Text
                    
Ж.Зинн-Жюстен
КОНТИНУАЛЬНЫЙ
ИНТЕГРАЛ
PATH INTEGRALS
IN QUANTUM MECHANICS
J.Zinn-Justin
Dapnia, CEA/Saclay, France and
Institut de Mathematiques de Jussieu-Chevaleret, University of Paris VII
OXFORD
UNIVERSITY PRESS
2005
Ж.Зинн-Жюстен
КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Перевод с английского Д.В. Быкова под редакцией академика А.А. Славнова
МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2010
УДК 538.9
ББК 22.31
3 63
Зинн-Жюстен Ж. Континуальный интеграл в квантовой механике / Пер. с англ, под ред. А. А. Славнова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 360 с. - ISBN 978-5-9221-0766-2.
Книга посвящена мощному математическому инструменту современной теоретической физики — континуальному интегралу. Формулировка квантовой механики в терминах континуального интеграла дает более глубокое понимание соотношения между квантовой и классической механикой, однако поистине незаменимым оказывается континуальный интеграл в квантовой теории поля. Большинство фундаментальных результатов в квантовой теории калибровочных полей, являющейся теоретической основой современной физики высоких энергий, были получены именно в рамках формализма континуального интегрирования.
Книга будет полезна студентам старших курсов и аспирантам, а также научным сотрудникам, занимающимся теоретической и математической физикой.
ISBN 978-5-9221-0766-2
© ФИЗМАТЛИТ, 2006, 2010
© Oxford University Press, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода................................... 10
Предисловие автора к русскому изданию............................ 11
Введение......................................................... 12
Глава 1. Гауссовы интегралы...................................... 19
§ 1.1.	Производящая функция................................... 19
§ 1.2.	Гауссовы средние значения. Теорема Вика................ 20
1.2.1.	Вещественные матрицы: доказательство (21). 1.2.2. Гауссов интеграл общего вида (22). 1.2.3. Гауссовы средние значения и теорема Вика (23).
§ 1.3.	Гауссова мера с возмущением. Связные вклады............ 25
1.3.1.	Гауссова мера с возмущением (25).	1.3.2. Диаграммы
Фейнмана (26). 1.3.3. Связные вклады (26).
§ 1.4.	Средние значения. Производящая функция. Кумулянты.....	27
1.4.1.	Двуточечная функция (28). 1.4.2. Производящая функция. Кумулянты (29).
§ 1.5.	Метод наибыстрейшего спуска............................ 30
1.5.1.	Вещественные интегралы (31). 1.5.2. Комплексные интегралы (35).
§ 1.6.	Метод наибыстрейшего спуска: несколько переменных, производящие функции................................................ 37
1.6.1.	Производящая функция и метод наибыстрейшего спуска (38).
§ 1.7.	Гауссовы интегралы: комплексные матрицы................ 39
Глава 2. Континуальные интегралы в квантовой механике............ 46
§ 2.1.	Локальные марковские процессы.......................... 47
2.1.1.	Марковская эволюция (47). 2.1.2. Матричные элементы и локальность (48). 2.1.3. Пример: свободная эволюция, или броуновское движение (50).
§ 2.2.	Решение уравнения эволюции для коротких временных интервалов ......................................................... 51
§ 2.3.	Представление в виде континуального интеграла.......... 54
2.3.1.	Статистический оператор (54).	2.3,2. Статистическая
сумма (57).
§ 2.4.	Явное вычисление: гауссовы континуальные интегралы....	58
2.4.1.	Свободное движение (58). 2,4.2. Гармонический осциллятор (60).
§ 2.5.	Корреляционные функции: производящий функционал........ 62
2.5.1.	Корреляционные функции (62).	2.5,2. Производящий
функционал (63). 2.5.3. Функциональная производная (63).
§ 2.6.	Гауссов континуальный интеграл общего вида и корреляционные функции...................................................... 65
2.6.1.	Гауссов континуальный интеграл общего вида (65).
2.6.2.	Гауссовы корреляционные функции. Теорема Вика. (68).
§ 2.7.	Гармонический осциллятор: статистическая сумма......... 69
6
Оглавление
2.7.1.	Прямой расчет гауссовой статистической суммы (70).
2.7.2.	Вычисление с непрерывным временем (72).
§ 2.8.	Гармонический осциллятор с возмущением................. 74
§ 2.9.	Теория возмущений по степеням К........................ 76
§2.10.	Квазиклассическое разложение............................ 77
Глава 3. Статистическая сумма и спектр.......................... 85
§ 3.1.	Вычисление по теории возмущений....................... 85
§ 3.2.	Квазиклассическое, или ВКБ, разложение................ 89
3.2.1.	Спектр и полюса резольвенты (89). 3.2.2. Квазиклассическое приближение (90). 3.2.3. Примеры (92). 3.2.4. ВКБ-приближение и уравнение Шредингера (94).
§3.3.	Континуальный интеграл и вариационный принцип......... 96
§ 3.4.	О(Л9_симметричный потенциал четвертого порядка при N —> ос 98
3.4.1.	Простые интегралы при N —> оо (100). 3.4.2. Континуальный интеграл (102). 3.4.3. Энергия основного состояния (105).
3.4.4.	За рамками ведущего порядка (107).
§ 3.5.	Детерминанты операторов.............................. 108
§ 3.6.	Гамильтониан: структура основного состояния.......... 109
Глава 4. Классическая и квантовая статистическая физика
§4.1	. Классическая статистическая сумма. Матрица переноса...
§4.2	. Корреляционные функции................................
4.2.1.	Корреляционные функции и матрица переноса (117).
4.2.2.	Термодинамический предел и поведение на больших расстояниях (119).
§4.3	. Классическая модель при низкой температуре: пример....
§	4.4. Непрерывный предел и континуальный интеграл.........
4.4.1.	Непрерывный предел (122). 4.4.2. Корреляционные функции и непрерывный предел (124).
§	4.5. Двуточечная функция: пертурбативное разложение, спектраль-
ное представление ........................................
4.5.1.	Вычисление по теории возмущений (127). 4,5.2. Спектральное представление (128).
§	4.6. Операторный формализм. Упорядоченные по времени произведе-
114
115
117
120
122
126
130
ния .......................................................
Глава 5. Континуальные интегралы и квантование................. 137
§	5.1. Калибровочные преобразования....................... 137
§5.2	. Система в магнитном поле — калибровочная симметрия... 139
5.2.1. Классическая калибровочная инвариантность (139).
5.2.2. Квантовая калибровочная инвариантность и квантование (141).	5.2.3. Калибровочная инвариантность и
континуальный интеграл (142).
§5.3	. Квантование и континуальные интегралы................. 143
5.3.1.	Дискретные времена и непрерывный предел (143).
5.3.2.	Неоднозначность и пертурбативное вычисление (145).
§	5.4. Магнитное поле: прямое вычисление................... 147
§	5.5. Диффузия, случайное блуждание, уравнение Фоккера-Планка 149
5.5.1.	Простой пример: случайное блуждание или броуновское движение (150). 5.5.2. Уравнение диффузии общего вида (152).
§5.6	. Спектр жесткого 0(2)-ротатора......................... 154
Оглавление
7
5.6.1.	Жесткий ротатор: гамильтониан и спектр (155).
5.6.2.	Континуальный интеграл (156).	5.6.3. Статсумма и
спектр (157). 5.6.4. Другие параметризации (158).
Глава 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм. . . 163
§6.1.	Комплексные интегралы и теорема Вика................. 164
6.1.1.	Гауссовы интегралы (165). 6.1.2. Гауссов интеграл общего вида (166). 6.1.3. Пертурбативное разложение (168).
§ 6.2.	Голоморфное представление............................ 168
6.2.1.	Гильбертово пространство аналитических функций (169).
6.2.2.	Гармонический осциллятор и голоморфное представление (170).
§6.3.	Ядра операторов......................................  172
§ 6.4.	Континуальный интеграл: гармонический осциллятор..... 174
6.4.1.	Гауссовы интегралы общего вида (175). 6.4.2. Гауссовы корреляционные функции (177). 6.4.3. Статсумма (178).
§ 6.5.	Континуальный интеграл: гамильтонианы общего вида..... 180
6.5.1.	Континуальный интеграл (180).	6.5.2. Несколько
комплексных переменных (182).	6.5.3. Обсуждение. (183).
6.5.4.	Гармонический осциллятор: вещественное возмущение (184).
§6.6.	Бозоны: вторичное квантование........................ 185
6.6.1.	Бозонные состояния и гамильтониан (186). 6.6.2. Векторы состояний: производящая функция и гамильтониан (187).
§ 6.7.	Статсумма............................................ 188
§ 6.8.	Конденсация Бозе-Эйнштейна........................... 190
6.8.1.	Гармонический потенциал (191). 6.8.2. Свободный бозонный газ в ящике (193).
§ 6.9.	Обобщенные континуальные интегралы: квантовый Бозе-газ. . . 194
6.9.1.	Гамильтониан в фоковском пространстве (194).
6.9.2.	Функциональные интегралы, или интегралы по полям (196).
Глава 7. Континуальные интегралы: фермионы..................... 209
§ 7.1.	Алгебры Грассмана.................................... 209
§ 7.2.	Дифференцирование в алгебрах Грассмана............... 211
§7.3.	Интегрирование в алгебрах Грассмана.................. 212
7.3.1.	Интегрирование и комплексное сопряжение. (214).
§ 7.4.	Гауссовы интегралы и пертурбативное разложение....... 215
7.4.1.	Гауссовы интегралы (215). 7.4.2. Гауссовы интегралы общего вида (217). 7.4.3. Гауссовы средние значения, теорема Вика (218). 7.4.4. Пертурбативное разложение (219).
§7.5.	Векторное пространство фермионов и фермионные операторы . . 221
7.5.1.	Грассмановы аналитические функции и скалярное произведение: одно состояние (222). 7.5.2. Алгебра Грассмана общего вида (223). 7.5.3. Операторы и ядра. (224).
§ 7.6.	Гамильтониан с одним состоянием...................... 226
7.6.1.	Квантовые состояния и операторы (226). 7.6.2. Операторы рождения и уничтожения (228).
§ 7.7.	Многочастичные состояния. Статсумма.................  229
7.7.1.	Фермионные состояния. Гамильтонианы. (229).
7.7.2.	Производящая функция векторов состояний (230).
§ 7.8.	Континуальный интеграл: задача с одним состоянием.... 231
8
Оглавление
7.8.1.	Гауссовы континуальные интегралы (232). 7.8.2. Статсум-ма (234).
§ 7.9.	Континуальные интегралы: обобщение.................... 236
7.9.1.	Гамильтониан общего вида (236). 7.9.2. Фермионные системы с парными взаимодействиями (237).
§ 7.10.	Квантовый Ферми-газ................................... 238
7.10.1.	Независимые фермионы: гильбертово пространство (239). 7.10.2. Взаимодействующие фермионы: интеграл по полям (239). 7.10.3. Уравнение состояния (241).
§ 7.11.	Вещественные гауссовы интегралы. Теорема Вика......... 243
§ 7.12.	Смешанная замена переменных; березиниан и суперслед... 245
Глава 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение ....................................................... 257
§ 8.1.	Потенциал четвертого порядка с двумя ямами и инстантоны. . . 258 8.1.1. Потенциал четвертого порядка с двумя ямами (258).
8.1.2.	Инстантоны (261).
§ 8.2.	Вырожденные минимумы: квазиклассическое приближение. . . . 262 8.2.1. Инстантоны (262). 8.2.2. Гауссово интегрирование и нулевая мода (263).
§ 8.3.	Коллективные координаты и гауссово интегрирование..... 265
8.3.1.	Нулевые моды в простых интегралах (265). 8.3.2. Метод Фаддеева-Попова (266). 8.3.3. Коллективные координаты в континуальных интегралах (267). 8.3.4. Гауссово интегрирование (268). 8.3.5. Применение: потенциал с двумя ямами (270).
§ 8.4.	Инстантоны и метастабильные состояния................. 271
8.4.1.	Простой интеграл (273). 8.4.2. Континуальный интеграл и метод наибыстрейшего спуска: инстантоны (274).
§ 8.5.	Коллективные координаты: альтернативный метод......... 277
§8.6.	Якобиан............................................... 280
§ 8.7.	Инстантоны: ангармонический осциллятор четвертого порядка 281 8.7.1. Простой интеграл четвертого порядка (282). 8.7.2. Континуальный интеграл (283). 8.7.3. Инстантоны (284).
Глава 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния................. 290
§9.1	. Эволюция свободной частицы и S-матрица................ 291
9.1.1.	Эволюция свободной частицы (291). 9.1.2. Частица в потенциале и S-матрица (292).
§9.2	. Теория возмущений для S-матрицы....................... 294
9.2.1.	Теория возмущений (294).	9.2.2. Явное вычисле-
ние (296). 9.2.3. Другой метод (298).
§	9.3. S-матрица: бозоны и фермионы........................ 300
9.3.1.	Голоморфный формализм н бозоны (300). 9.3.2. Фермионная S-матрица (301).
§	9.4. S-матрица в квазиклассическом пределе............... 303
§9.5	. Квазиклассическое приближение: одно измерение......... 304
9.5.1.	Рассеяние вперед (304). 9.5.2. Рассеяние назад (306).
9.5.3.	Запрещенная область (306).
§	9.6. Эйкональное приближение............................. 307
9.6.1.	Эйкональное приближение (308). 9.6.2. Применение к кулоновскому потенциалу (310).
§9.7	. Теория возмущений и операторы......................... 311
Оглавление
9
Глава 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве .... 315
§ 10,1. Некоторые элементы классической механики.............. 315
10.1.1	. Симметрии. Законы сохранения. (316).	10.1.2. Инва-
риантность относительно временных трансляций. Гамильтонов формализм. (317). 10.1.3. Канонические преобразования (319).
10.1.4	. Скобки Пуассона (320).
§ 10.2.	Континуальный интеграл в фазовом пространстве......... 321
10.2.1.	Континуальный интеграл (321).	10.2.2. Обсужде-
ние (324).
§ 10.3.	Гармонический осциллятор. Вычисления по теории возмущений. 326
§ 10.4.	Лагранжианы, квадратичные по скоростям................ 327
10.4.1.	Проверки (327). 10.4.2. Квадратичные лагранжианы общего вида (329).
§ 10.5.	Свободное движение на сфере, или жесткий ротатор ........ 332
10.5.1.	Гамильтониан (332). 10.5.2. Спектр жесткого ротатора: континуальный интеграл (334).
Приложение А. Квантовая механика: минимальные сведения.......... 340
§ А.1. Гильбертово пространство и операторы................... 340
§ А.2. Квантовая эволюция, симметрии и матрица плотности...... 342
§ А.З. Координата и импульс. Уравнение	Шредингера............. 345
Список литературы............................................... 350
Предметный указатель............................................ 353
10
Предисловие редактора перевода
Предлагаемая российским читателям книга известного французского физика Жана Зинн-Жюстена посвящена подробному изложению метода континуального интеграла. За полвека, прошедшие со времени появления классических работ Фейнмана, в которых был предложен этот метод, он превратился из довольно экзотического подхода в один из основных инструментов современной теоретической физики. Достаточно сказать, что наиболее важные результаты в квантовой теории калибровочных полей, являющейся теоретической основой современной физики элементарных частиц, были получены с помощью метода континуального интеграла. Новейшее развитие теории, связанное с моделями релятивистских струн и бран, также в значительной степени опирается на этот метод. Несмотря на это, последовательное и достаточно полное изложение этого метода в современной монографической литературе по-прежнему является редкостью. Впервые такое изложение было дано в монографии [25], где на его основе была построена квантовая теория калибровочных полей.
Современное развитие метода континуального интеграла связано с работами ряда исследователей, среди которых видное место занимает Ж. Зинн-Жюстен. Написанная им книга дает подробное и ясное изложение основ метода континуального интеграла и несомненно вызовет интерес как у специалистов, работающих в различных областях теоретической физики, так и у молодых ученых и студентов, желающих овладеть этим мощным современным методом.
В заключение считаю своим приятным долгом поблагодарить Российский Фонд Фундаментальных Исследований за финансирование данного издания, а также Жана Зинн-Жюстена за активное сотрудничество при переводе книги.
Академик А.А.Славнов
11
Предисловие автора к русскому изданию
Мне очень приятно написать несколько строк в качестве предисловия к русскому изданию моей книги. Конечно, как всякому автору, мне очень льстит, что моя книга переведена на другой язык. Однако имеются и более конкретные причины.
Прежде всего, я несколько раз был в России и очень интересуюсь русской культурой и искусством, что хорошо известно моим российским друзьям.
Еще более важно, возможно, то, что большое положительное влияние на данную книгу оказали мои многочисленные контакты с российскими коллегами. Невозможно перечислить здесь их всех, поэтому я упомяну лишь тех, чье влияние особенно отчетливо ощущается в данной работе: А.Н.Васильев, А.А.Славнов, Л.Д.Фаддеев, Ф.А.Березин и А,М.Поляков.
Наконец, я хочу сердечно поблагодарить Дмитрия Быкова, который проделал большую работу по переводу этой книги и способствовал ее улучшению, обратив внимание на некоторые опечатки в английском издании, а также моего уважаемого коллегу и друга Андрея Славнова, который отредактировал перевод.
Жан Зинн-Жюстен, Сакле, 13 мая 2006 г.
12
Введение
Введение
Основой для этой книги является курс «Дополнительные главы квантовой механики», читаемый автором в университете «Париж 7» с осени 1996 года. Отчасти написание этой книги было мотивировано некоторыми главами (главы 1-6, 39-41) монографии
J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Clarendon Press 1989 (Oxford 4th ed. 2002), для которой данная книга может служить введением.
Впервые эта книга была издана на французском языке:
J.Zinn-Justin, Integrate de chemin en mecanique quantique: introduction, EDP Sciences (Les Ulis, 2003).
Основная задача данной книги — познакомить читателя с математическим методом — континуальным интегралом — который реализует альтернативный подход к квантовой механике, но, что еще важнее, в своем более общем виде стал ключом к глубокому пониманию квантовой теории поля и ее применений, простирающихся от физики частиц до фазовых переходов и свойств квантовых газов.
Континуальные интегралы (интегралы по путям) — это математические объекты, которые можно рассматривать как обобщение обычных интегралов на случай бесконечного числа переменных, представляемых траекториями (путями). У них такие же алгебраические свойства, как и у обычных интегралов, но с точки зрения анализа они обладают также некоторыми новыми свойствами.
Континуальный интеграл — это мощный инструмент для изучения квантовой механики, потому что он особенно четко выделяет соответствие между классической и квантовой механикой. Физические величины являются средними по всем возможным траекториям, но в квази-классическом приближении h —► 0 ведущий вклад дается траекториями, наиболее близкими к классическим. Таким образом, континуальный интеграл способствует интуитивному пониманию и дает возможность сравнительно просто рассчитывать физические величины в квазиклас-сическом приближении. Мы проиллюстрируем это наблюдение на примере процессов рассеяния, а также при исследовании спектральных свойств и при рассмотрении прохождения через потенциальный барьер.
Формулировка квантовой механики, основанная на континуальных интегралах, даже если и кажется математически более сложной, чем обычный формализм дифференциальных уравнений в частных производных, тем не менее хорошо приспособлена к описанию систем с большим числом степеней свободы, где формализм Шредингерова типа гораздо менее полезен. Поэтому она позволяет легко перейти от квантовой механики с небольшим числом частиц к квантовой теории поля или статистической физике. В частности, обобщенные континуальные интегралы (полевые интегралы) приводят к пониманию глубоких взаи
Введение
13
мосвязей между квантовой теорией поля и критическими явлениями в
разовых переходах второго рода.
В данной книге мы в первую очередь рассматриваем евклидовы
континуальные интегралы. Это значит» что мы строим представление
в виде континуального интеграла для матричных элементов квантового статистического оператора, или матрицы плотности при тепловом равновесии е~^И, где Н — квантовый гамильтониан, а в — обратная температура (в системе единиц, в которой постоянная Больцмана кв равна 1). Таким образом мы можем описать квантовую статистическую физику в терминах континуального интеграла, а также, что еще более неожиданно, показать соответствие между классической и квантовой статистической механикой.
Евклидова формулировка имеет одно важное преимущество: в общем случае значительно проще строго определить континуальные интегралы, определяющие оператор е~зн (формула Фейнмана-Каца), чем квантовый оператор эволюции
Формально квантовый статистической оператор (или матрица плотности), след которой есть квантовая статистическая сумма
Z(J3) — tr е ^н,
(1)
описывает «эволюцию» в мнимом времени, т.к. он связан с оператором эволюции заменой Из этого соотношения сразу становится ясен и недостаток евклидова формализма: соответствующие классические
выражения имеют несколько необычный вид, т.к. время мнимое. Мы будем использовать понятия евклидова действия или лагранжиана, а
также евклидова времени.
Тем не менее, алгебраические свойства евклидовых континуальных интегралов легко обобщаются на случай квантового оператора эво-
люции в вещественном времени, и явные выражения получаются при помощи аналитического продолжения, что будет проиллюстрировано при расчете амплитуд рассеяния.
Выделим одно особенно важное свойство статистического оператора: он дает метод определения структуры основного состояния квантовой системы: например, если Н ограничен снизу, энергия основного состояния Eq есть
(2)
Если, кроме того, основное состояние единственно и изолировано, является проектором при (3 —> +оо на основное состояние |0);
Г|0><0| + О (e“3(£l-£°)Y
(3)
Таким образом, евклидовы континуальные интегралы часто дают простую интуитивно понятную картину структуры основного состояния для систем с большим числом степеней свободы.
14
Введение
Было замечено, что эффекты квантового туннелирования в квази-классическом приближении связаны с классическими траекториями в мнимом времени. Евклидов континуальный интеграл, таким образом, естественно приспособлен к решению этой задачи.
Наконец, евклидов интеграл напрямую связан с процессами диффузии; например, уравнение Фоккера-Планка имеет вид уравнения Шредингера в мнимом времени. Этот класс задач включает в себя, в частности, броуновское движение, что и послужило мотивацией для построения первого континуального интеграла — интеграла Винера.
Эта книга построена следующим образом:
Цель главы 1 — показать на примере обычных интегралов концепции и методы, которые могут быть обобщены на случай континуальных
интегралов.
Первая часть посвящена вычислению обычных гауссовых интегралов, гауссовых средних и доказательству соответствующей теоремы Вика. Вводится понятие связного вклада. Показывается, что средние значения мономов удобно представлять в виде графов, которые называются Фейнмановскими диаграммами.
Задача вычисления средних значений по мерам, несильно отличающимся от гауссовых, может быть сведена к суммированию бесконечных рядов гауссовых средних. Этот метод называется теорией возмущений.
Наконец, в главе 1 приведено краткое описание метода наибыстрейшего спуска — метода, который позволяет приближенно находить интегралы определенного вида, сводя их в некотором приближении к
гауссовым интегралам.
В главе 2 мы построим представление в виде континуального интеграла для статистического оператора для случая гамильтонианов простого вида + V(q). Затем мы в явном виде вычислим континуальный интеграл, описывающий движение гармонического осциллято
ра во внешнем не зависящем от времени силовом поле. Это позволит
нам вычислять континуальные интегралы для произвольных аналитических потенциалов в рамках теории возмущений. Мы применим эти результаты к вычислению статсуммы tr е~$н по теории возмущений и в квазиклассическом приближении.
Подынтегральные выражения в такого рода континуальных интегралах определяют меру, положительно определенную на путях. Поэтому естественно ввести соответствующие средние, называемые корреляционными функциями. Моменты такого распределения можно получить, функционально дифференцируя так называемый производящий функционал.
Как будет показано в главе 3, эти результаты главы 2 можно применить к определению спектров целого класса гамильтонианов в некоторых приближенных схемах. Мы также покажем, как в рамках континуального интеграла возникает вариационный принцип, и решим несколько задач с О(ЛГ)-симметрией в пределе больших N.
Введение
15
В главе 4 мы интерпретируем корреляционные функции, введенные В главе 2, с позиций классической статистической физики, сравнивая классическую статистическую механику одномерных систем с квантовой статистической механикой частицы.
В главе 5 мы построим континуальные интегралы для гамильтонианов общего вида, линейных по скоростям, таких, как, например, гамильтонианы частиц в магнитном поле. Будет показано, что проблема выбора упорядочения квантовых операторов влечет за собой неоднозначности в определении континуального интеграла. Мы рассмотрим также некоторые процессы диффузии, описываемые уравнением Фоккера-Планка, которые приводят к похожим континуальным интегралам.
В главе 6 мы введем голоморфное представление квантовой механики, потому что оно позволяет исследовать свойства бозонных систем как с точки зрения эволюции, так и с точки зрения квантовой статистической физики (в так называемом формализме вторичного квантования). В таком случае континуальный интеграл имеет вид интеграла по траекториям в фазовом пространстве с комплексной параметризацией. Параллельный формализм, описанный в главе 7, основан на интегрировании по антикоммутирующим, или Грассмановым, переменным, и он дает возможность рассматривать фермионы аналогично бозонам.
Глава 8 посвящена решению задачи о прохождении через барьер в квазиклассическом приближении, и для этой задачи евклидов формализм подходит особенно хорошо. Мы рассмотрим квантовое снятие вырождения между классическими вырожденными энергетическими состояниями и распад метастабильных состояний. Здесь важную роль играет понятие инстантона.
В главе 9 мы введем понятие квантовой эволюции (в вещественном времени) и построим представление в виде континуального интеграла для матрицы рассеяния (так называемой S-матрицы), и отсюда получим стандартное пертурбативное разложение по степеням потенциала. В качестве примера мы рассмотрим S-матрицу для случаев фермионной и бозонной систем. Затем будут исследованы некоторые другие приближенные квазиклассические схемы.
Наконец, в главе 10 содержится несколько дополнительных результатов, таких, как определение континуального интеграла по траекториям в фазовом пространстве, а также проблемы, связанные с квантованием лагранжианов с потенциалами, квадратичными по скоростям.
Необходимо подчеркнуть, что в данной книге мы будем придерживаться достаточно эмпирического подхода, и вопросы математической строгости не будут иметь для нас первостепенной важности. Наша цель в большей степени педагогическая: понять континуальный интеграл, его свойства и его пользу с точки зрения физики. Кроме того, Необходимо научиться делать практические расчеты, и поэтому много места будет уделено методам вычислений.
16
Введение
Наконец, для чтения данной книги необходимо минимальное знание основ квантовой механики, таких как принцип суперпозиции, гильбертовы пространства и операторы, действующие на векторы в гильбертовом пространстве, а также уравнение Шредингера. Мы зачастую будем использовать дираковские бра-кет символы для обозначения векторов в гильбертовом пространстве и комплексно сопряженных им векторов. Поэтому для полноты мы напомним читателю основные понятия квантовой механики в Приложении А.
Краткие исторические заметки и библиография. Вероятно, первым, кто предложил идею континуального интеграла, был Винер, который, будучи мотивирован известной работой Эйнштейна, использовал его в качестве инструмента для описания статистических свойств броуновского движения. Броуновское движение можно рассматривать как непрерывный предел марковского случайного блуждания с дискретными временными интервалами. Движение в момент времени t (t —целое число) полностью определяется положением х в момент времени t и вероятностью р(х' — х) перехода из точки х в другую точку х1. Поэтому, если «блуждающий» находится в момент времени t в точке хо, вероятность Рп(хп,хо) оказаться в точке хп в момент времени п есть
Рп(хп,хо)= dxx dx2...dxn-\ р(хп-хп-\)...р{х2~ хх) р{хх -xQ). (4)
Множество интегрирований по всем переменным Xi можно интерпретировать как усреднение с некоторым весом по всем путям {а?Д, которые начинаются в и заканчиваются в хп в моменты времени, принимающие дискретные значения 0, 1..п.
Более того, в пределе п —► ос дискретная природа времени уже не играет роли. Вследствие центральной предельной теоремы теории вероятностей, распределение p(xf — х) можно заменить гауссовским распределением вида е~(х~х) /2О, и асимптотическое поведение не изменится. Эта предельная процедура приводит к континуальному интегралу: статистические свойства броуновского движения могут быть получены путем усреднения с гауссовым весом по классу непрерывных путей функции, зависящей от непрерывной переменной времени.
Работа Винера достаточно хорошо известна, но в менее известной работе примерно того же периода Вентцель ввел в рамках квантовой оптики концепцию суммы по путям с некоторым весовым множителем, а также обратил внимание на деструктивную интерференцию путей, не удовлетворяющих классическим уравнениям движения, и интерпретировал эти суммы как амплитуды вероятностей переходов. Дирак написал выражение для оператора эволюции, напоминающее континуальный интеграл, однако он не пошел дальше приближенной версии с дискретными временными интервалами. Тем не менее, его наблюдение оказалось очень важным с точки зрения релятивистской физики: он показал, что матричные элементы оператора эволюции
Введение
17
для бесконечно малого временного интервала 6t можно выразить в терминах лагранжиана С в виде т.е. в явно ковариантном виде.
Конечно, современная история континуального интеграла началась С работ Фейнмана, который сформулировал квантовую эволюцию в терминах сумм по набору траекторий с весом где 5 — классическое действие (интеграл по времени от лагранжиана). При таком подходе классические уравнения движения возникают при вычислении континуального интеграла методом стационарной фазы. Когда в физической системе типичные значения действия велики по сравнению с основной вклад в континуальный интеграл вносят траектории, близкие К классическим.
Формулировка квантовой механики в терминах континуального интеграла дает новое, более глубокое понимание соотношения между квантовой и классической механикой. Кроме того, континуальные интегралы дают нам новые инструменты для изучения квантовой механики в квазиклассическом приближении. Однако, помимо чисто концептуального интереса такой переформулировки квантовой механики, следует заметить, что континуальные интегралы стали совершенно незаменимыми в современной физике, например, в квантовой теории поля, т.к. они легко обобщаются на системы с большим числом степеней свободы. В частности, квантование неабелевых калибровочных полей Фаддеевым и Поповым (1967) и ДеВиттом было бы значительно сложней в обычной формулировке квантовой теории в терминах операторов и квантовополевых уравнений. Если принять во внимание, что неабелевы калибровочные поля — основная составляющая Стандартной Модели, которая описывает все фундаментальные взаимодействия, кроме гравитации, то важность такого результата становится очевидной.
Более того, континуальные интегралы вскрыли глубокие математические взаимосвязи между квантовой теорией поля и статистической физикой фазовых переходов, и эти соотношения было бы гораздо трудней получить каким-либо другим путем. Начиная с работ Вильсона, они сыграли первостепенную роль в нашем понимании критических явлений.
С математической точки зрения, континуальные интегралы, описывающие квантовую эволюцию, зачастую определить гораздо труднее, Т.к. по модулю равно единице для всех траекторий, и поэтому суммарный вклад различных траекторий есть результат интерференции. Кац заметил, что если заменить оператор эволюции НВ статистический оператор е~®И (что соответствует замене уравнения Шредингера на уравнение диффузии или теплопроводности), ТО получится континуальный интеграл, у которого подынтегральное выражение является положительно определенной мерой (по крайней мере в простейших случаях), обобщающей интеграл Винера, который можно ввести значительно проще. Затем многие авторы стали использовать континуальные интегралы для описания квантовой эволюции,
18
Введение
совершая аналитическое продолжение по переменной времени. Этой стратегии мы также будем придерживаться в данной книге.
В физике нашли применение несколько обобщений исходной идеи континуального интеграла. Интеграл по траекториям в фазовом пространстве (пространство координат и импульсов) с комплексной параметризацией, соответствующее голоморфному представлению квантовой механики, естественным образом возникает при исследовании свойств бозонных систем в так называемом формализме вторичного квантования. Интегралы по грассмановым путям дают возможность рассматривать фермионные и бозонные системы на единой основе. Интегралы по вещественным траекториям в фазовом пространстве помогают интуитивно понять меру интегрирования, когда траектории лежат на римановых многообразиях с кривизной, например, таких, как сфера.
В данной книге мы не будем обсуждать интересный вопрос о квантовании систем со связями, и отсылаем заинтересованного читателя к соответствующей литературе.
Многие авторы подчеркивали, что в общем случае, когда квантовый гамильтониан не может быть получен из своего классического аналога из-за проблемы упорядочения операторов, метод континуального интеграла также не решает проблему квантования, несмотря на то, что формально кажется, что континуальный интеграл зависит лишь от классических величин. Однако в этом случае он не является однозначно определенным.
Континуальные интегралы позволили воспроизвести многие квази-классические приближения с помощью более простых и интуитивно понятных методов. Это ясно уже на примере расчета спектров гамильтонианов или построения оператора эволюции в квазиклассическом приближении, из которого также можно получить квазиклассические выражения для амплитуд рассеяния.
Вариант континуального интеграла с мнимым временем (квантовый статистический оператор, оператор Фейнмана-Каца) позволяет исследовать прохождение через барьер в квазиклассическом приближении. В этом случае основной вклад в континуальный интеграл дают классические решения типа инстантонов, и для того, чтобы посчитать континуальный интеграл, необходимо ввести коллективные координаты. Поведение разложений теории возмущений (вблизи гармонического приближения) в высоких порядках можно также получить при помощи похожих выкладок.
Наконец, несколько книг, посвященных континуальному интегралу, представляют исторический интерес или освещают другие подходы к данному вопросу. Кроме того, в них читатель найдет дополнительные ссылки.
Глава 1
ГАУССОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
Гауссовы меры играют первостепенную роль во многих областях: В теории вероятностей вследствие центральной предельной теоремы, * квантовой механике, что станет ясно из дальнейшего, а также в квантовой теории поля и в теории фазовых переходов в статистической физике. Поэтому, прежде чем перейти к обсуждению континуальных интегралов, в этой главе мы вспомним несколько полезных математических результатов, касающихся гауссовых интегралов, а также свойств гауссовых средних. В частности, будет доказана соответствующая теорема Вика — простой результат, имеющий, тем не менее, большую практическую значимость.
Для изучения свойств средних значений по отношению к какой-либо мере или распределению вероятностей удобно ввести производящую функцию моментов распределения. Это также позволяет ввести производящую функцию кумулянтов распределения, которые обладают более простыми свойствами.
Метод наибыстрейшего спуска предоставляет возможность приближенно находить определенный тип комплексных интегралов. В каждом порядке вклады имеют вид гауссовых средних. Ниже мы объясним этот метод, как для вещественных, так и для комплексных, простых и кратных интегралов, с целью дальнейшего применения его к континуальным интегралам.
Обозначения. В данной книге, как правило, будет использоваться полужирный шрифт для обозначения матриц или векторов, а курсив (с индексами) — для обозначения матричных элементов или компонент вектора.
§1.1. Производящая функция
Рассмотрим положительно-определенную меру или распределение вероятностей fi(xi,X2,... ,хп), определенную на Rn и необходимым образом нормированную. Для среднего значения функции F(x\,..., хп) введем обозначение

где dnx = ПГ=1 Условие нормировки выбрано так, что (1) — 1.
20
Гл. Г Гауссовы интегралы
Обычно удобно ввести Фурье-образ распределения. В этой книге мы будем в основном иметь дело с определенным классом распределений, для которых Фурье-образ является аналитической функцией, существующей и для мнимых аргументов. Таким образом, введем функцию
Z(b) =
(1-1)
Преимущество такого определения состоит в том, что подынтегральная функция является положительной мерой для всех вещественных значений Ь.
При разложении подынтегрального выражения по степеням переменной bk коэффициентами разложения являются средние значения, т.е. моменты распределения:
ОС |	п
%(Ь)	ЭСк} *  • %kf) 
к\,к>2.kf~l
Таким образом, функция Z(b) является производящей функцией моментов распределения, т.е. средних значений мономиальных функций. Средние значения можно получить, дифференцируя функцию Z(b). Дифференцируя обе части (1.1) по bk, получим:
=
dn£Q(x)a^eb‘x.
Повторное дифференцирование дает в пределе b = 0
(1-2)
(1-3)
____()_
dbkl dbk2
ъ=о
*^ki • • • ^kg
Такое представление для производящей функции очень полезно и будет обобщено в разделе 2.5.3 на случай, когда число переменных становится бесконечным.
§ 1.2. Гауссовы средние значения. Теорема Вика
Вследствие центральной предельной теоремы теории вероятностей гауссовы распределения играют важную роль во всех стохастических явлениях. Вспомним некоторые алгебраические свойства гауссовых интегралов и гауссовых средних. Так как большинство алгебраических свойств обобщается на случай комплексных гауссовых интегралов, мы рассмотрим ниже также и этот более общий случай.
Гауссов интеграл
Z(A) = dTx ехр
(1-4)

§1.2. Гауссовы средние значения. Теорема Вика
21
сходится, если матрица А с элементами ~ симметричная комплексная матрица, вещественная часть которой неотрицательна (отсюда следует, что все собственные значения Rc(A) неотрицательны), и ни ОДНО собственное значение а; матрицы А не равно нулю:
Re(А)	0, at / 0.
При этих условиях можно различными методами доказать, что
Z(A) = (27r)n/2(detA)-’/2.
(1-5)
Если матрица комплексная, необходима осторожность при обращении С квадратным корнем и при определении общего знака.
Ниже мы выведем этот результат для вещественных положительных матриц. В разделе 1.7 будет приведено доказательство для комплексных матриц. Другое независимое доказательство намечено в упражнениях.
1.2.1.	Вещественные матрицы: доказательство
Одномерный гауссов интеграл общего вида может быть легко вычислен (а > 0):
dze ax2/2+bx = х/2тг/а ед2
(1.6)
В общем случае любая вещественная симметричная матрица может быть диагонализована ортогональным преобразованием, и поэтому матрицу А в (1.4) можно представить в виде:
А = ODOT,
(1.7)
где матрица О ортогональна, а матрица D с элементами Dij диаго-нальна:
Поэтому сделаем замену переменных х^у в интеграле (1.4):
Соответствующий якобиан J = | det О| = 1. Теперь интеграл факторизуется:
Z(A) = dyi е-а*£/2
22
Гл. 1. Гауссовы интегралы
Матрица А положительно-определена, поэтому все собственные значения di положительны, и все интегралы сходятся. Используя результат (1.6), получим:
Z(A) = (2тг)п/2(а1а2 - • -	= (2?r)n/2(det А)-1/2.
1.2.2.	Гауссов интеграл общего вида Теперь рассмотрим гауссов интеграл
Z(A,b) =
(1-8)
Чтобы вычислить Z(A, b), необходимо найти минимум квадратичной формы:
п
AkjXj &к —	•
J = 1
Вводя обратную матрицу
можно представить решение в виде
После замены переменных Xi>-> yi,
интеграл принимает вид
Z(A, b) = ехр
(1.9)
(1.Ю)
(1.11)
Замена переменных свела вычисление к интегралу (1.4). Поэтому заключаем, что
Z(A, b) — (2тг)п/2 (det А) !^2 ехр
(1.12)
Замечание. Гауссовы интегралы обладают примечательным свойством: после интегрирования по одной переменной снова получается гауссов интеграл. Такая структурная устойчивость объясняет устойчивость гауссовых распределений вероятностей и также связана с некоторыми свойствами гармонического осциллятора, которые будут обсуждаться в разделе 2.6.
§1.2. Гауссовы средние значения. Теорема Вика
23
1.2.3.	Гауссовы средние значения и теорема Вика
Когда матрица А вещественна и положительно-определена, подынтегральное выражение в гауссовом интеграле можно рассматривать как Положительно-определенную меру (или распределение вероятностей) На Жп, которая может быть использована для подсчета средних значений функций п переменных хг. *
№))=лг
d^x F(x) exp
(1.13)
Тде нормировочный множитель N определяется из условия (1) — 1: ЛГ = Z-'(A,0) = (27r)-"/2(detA)1/2 .
Функция
Z(A, b)/Z(A, 0) = (еь'х),
(1.14)
где Z(A, Ь) — функция (1.8), является производящей функцией моментов распределения, т.е. гауссовых средних мономов (см. Раздел 1.1). Средние значения получаются при дифференцировании (1.14) по переменным Ьг
{Xki Xk2... Xke} = (2тг) n/2 (det А)1/2
_a____
dbk} dbk2
d dbkt
Z(A,b)
b=0
ЧТО при замене Z(A, b) на явное выражение (1.12) дает:
• • • J'kf ) —
д dbkl
д
оГ” ехР obke
(L15)
общем случае, если функция F(x) представляет собой степенной ряд
ПО переменным ее среднее значение дается равенством
Теорема Вика. Равенство (1.15) приводит к теореме Вика. При каждом дифференцировании экспоненты в правой части равенства появляется ОДИН множитель Ь. Затем необходимо опять продифференцировать этот Множитель Ь, в противном случае соответствующий вклад исчезнет, когда мы положим b равным нулю. Отсюда заключаем, что среднее значение произведения xkl...xke с гауссовым весом, пропорциональным ехр(— ^XiAijXj), дается следующим выражением: необходимо всеми возможными способами спарить индексы	(£ должен быть
24
Гл. /. Гауссовы интегралы
четным, иначе момент равен нулю). Каждой паре kpkq сопоставляется элемент Дк ь матрицы А = А-1. Тогда г ч
 • • % kg )
крг   
(1.17)
все спаривания Р индексов {kj . ..kg }
p^fcpj)	
все спаривания Р индексов^] ...fcf}
(1.18)
Равенства (1.17),(1.18) характерны для всех центрированных (т.е. (xi) = 0) гауссовых мер. Их часто называют теоремой Вика. После соответствующей адаптации для нужд квантовой механики или квантовой теории поля они становятся основой для построения теории возмущений. Заметим, что простота этого результата не должна преуменьшить его большую практическую значимость. Также обратим внимание на то, что так как вывод чисто алгебраический, он обобщается на случай комплексных интегралов. Исчезает лишь интерпретация гауссовых функций как положительно-определенных мер или распределений вероятностей.
Примеры. Последовательно находим
Ъ| Z2 )
г3г2 •
В общем случае гауссово среднее произведения 2р переменных есть сумма (2р — 1)(2р — 3)... 5 х 3 х 1 вкладов (это простое свойство дает полезный метод проверки).
Полезное тождество. Рассмотрим гауссово среднее произведения XiF(x)\
(1.19)
Подставляя тождество
в (1.19) и интегрируя по частям, получим соотношение
dF дх? ’

§ 1.3. Гауссова мера с возмущением. Связные вклады
25
Которое может быть переписано в виде
Эхе / ’
(1.20)
И которое также может быть получено при помощи теоремы Вика.
| L3. Гауссова мера с возмущением. Связные вклады
Даже в тех ситуациях, когда применима центральная предельная ТЮрема, гауссова мера является лишь асимптотическим распределением. Поэтому полезно также уметь приближенно вычислять средние |К1чения по возмущенным гауссовым распределениям.
1.3.1.	Гауссова мера с возмущением
Рассмотрим более общее нормированное распределение fгде функцию Л(х, А) можно представить в виде суммы квадратичной части и полинома AV(x) по переменным х^.
XiAijXj “h AV(x),
(1.21)

й параметр А характеризует амплитуду отклонения от гауссова распределения.
Нормировочный множитель 2(A) дается интегралом
2(A) =
dnxe-A^
(1-22)
Чтобы вычислить его, разложим подынтегральное выражение в формальный ряд по А и проинтегрируем почленно:
<v‘W)o
(1.23)
где символ («)0 обозначает среднее значение по нормированной гауссовой мере ехр[- -.XiAijXj/2]/Z(0). Каждый член в разложении, представляющий собой гауссово среднее полинома, может быть затем найден при помощи теоремы Вика (1.17).
Используя равенство (1.16) с F = е-ЛУ, получаем формальное представление для функции (1.22):
Z(A)/Z(0) = < ехр -XV
дЬ
(1-24)
ь~о

26
Гл. Г Гауссовы интегралы
Пример. В случае возмущения
1
V(x) = -£<
г=1
(1.25)
разложение до порядка А2 имеет вид (ДА = 1)
Z(A)/Z(0)
г,3
Можно сделать простую проверку множителей, рассмотрев случай одной переменной. В этом случае
Z(A)/Z(0) = 1 - |а + Ал2 + О(Л3).
Заметим, что первые два члена разложения (1.26) экспоненцируются таким образом, что InZ содержит лишь связные вклады, т.е. вклады, которые не могут быть представлены в виде произведения сумм:
In3(A) - In3(0) -
48 13
г
1.3.2.	Диаграммы Фейнмана
Каждому отдельному
Рис. 1.1. Диаграмма
Фейнмана: вклад (х4) порядка А в примере (1.25).
вкладу, порожденному теоремой Вика, можно сопоставить граф, называемый диаграммой Фейнмана. Каждый моном, дающий вклад в V(x), представляется точкой (вершиной), из которой выходит столько линий, какова степень монома. Каждое спаривание представляется линией, соединяющей вершины, к которым принадлежат соответствующие переменные. Мы ввели понятие связного вклада.
Этому понятию соответствует свойство графов: связному вкладу соответствует связная диаграмма. Связные вклады в нормировочный множитель (1.22) примера (1.25) представлены до порядка А2 на Рис. 1.1 и 1.2, где индексы i и j отражают суммирования в (1.26).
1.3.3.	Связные вклады
Обсудим в общем виде понятие связного вклада, которое мы только что ввели. Ниже мы будем использовать индекс «с» для обозначения
§ 1.4. Средние значения. Производящая функция. Кумулянты
27
fфвязной части среднего значения. Тогда, например, (	(V(x)) = (V(x))c , (V2(x)) = (V2(x)\. + (V(x))2
(V3(x)) = (У3(х))с + 3(У2(х))с№))с+(У(х))3,..-.
В общем случае в порядке к находим
(Vfc(x)) = ~ (Vfc(x)^r + несвязные члены.
Несвязный член представляет собой произведение вида
(Vfcl(x))c(Vfc2(x))c---(V^(x))c , Аи +к2 + --- + кр = к,
С весом 1 /Аг!» ПОЯВИВШИМСЯ из разложения экспоненты, умноженное HI	комбинаторный	множитель,
Соответствующий Всем	возможным
Рис. 1.2.Диаграммы Фейнмана: связные вклады порядка Л2 для примера (1.25).
Способам группировки
к объектов в наборы из к} + &2 + • • • + кр
Объектов, если все ki различны. Находим
1 к\ _	1
fc! Х ki'.k2'.... кр'. ~ kt'.к2'. ...кр'.'
Нели т значений ki равны, то необходимо разделить на дополнительный комбинаторный множитель 1/т!, потому что в противном случае один и тот же член будет посчитан т! раз.
Таким образом, пертурбативное разложение можно записать в виде:
W(A) = InZ(A) - InZ(O) + £ (Vfc(x))c
(1-27)
§ 1.4. Средние значения. Производящая функция. Кумулянты
Посчитаем моменты распределения е~Л^Х,Л)/Е(А), где Л(х, А) — полином (1.21):
Средние значения вида (х^х^ ...Х{е}\, которые мы будем называть ^точечными функциями, как принято в контексте континуального Интеграла, даются соотношениями:
( А)-2^| 22 ., .2^ (А),
21*^2 *
28
Гл. Г Гауссовы интегралы

.. xie ехр [-Д(х, А) .
(1.286)
1.4.1. Двуточечная функция
В качестве иллюстрации опишем некоторые этапы вычисления двуточечной функции (xilxi2)x до порядка А2. Сначала произведем разложение интеграла
^г.г2(А) =
dnxXixXi2 ехр [—Л(х, А)].
В примере (1.25) до порядка А2 будем иметь:
^w(A)/Z(0)
Теперь посчитаем отношение
Г - nr* ♦ \ 'гН'г2/А
= ZM2(A)/2(A).
В отношении двух рядов несвязные члены сокращаются, и в итоге получим:
В терминах диаграмм Фейнмана Q вклады порядка 1, А и А2 изображены на Рис. 1.3 и 1.4 соответственно. Таким же образом можно вычислить четырехточечную /2 функцию, т.е. среднее значение Рис. 1.3. Двуточечная функция: вкла- монома четвертой степени обще-ды порядка 1 и А.	го вида, при этом мы получили
бы много вкладов. Однако результаты упрощаются, если сразу считать кумулянты распределения. Для этой цели удобно сначала ввести производящую функцию средних значений
§ 1.4. Средние значения. Производящая функция. Кумулянты
29
Рис. 1.4. Двуточечная функция: вклады порядка А2.
1.4.2. Производящая функция. Кумулянты
Введем функцию
Z(b,A) =
dnx exp [—Л(х, А) + b • х],
(1.30)
которая является обобщением функции (1.8) из примера с гауссовым распределением. Она пропорциональна производящей функции средних значений (1.28а) (см. Раздел 1.1)
— Z(b,A)/Z(A), являющейся обобщением функции (1.14). Дифференцируя ее, получим:
= Z-,(A)
д____д_
дЬгх dbi2
dbif
(1-31)
ь=о
Теперь введем функцию
W(b,A) = lnZ(b,A).	(1.32)
В вероятностной интерпретации W(b, А) представляет собой производящую функцию кумулянтов распределения.
Заметим, что в примере с гауссовым распределением W(b) есть квадратичная форма по Ь. Более того, из (1.27) видно, что пертурбативное разложение кумулянтов гораздо проще, т.к, содержит лишь связные вклады. В частности, все диаграммы, соответствующие интегралу нормировки (1.26), могут появиться лишь в W(0, А). Поэтому в отношении Z(b, A)/Z(A) они сокращаются, как мы уже заметили на примере двуточечной функции в разделе 1.4.1.
Замечание. В статистической физике средние значения произведений {xixXi2 ...Хц} называются ^-точечными корреляционными функциями, а кумулянты

М?
dbit db,.
b=0
называются связными корреляционными функциями.
30
Гл. 1. Гауссовы интегралы
Примеры. Раскладывая (1.32) по степеням Ь, находим, что одноточечные функции идентичны:
Для двуточечных функций имеем
Таким образом, связная двуточечная функция — это двуточечная функция переменных, из которых вычтены их средние значения.
В случае четного возмущения V(x) = V(—х), как в случае (1.25),
Связная четырехточечная функция, равная нулю для гауссовой меры, дает первую оценку отклонения меры от гауссовой (Рис. 1.5). В при-
Рис. 1.5. Четырехточечная функция: связные вклады порядка Л и Л2 для примера (1.25).
мере (1.25) до порядка А2 будем иметь:
ИЛ(4). .
+ 3 члена) + О(А3).
43
(1.34)
§ 1.5. Метод наибыстрейшего спуска
Метод наибыстрейшего спуска — это приближенный метод нахождения определенного типа контурных интегралов на комплексной плоскости. Он состоит в аппроксимации интеграла суммой гауссовых средних.
Прежде всего, опишем данный метод для случая вещественных интегралов одной переменной, а затем произведем обобщение на случай
§ 1.5. Метод наибыстрейшего спуска
31
комплексных интегралов. В заключение рассмотрим также обобщение К! случай произвольного числа переменных.
1.5Л. Вещественные интегралы
Рассмотрим интеграл
ъ ъ
1(A) = dxe~A^!x,
а
(1.35)
Где функция A(i) вещественна и аналитична в окрестности интервала (а,Ь) вещественной прямой, а А — положительный параметр. Нашей
целью является нахождение асимптотики интеграла в пределе А —> 0+. В этом пределе основной вклад в интеграл дает максимум подынте-
грального выражения, т.е. минимум Л(х). Возможны две ситуации:
(i) Минимум Л(ж) достигается в точке, лежащей на границе интервала. В этом случае нужно разложить Л(х) вблизи этой граничной
ТОЧКИ и затем проинтегрировать, однако мы не будем рассматривать
втот вариант.
(ii) Функция А(х) имеет один или несколько минимумов внутри интервала (а, Ь). Минимумы соответствуют точкам хс, являющимся решениями уравнения
А\хс) - О,
где в общем случае A"(irc) > 0 (случай Л"(£с) = 0 требует отдельного анализа). По причинам, которые станут понятными позже, такие точки называются седловыми точками (см. пример (ii)). Когда имеется несколько седловых точек, наибольший вклад дает абсолютный минимум А(ж).
Более того, если пренебречь поправками порядка ехр[—const./А], область интегрирования можно ограничить окрестностью (хс — £,хс + + е) точки хс, где е конечна, но произвольно мала. Действительно, вклад части прямой, внешней по отношению к данному интервалу, ограничен величиной

где СВОЙСТВО £	1 необходимо для того, чтобы можно было использо-
вать приближение
Более точно можно утверждать, что часть области интегрирования, дающая основной вклад, имеет размер порядка >/А. Поэтому удобно сделать замену переменной х у:
у — (х - хс)/\/Х.
32
Гл. /. Гауссовы интегралы
В таком случае разложение функции А имеет вид
А/Х - Л(хс)/Х + ±у2Л"(хс) + Г/ХА"'(хе)у3 + ^XAw(xc)y4 + С>(А3/2). Видно, что в ведущем порядке можно ограничиться квадратичным членом. В таком случае вычисление сводится к гауссову интегралу в конечных пределах
с/х/А л
1(A) ~ \/Хе-А(а:';)/А
dye
-А"(г,:)у2/2
-£ / х/х
Можно расширить область интегрирования на всю вещественную ось —оо,+оо], потому что по схожим причинам вклад от части оси, не входящей в область интегрирования, экспоненциально мал по параметру 1/Л. Поэтому ведущий вклад дается гауссовым интегралом, и он
равен
1(A) ~ \/2irX/A,,(xc') е~А(Хс^х.
(1.36)
Чтобы посчитать поправки высшего порядка, необходимо разложить экспоненту по степеням Л и интегрировать почленно. Полагая
1(A) = у/2-ir X/А" (хс) e-A^/xJ(X),
найдем, например, в следующем порядке
J(A) = i->4)^> + -^4-<y6Ho(A2) = Zi	z x и
. A LA'"2	z1.x2.
+ 24 V A"3 3a>,2)+O^X^
где (•) означает гауссово среднее.
Замечания.
(i) Метод наибыстрейшего спуска порождает формальный ряд по степеням Л:	~
J(A) - 1 +^ЛА\
/с=1
который, вообще говоря, расходится при всех значениях параметра разложения. Несложно понять, откуда берется эта расходимость: если изменить знак Л в интеграле, максимум подынтегральной функции превратится в минимум, и седловая точка уже не будет давать основной вклад в интеграл.
Тем не менее, этот ряд полезен, потому что для малых Л частичные суммы удовлетворяют соотношению
ЗЛ0 >0,{Мк} : и (К < Л < Ло
§ 1.5. Метод наибыстрейшего спуска
где коэффициенты в общем случае растут как к\. Такой ряд называется асимптотическим. При фиксированном Л, если индекс К выбран таким образом, что реализуется минимум оценки, функция определяется с точностью до поправок порядка ехр [-const./А]. Заметим, что эту оценку можно распространить и на сектор в комплексной плоскости Л, определяемый условием |Arg Л| < в.
(ii) Зачастую встречаются интегралы более общего вида
1(A) = dx р(х)е
В таком случае, если функция 1пр(х) аналитична в седловой точке, не обязательно учитывать множитель р(х) в уравнении седловой точки. Действительно, это породит сдвиг х — хс расположения седловой точки, получаемый из уравнения
•Azz(a?c)(a? - zc) ~ Хр'(хс}1р(хс)
Следовательно, этот сдвиг имеет порядок А, в то время как вклад в интеграл дает гораздо большая область размера у/Х » А.
Поэтому можно по-прежнему делать разложение вблизи решения уравнения Az(a?) = 0. В ведущем порядке находим:
Т(Л) ~ у/2п X/А1'(хс) р(хс)е~А'х-^х.
Применим теперь изложенный метод к двум классическим задачам: вычислению асимптотик Г-функции, являющейся обобщением п\ на случай комплексного аргумента, а также модифицированной функции Вессел я.
Примеры.
(I) Классическим примером является асимптотическая оценка функции
Г(з) =
ULJU JU
при 8 —> -hoc. Этот интеграл не имеет пока канонического вида (1.35), но приобретает его после линейной замены переменных: х — (s — l)a?z. Отождествляем s - 1 = 1/А. Тогда
dxe~^-[nx}/x
И, следовательно, А(а?) = х — Ina?. Находим положение седловой точки: Az(a?) — 1 — 1/а? = 0 => хс — 1 .
II Ж.Зинн-Жюстен
34
Гл. 1. Гауссовы интегралы
Вторая производная в седловой точке равна 4/z(a?c) = 1. Таким образом, в ведущем порядке имеем
Г(з) ~ х/2тг(з-1)5 l/2e' s ~ x/2ttss ^2е s, <9—*-ОО
(1-37)
это выражение называется также формулой Стирлинга. Заметим, что с помощью обобщения данного метода на случай комплексной переменной, которым мы займемся позже, можно показать, что этот результат остается верным для комплексных значений $, удовлетворяющих условию | args| < тг.
(ii) Теперь получим асимптотику модифицированной функции Бесселя
2тг
deexcose,
(= при х —> 4-оо (функция четна).
Этот интеграл имеет каноническую форму метода наибыстрейшего спуска (х — 1/Л), а подынтегральное выражение является целой функцией.
Найдем положение седловых точек:
sin в = 0 => в = 0 (mod 7г).
При х —> +оо ведущий вклад дает точка в = 0, Производим разложение вблизи седловой точки:
zcos# = х — | хв2 + хв4 + О(06).
2	24 v
Область, дающая вклад в интеграл, имеет порядок в — 0(1/у/х). Поэтому
Iq(x)
Воспользуемся этим примером для пояснения названия «седловая точка». С этой целью необходимо исследовать функцию cos0, стоящую под знаком интеграла, на комплексной плоскости вблизи седловой точки в — 0. Кривые постоянного модуля подынтегральной функции — это кривые, на которых функция Re(cos0) постоянна:
Re(cos0) — 1
-i (Re(0))2-(lm(<
= const.
Локально эти кривые представляют собой гиперболы. Они пересекаются лишь в седловой точке. Гипербола, отвечающая нулевой константе,
1.5. Метод наибыстрейшего спуска 35
Щрождается в две прямые линии (см. Рис. 1.6). Таким образом, график МОДУЛЯ подынтегральной функции имеет седловую структуру.
1.5.2. Комплексные интегралы
Найдем приближенно в случае Л —> 0+ интеграл
Т(Л) = ()dxe-A^l\
(1.38)
ГДе А(х) — аналитическая функция комплексной переменной ж, а Л вещественный положительный параметр. Контур С начинается в Точке а, заканчивается в точке b на комплексной плоскости и лежит Целиком в области аналитичности функции А. В качестве предельного Случая можно рассмотреть ситуацию, когда точки а и b уходят на бесконечность на комплексной плоскости.
На первый взгляд может показаться, что основной вклад в интеграл вновь дают точки, в которых максимален модуль по-дыинтегральной функции, т.е. в Которых минимальна вещественная часть Л(х). Однако, вообще говоря, вклады окрестностей таких точек сокращаются, т.к. фаза также быстро меняется (именно это обстоятельство приводит К методу стационарной фазы).
В этом случае при применении метода наибыстрейшего спуска необходимо деформировать контур С, оставаясь в области аналитичности А (и не пересекая особую точку), так, чтобы
Рис. 1.6. Функция /о: кривые постоянного модуля подынтегрального выражения вблизи седловой точки 0 = 0.
минимизировать максимум моду-
ля подынтегральной функции на контуре, т.е. максимизировать минимум функции Re(A(x)).
Если можно продеформировать контур С в эквивалентный контур, вдоль которого Re(A(x)) монотонна, то основной вклад в интеграл дает граничная точка. В противном случае вещественная часть А имеет минимум. На оптимальном контуре минимум соответствует либо Сингулярности функции, либо регулярной точке, в которой производная функции А обращается в нуль:
А7 (а?) = 0.
Именно этот случай мы и хотим изучить. Точка хс, в которой Л'(л) = 0, в общем случае снова является седловой точкой по отно-
36
Гл. 1. Гауссовы интегралы
шению к кривым, на которых Ие(Л(х)) постоянна (Рис. 1.6). Такую структуру подынтегрального выражения проще понять, если вспомнить, что линии уровня Ие(Л) и Im(4) образуют два семейства взаимно-ортогональных кривых. Единственные возможные двойные точки этих кривых — это сингулярности и седловые точки. Действительно, разложим функцию в точке хс\
Переходя к вещественным координатам определяемым соотношениями J Л_________________________________л ff / С \ /п
получим:
£
2
Re[A(x) — 4(а?с)] ~
A”(zc)|(и2 - V2).
Вблизи седловой точки можно выбрать контур, проходящий по кривой с постоянной Im(A), и, следовательно, на этом контуре фаза подынтегрального выражения постоянна: не может быть никакого сокращения. Ведущий вклад в интеграл дается окрестностью седловой точки. Вклады, которыми мы при этом пренебрегаем, убывают быстрее, чем любая степень Л. Оставшаяся часть доказательства и вычисление совпадают
со случаем вещественной переменной.
Пример. Рассмотрим интегральное представление обычной функции
Бесселя
*7q(x) —
1 ' dz
2г7Г z V
ex{z-\/z}/2
где С — простой замкнутый контур, охватывающий начало координат. Приближенно посчитаем интеграл для вещественных х при х —> -hoc, используя метод наибыстрейшего спуска.
Полагаем
Л(г) = (1/г — z)/2.
Седловыми точками являются решения уравнения
2A'(z) = —Дт — 1—0 => z = ±i. zz
Вклад дают две седловые точки. В случае седловой точки z — i положим z = i + е3г7Г/4з. Тогда
Л(з) = — i + s2/2 + O(s3).
Вклад седловой точки имеет вид
1
2тг
ггЕ — гтг/4
— ос
ix — гтг/4
х/27ГХ

§ 1.6. Метод наибыстрейшего спуска: несколько переменных
37
Вторая седловая точка дает комплексно-сопряженный вклад. Таким Образом, находим
cos(a? — тг/4).
§ 1.6. Метод наибыстрейшего спуска: несколько переменных, производящие функции
Рассмотрим n-мерный интеграл общего вида:
ДА) =
*»
dnx exp
(1.39)

где для простоты предположим, что А — целая функция, а областью интегрирования является Rn.
В пределе Л —> 0+ основной вклад в интеграл дают седловые точки, т.е. решения системы
A(zi,z2) ... ,zn) = 0, Vz.
(1.40)
Когда имеется несколько седловых точек, необходимо расположить их в соответствии со значениями Ие(Л). Часто необходимая седловая точка отвечает минимуму Яе(Л), но это не обязательно так, т.к. седловая точка может быть недоступной при деформации исходной области интегрирования. К сожалению, в случае нескольких комплексных переменных деформация контуров является непростым упражнением.
Чтобы оценить ведущий вклад седловой точки хс, удобно сделать замену переменных, полагая
х = хс + уУЛ .
Будем производить разложение Л(х) по степеням Л (а, следовательно, и у)-
где
<Э2Л(хс) dx{Xj
Afc/2-l
ViVj + #(у).
(1.41)
00
R(y) —
fc=3
ii
^Л(хс)
dxti...dxtkУгк •
(1.42)
После замены переменных, квадратичный по у член перестает зависеть от А. Интеграл принимает вид
J(A) = Лп/2е-Л(х=)/А
dny exp
1 д2А(х.с)
2! 4-^ dxidxj
УгУ] ~ Я(у)
(1.43)
38
Гл. 1. Гауссовы интегралы
Как только мы разложим подынтегральную функцию по степеням л/А, каждый член окажется гауссовым средним от полинома. В ведущем порядке находим:
ДА) ~ (2тгA)n/2 [det А<2)] 1/2 е~А^/х ,
(1.44)
где — матрица вторых частных производных:
[А<2>|ц
д2А(хс) dxidxj
1.6.1. Производящая функция и метод наибыстрейшего спуска
Введем функцию
2(Ь,А)
dnx ехр
— у (А(х) - b • х)
(1.45)
где А(х) — теперь регулярная функция xi. Также введем определение
Я = 1/2(0, А).
Функция 2(Ь, А) имеет общий вид (1.30) и пропорциональна производящей функции моментов распределения Ne~A^x.
Средние значения полиномов с весом
»
*^^2. • •	) = A/* dnxхк^хк2... хк?е ( )/ ,	.46)
получаются при дифференцировании 2(b, Л) (см. равенство (1.31)):
{xk[Xk2 ...ХЬе) = А'X
д д
dbkl dbk2
дЬк
ь=о
Метод наибыстрейшего спуска. Применим метод наибыстрейшего спуска к интегралу (1.45). Уравнения для нахождения седловых точек имеют вид
V*.	(1.47)
OXi
Разложим А(х) в седловой точке хс, как объяснялось в Разделе 1.5, и используем результат (1.44), полученный для ведущего порядка:
где
(2тгА)п/2 [det AR ехр
-у (А(хс) - b • хс) А
§ 1.7. Гауссовы интегралы: комплексные матрицы
39
Теперь введем W(b, Л) ~ производящую функцию кумулянтов распределения, которые также являются связными корреляционными функциями (равенство (1.32), взятое с другой нормировкой)
W(b, А) = AlnZ(b, А).
Используя тождество (3.51): IndetM = trlriM, верное для любой Матрицы М, можно выписать разложение W до первого порядка:
W(b, А) — -4(хс) + b • хс + ~Ап1п(2тгА) — ^Atrln + О(А2). 2	2 oxidxi
(1.48)
Так как
*^^2 • • •
dbk, dbk а	4*
w.w(b'A)
ъ=о

последовательные производные разложения (1.48) по b (принимая во внимание, что хс является функцией b в силу уравнения (1.47)), посчитанные в точке b = 0, порождают соответствующие разложения кумулянтов распределения.
§ 1.7.	Гауссовы интегралы: комплексные матрицы
В разделе 1.2 мы доказали результат (1.5) лишь для вещественных матриц. Теперь мы обобщим доказательство и на случай комплексных матриц.
Доказательство, основанное на диагонализации, использованное для вещественных матриц, имеет комплексное обобщение. Действительно, для любой комплексной симметричной матрицы А справедливо разложение вида
A = UDUT,	(1.49)
где U — унитарная матрица, и D — диагональная положительная матрица. В интеграле (1.4) произведем замену переменных х н-> у:
Эта замена переменных является прямым комплексным обобщением ортогонального преобразования (1.7). Тогда интеграл (1.4) факторизуется, и в результате получаем произведение интегралов и (нетривиального) якобиана замены переменных. Поэтому
Z(A) = (27r)n/2(det D)-‘/2/ det U .
Так как
det A = det D(det U)2,
вновь получаем результат (1.5).
40
Гл. 1. Гауссовы интегралы
Представления комплексных матриц. Так как существование представления (1.49) может быть не общеизвестным, здесь в качестве упражнения мы приводим общее доказательство.
(i)	Полярное разложение. Комплексная матрица М имеет ‘полярное’ разложение:
M UH. U U-1. Н Н+.	(1.50)
Если у матрицы нет нулевых собственных значений, то доказательство простое. Из представления (1.50) следует соотношение между эрмитовыми положительными матрицами:
М+М = Н2.
Выберем в качестве Н матрицу (М^М)1/2 с положительными собственными значениями. Тогда можно убедиться, что матрица U = МН"1
унитарна:
UfU - 1.
Из этого разложения следует также другое, эквивалентное данному. Эрмитова матрица может быть диагонализована унитарным преобразованием, поэтому ее можно представить в виде
н = v+dv, VfV = 1,
где D — диагональная матрица: Dij = hidij, hi > 0. Отсюда следует, что	,
м = uv+dv ,
или, в более простых обозначениях,
М = UlDUi,
(1.51)
где Uj и U.) - две унитарные матрицы.
(ii)	Симметричные унитарные матрицы. Докажем теперь теорему о разложении для симметричных унитарных матриц. Рассмотрим матрицу U, удовлетворяющую соотношениям
ufu = 1,и = ит.
Разложим U на вещественную и мнимую части:
U = X + i Y.
Матрицы X и Y вещественны и симметричны и вследствие унитарности U удовлетворяют соотношениям
x2 + y2 = i,xy-yx = o.
Две коммутирующие вещественные симметричные матрицы могут быть диагонализованы одновременно. Соответствующие собственные значения (которые вещественны) удовлетворяют соотношению
4 + y2i = 1.
§ 1.7. Гауссовы интегралы: комплексные матрицы
введем для них параметризацию
Xi = cos 6i, yi = n sin di, ъ > 0.
Пусть О — общая ортогональная матрица, которая диагонализует X и Y, а потому и U, тогда матрицу U можно записать в виде:
U = OTRWO,
где
Wij =	, Яц =	.
LJ У bj	Ъ LJ
Теперь положим
Vij = eiei/2Oij «V = W1;2O, V*J
тогда получим искомое представление (1.49) для унитарных матриц:
и = VTRV,R диагональна >O,VTV = 1.	(1.52)
(iii)	Комплексные симметричные матрицы. Теперь проведем доказательство для комплексных симметричных матриц общего вида
м = мт.
В таком случае из (1.51) получаем равенство:
где * обозначает комплексное сопряжение. Вводя унитарную матрицу W = U2Uf,
Получаем условие
D = WDW‘ о D = WTDWt.
Умножая справа правую часть второго равенства на правую часть первого равенства, находим:
D2=WtD2W* о D2 = WfD2W о [W,D2]=0.
Последнее уравнение в компонентной записи имеет вид
(Д? - h2) Wij = о,
поэтому
Wn — 0, hi Ф hj.
7	6 / J
Если все собственные значения D простые, то W — диагональная
унитарная матрица:
ТУ •. = ei6i 6ij.
Подставляя этот результат в представление (1.51), выражая U2 в терминах W, находим:
м = UfW*DUi.
42
Гл. 1. Гауссовы интегралы
Наконец, полагая
и0 = [WI/2]*U1,
получаем представление комплексной симметричной матрицы через положительную диагональную матрицу D и унитарную матрицу Uo:
M = UqDU0.	(1.53)
Если матрица D имеет вырожденные собственные значения, то из (1.51) следует, что в соответствующем подпространстве матрица М пропорциональна симметричной унитарной матрице. Тогда необходимо использовать результат (1.52), откуда видно, что разложение (1.53) по-прежнему верно.
Упражнения
Упражнение 1.1
Рассмотрим стохастически коррелированные переменные х, у с гауссовым распределением вероятностей. Известны пять средних значений:
(яг) = {у) = О, (х2) = 5, (ху) = 3, (у2) = 2.
Найти средние значения (х4), (х3у), (х2у2), (ху5), (у6), (х3у3), ис-пользуя теорему Вика.
Определить соответствующее гауссовское распределение.
Решение.
75,45,28, 180, 120,432.
Гауссово распределение пропорционально
-(2ж2-6ZJ/+51/2)/2
С-
Упражнение 1.2
Рассмотрим три стохастически коррелированные переменные х,у, z с гауссовым распределением вероятностей. Известны девять средних значений
(а?) — (г/) = (г) — 0, (ж2) = (у2} — (г2) = а, (ху) — b, (xz) = (zy) = с. Найти средние значения (я4), (я6),	(x:2yz^ как функции
а, Ъ, с.
Определить соответствующее гауссово распределение для случая а = 2, b — 1, с = 0.
Решение.
(х^ — За2, (а?6^ = 15а3, (х3у} — ЗаЬ, (х2у2} — а2 + 2b2, (x2yz^ = ас + 2Ьс.
В случае а = 2,6 = 1, с = 0 гауссово распределение пропорционально
ехр
4ху)
Упражнения к главе 1
43
Упражнение 1.3
Алгебраическое доказательство результата (1.5) по индукции. Детерминант п х п матрицы общего вида с элементами может быть посчитан по индукции: для этого нужно вычитать из всех строк умноженную на число последнюю строку, чтобы обратить в нуль Последний столбец (в предположении, что / 0, в противном случае необходимо переставить строки или столбцы). Этот метод приводит К соотношению между детерминантами:
detA<n> = A^detA^”-1),
F I* / V
Где A^"1) — матрица размера (n — 1) х (n — 1) с элементами
Показать, что результат (1.6), комбинированный с этим соотношением, приводит к общему равенству (1.5).
Решение. Рассмотрим интеграл (1.4) и проинтегрируем по одной переменной, которую можно назвать хп (в предположении, что Re(Ann) > 0), используя результат (1.6):
Оставшийся интеграл является гауссовым интегралом по п - 1 переменным:
Ann А
Теперь заметим, что, повторяя такое частичное интегрирование, получим, используя (1.54), множитель 1 /\/det А . Отсюда заключаем, что
Z(A) = (27r)n/2(det А)’1/2.	(1.55)
Упражнение 1.4
Используя метод наибыстрейшего спуска, оценить интеграл
1
о
где 0 == 1 — а, а > 0, 0 > 0, в пределе п —> ос.
Решение. Седловая точка хс — а, поэтому
/п(а) ~ л/27га(1 - а)/папа(1 -а)п^~а\
44
Гл. 1. Гауссовы интегралы
Упражнение 1.5
Рассмотрим интеграл
где q — двукомпонентный вектор q — (<71,(72)- Оценить интеграл в пределе # —> CL при помощи метода наибыстрейшего спуска (в этом упражнении есть некоторая тонкость).
Решение. Некоторые указания содержатся в Разделе 8.3.1:
£(#) ~ 4тг3/2^1/2е1/4^.
Упражнение 1.6
Полиномы Эрмита Нп входят в собственные функции квантового гармонического осциллятора. Одно из их интегральных представлений
имеет вид:
— ос
Оценить полиномы в пределе п —> оо при вещественных z с помощью метода наибыстрейшего спуска.
Решение. Полиномы 7Yn(z) последовательно меняют свою четность:
Поэтому можно ограничиться рассмотрением значений z 0.
Полагаем	,
Л(з) = -s2 — ln(z — is).
Седловые точки находятся из уравнения
Л"(з) - 1 +
+ 1 .
Кроме того,
1
(з + гг)2
Необходимо различать два случая: 0 г < 2 и z > 2 (случай z = 2 нуждается в дополнительном рассмотрении).
(ii) z > 2. Удобно положить z = 2ch0, где в > 0. Тогда
s± = — ie±°
е~пА
= ехр
|ne±20 q= пв
Деформируя контур, легко проверить, что седловой точкой, которую необходимо учесть, является з_ (з+ — седловая точка между сингулярностью при s — -iz и седловой точкой з_), поэтому
Hn(z) ~	, ехрЦпе 2в + пв .
п—»сю	— g—tv
Упражнения к главе 1
45
В противоположность этому, в случае \z вклад. Полагая z = 2cos0, находим
2 обе седловые точки дают
Нп(г) ~	.	1	. епе~2гв/2+nie + к.с.
п—►ос	1  ^—2i0
Упражнение 1.7
Используя метод наибыстрейшего спуска, посчитать интеграл
dx е~пх2/2+пах О1п х
как функцию вещественного параметра а в пределе п ос. Выразить результат в параметрической форме как функцию положения седловой точки.
Решение. Заметим, что интеграл может быть записан в виде
—
dx enf(x}
— ос
/(а?) = —х2/2 + ах + In ch х.
Седловая точка дается уравнением
f(x) = 0 = —a? + a + tha?,
где
f”(x) = - th2(a?).
Таким образом, уравнение для отыскания седловой точки имеет единственное решение х(а) для всех а. Чтобы параметризовать результат при помощи а?(а), сделаем замену
а — х — th х.
В седловой точке
/(а?) = х2/2 — х th х + In ch х,
поэтому
(2тг)1/2 nf(^ th а?
Заметим, что метод наибыстрейшего спуска неприменим при а — О, когда ff,(x) обращается в нуль. В этом случае необходимо разложить f(x) до порядка а?4 и проинтегрировать напрямую.
Глава 2
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В данной главе в контексте квантовой механики будет построен формализм континуального интегрирования, позволяющий представить физические величины через средние значения по набору путей или траекторий с определенным весом (вещественным или комплексным). Таким образом, с его помощью можно придать понятию квантовых флуктуаций вполне определенный смысл. На самом деле, можно было бы определить квантовую механику напрямую в терминах континуального интеграла, и это довольно интересный подход, но он потребовал бы даже для изучения простых квантовых систем введения более сложного математического формализма, чем дифференциальные уравнения. Заметим, однако, что когда число степеней свободы велико, как в статистической физике или квантовой теории поля, преимущество формализма континуального интеграла становится безоговорочным.
Здесь же, по педагогическим причинам, мы поступим иначе: подразумевается, что читатель знаком с основами квантовой механики, такими как понятие гильбертова пространства (будет применяться обозначение «бра»-векторов), в котором действуют операторы, соответствующие различным физическим наблюдаемым, например, координате, импульсу, оператору временной эволюции или матрице плотности. Эволюция волновых функций описывается уравнением Шредингера. (Однако для полноты мы приводим резюме основных сведений в Приложении А).
Сначала мы опишем общую стратегию, при помощи которой строится представление матричных элементов операторов эволюции (в специальном базисе) в виде континуальных интегралов. Существование такого представления основывается на двух фундаментальных свойствах:
(i) Марковская эволюция, т.е. эволюция, не обладающая «памятью»; она является характерным свойством изолированных систем или систем, не подвергающихся внешнему воздействию.
(ii) Локальность эволюции на коротких временных интервалах; это свойство будет разъяснено позже.
Этим двум свойствам удовлетворяют как унитарный оператор е-г«я/д (При такой записи подразумевается, что гамильтониан Н не зависит от времени), описывающий квантовую эволюцию, так и статистический оператор е_/ЗЯ, являющийся матрицей плотности при термо-
$ 2.1. Локальные марковские процессы 47
динамическом равновесии. Однако им удовлетворяют также некоторые стохастические процессы диффузионного типа, не связанные с квантовой физикой, такие как, например, броуновское движение, которое исторически как раз и привело к введению континуальных интегралов (интеграл Винера).
Затем мы построим представление в виде континуального интеграла для матричных элементов статистического оператора в случае гамильтониана простейшего вида Н — р?/2т + V(q), где q, р — операторы координаты и импульса, соответственно.
Подынтегральные выражения в континуальных интегралах можно рассматривать как распределения вероятностей путей, позволяющие определить средние значения. В частности, моменты распределения на-эываются корреляционными функциями. Поэтому, как уже было объяснено в Главе 1, вводятся производящие функционалы корреляционных функций. Будут также определены функциональные производные, что позволит получать корреляционные функции дифференцированием Производящих функционалов.
Наконец, мы явно вычислим гауссовы континуальные интегралы И гауссовы средние значения, а также сформулируем теорему Вика в этом контексте.
§ 2.1.	Локальные марковские процессы
Определим понятия марковской эволюции и локальности в квантовой механике.
2.1.1.	Марковская эволюция
Рассмотрим ограниченный оператор	tf, в гильбертовом
пространстве, описывающий эволюцию от момента времени tf до момента времени t и удовлетворяющий свойству марковости по времени:
U(t, tf) = U(t, tf\ при t^t" Z t'n U(t\ tf) = 1.	(2.1)
Как мы покажем в Разделе 5.5, это свойство характерно также для некоторых стохастических процессов, и оно означает, что эволюция, ассоциированная с оператором U, не обладает памятью, т.е. эволюция от момента времени tff до момента времени t зависит только от состояния системы в момент времени tff и не зависит от предшествующей вволюции.
Более того, предположим, что U(t, tf) дифференцируема и обладает непрерывной производной. Полагаем
48	Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
где h — вещественный параметр, который позже будет отождествлен с постоянной Планка. Теперь продифференцируем равенство (2.1) по t и перейдем к пределу tff = t. Находим:
dU
=	(2.2)
С/ L
Если оператор Н не зависит от времени, то он является генератором сдвига по времени; в этом случае оператор эволюции имеет специальный вид U(t, tf) = U(t - tf) = e~^-t и свойство (2.1) превращается в полугрупповое свойство: U(t)U(t') = U(t + t').
В общем случае свойство марковости (2.1) позволяет записать в виде произведения п операторов, соответствующих временным интервалам е — (tff - tf)/n> которые могут быть выбраны как угодно малыми при увеличении п:
U(tff,	= JJ U[t' + me, tf + (m — 1 )e], ne = tff — tf.	(2.3)
m= 1
Произведение (2.3) упорядочено no времени так же, как в уравнении (2.1). Когда Н не зависит от времени, U(t + e,t)	и легко
узнать формулу Троттера.
Заметим, что операторы U(t + e,t) играют роль, аналогичную матрицам переноса в классических статистических решеточных моделях (см. Главу 4).
2.1.2.	Матричные элементы и локальность
Оператор координаты и матричные элементы.
Введем базис в гильбертовом пространстве, в котором будем считать эволюцию локальной на малых временных интервалах. В квантовой теории это базис, в котором оператор координаты q диагоналей. (Как и в случае плоских волн, это обобщенный базис, т.к. базисные векторы не принадлежат гильбертову пространству.) Используя «бра-кет» обозначения, принятые в квантовой механике, мы обозначим символом \q) собственный вектор оператора q с собственным значением <Г
q\q) = q к) 	(2.4)
В квантовой механике каждой физической наблюдаемой соответствует эрмитовый оператор. Это относится и к координате, и, следовательно, собственные значения оператора q вещественны, а собственные векторы ортогональны:
(q’\q) = S(q - q').
где 6 — дельта-функция Дирака. Более того, базис полон, поэтому
dq k) (qI = 1 •
(2.5)
§2.1. Локальные марковские процессы
49
В терминах матричных
элементов в этом базисе тождество (2.1)
для моментов времени 1$
^2 принимает вид
(<7з| ^(Wi) |<71) = dq-i (<&| U(t3,t2) Ы <дг| ^(i2Ji) |ф) , V
где мы использовали разложение единицы (2.5). Обобщая это тождество, перепишем равенство (2.3) в виде
п— 1	п
{q"	t')] У> = dqk JJ (qk |67(tfc,	5) | j >	(2.6)
J k=\	k—\
где введены обозначения
tk = tf + ke, qo = Qn = q" •
В этом выражении можно перейти к пределу п —> эо, или е —> О, при этом вычисление 2.6 сводится к асимптотической оценке (с необходимой точностью) матричных элементов (q\U(t + £, Для бесконечно малых временных интервалов.
Локальность временной эволюции на коротких интервалах. Если оператор Н локален в базисе, в котором оператор координаты q диагоналей, т.е. матричные элементы {qi\H(t)\qz) имеют носитель, сконцентрированный в точке ф — #2, можно использовать тождество (2.3), чтобы построить для матричных элементов (qff\U(tff, пред-ставление в виде континуального интеграла. Действительно, в пределе е —> 0 вследствие локальности Н только матричные элементы с
—g'|	1 дают вклад в (2.6). Это требование выполняется, если
Оператор H(t) можно выразить через обычные операторы координаты и импульса — р и q — квантовой механики: H(t) = H(p,q\t), и если он является полиномом по р (более подробно см. также Раздел 5.5). Это Эквивалентно тому, что Н действует на волновые функции (<?|^) = 'Ф(я) как дифференциальный оператор.
Оператор Н. В этой книге мы встретим три типа операторов:
Если оператор U описывает квантовую эволюцию_во времени, он унитарен, и оператор Н антиэрмитов, Н = 1Н, где Н — квантовый гамильтониан. Локальность квантовой эволюции находится в прямом соответствии с локальностью классической эволюции. Квантовая эволюция будет обсуждаться в Главе 9.
В этой главе сам оператор Н эрмитов, и интерпретация будет другой. Например, если Н — гамильтониан, не зависящий от времени, оператор [/(/г/3,0) — квантовый статистический оператор, т.е. матрица Плотности статистической квантовой системы в термодинамическом равновесии при температуре Т — 1 //3 (равновесие может быть достигнуто путем введения слабой связи с тепловым резервуаром). Тем не менее, ниже мы будем называть переменную эволюции t временем (или евклидовым временем), хотя с точки зрения квантовой эволюции это
50
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
мнимое время. Действительно, если заменить время t на it, получится обычный оператор эволюции квантовой механики. То же аналитическое продолжение позволяет перенести алгебраические вычисления настоящей главы на случай квантовой эволюции.
Наконец, в Разделе 5.5, Н будет так называемым гамильтонианом Фоккера-Планка, связанным с уравнением диффузии: такой гамильтониан веществен, но в общем случае неэрмитов.
2.1.3.	Пример: свободная эволюция, или броуновское движение
Сначала проиллюстрируем эти замечания на примере статистического оператора, соответствующего движению свободной частицы массы т, что математически эквивалентно примеру броуновского движения (Раздел 5.5). Будем предполагать, что оператор q является вектором в d-мерном пространстве (q е Kd).
Для изучения данной задачи полезно ввести оператор импульса р. Канонические коммутационные соотношения между компонентами q и d компонентами оператора импульса р имеют вид:
\rioiip0. ih6a0.
(27)
Гамильтониан свободного движения можно записать в виде Яо “ р2/2т.
Чтобы вычислить матричные элементы оператора
удобно ввести базис, в котором диагоналей оператор р, и этот базис связан с координатным базисом преобразованием Фурье.
Преобразование Фурье: обозначение Используя символ |р) для векторов базиса, в котором диагоналей оператор импульса р, введем преобразование Фурье:
(2.8)
Матричные элементы единичного оператора имеют в этом базисе следующий вид:
(р"|1|р') — <р" 1р'> = (27гЙ)а<5^(р" - р').
Таким образом, в произведении операторов в импульсном представлении мерой интегрирования является ddp/(2irh)d:


