Text
                    Quantum Field Theory in
Condensed Matter Physics
Alexei M. Tsvelik
Department of Physics,
University of Oxford
CAMBRIDGE
UNIVERSITY PRESS
1998


A.M. ЦВЕЛИК КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ В ФИЗИКЕ КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ Перевод с английского П.М. Островского, Я.В. Фоминова МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2002
УДК 538.9 Ц26 ББК 22.31 Цвелик A.M. Квантовая теория поля в физике конденсированно- конденсированного состояния: Перевод с английского — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0237-0. В последние годы квантовая теория поля стремительно развивается, в том числе и в виде приложений к задачам физики конденсированного состояния. В этой книге дается самодостаточное введение в основные методы и понятия квантовой теории поля и демонстрируется их использование в ряде разделов статистической механики и физики конденсированного состояния. В первой части книги описаны основные методы квантовой теории поля, включая интегралы по траекториям, фейнмановские диаграммы и перенорми- перенормировку. Затем они применяются к электродинамике металлов, релятивистским фермионам и эффекту Ааронова-Бома. Последние главы книги посвящены не- пертурбативным методам и описанию сильно флуктуирующих спиновых систем, конформной симметрии, цепочкам Кондо и ряду других задач. Благодаря описанию основных методов теории и универсальности использу- используемых понятий, эта книга будет полезна студентам старших курсов, аспирантам и ученым, специализирующимся в физике твердого тела и статистической меха- механике, а также всем, кто интересуется современными методами квантовой теории поля. Научное издание ЦВЕЛИК Алексей М. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ В ФИЗИКЕ КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ Редактор Е. С. Артоболевская ¦ Оригинал-макет: Е. В. Третьяков ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 24 05.02 Формат 60x90/16 Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л 20. Уч.-изд. л. 20. Тираж 1000 экз. Заказ № 1083. ISBN 5-9221-0237-0 Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117864 Москва, Профсоюзная, 90 Отпечатано с готовых диапозитивов в Чебоксарской типографии № 1 428019 г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15 785922 102377 ISBN 5-9221-0237-0 (русск.) ISBN 0-521-58989-4 (англ.) © Cambridge University Press, 1998 © ФИЗМАТЛИТ, 2002 (русск.)
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 7 Общая библиография 11 Благодарности 12 Часть I. Введение в методы 1. КТП: язык и цели 14 2. Интегралы по траекториям 28 3. Определение корреляционных функций 35 4. Свободный бозон во внешнем поле 40 5. Теория возмущений. Фейнмановские диаграммы 53 6. Методы вычисления диаграммных рядов 61 7. Ренормфупповая процедура 70 8. О(Л^)-симметричная векторная модель ниже точки перехода 81 9. Нелинейная сигма-модель в двух измерениях 90 10. ОC)-нелинейная сигма-модель в пределе сильной связи 99 Часть II. Фермионы 11. Интеграл по траекториям и теорема Вика для фермионов 104 12. Электродинамика металлов 112 13. Релятивистские фермионы 131 14. Эффект Ааронова-Бома 141 Часть III. Сильно флуктуирующие спиновые системы Введение 152 15. Процедура квантования Швингера-Вигнера 158 16. ОC)-нелинейная сигма-модель в B -f 1) измерениях 166 17. Порядок из беспорядка 172 18. Преобразование Йордана-Вигнера для моделей со спином 5 = 1/2 ... 180 19. Майорановское представление для магнетиков со спином 5 = 1/2 . . . 187 20. Функционально-интегральные представления 193
Содержание Часть IV. Физика в мире одного пространственного измерения Введение 204 21. Модель свободного бозонного безмассового скалярного поля 205 22. Релевантные и иррелевантные поля 212 23. Переход Костерлица-Таулесса 219 24. Конформная симметрия 227 25. Определение конформной инвариантности 234 26. Модель Изинга 247 27. Гейзенберговская цепочка спинов 5 = 1/2 254 28. Одномерные фермионы со спином 265 29. Алгебры Каца-Муди 277 30. Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена 286 31. Выбор калибровки в неабелевых теориях - 295 32. Гейзенберговская цепочка спинов 5 = 1 299 33. Цепочка Кондо 304 34. «Поваренная книга» конформной теории 309 35. Заключение. Краткий путеводитель по точно решаемым моделям .... 313 Предметный указатель 318
Моему отцу Предисловие Цель настоящей книги — познакомить читателя с последними достиже- достижениями квантовой теории поля (обозначаемой далее аббревиатурой КТП). В первую очередь книга ориентирована на физиков, занимающихся конден- конденсированными средами, но я надеюсь, что она также может представлять определенный интерес для специалистов в других направлениях. В послед- последние 15 лет КТП бурно развивалась, изменился ее язык и стиль. Увы, плоды этого быстрого прогресса все еще недоступны широким народным массам студентов, аспирантов, младших научных сотрудников, и даже тех старших научных сотрудников, которые не принимали непосредственного участия в этом прогрессе. Этот культурный разрыв является серьезным препятствием для распространения идей в сообществе ученых, занимающихся физикой конденсированных сред. Единственный способ исправить подобное поло- положение заключается в создании возможно большего числа книг, освещаю- освещающих эти новые достижения. Несколько хороших книг уже существуют; они перечислены в Общей библиографии в конце предисловия. Однако, изу- изучая их, я обнаружил, что пока еще остается место и для моего скромного вклада. При написании книги я старался сделать изложение максимально простым, сводя к минимуму формальную сторону дела. Опять же, для того чтобы облегчить жизнь новичку в данной области, я начинаю изложение с таких традиционных тем, как интегралы по траекториям и фейнмановские диаграммы. Предполагается, однако, что читатель уже знаком с этими те- темами, и соответствующие параграфы должны лишь освежить в памяти уже имеющиеся знания. Тем же, кто только начинает работать в этой области, я рекомендую читать первые параграфы книги параллельно с каким-либо вводным курсом по КТП. Таких курсов много, в частности «вечноюная» книга Абрикосова, Горькова и Дзялошинского. Почему стоит изучать КТП? Для физиков, занимающихся конденси- конденсированными средами, равно как, по моему мнению, и для всех остальных физиков, на то есть несколько причин. Первая состоит в том, что КТП предоставляет красивые и мощные средства для наших исследований. Ре- Результаты, достигнутые с помощью этих средств, неисчислимы; знание их секретов является ключом к успеху для любого сильного теоретика. Вто- Вторая причина состоит в том, что эти средства очень элегантны и красивы. Это обстоятельство делает процесс научных исследований поистине при- приятным. Я не думаю, что это совпадение; я глубоко уверен в том, что эсте- эстетические критерии так же важны в науке, как и эмпирические. Красота и истина неразделимы, поскольку «красота есть воплощенная истина» (Вла- (Владимир Соловьев). История науки убедительно подтверждает эту веру: все великие физические теории в то же время прекрасны. Эйнштейн, напри- например, открыто признавал, что идеи красоты сыграли очень важную роль в
Предисловие его формулировке общей теории относительности, экспериментальное под- подтверждение которой оставалось на минимальном уровне в течение многих лет. Эйнштейн ни в коем случае не одинок; я советую читателю обратиться к философским эссе Вернера Гейзенберга, чей авторитет в области физики сложно отрицать. Эстетика имеет дело с формами, поэтому неудивительно, что в современной КТП явно ощущается привкус геометрии. Это прояв- проявляется, например, в идее о том, что вакуум, будучи, казалось бы, пустым пространством, обладает определенной симметрией, т.е. с ним связана гео- геометрическая фигура. В дальнейшем у нас будет не один шанс обсудить эту тему и оценить тот факт, что геометрические конструкции играют осново- основополагающую роль в поведении физических моделей. Третий повод для изучения КТП связан с первыми двумя. КТП обладает силой универсальности. Ее язык играет в наше время ту же объединяющую роль, что играла латынь во времена Ньютона и Лейбница. Знание этого языка равносильно грамотности. Это не преувеличение: уравнения КТП описывают фазовые переходы в магнитных металлах и раннюю Вселен- Вселенную, поведение кварков и флуктуации клеточных мембран; на этом языке можно одинаково успешно описывать и классические, и квантовые систе- системы. Последнее особенно важно. Я сразу должен пояснить, что с точки зрения вычислений нет никакой разницы между КТП и классической ста- статистической механикой. Обе эти дисциплины можно обсуждать в рамках одного и того же формализма. Поэтому везде ниже я буду объединять КТП и статистическую механику под аббревиатурой КТП. Этот язык помогает В одном мгновенье видеть вечность, Огромный мир — в зерне песка, В единой горсти — бесконечность И небо — в чашечке цветка. (Уильям Блейк1) Я надеюсь, что теперь читатель достаточно вдохновлен на предстоящую тяжелую работу, для которой мы вновь должны перейти на прозу. Теперь обсудим содержание книги. Одна из ее целей — помочь читате- читателю в решении будущих задач физики твердого тела. Они гораздо сложнее, чем прошлые задачи, — все простые уже решены. То, что осталось, сложно, но тем не менее интересно. Самые интересные, важные и сложные зада- задачи в КТП касаются систем с сильным взаимодействием. Действительно, основные продвижения в последние пятнадцать лет были именно в этой области. Одна широко известная задача — конфайнмент кварков в кван- квантовой хромодинамике (КХД). Она до сих пор не решена, насколько мне известно. Менее известный пример — задача о сильно коррелированных электронах в металлах вблизи перехода металл-изолятор. Она тесно связа- связана с задачей о высокотемпературной сверхпроводимости. Задачи с сильным взаимодействием нельзя решить стандартными методами, которые в основ- основном связаны с теорией возмущений. Это, однако, не значит, что не нужно 'Перевод С. Я. Маршака.
Предисловие изучать стандартные методы. Напротив, к сложным задачам нельзя подхо- цить без глубокого знания простых. Поэтому первая часть книги посвящена таким традиционным методам, как формулировка КТП на языке интеграла по траекториям и фейнмановское диаграммное разложение. Тем не менее, я не считаю, что читатель выучит эти методы по моей кмиге. Как уже было сказано, есть много хороших книг о стандартных методах, и цель первой части состоит не в замене этих книг, а только в напоминании читателю, то- того, что он уже знает. Поэтому стандартные методы обсуждаются довольно коротко, и основное внимание уделяется тому, что будет важно для непер- турбативных приложений. Общая стратегия книги — показать, как сильное взаимодействие воз- возникает в различных частях КТП. Я не обсуждаю детально все существую- существующие теории конденсированных сред, где оно возникает; опущены теории локализации и квантового эффекта Холла, и совсем не много сказано о теории веществ с тяжелыми фермионами. Нельзя объять необъятное! Хо- Хотя я и не касаюсь всех физических моделей, рассмотрены все сценарии перенормировки: их всего три. Во-первых, возможно, что взаимодействие велико в затравочном многочастичном гамильтониане, но эффективно ис- исчезает для низкоэнергетических возбуждений. Это происходит в квантовой электродинамике в размерности 3+1, и в ферми-жидкости, когда рассеяние квазичастиц на ферми-поверхности изменяет только их фазу (рассеяние вперед). Другая возможность состоит в том, что слабое взаимодействие на затравочном уровне становится сильнее для малых энергий, приводя к существенным изменениям в низкоэнергетическом секторе. Такое поведе- поведение описывается так называемыми теориями «асимптотической свободы»; к их числу относятся КХД, теории, описывающие рассеяние электронов проводимости на магнитных примесях в металлах (в частности, модель Андерсона и s-d модель), модели двумерных магнетиков и многие дру- другие. Третий сценарий приводит к критическому поведению. В этом случае взаимодействие между низкоэнергетическими возбуждениями остается ко- конечным. Такая ситуация имеет место в точке фазового перехода второго рода. Последние несколько лет отмечены большими достижениями в те- теории двумерного фазового перехода второго рода. Появилась совершенно новая дисциплина, конформная теория поля, которая дает полное описание всех возможных типов критических точек в двух измерениях. Классифи- Классификация включает двумерные теории в точке перехода и квантовые теории в 1 + 1 измерениях с критической точкой при Т — 0 (например, модель Гейзенберга с S — 1/2). Первая часть книги посвящена формальным методам; с нескольких сто- сторон я обсуждаю формулировку КТП на языке инте1рала по траекториям и описываю разложение в ряд теории возмущений в форме фейнмановских диаграмм. В этой части мало «физики»; я выбрал простую модель (O(N)- векторная теория) для иллюстрации стандартной процедуры и не увлека- увлекаюсь обсуждением физического смысла результатов. Как уже было сказано, я настоятельно рекомендую читателю, не знакомому с этим материалом, чи- читать эту часть параллельно с каким нибудь учебником по фейнмановским
10 Предисловие диаграммам. Вторая часть не такая сухая; в ней обсуждается несколько различных и относительно простых приложений. Одно из них особенно важно, это электродинамика нормальных металлов, где на относительно простом уровне можно обсудить нарушения теории ферми-жидкости Лан- Ландау. Чтобы оценить эту часть, читатель должен знать, что нарушается, т.е. быть знакомым с самой теорией Ландау. Я не знаю лучшей книги для это- этого, чем книга Абрикосова, Горькова и Дзялошинского. Самое интересное начинается в третьей и четвертой частях, которые полностью посвящены непертурбативным методам. Я надеюсь, они вам понравятся! Наконец тех, кто знаком с моими собственными работами, может уди- удивить отсутствие в этой книге точных решений и Бете-анзаца. Это не потому, что мне не нравятся эти методы, но потому, что я не считаю их частью мини- минимальных знаний, необходимых для тоеретика, работающего в этой области. А. Цвелик. Оксфорд
Общая библиография 1. А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, М. A987). 2. А.А. Абрикосов, Л.П. Горькое, И.Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, М.: Добросвет A998). 3. DJ. Amit, Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena, World Scientific A984). 4. P.W. Anderson, Basic Notions of Condensed Matter Physics, Benjamin/Cummings A984). 5. H.B. Ашкрофт, Н.Д. Мермин, Физика твердого тела, М: Мир A979). 6. A. Auerbach, Interacting Electrons and Quantum Magnetism, New York: Springer- VerlagA994). 7. E. Fradkin, Field Theories of Condensed Matter Systems, Addison-Wesley A991). 8. С Itzykson and J.-M. Drouffe, Statistical Field Theory, Cambridge University Press A989). 9. S. Jain, Conformally invariant field theory in two dimensions, Int. J. of Mod Phys A, 3,1759A988). 10. A.M. Поляков, Калибровочные поля и струны, Черноголовка: ИТФ им. Л.Д. Лан- Ландау A995). 11. В.Н. Попов, Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статисти- статистической физике, М. A976). 12. S. Sachdev, Low dimensional quantum field theories for condensed matter physicists, Proc. of the Trieste Summer School 1992, World Scientific. 13. B. Schutz, Geometrical Methods in Mathematical Physics, Cambridge University Press A980). 14. F. Wilczek, Fractional Statistics and Anyon Superconductivity, World Scientific A990). 15. J. Zinn-Justin Quantum Field Theory and Critical Phenomena, second edition, Ox- Oxford University Press A993). 16. Conformal Invariance and Applications to Statistical Mechanics, ed. by C. Itzykson, H. Saleur and J.-B. Zuber, World Scientific A988). 17. Les Houches 1988, Fields, Strings and Critical Phenomena, Session XLIX, ed. by E. Brezin and J. Zinn-Justin, North Holland A990).
Благодарности Я глубоко благодарен поддержке Института теоретической физики им. Ландау, в творческой атмосфере которого я работал в течение несколь- нескольких замечательных лет. Также приношу благодарность Университету Окс- Оксфорда и, в частности, его Физическому факультету, поддержка которого была жизненно важна для моей работы. Я также благодарен за личную под- поддержку Дэвиду Шеррингтону, Борису Альтшулеру, Джону Чалкеру, Дэвиду Кларку, Пирсу Коулману, Льву Иоффе, Игорю Лернеру, Александру Нер- сесяну, Джеку Патону, Полу де Са и Робину Стинчкомбу. Брейзноузский колледж стал для меня источником вдохновения с тех пор как я был избран членом его совета, и я признателен моему сотруднику по колледжу Джону Пичу за идею этой книги. Особая благодарность библиотекарю колледжа доктору Ричарду Куперу за безупречное выполнение своих обязанностей.
Часть I Введение в методы
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ: ЯЗЫК И ЦЕЛИ ... И под личиной вещества бесстрастной Везде огонь божественный горит. Владимир Соловьев Причина, по которой термины «квантовая теория поля» и «статистиче- «статистическая механика» так часто используются вместе, кроется в существенной эквивалентности этих двух дисциплин. Именно, квантовую теорию поля D-мерной системы можно сформулировать как статистическую механи- механику (D + 1)-мерной системы. Такая эквивалентность — просто подарок изучающему эти предметы. В самом деле, она позволяет избавиться от некоммутирующих операторов и забыть о временном упорядочении, кото- которые кажутся типичными для квантовой механики. Взамен появляется фор- формулировка квантовой теории поля в терминах обычных коммутирующих функций, более-менее привычных интегралов и т.п. Прежде чем переходить к формальному выводу, я напомню предмет квантовой теории поля (КТП). Давайте рассмотрим классическое поле. Во- первых, это сущность, выражаемая непрерывной функцией координат и времени (х, t). Поле Ф(х, t) может быть скаляром, вектором (как электро- электромагнитное поле в представлении 4-потенциала (ф, А)) или тензором (как метрическое поле даь в теории гравитации). Другой важной особенностью полей является то, что они могут существовать сами по себе, т. е. неза- независимо от «источников»: зарядов, токов, масс и т. д. В переводе на язык теории это означает, что система полей обладает своим собственным дей- действием 5[Ф] и энергией Е[Ф]. Используя эти величины и общие правила классической механики, можно написать уравнения движения для полей. Пример В качестве примера рассмотрим вывод уравнений Максвелла для элек- электромагнитного поля без источников Я привожу этот пример, чтобы вве- ввести некоторые важные определения. Действие для электромагнитного поля имеет вид 5 = — [ dtd3x{E2-H% A.1) 8тг J где Е и Н — электрическое и магнитное поля соответственно. Эти поля не независимы, их можно выразить через потенциалы: = -^+ё1Г' A-2) Н = V х А.
Гл 1 КТП язык и цели 15 Представление (Е,Н) через (ф,А) не единственно; (Е,Н) не меняются при следующем преобразовании: Ф~>ф + Ш' A.3) А -»• А + Vx- Такая симметрия называется калибровочной. Чтобы записать действие в виде однозначного функционала потенциалов, нужно зафиксировать ка- калибровку. Я выбираю такую: ф = 0. Подставляя A.2) в A.1) получаем действие как функционал от векторного потенциала: 5 = ij;J dtd3x [^(9tAJ - (V х АJ] . A.4) В классической механике частицы движутся по траекториям с мини- минимальным действием. В теории поля мы имеем дело не с частицами, а с конфигурациями полей, то есть с функциями координат и времени A(t, x). Обобщение принципа наименьшего действия для полей состоит в том, что поля меняются во времени так, чтобы их действие было минимальным. Предположим, что Ao(t,x) — как раз такая конфигурация для действия A.4). Поскольку мы утверждаем, что действие достигает минимума при такой конфигурации, оно должно быть инвариантно при бесконечно малых вариациях поля: А = Ао + 5А. Подставляя эту вариацию в действие A.4), получаем SS=-^[ dt d3x[c-2dtA0dt6A - (V х A0)(V x SA)} + ОFА2). A.5) 4тг J Следующим шагом переписываем 6S в каноническом виде 5S = f dt d3xSA(t, x.)F[A0(t, x)] + 0{5A2), A.6) где F[A0(t, x)] —некоторый функционал, зависящий от A0(i, x). По опре- определению это выражение задает функцию * ~ 6А' называемую вариационной производной 5 по А. Предположим, что 5А обращается в ноль на бесконечности и проинтегрируем A.5) по частям: SS = --}- [ dt d3x{c~2dfAo{t,x) - [V х V х A0(t,x)}}SA(t,x). A.7) 4тг 1 j
16 Введение в методы 4 1 Так как SS = 0 при любом б А, выражение в фигурных скобках (вариа- (вариационная производная 5) обращается в ноль. Таким образом получаются уравнения Максвелла: Э^А - (V х V) х А = 0. A.8) То есгь уравнения Максвелла являются уравнениями Лагранжа для дей- действия A.4). Рис. 1.1. Уравнения Максвелла как механическая система Из уравнений Максвелла видно, что величина поля в данной точке опре- определяется значениями поля в соседних точках. Другими словами, теория электромагнитных волн — механическая теория с бесконечным числом степеней свободы (координат); эти степени свободы представлены значе- значениями поля, которые присутствует в каждой точке и связаны друг с другом. На самом деле, вполне правильно определять классическую теорию поля как механику систем с бесконечным числом степеней свободы. Аналогично можно сказать, что КТП — это квантовая механика систем с бесконечным числом координат. Существует большой класс теорий поля, в которых это бесконечное чис- число координат тривиально. В этих теориях можно так переопределить пере- переменные, чтобы они подчинялись независимым уравнениям движения. Тогда с виду сложная система полей распадается на бесконечное число простых независимых систем. Это, конечно, возможно в так называемых линейных теориях, хорошим примером которых является теория электромагнитно- электромагнитного поля A.4); в этом случае новыми координатами будут коэффициенты фурье-разложения А: A.9) Подставляя это разложение в A.8), получаем уравнение для коэффициентов,
Гл I КТП язык и цели 17 которые есть просто уравнения Ньютона для гармонических осцилляторов с частотами ±с|к|: 9?a,(k,t) - (скJ (st] - ?ф-\ а, (к, 0 = 0, A.10) где а = (ai,a2,a3). Смысл этого преобразования становится особенно понятен, если мы поместим нашу систему полей в «ящик» с линейными размерами Ьг (г = = 1,..., D) с периодическими граничными условиями. Тогда наше к-про- странство станет дискретным: ь 2ж к, = —пг J-II (п, — целые числа). Таким образом непрерывная теория электромагнитно- электромагнитного поля в координатном пространстве принимает вид дискретной теории независимых гармонических осцилляторов в k-пространстве. Квантование такой теории очевидно: нужно проквантовать осцилляторы и классическая теория перейдет в квантовую. Однако не всегда все так просто. Представьте, что действие A.4) содержит кубические члены по производным А; это про- происходит для электромагнитных волн, распространяющихся в нелинейной среде, где скорость света зависит от величины поля Е: с2 = (сЦп) + a(dtAf. A.11) В этом случае уже нельзя разделить уравнения Максвелла на независимые уравнения гармонических осцилляторов. Мы уже говорили, что КТП можно представлять как квантовую механи- механику с бесконечным числом степеней свободы. Бесконечности всегда создают сложности, не только принципиальные, но и технические. В физике высо- высоких энергий эти сложности особенно серьезны, но в физике твердого тела нам повезло больше: здесь редко приходится иметь дело с системами, где число степеней свободы действительно бесконечно. Число электронов и ионов всегда конечно, хотя и очень велико. Если бесконечность действи- действительно появляется, сперва нужно попробовать сделать ее счетной Мы уже знаем, как это делается: система помещается в «ящик» и выполняется пре- преобразование фурье-полей. В физике твердого тела этот «ящик» не вообра- воображаемый, а реальный. Другой естественный способ сделать число степеней свободы конечным — ограничить систему на решетке. И вновь, в физике твердого тела решетка действительно существует. Обычно КТП имеет дело с универсальными характеристиками явлений, т. е. с теми характеристиками, которые не зависят от деталей решетки. Поэтому КТП описывает непрерывный предел многочастичной квантовой механики, другими словами, предел на решетке при а —> 0, Lt —> оо. Мы увидим, что этот предел не всегда существует, т. е. не все явления физики твердого тела имеют универсальную природу.
18 Введение в методы Ч. I Давайте забудем на время о возможных сложностях и будем рассмат- рассматривать КТП просто как квантовую механику систем с бесконечным чис- числом степеней свободы. Накладывает ли «бесконечность» дополнительные требования? Да, потому что она делает КТП статистической теорией. КТП имеет дело со статистически усредненными квантовыми средними. Таким образом в КТП мы усредняем дважды. Объясним это подробней. Кванто- вомеханическое среднее оператора A(t) определяется так: A.12) где \q) — собственные состояния, и коэффициенты Cq не фиксированы. В КТП обычно рассматриваются системы в термодинамическом равновесии, т. е. предполагается, что коэффициенты при волновых функциях подчиня- подчиняются распределению Гиббса: C*qCp = ±e-0E«5qp, A.13) где C = 1/Т. Другими словами, усреднение в КТП включает квантовоме- ханическое и гиббсовское усреднения: Есть и другое языковое отличие между квантовой механикой и КТП. В квантовой механике все выражается в терминах волновых функций, а в КТП мы обычно имеем дело с корреляционными функциями и производящими функционалами этих функций. Полезно в самом начале ввести определе- определения этих понятий. Для начала рассмотрим классическую статистическую систему. Что такое корреляционная функция? Представим сложную систе- систему с взаимодействием как «черный ящик». Можно изучать отклик этого черного ящика на внешние возмущения (см. рис. 1.2). Стандартной мерой таких откликов является изменение внутренней энергии 5F = F[H(x)] - F[0]. В принципе функционал 5F[H(x)} содер- содержит всю доступную информацию о системе. Экспериментально обычно измеряются производные свободной энергии по значениям поля, взятым в разных точках. Единственная формальная трудность состоит в том, что число точек бесконечно. Тем не менее, ее можно обойти с помощью дискре- дискретизации пространства, как это было сказано выше. Поэтому мы представим наше пространство в виде набора маленьких ящиков объема ?1 с центра- центрами в точках хп (вспомните предыдущее рассуждение!), считая, что поле Я(х) постоянно внутри каждого ящика: Я(х) = #(хп). Теперь функцио- функционал можно рассматривать как предельный случай функции от большого, но конечного числа аргументов F\H\ — limn_>o F{H\,..., Я)
Гл. 1 КТП. язык и цели 19 Рис. 1.2. Изучение откликов «черного ящика» Сделав такое разбиение, определим величины, называемые корреляци- корреляционными функциями: A.15) Напомним, что операция 5F/5H называется вариационной производ- производной. Видно, что это простое обобщение частной производной на случай бесконечного числа переменных. Вообще, если в физике нам встречаются бесконечности, мы можем приблизить их очень большими числами, так что не беспокойтесь из-за таких вещей, как вариационные производные и функциональные интегралы (см. ниже), —это простые обобщения частных производных и кратных интегралов! Функции отклика можно измерять экспериментально, по крайней мере
20 Введение в методы 4.1 в принципе (см. рис. 1.3). Зная их, можно восстановить весь функционал, пользуясь разложением Тейлора: x)] = Y.h ¦ ¦ ¦ Я(хп)х n))). A.16) Рис. 1.3. Функции отклика можно измерять экспериментально Чем ситуация в КТП отличается от классической? Во-первых, как мы уже видели, в КТП мы усредняем в квантовомеханическом и термодина- термодинамическом смыслах, но что еще важнее, величины М(х) теперь являются операторами, и результат усреднения зависит от их упорядочения. Как из- известно из курса элементарной квантовой механики, операторы подчиняют- подчиняются уравнениям движения Гейзенберга: где Н — гамильтониан системы. У этого уравнения есть решение: A(t) = e -it/Г'Я A(t = 0)e" A.17) A.18) Для описания систем в термодинамическом равновесии используется мнимое или так называемое мацубаровское время iT = th'1. Его смысл станет ясен в дальнейшем.
Гл. 1 КТП язык и цели 21 Предположим, что А — возмущение к нашему гамильтониану Н. Тогда это возмущение изменит уровни энергии: а значит и свободную энергию: Теперь я покажу, что во втором порядке теории возмущений это изменение свободной энергии можно выразить в терминах корреляционных функций. Давайте сделаем несколько подготовительных определений. Рассмотрим оператор Л(х) и его эрмитово сопряженный А+(х). Введем обобщение этих операторов, зависящее от т: A.20) где мацубаровское время лежит в интервале 0 < г < /3. Далее определим корреляционную функцию двух операторов: т\ > т2; {z-1Tt[e^Ai(r2)x2)i(r1,x1)]-(i(r2,x2))(i(rbx1)>}, Т2 > Т\ ¦ A.21) Если А — фермиевский оператор, то в верхней строке надо взять знак «—». Нужно сделать важное замечание. Операторы называются бозевскими, ес- если они образуют замкнутую алгебру относительно операции коммутации, и фермиевскими, если они образуют замкнутую алгебру относительно ан- антикоммутации. Фраза «замкнутая алгебра» означает, что коммутатор (или антикоммутатор) операторов из определенного множества тоже принадле- принадлежит этому множеству. То есть спиновые операторы на решетке ^"(г) (а = = х, у, z) образуют замкнутую алгебру относительно коммутации, потому что их коммутатор равен либо нулю (г ф г'), либо спиновому оператору. Может показаться, что случай S = 1/2 — особый, потому что матрицы Паули на одном узле также подчиняются правилам антикоммутации
22Введение в методы и можно выбрать альтернативное определение их статистики. Однако это неверно, потому что операторы на разных узлах всегда коммутируют, а их антикоммутатор никогда не равен нулю. Предположим, что нам известны все собственные функции и энергии системы. Тогда можно переписать все вышеприведенные средние явно в этом базисе. Результат таков: 2 е mn х п,т <?(т2 - Ti)eB»'"T111], A.22) где Т\2 = т\ — Т2, xi2 = xi — Х2. Мы использовали свойства собственных значений: етЙ\п)=етЕ"\п), Последнее свойство верно только для трансляционно инвариантных си- систем, для которых собственные состояния Н одновременно являются соб- собственными для оператора импульса Р. Теперь можно убедиться, что изме- изменение свободной энергии записывается в терминах корреляционных функ- функций: в 0 0 P5F = \ йт{А(т)) -\\ dr^ dr2D{TUT2). A.23) О 0 0 Поэтому корреляционные функции одинаково важны в классических и квантовых системах. Продолжим изучение парной корреляционной функции, определенной в A.21) и A.22). Эту парную корреляционную функцию обычно называют функцией Грина в честь человека, который впервые ввел подобный объ- объект в классической теории поля. Из их определения следуют два важных свойства. Во-первых, функция Грина зависит от т= (ti - т2), которое лежит в интервале -Р <т < р. Во-вторых, для бозевских операторов функция Грина периодическая: D(r) = D(r + p), (t<0), A.24) а для фермиевских — антипериодическая: D(t) = -D(t + 0), (t<0). A.25)
Гл I КТП язык и цепи 23 Эти два условия позволяют написать фурье-разложение функции Грина: ^(r,x12) = /3-1 f] [-0D(w.,k)e-«-T+lkx", A.26) где a, k) = Bn)D n,m <5(k-Pmn) _ >г-л p(n,m)(k) x iw _ ^—= / „ -^ ?.— \l-zl) для бозе- и для ферми-систем. Итак, мы получили функцию, определенную на комплексной плоско- плоскости ш в точках ш = iws. Можно аналитически продолжить ее на верхнюю полуплоскость (например). Тогда получим функцию n,m)(k) 10 ' A.28) - Pmn), аналитическую в верхней полуплоскости ш. У этой функции есть два заме- замечательных свойства: (а). Ее полюса в нижней полуплоскости дают энер- энергии переходов Етп, которые несут информацию о спектре гамильтониана, (Ь). Можно выразить обычную функцию Грина через запаздывающую: D(wa,k) = --\ 7Г J dy Ш, - У A.29) Как будет видно в следующих главах, это соотношение очень удобно для практических вычислений. Мы видим, что квантовый случай особенный из-за «времени» т. Лю- Любопытно, что квантовые корреляционные функции обладают разными пе- периодическими свойствами в плоскости т в зависимости от статистики. Мы оценим глубокий смысл этих свойств в следующих главах. Может сложиться ошибочное впечатление, что в КТП мы обречены иметь дело со странным мнимым временем и не можем делать предсказа- предсказаний о динамике в реальном времени. Дело в том, что «время» т удобней;
24 Введение в методы Ч. I для равновесных систем динамические (т.е. зависящие от реального време- времени) корреляционные функции связаны с термодинамическими следующими соотношениями: , (бозоны); A.30) ?>Д„„Н = ReD(R)(w) + itanh (|М ImD{R)(u), (фермионы). A.31) Доказательство этих соотношений можно найти в любом учебнике по КТП, я не буду тратить на это время. Эти соотношения удобны, если наша процедура вычислений дает функ- функции Грина в частотно-импульсном представлении. Но это не всегда так. Иногда мы можем работать только в реальном пространстве (см. главу об одномерных системах). Тогда лучше не вычислять сначала D(\wn) и за- затем аналитически продолжать ее, а пропустить этот промежуточный шаг и выразить запаздывающие функции прямо в терминах D(r). Для этого вос- воспользуемся соотношением между термодинамической и запаздывающей функциями Грина, которое следует из A.22) и A.28): D_(r) = -- f w тг J (здесь верхний знак соответствует бозонам, а нижний — фермионам). Из A.32) следует оо D+{t)-D-{t) = ~ \ dxlmD{R\x)e-TX, A.33) J — оо откуда можно найти Im D^ (и): ^(it + e) -D+(i? + e)]e""f. A.34) = I f Если у вас возникло чувство, что корреляционные функции слишком абстрактны, переходите к следующей главе, в которой приведен простой пример. Это типично для всех новых понятий: поначалу они выглядят неоправданно сложными, и нужно время, чтобы понять, что на самом деле они сильно упрощают жизнь тем, кто их выучил. Чтобы продемонстриро- продемонстрировать связь с реальностью, я опишу несколько экспериментальных методов, которые измеряют некоторые корреляционные функции более-менее прямо.
Гл. 1 КТП: язык и цепи 25 1. Рассеяние нейтронов. Будучи нейтральными частицами со спи- спином 1/2, нейтроны в твердом теле взаимодействуют только с магнитными моментами. Это могут быть моменты как ядер (ионов), так и электронов. Поэтому рассеяние нейтронов — очень удобный способ изучения динамики решетки и электронного магнетизма. В эксперименте по рассеянию нейтро- нейтронов измеряется дифференциальное сечение, которое прямо пропорциональ- пропорционально сумме ионного и электронного динамических структурных факторов SH(ui,q) и >SM(w,q). Ионный структурный фактор является двухточечной динамической корреляционной функцией экспонент смещений ионов и (см. Appendix N в книге Ашкрофта и Мермина): ShK q) = ~Y1 e-iq(r-r/) f ^(exp[iqu(r)] ехрНЧи(г')])е-г A.35) r,r' J (N — полное число ионов в кристалле). Если смещения гармонические, выражение для 5И можно упростить: оо ^exp{qaqb{{ua(t,r)ub@,0))- г -оо - (ма@,0)мь@10))]}е1шг-1чг. A.36) Электронный структурный фактор равен мнимой части динамической магнитной восприимчивости: A.37) 2. Рассеяние рентгеновских лучей. При рассеянии рентгеновских лу- лучей измеряется тот же ионный структурный фактор плюс еще несколько важных корреляционных функций. В металлах поглощение рентгеновских лучей определенной частоты ш пропорционально электронной плотности состояний р(ш). Она равна ^VV^q), A.38) где G(w, q) — одноэлектронная функция Грина. Можно уточнить картину, измеряя поглощение рентгеновских лучей при фиксированных углах. Со- Соответствующий метод называется «рентгеновской фотоэмиссией с угловым разрешением» (ARPES), он напрямую измеряет величину Im Gaa (to, q).
26 Введение в методы Ч. I 3. Ядерный магнитный резонанс и сдвиг Найта. Образец помещают в наложенные постоянное и переменное магнитные поля. Резонанс наблюда- наблюдается, когда частота переменного поля совпадает с величиной зеемановского расщепления ядер. Магнитная поляризация электронов меняет эффектив- эффективное магнитное поле, действующее на ядра, а значит и величина зеема- зеемановского расщепления меняется. Сдвиг резонансной линии {сдвиг Найта) пропорционален локальной магнитной восприимчивости: ДЯ/Я- Y)F(g) lim ReX(R)(^Q), A-39) где F(q) — J]a cos(qa) — структурный фактор данного ядра. Более де- детальное обсуждение можно найти в книге Абрикосова «Основы теории металлов». 4. Мюонный резонанс. Это метод измерения внутренних локальных магнитных полей. Поэтому он позволяет определить, находится ли образец в магнитноупорядоченном состоянии. Проблема магнитного упорядочения может быть очень сложной, если порядок сложный, как в геликоидальных магнетиках или в спиновых стеклах, где каждый спин заморожен вдоль собственного направления. 5. Отражение инфракрасных лучей. Если инфракрасное излучение падает из вакуума перпендикулярно поверхности среды с диэлектрической проницаемостью е, коэффициент отражения г дается формулой г = A.40) Чтобы выразить е через коэффициент отражения воспользуемся соотно- соотношениями Крамерса-Кронига. Для этого нужно знать г(ш) в широком диа- диапазоне частот, что является недостатком метода. Диэлектрическая прони- проницаемость e(aj,q) напрямую связана с парной корреляционной функцией зарядовой плотности: Щи, q) = ((p(-w, -q)p(w, q))>. A.41) Ее мнимая часть пропорциональна электрической проводимости: 1тб = — Кеа. A.42) UJ Поскольку волновой вектор фотонов очень мал q = ш/с, метод эффективно измеряет физические величины при нулевых q. 6. Рассеяния Бриллюэна и Рамана. В этом эксперименте образец об- облучают лазером фиксированной частоты; из-за нелинейности среды часть энергии переизлучается на различных частотах. Поэтому спектр отражен- отраженного света содержит «спутники», интенсивность которых пропорциональна
Гл. 1 КТП: язык и цепи 27 корреляционной функции дипольных моментов или спинов (свет взаимо- взаимодействует и с теми, и с другими). Рассеяние с малым сдвигом частоты происходит от бесщелевых возбуждений (таких, как акустические фоно- фононы или магноны) и называется бриллюэновским рассеянием. Для сдвигов частоты порядка нескольких сотен градусов основной вклад дают высоко- высокоэнергетические возбуждения, например, оптические фононы; этот процесс называется романовским рассеянием. На практике эта экспериментальная техника ограничена измерениями при нулевых волновых векторах. 7. Поглощение ультразвука. Измеряется та же корреляционная функ- функция плотностей, что и при поглощении света, но q уже не должен быть мал, так как фононы могут иметь практически любой волновой вектор.
ИНТЕГРАЛЫ ПО ТРАЕКТОРИЯМ Чтобы наше обсуждение корреляционных функций не было слишком абстрактным, давайте рассмотрим простой пример. Посколысу вся квантовая механика начинается с гармонического осцил- осциллятора, я использую тот же пример (рис. 2.1). Соответствующий гамильто- гамильтониан имеет следующий вид: 2М+ Мш°? .2-2 [х,р] = ih. B.1) Давайте применим методы предыдущей главы и посчитаем квантовомеханиче- скую корреляционную функцию B.2) Следуя стандартной процедуре квантовой механики, мы вводим операторы рожде- рождения и уничтожения: B.3) Рис. 2.1. Маятник удовлетворяющие коммутационным соотношениям бозонов B.4) Гамильтониан, выраженный в этих операторах, приобретает вид Н = Пшо{А+А+1/2), а нормированные собственные состояния n = B-5)
Гл. 2 Интегралы по траекториям 29 где состояние |0) определено, как уничтожаемое оператором А: А\0) = 0. Теперь можно определить операторы, зависящие от «времени»: А(т) = етЙАе-т" = е-Пш°тА „ . . B-6) А{т) = етНА+е-тН = ehwaTA+ (заметьте, что А(т) не является эрмитово сопряженным с А(т)!). Подставляя B.6) в A.21), мы получаем следующее выражение для функ- функции Грина: ) = в(п - т2)(х{п)х(т2)) + в(т2 - h 2Мш0 h 2Мш0 В этом выводе были использованы следующие простые свойства: (АА) = (А+А+) = о, (АА+) = 1 + (А+А). Полученное выражение для функции Грина, очевидно, удовлетворяет таким соотношениям: Г>(г)=?>(-т), D(-t)=D[P + t), B.8) которые позволяют разложить ее в ряд Фурье как периодическую функ- функцию т на интервале @, /3): п = l s M B.9) Теперь я собираюсь показать, как такое же выражение для Ds может быть получено другим способом. Большое преимущество процедуры, ко- которую я собираюсь изложить, состоит в том, что она не использует таких неудобных вещей, как временное упорядочение, операторы и так далее, которые кажутся неизбежными атрибутами квантовой теории.
30 Введение в методы Ч. I Остальная часть этой главы и несколько следующих глав почти полно- полностью основаны на следующем замечательном равенстве: Рис. 2.2. Элементарный гауссов интеграл Почти все остальное есть просто обобщение этого равенства на многомер- многомерные интегралы. Давайте притворимся, что мы забыли о квантовой механике и рассмот- рассмотрим задачу классической термодинамики, а именно задачу о классической струне в «желобе». Представьте себе замкнутую струну, лежащую на плос- плоскости. Давайте введем координату вдоль струны 0 < т < L и поперечные флуктуации Х(т) с очевидным граничным условием Энергия струны в параболическом потенциале дается выражением о где М и wo — просто удобные обозначения для коэффициентов. Описанная задача кажется не связанной с предыдущим обсуждением квантового осциллятора. Но очевидность обманчива, и, как я собираюсь показать, существует глубокая связь между этими двумя задачами. Давай- Давайте рассмотрим термодинамическое распределение вероятности. Из стати- статистической механики мы знаем, что вероятность состояния с энергией Е описывается распределением Гиббса: dP(E) = |e-E/T <Ш, B.11) где dil — объем, занимаемый состоянием в фазовом пространстве. Чтобы определить этот объем, вспомним некоторые факты о метриче- метрических пространствах. В метрическом пространстве можно определить рас-
Гл.2 Интегралы по траекториям 31 стояние между двумя точками. JV-мерное евклидово пространство с опре- определенным скалярным произведением — хороший пример метрического пространства. В таком пространстве можно ввести ортогональный базис векторов: Рис. 2.3. Струна в «желобе» Любую векторную функцию координат можно представить в виде а элемент объема есть dfl — dxi... Принадлежит ли наша функция Х(т) метрическому пространству? Да, как периодическую функцию на интервале (О, L) ее можно разложить в ряд Фурье: es(r)Xs, B.12) exp Фурье-гармоники дают ортонормированный базис в бесконечномерном пространстве действительных периодических функций. Расстояние меж- между двумя функциями Х\{т) и Х2(т) определяется так: Р2(ХЪХ2) = - X2(r)}2 , B.13)
32 Введение в методы 4 1 а скалярное произведение, соответствующее такому определению расстоя- расстояния, имеет вид ь (Х1,Х2)=\йтХ1{т)Хг{т). Фурье-гармоники ортогональны в следующем смысле: (es,ep) = Ss+Pfi. Поэтому можно определить меру: B.14) B.15) B.16) где Xs — коэффициенты в разложении Фурье-функции Х(т). Подставляя B.12) в выражение для энергии B.10), получаем Е = y B.17) B.18) Теперь, использую полученное распределение вероятностей, посчитаем парную корреляционную функцию = [ dP[X}X(rx)X{r2) = L s't2)/L]x , B.19) где Полученный гауссов интеграл является простым обобщением интеграла на рис. 2.2. Легко видеть, что он не равен нулю только если s + s' — 0: -I -1 ' MA,
Гл. 2 Интегралы по траекториям 33 Поэтому имеем (Л(П)Х(Г2)) = -T77> ,4- /M2.l,.,2 • С20) Это выражение поразительно похоже на выражение для квантовой функции Грина B.9)! Это отражает эквивалентность между КТП и статистической механикой, упомянутую в первой главе. Таким образом классическое и квантовомеханическое описание связаны: они описывают разные объекты (в данном случае осциллятор и струну), но одинаковым способом. Из того, что мы выяснили, можно составить следующий «словарь»: Таблица 2. \ Квантовый осциллятор Функция Грина 0(т12)(ж(гО*(г2)) + 0(г21)(ж(т2)ж(г1)) Гамильтониан Н 2М ' 2 Обратная температура Постоянная Планка п Классическая струна в «желобе» Коррелятор (Ж(г2)ж(г1))ги66с Энергия ^ М ( dx\2 MojIx2 2 (dr) ' 2 Длина окружности L Температура Т Чтобы убедится, что мы действительно имеем дело с эквивалентностью, а не с простым совпадением, давайте сосчитаем еще одну физическую величину — статистическую сумму. Для классической струны имеем (8)-1/2, B.21) B7TS/L)'2}. B.22) Поскольку такая сумма расходится, удобнее посчитать ее производную ОО ^Г= 2^ ^-кг^/ь)" B'23) S= —ОО которая сходится. Чтобы посчитать сумму по s, используем стандартный трюк: перепишем сумму в виде контурного интеграла около полюсов coth(Lz/2): , 2 .^ /г,а1 = ~Loth(Lz/2)-^^. [wg + B7rs/LJ] 4i7r J ' a;g - z1 2 Заказ № 1083
34 Введение в методы Ч. I Перенеся контур С на полюса z = ±и>о, получаем = -^coth(woL/2), B.24) ]nZ = In Z0 + ln(l-e~Lu°), B.25) где Zq линейно зависит от L. Теперь вспомним, что L на квантовом языке означает обратную температуру, а термодинамический потенциал имеет вид ft JL/ Таким образом из B.25) получаем е-Пио/Т). B.26) Это хорошо известное выражение для гармонического осциллятора. Таким образом эквивалентность сохраняется. Упражнение Рассмотрим систему одномерных акустических фононов. Ее можно представить как систему гармонических осцилляторов с частотами w{q) = = с|<?|, где q — волновой вектор фонона. В этом случае функция Грина зависит не только от времени, но и от пространственной координаты у. Посчитайте корреляционную функцию скоростей: ((dTlx(Ti,y)dT2x(T2,0))) = - J ^J"yd2TD(T,q), B.27) — оо где г = т\ - Ti и ?>(т, q) дается выражением B.7) си>0 — c\q\. Ответ: {cot[nT(T + ix/c)] + соЬ[кТ(т - ix/c)]}. B.28) 2Мс Этот результат тесно связан с материалом, изложенным ниже в ч. 4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМА ВИКА В предыдущей главе мы рассматривали эквивалентность между кван- квантовой механикой точечного осциллятора и классической статистической механикой одномерной замкнутой струны. Теперь я обобщу эту эквива- эквивалентность как эквивалентность между D-мерной КТП и (?> + 1)-мерной статистической механикой. Предположим, у нас есть квантовомеханическая система при темпера- температуре $~1. (На этом этапе мы не будем различать квантовую механику конеч- конечного числа частиц и КТП, рассматривая последнюю как частный случай) На классическом уровне наша система описывается функцией Лагранжа L(xnjxn), где хп — обобщенные координаты. Квантовая теория поля для такой систе- системы может быть сформулирована на языке классической статистической механики для другой системы при температуре ft, энергетический функ- функционал которой связан с классическим лагранжианом исходной системы: пр E = - C.1) Эту эквивалентность следует понимать как равенство упорядоченных по времени квантовых корреляционных функций и корреляционных функ- функций классической системы: ...?„„ (таг ))ктп = Dxn(r)xn, х exp hp ft | drL о ¦¦•xnN(Tff)x up hp 1 / Г hp 1 \ -1 \ drL x I fz)xn(r)exp tT1 | drL j . C.2) о J V L о J/ Здесь мы используем обозначение Dx(t) для бесконечномерного интеграла (интеграла по траекториям), введенного в предыдущей главе. Предполага- Предполагается, что мы интегрируем по всем гармоникам функции х(т) с соответ- соответствующей мерой (например, B.18)). Коротко напомним, что такое лагранжиан. В квантовой механике мы обычно имеем дело с гамильтонианом, который имеет смысл энергии, вы- выраженной через координаты и импульсы: Н = Е(Рп,хп).
36 Введение в методы Ч. I Из гамильтониана можно определить скорости • _ дн и выразить Н через скорости и координаты: Я->Я(г„,1„). Лагранжиан определяется следующим образом: L = Y^Pn{im, хт)хп - Н(х, х). В качестве примера рассмотрим систему нерелятивистских частиц, взаи- взаимодействующих потенциальными силами. Тогда мы имеем Следуя определению лагранжиана, получаем Наконец, подставляя мнимое время г = —it, имеем Е = -L(-\xn,xn) = 2_, -у ( -jp I + и(хг,. ..xN). Выглядит как начальный гамильтониан, но только в этом конкретном слу- случае! Дальше мы столкнемся с более сложными примерами, особенно в главах, посвященных спиновым моделям. В дальнейшем я буду полагать h = fcB = 1 и называть величину р S = - <1тЬ(-\±п,хп) «термодинамическим действием» или просто «действием». Давайте изучать корреляционные функции. В главе 1 объяснялось, что корреляционные функции можно представить в виде функциональных про- производных свободной энергии по внешнему полю. Давайте продолжим эту тему. Пусть нас интересует корреляционная функция некоторой физической
Гл.З Определение корреляционных функций 37 величины М, зависящей от обобщенных координат: М = М(х). Можно представить эту корреляционную функцию как функциональную производ- производную так называемого производящего функционала Z[fi]', Z\H] = | Dxn(r) exp | -S + | dr ]Г Нп(т)М{хп(т)\ 1. C.3) Его производные называются приводимыми корреляционными функциями: 6Z[H] >6Нп(т) (МП2(т2)МП1(тг)) = (MnN (rN)MnN_l (глг_1)... Mni ( я=о 52Z[H] н=о 6NZ[H] !6Нп„(тк)...5Н,п(п) C.4) и т. д. Н-0 Обратите внимание на различие между этим определением и определением неприводимых корреляционных функций, данным в главе 1. Последние обозначаются ((...)) и определяются следующим образом: 5N In Z[H] 5HA)...SH{N) C.5) я=о Из определений C.4) и C.5) можно вывести соотношение между этими типами корреляционных функций. Давайте сделаем это по шагам: Последнее равенство следует из 62lnZ[H] _ S \\ 5Z <5ЯA)<5ЯB) я=0 ЩТ) 1 6Z 6Z Zm{lMH{2) , C.6) 'Помещая переменную Я в квадратные скобки, мы подчеркиваем, что Z[H\ является функционалом от функции Н{х).
38 Введение в методы Ч. I Дифференцируя дальше, получаем + 2(МA))(МB))(МC))ит.д. Теперь перепишем третье уравнение в терминах неприводимых функций: (МA)МB)МC)) = Теперь можно вывести следующее общее правило: ... M(N)) = N C.7) Его справедливость можно доказать по индукции. Теперь давайте применим полученные знания к какой-нибудь практи- практически важной теории поля. Лучше начать с чего-то простого. Например рассмотрим теорию свободного массивного скалярного поля, описываемую следующим действием: C'8) где рг = 2пщ/Ц (i = l,...,D), Ф(р) = J dr dDxei"»Te-ipx$(r)x). В физике высоких энергий эта модель известна как модель Клейна-Гордона. В физике твердого тела она описывает длинноволновые оптические фоно- ны. Мы будем изучать действие C.8) в евклидовом пространстве-времени )
Гл. 3 Определение корреляционных функций 39 Введем производящий функционал для полей Ф: Z[r,\ = [П <*Ф(р)ехр \~^Ф{-р){р2 + тп2)Ф(р) + ^г](-ртР)\ р I v р J C.9) Этот интеграл является произведением простых гауссовых интегралов и может быть сосчитан сдвигом переменных, который устраняет из экспо- экспоненты член, линейный по Ф: Ф(р) = Ф(р) + (р2 + тп2)-1^), C.10) = inz[o] Применяя определение неприводимой корреляционной функции C.5), най- найдем, что единственная отличная от нуля неприводимая корреляционная функция — это парный коррелятор: ((Ф(-р'Щр))) = 62lnZ 3.12) В силу общей теоремы C.7) любая iV-точечная приводимая корреляци- корреляционная функция представляется в виде суммы всех возможных произведений двухточечных неприводимых функций (теорема Вика): )»- C-13) Справедливость теоремы Вика совершенно не зависит от того, как мы определили корреляционные функции. Мы можем делать это, используя интеграл по траекториям или старомодное определение с временным упо- упорядочением — теорема верна в любом случае
СВОБОДНЫЙ БОЗОН ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ Давайте рассмотрим ситуацию, которая возникает во многих приложе- приложениях. Пусть свободное скалярное поле, введенное в предыдущей главе, взаимодействует с каким-то другим полем (или полями) /. Полный произ- производящий функционал принимает вид Z\t)\ = ?)/?)Ф ехр -_фЛ(/)ф + D.1) где A(f) — некоторый линейный оператор, действующий на Ф, и5[/] — действие для поля /. Поскольку функциональный интеграл гауссов, можно проинтегрировать по Ф (по крайней мере, в принципе) и получить результат, зависящий только от / и rj: р \-S\f] - ^ D.2) Теперь можно принять 5эф[/, г)} за новое действие для поля / и забыть о Ф. Давайте обсудим предложенную процедуру подробнее. Во-первых, вспо- вспомним, как считать гауссов интеграл. Для упрощения сделаем пространство- время дискретным. Тогда все операторы станут матрицами, и мы получим ФЛ(/)Ф = ? Ф„Л(/)птФт. D.3) п,т Функциональный интеграл становится многомерным интетралом: ?„ ехр п,т D.4) Чтобы посчитать этот интеграл, сделаем сдвиг переменных, который уберет член, линейный по Ф: Поскольку сдвиг не влияет на меру интегрирования, получаем /[/, 77] = ехр п,т D.5) D.6) Оставшийся интеграл /[/, 0] обладает свойством D.7)
Гл.4 Свободный бозон во внешнем поле 41 Чтобы проверить это свойство, разложим Фп по собственным векторам мат- матрицы А. В таком представлении показатель экспоненты в D.4) становится диагональным, что делает интегрирование тривиальным. Пользуясь замечательным равенством lndeti = Trlni, D.8) получим из уравнений D.6) и D.7) следующее выражение для эффективного действия: S*[f,v] = S[f] + \ TVlni(/) - \vA~\ D-9) Для ситуации, с которой мы до сих пор имели дело (свободное скалярное поле, определенное в плоском пространстве-времени), приведенное опре- определение достаточно строгое и допускает переход к непрерывному пределу. Действительно, непрерывное пространство-время становится дискретным в импульсном представлении, и все дифференциальные операторы стано- становятся матрицами. Однако нужно быть осторожным при работе с искривлен- искривленным пространством-временем; соответствующие задачи будут обсуждаться далее в этой главе. Давайте рассмотрим простой пример скалярного поля в плоском про- пространстве-времени, подчиняющегося действию C.8) с дополнительным членом где Mw) = [-%+™2+vm{D+i)(t - а, D.Ю) а ? обозначает пространственно-временную координату. Обратная к А мат- матрица обычно называется функцией Грина оператора А и удовлетворяет следующему уравнению: ~д2а +т2 + К@№ О = 5(°+1\? - Г). D.11) При V = 0 это уравнение просто решается с помощью преобразования Фурье: где ?12 = ?,—?,'¦ При конечном V можно представить D.11) в следующем виде: D.13)
42 Введение в методы Ч. I а затем записать решение в виде разложения: D.14) Это разложение удобно представлять в графической форме (см. рис. 4.1). Рис. 4.1 Волнистые линии представляют поле V, а сплошные линии соответ- соответствуют функциям Грина Go (?1 - ?2) • Мы интегрируем по всем координатам вершин. Такое же разложение можно написать для Tr In G (см. рис. 4.2). Рис. 4.2 Разложение такого вида называется разложением по петлям. Функция V используется как малый параметр. Квазиклассическое приближение Во многих приложениях мы имеем дело с ситуацией, когда V меняется сильно, но на большом интервале, т. е. медленно (дальше станет ясно, какое количественное соотношение соответствует слову «медленно»). В этом случае нам нужно разлагать не по степеням V, а по его градиентам. Этот подход называется «квазиклассическим приближением». Для констан- константы V = Vq решение D.11) имеет вид
Гл. 4 Свободный бозон во внешнем поле 43 Оно экспоненциально убывает на больших расстояниях (М2 = т2 + Vo). Поэтому в теории есть естественный пространственно-временной мас- масштаб М, и все изменения можно рассматривать на этом масштабе. Мед- Медленное изменение потенциала означает, что относительное изменение на расстоянии М, на котором функция Грина меняется сильно, мало, т. е. М -1 VV «1. V Затем можно предположить, что G(?i, ?2) быстро меняющаяся функция от я = 6 ~ & и медленно меняющаяся функция от В действительности, поскольку ?i входит в уравнение для функции Гри- Грина несимметрично, удобнее рассматривать функцию Грина как функцию от ?i — ?2 и г = ?i и представлять ее так: ). D.15) Подставляя это выражение в D.11), мы получаем новое уравнение для G(p.r):1 [р2 + т2 + V(r)]G(p, r) + [2ipVr - Ar}G(p, r) - 1. D.16) Это уравнение можно решить, как и раньше, методом итераций с един- единственным отличием: теперь «хвосты» в диаграммном разложении представ- представляют операторы: Л - 2ipVr - ДГ) а затравочная функция Грина дается выражением В качестве упражнения вычислим TrG и TrlnG с точностью до (VVJ. Из D.16) находим 3Vyj = -G0[2ipVr - Ar]G0(p, r) = 2iGgpVrV + G0ArG0, = -G0[2ipVr - Ar}G^ « 4GoPVr[Go3pVryj. Всюду в этой книге мы используем обозначение V2 = Д.
44Введение в методы Здесь мы использовали равенство VGo = -GqVV. Первая поправка к TYG имеет вид = J dr J B^"[2iGoPVrV + GoArGo] = Вторая поправка равна '. D.19) j j \<-n) Таким же образом TrinG = (pWJ 1 (WJ 1 ^ 5 (p2 + m2 + VL 4 (p2 + m2 + K В главе 7 нам понадобится выражение для эффективного действия при D + 1 = 4, т2 = О, У = Ф2,. Простое вычисление в этом случае при- приводит к l) = -i TrlnG = } dr [^(УФоJ + D.21) где а порядка периода решетки. Элементы дифференциальной геометрии В дальнейшем нам потребуются некоторые понятия и выражения из диффе- дифференциальной геометрии. Для удобства я приведу здесь необходимые опре- определения и коротко их поясню. Если читателю покажется, что этот раздел слишком сложен, то он может продолжить чтение с главы 5. Как мы уже видели, использование интегралов по траекториям требует знания элементов геометрии искривленных пространств. Существует две возможности: либо наши поля определены в искривленном пространстве- времени (см. пример D.37) ниже), либо они принадлежат к кривому мно- многообразию (см. примеры нелинейных сигма-моделей в следующих главах). Естественно, обе ситуации не могут сосуществовать. Может возникнуть мысль, что искривленные пространства появляются только в космологии, а
Гл. 4 Свободный бозон во внешнем поле 45 не в физике конденсированного состояния, однако это не так. Элементарный пример искривленного пространства —- деформированный кристалл. Есть менее тривиальные примеры, некоторые из них будут подробно обсуждать- обсуждаться в последующих главах, особенно в части 4, где мы будем пользоваться элементами римановой геометрии при анализе A+1)-мерной конформной теории поля. Тем не менее чаще бывает, что пространство плоское, а мно- многообразие, на котором живут поля, искривлено, то есть вторая возможность встречается чаще. В любом случае, риманова геометрия нам необходима. В главе 2 мы уже обсуждали пример метрического пространства, ко- когда было введено понятие интеграла по траекториям. Утверждалось, что метрическое пространство — это пространство, в котором для любых двух точек ?ь?г можно определить скалярную функцию /э(?ъ?2), называемую расстоянием. Далее обсуждалось одно конкретное метрическое простран- пространство — евклидово. Теперь мы будем рассматривать общее метрическое пространство. Его геометрические свойства характеризуются так называ- называемым метрическим тензором даь, он связывает расстояние между двумя бесконечно близкими точками ds с их координатами: ds2 = gab dxa dxb. D.22) Примеры 1) Цилиндр радиуса R в полярных координатах: ds2= dz2+R2dcjJ, 2) Двумерная сфера радиуса R в сферических координатах: ds2 = R2{de2 +sm2ed<j>2). Систему координат можно выбирать по-разному: для каждого выбора метрический тензор будет своим, но расстояния остаются инвариантными. Пусть уа — новые координаты, так что хп=Ха(У1,...,уо). D.23) Подставляя это выражение в D.22), получаем , о дХсдХ , п , h т.е. новый метрический тензор имеет вид - , , дХс D-24) D.25)
46Введение в методы Необходимо ввести обратный метрический тензор ^ееЬГЧоь; 9аЬ9ьс = 6ас. D.26) Обратный метрический тензор оставляет инвариантной следующую диф- дифференциальную форму: даЬдаФдьФ, D.27) где Ф — произвольная скалярная функция. Как мы уже знаем, метрические пространства можно определять не только с помощью расстояний, но и с помощью элементов объема. Беско- Бесконечно малый элемент объема должен быть инвариантным по отношению к общим преобразованиям координат D.23) и D.25). Этому требованию удовлетворяет следующее определение: dQ. = y/gdx1... dxD, D.28) гдед = detg. Примеры 1) Цилиндр радиуса R в полярных координатах: dU = Rdz йф, 2) Двумерная сфера радиуса R в сферических координатах: Существует важный случай, когда наше искривленное пространство яв- является многообразием некоторой группы, т.е. оно инвариантно относитель- относительно преобразований некоторой группы Ли. Например одномерная единичная окружность х2 + х?, — 1 инвариантна относительно поворотов: где Матрицы Й.(ф) задают представление группы ?/A). Очевидный выбор си- системы координат в этом случае — полярные координаты: х\ = cos ф, Х2 = sin ф. Расстояние между двумя соседними точками дается выражением ds2 = dф2. D.30)
Гл. 4 Свободный бозон во внешнем поле 47 Важно, что такое же выражение может быть записано в не зависящей от представления форме: ds2 = ~1тг (Ft'1 dRR-1 dR). D.31) Это общее выражение определяет метрику многообразия группы в терми- терминах групповых переменных. Давайте рассмотрим другой важный пример — группу SUB). По определению группа SUB) состоит из преобразований, которые оставляют инвариантной комплексную квадратичную форму Уравнение R2 = z\zx + z^z2 D.32) задает сферу в двумерном комплексном (четырехмерном вещественном) пространстве. Можно параметризовать сферу следующим образом: гх = Подставляя эти выражения в элемент длины, получаем ds2 = dzi dz\+ dzX dz2 = -R2( d6i—2 dфdфcosв+ dф2+ dO2). D.34) 4 Элемент объема имеет вид dfl = —R I sin в\ d6 dф dф, D.35) 8 как и должно быть для четырехмерной сферы. Теперь выведем выраже- выражение D.34) из D.31). С этой целью выберем так называемую эйлерову пара- параметризацию группы SU{2): R = ехрI - фа2 \ ехр I - вах Iехр I - фа2 ) — V2 / V2 / V2 / D.36) где аа — матрицы Паули. Групповые координаты ф, в, ф принадлежат мно- многообразию, которое является сферой радиуса 2тг, и поверхность которой отождествлена с центральной точкой. Матрица R инвариантна относитель- относительно преобразований координат ф —> ф + 2тг, ф —> ф + 2тг, в —> в.
