. Поэтому направление аксиального вектора, рассматриваемого как "стрелка", изменяется на противоположное при инверсии координат, а его проекции в исходной и инвертированной системах одинаковы.
Сформулированное выше определение полярных и аксиальных векторов распространяется и на тензоры произвольного ранга. Тензор s-го ранга называется истинным или полярным, если его компоненты при инверсии приобретают множитель (—1)\ и псевдо тензором, если его компоненты умножаются на (—1)i+l. В частности,скалярное произведение радиус-вектора на вектор угловой скорости (шт) является псевдоскаляром: в отличие от истинного скаляра оно меняет знак при инверсии координат .
Дополнительные сведения о трехмерных векторах и тензорах со знтительным числом примеров и задач читатель найдет в учебных пособиях (16, 20].
Д II. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕНЗОРАХ
В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ДП.1. Связь между четырехмернымн и трехмерными тензореми. Собственное преобразование Лоренца является шестипареметрическим и включает в себя как равномерное и прямолинейное движение координатных систем с произвольно напрев-ленной относительной скоростью, так и их взаимный поворот **. Мы рассматриваем всюду в этой книге частный вид такого преобразования — относительная скорость направлена вдоль оси х1, пространственные оси системы S' повернуты относительно осей системы S на нулевой угол. Но все основные выводы и заключения, сделанные ренее на основе преобразования Лоренца частного вида, сохраняют силу и для общего случая, лишь выкладки оказываются более громоздкими. Таким образом, пространственные повороты входят в общее преобразование Лоренца как один из его элементов.
Учитывая это замечание, легко выяснить, как преобразуются 4-тензоры разных рангов и их отдельные компоненты при пространственных поворотах. Всякий 4-скаляр, очевидно, является инвариантом и по отношению к вращению пространственных осей; любой 4-вектор А1 при пространственных поворотах расщепляется на 3-скаляр Д° и 3-вектор Аа (а = 1, 2, 3), так как А° преобразуется как время (инвариант относительно простренственных поворотов), а Аа — как координаты (радиус-вектор).
Симметричный 4-тензор II ранга Tik = Tki содержит в себе симметричный 3-тензор Та@, 3-вектор Аа = Т°а = 7°, и 3-скаляр 7® °. Антисимметричный 4-тензор II ренга Fik = — Fkiрасщепляется на антисимметричный 3-тензор Fa^=—F^a и 3-вектор Аа = FOa = — Fa0. Но антисимметричный 3-тензор эквивалентен (дуален, см. Д I. 4) 3-вектору; этот 3-вектор будет аксиальным, если тензор — истинный (полярный). Таким образом, антисимметричный полярный 4-тензор Fik эквивалентен двум незави-
•) Если к этим преобразованиям добавить инверсию пространственных осей (осьх“ не меняет направления!), то совокупность всех указанных преобразований образует полную (общую ортохронную) группу Лоренца. Добавление к ней трансляций по всем четырем осям приводит к неоднородной группе Лоренца (или полной группе Пуанкаре [18]).
симым 3-векторам — полярному р и аксиальному а :
/ 0 Рх Ру
.. 1~РХ 0 Of
,F ’’ 1 ~az 0 ax I (ДЛ.П
\~Pz ву ~ax 0 /
Рекомендуем читателю с этих ПОЗИЦИЙ рассмотреть структуру антисимметричного
4-тензора электромагнитного поля, введенного в § 9, ч. I.
Д 11.2. Теорема Остроградского — Гаусса в 4-пространстве. В § 13, 16, ч. I мы используем теорему Остроградского — Гаусса в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве. Хотя обобщение этой теоремы с хорошо известного читателю трехмерного случен на четырахмерный довольно очевидно, мы ниже приведем ее доказательство на физическом уровне строгости для тех читателей, для которых этот вопрос недостаточно ясен.
Начнем с определения элемента трехмерной гиперповерхности в 4-пространстве. В 3-лространстае элементы поверхностей, ориентированных перпендикулярно осям координат, выражаются в декартовых координатах произведениями dS = ± dydz, dSy^ ± dzdx, dSz ” ± dxdy. Знаки ппюс ипи минус зависят от того, в какую сторону неправлена нормел ь к площадке.
В 4-пространстве элемент гиперповерхности, перпендикулярный оси х® — это элементарный трехмерный объем: dV*dx1 dx*dx*. Но нормаль к этому элементу может быть ориентирована как вдоль х° (в будущее), так и против х® (в прошлое). Поэтому направленный элемент гиперповерхности может иметь оба знака: dSa = = ± dxldx‘‘dxz. Аналогичным образом записываются и три оставшихся элемента гиперповерхности, перпендикулярные пространственным осям:
dSi - ± dx’dx’dx3, dSl = ± dx’dx‘o(x3, dS3= ± dx’dx‘dx3.
Ниже мы увидим, что эти величины составляют ковариантный 4-вектор.
Рассмотрим малый элемент 4-простренства, Д4х, имеющий форму прямоугольного 4-паралпелепипеда с ребрами Дх®, Дх1, Дх1, Дх3, парелпепьными координатным осям. Восемь его граней образуют замкнутую трехмерную гиперповерхность а. Составим интеграл
f A'dSj
(в)
по указанной малой замкнутой гиперповерхности, где А1— произвольный интегрируемый 4-вектор, зависящий от координат. Этот интеграл представляет собой сумму интегралов по восьми граням, ограничивающим 4-паралпелепипед. Рассмотрим два интеграла по греням, перпендикулярным оси х® :
/Д®(х® + Дх®, х*, х3,х3 }dxidxtdxs — (А° {х0,xlrxt,x,}dxldx1dx> *
ЭД® ЭД®
%----Дх° Дх* Дх1 Дх3 = ---Д4х.
Эх* Эх®
Мы воспользовались малостью граней и учли только члены низшего порядка. Аналогичные результаты дадут остальные пары слагаемых, так что
ЭД*
fA'dSf*—рД4х. (Д.П.2)
(а) э*
Поскольку в правой части Д4х = inv (см. § 2, ч. I) и ЪА^Ъ>^ = inv (см. § 2, ч. I), той произведение A*dSj в левой части должно быть инвариантом. Иэ этого следует, что dSj — ковариантный 4-вектор.
Распространим теперь результат (Д.11.2) на конечный 4-объем П. Разбив его на малые параллелепипеды и суммируя обе части (Д.11.2) по всем таким параллелепипедам, получим:
. ЭД*
X f A dSj « Е —гД4хл.
°(вв) ° Эх
Интегралы по внутренним граням, общим для двух параллелепипедов, сократятся ввиду того, что элементы dSi будут иметь на этих гранях разные знаки, и в левой части останется лишь интеграл по внешней гиперповерхности Е, охватывающей рассматрива
емый 4-объем П. Правая часть в пределе перейдет в интеграл по 4-объему, и равенство станет точным:
. ьа‘
f A‘dSj = /-----Г d*x. (Д.Н.З)
(1) (Я) Эх'
Оно и выражает собой теорему Остроградского — Гаусса в 4-пространстве.
ДIII. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
Классическая механика, основы которой были сформулированы Ньютоном, явилась первой физической научной теорией в современном понимании. Она послужила основой для развития других областей теоретической физики: электродинамики, квантовой механики, статистической физики, теории элементарных частиц и т.д. Математические методы и многие понятия, разработанные в классической механике, широко используются в других разделах теоретической физики. Вариационный принцип является одной из наиболее глубоких идей, внесенных классической механикой в классическую и квантовую теорию поля. Поэтому естественный путь введения его в классическую теорию поля — это предельный переход от механики дискретных точечных масс к механике непрерывной системы.
Д 111.1. Колебания упругой среды как предел колебаний дискретных точечных масс. Рассмотрим линейную цепочку точечных масс т,соединенных пружинами одинаковой жесткости!: (рис. Д. 111.1). Вспомним описение движения такой системы в классической механике. Вводятся обобщенные координаты оя( г) — отклонения точечных масс от равновесных положений. Кинетическая Т и потенциальная (/энергии системы даются выражениями:
1 N 1 N
Т----X (/ = — S *(<?„ +!-<?„)’. (Д.111.1»
2 п = 1 2 п = I
Будем считать крайние массы закрепленными в равновесных положениях, так что <7) ~ QN = О при всех f-
Уравнения движения системы можно получить из условия стационарности действия
Ч
6S = 0, где S = / Hqn,qnMt.
'i
1
= Г-I/= — L -*(<?„ + ! - q„)2 ]. (Д.111.2)
2 п
Условие 6S = 0 приводит к уравнениям движения в лагранжевой форме
d t>L dL
-------------=о, (Д.Н1.9 dt bqn bqn
которые при подстановке (Д.111.2) принимают вид
mqn-l<(qn+ ! -<7„)+*(<7„-<7„_i) = O. (Д.111.4)
Будем рассматривать нашу механическую систему как дискретную модель упругого стержня. Чтобы наша модель стала адекватна тому, что принято в механика сплошной среды называть упругим стержнем, необходимо выполнить предельный переход к непрерывной системе (число масс будет стремиться к бесконечности, в равновесное расстояние а между ними — к нулю). Нас будет особенно интересовать, как модифицируются при таком предельном переходе функция Лагранже и вариационный принцип. Но мы начнем рассмотрение с предельного переходе в уравнениях движения.