Более того, для волновых функций V’(q) = (q|VO такая нормировка означает, что
*
<рМ = V<p) =

§ 2.2. Решение уравнения эволюции
51
Свободный гамильтониан. Можно решать уравнение (2.2) в смешанном координатно-импульсном представлении:
C7(t, t') |q'> = ^-(р|	|q')
от	2m
с начальным условием (р| U(tf, tf) |q') — е-гч .
Решение имеет вид:
— iq'-p/fi — (t — t'yp2/2mh
Обращая преобразование Фурье, получаем: (Ч|</(М')|Ч'> = j (^щаехр _ / т \27{h(t — tf)
Это равенство явно выражает свойство локальности: когда t — tl —> О, область, в которой матричный элемент (q|E/(ttz)|qz) не пренебрежимо мал, уменьшается до |q - q'| = O(\ZF-f).
(р| U(t,t) |q) = e
§ 2.2. Решение уравнения эволюции для коротких временных интервалов
В оставшейся части этой главы оператор H(f), входящий в уравнение (2.2), есть квантовый гамильтониан вида
H = p2/2m + V(q,t),	(2.10)
(W Р, q — d-компонентные векторы). Такие гамильтонианы локальны, как и все гамильтонианы, полиномиальные по р. Более общие типы гамильтонианов будут обсуждаться в Главах 5 и 10.
Вычислим (2.6) в пределе п —> оо, е —> 0 при фиксированном пе.
В терминах матричных элементов операторов Н и U в базисе \q) уравнение (2.2) становится дифференциальным уравнением в частных производных, которое формально является уравнением Шредингера для квантовой эволюции в мнимом времени:
(q\U(t, t')| q') =
V/ L
——V2
2m 4
+ v(q,t) (ql^(M')lq')
(2.H)
С граничным условием
(q |U(t', t')| q') = <5^(q- q')-
Чтобы решить уравнение (2.11) в пределе t - t' —> 0, удобно сделать Ммену переменной
(q\U(t, t')l q') = exp [-a(q, q'; t, f')//i].
52
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
Уравнение (2.11) принимает вид:
dta=-2-(Vqa)2 + ~V2a bV(q.t).	(2.12)
2т	2т 4
Из решения (2.9) для свободного случая известно, что решение сингулярно при \t — t'\ —> 0. Если предположить, что сингулярные члены не зависят от потенциала, то можно записать
a(q,q';M') =
d
(2.13)
Частные производные <т, входящие в уравнение (2.12), имеют вид
т / м9 dh _	,	,	.
“2(7^(ч“ч) + 2(ГГ?) +	' (Ч. ч ; м
т / м
—^(q-q) + vga,,
Подставляя эти выражения в уравнение (2.12), убеждаемся в состоятельности анзаца и находим, что функция сг\ имеет порядок t — tf. Ведущие члены в уравнении, имеющие порядок \t ~ У |°, таковы:
Эг<т, = - —77(q-q') • Vga, +V(q,t),
где мы пренебрегли членами порядка t — tf. Удобнее переписать это уравнение в виде
[(t - t')dt + (q - q') • Vg] cr, = (i - tf)V(q, £)•	(2.14)
Отсюда ясно, что можно решить уравнение, вводя параметр растяжения А, а также функцию <р(А), получаемую после подстановки t tf + A(i — У), q i—> q' + A(q - q') в ai . Эта функция удовлетворяет уравнению
= A(t - f') V(q' + A(q - q'), t' + A(t -1')).
Интегрируя, получаем:
гл — <p(l) = (t - У)
*
dX V(q' + A(q — q'), У + A(i - У)).
0
Решение можно переписать в более удобном виде при помощи замены переменных, A i-> т, где
т = У + A(t - У),
§2.2. Решение уравнения эволюции
53
И вводя функцию q(r), описывающую траекторию, проходящую через точки q' и q при движении с постоянной скоростью:
/А /	/а
q(r) = q + —-77(q- q )
V	V
Тогда решение уравнения (2.14) можно записать в виде
t
<Ti(q,qz; t tf) =
(2.15)
(2.16)
dr V	, т).
Свободный вклад также можно выразить в терминах q(r) (q = dq/dr}\
/	/\ о
m(q - q Y
Наконец, можно проверить, что функция (q\U(t, f')| q') = где (7 имеет вид (2.13), удовлетворяет начальному условию: предел этого выражения при t - tf 0, действительно, есть 5^(q- q'). Поэтому
где
(q\u(t, t')l q') =
m
— tf)
d/2
exp [—<S(q)/M]
(2.17)
t
5(q) =
(2.18)
Заметим, что если потенциал не зависит от времени, можно также воспользоваться соотношением (s = t — tf)
[ф£,0) = е-еЯ
— е~£р2 e-£V(g)+o(e2)
где член порядка г2 пропорционален коммутатору [р2, V(<t)] (формула Вейкера-Хаусдорфа). Взяв матричные элементы обеих частей, получим Желаемый результат, если коммутатор не слишком сингулярен.
Важное наблюдение. В разложении наиболее сингулярный член при е = t ~ t! —> О — это (q — q')2/^ (он не зависит от потенциала). Поэтому носитель матричного элемента (q|C7(t/ + е, £')|q') соответствует значениям |q' - q| =	что является характерным свойством
броуновского движения. Более того, при |q' - q| — O(v^) находим:
(Л (q, q'; t' + s, t') = sV((q + q')/2,	+ О (e2) =
= h(V(q,t) + V(q',t')) +O(?) =
= £V(q,t) +0 (c3/2) ,
54
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
если потенциал дифференцируем. Следовательно, замена в выражении (2.13) величины гл на (t — f')^(q>0* например, приводит к погрешности в а порядка (i - t')3^2» которой, как будет показано ниже, можно пренебречь. В обшем случае, чтобы эти три выражения были эквивалентны, потенциал должен быть по крайней мере непрерывным, для более сингулярных потенциалов требуется отдельный анализ.
§ 2.3. Представление в виде континуального интеграла
Для того чтобы получить представление статистического оператора и, как следствие, квантовой статистической суммы в виде континуального интеграла, скомбинируем выражение (2.6) в пределе больших п с выражением для матричного элемента статистического оператора на коротком временном интервале.
2.3.1. Статистический оператор
Подставляя выражения (2.17), (2.18), справедливые для коротких временных интервалов, в (2.6), получаем (s = (t" -
.	/ m \dn/2
11П1	• .
^oo \2irrie/
n — 1
JJ ddqk exp [-<S(q,c)//i],
fc=l
(2.19)
где
dt -mq2(t) + V(q(t),i) + O(e2).
k=0 /
Вводя кусочно-линейную траекторию, показанную на (Рис. 2.1),
Ч.(^) — Qfe “Ь 7	Г”(Ц/с+1 ЧТс) При f £/с+1 ,
t/c+I — tk
которая интерполирует по времени переменные q^ = q(tfc), можно переписать это выражение в виде
dt n rnq2(t) + V(q(f),^) +O(ns2).
(2.20)
Интегрирование по переменным q^, таким образом, эквивалентно интегрированию по точкам кусочно-линейного пути, показанного на Рис. 2.1.
Члены, которыми мы пренебрегли в (2.20), имеют порядок пе2. В пределе п	ос, е —► 0 при фиксированном пе — t" — t* они обращаются
§2.3. Представление в виде континуального интеграла
55
Рис. 2.1. Траектория, дающая вклад в интеграл (2.19).
В нуль. Пределом S(q,e) при s —> 0 является евклидово действие t"
<S(q)= dt |_-mq2(f) + V(q(t),t)j ,
(2.21)
которое представляет собой интеграл от евклидова лагранжиана, соответствующего заданному гамильтониану. Евклидово действие отличается от обычного действия классической механики относительным ВНаком между кинетическим и потенциальным членами. С формальной ТОЧКИ зрения, евклидово действие соответствует движению в мнимом времени, и это объясняет разницу в знаке.
Возьмем формально предел выражения (2.19):
[dq(t)] exp[-5(q)//i]
Который будем называть континуальным интегралом 9, потому что I Правую часть входит сумма по всем траекториям, удовлетворяющим граничному условию, с весом ехр[—S/h].
В дальнейшем мы будем обозначать меру интегрирования [dq(t)^ (СО скобками), чтобы отличать континуальные интегралы от обычных.
Замечание, В символ [dq(£)] включена нормировка
/ т \dn№
Л =
’ 9 Или интегралом по траекториям (прим.ред.перев.)
56
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
которая расходится в пределе п —> оо, но не зависит от потенциала. Поэтому в явных вычислениях для нормировки континуальных интегралов их обычно делят на эталонные континуальные интегралы, значение которых уже известно (например, интеграл, отвечающий свободному движению V = 0).
Обобщение. Обобщение предыдущего построения на систему с несколькими частицами, описываемую гамильтонианом
производится мгновенно и приводит к континуальному интегралу, в который входит соответствующее евклидово действие:
<S(q) =
1
di
а
Обсуждение. В действии (2.21) два слагаемых играют совершенно различные роли. Потенциал определяет вклад путей как функцию значений q(f) в каждый момент времени и определяет физические свойства квантовой системы.
Кинетический член Jrftq2, наоборот, определяет пространство путей, дающих вклад в интеграл, и потому является исключительно важным для самого существования континуального интеграла. Он отбирает достаточно регулярные пути, т.е., как видно из выражения (2.20), такие, для которых величина [q(t + s) - q(i)]2 /е остается конечной, когда е стремится к нулю. Эти пути характерны для броуновского движения или случайного блуждания. В действительности, кинетический член относится к мере интегрирования. На самом деле, явное выражение кинетического члена, в которое входит q, несколько формально, так как пути, дающие вклад в континуальный интеграл, непрерывны (удовлетворяют условию Гельдера порядка 1/2), но не дифференцируемы.
Однако более корректная с математической точки зрения запись была бы менее интуитивно понятной. В частности, ясно, что в выражении (2.22) максимум подыинтегрального выражения достигается на путях, минимизирующих действие (2.21), т.е. удовлетворяющих уравнениям
8S =	62S
в операторном смысле. (5 обозначает функциональные производные, которые будут введены в Разделе 2.5.3.) Таким образом, они являются решениями классического уравнения движения, в данном случае евклидова (или в мнимом времени), представляющими собой дифференцируемые функции. Это наблюдение особенно полезно в пределе Л —> 0, когда классические решения являются седловыми точками в
§2.3. Представление в виде континуального интеграла
57
смысле метода наибыстрейшего спуска, примененного к континуальному интегралу. Хотя в континуальный интеграл дают вклад только недифференцируемые пути, в квазиклассическом пределе h —> 0 основной вклад дают пути, близкие к дифференцируемым классическим траекториям.
2.3.2. Статистическая сумма
В последующих разделах мы рассмотрим одну из простейших величин — квантовую статистическую сумму. Будем считать, что потенциал не зависит от времени.
Для квантовой статсуммы Z(/?) = tre_/3H (/3 — обратная температура) справедливо представление в виде континуального интеграла, следующее непосредственно из представления для матричных элементов статистического оператора . Действительно,
£(Д) = tr е-/ЗЯ = tr С/(П/3,0) - dqff dqf 5(q" - q') (q"|	0) |q') .
Теперь запишем (q"| U{h/3tQ) |qz) в виде континуального интеграла (2.22). Из наличия 5 -функции и двух интегралов по q' = q(0) и q" ~ следует, что пути, дающие вклад в интеграл, удовлетворяют периодическим граничным условиям q(0) = q(?i/3), и необходимо Проинтегрировать по всем значениям q(0):
3(Д) = [dtfW] ехР H<S(q)/ft].	(2.23)
q(0)=q(M)
Эти условия определяют замкнутые пути, соответствующие периодическим функциям q(t) с периодом h(3.
Действие (2.21) теперь неявно зависит от h:
h/з
<s(q) =	[|mq2(t) +v(q(t))
о
Заменим t на t/h\
S(q)/h =
(2.24)
След оператора. Выше мы использовали выражение для следа оператора О, определенного в терминах матричных элементов в координатном базисе. Обосновывается это выражение следующим образом:
Л
dq(q\O\q)= dq tr (|q) (q| О) = tr dq (q\ О = trO,
ГДО использовано соотношение полноты (2.5).
58
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
Низкотемпературный предел. Можно определить энергию Е$ основного состояния гамильтониана из статистической суммы, изучая ее низкотемпературный предел, т.е. предел (3 —> оо. Действительно,
lirn - lnZ(/3) = -Ео.
Это свойство будет более систематически использоваться в Главе 3.
Заметим, что в континуальном интеграле можно устанавливать граничные условия как при t — 0 и t — /3, так и при I = ±/3/2, потому что действие инвариантно относительно сдвигов по времени. Однако в пределе /3 —> оо, в первом случае необходимо интегрировать по всем путям с i 0 и начальным условием д(0) = 0, в то время как во втором случае получающийся формализм явно инвариантен относительно сдвигов по времени, т.е. интегрирование производится от —ос до ±оо. Ясно, что последний формализм проще.
§ 2.4. Явное вычисление: гауссовы континуальные интегралы
Мы определили континуальный интеграл как формальный предел интеграла с дискретными временными интервалами. Поэтому может возникнуть опасение, что любое вычисление с использованием континуального интеграла потребует возвращения к его определению как пределу интегралов с дискретными временными интервалами. К счастью, это не так; в большинстве вычислений нет необходимости ссылаться на предельный переход, что с практической точки зрения оправдывает введение нового математического объекта. Это будет проиллюстрировано в данном Разделе, сначала на примере свободного движения, а затем на примере гармонического осциллятора, т.к. обоим случаям соответствуют гауссовы континуальные интегралы.
2.4.1.	Свободное движение
В случае свободного движения (для простоты в одном измерении) V = 0 евклидово действие представляет собой квадратичную форму по g(t):
mq2(t)dt &
и, следовательно, континуальный интеграл (2.22) гауссов. Чтобы его явно посчитать, достаточно лишь адаптировать метод, описанный в Разделе 1.2. Роль матрицы А из интеграла (1.4) здесь играет дифференциальный оператор — md2/(dt)\ что становится ясно после инте-
§2.4. Явное вычисление: гауссовы континуальные интегралы
59
Грирования по частям члена (q)2:
t"
dtq2(t) =	- q^t'^t1) -
t"
*
dtq(t}
t’
(dt)2^'
Так как здесь A — дифференциальный оператор, то его детерминант, Так же как и обратный оператор, зависят от граничных условий — в 1Т0М основное отличие от случая конечного числа переменных.
Чтобы вычислить интеграл, сделаем замену переменных q(t) ► r(i) (сдвиг в каждый момент времени t):
Q(t) = Qe(t) +	,
Где функция qc удовлетворяет граничным условиям qc(t') = q', qc(t") = q" => r(t') = r(t") = 0.
Действие принимает вид
t"
<S(Qc + г) = 5(qc) + S(r) + т dt qc(t)r(t).
t'
Слагаемое, линейное по г, можно записать в виде
t"	t"
1	Л
qc(t}r(t)dt — —
(2.25)
(2.26)
(2.27)
qc(t)r(t)dt,
ПОИ интегрировании по частям использованы граничные условия (2.26). Таким образом, линейный член обращается в нуль, если функция qc(t) Является решением классического уравнения свободного движения:
rnqc(f) - 0.
Решение, удовлетворяющее условиям (2.26), есть
9c(t) = q' + t * (q” - q'\ t" -t'
Отсюда получаем:
t\2
S{qc) = ТГ
TiK, замена переменных представляет собой сдвиг, якобиан преобразования равен 1, и [dg(t)] = [dr(t)]. Поэтому
е' ч v
(g"|e tf)p2/2mh — JVexp
60
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
где
[dr(t)]exp
т
i(t
t'
(2.28)
и r(t') = r(t") = 0. Так как нормировка Af не зависит от q', q", полученное выражение согласуется с точным результатом (2.9). Континуальный интеграл М суть значение (qff\e~^	при qf = q,f = 0.
Чтобы его посчитать, нужно либо вернуться к дискретным временным интервалам, либо использовать какие-либо независимые сведения.
Если потенциал не равен нулю, то в общем случае точное вычисление произвести невозможно. Тем не менее, на коротких временных интервалах доминирует кинетический член. В ведущем порядке в потенциале можно заменить q(t) на классическую траекторию gc(f). Тогда в точности восстанавливается форма действия (2.18).
2.4.2.	Гармонический осциллятор
Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора можно за-
писать в виде:
1
2т
pz + -rnurq ,
(2.29)
где щ — константа. Евклидово действие имеет форму
S0(q) =
t”
5 mq\t) + | mw2g2(t)
tr
(2.30)
и снова представляет собой квадратичную форму по q(t). Поэтому континуальный интеграл (2.22)

(2.31)
по-прежнему гауссов.
В континуальном интеграле роль матрицы А из интеграла (1.4) играет дифференциальный оператор m(-dr/(dt)2 +u?2).
Удобно разделить вычисление на несколько этапов. Простейшая часть, и в некотором отношении наиболее полезная, — это определение явной зависимости от граничных условий, т.е. от qf,qn.
Сделаем замену переменных q(t) i—> r(t) (трансляция в каждый момент времени t), полагая
g(t) = qc(.t) + r(t),
(2.32)
?(t")=9"

dt,
§2.4. Явное вычисление: гауссовы континуальные интегралы
61
Где функции qc и удовлетворяют граничным условиям (2.26), и qe Определено ниже. Действие принимает вид
<$о(<7с + г) = So(qe) + 5о(г) + т
с г
dt	•
Проинтегрируем по частям слагаемое, линейное по г (равенство (2.27)). Выберем в качестве функции Qc(t) решение уравнения
—mqe + mtc2qc = 0,	(2.33)
И член, линейный по r(t), обратится в нуль. Заметим, что qc(t) удовлетворяет классическому уравнению движения, выведенному из действия $0» т.е. уравнению движения в обращенном гармоническом потенциале * ~mcc2q2 (знак ’ отражает евклидовость времени).
Действие (2.30) теперь свелось к сумме двух членов:
<$о($) = <50(gc) + <S0(r),
(2.34)
где <$о(<7с) — классическое действие на траектории qc. Континуальный интеграл принимает вид (якобиан равен 1):
(g"| U0(t", t') |g'> = r)
(2.35)
где
(2.36)
И траектории удовлетворяют граничным условиям (2.26): r(tf) = r(t") = -0.
Классическое действие. Полагая г = tff — tf, можно записать решение уравнения (2.33) следующим образом:
gc(t) = —г—г q‘ sh(Lu(f" — £)) + q” sh(cu(t — £')) •	(2.37)
Чтобы облегчить вычисление классического действия <$о(#с)> проинтегрируем по частям в выражении (2.30):
q2 dt = qq - qq dt
1
И воспользуемся уравнением (2.33). Находим:
•So(Qc) = 9-?~ - [(д'2 + д"2) Chwr - 2gV'] .	(2.38)
zshujT LV	z	J
Нормировка. Оставшийся гауссов интеграл (2.36) уже не зависит от и является просто множителем нормировки. Как и ожидалось, Прямое вычисление дает бесконечный множитель, и исключительно
62
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
из педагогических соображений мы закончим вычисление лишь в Разделе 2.7.
Окончательное выражение имеет вид:
(g"| U0(t", i') |g') =
тл
exp
(2.39)
§	2.5. Корреляционные функции: производящий функционал
В континуальном интеграле (2,23) подынтегральное выражение e-*S(q)/n задает положительную меру на траекториях. По этой мере могут быть посчитаны средние значения, определяемые соотношением:
= U [dq(t)]^(q)exp[-S(q)/h]4
где нормировка М выбрана таким образом, чтобы (!) = !.
2.5.1.	Корреляционные функции
Моменты меры, имеющие вид

[с/д(^)]д(^)д(^2) ...g(in)exp[-5(g)//i], (2.40)
называются корреляционными функциями: корреляционная функция, зависящая от п различных моментов времени, называется п-точечной функцией.
На конечном временном интервале ,5 определение континуального интеграла нуждается в граничных условиях. Для простоты в большей части книги мы будем пользоваться периодическими граничными условиями: g(/3/2) = д(—/3/2). В этом случае множитель нормировки связан с квантовой статсуммой:
JV' = Z“I((0).	(2.41)
Конечно, можно определить корреляционные функции, отвечающие другим граничным условиям в континуальном интеграле, но здесь мы их обсуждать не будем, т.к. в этом случае отвечающие им явные выражения значений гауссовых интегралов усложняются.
Физическая интерпретация корреляционных функций будет дана в Главе 4. В этой главе они рассматриваются лишь как полезные математические величины.
При обсуждении алгебраических свойств корреляционных функций весьма полезными оказываются производящие функционалы, являющиеся обобщением производящих функций, введенных в Разделе 1.1, а также функциональные производные. Дадим определение этих величин.
§2.5. Корреляционные функции: производящий функционал
63
2.5.2.	Производящий функционал
Рассмотрим бесконечный набор {F^n\t\,..., tn)}, n = О, 1,..., симметричных функций своих аргументов. Введем новую функцию f(t) ОДНОЙ переменной и следующий формальный ряд по /:
1
Я/) =
dti... dtn	, tn)/(ti) • • • /(tn)-
(2.42)
SyMMa /*(/) называется производящим функционалом набора функций |(п)
Функция f(t) играет роль вектора bi из Раздела 1.1, a t — роль Яндекса 1.
В действительности, в общем случае мы будем допускать в качестве функций F^ также обобщенные функции (например, 5 -функцию Дирака и ее производные). Тогда функция f(t) должна принадлежать Соответствующему набору пробных функций и, следовательно, должна быть достаточное число раз дифференцируемой.
Корреляционные функции, которые мы только что ввели,
Z(n)(tl...tn) S (?(tl) ...«(tn)) .
Являются, по определению, симметричными функциями своих аргументов. В таком случае производящий функционал корреляционных функций имеет вид:
£(/) =
dtt... dtn (ti,..., tn)/(ti) • • • /(tn)
dt\ ... dtn {q(h)... q(tn)) f(ti)... /(tn).
Последний ряд можно формально просуммировать, меняя порядок интегрирования и нахождения среднего значения (так как это линейная Операция). Получаем простую формулу:
(2-43)

2.5.3.	Функциональная производная
Функции F^ могут быть получены из производящего функционала *(/) путем функционального дифференцирования, и эту операцию МЫ сейчас определим.
Операция функционального дифференцирования по функции /(f), Которую мы будем обозначать	чтобы отличать от обычных
Производных, определяется обычными алгебраическими свойствами, а Именно свойством линейности и правилом Лейбница:
^IW) + W)I = ^W) + ^W).
64	Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике

^(Л + «Л
W)w)'
(2.44)
а также

(2.45)
где 8(t) — дельта-функция (или, точнее, обобщенная функция) Дирака. Например, первая производная функционала J’(Z) имеет вид:
оо
Щи)
п=0
(2.46)
7 •
Продифференцируем р раз и положим / = 0:
В случае (2.43) эти тождества принимают вид:
и
£(/) = { П?(Шхр dtq(t)f(t)
I1-! Sf^
В пределе f = 0 получаем:
Замечание. Этот формализм также применим, если являются не функциями в строгом смысле, а обобщенными функциями. Например,
S df(t) 8f(u) dt
8f(u) dt
dv 8(t —	=

где 8(t) обозначает 5 -функцию Дирака. Если учесть это обобщение, то классические уравнения движения в лагранжевом формализме могут быть получены путем функционального дифференцирования действия.
Например, функциональная производная действия
<$(<?) =
dt |(f№))2 - v(qW)
§2.6. Гауссов континуальный интеграл общего вида
65
^сть
Л' 4
dt
J
q(t) — 8(t — г) — V'(q)8(t — т)
= -q(r) - V'(q(r)).
<5q(t)
Следовательно, классическое уравнение движения может быть записано в виде 8S/8q(r) = 0.
2.6	. Гауссов континуальный интеграл общего вида и корреляционные функции
В Разделе 1.2 было показано, как получить средние значения по Пуссову распределению из гауссова интеграла, в котором к квадратичной форме добавляется линейное слагаемое (выражение (1.8)). Обобщим этот метод на корреляционные функции.
2.6.1.	Гауссов континуальный интеграл общего вида
Рассмотрим континуальный интеграл
tr Z7g(t/2, —т/2; Ь) =
dq{t)\ exp[-SG (q, b)/h]	(2.47)
С периодическими граничными условиями: q(r/2) — q(—r/2), и
SG(q,b)
75 mq2(t) + | mw2q2(t) - b(t)q(t)
(2.48)
Этот интеграл, являющийся функционалом от b(t), может быть вычислен, если избавиться от линейного члена в 5g(q, Ь). Вычисление вновь основано на замене переменных, а именно на сдвиге пути q(t) >—> r(t), где
= 9с(0 + r(t), qc(r/2) = qc( — r/2) => => г(т/2) = г(—т/2),
(2.49)
функция qc(t) определяется ниже. В таком случае
*SG(g,i>) = 5o(r) +SG(Qc,b) + 5нп.(г,Ь), W <Siin.(^»b) “ линейный член по г — имеет вид:
dt \mqc(t)r(t) + mw2qc(t)r(t) — b(t)r(t)
| Ж.Зинн-Жюстен
66
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
Проинтегрируем по частям в 5ип.(г, Ь):
т/2	т/2
dtqc(t)r(t) = дс(т/2)г(т/2) - qc(-r/2)r(-r/2) -	dtqc(t)r(f).
tZ	t,
-т/2	-т/2
Принимая во внимание граничные условия (2.49) г(т/2) — r(—т/2), получим:
^lin. (г, 6)
dt	4- mw2qc(t) — b(t)] r(t) +
тт(т/2) Йс(т/2) - qc(—т/2)].
Таким образом, коэффициент линейного по г члена обращается в нуль, если функция qc(t) является решением классического уравнения движения
-Qc(i) +w2gc(f) = i>(t)/m
и, кроме того, если дс(т/2) = дс(-т/2). Решение, удовлетворяющее также граничным условиям (2.49), может быть записано в виде:
Qc(i) = — m
Д(£ — u)b(u)du,
(2.50)
где функция Д(£) является решением уравнения
-Д + щ2Д = 5(f)
(2.51)
с периодическими граничными условиями:
Д(т/2) = Д(—т/2), Д(т/2) = Д(—т/2).
Находим:
AW = д—7^-сЬ(щ(т/2- |f|)).
2щ йп(щт/2) v	7
(2.52)
В справедливости этого результата можно убедиться напрямую. Вспомним теперь, что в обобщенном смысле
— \t\ = sgn(f), — sgn(f) = 25(f), __I	tit
dt
где sgn(f) — знаковая функция, sgn(f) = 1 при t > 0, sgn(f) = -1 при t < 0, a 5(f) — 5-функция Дирака.
Функция Д(£), играющая первостепенную роль в пертурбативных разложениях вблизи гармонического приближения (см. Раздел 2.8), на-
tr
§2.6. Гауссов континуальный интеграл общего вида
67
|Ывается пропагатором. Она обладает простым пределом при т ^Предполагается, что м > 0):
г
A(f) = — е
2тг
(2.53)
d^C 9 i 9’
-J— /1
Lr* это убывающее на бесконечности решение уравнения (2.51).
|| Равенство (2.50) является аналогом равенства (1.9) для непрерывного случая. A(ti - £2) суть ядро оператора, обратного к -d$ + щ2, с ||0риодическими граничными условиями. Оно зависит лишь от разности ^2 ~ й» потому что периодические граничные условия инвариантны 0носительно сдвигов по времени; интервал [-т/2, т/2] можно отожествить с окружностью, а время — с угловой переменной.
Существует общий прием, позволяющий упростить расчет классического действия. Вычисляется действие, отвечающее траектории Agc(t):
5g(AQc,S>) =
2 Г 1
Так как qc ~ решение классического уравнения, действие Sa(XqClb)
Стационарно на решении, т.е. при Л — 1:
—SG(Xqc,b) CIA
— О.
Отсюда получим:
dtb(t)qc(t)
И| следовательно,
<$g(<Zc, b) — -
dtqc(t)b(t) = - —
dtdub(t)A(t — u)b(u).
Оставшееся интегрирование по пути r(t) дает нормировку, идентичную __ гамильтониан (2,29)):
tr Ug(t/2, —т/2\b) = tr е"тЯо/п e“5G^/ft .
68
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
Подставляя г ~ hfi, находим:
ZG(/3,b) = trC7G(^/2,-^/2;b) =
hZ3/2
Zq(J3) exp
2mh
du dv b(v)A(v — u)b(u)
(2.54)
где 3o(/3) — статсумма гармонического осциллятора (2.29), которую можно получить из (2.39), однако мы посчитаем ее позднее более прямым методом (равенство (2,61)).
2.6.2.	Гауссовы корреляционные функции. Теорема Вика.
Введем теперь гауссовы средние значения, которые будем обозначать (*)0, соответствующие нормированному распределению е-50/д /2о(/3) с периодическими граничными условиями. Функционал (2.54), который можно записать в виде
Zg(/3, Ь) = 2о(&) ( ехр
до/2
dt b(t)q(t)
-Ь/3/2
порождает соответствующие корреляционные функции (см. (2.43)). Если функционально продифференцировать обе части равенства (функциональные производные определены в Разделе 2.5.3), в пределе b = О получим:
2g (Д Ь)
= 2о(/3)
(2.55)
b~0
В общем случае дифференциальный оператор F(h8/8Ь) дает в правой части среднее значение функционала J’(g), так как
F(h6/5b)ZG(0, b)|fe0 =
[Й(<)И(«) exp[-So(<?)M
(2.56)
Заменяя ZG(b,/3) на явное выражение (2.54) в левой части равенства (2.55), находим:
1 2mh
du dv b(v)A(v — u)b(u)
В частности, вторая производная дает двуточечную корреляционную функцию
= 20~'(^ ^^2о(Д1>)|ьл =	- «) (2.57)
§2.7. Гармонический осциллятор: статистическая сумма
69
В общем случае функциональное дифференцирование экспоненты Квадратичной формы дает множитель Ь:

,Здесь также применима аргументация Раздела 1.2, В пределе 6 = 0 ||динственные отличные от нуля члены соответствуют спариваниям функциональных производных. Вспомним характерное свойство центрированной гауссовой меры: как было объяснено ранее, все корреляционные функции могут быть выражены через двуточечную функцию В соответствии с теоремой Вика:
(g(£iM£2) ...q(^)>0 = 52 (—	=
Р{1.2,...,€} '	'
= 52	-	(2.58)
P{1,2...1}
Где Р {1,2,..., £} обозначает все возможные спаривания {1,2,... ,(}.
Свойства регулярности траекторий общего вида. Предыдущие результаты позволяют вычислить среднее значение величины
+ ~з(*))2)о =
Д(0) - Д(е)].
При е —► 0 находим:
((<?(* + £) -g(i))2^ ~
(2.59)
т
Это равенство подтверждает, что в общем случае траектории не являются дифференцируемыми (хотя они непрерывны), и что поведение + е) — q(t) при г —> 0 не зависит от потенциала, а зависит лишь от Кинетического члена в действии. Отсюда также следует, что среднее значение действия (5(д))0 бесконечно, так как кинетический член расходится. Доказательство, справедливое для потенциала общего вида, Приведено в Разделе 4.5.2.
§2.7. Гармонический осциллятор: статистическая сумма
Теперь мы можем завершить расчет статсуммы Zq(/3) гармони-Цаского осциллятора, которая входит в нормировку корреляционных функций в (2.40).
70
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
Прежде всего, определим зависимость статсуммы от параметра и. Продифференцировав континуальный интеграл (2.31) с граничными условиями (2.23), получим:
д
dS0 duj
тш
[dq] e~s»^/h
П0/2 dtq\t),
-K0/2
где q(JU3/2) = q(—h0/2'j. Деля обе стороны равенства на Zo(/?), получим, по определению, гауссово среднее значение с весом e-So^Q^n /Z$:
о , „	mw
— lnZ0(/3) = —z-ОШ	n,
П0/2
dt (?2W)o = ~^Д(0)
-h0/2
h/3 ch(wfy?/2)
2 sh(a>fy?/2)’
(2.60)
где использовано явное выражение (2,52). Таким образом,
Z°(/3) A/’'sh^/kj/2)'
Из соображений размерности ясно, что константа J\[f — просто число. Его можно найти, рассмотрев предел /3 —> оо, в котором мы должны получить е~вЕ(). Таким образом, окончательный результат имеет вид:
।	с-^ЗДи;/2
= 2sh(/?M2) = 1 - е~0Пш '
(2.61)
и в нем мы, действительно, узнаем статсумму гармонического осциллятора.
Нормировка гауссова континуального интеграла. Равенство (2.35) позволяет связать нормировку континуального интеграла (2.31) со статсуммой Zq(/3) гармонического осциллятора. Взяв след UQ(h/3,0) в (2.35), находим:
Zo(/3) = №(Й/3, 0) = dq{q\U()(h(3,0)\q) =
/ кН \1/2
=	/9J .	(2.62)
\mw 1п(/3пм / 2) J
Таким образом, мы завершили расчет нормировочного множителя и подтвердили правильность выражения (2.39).
2.7.1. Прямой расчет гауссовой статистической суммы
Полезно, в основном с целью дальнейшего применения в квази-классических расчетах (солитоны, инстантоны), привести более прямой метод подсчета гауссовой статсуммы. Однако, так как мы ожидаем
§ 2.7. Гармонический осциллятор: статистическая сумма
[Столкнуться с проблемой бесконечных нормировочных множителей, !дроведем вычисление сначала с дискретными временными интервалами. Положим h = т — 1. Тогда
ъ
I
I
?
Зо(/3,е) = (2тге-) n/2 dqodqn8(qn - q0)
j j dqk e
k~ I
(2.63)
: Где в качестве дискретизованного действия можно выбрать следующее:
Г ч
п
(qk - gfc-i)2
2е
1	2 2
Qk
Из (2.18) мы бы получили:

(2.64)

данная запись эквивалентна первой в пределе е —> О, и |?fc ~ <7k-i| = О(у/ё).
Функция Sq представляет собой квадратичную форму по переменным qk, которая может быть легко диагонализована. Действительно, из-за периодических граничных условий задача трансляционно-ННвариантна. Поэтому введем дискретное разложение в ряд Фурье,
Полагая
(2.65)
где удовлетворяются условия вещественности
Тогда
со = со f сп_£ — q .
(2.66)
п— 1
50(д,е) = 52^ £=0
COs(27T^/n)) /£ + -Щ2£
(2.67)
где использованы соотношения ортогональности:
5Г'г>2гтгМп_/ 1- при^ = о (mod п), О, в противном случае.
к=о
Из них также следует, что преобразование унитарно, и якобиан замены Переменных суть просто фазовый множитель.
Интеграл теперь имеет вид (6.5), но из соотношения (2.66) следует, ЧТО лишь половина комплексных переменных независимы. Находим:
।
ГТ (1 - cos(2?r^/n))/е + -си2е
(2.68)
72
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
Произведение может быть подсчитано явно. Полагая ch 9 — 1 + cj262/2 , используем тождество
— 2 (ch п9 - 1),
в справедливости которого можно убедиться, сравнив корни и асимптотическое поведение обоих полиномов от переменной ch0.
В пределе е —> 0 при фиксированном пв — (3, п9 —> /Зса и, следова-ТеЛЬН°’	е-^/2
— это и есть статистическая сумма гармонического осциллятора.
2.7.2. Вычисление с непрерывным временем
Вычисление с дискретными временными интервалами подсказывает, как нужно действовать в непрерывном случае. В действительности, мы применим метод Раздела 1.2 и посчитаем детерминант дифференциального оператора А = — d$ + cj2 с подходящими граничными условиями. В непрерывном пределе замена переменных (2.65) сводится к разложению траектории по ортонормированному базису квадратично интегрируемых функций, периодических на (—/3/2, /3/2):
Якобиан тривиален:
[dg(£)] *-> dco П dcgdce .	(2.69)
е>о
Действие принимает вид:
S0 = |u2Co + y'Q(w2+47T2^2/,32)Q.
t>\
Интегрирование производится мгновенно и дает
Z0(S) ОС — ТТ [(ш2 + 47г2€2/,/32)1	.	(2.70)
Итак, возникла проблема: бесконечное произведение в правой части равенства (2.70) расходится. Расходимость связана с бесконечным множителем, содержащимся в мере интегрирования: как мы уже неоднократно подчеркивали, необходимо разделить континуальный интеграл
§2.7. Гармонический осциллятор: статистическая сумма
73
Иа некоторый эталонный интеграл, чтобы получить конечный ответ. Мы не можем здесь выбрать интеграл, отвечающий свободному движению, т.к. статистическая сумма в этом случае не существует. Однако Мы можем сравнить интегралы, отвечающие разным значениям щ, или Посчитать производную:
aJ 1П = ~ W ~ 52 ^2 + 47Г2£2/£2 = ~2th(c<2/3/2)’
* Что совпадает с (2.60). t
J Другой метод. Чтобы показать, что такой способ вычисления в Непрерывном случае достаточно трудоемкий, повторим вычисление, Используя несколько другой метод, при ш = 1, Прежде всего, зафиксируем значение пути при t = ±(3/2. Обозначая это значение А, Накладываем граничные условия:
д(-ХЗ/2) = ^(/3/2) = Л.	(2.71)
Решение qc уравнения
А/ = -/(t) + /(t) = 0
С условиями (2.71) имеет вид:
9с( '	ch(z3/2) '
Производя замену переменных
g(t) r(t) = q(t) - qc(t) =* r(-/3/2) = r(/3/2) =0, получим:
So(<?) = th(/3/2)A2 + So(r).
Таким образом, необходимо посчитать собственные значения дифференциального оператора А, действующего на функции, обращающиеся В нуль в точках ±(3/2. Собственные функции f представляют собой линейные комбинации двух экспонент, так как
A/ = -/(t) + /(t) = a/(t).
Решения, удовлетворяющие условиям f(j3/2) — f(-/3/2) ~ 0, есть
Mt) = sin(^7r(f - /3/2)//3) => ае = 1 + €2тг2//32,
Где I — целые числа, и t > 1.
С точностью до множителя нормировки, континуальный интеграл равен произведению интеграла по А и гауссова интеграла, от которого В итоге остается произведение собственных значений оператора А:
ZO(J3) ос l/\/th(/3/2)det А.
74	Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
Из вычисления с дискретными временными интервалами мы знаем, что бесконечный нормировочный множитель должен быть факторизован, и нетривиальный вклад имеет вид:
1 + /З2/Л2) = sh/3/,5.
О1
Теперь используем тождество
sh(5) th(/3/2) = 2sh2(/3/2).
Таким образом, результат пропорционален l/sh(/3/2), а это и есть статистическая сумма гармонического осциллятора.
§ 2.8. Гармонический осциллятор с возмущением
Рассмотрим теперь потенциал, являющийся суммой гармонического потенциала и возмущения. Гамильтониан может быть записан в виде
^-^-p2 + ^V + Vi(q),	(2.72)
2т 2
где предполагается, что возмущение
n=l
представляет собой полином по переменной q, хотя некоторые результаты можно обобщить и на случай любых функций, разложимых в степенной ряд по q.
Соответствующая статистическая сумма имеет вид (в этом Разделе положим h — 1):
Z(/3) = [dq] exp
£/2	|
-13/2	J
(2.73) где g(—/3/2) = g(/3/2).
Подынтегральное выражение в (2.73) можно разложить по степеням И(д), тогда получим:
ад, W)
k\
dtxdt2...dtk (Vi(Q(ti))... Vi(?(tfc)))0 ,
где (»)0 означает среднее значение по гауссовой мере e~So/7i /Zo (ра-венство (2.55)) с периодическими граничными условиями. Здесь также применимы аргументы, приведенные в Разделе 1.2. Если Vj(g) — по
§ 2.8. Гармонический осциллятор с возмущением
75
Дином, то последовательные члены разложения можно вычислить при Помощи теоремы Вика (1.18) в форме (2.58). Это является основой теории возмущений.
Формальное выражение. Обобщение тождеств (1.22),(1.24) приводит к формальной записи ряда теории возмущений. Тождество (2.56) с
*
f:
Л1?) = ехр
/5/2
-0/2
I Приводит к представлению г
I I
0/2
2(0) = /ехр -
-0/2
dt Vi -г— \ob(t)
ZG (6, /3)
1 ь=о
(274)
Где функционал 2$(Ь,0), отвечающий действию (2.48), подсчитан в
Разделе 2.6. Используя явное выражение (2.54), находим:
Теория возмущений и минимум потенциала. Любому разложению Потенциала на сумму квадратичной части и остатка Vj(g) соответствует Пертурбативное разложение. Однако подынтегральное выражение имеет максимальное значение вблизи путей, минимизирующих действие. Ясно, что периодические функции, минимизирующие потенциал, являются константами q(t) = q$y так как это необходимо для минимизации Кинетического члена, а значение до должно минимизировать потенциал V(g), поэтому
V'(go)=O, V"(go)>O.
Таким образом, оптимальное разложение имеет вид:
V(<?) = V(go) + * V"(go) (g - go)2 + Vl(q).
Специфические проблемы, связанные с вырождением минимума потен-ЦНала, будут обсуждаться в Главе 8.
76
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
§ 2.9. Теория возмущений по степеням h
В этом Разделе восстановим постоянную Планка h. Рассмотрим наиболее общий гамильтониан, представимый в виде:
н = -^-р2 + v(g),
(2.76)
где потенциал V(q) — полином с единственным минимум при q — О, где	<
V(<7) = ~mu2q2 t- Vi(q), Vi(q) = O(q3).
В Разделе 2.8 обсуждалось вычисление статистической суммы по теории возмущений в виде разложения по степеням некоторого потенциала взаимодействия И(д). Мы указали, что оптимальное гармоническое приближение получается при квадратичном разложении потенциала вблизи его минимума.
Пертурбативное разложение вблизи такого гармонического приближения можно легко реорганизовать, превратив в разложение по степеням К. Последнее разложение отличается от простого пертурбативного разложения, если потенциал возмущения Vi — не моном.
Любой ряд по степеням h можно назвать квазиклассическим разложением. Однако, на самом деле, наилучшим образом идее квази-классического разложения отвечает разложение, которое мы обсудим в Разделе 2.10.
Рассмотрим статистическую сумму 2(j3) и положим /3 — г/К. Тогда
З(т/Й) =
dq(t)]ex.p [—S(q)/h],
(2.77)
q(-T/2)=q(r/2)
где S(q) — евклидово действие:
т/2
S{q) =
-т/2
|mQ2(i) +V(q(/)) 4нг
dt.
(2.78)
Вычислим континуальный интеграл в пределе ft 0 при фиксированном т. С квазиклассической точки зрения, такой предел соответствует не просто h —> 0, но также одновременному стремлению в = т/h —> ос, т.е. коррелированным образом температура падает до нуля. Этот предел усиливает малые осцилляции вблизи классического минимума и возбуждения, близкие к квантовому основному состоянию.
В этом пределе континуальный интеграл имеет в точности ту форму, для которой можно использовать метод наибыстрейшего спуска (см. Раздел 1.5). Так как q = 0 соответсвует абсолютному и невырожденному минимуму потенциала V, основной вклад в континуальный интеграл при ft —► 0 дает тривиальная седловая точка q(t) = 0, минимизирующая как потенциальный, так и кинетический члены. Замена
77
> §2.10. Квазиклассическое разложение S
^•Переменных q(f) \/hq(t) в континуальном интеграле позволяет напрямую установить ведущие члены в действии. После замены получим:
L Л?
к I
S(q)/h= —
2/*\  . .2„2
dt V[(q{t)\/h).
|Так как V[(q\/h.)/h имеет по крайней мере порядок а/Я, в ведущем порядке мы вновь получим статистическую сумму гармонического осциллятора. В высших порядках интеграл можно вычислить, разложив ‘Предварительно подынтегральное выражение по степеням И и собрав Члены с одинаковыми степенями К.
В случае произвольного потенциала, разложимого в степенной ряд ; ПО q и в любом конечном порядке по h подынтегральное выражение Представляет собой произведение гауссова множителя на полином по I Q, так как члены степени qn в потенциале дают вклад лишь начиная с [ Порядка hnt2~l. Поэтому для любого потенциала, представимого в виде Степенного ряда, члены разложения Z(r/K) по степеням h выражаются
через гауссовы средние от полиномов, которые можно вычислить при помощи теоремы Вика.
§2.10. Квазиклассическое разложение
Рассмотрим теперь другой предел h —> 0, который (в ведущем порядке) лучше отвечает идее квазиклассического разложения. Возьмем предел h —► 0 при фиксированном /3, т.е. при фиксированной температуре. В этом случае мы ожидаем, что квантовая статсумма перейдет в Классическую. Проверим это предположение, подсчитав ведущий член И первую поправку в квазиклассическом разложении статсуммы (2.23). В частности, этот расчет позволит нам определить параметр разложения, т.к. постоянная Планка h имеет размерность, и поэтому ее нужно разделить на другую величину, имеющую размерность действия.
Статистическая сумма имеет вид:
Z(/3) = [(/(?(£)] ехр [-S(q)A],
(2.79)
Где траектории удовлетворяют «(0) = q(/3) и (см. (2.24))
0
S(q)/h~ dt
V о
периодическим граничным условиям:
mq2(t)/П2 + V(q(t))
(2.80)
При 7г —> 0 кинетический член в действии является ведущим. Траектории, дающие основной вклад, удовлетворяют уравнению q = 0, Т,е. отвечают всем возможным константам. С точки зрения метода Иаибыстрейшего спуска, мы нашли однопараметрическое семейство
78	Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
вырожденных седловых точек. В Разделах 8.2 и 8.3.1 мы обсудим эту проблему и покажем, что для ее разрешения необходимо ввести коллективуню координату, параметризующую все седловые точки. В данном примере реализация этой идеи проста: прежде всего, найдем диагональный матричный элемент
(<7о|е ЗН 1<70> =
dq(t)] exp [-S(q)/h],	(2.81)
д(О)=9(/?)=9о
в который дает вклад лишь одна седловая точка q(t) = q$. После сдвига q(t) ь-» g(t) + qQ континуальный интеграл принимает вид
<Qo|e-^|Qo>=	[dq(t)] exp [-ВД,	(2.82)
q(O)=q(0)=O
где
0
|mg2(f)/n2 +V(q0 + <7(*))
(2.83)
Из вида действия следует, что формально q имеет порядок h. При граничных условиях, установленных в (2.82), седловая точка есть q(t) = О, поэтому q(t) сама имеет порядок h, Потенциал может быть разложен по степеням q(t):
V (Qo + 9(i)) = V(q0) + V'(q0)q(t) + l.V"(q0)q\t) + О(Й3), 4нг
так же как и все подынтегральное выражение в интеграле (2.82). Каждое слагаемое имеет вид гауссова среднего значения:
(<7о|е 13 н |q0> = М/З)е /JV(9o)
1 - V'(qo)
о
dt (q(.t)}0 +
+>'Ы)2
dtdu (q(£)q(^))o “
V
о
k"(Qo)
0
dt (92G))o + °(ft3)
V
0
где (e)0 означает среднее значение по мере, соответствующей свобод-ному действию So(tf) = пт J dtq2(t)/h.
Хг
§2.10. Квазиклассическое разложение
79
♦ При вычислении гауссова среднего используется двуточечная функция Д(£, и), соответствующая свободному действию с граничными условиями q(0) = q(J3) — 0:
-{ЗН
' fi2 f |90)=W)e-^ 1 + у-(У'(®>))2 &(t,u)dtdu-
I I V I 0

2т
|г
| Нор
мировочныи
/3
(qo) Д(Л t)dt + O(h3) .
о	J
множитель имеет вид:
j W) = (<7 = 0
аР ^0р2/2т = £
2nh	h
S' ‘2-84’
выражением (2.9), отвечающим случаю свободного
г ЧТО совпадает с
' движения, если в нем заменить t — tf на h(3 (в данном случае d — 1).
Двуточечная функция. Тем не менее, необходимо определить двуточечную функцию Д(£,и). Ее можно получить, посчитав ИЫЙ интеграл
континуаль-
/з	(3
q2(t)dt + b(t)q(t)dt
J	J
О	0	J
Где g(0) = q(J3) — 0. Вычисление, полностью аналогичное
ИОму в Разделе 2.6, дает
ГП
ZG(b,0) = [dq(t)]exp
(2.85)
произведен-
в
dt dub(t)A(t,u)b(u)
h2
2т о	J
Где Д(£, и) = Д(и,£) есть решение уравнения
-Д(£, и) ~ 6{t — и) при Д(0, и) = Д(/3, и) = 0.
Нвходим:
ZG(6, /3)/Zg(O,/3) = exp
(2.86)
(2.87)
Статсумма. Используя двуточечную функцию, можно |КДе посчитать средние значения:
в
ЯВНОМ
ыт ы -	[1 + ^ГЫ)2-
ZmF *Т • I V

12 m
(2.88)
80	Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
Этот результат можно проверить, разложив функцию (2.39) гармонического осциллятора с V(q) = mw2q2 при qf = q" = q,r — h(3:
!n	n\ _ 1 / m o-emJq2/2
q)~ hy 2x0
03h2q2 + O(h4) .
Наконец, статсумма принимает
вид обычного интеграла по д:
г

h
m 2тг/3
m 2n/3
m
2n3
f
dqc 1 —
^2^3(Vz(fl))2 - h2--24 m W> 12m
^V''(q) + O(h3)
dq exp
0V(q) - 32h2V"(q)/24m +	,	(2.89)
где третье равенство получено из второго интегрированием по частям слагаемого, пропорционального V'2.
Альтернативное вычисление. Альтернативное вычисление основано на разложении q(t) в ряд Фурье по ортонормированному базису периодических функци на интервале [0,/3]:
= Qo + <W)>
5q(t) = У27/3 У7 1ап со$(2тт1//3) -4- bn sin(27rn£//3)].
п>0
Мы отделили моду qo, потому что она не дает вклад в производную по времени и, следовательно, на нее не наложено никаких ограничений в пределе Л —> 0. В противоположность этому, коэффициенты ап и Ьп, а потому и 8q(t), имеют порядок h. Поэтому вполне обоснованно разложение потенциала по степеням 8q(t)\
= V(®) + 6q(t)V'(q0) + | (6q(t))2V”(q0) + О ((6q)3) .
Теперь проинтегрируем no t и используем ортогональность базиса. Тогда слагаемое порядка 6q обратится в нуль, и действие примет вид:
S(q)//i = 0V (qo) + ^2(а^ + Ь2п) п>0
2тп2тг2
7Ь “
Как объяснялось ранее на примере гауссова интеграла в Разделе 2.7 (равенство (2.69)), интегрирование по путям q(t) можно заменить интегрированием по коэффициентам разложения q(t) по ортонормированному базису, в данном случае по Qo (эта мода не нормирована, но якобиан равен константе) и по {ап,Ьп}- Гауссово интегрирование по коэффици

§2.10. Квазиклассическое разложение
81
ентам ап и Ьп выполняется моментально. Условимся нормировать все Интегралы, деля их на интеграл с V'f(q) = 0. Тогда получим:
' Г Z2mn27T2 1 ,,, Л 21 Г /32Л2	„	1 1/2
danexp I - I ^2/,2  +-V (g0) 1 a J <x 11 + 4^2^V Ы
~ exp -_£^v"(go) • 8Ш7Г2712
Суммируя по n (и используя равенство 1/n2 = тг2/6), находим СТатсумму с точностью до нормировки. Нормировочный множитель Л/"(/0), не зависящий от потенциала, можно определить, заметив, что ДО интегрирования по Qo получался вклад в диагональный элемент Матрицы плотности вида	|g). При V = 0 он дается выражением
(2.84); мы вновь приходим к результату (2.89).
Обсуждение.
(i) Основным вкладом в пределе h —> 0 является классическая статистическая сумма, соответствующая больцмановской функции распределения, полученной путем интегрирования по импульсу р больц-Мановского распределения в фазовом пространстве:	где Н —
Классический гамильтониан. Действительно, в случае гамильтониана Я = р2/2т + V(q) две записи jV(/3) в (2.84) приводят к тождеству
3cl.(/3) = [ s e~0HM = 1\[^в [dq C~0V{4) 	(2.90)
V	У	V
(ii) Вводя длину тепловой волны
Atii. =
И масштаб, характеризующий изменение потенциала в пространстве (предполагается, что потенциал характеризуется одним масштабом длины)	,________________
1Р<л. =	,
Видим, что отношение первой квантовой поправки к классическому члену может быть характеризовано величиной Ath./^pot.- При высокой Температуре Т = 1/0, т.е. при малом 0, длина тепловой волны мала, и Статистическое поведение становится классическим. В противоположность этому, при низкой температуре основную роль играют квантовые Эффекты.
При проведении данного анализа мы неявно подразумевали, что Потенциал достаточно регулярен — по крайней мере дважды дифференцируем. Идеализированные потенциалы, такие как прямоугольная Потенциальная яма, которые часто используются в квантовой механике» требуют специального анализа.
’ (iii) Заметим, что формально классический предел соответствует Своего рода размерной редукции. При вычислении квантовой Статсуммы необходимо интегрировать по траекториям, т.е. одномерным
82
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
объектам. При вычислении классической статсуммы нужно лишь проинтегрировать по нулевой моде (в смысле ряда Фурье), которая соответствует точке и имеет нулевую размерность.
Упражнения
Упражнение 2.1
Статсумма. Воспроизведите вычисление Раздела 2.7 с дискретной формой (2.64) действия.
Упражнение 2.2
Локальность. Рассмотрим оператор определенный через свои матричные элементы:
{q\ U(t) \q') =
i/тг i
i2 + (g — qf)2 '
Проверьте выполнение свойства полугруппы J7(ti)i7(f2) — U(ti +^)-
Покажите, что соответствующий гамильтониан (определенный равенством (2.2) при h — 1) нелокален, то есть имеет носитель при q ± qf.
Решение. Матричные элементы гамильтониана таковы:
{q\н \q'
Упражнение 2.3
Прямоугольная потенциальная яма. Используя полученное ранее выражение для статистического оператора гармонического осциллятора, выведите спектр прямоугольного потенциала притяжения
Н — р2/2 + V(x), где
V(x) = 0 при |х| > а/2, V{x) = V < 0 при |х| < а/2,
(для выполнения этого упражнения требуется некоторая сообразительность).
Решение. Основная идея заключается в подсчете детерминанта Фредгольма D(V,E) оператора Н — Е, нули которого определяют спектр. Детерминант можно выразить через гауссов континуальный интеграл:
D-[/2(V,E) ос
dq(x)] exp[-5(g)],
5(g) — dx |(д'(я))2 + (У(х) — E}q2(x) L
Этот гауссов интеграл можно посчитать явно различными способами. Наш метод состоит в следующем. Прежде всего, удобно рассматривать интеграл как предел при /3 —► ос статсуммы в евклидовом времени /3
Упражнения к главе 2
83
^Т.е. при температуре 1//3), которая получается при наложении периодических граничных условий g(-/3/2) = q(/3/2):
D“1/2(V,£) a lim trL7(/3), /3—>oo
<?W2)=</'
=	[dq(x)] exp [-5(g)].
>	q(-e/2)^q'
| Затем разделим интервал [-/3/2,/3/2] на три подынтервала, в которых ^Потенциал постоянен: [—/3/2,-а/2], [-а/2,а/2], [а/2,/3/2]. Запишем к €/(/?) в виде произведения статистических операторов, отвечающих различным интервалам. В каждом интервале континуальный интеграл соответствует статистическому оператору гармонического осциллятора. Для дальнейшего введем обозначение
= V-E = ^?2.
Обозначим Ui и U% операторы, отвечающие и и2, соответственно. Тогда
tr (7(/3) = tr L7i (/3/2 - a/2)U2(a)Ux (/3/2 - а/2) = tr (/3 - a)U2(a),
Где мы воспользовались свойством цикличности следа. В пределе /3 —► ос оператор U\ становится проектором на основное состояние Соответствующего осциллятора:
trL7(/3) ~ J—	[dq'dq" е~^'2/2 е“^"2/2 (g'q Ща) |g').
/3—oo V 7Г
Используем теперь явный результат (2.35) и выполним два гауссовых Интегрирования по qf и q", Получим:
\ I /2
tr U(0) ~	I М + ^22 + 2^i^2 cth(«u>2)r1/2 е-ш,^-0)/2.
v 7/з-оо \ sh(au2)) v	7
Чтобы получить результат, обладающий конечным пределом, необходимо отнормировать детерминант. Разделив на его значение при нулевом Потенциале, находим:
eaW| D(V, E)/D(O, Е) = ch(aw2) +	sh(au,2).
2u/'iuJ2
Мы провели вычисление при V — Е > 0. Детерминант может обращаться в нуль лишь при Е > V. Поэтому положим и2 = гх2. Уравнение на ЯНергии связанных состояний можно переписать в виде:
2^i х2 th(ax2) - -J—2 ,
84
Гл. 2. Континуальные интегралы в квантовой механике
в том, что это уравнение верно, можно убедиться, решив напрямую уравнение Шредингера для прямоугольной потенциальной ямы и сравнив два спектральных уравнения, соответствующих четным и нечетным собственным функциям.
Глава 3
СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА И СПЕКТР
* Статистическая сумма может быть применена для определения Спектра гамильтониана (который мы для простоты считаем дискретным).
Действительно,
2(0) = tre~3H —	е-№ •
k=o
В частности,
Ео = lim ~1п2(0).
Различные методы вычисления континуальных интегралов, предложенные в Главе 2, распространяются также на расчет собственных аначений энергии.
Заметим, однако, что мы будем рассматривать лишь ситуации, когда собственные значения гамильтониана невырождены. Вырожденные Случаи, которые, вообще говоря, отражают симметрии гамильтониана, нуждаются в более детальном анализе.
Затем мы проиллюстрируем мощь формализма континуального интегрирования вне рамок простой теории возмущений:
Мы используем его для вывода вариационного принципа.
Мы посчитаем континуальный интеграл, применяя метод наибыст-рейшего спуска, в случае гамильтонианов с О(7У)-симметрией в пределе больших N.
При подсчете континуальных интегралов при помощи метода наи-быстрейшего спуска возникают детерминанты дифференциальных операторов: в данной главе будет дано пертурбативное определение такого детерминанта.
Наконец, мы докажем, что основные состояния простых квантовых Систем невырождены.
§ 3.1. Вычисление по теории возмущений
Для любого потенциала, который можно представить в виде суммы Мрмонического потенциала и полиномиального возмущения, теория ЮВмущений, введенная в Разделе 2.8, дает пертурбативное разложение
86
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
энергии основного состояния и, в общем случае, всех уровней энергии с фиксированным квантовым числом. Действительно, рассмотрим потенциал вида (2.72) (здесь мы положим т = 1)
V(g) =	+ Vi(g).
Z>r
При малом Ц собственные значения энергии Ek близки к уровням энергии гармонического осциллятора:
Ек = (k + ^h + SEk.
Таким образом, разложение статистической суммы принимает вид:
2(0) = ^e-(fe+1/2’^ [1 - 06Ek + О (02(6Ek)2)] .	(3.1)
k=0
Последовательные поправки теории возмущений к уровням энергии можно получить следующим методом: нужно разложить статсумму по степеням возмущения VJ, затем разложить каждое слагаемое при больших (3 и определить коэффициент при —
Пример. Рассмотрим потенциал
V(g) = |g2 + ^g4,
имеющий ту же пертурбативную структуру, что и пример, рассмотренный в Разделе 1.3.
Статсумма в порядке А дается выражением (в данном вычислении положим h — 1):
/3
2(0) = 2О(0)
1-(Л/24) dt(q4(t)}0 + O(X2)
о
= 2О(0) [1 - (Л/24) х 3 х 0Д2(0)] + О(А2) -
=	[' -«(''Ml
(3.2)
где использован пропагатор (2.52).
Можно удостовериться в справедливости следующих алгебраических соотношений:
оо
Vexp -бг+Й/З = 1/[2 sh(/3/2)].
fc=0
Второе соотношение получается в результате двукратного дифференцирования первого по /3:
} ( & + X ) ехР

1 _ 2 cth2(/?/2) - 1
8sh(/3/2)
§3.1. Вычисление по теории возмущений
87
Полагая
Ек = {к + 1) + Х6Ек + О(Л2), W
j
"Получим выражение для статсуммы:
к—О
2sh(/3/2) л
Сравнивая коэффициенты при А, получаем:
Ьбратим внимание на то, что если нас интересует лишь энергия основного состояния, то можно пренебречь членами, убывающими экспоненциально при в —► ос, и выражения существенно упрощаются:
Z(/3) ~ е-^’» = е“й/2 ( 1 -	+ О(А2).
I	X	/
В следующем порядке находим (см. равенство (1.26)):
Z(/3)/Zo(/3) - 1 - Ыд2(0) + 2-л2/з2д4(0) -о	IZo
/3/2
+ ^/ЗЛ2Д2(О)
-0/2
0/2
<кд4
-0/2
48
Где использована периодичность функции A(t). Считая логарифм стат-Суммы, пропорциональный свободной энергии, можно убедиться, что Иссвязные вклады сокращаются (Раздел 1.3):
/3/2
-11пад + 11Пад) - 1лд2(0) - 1л2Д2(0) | dtA2(t)-
-0/2
0/2
- ±А2 f dt A4(t) + О (А3),	(3.4)
-в/2
SpH /3 —> ос можно заменить функцию Д ее асимптотикой (2.53), 5тому что поправки экспоненциально малы. Более того, можно интегрировать по t е (-ос, +ос), при этом ошибки будут также экспоненци-1льно малы, т.к. Д(£) убывает экспоненциально при |i| —► ос. Исходное |Йражение для -?(/?) содержит члены порядка и /З2. Слагаемое, |фопорциональное /З2, соответствующее несвязному вкладу, при взятии
88
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
логарифма исчезает. Таким образом, выражение (3.4) имеет предел при Д —> ос, из которого мы получаем энергию основного состояния:
Е° = 2 +32Л ~ Т536Л
Отметим, однако, что для простых квантовых систем, таких как частица в потенциале, наиболее эффективный метод получения пертурбативных разложений не связан с континуальными интегралами. Удобнее начать с уравнения Шредингера и превратить его в уравнение Рикка-ти для логарифмической производной волновой функции (см. Раздел 3.2.4).
Разложение по степеням Л. В Разделе 2.9 мы отмечали, что если потенциал Vj — не простой моном, то можно определить два типа разложений: по степеням Ц или по степеням h. Сейчас мы рассмотрим последнее применительно к собственным значениям энергии.
Отправной точкой будет основанное на методе наибыстрейшего спуска разложение по степеням h следующей величины:
Z(t/K) =
[dg(t)]exp[-5(g)//i]	(3.5)
9(-т/2)=9(т/2)
где
т/2
<%) =
-т/2
-mg2(i) +	dt.
(3.6)
Будем предполагать, что потенциал V имеет абсолютный и невырожденный минимум в точке q = 0, где он равен нулю, так что при h 0 основной вклад в континуальный интеграл дает седловая точка q(t) = 0. Таким образом, интеграл можно вычислить, разложив подынтегральное выражение по степеням членов выше второй степени в потенциале и проинтегрировав их. Тогда мы придем к разложению 2(т/Л) по степеням Й, а при т ос — к выражению для собственных значений энергии.
Так как (N + 1)-е собственное значение Ем гамильтониана Н есть
EN = [N + ^h + O(h2), пертурбативное разложение принимает вид
2(т/й)
Л'=0
fc=0
(3.7)
§3.2. Квазиклас синее кое, или ВКБ, разложение 89
Vikhm образом, коэффициент при hk представляет собой полином Итепени к по т, и Ем можно определить, зная коэффициент при g-(N+l/2)xr
Замечание. Отметим разницу между пертурбативным и квазиклас-СИческим, или ВКБ, разложениями, которое мы опишем в Разделе Пертурбативное разложение применимо к собственным значением энергии, которые при h —> 0 стремятся к минимуму потенциала. ВКБ-разложение (см. Раздел 2.10), наоборот, справедливо для собственных значений энергии, которые остаются на конечном расстоянии Ст минимума потенциала при Д —> 0, т.е. имеют конечную классическую Энергию. Как следствие, эти собственные значения в TV-м порядке (Стремятся к бесконечности. ВКБ-приближение отвечает большим квантовым числам.
§ 3.2. Квазиклассическое, или ВКБ, разложение
В этом разделе мы покажем, как вычислять спектр гамильтониана В квазиклассическом, или ВКБ, приближении, исходя из квазикласси-Ческого разложения статсуммы, полученного в Разделе 2.10.
3.2.1. Спектр и полюса резольвенты
Мы вновь будем предполагать, что гамильтониан обладает дискретным спектром и, следовательно, статсумма может быть записана в виде
Z(0) — tre
€=0
где Ео < Е} <Е2< ....
Преобразование Лапласа функции -?(/?), являющееся одновременно Следом резольвенты Н, имеет вид:
оо
G(E) = [ <10	2(0) = tr —L- = £ -Д- ,	(3.8)
О	1
ГДе результат в правой части может быть получен из интеграла при Помощи аналитического продолжения на всю комплексную плоскость Энергии из области ReE < Eq, в которой интеграл сходится.
Спектр гамильтониана дается полюсами G(E).
Заметим, что сумма по всем Е? не всегда сходится. Эта трудность Напрямую связана с расходимостью интеграла (3.8) при 0^0. Данную Проблему можно решить следующим способом: необходимо дифференцировать подынтегральное выражение по Е до тех пор, пока интеграл не станет сходящимся. Тогда получим:
ОС
G^(E)
*
<10е@Е 0т2(0) = т!
1
(Ее - Е)т ’
о
90
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
Затем G(E) определяется при помощи m-кратного интегрирования по Е. Различные определения G(E) различаются на полином порядка т~ 1 по Е, но имеют одинаковые полюса с одинаковыми вычетами.
Для дальнейшего полезно ввести функцию
Ж) =
G(E')dE' = -	~Е) + полином(Е).
(3.9)
В выражении для ЦЕ) предполагается, что разрез функции In z проходит по вещественной отрицательной полуоси.
Заметим, что функция
V(E) = e~L^
обращается в нуль на спектре Н и, следовательно, представляет собой регуляризованную форму детерминанта Фредгольма det (Я — Е).
Посчитаем теперь величину (е вещественно и положительно)
ДОД) =
2гтг
lira L(Ek + ге) — L(Ek — as)
2гтг е
Все сингулярности, отвечающие Е^ с 0 t < к, дают вклад 2атг, соответствующий разрыву логарифмической функции. Для сингулярности Е = Е^ будем иметь:
ln(£jt — Е + ie) — ln(£fc — Е — ie)\E-E =	— ln(—as) = атг.
Сингулярности с I. > к не дают никакого вклада, поэтому получаем:
ЩЕк) = к + 1
ОТ
(3-10)
Это соотношение можно теперь использовать для определения спектра в квазиклассическом приближении.
3.2.2. Квазиклассическое приближение
В данном разделе мы рассмотрим одномерные системы с гамильтонианом вида