48 Введение в методы Ч. I Упражнение Получить D.34) при R — 1, подставив D.36) в D.31). Вообще, каждое групповое многообразие является метрическим пространством с инвари- инвариантной метрикой D.31). Одним из важных и общих принципов современной физики является принцип общей ковариантности. Согласно этому принципу законы физи- физики не зависят от системы координат. Для классической физики это означает, что действие должно быть ковариантно. Принцип общей ковариантности в КТП требует ковариантности производящих функционалов. Поэтому мы получаем объединенную симметрию действия и меры функционального интегрирования. Сначала обсудим ковариантность действия. Давайте рас- рассмотрим ковариантное обобщение действия C.8): D.37) Оно ковариантно при условии, что Ф не меняется при преобразованиях координат. Такие функции по определению скалярны. Давайте перепишем это действие в форме D.1), то есть чтобы все производные действовали на правую часть. Интегрируя по частям, получаем 2Л2 ФА(д)Ф = \ dDtvfgj?) \-<f>^L=da (у^ОЛф) +т2Ф21 , D.38) J?L V{0 v ' J откуда заключаем, что обобщение D.11) при V = 0 на искривленное прос- пространство-время имеет вид D.39) Таким образом мы определили инвариантное действие для скалярно- скалярного поля. Однако в физике мы имеем дело не только со скалярами, но и с векторами и тензорами разных сортов. Из хорошо известных физиче- физических полей векторный потенциал Ац является вектором, а его напряжен- напряженность F^,, — тензором. Нам нужно понять, как написать инвариантное действие для этих полей. С этой целью мы рассмотрим определение ко- вариантного тензора ДГ-го ранга Фаь...,а№- По определению такой тензор преобразуется так, чтобы форма $ai,-,aNdxai ... dxaN D.40) оставалась инвариантной. Каждый такой тензор имеет сопряженный эле- элемент, т. е. контравариантный тензор, определенный так: Фв1 ejv = ff°lbl ¦ - -ffajvbw*fcl,...,bw; D.41)
Гл. 4 Свободный бозон во внешнем поле 49 таким образом произведение Ф(?)Ф(?) является скаляром, т.е. оно инвари- инвариантно относительно преобразований координат. Можно перемещать индек- индексы тензора вверх и вниз, умножая его на обратный метрический тензор даЬ (вверх) или на метрический тензор даь (вниз). Мера функционального интегрирования должна быть ковариантной; со- соответствующее определение имеет вид D/x = БФБФ. D.42) Для скалярного поля, когда Ф = Ф, она упрощается до ОФ. Теперь обсудим обобщение операции дифференцирования. Нам потре- потребуется линейный оператор Da, удовлетворяющий двум условиям. Во-первых, в пределе плоского пространства Da = да. Во-вторых, если Фь — кова- риантное векторное поле, то .0оФ& должен быть ковариантным тензором второго ранга, т. е. при преобразованиях координат он должен преобразовы- преобразовываться как сам метрический тензор даь- Стандартные обозначения таковы: А,Фь = даФь - КЬФС, ваФь = даФь + гьсаФс, где Г — не зависящая от Ф матрица (операторы D линейны!). В диффе- дифференциальной геометрии эта матрица называется матрицей связности или символом Кристоффеля. Можно показать, что Пс = \ 9al {db9d + дс9ы - digbc). D.44) Проверьте, что при таком определении Г выражения D.43) будут обладать необходимыми трансформационными свойствами. Есть несколько свойств ковариантных производных, которые важно помнить: 1) матрицы Г не яв- являются тензорами, поэтому нельзя поднимать и опускать их индексы с помощью метрического тензора; и 2) для метрических пространств без «кручения» (т. е. в отсутствие дислокаций) матрицы связности симметрич- симметричны по нижним индексам: Г?ь = Г^а; и 3) для общего тензора с Р верхними и Q нижними индексами имеем Q 6=i 4) ковариантные производные метрических (обратных метрических) тен- тензоров равны нулю: Dagbc = 0.
50Введение в методы Ковариантной производной может быть преобразование дествием обратно- обратного метрического тензора Da = gabDb. Естественно, ковариантные (так же как и контравариантные) производнью не коммутируют. Проверим это с помощью операторов DaDb и DbDa, действующих на скалярную функцию /. Поскольку / скалярна, имеем Dbf = dbf, D.46) что уже является ковариантным вектором. Соответствующий контравари- антный вектор имеет вид gbTdTf, к нему можно применить D.43). Таким образом имеем Da8bf = dadbf - Tcabdcf D.47) и [Da,Db}f = Rkkabf, D.48) где Rib = (даГ?ь + rLn?) - (а *» Ь) D.49) называется тензором Римана. Из этого тензора получается два других важ- важных тензора: 1) Rab = Rkkab —тензор Риччи, 2)R — Raa — скалярная кривизна. Теперь мы можем сформулировать обобщение действия D.37) на тен- тензорные поля Ф'п) = ФП)...,,„: (% D.50) Отметим, что в плоском пространстве действия для скаляров и тензо- тензоров D.50) и D.37) совпадают. В двумерных пространствах, когда D = 2, ситуация сильно упрощается. Тензор Римана можно записать так: Rtb=\lllabR, D.51) где lab = Zab/yfg D-52) и eab — абсолютно антисимметричный тензор с ненулевыми компонентами ?12 = -С21 = 1.
Гл.4 Свободный бозон во внешнем поле 51 Теперь представьте, что наше двумерное пространство вложено в трех- трехмерное плоское пространство. Тогда скалярная кривизна R имеет очень простую интерпретацию: R = 2/rir2, где Г{ — два главных радиуса в этой точке (см. рис. 4.3). Рис. 4.3. Два главных радиуса двумерной поверхности в точке А Другое сильное упрощение происходит из-за того, что в двумерном пространстве всегда можно выбрать (хотя бы локально) систему координат, в которой метрический тензор диагоналей: ds2 = Например для сферы имеем и р = sin2 в. В такой системе удобно использовать комплексные координаты z = z — ?i - i?2 и переписать интервал так: ds2 = p(z,z)dzdz. D.53) D.54) Эта система координат называется конформной. Делая такой выбор, мы теряем общую ковариантность, но все еще имеем конформную инвари- инвариантность: аналитические преобразования z — }(z) сохраняют выраже- выражение D.54). Конформная параметризация сильно упрощает выражения для ко вариантной производной. Есть еще одно важное выражение для скаляр- скалярной кривизны: R=~p-1d2a]np D.55) (оно применимо только в конформной системе координат!).
52 Введение в методы Ч. 1 В конформных обозначениях действие D.50) становится особенно про- простым: dz йгр&п)\-р-(п+1)д{рпдфЫ) + ^- Ф<п)] D.56) (убедитесь, что для скалярного поля п = 0, это выражение согласуется с D.37)). Конечно, не много есть примеров искривленных пространств, в кото- которых D.39) допускает явное решение. Для т2 = 0 возможно решение с общим метрическим тензором в двумерном пространстве-времени. Мы об- обсудим этот пример позже, в главе 25 части 4.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. ФЕЙНМАНОВСКИЕ ДИАГРАММЫ В этой главе мы начинаем обсуждение разложения теории возмущений. Изложение будет сформулировано в графической форме, т. е. каждый член ряда теории возмущений будет представляться картинкой — фейнманов- ской диаграммой. В нашем выводе мы будем следовать методу интеграла по траекториям. Окончательные результаты и, в частности, общие правила построения диаграмм, основанные на теореме Вика, не зависят от конкрет- конкретного метода их вывода. Тем, кому объяснения покажутся неясными, мы рекомендуем прочесть старые классические книги. Чтобы сделать изложение менее абстрактным, я буду пользоваться кон- конкретным примером —так называемой О(ЛГ)-симметричной векторной мо- моделью, описываемой следующим действием: ¦w W\, E.1) где Ф = (<I?i,..., Фаг) — векторное поле с N компонентами, д > О, а опера- оператор V включает временные и пространственные евклидовы производные. Я выбрал ОGУ)-симметричную векторную модель в основном потому, что это относительно простой пример теории, обладающий неисчерпаемым богатством физических свойств. По этой причине его часто используют в образовательных целях; подробное изложение можно найти, например, в книге Зинн-Жустина (см. Общую библиографию). При изучении этой мо- модели мы рассмотрим такие важные понятия КТП, как спонтанное нару- нарушение симметрии, перенормируемость и скейлинг и многие другие. Такая модель — не просто математическая игрушка, она описывает реальные си- системы. В качестве классической модели это функционал Гинзбурга-Ландау, описывающий векторный параметр порядка вблизи фазового перехода вто- второго рода. В этом случае т2 ~ (Г — Гс)/Гс, где Тс — критическая тем- температура. Напомним, что два перехода, особенно часто встречающиеся в физике конденсированного состояния,— сверхтекучий и сверхпроводящий фазовые переходы — описываются моделью E.1) с N = 2; ферромаг- ферромагнитный фазовый переход соответствует случаю N = 3. Квантовая версия модели O(N) описывает, например, ангармонические оптические фононы или хиггеовские бозоны в физике высоких энергий. Разложение теории возмущений можно построить в координатном или импульсном пространстве. Поскольку мы сформулировали теорему Вика в импульсном пространстве, давайте сделаем это преобразование в том же представлении. После фурье-преобразования полей действие E.1) приоб- приобретает следующий вид:
54 Введение в методы Ч. I ?[*(-« + ?)*(« + ?)][*(-* - §)*(* - f )]• E-3) f Полагая m2 > 0, разложим корреляционные функции по степеням констан- константы связи д. В этом случае сложно продолжать анализ производящего функ- функционала в общем виде. Поэтому я буду говорить только о трех конкретных корреляционных функциях: собственно статистической сумме, двухточеч- двухточечной и четырехточечной корреляционных функциях. Разложение статистической суммы дается выражением Z[0] = | |^ ) (°°?пп( 11" \ Г ) / Величина E")о — 4п-точечная корреляционная функция (Фа1A)...Фа4пDп)>0, которую можно вычислить с помощью теоремы Вика, выражая ее в ви- виде суммы произведений двухточечных корреляционных функций. По при- причинам, которые станут ясны в дальнейшем, разложение для Z не самое простое. Оказывается, что проще изучать двухточечную корреляционную функцию = «Фа(-р)Фа(р)>> - d ФФ„(-р)Фв(р)[1 - gSi + A/2!)92S\ A/2!) g2S\ E.5) Как будет показано ниже, эта функция является «строительным кирпичем» для разложения свободной энергии. Согласно E.5), в первом порядке по д функция Грина дается выражением q,k',k х Фс(-к'- д/2)Фс(к'- q/2)) - (Фв(-р)Фа(р))<Фб(-* + 9/2)х х Фь(к + д/2)Фс(-к' - д/2)Фс(к' - q/2))\. E.6)
Гл. 5 Теория возмущений. Фейнмановские диаграммы 55 Второе слагаемое под знаком суммы возникло из разложения знаменателя. Давайте применим теорему Вика к этому среднему. Как вы знаете, нам нужно переписать его в виде суммы двух точечных средних, сделав все воз- возможные спаривания в исходном выражении. Каждый тип спаривания мы будем обозначать фейнмановской диаграммой. Из-за суммирования по вну- внутренним импульсам некоторые спаривания дают одинаковые выражения, и поэтому определенные фейнмановские диаграммы имеют численный мно- множитель. Для выражения E.6) имеем следующие спаривания: , E.7) где количество способов осуществления каждого спаривания показано с по- помощью фигурной скобки. Величина 5A — 1') представляет взаимодействие и содержит дельта-функции в изотопическом и импульсном пространствах. А а а в А а а а а в а б Рис. 5.1 Результирующие диаграммы показаны на рис. 5.1, где сплошными ли- линиями обозначены затравочные функции Грина ((Фа(У)Фа(р)» = 6(p'+p)G0(p), G0(p) = (P2 + m2), а линия из точек соответствует затравочной вершине взаимодействия. Ино- Иногда вершину обозначают точкой, но я предпочитаю оставлять ее линией, чтобы было легче следить за индексами. Соответствующее аналитическое выражение имеет вид p), E.8) = -9(N/2 E } 0 U l)
56 Введение в методы Ч1 Упражнение Проверьте, что во втором порядке по g получаются диаграммы, показан- показанные на рис. 5.2, и запишите аналитические выражения для них (некоторые из будут приведены ниже). 00 О /О, е ж Рис. 5.2 Можно показать, что диаграммное разложение для 2п-точечной корре- корреляционной функции подчиняется следующим правилам: 1. В каждом порядке нужно нарисовать все связные графы, состоящие из сплошных линий, соединенных «вершинными» линиями из точек, 2. Отсутствуют численные коэффициенты соответствующие порядку взаимодействия п, 3. Линиям из точек соответствует —д, кроме случаев, когда в диаграмме есть внутренние «циклы», как показано на рис. 5.1 (о), рис. 5.2(г,е,ж) (один цикл) и рис. 5.2 (в) (два цикла), которым соответствует -д/2. Пользуясь этими правилами, можно вывести несколько теорем для диа- диаграммного разложения. Во-первых, мы можем классифицировать все диа- диаграммы с двумя внешними линиями в соответствии с принципом Дайсона. Именно, будем различать диаграммы, которые можно (или нельзя) разре- разрезать по одной линии. Сумма диаграмм, которые нельзя разрезать по одной линии, называется собственно энергетической частью ?. Некоторые диаграммы, дающие вклад в собственно энергетическую часть, представлены на рис. 5.3. Полная одночастичная функция Грина является геометрической прогрессией (см. рис. 5.4): G0(p) + Go(pMp)Go(p) + G0(p)Z(p)G0(p)Z(p)Go(p) + ¦¦¦¦
Гл 5 Теория возмущений Фейнмановские диаграммы 57 О о е ж Рис. 5.3 Рис. 5.4. Уравнение Дайсона Аналитически эту прогрессию можно представить уравнением Дайсона: G{p) = G0(p) + Go(p)E(p)G(p), G-\p) = Gol(p)-Z(P)- E.10) Практически невозможно просуммировать все диаграммы и найти Е точ- точно. В общем случае возможны только частичные суммирования. Поэтому нужно выяснить, какие диаграммы дают наибольший вклад и сложить сна- сначала их. Нахождение таких диаграмм всегда требует навыка. В последую- последующих главах мы приведем несколько примеров. Полное диаграммное разло- разложение можно переформулировать в терминах точной функции Грина, т. е. перерисовать фейнмановские диаграммы жирными линиями вместо тон- тонких. Правила построения такого разложения почти такие же, как выше, с одним отличием: нельзя вставлять собственно энергетические поправки в линии. Действительно, это приведет к лишнему учету диаграмм, поскольку все возможные вставки такого вида уже сделаны. Поэтому такое разложение содержит только так называемые скелетные диаграммы (см. рис. 5.5). Раз- Разложение такого вида может быть полезным, если каким-то образом удастся найти в общем виде функцию Грина. Тогда уравнение Дайсона становит- становится не функциональным уравнением для Е, а алгебраическим. Один такой пример будет приведен в конце главы 7. Диаграммы на рис. 5.3 (в,г,д,з) содержат включения Е во внутренних линиях и поэтому не участвуют в этом разложении. Разложение с жирными линиями переводит уравнение Дайсона в нелинейное уравнение для G.
58 Введение в методы 4.1 О Рис. 5.5 Следуя тому же принципу, можно определить уравнение Дайсона для взаимодействия и ввести перенормированное взаимодействие — жирную линию точек D(q). На рис. 5.6 представлено такое уравнение Дайсона; цикл U(q) обозначает сумму всех диаграмм, которые нельзя разрезать по од- одной линии из точек. Некоторые диаграммы для H(q) приведены на рис. 5.7. D(q) = -9 - -9H(q)D(q), -1 E.11) Если и сплошные линии, и линии из точек — жирные, то в диаграммном разложении нужно оставить только так называемые «скелетные» диаграм- диаграммы (см. рис. 5.8). Рис. 5.6. Диаграммы уравнения Дайсона для D(q) Q Рис. 5.7. Диаграммы для поляризационного оператора ¦O<i Рис. 5.8
Гл.5 Теория возмущений. Фейнмановские диаграммы 59 оо ооо Рис. 5.9. Диаграммы с повторяющимися циклами ОО Рис. 5.10. Диаграммы для уравнения E.17) Иногда удобнее пользоваться фейнмановскими диаграммами в коорди- координатном пространстве. Различия в формулировке диаграммного разложения минимальны. Мы имеем те же правила, но интегралы выглядят по-другому. Именно, нужно ввести фурье-преобразование функции Грина: G(r - г'; г - г') = Г? { @е--«(—'Жк(г-г<)СК,к). E.12) Теперь в вершинах нет закона сохранения импульса, вместо этого нужно интегрировать по всем внутренним координатам. Например для диаграмм «головастик» и «раковина» (рис. 5.1) аналитические выражения соответ- соответственно имеют вид -- dxx dx2Gaa(xi,x1)g(x1 - - dxi dx2Gaa(x E.13) E.14)
60 Введение в методы Ч. I где д(х — у) = gS(x — у) и х = (г, г). Уравнение Дайсона в координатном пространстве записывается так: G(x, у) = G0(x, у) + | dx> dx"G0(x, х')Щх', x")G(x", у). E.15) Причина, по которой я не обсуждал разложение для свободной энер- энергии, заключается в том, что в этом случае нельзя сделать линии жирными, потому что диаграммы с разным порядком взаимодействия содержат раз- разные численные коэффициенты. Однако эту трудность можно обойти, если вместо свободной энергии F рассматривать ее производную х[Ф(-к-р/2)Ф(к-р/2)}). E.16) Таким образом задача о вычислении F сводится к задаче о вычислении четырехточечной корреляционной функции. Диаграммное разложение для нее не содержит численных коэффициентов. Разложение правой части E.16) по степеням д приводит к диаграммам, показанным на рис. 5.9 (до второго порядка по д). Они суммируются в такое выражение (см. рис. 5.10): =) + rWM1 E 17)
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИАГРАММНЫХ РЯДОВ. РАСХОДИМОСТИ И ИХ УСТРАНЕНИЕ В этой главе мы рассмотрим несколько типичных диаграмм в разло- разложении E.1) и обсудим некоторые общие проблемы, касающиеся теории возмущений в КТП. Мы описали, как корреляционные функции представляются в виде бес- бесконечных сумм, и теперь нужно проверить эти суммы на сходимость. Но оказывается, что даже отдельные слагаемые в этих суммах часто расходят- расходятся! Как мы узнаем в дальнейшем, существуют расходимости двух сортов: ультрафиолетовые и инфракрасные. В первом случае интегралы расходятся на больших частотах и импульсах, а во втором — на малых. Ультрафиоле- Ультрафиолетовые расходимости появляются в таких теориях, для которых затравочный спектр частиц неограничен. Их устранение представляет сложную идеоло- идеологическую проблему в физике высоких энергий, где неограниченный спектр е2 = р2с2 + (тс2J следует из лоренцевой инвариантности. В моделях физи- физики конденсированного состояния ультрафиолетовые расходимости не пред- представляют проблемы, но доставляют неприятности. Их наличие показывает, что непрерывное описание не является полным, т. е. поведение длинновол- длинноволновых флуктуации зависит от меньших масштабов. Конечно, это неудобно, потому что описание становится неуниверсальным. Обычно гораздо проще написать непрерывную теорию поля; для этого используют простые общие соображения, например, основанные на требованиях симметрии. Действи- Действительно обидно, когда такой прекрасный замок, построенный на чистых идеях, разрушается, и оказывается, что реалистичное описание требует тщательного изучения процессов, происходящих на масштабах решетки. Такие неприятные модели существуют в физике конденсированного состо- состояния, но есть и другие, в которых решетка не играет такой важной роли. В некоторых случаях ультрафиолетовые расходимости можно устранить, пе- перераспределив члены ряда теории возмущений. Я приведу несколько таких примеров ниже. Более полное обсуждение этой темы можно найти в книге Зинн-Жустина. Инфракрасные расходимости более интересны. Их появление всегда по- показывает, что неправильно выбрано затравочное основное состояние. На- Например, если электроны в металле притягиваются, то нельзя рассматривать их как невзаимодействующие частицы; настоящее основное состояние ор- ортогонально к основному состоянию невзаимодействующего электронного газа и потому не достигается теорией возмущений. Не существует универ- универсального рецепта для выбора правильного основного состояния. Иногда это сравнительно легко (как в обычных сверхпроводниках), иногда совсем не легко. На самом деле эта книга целиком о возможных последствиях
62 Введение в методы 4.1 инфракрасных расходимостей. Оставив этот вопрос до более детального обсуждения, я сейчас перейду к ультрафиолетовым расходимостям. Давайте рассмотрим диаграммное разложение для собственно энерге- энергетической части в теории Ф4. В нашем обсуждении я буду объединять две задачи: будут рассмотрены расходимости и рассказано, как вычислять ин- интегралы. В первом порядке по g имеем две диаграммы, представленные на рис. 5.1, и аналитические выражения E.9). Есть стандартный трюк для вычисления сумм по дискретным частотам, который мы уже коротко обсуждали в главе 2. Именно, нужно переписать сумму в виде интеграла в комплексной плоскости по контуру, охватываю- охватывающему точки z = 2'тТп (см. рис. 6.1 (а)): =-ibl^coth(^) F-1) Это возможно, потому что значение интеграла в правой части дается суммой вычетов в полюсах подынтегрального выражения. Рис. 6.1 Внутри контура находятся полюса функции coth(,z/2T); вблизи полюса имеем z\ 2Г coth [ — z - 2'mTn' Подынтегральное выражение имеет бесконечное число полюсов внутри контура и только два снаружи, в точках z — ±е. Теперь мы можем перетя- перетянуть контур на эти точки и получить следующий ответ: F.2) Это выражение расходится на больших |fc| для любого D > 0, т. е. мы имеем дело с ультрафиолетовой расходимостью как раз такого типа, какой сейчас обсуждается. Есть разные формальные методы устранения расходимостей, все они называются «процедурами регуляризации». Простейший из них —
Гл. 6 Методы вычисления диаграммных рядов 63 это ограничение нашей теории на решетку, как было описано в главе 1. В этом случае вместо непрерывных производных мы получаем дискретные: 1 135 El1-«»(ke)b где (е) нумерует ближайших соседей на решетке. После дискретизации вектор к лежит в конечной области D-мерного пространства. Эта область называется зоной Бриллюэна, ее форма зависит от выбранной решетки. Для гиперкубической решетки с шагом а зона Бриллюэна также является гиперкубом: —тг/а < ki < тг/а, D k2 ->• V[l - сов(Ъа)]. Таким образом интегралы по k-пространству обрезаются на больших вол- волновых векторах |k| w 1/а = Л и сходятся. Описанный метод регуляризации естественен для статистических моделей или моделей физики конденси- конденсированного состояния, которые действительно определены на решетке, но в физике высоких энергий его нужно рассматривать только как формаль- формальный метод вычисления интегралов, если результаты не зависят от периода решетки. Это не так для обсуждаемых диаграмм: 1 \gln(A/max{T,m}), D = \, т.е. зависит от решетки. Физические величины, зависящие от процедуры регуляризации, назы- называются неуниверсальными. Существует более широкий класс теорий, в ко- которых разложение теории возмущений можно переделать таким образом, чтобы неуниверсальные величины стали конечным набором параметров; векторная теория Ф4 — один из хороших примеров. Такие теории называ- называют перенормируемыми. Давайте рассмотрим функцию Грина Неуниверсальная диаграмма Т,\ не зависит от внешнего импульса; это при- приводит к мысли исключить ее из собственно энергетической части и вклю- включить в переопределение та2: G(p) = {р2 + [т2 - Е@)] - [ВД - Е@)]} -1
64 Введение в методы Ч_1 Теперь мы можем рассматривать т2 — Е@) как новый независимый параметр т2, неуниверсально связанный со старым. Проверьте, что диа- диаграммы рис. 5.1 не появляются для следующего действия: 1/Т - 2ФаФа(ФьФ6) - 2Фа(ФаФь)Фь)], F.4) где (...) обозначаетточноеусреднение. Единственная возможная трудность при такой процедуре состоит в том, что т2 (Т) зависит от температуры. Ес- Если эта зависимость тоже неуниверсальна, она вводит в теорию существен- существенный неконтролируемый элемент. Поэтому давайте проверим универсаль- универсальность температурной зависимости. Мы вычитаем из Ei ее значение при S, (Т) - ?, @) - -д(ДГ/2 + 1) f d°k 1 Utlx, - Этот интеграл определяется областью |k| к Т и поэтому не зависит от Л при Л -> оо. Таким образом температурная зависимость тп2(Т) универсальна, что хорошо. Однако нам еще нужно убедиться, что Е(р) - Е@) универ- универсальна. Давайте рассмотрим следующую диаграмму рис. 5.3 (в). Согласно нашему правилу, нужно вычесть из этой диаграммы ее значение при р = О, которое дает вклад в гп2(Т). Получаем F.5) g)G(k). Интеграл для П(д) сходится при D < 3, потому что G(-p + q)-G(q)<xl/q'i при q -> оо. Этот анализ можно повторить для высших диаграмм с тем же резуль- результатом: ничего не зависит от решетки при D < 3. Случай D = 3 является маргинальным, в том смысле что все диаграммы логарифмически зависят от Л. Эта медленная логарифмическая зависимость не опасна, поскольку зависят только от порядка величины Л, который легче оценить, чем точное значение. Большинство модельных теорий в КТП содержат логарифмиче- логарифмические ультрафиолетовые расходимости. Поэтому такая ситуация очень важ-
Гл. 6 Методы вычисления диаграммных рядов 65 на. Существует целая философия для таких теорий. Согласно этой филосо- философии модели с таким поведением описывают только низкоэнергетическую часть реальности, но описывают исчерпывающе. Верхний предел энер- энергий Л является элементом теории, который нельзя сосчитать ее методами, он определяется какими-то процессами на более глубоком уровне. Напри- Например в квантовой электродинамике (КЭД) нельзя сосчитать массу электрона те или электронный заряд. Масса электрона зависит от ультрафиолетового обрезания Л. Однако в пределах своей применимости КЭД вполне самодо- самодостаточна, а е и те — единственные параметры, принятые на веру. Таким образом мы поняли, по крайней мере в общих чертах, как об- обращаться с расходимостями на больших импульсах. Как я уже говорил, интегралы теории возмущений могут также расходиться на маленьких им- импульсах. В нашей теории такое может произойти только если т2 ^ 0. Как мы видели, параметр т2 (Г) зависит от температуры. Поэтому мы можем попасть в такую опасную область при изменении температуры. Случай строго отрицательного т2 < 0 будет рассмотрен в следующих главах, а случай т —> +0 обсуждается в главе 7. Давайте продолжим обсуждение интегралов. Я уже объяснил один трюк, но есть еще несколько. Когда работают с разложением теории возмущений, часто делается частичное суммирование диаграммных рядов. Например, давайте представим, что в нашей О (N) -симметричной векторной моде- модели N — большой параметр. Сосчитаем собственно энергетическую часть. Сначала нужно просуммировать диаграммы, содержащие максимальное ко- количество суммирований по j для данного порядка дп. Такие диаграммы для взаимодействия представлены на рис. 5.8. Главный член для собственно энергетической части дается скелетной диаграммой «радуга» рис. 5.5 (б). Диаграммы-«головастики» вида рис. 5.5 (а) перенормируют m , и их мож- можно не учитывать. Диаграммы рис. 5.5 (б) важны, потому что они меняют зависимость собственно энергетической части от импульса: Г F-6) Е J dDkG(-k + q)G(k) . Подставляя это взаимодействие в собственно энергетическую часть, полу- получим Е(р) - Е@) = -Г ? | -^± [D(p -q)- D(-q))G0(q). F.7) Последнее выражение можно переписать в упрощенном виде. Чтобы это сделать, воспользуемся общей теоремой о функциях Грина. Согласно этой теореме, которая объяснялась в главе 1, любую термодинамическую функ- функцию Грина можно выразить через запаздывающую функцию (см. A.29)).
66 Введение в методы Ч_1_ Пользуясь таким представлением для D(q), получим f dDk fiT^ Г ImDW(y,Q-k) \ J Щ*\ тг 2^\ d»(iWn - у)[_AП - iwnJ + jfc2 +m2]J ' F J F.8) Теперь гораздо проще проделать суммирование по частотам (Вы можете возразить, что мы не знаем D^R\ но нужно немного потерпеть). Пользуясь стандартными методами, описанными выше, получаем m2 iil-у- e(fc) - coth[e(p)/2T]} - {coth(t//2T)+coth[e(p)/2T]}), F.9) где e(fc) = Vк2 + rh2. Выражение F.8) можно еще упростить, если учесть, что для практиче- практических целей нужно знать только Im Е^д) (П). По этой величине всегда можно восстановить саму E(ifin). Поэтому мы можем сделать аналитическое про- продолжение if2n —>¦ $7 + Ю и воспользоваться равенством Затем, подставив F.9) в F.8) и взяв мнимую часть, получим - у - e)[coth(j//2T) + +соШ(б/2Т)]- - 6{п - у + e)[coth(t//2T) - coth(e/2T)]}. F.11) Интеграл по у легко берется и дает - е, Q - к) х [coth(e/2T) + coth(fi - e/2T)]- e,Q - fc)[coth(e + П/2Г) - coth(e/2T)]}. F.12) Это выражение еще упрощается в пределе Т ->¦ 0, когда [coth(e/2T) - coth(e + П/2Т)] -^ 20(-е - П).
Гл.6 Методы вычисления диаграммных рядов 67 В результате получаем e)-(u^-u)}. F.13) В нашем случае, когда теория является лоренцево инвариантной при Т — О, можно проделать вычисления в более общем виде. Из-за лоренцевой инва- инвариантности сама функции Грина и, в частности, собственно энергетическая часть зависят только от s2 = П2 — Q2. Поэтому нам не нужно вычислять интеграл F.13) при конечных Q, достаточно сделать это при Q — 0, а по- потом подставить П вместо s. Преимущество состоит в том, что мы можем проинтегрировать по углам: Im?(«>(s;T = 0) = -aD [ -^(е2 - m2)Dl2-lx х {ImD(R)(s - е, \/е2 - m2; T - OH(fi - е) - (П -> -П)}, F.14) где "и 4Bтг)^' a Sd — объем D-мерной сферы единичного радиуса. Теперь нам нужно вычислить перенормированное взаимодействие Г. Мы сделаем это только для Т = 0. На самом деле достаточно вычислить мнимую часть поляризационного оператора П^й'. Действительно, имеем + 11еП(д)J + AтП(д)J ' ' а действительную часть П можно восстановить по мнимой. Оказывается, что удобнее считать поляризационный оператор в координатном простран- пространстве. Действительно, в координатном пространстве нам не нужно интегри- интегрировать по импульсам: П(г - г') = NG2{r - г'). F.16) Поскольку G(r) различна для разных D, дальнейшие вычисления зависят от размерности пространства. Проверьте следующие выражения: Г Х0(т|г|)/2тг, D = 1; G{r) = < ехр(-т|г|)/4тг|г|, D = 2; F.17) [ Bтг2)-1[*2(™М) - K0(m\r\)}, D = 3,
68 Введение в методы 4.1 где Дальнейшие вычисления я буду делать при D — 2, когда они наиболее простые. Подставляя F.17) при D = 2 в F.16) и делая преобразование Фурье, получим ВД = A arctg (JL) . F.18) Чтобы найти запаздывающую функцию, нужно в полученном выражении сделать аналитическое продолжение ш = \у. Здесь я использую следующее тождество: arctg x = — In 2i Vs + i Результат имеет вид ImU{R)(y,k) = ЛГ ЛГ - А:2 In /у2 - к2 + 2т /у2 - к2 -2т F.19) Подставляя его в F.15), а затем F.15) в F.14), получаем следующее выра- выражение для мнимой части S при fi > 0: - ш2;Г = OH(s2 - 2es - 3m2), F.20) где Г дается формулами F.15) и F.19), а тета-функция получается из F.19). Разрешая неравенство s2 - 2es - 3m2 > 0, получаем s> е+ \/е2 + т2 F.21) и, поскольку 6 > т, собственно энергетическая часть не зануляется только если ?12 — к2 > 9т2. Ясно, что частицы рассеиваются на парных возбужде- возбуждениях, и для создания такого комплекса нужно превысить порог энергии Зт.
Гл. 6 Методы вычисления диаграммных рядов 69 Окончательно получаем (s/2-3m2/2s) = -aD \ ^lmD(R){s - е, у/е2 - rh2;T = 0). F.22) m Это интеграл в конечных пределах, и потому всегда сходится. Несложно посчитать его вблизи порога, когда s = 3m + х, х <С т. В этой области имеем е — пг + е', где 0 < е' < 2х/3 и Ren »-—г- In 16тгт Подставляя это в интеграл F.22), получим с логарифмической точностью Nx/Шт2 [2s-1 +Nln{m/x)/16nm}2 + (iV/16mJ Цель всех этих утомительных вычислений состоит в демонстрации ти- типичных процедур и методов. Пользуясь аналитическими свойствами функ- функции Грина, мы смогли получить аналитическое выражение для бесконечно- бесконечного ряда диаграмм и, таким образом, пришли к нетривиальному результату для физически наблюдаемой величины Е'й' F.24).
7 РЕНОРМГРУППОВАЯ ПРОЦЕДУРА Тема этой главы — наиболее красивые и глубокие понятия в КТП — понятия критичности, перенормировки и скейлинга. Эти понятия приме- применимы к системам, не имеющим естественного внутреннего масштаба. В теории, которую мы до сих пор обсуждали — О(Лг)-симметричная вектор- векторная модель — такой масштаб есть: обратная масса то. Корреляционные функции экспоненциально убывают с расстоянием (или временем), боль- большим чем то. Кроме того, в теории есть внешние масштабы: большие масштабы 1/Т и размер системы и маленький масштаб а — период решет- решетки. Если у нас есть внутренний масштаб, мы можем сравнивать с ним все внешние воздействия на систему и качественно определять их силу. Если же представить, что то ->• 0, кажется что система становится самоподобной на всех масштабах. Приведем пример того, что называется самоподобием. Этот пример взят не из физики, а из социальной сферы. Рассмотрим такую почтенную си- систему как армия. Армия имеет иерархическую структуру, представленную в виде набора подразделений различного размера. Вся эта система объ- объединена на принципах старшинства званий и подчинения младших званий старшим. Эти принципы определяют порядок отношений между людьми внутри каждого подразделения любого размера. Такие отношения практи- практически одинаковы между солдатом и сержантом в самом маленьком подраз- подразделении, между сержантом и лейтенантом отделения, между лейтенантом и капитаном роты и т.д. Поэтому можно сказать, что иерархическая структура в армии самоподобна. Однако самоподобие не является свойством иерар- иерархической структуры. Например, если мы рассмотрим классы общества, то обнаружим, что отношения в различных классах отличаются. В последнем случае есть определенные внутренние масштабы, но в армии таких мас- масштабов нет. Конечно, отношения в армии подобны на всех уровнях, но не одинаковы! Это тоже очень важно; отношения постепенно меняются по мере повышения званий. Легко представить, что полковники и генералы относятся друг к другу больше как коллеги, чем как начальники и под- подчиненные, и напротив, трудно вообразить такие либеральные отношения между солдатами и их сержантами. Тем не менее отношения изменяют- изменяются непрерывно таким образом, что можно определить отношения на более высоком уровне масштабировав их в зависимости от звания. Надеюсь, что читатель уловил суть предмета, который будет обсуждаться. Теперь давайте спустимся с небес военных дел на грешную землю КТП и посмотрим, как идеи самоподобия работают здесь. Еще раз обратимся к нашей верной О(N)-симметричной векторной мо- модели и рассмотрим предел т2(Т) —> 0. Что происходит в этом случае с диаграммным разложением? Я покажу, что: 1) некоторые диаграммы на- начинают расходиться на маленьких импульсах; поскольку это происходит только при D ^ 4, D — 4 называют «верхней критической» размерностью
Гл. 7 Ренормгрупповая процедура 71 Рис. 7.1 (а) и 2) степень расходимости существенно зависит от того, равна температура нулю или нет. Причины утверждения 2) заключаются в том, что при конечных Г ин- интегралы по частотам переходят в суммы f dqo а дискретные частоты в бозонных теориях включают u)s = 0. Поэтому если при D = 3 поляризационная петля и + р2][(« + (р - (рис. 7.2) расходится логарифмически при Г = 0 на малых импульсах, то при конечных Г та же петля расходится гораздо сильнее, а именно, как T/q (q — внешний импульс). Дополнительная расходимость происходит исключительно от члена с ws = 0. Поэтому если внешний импульс \q\<^T, то можно пренебречь вкладом от ненулевых частот и рассматривать наше поле как не зависящее от времени! Это изменение можно сделать в общем виде на уровне эффективного действия. Рассматривая поле Ф как не зависящее от времени, интегрируем
72 Введение в методы 4.1 Рис. 7.1 (б) по т и получаем 1/Т G.1) Таким образом в окрестности Т = Тс, когда «масса» т зануляется, бозонные КТП становятся эффективно классиче- классическими теориями при условии Тс > О! • • Давайте сделаем последнее подготовительное замечание. Как происходит переход т(Т) —> О? Рис. 7.2 При Т — 0 его можно сделать «руками», рассмат- рассматривая m как свободный параметр. При конечном Т зависимость от температуры Ш2(Т) не будет произвольной величиной. Она изменяется в зависимости от Т и может достичь нуля при каком-то конкрет- конкретном Т — Тс. Например в нашей теории в первом порядке по д имеем (N dDk coth 2Г -1 • Если m2 (T) -» 0 (то, что нам нужно!), то правая часть порядка T^D x\ т. е.
Гл. 7 Ренормгрупповая процедура 73 Теперь если т2@) < 0, мы видим, что т2(Т) положительна выше Тс = = [—rh2@)/a]1^D~^ и обращается в ноль при Т = ТС. Это значит, что ситуация т2(Т) —> 0 достигается при изменении температуры. Вполне может быть так, что при Гс происходит фазовый переход. Действительно, мы видим, что система не может просто пройти через точку Тс в область отрицательных гп2(Т), потому что в этой области наше разложение теории возмущений, основанное на положительности S@)' становится бессмысленным (вспомните, как мы оценивали все гауссовы интегралы!). Таким образом что-то фундаментальное должно происходить при Тс — фазовый переход. Поэтому вопрос, который нас интересует, ста- ставится так: что происходит вблизи фазового перехода? Мы уже видели, квантовая механика здесь не применима, в окрестности Гс мы имеем пол- полностью классическую задачу. Теперь давайте рассмотрим нашу теорию в D = 4 (конечная температу- температура) или в D = 3(Т = 0) при гп2(Т) —>• 0. В обоих этих случаях диаграммное разложение содержит логарифмически расходящиеся диаграммы, но более сильных сингулярностей нет! Эта медленная и скучная функция — In а; — как манна небесная для КТП. Существенно, что логарифмически расходя- расходящиеся интегралы можно оценивать с логарифмической точностью, т. е. не различая In а; и In ax, когда а порядка единицы. Пользуясь этим свойством, можно грубо разбить импульсное пространство на области различных им- импульсов: Л > |р| > Л2 > |р| > Л2 > •.. > |р| > 0. Это разбиение основано на том, что Л » Л! > Л2 > ... » 0 В этом подходе даже удобнее рассматривать 1п(Л„_1/Л„) - Ь(Л„/Л„+1) = d? как бесконечно малую величину! Сделав эти странные определения, мы можем вычислять наш интеграл по траекториям шаг за шагом (с логарифмической точностью!). В качестве первого шага нам нужно проинтегрировать по полю Ф(р) в пределах Л > > |р| > Л] и получить эффективное действие для Ai > |p|, на втором шаге мы интегрируем по области Ai > \р\ > Л2 и получаем эффективное действие для Л2 > |р| и т.д. Идея состоит в том, что эффективное действие
74 Введение в методы 4_f на n-том шаге будет таким же, как затравочное, но с другой константой связи <7AпЛ„). Таким образом мы разбиваем нашу меру П*ф«(р)= П ^«(р) П d*°(p)--- П <**«(?)••• Р Л>|р|>Л1 Ai>|p|>A2 Л„_!>|р|>Л„ G.2) и на первом шаге разбиваем поля так Ф«(х)= ? фаЫе1рх+ ? *«(p)eipI = *«(*) +Ф?(аг). G-3) Л>|р|>Л1 С точки зрения фа{х) поле Ф^а;) выглядит как очень медленный фон. Подставляя это разбиение в выражение для действия, получаем -... G-4) Линейный по ф член исчезает, потому что ф и ФС1 не имеют общих фурье- гармоник. Давайте введем обозначение А = 528/8Фс\(х)ёФс\(у) и проин- проинтегрируем по ф в функциональном интеграле: Z[r,] = exp (Ir/A-1^ Z{0], G.5) G.6) Так мы получили эффективное действие Si. Давайте проделаем эту процедуру для нашей теории. Имеем Б(ф + Фс) - 5(Фс1) = ^дрфаJ + ^(ф2а) + f [Ф1*2а + (фФе1J] + О(ф3). G.7) Квадратичный по ф член имеет вид \фАф = \^Фа{-Р)\Ыр2 + т2)+дВаЬ]фь{Р), р Bab = (Sab*2+ 2ФаФь). G.8)
Гл. 7 Ренормгрупповая процедура 75 Таким образом получаем Учитывая следующие соотношения: где я подставил затравочную константу связи д0. Интегрируя по импульсам, имеем 2 J BтгL р* + т* Л В 4 J B^L (р» + т2J ^ В получим из G.9) новое действие ^7^~Ш> G-Н) G.12) Gлз) при условии Ai 3> т, и Как я уже говорил, в теории ренормгруппы переменная d? = 1п(А„/А„+1) рассматривается как бесконечно малая. Цель такого представления состоит в представлении перенормировки в виде непрерывного процесса. Давайте посмотрим, как эта идея работает для константы связи д (пере- (перенормировка та2 будет обсуждаться ниже). Перепишем G.11) в виде диффе-
76 Введение в методы Ч. I ренциального уравнения: dg _ 2N + 8 = -° to*' ln(A/*)|m« = ln(A/m'). G.15) Отметим, что здесь есть неясность. Действительно, я определил это урав- уравнение таким образом, что его правая часть зависит только от перенормиро- перенормированной константы связи д(к) и не содержит затравочных параметров. Это гипотеза универсальности; такое определение согласуется с идеей пере- перенормировки. Уравнение G.15) является частным случаем общего уравнения ренормгруппы, называемого уравнением Гелл-Мана-Лоу: dg d ln(A/Jfc) д(к = А) = до, G.16) где /3(д) — функция Гелл-Мана-Лоу для данной теории. Ее обычно вычис- вычисляют пертурбативно, и теория возмущений дает 0(д) в виде разложения по степеням д. В нашем случае мы посчитали C(д) до второго порядка по д. Интегрируя G.16), получаем G-17) Р\У ) 90 Это уравнение можно переписать, объединив затравочные параметры в один параметр к0: F{g)=\n(ko/k), *0 = Ле*«Ч G.18) Если ко < Л, то он обычно задает масштаб перехода от одного режима к другому. В случае уравнения G.15) имеем 1 1 N + 8 -= — + —^-ln(A/fc). G.19) д до 87Н Мы видим, что при до > 0 перенормированная константа связи убывает на малых импульсах. Это подтверждает наше пренебрежение членами высшей степени в 0(д). Если затравочная константа связи отрицательна, до < 0, то перенормированная связь становится бесконечно сильной при ... Г 8тг к < к0 = Л ехр - —- это означает, что нельзя пользоваться теорией возмущений при к < к0. Причина неприменимости теории возмущений очевидна: в случае до < < 0 подынтегральное выражение в функциональном интеграле содержит
Гл. 7 Ренормгрупповая процедура 77 положительную экспоненту, и интеграл расходится. Строго говоря, полная теория в этом случае плохо определена. Теперь давайте вернемся к та2. Мы видим, что пертурбативные поправ- поправки для этой величины расходятся на больших импульсах. Это значит, что поведение та2 неуниверсально и определено в ультрафиолетовой области. На самом деле в длинноволновом пределе мы должны подставить вместо затравочного значения т2 перенормированное т* . Это новое т*2 неуни- неуниверсально, и нам остается только надеяться, что оно мало. Иначе процедура ренормгруппы не может продолжаться долго, поскольку все расходимости обрезаются на масштабе га*. Таким образом масштаб та* играет роль ин- инфракрасного обрезания. Давайте вернемся к уравнению Гелл-Мана-Лоу G.16). Оно имеет реше- решения трех типов. Первый тип поведения называется нуль-зарядом: констан- константа связи убывает на маленьких импульсах (больших расстояниях). Если та* = 0, константа связи просто зануляется для маленьких импульсов, и теория в этом пределе становится свободной. Как мы только что обсудили, такое поведение имеет место в D = 3 квантовой (D = 4 классической) <9(ЛГ)-симметричной векторной модели. Хорошо известный пример — пе- перенормировка электрического заряда в C+1)-мерной квантовой электроди- электродинамике: одиночный электрический заряд на больших расстояниях экрани- экранируется вакуумными флуктуациями электрон-позитронных пар. /3-функция типа нуль-заряда имеет качественно вид, представленный на рис. 7.3 а. Второй тип поведения называет- называется асимптотической свободой (см. рис. 7.3 б): константа связи растет на больших расстояниях. Это значит, что возбуждения с малыми импуль- импульсами взаимодействуют все сильнее. В теории, которую мы только что об- обсуждали, это происходит по простой причине: при д0 < 0 теория пло- плохо определена. Однако это не един- единственная возможная причина асим- асимптотической свободы. «Все счастли- счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчаст- несчастлива по-своему» (Лев Толстой «Ан- «Анна Каренина»). Теории с асимптоти- асимптотической свободой, наиболее интерес- интересные объекты в КТП, как и несчаст- несчастливые семьи в романе Толстого, все имеют свои собственные причины такого поведения. Некоторые такие теории будут обсуждаться в следую- следующих главах, когда я буду описывать различные непертурбативные методы, предложенные для этих теорий. Наконец третий тип поведения реализу- реализуется, когда /3-функция обращается в ноль при конечном значении д — д* (рис. 7.3 е). Тогда при т* = 0 перенормировка заканчивается в д*. Предпо- i a Рис. 7.3
78 Введение в методы Ч. I ложим, что около д* справедливо следующее разложение: 0(9) = -а(д-д*) + О[(9-д*)% G.20) Интегрируя уравнение Гелл-Мана-Лоу G.16) с такой /^-функцией, получаем \д(к)-д*\=С(к/А)а, G.21) где С — некоторая константа. Этот тип поведения называется критиче- критическая точка. Обычно степенное поведение константы связи приводит к сте- степенному поведению физических величин. Если критическая точка имеет место при конечной температуре Г = Тс, то перенормировка обычно за- заканчивается на масштабе т* ~ (Г — Тс)". Поэтому вблизи критической точки физические величины степенным образом зависят от (Т = Гс). Кри- Критические точки являются точками фазовых переходов второго рода. Мы будем работать с такими теориями ниже в этой главе и в последующих главах, особенно в части 4. Теперь давайте рассмотрим пример критической точки, а именно точки фазового перехода второго рода все в той же классической <9(ЛГ)-симмет- ричной векторной модели, но при D — 3. Мы будем считать, что N » ~$> 1 и рассмотрим подход, альтернативный ренормгруппе. Условие N ~3> 1 позволяет выбрать наиболее существенные диаграммы и сложить их. Ока- Оказывается, что в этом случае можно установить общую функциональную форму двухточечной функции Грина G(k). Это делает возможной работу с фейнмановскими диаграммами, содержащими точные функции Грина — жирные линии — и рассматривать разложение как самосогласованное урав- уравнение для неизвестных параметров в G (к). Нужно пояснить важную деталь. Самая общая форма G(k) дается уравнением Дайсона Поскольку мы находимся в точке перехода, Е@) = 0; также из-за лорен- цевой инвариантности теории собственно энергетическая часть зависит от к2 = к2. Теперь давайте предположим, что при малых к собственно энер- энергетическая часть убывает медленнее, чем к2. То есть существует масштаб ко, ниже которого fc-зависимость функции Грина полностью определяется взаимодействием и «забывает» о затравочной функции Грина. Это предпо- предположение выражает идею универсальности: физические свойства в крити- критической точке не зависят от деталей взаимодействия на малых расстояниях. Мы полагаем, что при к < к0 собственно энергетическая часть и функция Грина имеют следующий вид: Мы выбрали степенную зависимость, потому что в критической точке нет мас- масштаба, а это единственная зависимость, удовлетворяющая такому свойству.
Гл. 7 Ренормгрупповая процедура 79 Теперь наша цель состоит в проверке самосогласованности наших до- допущений и нахождении Z и т]. Как я уже говорил, мы будем пользоваться фейнмановскими диаграммами с перенормированными (жирными) лини- линиями. На рис. 5.5 представлены несколько таких диаграмм для собственно энергетической части, а на рис. 5.8 — для поляризационного оператора. Как мы знаем из главы 5, перенормированное взаимодействие D(q) имеет вид D(q) = - [«Г1 + ^П(в)] , G.23) где H(q) — сумма диаграмм, которые нельзя разрезать по одной линии из точек (см. рис. 5.8). Здесь мы также полагаем, что затравочное взаимодей- взаимодействие несущественно, т. е. что П(д) расходится на малых q. Легко проверить, что все диаграммы рис. 5.8 пропорциональны Z2q~l+2r>: q1'2n, G-24) где В — численный коэффициент, который зависит только от N и т]. Под- Подставляя этот результат в диаграммы для собственно энергетической части, получаем, что каждая диаграмма пропорциональна к2~п. Действительно, все Z сокращаются, т. е. наше предположение может быть самосогласован- самосогласованным. Почему «может быть», а не «является»? Потому что мы еще не наш- нашли г] и Z. Мы еще не использовали свойство N 3> 1; оно понадобится нам теперь, чтобы найти г\ в главном порядке по 1/JV. Первая диаграмма в правой части рис. 5.8 содержит максимальную степень N, поэтому в главном порядке по N имеем П(а) - ?*- f d*k - e-i+*.^?l f d4 W BтгK J fc2-"fk - q|2~" ~ ^ BttKJ fc2-"|k-np-7' П 25) где n — единичный вектор в направлении q. Чтобы получить последний интеграл, я сделал подстановку k = gk'. Таким образом в главном порядке по N получаем Последний интеграл посчитан в Приложении и дает результат BтгJБ(ЛГ, n) = \*2N + 0A). G.27) Подставляя его в выражение для собственно энергетической части, давае-
80 Введение в методы ЧI мое диаграммой рис. 5.5 (б), приходим к - Е@) =  д|^з J ^Р _ A(N,r,) 1 где BтгJА(ЛГ, т)) = — + О{1). G.29) щ Очевидно, условие самосогласования в этом порядке по N имеет вид 1 = A(N, v)/B(N, r,) = ^^ + O(N-2), G.30) откуда находим У применение Докажите результат G.29). Вьиислите следующую поправку к г], исходя из диаграмм рис. 5.5 (б, г) и 5.8 (е, г). Приложение ОО 7Г = 1 dk о о оо = 7J-1 I" 0 1 = [ dx(x~l+ri + х~1"")[A + х)" - A - ж)"] G.32) о Мы получили табличный интеграл; результат приведен выше.
8 О(ЛГ)-СИММЕТРИЧНАЯ ВЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ НИЖЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА Давайте обсудим, что происходит с О(лг)-симметричной моделью при т — —т2 < 0, когда ее действие имеет следующий вид: = J dDx ^0„Ф д,Ф - ^Ф2 + |Ф2Ф2) • (8.1) Очевидно, поскольку действие при g = 0 не является положительно опре- определенным, мы не можем разлагать корреляционные функции по степеням д. Это случай, когда взаимодействующая и невзаимодействующая системы об- обладают ортогональными основными состояниями. Поэтому нужна другая процедура. В качестве подготовки обсудим самый простой случай, именно D = 0. В этом случае мы можем вернуться от интеграла по траекториям к кван- товомеханическому описанию; квантовый гамильтониан для действия (8.1) дается выражением Этот гамильтониан описывает частицу единичной массы в ./V-мерной по- потенциальной яме У(Ф), где Минимум этого потенциала достигается при Ф с фиксированной длиной: Поэтому можно ожидать, что для определенных потенциалов уровни энер- энергии, отвечающие радиальным степеням свободы, лежат гораздо выше вра- вращательных уровней. Это предположение можно формально обосновать сле- следующим образом. Давайте выберем сферическую систему координат: Фа = Мпа, п2 = 1. (8.4) Тогда гамильтониан (8.2) принимает вид & = д»№-1м + f (м2 - тJ - ш*»> (8-5)
82Введение в методы где A'N — угловая часть оператора Лапласа. Угловая часть становится воз- возмущением при условии где JO) — ipo{M) — волновая функция основного состояния радиальной части гамильтониана, а Е\, Ео — первый и второй нижние уровни. Тонкая структура радиального основного состояния описывается угловой частью гамильтониана, усредненной по ¦фо(М): «- (8-6) ЯЭф — гамильтониан 0(.ЛГ)-симметричного ротатора. Он описывает низ- низшие энергетические уровни системы. Радиальное движение участвует в формировании спектра только через параметр Мо; во всем остальном мож- можно забыть о флуктуациях модуля. Можно сказать, что эти высокоэнергети- высокоэнергетические флуктуации отделены от низкоэнергетических. Перед тем как вернуться к квантовой теории поля с D > О, я сделаю следующее замечание. Угловая волновая функция основного состояния не зависит от углов, т. е. нет предпочтительного направления в изотопическом пространстве. Конечно, другого и нельзя ожидать от квантовомеханической системы; в квантовой механике основное состояние всегда имеет такую же симметрию, как гамильтониан. Я сделал это замечание только потому, что в высших размерностях мы увидим нечто совсем другое. Теперь обобщим процедуру разделения переменных на D > 0. Выбирая сферическую систему координат в Ф-пространстве Фа(х) = М(х)па(х), п2 = 1, (8.7) и подставляя (8.7) в действие и меру интегрирования, получаем следующее выражение для статистической суммы:1 = Im^n-1)(x)DM(x) 1вп(хN(п2(х) - 1)х х ехр{-5[М] - 5[n, M}}, (8.8) S[M] = | dr dPx | \ ( S[n, M] = [ dr dDx^-(dlindtln). Перекрестные члены в градиентном слагаемом исчезают из-за следующего свойства единичного вектора: 2п9п = дп2 = 0.
Гл. 8 О {N)-симметричная векторная модель ниже точки перехода 83 Теперь покажем, что как и в квантовомеханическом примере, 1) мо- модуль поля слабо флуктуирует около среднего значения, 2) взаимодействие между флуктуациями направления (поперечные флуктуации) и модуля (ра- (радиальные флуктуации) не приводит к сингулярным поправкам, и поэтому существует область параметров, в которой оно мало. Давайте сделаем сдвиг переменных в интеграле по траекториям: М(х) = Мо +-/(ж), где Мо определяется из условия 6\nZ 61{х) которое эквивалентно = 0, (8.11) ^] (8.12) Тогда статистическая сумма преобразуется так: Z = IdI{x) [т>п{хN(п3(х) - l)exp[-5i - 52 - 53], (8.13) Si = I" dr dDx Q<V<y + m*2lA , (8.14) 52 « ^- f dr dDx{dMndttn), (8.15) S3 = I dr dDx{(Mol + I212) : aMnaMn : - - (N - l)a-D[\n(l + //Mo) - l/Mo - l2/2Ml\ + 9M0l3 + gl*/4}, (8.16) где точки показывают, что вычтено среднее значение оператора. Логариф- Логарифмический член в действии появляется из-за члена Пх M^N~^(x) в мере интегрирования. Коэффициент т*2 определен так: »2 62laZ Условие (8.11) гарантирует, что не появятся члены, линейные по /; все квадратичные слагаемые по определению включены в го*2/2, и поэтому 53 содержит только члены высших порядков по L Давайте на время пре- пренебрежем взаимодействием между флуктуациями модуля и направления поля, описываемым членом 5з, и рассмотрим два действия (8.14) и (8.15)
84 Введение в методы Ч. I как независимые. Первое из них описывает модель свободного массивного скалярного поля, возбуждения которого имеют спектр Вторая теория нелинейна из-за геометрического ограничения п2 = 1. Кван- Квантование этой модели при D = 0 дает модель (8.6). Если мы на время за- забудем об этой нелинейности, то можно предположить, что модель (8.15) имеет бесщелевые возбуждения: е2(к) = к2. Этот результат резко противоречит квантовомеханическому примеру, описанному выше. Поэтому мы приходим к выводу, что существуют ситу- ситуации, когда нелинейность очень важна и обеспечивает наличие массовой щели. Давайте тем не менее предположим, что эта масса (если она появится) всегда много меньше, чем масса радиальных возбуждений т*. Тогда можно усреднить по радиальным модам и получить самосогласованное описание угловых флуктуации в терминах только поля направления п. Может ли взаимодействие 5з быть принципиальным препятствием? Нет, потому что соответствующее пертурбативное разложение содержит производные п и поэтому конечно в инфракрасном пределе. Есть только сильные ультрафио- ультрафиолетовые расходимости, но их можно устранить. Таким образом существует область параметров т2, g и а (период решетки), когда поправки от 53 приво- приводят только к перенормировке Мо, не изменяя формы самого эффективного действия. Поскольку эта перенормировка зависит от решетки, нет смысла здесь ее обсуждать. Таким образом для низкоэнергетических возбуждений у нас есть эф- эффективное действие вида нелинейной сигма-модели: S=^L\dT dDx(dtindlin), n2 = 1. (8.17) Как уже было сказано, эта теория описывает возбуждения с гораздо мень- меньшей энергией, чем энергии радиальных мод. Поэтому ее ультрафиолетовое обрезание равно массе радиальных возбуждений: Л = т*. М2 — перенор- перенормированная жесткость и, в общем, не совпадает с М2. Давайте считать, что поле п слабо флуктуирует около некоторого постоянного вектора е: (т2(ж))<1, ет = 0. (8.18) Если нам удастся показать, что флуктуации действительно слабые, то это будет означать нечто очень важное. А именно, что в волновых функциях появляется предпочтительное направление, которого не было в действии. Это называется спонтанный нарушением симметрии. Такого не было в квантовой механике, а существует только в теориях с бесконечным числом степеней свободы, т. е. в теориях поля. Все фазовые переходы второго рода
Гл. 8 0{И)-симметричная векторная модель ниже точки перехода 85 происходят с нарушением симметрии. Состояние с нарушенной симметри- симметрией характеризуется дополнительной величиной — в данном случае это е,— которая называется параметром порядка. Наши рассуждения приводят к предположению, что при т < 0 основное состояние О(Лг)-симметричной векторной модели нарушает О(Лг)-симметрию и характеризуется вектор- векторным параметром порядка е ~ (п(х)). Как мы увидим в дальнейшем, это нарушение симметрии происходит только в высших размерностях. Как ве- вероятно многие читатели знают, нарушение симметрии сопровождается по- появлением безмассовых частиц — голдстоуновских бозонов. Эти частицы описывают те флуктуации параметра порядка, которые не нарушают его симметрии. Они появляются только при нарушении непрерывной симмет- симметрии. В этом случае, поскольку проигрыш в энергии при однородных пово- поворотах нулевой, энергия флуктуации параметра порядка обращается в ноль при нулевом волновом векторе. Это означает, что такие возбуждения не имеют спектральной щели, т. е. они безмассовые. В нашем случае голдсто- уновские частицы описываются эффективным действием (8.17). Это эф- эффективное действие дает хорошее описание низкоэнергетических мод су- существенно ниже перехода, в области, где флуктуации модуля параметра порядка достаточно малы. Теперь давайте рассмотрим в деталях нарушение симметрии. Нам нуж- нужно проверить, что предположение (т2) <С 1 самосогласованно. Подстав- Подставляя (8.18) в действие (8.17), получаем Sm = ^-\ dr d° Мера интегрирования также меняется: Можно сделать меру интегрирования тривиальной, перенеся множитель [1 - т2(ж, т)]/2 в действие: 5+i) J dT d°xH\ - ma(a:)r)]. (8.21) Давайте предположим, что нелинейные члены в действии (8.21) малы и их можно учесть по теории возмущений. Тогда в нулевом порядке имеем (ma(-p)mb(p)) = M-2-?~^8ab. (8.22)
86 Введение в методы ЧI Отсюда получаем dDk 1 щ- (8-23) При конечных Т этот интеграл сходится для D > 2, а при Т — 0 он также сходится для D = 2. Давайте сначала рассмотрим случай D > 2, Т ф 0. Требование (т2) <С 1 можно удовлетворить при условии, что М2 достаточно велико: М2»(Л"-1)/а(с-1}. (8.24) В этом случае можно проверить, что диаграммное разложение для моде- модели (8.21) не содержит инфракрасных расходимостей. Таким образом ма- малость поперечных флуктуации сохраняется во всех порядках. Нелинейные члены в (8.21) дают поправку ~ М~2 к функции Грина (8.22). Важная деталь состоит в том, что возмущения не меняют сингулярного характера функции Грина (8.22) на малых ш и к; спектр возбуждений остается бесще- бесщелевым. Физически это свойство следует из факта непрерывности наруша- нарушаемой симметрии. Энергия системы не зависит от направления параметра порядка; с другой стороны, флуктуации m при к -> 0 являются однород- однородными поворотами параметра порядка е и потому должны иметь нулевую энергию (теорема Голдстоуна). Технически это физическое свойство про- проявляется в сокращении определенных диаграмм, и здесь изменение меры играет важную роль. Рис. 8.2 Действие (8.21) имеет вершины, изображенные на рис. 8.1. Есть два вида поправок к собственно энергетической части: содержащие производные на концах и потому пропорциональные к2, и не содержащие. Примеры диаграмм первого и второго вида приведены соответственно на рис. 8.2 а и б.
Гл.8 0(N)-ctiMMempu4HOH векторная модель ниже точки перехода 87 Упражнение В первых двух порядках проверить, что диаграммы второго типа со- сокращаются из-за наличия членов, произошедших из меры интегрирования. Теперь давайте вернемся к сложным случаям D = 1 и D = 2. Для D = — 1 интеграл (8.23) расходится логарифмически при Г = 0 и как Т/k при конечном Т. Поэтому верно следующее утверждение: Теорема I. Непрерывная симметрия не может спонтанно нарушаться в од- одном измерении.2 Для D — 2 (Т ф 0) интеграл (8.23) также логарифмически расходится. Это означает следующее: Теорема П. Непрерывная симметрия не может спонтанно нарушаться в двух измерениях при конечной температуре. При нулевых температурах явление спонтанного нарушения симметрии может происходить в двух измерениях. По этой причине двумерные маг- магнетики могут обладать спонтанной намагниченностью (или «шахматной» намагниченностью3) при Т = 0. В следующих главах я опишу состояние с т < 0 в обоих этих случаях. Сейчас я только хочу заметить, что эти описания различны для N = 2 и N > 2. Давайте рассмотрим случай N = 2. Ограничение п2 = 1 можно легко разрешить в явном виде: n = (cos a, sin а). (8.25) Подставляя это в эффективное действие (8.17), мы видим, что для а полу- получается действие свободного поля: S = ^- [ йт dDxdfMadlia. (8.26) Таким образом в этом случае, несмотря на то, что векторное поле п мягко флуктуирует и (п(х)) ос (exp[ia(x)]) = 0, спектр возбуждений остается бесщелевым, т. е. таким же, как в состоянии с нарушенной симметрией. Эта ситуация будет детально рассматриваться в части 4 этой книги. В сле- следующих главах я покажу, что при N > 2 спектр поперечных флуктуации обладает щелью. Чем же выделен случай N = 21 Оказывается, что различие 2Строго говоря, это утверждение верно только в отсутствие дальнодействующих сил. 3 В русскоязычной литературе нет устоявшегося эквивалента для английского термина «staggered magnetization», поэтому мы, на свой страх и риск, переводим его как «шахматная» намагниченность. Прим перев
Введение в методы Ч I чисто топологическое: ОB) — абелева группа, она содержит только ком- коммутирующие элементы — вращения двумерного евклидова пространства. Группы O(N) с N > 2 содержат некоммутирующие повороты /^-мерного евклидова пространства. Поэтому верно следующее утверждение: Теорема III. Двумерные системы с абелевой и неабелевой симметрией ве- ведут себя по-разному. Упражнение Примените процедуру, описанную в этой главе, к нерелятивистскому аналогу модели (8.1) — модели двумерных бозонов с отталкиванием: S = [ dr с12х[Ф+дТФ + -УФ+УФ - /хФ+Ф + ^з(Ф+ФJ]. (8.27) J 2 2 При /z > 0 бозоны конденсируются. Для D > 2 эта конденсация со- соответствует появлению ненулевого среднего (Ф). Какая симметрия нару- нарушена? Для D = 2 это среднее равно нулю, но корреляционные функции (Ф(х)Ф+ (у)) убывают по степенному закону. Рассмотрите следующие шаги: а). Перепишите интеграл по траекториям в радиальных и угловых пере- переменных. Какой выбор переменных правильный: Ф = reia или Ф = Почему? б). Повторяя процедуру, описанную выше, разделите быстрые и медленные переменные и получите следующее выражение: S = J dr d2x \лрдта + j- (VpJ + \p{Vaf + \g{p - p0J] • (8.28) Когда /i достаточно велико, радиальная компонента Ф слабо флукту- флуктуирует около ненулевого среднего значения <*/р0- Получите эффективное действие для р = р — ро- Пренебрегая высшими порядками в разложении по р, найдите парные корреляционные функции р и а. Ответ такой: ((р(-шп,-к)р(шп,к))) = ш" + 4" ((а(-шп,-к)р{ип,к))) = j-^ , (8.29) *« + 4* ((а(-шп,-к)а(шп,к))) =
Гл 8 0{И)-симметричная векторная модель ниже точки перехода 89 Получите из этих выражений спектр возбуждений. в) Получите явное выражение для парной корреляционной функции фаз ((а(т,х)а@,0))) в координатном пространстве. Какой член в сумме по частотам дает самый сингулярный вклад? Как это повлияет на поведение (Ф(х)Ф+@)) (если последняя часть слишком сложна для вас, обратитесь к главе 21)?
