Ц. НА Вычислительные
методы решения
прикладных
граничных задач

COMPUTATIONAL METHODS
IN ENGINEERING
BOUNDARY VALUE PROBLEMS
T. Y. Na
Department of Mechanical Engineering
University of Michigan-Dearborn
Dearborn, Michigan
ACADEMIC PRESS
A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers
New York London Toronto Sydney San Francisco
1979

Ц. НА Вычислительные
методы решения
прикладных
граничных задач
Перевод с английского
В.Е. Кондрашова,
А.С. Сухих
и Б.Н. Шамраева
под редакцией
И.Д. Софронова
МОСКВА-МИР-1982

ББК 22.I&3
Н12
УДК 51W>+filB.6
На Ц.
Вычислительные методы решения прикладных граничных
задач: Пер. с англ.—М.: Мир, 1982—296 с, ил.
Монография американского ученого, посвященная наиболее распространенным
методам решения двухточечных граничных задач. В ней много практических н мо-
модельных примеров, позволяющих проверить правильность понимания материала.
Для инженеров н научных работников самых различных специальностей, кото-
которым приходится самостоятельно проводить численные расчеты, а также для матема-
тнков-прикладииков.
Редакция литературы по математическим наукам
1702070000-203 Copyright © 1979 by Academic Press, Inc.
041@1)-82 27"8Л> ¦*• ' © Перевод на русский язык, «Мир», 1982

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
За последнее десятилетие заметно возросла доступность быст-
быстродействующих вычислительных машин для научных работников
и инженеров самых различных специальностей. Эта доступность
является следствием как резкого увеличения количества работаю-
работающих ЭВМ и их технических возможностей (прежде всего быстро-
быстродействия и оперативной памяти), так и изменения характера
труда при проведении расчетов (здесь имеются в виду использование
языков высокого уровня для написания программ и разнообразные
способы ввода—вывода числовой и графической информации).
Поэтому не удивительно, что работники многих нематемати-
нематематических специальностей теперь сами выполняют на ЭВМ нужные
им научные и инженерные расчеты, в особенности сравнительно
небольшие по объему программирования и затратам машинного
времени, когда можно обойтись без использования сложного ма-
математического аппарата. Эти расчеты очень часто сводятся к
численному решению самых разнообразных граничных задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Существует
много различных методов решения таких задач, и в данной книге
излагаются основные из них. При этом под методом понимается
тот или иной способ сведения граничных задач к более простым
задачам (например, к задаче Коши, интегральному уравнению
второго рода и т. д.), а также построение в случае необходимости
подходящих итерационных процессов, но не приемы решения этих
более простых задач (т. е. интегрирование обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений с полным набором начальных условий
или решение систем линейных алгебраических уравнений).
Каждый метод сначала излагается в общих чертах, а затем
его детали описываются и уточняются при разборе многочисленных
практических задач, взятых из физики, химии, механики и био-
биологии. В этих примерах четко выделены основные шаги вычисли-
вычислительного алгоритма, а результаты представлены в виде графиков
или числовых таблиц, и поэтому читатель при желании может
сам воспроизвести соответствующий расчет. Большое внимание
уделено задачам, у которых в дифференциальное уравнение или
в одно из граничных условий входит параметр. Особенно следует
подчеркнуть исключительное многообразие рассмотренных в книге
практических задач. К сожалению, автор не уделяет должного вни-
внимания вопросу о границах применимости излагаемых им методов и

6 Предисловие редактора перевода
не всегда четко определяет точный физический смысл и единицы из-
измерения некоторых величин в рассматриваемых примерах (конечно,
последнее не мешает пониманию сути методов их решения).
Для чтения книги вполне достаточно знаний в объеме обычной
втузовской программы по математике. Практическая направлен-
направленность и простота изложения удачно сочетаются с достаточно вы-
высоким научным уровнем и широтой охвата затронутых вопросов.
Поэтому книга является хорошим пособием для практического
освоения численных методов решения граничных задач для обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений и будет полезна инжене-
инженерам и научным работникам различных специальностей. Главы
7—10 представляют интерес и для специалистов по прикладной
математике.
При переводе были исправлены замеченные опечатки и мелкие
погрешности.
И. Д. Софронов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Двухточечные граничные задачи встречаются во всех областях
науки и техники. Для таких задач граничные условия задаются
в двух точках, а дифференциальные уравнения очень часто нели-
нелинейны, так что их аналитического решения обычно не существует
и поэтому для получения решения нужно использовать численные
методы.
Методы численного решения таких задач делятся на две груп-
группы— итерационные и неитерационные. Для линейных граничных
задач решение всегда можно получить без итераций, но для не-
нелинейных задач итерации обычно необходимы. Однако следует
подчеркнуть, что существует ряд способов исключения итераций,
в результате чего можно существенно сократить необходимое для
решения задачи машинное время. Три главы этой книги посвя-
посвящены итерационным методам, включая метод пристрелки, конечно-
разностный метод и метод интегральных уравнений. Рассматри-
Рассматриваются также шесть безитерационных методов. По порядку
изложения это методы суперпозиции, прогонки, сопряженного
оператора, преобразования, дифференцирования по параметру и
инвариантного погружения.
Эта книга написана для инженеров и научных работников,
которым в своей практической деятельности приходится численно
решать граничные задачи. Поэтому основное внимание в ней уде-
уделяется не теоретическим, а вычислительным аспектам рассматри-
рассматриваемых методов. Последние же излагаются достаточно подробно,
и читатель вполне может усвоить детали, разбирая приведенные
примеры и самостоятельно повторяя численные расчеты, резуль-
результаты которых представлены в виде таблиц. Ввиду такой практи-
практической направленности книги автор избегал аксиоматического
подхода, принятого в ряде других учебных руководств, написан-
написанных математиками. Вместо этого здесь отдается предпочтение
развитию интуитивных представлений и навыков, которые весьма
полезны для предполагаемых читателей, т. е. для тех, кто дол-
должен применять численные методы на практике, а не совершенство-
совершенствовать их в математическом плане. Изучение логики алгоритма и
перевод ее на язык программы—вот единственные пути практи-
практического освоения численных методов. В современных учебных пла-
планах по подготовке будущих инженеров вопросы, подобные затро-
затронутым в этой книге, должны занять такое же важное место,

8 Предисловие
какое еще не так давно занимал в них метод разделения пере-
переменных.
Трудно перечислить всех тех, кто оказал мне помощь при
подготовке этой книги. Прежде всего я благодарен профессору
Д. Джонсу из университета в Данди, который дважды просмот-
просмотрел рукопись, сделал много полезных замечаний и рекомендовал
ее для опубликования. При выполнении этой работы постоянную
поддержку оказывал мне д-р Т. Себеси из авиакомпании «Дуглас».
Большое влияние на меня долгое время оказывали многочисленные
полезные дискуссии с д-ром А. Хансеном, президентом Универси-
Университета Пэрдью, который, последовательно выступая в роли моего
учителя, коллеги и друга, пробудил и постоянно поддерживал
во мне интерес к прикладной математике. Весьма полезными были
подробные замечания, высказанные в написанной для издатель-
издательства рецензии. Я признателен также профессорам И. Хабибу и
Г. Кураджану за компетентные советы и административную по-
помощь. И наконец, я хочу поблагодарить мою жену Хуа-Сун и
наших детей Артура, Элен и Патрицию за их понимание, участие
и терпение в те долгие часы" когда я покидал их, занимаясь
этой работой.
Цунг-Йен На

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Введение
Эта книга ставит своей целью подробное описание различных
методов решения линейных и нелинейных граничных задач. Отли-
Отличие граничной задачи от задачи Коши (задачи с начальными ус-
условиями) состоит в том, что для первой решение дифференциаль-
дифференциального уравнения, найденное на некотором интервале, должно
удовлетворять граничным, условиям, заданным в двух или нес-
нескольких точках.
Рассмотрим, например, граничную задачу
d2r pdT , г,т, n dT @) п _ п , . .
+'(r)=0) ~гг=0- ТA)=1- 0-1)
которая получается при исследовании распространения тепла в
твердом теле при наличии источников тепла. Функция f (T) опи-
описывает источник тепла; она, как правило, зависит от темпера-
температуры Т в точке. Константа р принимает значение 0, 1 или 2 в
зависимости от того, является ли описываемоз тело пластиной,
цилиндром или сферой. Рассмотрим теперь решение задачи A.1)
для различных значений параметра р и функций источника /(Т).
В простейшем случае, когда описывается распространение тепла
в пластине и функция источника не зависит от температуры, т. е.
р = 0 и
где k—удельная теплопроводность, a q—тепловыделение на еди-
единицу объема, граничная задача A.1) запишется в виде
d2T/dx* + q/k = 0, dT {0)/dx = 0, ГA)=1; A.2)
здесь дифференциальное уравнение является линейным и имеет
постоянные коэффициенты. Решение этой довольно простой задачи
сводится к определению двух постоянных интегрирования путем
решения системы двух алгебраических уравнений, которые полу-
получаются из граничных условий.
Известно аналитическое решение дифференциального уравнения
задачи A.2)—это функция
Г= -
Отсюда с учетом граничных условий получаем два алгебраических

10 Гл. 1. Введение
уравнения для определения Ct и С2
d = 0 и
Таким образом, найдено распределение температур
T=\+[q/{2k))(l-x*).
Характерное свойство граничной задачи проявилось здесь в том,
что для определения постоянных интегрирования необходимо было
решить систему алгебраических уравнений.
Рассмотрим следующий пример, когда уравнение A.1) описы-
описывает распространение тепла в стержне цилиндрической формы и
функция источника линейно зависит от температуры. В этом слу-
случае имеем р=\, f(T)=$*T и задача A.1) запишется в виде
§ -°. тР-0. Г A)=1; A.3)
здесь дифференциальное уравнение имеет переменные коэффициенты
и поэтому решение его несколько сложнее. Воспользуемся обыч-
обычным методом разложения решения в степенной ряд. Известно,
что решение дифференциального уравнения задачи A.3) может
быть выражено через функции Бесселя:
Граничные условия дают систему уравнений
и
которую можно разрешить относительно Cj и С2. После этого
можно найти решение в окончательной форме:
Метод разложения в ряд является довольно распространенным,
но есть задачи, для которых применение этого метода либо со-
сопряжено с большими трудностями, либо вообще невозможно.
К последним, в частности, относятся задачи, которые содержат
коэффициенты, в свою очередь являющиеся решением других диф-
дифференциальных уравнений (см., например, разд. 2.2.2). В таких
случаях следует обратиться к численным методам.
В качестве третьего примера рассмотрим процесс распростра*
нения тепла в сфере, предполагая, что интенсивность источника
тепла экспоненциально зависит от температуры [1]. В этом случае
р = 2, а функция источника имеет вид
где а—константа; таким образом, задача A.1) записывается в виде
+0И!'=0' -2Г-0' гA)=1- о-4)

1.2. Методы решения 11
В силу нелинейности функции источника мы получили нелинейную
граничную задачу. Такие задачи, как правило, удается решить
только при помощи численных методов.
1.2. Методы решения
В этой книге описываются различные методы решения таких
линейных и нелинейных граничных задач, которые не поддаются
аналитическому решению. Эти методы можно разделить на два
класса в зависимости от того, является ли процедура решения
итерационной или нет Перечислим эти методы.
I. Итерационные методы:
1) методы пристрелки (метод Ньютона, метод параллельной
пристрелки и метод квазилинеаризации);
2) конечно-разностные методы;
3) метод интегральных уравнений.
II. Неитерационные методы:
1) метод суперпозиции;
2) метод прогонки;
3) метод сопряженного оператора;
4) метод преобразования;
5) метод дифференцирования по параметру;
6) метод инвариантного погружения.
Метод пристрелки иногда еще называют «методом садового
шланга», так как в принципе нечто подобное происходит в том
случае, когда садовник, направляя струю воды из наконечника
шланга, пытается полить дальние грядки: обычно требуется нес-
несколько корректировок, прежде чем струя воды попадет в цель.
Так же и при решении граничной задачи сначала выбирается не-
некоторое значение для недостающего начального условия. Полу-
Получающуюся при этом задачу Коши можно проинтегрировать одним
из стандартных методов. (За подробным описанием методов реше-
решения задачи Коши мы отсылаем читателя к учебникам по этому
предмету; см., например, [2]1).) Правильность выбранного началь-
начального условия проверяется в конечной точке сравнением заданного
граничного условия с полученным в результате решения задачи
Коши. Если эти граничные условия не совпадают, то для недо-
недостающего начального условия выбирается новое значение, про-
процедура повторяется сначала и так продолжается до тех пор, пока
не будет достигнута удовлетворительная точность. В итерацион-
итерационных методах подобного сорта возникает вопрос о существовании
регулярной процедуры выбора недостающего начального условия,
обеспечивающую быструю сходимость к решению задачи. Такие ме-
•) См. также Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычис-
Вычислительные методы. Том 2.— М.: Наука, 1977, гл. 6.— Прим. ред.

12 Гл. 1. Введение
тоды известны; в гл. 5 приводятся три из них: метод Ньютона,
метод параллельной пристрелки и метод квазилинеаризации.
Одним из наиболее широко используемых методов решения
граничных задач является, по-видимому, конечно-разностный ме-
метод. Этот дискретный метод заключается в переходе от системы
обыкновенных дифференциальных уравнений к конечной системе
алгебраических уравнений путем замены производных зависимых
переменных их конечно-разностным представлением и дальнейшем
решении полученных алгебраических уравнений; при этом полу-
получается приближенное решение задачи в узловых точках. Для
линейных граничных задач соответствующие алгебраические урав-
уравнения также линейны, и решение можно найти за один шаг.
При решении нелинейных граничных задач требуются итерации,
так как теперь задача должна быть линеаризована. Одним из
распространенных методов является линеаризация дифференциаль-
дифференциального уравнения при помощи методов квазилинеаризации до замены
производных их конечно-разностным представлением. В другом
подходе производные предварительно заменяются их конечно-раз-
конечно-разностным представлением, а затем полученные нелинейные алге-
алгебраические уравнения линеаризуются методом Ньютона. Оба под-
подхода подробно рассматриваются в гл. 6.
В методе интегральных уравнений граничная задача заменяется
интегральным уравнением, которое решается с помощью квадра-
квадратурных формул. Вывод интегрального уравнения, эквивалентного
граничной задаче, в общем случае включает определение функции
Грина. Для линейных граничных задач решение можно найти
без итераций. Для решения нелинейных граничных задач требу-
требуется итерационная процедура, причем линеаризуется либо исход-
исходная граничная задача, либо нелинейное интегральное уравнение.
Метод интегральных уравнений описывается в гл. 12.
Способ преобразования линейных граничных задач к задачам
Коши методом суперпозиции хорошо известен, и его описание
можно найти в таких стандартных учебниках, как, например,
книга Коллатца [З]1). Метод основывается на принципе суперпози-
суперпозиции, следуя которому можно свести решение граничной задачи
к нахождению решений двух или нескольких задач Коши. Ком-
Комбинация этих решений дает решение исходной задачи. Метод су-
суперпозиции кратко излагается в гл. 2.
Менее распространенный метод прогонки, описанный в гл. 3,
с помощью которого линейные граничные задачи преобразуются
к задачам Коши, разработан И. М. Гельфандом и О. В. Локу-
циевским в Математическом институте им. Стеклова АН СССР
(см. книгу [4]). В этом методе недостающие начальные условия
1) ?м. также Бахвалов Н, С. Численные методы,— М.: Наука, 1973, ч. III,
/гл. 9, § b. — liptiM.

1.2. Методы решения 13
находятся на этапе прямой прогонки, который включает в себя
построение новой задачи Коши (для параметров) и ее интегриро-
интегрирование от начальной точки. После того как недостающие началь-
начальные условия во второй точке найдены, искомое решение может
быть найдено при помощи обратной прогонки исходной системы
дифференциальных уравнений из второй точки.
Еще одну простую возможность решения граничных задач
дает метод сопряженного оператора [5]. Он основывается на по-
понятии сопряженной системы уравнений, матрица коэффициентов
которой является транспонированной со знаком минус матрицей
коэффициентов исходной системы дифференциальных уравнении.
Эта сопряженная система осуществляет связь между граничными
условиями исходной задачи в начальной и конечной точках. Под-
Подробное описание метода сопряженного оператора приводится в гл. 4.
Метод преобразования основывается на интересной идее, вы-
выдвинутой Тёпфером в 1912 г. при решении уравнения Блазиуса
[6J в теории пограничного слоя. Благодаря успешному примене-
применению введенного преобразования возник вопрос о возможности
применения подобных преобразований к другим уравнениям. Одна-
Однако только в 1962 г. Кламкину [7] удалось, следуя аналогичным
рассуждениям, расширить метод и применить его к широкому
классу подобных уравнений. Дальнейшее обобщение стало воз-
возможным после того, как метод был пересмотрен с точки зрения
групп преобразований в работах На [8, 9], в которых системати-
систематизировались алгоритмы решения и недостающее начальное условие
отождествлялось с параметром группы. В рамках этой теории
преобразования Тёпфера [6J и Кламкина [7] являются так назы-
называемыми «линейными группами» преобразований. Благодаря вве-
введению других групп преобразований метод оказывается примени-
применимым к другим классам уравнений. При помощи этого метода
могут быть исследованы и уравнения с граничными условиями,
заданными в конечных точках. Подробности такого подхода при-
приводятся в гл. 7. Полное изложение теории метода групп преобра-
преобразований можно найти в работах [10—13].
Несмотря на то что понятия, введенные в гл. 7, оказываются
весьма полезными, класс уравнений, которые можно исследовать
с их помощью, все еще остается довольно узким. Было сделано
много попыток расширить возможности метода. Первое такое
расширение было сделано для тех нелинейных двухточечных гра-
граничных задач, которые содержат физический параметр в диффе-
дифференциальном уравнении или в граничных условиях, а решение
нужно найти для некоторой области значений этого параметра.
Заменяя физический параметр параметром группы преобразования,
можно продолжить рассуждения гл. 7 и получить таким образом
новый метод, который описывается в гл. 8. Это обобщение яв-
является довольно важным, поскольку для большинства физических

14 Гл. 1. Введение
задач, в формулировки которых входит физический параметр,
почти всегда интересно знать решения для всего интервала зна-
значений этого параметра, а не для одного его частного значе-
значения.
Хотя расширенный метод, приведенный в гл. 8, значительно
увеличивает область применимости метода преобразования, с его
помощью можно исследовать задачи, включающие только один
физический параметр. Для задач, которые содержат более одного
физического параметра, введение параметров группы преобразо-
преобразования не приводит к желаемому результату. По-видимому, здесь
следует привлекать какие-то более общие соображения. Это было
сделано (см., например, [14]) при помощи исследования инвариант-
инвариантных относительно преобразований комбинаций физических пара-
параметров. Описание полученного таким образом метода, позво-
позволяющего решать задачи с произвольным числом параметров, при-
приводится в гл. 9, где, кроме того, дается систематический способ
нахождения решений в случае их неединственности.
Метод дифференцирования по параметру, при помощи которого
граничная задача сводится к задаче Коши, разработан всего нес-
несколько лет назад, хотя идея метода давно использовалась в раз-
различных ситуациях. В основном метод применяется для решения
граничных задач, которые содержат физический параметр в диф-
дифференциальном уравнении или в граничных условиях. Исходя из
известного решения для соответствующего значения параметра,
решения задачи для других значений параметра можно получить
интегрированием функции скорости изменения решения относи-
относительно этого параметра. Для решения на каждом шаге граничных
задач, которые являются линейными, можно применить один из
неитерационных методов, описанных в гл. 2—4. От шага к шагу
параметр меняется на малую величину, решение получает соот-
соответствующее приращение, и таким образом исходная задача мо-
может быть решена в широком диапазоне значений параметра без
итераций. Подробное описание этого метода приводится в гл. 10.
Метод инвариантного погружения, также используемый для
преобразования граничной задачи к задаче Коши, имеет более
длительную историю, чем методы преобразования и дифференци-
дифференцирования по параметру. В отличие от классического подхода в
этом методе решение задачи получается путем исследования це-
целого семейства задач. На первый взгляд такой подход скорее
усложняет проблему, чем упрощает ее, но тем не менее можно
установить связь между конкретной задачей и другими предста-
представителями семейства, при помощи этой связи исследовать соотно-
соотношения между соседними решениями и получить характеристики
конкретного представителя семейства. Поскольку этот метод под-
подробно освещен в существующей литературе Г15, 161, в гл. 11
дается лишь краткое его описание.

1.3, Численное интегрирование задачи Коши 15
1.3. Численное интегрирование задачи Коши
Все методы, описанные в книге, кроме методов гл. 6, 11 и 12,
включают численное интегрирование задачи Коши, и поэтому
предполагается, что читатель знаком с основами этого предмета.
Задача Коши определяется дифференциальным уравнением с гра-
граничными условиями, заданными в одной точке. В численном подходе
значения зависимой переменной и ее производных вычисляются
для дискретных значений независимой переменной (в узловых
точках). Зная приближенные значения производных, можно полу-
получить решение задачи Коши, выходя из начальной точки, в ко-
которой задан полный набор начальных значений решения. Совре-
Современные вычислительные машины позволяют быстро и с высокой
точностью интегрировать системы, состоящие из большого числа
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численные методы решения задач Коши можно разбить на
две группы, а именно одношаговые и многошаговые методы. Рас-
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка
y'n) = f(x, у, у', у", .... у'"') C.1)
с начальными условиями
y<V){Xo)=*yiv' (v = 0, I, .... n-1),
где «/*v) = dvyfdxv, и разделим интервал [хи, xf\, на котором тре-
требуется найти решение задачи, на / подынтервалов. Длина подын-
подынтервала (шаг) вычисляется по формуле
/i = (*,— *„)//, C.2)
откуда для узловых точек имеем
xl+l = Xl + h. C.3)
Решить задачу Коши означает найти приближенные значения
зависимой переменной и ее производных y'vi в узловых точках
на интервале [хл, xf\. Метод называется одношаговым, если для
вычисления ДО, требуется знать лишь значения у{У\ Метод яв-
является самозапускающимся, если для вычисления ylV), y\v\ у^\...
необходимы только граничные значения в начальной точке. Здесь
мы упомянем два таких метода: метод Тейлора и метод Рунге —
Кутты.
Численная схема метода Тейлора определяется формулой
уХг^уГ+ЬТУ, C.4)
где
ТУ = Тк(х„ y\v\ яГ" УГг)) =
- уГ" + jr уГ " + ¦¦•+ {nhlT-\y. tf1-"- C-5)

16 Гл. 1. Введение
Известно, что метод Тейлора в принципе очень прост. Его глав-
главная трудность заключается в необходимости вычислять частные
производные функции /.
Метод Рунге—Кутты благодаря малым ошибкам аппроксима-
аппроксимации и простоте является, по-видимому, наиболее распространен-
распространенным. Чаще всего используются формулы четвертого порядка.
Их можно получить следующим образом [3]. Предположим, что
известно решение tfV) в t'-й узловой точке и требуется найти ре-
решение y<v) в (г + 1)-й узловой точке. Запишем необходимую по-
последовательность формул для выполнения этого шага (далее
предполагается, что v = 0, 1, 2, ..., п—1, где п—порядок
рассматриваемого уравнения).
1. Пусть
t\, = (/i7v!H|V), C.6)
vv, c = (hW\)^\ C.7)
<р(х, v0, vt, .., и„_х) =
= f(je, у, (l\/h)Vl, B\/h*)v2, ..., [(я-1) l/^-'K-!), C.8)
(;)vu. C-9)
2. Далее положим
i, wow, vui, .... vn.u!), C.10)
п—2J>
B) *„-.(!)+*. („Иг).
C-13)
3. Определим
-(„_v)]?4}. C.14)

1.3. Численное интегрирование задачи Коши 17
4. Наконец, пусть
vv, t+l = tv(\) + k"\ C.15)
5. Цикл вычислений завершается нахождением величин
Srt+i = (vl/*v)ov.f+i- C.16)
Формулы C.6)—C.16) определяют численную схему метода
Рунге—Кутты. В качестве примера рассмотрим дифференциаль-
дифференциальное уравнение второго порядка. В этом случае /г = 2 и формулы
C.6)—C.16) запишутся в следующем виде
4>(х, v0, v1) = f{x, y, vjti),
2 t0 (a) = vOt i + aoT, ,., tY (a) = vu ,..
I) Ф (дс, -Ь Л/2, ».,, + »,. ,
!) Ф (x, + h, ve, , + »!,, + *., »i. , + 2*,)
4 (
4.
5-
Подобные формулы можно получить для дифференциального
уравнения любого порядка п. Коллатц [3] затабулировал после-
последовательность формул C.6) — C.16) для дифференциальных урав-
уравнений первого, второго, третьего и четвертого порядков. Все
задачи Коши в примерах, приведенных в книге Коллатца, реша-
решались методом Рунге—Кутты.
Одним из привлекательных свойств одношаговых методов яв-
является простота смены величины шага интегрирования при раз-
различных х. Для задач с полубесконечным интервалом интегриро-
интегрирования (см., например, задачу о пограничном слое в разд. 7.1.1)
использование неравномерной сетки значительно сокращает время
счета.
Одношаговые методы имеют, однако, и слабые стороны. В них
нужно большее количество вычислений функций, чем в много-
многошаговых методах. Из-за большой по сравнению с многошаговыми
методами ошибки аппроксимации для достижения желаемой точ-
точности в одношаговых методах требуется малый шаг, а это озна-
означает большое время счета.