Поделим обе части (Д.111.4) на ревновесную длину одного звена а и перепишем это равенство в виде
m .. (Чп +1 ~ Чп\ [Чп-ап-1\
~q„-ka\------------ + *а(-------- =0. (Д .111.5)
а \ а1 / \ а2 /
Рис. ДН1.1.
Отношение т!а = ц представляет собой массу, приходящуюся на единицу длины стержня. Эта масса должна рассматриваться как постоянная. Произведение ка входит
в выражение силы, действующей между соседними массами: F = k(qn + j — qn) = Яп + 1 ~ Яп Яп+1~Яп
= ка---------: Отношение { =---------представляет собой относительное удлине-
а а
ние одного звена; вспомним, что по закону Гука F = ЕЧ, где £ — относительное удлинение, Е — модуль Юнга — одна из упругих постоянных вещества. Таким обрезом, ка^Е имеет смысл модуля Юнга и должна считаться постоянной при предельном переходе.
Введем, далее, равновесную координату л-го узла: хп = па. Для дискретной системы она меняется скачками, но при предельном переходе а — 0, п -» «> величина х становится непрерывной переменной (декертовой координатой). Рассматривая а к£к малое приращение координаты х, имеем
Яп + 1-Яп qlx+a)-q(x) Эр(х) ----------.-------------- « ---- .
а а Эх
аналогичным обрезом
Чп-Яп-1 dqtx — a)
а Эх
следует помнить, что q зависит также и от t. С учетом введенных обозначений уревнение (Д. II 1.5) приобретает вид
Э’р Е Г/ Эр \ [ bq \ I
д —( — - —) =0.
Эг’ а Эх / л- \ Эх /х-в 1
Наконец, резкость первых производных в близких точках, деленную на а. заменяем второй производной по координатам и получаем .уравнение движения упругого стержня
Э’р Э*р
д-------Е------ =0. (Д.111.6)
ъе эха
Это — волновое уравнение, которое можно переписать в виде
1 B3q d2q
-------- ------=0, (Д.Ш.7) cj at3-эх2
где с/ - \jEln' — скорость продольных волн.
Теперь обратимся к функции Лагранжа (Д. III.2) и выполним предельный переход также и в ней:
1 Гт . /Яп+1~Яп\2~\ * 1 /э’\2 (ЪЯ V]
1 = ---------1 -----(И- -£ —) <**• (Д.111.8)
2 nt а \ а / J 2ь\ЭГ/ \ Эх / J
Сумма по всем частицам при таком предельном переходе превращается в интеграл по координате. Функция,стоящая под знаком интеграла.называется платностью функции 378
Лагранжа или лагранжианом:
„ILpY.^yl
21 \ЭГ/ \Эх / J
(Д.111.9)
Итак, мы получили следующее правило перехода от механики материальных точек к механике непрерывных систем:
1. Номер частицы п переходит в координату х.
2. Обобщенная координата qn( t) становится функцией координаты и времени: 0(х, t) или, а случае движения по всем трем измерениям, qtr, f). Число обобщенных координат, задающих состояние непрерывной среды, может быть произвольным. Например, при трехмерном движении упругой среды вектор деформации имеет три составляющие, Qo(r, г), а=1, 2, 3. Электромагнитное поле описывается в каждой точке четырьмя обобщенными координатами — компонентами 4-потенциала Д,(г, t), / = 0, 1,2, 3, и т.д.
3. Функция Лагранжа выражается в виде интеграла по координатам от лагренжиана, который а рассмотранном выше примера зависит от первых производных обобщенных координат (полевых функций) . В общем же случае он может зависеть также от самих обобщенных координат q1 (г, г), а также от пространственных координат г и времени t:
/ , t>q‘ t>q‘ X
£ = £lq',----,------(Д.111.10)
\ Эх dt /
4. Поскольку функция Лагранжа 4. становится интегралом по пространству, действие S выражается в виде интеграла по четырахмерному многообразию:
/ ,'дЧ1 dq‘ \
S=/£(q'------, -----, г, tld’xdt.
\ Эхо ЭГ /
(Д.111.11)
Мы используем в (Д.111.10) и (Д.111.11) верхние индексы. Но они в денном случае не обязательно нумеруют контравариантные компоненты какого-либо 4-вектора.
Д1Н.2. Лагреижева форма уравнений движения непрерывной среды. Выясним теперь вопрос о том, как следует формулировать вариационный принцип для непрерывных систем, с тем чтобы из него следовали уравнения движения. Это будет сделано на основе аналогии с механикой материальной точки, выясненной в деталях в Д 111.1.
Роль обобщенных координат для непрерывной системы играют полевые функции г/(г, г). Индексом 7 и простренственными координатами г нумеруются теперь степени свободы системы, которые составляют континуальное множество. При верьирова-нии действия обобщенные координаты q'(r, г) должны получать малые независимые приращения б?*(г, г), не связанные с изменением координат и времени, подобно тому как в механике материальных точек вводится вариация t>qn( t) в фиксированный момент времени и для фиксированной степени свободы п. На границе области интегрирования в (Д.111.11), т.е. на трехмерной гиперповерхности X, обобщенные координаты должны иметь заденное значение и их вариации обращаются в нуль:
&q‘(r, t)l2 =0. (Д.111.12)
Имея в виду эти замечания, призванные подчеркнуть аналогию с механикой системы материальных точек, мы можем теперь сформулировать вариационный принцип для непрерывной системы следующим образом.
Реальная эволюция непрерывной системы в пространстве и во времени при заданных значениях ее обобщенных координат на границе 4-мерной области происходит таким образом, что действие 3 имеет стационарное значение, т.е. его первая вариация обращается в нуль:
65 = 0. (Д.111.13)
Переходя к вычислению первой вариации действия, используем здесь сокращенные обозначения для производных:
Ьч‘ , bq*
----- — q a (о = 1, 2, 3); ----- q ..
Эхо • ЭГ
Это позволит упростить запись получаемых соотношений.
Рассматриваем действие как функционал от обобщенных координат и вычисляем в первом порядке по bq1 разность
bS = S(q4r, t) + bql{r, t)l -SkHlr, t)l = (dt dt dt 1
= ?/{ — bq> + —r dq' + —~bq‘L d’xdt. (Д.111.14)
' (dq dq‘ ' dq‘ ’“J
. a
Здесь входит записанная явно сумма по всем значениям индекса 7 (т.е. по всам компонентам полевых функций), а в последнем слагаемом под интегралом — не выписанная в явном виде сумма от 1 до 3 по декартовым координатам ха.
Пользуясь тем, что операция варьирования 6 совершается при постоянных г и t и, следовательно, перестановочна с операцией дифференцирования, записываем . Э а
6«'f=—bq1, dqla~ — bq1 dt ’ dxa
и интегрируем соответствующие члены в (Д.111.14) почестям:
Э£ . Э£ id dt \ .
/—г bq'd3xdt = fd3x —- bqHr, t)|_- fl----------Ud’lr, t)d3xdt. (Д.1Н.15)
dq‘t ’ dq<t г \dt dq'J
Аналогичным образом dt dt
/—— bq1,xdlxdt= fd3Sadt~- - bq'(r, r)| -
4'» ’ 4
/d dt \
— fl---- —-)й«/'(г, t)d3xdt. (Д.1П.16)
Здесь d3Sa — проекция элемента двумерной поверхности на ось ха.
Выделившиеся члены, которые должны интегрироваться по трехмерной гиперповерхности, обращаются в нуль в силу (Д.111.12). Уравнение (Д.111.13) с учетом (Д.111.14) — (Д.111.16) принимает вид (dt d dt d dt i
—------------------—-}бг?'(г, t)d’xdt = O. (Д.1Н.17)
dq' dt dq't dxa dq'ai
Поскольку как область интегрирования, так и вариации произвольны, то из (Д. 111.17) получаются следующие уравнения движения непрерывной среды в лагранжевой форме :
Э£ d dt d dt
—----------------------- = О, (Д.111.18)
dq‘ dt dq‘t dxa dq‘a
где f принимает весь набор возможных значений (суммирование по а!). Рассмотрим два примера вывода конкретных уравнений эволюции волновых попей из уравнений Легранжа (Д.111.18).
1. Возьмем лагранжиан (Д.111.9). Находим
dt dt dq dt dq
— = о, --------- ц-, -------- •= — £
dq dq t 3t dq x dx
*) В уравнениях (Д.1П .15) — (Д.111.18) мы пишем, как это принято, прямые производные d/dt и d!dxa. Это означает, что в лагранжиане £ должна учитываться как явная зависимость от ха и г, так и зависимость от этих переменных чераз посредство q1 и их производных. Но ха и г для непрерывной системы, в отличие от механики материальной точки, в саг да независимые переменные, поэтому, например,
d , э<7(>«, 0
----Q' .--------..
dt dt
и уравнение движения
Э’д Э’д
М-------Е------ = 0
at’ Эх’
которое совпадает, как и следовало ожидать, с (Д. II 1.6).