НЕЛИНЕЙНАЯ СИГМА-МОДЕЛЬ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ. РЕНОРМГРУППА И 1/ЛГ-РАЗЛОЖЕНИЕ Давайте посмотрим, что происходите годцстоуновскими модами в O(N)- симметричной векторной модели в одном и двух измерениях. Мы уже уста- установили, что в этом случае 0{N) симметрия остается ненарушенной. Тем не менее нелинейная сигма-модель (8.17) остается применимой при условии, что энергетический масштаб поперечных флуктуации много меньше, чем щель в продольных флуктуациях. Теперь мы увидим, будет ли это предпо- предположение самосогласованным. Сначала я буду обсуждать случай D — 1. Как к любой теории с сильным взаимодействием, к нелинейной сигма-модели нельзя применять теорию возмущений. Действительно, ренормгрупповые вычисления для O(JV)-He- линейной сигма-модели приводят к следующим уравнениям Гелл-Мана- Лоу для перенормированной жесткости:1 решение которого 22 (iV ~ 2) Ь(А/|*|) (9.2) М=М 27Г обращается в ноль при |*е| = Aexp[-27rM2/(W - 2)]. (9.3) Это показывает, что при \к\ < \кс\ нельзя пользоваться теорией возмуще- возмущений. Чтобы выяснить, что происходит при малых импульсах, нужно приме- применять непертурбативные методы. Это будет сделано позже в этой главе, а сейчас я хочу показать, что случай D = 2, Т ф 0 можно описывать той же схемой. Именно, я утверждаю, что главные сингулярности в D — 2 нели- нелинейной сигма-модели такие же, как в D = 1 нелинейной сигма-модели с затравочной жесткостью 1 Вывод можно найти в учебниках, например, в книгах Амита, Фрадкина и Зинн- Жустина.
Гл. 9 Нелинейная сигма-модель в двух измерениях 9\_ и ультрафиолетовым обрезанием Л ~ Т. Другими словами, утверждение состоит в том, что важны только независящие от времени конфигурации е. Действительно, B + 1)-мерное действие для таких конфигураций сводится к двумерному действию с новой жесткостью (9.4). Как мы знаем из фор- формулы (9.3), сингулярности в разложении теории возмущений находятся в области |*| ~ N ~ Л2?. ехр[-2тгМ2A> = 2)/Т(ЛГ - 2)] <С Т. (9.5) Тот факт, что \k\<g.T, означает, что эти сингулярности не возникают в диа- диаграммах, содержащих ненулевые частоты ш„ = 2тгТп > 2тгТ. В качестве иллюстрации этого утверждения рассмотрим следующий интеграл: |ТУ[ (96) B7ГJ к2 Г ZJ B7ГJ Ш1 + V ¦ ^-°; Расходимость содержится в члене с нулевой частотой. Пренебрегая кван- квантовыми флуктуациями, мы ограничиваем наше описание областью |А;| < < Т. По этой причине ультрафиолетовое обрезание для теории статических флуктуации имеет вид Лг?> ~ Т. Это рассуждение будет повторено в гла- главе 27, где я буду рассматривать приложения ОC)-нелинейной сигма-модели к теории магнетизма. Таким образом О(ЛГ)-нелинейная сигма-модель (9.7) описывает длинноволновые флуктуации векторного параметра порядка п в одном и двух пространственных измерениях. Такая модель является при- примером из более широкого класса нелинейных сигма-моделей с действием S = \ | d2x Gab(X) д„Хад„Хь (9.8) и мерой Сравнивая это выражение с (9.7), находим, что для О (N) -нелинейной сигма- модели Gab = Ml (sab + ~^j ¦ (9.9) Все эти модели имеют ясный геометрический смысл: подобно тому, как О(ЛГ)-нелинейная сигма-модель описывает поперечные флуктуации век- векторов, принадлежащих iV-мерной сфере, общая сигма-модель описывает
92 Введение в методы 4.1 флуктуации полей, определенных в гиперпространстве с метрикой Gof,. Это гиперпространство может появляться как внутреннее пространство некото- некоторого параметра порядка; тогда при низких температурах, когда продольные флуктуации малы (вспомните обсуждение в предыдущей главе), модель описывает флуктуации этого параметра порядка в поперечных направлени- направлениях. Для О(Лг)-нелинейной сигма-модели уравнение (9.9) описывает метри- метрику TV-мерной сферы радиуса Ми. Общая формулировка особенно хороша тем, что проявляет геометрические аспекты проблемы. Давайте посмотрим на уравнения Гелл-Мана-Лоу для нелинейных сигма-моделей, выведенные Фриданом [9.2] :2 dGab 1 „ 1 / „ d\n{A/k) 2тг а° 8tt2V ap где Rap-yr] — тензор Римана гиперпространства и Rab = Д^ь — тензор Риччи (см. обсуждение в главе 4). Последний связан с метрическим тензо- тензором и коэффициентами связности: dbGkc - dkGbc). (9.П) Уравнение (9.10) дает очень красивую картину: в процессе перенормировки изменение геометрии гиперпространства определяется только самой этой геометрией (см. рис. 9.1). Рис. 9.1 Мы можем изучать изменение не только константы связи, но и целой функции Gab- Конечно, в простом случае О(Лг)-нелинейной сигма-модели гиперпространство, описываемое метрикой Gab, это просто сфера и поэто- См. также формулу A4.85) в книге Зинн-Жустина издания 1993 года.
Гл. 9 Нелинейная сигма-модель в двух измерениях 93 му не меняется при перенормировке. Однако существуют модели, у которых метрика не такая простая (см. например, Фатеев и др. [9.1]). Из уравнения (9.10) можно получить общие условия для сильной связи. Именно, давайте предположим, что у нашего гиперпространства конечный объем и посмотрим, как этот объем перенормируется. Пользуясь равен- равенством (9.12) получаем из уравнения (9.10) du d ([ ,„„ ^\ =_4dfrXy/GR+0{R2)f (913) dln(A/k)\] — у 47Г где R = GabRab — скалярная кривизна, а N — размерность гиперпро- гиперпространства. Мы видим, что если скалярная кривизна положительна, то объ- объем уменьшается при перенормировке, что приводит к возможному коллапсу гиперпространства. Как правило неабелевы группы обладают замкнутыми групповыми многообразиями с положительной скалярной кривизной. По- Поэтому соответствующие сигма-модели всегда стремятся к сильной связи. Если гиперпространство двумерно (как, например, для 0C)-нелинейной сигма-модели), то уравнение (9.13) еще упрощается. В двух измерениях работает теорема Гаусса-Боне: I d2X^/GR=-87r(l-h), (9.14) где h — число ручек для данного замкнутого многообразия. Для сферы h = 0, и мы получаем из (9.13) d\n{A/k) (9.15) Для тора Л. = 1, и правая часть (9.13) обращается в ноль (в однопетле- вом приближении). Таким образом можно надеяться, что сигма-модели на торах — критические. Несомненно, тор можно представить в виде произ- произведения двух окружностей, т. е. его группа симметрии U(l)xU(l), и она не содержит некоммутирующих операций. Мы вернемся к этому в конце главы 23, где более детально будет рассматриваться сигма-модель на торе. Сигма-модели на двумерных многообразиях с большим числом ручек h > 1 могут быть критическими или демонстрировать поведение типа нуль-заряд; насколько я знаю, эта задача еще не изучена. Как я уже говорил, теория возмущений не может предсказать, что будет происходить в режиме сильной связи; есть различные методы для реше- решения таких задач. Иногда это можно сделать точно: точное решение для ОC)-нелинейной сигма-модели было найдено Замолодчиковым и Замо- Замолодчиковым [9.6] и Вигманом [9.5], для ОD)-нелинейной сигма-модели
94 Введение в методы Ч. I Поляковым и Вигманом [9.4]. Хотя эти решения очень красивы и инте- интересны, я буду обсуждать только их результаты. Для вывода я буду поль- пользоваться более простым и общим методом — 1/ЛГ-разложением. Разложе- Разложение основано на том, что при N —> оо О(ЛГ)-нелинейная сигма-модель описывает свободные массивные частицы. При конечном N эти частицы начинают взаимодействовать, но поскольку спектр уже массивный, инфра- инфракрасных расходимостей в диаграммном разложении нет, и взаимодействие можно учесть по теории возмущений. Результат, полученный с помощью ЛГ-разложения, остается качественно правильным вплоть до N — 3. Точ- Точное решение показывает, что возбуждения являются взаимодействующими массивными частицами с мультиплетностью N.3 Последнее утверждение очень странно: на больших энергиях у нас есть N — 1 поперечных мод, а при малых энергиях N вырожденных массивных ветвей. Кажется, что продоль- продольная степень свободы вновь возникла! Действительно, можно показать (см. Никопулос и Цвелик [9.3]), что эффективное действие для О (З)-нелинейной сигма-модели в пределе сильной связи имеет вид где Ф — трехмерный вектор. Это значит, что при малых энергиях ограни- ограничение п2 = 1 снимается. Как мы скоро увидим, такая же картина возникает при 1/ЛГ-разложении. Теперь вспомним, что нелинейная сигма-модель воз- возникает из векторной модели при т < 0, когда эффективный потенциал име- имеет вид глубокого кольцевого желоба (его также назьшают «мексиканской Рис. 9.2. Потенциал «мексиканская шляпа» шляпой», см. рис. 9.2). Поле двигается внутри этого желоба, который эф- эффективно уменьшает его размерность. При этом флуктуации ренормируют 3Напомним, что в интегрируемых системах взаимодействие не создает новых частиц; у взаимодействующих частиц только изменяется фаза.
Гл. 9 Нелинейная сигма-модель в двух измерениях 95 этот потенциал мексиканской шляпы, убирая центральную часть. Поэто- Поэтому система эффективно возвращается в область г > 0, что соответствует случаю D ^ 2, непрерывная симметрия остается ненарушенной. 1 /iV-разложение Давайте перепишем статистическую сумму для поля п, используя следую- следующее выражение для функционала дельта-функции: Z = f Dn(xN[n2(x) - 1] ехр Г-^- f dr dx(d^nd^n)I = = [Dn(a;)DA(x)exp(- f dr dxi^-(dflndlin)+ + iA(a;)[n2(x)- Теперь давайте переопределим переменные: . (9.17) что эквивалентно сдвигу контура интегрирования с действительной оси, как показано на рис. 9.3. Рис. 9.3 После интегрирования по 1 получаем (9.18) (9.19)
96Введение в методы Экспонента в этом интеграле содержит N, и для N ^> 1 интеграл можно сосчитать методом перевала. Величина -т'2М2/2 —¦ это точка пересечения нового контура с мнимой осью. Эта точка определяется самосогласованно условием перевала: ^lnZ(m2,u)|u=0 = 0. (9.20) В главном порядке по 1/ЛГ можно вычислить свободную энергию, прене- пренебрегая флуктуациями и, т. е. просто положить и = 0. Тогда имеем = V \±М2т2 - ^J d2p]n(p2 + m2)] , (9.21) где V — объем, который занимает система в евклидовом пространстве- времени. Условие перевала (9.20) дает м2 = N\ w?G{v) к ёln(A/m)- (9-22) Это уравнение имеет решение т = Лехр[-2тгМ2/ЛГ]. (9.23) На самом деле условие (9.20)эквивалентно условию (п2^)) = 1. (9.24) Таким образом в нашем приближении локальное ограничение заменяется глобальным. Применимость такой замены обеспечивается большой вели- величиной N. Из (9.23) следует, что возбуждения поля п — это массивные частицы. Их масса совпадает с масштабом энергии (9.3), на котором устанавлива- устанавливается режим сильной связи и перестает работать теория возмущений.4 Ес- ппМ2 /N > 1, то масса частиц гораздо меньше, чем обрезание — массапро- дольных мод. Только в этом случае применима нелинейная сигма-модель. Как было сказано выше, обсуждается приближение для больших N. Только что полученный результат будет точен при N —> оо и конеч- конечном M2/N. Теперь давайте обсудим поправки порядка 1/ЛГ. Рассмотрим эффективное действие (9.19); оно содержит детерминант такого типа, как обсуждался в главе 4. Разлагая детерминант по степеням u/s/N, получим диаграммы, представленные на рис. 9.4, где сплошные линии соответству- соответствуют пропагатору а волнистые линии — iu(x)/\/N. 4В пределе больших N мы не можем различить N и N — 2.
Гл. 9 Нелинейная сигма-модель в двух измерениях 97 Рис. 9.4 В этом разложении линейные по и члены сокращаются; квадратичные члены дают для флуктуации эффективное действие нулевого порядка: \ v П(р) = —~ G{p/2 + q)G(p/2 - q). (9.25) J BтгJ Поэтому в главном порядке по 1/N корреляционная функция полей и имеет вид (и(-р)и(р)) = [П(р)]-1. (9.26) Формально (и2) не содержит большого N. Однако корреляционная функция (и(-р)и(р)) сильно сингулярна на больших \р\ > т: Гу (9-27) Эти расходимости можно сделать не такими сильными, если ослабить дельта-функциональное ограничение на длину п. Вспоминая начальную теорию (8.2) (т. е. О(Лг)-симметричную векторную модель), мы можем пе- переписать дельта-функцию в (9.17) так: [1 Г Г 1 1 --(n2-lJ = DAexp -iA(n2- 1) А2 , 2 J J L 2a J (9.28) где а = дМд/2. Тогда пропагатор полей и (9.26) становится конечным при больших р: ~^Т> (9.29) что улучшает сходимость диаграмм на больших импульсах. Однако не все расходимости устраняются таким способом. Мы видим, что интеграл для (и2), например, все еще расходится и дает значение, пропорциональное обрезанию:
98 Введение в методы Ч. I Ультрафиолетовые расходимости перенормируют значение перевальной точки т. Первая поправка к ней дается диаграммой, показанной на рис. 9.5, где волнистая линия соответствует пропагатору по- полей и (9.26), помноженному на 1/N. Добавляя эту диаграм- диаграмму в собственноэнергетическую часть G(p) и подставляя последнюю в (9.22), мы получаем улучшенное уравнение на точку перевала: Рис 95 Ой (9.30) После выполнения всех необходимых интегрирований мы получаем массо- массовую щель: т = KM2'" exp(-2nM2/N). (9.31) Ренормгрупповые вычисления дают тот же результат, но с заменой N на (ЛГ-2). Я не буду дальше углубляться в тонкости 1/ЛГ-разложения, оно подроб- подробно проанализировано в книгах Полякова и Сачдева (см. ссылки в Общей библиографии). Литература 1. V. A. Fateev, E. Onofri and A1. В. Zamolodchikov, Nucl. Phys. В, 406,521 A993). 2. D. Friedan, Phys. Rev. Lett., 45,1057 A980); Лии. Phys., 163, 318 A985). 3. V. N. Nicopoulos and A. M. Tsvelik, Phys. Rev. B, 44, 9385 A991). 4. A. M. Polyakov and P. B. Wiegmann, Phys. Lett. B, 131, 121 A983). 5. A. Zamolodchikov and Al. Zamolodchikov, Ann. Phys., 120,253 A979). 6. P. B. Wiegmann, Phys. Lett. B, 152, 209 A985).
10 ОC)-НЕЛИНЕЙНАЯ СИГМА-МОДЕЛЬ В ПРЕДЕЛЕ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ Итак, мы описали применение метода интеграла по траекториям в КТП. Однако здравый смысл говорит нам, что лучше рассматривать все не с одной точки зрения, а строить различные описания одного и того же. Поэтому я сейчас буду рассматривать гамильтоново квантование О (Т^)-симметричной векторной модели. Для гамильтонова квантования можно работать в ре- реальном времени, поэтому в этой главе я откажусь от термодинамического времени г и вместо него буду пользоваться реальным временем t. Давайте представим, что наша система — это вещество, состоящее из гранул. Каждая гранула имеет линейный размер а и состоит из многих узлов решетки. Поэтому на каждой грануле можно ввести среднюю величину \х-хп\<а и приближенно переписать первоначальное действие как эффективное дей- действие для этих средних переменных: -1Е [ф( Э^{Ф*-а°М2J1 A0.1) Ф2\ где е—элементарные векторы решетки гранул, ах —¦ координаты центров гранул; Ja2 w v2, где v — скорость затравочных возбуждений. В предыду- предыдущих расчетах я всегда полагал v = 1, но здесь лучше ввести ее явно. Давайте сначала рассмотрим случай J = 0. Как мы увидим ниже, это приближение дает хорошую отправную точку для случая малых а°М%, ко- когда радиальные флуктуации поля Ф малы, а поперечные велики. Для J = 0 все узлы решетки можно рассматривать независимо. Каждый узел описы- описывается как квантовомеханическая частица с массой т = 1, движущаяся в iV-мерном пространственном потенциале В случае, когда этот потенциал очень глубокий, мы можем пренебречь ра- радиальным движением и положить
100 Введение в методы Ч. I Поскольку характерное расстояние между уровнями энергии и(Ф) поряд- порядка д1^2М0, и, как станет ясно в дальнейшем, характерный энергетический масштаб для угловых флуктуации ~ а~°М^2, такой подход работает g-42Ml?S>a-D. A0.2) Оставшееся угловое движение на каждом узле описывается следующим лагранжианом: A0.3) Ниже я буду рассматривать только случай N = 3, потому что соответ- соответствующая процедура квантования описана в учебниках по элементарной квантовой механике. Обобщение на N > 3 тривиально. Для N = 3 рас- рассматриваемая задача сводится к задаче о квантовом ротаторе со следующим гамильтонианом: где компоненты оператора углового момента удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:1 [Ub} = i?abJc (Ю.5) между собой и таким же образом коммутируют с координатами: [1а,ПЬ]-'1€аЬсПс- (Ю.6) Координаты коммутируют: [па,пь}=0. A0.7) Теперь мы можем написать квантовый гамильтониан задачи с J -ф 0: Гамильтониан полностью определяется коммутационными соотношения- соотношениями A0.5) с дополнительным замечанием, что операторы, принадлежащие разным узлам, коммутируют. Полученная модель похожа на решеточные модели магнетиков. В даль- дальнейшем станет ясно, что такое соответствие действительно существует. Давайте рассмотрим случай ^ „-2D 'Для общего N операторы 1а являются генераторами алгебры O(N), для кото- которых коммутационные соотношения содержат /аьс (структурные константы алгебры O(N)) вместо еаьс-
Гл 10 0{2>)-нелинейная сигма-модель в пределе сильной связи 101 когда можно рассматривать взаимодействие между узлами как возмущение. Тогда на каждом узле мы имеем гильбертово пространство, определенное собственными функциями углового момента. Энергия и волновые функции многочастичного гамильтониана имеют вид Ф = \li,mi;l2,m2; ¦ ¦ ¦ ,1м,тм), A0.9) где М — полное число узлов. Волновая функция основного состояния соответствует /, = 0. Это со- состояние полностью изотропно и @|na(z)|0)=0. Первое возбужденное состояние трехкратно вырождено с угловым момен- моментом I = 1: ФA, т) = -L^V1"!1- rn)x. A0.10) В первом порядке теории возмущений энергия имеет вид -cos(ke)]. A0.11) Элементарные вычисления дают Спектр A0.11) отделен от основного состояния щелью 1 /аРМ%. Поскольку матричные элементы @\па\1,тп) ф 0 только для нечетных I, следующее возбуждение имеет 1 = 3. Его спектральная щель равна Щ Поэтому при Jo.2DMq <С 1 двухчастичные состояния с / = 1 всегда ниже, чем одночастичное состояние с / = 3. Спектр представлен на рис. 10.1. Напомним требования, наложенные при этом выводе: 1. Радиальные флуктуации слабые: g1/2M0 ^> 1/udMq. 2. Обмен между узлами мал: JaD'Мд^у2ао~2Мд <С 1/а°М^, это зна- значит, что ширина зоны возбуждений меньше, чем спектральная щель. Для теорий, в которых процесс перенормировки приводит к сильной связи, не обязательно удовлетворять этим двум требованиям на уровне затравочного действия. Напротив, они могут удовлетворяться на некото- некотором промежуточном масштабе после нужной перенормировки. В частно- частности можно применять подход сильной связи к моделям с неупорядочен-
102 Введение в методы 4.1 ным основным состоянием. Такие модели имеют конечную длину кор- корреляции, и в грубом приближении мы можем представить систему на- набором гранул с размером, соответствующим длине корреляции. В этом приближении параметр порядка постоянен в каждой грануле, а гранулы взаимодействуют согласно A0.1). Такая модель «крупных гранул» дает качественно правильную картину для A + 1)-мерной ОC)-нелинейной сигма-модели, для которой существует точное решение. Последняя модель ренормируется к режиму сильной связи, и корреляционная длина всегда конечна. Точное решение показывает, что спектр ОC)-нелинейной сигма-модели состоит из триплетов массивных бозонов в со- согласии с приближением сильной связи. Однако есть расхождение в возбуждени- возбуждениях с высшими моментами: согласно точ- точному решению эти моды не существуют. Это происходит потому, что взаимодей- взаимодействие между гранулами не мало в этом случае, и требование 2) не выполняет- выполняется. Действительно, когда ширина зоны Рис. 10.1. Качественный вид спек- спектра в пределе сильной связи частиц с / = 1 превышает величину щели между энергетическими уровня- уровнями / = 1 и / = 2, частицы с большими угловыми моментами становятся неустойчивыми по отношению к распаду на фундаментальные частицы с 1 = 1. Описанные в этой главе вычисления можно напрямую применять к реальным системам. Гранулированные вещества не математическая аб- абстракция, а явление природы. Когда гранулы достаточно велики чтобы подавлялись радиальные флуктуации, у нас есть замечательная возмож- возможность изучать коллективную квантовую динамику параметра порядка. Наи- Наиболее хорошо изученные гранулированные вещества — это гранулиро- гранулированные сверхпроводники. Они описываются той же моделью A0.1), но с симметрией 0B). В этом случае вектор Ф описывает действительную и мнимую части сверхпроводящего параметра порядка Ф = (Re Д, Im Д) = = | Д | (cos ф, sin ф). Перекрестный член описывает джозефсоновскую связь между гранулами. Модель с ОC)-симметрией применима к гранулирован- гранулированным антиферромагнетикам. Здесь вектор Ф представляет «шахматную» на- намагниченность, усредненную по грануле. В последние годы наблюдается большой прогресс в изготовлении микроскопических магнитных устройств. Экспериментально изучаются квантовые процессы магнитного туннели- рования. Хороший обзор по этой теме написан Чудновским [10.1]. Литература 1. Е. М. Chudnovsky, «Macroscopic quantum tunneling of the magnetic moment», Proc. of the 37th Ann. Conf. on Magnetism and Magnetic Materials, J. Appl. Phys., 73,6697A993).
Часть II Фермионы
11 ИНТЕГРАЛ ПО ТРАЕКТОРИЯМ И ТЕОРЕМА ВИКА ДЛЯ ФЕРМИОНОВ В этой главе мы рассмотрим фермионные теории в представлении инте- интегралов по траекториям. Фермионные теории даже более типичны для КТП, чем бозонные. Причина, по которой мы отложили это обсуждение, чисто педагогическая: введение фермионных интегралов по траекториям требует определения некоторых новых понятий, которые психологически трудны для понимания. По-видимому, после знакомства с бозонным интегралом по траекториям легче понять его фермионный аналог. Давайте напомним некоторые факты о фермионных многочастичных системах. Основным из них является тот факт, что многочастичная ферми- онная волновая функция антисимметрична по отношению к перестановкам координат. Это означает, что волновая функция N фермионов %p(xi,ai;...;xN,aN) A1.1) умножается на (-1)р при перестановке координат ?, = (хг,стг), где Р — четность перестановки. В качестве примера фермионной теории рассмотрим модель нереляти- нерелятивистских фермионов с потенциалом взаимодействия U (х—у). В этом случае многочастичная волновая функция A1.1) является собственной функцией следующего гамильтониана: Как гамильтониан, так и волновая функция явно зависят от N (число ча- частиц), что очень неудобно для КТП. Чтобы преодолеть эту трудность, ис- используем процедуру вторичного квантования. В этой процедуре вводятся операторы а+(х,а),а(х,а) (операторы рождения и уничтожения) со сле- следующими коммутационными соотношениями: {а+(х,ст),а(у,а')} = 6(х - y)S<T,<T; A1.3) {а{х,а),а{у,а')} = 0, A1.4) {а+(х:а),а+(у,а')} = 0. A1.5) Теперь вместо волновой функции A1.1), зависящей от координат частиц и
Гл 11 Интеграл по траекториям и теорема Вика для фермионов 105 их количества, вводим координатно независимую волновую функцию: ^n(E) =5Z П dDxt^E{xi,^i;...;xN,aN)a+(xi1ai)...a+(xN,aN)\Q), A1.6) V*N(E) =Y1 П dDx,(O\a(xi,<r1)...a(xN,aN)il;*E{xi,(n;...;xN,ffN), (П.7) где |0) — состояние, уничтожаемое всеми операторами а(х, а) (фермион- ный вакуум): а(ж,ст)|0>=0, @\а+{х,а) = 0. Гамильтониан, который действует в гильбертовом пространстве Ф-функ- ций, выражается через операторы рождения и уничтожения: Я = - f dDx d+r(x)^Aa(X(x) + (предполагается суммирование по повторяющимся индексам). Часто бывает удобнее работать в импульсном представлении. Новые операторы аа(р) получаются с помощью преобразования Фурье операто- операторов а+(х), а(х): f Diaff(x)e-Px/ft. A1.9) Преимущество импульсного представления состоит в замене непрерывного пространства х дискретной решеткой р. Преобразование A1.9) сохраняет условия антикоммутации: {a+(p,a),a(q,</)} = <5p,q<^, A1.10) {a(p,<7),a(q)G')}=0, A1.11) {a+(P,<7),a+(q,<7')} = 0. A1.12) Кроме тою, удобно вычесть из гамильтониана величину ^N, где ц —хи- —химический потенциал. Подставляя A1.9) в A1.8), получаем оператор Н —
106 Фермионы Ч. II в импульсном представлении: .'{к + q/2)av,{k - q/2), A1.13) где в данном случае Е(р) = р2/2т, но в дальнейшем мы будем рассматривать различные обобщения и поэтому не станем выбирать конкретный вид спектра. Эта формулировка удобна для КТП, потому что а+а {х),аа (х) представ- представляют операторные поля, определенные в каждой точке, а в гамильтониане нет явно зависимости от числа частиц. Я не собираюсь больше задерживаться на теме вторичного квантова- квантования. Однако стоит сделать одно замечание. Как я уже говорил, гамильтони- гамильтониан A1.8), выраженный через операторы рождения и уничтожения, действует в пространстве объектов Ф. Эти объекты характеризуют квантовые состоя- состояния многочастичных систем и принадлежат метрическому пространству со скалярным произведением = дм,м^2 П d°Xi ¦|/'?(:Еь<71;---;а;л A1.14) а значит обладают всеми свойствами обычных волновых функций. Однако, в отличие от волновых функций в координатном пространстве, они не явля- являются числами! Это странное свойство показывает нам путь к фермионному интегралу по траекториям. Мы хотим определить фермионный интеграл по траекториям таким об- образом, чтобы можно было воспроизвести все результаты, полученные в операторном представлении. Как минимум, нужно воспроизвести выраже- выражение для двухточечной корреляционной функции: dr iuJn 1 е(ру где е(р) = Е(р) - ц. Из нашего предыдущего опыта с бозонным интегралом по траектори- траекториям мы знаем, что для определения интеграла нужно знать классический
Гл.11 Интеграл по траекториям и теорема Вика для фермионов 107 лагранжиан. Можно ли найти такой лагранжиан для фермионов? Давайте попробуем такой: L = р где а*, а уже не операторы, а числа. В действительности это выражение не зависит от h, если его переписать в канонических координатах Q = аа (р) и Согласно правилу квантования, мы полагаем Р uQ операторами со знаме- знаменитым коммутационным соотношением Стоп! Здесь есть противоречие с предыдущим обсуждением. Мы имеем ан- антикоммутационные соотношения! Чтобы преодолеть эту трудность нужно рассматривать а(Т(р), а* (р) как грассмановы числа. Грассмановы числа -ф(р), ф*(р) определяются как объекты, удовлетво- удовлетворяющие следующим условиям: ¦Ф(рШч) + ФШ(р) = о, Не путайте грассмановы числа с фермионными операторами рождения и уничтожения! Согласно данному определению Грассмановы числа составляют алгебру таким же образом, как и обычные числа. Они удовлетворяют всем аксиомам алгебры, а бинарной операцией для них является антикоммутатор. Мы можем определить функционалы в поле грассмановых чисел: F(tp*,tp) = = ^2 C(ai>6b---ajv,bjv)('</'jvH1 ¦¦¦№i)a Г*{ф*,-ф) = Oj.bj =0,1 A1.18)
108 Фермионы Ч. II где С — некоторые комплексные коэффициенты (эти уравнения очень по- похожи на A1.6) и A1.7), но это не совсем одно и то же!). Введем интегралы: ... dt/>N. A1.19) Это определение будет точным, если положить dt/,(p) = | йГ{р) = 0, ^ф(p)dф(p) = ^ф*(P)dф*(P) = l. A1.20) «Бесконечно малые» грассмановы числа йф, dtp* антикоммутируют друг с другом и со всеми «конечными» грассмановыми числами. Подстав- Подставляя определения A1.20) в A1.19), получаем dp dip = C(l, 1; 1,1;... 1,1). A1.21) Только теперь мы можем определить «классический» лагранжиан, кван- квантование которого приводит к гамильтониану A1.13), и затем определить ин- интеграл по траекториям. Классический лагранжиан определяется в терминах грассмановых переменных: p),Vv(p)]- (П-22) В представлении мацубаровского времени нужно подставить t — \т и не рассматривать р как комплексно сопряженное кф,а как независимую пе- переменную. Тогда производящий функционал и статистическая сумма опре- определяются в том же духе, что и для бозонных теорий. Единственное отличие состоит в том, что мы интегрируем по грассмановым переменным: 1/Т Z[ti{x),ti*(x)]= [DVDVexp - f <1тЩ\ф) + fv*ip + P о A1.23) G7* (x) ,r](x) — грассмановы числа). Чтобы получить правильный результат, нужно наложить на -ф, ф* антипериодические условия по мацубаровскому времени: V(x,0) = -V(x,l/T); V*(x,0) = -V>*(x,l/T). A1.24) Как обычно, чтобы построить диаграммное разложение, нужно понять, как вьлисляются гауссовы интегралы. Из-за антикоммутационных свойств грассмановых чисел по ним очень просто интегрировать: для каждой пере- переменной есть только один ненулевой интеграл A1.20). В частности, приме-
Гл.11 Интеграл по траекториям и теорема Вика для фермионов 109 няя определение грассманова интеграла A1.20) к гауссову интегралу, полу- получаем \ A1.25) ) exp[-V-* @ Ац tf (j)] 1 A1.26) С помощью этих определений мы можем вычислить парную корреляцион- корреляционную функцию для свободных фермионов. Подставляя квадратичную часть гамильтониана A1.13) в A1.22), получаем следующее термодинамическое действие: ¦¦м v J Чтобы привести этот интеграл к канонической форме, нужно диагонализо- вать действие. Это достигается заменой переменных: ,т) = Т X! п= — оо оо ^ +1)т]фХ(р)- A1.28) После такой замены производящий функционал A1.23) приобретает осо- особенно удобный для вычислений вид: х ехр ( - ^. A1.29) (и„ = -кТ{2п + 1)). Этот интеграл вычисляется с помощью сдвига пере- переменных, который убирает линейные по ip, ф* члены: Фп{р) -+ Фп{р) ~ [iwn - eWl'SnCp), S A1-30)
ПО Фермионы Ч. 11 В результате получаем = exp EVnKPIVn 1Ш„ - ft LP," е(р) п,р откуда легко вьтести знакомое выражение для парной корреляционной функции A1.15):1 ^g^ 1. A1.32) Теорема Вика для фермионных полей выводится так же, как для скаляр- скалярных бозонных полей. Как и для бозонов, любая многоточечная корреляци- корреляционная функция распадается на сумму произведений парных корреляцион- корреляционных функций. Однако есть несколько различий. Первое состоит в том, что из-за антикоммутационной природы фермионных переменных каждая диа- диаграмма с циклом умножается на (-1) , где F — количество циклов. Второе отличие состоит в том, что фермионные переменные комплексные. Поэто- Поэтому у фермионных линий (функций Грина) есть стрелки, которые указывают в сторону ф*. По этой причине диаграммы с циклами не умножаются на 1/2. Ниже, в главе 19, мы обсудим вещественные, или майорановские, фер- фермионы, когда стрелок нет. Эти фермионы аналогичны скалярным бозонам в том, что их диаграммы содержат множители 1/2. Я не буду детально обсуждать диаграммное разложение для фермио- нов, потому что оно не зависит от процедуры вывода. Если использовать интеграл по траекториям или упорядоченные по времени экспоненты, ре- результат получается один и тот же. Это позволяет мне не задерживаться лишний раз на том, что описано в сотнях других книг. Поэтому, не вда- вдаваясь в подробности, я могу сформулировать диаграммную технику для модели A1.13). Диаграммную технику можно сформулировать в частотно- импульсном представлении или в координатном пространстве-времени. Она содержит элементы, изображенные на рис. 11.1, где сплошная линия Рис. 11.1 соответствует двухточечной функции Грина A1.15), а волнистая линия обо- обозначает матричный элемент взаимодействия U(q), (J(n — T2)t/(zi - х2) в координатном пространстве-времени). Общие правила, которые используются для вычисления поправки п-го порядка для парной корреляционной функции: Порядок дифференцирования важен, переменные г) не коммутируют!
Гл. 11 Интеграл по траекториям и теорема Вика для фермионов Ш 1. Нарисовать все связные топологически неэквивалентные диаграммы с 2п вершинами и двумя внешними точками, в одной вершине схо- сходятся две сплошные и одна волнистая линии. 2. Если диаграмма в координатном представлении, проинтегрировать по координатам всех вершин и просуммировать по всем внутренним спиновым переменным. В импульсном представлении сопоставить каждой вершине множитель 6ni+n2-n3-nJ(ki + k2 - k3 - IC4), просуммировать по всем внутренним частотам Т J2n и проинтегри- проинтегрировать по всем внутренним импульсам. 3. Умножить полученное выражение на (—1)^, где F — количество замкнутых циклов. 4. Если есть функция Грина Go, у которой совпадают временные аргу- аргументы, то ее нужно понимать в смысле предела lim G0(-t,xi2). тv+0 Рис. 11.2 Во втором порядке по U для фермионной функции Грина G получаются диаграммы, показанные на рис. 11.2. Сравните эти диаграммы с представ- представленными на рис. S.2.
12 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА МЕТАЛЛОВ Подробный обзор современной теории металлов выходит за рамки этой книги. Я коснусь только тех вопросов, которые связаны с основной темой этого курса — проблемой сильно взаимодействующих систем. Как было отмечено раньше, сильные взаимодействия могут возникать в результате перенормировки, и с эстетической точки зрения, это, наверное, самый ин- интересный случай. Как мы увидим в части 4, такие перенормировки особенно сильны в одномерных системах, когда практически любое взаимодействие приводит к сильным эффектам. Поэтому одномерный электронный газ не подвержен фазовым переходам (они запрещены из-за низкой размерности) и не проявляет свойств системы свободных электронов. Однако такое по- поведение не типично для высших размерностей, когда система электронов либо испытывает фазовый переход при низких температурах (сверхпрово- (сверхпроводимость, магнитное упорядочение и т. д.), либо ведет себя как газ свобод- свободных электронов. Другими словами, если спектр электронов устойчив по отношению к взаимодействию, то это взаимодействие исчезает. Это основ- основное утверждение теории ферми-жидкости, сформулированной Ландау. Есть всего несколько хороших книг по теории ферми-жидкости Ландау; я бы, в частности, порекомендовал книгу Абрикосова, Горькова и Дзялошинского. На языке теории ренормгруппы фиксированная точка ферми-жидкости это точка нуль-заряда. Все взаимодействия, кроме рассеяния вперед, исчезают на поверхности Ферми, и низколежащие возбуждения являются свобод- свободными фермионами! Как следствие, термодинамические свойства металлов при низких температурах напоминают свойства газа свободных электронов: удельная теплоемкость линейна по температуре: Cv = jT, а парамагнит- парамагнитная восприимчивость от температуры почти не зависит. Как я уже говорил, взаимодействие между элементарными возбуждениями исчезает только на ферми-поверхности. Поэтому при низких температурах возбуждения взаи- взаимодействуют слабо, и наблюдается конечное электрическое сопротивление. Можно показать, что при низких температурах сопротивление квадратично по Т: R = Ro + аТ2. При D > 1 метал всегда можно узнать по этим свой- свойствам. Теория Ландау очень грубая; удивительно, что она работает даже в тех металлических системах, где затравочное кулоновское взаимодействие между электронами сильное. Однако существуют электронные системы, которые не подчиняются теории ферми-жидкости. Один хорошо изучен- изученный пример — это легированные оксиды меди — слоистые металлы ти- типа Ьаг-хЗг^СиОг, YBaCuO и т. д. Все эти вещества в своей металлической фазе близки к переходу металл-изолятор и являются достаточно плохими проводниками. Как это ни странно, при относительно высоких температу- температурах1 эти плохие проводники становятся сверхпроводниками. Это особенно странно, потому что кулоновское отталкивание сильно в этих веществах. 'Высоких по сравнению с другими сверхпроводниками: Те ~ 30-110 К.
Гл 12 Электродинамика металлов 113 Однако поведение этих веществ при температурах, больших чем Тс, даже еще более странное, чем сама сверхпроводимость. Например, в отличие от предсказаний теории ферми-жидкости, со- сопротивление при Т > Тс линейно по темпе- температуре: R ~ Т, что говорит об очень сильном рассеянии элементарных возбуждений. Возможность нарушения теории ферми- жидкости сейчас представляет предмет жар- жарких споров. Один недостаток в обосновании теории Ландау очевиден: теория не работает в присутствии дальних взаимодействий. Про- Проблема в том, откуда берутся такие взаимодей- взаимодействия. Оказывается, что электростатическое (кулоновское) взаимодействие может сыграть эту роль. Однако нельзя на это полагаться, потому что кулоновские силы действуют на больших расстояниях только в вакууме или изоляторе, в металлах электроны проводимо- проводимости экранируют кулоновское взаимодействие и делают его эффективно короткодействую- короткодействующим. На данный момент известно только од- одно взаимодействие, которое остается дально- дсйствующим в металлах, это взаимодействие электронных токов посредством обмена поперечными фотонами. Возмож- Возможность нарушения теории ферми-жидкости из-за такого взаимодействия бы- была открыта Холстейном и др. [12.3], но настоящий интерес к этой про- проблеме возник после работ Рейзера [12.11]. Поскольку фотоны есть везде, это взаимодействие существует в любых металлах. Однако, поскольку вза- взаимодействие ток-ток пропорционально квадрату отношения фермиевской скорости к скорости света, соответствующая затравочная константа связи мала. Как мы увидим ниже, отклонения от теории ферми-жидкости могут стать заметными только при очень низких температурах и в очень чистом металле. Было сделано много попыток доказать существование нефотонных вза- взаимодействий ток-ток в сильнокоррелированных электронных системах. Предполагалось, что такие взаимодействия эффективно возникают из-за сильного короткодействующего кулоновского отталкивания, и поэтому их безразмерная константа связи значительна. Если это так, тогда теория фер- ферми-жидкости неприменима даже в системах с короткодействующим оттал- отталкиванием, при условии что оно достаточно сильное. Другими словами, предполагается, что при D > 1 существует критическая сила коротко- короткодействующего взаимодействия, выше которой у системы появляется новая низкоэнергетическая не ферми-жидкостная фиксированная точка.2 Соот- М Рейзер При D = 1 эта критическая сила равна нулю.
114 Фермионы Ч. II ветствующее доказательство до сих пор далеко не строгое. Поэтому, что- чтобы проиллюстрировать эту интересную возможность нарушения теории ферми-жидкости, я буду обсуждать простейшую реалистичную модель, в которой такое нарушение точно происходит.3 Именно, следуя Рейзеру, мы рассмотрим модель электронов проводимости, взаимодействующих с элек- электромагнитным полем. Чтобы быть более уверенным в полученных резуль- результатах, мы начнем с обсуждения более знакомой квазиклассической картины электродинамики металлов. Электродинамика металлов. Квазиклассический подход Поведение электромагнитного поля в металлах определяется уравнениями Максвелла и функцией линейного отклика плотностей зарядов и токов:4 р(ш, q) = е2Щш, ц)ф(ш, q), q). A2.1) Для простоты мы будем пренебрегать анизотропией и считать проводи- проводимость скаляром, а не тензором. Вычисление функций отклика — задача микроскопической теории; однако некоторые общие утверждения можно сделать без вычислений. Как мы знаем из статистической механики, в тер- термодинамическом равновесии, т.е. в очень медленно меняющемся потенци- потенциале, электроны обладают следующим свойством: еф(х) + fj.(x) = const. Из этого свойства следует -Щш = 0, q -> 0) = ^ = р{ее), A2.2) где N — число частиц в единичном объеме, а р(е?) — плотность состояний на уровне Ферми. Давайте подставим выражения A2.1) в уравнения Максвелла: -— + 47rV x m, с at 3При очень низких температурах, но это принципиальный вопрос! 4Такое представление предполагает определенный выбор калибровки, а именно, приведенный ниже в A2.5).
Гл. 12 Электродинамика металлов U5 где fj. и ? — магнитная восприимчивость и диэлектрическая константа, а члены с ро и m представляют внешние источники скалярного потенциала и магнитного поля соответственно. Звездочка обозначает свертку; она заме- заменяет обычное умножение, потому что у функций отклика есть дисперсия. Теперь давайте выразим напряженности полей через потенциалы: = V х А A2.4) и выберем следующую калибровку: V.A = 0. A2.5) В этой калибровке уравнения для скалярного потенциала и магнитного поля становятся независимыми: -Аф = 4тге2П * ф + 4тгр0, A2.6) -AH + gg-^.f-^xVx- „,„ Переписывая эти уравнения через фурье-компоненты, получаем [q2 - 4тге2П(и;, <$]ф(ш, q) = 4про(Ш, q), A2.8) [q2 - цеш2/с2 + 4infiujo-(w,q)/c2] #a(w,q) = 4тг(д2<5аь - qaqb)mb. A2.9) Решения определяют функции Грина для скалярного потенциала и магнитного поля ..ч|_ая.(ц,д)_ 1 — /j,eu>2/c2q2 Ниже мы получим такие же функции Грина из микроскопической теории. Глядя на формулы A2.10) и A2.11), можно заметить, насколько по- разному распространяются разные поля. Статистический скалярный по- потенциал экранируется; из A2.10) и A2.2) получаем A2.12)
116 Фермиоиы ЧII В координатном пространстве это выражение дает знаменитый потенциал Дебая: V(r) = ij ехр(-?М), е = 4тге2р(ер). Ниже мы увидим, что возбуждения скалярного потенциала (плазменные колебания) обладают спектральной щелью и поэтому не могут напрямую влиять на электроны вблизи ферми-поверхности. Магнитное поле также экранируется, но другим способом. Как следует из A2.11), глубина проникновения магнитного поля растет при уменьшении частоты: С =. A2.13) ^-1) Для металлов с примесями, когда проводимость при малых волновых век- векторах конечна, имеем (скин-эффект); для чистых металлов, в которых <т@, q) ~ q~*, получаем (аномальный скин-эффект). Таким образом можно ожидать сильное взаи- взаимодействие между низкоэнергетическими электронами и флуктуирующим магнитным полем. Ниже мы увидим, что это действительно так. Микроскопическое описание Теперь давайте рассмотри модель нерелятивистских фермионов в металле, взаимодействующих с электромагнитным полем. Эта модель описывается лагранжианом dDx \ф'(дт + \еф + еР)фа - rj f-iV - ^а) i/>J\ , A2.14) где е(р) — дисперсия электронов, а б — оператор, полученный из е(р) подстановкой р -> —iV - (e/c)A. Здесь нужно сделать важное замечание. Во-первых, можно рассматри- рассматривать модель A2.14) как абстрактную теорию в пространстве произволь- произвольной размерности D. Эго имеет смысл, потому что, как уже было сказано, есть указания, что такая «электродинамика» описывает низкоэнергетиче- низкоэнергетические возбуждения в сильно коррелированных системах. Во-вторых, можно рассматривать модель A2.14) буквально, как модель электронов, взаимо- взаимодействующих с реальными фотонами. В этом случае фотоны всегда трех- трехмерны, а электроны — не обязательно, если энергия электронов не зависит
Гл. 12 Электродинамика металлов 117 от каких-то компонентов импульса. Например, в слоистом металле е(р) зависит только от двух компонентов импульса и не зависит (или зависит слабо) от компонента, перпендикулярного слоям. Первую электродинами- электродинамическую модель я буду называть «абстрактной», а вторую «реальной». Лагранжиан A2.14) инвариантен по отношению к калибровочным пре- преобразованиям: ф -+ ф + дтХ, А -» А - cVx, ¦ф -» е1ехф. В дальнейшем мы будем рассматривать взаимодействие электронов с элек- электромагнитным полем как возмущение, раскладывая корреляционные функ- функции по степеням е. Чтобы определить это диаграммное разложение, нам нужно зафиксировать калибровку, иначе статистическая сумма будет рас- расходиться. Давайте выберем такую же калибровку, как раньше A2.5); ее преимущество состоит в том, что корреляционные функции скалярного и векторного потенциалов отделяются: ((ф(х)А(у))) = 0. Калибровочное условие A2.5) нужно понимать как условие, которое налагается на кор- корреляционные функции, т.е. любая корреляционная функция полей Аа{х) должна удовлетворять условию A2.15) или в импульсном представлении D J24a((Aa(q)Aa>(qi). .. Aa»(qN))) = 0. A2.16) a-l Давайте проинтегрируем по фермионам и рассмотрим эффективное дей- действие для электромагнитного поля. Это евклидово эффективное действие можно написать в символической форме: S^ = ^\ dтdDx[E2+t^2}- ( ( е М -2Trln UdT + геф + eF) - е I -iV--AJ *> A2.17) (множитель 2 появился из-за вырождения по спину). Это действие будет символическим, пока мы не научимся вычислять фермионный детерминант. Для простоты давайте рассмотри квадратичный закон дисперсии е(р) = = р2/2гп. Перепишем лагранжиан A2.14) в таком виде, чтобы отделить
Ш Фермионы Ч.Н квадратичные члены от взаимодействия: el + LmU A2.18) U = ±J <1°х[(УфJ + с~2(дтАJ + (V х АJ], A2.19) La = J dDs#;@r + ^ Lint - | dDx {гефГЖ - ^ [iCV. (C)V ^ A2.21) Из A2.19) и A2.20) находим корреляционную функцию для невзаимодей- невзаимодействующих полей (см. рис. 12.1): G0{ujn,p) = {(ф(шп,р)ф*{шп,р)}) = т iuin —p2/2m + €f' jn,p) = ((ф(-шп,д)ф(шп,q))) - - A2.22) (отметим, что Dab удовлетворяет условию, фиксирующему калибровку A2.16)). Здесь прямые линии обозначают затравочную элеьаронную функ- функцию Грина Go, а волнистые и ломаные линии — D§° и ?)g6 соответствен- соответственно. Из A2.21) следует, что в нашей теории есть вершины, показанные на рис. 12.2, где векторная вершина, обозначенная треугольником, имеет вид Рис. 12.1. Затравочный пропагатор модели A2.21) y\/wN \\Ллл *У*— Рис. 12.2. Вершины взаимодействия модели A2.21) Теперь давайте повторим вывод спектра электромагнитного поля, кото- который определяется выражениями A2.10) и A2.11), из микроскопики. Имеем
Гл. 12 Электродинамика металлов 119 следующее уравнение Дайсона для полных двухточечных корреляционных функций ?>°° и Dab: D°°(un, q) = D™(wn, q) + ?>°Vn, q)e2U(wn, q)D°°(wn, q), A2.23) Dab(wn, q) = Df(un, q) + ?>^CK, q)e2TLcd(wn, q)Ddb{wn, q), A2.24) где собственноэнергетическая часть П, ПаЬ (поляризационные операторы) складываются из диаграмм, которые нельзя разрезать по одиночной волни- волнистой или ломанной линии. Примеры таких диаграмм приведены на рис. 12.3. a 6 Рис. 12.3. Примеры диаграмм, дающих вклад в поляризационные операторы Решение уравнения A2.23) воспроизводит формулу A2.10), получен- полученную из уравнений Максвелла.5 В нулевом порядке по е имеем ff) —— ?t± / I Gо(дin ~Ь Wmi Q ~^~ P/^Oi^in Р) ^ * ^ J Bтг) m (fDg n(p)-n(p + g) /inoc4 где е(р) = p2/2m - ер и "uv ~ ее(Р)/т + ! ¦ В дальнейшем мы ограничимся случаем вырожденного электронного газа: Т <С ц. Как обычно, мы интересуемся запаздывающей функцией Грина, и удобнее сделать аналитическое продолжение i?2n = И + \5 до вычисления 'Отметим, что ?>00(шп) —термодинамическая функция, а функция A2.10) ди- динамическая, она связана с Дю уравнением A.30).
120 Фермионы Ч II интегралов. Для поляризационного оператора A2.25) имеем при малых импульсах п(р) - п(р + q) dDq dn qv 1ж)и бе \1 + id - qv где v = де/др = р/тп. В нулевом порядке по T/fj, распределение Ферми становится ступенчатой функцией и дп/де — —S(e). Интеграл по импульс- импульсному пространству сводится к интегралу по поверхности Ферми. Этот факт нужно запомнить, потому что он широко используется в теории метал- металлов. Значение интеграла A2.26) существенно зависит от размерности D. Выполняя все необходимые интегрирования, получаем следующие явные выражения для поляризационного оператора П00: A2.27) A2.28) A2-29) Ч ~ «И где vp — фермиевская скорость. Чтобы найти спектр возбуждений ска- скалярного потенциала, нужно подставить выражения для П(й) в уравнение Дайсона и изучить сингулярности D00: Сингулярности определяются нулями знаменателя правой части этого вы- выражения. Подставляя A2.27), A2.28) и A2.29) в A2.30), получаем следую- следующие спектры: w=+ 4 ^ = 2; A2.31) w2 = 8vFe2 + v|g2, D = 1. Эти спектры всегда содержат щель, поэтому на малых частотах можно пре- пренебречь зависимостью поляризационного оператора П00 от частоты О и получить дебаевскую формулу для экранированного кулоновского потен- потенциала A2.12).
Гл 12 Электродинамика металлов \2\_ В этом месте я должен напомнить читателю, что спектры A2.31) выведе- выведены для «абстрактной» электродинамики. Для D = 2 (слоистый металл) или D = 1 (металлическая цепочка) эти спектры нужно модифицировать, учи- учитывая, что фотоны остаются трехмерными. Соответствующие выражения имеют вид: A2.32) где d — расстояние между слоями (цепочками). Несмотря на анизотропию, эти взаимодействия эффективно короткодействующие. Из A2.11) мы знаем, что для векторного потенциала мы получаем со- совсем другую картину. Соответствующая собственно энергетическая часть в этом случае содержит два члена (см. рис. 12.3 (а, Ь)), которые взаимно сокращаются при f2, q = 0: A2.33) При Т = 0 и |П| <g; VFq получаем для D > 1 , Я) = Н5аЬ ~ Яачь/Я2) [i~^ + ^\W] ¦ A2.34) Напомним, что в наших обозначениях р(ер) — плотность состояний на поверхности Ферми. Последний член содержит диамагнитную восприим- восприимчивость xd (диамагнетизм Ландау). Поскольку значение xd определяется интегралом по всем заполненным состояниям, этот член зависит от деталей зонной структуры и не универсален. Подставляя A2.34) в уравнения Дайсона для ((АаАь)) и пренебрегая членом с (Г2/сдJ, получаем следующее выражение при |f2| <C vq: A2.35) Это выражение связано с квазиклассической формулой A2.11): (Ha(-U,-q)Hb(w,q)) = g2Dab(uj,q)^.
122 Фермионы Ч II Выражение A2.35) имеет полюса на действительной оси SI; это означает, что возбуждения сильно подавлены. Спектр диффузных мод чисто мни- мнимый: п ~ — iq3. Этот результат сохраняется для чистых металлов, когда действительная часть проводимости расходится при q -? 0: а(ш, q) ~ q-1. Согласно A2.11) для металлов с примесями выражение A2.35) должно быть модифицировано при q < А (А — длина свободного пробега): гг)(Я)/о „nu.6 Как уже было сказано, тот факт, что магнитное поле экранируется только динамически, имеет далеко идущие последствия. Чтобы это продемонстри- продемонстрировать, давайте посчитаем вклад возбуждений поля в удельную теплоем- теплоемкость. v y/Vv У wWy Ь/vwwvd ^—ч—' Рис. 12.4. Петлевые диаграммы для свободной энергии OwvOwvOwO Рис. 12.5. Наиболее сингулярные диаграммы для свободной энергии, содержащие скалярные пропагаторы Рис. 12.6. Наиболее сингулярные диаграммы для свободной энергии, содержащие векторные диаграммы Свободная энергия дается петлевыми диаграммами, некоторые из кото- которых изображены на рис. 12.4. Чтобы избавиться от численных коэффициен- коэффициентов, нужно продифференцировать по е2. Поскольку волнистые и ломанные линии сингулярны на малых частотах и импульсах, нужно выбрать диаграм- диаграммы, содержащие минимальное количество интегрирований по импульсам этих линий. Применяя этот критерий, получаем две последовательности, изображенные на рис. 12.5 и 12.6. Первая последовательность соответству- соответствует вкладу от возбуждений скалярного поля (плазмонов). Поскольку эти возбуждения имеют спектральную щель, ничего интересного от них не бу- будет. Вклад от второй последовательности более важен при низких температу-
Гл 12 Электродинамика металлов 123 pax, потому что он происходит от низкоэнергетических возбуждений — диффузионных мод. Имеем J? - еТЕ| @naV»> ^а"К, Я)- A2.37) п Интегрируя по е2 и учитывая, что получаем F(e2,T) = ~Tr\nD = ~^y^2 I 7Y^lndetD(UJn,q), A2.38) n где D определяется выражением A2.36), aV — объем системы. Посколь- Поскольку мы знаем Dab(uj) только на действительной оси, удобно использовать соотношения Крамерса-Кронига: ж] у -шп+у ж) у A2.39) Пользуясь этим равенством, мы можем сначала сосчитать сумму по бозон- ным частотам и таким образом получить следующее очень удобное выра- выражение для вклада от бозонных мод: A2.40) Это выражение применимо для любой теории, в которой сумма по частотам петлевых диаграмм такая же, как для представленных на рис. 12.6. Дифференцируя A2.40) по Т и подставляя выражение A2.36), получаем для энтропии оо A2.41) Для двумерной «абстрактной» электродинамики это выражение всегда дает сингулярный коэффициент 7 для удельной теплоемкости; в трех измерени- измерениях это происходит только для чистых металлов. В последнем случае, когда а дается A2.35), получаем с логарифмической точностью PF Г dq
124 Фермионы Ч II где N = ppV/Зтг2 — полное количество электронов, 1 с а а — е2 /he — постоянная тонкой структуры. Для реальной электродина- электродинамики а и 1/137 очень мала. Сравнивая это выражение с энтропией на один электрон для свободного ферми-газа S/N = Зж2тТ/р1, обнаружим, что фотонный вклад доминирует при температурах Этот диапазон температур может стать реалистичным только в очень чи- чистых ферромагнитных металлах, когда ц ~ 104. Необходимая степень чи- чистоты достигается, когда обратная длина свободного пробега Л~г меньше чем характерная величина волнового вектора q ~ (fiBTK; это приводит к оценке (PFAK»Q-^. A2.43) Для Т ~ IK, ц ~ 104 и c/vf ~ 300 нужно, чтобы длина свободного пробега была порядка 10 периодов решетки. Для двумерной «абстрактной» модели имеем в чистом случае S ~ Т2/3, A2.44) а при наличии примесей: S/V*jgoT]n(pl<?/poT). A2.45) Для реального слоистого металла нужно модифицировать A2.41): SIV- 1 ydy I d2q± dqz arctc [ 4yyg(y-^) ) f \ 2T> sh2(y/2T) J B^K arCtg \ cV±(l + 4^Xd) + el] J A2.46) Это выражение дает логарифмическую сингулярность только для чистых металлов. Таким образом и для абстрактной, и для реальной электродинамики чистых металлов мы получаем сингулярный коэффициент в удельной теп- теплоемкости 7 = Cv/T ~ In Т. Такое поведение противоречит стандартной теории ферми-жидкости Ландау, описанной в начале главы. Как мы ви- видели, эта сингулярность происходит от дальних не экранированных взаи- взаимодействий. В реальных металлах, когда константа связи д = e2vp/j./hc2
Гл. 12 Электродинамика металлов 125 численно мала, сингулярности могут появиться только в чистых ферромаг- ферромагнитных металлах и при очень низких температурах. Особенно интересно, что ферми-жидкостное описание теряет свою применимость без фазового перехода (было бы не удивительно, если бы фазовый переход происходил). Давайте покажем, что отсутствие экранирования является следствием калибровочной симметрии и устойчиво к перенормировке. Поправки выс- высшего порядка от взаимодействия и температуры влияют только на констан- константы В и xd в выражении для корреляционной функции A2.35). Поэтому спектр возбуждений остается диффузионным. В результате нашего анализа получаем эффективную теорию для векторного потенциала с затравочной корреляционной функцией A2.35). Возбуждения взаимодействуют; некото- некоторые вершины такого взаимодействия приведены на рис. 12.7. Рис. 12.7. Вершины взаимодействия для эффективной теории поперечных фотонов Из-за калибровочной инвариантности физической степенью свободы является не векторный потенциал, а магнитное поле. Поэтому все вершины для полей А должны зануляться при нулевых импульсах, т. е. в каждом порядке по е2 соответствующие диаграммы сокращаются при q = 0, так же как в A2.34). Это утверждение было явно проверено для членов А3 и А4 Фукуямой и др. [12.4] и Ганом и Вангом [12.5] соответственно. Эта тема также затронута в расширенной работе Кима и др. [12.9]. Таким образом, если мы сформулируем эффективную теорию взаимодействующих магнит- магнитных полей в терминах самих магнитных полей, то получим несингулярные вершины и несингулярный пропагатор: где в первом порядке по е2 дв = 1 - 4тге2хо- В этой теории ряд теории возмущений не содержит сингулярностей, и все поправки к В и /х конечны. Одноэлектроиная функция Грнна Мы до сих пор не касались вопроса о вычислении электронной функции Грина. Первое замечание, которое нужно сделать, состоит в том, что стан- стандартное выражение для одночастичной функции Грина не калибровочно
V26 Фермионы Ч. II инвариантно и поэтому не имеет смысла. Можно определить калибровочно инвариантную функцию Грина G(l,2;Cia) = ((W(l)exp ( ^|л„<&„ j tf+B)>). A2.48) Это выражение калибровочно инвариантно, но зависит от траектории С\2, соединяющей точки 1 и 2. Этот факт делает непонятным его физический смысл. Однако кажется, что в экспериментах по рентгеновской фотоэмис- фотоэмиссии с угловым разрешением измеряется именно эта функция при условии, что Ci2 прямая линия, соединяющая точки 1 и 2. В этих экспериментах из- измеряется поглощение рентгеновских лучей с данной частотой и/ и волновым вектором q. Скорость поглощения пропорциональна мнимой части поляри- поляризационного оператора ток-ток (см. рис. 12.4). Отличие от наших предыду- предыдущих вычислений состоит в том, что теперь одна электронная функция Грина содержит очень большую частоту порядка нескольких электрон-вольт (от поглощенного рентгеновского кванта), а частота другой — мала. Высоко- Высокоэнергетические электроны движутся по прямым линиям и дают вклад в интеграл по траекториям в виде фазового множителя где интегрирование ведется по классической траектории электрона, т. е. по прямой, соединяющей две точки. Калибровочно инвариантная функция Грина A2.48), где С\2 — прямая линия, была вычислена для строго двумерной модели = \ Альтшулером и Иоффе [12.1]. Я опишу их результат ниже. Сейчас давай- давайте обсудим более простую задачу, имеющую отношение к функции Грина. Именно, давайте вычислим среднее от так называемой экспоненты Виль- Вильсона: W(C) = /exp j t^iVfc,, j \ = /ехр (&\#хНж\\, A2.50) где С — произвольный замкнутый контур в координатной (например, х—у) плоскости, Нг перпендикулярно этой плоскости. Величина W(C) калиб- калибровочно инвариантна; ее физический смысл я объясню позже. Вычисления
Гл. 12 Электродинамика металлов 127 просты, потому что эффективное действие для калибровочного поля квад- квадратично и существует только одна нетривиальная корреляционная функ- функция A2.47). В этом случае мы можем воспользоваться результатами главы 4 и применить D.6), где Л = {(НгНг)). Сначала давайте рассмотрим сло- слоистый металл и предположим, что контур С лежит в плоскости слоя. Пусть направление z перпендикулярно слоям, a d — расстояние между слоями. Тогда ответ имеет вид W(C) = exp - A2.51) где5 — площадь петли, ид j.,0 ~ 5~1//2. Такое приближение работает, когда контур С большой. Из A2.47) получаем -О;П) -qz, -q±,o)H(uJn,qz,q±fi))) ~^ + 0{S~X'2). A2.52) В пределе 5 -> оо единственная неисчезающая поправка происходит от члена с и/„ = 0. В результате для вильсоновской петли получаем W{C) = ехр(-5/50), A2-53) Таким образом мы показали, что логарифм вильсоновской петли в тео- теории слоистого металла пропорционален ее площади. Это называется зако- законом площади в отличие от закона периметра, когда петля Вильсона пропор- пропорциональна экспоненте от длины контура. Упражнение Покажите, что закон периметра выполняется для свободного электро- электромагнитного поля, а также, что закон площади имеет место для строго дву- двумерной модели, т. е. для модели калибровочного поля в B + 1) измерении. Для вычисления петли Вильсона можно пользоваться формулой D.6). Результат A2.53) принципиально важен, потому что закон площади на- напрямую связан с конфайнментом (см. книгу Полякова, глава 5). Доказатель- Доказательство этого факта такое: пусть в некоторый момент времени рождается пара
128 Фермионы Ч.Н Б. Альтшулер Иоффе частица-античастица, и они разлетаются на расстояние R. Предполагаем, что частицы взаимодействуют с помощью обмена квантами калибровочно- калибровочного поля Ац. Это взаимодействие проявляется в виде потенциальной энергии пары, которую мы обозначим V(R). Пара «живет» время т с фиксирован- фиксированным расстоянием R, а затем аннигилирует. Соответствующая амплитуда вероятности равна ехр[—V(R)t] (не забывайте, что мы работаем в евкли- евклидовом пространстве-времени). С другой стороны, эта амплитуда равна сред- среднему от вильсоновской петли на прямоугольнике R х т: ехр[—У(Д)т] = = ехр(-о-Дт). Таким образом получаем, что эффективный потенциал вза- взаимодействия между частицей и античастицей линеен: V(R) = aR. Такая ситуация соответствует конфайнменту, потому что частица не может выйти из такого потенциала. Однако такая ситуация имеет несколько отличий от классической. Во-первых, в нашем случае закон площади выполняется для пространственной плоскости. В то же время приведенное доказательство работает с контурами, одна сторона которых имеет временное направление. Во-вторых, натяжение струны а для КХД слабо зависит от температуры. Далее я приведу результат, полученный Альтшулером и Иоффе для функции Грина модели A2.49). Запаздывающая функция Грина в частотно- импульсном представлении имеет вид 9@ = -] 4 Ai'(- где rnc2 c2\ A2.54) A2.55)
Гл 12 Электродинамика металлов 129 Ai(ar) — функция Эйри. Интеграл можно выразить в виде суммы по нулям производной функции Эйри [Ai'(т]п)] — 0: Как функция комплексной переменной z = Тф[ш - е(р)] функция Гри- Грина A2.56) имеет набор разрезов вместо полюсов, как было бы в теории ферми-жидкости. Как мы уже отмечали, необычное поведение электронов, взаимодей- взаимодействующих с неэкранированным 17A) калибровочным полем, остается очень Патрик Ли привлекательным для теоретиков, и в течение последних лет активность в этом направлении сильно возросла. Существуют весомые аргументы в пользу того, что в сильно коррелированных металлах эффективно появля- появляются калибровочные поля неэлектромагнитного происхождения; в частно- частности, эти поля могут генерироваться магнитными взаимодействиями (идея спиновой жидкости и резонансной валентной связи, см. например, рабо- работы Нагаосы и Ли [12.10] и Иоффе и Вигмана [12.6]). Недавно Калмейер и Жанг [12.8] и Гальперин и др. [12.2] предположили, что теория, аналогичная двумерной «абстрактной» КЭД A2.49) с одним сортом фермионов, может описывать наполовину заполненные уровни Ландау в дробном квантовом эффекте Холла. Они предположили, что система двумерных электронов во внешнем магнитном поле может производить свое собственное магнитное поле, действующее в противоположном направлении, уменьшая среднее значение полного магнитного поля до нуля. Таким образом система снимает огромное вырождение уровней Ландау и выигрывает из-за результирующе- результирующего уменьшения кулоновской энергии. В предложенном подходе реальные электроны представляются как связанные состояния фермиевских квазича- квазичастиц и трубок магнитного потока флуктуирующего внутреннего магнитного
130 Фермионы Ч. II поля (см. главу 14). Результирующее эффективное действие для низкоэнер- низкоэнергетических возбуждений очень похоже на «абстрактную» КЭД A2.49), об- обсуждавшуюся в этой главе. Этот подход нашел сильное экспериментальное подтверждение (см. Виллет и др. [12.12], Канг и др. [12.7]). Таким образом «абстрактная» КЭД может объяснять реальные эксперименты. Некоторые механизмы появления калибровочных взаимодействий неэле- неэлектромагнитной природы будут обсуждаться в части 3 (см. главы о преоб- преобразовании Йордана-Вигнера). Во всех этих сценариях калибровочное поле распространяется не со скоростью света, а с характерной скоростью маг- магнитных взаимодействий, которая на несколько порядков меньше. Поскольку безразмерная константа тонкой структуры содержит с в знаменателе, такие изменения в природе калибровочных полей сильно увеличивают масштаб характерных энергий. Литература 1. В. L. Altshuler and L. В. Ioffe, Phys. Rev. Lett., 69, 2979 A992). 2. B. I. Halperin, P. A. Lee andN. Read, Phys. Rev. B, 47, 7312 A993). 3. T. Holstein, R. E. Norton and P. Pincus, Phys. Rev. B, 8, 2649 A973). 4. H. Fukuyama, H. Ebisawa and Y. Wada, Prog. Theor. Phys., 42,494 A969). 5. J. Gan and E. Wong, Phys. Rev. Lett., 71,4226 A993). 6. L. B. Ioffe and P. B. Wiegmann, Phys. Rev. Lett, 65, 653 A990). 7. W. Rang, H. L. Stormer, L. N. Pfeiffer, K. W. Baldwin and K. W. West, Phys. Rev. Left, 71,3850 A993). 8. V. Kalmeyer and S. С Zhang, Phys. Rev. B, 46, 9889 A992). 9. Yong Baek Kim, A. Furusaki, X.-G. Wen and P. A. Lee, Phys. Rev. B, 50, 17917 A994). 10. Y. Nagaosa and P. A. Lee, Phys. Rev. Lett., 64, 2450 A990). 11. M. Yu. Reizer, Phys. Rev. B, 40, 11571 A989); 44, 5476 A991). 12. R. L. Willet, R. R. Ruel, K. W West and L. N. Pfeiffer, Phys. Rev. Lett, 71, 3846 A993).