18 Гл. 1. Введение
Среди многошаговых методов наибольшее распространение
получил предсказывающе-исправляющий метод Адамса—Мултона
[17, 18]. Его вычислительная схема состоит из двух шагов.
На первом шаге решение предсказывается по явной формуле,
а на втором исправляется по неявной формуле. Детальное обсуж-
обсуждение этих и других методов решения задачи Коши и их срав-
сравнительных достоинств выходит за пределы данной книги. Чита-
Читателя, интересующегося этими вопросами, мы отсылаем к таким
стандартным руководствам по этой теме, как [2, 17—19] *).
1.4. Заключительные замечания
В этой книге различные методы решения применяются к гра-
граничным задачам из многих отраслей науки и техники; они пред-
представлены очень подробно, включая таблицы с численными ре-
результатами и рисунки. Основное внимание уделяется технике
решения, а не теоретическому обоснованию методов. Описываемые
мгтоды хорошо работают для большинства задач, с которыми
приходится сталкиваться инженерам в своей ежедневной практике.
Если при решении какой-либо задачи возникнут затруднения,
читателю следует обратиться либо к спискам литературы, поме-
помещенным в конце глав, либо к руководствам B0—23] по этой теме.
Результаты, приведенные в этой книге, основаны на источни-
источниках, указанных в списках литературы в конце каждой главы, и
в монографиях |15—23] по данному предмету. Однако ни один
из этих источников не охватывает всех описанных здесь методов
полностью, в частности нередко упускают из виду неитерацион-
неитерационные методы. Поскольку нелинейные граничные задачи довольно
часто встречаются в науке и технике, потребность в курсе, в ко-
котором подробно освещаются вычисления, проводимые в различных
методах, достаточно велика, и мы надеемся, что настоящая книга
окажется весьма полезной.
Литература
[1] На, Тан (Na Т. Y., Tang S. С). A method for the solution of conduction
heat transfer with nonlinear heat generation.—Z. angew. Math. Mech., 1969,
B.49, S.45—52.
|2] Ламберт (Lambert J. D.). Computational methods in ordinary diflerential
equations.— New York: Wiley, 1973.
[3| Коллатц (Collatz L.). The numerical treatment of differential equations.—
New York:' Springer, 1966, p. 184—186. [Имеется перевод 1-ю нем. изд.:
Коллэщ Л. Численные методь решения дифференциальных уравнений.—
М. ИЛ, 1953.)
[4] Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений: В 2-х томах. Т. 2.—
М.: Физматгиз, 1962.
') См также Хеминг Р. В. Численные методы,— М.: Наука, 1972, ч. 11,
гл. 15.— Прим. ред.

Литература 19
[5J Гудман, Ланс (Goodman Т., Lance G.). The numerical integration of two-
point boundary value problems.—Math. Comput., 1956, v. 10, p. 82—86.
[6J Тёпфер (Toepfer K-). Bemerkung zu dem Aufsatz von H. Blasius "Grenz-
schicht" in Flussigkeiten mit kleiner Reibung.—Z. Math. Phys., 1912, B. 60,
S. 397-398.
[7J Кламкин (Klamkin M. S.). On the transformation of a class of boundary
value problems into initial value problems for ordinary differential equa-
equations.—SI AM Rev., 1962, v. 4, p. 43—47.
[8J Ha (Na T. Y.). Transforming boundary conditions to initial conditions for
ordinary differential equations.—S1AM Rev., 1967, v. 9, p. 204—210.
[9] — Further extension on transformation from boundary value to initial value
problems.—SIAM Rev., 1968, y. 10, p. 85—87.
[10] Хансен (Hansen A. G.). Similarity analysis of boundary value problems
in engineering.— Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964.
[11] На, Хансен (Na T. Y., Hansen A. G.). General group-theoretic transforma-
transformations from boundary value to initial value problems.— Univ. of Michigan,
Dearborn Campus, Rep. 07457-18-T, 1968.
[12] Similarity analysis of differential equations by Lie group.— J. Franklin
Inst., December 1971, v. 292-, p. 471—489.
[13] Эймс (Ames W. F.). Nonlinear partial differential equations in engineering.
Vol. 2.—New York: Academic Press. 1972.
[14] Скотт, Ринскпер, Ha (Scott Т. С, Rinschler G. L., Na T. Y.). Further
extension of an initial value method applied to certain nonlinear equations
in fluid mechanics.—J. Basic Eng., 1972, v. 94, p. 250—251. [Имеется пе-
перевод: Труды Амер. об-ва инженеров-механиков, сер. D, Теоретические
основы инженерных расчетов, 1972, № 1, с. 275.]
[15] Мейер (Meyer G. H.) Initial value methods for boundary value problems,
Theory and application of invariant imbedding.— New York: Academic
Press, 1973.
[16] Ли (Lee E. S.). Quasilinearization and invariant imbedding.— New York:
Academic Press, 1968.
[17] Хенричн (Henrici P.). Discrete variable methods in ordinary differential
equations.—New York: Wiley, 1962.
[18] Гнр (Gear С W.). Numerical initial value problems in ordinary differen-
differential equations.—Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1971.
[19] Ческино, Кунцман (Ceschino F., Kuntzmann J.) Numerical solution of ini-
initial value problems.—Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1966.
[20] Фокс (Fox L.) The numerical solution of two-point boundary value prob-
problems.—Oxford: Oxford Univ. Press, 1957.
[21] Келлер (Keller H. В.). Numerical methods for two-point boundary value
problems.—Waltham: Ginn-Blaisdell, 1968.
[22] Роберте, Шипман (Roberts S. M., Shipman J. S.). Two-point boundary
value problems: Shooting methods.— New York: Elsevier, 1972.
[23] Бейли, Шампайн, Уолтман (Bailey P. В., Shampine L. F., Waltman P. E.).
Nonlinear two-point boundary value problems.— New York: Academic
Press, 1968.

Глава 2
МЕТОД СУПЕРПОЗИЦИИ
2.1. Введение
Преобразование граничной задачи для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений в задачу Коши методом суперпо-
суперпозиции хорошо известно, и его описание можно найти в большинстве
книг, посвященных численному решению дифференциальных урав-
уравнений (см., например, [1]). В § 2.2 этот метод демонстрируется
на примере решения дифференциального уравнения второго по-
порядка. Его применение к задачам науки и техники иллюстри-
иллюстрируется двумя примерами, а именно исследованием изотермиче-
изотермического химического реактора [2] и аналитическим представлением
результатов электростатических измерений в струе реактивного
двигателя [3]. Затем дальнейшие детали метода и надлежащие
формы суперпозиции поясняются в § 2.3 на примере обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка.
2.2. Приведение линейной граничной задачи к задаче Коши
Граничная задача для линейных обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений в общем случае сводится к двум или нескольким
задачам с начальными условиями, а их можно решить одним из
прямых методов, например методом Рунге—Кутты. Затем реше-
решение исходной задачи получается как комбинация найденных ре-
решений. Такой подход позволяет избежать итераций.
Рассмотрим, например, граничную задачу, определяемую ли-
линейным дифференциальным уравнением второго порядка
d*y/dx> + ^ (х) dy/dx + f2(x)y = r(x) B.1)
и граничными условиями
уь. B.2)
Для того чтобы преобразовать граничную задачу B.1), B.2)
в задачу Коши, положим
У {х) = уЛх)+ №(*), B.3)
где у.—неизвестная пока константа, подставим это выражение

2.2. Линейная граничная задача 21
в уравнение B.1) и получим
[iPyJdx' + h (x)dyjdx + ft (*) уг—г(х)] +
+ ц [ffiyjdx* + h {x) dyjdx + /, (х) у2] = 0. B.4)
Приравнивая оба слагаемых в B.4) нулю, получаем два уравнения:
ffiyJdx* + U (x)dyi/dx + f2 (х) у, = г {х), B.5)
dx + Ux)yt = O. B.6)
Первое граничное условие в B.2) принимает вид
У у (а) + Мг {а) = У а,
так что можно положить
Ух(а) = Уа. Уш(а)=*0. B.7 а, б)
Дифференцируя B.3) и принимая х равным а, получаем
dy (a)/dx = dyl (a)/dx + ydyt {a)/dx. B.8)
Если неизвестные граничные значения положить равными
dy1(a)/dx = 0, dyi{a)ldx=\, B.9 а, б)
то из B.8) найдем, что
dy(a)/dx = n. B.10)
Таким образом, неизвестная константа ц совпадает с недостающим
начальным значением.
Наконец, граничное условие во второй точке преобразуется
к виду
Ух Ф) + М* Ф) = Уь>
откуда
Р = Ьь-Уг(Ь)УУш(Ь). B.11)
Итак, процедура решения граничной задачи B.1), B.2) сос-
состоит из следующих шагов.
1. Интегрируем уравнение B.5) с начальными условиями B.7а)
и B.9а) от х = а до х = Ь. Получаем значение у3ф).
2. Интегрируем уравнение B.6) с начальными условиями B.76)
и B.96) от х = а до х = Ь. Получаем значение у2ф).
3. По формуле B.11) вычисляем константу ц, которая в силу
B.10) является недостающим начальным значением.
4. По формуле B.3) вычисляем решение исходной задачи.

22 Гл. 2. Метод суперпозиции
2.2.1. Изотермические трубчатые реекторы
Трубчатый реактор —это труба, через которую протекает смесь
жидких химических реагентов. Такие реакторы являются важней-
важнейшими компонентами при проектировании химических заводов.
Рассмотрим изотермическую реакцию первого порядка А—*-В,
скорость которой, согласно теории химической кинетики, равна
&СА, где k и СА —скорость реакции и концентрация компонента
А соответственно. При анализе таких систем обычно предпола-
предполагается, что осевая дисперсия может быть охарактеризована эф-
¦ N + dN
dx
Рис. 2.1. Поток компонента А.
фективным коэффициентом диффузии Еа, определяющим величину
диффузионного потока
N = Ea(-dCjJdx). B.12)
В баланс потока компонента А в бесконечно малом объеме (см.
рис. 2.1) входят следующие слагаемые:
полный поток внутрь объема через левую границу — vCA-j-N,
полный поток из объема через правую границу = vCA +
C N N
+ (A) + + ,
скорость исчезновения компонента A =kCAdx,
где v — осевая скорость потока компонента А. Предполагается,
что k и v постоянны.
Для сохранения количества компонента А необходимо, чтобы
vCA + N = vCA + d (оСд) + N + dN+kCAdx.
Упрощая это равенство с учетом B.12), получаем
Ead*C,Jdx*—vdCJdx—kCA = 0. B.13)
Положим
у = СА1СА0, z = xlL, Npe = vL/Ea, R = kL/v;
тогда уравнение B.13) запишется в виде
d2y/dz2—Np<,dy/dz-NpeRy = 0. B.14)

2.2. Линейная граничная задача 23
Если САо — концентрация компонента А в жидкости, посту-
поступающей в трубу, то поток компонента А на входе трубы, от-
откуда жидкость движется за счет конвекции и диффузии, равен
или
vCAo = vCA @) - Еа dCA (О)/Жс,
или в безразмерной форме
\=y@)-(\/Nve)dy@)/dz. B.15)
Если L—длина трубы, то граничное условие при x = L имеет
вид
dCA(L)/dx = 0,
или в безразмерной форме
dy(l)/dz = 0. B.16)
Физически это условие означает, что длина трубы достаточна
для завершения реакции. В силу соотношения B.12) dCA/dx = 0,
если поток компонента А равен нулю.
Уравнение B.14) и граничные условия B.15) и B.16) опреде-
определяют граничную задачу. Для решения этой задачи неитерацион-
неитерационным путем сделаем замену переменных
2=1-S, у=1-/.
Тогда уравнение B.14) и граничные условия запишутся в виде
d*f/ds* = RNVJ-Nve dflds- RNpt, B.17)
d/@)/ds = 0, B.18)
f(l) + (l/Nve)df(l)/ds = Q. B.19)
Чтобы применить метод суперпозиции, описанный в § 2.2,
положим
f(s) = Q(s) + 'to(s), B.20)
где Р—константа, которую нужно найти. Тогда две соответст-
соответствующие задачи Коши могут быть записаны следующим образом:
. в@)-0 B.21)
№
>. Ф@)=1. B.22)
Константа Р в B.20) определяется из граничных условий при
s =1, что дает
0

24
Гл. 2. Метод суперпозиции
Чтобы показать последовательность шагов метода, рассмотрим
случай, когда <Vpe=1.0 и 7?= 1.0. Интегрирование уравнений
B.21) и B.22) от s = 0 до s=l дает решения 6 и ф как функ-
1.5
1.0
0.5
ОХ)
-0.5
Рис. 2.2. Графики функций 9, <р и / при iVpe = 1.0, R = L0.
ции s. Графики этих функций приведены на рис. 2.2. При s=l
6A)=—0.3973, фA)= 1.3972.
После подстановки этих значений в B.23) получим Р = 0.5324.
Теперь решение задачи B.17) — B.19) может быть вычислено по
формуле B.20). Оно также представлено на рис. 2.2. Таким об-
образом, решение получено*без итераций.
2.2.2. Электростатические измерения в струе реактивного двигателя
В предыдущем разделе рассматривался пример решения диф-
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэф-
коэффициентами методом суперпозиции. Этот метод можно применить
и для решения дифференциальных уравнений с переменными ко-
коэффициентами или даже уравнений, коэффициенты которых по-
получаются из некоторых дополнительных вычислений. Сейчас мы
рассмотрим задачу последнего типа, которая возникает при ис-
исследовании обтекания электростатического зонда (см. [3]).
При исследовании работы ракетного двигателя на твердом
топливе требуется тщательное измерение распределения локаль-
локальных плотностей электронов и ионов в истекающей струе пламени.
Аналитическое представление результатов зондовых измерений
приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению для

2.2. Линейная граничная задача 25
определения концентраций заряженных частиц
0 ^
с граничными условиями
при т| = 0 N— Q, при т| = оо N=\.
Независимая переменная г\ определяется соотношением
где Um—скорость невозмущеиного потока, v—коэффициент вяз-
вязкости, N = n/n<x,—нормированная плотность заряженных частиц,
п и «„о — плотности частиц в произвольной точке и на бесконеч-
бесконечности. Функция /, описывающая течение около зонда (т. е. около
точки застоя в теории вязкой жидкости), определяется из другого
нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения
+ A/2) [ 1 — (d//driJ] = 0 B.25)
с граничными условиями
f @) = df @)/di\ = 0, df (oo)/*i = 1.
Так как решения уравнения B.25) известны (см. [4]), можно
найти функцию f = f(i]), входящую в уравнение B.24). Поэтому
уравнение B.24) является линейным обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффици-
коэффициентами. Применим для его решения метод суперпозиции.
Представим Af в виде
ЛГ(т1) = е(п) + 5Ф(т1). B.26)
Подставляя B.26) в уравнение B.24) и разделяя слагаемые в
получившемся уравнении на две группы так же, как это было
сделано в уравнении B.4), получим две задачи Коши:
O, 9@) = 0, dQ(O)/dr] = l B.27)
0, ф@) = 0, d<p(O)/dr\=—l, B.28)
что дает
dN(O)/dr\=l-s. B.29)
Параметр s в B.26) вычисляется с помощью граничного условия
при г] = оо;
откуда
s = H— 0(оо)]/Ф(оо). B.30)

26
Гл. 2. Метод суперпозиции
В подобных задачах, где второе граничное условие задается
на бесконечности, на практике нет затруднений при определении
значений таких величин, как Э(оо) и ф (сю). Обычно решения
приближаются к этим пределам при некотором конечном значе-
значении аргумента.
Таким образом, процедура решения уравнения B.24) состоит
из следующих шагов.
1. Значение второй производной функции / при т^ = 0 известно
из работы [4J, а именно
d*f @)AV = 0.927680.
С учетом двух граничных условий при т^ = 0
это позволяет получить решение f интегрированием вперед урав-
уравнения B.25).
2. Интегрирование двух задач Коши B.27) и B.28) даетб(т))
и ф (ti). В частности, получаем Э(оо) и ф(о°).
0.7 ¦-
.0.5
0.3
0.1
10
Рис. 2.3. Градиент концентрации на поверхности зонда.
3. Величину параметра s можно вычислить подстановкой зна-
значений 6(оо) и ф(оо) в B.30).
4. Решение N (т^) определяется по формуле B.26) как комби-
комбинация решений двух задач Коши.
Градиент концентрации на поверхности зонда
I = dN@)/dr\

2.3. Граничная задача третьего порядка 27
определяется, согласно B.29), с помощью соотношения
I = dN@)/dr\=l—s. B.31)
На рис. 2.3. / представлен как функция от A + е)Мге/[A +P)#]-
Эта кривая согласуется с кривой, приведенной в [3].
2.3. Приведение граничной задачи третьего порядка
к задаче Коши
Рассмотрим задачу, определяемую обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением третьего порядка
cPy/dx3 + f, (x) d*y/dx* + /, (х) dy/dx + /,(*) У = г (*) C.1)
и граничными условиями
*/@) = 0, dy@)/dx = 0, 0A) = 0. C.2)
Решение этой задачи можно получить, положив
*)• C.3)
Как и в случае дифференциальных уравнений второго порядка,
следует начать с решения на отрезке 0^^^ 1 двух задач Коши,
а именно задачи
ePyJdx' + /, (х) d*yjdx* + U (х) dyxldx + /, (х) у, = г (х), C.4)
0,@) = 0, dy1@)/dx = 0, d%@)/dx2 = 0 C.5)
и задачи
cPyJdx3 + ^ (х) d*y2/dx* + ft (x) dyjdx + /., (*) y2 = 0, C.6)
t/2@) = 0, dy2{0)/dx = 0, d*yt{V)ldx*=\. C.7)
Затем из граничного условия при х— 1 можно найти константу ц:
!)• C.8)
Наконец, решение задачи C.1), C.2) находится по формуле C.3),
так как значение ц теперь известно.
В качестве иллюстрации рассмотрим решение дифференциаль-
дифференциального уравнения
cPy/dx3—7 dy/dx + &y = 6 C.9)
с граничными условиями
у@) = 0, dy(P)/dx = 0, 0A) = O.
Сравнивая уравнения C.9) и C.1), получаем
М*) = 0, /iW=—7, /,(jc) = 6, r(x) = 6.

28 Гл. 2. Метод суперпозиции
Интегрирование уравнений C.4), C.5) и C.6), C.7) от ^ = 0 до
х= 1 дает
у, A) = 1.3509 и */2A) = 0.8007;
подставляя эти значения в C.8), получаем
1)=-1-6871.
Поскольку функции уг (х), у2 (х) и константа ц теперь изве-
известны, решение исходной задачи можно получить по формуле C.3).
Мы не приводим подробностей, так как задача достаточна проста.
2.3.1. Трехточечная задача для дифференциального уравнения третьего
порядка
Следует указать, что форма представлений B.3) и C.3) не
является единственно возможной. Общим правилом при решении
граничной задачи методом суперпозиции должно быть равенство
числа вводимых неизвестных констант и недостающих начальных
условий. Например, если граничные условия C.2) замененены
условиями в трех точках
dy@)/dx = 0, у(Ь) = О, dy(c)/dx = 0, (ЗЛО)
то решение необходимо представить в виде комбинации функций,
включающей две неизвестные константы:
У (*) = у1 (х) + цу2 (х) + Хуя (х), C.11)
поскольку при х = 0 недостает двух начальных условий.
Чтобы получить искомое решение, прежде всего нужно решить
три (вместо двух) задачи Коши, а именно:
(Pyjdx* + h (x) (Pyjdx'+f, (x) dyjdx + ft (x) у, = г (х), C.12)
^@) = 0, dy,@)/dx = 0, d2yl@)/dxi = 0;
d3y.Jdx3 + f, (x) d2y2/dx2 + /, (x) dy2fdx + }3 (x) y2 = 0, C.13)
d*y3/dx* + U (x) d*y.Jdx* + f, (x) dyjdx + f3 (x)y3 - 0, C.14)
0,@) = 0, dy>(P)/dx = 0, d»4f, @)dx» == I,
а затем найти константы ц и 1 из граничных условий при х — Ъ
и х — с, т. е. из системы уравнений
УЛЬ) + №(Ь) + ЬУ»Ф) = О, C.15)
dyx {c)ldx + fi dy2 (c)/dx + X dy3 (c)/dx = 0.
Поскольку yx(b), уг(Ь), ys(b), dy1{c)ldx, dy2(c)/dx и dy3(c)/dx
известны из решений задач C.12) —C.14), из C.15) можно найти
(I и i Когда эти две константы найдены, решение исходной за-
задачи вычисляется по формуле C.11).

2.3. Граничная задача третьего порядка 29
2.3.2. Расчет трехслойной балки
Трехслойная балка состоит из параллельных слоев различных
материалов. Для такой балки, равномерно нагруженной по всей
длине, Крайчинович [5] установил, что деформация сдвига i|) опи-
описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением
= 0, C.16)
где k2 и а — физические параметры, зависящие от упругих свойств
слоев.
Обращение в нуль момента на свободных концах балки при-
приводит к граничным условиям
ch|>@)/d* = di|>(l)/dx--=0, C.17)
а из условия симметрии следует, что
фA/2) = 0. C.18)
Уравнение C.16) и граничные условия C.17), C.18) опреде-
определяют трехточечную граничную задачу.
Хотя формулировка этой задачи является простым применением
принципа минимума потенциальной энергии, детали вывода слиш-
слишком сложны и здесь опускаются. Мы применим для решения
задачи метод суперпозиции.
Прежде всего представим решение в виде
Ц(х) = ^(х) + ^Лх)+^3(х). C.19)
Тогда три задачи Коши C.12) —C.14) запишутся следующим
образом:
(Nh/dx* - k2 dtyjdx + а = О,
Л|>, @)/dx - 0, ih@)=0t tf4, @)/dx» = 0; ( >
Чтобы найти ц и К, обратимся к уравнениям C.15), которые
теперь примут вид
i|>i A/2)+ 1^,A/2) + *,^ A/2) = 0, C.23а)
ЛЬ A )ldx + |t di>2 A )ldx + A difc A )/dx = 0. C.236)
Решая эту систему, получаем
_ (#з A )/dx) fr A /2) - (^ A )/«to) t|>, A /2)
f* (di|)a (l)/d«) ij33 A/2) —(dTjj3 A)/Ле) гря A/2)' к°-^>
, = (^1A)/^)^2A/2)-(#2A)/^)^A/2) ,„ 9-.
(АМ1)/ЛIМ1/2)-(ЛЫ1)/Лс)Ы1/2)' V '

30 Гл. 2. Метод суперпозиции
Решения, найденные этим методом для значений параметров
а—\, k — b и 10, приведены в табл. 2.1. Значения г|), вычислен-
вычисленные по точной формуле
Ц> (х) = (a/k3) [sin (k/2)—sh kx] + {alkF) (x— 1 /2) +
+ {a/k3) th (jfe/2) [ch fce—ch (jfe/2)], C.26)
совпадают с соответствующими значениями, полученными мето-
методом суперпозиции.
Таблица 2.1
Пример решения задачи C.16) — C.18) при а =1.00
* * 1)) (JC)
5.0
10.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
—0.0121
—0.0092
—0.0033
0.0033
0.0092
0.0121
—0.0040
-0.0029
-0.0010
0.0010
0.0029
0.0040
2.4. Заключительные замечания
Метод суперпозиции, описанный в этой главе, можно найти
в математической литературе под названием метода дополнитель-
дополнительных функций [6] и —в несколько иной форме—под названием
метода частных решений [7—10]. В этом параграфе мы коснемся
последнего метода.
Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка,
записанное в виде системы уравнений первого порядка
Iй"' 1г = и' S +/i (*) и+/*(*) " + /зМУ = '(*), D.1)
дополненной граничными условиями
У{, и@) = и„ ff(l) = ty. D.2)

2.4. Заключительные замечания 31
Миеле и другие авторы [7—10] предложили представить реше-
решение в виде
где уц\ uil) и vin удовлетворяют системе дифференциальных урав-
уравнений D.1) с граничными условиями D.2). Подставляя D.3) в
D.1), получаем
bi{dywldx—uw) + b2(dywldx—um)=:Q, D.4)
b1 (du^/dx - v{1)) + b2 (du^/dx—wB)) = 0, D.5)
+ b2 (dv^/dx + f,v™ +f,uw + hyl2)) = r (x). D.6)
Поскольку y{h, и{1) и vu> являются решениями системы уравне-
уравнений D.1), уравнения D.4) и D.5) выполняются тождественно,
а D.6) дает следующее соотношение между Ьх и Ь2:
&,= 1. D.7)
Покажем теперь эквивалентность метода частных решений и
метода дополнительных функций.
С учетом D.7) функции D.3) записываются в виде
и (х) = иш (х) {-Ь2 [иB) (х) — и{и (х)], D.8)
v (х) = v{1) (x) + bt [vm (x)—u(
так как уи'\ ии'\ vih — неизвестные функции, D.8) можно запи-
записать иначе:
y«4x) + bym(x) «(jc) a»>(jc) + Mw'W. ,4 о>
где у{3) = ут—уа) и т. д. Аналогичным образом можно записать
уравнения D.4)—D.6):
dya)/dx - ы'1»+ b2 (dym/dx - ыC>) = 0, D.10)
b2 (duw/dx—vw) = 0, D.11)
+ f3ym +
)== r (x). D.12)
Приравнивая нулю множители при b2, а также члены, не со-
содержащие Ь2, получаем две системы дифференциальных уравнений:
w = Q,
= r(x) ( }

32 Гл. 2. Метод суперпозиции
dv3/dx + /l0«> + /2u<3> + f зУ™ = 0, ( '
т. е. уравнения, которые используются в методе дополнительных
функций. Изложенные выше соображения показывают, что эти
два метода в сущности эквивалентны.
Задачи
1. Вязкоупругая жидкость—это жидкость, обладающая памятью. При
исследовании течения такой жидкости вдоль бесконечной горизонтальной пло-
плоскости (На и Сидом [11]) получается следующая граничная задача:
vd2F/d42—(k0f!>2+f!>)F=0, F@) = ?/o, F(oo)=0.
Решить эту задачу методом суперпозиции и сравнить результат с точным ре-
решением
F={/Oexp(- ^(X0P1 + P)/vt|).
Указание: прежде чем применять численный метод, выполнить следующее
преобразование:
^ g=F/Ue.
2. При исследовании переноса массы на вращающемся диске в неньюто-
иовской жидкости (Гриф и Андерсон [12]) было найдено, что концентрация
диффундирующего компонента является решением граничной задачи
Решить эту задачу методом суперпозиции для п=0,2, 1.0 и 1.5 и сравнить
результат с точным решением
s_7_+5n\
'3
(*)•
где Г — гаммэ-фуикция, а у—неполная гамма-функция.
3. При исследовании распространения тепла в радиальном течении между
параллельными круовыми дисками [13] была получена следующая граничная
задача:
d*f/dr?+42df/dr\—Зат)/ = 0, /@) = 1, /(оо) = 0.
Решить эту задачу методом суперпозиции для а = 0, 5 и 10,
Ответ: недостающие граничные условия таковы: /'@) = — 0,77633,
f @) = —1.83778 и /'@) = — 2.29040 соответственно.
4. Рассмотрим электрический контур с последовательно соединенными
элементами: индуктивностью Z-(=l Г), сопротивлением R (=1000 Ом) и ем-
емкостью С (=6.25-10~в Ф). Начальный заряд а контуре равен нулю, и в мо-
момент времени /=0 к нему прикладывается постоянная э.д.с, равная 24 В,
Требуется определить величину тока в момент времени /=0, если известно,
что при t =0.001 с величина тока рапна 0.031 А. Для того чтобы найти ответ,
следует решить граничную задачу
i@.O0l) = dQ @,001 )/d< =0,031.
Ответ: i @) =dQ \O)/dt =5 A.