2. Рассмотрим комплексное скалярное поле ф(г, t) = g’ (г, t) + iq2 (г, г). Зададим лагранжиан в виде
7h / Эф * Эф\ h’ Э^/ Эф*
£-------U------ф*—) +-----------------+ ифф*, (Д. III. 19)
2 \ Эг dt/ 2т dxa Эха
где т, h — постоянные, U(r, t) — заданная действительная функция координат и времени. Лагранжиан (Д.111.19) и действие S действительны, несмотря на то, что ф — комплексная величина. Комплексная ф эквивалентна двум действительным полям, q' и q2. Вместо того, чтобы считать независимыми вариациями бд’ и &q2, более удобно выбрать в качестве таковых их линейные комбинации:
6q* + idq2 = 6ф и 6ql — ibq2 = Ьф*.
Уравнение (Д.111.18) при варьировании действия по ф * примет вид
Э£ d dt d dt
= 0. (Д.111.20)
W't
дф * dt dxa 8<a
Вычисляя
Э£ ih dt ih dt h2 дф
дф * 2 dt + С/ф, дф*г = — 2 2m dxp
находим уревнение поля:
дф h’
/Ь— =--------Дф+иф. (Д.111.21)
Эг 2т
Это — уравнение Шрёдингера для волновой функции нерелятивистской частицы в потенциальном noneUir, г), если h и т — постоянная Планка и масса частицы.
Когда лагранжев метод применяется в теории поля, вид лагранжиана не выводится путем предельного перехода из функции Лагранжа какой-либо механической системы, как мы это далали в случае лагранжиана (Д.111.9), так как электромагнитное и другие поля не могут быть сведены к механическим моделям. Вид лагранжиана обычно постулируется на основе тех или иных соображений. Примеры такого подхода читатель и мал выше (где, однако, лагранжиан был записан без всяких аргументов) и найдет в §13, ч. I, где подробно обсуждается выбор лагранжиана электромагнитного поля.
Д IV. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
Д IV.1. Определение и общие свойства. К понятию б-функции мы приходим при попытке описать плотность заряда р(г) для точечной частицы. Пусть частица находится в начале координат и имеет заряд е. Тогда, очевидно, функция р(г) должна обладать следующими свойствами:
1. р(г) = 0 при г Ф 0. (fl.IV.D
2. При г-> 0 плотность р(г) должна возрастать столь быстро, чтобы
/ p(r)d3x = e, (fl,IV.2)
(ДИ)
т.е. интеграл, взятый по любому объему ДИ, включающий точку, где находится частица, имел конечное значение, равное заряду е.
Записав р(г) =еб(г), мы получимиэ (A.IV.D - (Д.IV.2) условия, определяющие трехмерную 6-функцию:
1. 6(г) = 0, г*0,
(Д.1И.З) 6(г) -► ОО, Г-* 0.
2. f 6(r)d3x = 1. (Д.1У.4)
(ДИ)
Аналогичными соотношениями определяется одномерная 6-функция:
6 (х) = О, х У 0; 6(х) —°°, х-«0; (Д.1У.5)
f b(x)dx = 1, A
где Д — отрезок оси х, включающий точкух = 0,5-функция относится к классу сингулярных обобщенных функций. Она приобретает точный смысл лод интегралом. Рассмотрим интеграл от произведения 6-функции на произвольную непрерывную и ограниченную функцию f(x) :
Х2
f bix)fix)dx.
х2
Поскольку 6 (х) = 0 при х у О, то вклад в интеграл дает только малая окрестность е точки х = 0, в которой f (х) постоянна и равна f (0):
s 6 (х)6(х) dx = 6(0). W.IV.6)
Далее, путем замены перменной х нах — а находим:
f 2 6(х —a)6(x)dx = 6(а), (Д-IV.7)
если промежуток (х,,х2) включает точкух = а. Равенства (Д. IV.5), (Д-IV .6) показывают, что 6 (х) — четная функция своего аргумента:
6(х) = 6(-х). (Д-IV.8)
С помощью последнего свойства, вводя переменную I а I х - у, убеждаемся в справедливости соотношения
f b(ax)f(x)dx = — 6(0). (fl.lV.9)
x, ,a 1
x2
Наконец, рассмотрим интеграл f 6 tg (x)) f (x) dx, в котором в аргументе 6-функции *i
стоит некоторая гладкая функция д (х). Вклад в интеграл дают только точки, в которых д (х) =0, т.е. действительные корни функции д (х). Обозначив их чераз а,, можем написать
х2 ai+(
j 6 tg(x))f(x)dx = s j 6 (£(x))6(x)dx,
X) i Uf-e
где e— малое число. Если f (x) — непрерывна, то на отрезке [а,- —е,а,- +е] можно заменить f (х) на f (а,-), а д (х) аппроксимировать первым членом разложения:
ff(x) = ff'(a,j(x — а().
В итоге, используя (Д-IV.9),получим
/ 6(jr(x)) 6(x)dx = I
—----------6 (а,).
1«г’(а,-)1
(Д-IV. 10)
Это свойство 6-функции можно записать в виде символического равенства 6(«г(х)) = Х _!-------6 (х — a,-). (fl.IV.H)
i iff'la;) I
Если д' (a/) =0, т.е. а,- — кратный корень, то соотношения (Д-IV.10) и (Д-IV.11) теряют смысл. Точно так же не имеет смысла произведение 6 (х) 6(х), если функция f (х) обладает особенностью при х = 0.
Можно определить также производную от 6-функции. Точный ее смысл содержится в формуле
'2
f fix)
дб(х-а) Эб(а)
--------dx --------
Зх да
(A.IV.12)
которая получается интегрированием по частям. Аналогично определяются производные высших порядков:
/ f(x)6('')(x-a)cfx = (-1)'7('’)te). (7l.IV.13)
xi
Функция 6 (х) может рассматриваться как производная от ступенчатой функции 0 (х) . Это следует из очевидного соотношения
х
/ 6 (x)dx = 0(х) =
xi
1, х > О, О, х < О,
(fl.lV.14)
где нижний предел интегрирования х1 — любое отрицательное число. Дифференцируя это ревенство по х, получаем
0'(х) = Ь (х).
X
(fl.lV.I5)
Трехмерную 6-функцию можно рассматривать как произведение трех одномерных 6-функций:
6(г—я) = 6 (х — av)6 (у — ar)6 (г — аг). (fl.lV.16)
Поэтому все рассмотренные выше свойства одномерных 6-функций легко обобщаются на трехмерный случай.
Д IV.2. Некоторые представления 6-функции. Наглядное представление о 6-функции и ее производных можно получить, рассматривая график некоторой непрерывной функции 6е (х — а), такой, что
/ 6€(х — a)dx = 1.
А
Рис. Д17.1
Параметр е характеризует ширину интервала, в котором 6€ (х —а) отлична от нуля (рис. A.IV.1). 6-функция и ее производные определяются как пределы
6 (х — а) = lim б€(х—а),. г-»0
Эб(х— а) Эбе(х — а)
--------- = lim -----------
Эх е—*0
и т.д. Свойства 6-функции приобретают многие несингулярные функции, зависящие от параметра, при определенных предельных значениях этого параметра. Наиболее употребительны такие представления 6-функции: 1 с 1/1 1 \ Л 1>г\ = lim - 1 1 IH IV 171
It е-*0 е + х2 2я/ ^х-/е х+/е2
Ь (х) = — Я lim к— °° sin Кх X (Д-IV.ie)
6 (х) = — я lim К-оо sin’Kx Кх2 ' (AIV.19)
6 (х) = lim е-*0 1 - о~х21е (fl.lV.2O)
I \/я€
Из (Д.17.18) получаются следующие представления:
6 (х) = —— lim Г e'kxdk =— lim cos kx dk. (A.IV.21)
2 я K-*°° л я
Л о
Их можно рассматривать как разложение 6-функции в интеграл Фурье. Иногда формулы (A.IV.21) записывают, опуская знак предельного перехода и интегрируя в бесконечных пределах.
Легко убедиться в том, что любое из представлений (Д.1У.17) — (Д.17.21) согласуется со всеми свойствами (Д.17.5) — (fl.lV.9),a также с определением (A.IV.12) производной от 5-функции. При вычислении интегралов вида [ f (х) 6 (х — a) dx с помощью представлений типа (Д.IV.17) — (Д,IV.21) нужно иметь в виду, что предельный переход должен производиться после интегрирования. Так, при использовании (Д. IV. 18) имеем
1 +ЬК / у \ sin у
f 5(x)f(x)dx =— lim f fl — ) ------------- dy = HO), (fl.lV.22)
-a * -aK \K / V
тогда как предел (Д.IV. 18) сам по себе не существует.
Д IV.3. Представление 8-функции через контурные интегралы в комплексной плоскости. Воспользуемся формулой Коши;
1 fix'}
-----------------dx-ftf}. (AIV.23) где f (х) — функция, не имеющая особенностей внутри области, огрениченной замкнутым контуром с, и на самом контуре, интегрирование по которому производится против часовой стрелки. Из сравнения (Д.IV.23) с (Д.IV.7) следует, что —— ——мож-2 я/ х—а
но рассматривать как представление 6 (х), если условиться производить интегрирование по замкнутому контуру, окружающему точку х = а. В частности, контур с может представлять собой окружность малого радиуса.