13 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ФЕРМИОНЫ. ПОДХОДЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ До сих пор мы обсуждали только нерелятивистские фермионы. Бла- Благодаря лоренцевой инвариантности релятивистские фермионы обладают специфическими свойствами, которые стоит рассмотреть. Релятивистские спектры появляются не только в физике высоких энергий, но также и в физике конденсированного состояния, когда группа Лоренца является при- приближенной симметрией для низкоэнергетических возбуждений, что про- происходит, например, в A + 1)-мерных металлах и антиферромагнетиках. Поэтому имеет смысл не ограничиваться случаем D = 3, а рассмотреть также и другие размерности. Давайте рассмотрим лагранжиан релятивистских фермионов, введен- введенный Дираком. Этот лагранжиан описывает фермионы массы М в (D + 1)- мерном пространстве-времени, взаимодействующие с внешним калибро- калибровочным полем Аи: -J A3.1) Фермионные поля ip, ip — s-мерные спиноры: V>2 7^ {pi = 0, ...,?>) — матрицы размера s x s, удовлетворяющие алгебре Клиффорда: {7",7"}+=2^, A3.2) где д00 = 1, даа = -1 (а — 1, ...,?>) для пространства-времени Мин- ковского. В евклидовом пространстве-времени (t — it) метрическим тен- тензором является просто единичная матрица д1*" = б1*". Если размерность пространства-времени четная, то есть еще одна матрица 7s = i-(o+0/a7o7a ...7D> A3.3) которая антикоммутирует со всеми 7^, и 71 = 1-
132 Фермионы Ч. II Евклидова версия действия Дирака имеет вид (см. например, главу А5 книги Зинн-Жустина) S = [dTdDx\i>^{dli + геА^ф + Мхфф + Ш2ф1зФ]- A3.4) Здесь я добавил массивный член с 7s, который существует только если D+1 четно. Несмотря на векторный вид, фермионные поля ф не векторы, а спиноры. Причина этого заключается в том, что термин «вектор» зарезервирован для величин, преобразующихся как пространственно-временные координаты при преобразованиях Лоренца. Спиноры преобразуются иначе, согласно их собственному представлению группы Лоренца, которое называется «спи- норным» представлением. Матрицы 7м преобразуются как векторы. Важное различие между релятивистскими и нерелятивистскими фер- мионами состоит в том, что роль сопряженного поля в интеграле по тра- траекториям выполняет не ф+, а ф. Причина этого заключается в том, что величина ФФ, а не ф+ф инвариантна при преобразованиях Лоренца. Поскольку мера интегрирова- интегрирования должна быть инвариантна, она не может быть как для нерелятивистских фермионов, а равна ВфВф (в A + 1) измерениях она имеет вид Aф dф = dф^ йф\, dф? dфJ^). Соот- Соответственно функции Грина для релятивистских электронов в евклидовом пространстве-времени определяются так: Gab(l,2) = ((фаA)фьB))) = [GМ Зм + М1+ iM2lsr1}ab- A3.5) Есть несколько свойств 7-матриц, которые нам понадобятся. Во-первых, есть некоторый произвол в их выборе. Размерность 7-матриц однозначно определяется только если D + 1 четно: s _ Поэтому для D = 1, когда s — 2, 7-матрицы можно представить матрица- матрицами Паули. В евклидовом пространстве-времени можно сделать следующий выбор:
Гл. 13 Релятивистские фермионы 133 а для D = 3, когда s = 4, стандартное определение имеет вид 73 = В то же время для D = 2 можно использовать два альтернативных пред- представления: двумерное и четырехмерное. В двумерном описании фермион- ные поля являются двухкомпонентными спинорами, а 7-матрицы можно выбрать двумя способами: или что соответствует левостороннему или правостороннему базисам в трех- трехмерном пространстве. В дальнейшем мы будем рассматривать релятивистские фермионы толь- только в A + 1) или B + 1) измерениях. Давайте начнем с одномерного случая. Лагранжиан Дирака естественно возникает как низкоэнергетический ла- лагранжиан для электронов проводимости в одномерных металлах. Чтобы это продемонстрировать, рассмотрим евклидово действие для нерелятивист- нерелятивистских фермионов, взаимодействующих с абелевым калибровочным полем с лагранжианом A2.14). Фермионная часть действия имеет вид (полагаем с=1) 5 = f dr dx[ip*{dT + 1еф + eF)W - ip*i{-idx - еА)фа]. A3.6) Закон дисперсии Е(р) = е(р) — ер качественно изображен на рис. 13.1. Рис. 13.1. Качественный вид дисперсии электронов в одномерном металле Давайте предположим, что внешние поля ф, А малы по амплитуде и медленно меняются по сравнению с exp(±2ipFz)- Тогда все существенные процессы происходят вблизи фермиевских точек. Из этого проистекают два следствия. Во-первых, важны компоненты Фурье внешних полей только с
134 Фермионы Ч. II малыми волновыми векторами и волновыми векторами порядка ±2рр. Пер- Первые оставляют электроны около их ферми-точки, а последние переводят из одной ферми-точки в другую. В реальных системах такие поля произво- производятся, например, смещениями решетки (фононами). Из-за калибровочной симметрии мы можем перенести все быстрые члены в скалярный потенциал и записать ф{т,х) = А0(т,х) + expBipFa;)A(T,a;) + exp(-2ipFx)A*(r,x), А(т,х) = А1(т,х), A3.7) где поля Aq, А\, Д, Д* медленны по сравнению с exp[±2ipFa;]. Второе след- следствие состоит в том, что из-за близости важных для нас фермионов к ферми- точкам, мы можем линеаризовать их спектр: Е(р + рР)ыьр, Е(р - рР) и -vp, \p\<pf, A3.8) где v = дЕ/др\р~Р? — фермиевская скорость. В реальном пространстве это выглядит так: exp(±ipFx)E(-idx - eA) [exp{^ipFx)f(x)} и ±v{~idx - eA)f(x). A3.9) Здесь мы предполагаем, что разложение Фурье f(x) содержит только гар- гармоники с малыми волновыми векторами \р\ <С 2pF. Вблизи уровня Ферми фермиевские поля имеют вид волновых пакетов со средними волновыми векторами ±pF. Это можно выразить так (спино- (спиновые индексы опущены): •ф(т, х) и фк{т, х) exp(-ipFa;) + фъ(т, х) exp(ipFa;), A3.10) где фк{х), фь(х) медленные поля по сравнению с exp(±ipFx). Эти поля соответствуют фермионам, движущимся направо и налево около правой и левой ферми-точек, соответственно. Подставляя это выражение вместе с A3.7) в исходное действие A3.6), используя A3.9) и учитывая только неосциллирующие члены, получаем дираковское действие A3.4) с Mi — = Re Д, М2 = Im Д. Описанная эквивалентность проявляется двумя способами. Во-первых, она дает очень удобную регуляризацию для релятивистских фермионных теорий. Представляя их как предельный случай нерелятивистских теорий, мы избавляемся от ультрафиолетовых расходимостей. Во-вторых, эта эк- эквивалентность выявляет скрытую лоренц-инвариантность низкоэнергети- низкоэнергетического сектора в одномерных металлах. Дираковское действие в двумерном евклидовом пространстве-времени можно записать в явной форме: A 29 + L4
Гл. 13 Релятивистские фермионы 135 где z = t- ix/v, д=-(дТ + ivdx) и A = Ao + iAi, A = Aq — \Ai. Чтобы найти функцию Грина в нулевом поле и константу Д, сделаем преобразование Фурье фермионных переменных. Тогда из A3.5) находим В дальнейшем нам понадобится это выражение в реальном пространстве. При Т = 0 имеем где К0(х) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента. Таким образом, можно записать cA* 2^) A3.14) Очень полезно вычислить предел нулевой массы для этого выражения. При малых аргументах К-0(|Д||гц|)» -jMIAIM) A3-15) и поэтому Квантовая электродинамика в A + 1) измерениях (модель Швингера) Как мы видели в предыдущей главе, присутствие электронов проводимо- проводимости сильно влияет на электромагнитное поле. Поле возбуждает электрон- дырочные пары иа ферми-поверхности и поэтому экранируется. Выше бы- было установлено, что в A + 1) измерениях релятивистская электродинамика безмассовых фермионов на самом деле совпадает с электродинамикой ме- металла. Соответствующее экранирование электромагнитного поля проявля- проявляется в этом случае как нарушение калибровочной симметрии. Этот эффект называется аномалией. Мы начнем обсуждение с формулировки парадок-
136 Фермионы Ч II са. Давайте рассмотрим безмассовые фермионы в пространстве-времени Минковского во внешнем потенциальном поле вида А0 + Аг=дхФ(х), Ао - Ах = дх9{х), где Ф, в — некоторые функции х. Оказывается, что такой потенциал вообще не влияет на фермионы, потому что его можно устранить каноническим преобразованием фл(х) -+ е-^хЦк(х), фь{х) -+ е'^Цф). A3.17) В то же время из вычислений, сделанных в предыдущей главе, мы знаем, что функция отклика ферми-газа, которая дается поляризационной пет- петлей A2.29), конечна. Для бесспиновых фермионов нужно умножить A2.29) на 1/2. Учитывая это, получаем такой вклад в свободную энергию: ]2 F = 1ЛЯ2[Ч~Я) - в(-д)]П@, д)[Ф(д) - в(д)] = | ^(Ф - б)]2. A3.18) Объяснение парадокса состоит в том, что преобразование A3.17) не остав- оставляет инвариантной статистическую сумму, потому что влияет на комбина- комбинацию фф _+ e'W*)-^)]^ +е1[-*И+е(*)]^ а потому и на меру функционального интегрирования Технически этот факт означает, что однофермионные волновые функции с энергиями Е, Е', которые были ортогональны до преобразования, пере- перестанут быть ортогональными после него. Таким образом диаграммное раз- разложение, которое учитывает все эти тонкие свойства меры интегрирования, более надежно, чем операторные преобразования гамильтониана. В общем случае аномалии появляются в теориях, которые допускают преобразования, влияющие только на меру интегрирования, а не на само действие. В частном случае безмассовой КЭД в A +1) измерениях аномалия приводит к впечатлению, что фермионы не взаимодействуют с векторным потенциалом. Это не так, как мы только что выяснили. Сейчас мы увидим, что аномалия позволяет проинтегрировать по фермионам и получить явное выражение для эффективного действия калибровочного поля.
Гл 13 Релятивистские фермионы 137 В гамильтониане калибровочное поле связано с операторами тока: = ф{х)^-ф{х), A3.19) а свободная энергия выражается через их корреляционные функции: In Z[A] - In Z[0] = Y, ^f f П rf2;E' n=0 i . i4Mn(in). A3.20) Некоторые диаграммы для этих корреляционных функций представлены на рис. 13.2. Оказывается, что все эти диаграммы, кроме первой, сокращаются! а б в Рис. 13.2 Поэтому соответствующий фермионный детерминант можно вычислить точно: - f = ехр{-5эф[А]}, B/)- A3.21) Ключевое наблюдение, приводящее к этому результату, было сделано С. Ко- улманом [13.1], который показал, что корреляционные функции полей J^{x) совпадают с корреляционными функциями бозонных полей с действием 1 Г . A3.23) Это утверждение основано на том, что левая и правая части A3.22) име- имеют одинаковые коммутационные соотношения. Доказательство содержит очень нетривиальный момент. Давайте рассмотрим коммутатор двух опе- операторов токов, текущих направо:
J38 Фермионы Ч. II Прямое вычисление дает 0. A3.24) Это абсурд, потому что тогда получается, что парная корреляционная функ- функция токов равна нулю. С другой стороны, мы можем сосчитать эту корреля- корреляционную функцию с помощью фейнмановских диаграмм. Удобнее делать это в координатном пространстве. Корреляционная функция ток-ток дается диаграммой рис. 13.2 а. Согласно A3.16) одноэлектроиная функция Грина имеет вид = GR(z12) = -j^, A3.25) A3.26) Поэтому функции Грина для частиц, движущихся вправо, зависит только от z — т + ix, а для движущихся влево — только от z — т — ix. По этой причине компоненты тока тоже можно рассматривать как аналитические или антианалитические функции. Подставляя эти выражения в диаграмму рис. 13.2 а, получаем ((Mz1)JR(z2))) = ^-ij-. A3.27) Если корреляционная функция двух бозонных операторов А, В известна, можно вычислить их коммутатор в совпадающие моменты времени по сле- следующему правилу: , х)В@, у))) - ((А(-т, х)В@, у)))} A3.28) (см. детальное обсуждение в главе 25). Подставляя A3.27) в A3.28), полу- получаем { >• <13-29» Такая же процедура для левых токов дает ~hdJ{x ~y)- A330) Можно сказать, что в определениях есть различие. Изначальные коммутато- коммутаторы не содержали никакого усреднения, а те, которые я только что вычислил,
Гл. 13 Релятивистские фермионы 139 содержат. Мы получили пример коммутатора, который не равен нулю толь- только для системы с бесконечным числом частиц, но зануляется для любой конечной системы. Такие коммутаторы называются аномальными. Очень ясное и красивое обсуждение аномальных коммутаторов токов можно най- найти в книге Фрадкина (раздел 4.3.1). Из наших рассуждений можно извлечь важный урок. Чтобы не потерять аномальные коммутаторы, всегда лучше не вычислять их напрямую, а пользоваться диаграммным разложением и равенством A3.28). Теперь можно просто проверить, что коммутационные соотноше- соотношения A3.29) и A3.30) воспроизводятся, если отождествить фермионные то- токи с производными бозонного поля согласно A3.22). Это отождествление дает нам первый пример бозонизации—понятия, которое мы будем широко обсуждать в части 4. Пользуясь эквивалентностью A3.22), можно записать производящий функционал для полей А^ в следующем виде: In Z[A] = f БФехр|-5[Ф] - -J= f d2xA^udl/^\ . A3.31) Чтобы вычислить этот интеграл по траекториям, удобно проинтегрировать второй член в экспоненте по частям: f d2xA^l/d^ = - f Теперь, интегрируя по Ф, получаем A3.21). Затем мы должны вычислить затравочное действие для электромагнитного поля. Стандартное действие имеет вид 1 Г axF (x)Fl"/(x) A3 32) Это действительно одномерное действие, поэтому оно идеально для аб- абстрактной модели КЭД в A + 1) измерениях, но полностью нереально как модель одномерных электронов. Тем не менее давайте сначала обсудим это действие. Объединяя A3.32) и A3.21), получаем эффективное действие КЭД в A + 1) измерениях — так называемая модель Швингера: S = i-J d2x \^F^(x)F^(x) - F^(x)A-l(x,y)F^(y)j . A3.33) Корреляционная функция электромагнитного поля теперь имеет вид Электромагнитное поле приобретает массовую щель из-за экранирования электрического заряда безмассовыми электронами!
140 фермионы Ч. II Давайте обсудим более реалистичную модель. Предположим, что на- наши электроны находятся в тонкой металлической проволоке, а электро- электромагнитное поле имеет размерность C + 1). Такие системы возникают в компьютерной технике как часть электронных устройств. Одиночная проволока не может полностью за- ) экранировать электромагнитное по- поле в трех измерениях: линии поля обходят экранирующие заряды (см. рис. 13.3). Тем не менее кулонов- Рис. 13.3. Линии электростатического ское взаимодействие модифицирует- поля вокруг проволоки ся. Давайте рассмотрим его корре- корреляционную функцию прямо в про- проволоке. Поскольку магнитное взаимодействие очень слабое, мы бу- будем обсуждать только статическое (кулоновское) взаимодействие. Фурье- преобразование одномерного кулоновского потенциала имеет вид U0{p) = 2е21п(ра), A3.34) где а — толщина проволоки. Как мы только что установили, точная элек- электронная поляризационная петля имеет такой же вид, как для невзаимодей- невзаимодействующих электронов: Поэтому экранированный потенциал дается выражением К ' Спектр возбуждений электростатического поля в проволоке (плазменные волны) определяется полюсами этого выражения: -— ln(po)l. A3.37) 7TVF J Эти плазменные волны обладают почти линейным спектром (как фононы), но скорость логарифмически растет на малых импульсах. Дальнодействую- щее кулоновское взаимодействие является причиной сильных изменений в электронной функции Грина — тема, которая в этой книге не обсуждается. Литература 1. S. Coleman, Phys. Rev. D, 11, 2088 A975).
14 ЭФФЕКТ ААРОНОВА-БОМА И ПРЕВРАЩЕНИЯ СТАТИСТИКИ Сын мой, чтобы превратить свинец в золо- золото, возьми одну часть философского камня и смешай ее с Зеленым Львом. Держи все это в тигле, пока Сириус не войдет в правильное созвездие. И тогда работа сделана... Василиус Василидис Квантовая теория поля в B +1) измерениях дает необычный механизм пре- преобразования бозонов в фермионы и наоборот. Этот механизм основан на эффекте Ааронова-Бома. Чтобы напомнить, что это за эффект, рассмотрим нерелятивистский электрон в двумерной плоскости в поле тонкого бес- бесконечно длинного соленоида, перпендикулярного плоскости. В соленоиде образуется магнитный поток Ф; соответствующее магнитное поле сосредо- сосредоточено внутри соленоида и тождественно равно нулю снаружи. Мы пред- предполагаем, что электрон не может проникнуть внутрь соленоида. С наивной точки зрения кажется, что магнитное поле не влияет на электроны. Однако это не так: электроны откликаются на магнитное поле, существующее в области, куда они не могут попасть! Чтобы доказать это утверждение, рас- рассмотрим уравнение Шредингера для электрона в поле круглого соленоида. Из-за цилиндрической симметрии удобно работать в полярных координатах с полюсом в центре соленоида. Гамильтониан дается выражением *АГJ+{РФ+*А< U(r), A4.1) где U{г) — потенциал, явный вид которого не играет роли. Например, можно представлять, что U(r) равен нулю вне соленоида и бесконечен внутри. Я выбираю такую калибровку:' Тогда уравнение Шредингера принимает вид -ТГ- \-дг{гдт) + \{дф + 1еФ/2тгс/гJ1 -ф + U{r)ip = Е-ф. A4.2) 'Проверьте, что магнитное поле равно нулю везде, кроме г — О!
142 Фермионы Ч.П В цилиндрических гармониках решение выглядит так: фт(г, ф) = Rmir) exp [i (m + A4.3) где Rm не зависит явно от Ф. Поскольку получеиное решение должно быть периодическим по ф, мы получаем новое правило квантования: т еФ 27ГСЙ = целое число. A4.4) Рис. 14.1 Таким образом получается, что магнитное поле меняет правила кванто- квантования! Это и есть эффект Ааронова-Бома: при обходе потока Ф частица приобретает фазу еФ/ch. Теперь обсудим, как применить механизм Ааронова-Бома к превраще- превращению статистики. Представим, что у нас есть частицы с прикрепленными к ним трубками с магнитным потоком. Пусть каждая трубка несет половину кванта потока, т. е. еФ/сЛ = тг. Рас- Рассмотрим перестановку двух частиц. При такой перестановке частицы не только меняют свои положения, но еще и обходят трубки с магнитным потоком (см. рис. 14.2). Поэтому мно- Рис. 14.2 гочастичная волновая функция приоб- приобретает дополнительный множитель ехрAеФ/сй) = -1, что эквивалентно изменению статистики. Ниже я опишу, как реализовать эту процедуру с по- помощью интеграла по траекториям. Давайте рассмотрим теорию для частиц (не важно, бозонов или фермионов) в B +1) измерениях с сохраняющимся и
Гл. 14 Эффект Ааронова-Бома 143 током Jp. Чтобы изменить статистику, нужно добавить в лагранжиан взаи- взаимодействие с фиктивным калибровочным полем ам, лагранжиан которого содержит только так называемый член Черна-Саймонса: SL = i | d2xJtiati + L4C, A4.5) Ьчс = — W I d2xaofXy, A4.6) где fxy = дхау — дуах. Поскольку полное действие линейно по полю ао, мы можем по нему проинтегрировать:2 | Da0 exp I i | dr d2xa0(-J0 + 0fxy) 1 = 6(-J0 + 6fxy). A4.7) Эта дельта-функция говорит о том, что каждая частица (т. е. единичный «заряд» J" d xJq — 1) несет поток 1/в. Как мы знаем из предыдущего обсуждения, превращение статистики происходит, когда I d2xfxy = тг, что соответствует в = 1/тг (я не буду рассматривать случай произвольно- произвольного в; любопытному читателю советую почитать книгу Франка Вильчека, указанную в Общей библиографии). Таким образом если добавить фиктив- фиктивное поле Черна-Саймонса с в = 1/тг к бозонам, их многочастичная вол- волновая функция становится антисимметричной относительно перестановки частиц. Когда мы добавляем такое поле к фермионам, их волновая функция становится симметричной. Однако это не означает, что процедура Черна- Саймонса преобразует свободные фермионы в свободные бозоны и нао- наоборот. Чтобы понять это, рассмотрим бесспиновые свободные фермионы на решетке. Поскольку член Черна-Саймонса не может изменить антиком- антикоммутационные соотношения на одном узле, двойное заполнение остается запрещенным даже после преобразования. Такую ситуацию можно опи- описать с помощью бесконечного отталкивания на узле. Поэтому свободные фермионы, взаимодействующие с калибровочным полем Черна-Саймонса, эквивалентны не свободным бозонам, а бозонам с твердым ядром, т. е. с бесконечным отталкиванием на одном узле. Прежде чем двигаться дальше, я бы хотел указать на несколько свойств члена Черна-Саймонса. Во-первых, он обладает лоренцевой инвариантно- инвариантностью: выражение A4.6) можно переписать так, чтобы сделать эту симмет- симметрию явной: о г A4.8) в Г - *2 2Поэтому поле ац действительно «фиктивно» — оно не дает какой-либо незави- независимой динамики.
144 Фермионы Ч. II (здесь греческие индексы принимают значения т, х, у). Второе свойство со- состоит в том, что действие Черна-Саймонса (не плотность лагранжиана!) калибровочно инвариантно. Действительно, если мы сделаем преобразова- преобразование а^ -> аЙ + дЙА, то плотность лагранжиана изменяется: но действие, т. е. интеграл от плотности по всему пространству-време- пространству-времени, остается инвариантным. Третье свойство заключается в том, что член Черна-Саймонса неинвариантен относительно изменения четности. Это следует из присутствия в нем абсолютно антисимметричного тензора е^\, меняющего знак при инверсии пространства. Комбинация калибровочной инвариантности с нарушением четности показывает, что член Черна-Сай- Черна-Саймонса возникает динамически из калибровочно инвариантного взаимодей- взаимодействия фермионов только через нарушение четности. Ниже я покажу, что член Черна-Саймонса появляется в эффективном действии GA) калиб- калибровочного поля в B + 1)-мерной киральной КЭД (т. е. в КЭД, в которой присутствуют фермионы только с определенной киральностью). Также стоит отметить, что член Черна-Саймонса можно ввести в неа- белевы калибровочные теории, т. е. калибровочные теории, в которых ком- компоненты векторного потенциала являются матрицами. Напряженность поля для неабелевых калибровочных теорий определяется так: F^u = д^аи — — диа^ + [ад, а^]; она инвариантна относительно калибровочных преобра- преобразований a^-^a^+iG^d^G. A4.9) Глобально калибровочно инвариантное действие Черна-Саймонса выгля- выглядит так: 5ЧС = W J d3xe^xTr L (диах + ^К,ах]\\ . A4.10) После преобразования A4.9) оно изменяется на l A4.11) Отметим отличие от абелева случая, в котором нет глобального изменения действия! Здесь оно есть, но тем не менее глобальная калибровочная ин- инвариантность сохраняется для определенных значений в. Дело в том, что инвариантной величиной является не действие, а статистическая сумма, которая содержит ехр(-55'чс)- Изменение действия A4.11) чисто мнимое и если оно пропорционально 2тп, статистическая сумма не меняется. Ин- Интеграл A4.11) берется от полной производной — якобиана преобразова- преобразования от пространственных координат к групповым — и поэтому зависит только от глобальных топологических свойств G (см. подробное обсужде- обсуждение в главе 30). Хорошо известно, что интеграл A4.11) пропорционален
Гл. 14 Эффект Ааронова-Бома 145 целому числу — кратности отображения G на трехмерное пространство: 55чс = i807r2x (целое). Таким образом, если в = п/4тг, то теория хорошо определена. Как уже было сказано, член Черна-Саймонса может появиться динами- динамически только если произойдет нарушение четности. Один такой механизм очень прост. Давайте рассмотрим свободные электроны с квадратичным спектром на плоскости во внешнем магнитном поле Н, перпендикуляр- перпендикулярном плоскости. Кроме этого однородного магнитного поля существует еще флуктуирующее электромагнитное поле (оно всегда существует), эффек- эффективное действие которого мы хотим вычислить. Из элементарной кванто- квантовой механики известно, что во внешнем магнитном поле спектр электронов состоит из дискретных эквидистантных уровней (уровни Ландау) с выро- вырождением _ ф где Ф — полный магнитный поток через плоскость, а Фо = 2тгсЙ./е — квант потока. Ниже мы будем работать в системе единиц е = с = h = 1. Тогда для N заполненных уровней Ландау полное число электронов равно п = 7V— = — (HS + [ d2xFxv ) , A4.12) 2it 27г у J J где Fxy — флуктуирующее электромагнитное поле. С другой стороны, пол- полное число частиц, то есть заряд, дается выражением ЯР A4.13) Сравнивая эти два выражения, мы находим, что эффективное действие для электромагнитного поля в длинноволновом пределе, полученное в резуль- результате интегрирования по фермионам, содержит член Черна-Саймонса с *=~ 04.14) Другой пример теории с нарушением четности, в которой появляется член Черна-Саймонса, это B + 1)-мерная КЭД с массивными киральны- ми фермионами (киральная КЭД). Слово «киральная» означает, что есть фермионы только с определенной четностью. Как было отмечено выше, в B + 1) измерениях можно выбрать дву- или четырехмерные представле- представления для 7-матриц. Двумерные представления не инвариантны относительно преобразования четности; они переходят друг в друга при инверсии t—tt, х -л х, у -» -у. В киральной КЭД фермионы представляются двумерными спинорами со следующим лагранжианом: I/= d2x —^ h трсг{4 + ieA)ip + М'ф-ф \. A4.15)
146 Фермионы Ч. II Чтобы вывести эффективное действие для калибровочного поля нужно проинтегрировать по фермионам. Это нельзя сделать точно, как в A + 1) измерениях, а только приближенно при малом е2. Удобнее делать вычисле- вычисления в реальном пространстве, в котором электронная функция Грина имеет вид + M) . A4.16) В таких обозначениях очень просто вычислить поляризационные операторы П„„ = ((M-q)Ju(q))) = = ±^vXqxfi{\q\/2M) + (V - q^/q2)\q\f2{\q\/2M), A4.17) где Знак первого члена зависит от четности. Функция /г(х) обладают следую- следующими свойствами: X -4 00. Интегрирование по фермионам нельзя провести точно даже при М = = 0. Тем не менее можно показать, что поправки не меняют качественного поведения поляризационных операторов. В частности, коэффициент перед членом Черна-Саймонса не перенормируется. Результирующее действие при малых q имеет вид ^q). A4.18) Полезно вычислить парную корреляционную функцию электромагнитных полей с таким эффективным действием. Давайте перепишем его в терминах векторного потенциала: 2е^хЯх + (<*„„ - q»qv/q2)q2e(q)}Av(q), A4.19) где e(q) = 1 + е2|д|~1/г(д). При вычислении корреляционных функций возникает трудность из-за того, что калибровочная инвариантность не поз- позволяет обратить матрицу в квадратных скобках. Однако оказывается, что можно найти матрицу D^v{q), такую, что Dup(q) = {8^ - q^/q2). A4.20)
Гл. 14 Эффект Ааронова-Бома 147 Я буду искать эту матрицу в таком виде: 2 A4.21) и использую следующие тождества: A4.22) - q»qP/q2)- После простых вычислений получаем 2 4ie2 Таким образом мы видим, что фотоны в этой теории имеют массу т2 = 4е2/е@). Общее выражение для члена Черна-Саймонса для невзаимодействую- невзаимодействующих фермионов в B + 1) измерениях в однородном периодическом по- потенциале с функцией Грина G(w, k) было выведено Воловиком [14.4] (см. также Яковенко [14.5]): 2,0 = ?Ъ\ *- dHG^G^G^G-K A4.24) Это выражение является топологическим инвариантом для матричной фун- функции G(d, к) и принимает целые значения. Оно очень удобно для практи- практических вычислений. Чтобы еще прояснить физический смысл члена Черна-Саймонса, давай- давайте рассмотрим простую задачу о B + 1)-мерных релятивистских массивных фермионах в постоянном магнитном поле. Уравнение Дирака имеет вид [Еа3 + ах{дх + L4X) + ау{ду + \АУ) + М]ф = 0, A4.25) где ф — двухкомпонентный спинор, а Ах — Ну/2, Ау = —Нх/2. Перепи- Переписывая уравнение Дирака в компонентах, получаем (М - Е)фь + Bд + Нг/2)фК = О, Bд - Hz/2L>L + (М + Е)фК = 0. A4.26) Положим Н > 0. Чтобы решить эти уравнения, выразим, например, ф& через фь из второго уравнения:
148 Фермионы Ч. II и подставим результат в первое уравнение: [М2 -Е2 - {2д + Hz/2){2d - Нг/2)}фя = 0. A4.27) Поскольку полученное уравнение содержит Е2, спектр содержит одинако- одинаковое количество положительных и отрицательных энергетических уровней. Это верно для всех уровней, кроме одного. Именно, эта процедура не рабо- работает, если Е = —М, а решение Е = —М (нулевая мода) существует: Е=-М, Vl = 0, фк = /(г)ехр(-Н\г\2/4), A4.28) где f(z) — произвольная аналитическая функция. Для Н < 0 тоже есть нулевая мода, но с противоположной энергией и четностью: Е = М, Vr = 0, ^h = f(z)exp(H\z\2/4). A4.29) Схематически спектр показан на рис. 14.3. Если изменить знак Н, все состояния из нулевой моды пересекут уровень химического потенциала. Поэтому полный заряд системы изменяется на величину, равную вырожде- вырождению нулевой моды. Для систем с тривиальной топологией это вырождение равно Ф/Фо, как мы уже видели. Стоит сделать замечание о нетривиаль- нетривиальных топологиях. Пусть у нас есть многообразие с «дырками»: волновая функция обращается в ноль в определенных точках (zi,z2, ¦ ¦ ¦ ,zN) (см. рис. 14.4); В реальных системах это может происходить из-за сильного потенциального рассеяния. Тогда функции f(z),f(z) обращаются в ноль в точках (zi,z2,- ¦ ¦ ,zN). Поэтому N решений пропадают, и вырождение уменьшается до Ф/Фо - N. Это значит, что для Ф/Фо < N на нижнем уровне Ландау вообще нет состояний. Таким образом примеси оказывают разрушающее влияние на член Черна-Саймонса. ~Е2 -Е2 Рис. 14.3. Схематический вид спектра A4.27) Спектры релятивистского типа в двух измерениях встречаются не так часто, как в одном. Однако есть несколько систем, в которых может суще- существовать такой спектр. Среди них двумерные углеродные плоскости (Се- (Семенов [14.2]), полупроводниковые гетероструктуры, изготовленные между полупроводниками с инвертированной зонной симметрией (Волков и Пан- Панкратов [14.3]), и двумерные d-волновые сверхпроводники. Много задач,
Гл. 14 Эффект Ааронова-Бома 149 Рис. 14.4. Плоскость с дырками. связанных с членом Черна-Саймонса и B + 1)-мерными фермионами, об- обсуждается в книгах Фрадкина и Вильчека, ссылки на которые даны в Общей библиографии. Литература 1. J. Frdhlich, and U. M. Studer, Rev. Mod. Phys., 65, 733 A993). 2. G. Semenoff, Phys. Rev. Lett, 53, 2449 A984). 3. B. A. Volkov and O. A. Pankratov, JETP Lett., 42, 145 A985). 4. Г. Е. Воловик, ЖЭТФ, 67, 1804 A988). 5. V. M. Yakovenko, Phys. Rev. Lett, 65, 251 A990).
Часть III Сильно флуктуирующие спиновые системы
Введение Одна из фундаментально нелинейных задач, которую мы пока не об- обсуждали — это задача о взаимодействующих квантовых спинах. Нелиней- Нелинейность заключена в коммутационных соотношениях спиновых операторов; в отличие от случая бозевских и фермиевских операторов рождения и уни- уничтожения, коммутаторы спиновых операторов являются не комплексными числами, а вновь операторами. Поэтому даже очень простые на первый взгляд спиновые модели, такие, как модель Гейзенберга, гамильтониан ко- которой квадратичен по спинам, могут обладать сложной динамикой. На са- самом деле модель Гейзенберга описывает большинство явлений, имеющих место в магнетиках, таких, как различные типы магнитного упорядочения, спин-стекольные переходы и т. д. В рамках традиционных подходов спины рассматриваются как почти классические стрелки, слабо флуктуирующие вблизи некоторой фиксированной системы отсчета. Эта система отсчета определяется существующим глобальным магнитным порядком. Напри- Например в ферро- и антиферромагнетиках, где глобальный порядок определяет единственное выделенное направление (направление средней намагничен- намагниченности или «шахматной» намагниченности), предполагается, что спины сла- слабо флуктуируют вблизи этого направления. В геликоидальных магнетиках есть два выделенных направления, описывающих спираль; в этом случае спины флуктуируют вблизи спиральной конфигурации. Если отклонения спинов от средних направлений малы, спиновые операторы можно прибли- приближенно выразить через бозевские операторы рождения и уничтожения. Этот метод называется приближением спиновых волн. Как уже было сказано, он основан на двух предположениях: существовании глобальной системы отсчета и малости флуктуации. Трудности возникают, если флуктуации ста- становятся сильными и разрушают глобальный порядок. В этой части книги я буду, главным образом, рассматривать неупоря- неупорядоченные магнитные системы. Однако я не буду касаться таких сложных источников беспорядка, как вмороженный беспорядок. В своем обсужде- обсуждении неупорядоченных магнитных систем я рассматриваю только магнети- магнетики, описываемые идеально периодическими гамильтонианами. Существует довольно много экспериментальных примеров неупорядоченных магнети- магнетиков этого типа. Некоторые из них приведены в таблице (я слегка изменил таблицу, представленную Артом Рамирезом на Kagome Workshop в NEC Research Institute в январе 1992 года). На самом деле многие из веществ, представленных в таблице, упорядочиваются. Однако соответствующие фа- фазовые переходы всегда происходят при температурах, много меньших, чем характерное взаимодействие между спинами. Рамирез и др. [7] предложи- предложили характеризовать магнетики с «запаздывающим» магнитным упорядо- упорядочением специальным числом /, функцией фрустрации, определяемым как
Введение 153 отношение температуры Кюри-Вейса —вкв к температуре фактического упорядочения Тс 1: f = -екв/тс. Идея состоит в том, что температура Кюри-Вейса, определяемая из высо- высокотемпературного поведения однородной магнитной восприимчивости связана с характерными обменными интегралами: (Z — число ближайших соседей, S — спин). В случае / 3> 1 существует область Гс <8С Г <С —вкв, в которой система находится в сильно корре- коррелированной фазе без спинового упорядочения. Эту фазу принято называть спиновой жидкостью. В таблице приведен неполный список спиновых жид- жидкостей с / > 10. Одним из источников беспорядка является размерность: в двух про- пространственных измерениях магнитный порядок разрушается температур- температурными, а в одном измерении также квантовыми флуктуациями. Поскольку реальные системы никогда не бывают точно одно- или двумерными, а состо- состоят из цепочек или плоскостей, которые всегда взаимодействуют, трехмер- трехмерные эффекты могут в конце концов перевесить. В этом случае вещество маг- магнитно упорядочивается при некоторой низкой температуре. Однако, если взаимодействия малы, существует интервал температур, в котором систе- система ведет себя как низкоразмерный магнетик. Одномерные магнетики будут обсуждаться особо в следующей части книги. Здесь же я лишь хочу обра- обратить ваше внимание на новое квазиодномерное вещество Б^СиОз с очень большим обменным интегралом внутри цепочки У ~ 1000 К. Большая величина J делает это вещество многообещающим для проверки теории одномерного магнетизма. В этой части книги я рассматриваю, главным образом, двумерные си- системы. Среди перечисленных в таблице веществ лучше всего изученным и понятым является LaCuO4 — двумерный аналог соединения Sr2CuO3. Это вещество широко известно в связи с тем, что при легировании оно становится сверхпроводником с необычно высокой температурой перехо- перехода Тс rs 30 К. В отсутствие легирования это соединение является анти- антиферромагнитным диэлектриком с очень большим обменным интегралом в плоскости J ~ 1500 К. Последнее обстоятельство существенно облегча- облегчает экспериментальные наблюдения. Результатом этих наблюдений является большая величина и сильная температурная зависимость корреляционной длины. Для систем с большой корреляционной длиной можно модифициро- модифицировать приближение спиновых волн, введя локальную «шахматную» намаг- 1 Поскольку речь пойдет об антиферромагнетиками, вкв всегда отрицательна.
154 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч.Ш ниченность, которая медленно меняется в пространстве. В последующих главах мы выведем эффективное действие для «шахматной» намагниченно- намагниченности в одно- и двумерных антиферромагнетиках с большой корреляционной длиной. Это действие дается уже знакомой нам (Э(З)-нелинейной сигма- моделью. Как обсуждалось в главе 9, сигма-модели с неабелевой симмет- симметрией в двух измерениях являются асимптотически свободными теориями, и изучать их очень интересно и поучительно. В особенности приятно то, что теоретические предсказания находятся в очень хорошем согласии с экспериментальными данными для LaCuC>4 и S^CuCbCb. Еще одним источником беспорядка является геометрия. Вещества с наибольшими значениями / среди приведенных в таблице геометрически фрустрированы — их решетки включают в себя такие составные элементы, как треугольники или пирамиды. Эти решетки особенно неблагоприятны для антиферромагнитного упорядочения. Классические спины на треуголь- Таблица Вещество Квазиодномерные KCuF3 Ni(C2H8N2JNO2ClO4 Sr2Cu03 Слоистые LaCuO4 VC12 NaTiO2 Gao,eLao,2Cu02 SrCr8Ga4019 KCr3(OHN(SO4J Трехмерные ZnCr2O4 K2IrCl6 FeF3 CsNiFeF6 Мп1П2Тв4 Gd3Ga5Oi2 S^NbFeOe Ba2NbVO6 Решетка - квадратная треугольная треугольная треугольная кагоме кагоме В-шпинель ГЦК пирохлор В-шпинель цинковая обманка гранат перовскит перовскит Г«(К) 39 5 250 35 0,7 3 <2 15 3,1 15 4,7 4 <0,02 28 15 f ~ 10 > 100 100-200 ~10 13 > 103 16 150 >30 25 10 16 100 25 > 100 30 30 Основное состояние АФ АФ АФ АФ СС СС АФ АФ АФ СС СС СС СС Спин 1/2 1 1/2 1/2 3/2 3/2 7/2 3/2 3/2 3/2 5/2 5/2 1,5/2 5/2 111 5/2 3/2 ной решетке могут избежать фрустрации, ориентируясь под углом 120° друг к другу. Для квантовых спинов классическое упорядочение являет- является лишь приближенным; это приближение в особенности неудачно для квантовых спинов 5 = 1/2, поскольку суммарный спин треугольника не может быть меньше, чем 1/2, что равно значению элементарного спина. Численный счет, произведенный Элстнером и др. [4], показывает, что мо- модель Гейзенберга со спином S = 1/2 с обменным взаимодействием между
Введение 155 ближайшими соседями на треугольной решетке обладает малой, но конеч- конечной, «шахматной» намагниченностью при Т = 0. Малость «шахматной» намагниченности происходит из-за сильных квантовых флуктуации, ти- типичных для малых значений спина. Это последнее обстоятельство является третьим источником возможного беспорядка. Любопытно, что согласно та- таблице, даже магнетики с большими значениями спина не упорядочиваются геликоидально. Весьма вероятно, что реализуется другой сценарий: спины, принадлежащие одному треугольнику, образуют состояние с минимальным возможным спином S — 1/2, и низкоэнергетический сектор описывается как магнетик с эффективным спином S = 1/2. В двух измерениях все три источника беспорядка — низкая размер- размерность, геометрия решетки и малость спина — приводят к общей фазовой диаграмме, подробно описанной в главе 16. В этом случае можно выделить три различные ситуации: 1) магнитный порядок существует при Т = 0, 2) система является неупорядоченной даже при Т = 0, 3) при Т = 0 име- имеется квантовая критическая точка. В одном измерении остаются только две последние возможности. Во всех случаях можно пользоваться описанием в терминах сигма-модели при условии, что длина спиновых корреляций ? велика по сравнению с постоянной решетки а. В этом случае существует промежуточный масштаб а «С Л -С ?, на котором можно ввести локаль- локальный параметр порядка — единичный вектор п(х, т), пропорциональный «шахматной» намагниченности, усредненной по площади Л~2. Эта пло- площадь влючает в себя большое количество узлов решетки, что позволяет пользоваться непрерывным описанием. Как было упомянуто выше, эффек- эффективное действие для этой медленной переменной дается нелинейной сигма- моделью. Встречаются случаи, когда описание в терминах сигма-модели не является удовлетворительным. Эти случаи требуют использования альтер- альтернативных подходов, обсуждаемых в главах 18 и 19. Модель магнетика с сильной геометрической фрустрацией обсуждается в конце главы 27. В сильно фрустрированных системах кроме обычных магнонов могут существовать и другие низколежащие возмущения. Такая ситуация имеет место, если в системе есть несколько слабо взаимодействующих магнит- магнитных подрешеток. Абелевым аналогом этих возмущений являются оптиче- оптические фононы. Различие, однако, состоит в том, что неабелевы моды почти всегда сильно взаимодействуют. Поэтому при низких температурах подре- шетки оказываются скоррелированными, что приводит к нарушению соот- соответствующей дискретной симметрии и, следовательно, происходит путем фазового перехода второго рода. Это явление обсуждается в главе 17. Пре- Предельным случаем может быть ситуация, когда подрешетки скоррелированы, но глобальный магнитный порядок не появляется даже при Т = 0, т. е. дли- длина корреляций спин-спин мала. В этом случае «оптическая» ветвь лежит ниже спектра магнонов. По-видимому такая ситуация осуществляется в слоистом антиферромагнетике SrCrgGa^ig, где магнитные ионы Сг обра- образуют так называемую решетку кагоме (см. рисунок). Данные неупругого рассеяния нейтронов в этом веществе говорят об отсутствии особенности в «шахматной» магнитной восприимчивости, но измерения удельной теп-
156 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч.1П лоемкости при низких температурах дают Cv ос Т2, что свидетельствует о наличии возбуждений с линейной дисперсией. Расходящаяся восприим- Кагоме-решетка чивость была обнаружена Рамирезом и др. [6], которые наблюдали, что нелинейная восприимчивость Хз = д3М ОН3 отрицательна и расходится при Tg к 10 2 J. Это было первым наблюдением поведения типа спинового стекла в системе без вмороженного беспорядка. Эксперименты по квазиупругому рассеянию нейтронов, проведенные Бро- хольмом и др. [1], являются серьезным аргументом в поддержку этой идеи, демонстрируя значительное увеличение интенсивности при низких тем- температурах, что соответствует «замораживанию» спинов. Спин-стекольное поведение в сильно вырожденных системах без беспорядка предлагалось Де Зе [3], Вилланом [8] и Обрадорсом и др. [5]. Было предположено, что макроскопическое вырождение основного состояния приводит к разруше- разрушению термодинамического равновесия при низких температурах, как это происходит в спиновых стеклах. Для кагоме-антиферромагнетиков спин- стекольные механизмы обсуждались Чандрой и др. [2]. Однако экспери- эксперименты по мюонной спиновой релаксации показывают, что ниже Tg ско- скорость релаксации ведет себя не так, как в спиновых стеклах [9]. Таким об- образом необходимо признать, что, несмотря на интенсивные теоретические исследования, проблема кагоме-антиферромагнетиков до сих пор остается нерешенной.
Введение 157 Литература С. Broholm, G. Aeppii, G. P. Espinosa and A. S. Cooper, Phys. Rev. Lett, 65, 3173 A990); J. Appl. Phys., 69, 4968 A990). P. Chandra, P. Coieman and 1. Ritchey, J. Phys. I (Paris), 3, 591 A993). L. De Sze, J. Phys. С Solid State Phys., 10, L353 A977). N. Eistner, R. R. Singh and A. P. Young, Phys. Rev. Lett, 71, 1629 A993). X. Obradors, A. Labarta, A. Isalgue, J. Tejada, J. Rodriguez and M. Pernet, Solid State. Commun., 65, 189 A988). A. P. Ramirez, G. P. Espinosa and A. S. Cooper, Phys. Rev. Lett, 64, 2070 A990). A. P. Ramirez, R. Jager-Waldau and T. Siegrist, Phys. Rev. B, 43, 10461 A991). J. Villain, Z. Phys. B, 33, 31 A979). Y. J. Uemura, A. Keren, L. P. Le, G. M. Luke, B. J. Sternlieb and W. D. Wu, Proc. of Int. Conf. on Muon Spin Rotations, /xSR-93, Miami, January 1993.
15 ПРОЦЕДУРА КВАНТОВАНИЯ ШВИНГЕРА-ВИГНЕРА. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОДЕЛИ В этой главе я опишу наиболее общий подход к спиновым системам в терминах интегралов по траекториям (функциональных интегралов), кото- который может быть получен из представления спиновых операторов, предло- предложенного Швингером и Вигнером. Эта функционально-интегральная фор- формулировка естественным образом приводит к квазиклассическому подходу к магнетизму, который содержит в себе результаты теории спиновых волн и в рамках которого возможно исчезновение упорядоченной намагничен- намагниченности. Кроме того, в этой главе я выведу длинноволновое эффективное действие для квантовых антиферромагнетиков. Швингером и Вигнером было предложено представление операторов спина S в терминах двух бозевских операторов рождения и уничтоже- уничтожения Ь+,Ьа: *a(i)ba(i) = 2S A5.2) a (<т° — матрицы Паули). Упражнение Проверьте, что выражение A5.1) воспроизводит коммутационные соот- соотношения алгебры спинов, и что условие A5.2) приводит к формуле S2(i) = = S(S + 1). За сим расстанемся с операторами и введем вместо них интегралы по траекториям. Представление A5.1), A5.2) подсказывает следующий функ- функциональный интеграл для спиновых систем: Z[rf] = ^Db+a(j)Dba(j)DX(j)exp(-^ dr{i\(j)[b+a(j)ba{j) - 25]+ + b+a(j)dTba(j) + H[S(b+,b)) - r,aSa}\, A5.3) где выполнение условия A5.2) обеспечивается функциональной дельта- функцией. Поскольку теперь b+, b являются не операторами, а числа- числами, мы можем производить с ними любые преобразования. В частности,
Гл. 15 Процедура квантования Швингера-Вигнера 159 удобно проинтегрировать по А, что достигается явным разрешением усло- условия 6+ (j)ba(j) = 25 в сферических координатах: Ьх = \/2S"exp[i(<? + V)/2]cos@/2), b2 = \/2S"exp[i(<? - V)/2] sin@/2), S = 5(со8 0,со8^8т0,8т^8тб). A5.4) Обратите внимание на то, что ф не входит в выражение для спина; этот факт отражает калибровочную симметрию представления Швингера-Вигнера. Следовательно интегрирование по ф в функциональном интеграле дает бес- бесконечную константу, которую можно опустить. В сферических координатах производящий функционал A5.3) принимает следующий вид: Z[ri\ = jD0Dtf>exp (- J dr{iScos вЦ)дТф{з) A5.5) Очевидный недостаток такого представления состоит в том, что оно при- привязано к конкретному выбору координат, что не всегда удобно. Для спино- спиновых гамильтонианов, симметричных по отношению к вращениям, в осо- особенности желательно записывать производящий функционал в явно 0C)- симметричном виде. Однако оказывается, что единственное возможное ОC)-симметричное выражение для кинетической энергии нелокально по спину. Это выражение получается с помощью следующего приема. Во- первых вводится новая переменная 0 < и < 1, в результате чего можно определить новую непрерывную векторную функцию N(r, u;j) — еди- единичный вектор, удовлетворяющий следующим граничным условиям: N(r,u = 1; j) = S(t, j)/S; N(t,u = 0; j) = A,0,0). Теперь слагаемое в формуле A5.5), которое соответствует кинетической энергии, может быть записано как интеграл от полной производной — якобиана преобразования от сферических координат (в, ф) к декартовым координатам (г, и): iS f drcosOdri) = iS [ dr I du\rj)du(dTcos6) - dT(cos6durl>)) = iS Idrx о l l x f du(dTrl>du cos в - дт cos 6dui>) = iS f dr | du (N[0ttN x 9TN]). о о A5.6) Поскольку интегралы в правой части зависят только от значений (9, гр) на границе и = 1 (вклад от границы и = 0 равен нулю, так как N(u = = 0) есть просто константа), переменная и — вещь чисто формальная. Ее
160 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч III введение оправдано тем, что второй интеграл в A5.6) может быть записан как локальный функционал от N. Теперь давайте обсудим задачу, часто встречающуюся в приложениях. Именно, выведем эффективное действие для длинноволновых возбуждений в -D-мерном антиферромагнетике вблизи основного состояния с коллинеар- ным неелевским порядком. Этот вывод приводит к нелинейной модели, уже знакомой нам из части 1. Подобное описание было впервые введено Хал- дейном [15.3]. Его преимущесто по сравнению со стандартными методами спиновых волн состоит в том, что оно не требует существования дальнего порядка; достаточно, чтобы порядок существовал на расстояниях больше постоянной решетки. Для типичных магнетиков это условие выполняется в двумерном случае при низких температурах Г <gc J и даже в одномерном случае, если спины велики. В последующем рассмотрении мы следуем обзорной статье Сачде- ва [15.5]. Рассмотрим антиферромагнетик на D-мерной гиперкубической решетке с обменным взаимодействием J только между ближайшими со- соседями. Если мы находимся вблизи неелевского упорядочения, то спины на соседних узлах почти антипараллельны друг другу. Пусть п(г, г) — непрерывное векторное поле единичной длины, описывающее локальное направление неелевской намагниченности. Тогда локальное спиновое поле может быть записано следующим образом: >п(т,т,)у]\ - а™Щт,г,) + а°Цт,г0), A5.7) где а — постоянная решетки, и n2 = l, nL = 0, L2«a-2D. Чтобы иметь возможность пользоваться записью A5.6), мы должны предпо- предположить, что эти соотношения продолжены на ось и и выполняются для всех значений и. Соответствующие переменные n(u), L(u) удовлетворяют тем же граничным условиям, что и N(u). Естественно, конечный результат не зависит от и. Поле L описывает малые отклонения от локального антифер- антиферромагнитного (неелевского) упорядочения. Подставляя A5.7) в выражение для энергии и раскладывая последнее по градиентам п и по степеням L, получаем lJS2 J2 N(r + ae)N(r) » \ J dDx [p^nJ + X±S2L2 JS2 J2 N(r; + ae)N(r,) » \ J dDx [p^nJ + X±S2L2) , A5.8) где спиновая жесткость ps и поперечная магнитная восприимчивость хх для нашей конкретной модели даются формулами ре = JS2a2~D, xx = 2DJaD A5.9) Эти выражения зависят от модели, поэтому я буду рассматривать ps и хх как формальные параметры.
Гл 15 Процедура квантования Швингера-Вигнера 161 Подставляя выражение A5.7) в кинетическую энергию A5.6), мы полу- получаем 1 Г f f Smii = S' + iS\ dPx dr du{(n[dun x дТЦ) + J J J о + (n[duL x 0Tn]) + (Цдип x drn])}, A5.10) где A5.11) На первый взгляд кажется, что можно смело забыть про член S", посколь- поскольку он содержит быстроосциллирующий множитель (—1)п+ +-*°. В конце концов, в A5.8) мы уже пренебрегли осциллирующими слагаемыми. Одна- Однако член S' — особенный. Основная разница состоит в том, что величина S' чисто мнимая. Поскольку статистическая сумма содержит ехр(—S'), ве- величина S' должна вычисляться по модулю 2т, т.е. с большей точностью, чем требуется для действительных слагаемых в действии. В одномерном случае член S' был вычислен Халдейном [15.3]: 1 0 1 -iy f dr\ du (n(j)[dun(j) x dTn(j)}) 1 dT \ du [ 0 1 s Г Г Г s f w i— dx dr du (9xn[9un x 5Tn]) = —i— dr <fx (n^n x dTn]). 2 J J J 2 J A5.12) В этом выводе я воспользовался тем, что - fBj - | ±(x) + O(a2)} « | dxg(x)dxf(x). Таким образом постоянная решетки в окончательном результате сокраща- сокращается, и в одномерном случае действие 5' имеет ненулевой непрерывный предел. Соответствующее выражение называется топологическим членом.
162 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. Ш Будучи интегралом от якобиана, этот член может быть записан как интеграл по сферическим углам: 2jrfc S' = i| | dr dx(n[dxn х дТп}) = i| I d6 | d-фsmO - 2iSirk, A5.13) о о где к есть целое число — число точек плоскости (х, г), переходящих в соответствующее значение вектора n = (cos в, sin в cos tp,sm6 sin ф) при преобразовании в(т,х), тр(т,х). Для целых спинов exp(-S') = 1, и топологический член в функциональном интеграле может быть опущен. В случае же полуцелых спинов ситуация иная: ехр(-5") = (—l)fc. Оказы- Оказывается, что это различие очень важно и приводит к существенно разному поведению для целых и полуцелых спинов (подробнее об этом позже). Про- Проблемой 5' в двумерном случае занимались несколько групп авторов (см. об- обсуждение в разделе 5.9 книги Фрадкина). Вывод, к которому они пришли, состоит в том, что этот член не дает вклада, если в основном состоянии имеется ближний антиферромагнитный порядок. В части 4 я рассмотрю пример двумерной модели, в которой топологический член появляется и играет очень важную роль. Первое слагаемое в SKm может быть еще более упрощено, если принять во внимание тот факт, что векторы L, дип, дтп перпендикулярны п и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Поэтому 1 SmH = S'+iS j dDxdr \ du{dT (n[dun x Ц)-ди (n[drn x L])}. A5.14) о Полная производная по г дает ноль, поскольку все поля периодичны по т, в то же время полная производная по и дает поверхностный вклад при и — 1. В результате получаем Smil = S' - \S | dDx dr (L[n x dTn}). A5.15) Собирая вместе формулы A5.15) и A5.8), мы приходим к следующему выражению для производящего функционала: Z= |DnDLexp(-53+), A5.16) 5зф = S' + \ \ dDx dr{Ps{d^f + x±S2~L2 + 25L(i[n x дтп] - h)}, A5.17)
Гл.15 Процедура квантования Швингера-Вигнера 163 в которое я добавил внешнее однородное магнитное поле h. Поскольку действие квадратично по L, соответствующий функциональный интеграл может быть легко вычислен, что приводит к эффективному действию нели- нелинейной сигма-модели1 2iXx(h[n x дТп})\ , A5.18) где с = y/psXx — скорость спиновых волн. В одномерном случае замена координат х0 = ст, х\ = х приводит к следующему эффективному действию: ^„(n^nx^n]), A5.19) где д = л/xUps — безразмерная константа взаимодействия. Как уже было сказано, последний член должен быть сохранен только в случае полуце- полуцелого 5. Для простой модели Гейзенберга со взаимодействием ближайших соседей имеем д = 2/S. При д^1 наше описание становится количественно неудовлетворительным. Однако оно остается качественно справедливым. В части 4 я опишу альтернативные подходы к случаям S = 1/2 и S = 1. Бу- Будет показано, что элементарными возбуждениями цепочки спинов S — 1 являются массивные триплеты, как и должно быть для ОC)-нелинейной сигма-модели. Случай полуцелых спинов является особым. Поскольку топологический член зависит только от класса векторного поля п, статистическая сумма может быть записана как сумма статистических сумм на разных топологи- топологических классах: ии 7 V^ ( Л\к7 к=-оо = Dn<5 < — d 1е„„ (п[(9цП х <9„п]) - к > ехр — — \ d ^(cLnJ . J l87rJ J L 20J J A5.20) Каждая статистическая сумма Zk не меняется при малом непрерывном из- изменении п. Следовательно, топологический член не влияет на разложение каждого Zk в теории возмущений по степеням д\ Можно показать, что соот- соответствующие вклады в функцию Гелл-Мана-Лоу пропорциональны ехр(— —2тт/д). Совершенно неясно, допустимо ли сохранение таких неаналити- неаналитических членов одновременно с разложением по степеням д. Следовательно, влияние топологического члена не может быть учтено в рамках теории воз- возмущений. Стандартный двухпетлевой ренорм-групповой анализ приводит 'Я воспользовался тем, что из п5тп = 0 следует [п х дтп}2 = EтпJ. fi*
1G4 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч III к уравнению Гелл-Мана-Лоу (вспомните обсуждение в главе 8): dg 9* , 93 dln(A/fc) 2тг BтгJ 5(|А| = А) = 2/5, A5.21) решение которого растет и становится порядка единицы при \k\~C1 -aS^expiirS). A5.22) При д > 1 теория возмущений перестает быть применимой; она не может ответить на вопрос, растет ли константа взаимодействия до бесконечности, что соответствует образованию щели в спектре, или же рост заканчивается на некотором конечном значении д = д* ~ 1. В последнем случае низко- низкоэнергетический спектр бесщелевой, и корреляционные функции убывают степенным образом. Различие между этими двумя типами поведения прояв- проявляется только на достаточно больших масштабах |х| ~ ?, где эффективное взаимодействие уже порядка единицы. Халдейн [15.3] предположил, что гейзенберговские цепочки с полуцелыми спинами являются критическими. Считается также, что они принадлежат тому же классу универсальности, что и цепочка со спином S — 1/2, для которой корреляционные функ- функции известны точно (модель со спином 5=1/2 подробно обсуждается в главе 26). Если это действительно так, то парная корреляционная функ- функция векторных полей спадает на больших расстояниях, х2 + с2т2 3> ?2, так же, как и корреляционная функция «шахматной» намагниченности для изотропной гейзенберговской цепочки со спином S = 1/2: . A5.23) Нашу уверенность в предположении Халдейна поддерживают численные исследования конечных (но больших) цепочек [15.4, 15.7]. Из этой эквивалентности можно понять, как топологический член вли- влияет на вид функции Гелл-Мана-Лоу при д ~ 1. Уравнение Гелл-Мана-Лоу для гейзенберговской цепочки со спином 5=1/2 = Л) = go ~ 1 A5.24) имеет решение 1> 5о~1, A5.25) стремящееся к нулю при малых |fc|. Естественно предположить, что д про- пропорционально 5* - д. Тогда из A5.25) следует, что в окрестности критиче-
Гл 15 Процедура квантования Швингера-Вигнера 165 ской точки мы имеем следующую бета-функцию: /3E) = -А(д* - дJ, A5.26) где А — некоторая численная константа. Используя это выражение вме- вместе с пертурбативной бета-функцией A5.21), мы можем нарисовать график бета-функции при всех константах взаимодействия (см. рис. 15.1). Из этого S—полуцелое Рис. 15.1 Функция Гелл-Мана-Лоу для одномерного квантового антиферромагнетика графика очевидно, что предел сильной связи нелинейной сигма-модели не зависит от топологии: при д > д* константа взаимодействия всегда рас- растет. Именно этого, конечно, и следовало ожидать из общих соображений. Стоит упомянуть, что существуют изотропные модели со спином S = 1/2, которые находятся в неупорядоченной фазе д > д*. Одним из примеров является так называемая модель Маджумбара-Гоша (см. работу [15.1]): Я = ^(Sn-! + Sn + Sn+1J. A5.27) Литература 1. I. К. Affleck, Т. Kennedy, E. H. Lieb and H. Tasaki, Commun Math Phys , 115, 477A988). 2. P.Chandra, P. Coleman and A.I. Larkm, J Phys С Cond Matt, 2, 7933 A990); P. Chandra and P. Coleman, Phys Rev Lett, 66, 100 A991). 3. F. D. M. Haldane, Phys Lett, 93A, 464 A983); Phys Rev Lett, 50, 1153 A983); J Appl Phys , 57, 3359 A985). 4. A. Moreo, Phys Rev B, 36, 8582 A987). 5. S Sachdev, Low dimensional quantum field theories for condensed matter physi- physicists, Proc of Trieste Summer School 1992, World Scientific. 6. J. Schwinger, On Angular Momentum, US Atomic Energy Commission, NYO- 3071 A952), неопубликованный доклад. 7. T Ziman and H. J. Shultz, Phys Rev Lett, 59, 140 A987).
16 ОC)-НЕЛИНЕЙНАЯ СИГМА-МОДЕЛЬ В B + 1) ИЗМЕРЕНИЯХ. ФАЗОВАЯ ДИАГРАММА Эта глава посвящена анализу ОC)-нелинейной сигма-модели в B + 1) измерениях. Почему именно в B + 1) измерениях? Как мы уже видели в главе 15, A + 1)-мерная модель имеет неупорядоченное основное состоя- состояние. Это основное состояние формируется квантовыми флуктуациями; при низких температурах корреляционная длина не зависит от температуры: ? = Аад ехрBп / д), A6.1) где А — неуниверсальная численная константа, а — постоянная решетки (см. обсуждения в связи с формулами (9.3), (9.23) и A5.22)). Таким образом в A + 1) измерениях «шахматная» намагниченность не может существо- существовать. Наоборот, в C + 1) измерениях, если «шахматная» намагниченность существует при Т — О, то она сохраняется и при конечных температурах. Промежуточный случай B + 1) измерений наиболее необычен, поскольку в этом случае непрерывная симметрия может быть нарушена при Т = О и восстанавливается тепловыми флуктуациями при конечных Т. Имеет ли система неупорядоченное или упорядоченное основное состояние — опре- определяется параметрами гамильтониана; если корреляционная длина много больше, чем постоянная решетки, можно пользоваться непрерывным опи- описанием в терминах ОC)-нелинейной сигма-модели, полученной в преды- предыдущей главе:1 1/Г 5эф = — ат а х (а^п) + — (агп) . A6.2) о Чтобы выяснить качественные черты фазовой диаграммы, я рассмот- рассмотрю О(ЛГ)-инвариантное обобщение этой модели и воспользуюсь разло- разложением по 1/7V. Перемасштабируя ps —»¦ ps/N и повторяя рассуждения главы 9, мы приходим к следующему уравнению для седловой точки: Легко видеть, что этот интеграл расходится на больших волновых векто- векторах, следовательно необходимо ввести ультрафиолетовую обрезание. При 'Напоминаю, что топологический член отсутствует в B + 1) измерениях.