Литература 33
Литература
[I] Коллатц (Collatz L.)- The numerical treatment of differential equations.—
New York: Springer, 1966, p. 184—186. [Имеется перевод; см. с. 1?.]
[2] Ли (Lee Е. S.). Quasilinearization, nonlinear boundary value problems and
optimization.—Chem. Eng. Sci, 1966, v. 2), p. 183—194.
[3] Мейз, Сабаделл (Maise G., Sabadell A. J.). Electrostatic probe measurements
in solid-propellant rocket exhausts.—AIAA J., 1970, v. 8. p. 395—901.
[Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1970, № 5, с. 45.]
[4] Мур (Moore F. К.).— Theory of laminar flow,—Princeton Univ. Press, 1964,
p. 127.
[5] Крайчинович (Krajcinovic D.). Sandwich beam analysis.— J, Appl. Mech.,
1972, v. 39, p. 773—778. [Имеется перевод: Труды Амер. об-ва инженеров-
механиков, сер. Е, Прикладная механика, 1972, № 3, с. 137.]
[6] Роберте, Шипман (Roberts S. M., Shipman J. S.). Two-point boundary value
problems: Shooting methods.— New York: Elsevier, 1972, Ch. 4.
[7] Хейдеман (Heideman J. C). Use of the method of particular sulutions in
nonlinear two-point boundary value problems. Part I. Uncontrolled systems.—
Aero-Astronaut. Rep. No. 50, Rice Univ., 1968.
[8]—Use of the method of particular solution in nonlinear two-point boundary
value problems. Part II. Controlled systems.— Aero-Astronaut. Rep. No. 51,
Rice Univ., 1968.
[9] Миеле (Miele A.). Method of particular solutions for linear two-point boun-
boundary value problems. Part I. Preliminary examples.—Aero-Astronaut. Rep. No.
48, Rice Univ., 1968.
[10] —Method of particular solutions for linear two-point boundary value pro-
problems. Part II. General theory.—Aero-Astronaut. Rep. No. 49, Rice
Univ., 1968.
[II] На, Сидом (Na T. Y., Sidhom M. M.).—J. App. Mech., 1967, v. 34, p.
1040—1042. [Имеется перевод: Труды Амер. об-ва инженеров-механиков,
сер. Е, Прикладная механика, 1967, № 4, с. 325.]
[12| Гриф, Андерсон (Grief R. Anderson J. A.).— Phys. Fluids, 1973, v. 16,
p. 1816-1817.
[13] На, Чамберс (Na T. Y., Chambers R. C.).—ASME papers 67-WA/HT-16,
1967.

Глава 3
МЕТОД ПРОГОНКИ
3.1. Введение
Метод прогонки был разработан И. М. Гельфандом и О. В. Ло-
куциевским в Математическом институте им. Стеклова АН СССР.
В англоязычной литературе этот метод впервые был изложен
в переводе книги И. С. Березина и Н. П. Жидкова [1].
Вкратце метод сводится к следующему. Основываясь на форме
граничного условия в начальной точке, выводится обыкновенное
дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше
порядка заданного дифференциального уравнения и коэффициенты
которого включают неизвестные функции. Количество таких не-
неизвестных функций равно, как правило, порядку исходного диф-
дифференциального уравнения; это станет очевидным, когда мы по-
познакомимся с методом. Если выведенное уравнение продифферен-
продифференцировать, то новое уравнение будет иметь тот же порядок, что
и заданное. Приравнивая коэффициенты этих двух уравнений,
получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка,
интегрированием которой можно получить неизвестные коэффи-
коэффициенты. В частности, решения в конечной точке совместно с гра-
граничными условиями в этой точке составляют полный набор урав-
уравнений для нахождения всех граничных значений. Этот этап
называется прямой прогонкой. Зная полный набор граничных
условий в конечной точке, исходное уравнение можно проинтегри-
проинтегрировать как задачу Коши от конечной точки до начальной. Этот
этап называется обратной прогонкой. Таким образом удается
избежать итераций.
В данной главе метод представлен на примере решения линей-
линейных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков.
Детали метода разъясняются при разборе конкретных задач.
3.2. Вывод уравнений прогонки для дифференциальных
уравнений второго порядка')
Рассмотрим граничную задачу, определяемую линейным диф-
дифференциальным уравнением
(x), B.1)
J) Доказательство утверждений этого параграфа предложено Д. С, Джон-
С&М, профессором университета в Данди (частное сообщение).

3.2. Вывод уравнений прогонки 35
где р(х) и q(x) — непрерывные функции, и граничными условиями
B.2)
B.3)
где а00, р00, аи и р^—константы.
Рассмотрим теперь линейное дифференциальное уравнение пер-
первого порядка
B.4)
и выберем а,0(х) и а1 (х) так, чтобы у удовлетворяло уравнению
B,1). Продифференцировав B.4) по х, получим
d2y/dx2 = (dao/dx) у + daJdx + сс0 dy/dx. B.5)
Заменим здесь dy/dx выражением, стоящим в правой части урав-
уравнения B.4), что дает
d2y/dx2 = (da0/dx + al)y + dal/dx-\-a0a1. B.6)
Из сравнения с B.1) видно, что должны удовлетворяться сле-
следующие уравнения:
= p{x), B.7)
= q(x). ¦ B.8)
В качестве первого шага проинтегрируем на отрезке а^^
уравнения B.7) и B.8) как задачу Коши, приняв в качестве
начальных значений
а0 (а) = а00, ах (а) = а10,
и получим значения ао(Ь) и al(b). Подставив найденные значе-
значения в B.4), получим
dyibVdx^a^^yi^ + a^b). B.9)
С другой стороны, граничное условие B.3) при х = Ь дает
B.10)
Так как теперь ао(Ь) и at(fe) — известные величины, уравнения
B.9) и B.10) можно разрешить относительно у(Ь) и dy(b)/dx и
получить
dy (b)/dx = [&Л F)—р10о0 (&)]/[Р„-о0 (b)]. B.12)
Теперь задачу Коши, определяемую уравнением B.1) и началь-
начальными условиями B.11) и B.12), можно проинтегрировать назад
от х = Ь. Другая возможность заключается в том, чтобы проин-
проинтегрировать B.4), используя B.11) в качестве начального условия.
2»

36 Гл. 3. Метод прогонки
3.3. Применение метода
Метод, описанный в § 3.2, теперь будет проиллюстрирован
тремя примерами, Чтобы продемонстрировать его точность, реше-
решения, полученные методом прогонки, сравниваются с точными
решениями.
Отправным пунктом в методе является нахождение из урав-
уравнений B.7) и B.8) на интервале от х = а до х = Ь функций а0 (х)
и а, (х), в результате чего получаются значения а0 (Ь) и otj (b)
этих функций в конечной точке. Это этап прямой прогонки. Гра-
Граничные условия в конечной точке х = Ь могут быть вычислены
по формулам B.11) и B.12). Зная уф) и dy(b)/dx, уравнение B.1)
можно проинтегрировать назад от х = Ь до х = а как задачу Коши.
Результат можно получить иным путем, интегрируя B.4) от
х = Ь до х = а и используя значение уф) в качестве начального
условия. Это этап обратной прогонки.
Детали вычислений разъясняются в примерах.
3.3.1. Простая граничная задача
Рассмотрим решение следующей граничной задачи:
d2y/dx* = — y + xcosx, C.1)
dy@)/dx = 3y@) + 2, dy (n/2)/dx = — by (я/2) + 2. C.2)
Известно точное решение этой задачи
у = — 0.73 cos х — 0.441 sin л:+ A/4) (х2 sin л: + л: eosx), C.3)
откуда
у(я/2) = 0.175 и dy(n/2)/dx = 1.122. C.4)
Теперь найдем эти граничные значения, решая задачу методом
прогонки.
Сравнивая уравнения C.1) и B.1), получаем
р(х) = — 1, q(x) = xcosx, ¦ C.5)
так что уравнения B.7) и B.8) записываются в виде
dao(x)/dx =— \—а%(х), da1(x)/dx = xcosx — a0(x)al(x). C.6)
Граничные условия таковы:
ссо@) = 3, а,@) = 2.
Уравнения C.6) можно проинтегрировать от х = 0 до х— it/2.
Результаты привелены на рис. 3.1 и 3.2.
Так как
dy(x)/dx = ao{x)y(x) + a1(x), C.7)
мы имеем
C.8)

3.3. Применение метода
37
Учитывая, кроме того, граничное значение во второй точке
dy(n/2)/dx = —5г/(я/2) + 2, C.9)
можно разрешить систему уравнений C.8), C.9) относительно
i -
Рис. 3.1. Функция ао(х); a0 (л/2)= —0.333.
2 г-
Рис. 3.2. Функция аг(х); ах (л/2) = 1.184.
у (я/2) и dy(n/2)/dx:
у (я/2) = [2 -ах (я/2)]/[5 + а0 (я/2)] = 0.176,
dy (n/2)/dx = —by (я/2) + 2 = 1.122,
что согласуется с точным решением.
C.10)
C.11)

38
Гл. 3. Метод прогонки
3.3.2. Распространение тепла по бесконечной пластине
с источником тепла
В качестве другого примера решим методом прогонки класси-
классическую задачу распространения тепла. Рассмотрим бесконечную
пластину, помещенную в жидкость с температурой Т^, как пока-
показано на рис. 3.3. В пластине выделяется тепло с постоянной
скоростью qs. Требуется определить распределение температуры
в пластине.
Чтобы сформулировать задачу, запишем первый закон термо-
термодинамики:
скорость притока тепла в объем -f-
-f скорость тепловыделения в объеме =
=скорость оттока тепла из объема,
или — в математической форме (см. рис. 3.3)—
где А—площадь поверхности. Упрощая это уравнение и исполь-
используя закон теплопроводности Фурье
qx = — k dT/dx,
первый закон термодинамики можно записать в виде
d*T/dx* + qs/k = 0r C.12)
в это уравнение входит полная производная, так как в данном
случае температура зависит только от х.
Уравнение C.12) будет решаться со
следующими граничными условиями. В
силу соображений симметрии рассматри-
рассматривается только половина пластины. Из
тех же соображений следует, что в цент-
центре пластины (при х = 0) градиент тем-
температуры равен нулю, и получается
первое граничное условие:
dT@)/dx = 0.
Второе граничное условие (при х — 1)
является стандартным для случая кон-
контакта твердого тела и жидкости с раз-
различными температурами в пренебреже-
пренебрежении излучением:
Рис. 3.3. Схематическое изо-
изображение пластины.
-kdT(l)/dx=h[T(l)-TJ,
где k — коэффициент теплопроводности, h — коэффициент конвек-
конвективной теплопередачи, Т^—температура жидкости вдали от по-
поверхности пластины, /—половина толщины пластины.

3.3. Применение метода 39
Если ввести безразмерные величины
то уравнение C.12) запишется в виде
d20/dx2 4-1=0, C.13)
а граничные условия—в виде
dQ@)/dx = 0, —dQ{\)/dx = NbiQ(l),
где Nbi— число Био.
Известно точное решение этой граничной задачи
0 = A/2)A-?)-Ы/Л/ы.' _ C.14)
По этой формуле найдем граничные значения при х=1:
e(l) = l/tfbi, d8(l)/d? = — 1. C.15)
Теперь найдем эти граничные значения, вычислив решение мето-
методом прогонки.
Сравнив уравнение C.13) и граничные условия для него
с задачей B.1) —B.3), получим
поэтому уравнения B.7) и B.8) запишутся в виде
da, (x)/dx = - [о, (х)]\ _ 13.17)
-l-a0(x)a1(x), C.18)
а граничные условия—в виде
а„@) = 0, в1@) = 0. C.19)
Проинтегрируем C.17) — C.19) от х = 0 до х=\, в результате
чего найдем значения ot0 A) и a^l). Далее, так как
dQ (x)/dx = a0 (x) 9 (i) + ax (л), C.20)
полагая jc == 1, получаем
Принимая во внимание граничное условие во второй точке
dQ(l)/dx= NuQ(l)f C.21)
можно вычислить граничные значения в точке х=1:
C.22)
C.23)

40
Гл. 3. Метод прогонки
В качестве иллюстрации результаты, полученные численно и
по формуле C.14) для трех значений Nbi, приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Сравнение результатов, полученных методом
прогонки, с точным решением
Метод прогонки
Точное решение
vbl
В A)
dB <I )/d~x
9A)
dB(l)/dx
0.
1.
3.
5
5
0
2.
0.
0.
0000
6667
3333
1
1
1
.0000
.0000
.0000
2.
0.
0.
0000
6667
3333
1
1
1
.0000
.0000
.0000
Согласование оказалось превосходным.
С помощью прямой прогонки мы получили полный набо гра.
ничных условий во второй точке (см. табл. 3.1). Имея эти зна.
2.5
2.0
15
1.0
0.5
0.0
Q.O
ОЛ
0.8
x
Рис. 3.4. Распределения температуры.
чения, на следующем этапе — обратной прогонке—можно выпол-
выполнить интегрирование назад от второй точки до начальной, т. е.
в нашем примере от х=\ до х = 0. Уравнение C.13) интегри-

3.3. Применение метода
41
руется назад от х = 1 до х = 0, что дает результаты, показанные
на рис. 3.4. С физической точки зрения кривые на этом рисунке
представляют распределения безразмерной температуры для трех
значений параметра Nbi.
3.3.3. Распространение тепла в пластине радиатора
Рассмотрим пластину радиатора, изображенную на рис. 3.5,
при температуре окружающего воздуха, равной Т^.
При проектировании радиатора можно считать, что темпера-
температура в поперечном сечении, перпендикулярном оси пластины
Рис. 3.5. Схематическое изображение пластины радиатора.
(оси х), постоянна. Температура Ts у левого края пластины
(при х = 0) известна.
Из условия сохранения энергии для бесконечно малого объема,
соответствующего отрезку пластины д/иной dx, следует, что
приток тепла через левую границу объема =
= отток тепла через правую границу объема+
+ конвективный отток тепла через поверхность пластины, C.24)
или — в математической форме—¦
Aqx = A(gx + dgx) + h{Pdx)(T-TJ, C.25)
где А и Р — площадь поперечного сечения и периметр соответ-
стренно, а ft —коэффициент конвективной теплопередачи,

42 Гл. 3. Метод прогонки
Упрощая уравнение C.25) и используя закон теплопровод-
теплопроводности Фурье
qx = — kdT/dx,
получаем
m*(T — TJ, m = hP/(kA). C.26)
Граничные условия устанавливаются на основании следующих
физических соображений. При х — 0 температура известна и равна
Ts, а при x = L, т. е. на другом краю пластины, перенос тепла
обусловлен только конвекцией. Приравнивая отток тепла от твер-
твердого тела притоку тепла в воздух за счет конвекции, получаем, что
= h[T{L)—Tm].
Если ввести безразмерные переменные
x = x/L, Q = (T-TJ/(TS-TJ,
то уравнение C.26) и граничные условия для него запишутся
следующим образом:
d*Q/dx* = ре, C.27)
0@) = 1, C.28)
C.29)
где р = m2L\ a Nbi = hL/k.
Казалось бы, решить уравнение C.27) просто. Однако если
сравнить задачи C.27)—C.29) и B.1) — B.3), то видно, что урав-
уравнения из § 3.2 использовать непосредственно нельзя. Конкретнее
говоря, граничное условие при л; = 0 C.28) не согласуется о фор-
формой условия B.2).
Чтобы выйти из этого затруднения, перепишем B.2) и B.4)
в виде
yoody(a)/dx = y(a) + yio C.30)
и
yo(x)dy/dx = y + y1(x), C.31)
где
Voo=l/aoo. Yio = aw/aoo C-32)
и
у» (х) = 1/а, (ж), Yi (*) = «i (*)/«« (х). C.33)
Тогда уравнения B.7) и B.8) для прямой прогонки запишутся
в виде
dy0 {x)/dx = 1 — yl(x) p (x), C.34)
dyx {x)/dx = yQ (x) q (x)—y0 (x) уг (х) р (x), C.35)

3.3. Применение метода 43
а граничные условия—в виде
Yo(a) = Voo. Yi(«) = Vio- C.36)
Чтобы найти граничные значения при х — b, снова восполь-
воспользуемся функциями C.33) и аналогично тому, как были получены
значения B.11) и B.12), получим
e(*) = Yi(*)/P+Yo(&)tfbi], C-37)
dQ (b)/dx = - iVbiYl ФI\ 1 + у. Ф) #„,1. C.38)
Для нашего примера, где
уравнения C.34), C.35) и граничные условия для них запишутся
в виде
dyo(x)'dx~l-^l(x), _ C.39)
dyt (x)/dx = - Py» (x) Yi (x), C.40)
Ye@) = 0, Yi@)-l. C.41)
Проинтегрировав C.39)—C.41) от x = Q до x—l, найдем
YoO) и Yi(l)- Граничные значения при х=\ вычислим по фор-
формулам C.37) и C.38), положив b равным 1. Результаты для не-
нескольких значений Afbi и р приведены в табл. 3.2, в которую
также включены значения 9A), найденные по точной формуле.
Известно, что точное решение граничной задачи C.27) — C.29)
дается формулой
е_ У$ с\ /? A -х) + Nbi sh /j (l -x) C 42)
jApch ^p-f/Vbi sh ^p ¦ '
Таблица 3.2
Граничные условия при х = 1
Метод прогонки
vbi
Oil) dQ(l)/dx 6A)
2.0 0.5 0.3494 0.1747 0.3494
1.5 0.2364 0.3546 0.2364
3.0 0.1592 0.4775 0.1592
1.0 0.5 0.4693 0.2347 0.4693
1.5 0.3025 0.4537 0.3025
3.0 0.1973 0.5919 0.1973

44 Гл. 3. Метод прогонки
откуда при х = 1 получается
0A) = -= уХ^- т=. C.43)
На этом заканчивается этап прямой прогонки.
Чтобы получить распределение температуры, нужно использо-
использовать обратную прогонку: проинтегрировать C.27), приняв за на-
начальные условия 0A) и dQ(\)/dx из табл. 3.2. Разбор деталей
мы оставляем читателю в качестве упражнения.
3.4. Дифференциальные уравнения третьего порядка
Метод, развитый в предыдущих разделах для дифференци-
дифференциальных уравнений второго порядка, будет теперь распространен
на дифференциальные уравнения третьего порядка. В разд. 3.4.1
рассматриваются задачи с одним граничным условием в началь-
начальной точке и двумя в конечной. Здесь просто обобщается метод
для уравнений второго порядка. В разд. 3.4.2 рассматривается
более сложный случай, когда граничные условия заданы в трех
точках. В этом случае необходимо ввести две системы уравнений
вместо одной. В разд. 3.4.3 мегод, описанный в разд. 3.4.2, при-
применяется к задаче третьего порядка, получающейся при иссле-
исследовании трехслойной балки.
3.4.1. Дифференциальные уравнения третьего порядка
с одним граничным условием в начальной точке
Рассмотрим граничную задачу, определяемую уравнением
d3y/dx3 = P(x)dy/dx + Q(x)y-j-R(x), D.1)
и граничными условиями
, " D.2)
D.3)
d?y (l)/dx* = yon dy (\)/dx + Ъау A) + y20. D.4)
Так как уравнение D.1) является уравнением третьего порядка,
нужно ввести дифференциальное уравнение второго порядка
d*y/dx2 = а0 (х) dy/dx + -xt (х) у + а2 (х). D.5)
Дифференцируя D.5) и исключая &*у!&хг с помощью D.5), получаем
Действуя так же, как и в случае задачи второго порядка,
выберем ао{Х), ах(л) и аг(х) так, чтобы у удовлетворяло урав-

3.4. Дифференциальные уравнения тр^ть'го порядка 45
нению D.1). Для этого нужно, чтобы удовлетворялись следую-
следующие уравнения:
dajdx + а +а, = Р(х), D.7а)
dajdx + аоа, = Q(x), D.76)
dajdx + аоаг = R (х). D.7в)
Проинтегрируем систему D.7) как задачу Коши с начальными
значениями
ао@) = аО0, а1(О)==а„„ а2@) = а20 D.8)
на интервале от х = 0 до х=1. В частности, получим значения
величин аоA), а,A) и а2A). Из D.5) следует, что
+a%(l). D.9)
С другой стороны, граничные условия D.3) и D.4) при х—\ дают
еще два уравнения:
o, D.10)
to D.11)
Полный набор граничных значений при х=\, а именно уA),
dy{\)ldx и d*y(l)/dx* теперь может быть найден из системы D.9)—
D.11). Используя эти значения, можно проинтегрировать урав-
уравнение D.1) от х = 1 до х = 0 (обратная прогонка) как задачу Коши.
Поскольку этот случай совершенно аналогичен случаю, рас-
рассмотренному в § 3.3 для уравнения второго порядка, мы не при-
приводим здесь никаких примеров.
3.4.2. Дифференциальные уравнения третьего порядка
с граничными условиями, заданными в трех точках
Рассмотрим граничную задачу, определяемую дифференциаль-
дифференциальным уравнением третьего порядка
d9y/dx3 = Р(х)dy/dx + Q(x)y + R (x) D.12)
и граничными условиями, заданными в трех точках:
dy @)/dx = a00d2y @)/dx2 + aloy @) + а,„, D.13)
у (b) = pood*0 (b)/dx* + ;)lody {b)/dx + p20, D.14)
dy {c)/dx = ymd*y (c)/dx* -fc Ъйу (с) + ы- D.15)
Здесь мы должны ввести два уравнения вместо одного, как в пре-
предыдущем разделе. Прежде всего введем следующее дифференци-
дифференциальное уравнение второго порядка-
dy/dx = а0 (х) d2y/dx* + ах (х) у + а2 (х). D.16)

46 Гл. 3, Метод прогонки
Дифференцируя D.16) по х и исключая d2y/dx'i с помощью D.16),
получаем уравнения
dan(x) . . ,
—iaWa
D.17)
)
¦ Если потребовать, чтобы решение у уравнения D.16) удовлет-
удовлетворяло также и уравнению D.12), то нужно приравнять коэффи-
коэффициенты при соответствующих членах в D.12) и D.17). Это дает
систему уравнений
da0 (x)/dx = 1 —a0 (x)a, (x)- p (x) [a0 (x)]2, D.18)
da, (*)/dx = —[«i (a:)]2 — P {x)a0 (x) a, (*) —a0 (*) Q (je), D.19)
da2 (x)/dx=- — a, (jc)a2 (*)—/>(*) a0 (x)a2 (jc)—a0 (x) R (x). D.20)
Систему D.18) — D.20) можно проинтегрировать как задачу Коши,
так как начальные значения известны:
ao(°)==aOo. ai@) = a10, оц@) = а20. D.21)
Введем другое дифференциальное уравнение, соответствующее
граничному условию при х = Ь
у = р0 {х) d*y/dx* + Г, (х) dy/dx + !1„, (х). D.22)
Дифференцируя D.22) по л и исключая d2y/dx2 с помощью D.22),
получаем уравнение
P/dx+Pi Ф
dx
^ D23)
Po
Вновь выберем Р„, C, и |52, так, чтобы решение у уравнения D.22)
удовлетворяло также уравнению D.12). Это требование будет
выполнено, если будут равны соответствующие коэффициенты
в уравнениях D.12) и D.23). Попарно приравнивая эти коэффи-
коэффициенты и переставляя некоторые члены, получаем систему урав-
уравнений
dp./dx = —р,—pSQ(Jt), D.24)
d№= 1 -рД(? (*)-р„/>(*), D.25)
dfa/dx = -Pop2Q (лс) - Р„/? (дс). D.26)
Граничные условия имеют вид
Ро(*) = Р... Pi(ft) = Pi.. Ра (Ь) = Р2о- D-27)

3.4. Дифференциальные уравнения третьего порядка 47
Задачи D.18)—D.21) и D.24) — D.27) нужно интегрировать до
х = с, конечной точки интервала. В частности, получим значения
следующих величин:
а0 (с), а, (с), а2 (с),
Р. (с), Pi (с), Р,(с).
При х = с уравнения D.16) и D.22) дают
dy (c)/dx = а0 (с) d?y (c)/dx* + ах (с) у (с) + а2 (с), D.28)
c). D.29)
В качестве третьего уравнения используем граничное условие
при х — с (условие D.15))
у (с) + у20. D.30)
Уравнения D.28) — D.30) можно разрешить относительно /(^,
dy(c)/dx и diy(c)/dxt, составляющих полный набор граничных
значений в конечной точке х = с. Этим завершается этап прямой
прогонки.
Используя полученные выше значения при х — с в качестве
начальных, можно интегрированием назад найти решение урав-
уравнения D.12). Этим завершается этап обратной прогонки.
3.4.3. Расчет трехслойной балки
Теперь решим методом, описанным в разд. 3.4.2, задачу о
трехслойной балке, рассмотренную в разд. 2.3.2. Сравнивая диф-
дифференциальное уравнение
0 D.31)
и граничные условия
dty@)/dx = dty(\)fdx = 0, г|>A/2) = 0 D.32)
с уравнением и граничными условиями D.1)—D.4), получаем
P(x) = k\ Q(x) = 0, R(x) = -a,
«оо = aio = a2o = 0. Poo = Рю = Рго = 0. Yoo = Yio = V20 = °.
b=\/2, C=\.
Две задачи Коши D.18)—D.21) и D.24)—D.27) принимают
следующий вид:
daa (x)/dx = 1 — a0 (x) a, (x) — k* [a0 {x)f,
da, (x)/dx = —[al (x)]* — ^ (x)a, (x), D.33)
d<x% (x)/dx = —a, (x) a2 (x) - k2a0 (x) a2 (x) + aa0 (x),

48 Гл. 3. Метод прогонки
=l —*»P,(jc), D.34)
В качестве примера рассмотрим случай
k = 5, o=l.
Решения а, и Р(. задач Коши D.33) и D.34) приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Решения а,- и fi/ при ?=5 и а=1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0000
0.1523
0.1928
0.1990
0.1999
0.2000
а,
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
а2
0.0000
0.0141
0.0294
0.0360
0.0385
0.0395
0.0000
—0.0051
-0.0217
-0.0541
—0.1105
—0.2053
3.
0.0000
0.1042
0.2350
0.425Q
0.7254
1.2100
0.0000
—0.0002
—0.0014
—0.0050
—0.0130
—0.0284
На следующем шаге найдем полный набор начальных значе-
значений при *= 1. Система уравнений D.28)—-D.30) для нашей задачи
записывается в виде
откуда
D.35)
dx*
Так как все величины <х( и р, в правых частях D.35) известны
и приведены в табл. 3.3, находим
== 0.0121, cty(l)/d* = O, d*ty(l)/dx* = — 0.1973,