„ *2 f (X)
В приложениях нередко возникает интеграл по действительной оси вида (----dx,
х2* ~а где f (х) не имеет особенностей на отрезке [х,, x2J, а пределы х2, х2 могут быть бесконечными. Такой интеграл при а действительном не имеет определенного значения, так как подынтегральное выражение имеет полюс на контура интегрирования. При его вычислении необходима дополнительная информация, которая должна состоять в указании правила обхода особой точки. Правило обхода устанавпиввется обычно на основе физических аргументов:
) ----- dx - f ------dx + t --------- dx.
cRe + cr *-* cr *-» cRe *-•
Это означает, что стоящий в левой части приведенного выше соотношения интеграл, в котором интегрирование проводится по всему контуру, может быть представлен
Сг
О г
•ZTf OL
Рис.дм.г.
а с*»
(‘Г
(см. рис. A.IV.2) в виде суммы двух интегралов. В первом из них интегрирование ведется либо по верхней, либо по нижней полуокружности малого радиуса сг, во втором — по всему остельному, идущему вдоль действительной оси участку контура (эта часть контура обозначена символом cRe).
Интеграл по полуокружности радиуса е-»0 дает половину вычета (со знаком минус, поскольку обход полюса — по часовой стрелке):
fix}
(------dx = —iitfla};
интеграл по действительной оси с исключенной особой точкой вычисляется в смысле главного значения:
fix} j fa“e f(x) v:
f ------ dx = lim { j ---------- dx + f
x, x-a e—(Ц x-a a+e
fix} ] x> fix} ----- dx \ = f ----------- dx.
При обходе полюса по нижней полуокружности меняется знак попувычета. В итоге мы получаем следующие правила вычисления интеграла:
—~" = + /я6(х-а) + ^—, (fl.IV.24)
х —а х —а
где символ & обозначает главное значение (верхний знак — для верхнего контура, нижний — для нижнего, см. рис. fl.IV .2).
Вместо деформации контура интегрирования можно сместить положение полюса на малое расстояние от действительной оси. Это достигается путем добавления к числу а малой мнимой части: а—а +/е, е-»+ 0. При такой замене тождество (fl.lV.24) примет следующую форму:
1
lim ----------- = т inb (х - а) + —— . (fl.IV.25)
е—0 х-а tie х — а
Оба тождества, (fl.IV.24) и (fl.IV.25), носят символический (операторный) характер и должны пониматься в том смысле, что интегрирование правой и левой частей с любой непрарывной функцией дает один и тот же разультат.
Отделив в левой части равенства (fl.IV.25) действительную и мнимую части комплексного выражения, получим для 6 (х — а) представление (fl.IV.17) (с заменой х — х — а I, а для главного значения
Ф х — а
------- lim ------------ х — а-е—0 (х - а)2 + е
(fl.IV.26)
Бопее строгую математическую теорию 6-функции и других обобщенных функций можно найти в учебнике В.С. Владимирова (30j.
Д V. ПЕРЕВОД ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН ИЗ СИСТЕМЫ СИ В ГАУССОВУ И ОБРАТНО
Таблица fl.V.1
Формулы и уравнения [82]
Наименование Гауссова система Система СИ
Скорость света С
Наряженность электрического поля, скалярный потенциал £, ф х/4ле0' (£,у:)
Электрическая индукция Заряд, плотность заряда, ток, плотность тока, поляризация, электрический ди* польный момент D.S) я, p.J.i.P.p х/4 тг/е о Ю; ) 1
.
Магнитная индукция, магнитный поток, векторный потенциал В.Ф.А &,Ф.А}
Напряженность магнитного поля и
Магнитный момент, намагниченность т, М J— (m.M) 4 n
Электрическая проницаемость, магнитная проницаемость (относительные) е, д e, M
Электрическая поляризуемость, магнитная восприимчивость X, К 1 , -—<X. X) 4ir u
Удельная электропроводность о 4ire„
Сопротивление R 4ле0Я
25. М.М. Бредов
385
Таблица Д.Х/.1 (окончание)
Наименование Гауссова система Система СИ
1
Емкость С -—С
4яе„
Индуктивность L 4тг L
Сила Лоренца, действующая на единич- Е + — v х В Е + v х В
ный заряд С
Плотность энергии электромагнит- (е£2 + цН1) — (er0F2 + ццаН-}
ного поля в недиспергирующей 8 тт 2
среде
Вектор Пойнтинга — Е X Н £х Н
4п
Уравнения Максвелла 1 ЪВ rot£ = _ дВ rot Е =
C dt at
4п 1 dD dD
rotH = j + rotH =J +
C С dt at
divD = 4 яр divZ) = p
div В - 0 div В = 0
Материальные уравнения D - гЕ = Е + 4пР B=ee0£ = Co£+P
В = р Н = Н + 4пМ В = fiflqH = fl„(H + M
j = КЕ j = a£
Таблица Д.Х/.2
Численные значения [82]
Наименование Обозначения Система СИ Гауссова система
Длина 1 1 м (метр) 10’ см
Масса т 1 кг (килограмм) 10’ г
Время t 1 с (секунда) 1 с
Сила F 1 Н (ньютон) 105 дин
Энергия &.W 1 Дж (джоуль) 107 эрг
Интенсивность излучения (мощность) 1 1 Вт (ватт) 107 эрг/с
Давление Р 1 Па (паскаль) 10 дин/см2
Сила тока J 1 А (ампер) 3 10’см3/,г г1/2/с2
Электрический заряд e.q 1 Кл (кулон) 3- 1О’см3/2 т1/2/с
Напряженность электрического поля Е 1 В/м (вольт на метр) 73 10 4г1/2/см1/2 с
Скалярный потенциал * 1 В (вольт) 7, 10 2см1/2 г1/2/с
Поляризация Р 1 Кл/м2 (кулон на квадратный метр) 3- 1О5г1/2/см1/2 с
Электрическая индукция D 1 Кл/м2 (кулон на 12 1О’г1/2/см1/2 с
квадратный метр)
Таблица Д-V.2 (окончание)
Наименование Обозначения Система СИ Гауссова система
Электрическая емкость с 1 Ф (фарада) 9 10* 1 * 1 см
Электрическое сопро- R 1 Ом (ом) ’/, • 10-11 с/см
тивление Удельная электропро- К 1 См/м (сименс на 9 • 10’ с 1
водность Магнитный поток Ф метр) 1 Вб (вебер) 10’ Мкс
Магнитная индукция В 1 Т (тесла) 10" Гс
Напряженность магнит- н 1 А/м (ампер на метр) 4 • 10’3Э
ного ПОЛЯ Намагниченность м 1 А/м (ампер на метр) ‘Л 104 * * * * * Гс
Индуктивность L 1 Г (генри) 10’ см
AVI. О ТЕНЗОРЕ ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА
Д VI. 1. Симметрия тензора энергии — импульса. В § 16, ч. I мы видели, что тензор энергии — импульса симметричен,
т'к = тк' (A.VI.1)
Это свойство не является случайным: оно связано с сохранением еще одной динамической переменной, которую мы до сих пор не рассматривали, — момента импульса. Определим тензор момента импульса для непрерывной замкнутой системы в трехмерном случае:
КаЦ kadPp-x0dpa), (A.VI.2)
где интегрирование распространено на весь объем системы, а величина dp„ = ggdV — составляющая импульса в объеме dV системы. Формула (A.VI.2) представляет собой естественное обобщение определения момента импульса системы частиц
N (a) (a) (a) (a) ,nwio>
каЦ = - ~х» Ра > (A.VI.3)
м а - 1 в классической механике. Вместо тензора IД-V1.3) обычно используют дуальный вектор
1
Ка ~ea0yKj3y~
Четырехмерный момент импульса, обобщая (Д-V 1.2), запишем в виде
K,k =f (x'dPk -xkdP‘). (Д-V1.4)
rpedP1 — 4-вектор энергии — импульса. Последняя величина, как следует из (16.26), выражается в виде
dP'=— TiOdV
с или, в более симметричной форме,
dp'----T^dS,.
с
где dS/ — элемент трехмерной гиперповерхности t = const, направленный вдоль нормали к ней. В системе координат, в которой х° = ct. имеем для указанной гипер-
поверхности: c/S0 =dV, dSa = 0 при a - 1,2,3. Таким образом,
Kik = f (xiTkl-xkTihdSl. (Д.У1.5)
(S)
Сравним интегралы (Д.Х/1.5), взятые по гиперповерхностям t1 = const и t2 = const0 Поскольку на бесконечно больших пространственных расстояниях от замкнутой системы поле отсутствует, можно дополнить разность интегралов (Д.У1 .5) интегралом по боковой гиперповерхности и записать
/С ikitl) - К '*(t2) = f (х'тк1 - хк T'hdS, , (-)
где dS/ направлен по внешней нормали к замкнутой гиперповерхности (т.е. на гиперповерхности tt = const,dS„ = — dV, на гиперповерхности f2 = const, dS„ = с/У).