В противоположность пертурбативному разложению, здесь важно ограничение на случай одного измерения.
Ведущий вклад в резольвенту получается в квазиклассическом приближении путем замены статсуммы
Z(/3) = tre^"
§ 3.2. Квазиклассическое, или ВКЕ>, разложение
91
3 преобразовании Лапласа на ее правильным образом нормированный Классический предел Zci (/3), представляющий собой ведущий член в (2-89): 
п у Znp
I
1огда находим:
I и
Проблема сходимости потенциала при /3 —► О перешла в проблему Сходимости интеграла при \q\ оо.
, Мы выбрали разрез функции y/z вдоль вещественной отрицатель-ной полуоси (\/г ± ?£ = ±iy/^z для вещественных отрицательных г).
Заметим, что вместо ожидаемых полюсов функция GC\\E) имеет разрез на вещественной оси правее минимума V(q). Это можно легко Понять. В данном квазиклассическом пределе h стремится к нулю, Но энергии остаются конечными, fc-e собственное значение энергии Ek может остаться конечным лишь в случае, когда квантовое число k стремится к бесконечности. В противоположность этому разность - Ek стремится к нулю, что объясняет непрерывность предельного спектра.
Интегрирование дает функцию (3.9):
Lci.(E)
d£'Gci.(E') = -- dqy/2m[V(q) - Е'_. / с
Она имеет разрыв:
lim LC].(E + ге) - LcL(E - is) = - dq0[E - V(g)]У2т[Е - V(q)] ,
Где 0(x) — «ступенька» (функция Хевисайда) (0(x > 0) = 1, 0(x < 0) —  0). Таким образом, равенство (3.10) сводится к условию квантования Вора-Зоммерфельда:
dqO(Ek - V(q)) ^2m[Ek - V(q)] = Ьтг(к + |). w
(3.11)
dpdq 1
2тгД Н(р, q) — Е
b*ечания.
' (1) Альтернативное вычисление основано на выражении (2.90). Найми м:
Gel. f I
Це Н — классический гамильтониан: Н(р, q) = p2/2m + V(q). Контур-
ЦЬй интеграл по Е дает 0 или 1 в зависимости от того, где лежат
92
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
значения Н: внутри или вне контура. В итоге получаем альтернативную форму равенства (3.11):
(ii) Так как левая часть равенства (3.11) остается конечной при h —> 0, то данное приближение верно для больших квантовых чисел Ek = 0(1), kh = 0(1), в то время как разность между собственными значениями стремится к нулю вместе с h. Это согласуется с областью применимости приближения (2.89): мы видели, что это приближение справедливо при высоких температурах, когда физические величины в основном чувствительны к большим квантовым числам.
Первая поправка. Последовательные члены в квазиклассическом разложении статсуммы порождают поправки к приближению Бора-Зоммерфельда. Например, разложение до порядка /г2 включительно дается равенством (2.89):
Тождество
2(/?) = I / V
-a3V(9) n _	/24т+ 0(&) .
позволяет нам записать первую поправку к Gci.(E) в виде:
h2 у/т/2
24т h
= -
*
dry V"(q) [V(g) -ЕГ1/2.
Проинтегрировав	получим:
24m
d„ /"M .
ч/Г(«) - E
Получаем разрыв функции L^(E) на вещественной оси;
L^\E + iQ)~L^(E-iQ) =
что дает первую поправку к приближению Бора-Зоммерфельда (3.11).
Заметим, что нельзя напрямую дифференцировать по Е под знаком интеграла, так как Е -V(q) стремится к нулю по крайней мере линейно на границе и, следовательно, сингулярность [Е - V(g)]~3^2 неинтегрируема.
3.2.3. Примеры
Гармонический осциллятор. В примере гармонического потенциала функция G(jE), определенная равенством (3.8), не
£ 3.2, Квазиклассическое, или ВКБ, разложение
93
Существует, так как ряд по п расходится. Ряд для функции G\E). Напротив, сходится:
G'{E) = V---------!-----— = *Г^'(1/2 - E/fo),
tZ0(hu>(n+1/2)-Е)2
Где 'ip(z) — логарифмическая производная Г-функции. Поэтому можно Выбрать
S	1
G(E) = -—^(1/2-Е/М => Ь(Е) = 1пГ(1/2-Ь7М	(3.12)
Н, следовательно, Р(Я) = 1/Г(1/2 - E/hw).
Предыдущие результаты могут быть применены для получения пер-' Вых членов соответствующего квазиклассического разложения. После  Простой замены переменных функция GC\\E) формально принимает
G'^E) =
Интеграл расходится при |z| —> ос. Дифференцируя по Е, получаем: d.r _	1
(х2 - Ё)У2 = ~ЬЁЁ'
Можно выбрать следующие первообразные:
Gd.(E) = -j^ln(-E/M. LcI.(E) =	- 1].
Разрыв ln(-E) поперек разреза есть 2?тг, и поэтому в ведущем порядке
Квазиклассического приближения
Ek = huj{k + -),
ЧТО совпадает с точным результатом. Это является характерным свойством квантового гармонического осциллятора.
Первая поправка к G{E) может быть легко получена из предыдущих результатов:
[ля всех однородных потенциалов квазиклассическое разложение есть Твкже разложение при больших Е, как видно из точной формулы (3.12) (см. также пример ниже). Следовательно, эти выражения могут выть проверены путем разложения точного результата (3.12), т.е. путем Ймены функции V>(z) ее разложением, которое можно получить из вычисления Г-функции методом наибыстрейшего спуска, как было Объяснено в Разделе 1.5 (равенство (1.37)):
Г 	4- 1 /2) = In z + 1 /24г2 + О( 1 /г4) при |Argz| < тг.
94
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
В данном примере функция не имеет разрыва и, следовательно, не дает вклад в спектр. Этот результат можно обобщить на все порядки, и это объясняет, почему приближение Бора-Зоммерфельда является точным для гармонического осциллятора.
Другой пример. Рассмотрим однородный потенциал V(q) = q2N и положим h = т = 1. В ведущем порядке получим:
Efc-[Gv(/c + |)]2/v/(N+I),
тгДТ(3/2+ 1/2N)
а/2Г(3/2)Г(1/2ДГ) ’
Этот результат отражает тот факт, что ведущий член в равенстве (3.10) пропорционален £1/2+1/2\ Первая поправка пропорциональна ^-i/2-1/2^. в этом однородном примере квазиклассическое разложение правой части равенства (3.10) есть также разложение при Е —> ос.
3.2.4. ВКБ-приближение и уравнение Шредингера
Сейчас мы объясним, каким образом квазиклассические результаты, полученные при помощи континуальных интегралов, могут быть также выведены из уравнения Шредингера. Будем считать, что потенциал V(x) аналитичен в полосе вблизи вещественной оси |1тж| < 6, потому что для данного класса потенциалов возможно проведение достаточно полного анализа. В этом случае собственные функции также являются аналитическими.
Начнем со стационарного уравнения Шредингера
И2 2т
<//'(z) + V(x)<p(x) = Е<р(х).
(3.13)
Уравнение можно переписать в терминах логарифмической производной функции у>(ж). Полагая
</(z) _ S(x)
<р(х) h
имеем:
¥>(я)
Уравнение Шредингера тогда сводится к уравнению Риккати:
hS'(x) ~ S2(z) + U(x) — 0, где U(x) = 2m[V(z) - Е].
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Это уравнение можно систематически раскладывать по степеням h при фиксированном Е, начиная в ведущем порядке с S(x) = (7I//2(z). Удобно разложить S(x) на два слагаемых: четное и нечетное по Й, полагая
S(x, П) — S+(z} К) + S_(z, К),
5±(я,-П) = ±5±(ж,/г).	(3.17)
§ 3.2. Квазиклассическое, или ВКБ, разложение
95
Из уравнения Риккати получаем:
(3.18)
(3.19)

ir I*
Где в ведущем порядке S+ ~ U1/2 и S_ = 0. Второе уравнение позволяет выразить собственную функцию целиком в терминах S+:

У’(^) =
ехр
(3.20)
Хо
|Можно доказать, что собственная функция, отвечающая А:-му воз-[вужденному состоянию, имеет ровно к нулей на вещественной оси. [Поэтому спектр можно определить при помощи соотношения:
г	(	\
^cbdz^r = fc-	(3.21)
2?тг J <p(z)
I Где к ~ число узлов собственной функции, а С — контур на комплекс-
ной плоскости, окружающий их.
Это уравнение можно переписать в виде:
1
2гтг/г
odz S(z) = к.
В квазиклассическом пределе С окружает разрез функции Ux/2(x), Соединяющий две точки поворота, являющиеся решениями уравнения ВД = 0. Вклад S- можно вычислить явно, по крайней мере во всех Порядках по h. Действительно, можно убедиться, что вклад дает только Основной порядок и, следовательно,
2?тг/г
4гл
Б-О77Г
В терминах уравнение (3.21) принимает
вид:
2гтгй
Води подставить вместо 5+ формальное решение уравнения Риккати рвиде разложения по степеням /г, получим ВКБ-, или квазиклассиче-* Мое, разложение собственных значений энергии.
96
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
§ 3.3. Континуальный интеграл и вариационный принцип
Неравенство выпуклости. Многие вариационные принципы в физике основаны на неравенстве выпуклости для экспоненциальной функции, которое в простейшем варианте имеет следующий вид:
" 2 1	'	>'
В общем случае будем обозначать символом (•) среднее значение величины • относительно положительно-определенной нормированной меры. Тогда для любой вещественной функции F получаем неравенство выпуклости
& (F)^ln(eF^.
Теперь применим это неравенство к случаю, когда мера гауссова, a F — полином, чье среднее значение может быть вычислено при помощи теоремы Вика.
Вариационный принцип. Мы хотим приближенно посчитать интеграл по Вп:
f dn;r e-v<x),
где V(x) — полином по переменным Х[. Введем нормированную гауссову меру /Zq, где функция Л(х) — полином второго порядка
общего вида:
F(x) = А(х) - V(x).
(3.23)
Положим
Тогда получим:
In dnz е
Это неравенство можно переписать в виде
(3.24)
Из этого неравенства вытекает вариационный принцип: так как матрица А и вектор Ь произвольны, то наилучшее приближение к интегралу Z достигается путем максимизации правой части по всем А и Ь. Так как правая часть может быть посчитана явно с помощью теоремы Вика, оптимизация становится чисто алгебраической задачей.
§3.3. Континуальный интеграл и вариационный принцип 97 ----.--------------.----.------------------------""-1----
, Пример. Простым примером служит V(x) = х* при п = 1. В этом Случае точный результат - Г(1/4) = 1.812..., а вариационный результат <7Г2 е /З)1/4 - 1.729....
Континуальный интеграл. Рассмотрим статсумму (Й = 1):
£(/?) = [dq(f)] exp [-5(g)]
(3.25)

Где траектории удовлетворяют периодическому граничному условию: fl(0) = и (равенство (2.24))
•$(<?) = dt -mq2(t) + V(q(t)) .
J
0
Выберем гауссову меру, соответствующую
(3.26)
21
О
где uj и до — два вариационных параметра. Величина F в данном случае имеет вид
F(<?) = di	-<7о)2 -V(q(t)) .
V о
Удобно заменить q(t) — go на g(t). В терминах статсуммы Zq гармонического осциллятора (равенство (2.61)), неравенство выпуклости можно щаписать следующим образом:
lnZ(/3)^lnZvar.(/3),
*де
lnZvar.(/3) = In Zo(/3) +
0
d£ / | mto2q2(t) — V(q(t) + \ L
j 0
j.' 	= In Zo(/3) +	cth(w/3/2) -
0
dt (V(q(t) + %))0,	(3.27)
Вдесь (»)0 означает среднее значение относительно гауссовой меры, отвечающей гармоническому осциллятору, а двуточечная функция дается Выражениями (2.57),(2.52).
г Легко заметить, что данное неравенство имеет естественный вид в Терминах свободной энергии, пропорциональной InZ.
98
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
Простой пример
V(q) — - mu2q2
предоставляет возможность простой проверки этого метода. По соображениям симметрии можно положить Qo = 0- Тогда вариационная статсумма в правой части принимает вид
In -^var
— — In sh s +
chs
2 shs
02v2\
4s ) ’
где мы обозначили s — щ/3/2. Дифференцируя, убеждаемся, что максимум достигается при з = 0у/2, и восстанавливается точный результат. Более интересным примером служит потенциал
V(g) = ^дт2д\
По-прежнему qo ~ 0 в силу симметрии. Так как решение уравнений при конечном /3 достаточно сложно, рассмотрим предел 0 —► оо, дающий энергию основного состояния соответствующего гамильтониана. Тогда
var. — Jlln -^var.
32а;2
Вариационная оценка дает теперь ограничение сверху энергии основного состояния Е. Минимум достигается при щ = (^/4)1//3, при этом находим:
« 0.236235 з,/3.
8 \4/
в то время как точный коэффициент при есть 0.23157.... Эта оценка и ограничение сверху не могут быть получены при помощи теории возмущений, так как потенциал является четверным вблизи минимума.
Отметим, что, как и всегда, вариационные методы могут с легкостью приводить к очень хорошим оценкам, которые, однако, с трудом поддаются дальнейшему улучшению.
§3.4. О (7V)-симметричный потенциал четвертого порядка при N —► оо
В качестве другого применения формализма континуального интегрирования мы рассмотрим свойства О(Лг)-симметричных квантовых систем в пределе больших N.
Рассмотрим квантовую частицу в N пространственных измерениях. Координата q и импульс р, таким образом, есть N-компонентные векторы. Выберем гамильтониан специального вида:
Н= lp2 + W(q2/N),	(3.28)
§ 3.4. О(^т)-симметричный потенциал при N —> ос 99
де p2,q2 — квадраты длин векторов p,q, соответственно. Потенциал U является центрально-симметричным и в рассматриваемых ниже Примерах полиномиальным. Следовательно, гамильтониан обладает ортогональной симметрией O(N) (вращения и отражения в Лг-мерном Пространстве).
Один из методов изучения свойств данной квантовой системы состоит в разбиении U на член четвертого порядка и остаток и использовании теории возмущений, как было описано в Разделе 3.1. Однако J случае О(Лг)-симметричных систем вида (3.28) может быть найдена ^угая — непертурбативная — схема. Она основана на изучении системы в пределе больших N.
У Мы знаем, что квантовый гамильтониан (3.28) коммутирует с Х(ЛГ - 1)/2 генераторами ортогональной группы SO(N), и это позволяет свести исходное уравнение Шредингера к одномерному радиальному уравнению Шредингера. В этом случае число измерений № входит в уравнение просто как параметр, и легко убедиться, что уравнение Шредингера можно решить в пределе большого N.
' Однако этот метод применим сугубо для данного одночастич-Иого гамильтониана. Формулировка в терминах континуального интеграла, напротив, дает простую и интуитивно понятную стратегию, которая обладает многими интересными обобщениями на другие О(2У)-симметричные модели. Метод, который будет описан ниже, является достаточно общим, хотя явные вычисления будут проведены Только для случая четверного возмущения гармонического осциллятора.
!7(q2) = ^w2q2 + ^g(q2)2.	(3.29)
Другая физическая интерпретация. Существует другая возможная физическая интерпретация гамильтониана (3.28) с потенциалом &29); можно считать, что переменные qi привязаны к N узлам решетки. Тогда потенциал (3.29) соответствует сумме одночастичных Потенциалов в каждом узле и потенциалов парных взаимодействий, Связывающих все N узлов решетки:
Шч2) = V w2Qi +	• (з.зо)
\ Z	Z*t /	1Z
i	i<j
fan такой системы, вообще говоря, не существует термодинамического (т.е. N —» ос) предела, потому что потенциальная энергия растет Пропорционально числу пар и, следовательно, квадрату «объема» N. Существование термодинамического предела обеспечивается зависимостью потенциала от числа узлов ЛГ, как в выражении (3.28).
Статистическая сумма. Статсумма дается континуальным интегралом
.*	Z(/3)= f[dq]e-s(q\	(3.31)
100
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
q(0) — q(/3), с действием р
5(q)= dt [lq2(f) + M7(q2(f)/AT)
(3.32)
Действие явно <Э(Лг)-симметрично, т.к. зависит лишь от скалярных произведений.
Предел большого N. Метод, который мы сейчас представим, дает возможность посчитать статсумму и, следовательно, определить спектр гамильтониана (3.28) в пределе N —> оо при фиксированном L7(q2), а в общем случае — в качестве ряда по степеням 1/N. В примере с потенциалом четвертого порядка (3.29) данный метод дает дополнительную информацию по сравнению с теорией возмущений, которая приводит к разложению по степеням д.
Основная идея вычислений при большом N заимствована из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Можно ожидать, что при N —> оо величины, инвариантные относительно группы O(N), такие как
самоусреднятся и, следовательно, не будут флуктуировать (естественно, при этом подразумевается, что переменные Qi слабо коррелированы, и это свойство нуждается в проверке). Например, можно ожидать, что

Таким образом, q2(£) — более простая динамическая переменная, чем q(f). Идея состоит в том, чтобы интегрировать по q(t) при фиксированном q2(£). Технически задумку можно реализовать при помощи набора преобразований, которые мы сначала разъясним на примере обычного интеграла.
3.4.1. Простые интегралы при N —► оо
Рассмотрим сначала простой интеграл
d?vqe-W(q2/^)
где U(p) — полином, который для простоты мы будем считать возрастающей функцией с возрастающей производной при р > 0:
[7'(р)>0, [/"(?)> 0.
Подынтегральное выражение и мера интегрирования инвариантны относительно 50(ДГ)-преобразований вектора q, так же как и в примере с континуальным интегралом.
§ 3.4. Осесимметричный потенциал при N
101
При подсчете интеграла в пределе N —► сю возникает трудность — зависимость интеграла от параметра N является отчасти неявной, т.к. число переменных интегрирования равно N. Эту проблему в данном
Случае можно легко решить, перейдя от декартовых к полярным коор
динатам. Тогда
In = Zn
Q
(3.34)
ч.
о
где Едг — площадь сферы S.v-i:
2тг^2
Г(ЛГ/2) ’
Удобно также положить q2/N = р, тогда получим:
Tn = N^-W2%n
(3.35)
. Р о
где
ст(р) = U(p) - |1пр.
(3.36)
Теперь можно найти интеграл при N —* сю, опираясь на метод наибыстрейшего спуска (см. Раздел 1.5). Седловые точки находятся из уравнения:
а'(р) = 0	2рС7'(р) = 1.
При наших предположениях относительно функции Щр) это уравнение имеет единственное решение. Далее вычисление проводится в соответствии с общим методом, описанным в Разделе 1.5.
Хотя этот метод достаточно прост в случае интеграла (3.33), он не обобщается на случай континуальных интегралов, поэтому мы введем альтернативный способ, который может показаться более сложным, но зато он легко обобщается.
Общий метод. Прежде всего, перепишем интеграл в виде
IN - N d^q dp <5(q2 - Np) e~NV^ .
Теперь подставим вместо <5-функции Дирака ее Фурье-преобразование:
— ОО
102
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
Для дальнейшего удобно положить р = iX/2, так что представление принимает вид:
6(q2 - Np) = 4-
dA c-^-Np)/2
где исходно Л — чисто мнимая интеграл (3.33) принимает вид:
— г эс
переменная. После такой подстановки
-NU^/N) _
4г7Г
dNqdpdA c-A(q3-/M/2-w(p) (3 37)
Интеграл no q теперь гауссов, и его можно вычислить, если контур интегрирования по А удовлетворяет условию Re А 0:
N/2 1У
4г7Г
dpdA e^P/2-^ln(A)/2-W(p) .
В пределе N -+ оо оставшийся интеграл можно вычислить при помощи метода наибыстрейшего спуска с двумя комплексными переменными. Уравнения для нахождения седловой точки, полученные дифференцированием по А и р, имеют вид:
р= 1/А, X = 2U'(p).
Заметим, что седловая точка по А вещественна, но контур интегрирования по А параллелен мнимой оси. Завершение вычисления мы предоставляем читателю в качестве упражнения. Можно убедиться, что результат получается в точности такой же, как и при использовании полярных координат.
3.4.2. Континуальный интеграл
Тождество (3.37) может быть обобщено на случай произвольного числа переменных, и, следовательно, на случай континуального интеграла. В примере с интегралом (3.31) необходимо ввести две траектории: p(t),A(t), которые периодичны, т.к. мы рассчитываем статсумму: р(/3) — р(0), Х(0) = А(0). Преобразованный континуальный интеграл получается после умножения подынтегрального выражения на
Л7(/3) [dp][dA]exp
г/з	1
р
df A(Z)(q2(f) - A?p(i))/2 =1,
Lo	J
(3.38)
где нормировка Af(/?) зависит от дискретизации, но не от траектории q(/), и замены q2/7V на р в потенциале U.
Статсумма теперь дается соотношением:
Z(0) = [dqdpdA]
§3.4. Осесимметричный потенциал при N оо
103
{нормировочный множитель входит сюда неявно), где
/з
S(q,p,A) = dtflq2 +W(p) + |A(q2-Wp) .
о
Заметим, что интеграл по q(t) вновь гауссов и может быть вычислен. Так как
/з
ч
dt [q2(t) + A(t)q2(t)] =
о	’
в
dt [gf(t) + A(t)pf (t)
u
0
Мы получаем произведение N одинаковых интегралов. Каждый интеграл дает:
{в
Л	I
— | dt	q2(t) + X(t)q2(t) > ос det (-d* + A(»))	.
M	I
J	I
>	°	(3.39)
Оператор —d^ -I- А, стоящий в правой части, имеет вид одномерного Квантового гамильтониана, где — d% — кинетический член, a A(t) — потенциал. Так как это дифференциальный оператор, его детерминант Зависит от граничных условий. Наконец, континуальный интеграл должен быть нормирован. Поэтому разделим его на его значение при А = 0.
Таким образом, находим:
Z(/3) = [dpdAje--5*^,
(3.40)
Где (trln = In det, равенство (3.51))
S/v(p, A)
dt Aft7(p) - t. NXp
L	£
0
+ |)Vtrln(-d? + A(«)) - | TV trln(-d2).
(3.41)
При интегрировании появилась явная зависимость статсуммы от N. Нетрудно заметить, что в пределе N —* оо при фиксированном U, В предположении, что основной вклад в интеграл дают траектории р,Х - 0(1), действие пропорционально N. Таким образом, в пределе Д —» ос континуальный интеграл может быть найден при помощи комплексного метода наибыстрейшего спуска.
В силу инвариантности относительно сдвигов по времени на окружности [О,/3] (окружность возникла вследствие периодических граничных условий) седловая точка {A(t),p(t)} либо вырождена, если г)А(О’Р(^) явно зависят от времени (любое решение может быть сдвину
104
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
то по времени, при этом вновь получится решение), либо единственна, если функции — константы. Можно показать, что реализуется простейшая ситуация, и седловая точка не вырождена.
В таком случае расчеты могут быть выполнены для потенциала общего вида J7(p), но мы рассмотрим только пример (3.29). Тогда интеграл по р гауссов. Минимум квадратичной формы по р достигается при
СЛ'(р) - 1А = 0 p(t) = 6(A(t) - с.2)/д.
После сдвига р интегрирование по р дает детерминант, который равен константе и поэтому может быть включен в нормировочный множитель. После интегрирования получим:
£(/?) = [dA]e-s^A\
(3.42)
где
£
V о
dt(Л(/) — и2)2 4- | N tr ln(—d2 + А(»)) — | N trln(—d2).
(3.43)
Так как мы ищем седловую точку с постоянной функцией А(/), поло
жим
А(/) - г2 -|- p(t)
и произведем разложение до первого порядка по включительно, чтобы получить уравнение седловой точки. Прежде всего,
/з	р
— - dt(r2 4- p(t) — и2)2 = — — (г2 — и2)2 — -(г2 — са2) dtp(t) + О(р2).
%	$	&	ы
о	о
Кроме того (см. равенство (3.52)),
trln(-d2 4- А) = trln(-d2 4- г2 + //) =
= trln(-d2 4- г2) 4- trln (1 4- /z(-d2 4- г2)'1) —
= trln(“d2 4- г2) 4- tr /z(—d2 4- r2)'1 4-	—
= tr ln(—d2 4- r2) 4- d/ju(£)A(O) 4-О(дл2).
В этом выражении мы учли, что p(t) — диагональный оператор и что диагональные матричные элементы А, т.е. обратного оператора для —d2 4- г2 с периодическими граничными условиями, постоянны (см. (2.52)):
tr/i(-d2 4- г2) 1 =
dt du Д(£ — u) =
dt g(t)A(O).
§3.4. О (N)-симметричный потенциал при N
105
Уравнение седловой точки получается путем приравнивания нулю коэффициента при J* g(t)dt в действии:
--(г2 -и2) + Д(0) = — — (г2 -W2) + -—-- -
9	9	2rth(/3r/2)
= 0.
(3.44)
В действие входит детерминант оператора — d2 + г2 с периодическими граничными условиями, который напрямую связан со статсуммой гармонического осциллятора, как видно из равенства (3.39). Таким 1 образом,
5л”(г2) =	- ^2)2 - ЛЛп2Ь(/?),
2д
=	- о;2)2 4- ЛЧп2sh(/3r/2),
(3.45)
где мы выбрали г 0.
Можно проверить, что при дифференцировании по г мы вновь получаем уравнение седловой точки. После деления на §N[3/g уравнение Принимает вид /9	9\
г (от — г ) +
(3.46)
12th(/3r/2)	°’
Используя решение, находим в ведущем порядке при N -+ ос:
lnZ(/3) = -5/v(r2) = ^^(r2 -w2)2 -A4n2sh(;3r/2).	(3.47)
Континуальный интеграл определен лишь с точностью до нормировки.
пределе д = 0, так как г = со + 0(g), вновь получаем статсумму
Гармонического осциллятора и, следовательно, результат правильно нормирован.
При интерпретации (3.30) результат (3.47) представляет собой статсумму в термодинамическом пределе. Деля на объем N и умножая на температуру Т ~ 1//3, получаем плотность свободной энергии (при нашем соглашении о выборе знака):
(г2 — и2)2 — — 1п2sh(/3r/2).
3.4.3. Энергия основного состояния
Энергия основного состояния гамильтониана (3.28) с потенциалом (3.29) получается в пределе, когда температура обращается в нуль: (3 —> ос. В этом пределе г является решением алгебраического уравнения третьего порядка
(3.48)
12
106
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
имеющего единственное решение. В терминах этого решения энергия основного состояния при N —> ос имеет вид
£ ~ -llnzm =(г2 - u2)2 + -Nr, %-оо в 1 > 2д	1	2	’
или, исключая д из Ео и уравнения седловой точки,
Eq = ^-(Зг2 +с^2). or
При д 0 находим: г — щ + д/(24и2) -I- О(^2), отсюда
Ео= |ЛЪ+1Д77Р2 + О(</2), Z	УО
этот результат согласуется с пертурбативным разложением
ЕО(3) = | Nu + ±(N + 2)g/iv2 + О(д2). Z	УО
При д —> ос имеем: г ~ (д/12)1/3, и, следовательно, Е$(д) ведет себя как дх/\ что может быть доказано при конечном ./V:
£0~	(3.49)
О
Этот результат также является пределом Е$ при и — 0. Следовательно, его нельзя получить с помощью вычисления по теории возмущений.
Наконец, вычисление при N —> оо возможно даже в том случае, когда коэффициент при гармоническом члене отрицателен. Заменив и н-> гса, получим:
r3 + w2r_ 1 о, Ео = тг-(3г2 -w2).
12	8г
Например, при д -+ 0, г имеет порядок д, и
1 _ Зи/ д 3 NE°--^ + 4№ +°(9 )•
Данный результат может быть также получен при помощи пертурбативных методов, несколько более сложных, чем те, которые были введены ранее, потому что потенциал минимален на всей сфере.
Раскладывая выражения (3.46), (3.47) при /3 —> эс можно также посчитать разность между энергией основного состояния и энергиями возбужденных состояний.
Замечение. Уравнение седловой точки (3.48) имеет решение вплоть до значения дс параметра д, которое отрицательно:
_	8 /о з
9	9с> 9с —	— v3cj .
Этот результат несколько удивителен, так как при д < 0 потенциал не ограничен снизу. В классической физике, конечно, возможна ситуация,
§ 3.4. О(TV)-симметричный потенциал при N
107
Когда частица находится в относительном минимуме потенциала, однако в квантовой механике соответствующее состояние нестабильно: Оно покинет яму путем туннелирования. Однако можно показать, что скорость распада вследствие прохождения через барьер обращается в нуль в пределе N —> оо, в том виде, в котором он здесь применяется, При отрицательных значениях д, таких, что д > дс.
3.4.4. За рамками ведущего порядка
|1 Последовательные члены разложения по степеням \/N даются по-г следовательными поправками метода наибыстрейшего спуска. Удобно | сделать замену переменных, полагая
A(t)-r2-MG)-	(3.50)
г и раскладывая подынтегральное выражение по степеням //(£), удер-! лсивая в экспоненте квадратичный член. При этом интегрирование j Производится по мнимым значениям pi.
I Первая поправка возникает из гауссова интегрирования. В частно-I сти, вычисление квадратичного по pi члена позволяет убедиться, что ре-j щение уравнений седловой точки соответствует локальному максиму-' му модуля подынтегрального выражения на контуре. При вычислении квадратичного члена возникает потребность в разложении величины (см. равенство (3.52))
*
trln [(-d2 + г2 + /z(»))(-d2 + г2)-1] = dt/z(f) (t\ (-d2 4- r2)-1 |t) -t.
IH*
dtidt2M(ti)g(t2) <*1| (~d2 + r2) 1
t2) <t2| (~d2 + r2) 1
/i)+O(M3)-
Обозначим с помощью S^2\pi) слагаемое, квадратичное no pi, и запишем его в виде
S(2)(/z) = dtjdt2mGOWi - ^)м(^)-и
Тогда
у
где Д(/) — гауссова двуточечная функция (2.52):
’Чтобы определить спектр ядра K(t\ — ^)» можно его диагонализовать С помощью преобразования Фурье. Для простоты рассмотрим только "Основное состояние, поэтому перейдем к пределу /3 —> ос. В этом случае
- f	37V N 1
К(х) - dt е-* K(t) = — + Г24-2- •
J	д 8г 4г2 + х2
108
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
Отсюда видно, что собственные значения К(х) строго положительны при всех значениях х. Так как // — мнимая величина, то квадратичная часть действия положительна, поэтому седловая точка является подходящей. Гауссов интеграл дает (det К)"1/2, эту величину можно вычислить явно.
§ 3*5. Детерминанты операторов
Зачастую приходится вычислять детерминанты операторов, которые могут быть представлены в виде М = 1 + К, иногда после некоторых преобразований. Примером служит детерминант в выражении (3.43) после сдвига (3.50). При условии, что следы всех степеней К существуют, можно использовать следующее тождество, верное для любой матрицы или оператора М:
In det М е tr In М,
(3.51)
раскладывая по степеням ядра К:
In det (1 + К)
(3.52)
Если операторы М и, следовательно, К заданы своими ядрами М(х,у) —	— у) + К(х,у), последовательные следы можно записать
в явном виде:
trKp = d^i - ‘(\.хрК(хх,Х2)К{х2,х^	К(хр>х\).
Замечание. Детерминант конечной матрицы размера п х п вида 1 -|- ЛК представляет собой полином по А порядка п. Разложение (3.52), казалось бы, порождает бесконечный ряд. Поэтому следы степеней матрицы К удовлетворяют соотношениям, которые гарантируют, что все слагаемые степеней, больших п, сокращаются.
Применение. Рассмотрим квантовый гамильтониан Но с дискретным спектром собственных значений Е^ и собственными векторами п) и гамильтониан с возмущением Н = Hq + V. Мы хотим посчитать спектр Н во втором порядке теории возмущений, используя разложение (3.52). Положим
G0(E) = у—р £1Q — Ь и разложим собственное значение Е:
= е!°> +£<'>+ Е'Ъ .
Начнем с соотношений
lndet[(# - Е)(Н0 - E)~l] = tr ln( 1 + Go(E)V) =
n=0
§3.6. Гамильтониан: структура основного состояния
109
Теперь разложим оба выражения по степеням V. В первом порядке
trln(l + Go(E)V) =trG0(E)V =
Приравнивая вычеты в полюсах Е = Еп\ имеем:
~ (П1	*
$0 втором порядке
trln(l +G0(E)V)
= trG0V - | tr(G0V)2 =
Это выражение необходимо приравнять следующему:
Двойные полюса идентичны в обеих сторонах равенства. Вновь необходимо приравнять вычеты в простых полюсах. После подстановки
Воспроизводится классический результат второго порядка теории воз-
мущений:
§ 3.6. Гамильтониан: структура основного состояния
Единственность, или, наоборот, вырожденность основного состояния квантового гамильтониана играет первостепенную роль в структуре теории. В частности, с точки зрения статистической физики, большинство фазовых переходов связано с переходом от ситуации с единственным основным состоянием к ситуации, когда основное состояние вырождено.
В этой главе, так же как и в главе 4, мы рассматриваем только вещественные квантовые гамильтонианы с конечным числом степеней Свободы. В этом случае основное состояние единственно, и фазовые
по
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
переходы невозможны. Здесь мы докажем это свойство для гамильтонианов вида
Н = р2/2т + V(q),
где потенциал предполагается ограниченным на любом конечном интервале (но результат может быть обобщен на случай не слишком сингулярных потенциалов). Более того, мы предполагаем, что основное состояние соответствует изолированной точке в спектре, так что собственные функции квадратично интегрируемы.
Анализ основывается на вариационном принципе: энергия основного состояния Eq удовлетворяет неравенству:
Eq^
(Ф\Н№)
(3.53)
где
(V#) =
ddq^2(q),
<idq
причем равенство выполняется лишь в случае, когда ip(q) — собственная функция основного состояния.
Чтобы доказать единственность, прежде всего, покажем, что собственная функция основного состояния 'ф(д) ни в одной точке не обращается в нуль.
Сначала рассмотрим одномерный случай (d = 1) и предположим, что волновая функция обращается в нуль в точке, которую для удобства будем считать началом координат. Так как потенциал ограничен, локальное решение стационарного уравнения Шредингера дает:
V’(q) = rt'oq + о(<?2).
Теперь рассмотрим волновую функцию
= IV’G?)
Функция <p(q) отвечает той же энергии Eq, так как в (3.53) и числитель, и знаменатель не меняются. Вблизи начала координат <p(q) ведет себя как IV’oIkl- Модифицируем функцию <p(q) локально вблизи начала координат при |д| С q 1, заменив |д| на Де2 + </2,0 < e q. Вариации числителя и знаменателя при такой замене имеют вид:

dg (g2 + Е2 - q2) = О(г2),
-п
иш /<
"i
= 2??V(0)s2 +
-п
] ( q2
( <Н „2 , -2
Упражнения к. главе 3
111
,Вариация числителя отрицательна и имеет порядок е, в то время как вариация знаменателя имеет лишь порядок е2. Поэтому отношение (3.53) уменьшилось, что противоречит предположению о том, что волновая функция основного состояния.
Отсюда можно сделать вывод, что собственная функция основного Состояния может быть выбрана строго положительной.
Если основное состояния вырождено, то, следовательно, существу-' ют две положительные собственные функции, которую могут быть вы-• браны ортогональными, т.к. гамильтониан Н эрмитов. Однако скалярное произведение двух положительных функций строго положительно, ! Поэтому получается противоречие.
5 Отсюда мы заключаем, что основное состояние единственно.
f Доказательство может быть обобщено на случай потенциалов, менее сингулярных, чем 1/q2.
Его также можно обобщить на любое конечное число простран-.. ственных измерений. Если ^(д) обращается в нуль в начале координат, ее можно разложить следующим образом:
4	. 
V’(q) = Q- VV’(O) + o(q2).
Для проведения доказательства необходимо рассмотреть компоненту вектора q вдоль вектора V^(0).
Упражнения
Замечание. Во всех вычислениях необходимо использовать формализм континуального интегрирования. Принять т = h = 1.
Упражнение 3.1
Рассмотрим гамильтониан
Где р, q — операторы импульса и координаты:
[я,р\= г.
Записать статсумму в виде континуального интеграла. При N — 6, 8 Получить поправки порядка Л к энергии основного состояния, а затем Ко всем уровням энергии, используя теорему Вика, обобщая метод Раздела 3.
Решение. При N = 6 и N — 8 собственные значения энергии есть, Соответственно,
Ek = n + |+|A(fc + |) (к2 + к+
Ек = fc+l+^A(fc4 + 2fc3 + 5fc2 + 4fc + jh.
у	2 о \	2 /
112
Гл. 3. Статистическая сумма и спектр
Упражнение 3,2
Рассмотрим гамильтониан
н= |(Р1+Й) + 1(91 + 9г) + 1.9(92 +^)2-
Выразить статсумму в виде континуального интеграла и получить поправки порядка д к энергии основного состояния Eq при помощи теоремы Вика.
Решение,
Eq = 1 + д/2 + О(.д2).
Упражнение 3.3
Обобщить вычисления предыдущего упражнения на случай гамильтониана	1	,	,
ТТ _ 1 -2 , 1 -2 I 1 п/-2\2
Е ~ 2 Р + 2 q +	’
где q и р — N-компонентные векторы (предыдущее упражнение соответствует случаю N = 2).
В качестве подготовки посчитать, используя теорему Вика, среднее значение

9
-q2/2
где q — N-компонентный вектор.
Посчитать энергию основного состояния Eq в первом порядке по д. Решение.
I(N) = N(N + 2),
ЗД) = ^ + ^W + 2)ff + O(52). £	1 V
Упражнение 3.4
Посчитать энергию основного состояния гамильтониана
Н =	+ \q2 + А793 + | А2(Д
где 7 — произвольная константа, до порядка Л2 включительно.
Решение.	<	<
Eq = 1 +1(3 - 1 172)А2 + О(А4). Z о
Упражнение 3,5
Посчитать собственные значения энергии Е^ гамильтониана (заметьте разницу в нормировке Л по сравнению с Разделом 3.1)
1^ + 1 9й + Ад4
до порядка Л2 включительно, обобщая метод Раздела 3.1.
Упражнения к главе 3
113
Решение. Полагая и = к + находим:
гр . 3 / 2 I \	1 Zi-7 2 , 67\ х2 I
=	+	— -I/ ( \7и + — ) Л 4- О (А ).
Упражнение 3.6
Обобщить вычисление до порядка А2 включительно на случай потенциала	.
V(q) = 9 Q2 + Aviq4 + А2^2<76 + О (g8),
где v\,V2 — две произвольные константы. Обратить зависимость между V и Е.
Решение. Получается разложение, которое может быть проще записано в виде:
Упражнение 3.7
Применить вариационный метод Раздела 3.3 к гамильтониану (3.28)
С потенциалом (3.29) при си = 0, т.е.
где q и р — Лг-компонентные векторы. Получить оценку энергии основного состояния и сравнить ее с результатом (3.49) при ос.
Решение. Выбираем О(7У)-симметричный гауссов анзац, где
<$o(q) =«
0
dt lq2(t) + w2q2(t)] ,
к.
о
aw — вариационный параметр. Тогда
0
dt /(q2(t))2\ = /3N(N + 2)Д2(О).
J
о
В пределе большого (3 находим:
var.
Nu (N+ 2)д 4 + 96w2 ’
ц после минимизации
3W ('g(N + 2)\ 1/3
van
Глава 4
КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Основная цель данной главы — дать простую физическую интерпретацию формального непрерывного предела, приведшего от интеграла по координатам, соответствующим дискретным моментам времени, к континуальному интегралу. Мы покажем, что интеграл, соответствующий дискретным временам, может рассматриваться как статсумма классической статистической системы в одном пространственном измерении. Тогда непрерывный предел соответствует случаю, когда корреляционная длина, характеризующая спад корреляций на больших расстояниях, стремится к бесконечности. Этот предел обладает некоторыми свойствами универсальности в том смысле, что, как мы уже отмечали, различные дискретизованные представления приводят к одному и тому же континуальному интегралу.
С точки зрения статистической физики корреляционные функции, введенные в Разделе 2.5, оказываются непрерывными пределами корреляционных функций классических статистических моделей на одномерной решетке.
Таким образом, континуальный интеграл позволяет выявить математическую связь между классической статистической физикой на прямой и квантовой статистической физикой точечной частицы при термодинамическом равновесии. Это первый пример более общих взаимосвязей между квантовой статистической физикой в D измерениях и классической статистической физикой в D + 1 измерениях.
Заметим, что это соотношение между квантовой и классической статистической физикой отличается от классического предела квантовой статсуммы, который мы изучали в Разделе 2.10, когда точечная квантовая частица переходит в пределе в точечную классическую частицу. В действительности, квазиклассический или высокотемпературный предел в данном контексте проявляется в виде своего рода размерной редукции.
Конкретный вид дискретизованного континуального интеграла, который мы используем в этой главе, соответствует классической статистической модели с взаимодействием между ближайшими соседями. Для изучения таких моделей полезно ввести матрицу переноса — прямой аналог статистического оператора (2.17) для коротких временных интервалов. Выражения для корреляционных функций в терминах матрицы переноса можно затем использовать для изучения различных
§4.1. Классическая статистическая сумма. Матрица переноса. 115
других вопросов, таких как термодинамический предел и поведение на больших расстояниях. Особенный интерес представляет двуточечная пункция, которую мы обсудим более подробно.
Отметим, что в этой главе потенциал не зависит от времени.
§4.1. Классическая статистическая сумма. Матрица переноса.
Рассмотрим одномерную решетку из точек с целочисленными координатами. Каждой точке решетки k е Z ставится в соответствие стохастическая переменная (т.е. отклонение частицы от ее положе-4ия равновесия в кристалле). Для упрощения обозначений и многих зыражений ограничим рассмотрение одной переменной qk для каждого 'зла.
Прежде всего, определим модель на конечной решетке 0 к < п. Кроме того, во всей главе мы будем для удобства считать, что выполнены периодические граничные условия. Таким образом, решетка расположена на окружности, и мы отождествляем qn = qo.
Набору значений переменных qk мы сопоставляем Больцмановский вес е~5 — экспоненту, в показателе которой стоит энергия вида
S(qte)
S(q,q')
п
=	, S(,Qk* Qk— 1 )i
k=i
(4.1)
(4.2)
/Такая энергия определяет классическую статистическую модель с взаимодействием между ближайшими соседями, как модель Изинга в Простейшем варианте. Контрольный параметр г здесь играет роль, аналогичную температуре (в некоторых особых случаях он напрямую рвязан с температурой, см. Раздел 4.3).
|* Заметим теперь, что при в 0 действие 5(д,е) идентично до порядка е включительно действию (2.18) (при t' = t + s) в случае d = 1,
£ Кроме того, мы нормируем меру интегрирования следующим образом: d/i = dg/\/27ri.
[ Тогда статсумма классической модели имеет вид:
ь*
тт ддк
к=1
(4.3)
l случае периодических граничных условий (go = Qn) классическую татсумму Z(n, г) можно рассматривать как дискретное приближение,
116
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
эквивалентное следу правой части равенства (2.19), к квантовой стат-сумме (2.23)	отвечающей квантовому гамильтониану
Н = |р2 + V(o),
при h = 1.
В равенстве (4.2) слагаемые имеют следующую классическую интерпретацию:
Потенциальный член определяет распределение переменных qk в каждом узле. Для того чтобы распределение было нормируемым, интеграл J* dq e~sV^ должен сходиться для всех е > 0. Это означает, в частности, что V(q) —> +оо при |д| —> оо и, следовательно, гамильтониан Н обладает дискретным спектром.
Кинетический член описывает притяжение (обеспечивает стремление к тому, чтобы все qk оказались равными) между ближайшими соседями на решетке. Уменьшение параметра £ усиливает взаимодействие.
Обозначение. В дальнейшем удобно ввести обычные бра-кет обозначения квантовой механики и полный базис, в котором квантовый оператор координаты q диагоналей (равенства (2.4),(2.5)):
q\q) = q\q) .
dq\q) {q\ = 1 •
(4.4)
Заметим, что в дальнейшем обозначение (•) будет обозначать среднее значение • по статистическому весу /Z, в то время как (g" |U| означает матричный элемент квантового оператора U в координатном базисе.
Матрица переноса. Ядро
T{q,q') = {q'\ т(е) \q) =
— exp[-S(g,g')] V27Tc
(4.5)
определяет через матричные элементы в координатном базисе вещественный симметричный оператор Т, который называется матрицей переноса статистической модели. Более того, из предположения о существовании интеграла J dq следует, что она обладает дискретным спектром. В терминах квантовых операторов координаты и импульса q и р (равенство (2.10)) матрица переноса имеет вид:
Т(г) = e"£V(^2	e~cV(^/2
(4-6)
Из этого представления ясно, что Т — положительный оператор.
£ 4.2. Корреляционные функции
117
Используя определение (4.5), легко выразить статсумму статистической модели через матрицу переноса:
р п-1
= П d<?fc ^°l Т(£) I*71) ЫТ(е) Ы •” (Qn-i|T(e) |g0) =
J fc=0
= trTn(e)	(4.7)
И, следовательно, вводя собственные значения (дискретные, вещественные, положительные) tfc(e) матрицы переноса £о > 1^11 имеем:
А:=0
Термодинамический предел. Термодинамический предел — предел, В котором объем стремится к бесконечности, т.е. в данном случае П —* ос. В этом пределе основной вклад в статсумму дает наибольшее Собственное значение матрицы переноса (которое, как можно показать, невырождено):
lnZ(n,s) ~ nlnWe).
п—► оо
В частности, можно убедиться, что свободная энергия W = InZ (мы опускаем температурный множитель, не имеющий значения в данном контексте) — аддитивная величина, пропорциональная объему п. Плотность свободной энергии дается соотношением:
W(n, е) = — lnZ(n, е) ~ Into(e).
п	п
§ 4.2. Корреляционные функции
Корреляционные функции переменных q& — это моменты распределения. m-точечная корреляционная функция определяется следующим Образом:
4.2.1. Корреляционные функции и матрица переноса
(4.9)
г»?
В специальном случае взаимодействия между ближайшими соседями, который имеет место в случае энергии вида (4.1), корреляционные функции можно выразить через матрицу переноса.
<f Одноточечная функция
гт (1М г qi м
Qk ехр e)j
“ v2tc I
118
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
есть среднее значение qk. Интеграл можно записать в виде:
Вводя матрицу переноса (4.5) и считая все интегралы, кроме интеграла ПО qk (qo = Яп), получим:
Z^(k) = Z~'(n,e)
d<7k qk (<Zk|T”(£) \qk).
Вводя оператор координаты q и используя свойство (равенство (4.4)) Q\Qk) = Qk \Qk), можно записать одноточечную функцию в виде:
z^(k) = Z~l(n,e) dqk (%| T’l(c)q \qk} = tr (qT”(e))/trT”(e).
Тот же метод можно применить к двуточечной корреляционной функции — среднему значению произведения переменных q в двух точках kJ решетки:
Z^ (k, I) = (qk qi) = z 1 (п, е)
qkqi exp [-<$(</,£)' .
Считая, что к Z, разложим интервал (1,п) на (1, fc), (к + 1, Z), (/ + 4- 1,п) и проинтегрируем по всем переменным, кроме qk и qi, тогда получим:
zW(k,l) = Z~l(n,e)
dqkdqiqkqi(qk\Tl к(г) \qi) (ft|T”+fc г(е) \qk) 
Используя
q \qk) = Qk \Qk), Q \qi) = Qi \qi),
можно выполнить два последних интегрирования и получить:
Z&(к,1) = tr (gT'-fc(£)QTn+fc-'(e)) /trTn(e).
Заметим, что, хотя функция Z^'(k, I) симметрична относительно заме-ны к /, это не видно из ее явного выражения в терминах матрицы переноса.
В более общем случае тот же метод приводит к представлению для m-точечной функции, которая в секторе 0	$2 .С и- может
быть записана в виде:
(q^qi? = tr [Т” ,™+ligTt'n lm-'g...T2 ’'o|/trTn. (4.10)
£ 4.2. Корреляционные функции
119
4.2.2. Термодинамический предел и поведение на больших расстояниях
Обозначим при помощи |0), |1),  •• собственные векторы Т, отвечающие собственным значениям t$> t\ > •••.
В термодинамическом пределе п —> ос основной вклад в Т дают Наибольшие собственные значения:
' Tn(s) - tg (е) [|0) <0| + 11> (1| (ti (e)/i0(e))" + О ((<2(е)/<о(е))п) 77, ОС
В пределе п —> ос одноточечная функция равна
г,	lira z^(k) = {qk) = (0|g|0>.
п—*ос
В более общем случае m-точечная функция в секторе 0	С
X im С п имеет предел
f Двуточечная функция на больших расстояниях. Двуточечная функция в термодинамическом пределе принимает вид:
z<2)(fcj) =	(O|5T|fc-'!5|O).
Когда разделение \к —1\ увеличивается, основной вклад в двуточечную функцию дают первые члены разложения величины
п
Я(2)(М = «0| q |0))2 +	((01511))2 + 0 ((«2(^)/io(e))|fc-z|) .
Ведущий вклад — константа — квадрат среднего значения (qk) — ж (0|д|0). Введем теперь связную двуточечную функцию (см. Раздел 1.4.2):
W(2)(M) = Z^k'l) - Z^\k)Z^(l) = ((% - (%)) (Ql - (ft))). (4.12)
Ведущий член сокращается, и ! '
Ч.'
W^(k,l)	-
|fc —1\ —>0О
(гУ) «0|«11)Л
(Если (0|g|l) = 0, необходимо рассматривать следующий член в разложении при больших к — 1.) Следовательно, связная двуточечная функ-Кйя убывает экспоненциально при \1 — к\ —> ос, как
W^(k,l) ос
мы ввели корреляционную длину:
1
ln[t0(s)/ti (г)] ’
(4.13)
120
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
Это первый пример, иллюстрирующий более общее свойство. Связные корреляционные функции обладают кластерным свойством: они стремятся к нулю, когда расстояние между двумя непустыми взаимно-дополнительными наборами точек устремляется к бесконечности.
Замечание. Соотношение (4.12) показывает, что связная двуточечная функция идентична двуточечной функции сдвинутой переменной q'k, полученной из требования равенства нулю среднего значения:
Чк = Чк - (Чк) => (0|^|0) = {q'k) = 0.
У среднего значения (д&), вообще говоря, нет физического смысла, так как оно соответствует лишь выбору координаты. Однако в некоторых случаях точка q = 0 является выделенной, как, например, в случае системы, инвариантной относительно отражения q i—► — q. Тогда ненулевое среднее значение имеет смысл спонтанного нарушения симметрии. Проанализировав предыдущие аргументы, можно убедиться, что отсюда следует, что вектор |0) неинвариантен относительно той же симметрии. Следовательно, вектор, симметричный вектору |0), является собственным вектором с тем же собственным значением, и поэтому собственное значение t0 вырождено. Обобщая результат, полученный в Разделе 3.6, можно доказать, что такая ситуация невозможна в квантовых системах с конечным числом степеней свободы.
§ 4.3. Классическая модель при низкой температуре: пример
Мы показали, что дискретное приближение к континуальному интегралу имеет естественную интерпретацию в терминах классической статистической системы на одномерной решетке. Проиллюстрируем теперь эту идею на простом примере. Рассмотрим статсумму
2п (Т) =
U dp(gfc) I ехр [-E(qi.......qn)/T],	(4.14)
к=1 J
где qi характеризует конфигурацию в точке i одномерной решетки (например, отклонение частицы от положения равновесия), п — размер решетки, Т — температура, dp(q) — распределение переменной д, а E(qi) — энергия, которую мы выбираем в следующем специальном виде (взаимодействие с ближайшим соседом):
(4.15)
(J характеризует силу взаимодействия). Кроме того, мы для удобства накладываем периодические граничные условия: qn = go-
§4.3. Классическая модель при низкой температуре: пример
121
Положим
dp(q) = е dq .
Простейший пример отвечает функции v(q) с единственным минимумом в точке q = 0, в которой она регулярна:
v(g) = I v2q2 + О (g3) .
Можно интерпретировать этот член как эффективное представление Силы, возвращающей частицу к положению равновесия и имеющей • пренебрежимо малую зависимость от температуры.
При Т —> 0 ведущая конфигурация получается минимизацией энергии (4.14) и соответствует равным q^ Следовательно, при п —> оо только конфигурации, близкие к наиболее вероятной конфигурации qi = О, дают вклад в статсумму. В этом пределе после замены переменных qi	статсумма дается соотношением:
Zn{T) ос
п
JJdQfc exp [-5(g)], fc=i
(4.16)
где
<S(q) = | £ \J	- qi-i )2/VT + v2 Vfql] .	(4.17)
i=l L
Сравнивая с выражением (2.39) при h = и — 1, получаем, что при
г^о	а
Zn(T) ос tre~nsH ,
где Н — гамильтониан гармонического осциллятора: # =	+	(4.18)
2т 2
е =	+ О(Т3/2), т = ,/v^j + О(Т).
Непрерывный предел, приводящий к континуальному интегралу, соответствует г ос уТ —> 0, т.е. низкотемпературному пределу.
Поведение двуточечной функции на больших расстояниях связано С разностью первых двух собственных чисел Н. Определяя корреляционную длину £ соотношением
(<Мо) ,ос е кК,
Мз равенства (4.13) получим в пределе Т —> 0:
е ~ i/е =	.
_ 4
/Итак, континуальный интеграл получается в пределе, когда корре-ЖВЯционная длина стремится к бесконечности — это свойство будет мбсуждаться в более общем случае в Разделе 4.4.1.
122
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
§ 4.4. Непрерывный предел и континуальный интеграл
Рассмотрим теперь в общем виде поведение статсуммы (4.3) и корреляционных функций (4.9) в пределе, когда е стремится к нулю. В Разделе 2.3 е было шагом по времени. В пределе г —> О интегралы по переменным, ассоциированным с дискретными шагами по времени, формально давали континуальные интегралы. Мы покажем, что существование непрерывного предела основано на расходимости корреляционной длины в соответствующей классической статистической модели.
4.4.1. Непрерывный предел
Из представления (4.6) следует, что
InT(s) ~ -бЯ, £—>0
такое поведение согласуется с тем, что обсуждалось в Разделе 2.2, откуда
*0
Эти соотношения переходят в соотношение между собственными значениями матрицы переноса и собственными значениями Ек гамильтониана Н (обладающего дискретным спектром, основное состояние которого не вырождено, см. Раздел 3.6):
1п4(г) -гЕк.
Поэтому в пределе г —> 0 разность между собственными значениями матрицы переноса обращается в нуль.
Расходимость корреляционной длины. В пределе е —► 0 корреляционная длина (4.13) принимает вид:
£(F1 — Eq)
Таким образом, предел г —► 0, который приводит к континуальному интегралу с непрерывным временем, в статистической трактовке соответствует предельному случаю, когда корреляционная длина стремится к бесконечности. В этом пределе масштаб длины, большой по сравнению с микроскопическим масштабом, генерируется динамически.
Статсумма в непрерывном пределе. Классическую статсумму (4.7)
Z(n,s) = trTn(s),
можно рассматривать как дискретное приближение к квантовой стат-сумме £(/?) =	которая задается представлением в виде конти-
нуального интеграла (2.23). Из обсуждения Раздела 2.3.1 следует, что
§4.4. Непрерывный предел и континуальный интеграл
123
Квантовая статсумма получается в двойном пределе п —► оо, г —► О при фиксированном пв — В\
liin Z(n,e) = Z(/3) = tre . п—юо 4	7	4	7
€ *0
Хотя объем п стремится к бесконечности, это не является термодинамическим пределом, так как последний соответствует пределу п —* ос При фиксированном г. В рамках классической статистической модели МЫ можем дать физическую интерпретацию данному пределу, называемому непрерывным пределом, потому что решетка исчезла. Так как
7 = 0(ЕХ - Eq),
S
двойной предел п —> ос, в —> 0 при фиксированном fl — пв суть предел, Йри котором размер системы п стремится к бесконечности, но отношение размера и корреляционной длины остается фиксированным; (3 |йожно рассматривать как размер системы, измеренный в масштабе корреляционной длины. Термодинамический предел классической системы получается при fl ~~* ос, т.е. в пределе нулевой температуры квантовой системы. В этом пределе
lnZ(Z?) ~ -0ЕО.
вободная энергия классической системы W = lnZ(/3) — аддитивная зеличина: она растет пропорционально ’объему*, когда объем стремится к бесконечности, и пропорциональна энергии основного состояния квантовой системы.
' В классической модели зависимость от В называется эффектом ^Онечного размера.
> Непрерывный предел и универсальность. Существование непрерывного предела основано на обращении в бесконечность корреляционной длины £ и появлении нетривиальной физики на больших Iдостояниях, не зависящей от исходной решеточной структуры и от влыпинства деталей микроскопической модели (в частности, как показало обсуждение Раздела 2.2, можно рассматривать более общий Лучай выражения (4.2)). Такая независимость непрерывных свойств 1а больших расстояниях от исходной детализованной структуры мик-оскопической модели называется универсальностью.
Явление, которое мы здесь наблюдаем, обладает и более глубо-им смыслом: в общем случае в статистической модели существует нетривиальный непрерывный предел только тогда, когда корреляционная длина обращается в бесконечность. Такая расходимость возникает дкже в случае непрерывного фазового перехода — фазового перехода Второго рода. Это явление объясняет, почему непрерывные фазовые [ереходы (при которых корреляционная длина обращается в бесконеч-ость) можно описать при помощи статистических (евклидовых) по-евых теорий. В случае одного пространственного измерения фазовые
124 Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
переходы невозможны, и корреляционная длина может обратиться в бесконечность только в пределе нулевой температуры, что объясняет роль предела е —► 0.
4.4.2. Корреляционные функции и непрерывный предел
Мы показали, что m-точечную функцию в секторе 0 г% • • • гт п можно записать в виде (равенство (4.10))
Введем переменные
и траекторию q(t\ такую, что q(ke) — qk (см. Раздел 2.3.1) и, следовательно, q(tkj ~ qZk. Непрерывный предел теперь суть предел г —> 0 при фиксированных (3 и tk'. расстояния фиксированы в масштабе корреляционной длины, а не в масштабе шага решетки, являющемся микроскопическим масштабом. В этом пределе матрицу переноса можно выразить через квантовый гамильтониан:
(«(йШ-ЛО/) =
(4.19)
Одновременно многократные интегралы сходятся к континуальным:
(g(ii)?(i2) ...q(tm))g = Z-1(/3) [dg]g(ti)... q(tm) .	(4.20)
В непрерывном пределе корреляционные функции статистической модели сходятся к корреляционным функциям, определенным с помощью континуального интеграла. В этом пределе корреляционные функции также демонстрируют свойство универсальности: они могут быть выражены в терминах континуального интеграла, без всякого упоминания об исходной решетке.
Термодинамический предел. Термодинамический предел классической одномерной модели теперь соответствует /3 —► оо, т.е. пределу нулевой температуры квантовой статистической нульмерной модели (одна точечная частица). В этом пределе корреляционные функции принимают вид:
(9(ti)9(t2) • • • q(tm)) = (01 q	~ e-(t2-t,)(H-E0) ~|0>,
(4.21) где |0) — основное состояние гамильтониана.
Пределом является среднее значение по основному состоянию произведения операторов, которое в контексте многочастичной теории (см. Главы 6 и 7) или квантовой теории поля называется также вакуумным средним значением.
Квантовые и классические статистические модели. Мы показали, как квантовая статистическая модель с одной частицей полу
§ 4.4. Непрерывный предел и континуальный интеграл
125
чается в непрерывном пределе одномерной классической статистической модели. Это соотношение имеет обобщение в случае большего количества пространственных измерений (D измерений для квантовой модели, D + 1 измерений для классической модели), причем квантовый характер отражается классически в наличии дополнительного измерения размера обратной температуры /3, с периодическими граничными условиями.
Отметим, однако, что аналогия между квантовыми и классическими моделями является неполной, в том смысле что только одновременные корреляционные функции можно напрямую интерпретировать в квантовой теории, как термодинамические средние значения степеней оператора координаты.
Напротив, в высших измерениях можно найти классические одновременные корреляционные функции, имеющие квантовые аналоги.
Наконец, после аналитического продолжения к вещественному времени t it (но не /3!) классические корреляционные функции превращаются в зависящие от времени термодинамические квантовые корреляционные функции.
Замечания.
(i) Существуют и другие стохастические процессы, которые приводят к континуальным интегралам, причем соответствующие корреляционные функции являются физически наблюдаемыми. Например, простейшее случайное блуждание соответствует свободному квантовому гамильтониану. Решение уравнения Фоккера-Планка (Раздел 5.5), описывающего стохастические процессы более общего вида, может быть записано в виде континуального интеграла.
(ii) Если евклидово действие не вещественно (как в случае гамильтониана в магнитном поле, см. Раздел 5.1), для средних значений Вида (4.20) уже нет простой статистической интерпретации. По причинам, связанным с исследованием квантовой эволюции в вещественном Времени, они являются, тем не менее, полезными величинами, и для удобства мы будем по-прежнему называть их корреляционными функциями.
Производящий функционал. Теория возмущений. В Разделе 2.8 было показано, как вычислять континуальный интеграл по теории Возмущений с помощью гауссова континуального интеграла (2.47) для Всех гамильтонианов вида р2/2т + V(q). Эта аргументация мгновенно обобщается на соответствующие корреляционные функции. Более того, добавляя к потенциалу слагаемое, соответствующее произвольной Внешней силе, получим производящий функционал корреляционных .функций (см. Раздел 2.5). Определяя
3(5) — [dg(f)]exp — 5(g) + dtq(T)b(t)
(4.22)
126
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
можно убедиться, что
{q(t^...q(tn)) = Z~\b = ^	.
\ob\t\) ob{tn) J b=0
Это представление можно скомбинировать с разложением по теории возмущений.
Наконец, функционал W(b) = In 3(b) является производящим функционалом связных корреляционных функций (см. Раздел 1.4.2).
Квантовое уравнение движения. Из представления (4.22) можно получить соотношения между корреляционными функциями, воспользовавшись тем свойством, что интеграл по всему пространству от полной производной равен нулю:
-5(g) + dtq(t)b(t) — О,
или в явном виде
—5(g) + dt q(t)b(t) = 0.
Заметим теперь, что q(t) внутри интеграла можно заменить функциональным дифференцированием по Ъ(Г), которое можно вынести за знак интеграла, при этом получается уравнение
exp
dq(t)\
55(g) г exp
5S(6/5b(t)y
dg(t)]exp -5(g) + dtq(t)b(t) — 0.
5q(r
В оставшемся интеграле легко узнать производящий функционал -3(b). Таким образом, уравнение можно переписать в виде
6S(6/5b(t))'
Z(b) =0.
(4.23)
Это функциональное уравнение, которому удовлетворяет 3(b), в квантовой теории поля называется уравнением Швингера-Дайсона, и его решением является исходный континуальный интеграл. Если разложить это функциональное уравнение по степеням Ь, получится бесконечный набор уравнений, связывающих различные корреляционные функции.
§4.5. Двуточечная функция: пертурбативное разложение, спектральное представление
Двуточечная корреляционная функция играет важную роль в квантовой теории поля и статистической физике. В рамках простой квантовой модели мы сначала вычислим ее по теории возмущений до первого порядка вне гауссова приближения — это вычисление иллюстрирует некоторые аспекты того анализа, который был проведен в предыдущих
£ 4.5. Двуточечная функция
разделах. Затем мы установим существование и свойства ее спектрального представления.
4.5.1. Вычисление по теории возмущений
Посчитаем теперь двуточечную функцию (q(t)q(u))x, отвечающую действию
/3/2 »
5(g) = dt
—/3/2
|«2(t) +^«2(i) +^Ag4(t)
(4.24)
В порядке Лив пределе (3 —► ос. Предполагается выполнение периодических граничных условий.
Алгебраические манипуляции те же, что и в Разделе 1.4.1. Разложение до порядка Л можно записать в следующем виде:
Z(2)(t,u) = (g(t)g(u))A =
адо)
ад, А)
/3/2 л
A(t-«) - ЛА
МЛ
-/3/2
d3-(g(t)g(u)g4(r))0
+ О(А2),
где статсумма Z(/3, Л) посчитана в этом порядке в Разделе 3.1, а Д(£) приведена в (2.52).
Применение теоремы Вика дает:
(д(г)(?(и)д4(т))0 = ЗД(£ - и)Д2(0) + 12Д(£ - т)Д(и — т)Д(О).
В первом вкладе мы узнаем произведение гауссовой двуточечной функции на поправку к статсумме. Этот член сокращается в отношении
Z^(t,u) = 1-1Л/?Д2(0)
/3/2
х Д(/-«)(1-|л5Д2(0))-1аД(0)
fl, следовательно, остаются только два
1 Рис. 1.3:
— т)Д(и — г)
-0/2
вклада, изображенные на

/3/2
{
атД(^-т)Д(т-и) + О(Л2).
-0/2
':В пределе /3 —► ос находим, в частности:
(4.25)
128
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
Было показано (см. обсуждение в Разделе 4.2), что при \t — и
|£ — и{—>оо
Собственные значения энергии были посчитаны в Разделе 3.1. Разность между двумя наинизшими собственными значениями есть
Ei -Ео = 1 + |Л + О(Л2). О
Следовательно, можно отождествить член, пропорциональный \t ~ —	с вкладом в разложение экспоненты
e-(I+A/8)|t-u| =	_ и|/8) + 0(Л2^
Таким образом, двуточечная функция может быть записана в этом порядке в следующем виде:
Z(2\t,u) = 1(1 - 1 A)e-(Si-£«)|t-«| +О(Д2). 2 о
Можно проверить, в частности, что это выражение удовлетворяет до порядка Л соотношению (4.28) (h = т — 1)
lim ±Z<2\t, Q) = - 1(1 — 1Л)(7?, - Eh) = ~ 1 +О(А2) • t—>о+ (It	Z о	Z
4.5.2. Спектральное представление
В пределе нулевой температуры (3 —► оо (или термодинамическом пределе классической модели) двуточечная корреляционная функция обладает представлением (4.21) (Eq sq):
Z(2)(f) = (q(O)q(t)) = (0\q e-WH-e0) .
Будем считать, что гамильтониан Н эрмитов, ограничен снизу и для упрощения обозначений будем также предполагать, что он обладает дискретным спектром. В базисе, в котором Н диагоналей, двуточечная функция может быть записана в виде
z^(t) =	1(0lol ™>|2	(4.26)
п^>0
где величины |п) и — собственные функции и собственные значения Н, соответственно. Из эрмитовости Н следует, что его собственные значения вещественны, и коэффициенты перед экспонентами в правой части положительны. Тогда для Фурье-образа двуточечной функции
§ 4.5. Двуточечная функция
129
имеет место представление
= 2тг I (0\q\ 0)|2	+ 2 V	.
(4.27)
Отсюда следуют два свойства Фурье-образа двуточечной функции: за Исключением возможности появления обобщенной функции при щ = О, он является аналитической функцией переменной щ , причем все полюса расположены на вещественной отрицателной полуоси. Более того, вычеты во всех полюсах положительны. Как следствие,	не
может убывать быстрее, чем 1/и2 при си2 —> ос.
Можно доказать даже более точное утверждение. Посчитаем предел При t 0+ производной
^(2)W = 2^/3) trle~9.
При конечном /3. Тогда получим:
,li™ Tt2™^ = 777i	- «Ж-
t—*0+ Qt
Используя своство цикличности следа, имеем:
2tr{e-^(Hg2 - qHq)} = 1г{е~0н(Н^ + q*H- 2qHq)} = = tr{e_ [q[g, //]]}.
Для любого гамильтониана, квадратичного по оператору импульса, вида Н = 2mР2 + О(р), коммутатор может быть найден явно:
[q[q,H]\ = —— => lini ~Z(2\f) =.	(4.28)
L L J m t^04- df v ' 2m
Используя этот результат в пределе /3 —► ос в выражении (4.26), нахо-
дим:
h2
2т
= 52	(£п - £о).