Гл. 16 ОC)-нелшейная сигма-модель в B + 1) измерениях 167 обсуждении процедур регуляризации в главе 6 мы упоминали только ре- решеточные регуляризации. Однако существуют и другие методы. Например, из каждой диаграммы можно вычесть такую же, но с большой массой. Этот метод, называемый регуляризацией Паули-Вилларса, является наибо- наиболее удобным в данном случае. Следуя этому методу, перепишем интеграл следующим образом: оо Ps T J BтгJ п 0 Суммируя по частотам и интегрируя по к, получаем 1П [ [sHmc/2T) и, окончательно, тс = 2Tarcsh < -exp[T-1(A/2 - 2nps)} } . A6.6) »}¦ Здесь было использовано соотношение Л ;§> Т. При малых температурах уравнение A6.6) имеет три существенно раз- разных решения. Соответствующая фазовая, а лучше сказать кроссоверная, диаграмма показана на рис. 16.1. Упорядоченная фаза Во-первых, имеется перенормированная классическая область, в которой жесткость велика:2 s 4тг При этом экспонента в фигурных скобках мала при низких температурах, и мы имеем =Техр 2ir{Ps-p's) A6.7) Аккуратный анализ, произведенный Чакраварти и др. [16.1], а затем уточ- уточненный Хейзенфратцем и Нидермайером [16.5], показывает, что при N = 3 это выражение должно быть модифицировано: л -1 I тс —Аса ехр 2Обратите внимание на то, что критическое значение ps неуниверсально. По- Поэтому непрерывный подход не способен предсказать, будет ли данная решеточная модель иметь неупорядоченное основное состояние или нет.
168 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч.Ш где А — безразмерный параметр. Таким образом в случае ps > />* корре- корреляционная длина расходится при Г -» 0, что свидетельствует об антифер- антиферромагнитном упорядочении при Т — 0. При Т <g.(ps — pi) щель в спектре / 1 Квантовая '. -неупорядоченная- т* ?~(p;/Ps-ir B) [Квантовая критическая) —Перенормированная—ч 7~ A —p*/Ps) _ классическая "Неелевская линия Т/2тг Рис. 16.1. Кроссоверная диафамма для ОC)-нелинейной сигма-модели в D = — 2 (из работы [16.1]). Линии, обозначенные A) и B) — две возможные экспериментальные траектории, вдоль которых спиновая корреляционная длина ведет себя существенно по-разному. При уменьшении температуры вдоль пути B) корреляционная длина перестает зависеть от температуры. Вдоль пути A) она экспоненциально расходится. гораздо меньше температуры. Расходимость в диаграммном разложении происходит от области с~1ып, к ~ гп; поскольку ып = 2пТп всегда много больше тп кроме случая п = 0, флуктуации на больших масштабах — чисто статические (классические). Следовательно, чтобы получить эффективное действие для длинноволновых флуктуации, нужно просто в формуле A6.2) рассмотреть не зависящие от времени конфигурации п(т, х) = п(х): {p.-. 2T A6-9) и ввести новое обрезание А ~ 1/с [Т - \/2n(ps - р*)). Эта новое обреза- обрезание и перенормированная жесткость — единственные следствия квантовых флуктуации в этом режиме. Таким образом, критическая динамика описы- ваетсядвумернойОC)-нелинейнойсигма-модельюсд~1 = (р8-)/
Гл. 16 О (^-нелинейная сигма-модель в B + 1) измерениях 169 зависящей от температуры функцией обрезания Л(Т). Подставляя эти вели- величины в выражение A6.1) для корреляционной длины двумерной ОC)-сим- метричной нелинейной сигма-модели, мы воспроизводим формулу A6.8). Численный счет для антиферромагнетиков со спином 5 = 1/2 на квадрат- квадратной решетке с обменом J между ближайшими соседями дает следующие оценки для параметров формулы A6.8) (см. обсуждение в работе [16.4]): 2iv{ps-p*) = l,15J, A'1 =0,493 а. Подставляя эти значения в формулу A6.8), мы получаем следующее выра- выражение для обезразмеренной корреляционной длины ?/а = (тс)'1: С/а = 0,493 е1'15 JfT[l - 0,43(Т/ J) + O(T2/J2)]. A6.10) Эксперименты на двумерном антиферромагнетике S^CuC^Cb со спином 5 = 1/2 находятся в превосходном согласии с теоретическим результа- результатом A6.10) (см. рис. 16.2). 1500 900 600 450 375 1 - Рис. 16.2. График зависимости (в полулогарифмическим масштабе) нормированной корреляционной длины ?/а от J/T в соединении SrsCuCbCh (из работы [16.4]). Сплошная линия — теоретическое предсказание, полученное по формуле A6.10). Квантовая неупорядоченная фаза Пусть теперь ps < p*. При малых температурах экспонента в формуле A6.6) становится велика, а щель почти перестает зависеть от температуры: A6.11)
170 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III Мы оказываемся в пределе сильной связи, описанном в главе 10. Низколе- жащис возбуждения имеют спин S = 1, щель в спектре равна тс. Поправки по величине 1/N меняют выражение A6.11) (см. лекции Сачдева, ссылка на которые имеется в Общей библиографии): оо Квантовая критическая область Теперь рассмотрим область \ps - р* | ~ Т. В этой области корреляционная длина имеет порядок 1/Т. При N = оо, когда формула A6.6) является точ- точной, имеем тс ~ Т; этот результат сохраняется и при конечных N. Как и в других критических теориях, все физические величины подчиняются зако- законам скейлинга; к примеру «шахматная» восприимчивость Xs> однородная магнитная восприимчивость Хи и теплоемкость Cv даются формулами Хв{ш, q) = T-2+"Fs(u/T, cq/T, T/mc), Хи(ш, q) = TFu(u/T, cq/T, T/mc), A6.13) Cv = T2Fc(T/mc), где все скейлинговые функции не равны нулю при нулевых аргументах. l/iV-разложение, проделанное Чубуковым и др. [16.3], приводит к следую- следующему критическому индексу -ц: A6Л4) Скейлинговая функция для «шахматной» восприимчивости дается форму- формулой ^ A6.15) s(,y;) ^, х у где А — некоторая численная константа. Недавний численный счет, произведенный Шульцем и Займаном [16.6], говорит о том, что критическая и квантовая неупорядоченная фазы 0C)- нелинейной сигма-модели реализуются в антиферромагнетике со спином S — 1/2 на квадратной решетке со взаимодействием первых и вторых бли- ближайших соседей (Ji-^-модель) при J2/J1 ~ 1- Также вполне возможно, что квантовый критический режим может существовать в гейзенберговском магнетике со спином S = 1/2 на треугольной решетке. Как было упомяну- упомянуто во введении к части 3, численный счет для модели со взаимодействием ближайших соседей дает очень малую «шахматную» намагниченность при Т — 0, и небольшая модификация модели приводит к неупорядоченному режиму.
Гл. 16 0C)-нелинейная сигма-модеяь в B + 1) измерениях ГЛ Литература 1. S. Chakravarty, В. I. Halperin and D. R. Nelson," Phys. Rev. Lett., 60, 1057 A988); Phys. Rev. B, 39, 2344 A989). 2. P. Chandra and P. Coleman, New outlooks and old dreams in quantum antiferromag- netism, Les Houches Summer School Lectures, August 1991. 3. A. Chubukov, S. Sachdev and Jinwu Ye, Phys. Rev. B, 49, 11919 A994). 4. M. Greven, R. J. Birgeneau, Y. Endoh, M. A. Kastner, B. Keimer, M. Matsuda, G. Shirane and T. R. Thurston, Phys. Rev. Lett, 72, 1096 A994). 5. P. Hasenfratz and F. Niedermayer, Phys. Lett. B, 268, 231 A991). 6. H. Shultz and T. Ziman, Europhys. Lett, 18, 355 A992).
17 ПОРЯДОК ИЗ БЕСПОРЯДКА Некоторые магнитные гамильтонианы обладают не только непрерыв- непрерывной симметрией, связанной с вращениями спинов, но также и дискретной симметрией. Такое бывает, если система имеет несколько эквивалентных магнитных подрешеток; тогда дискретная симметрия — это симметрия по отношению к перестановке подрешеток. Если есть новая симметрия, значит она может быть спонтанно нарушена, что открывает возможность нового фазового перехода. Эта ситуация особенно интересна для нас, по- поскольку, как будет показано позже, симметрия нарушается благодаря чле- членам в эффективном действии, отсутствующим на классическом уровне. Эти члены возникают из-за короткодействующих квантовых флуктуации. Этот механизм был открыт Вилланом и Вилланом и др. [17.5] для изингов- ских спинов и позже обобщен на непрерывные спины Шендером [17.4] и Хенли [17.3]. Предсказанный спектр возбу- возбуждений наблюдался экспериментально [17.2] методом нейтронного рассеяния в соедине- соединении Fe2Ca3(GeO4K (гранат) со спином S = = 5/2. Чтобы обсуждение не было слиш- слишком абстрактным, рассмотрим конкретный пример — модель Гейзенберга со спинами на двух квадратных подрешетках, сдвинутых друг относительно друга так, что узлы од- одной решетки расположены в центрах плаке - тов другой (см. рис. 17.1). Эта модель вполне имеет отношение к жизни, она описывает двуслойную решетку, в которой две подрешетки принадлежат разным слоям, пространственно раз- разделенным в направлении, перпендикулярном плоскости, и сдвинутым друг относительно друга вдоль диагонали квадрата. Гамильтониан этой системы есть 1 1 ' 1 1 1 --Х-- 1 1 1 X 1 1 1 1 ' 1 > > < — < X Рис. 17 Я= i ;), A7.1) где ei = A,0), е2 = @,1), е{ = A/А 1/>/2), е^ = (l/v/2,-l/v/2). Этот гамильтониан Z2-инвариантен, что соответствует инвариантности по отношению к перестановке подрешеток. Гамильтониан A7.1) описывает фрустрированную систему: не суще- существует спиновой конфигурации, которая одновременно минимизировала
Гл 17 Порядок из беспорядка 173 бы энергии всех магнитных связей. Следовательно, основное состояние возникает в результате конкуренции между различными конфигурациями. Рассмотрим случай слабого взаимодействия между подрешетками: rj — = |«/г/Л| *С 1. В этом случае мы можем быть уверены, что при Г = 0 на каждой из подрешеток имеется неелевское упорядочение, характеризуемое «шахматной» намагниченностью п, (г = 1,2). В пределе г\ = 0 подрешетки независимы. В то же время легко понять, что в классическом случае энер- энергия основного состояния не зависит от взаимной ориентации векторов п, даже при конечном г\\ Действительно, каждый спин окружен четырьмя спинами из другой подрешетки, чьи классические вклады в энергию сокра- сокращаются. Конечно, спектр возбуждений меняется; градиенты векторов пг взаимодействуют даже на классическим уровне. Зависимость же энергии основного состояния от взаимной ориентации возникает не прямым обра- образом, а благодаря вкладу квантовых флуктуации. Квантовые флуктуации уже непосредственно зависят от П1П2 и дают вклад ~ — (щпгJ в эффективное действие. Таким образом на квантовом уровне классическое вырождение снимается; более того, появление нового взаимодействия может привести к появлению корреляций подрешеток — при этом спонтанного нарушается симметрия Z2. Для рассматриваемой нами модели это было показано Чан- дрой и др. [17.1], которые также продемонстрировали, что к аналогичному эффекту приводят и температурные флуктуации. Принцип, лежащий в основе вычисления эффективного действия, весь- весьма общий: рассмотрим магнетик, состоящий из нескольких подрешеток. Предположим, что на каждой из подрешеток имеется антиферромагнитное упорядочение. Тогда нужно зафиксировать ориентацию «шахматной» на- намагниченности на каждой подрешетке и вычислить спектр спиновых волн, используя 1/5'-разложение. Этот спектр содержит нулевые моды, являю- являющиеся отражением того факта, что на классическом уровне подрешетки не взаимодействуют и могут быть повернуты друг относительно друга. Спектр остальных мод зависит от взаимной ориентации подрешеток at] = = n,n.,, которую мы считаем медленной переменной. Эффективное дей- действие для медленных переменных возникает в результате квантовых флук- флуктуации остальных мод: A7.2) Далее я несколько модифицирую этот подход, чтобы избежать стандарт- стандартных спин-волновых вычислений. Мы увидим, что эта модификация имеет определенные недостатки, но я пользуюсь ею, потому, что она короче. Раз- Разделим быстрые и медленные переменные таким же образом, как это было сделано для обычного антиферромагнетика. Это означает, что для каждой подрешетки мы записываем формулу A5.7) в виде ВД) = (-1)"+«+'п,(г,)^1 - а*Ц{г3) + а21г(г}), A7.3)
174 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III где г — 0,1; а — постоянная решетки и п? = 1, n<L, =0, L? «С а. Подставляя S = SN, где N дается формулой A7.3), в гамильтониан A7.1), получаем выражение для потенциальной энергии: •¦ г Г - d2x 5"(9 J Li' Е = ^ J d2x J^rnJ + тЦдхПодуЩ + A7.4) Кинетическая энергия может быть получена из фазы Бэри A5.6): 5к„„ = -Ю 53 f d*x dT (Litni х дтП^ ¦ A7'5) Однако это не очень интересно для нас, поскольку кинетическая энергия содержит производные по времени и обращается в ноль для статических конфигураций, которые в двумерном случае дают наиболее сильные расхо- расходимости. На первый взгляд кажется, что ферромагнитные флуктуации совершен- совершенно независимы. Однако это не так из-за условий n^L* = 0. Будем осто- осторожны и вспомним о мере интегрирования. Медленными переменными являются по и rii. Введем локально ортонормальную систему координат е< (г = 1,2,3), такую, что e2sin0. A7.6) Тогда мера интегрирования есть DnoDn! =DeiDe2Dcos0<5(e? - 1N(е% - l)<5(eie2). A7.7) Теперь мы можем записать L< в этом ортонормальном базисе, при этом удовлетворив наложенным на L; условиям: Li = ае2 + 6е3) Ьг = c(ei sin в - е2 cos в) + de3- A7.8) Подставляя A7.8) в формулу A7.4), получаем ? + 277L1L0 = а2 + Ь2 + с2 + d2 - 2acqcose. A7.9)
Гл.17 Порядок из беспорядка 175 Теперь интегрирование по а, Ь, с, d дает нетривиальный детерминант: DaDc exp - d2x dr(a2 + с2 - 2acrjcosв)\ = = ехр |-^Trln(/ + <rx^cos0)| и exp | ? д2 f d2x dT(cos0J[ , A7.10) где At — некоторый характерный минимальный интервал времени. Эта ве- величина появляется из-за того, что для вычисления детерминанта необходи- необходимо дискретизовать интеграл по времени. Производимые нами вычисления не могут дать значение 1/Дт; единственное, в чем мы можем быть увере- уверены — это что 1/Дт ~ JS; последнее выражение есть ширина магнонной зоны. Аккуратное вычисление, проделанное Чандрой и др. [17.1], приводит к результату 1/Дт = 0,26 JS. Объединяя формулы A7.4) и A7.10), мы получаем следующее выражение для эффективного действия статических мод: + дуподхп1)\ -: A7.11) где ps = JS2, g — 0,26 JSa~2rj2. Мы видим, что даже при малых г] по- последнее слагаемое является главным для малых волновых векторов |<7|а < /g/p j/ Наиболее простым способом работы с действием A7.11) является 1/N- разложение. Статистическая сумма обобщенной О(ЛГ)-симметричной мо- модели есть Z = I DAoDAiDaDnoDni exp - d2xL(\i,a,ni)\ , A7.12) L = J"N\i(n2 - 1) + 2aNn0m+TNa2/g + A7.13) В главном порядке по 1 /N мы заменяем поля Л;, а их значениями в седловой точке, которые определяются из уравнений самосогласования: A7.14)
176 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III где функция Грина в седловой точке есть G..(a\-JL( *q2 В результате интегрирования из уравнений A7.14) мы получаем следующие уравнения на параметры седловой точки (Ао) = (Ai) = А и <т: А2 - а2 = (р3Л/ТJехр(-87гр8/Г), A7.16) 8тгрв Решение этих уравнений существует в случае 9/4тгPs » ^ ехР(-47гр8/Г) A7.18) и дается формулами Н « E/4тгр8) 1пEТ/4тгр82Л) + 5/Г, A7.19) А - \а\ « -^(рзЛ/ТJ ехр(-8тгр5/Т). A7.20) Таким образом, (<т) возникает ниже некоторой критической температу- температуры Тс. Ниже Тс система «выбирает» между двумя взаимными ориента- циями подрешеток: (norii) = ±1. Поскольку этот переход нарушает Z2- симметрию, можно предположить, что он относится к классу универсаль- универсальности двумерной модели Изинга. - Существенно ниже точки перехода в рассматриваемой системе есть две корреляционные длины: R — тг(А + Н) ~ |сг| х и ? = тг(А - loi) » ^> R. Первая соответствует «оптической» моде, т. е. такой моде, в которой намагниченности подрешеток изменяют взаимную ориентацию. Этой моде соответствует параметр порядка с. Поскольку корреляционная длина R ~ ~ Т/д при низких температурах становится очень малой, эти флуктуации становятся квантовыми при Т/д ~ Т~1, и наше рассмотрение становится неприменимо. Вторая корреляционная длина соответствует модам, в ко- которых намагниченности подрешеток флуктуируют когерентно. Эта длина экспоненциально растет при увеличении 1/Т; при малых температурах система описывается стандартной ОC)-нелинейной сигма-моделью с пе- перенормированными ps и Л. Вспомним теперь, что рассматриваемый нами фазовый переход проис- происходит при конечных температурах, когда средняя «шахматная» намагничен- намагниченность равна нулю. Следовательно наличие перехода не связано с тем фак- фактом, что соответствующая гейзенберговская модель имеет упорядоченное основное состояние. В статье Чандры, Коулмана и Ларьсина [17.1] указано на то, что возможен магнитный фазовый переход без магнитного момента.
Гл. 17 Порядок из беспорядка 177 До сих пор мы рассмотрели одну из возможностей, а именно, что спи- спины на разных подрешетках взаимодействуют, образуя скалярный параметр порядка а = (noni). Приближение больших N, которое мы использовали, хорошо подходит для таких параметров порядка, поскольку включает в себя суммирование по индексам. В общем случае возможен тензорный параметр порядка Qab = (Sa(i) l который, в принципе, может существовать и в отсутствие локального маг- магнитного момента. Ниже я рассмотрю подобную модель. Модель спинового нематика Рассмотрим двумерный магнетик с тремя подрешетками (симметрия Z^). Для каждой подрешетки выгодно антиферромагнитное упорядочение, и на классическом уровне подрешетки не взаимодействуют. Эффективное дей- действие для каждой из подрешеток дается формулой A6.2). Квантовые флук- флуктуации приводят к взаимодействию между подрешетками; симметрийные соображения подсказывают следующий вид Sm: SB3= [ dr «^{А^пг хп3]J + а^(п;п;-J}. A7.21) Предположим, что \а\ <g; A > 0 and A > Т. Квантовые флуктуации де- делают более предпочтительными компланарные спиновые конфигурации, в результате чего система становится жесткой. Таким образом все «шах- «шахматные» намагниченности п,- локально принадлежат одной плоскости. Эта плоскость определяется двумя взаимно перпендикулярными единичными векторами ei, e2. Следовательно можно выбрать следующую параметриза- параметризацию: rij = в] cos в{ + е2 sin 0i (П.22) с условием, фиксирующим калибровку =0. A7.23) Подставляя эти выражения в формулы A6.9) и A7.21), получаем A7.24) A7.25)
178 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч III Предположим далее, что а настолько мало, что корреляционная длина по- полей в] и е2 много меньше корреляционной длины полей в. В этом случае мы можем заменить слагаемые, содержащие sin2 и cos2, их средними значени- значениями. В результате мы получаем приближенное классическое эффективное действие S = S{e S(eb e2) = 1 j Рх + В{дме3J], d2x где вг В = A7.26) A7.27) A7.28) A7.29) В пределе бесконечной корреляционной длины полей в имеем (sin 20,) = = (cos в,)=0иА = В = 3/2. Модель 5(ei,e2) принадлежит к классу нелинейных сигма-моделей, которые рассматривались в главе 9.1 Ее корреляционная длина конечна и экспоненциально велика по 1/д. Поэтому нашей главной заботой будет модель A7.28). Подставляя в2 = Оз = -уДфФг A7.30) в формулу A7.28), мы получаем действие в каноническом виде: 2 f .) = i j d2x cos ~ { Ф2)] cos - ф2)] } ¦ A7.31) Это эффективное действие является обобщением действия синус-Гордона, рассматриваемого в главе 22. Применяя к этому действию критерии несу- несущественности (иррелевантности), обсуждаемые в той же главе, можно пока- показать, что та часть действия, содержащая косинусы,леренормируется в ноль, На самом деле это частный случай так называемой модели главного кирального поля — см главу 35
Гл 17 Порядок из беспорядка 179 если g > ж. В этой области поля ф, являются свободными безмассовыми полями. Корреляционная длина бесконечна. Как показано в главе 22, суще- существенные (релевантные) поля в модели синус-Гордона приводят к конечной корреляционной длине. Таким образом в случае g < ж мы находимся в со- состоянии, в котором все подрешетки скоррелированы. Поскольку g ос T/J, этот случай соответствует низким температурам. Может показаться, что при достаточно высоких температурах флуктуации имеют бесконечный ра- радиус корреляции и мы находимся в критическом состоянии. Однако это не так, поскольку в нашем рассмотрении мы не учитывали важное реле- релевантное возмущение, возникающее из-за дисклинаций (вихрей) полей фг. Эти возмущения обсуждаются в главе 23, где мы рассматриваем переход Костерлица-Таулесса. В нашей модели вихри релевантны при g > ж. Сле- Следовательно существует единственная точка, в которой модель является кри- критической: g = ж. При соответствующей температуре происходит фазовый переход второго рода, связанный с нарушением симметрии Z3. Таким об- образом мы имеем классический пример фазового перехода при конечной температуре. Можно показать, что в критической точке двухточечные кор- корреляционные функции величины Q4 — n.iv, спадают на больших рассто- расстояниях по степенному закону: Литература 1. P. Chandra, P. Coleman and A. I. Larkin, Phys Rev Lett, 66, 88 A990). 2. A. G. Gukasov et al, Europhys Lett, 7, 83 A988); Th. Bruecel, B. Domer, A. G. Gukasov, V. Plakhty, W. Prandl, E. F. Shender and O. P. Smimov, 2 Phys B, 72,477A988). 3. С L. Henley, Phys Rev Lett, 62, 2056 A989). 4. E. Ф. Шендер, ЖЭТФ, 83, 326 A982). 5. J. Villain, J Phys (Paris), 38, 26 A977); J. Villain, R. Bidaux, J. P. Carton and R Conte, J Phys (Paris), 41, 1263 A980).
18 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЙОРДАНА-ВИГНЕРА ДЛЯ МОДЕЛЕЙ СО СПИНОМ S = 1/2 BD=1,2,3 В этой и следующей главах я рассмотрю неквазиклассические подхо- подходы к спиновым системам. Все эти подходы применимы только в случае спина S — 1/2 и основаны на фермионном представлении спиновых опе- операторов. Этот факт подтверждает идею Андерсона [18.1] о том, что слу- случай 5=1/2 может быть особенным. Рассмотрим простой гейзенберговский гамильтониан й =J Е \l^s7+S^ST)+AS?S*} - A8Л) l J где индексы г, j обозначают узлы D-мерной решетки, суммирование ведет- ведется по ближайшим соседям, а 5+, 5", 5г — операторы спина 5 = 1/2. В дальнейшем я буду рассматривать только случай D ^ 3. Операторы спина S = 1/2 обладают следующим замечательным свой- свойством: взятые на одном узле, они антикоммутируют: что подсказывает аналогию с фермиевскими операторами рождения и уни- уничтожения: S^ = i>+, 5;=VJ; S;=tf+^-l/2. A8.2) Эта аналогия не проходит в случае разных узлов: спиновые операторы на разных узлах не антикоммутируют, а коммутируют. Однако оказывается, что можно изменить определения и воспроизвести правильные коммута- коммутационные соотношения для спинов в терминах фермионов. В общем случае формулы A8.2) необходимо изменить, введя фазовые множители Sf = 1>+U(j), 57 = t/+(j)^, S;=V>M-l/2, A8.3) где U(j) — нелокальный функционал от -ф. Для одномерной решетки (D — 1) эти фазовые множители были найде- найдены Йорданом и Вигнером еще в 1928 году: к<3
Гл.18 Преобразование Йордана-Вигнера для моделей со спином S = 1/'2 181 S~ = exp -i7r]Pv* Фк j ) 5; = V/^-l/2. A8.4) Преобразование Йордана-Вигнера устанавливает эквивалентность между гейзенберговской цепочкой спинов S = 1/2 и теорией взаимодействующих бесспиновых фермионов: ^^E A8.5) Эта эквивалентность будет играть важную роль в дальнейшем рассмотре- рассмотрении гейзенберговской цепочки в главах, посвященных физике одномерных магнетиков и металлов. Обобщение преобразования Йордана-Вигнера на высшие размерности было предложено только недавно; для D = 2 это сделал Фрадкин [18.3] (некоторые несогласованности в его работе были исправлены Элизером и Семеновым [18.4]), а для/? > 2—Хуэрта и Занелли [18.6]. В случае!) — 2 фазовый множитель есть A8.6) где arg(fc, j) — угол между k - j и произвольным пространственным на- направлением на решетке. Подставляя A8.6) в A8.3) и затем A8.3) в исходный гейзенберговский гамильтониан A8.1), мы получаем гамильтониан двумер- двумерной модели Гейзенберга со спином S = 1/2 в фермионном представлении: ^ к.с.] + (i + eM)V(* + е„) - 1/2]}, A8.7) / (I8-8) к где j нумерует узлы двумерной решетки, ем (ц = 1,2) — базисные век- векторы решетки Браве, a J2' означает, что в сумму не включаются члены с совпадающими узлами в функции arg. Чтобы записать гамильтониан A8.7) через функциональные интегра- интегралы, можно воспользоваться решеточным вариантом описанного в предыду- предыдущих главах способа изменения статистики. Чтобы обобщить конструкцию Черна-Саймонса на решетку, введем векторный потенциал А(г, г + ем) = = Afl(i), определенный на связях, и скалярный потенциал Ао(г), определен-
182 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. Ill ный на узлах. Тогда соответствующая напряженность поля («магнитное поле») определяется следующим образом: F^v{i) = Av(i + eM) - Av{i) - A^i + ev) + A^{i). Эта конструкция однозначна только для прямоугольной решетки, где суще- существует единственный способ выбора базисных векторов е^. Для треуголь- треугольной же решетки, например, можно выбрать различные наборы е^, что может привести к определенным формальным трудностям. Удобно переписать вышеприведенное выражение для F^ в фурье-ком- понентах: t^q) = eiqe* - 1. A8.9) Тогда лагранжиан, соответствующий гамильтониану A8.7), дается форму- формулой L = 2~] \ Ф{*)[дт + AjWIVKO ^o(*)-Fzy@ { ;)-l/2]}, A8.10) где г/5 —грассманова переменная, соответствующая оператору ф+ в гамиль- тоновом подходе. Действительно, поскольку лагранжиан линеен по Ао, по нему можно проинтегрировать и получить условие Подставляя сюда выражение A8.9), мы получаем уравнение на фурье- компоненты А^: eliJ*(q)Al/(q) = —Jo(q). A8.12) Это уравнение можно решить с помощью следующего приема. Любой дву- двумерный вектор можно записать в виде суммы градиента и ротора: Ml) = ЩЯ)Ф(Я) + ^tu(q)X(q). A8.13) Подставляя эту запись в A8.12), получаем
Гл.18 Преобразование Йордана-Вигнера для моделей со спином S = 1/2 183 и окончательно ЛЛвО = —tnvtv(Q)\t\(q)\~2Jo(q) + градиентные члены. A8.15) Хотя последнее выражение совпадает с A8.8) только в непрерывном пре- пределе, оно обладает такими же свойствами по отношению к изменению статистики. На самом деле то, что мы сделали с фермионами — не что иное, как калибровочное преобразование: множители U определенным образом вра- вращают фазу фермионов на каждом узле. Раз это — калибровочное преоб- преобразование, естественно, что напряженность поля почти везде равна нулю. Нетривиальность возникает из-за этого «почти»: напряженность поля от- отлична от нуля только в той точке, где появляется частица. Поэтому от со- соответствующего векторного потенциала нельзя избавиться непрерывным преобразованием. Основное различие между случаями D — 1, 2 и D — = 3 состоит в том, что для трехмерного преобразования Йордана-Вигнера требуется расширенное гильбертово пространство и неабелевы калибро- калибровочные преобразования. В этом случае на каждом узле вводятся две неком- мутирующие тройки операторов ??(«') (греческие нижние индексы прини- принимают значения ±1; латинские верхние индексы принимают значения ±, z). Коммутаторы Sa^{i) = (l/2)[S?(i), Sp(i)] при несовпадающих индексах определяют новые операторы; на самом деле, описанные операторы образу- образуют часть фундаментального представления группы SU(A). Базис на одном узле включает в себя четыре состояния: |0), нет частиц; |±), одна частица с а = ±1; и | Н—), состояние с двумя частицами. Фермионы также имеют изотопические индексы, и преобразование Йордана-Вигнера осуществля- осуществляется формулами A8.16) ,0 \ \ ,0 A8.17) где Qa(j) = lpttiK,0MJ) есть оператор 5С/B)-изоспина, а т" — матрицы спина 1/2. Век- Вектор ша(к, j; n0) определяется следующим образом: uja(k,j;nQ) =arg(fc,j;no)ea(fc,j;no), A8.18) где е — единичный вектор, перпендикулярный j—к и п0. Можно проверить, что при а — /3 получается известное выражение для аг: S*;Q = 1/2 - ф+фа (здесь нет суммирования по а).
184 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III В приложениях, где мы почти всегда имеем дело не с группой 5С/D), а с группой SU{2), можно избавиться от одного из фермионов (скажем, ip2), прибавив к гамильтониану член с h —> оо. Тогда остается только оператор ф\. Обычная модель Гейзенбер- га A8.1) на трехмерной решетке в фермионном представлении имеет тот же вид, что и A8.7) в двумерном случае, но с другим векторным потенциа- потенциалом. Соответствующее выражение на решетке очень громоздко, поэтому я приведу явное выражение для А^ только в непрерывном пределе: A8Л9) Точечный неабелев заряд ф^(у)та"Ф^(у) — е"^3Ну) создает следующий векторный потенциал: Стоит немного поиграть с B + 1)-мерной моделью, описываемой фер- мионным лагранжианом A8.10) с Д = 0. Напишем простую теорию сред- среднего поля для этого лагранжиана, считая, что векторный потенциал не зависит от времени. Его конфигурация будет определяться самосогласо- самосогласованно из условия минимизации энергии основного состояния. Идея со- состоит в том, что волновая функция для фермионов в сильном магнитном поле будет хорошим приближением для основного состояния спиновой жидкости. Может показаться невероятным, что заряженным фермионам выгодны сильные магнитные поля, и поэтому они могут породить эти по- поля спонтанно. Однако непосредственные вычисления, впервые произве- произведенные Хасегавой и др. [18.5], подтверждают эту идею, показывая, что энергия основного состояния решеточных фермионов E(v, ф), где v есть фактор заполнения зоны, а ф — число квантов потока на элементарный плакет,1 имеет минимум при ф = и. Например, для треугольной решетки при половинном заполнении (v — 1/2) энергия основного состояния в ну- нулевом поле есть ?A/2,0) = -0,988 J,anpn<^ = 1/22 равна?'A/2,1/2) = = -1,2017. Поскольку треугольная решетка — одна из наиболее фрустрированных, я буду рассматривать именно ее. Предположим, что плотность фермио- 1 Обратите внимание, что элементарный плакет определяется для любых двух базисных векторов решетки е<, е7- как площадь, ограниченная замкнутым конту- контуром, натянутым на четыре вектора решетки е,-, е,-, — е,, — е,. Поэтому, например, элементарный плакет треугольной решетки состоит из двух треугольников. 2В случае треугольной решетки мое определение ф отличается от использован- использованного ХаСеГаВОЙ И Др. [18.5]: ф = 2<^Хасегава-
Гл.18 Преобразование Йордана-Вигнера для моделей со спином S = 1/2 185 нов однородна, т. е. Aq не зависит от координат. Тогда наши фермионы движутся в постоянном магнитном поле, в котором поток через элемен- элементарный плакет равен заполнению зоны (см. первую сноску). Если полный импульс равен нулю, как мы и предполагаем, то зона заполнена наполови- наполовину. Как я уже упоминал, энергия основного состояния действительно имеет минимум при ф = 1/2. Посмотрим, что за фермионный спектр получа- получается в этом случае. Удобно представить треугольную решетку как квад- квадратную с диагоналями и выбрать калибровку так, чтобы отрицательными являлись только вертикальные связи с четной ж-координатой + (см. рис. 18.1): exp[L4x(«)] = 1 exp[L4y(i)] = (-1L Оказывается, что калибровочное Рис. 18.1. Распределение калибровочных поле на диагоналях не включе- полей на треугольной решетке но в черн-саймонсовский член (вспомните обсуждение в связи с формулой A8.9)). Поскольку основная цель нашего рассмотрения — проиллюстрировать основные идеи, я не бу- буду говорить о подобных тонкостях. Примем на время, что процедура из- изменения статистики может быть использована для треугольной решетки и рассмотрим следствия. Гамильтониан теории среднего поля для решеточных фермионов в таком магнитном поле имеет следующий вид: Я = х)+ фв(г - у) у)- у)} + х - у) + + Фв{г + у) + Фв{г - у)}. A8.20) Суммирование ведется по элементарным ячейкам; каждая ячейка содержит два узла А и В. Гамильтониан диагонализуется преобразованием Фурье: — 2 cos ky 2cosfcy Фермионный спектр Е2(к) = J2[6 - 2cos2fca - 2cos(kx + 2ky) - A8.21)
186 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III имеет большую щель 2\/3 J при к — 0. Таким образом одночастичные воз- возбуждения имеют щель в спектре. Логично ожидать, что коллективные моды, т. е. возбуждения калибровочного поля, также имеют щели. Мы уже зна- знаем, что спектр возбуждений С/A) калибровочного поля может иметь щель, если эффективное действие включает в себя член Черна-Саймонса . У нас уже есть такое слагаемое, но коэффициент при нем выбран таким образом, что этот член меняет статистику массивных частиц. Поскольку возбужде- возбуждения калибровочного поля должны быть бозонами, должен существовать механизм, изменяющий этот коэффициент. И действительно, как было по- показано Куном Янгом и др. [ 18.7], в этом конкретном случае интегрирование по фермионам удваивает коэффициент. Это интегрирование также приво- приводит к возникновению обычных ^„-членов. Таким образом коллективные моды описываются решеточным вариантом черн-саймонсовской КЭД. По- Поскольку щель в спектре очень велика, и, вследствие этого, соответствую- соответствующая корреляционная длина — порядка постоянной решетки, непрерывный предел плохо определен. Однако разумно предположить, что КЭД Черна- Саймонса может описывать гипотетическую спиновую жидкость с малой щелью в спектре : Г /(Е1 В2 1 \ 5 = \ dr d2x (—-+—+-А0В . A8.22) J у О7Г ЙД7Г 7Г I Это эффективное действие для спиновых жидкостей было впервые предло- предложено автором и М. Рейзером в 1991 году [18.8]. Обратите внимание на то, что возбуждения в этой модели имеют такую же симметрию, как и возбу- возбуждения в ОC)-симметричной нелинейной сигма-модели в пределе сильной связи — они являются массивными бозонами со спином S = 1. На этой стадии кажется, что эти альтернативные описания дают качественно те же результаты. Литература 1. P. W. Anderson, Science, 235, 1196 A987). 2. P. Jordan and E. Wigner, Z. Phys., 47, 631 A928). 3. E. Fradkin, Phys. Rev. Lett., 63, 322 A989). 4. D. Eliezer and G. W. Semenoff, Phys. Lett. B, 286, 118 A992). 5. Y. Hasegawa, P. Lederer, T. M. Rice and P. B. Wiegmann, Phys. Rev. Lett., 63, 907 A989). 6. L. Huerta and J. Zanelli, Phys. Rev. Lett., 71, 3622 A993). 7. Kun Yang, L. K. Warman and S. Girvin, Phys. Rev. Lett., 70, 2641 A993). 8. A. M. Tsvelik and M. Reizer, Proc. of the University of Miami Workshop on Electronic Structure and Mechanisms for High Temperature Superconductivity, January 1991.
19 МАЙОРАНОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ МАГНЕТИКОВ СО СПИНОМ 5 = 1/2. СВЯЗЬ С Z2 РЕШЕТОЧНЫМИ КАЛИБРОВОЧНЫМИ ТЕОРИЯМИ Рассмотрим неупорядоченный магнетик со спином S — 1/2, имеющий очень малую длину корреляций спин-спин. В этом случае локальная намаг- намагниченность является быстрой переменной и не может быть использована для характеристики основного состояния. Для этого случая Андерсон [19.1] предложил дуальное описание, в котором спиновая волновая функция опи- описывается не в терминах спиновых состояний на узле, а в терминах со- состояний спиновых пар. В сравнении со стандартным такое описание имеет больше шансов быть адекватным неупорядоченным системам с антиферро- антиферромагнитными корреляциями, поскольку даже в неупорядоченном веществе спины предпочитают оставаться в сингаетном состоянии со своими сосе- соседями (синглетное состояние — это состояние не одного спина, а пары). Предположим, что имеется спин-синглетное состояние. Тогда в качестве «кирпичика» при построении многоспиновой волновой функции мы будем использовать синглетную функцию пары спинов на узлах i, j: \(ij)) = -L(| Ы3) - I Щ). A9.1) Соединим пары узлов решетки связями; каждое такое соединение опре- определяет разбиение Р. Далее определяем состояние с валентной связью для данного разбиения как произведение синглетных состояний: \VBP)=l[\(ikjk)), A9.2) пар после чего произвольный синглет может быть представлен в виде A9.3) Р пар где суммирование производится по всем разбиениям решетки на множества пар. Для функции общего вида такое разложение работает неудовлетвори- неудовлетворительно, потому что состояния с валентной связью неортогональны, и их базис переполнен. Эта картина может работать только в том случае, ко- когда истинные собственные состояния близки к некоторому состоянию с валентной связью. Картина валентной связи сильно напоминает решеточные калибровоч- калибровочные теории, так как в этих теориях соответствующие переменные определе-
188 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч III ны на связях. То, что каждая связь может быть либо заполненной (синглет- ное состояние), либо пустой (состояние не определено), подсказывает, что калибровочно-полевое описание спиновых жидкостей должно включать в себя Zi калибровочные поля. Ниже мы рассмотрим подобное описание, основанное на специальном фермионном представлении операторов спи- спина S = 1/2. Рассмотрим вещественные фермионы 7a(f) (а — 1) 2,3) на решетке из N узлов со следующими антикоммутационными соотношениями: Ьа(г),ъ(г')} = SabSr,r: A9.4) Фермионы вещественны в том смысле, что 7+(г) = 7(г). A9.5) Мы уже встречались с этой алгеброй, когда обсуждали дираковские фер- фермионы. Эта алгебра — не что иное, как алгебра 7-матриц уравнения Дира- Дирака в З^-мерном пространстве. В математике она носит название алгебры Клиффорда, и ее свойства хорошо известны. Например число состояний в неприводимом представлении равно 2^злг/21, где [х] — целая часть числа х. Тем читателям, которые все еще чувствуют себя неуютно всвязи с кон- концепцией вещественных фермионов, следует обратиться к главе 24, где я объясняю связь между майорановскими и обычными фермионами. Можно выразить операторы спина 1/2 через эти новые фермионы. Легко проверить, что представление Sa(r) = ~?абс7б(гOс(г) A9.6) верно воспроизводит коммутационные соотношения спиновых операторов [Sa(r),Sb(r')} = ieabcSc(rNry, A9.7) равно как и условие на спин 1/2: S2 = 3/4. A9.8) Последнее соотношение выполняется благодаря следующему свойству j- матриц (см. формулы A9.4) и A9.5)): ll{r) = 1/2. A9.9) Несмотря на то, что это фермионное представление не вводит нефизиче- нефизических состояний с неправильным значением S2, число состояний становится в 2^/21 раз больше, чем нужно. В практических вычислениях эти дополни- дополнительные состояния устраняются выбором калибровки. Вышеизложенное майорановское представление имеет богатую исто- историю — оно было предложено Мартином в 1959 году [19.6], описано Мат- тисом в его книге по магнетизму [19.7] и переоткрыто в физике высоких
Гл. 19 Майорановское представление для магнетиков со спином S = 1/2 189 энергий Касалбуони [19.3] и Березиным и Мариновым [19.2]. Недавно оно было применено к задачам физики конденсированного состояния (см. ра- работы Коулмана и др. [19.5]). Теперь обсудим майорановское представление в рамках функциональ- функционально-интегрального подхода. Как непосредственно видно, антикоммутаци- антикоммутационные соотношения A9.4) воспроизводятся при квантовании следующего лагранжиана: Л~~ A9.10) Здесь Н[S] — гамильтониан, зависящий, как мы предполагаем, только от спинов. Мера интегрирования есть ~~ A9.11) Для вещественных фермионов ничего другого и нельзя ожидать. Таким образом производящий функционал для спина 1/2 имеет следующий вид: Z[ha] = | Dla exp (- | dr ? I \ E Ъ,гдг1а,г + H[S) + h°Sa,r 1 j . A9.12) Теперь посмотрим, как этот подход работает для гейзенберговской си- системы со спином S = 1/2, взаимодействие в которой антиферромагнитно, вдали от антиферромагнитного упорядочения. Гамильтониан имеет сле- следующий вид: Н = J2J^'Sa(r)Sair')- 09.13) r,r' Подставляя вместо спиновых операторов их фермионные представления, получаем Я= \j2JryY,ba{rha(r')bb(rhb(r% A9.14) r,r' афЬ Таким образом мы получили фермионную теорию, в которой фермионы имеют только потенциальную энергию и никакой затравочной дисперсии. Эта ситуация обратна обычным фермионным теориям, в которых фермионы распространяются в широкой зоне. Идея, однако, состоит в том, что в фазе спиновой жидкости фермионы приобретают дисперсию самосогласованно. Введем следующие средние на связях (вспомните обсуждение в начале главы!): Д?(г,г') =iJr,r'<7«(rOo(r')) A9-15)
190 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч.1П и перепишем гамильтониан следующим образом: т,т' афЬ Jr,r' Ьфа A9.16) A9.17) Явз = ^Е ^У Е : [7-(гO-(г')] : = [7ь(г)тб(г')] : A9.18) г,г' афЬ Теперь формула A9.17) дает кинетическую энергию, а член Явз описывает взаимодействие в майорановской зоне. Наша идея состоит в том, чтобы рассмотреть Явз как возмущение. По- Поскольку в модели нет малых параметров, успех такого подхода не очевиден. Однако мы надеемся, что это приближение может содержать в себе основ- основные черты физики спин-жидкостного состояния. Поэтому стоит потратить некоторое время, чтобы проиллюстрировать его основные принципы. Поскольку мы собираемся пользоваться теорией возмущений, удобно написать функционально-интегральное представление. Это представление также прояснит связь между спиновыми моделями и решеточными калиб- калибровочными теориями. На языке функциональных интегралов через преоб- преобразование Хаббарда-Стратоновича вводится вспомогательное поле Д (г, г') (для этого необходимо, чтобы все Jry были положительны): ехр(- йтн\ = ВА(т;г,г')ехр< - dr \ J / J I J Е Д°(г,г')Дь(гУ) r,r' афЬ >. A9.19) В результате этого преобразования статистическая сумма магнетика запи- записывается так же, как и статистическая сумма решеточной калибровочной теории: Z = jDA(r, r')D7e(r) exp [- j drL(A, 7e)l , 2-, r<a(r> T)9r7a(r,t) + r,r' r'). A9.20) T,r'
Гл.19 Майорановское представление для магнетиков со спином S = 1/2 191 Этот функциональный интеграл инвариантен по отношению к локальным не зависящим от времени калибровочным преобразованиям: 7в(г) = (-1Г Аь(г, г') = (-1)«г<р>+<г<р'> Дь(г, г') A9.21) (<т(г) = 0,1), образующим калибровочную группу теории. Эта группа изо- изоморфна группе Z<i. Именно эта Zi калибровочная симметрия обсуждалась в начале главы. В рамках приближения среднего поля, соответствующего гамильтони- гамильтониану A9.16)—A9.18), мы разлагаем функциональный интеграл вблизи ста- статической конфигурации Д(г, г'), осуществляющей минимум энергии. При этом функция Грина фермионов в приближении среднего поля равна [G-Vn)]r,r' = iunSr,r>6ab + 21Д*(г,r')(l - Sab) A9.22) (важно помнить, что Д(г, г') = —Д(г',г)). В простейшем случае, ко- когда Д§(г, г') = До(г-г'),можносделатьпреобразованиеФурьеиполучить bion, k) = [\шп ~ е(к) = J2 Ao(r) sin(kr), A9.23) что выглядит похоже на функцию Грина обьиных фермионов. Гриновская функция майорановских фермионов обладает важным свойством Gob(-«n, -*) - -Gai>K, к). A9.24) Диаграммное разложение соответствующей статистической суммы со- содержит элементы, показанные на рис. 19.1, где сплошная жирная линия обозначает фермионный пропагатор G(r, г'), а волнистая линия — обмен- обменный интеграл. Диаграмма, показанная на рис. 19.16, запрещена, так как она уже учтена в определении сплошной жирной линии. о а а а Рис. 19.1 Разложение теории возмущений учитывает малые флуктуации Д (г, г'). Существуют также непертурбативные аспекты задачи, не учитываемые этим приближением. Проблема состоит в том, что делать с зависящими
192 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III от времени калибровочными преобразованиями, когда фермионная пере- переменная на некотором узле го резко меняет свой знак как функция времени: Когда мы подставляем это выражение в A9.20), производная по времени дает дополнительный вклад ro,T). A9.25) Мы получаем плохо определенное выражение, так как бесконечность умно- умножается на ноль Gа(пь тJ = 0 — не забывайте, что -у — не операторы, а грассмановы числа!). Поэтому с флуктуациями знака необходимо обра- обращаться осторожно, как это бьшо сделано Коулманом и др. [19.4]. Литература 1. P. W. Anderson, Mater. Res. Bull, 8, 153 A973). 2. F. A. Berezin and M. S. Marinov, Ann. Phys. N.Y., 104, 336 A977). 3. R. Casalbuoni, Nuovo Cimento A, 33, 389 A976). 4. P. Coleman, L. B. Ioffe and A. M. Tsvelik, Phys. Rev. B, 52, 6611 A995). 5. P. Coleman, E. Miranda and A. M. Tsvelik, Phys. Rev. Lett., 69, 2142 A992); 70, 2960A993). 6. J. L. Martin, Proc. R. Soc. London A, 251, 536 A959). 7. Д. Маттис, Теория магнетизма, М.: Мир A967).
20 ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛЕГИРОВАННЫХ АНТИФЕРРОМАГНЕТИКОВ Сосуществование электронов проводимости и спинов является одной из самых сложных проблем в физике конденсированного состояния. На са- самом деле за этими словами скрываются два существенно разных класса физических систем. В системах первого класса электроны проводимости с широкой зоной е(к) антиферромагнитным образом взаимодействуют с локальными спинами, представленными либо магнитными примесями ма- малой концентрации, либо периодической сеткой. Стандартной моделью для таких веществ является модель Андерсона: () k,j,r где с?., Ckj — операторы рождения и уничтожения электрона проводимо- проводимости с волновым вектором к и проекцией спина j, a d+j (drj) создает (уни- (уничтожает) электрон, локализованный на узле г. Объем системы обозначен П. Член четвертой степени описывает силь- сильное кулоновское отталкивание на локали- локализованных орбиталях. Модель Андерсона содержит в себе два конкурирующих про- процесса, именно это обстоятельство дела- делает эту модель столь интересной и сложной. Первым процессом является вызванное сильным кулоновским отталкиванием об- образование локальных магнитных момен- моментов. Поскольку кулоновское отталкивание обычно очень сильно (несколько электрон- вольт), множественное заполнение локали- локализованных орбиталей эффективно подавле- подавлено. При 6^ < 0, ?d + U > 0 большая часть f-узлов имеет единичное заполнение, и, следовательно, эти узлы являются маг- магнитными. Второй процесс — экранировка магнитных моментов электронами прово- проводимости (эффект Кондо). Экранировка вы- вызвана гибридизацией, которая открывает возможность ухода локализован- локализованных электронов в зону проводимости (см. рис. 20.1). П. Андерсон 7. Заказ № 1083.
194 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III Рис. 20.1. Схематическое изображение уровней энергии в модели Андерсона Конкуренция между кулоновскими силами и гибридизацией приводит к некоторым замечательным эффектам. Именно, при высоких температурах электроны проводимости и локализованные электроны ведут себя совер- совершенно независимо. Последние проявляют себя как свободные локальные моменты: их вклад в магнитную восприимчивость подчиняется закону Кю- Кюри х ~ 1/71- При уменьшении температуры локальные моменты экрани- экранируются электронами проводимости. Постепенно система превращается в нечто, напоминающее обычный металл. Однако этот «обычный» металл обладает очень большой линейной теплоемкостью и магнитной восприим- восприимчивостью (до 1000 раз большей, чем у меди). В случае однопримесной за- задачи эти удивительные низкоэнергетические свойства обусловлены образо- образованием узкого резонанса, близкого к уровню Ферми (резонанс Абрикосова- Сула), с характерной шириной Тх « л/Шехр[-1/р(еР)J], J=-V2U/ed(ed + U). B0.2) В системах с периодическим расположением спинов низкотемпературные сингулярности приписываются образованию новой зоны тяжелых частиц, пересекающей уровень Ферми. Модель Андерсона с одной примесью решается точно, имеется почти полное описание ее свойств (см., например, обзорные статьи Цвелика и Вигмана [20.7] и Шлотмана [20.5]). К сожалению наше понимание периоди- периодической модели Андерсона далеко от подобной ясности. Большинство имею- имеющихся результатов было получено с помощью 1/ЛГ-разложения,1 где N — число спиновых компонент, которое в действительности почти всегда равно двум. В применении к периодической модели Андерсона этот метод хорошо изложен в большой статье Коулмана [20.2]. Второй класс систем составляют легированные антиферромагнетики. Эти системы представлены почти исключительно соединениями оксида ме- меди. Типичное вещество такого типа состоит из плоскостей СиО и некоторого «заполнителя» между этими плоскостями, который служит резервуаром ды- 1 Исключения обсуждаются в главе 33.
Гл.20 Функционально-интегральные представления 195 Рис. 20.2. Орбитали, играющие важную роль в формировании свойств СиО-мате- риалов рок, забирая электроны с кислородных узлов (легирование). Существенные электронные орбитали изображены на рис. 20.2. Материалы без легирования, такие как La2CuO4, являются антиферро- антиферромагнетиками со спином 5 = = 1/2, их свойства хорошо объ- объясняет стандартная модель Гей- зенберга (см. предыдущие гла- главы). Спины расположены на медных узлах, а р-орбитали кис- кислорода в этом случае заполне- заполнены и инертны. Как следует из экспериментов на легированных Си ^ d,x2-y2 W'P* ^ Cu антиферромагнетиках, таких как La2-xSrxCu04, введение дырок О быстро подавляет антиферромаг- Ф нетизм. Вещества становятся ме- (_) таллами и в конечном итоге да- даже сверхпроводниками с очень высокой температурой перехода (ВТСП). По-видимому, антифер- антиферромагнетизм подавляется благо- благодаря подвижности дырок. Двигаясь через решетку, дырки переворачивают локализованные спины и создают динамическую фрустрацию. Наиболее явное отличие между этими двумя классами систем состоит в том, что во втором случае фермиевская энергия дырок, будучи пропор- пропорциональна концентрации, всегда меньше или порядка обменного интеграла Cu-Cu. Несмотря на очевидное различие в физике, математическое опи- описание обладает некоторыми общими чертами, на которых я и собираюсь остановиться. Для того чтобы учесть легирование, мы должны модифицировать функ- функционально-интегральное представление для спинов. Вывод, который я со- собираюсь изложить, а также последующий анализ будет очень кратким. Для более детального обсуждения я отсылаю читателя к книге Ауэрбаха, имею- имеющейся в Общей библиографии. Магнитные моменты в металлах обычно создаются ионами редкозе- редкоземельных элементов. Рассмотрим гильбертово пространство одной атом- атомной орбитали на таком ионе; оно включает в себя три состояния \а) = = |0), | t)> I 4), соответствующие пустому узлу и узлам со спином вверх или вниз. Состояние с двойным заполнением исключается сильным куло- новским отталкиванием. Переходы между этими состояниями описываются операторами Хаь{г), введенными Хаббардом: Xab(i)\c)=6bc\a). B0.3) На одном узле каждый из операторов Хаь представляет собой матрицу 3x3
196 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III с единственным ненулевым элементом, равным (ХаЬ)а/3 = баабър. B0.4) Операторы Хаббарда связаны с операторами рождения и уничтожения: Для разных узлов имеется проблема со статистикой. Поскольку переходы между пустыми и заполненными состояниями связаны с изменением числа фермионов, операторы Xao(i), Xoa(i) на разных узлах антикоммутируют, а операторы Xaai{i), Xqq(i) коммутируют. Поэтому естественно называть операторы первого типа фермионными, а второго типа — бозонными. Та- Таким образом мы имеем алгебру, элементы которой обладают различной статистикой. Такие алгебры называются градуированными. Объединяя эти факты с формулой B0.4), можно получить следующие коммутационные соотношения: [Хаь(г), Xcd(j)}± = б13 [Xad(iNbc ± Xcb(iNad], B0.5) где знак (+) должен использоваться только в случае, когда оба оператора являются фермионными. Эти коммутационные соотношения определяют дважды градуированную алгебру, обозначаемую Spl(l, 2). Название «два- «дважды градуированная» отражает тот факт, что алгебра включает в себя гене- генераторы разных типов — бозонные и фермионные. Легко обобщить обозна- обозначения, понимая под записью Spl(N\,, N{) алгебру, имеющую Л/ь «пустых» (т. е. бозонных) состояний \а) и TVf фермионных состояний \а) с единичным заполнением. Коммутационные соотношения B0.5) остаются без измене- изменений. Андерсеновский гамильтониан B0.1) может быть записан в вышеизло- вышеизложенном представлении. Именно, в случае U -» оо надо заменить операторы dr>J на Х0](г), а операторы d+T:J — на Xj0(r). В результате этого получа- получается гамильтониан 1 t k,i,r 7(г) + п 2 V V(ifc) [c+ X0.,(r)eikr4-3.c.l . L J B0.6) Стандартной моделью для описания легированных антиферромагнети- антиферромагнетиков CuO-типа является так называемая (t - ,7)-модель: B0.7)
Гл.20 Функционально-интегральные представления 197 Последнее слагаемое, описывающее кулоновское отталкивание между дыр- дырками на разных узлах, в литературе обычно опускается. Однако этот член является решающим для предотвращения расслоения фаз, при котором все дырки собрались бы вместе, образовав один «клубок». В пределе отсут- отсутствия легирования, б а —> —со, эта модель эквивалентна модели Гейзенбер- га со спином 1/2. В литературе можно найти много обсуждений обобщения (t - ,7)-модели на группы более высокой симметрии, где а — 1,..., N. Целью настоящей главы является формулировка функционального ин- интеграла для дважды градуированных алгебр и, в частности, для моде- моделей B0.1) и B0.7). Этот вывод является обобщением функционального интеграла для спинов, описанного в главе 15. В качестве первого шага вве- введем аналог представления Швингера-Вигнера для алгебры B0.5). Для этого определим псевдовакуумный вектор |П) и представим состояния следую- следующим образом: |а) = /+|П), И=Ь+|П), B0.8) где /+ и 6+ — обычные операторы рождения. Теперь операторы X запи- записываются как Xab = faft, Xaa, = bab+, Xaff = fab+, B0.9) a=l a=\ Условие B0.10) введено для того, чтобы устранить нефизические состоя- состояния, такие, как |П), 6+6+ |П> и т. д. Поскольку переходы между пустыми и заполненными состояниями связаны с изменением числа фермионов, операторы / и 6 должны иметь различную статистику. Здесь имеется выбор: мы можем выбрать / фермионными, а Ь бозонными операторами, или наоборот. С математической точки зрения никакой разницы нет. Я рассмотрю обе возможности. Сначала рассмотрим представление, в котором /„ — фермионные, а Ъ„ — бозонные операторы. Для 7Vb = 1, Nt — 2 этот вывод был проделан Вигманом [20.10]. Функциональный интеграл для фермионов и бозонов с условием B0.10) имеет следующую меру: D/x ехр (-1 drb\ = D/a+D/aD6+D6^(/+/a + 6+6„ - Q) х х ехр Г-1 dr(f+dTf + Ъ+дгЪ,)] = DZ+D/aDb+D^DA х ехр j- j dT[f+(dr + X)fa + ЪЦдТ + ANa - XQ}\ . B0.11)
198 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч III В случае Л?ь = 1, Щ = 2, Q = 25 эту меру можно упростить, разрешив условие B0.10) в явном виде: h = S (l - ±/+ b2 = S (l - J/ S = -(l-/+/)(cose)cosi/)sini9,siiii/'siiii9). B0.12) Здесь я воспользовался тем фактом, что в функциональном интеграле /+, / и Ь+, Ь — не операторы, а соответственно грассмановы и обычные числа. Поэтому (/+/J = 0, и A - -/+/J = A - /+/). Подставляя форму- лы B0.12) в B0.11) и повторяя все преобразования из главы 15, получаем х ехр И dr \ IS \ du{a[dun x <9Tn]) + f+(dT - iAzT)f > , B0.13) где B0.14) Фермионный член в мере не содержит интегрирования по и. Мера, опре- определенная таким образом, калибровочно инвариантна: она не меняется при зависящих от времени преобразованиях /(г) = е'*(т>/(т), ф(т) = ф{т) + а(т). B0.15) Калибровочное поле Аг на плоскости (ы, т) обладает следующим замеча- замечательным свойством: его напряженность равна плотности топологического заряда поля п: FTU = dTAzu-duAzT = втв(дивдт1р-дгвди-ф) = {п[дипхдтп}). B0.16) Оказывается, что в случае 5 = 1/2 с помощью канонического преоб- преобразования можно избавиться от взаимодействия бесспиновых фермионов с калибровочным полем Агт. Это было проделано Уангом и Райсом [20.8]. В результате они получили следующее эквивалентное представление для гамильтониана (t - ,7)-модели: с (I + B0.17)
Гл 20 Функционально-интегральные представления 199 где 5,° — операторы спина 5 = 1/2, а /+г, /г — операторы рождения и уничтожения бесспиновых фермионов на узле г со стандартными ферми- онными антикоммутационными соотношениями (холоны). Преимущество такого представления в том, что оно выявляет тот факт, что подвижные дырки приводят к фрустрации, для которой предпочтительным является ферромагнитный порядок. В пределе J = 0 дырки выстраивают спины так, чтобы сделать ширину своей собственной зоны как можно больше, что соответствует ферромагнитному упорядочению. В случае конечных J этот порядок исчезает при малых концентрациях а; < хс ~ J/t. Теперь рассмотрим другое представление алгебры Spl(l, N), а имен- именно то, в котором спиновые операторы выражены через фермионы. Это так называемое представление «подчиненных бозонов», введенное Коул- маном [20.1]. Это представление более удобно для модели Андерсона. Вы- Выберем следующую параметризацию: Хоо = 1 -/,+/„ Xn, = f+fJ,, XOl=b+U, B0.18) Ь = Vpe1", Ъ+ = Vpe-ie, B0.19) Р2 + Iff, = N/2. B0.20) Мера интегрирования есть D/x = T>f+Df,DeDp6(p+f+f, - Q). B0.21) При такой мере статистическая сумма расходится, так как действие содер- содержит / и Ь в билинейных комбинациях (см. формулу B0.20)) и, следователь- следовательно, является инвариантным по отношению к калибровочным преобразова- преобразованиям в{т) = в(т) + q(t), /,(t) = /,(т)е"«. B0.22) Чтобы получить правильную меру, мы должны зафиксировать калибров- калибровку. Часто используют радиальную калибровку в = 0. Подставляя форму- формулу B0.20) в выражение для меры B0.21), получаем D/x - D/+D/,Dp JDAexp {- j dr[f+(dT + iA)/, + iA(p - Q)] J , B0.23) где вспомогательная переменная А (т, г) введена для того, чтобы обеспечить выполнение условия дельта-функции в B0.21) С помощью этого результата мы можем записать статистическую сумму для модели Андерсона и (t — ,7)-модели. Для модели Андерсона имеем ZK = JD/+D/,DpDAexp Л-J
200 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III + iAr(pr - Q) - ft~1/2 Y^ v{k)VP~r{cbfr,j^T + K-c.). B0.24) k,j,r Статистическая сумма для (t - ,7)-модели имеет ту же меру, но другой лагранжиан: Е Е B0.25) Стандартный подход к этим моделям — использовать 1/TV-разложение, в рамках которого статистическую сумму разлагают вблизи седловои точки р(т,г) = ро + 5р(т,г), i\(T,r) = uo + iu(T,r), B0.26) где ро и и0 определяются условиями самосогласования (сокращение диаг- диаграмм-головастиков) (f?,jfr,j) ~ число d-электронов, B0.27) а 5р и и считаются поправками, малыми по параметру 1/N. Эффективные лагранжианы в седловых точках имеют вид bf = 2>?Pr - e(k)]ckj + f+{dr + id)fkJ + V{k)DjkJ + к.с.)} B0.28) для модели Андерсона, где id = -е в. + и0, V(k) = y/poV(k); и [20.4] 9.P > + кулоновское взаимодействие B0.29) для (t — 7)-модели. В последнем случае i(k) — (г)
Гл.20 Функционально-интегральные представления 201 Эффективный лагранжиан теории среднего поля для модели Андерсона квадратичен. Спектр возбуждений B0.30) представлен на рис. 20.3. Этот спектр содержит почти плоские участки, от- ответственные за увеличение массы в тяжелофермионных системах. Флуктуа- Рис. 20.3. Схематическая картина спектра андерсоновской решетки ции вблизи седловой точки приводят к взаимодействию квазичастиц. Таким образом из приближения больших N возникает довольно мирная картина: спиновые степени свободы объединены в зону, а остальные взаимодействия малы. Другими словами, мы имеем классическую ферми-жидкость, хотя, возможно, с очень малой энергией Ферми ёр ~ V2/ep- Несмотря на то, что этого недостаточно для полного описания тяжелофермионных материалов, полученная картина верно отражает некоторые важные черты. Это при- приближение было успешно использовано для объяснения экспериментов по изучению эффекта де Хааза-ван Альфена в тяжелофермионных соединени- соединениях [20.9,20.6], что обусловлено важным свойством радиальной калибровки, состоящим в том, что 1/TV-разложение остается качественно правильным для физического случая N = 2. Именно, как видно из формулы B0.24), благодаря положительности у/р, электроны проводимости всегда гибриди- зуются с f-квантами, как бы ни были сильны флуктуации у/р. В результате спектр B0.30) сохраняется при любом N, если только его не разрушают другие процессы, такие, как сверхпроводимость или магнитные корреля- корреляции. В частности, как будет показано в главе 33, этот подход не работает в случае одномерной решетки Кондо, где антиферромагнитные корреляции играют определяющую роль. Ситуация с (t — J) -моделью гораздо сложнее, поскольку она остается теорией с взаимодействием даже при N -> со. Существующие исследова- исследования (см., например, работу [20.3]) показывают, что при малых J/i, когда
202 Сильно флуктуирующие спиновые системы Ч. III основное состояние немагнитно, седловая точка имеет ферми-жидкостный характер. Это самая досадная черта l/JV-подхода к (t — ,7)-модели, ко- которая свидетельствует о его неспособности объяснить явные отклонения СиО-материалов от ферми-жидкостного поведения. Таким образом тайна легированных антиферромагнетиков остается неразгаданной... Литература 1. P. Coleman, Proc. of the Fourth Int. Conf. on Valence Fluctuations, J. Magn. Mwer.,47&48,323A985). 2. P. Coleman, Phys. Rev. B, 35, 5072 A987). 3. M. Grilli and G. Kotliar, Phys. Rev. Lett, 64,1170 A990). 4. A. I. Larkin and L. B. Ioffe, Phys. Rev. B, 39, 8988 A989). 5. P. Schlottmann, Phys. Rep., 181, 2 A989). 6. M. Springford, Physica B, 171, 151 A991). 7. A. M. Tsvelik and P. B. Wiegmann, Adv. Phys., 32, 453 A983). 8. Y. R. Wang and M. J. Rice, Phys. Rev. B, 49, 4360 A994). 9. A. Wasserman, M. Springford and A. C. Hewson, J. Phys. C: Cond. Matt, 1,2669 A989). 10. P. B. Wiegmann, Phys. Rev. Lett, 60, 821 A988).