С помощью теоремы Остроградского — Гаусса в 4-форме (Д.11.3) находим
Kik{t. )-/C'k(f.) = _f -- [x‘Tkl-xkTU}d*x. (Д.У1.6)
’ Э*'
Вычисляя дивергенцию, получаем
Э А Т Л Т
----(х‘тк1-хкт‘') = Тк'~ Т'к + х'--------хк-------.
а*' дх1 Ях1
kl 1
Поскольку ЭТ /Эх =0 в силу сохранения энергии — импульса замкнутой систе* мы, то
(Tki — T'k)d*x,
и для сохранения момента импульса, К ,k(tt) = К lk(t2t необходима симметрия тензора энергии — импульса.
Компоненты Та01с=да образуют 3-вектор плотности импульса, поэтому пространственная часть Ка@ = представляет собой трехмерный момент импульса, который можно записать в виде дуального тензору Кар вектора:
К = ftrXgldV. (Д. VI.7)
Этот вектор сохраняется для замкнутой системы.
Сохранение пространственно-временных компонент означает, что
К“0 = _ /с°“ = / (*а — _ ctgJdV = const. (Д-V 1.8)
с
Поскольку полная энергия замкнутой системы W=fwdV тоже сохраняется, можно поделить (Д-V 1.8) на W и ввести обозначения
Я = / rvudVI f wdV, V = с1 fgdVI f'wdV. (Д-V 1.9)
Тогда равенство (A.VI.8) примет вид
Я=Гт + Я0. (fl.VI.IO)
где Яа = const, величины Я и V являются естественными релятивистскими обобщениями координат и скорости центра инерции системы, состоящей из релятивистских честиц и электромагнитного поля. Формула (Д-V 1.10) показывает, что центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью.
В (Д.У1.7) — (Д-V 1.10) под w и g следует понимать суммарные плотности энергии и импульса частиц и поля. При наличии одних лишь нерелятивистских частиц из (Д-V 1.9) получаем известные из классической механики формулы:
Я = Г тага) Xma, V = S тача/ £ та.
о а а о
ДУ 1.2. Об однозначности определения тензора энергии — импульса поля. В § 16, ч. I мы видели, что тензор энергии — импульса электромагнитного поля определяется не единственным образом. Требование симметрии Т‘к, обоснованное в Дополнении ik
VI.1, также не приводит к однозначному определению Т
В.А. Фок [ 951 отмечает, что для однозначного определения тензора т‘к, следует наложить на него еще одно условие: потребовать, чтобы он был функцией состояния системы. Для электромагнитного поля это означает, что тензор Т должен за-field
висеть только от векторов £ и Я, полностью характеризующих состояние поля. Он не может, в частности, зависеть от их производных. Состояние системы частиц определяется заданием координат г а и скоростей v а частиц, и тензор , как следует
из (16.1), выражается только через эти величины.
Сформулированный В.А. Фоком принцип приводит к единственному выбору тензора энергии — импульса электромагнитного поля в виде (16.22).
Д\/||. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА**
Сферическая функция порядка I, т, зависящая от полярных углов Ф,а,определяется формулой •*]
/(27 + 1)(7- |/л|)Г
", -Р&я(со»е)е^,
4тг(7 + |/п|)|
(Д-V 11.1)
в которой I “ 0,1,2,..../п“ 0, ± 1,.... ±7, Ьт= ( — 1)""при т> 0,&т =1 прит< 0. Через Р/ т обозначен присоединенный полином Лежандра:
Р,т(х) = (1 -х3)1'"172
dlw,P,(x) dx|m|
(Д-VII .2)
где Р/ (х) — обычный полином Лежандра. Он совпадает с Р, т (х) при т = О:
1 d'tx’-l)'
РАх)~-г------------= (Д-V 11.3)
1 dx1
Присоединенные полиномы Лежандра удовлетворяют дифференциальному уравнению
d Г dPln№ 1 Г т
— (х> - 1) .. ,т - + 7(7+1)------
dx I dx I I x3 —
(Д-V 11 .4)
Приведем, некоторые формулы, полезные при реботе со сферическими функциями: Г 27+1* ,
У/тЮ,0)=7---------6m0, У,ж(Ф,а)=(-1)%ж(х-Ф,л + о), (Д.УП.Б)
4тг
/'(27 + 1)'
У/0(а) = V----*“ PHCOS,,>
4п
и с полиномами Лежандра:
/~47“’ 1-3 (2л-17
T’jlcos»)- V------ У/0(«,о), Р,(1) = 1, Р2„(0)=(+1)п— - -
Я2„+1(0) = 0, (7+1)Р,+ 1(х) = (2/+1)хР,(х)-7Р,_ j(x), (Д.УН.б)
dP, (х)
(х3 - 1) -------- = 7[хР,(х) - Р, _ । (х)].
») Здесь приводятся без вывода основные соотношения для сферических функций.
**• Определения сферических функций у резных авторов отличаются значением множителя бт, по модулю равного единице.
Сферические функции с / = 0,1,2 имеют вид
У.
'3
Y,o = V— cos»,
4e 4”
/3
У. ± . = + у/ — sin de*
8ir
1
Y2„
(3cos2 » - 1), 16я
(fl.VII.7)
15
---si n ^costfe1 * *"*, 8я
<15 ---- sin’Де*2la. 32л
У
Сферические функции образуют на поверхности сферы полную ортонормирован-ную систему функций от », а . Это означает, что
/У'ш, (».“>’'/Ma=ill‘ Ьтт. , (A.VII.B)
где do - sin»d»da — элемент телесного угла, и что произвольная функция от », а с интегрируемым квадратом модуля может быть разложена в ряд:
Н»,«)= X (Д-V11.9)
I, т
Коэффициенты a/w определяются формулами
а/ш = !У(т(«. аН(», a)dn. (fl.VII.IO)
Функции вида г~'~1 У(#,<*) и гУ1т(^,а) называются шаровыми гармониками. Легко проверить с помощью (Д-V 11.4), что шаровые гармоники являются частнымире шениями уравнения Лапласа во всех точках кроме г =0:
Д(г'/'*У/ш(»,а)) -0, Д[г'У/ш(0,а)) =0. (fl.VII.II)
Решением уравнения Лапласа является текже суперпозиция шаровых гармоник с произвольными коэффициентами:
оо /
,p(r,»,a)= X X ^inf + blmr^ (fl.VII.12)
I- От - — I
Если r(r, », а) и r'(r', »', а’) — радиус-векторы двух тачек пространства, причем г > г’ и угол между ними обозначен через ' у. то
11 1 «> г'1
Я |г-г'1 - .... ... = X—— P/(COS>). W-V"-131 г1 — Trr'cosy + г'2 7-0 г'+ 1
Функция 1/Я называется производящей функцией для полиномов Лежандра. Имеет место следующая теорема сложений для сферических функций:
4я / « ,
P,(cos-y) =----- X У/„(0,а} У1т(0 .а ). (ДЛ/П.14)
2/+1 т = — 1
Углы », а и аг'входят в (Д.\/11.14) вполне симметричным образом. Подстеновка (A.VII.14) в (Д.VII.13) приводит к разложению:
1 <«> I г 'I
--------= 4я v х ----------------- /,„!(»,«)/;„,(»>'). (fl.VII.15)
|г- г' I 1= 0 т = -I (27 + 1)г' 1
AVIII. ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ВНУТРИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
(Д. VIII.11
При выводе основной формулы в § 16, ч. II было использовано соотношение (16.2)
Зе £=-------
2е + 1
связывающее обусловленное внешними источниками поле £', возникающее внутри сферы макроскопического радиуса с электрическим полем £<» в точках диэлектрика, находящихся на больших расстояниях от сферы. Это соотношение получается следующим образом.
Потенциал $ электрического поля как внутри, так и вне сферы определяется уравнением = 0. Кроме того, потенциал поля внутри сферы (будем обозначать этот потенциал символом ^in) вблизи внутренней поверхности сферы саязан с потенциалом y>u||t поля вне сферы вблизи ее внешней поверхности граничными условиями a*’out I = € --------------------------------- .
S Эг 15
I - a*’in
Pin ' 5 ” Pout Ls-3r
Начало координат выбрано в центре сферы. Наконец, потенциал на большом расстоянии от сферы имеет вид — E^rcost).
Как известно из части I книги, аксиально-симметричное решение уравнения Лапла-
са Ау> = 0 может быть представлено в виде разложения по полиномам Лежандра:
« M(in) \
(Д. Vlll.2>
(A.VIII.3)
(A.VIII.4)
'Pout = * (-777 + ^““'МЬсозв). I = о \г' * /
Поскольку потенциал в начале координат должен быть ограничен, то = 0 при всех 7. Из асимптотического условия на больших расстояниях следует, что 7. Таким образом, потен-
при /=1 и В^ои1) = 0 при всех остальных циал вне сферы принимает вид
Pout = (--:-----E«r)cose.
(A.VIII.5)
определению коэффициент должны выполняться во
В этой формуле содержится только один подлежащий ^(out) _^(<>ut) пОСКОЛЬКу граничные условия (A.VIII.2) всех точках поверхности, угловые части ^()llt и у>|п должны совпадать. Следовательно, в (A.VIII.3) в сумме по I от нуля отлично только одно слагаемое с 7=1 и
и((п) а y>jn = В г cos 0.