3.5. Заключительные замечания 49
Указанные значения могут служить начальными условиями для
обратной прогонки D.31) от х= 1 до х = 0. Решение ty(x), полу-
полученное на этом последнем этапе, совпадает с решением, приведен-
приведенным в табл. 2.1.
3.5. Заключительные замечания
Описанный в этой главе метод представляет собой интересную
альтернативу перехода от граничной задачи к задаче Коши.Дру-
Коши.Другое привлекательное свойство этого метода, которое пока не об-
обсуждалось, заключается в том, что при определенных условиях
решения уравнений прямой прогонки, а0 (х) и at (а;), медленно
увеличиваются с ростом х, даже если решение исходного уравне-
уравнения растет очень быстро; благодаря этому для достижения такой
же точности можно использовать больший шаг интегрирования.
Подробнее это можно объяснить на примере исследования свойства
решения однородной части уравнения B.1)
z" = p(x)z E.1)
с граничным условием
z'(a) = aooz(a), E.2)
где штрих означает дифференцирование по х. Прежде всего про-
продифференцируем произведение zz' и получим
d(zz')/dx = (z'y + zz". E.3)
Заменим г" в E.3) выражением из правой части уравнения E.1);
тогда
d(zz')ldx = р (х) z* {х) + [z' (x)y. E.4)
Проинтегрировав E.4) дважды от а до х, получим
}z*{a)-, E.5)
здесь граничное условие E.2) использовалось для вычисления
постоянной интегрирования.
Предположим теперь, что и р(х), и а00 положительны. В этом
случае как подынтегральная функция, так и постоянный коэф-
коэффициент при х тоже положительны и поэтому z (x) увеличивается
с ростом х и тем быстрее, чем больше нижняя грань функции р (х).
Следовательно, для того чтобы решение было достаточно точным,
шаг интегрирования должен быть весьма малым.
Теперь рассмотрим уравнение прогонки. Заметим, что после
преобразования
а, (лс) = z' (х)/г (*) E.6)

50 Гл. 3. Метод прогонки
уравнение E.1) переходит в B.7), а граничное условие E.2) при-
принимает вид ао(а) = аоо. Таким образом, ао(х) резко убывает при
быстром возрастании г {х). Уравнение B.8) линейно относительно аи
и его решение находится в явном виде:
а, (х)=ехр(— J ao(x)dxj |а1о+ $ exp(J а0(т|)dy\ Jq(|)dgj . E.7)
Благодаря экспоненциальному множителю с отрицательным пока-
показателем в правой части E.7) решение будет быстро убывать с рос-
ростом х. Это свойство позволяет использовать больший шаг инте-
интегрирования при нахождении а0 (х) и at (x), особенно при боль-
больших х. То же самое справедливо и на этапе обратной прогонки
при решении задачи Коши B.4), B.11).
Для решения методом прогонки нелинейной граничной задачи
дифференциальное уравнение предварительно должно быть линеа-
линеаризовано. Этот метод пригоден только для задач с конечным ин-
интервалом интегрирования.
Задачи
1. Закончить решение рассматривавшейся в разд. 3.3.3 задачи о распро-
распространении тепла в пластине радиатора. Получить решения уравнений C.27) —
C.29) для {5 = 0.1, 5.0, 10.0 и /Vbi = 0.5, 1.5, 3.0 соответственно и сравнить
результаты с точным решением C.42).
2. В задаче C.27) —C.29) о распространении тепла в пластине радиатора
граничное условие прн х = 0 не было согласовано по форме с условием B.2).
это привело к необходимости модифицировать уравнения, выведенные в § 3.2,
и были получены новые уравнения C.31) — C.38). Аналогичные уравнения можно
получить более общим способом, а именно заменить уравнение B.4) уравнением
у = уа(х)йу/йх-\-ъ (х)
и затем повторить рассуждения j 3.2. Повторить соответствующие выкладки
и получить уравнения C.34) — C.35).
3. Движение тяжелой частицы, скользящей без грения вдоль невесомого
прямого стержня, вращающегося в вертикальной плоскости с постоянной угло-
угловой скоростью со вокруг некоторой своей точки, определяется решением гра-
граничной задачи
tfrldP—со2/- = — gsinco* r@)=ro, r(t1) = rt,
где г и / — расстояние частицы от центра вращения и время, a g—ускорение
свободного падения. Найти начальную скорость частицы методом прогонки,
если известно, что со= 12 об/мин н частица, начавшая движение в начальный
момент времени /0=0нз точки ro=5cv, достигает точки /¦1==15см в момент
/i =0.05 с.
Ответ: 225.3 см/с.
4. При исследовании распределения температур в течении несжимаемой
ньютоновской жидкости между неподвижным внутренним и вращающимся с
постоянной угловой скоростью внешним коаксиальными цилиндрами Берд и
его соавторы [2] установили, что безразмерная температура 9 удовлетворяет
дифференциальному уравнению

Задачи 51
и граничным условиям
Решить эту задачу методом прогонки и сравнить результаты с точным решением
9 = N -f 1 — N/l2 — [Л + I — Nl-л2] In E/ln и.
Для величин и и N принять значения 0.9 и 0.4 соответственно.
5. Вывести уравнения для решения граничной задачи четвертого порядка
методом прогонки.
Литература
[1] Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений: В 2-х томах. Т. 2.—
М.: Физматгиз 1962.
[2] Берд, Стюарт, Лайтфут (Bird R. В., Stewart W. E., Lightfoot E. N.).
Transport phenomena.— New York: Wiley, 1960, p. 326. [Имеется перевод:
Берд Р. Б., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса.— М.: Химия, 1974.]

Глава 4
МЕТОД СОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА
4.1. Введение
Метод сопряженного оператора был предложен Гудманом и Лан-
сом [1J. Здесь так же, как и в методах, описанных в гл. 2 и 3,
недостающие начальные условия для линейной граничной задачи
могут быть найдены без итераций. Общая идея метода заклю-
заключается в следующем. Рассмотрим общую систему линейных диф-
дифференциальных уравнений, записанную в векторно-матричной
форме:
Y=A@Y + F@; A.1)
здесь точка обозначает дифференцирование по независимой пере-
переменной. Коэффициенты системы составляют квадратную матрицу
A.2)
Два вектора-столбца Y и F(/) определяются как
у =
7i"i
A.3)
A.4)
Граничные условия заданы в двух точках, а именно
п.
Чтобы привести эту граничную задачу к задаче Коши, введем
так называемую сопряженную к системе A.1) систему уравнений.

4.1. Введение 53
Согласно определению, которое дается Блиссом [2], Райтом [3],
Гудманом и Лансом [1], система, сопряженная к A.1), может
быть записана в виде
-Х = А1@Х, A.6)
где индекс Т у А — символ транспонирования матрицы, а вектор-
столбец X определяется как
Х =
Продифференцировав произведение XTY по независимой пере-
переменной, получим
d(XTY)/d/ = XTY + XTY. A.7)
Подставляя сюда выражения A.1) и A.6) для V и Хт, нахо-
находим
F) — (ArX)T Y = XTAY +XTF-XTAY; A.8)
здесь использовалось свойство А1Т = А.
Первый и третий члены в правой части уравнения A.8) сов-
совпадают по величине и имеют противоположные знаки, поэтому
их можно отбросить. Этот момент является ключевым в методе,
так как теперь правая часть уравнения не содержит Y.
Проинтегрируем теперь A.8) на интервале (О, Т) и получим
7
Xх (Т) Y (Г) -Хт @) Y @) = J XTF dt. A.9)
Это соотношение может быть использовано для нахождения не-
недостающих начальных условий для уравнения A.1) (согласно A.5),
недостает п—г таких условий). В определении сопряженной си-
системы уравнений A.6) не устанавливаются никакие граничные
условия. Так как требуется п—г начальных условий, проинтег-
проинтегрируем уравнение A.6) п — г раз от t = T до t = 0, используя
каждый раз различные наборы начальных условий при ( = Т.
Комбинируя затем полученные п—г наборов решений с соотно-
соотношениями A.9), можно найти п — г недостающих начальных усло-
условий. Детали последнего шага довольно абстрактны и могут быть
полностью поняты в процессе подробного разбора нескольких
примеров.

54 Гл. 4. Метод сопряженного оператора __
4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка
В этом разделе детали метода показываются на примере реше-
решения двух дифференциальных уравнений второго порядка, полу-
получающегося при исследовании магнитогидродинамического течения
Куэтта и исследовании изгиба балки. Численные решения, полу-
полученные этим методом, сравниваются с точными решениями и со-
согласуются с ними с высокой степенью точности.
4.2.1. Магнитогидродинамическое течение Куэтта
Магнитогидродинамика изучает движение проводящей жидко-
жидкости в электрических и магнитных полях. Для анализа этой про-
проблемы концепции и законы гидродинамики должны рассматри-
рассматриваться совместно с основными соотношениями электромагнетизма.
*•*¦
и
Рис. 4.1. Течение Куэтта.
Для того чтобы понять взаимодействие электрических, магнит-
магнитных и гидродинамических сил, рассмотрим задачу о так называемом
течении Куэтта, когда проводящая жидкость протекает в одно-
однородном магнитном поле, направленном вдоль оси у между двумя
параллельными пластинами, одна из которых неподвижна, а другая
движется в собственной плоскости со скоростью U, как показано
на рис. 4.1.
Запишем уравнения неразрывности и изменения импульса:
ди/дх^О, B.1)
ри ди/дх = — др/дх + pv (д2и/дха + д*и/ду2-)—оВ1и, B.2)
О = - др/ду, B.3)
где и, р, р, v, а соответственно—скорость, давление, плотность,
кинематическая вязкость и проводимость жидкости, а Во — напря-
напряженность приложенного магнитного поля. Добавочный член оВ%и
в уравнении B.2) физически соответствует объемным электрическим
силам. За исключением этого члена, основные уравнения совпав-
дают с уравнениями, описывающими течение Куэтта ньютоновской
жидкости.

4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 55
Уравнение B.1) означает, что скорость и не зависит от х.
Аналогично уравнение B.3) показывает, что р не зависит от у.
С учетом этого уравнение B.2) можно записать ь виде
d*u/dy* -[afli/(pv)] и = [l/(pv)] dp/dx, B.4)
а граничные условия—в виде
при у = 0 ы = 0, при y — L u = U.
Если ввести безразмерные переменные
u = u/U, \\ = y/L
то уравнение B.4) и граничные условия можно переписать в форме
dHild-xf — М2п = Р, B.5)
п@) = 0, йA) = 1, B.6)
где две безразмерные величины М и Р определяются как
M = [a/(pv)]x/' B0L (число Гартмана),
Р =A/(У) (dp/dx) LV(pv) (коэффициент для пересчета давления).
Граничную задачу, определяемую уравнением B.5) и условия-
условиями B.6), будем решать методом сопряженного оператора.
Прежде всего перепишем B.5) в виде системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка
B.7)
dujdn = М*щ + Р = (М*)и1 + @)и2 + (Р) B.8)
с граничными условиями
где щ = и.
В векторно-матричной форме система B.7)—B.8) принимает
вид
it = A(r|)ii + F(Ti), B.9)
где точка означает дифференцирование по независимой перемен-
переменной Г] И
Введем сопряженную систему
-Х = А% B.10)

66 Гл. 4. Метод сопряженного оператора
где
Х =
Таким образом, сопряженная система представляется в виде
dxlldr\ = — М2х2, B.П)
dxjdi\ = — xx. B.12)
Процедуру, намеченную формулами A.7) и A.8), можно осу-
осуществить следующим образом. Умножив B.7), B.8), B.11) и B.12)
на xlt x2, щ и ыа соответственно и сложив результаты, находим
d (*!«! + x3u2)/dy] = Px2. B.13)
Интегрирование B.13) от 0 до 1 дает
1
*, A) и, A) + х, A) и, A)-[дс, @) щ @) + хг @) и2 @)] = J Px2 di\.
B.14)
Так как одного начального условия недостает, соотношение
B.14) и сопряженную систему B.11), B.12) следует использовать
только один раз. Прежде всего подставим известные граничные
значения в B.14) и получим
i
лс, A) + х2 A) ма A) —*, @) и, @) = J Px2 dx\. B.15)
о
Теперь и2 @) — недостающее начальное условие для системы урав-
уравнений B.7), B.8)-—может быть найдено из уравнения B.15):
B-16)
Здесь ыаA)—неизвестная величина, в то время как величины
ATj A) и л:аA) являются начальными условиями для интегрирова-
интегрирования системы B.11), B.12) и могут быть выбраны произвольно.
Естественно положить лс2 A) = 0—тогда второй член в правой
части B.16) будет равен нулю независимо от величины и2A).
Простейшим выбором ^A), конечно, является лг,A)=1. Таким
образом, B.16) принимает вид
и. @) = [ 1/*,@)](l-\Pxt(h\). B.17)
\ о /
Итак, решение системы B.7) — B.8) состоит из следующих
шагов.

4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 57
1. Интегрируем уравнения B.11) и B.12) назад от т) = 1 до
т) = 0 с начальными значениями xl{\)—\ и хаA) = 0.
2. Зная *! и л;, из предыдущего шага, вычисляем щ @) по
формуле B.17).
3. Так как начальные значения их @) (заданное) и м2 @) (най-
(найденное на втором шаге) известны, окончательное решение можно
найти, интегрируя систему уравнений B.7)—B.8) как задачу
Коши.
В качестве примера рассмотрим случай М=2 и Р = 4. Реше-
Решения хг и х2, полученные на шаге 1, приведены в табл. 4.1, откуда
Таблица 4.1
Решения хх и *2 на шаге 1
при М = 2 н Р = 4
1.00 1.0000 0.0000
0.90 1.0200 0.1007
0.80 1.0810 0.2054
0.70 1.1853 0.3183
0.60 1.3372 0.4440
0.50 1.5428 0.5875
0.40 1.8103 0.7546
0.30 2.1505 0.9520
0.20 2.5769 1.1875
0.10 3.1067 1.4707
0.00 3.7612 1.8129
Находим
ха@)= 1.8129.
Подставляя решения из табл. 4.1 в B.17), получаем
Наконец, систему уравнений B.7)—B.8) совместно с начальными
условиями
и,@) = 0, и,@) = — 0.9717
можно проинтегрировать как задачу Коши. Результаты представ
лены в табл 4.2. В ней также приводятся значения ии вычислен-
вычисленные по точной формуле:
_shMr| P Г 2 sh (Мг)/2) sh (M (ц— 1)/2) ]
Wl sh М + М2 [ ch (М/2) . J *
Видно, что результаты превосходно согласуются.

Б8
Гл. 4. Метод сопряженного оператора
Таблица 4.2
Решения задачи B.7), B.8) при Л = 2 и />=4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Полученное
сопряженного
и*
0.0000
—0.0778
—0.1185
—0.1238
—0.0940
—0.0279
0.0773
0.2257
0.4233
0.6781
1.0000
методом
оператора
«2
—0.9717
—0.5885
—0.2289
0.1214
0.4767
0.8511
1.2596
1.7186
2.2466
2.8648
3.5979
X оч нов
0.0000
—0.0777
—0.1185
—0.1239
—0.0941
—0.0279
0.0772
0.2256
0.4232
0.6779
1.0000
4.2.2. Изгиб балки
Рассмотрим балку длины L, свободно лежащую на опорах,
как показано на рис. 4.2. Требуется найти прогиб у балки под
действием собственного веса в зависимости от х при условии, что
вес W, приходящийся на единицу длины, постоянен.
- \
I
' 1
w
\
1
\
1
Л
Рис. 4.2. Схематическое изображение балки.
Полный вес балки WL. На каждую опору приходится поло-
половина, т. е. WL/2. Чтобы определить изгибающий момент М в какой-
либо точке х, рассмотрим силы, действующие слева от х.
Сила WL/2, приложенная в точке А, создает момент — (WL)x/2.
Вес части балки, лежащей слева от х, создает момент (Wx)(x/2).
Суммарный изгибающий момент Мт в точке х подставим в урав-
уравнение движения
El й*у1йхг = Мт

4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 59
и получим
El d3y/dx* = A/2) Wx3 — (\/2)WLx. B.18)
Запишем граничные условия:
при х = 0 у = 0, при x = L/2 dy/dx = 0.
Первое условие означает, что прогиб балки у опоры равен нулю,
второе является следствием симметрии линии прогиба.
Если положить
x = x/L, y = y/L,
то уравнение B.18) запишется в виде
d Vdx2 = р (я2 — х), B.19)
где Р = WU/BEI), а граничные условия —в виде
при х = 0 у=0, при *=1/2 d~y/dx = 0.
Теперь будем решать полученную граничную задачу методом
сопряженного оператора. Прежде всего уравнение B.19) необхо-
необходимо переписать в виде системы дифференциальных уравнений
первого порядка
dyjds = yt = @) у, + A) у, + @), B.20)
с граничными условиями
i/l@) = 0, г/аA/2) = 0.
Так как
то
дт=Г001
Л~|0 0
-ПИ-
и поэтому сопряженная система имеет вид
[dzjds'
dzjds
или
dzl/ds = 0, B.22)
dzJds = — Zi. B.23)
Умножая уравнения B.20) — B.23) соответственно на zlt z2>
г/i и г/2 и суммируя результаты, получаем
i)/ds = Pzi(s*-s). B.24)

60 Гл. 4. Метод сопряженного оператора
Интегрируя B.24) от 0 до 1/2, находим что
уЛ A/2) zx{\l2) + yt A/2) 2,A/2) —[^ @) z, @) + г/2@)
1/2
z2(f — s)ds. B.25)
Подставляя в B.25) известные граничные значения г/х@) = 0
и г/а A/2) = 0, получаем
'/2
У1 A/2)г, A/2)— у,@) г,@) = р J 22(sa-s)ds. B.26)
о
Выберем следующие начальные значения для интегрирования
системы уравнений B.22), B.23):
2l(l/2) = 0, г,П/2)=1. B.27)
Тогда B.26) дает
1/2
у, @) = - [p/z, @)] J 22 (s* -s) ds. B.28)
о
В итоге решение граничной задачи, определяемой системой
уравнений B.20), B.21), заключается в следующем. Сначала инте-
интегрируем систему B.22) — B.23) от s == 1/2 до s = 0 с начальными
значениями B.27); затем по формуле B.28) вычисляем недостаю-
недостающее начальное значение г/а @) и наконец, искомое решение можно
найти, решая задачу Коши, определяемую системой уравнений
B.20), B.21) и начальными условиями ^ @) = 0 и только что най-
найденным t/a @). В табл. 4.3 приводится недостающее начальное
значение г/а@), полученное -этим методом для четырех значений р.
Результаты интегрирования системы уравнений B.20), B.21)
с этими значениями недостающего начального значения приводятся
в табл. 4.4. Результаты приводятся для половины линии прогиба
балки.
Таблица 4.3
У2 @) для некоторых зна-
значений {'>
Р !/2 @)
0.
0.
1.
5.
1
5
0
0
0.00833
0.04167
0.08333
0.41667

4.3. Дифференциальные уравнения третьего порядка 61
Таблица 4.4
Прогиб балки
S
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Линия
3 = 0.1
0.0000
0.0008
0.0015
, 0.0021
0.0025
0.0026
прогиба у
3 = 0.5
0.0000
0.0011
0.0077
0,0106
0.0124
0.0130
Ч (s)
3=1.0
0.0000
0.0082
0.0155
0.0212
0.0248
0.0260
3 = 5.0
0.0000
0.0409
0.0773
0.1059
0.1240
0.1302
Для различных балок, изготовленных из одного и того же
материала и имеющих одинаковые поперечные сечения, большим
значениям р соответствует большая длина балки.
4.3. Дифференциальные уравнения третьего порядка
Метод, развитый в предыдущем параграфе, теперь будет при-
применен к дифференциальным уравнениям третьего порядка. Хотя
основные идеи остаются прежними, некоторые моменты требуют
подробного объяснения. В качестве примера вновь выберем расчет
трехслойной балки.
Рпсчэт трехслойной балки
Граничная задача, описывающая трехслойную балку, опреде-
определяется дифференциальным уравнением третьего порядка
0 C.1)
и граничными условиями
dyl@)/dx = dy1(l)/dx = 0, угA/2) = 0. C.2)
Физическая постановка задачи объяснялась в разд. 2.3.2.
Как и в предыдущем параграфе прежде всего уравнение C.1)
переписывается в виде системы дифференциальных уравнений
первого порядка
dyjdt=,y2. dy2/dt = y3, dy:i/dt==kiy3—a, C.3а, б, в)
или в векторно-матричной форме
C.4)

62
Гл. 4. Метод сопряженного оператора
где
'dyjdf
dyjdt
dy3ldt__
. У =
"*/Г
У*
-Уз.
» '
" 0
0
— й_
, А =
0 1 0
0 0 1
0 fe2 0.
V ==
Далее получается сопряженная система уравнений
х=—Атх,
где Ат — транспонированная матрица А:
А1 =
C.5)
0
1
0
0
0
1
0
k*
0 _
Сопряженную систему можно переписать в виде
Умножая C.3а) — (З.Зв) и C.6а) — (З.бв) на xlt x2,
и у3 соответственно и суммируя результаты, получаем
d (x^j + хъуг + x3y3)/dt = — ах3.
C.6a, б, в)
хя, yiy y2
C.7)
Проинтегрировав C.7) от / = 0 до t=\ и подставив заданные
граничные условия в результирующее выражение, находим
1
= —a\xadt. C.8)
Исходя из вида первых трех слагаемых в левой части C.8),
представляется разумным выбрать в качестве начальных условий
для интегрирования C.6) значения
х1A) = 0, *,A) = 1, *,A) = 0; C.9)
тогда уравнение C.8) запишется в виде
1
*i @) Ух @) + х3 @) у3 @) = a J x,dt.
C.10)
Это алгебраическое уравнение относительно ух @) и у3@), так
как ^@. x2(t) и xs(t) и, в частности хг@) и *3@), находятся
как решение задачи Коши C.6), C.9) на отрезке l^t^O.
Для вычисления двух недостающих начальных условий уг @)
и Уз @) необходимо еще одно алгебраическое уравнение. Его можно
получить, интегрируя C.7) от 0 до 1/2 (поскольку третье гранич-
граничное условие устанавливается в точке 1/2). Таким образом полу-

4.3. Дифференциальные уравнения третьего порядка 63
чаем
1/2
= —a J x3dt; C.11)
п
здесь заданные граничные значения уже подставлены в уравнение.
Если для интегрирования C.6) назад от /=1/2 до t = 0 ис-
использовать начальные условия
0, C.12)
то C.11) примет вид
1/2
*i @) ^ @) + х3 @) 1/з @) = а [ x3dt. C.13)
о
Так как *i(/), x.2(t) и *3 @ теперь известны, C.13) может слу-
служить вторым алгебраическим уравнением для определения ^@)
и 0,@).
Найденные значения гух@) и у3 @) вместе с заданным у2@)
составляют полный набор начальных условий при t — 0 для инте-
интегрирования системы уравнений C.3) как задачи Коши.
В качестве примера рассмотрим случай
6 = 1.0 и й=1.0.
Первый набор решений, полученный интегрированием C.6) с на-
начальными условиями C.9) от t = 1 до t = 0, приводится в табл. 4.5.
После вычисления интеграла в C.10) будем иметь
— 1.17490,@)=—0.54292. C.14)
Далее интегрируется задача Коши C.6), C.12) от t— 1/2 до t — 0.
Результаты приведены в табл. 4.6.
Таблица 4.5
Первый набор решений уравиеиий C.6)
t
1.00
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
"г
1.0000
1.0200
1.0809
1.1852
1.3370
1.5425
0.0000
-0.2013
— 0.4107
— 0.63G5
— 0.8879
— 1.1749

64 Гл. 4. Метод сопряженного оператора
Таблица 4.6
Второй набор решений уравнений C.6)
1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
.0000
.0000
.0000
.0000
.0000
.0000
0.0000
— 0.1002
— 0.2013
— 0.3045
— 0.4107
— 0.5211
0.0000
0.0050
0.0201
0.0453
0.0811
0.1276
Вычислив интеграл к C.13), получим
у, @) + 0.1276г/3@) = 0.0211. C.15)
Решая систему алгебраических уравнений C.14), C.15), нахо-
находим недостающие начальные условия
У1@)=.—0.0379, у, @)== 0.4621. C.16)
Так как теперь известен полный набор начальных условий,
систему C.3) можно проинтегрировать как задачу Коши. Резуль-
Результаты приведены в табл. 4.7. Они хорошо согласуются с резуль-
результатами, полученными в предыдущих главах.
Таблица 4.7
Решение задачи C.3)
1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.0379
—0.0299
—0.0112
0.0112
0.0299
0.037-)
'-1?
0.0000
0.0730
0.1087
0.1087
0.0730
0.0000
0.4621
0.2701
0.0888
—0.0888
—0.2700
—0.4621
4.4. Заключительные замечания
Метод сопряженного оператора, описанный в этой главе, дает
очень простую схему решения линейных граничных задач. При-
Примеры подобраны так, чтобы сделать ясными мотивы выбора на-