Часть IV Физика в мире одного пространственного измерения
Введение Эта часть книги полностью посвящена физике A+1 )-мерных квантовых или двумерных классических моделей. Как обычно, я буду делать различие между классическими и квантовыми системами только при необходимости; все модели, о которых пойдет речь, я буду называть «двумерными». Двумерный мир — это «райское место» для сильных взаимодействий и непертурбативных эффектов. Эти эффекты, которых сложно или даже невозможно достичь при D > 2, возникают почти во всех двумерных моде- моделях. Среди наиболее замечательных непертурбативных эффектов — то, что в спиновых системах со спином 5 = 1/2 с антиферромагнитным взаимо- взаимодействием элементарные возбуждения имеют спин 1/2, а не 1, как обычные магноны (см. главу 27); разделение спиновых и зарядовых степеней свобо- свободы в одномерных металлах (см. главу 28); волны зарядовой и спиновой плотности и т. д. Многие из этих явлений наблюдались экспериментально (см. соответствующие ссылки в последующих главах). Быстрый техноло- технологический прогресс делает доступными новые системы, изучение которых раньше рассматривалось бы как чисто академическое упражнение. В то же время, с точки зрения теоретика, интересным является то, что во многих случаях от сильных взаимодействий можно избавиться подходящей заме- заменой переменных. В частности существует большой класс нетривиальных двумерных моделей, которые эквивалентны теории свободного безмассо- безмассового бозонного поля (см. ниже формулу B1.1)). Однако нет никакого пара- парадокса в том, что за сильными корреляциями, имеющими место на уровне наблюдаемых величин, скрываются свободные частицы. Подобная ситуа- ситуация имеет место тогда, когда физические наблюдаемые нелинейно зависят от свободных полей; соответствующий пример приведен в следующей гла- главе. Далее в части 4 мы рассмотрим много моделей, эквивалентных моделям свободных частиц; среди них — гейзенберговская цепочка спинов S — 1/2 и различные модели взаимодействующих фермионов. Существуют нетри- нетривиальные теории, описываемые усеченной моделью свободного безмассо- безмассового бозонного поля, в которых некоторые состояния свободных бозонов исключены. Список этих моделей включает в себя модель Изинга и модель Поттса с тремя состояниями в критической точке, а также многие другие. Относительно новой темой является неабелева бозонизация; она помогает решить некоторые задачи, такие, как задача о гейзенберговской цепочке спинов 5 = 1 (глава 32) и многоканальная задача Кондо (в данной книге не рассматривается). Мир одномерной физики существует не только на бумаге. Существует много систем, которые могут быть описаны как одномерные, по крайней мере в определенном диапазоне температур. По возможности я буду давать ссылки на экспериментальные работы.
21 МОДЕЛЬ СВОБОДНОГО БОЗОННОГО БЕЗМАССОВОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ Эта н несколько других глав посвящены на первый взгляд тривиальной теории свободного бозонного безмассового скалярного поля в двумерном евклидовом пространстве. Действие данной модели имеет вид B1.1) где А — некоторая область бесконечной плоскости. До сих пор мы рассмат- рассматривали только случай, когда А является прямоугольником: А = @ < г < /3, О < х < L). Теперь я сниму это ограничение. Модель B1.1) возникает во многих приложениях. В частности, как мы видели в части 1, она возникает как эффективная теория для поперечных флуктуации двухкомпонентного векторного поля Ф в низкотемператур- низкотемпературной (г* < 0) фазе 0B)-симметричной векторной модели. Этот факт фор- формально связывает настоящую главу с предыдущим материалом. В действи- действительности же значение модели B1.1) гораздо шире. Можно было бы подумать, что нет ничего более скучного, чем модель свободных бозонов, которая является всего лишь набором гармонических осцилляторов. Однако, как квантовая механика вырастает из теории гармо- гармонического осциллятора, так и теория свободных бозонов является ростком для КТП в двух измерениях. Поэтому я советую читателю быть терпели- терпеливым и обещаю, что его терпение будет вознаграждено. Те же, кого вгоняет в скуку формальное изложение, могут попытаться продвинуться дальше и перейти к главам, в которых я рассматриваю применение теории B1.1) к различным двумерным моделям. Первый нетривиальный факт касательно модели B1.1) состоит в том, что некоторые ее корреляционные функции довольно замечательны. Это яв- является иллюстрацией к моему предыдущему утверждению о том, что даже тривиальные теории могут иметь нетривиальные корреляционные функ- функции. Чтобы вычислить эти функции, нам надо вспомнить производящий функционал для полей Ф. Этот функционал был получен еще в главе 3C.11), а в более общем виде — в главе 4 (см. формулы D.6) и D.9)). Было найдено, что Z[r,(x)]/Z[0] = ехр |jr,(O G(?, О т,(о] , B1-2) где G(?, ?') — функция Грина оператора Лапласа на области А. В подходе, который мы будем использовать в части 4, есть две новые характерные особенности: A). Мы будем использовать координатное представление для корреляци- корреляционных функций.
206 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV B). Вместо разложения Z[rj\ вблизи rj — 0 мы будем вычислять полный производящий функционал в явном виде для некоторого конечно- конечного Г){х). Выше я упоминал о том, что речь может идти о произвольной обла- области А. Однако для простоты рассмотрим сначала случай, когда А является бесконечной плоскостью. Чтобы сделать формулу B1.2) хорошо определен- определенной, необходимо регуляризовать действие B1.1) и на больших, и на малых расстояниях. Для этого введем решетку с шагом а и будем рассматривать плоскость как диск очень большого радиуса R -» оо. Тогда G удовлетворяет уравнению Лапласа на бесконечной плоскости: -{д2х + д2Т)С(х,т-х'У) = 6(х - х'Щт - т') B1.3) с вышеупомянутой регуляризацией. В дальнейшем нам будет удобно ис- использовать комплексные координаты z = т + ix, z = т — ix, при этом д = 40гаг-, dz = \{дт - \дх), d, = ^dr + idx). Функция Грина известна и имеет следующий вид: Теперь рассмотрим конкретный выбор rj, а именно N /и<*-б0' B1-5) п=1 где /3„ — некоторые числа. Производящий функционал B1.2) для такого выбора 77 совпадает с корреляционной функцией бозонных экспонент: Z[rfi]/Z[0] = (exp[i/?^F)] • • • ехр[10дгФ(?дг)]). B1.6) Подставляя формулу B1.5) в B1.2), мы получаем самую важную формулу части 4: г[щ\/гщ = ехР exp B1.7) В непрерывном пределе слагаемые с функциями Грина от совпадающих аргументов расходятся. Однако, поскольку мы имеем дело с регуляризо- ванной теорией, они конечны. Подставляя выражение B1.4) для G в фор- формулу B1.7), мы приходим к следующему выражению для корреляционной функции экспонент:
Гл 21 Модель свободного бозонного безмассового скалярного поля 207 Это выражение не обращается в ноль при R -» оо только в случае « = 0. B1.9) Таким образом мы получили общее выражение для корреляционных функций бозонных экспонент. На самом деле формула B1.7) справедлива не только для плоскости, но и для произвольной области А при условии, что G выбрано соответствующим образом. Позже мы обсудим это весьма подробно. Поскольку бозонные экспоненты образуют базис для локальных функционалов от Ф, мы можем вычислять корреляционные функции любо- любого локального функционала -Р(Ф), разлагая его в интеграл Фурье и используя формулу B1.8). На самом деле мы можем даже больше. Вернем- Вернемся к формуле B1.6) и перепишем ее правую сторону в виде произведения аналитической и антианалитической функций: (exp[i/3^(?i)].. .ехр[1/?лгФ(?лг)]) = G(zi,... ,zN)x xG(?i,...,ZAr)<f?,snio, B1.10) где Поскольку корреляционные функции факторизуются в произведение ана- аналитических и антианалитических частей, последние можно изучать неза- независимо. В силу того, что факторизация корреляционных функций есть общий факт, она может быть формально записана как факторизация со- соответствующих полей: под знаком (...) мы можем переписать Ф(г, z) как сумму независимых аналитического и антианалитического полей: Ф(г,г) = ф(г) + ф(г), B1.11) ехр[1/ЗФ(г, г)] = ехр[10ф(г)] exp[i^(z)]. B1.12) Я подчеркиваю, что это разложение следует понимать только как свойство корреляционных функций, но не как ограничение на переменные в функ- функциональном интеграле. Внимательный читатель должен понимать, что вы- выражение B1.10) получается в результате интегрирования по всем полям Ф. Часто бывает удобно использовать «дуальное» поле &(z, z), определен- определенное как в{г,г)=ф{г)-фB). B1.13) Это дуальное поле удовлетворяет следующим уравнениям: д^Ф = -ie^dvQ B1.14)
208 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV или, покомпонентно, дгф = дгв, д?Ф = -дгв. B1.15) Для того чтобы изучать корреляционные функции аналитических и ан- антианалитических полей, я определю поля B1.16) с, вообще говоря, разными /3 и /3. С помощью операторов А(C, г), A(J3, z) можно разложить локальные функционалы от взаимно нелокальных полей Ф и 0. Давайте построим полный базис бозонных экспонент для простран- пространства локальных периодических функционалов. Предположим, что является локальным функционалом, периодичным и по Ф, и по 0 с пери- периодами Т\ и Гг соответственно. Этот функционал может быть разложен по бозонным экспонентам: , 9) = J2 К™ ехр[B1тгп/Т1)Ф + Bi7rm/T2H] = = ^2Fn^mA{l3nm,z)A(pnm,z), B1.17) n,m А™ = 2тг =-+=-. где B1-18) Являются ли Т\ и Т2 произвольными? Нет, они связаны друг с другом. Причина этого состоит в том, что корреляционные функции должны быть однозначно определены на комплексной плоскости. Мы можем увидеть, как работает этот аргумент, используя в качестве примера парную корреля- корреляционную функцию: {А@пт, гг)А(/Зпт, zi)A(-/3nm, z2)A(-/3nm, z2)) = (%)\ B1.19)
Гл 21 Модель свободного бозонного безмассового скалярного поля 209 где введены величины 5 = Д - А = называемые, соответственно, «масштабная размерность» и «конформный спин». Две точки ветвления в формуле B1.19) взаимно сокращаются и дают однозначно определенную функцию только в том случае, если 25 = /32т/4тг - PlJ^ir = целое число, B1.20) т. е., физические поля с однозначно определенными корреляционными функциями должны иметь целый или полуцелый конформный спин. Это уравнение приводит к соотношению т2 = Tl B1-21) в качестве минимального решения. Соотношение B1.21) определяет пока- показатели степени для многоточечных корреляционных функций. Эти показа- показатели, деленные на два, принято называть «конформными размерностями». В случае модели B1.1) конформные размерности базисных операторов да- даются формулами Бозонизация Корреляционные функции операторов с целым конформным спином инва- инвариантны относительно перестановки координат; поэтому такие операторы являются бозонными. Наоборот, если переставить операторы с полуцелым конформным спином, то корреляционная функция изменит знак. Поэтому поле с полуцелым конформным спином является фермионным. Как мы уже видели, поля обоих типов могут быть представлены бозонными экспонен- экспонентами. Следовательно, в фермионной теории с линейным спектром ферми- онные операторы могут быть представлены через безмассовое бозонного поле и поле, дуальное ему. Соответствующая процедура называется бозони- зацией. Она была предложена Коулманом [21.1 ] и Манделстамом [21.2]. Мы
210 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV уже обсуждали эту процедуру в главе 13 в разделе, посвященном A + 1)- мерной КЭД. Также подробное и современное обсуждение бозонизации содержится в главе 4 книги Фрадкина. Рассмотрим парную корреляционную функцию бозонных экспонент в специальной точке Тогда D(z) = ^ Регуляризуем эту функцию: B1.23) теперь она удовлетворяет уравнению 2d-zD{z,z) = B1.24) для функции Грина безмассового фермионного поля с правой кирально- киральностью! (Вспомните обсуждение в связи с формулой A3.20).) Очевидно, что соответствующая антианалитическая функция совпадает с функцией Гри- Грина релятивистских безмассовых фермионов с левой киральностью. Таким образом, мы можем установить соответствие, показанное в таблице 21.1, между операторами в двух теориях, которые имеют одинаковые корреля- корреляционные функции. Таблица 21 I Безмассовые бозоны Действие \) d2x(v$J Операторы A/%/2тга) ехр[±1%/4тг^(г)] A/%/2тга) ехр[Т1%/4тг^(г)] — cos[\/47r<3>(z, z)l тга Безмассовые фермионы Действие 2/ <12х(ф+д-гфп + ф?дгфъ) Операторы Фп, Ф& ф^ф1 фф Ф1Фк- ¦ ф1Фь ¦¦ Последнее соответствие между операторами тока обсуждалось в главе 13. Имея такую таблицу бозонизации, можно решить многие в высшей сте-
Гл 21 Модель свободного бозонного безмассового скалярного поля 2U_ пени нетривиальные модели. Простейший пример дается следующим дей- действием: S = \ d2x ЫУФJ + —cos(\/4^$)| = [ <Рх(ф-у'1д11ф + Мфф). B1.25) J L2 7ГО J J Эта эквивалентность следует из того факта, что ряды теории возмущений по М в этих двух теориях совпадают. Здесь мы сталкиваемся с ситуаци- ситуацией, упомянутой во введении к части 4: модель, нелинейная в бозонном представлении, является замаскированной теорией свободных массивных фермионов! Литература 1. S. Coleman, Phys Rev D, 11, 2088 A975). 2. S. Mandelstam, Phys Rev D, 11, 3026 A975).
22 РЕЛЕВАНТНЫЕ И ИРРЕЛЕВАНТНЫЕ ПОЛЯ. МОДЕЛЬ СИНУС-ГОРДОНА В этой главе мы продолжим изучать безмассовое скалярное поле, опи- описываемое действием B1.1). Мы уже видели, что эта модель обладает бес- бесщелевым спектром возбуждений, и корреляционные функции бозонных экспонент описываются степенными законами. Такое поведение означает, что корреляционная длина бесконечна, и система находится в критической фазе. Несомненно, очень важно знать, насколько эта критическая точка устойчива по отношению к возмущениям. Любая модель является лишь идеализацией; некоторые взаимодействия при ее выводе не учитываются. Как можно понять, какие взаимодействия важны, а какие — нет? Очевидно, слабыми взаимодействиями являются те, чье влияние на корреляционные функции мало. Проблема, однако, состоит в том, что обычно корреляци- корреляционные функции испытывают разное влияние на разных масштабах, наибо- наиболее чувствительна асимптотика на больших расстояниях. Поэтому может случиться так, что некоторое возмущение приводит к очень слабым изме- изменениям на малых расстояниях, но при этом существенно меняет поведе- поведение на больших масштабах. В рамках ренормгруппы это проявляется как рост константы взаимодействия, связанной с соответствующим операто- оператором возмущения. Подобный рост является частым явлением в критических теориях; медленность убывания их корреляционных функций приводит к расходимостям в диаграммных рядах. Операторы, влияние которых растет на больших расстояниях (на малых импульсах), называются релевантными (существенными). Проблема реле- релевантности возмущений может быть сформулирована и решена в общем виде. Предположим, что имеется система в критической состоянии (т. е. все корреляционные функции спадают на больших расстояниях степенным образом). Пусть в критической точке эта система описывается действием So, и пусть физическое поле Ad(r) является полем с масштабной размер- размерностью d, что означает (Аа(г)А+(т')) ~ |г - г'Гм. Теперь рассмотрим возмущенное действие S=S0+g I dDrAd{v). Описывает ли оно ту же самую критическую точку, т. е. влияет ли возму- возмущение на масштабную размерность корреляционных функций? Теорема. Возмущение с нулевым конформным спином и масштабной раз- размерностью d является релевантным, если d<D,
Гл.22 Релевантные и иррелевантные поля 213 и иррелевантным (несущественным), если d> D. Случай d = D является маргинальным (пограничным), и ответ зависит от знака д. Для двумерных теорий имеется следующий замечательный ре- результат, полученный Поляковым [22.3]. Он вычислил функцию Гелл-Мана- Лоу для конформной теории общего вида, возмущенной несколькими мар- маргинальными операторами дп f d2rAn(r). B2.1) Предположим, что операторы А" нормированы таким образом, что (An(n)Am(r2)) = jnm^_J_ тогда уравнения ренормгруппы для констант связи дп имеют вид An — B2.2) где С?4 — коэффициенты в корреляционных функциях третьего порядка Срч |Г1_Г2|2|Г1Д3|2|Г2_ГЗГ B23) Полезно обсудить следствия вышеупомянутой теоремы в рамках нашей бозонной теории. Это даст красивую иллюстрацию и позволит оценить важность предыдущего изложения. Рассмотрим некоторое возмущение на- нашей бозонной теории. Поскольку есть операторный базис бозонных экс- экспонент, можем разложить все возмущения локально по Ф и Э. Так как по-настоящему важны только возмущения с малыми масштабными размер- размерностями, нет необходимости рассматривать поля, содержащие производные бозонных экспонент: вес такие поля имеют масштабные размерности боль- больше двух, следовательно являются иррелевантными. Поэтому достаточно рассмотреть вопрос о релевантности для следующего простого возмуще- возмущения: где C соответствует какой-либо из допустимых конформных размерностей нашей теории, а масштабная размерность возмущения равна ¦- Д2 = /32/4n.
214 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Возмущенная модель имеет следующее действие: S=ld2x \~( УФJ + g соз@ФI B2.4) и называется моделью синус-Гордона. На самом деле, эта модель является одной из самых важных моделей A + 1)-мерной физики. Минимальные возмущения на фоне критичности возникают очень часто и в разных фи- физических контекстах, поэтому в дальнейшем мы еще не раз встретимся с моделью синус-Гордона (вспомните обсуждение модели спинового нема- тикавглаве 17). Для простоты я буду рассматривать разложение по теории возмущений для простейшей двухточечной корреляционной функции бозонных экспо- экспонент: <ехррА,ФA)]ехр[-1Д,ФBI>> где /3q есть одно из разрешенных значений /3. Первая неисчезающая по- поправка к этой корреляционной функции равна d2x3 I J2r j2r | г 1-01/2 B2.5) Двойной интеграл в этом выражении сходится на больших расстояниях в том случае, если Ы = Р2/2ж > 4, т. е. если d > 2. Это означает, что при d > 2 ряд теории возмущений не содержит инфракрасных расходимостей; так что если затравочная констан- константа взаимодействия мала, то ее эффект будет мал всегда и не усилится в процессе перенормировки. Посмотрим, что происходит при d < 2, т. е. в случае, когда возмущение является релевантным. В общем случае есть две возможности. Во-первых, релевантное возмущение может перевести систему в другую критическую точку.1 Другая возможность состоит в том, что конформная симметрия бу- будет полностью утеряна, и в системе возникнет конечная корреляционная длина. Для A + 1)-мерной системы это означает, что элементарные возбу- возбуждения приобретают массу. Так происходит в модели синус-Гордона. Как мы увидим дальше, спектр масс сильно зависит от /3. На самом деле мы уже знаем спектр в одной точке при d = 1 @ = у/4п): согласно процеду- процедуре бозонизации, модель синус-Гордона с таким значением 0 эквивалентна 'Согласно теореме Замолодчнкова [22.7], эта новая критическая точка всегда имеет меньший центральный заряд, чем невозмущенная. Определение центрально- центрального заряда дается ниже в главах 24 и 25.
Гл 22 Релевантные и иррелевантные поля 215 модели свободных массивных фермионов (см. формулу B1.25)) с массой тсс д. Легко также решить модель B2.4) при d<Cl, когда можно разложить косинус вблизи Ф = тг//3: сов(/ЗФ) » -1 + ^2(Ф - ж/РJ. В результате получается теория массивных бозонов: Sa = \ [ <*2я[(УФ'J + 5/?2Ф'2], Ф' = Ф - Я-//3 B2.6) со следующим спектром возбуждений и свободной энергией: ш(р) = у/р2 + т2, т2 = д/32, B2.7) B2.8) Таким образом, как и при d = 1, спектр имеет щель; однако элементарные возбуждения — другие: они не фермионы, а бозоны. В этом приближении нетрудно вычислить корреляционные функции бозонных экспонент. Они по-прежнему даются формулой B1.7), но с elk«» Например для парной корреляционной функции мы получаем ?>12 = <ехррД,ФA)]ехр[-1Д,ФB)]> - -1}, где Д = (9о/8т-Намалыхрасстояниях|г12|<Сто~1,когдаЯ'о(а;)~«1пA/а;). воспроизводится невозмущенное выражение B1.8). На больших расстоя- них \zi2\ ~S> rn~1, когда Kq{x) и y/w/2xexp(—x), имеем 4Д ?>12 = -8Д(тоаLЛ ехр(-тп|г12|) Полученные результаты свидетельствуют о том, что на первый взгляд простая модель синус-Гордона имеет богатые свойства. Подробное обсу- обсуждение этого богатства выходит за рамки данной книги. Вместо этого я приведу короткий обзор того, что известно, с соответствующими ссылка- ссылками. Спектр модели синус-Гордона был получен квазиклассически [22.1] и из точного решения [22.6]. В этой модели в интервале /З2 < 8тг спектр име- имеет щель. Элементарные возбуждения в этом случае являются массивными релятивистскими частицами с массами М„, подчиняющимися принципу Паули (это утверждение, на первый взгляд, противоречит формуле B2.8);
216 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV это противоречие разъясняется ниже). Одна из ветвей этого спектра состоит из дираковских фермионов с массой Mq = M(g, /3) ~ gllB~P /47Г); ферми- частицы называются кинками, а античастицы — антикинками. При/З2 < 4тг {d < 1) появляются другие ветви, соответствующие связанным состояниям частица-античастица. Эти связанные состояния (они называются бризеры) являются скалярными бозонами с отталкивательным взаимодействием; они не имеют античастиц, поэтому их спектр полностью положителен. Оттал- Отталкивание в одномерном случае играет ту же роль, что и принцип Паули: состояние с некоторым импульсом не может быть дважды заполненным. Таким образом бризеры, будучи бозонами с твердым ядром, удовлетворяют статистике Ферми. Спектр масс бризеров описывается формулой Мп = 2М0 sin n 16тг - 2/32, B2.9) где [х] означает целую часть от х. Все бризеры с п > 1 являются связанными состояниями первого (или фундаментального) бризера. Энергия связи Е* первого связанного состояния равна дефекту массы: sin2 [4(8^2)] • B2.10) При р2 —> 0 энергия связи стремится к нулю, и при малых /З2 синус в формуле B2.9) можно разложить: Мп и (/32Мо/8)п. Зафиксируем конечное Mi = C2Mq/8. Тогда в пределе /?2 —> 0, Mi равно константе, кинки становятся бесконечно тяжелыми и исчезают из спектра. Линейность спектра масс по п означает, что теперь бессмысленно делать различие между n-ным связанным состоянием и состоянием с п несвя- несвязанными фундаментальными частицами. Можно описать гильбертово про- пространство так, чтобы включить все собственные состояния бризеров с п > 1 в степени свободы фундаментальной частицы. Можно показать, что эта пе- перестройка приводит к изменению статистики фундаментальных частиц; она становится бозонной. Так разрешается вышеупомянутое противоречие. Модель синус-Гордона определенно является одной из наиболее изу- изученных точно решаемых моделей. Литература на эту тему обширна; я в особенности рекомендую статью Джапаридзе и др. [22.2], где можно найти подробное рассмотрение термодинамики этой модели. Точные корреляци- корреляционные функции рассмотрены в блестящей, но довольно сложной серии работ Смирнова [22.4].
Гл 22 Релевантные и иррелевантные поля 217 Я завершаю данную главу рассмотрением нетривиального случая, когда возмущение имеет ненулевой конформный спин. Рассмотрим следующее возмущение: д I dz dzcos(№) cos(/36) = | I dz dz{cos[(/3 + 0H + (/3 - 0H] + B2.11) где /3, /3 принадлежат множеству B1.18). Поскольку /3/?/4тг есть четное чис- число, масштабные размерности обоих операторов больше двух. Можно было бы подумать, что это автоматически приводит к их иррелевантности. Одна- Однако это не так, поскольку критерий релевантности, полученный выше, здесь неприменим. Чтобы установить новый критерий, рассмотрим ряд теории возмущений для свободной энергии. Впервые расходимость в разложении статистической суммы возникает в четвертом порядке по д: д4 [ d2xx... d2x4x х (exp[i(/3 + Р)ф{1)\ exp[i(/3 - 0)фB]\ exp[i(-/3 + 0HC)] х х exp[i(-/3 - /3HD)]) (exp[i(/3 - 0HA)] exp[i(/3 + 0HB)] x x exp[i(-0 - 0HC)] exp[i(-0 + 0HD)])+ + @->0). B2.12) Предположим, что (/32-/32)/4тг> 1. B2.13) Тогда интегралы по х\2 и х34 сходятся на малых расстояниях. Вычисляя эти интегралы, мы получаем приближенно J dz2 exp[i@ + 0HA)] exp[i@ - 0HB)] - B2.14) Оставшийся интеграл noii ихз есть g\ f rf2^! й2хз(со8[2/ЗФA)] со8[20ФC)]); 9l = д B2.15) В противоположном случае когда /3 > § можно повторить вышеизложен- вышеизложенное рассуждение, поменяв местами /3 и /3. Сходиться на малых расстояниях теперь будут интегралы по х^ и х2А- В этом случае наша процедура приво- приводит к возмущению <72cos[2/3^], где д2 = д2а2+(-Р ~@ '/27Г. Критерий B2.13) заменяется на (/З2 - /92)/4тг > 1. B2.16)
218 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV Таким образом поведение корреляционных функций на больших расстоя- расстояниях оказывается таким же, как если бы мы имели возмущения Vx = Л созB/ЗФ), (/? < /3); V2 = g2 созB/ЗФ), (/3 > /3). B2.17) В результате мы видим, что исходное возмущение с ненулевым конформ- конформным спином порождает возмущения B2.17) с нулевым конформным спи- спином. Для их релевантности имеется обычный критерий, дополненный усло- условием B2.13) в случае V\, или условием B2.17) в случае Vi- Этот механизм порождения релевантных возмущений был впервые описан Бразовским и Яковенко [22.8], а позднее — Кусмарцевым, Лютером и Нерсесяном [22,9]. Литература 1. R. F. Dashen, В. Hasslacher and A. Neveu, Phys. Rev. D, 11, 3424 A975). 2. G. Japaridze, A. Nersesyan and P. B. Wiegmann, Nucl. Phys. B, 230, 10 A984). 3. A. M. Поляков,ЖЭТФ, 63,24A972). 4. F. A. Smimov, J. Phys. A, 18, L873 A984); J. Phys. A, 19, L575 A985); Nucl. Phys. B, 337, 156A990). 5. N. Yu. Reshetikhin and F. A. Smimov, Commun. Math. Phys., 131, 157 A990). 6. Л. А. Тахтаджян и Л. Д. Фаддеев, ТМФ, 21, 160 A974). 7. А. Б. Замолодчиков, Письма в ЖЭТФ, 43, 565 A986). См. также Confor- mal Invariance and Applications to Statistical Mechanics, edited by C. Itzykson, H. Saleur and J.-B. Zubert, World Scientific A988). 8. S. A. Brazovsky and V. M. Yakovenko, J. Phys. Lett. (Paris), 69, 46 A985); С. А. Бразовский и В. М. Яковенко, ЖЭТФ, 89, 2318 A985). 9. Ф В. Кусмарцев, А. Лютер и А. А. Нерсесян, Письма в ЖЭТФ, 55, 692A992); F. V. Kusmartsev, A. Luther and A. A. Nersesyan, Phys. Lett. A, 176, 363 A993).
23 ПЕРЕХОД КОСТЕРЛИЦА-ТАУЛЕССА В предыдущей главе мы рассмотрели модель синус-Гордона — модель свободных безмассовых бозонов, возмущенную слагаемым cos(/?<I>). Как мы знаем, полный базис операторов в нашей модели включает также экс- экспоненты дуального поля Q(z, z). Эти экспоненты также являются полями с нулевым конформным спином, поэтому к ним применим критерий ре- релевантности, рассмотренный в предыдущей главе. Согласно этому крите- критерию, возмущение cos(/30) релевантно при р1 /4тг < 1. Что действитель- действительно интересно обсудить — так это возможный механизм появления таких возмущений. ОB)-симметричная нелинейная сигма-модель, которая уже рассматривалась в другом контексте в части 2, предоставляет прекрасную возможность обсудить механизм порождения дуальных экспонент. Напо- Напомню ее эффективное действие: d*x(d,n)\ п2 = 1, B3.1) где п — единичный двухкомпонентный вектор, а Мо — средняя «ради- «радиальная» компонента вектора Ф: (Ф2) = Мц. Двухкомпонентное единичное векторное поле п может быть параметризовано следующим образом: п = [cos (ф\/Г/М0) ,sin (ф\/Т/М0)] . Кажется, что при такой параметризации действие B3.1) совпадает с дей- действием свободного скалярного поля B1.1). Тот факт, что операторы ис- исходной модели B3.1), будучи локальными функционалами от п, являются периодическими функционалами от Ф с периодом Тх = 2wM0/Vt, B3.2) определяет набор масштабных размерностей. Они даются формулой B1.22) с Ту, определенным по формуле B3.2). Дуальные экспоненты имеют период Т2 = 47T/TJ = 2у/Т/М0. Парная корреляционная функция n-полей спадает степенным образом: <nF)nF)> = М02 (^У Теперь я покажу, что в этом наивном рассуждении содержится очень важная ошибка. Аккуратное рассмотрение дает дополнительные члены, т. е. эффективное действие для модели B3.1) описывается не действием B1.1),
220 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV а этим действием, возмущенным дуальными экспонентами: fc=i B3.3) где Ak — некоторые коэффициенты.1 Эти возмущения релевантны при больших температурах Т > ttMq/2, когда возникает конечная корреляци- корреляционная длина ?(Т), и корреляционные функции на расстояниях, больших ?, спадают экспоненциально. Чтобы увидеть это, вспо- вспомним способ действий с функциональным интегралом. В функциональном интеграле интегрирование ведется по непрерывным функциям; в данном случае — по Ф(х). Казалось бы, все сингулярные функции автоматически отбрасываются, поскольку, давая бесконечный вклад в показатель экспоненты, они дают нулевой вклад в функ- функциональный интеграл. Однако, это не так, потому что мы регуляризовали нашу теорию, и все расходимости сгла- сглажены на масштабе ~ а. Следовательно, вклады в дей- действие от сингулярных конфигураций никогда не равны нулю, скорее они содержат отрицательные степени а. В частности, существуют конфигурации, которые дают логарифмически рас- расходящиеся вклады S ocln а. Простейшая такая конфигурация есть Рис. 23.1. Вектор- Векторное поле как плос- плоский поток с источ- источником в го n = (cos a, sin а) = г - го B3.4) где а — угол между осью х и радиус-вектором, проведенным из некоторой точки Го (см. рис. 23.1). Эта конфигурация сингулярна, так как направление векторного поля при г = го не определе- определено. Графически это векторное поле вы- выглядит как плоский поток с источником в г0. Конфигурация B3.4) дает следую- следующий вклад в действие: 2T 1п(Д/о). Рис 23.2. Конфигурация поля, со- содержащая источник и «сток» Для бесконечной системы этот вклад бесконечен. Конечный вклад возникает от конфигураций, содержащих источник и «сток» (рис. 23.2). Для этой кон- конфигурации имеем МоФ/VT = ах - a.i (углы определены на рис. 23.2), и 1 Обратите внимание на то, что эти возмущения содержат только дуальные экс- экспоненты с четными номерами.
Гл.23 Переход Костерлица-Таулесса 221 действие можно оценить как 5 ~™йЫ1/а) B3 5) где Z — расстояние между источником и стоком. Легко увидеть, что особыми точками конфигураций поля Ф(г, z) могут быть только точки ветвления логарифмической функции. Функцию общего вида Ф(г, z) можно записать как сумму сингулярной и регулярной частей: ^(^)Фреп B3.6) где , Мо е, = ± Упражнение Проверьте, что конфигурация на рис. 23.1 соответствует Ф1 = —ie In z- z0 а конфигурация на рис. 23.2 соответствует Ф2 = ie In I I — ie In I I . Подставляя формулу B3.6) в B1.1), получаем Далее заменяем производную от Фрег на производную от в, используя опре- определение поля 0 B1.14), а затем интегрируем полученное выражение по частям, используя тождество дг \ + дц ^ = 2tt<JB) (x, у). B3.7) В результате получается SN = 2 \dz dzd$d$> = Sm + 4?ri ^ егврег(г,, z,) + 2 dz dzd^d^^,
222 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV B3.8) Таким образом полная статистическая сумма имеет следующий вид: оо ЛГ Z = ? лп П dz* dIA D*perexp (SN) = N=0 ' "* i=0 J ЛГ=1 ¦гт f где Zo есть статистическая сумма без сингулярностей, которая содержит интегрирование по Фрег- Рассмотрим сначала классический член S^,, который возникает в экс- экспоненте перед корреляционной функцией. Для бесконечной системы S,oi конечно только для нейтральный конфигураций, содержащих одинаковое количество источников и стоков, что означает выполнение условия J2i ?i — = 0. В соответствии с анализом, проведенным в главе 21, выполнение того же условия необходимо для того, чтобы корреляционная функция экспонент была отлична от нуля. Как очевидно из формулы B3.8), Бш представляет собой классическую энергию двумерной плазмы электрических зарядов. Эта энергия конечна для электрически нейтральных конфигураций, и ее величина есть B3.10) где I ~ R/\/~N — среднее расстояние между зарядами. Поскольку клас- классическая энергия для любого четного N (электронейтральность!) конечна, релевантность сингулярных конфигураций зависит от сходимости интегра- интегралов от корреляционных функций бозонных экспонент. Нетрудно понять, что корреляционные функции дуальных и обычных экспонент даются одним и тем же выражением B1.10): (exp[47rieie(l)]. ..ехр[4тг1е^в(^)]) = Ц(\г< - г3\/а)87Ге^ . B3.11) Первые два неисчезающих коррелятора равны: (ехр[4тпевA)]ехр[-47певB)] >= (|zi - z2\la)-8ire (ехр[4тпе9A)] ехр[-4тпевB)] ехр[4тпевC)] ехр[-4тпевD)])
Гл. 23 Переход Костерлица-Таулесса 223 Теперь по индукции мы можем вычислить главную расходимость корре- корреляционных функций на больших расстояниях. Для этого умножим на А все Zi, z, в ЛГ-ном члене разложения статистической суммы. Поскольку все выражение приобретает множитель дЛГB-4тге2) мы приходим к выводу, что интеграл сходится только в том случае, если степень Л отрицательна, т. е. 2-4тге2<0 -»¦ Ж-§->1- B3.13) Таким образом при температурах ниже сингулярные конфигурации могут быть учтены по теории возмущений (КТ — это сокращение от фамилий Костерлица и Таулесса, которые от- открыли описанное выше явление). Наоборот, при Т > ТКт. когда интегра- интегралы расходятся, сингулярные конфигурации необходимо учитывать, так как они дают существенный вклад. Можно показать, что при Т > ТКт кор- корреляционные функции спадают экспоненциально на расстояниях, больших корреляционной длины Ч] При Т — Ткт корреляционная длина обращается в бесконечность, и асим- асимптотическое поведение корреляционных функций поля п резко меняется с экспоненциального на степенное: (п(х)п(у)>|г=Гкт_о ~ ]ху]ткт/2жМГ 7кт/2тгМ02 - 1/4. B3.15) Давайте подведем итоги. ОB)-нелинейная сигма-модель B3.1) была выведена с помощью длинноволнового действия для низкотемпературной фазы ОB)-векторной модели. В действии B3.1) содержится величина Mq, которая равна среднему значению |Ф|2. Поэтому мы полагаем, что эта мо- модель справедлива в области температур, где |Ф| флуктуирует слабо. Ве- Величина М% представляет собой затравочную жесткость системы. Простой размерный анализ показывает, что характерная температура, ниже кото- которой радиальные флуктуации параметра порядка меньше поперечных, есть Т* ~ М§. Следовательно при Т < Т* система может быть описана в терми- терминах сигма-модели. Как следует из предыдущего рассмотрения, существует интервал температур Ткт < Т < Т*, в котором радиальные флуктуации
224 Физика в мире одного пространственного измерения 4.IV слабы, а угловые настолько сильны, что на больших расстояниях система имеет нулевую жесткость. Последнее утверждение эквивалентно тому, что корреляционная длина конечна — части системы, находящиеся на рассто- расстоянии больше f, эффективно расцеплены и не чувствуют друг друга. При Т — 7кт жесткость возникает скачком. Следовательно эта точка являет- является точкой фазового перехода — перехода Костерлица—Таулесса. Поскольку при Т < Ткт система остается в критическом состоянии вплоть до Т — О, ТКт представляет собой верхний конец этой критической линии. Результаты, полученные в этой главе для одного бозонного поля, непо- непосредственно обобщаются на случай нескольких бозонных полей; это обсу- обсуждалось в конце главы 17. Как нелинейная сигма-модель на торе становится линейной В заключение этой главы я хотел бы рассмотреть модель, которая хоро- хорошо иллюстрирует несколько важных моментов, касающихся теории поля в общем и теории поля в двух измерениях в частности. Вернемся к нелинейным сигма-моделям, описанным в главе 9. В общем случае их действие дается фор- формулой (9.8). В главе 9 было сказано, что нелинейные сигма-модели на торе могут быть критическими. Поскольку это интересное утверждение, давайте рассмотрим сигма-модель на двумер- двумерис' ' ' ном торе (см. рис. 23.3). Расстояние на торе дается формулой ds2 = (r2 + Г] cos0J dip + rf йф , которая определяет метрический тензор Следовательно действие есть r, cos = (r2 + rx cos фJ, B3.16) = г2. B3.17) Основываясь на материале главы 9, мы можем ожидать, что нелинейные члены становятся иррелевантными, и нелинейная сигма-модель становится линейной. Поэтому вьщелим нелинейные члены и рассмотрим их масштаб- масштабные размерности SS = \ d2xA,
Гл. 23 Переход Костерлица-Таулесса 225 А = (rir2cos4>+ jcos2<jn (дцфJ = (г2 \ ггг2 : cos ф : +-j-: cos 2ф : } : (d^VJ : + 2). B3.18) : J Очевидно, что масштабные размерности первых членов больше двух, и эти слагаемые иррелевантны. Однако последний член содержит операто- операторы -.соБф: и :cos2$: с масштабными размерностями d\ = 1/2тгг2 и d2 — = 2/тгг2, которые могут быть меньше двух. Таким образом в нашем рассу- рассуждении что-то не так. Мы что-то не учли, но что именно? Я надеюсь, что в главе 23 мы еще не настолько далеки от более ранних глав, чтобы забыть о мере интегрирования. В вышеизложенном рассуждении я намеренно не сказал ни слова о мере, а от меры многое зависит. Для нелинейной сигма- модели мера определяется тем же метрическим тензором Gab ¦ Это означает, что функциональный интеграл определен как предел многомерного инте- интеграла х) dX\x)... dXN{x)] = + п со5ф{х)] dip(x) йф{х). B3.19) Можно переписать меру следующим образом: ) dф{x) ехр I 51 In fl + ^cos^(x)l I, B3.20) откуда ясно, что в вышеизложенном рассуждении мы не учли член SS = - d2xa~2ln ( 1 + — cos0 ] = const. + ^ d2xgn : совпф : B3.21) Это разложение следует сгруппировать с последними членами в форму- формуле B3.18). Можно проверить, что знаки правильные, и мы получаем сокра- сокращение. Следовательно, нелинейные члены в метрическом тензоре в дей- действительности иррелевантны, а релевантные возмущения могут возникнуть только от вихревых конфигураций полей ф и ф, т.е. от дуальных экспо- экспонент. В данном случае есть два дуальных поля — @i для ф и 02 для ф. Дуальные экспоненты с наименьшими масштабными размерностями — это exp(±2i7rri6i) (их масштабная размерность равна 2жг2, и они ирреле- иррелевантны при Si = кг2 > 1) и ехр(±21-л-Дв2), где R2 — ((r2 + n cos^J) и ~ r2 + ri /2- Оператор с последней экспонентой иррелевантен при тгЯ2 > 1.
226 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV Величины жг\ и тгЛ2 имеют ясный геометрический смысл (см. рис. 23.3). Таким образом сигма-модель на торе является критической, когда тор до- достаточно большой. Литература 1. С. Itzykson and J.-M. Drouffe, Statistical Field Theory, Vol. 1, Cambridge Univer- University Press, Chapter 4 and references therein A993). 2. J. M. Kosterlitz, J. Phys. C, 7, 1046 A971).
24 КОНФОРМНАЯ СИММЕТРИЯ Как я уже продемонстрировал, несмотря на скромный внешний вид, модель свободного безмассового бозонного поля — не такая уж тривиаль- тривиальная вещь. На самом деле мы еще не исчерпали всех ее чудес. Следующее удивительное свойство этой модели — наличие в ней особой скрытой сим- симметрии, а именно конформной симметрии. Эта симметрия проявляется при преобразованиях области А, на которой определено поле Ф. Пусть А — произвольная область комплексной плоскости. Как я уже говорил, выраже- выражение B1.10) для многоточечных корреляционных функций бозонных экспо- экспонент справедливо для любой области А: = ехр ехр Нужно лишь рассматривать G как функцию Грина для оператора Лапласа на А. Как показано в теории уравнения Лапласа, функция Грина G(f,; ?.,) может быть записана явно, если известно преобразование z(?), отображаю- отображающее А на бесконечную плоскость. Тогда функция Грина оператора Лапласа на области А дается формулой GF;6) - -^ьф(&) - *F)| - ^ЩЪЛЬЩЛШ- B4-2) Рассмотрим случай двух экспонент: N = 2. Вспомним, что корреляцион- корреляционные функции B4.1) являются произведениями аналитической и антианали- антианалитической частей. Подставляя выражение B4.2) в формулу B4.1) с N — 2 и /?! = 0, 02 = -0, мы получаем следующее выражение для аналитиче- аналитической части парной корреляционной функции: B4'3) где Д = /32/8тг. Как видим, при аналитических преобразованиях координат корреляци- корреляционные функции преобразуются локальным образом. Поэтому эти транс- трансформационные свойства можно считать свойствами соответствующих опе- операторов — бозонных экспонент Лд (z) = exp[i/3$(z)j. Как видно из форму- формулы B4.3), эти операторы преобразуются как тензоры ранга (Д, 0): AA@ = AA[40Kdz/d0A. B4.4) Соответственно антианалитическая экспонента Яд (г) преобразуется как тензор ранга @, Д).
228 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Для приложений особенно важно преобразование 2@ = expB7rf/L). B4.5) Это преобразование переводит полосу ширины L в плоскость. В случае A + 1)-мерных систем это преобразование (i) связывает корреляционные функции конечных и бесконечных квантовых цепочек, и (ii) связывает кор- корреляционные функции при Т = 0 и конечных температурах (в последнем случае Т — i/L). Подставляя z(f) в формулу B4.3), получаем 2Л Далее я буду рассматривать нашу систему как квантовую A+1) -мерную при Т = 0. Пусть Т = 0 и система представляет собой окружность конечной длины L. В этом случае имеем f = г + \х, —оо <r<oo, 0<a;<L. Разлагая выражения для D(l, 2), D(l, 2) при больших Ti2, получаем = Y2 Cnm{iv/L)dexp \~(d + n)n2 exp -ia;i2^E + га) . n,m=0 L J L J B4.7) С другой стороны эта корреляционная функция может быть разложена в ряд Лемана: , B4.8) где q обозначает собственные состояния гамильтониана, a Eq, Pq — соб- собственные значения энергии и импульса в состоянии q. Из сравнения этих двух выражений находим Eq = ^(d + n), B4.9) Pq = ^{S + m), B4.10)
Гл. 24 Конформная симметрия 229 (d+n) G) ?»m=>:i<oi 6 \еч - —{d + гЛ S \~(S + m) - я xS\Eq-~{d + n)\S\~(S + m)-Pq\. B4.11) Все три формулы имеют глубокий смысл. Первые две связывают конформ- конформные размерности корреляционных функций с собственными значениями операторов энергии и импульса. Обычно вычислять энергии гораздо про- проще, чем корреляционные функции. В последнем случае объем вычислитель- вычислительной работы существенно возрастает, так как приходится вычислять также матричные элементы. Поэтому это большая удача, что в случае квантовой системы с бесщелевым спектром соотношения B4.9) и B4.10) позволя- позволяют избежать прямого вычисления корреляционных функций. Вместо этого можно решить задачу о низколежащих уровнях энергии в системе конеч- конечного размера (что может быть сделано численно или даже точно), а затем, используя соотношения B4.6), B4.9) и B4.10), восстановить корреляцион- корреляционные функции. Из формул B4.9) и B4.10) видно, что задача о конформных размер- размерностях может быть сформулирована как задача на собственные значения следующих операторов: А = ^(Н + Р) = Т0, B4.12) А = -?-(Я - Р) = То. B4.13) Можно показать, что операторы То, То связаны с аналитической и антиана- антианалитической компонентами тензора энергии-импульса, определенного как Именно, L L f0 = f dxTzz; f0 = [ dxT-z-z. о о Нет ничего странного в том, что тензор энергии-импульса появляется в данном контексте. Действительно, масштабные размерности связаны с пре- преобразованиями координат, а такие преобразования меняют метрику на по- поверхности: dzdz-*{ dz/ d?)( dz/ df) d? d?. Связь между масштабными размерностями и тензором энергии-импульса носит общий характер и существует во всех конформных теориях. Чтобы познакомиться с новой концепцией тензора энергии-импульса поближе, я
230 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV вычислю Таь в явном виде для теории свободных бозонов. Действие на искривленном пространстве дается формулой (вспомните главу 4) S = И <12х^даЬдаФдьФ, B4.15) где g = detg, и gab = {д~1)аь- Если пространство близко к плоскому, в котором метрический тензор равен даь = Sab, мы получаем ТаЬ = \ ¦ \дафдьф - \5аЬ(дсфJ] : B4.16) (двоеточия означают нормальное упорядочение, т. е. предполагается, что вычтено вакуумное среднее оператора — (ТаЬ) = 0). Поскольку нам нужны только собственные значения операторов То, То, удобно выразить гамиль- гамильтониан и оператор импульса Р через операторы рождения и уничтожения. Таким образом далее мы будем работать в гамильтоновом формализме. На- Наша свободная бозонная теория B1.1) имеет следующий гамильтониан: -Щх-у). B4.17) Как и раньше, мы считаем скорость равной единице: v = 1. Гамильтони- Гамильтониан B4.17) описывает набор связанных осцилляторов (струну). Чтобы ввести операторы рождения и уничтожения, мы разложим поле Ф по нормальным модам: Ф(г, х) = Фо B4.18) где q — 2nk/L (k — целое число). Тогда оператор импульса тг — \дтФ есть Цт,х) = Как следует из выражений для токов, приведенных в таблице 21.1, величины Q и J являются соответственно полным зарядом системы и полным током через нее. Из операторного представления B4.18) непосредственно извлекаются
Гл.24 Конформная симметрия 231 аналитическая и антианалитическая части поля Ф(г, z): Ф(т, х) = ф(т + ix) + ф(т - ix), 9(т, x) = ф(т + ix) - ф(т - ix), ^ ? -Ж(е~"*й-я + e"ai,), B4.20) ? B4-21) Покажем, что J и Q связаны с масштабными размерностями. Действитель- Действительно, мы постулировали, что мы рассматриваем только операторы, перио- периодические по Ф и 9 с периодами Т\ и 4tt/Ti соответственно. Поля Ф, 9 определены на окружности длины L, но они не являются периодическими функциями отх: как следуетиз^>ормулB4.20)иB4.21), ^(z+iL) = ф(г)~ - y/ir(J - Q)/2, ф(г - \L) = ф(г) + y/ir(J + Q\/2. Поэтому, чтобы обес- обеспечить периодичность операторов ехр[21тг(</> + ф)п/Т\ + i(^ - ф)Т\т/2], необходимо удовлетворить следующим условиям: g^Tim/2v/7r, J = 2n-v/7r/Ti. B4.22) Подставляя выражения B4.20) и B4.21) для Ф в гамильтониан B4.17), мы получаем гамильтониан латтинжеровской жидкости: ?•.• B4-23) Последнее слагаемое имеет собственные значения 2-n/L x целое число, так что все вьфажение правильно воспроизводит собственные значения, которые следуют из корреляционных функций. Первые два слагаемых в гамильтониане B4.23) описывают движение центра масс струны, которое квантуется из-за условий периодичности. Полезно также иметь выражения для То и То. Поскольку в определении тензора энергии-импульса содержит- содержится нормальное упорядочение, мы должны вычесть бесконечную неунивер- неуниверсальную часть энергии основного состояния, сохраняя, однако, ее конечную универсальную часть, зависящую от L: Естественно, движение центра масс не дает вклада в объемную сво- свободную энергию в пределе L -> оо. Эта свободная энергия определяется
232 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV исключительно третьим слагаемым в гамильтониане B4.23). Замечательно, однако, что те члены в гамильтониане, влиянием которых на термодинамику можно пренебречь, определяют асимптотическое поведение корреляцион- корреляционных функций! Объемная свободная энергия, будучи свободной энергией свободных бозонов, равна -f- = T I ^ln(l-e-^/J). B4.25) Используя явные выражения для соответствующих табличных интегралов, легко проверить, что ОО ^ = const - Т \ ^1п A + е~^т) = const - -Г2, B4.26) — оо т. е., эта свободная энергия совпадает со свободной энергией свободных бесспиновых фермионов (бозонизация!).1 Это совпадение — еще одна ил- иллюстрация того факта, что между собственными состояниями в этих двух теориях существует однозначное соответствие. Из формулы B4.26) следует, что произведение линейного коэффициента в теплоемкости Cv на скорость является числом: С=^=1- B4-27) Это число С называется центральным зарядом и играет огромную роль в конформной теории поля. В вышерассмотренном примере С — 1, но это не всегда так, и С меняется от теории к теории. Связь между термоди- термодинамическими и конформными свойствами была открыта Блоте, Карди и Найтингейлом [24.2] и Аффлеком [24.1]. Я вернусь к концепции централь- центрального заряда позже в главе 25. Для критических теорий с симметрией U(l) конформные размерности являются функциями взаимодействия. Как мы вскоре увидим, существует замечательная связь между конформными размерностями и восприимчи- востями. Это следует из того, что первый член в формуле B4.23) является энергией основного состояния системы с полным зарядом Q и поэтому мо- может быть записан как Q2 /2\L, где \ — зарядовая восприимчивость. Это приводит к следующему замечательному тождеству [24.3, 24.4]: B4.28) 'Здесь удобнее сохранить скорость в явном виде, т. е. не полагать v = 1.
Гл. 24 Конформная симметрия 233 Литература 1. I. Affleck, Phys. Rev. Lett., 56, 746 A986). 2. H. W. J. Blote, J. L. Cardy and M. P. Nightingale, Phys. Rev. Lett, 56, 742 A986). 3. К. Б. Ефетов и А. И. Ларкин, ЖЭТФ, 69, 764 A975). 4. F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett., 47, 1840A981);./ Phys. C, 14, 2585 A981).
25 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНФОРМНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ. НЕТРИВИАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ТЕОРИИ. ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА Я выбрал модель свободных бозонов в качестве простейшей возможной конформной теории. Обратите внимание, что несмотря на многократное использование термина «конформная», я еще не дал его строгого определе- определения. Это не потому, что я не придаю значения определениям, а потому, что без близкого знакомства с материалом предыдущих глав такое определение было бы чисто формальной лингвистической конструкцией. Только теперь, когда введены почти все необходимые концепции, это определение может быть дано. Определение Конформными теориями называются теории поля, обладающие следующи- следующими свойствами: A). Все возможные корреляционные функции представляются в виде сумм произведений аналитических и антианалитических функций: , 2,..., N) = ? DgFq(zuz2,..., zN)Fq{zuz2,..., zN). я B). Существуют такие операторы ЛДд (г, г) = Лд(г)Лд (г), называемые примарными полями, которые при аналитических и антианалитиче- скихпреобразованиях плоскости преобразуются как тензоры ранга (Д, Д) (см. формулы B4.3)), чьи двухточечные и трехточечные кор- корреляционные функции на бесконечной плоскости равны: 1 \2Л / 1 \2А —) B5.1) (AAl(z1)AA2(z2)AA3{z3)) = ClM зг, B5.2) где С123 — некоторые константы.1 Существует аналогичное выражение для антианалитических частей.
Гл. 25 Определение конформной инвариантности 235 Теория свободных бозонов, которую мы изучали до сих пор, облада- обладает всеми свойствами, перечисленными в этом определении. Кроме того она обладает и многими другими свойствами. Например в этой теории есть бесконечное число примарных полей—бозонных экспонент, что бывает не всегда. Другая особенность состоит в том, что соответствующие конформ- конформные размерности, даваемые формулами B1.22), являются непрерывными функциями параметра Т\. Вообще каждая конформная теория имеет свой собственный набор размерностей, и очень редко бывает так, что они зависят от параметров; обычно они — фиксированные числа. Еще одно уникальное свойство состоит в том, что в теории свободных бозонов примарные поля имеют особенно простые многоточечные корреляционные функции: они даются формулой B4.1). Опять же это выражение не обобщается на случай произвольной конформной теории. В общем случае вычисление многото- многоточечных корреляционных функций — гораздо более сложная задача, чем в теории свободных бозонов. Упражнение Покажите, что для теории свободных бозонов B1.1) выражение B5.2) следует из формулы B4.1). Найдите значения структурных констант Ci23- На примере теории свободных бозонов мы уже видели, что конформ- конформные размерности являются собственными значениями определенных ком- компонент тензора энергии-импульса. Поскольку это свойство выполняется и в общем случае, оно очень полезно при изучении конформных теорий в двух измерениях. Именно, задача о масштабных размерностях (и корреляцион- корреляционных функциях!) может быть сформулирована как задача на собственные значения тензора энергии-импульса. Как мы увидим далее в этой главе, фурье-компоненты тензора энергии-импульса удовлетворяют соотношени- соотношениям некоторой алгебры (алгебры Вирасоро). Поэтому задача о конформных теориях может быть переформулирована как теория конформной группы. В этой новой формулировке задача вычисления корреляционных функций становится алгебраической задачей о представлениях конформной груп- группы. При такой абстрактной постановке нет необходимости подразумевать, что речь идет о теории свободного бозонного поля B1.1); все рассуждения можно провести в общем виде. Это обычный подход к теории конформной группы, используемый в литературе. Однако мой опыт подсказывает мне, что новичкам сложно уловить идею этого подхода. Поэтому я решил по- пожертвовать строгостью ради ясности и вести речь о конкретных примерах. В то же время полностью избежать математики невозможно. Сейчас на- настал момент, когда мы должны напрячь наши способности к абстрактному мышлению. Как я уже сказал, мы применим к двумерным критическим моделям аппарат теории групп. Давайте вспомним основные идеи. 'Для того что-
236 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV бы построить представление некоторой алгебры G, необходимо проделать следующие шаги: A). Записать коммутационные соотношения для операторов — генерато- генераторов алгебры G. B). Выделить из нее подалгебру Картана Н — подалгебру взаимно ком- коммутирующих операторов hi,..., h^. C). Найти такие собственные векторы этих операторов hj\a) = a^a), ко- которые уничтожаются некоторыми генераторами алгебры, не принад- принадлежащими подалгебре Картана. Эти генераторы, которые я обозна- обозначу L_, называются понижающими операторами алгебры. Остальные генераторы, действуя на \а), порождают новые состояния; они назы- называются повышающими операторами. В случае конечномерных пред- представлений повышающие операторы могут быть применены только конечное число раз. Чтобы сделать эту схему менее абстрактной, давайте вспомним, как она работает в случае алгебры спиновых операторов SU{2). Там подалгебра Картана состоит из единственного оператора Sz. Понижающий оператор — это S~, повышающий — это S+. Если | - 5) является собственным состо- состоянием оператора Sz (Sz\ - S) — —S\ - S)), уничтожаемым понижающим оператором, то повышающий оператор может быть применен к нему толь- только 25 раз: (S+J5+1 — 0. Таким образом это представление имеет размер- размерность 2S + 1. Чтобы выполнить эту программу для конформной группы, необходимо описать коммутационные соотношения. Я проделаю это для тензора энергии-импульса модели B1.1), а затем покажу, что существуют и другие теории, тензоры энергии-импульса которых удовлетворяют соотно- соотношениям той же алгебры. Это не строгое изложение; последнее может быть найдено в обширной литературе по конформной теории поля. Самые важ- важные публикации собраны в книге Conformal Invariance and Applications to Statistical Mechanics, которую я рекомендую для подробного изучения этой темы. Я начинаю изучение алгебраических свойств тензора энергии-импульса с рассмотрения его корреляционных функций. Для этой цели я использую тензор энергии-импульса B4.16). Чтобы упростить результаты, я изменю обозначения и введу новые компоненты2 Tzz = -п(Тп - Т22 - 2iT12) = Т = -2тг : (дфJ : Та = -тг(Т„ - Т22 + 2iT12) = f = -2тг : (дфJ : Ти+Т22 = 0. B5.3) 2Множитель 4тг введен для того, чтобы согласовать наши обозначения с обще- общепринятыми.
Гл. 25 Определение конформной инвариантности 237 Теперь очевидно, что корреляционные функции операторов Г и Г зависят только от z или от г. Поскольку простейшей является двухточечная корре- корреляционная функция, вычислим для начала ее. Прямое вычисление дает где в данном случае С = 1. Я сохранил С в соотношениях B5.4), потому что в такой форме они верны для всех конформных теорий. Что же касается корреляционных функций для Тг Т, кажется, что формулы B5.3) говорят о том, что они тождественно равны нулю. Чудо состоит в том, что это не так). Рассмотрим этот момент более аккуратно. Поскольку тензор энергии- импульса есть сохраняющаяся величина, т. е. даТаь = О, что отражает сохранение энергии и импульса, двухточечная корреляцион- корреляционная функция должна удовлетворять тождеству qa{Tab{-q)Tcd{q)) = 0. Это означает, что должно быть ь - -^-1 I бы - -^-\ , B5.5) что дает ненулевую корреляционную функцию следов: (TrT{-q)TrT(q)) = ^. B5.6) В реальном пространстве парная корреляционная функция следов ультра- локальна: (TvT(x)TrT(y)) = ^Л<5B)(* - У)- B5.7) Поскольку эта корреляционная функция коротокодействующая, она суще- существенна при больших энергиях. Поэтому не г ничего удивительного в том, что мы упустили ее при конкретных вычислениях. Ситуация, когда некото- некоторая величина, будучи тождественно равной нулю на классическом уровне, тем не менее имеет ненулевые корреляционные функции на квантовом уровне, называется квантовой аномалией. Мы уже сталкивались с подобной ситуацией в A + 1)-мерной КЭД (см. главу 13). Ультралокальное поведе- поведение корреляционной функции следов называется конформной аномалией. В двумерных гравитационных теориях эта аномалия позволяет нам про- проинтегрировать по бесщелевым полям и получить эффективное действие для гравитационного поля. (Вспомните, что аномалия фермионных токов
238 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV позволяет проинтегрировать по фермионам в A + 1)-мерной КЭД.) Мож- Можно показать, что в теории двумерной гравитации, где гравитационное (т. е. метрическое) поле взаимодействует с некоторым безмассовым полем, опи- описываемым конформной теорией с центральным зарядом С, интегрирование по полю материи дает следующий вклад в эффективное действие для гра- гравитационного поля (действие Лиувилля): B5.8) где R(x) — риманова кривизна в точке х, а Д — лапласиан, соответ- соответствующий метрике. Это выражение широко используется в теории струн. В физике конденсированного состояния оно может быть использовано для вычисления эффекта Казимира. В этом случае мы рассматриваем нашу систему в фиксированной геометрии с метрическим тензором даь. Тогда формула B5.8) представляет собой вклад в свободную энергию системы от бесщелевых возбуждений. Этот вклад зависит от формы системы, и в этом заключается суть эффекта Казимира. Упражнения 1. Оцените действие Лиувилля B5.8) для бесщелевых возбуждений на сфе- сфере. Результат действия обратного лапласиана на R (я обозначаю его Ф) удовлетворяет уравнению ДФ = R. Для случая сферы это уравнение решено ниже (см. формулу B5.12)). Результат, который вы должны по- получить, пропорционален 1п(г/а), где а — постоянная решетки, а г — радиус сферы. 2. Вычислите интеграл B5.8) для тора, изображенного на рис. 23.3. Про- Проверьте, что риманова кривизна тора равна J? = 2rf X COS</>(r2 + ri COS0). Должно получиться где г = гг/ri. Убедитесь в том, что вы понимаете связь между асимпто- асимптотикой полученного выражения при больших т>1и формулами B4.26) и B4.27) (отождествите г = L/vT). Пусть z(w) — конформное отображение всей комплексной плоскости на область П. Тогда метрика на П есть ds2 — | dz/ dw\2 dw dw. Используя этот факт и формулу B5.8), получите выражение для действия Лиувилля в области О: Проверьте, что для случая длинного прямоугольника получается пра- правильный результат.