В этой формуле содержится тоже только один подлежащий определению коэффициент g<‘n) = Сшивая решения (Д-V III.5) и (A.VIII.6) с помощью граничных условий
(A.VIII.2I при г = а, получаем систему алгебраических уравнений
*(OU,) _ \ / 2^(ои,) \
---у--- +Еж],
(A.VIII.6)
B(in)a = . 2
\ а
s(ii>) =
EI,
а’
из которой определяются коэффициенты Д<ои,> и
. Таким образом получаем, что
Зе / 1 — е а
^in - *A>ut “ I Т ”, о Е<*> —
1 + 2е \ 1 + 2 с г
и электрическое поле внутри сферы Зе
Е ~ ^-in — Vy>jn
2е + 1
— Е ooflcose.
(Д-V III.7)
£
Д1Х. РЕАКТИВНОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
Если взять изолированную равномерно поляризованную сферу, плотность поляризации которой есть Р, то напряженность постоянного электрического поля в любой точке внутри этой сферы будет равна *1гпР. Если эту же сферу поместить в безграничную диэлектрическую среду с диэлектрической проницаемостью е, поддерживая величину дипольного момента сферы неизменной, то напряженность электрического поля внутри сферы изменится. Разность нового и старого значений поля внутри сферы называется реактивным полем. Это поле можно вычислить следующим способом.
Потенциал электрического поля и вне, и внутри сферы удовлетворяет уравнению Aif = 0. Решение этого уравнения, взятое внутри сферы, обозначим символом цп, вне сферы — символом £out. Эти два решения должны быть сшиты на поверхности сферы (радиус которой будем считать равным а). Первое условие сшивания, вытекающее из непрерывности тангенциальной компоненты вектора напряженности электрического поля, имеет вид
‘/’in । r=a ~ ‘/’out । г = а-
Второе условие вытекает из непрерывности нормальной к поверхности раздела компоненты вектора электрической индукции. Поскольку внутри сферы этот вектор имеет вид/) =Е + 4пР (где Р — фиксированная величина), а вне ее/>-е£, то второе условие сшивания принимает вид
4»rPcos в — -^1 --е Э*ои‘ I .
дг 1г = о 1г = а
Разлагая функции и ^Out в ряд по полиномам Лежандра (это разложение имеет тот жевид.чтои в(Д.\/111.3) и (Д.VIII.4)), видим, что условие ограниченности потенциала внутри сферы приводит к исчезновению слагаемых, пропорциональных коэффициентам А^1^. Исчезновение поля на больших расстояниях от сферы приводит к пропаданию в ^out слагаемых с S^out^. Таким образом, будем иметь:
Z B/SP/lcos S), ^out ~ - ^l—P/tcOse). (Д.1Х.1)
/ = о 1 = 0 rl+l t A/
Из первого условия сшивания следует, что ZB/a'P/ (созб) = X Р/ (cosfl).
I la
Таким образом, получается связь между коэффициентами А/ нВ/:
Bta2l+l=Ai. (Д.1Х.2)
Второе условие сшивания дает:
4nPcos в — ii iB/a1 ~ 1 Pitcos 0) = е Z (I + V - P/lcose).
1=0 I а1+2
Поэтому А, I
4nP — Bt = 2е —р- , -lBia ‘ =e(l+1)At при / * 1.
При / =1 из соотношений (Д.1Х.2) и (Д.IX.3) имеем:
(Д.1Х.З)
При / * 1 получается —I =е (1 + 1). Это последнее соотношение при произвольном е выполняться не может. Поэтому в ^jn и ^out все слагаемые с / *1 обращаются в нуль. Таким образом, получаем решение
4irP
<in ° ~2e + 1 rcose’ (Д.1Х.4)
4rrP
которому соответствует попеЕц, = — = :------• Если бы сферу не окружал
2е + 1
диэлектрик, то соответствующее поле получалось бы из приведенного выше предельным переходом е — 1. Разность этих двух полей
(Д.1Х.5)
и является искомым реактивным полем.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Агранович В.М., Гинзбург ВЛ. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. — М.: Наука, 1979.
2. Академик Л.И.Мандельштам. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. — М.: Наука, 1972.
3. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы, — М.: Высшая школа, 1978.
А. Алексеев А.И. Сборник задач по классической электродинамике. — М.: Наука, 1977.
5. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979.
б. Альфвен Г.. Фельтхаммер К.Г Космическая электродинамика,—М.: Наука, 1967.
7. Аскарьян Г. Эффект самофокусировки. — УФН, 1973, т. 111, с. 249.
8. Ахиезер А.И., Берестеикий В.Б. Квантовая электродинамика,— М.: Наука, 1981.
9. Ахиезер А.И., Шульга Н.Ф, Излучение релятивистских частиц в монокристаллах.— УФН, 1982, т. 137, с. 561.
10. Базылев В.А., Жеваго Н.К. Генерация интенсивного электромагнитного излучения релятивистскими частицами. — УФН, 1982,т. 137, с. 605.
11. Байер В.Н., Катков В.М., Фадин В.С. Излучение релятивистских электронов,— М.: Атомиздат, 1973.
12. Бараш Ю.С., Гинзбург ВЛ. О выражении для плотности энергии и выделяющегося тепла в электродинамике. — УФН, 1976, т. 118,с. 523.
13. Бараш Ю.С. О макроскопическом описании действующего поля в некоторых диэлектриках. — ЖЭТФ, 1980, т. 79, с. 2271.
14. Барфут Дж. Введение в физику сегнетоэлектрических явлений. — М.: Мир, 1970.
15. Барышевский В. Г. Каналирование, излучение и реакции в кристаллах при высоких энергиях. — Минск: Изд-во Бепор. гос. ун-та, 1982.
16. Батыгин В.В.. Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. — М.: Наука, 1970.
17. Бломберген Н. Нелинейная оптика. — М.: Мир, 1966.
18. Боголюбов Н.Н.. Ширков Д.В. Квантованные поля,— М.: Наука, 1980.
19. Болотовский Б.М., Столяров АЛ. Современное состояние электродинамики движущихся сред. — УФН, 1974, т. 114, с. 569.
20. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления,— М.: 8ысшая школа, 1966.
21. БорнМ. Эйнштейновская теория относительности. — М.: Мир, 1972.
22. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.
23. Браун В. Диэлектрики. — М.: ИЛ, 1961.
24. Бриллюэн Л. Новый взгляд на теорию относительности. — М.: Мир, 1972.
25. Бюклинг Е., Каянти К. Кинематика элементарных частиц.— М.: Мир, 1975.
26. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. —М.: Советское радио, 1957.
27. Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов. — УФН, 1976, т. 118, с. 339.
28. Вакман Д.Е.. Вайнштейн ЛЛ. Амплитуда, частота, фаза — основные понятия теории колебаний. — УФН, 1977, т. 123,с. 657.
29. Вакс В.Г. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков. — М.: Наука, 1973.
30. Владимиров В.С. Уравнения математической физики,— М.: Наука, 1967.
31. Вонсовский С.В. Магнетизм микрочастиц, — М.: Наука, 1973.
32. Гинзбург ВЛ. Теоретическая физика и астрофизика: Дополнительные главы. — М.: Наука, 1981.
33. Гинзбург ВЛ. О теории относительности. — М.: Наука, 1979.
34. Гинзбург ВЛ.. Угаров В.А. Несколько замечаний о силах и тензоре энергии — импульса в макроскопической электродинемике. — УФН, 1976, т. 118, с. 175.
35. Гинзбург ВЛ. Распространение электромагнитных волн в плазме. — М.: Наука, 1967.
36. Гинзбург ВЛ. О законах сохранения энергии и импульса при излучении электромагнитных волн (фотонов) в среде и о тензоре энергии — импульса в макроскопической электродинамике. — УФН, 1973, т. 110, с. 309.
37. Гинзбург ВЛ. Об излучении и силе радиационного трения при равномерно ускоренном движении заряда.— УФН, 1969, т. 98,с. 569.
38. Гинзбург ВЛ., Цытович В.Н. Переходное излучение и переходное рассеяние. — М.: Наука, 1984.
39. Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов. — В кн.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика,— М.: Мир, 1966.
40. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Волны в изотропной плазме. Распространение волн в магнитоактивной плазме. — Л.: Иэд-е Политехи, ин-та, 1977.
41. Горобченко В.Д., Максимов Е.Г. Диэлектрическая проницаемость взаимодействующего электронного газа. — УФН, 19В0, т. 130, с. 65.
42. Да Гроот С., Сатторп Л.Г. Электродинамика. — М.: Наука, 1982.
43. Демиховский В.Я.. Протогенов АЛ. Электромагнитные возбуждения в металлах и полуметаллах в сильном магнитном поле. — УФН, 1976, т. 118, с. 101.
44. Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965.
45: Долгов О.В., Максимов Е.Г. Эффекты локального поля и нарушение соотношений Крамерса — Кронига для диэлектрической проницаемости. — УФН, 1981, т. 135, с. 441.
46. Джеймс Р. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. — М.: ИЛ, 1950.