4.4. Заключительные замечания 65
чальных условий для интегрирования сопряженной системы урав-
уравнений. Обычно сопряженная система интегрируется назад столько
раз, сколько неизвестных граничных условий в начальной точке.
Поэтому если вместе с дифференциальным уравнением третьего
порядка задано одно граничное условие в начальной точке и два
граничных условия в конечной точке, нужно поменять роль этих
двух точек, а именно рассматривать конечную точку как началь-
начальную и наоборот. Таким образом, потребуется только одно инте-
интегрирование назад. Вопросы, связанные со сходимостью и оценка-
оценками погрешности метода, обсуждаются в книге Робертса и Шипмана
[4, разд. 6.7].
Методы суперпозиции, прогонки и сопряженного оператора,
рассмотренные в последних трех главах, представляют три аль-
альтернативы для решения линейных граничных задач. По существу
все три метода дают систематический путь нахождения недоста-
недостающих начальных условий за один или несколько проходов путем
интегрирования системы уравнений. Решения находятся без ите-
итераций. Существует очень небольшое отличие между этими тремя
методами в отношении простоты программирования, времени счета,
точности и устойчивости, за исключением тех случаев, когда
само уравнение обладает какими-либо специфическими свойствами,
которые делают тот или иной метод неэффективным. Например,
Роберте и Шипман [4] приводят уравнение, которое устойчиво
интегрируется вперед и неустойчиво назад; для такого уравнения
выбор метода сопряженного оператора не вполне оправдан. В слу-
случае полубесконечного интервала интегрирования подходящим бу-
будет метод суперпозиции. Определенную трудность для решения
описанными выше методами представляют линейные граничные
задачи, матрицы коэффициентов уравнений которых составлены
из линейно зависимых столбцов. Эту трудность можно обойти, ис-
используя, например, процесс ортогонализации Грама—Шмидта [5].
Для нелинейных задач прежде всего необходимо линеаризо-
линеаризовать нелинейные дифференциальные уравнения. К наиболее упо-
употребительным методам линеаризации относятся метод квазилинеа-
квазилинеаризации и метод Ньютона. Детали этих процедур линеаризации
описаны в двух следующих главах.
Задачи
1. Найти прогиб свободно лежащей на опорах балки под действием сосредо-
сосредоточенной нагрузки (см. рис. 4.3). Линия прогиба описывается дифференциаль-
дифференциальными уравнениями
Eld!1y2/cix2=(Pb/l)x-P(,x-a),

66 Гл. 4. Метод сопряженного оператора
с граничными условиями
при х = 0 </i = 0,
при х = а «/i = </2> dyi/dx = dyi/dx,
при х = I уг = 0.
Решить эту задачу методом сопряженного оператора и сравнить результат с
точным решением [6]
У1 = [РЬ/FЕ11)) [х?-A*-Ь2)х],
Указание: ввести следующие безразмерные переменные:
i,=y2(El/(Pbl2)).
Тогда дифференциальные уравнения в безразмерной форме будут содержать
два параметра, а именно а/1 и Ь/1. Поэтому решение ищется для нескольких
пар значений этих двух параметров.
Рис. 4.3. К задаче 1.
2. При исследовании течения жидкости в узком зазоре между двумя кон-
концентрическими цилиндрами скорость w может быть найдена [7] как решение
дифференциального уравнения
d (rdw/dr) /dr = — [4Q/ (па2с2)] г
с граничными условиями
w(a) = 0, w(b) = 0.
Найти распределение скорости методом сопряженного оператора. Заданы сле-
следующие значения копсгант: Q (секундный расход) =0.24 дюйм3/с, а (внешний
радиус) = 0.513 дюйма, с (зазор) = 0.00025 дюйма, b (внутренний радиус) =
= а—с.
Ответ: недостающее начальное условие при г = а таково: dw (a) /dr=—2322.
3. Газ А диффундирует в жидкость, где происходит необратимая однород-
однородная реакция первого порядка А + В = АВ. Концентрация газа А может быть
найдена [8] как решение дифференциального уравнения
— Dd2cA/dz2 + fcA = 0
о граничными условиями
са(О) = сдо, dcA(L}/dz = 0.
Решить эту задачу методом сопряженного оператора для kL2/D = 10~г и 10~3,
Указание: ввести безразмерные величины
тогда дифференциальное уравнение примет вид
d2 сд/dz2"- (?L2 ID) ca = 0,

Литература 67
а граничные условия — вид
Гд@) = 1, <?
Сравнить полученный результат с точным решением
7д = ch f VkLVD A - i)]/ch УШ/D.
4. Распределение скорости ньютоновской жидкости между двумя концент-
концентрическими цилиндрами, вращающимися с различными постоянными скоростями,
описывается (см. [9]) дифференциальным уравнением
/dr = О
с граничными условиями
и(г1) = г1ю1, и(гг)=г2щ.
Решить эту задачу методом сопряженного оператора. Заданы следующие зна-
значения констант: /1 = 0.75 дюйм, г2 —1.00 дюйм, мх = Зоб/мин и со2 = 10об/мин.
Ответ:
du (n) /dr= [2щЛ—щ (r\ + rl)\ I (rl — rt).
' 5. Решить задачи 3 и 4 из гл. 3 методом сопряженного оператора.
Литература
[1] Гудман, Ланс (Goodman Т., Lance G.). The numerical integration of two-
point boundary value problems.—Math. Computi, 1956, v. 10, p. 82—86.
[2] Блисс (Bliss G. A.). Mathematics for exterior ballistics.—New-York: Wiley,
1944, p. 63-71.
[3] Райт (Wright F. В., Jr.). The adjoint method in analog computation. —
Advisory Board on Simulation, Tech. Note 48, Univ. of Chicago, 1954.
[4] Роберте, Шипман (Roberts S. M., Shipman J. S.). Two-point boundary value
problems: Shooting methods.—New York: Elsevier, 1972.
[5] Тодд (Todd J). Survey of numerical analysis. — New-York: McGraw-Hill,
1962, p. 347.
[6] Тимошенко (Timoshenko S.). Strength of materials. — Princeton: Van Nost-
rand —Reinhold, 1956, p. 168—169. [Имеется перевод 3-го изд.: Тимошен-
Тимошенко С. П. Сопротивление материалов.—2-е изд.: В 2-х томах. — М.: Наука,
1965.)
f7] Кукарни, Скей (Kukarni К. М., Schey J. A.). —ASME paper 74-Lubs-12,
1974.
[8] Берд, Стюарт, Лайтфут (Bird R. В., Stewart W. E., Lightfoot E. N.).
Transport phenomena.—New-York: Wiley, 1960, p. 532. [Имеется перевод;
см. с. 51. |
[9] Шлихтинг (Schlichting H.) Boundary layer theory. —New York: McGraw-
Hill, 1968, p. 80. [Имеется перевод 5-го нем. изд.: Шлихтинг Г. Теория
пограничного слоя.—М.: Наука, 1974.]

Глава 5
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ: МЕТОДЫ ПРИСТРЕЛКИ
5.1. Введение
В пятой и шестой главах будут изложены итерационные ме-
методы решения граничных задач (как линейных, так и нелиней-
нелинейных). Эти методы могут быть разделены на две большие группы,
а именно методы пристрелки и методы конечных разностей. Не-
Несмотря на сжатое изложение материала этих глав, сами методы
описаны достаточно детально для того, чтобы предоставить чита-
читателю возможность осознанно применять их при решении научных
и инженерных задач.
В методе пристрелки выбирается недостающее (незаданное)
начальное условие в начальной точке интервала, а потом реша-
решается задача Коши — численно интегрируется дифференциальное
уравнение до конечной точки интервала. Затем, сравнивая вычис-
вычисленное значение зависимой переменной в конечной точке с задан-
заданным, проверяют правильность выбора недостающего начального
условия. Если эти значения не совпадают, то выбирают другое
значение недостающего начального условия и процесс повторяется
до тех пор, пока разность между вычисленным и заданным усло-
условиями в конечной точке не станет достаточно малой. При таком
подходе естественно возникает вопрос: существует ли системати-
систематический способ нахождения каждого последующего значения недо-
недостающею начального условия?
В этой главе будут обсуждаться три таких метода: метод
Ньютона (§ 5.2), метод параллельной пристрелки (§ 5.3) и метод
квазилинеаризации (§ 5.4). Все эти методы по существу основа-
основаны на одном и том же принципе — ньютоновском методе решения
нелинейных алгебраических уравнений — и поэтому в равной мере
обладают цвумя важными свойствами: монотонной сходимостью
и квадратичной сходимостью. Для большинства задач метод Нью-
Ньютона и метод квазилинеаризации одинаково эффективны. Но из-за
того что в методе Ньютона подгоняется лишь недостающее на-
начальное условие, в то время как в методе квазилинеаризации
систематически подгоняются значения функции во всех точках
интервала, можно ожидать, что последний обладает лучшей схо-
сходимостью. Метод параллельной пристрелки обычно применяется
в тех задачах, где решение весьма существенно зависит от выбора
производной в начальной точке.

5.2. Метод Ньютона 69
5.2. Метод Ньютона
В данном случае сохраняется нелинейная форма дифференци-
дифференциального уравнения, а недостающее значение производной нахо-
находится систематически методом Ньютона. Этот метод обеспечивает
квадратичную сходимость итерационного процесса и значительно
лучше обычного метода «проб и ошибок».
Рассмотрим граничную задачу, определяемую дифференциаль-
дифференциальным уравнением второго порядка
d2y/dx2 = f(x, у, dyldx) B.1)
и граничными условиями
0@) = 0, y(L) = A. B.2 а,б)
Прежде всего запишем уравнение B.1) в виде системы двух диф-
дифференциальных уравнений первого порядка
dyldx = и, du/dx = f(x, у, и). B.3)
Обозначим недостающее начальное значение производной через s:
dy@)/dx = s, или m@) = s. B,4а,б)
Задача заключается в том, чтобы найти такое значение s, при
котором решение задачи Коши B.3), B.2а), B.4) удовлетворяет
граничному условию B.26) во второй точке. Иначе говоря, если
решение задачи Коши обозначить через у (х, s) и и (х, s), то тре-
требуется найти такое значение s, что
y{L, s) —Л = ф(в) = 0. B.5)
В методе Ньютона итерационная формула для s задается в виде
.<»+!)_ .с. ФE'"')
(n>)/ ds '
или
26
dy(L, s<»»)/ds • V-°>
Чтобы найти производную у nos, продифференцируем B.3), B.2а)
и B.4) по s и получим
dY/dx = U, dU/dx = (dfldy)Y + (dfldu)U B.7)
У@) = 0, U@) = l, B.8)
где
Y=dy/ds, U = du/ds. B.9)
Таким образом, решение системы уравнений B.3), удовлетворяю-
удовлетворяющее граничным условиям B.2а,б), может быть получено следую-
следующими действиями.

Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
1. Выбирается значение s для недостающего начального зна-
значения производной B.4). Это приближенное значение s обознача-
обозначается через sA).
2. Интегрируется задача Коши B.3), B.2а), B.4) от х = 0 до
x = L.
3. Интегрируются уравнения B.7) с начальными условиями
B.8) от х = 0 до x = L.
4. Значения y(L, sA)) и Y(L, sA)) подставляются в формулу
B.6), что дает
sB) = sA) — [y(L, sA>)—A]/Y(L, sA1),
т. е. следующее приближение sl2) для недостающего начального
значения производной.
5. Шаги 2—4 повторяются до тех пор, пока величина s не
будет найдена с заданной точностью.
Рассмотрим теперь конкретный пример.
Нестационарное течение газа В пористой среде
Рассмотрим нестационарное течение газа в полубесконечной
пористой среде. Предположим, что первоначально среда была
равномерно заполнена газом при давлении
р0. В момент ^ = 0 давление на поверхности
внезапно падает от р0 до рх и после этого
поддерживается на постоянном уровне.
Дифференциальное уравнение, описываю-
описывающее нестационарное изотермическое тече-
течение газа, может быть получено следующим
образом. Рассмотрим бесконечно малый
объем, изображенный на рис. 5.1. В силу
закона сохранения массы
поток массы в объем — поток массы из
объема = скорость накопления массы
в объеме, B.10)
Рнс. 5.1. Полубесконеч-
Полубесконечная пористая среда.
или — в математической форме—
риА — [рн + (д(ри) /дх)dx] А=д[р(Adxy)]/dt,
B.11)
где А и и — площадь сечения и скорость течения газа, а ф —
пористость среды, определяемая как объем пор на единицу объема
среды. Уравнение B.11) можно упростить, что дает
х. B.12)
Скорость потока в пористой среде связана с градиентом дав-
давления законом Дарси:
u = — (k/n)dp/dx, B.13)

5.2. Метод Ньютона 71
где константы k и \х—проницаемость среды и вязкость газа.
К тому же в изотермическом газе плотность и давление связаны
уравнением состояния
B.14)
где R—газовая постоянная.
Подставляя B.13) и B.14) в B.12), получаем уравнение
д (рдр/дх) /дх = (фц/?) dp/dt B.15)
с граничными условиями
р(х, 0)=р„ р@, t) = pu p(oo, t)=p,.
Киддер [1] ввел преобразование подобия
где
а=1—
При этом уравнение B.15) и граничные условия для него прини-
принимают вид
d2w/dz2 + [2z(l —aw)- '/*] dw/dz = 0 B.16)
и
ш@) = 1, оу(оо) = 0.
Для того чтобы сравнить эти результаты с результатами ра-
работы [2], введем новые переменные
r[ = z/(l—aI/4 и
Тогда уравнение B.16) и граничные условия для него запишутся
так:
{1 —[а/A—а
= 0, /(oo) = -l. B.18а,б)
Чтобы применить метод Ньютона, следует переписать уравнение
B.17) в виде системы двух дифференциальных уравнений первого
порядка
df/dr\ = u, d«/dT) = — 2r\u{\— [a/(l-a)]/}-'/2, B.19)
дополненных граничными условиями
= 0, /(оо) = —1. B.20а,б)

72
Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
Обозначим недостающее начальное значение производной через s:
df@)/dr\ = s, или u(O) = s. B.2 la,б)
Уравнения B.19), B.20а) и B.216) можно продифференциро-
продифференцировать по s. В результате получим
dU
auF
где
F @) = 0, U @) = 1,
F = df/ds, U = ди/ds.
¦U) ,B.22)
B.23)
B.24)
В качестве примера рассмотрим решение системы уравнений
B.19) при а = 0.154. В первом приближении примем недостаю-
недостающее начальное значение производной равным —1.0, т. е. поло-
положим
df @) /di\ = и @) = sA> = —1.00, B.25)
где верхний индекс A) обозначает номер итерации. Теперь можно
проинтегрировать задачу Коши, определяемую уравнением B.15)
и начальными условиями B.20а) и B.25). Результаты приведены
в табл. 5.1.
Первое приближение ])
Таблица 5.1
ч
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
f(i)
0.0000
—0.3814
—0.6655
—0.8234
-0.8892
—0.9096
— 1.0000
—0.8582
—0.5436
—0.2559
—0.0894
—0.0231
ч
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
—0.9143
—0.9151
—0.9152
—0.9153
—0.9153
—0.0044
—0.0006
—0.0001
—0.0000
—0.0000
Верхний индекс означает номер итерации.
Поскольку / и и известны, можно решить задачу Коши для
системы уравнений B.22) с начальными условиями B.23). Резуль-
Результаты приведены в табл. 5.2.
Из табл. 5.1 и 5.2 получаем
/D.0) = —0.9153 и F D.0) =.0.9371.

5.2. Метод Ньютона
73
Решение задачи B.22), B.23)
Таблица 5.2
Т)
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0.0000
0.3817
0.6688
0.8334
0.9056
0.9297
1.0000
0.8611
0.5567
0.2740
0.1023
0.0287
n
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
F(M
0.9358
0.9369
0.9371
0.9371
0.9371
0.0060
0.0009
0.0001
0.0000
0.0000
По формуле B.6) можно вычислить второе приближение
S ~Ь F(i0)
1-0-9153
0.9371
Используя это второе приближение для s, можно вновь проин-
проинтегрировать систему уравнений B.19) и повторить предыдущую
процедуру. Этот процесс продолжается до тех пор, пока измене-
изменения последовательных значений s не станут достаточно малыми.
Следует отметить, что метод сходится настолько быстро, что
обычно оказывается достаточным ограничиться лишь несколькими
итерациями. В приведенном численном примере на второй ите-
итерации мы получаем недостающее начальное значение производ-
производной s = —1.0903 с точностью до четвертого знака. В действитель-
действительности уже первая итерация дает значение s = —1.0904, которое
больше лишь на 0.01%.
Окончательные решения (результат второй итерации) приве-
приведены в табл. 5.3.
Таблица 5.3
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0.0000
—0.4158
—0.7259
-0.8988
—0.9711
—0.9937
Результаты
„<3>
— 1.0903
—0.9360
—0.5940
—0.2808
—0.0988
—0.0257
второй итерации
л
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
f<3)
—0.9990
—0.9999
— 1.0000
— 1.0000
— 1.0000
и
~ 0
—0
—0
—0.
—0
C)
0049
0007
0001
0000
0000

74 Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
5.3. Параллельная пристрелка
В некоторых задачах решение весьма существенно зависит
от выбора начального приближения, и в таких случаях наиболее
подходящим оказывается метод параллельной пристрелки. В зтом
методе интервал, в котором ищется решение, делится на нес-
несколько подынтервалов и каждое последующее приближение выби-
выбирается таким образом, чтобы одновременно удовлетворялись и
граничные условия, и соответствующие условия непрерывности
на границах подынтервалов.
Снова рассмотрим задачу, определяемую системой дифферен-
дифференциальных уравнений B.3)
dy/dx = u, du/dx = f(x, у, и) C.1)
и граничными условиями B.2)
*/@) = 0, y(L)=*A. C.2)
Чтобы продемонстрировать метод параллельной пристрелки,
разделим интервал на два подынтервала [О, L/2] и [L/2, L].
Придерживаясь последовательности действий, изложенной в § 5.2,
решим для каждого интервала задачу Коши, определяемую урав-
уравнениями
dywldx = и«\ du™/dx = f(x, у™, ыA)) C.3)
с начальными условиями
г/«>@) = 0, U«>@) = s C.4а, б)
и уравнениями
dya"/dx = uan, duni>{dx = f{x, ym, и«») C.5)
с начальными условиями
4f<">(L/2) = a, и"» (L/2) = 6, C.6)
где, как и прежде, константа s —это недостающее начальное
значение производной, которое нужно определить. Постоянные а
и b в C.6)—это неизвестные начальные значения, которые также
будут найдены в процессе решения.
Для нахождения трех неизвестных констант s, а и Ь требо-
требование непрерывности дает условия
yai (L/2) = г/<"> (L/2) и m(I)(L/2)-m(II)(L/2),
откуда следует, что
0«>(L/2) = a и M(I)(L/2) = fc,
или
«Pils, a) = */<i>(L/2, s)-a = 0 C.7)

I 5.3. Параллельная прцстрелка 75
и
9,(8, 6) = «ll)(L/2, s)-6 = 0. C.8)
Граничное условие при x = L также дает
Ф,(а, 6) = i,«»(L, а, Ь)-Л=0. C.9)
Чтобы начать процесс решения, зададимся некоторым набором
начальных значений s, а и Ь. Обозначим это первое приближе-
приближение через sU), aA) и 6A). Естественно, что
Далее обозначим второе приближение через sB), аB) и б1?' и по-
требуем, чтобы
Фз(аB), 6(а)) = 0.
Эти выражения можно разложить в ряды:
... = О,
s<?> — s(l))+ C.10)
... = о,
Ф3(а(?>, 6(?)) = ф3(аA), 6A>) + (аф^Эа)и'(а(!)— аа>) +
... =0.
Если ограничиться членами первого порядка, то уравнения C.10)
дают
)Ц) (-'a. f^)a) (*!>_<,«>) = _ ф1 (я«», в«»),
-?1(s«>, 6A»), C.11)
^)A> (№-Ь">) - - Фз (а»»-
Подставляя в C.11) выражения C.7) —C.9) для ф,., получаем
(dya)/ds)a) {sm — sA)) — (aB)—aA)) = aA} — г/ш (L/2, sA)),
C.12)

76
Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
или в векторно-матричной форме
—1 О
О —1
(ды1
0
(ду^/да)
™
д
C.13)
откуда
-S(n "
аB)
следует,
-• —
аш
что
"(<?
>/ds)A)
0 (
— 1
0
ду1П)/да
X
6(
0
— 1
)<i) (ду""/дЬу1)_
»-у<"(Ц2, s<l>)
-i
X
C.14)
Итак, второе приближение вычисляется согласно C.14). Этот
процесс можно повторить и получить приближения более высо-
высокого порядка. Вычисления следует продолжать до тех пор, пока
не будет достигнута требуемая точность. Чтобы проиллюстриро-
проиллюстрировать вычислительные детали решения, приведем пример..
Диффузия в химическом каталитическом конвертере
Моделью каталитического конвертера может служить плоская
пластина, отделенная от массы движущегося газа инертной плен-
пленкой малой толщиной б. Газ А диффундирует из основного потока
к поверхности катализатора при г = 6, где немедленно происхо-
происходит гетерогенная реакция А—>A/2)А2. Эта система изображена
на рис. 5.2. Нас интересует изменение хА молярной концентра-
концентрации А в зависимости от расстояния г.
Условия сохранения массы газа, записанное для бесконечно
тонкого слоя, дает
dNA/dz = 0, C.15)
где NA — молярный поток газа А.
Согласно закону Фика, молярный поток jVa связан с градиен-
градиентом молярной концентрации dx^ldz соотношением
Nk = — CD dxA/dz + xA (N, + NAl). C.16)
На поверхности катализатора, где происходит химическая реак-
реакция А -*A/2)А2, из каждого моля А получается 0.5 моля А2.
Поэтому мы можем написать

5.3. Параллельная пристрелка 77
так что C.16) принимает вид
A—*д/2) Na = - CD dxKldz. C.17)
Подставляя в C.15) выражение C.17) для jVa, получаем
d*xA/dz* + A/2) [ 1/( 1 -*д/2)] (d*A/dzJ - 0. C.18)
Граничные условия таковы:
при z = 0 хА = хА0, при z = 6 д;А = 0. C.19)
Физический смысл второго граничного условия прост: газ А,
достигая поверхности, реагирует полностью.
г* _ Г\
\
Рис 5.2. Модель каталитического конвертера. / — поверхность катализатора.
Если ввести новую переменную | = г/б, то уравнение станет
безразмерным и получится следующая граничная задача для
уравнения второго порядка:
при | = 0 д;д = д;А0, при ?=1 хА = 0. C.21а, б)
Чтобы решить эту задачу методом параллельной пристрелки,
выполним следующие действия.
1. Выберем первое приближение для постоянных s, а и Ь,
положив
S = — XAo/(^JN), CL :
где JN — число узлов сетки между | = 0 и ? = 1/2.
2. Решим две задачи Коши:
в которых используем s--=s{1), а = аа) и Ь = ЬП) для выполнения
следующей итерации. Таким образом получим решения х%> и ыA)

78
Гл. В. Итерационные методы: методы пристрелки
Решение задач C.22) и C.23) (хАо = 0.25)
Таблица 5.4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.2500
0.2497
0.2495
0.2492
0.2490
0.2487
—0.0025
—0.0025
—0.0025
—0.0025
—0.0025
—0.0025
i
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
41)
„ 0.1250
0.1247
0.1245
0.1242
0.1240
0.1237
—0.0025
—0.0025
—0.0025
—0.0025
—0.0025
—0.0025
в интервале от | — 0 до |=1/2, а также х{1:> и ы(Ш в интервале
от |=1/2 до 5=1. Результаты вычислений представлены
в табл. 5.4.
3. Введем следующие функции:
C.24)
C.25)
Дифференцируя C.22) по s, получаем систему уравнений
dYs_Ti dus__ 2«<п и («'")' у
с граничными условиями
К,@) = 0, t/,@) = l.
Дифференцируя C.23) по а, получаем уравнения
dYn г, dUn 2«(н> „
с граничными условиями
C.26)
= 1, t/e(l/2) = 0.
Дифференцируя C.23) по Ъ, получаем уравнения
с граничными условиями
C.27)
= 0, t/6(l/2) = l.
Теперь можно решить эти три задачи Коши. Уравнения для У,
и Us интегрируем в интервале от | = 0 до g—1/2, уравнения

5.3. Параллельная пристрелка
79
для Yа и Uа, а также для Уь и Ub — в интервале от |=1/2 до
5=1. Результаты представлены в табл. 5.5.
Решение задач C.25) — C.27) (х = 0.25)
Таблица 5,5
Ya
Us
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.0000
0.1053
0.2233
0.3554
0.5035
0.6694
1.0000
1.1203
1.2551
1.4061
1.5752
1.7647
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.1049
0.2216
0.3514
0.4956
0.6560
1.0000
1.1119
1.2364
1.3747
1.5285
1.6995
4. В результате выполнения действий, описанных в пп. 2 и 3,
получаем следующие значения:
*tf> A/2) = 0.2487, Г, A/2) = 0.6694, V, A/2) = 1.7647,
^"'A) = 0.1237, Ya{\)= 1.0000, Ua{\) = 0.0000,
н<|> A/2) = —0.0025, ГьA) = 0.6560, t/b(l) = 1.6995.
Теперь эти значения можно подставить в C.14), и мы получаем
s<?>] Ts*1»] [X0/2) -Г 0
а<2> = a(i) + Us{\l2) 0 —1
откуда
7<2> .
-№ A/2)-а«>]
A) К,
/, A/2) Yb(l)\,
C.28)

80
Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
где
C.29)
Из формул C.28) находим значения величин s, а и b на второй
итерации:
s<2> = —0.1380, я<2>=-- 0.1581, Ь<2> = — 0.2416.
5. Используя найденные значения sB>, а'21 и ЬB) и решения
задач C.22) и C.23), можно получить второе приближение к
решению исходной задачи. Оно приведено в табл. 5.6.
Таблица 5.6
Вторая итерация для задач C.22) и C.23) (лсАо = 0.25)
S
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.
0.
0.
0.
0.
0.
2500
2362
2222
2081
1940
1797
—0.1380
—0.1391
—0.1402
—0.1413
—0.1424
—0.1435
1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.1581
0.1338
0.1092
0.0842
0.0589
0.0333
—0.2416
—0.2447
—0.2480
—0.2512
—0.2546
—0.2579
Таблица 5.7
Значения s<'>, а"'1 и ft"> как результат итераций (хД0=0.25)
Номер
итера-
итерации
I1)
2
3
4
5
6
7
8
9
М Пррвор
—0.0025
—0.1380
—0.2037
—0.2255
—0.2317
—0.2333
—0.2337
—0.2338
—0.2338
приближение
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
о"'1
1250
1581
1358
1307
1295
1293
1292
1292
1292
bw
—0.0025
—0.2416
—0.2584
—0.2538
—0.2512
—0.2503
—0.2501
—0.2500
—0.2500

5.4. Квазилинеаризация 81
6. Шаги 2 — 5 повторяются до тех пор, пока не будет дос-
достигнута требуемая точность. В табл. 5.7 лриведены значения
s">, а<« и Ьф
Теперь с найденными таким образом значениями s, а и b
можно еще раз проинтегрировать уравнения C.22) и C.23) и
получить ха и и в интервале от 0 до 1.
5.4. Квазилинеаризация
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение второго
порядка
y" = f(x,y,y') D.1)
с граничными условиями
г/@) = 0, y(L)~A, D.2)
где символами у' и у" обозначены соответственно dy/dx и d*y/dx2.
(В данном разделе удобны такие обозначения.)
Перепишем уравнение D.1) в виде
ф(*. У, У', y") = y"—f(x, у, г/') = 0. D.3)
Чтобы получить рекуррентное соотношение, обозначим л-ю и
(л+1)-ю итерации через уп и г/п+1 и потребуем, чтобы для обеих
итераций выполнялось условие ср = О. Это позволяет написать
для л-й итерации
y'n-f{x, уп, у'п) = 0. D.4)
Для («+1)-й итерации получаем
Ф(*> Уп+1. Уп+1, y'n+i)=-4>(x, yn, у'п, yn) + {d<P/dy)n(yn+i—yn)+
+ (д<р/ду')п(Уа+1-у'п) + (д<р/ду")(уп+1—уп)+ ... ^0, D.5)
или
D.6)
Подставляя в D.6) выражение у'„' из D.4), получаем
= /(*. Уп, y'n)-(df/dy)nyn-(df/dy')ny'n. D.7)
Граничные условия имеют вид
yn+i@)-0, yn+1{L) = A. D.8)
Уравнение D.7) с граничными условиями D.8) — это линейная
граничная задача, решение которой может быть получено одним
из методов, описанных в гл. 2—4.