Отсюда можно сделать вывод, что
/(2)^) ~ — w—ос тса
Этот результат не очень удивителен, так как поведение при щ > ос * связано с эволюцией на коротких временных интервалах, а мы видели, , что наиболее сингулярный вклад в матричные элементы статистиче-£ екого оператора определяется кинетическим членом в гамильтониане, i, : Наконец, когда спектр Н имеет непрерывную часть, сумма в (4.27) ийаменяется на интеграл, при этом вместо полюсов возникает разрез с Положительной величиной разрыва, а остальные выводы остаются без
130
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
изменения. Релятивистское обобщение представления (4.27) называется представлением Челлена-Лемана.
Регулярность траекторий, дающих вклад в континуальные интегралы, Из предыдущего вычисления следует, что

= -2 (q(t + т) -g(t))) ~
m
т—>0
— это обобщение результата (2.59) (здесь t имеет размерность обратной энергии, а не времени). Этот результат подтверждает, что свойства регулярности путей, дающих вклад в континуальный интеграл, такие же, как в броуновском движении, и не зависят от потенциала.
§ 4.6. Операторный формализм. Упорядоченные по времени произведения
Используя определение континуального интеграла как предела интеграла с дискретными временными интервалами, мы уже показали, что для корреляционных функций в непрерывном пределе справедливо представление в виде континуального интеграла (выражение (4.20)). В то же время, они могут быть выражены в терминах квантовых операторов (выражение (4.19)). Убедимся теперь, что этот результат может быть выведен напрямую в непрерывном случае.
Упорядочим п моментов времени ... следующим образом:
0 t\ ^2
(4.29)
Разобьем интервал (0,/?) на п + 1 подынтервалов: (0,fi), (^>£2), (tn,(3). Полное действие есть сумма соответствующих вкладов:
-mq2 + V(,q) dt,
где to - 0,	= в.
(4.30)
Перепишем интеграл (4.20) с помощью тождества
Континуальный интеграл факторизуется в произведение континуальных интегралов, соответствующих различным временным подынтервалам. Возвращаясь к самому определению континуального интеграла (равенства (2.21),(2.22)), заметим, что числитель выражения (4.20) с
§4.6. Операторный формализм
131
•порядочением (4.29) есть в точности (принимая во внимание упорядочение (2.1))
{q(ti)... q{tn)}0 =
согласии с равенствами (4.19),(4.20).
Вводя гейзенберговское представление оператора q (после аналитического продолжения it t)
Q(t} = etH q e tH
(4.31)
(когда t вещественно, Q(i) не обязано существовать — в этом случае Определение несколько формально), можно переписать корреляционную функцию в виде
Ш)... q(tny)0 = Z~\0) tr [е-ен Q(tn)... Q(tx)] .	(4.32)
Упорядоченные no времени произведения. Несмотря на то что корреляционные функции симметричны, чтобы выразить их через операторы в этом формализме, необходимо выбрать упорядочение моментов Времени. Удобный формализм, основанный на введении упорядоченного Йо времени произведения операторов, позволяет восстановить симметрию между моментами времени.
Введем оператор Т, упорядочивающий моменты времени в произведениях операторов: операторам А\(fj), ..., A/(i/), рассматриваемым как функции времени, он ставит в соответствие упорядоченное по времени Произведение (Т-произведение) этих операторов. Например, при I = 2
Т [Ai(fi)A2^2)] =	— ^2) + A2(t2)A\(t[)6(t2 - t[).
Вне зависимости от порядка моментов времени	выражение
(4.32) может быть переписано в виде
(g(ti)... q(tnY) = Z~l (/3) tr {е~вн T [Q(ti)Q(t2)  •  Q(*n)]}  (4.33) В частности, если H обладает единственным и изолированным основным состоянием |0), в пределе (3 —> оо для корреляционных функций справедливо представление (4.21), которое можно переписать в виде
(q(t\)... q(tn)} - <0|Т [Q(ii)Q(i2)... Q(in)]|0>.	(4.34)
/3—“ос
Эти упорядоченные по времени произведения являются аналитически-^Ди продолжениями упорядоченных по времени произведений, которые ^Вводятся в формулировке квантовой теории поля с вещественным вре-1 Менем. После аналитического продолжения они становятся функциями йГрина, из которых, например, могут быть рассчитаны амплитуды рас-Есеяния. Однако всем физически приемлемым с точки зрения функций Грина теориям не обязательно соответствуют вещественные евклидовы
132
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
действия, и поэтому их аналитическое продолжение может давать корреляционные функции лишь в достаточно формальном смысле.
Производящий функционал. В терминах упорядоченных по времени произведений производящий функционал (4.22) можно записать в следующем виде:
Z(b, 0) =
(4.35)
exp dtQ(t)b(t)
Это представление напрямую связано с выражением (9.55) разложения теории возмущений в Разделе 9.7.
Упражнения
Пусть мы хотим применить метод матрицы переноса к статсумме (4.16) гауссовой модели из Раздела 4.3, переписанной в виде
3П(Т) =
ехр[-£(д)],
где
1 _ п_
ад = 2Ек“^-')2/г+г;Я’	(4-36)
г==1
и предполагается выполнение периодических граничных условий.
Упражнение 4.1
Статсумма и собственные значения. Убедиться, что матрица переноса T(q,q') данной модели может быть приведена к виду
T(g,g') = У 6/2% ехр
- | a (g2 + g'2) + bqq' &
(4.37)
где
(4.38)
Удобно также параметризовать коэффициенты а, b с помощью параметров р, в:
ch0 = а/b = 1 + vT/2, р = >/а2~- & = yfv/Т1Д +vT/4).
Убедиться явным вычислением, что матрица переноса удовлетворяет соотношению
Т(0)Т(0') = Т(0 + 0'),
где Т(0) — оператор, отвечающий ядру Т(д, д') с параметром 0. Получить статсумму 2п{Т) и собственные значения матрицы переноса.
Решение.
2sh(n0/2)
p-n(fc+l/2)0
fc=0
Упражнения к главе 4
133
Следовательно, собственные значения tk имеют вид:
tk = е-(*-1/2)0
где при Т —> О
О ~ VvT .
Упражнение 4.2
Собственные векторы гауссовой матрицы переноса. Предыдущие вычисления показывают, что спектр матрицы переноса связан со спектром гармонического осциллятора. Ее собственные векторы могут * быть получены с помощью похожих алгебраических методов, т.е. путем 1 построения операторов рождения и уничтожения.
j Определим в терминах операторов импульса р и координаты q
Р=^-Т~ => [ч,р\=г<	(4.39)
г dg
' два оператора рождения и уничтожения:
. sh 0	sh 0
А = гр + — q, Ат - -гр + — q.
(4.40)
Определить коммутационные соотношения между А и А* и доказать, что
АТ = е~0ТА, AtT = eeTAt.	(4.41)
Решение. Коммутационное соотношение между А и имеет вид:
[A, At
2 -sh0.
Действуя на произвольный вектор \ф), получим:
AT|V>)
T(q,q')^q'),
и
TA|V>)
, ,	/ d sh0 Д ,,
dg T(q, q) -7-, + -~rq ^p(q =
\dg' T J
,	, /sin0 , d \	,
dg ^(g ) I -^-q - j-7 j T(q,q) =
; dq'(q'ee-q)T(q,q')ii)(q'\
Отсюда следуют коммутационные соотношения (4.41) (второе получается с помощью эрмитова сопряжения).
Упражнение 4.3
Получить напрямую собственные значения и определить собственные векторы матрицы переноса.
134
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
Решение. Коммутационные соотношения позволяют восстановить спектр и определить собственные векторы. Обозначим символами \т) собственные векторы, а тт — соответствующие собственные значения. Из коммутационных соотношений получим:
AfT \т) = ттА! \т) = ев ТА* \т).
Отсюда следует, что А’’’ \т) является собственным вектором Т с собственным значением тт = тт+\. Ту же аргументацию можно применить к А. Таким образом,
А^ \т) ос \т + 1), А \т) ос \т — 1).
Так как ни один собственный вектор не может иметь собственное значение, большее то, применение второго соотношения при т = О может дать лишь нулевой вектор:
А |0> =0.
Собственные значения определены с точностью до множителя тт = = е-т0то, который можно определить, вычислив trT.
Замечая, что q пропорционален A^h At, получим: g|0) ос 11). Используя представления операторов A, Q в базисе \q}, находим явно:
(д|0) ос е 92sh0/2Tt (g|l) осс/е з28110/2^
Упражнение 4.4
Обобщить вычисление двуточечной функции в Разделе 4.5.1 на
случай
= lim
А?—* ОС
ЭД
[<W)W«iMi2)e 5(ч),
где q — TV-компонентный вектор (i,j = 1, •••, TV), q(-(3/2) — q(/?/2), a Z(J3) — статсумма, соответствующая действию
0/2
5(q) — dt
-0/2
Обратите внимание, что действие симметрично относительно преобразований группы О (TV) (вращения и отражения в TV-мерном пространстве). Определить разность двух первых собственных значений энергии.
Решение. Из симметрии относительно группы O(TV) следует, что двуточечная функция должна иметь вид
ЭД = W(t)5ij.
Упражнения к главе 4
135
Разложения функции при N — 1 и при произвольном N достаточно похожи. Изменяется лишь коэффициент перед вкладом порядка А. В итоге получим:
Упражнение 4.5
Завершить вычисление двуточечной функции из Раздела 4.5.1 при конечном р. Показать, раскладывая Zw в ряд Фурье, что результат может быть записан в виде
Z^\t,u) = ——1-—ch(W(r/2- |t|)) +О(А2), 2w sh(urr/2) v	'
где
Упражнение 4.6
Получить при помощи функционального дифференцирования уравнения (4.23) соотношение между двуточечной и четырехточечной функциями для случая действия (4.24).
Решение. Во-первых,
+ ^3(«).
Уравнение (4.23) можно теперь переписать в виде:
<5 А ( S \31 „/7Ч 7,j4
6b(t) + 3! \Sb(t)) J ' b^'
Дифференцируя это уравнение по Ь(и) и переходя к пределу 6 = 0, получим:
-(dj2 + 1 Z^2\t, и) + t, t, и) — 6(t - и).
Упражнение 4.7
Восстановить двуточечную функцию (4.25) из предыдущего уравнения.
Решение. В ведущем порядке получим:	= Д(6 — и). Для
следующего порядка требуется гауссова двуточечная функция, которая напрямую получается по теореме Вика:
Z(4\ti,t2, *з» М — Д(^1 — ^)Д(^з — £4) + Д(£1 — £з)Д(^2 — ^4) + +Д(й — ^)Д(^з — £2), л ^поэтому
i	Z(4)(t,t,t,w) = ЗД(0)Д(* - u).
136
Гл. 4. Классическая и квантовая статистическая физика
Задача свелась к решению дифференциального уравнения
’-(df)2 + 1] Z<2)(t, и) = <5(t - и) - ^A(0)A(t - и) £
с условием Д(£) —► 0 при —> помощью преобразования Фурье.
ос. Это уравнение можно решить с
Глава 5
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КВАНТОВАНИЕ
В Главе 2 было построено представление матричных элементов оператора е~^н в виде континуального интеграла для случая гамильтонианов вида p2/2m-F V(q). Общее свойство таких гамильтонианов состоит в том, что они могут быть представлены в виде суммы функции, зависящей от р, и функции, зависящей от q. В такой ситуации Переход от классического к квантовому гамильтониану производится При помощи принципа соответствия — необходимо заменить вещественные классические переменные р и q соответствующими квантовыми операторами. В этой главе мы рассмотрим потенциалы, линейные по переменным импульса: это дает дополнительные вклады в действие, линейные по скоростям. Будут рассмотрены два примера: квантовая система в магнитном поле и диффузия, описываемая уравнением Фоккера-Планка. В обоих случаях гамильтониан содержит произведения операторов координаты и импульса. При этом появляется проблема квантования, так как эти операторы не коммутируют, и принципа соответствия уже недостаточно для определения квантового гамильтониана. Порядок операторов определяется из дополнительных условий, таких как эрмитовость, или сохранение вероятностей. Мы покажем, что в этих случаях при вычислении континуального интеграла возникают неоднозначности, напрямую связанные с проблемой квантования. Непрерывный предел уже не единственный, а зависит от предельного перехода.
В последней части главы мы рассмотрим ситуацию, когда пространство обладает нетривиальной топологией, в данном случае топологией окружности, и покажем, каким образом это влияет на расчет континуального интеграла.
§5.1. Калибровочные преобразования
Прежде чем обсуждать квантование при наличии магнитного поля мы вкратце вспомним некоторые полезные свойства классической лагранжевой механики.
Классические калибровочные преобразования. Классические уравнения движения, получаемые путем варьирования действия, представ-
138
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
ляющего собой интеграл по времени от лагранжиана £, jff
4(q) = dt£(q,q),
нечувствительны к прибавлению полной производной к лагранжиану:
£(q.q) £n =£(q,q)+q-VQ(q).	(5.1
Действительно, соответствующее действие принимает вид
4.tf
4n(q) = dt£fi = 4(q) + Q(q(i")) - J2(q(t'))
и, следовательно, уравнения движения не меняются: (УД (M.Q
Тем не менее, такая добавка к импульс:
лагранжиану влияет на сопряженный
« «Г	<5 2)
dC
и, следовательно, гамильтониан H(p, q) = p • q - £, Hn(p,q) = p. q - £n =
|| q-£ = H(p-VS>(q),q), (5.3)
Новый гамильтониан равен исходному гамильтониану, в котором переменная р заменена на р-VQ(q). Такое преобразование, которое влияет не на физику, а лишь на ее описание, называется калибровочным. Заметим, однако, что для системы, инвариантной относительно пространственных сдвигов, существует наиболее простой выбор, напрямую отвечающий сохраняющимся величинам. Примером служит свободный гамильтониан Н = р2/2т.
Квантовые калибровочные преобразования. Прибавлению полной производной к лагранжиану в квантовой механике соответствует унитарное преобразование, также не влияющее на физические свойства.
В дальнейшем будем обозначать при помощи q, р, Н квантовые операторы, соответствующие классическим величинам q, р, Н.
Классическим преобразованиям (5.2), (5.3) в квантовой механике соответствует унитарное преобразование, порождаемое оператором
О = еш(ч)/й .	(5.4)
Действительно,
Пр JV — р - Vfi(q), HqH-q.
(5.5)
§ 5.2. Система в магнитном поле — калибровочная симметрия
139
Новый сопряженный импульс получается при помощи унитарного преобразования, не меняющего оператор координаты q и коммутационные соотношения между q и р. Применяя унитарное преобразование 5.5 к гамильтониану Н, находим:
ПН(р, q)«t = Н(р - vn, q) = Яп(р, q),
где Hq(p, q) — квантованная форма преобразованного классического гамильтониана 5.3.
При таком унитарном преобразовании волновые функции ^(q) умножаются на функции координаты q, равные по модулю 1 (элементы группы 17(1)):
<Ыч) = егП(ч)//Мп)-	(5.6)
Кроме того, оператор	являющийся решением уравнения 2.2,
преобразуется следующим образом:
t/n = nt/nt,
и, следовательно, его матричные элементы переходят в
(q" \Un(t", t')| q') =	(q"t')|q')	(5.7)
В квантовой механике преобразования, которые мы описали, называемые калибровочными преобразованиями, также не имеют физической значимости, и любой выбор сопряженного импульса р априори эквивалентен любому другому. Однако в случае лагранжианов вида ^mq2 - V(q) существует наиболее простой выбор.
( § 5.2. Система в магнитном поле — калибровочная симметрия
Теперь вспомним, каким образом введение магнитного поля порождает определенную симметрию, называемую калибровочной симметри-\ Ьй.
	5.2.1. Классическая калибровочная инвариантность
Действие, описывающее частицу, движущуюся в потенциале при $ наличии магнитного поля, является интегралом от лагранжиана, который может быть записан в виде:
£(q,q) = |mq2 ~eA(q) -q — V(q),	(5.8)
зЦ	£
ч
Тде A(q) — векторный потенциал, из которого получается магнитное Поле В, и в — заряд, который введен здесь для следования общепринятым соглашениям. Соответствующее уравнение движения имеет вид:
,	mgM = —е V - d^V,
140
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
где
(5.9)
— магнитный тензор, и мы использовали обозначение = д/дх^.
В пространстве размерности 3 антисимметричный тензор может быть параметризован при помощи аксиального вектора — магнитного поля В — следующим образом:

где — тензор, полностью антисимметричный по своим трем индексам, и е12з = 1. Тогда
mqp = -е > , epupBpqv - dpV ,
up
что в векторных обозначениях может быть также записано в виде
где
Уравнения движения по-прежнему нечувствительны к добавлению полной производной к лагранжиану:
£(q, q) = £(q, q) + q • Vfi(q).
Однако теперь полную производную можно сократить при помощи соответствующего калибровочного преобразования векторного потенциала:
A(q) н-> Ap(q) = A(q) + — Vf2(q).	(5.10)
При наличии векторного потенциала калибровочная инвариантность уравнений движения имеет новое значение: так как уравнения движения инвариантны относительно калибровочных преобразований (5.1), они также инвариантны относительно преобразования (5.10), и это свойство моментально проверяется, так как магнитный тензор (5.9) калибровочно-инвариантен. Таким образом, преобразование (5.10) определяет класс эквивалентности векторных потенциалов.
Соответствующий классический гамильтониан имеет вид:
Н = [р + eA(q)]2 + V(q).	(5.11)
& I I Is
Обращая эти аргументы, можно заметить, что добавление векторного потенциала решает задачу построения лагранжиана, инвариантного относительно добавления полной производной, или гамильтониана, инвариантного относительно преобразования (5.3):
р Р- VQ(q).
§5.2. Система в магнитном поле — калибровочная симметрия
141
В гамильтоновом формализме калибровочная инвариантность вводится при помощи замены
р и-> р + eA(q).
Этот принцип симметрии получил название калибровочной симметрии и в общем случае приводит к появлению калибровочного поля (математически также называемого связностью), в данном случае векторного потенциала.
Конечно, в классической механике физическими являются только уравнения движения, а векторный потенциал оказывается лишь удобной математической величиной. Однако в квантовой механике ситуация несколько иная.
5.2.2. Квантовая калибровочная инвариантность и квантование
Когда классические переменные заменяются на квантовые операторы в классическом гамильтониане (5.11), возникает проблема упорядочения операторов в произведении р • A(q). В случае магнитного поля квантовый гамильтониан определяется условием эрмитовости, которое дает:
Я = ~ [р2 + eA(q) • р + ер  A(q) + е2 A2 (q)] + V (q),
= ±[p + eA(q)]2 + V(q).	(5.12)
Интересно отметить, что тот же вид гамильтониана получается при применении требования калибровочной инвариантности. Калибровочная инвариантность подразумевает, что гамильтонианы, отвечающие векторным потенциалам A(q), связанным калибровочным преобразованием (5.10), унитарно эквивалентны. Следовательно, из калибровочной симметрии следует, что гамильтониан может зависеть от оператора р только в комбинации p + eA(q). Действительно, преобразования (5.5),(5.10) дают:
fl [р + eAn(q)] flf = р + eA(q).
Условия эрмитовости и калибровочной инвариантности приводят к одному и тому же квантовому гамильтониану.
При выборе другой схемы квантования к гамильтониану добавилось бы еще слагаемое, пропорциональное коммутатору
е[р, A(q)] — -ieh\7 * А,
которое является квантовой поправкой, имеющей вид мнимого потенциала, нарушающей как эрмитовость, так и калибровочную инвариантность.
Наконец, заметим, что оператор
D = (р + eA(q)) - V9 + A(q),
142
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
являющийся дифференциальным оператором при действии на волновые функции, приводит к ковариантным производным. Его компоненты удовлетворяют коммутационному соотношению
ге
Замечание. Условие, чтобы оператор вида П = р + eA(q) удовлетворял
каноническм коммутационным соотношениям, сводится к
[Пм,П,]-0	=
В простых ситуациях (с тривиальной топологией) это означает, что A(q) — градиент, или чистая калибровка.
5.2.3. Калибровочная инвариантность и континуальный интеграл
Сейчас мы покажем, что принцип калибровочной симметрии также в большой степени определяет общий вид континуального интеграла, задающего матричные элементы статистического оператора (см. (2.2)).
Действительно, как видно из (5.7), эти элементы преобразуются мультипликативно. Фазу можно записать в виде интеграла от полной производной:
t
fi(q") - fi(q') =
и
Преобразование (5.7) модифицирует действие (2.21), входящее в континуальный интеграл (2.22):
t
ЭД) - ЭД) -
//
dt ^mq2(t) + V(q(f),t) - iq(t)  Vfi(q(t)) .
t1
От этой вариации можно избавиться путем добавления к лагранжиану члена, пропорционального векторному потенциалу A(q):
t,!
ЭД) = d£ ц mq2 + ieA(q) • q + V(q)l ,
(5.13)
который преобразуется следующим образом (равенство 5.10):
An(q) = A(q) + (l/e)VQ(q).
Результирующее евклидово действие (5.13) есть интеграл от лагранжиана (5.8).
Прямое вычисление, основанное на решении уравнения эволюции на коротких временных интервалах с гамильтонианом (5.12) (см. Раз
$ 5.3, Квантование и континуальные интегралы 143
дел 5.4), подтверждает, что, как и в случае без магнитного поля, в континуальный интеграл входит лишь классическое евклидово действие (5.13):
q(t")=q" ч
(q"	q') —	[dq(i)] exp [-S(q)/ft].	(5.14)
q(t')=q'
Заметим, что получившееся евклидово действие уже не вещественно и, следовательно, уже не задает положительно определенную меру. Это прямое следствие свойства гамильтониана: при наличии магнитного поля гамильтониан по-прежнему эрмитовый, но уже не вещественный симметричный. Кроме того, мы видим, что при переходе от лагранжиана с вещественным временем к евклидову лагранжиану член, линейный по q, умножается на дополнительный (по сравнению с другими членами) множитель i.
Заметим также, что (мнимый) магнитный член обладает примечательным свойством: он зависит только от геометрической траектории, но не от самого движения. Действительно,
Ч	Л
df A(q)  q = odq • A(q).	(5.15)
Существует множество следствий этого свойства в квантовой механике, таких как квантование заряда магнитного монополя (если монополь существует) или, в общем случае, возникновение особенностей квантования, когда пространство не односвязно и, следовательно, величина (5.15) многозначна. *
§ 5.3. Квантование и континуальные интегралы
4
Континуальный интеграл (5.14) зависит только от классического действия и, тем не менее, определяет квантовые наблюдаемые. Поэтому можно поинтересоваться, подразумевает ли он какой-либо выбор схемы квантования. Ответ отрицателен, как покажет явное вычисление. Без дополнительного условия континуальный интеграл является плохо определенным, потому что при его вычислении возникают неоднозначности.
5.3.1. Дискретные времена и непрерывный предел
Природу неоднозначностей можно понять, вернувшись к дискретным временам и эволюции на коротких временных интервалах: i" - tf — е —* 0. Тогда для непрерывных траекторий при е —> 0 будем иметь:
[ di A(q(t)) • q(t) ~ (q" - q') • A(q") ~ (q" - q') • A(q').
144
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
Априори кажется, что оба дискретизованных члена, отличающиеся только аргументом A(q) — либо q', либо q" — соответствуют эквивалентным дискретизованным действиям, потому что обладают одинаковыми непрерывными пределами при с —> 0. На самом деле это не так: действительно, разность A(q") и A(q') имеет порядок q" — q' и, следовательно, учитывая также дополнительный множитель q" - q', она индуцирует изменение в дискретизованном действии порядка
(q" - q') • A(q') - (q" - q')  A(q") ~ - £(<4 - q^ -	.
(5.16)
Это изменение имеет порядок е, потому что типичные траектории — броуновские, и, следовательно, |q" — q'| = О(^). Но, как было показано в Разделе 2.3.1, члены порядка г в дискретизованном действии дают вклад в континуальный интеграл в непрерывном пределе. В противоположность случаю, когда поле отсутствует, здесь можно определить однопараметрическое семейство непрерывных пределов, которые определяются лишь конкретной формой дискретизованного действия. Заметим, однако, что понятие непрерывного предела по-прежнему не лишено смысла, так как в этом пределе остается лишь один параметр.
Описанная тонкость не видна в формальном выражении для континуального интеграла, которое, следовательно, соответствует любому непрерывному пределу. Формальное определение континуального интеграла необходимо дополнить еще некоторым условием.
Теперь заметим, что оператор эрмитов, потому что Н эрмитов. Следовательно, его матричные элементы инвариантны относительно одновременно двух преобразований: комплексного сопряжения и замены q' q". Для магнитного члена это условие выполнится, если выбрать симметричную функцию q",q', например, A((q" + q')/2).
Конкретный выбор в данном случае не имеет значения, потому что различие между двумя симметричными функциями имеет порядок (q" - q')2, что приводит к пренебрежимо малой разнице порядка е3/2 в действии.
Можно также удовлетворить требованию калибровочной инвариантности, если взять непрерывное действие и аппроксимировать траекторию q(f) свободным движением. Тогда мы получим альтернативную симметричную форму. В Разделе 5.4 будет показано, что именно эта форма получается при прямом вычислении матричных элементов статистического оператора, отвечающего гамильтониану (5.12), в пределе коротких временных интервалов.
При наличии магнитного поля можно устранить неоднозначность в определении континуального интеграла, потребовав, чтобы матричные элементы статистического оператора обладали правильными свойствами: калибровочной ковариантностью или эрмитовостью.
Здесь мы столкнулись с частным случаем более общей проблемы: трудности, связанные с выбором схемы квантования, зачастую могут
§5.3. Квантование и континуальные интегралы
145
быть разрешены, если потребовать сохранения в квантовой теории определенных симметрий. Мы вновь встретимся с этой проблемой в Разделе 5.5, в Разделах 6.2, 7.8 и в Главе 10.
5.3.2. Неоднозначность и пертурбативное вычисление
Чтобы проиллюстрировать обсуждение Раздела 5.3.1, рассмотрим, Каким образом неоднозначность в определении континуального интеграла появляется в пертурбативных вычислениях, и как можно разрешить данную проблему.
Рассмотрим пример вычисления энергии основного состояния си-г стемы, описываемой действием (здесь мы полагаем h~ т~ 1)
i Ч2 + ieA(q) • q + u>2q2
где подразумевается, что A(q) — полином.
С этой целью разложим статсумму по степеням заряда е. В первом порядке находим (см. Раздел 2,8):
Z(ff) = Zq(0)
(5.17)
где (•) означает среднее значение по гауссовой мере, ассоциируемой с гармоническим осциллятором. Для каждого монома, дающего вклад в А, необходимо вычислить
W •  * QjpW) •
i .7ь^2>- 
Среднее значение может быть посчитано при помощи теоремы Вика (2.58). Множитель q должен быть всеми возможными способами спарен с множителем q. Все спаривания дают одинаковые результаты, поэтому получается множитель р. Далее, оставшиеся множители q также должны быть спарены. Результат может быть записан в виде:
i j^d'2......jp
г

Суммируя все вклады, заключаем, что среднее значение в выражении (5.17) может быть представлено следующим образом (см. также равен-
ство (1.20))
di

146
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
Гауссова двуточечная функция в пределе в —> ос дается равенством (2.53):
Возникает проблема, так как нам требуется среднее значение (<7i(£)<7j(£)). Действительно, дифференцируя Д^(£ — tf), находим:
{qi1 = - pv sgn(z ~ *')e f,|> Qt	£
где sgn(f) = 1 при t > 0, sgn(Z) = -1 при t < 0. Ясно, что значение sgn(0) не определено. Вычисление в непрерывном случае неоднозначно, и неоднозначность в первом порядке по е пропорциональна
|zesgn(0) dt(V • A(q(t)))
и, следовательно, соответствует добавлению коммутаторного члена к действию, в полном согласии с тем, что обсуждалось в Разделе 5.2.2. Заметим, однако, что выражение
d , /|Ч /<sv d дц sto((to(4) = $s; = o
является определенным. Если потребовать, чтобы операции дифференцирования и взятия среднего значения коммутировали, то при i = j будем иметь:
£	= 2	= 0,
этот результат совместим только с выбором sgn(0) = 0. Именно такое коммутационное свойство для произведений в одинаковые моменты времени необходимо для того, чтобы напрямую доказать калибровочную инвариантность члена порядка е в пертурбативном выражении (5.17). Действительно, при калибровочном преобразовании (5.10) этот член преобразуется следующим образом:
вариация ге
3/2
ч
dt (q(t) • A(q(t)))
-3/2
3/2
' di(q(t) • Vfi(q)) =
-3/2
3/2 ч
4 г
-0/2
d
§ 5.4. Магнитное поле: прямое вычисление
147
Если операции дифференцирования и взятия среднего значения коммутируют, эту вариацию можно посчитать:
5/2 ".
qQ(qW2))-n(q(^/2))] =°
-5/2
вследствие периодических граничных условий.
Другой выбор схемы квантования привел бы к добавлению к гамильтониану члена, пропорционального zV • А, а это мнимый потенциал. Все остальные члены в классическом действии, такие как iq-А или вещественный потенциал, инвариантны относительно двойного преобразования, заключающегося в комплексном сопряжении и обращении времени, в отличие от члена zV • А. В частности, использовать свойство эрмитовости проще, если функция sgn(i) сама симметрична относительно обращения времени, и можно положить 8gn(0) = |(sgn(0+) +sgn(0_)) = 0.
Заметим, что зачастую, вместо знаковой функции sgn(t) вводят функцию-«ступеньку» 0(f) : sgn(Y) ~ 20(f) — 1. В таком случае выбор Sgn(O) — 0 соответствует 0(0) = -.
§ 5.4.	Магнитное поле: прямое вычисление
Для полноты вычислим напрямую (при т = h — \) матричные элементы оператора U(f) = ечЯ с гамильтонианом
Н = |(p + eA(q))2
в пределе t —* 0 при помощи обобщенной формы уравнения (2.11) в d Измерениях:
dt (q| U(t) |q'> = | V (dM + ieAM)2 (q| U(t) |q'>,
где дц = d/dq^. Положим
(q| U(t)\q!) = e
-ff(q,q';t)
L Уравнение (5.18) принимает вид:
V ied^Au + (ди(т — ieAA2 = 2dta.
; Для функции <т при t —> 0 справедливо разложение вида
(т= ^(q-q')2 + ^ln27rf+ <r0 + <Tit + O(?) .
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
148
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
Следовательно,
dta = + +
дм<7 = т(<? - <?')м +	+ d^ait + О (f2) .
Будем иметь:
^(q-q')2 +
т(<7 -	+ (<эмсго)2 + 2(<7 - </)/Асг1
+ V2<r0 + t\72qai + O(t2).
+ O(t).
В порядке t 1 получаем первое нетривиальное уравнение:
^(9 - Я')^(дцао - геЛДд)) = 0.
Решение имеет вид:
1 %
<7о(4>4') = ds - q^A^ft}' + s(q - q')).
о
Оно, как и ожидалось, обладает калибровочными свойствами:
5AM(q) = (l/e)5Mfi(q) =► 5cr0(q, q') = i(Q(q) - Q(q')).
Получаем:
д^сто — ieXM(q) = ie cLs s
0
(5.22)
где
- Эр А и
— магнитный тензор.
Член порядка i° дает:
2<ti+ ^22(q-q/)m^m(7i = 52^(^<70 - ie-4M(q)) - (<Эм<70 - ieAM(q))2.
Так как |q — q'| = O(\/t), нам нужно только a\ (q, q).
§5.5. Диффузия, случайное блуждание, уравнение Фоккера-Планка 149
Из (5.22) следует, что величиной — *еДи(ч)> имеющей порядок q — q', можно теперь пренебречь. Более того, величина
^Гдм(дм<т0 - ieAM(q)) м
^2(<7 -	+ s(q _ q'))

и, следовательно, она также обращается в нуль при q = q'. Отсюда можно сделать вывод, что
<7i(q,q) = 0.
Следовательно, вводя траекторию свободного движения q(r) = q'+ r(q - q')/t
можно записать дополнительный магнитный вклад в действие в виде
t
ie
drq(r) • 4(q(r)).
V о
Это выражение симметрично по q и q', в согласии с тем, что обсуждалось в Разделе 5.2.2.
§ 5.5.	Диффузия, случайное блуждание, уравнение Фоккера-Планка
Рассмотрим теперь марковские процессы, описывающие классические диффузионные явления, случайные блуждания или броуновское движение. Будем рассматривать лишь процессы в непрерывном пространстве и времени, но уравнения, которые мы будем изучать, описывают также процессы на пространственных решетках при дискретных временах в асимптотическом пределе больших расстояний и больших времен.
Будем обозначать через P(q,,,q,;^,/,^) плотность вероятности того, что случайная величина q принимает значение q' в момент времени t', а также значение q" в более поздний момент времени t". Процесс является марковским, если распределение вероятностей величины q в Момент времени t зависит только от своего значения в момент времени t - dt и не зависит от предыстории системы. Чтобы выразить это свойство, удобно ввести оператор Р, матричные элементы которого представляют собой плотности вероятностей:
(q"|P(i",t')|q'> = W'.q';^'^')* Тогда свойство марковости принимает вид:
Р(^3.<2)Р(<2.<1) = P(Ml). *3 t2 ti .
(5.23)
150
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
Равенство (5.23) идентично соотношению (2.1), которому удовлетворяет статистический оператор.
Однако Р удовлетворяет двум дополнительным условиям. Вероятности положительны:
Р(<Ъ^ЛЛ') 0.
Кроме того, полная вероятность сохраняется:
сГ^Р(д,д';М') = 1 .
(5.24)
Можно убедиться, что эти условия согласуются со свойством марковости (5.23).
Будем дополнительно предполагать, что Р — дифференцируемая функция времени, и положим
P(t + e,t) = 1 — sH(t) + О(е2).
Переходя к пределу в равенстве (5.23), можно вывести уравнение вида (2.2):
=	(5.25)
С/ с
где по аналогии с квантовой механикой мы назовем Н гамильтонианом Фоккера-Планка.
5.5.1.	Простой пример: случайное блуждание или броуновское движение
Рассмотрим стохастический процесс типа случайного блуждания, т.е. не зависящий от времени, пространственно-изотропный и трансляционно-инвариантный. Это означает, что распределение вероятностей имеет вид:
P(q'\д';t\tf) - p(|g" - g'|;t" - f)
и, следовательно, оператор H в уравнении (5.25) не зависит от времени. Формально можно записать
Кроме того, мы предполагаем, что имеет место динамика близкодей-ствия, т.е. р(|д|Д) убывает по крайней мере экспоненциально при д| —> сю. Это условие локальности, которое в данном контексте играет роль условия локальности квантовых гамильтонианов, что обсуждалось в Разделе 2.1.2.
Чтобы воспользоваться трансляционной инвариантностью, естественно ввести преобразование Фурье распределения p(|g|,£):
p(k, t) =
Adqe zq‘kp(|g|;t).
§5.5. Диффузия, случайное блуждание, уравнение Фоккера-Планка 151
В этом базисе операторы Р и Н диагональны и, следовательно, Р(М) = c-Ch^\
где мы обозначили за /i(k) матричные элементы Н.
р — вещественная функция, зависящая только от |к|. Кроме того, Из положительности p(|q|, t) и условия нормировки следует:
p(k, t)
(5.26)

Максимальное значение достигается только при к — 0. Поэтому имеем:
/г(к) ^0, 7г(0) =0.
Из условия локальности вытекает, что p(k,t) — аналитическая функция к. Если принять во внимание условие нормировки (5.26), то отсюда следует, что /г(к) также аналитична при к — 0, поэтому
^к\2ИРк2’
где D — постоянная диффузии. Распределение получается путем обращения преобразования Фурье:
p(q;<) =
ddk exp гк • q — £/г(к)
При t оо основной вклад в интеграл дает единственный минимум h при к = 0. Поэтому можно заменить h основным членом его разложения при к 0:
p(q;i) ~
t—»оо
1
(27r)d
ddk exp
ik • q -
|шк2
1 e-q2/2Dt (2тгГ>Ж2 '
В этой формуле легко узнать асимптотическое поведение простого случайного блуждания. Этот результат получен с помощью тех же аргументов, которые приводят к центральной предельной теореме.
Асимптотика р(ц'Л) аналогична выражению (2.9). Следовательно, Цри больших временах для p(q;£) справедливо представление в виде Континуального интеграла с действием
2/2Г>,
!>;*'	О
^^дентичным действию свободной частицы в квантовой механике.
fc
152
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
5.5.2.	Уравнение диффузии общего вида
Как и в случае статистического оператора, равенство (5.23) позволяет вывести P(t77,/7) из его асимптотики P(t + М) на коротких временных интервалах, т.е. при г —> 0.
По-прежнему будем считать, что в диффузии на коротких временных интервалах преобладает броуновское движение, но введем дополнительную зависящую от координат анизотропию таким образом, чтобы на коротком временном интервале величина P(q,q7;f,f) приняла вид:
log[(27rD£))d/2F(q, q7; tf 4- £, tf) — -
(q - q')2 2De
+ (q - q') • A(q') + B(q').
(5.27)
Тогда из сохранения вероятностей следует равенство
(27r£>e)d/2 =
e-(q-q')2/(2De)+(q-q')-A(q')+B(q') VI У	I
Интегрирование по q дает
ехр(| DsA2 + В) = 1 => В — - | гВА2.
bi
Следовательно,
P(q, q'; t' + e. t')	^D£y/2 exp
(q-д'-DcAfq'))2
2De
(5.28)
Повторяя те же рассуждения, что и в Главе 2, получим представление в виде континуального интеграла
где
P(q", q'; t", t') =
5(q) =
t"
dt
t'
[dq(t)] е-5Ч
4r[q(i) - £>A(q)]2,
(5.29)
(5.30)
с граничными условиями q(i7) = q7 и q(f7) = q77.
При помощи континуального интеграла получается представление для распределения вероятностей Р, которое явно положительно и удовлетворяет свойству марковости (5.23).
Неоднозначности квантования. Вид континуального интеграла подсказывает, что распределение Р в данном более широком контексте по-прежнему удовлетворяет уравнению шредингерова типа, которое называется уравнением Фоккера-Планка с неэрмитовым гамильтонианом и потенциалом, линейным по оператору импульса. Чтобы вывести это
§5.5. Диффузия, случайное блуждание, уравнение Фоккера-Планка 153
уравнение, нужно сделать преобразование Фурье выражения (5.28) по переменной q:
d^e^ P P(q, q'; е) = е-W/2-ie.Dp A(q') е-Ф ч'
(5.31)
Член порядка г в разложении правой части напрямую дает матричные элементы соответствующего гамильтониана в смешанном координатноимпульсном представлении:
(р| Н |q') = | D [р2 + 2гр  A(q')] e~7pq .
: Если выполнить преобразование Фурье по переменной р, получим Г матричные элементы гамильтониана в координатном базисе. Отсюда ; можно сделать вывод, что P(q, q';t) удовлетворяет уравнению, аналогичному (2.11):
P(q, q'; t) = | D V di [^i - 2A(q)] P(q, q'; t), i
называемому уравнением Фоккера-Планка. Правая часть представляет собой дивергенцию, что гарантирует сохранение вероятностей.
Если известна лишь «классическая» форма гамильтониана Фоккера-Планка, то мы неизбежно столкнемся с проблемой квантования. В данном контексте форма «квантового» гамильтониана фиксируется условием сохранения вероятностей, которое требует, чтобы величина Р была дивергенцией.
Вновь стоит ожидать появления неоднозначности в определении континуального интеграла. Природа данной проблемы ясна уже из разложений (5.16) и (5.17). Если в равенстве (5.27) заменить (q— q')-A(q') на (q — q') • A(q), то хотя оба эти выражения обладают
V
S
С
одинаковыми непрерывными пределами, предел интеграла с дискретными временами изменится, потому что при броуновском движении разность между этими двумя членами имеет порядок г, как мы видели в (5.16).
Различный выбор схемы квантования соответствует различным зна-
Ч чениям sgn(O). Чтобы справиться с этой трудностью, полезно вернуться i к дискретизованной форме, в которой неоднозначности отсутствуют. К В частности, если потребовать, чтобы формализм был симметричным В относительно обращения времени (и, следовательно, sgn(O) = 0), то  окажется, что необходимо вставить в континуальный интеграл полу- сумму нормально и анти-нормально упорядоченных гамильтонианов  (см. обсуждение в Разделе 10.2.1). Тогда получим непрерывное дей-Вствие
S(q)— di
^(q(£)-DA(q))2 + lDV-A .
(5.32)
154
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
Это выражение отличается от (5.30), так как здесь принято другое соглашение относительно значения sgn(O).
Диссипативное уравнение Фоккера-Планка. Если сам вектор А представляет собой градиент,
А = - 1 VE(q)/D,
то гамильтониан Фоккера-Планка эквивалентен эрмитову положительно-определенному оператору. Кроме того,	—
не зависящее от времени решение уравнения Фоккера-Планка. Если	_ нормируемое распределение, то оно является
предельным распределением при t —* оо и называется равновесным распределением. В действии (5.32) слагаемое, линейное по скорости, представляет собой полную производную и поэтому может быть проинтегрировано. Действие принимает вид
t"
5(q = [ di U. (q2(i) + |(V£(q))2) - |v2E(q)] +
t'
+^W)~E(q')].	(5.33)
Однако такое интегрирование разрешено под знаком континуального интеграла, лишь если дифференцирование и взятие среднего значения коммутируют, что, как мы видели, подразумевает конвенцию sgn(0) = 0 и, следовательно, верно лишь для выражения (5.32).
Наконец, эквивалентный эрмитовый гамильтониан может быть напрямую получен из действия (5.33).
§ 5.6.	Спектр жесткого О(2)-ротатора
Для иллюстрации того эффекта, который производит нетривиальная топология пространства на расчет континуальных интегралов, рассмотрим спектр квантового двумерного жесткого ротатора — системы, инвариантной относительно группы 0(2) (вращения и отражения на плоскости). Сначала используем уравнение Шредингера, а затем применим формализм континуального интеграла. Вспомним, что абелева (или коммутативная) группа вращений на плоскости обозначается 50(2). Она является подгруппой ортогональной группы 0(2) (вращения и отражения).
Определение спектра жесткого О(2)-ротатора при помощи стационарного уравнения Шредингера прямолинейно. Более примечательным является тот факт, что континуальный интеграл может быть вычислен точно. Кроме того, его вычисление дает пример того, каким образом влияет на континуальный интеграл пространство, например, окружность, обладающее нетривиальной топологией. Оно также иллюстрирует новую проблему квантования, возникающую в случае гамильто-
§5.6. Спектр жесткого О(2)-ротатора
155
нианов, являющихся квадратичной функцией импульсов общего вида, и которая будет обсуждаться в более общем случае в Разделе 10.4.
5.6.1.	Жесткий ротатор: гамильтониан и спектр
Рассмотрим планарную систему, инвариантную относительно вращений, которую можно полностью характеризовать углом 0(f). При такой параметризации классический лагранжиан соответствует свободному движения по окружности:
£(0,0) = l-mR232.
Он совпадает по форме с лагранжианом свободного движения по прямой, причем единственная разница состоит в угловом характере переменной 0, которая определена лишь по модулю 2тг. Переменной, сопряженной к 0, является угловой момент
L =	= тЛ20,
де
и соответствующий классический гамильтониан имеет вид
Я = £0 - £ = £2/2тЯ2 .
При такой параметризации окружности квантование выполняется прямолинейно, и оно приводит к квантовому гамильтониану
£2 _ h2 д2 2mR2 ~ 2mR2 (ОЗ)2'
(5.34)
5О(2)-симметрия явная, потому что оператор углового момента
являющийся генератором алгебры Ли группы 50(2), коммутирует с гамильтонианом (5.34) (отражение соответствует замене 0 »—> —0).
Квантовый гамильтониан также имеет вид свободного гамильтониана. Однако, так как 0 — угловая переменная, волновые функции ^(0) периодичны с периодом 2тг, поэтому их можно разложить в ряд Фурье
^(0) =	-
f
вместо того чтобы делать преобразование Фурье. Это приводит к Квантованию спектра:
156
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
LeM = Meite => Hei№ = Eeeiee , Et =	.
2mRz
5.6.2.	Континуальный интеграл
Матричные элементы статистического оператора задаются континуальным интегралом
{9"
0(-/3/2)=0'
d0(t)] ехр
/3/2
02(£)d£
-Z3/2
(5.35)
где (j = mR2/h2.
Заметим, что этот континуальный интеграл описывает также броуновское движение на окружности.
Этот континуальный интеграл гауссов, и мы можем посчитать его точно. Как обычно, прежде всего решим классическое уравнение движения для определения зависимости от граничных условий, т.е. от углов 9' и 9f/. Из-за цикличности переменной 9 возникает следующая особенность: так как 9f и 9ff — углы, то существует бесконечное число траекторий, проходящих от 9' до 9" за время /3. Они даются соотношением:
en(t) = rel + e") + (e"-9' + 27m)t/0, nez.
Число оборотов п (которое также называется топологическим числом) имеет топологический смысл, т.е. непрерывные деформации траектории не могут изменить число оборотов. Следовательно, интеграл по флуктуациям вблизи траекториКс числом п не может включать в себя вклады от траекторий с другими значениями п. В противоположность свободному движению на прямой, континуальный интеграл (5.35) равен сумме бесконечного числа вкладов.
Чтобы вычислить вклад определенного числа п, необходимо сделать замену переменных 9(t) н-► u(t), полагая
9(t) = 0n(t) + u(t), u(0) = u(0) = 0.
Тогда сумма всех вкладов может быть записана в виде
(0"| е~вн
ехр
п= — ос
-^Г-я' + г™)2
где факторизован нормировочный множитель
и(/3/2)=О
Л
[du(t)] ехр
и(-5/2)=0
Z3/2
ii2(t )dt
—/3/2
(5.36)
(5.37)


Л/"(/?/сг)

§5.6. Спектр жесткого О(2)-ротатора
157
потому что он не зависит от п. Нормировка также не зависит от 9Г, 9П и из размерных соображений зависит только от отношения /3/сг. Так как интегрирование по и(1) суммирует флуктуации вблизи классической траектории, можно ожидать, что угловой характер u(t) здесь не играет роли и, следовательно,
J\f(0/cr) ~ у/Ужа]в = h 1 у/2тигп/в ,
(5.38)
однако это не является абсолютно очевидным, потому что интегрирование ограничено конфигурациями из сектора с нулевым топологическим числом. Следовательно, нельзя сразу исключить поправки порядка е~27Г а//>3. Тем не менее, при использовании вышеупомянутого предположения находим:
(5.39)
Так как учтены все траектории 9п, это выражение периодично по 9f и 9", как и должно быть.
5.6.3.	Статсумма и спектр
Выражение (5.39) — функция, зависящая лишь от разности 9" — — 9f вследствие 5О(2)-симметрии, из которой следует трансляционная инвариантность на окружности. Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье вида
(5.40)
Мы отождествили коэффициенты ряда Фурье с собственными значениями оператора , потому что функции /(27г)1/2 образуют Ортонормировании# базис и, следовательно, оператор е" напрямую диагонал изуется.
Коэффициенты ряда Фурье могут быть явно посчитаны из выражения (5.39) при помощи формулы Пуассона.
Формула Пуассона. Рассмотрим функцию д(9), непрерывную и достаточно быстро убывающую при |0| —* ею. Поставим в соответствие р(0) периодическую функцию с периодом 2тг:
***
$
'- Периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье:
яи
/(0) = £ ем fe,
1
is
158
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
где коэффициенты даются соотношениями:
л
1
2тг
2я
d0 e“1W/(i9) =
С
о
1
2тг
2я
d0 е г1в + 2п7г).
о	п
Меняя порядок суммирования по п и интегрирования, а также делая замену переменных 9 4- 2шг н-> 0, получим соотношения:
с
2п7Г
d0 e~ieeg(9) =
d0 е~мд(9).
(5.41)

Эти соотношения можно объединить следующим тождеством:
+ ос
д(Р + 2п7г) =
п—— ОО
d0'
л
— оо
Применение. Применим теперь формулу Пуассона (5.41) к выражению (5.39) (9 = 9" - 9') с
д(9} = Я/З) .
Сравнивая с разложением (5.40), находим:
ехр (-/ЗЕе) - N\/3/a)
d0 &-И9-аег/2в =
-е20/2а
Этот результат подтверждает спектр:
нормировку (5.38) и
(5.42) дает следующий
J 2 = н2е2
2а 2mR2 *
(5.43)
что, действительно, и есть точный результат. Точное вычисление возможно потому, что группа вращений SO(2) абелева. Рассмотрение жесткого ротатора общего вида с О(ДГ)-симметрией (ортогональная группа вращений и отражений в N-мерном пространстве) или свободного движения на сфере 5дг-1 оказывается более сложным (см. Раздел 10.5.2).
5.6.4.	Другие параметризации
Так как параметризация окружности при помощи угла является в некотором смысле слишком жесткой, можно попробовать использовать другие параметризации. Введем для описания жесткого ротатора периодическую функцию д(0), монотонную на [0,2тг[ и потому испы-
§5.6. Спектр жесткого О(2)-ротатора
159
тывающую разрыв в точках 9 = 2птг. Тогда классический лагранжиан принимает вид
£(«.?) = о5'(?)92.
где
g(q) = mR2 (0’ (д))2.
Примером функции q(9) может служить 2jRtg(0/2), обратимая на ] — 7г, 7г[, но сингулярная при 9 — ±7г (избежать сингулярность невозможно). В качестве альтернативы можно рассмотреть, например, функцию /?sin0, являющуюся регулярной и адекватной вблизи 9 = 0, но не глобально обратимой на [—тг, тг[.
В таких параметризациях классический гамильтониан принимает общий вид
H=2P2/g(q),
следовательно, возникает проблема квантования. В случае жесткого ротатора вид квантового гамильтониана Н в большой степени определяется требованием 50(2)-инвариантности, т.е. условием, чтобы гамильтониан Н коммутировал с оператором углового момента L — генератором алгебры ли SO(2). В параметризации общего вида
hdq d h >	,
7аел = 7л^™7’®
Из условия коммутации следует, что
Н = L2/2mR2 + const..
Итак, квантовый гамильтониан определяется с точностью до аддитив-’ ной постоянной.
С точки зрения континуального интеграла, замена переменных ; 9 н-► q(9) дает меру интегрирования, принимающую при дискретных ;• временных интервалах следующий вид:
|	d0fc ~	~ у/9(Як)&1к.
|и, следовательно,
k	J к
Д:
I1	И &1к = ехр
к
[Это эквивалентно добавлению к действию слагаемого с коэффициентом, который обращается в бесконечность в непрерывном пределе:
Sjfe*' <
г	= ^52£lnW*k)) ~ [df 1п(з(?(о).
к	к	J
йанный член имеет вид квантовой поправки, потому что перед ним кет множителя 1/Й. При пертурбативном вычислении континуального
I
1
160	Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
интеграла этому соответствовало бы появление второй производной пропагатора (2.53) при t = 0, которая обращается в бесконечность. Эта расходимость формально сокращается с расходимостью, происходящей из меры интегрирования, но конечная часть является неоднозначной. Можно убедиться, что условие инвариантности относительно вращений накладывает ограничения на конечные части. Этот вопрос будет более подробно обсуждаться в Разделе 10.4.
Можно сделать вывод, что исходный выбор параметризации плоскости жесткого ротатора, в которой действие SO(2) тривиально и не возникает проблемы упорядочения операторов, гораздо проще. Такой параметризации не существует при большем количестве измерений, потому что сферы обладают локальной кривизной (в смысле римановой геометрии).
Нелинейные замены переменных. Это обсуждение также иллюстрирует проблему нелинейных замен переменных в континуальных интегралах. Такие замены являются плохо определенными в непрерывном пределе, и их можно обсуждать, лишь возвратившись к какому-либо дискретизованному виду (на языке квантовой теории поля можно сказать, что континуальный интеграл должен быть регуляризован).
Упражнения
Упражнение 5.1
Используя выражение (5.13), посчитать матричные элементы статистического оператора U(J3) = при A(q) ~-Bxq, постоянном В, т.е. при постоянном магнитном поле и V(q) — 0.
Решение. Прежде всего, рассмотрим, каким образом влияет сдвиг на статистический оператор. Сделаем в континуальном интеграле замену переменных, полагая
q(«) q(f) + а,
где а — постоянный вектор. Граничные условия принимают вид: q(-/?/2) = q' - а, q(/i/2) = q" - а, /3 = t" - tf.
Эффект сдвига состоит в добавлении к магнитному члену в действии вклада - геВ х a(q" — q'), откуда следует соотношение
(q" |С7(/3) | q') = ехр[| ге(В х a)(q" - q')] (q" - a 117(/3) | q' - a).
Можно воспользоваться этим соотношением при а = q' для упрощения вычисления. Тогда фазовый множитель принимает вид ?(°В - (q' х q").
По-прежнему остается найти (q" — q'|(7(/3)| 0). Поэтому нужно решить классическое уравнение движения. Движение параллельно В
Упражнения к главе 5
161
является свободным, поэтому можно свести задачу к движению в плоскости, перпендикулярной В. Получим:
_____&В_____ / // _ /\2 4th(eB/3/2m) 14 “q;
Теперь необходимо вычислить детерминант, возникающий в результате гауссова интегрирования. Его можно получить из собственных значений дифференциального оператора
т (di)2	dt ’
причем граничные условия состоят в том, что собственные функции должны убывать при ±/3/2. После преобразования Фурье оператор поинимает вид
(лш2 — шеВ \
weB mw2 J '
где си — соответствующая частота. Получаем собственные значения:
Лп = п27г2//З2 + е2В2/4т2 ,
причем каждое собственное значение дважды вырождено. Произведение собственных значений, разделенное на свое значение при нулевом поле, можно посчитать с помощью тождества
det
d2 2
—« + аг dt2
d2 dt2
= <М4)
q'W)|q') =
Наконец, нормируя на свободный гамильтониан, получим:
gB	г 1	1
-—..j- ,о-Г ехр - геВ • (q' х q") ехр[-5с .
4тг sh(peB/2т)	L2	'J
Упражнение 5.2
Добавим к действию из предыдущей задачи вклад гармонического потенциала	,
v(q) =
Найти матричные элементы статистического оператора.
* Решение. Классическое действие принимает вид
тш( 2sh/3u7
2т
л
2i sh —— \ 2т
е
162
Гл. 5. Континуальные интегралы и квантование
Гауссово интегрирование порождает множитель
Упражнение 5.3.
Уравнение Фоккера-Планка.
1. Используя континуальный интеграл (5.29) с действием (5.33), посчитать распределение вероятностей P(q, т;зо,О)» являющееся решением уравнения Фоккера-Планка
д	х i <э г я 1 дЕ j
at	2 dq [og D dq
с функцией
E(g) = q2.
Можно свести данную задачу к гармоническому осциллятору и использовать соответствующий результат. Получить предельное распределе-
ние при Т —► +оо.
2. Используя континуальный интеграл, посчитать P(q, t;qo,O) при
qo = 0 в случае функции
E(q) = —q2 
Что произойдет в пределе т —> +оо ? Решения.
1. В случае функции
E(q) = q2,
4тг sh(/%/) *
используя соответствующий результат для гармонического осциллято
ра, находим:
Р(д,т;до,О) =
е-[(ч2+Чо) ch т-2чоч]/2Г> sh т е — (q2 — qg )/2£5
-^/2тг2Э(1 -е-2т)
Предельное (или равновесное) распределение при т —> +оо имеет вид
Р(д,т;до,О) ~ -у=е q2>D <х е E^/D .
Т-.00 '/~D
2. В случае функции
E(q) = -q2 -
при </о = 0 получим из представления в виде континуального интеграла следующий результат:
Р(д,т;до,О) =
е~q2/£>(e2r — I)
В пределе т —> +оо распределение становится равномерным и всюду сходится к нулю. Данный результат отражает свойство ненормируемо-сти распределения	— из-за этого оно не является подходящим
равновесным распределением.
Глава 6
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ГОЛОМОРФНЫЙ ФОРМАЛИЗМ
В этой главе будет введено описание квантовой механики в терминах гильбертова пространства квадратично интегрируемых аналитических функций, называемое голоморфным представлением. Затем будет юстроено соответствующее представление в виде континуального интеграла для статистического оператора.
Голоморфный формализм особенно хорошо подходит для изучения ^дрмонического осциллятора и, в общем случае, гармонического осциллятора с возмущением. Тем не менее, может возникнуть вопрос, зачем |<ужно строить еще одно представление для гармонического осциллятора, который может быть достаточно подробно изучен при помощи обычного формализма континуального интегрирования. В действительности, основной мотивацией являются квантовые ДГ-частичные задачи "^зачастую их называют также задачами ДГ тел). Это связано с характерным свойством гармонического осциллятора — аддитивностью «го спектра: энергия TV-го уровня гармонического осциллятора равна Сумме энергии основного состояния и TV-кратного расщепления между соседними уровнями. Эту энергию можно также рассматривать как умму вакуумной энергии и полной энергии TV идентичных и независимых частиц. Возмущения гармонического осциллятора соответствуют заимодействиям между частицами.
Отсюда мы можем получить интуитивное представление о роли обобщенных голоморфных континуальных интегралов (полевых интегралов) для представлений статсуммы квантового Бозе-газа, а в кван-Фвой теории поля — для представлений S-матриц и описания процес-юв рассеяния бозонов. Для иллюстрации мы применим формализм к рнденсации Бозе-Эйнштейна.
В Главе 7 будет показано, каким образом строится параллельный (формализм для фермионов. В последнем случае комплексные переменные должны быть заменены на грассмановы, т.е. антикоммутирующие, «ременные, которые являются образующими антикоммутирующей ал-ебры, позволяющей воспроизвести статистические свойства фермио-ов.
Однако, прежде чем перейти к описанию голоморфного формализ-<а, полезно вспомнить некоторые свойства определенного типа инте-ралов по комплексным переменным.
164
Гл, 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
§ 6.1. Комплексные интегралы и теорема Вика
В случае интегралов по 2п вещественным переменным и {yQ}, а =	когда подынтегральное выражение инвариантно от-
носительно одновременных идентичных вращений во всех плоскостях (xQ,yQ), естественно в каждой плоскости ввести комплексную параметризацию, в таком случае при вращениях эти переменные умножаются на комплексные числа.
Прежде всего, обсудим природу такой замены переменных для случая одной пары (ж,у). Рассмотрим интеграл вида
I = dxdyf(x,y).
Если f — голоморфная функция, можно вложить плоскость R2 в комплексную С2 и рассматривать переменные х,у как комплексные и считать, что исходная область интегрирования определяется условиями Im х = Im у ~ 0. На С2 затем можно сделать линейную замену переменных (х, у) н-> (z,z(\ которая задается унитарной матрицей:
z = (х + iy) , z1 = (х — гу) /\/2 =» dz' dz = idx dy.	(6.1)
В новых переменных область интегрирования определяется условием z' — г, где z обозначает переменную, комплексно сопряженную г, и интеграл принимает вид
dzdz' f(x(ztz/),y(ztz/)).
Кроме того, вращению на угол в вектора (х,у) соответствует замена
zezd, zf
е гв
В частности, если функция f инвариантна относительно вращений, то она является функцией лишь х2 + у2, а после замены переменных — функцией только произведения zz'.
Формальное комплексное сопряжение. Обозначение. Введем стандартное, удобное, но несколько опасное обозначение: мы будем обозначать переменную / как г. Подчеркнем, что комплексные переменные z и г остаются независимыми переменными интегрирования и являются комплексно сопряженными лишь в формальном смысле. Действительно, контуры интегрирования по переменным хну можно деформировать в комплексном пространстве, и тогда эти переменные также примут комплексные значения. Таким образом, символ chcte отвечает интегрированию по поверхности вещественной размерности 2, вложенной в С2.
§ 6.1. Комплексные интегралы и теорема Вика
165
Однако обозначение мотивировано той важной ролью, которую играет формальное комплексное сопряжение, соответствующее отражению у — у и комплексному сопряжению коэффициентов
fm,.xmyn
В переменных г, г формальное комплексное сопряжение имеет очень простой вид:	_
6.1.1. Гауссовы интегралы
Простейший интеграл, подынтегральное выражение которого инвариантно относительно вращений в плоскости, есть
dzdz	1
С* **	_
da?dye	__
2тг
2ЙГ «J

где в исходных переменных (ж, у) интегрирование производится в вещественной плоскости, и Rea > 0.
В более общем случае можно рассмотреть гауссовы интегралы вида
Z(A) =
e-A(z,z)
где A(z, z) — квадратичная форма:
п
(6.2)
Предполагается, что детерминант комплексной матрицы А с элементами Aij не равен нулю. Так как члены вида zz и ~zz отсутствуют, интеграл инвариантен относительно замены переменных
(6.3)
Если А —- эрмитова положительно-определенная матрица, она может быть диагонализована при помощи унитарного преобразования:
А = UDU+,
где U — унитарная матрица, a D — диагональная матрица с собственными значениями сц > 0. Якобиан замены переменных
. обладает свойством | det U|2 = 1, поэтому интеграл принимает вид
7
2(A) =
d^d^ -aiZ^z^ 2in
1
det А ’
166
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
Замечание. В противоположность случаю вещественного гауссова интеграла (1.4), результат является рациональной функцией матричных элементов и, следовательно, при помощи аналитического продолжения может быть обобщен на случай произвольной комплексной матрицы. Действительно, с чисто алгебраической точки зрения, можно произвести асимметричную замену переменных вида Zi	. Aijzj> которая не затрагивает переменные г, и ее якобиан
равен 1/det А. Тогда получим:
2(A) =
что согласуется с
217Г
—
2йг I
6.1.2. Гауссов интеграл общего вида
Гауссов интеграл общего вида
2гтг
dzdz е 217Г
(6.5)
где Ь и Ь соответствуют двум независимым наборам переменных, порождает все математические ожидания с весом e“A(z*z). Как обычно, интеграл можно вычислить с помощью сдвига переменных z и z. Необходимо решить уравнения
п
1
г
Решения удобно выразить в терминах обратной матрицы А = А"1.
Находим:
Замена переменных {^,^} ь* {г^, гч}:
(6.6)
уничтожает члены, линейные по Zi и zit Оставшийся гауссов интеграл по переменным v,v есть в точности интеграл (6.4), следовательно,
Z(A; b,b) = (det А) 1 exp
|_M = I
(67)
§6.1. Комплексные интегралы и теорема Вика
167
Гауссовы средние значения. Полученный результат дает возможность вычислить математические ожидания с гауссовым весом е~Л/2(А):
Дрямым следствием симметрии (6.3) является тот факт, что ненулевыми математическими ожиданиями обладают лишь мономы с одинаковым числом множителей z и Т. Действительно, якобиан замены переменных Zi и-> ег0 Zi. Zi н-> е~г0 z-i равен 1, а функция A(z, z) инвариантна относительно такой замены. Следовательно,
— е	(zii • • • %ipZji • • • Zjq} ~ О’
если р q.
Дифференцируя выражение (6.5) и используя результат (6.7), получим, прежде всего, основную величину для гауссовых средних:

д д
dbk dbe еХР
= •
6=6=0
Теорема Вика. В общем случае, дифференцируя интеграл (6.5) по Ь и b и используя результат (6.7), получим общее выражение для всех гауссовых средних (6.8):
д____д_
дЬгр dbjp
ехр
6=6=0
Вклады, не обращающиеся в нуль при b = Ь = 0, получаются в результате спаривания каждого дифференцирования по & с дифференцированием по b всеми возможными способами. Из этого наблюдения получаем комплексную теорему Вика:
все перестановки Р индексов {ч____jp)
все перестановки Р индексов ......jp }
(6.9а)
(6.96)
Например,
168
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
6.1.3. Пертурбативное разложение
Предыдущие результаты позволяют разложить гауссовы интегралы с возмущением вблизи гауссова приближения. Например, интеграл
(6.10)
может быть разложен по степеням параметра А. Первые несколько членов могут быть посчитаны по теореме Вика. Обозначая при помощи (•)0 гауссовы средние, получим:
ад/7(О) = 1~£(фг2)о +
i
А2 2! 42
Е/.2 2^2 2\	, /~)/\3\
\j/q О( А )
(zizi)0(zjZj)0 + O{X3).
Рис. 6.1. Фейнмановская диаграмма; вклад (z2z2)0 порядка А.
Как и следовало ожидать, последний несвязный вклад сокращается в InZ. Заметим также, что, так как величина (ziZj) не симметрична относительно ijt для правильного представления каждого вклада в терминах диаграмм Фейнмана необходимо использовать ориентированные линии, которые идут, например, от г к г (см. Рис. 6.1).
В качестве другого примера разложим среднее значение (zkZg)x, взятое по нормированной мере, индуцированной подынтегральным выражением (6.10). В порядке А2 разложение имеет вид (диаграммы на Рис. 1.3 и 1.4 с ориентированными линиями):
§ 6.2.	Голоморфное представление
Голоморфное представление основано на идее сопоставления (комплексных) классических переменных г, г операторам рождения и уничтожения которые вводятся, например, при простейшем алгебраическом решении задачи о гармоническом осцилляторе.
§ 6.2. Голоморфное представление
169
6.2.1.	Гильбертово пространство аналитических функций
Рассмотрим комплексное векторное пространство аналитических целых функций, в котором введено скалярное произведение: скалярное произведение двух целых функций fag определяется следующим
Образом:
(5./)=[^е'гТ 5Сг) /(г)’
(6.11)
где z — переменная, формально комплексно сопряженная к г, а ин-
тегрирование определяется так же, как в Разделе 6.1. Скалярное произведение (/,/) задает положительную норму ||/|| = (/>/)• Целые
ункции с конечной нормой образуют гильбертово пространство, кото-
рое ниже будем обозначать fj.
Затем можно определить операторы, действующие на данном гильбертовом пространстве, и, следовательно, построить представление квантовой механики, которое называется голоморфным представлени-
ем.
Заметим, что для того чтобы норма функции f была конечна, эта
ункция должна удовлетворять оценке
Се'2'2/2,
(6.12)
где С — положительная константа.
Ортонормированный базис. Мономы гп/у5г! образуют ортонорми-рованный базис в гильбертовом пространстве fj, так как
dzdz _zz_n т
---е ZZ znzm
2гтг
ТПП •
(6.13)
В справедливости этого результата можно убедиться при помощи теоремы Вика (6.9) или напрямую, сделав замену переменных z, ~z р, 0, где р и 0 — соответственно модуль и аргумент комплексной переменной z. Действительно,
dzdz 2г7Г
J pdp— е
— р2 n+m — n) ____
ос
= 6тп 2pdpp2ne~P2.
с о
Тогда норма функции, разложенной по этому базису
/(г) =
п^О
конечна, если
(/./) = 52l/n|2«! < оо,
п
откуда также следует оценка (6.12).
(6.14)
1


p—2z — п
170
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
6 -функция. В голоморфном формализме роль 6 -функции Дирака
играет функция
<5(г) =
(6.15)
Действительно, вследствие соотношений ортогональности
' dzdz 2гтг
е zz f(z)
dzdz 2Z7F
/ V * n=0
Это замечание будет полезно в Разделе 6.3.
6.2.2.	Гармонический осциллятор и голоморфное представление
Построим теперь представление для операторов квантовой механики, действующих на гильбертовом пространстве fj. С этой целью покажем, что операторы г, действующие мультипликативно, и d/d^ представляют операторы рождения и уничтожения что позволяет диагонализовать гамильтониан гармонического осциллятора
(6.16)
алгебраическими методами.
Операторы рождения и уничтожения. Вспомним, что операторы рождения и уничтожения а) и а, отвечающие гамильтониану (6.16), определяются следующим образом (в этой главе Л= 1, кроме Разделов 6.8 и 6.9):
р — icoq — — zv2lJ«, р + iwq — iv2aja^ =>
a,af] = 1 .	(6.17)
Будучи выражен в терминах гамильтониан принимает простой вид
Но =	+ - и,
причем в данной главе используется соглашение о выборе знака и > 0.
Собственные векторы \к) гамильтониана получаются при последовательном действии на основное состояние |0), удовлетворяющее соотношению
а|0) =0,
оператором рождения а*:
Соответствующие собственные значения = (fc + 1 /2)и. В дальнейшем мы будем опускать глобальную добавку к энергии щ/2, сдвигая Но на -lu/2.
§ 6.2. Голоморфное представление 171
Голоморфное представление. Оператору od сопоставляется умножение на комплексную переменную z:
(6.18)
Оператор а, в свою очередь, представлен дифференциальным операто-
af^df(z)/dz.	(6.19)
Прежде всего, такой выбор согласован с коммутационным соотношением (6.17), так как
[d/dz, z] = 1.
ром d/dz
Далее, рассмотрим скалярное произведение функции g(z) на функцию /(г), на которую действует оператор d/dz:
(5,d//dz) =	ZZ
& tTT
После интегрирования по частям получим:
(g, d//dz)
f dzdz -т-г d _22
' =
dzdz——г
ЙГ2»(2)Лг)-
Это тождество доказывает, что z и d/d^ — эрмитово сопряженные операторы по отношению к скалярному произведению (6.11), так же, как и операторы cd и а. Прямым следствием этого является тот факт, что эрмитово сопряжение сохраняется в представлении (6.18), (6.19).
Следовательно, голоморфное представление квантовой механики изоморфно более привычному представлению в терминах импульса и координаты, или в терминах операторов рождения и уничтожения.
Гармонический осциллятор. Гамильтониан Но — wa^a в данном представлении имеет вид:
HQ = LJZy~.	(6.20)
Q.Z
Голоморфное представление особенно хорошо приспособлено для изучения гармонического осциллятора. Действительно,
H$zn — (jjz— zn = wnzn dz
т.е. мономы zn являются собственными функциями гамильтониана. Мы уже показали, что мономы zn ортогональны (равенство (6.13)) по отношению к скалярному произведению (6.11) — это свойство согласовано с эрмитовостью Hq.
172
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
§ 6.3.	Ядра операторов
Функциям {гп/\/п!}, образующим ортонормированный базис, ставится в соответствие представление единичного оператора в виде ядра:
(6.21)
в справедливости этого результата можно убедиться прямым вычислением. Действительно,
4 dz'dz' 2гтг
e~z'z' I{z,zf)f{zf) =
а|0£е_(г_г)7 f(z,) = f(zy (622)
в силу представления (6.15) 5 -функции.
Тождество (6.22) приводит к новому представлению любой операторнозначной функции а и а*. Используя коммутационное соотношение (6.17), можно разложить любой оператор по базису мономов, записанных в каноническом виде, когда все операторы а стоят справа от всех операторов а* {нормальное упорядочение):
Далее, подействовав оператором в голоморфном представлении на равенство (6.22), получим:
' dzfdzf g 2гтг
' dz'dz' 'у
__	 — g *
2iTT
m
fV).
zmzln ezz’
Следовательно, любому оператору О, записанному в нормальном виде
О = Отпа^тап ,
т.п
соответствует ядро
О(г, г) = O(z, z) е22, где O(z,t) = '^Omnzmzn.
т.п
(6.23а)
(6.236)
Чтобы придать этим выражениям более интуитивно понятный вид, введем формально матричные элементы при помощи бра- и кет-обозначений
O(z,z) = (z|O|z),	(6.24)
не пытаясь строго определить соответствующие векторы.
§ 6.3. Ядра операторов
173
Действие оператора О с ядром O(z,z) на вектор /(г) дается равен-
ством
(<э/)(г)
Получим также ядро, отвечающее произведению двух операторов:
4 dz'dz' 2йг
(z|O2|^)e-?/ (zf |Oi|z) = (z |z).
(6.25)
Кроме того, след оператора О дается соотношением
trO =
4 dzdz
2йт
е zz
(z| О |z).
(6.26)
Используя соотношение (6.25), можно убедиться, что это определение удовлетворяет условию цикличности tr Oi<92 = trO2Oi.
Замечания.
(i)	Из эрмитовой сопряженности z и d/dz следует, что при эрмитовом сопряжении ядро подвергается формальному комплексному сопряжению:	___
=> О(г,г) О(г,г),	(6.27)
что можно проверить непосредственно, сравнивая скалярные произве-дения (/,Ор) и (О1/.^)-
(ii)	Оператору О с матричными элементами Отп в базисе гармонического осциллятора соответствует ядро	n Отп (zm/у/т\)(zn /yfn\).
Из определения (6.26) следует, как и можно было ожидать, тождество
(iii)	Матричные элементы операторов в голоморфном представлении аналогичны матричным элементам в смешанном координатноимпульсном представлении. Последние могут быть получены из матричных элементов (д| О \q') оператора в координатном базисе с помощью частичного Фурье-преобразования по аргументу в правой части:
(</| О |р) =
dq' eip4'/n
(<«•
В классическом пределе комплексные переменные (z,z) образуют параметризацию фазового пространства, являющуюся альтернативой параметризации в терминах переменных импульса и координаты (р, q) (см. Главу 10).
Гамильтониан и статистический оператор. Матричные элементы гамильтониана (6.20) имеют вид:
(z| Hq |z) = wzzezz
(6.28)
174 Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
Матричные элементы (z|C7o(^)l^) статистического оператора Го(«) =
удовлетворяют уравнению
(z| Uo(t) |z) = - (z| HoUo(t) |z) =	(z\ ^o(t) |z) •
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид: (z\U0(t)\z)	z,z).
Из граничного условия
(г| ЩО) \z)=I(z,z) = ezz
следует, что
(z\U0(t) |z) -Z(e'^z,z) =е22е
(6.29)
Заметим, что действие квантового статистического оператора на функцию /(г) дается соотношением:
[Ш)
(6.30)
где использовано равенство (6.15).
Наконец, с помощью свойства (6.27) можно напрямую убедиться, ЧТО Hq и Uo(t) эрмитовы.
Статсумма 2о(/3) — tr e""^Ho является следом оператора Uq(J3). Используя равенства (6.26), (6.29), получим статсумму сдвинутого по энергии гармонического осциллятора:
ЗД) = tr Uo(® = [	.	(6.31)
§ 6.4. Континуальный интеграл: гармонический осциллятор
Построим теперь представление в виде континуального интеграла для квантового статистического оператора, основываясь на голоморфном формализме. Как и в случае вещественных координат, мы прежде всего рассмотрим гармонический осциллятор, а затем системы более общего вида.
Континуальный интеграл. Матричные элементы статистического оператора Uq(1) даются равенством (6.29), следовательно, в первом порядке по t
(z |Е/о(£)|z) — ехР гг(1 “ Mt) + О (t2)
(6.32)
§6.4. Континуальный интеграл: гармонический осциллятор 175
’еперь полугрупповое свойство U$(t) = [Uo(t/n)]n позволяет посчитать JQ(t) Для конечного временного интервала. Используя равенство (6.25) човторно для подсчета матричных элементов произведения, получим:
ч TL р 1 л _
/ 11 тт /-t-Н +{\\— /\ г	ГТ dzkdzjc
(z Uo(t ,t) z ) — hm	I I ———
n—>oc -LJ- 2l7T
J fc-1
exp [zozi - Se(z, г)],
(6.33)
де
n—1	n—1
<Sg(^, z) —	y*	%k (^A?4"l	y*	^k^k~r\ ’
A?=l	fc=0
(6.34)
a £ — (t" — t')/n — шаг по времени, и граничные условия имеют вид
Cq Z , Zn — Z .
(6.35)
После перехода к формальному пределу п —> ос получаем представление в виде континуального интеграла:
r0(t",t')|z')
dz(t)dz(t)
2 г тг
е2^	) ехр [—5о(г, с)],
(6.36)
50(z,z)
t"
= dt z(t) [—z(t) + cuz(t)],
V t'
граничные условия таковы: z(t") = z", z(t') — z'. Симметрия действия между начальным и конечным моментами времени неявная, однако она . может быть установлена при интегрировании по частям члена zz:
t"
5о(г, z) — z(t')z(tf) = —z(t")z(t") + dt z(t) z(t) + cuz(t)
t'
X Отметим, однако, что возможность такого интегрирования внутри кон-£ тинуального интеграла подразумевает, что дифференцирование и взятие среднего значения коммутируют для одновременных произведений й (см. Раздел 5.3.2), и, следовательно, подразумевается выполнение со-1 глашения sgn(O) = 0.
К Наконец, в случае голоморфного континуального интеграла рас-к Смотрение существования непрерывного предела достаточно сложно, к причем природа проблемы аналогична той, которая встречается в ин-Ктегралах по фазовому пространству (см. Раздел 10.2).
К	6.4.1. Гауссовы интегралы общего вида
К Выражение (6.36) можно сразу обобщить на_случай системы, свя-Кзанной линейно с внешними источниками b(t) и b(t). Гамильтониану
	H(t) =	— b(t)a — b(t)d^	(6.37)
176
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
сопоставляются дифференциальный оператор и ядро
wzdz - b(t)dz — b(f)z н->
^zz — b(t)z — b(t)zl ezz .
В порядке e соответствующий статистический оператор имеет вид (7g (Ь;t + г,t) = 1 — следовательно,
(z| UG(b; t 4- e, t) |z) = ezz 1 — efuizz - b(t)z — b(t)z) +O(e2) = = exp zz — e(wzz — b(t)z — b(t)z^ 4- O(s2) .
Соответствующее действие имеет вид
н
di [z(i)b(i) 4- b(i)z(i)1 ,	(6.38)
а матричные элементы UG даются соотношением
(z"\UG(b;t",t')\t) = f	e?(t>(t')	[-5с,(г, г)]  (6.39)
2гтг
Вычисление континуального интеграла. Первым шагом при явном вычислении интеграла является решение классических уравнений движения, полученных путем варьирования по z(t) и z(t):
—z(t) 4- cuz(i) — b(t) = 0, z(t) 4- wz(t) - b(t) — 0.
Решения, удовлетворяющие граничным условиям, есть
t"
z(t) — z”	4-	b(tz)dzz,
t t
z(t) = z7 e-w^"f) 4- е-И*-и) b(u)du.
t'
Сдвигая переменные интегрирования на решение классических уравнений движения, получим континуальный интеграл, уже не зависящий от внешних источников и граничных условий. После интегрирования результат принимает вид
{z"\UG(b}t\tf) |z')	- t'))	(6.40)
где
//
die tf^b(t),
§ 6.4. Континуальный интеграл: гармонический осциллятор
177
dt b(t)z(t) —
dt b(t) с
t"
dzzdt b(u)6(t — и)	b(t),
v
0(t) — функция-«ступенька»: Q(t) = 1 при t > 0, 0(t) = 0 при t < 0.
Как и в случае обычного континуального интеграла, нормировочный множитель Af может быть полностью определен лишь путем сравнения с известным континуальным интегралом.
6.4.2. Гауссовы корреляционные функции
След выражения (6.40) (равенство (6.26)) дает, с точностью до нормировки, производящий функционал корреляционных функций г, г с гауссовым весом e-S° /20 и, как мы увидим, периодическими граничными условиями. Полагая /3 — t" — t', находим:
ZG(b,b;/?) = trC/G(b;/?/2,-/?/2) -
' dzdz _zz
2гл
<^|	-Z3/2) \z) =
где
S(z, z) = zz (1 — e +
4 dzdz 2гл
exp [—£(г, с)],
(6.41)
/3/2
dt |b(t)	z + z__
-/3/2
/3/2
AuAtb{u)e(t -	b(t).
-/3/2
Интегрирование дает:
ZG(b,6;^) = Z0(/?)exp
/3/2
dwdtti(u)A(t - w)b(t)
-/3/2
(6.42)
здесь Zq(0) = tr e /Ш° — статсумма, которая получается равной
ZQ(0) =
ЛГИ)
1 — e-CJ^
ЛЦш0) = 1,
a A(t) — пропагатор. Он может быть записан в виде
А(С =
|е [sgn(t) + l/th(w/3/2)] = с
0(;() е^/2 +6»(-t) е-^/2
gcj^/2___и/3/2
(6.43)
178
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
где sgn(t) = 1 при t > 0, sgn(t) = —1 при t < О, a Q(t) = (1 + sgn(t))/2 — функция-«ступенька». Можно проверить, что он является решением дифференциального уравнения
A(t)-wA(t)=<5(t),
(6.44)
с периодически граничными условиями на интервале [—0/2,0/2 (вспомним, что в смысле обобщенных функций dsgn(t)/dt = 26(t)\
В пределе /3 —> оо пропагатор Д сводится к
Д(£) = 0(t) е
(6.45)
Такая форма приводит к временному упорядочению, или свойству причинности, в пертурбативных вычислениях.
Заметим, что, так как пропагатор Д(£) удовлетворяет дифференциальному уравнению с периодическими граничными условиями, результат (6.42) также получен из континуального интеграла с периодический граничными условиями:
ZG(b,b;0) =
’dz(t)dz(t)'
2гтг
(6.46)
где z(—0/2) = z(0/2), z(-0/2) = z(fi/2), и
/3/2
Sg(£,z) = dt {z(t) [~z(t) 4-cuz(t)] — z(t)b(t) — 6(t)z(t)} .
-/3/2
Действуя с некоторой осторожностью, можно также вывести эти граничные условия, рассматривая след исходного выражения (6.36).
Производящий функционал корреляционных функций с периодическими граничными условиями, полностью определенный условием (1) = 1, имеет вид:
ZG(b,b\0)/Z${0) =
dudtb(u)A(t — u)b(t)
(6.47)
Из исходного выражения (6.39) ясно, что производная по b и b в пределе b = b = 0 является двуточечной функцией, следовательно,
(z(t)z(u)) = Д(£ — и).	(6.48)
6.4.3. Статсумма
-Производная континуального интеграла (6.46) по щ, взятая при b = = b — 0, есть производная статсуммы, поэтому
/3/2
1	л
SJ = -
-/5/2
ch(w/3/2)'
ЛИ1)г(1)) = -<ЗА(О) = —г ^gn(O) + sh(iW2)J .
6.4. Континуальный интеграл: гармонический осциллятор 179
Интегрируя и используя свойство невырожденности основного состояния, определяющее нормировку, получим:
е-Z?u>(l+sgn(0))/2
Wl =	i_e-^		(6.49)
Из-за появления sgn(O) в ответе есть неопределенность. Различные соглашения относительно выбора значения sgn(O) соответствуют различным глобальным сдвигам всего спектра:
Ek - Eq + cufc, Eq - uj( 1 + sgn(0))/2.
Рассмотрим предельные случаи. Выбор sgn(O) = 0 отвечает стандартному симметричному гамильтониану Hq = | щ(аа1‘ + а^а). Другим выбором может быть, например, Д(0) = Д(0_), т.е. sgn(O) — -1, тогда получим:
1 _ ’
что соответствует нормальному упорядочению, Hq — и согласуется с результатом (6.42). Наконец, условие Д(0) = Д(0+) соответствует гамильтониану Hq = шааУ.
Неоднозначность, приводящая к появлению величины sgn(O), связана с выбором упорядочения в произведениях операторов а и сЛ что перестает быть очевидным в формальном непрерывном пределе. С аналогичными проблемами мы сталкивались в Разделах 5.3 и 5.5.2. ^Различный выбор Д(0) соответствуют различному выбору схемы квантования.
Однако в Разделе 5.1 мы уже отмечали преимущества симметричного выбора sgn(O) = 0, и мы вновь их сейчас проиллюстрируем. Используя явный вид (6.43) двуточечной функции, получим среднее значение:
([z(t + 6)- z(t)\[z(t + 5) - z(t)]) = 2Д(0) - Д(й) - Д(-й).
Только симметричный случай
Д(0) = Нт1(Д(<5) + Д(-£)) =
chcu(/?/2) 2sh(cuX3/2) ’
(равенство (6.43)), т.е. sgn(O) = 0, обеспечивает непрерывность этой комбинации при стремлении 6 к нулю. Тогда в общем случае [z(t + + 6) - ^(£)][z(f+ й) — z(£)] имеет порядок |<5| — свойство, характерное для броуновского движения.
180
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
§ 6.5. Континуальный интеграл: гамильтонианы общего вида
Основываясь на голоморфном формализме, мы построим представление в виде континуального интеграла для статистического оператора в случае гамильтониана общего вида. В Разделе 10.2 будут определены интегралы по путям в фазовом координатно-импульсном пространстве. Голоморфные континуальные интегралы и континуальные интегралы по фазовому пространству (10.27) связаны простой заменой переменных вида (6.17) (где квантовые операторы заменены соответствующими классическими переменными), однако граничные условия и граничные члены в них другие.
6.5.1.	Континуальный интеграл
Матричные элементы статистического оператора удовлетворяют уравнению
-J (z| U(t, t') |z) = -H (z, d/dz; t) (z| U(t, t') |z),	(6.50)
С/ L
И
(z|	|z) = ezz .
Гамильтониан общего вида может быть представлен в виде
(6.51)
Если ввести определение
H(ziz;t) = ^Hmnzmznf т,п
(6.52)
матричные элементы оператора U(t + е, t) — решения уравнения (6.50), даются в порядке е соотношением
{z"\U(t + e,t)\z') = ё'г" -её'г" H(z\z'-,t) + O(e2) = (6.53) = exp \z'z" — eH(z",z'; t) + O(e2)1 .
Простое обобщение аргументации Раздела 6.4 дает континуальный интеграл следующего вида:
(z"\U(t",t') |z') =
с евклидовым действием
t"
S(z,z) = dt [—T(t)z(t) + #(z(t), z(t); t)]	(6.55)
V t'
dz^dz(^	exp[-S(z,z)]
2lTT
(6.54)
§ 6.5. Континуальный интеграл: гамильтонианы общего вида
181
и граничными условиями z(tn) = z", z(tf) = zf.
Замечание. Функция H(z,z;t), определенная равенством (6.52), связана с ядром оператора гамильтониана соотношением:
(z\H(t) \z) =gzz H(z,z;t).
В терминах этого ядра уравнение (6.50) принимает вид