Гл 25 Определение конформной инвариантности 239 Центральный заряд, появляющийся в выражении для теплоемкости, так- также определяет конформные размерности корреляционных функций. Тот факт, что теплоемкость конформной теории пропорциональна ее централь- центральному заряду, означает, что последний связан с числом состояний. Поскольку конформные размерности являются собственными значениями компонен- компонентов тензора энергии-импульса, связь между С и корреляционными функ- функциями означает, что С также влияет на масштабные размерности. Нетривиальные конформные теории Бывают ли конформные теории с С Ф 1, т. е. существуют ли какие-либо конформные теории кроме тривиальной теории свободных бозонов? Напри- Например, в качестве простейшего обобщения мы можем рассмотреть N видов бозонного поля вместо одного; это даст нам конформную теорию с С — = N. Однако это слишком просто. Существуют другие способы получения нетривиальных конформных теорий из теории свободных бозонов. Один из них был предложен Доценко и Фатеевым [25.2], которые рассмотрели сле- следующую модификацию бозонного действия в искривленном пространстве- времени: S = J d2x^ (±даЬдаФдьФ + ^Яф) , B5.9) где R — риманова кривизна поверхности.3 При /?0 = 0 действие B5.9) переходит в действие свободного бозонного безмассового поля. На первый взгляд кажется, что от дополнительных членов, линейных по Ф, можно изба- избавиться сдвигом переменной Ф в функциональном интеграле. Однако этого сделать нельзя, так как такой сдвиг вывел бы нас из класса несингуляр- несингулярных функций, по которым мы интегрируем. Поскольку это важное место, я остановлюсь на нем поподробнее. Рассмотрим классические уравнения движения для действия B5.9): ДФМ = -^да^даЬдьФкл = -^-0OR. B5 10) Пусть наше пространство-время есть сфера радиуса г0, для которой R = = 2/гд. Тогда естественно переписать уравнения B5.10) в сферических координатах: Простейшее решение, не зависящее от ф, есть ФЮ1 = ^1п|8ш61|. B5.12) 3На самом деле в оригинальной работе модель была сформулирована в другом виде, но это не меняет результатов
240 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Это решение имеет особенности в северном и южном полюсах сферы. Соответствующее классическое действие B5ЛЗ) логарифмически расходится на малых в. Из главы 23 мы уже знаем, что такая ситуация требует осторожности. Легко понять, что общее решение с особенностью в (в*, ф*) получается из B5.12) поворотом системы коорди- координат. Поскольку Фи, — сингулярная функция, в функциональном интеграле НеЛЬЗЯ ПРОИЗВОДИТЬ СДВИГ Ф -> Ф + Фкл- Есть очень хорошая аналогия, с помощью которой можно лучше по- понять модель B5.9). Из формулы B4.1) мы видим, что корреляционные функции бозонных экспонент для модели B1.1) равняются экспоненте от энергии двумерного классического кулоновского газа, состоящего из заря- зарядов Pi,..., pN: Теперь ясно, что модель B5.9) описывает также кулоновский газ, но с до- дополнительным фоновым зарядом, плотность которого равна /3oR- Полный заряд, который есть интеграл от этой плотности, в соответствии с теоре- теоремой Гаусса-Боне равен где h — число ручек на нашей поверхности (для сферы h = 0). Тот факт, что избавиться от члена RФ нельзя, отражается в изменении тензора энергии-импульса. Чтобы найти это изменение, мы должны вычис- вычислить функциональную производную от римановой кривизны на плоской поверхности. Для этого мы воспользуемся формулами (9.11). В случае по- почти плоской пространственно-временной поверхности можно пренебречь квадратичными по Г слагаемыми, и мы получаем приближенно -R « дсТсаЬ - -дадьд « -(дьдсдас + dadcgbc - д2сдаЬ - дадьдсс). B5.14) Здесь я воспользовался следующим полезным тождеством: Подставляя выражение B5.14) в формулу B5.9) и вычисляя соответствую- соответствующие функциональные производные, мы получаем модифицированный тен- тензор энергии-импульса: T{z) = -2тг : дфдф : Уф0д2ф. B5.15)
Гл. 25 Определение конформной инвариантности 241 Можно непосредственно проверить, что (Т(г)Т(О)) имеет тот же вид, что и формула B5.4), но с другим конформным зарядом С: C = C-3Pl/n. B5.16) Этот центральный заряд меньше; из соотношения между ним и теплоем- теплоемкостью B4.27) мы знаем, что это означает уменьшение числа состояний в теории. В механизме этого уменьшения ничего загадочного нет: поскольку действие — комплексное, разные траектории в функциональном интеграле имеют разные фазы, и их вклады могут взаимно сократиться. На гамиль- тоновом языке это выглядит как редукция гильбертова пространства соб- собственных функций. Можно показать, что масштабные размерности также изменяются: Д=^-2*>. B5.17) Поскольку новое действие B5.9) комплексно, можно заподозрить, что те- теория не всегда самосогласованна. Из общих математических теорем мы знаем, что собственные функции гарантированно имеют положительные нормы только в случае эрмитовых операторов. В нашем случае мы имеем неэрмитов оператор и можем ожидать, что возникнут проблемы. Доценко и Фатеев [25.2] показали, что самосогласованность гарантирована только для дискретного набора /Зо, такого что 6 134 B518) Конформные теории с центральным зарядом, определяемым формулой B5.18), называются минимальными моделями. Минимальная модель с р — 3 есть модель Изинга в критической точке, модель с р = 4 описывает трикри- тическую точку модели Изинга, а модель с р = 5 описывает Z$ крити- критическую модель Поттса. Конечномерные представления для минимальных моделей были построены Белавиным и др. [25.1]. Эти представления со- содержат конечное число примарных полей с целыми конформными спинами. Масштабные размерности даются формулой Каца [25.3] _ bm-(p+l)m]a-l Anm~ 4p(p+l) ' BЬЛУ; где п, т — целые числа, которые получаются, если подставить ftn,im из формул B1.22) в формулу B5.17) и положить Т?=2п-?—. B5.20) р+ 1 Эти новые конформные теории имеют много общих свойств с теорией свободных бозонов. На бесконечной плоскости их корреляционные функ- функции спадают степенным образом; все они имеют конечный набор операто- операторов, обладающих теми же трансформационными свойствами, что и бозон- ные экспоненты (эти операторы называются примарными полями). Связь
242 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV между центральным зарядом и линейным членом в теплоемкости B4.27) также универсальна. Однако есть и явное отличие: как я уже упомянул в начале этой главы, для многоточечных корреляционных функций в этих теориях больше не применимо простое выражение, подобное B4.1). Вычислить эти функции можно двумя способами. Первый — перей- перейти к функционально-интегральной формулировке и вычислить их непо- непосредственно, используя действие B5.9). Этот путь был выбран Доценко и Фатеевым [25.2]. Другой путь — найти гамильтоново представление для теории B5.9) и найти его собственные функции. Это — алгебраический подход, описанный в начале главы. На этом пути не получается использо- использовать обычные бозонные операторы рождения и уничтожения — здесь они неудобны. Вместо них следует использовать повышающие и понижающие операторы конформной группы. Оказывается, что эти операторы являют- являются фурье-компонентами тензора энергии-импульса. Чтобы исследовать их алгебраические свойства, рассмотрим бесконечно малое конформное пре- преобразование плоскости: z' = z + e(z). B5.21) В соответствии с первой частью Определения, данного выше, это преобра- преобразование изменяет примарное поле AA(z): SAA{z) = AA{z + е)A + де)А - AA{z) = = e{z)dAA{z) + de{z)AAA(z) + O{e2). B5.22) Ограничим наши корреляционные функции на прямую т = 0, на кото- которой z = \х. Так мы избавляемся от временной зависимости и поэтому можем использовать операторный язык квантовой механики. Как мы знаем из квантовой механики, если оператор изменяется при некотором преобра- преобразовании, то это изменение может быть представлено как действие некото- некоторого оператора — генератора этого преобразования. В нашем случае это означает, что SAA{x) = {Qe,AA{x)}, B5.23) где Qc есть элемент группы конформных преобразований, соответствую- соответствующий бесконечно малому преобразованию B5.21). Для группы Ли общего вида G с генераторами tt бесконечно малое преобразование есть ег?г, где бесконечно малые параметры ег — координаты преобразования. Поскольку конформные преобразования в двух измерениях характеризуются не ко- конечным набором параметров, а всей функцией e(z), конформная алгебра бесконечномерна. Поэтому бесконечно малое преобразование общего вида может быть записано как интеграл:4 Qe = ^-\ dye{y)f{y). 4Множитель 27г введен для согласования с принятыми обозначениями.
Гл 25 Определение конформной инвариантности 243 Следовательно имеем ? j dye(y)[f(y), АА(х)} = е(х)дхАА(х) + дхе(х)ААА(х), B5.24) что соответствует следующим локальным коммутационным соотношениям: ^(х)} = 5(х - у)дхАА(х) - ду5(у - х)ААА(х). B5.25) Эти коммутационные соотношения должны выполняться в любой конформ- конформной теории. Также очень полезно переформулировать коммутационные соотноше- соотношения B5.25) в терминах корреляционных функций. Представим себе, что внутри некоторой корреляционной функции стоят операторы T(z) и z возможно окруженные дру- другими операторами, которые мы обо- обозначим X({zt}): х *({*,})». B5.26) Рис. 25.1 Напоминаю, что в наших обозначе- обозначениях z — т + ix. Рассмотрим ситуацию, когда Re z = Re z\ ± 8, где 8 — положительное бесконечно малое число (см. рис. 25.1). Не теряя общности, мы можем положить z = ix ± 0, zx — \y, где х, у вещественны. Тогда из-за наличия в корреляционной функции временного упорядочения справедли- справедливо следующее: G(r - т' = +0; х,у) - G(t - г' = -0; х,у) = {{{T(x)AA{y)}X({zt}))). B5.27) Теперь, используя хорошо известное свойство дельта-функции O-f-i(i-y) 1 = 2п6(х - у), ш = 2тдх5(х)} [0 + i(x - у)]2 " [-0 + 1(х- мы можем переписать правую часть формулы B5.24) в виде разности и воспроизвести выражение для коммутатора B5.25), предполагая, что наши операторы удовлетворяют следующему операторному разложению Виль- Вильсона: T(z)AA{Zl) = B5.28) где многоточие означает члены, не имеющие особенности при (г — z\) —> 0. Использование операторных разложений Вильсона (которые называются
244 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV также правилами слияния) наряду с коммутаторами принято повсеместно в современной литературе по конформной теории. Правила слияния для двух произвольных полей А(х), В(у) предполагают, что эти поля располагают- располагаются внутри некоторой корреляционной функции; тогда при малых \х — у\ значение этой корреляционной функции не изменится, если мы заменим произведение двух полей А(х)В(у) на новое поле, полученное в соответ- соответствии с их правилами слияния. (Вспомните пример, приведенный в главе 22; там мы получили поля B2.15), используя правило слияния B2.13).) Упражнения 1. Используя явные выражения для тензора энергии-импульса B5.3) и при- марного поля Ад (г) = exp[i/3(/>(z)], получите правила слияния B5.28) для теории свободного бозонного поля B1.1). 2. Проделайте то же самое для модифицированного тензора энергии-им- энергии-импульса B5.15). Докажите формулу B5.17). Для дальнейшего нам необходимо знать правила слияния для самого тензора энергии-импульса. Мы можем найти эти коммутационные соотно- соотношения, используя общие свойства тензора энергии-импульса. Во-первых, тензор энергии-импульса действительно является тензором и как таковой обладает определенными трансформационными свойствами. Из этого фак- факта следует, что его конформные размерности равны B,0), что согласуется с формулами B5.4). Следовательно правила слияния для T(z)T(zi) должны содержать правую часть формулы B5.28) с Д = 2. Однако это еще не все; разложение должно также содержать слагаемое с единичным оператором, так как иначе парная корреляционная функция (T(z)T(zi)) получилась бы равной нулю. Это слагаемое может быть получено из формул B5.4); собирая вместе все эти члены, мы получаем следующие правила слияния (правила слияния Вирасоро): Сравнение B5.29) с формулой B5.28) показывает, что тензор энергии- импульса не является примарным полем, т. е., несмотря на свое название, тензор энергии-импульса не преобразуется как тензор при конформных преобразованиях. Можно показать, что вместо тензорного закона B4.4) при конечных конформных преобразованиях тензор энергии-импульса преоб- преобразуется следующим образом: B5.30)
Гл 25 Определение конформной инвариантности 245 Удобно также иметь правила слияния Вирасоро в операторной форме с коммутаторами: [f(x),f(y)} 5(ху)дхТ(хJдх5(ху)Т(х) + ^дх6(х-у). B5.31) Поскольку коммутационные соотношения B5.31) локальны, они не зависят от глобальной геометрии задачи. Упражнения 1. Получите правила слияния B5.29) для теории свободных бозонов, ис- используя выражение B5.3) для тензора энергии-импульса. 2. Проверьте, что для теории свободных безмассовых бесспиновых ферми- онов правилам слияния Вирасоро удовлетворяют операторы T(z) = -2* : 4t{z) f[z) = -2тг : i,+{z)d^L{z) :, B5.32) являющиеся, таким образом, компонентами тензора энергии-импульса. Правила слияния Вирасоро принято записывать, используя лорановские компоненты тензора энергии-импульса и операторы, определенные на бес- бесконечной комплексной плоскости: Правила преобразования B4.5) и B5.30) устанавливают связь между этим разложением и разложением Фурье, которое мы используем в геометрии полосы: ТП0ЛОСЬ1(а;) = (Щ\ lj2L"e~2mnx/L ~ С/Щ ¦ B5-33) Подставляя эти разложения в правила слияния B5.28) и B5.29), мы получа- получаем следующие коммутационные соотношения для лорановских компонент: Q [Ln,Lm] = (n - m)Ln+m + j^n{n2 - lNn+m,0 B5.34) и [Ln, AAim] = [ДA -п) + тп + n]AA,m+n. B5.35)
246 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV Из формулы B5.34) мы видим, что множество операторов Ln, I (I есть еди- единичный оператор) замкнуто по отношению к операции коммутирования. Поэтому компоненты тензора энергии-импульса в конформных теориях вместе с единичным оператором образуют алгебру (эта алгебра называется алгеброй Вирасоро). Как я уже говорил, этот факт открывает возможность формального изучения конформных теорий как представлений алгебры Ви- Вирасоро. Первый простой пример рассматривается в следующей главе. Литература Все работы, цитируемые ниже, содержатся в книге Conformal Invariance and Applications to Statistical Mechanics, edited by С Itzykson, H. Saleur and J.-B. Zuber, World Scientific A988). 1. A.A. Belavin, A.M. Polyakov and A.B. Zamolodchikov, Nucl. Phys B, 241, 333 A984). 2. Vl.S. Dotsenko and V.A. Fateev, Nucl Phys B, 240, 312 A984). 3. V.G. Kac, Lecture Notes in Phys , 94, 441 A979). 4. A.M. Поляков, Калибровочные поля и струны, Черноголовка: ИТФ им. Л.Д. Ландау A995).
26 МОДЕЛЬ ИЗИНГА В предыдущей главе мы кратко рассмотрели так называемые минималь- минимальные конформные теории, получающиеся при усечении гильбертова про- пространства в теории свободных бозонов. Это усечение в действительности является некоторым сложным исключением определенных собственных со- состояний исходной бозонной теории B1.1) без нарушения конформной сим- симметрии. В настоящей главе я рассмотрю простейшую «нетривиальную» модель такого типа, а именно модель с конформным зарядом С — 1/2 (р = = 3). Известно, что эта теория описывает двумерную модель Изинга в точке фазового перехода второго рода. Я не буду доказывать это утверждение, от- отсылая читателя к различным источникам, перечисленным в конце главы. Модель с С — 1/2 особенно поучительна, потому что в этом случае легко показать, как происходит редукция гильбертова пространства. Рас- Рассмотрим алгебру Вирасоро B5.34) и построим ее простейшее представле- представление, используя ее операторы вместо операторов рождения и уничтожения. Эта процедура осмысленна, так как, как мы видели в главе 23, гамильтони- гамильтониан конформной теории пропорционален Lo + Lq, и поэтому масштабные размерности одновременно являются собственными значениями гамиль- гамильтониана. Первый этап этой процедуры состоит в нахождении вакуумно- вакуумного состояния, т. е. состояния, которое уничтожается любым понижающим оператором. Здесь нам вновь дает подсказку материал главы 24: из фор- формулы B4.11) мы видим, что состояния с наименьшей энергией могут быть получены из примарных полей: lim e-27rdT/LAAA(r,a; = 0). B6.1) т—>¦ — оо Подставляя в B6.1) выражение B5.33), мы видим, что существование такого предела гарантировано только если ^4д,п|0) = 0 (п> 0). B6.2) Это очень важное свойство. Аналогичное рассуждение, примененное к корреляционной функции тензоров энергии-импульса, приводит к друго- другому важному свойству: Ln|0) =0 (п > 0). B6.3) Следовательно, мы можем использовать Ln с положительными п как пони- понижающие, a Ln с отрицательными п — как повышающие операторы. Таким образом будем искать собственные векторы в следующем виде: |пьп2>- • • ,пм\п\,П2, ¦ ¦ ¦ ,пм; А, А) = = L_filL_s2...L_sML_niL_n2...L_nM|A,A). B6.4)
248 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV Мы видим, что над каждым примарным полем высится целая башня состоя- состояний, включающая тривиальный единичный оператор. Из коммутационных соотношений Вирасоро B5.34) следует, что эти векторы являются собствен- собственными состояниями операторов L§ и Lq, соответствующими собственным значениям дп = B6.5) Можно показать, что для теории свободных бозонов все эти состояния ли- линейно независимы, и их гильбертово пространство изоморфно гильбертову пространству, порожденному бозонными операторами рождения. Однако это только одно конкретное представление алгебры Вирасоро. Другие пред- представления получаются, если среди состояний B6.4) оказываются линейно зависимые. Если это так, то размерность гильбертова пространства меньше, чем для теории свободных бозонов, и мы получаем усеченную теорию. В этой главе мы рассмотрим только простейший случай: предположим, что состояния ?_2|Д), Ы^А) линейно зависимы, т. е. существует число а, такое что ? 0. B6.6) В силу взаимной независимости левые и правые степени свободы могут быть рассмотрены по отдельности. Поскольку мы хотим иметь конформ- конформную теорию, условие B6.6) должно сохраняться при конформных преобра- преобразованиях, т. е. ?п|х>=0 (п>0). B6.7) Используя коммутационные соотношения Вирасоро B5.35) и свойства Ln\A)=0 (n>0), из уравнения B6.7) мы получаем два следующих уравнения: 3 + 2а + 4аД = 0, B6.8) 4ДB + За) + С = О, B6.9) решение которых есть а="ТТ2Д' Д = ^[5-С±УE-СJ-16С]. B6.10) Для С = 1/2 мы получаем два возможных значения конформных размер- размерностей: Д_ = 1/16, Д+= 1/2. B6.11)
Гл. 26 Модель Изинга 249 Последнее из них подсказывает нам, что в нашей теории имеется фермион- ное поле. Имея этот результат, мы можем попытаться построить конформно ин- инвариантную модель с С = 1/2 из первых принципов. В качестве предвари- предварительного шага мы рассмотрим модель свободных бесспиновых фермионов с линейным спектром. Ее гамильтониан есть Н = I" с1х[--1ф+пдхфк + iiP+hdxiph] = +ч)Ъ B6.12) а свободная энергия дается формулой B4.26). Теперь разделим собственные значения с положительными и отрицательными энергиями: Н = Н+ + Н-1 q>0 Н- = -^2я[Ф+к(^)грк{-я)+Ф+ъ(д)Фь(я)}- B6.13) Свободная энергия, связанная с + частью, равна -^. B6.14) т. е., согласно B4.27), она соответствует С = 1/2, что и требовалось. Более того, спектр возбуждений усеченной теории остается линейным, w(g) = \q\, что обеспечивает разделение символов, действующих направо и налево, и факторизацию корреляционных функций на аналитическую и антиана- антианалитическую части. Теперь я хочу убедиться, что мы можем записать эту усеченную теорию как локальную квантовую теорию поля для некоторо- некоторого поля, тензор энергии-импульса которого удовлетворяет соотношениям алгебры Вирасоро B5.29). Введем следующие поля:1 q>0 +L(-9)e"" + M~q>q% B6.15) q>0 'Они не содержат исключенных состояний!
250 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV При г = 0 эти операторы вещественны: х+(х) = х(я). Они удовлетворяют следующим антикоммутационным соотношениям: {Xa(x),Xb(y)} = -^abS(x - у). Следовательно, мы можем назьшать их вещественными фермионами (также они назьшаются майорановскими фермионами, вспомните главу 19). Легко проверить, что усеченный гамильтониан можно переписать через майора- новские поля: Н+ = [ dx{-iXRdxXR + JXiAxl). B6.16) Корреляционная функция правосторонних компонентов равна B6.17) Для левосторонних компонентов получаем «XlB)xl@))> = JL B6.18) Таким образом майорановские фермионы xr, Xl представляют собой при- марные поля с конформными размерностями A/2,0) и @,1/2) соответ- соответственно. Поле e(z,z)=XR(z)Xh(z) имеет конформные размерности A/2,1/2). Теперь введем тензор энергии-импульса. Непосредственно можно про- проверить, что поля T(z) = - f(z) = -27TXLUXL B6.19) удовлетворяют соотношениям алгебры Вирасоро B5.29) с С — 1/2, явля- являясь, таким образом, компонентами тензора энергии-импульса для модели Изинга. Упражнение Покажите, что формулы B6.17), B6.18) и алгебра Вирасоро B6.19) вос- воспроизводятся, если мы определим майорановский фермион как веществен- вещественную (или мнимую) часть от дираковского фермиона: х = \{Ф + ГУ
Гл.26 Модель Изинга 251 Известно, что поле e(z, z) эквивалентно полю плотности энергии в мо- модели Изинга; согласно Доценко и Доценко [26.2] и МакКЬю и By [26.5] в окрестности перехода модель Изинга описывается следующим гамильто- гамильтонианом: Я = [ Ac [-i*R0*XR + i*iAXL + Ь{в/вс - B6.20) где в и вс — температура и критическая температура соответственно, а Ь — численная константа.2 Не путайте их с Г — «квантовой» температурой — которая в данном контексте связана с шириной полосы, на которой опреде- определена двумерная модель Изинга. Замечательно, что модель Изинга остается точно решаемой даже при в ф вс. Мы не уйдем слишком далеко с нашего пути, если обсудим теплоемкость модели Изинга. Статистическая сумма модели Изинга равна Z = JDxRDxLexp Г_5„ - Ъ{в/вс - 1) [ d2xe(x)l , B6.21) где xi = т, Х2 — х и So = I d2x [(xrU-Xr + iXRdxXs.) + Энтропия равна ^^ B6.22) а удельная теплоемкость на единичную площадь дается формулой B6.23) Вернемся к модели Изинга в критической точке. До сих пор мы сделали следующее: (i) мы построили конформную теорию с С = 1/2, (ii) мы нашли несколько взаимно локальных полей, которые имеют степенные корреляци- корреляционные функции и удовлетворяют требуемым правилам слияния с тензором энергии-импульса, (iii) у нас есть причины полагать, что предложенная модель эквивалентна модели Изинга в критической точке. Однако мы знаем, что исходная модель Изинга сформулирована в терми- терминах спиновых переменных. Где эти переменные в нашем подходе и как мы 2Для модели Изинга на квадратной решетке Ь2 = 32(\/2 + 1).
252 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV можем вычислить их корреляционные функции? Ответ состоит в том, что поле параметра порядка модели Изинга а(х) (поле спиновой плотности) не есть локальный функционал от фермионных полей. Можно показать, что оно является затравочным полем и его корреляционные функции равны <<г(*, *)*(<), 0)) ос ^ B6.24) т. е. оно имеет конформные размерности A/16,1/16). Чтобы вычислять корреляционные функции высших порядков, необходимо знать о конформ- конформных теориях гораздо больше, чем мы до сих пор обсуждали. Кроме фермионного и бозонного представлений, описанных в настоя- настоящей главе, существует еще одно бозонное представление для модели Изин- Изинга, предложенное Киритисом [26.4]. Соответствующий тензор энергии- импульса дается формулой Т{г) = -2тг : (дфJ : +а~2 : cos D^) : B6.25) Это представление позволяет нам выразить все поля модели Изинга через свободные бозонные поля. Поскольку в модели Изинга имеется полови- половина состояний свободной теории, две модели Изинга, «слитые» воедино, эквивалентны свободной теории. Поэтому не стоит удивляться тому, что корреляционные функции модели Изинга могут быть квадратными корня- корнями из корреляторов теории свободных бозонов. В частности имеем (см. ссылку [26.3]) (cr(l)... a(N)J = (: cos у^гФA) : ... : cos v^(JV) :), B6.26) где Ф(х, z) — свободное бозонное поле, описываемое действием B1.1). Упражнение Используя формулу B6.26), покажите, что четырехточечная корреляци- корреляционная функция спиновых полей в модели Изинга равна ) +( Г12Г34Г14Г32/ \Г13Г42Г14Г32 B6.27) где г = \z\. При необходимости обратитесь к книге Ициксона и Друф- фа [26.3].
Гл. 26 Модель Изинга 253 Литература 1. A. A. Belavin, A. M. Polyakov and А. В. Zamolodchikov, Nucl. Phys В, 241, 333 A984); Conformal Invariance and Applications to Statistical Mechanics, World Scientific A988). 2. Vik. S. Dotsenko and V. S. Dotsenko, J. Phys. C, 15,495 A982). 3. С Itzykson and J.-M. Drouffe, Statistical Field Theory, Vol. 1, Chapter 2; Vol. 2, Chapter 9, Cambridge University Press A989). 4. E. B. Kiritis, Phys. Lett B, 198, 379 A987). 5. В. М. McCoy and Т. Т. Wu, The two-dimensional Ising Model, Harvard University Press A973). 6. T. T. Wu, B. M. McCoy, С A. Tracy and E. Barouch, Phys. Rev B, 13,316 A976).
27 ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКАЯ ЦЕПОЧКА СПИНОВ 5=1/2 Согласно процедуре бозонизации, изложенной в главах 13 и 21, одно- одномерные бесспиновые фермионы с линейным (релятивистским) спектром могут быть представлены через скалярное бозонное поле. Мы уже видели, как эта эквивалентность может быть использована для решения моделей с сильным взаимодействием и получения весьма нетривиальных результатов (вспомните модель Швингера A + 1)-мерной КЭД и модель синус-Гордона). В то же время из рассмотрения в части 3 преобразования Иордана-Вигнера мы знаем, что бесспиновые фермионы описывают магнетики. Поэтому ме- метод бозонизации может быть применен к одномерным магнетикам. В на- настоящей главе я рассмотрю, как этот подход работает в случае анизотропной гейзенберговской цепочки спинов 1/2 (XYZ-модель). Существует довольно много магнитных систем, которые могут быть описаны как совокупно- совокупности слабо взаимодействующих магнитных цепочек (см. обзорные статьи Ланди [27.7] и Рено и др. [27.10]). Одними из лучших примеров квазиод- квазиодномерных антиферромагнетиков со спином 5=1/2 являются KC11F3 и CuCl2-2N(CsD5), где магнитные ионы меди находятся в цепочках, разне- разнесенных друг от друга в пространстве. Недавние нейтронные измерения на KCuF3 находятся в прекрасном согласии с излагаемой ниже теорией [27.2]. В недавно полученном соединении Sr2CuC>3 большая величина обменного интеграла внутри цепочки (J ~ 1000 К) вместе с очень низкой темпера- температурой упорядочения Тдг ~ 5 К делают это вещество очень перспективным для данной области исследований (см. [27.6]). Физика одномерного антиферромагнетизма совершенно замечательна. Как мы знаем из предыдущих глав, и в особенности из части 3, антифер- антиферромагнитное упорядочение, связанное со спонтанным нарушением непре- непрерывной симметрии, не может иметь место в A + 1) измерениях. Конечный параметр порядка не может появиться даже при Т = 0, как это происходит в B + 1)-мерных магнетиках. Однако, фазовый переход при Т = 0 не за- запрещен, и, как мы увидим ниже, такой переход действительно происходит в модели Гейзенберга со спином 5 = 1/2. Последнее означает, что Т = = 0 является критической точкой этой модели, и корреляционные функции при Г = 0 ведут себя степенным образом. При Т ф 0 возникает конечная корреляционная длина: ? ос 1/Т. Как обсуждалось в части 3, существо- существование критической точки зависит от величины спина; Халдейном [27.5] было показано, что при Т = 0 критическими являются только магнетики с полуцелыми спинами. С теоретической точки зрения гейзенберговская цепочка спинов 5 = = 1/2 — одна из простейших одномерных моделей. Она была первой од- одномерной моделью, точно решенной непосредственной диагонализацией гамильтониана [27.1]. Найденные Бете собственные значения и собствен-
Гл. 27 Гейзенберговская цепочка спинов S = 1/2 255 ные функции этой модели позже были использованы для описания ее термо- термодинамики [27.4]. Однако точные собственные функции настолько сложны, что для вычисления корреляционных функций они практически бесполез- бесполезны. Поэтому в настоящей главе мы будем следовать другому подходу, пред- предложенному Лютером и Пешелем [27.8]. В этом подходе рассматривается низкоэнергетический сектор гейзенберговской цепочки спинов S — 1/2, в котором эта модель эквивалентна модели свободных безмассовых бозо- бозонов B1.1). Как обсуждалось в главе 18, преобразование Йордана-Вигнера A8.4) переводит гейзенберговскую цепочку спинов 1/2 в модель бесспиновых фермионов (см. формулу A8.5)): tyt ^ - 1/2)]. B7.1) Сначала рассмотрим случай слабого взаимодействия | cos fi\ <g: 1. В этом случае важны только состояния, близкие к ферми-точкам, и фермионный за- закон дисперсии e(fc) = J(l - cos k) может быть линеаризован в окрестности точек Ферми fcF = ±7г/2, как мы и делали раньше; кроме того, можно раз- разложить фермионные поля и операторы спиновой плотности на медленные и быстрые компоненты: Фз = НУЫ') + (i)'V'L(z), B7.2) 5,2 - р{х) + (-l)'Af (х), М(х) = №+r(z)Vl(z) + ф+ь(х)фк(х)}, р = : ф+к{х)фк(х) : + : ф+ь{х)фф) : B7.3) Подставляя выражение B7.3) в слагаемое, описывающее взаимодействие, получаем ta\dxV2:pp: +тАт : cosDv/^) : 1 + const. B7.4) Второе слагаемое является вкладом от осциллирующих членов в спино- спиновой плотности. Как мы увидим ниже (формула B7.25)), при |cos/z| ^ 1 масштабная размерность слагаемого с косинусом всегда больше двух, и поэтому оно иррелевантно. Модель Томонага-Латтинжера Опуская слагаемое с косинусом в формуле B7.4), мы получаем непрерыв- непрерывный вариант ЛЖ-гамильтониана: = Aх[-[уф^дх Я = Aх[-[уф^дхфк + [уф^дхфь + 2ucos?< : pp :]. B7.5)
256 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV В литературе модель B7.5) называется моделью Томонага-Латтинжера. Эта модель точно решается с помощью бозонизации. Однако перед тем, как про- проделать это, рассмотрим простейший случай невзаимодействующих ферми- фермионов (А = 0), соответствующий так называемой АТ-цепочке. Так как XY- цепочка эквивалентна модели свободных фермионов, ее корреляционные функции особенно просты. Однако обратите внимание, что поскольку все преобразования, приведшие к непрерывной модели, были проделаны для бесконечной системы L —> оо, в непрерывном описании мы теряем все слагаемые ос 1/L. Как следует из формул B4.23) и B4.24), такие слагае- слагаемые непосредственно связаны с масштабными размерностями. Потому для непрерывной модели мы не знаем период Т\. В случае АТ-цепочки мы вос- восстановим значение 7\ из того факта, что АТ-модель есть модель свободных фермионов. Вспомните выражения для конформных размерностей B1.22). Для модели свободных фермионов в этих выражениях должны содержаться конформные размерности A/2,0) и @,1/2) (ферми-поля с левой и правой киральностью). Это возможно только в том случае, если Тогда согласно классификации B1.17) фермионные поля суть tpR = A^i и V'l = Ai,-i- Таким образом конформные размерности АТ-цепочки опи- описываются следующим выражением: Anm = ^(n±mJ. B7.6) Как мы увидим ниже, взаимодействие изменяет Т\. Мы найдем перенор- перенормированную Т\ и, используя формулы B4.13), восстановим гамильтониан для конечного отрезка L. Используя соотношения B7.3), мы получаем следующие выражения для асимптотик корреляционных функций АТ-цепочки: М- <27-7) Более сложная задача — бозонизовать поперечный компонент намагничен- намагниченности, который нелокален по фермионам. Непрерывный вариант преобра- преобразования Йордана-Вигнера A8.4) есть m dyp{y) B7.8)
Гл 27 Гейзенберговская цепочка спинов S = 1/2 257 Подставляя сюда выражения 1 ' B7"9) ()]} B7.10) взятые из таблицы бозонизации, мы получаем следующее выражение для длинноволновой части поперечной намагниченности: <т+(х) ~ ехр[-1у/жв{х)](-1У + ехр[21%/тгФ(а:) - 1^6B;)]= = A0,-i(-l)> + A2,-i. B7.11) Это выражение, полученное прямой и наивной подстановкой, имеет важ- важный недостаток: оно не инвариантно по отношению к операции инверсии. Неинвариантным членом является бозонная экспонента А2,-\, имеющая конформный спин —1. Правильное выражение должно также содержать по- поле Аг,г, имеющее ту же масштабную размерность и конформный спин +1: c+{x)~A0.1{-iy+A2-i+A2,i. B7.12) Теперь перейдем к анализу модели со взаимодействием. Для этого бозо- низуем фермионный гамильтониан, используя формулы B4.17) и бозонизо- ванное выражение B7.9) для р. В результате мы получаем бозонизованный вариант гамильтониана Томонога-Латтинжера (обратите внимание, что за- затравочная скорость здесь и ниже полагается равной единице, v — 1): H=V-\ dx[n2 + {l+4vcosfi){d^J}. B7.13) Удобно переписать этот гамильтониан при помощи дуального поля в, воспользовавшись тождеством тг = дх@: B7.14) Интегрируя коммутационные соотношения для тг и Ф по х, мы получаем коммутационные соотношения для G и Ф: [&(х),Ф(у)} = -[в(х-у). B7.15) Эти коммутационные соотношения инвариантны относительно преобразо- преобразования Ф = еаФ, 6=е-ав, B7.16) которое переводит гамильтониан B7.14) в гамильтониан без взаимодей- взаимодействия B4.17) с новой скоростью B7.17) Q ^зыаэ ЛГ„ 1ПЙ1
258 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV при условии е2а = A + 4cos/x/7r)e-2a. B7.18) Как мы видим, модель со взаимодействием плотность-плотность остает- остается в классе универсальности латтинжеровской жидкости. Взаимодействие лишь перенормирует скорость возбуждений и изменяет масштабные раз- размерности. Новые аналитическое и антианалитическое поля зависят от z' = т + ix/v' и z' = т - ix/v' соответственно. Выражая бозонные экспоненты через эти новые поля, мы получаем ф + ф) + 1у/тгтп{ф - ф)] = -a + тпеа)ф(г) + ^(пе"" - теа)ф{г)]. B7.19) Следовательно в выражения для конформных размерностей мы должны подставить 1\ = 2у^еа. B7.20) Поскольку фермионные поля г/щ, Фь эквивалентны экспонентам A\t\ и i4i,_i, их конформные размерности равны Ai,i = -ch2a, Ai,! = -sh2a, Д!,_1 - ish2 a, A,,.! = ^ch2 a. B7.21) Одночастичные фермионные функции даются формулами °. B7.22) Как мы видели выше, различные компоненты поля спиновой плотности описываются различными конформными полями: «шахматная» намагни- намагниченность в г-направлении az описывается экспонентой Л^о, а из форму- формулы B7.12) следует, что «шахматные» «г*-компоненты описываются опера- операторами Ао,±1. В итоге имеем az = -±=3ХФ + (-1)'(Л2,0 - Л_2,о), B7.23) а+ = Л_2,_! + Л_2>1 + ^o,_i(-l)J. B7.24)
Гл. 27 Гейзенберговская цепочка спинов S = 1/2 259 Коэффициент перед производной дхФ неуниверсален. Из формулы B7.23) находим динамическую магнитную восприимчивость при малых волновых векторах: B7-25) Поскольку —х@,0) равно х, однородной восприимчивости, мы получаем тождество (вспомните формулу B4.28)): ttv'x = e~2a. B7.26) Конформные размерности «шахматных» компонентов равны1 Д2 = Д2 = -е~2а *~*шахм шахм о ' д-1- = д-L =~е2а B7 271 Гладкая компонента поперечной намагниченности содержит два примар- ных поля с конформными спинами ±1. Их конформные размерности равны Af± = I {2e~a T еаJ. B7.28) о Следовательно имеем следующие выражения для парных корреляционных функций спиновых компонентов: ((аа(т, *К@,0))) = Ga(r, х) + {-iy'aQa{T, x), ±, B7.29) B7'30) Q±(r,x) = B2±\z\-4A~, д„(т,х) = В||М-4ДЧ B7.31) где 7 = (V2e~a — ea/V2J. А, В±, 5ц — численные коэффициенты, зна- значения которых определяются высокоэнергетическими процессами. Полученные результаты в своей общей форме остаются справедливы- справедливыми во всем интервале анизотропии — 1 < cos/z < 1, где гейзенбергов- гейзенберговская цепочка находится в критическом состоянии. Во всем этом интервале низкоэнергетические возбуждения модели Гейзенберга описываются эф- эффективным гамильтонианом B4.23) с Ть зависящим от анизотропии. Эта 'Здесь и далее я полагаю перенормированную скорость равной единице, v' = 1.
260 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV зависимость известна точно из решения методом анзаца Бете [27.4]: Т12 = 4тге2а = 8(тг - /х). B7.32) В случае |cos/i| <C 1 можно разложить это выражение и получить при- приближенное значение а, следующее из формулы B7.18). Согласно форму- формулам B7.17) и B7.24), масштабная размерность слагаемого с косинусом в формуле B7.4) равна d=2A40 = -^-. B7.33) 7Г-/Х Она всегда больше двух, а при ц = 0 (изотропный случай) оператор стано- становится маргинальным. В случае cos/z > 1 (анизотропия, подобная модели Изинга), слагаемое с косинусом становится релевантным, что приводит к возникновению щели в спектре. Изотропная точка е2а = 2 является особенной, потому что в этой точке группа симметрии меняется с U{1) на SU{2). Благодаря 5С/B)-симметрии, корреляционные функции различных компонент спина становятся нераз- неразличимы. В изотропной точке показатель у в формуле B7.29) обращается в ноль, и гладкие компоненты поперечной намагниченности становятся чи- чисто киральными полями, подобно z-компоненте. Чтобы увидеть эту важную симметрию явно, стоит выписать явные выражения для спиновых операто- операторов в этой точке: «тв = Ja(z) + Ja(z) + (-iyna(z, z), B7.34) Jz = \^Хдф, Jx = — cos(\/8^^), Jy = — вЫу/^кф), B7.35) /2 ка na n = B[sin(V2^<$>), cos(v/2H:e), siii(\/2^6)], B7.36) где В — неуниверсальный коэффициент. Коэффициенты при операторах Ja определяются 5С/B)-симметрией и требованием, чтобы корреляционная функция спин-спин на нулевой частоте и нулевом импульсе равнялась статической однородной восприимчивости. Киральные операторы Ja(z) и Ja(z) являются компонентами сохраняющегося тока. Как мы увидим в дальнейшем, они реализуют представление так называемой алгебры токов Каца-Муди с центральным зарядом к = 1. Свойства токовых алгебр будут подробно рассмотрены в последующих главах. Явное выражение для динамической магнитной восприимчивости Корреляционные функции спин-спин можно непосредственно измерить при помощи неупругого рассеяния нейтронов. Дифференциальное сечение рассеяния нейтрона с передачей энергии ш и волновым вектором q про- пропорционально мнимой части фурье-образа динамической корреляционной
Гл 27 Гейзенберговская цепочка спинов S = 1/2 261 функции спин-спин. Последняя связана с запаздывающей корреляционной функцией спин-спин %(fi'(w, q): B7.37) которая, в свою очередь, может быть найдена по формуле A.34), если из- известна термодинамическая корреляционная функция. Несложно получить явное выражение для термодинамического коррелятора спин-спин. Как бы- было сказано в начале главы 24, следует произвести конформное преобразо- преобразование и получить формулы B4.6) с \Т вместо 1/L. Учитывая операторные соотно- соотношения B7.12) для поперечных компонентов спина, мы получаем следую- следующее выражение для термодинамической корреляционной функции «шах- «шахматных» компонентов: сД = е2а/8.2 Чтобы воспользоваться формулой A.34), необходимо найти функ- функции D+ (т, q) и D~ (т, q). На первый взгляд кажется, что, поскольку ((а+(т, х) х х <т_ @,0))) есть четная функция от т, эти функции равны. Я покажу, что это не так. Для того чтобы найти D+ (т, q) и D~ (т, q), надо сначала произвести фурье-преобразование по х (q = тг — к, где к — вещественный волновой вектор): D(r>q > 0) = { 2Д Выгибая контур интегрирования в верхнюю полуплоскость, где подынте- подынтегральное выражение имеет разрез, получаем 2А \r\ 2Здесь и далее скорость магнонов предполагается равной единице, v = 1.
262 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Отсюда находим т D+(r,q> 0) - D~{r,q> 0) =--2sin{2TrA) f dye~9yx J ^? sh[7rT(iy-iT)]sh[7rr(i3/ + i 2Л Последнее выражение допускает непосредственное аналитическое продол- продолжение г = it. Окончательно, мы можем написать интегральное представ- представление для Im D(w, q): OO „iut, - ImD(u>,q > 0) = sinB7rA) | dtelutx — OO 1*1 x | dxe-w | (f _ "x)^h[nT{x +1)] | ¦ B7.39) -1*1 Подстановкой z = x + t, z = t - x этот интеграл сводится к табличному: - lmD(u,q> 0) = sinB7rA)GrTLAx OO OO x Im dz dz J [shGrTz)]2A J о о dz — , B7.40) где g = |тг - ик"> ГA-Д-1х)" Формула B7.40) описывает экспериментальные данные, полученные Коули и др. [27.2] для KC11F3. На рис. 27.1 показаны данные измерений нейтрон- нейтронного рассеяния для изотропного антиферромагнетика СиСЬ • 2N(CsDs) со спином S = 1/2, взятые из работы [27.3]. На графике представлены данные для мнимой части магнитной восприимчивости, проинтегрированной по энергии: I(q) — j dwlmx(w, q). Для изотропной гейзенберговской цепоч- цепочки, в которой Д = 1/4, в пределе нулевой температуры из формул B7.31) получаем / ~ - ln(qa), что хорошо согласуется с данными для \qa\ <C 1. Существует еще один способ измерения магнитной восприимчивости — ядерный магнитный резонанс (ЯМР) — который, к сожалению не измеряет полную функцию х{ш1 ?)> как это делает нейтронное рассеяние. ЯМР из- измеряет время релаксации ядерного спина т\, которое связано с магнитной
Гл.27 Гейзенберговская цепочка спинов 5 = 263 Рис. 27.1. Зависимость интефальной интенсивности от приведенного волнового вектора Q = да для СиСЬ • 2N(CsDs) (из работы [27.3]). Сплошные линии изображают теоретическое предсказание восприимчивостью среды: Т\Т w-»0j U! Из формул B7.40) следует, что вклад от области |fc| яз тг — порядка B7.41) B7.42) ЯМР-исследования различных квазиодномерных веществ действительно показывают эту степенную зависимость (см. ссылку на работу Взитека и др. [28.8] в следующей главе).
264 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV Литература 1. Н. Bethe, Z. Phys., 71, 205 A931). 2. R. A. Cowley, D. A. Tennant, T. G. Perring, S. E. Nagler and A. M. Tsvelik, Physica A, 194,280A993). 3. Y. Endoh, G. Shirane, R. J. Birgeneau, P. M. Richards and S. L. Holt, Phys. Rev Lett., 32, 171 A974); см. также I. U. Heilmann, G. Shirane, Y. Endoh, R. J. Birgeneau and S. L. Holt, Phys. Rev. B, 18, 3530 A978). 4. J. D. Johnson, S. Krinsky and В. М. McCoy, Phys. Rev. A, 8, 2526 A973). 5. F. D. M. Haldane, Phys. Lett. A, 93, 464 A983). 6. A. Keren, L. P. Le, G. M. Luke, B. J. Sternlieb, W. D. Wu and Y. J. Uemura, Phys RevB, 48, 12926A993). 7. C. P. Landee, Organic and Inorganic Low-Dimensional Crystalline Materials, p. 75, Plenum A987). 8. A. Luther, Phys. Rev B, 14, 2153 A976); A. Luther, I. Peschel, там же, 12, 3908 A975); A. Luther, Solitons, Springer-Verlag A980). 9. С. В. Покровский и А. М. Цвелик, ЖЭТФ, 93, 2232 A987). 10. L. P. Regnault, J. Rossat-Mignod, J. P. Renard, M. Verdaguer and С Vettier, Physica, 156-157, 247 A989).
28 ОДНОМЕРНЫЕ ФЕРМИОНЫ СО СПИНОМ. РАЗДЕЛЕНИЕ СПИНА И ЗАРЯДА Процедура бозонизации так же хорошо работает и для фермионов со спинами, предоставляя нам возможность использовать существенно непер- турбативный подход для изучения одномерных металлов. Основы этого подхода были заложены в конце семидесятых — начале восьмидесятых годов различными авторами (см. обзорную статью Бразовского и Киро- Кировой [28.1] и ссылки в ней). Работа еще далеко не завершена; многие экс- экспериментальные данные остаются необъясненными. Однако, как и многие мои коллеги, я уверен в том, что любой будующий пересмотр не отменит основных идей бозонизационного подхода. Спин Рис. 28.1 Идея, на которой основан бозонизационный подход, состоит в том, что когерентные возбуждения в одномерных системах со взаимодействием яв- являются не перенормированными электронами, а коллективными возбужде- возбуждениями — бозонами. Для бесспиновых фермионов существует только одна ветвь коллективных возбуждений — волны зарядовой плотности. Для фер- фермионов со спином появляется еще одна ветвь, представляющая собой волны спиновой плотности. Элементарные возбуждения в зарядовом секторе име- имеют заряд ±е и спин 0; возбуждения в спиновом секторе нейтральны и име- имеют спин 1/2. Поскольку разные ветви обладают разными симметрийными свойствами, можно ожидать, что они имеют разные спектры.' В предельном случае может случиться даже так, что одна ветвь имеет щель, а другая — нет. В таких обстоятельствах естественно, что электроны, имеющие кван- 1Зарядовые возбуждения имеют симметрию U(l), а спиновые возбуждения симметрию SUB).
266 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV товые числа как из обоих спинового так и из зарядового секторов, не могут распространяться когерентно. Грубо говоря, части электрона, содержащие разные степени свободы, стремятся разорвать его на части (см. рис. 28.1); это явление принято называть разделением спина и заряда. Эмпирически эта потеря когерентности проявляется в отсутствии квазичастичного полю- полюса в одноэлектронной функции Грина — существование этого эффекта под- подтверждается экспериментальными наблюдениями (см. обсуждение в конце главы). Явление разделения спина и заряда и связанная с ним некогерентность одночастичных возбуждений присущи всем одномерным фермионным си- системам, но в особенности ярко проявляются в модели, рассмотренной ниже. Рассмотрим простую, но реалистичную модель фермионов со спином 1/2, взаимодействующих локальным образом согласно следующему гамильто- гамильтониану: B8.1) Этот гамильтониан инвариантен относительно глобальных (т. е. не завися- зависящих от координат) преобразований из группы 17B). Группа U{2) — не про- простая группа; она представима в виде прямого произведения двух простых групп: U{2) = U{1) х SUB). Как мы увидим дальше, низкоэнергетические возбуждения разделяются на две ветви с разными спектрами. Возбуждения каждой ветви преобразуются в соответствии с простой группой Ли — U(l) или SU{2). Мы будем считать взаимодействие слабым, 5P(?f) <^ 1, так что вза- взаимодействуют только состояния, близкие к ферми-точкам. В этом случае можно линеаризовать спектр в окрестности ферми-точек, как мы и дела- делали в главе 13, и выделить из фермионных полей медленно-меняющиеся компоненты: фГТ(х) = ехр(-[ррх)фК:СТ(х) + exp(ipFx)iphtrT(x). B8.2) Линеаризованный гамильтониан имеет следующий вид: Й = Н0 + Н„, B8.3) Но = | rfz[-k^+CT(zR^R,CT(z) + ш^(г)с^ь,„(г)], B8.4) Явз = g - ф+л(х)фкЛ(х)ф+г(х)фьл(х)}. B8.5) Обратите внимание, что фермионы, движущиеся вправо и влево, участвуют
Гл 28 Одномерные фермионы со спином 267 во взаимодействии посредством особых комбинаций, называемых «токами»: М*) = \Т,КЛ*)Фн,Л*)> B8.6) Jah{x) = $>?„(*) (SaW< Фн,А*), B8-7) где h = R, L — киральные индексы, а S" — матрицы спина S = 1/2. Дальше можно идти несколькими путями. Один путь более формаль- формальный; он начинается с наблюдения, что процедура бозонизации для бес- бесспиновых фермионов основана на том факте, что их токи удовлетворяют коммутационным соотношениям, аналогичным коммутационным соотно- соотношениям бозевских операторов рождения и уничтожения. Это позволяет нам представить взаимодействие токов в виде билинейных форм от бозе- операторов и таким образом эффективно диагонализовать фермионные те- теории с двухчастичными взаимодействиями. В надежде, что подобные упро- упрощения появятся и для фермионов со спинами, можно изучить коммутаторы операторов B8.7). Такие упрощения действительно имеют место. Можно показать, что (i) эти коммутационные соотношения достаточно просты, и (ii) гамильтониан B8.4) может быть выражен через токи. Другой путь — попытаться «выжать» как можно больше из обычного бозонизационного подхода. Я выбираю для начала второй путь, так как он поддерживает связь с предыдущим рассмотрением. Чтобы бозонизовать гамильтониан B8.3), введем два бозонных по- поля Фст(г, z) = <j)a(z) +<P<t(z) вместе с их голоморфным и антиголоморфным компонентами ф<т(г),фгт(г) — одно поле для каждого компонента—и пред- представим фермионные операторы рождения и уничтожения в виде бозонных экспонент (см. таблицу в главе 21): 7==exp(-i\/47n?<7). фк><т = ==ехр{{\/4жфа), Vl.o- = 7== v2na у1жа Тогда токи B8.6) и B8.7) выражаются следующим образом: ^ B8.8) = ^ екр{?1у/&[ф,(г) - ^(г)]}, B8.9) и аналогичные выражения—для левых токов. Как обычно в теории свобод- свободных бозонов, примарные поля представляются в виде бозонных экспонент (см. главу 21): л — Pvn I ф. л -p)^ I pkd I -Ф, 4- ft. I (OR M)\
268 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Период Т\ определяется из условия, что Лцоо и Лоо,п, будучи свобод- свободными фермионными полями со спинами вверх и вниз, имеют конформные размерности A/2,0), @,1/2); Тг = 2,/^. В результате бозонизации гамильтониана без взаимодействия Яо полу- получаем "' ~ 'х[тт1 + (ахФстJ]. B8.11) Из формул B8.9) следует, что скалярный (зарядовый) и векторный (спи- (спиновый) токи зависят от разных комбинаций бозонных полей и поэтому коммутируют. Чтобы подчеркнуть их независимость, удобно ввести новые поля Ф3 и Фс и произвести следующее преобразование: Ф„ = Фз + *тФс. B8.12) Это преобразование не меняет Но: Йо = I Е [ dx^ + (д**г)% B8.13) t=c,s J но разделяет токи на две явным образом независимые группы:2 JR = 4=92фз, B8.14) i г)]. B8.15) Мы уже сталкивались с этим представлением в предыдущей главе (см. формулу B7.35)). Замечательно, что в этом новом представлении взаимодействие B8.5) также разделяется на коммутирующие части: Н„ = | dx[g : РзР, : -S(: J^ : + : J[Jt :) - g{: J&Z : + : Ы :)], B8.16) где p3 — Jr + Jl. Следовательно, на две коммутирующие части делится и полный гамильтониан B8.3): Й = Й3 + ЙС, B8.17) 2 Обратите внимание на отличие обозначений от таблицы бозонизации в главе 21: токи бесспиновых фермионов определены с множителем /^
Гл 28 Одномерные фермионы со спином 269 Яз = | dx Щ+ v-{dx$3f +g : Aft :j , B8.18) tfc = | dx\^-+V-{dx$c? - 9{: ВД ¦¦ + ¦ JlJl 0- -5(:JgJ?: + :J?JS:)], B8.19) Гамильтониан Я3, описывающий зарядовые степени свободы, инвариантен по отношению к глобальному сдвигу Ф3(ж) -» Ф,(х) + const, и таким об- образом ?/A)-симметричен. Поскольку исходный гамильтониан B8.3) имеет симметрию С/B) = C/(l) x SUB), спиновая часть должна быть SUB)- симметрична. Однако, в формуле B8.19) эта симметрия не видна явно. Это неудобно, так как 5С/B)-симметрия, как любая непрерывная симметрия в A + 1) измерениях, не может быть спонтанно нарушена и следовательно является важным свойством системы. Наша процедура бозонизации не ува- уважает 5?/B)-симметрию, и это надо исправить. 5С/B)-симметрия становит- становится явной, если мы запишем гамильтониан B8.19) через 5С/B)-токи B8.15), используя следующие тождества: J dx(: J?J? : + : J^l :) = ^Я0;С, B8.20) \{: jy^ : + : J?J? :) = : ВД : + : J^J[ : B8.21) Упражнение Выведите первое из этих тождеств, используя формулы B4.20) и B4.21), и покажите, что второе тождество является следствием 5?/B)-симметрии, которая приводит к равенству спиновых токов. Подставляя B8.20) и B8.21) в B8.19), мы переписываем гамильтониан в таком виде, который позволяет включить определенную часть взаимодей- взаимодействия в гамильтониан невзаимодействующих частиц: Нс = Ясугавары + Нвз, B8.22) ЯСугаварЫ = ~\ dx{: .M : + : J^l :), B8.23) Я33 = -5 j dx(: jyi : + : « :), B8.24) vc = v - д/2ж. B8.25) Представление фермионных гамильтонианов через токи называется, в честь автора, представлением Сугавары.
270 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV АФ взаимодействие в спиновом канале, g > О Член Ню B8.24), содержащий произведения правых и левых токов, имеет нулевой конформный спин, а его масштабная размерность равна d = 2. Следовательно, этот член является слабым возмущением, и его релевант- релевантность зависит от его знака (см. главу 22). Используя формулы B2.2) и B2.3), можно показать, что при g > 0 член Нт иррелевантен. Поэтому я снача- сначала рассмотрю именно этот случай. Для низкоэнергетических возбуждений можно опустить #вз и рассматривать оставшуюся часть гамильтониана Яс, а именно Ясугавары- Согласно формулам B8.20) и B8.21), гамильтониан Сугавары описывает безмассовые бозоны с w(q) = vc\q\. Поскольку вза- взаимодействие достаточно слабо, масштабные размерности не изменяются (напомню, что масштабные размерности модели Томонага-Латтинжера от- отличаются от масштабных размерностей для свободных фермионов только благодаря взаимодействию правых и левых частиц). Теперь вернемся к гамильтониану Нъ B8.18). Этот гамильтониан сов- совпадает с гамильтонианом Томонага-Латтинжера (см. формулу B7.5)), кото- который мы точно диагонализовали в предыдущей главе. Изменяя обозначения в выражениях главы 27 с помощью подстановки cos fi — g/2, мы видим, что получающийся гамильтониан описывает теорию безмассовых бозонов с линейным законом дисперсии \q\ B8.26) и конформными размерностями, дающимися формулой B8.33) при Ti = 2v^(l - g/2vir) + O(g2). B8.27) Таким образом, мы имеем две различные скорости: "э = v + g/2-к, vc = v- д/2тг. B8.28) Это приводит к драматическим последствиям для корреляционных функ- функций, поведение которых мы сейчас и обсудим. Мы уже установили, что степени свободы, связанные с волнами зарядо- зарядовой и спиновой плотности, полностью разделяются.3 Это разделение имеет место только на уровне гамильтониана; среди операторов же независимы только токи. Примарные поля факторизуются в произведения независимых 3Не забывайте, что этот результат справедлив только для состояний, близких к уровню Ферми.
Гл 28 Одномерные фермионы со спином тп_ бозонных экспонент. Действительно, подставляя формулу B8.12) в B8.10), мы получаем: . B8.29) Поскольку п, m,p,q—произвольные целые числа, мы можем ввести новые целые числа: п + р -* п, т + q -*¦ т, п—р-?р, т - q -t q, и получить B8.30) B8.31) В теории без взаимодействия периоды 7\ и Т{ равны: 7\ = Т{ = / Взаимодействие перенормирует Тх (но не Т{: 51^B)-симметрия!) и изме- изменяет скорости: они становятся различными в разных секторах: v3 Ф vc. Поскольку зарядовые и спиновые степени свободы описываются независи- независимыми гамильтонианами, они описываются коммутирующими бозонными экспонентами А3 и Ае. В соответствии с формулами B1.22) конформные размерности равны B8.33) B8.34) - - iu В последнем выражении вместо Т[ подставлено его численное значение 20г, которое не изменяется взаимодействием. Как я уже объяснял, это свойство следует из иррелевантности члена sJrJl при положительных д, что, в свою очередь, является следствием 5[/B)-симметрии. Замечателен тот факт, что согласно формулам B8.33) и B8.34) конформные спины 5 = = Д — Д возбуждений в отдельных секторах могут равняться 1/4! Физиче- Физические корреляционные функции не могут иметь такого спина; следовательно, экспоненты со спинами 1/4 в физических операторах должны появляться парами, так, чтобы полный конформный спин был целым или полуцелым. Это приводит к следующему ограничению на физические квантовые числа: ПТП PQ 1 = целое число. B8.35) Изменение в скоростях приводит к изменению в координатной зависи-
272 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV мости корреляционных функций: корреляторы полей Ф3 зависят от z = т + ix/v3, z = т — ix/v3, а корреляторы полей Фс зависят от z' = т + ix/vc, z! = т — ix/vc. Теперь рассмотрим оператор, содержащий и спиновые, и зарядовые степени свободы. Очевидный пример — фермионное поле. В наших обозначениях оно выражается следующим образом: ф^(х, т) = ехр(—ikpx)A\ ХА\ х + exp(ikpx)At_1 jАс_х х B8.36) что, согласно формулам B8.33) и B8.34), приводит к следующему любо- любопытному выражению для электронной функции Грина: у а/2 г ,., . , ., _, . I « ехр(\крх) ехр( —ifepa;) ^/(у^т — ix){vQT — \x) y/{vjT + ix){vcr + ia B8.37) где Фурье-образ этой функции Грина был вычислен Меденом и Шонхамме- ром [28.4] и Реном и Андерсоном [28.6]. Я не буду повторять все вычисле- вычисление, которое достаточно длинно, а только приведу оценку для одночастич- ной плотности состояний, которая связана с функцией Грина при х = 0: B8.39) Измерить эту величину экспериментально проще (например, с помощью рентгеновской фотоэмиссии), чем полную функцию Грина. И действитель- действительно, степенное поведение одночастичной плотности состояний наблюдалось в квазиодномерных веществах. Мы обсудим экспериментальные данные более подробно в конце этой главы. Подробное обсуждение содержится в публикациях Войта [28.7]. Было бы ошибкой полагать, что изложенные теоретические результаты справедливы только в пределе малой затравочной константы связи д. На самом деле полученная картина универсально справедлива, если спектр — бесщелевой. Тогда от силы взаимодействия зависят только численные зна- значения Ti и г>3, vc. Для сильных взаимодействий приближенные выраже- выражения B8.27) и B8.28) перестают быть применимы, и для нахождения этих величин надо использовать другие методы. Возможные альтернативные процедуры — это точные решения (через анзац Бете) или численные мето- методы. В обоих случаях значительно проще находить не корреляционные функ- функции, а термодинамические свойства. К счастью, масштабные размерности
Гл 28 Одномерные фермионы со спином 273 связаны с термодинамическими величинами; Ti связано со сжимаемостью (см., например, работу [28.3]): T? = 2*aw,Xs, Хг = ~- B8.40) Важный факт состоит в том, что 7\ с одной стороны и v3, vc — с другой за- зависят от взаимодействия совершенно разным образом. Точные вычисления, выполненные Фрамом и Корепиным [28.3] для модели Хаббарда, показыва- показывают, что Ti остается конечным, даже если отталкивание на узле становится бесконечным, так что показатель а всегда ограничен: 0 < а < 1/8.4 В то же время, отношение скоростей быстро убывает при больших д: Таким образом, при больших константах взаимодействия спиновая и за- зарядовая ветви спектра возбуждений имеют существенно разные скорости. Ясно, что в системах, взаимодействие в которых значительно, этот эффект разности скоростей всегда должен учитываться в первую очередь. В приложениях мы сталкиваемся не только с однофермионной функци- функцией Грина, но и с различными восприимчивостями. Поэтому полезно иметь явные выражения для операторов зарядовой и спиновой плотности, равно как и для сверхпроводящих параметров порядка: р(х) — JR + JL + accos(\/27r<l?s) cosBfcFar + ч/2тг0Фс) + + au cosDfcFx + тДж6Фс), B8.41) S(x) = Jr + JL + as cosBfcFar + у/Ъ^вФс)п(х), B8.42) Д0(аг) = ^aR°L-° = duelV5FTe' coe(v^F#,), B8.43) B8.44) где era и Ja даются формулами B7.35), B7.36), a a, — неуниверсальные константы. Константа в дается формулой в = ^сХс B8.45) Для свободных электронов Хс = 2/тг^с, и поэтому 9=1; для модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием при заполнении, отличном от по- половинного, 9 = 1/2. 4В этой статье также содержится подробный анализ корреляционных функций, поэтому ее можно в особенности рекомендовать тем, кто хочет больше узнать по данной теме.
274 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Обратите внимание, что согласно формуле B7.42) масштабная размер- размерность «шахматной » намагниченности есть A + 0)/2, что довольно су- существенно отличается от гейзенберговского магнетика, в котором она рав- равна 1/2. Фурье-образы рассмотренных выше корреляционных функций дают экспериментально измеримые восприимчивости. Различные эксперимен- экспериментальные методы измеряют различные характерные особенности этих функ- функций и с различной точностью. Самый простой метод — ЯМР, который из- измеряет глобальные характеристики магнитной восприимчивости. Скорость релаксации ЯМР дается формулой B7.41); чтобы ее вычислить, нужно про- произвести преобразование Фурье от магнитной восприимчивости при х = 0. Наиболее сингулярный вклад возникает от части, содержащей cosBfcFar). Упражнение Проделайте это преобразование Фурье (аналогичное вычисление было проделано в главе 27); ответ есть -L~T-1+e. B8.46) Из формул B8.46) и B8.38) мы находим очень важное соотношение между критическими показателями одночастичнои плотности состояний и скорости релаксации ЯМР: Экспериментальная проверка этого соотношения является решающим те- тестом для согласованности теории. Такая проверка была проделана для соли Бешгарда (TMTSFJPF6 (в работе Взитека и др. [28.8] — методом ЯМР, а в работе Дардела и др. [28.2] — методом фотоэмиссии). Результаты были многообещающими, но значения показателей, которые следовали из дан- данных, оказались озадачивающими: в ~ 0,15, а ~ 1,25. Такое значение а слишком велико и не может быть достигнуто в системе с короткодействи- ем (вспомните, что для модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием q = 0,125). Однако, такое большое значение а подтверждается фото- фотоэмиссионными экспериментами на двух других квазиодномерных веще- веществах — молибденовой голубой бронзе Ко,зМоОз и (TaSe^I (см. [28.2]). Эти необычные результаты наводят на мысль о наличии дальнодействую- щих взаимодействий, природа которых, однако, не ясна. Из формул B8.43) и B8.44) мы видим, что корреляционная функция плотностей (т. е. динамическая зарядовая восприимчивость) имеет особен- особенности в 2fcF и 4fcp, а корреляционная функция спиновых плотностей—толь- плотностей—только в 2fcp. В особенностях при 2fcp нет ничего необычного; они возникают
Гл.28 Одномерные фермионы со спином 275 1 1 ' ч (TaSe4JI \ 3ooOOO^O°OOat TaSe2 >X i i i ¦¦'"¦•"-. Д A & A ^ 4 • о о о 1 . г=зоок д д ЬДАллААдДА Г=190К • -400 -200 Ef Энергия (мэВ) Рис. 28.2. Фотоэмиссионные спектры Ко.зМоОз и (TaSe4Jl, измеренные при температурах чуть выше перехода Пайерлса. Для сравнения показаны спектры двумерного (lT-TaSe2) и трехмерного (Rh) металлов при тех же температурах. Все спектры нормированы на соответствующие максимальные интенсивности (из работы [28.2]). и в свободном электронном газе (сингулярности Кона). Особенность в 4кр более любопытна, поскольку она существует только для взаимодействую- взаимодействующих электронов. Экспериментальное доказательство 4&р-флуктуаций дают, например, наблюдения на органическом квазиодномерном металле тетра- тиофульвален-тетрацианохинодиметан5 (ТТФ-ТЦНХ) (см. [28.5]). Ферромагнитное взаимодействие в спиновом канале; g < О Обсудим теперь, что происходит при g < 0. В этом случае взаимодействие ток-ток B8.24) становится релевантным, и в результате в спектре спино- спиновых возбуждений возникает щель. Можно показать, что эта щель дается формулой ^1'2*^. B8.48) Такими названиями алхимики пугали непосвященных!
276 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Это состояние называется волной зарядовой плотности (ВЗП); магнитная восприимчивость равна нулю, а зарядовая — нет. Система является хоро- хорошим проводником, однако это не металл; у системы нет поверхности Ферми, а магнитные возбуждения имеют щель. Можно представить себе противо- противоположную ситуацию, когда щель имеется в зарядовом секторе, а спиновый сектор остается бесщелевым. Это — волна спиновой плотности (ВСП). Добиться такого состояния можно, наложив внешний периодический по- потенциал с периодом 7r/2fcp. Согласно формуле B8.41), это возбуждение приводит к появлению релевантного поля где и пропорционально силе потенциала. Источником такого периодиче- периодического потенциала может служить другая молекулярная цепочка, параллель- параллельная данной. При половинном заполнении источником такого потенциала служит сама цепочка (процессы переброса). В состоянии ВСП зарядовые степени свободы имеют щель в спектре, а бесщелевые степени свободы описываются только гамильтонианом Сугавары. Поэтому имеет смысл изу- изучить этот гамильтониан сам по себе, что мы и сделаем в следующей главе. Литература 1. S. A. Brazovsky and N. N. Kirova, Soviet Scientific Reviews, 5, 100, New York- Harwood Academic A984). 2. B. Darde], D. Malterre, M. Grioni, P. Weibel and Y. Baer, Phys Rev Lett, 67, 3144 A991) 3. H Frahm and V. Korepin, Phys Rev B, 42, 10553 A990). 4. V. Meden and K. Schonhammer, Phys Rev B, 46, 15753 A992). 5. J P. Pouget, S К Khama, F. Denoyer, R. Comes, A. F. Garito and A. J. Heeger, Phys Rev Lett, 37, 437 A976). 6. Y. Ren and P. W. Anderson, Phys Rev B, 48, 16662 A993). 7 J Voit, Phys Rev B, 47, 6740 A993); J Phys С Cond Matt, 5, 8305 A993). 8 P. Wzietek, F Creuzet, С Bourbonnais, D Jerome, K. Bechgaard and P. Batail, J de Physique, 3, 171A993).