82
Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
5.4.1. Теплоизлучение кольцевых пластин радиаторе ¦
трапецеидального сечения 1)
Рассмотрим кольцевую пластину радиатора, изображенную
на рис. 5.3. Предполагается, что эта пластина отдает тепло в
окружающую среду только посредством излучения. Использова-
Использование одномерной формы закона сохранения энергии дает следую-
следующее дифференциальное уравнение для распределения температуры:
tga I dU pt/« __Q ,49)
(l-K)tga+eJ dR A-U ^Э'
Граничные условия имеют вид
Безразмерные величины, входящие в это уравнение, связаны с
физическими переменными следую-
следующими соотношениями:
= гт/(гт-гв), D.10)
Рис. 5.3. Кольцевая пластина ра-
радиатора трапецеидального сечения.
1 — изолятор, 2 — теплопроводящая
опорная часть радиатора, 3 — коль-
кольцевая пластина трапецеидального
сечения (перепечатано из работы
[3] с разрешения Американского
общества инженеров-механиков).
где TL, г, о и k—температура в
точке гв, излучательная способ-
способность пластины, постоянная План-
Планка и коэффициент теплопровод-
теплопроводности соответственно. Радиус опор-
опорной части и внешней окружности
пластины обозначены через гв и
rT, a—угол наклона ее верхней
поверхности.
Линеаризованная форма урав-
уравнения D.9), аналогичная D.7),
такова:
dR*j + [
{
tga
A
40
-/?)tga+e
1 / dU y+v
j V dR )
A -j
(l-i
D-11)
Граничные условия принимают вид
при /? = 0 t/(' + 1)=l, при /?=
J) См. Келлер и Холдридж [3J.

5.4. Квазилинеаризация 83
Чтобы решить эту задачу, используем метод суперпозиции,
описанный в гл. 2. Запишем Ua+1' в виде
D — у + sW D.12)
и положим
s=*dUii+n@)/dR.
Граничную задачу D.11) можно привести к двум задачам Коши:
d*V Г 1 tga ЛйУ
Г 4P(t/»)t'> 1„ 3P(t/«)«>
L(l-R)tga+er A —tf)tgcH
V(O)=1, dV (С
tg a ] dW
В качестве численного примера разберем решение задачи D.9)
при следующих значениях параметров:
« = 6°, р = 0.5, 0 = 0.05, Э = 0.1.
Предположим, что начальное приближение имеет вид
Следующие итерации можно получить, интегрируя D.13) и D.14)
Таблица 5.8
Пример решения задачи D.9) (а = 6°, р = 0.5, 9 = 0.05, 0 = 0.1)
R
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
i=\
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
— номер итерации.
,• = .
1.0000
0.9185 .
0.8665
0.8328
0.8127
0.8052
f=3
1.0000
0.9049
0.8410
0.7971
0.7692
0.7584
i = 4
1.0000
0.9044
0.8400
0.7956
0.7673
0.7564
1 = 5
1.0000
0.9044
0.8400
0.7956
0.7673
0.7564

84 Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
от R — 0 до #=1. Значение & вычисляется при помощи гранич-
граничного условия при R = Г.
s=—
Теперь второе приближение ?/B1 получается комбинацией двух
решений V и W. Этот процесс продолжается до тех пор, пока
не будет достигнута требуемая точность. Результаты вычислений
приведены в табл. 5.8.
5.4.2. Нелинейная динамическая задача
Рассмотрим еще одну нелинейную граничную задачу, не-
несколько отличающуюся от разобранной в предыдущем разделе.
Рассмотрим материальную точку массой т, на которую действует
нелинейная сила, равная, например, —хе~х, где х—координата
точки. В начальный мсмент частица находится в начале коор-
координат л: = 0. Требуется найти начальную скорость и продолжи-
продолжительность движения.при следующем условии: когда частица дос-
достигнет точки х = х0, ее скорость будет равна нулю.
Согласно второму закону Ньютона, эта проблема соответст-
соответствует граничной задаче, определяемой уравнением
a*x/dt*=— xe~x, D.15)
и граничными условиями
при / = 0 х
при t — T х
= 0,
— хп, dx/dt = 0.
D.16а)
D.166)
Таким образом, неизвестными являются dx@)/dt и Т.
Квазилинейная форма уравнения D.15) такова:
— (*2)('» е-*а\ D.17)
а граничные условия имеют вид
при / = 0
при t = T
Так как продолжительность движения Т неизвестна, будем ре-
решать задачу D.17) видоизмененным методом суперпозиции.
Прежде всего представим хи+1> в виде
xV+»=*Y + sZ. D.18)
Полагая, что
приводим задачу D.17) к двум задачам Коши:
xP)e-*ltt]Y= -(хТ'е-Л ..
У@) = 0, dY@)/dl = 0 K

5.4. Квазилинеаризация 85
+ L(l-x)e]Z = O,
Z@) = 0, dZ @)/Л=1. l ;
Граничные условия при t = T дают
У (Л+ sZ (Г) = дс„ D.21)
и
йУ(Л/^ + »'^(Л/Л = 0. D.22)
Исключая s из D.21) и D.22), получаем
Y (Т) dZ {T)/dt—Z (T) dY (T)/d( = x0dZ (T)/dt. D.23)
Уравнение D.23) и одно из D.21) и D.22) и есть уравнения,
необходимые для определения неизвестной продолжительности дви-
движения Т и параметра s. Таким образом, решение задачи D.15),
D.16) состоит из следующих шагов.
1. Выбираем начальное приближение, полагая
х = хо(\ — е'1),
и отсюда определяем Xе" для п— 1, . . ., N.
2. Интегрируем две задачи Коши D.19) и D.20) от / = 0 с ша-
шагом h. В процессе интегрирования на каждом шаге проверяем
условие D.23) и заканчиваем интегрирование тогда, когда это усло-
условие будет выполнено. При этом мы находим неизвестную продол-
продолжительность движения Т, а также Y (Т) и Z(T).
Таблица 5.9
Пример решения задачи D.15) (хп = 0.5I)
Первое приближение
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
') После
0.0000
0.1967
0.3161
0.3884
0.4323
0.4590
0.4751
0.4849
0.4908
0.4945
второй итерации
0.00
0.05
0 10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
иайдеио, что Т =
(=2
0.0000
0.0589
0.1175
0.1755
0.2328
0.2890
0.3440
0.3977
0.4497
0.5000
0.45.
0.0000
0.0586
0.1168
0.1746
0.2316
0.2877
0.3427
0.3965
0.4490
0.5000
1=4
0.0000
0.0586
0.1168
0.1746
0.2316
0.2877
0.3427
0.3965
0.4490
0.5000

86 Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
3. Из соотношения D.21) определяем величину s.
4. Составляя, согласно D.18), комбинацию двух полученных
решений, находим х'„2\ га = 1, ..., N.
5. Повторяем шаги 2—4 до тех пор, пока не будет достигнута
желаемая точность.
В табл. 5.9 представлены результаты полученных таким обра-
образом численных решений.
5.5. Заключительные замечания
В этой главе мы описали два метода пристрелки: простой ме-
метод пристрелки (метод Ньютона) и метод параллельной пристрелки.
Простой метод пристрелки имеет в своей основе поиск типа «проб
и ошибок», но обеспечивает систематическую процедуру поиска
недостающих начальных условий. Вследствие этого итерации схо-
сходятся квадратично и время вычислений сокращается. Конечно,
скорость сходимости зависит от того, насколько близко к точному
значению выбрано начальное приближение. В общем случае нет
универсального рецепта выбора начального приближения. Однако
в практических задачах имеются возможности сделать такой' вы-
выбор. Примером может служить решение граничной задачи, которая
содержит какой-либо физический параметр либо в дифференциаль-
дифференциальном уравнении, либо в граничном условии. Если для некоторого
определенного значения этого параметра решение известно, то это
решение можно выбрать в качестве первого приближения.
Для ряда задач одной из трудностей в простом методе прист-
пристрелки является существенная зависимость решения от выбора на-
начального значения. Это явление неустойчивости обусловлено тем
обстоятельством, что для быстро растущих решений резко увели-
увеличиваются ошибки округления и аппроксимации.
Использование метода параллельной пристрелки помогает прео-
преодолеть эту трудность. В этом методе интервал интегрирования
делится на несколько подынтервалов, в каждом из которых решается
соответствующая граничная задача. И теперь при подборе начальных
значений учитываются и граничные условия, и условия непрерыв-
непрерывности на границах подынтервалов.
Детальное рассмотрение различных математических аспектов
двух методов пристрелки содержится во второй главе книги Кел-
Келлера [4].
Метод квазилинеаризации, описанный в § 5.4, позволяет не
только линеаризовать нелинейную граничную задачу, но и полу-
получить последовательность функций, которые квадратично сходятся
к решению исходного уравнения. Это решение можно получить
путем последовательных итераций, начав с грубой оценки зависимой
переменной. Идея квазилинеаризации основана на обобщении из-

Литература 87
вестного метода Ньютона — Рафсона. Квазилинеаризация сохраняет
два основных свойства этого метода: квадратичность и монотон-
монотонность сходимости. Математические проблемы существования и
сходимости в методе квазилинеаризации выходят за рамки данной
книги. Читатели, интересующиеся этими вопросами, могут обра-
обратиться к соответствующей специальной литературе [5—7].
Задачи
1. При исследовании течения в однородном пористом канале Террил [8]
установил, что безразмерная переменная, соответствующая скорости, может быть
найдена как решение следующей граничной задачи:
+ R \fd*f/dr)*-(df/dn)*) = - К,
где К—собственное значение. Найти решение / при R = 15.014 (а) методом
Ньютона, (б) методом параллельной пристрелки и (в) методом квазилинеаризации.
В случае (в) линеаризованное уравнение следует решать всеми тремя методами: ме-
методом суперпозиции, методом прогонки и методом сопряженного оператора.
Указание: задачу можно решить, продифференцировав дифференциальное
уравнение и превратив его таким образом в уравнение четвертого порядка. Ре-
Решение этой задачи включает использование всех основных подходов, изученных в
гл. 2—5.
Ответ: d3/ @)/dt]2=— 10.162.
2. Исследуя фазовые переходы в твердых телах, теплопроводность которых
зависит от температуры, Цой и Сандерленд [9] установили, что распределение
температуры может быть найдено путем решения следующей граничной задачи:
| = 0, е@)=0, 0@0)=!.
Найти в при E = 4.00 и 1.441 (а) методом Ньютона и (б) методом квазилинеа-
квазилинеаризации.
Ответ: сЮ (O)/dt]= 1.751 и 1.388 для Р = 4.00 и 1.441.
3. Напряжение в сферической мембране, образующей сферический сегмент,
является решением следующей граничной задачи [10]:
при Е=0 F = 0, при |=1 2dF/d% — (
Решить эту задачу методом параллельной пристрелки при v=0.3 и X = 0.991,
Ответ: F A) =0.2932.
4. Решить методом Ньютона задачу, рассмотренную в § 4.1.
5. Решить методом квазилинеаризации задачу, рассмотренную в §4.1; при
решении линеаризованного уравнения использовать метод прогонки.
Литература
[Г| Киддер (Kidder R. E.). Unsteady flow of gas through a serai-infinite porous
medium. — J. Appl. Mech., 1957, v. 79, p. 329—334.
[2] Ha (Na T. Y.). An initial value method for the solution of a class of non-
nonlinear equations in fluid mechanics. — J. Basic Eng., Trans. ASME, 1970,
p. 503—509. [Имеется перевод: Труды Амер. об-ва инженеров-механиков,
сер. D, Теоретические основы инженерных расчетов, 1970, № 3, с. 99.]
[3] Келлер, Холдридж (Keller H. H., Holdrege E. S.). Radiation heat transfer
for annular fins of trapezoidal profil, — J, Heat Transfer, Trans, ASME,

88 Гл. 5. Итерационные методы: методы пристрелки
1970, v. 92, р. 113—116. [Имеется перевод: Труды Амер. об-ва инженеров-
механиков, сер. С, Теплопередача, 1970, N° 2, с. 118.]
[4] Келлер (Keller H. В.). Numerical methods for two-point boundary value
problems. —Waltham: Ginn-Blaisdell, 1968, Ch. 2.
[51 Беллман, Калаба (Bellman R. E., Kalaba R. E.). Quasilinearization and
nonlinear boundary value problems. — New. York: Elsevier, 1965. [Имеется
перевод: Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные крае-
краевые задачи.—М.: Мир, 1968.]
[6] Радбилл, Маккыо (Radbill J. R., McCue G. A.). Quasilinearization and non-
nonlinear problems in fluid and orbital mechanics.—New York: Elsevier, 1970.
[7] Ли (Lee E. S.). Quasilinearization and invariant imbedding.—New York:
Academic Press, 1968.
18] Террил (Terril R. M.).—Aeronat Q., 1964, v. 15, August, p. 299—310.
[9] Цой, Сандерленд (Cho S. H., Sunderland J. E.). —J. Heal Transfer, Trans.
ASME, 1974, v. 96, p. 214—217. [Имеется перевод: Труды Амер. об-ва
инженеров-механиков, сер. С, Теплопередача, 1974, № 2, с. ПО.]
[10] Перроне, Као (Perrone N., Kao R.). —J. App. Mech., 1971, v. 38, p.
371—376. [Имеется перевод: Трупы Амер. об-ва инженеров-механиков,
сер. Е, Прикладная механика, 1971, № 2, с. 82.]

Глава б
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ:
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
6.1. Введение
В данной главе будет рассмотрен метод конечных разностей
для решения граничных задач. В этом методе производные в диф-
дифференциальных уравнениях заменяются соответствующими отно-
отношениями конечных разностей и таким образом дифференциальное
уравнение сводится к системе алгебраических уравнений. Решение
этой системы алгебраических уравнений дает значения зависимой
переменной на дискретном множестве значений независимой пе-
переменной. Этот метод предпочтительнее метода пристрелки для
решения численно неустойчивых двухточечных граничных задач,
в которых требуется определить два или более недостающих на-
начальных условия, так как в этом случае вычисления по схеме
пристрелки часто оказываются весьма трудоемкими.
Для решения системы алгебраических уравнений конечно-раз-
конечно-разностного представления дифференциального уравнения весьма эф-
эффективен метод факторизации; этот метод будет изложен достаточно
подробно. Он наиболее удобен для решения тех граничных задач,
в которых матрица коэффициентов алгебраических уравнений
трехдиагональна. К тому же в прикладных задачах размерность
матрицы коэффициентов обычно весьма велика, и если исполь-
использовать такие традиционные методы обращения матриц, как метод
исключения Гаусса—Зейделя, то это потребует значительных
ресурсов машинной памяти и будет связано с большим объемом
лишних вычислений. Дважды проделав (в разд. 6.4.1 и 6.5.1) всю
последовательность ведущих к конечной цели шагов, читатель
сможет самостоятельно пользоваться методом и в случае необхо-
необходимости получать конечно-разностные аппроксимации тех диффе-
дифференциальных уравнений, с которыми он столкнется.
6.2. Конечные разности
Чтобы получить численное решение дифференциального урав-
уравнения, следует заменить непрерывные переменные на дискретные.
Это осуществляется путем замены производных отношениями ко-
конечных разностей. В результате получается система алгебраиче-
алгебраических уравнений, которая затем решается при помощи ЭВМ.

90
Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Чтобы изложить существо метода, рассмотрим непрерывную
функцию и(х), график которой построен на рис. 6.1. Разделим
ось х на конечные интервалы длиной А*. В трех произвольных
соседних точках хп_х, хп и xn+i функция п будет принимать зна-
значения ип_и ы„иыв+1.
и(х)
х = 0 1 2 3 v п-1 п п+1
Рис. 6.1. Конечно-разностная сетка.
Значения ип+1 и м„_, можно выразить через ип и Ах при по-
помощи рядов
un+l = un + (du/dx)nAx + (d*u/dxX(AxY/2\+ ... B.1)
и ' i -
«„-1 =«« — (du/dx)nAx + (d*u/dxX(Ax?/2\ + ... . B.2)
Из выражений B.1) и B.2) можно получить конечно-разностную
форму производных. Так, из B.1) следует что
(du/dx)n = (и„+1 — м„)/Ал:—(d*u/dx*)n Ах/2! — . ..,
или
(du/dx)n ж (ия+1 —ип)/Ах. B.3)
Подобным образом из B.2) получаем
ИЛИ |
{duldx)ntt{un-un_,)lAx. B.4)
Выражения B.3) и B.4) называются разностью вперед и разно-
разностью назад. Первым отбрасываемым членом в обеих формах яв-
является (diu/dxi)n (Дл:/2!). Так как этот член содержит Ах в первой
степени, ошибка аппроксимации имеет первый порядок.

6.3. Решение граничных задач методом конечных разностей !Н
Чтобы получить конечно-разностную форму первой производной
со вторым порядком аппроксимации, вычтем B.2) из B.1) и, вы-
выразив отсюда производную, получим
(du/dx)n = {un+l — м„_0/B Ax) — (d3u/dx\ (ДхJ/6 + ...,
или
(du/dx)n »(ия+1 —и„_,)/2Д*. B.5)
Это представление называется центральной разностью. Так как
первый отброшенный член содержит (ДхJ, ошибка аппроксимации
имеет второй порядок.
Чтобы получить конечно-разностный аналог второй производ-
производной, надоB.2) сложитьсB.1) и разрешить результат относительно
второй производной; тогда
или
(d*u/dxX&(un+,-2un+.un_1)/(Axy. B.6)
Это представление также имеет второй порядок аппроксимации.
Подобным образом третья производная дается выражением
B.7)
Чтобы продемонстрировать идею решения граничных задач
методом конечных разностей, в следующем параграфе приводится
простой пример.
6.3. Решение граничных задач методом конечных разностей
В этом параграфе на простом примере будет изложена идея
решения граничных задач методом конечных разностей.
Рассмотрим еще раз процесс переноса тепла в пластине, изоб-
изображенной на рис. 3.5 (разд. 3.3.3), считая теперь, что ее поверх-
поверхность при x = L изолирована. В этом случае закон сохранения
энергии позволяет написать следующее дифференциальное уравне-
уравнение для безразмерного распределения температуры:
d2e/dx2=A,e, C.1)
а граничные условия имеют вид
Э@)=1, dQ(l)/dx=0. C.2)
Теперь разделим интервал изменения х (от 0 до 1) на N интер-
интервалов, границами которых являются точки
хо = О, хп = хп_1 + Дж, п=1, .. ,jV.
Чтобы заменить уравнение C.1) уравнением в конечных разностях,
заменим значение функции Э при хп на Вп, а ее вторую произ-

92
Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
водную — конечно-разностным представлением B.6). Тогда уравне-
уравнение C.1) примет вид
или
C.3)
C.4)
(з.5)
C.6)
Второе граничное условие в C.2) указывает на то, что хорошим
приближением для него является
Для п=\ это уравнение записывается так:
90—[2 + ЦДхJ]9, + 03 = 0
и с учетом первого граничного условия Эо=1 дает
—[2 + \ (ДхJ] е,+е2 = — 1.
Для п = N уравнение C.3) имеет вид
и поэтому вместо C.6) будем иметь
Уравнения C.5), C.7) и уравнение (З-.З) для я = 2, 3, ..., N — 1
образуют систему N уравнений для нахождения N неизвестных
0J, 02, ..., Эд,. В матричной форме эту систему уравнений можно
записать как
A6 = s, C.8)
где
e =
^ А
s =
Si
s3
s,v-
SN
1
C.9)
A =
1 a 1
1 a 1
C.10)
1 a 1
2 a j

6.4. Дифференциальные уравнения второго порядка 93
причем
s1 = —l, sn = 0, n = 2, 3 N, C.11)
и
а = — [2 + Х(АхJ] C.12)
Матрицу коэффициентов А называют трехдиагональной, потому
что все ее элементы, кроме диагональных и ближайших к ним спра-
справа и слева, равны нулю. Чтобы найти вектор в, требуется обра-
обратить матрицу коэффициентов А:
Для обращения матриц обычно используется один из стан-
стандартных методов: либо итерационный метод Гаусса—Зейделя,
либо метод релаксации, Указанные методы приемлемы для тех
задач, в которых число интервалов N мало, но если число интер-
интервалов велико, то использование этих методов сопряжено с боль-
большим объемом лишних вычислений и требует значительных ресур-
ресурсов машинной памяти. А это как раз типичная ситуация для
большинства конкретных инженерных и научных задач, в кото-
которых приходится брать много интервалов по независимой перемен-
переменной, чтобы получить достаточно точное решение. По этой причине
упомянутые выше стандартные методы здесь не рассматриваются
и вместо них предлагается высокоэффективный метод факториза-
факторизации, который использует трехдиатональную форму матрицы А,
требует минимального объема машинной памяти и позволяет из-
избежать ненужных вычислений.
В двух следующих параграфах метод факторизации будет
изложен во всех деталях, так что читатель сможет самостоятельно
применять его на практике. Это также позволит научиться вы-
выводить необходимую систему уравнений для новых задач. Метод
факторизации разработан Томасом [1] и Келлером [2, 3].
6.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
6.4.1.'Линейные дифференциальные уравнения
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго
порядка
d*y/dx2 + A (х) dy/dx + B{x)y = C(x), D.1)
с граничными условиями
@) = a,
Уравнение D.1) можно записать в конечно-разностной форме.
Точки сетки определяются как
*о —0, хп=-х„_1 + И, п= 1, 2, . ... N,
где N — полное число интервалов и хы—L.

94
Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Значения переменной у и ее производных в точке хп задаются
следующими соотношениями:
Таким образом, уравнение D.1) принимает вид
или
где .
D.2)
an=l-(h/2)A(xa), bn = h*
ca~l+(h/2)A(xa), rn = V
а граничные условия — вид
0о = а. г/лг=б- D-3)
В векторно-матричнои форме уравнения D.2) и D.3) можно за-
записать в виде
Ay = s, D.4)
где
rJ/,
У*
s =
.Улг-lJ LSN-U
A =
г,
aN-
7V-2
J_2 Сдг_
N-2
«/V-l
У матрицы А отличны от нуля лишь диагональные и ближай-
ближайшие к ним слева и справа элементы, т. е. она трехдиагональна.
Для решения уравнения D.4) можно использовать весьма эффек-
эффективную процедуру факторизации. Предположим, что А—невы-
А—невырожденная матрица и может быть факторизована]) следующим
образом:
______ A = LU, D.5)
х) То есть разложена на множители. По существу описываемый здесь метод
факторизации представляет собой конечно-разнсстный вариант метода прогон-
прогонки.— Прим. перев.

6.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
95
где
"Р,
aN-t
aN-i
1 Yi
1 Y.
L
1 Тлг-
1 J
PBYB = cB, «-2, 3, ...,N-2.
Через L и U уравнение D.4) записывается так:
LUy = s.
Положив
уравнение D.9) можно переписать в виде
или
"Pi
«2 Рг
aN-2 PN-2
ZN-2
D.6)
D.7)
Из уравнения D.5) находим, что неизвестные Р„, уп (п=1,2,
..., N—1) связаны соотношениями
D.8)
D.9)
D.10)
D.11)
D.12)
Отсюда следует, что неизвестные компоненты вектора z опреде-
определяются по формулам
Zi^Si/Px, «B=»(sB—a^-O/P», n = 2, 3 ^V—1. D.13)

96
Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Поскольку нектор г теперь известен, можно решить уравнение
D.10) относительно у, так как матрица U уже известна. Распи-
Расписывая уравнение D.10) в развернутом виде
1
Yi
Уг
Ум-t
Z/V-
LZN-1J
D.14)
получаем
yN-i=tzN_u уп^г„ — упуп+и n=>N — 2, N—3 2, 1. D.15)
Это и есть решение уравнения D.4).
Итак, процесс решения граничной задачи D.1) состоит из
следующих шагов.
1. Данное дифференциальное уравнение приводится к соответ-
соответствующей конечно-разностной форме.
2. Определяются ап, Ьп, сп и гп, входящие р уравнение D.2).
3. Из системы уравнений D.8) находятся Р„ и уп (для п—1,
2 iV—1).
4. Из системы уравнений D.13) находятся гп (для п=\, 2,
...,N-1).
5. Из системы уравнений D.15) находятся уп (для n = N—1,
N—2, ..., 3, 2, 1), которые и являются искомым решением.
6.4.2. Распространение тепла а пластине радиатора
Вернемся к обсуждавшейся в разд. 3.3.3 пластине радиатора.
Уравнение сохранения энергии и граничные условия имеют вид
= Х9 D.16)
6@) = 1, dB(\)/dx=*0.
Сопоставляя это с записью в форме D.1), находим
А(х) = С(х) = 0 и В(х) = — К
а для граничных условий получаем
= o, или e^=e^_f.