' dzdz 2iir
(z'f\H(t) \z)e~zz (z\U(Ct')\z').
Пертурбативное разложение. Пертурбативное разложение основано на разбиении гамильтониана на слагаемое, описывающее гармонический осциллятор, и оставшуюся часть, называемую взаимодействием:
H(z, z; t) = cuzz + H\(z, z; t).
Результаты Раздела 6.4 и, в частности, теорема Вика позволяют нам посчитать континуальный интеграл в виде разложения по степеням Н\. Формально
(z'f\u(t^e)\zf) =
UG& z",z';t"af)
.(6.56)
6=6=0
Статсумма. В случае не зависящего от времени гамильтониана
можно получить статсумму из статистического оператора, взяв его след. В терминах матричных элементов это соотношение принимает
вид:
I
Z(0) = —± е-“ {z\ U(j3/2, -/3/2) |г).
’Комбинируя результат (6.46) с пертурбативным выражением (6.56), убеждаемся, что операция взятия следа приводит к периодическим граничным условиям в континуальном интеграле. Будем иметь:

4 Гdz(i)dz(f)'
2iir
exp [-5(z, z)],
(6.57)
где
0/2
S(z,z)= d£ — z(t)z(t) + H(z(t), z(t)) ,
— 0/2
и граничные условия z(-/3/2) = z(/?/2), z(-/3/2) = z(j3/2).
182
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
6.5.2.	Несколько комплексных переменных
Обобщение голоморфного формализма на случай целых функций N комплексных переменных гг прямолинейно. Скалярное произведение двух функций определяется следующим образом:
(<7- /) =
,ikZii * * *
(6.58)
В терминах разложения в ряд Тейлора
к, i ।,... life
где коэффициенты fa..ik симметричны по к индексам, норма функции
дается соотношением:
II/II2 = (/,/) = Е .............ul2-
Д 1 t • в • * fc
Функции с конечной нормой образуют гильбертово пространство. Такие пространства мы встретим при обсуждении бозонных систем в Разделе 6.6.
На эти функции действуют эрмитово сопряженные операторы рождения и уничтожения z^d/dzi, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
d/dzi,Zj\ = 6ij .
Ядро единичного оператора имеет вид
г
(6.59)
Теперь легко выписать ядра, отвечающие операторам, записанным в нормальной форме, действуя на Т.
Статсумма дается континуальным интегралом, обобщающим выражение (6.57):
где действие имеет вид
-Д/2
dNz(t)dNz(t)'
ехр [—S(z, z)],
(6.60)
.3/2 1
dt
(2гтт)
(6.61)

и выполнены периодические граничные условия:
z(-0/2) = z(0/2), z(-/3/2) = z(/3/2).
§ 6.5. Континуальный интеграл: гамильтонианы общего вида
183
6.5.3.	Обсуждение.
Упорядочение операторов и неоднозначности в континуальном интеграле. Трудности, с которыми мы уже сталкивались в Разделе х4.3, связанные с упорядочением в произведениях некоммутирующих операторов естественно, увеличиваются для квантовых гамильтонианов более общего вида, потому что в наиболее интересных случаях *о взаимодействия входят мономы, включающие как а, так и at В f(z,z) множитель (zz)p порождает неоднозначность, имеющую вид юлинома по zz порядка р — 1, поэтому число параметров возрастает вместе со степенью р. Мы предоставляем читателю проверить, в качестве упражнения, что неопределенная величина Д(0) (равенство л6.43)) возникает при вычислении континуального интеграла по теории возмущений в спариваниях внутри произведений (zz)p, появляющихся из произведений операторов.
Как показывает вычисление статсуммы (равенство (6.49)), нормальное упорядочение соответствует принятию асимметричного во времени соглашения sgn(O) = — 1. Более симметричная во времени конструкция получается в результате комбинирования нормального и антинормаль-ного упорядочения. Гамильтониан (6.51) можно также представить в антинормальноупорядоченном виде:
H(t) = Н{г,д/дг-Л) = ^Нтп
т.п
п
Исходя из такого определения, получим в порядке е для матричных элементов оператора U(t + e, t), являющихся решением уравнения (6.50), следующее выражение:
(z"\U(t + е, t) |г') = ez" —eH(z", d/dz"-, t) ez'z" +O(e2).	(6.62)
I
Запишем теперь тождество U(t + 2e, t) = U(t + 2e, t + e)U(t + c, t) через матричные элементы:
(z2|t/(i + 2s,t)|z0) =
=	+ e)| z\) e“Z12‘ {z\ \U(t + e, t)\ zq) —
dzidzi 2гтг
[1 -eH{z2,zx\t)]^’z^
1 - eH{z\,d/dz\\t) +O(s2)
|Где последовательно использованы представления (6.53) и (6.62). Интегрирование по частям по zj приводит к замене
-I
771
~П
dzi e
~z\Z\
n
184
Гл, 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
Тогда получим:
{z2\U(t + 2e,t)\z0) =
= -^-^'z2~z'z'+zaz' [1 - sH(z2,z};t) - eH(zi,zi-,t)\ +О(г2).
Отсюда можно заключить, что при использовании симметричного во времени формализма в континуальный интеграл вводится полусумма нормально- и антинормально-упорядоченных членов. Это согласовано с выбором sgn(O) = 0. Заметим, что такой анзац решает проблему с неопределенностью (zz)n в порядке	но трудности остаются в
порядке (zz)n~2.
Пример. В случае гамильтониана (6.20) это приводит к вставке следующей величины:
Результат (6.49) заменяется на
ZO(J3) = е^/2
e-/Ml+sgn(0))/2
1 - е“^
sgn(0)/2
Мы возвращаемся к точному результату при sgn(0) ~ 0.
Голоморфный формализм и координатно-импульсное фазовое пространство. В Разделе 10.2 будет представлено формальное построение континуального интеграла, в котором путями являются траектории в координатно-импульсном фазовом пространстве. Если в голоморфном формализме ввести вещественные переменные при помощи замены
z = (д - ip)[, z = (q + ip)[,	(6.63)
получим классическое евклидово действие в гамильтоновой записи, т.е. выраженное в терминах переменных фазового пространства (равенство (10.28)), которое с точностью до граничных членов имеет вид:
5(р. ч) =
di \-ip(t)q(t) + Н(р, q)],
а также меру интегрирования Лиувилля. Однако граничные условия, за исключением случая статсуммы, будут другими, что неудивительно, т.к. отличаются и матричные элементы.
6.5.4.	Гармонический осциллятор: вещественное возмущение
В качестве упражнения мы покажем, как можно заново получить пертурбативное разложение статсуммы (2.75), исходя из приближения гармонического осциллятора, в случае гамильтониана вида
§ 6.6. Бозоны: вторичное квантование
185
Обращая соотношения (6.17), через операторы а, а^:
Q =
можно выразить оператор координаты q
Действие в соответствующем голоморфном континуальном интеграле имеет вид:
t” 1 S(z,z) = di
t'
z(t) [-z(t) + wz(t)] + Vi((z(i) + z(t))/V2u
Пертурбативное разложение no Vi может быть представлено в виде
1г l!L
ункционального дифференцирования континуального интеграла, от-
вечающего гармоническому осциллятору, линейно связанному с z + z, аналогично выражению (2.75). Такая комбинация соответствует гауссову интегралу (6.38) с вещественным источником: b(t) = b(t). Таким образом, выражения (6.40) и (6.43) могут быть симметризованы во времени. Производя также замену b(t) »-> b(t) /\/2и>, получаем:
//
U(t",t')[z') -
(z"| (7g(Ь; tf) |z')
где (см. равенство (6.40))
, (6.64)
b=0
(z"| Uc(b; t", tf) \zf) = exp -w(tn - t')/2 + e *) +	(6.65)
t”
b(t] 1 Г
4^ + ^ dtdTbW~—-b(T)
v2o? 2 J
Таким же образом равенство (6.42) может быть переписано в виде
didT5(t)P(t-T)5(r
, (6.66)
tr C7G(M",t')	2 sh(u;,Zj!/2) ехр
^где функция D(t) связана с A(i) (равенство (6.43)) соотношением
D(t) = Т(д(<) + д(_^)) = 4wv	'	2wsh(cj/?/2)
этот результат согласуется с (2.52).
tf
(6.67)

|Я .
1
д
§ 6.6. Бозоны: вторичное квантование
t Теперь мы изучим квантовые бозонные системы в так называемом ^формализме вторичного квантования. В первой части будет подразумеваться, что бозоны могут занимать лишь конечное число квантовых состояний, например, в силу того что мы интересуемся только
186
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
спиновыми степенями свободы или потому что бозоны размещены на конечной пространственной решетке.
6.6.1.	Бозонные состояния и гамильтониан
Одночастичные состояния. Однобозонное состояние определяется вектором» который мы обозначаем принадлежащим комплексному векторному пространству которое мы пока будем считать конечномерным с размерностью N.
Многочастичные состояния, n-частичное состояние описывается вектором ^1^.-.in’ гДе индексы ik пробегают N значений. Из статистических свойств бозонов следует инвариантность вектора относительно любых перестановок (перестановку будем обозначать Р) индексов {гь... , гп}:
'0г|г2---гп ^Pip} *Р2 • • -ipn •
Векторы	являются симметричными тензорами с п индексами и
принадлежат комплексному векторному пространству размерности ( п ) ’
Независимые частицы: гамильтониан. Одночастичный гамильтониан Н(1) определяется своим действием на одночастичные состояния: он представляется эрмитовой N х N матрицей которая, следовательно, может быть диагонализована. Будем обозначать ее собственные значения Тогда
г •
Действие его на n-частичное состояние аддитивно:
• in
Если полный гамильтониан имеет такой простой вид, то бозоны не взаимодействуют — в таком случае говорят о независимых частицах.
Двучастичное или парное взаимодействие. Парное, или двучастичное, взаимодействие Н/2) определяется своим действием на двучастичные состояния:
и-(2)
где	— эрмитова матрица, удовлетворяющая соотношениям
Н&) •  = Я(2)   = я(2) . .
4*20172	*24 0271	3\72*4*2 »
и, следовательно, представляет собой внутреннее отображение в векторном пространстве симметричных тензоров. Если Н(2) действует только на симметричные тензоры, то матрица может быть симметризо-
вана, поэтому
Я(2)	= я(2)	= я(2)
*1*201 h 4*20271	*240172 ’
§ 6.6. Бозоны: вторичное квантование
187
Действие на n-частичное состояние имеет вид:
[Н^ ^...г
j,k
Простое обобщение данной конструкции позволяет определить Л-частичные взаимодействия, но в дальнейшем мы для простоты ограничимся обсуждением не более чем двучастичных взаимодействий.
6.6.2.	Векторы состояний: производящая функция и
*	гамильтониан
Теперь рассмотрим совокупность всех векторов состояний, отвечающих произвольному числу бозонов, т.е. принадлежащих объединению Всех пространств	п = 0,	Пространство еще не
Определенное, соответствует нуль-частичному, или пустому, состояния • (также называемому вакуумом).
> Введем комплексный вектор Zi е CN и функцию N комплексных  переменных
ОС |
=	^-inZitZh Zin •	(6-68)
П=0 II .«2.in
Так как мы имеем дело с бозонами, коэффициенты	симмет-
ричны по всем индексам и, следовательно, могут быть получены путем дифференцирования функции Ф(г).
Дальнейшее рассмотрение подтвердит, что возможен выбор функций Ф(г), нормируемых по отношению к скалярному произведению (6.58);
£ Где множитель 1 /п\ сокращается с множителем, возникающим в силу * многократного суммирования по индексам
Такие функции принадлежат гильбертову пространству целых ^функций N переменных, что объясняет, почему данному формализму |Дано название «вторичное квантование».
L Заметим, что
kJ .	*
188
Гл, 6, Континуальные интегралы и голоморфный формализм
представляет собой одночастичный гамильтониан, действующий на вектор Ф(г).
Аналогичное вычисление показывает, что парное взаимодействие представляется оператором
Н(2) = 1 V z- z- нФ  -____________ (6 70)
2 2^ 2г' г’2 Л^и2дгдг 	1 J
*bt2.JU2	J
Полный гамильтониан
Н = Н<|)+Н(2)	(6.71)
имеет в точности вид гамильтониана, подобного тем, которые обсуждались в рамках голоморфного представления, обобщенного на случай N комплексных переменных. В частности, он является эрмитовым по отношению к скалярному произведению (6.58).
Оператор числа частиц. Гамильтониан Н сохраняет число частиц, и из этого свойства следует, что число множителей z должно быть равно числу множителей d/dz в каждом члене. В терминах оператора числа частиц N, для которого при действии на Ф(г), как несложно проверить, справедливо представление
М =	(6.72)
V dz*
это свойство выражается при помощи коммутационного соотношения
[N, Н] = 0.
Оператор числа частиц является частным случаем одночастичного оператора (6.69).
Ядра. Ядро единичного оператора имеет вид (выражение (6.59))
Гамильтониан (6.69) и оператор числа частиц представлены ядрами
(z, z) = Z(z, z) u^ZjZj, N(z, z) ~ Z(z, z) ZjZj (6.74) i	i
соответственно.
Наконец, ядро парного взаимодействия (6.70) таково:
= |l(^,z) ^2 zuzhHi^.j^z^zh- (6.75) ii -J2
§6.7. Статсумма
С точки зрения квантовой статистической физики, для изучения термодинамического предела системы частиц можно использовать две различные стратегии: либо работать с фиксированным числом частиц
§ 6.7. Статсумма
189
и затем перейти к пределу п —> ос, либо рассматривать прямую сумму ©Г)п, п = 1, ..., ос гильбертовых пространств, фиксируя среднее число частиц при помощи варьирования химического потенциала (при этом подразумевается слабая связь с резервуаром частиц, аналогично тепловому резервуару для температуры). Здесь мы изучим статистические свойства бозонных систем в рамках последней модели, которая называется большим каноническим формализмом статистической физики, используя формализм, развитый в Разделе 6.6.
Химический потенциал. В квантовой механике операторам, коммутирующим с гамильтонианом, соответствуют законы сохранения. Со статистической точки зрения, законы сохранения приводят к нарушению эргодичности. В такой ситуации нужно добавить к гамильтониану слагаемое, пропорциональное соответствующему оператору, чтобы определить среднее значение сохраняющейся величины. В случае сохранения числа частиц, нужно заменить гамильтониан Н на оператор
H — //N,
что приводит просто к изменению Вещественный параметр который умножается на оператор числа частиц N, называется химическим потенциалом. Он позволяет менять среднее число частиц.
Статсумма. Чтобы посчитать статсумму
2(0, р) = tr
применим голоморфный формализм, описанный в первой части главы. Статсумма дается континуальным интегралом вида (6.60):

г»
[dz(f )dz(£)] exp [—5(z, z)]
с действием
S(z, z)
- Zi(t) [zi(t) + yzi(t)] + H(z(i), z(i)) г
(6.76)
(6.77)
и периодическими граничными условиями:
^(-/3/2) = Z00/2), zt(-0/2) = Zi(0/2).
Ядро, отвечающее гамильтониану (6.71), может быть записано в виде: (z| Н |z) — Z(z, z)H(z, z)t ч
где величина Т определена в (6.73), a H(z,z) может быть получен из ^Выражений (6.74), (6.75). Тогда получим:
V H(z,z) = ^UiZiZi + |	•	(6-78)
г	i\,i2J\j2
190
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
Сохранение числа частиц приводит к (7(1) ~ 50(2) симметрии действия, сответствующей вращению
т.к. в нем имеются лишь мономы с одинаковым числом множителей z и z. Конечно, тот же формализм можно применить и для изучения систем, в которых число частиц не сохраняется. В таком случае эта симметрия отсутствует, и уже нет потребности в химическом потенциале.
Уравнение состояния. Уравнение состояние — это соотношение между средним числом частиц, температурой и химическим потенциалом. Оно может быть получено из статсуммы с помощью дифференцирования по химическому потенциалу:
(N) = 1 -1-_
Используя представление в виде континуального интеграла, получим:
dt	(гДО)гг(О))
г
(6.79)
вследствие инвариантности относительно сдвигов по времени.
Упорядочение операторов. При любом явном вычислении континуального интеграла мы сталкиваемся с неоднозначностями, связанными с проблемой упорядочения операторов. Произведения в выражениях (6.69), (6.70) естественным образом записаны в нормальноупорядоченном виде. Поэтому, если потребовать выполнения условия sgn(O) — 0, то по причинам, разъясненным в Разделе 6.5.3, нужно прибавить к слагаемое, порожденное Н^2\ и добавить постоянное слагаемое для сокращения энергии основного состояния.
§ 6.8.	Конденсация Бозе-Эйнштейна
Прежде всего, рассмотрим систему независимых частиц. Конечно, в этом случае достаточно сложный формализм, описанный в Разделе 6.7, на самом деле не требуется. Однако применение его в такой простой ситуации даст нам возможность перейти к Разделу 6.9 и позволит нам объяснить конденсацию Бозе-Эйнштейна.
В случае независимых бозонов статсумма сводится к произведению статсумм гармонических осцилляторов, отвечающих каждому уровню энергии, причем этот результат следует напрямую из представления в виде континуального интеграла (6.76).
§ 6.8. Конденсация Бозе-Эйнштейна
191
В отсутствие взаимодействий, используя статсумму или сразу равенство (6.79) с гауссовой двуточечной функцией (6.43) (где sgn(O) = = —1), получим уравнение состояния:
(ni) - е0(^-д) _j ’ i
(6.80)
где (ni) — средняя заселенность энергетического уровня г.
Это уравнение можно также выразить в терминах одночастичного гамильтониана следующим образом:
(N) = tr *—-------------.
' 7	е/3(Н(1)-м) _ J
(6.81)
Заметим, что бозонная система устойчива лишь в случае р < inf си».
От конечномерного векторного пространства к гильбертову пространству. До сих пор мы подразумевали, что одночастичные состояния принадлежат конечномерному векторному пространству. Теперь мы обобщим этот формализм на тот случай, когда одночастичные состояния сами принадлежат гильбертову пространству. Данная ситуация будет более систематически обсуждаться в Разделе 6.9, но здесь, в качестве вступления, мы изучим уравнение состояния системы независимых частиц. Формальное выражение (6.81) по-прежнему справедливо, но теперь оператор одночастичного гамильтониана.
6.8.1.	Гармонический потенциал
Прежде всего, изучим случай частиц, находящихся в изотропной гармонической потенциальной яме в d-мерном пространстве. Одночастичный гамильтониан может быть записан в виде:
Н (P’q} = 2^P +2mwq-
t Простое обобщение квазиклассического формализма Раздела 2.10 поз-воляет посчитать среднее число частиц при высокой температуре (вы-
г сокой по сравнению с расщеплением Кш между энергетическими уровнями, т.е. при /ЗНш С 1). Можно, например, разложить выражение | (6.81) по степеням статистического оператора и заменить каждый |^член в разложении его квазиклассической аппроксимацией вида (2.90). |Т1росуммировав ряд, получим:
КГ к<*
dd р dd q
(6.82)
(N)
(2тгП)<* е0(д(1)(р.ч)-м) -1
Среднее число частиц является возрастающей функцией р. В данном ^вазиклассическом приближении величина р должна быть неположи-
192
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
тельной. Заметим теперь, что при d > 1 интеграл обладает конечным пределом при // = 0, который может быть явно посчитан:

(6.83)
где ( ~ функция Римана. Этот результат приводит к очевидному противоречию: если температуру уменьшать при фиксированном среднем числе частиц, то получим предельную температуру:
(N)\I/d
На первый взгляд кажется, что это явление отражает ограничения квазиклассического приближения, т.к. для гамильтониана с дискретным спектром (N) расходится, когда р стремится к энергии основного состояния.
Рассмотрим, однако, более подробно, что происходит с уровнями энергии, близкими к основному состоянию, когда /?, или Т = Тс, фиксированы, a (N) увеличивается на макроскопическую величину 8N, т.е. 8N = O((N)) =	При этом химический потенци-
ал стремится к энергии основного состояния Eq — dhjj/2. Для всех состояний, кроме основного, энергия Е удовлетворяет неравенству Е — р Е — Eq Кш, что накладывает ограничения на индивидуальные числа заполнения, так как
п	= o((W)-d).
Следовательно, они могут поглотить лишь пренебрежимо малую часть этого добавка, и сумма всех соответствующих чисел заполнения по-прежнему дается равенством (6.83). В противоположность этому, для энергии основного состояния уравнение
6N ~	~ —_2-------
е/3(Е0-м) _ 1	/?(ЕЬ — м)
имеет решение
0(ЕО - м) = X = O((Hw0)d) «	.
Поэтому в том случае, когда пространственных измерений больше одного, наблюдается примечательное явление, характерное для бозонов: при фиксированном среднем числе частиц и температуре ниже Тс макроскопическая часть газа занимает только одно квантовое состояние, а именно основное состояние одночастичного гамильтониана. В этом состоит сущность физического явления, называемого конденсацией Бозе-Эйнштейна, а Тс — температура конденсации.
§ 6.8, Конденсация Бозе-Эйнштейна
193
6.8.2.	Свободный бозонный газ в ящике
Рассмотрим гамильтониан свободной частицы, находящейся в ящике с одинаковыми размерами L во всех измерениях, обладающем, следовательно, объемом Ld в пространстве размерности d. Одночастичный гамильтониан есть просто
= р2/2т.
В ящике происходит квантование импульса, причем явный вид квантования зависит от граничных условий. Подразумевая для удобства выполнение периодических граничных условий, что, впрочем, не играет роли в дальнейшем обсуждении, будем иметь:
р = 2тг/ш/£, n е Zd.
В пределе бесконечного объема L —> ос всегда возникает высокотемпературный режим, потому что расщепления между соседними уровнями энергии убывают как h2/2mL2.
Уравнение состояния — предел равенства (6.80), когда суммы заменяются на интегралы, — в d пространственных изменениях принимает вид, аналогичный (6.82). Интегрирование по q дает множитель Ld, поэтому плотность имеет вид
ddp
(6.84)
irK)d е/з(р2/2т-м) -1 ’
Заметим, что р, должно быть отрицательным, в противном случае бозонная система неустойчива, и что при d > 2 плотность р, являющаяся возрастающей функцией р, ограничена величиной
Ре =
Trh)d e^P2/2m _ 1
= C(d/2)/Xd
где £(z) — функция Римана, а X — тепловая длина волны
X = 27rn/VmT .
Альтернативно, при фиксированном р уравнение состояния не имеет решений при температурах Т < Тс(р) ос (h2/m)p2/d. Возвращаясь к ящику конечного размера, в котором импульсы квантуются, и уровни Энергии дискретны (как в (6.80)), можно убедиться, что оставшиеся частицы собираются в основном состоянии — в данном случае это (Состояние с нулевым импульсом. Это еще один пример конденсации Бозе-Эйнштейна.
I Наконец, напомним, что химический потенциал не является физи-Ьцеской наблюдаемой и чаще всего исключается через давление газа
= \nZ/3Ld.
194
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
Замечание. Трижды мы неявно использовали тождество
которое можно доказать, например, разложив
проинтегрировав почленно и просуммировав.
§ 6.9.	Обобщенные континуальные интегралы: квантовый Бозе-газ
В данном разделе мы покажем, как естественное обобщение формализма континуального интегрирования, представленного в Разделах 6.6 и 6.7, позволяет вывести представление в виде полевого или континуального интеграла (интегрирование ведется по классическим полям) для статистической суммы нерелятивистских бозонных систем.
Мы вновь рассматриваем термодинамические свойства системы частиц, подчиняющихся статистике Бозе, в большом каноническом формализме.
6.9.1.	Гамильтониан в фоковском пространстве
Рассмотрим гамильтониан квантового Бозе-газа в d пространственных измерениях:
Н —T + V,	(6.85)
где Т — кинетический член, который в подпространстве п-частичных волновых функций представляется следующим образом:
н2
(6.86)
а V — парное взаимодействие, имеющее вид
Vn = V{xi~ Xj), где V(x) = V(—х).
(6.87)
Для простоты мы не будем здесь вводить одночастичный потенциал.
Теперь мы напрямую применим формализм, описанный в Разделах 6.6 и 6.7.
Производящие функционалы и скалярное произведение. Для того чтобы показать, как в данном контексте можно применить функциональные методы, необходимо пройти несколько этапов.
Обозначим ...,хп) волновую функцию п бозонов; она инвариантна относительно перестановок ее п аргументов. Введем ком-
§6.9. Обобщенные континуальные интегралы: квантовый Бозе-газ 195
тлексную функцию (поле) (обобщающую комплексный вектор Zi ^аздела 6.6) и функционал
1	/ Г	-	\
ф(^) = /? ~i	^n(zi,...,zn).	(6.88)
77, *	i	/
и—О	V	i	J
Так как волновые функции симметричны, то Ф(<£) — производящий функционал этих волновых функций (см. Раздел 2.5.2). В векторном Пространстве производящих функционалов можно ввести скалярное произведение, имеющее вид обобщенного континуального интеграла — .полевого, или функционального, интеграла, потому что в нем проводится интегрирование по комплексным функциям <р(ж),9р(я):
(Фь Фг)
(6.89)
d“z <^(х)<^(2:)
Ф] (<^)Фг(9?) ехр
.Интеграл неявно нормирован условием
(1,1) = 1 =
ехр
dd£ <£(£)<£(£)
Такое нормированное комплексное векторное пространство называется фоковским пространством.
Так как скалярное произведение дается гауссовым интегралом, для Вычисления скалярных произведений необходимо знать только двуточечную функцию. Она может быть получена из интеграла общего вида
г
J(J, J) = [d<£d^] ехр
dd£ — (/?(j)^(x) + J(x)<p(x) + J(x)<p(x)
^двигая поле и используя условие нормировки, получим:
J(J, J) = ехр
ddx J(x)J(x)
Функциональное дифференцирование дает двуточечную функцию:
т ! (
..Ч.
dd£ (р(х)<р(х) = $(d\x\ —£2)»
[dc^d^p] (£(£1)92(2:2) ехр -
Яде 5^ — d-мерная функция Дирака.
L Как следствие, норма функционала (6.88) дается соотношением
Гамильтоново представление. Теперь необходимо представить кинетический член и потенциал в виде операторов, действующих на Ф.
196 Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
Представление кинетического члена Т можно получить при помощи короткого вычисления. Рассмотрим величину


* 1
п
г<п
В правой части аргумент х может быть переименован в хп, и коэффициент при Пг<п^(ж*) может быть тогда симметризован. Это дает множитель \/п и порождает сумму всех вторых производных, пропорциональную кинетическому члену (6.86). Следовательно,

(6.90)
Двучастичный потенциал V, который в n-частичном подпространстве дается выражением (6.87), может быть получен путем двукратного дифференцирования по полям ф с двумя различными аргументами. Находим:
[УФ](^) = | d.dxd.dy^xMy)V(x - У)
(6.91)
Мы получили представление для полного гамильтониана Н = Т 4- V, действующего на производящие функционалы. Наконец, представление оператора числа частиц есть просто
6
N =
5<р(х)'
и [N,H]=0. 	I
(6.92)
По причинам, которые были разъяснены в Разделе 6.7, в дальнейшем будет рассматриваться модифицированный гамильтониан Н — jzN, в котором параметр р — химический потенциал, позволяющий менять среднее значение N.
6.9.2.	Функциональные интегралы, или интегралы по полям
Представление матричных элементов статистического оператора в
виде полевого интеграла может быть получено из тех результатов,
которые были получены в рамках квантовой механики в Разделах 6.6 и
6.7. Комплексные переменные zi голоморфного представления (Раздел 6.2) заменяются на у(х), где непрерывная координата х играет роль индексов i. Обозначим при помощи ^(х) поле, сопряженное к ф(х).
Можно убедиться, что в смешанном ip, (^-представлении при скалярном произведении (6.89) единице соответствует ядро (см. также равенство
(6.21)
= ехр
ста: <р(х)<р(х)
§ 6.9. Обобщенные континуальные интегралы: квантовый Бозе-газ 197
Следовательно, ядро гамильтониана имеет вид:
Г h2
МВД =
w/ 2т
у	(х - y)tp(x)tp(y) T(ip,<p).	(6.93)
Оператор числа частиц представлен ядром j*Аахф(х)р(х)Т(у>,<р).
Адаптируя выражения Раздела 6.7, в частности равенство (6.76), получим представление статсуммы в виде полевого, или функционального, интеграла:
Z(r/h) = tTV(T/2,-r/2) =
[d^(f, x)d<p(t, ж)] ехр[—<S((£, р)/И] (6.94)
с периодическими граничными условиями
^(т/2, х) = р(-т/2, х), <р(т/2, х) = ч>(-т/2, х),
и евклидовым действием
5(99,99) = -
*
dt ddxp(t,x)
('. д ft2 _2	\ /. \
dt &dx &dy <p(t, x)tp(t, x)V(x - y)tp(t, y).
(6.95)
Добавление одночастичного потенциала Vj(x) просто приводит к замене р н-► р — Ц (ж). Кроме того, здесь получено представление оператора e-T(H_^N>/n. Для получения статистического оператора необходимо положить т = h(3.
Сохранение числа частиц вновь приводит к (7(1)-симметрии действия, которая задается преобразованиями
р(х) *-> ег0 </?(ж), ^(ж) н-► е-г0 р(х).
Замечания.
(i) Отметим, что при явном вычислении полевых интегралов, вообще говоря, появляются новые расходимости, которые требуют применения таких операций, как регуляризация и перенормировка, однако это несколько выходит за рамки данной книги.
(ii) Здесь мы построили нерелятивистскую квантовую теорию поля. Переход к релятивистской квантовой теории поля теперь является, главным образом, кинематической задачей.
Свободная теория. Действие свободной теории сводится к
<р) = -
di ddxp(t,x)
f' д h2 2	\ /х \
198 Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
Удобное представление получается с помощью преобразования Фурье для поля:
</>(£, ж) —
р etpx/h <p(t, р), <p(t,x) =

В таком случае квадратичная форма в действии диагонализуется, и действие принимает вид
<$(<£, р) = (2ith)d dtdd
Р2 2т
<p(t,p)-
В свободной (гауссовой) теории все величины могут быть выражены в терминах двуточечной функции. Используя результат (6.43), получим:
- t\p)Sd(p ~ pf\
где
А (Л р) = е J sgn(t) +
I
ch[td(p)r/2ft] 1 sh w(p)r/2h J ’
и щ(р) = p2/2т — g. Уравнение состояния получается путем дифференцирования статсуммы (6.94). Предполагая наличие ящика линейного размера L с периодическими граничными условиями, получим плотность:
1
Ж м) =
1 dlnZ
0Ld др
dt ddx (</>(£, х)<р(Г x)) = (<p(0,0)<p(0,0))
где использована трансляционная инвариантность в пространстве и времени. Вводя преобразование Фурье для поля, получим:
р(/3, р) = ddp ddp' (р* (0, р)р(0, р')) =	ddp A (0, p) =
1 Г ,d 1 Г ,n.	ch[/3w(p)/2] ]
(2irh)d J d P 2 |sgn(°) + sh[/3u>(p)/2] J '
Это выражение совпадает с результатом (6.84), полученным напрямую, если для sgn(0) выбрано значение -1. Другой выбор, например, sgn(0) — 0, даст расходящийся результат, но в последнем случае слагаемое, пропорциональное р, должно быть добавлено к действию для устранения этого дополнительного вклада в р.
Взаимодействия. В присутствии слабых отталкивающих локальных взаимодействий этот формализм позволяет, например, изучить связь (crossover) между конденсацией Бозе-Эйнштейна и фазовым переходом в сверхтекучем гелии. Потенциал можно смоделировать при помощи S -функции Дирака (регуляризованной на малых расстояниях в пространстве размерности d > 1)
V(x) = g6d(x), g>0.
Упражнения к главе 6
199
н действие становится локальным в пространстве и времени, в том смысле что оно представляет собой интеграл от лагранжевой плотности, зависящей только от полей и их производных:
5(<р, р) = — dt ddx
<p(t,x)

2
g\(p(t,x)ip(t,x))
(6.96)
Полевой интеграл может быть посчитан при помощи метода наибыстрейшего спуска. Седловым точкам соответствуют постоянные поля. Уравнения седловых точек таковы:
- W + 9Ч?Ф = ~№Р + 94?У = 0.
При р < 0 у этих уравнений имеется только тривиальное решение ip — Тр — 0. В противовес этому, при /л > 0 имеются и другие решения: рр = р/д> и можно убедиться, что они соответствуют седловым точкам, дающим основной вклад, так как соответствующее действие в большом объеме Ld есть
5 = -/3Ldp/2д => р = р/д.
При р < 0 решение (/(1)-инвариантно, и (7(1)-симметрия не нарушена, при /z > 0 ведущие седловые точки [/(1)-неинвариантны, что соответствует спонтанному нарушению С7(1)-симметрии. При наличии взаимодействий значение химического потенциала р — 0 является точкой перехода в классе фазовых переходов Не4. Заметим, однако, что если не ограничиваться ведущим членом, то первая поправка к р имеет внд (6.84) и потому конечна при р — 0 только в термодинамическом пределе и при количестве измерений d > 2, как при конденсации Бозе-Эйнштейна. Граничная размерность d ~ 2 является особенной и соответствует фазовому переходу без нарушения симметрии — переходу Костерлица-Таулесса.
Упражнения
Упражнение 6.1 Используя результат (6.7), привести простое доказательство следующего тождества о детерминантах: запишем матрицу А в виде	\
А = I ^12 ) у А21 а22 у ’
Где Ац} AI2, A2i и А22 — четыре р х р, рхп - р, п-рхрип- рх х п — р матрицы, соответственно. Тогда
det А - det Аи det (А22 - А2! Af/A^) .
Решение. Запишем детерминант А в виде комплексного гауссова интеграла. В этом гауссовом интеграле проинтегрируем скачала по пер
200
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
вым р переменным, а затем по остальным п — р. Несложно убедиться, что это дает требуемое тождество.
Упражение 6.2 Посчитать среднее значение

где z\, z\, 22, z% — комплексные переменные, по следующей мере:
d^id^i d^2d^2
2?7Г	2«7Г
ехр [-2^121 - 2]22 - 2221 ~ Z2Z2] .
Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид:
М =

следовательно,
Упражнение 6.3
Посчитать средние значения
где 2i,2i,22,22 — комплексные переменные, по следующей мере:
d2jd2i dz2(lz2
2гтг 2?7г
ехр [ — 22] 21 — 32] 22 — 32221 — 52222 .
Решение.
(г12])=5, (22Z1) = -3, (2]22) = -3, (г2г2)-2, ((T1)22122) = -30, (2]2]2222) = 19.
Упражнение 6.4
Посчитать квадрат нормы голоморфной функции
f = 1 + 22] + 52$ + 32222 ,
где 2], 21,22, 22 — комплексные переменные, по следующей мере:
1 d2]d2[ d22d22
2 2гтг 2гтг
ехр [~2]21 - 2222/2] .
Решение. 299.
Упражнение 6.5
В голоморфной формулировке квантовой механики операторы координаты и импульса имеют представления:
(6.97)
Рассмотрим состояние, соответствующее целой функции ^(2) = еаг, где а ~ произвольное комплексное число.
Посчитать средние значения операторов координаты и импульса q,p и среднеквадратичные отклонения Aq = ((q2) — (q)2)1/2,
Упражнения к главе 6
201
Др = ((р2) — (р)2)1/2 (полагая h = 1). Показать, что состояния ф являются состояниями минимальной дисперсии: Д^Др = (это минимальное значение, разрешенное принципом неопределенности Гейзенберга).
_Решение. Прежде всего, посчитаем норму ф(Ф), при этом получим еаО£. Простое вычисление дает:
(q) — (2/a))^2Rea, (р) = (2щ)1/21та, (Д(?)2=1/2щ, (Др)2 = щ/2,
откуда следует, что ф — состояние минимальной дисперсии.
Упражнение 6.6
Посчитать квадрат нормы функции /(г) = е-аг /2, где а — вещественный параметр, используя определение (6.11). Обсудить полученный результат. Обобщить на случай комплексных а.
Решение. Можно вернуться к вещественным переменным (6.1) и произвести интегрирование. Тогда получим:
В согласии с общим ограничением, функция нормируема лишь при
Случай комплексного а сводится к вещественному случаю при помощи замены переменных z егв г, z н-> е-г0г, где в = — Arg(a)/2. При этом а2 заменяется на |а|2.
Упражнение 6.7
Операторы сдвигов по координате и импульсу. В данном упражнении будем по-прежнему использовать представление (6.97) для операторов р, Q, но положим щ = 1.
1. Найти собственные векторы оператора координаты q в пространстве целых функций. Посчитать скалярное произведение двух собственных векторов (Может быть полезно вернуться к вещественному интегрированию).
Решение. Собственный вектор соответствующий вещественному собственному значению q, является решением уравнения
Решение может быть записано в виде
fq(z) =е-(г-«'/2)2/2.
д' I
; Тогда
(Лл/д) =	S(q-q')-
г*
[2. Рассмотрим оператор Т(а), определенный своим действием на голо-
202
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
морфные векторы:
[T(a)f](z) = f(z, а) = е-"2/^5-"’/4 f(z + a/V2),
где а — вещественный параметр. Проверить абелев закон умножения
Т(а)Т(/3) = Т(а +/?),
действуя на произвольный вектор f.
Проверить явно, что оператор Т(а) сохраняет скалярное произведение (т.е. что он унитарен).
Действуя Т(а) на собственные векторы fq оператора q\ показать,
что:
T(°dfq](z) =
Показать, что /(z, а) удовлетворяет уравнению в частных производных 5/(z,a)	1 ( д	\
—к"— = “7?Г F “ г f г’(6.98) да	\/2 \dz	J
Показать, что Т(а) — оператор сдвига: Т(а) = егс^.
3.	Определить ядро оператора Т(а) и напрямую проверить унитарность.
Решение. Подействуем Т(а) на ядро единичного оператора Т:
Т(а, z,z) = [T(a)T](z,z) = е~а2^~а2/41(z + a/V2 ,z) =
_ ^zz-\-a{z — z)/\/2—OL2/^ — V	*
Доказательство унитарности основано на проверке равенства
2гтг
Т(а, z, v)T(a, v, z) = ezz .
4.	Определим теперь оператор
[V(j3)f](z) = e-i/32/'/5-^/4 /(г - i0/V2),
где 0 вещественно. Проделать то же, что для Т(а), заменив уравнение
(6.98) на
d[V(0)f] =	(д_
д0	\ dz
+ z} [V(0)f].
Показать, что V(0) — оператор сдвига по импульсу: V(a) = е и*я.
5.	Действуя на голоморфные векторы, вывести коммутационное соот-
ношение
V(0)T(a) = e^T(a)V(/3).
Упражнение 6.8
Бозонные системы в голоморфном представлении.
Рассмотрим гильбертово пространство аналитических функций /(z), в котором введено скалярное произведение (6.11).
Упражнения к главе 6
203
Невозмущенный гамильтониан, в голоморфном представлении имеющий вид
описывает систему бозонов, которые могут занимать лишь одно состояние энергии. Затем введем взаимодействие между бозонами и средой, которая может поглощать и испускать бозонные пары с равной вероятностью, что соответствует добавлению потенциала
к Но, где параметр а выбран вещественным, и данная параметризация будет удобна в дальнейшем. При этих предположениях гамильтониан Н = Но + V остается эрмитовым.
1. Введя оператор
В = -—Н az, dz
выразить Н через В^В.
Решение.
=a^-+z, Н= —(В^В - а2) . dz	1 + az v	z
2. Определить голоморфные собственные векторы /±(z) с /±(0) = 1, такие что
в/+=о, Bt/_ = O
и посчитать их норму. При каких условиях нормы конечны?
Решение. f+(z) — e~az /2, следовательно, в соответствии с результатом упражнения 6.6,
(/+,/+) = -_= у 1 - az
Норма конечна, если а Кроме того,

откуда /_(z) = е z2/2o!, и
! Получаем условие а2 > 1. Оба вектора не могут быть нормированы Ь одновременно, а при а2 ~ 1 ни один из них не является нормируемым, з 3. Посчитать коммутатор [В, ВЦ и связать В и В^ с операторами |рождения и уничтожения гармонического осциллятора (различая два |случая |а| < 1 и > 1). Получить спектр Н. Показать, что при |а| /
204
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
1 он является спектром независимых частиц, которые можно назвать квазибозонами.
Решение. [В, ВЦ = 1 — а2.	_______
При |а| < 1 можно положить В = Ах/Т— а2, где А — оператор уничтожения с обычной нормировкой [Л, Л^] = 1, поэтому
(1 -q2)AM-q2
1 можно положить ~ Ау/ос1 — 1 , и спектр Н дается
При а следующим соотношением:
7V>0.
Эти результаты согласуются с условиями нормировки /±. Можно убедиться, что, как и гамильтониан, спектр инвариантен относительно а 1/а. Замена z iz напрямую показывает, что Н(а) имеет тот же спектр, что и Н(—а), что согласуется с явным результатом.
Итак, при |а| / 1 мы получаем спектр независимых частиц, или квазибозонов, в том смысле что эти бозонные состояния являются суперпозицией состояний с 1, 3, ... исходными бозонами.
4.	Определить ядро (z| Н |z), соответствующее гамильтониану Н. Затем получить представление в виде континуального интеграла для ядра (z| [/(/?, 0) |z), соответствующего статистическому оператору [/(/3,0) = е"^я.
Решение.
Получим представление в виде континуального интеграла
С/(Д 0) \z) =
<W)<W)
21тг
e2(0)z(°) ехр [—5(г, г)]
с евклидовым действием
(г2(£) + z2(f))
(6.99)
и граничными условиями z(/3) = z, z(0) = z.
5,	Начиная с настоящего момента, ограничимся рассмотрением случая 0 < а < 1 и положим
/3(1-а2)/(1+а2) = Л, а = е
Из вычисления континуального интеграла получим зависимость [7(z,z;/3,O) от z,z.
Упражнения к главе 6
205
Можно использовать линейные комбинации классических уравнений движения, чтобы представить действие в виде
S(zc, zc) = - i [гс(/3)гс(/3) - zc(O)zc(O)j,
где zc(t\zc(t) — решения. Чтобы решить уравнения, можно ввести две линейные комбинации z(t)±z(t).
Решение. Интеграл гауссов, поэтому его можно вычислить. Прежде всего, для того чтобы избавиться от граничных условий, решим уравнения движения:
-z(t) + Z(t) + —^-2 2l(t) =0, 1 + (У
+ z(t) +	= 0.
1 + Ос
(6.100)
(6.101)
Умножим z(t) на уравнение (6.100) и прибавим к z(t), умноженному на уравнение (6.101), тогда получим:
Подставляя это тождество в действие (6.99), получим полную производную, что дает первый результат:
5(г,г) = -|[г(/ЗД)-г(0)г(0)].
Так как z(0) и г(0) фиксированы граничными условиями, достаточно посчитать z(0) и г(/?). Решения уравнений могут быть записаны в виде
—abe
z(t) — — aae
1
?
а —

я
I
Следовательно, zshrt — zshA	zshu — zshA
г(°) = ~ JC/x 7 . < >	=  C7V7—Г”
; и, наконец,
+ г2) sh А — 2zzshp
6.	Получить нормировку из вычисления tr (7(/3,0), сравнивая результат, например, с выражением, полученным напрямую с использованием определенного ранее спектра.
206
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
Решение. Гауссово интегрирование дает нормировку М и
(z\U(0,O) |z) = ,Ve2(°’2(0^S(2'2’.
Посчитав след, получим статсумму
2(0)
e-zz ег(0)г(0)-<$(2,г) — 2гтг
__Л/_ /sh(A + /1) 2sh(A/2) у sh/i
Прямое вычисление, основанное на определенном ранее спектре, дает
е/?/2
= 2sh(A/2)
V sh(A + /1)
Упражнение 6.9
Рассмотрим статсумму (6.57) с
3/2.
{z(i) [-z(t) + wz(t)] + ^А [*(t)z(£)]2} ,
-0/2
где щ, А — две положительные константы. Посчитать энергию основного состояния Eq с точностью до А2 с условием 0(0) = -, т.е. sgn(0) — 0. Затем определить весь спектр до порядка А. В общем случае, используя (3.1), определить точный спектр.
Решение. Нам могут помочь вычисления, приведенные в Разделе 6.1.3. Прежде всего, используя теорему Вика, получим:
где (z(t)z(t)) дается пропагатором (6.43) в момент времени 0:
(S(f)z(f)) = Д(0) = | (sgn(O) + 1/th(^/2)).
Сравнивая с выражением (3.2), получим спектр до порядка А:
Е^ — (к + —)щ + jA(fc2 4- к + —).
На самом деле, этот спектр является точным. В пределе {3 —> ос из гауссовой двуточечной функции (6.45) следует упорядочение по времени. Поэтому все связные диаграммы, кроме как в порядке А, который неоднозначен, обращаются в нуль, что доказывает требуемое свойство для энергии основного состояния. В общем случае, можно убедиться, до интегрирования по времени, что все пертурбативные вклады не зависят от времени. Поэтому интегрирование по времени дает множитель 0п в порядке Ап. Тогда из разложения (3.1) следует, что вклады выше первого порядка не меняют спектр.
Упражнения к главе 6
207
Упражнение 6.10
Посчитать двуточечную функцию (z(u)z(v)), отвечающую весу /Z, до порядка Л2 при в —> ос. Вычислить энергию Q — Е{ — Eq, где Е{ соответствует первому возбужденному состоянию (одночастичному состоянию).
Решение. Раскладывая по степеням Л2 и используя теорему Вика, получим (и вновь причинное свойство пропагатора существенно упрощает вычисление):
= в(и - v) e-^+A/2^u-v) +О(А3).
Следовательно, Я — ш | Л + О (А3)» тром.
что согласуется с точным спек-
Упражнение 6.11
Объяснить эти результаты через соответствующий гамильтониан,
выраженный в терминах операторов рождения и уничтожения.
Решение. Гамильтониан определяется континуальным интегралом с точностью до проблемы упорядочения операторов. Поэтому он имеет
вид
Н = ш(а*а + |) + ^((а^а)2 + аа*а + /3), X
где а,0 — две числовые константы. Спектр имеет вид:
Ek =	+ |) + A(fc2 + ak + /3).
Сравнивая с результатом вычисления, заключаем, что
а=1,
Наконец, так как собственные векторы гамильтониана те же, что и у гармонического осциллятора, двуточечная функция дается соотношением:
(z(u)z(v)}
= 0(и - v) (0| q-^-e^u-v) |0) =
(0| a |fc) e-^-E^u-v) at |о) =
k=0
e(u-v)e~{E,-E°^u~v'>.
Упражнение 6.12
Используя голоморфный континуальный интеграл, посчитать двумя .различными методами поправку порядка А к собственным значениям
Энергии гамильтониана
до сравнить результат с выражением (3.2).
208
Гл. 6. Континуальные интегралы и голоморфный формализм
В первом методе выразите взаимодействие четвертого порядка через операторы рождения и уничтожения, нормально-упорядочьте произведения и затем замените их классическими переменными z,z, следуя подходу, описанному в Разделе 6.5. Для нормального упорядочения можно сначала доказать тождество
gXfa+at) __ ^ха ^х2/2
либо путем дифференцирования, либо используя формулу Бейкера-Хаус дорфа.
Во втором методе напрямую замените q классической переменной (z + z)/vz в члене четвертого порядка. Наконец, сравните это выражение с полусуммой нормальной и антинормальной записей. Можно использовать второе тождество
а:(а+а+)  	g—ж2/2
Решение. Находим:
(а + (Д)4 — а)4 + 4а*а3 + 6а^2а2 + 4(J3a + а4 + 6а^2 _|_ 12а+а + 6а2 + 3.
Теперь заменим квантовые операторы классическими переменными 2, z. В этом порядке дают вклад только члены с одинаковым количеством гиг. Используя теорему Вика, получим:
= глйад + 4Д<°)+ 4Д2<°))+0 М
где (z(t)z(t)) дается пропагатором (6.43) в момент времени 0. Если положить sgn(O) = -1, то
'ге’да = wb?2j [' ’	'th2<“"’/2) + О т
~ выражение, согласующееся с результатом (3.2).
Во втором случае слагаемое четвертого порядка дает вклад в дей-
ствие
dt (z(t) + z(£))4.
В порядке Л нужно учесть только член, пропорциональный (zz)2. Используя теорему Вика, получим:
‘”"Я = 2Й'1-ЗА'ЗД2<0) + О(А2)Ь
Если положить sgn(O) = 0, мы вновь получим точный результат.
Наконец, полусумма нормально- и антинормально-упорядоченных выражений дает (z + z)4 + 3, что отличается от точного результата на глобальный сдвиг.
Глава 7
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: ФЕРМИОНЫ
Методы, описанные нами до настоящего момента, позволяют изучать квантовые бозонные системы общего вида. Как было объяснено в Разделе 6.6, они основаны на введении производящей функции симметричных волновых функций бозонов.
В случае фермионных систем мы сталкиваемся с проблемой, состоящей в том, что фермионные волновые функции или фермионные корреляционные функции (т.е. функции Грина), в отличие от бозонных, антисимметричны относительно перестановки двух фермионов. Поэтому для построения производящих функций необходимо ввести антисимметричную, или грассманову, алгебру переменных.
Достаточно удивительно при этом то, что можно обобщить на грассмановы алгебры понятия производной и интеграла. Это позволяет построить параллельные формализмы для бозонов и фермионов и, в частности, определить континуальный интеграл для фермионных систем по аналогии с голоморфным континуальным интегралом для бозонов.
В пределе бесконечного количества фермионных состояний при помощи этого формализма можно выразить статсумму Ферми-газа в виде интеграла по грассмановым полям с антипериодическими граничными условиями.
§ 7.1.	Алгебры Грассмана
Алгебра Грассмана 21 на К или С (вещественные или комплексные числа) — это ассоциативная алгебра, полученная из единицы (в дальнейшем будет обозначаться 1) и набора генераторов {^}, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям:
0.0^. + 0^0. = О Vz,j.	(7.1)
(В дальнейшем, если не оговорено обратное, будут рассматриваться только комплексные алгебры, и при упоминании генераторов единица будет опускаться, т.к. она играет особую роль)
Следовательно,
(i)	Если число генераторов п конечно, элементы алгебры образуют векторное пространство конечной размерности 2П над R или С. Все
210
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
элементы могут быть записаны в виде линейных комбинаций элементов
1 и {0it0i.2 Лгр}, где 11 < г2 < ••• < ip, 1 < р п. (7.2)
(ii)	— градуированная алгебра, в том смысле, что каждому моному	можно поставить в соответствие целое число р, равное
числу генераторов в произведении.
(iii)	Элементы 51 обратимы тогда и только тогда, когда при разложении по базису (7.2) член нулевого порядка не обращается в нуль. Например, эелемент 1 + в обратим, и обратным к нему является 1 — 6\ в противоположность этому, 0 необратим. Обратный элемент может быть посчитан с помощью разложения в формальный степенной ряд, который начинается со слагаемого, обратного члену нулевого порядка.
(vi) Все элементы алгебры Грассмана, если их рассматривать как функции генератора di, представляют собой полиномы первого порядка, т.е. аффинные функции.
Отражение. В алгебре 51 можно определить простой автоморфизм
Р(Д + В) = Р(4) + Р(В), Р(АВ) = Р(4)Р(Я), Р(АД) = АР(Д) V4, В е 51, А е с, представляющий собой отражение:
Р(0<) = -0< => Р2 = 1.	(7.3)
Действуя на моном порядка р, получим:
=	(7.4)
Векторное пространство, порожденное элементами 51, может быть представлено в виде суммы двух векторных пространств 51±, содержащих четные и нечетные элементы:
Р(21*) = ±21*.	(7.5)
Отметим также следующее свойство:
А^ = ^Р(А).
(7.6)
Если элемент принадлежит 51+, он коммутирует со всеми элементами 51:
Д+ е 51+ А+В = ВА+ , \/в.
В частности, 51+ — максимальная коммутативная подалгебра 51.
С другой стороны, если элементы А_,В_ оба принадлежат 51“, то они антикоммутируют:
А- В- е 51“ => A-В- +В-А- = 0.
Как следствие, все элементы 51 нильпотентны, т.е. квадрат любого из них равен нулю.
£ 7.2. Дифференцирование в алгебрах Грассмана
211
Комплексное сопряжение. В квантовой механике, в основном, требуются алгебры Грассмана 21 с четным числом_ генераторов, которые могут быть разделены на два набора {^} и {02-}, i—	Тогда
можно определить аналог обычного комплексного сопряжения в алгебре, порожденной	В действительности, эта операция обладает
свойствами эрмитова сопряжения матриц или операторов (и мы будем пользоваться теми же обозначениями):
{б>+ = 0, 0f = е,
(ЛА! +M2)f = ЛЛ|+М2>	(77)
(А1А2)+ = АЦ{, VA|,A2g21 и Л.^ес.
Заметим, что, как следствие, = дд.
§7.2	. Дифференцирование в алгебрах Грассмана
В грассмановых алгебрах можно определить обобщенную производную. Слишком наивное определение, однако, было бы несовместно с некоммутативным характером алгебры.
Как функции заданного генератора Вг, все элементы А алгебры 21 могут быть записаны в следующем виде (вообще говоря, после некоторых коммутаций):
А — 41 + 0{А2 >
где Ai и А2 не зависят от 0*. Тогда производная по определяется
следующим образом:
дА 7ГГ = А2.
(7.8)
Как и обычное дифференцирование, это линейная операция. Однако оператор d/dOi является нильпотентным, и квадрат его равен нулю: (д/двг¥ = О.
Замечание. Равенство (7.8) задает левую производную, в том смысле что при действии d/dOi необходимо сначала прокоммутировать Шемент Oi, так чтобы он оказался в левой части каждого монома, прежде чем его опустить. Похожим образом можно определить правую ^производную, коммутируя элемент Qi, так чтобы он оказался в правой Ласти, прежде чем его опустить.
Производная произведения. Из определения (7.8) следует, что производная произведения не удовлетворяет обычному правилу Лейбница D(AB) = AD(B) +D(4)B. При помощи (7.6) можно убедиться, что это Правило заменяется на следующее:
V
- i
И
д(АВ) дО,
(7.9)
ичем это правило является согласованным для любой ассоциативной гебры и гомоморфизма Р.
212
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
(7.Ю)
Дифференцирование сложной функции. Для грассмановых производных выполняется особый вид правила дифференцирования сложной функции. Если <т(0) принадлежит а х(0) принадлежит полу-ЧИМ;	д ..dadf дх 9f
d0J{a'X’ ~ деда + де дх '
Проверка этого равенства проста, так как F с необходимостью является аффинной функцией ст, а ст и а? — аффинными функциями 0.
Заметим, что во втором члне в правой части важен порядок множителей.
Алгебра Клиффорда. Нильпотентные операторы дифференцирования d/ddi вместе с генераторами если их рассматривать как операторы, действующие на 51 при помощи левого умножения, образуют операторную алгебру, генераторы которой удовлетворяют антикомму-тационным соотношениям
(7.И)
Операторы
тогда удовлеторяют антикоммутационным соотношениям
{D±,D±} = ±2^, {Dt,D;} = 0.
Из такого представления следует, что полученная таким образом алгебра является прямой суммой двух клиффордовых алгебр.
§	7.3. Интегрирование в алгебрах Грассмана
Интегрирование по грассмановым переменным, которое мы обозначаем при помощи символа интегрирования, определяется как операция, идентичная дифференцированию;
<10, А = -£-А, VA е 21.
(7.12)
Поэтому может возникнуть вопрос, насколько полезным является введение двух символов, интеграла и производной, для одной и той же операции. Прежде всего, убедимся, что эта операция обладает также формальными свойствами, характерными для интегрирования в случае определенных интегралов’.
(i)	Интеграл от полной производной равен нулю, что является обоснованием возможности интегрирования по частям.
(ii)	После интегрирования по какой-либо переменной выражение более не зависит от этой переменной.
(iii)	Множитель в произведении, не зависящий от переменной интегрирования, может быть факторизован перед знаком интегрирования.
£ 7.3. Интегрирование в алгебрах Грассмана
213
Итак, выбор символов интегрирования или дифференцирования зависит от контекста, что, как будет показано, позволяет построить для фермионов формализм, параллельный бозонному формализму, описанному в Главе 6.
Замена переменных. Рассмотрим интеграл

(7.13)
н сделаем замену переменных, полагая (замена переменных с необходимостью аффинна)
б = в'А + В.	(7.14)
Потребуем, чтобы четность, в смысле отражения (7.3), сохранялась: так как Р(0) = -0,
Р(0') = -0' & 0' е 21" => А е 21+, В е 21" .
Кроме того, элемент А должен быть обратим и, следовательно, слагаемое нулевого порядка по грассмановым переменным в нем должно быть ненулевым. Из этих условий, на самом деле, следует, что 0 и 0' — два эквивалентных генератора в алгебре.
Используя определение (7.12), находим:
<10/(0) = А’1
d07(0(0')),
причем последняя форма не зависит от специальной параметризации (7.14). Это очень важное свойство грассмановых интегралов: якобиан имеет вид (50/50') вместо 50/50', как в случае вещественных или комплексных переменных. Это различие является также отражением идентичности дифференцирования и интегрирования в алгебрах Грассмана.
Обобщение. В качестве обобщения покажем, что замена перемен-
ных
бг = 0Ав!), 0<е2Г,
где матрица 50г/dOj обратима (что эквивалентно обратимости матрицы из членов нулевого порядка), порождает якобиан, обратный детерминанту dOi/dO1^
d0I,..d0n=d0{...d0;j(0/),	(7.15)
J"1 = det	(7.16)
об-
hr
аметим, что детерминант определен, потому что все элементы матрицы 50;/50< принадлежат коммутативной подалгебре
л/
214
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
Этот результат можно вывести, воспользовавшись тождеством, связывающим дифференцирование и интегрирование:
d0,...d0n/(0) = nAm
где произведение в левой части является упорядоченным. Будем теперь рассматривать f как функцию переменных 0?' и, следовательно, ис-
пользуя правило дифференцирования сложной функции (см. равенство
(7.Ю)),

Элементы dO^JdOi коммутируют и могут быть факторизованы. Операторы дифференцирования д/дО^. антикоммутируют (см. равенства (7.11)), поэтому все произведения пропорциональны произведению, упорядоченному от 1 до п. При этом появляется знак, являющийся сигнатурой перестановки ji, j2,.. ., jn- В получившемся выражении легко узнать детерминант матрицы д0^/д0{\
ТТ _ j 4. д&з ТТ ®
П odi ~ det dot П дд'к ’
г	к К
Тождественность операций дифференцирования и интегрирования сразу же приводит к равенствам (7.15), (7.16).
Замечание. Следующий пример служит прямой проверкой равенства (7.15):
1 = d0j ... d0n 0П ... 0[ .
Сделаем линейную замену переменных
з
тогда результат основывается на тождестве
вп ...0\ ~ 0fn...0\ det а.
7.3.1. Интегрирование и комплексное сопряжение.
В дальнейшем будем рассматривать алгебры с двумя семействами генераторов {0^^}* 1 — 1,...,п, связанных комплексным сопряжением, определенным в (7.7). В этих алгебрах будем рассматривать интегралы вида
алм/(М),
где пара в, в — любая пара сопряженных генераторов; такие интегралы являются прямыми аналогами комплексных интегралов Главы 6.
£ 7.4. Гауссовы интегралы и пертурбативное разложение
215
Выпишем явно зависимость функции f от 6 и 6: f = «о +	+- вЬ\ + 00а%,
где коэффиценты принадлежат алгебре, и проинтегрируем, тогда получим I = «2- Проинтегрируем теперь комплексно-сопряженную функ
цию;
deae р (е, е).
При той же параметризации выполняется
0) = aj + а|0 + b\0 + a^SO,
а так как 00 коммутирует с а^, то J =	. Интеграл от сопря-
женной функции есть величина, сопряженная интегралу от исходной функции. Поэтому можно считать, что мера d^d^i инвариантна относительно комплексного сопряжения.
В частности, если функция самосопряженна, то же относится и к интегралу.
В дальнейшем встретятся интегралы вида
d0d(9 евв f(0,0) = а0 + а2.
И снова замена f р дает сопряженный результат.
§ 7.4. Гауссовы интегралы и пертурбативное разложение
Определим теперь гауссовы интегралы, в_которых интегрирование ведется по двум семействам генераторов {0i,0i}, г — 1,... ,п, аналогично комплексным гауссовым интегралам Раздела 6.1.
7.4.1.	Гауссовы интегралы
Сначала займемся расчетом гауссовых интегралов, по той же причине, что и в случае комплексных переменных: по мере возможности произвольный интеграл стараются свести к формальной сумме конечного или бесконечного числа гауссовых интегралов.
Рассмотрим, прежде всего, интеграл
Z(M) =
(п
J	**	**
(7,17)
(В соответствии с правилами грассманова интегрирования, этот_инте-Ьррал равен просто коэффициенту перед произведением 0п0п..>0\0\ в изложении подынтегрального выражения. В показателе экспоненты
216
Гл. 7, Континуальные интегралы: фермионы
стоят только слагаемые, принадлежащие которые коммутируют. Поэтому подынтегральное выражение можут быть записано в виде
Раскладывая произведение, видим, что в каждом множителе только член, пропорциональный 0^, дает вклад в интеграл. Таким образом, остается проинтегрировать
Члены, дающие ненулевой вклад в интеграл, — те, в которые входит произведение вп. ..02^1 с точностью до перестановки множителей 0}. Они имеют вид:
перестановки
• • ЩААп •  • $1
При коммутации генераторов с целью представить все произведения в некотором стандартном виде, например 0п0п • • -010ь возникает знак — сигнатура перестановки —, поэтому в коэффиценте легко узнать детерминант матрицы М. Итак,
Z(M) = detM.
(7-18)
Этот результат является обратным по отношению к (6.4), полученному при интегрировании по комплексным переменным.
Данный расчет является по большей части проверкой, так как при detM Ф 0 можно также сделать замену переменных
0;^0' = ^Мо0,	(7.19)
и воспользоваться видом якобиана (7.15). Убеждаемся, что:
Z(M)
det М d0{d0j ... d0^d0n ехр
detM
(1 =detM.
Эрмитова квадратичная форма. В соответствии с определением (7.7)
£ 7.4. Гауссовы интегралы и пертурбативное разложение 217
комплексного сопряжения, di и 0^ являются сопряженными. Кроме того, величина, сопряженная квадратичной форме, имеет вид:
Если матрица М эрмитова, то квадратичная форма инвариантна относительно комплексного сопряжения. Тогда интеграл равен вещественному числу, так как
det М = det = det М,
р согласии с обсуждением Раздела 7,3.1. и
7.4.2.	Гауссовы интегралы общего вида
Введем еще одну алгебру Грассмана 21, генераторы которой будем обозначать щ и тц, и рассмотрим алгебру Грассмана, порожденную набором {0,0,77,77}. Действуя в соответствии со стратегией Раздела 6.1, сначала найдем значение интеграла
2g (т?,??) =
d0,d0i ехр Eg (в, 9, т/, 77), г
(7.20)
где
п	п
Ес(в,в,г],т]) =	+ '^(Tji0i + eiT]i') ,	(7.21)
i,j=[	г—1
Т.е. Eg является элементом прямой суммы двух копий исходной алгебры Грассмана. Кроме того, будем считать, что detM 0.
Чтобы уничтожить слагаемые, линейные по 0 и 0, решим уравнения:
= 0,
-0.
Вводя обратную матрицу
можно записать решения 0s, 0Ь в виде:
—с	ж
AijTJj ,	= ~	•
j	j
как и в случае обычных интегралов, сделаем замену переменных {0J	{0$}» полагая
0i = 0'-VA^, 0г = 0--(7.22)
218
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
После такого сдвига интеграл по 0f, в принимает вид интеграла (7.17), вычисленного ранее (равенство (7.18)). В результате получаем:
(п
- ^2
i.j = 1
(7.23)
7.4.3.	Гауссовы средние значения, теорема Вика
Будем обозначать (•) средние значения по гауссовой мере, соответствующей подынтегральному выражению (7.20). Из определений (7.20), (7,21) следует, что
(7.24)
(7.25)
Обратите внимание на знак в равенстве (7.25). Другое полезное тождество получается при двукратном дифференцировании (обратите внимание на порядок):
В качестве обобщения, дифференцируя по т/ и 7J, можно доказать теорему Вика для грассмановых переменных.
Теорема Вика. Введем определение:
detМ(01,04,0^0^ ---0io0jo} = \ Ч JI *2 Л	ср Jp /
Г /	\	/ п	\
= I pfdfljd#, )	...0i„Ojp ехр I У2 ) > (7.27)
\ i	/	\M = 1	/
где p n. Можно ограничиться_вычислением интегралов с одинаковым количеством множителей 0 и 0, так как остальные интегралы равны нулю.
Прежде всего, равенство (7.26) в пределе р = р = 0 дает:
Повторно дифференцируя интеграл (7.20) 7.26), получим тождество:
по р и р и используя (7,24-
detM
р

£ 7.4. Гауссовы интегралы и пертурбативное разложение
219
Заменив А на явный результат (7.23), получим:
(млад К} =
\ М J1	J2	с р Jp /
_ J д д д д
I fh/i,	drljp дтцр Схр
(7.29)
77—г]~- О
Зсе переменные ту и ту, по которым нет дифференцирования, могут быть $разу же отброшены. Тогда матрица Д сводится к р х р матрице с Элементами Тождественность дифференцирования и интегрирования позволяет свести явное вычисление к гауссову интегрированию. В итоге получим:
~~ det Ajtik —
“	52	ii ^jp2h • • • Ajppip =
перестановки P набора
=	£	(7.30)
перестановки P набора
*де e(P) = ±1 — сигнатура перестановки Р.
Данный результат, который представляет собой теорему Вика в случае «комплексных» грассмановых переменных, отличается от выражения (6.9а), полученного для случая обычных комплексных переменных, олько наличием сигнатуры.
7.4.4. Пертурбативное разложение
Для того чтобы посчитать средние значения с весом /Z, где
Е(е,е)= ^м^0^ + У(0,в), i.j=l
(7.31)
нормировка Z дается интегралом

P[d(Wi еЕ^-в\
(7.32)
г
необходимо произвести разложение по степеням полинома V и затем сосчитать гауссовы средние значения, применяя теорему Вика в форме <30).
Пример. Рассмотрим пример

220
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
где Vij — Vji. Первые члены разложения InZ, где Z — нормировочный интеграл (7.32), по степеням V имеют вид:
In 2 - In det М = Vij (ei6iQj()j')Qc + ij

где (•)Ос обозначает связное гауссово среднее значение. Используя теорему Вика, получим:
In Z — In det М —
i,j Vij	4-
4~	( ^^ki^ik^j j	4" ^^ki^il^lk^jj ^^ki^ij ^jl^lk~^~
+^ik^ki^ljAji	Ajfc) 4- O(V^),
где знаки соответствуют четности числа фермионных петель в диаграммах Фейнмана (см. Рис. 7.1).
Рис. 7.1. Фейнмановские диаграммы: вклады порядка V, сплошные линии соответствуют Д (фермионы), пунктирные V.
Двуточечное среднее значение. В порядке V2 выполняется
+| 52 (ШШШЧ + 0(У’)-
где («)0 означает гауссово среднее значение.
Применяя теорему Вика, после сокращения нормировочных вкладов получим (порядок V изображен на Рис. 7.2):
— ^£к 4“ / Vjj ^ji^ik	^ik^jj) 4“
4
4"A£i Via^aj Vjb^bb^ja^ik ^ji^jaVab^bb^ai^ik
£ 7.5. Векторное пространство фермионов и фермионные операторы 221
Vjb^ab^baVai ~Ь A^j Vja ^jbVbi ^ba ^ai ^ik ) 4* 0(1/ ).
Рис. 7.2. Фейнмановские диаграммы: вклады порядка V, сплошные линии соответствуют Д (фермионы), пунктирные V.
Производящая функция. Средние значения более общего вида могут быть также получены из производящей функции
3(77,77) =
„£(0,0,77,?/) »
(7.33)
где
П	11
Е(0, ё, 7], 7f) = 52 Mi^ei + V^' 0) + 52	+ М •
i,j~ 1	?=1
(7.34)
Разложение в степенной ряд по V сводит вычисление к гауссовым средним. Используя результаты (7.24), (7.25), получим для пертурбативного разложения компактное формальное выражение
3(?у, т?) = ехр
ZG<J],7]).
(7.35)
§7.5. Векторное пространство фермионов и фермионные операторы
Описание фермионных систем при помощи грассманова формализ
ма, введенного только что, параллельно описанию бозонных систем при помощи голоморфного представления. Например, в Разделе 6.1 было показано, каким образом определяется скалярное произведение аналитических функций (равенство (6.11)). Такое скалярное произве
дение позволяет построить гильбертово пространство аналитических
nf
ункций. С квантовой точки зрения, коэффициенты ряда Тейлора соот
ветствуют компонентам волновой функции по состояниям с заданным числом частиц (см. Раздел 6.6). Квантовые операторы представлены
операциями умножения и дифференцирования, действующими на эти аналитические функции.
1. Следуя аналогичной схеме, мы прежде всего определим грассмановы «аналитические» функции. Эти функции образуют векторное
222
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
пространство, в котором определяется скалярное произведение. Квантовые операторы представлены элементами алгебры операторов (7.11), действующими на эти функции.
7.5.1. Грассмановы аналитические функции и скалярное произведение: одно состояние
Прежде всего, рассмотрим грассманову алгебру 21 с двумя генераторами 0,0. Определим грассманову аналитическую функцию как элемент алгебры, зависящий только от переменной 0\
Грассмановы аналитические функции образуют подалгебру 21 ап. алгебры 21. Аналитические функции f(0) автоматически являются аффинными:
/(0) = Л + /А /oJi еС2.
Эти функции образуют комплексное двумерное векторное пространство, изоморфное пространству компонент (/o>/i)« Эти компоненты соответствуют двум возможным значениям - 0 и 1 - числа заполнения квантового состояния, разрешенным статистикой Ферми-Дирака.
Функция, комплексно сопряженная к /, имеет вид (см. равенство (7.7))	_	„ _ _
Так же как и для аналитических функций обычных комплексных переменных, определяется скалярное произведение функций 0:
(J, д) = f d0d0 с^в
(7.36)

Параметризуя функцию д в виде
9(0) = 9о + дЛ, можно убедиться, что интеграл дает обычное скалярное произведение двух комплексных векторов (/o,/i) и (<7o»0i):
(f,g) = 7о9о +7101 •
Для дальнейшего заметим, что то же скалярное произведение может быть записано в эквивалентной форме:
(/,<?) = d0d0 ев~в д(0) W),	(7.37)
что можно проверить явным вычислением.
Операторы и эрмитово сопряжение. Рассмотрим скалярное произведение
(f,dgldO) =
d0d0 евв f(9)	(7.38)
§ 7.5. Векторное пространство фермионов и фермионные операторы 223
Используя тождество
д(ё) = е5е (	- ёд
И интегрируя по Разделе 6,2.2):
частям, получим (тот же метод использовался в
(f,dg/de) = (0f,g)
** это говорит о том, что операторы в и д/дв являются эрмитово
сопряженными.
5-функция Дирака. В грассмановых алгебрах роль 6-функции Ди-
рака играет функция
6(0) = 0.
(7.39)
. Действительно,
d00/(0) = /(O),
где /(0) означает постоянную часть аффинной функции /(0). Для этой 6 -функции существует очень полезное интегральное представление:
d0 еее,

(7.40)
Где 0 — дополнительная переменная, т.е. дополнительый генератор алгебры Грассмана. Это представление аналогично преобразованию Фурье обычной 6-функции. Можно напрямую убедиться, что
/(0) = d0d0e5e/(0).
'	7.5.2. Алгебра Грассмана общего вида
Обобщение на случай произвольного числа п генераторов 0* производится непосредственно. Рассмотрим алгебру Грассмана 21 с гене-Еторами {0г, 0i}. Определим грассмановы аналитические функции как ементы алгебры, зависящие только от переменных 0^.
df dOi
— 0, Vi.
Они образуют подалгебру 21ап. алгебры 21.
^Комплексное сопряжение определяется так же, как в (7.7) (т.е. Йзк эрмитово сопряжение операторов). Далее, скалярное произведение
|(вух функций f и g определяется следующим образом: №	(/,0) = (IJ d6»id0 J ехр (0,6»;) /*(0) д(6
ж	** \ i	/	\ i /
(Л(0) g(0))t = 5t(6) /(0)>
(7.41)
к как
224
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
то из замечаний Раздела 7.3.1 следует, что
(Л.9) = (.9,/)-
Чтобы доказать, что скалярное произведение определяет положитель-
ную норму
, можно разложить все элементы алгебры 21ап., рассмат-
риваемой как комплексное векторное пространство, по базису из 2п различных мономов 'фи(в),	1, ...» 2П:
Ш(0)} = {1,01!^	, V 1 С р п и V ii < i2 <	< гр}. (7.42)
Мгновенно убеждаемся, что	Кроме того,
(0102 ...0Р,0102 Лр) —
kJ
р	\
1р0Ж 0Р...02010102...0Р= 1.
2=1	/
Таким образом, мономы образуют ортонормированный базис. Как следствие, если разложить
V	и
где — два комплексных вектора, то получим:

т.е. обычное скалярное произведение двух векторов.
И снова те же результаты могут быть получены из другого вида скалярного произведения, обобщающего определение (7.37):
[dOidOi ехр /	\ г /
7.5.3. Операторы и ядра.
(7.43)
Ядро единичного оператора. Скалярное произведение (7.41) позволяет ввести ортонормированный базис, а, следовательно, и представление единичного оператора в виде ядра:
i(0,0) = П(1+= сх₽ - 52	(7-44)
г	\ г /
Прямая проверка основана на представлении (7.40) S -функции. Действительно,
1	/I
]Jd0'd0' 1(0,0') ехр 52^’ I =
i	\ i J
1	/	\
f[d0'd0'exp £0'(0' - 0г) /(0') = У(0).	(7.45)
г	\ г	/
§ 7.5. Векторное пространство фермионов и фермионные операторы 225
Операторная алгебра. Мы уже ввели (см. (7.11)) алгебру операторов дифференцирования и умножения слева, действующих на алгебре Грассмана 2(ап.. В Разделе 7.5.1 было показано, что операторы di и d/dOi являются эрмитово сопряженными.
Используя антикоммутационные соотношения, можно записать все элементы этой операторной алгебры в виде линейных комбинаций мономов, в которых все дифференциальные операторы находятся справа, т.е. в нормалъноупорядоченном виде. Затем можно при помощи равенства (7.45) получить представление всех элементов в виде ядер

д dej2
i(e,e) = eixei2.
 	ji@ji  • •	0)>
(7.46)
являющихся элементами алгебры Грассмана 21.
В данном представлении действие оператора О(в,д/д6) с ядром
с>(0,0) = <Ж0)Ж0)>
дается соотношением

/(0').
(7.47)
Как и в голоморфном представлении, введем здесь интуитивнопонятное обозначение в виде матричных элементов:
<0| О |0) = 0(0, 0),
(7.48)
не определяя строго соответствующие бра- и кет-векторы.
Наконец, ядро, отвечающее произведению O2O1, имеет вид:
(0| О2О,
(0'| 01 |0)-
(7.49)
Все операторы могут быть выражены в терминах элементов базиса
<7-42):	-X
(0| О |0) = 52 Ом^м(0)^(0).	(7.50)

где коэффициенты — матричные элементы О в данном базисе. След. След оператора, выраженный через ядро, имеет вид:
trO =
JJ d0$d0i ехр i
(7.51)
)При сравнении выражений (7.49) и (7.51) может показаться удивитель-;’Яым, что di и поменялись местами. Причину данного изменения Сложно напрямую связать со второй формой (7.43) скалярного произведения. Кроме того, согласованность данного определения со свойством
Цикличности следа, которая неочевидна, может быть установлена пу
226
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
тем подстановки в равенство (7.49) вместо и двух произвольных мономов и взятия следа получившегося равенства.
Наконец, при помощи выражения (7.50) находим:
tr О = 57	•
V
Эрмитово сопряжение и ядра. Сравнивая явный вид скалярных произведений (f.Og) и (O^f,g), где действие оператора на функцию дается выражением (7.47), можно непосредственно убедиться, что ядро, соответствующее эрмитово сопряженному оператору, является комплексно сопряженным ядру, соответствующему самому оператору, в алгебре, определенной в (7.7):
о(е,о) of о+(б»,0).
Как и следовало ожидать, ядро единичного оператора 2(0,0) соответствует эрмитову оператору.
§ 7.6.	Гамильтониан с одним состоянием
Теперь получим представления фермионных гамильтонианов и фермионных статистических операторов, следуя стратегии, введенной в Разделе 6.6 для бозонов. Заметным отличием является тот факт, что гильбертово пространство для произвольного числа частиц, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака (т.е. фермионов) и занимающих только одно энергетическое состояние с энергией щ, является вследствие принципа Паули всего лишь комплексным двумерным векторным пространством: состояние может быть либо пусто (состояние без частиц, или вакуум), либо однократно занято. Следовательно, сложный грассманов формализм в действительности не нужен для решения такой задачи. Однако ситуация кардинально меняется, когда фермионы могут занимать большое количество состояний, что и делает полезным дальнейшее обсуждение.
7.6.1.	Квантовые состояния и операторы
Как обсуждалось в Разделе 7.5.1, вектор, отвечающий линейной комбинации пустого состоянияя и одночастичного состояния может быть представлен с помощью аффинной функции:
Ф(0) = фо + ф\0, (фо, фф е С2 ,
где, выбирая 0 элементом алгебры Грассмана 21, мы обеспечиваем, что состояние может быть занято лишь однократно, т.к. 02 = 0. Затем мы нормируем функции ф при помощи скалярного произведения (7.36).
Собственными значениями гамильтониана Hq, сохраняющего число частиц, могут быть только 0 для пустого состояния, и еще одно значение, которое будем обозначать а), для одночастичного состояния.