47. Иверонова В.И., Ревкевич ГЛ. Теория рассеяния рентгеновских лучей. — М.: Изд-во МГУ, 1972.
48. Канер Э.А., Скобов В.Г. Электромагнитные волны в металлах в магнитном поле.- УФН, 1966, т. 89, с. 367.
49. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. — М.: Атом из дат, 1978.
50. Киржниц Д.А. Всегда ли справедливы соотношения Крамерса — Кронига для диэлектрической проницаемости вещества? — УФН, 1976, т. 119, с. 357.
51. Колпаков А.В., Бушуев В.А., Кузьмин Р.П. Диэлектрическая проницаемость в рентгеновском диапазоне частот,— УФН, 1978, т. 126, с. 479.
52. Компанеец А.С. Курс теоретической физики, т. 1: Элементарные законы. — М.: Просвещение, 1972.
53. Компанеец А.С. Курс теоретической физики, т.2: Статистические законы. — М.: Просвещение, 1975.
54. Константинов О.В., Перель В.И. О возможности прохождения электромагнитных волн через металл в сильном магнитном поле.— ЖЭТФ, 1960, т. 38, с. 161.
55. Кумахов М.А. О возможном существовании эффекта спонтанного излучения 7-квантов релятивистскими каналированными частицами. — ДАН СССР, 1976, т.230, с. 1077.
56. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений, — М.: Изд-воМГУ, 1976.
57. Лайтман А., Пресс В., ПрайсР., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации. — М.: Мир, 1979.
58. Ландау Л. Д., Лифшиц ЕМ. Теория поля, —М.: Наука, 1973.
59. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.— М.: Наука, 1982.
BO.Lindhard J. On the properties of gas of charged particles. — Oet. Kong. Danske Vid. Selskab. Dan. Mat. Fys. Medd., 1954, v. 28, № 8.
61 .Линдхард Й. Влияние кристаллической решетки на движение быстрых заряженных честиц.— УФН, 1969, т.99, с. 249.
62. Левин МЛ., Рытое СМ. Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике. — Мл Наука, 1967.
63. Логунов А.А. Лекции по теории относительности.— М.: Изд-во МГУ, 1983.
64. Лоренц Г.А. Теория электронов.— М.: Гостехиздат, 1956.
65. Луговой В., Прохоров А.М. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде. — УФН, 1973,т. 111, с. 203.
66. Матвеев А.Н. Электродинамика. — М.: Высшая школа, 1980.
67. МаттисД. Теория магнетизма. — М.:Мир, 1967.
68. Медвадав Б.В. Начала теоретической физики. — М.: Наука, 1977.
69. Мёллер К. Теория относительности. — М.: Атом из дат, 1975.
70. МизнерЧ., Торн К., Уилер Дж. Гравитация,—М.: Мир, 1977.
71. Новожилов Ю.В., Яппа Ю.А. Электродинемика. — М.: Наука, 1978.
72. Павлов В.И. К дискуссиям по проблеме пондермоторных сил. — УФН, 1978, т. 124, с. 345.
73. Пановский В., ФилипсМ. Классическая электродинамика. — Мл Наука, 1968.
74. Паули В. Теория относительности. — М. — Л.: ГИТТЛ, 1947.
75. Перина Я. Когерентность света. — М.: Мир, 1974.
76. Пинскер З.Г. Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в идеальных кристаллах. — М.: Наука, 1974.
77. Принцип относительности.. Сборник работ по специальной теории относитель-ности./Составитель А А. Тяпкин. — М.: Атомиздат, 1973.
78. Ритус В.И. Сдвиг массы ускоренного заряда. — ЖЭТФ, 1981, т. 80, с. 1288.
79. Роуз-Инс А., Родерик Е. Введение в физику сверхпроводимости. — М.: Мир, 1972.
80. Рытое С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I: Случайные процессы. - М.: Наука, 1976.
81. Рытое СМ., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть II: Случайные поля.— М.: Наука, 1978.
82. СивухинД.В. Общий курс физики. Том III: Электричество. — М.: Наука, 1977.
83. Силин В.П., Рухедзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. — М.: Госатомиздат, 1961.
84. Смарт Дж. Эффективное поле в теории магнетизма. - М.: Мир, 1968.
85. Смоленский Г.А., Крайник Н.Н. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. — М.: Наука, 1968.
86. Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон. — М.: Наука, 1983.
87. Сыроватский СИ. Магнитная гидродинамика.— УФН, 1957,т. 52, с. 247.
ВВ. Темм И.Е. Основы теории электричества.— М.: Наука, 1976.
89. Тейлор 3., Уилер Дж. Физика пространства — времени. — М.: Мир ,1971-
90. Тинкхам М. Введение в сверхпроводимость. — М.: Атомиздат, 1980.
91. Толман Р. Относительность, термодинамика и космология. — М.: Наука, 1974.
92. Толтыгин И.Н. Космические лучи в межпланетных магнитных полях. — М.: Наука, 1983.
93. Угаров В.А. Специальная теория относительности.— М.: Наука, 1977.
94. Утияма Р. Теория относительности. — М.: Атомиздат, 1979.
95. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.: ГИТТЛ, 1955.
96. Френкель Я.И. Собрание избранных трудов. Том I: Электродинамика (общая теория электричества). — М,—Л.: Иэд-во АН СССР, 1956.
97. Фрёлих Г. Теория диэлектриков. — М.: ИЛ, 1960.
98. Chemla D.S. Non-linear optical properties of condensed matter. — Rep. Prog. Phys., 1980, v. 43, p. 1191. !
99. Шмидт B.B. Введение в физику сверхпроводников.— М.: Наука, 1982.
100. ШубертМ., Вильгельми Б. Введение в нелинейную оптику.— М.: Мир, 1973,ч. 1.
101. Эйнштейн А. Сущность теории относительности. — М.: ИЛ, 1955.
102. Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел.— Собрание научных трудов.— М.: Наука, 1965, т. 1,с. 7.
103. Эйнштейн А., Лауб Я. Земечание к нашей работе "Об основных уравнениях электромагнетизма в движущихся средах". — В кн.: А. Эйнштейн. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1965, т. 1,с. 126.
104. Barenova N.B., ZeTdovich B.Ya. On the expansion of radiation intensity into a/X power series in electrodynamics. — Optic Communications, 1977, v. 22, p. 53.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*
Абрагама сила 244
Абсолютно удаленное 30
Абсолютное будущее 30
— время 13,15
— прошедшее 30
Аксиальный вектор (псевдовектор) 375
Альвеновская скорость 335
Альвеновские волны 335
Аналитические свойства комплексной диэлектрической проницаемости 207, 208
Аналитический сигнал 124
Аномального скин-эффекта основное уравнение 312
Ансамбль статистический 131
Антисимметричный тензор 371
Античастица 47
Антиэрмитов тензор 372
Антиэрмитовая часть тензора проводимости 224
Асимптотика высокочастотная диэлектрической проницаемости 206
— низкочастотная диэлектрической проницаемости 204
Атомный фактор 348
Аффинный тензор 30
Бегущие плоские волны 119
Близкодействие 47
Бормана эффект 343
Брэгга — Вульфе уравнение 342
Брэгга дифракция 342
Брюстера угол 321
Вавилова — Черенкова излучения условия 355
Вектор поляризации 176
Векторы обратной решетки в кристалле 340
Верде постоянная 338
Вейсса молекулярное попе 292
— эффективное попе 291
Взаимная функция когерантности 134
Взаимности теорема в электростатике 251
"Вмороженность" магнитного поля в вещество 333
Внутренняя энергия диэлектрика 256
Волновая зона 166
Волновое поле излучения 160, 161
— уревнение (уравнение Даламбе-ра) 87,117
Волновой пакет 121,130
Времени релаксации приближение в теории проводимости 271
Время корреляции (когерентности) 130
Время "диффузии" магнитного поля 333
Галилея преобразования 12
Гамильтона — Якоби уравнение 55
Геликоидальные (слирельные) волны в металлах 339
Гельмгольца уревнение 148
Генерация вторых гармоник распространяющихся в среде волн 364,368
Геометрической оптики приближение 153
Гильберта преобразования 125
Гинзбурга — Девоншира разложение 27В
Гирации вектор 336
Гиромагнитная частота 58
Гирорадиус 59
Гиротропия срады 300
Главные значения симметричного тензора второго ранга 373
— направления (главные оси) симметричного тензора второго ранга 373
Граничные условия в электродинамике движущихся сред 236
— — в электростатике диэлектриков 253
- — для векторов поля в среде 199,201
Грина функция 93,94,144
• Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В указатель включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в оглавлении.