6.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
97
Таблица 6.1
Решение
2.0 0
0
0
0
0.
1.
Г
0
2
4
6
8
0
задачи D.16) для
1
0
0
0
0
0
е
.0000
.7175
.4924
.3068
.1457
.0037
двух
Л
6.0
значений Л
:
0
0
0
0
0
1
г
0
2
4
6
8
0
е
1.0000
0.6050
0.3579
0.1984
0.0874
0.0022
Таким образом, имеем
ап=\ B<n<iV — 1),
bn = — Xh*—2, ?„_, = — ЯА*—3, с„=1
— 1).
— 2)
Теперь, определив все необходимые величины, можно приступить
к процессу решения и найти конечно-разностные решения задачи
D.16) для различных значений X. Результаты представлены в
табл. 6.1.
614.3. Нелинейные дифференциальные уравнения
Один из способов решения нелинейных дифференциальных
уравнений состоит в том, чтобы линеаризовать дифференциальное
уравнение, прежде чем записывать его в конечно-разностной фор-
форме. Весьма эффективным для этой цели является метод квазили-
квазилинеаризации, описанный в § 5.4. Начиная с первого приближения
и решая на каждом шаге линеаризованное уравнение, можно по-
получить последующие итерации. Для демонстрации деталей метода
в следующих двух разделах будут рассмотрены два примера.
6.4.4. Маятнии
Рассмотрим изображенный на рис. 6.2 маятник, который со-
состоит из точечной массы т, подвешенной на невесомой нити дли-
длиной /. Сила тяжести раскладывается на две составляющие. Ради-
Радиальная составляющая уравновешивается натяжением нити, а тан-
тангенциальная составляющая вызывает колебательное движение.
Согласно второму закону Ньютона,
tnd2s/dt* = — tng sin 0.
D.17)
4 № 2018

98 Гл. 6. Итерационные нетоды: метод конечных разностей
После замены s на /9 это уравнение принимает вид
d*Q/dt2 + (g/l) sin 9 = 0. D.18)
Предположим, что известны положения маятника в два момента
времени. Рассмотрим, например, случай, когда эти два положе-
"ния таковы:
при ^ = 0 9 = 0, при t = tf Э = 9,.
Задача состоит в том, чтобы найти 9 как
функцию времени t.
Прежде всего введем безразмерную пе-
переменную, соответствующую времени:
тогда уравнение D.18) и граничные усло-
условия примут следующий вид:
d29/dx2 + sin0 = O, D.19)
при
т = 0 9 = 0, при х = х7 9 = 6,. D.20)
Следуя методу квазилинеаризации,
тд можно получить рекуррентное соотноше-
соотношение, определяющее последовательность
Рис. 6.2. Схематическое итераций. Пусть
изображение маятника.
/=/(т, 9, 9") = 9" +sin9 = 0, D.21)
где 9" обозначает d?6/dT2. Тогда, дифференцируя D.21) с учетом
равенства
I 0((П _ Q
где индекс i означает номер итерации, получаем
/0"ш+п о.ои+КсозЭ"' =9(/)cos 9(" sin 9(/>. D.22)
Граничные условия имеют вид
при х = 0 9('+1> = 0, при т = тг 9('+1> = 9/.
Сравнивая полученные формулы с уравнением D.1) и его гра-
граничными условиями, получаем
А (т) = 0, В (т) = cos 9">, С (х) =. 9"> cos 9"»—sin 9l'>,
Теперь найдем решение задачи D.22) при помощи алгоритма,
описанного в разд. 6.4.1. Чтобы начать процесс решения, выбе-
выберем первое приближение для решения уравнения D.19). Естественно

6.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
99
положить
Второе приближение 0B) можно найти, решая залачу D.22). При
выполнении следующей итерации решение б12' подставляется в
D.23) для нахождения новых коэффициентов, а затем Эш вновь
получается как решение задачи D.22). Этот процесс следует про-
продолжать до тех пор, пока не будет достигнута желаемая степень
точности.
Таблица 6.2
Угол 6 отклонения маятника
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1 = 2
0.0000
0.0596
0.1159
0.1686
0.2173
0.2618
1=8
0.0000
0.0545
0.1085
0.1614
0.2127
0.2618
1 = 4
0.0000
0.0545
0.1085
0.1614
0.2127
0.2618
В табл. 6.2 представлены численные решения уравнения D.19),
полученные для случая 1^ = 0.5 с и 0^=15°.
6.4.5. Естественная конвекция жидкости Пауэлла—Эйринга
между вертикальными плоскими пластинами х)
Для специалистов, работающих в области механики неньюто-
неньютоновских жидкостей, представляет интерес характер естественной
конвекции псевдопластических жидкостей.
На рис. 6.3 изображено течение псевдопластической жидкости,
описываемой моделью Пауэлла—Эйринга, между двумя вертикаль-
вертикальными параллельными пластинами под действием силы тяжести.
Запишем дифференциальные уравнения, описывающие измене-
изменения импульса и энергии:
для импульса di/dx-\-peg (T—Т^^О, D.24)
для энергии d?77dx2 = 0, D.25)
где р, е, g, Т и Тт — плотность жидкости, коэффициент ее объ-
объемного расширения, ускорение свободного падения, температура
жидкости и средняя температура жидкости соответственно На-
1) См. Брюс и На 14].

100
Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Рис. 6.3. Схема течения.
пряжение сдвига т связано с градиен-
градиентом скорости соотношением
т = \xdvjdx + A/В) Ar sh A/c) dv/dx,
D.26)
где ц, В и с—константы.
Уравнение D.25) дает
Т = Тт — A/2) (Г2-7\) (*//). D.27)
Комбинируя D.24), D.26) и D.27)
и вводя безразмерные переменные
т*=т/2/(аи-), ** = *//,
v* = v/(aNzlNvl/l),
окончательно получаем
=» х* [1 + \l(l V (sdv*/dx*r+1)];
D.28)
здесь
= aNsrNpr/(cl2), l^[iBc, a = k/{pc).
Граничные условия, устанавливающие значения скорости в точ-
точках х = — / и # = 0, имеют вид
при **=—1 у* = 0, при ** = 0 i'* = 0.
После введения новой независимой переменной s = х* + 1 урав-
уравнение D-28) и граничные условия для него приводятся к виду
d*v*/ds* = (s- 1)[1 + l/(g V(edv*/ds)* + l)], D.29)
Линеаризуя уравнение D.29), получаем уравнение
dv*^/ds)l /do*
iJ J \ ds
J(s-1)9 e2g(s—I) /dt.*('
l-Ь^Ф <p(S<P+iJ V
с граничными условиями
где
Сравнивая уравнения D.30) и D.1), находим, что
)\2
C(s) = -
D.30)
D.31)
D.32)

6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка 101
Для решения граничной задачи D.30) следует использовать алго-
алгоритм, описанный в разд. 6.4.3.
В качестве численного примера рассмотрим решение задачи
D.30) при 8 = 0.01, ?=10. Выбирая в качестве первого прибли-
приближения
yA)=jsin nx,
за три итерации получаем решение, верное до четвертого знака.
Результаты представлены в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Решение задачи D.29) при" е = 0.01, 1=10
s
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
(=1
0.0000
0.5878
0.9511
0.9511
0.5878
,=2
0.0000
0.0436
0.0582
0.0509
0.0291
i=3
0.0000
0.0437
0.0582
0.0509
0.0291
1.0 0.0000 0.0000 0.0000
6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка
6.5.1. Линейные дифференциальные уравнения
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение третьего
порядка
cPy/dx3 + А (х)d2y/dx2 + В (х)dy/dx + C(x)y-D(x) E.1)
с граничными условиями
= h. E.2)
Перепишем уравнение E.1) в конечно-разностной форме, опре-
определив точки сетки следующим образом:
м=1, 2, ..., N,
где N — полное число интервалов и xN=L.
Переменная у и ее производные в точке хп даются выраже-
выражениями
у = уп, dy/dx№i(yn+1—ya.1)/Bh),
d*y/dx* « (yn+i-2yn + yn.,)/h\ E.3)
d3y/dx3 «(yn+2-2yn

102
Гл, 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Таким образом, уравнение E.1) принимает вид
2 2МЫ3) + Л (х) (уп+1-
или
+ [2 + 2hA(x)-h*B(x)]yn_l-yn_^D(x), E.4)
а граничные условия для него запишутся так:
</« = «, (yi-y-i)/Bh)=--e, (yN+1 -yN^)/Bh) «Л. E.5)
Полагая в уравнении E.4) п=--0, 1, ...,N, получаем систему
N -f-1 алгебраических уравнений для нахождения N-\-\ неизвест-
неизвестных уп (п = 0, 1, ...,N). Однако в конечно-разностную форму
производной третьего порядка входят значения уп в пяти соседних
точках. Для я —0 в уравнении появляются два «лишних» значе-
значения уп, а именно г/_, и у_г Подобным образом и для n = N
появляются еще два «лишних» значения yN+1 и г/д^2. Для
определения этих четырех дополнительных неизвестных на осно-
основании трех граничных условий можно написать лишь три урав-
уравнения. Если четвертое условие выбрано неудачно, то в решении
будут наблюдаться осцилляции. Фокс [5] предложил устранить
эту трудность заменой уравнения E.1) двумя уравнениями
dy/dx=--p, d*ptdx*=: — A(x)dpldx—B{x)p — C(x)i! + D(x) E.6)
с граничными условиями
г/@) = а, /?@) = е, p(L)=*X. E.7)
Представляя эти уравнения в конечно-разностной форме, получаем
(Уп — Уп-iVh = (Рп + Pn-i)/2,
i)№=*-A (x)(Pn+1-pn_1)/Bh)-B(x)Pn-
или
</„-, +О/2)/i/v.,-*/„ + ( 1/2)/г/7„ = 0, E.8)
где
а„-/г2С(х„), bn=\-(\/2)hA(xn),
cn=*h*B(xn)-2, dn=\+(M2) hA(xn).
Здесь первое уравнение записано через центральные разности
относительно точки хп--ц1. Далее будет показано, что такой прием
позволяет уменьшить число «лишних» значений до трех, так что
число неизвестных становится равным числу имеющихся уравнений.
; Граничные условия можно записать в виде
#о = а, Ро = е, pN = K E.10)

6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка
103
Для я = 0 уравнения E.8) и E.9) принимают вид
Учитывая, что «/„ = а, а ро = к, получаем
г/_1 + A/2)Ар_, = а—A/2) Ае, . E.11)
М-1 + tfoPi = — аоа—сое + h*D (x0). E.12)
Подобным образом для п — 1 уравнения E.8) и E.9) дают
— у, +A/2) А/?,- — а—A/2)Ае, E.13)
#i#i + ci?'i + 'ЛРг = — &ie + ^2?> (*i)- E14)
Для 2^rcs^/V — 1 можно использовать уравнения E.8) и E.9)
без всяких изменений. Для n = N уравнения E.8) и E.9) дают
I, E.15)
VD(xN), E.16)
где использовано граничное условие pN = X. Таким образом у0,
р0 и /?д, исключаются из числа переменных, и в результате мы
имеем систему 2N+2 уравнений для определения 2Л/ + 2 пере-
переменных, а именно
Уп> Рп> п=«1, 2,3, .... /V—1,
У-\1 P-\i Pn+ъ Уы-
В векторно-матричной форме эту систему 2/V+2 уравнений можно
записать как
A8 = t, E.17)
где
8 =
[р'1}'
й
•
\Уы-Л
YPn-A
\Уы 1
t =
м
•
J
го = а—A/2) Ае, гх=-а —A/2)Ае,
s0 = A2D (х0) —аоа—сое, s, = A2D (лгг) — b:
E.18)
E.19)

104
Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
а матрица А E.20) дается выражением
[1 1*1 го
[о 6O.J [о
го о| f-i i*| [о о]
Lo oj [«, с, J [о </,]
« l*|f-I J*lfo о
О Ьк
-1 О
E.20)
Нетрудно увидеть, что векторы 8 и t и матрицу А можно
записать в виде
8 =
8,
U^J
t,
E.21)
A-
[Co]
[в,] [с,]
[вг] [c2]

6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка
105
где
.]-[о С]-
E.23)
При такой форме записи уравнение E.17) будет иметь точно
такой же вид, что и уравнение D.4) в § 6.4. Факторизуем мат-
матрицу А:
A=LU, E.24)
где
причем
,] [Рх]
[Рлг-J
[An]
U =
in ш
[VN-г]
U)
(Vb)ii (Tn)i2 I
L(Y»)m (Уп)пУ
E.25)
E.26)
E.27)

106 Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Из уравнения D.8) находим, что неизвестные матрицы [PJ и
[уп](п = 0, 1, ...,N) связаны соотношениями
[Ро] = [Во]> E.28)
[МЫ = [С.], E.29)
[Р»] = [Д»]-И»][т»-1]. n=l,2,...,N, E.30)
1Р»]Ы = [СВ]. «=1,2 N-\. E.31)
Из соотношения E.28) получаем
Г(Ро)и (Ро)хЛ
1(Р.)я (PoJJ
Lo ьа
откуда
(Ро)п=1, (P.)i, = A/2,
Соотношение E.29) дает
Г(Ро)п (Ре)»] f(Vo)n (V.)»l = [0
L(PoJi Ф.ы" L(vo)« (v.).J [о
откуда следует, что
Ып = 0, (т.)и =-(A/2) do/bo
Из соотношения E.30) для «=i, т.е. из равенства
f(Pi)u (PiM^f-1 A/2] _ ГО 0] Г(То)п (YoI2]
L(Pi)« (pi)«J L«i с, J [о oj' [GoJ1 (Yo)MJ
получаем
Из соотношения E.31) для я=1, т.е. из равенства
Фг)и (Pi)»l ГЫи Ы..1 [0 0
1 ^
заключаем, что
(Yi)n = 0, Ын = ^/(а,А/
Для 2<«<Я —1
Г(Р„)п (РЛЛ [~1 А/21 Г1 А/2] Г(у„-х),. (тя-0н
L J 1 J [О Ь J
L(YB-i)«

6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка
10?
откуда получаем
(P»)ii=»-l-[(Y»-i)n +
ф„I2 = Л/2—[(yn_tI2
-!)„],
E.36)
Из соотношения E.31) для 2^.n^.N — 1, т.е. из равенства
L(P«)ai (PJsJ [(Y«)ai (Y«)saJ LO da\'
получаем
(Y-)u = 0, (Y»)i* = -rfn(Pn)i4(P^ii(Pn)M-(P»)«(Pe)ii]. ,.
1.
Для n — N уравнение E.30) дает
Г(Мп (Рлг)»1 = Г-1 °
L(M2i Флг)и1 Uv dN
1 Л/2
["(?A'-l)ll (YAf-l)ia"|
L(Y^-i)al (Y^-i)aaJ'
откуда следует, что
(Pat)» ^ - [(Yat-i)ii + (A/2) (Улг-х)».],
E.38)
Формулы E.32) — E.38) необходимы для вычисления элементов
матриц [Р„] и [у„].
Аналогично тому как это было сделано в § 6.4, запишем
уравнение E.17) в виде
t. E.39)
Если теперь положить
где
. Zn =
то уравнение E.39) примет вид
E.40)
E.41)
E.42)

108 Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
ИЛИ
[Р,]
_
^n\ \PnU
х -
что дает
Из E.43), т. е. из уравнения
Г1 A/2] К] [>0]
находим, что
vo = rQ—hsB/BbB), wo = so/bB.
Уравнение E.44) при я=1, т. е. уравнение
[ (Pi)n (Pi)» 1 К1 = ГгЛ _ ГО о] г0о ]
L (Pi)« (PiJJ ' U-J LsJ LO Oj ' LaJ '
дает
E.43)
E.44)
E.45)
— si(Pl)l2
и мы получаем
Для 2 ^ n ^ /V имеем
U")« (pI)J"U"J = Lsn1~I.O bn
откуда
(P»)n »„ + lP«)i. «>» = '-—o-i —(A/2) a»-lt
Решениями этих уравнений будут
где
E.46)
E.47)

6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка
109
После того как z найдено из уравнений E.42), можно вернуться
к уравнению E.40), чтобы найти окончательное решение. Осно-
Основываясь на уравнении E.40)
U8 = z, E.48)
или
гт
[?o]
J
ZN-1
J U-N J
находим, что
N— 1).
E.49)
E.50)
E.51)
Из уравнения E.50), т. е. из уравнения
\Уы 1 = Гулг]
IPn+Л Iwn\ '
получаем
yN~vN< Pn+i — wjv>
а из уравнения E.51), которое запишется как
E.52)
_ К 1 _
~К1
имеем
Уп = vn~(
/ ч E-53)
В качестве иллюстрации рассмотрим линейную граничную за-
задачу, описываемую дифференциальным уравнением
d3y/dx3 + id2y/dx2 + dyldx—Ьу == 1 E.54)
и граничными условиями
г/@) = 0, dy@)/dx — Q, dy(l)/dx—l.
Для этой задачи
Таким образом, величины, входящие в уравнение E.17), можно
записать в виде
ce=-6A!t bn =1-2/г,

ПО Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
И
гл = О, sn = /ia @<я<ЛГ— 1).
Для п = N имеем
/>== — /i/2, 5д,= 2.
Поскольку все эти коэффициенты определены, решение задачи
E.54) состоит из следующих шагоз.
1. По формулам E.32)—E.38) вычисляются (р„)п, (Р„I2, (Р„J1,
(Рв)м. (V»)n. (V»)i«. (V»)« и (Т»)и Аля 0<n^/V.
2. По формулам E.45)—E.47) определяются vn и wn для
0<я<ЛГ.
3. По формулам E.52) и E.53) находятся уп и /?л для 0^
Шаг 3 дает решение задачи E.54) во внутренних точках сетки.
Детали вычислений опускаются; в конце главы предлагается про-
проделать их в качестве упражнения (задача 1).
6.5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения
Прежде чем записать уравнение в конечно-разностной форме,
его следует линеаризовать, как это делалось в разд. 6.4:3. Для
этой цели весьма эффективным оказывается метод квазилинеари-
квазилинеаризации, обсуждавшийся в § 5.4. Взяв некоторое первое прибли-
приближение, все последующие итерации можно получить путем решения
линеаризованного уравнения.
Здесь мы продемонстрируем этот метод, применяя его для
решения двух прикладных задач.
6.5.3. Магнитное течение Хименца
Течения, в которых скорость набегающей жидкости перпенди-
перпендикулярна плоской поверхности, называются течениями Хименца [7].
Если к тому же жидкость является проводящей, то такое течение
называется магнитным течением Хименца. Решение этой задачи
представляет определенный интерес, так как это один из немно-
немногих примеров точного решения уравнений Навье—Стокса в маг-
магнитогидродинамике.
Уравнения Навье—Стокса для таких течений имеют следую-
следующий вид [6|:
уравнение неразрывности
0, E.55)
уравнение изменения импульса
и дидх + v ди/ду = a2x + v д2и/дуг + раВ2 (ах— и), E.56)

5.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка 111
а граничные условия — вид
при у~0 ы = 0, у = 0,
при у — оо и = ах,
где и, v, v, р, а—компонента скорости по оси х, компонента
скорости по оси у, вязкость, плотность и константа, характери-
характеризующая набегающую жидкость, соответстьенно, а сг и В — прово-
проводимость и магнитная индукция. Первые два граничных условия
отражают тот факт, что на поверхности отсутствуют скольжение
и перенос массы, а граничное условие на бесконечности означает,
что скорость жидкости аппроксимируется линейной функцией от х.
Хименц [7] разделил переменные, положив
u = axdF/dr\ и v — — VH» F (х\), E.57)
где
П = КаЛГг/. E.58)
Можно показать, что уравнение E.55) будет удовлетворяться
тождественно, уравнение E.56) примет вид
cPF/drf + F d*F/d\]* + \ — {dFldr\Y + М A — dFldr\) = 0, E.59)
а граничные условия —вид
при Ti = 0 F = 0, dF/dn = 0,
при т} == оо dF/d1)-] = 1,
где безразмерная константа М определяется как
При М = 0 задача сводится к случаю течения ньютоновской жид-
жидкости. В этом случае решение соответствует течению Хименца.
Для того чтобы решить граничную задачу E.59) методом конеч-
конечных разностей, линеаризуем дифференциальное уравнение, следуя
методу квазилинеаризации. Обозначим левую часть уравнения E.59)
через G, т. е. положим
G = d3F/drf + F d*F/dv\2 + 1 — (dF/di\)* + М A — dF/dv\) = 0.
Для удобства перепишем это так:
G = F'" + FF" + 1 — (F'Y + М A — F') = 0; E.60)
здесь штрих обозначает дифференцирование по г]. Следуя схеме
линеаризации, можно записать
= 0. E.61)

112 Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
С учетом E.60) линеаризованное уравнение запишется в виде
<5-62>
где индекс в скобках обозначает номер итерации. Граничные
условия принимают вид
при т) = 0 Fl'+" = 0, dFu+l)/dr\ = 0,
при г\ = оо dFu+>)/dr\ — 1.
Теперь уравнение E.62) можно переписать в форме E.6) следую-
следующим образом:
dF"+1)/* P('+1), E.63)
М) р«+1> +
-f (dp(n/dr\) Fu+1) = Fll> dp{i)/dr\ — {pU)J— l—M. E.64)
В конечно-разностной форме уравнения E.63) и E.64) прини-
принимают вид
1) + (Л/2) р{,'+» = 0, E.65)
-Ь [1 - (Л/2) П'] Л'Л"-
? + 2] р</+» + [ 1 + (Л/2) /?«,'>] pi'+i" =
= (Л/2) Пй (pWi-P)/4)-« (рЯГ-h'-hm. E.66)
Полученные уравнения можно решить при помощи алгоритма,
описанного в разд. 6.5.1 (см. уравнения E.8)—E.53)). Этим ме-
методом получены решения уравнения E.59) для некоторых значе-
значений М; при этом в качестве начального приближения выбиралось
решение, соответствующее М = 0. Результаты приведены в табл. 6.4,
Таблица 6.4
Решения задачи E.59) для некоторых значений М
Номер
итерации
I1)
2
3
4
5
6
>) Нач<
М
1
1
1
1
1
1
альное
= 0.05
.2326
.1688
.1743
.1715
.1717
.1717
приближение
Недостающее
М=0.1
1.2326
1.1916
1.1973
1.1947
1.1949
1.1948
начальное значение i
Л! = 0.5
1.2326
1.3593
1.3637
1.3618
1.3621
1.3620
м
1.
1.
1.
1.
1.
1.
(О)/*,'
= 1.0
2326
5393
5407
5392
5394
5394
i
1
1
1
1
1
1
И = 2.0
.2326
.8385
.8339
.8328
.8330
.8330

6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка 113
где затабулировано значение недостающего начального условия.
Видно, что достаточно лишь нескольких итераций, чтобы получить
решение, точное до четвертого знака после запятой включительно.
6.5.4. Задача Гамеля — течение а илинообразиой области
Задача Гамеля 18] — один из немногих примеров в гидродина-
гидродинамике, когда возможно точное решение уравнений Навье—Стокса.
Рассмотрим несжимаемую жидкость, радиально вытекающую в про-
пространство между двумя плоскими непараллельными стенками, как
это изображено на рис. 6.4. Требуется найти распределение ско-
Рис. 6.4. Течение Гамеля.
рости при произвольном значении радиуса г. Предполагается,
что для такого течения компоненты скорости ий и vz в направ-
направлениях Э и z равны нулю. Тогда уравнения Навье—Стокса при-
принимают следующий вид:
уравнение неразрывности
д (rvr)/dr = 0, E.67)
уравнения изменения импульса
pvr dvrldr = — др/дг + (ц/r*) d2vr/d№, E.68)
О = — A//-) др/дв + B|i//-J) dvr/dQ. E.69)
Уравнение E.67) означает, что произведение rvr не зависит от л.
Для двумерного течения это условие эквивалентно тому, что
a>r = vF@), E.70)
где правая часть умножена на вязкость v для того, чтобы функ-
функция F (9) стала безразмерной. Подставляя это представление vr
в уравнения изменения импульса, получаем
—pv2F?/A3 = —др/дг + (pv2//-3) d*F/dQ\ E,71)
0 = — др/дО + Bpv2/r2) dF/dQ. E.72)
Можно исключить давление р, продифференцировав E.71)
по 0 и E.72) по г, а затем взяв разность результатов. Тогда

114 Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
мы получим
d3F/d0:) + 2F dF/dd + 4 dF/dQ = 0. E.73)
Граничные условия таковы:
при 0==со уг = 0 (отсутствие скольжения на стенке),
при 0 = 0 dvr/dB — 0 (симметрия)
и, согласно уравнению E.68),
при 0 = со —др/дг + (ii/г2) B2vr/dQ2 ~ 0.
Для F (Э) граничные условия имеют вид
F (со) = 0, d2F (co)/d0? = — К,
dF(O)/dO = O. ( ''
Теперь несколько изменим выбор переменных. Введем ф = со—^0,
и уравнение E.73) примет вид
d3F/dq>s + (IF + 4) dF/dcp = 0, E.75)
а граничные условия — вид
F@) = 0, d2F@)/dcp2 = — К,
Так как уравнение E.75) нелинейно,, то, прежде чем приме-
применять схему факторизации, описанную в разд. 6.5.1, его следует
линеаризовать. Введем итерируемые функции FU), dFU)/dy и т. д.
Запишем для них рекуррентное соотношение
d*Fu+1)/d<i>3-d3F^/d<i>3 + BF1'1 + 4) (dFli+"/dtf—dFin/dtf) +
+ B dFil)/d(i>) (F"'+1> — Fw>) = 0,
или
B dFil)/dq)
т. e.
cPFli+1>/dy* + BF"> -
== 2F('» dF">/d9. E.76)
Теперь уравнение E.76) можно записать в виде следующей
системы дифференциальных уравнений:
= p(/+l>, E.77)
= — BF" +4)р(/+^>—2p4>F4+» + 2F«'pU>. E.78)

6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка 115
Заменяя, как и прежде, производные отношениями конечных раз-
разностей, получаем
-Ftl' + (Л/2) (р</+1> + Pi'i") = О,
jft11) = - BП" + 4) /#+1> -
или
) = 0, E.79)
2А*/™'/»*, E.80)
где
)-2, dB« 1. E.81)
Для п = 0 уравнения E.79) и E.80) дают
F1!^ + (h/2) p«_'f" —Fi'+l) + (/г/2) p«+l> = 0, E.82)
E.83)
Согласно граничному условию при <р = 0, можно записать
Таким образом, уравнения E.82) и E.83) принимают вид
F»?1' + /г^1) = A/2) ЛгЛ:, E.84)
фь + с.) /»L'f ¦" + doM14u - с„Л:Л E.85)
и аналогично для п=1
— F«+' > + Api!'+l) = — A/2) Л2/(, E.86)
аЛ'+и + F. 4-с,) Pi:+1) 4- dlPi'+u = 2h*F?p?—b1KK- E-87)
Для 2-^in-^LN—1 можно использовать уравнения E.79) и E.80)
без изменений; для n — N эти уравнения дают
) = -A/2f E.88)
^V = 2/i2F^> - cN; E.89)
здесь принято во внимание граничное условие при <p = <o, а именно
Р^==0:
Проведенными выше действиями мы исключили неизвестные
Foi+1>, Ро'т1) и р^+1) и имеем теперь систему 2Л/4-2 уравнений для
нахождения 2N + 2 неизвестных:
17A + 1) п«'+м «=1 2 Я Л/ 1
Мы привели нашу задачу к той же линейной форме, какая
рассматривалась в E.17). Теперь можно начать процесс решения,
следуя действиям, изложенным в E.17) — E.53).