§ 7.6. Гамильтониан с одним состоянием
227
Поэтому его можно представить в виде (в этой первой части мы Полагаем h — 1)
Но = ^^, <v>0,	(7.52)
OV
Йричем это наиболее общий вид гамильтониана лишь с одним фермионным состоянием. Условие и; > О обеспечивает, что пустое состояние Является основным. Заметим, что Н$ эрмитов относительно скалярного Произведения (7.36).
Легко убедиться, что
Яо2 = шН0.	(7.53)
Статистический оператор t7o(i) = e~Hot может быть получен из соотно-Шения (7.53), например, с помощью формулы Лагранжа:
U0(t) =	= [<Л + (е~ш* -1)Я0] /w-	(7.54)
’ Матричные элементы. Матричные элементы гамильтониана Н$ Получаются при действии дифференциальным оператором (7.52) на единицу:
(е\н0\ё) = ше^- е~вв = шее= -шёе. х	'	UV
Заметим, что из условия сохранения фермионного характера следует, что при отражении (7.3)
р((б\Нь\е}) = (0|но|0>,
следовательно, матричные элементы Hq, так же как и С7о(^)> принадлежат коммутативной подалгебре алгебры 21.
h Матричные элементы оператора Uo(t) удовлетворяют уравнению
Л I * <
^(e\u0(t)\e^^e^(e\u0(t)\e)
С начальным условием
(0|С/о(О)|0> = е-*е.
Можно убедиться, что решение имеет вид:
(0| u0(t) \е) =	= 1 + еее~ш*,
(7.55)
(7.56)
! согласии с выражением (7.54).
(; Заменяя в (7.49) Oi и О% на J7(ii) и {/(^Ь соответственно, можно уркже непосредственно проверить выполнение пол у группового свой-
ства.
Кроме того, обратим внимание на то, что ядра, отвечающие эрмито-ЭДм операторам Но и f70(£), действительно, инвариантны относительно комплексного сопряжения (7.7).
228
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
Используя явное выражение (7.56) и определение следа (7.51), можно посчитать статсумму. Получим тот результат, который и следовало ожидать:
1
Z0(j3) = tr UO<J3) = d0d0 е~~вв = 1 + е-^ .	(7.57)
kJ
Замечание. Действие оператора Uq на функцию /(0) таково:

<№ ы' с-®'в
~в'в' т =
= /(е-^0),	(7.58)
где использовано равенство (7.40). Отметим аналогию с (6.30).
7.6.2.	Операторы рождения и уничтожения
Как и в случае бозонов, операторы в и д/дО образуют представление алгебры так называемых фермионных операторов рождения и уничтожения и а, причем соответствие следующее:
д
дО ’
at н-> в, а н->
Действительно, они являются эрмитово сопряженными и удовлетворяют антикоммутационным соотношениям
a2 = а^2 — о, ао) + а^а — 1 ,
(7.59)
представляющим собой математическую формулировку принципа Паули.
В терминах операторов рождения и уничтожения гамильтониан (7.52) имеет вид:
Но =	.	(7.60)
Соответствие между нормированными собственными векторами |0) — основного состояния — и занятого состояния |1) = at |0) таково:
0>	1 ,
1) н-0.
Симметрия между операторами рождения и уничтожения. Соотношения (7.11) выявляют полную симметрию между эрмитово сопряженными операторами di и d/dOi. Следовательно, можно было бы также считать, что в уничтожает фермион, а д/дб рождает фермион. Тогда в стал бы пустым состоянием, а 1 — занятым. Данное замечание особенно важно в том случае, когда параметр ш в гамильтониане (7.52) отрицателен. Тогда основным состоянием становится вектор в. Обычно предпочтительно отождествлять основное состояние с вакуумом и приписывать положительные энергии возбуждениям частиц.
В рамках более общего формализма Раздела 7.7,1 вакууму отвечало бы в таком случае произведение всех генераторов.
§ 7.7. Многочастичные состояния. Статсумма.
229
§ 7.7.	Многочастичные состояния. Статсумма.
Займемся обобщением предыдущего построения на случай, когда одночастичные состояния принадлежат конечномерному векторному пространству. Как мы уже отмечали, в силу принципа Паули это предположение гораздо более существенно для фермионов, чем для бозонов. Прежде всего, определим фермионные векторы состояний и действие гамильтонианов на эти векторы. Затем будет введена производящая функция векторов состояний, и будет построено соответствующее представление гамильтонианов.
7.7.1.	Фермионные состояния. Гамильтонианы.
Одночастичные состояния. Фермионное состояние определяется вектором, который будем обозначать принадлежащим комплексному векторному пространству ^1 конечной размерности N.
Многочастичные состояния, n-частичное состояние описывается вектором ^г1г2...гп, индексы ifc которого пробегают N значений. Из принципа Паули для фермионов следует, что вектор 'фгл^.Лп должен быть антисимметричным относительно любых перестановок индексов:
. .ik+iik • • Лп
Vfc.
Следовательно, векторы ^1г2...гп являются антисимметричными тензорами с п индексами и принадлежат комплексному векторному пространству размерности
Независимые гамильтонианы частиц. Одночастичный (или однотельный) гамильтониан определяется своим действием на одночастичное состояние: он представлен эрмитовой N х N матрицей tiff, которая может быть диагонализована. Обозначим щ ее собственные Значения > 0). Тогда
[Н(1) ^]г = iVi^i.
Действие его на тг-частичные состояния аддитивно:
. Й ^2 • •
Когда полный гамильтониан сводится к одночастичному гамильтониану, фермионы не взаимодействуют: в таком случае говорят о независимых частицах.
Парное взаимодействие. Парное или двучастичное взаимодействие Н^2^ определяется своим действием на двучастичное состояние:
[Н(2М]г,г2
*2jl32
3\Л2
230
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
где	— эрмитова матрица, удовлетворяющая соотношениям
н{2)   = Я(2) •  = я(2)  
4«2.jlj2	Jlj23l*2 ’
которая, следовательно, определяет внутреннее отображение в векторном пространстве 5)2 антисимметричных тензоров. Конечно, можно, следуя той же стратегии, определить многочастичные взаимодействия, но здесь для простоты мы ограничимся рассмотрением парных взаимодействий.
Действие на n-частичное состояние дается соотношением:
[Н®
= — N ' \ '
2 /
j.k
[ 22  •  if. — 1	1  •  ®m — \ к	,, .in
7.7.2.	Производящая функция векторов состояний
Рассмотрим набор векторов состояний, соответствующих произвольному числу частиц и принадлежащих пространству Оп5)п, п = = 0,1,..., и поставим им в соответствие производящую функцию. Так как тензоры ^1г2...гп антисимметричны, необходимо ввести алгебру Грассмана с N генераторами 0г. В таком случае производящая функция векторов состояний имеет вид:
А 1 ^(0) —	0ij0t2
_ I I/ «
При наших предположениях Ф(0) — полином порядка N. Обращая нашу аргументацию, заметим, что функция Ф(0) может порождать лишь антисимметричные тензоры.
Функцию Ф(0) можно рассматривать как грассманову аналитическую функцию. Такие функции образуют векторное пространство, в котором может быть введено скалярное произведение (7.41).
Как и в случае Бозе, заметим, что
£
Следовательно, представление одночастичного гамильтониана действующего на производящие функции Ф(0), имеет вид:
§ 7.8. Континуальный интеграл: задача с одним состоянием
231
Из аналогичного вычисления следует, что двучастичный гамильтониан обладает представлением
Н<2) — -
2
32
Полный гамильтониан
н = н(1) + н(2)

Л
Эрмитов относительно скалярного произведения (7.41). Он обладает
представлением, аналогичным тому, которое справедливо для гамильтонианов голоморфного представления, и здесь может быть вновь применен подход Разделов 6.6 и 6.7.
Оператор числа частиц, С точки зрения статистической физики,
вышеописанная формулировка приводит к большому каноническому
формализму, т.е. формализму, в котором число частиц фиксировано Лишь в среднем. Гамильтониан Н сохраняет число частиц. Мгновенно
Проверяется, что представление оператора числа частиц N при дей-
ствии на Ф(0) есть
д
dGi '
Он коммутирует с Н:
г
N, Н] = 0. 
Чтобы менять среднее число частиц, вводится химический потенциал fl, умноженный на N. Это приводит к замене

В данном случае это приводит просто к изменению
Замечание. Как и в случае с лишь одним генератором, операторы ffi и d/ddi, так как они эрмитово сопряжены и удовлетворяют коммутационным соотношениям (7.11), образуют представление фермионных Операторов рождения и уничтожения a\,az, если установить соответ-
ствие
а\ 9i,	аг^ д/ddi.
Действительно,
= azaj + ajUi — 0 и a\aj +	= 5ij .	(7.61)
fa
§ 7.8.	Континуальный интеграл: задача с одним <	состоянием
Сначала мы построим представление статистического оператора в ( виде континуального интеграла для задачи с одним состоянием. Так ЬКак в этом случае статистический оператор сводится к 2 х 2 матрице, его вычисление при помощи континуального интеграла может
232
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
показаться ненужным усложнением. Однако представление в виде континуального интеграла полезно, так как оно легко обобщается на случай произвольного числа возможных состояний. Это узаконивает его введение даже для решения столь элементарной задачи.
Итак, займемся построением континуального интеграла для матричных элементов квантового статистического оператора U$(t) = е~ш°. Этот метод в случае фермионного гамильтониана достаточно близок методу, изложенному в Разделе 6.4, причем основное отличие состоит в том, что комплексные переменные должны быть заменены грассмановыми.
7.8.1.	Гауссовы континуальные интегралы
Для построения континуального интеграла необходимо разложение статистического оператора (7.56) до первого порядка по t —> 0:
J70(t) |0) = ехр [-00(1 - wt) + О (t2)] .	(7.62)
Используя полугрупповое свойство Uo(t) = [t/o(t/n)]n, представленное в виде (7.49), можно записать статистический оператора для конечного евклидова момента времени в виде
/в"	t')| 0'\
= lim
п~*оо
d0fcd0fc ехр [-0Q0Q - 5е(0, 0)] , fc=i
(7.63)
где
<Ш0) = 52	~ 9к~''> ~	,	(7.64)
fc=l
е =	и введены определения
0о = 0', 9п = 9".	(7.65)
В формальном пределе п оо получается обобщенный континуальный интеграл — по грассмановым траекториям. Матричные элементы Uo(t) даются соотношением
(в"\Uo(t" =	[d0(t)d0(t)] ехр [-0(f')0(f') - 5о(0,0)] ,
G(t')=0'
(7.66)
где
S0(M) = d£0(t)(0(f)-u>0(£)).
(7.67)
Производящая функция фермионных корреляционных функций. Для расчета производящей функции фермионных корреляционных функций с весом е“5° /Zg удобно сразу рассмотреть более общий
§ 7.8. Континуальный интеграл: задача с одним состоянием
233
интеграл, полученный путем добавления к действию So линейных слагаемых, соответствующих внешним грассмановым источникам rj(t) и
(&' \U0(J^,t'\r],rf)\e'\ =	[d0(t)d0(t)] e^'W4')e-sc(e,e-v,v\
e(t')=e'
(7.68)
V
5G(0,0; 77 , 77) = 5O(0,0)-
dt	+ 0(t)7?(t)],
(7.69)
И теперь независимые (бесконечные) наборы {0(f)}, {0(f)}, {77(f)} и образуют совокупность генераторов алгебры Грассмана.
Расчет гауссова интеграла. Интеграл (7.68) гауссов и может быть посчитан точно. Уравнение для нахождения ’седловой точки’ получается путем варьирования по 9(t):
0(t) 4- aj9(t) 4- 77(f) = О
И, следовательно, принимая во внимание граничные условия,
0(f) = 0s(t) =	0' -
—W (t—и
(7.70)
tf
Таким же образом вариация 0(f) дает
0(f) - u>0(f) - 77(f) = 0,
откуда
0(t) = 0s(t) =	0" -	e-&(u-t) ^(u)du.	(7.71)
t
Сдвинув 0(f) и 0(f) на решения ’классических’ уравнений: 0 0S 4- 0, 5 н-> 0S 4- 0, получим:
(0"|t/(t",t'; 77,77)10') =
(7.72)
= A7(t', t") exp [—0(t/)0(t/) - Sc(0", 0'; 77,77)! .
где
f*
0(t')0(t') = 0'0" е-ш(‘"-4') —0'
dt e О

234
Гл, 7. Континуальные интегралы: фермионы
и
//
С
77(t)0s(t)di —

df7j(i)e ш-г" ^9" +
dt d?/??(f)e
Для расчета нормировки
G(f")=O
[cl0(£)d0(f)] ехр — d£ 0(£)(0(t) —	,
0(i')=O	- l'
вновь сделаем замену переменных, полагая 0(t) = e—0(t) = e“4(t)-Якобиан равен 1. После такой замены зависимость от oj исчезает. Получаем .57 = 1 в смешанном представлении при 0 = в = 0. Следовательно,
//
Как и в бозонном случае, корреляционные функции получаются путем дифференцирования выражения (7.72) по т] и rj.
7.8.2. Статсумма
Обобщенная статистическая сумма tr U{0/2, —0/2;ti,t]) может быть получена из выражения (7.72), причем след определен выражением (7-51):
trtW2,-/V2;^) =
d0d0 e~se (9\U(J3/2, -/?/2; 77,77)! • (7.73)
Простой расчет грассмановых интегралов дает
ItU(J3/2,—0/2;т],т]) =
(7.74)
= Zo (/?) exp
0/2 *
dudt rj(u)A(t —
-/3/2
где 2$(0) — статсумма:
=
sgn(i) + th(cj/?/2)], где sgn(t) — знаковая функция: sgn(t) — 1 при t > 0, sgn(i) = —1 при
A(t) = ъ e
(7.75)

1
»
и
§ 7.8. Континуальный интеграл: задача с одним состоянием
235
Функция Д(£) является решением дифференциального уравнения Д + иД — J(i),
С антипериодическими граничными условиями (в противовес бозонному случаю (равенства (2.52),(6.44))):
Д(/?/2) = -Д(-/3/2).
В пределе 0 —> ос эта функция сводится к
A(t) = |е (sgn(t) + !)•
Данное выражение идентично тому, которое было получено в случае голоморфных интегралов (см. равенство (6.45)).
Отметим, что несмотря на то что след определен нетривиальным образом, полученный результат идентичен тому, который получается из континуального интеграла с антипериодическими граничными условиями:
tr UG (/3/2, —/3/2; ??> л) = [d0(/)d0(t)] ехр [-Sg(0. 6', т], ??)]	(7.76)
где 0(-/?/2) = -9(0/2), 9(-0/2) = -9(0/2) и
/3/2
<Sg (6,6; т], rj) =	dt {9(t) [6(t) - w0(t)] - rj(t)9(t) - 6(t)r](t)} .
-/3/2
(7.77)
С другой стороны, интеграл с периодическими граничными условиями соответствует вычислению tr(—l)Fe~/3H, где F — фермионное число, и получается путем интегрирования выражения (7,72) с евв.
Двуточечная функция, посчитанная по гауссовой мере е“5° /2о, получается путем двукратного дифференцирования tr £7(^/2, —/?/2; 77,77). Находим:	_
.	(0(i)0(u)) = Д(£-и).	(7.78)
Замечание. Производная InZo по и связана с двуточечной функций <7.75):
3/2
dlnZo du;
откуда
-3/2
dt (6(t)6(t)) = /?Д(0) = I /?[sgn(0) + thM/2)],
Zq(0) = e^/3(sgn(0)+l)/2 _|_ew/3(sgn(0)-l)/2
(7.79)
Мы сталкиваемся с проблемой, с которой уже встречались в голоморфном случае. Выбор sgn(O) = -1, в противоположность тому случаю, соответствует нормальному упорядочения (7.52), но приводит к трудностям такого же рода, как и в коммутативном случае. Выбор
236
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
sgn(O) = 0 дает собственные значения энергии ±щ/2 и соответствует гамильтониану щ[с^,а]/2, представляющему собой ’симметризованную’ версию оператора (7.52). Убедиться в том, что выбор sgn(O) = 0 дает точный результат, можно, вставив в континуальный интеграл среднее от нормально- и антинормальноупорядоченных форм (см. обсуждение в Разделе 6.5.3).
§ 7.9.	Континуальные интегралы: обобщение
Предыдущий формализм может быть обобщен на случай грассмановой алгебры с произвольным числом генераторов 9i, что требуется для вычисления статсуммы в формализме вторичного квантования Раздела 7.7).
7.9.1.	Гамильтониан общего вида
Гамильтониан общего вида представляет собой дифференциальный оператор	действующий на функции переменных 0*. Га-
мильтониану, записанному в нормально-упорядоченном виде, когда все производные стоят справа, можно сопоставить ядро (Раздел 7.5.3):
(9\Н\9) = H(9,9',t)I(9,9).
Важное ограничение состоит в том, что матричные элементы гамильтониана должны принадлежать коммутативной подалгебре:
Р[Н] = Н,
т.е. не смешивать фермионы с бозонами. С другой стороны, гамильтониан не обязан сохранять число фермионов. Сохранение числа фермионов означает, что каждый моном, дающий вклад в ядро, содержит одинаковое количество множителей 9 и 9.
Запишем равенство (7.62) в обобщенной форме
+	- ехр
“ У? - £ Н(9> 0,t) + O (е2) г
(7.80)
Следуя методу Раздела 7.8.1, получим представление для в виде континуального интеграла на конечном евклидовом временном интервале:
ekttt}=efr
(9"\U(t\t')\9') =
[d0(t)d0(t)] e	exp [-5(0,0)
(7.81)
где
5(0,0) =
dt {0(t) -0(t) + H[e(t),e(ty,t]}.
(7.82)

§ 7.9. Континуальные интегралы: обобщение
237
В Разделе 7.4 было показано, как рассчитываются гауссовы интегралы и средние значения полиномов. Тот же метод можно применить для пертурбативного расчета континуального интеграла (7.84). Записав гамильтониан в виде суммы квадратичного члена и взаимодействия
я(0,ё) = -	+
г
разложим интеграл по степеням Hi и последовательно посчитаем вклады, воспользовавшись, например, теоремой Вика (7.30). Можно убедиться, что пертурбативное разложение матричных элементов общего вида имеет следующее формальное компактное представление:
<0" |?7(£", t')| £'> =
= ехр
dt Нг(д/дтр-д/дт/)
{9n\UG^t\e)\e\=^, (7.83)
где UG — произведение интегралов (7.68), соответствующих различным парам генераторов
В случае не зависящего от времени гамильтониана соответствующая статсумма имеет вид
ЭД = tr U(0/2, -0/2) = [d 9(t)d0(t)] ехр [-5(0,0)].
(7.84)
Континуальный интеграл должен быть расчитан с антипериодически-ми граничными условиями:
0(-/?/2) = - 0(/?/2), ё(-/?/2) = -ё(/?/2).
Это следует, например, из представления (7.76) и теории возмущений. В след правой части равенства (7.83) входит только trt/G) который может быть посчитан с помощью континуального интеграла с антипе-риодическими граничными условиями (равенство (7.76).
Замечание. В пертурбативных вычислениях здесь появляются проблемы, связанные с упорядочением операторов, так же как и в случае голоморфного континуального интеграла. Действительно, в теории возмущений возникает sgn(O). Анзац, соответствующий конструкции с нормальным упорядочением, есть вновь sgn(0_) = -1, однако при $го использовании встречаются некоторые трудности. Более удобно подставить в Н(9,0) эквивалентное выражение, соответствующее ign(O) = 0.
7.9.2.	Фермионные системы с парными взаимодействиями
.. Теперь мы конкретизируем выражения Раздела 7.9 на случай мно-^офермионных систем, описанных в Разделе 7.7. Статсумма 2(0, р)
238
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
дается грассмановым интегралом вида (7.84) с действием
5(0,0) =
Я(0,0) =
>3/2
ч
dt [0(t) • (0(t) - //0(t)) + H(0(t),0(t))
-Z3/2
(7.85)
(7.86)

£{0|(О)в((О)}. (7.87) * г
<N,=^
аналогичным бозонному выражению (6.77).
Уравнение состояния. Дифференцируя континуальный интеграл (7.84), можно убедиться, что уравнение состояния записывается в виде
/3/2
Г dt (0ЖСО) -’ —/3/2
где во втором выражении среднее значение берется с весом e~s /Z.
В случае независимых частиц в средние значения входит только гауссова двуточечная функция (7.75). Вновь получаем стандартное выражение (при выборе sgn(O) — —1)
(N) =	—Ц—- = tr —7777777—7------,	(7.88)
' z	e/3(cu£—м) +1	e/3(H(D-M) +|
i
где — одночастичный гамильтониан.
При низкой температуре, т.е. при /3 —> оо,
(N) ~
г
где 6(5) — функция-«ступенька». Химический потенциал может быть отождествлен с энергией Ферми: при нулевой температуре все состояния ниже энергии Ферми заняты; все состояния выше энергии Ферми пусты. При низкой температуре, когда добавляются взаимодействия между фермионами, важны лишь состояния с энергиями, близкими к энергии Ферми.
§ 7.10.	Квантовый Ферми-газ
Прежде всего, обобщим предыдущие результаты на случай независимых фермионов, когда возможные квантовые состояния принадлежат гильбертову пространству, а не конечномерному комплексному векторному пространству. Затем мы включим в наше рассмотрение и случай взаимодействующих фермионов. В данном разделе будет показано, как достаточно прямолинейное обобщение континуального интеграла Раздела 7.9 позволяет выразить статсумму нерелятивистских фермионных
§ 7.10. Квантовый Ферми-газ
239
I t
 систем в виде полевого или функционального интеграла (в этом случае необходимо интегрировать по грассмановым полям).
7.10.1. Независимые фермионы: гильбертово пространство
Как было отмечено, предположение о конечномерности векторного пространства одночастичных состояний является достаточно жестким ограничением, так как в таком случае полное число фермионов ограничено. В более интересных приложениях необходимо заменить для  одночастичных состояний конечномерные векторные пространства на гильбертовы пространства. Тогда уравнение состояния по-прежнему г Может быть записано в виде (7.88):

Но теперь — одночастичный квантовый гамильтониан общего вида.
В качестве иллюстрации рассмотрим газ свободных фермионов в ящике с одинаковыми размерами L во всех измерениях и, следовательно, объемом Ld при количестве измерений d. Одночастичный квантовый гамильтониан есть просто
= р2/2т.
В ящике импульсы квантуются, причем конкретный вид зависит от граничных условий. Используя для удобства периодические граничные условия, хотя это не играет никакой роли в данном обсуждении,
получим:
р — 2тгДп/£, n е
а соответствующая энергия есть Е = р2/2т. Вывод уравнения состояния в d пространственных измерениях следует из аргументации, представленной в Разделе 6.8.2, В пределе бесконечного объема L —> оо для плотности получим:
L—*оо Л
1 Г ddp
(2Trh)d ] ^(р2/2™^)+1 '
(7.89)
В частности, в изотропном пространстве поверхность Ферми — сфера р2/2т — р.
7.10.2. Взаимодействующие фермионы: интеграл по полям
Рассмотрим теперь гамильтониан Н, включающий в себя взаимодействие, из Раздела 6.9, имеющий вид (6.85) в n-частичном пространстве, и последуем той же стратегии. Единственным отличием Является то, что здесь мы имеем дело с фермионными системами и, Следовательно, волновые функции ipn антисимметричны. Следовательно, аргументами производящего функционала должны быть функции
240
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
<р(х), являющиеся образующими бесконечномерной алгебры Грассмана и удовлетворяющие соотношению
<p(x)(p(xf) 4- p(xfyp(x} = 0.
Определим функционал
1	/ г	\
; Т|	] ipntx],... ,Хп).	(7.90)
' п\	\	/
n=0	V	г	/
Теперь получение представления в виде интеграла по полям во многом следует аргументации, описанной для бозонного случая в Разделе 6.9, за тем лишь исключением, что необходимо тщательно следить за упорядочением множителей в произведениях полей и за знаками.
Скалярное произведение двух производящих функционалов определяется в терминах грассманова интеграла по полям, обобщающего выражение (7.41):
(^)Фг (у>) ехр
Соответствующее ядро единичного оператора, обобщающее выражение
(7.44), есть
ф) = ехр
ddx(p(x)(p(x)
(7-91)
Формальное выражение для кинетического члена такое же, как и в бозонном случае (см. Раздел 6.9). Потенциальное слагаемое также остается прежним, но с определенным упорядочением полей в произведениях. В обозначениях Раздела 7.8 гамильтониан имеет представление в виде ядра:
где
=
h2
2т
ddx ^(x)V^(x
1
2
ddz ddy ip(x)tp(y)V (x - y)<p(x)<f>(y).
(7.92)
Представление статсуммы Ферми-газа в виде полевого интеграла имеет вид:
Z(r/h) = trU(r/2, —т/2) = [d^(f, x)dp(t, я)] exp[-S(^>,	(7.93)
с антипериодическими граничными условиями:
<^(т/2, х) = -р(-т/2, х), ф(т/2, х) = -р(-т/2, х\
§ 7.10. Квантовый Ферми-газ
241
и евклидовым действием
dtdd

<Э h2 2	\
s + 2^v'+'H,';') +
dt ddx ddy^(t, x)p(t, x)V(х ~y)p(t,y)p(t4y). (7.94)
7.10.3. Уравнение состояния
Прежде всего, убедимся, что в свободной теории поля уравнение состояния сводится к равенству (7.89) для свободных фермионов, а затем вкратце обсудим влияние взаимодействий.
Свободная теория поля. Действие свободной теории сводится к

**
dt ddxip(t, х)
ip(t, х).
Удобное представление получается с помощью введения преобразования Фурье поля:
p(t,x) =
ddpeipx/h^p)t <p(t,x) =
ddp e~ipx/h fl(t,p).
В таком случае квадратичная форма в действии диагонализуется, и действие принимает вид
5(<р,у’) = (,2тгК)а dtddp^(t,p) (t£- -
\ (_/1/	& f f V
В свободной (гауссовой) теории все величины могут быть выражены через двуточечную функцию. Используя результат (7.75), получим:

где
A(t,p) =
sgn(t) +
sh[u/(p)r/2ft'
ch cj(p)r/2/i
И u(p) = p2/2m - p.
Уравнение состояния получается путем дифференцирования статсуммы (7.93). Если мы имеем дело с периодическим ящиком линейного размера L, то для плотности получим:
м) =	= -pjdh ddz &(t, x)<p(t, x)} = HO, 0M0,0)),
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
где использована трансляционная инвариантность в пространстве и времени. Вводя преобразования Фурье для полей, будем иметь:
Р<А р)
dWW?W)) = -(2^
* ddpA(0,p)
(27rh)d
sgn(O) +

sh[/?u>(p)/2
ch[/3w(p)/2i
Данное выражение совпадает с результатом (7.89), полученным напрямую, когда sgn(O) полагается равным -1, ив других случаях отличается от него на бесконечную константу, от которой необходимо избавиться, добавив к действию константу, линейную по
Взаимодействия: 8 -функциональный потенциал. Интересный пример с взаимодействием получается, когда двучастичный псевдопотенциал имеет вид
V(x) = g8(x).
В таком случае действие становится локальным, в том смысле, что оно представляет собой интеграл от лагранжевой плотности, зависящей только от полей и их производных. В случае фермионов без внутренних степеней свободы двучастичное взаимодействие обращается в нуль, так как в него входят квадраты грассмановых переменных, и фермионы оказываются свободными.
Более интересный пример возникает в случае систем, в которых фермионы обладают внутренней степенью свободы с двумя возможными значениями (например, спин электрона). В таком случае действие зависит от двух пар полей tpa(t,x), а = 1,2, и взаимодействие уже не обращается в нуль:
</?)
*
df dd2?
а
h2
2т
<pa(t,x)+
+ ^1(f,J7)99i(f,^)y72(Z,J7)992(^^)
(7.95)
Тогда действие и соответствующий полевой интеграл инвариантны относительно унитарных преобразований
/3
Va У?
0
где
UlP = 1.
Действительно, кинетический член — это комплексное скалярное произведение, и для взаимодействия получим | det t7|2 = 1. Данная симметрия представляет собой комбинацию [7(1)-симметрии сохранения числа частиц и симметрии спиновой группы SU(2).
J 7.11. Вещественные гауссовы интегралы. Теорема Вика.
243
В одномерном случае эта квантовая система полностью интегрируема, в том смысле что все собственные состояния гамильтониана являются линейными комбинациями конечного числа плоских волн (Бете-анзац).
Наконец, заметим, что у этой системы есть релятивистское обобщение, модель Тирринга, которая также интегрируема в случае одного пространственного измерения.
Приближение среднего поля. Интересная физика связана с потенциалом притяжения, т.е. g < 0. Однако, в противовес бозонному случаю, метод наибыстрейшего спуска напрямую не дает решения данной дадачи. Возможная стратегия заключается в том, чтобы ввести вспомогательное бозонное поле и переписать четверное фермионное взаимодействие в виде интеграла по у с действием, квадратичным по фермионам. Фермионный интеграл становится гауссовым, и его можно взять. Оставшийся интеграл по х может быть посчитан при помощи метода наибыстрейшего спуска.
§7.11. Вещественные гауссовы интегралы. Теорема Вика.
Гауссовы интегралы, которые мы вычисляли в Разделе 7.4, обладают свойствами, аналогичными свойствам комплексных интегралов голоморфного формализма Раздела 6.1. Когда число фермионов не сохраняется, возникает необходимость рассмотрения также интегралов более общего вида, в частности, гауссовых интегралов
Z(A) = d02n •   ехр
(7.96)
Так как произведение 0i0j антисимметрично по (гД матрицу Aij можно выбрать антисимметричной:
(7.97)
В противоположность рассматривавшимся до сих пор интегралам, эти интегралы обладают свойствами, аналогичными свойствам гауссовых Интегралов (1.4). В частности, в общем случае они вещественны только тогда, когда грассманова алгебра определена на вещественных числах.
Раскладывая экспоненту в степенной ряд, заметим, что только ^лен порядка п, содержащий все произведения степени 2п по 0, дает ненулевой вклад:
Z(A) =
d02n...d^ tfiAi&Y1.
(7.98)
разложении произведения только члены, содержащие перестанов-
ки 0\...0<2ni отличны от нуля. Коммутируя грассмановы переменные,
244
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
чтобы привести все произведения к стандартному виду 0j02...02n» получим:
2(А) = 2^! Е е(Р)Аг,,2А^...А^_^п,	(7.99)
перестановки Р набора{?1..,i2n }
где б(Р) = ±1 — сигнатура перестановки. Это выражение можно еще упростить, заметив, что отличающиеся члены соответсвуют всем возможным спариваниям индексов 1,2, ...,2п. Следовательно,
Z(A) =
s(P)	. T\.i2n_li2n ,
(7.100)
спаривания Р набора{г1...12п}
где е(Р) — сигнатура перестановки индексов.
Величина в правой части называется пфаффианом антисимметричной матрицы А, и мы будем пользоваться обозначением
Z(A) = Pf(A).
(7.101)
Пфаффиан и детерминант. Техника грассманова интегрирования позволяет вывести классическое алгебраическое тождество
Pf2(A) = detA,	(7.102)
из которого следует, что
/ 1 2п
d#2n •••dflgdfli ехр I - У
и этот результат очень напоминает аналогичный результат для вещественных гауссовых интегралов.
Чтобы доказать это тождество, рассмотрим
Z2 (А) = d02« ... d0j d^n ... exp
(7.103)
Сделаем замену переменных, полагая
(0к -i0'k).
Чк =
(7.104)
Якобиан равен (—1)". Кроме того,
еЛз + оЩ
dT?2n - -. d?7i d772ri ...dT?!
= 4i4j - 4j4i,
= (-i)n2n^-
(7.105)
(7.106)
§ 7.12. Смешанная замена переменных: березиниан и суперслед 245
Пользуясь антисимметрией матрицы А, получим:
Pf2(A) =
1
dr/id??! ... d%nd%n ехР
= det A.
(7.107)

Теорема Вика. Можно также получить другую форму теоремы Вика для гауссовых средних относительно меры ехр[^2-	/2]/Z.
Находим:
^еч...оЧр}=	£ е{рцегрегРг}---{егГ2р_егр^, (7.Ю8)
все спаривания
набора (1,2.2р)
где s(P) — сигнатура перестановки Р. Отметим, что это выражение отличается от теоремы Вика (1.17) только знаками.
§7.12. Смешанная замена переменных: березиниан и суперслед
Зачастую встречаются интегралы, в которые входят как коммутирующие, так и антикоммутирующие переменные интегрирования (бозоны н фермионы). Иногда могут быть полезны смешанные замены переменных. Для полноты рассмотрим некоторые свойства таких смешанных интегралов.
Будем обозначать через О, О1 и x,xf антикоммутирующие и коммутирующие переменные, соответственно, и положим (сохраняя симметрию отражения)
ха = ха(х\е’) е21+((9/), Oi^e^x^e^ e2i_(0').	(7.109)
Введем матрицу частных производных
и, следовательно,
А и D € 21+ , В и С 6 21 _ .
Удобно разбить замену переменных на два этапа:
(i) Сначала перейти от (6,х) к (0,xf). При этом получится якобиан
(7.110)
Ji - det L
(ii) Затем перейти от (0,xf) к (0f,xf). Как было показано ранее, на Ьтом втором шаге возникает якобиан
246
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
Полный якобиан J, который называется также березинианом матрицы из производных, имеет вид:
J =	= ЛЛ = ВегМ = det (А - BD-’C) (detD)-1 . (7.112)
Чтобы якобиан был несингулярным, матрицы А и D должны быть обратимы (следовательно, обратимой должна быть матрица, составленная из членов нулевого порядка по 0f). Из построения следует, что
Вег Mi Вег М2 = Ber[MiM2].
След смешанных матриц. В случае интегрирования по обычным коммутирующим переменным замена переменных, бесконечно близкая
к единичной,
= х'а + efa(x'),
J — det
вследствие соотношения In det — trln приводит к якобиану
дХд дхь
Рассмотрим теперь смешанный случай:
Ха = х'а + е/а(х\0'), 0i = e(i+epi(x\Of). (7.113)
Тогда, полагая
находим вследствие (7.112):
(7.114)
Чтобы обобщить соотношение между якобианом бесконечно малой замены переменных и следом, необходимо определить суперслед смешанной матрицы, обозначаемый Str, как разность двух следов:
Str Mi = tr Ai — trD] .
(7.115)
Можно напрямую убедиться, что суперслед удовлетворяет свойству
цикличности:
Str[M1M2] = Str[M2M1].
Действительно, из определения следует, что
Str[MiM2] = tr(Aj А2 + BjC2) - tr(CjB2 + DjD2).
Тогда
tr(Ai A2) = tr(A2Aj), tr(DiD2) = tr(D2Di),
HO
tr(BjC2) = -tr(C2Bi), tr(C!B2) - -tr(B2Cj),
Упражнения к главе 7
247
; где знаки появились вследствие свойства цикличности обычного следа и антикоммутации В с С.
Это позволяет доказать справедливость обобщения обычного соотношения trln = In det, которое теперь принимает вид
Str In = In Вег.
Упражнения
Упражнение 7. / Посчитать среднее значение
	{6^62),
?где 0\,0\,02^2 ~ грассмановы переменные, по мере d0]d#id02d#2exp Г#1#2 +	•
? Решение. Записывая аргумент экспоненты в виде -вгМ^в^, находим:
det л/ = -1, лг1 = ( о q ) , {0\ехе2е2') = (-1) х i = -i.
Упражнение 7.2
Посчитать скалярное произведение (/,/), где f — функция грассмановых переменных 0+,0_:
/(0+,0_) = 20+ + 30+би,
Причем скалярное произведение (f,g) двух функций fug определяется следующим образом:
; (Лз) = d0+d0+d6Ld6L ев+в++в-в	(7.116)
V
ь
(Напомним, что грассманово сопряжение имеет вид эрмитова сопряже-
ния.)
Решение.
(/,/) = 13.
ч
i- Упражнение 7.3
b С тем же скалярным произведением (7.116) посчитать скалярное юоизведение (f,g) следующих двух функций:
I	= 50++ 36L + 20+6L ,
I	6L) = 0+- 36L-h 20+6L .
Ь Решение.
I	= о.
248
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
Упражнение 7.4
Рассмотрим нормированные средние значения ((1) = 1)
Af(M)	—
= I	j  • -^p^p exp ( MijfiiOj j . (7,117)
\ i	/	\ij = l	/
Определите нормировочную постоянную пользуясь только теоремой Вика (7.30).
То же самое для меры ехр[- OiAijOj].
Решение. Решения в обоих случаях похожи. Например, в первом случае необходимо посчитать среднее значение произведения
п
г=1
Тогда множитель ехр(^2? -=I М^в^) в подынтегральном выражении можно заменить на 1, интеграл дает 1, и теорема Вика воссоздает детерминант матрицы (М)-1 в левой части.
Упражнение 7.5
Используя формализм, основанный на грассмановом интегрировании, получите разложение по степеням Л до порядка Л3 включительно детерминанта det(M + Л), в случае когда матрица М обратима. Удобно обозначить Д = М~[. Рекомендуется использовать теорему Вика.
Решение. Используя обозначение tn = trAn, получим:
det(M-hA) =
Упражнение 7.6 Обобщите метод предыдущей задачи на случай разложения det(М + Л), где Л — диагональная матрица = Х^, по степеням Xi.
Решение.
det [М + Л] — det М
Упражнение 7.7
Задача об электронах в одном узле. Электроны, живущие в одном узле, по-прежнему характеризуются двумя возможными значениями своего спина. Поэтому узел может быть либо пустым, либо занятым одним электроном со спином вверх или вниз, либо занятым двумя электронами со спинами вверх и вниз.
Далее будем обозначать при помощи грассмановы переменные, отвечающие электронам со спином вверх и вниз, соответственно.
Упражнения к главе 7
249
Тогда эрмитовость определяется относительно скалярного произведения (7.116).
Запишите в нормально-упорядоченном виде гамильтониан наиболее общего вида, инвариантный относительно обращения спинов и сохраняющий полное электронное число. Рассмотрим теперь гамильтониан
( д д \	д д
Н =	+	— ) + ^0_0+ —— , ш>0, V6R.
у ии^ Ои_ 1	UU—
(7.118)
Каковы его симметрии? Определите его спектр. Получите статсумму при температуре 1//3. Покажите, что случай v < —2ш можно естественным образом интерпретировать, если поменять роли операторов
рождения и уничтожения.
Решение. В дополнение к слагаемым в (7.118) существует еще один возможный член:	n п
Его можно исключить, потребовав независимое сохранение чисел электронов со спинами вверх и вниз.
Четыре собственных вектора таковы: 1,0+, 0_, 0_0+, собственные значения Е$ = О, Е\ = Е2 = ш, Е$ = 2ш + г, соответственно. Поэтому статсумма имеет вид:
2(0) = 1 + 2	.
Если 2aj + v отрицательно, то основное состояние — уже не пустое, а, наоборот, двукратно заполненное. Описание в терминах электронных возбуждений болеее не удобно. Возбуждения теперь соответствуют удалению электронов. Формально можно внедрить эту идею, вводя операторы
Данное преобразование согласовано с коммутационными соотношениями и эрмитовым сопряжением. Гамильтониан можно переписать в Следующем виде:
1

f	4	' \J' dq. oQ- /
J	\	I	л
'Где из 2aj + v < 0 следует, что - v it Упражнение 7.8
I Запишите соответствующую статсумму в виде континуального интеграла. Разложите и посчитайте ее до второго порядка по v (гауссова ^двуточечная функция дается выражением (7.75)).
I Решение.
*и
Z(/3) = [d0(f)d0(f)] ехр [-5(0,0)] ,
250
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
действие имеет вид (7.85):
5(0,0)
н(М
0/2 "I
dt
-0/2
±
= Ш+V0_0+0+0_, ±
и граничные условия антипериодичны:
0i(-Z3/2) = -0±(Z3/2), 0±(-/3/2) = -0±(/3/2). Пертурбативное разложение принимает следующий вид:
0/2
dt (0_(f)0+(f)0+(^)0_(f)) +
-0/2
ад/^о(/3)=1-г;
0/2
+ |и2 [ dfdu(6»_(f)6»+(f)0+(t)0-(i)6»--(u)6»+(u)0+(w)0_(w))+O(z;3), -/3/2
где Zq — квадрат статсуммы (7.79). Получим:
0/2
Z(0)/Zo^=l-v/3^2(O)+}-v2l3 [ df(A2(0)-A(f)A(-f)) + O(z;
-0/2
= 1 - ^v/?(sgn(0) + th(cj/3/2))2 +
+ v2(32 (1 + 2sgn(0) th(w/3/2) + sgn2(0))2 + O(i>3). О м
Полагая e — sgn(0), находим:
4
v.
При sgn(O) = — 1 мы вновь получаем спектр исходного гамильтониана. Чтобы получить тот же результат при условии sgn(0) = 0, нужно сделать замену w i—> — w + v/2 и сдвинуть энергию пустого состояния
Упражнение 7.9
Добавим к гамильтониану слагаемое
(7.119)
Упражнения к главе 7
251
с вещественным 7. Оно моделирует взаимодействие со средой, которая может поглощать и испускать электронные пары с одинаковой вероятностью. Определите собственные векторы и спектр полного гамильтониана.
Решение. Новое взаимодействие смешивает только бесспиновые состояния 1 и Энергии остальных состояний остаются без изменений. В подпространстве 1,0_.0+ гамильтониан имеет вид
( °
\ 7
7
2aj + v
с собственными значениями ш + v/2 ±	+ r/2)2 -I- 72. Следователь-
но, энергия основного состояния равна w + v/2 — ^/(oj + г;/2)2 + 72. Сдвинув спектр так, чтобы основное состояние обладало нулевой энергией, получим:
О, -v/2 +	+ v/2)2 + 72 , 2^/(<v + v/2)2 + 72 .
Упражнение 7.10
Всюду в дальнейшем мы положим v = 0 и р — у/ш2 + 72, w = pcos(^>, 7 = psin(/?. Покажите, что в этом случае спектр можно интерпретировать в терминах двух независимых квазичастиц, полагая
— ат]± + b
дт[- ’
О- = rfr/_ + с
а, Ь, с, d С R,
5т/+ ’
Где 7/+,	— два генератора алгебры Грассмана, и соответствующие
^операторы и д/др± являются эрмитово сопряженными, так же как if± и д/де±.
; Прежде всего, выразите д/дО± через операторы типа тр Затем докажите, что из требования совместности этих преобразований с коммутационными соотношениями (7.11) следуют три условия на коэффициенты а,6, с, rf, вырадающие тот факт, что a, b, с, d — четыре Элемента ортогональной матрицы. Наконец, определите коэффициенты, ^1ри которых гамильтониан сводится к виду к	(	д д \
?	я = +	+	, Q>0.
к	\	Эр- j
Решение. Гамильтониан принимает такой вид при выборе
( а Ъ \ f cos((/?/2) sin(^?/2) \
I с d J ~ I -sin((/?/2) cos(<£>/2) J ’
E$ = w — p, П — p.
252
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
Упражнение 7.11
Запишите статсумму в виде континуального интеграла и сделайте замену переменных
9^ — ar/^ + bfj_ , 0_ = dri- + crj^ ,
0_|_ — ат}+ + brj_ , 0_ = drj_ + C77+ ,
co значениями, посчитанными в предыдущем упражнении. Покажите, что результирующий континуальный интеграл согласуется со спектром. Решение. После замены переменных получим континуальный интеграл, отвечающий гамильтониану
с точностью до аддитивной постоянной.
Упражнение 7.12
Спиновая группа: фермионное представление. Рассмотрим следующие три оператора:
В дальнейшем мы полагаем h= 1.
Убедитесь, что эти операторы эрмитовы. Вычислите произведения TiTj и т2 = Вычислите коммутаторы [тьту]. Найдите собственные векторы и собственные значения тз и т2. Посчитайте коммутаторы Ъ с гамильтонианом (7.118) и взаимодействием (7.119). Прокомментируйте.
Решение. Данные операторы являются генераторами алгебры Ли группы 517(2):
Собственные векторы тз таковы: 1,0+,0_,0+0_, собственные значения 0,1/2,—1/2,0, соответственно, то есть они представляют собой спиновые компоненты этих состояний. Соответствующие собственные значения т2 есть 0,3/4,3/4,0, как и следовало ожидать для частиц спина 1/2. Наконец, 0+д/90+ и в-д/дв_ коммутируют, и вводя
h ~ лд----0“ л/Г"
можно убедиться, что
Tih — h/Ti —	.
Упражнения к главе 7
253
Коммутативность гамильтониана (7.118) с генераторами группы 5(7(2) следует из этих соотношений и коммутативности п с т2. Можно убедиться, что взаимодействие (7.119) также 5(7(2)-инвариантно, что объясняет вид спектра.
Упражнение 7.13
Случайные эрмитовы матрицы, в пределе больших размеров, могут моделировать некоторые свойства сложных квантовых гамильтонианов (в частности, описывающих хаотическое классическое движение). Простая задача состоит в определении спектра таких случайных матриц в пределе бесконечного размера. В качестве связанной с этим задачи мы предлагаем посчитать среднее значение характеристического полинома случайных эрмитовых матриц с гауссовым распределением вероятностей, инвариантным относительно унитарных преобразований.
Итак, рассмотрим набор случайных эрмитовых N х N матриц с распределенем вероятностей
dp(M) = Л<- 1dAf2M e~N tr м'2/2, Л^М = АМй d Re	d Im Mi:j.
(7.120)
Hopмировочная постоянная N определяется из условия, чтобы среднее Значение 1 было равно 1, то есть
ДГ= dN2M e”mrM2/2.
Мера (7.120) инвариантна относительно унитарных преобразований
м и]ми, ии] = 1,
поэтому она присваивает равные вероятности всем матрицам с одина
ковыми спектрами. Такой набор случайных матриц называется гауссовым унитарным ансамблем (ГУА 9). Обозначим среднее значение
j?
функции F(M) по мере (7.120) следующим образом:
{F(M)) = ЛГ’
d/vM e~N tr м'2/2 F(M).
(i)	Докажите, что если X — произвольная N х N матрица, то
/ptrXM\ _ ptrX2/2N
\ С	/ - V/	«
(ii)	Представьте характеристический полином det(М — z) матрицы ,М в виде грассманова интеграла.
(iii)	Посчитайте среднее значение 7Yyv(z) = (det(М - z)} по ГУА.
L (iv) Подынтегральное выражение принимает вид экспоненты от полинома четвертого порядка по грассмановым переменным. Убедитесь, Ьто подынтегральное выражение может быть записано в виде гауссова
9 Прим. ред. перев. На английском GUE.
254
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
интеграла (по одной вещественной переменной) от гауссовой функции грассмановых переменных.
(v)	Посчитайте гауссов интеграл по грассмановым переменным. В результате получится интеграл по одной вещественной переменной.
(vi)	Обобщите метод для расчета [det(М — z)]n (решение не потребуется в дальнейшем).
(vii)	Можно доказать, что в общем случае среднее значение det (Л/ — z) по мере e~trV(M^ дает ортогональные полиномы относительно меры е_у(г\ Убедитесь в справедливости этого свойства явно на данном примере: для этого покажите, что функции
^v(z)=e Nz2/4,Hn(z)
удовлетворяют уравнению Шредингера. (Решение не потребуется в дальнейшем.)
(viii)	Посчитайте при N —> сю, используя метод наибыстрейшего спуска в интеграле, полученном в (v). Что можно сказать о носителе нулей 7-Cv(z)? Определите нули в пределе большого N.
(ix)	Каким образом модифицируется вычисление для вещественных, симметричных матриц с гауссовой О(ЛГ)-инвариантной мерой (в литературе ГОА О)?
Решение.
det(M-z) = p[d^d^etrXM-2trX
где
Тогда
А = —(trX)2.
Заметим, что
GtrX2/2W „
С	—
х/2тг
ds е-«2/2+^12г
Удобно сделаит замену переменной syN. Интеграл по грассмановым переменным берется напрямую, и в результате получается представление полиномов Эрмита:
HN(X) = vW/2tt
ds е Nl>1/2(is — z)N
(7.121)
’) Прим. ped. перев. На английском GOE.
Упражнения к главе 7
255
Представление [det(M - г)]п получается путем введения эрмитовой
п х п матрицы S, и полученное выше выражение меняется на
<[det(M - z)]n) = (N/2ir)n/2 dS e~NirS2/2 [det(iS - г)]77 .
4
Функции ^у(г) удовлетворяют уравнению Шредингера для гармонического осциллятора (с зависящим от N потенциалом)
-'Фя + |а?222^л- = N(N +	.
Альтернативная версия: Введем полиномы
HN(z)= ds е s2(is — z)N ос 7Y/v(z\/2//V).
— ОО
'Тогда собственные функции гармонического осциллятора имеют вид: г с
^N^z) = £~^2 HN(z).
'После замены переменных s + iz = s' получим:
'фы(г) — е^2/2 ds е s2+2rzs(is)N.
Несложно убедиться, что
(х - d/dx)^(^) = 2^yv+i (2),
Следовательно,
'iPn(z) — у/тг2 N(x — d/dx)Ne z<^2 .
b's
этом выражении легко узнать действие операторов рождения на Основное состояние гармонического осциллятора.
При N оо интеграл (7.121) можно посчитать с помощью метода гиаибыстрейшего спуска (более подробно см. упражнение 1.6). Седло-Йые точки таковы: * I
Г	1	1- , Л-------777
L	s —------— => s± = —	± \ 1 — г2/4 .
[	s + гг	2 V
[Итак, имеются две седловые точки. Нули получаются из условия сокра-вцения вкладов двух седловых точек. Отсюда следует, что, во-первых, Подынтегральные выражения должны иметь одинаковые значения и, Ьледовательно, z вещественно (этот результат следует и из аргумента-Нии общего характера: нули собственных функций эрмитова гамильтониана вида р2 + V(q) вещественны). Кроме того, величина у/1 - z2/4
256
Гл. 7. Континуальные интегралы: фермионы
должна быть вещественна, откуда следует, что носитель нулей лежит в интервале — 2 z 2. Тогда в ведущем порядке
e-s+ — z) — G^k/N е Г^8_ __
где правая часть получается из TV-го корня, и 1 к N. Удобно обозначить z = 2 cos ср, 0 тг. Тогда
5± = -ге±^,
следовательно,
2tp — sin(2<p) = 2/Kk/N (mod 2тг).
Мы видим, что при N —* ос плотность щ(<р) значений <р дается производной левой части:
=
— (1 -cos(2^)).
В таком случае плотность собственных значений матрицы имеет вид:
dtp dz
Этот классический результат носит название полукругового закона Вигнера.
В случае вещественных симметричных матриц единственное изменение возникает из-за матрицы X, которая должна быть в этом случае симметричной, поэтому
В остальном вычисление повторяет предыдущее.
f
Глава 8
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР: КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Классическая частица всегда отражается от потенциального барьера, если ее энергия меньше максимального значения потенциала. Для квантовой частицы, напротив, существует ненулевая вероятность туннелирования через барьер — явление, носящее название туннельного ффекта.
, Данная глава посвящена изучению различных проявлений туннельного эффекта в квазиклассическом приближении при помощи формализма континуального интегрирования. Обсуждаются две конкретные адачи: в квазиклассическом пределе h —> 0 будет вычислено расщепление между классически вырожденными уровнями энергии, соответствующими двум симметричным минимумам потенциала; в том же пределе будет найдена скорость распада, а, следовательно, и время жизни метастабильных состояний.
Может возникнуть вопрос, каким образом можно оценивать такие ффекты, хотя бы в квазиклассическом приближении, ведь прохождению через барьер не соответствует никакая классическая траектория. На самом деле, было замечено, что формально прохождение через карьер можно интерпретировать квазиклассически в терминах классических частиц, движущихся в мнимом времени (см. также Раздел 1,5.3). Использованный до сих пор евклидовый формализм, основанный на вычислении описывает формально эволюцию в мнимом ремени. В данной главе будет показано, что это позволяет вычислять оизические величины, связанные с прохождением через барьер.
Хотя эти методы могут быть обобщены, мы в основном будем обсуждать свойства основного состояния или близких возбужденных уровней энергии, и поэтому будем рассматривать, например, статсумму Три (3 —> оо. Нашим инструментом будет метод наибыстрейшего спуска, примененный к континуальному интегралу, однако в данной задаче седловыми точками будут решения классических уравнений движения, Не являющиеся более константами. Эти решения обладают важным двойством: разность между их действием и действием минимального |^>стоянного решения остается конечной при (3 —> ос. Таким решениям присвоено название инстантонов.
Чтобы вычислить инстантонные вклады, необходимо справиться | двумя задачами возрастающей сложности: найти седловые точки, ВСшив классические уравнения движения, разложить подынтегральное
258 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
выражение вблизи седловой точки и посчитать континуальный интеграл в ведущем порядке, интегрируя по гауссовым флуктуациям.
Наконец, отметим, что вычисления, основанные на методе наибыстрейшего спуска, приводят к квазиклассическим результатам, которые также могут быть получены путем решения уравнения Шредингера в ВКБ-приближении, однако метод наибыстрейшего спуска может быть значительно проще обобщен на задачи о прохождении через барьер в квантовой теории поля.
§8.1. Потенциал четвертого порядка с двумя ямами и инстантоны
Рассмотрим первый класс квантовых систем, в которых важную роль играет квантовый туннельный эффект: гамильтониан обладает дискретной пространственной симметрией, но потенциал минимален в точках, не инвариантных относительно групповых преобразований. Положения вырожденных минимумов связаны преобразованиями из группы симметрии.
В классической теории решения с минимальной энергией соответствуют частицам, находящимся в положении равновесия в одном из минимумов потенциала. Положение частицы нарушает (спонтанно) симметрию системы. В противоположность этому, в квантовой системе основное состояние не может быть вырожденным, как было показано в Разделе 3.6. Следовательно, мы ожидаем, что основному состоянию соответствует симметричная волновая функция, причем ее модуль максимален вблизи каждого минимума потенциала. Данное явление является следствием туннельного эффекта, заключающегося в том, что частица, исходно находившаяся в одном из минимумов, имеет ненулевую вероятность протуннелировать в другие. Мы собираемся посчитать расщепление классически вырожденных уровней энергии в квазиклассическом пределе.
8.1.1. Потенциал четвертого порядка с двумя ямами
Простым примером такой ситуации служит симметричный относительно отражения гамильтониан с потенциалом четвертого порядка, имеющим вид симметричной двойной потенциальной ямы:
Ясно, что гамильтониан инвариантен относительно отражения	— х,
следовательно, р — р. Этому отражению соответствует оператор Р, действующий на волновые функции следующим образом:
Р^](х) = ^(—х).
(8.1)
: §8.1. Потенциал четвертого порядна с двумя ямами и инстантоны 259 I**1  —"-------------"----------------------------------------— 
В таком случае симметрия относительно отражения выражается при Помощи коммутатора квантового гамильтониана Н с оператором отражения Р:
[Л Н] = 0. 	4
Следовательно, операторы Р и Н могут быть диагонализованы одновременно: собственные функции ipn оператора Н являются четными Или нечетными:
[Ptl>n,±](x) = ^п,=(-я) = ±V4±(®)-
Мы показали, что в общем случае можно выбрать волновую функцию Основного состояния так, чтобы она была положительной (Раздел 3.6). [оэтому волновая функция основного состояния V>o.+ с энергией Eq^ является с необходимостью четной:
Из общих аргументов также следует, что волновая функция ^о,-(я) первого возбужденного состояния с энергией Е*о.- обращается в нуль лишь однажды и является поэтому нечетной:
'фо-(х) =
Если и ^о,- одинаково нормированы, то в пределе Л —> 0 мы ожидаем, что волновые функции ^о,+ ± VU- должны соответствовать Частицам, практически полностью локализованным в каждой из ям.
Теория возмущений. Свойства основного состояния в квазиклассическом пределе могут быть получены из статсуммы Z(r/K) в пределе Л —> 0 и т —> ос (см. обсуждение в Разделах 2.9 и 3.1). Статсумма дается континуальным интегралом
где
Z(r/h) =
х(—t/2)=z(t/2)
'dz(f)] ехр [-S(x)/h],
(8.2)
(8.3)
Потенциал имеет два вырожденных минимума х — ±1/2. Поэтому Ьри & —► 0 подынтегральное выражение имеет две седловые точки, Соответствующие двум постоянным функциям x(t) = ±1/2, которые 1 силу симметрии дают одинаковые вклады. Чтобы посчитать вклад ^едловой точки, например, x(t) = —1/2, можно положить I.
'	x(t) = - +q(t)Vh .
г.
260 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
Действие принимает вид
т/2
S(q)/h =
-т/2
5<72(*) + |q2W(1	dt.
£ &
(8.4)
Затем необходимо произвести разложение по степеням К. Существование двух симметричных седловых точек дает множитель два, что является признаком наличия двух состояний с энергией Eq, вырожденных во всех порядках h и соответствующих случаям, когда волновая функция локализована в каждой из двух ям потенциала.
Расщепление уровней. Предполагаемая разность энергий _Е0,- -— £о,+ убывает быстрее любой степени h и не может быть с легкостью получена из вычисления tre~rH^h. Действительно, в двойном пределе h 0 и затем т ос имеем:
tr в	С ^0.-/^
~ 2e-^(bV+Eo.-)/2hch[T(Eo.+ -Е0._)/2Й].	(8.5)
Следовательно, основной вклад в статсумму дает пертурбативное разложение полусуммы Eq —	+ -Ео._), и зависимость от непертур-
бативной разницы между Eq^ и _Ео,_ проявляется лишь в порядке (£о,+ - ^о,-)2.
Чтобы узнать разницу Ео,+ ~ Eq_, гораздо удобнее вычислять величину tr Pe~TH'h. Собственное значение оператора Ре~тИ/\ соответствующее собственному вектору ^n,±(x), есть	В том
же пределе Й —► 0, затем т —> оо, получаем:
trpe-тя/л
e-rEOi+/h _ е-тЕ0'_/П
~ -2sh[r(£o,+ - E0^/2h]e-T(-E°-+E°-',/2h. (8.6)
Так как разность Eq+ — Eq~ обращается в нуль во всех порядках по h (и EQt± ~ - Л), в ведущем порядке имеем:
tr Р e~rHth ~ —т е"т/2 Е°'+ ~ Е°~ .	(8.7)
h
В действительности удобно рассматривать отношение величин (8.5) и
(8.6):	г
Ьгре-тН/п^тс-тИ/п ~ _ (Ео + -Ео,-).	(8.8)
Представление в виде континуального интеграла для lrPe~THth отличается от представления для статсуммы только граничными условиями. Действительно, в терминах матричных элементов
§ 8. L Потенциал четвертого порядка с двумя ямами и инстантоны 261
Следовательно, для любого оператора 17,
tr PU =
dy dx8(y + х) (я|U\y) =
dj; (j:| U |— х),
Применяя это замечание к континуальному интегралу, получим:
trPe rH/h =	[dj;(7)] ехр [—S(x)/h]	(8.9)
а?( —т/2) = —а?(т/2)
с тем же действием (8.3).
8.1.2. Инстантоны
Обозначение. В дальнейшем ограничимся обсуждением двух нижних уровней и поэтому опустим индекс 0 у Е.
В то время как основной вклад в континуальный интеграл для tre_'r///ft дают постоянные седловые точки x(t) = ±1/2, эти траектории не дают вклад в интеграл (8.9), потому что они не удовлетворяют соответствующим граничным условиям. Это не слишком удивительно, так как мы показали, что разность — Е_ убывает быстрее любой степени Й. Поэтому необходимо искать непостоянные решения евклидовых классических уравнений движения. Кроме того, действие этих решений должно иметь конечный предел при т —► оо, в противном случае они не дают вклада. Такие решения называются инстантонами, как если бы они соответствовали частицам.
Так как и кинетический член, и потенциал положительны, из данного требования следует, что они оба должны обращаться в нуль при |t| оо. В частности,
j?(-oc) = ± - и z(±oo) = ± ~ . £ £
Поэтому расщепление между двумя уровнями энергии зависит от существования инстантонных решений, соединяющих два симметричных минимума потенциала (Рис. 8.1).
Уравнение седловой точки, являющееся классическим уравнением движения в евклидовом, или мнимом, времени, имеет вид
-£(£)+2ж(£)(ж2(£) - ^) =0.	(8.10)
В пределе г —> оо у этого уравнения есть два семейства решений с конечным действием:
= ± |th((i - i0)/2),	(8.11)
&
Где to — постоянная интегрирования, являющаяся следствием инвариантности относительно сдвига по времени при бесконечном т.
Соответствующее значение действия
S(O = t	(8.12)
О
262 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
Рис. 8.1. Решение инстантонного типа.
Как только мы определили седловую точку, соответствующий вклад в континуальный интеграл получается в ведущем порядке с помощью гауссова интегрирования. Здесь при интегрировании возникает довольно тонкий вопрос, который мы обсудим позже. Однако обратим внимание на то, что мы нашли два семейства вырожденных седловых точек, зависящих от параметра t$. Так как для больших, но конечных т величина to меняется в интервале размера т, сумма по всем седловым точкам порождает множитель т, что согласуется с выражением (8.8).
В результате
trPe-TH/ft ~ 2л/^те-г/2е-1/6й.	(8.13)
Сравнивая с выражением (8.8), получаем асимптотическое поведение Е+ — Е- при h —> 0:
Е_-Е+ = 21/- e-1/6ft(l +О(П)).	(8.14)
h—>0 у Я"
Разность убывает экспоненциально при h —► 0, т.е. быстрее любой степени h — это согласуется с тем, что обсуждалось в Разделе 8.1.1 в рамках теории возмущений.
§ 8.2. Вырожденные минимумы: квазиклассическое приближение
Чтобы вычислить вклад инстантонов в ведущем порядке, удобно рассмотреть потенциал общего вида V с похожими свойствами: потенциал является регулярной, четной функцией; он минимален в двух симметричных точках ±яо 0, в которых он обращается в нуль:
V(x) = V(-z), V(±z0) - 0, V 0.
8.2.1. Инстантоны
Следуя анализу Раздела 8.1.2, посчитаем модифицированную статсумму:
trPe~rH/h = х(т/2)=—х(-	[dar(i)] ехр [—5(:c)/7i],	(8.15) -г/2)
§ 8,2. Вырожденные минимумы: квазиклассическое приближение 263
Где
т/2 Г
S(x) =
|±2(f) + V(x(t))] dt
(8.16)
-т/2
при h О и т —> ОС.
Уравнение седловой точки, полученное путем варьирования евклидова действия, идентично уравнению обычного классического движения (т.е. в вещественном времени) в потенциале — V(x):
(8.17)
С граничными условиями х(—оо) = — х(оо).
Отметим еще раз, что так как и кинетический член, и потенциал положительны, решение, для которого действие остается конечным При т —► ос, должно быть проинтерполировано между минимумами Потенциала. В пределе т —► ос для решений с конечным действием интегрирование уравнения дает:
|i2(t) - V(xc(t)) = 0.
(8.18)
Кроме того, если xc(t) — решение, то и xc(t — io) также решение. Для т больших, но конечных, параметр io меняется в интервале размера г.
Интегрируя уравнение (8.18), можно записать решение в виде:
t — io = ±
dy

Кроме того, из уравнения (8.18) видно, что соответствующее действие Может быть записано в виде
A— dtx^(t).
(8.19)
8.2.2. Гауссово интегрирование и нулевая мода
Разложим теперь действие S(a;) вблизи седловой точки, полагая
ъ	x(t) = xc(t) + r(i), г(т/2) = —г(—т/2).
второго порядка по г разложение имеет вид
Р-'	т/2
?	А
S(xc -hr) = А +
dt r2(t) + V"(xc(t))r2(t) +O(r3).
-т/2
264 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
Квадратичная форма по г может быть записана в виде
т/2
-т/2
dtidi2 r(«i )A/(ti, й2)г(<г).
где
= адад = К| + Пм"))1 г(1' -
(8.20)
Дифференциальный оператор М действует на функцию r(t) следующим образом:
df	=
Srtt)
= -r(t) +
(8.21)
Он имеет вид эрмитова квантового гамильтониана, причем t играет роль координаты, a V"(xc(f)) — потенциала. Все его собственные значения вещественны, так же как и детерминант.
Заметим, что в пределе т —► ос в континуальный интеграл дают вклад только траектории, удовлетворяющие условию г(±ос) = 0, при этом граничные условия автоматически выполняются.
При наивном вычислении гауссов интеграл по r(f) дает
trРе Т^1 ос е
dr(i)] ехр ( —S(r)) сх
е-Л/Л x/det(Af/?i)
г
причем это выражение нужно взять в пределе т —> ос.
Нулевая мода. Дифференцируя уравнение движения (8.17) по Г
находим:
-d2 + V"(zc(f))]ic(f) = 0.
(8.22)
Сравнивая с (8.21), мы узнаем в этом выражении действие М на хс. Так как функция ic(t) квадратично интегрируема (равенство (8.19)), из уравнения следует, что ic(f) — собственный вектор М с нулевым собственным значением:
Мхс = 0.	(8.23)
При гауссовом интегрировании получен результат, пропорциональный (det М)~1 /2, который, следовательно, бесконечен!
Эту проблему можно было предвидеть: как мы заметили ранее, в силу трансляционной инвариантности по времени мы получили однопараметрическое семейство вырожденных седловых точек, связанных непрерывными сдвигами по времени. Следовательно, действие инвариантно относительно бесконечно малой вариации xc(t), соответствующей вариации параметра to и поэтому пропорциональной хс. Проблема, с которой мы здесь столкнулись, ни коим образом не является специ
§8.3. Коллективные координаты и гауссово интегрирование
265
фикой именно континуальных интегралов, что будет ясно из примера с обычным интегралом. Ее разрешение требует введения коллективных координат, связанных с непрерывными симметриями подынтегрального выражения.
Следует сделать еще одно важное замечание. Из общей теории ортогональных функций следует, что число нулей собственных функций гамильтониана М напрямую связано с иерархией собственных значений: у основного состояния М нет нулей, первое возбужденное состояние обладает одним нулем... В настоящем примере собственная функция ic(i) не обращается в нуль (см. Рис. 8.1): следовательно, она соответствует основному состоянию, и все остальные собственные значения М положительны.
§ 8.3.	Коллективные координаты и гауссово интегрирование
Для исследования проблемы нулевой моды рассмотрим сначала обычный интеграл, у которого подынтегральное выражение инвариантно относительно некоторой непрерывной группы преобразований, в данном случае вращений в плоскости. Будет показано, как проблема может быть решена путем введения коллективных координат при помощи так называемого метода Фаддеева-Попова, и этот метод мы в дальнейшем обобщим на случай континуальных интегралов.
8.3.1.	Нулевые моды в простых интегралах
Рассмотрим двойной интеграл общего вида (3.33):
Д<?) =
d2xe S(x) = — х2/2 + (х2)2/4 ,	(8.24)
где х — двукомпонентный вектор	и подынтегральное выраже-
ние является функцией только х2.
При g —> 0+ этот интеграл может быть посчитан при помощи метода наибыстрейшего спуска. Наивный подход заключается в следующем: седловые точки являются решениями уравнения
(8.25)
Начало координат х = 0, соответствующее локальному максимуму, — неподходящая седловая точка. Минимумы соответствуют
(8.26)
Вследствие инвариантности подынтегрального выражения относительно вращений, мы нашли здесь также однопараметрическое семейство b Вырожденных седловых точек, лежащих на окружности, так как урав-гнение седловой точки определяет только длину вектора х. Если вы-
266 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
брать некоторую конкретную седловую точку и посчитать ее вклад в гауссовом приближении, получится результат, в который входит детерминант матрицы
d2S
— *
(8.27)
Эта матрица представляет собой проектор на х. Вектор, ортогональный х, соответствует плоскому направлению подынтегрального выражения и, следовательно, является собственным вектором с нулевым собственным значением.
В данном случае существует прямое решение задачи: интеграл по угловой переменной, параметризующей набор всех седловых точек, нужно вычислить точно; только интеграл по длине вектора может быть найден при помощи метода наибыстрейшего спуска.
8.3.2.	Метод Фаддеева-Попова
Так как не всегда удается так просто факторизовать меру интегрирования на переменные, параметризующие седловые точки, т.е. коллективные координаты, и переменные, к которым может быть применен метод наибыстрейшего спуска, зачастую может быть использован так называемый метод Фаддеева-Попова (играющий также важную роль в квантовании неабелевых калибровочных теорий). Сначала вводится неинвариантная функция переменных интегрирования, т.е. в данном случае функция, неинвариантная относительно вращений, и усредняется по группе симметрии. В примере (8.24) можно выбрать функцию 5(^2), где — функция Дирака. Тогда
2тг	2тг
d# (5(a;i sin# + Х2 cos#) = — <=> d#5(xisin# 4- ^cos#) = 1 . 5СI	£
J	F	J
О	о
Результат интегрирования представляет собой инвариантную функцию; в данном примере она зависит только от длины вектора х. Внесем последнее тождество в исходный интеграл следующим образом:
Цд) = ? d2x
d# |х| (5(я1 sin# + Z2COS0)е .
Теперь изменим порядок интегрирований и сделаем замену переменных х I—► у, полагая
Pl = Xl COS# — Х2 Sin# , У2 = Х\ Sin# + Х2 cos#
причем эта замена переменных также представляет собой вращение. Функция е~5 /д и мера интегрирования при этом не меняются. Следо-
§8.3. Коллективные координаты и гауссово интегрирование
267
вательно,
2тг
Д<?) = | f d0 [d2y |y|<5(y2)e-s^/4 = от
о
i/idt/i c s^yi^9
о
Мы узнаем радиальный интеграл, который может быть вычислен при помощи метода наибыстрейшего спуска.
8.3.3.	Коллективные координаты в континуальных интегралах
В случае континуального интеграла также необходимо проинтегрировать явно по переменным, параметризующим седловые точки, — Так называемым коллективным координатам. В случае инстантон-ных решений уравнения (8.18) параметр сдвига по времени является коллективной координатой. И вновь необходимо явно факторизовать интегрирование по коллективному временному параметру в мере интегрирования. В этом и состоит идея метода коллективных координат. Данная задача оказывается несколько более тонкой, чем в примере (8.24), так как число переменных интегрирования бесконечно.
Коллективные координаты и метод Фаддеева-Попова. Чтобы факторизовать интегрирование по коллективному временному параметру (коллективной координате), адаптируем метод Фаддеева-Попова, описанный в Разделе 8.3.2, к этому новому случаю.
Обозначим с помощью xc(t) частное решение уравнения седловой точки (8.18), соответствующее to = 0, при этом общим решением будет xc(t ~ io).
Начнем с тождества
\/2<
dAe-AX
где £ — произвольный параметр. Сделаем замену переменной A i—► to,
где
dt xc(t)(x(t +10) - xc(t)).
Получим новое тождество:
di xc(t)x(t + tg)
exp
dt ic(t) (x(t + to) - a;c(t))
- 1. (8.28)
Константа £ введена отчасти из косметических соображений, но предполагается, что она имеет порядок h.
268 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
Внесем тождество (8.28) в континуальный интеграл (8.15):
1
7^
trPe“TH//i =
dx(i)
di xc(t)x(t + ig)
exp [—S^x)/h],
где полное действие
S$(x) = S(x) +
более не инвариантно относительно сдвигов по времени, потому что время входит явно через функцию xc(t).
Функцию x(t + io) теперь можно переобозначить x(t). При этом изменится 5(ж), но в действии мы сделаем замену переменной i — io *—> i. Тогда при т = оо вновь получается исходное действие, потому что область интегрирования не изменилась.
Подынтегральное выражение более не зависит от переменной io, и интегрирование по io выполняется мгновенно. При т —> оо
trpe-rH/ft
\/2^ J
dx(i)] di xc(t)x(t) exp[-(%(x)/ft],
где
diic(i)(z(i) - xc(t))
2
8.3.4.	Гауссово интегрирование
Уравнение седловой точки принимает вид
8S 6x(t)
di' ±c(i')(x(i')
-xc(i')) =0.
(8.29)
Ясно, что решением этого уравнения является x(t) = xc(t). Вторая функциональная производная действия в седловой точке получает дополнительный вклад:
S S	(	5 S Ъ- , г .
X (4-	(4-	1 *	’ ^) — Г (, хг /, х £ *^с(^1 )Xc\t2) •
OXc(t\)0Xc{t2)	8xc(ti )6xc{t2)	£
Добавок является проектором на собственный вектор оператора 82S/8хс8хс, отвечающий нулевому собственному значению. Следовательно, модифицированный оператор обладает теми же собственными векторами и собственными значениями, что и исходный оператор 62S/8xc8xc, с одним исключением: собственное значение, соответствующее собственному вектору хс, теперь есть