Даламбера оператор 35
Дальнодействие 46
Двухволновое приближение в теории дифракции 342
Двухфотонное поглощение 365
Дебаевская температура 349
Дебаевский радиус экранирования 222,352
Дебая — баллера фактор 349
Действие для непрерывной системы 379
Декрамент колебаний продольного электромагнитного поля 325
Деполяризующее поле 275
Джоупя — Ленца закон 267
Диамагнетизм 2В0
Динамическая дифракция 343
Дирихле граничные условия 93
Дисперсии закон для электромагнитных волн в вакууме 121
Дисперсионные соотношения 125, 213, 214
— уравнения 297, 298, 300, 304, 335
Дифференциальная интенсивность излучения 167
Диффузное рассеяние рентгеновеских лучей 347
Диэлектрическая восприимчивость 1В6, 254
Друде формула 273
Дуальный вектор 373
Единичный антисимметричный тензор III ранга 372
-----IV ранга 34
— симметричный тензор II ранга 33, 372
Запаздывающая функция Грина 147
Запаздывающие потенциалы 14В
Зеркальное, диффузное рассеяние электронов на поверхности 310
Изменение диэлектрической проницаемости при деформации срады 236
— энергии электростатического поля при деформации среды 239
Изотропия пространства 13, 16
Инвариант преобразования Лоренца 32
Инвариантность фазы плоской монохроматической вопны 122
Инерциальная система отсчета 12 Интервал 28
— времениподобный 29
— пространственноподобный 29
Интерферометр Майкельсона 131
Ионно-звуковых волн условие существования 327
Ирншоу теорема 100
Калибровочное (градиентное) преобразование потенциалов 51
Каналирование заряженных частиц в кристаллах 360 '
Квазистационарное поле 160, 173
— приближение 306, 307
Керра оптический эффект 365
— статический квадратичный электрооптический эффект 365
Кинематическая дифракция 343
Кинетические коэффициенты 267, 289
Кинетическое уравнение для функции распределения заряженных частиц в среде 194, 219
----------электронов в металле 270,309,314
----для бесстол к нови тельной системы 217, 219
Кирхгофа интеграл 152
Классический радиус электрона 101
Клаузиуса — Моссотти формула 249
Когерентная антистоксовская спектроскопия 365
Комплексная диэлектрическая проницаемость 203, 206
— степень когерентности 135
Комптоновская длина волны 101, 1В0
Контрастность интерференционной картины 135
Корреляционный тензор 129
Коэрцитивная сила 275, 277
Коэффициент поглощения в среде 299
Кронекера символ 370
Круговая поляризация плоской электромагнитной волны 123
Кулона закон 47, 73
Кулоновская калибровка потенциалов В7
Кюри — Вейсса закон 277
— закон 284
— температура 290
Лагранжева форма уравнений движения непрерывной системы 380
Лагранжиан (плотность функции Лагранжа) 378, 379
— электромагнитного поля 65, 66
Ландау затухание 325
Ланжевена функция 28В, 292
Лапласа уравнение 89
Лармора формула для мощности излучения нерелятивистской частицы 164
— формулы релятивистское обобщение 165, 361
Ларморовская прецессия 63
Лауэ дифракция 342 — уравнение 341,342 Лежандра полиномы 389 ----присоединенные 389 Леонтовича граничные условия 308
Линдхарда формула 211
Линейная поляризация плоской волны 124
Лоренца — Лоренца формула 249
Лоренцевская калибровка потенциалов 87
Лоренц-фактор 234
Магнитная вязкость 333
Магнитное давление 334
Магнитной индукции вектор 193
Магнитный монополь Дирака 73 — ротатор 175
Макроскопический малый объем 67
Макроскопическое электромагнитное поле 192
Материальные уравнения электродинамики 198,199
Матрица поворота в трехмерном евклидовом пространстве 369 ---в четырехмерном псевдоевкли-довом пространстве 32
Мейсснера — Оксенфельда эффект 292,295
Метрический тензор 33
Минковского уравнения 234, 235
Мировая линия 27
Молекулярная диамагнитная вое-прии мчивость 280
Молекулярного поля коэффициент 292
Момент импульса трахмерный 388 ---четырахмерный 387
Мультипольные моменты 96, 98
Неймана граничные условия 93
Необыкновенная электромагнитная волна 302
Неоднородные плоские волны 298
Неразрывности (непрерывности) уравнение 69
Нернста эффект 290
Области прозрачности вещества 225
Обобщенные координаты непрерывной среды 379
Обратная матрица поворота 370
Обыкновенная электромагнитная волна 302
Объем когерентности 133
Одноосные кристаллы 302
Однородность пространства и времени 13, 16
Ома закон 194, 267
Опережающая функция Грина 148
Опережающие потенциалы 149
Оптическое выпрямление 365, 368
Ортогональность матрицы преобразования 370
Основное уравнение кристаллооптики 301
Отражения электромагнитных волн коэффициент 320
Парамагнетизм 279
Парамагнетик идеальный 284
Пироэлектрики 275
Плазменная частота 206, 297
Плазменные ионные колебания 331
Плазмоны объемные 354
— поверхностные 305, 359
Площадь когерентности 133
Поверхностный заряд 78
— импеданс 308
— ток 78
Поверхность постоянной фазы 121
Показатель преломления 298
Поккельса эффект 365
Полное внутреннее отражение 320
Поляризационный потенциал (вектор Герца) 176
Полярный вектор 375
Поперечная диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы 323
Поперечность электромагнитных волн 119
Поперечный эффект Доплера 123
Потенциальная функция контура с током в магнитном поле 116
Потока энергии квази монохроматического поля плотность 229
Предельная максимальная скорость 16
Принцип относительности классической механики 14
--Эйнштейна 16,17
Причинности принцип 214
Проводимости тензор 272
Продольная диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы 323
Продольная и поперечная диэлектрические проницаемости 210, 211
Продольный эффект Доплера 123
Производящая функция для полиномов Лежандра 390
Псевдовектор (аксиальный вектор) 375
Псевдоев клидово пространство 28
Пуассона уравнение 89
Пьезоэлектрический тензор 274
Работа выхода 105
Радиус электрона классический 101, 345
Реактивное поле в диэлектрике 266, 392
Рефлексы в теории дифракции 342, 346
Риги — Ледюка эффект 290
Ротор вектора 35, 372
Свертывание тензора 371
Световой конус 29, 30
Свободная энергия диэлектрика 257
Связь между тензором диэлектрической проницаемости и тензором проводимости 218
— связь молекулярной поляризуемости с диэлектрической проницаемостью 246
Сегнетоэлектрическая температура Кюри 275
Сила лучистого трения (радиационного торможения) 182
— осцилляторов 214
Симметрии кинетических коэффициентов принцип 268, 289
Симметричный тензор 371
Синхронизация часов 17
Скаляр (инвариант) в трехмерном евклидовом пространстве 369 _ _ в четырахмерном псевдоев-клидовом пространстве 32
Скалярное произведение 4-векторов 32
Скин-слоя толщина 308, 314, 315
Случайные поля 129
Сокращение масштабов Лоренца — Фитцджеральда 21
Соответствия принцип 36, 37
Соотношение между частотой, индуктивностью и емкостью колебательного контура при наличии дисперсии 243
Сопротивление излучения 178
Сохренение электрического заряда 69
Спиновый магнитный момент 112 — механический момент 112 Статической диэлектрической проницаемости положительность 254
Степень деполяризации волны 137, 139
— поляризации волны 137, 139
Стокса лареметры 139
Структурный фактор 348
Суперпозиции полей принцип 65
Г£-волна 318
Тензор квадрупольного момента 96
— напряжений.^ диэлектрике, помещенном во внешнее поле 240 — поляризуемости проводящего тела 253
Теорема сложения для сферических функций 390
ТН-волна 305
Ток намагничения 197
— поляризации 197
— смещения 74
Точное отрежающее положение в теории дифрекции 346, 349
Уравнения электромагнитного поля в средах в 4-форме 233
Усреднение статистическое по ансамблю 131, 192
Фазовая скорость 297
Фазовый переход первого рода в сегнетоэлектриках 278
Фазовый переход второго рода в сегнетоэлектриках 275
Фарадея эффект 338, 365
Физически малый объем 192
Флуктуационно-диссипативная теорема в электростатике 263
Фока условие для тензора энергии-импульса 389
Фотоны (кванты) электромагнитного поля 133
Френеля уравнение 301
— формулы 320
Функции Лагранжа для электромагнитного поля плотность 65, 66
---плотность 378, 379
Функция отклика 202
Холла эффект 290
Центр инерции релятивистской системы 388
Циклотронная частота 58, 338
Четырехвектор энергии-импульса частицы 38
Четырахмерная дивергенция 35
Четырехмерный градиент 34
— ротор 35
Число дисперсных электронов 214
Шаровые гармоники 390
Шредингера уравнение 381
Экранирование кулонового поля 222
Электрический заряд 47
Электрической емкости коэффициенты 251
---индукции вектор 198
---коэффициенты 252
Электродвижущая сила (ЭДС) 74
Электромагнитная индукция 74
Электромагнитные волны в многокомпонентной плазме 330
— — в прямоугольном волноводе 318
Элементарного электрического диполя излучение 174
Элементарный заряд 47
— электрический диполь97
Эллиптическая поляризация плоской волны 123
Энергия квазимонохроматического поля 229
— покоя 39, 40
Энтропия среды в электрическом поле 259
Эргодичность 131
Эрмитов тензор 372
Эрмитовая часть тензора проводимости 223
Эрмитовость тензора диэлектрической проницаемости прозречной среды 336
Юнга модуль 378
— опыт 132