29 АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ. МОДЕЛЬ ВЕССА-ЗУМИНО-НОВИКОВА-ВИТТЕНА Поскольку фермионные гамильтонианы в сугаваровской форме содер- содержат только токовые операторы, логично сначала изучить их алгебраические свойства. Поэтому рассмотрим свойства токов свободных фермионов тр+^п, ^а,п,гдеп = 1,2,... ,к, а индекс а преобразуется согласно некоторой груп- группе Ли G. Причина введения второго индекса п станет ясна в дальнейшем. Соответствующие операторы тока определяются следующим образом: п=1 к Ja(z) = ?V?a,n(*)^Ll/9in(S), B9.1) n=l где га являются матрицами — генераторами алгебры Ли G. Они удовлетво- удовлетворяют следующим соотношениям: [ra,rb}=ifabcrc, Тг тать = ijab. B9.2) Для случая группы 5GB) матрицы та = Sa являются матрицами спина S = = 1/2, И fabc = €аЬс. Так как фермионы с различными киральностями коммутируют, то ком- коммутируют и токи с различными киральностями; токи одной киральности удовлетворяют следующему операторному разложению Вильсона: Чтобы проверить справедливость этого очень важного тождества, надо рассмотреть две диаграммы: одну — для корреляционной функции ток- ток, а другую — для корреляционной функции трех токов. Также очень удобно переписать операторное разложение B9.3) через коммутаторы: [Ja(x), Jb(y)} = ^SabS'(x -y) + irb<J%yN(x - у). B9.4) В таком виде оно называется алгеброй Каца-Муди.
278 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Упражнение Проверьте, что токи B9.1) удовлетворяют соотношениям алгебры B9.4). Второе слагаемое в правой части формулы B9.4) есть обычный коммутатор и может быть получено непосредственным вычислением. Член с производ- производной от дельта-функции—аномальный; он появляется только в бесконечных системах. Чтобы его вычислить, надо вспомнить вывод формулы A3.25) и вычислить парную корреляционную функцию токов. Часто алгебру Каца-Муди записывают для фурье-компонентов опера- операторов тока. В этом случае мы предполагаем, что система определена на полосе 0 < х < L с периодическими граничными условиями и расклады- раскладываем операторы тока в ряд: Подставляя это разложение в формулу B9.4), мы получаем алгебру Каца- Муди для фурье-компонентов: Г та тЬ 1 tab r i ; fabc тс /in r\ Km^mJ^-y <WmH + l/ Jn+m. B9.5) Алгебра Каца-Муди включает в себя исходную алгебру G в качестве подал- подалгебры; последняя является алгеброй нулевых компонентов токов: [J0°.4]=i/ab4c- B9.6) Поэтому эти нулевые компоненты можно представлять себе как матрицы — генераторы группы G. Теперь построим тензор энергии-импульса для конформной теории, имеющей дополнительную группу симметрии G. Важно понимать, что для этой цели мы можем использовать исходные фермионы: их группа сим- симметрии больше, чем G. Следовательно мы должны использовать только токи. У нас имеется несколько подсказок: (i) мы видели, что в простейшем случае к = 1 гамильтониан является квадратичной формой токов; пред- предположим, что это так и для произвольного к, и (и) гамильтониан связан с нулевыми компонентами тензора энергии-импульса: Цо+Ьо), B9.7) поэтому тензор энергии-импульса также квадратичен по токам. Единствен- Единственная G-инвариантная квадратичная форма есть B9 8)
Гл 29 Алгебры Каца-Муди 279 Численное значение коэффициента l/(fc + с„), где с„ есть оператор Кази- Казимира в присоединенном представлении, определяется тождеством fabcfabc — CvSaSi- Это численное значение не следует из рассмотренных общих свойств, а выводится из того факта, что тензоры энергии-импульса B9.8) удовлетво- удовлетворяют соотношениям алгебры Вирасоро B5.29). Последнее было доказано Книжником и Замолодчиковым [29.4], которые также нашли выражение для конформного заряда где D — число генераторов группы G. Значения D, с„ и операторов Казими- Казимира Спред для всех простых групп Ли представлены в таблице III, Appendix 9C в книге Ициксона и Друффа. Таким образом мы имеем новую конформную теорию поля, которую я буду называть моделью Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ). Ее гамильтониан есть tf(fc,G) = JS.R + 2 Е J-«,R J«,R + (R -»¦ L) n>0 , B9.10) где J? R, j? L удовлетворяют соотношениям алгебры Каца-Муди B9.5). 5?/B)-симметричная конформная теория поля, рассмотренная в предыду- предыдущей главе, является частным случаем модели ВЗНВ при G = SUB), к = 1. Гильбертово пространство модели ВЗНВ B9.10) является G-инвариант- ным подпространством гильбертова пространства для свободных ферми- онов. Полезно построить полный базис его собственных состояний. Де- Делать это нужно, используя только операторы тока, потому что только в таком случае мы можем быть уверены, что все собственные состояния G-инвариантны. Чтобы упростить задачу, нам надо знать, как операторы тока коммутируют с гамильтонианом. Соответствующие коммутационные соотношения следуют из формулы B5 35)' и того факта, что токи J(z), J(z) являются конформными полями с размерностями A,0) и @,1) соот- соответственно: [Ьп,Гт]=тГп+т. B9.11) Подставляя это выражение в формулу B9.7), получаем ,тт га] 27ПЯП [H,Jm\ = —?—Jm- B9.12) Теперь у нас есть все, что нужно для построения собственных состояний. Определим вакуумные векторы \h) как состояния, уничтожаемые отрица- 'Не забудьте про сдвиг индекса в определении Ап в формуле B5 33).
280 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV тельными фурье-компонентами токов: Jlm\h) = 0, Jlm\h) = O. B9.13) Гамильтониан B9.10), действуя на эти состояния, сводится к J° J°}- B9Л4) Следовательно \h) являются собственными состояниями гамильтониана, если они реализуют неприводимые представления левой и правой групп G: ЗДй) = Cnpea\h), JZJZ\h) = Cnpea\h). B9.15) Теперь можно воспользоваться положительными компонентами токов как операторами рождения. Согласно формуле B9.12), векторы JZ---JZJnl---Jnl\h) B9.16) являются собственными векторами гамильтониана B9.10), отвечающими энергиям Как мы видели в главе 24, каждое собственное состояние в конформных теориях поля сопоставляется некоторому конформному полю, конформные размерности которого связаны с собственными значениями энергии и им- импульса формулами B4.9) и B4.10). В данном случае мы имеем +? ¦»•¦ Базис состояний B9.16) переполнен. Чтобы сделать его полным, нуж- нужно ограничить число вакуумных состояний \h), выбрав конечное число неприводимых представлений группы G. Например в случае G = SUB), когда неприводимые представления являются представлениями спиновых операторов с Спрел = 5E + 1), 5 = 1/2,1,..., базис составлен из 5 = = 1/2,1,... ,k/2 [29.3]. Каждый вакуумный вектор \h) можно рассмат- рассматривать как состояние, полученное из наинизшего вакуума |0) с помощью соответствующего примарного поля gh (т, х). Действительно, согласно фор- формуле B4.7), имеем |ft>= lim eT<-Eh-Eo](L/2n){2Ah+2Ah)gh(T,x = 0)\0). B9.19)
Гл 29 Алгебры Каца-Муди 281 Существует еще одно ограничение на вакуумные состояния, а именно тре- требование, что все физические поля должны иметь целый или полуцелый кон- конформный спин. Если эти поля построены исключительно из полей ВЗНВ, это требование означает, что Сопрел Сопрел к + Су к + cv = п/2, B9.20) где п — целое число. В общем случае этому требованию сложно удовле- удовлетворить при всех п, кроме п = 0. В последнем случае Спред = Спред, и примарные поля являются матрицами даь размера dim Спреп x dim Спред — тензорами, реализующими неприводимые представления группы G. Имен- Именно этот случай был рассмотрен в работе Книжника и Замолодчикова [29.4]. Однако существуют и другие случаи, в которых физические поля являются произведениями полей из нескольких моделей ВЗНВ (мы видели аналогич- аналогичные примеры в предыдущей главе, когда рассматривали разделение спина и заряда). Тогда ограничения на правые и левые представления различны. Я вернусь к этому позже. Теперь вспомним, что токи B9.1) были изначально построены как били- билинейные формы от свободных фермионов. Затем нам удалось избавиться от этих фермионов и определить новый гамильтониан и его собственные со- состояния исключительно через операторы токов. А что с исходными ферми- онами, можем ли мы снова ввести их в нашем новом формализме? Для того чтобы сделать это, мы должны выразить гамильтониан свободных фермио- фермионов через токи, принадлежащие трем группам. Я запишу соответствующее выражение только для случая G = SU(N): ¦H[k,SU{N)] + H[N,SU(k)], B9.21) H[UA)} = 2тг f dx[: JR(x)JR(x) : + : JL(x)JL(x) :], B9.22) H\k,SU(N)} = —^—J2 a=l ' B9.23) 27Г Dk Г L v л (TV + fc) ^-—' J L RV ' RV ' LV ' LV ' J B9.24) Это представление соответствует разложению непростой группы симмет- симметрии свободных фермионов на произведение простых групп U(l) x SU(N) x х SU(k). Я учел тот факт, что для группы SU(N) имеем cv = N. Разло- Разложение B9.21) является обобщенной формой разложения, рассмотренного в предыдущей главе для случая фермионов с симметрией U(k) x SU(N).
282 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Конформное вложение Убедимся в том, что разложение B9.21) действительно работает. Прежде всего оно должно воспроизводить свободную энергию исходного гамильто- гамильтониана. Для конформных теорий, в которых свободная энергия пропорцио- пропорциональна центральному заряду, это означает, что сумма центральных зарядов моделей ВЗНВ равна Nk — центральному заряду свободных фермионов с Nk индексами. Согласно формуле B9.9), центральный заряд SU(N)- инвариантной модели ВЗНВ есть ° ~ k + N ' где число генераторов есть DN — N2 - 1. Таким образом имеем что тождественно выполняется. Теперь выясним, что происходит с ферми- онными полями, например, с их правыми компонентами. Эти компоненты являются комплексными полями (группа U(l)l) и принадлежат фундамен- фундаментальным представлениям (т. е. представлениям с минимальной возможной размерностью) как группы SU(N), так и группы SU(k). Поэтому мы можем записать их в виде произведения трех примарных полей, принадлежащих группам f/(l), SU(N) и SU(k): ipa,n(z) = ехр [х^Щф(г)] Ul{z)Gbn{z)Cab, B9.26) где U&{z) и Gh(z) являются киральными полями — примарные поля со- соответствующих моделей ВЗНВ принадлежат фундаментальным представ- представлениям групп SU(N) и SU(k) соответственно. Мультиплеты этих полей вырождены, и верхние индексы а,Ь означают разные поля с одинаковой конформной размерностью. Вычисления, проделанные Книжником и За- молодчиковым [29.4], показывают, что существует по крайней мере два таких поля (см. раздел 4 их статьи). Матрица Саь выбрана таким обра- образом, что составное поле B9.26) имеет такие же корреляционные функции, как и фермионный оператор. Вместо того чтобы вдаваться в подробности (которые можно найти в работах Аффлека и Людвига [29.1]), я только пока- покажу, что составное поле B9.26) удовлетворяет необходимому условию, имея правильные конформные размерности A/2,0). Собственное значение опе- оператора Казимира Сп^д в фундаментальном представлении группы SU(N) равно С{ =-(n-—\ B9 27) '-'пред 2\ N1' У^У-^П
Гл 29 Алгебры Каца-Муди 283 Подставляя его в выражение для конформной размерности B9.18), находим, что 1' Таким образом, мы воспроизводим конформную размерность свободного фермионного поля: 1 1 — = h Дгг + Дг- 2 2Nk U G' Обратите внимание на то, что киральные поля U(z), G(z) имеют дробные конформные спины. Это не запрещено, потому что эти поля возникают толь- только в составном виде, а составное поле имеет полный конформный спин 1/2. и(/г)х8и(ЛГ)-инвариантная модель взаимодействующих фермионов Теперь введем взаимодействие. Простейшей моделью, которую мы можем решить, является модель с взаимодействием ток-ток: Г Gk Ню = Ac \dx Y, ¦ JkWfa) ¦ B9.29) J A=l Это взаимодействие существенно при с > 0 и, поскольку оно содержит только токи из группы SU(k), в секторе SU(k) возникает щель, а спектры гамильтонианов H[UA)\ и Н[к, SU(N)} не изменяются. Таким образом мы имеем необычную ситуацию, когда конформная симметрия в одном секто- секторе нарушена, а в двух других сохраняется. Эффективно взаимодействие выводит гамильтониан H[N, SU(k)] из низкоэнергетического спектра. При этом там остаются #[{/A)] и Н[к, SU(N)]. To есть низкоэнергетические степени свободы описываются теорией свободного бозонного поля и моде- моделью ВЗНВ. Модель с взаимодействием B9.29) была точно решена автором с помощью анзаца Бете [29.6]. Здесь мы рассмотрим только те свойства, которые могут быть поняты без сложных вычислений. Наиболее интересный вопрос — как щель влияет на корреляционные функции физических полей. Естественно, корреляционные функции SU(N)- токов остаются без изменения. То есть функции отклика на малых им1гуль- сах остаются неизменными. Как мы вскоре увидим, корреляции при q = 2кр сильно меняются. Рассмотрим, например, поле , z)] K{z)Ucp{z) Tr[Gb(z)Gd(z)}CahCcd. B9.30)
284 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Когда в секторе SU(k) возникает щель, происходят две вещи: (i) у неко- некоторых комбинаций полей GG появляются конечные средние, и (ii) флук- флуктуации вокруг средних значений становятся экспоненциально затухающи- затухающими с корреляционной длиной, обратно пропорциональной щели в спек- спектре. Такая ситуация рассматривалась в главе 22 в контексте модели синус- Гордона. В частности, было показано, что в массивной фазе (cos /ЗФ) ко- конечно, а (sin/ЗФ) = 0. По аналогии имеем <TrGa(z)Gc(z)) ~ D^Ml~d, B9.31) где М ~ ехр(-2тг//сс) — щель в спектре, Dac — некоторая матрица, ad — масштабная размерность оставшихся операторов. Показатель степе- степени A - d) выбран таким образом, чтобы все выражение имело правильную масштабную размерность 1. Теперь перепишем формулу B9.30), сохраняя только члены, имеющие степенные корреляции: 1-d Qa0{z,z) = exp [V47r/W*^(z,z)] UafS{z,z)M1-d. B9.32) Здесь f/Q|a(z, z) — матричное поле с нулевым конформным спином, кон- конформная размерность Аи которого дается формулой B9.28). Это — при- марное поле из фундаментального представления модели ВЗНВ на груп- группе SU(N) с cv = к. В теории модели ВЗНВ известно, что существует только одно такое поле. Поэтому все киральные компоненты U (z), Uc{z), просуммированные с матрицами С, С и D, дают единственное поле Uap. Таким образом соответствующая парная корреляционная функция на рас- расстояниях, больших чем М~1, есть M2~2d О(ехр(-М|г12|)], Эта корреляционная функция есть динамическая функция отклика на вол- волновом векторе q и 2кр (аналог «шахматной» магнитной восприимчивости). После преобразования Фурье, при и>2 + к2 < М2 имеем: B9.34) Для невзаимодействующих фермионов масштабная размерность поля Q равна I, что означает, что функция отклика B9.34) при q = 2kp имеет только слабую логарифмическую особенность. Мы видим, что появление щели приводит к усилению этой особенности. Любопытно, что масштабная размерность d остается конечной даже при N —>• 0: d(N = 0) = 1/к2. Это означает, что фермионная модель на группе U(к) х SU(N) имеет нетривиальный предел при N —> 0. Такие
Гл. 29 Алгебры Каца-Муди 285 пределы обычно играют важную роль в теории неупорядоченных систем. Как было показано Нерсесяном и др. [29.5], данная теория с N = 0 опи- описывает эффекты беспорядка в двумерных d-волновых сверхпроводниках. Корреляционные фуикции высших порядков исследовались Ко и др. [29.2]. Литература 1. I. Affleck and A. W. W. Ludwig, Nucl. Phys В, 352, 849 A991); Phys Rev Lett, 67,3160A991). 2. J. S. Caux, 1.1. Kogan and A. M. Tsvelik, hep-th/9511130 A995). 3. В. А. Фатеев и А. Б. Замолодчиков,ЯФ, 43,1031 A986). 4. V. G. Knizhnik and A. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys B, 247, 83 A984). 5. A. A. Nersesyan, A. M. Tsvelik and F. Wenger, Phys Rev Lett, 72, 2628 A994). 6. A. M. Цвелик, ЖЭТФ, 93, 1329 A987). 7. E. Witten, Commun. Math. Phys., 92, 455 A984).
30 МОДЕЛЬ ВЕССА-ЗУМИНО-НОВИКОВА-ВИТТЕНА В ЛАГРАНЖЕВОЙ ФОРМЕ. НЕАБЕЛЕВА БОЗОНИЗАЦИЯ Во многих случаях необходимо иметь модель Весса—Зумино-Новикова- Виттена в лагранжевой форме. В этой главе я воспроизведу вывод лагран- лагранжиана ВЗНВ, данный в оригинальной работе Полякова и Вигмана [30.5]. Рассмотрим релятивистские фермионы, описываемые операторами ро- рождения и уничтожения ф+„а> Фпа (п — 1, ¦.., fc; a = 1,..., N), взаимо- взаимодействующие с неабелевым калибровочным полем Д<*Р _ Да. ар где та — матрицы-генераторы некоторой группы Ли G. Эти матрицы дей- действуют только на греческие индексы; по отношению к латинским индексам взаимодействие диагонально. Фермионная часть действия имеет стандарт- стандартный вид: Г к S{ = \d2X J2 ФпаУцШар + iAfL>np. C0.1) Г к = \d2X J2 Фпа J n=l Проинтегрируем по фермионам и рассмотрим эффективное действие для калибровочного поля: [C0.2) W[A) = Indetlj^d^Sap + iAf)} - IndetA(idj. C0.3) Поле взаимодействует только с SU(N)-tokhmh; используя результаты пре- предыдущей главы относительно неабелевой бозонизации, мы можем выде- выделить соответствующие степени свободы и переписать вышеупомянутое эф- эффективное действие как среднее для действия Весса-Зумино-Новикова- Виттена: /_• Г d2xAajaA \ C0.4) V J / / взнв На данном этапе мы еще не можем записать явное выражение для этого среднего в виде функционального интеграла. Дело в том, что мы не знаем выражение для лагранжиана ВЗНВ. Чтобы найти его, нужно проделать некоторую подготовительную работу. Наш первый шаг — вычисление W \А]. Аналогичная задача для абелева случая была рассмотрена в главе 13, где речь шла об A + 1)-мерной КЭД.
Гп 30 Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена 287 Определим ток Функционал W[A\ полностью определяется двумя уравнениями, которым должны удовлетворять его производные Jn(x): d^ + i[A^Jlt\ = 0, C0.5) ем„{0м;„ + i[^M, ji/]} = —^e^vF^, C0.6) где F»v = дрА„ - д„Л„ + i[AM, Av). На операторном языке эти уравнения надо понимать как уравнения движе- движения для операторов тока. В функционально-интегральном подходе мы по- понимаем их как тождества для корреляционных функций. Уравнения C0.5) и C0.6) были получены Джонсоном [30.2] и решены Поляковым и Виг- маном [30.6]. Первое из них, уравнение C0.5), следует из калибровочной инвариантности и выражает собой тот факт, что неабелев заряд Q" = J dxi JS(x) является сохраняющейся величиной. Полный заряд равен сумме зарядов, создаваемых левосторонними и правосторонними частицами. Можно было бы наивно ожидать, что в безмассовой теории, где нет переходов между фермионными состояниями с различной киральностью, левосторонние и правосторонние заряды сохраняются независимо. Однако, в главе 13 мы уже видели, что это предположение ошибочно, так как мера инвариантна только по отношению к одновременному калибровочному преобразованию левосторонних и правосторонних частиц. Явление несохранения кираль- ных компонент заряда называется киральной аномалией. Как было пока- показано Джонсоном [30.2], разница между левосторонним и правосторонним зарядами пропорциональна полному потоку калибровочного поля, и этот факт выражается уравнением C0.6). Таким образом мы имеем два уравне- уравнения, C0.5) и C0.6), на две неизвестные функции j^ и можем попробовать решить эту систему. Для этого мы переписываем уравнения в более удоб- удобной форме, а именно, в координатах светового конуса. Соответствующие обозначения: А = A0 + iAx, A = Ao — iAx, дТ = д + д, дх=\{д-д). Уравнения C0.5) и C0.6) калибровочно инвариантны; мы будем решать их в конкретной калибровке: А = 0, А = -?\g-xdg, C0.7)
288 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV где g — матрица из группы G. В этих обозначениях уравнения C0.5) и C0.6) принимают следующий вид: d]+^A,j] + dj = O, C0.8) d]+~[A,j]-dj = -'^dA. C0.9) Подставляя dj + -[A, j] из первого уравнения во второе, находим j=*A = ±g-idg. C0.10) ¦S7T 7Г Первое уравнение преобразуется в д] + [g^dgj] + -d{g-ldg) = 0, C0.11) 7Г решение которого есть j = --g-'Bg. C0.12) 7Г Чтобы найти эффективное действие 1У[А], нужно проинтегрировать урав- уравнение kSW = l- [ d2xTr(]6A) - ~ f d^Tr^-1^^-1^)] C0.13) (при выводе этого выражения я воспользовался инвариантностью следа от- относительно циклической перестановки и тождеством бд = —9~11 Упражнение Проверьте, что решение этой задачи дается следующим функционалом, описанным Новиковым [30.4] и Виттеном [30.8]:1 5эф - -kW(g), W(g) = ^| d2xTr(dtf-%g) + %], C0.14) oo T[g] = d? dxepryTr(g~dagg~dpgg~d7g). C0.15) о Появление третьей координаты во втором члене Г требует пояснения (этот член обычно называют членом Весса-Зумино в честь людей, кото- которые впервые ввели его). Предполагается, что поле д(?, х) определено на 'Не забывайте, что в наших обозначениях Add = <Э„ и Тг тат = 1/25аь-
Гл 30 Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена 289 трехмерном полушарии, граница которого совпадает с двумерной плоско- плоскостью, на которой определена исходная теория, так что <?(? = 0, х) = д(х). Трехмерный интеграл, будучи интегралом от полной производной, в дей- действительности не зависит от д(?). Чтобы проиллюстрировать последнее утверждение, рассмотрим при- пример группы SUB). В этом случае относительно легко найти подходящую параметризацию для матрицы д и переписать эффективное действие через групповые координаты вместо матриц. Этот пример особенно важен, так как группа SUB) часто возникает в приложениях. Пусть матрица д при- принадлежит фундаментальному представлению группы SUB). Я выбираю эйлерову параметризацию D.36). Упражнение Докажите следующие полезные тождества: ul = -\rTi(axg-ldtlg) = д^ф П± = -iTr^V^) = е±1ф(д^е±1зтвд^ф). C0.16) Используя эти тождества, мы можем выразить ig~ldllg следующим об- образом: -ЬГЧ<?=^а^- C0.17) Подставляя последнее выражение в формулу C0.15), мы находим, что подынтегральное выражение равно якобиану преобразования тр,О,ф -^ ?, х: = -^ [ d? d2 dOM.V) = i Г 4тг J 9D,a;i,X2) 47г J e Таким образом трехмерный интеграл зависит только от значений на грани- границе. Однако результат интегрирования нельзя выразить локальным образом через д(х); д периодична по ф, a Tsu^2) — нет: при изменении ф на 2itq оно меняется на | [ 2хе„„ sin вд^бдиф. C0.19) Последний интеграл равен целому числу — числу раз, сколько векторное поле n = (cos в, sin в cos ф, sin в sin rp) покрывает сферу. Теперь мы можем получить действие модели ВЗНВ. Справедлива сле- следующая теорема:
290 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Теорема Евклидово действие для гамильтониана Сугавары D Г Й = FT^E J dxl: •№*№*) ¦¦ + ¦ Jl{*№*) 0, где токи Ja удовлетворяют соотношениям алгебры Каца-Муди для груп- группы G с центральным зарядом к, определенным формулой B9.4), есть S — = kW{U), где U—матрица из фундаментального представления группы G, a W{U) определяется формулой C0.14). Корреляционные функции опера- операторов тока Ja совпадают с корреляционными функциями полей jL = ±иди-\ jr = ~иеи-г. (зо.2О) Для доказательства этой теоремы мы воспользуемся следующим заме- замечательным свойством действия ВЗНВ C0.14I W{gU) = W(U) + W{g) + ±- \ ^xTrig^dgUdU'1). C0.21) 27Г J Покажем, что интеграл C0.4) может быть записан как функциональный интеграл с действием ВЗНВ: Г 2 "W -i dxA^J^J) •I / / ВЗНВ -(fc/2*)J<f! Л C0.22) где [U~1DU] означает меру интегрирования на группе G. Далее, используя тождество C0.21) и инвариантность меры относительно преобразований мы можем переписать интеграл следующим образом: и воспроизвести ответ, полученный ранее. Теорема доказана. Также можно определить следующие поля: A). Поле U—примарное поле, преобразующееся в соответствии с фунда- фундаментальным представлением группы G. Если G = SU(N) (с = N), то его масштабная размерность равна (см. формулы B9.18))
Гл 30 Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена 291 B). ф\ь = Ti(U~4aUtb), где ta — генераторы группы G. Это поле также является примарным и принадлежит присоединенному представле- представлению; его масштабные размерности равны Дх = Ai = -5-г. C0.25) C). «Неправильные токи» Ка ~ Ti^U^dU), Ka ^) масштабные размерности которых равны (А\ +1, Дх) и (Дх, Дх +1) соответственно. Эти поля не являются примарными. D). Плотность лагранжиана Tr(dltU~ldtlU) также не является примар- примарным полем и имеет масштабные размерности (Дх + 1, Дх + 1). Как мы видим, плотность лагранжиана — неопределяющий оператор. Поэтому общая теория с действием W(c;g) = 1J d2x1r(dtf-%g) + кГ[д] C0.26) стремится к критической точке с — 8тг/к. Этот кроссовер был точно опи- описан Поляковым и Вигманом, решившими эту модель с помощью анзаца Бете [30.5, 30.6]. На самом деле эту модель правильно называть моде- моделью Весса-Зумино-Новикова-Виттена; тогда теория, описываемая дей- действием C0.14), должна называться «моделью ВЗНВ в критической точке» или критической моделью ВЗНВ. В отношении модели ВЗНВ есть по край- крайней мере два замечательных факта. Первый состоит в том, что если из действия C0.26) убрать топологический член, то эта модель станет асим- асимптотически свободной теорией. Модель с к — 0 — это одна из нелинейных сигма-моделей (см. главу 9), и ее возбуждения — массивные частицы. Вто- Второй замечательный факт состоит в том, что топологический член, ответ- ответственный за критическую точку, не дает вклада в ряд теории возмущений по степеням с. Поэтому при малых с две модели имеют одинаковую бета- функцию, и критическая точка существенно непертурбативна. Неабелева бозонизация. Нетривиальный детерминант Как мы увидели из предыдущего рассмотрения, определенные комбинации фермионных полей, описываемых гамильтонианом Дирака, могут быть вы- выражены через поля модели ВЗНВ. В частности имеются явные эквивалент- эквивалентности для токов. В конце предыдущей главы мы также показали, что мед- медленные компоненты поля ф^ "фь в U(N) x 5G(А;)-модели с взаимодействи- взаимодействием ток-ток пропорциональны матрице Весса-Зумино U. Последнее свой- свойство справедливо также для невзаимодействующих дираковских фермио- нов с симметрией U{N) (см. работу Книжника и Замолодчикова [30.3]) и для невзаимодействующих майорановских фермионов с симметрией O{N) [30.8]. Таким образом мы можем составить таблицу бозонизации для неабе- левых теорий (таблица 30.1). ю*
292 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV Таблица 30 1 Критическая U(N) модель ВЗНВ с к = 1 Действие i|d2x(^*J + WM, geSU(N) Операторы A/2тга)ехр (iy/4n/N&) gap iy/N/АпдФ -1-/ЛГ/4тг9Ф (lWTriT'gdg-1) (-l/2n)Tr(Tag8g-1) Критическая О(ЛГ) модель ВЗНВ с к = 1 Действие W\g), g€O(N) Операторы A/2тга)?о/3 A/2*) (ддд-1)а/} (-1/2*) (saj,-1)^ Безмассовые дираковские фермионы Действие Операторы V'it.oV'L./J 1 , : j V-R,oV-R,a : 1 Безмассовые вещественные фермиоиы Действие г w 2 d2x ^2(XR,adzXR,a + XL,adzXh,a) J a=l Операторы XR.aXL,^ : XR.aXR,^ • : XL,aXL,/3 ¦ Используя эту таблицу и свойства действия ВЗНВ, мы можем вычислить следующий фермионный детерминант [30.7]: D[U] = A+ <ys)mU/2 + A - ls)mU+ /2], C0.27) где U — внешнее матричное поле из группы SU(N),&m — параметр с раз- размерностью массы. Мы предполагаем, что поле U(t, x) медленно меняется на масштабе т~х и будем интересоваться разложением D[U] по степе- степеням т. Такие задачи часто возникают в приложениях (см., например, главу 33). Используя таблицу, мы можем записать детерминант в виде функцио- функционального интеграла по матричному полю д с действием ВЗНВ: -j d2x № , C0.28) где 7 = ^/(Aw/N). Теперь произведем замену переменных в функциональ-
Гл 30 Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена 293 ном интеграле, введя новую переменную G: g = UG. При такой замене мера интегрирования не изменяется. С помощью тожде- тождества C0.21) мы приходим к следующему результату: eD[u] = S[G, Ф] = f d2x \?L -Sm[U,G}-W[U}}, -*¦*)]+W(G) + ^d T^dUGdG-1). C0.29) C0.30) C0.31) Единственный член в действии, связывающий G и С/ — это 5ВЗ, описы- описывающий взаимодействие. Покажем, что при малых энергиях <^jn этот член иррелевантен. Чтобы сделать это совершенно очевидным, мы фермионизу- ем наше новое действие, используя таблицу 30.1. Получаем Г_(Г_ _ 1 х D^D^> exp I - д?х{тф~1^ф + тфф + Tr(U~ldUJL)} \ , C0.32) где Jl — левый ток свободных массивных фермионов. Вычисляя первую диаграмму в разложении по U~1dU, мы получаем член порядка ~ который иррелевантен при малых энергиях. Следовательно, из формулы C0.29) находим [30.7] = -W[U] + O(m-2). C0.33) Этот результат нетривиален, поскольку он включает в себя топологический член, который сложно получить обычными методами. Литература 1. В. А. Фатеев и А. Б. Замолодчиков, ЯФ, 43, 1031 A986). 2. К. Johnson, Phys Lett, 5, 253 A963). 3. V. G. Knizhnik and A. B. Zamolodchikov, Nucl Phys B, 247, 83 A984). 4. С П. Новиков, УМН, 37, 3 A982).
294 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV 5. А. М. Polyakov and Р. В. Wiegmann, Phys. Lett В, 131, 121 A983). 6. A. M. Polyakov and P. B. Wiegmann, Phys. Lett B, 141, 223 A983). 7. A. M. Tsvelik, Phys Rev Lett, 72, 1048 A994). 8. E. Witten, Commun Math Phys, 92, 455 A984).
31 ВЫБОР КАЛИБРОВКИ В НЕАБЕЛЕВЫХ ТЕОРИЯХ. A + 1)-МЕРНАЯ КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА Результаты предыдущей главы можно применить к интересной модель- модельной задаче об A + 1)-мерной КХД. Я ограничусь рассмотрением безмассо- безмассовой КХД и буду использовать обозначения Минковского. Соответствующая лагранжева плотность в пространстве-времени Минковского есть F' = r« pa — Fj Л — f) A A-\A A ] П 1 ?"> Более общая задача с массивными фермионами подробно рассматривается в обзорной статье Фришмана и Зонненшейна [31.2]. В изложении, приведен- приведенном ниже, я использую результаты, полученные Бершадским и Огури [31.1] для калиброванной модели ВЗНВ в несколько другом контексте. В отсут- отсутствие фермионов A + 1)-мерная КХД (или, правильнее сказать, глюоди- намика) является точно решаемой задачей. Калибровочная инвариантность устраняет все непрерывные степени свободы; остаются только дискретные. Лагранжиан C1.1) обладает важным свойством калибровочной инвари- инвариантности, а именно, он инвариантен относительно преобразований ф -)• $G, ф A^^G+A^G + iG+d^G, C1.3) где G — матрица из группы SU(N). Эта калибровочная инвариантность приводит к дополнительным трудностям, связанным с выбором калибров- калибровки. Это настолько важная и общая проблема, что оно заслуживает отдель- отдельного разговора. Рассмотрим статистическую сумму КХД: = | C1.4) Очевидно, что если мы не наложим никаких ограничений на А^, то функци- функциональный интеграл разойдется. Эта расходимость имеет место из-за того, что мы интегрируем по калибровочным преобразованиям полей, не меняю- меняющим действия. Расходимость возникает исключительно из меры, и от нее можно избавиться соответствующим переопределением меры. Для этого разделим гильбертово пространство для А^ на «дольки». Каждая долька
296 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV обозначена некоторым характеристическим полем Ау и состоит из всех полей, образуемых из него калибровочным преобразованием C1.3). Ха- Характеристические поля уточняются некоторым условием, которое я найду позже. Идея состоит в том, чтобы разбить интеграл по А^ на интегралы по .@) -. характеристическим полям А^ и по калибровочной группе: C1.5) где J — якобиан этого преобразования, a [G+DG] — мера интегрирования на калибровочной группе. Важно, что благодаря калибровочной инвари- инвариантности якобиан не зависит от G. Поэтому, опуская интегрирование по G, мы избавляемся от всех расходимостей. Оставшаяся часть меры включает в себя интегрирование по характеристическим полям с соответствующим якобианом: Z = JDAWj(AW)D$tyexp{-iS[^, А(о)]} C1 6) Следующая задача — вычислить якобиан. Поскольку он не зависит от G, мы можем вычислять его в точке G = 1, где это делать проще. В окрестности этой точки имеем G=l + iea(x)Ta + O(e2), C1.7) где еа(х) — бесконечно малые функции. Подставляя C1.7) в формулы C1.3), мы получаем общее выражение для калибровочного потенциала: А; = 40)'° - Dfeb, Df = д»5аЬ + fabcA°. C1.8) Чтобы упростить вычисление якобиана, удобно выбрать характеристиче- характеристические поля таким образом, чтобы калибровочные преобразования были им ортогональны: 4 f f^ e°) = 0, C1.9) что означает DabA(O),b = Q C1.10) Это условие называется кулоновской калибровкой. В кулоновской калиб- калибровке интегрирование разделяется: DA = DA@)Deadet[JD^]. C1.11) Функциональный детерминант может быть записан в виде функциональ- функционального интеграла по вспомогательным дираковским фермионным полям fj, т]\ = det[Df} ос f " f dDxf}a1"(dti6ab + /acb4°V| • C1-12)
Гл. 31 Выбор калибровки в неабелевых теориях 297 Эти поля называются духами Фадцеева-Попова или просто духами. Процедура выбора калибровки, которую я только что изложил, приме- применима в общем случае. Применим ее к A + 1)-мерной КХД. Я выбираю ту же калибровку, что и в предыдущей главе: А = О, А = -2ig~xdg (в данном случае 2id = dt — дх) с дополнительным кулоновским услови- условием C1.10), которое при таком выборе калибровки принимает вид ВА = 0. C1.13) Таким образом КХД содержит только киральные степени свободы! Все правосторонние поля исключаются условием C1.13). Интегрирование по характеристическому полю — это интегрирование по киральной компонен- компоненте д: DAM<x[g+(z)Dg(z)}. C1.14) Интегрируя по фермионам, мы получаем следующее выражение для стати- статистической суммы: Z = \{g+(z)Dg(z)]J(g) exp {ikW\g] - ^ J dt dxTr[d{g-ldg)]2} . C1.15) Якобиан сам по себе является фермионным детерминантом и представля- представляется как функциональный интеграл по фермионам, преобразующимся со- согласно присоединенному представлению группы.1 Можно непосредственно проверить, что такие дираковские фермионы имеют к = 2с„. Поэтому J[g] = det(i7M9,Ac + i/obcAb) = ехр{21с„^[3]}. C1.16) Таким образом имеем } exp ji(fc + 2cv)W\g\- dt dxTrldig-'dg)}2}. C1.17) На самом деле второе слагаемое, имеющее масштабные размерности Д = = Д = 2, иррелевантно. КХД описывается киральным действием ВЗНВ с к = — (к + 2с„). Соответствующий центральный заряд равен kG 2G~ ТТ7- C1Л8) 'Напоминаю, что присоединенное представление определяется как представле- представление, матрицы преобразований в котором строятся из структурных констант.
298 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV Рассмотренная процедура включает в себя аналитическое продолжение модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на отрицательные к. Именно по этой причине мы не можем работать в евклидовом пространстве-времени. Как мы видели, центральный заряд остается положительным; следователь- следовательно, эта процедура имеет шанс быть законной. Однако примарные поля при- приобретают отрицательные конформные размерности. Единственными ис- исключениями являются единичное поле и киральные токи. Они — един- единственные хорошо определенные поля в A + 1)-мерной безмассовой КХД. Поскольку эти поля — киральные, т. е. зависят только от одно координаты z, корреляционные функции напряженности поля dJ быстро спадают, как и в абелевой КЭД. Литература 1. М. Bershadsky and H. Ooguri, Commun. Math. Phys., 126, 49 A989). 2. Y. Frishman and J. Sonnenschein, Phys. Rep., 223, 309 A993).
32 ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКАЯ ЦЕПОЧКА СПИНОВ Как мы уже обсуждали в части 3, спиновые цепочки с целыми и полу- полуцелыми спинами обладают существенно разными низкоэнергетическими свойствами. В главе 15 мы установили, что для больших 5 » 1 изотроп- изотропные магнитные цепочки описываются ОC)-нелинейной сигма-моделью. Для полуцелых спинов в действии имеется дополнительное слагаемое — топологический член — эффект которого состоит в том, что возбужде- возбуждения становятся бесщелевыми. Несмотря на то, что описание в терминах сигма-модели существенно квазиклассично и применимо только для 5 ^> 1, обычно считается, что разница между целыми и полуцелыми спинами — это общий факт, не зависящий от каких-либо приближений. Решение мо- модели Гейзенберга с 5 = 1/2, описанное в главе 27, поддерживает идею о том, что все полуцелые гейзенберговские цепочки являются критическими. А что можно сказать о цепочках с 5 = 1, имеют ли они щель в спектре? Эта задача важна также потому, что существует много экспериментальных реализаций квазиодномерных антиферромагнетиков с 5 = 1. Лучше всего изучено соединение Ni(C2H8N2JNC>2(C104), сокращенно NENP. Локали- Локализованные спины принадлежат магнитным ионам Ni, а все другие атомы необходимы только для того, чтобы расположить их в виде отдельных це- цепочек. Эксперименты показывают, что имеется щель в спектре [32.4, 32.8] (см. рис. 32.1). Эта щель не очень мала по сравнению с шириной зоны, но тем не менее можно надеяться, что непрерывное описание является доста- достаточно хорошим. Моделирование Монте Карло дает для гейзенберговской цепочки спинов 5 = 1 отношение корреляционной длины к периоду ре- решетки ?/а = 6,2 [32.7], что еще может считаться большим числом. Подход к гейзенберговской цепочке спинов 5 = 1, который я рассмотрю в этой главе, основан не на сигма-модели, а на неабелевой бозонизации. Как мы увидим, это дает более простое эффективное действие, позволяющее вычислить многие физические величины. Рассмотрим следующий гамиль- гамильтониан: Я = j?[(SnSn+1) - 6(SnSn+1J + D(S*nJ}. C2.1) В качестве дополнительных слагаемых он включает в себя однотонную анизотропию, которая часто имеет место в магнитных системах, и член четвертой степени по спинам, который может возникать, например, из-за фононов. Модель C2.1) интегрируема при 6 = 1, D — 0 ([32.10], [32.5], см. также работу [32.1]); в этой точке она имеет бесщелевой спектр, а эффек- эффективное действие для низкоэнергетических возбуждений дается моделью ВЗНВ на группе SUB) с к = 2. Существует другая точка, а именно D = = 0, Ь = -1/3, в которой основное состояние известно. Известно также, что спектр возбуждений имеет щель, а корреляционная длина крайне ма-
300 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV 0,7 0,8 0,9 q вдоль [0,1,0] Рис. 32.1. Дисперсионные кривые для возбуждений в NENP ниже 4,2 К (из рабо- работы [32.8]). Сплошные линии иа вставке проведены для ориентировки. Штриховые линии — подгонка под релятивистское дисперсионное соотношение ла: ?/а = 1/1пЗ [32.2]. Поэтому можно предположить, что в интервале — 1/3 < 6 < 1 в спектре нашей модели имеется щель ДF), которая рас- растет при увеличении 1-6. Поскольку при 6 = 0 корреляционная длина все еще достаточно велика, можно думать, что по своим свойствам модель Гейзенберга ближе к точке 6 = 1, чем к точке 6 = —1/3. Поэтому я буду ис- использовать интегрируемую точку 6 = 1 как точку отсчета и рассматривать слагаемые (l-6)(SnSn+JJ C2.2) как возмущения. Рассмотрим интегрируемую точку поподробнее. Я не буду обсуждать точное решение — это увело бы меня в область анзаца Бете, который нельзя рассмотреть кратко. Поэтому я буду считать известным, что непрерывный предел модели C2.1) дается гамильтонианом ВЗНВ = 2,SU{2)] = a=l dx[: :], C2.3)
Гл 32 Гейзенберговская цепочка спинов S = 1 301 где операторы токов удовлетворяют соотношениям 5{/B)-алгебры Каца- Муди с к = 2: [Ja(x), Jb(y)} = ieabc8(x - y)Jc(y) + ~S'(x - у). C2.4) Это особенная модель, поскольку, как я собираюсь показать, она эквива- эквивалентна свободным фермионам. Подставляя значения N = 2, к — 2 в вы- выражение для центрального заряда ВЗНВ B9.25), мы получаем в данном случае С = 3/2. Из главы 26 мы помним, что С = 1/2 — это центральный заряд критической модели Изинга. Последняя эквивалентна теории безмас- безмассовых майорановских фермионов одного сорта. Это подсказывает нам, что модель C2.3) — это модель майорановских фермионов трех типов: Г 3 Я = i \dx J2[-XaRdxXaR + х1дхХаь\- C2.5) J a=l Эта модель имеет симметрию SUB): майорановские фермионы принадле- принадлежат тому же представлению, что и структурные константы группы; напо- напоминаю, что это представление, состоящее из трех матриц (е )а@ = еаа/3, называется присоединенным представлением. Упражнение Проверьте, что следующие токи удовлетворяют соотношениям алге- алгебры C2.4): Jib = ieabcxk,LXR,L C2.6) (воспользуйтесь выражением для гриновской функции майорановских фер- фермионов, полученным в главе 26). Справедливо следующее общее утверждение: алгебра Каца-Муди на группе SU(N) с к = N представляется токами майорановских фермио- фермионов ха (a = li • ¦ •»N2 - 1), принадлежащих присоединенному представле- представлению этой группы. Как мы знаем, конформная группа дает нам операторный базис для каж- каждой критической точки. Любое возмущение может быть разложено по это- этому базису. Если мы находимся не слишком далеко от кригической точки, то релевантными возмущениями являются те, чьи разложения содержат реле- релевантные поля. В данном случае наши возмущения даются формулой C2.2). Мы можем найти их непрерывный предел, используя только очень общие аргументы. Число релевантных полей для модели C2.5) ограничено; в на- нашем распоряжении только три поля с нулевым конформным спином: A). Поле gaa> (z, z) из фундаментального представления группы 51/B) с Д = Д = 3/16.
302 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV B). Поле из присоединенного представления (которое эквивалентно спи- спину 5 = 1) XrB)Xl(*) с конформными размерностями А = А = 1/2. C). Произведение токов «/?«/? с А = А — 1, которое также принадлежит присоединенному представлению. Аффлек и Халдейн [32.3] показали, что поле gaai неинвариантно по отношению к обращению времени. В той же статье было показано, что это поле связано с «шахматной» намагниченностью: Sa(x,r) = J? + J? + (-l)niTr{aa[g(x,r) - g+(x,r)}}. C2.7) Поскольку гамильтониан инвариантен по отношению к обращению време- времени, этого поля быть не должно. Таким образом единственно возможный выбор для непрерывного гамильтониана есть Н = \ J Г 3 = \dx J2 HXr&Xr + IXl&Xl + ™*XrXl + &•«) ¦ C2.8) J a=l Анизотропия масс и констант взаимодействия обусловлена наличием одно- ионной анизотропии. При |1 - Ь| «С 1 размерный анализ дает оценку та ~ ~ 11 - Ъ\. При Ь fa 1 надо рассматривать параметры та, да как феноменоло- феноменологические. На самом деле большинство существующих экспериментальных данных может быть объяснено вполне удовлетворительно в предположении да = 0 (см работу Цвелика [32.11] и ссылки в ней, а также работу Фуджи- вары и др. [32.6]). Это неудивительно — при 6 = 1 массы не очень малы по сравнению с шириной зоны, и взаимодействие ток-ток дает только несин- несингулярные поправки ~ g\n(J/m). Без взаимодействия модель C2.8) легко проквантовать. Поскольку, согласно формулам C2.7) и C2.6), однородное магнитное поле дает слагаемое, квадратичное по фермиевским операторам: ha J2 S" ~ №eabc [ dx(XbRXK + X6lXl), C2.9) гамильтониан может быть легко диагонализован в присутствии магнитного поля. Это делает майорановское фермионное представление очень удобным для изучения намагниченности в цепочках 5 = 1 в сильных полях. Соответ- Соответствующие вычисления можно найти в оригинальной публикации [32.11], а также в статье Фудживары и др. [32.6]. Строгий вывод гамильтониана C2.8) со многими полезными подробностями можно найти в статье Шелтона и др. [32 9].
Гл 32 Гейзенберговская цепочка спинов 5=1 303 Литература 1. I. Affleck, Phys Rev Lett, 56, 746 A986). 2. I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb and H. Tasaki, Phys Rev Lett, 59, 799 A987). 3. I. Affleck and F. D. M. Haldane, Phys Rev B, 36, 5291 A987). 4. Y. Aijiro, T. Goto, H. Kikuchi, T. Sakakibara and T. Inami, Phys Rev Lett, 63, 1424A989). 5. H. M. Babujan, Nucl Phys B, 215, 317 A983). 6. N.Fujiwara,T. Goto, S. Maegawa and T. Kohmoto, Phys Rev B,47,11860A993). 7. K. Nomura, Phys Rev B, 40, 2421 A989). 8. J. P. Renard, M. Verdaguer, L. P Regnault, W. A. C. Erkelens, J. Rossat-Mignod and W. G. Stirling, Europhys Lett, 3, 945 A987). 9. D. G. Shelton, A. A. Nersesyan and A. M. Tsvelik, Phys Rev B, 53, 8521 A996). 10. L. A. Takhtajan, Phys Lett A, 87, 479 A982). 11. A.M.Tsvelik,Phys Rev B,42, 10499A990).
33 ЦЕПОЧКА КОНДО В этой главе мы рассмотрим следующий модельный гамильтониан, опи- описывающий М-кратно вырожденную зону электронов проводимости, взаи- взаимодействующих с периодически расположенными локальными спинами 5: м - ^Ci,a,jCr,oc,j + Jic+^&apCrrf^Sr . C3.1) С ним связана давно известная задача о решетке Кондо, или, более общими словами, задача о сосуществовании электронов проводимости и локальных магнитных моментов. Очень кратко мы обсуждали эту задачу в главе 20, где упоминалось, что она остается одной из наиболее важных нерешенных задач в физике конденсированного состояния. Хорошо понята лишь часть задачи, связанная с ситуацией, когда локализованные электро- электроны представимы одним локальным магнитным моментом (задача Кондо). В этом случае мы знаем, что локальный момент экранируется при низких температурах электронами проводимости, и основное состояние является синглетом. Образование этого синглетного состояния — непертурбатив- ный процесс, который оказывает влияние на электроны, очень далекие от примеси. Соответствующий масштаб энергии (температура Кондо) экспо- экспоненциально мал по константе обменного взаимодействия. До сих пор оста- остается неясным, как электроны проводимости и локализованные электроны сосуществуют в ситуации, когда локальные моменты упорядочены (зада- (задача о решетке Кондо). Эмпирически решетки Кондо напоминают металлы с очень малыми энергиями Ферми — порядка нескольких градусов. Мно- Многие полагают, что при низких температурах электроны проводимости и локализованные электроны гибридизуются, образуя одну узкую зону (см. главу 20). Однако наше понимание деталей этого процесса остается ту- туманным. В частности неясно, дают ли локализованные электроны вклад в объем ферми-моря (согласно приближению больших N, дают). Если от- ответ — да, то система с одним электроном проводимости и одним спином на элементарную решетку должна быть диэлектриком. Имеющиеся экспери- экспериментальные данные, кажется, подтверждают эту точку зрения: все соедине- соединения с нечетным числом электронов проводимости на один спин являются диэлектриками [33.1]. Этот класс соединений известен как диэлектрики Кондо. При низких температурах они ведут себя как полупроводники с очень малой щелью — порядка нескольких градусов. Исключением явля- является FeSi, в котором по оценкам щель имеет порядок 700 К [33.3]. Консер- Консервативный подход к задаче о диэлектриках Кондо состоял бы в вычислении их зонной структуры и рассмотрении кулоновского отталкивания на узле
Гл 33 Цепочка Кондо 305 U как возмущения. Преимущество этого приближения состоит в том, что диэлектрическое состояние получается уже в нулевом порядке по U. Недо- Недостаток же состоит в том, что это противоречит принципам теории возмуще- возмущений, которая предписывает учитывать наиболее сильные взаимодействия в первую очередь. Оказывается также, что поступившись принципами из прагматических соображений, мы не получаем удовлетворительного описа- описания экспериментальных данных: зонная теория не может объяснить многие экспериментальные наблюдения (см. обсуждение в работе [33.1]). В этой главе мы рассмотрим одномерную модель решетки Кондо C3.1) при половинном заполнении (/i = 0). Будет показано, что, по крайней мере в этом случае, диэлектрическое состояние образуется не из-за гибридиза- гибридизации электронов проводимости с локальными моментами, а в результате сильных антиферромагнитных флуктуации. Наличие этих флуктуации под- подтверждается численным счетом, выполненным Цунецугу и др. [33.4] и Ю и Уайтом [33.6], который показал резкое увеличение «шахматной» воспри- восприимчивости в одномерных диэлектриках Кондо. Взаимодействие электронов с флуктуациями намагниченности превращает их в массивные спиновые поляроны с щелью в спектре, экспоненциально малой по константе взаи- взаимодействия. Описанный сценарий не требует глобального антиферромаг- антиферромагнитного порядка, как раз наоборот — основное состояние спинов остается неупорядоченным с конечной корреляционной длиной. В настоящее время неясно, можно ли обобщить подобный сценарий на высшие размерности. Если это так, то диэлектрики Кондо — либо антиферромагнетики (и тогда они имеют настоящую щель), либо спиновые жидкости с сильно увеличен- увеличенной «шахматной» восприимчивостью. В последнем случае вместо настоя- настоящей щели имеется псевдощель — провал в плотности состояний на уровне Ферми. В дальнейшем мы будем использовать формализм функциональных ин- интегралов. Как нам известно из главы 15, в функционально-интегральном подходе спины рассматриваются как классические векторы S = Sm (m2 = = 1), для которых действие содержит фазу Бэри. В данном случае мы имеем следующее евклидово действие: 1 drl^<i5 du(mr(u,r)[dumr(u,т) х 9Tmr(u, А— + <e,«9rCr,e,« | - Щс*, с; 5m) J , C3.2) где первое слагаемое представляет собой спиновую фазу Бэри, отвечающую за правильное квантование локальных спинов, а последним слагаемым яв- является гамильтониан C3.1) с ц = 0. Далее мы будем следовать квазиклассическому подходу, предполагая, что все поля можно разделить на быстрые и медленные компоненты. То- Тогда, проинтегрировав по быстрым компонентам, мы получим эффективное
306 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV действие для медленных компонентов. Как станет ясно позже, этот под- подход самосогласован, если обменный интеграл мал: JM <С 1. В этом случае имеется локальный антиферромагнитный порядок с корреляционной дли- длиной много больше, чем постоянная решетки. Последующий вывод в целом повторяет вывод ОC)-нелинейной сигма-модели, описанный в главе 15. Единственное существенное отличие — это область применимости: квази- квазиклассический подход хорошо работает для спиновых систем только если спины велики; для решетки Кондо мы имеем другое требование: малость константы обменного взаимодействия. Предлагается следующее разложе- разложение переменных: mr = аЦх) + (-l)rn(a;)v/l - a2L(xJ, Ln = 0, C3.3) cr = i>L(z) + (-i где |L|a -C 1 есть быстро меняющаяся ферромагнитная компонента ло- локальной намагниченности. Подставляя формулы C3.3) в формулу C3.2) и сохраняя только неосциллирующие слагаемые, мы получаем: А = Id т dxL, L = iS (L[n х дтп]) + Bтг5 х топологический член)+ JS[arn(x)]y/l - a2L(xJ} ^, C3.4) где топологический член дается формулой A5.13). Первые два слагаемых возникают из разложения спиновой фазы Бэри, которое подробно объясне- объяснено в главе 15. В фермионном действии я опустил слагаемое, описывающее взаимодействие фермионных токов с ферромагнитным компонентом на- намагниченности. Это слагаемое отвечает за экранировку Кондо, и им можно пренебречь, поскольку, как будет показано ниже, температура Кондо мень- меньше, чем характерный энергетический масштаб для антиферромагнитных флуктуации. Фермионный детерминант для C3.4) есть частный случай более общего детерминанта, вычисленного в последнем разделе главы 30. Он сводится к детерминанту C0.33) после преобразования хрц —>¦ iV>R, "фь —> "Фь и замены m = JS, g = i(n«r). В результате получается = iS (L[n х дтп]) + ^[(дхпJ + (дтпJ}+ + —(JSJ In 4zl2 + И25 - Af) х топ.член]. C3.5) 7Г JO Член Весса-Зумино в C0.33) дает топологический член, но с множителем М перед ним. Слагаемое с L2 возникает из статической части детерминанта. Интегрируя по быстрым ферромагнитным флуктуациям, описываемым L,
Гл 33 Цепочка Кондо 307 и перемасштабируя время и пространство, мы получаем (дхпJ] + [тгB5 - М) х топ.член], C3.6) Это действие 0C) -нелинейной сигма-модели с безразмерной константой взаимодействия 7TU 7Г 9 ~ М ~ ,/М2 + 2n2/J2 ln(l/ JS) ( В случае \М — 25| = четное число топологический член всегда равен 2тп х х целое число и поэтому не дает вклада в статистическую сумму. В этом случае модель C3.6) есть обычная ОC)-нелинейная сигма-модель. Как мы знаем из главы 15, эта модель имеет неупорядоченное основное состояние с корреляционной длиной Спиновые возбуждения являются массивными триплетами — частицами со спином 5 = 1. Если \М - 251 нечетно, топологический член важен. Модель становится критической, и ее низкоэнергетическое поведение то же, что и для анти- антиферромагнитной гейзенберговской цепочки спинов 1/2. В этом случае на масштабе энергии Д.( J) = in;/* « ej g-1 ехр(-2тг/G) C3.9) происходит кроссовер к критическому режиму, в котором п имеет такие же корреляционные функции, как и «шахматная» намагниченность гей- гейзенберговской цепочки (см. формулу B7.35)). Теплоемкость линейна при низких температурах Т <§; Д8( J) и обусловлена бесщелевыми спиновыми возбуждениями. Несмотря на то, что выражение для энергетического масштаба Д8( J) формально напоминает выражение для температуры Кондо Тк = v/7exp(-27r/J), m( J) всегда больше из-за наличия большого логарифма. Поэтому при ма- малых J антиферромагнитный обмен через электроны проводимости (взаи- (взаимодействие РККИ) играет более важную роль, чем экранировка Кондо. Это оправдывает пренебрежение слагаемым Ъ(-ф^<гфц. + ф^офъ) при вычисле- вычислении фермионного детерминанта. Таким образом, главные вклады в низко- низкоэнергетическую динамику возникают от антиферромагнитных флуктуации, что согласуется с результатами Цунецугу и др. [33.4] и Ю и Уайта [33.6].
308 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV В нашем выводе имеется один нетривиальный момент: разложение фер- мионного детерминанта в формуле C3.4) содержит топологический член. Этот член не может быть получен квазиклассическим разложением. Ква- Квазиклассическое приближение предполагает адиабатичность, т. е., что соб- собственные значения быстрой системы подстраиваются под медленно меняю- меняющееся внешнее поле. Адиабатичность нарушается, когда уровни энергии пе- пересекаются; пересечение уровней приводит к топологическим членам. По- видимому, пересечение уровней имеет место в фермионном действии C3.4), когда поле п(т, х) имеет ненулевой топологический заряд. Однако я не хочу продолжать эту линию рассуждений. Вместо этого я объясню физическую необходимость топологического члена, используя предел сильного взаи- взаимодействия J/t S> 1. Как обычно в одном измерении, мы ожидаем, что предел сильного взаимодействия правильно воспроизводит качественные черты решения. При J/t S> 1 электроны проводимости образуют связанные состояния со спинами. Эти связанные состояния имеют спины S'n величи- величины \S—M/2\. Следующий шаг разложения по t/J приводит к обмену между этими спинами типа гейзенберговского с обменным интегралом j ~ t2 / J. Как мы знаем из главы 15, модель Гейзенберга в одном измерении в непре- непрерывном пределе эквивалентна нелинейной сигма-модели с топологическим членом. Именно этот результат мы здесь и получили — см. формулу C3.6). Конечно, предел сильного взаимодействия не дает правильной зависимости констант взаимодействия от J при J/t <С 1, но дает правильный коэффици- коэффициент B5 — М) в топологическом члене и теперь его смысл понятен. Из нашего анализа следует, что при половинном заполнении свойства цепочки Кондо в зарядовом и спиновом секторах существенно различны. Характерный масштаб энергии для спиновых возбуждений дается форму- формулой C3.9); аналогичный масштаб для зарядовых возбуждений очевидно имеет порядок JS. Этот вывод также согласуется с численным счетом, на который мы ссылались выше. Литература 1 G. Aeppli and Z. Fisk, Comments Cond Matt Phys , 16, 155 A992). 2 A. N. Kirillov and F. A. Smirnov, Int J Mod Phys , 3, 731 A988). 3 Z. Schlesinger, Z. Fisk, Hai-Tao Zhang, M. B. Maple, J. F. DiTusa and G. Aeppli, Phys Rev Lett, 71, 1748 A993). 4. H. Tsunetsugu, Y. Hatsugai, K. Ueda and M. Sigrist, Phys Rev B, 46,3175 A992). 5. A. M. Tsvelik, Phys Rev Lett, 72, 1048 A994). 6. С. С. Yu and S. R. White, Phys Rev Lett, 71, 3866 A993).
34 «ПОВАРЕННАЯ КНИГА» КОНФОРМНОЙ ТЕОРИИ Цель этой и заключительной главы — дать краткий обзор известных конформно инвариантных и точно решаемых теорий. Эти две главы служат чем-то вроде путеводителя — названия мест со списком достопримечатель- достопримечательностей без особых подробностей. Для полноты я включаю сюда теории, рас- рассмотренные в книге раньше, и вновь привожу некоторую уже изложенную информацию. Модель безмассового скалярного бозонного поля и ее производные Сама модель описывается действием B1.1) и уже рассматривалась. Ее кон- конформный заряд есть С = 1, а ее группа симметрии — [/A),этоотражаеттот факт, что действие инвариантно по отношению к сдвигу поля на константу. Производными этой модели являются так называемые минимальные конформные теории. Они получаются путем усечения гильбертова про- пространства теории свободных бозонов с использованием конформной сим- симметрии. Эта процедура описана в главах 24 и 25. Симметрия усеченных теорий ниже, чем U(l). Конформные заряды минимальных моделей равны Минимальная модель с р = 3 — это критическая модель Изинга, модель с р = 4 — модель Изинга в трикритической точке, а модель с р = 5 — ?3-симметричная критическая модель Поттса. Модель с р — 1 имеет отрицательный конформный заряд С = — 2 и отрицательные масштабные размерности. Несмотря на это, она имеет фи- физические приложения: она описывает плотные полимеры [34.4]. Эта модель может быть описана как теория фермионных духов со следующим евкли- евклидовым действием: ij C4.1) где т] и ? — сопряженные фермионные поля размерности A,0), @,0) и @,1), @,0) соответственно. Этим рассматриваемая модель отличается от модели свободных майорановских фермионов, которая имеет размерности A/2.0) и @,1/2). Подробное рассмотрение таких теорий можно найти в работе Фридана и др. [34.2]. Все другие модели конформной теории помимо конформной симметрии обладают некоторой дополнительной симметрией. Эта симметрия связана с наличием особых конформных полей — генераторов этой симметрии.
310 Физика в мире одного пространственного измерения Ч IV В главах 29 и 30 мы рассмотрели одну такую модель — модель Весса- Зумино-Новикова-Виттена, действие которой инвариантно по отношению к глобальным вращениям из простой группы Ли G. В этом случае генера- генераторами являются токи — поля с конформным спином 1. Модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена и ее производные Как было показано в главе 29, тензор энергии-импульса модели ВЗНВ по- порождается операторами тока Ja{z), Ja{z). Мы видели, что тензор энергии- импульса определяется как произведение токовых операторов (см. форму- формулы B9.8)). Существует несколько процедур усечения для моделей ВЗНВ. Одна из них была предложена Белавиным A988, неопубликовано; см. так- также ссылку на работу Бершадского и Огури в главе 31). Здесь я рассмотрю только случай группы 5GB). В этом случае модифицированный тензор энергии-импульса дается формулой Г„од(г) = : J( Конформный заряд равен С C4.2) -6*. C4.3) Для модели ВЗНВ с симметрией SU(N) существует другая процедура усечения, рассмотренная Замолодчиковым и Фатеевым A985) [34.6] и Год- дардом, Кентом и Олайвом [34.3]. Эта процедура использует тот факт, что группа SU(N) имеет подгруппу [[/(l)]^'. Соответствующие токи при- принадлежат подалгебре Картана алгебры Каца-Муди SU(N). Это означает, что гамильтониан модели ВЗНВ может быть представлен как прямая сумма двух коммутирующих гамильтонианов: гамильтониана N — 1 свободных бозонных полей и некоторого другого гамильтониана HzN: Нъ — Нсв + HzN, \l] C4.4) n=iJ L J Оказывается, что HzN обладает симметрией Zn и таким образом описывает ZTv-симметричные критические теории. Конформный заряд равен Это частный случай более общей ситуации, когда группа G имеет под- подгруппу Н. Тогда алгебра Вирасоро распадается на две коммутирующие ча- части: T(G) = Г(Н) + T(G/H). C4.6)
Гл 34 «Поваренная книга» конформной теории 311 Поскольку центральный заряд аддитивен, отсюда следует, что для модели ВЗНВ на фактор-пространстве пространстве G/H имеем 2 C4.7, Теории такого вида рассматриваются в главе 9 книги Ициксона и Друффа. Суперсимметричные минимальные модели Фридан и др. [34.1] указали, что модель Изинга в трикритической точке обладает дополнительной нетривиальной симметрией. Соответствующими генераторами являются фермионные операторы G(z), G(z) с конформным спином 3/2. Алгебра Вирасоро является подалгеброй следующей расши- расширенной супералгебры: Q [Lm, Ln] = (то - n)Ln+m + — т(т2 - 1)8п+т<0 [Lm, Gn] =f^-n) Gn+m C4.8) {Gn, Gm} = 2Ln+m + j{m2 - Индексы генераторов Вирасоро в приведенных выше выражениях, как обычно, являются целыми числами. Индексы партнеров Gn, однако, мо- могут быть как целыми (сектор Рамона), так и полуцелыми (сектор Навье- Шварца). Простейшая суперсимметричная конформная теория — это те- теория одного свободного бозонного поля и одного майорановского ферми- онного поля (или трех майорановских фермионов). Конформный заряд та- таких моделей равен 3/2. Гильбертово пространство может быть усечено с использованием конформной симметрии, что порождает минимальные су- суперсимметричные модели со следующими конформными зарядами: Некоторые суперсимметричные модели остаются точно решаемыми (но, конечно, не конформно инвариантными) вне критической точки (см., на- например, работу [34.5]).
312 Физика в мире одного пространственного измерения Ч. IV Литература 1. D. Friedan, Z. Qui and S. Shenker, Phys. Lett. B, 151, 37 A985). 2. D. Friedan, E. Martinec and S. Shenker, Nucl. Phys. B, 271, 93 A986). 3. P. Goddard, A. Kent and D. Olive, Commun. Math. Phys., 103, 105 A986). 4. H. Saleur, Nucl Phys B, 382, 486, 532 A992). 5. A. M. Цвелик, ЯФ, 47, 172 A988). 6. А. Б. Замолодчиков и В. А. Фатеев, ЖЭТФ, 89, 380 A985).
35 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. КРАТКИЙ ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ТОЧНО РЕШАЕМЫМ МОДЕЛЯМ Как я упоминал в предисловии, цель данной кники — познакомить но- новичка с КТП, дав ему начальное понимание предмета. Однако многие ин- интер