(8.30)
вместо 0. Поэтому детерминант оператора уже не равен нулю, и проблема нулевой моды решена.
§ 8.3. Коллективные координаты и гауссово интегрирование
269
Нормировка континуального интеграла может быть получена путем сравнения его со статсуммой Zq{t/K} гармонического осциллятора:
dz(i)] охр
di i2(i)-I-z2(i) >, (8.31)
которая при т —> оо сводится к е т/2. В этом пределе гауссов интеграл может быть выражен в терминах оператора
— (dtj2“hl 5(ij—^2)-
(8.32)
Как будет показано в дальнейшем, легко может быть посчитан детерминант произведения операторов (Л/ + c)(Mq -t- в)-1, где £ — произвольная константа. При £ —► О это выражение стремится к нулю линейно по £, поэтому положим
lim - det (Л/ 4- е) (Мо 4- £)-1 = det(8.33) £—>0 £
С другой стороны, нам здесь требуется (множители h сокращаются в отношении гауссовых интегралов)
detAfe = det(M+ м|0)<0|)М~1 =
= lim det (Л/ 4- £ 4- р |0) (0|) {Mq 4- £)“J , £—►0
где |0)
М = 1|£< лучим:
— вектор с единичной нормой, пропорциональный хс, и 2h/£. После некоторых простых алгебраических выкладок по-
det {М 4- £ 4- р |0) (0|) {Mq 4-е) 1 =
— det {М 4“ в) {Mq 4- с) х det 1 4- р 0) (О {М 4~ в) = (1 4* р/s) det {М 4- в) {Mq 4- в) .
В пределе £ —► 0 получаем:
detA/M0-1 ||ic||2^/C
В результате появляется множитель
1	.	2
, --т хе .
УМ
Собирая все множители, заключаем, что гауссово интегрирование по конфигурациям вблизи седловой точки дает множитель
л/2тгй
||ic||(det'MA/0 *) ^2е т/2
Как и ожидалось, зависимость от £ исчезла.
270 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
Учитывая два семейства седловых точек и отношение 2 величин 2о(т/Й) и	при т оо, получим:
-тн/h '

(8.34)
откуда, используя результат (8.8), получим расщепление уровней:
det fM (det Mq)
— A/h
V 2тг
8.3.5. Применение: потенциал с двумя ямами
Решение классического уравнения движения имеет вид:
xc(t) = - th(f/2).
Кроме того, (равенство (8.19)
Наконец,
2 ch2(t/2) '
Оператор М имеет вид гамильтониана Баргмана-Вигнера: соответствующее уравнение Шредингера можно решить явно, и квантовое рассеяние оказывается безотражательным (S-матрица приведена в упражнении 9.2; ее полюса дают спектр гамильтониана). Детерминант также может быть посчитан явно. В общем случае, когда
А(А+ l)cv2 ch2(ut)
M = -d?
находим:
(8.35)
где
В данном случае сс = 1/2, А = 2 и, следовательно, z - 2 ~ е. Тогда
В итоге получаем:
§ 8.4. Инстантоны и метастабильные состояния
271
Замечания.
(i) Мы посчитали инстантонный вклад только в пределе г = ос, в котором граничные условия для действия инвариантны относительно временных трансляций. При вычислении для больших, но конечных т, возникают некоторые дополнительные тонкости.
(ii) Можно изучать квазиклассические эффекты во всех порядках разложения по степеням е-1/6\ Это привело к предположению, позднее доказанному, обобщающему обычную формулу Бора-Зоммерфельда на случай потенциалов с вырожденными минимумами. Собственные значения Е гамильтониана представляют собой решения секулярного уравнения, которое в случае потенциалов четвертого порядка с двойной ямой может быть записано в виде:
Г2(^-B(E,h)) ( ~ I	+2тг = 0,	(8.36)
v 2	7 у a J
где
В(Е, К) = —В(Е, -Й) = f + ЕГ=1 ПкЬк^(Е/К),	(8.37)
А(Е, Й) =-А(Е.-Й) =	+	(8-38)
Коэффициенты flfc(s) и являются четными или нечетными полиномами по з, в зависимости от степени к.
Пертурбативное разложение при h —> 0 применимо к собственным значениям энергии Е = О (ft), в то время как квазиклассическое разложение предполагает Е = 0(1). Это приводит к суммированию членов старшего порядка по Е во всех порядках по h.
§ 8.4. Инстантоны и метастабильные состояния
Рассмотрим теперь другую ситуацию, в которой важную роль играет квантовое туннелирование — распад метастабильных состояний. Будем считать, что вначале квантовая частица расположена в потенциальной яме, соотвествующей локальному, а не абсолютному минимуму потенциала. Пример такого потенциала приведен на Рис. 8.2, где начало координат не соответствует абсолютному минимуму потенциала. Вследствие квантового туннелирования существует конечная вероятность того, что квантовая частица вылетит из потенциальной ямы (в единицу времени), и как раз эту вероятность мы хотим определить в пределе h —* 0.
Ограничимся обсуждением только тех начальных состояний, которые локализованы глубоко в яме, т.е. близко к псевдо-основному состоянию ямы (это представляет собой некоторый эквивалент классической частицы, находящейся почти в состоянии покоя). Будет показано, что, как и в пертурбативном вычислении, скорость распада может быть получена из статсуммы 2[г/К} = tr е~тН/^ при т —► ос (см. Разделы 2.9 и 3.1).
272 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
Квантовая метастабильность. В случае потенциала, аналогичного изображенному на Рис. 8.2, в начале координат потенциал не достигает своего абсолютного минимума. Состояние, соответствующее волновой функции локализованной в исходный момент времени t = 0 (здесь t — настоящее физическое время уравнения Шредингера) в потенциальной яме вблизи q = 0, распадается из-за квантового туннелирования. Чтобы понять, каким образом рассчитывается скорость распада, будем непрерывным образом варьировать параметр потенциала, чтобы плавно перейти от случая, когда начало координат представляет собой абсолютный минимум, к ситуации, когда оно становится лишь относительным минимумом. В стабильной ситуации решение зависящего от времени уравнения Шредингера, соответствующее энергии основного состояния Eq, ведет себя как
^o(t) ~ e-iEot^.
После аналитического продолжения Eq становится комплексным и, следовательно, ^о(^) экспоненциально убывает со временем:

~ e-|IrnEoif/h . t—>+ос
Рис. 8.2. Потенциальная яма, приводящая к метастабильности.
Параметр |Д/1шЕо| представляет собой время жизни теперь уже метастабильного состояния с волновой функцией Отметим, что в распад состояния дают вклад аналитические продолжения всех возбужденных состояний. Однако интуиция подсказывает, что когда вещественная часть энергии возрастает, соответствующий вклад спадает быстрее со временем — в справедливлсти этого свойства можно, действительно, убедиться на примерах.
Следовательно, на больших временных интервалах остается только компонента, соответствующая псевдо-основному состояния. Будет показано, каким образом вычисляется Im Eq при h —> 0.
§8.4. Инстантоны и метастабильные состояния
273
8.4.1. Простой интеграл
Рассмотрим сначала простой интеграл, некоторые свойства которого аналогичны соответствующим свойствам континуального интеграла:
Исходно оба параметра е и Л положительны. При е > Л2/4 функция S(x) имеет минимум при х — 0. Функцию 1(А, е) можно разложить по степеням А:
—ос
34!
/с^О
скг x^k е~х2/4
и ряд сходится.
Каждый член разложения обладает конечным пределом при г —> 0 и формально
7(А,0)
dxx
— оо
3k р—х2/2
23fc~1/2r(3A;+ 1/2) 32fc(2fc)!
(8.39)
Однако предельная функция /(А, 0) определяется интегралом, который более не является сходящимся, поэтому не удается сразу интерпретировать данное разложение. Более того, предельный ряд (8.39) расходится при всех значениях А и уже не определяет аналитическую функцию.
Аналитическое продолжение. Если, вместо того чтобы брать предел г —► 0 при вещественном положительном е, сделать аналитическое продолжение на комплексные значения
7г/3 < Arge < 7г/2 или — 7г/2 < Arge < —тг/З,
то исходный контур интегрирования можно деформировать в контуры С± : Im х = 0 при Re х > 0, Arg х — тг ± 5тг/24 при Re х < 0,
соответственно, и результирующие интегралы всегда сходятся, однако определяют две различные предельные функции

/±(А)=
/2-A*3/3d2.
274 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
в зависимости от выбора контура. Эти две функции комплексно сопря-
жены друг другу:
/_(А) = МА).
При А —► О эти интегралы могут быть найдены при помощи метода наибыстрейшего спуска. Седловые точки даются соотношениями
Sf(x) = х + А.т2 = 0 => х = 0 или х ~ — 1/А.
Соответствующие значения S(x) есть
5(0) = 0, S(-l/A) = 1/6А2.
При А —► 0 ведущей седловой точкой всегда будет х = 0, и разложение (8.39) по степеням А есть разложение, полученное при помощи метода наибыстрейшего спуска. Во всех порядках по А данные две функции имеют одинаковые вещественные разложения. Вторая точка является суб-ведущей и дает пренебрежимо малые вклады.
Расходящийся ряд (8.39) является асимптотическим разложением обеих функций 7±. Асимптотический ряд, вообще говоря, не определяет единственным образом аналитическую функцию, но, тем не менее, может дать очень хорошее приближение, когда параметр разложения достаточно мал, и суммирование ограничивается конечным числом членов (см. также обсуждение в Разделе 1.5).
Разность двух интегралов чисто мнимая. Она дается контуром который может быть деформирован в контур, не проходящий через начало координат. Основной вклад в результирующий контурный интеграл при А —► 0 дает вторая седловая точка. Мнимые части не видны в разложении (8.39), потому что они убывают быстрее любой степени. Вычисление вклада седловой точки дает в ведущем порядке:
Л(А) - 1_(А) = 2iIm/+(A) ~ 1у/2я е-1/6^ .
8.4.2. Континуальный интеграл и метод наибыстрейшего спуска: инстантоны
Применим аналогичную стратегию к континуальному интегралу. Начнем со случая, когда в гамильтониане
н = +v 
потенциал имеет абсолютный минимум в начале координат, и
V(q) = | mcj2Q2 + O(q3).
С помощью аналитического продолжения по параметру потенциала V мы перейдем к ситуации, когда минимум потенциала при q = 0 лишь локальный и, следовательно, существуют значения Q, при которых V < 0. Мы не будем далее рассматривать случай, когда минимум потенциала вырожден, потому что некоторые аспекты данной задачи уже обсуждались в Разделах 8.1-8.3.
§ 8.4. Инстантоны и метастабильные состояния
275
Здесь мы подсчитаем мнимую часть Z[r/K) — tre тЯ/п при т ос. Предполагается, что результат будет иметь вид
lmZ(r/h) ~	~ -^ImEoe~TReE°^.
I и
В ведущем порядке по h можно заменить ReEo значением в гармоническом приближении, следовательно,
1т2(тДЬ-^е’"7/21тЕ0.	(8.40)
п
Инстантоны. Найдем нетривиальные седловые точки подынтегрального выражения в континуальном интеграле. Уравнение седловой точки, полученное путем варьирования евклидова действия, имеет вид:
-mq + V'(q) =0	(8.41)
где q(—т/2) = q(r/2).
Очевидно, функции
= Qext. = const.,	(8.42)
где qext. соответствует экстремуму потенциала, являются решениями. Мы не будем принимать во внимание седловые точки с V < 0 по тем же причинам, что и в случае обыкновенного интеграла: аналитическое продолжение приводит к областям интегрирования, не включающим такие седловые точки. С другой стороны, вклады седловых точек, соответствующие экстремумам с V > 0 имеют порядок e“rVext-/ft, поэтому они пренебрежимо малы в пределе г —► ос и h 1, так как мы рассматриваем только собственные значения энергии порядка h.
Следовательно, будем искать решения, действие которых обладает конечным пределом при т —> -hoc, т.е. решения инстантонного типа. Решения уравнения (8.41) с периодическими граничными условиями соответстуют периодическим движениям в вещественном времени в потенциале — V(q). Ясно, что можно найти такие траектории, которые осциллируют вблизи минимума —V. Первое интегрирование уравнения движения (8.41) дает
-mq2 -V(q) = е,
где е < 0. Обозначая < q+ две точки, в которых скорость q обращается в нуль, получаем следующее выражение для периода такого решения:
— f dq т — 2\/тп	------------
[ y/2V(q) + 2г ’
/
Период т бесконечен только для таких констант г, что V(q) + г имеет Нуль второго порядка в точке q_ или откуда следует, что V'(q) Обращается в нуль. Кроме того, действие остается конечным в этом ^пределе только в том случае, когда V(q(t)) и q обращаются в нуль
276 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
при t\ —* ос. Эти условия совместны только в том случае, если е и, следовательно, например, q~. обращаются в нуль. Соответствующая классическая траектория подходит все ближе к началу координат. Тогда предел > 0 величины g_i_ — точка на траектории, в которой скорость обращается в нуль. В пределе т —► оо классическое решение имеет вид (to — константа интегрирования):
я
dq'
. v/W)
ЯО
при t < to; t - to = \/m
яо
dq'
при t > to -

Инстантонное действие. Здесь может быть использовано следующее замечание в духе теоремы вириала, интересное в связи с тем, что оно обобщается на более сложные примеры. Если qc(t) — решение с конечным действием на интервале t е (—ос, -hoc), то qc(Xt) также обладает конечным действием. После замены переменных Xt = f действие, соответствующее qc(Xt), принимает вид:

ътХ dtq2c(t) + - dtV(qc(t)).

Так как S(q) стационарно при q(t) = qc(t), производная cLS/dA должна обращаться в нуль при Л = 1. Отсюда имеем:
1
2 т
dtq2c(f)

следовательно, соответствующее классическое действие
+ос	9о
S(qc)=A = m dtql(t)=2 x/2V(q)dq (8.43)
— DO	О
положительно. Поэтому инстантон дает вклад порядка е~Л/7?, убывающий экспоненциально при h/A —> 0.
Замечания.
(i) Может возникнуть вопрос, имеет ли смысл учитывать столь малые вклады, ведь в Eq основной вклад дает разложение по всем степеням h. На самом деле, если начать со стабильного случая, а затем осуществить аналитическое продолжение, получатся два комплексно-сопряженных результата. В каждый из них, действительно, основной вклад дает тривиальная седловая точка q(t) = 0, из которой получается пертурбативное разложение, все члены которого вещественны. Если же посчитать разность этих двух результатов, вклады ведущей седловой точки взаимно уничтожаются, и в разность основной вклад дает инстантон. В качестве проверки необходимо убедиться, что вклад инстантона чисто мнимый.
(ii) Так как евклидово действие инвариантно относительно сдвигов по времени, классическое решение зависит от произвольного пара
§8.5. Коллективные координаты: альтернативный метод
277
метра to, который при конечных т принимает значения в интервале [—т/2, т/2]. Как и в примере Раздела 8.2, получается однопараметрическое семейство вырожденных седловых точек. При вычислении вклада седловой точки зависимость от to исчезает, поэтому все седловые точки дают одинаковый вклад.
(in) Можно было бы также рассматривать траектории, осциллирующие п раз вблизи минимума потенциала за время т. Несложно убедиться, что соответствующее действие в пределе т —> оо есть
= пЛ,
(8.44)
и дает вклад порядка e~nA/h^ Следовательно, при ft —> 0 в мнимой части континуального интеграла преобладает вклад с п = 1.
Ведущий порядок: гауссово приближение. Аргументы Раздела 8.2 здесь также применимы. При гауссовом интегрировании в наивном методе наибыстрейшего спуска возникает детерминант оператора
(525
= г /. хг—7Г\
$qc(ti)8Qc(J>2)
-md* +V''(<?c(J1))]<5(t1 -f2).	(8.45)
При дифференцировании по времени уравнения движения (8.41) получаем:
—md2 + V"(<?c(£)) qc(t) = Mqc = 0.	(8.46)
Следовательно, qc (которая квадратично интегрируема, см. равенство (8.43)) — собственный вектор эрмитова оператора М, причем соответствующее собственное значение равно нулю.
Однако отметим важное отличие данной задачи и задачи с вырожденными минимумами. Как уже отмечалось, из общей теории ортогональных функций следует, что число нулей собственной функции гамильтониана М напрямую связано с иерархией собственных значений: у основного состояния М нет нулей, первое возбужденное состояние имеет один нуль... Следовательно, собственная функция ф:(£), обращающаяся в нуль лишь однажды, при t — io, соответствует первому возбужденному состоянию, поэтому в данной задаче М должен иметь одно отрицательное собственное значение. Произведение det'Л/ ненулевых собственных значений М отрицательно, и \/det fM мнимый, как и ожидалось.
§ 8.5.	Коллективные координаты: альтернативный метод
И вновь, из-за существования временной нулевой моды, необходимо ввести временную коллективную координату, а гауссово приближение можно использовать только для мод, ортогональных qc. Метод Раздела 8.3.3 можно адаптировать к этой новой ситуации, но поучительно описать альтернативное решение той же задачи.
278 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
Будем обозначать qc(t) частное решение уравнения седловой точки (8.41), соответствующее io = 0, следовательно, общее решение есть qc(t - io).
Чтобы ввести переменную интегрирования, отвечающую временным трансляциям, положим
q(t) = qc(t - i0) + r(t - to)Vh,	(8.47)
где to — уже не обычный параметр, а входит, так же как и траектория r(i), в новый набор переменных интегрирования. Однако при бесконечно-малой вариации to к q(t) добавляется слагаемое, пропорциональное qc. Чтобы в новый набор {to,r(t)} входили только независимые переменные, траектория r(i) должна удовлетворять одному условию. Выберем
qc(t ~ to)r(t - to)dt = 0.
(8.48)
Разложим теперь r(t) по ортонормированному базису, составленному из собственных векторов fn(t) эрмитова оператора (8.45):
ос
п=0
В набор {fn} входит нормированный собственный вектор qc/||qc||, который мы обозначим /о* Из условия (8.48) следует, что коэффициент го при /о обращается в нуль.
Записанный в терминах компонент /п, аргумент экспоненты в гауссовом интеграле принимает простой вид:
diidi2r(tOM(ii,= - £mnr2n , n>0
(8.49)
где {mn} — набор всех ненулевых собственных значений М.
Теперь полезно вспомнить, что функциональную меру [dg(i)] можно также определить в континууме как плоскую меру на компонентах ст разложения q(t) по ортонормированному базису квадратично-интегрируемых функций (см. обсуждение в Разделе 2.7):

оо
тп=0
ОС
~- JV* | | de777, , m=Q
9m(t) C £2,

Якобиан преобразования, связывающего набор {cm} с набором {io, {гп}} имеет следующий вид в ведущем порядке по h (см. Раздел
§8.5. Коллективные координаты: альтернативный метод
279
8.6):
<7с|| /у/Й =
Qe.Wdt
= y/A/mh .
(8.50)
Так как подынтегральное выражение не зависит от to, интегрирование по коллективной координате to просто дает множитель т. Интегрирование по переменным гп дает (det'M)-1/2, где det717 — произведение всех ненулевых собственных значений М, совпадающее с детерминантом М в подпространстве, ортогональном qc.
Нормировка. Чтобы нормировать континуальный интеграл, сравним его с предельным значением при К = 0 (гармонический осциллятор), которое в пределе т —► ос сводится к	При К —♦ 0 оператор М
стремится к оператору
—md2( + ш <5(£] — tg),
*
=	+mw2/(fi).
(8.51)
При сравнении инстантонного вклада и эталонного континуального интеграла, отвечающего гармоническому осциллятору, необходимо принять во внимание, что в случае инстантона одна гауссова мода была исключена. Эти два континуальных интеграла отличаются на одно гауссово интегрирование. Следовательно, необходимо разделить инстантонный вклад на
е д2/2 dA = (27г)1/2.
Разделив на 2г, получим мнимую часть 2(т/К) в виде (8.40). Собирая все множители, получаем:
ImZ(r/ft) ~
7 [det'(ЛОМ1 Л 1/2л/Д-^е-шг/2е-А/й, 2г L 0 J V mh
и, наконец,
ImE0 ~ 7 [det/A/M/1)] 1/2 е~А?к . 2г L	и J у 2тгт
(8.52)
Результат конечен и веществен, потому что, как было указано, у М есть одно отрицательное собственное значение. Размерность ответа правильна, потому что одно собственное значение М имеет размерность масса/время2, и одно собственное значение М опущено.
280 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
§ 8.6.	Якобиан
Посчитаем якобиан перехода от переменных q(t) к набору {io,rri}. Чтобы избежать большого количества множителей h, сделаем замену <?(£) q(t)x/h, так что в дальнейшем qc(t) соответствует qc(t)/\/h, где qc — частное решение уравнения (8.41).
Разложим q[t} по полному ортонормированному базису (в смысле £2) вещественных периодических функций с периодом т:
т—0
(8.53)
(8.54)
пт.
(ltgm(t)gn(t).
о
При непосредственном расчете в Разделе 2.4 (см. равенство (2.69)) мы определили функциональную меру следущим образом:
ОО
[dg(f)] = М dcm , т=0
(8.55)
где М — обычная константа нормировки. Сделаем теперь замену переменных:
ОО
q(t) = qc(t - t0) + ^2 rnfn(t - t0),	(8.56)
n= I
где набор	образует ортонормированный базис, и но-
выми переменными интегрирования являются to и совокупность {гп}.
Переменные сгп можно выразить через новые переменные:
('т —
2 Jn
п— 1
“ ^о)-
(8.57)
Якобиан преобразования суть детерминант матрицы
Г^Стп Эст dt0 ’ дгп
(8.58)
где
71=1
дгп
*
&tgm(t)fn(t - to).
(8.59)

§8.7. Инстантоны: ангармонический осциллятор
281
В ведущем порядке можно пренебречь зависимостью якобиана от {гп}-Так как набор {дс/1Ю, fn} образует ортонормированный базис, мат-
рица
О*	,
Qc
dtgm(t)fn(t - t0)
(8.60)
ортогональна, и ее детерминант равен 1. Следовательно, якобиан преобразования есть просто
(8.61)
§ 8.7.	Инстантоны: ангармонический осциллятор четвертого порядка
Применим теперь предыдущие результаты к достаточно простому примеру — ангармоническому осциллятору четвертого порядка, в котором знак четверного члена меняется с положительного на отрицательный. Соответствующий гамильтониан имеет вид:
н = - I (d/d<2)2 + I <72 + J9Q4-£	£	Л
(8.62)
В дальнейшем положим h= 1, потому что, как мы убедимся ниже, в данном случае параметр д играет роль К.
Получим собственные значения Н из статсуммы
Z(/3)=tre зн =	[dg(f)] ехр [—<$(</)],	(8.63)
9(-/5/2)=9(/3/2) где S(q) — евклидово действие:
/5/2
<*(<?) =
—/5/2
+ d<-м	"Т
(8.64)
Обобщение аргументов, применимых к интегралам с конечным числом переменных, подсказывает нам, что континуальный интеграл (8.63) определяет функцию д, аналитичную в полуплоскости Re(^) > 0. В этой области основной вклад в интеграл при д —> 0 дает седловая точка q(t) = 0. Следовательно, его можно посчитать, раскладывая подынтегральное выражение по степеням д и интегрируя последовательные члены. Это дает пертурбативное разложение статсуммы, из которого можно получить разложение для энергии основного состояния Ео(д) в пределе /3 —> ос.
Замечание.
,, После замены
'	- q(t)g-^2,
282 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
параметр g факторизуется перед действием:
5(<7) = |ЖМ
«У
(8.65)
Поэтому константа связи g играет роль h с точки зрения пертурбативного разложения.
Отрицательная константа связи. Для всех g < 0 гамильтониан более не ограничен снизу. Поэтому собственные значения энергии, рассматриваемые как аналитические функции д, имеют сингулярность при д = О, и ряд теории возмущений всегда расходится.
Чтобы понять, как определить и вычислить Е${д) при отрицательных д, мы снова рассмотрим сначала простой интеграл, иллюстрирующий некоторые аспекты проблемы.
8.7.1.	Простой интеграл четвертого порядка
Рассмотрим интеграл
№) =
1 \/2л
+ оо
е-(х2/2+рх4/4)
— ОС
(8.66)
являющийся ’счетчиком’ числа фейнмановских диаграмм, дающих вклад в статсумму (8.63). При малых положительных д основной вклад в интеграл дает седловая точка в начале координат, поэтому
1(g) -1+ОД.
(8.67)
Функция 1(g) аналитична в усеченной плоскости. Чтобы аналитически продолжить интеграл на область д < 0 необходимо поворачивать контур интегрирования С при изменении фазы д, например, следующим
образом:
С : Arg я = --Arg д
(mod 7г).
Тогда Re(<p;4) все время остается положительной. Поэтому получаются два различных, комплексно-сопряженных друг другу, выражения 7±(</), соответствующих различным направлениям вращения в плоскости д:
при д = — д + гО :
где С+ :
при д = - д - гО :
где С- :
§ 8.7. Инстантоны: ангармонический осциллятор
283
При д —► 0 основной вклад в оба интеграла по-прежнему дает седловая точка в начале координат, так как вклад других седловых точек
х + дх3 — 0 => х2 = -1 jg,	(8.70)
имеет порядок
/2+дх4/4)	^\/4д	।
(8.71)
Однако скачок функции 1(g) при переходе через разрез равен разнице этих двух интегралов:
4(р) - -М») = 2ilm/(.g) =
e-(^/2+S^/4) da._
(8.72)
Он соответствует контуру С+ — С_> который, как показано на Рис.8.3, может быть деформирован в сумму контуров С\ и С2, минующих ведущую седловую точку, но содержащих нетривиальные седловые точки Si и S2: х = ±1/у^. Это означает, что вклады седловой точки в начале координат сокращаются, и теперь основной вклад в интеграл дают седловые точки Si и S2. Вычисляя их вклады, находим:
Im Др) ~ 2-,/2е,/4з .	(8 73)
Вследствие этого при малых от
Рис. 8.3. Контуры интегрирования С+, С, и С2.
рицательных д, когда веществен-
ная часть интеграла дается разложением в ряд теории возмущений,
нетривиальные седловые точки дают основные, экспоненциально малые, вклады в мнимую часть.
Обобщим данную стратегию на случай континуального интеграла (8.63).
8.7.2.	Континуальный интеграл
Воодушевленные предыдущим примером, начнем поворачивать область интегрирования в функциональном пространстве q(t) при изменении фазы д так, чтобы этот исходно положительный параметр принял ^Отрицательные значения:
i	q(t) <l(t) &~гв’
|Где 6 не зависит от времени. Если вернуться к определению континуального интеграла как пределу интегралов с дискретными временными
284 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
интервалами (см. Главу 2), становится интуитивно понятно, что такая процедура является осмысленной.
Однако есть также одно существенное отличие от случая простого интеграла: в области интегрирования должно выполняться требование Re <j2(t) > 0, потому что, как мы подчеркивали в Разделе 2.2, кинетический член jQ2(i)di отбирает среди траекторий достаточно регулярные и поэтому обеспечивает существование непрерывного предела дискретизованного континуального интеграла.
При отрицательных g оба условия
Re > 0, Re [<?2(f)] >0,	(8.74)
удовлетворяются, если интегрировать по области, в которой выполняются следующие соотношения:
ArgQ(t) = —0 (mod тг), 7г/8 < 0 < тг/4 или — тг/4 < 0 < — тг/8.
(8.75) При g 0 основной вклад в оба интеграла, соответствующие двум аналитическим продолжениям, также дает седловая точка в начале координат
q(t) = о,
однако в разности этих двух интегралов эти вклады сокращаются.
Вклады других седловых точек, отвечающих постоянным функциям
= ~U<h
имеют порядок е^/49 и потому пренебрежимо малы при /3 —» ос.
Поэтому будем искать седловые точки, представляющие собой нетривиальные решения евклидовых уравнений движения при g < 0:
-q(t) + q(t) + gq3(t) = 0,	(8.76)
с граничными условиями
д(-/?/2) = q(/?/2).	(8.77)
Нас интересуют только решения инстантонного типа, действие которых остается конечным в пределе /3 —> -hoc.
8.7.3.	Инстантоны
Решения уравнения (8.76) с периодическими граничными условиями (8.77) можно интерпретировать как классические периодические движения в вещественном времени в потенциале
=	(8.78)
§ 8.7, Инстантоны: ангармонический осциллятор
285
Ясно, что уравнение движение обладает решениями, соответствую-щими колебаниям вблизи минимума —V: q ~ ±^/—1/^. Интегрируя уравнение (8.76) один раз, получим:
где е < 0. Обозначив и q+ точки с q > 0, в которых скорость q обращается в нуль, находим период такого решения:
<2+
qc(t) - ±
<1- \ Q2 + V	*
/3 стремится к бесконечности только в том случае, если константа е и, следовательно, q_, стремятся к нулю. При этом классическая траектория проходит все ближе к началу координат. В пределе бесконечного /3 классические решения принимают вид:
2\‘/2	1
д) ch(t —10)
При этом классическое действие равно
%) = 4+0(е’;’ /д)-	<8-79)
^9
Так как евклидово действие инвариантно относительно временных трансляций, классическое решение зависит от произвольного параметра to, который для конечных /3 изменяется в интервале размера /3. Следовательно, мы имеем два семейства вырожденных седловых точек, зависящих от одного параметра.
Основной порядок. Вторая функциональная производная действия равна
х2 с
M(t] J2) = Т—7ГТ7—777 oqc(^)6qc(t2)
5(Й - Q
(8.80)
Можно убедиться, что функция qc(t) квадратично интегрируема, поэтому М обладает нулевой модой, отвечающей собственному вектору Яс-
Учитывая оба семейства седловых точек, нулевую моду и собирая
все множители, получаем:
Imtre ~ TdetЧ
2г L	0 J v/2^
(8.81)
где J — якобиан (8.50). Более того, легко вычислить собственные значения оператора М аналитически, потому что М — гамильтониан с
286 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
потенциалом типа Баргмана-Вигнера. Детерминант может быть после этого получен из общего выражения (8.35). В итоге имеем:
ImEo(^) =
4 е4/39 х/2тт у/~9 [
+ 0(g)],
(8.82)

Упражнения
Упражнение 8.1
Рассмотрим интеграл
где q — двукомпонентный вектор (дь^г)- Посчитать интеграл при g —► 0+ с помощью метода наибыстрейшего спуска.
Решение. Существует несколько седловых точек, отвечающих одному и тому же значению: q = 0 и окружность |q| — 1. В противоположность этому, окружность седловых точек |q| = 1/3 соответствует локальным минимумам и, следовательно, вклад не дает. К седловой
точке q = 0 можно применить метод наибыстрейшего спуска, при этом получится 2irg. В случае окружности |q| = 1 нужно ввести полярные координаты, тогда получим тг\/2яд, и это есть ведущий вклад при 9^0-
Упражнение 8.2
Рассмотрим гамильтониан ([</, р\ = ih)
Посчитать действие 5С инстантона, связанного, в квазиклассическом пределе, с расщеплением энергии между основным состоянием и первым возбужденным.
Решение.
Sc = 8>/b.
Упражнение 8.3
Посчитать мнимую часть энергии псевдо-основного состояния гамильтониана
н = - 2 (d/d?)2 +	+ 2 gq2N
при отрицательном д. Результат (8.35) вновь окажется полезным.
Решение. Некоторые этапы решения таковы:
(i) Классическое решение
а - —___________________!_______
qc U ^сЬЦЛГ- l)(f-t0)]’
Упражнения к главе 8
287
(ii) Классическое действие
sc
A(N)
=	^Г(ВДУ-1))	fJV_nr2(7V/(7V- 1))
2Г((ЗЛГ-1)/2(W-1))	Г(2Л7(ЛГ-1)) ’
(iii) Оператор второй производной действия в седловой точке имеет
вид:
М = -df + 1
7У(2ЛГ — 1) ch2[(/V - l)t '
Детерминанты даются равенством (8.35), где нужно положить
X = N/(N — 1),
z = yr+7/(TV- 1).
Тогда получим:
det (М + г) (Мо + г)-1 ~ -2-(ЛГ+1)/(Л^-') A(N)e.
(iv) У оператора М есть нулевое собственное значение, связанное с временными трансляциями. Якобиан J, порожденный введением в качестве коллективной координаты времени, дается соотношением:
dt<j2(Z) = Л/(—
Используя равенство (8.81) и собирая все множители, получим мнимую часть энергии метастабильного псевдоосновного состояния:
ЬпВД = C(-ff)-/3exp r-A(rV)/(-.g)'>1 ,	(8.83)
ь	
где
0 = 1/\2(N - 1)],
Упражнение 8.4
Классическое уравнение диффузии: уравнение Фоккера-Планка.
Некоторые стохастические процессы, такие как случайное блуждание, тепловая диффузия..., могут быть описаны уравнением вида (см. Раздел 5.5)
dP(q,t) _ ^д_ (дР \_дЕ\ dt 2 dq у dq Q dq ) ’
где P(q,t) можно рассматривать как распределение вероятностей, а П > 0 — коэффициент диффузии. Сохранение вероятностей следует Напрямую из формы уравнения:
AqP{q,t) = 1 .
Кроме того, можно убедиться, что у уравнения есть стационарное решение
*	Л)(<?Д) = exp(-£;(g)/Q)
288 Гл. 8. Прохождение через барьер: квазиклассическое приближение
которое, если оно нормируемо, пропорционально предельному распределению при I —» 4-ос.
Далее стохастический процесс будет отождествляться с диффузией частицы на оси q е (—ос, +ос). В Разделе 5.5 доказано, что вероятность того, что частица, находившаяся в точке хо в момент времени t = О, будет в точке х в более поздний момент времени т > 0, которую мы будем обозначать Р(х, т; zq, 0), дается континуальным интегралом
где
Р(х,т; хо,О) =
[dt?] ехр [-5(q)/Q] ,
<S(q) =
о
2
(<7 + ^Е'И))) ~^Е"Ш

и граничными условиями
q(O)=2?o, q(r) = х.
1. Рассмотрим теперь функцию
£’(?) = Q2 -
О
(8.84)
Покажите, что в пределе Q —> 0 (слабая диффузия) континуальный интеграл имеет вид интеграла, соответствующего потенциалу с вырожденными минимумами. Посчитать для двух ям энергию основного состояния в гауссовом приближении. Заметим, что в пределе Q —> 0 можно пренебречь вкладом порядка Q в действии при определении минимума или седловых точек.
2. Для той же функции Е(д), по-прежнему в пределе Q —> 0 и при т "4:эс, заметим, что уравнения седловой точки соответствуют классическому движению в потенциале с вырожденными минимумами, У таких уравнений есть инстантонные решения. Как их можно интерпретировать в данном случае?
Решения.
1. Раскрывая квадрат в действии, легко убедиться, что один член может быть точно проинтегрирован, тогда
5(9) =	+ Яаф2 + <Л1 - 9)2 -1 п(1 - 29)
£	£	£ L
о
В пределе Q —> 0 две ямы — при q — 0 и при q — 1 — вырождаются. В гауссовом приближении энергия основного состояния гармонического осциллятора £ в обоих случаях равна е — %. Однако классическое значение второй производной дает в том же порядке такой вклад, что
_ = 0 при q = 0,
Упражнения к главе 8
289
1 , 1 < < е = - + - = 1 при <7=1.
Поэтому за рамками классического приближения минимумы уже не вырождены, и разложение энергии основного состояния суть пертурбативное разложение вблизи q = 0. Данный результат является вполне разумным, если рассмотреть исходную задачу: частице сложно диффундировать из минимума потенциала E(q) при q ~ 0, но не покинуть максимума при q = 1.
2. При Q 0 и т —> ос инстантоны, минимизирующие действие, удовлетворяют уравнению
</±|е'(<7) = 0.
В рассматриваемом частном случае решения имеют вид:
1
~ 1 + е^(*-*о) '
Значение классического действия
S(<7C) = |(1T1)
О
Нулевое значение соответствует решению, описывающему частицу, покидающую точку q = 1 при t = —сю и достигающую точку q = 0 при t = +ос — процесс, имеющий конечную вероятность даже при Q —> 0. Положительное значение соответствует частице, покидающей q = 0 при t = —сю и достигающей q = 1 при t = -hoc. Такой процесс математически аналогичен прохождению через барьер, и результат характеризует вероятность вылета из ямы вблизи q — 0. При Q —» 0 он имеет порядок е-1 /3Q
Глава 9
КВАНТОВАЯ ЭВОЛЮЦИЯ И МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
В данной главе мы не задаемся целью детально описать теорию рассеяния в квантовой механике и, в частности, вычисление физических наблюдаемых, таких как сечения рассеяния. Заинтересованный читатель найдет необходимый предварительный материал в классических учебниках по квантовой механике. Нашей задачей здесь является показать, каким образом задачи рассеяния формулируются в рамках формализма континуального интегрирования.
В квантовой механике, в силу условия сохранения вероятностей и, следовательно, норм векторов в гильбертовом пространстве, состояние изолированной системы эволюционирует под действием унитарного оператора. Будем обозначать	оператор, соответствующий эво-
люции между моментами времени t' и t":
U{t", t')U\t", t’) = 1, U(t', t’) = 1.
Кроме того, предполагается, что квантовая эволюция изолированной системы марковская — это свойство выражается соотношением (2.1):
t\) = Ufa t] ).
Если оператор U(t, f) дифференцируем, то он удовлетворяет уравнению Шредингера:
=	(9.1)
С/6
где H(t) представляет собой эрмитовый оператор — гамильтониан.
Если Н не зависит от времени, оператор эволюции принимает специальный вид	= U(tff — t') =	qh принадле-
жит представлению абелевой группы трансляций, a H/h — генератор трансляций по времени.
В терминах оператора эволюции определяется матрица рассеяния, или S-матрица, описывающая асимптотическое во времени отличие эволюции при наличии взаимодействий от свободной эволюции. В данной главе будет показано, как можно получить S-матрицу из представления для оператора эволюции в виде континуального интеграла и как формализм континуального интеграла дает возможность просто получить некоторые квазиклассические приближения.
§9.1. Эволюция свободной частицы и S-матрица
291
§9.1. Эволюция свободной частицы и 5-матрица
Даже эволюция свободной квантовой частицы не совсем тривиальна; вообще говоря, наблюдается расплывание волновых пакетов. В общем случае рассеяние характеризуется асимптотическими отклонениями на бесконечно большом промежутке времени от этой свободной эволюции, что приводит к определению матрицы рассеяния, или S-матрицы.
9.1.1. Эволюция свободной частицы
Для свободной частицы гамильтониан сводится к кинетическому члену:
Но = р2/2т.
Матричные элементы оператора эволюции Uq = е гНа^" *') могут быть
получены, например, при помощи аналитического продолжения выражения (2.9). Они могут быть также получены напрямую из своего Фурье-представления. В d пространственных измерениях
<q"|	|q'> =
1
(2?r)d

\ d/2 m \ z
2i/xh(tn — t() J eXP
i m (q" — q')2 h 2(t"-t')
(9.2a)
(9.26)
В частности, эволюция приводит к расплыванию волнового пакета. Чтобы продемонстрировать это явление, определим волновую функцию в начальный момент времени t = 0 с помощью ее Фурье-образа ^(р) (ее представление в импульсном базисе), причем будем считать, что ее носитель локализован вблизи р = ро. В момент времени t получим:
^(q, t) = (q\ е гН°*/к \ip} = [ tx-tjV’(p) exp
J №ча
При t —> оо фаза в интеграле (9.3) быстро меняется, поэтому Грале доминируют точки стационарной фазы:
/h .
(9.3) в инте-
д /	р2 \	р
^Н-<0=о=*ч=(9-4)
Следовательно, интеграл (9.3) эквивалентен
ЛЧЛно?(Р>(2^
Ъ7Г
(9.5)
где
т
p = Tq
Так как носитель исходной функции сконцентрирован вблизи р = ро, То носитель волновой функции ^(q, t) сконцентрирован вблизи
292
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
q = /ро/ш, т.е. вблизи классической траектории. Однако в то же самое время множитель	говорит о расплывании волнового пакета.
Это расплывание исчезает только в пределе, когда волновая функция становится плоской волной егрч/Н, однако такой предел сингулярен, потому что плоская волна ненормируема. Тем не менее, в этом пределе удобно рассматривать квантовое рассеяние. Необходимо просто иметь в виду, что такой предел может привести к трудностям — тогда нужно явно вводить нормируемые волновые пакеты.
9.1.2. Частица в потенциале и S-матрица
Рассмотрим теперь частицу в потенциальном поле (по-прежнему в Rd) с гамильтонианом
Н = р2/2т + V (q, t).
Предполагается, что свойства потенциала таковы, что происходит классическое рассеяние. Для этого необходимо, в частности, чтобы потенциал V(q(i),f) достаточно быстро убывал вдоль классической траектории при |t| —> ос, так, чтобы асимптотически траектория стремилась к траектории свободного движения, отвечающего гамильтониану
Но — р2/2т.
Матрица рассеяния, или S-матрица, получается путем сравнения квантовой эволюции при наличии потенциала со свободной эволюцией при больших временах t —► ±оо. Более точно S-матрица определяется как предел оператора эволюции в так называемом представлении взаимодействия (см. равенство (9.51)):
lim	[J\tf\ е“гН°*
—ос
tn—> + ос
(9.6)
Умножение с обеих сторон на свободный оператор эволюции необходимо для существования предела больших времен. Действительно, даже в отсутствие потенциала рассеяния оператор	зависит
от времени и не имеет предела, хотя при действии на собственные функции оператора импульса он меняет только их фазу, как мы обсуждали ранее. Множитель справа соответствует обращенной во времени свободной эволюции от момента времени Г до момента времени О, в то время как множитель слева отвечает обращенной во времени свободной эволюции от момента времени 0 до момента времени tn. При таком определении в отсутствие взаимодействий S-матрица равна единице. Более того, можно показать, что если потенциал достаточно быстро убывает при —► ос, то предел существует, и S-матрицу можно определить.
Заметим, что в базисе, в котором диагоналей оператор импульса, соотношение (9.6) между S-матрицей и оператором эволюции есть
§9.1. Эволюция свободной частицы и S-матрица
293
просто
<р"| S'|р'> = lim егЕ>'1 ’ lK (pf'\U(t” с iEt'/ht (9.7)
*—оо »+ос
где
Е' = Е(р'), Е" = £(p"), £(р) = р2/2т.	(9.8)
Однако данный предел нужно понимать в смысле обобщенных функций (он определяется действием на пробные функции, которыми в данном случае являются волновые пакеты).
Наконец, элементы S-матрицы в общем случае параметризуются при помощи матрицы рассеяния Т\
S=l-iT, => (р" |S| р') = (27rft)rf<5(rf>(p" - р') - i (р" \Т\ р'). (9.9)
Если потенциал не зависит от времени, то энергия сохраняется, тогда положим
(р" |Т|р'> = -2тт6(Е" - Е')Т(р",р').	(9.10)
В равенстве (9.9) слагаемое, пропорциональное функции - р'), соответствует нерассеянному вкладу и в большинстве физических ситуаций не наблюдается. Тогда процесс рассеяния может быть полностью описан при помощи Т-матрицы. Наконец, обратим внимание на то, что с этой точки зрения одномерный случай сингулярен, так как из сохранения энергии следует также сохранение импульса с точностью до знака.
Дифференциальные сечения рассеяния пропорциональны Т(р//,р/)| » причем множитель пропорциональности кинематический.
Континуальный интеграл. Чтобы посчитать матричные элементы оператора эволюции в случае, например, гамильтониана вида
Н = p2/2m + V(q7),
можно сделать аналитическое продолжение, заменяя все временные переменные t на /ег^ (кроме как в потенциале) в выражениях Главы 2 и производя вращение в положительном направлении на комплексной /-плоскости от = 0 до (£ — 7г/2.
Решение уравнения (9.1) в терминах матричных элементов в координатном базисе может быть записано в виде
(q”\U(t”, t'Jlq') —	[dq(t)]exp[b4(q)//i].	(9.11)
q(*')=q'
Теперь >l(q) — обычное действие — интеграл от классического лагран-
жиана:
Л(ч) =
t"
*•
At
t'
| mq2 - V(q, t)
(9.12)
294
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
Выражение (9.11) устанавливает примечательное соответствие между квантовой и классической физикой. В квантовой механике все траектории дают вклад в эволюцию с весом, равным фазовому множителю сгЛ/Л. Основной вклад в континуальный интеграл дает область вблизи траекторий, для которых действие стационарно, т.е. траекторий, являющихся решениями классических уравнений движения. В частности, если значение классического действия на классических траекториях велико по сравнению с fi, вклады в континуальный интеграл полностью локализованы вблизи классических траекторий.
§9.2. Теория возмущений для S-матрицы
Сначала мы покажем, как получить разложение оператора эволюции по степеням потенциала из представления в виде континуального интеграла. Затем будет получено пертурбативное разложение S-матрицы.
Из формализма континуального интегрирования разложение в ряд теории возмущений получается точно так же, как и из операторного формализма, который мы напомним в Разделе 9.7. Для простоты предположим, что потенциал не зависит от времени.
9.2.1.	Теория возмущений
Рассмотрим гамильтониан
Н = p2/2m + V\q).
(9.13)
Классические действия, отвечающие свободному гамильтониану Но и Н имеют вид, соответственно,
А(з) =
t"
^mq2(t)dt,
J t'
— V(q(t) )dt.
(9.14)

Континуальный интеграл (9.11) после разложения по степеням V принимает вид (положим для удобства ft — 1)
(д"|(7(/",/')|9') =
e(t")=g"
[dg(£)] ехр [iA(q)] =	^"1	\<1'} •
где
ч(*")=ч"
ч
[dg(f)] e^W
V(g(£))d£ .
(9.15)
q(f/) = q/
Потенциалы, приводящие к рассеянию, должны убывать на больших
расстояниях, что исключает полиномиальные потенциалы, рассматри-
£ 9.2. Теория возмущений для S-матрицы
295
вавшиеся нами до сих пор в этой книге. Имеет смысл потребовать, чтобы подходящие потенциалы обладали Фурье-представлением:
Ш = (2тг)-</
Adk Qikq V(k).
(9.16)
Когда потенциал записан через Фурье-образ, последовательные члены пертурбативного разложения выражаются в терминах простых гауссовых континуальных интегралов. £-й член принимает вид:

*•
[dg(f)] ехр г
(9.17)
q(t'}-q'
Подынтегральное выражение в (9.17) симметрично по временным аргументам Ti,...,T£. Упорядочим моменты времени t" т^-i > Ti f и одновременно уберем множитель 1/Л.
Гауссово интегрирование по траектории q(t) дается, с точностью до нормировки, заменой q(f) на решение классического уравнения
—mq + \	— Tj) — 0 => q(rj+) — q(rj_) = kj/m.
Таким образом, континуальный интеграл дает возможность физически интерпретировать члены пертурбативного разложения: траектория, дающая вклад в £-й порядок, представляет собой последовательность свободных движений, когда в моменты времени	импульс меняется на	Наконец, соответствующие вклады должны быть
усреднены по всем моментам времени и по всем импульсам с весом V(fc).
Чтобы получить матричные элементы оператора в импульсном базисе, по-прежнему необходимо совершить преобразование Фурье по qf и qft. Назовем соответствующие импульсы pf и ptf.
Замечание. Зависимость от qH дается свободной эволюцией между Т£ и t". Поэтому в преобразование Фурье входит гауссов интеграл
d н р-гр"q"+im(qft-q(re))2/2(t"-те)
Результат интегрирования получается (с точностью до нормировки) в результате замены q" на минимум аргумента экспоненты:
q" = q(re) +p"(t" -
296
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
Обратим внимание теперь, что при tH —> +ос это сводится к вычислению континуального интеграла с граничными условиями классического рассеяния. Более того, в окончательном результате интегрирования e~ip"q(r£)	-те)/2т
появился множитель /2т^ сокращающийся в S-матрице с множителем, возникающем из-за свободного движения.
Та же аргументация применима к интегрированию по которое дает
ос е^9^Т1
— гр/2(л — t')/2m
следовательно,
/ = 9(П) + (*'- Л )р'/т.
9.2.2.	Явное вычисление
Член нулевого порядка по V дает (2тг)<гй(р// — р(). Посчитаем теперь явно первый порядок. Мы можем записать оператор эволюции в виде произведения двух операторов эволюции от момента времени Г до т и от момента времени т до t", вводя представление
9i<5(qi -g(ri))eifel”
Тогда после преобразования Фурье по д' и д" получим:
(р"\U^(t", t') \р'} = -i J iffitV(k) J*, dr J ddge~ip"2^" T">/2m x
x (p"|g) e’fcQ
— гр/2(т —f')/2m
(9.18)
W) e
Интегрирование по переменной q дает (27r)d6(k + pf — p/f). После сокращения множителей, связанных со свободным движением, получим вклад первого порядка в 5-матрицу:
(p"|S(1) \р') =
ргт(р"2-р'2)/2т
Ясно, что этот интеграл имеет
функций:
t"
*» lim dr егтз
предел только в смысле обобщенных
*
бт егтз = 2ttJ(s).
ъ
— ос
Итак, при интегрировании возникает 6 -функция сохранения энергии: (р"|	\р'} = -г2тг<5(£" - Е')V(p" - р'),	(9.19)
где Е' = р'2/2т, Е" = р"2/2т.
£ 9.2. Теория возмущений для S-матрицы
297
Члены более высокого порядка. Разобьем теперь интервал [t,,Z//] на подынтервалы. Воспользуемся представлением
exp[ikjq(Tj)] =
*»
d% - чЩУ) ехР (ikjQj) 
В каждом подынтервале распространение свободное. Запишем матричные элементы свободного оператора эволюции в виде преобразований Фурье (равенство (9.2а)). После преобразования Фурье по qf и q/f получим:
ddk.
ddp
Г^+1
(27Г)
х ехр
1
где введены обозначения
То = t', r{+1 = t", pw = р", Pi = р', go = 4t+\ =0.
Интегралы по переменным qj дают 5 -функции, определяющие импульсы kj = Pj-щ ~ Pj> После факторизации двух множителей, соответствующих свободному движению, можно перейти к пределу t" 4-ос, tf —> —оо. Тогда будем иметь:
П V{pll
(Z7T)a
7=2
71 V(p2 -p')e~ip'2ri/2m.
(9.20)
Необходимо проинтегрировать по переменным ту, учитывая, что они упорядочены. Положим
Tj+i ~ Тз + и з *
иj	0.
Оставшийся интеграл по п, являющийся следствием трансляционной инвариантности по времени, порождает множитель 2тг6(Е” — Е') сохранения энергии. Интегралы по переменным Uj на вещественной положительной полуоси дают (в смысле обобщенных функций)
о

t
г
- Е(Рй + ’
Е(р) = рЩт,
298
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
т.е. обобщенные функции, где символ гО обозначает способ обхода полюса при р2 = р. Итак, окончательный результат имеет вид:
W = -2„S(E" - Е'} j V(p"
Уравнение Липпмана-Швингера. Заметим, что ряд теории возмущений представляет собой простую геометрическую прогрессию. Ее сумма является решением интегрального уравнения, которое называется уравнением Липпмана-Швингера. В терминах оператора Т(Е), где Е комплексно, являющегося решением уравнения
Т(Е) = V - VG0(E)T(E) где G0(E) = (Яо - Я)"1,	(9.21)
величина T(p/f,pf), входящая в выражение (9.10), есть
Т(р",р') = (р"\ Т(Е + гО) \р'} при Е = р/2/2т = р'1/2т.
9.2.3.	Другой метод
В качестве упражнения в вычислении континуальных интегралов приведем здесь другой вывод вышеупомянутых результатов. Будем искать предел выражения
<р"|	|р'> =
л
<lg(t)] ехР*

Сделаем сдвиг q(t) н* q(t) + qf так, чтобы g(f) — 0, q(t") — q/f — qf. Наложим условие q(t") = qf/ — qf при помощи J-функции:
- q" + q') =

(9.22)
После таких преобразований все траектории, удовлетворяющие g(f) = = 0 без всякого условия на q(tff), дают вклад в интеграл. Зависимость от qf и q" теперь является явной, и можно провести интегрирование:
ddqfddq/f	—
я.
= (2тг)м<5(А - р")6 (р" -р' - ^2	•
Сделаем замену переменных kj н-►pj+i, где kj =pj+l -pj, pi=p' 
(9.23)
§9.2. Теория возмущений для S-матрицы
299
Якобиан равен единице. Вторая 6 -функция в (9.23) дает Pe+i =р”-
Тогда
-у>у)д(т,) =	(9.24)
=	+ P” lHe) - p1 q(r0).
>=I
Так как мы выбрали то = t\ то д(то) = 0.
Выразим зависимость от q(t) через ее производную q(t). Например,
t
//
чЩ) - <7(Tj_i) =
0j(t)q(t)dt,
г
где Oj(t) — характеристическая функция интервала (rj-i.Tj): она равна 1 внутри интервала	и нулю вне его.
Коэффициент при р" получается из (9.22) (А — р”) и из (9.24):
ttf
р” (чЩ) - чЩ)) = -р" Oe+i^q^dt, T(+I = t".
tf
Континуальный интеграл принимает вид
*»
[dg(i)] ехр г
q(f')=O
rt" Л
di
ъ
QmQ2(t) - b(t)q(t)^
где
I
&(о = 52
Сделаем замену переменных q(t) i—> r(f), где
q(t) = b(t)/m + r(t), g(f) = r(t') = 0.
Мы видим, что Pj — это импульс в интервале (Tj_i,Ty). Интеграл по r(t) соответствует свободному движению. Он дается выражением (9.2b) с q' = 0, проинтегрированным по q". Результат равен 1.
Остается посчитать явный вклад, связанный с заменой переменных
1
300
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
где использовано свойство	= 6jk0j(t). Принимая во внимание
множители, связанные со свободным движением, мы вновь получаем выражение (9.20).
§ 9.3. S-матрица: бозоны и фермионы
Рассмотрим, прежде всего, рассеяние в рамках голоморфного формализма Главы 6. Этот формализм полезен в основном тогда, когда асимптотические состояния являются собственными состояниями гармонического осциллятора ~ с такой ситуацией мы сталкиваемся в случае бозонных систем в формулировке вторичного квантования, описанной в Разделе 6.6, и, как следствие, в квантовой теории поля (как релятивистской, так и нерелятивистской).
Затем мы обсудим рассеяние в рамках грассманова формализма Главы 7 — эта задача имеет отношение к рассеянию фермионов в формулировке вторичного квантования и, следовательно, в квантовой теории поля.
9.3.1. Голоморфный формализм и бозоны
Прежде всего, рассмотрим гамильтониан вида 6.5.1. Перепишем континуальный интеграл (6.54) и выражение (6.55) для случая эволюции в вещественном времени. Представление в виде континуального интеграла для оператора эволюции формально дается вращением t ► Ц. Тогда
{z"\U(t\t')\zf)
A(z, z)
rdz(t)dz(t)1	ехр[гЛ(г,г)],
217Г
j L, t”
*»
d/ — iz(t)z(t) — H(z(t),z(t);t)
ъ t'
с граничными условиями z(t") = zn, z(tf) = zf.
Будем предполагать, что соответствующий асимптотический свободный гамильтониан Но имеет вид (6.20):
Но = ujz— , си > 0. dz
Матричные элементы свободного оператора эволюции Uo(t) = е гШ() могут быть получены из выражения (6.29):
(г|£70(/)|г)=е^е“^.	(9.25)
§9.3. S-матрица: бозоны, и фермионы	301
S-матрица. Из оператора эволюции выводится S-матрица. Определив S-матрицу выражением (9.6), получим:
dz"dz" dz'dz _z"z„	, ,	/	.
—-------------e z z e z exp zz егшг
2i7r 2гтг	H \
z, z) — lim
tf —► — DO ttf ос
x {z"\ U(t",tf) \zf} exp (z'jC”1^
Используя равенство (6.30) или интегрируя напрямую, находим:
S(z,z) = lim (zeiwf" | U(t",t') \ге~^е}.	(9.26)
t' —♦ -ос t" —+ + oo
Как и в случае интегралов по траекториям в вещественном пространстве, в голоморфном континуальном интеграле конфигурации, дающие вклад в S-матрицу, при больших временах асимптотически стремятся к решениям классических уравнений движения. В случае гармонического осциллятора Но это означает, что
zU") ~ zezu,r. z(t'} ~ ze-^.
Простое квантовое приложение состоит в нахождении вероятностей переходов между собственными состояниями гармонического осциллятора, индуцированных зависящим от времени возмущением, исчезаю-щим_на ±оо. В случае гамильтониана (6.37), где предполагается, что b(t),b(t) убывают при t —► ±ос, выражение (9.26) дает
dt (b(t) e^z + ze"^ b(t))-
dtdr b(t)O(r — t) е
(9.27)
Коэффициенты разложения S(z,z) по степеням z и z дают амплитуды Smn переходов между собственными состояниями соответствующего гармонического осциллятора, индуцированные зависящим от времени потенциалом, линейно связанным с координатой и импульсом:
9.3.2. Фермионная S-матрица
Рассмотрим теперь фермионный гамильтониан, представленный дифференциальным оператором Л(0,5/50), действующим на функции от переменных записанные в нормальном виде. Матричные эле
302
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
менты соответствующего оператора эволюции могут быть получены из равенства (7.81) с помощью замены t >-> it: "i
=	[d0(t)d0(t)]e-5(f')-0(i')expM(0,0)], (9.28)
где t" "i
Ate, 0) = dt {i0(t) • 0(f) - H [0(t), 0(t)]} .	(9.29)
«J tf
Затем нужно разложить гамильтониан на сумму свободного квадратичного асимптотического члена и взаимодействия:
Н(0,0) = - ^^0г0г + Hl(0,0). г
Матричные элементы свободного оператора эволюции U$(t) ~ е~г*И<> получаются из выражения (7.56) путем продолжения по переменной времени. Итак, получим:
(0| UQ(t) |0) = ехр
в&е liVit
S-матрица, определенная выражением (9.6), есть
5(0,0) = lim П d0"d0"d0'd0'	е5'й' (0| U0(-t") в"\ х
—* — о©	А А	>
X (0//|t/(t/',t/) |0Z) (0Z| U0(-t') |0).
Используя (7.58), находим:
S(0,0) =
lim
t* —+ — DC tn -*-r oc

Простой пример. Предположим, что эволюция является свободной всюду, за исключением интервала между моментами времени —Т/2 и Т/2, когда гамильтониан имеет вид

В интервале [—Т/2, Т/2] оператор эволюции принимает вид
= ехр
§9.4. S-матрица в квазиклассическом пределе
303
Умножив U(Т/2, -Т/2) на свободные операторы эволюции, будем иметь:
S{e,e) = (^егТ^/2| и(Т/2, -Т/2)	=
Элементы матрицы ег7и;‘/2[е	ег1^/2 дают амплитуды переходов
между различными возможными фермионными состояниями.
§ 9Л. S-матрица в квазиклассическом пределе
Теперь мы покажем, что представление в виде континуального интеграла для оператора эволюции (равенство (9.11)) приводит к представлению для элементов S-матрицы, которое особенно хорошо подходит для изучения квазиклассического предела.
Рассчитаем элементы S-матрицы между двумя волновыми пакетами:
(V>21 s IV’l) =
(9.30)
"i
= lim dq'dq” егН^" |q") (q"| U{t”, |qz) (qz| е~гН^'/н |^). J
• + OC
Вводя две волновые функции V'i(p) и V^(p) в импульсном базисе, отвечающие векторам |V?i) и |^2), определим:
^i(q, t) =
(9.31)
rt
= (</| е iHQt/h _
ddp 7 , .
(2^1 (Р) ехр
и аналогичное выражение для ^2-
Мы показали, что при t ос основной вклад в интеграл дает точка р = mq/t (равенства (9.3)-(9.5)). Поэтому сделаем замену переменных в интеграле (9.30), полагая
q' = —р'. q" т
(9.32)
р ’ т
Тогда получим:
(^2| S IV'i) ск
"I
dp'dp"^ (р")^1 (р') ехр
х (t"p"/т\ U(t",t') \t'p'/т).
(9.33)
304
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
В данном равенстве мы можем заменить оператор эволюции на его выражение через континуальный интеграл (9.11):
/т\ U(tf\ tf) |t'p'/т) —	exp(iX(q)/ft).
q(t' )=tfpf/т
Отсюда можно сделать вывод, что S-матрица получается путем вычисления континуального интеграла с граничными условиями, соответствующими классическому рассеянию, т.е. путем суммирования по траекториям, которые асимптотически при больших временах переходят в траектории свободного движения. В частности, если мы знаем, как решить классические уравнения с такими граничными условиями, то мы можем вычислить оператор эволюции, а, следовательно, и S-матрицу при К —► 0, что приводит к квазиклассическому приближению для S-матрицы. В данной главе представлены два вычисления такого типа: квазиклассическое вычисление в одном пространственном измерении и эйкональное приближение. Заметим, однако, что одномерный пример является с точки зрения рассеяния несколько сингулярным, в том смысле что препятствия невозможно обойти.
§ 9.5.	Квазиклассическое приближение: одно измерение
Рассмотрим гамильтониан
Н — р2/2т + V(x).
Будем считать, что потенциал V аналитичен и убывает на больших расстояниях достаточно быстро для того, чтобы существовала S-матрица. Мы получим элементы S-матрицы, вычисляя континуальный интеграл, который задает оператор эволюции. Как мы отмечали раньше, в пределе /г —> 0 основной вклад в континуальный интеграл дают классические траектории, для которых действие, а, следовательно, и подынтегральное выражение стационарно. Поэтому определим сначала классические траектории.
9.5.1.	Рассеяние вперед
Прежде всего, рассмотрим ситуацию, когда возможно рассеяние вперед. Это означает, что энергия рассеяния больше, чем максимальное значение потенциала.
После первого интегрирования классического уравнения движения находим:	।
- тх2(т} + У(ж) = х2/2ш, х>0,
с граничными условиями
§9.5. Квазиклассическое приближение: одно измерение
305
Это уравнение можно проинтегрировать:
т —
dy
ж2 — 2mV (у)
Удобно обозначить X ~ хП — х1, Т = т" — т1. В рамках пертурбативных вычислений мы уже обращали внимание на то, что подходящими траекториями являются такие, которые удовлетворяют классическим граничным условиям. Непертурбативный анализ подтвердил этот результат. Отсюда следует, что отношение Х/Т — k/m остается конечным при т{ —► —ос, тн —» ос. В данном режиме из равенства
da?
л/х2 — 2mV(x)
(9.34)
следует
к
\/к2 — 2rnV (х)
+ О (Т“2).
Действие на данной траектории есть
t" *
- 2 V(z(r))dT =
t'
V(z)da: ^/х2 - 2тУ(т)
2m
(У*:2 - 2mV(x) - k\ + О (7“').
Сделаем теперь преобразование Фурье по xf и хп. Так как результат зависит только от х" — xf, то появится множитель <5(fc" — А/), выражающий в этом одномерном примере сохранение энергии. Действительно, при данных особых кинематических условиях из условия сохранения энергии fe//2 = А/2 следует сохранение импульса. В пределе Й —> 0 оставшийся интеграл по X может быть оценен при помощи метода наибыстрейшего спуска. В ведущем порядке по Т —* ос необходимо учесть только члены порядка Т в уравнении для нахождения седловой точки. Получим:
Х = к'Т/т => к' = к.
306
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
Члены, пропорциональные Т, сокращаются с множителями, которые возникают из свободного движения в выражении (9.7) для S'-матрицы. Окончательное квазиклассическое выражение в таком случае имеет вид:
lnS+(fc) -
(\/^2 — 2mV(x) — к
(9.35)
Результат представляет собой чистую фазу, |S+(A:)| = 1,
S+(fc) = е2г5+^\ Рассеяние приводит лишь к фазовому сдвигу в данном квазиклассическом пределе, потому что отражение отсутствует.
9.5.2.	Рассеяние назад
Предположим теперь, наоборот, что энергия меньше максимального значения потенциала, так что классически наблюдается полное отражение. Будем также считать, что рассеиваемая частица налетает с х — —ос. Тогда похожее вычисление дает действие на классической траектории:
XQ
т
2Т
(х' + х" - 2хо)2 + 2
da?
(Jk2 - 2mV(x) -к\+О (Г"1),
где xq — точка, в которой происходит отражение, определяемая из соотношения к2 = 2тУ(жо), и к = m(2a?o — xf — хп)/Т.
Так как результат не зависит от комбинации х! + х,(, после преобразования Фурье появляется множитель 6(к” + fcz), выражающий закон сохранения энергии. Оставшийся интеграл по X = xf + а?", посчитанный при помощи метода наибыстрейшего спуска, дает
2^о “ X = к'Т/тп, к' — к
и, следовательно,
XQ
]nS-(k) — do: (y/fc2 — 2mV(x) — к^ +	_
— ОО
Так как классически наблюдается полное отражение, здесь вновь S-(k) суть чистая фаза.
9.5.3.	Запрещенная область
Может показаться, что квазиклассические приближения пригодны только в ситуациях, когда разрешено классическое рассеяние, хотя квантовое рассеяние через потенциальный барьер возможно вследствие туннельных эффектов. Однако заметим, что нетривиальные и физически разумные выражения получаются при аналитическом продолжении
§ 9.6. Эйкональное приближение
307
по переменной энергии, причем неоднозначность в знаке в аналитическом продолжении фиксируется условием |S±| < 1.
В случае рассеяния вперед, если к2/2т меньше максимального значения V, то xlnS+ обладает вещественной частью, соответствующей реальной траектории, и мнимой частью, которая формально соответствует траектории в классически запрещенной области. Если, например, запрещенная область, в которой V(x) к2/2т, простирается от х_ до х4., выражение (9.35) может быть записано в виде:
lnS+(fc) -
ik(x+ — т)
h
Этот результат похож на результат, полученный при помощи ВКБ-вычисления соответствующей волновой функции. Он согласуется с найденными в Главе 8 коэффициентами прохождения через барьер. Его зависимость от энергии физически приемлема. Наконец, может возникнуть вопрос, каким образом ненулевой результат согласуется с унитарностью S'-матрицы, ведь S_ уже сама по модулю равна единице. Ответ состоит в том, что S+ ведет себя, как e”const*/n при h —► 0, и дает вклад в условие унитарности, неразличимый во всех порядках разложения по степеням h.
Прохождение через барьер и эволюция в мнимом времени. Возвра
щаясь к классическим уравнениям, заметим, что прохождение через барьер соответствует мнимому времени в интеграле (9.34). Более того, мнимая часть действия, определяющая вероятность прохождения через барьер, напрямую связана с траекториями в мнимом времени. Тем самым мы нашли еще одно применение континуальным интегралам в мнимом, или евклидовом, времени, которые мы ввели для изучения статистических задач: они позволяют находить амплитуды прохождения через барьер. В частности, они могут быть использованы для вычисления времен жизни метастабильных состояний, распадающихся вследствие туннелирования, как было показано в Главе 8.
§ 9.6.	Эйкональное приближение
Из представления для S-матрицы в виде континуального интеграла можно вывести приближение для амплитуды рассеяния, справедливое при большой энергии и малой передаче импульса, которое называется эйкональным приближением. С точки зрения континуального интеграла, оно соответствует случаю, когда кинетический член велик по сравнению с потенциальным — ситуация, во многом аналогичная той, которая обсуждалась в Разделе 3.2.1.
308
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
9*6.1. Эйкональное приближение
В случае свободного движения оператор эволюции дается гауссовым континуальным интегралом, который может быть найден с помощью решения классических уравнений движения. Решение, удовлетворяющее граничным условиям представления (9.11) и соответствующее свободному гамильтониану
Но = р2/2т, где р е ,
есть
q(t) = qz + (q/z - qz) t	t
(9.36)
После сдвига переменных интегрирования q(t) на классическое решение (9.36) вычисление сводится к нормировочному интегралу, который может быть определен сравнением с точным результатом (h — 1)
(q'/|L/(f//,f/)|q/) =
\ d/2
т \ 1
2^(t" - f)) “Р
(9,37)
Эйкональное приближение соответствует кинематическому режиму р' = р - к/2, р" = р + к/2, р2 —► ос, р2 > к2.
В этом случае в действии кинетический член преобладает над потенциальным. Поэтому будем вычислять континуальный интеграл так же, как и в свободном случае, разлагая траектории вблизи классических траекторий свободного движения (9.36). Вычисление оператора эволюции в ведущем порядке достаточно просто. Полагая q" — qf ~ s, (q" + q')/2 = х, получим:
(р + к/21 Ut') |р - к/2) ос
ddsddx ехр[—i (р • s + к • х) + гЛ(з, х)],
(9.38)
классическое действие теперь имеет вид:
Л(з,х) =
im s2
Т t" -1!
(9.39)
а нормировка в равенстве (9.38) определяется сравнением с результатом (9.37), отвечающим свободному движению.
В пределе большого временного интервала, если пренебречь вкладом потенциального слагаемого, основной вклад в интеграл по s дает седловая точка
s = (tn - t')p/m.	(9.40)
После подстановки (9.40) и замены переменных t — (t1 + tH)/2 н-> t, такой, что |t| С (tft — аргумент потенциала принимает вид х + ф/т. Будем считать, что потенциал достаточно быстро убывает,
§9.6. Эйкональное приближение
309
чтобы существовал предел интеграла в (9.39) при больших временах, т.е. при t” — t/ —> ос. Вклад потенциала в действие в этом случае имеет
вид
dt V(x + tp/m).
Как только мы перешли к пределу, можно сдвинуть переменную интегрирования t, не меняя область интегрирования. Это сводится к сдвигу вектора х в аргументе потенциала V на вектор, пропорциональный р. Выберем этот вектор так, чтобы V зависел только от
Ъ = X - р(х р/р2),
(9.41)
— компоненты х, ортогональной р. Тогда интеграл по компоненте х вдоль р может быть вычислен, и из него следует условие р • к = 0. В области применимости эйконального приближения это равенство выражает закон сохранения энергии:
0 = р//2 - р/2 = (р + к/2)2 - (р - к/2)2 ~ 2р - к.
Получим:
(р + к/2| |р — к/2) ~
где
~ J(p • k)Af(p) dri Че гкЬехр
(9.43)
Af(p) ~ ехр
Равенство (9.42) дает после преобразования Фурье матричные элементы оператора рассеяния Т в импульсном базисе (определенные равенством (9.9)):
(р + к/2| Т |р - к/2) ~
i Р
m
*
dds eiqs V(s),
Через Фурье-представление
V(q) =
интеграл от потенциала может быть записан в виде:
л
— оо
dt е
i(pt/m+b)-s
310
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
Интеграл по времени теперь можно взять и свести интеграл по s к интегралу по компонентам s, ортогональным р:
г*
dds<5(s-p) elb s V(s).
В это выражение входит Фурье-образ V, но в (d — 1)-мерном подпро-странстве, ортогональном р.
Наконец, отметим, что в ведущем порядке по V эйкональное приближение сводится к
(р + к/2|Т|р —к/2) = Й(к),
т.е. к точному борновскому приближению (см. Раздел 9.2).
9.6.2.	Применение к кулоновскому потенциалу
Применим теперь эйкональное приближение к нахождению амплитуды рассеяния в случае потенциала вида 1/q — кулоновского типа. В этом случае интеграл от потенциала не имеет предела для бесконечного временного интервала, потому что потенциал слишком медленно убывает на больших расстояниях. Поэтому необходимо сначала интегрировать по конечному временному интервалу. Параметризуем потенциал следующим образом:
V(q) = Л	(9.45)
ч.
Тогда
(i"-t')/2
dt V (— + х^) ~ In - t')p/mb).
\т / Р
(i'-t")/2
(9.46)
Эта бесконечная фаза имеет следующее происхождение: так как кулоновский потенциал слишком медленно убывает на больших расстояниях, классическая траектория слишком медленно приближается к траектории свободного движения, которая при нашем определении S-матрицы принята в качестве эталонной. В кулоновском потенциале амплитуды не определены — определены только сечения.
Факторизуя бесконечную фазу, можно завершить вычисление амплитуды рассеяния. Интегрируя по вектору Ь, получим:
Т(р + к/2,р - к/2) ~
. 2ат. .. ..	,/ч , ,ч
—г----In {(t — t)p/mb)
i7r(d-O/2 р /п . .-------ехр
(2?r)rf т
(9.47)
[0+(1-^)/2]

§ 9.7. Теория возмущений и операторы
311
где
9 = — iam/p.
(9.48)
В физической размерности 3 выражение (9.47) совпадает с точным результатом. При а < 0 (случай притяжения) оно дает энергии Еп связанных состояний в кулоновском потенциале, которые проявляются в виде полюсов амплитуды рассеяния:
2	2т (а — 1 4- 2п)2
(9.49)
Узнается хорошо известный кулоновский спектр.
Наконец, эйкональное приближение обладает релятивистским обобщением, которое дает очень интересные приближения для спектра энергий в квантовой электродинамике. В последнем случае оно состоит в приближенном суммировании лестничных и перекрестных лестничных диаграмм Фейнмана.
§9.7. Теория возмущений и операторы
Чтобы проиллюстрировать соответствие между формулировкой квантовой механики с помощью континуального интеграла и операторной формулировкой, напомним основы теории возмущений в операторном формализме для случая не зависящих от времени гамильтонианов.
Разложение S-матрицы может быть получено, например, из разложения оператора (см. (9.6))
iH^t
9(f) — е
—iHt
(9.50)
где Но ~ невозмущенный гамильтониан, и
V = Н - Но
— возмущение.
Вводя оператор возмущения в представлении взаимодействия
Vj(i) = е,й*1’е-

можно убедиться, что оператор Q(i) удовлетворяет уравнению
Q(t) = -iH(t)Q(t)
(9.51)
(9.52)
с граничным условием
П(0) = 1.
312
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
Уравнение (9.52) может быть решено в виде степенного ряда по возмущению Ц. Непосредственное вычисление приводит к формальному разложению
ОС n(t) = у^Н)” п—О
dt, dt2 ...din Vi(in)Vi(in_|)... Vi(<2)Vi(ii),
(9.53)
где область интегрирования в правой части такова:

Вводя упорядоченное по времени произведение, уже определенное в Разделе 4.6, можно переписать это разложение следующим образом:
оо fi(t) = ^(-г)п n=0
*
d^2. • • dtn T[Vi(tn) i)... 14(^2)Ц1)]•
J
Произведение в правой части теперь является симметричной функцией всех временных аргументов. Поэтому область интегрирования может быть симметризована, если разделить на комбинаторный множитель п\, тогда получим:
п=0
*
dt, dt2... dtnT [Vi(t,)VI(t2)... Vi(t„)]. (9.54)
!<i<n
Формальная сумма данного разложения может быть записана в виде:
Q(f) = Т
ехр
(9.55)
В частности, данный результат можно применить к гамильтониану Н, возмущенному линейным по оператору координаты q слагаемым. Полному гамильтониану также отвечает представление в виде континуального интеграла для статсуммы. Сравнивая разложение континуального интеграла по степеням возмущения с выражением (9.55), мы вновь получим соотношение между корреляционными функциями и Т-произведениями, установленное в Разделе 4.6 (равенство (4.35)).
Упражнения
Упражнение 9. /
Вычисление S-матрицы: псевдо-потенциал 6(х). Просуммировать ряд теории возмущений для S'-матрицы в случае одномерного потенциала
V(x) = Х6(х),
где постоянная Л — параметр потенциала.
Упражнения к главе 9
313
Решение. Потенциал обладает Фурье-представлением:
откуда следует, что V есть константа. В таком случае выражение (9.17) существенно упрощается. На самом деле, в данном примере Фурье-представление не слишком полезно; интеграл по kj дает исходный потенциал и условие x(rj) = 0. Воспользуемся теперь выражением (9.26) (при h~m = d = 1) и получим:
(x"\Uw(t",t')\x’) =
Ai®zz2/2(tzz —те) Лх,2/2(т\ — tf)
где моменты времени т? упорядочены, и то — те+\ = tf. Результат преобразования Фурье имеет вид:
<p"|	|р'> -
Это дает вклад
{р"\Sw |р') = (-iXY

eip"2Te/2-ip/2Ti/2 ГТ _________J_________
/=2 V2i7r(Ti ~ 7j-l)
в S-матрицу. Сделаем теперь замену переменных:
Tj+i = Tj +Uj, Uj 0.
Оставшийся интеграл no rj дает 5-функцию сохранения энергии: Е(р') = р'2/2 = Е(р") ~ р"2/2.
Все интегралы по щ принимают вид fj,p,,2u/2 _	1
. a/2z7fiz	у/2Е
о
Следовательно,
(р"\\р') = 2тг5(Е(р") -	.
Ряд теории возмущений образует геометрическую прогрессию, и ее можно просуммировать:
(p"|S|p') = 2тгф' -р")-2тг
гА
+ гА/у/2Ё
314
Гл. 9. Квантовая эволюция и матрица рассеяния
В одном измерении из сохранения энергии следует pff = ±pf, так как
3(Е(р”) - Е(р')) = -2= \6(р" - р') + <5(р" + р') \/2Е
— эти два случая отвечают прохождению и отражению, Обозначая 5± соответствующие элементы S'-матрицы, получим:
5+(Е) = 1 - г	, S_(E) =	.
1+гЛ/\/2Ё	\+iX/V2E
Этот результат согласуется с сохранением вероятностей, потому что
|S+|2 + |SL|2 = 1.
Упражнение 9.2
Квазиклассический предел. С помощью выражения (9.33) выведите квазиклассическое приближение для S'-матрицы в случае одномерного потенциала V(q) = A/ch2g. Сравните с точным результатом, который может быть найден, например, в R.G.Newton, «Scattering theory. Waves and Particles» (McGraw-Hill, New York 1966). Элементы S'-матрицы — и SL —, отвечающие прохождению и отражению, соответственно, при энергии Е = к2/2, таковы:
9
зштгси
где
а = —ik
9
Глава 10
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе будет обобщено построение континуального интеграла, данное в главе 2, на случай гамильтонианов, являющихся произвольными функциями переменных фазового пространства: координаты и импульса. Это приведет к тому, что действие примет гамильтонову форму, а интегрирование будет проводиться по траекториям в фазовом пространстве с обобщенной лиувиллевой мерой. Отметим, что этот формализм имеет много общего с голоморфным формализмом главы 6.
Будет рассмотрен более детально важный случай гамильтонианов, квадратичных по переменным импульса. Прежде всего мы убедимся, что в простейших ситуациях, уже обсуждавшихся в главах 2 и 5, после явного интегрирования по импульсу p(t) вновь получается обычный континуальный интеграл.
Зачастую встречаются гамильтонианы более обшего вида, например, при квантовании движения на римановых многообразиях. Мы проиллюстрируем такого рода анализ примером квантования свободного движения на сфере (или гиперсфере) Sjv-i.
Однако, прежде чем приступать к подобному обсуждению, напомним некоторые необходимые элементы классической механики.
§ 10.1. Некоторые элементы классической механики
Для обсуждения континуальных интегралов в этом более широком контексте полезно вспомнить некоторые элементы классической механики. Во всем данном разделе время вещественно. Мы будем рассматривать лишь ситуацию, когда уравнения классического движения получаются из принципа наименьшего действия. Действие есть интеграл по времени от лагранжиана:
*
A(q)= dt£(q, q\t),	(10.1)
u
где переменные qi(t) характеризуют, например, положение частицы в момент времени 2, a qi — их производные по времени. Уравнения классического движения получаются, если потребовать, чтобы действие
316
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
было стационарно относительно вариаций траектории q(t)\
d 9С дС
—— — О О -— — ——
6qi(t)	dtdqi dqt '
10.1.1.	Симметрии. Законы сохранения.
(Ю.2)
Непрерывные симметрии (т.е. симметрии, соответствующие группам Ли) действия приводят к величинам, сохраняющимся при классическом движении. Общая стратегия получения этих законов сохранения такова: нужно сделать зависящие от времени групповые преобразования и потребовать, чтобы действие было стационарным на уравнениях классического движения.
Проиллюстрируем эту стратегию на примере группы вращений — группы SO(./V) в N пространственных измерениях. Таким образом, мы считаем, что лагранжиан ротационно-инвариантен, т.е. инвариантен относительно всех преобразований вида
1 *	(0»
j
где R — ортогональная матрица RTR = 1 с детерминантом 1: £(<7,q\t) = £(Rq, Rq;t)-
Если qi(t) — классическое решение, действие должно быть стационарным относительно произвольных вариаций ^(t) и, следовательно, в частности, относительно вариаций, имеющих вид бесконечномалого зависящего от времени вращения:

Так как матрица Rij ортогональна, антисимметрична: Tji = —Tij. Соответствующая вариация траектории имеет вид:
8qi(t) = y Tij^qj^t) => 8qi(t) = >	• (Ю-3)
Если г не зависит от времени, из симметрии следует, что вариация действия обращается в нуль. Вариация действия в первом порядке по г, таким образом, может возникнуть лишь от дифференцирования по г, т.е. от q:
Вариация действия обращается в нуль, только если производная коэффициента при т равна нулю и, следовательно, если коэффициент при т есть константа. Так как матрица т антисимметрична, только
§ 10.1. Некоторые элементы классической механики
317
антисимметричная по ij часть стоящего при ней коэффициента должна быть равна нулю. Введем определение:
Т _ д£ д£
£ij — Qi о •	Qj дТ
(Ю.4)
Тогда
Ротационной симметрии отвечают сохраняющиеся величины Lij, соответствующие генераторам группы вращений.
При размерности 3 антисимметричное представление группы 50(3) изоморфно векторному представлению. Сохраняющиеся величины соответствуют вектору углового момента:
где Sijk — полностью антисимметричный символ, причем £123 = 1 и, следовательно, в векторных обозначениях
т д£
L = q х — .
c/q
10.1.2.	Инвариантность относительно временных трансляций. Гамильтонов формализм.
Другой (несколько сингулярный) пример связан с лагранжианами, не зависящими явно от времени. Пусть qc(t) — классическая траектория, вычислим действие, отвечающее qc(t + e(i)), т.е. получающееся в результате изменения параметризации времени. При разложении по степеням e(t) члены первого порядка по е равны нулю как следствие уравнений движения. Тогда
-^Qc(i + e(t)) = (1 + C)qc(t + e(i)).
VI L
Сделаем в действии замену переменных
После замены переменных вариации действия возникают из производной меры и из явной зависимости £ от переменной времени:
. д£ \ д£
5А— dt ё
J \ * /
Проинтегрируем по частям и выпишем условие обращения в нуль коэффициента при е(£):
. д£
9 Qi
dt
д£ dt
318
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
Отсюда заключаем: если система инвариантна относительно трансляций по времени, что означает равенство нулю дС/dt, величина
сохраняется, а это есть энергия.
Гамилътониан и преобразование Лежандра. В общем случае, даже когда лагранжиан зависит от времени, удобно ввести гамильтониан
- £(q, дЛ)
и выразить его в терминах переменных фазового пространства: координаты qi и переменной
Pl^ = d^t)	(10,5)
которая называется импульсом, сопряженным qi. Гамильтониан дается соотношением
- £(q, q;t),
г
(10.6)
которое, вследствие равенства (10.5), представляет собой преобразование Лежандра для лагранжиана. Равенство (10.5) выражает тот факт, что правая часть (10.6) стационарна относительно q при фиксированных p,q. Преобразование Лежандра инволютивно: С и q играют роль, симметричную Н и р. Действительно, варьируя выражение (10.6) по р (при фиксированном д), считая, что q является функцией р, определяемой соотношением (10.5), получим равенство
<7»(0 =
дН
dpi ’
являющееся одним из двух уравнений движения в гамильтоновом формализме. Кроме того, из условий стационарности следует, что производная Н + С по любому из аргументов, не участвующих в преобразовании Лежандра, равна нулю. В частности, дифференцирование (10.6) по q при фиксированном р дает:
дН
dqi
д£
dqi
p-q- £(q,q\t)],
P'Q
р
и, следовательно,
дН д£
dqi + dqi
§ 10.1. Некоторые элементы классической механики
319
(Ю.7)
Комбинируя это уравнение с уравнением движения (10.2), получим второе из уравнений движения в гамильтоновом формализме. Итак, находим;	н ,,(1_ ан
®(!) - Эр, '	- 8q, •
— эти уравнения можно также рассматривать как уравнения движения в фазовом пространстве.
Эти уравнения могут быть также получены из принципа наименьшего действия: нужно потребовать, чтобы действие, выраженное через гамильтониан,
А{р, q) = di
52р»(0<?»(0 - 77(p(i),g(i);i) г
(Ю.8)
было стационарным относительно вариаций как p(t), так и q(t).
В таком виде закон сохранения энергии в случае, когда Н не зависит явно от времени, получается мгновенно.
Заметим, что величина
(10.9)
зависит от геометрической траектории в фазовом пространстве, но не от движения по траектории: более точно, она представляет собой сумму площадей между траекторией и осями. Ее можно антисимметризовать по р и д. На математическом языке дифференциальной геометрии эта величина представляет собой интеграл от два-формы — так называемой симплектической формы и = ^i^Pi ^dqt. Такой подход особенно полезен в том случае, когда фазовое пространство обладает нетривиальной топологией (как в задаче квантования спина).
Сохраняющиеся величины (10.4), связанные с ротационной симметрией (группа SO(N) в N-мерном пространстве), в формализме фазового пространства принимают вид:
Lij = QiPj ~PiQj •	(10.10)
10.1.3.	Канонические преобразования
Канонические преобразования представляют собой преобразования в фазовом пространстве {qi,Pi} {Qi, Pi}, оставляющие инвариантной симплектическую форму. Они обладают групповой структурой. Один набор тривиальных преобразований состоит в прибавлении к pi градиента dH(q)/dqi. Такое преобразование индуцируется добавлением к лагранжиану полной производной по времени. Теперь легко охарактеризовать бесконечно-малые преобразования, не имеющие такого вида. Находим:
Qi = qi + edT^P’q^ + О(е2), Pi=Pi-edT-^'^ + О(е2), (10.11) &Pi	(JQi
320
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
где Т(р, q) произвольна. Если Т имеет вид гамильтониана, в этих равенствах легко узнать уравнения движения, проинтегрированные от момента времени t до t + е. Набору всех гамильтонианов соответствует набор канонических преобразований: отображение, ставящее в соответствие положение в фазовом пространстве в момент времени t положению в исходный момент времени, является каноническим преобразованием.
Это наблюдение показывает, как можно определить вид конечных канонических преобразований. Необходимо ввести производящую функцию S(q,Q) (классическое действие траектории, идущей из q в Q)
и положить
as
Pi =
UQi
as
dQi *
(10.12)
Инвариантность формы проверяется напрямую, если сделать замену переменных в два шага:	{^, Qi} и затем {qi,Qi} •—> {Qi, Pi}.
Аналогичным образом можно убедиться, что преобразование также оставляет инвариантной лиувиллеву меру ]^[zdgzdpz. В частности, эти результаты помогают обосновать выбор термодинамической меры
dpi е
i
в классической статистической механике.
10.1.4.	Скобки Пуассона
Удобно ввести скобки Пуассона — квазиклассический предел коммутаторов в квантовой механике. Если А(р, q), В(р, q) — два эрмитовых оператора, можно ввести определение:
М(Р- q),B(p, ?)}
Jim И(Р- ?)-В'Р’ «)]

ахав _ двдА dqt dpi dqt dpi ’
(10.13)
При таком определении {qi,Pj} = 8ij,n бесконечно-малое каноническое преобразование (10.11), примененное к функции A(p,q), имеет вид:
А(Р, Q) = А(р, q) + s{A, Т}.	(10.14)
Так как канонические преобразования образуют группу, скобки Пуассона индуцируют структуру алгебры Ли. В частности, они удовлетворяют тождеству Якоби
{А, {В, С}} + {В, {С, А}} + {С, {А, В}} = 0.	(10.15)
Несложно убедиться, что производная по времени любой функции переменных p,q принимает вид
dtF(p,q) = {F, Н} .	(10.16)
§ 10.2. Континуальный интеграл в фазовом пространстве
321
Отсюда следует каноническая инвариантность скобок Пуассона
Кроме того, сохраняющиеся величины порождают алгебру Ли. Действительно, можно убедиться, что если А(р, q) и В(р> q) — две сохраняющиеся величины, то
{А,Н} = {В,Я} = 0, => {{А,В},Н}=0
и, следовательно, {А, В} также сохраняется. В частности, алгебра Ли, соответствующая непрерывной симметрии действия, имеет представление в терминах скобок Пуассона.
Например, квадрат углового момента (10.10)
ь2 =	=p2q2-(p-q)2,	(10.17)
ij
коммутирует, в смысле скобок Пуассона, со всеми генераторами и соответствует оператору Казимира алгебры.
§ 10.2. Континуальный интеграл в фазовом пространстве
С настоящего момента, если не оговорено обратное, мы будем работать в евклидовом формализме.
Если квантовый гамильтониан известен и квадратичен по сопряженным импульсам р, то стратегию Раздела 2.2 можно обобщить и посчитать матричные элементы квантового статистического оператора для бесконечно малых временных интервалов путем решения уравнения Шредингера. В Разделе 10.2.1 мы продемонстрируем другой метод для гамильтонианов более общего вида. Однако зачастую задача имеет другую формулировку: известен только классический гамильтониан, и необходимо угадать соответствующий квантовый оператор. Конечно, решение задачи в общем случае не единственно, так как квантовый гамильтониан зависит от упорядочения операторов в произведениях. В реальных ситуациях выбор схемы квантования ограничен симметриями классического гамильтониана, которые мы хотим сохранить и в квантовой теории.
10.2.1» Континуальный интеграл
Отправная точка будет той же, что и в Разделе 2.1. Будем рассматривать ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, t	tf, описывающий эволюцию от момента времени tf до момента
времени t и обладающий свойством марковости по времени:
C7(f,f")C7(i",f) = C7(f,f') при	и =	(10.18)
322
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
Кроме того, будем считать, что оператор	дифференцируем и
обладает непрерывной производной. Положим по определению
dU(t, t') dt
t=t'
где h— постоянная Планка. Продифференцируем равенство (10.18) по положим tf/ = Л тогда получим:

(10.19)
В общем случае свойство марковости (10.18) позволяет записать в виде упорядоченного по времени произведения п операторов, соответствующих временным интервалам s = (tff — tf)/n, которые могут быть выбраны произвольно малыми путем увеличения п:
п
fU[tf + ms, t' + (m - 1 )e], ne = t,f - t'.	(10.20)
m=l
Основная идея — записать матричные элементы в смешанном координатно-импульсном представлении, во многом аналогично голоморфному формализму Раздела 6.4 (см. также Раздел 5.5.2). В дальнейшем мы будем использовать буквы р и q для обозначения собственных векторов операторов координаты и импульса, соответственно. При таком соглашении основные тождества имеют следующий вид:	-
Ш = (<?| 1 |р> = егрч/ => <р| 110 = е“,р9/й •	(10.21)
Будем считать, что гамильтониан Н представляет собой функцию операторов координаты и импульса и запишем его в нормальноупорядоченном виде — так, чтобы все операторы р стояли слева от всех операторов q
тя
н* = нтп^р
т,п
Если гамильтониан эрмитов, как и предполагается ниже, то оба вида эквивалентны.
Запишем матричные элементы C7(i + s,i) в координатном базисе следующим образом:
(<72| U(t +	\q\} =
ddp2
(27rft)d
(<72| U(t + e,t + £/%) \P2){P2\U(t + e/2,t) |qi).
Используем теперь для расчета матричных элементов в порядке s две формы гамильтониана:
(р\ U(t + £,t) \q)
-ipq/h е-еНп,о.(р,д'Л)/Ь	(|Q 22)
ipq/h	_|_£)(£2) (jg 23)
§ 10.2. Континуальный интеграл в фазовом пространстве 323
где Нпл>' и Яа п 0 соответствуют квантовому оператору Я, записанному в нормально- и антинормально-упорядоченном виде, в котором операторы p\q заменены соответствующими классическими переменными. В частности, эти две функции являются комплексно-сопряженными:
Яа.п.о. (р, Q', i) = Ип.о. (р, q-t).
Пренебрегая поправками порядка е2, получим:
р
(qz\U(t + E.t) |qi) =
d № rj(Q2-Q\)p2/h (2тг h)d
X exp { -е[Яп.о(р2, Q2; t + c/2) + Яп.0(р2, <71; t + £/2)]/2ft} ,
(10.24)
причем это выражение явно задает эрмитовый оператор, потому что вклад гамильтониана симметричен относительно замены qi <-> g2.
Теперь мы воспользуемся этим представлением, чтобы записать равенство (10.20) в терминах матричных элементов оператора U в координатном базисе (Раздел 2.1.2):
(q”\U(t",t')\q')=
J fc=l
ddPkddqk
n
6(qn - q") В (qk \U(tk,tk-i)\qk-\)
fc=l
ddpkddgk
6(qn - q") exp [-S£(p, q)/h],
(10.25)
где
n — I	S n
S£(p, q) = ~^ipk	+
k=l	k=\
(10.26) и введены обозначения
tk = tf + (fc - I /2)s, t” = tf +	, Qo = Qn = q/f •
Вводя траекторию в фазовом пространстве {p(t),q(t)}, интерполирующую между дискретными моментами времени
p(tk) = Рк , q(tk) = qk ,
можно перейти к формальному непрерывному пределу £ —► 0, п оо. Полагая
= ^[Hn.o.(p,q;t) + Ha.o.(p,q;t)] = Re Hn.o.(p, <7; i), получим континуальный интеграл в фазовом пространстве:
«(t")=9"
(q”\U(t",t') \q') =	[dp(t)dg(t)]exp[-«S(p,g)/h],	(10.27)
g(t')=9'
324
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
где
5(р, q) = dt [-ip(t]q(f) + Н(p(t), <?(t), t)
(10.28)
Функция S(p, q) имеет вид классического действия в евклидовом, или мнимом, времени, записанного в гамильтоновой форме, однако может отличаться от классического гамильтониана НС].(р, q; t) квантовыми поправками. В некотором смысле
Hci.(p,q;t) = lim Я(р, <?;£).
Статсумма. Для гамильтониана, не зависящего от времени, статсумма задается континуальным интегралом (10.27) с периодическими граничными условиями:
Я(т/й) = tr [7(т/2,-т/2) = [dp(^)dg(t)]exp[-5(p, д)/^],	(10.29)
где q(t/2) = q(—r/2). Записанная в таком виде статсумма связана простым соотношением с голоморфным интегралом (6.57), в котором сделана замена переменных вида (6.63).
Квантовая эволюция. В случае квантовой эволюции, которая описывается оператором	при не зависящем от времени гамильто-
ниане, представление (10.27) заменяется на
(g" |C/(£",f)|g') = (dp(i)dg(i)] ехр [гД(р, q)/K .
(10.30)
Евклидово (или обобщенное евклидово) действие 5 в континуальном интеграле заменяется на A(p,q) — классическое действие (10.8) в гамильтоновой форме (с возможными квантовыми поправками):
Q)= [p(0«W - H(p,q,t)]dt.
(10.31)
Даже в общем случае квантовая эволюция получается путем суммирования по всем траекториям с комплексным весом Следовательно, при траектории, близкие к экстремумам действия, являющимся классическими траекториями, по-прежнему дают основной вклад в континуальный интеграл.
10.2.2. Обсуждение
Выражения (10.27),(10.31) достаточно эстетичны, так как в них входят только обобщенное (евклидово или вещественное) классическое действие и инвариантная лиувиллева мера в фазовом пространстве. В частности, они формально инвариантны относительно канонических преобразований (10.12), определенных в Разделе 10.1.
§ 10.2. Континуальный интеграл в фазовом пространстве 325
Заметим, что, хотя мы вычисляли евклидовый оператор, мера не является вещественной. Мнимая часть происходит из симплектической формы. Как мы отмечали, ее вклад зависит только от геометрической траектории, но не от движения по ней. Поэтому этот вклад не зависит от того, является время вещественным или мнимым.
Отметим также, что если фазовое пространство компактно (как в случае квантования спиновых переменных), интеграл симплектической формы определяется по модулю полной площади, откуда следуют некоторые свойства квантования: действительно, полная площадь должна быть кратна 2тг^, для того чтобы континуальный интеграл был определен и не равен нулю.
Область интегрирования. Если попытаться охарактеризовать более точно пространство траекторий, дающих вклад в континуальный интеграл (10.27), то мы встретимся с первой трудностью. Слагаемое, связывающее различные моменты времени в выражении (10.26) теперь есть ipk(qk - Оно порождает осцилляции в интеграле (10.25), уничтожающие недостаточно регулярные траектории. Характерная величина разности (qk — Як-\) для траекторий, которые дают вклад в интеграл, дается типичной величиной pk. Например, если, как в Разделе 2.2, гамильтониан квадратичен по р, типичные значения pk в интеграле (10.25) имеют порядок 1/^/ё7, откуда мы получаем, что (qk -Qk -л) имеет порядок у/ё, что согласуется с анализом Раздела 2.2. Точно так же, если переписать выражение (10.26), преобразовав член ipk(qk ~ Qk-i) в 1<1к(Рк — Рк-\) (‘интегрирование по частям’), то получим условия регулярности, которым удовлетворяют функции p(t)> дающие вклад в интеграл. Они связаны с типичными значениями в интеграле (10.25). Рассматривая вновь пример гамильтониана вида р2/2т + V(q), заметим, что если, например, V(q) растет как q2N при q\ —> эо, то типичные значения qk таковы, что eq2N имеет порядок 1 и, следовательно, разность (pk — Рк.-1) должна быть порядка е1/277. Ясно, что для гамильтониана общего вида такого рода анализ может стать достаточно сложным.
Замечание. Формальная каноническая инвариантность континуального интеграла может быть настоящей только для очень ограниченного класса преобразований. Действительно, можно показать, что в одномерном случае гамильтониан Н лишь с одной степенью свободы всегда может быть преобразован в свободный гамильтониан:
pq-H^PQ-2т
Может возникнуть желание сделать отсюда вывод, что квазиклассическое приближение является точным. Легко привести контрпримеры. Дискретизованный вид (10.26) показывает, откуда возникает эта трудность. Переменной pk соответствует пара (qk^Qk-i), и дискретизованная форма, вообще говоря, не инвариантна.
326
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
Поэтому с континуальным интегралом в фазовом пространстве труднее работать, чем с более простым интегралом в координатном пространстве, определенным раньше, и поэтому он нашел меньше практических применений. В каждом нестандартном случае необходимо возвращаться к дискретизованной форме (10.25) и выполнять отдельный анализ.
Обобщение на случай произвольного числа степеней свободы вновь делается непосредственно. Представление в виде континуального интеграла для статистического оператора, выраженное через классическое действие и лиувиллеву меру, имеет такой же вид, как в (10.27).
§ 10.3. Гармонический осциллятор. Вычисления по теории возмущений.
Рассмотрим возмущения гамильтониана гармонического осциллятора
/Zo = l(p2+wV),	(10.32)
и ограничимся вычислением статсуммы, т.е. континуального интеграла с периодическими граничными условиями, полагая /1=1. Прежде всего, добавляя два слагаемых, линейных относительно р и д, мы сможем определить различные двуточечные функции, решая два уравнения движения, полученные из действия
S(p,q) =
dt \-ip(t)q(t) + ^p2(t) + w2g2(t) - c(t)p(t) - b(t)<z(t) .
(10.33)
Классические уравнения, полученные путем варьирования р и д, имеют
в таком случае вид:
-H?(t)+p(t) = c(t), p(t)+w2<j(t) = 6(t).
Прямолинейные вычисления приводят к классическому действию, из которого при помощи функционального дифференцирования получим:
Wk(u)) = 2и sh^2j Ch^(T/2 " k " U|)>
(p(t)p(u)) = W2 (g(t)g(u))
{qWp^} = 2^/2) Sh^(T/2 " " u|))'
(10.34a)
(10.346)
(10.34b)
§ 10.4. Лагранжианы, квадратичные по скоростям
327
Эти выражения могут быть также выведены из вида (6.43) функции (z(tf)z(O)) после замены переменных
В двуточечной функции q(t) мы, как и следовало ожидать, узнаем выражение (2.52).
В таком случае для гамильтониана общего вида Н(р, q) — Но(р> q) + + Hi(p,q), где Н\ — полином по р и q, статсумма может быть рассчитана путем разложения по степеням Hi и вычисления всех вкладов при помощи теоремы Вика.
Отсюда сразу же следует, что если добавить к 5(р, q) возмущение, линейное по р в виде магнитного члена pA(q), то потребуется двуточечная функция (q(t)p(u)) при совпадающих моментах времени. В таком случае мы столкнемся с трудностью, с которой уже имели дело в Разделе 5.3.1, а именно с неоднозначностью определения sgn(O), — она отражает проблему упорядочения квантовых операторов в произведениях. Так как в этой главе мы работали с конструкцией, практически симметричной во времени, можно принять удобное предписание sgn(O) = 0.
§ 10.4. Лагранжианы, квадратичные по скоростям
В Разделе 10.2 мы обсуждали некоторые трудности, с которыми можно столкнуться при определении континуального интеграла по фазовому пространству. Чтобы показать, что выражение (10.28) обладает, по крайней мере, некоторой эвристической ценностью, рассмотрим частный случай гамильтонианов общего вида, квадратичных по переменным импульса.
10.4.1. Проверки
Прежде всего, убедимся, что в случае гамильтонианов вида
H=^ + V(q), 2т
при интегрировании по p(t) в выражении (10.27) восстанавливается результат (2.22).
Классическое действие имеет вид:
2 Р
5(р. о) =
2т
(10.35)
В выражении (10.27) интеграл по импульсным переменным р гауссов. Как обычно, сделаем замену переменных, чтобы исключить слагаемое,
328 Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
линейное по р, полагая
р(£) = imqlt) + r(t).
(10.36)
Действие принимает вид:
<5(<?) =
dt
^-r2(i) + |mg2 + V(q) 2m 2
(10.37)
Таким образом, континуальный интеграл факторизуется в интеграл по
r(t):
N\t,,t,f') = [dr(f)]exp
h 2m
Kl
(10.38)
более не зависящий от потенциала V(q) и дающий просто нормировочную функцию fif, зависящую от tf и t", а также интеграл по q(t):
<q"\U(t",t')
dq(t)] ехр

t"
mq2 + V(9)) .
t'	J
(10.39)
Множитель нормировки может быть посчитан из выражения (10.25):
(10.40)
Таким образом, мы явно убедились в том, что выражение (10.27) согласуется с (2.22).
Магнитное поле.
Рассмотрим теперь частицу в магнитном поле. Гамильтониан может быть записан в виде (равенство (5.12)):
2т
[p + eA(q)]2 + V(q).
(10.41)
При нормальном и антинормальном упорядочении получаются два комплексно-сопряженных вклада, пропорциональных zeV • A(q), которые в сумме взаимно уничтожаются. Поэтому в континуальный интеграл входит простой классический гамильтониан (5.11).
Чтобы исключить слагаемое, линейное по р, из действия, сделаем замену переменных, полагая
pit) = imq(t) - eA(q(t)) + r(t).
(10.42)
§ 10.4. Лагранжианы, квадратичные по скоростям
329
После интегрирования по r(i) получается интеграл по траекториям q(i) с действием
5(q) =
di - mq2 + zeA(q)  q + V(q)
идентичным евклидову классическому действию (5.13).
10.4.2. Квадратичные лагранжианы общего вида
В общем случае квадратичная форма по сопряженным импульсам р в гамильтониане зависит от координатных переменных. Так как такая квадратичная часть порождает дополнительные сложности, ниже мы ограничимся обсуждением квадратичных гамильтонианов.
Обозначение. В данном разделе будет удобно пользоваться компактным обозначением, основанным на соглашении о суммировании по повторяющимся верхнему и нижнему индексам. Например,
= ^2
хауа 
а
Наиболее общий гамильтониан, квадратичный по скоростям, может быть получен из наиболее общего лагранжиана, квадратичного по скоростям. На самом деле, в большинстве задач о квантовании такого рода исходными данными являются классические лагранжианы.
Итак, рассмотрим лагранжиан с вещественным временем
£(q.q) = | яада0(я)яв,
(10.43)
где — положительная матрица.
Мы также будем пользоваться традиционным обозначением да$ для матрицы, обратной к д^з'.
ffa-r(q)ff7/3(q) = <*а>
где — кронекеровский J-символ, так как наиболее интересные примеры связаны с квантовой механикой на римановых многообразиях. В таком случае тензор ^Q/?(q) — это метрический тензор.
Соответствующий классический гамильтониан получается при помощи преобразования Лежандра. Сопряженный импульс имеет вид:
a£(q,q)	0
Ра = dqa = 9а0(Ч)<Г-
Для гамильтониана получим:
Н(р, q) = paqa - £(q, q) = | paga0(<l)P0- (10.44)
Если подставить классический гамильтониан в континуальный интеграл по фазовому пространству, то можно провести гауссово ин-
11 Ж.Зинн-Жюстен
330
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
тегрирование по p(i). Однако возникает трудность с вычислением детерминанта, получающегося в результате интегрирования, поэтому сначала мы произведем интегрирование по p(f) в дискретизованном виде (10.24).
<q| C7(t, t — е) |q'>
(27vK)d
Е—0
X exp {-£\pa9a0(4)P/3 +	•
(10.45)
Вводя обозначение
при интегрировании по ра получим:
где
(q| U(t, t - е) |q') — [27rfe detg]I;/2exp[-5(q, qz; <s)/7l],
(10.46)
a g — матрица с элементами gag.
Возвращаясь к выражению (10.25) и переходя формально к непрерывному пределу, убедимся, что аргументом экспоненты опять становится евклидово действие 5 — интеграл от классического лагранжиана (10.43), где время теперь евклидово:
5(q) —
t"
di I QagaptsM0 •
и
t'
(10.47)
Это не удивительно, так как для интегрирования по импульсам ра необходимо сначала решить классические уравнения движения для ра.
Однако, в противовес двум предыдущим примерам, при интегрировании появился нормировочный множитель X(q), обладающий нетривиальной зависимостью от q(i):
где
<q"|C/(t"t') |q') =
[dQ(i)]A<(q) exp [-<S(q)//i],
Mq)
(27rfe) ”^2
JJ [detg(q)]1/2. г=1
(10.48)
(10.49)
Он имеет вид бесконечной квантовой поправки (в нем нет множителя l/ft) к классическому действию:
X(q) ос ехр
In detg [q(i)] di
(10.50)
§ 10,4. Лагранжианы, квадратичные по скоростям
331
или» используя тождество In det g — trlng
V(q) ex exp
trlng [q(f)] dt
(10.51)
При формальном вычислении, начиная с выражения (10.27), получается похожий результат, где \/г необходимо заменить на <5(0) (где 5 — функция Дирака). Проблема, с которой мы здесь сталкиваемся, напрямую связана с вопросом об упорядочении квантовых операторов в произведениях. При разложении континуального интеграла по степеням h (квазиклассическое разложение), вклады (квантовые поправки), обусловленные только классическим действием, расходятся, начиная с порядка К. Эти расходимости взаимно уничтожаются с соответствующими вкладами, порожденными мерой (10.51). Однако в непрерывном случае сокращение формально, и остающаяся конечная часть является неопределенной. Для ее определения необходимо вернуться к дискретизованному виду (10.25), в котором сделан выбор упорядочения. Другой прямой путь понимания неоднозначности состоит в следующем. Изменение правила квантования в выражении (10.49), симметричное по q, q', не влияет на эрмитовость дискретизованного оператора, но влияет на g в порядке (q-q')2. Так как величина |q - q'| в общем случае имеет порядок д/£, при таком изменении g, так же как и trlng, меняются на величину порядка е. Тогда изменение X(q) порождает конечную квантовую поправку (порядка К) к классическому действию, характерную для коммутатора операторов координаты и импульса.
Еще раз отметим, что обнаруживается связь между упорядочением операторов в произведениях и неоднозначностями в непрерывном пределе. В ситуации общего положения (т.е. в отсутствие симметрий) различные непрерывные пределы отличаются на произвольный потенциал, т.е. значениями бесконечного числа параметров.
Замечание. Когда — метрический тензор на римановом многообразии, множитель (10.49) формально порождает ковариантную меру на многообразии. Это можно показать, убедившись в инвариантности вида континуального интеграла при замене координат в координатном пространстве. Положим
Тогда
£ = 5
где
Одновременно функциональная мера умножается на якобиан замены переменных
dg = detTdg'.
332
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
Заметим теперь, что
\/det g det Т = 1/det g'.
При таких определениях вид континуального интеграла остается неизменным.
§ 10.5. Свободное движение на сфере, или жесткий ротатор
Для иллюстрации рассуждений Раздела 10.4.2 мы проквантуем свободное движение на сфере, или, что эквивалентно, жесткий ротатор с О(.У)-симметрией (так же определяется O(N) нелинейная сг-модель в одном пространственном измерении). Пример с N = 2 был уже рассмотрен в Разделе 5.6.
Лагранжиан, квадратичный по скоростям, описывающий свободное движение на сфере Sjy-i и являющийся, следовательно, ротационно инвариантным, с необходимостью имеет вид:
где R — константа, а г — вектор единичной длины:
r2(i) = 1 .
(10.52)
Чтобы получить гамильтониан, нужно либо ввести множитель Лагранжа, чтобы наложить условие (10.52), либо параметризовать сферу при помощи независимых переменных В таком случае лагранжиан принимает вид:
где — метрический тензор на сфере.
10.5.1. Гамильтониан
Соответствующий гамильтониан имеет вид
Н=1-да0(ч)раРв,	(10.53)
где да@ — матрица, обратная да@.
В соответствии с обсуждением Раздела 10.4, матричные элементы оператора даются континуальным интегралом
(q"|	|q') =
(10.54) где #(q) — детерминант матрцы да@ — порождает инвариантную меру на сфере.
д/д[ц(/)]с1ц(/)] ехр -t dtQQ(f)gQ/3(q(f))^(f) , -	J
о
§ 10.5. Свободное движение на сфере, или жесткий ротатор
333
Чтобы параметризовать эту сферу, можно выбрать в качестве параметров, например, первые N — 1 компонент qa вектора г. Эта параметризация, естественно, сингулярна, как и любая другая глобальная параметризация сферы при N > 2 (для покрытия сферы необходимы по крайней мере две карты). Локально
г = (q,\/l — q2).
Тогда получим:
г2 = q2 + (<W1 -q2) = q2 + (q-q)2/(l - q2)-
Метрика на сфере ga@ в данной параметризации имеет вид:
gM/R2 = 6ав + 1^2.	(10.55)
Гамильтониан выражается через обратную матрицу да@:
R2ga0 = 6ав - qaqn
и, следовательно, тт 1 Г 2	(
н = йр[р - (Р Ч) 1 
В такой записи легко узнать квадрат углового момента (10.17), так как радиус-вектор г имеет единичную длину, и на одну из компонент г наложена связь, поэтому данная компонента не обладает сопряженным импульсом. Действительно, вариации при бесконечно-малом вращении (10.3) имеют вид
= Taeq& + TaN \/1 Ч^ •
Сохраняющиеся величины (10.4), (10.10) таковы:
— QaP3 0.&Ра » L'aN ~ \/l	4^ Pa -
Поэтому получаем:
Р \Р ‘ Ч) ’ а<0	а
Таким образом, гамильтониан, описывающий свободное движение на сфере Sjy-i, может быть представлен в виде
H = iL2,	(10.56)
Zrt
где вектор L — оператор углового момента, представляющий набор из Д'(Аг — 1)/2 генераторов алгебры Ли группы SO(N), действующих в гильбертовом пространстве.
334
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
Квантовый гамильтониан жесткого О(.У)-ротатора может быть также получен из свободного гамильтониана в IR7V путем введения радиальной и угловых координат и фиксирования радиальной координаты.
10.5.2. Спектр жесткого ротатора: континуальный интеграл
Континуальный интеграл. Чтобы записать грал, нам по-прежнему необходим детерминант (10.55):
detg — R2N/(1 - q2).
континуальный инте-метрического тензора
Обратим внимание, что меру интегрирования в континуальном интеграле теперь можно переписать через исходный вектор г. Действитель-
но,
\/i -q2
= dA’r 5(1 — г2).
В такой форме формальная ротационная инвариантность континуального интеграла становится явной. Теперь можно записать континуальный интеграл (10.54) в терминах вектора г единичной длины в 1R7V следующим образом:
-0Н
г(0)=г"
[dr(t)5 (1 - г2
(*))] ехр
0	1
d^r2(i) .
/
г(0)=г
0
еще одним примером
(10.57)
Спектр: квазиклассическое вычисление. Опишем теперь применение данного формализма, являющееся также квазиклассического вычисления.
Рассмотрим гамильтониан (10.56) при Я — 1:
(10.58)
Континуальный интеграл (10.57) сводится к
г(0)=г"
-вн
dr(t)5 (1 - г2
(/))] ехр
Л Л dfr2(f) . (10.59)
/
г(0)=г
0
Обозначим О угол между г' и г":
COS О = г' • г", 0 О 7Г .
(10.60)
Введем матрицу R(t), действующую на г(£) и переводящую, при помощи вращения в плоскости (г', г"), вектор г' в тп за время /?. В плоскости (г', г") она имеет вид:
cos(0f//3) sin(0f//3)
— sin(0f/0) cos(0t//3)
(10.61)
§ 10.5. Свободное движение на сфере, или жесткий ротатор
335
В подпространстве, ортогональном плоскости (г', г"), матрица R(t) совпадает с единичной.
Сделаем замену переменных, полагая
r(t) = R(t)p(f).	(10.62)
Обозначим и и v две компоненты р в плоскости (г', г"), причем и — компонента вдоль г', а рт — компонента в ортогональном подпространстве. В этих обозначениях континуальный интеграл может быть записан в виде
р(0)=г' р
е-/зн
dp(i)<5 (1 - р2(*))] ехр [—<S(p)],
(10.63)
где
р(0)=г'
(10.64)
Используя условие связи
и2 + v2 + ру = 1,
(10.65)
можно переписать действие следующим образом:
В отличие от абелева случая, когда вычисление может быть проведено точно, здесь мы можем лишь воспользоваться разложением при малых (3 (т.е. при высокой температуре). Это соответствует квазиклассическо-му, или ВКБ-пределу, который справедлив в случае больших квантовых чисел. В дальнейшем будем пренебрегать вкладами, спадающими экспоненциально по /3~[. В ведущем порядке необходимо учесть лишь малые флуктуации вблизи классического решения. Исключим переменную и из действия (10.66), используя равенство (10.65):
и = (1 — у2 — р^)1/2,	(10.67)
и разложим действие по степеням рт и v. В ведущем порядке результат дается гауссовым приближением и зависит только от квадратичных членов. В частности, линейное по 0 слагаемое в (10.66) не дает вклада в данном порядке, поэтому интеграл по v(t) не зависит от 0 и дает вклад только в нормировку. Последний этап вычисления схож с последней частью расчета в Разделе 2.9, который дает результат (2.35). Компоненты рт становятся независимыми переменными, и интегриро
336
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
вание по рт дает (N — 2)-ю степень интеграла по одной компоненте. Так как каждая компонента удовлетворяет граничным условиям
pf(0) = Pi(z?) = о.
интегрирование дает результат (2.39) для гармонического осциллятора при q' = q" = 0, h = т = 1 и w = г9/0, поэтому
/ а \ (W-2)/2
(г"|е-^н|г')	) е~в /20,	(10.68)
\ 2тгр sin 6 у
где нормировочная константа К(/3) не зависит от 0:
ад = (27г/?)-1/2.
Чтобы получить собственные значения Н, можно спроектировать это выражение на ортогональные полиномы PtN(cos#), соответствующие группе SO(N):
7Г
<10 (sinfl)77-2/5^(cos 0)Р?(cos 9) = 5ц,,	(10.69)
tJ о
которые пропорциональны полиномам Гегенбауэра c[N~2^2. При /3 —> 0 необходимы только первые два члена разложения полиномов PtN вблизи 0 = 0:
(1)
(10.70)
Если предположить, что каждому значению I соответствует только одно собственное значение Ei гамильтониана Н с кратностью вырож-
дения
T(Z -h ЛГ — 2)(Л7 + 2Z — 2) Г(ЛГ- l)f(Z + 1)
получим:
-0Ei
й(лг) (гтг^с7^-2)/2
d0 PtN(cos 0) (0 sin0)(JV~2)/2 е-®2/(2/3) =
о
е-ЗЕа Л 1 Щ + N _ 2)/3 + о ^2Л ,
следовательно,
El = Eq + ~l(l + N - 2) + O((3\ 4*
(10.71)
(10.72)
Так как Ei не зависит от /3, мы получим в результате этого вычисления точный ответ, с точностью до аддитивной константы Eq. Поправки, обращающиеся в нуль при /3 —> 0, должны быть тождественно равны нулю.
Упражнения к главе 10
337
Данный результат нуждается в пояснении: в Разделе 10.4 было показано, что континуальный интеграл (10.54), (10.59) является плохо определенным, так как мера дает формально расходящиеся вклады. Было указано, что эти расходимости сокращаются с другими расходимостями, которые появляются в пертурбативном разложении. Таким образом, окончательные выражения конечны, но неоднозначны, и эти неоднозначности отражают проблему упорядочения операторов при квантовании классического гамильтониана. Однако здесь мы получили хорошо определенный результат. Причиной этому является то, что на каждом этапе вычисления мы явно сохраняли ЗОрУ^-симметрию. Поэтому среди всех возможных схем квантования (и всех возможных определений континуального интеграла) мы неявно выбрали элемент из подкласса, соответствующего О(./У)-симметричным схемам квантования. Общее изучение О(ЛГ) нелинейной сг-модели (квантовополевое обобщение жесткого ротатора) показывает, что такой гамильтониан определяется с точностью до аддитивной постоянной. Поэтому оставшиеся неоднозначности квантования полностью содержатся в собственном значении Eq.
Упражнения
Упражнение 10.1
Гамильтониан четвертого порядка по импульсу. Можно проиллюстрировать результаты, полученные в этой главе, рассматривая квантовый гамильтониан 4-й степени по р:
н = ^(р2 +	+ |л(р2 + wV)2,
где А > 0.
Точный спектр связан со спектром гармонического осциллятора простым соотношением:
Е/с —	+ —) 4- Aw2(fc + х)2.
Посчитайте энергетический спектр в первом порядке по А, начиная с представления статсуммы в виде континуального интеграла в фазовом пространстве и используя теорему Вика. В континуальном интеграле используйте классический гамильтониан. Будут полезны некоторые тождества из Раздела 3.1.
Решение. Статсумма имеет вид
Z(Ji) = [dpdQ] exp
-0/2
/3/2
<1/ \ip(t)q(t) - Н(p(t), q(t)y
(10.73)

траектории периодичны, и Н — классический гамильтониан.
338
Гл. 10. Континуальные интегралы в фазовом пространстве
Запишем разложение статсуммы до порядка А:
0/2
Z(,5)/Zo(/3) = 1 - 1а
-0/2
dt (р2(£) + w2Q2(i))2^ + О(А2),
где («)0 означает гауссово среднее значение. Необходимые выражения даются соотношениями (10.34). При использовании симметричного условия sgn(0) = 0 будем иметь:
Z(P)/ZQ^ = 1-2A^4((q2(0)))2+O(A2) =
= 1 - | A/3w2 ch2(w/3/2)/sh2(w/3/2) + О(А2).
Сравнивая с выражением (3.2), находим:
Ек =	+ 1) + Aw2(fc2 + к + 1) + О(А2).
Следовательно, при использовании классического гамильтониана получается глобальный сдвиг спектра относительно точного результата на Aw2/4. Такой сдвиг соответствует различию между двумя симметричными схемами квантования.
Упражнение 10.2
Изменим теперь знак перед квадратичными слагаемыми:
Н = - ^(р2 + u2f) + ^Afp2 + w2^)2.
Спектр по-прежнему связан простым соотношением со спектром гармонического осциллятора:
Ek — —+ *) + Аси2 (/с + -)2.
Посчитать статсумму с помощью континуального интеграла в фазовом пространстве при А —► 0, по-прежнему используя классический гамильтониан. Получить спектр.
Решение. Один из методов заключается в следующем: сделаем замену переменных р, q i—> р, 0 в континуальном интеграле:
р(Р) = cos0(f), q(t) = v/pW sin0(f)/u>.
Мера Лиувилля принимает вид
dpdq = (lpd0/2w.
После интегрирования по частям
*
PQ(k = ъ
1
,
pf)<it,
Упражнения к главе 10
339
действие можно записать в виде

<it -ip6/2u - 5р+ -Ар2
Интеграл по р гауссов, однако на область интегрирования наложено условие р 0. В пределе А —► О основной вклад в интеграл, с точностью до поправок порядка е“*/4\ дает седловая точка. Пренебрегая этими поправками, можно проинтегрировать по р, и тогда получится действие для угловой переменной 0\
5(0) =
Теперь можно адаптировать метод, использованный для 0(2)-модели (Раздел 5.6). Необходимо просуммировать вклады периодических траекторий, п раз покрывающих окружность:
п
2
Используем тождество
Получается спектр:
+ 2т7Г/ш /З)2
е(^-27г/)2/4а i
Ei — Aw2/2 -	.
Данный результат справедлив априори только для Е[ С 0, то есть для значений /, близких к минимуму I ~ l/2wA, где Ei имеет порядок — 1/А. В частности, он справедлив для больших квантовых чисел.
Сравнение с точным результатом показывает, что здесь к + | заменено на Z. Сдвиг 1/2 не удивителен, так как члены, линейные по к, зависят от упорядочения в произведениях операторов.
Приложение А КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: МИНИМАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.
Важным отличием между квантовой и классической механикой является принцип суперпозиции: физическим состояниям соответствуют векторы комплексного векторного пространства, а физические предсказания связаны со средними значениями операторов по этим состояниям.
§ АЛ. Гильбертово пространство и операторы
Гильбертово пространство. Возможное построение квантовой механики основано на понятии комплексного гильбертова пространства, которое мы кратко напомним.
Рассмотрим векторное пространство комплексных последовательностей {(/?п}} в котором введено скалярное произведение — прямое обобщение скалярного произведения комплексных векторов в С^. Скалярное произведение (<р,ф) двух последовательностей {<£>п} и {V’n} определяется следующим образом:
ОС
(95, ф) = (ф,	95* Фп ,
п= I
где — величина, комплексно сопряженная <рп.
Из скалярного произведения возникает норма, и гильбертово пространство — это комплексное векторное пространство Н векторов с
конечной нормой:
2
В этом векторном пространстве можно ввести базис векторов N € N, определяемый последовательностями
= 1,	= 0, V п N.
Все элементы ф из Н могут быть представлены в виде
ос
П=1
§А.1. Гильбертово пространство и операторы
341
Можно дать физическую интерпретацию этим векторам как нормированным собственным векторам квантового гармонического осциллятора (см. Раздел 6.2).
Обозначения: бра и кет. Дирак ввел удобные обозначения: векторы в гильбертовом пространстве обозначаются |V>), комплексно сопряженные векторы (ф\, а скалярное произведение
(v’.V’) =	= «V’l*’))* •
Для простоты будем обозначать при помощи |п) базисный вектор v'n\ Комплексно сопряженный вектор {п\ соответствует той же последовательности. Соотношение
(п ТП) — $тп •
выражает тот факт, что векторы образуют ортонормированный базис.
Операторы. На векторы в гильбертовом пространстве действуют операторы, которые соответствуют линейным внутренним отображениям. Представление оператора О, действующего на последовательность Т = {^п}’ обобщает действие матриц на векторы:
(О^)т — Огп/прп •
п
В ’бра’ и ’кет’ обозначениях действие оператора О на вектор \ф) обозначается О \ф).
Эрмитово сопряженный оператор О* может быть определен следующим образом:
(р,Оф) = (О^р,ф).
Затем можно убедиться, что О* представляется элементами О*т и что в ’бра’ и ’кет’ обозначениях
= (М of |<^))*.
Физическая интерпретация. В квантовой механике состояние системы характеризуется вектором в гильбертовом пространстве. Если ф} — вектор с единичной нормой,
{'ФМ = 52 ш2 -1, п
то величины \фп\2 имеют вероятностную интерпретация — это вероятность обнаружить при измерении квантовую систему в состоянии п.
В общем случае физическим наблюдаемым соответствуют эрмитовы операторы:
о = оК
Эрмитов оператор можно диагонализовать, он обладает вещественными собственными значениями и ортогональными собственными векторами. Для простоты будем считать, что его спектр дискретен и обозначать
342
Прил. А. Квантовая механика: минимальные сведения.
его собственные векторы а соответствующие собственные значения С\у. В таком случае оператор может быть записан в виде
О = / Ox \vn) {<Pn\ •
TV— I
Для физической системы в состоянии, характеризуемом нормированным вектором |^>)	“ О» величины	вновь имеют веро-
ятностную интерпретацию — это вероятности получить значение Ох при измерении физической наблюдаемой, соответствующей О. Следовательно, квантовая механика предсказывает только средние значения. Для оператора О и нормированного вектора состояния величина

(АЛ)
есть среднее значение измерений физической наблюдаемой, соответствующей О, В общем случае условие эрмитовости гарантирует, что среднее значение вещественно.
Операторы должны быть ограничены, для того чтобы средние значения были конечными для всех векторов в гильбертовом пространстве.
Наконец, отметим, что если нормированный вектор в гильбертовом пространстве умножить на комплексное число, по модулю равное 1, это никак не скажется на наблюдаемых. Поэтому квантовое состояние на самом деле отвечает не вектору в гильбертовом пространстве, а лишь вектору с точностью до умножения на ненулевое комплексное число 9.
§ А.2. Квантовая эволюция, симметрии и матрица плотности
Квантовая эволюция. Эволюция состояний изолированной квантовой системы определяется действием оператора эволюции. Вектор состояния в момент времени tff получается из вектора состояния в момент времени tf следующим образом:
— U(tN,tf)	и> следовательно,	= 1.
Так как для норм векторов справедлива вероятностная интерпретация, они должны сохраняться при эволюции во времени: полная вероятность должна оставаться равной 1. Следовательно, преобразование должно сохранять нормы и, как следствие, скалярные произведения векторов и поэтому должно быть унитарным:
= 1.
*) Прим. ред. Имеется в виду комплексное число, равное по модулю единице.
§А.2. Квантовая эволюция, симметрии и матрица плотности 343
Кроме того, предполагается, что эволюция изолированной квантовой системы марковская — это свойство определяется правилом умножения
Если оператор дифференцируем, то он удовлетворяет уравнению
(А.2)
где эрмитовый оператор H(t) — гамильтониан. Постоянная Планка h появляется в уравнении по соображениям размерности.
Другая форма уравнения такова:
=	(А.з)
Если Н не зависит от времени, то С7(£",£') = е-гН(1"-е)/ъ> и 0перат0рЫ эволюции принадлежат представлению группы трансляций (временные трансляции), в которой H/h — генератор. Кроме того, среднее значение Н в любом состоянии не зависит от времени, что соответствует в квантовой механике сохранению энергии.
Отметим, что оператор эволюции ограничен, чего нельзя, вообще говоря, сказать о гамильтониане, определенном в общем случае только в плотном подпространстве гильбертова пространства. Следовательно, уравнение (А.2) имеет смысл только в подпространстве состояний с конечной энергией.
Редукция волнового пакета. При измерении наблюдаемой вектор V?) проектируется на собственный вектор, отвечающий тому собственному значению соответствующего оператора, которое получено при измерении — эта операция носит название редукции волнового пакета. Такая эволюция, очевидно, не унитарна, однако это не находится в противоречии с унитарной эволюцией, потому что при измерении квантовую систему уже нельзя рассматривать как изолированную — редукция волнового пакета происходит из-за взаимодействия между макроскопическим прибором (который имеет в сущности бесконечное число степеней свободы) и рассматриваемой квантовой системой.
Представление Гейзенберга. Как функция времени, среднее значение оператора О может быть записано следующим образом:
{ф(€)\О = (W)\u\t, t')OU(t,t') 1^0 •
Вводя гейзенбергово представление оператора О,
O(t,t,) = U\t,t,')OU(t,t'),	(А.4)
можно перенести эволюцию по времени с состояний на операторы:
(< о монж w ш •
344
Прил. А, Квантовая механика: минимальные сведения.
В таком случае оператор O(t, У) удовлетворяет уравнению эволюции


или


Симметрии. Из сохранения норм следует, что симметрии физических систем представлены в гильбертовом пространстве унитарными (или антиунитарными, т.е. унитарными с последующим комплексным сопряжением) преобразованиями.
Унитарное преобразование реализуется действием унитарного оператора S', а условие симметрии означает, что этот оператор коммути
рует с гамильтонианом:
5,Я] =0.
Если симметрии принадлежат непрерывным группам, соответствующие унитарные операторы образуют представление группы. В таком случае симметрии приводят, как и в классической механике (см. Раздел 10.1.1), к величинам, сохраняющимся во времени: они связаны со средними значениями генераторов (которые выбраны эрмитовыми) представления группы.
Матрица плотности. В квантовой статистической механике по-прежнему необходимо введение матрицы плотности. Если имеется только частичная информация о квантовой системе, состояние в гильбертовом пространстве заменяется на статистически смешанное состояние, которое может быть представлено матрицей плотности р. Матрица плотности эрмитова и положительно определена, обладает единичным следом, чтобы полная вероятность была равна 1:
р = р\ р > 0, trp = 1.
Эти условия становятся понятны, если диагонализовать матрицу плотности — тогда ее можно записать в виде:
Р — Рп Фп) (Фп 1 п
{|V>n)} — ее собственные векторы, а {рп} — соответствующие собственные значения. Собственные значения рп интерпретируются как обычные статистические (не квантовые) вероятности нахождения системы в состоянии п. Следовательно, они должны быть положительны, и в сумме дают 1.
Среднее значение наблюдаемой, отвечающей оператору О, имеет вид:
(О) = tr р О.
Выражение (А.1) отвечает ситуации с полной информацией, когда все собственные значения р, за исключением одного, обращаются в нуль —
Координата и импульс. Уравнение Шредингера.
345
в таком случае говорят о чистом состоянии, а р является проектором: р2 = р.
Эволюция во времени матрицы плотности может быть получена из эволюции векторов состояния. Находим:
С/1/
Для системы в термодинамическом равновесии при температуре квТ=\/(3 (кв — постоянная Больцмана, которая в этой книге принимается равной 1) матрица плотности должна коммутировать с гамильтонианом. В таком случае с помощью различных аргументов можно получить результат:
р —	/Z((3\ где 2(0) — tre_/3^ .
Операторная алгебра. В случае чистого состояния матрица плотности не изменится, если умножить вектор состояния на фазовый множитель, и, следовательно, соотношение между физическим состоянием и матрицей плотности взаимнооднозначно. Это наблюдение естественным образом приводит к формулировке квантовой механики, целиком основанной на комплексной алгебре ограниченных операторов с операциями эрмитова сопряжения и взятия следа. Такое описание квантовой механики формально более удовлетворительно, но не очень интуитивно понятно.
§ А.З. Координата и импульс. Уравнение Шредингера.
Операторы координаты и импульса. Важную роль играют два эрмитовых оператора: оператор координаты q = (qi , §2, - • •, Qd) (в d-мерном пространстве) и оператор сопряженного импульса р = (р\, Р2» - •  * Pd), который в простейшем случае соответствует обычному импульсу частицы (более подробно см. Разделы 5.1 и 10.1). Средние значения этих операторов в каком-то состоянии характеризуеют средние координату и импульс, соответственно. Коммутационные соотношения между этими операторами таковы:
[Оа.^з] = [Pa.P/j] = 0,	= iH6ap .	(А.5)
Многие наблюдаемые могут быть выражены через эти два оператора (в частности, в случае частиц без спина и других квантовых чисел, т.е. в том случае, который мы здесь для простоты рассматриваем).
Эти операторы не ограничены и, следовательно, определены не во всем гильбертовом пространстве. Следовательно, более аккуратное построение основано на элементах унитарных групп, которые они порождают: операторы
Т(а) = е*₽а/й и V(k) =
346
Прил. А. Квантовая механика: минимальные сведения.
где а и к — два постоянных вектора, образуют представления абелевых групп трансляций и сдвигов по импульсу, соответственно.
Коммутационные соотношения принимают вид:
T(a)V(k) = e-ia'k/fi V(k)T(a).
Удобно ввести собственные векторы этих операторов, однако они не принадлежат гильбертову пространству. Например, собственные векторы V(k) соответствуют состояниям, локализованным в пространстве, являющимся сингулярными пределами векторов из гильбертова пространства: состояние, строго локализованное в точке qo из может быть получено следующим образом:
linA ( \d/2 е (Ч q°)2/£ =	~ Чо).
£-*0 (те)6*/2
а это есть обобщенная функция — 5-функция Дирака, обладающая бесконечной нормой. Тем не менее, эти векторы образуют ортогональ
ный базис
ddQ<5(q — qo)5(q — qi) = 5(qj - q0),
который является полным, так как
dd(7O<5(q-qo))<5(q'-qo) = J(q-q').
Если обозначить 5(q- qo) |q0) вектор в этом базисе, эти соотношения примут вид:
<qo|qi) = <*(qo-qi),
dd«7o |qo> <qo| = 1-
В таком базисе оператор координаты — генератор импульсных трансляций — диагоналей:
q|qo) = qo |qo>,
Любой вектор \ф) в гильбертовом пространстве может быть разложен по этому базису:
^(q) = (q|V>) .
а функция ^(q) ~ набор всех компонент — называется волновой функцией. Волновые функции, отвечающие векторам в гильбертовом пространстве, образуют гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций, так как
dd<7|?/>(q)|2 =
ddQ <^|q> (q|V>) = (Ш)
00 .
Скалярное произведение двух векторов \ф) и |у?) тогда принимает вид:
('ФМ =
1 ddQi/>*(q)^(q).
Координата и импульс. Уравнение Шредингера.
347
Оператор координаты действует на волновые функции мультипликативно, т.к.
(q|qH = q(q|v) = q^(q)-
Два оператора — умножения на q и дифференцирования —— удовлетворяют коммутационным соотношениям (А.5), т.к.

Поэтому оператор импульса при действии на волновые функции может быть представлен в виде
<Ч| Р = jVqV'(q),
V
возможно, после калибровочного преобразования (5.5).
Наконец, другой обобщенный базис образован плоскими волнами
^p(q) =
являющимися собственными векторами оператора импульса:
К
-Vq^p(q) = P^p(q),
и соответствующими состояниям, инвариантным относительно про-странственных трансляций. Они также образуют ортогональный и полный базис:
-ipo-q/fteiprq/fi = (2?ГД)dJ(р0 — рj),
ddp e-ip.q/ft eip q'/ft = (27T/l)d5(q-q'). V
Представления векторов в этих двух базисах связаны преобразованием Фурье. Определяя абстрактно собственные векторы р как
р|р> = р|р>.
и, следовательно,
e2P’q/n = (q |р),
находим:
ddQ eiq.P/n
q) = Ip)-
Далее, определяя
(p|	= ^(p)*
получим:
^(q) = (q|V>) =
348
Прил. А. Квантовая механика: минимальные сведения.
Свободная частица. Гамильтониан Но свободной частицы — га-
мильтониан, инвариантный относительно пространственных трансля-
ций
[Но,Т(а)]=О => [Но,р] = О.
В таком случае импульс — сохраняющаяся величина, и гамильтониан может быть выражен как функция только генераторов р. Для системы, инвариантной относительно вращений, Hq есть функция р2 и для малых импульсов может быть записана в виде
где т — масса частицы.
Частицы с бесконечной массой. Гамильтониан частицы с бесконечной массой инвариантен относительно изменения импульса:
[HbV(k)]=0 [Hi,q] - 0.
В таком случае координата частицы является сохраняющейся величиной, и гамильтониан Hi является функцией только оператора коорди
наты
Hi = V(q),
где V называется потенциалом.
Уравнение Шредингера. Широкий класс образуют гамильтонианы, которые могут быть записаны как сумма этих двух членов:
Н = -J-p2 + V(q).	(А.6)
& f t If
В этом случае эволюция во времени волновой функции описывается дифференциальным уравнением в частных производных вида
V2 V>(q, t) + V (q)V’(q, t),
которое называется уравнением Шредингера.
Простым расширением является частица в магнитном поле — в этом случае гамильтониан имеет вид (5.11):
Я = 57Z [р + eA(q)]2 + v(q),
(А.7)
где A(q) — векторный потенциал, из которого получается магнитное поле.
Координаты и импульсы в представлении Гейзенберга. Можно ввести гейзенбергово представление (А.4) оператора координаты:
Q(t) = U\t,O) qC7(t,0).
$Д.З. Координата и импульс. Уравнение Шредингера.
349
В случае не зависящего от времени гамильтониана (А.6), производная по времени оператора Q(t) дается соотношением:
£qw=^[qw,#]=-5-рад. dt in	т
где Р(/) — оператор импульса в гейзенберговом представлении. В случае магнитного гамильтониана (А.7) мы вместо этого получим:
lQ(t) = P(/) + eA(Q(t)). U. V
Эти примеры показывают, что физическая интерпретация оператора сопряженного импульса зависит от гамильтониана, причем это свойство также верно в классической механике (равенство (10.5)).
Список литературы
1.	N.Wiener, J. of Math, and Phys. 2 (1923) 131, перепечатано в «Selected pa-
pers of N.Wiener», p.55, MIT Press (Cambridge 1964). См. также N.Wiener, Proc. London Math. Soc. 22 (1924) 455.
2.	G. Wentzel, Z. Phys. 22 (1924) 193
3.	P.A.M. Dirac, Physik. Z. Sowjetunion 3 (1933) 64, перепечатано в «Selected Papers on Quantum Electrodynamics», J. Schwinger ed,, Dover (New York 1958)
4.	R.P.Feynman, Rev. Mod. Phys. 20 (1948) 267; Phys. Rev. 80 (1950) 440, перепечатано в «Collected Papers on Quantum Electrodynamics», J.Schwinger ed., Dover (New York 1958)
5.	M. Kac, Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1949) 1. См. также M. Kac, «Probability and Related Topics in Physical Sciences, Lectures in Math. Phys.», Interscience (New York 1959), гл.4
6.	Один из ранних обзоров свойств континуальных интегралов, с большим количеством ссылок на соответствующую математическую литературу: I.M. Gelfand, A.M. Yaglom, Fortsch. Phys. 5 (1957) 517, J, Math. Phys. 1 (1960) 48
7.	E. Nelson, J. Math. Phys. 5 (1964) 332
8.	В статье J.R. Klauder, Ann. Phys. 11 (1960) 123 вводятся интегралы по комплексным переменным фазового пространства. Общую формулировку можно найти в S.S. Schweber, J. Math. Phys. 3 (1962) 831, где явно показана связь с голоморфным формализмом, введенным в V. Bargmann, Commun. Pure and Appl. Math. 14 (1961) 187
Прим. ped. перев. Применение голоморфного представления в теории поля восходит к работам В.А.Фока: см., например, В.А.Фок «Работы по квантовой теории поля», Изд-во Ленинградского университета, 1957.
9.	В рамках квантовой теории поля несколько авторов предложили использовать антикоммутирующие переменные для представления фермионных полей, например, Р.Т. Matthews, A. Salam, Nuovo Cimento 2 (1955) 120. Дифференцирование в случае грассмановых переменных определено в J.L. Martin, Proc. Roy. Soc. (London) A251 (1959) 543. Правила интегрирования и дифференцирования разъяснены и формализованы в F.A. Berezin, Dokl. Akad. Nauk SSSR 137 (1961) 311.
10.	Функциональные методы в применении к бозонным и фермионным системам представлены в F.A. Berezin, «The Method of Second Quantization» (Academic Press, New York 1966)
Прим. ped. перев. Русский оригинал: Ф.А.Березин «Метод вторичного квантования», М.: Наука, 1965. Второе издание М. Наука 1986
11.	R.P. Feynman, Phys. Rev. 84 (1951) 108 (Приложение В); W. Tobocman, Nuovo Cimento 3 (1956) 1213; C. Garrod, Rev. Mod. Phys. 38 (1966) 483
Список литературы
351
12.	L.D. Faddeev, в «Methods in Field Theory», Les Houches School 1975, R. Balian, J. Zinn-Justin eds., (North-Holland, Amsterdam 1976)
13.	Обзор различных типов континуальных интегралов можно найти, например, в F.A. Berezin, Theor. Math, Phys. 6 (1971) 141, и в [15] Прим. ред. перев. Русский оригинал: Ф.А.Березин, ТМФ 6:2 (1971) 194
14.	В статье С. Morette, Phys. Rev. 81 (1951) 848 получено несколько результатов: продемонстрирован расчет континуальных интегралов с помощью метода наибыстрейшего спуска при ft —► О, получена связь с ВКБ-приближением, полученным из уравнения Шредингера, определена нетривиальная мера, возникающая в результате квантования потенциалов, квадратичных по скоростям. Эта мера получена из условия унитарности оператора эволюции на коротких временных интервалах — такая стратегия аналогична использованной в J.H. Van Vleck, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 14 (1928) 178
15.	Квантование систем co связями обсуждается в L.D.Faddeev, Theor. Math. Phys. 1 (1969) 3
Прим. ред. перев. Русский оригинал: Л.Д.Фаддеев, ТМФ 1969, т.1., с.З
16.	R.P. Feynman, A.R. Hibbs, «Quantum Mechanics and Path Integrals» (McGraw Hill, New York 1965)
Прим. ред. перев. Имеется русский перевод: Р.Фейнман, А.Хиббс «Квантовая механика и интегралы по путям», М.: Мир, 1968
17.	L. Cohen, J. Math. Phys. 11 (1970) 3296; J.S. Dowker, J. Math. Phys. 17 (1976) 1873
18.	Ранняя работа P. Pechukas, Phys. Rev. 181 (1969) 166. См. также [12]
19.	Квазиклассический спектр получен, в очень общем случае, из квазиклас-сической аппроксимации оператора эволюции в М.С. Gutzwiller, J. Math. Phys. И (1970) 1791
20.	Как было замечено в J.S. Langer, Ann. Phys. 41 (1967) 108, континуальные интегралы могут быть использованы для расчета скорости распада метастабильных состояний
21,	S. Coleman, Применения инстантонов в «The Whys of Subnuclear Physics», Erice 1977, A. Zichichi ed. (Plenum, New York 1979)
22.	В рамках квантовой теории поля коллективные координаты обсуждались в J.-L. Gervais, В. Sakita, Phys. Rev. Dll (1975) 2943; V.E. Korepin, P.P.Kulish, L.D. Faddeev, JETP Lett. 21 (1975) 138
Прим. ped. перев. Русский оригинал: В.Е.Корепин, П.П, Кулиш, Л.Д.Фаддеев, Письма в ЖЭТФ т.21, в.5, с.302-305 (1975)
23.	C.S. Lam, Nuovo Cimento А55 (1968) 258; Е. Brezin, J.С. Le Guillou, J. Zinn-Justin, Phys. Rev. D15 (1977) 1554, 1558.
24.	L.R. Schulman, «Techniques and Applications of Path Integration» (Wiley, New York 1981)
H. Kleinert, «Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics and Polymer Physics» (World Scientific, Singapore 1995)
Современная книга с большим количеством ссылок С. Grosche, F. Steiner, «Handbook of Feynman Path Integrals» (Springer, Berlin, Heidelberg 1998)
352
Список литературы
Добавления редактора перевода
25.	Краткое, но полное и последовательное изложение метода континуального интеграла и его приложений к теории калибровочных полей дано в монографии А.А.Славнова и Л.Д.Фаддеева «Введение в квантовую теорию калибровочных полей» М. Наука 1978. Издание второе, исправленное и дополненное: М. Наука 1988.
26.	В монографиях А.Н.Васильева «Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике» Изд-во ЛГУ 1976, В.Н.Попова «Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике» М.Атомиздат 1976, а также Н.П.Коноплевой, В.Н.Попова «Калибровочные поля» Атомиздат 1972, обсуждаются различные аспекты метода континуального интеграла.
Предметный указатель
0(7У)-симметрия:
— метод наибыстрейшего спуска, 101, 103
—	потенциал четвертого порядка, 99
—	предел 7V —> оо, 100
^-функция, 93
0-функция («ступенька»), 91, 147, 178
S-матрица, 292
—	бозоны, 300
— квазиклассическое приближение, 303
—	пертурбативное разложение, 294
—	фермионы, 301
Антипериодические граничные условия, 235, 237
Асимптотическое разложение, 274
Баргмана-Вигнера потенциал, 270,
285
Березиниан, 245
Бесселя функция, 34, 36
Бозе-Эйнштейна конденсация, 190
—	гармонический потенциал, 191
—	свободные бозоны, 193
Бозонный гамильтониан:
—	ядро, 188
Бозоны:
—	вторичное квантование, 185
—	гамильтониан, 188
—	статсумма, 189
—	уравнение состояния, 190
Больцмана постоянная, 345
Большой канонический формализм, 189
Бора-Зоммерфельда правило квантования, 91
Бора-Зоммерфельда формула: обобщение, 271
Бра-кет, 48, 116, 341
Броуновские траектории, 130
Броуновское движение, 53, 150
ВКБ-приближение, 94
Вакуум, 187, 226
Вакуумное среднее значение, 124
Взаимодействие между ближайшими соседями, 116
Вигнера полукруговой закон, 256
Вика теорема, 23, 69
—	комплексная, 167
—	фермионы, 219, 245
Вириала теорема, 276
Волновая функция, 346
Временное упорядочение, 131
Вторичное квантование, 185
Гамильтониан: частица в магнитном поле, 328
Гамильтонов формализм, 317
Гамма-функция, 33
Гармонический осциллятор, 60, 170,
171, 255, 301, 326
—	с возмущением, 74
—	статсумма, 69
Гауссов интеграл, 20
—	комплексные матрицы, 39
Гауссова модель, 120
Гауссово среднее значение, 23
Гауссовы континуальные интегралы, 58
Гегенбауэра полиномы, 336
Гейзенберга представление, 131, 343
Гельдера условие, 56
Гильбертово пространство, 340
Голоморфный формализм, 168, 171
—	след, 173
—	ядра операторов, 172
Грассмана алгебра, 209
—	гауссов интеграл, 215
—	дифференцирование, 211
—	интегрирование, 212
—	комплексное сопряжение, 211
—	скалярное произведение, 222
Грассманова 5-функция, 223
Грассманова аналитическая функ-
ция, 222, 223
Двуточечная функция, 118
—	гауссова, голоморфная, 178
—	пертурбативное вычисление, 127
—	связная, 119
—	спектральное представление, 128
354
Предметный указатель
Диаграммы Фейнмана, 26
Дирака 5-функция, 64
-- голоморфный формализм, 170
Жесткий ротатор:
— О(2)-симметрия, 154
— О^)-симметрия, 332
Законы сохранения, 316
Знаковая функция sgn, 66, 146
Инвариантность относительно временных трансляций, 317
Инстантон, 257, 261, 262, 275, 284
— якобиан, 279
Интеграл по полям, 196
— фермионы, 240
Калибровочная инвариантность, 141
Калибровочная симметрия, 139
Калибровочное поле, 141
Калибровочные преобразования, 137
Канонические преобразования, 319
Квазиклассическое приближение, 191, 257, 334
Квазиклассическое разложение:
— статсумма, 77
Квантование и континуальный интеграл, 141
Квантовая статсумма, 57
Квантовая эволюция, 290, 324
Кластерное свойство, 120
Клиффорда алгебра, 212
Ковариантная мера, 331
Ковариантная производная, 142
Коллективные координаты, 265, 267, 277
Комплексные гауссовы интегралы, 165
Континуальный интеграл, 46, 55
— гауссов, 58
— гауссов, голоморфный формализм, 175
— голоморфный, 174, 180
— замены переменных, 159
— неоднозначности, 143, 183
— по фазовому пространству, 321
Континуальный интеграл и квантование, 137
Корреляционная длина, 119, 122
Корреляционные функции, 62, 117
— гауссовы, 68
— непрерывный предел, 124
— связные, 126
Кумулянты, 29
Лежандра преобразование, 318
Ли алгебра, 321
Липпмана-Швингера уравнение, 298
Локальность, 48
Магнитное поле, 139
— постоянное, спектр, 160
Марковости свойство, 322
Марковские процессы, 47, 321
Матрица плотности, 47, 344
Матрица рассеяния Т, 293
Метастабильные состояния: распад, 271
Метод наибыстрейшего спуска, 30, 261
Метрический тензор, 329
Неоднозначности квантования, 153
Непрерывный предел, 122
Нерелятивистская квантовая теория поля, 197, 240
Нормальное упорядочение, 172, 323
Нулевая мода, 264, 277
Окружность: — топология, 156 Оператор числа частиц, 188 Оператор эволюции, 342 Операторы рождения и уничтожения, 170
Операторы рождения и уничтожения фермионов: симметрия, 228
Операторы рождения и уничтожения:
— фермионы, 228, 231
Операторы:
— детерминанты, 108
Основное состояние:
—- свойства, 109
Переноса матрица, 116
Периодические граничные условия, 57, 178
Пертурбативное разложение, 181
Потенциал с двумя ямами: — четвертого порядка, 258 Преобразование Фурье: — обозначение, 50
Производящая функция, 19, 27
Производящий функционал, 63, 125 — бозоны, 194
Предметный указатель
355
—	гауссова мера, 65
Пропагатор, 67
—	голоморфный формализм, 177
Прямоугольная потенциальная яма:
—	спектр, 82
Пуассона скобки, 320
Пуассона формула, 157
Пфаффиан, 244
Равновесное распределение, 154
Разложение по степеням fi, 76
Размерная редукция, 125
Расплывание волнового пакета, 291
Расходящийся ряд, 273
Редукция волнового пакета, 343
Резольвента, 89
Решеточная модель, 115
Свободная частица, 348
Свободная энергия, 105
Связные вклады, 26
Связные корреляционные функции, 30
Сдвига оператор, 345
Седловые точки:
— вырожденные, 264
Симметрии, 316
Симплектическая форма, 319
След:
—	оператора, 57
Случайное блуждание, 150
Случайные матрицы:
—	гауссов унитарный ансамбль (ГУА), 253
Спектр:
—	квазиклассическое разложение, 89
—	пертурбативное вычисление, 85
—	разложение по степеням К, 88
Спин:
—	фермионное представление, 252
Спонтанное нарушение симметрии,
120
Статистическая сумма
—	гармонического осциллятора, 178
Статистическая сумма:
—	Ферми-газа, 240
—	голоморфная, 181
—	классическая, 115
— фермионы, 237
Статистический оператор, 46
Стирлинга формула, 34
Суперслед, 246
Теория возмущений, 25, 75, 108, 125, 326
Тепловая длина волны, 193
Термодинамический предел, 117, 119, 124
Термодинамическое равновесие, 345
Трансляционная инвариантность, 261
Туннельный эффект, 257
Универсальность, 123
Уравнение Риккати, 94
Уравнение состояния:
— фермионов, 238
Фаддеева-Попова метод, 266, 267
Фазовое пространство:
— континуальный интеграл, 321
— координатно-импульсное, 184
— статсумма, 324
Ферми-газ, 238
— свободный, 239
Фермионы, 209
— векторы состояний, 229
— гамильтониан, 226
— континуальные интегралы, 231
— статсумма, 234
Фоккера-Планка уравнение, 153, 287
— гамильтониан, 150
— диссипативное, 154
— примеры, 162
Фоковское пространство, 195
Функциональная производная, 63
Функциональный интеграл, 196
Хевисайда функция, 177
Химический потенциал, 189, 231
Центральная предельная теорема, 151
Челлена-Лемана представление, 130
Швингера-Дайсона уравнение, 126
Шредингера уравнение, 51, 94, 348
Эволюция в мнимом времени, 257
Энергия Ферми, 238
Эрмита полиномы, 44, 254
Эффект конечного размера, 123
аналитические функции
— гильбертово пространство, 169
— скалярное произведение, 169
356
Предметный указатель
ангармонический осциллятор: — четвертого порядка, 281
угловой момент
— группа 50(2), 154
— группа 50(3), 317
— группа SO(N), 333