116 Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Таблица 6.5
Решение задачи E.75) прн ю = 0.087 рад и АГ=0.10
ф (рад)
0.000
0.017
0.035
0.052
0.070
0.087
0.0000
0.0175
0.0349
0.0524
0.0698
0.0873
1 = 2
0.0000
0.0174
0.0352
0.0529
0.0705
0.0881
1 = 3
0.0000
0.0174
0.0352
0.0529
0.0705
0.0880
1 = 4
0.0000
0.0174
0.0352
0.0529
0.0705
0.0880
Для того чтобы начать процесс решения граничной задачи
E.75) с заданными со и К, прежде всего выберем начальное при-
приближение. Не имея никакой информации о виде решения, произ-
произвольным образом полагаем
/? = Ф, р = 0. E.90)
Выбрав E.90) в качестве начального приближения, при помощи
описанного в этом разделе алгоритма получим последующие итера-
итерации. Результаты приведены в табл. 6.5.
6.6. Система первого порядка и метод Ньютона
Метод, развитый в § 6.5 и состоящий в замене дифферен-
дифференциального уравнения третьего порядка уравнениями первого и вто-
второго порядков (см. уравнения E.6)), теперь будет еще несколько
улучшен. Вновь рассмотрим уравнение E.1) и заменим его следую-
следующей системой дифференциальных уравнений первого порядка:
Тх-Р' ?=¦?• % + A(x)q + B(x)p + C(x)y = D(x). F.1)
Одним из преимуществ такой формы записи является то, что
конечно-разностное представление системы F.1) уже не содержит
«лишних» значений уп (таких, как */_,, р_х и pN+x в E.6) — E.16)).
Для того чтобы изложить основные черты метода, в следующем
разделе будет рассмотрен один пример. В этом примере линеари-
линеаризация дифференциального уравнения будет осуществляться с ис-
использованием метода Ньютона. Такой подход успешно применялся
к широкому классу задач о течении вязкой жидкости (см. работы
[9—16J и списки литературы в этих работах).

6.6. Система первого порядка и метод Ньютона И7
Естественная конвекция в пограничном спое
Естественной конвекцией обычно называют течение, которое
оубсловлено исключительно градиентом плотности, созданным раз-
разностью температур. Такие течения наблюдаются как" вблизи сво-
свободной поверхности, так и внутри движущейся жидкости. Система
дифференциальных уравнений, описывающая это явление, состоит
из уравнений неразрывности, изменения импульса и энергии,
т. е. из уравнений
dvx/dx + dvy/dy = O, F.2)
vxdvx/dx + vvdvjdy = vd*vxldy* + gep6, F.3)
dfyd tyd = ad*Q/dy\ F.4)
дополненных граничными условиями
при у = О о* = 0, ои = 0, 8 = 1,
при у — <х> vx — 0, 8 =0,
где 8 = (Т—TJ/(TW—TJ. Введя функцию тока ¦ф, определяемую
соотношениями
vx — д^/ду, vy~ — dty/dx,
и преобразование
Ц = У teW'x)I'*, Xp= 4v (§?/(№х)У<* f (tj),
приведем уравнения F.2) — F.4) к виду
2(d//dT)J + g = 0, . F.5)
+ 3NJ dg/dr] - 0; F.6)
тогда граничные условия примут вид
/@) = 0, df(O)/dr)-Ot g@)=l,
d/ (oo)/dT] == 0, g(oo)==0.
Теперь заменим уравнения F.5) и F.6) системой уравнений пер-
первого порядка
d//dri = и, du/dr) = v, dgldy\ = t, _ ?
3NJt = 0 ( ' '
Граничные условия имеют вид
/@)=»0, и@)-0, g@)=l,
«(оо) = 0, g(oo) = 0.
Затем производные заменяются центрально-разностными отно-
отношениями с центром в середине интервалов сетки, которая опре-
определяется так:
/=1, 2 J, x]j = r\». F.8)

118 Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Тогда система F.7) принимает вид
(g/-g/-Jb? = *{-!/*, , F.9)
(W/—W/_i) A, + 3fi- и* Vj-1/2 — 2h?_1/; + g-7_ 1/2 = 0,
где «/_i/2 — («у+ «/_1)/2 и т. д. Уравнения F.9) — нелинейные
алгебраические уравнения, и поэтому их следует прежде всего
линеаризовать, а уже затем применять схему факторизации. Запи-
Запишем ньютоновские итерации следующим образом:
F.Ю)
и т. д. для всех зависимых переменных. Подставляя эти выраже-
выражения в F.9) и опуская члены второго и более высоких порядков
относительно б/}-" и т. д., получаем линейную трехдиагональную
систему уравнений:
ви,—ви,., —(V2) (б«/ + 4-i) = W/-1/1, F-12)
««/-%,-!-(V2) (^/+^/-1) = Ы-1/2, F.13)
+ (Se)/ Ч-.
+ (Р.)/ Ч-. + (Рт)/ б«/ + (Р.)/ «И,., = (Г5)/-Х/2 F. 15)
и граничные условия
fi/o = 0, 6go = 0, быо = 0, биу = 0, 6gy = 0, F.16)
где
(Wy = (Оу = -2А/Ы/_ 1/2) (S7)y = (Wy = A/2)Ау,
(Pi)/ = 1 + C/2) Wpry;- .л, (Р2)у = (Pi)/-2,
Фз)у = (Р«)у = C/2) V*/'/- а/. - (Р.)у = (Р.)у = 0, (Р7)у = (Р8)у = 0,
(Лх)/-,/2 =•--//_!— /у + 'l/Ui-1/Z, (Г2)/_ 1/2 = Ыу_!—Ы, -Ну1>/_1/2,
(/"я)/- 1/2 =>§/-, — g, + Ау</_ 1/2 ,
Уравнения F.11) — F.16) соответствуют уравнениям E.8) —
E.10). Огличие заключается в том, что теперь мы имеем пять
уравнений вместо двух. Уравнения E.8) — E.10) можно записать
в векторно-матричной форме
А6 = г, F.17)

6.6. Система первого порядка и метод Ньютона
119
где
[В2][А2][С,]
[В;] [АЛ
F.18)
8 =
[в.]
Элементы матрицы и векторов в F.18) определены так:
' 0 0 1 0 0 "
— аг 0 0 —а, О
О — а, 0 0 —al,a/= /г/2,
L ° (Ps)i (Ps)i 0 (Pi)i
Г— а, О
1
0 О
— 1 О О -а, О
О—1ОО — а;
(W/ (Ы/ (U/ (tih О
Ю/ (Ре)/
0
0
0
0
_о
0
0
0
0
0
— 1
0
0
(Р4)/
0
— а,
0
(Ы,
0
0
0
0
Фг)

120 Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
[С,]
Г—п/ 0 0 0 0"
1 0 0 0 0
О 1 0 0 0
_(Pi)y (P.)/ 0 0 0.
6*.
Jt, J
J.-1/2
/ < У.
Положим теперь
F.19)
где
ГК]
"Ш
и =
t«y] J
L/JJ

6.6. Система первого порядка и метод Ньютона
121
Здесь [/]—единичная матрица, а [а,] и [Г,]—матрицы размером
5x5, элементы которых определяются следующим образом:
[]
//у / = 2,3 J, F.20)
[а,] [Г,] «[С,], / = 2, 3 У-1.
Эти выкладки аналогичны выводам формул E.28)—E.38). Под-
Подставляя F.19) в F.17), получаем
LU8 = r. F.21)
Если положить
U8-W, F.22)
то уравнение F.21) принимает вид
LW = r, F.23)
W
[^]
a [Wу]—матрица размером 5x1 (вектор-столбец). Элементы W
можно найти, решая уравнение F.23); тогда
Детали этого вывода аналогичны выкладкам E.43)—E.47).
Решения
Номер
итерации
1
2
3
4
задачи F.5), F.6)
Таблица 6.6
(ЛГрг = 0.72)
Недостающие начальные значения
rP I '.0)/(lt\a
0.6800
0.6741
0.6742
0.6742
-dg @)/dr\
0.5000
0.5050
0.5048
0.5048
Поскольку элементы W теперь известны, из F.22) можно
получить решение 8, элементы которого находятся из следующих
соотношений:

122 Гл. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Эти уравнения решаются так же, как это делалось в E.50) —
E.53).
Поскольку теперь найдены элементы 6, можно использовать
F.10) и выполнить (i-f-l)-io итерацию.
В табл. 6.6 приведен пример численного решения для JVpr=0.72.
6.7. Заключительные замечания
Метод конечных разностей для решения двухточечных гра-
граничных задач преобразует систему дифференциальных уравнений
в конечную систему алгебраических или трансцендентных урав-
уравнений. Решение этой системы алгебраических или трансценден-
трансцендентных уравнений дает приближенное решение исходного уравне-
уравнения на дискретном множестве точек. Если исходные обыкновенные
дифференциальные уравнения линейны, то и конечно-разностные
уравнения будут линейными алгебраическими уравнениями. Если
обыкновенные дифференциальные уравнения нелинейны, то и
получающиеся конечно-разностные уравнения будут нелинейными
алгебраическими или трансцендентными. Существуют два способа
линеаризации задачи. Один из них состоит в линеаризации диф-
дифференциальных уравнений перед их переводом в конечно-разност-
конечно-разностную форму, как это делается в методе квазилинеаризации.
Второй способ заключается в том, чтобы сначала записать урав-
уравнения в конечно-разностной форме, а затем линеаризовать полу-
получающиеся нелинейные алгебраические или трансцендентные урав-
уравнения. В этой главе рассмотрены оба подхода.
Метод конечных разностей вполне пригоден для решения
численно неустойчивых двухточечных граничных задач. Это обу-
обусловлено тем обстоятельством, что конечно-разностная схема объ-
объединяет в результирующей системе уравнений и начальные, и
конечные заданные условия, и поэтому решение результирующих
уравнений строится так, чтобы одновременно удовлетворять всем
этим условиям. В этом состоит отличие метода конечных раз-
разностей от методов пристрелки, где конечное граничное условие
никак не фигурирует в решении при интегрировании вперед.
Другое отличие состоит в том, что в методе конечных разностей
решение находится одновременно во всех точках, тогда как в
методах пристрелки значения искомой функции в различных
точках находятся последовательно. Поэтому мы вправе ожидать,
что из-за нарастания ошибок округления решение вблизи конеч-
конечной точки будет менее точным, чем вблизи начальной.
В этой главе мы вкратце коснулись конечно-разностного
представления дифференциальных уравнений. Существует мно-
множество различных конечно-разностных формул, аппроксимирую-
аппроксимирующих дифференциальные уравнения. Выбор между ними основы-
основывается на соображениях простоты, величины ошибки аппроксимации

Задачи 123
и устойчивости схемы. Для подробного изучения сравнительных
преимуществ различных разностных схем отсылаем читателя к
работам [17 — 22].
Линеаризованные алгебраические уравнения имеют ленточную
структуру. Наиболее эффективным способом решения таких урав-
уравнений является изложенная в этой главе схема факторизации,
предложенная Келлером. Ее значимость далеко выходит за рамки
решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений. В работах [9—16] показано, как можно применять
этот метод к уравнениям в частных производных параболического
типа. Почти аналогичные алгоритмы могут быть предложены
для уравнений гиперболического и эллиптического типов.
Относительно вопросов устойчивости, единственности и ана-
анализа погрешностей мы вновь отсылаем читателя к работам, спе-
специально посвященным методу конечных разностей, в частности
к гл. 3 классического труда Келлера [2].
Задачи
1. Закончить задачу, приведенную в конце разд. 6.5.1:
dx3 ' dx% \ dx
Ответ: d2y @)/dx2 = 2.8858.
2. При исследовании процесса теплопроводности в тонких иглах Нараин
и Уберой [23] установили, что температура находится как решение следующей
граничной задачи:
d
Найти ф методом конечных разностей для а = 0.1.
Ответ: d\ (a)/dz.s= 1.28883.
3. В работе Висканты и Гроша [24] исследовалось действие излучения
на течение над плоской поверхностью. Распределение температуры вблизи
стенки может быть найдено из уравнения энергетического баланса
где функция / является решением следующей задачи Коши:
^. + /Д=0, ;@) = 0, Ш-0, ^f =
drf ' drJ y ' dj\ dx\2
Решить эту,задачу методом конечных разностей для Л/рг = 1, Л' = 10 и 0w = O.l.
Ответ: d2d @)/drJ= 1.212.
4. Решить задачу 1 из гл. 5 методом факторизации. ;
Указание: соответствующие уравнения следует выводить способом, изло-
изложенным в разд. 6.4,1 и 6.5.1, так как дифференциальное уравнение задачи
имеет третий порядок.
, б; Решить задачу о трехслойной балке, обсуждавшуюся в разд. 4.3, ме-
методом конечных разностей.

124 Га. 6. Итерационные методы: метод конечных разностей
Указание: это трехточечная граничная задача, и поэтому прежде, чем
применять уравнения разд. 6.5.1, нужно несколько изменить схему.
в. Прогиб консольной балки под действием сосредоточенной нагрузки
может быть найден как решение следующей граничной задачи [25]:
d2f/ds2 + Is cos f = 0,
Решить эту задачу методом конечных разностей при % = 8.
Ответ: d/ (l)/ds= —3.194.
7. (а) Записать уравнение E.1) в виде системы трех дифференциальных
уравнений первого порядка
Заменить переменные и их производные конечно-разностными приближениями
fdy\ _ Уп—Уп-i „ _ Уп+Уп-i
\dxjn-m h ' У"~1/3 2
и т. д. и, используя результаты разд. 6.5.1 и 6.6.1, вывести соответствующую
систему уравнений.
(б) Используя уравнения, выведенные в пункте (а), еще раз решить за-
задачу о течении Хименца.
Литература
A] Томас (Thomas L. H.). Elliptic problems in linear difference equations over
a network. -Watson Sci. Comput. Lab. Rep., Columbia Univ., New York,
1949.
[2] Келлер (Keller H. B). Numerical methods for two-point boundary value
problems.—Waltham: Ginn-Blaisdell, 1968, Ch. 3.
[3]—A new difference scheme for parabolic problems.— In: Numerical solu-
solutions of partial differential equations (B. Hubbard, ed.). Vol. 1.—New
York: Academic Press, 1971, p. 327—350.
[4] Брюс, Ha (Bruce R. W., Na T. Y.). Natural convection flow of Powell-
Eyring fluids between two vertical flat plates.—ASME paper 67 WA/TH-25,
presented at the 1957 ASME Winter Annu. Meet., Pittsburgh, Pennsylvania,
12—17 November 1Я67.
[5] Фокс (Fox L.). The numerical solution of two-point boundary value prob-
problems.—Oxford: Oxford Univ. Press, 1957, p. 148 — 150.
[6] Сьюкик (SjuKic Dj. S.). Hiemenz magnetic flow of power-law fluids.—J.
Appl. Mech., 1974, p. 822 — 823.
[7] Хименц (Hiemenz K.) Die Grenzschicht an einem in den gleichformigen
Flussigkeitssfrom eingetauchten geraden Kreiszylinder.— Dingl. Polytech. J.,
1911, B. 326, S. 321.
[8] Шлихтинг (Schlichting H.). Boundary layer theory.— New York: McGraw-
Hill, 1968, p. 99 — 100. [Имеется перевод; см. с. 67.]
[9] Себеси, Беркант, Силиври, Келлер (Cebeci Т., Berkant N., Silivri I.,
Keller H. В.). Turbulent boundary layers with assigned wall shear.— Comput.
Fluids, 1975, v. 3, p. 37 — 49.
[10] Себеси, Келлер (Cebeci Т., Keller H. В.). Separating boundary layer flow
calculations.— J. Comput. Phys. (в печати).
[11] Келлер (Keller H. В.). Accurate difference methods for nonlinear two-point
boundary value problems.—SI AM J. Numer. Anal., 1974, v. 11, p. 305—320.
[12]—Some computational problems in boundary layer flows.— In: Proc. 4th Int.
Conf. Numer. Methods Fluid Mech., Boulder, 1974, p. 1—21.

Литература 125
[13] Келлер, Себеси (Keller H. В., Cebeci Т.). Accurate numerical methods for
boundary layer flows. I: Two dimensional laminar flows.— In: Proc. 2nd
Int. Conf. Numer. Methods Fluid Dynamics, Berkley, California, 1970;
Lecture notes in physics. Vol. 8.— Berlin: Springer, 1970, p. 92—100.
[14] An inverse problem in boundary layer flows: Numerical determination
of pressure gradient for a given wall shear.— J. Comput. Phys., 1972,
v. 10, p. 151 — 161.
[15] Accurate numerical methods for boundary layer flows. II: Two dimen-
dimensional turbulent flows, AIAA J, 1972, v. 10, p. 1193—1199. [Имеется
перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1972, № 9, с. 73.]
[16] Келлер (Keller H. В.). Numerical methods in boundary layer theory.—Annu.
Rev. Fluid Mech., 1978, v. 10, p. 417 — 433.
[17] Коллатц (Collatz L). The numerical treatment of differential equations.—
New York: Springer, 1966, p. 184 —186. [Имеется перевод; см. с. 18.]
[18] Хенричи (Henrici P.). Discrete methods in ordinary differential equations.—
New York: Wiley, 1962.
[19] — Error propagation for difference methods.— New York: Wiley, 1963.
[20] Хилдебранд (Hildebrand F. В.). Methods of applied mathematics.— Engle-
wood Cliffs: Prentice-Hall, 1952.
[21] Bapra (Varga R. S.). Matrix iterative analysis.— Englewood Cliffs: Prentice-
Hall, 1962.
[22] Изаксои, Келлер (Isaacson E., Keller H. В.). Analysis of numerical me-
methods.—New York: Wiley, 1966.
[23] Нараин, Уберой (Narain J. P., Uberoi M. S.).—J. Heat Transfer, Trans.
ASME, 1972, v. 94, p. 240—242. [Имеется перевод: Труды Амер. об-ва
инженеров-механиков, сер. С, Теплопередача, 1972, № 2, с. 125.]
[24] Внсканта, Грош (Viskanta R., Grosh R. J.).—Int. J. Heat Mass Transfer,
1962, v. 5. p. 795 — 806.
[25] Бишоп, Друккер (Bishop К. E., Drucker D. C.).—Q. Appl. Math., 1945,
v. 3, p. 272 — 275.

Глава 7
МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ПРЯМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
7.1. Введение
В этой главе будет рассмотрен метод преобразования нели-
нелинейных граничных задач к задачам Коши. Впервые он был пред-
предложен Тёпфером [1] в 1912 г. при попытке решить уравнение
Блазиуса из теории пограничного слоя разложением решения
в степенной ряд. До середины столетия не было получено ника-
никаких новых результатов, пока в 1962 г. Кламкин [2], следуя
аналогичным путем, не обобщил метод на более широкий класс
задач. Существенное развитие метода стало возможным только
после того, как На [3, 4] пересмотрел и развил основную идею
метода в рамках теории групп преобразований. Различным при-
приложениям этого метода посвящены гл. 7 — 9.
Хотя метод называют иногда методом групп преобразований,
использование теории групп ограничивается в данном случае тем,
что операция преобразования представляет собой группу. Предпри-
Предпринимались попытки [11] получения групп преобразований, сво-
сводящих граничные задачи к задачам Коши путем использования
инвариантности дифференциального уравнения относительно так
называемой группы инфинитезимальных преобразований. Эта тео-
теория 'в настоящий момент является незавершенной, и поэтому це-
целесообразнее говорить пока о методе прямого преобразования.
Тем не менее мы сохраним термин «группа преобразований»
вместо «семейство преобразований», хотя последний может быть
более привычным для читателя. За полным описанием различных
теоретико-групповых аспектов метода отсылаем к работам Эймса
[5], На и Хансена [6], Блюмена и Коула [7], Л. В. Овсянни-
Овсянникова [8], На [9, 10].
Суть метода заключается в следующем. Сначала задается не-
некоторая группа преобразований. Далее, требуя независимости
дифференциального уравнения от параметра преобразования и
полагая последний равным недостающему начальному значению,
находим конкретное преобразование, позволяющее свести гранич-
граничную задачу к задаче Коши. Метод прост, и его реализация не
вызывает затруднений.

7.1. Введение
127
Решение задачи Блаэиуса теории пограничного слоя
Для знакомства с идеями, лежащими в основе изучаемого в
этой главе метода, рассмотрим течение несжимаемой жидкости
вдоль поверхности полубесконечной пластины, как показано на
рис. 7.1. Такое течение называют обычно течением пограничного
слоя, поскольку действие вязкости ограничивается узким слоем
вблизи поверхности. При этом скорость жидкости в слое меня-
меняется от нуля на поверхности пластины до скорости внешнего
потока ?/«, на границе слоя. Анализ таких течений требует при-
u
Рис. 7.1. Пограничный слой при обтекании пластины.
влечения уравнений Навье—Стокса, получаемых из законов сох-
сохранения массы и изменения импульса. Вводя допущения погра-
пограничного слоя (т. е. считая слой очень тонким и ы^>и), запишем
уравнения Навье—Стокса в виде
du/dx + dv/dy = O, A.1)
иди/дх + odv/dy = vd2u/dy2', A.2)
а граничные условия — в виде
при г/ = 0 u = v=0,
при у = оо « = ?/„,,
где и и v — компоненты скорости в направлениях хну соответ-
соответственно, a v—коэффициент вязкости жидкости. Граничные усло-
условия на поверхности пластины (г/ = 0) отражают отсутствие сколь-
скольжения и переноса массы через поверхность. Условие на границе
слоя означает просто, что компонента скорости и асимптотически
стремится к скорости внешнего потока ?/„,.
Решение этой задачи было найдено Блазиусом (см. [11])
в 1908 г. Введем, согласно равенствам,
и = дЦ/ду, v = — d^ldx A.3)
функцию тока г)). Кроме физических соображений (линии уровня
гр являются линиями тока) это удобно математически, поскольку

128 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
уравнение A.1) удовлетворяется тождественно. Тогда уравнение
A.2) принимает вид
_
ду дх ду дх ду2 ~~ ду3'
а граничные условия становятся соответственно
при г/ = 0
при у — оо
Иначе говоря, решение системы двух уравнений с двумя неиз-
неизвестными и, v сводится к решению одного уравнения с одним
неизвестным г|э.
Блазиус предложил преобразование
A.6)
:, A.6)
которое дает вместо A.4) уравнение
^O A.7)
с граничными условиями
Класс преобразований, приводящих нелинейное дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных к нелинейному обык-
обыкновенному дифференциальному уравнению, называется классом
преобразований подобия. Основы метода содержатся в общей
теории непрерывных групп преобразований, которые были вве-
введены и изучены Ли [12) во второй половине прошлого века. Мы
не будем затрагивать эти вопросы в данной книге и отсылаем
читателей, интересующихся деталями, к работам Биркгофа [13J,
Моргана [14], Хансена [15], На и Хансена [6].
Теперь нужно решить граничную задачу с нелинейным диф-
дифференциальным уравнением A.7). Чтобы проследить соображе-
соображения, приведшие Тёпфера [1] к преобразованию переменных и све-
сведению этой задачи к задаче Коши, подробно рассмотрим решение
уравнения A.7) в виде степенного ряда. Будем искать решение
вида
fD\)=iiCn4». A.8)
т = 0
Прежде чем подставить это выражение в уравнение A.7), по-
попытаемся найти из граничных условий некоторые коэффициенты.
Так, из условий на поверхности пластины

7.1. Введение 129
получаем
C0 = Ci = 0. A.9)
Затем введем обозначение
dY@)/dti« = X, A.10)
где %—неизвестная пока величина. Выразим коэффициент С2
через К:
C2 = V2!. A.11)
Подставляя теперь разложение A.8) в уравнение A.7), полу-
получаем выражение
s.n=O
X I 2,ri(n—\)Cnr)n-»\ = 0, A.12)
раскрывая которое, имеем
[C)B)A)С3+A/2)С0B)A)С8] +
+ [E) D) C) С6 + ( 1/2) С0D)C)С4 + A/2) B) A) С2С2 +
3]г12 + [F)E)D)СеЧ-A/2)С0E)D)С5 +
+ A/2)С1D)C)С4 +
+ A/2)С2C)B)С,]п3+...=0. A.13)
Полагая коэффициенты при степенях tj равными нулю и учиты-
учитывая соотношения A.9) и A.11), получаем
С, = С4 = 0, С. Л.»/[51B)],
Ce = C, = 0, C8=lU3/[8!BJ], A.14)
Таким образом, решение уравнения A.7) можно записать в виде
21 5! B)+ 8! BJ ТТТBK -»"•••' У1А0>
содержащем пока еще неизвестную константу К. В принципе гра-
граничное условие во второй точке должно использоваться для на-
нахождения К. Однако это нельзя сделать непосредственно, поскольку
т] = оо. Блазиус [11] использовал метод подбора, рассматривая
решение вида A.15) вблизи стенки и подбирая согласующееся
с этим решением асимптотическое разложение для больших т).
Такой процесс довольно утомителен и интереса здесь не пред-
представляет.
5 № 20'8

130 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
Перепишем выражение A.15), расположив переменные по-
новому:
Такая запись наводит на мысль о преобразовании
F = %-4*f, 1 = %^у], A.17)
после которого вместо A.16) получается
F_? Ъъ , "ё8 375|» 8
2! 51B)+8!BJ 1II BK + ' *' * ^О^
Значение этого преобразования становится ясным, если его при-
применить непосредственно к уравнению A.7) и соответствующим
ему граничным условиям; это дает уравнение
d3F/dl3 + V./ d2F/dl2 = 0 A.19)
с граничными условиями на пластине
F@) = 0, dF@)/dl = 0. A.20)
Преобразование условия A.10) дает
d5F(O)/d|3 = l. A.21)
Уравнение A.19) с условиями A.20) и A.21) представляет собой
задачу Коши, которую можно решить прямыми методами инте-
интегрирования.
Величины т], / связаны с I, F формулами A.17). Если найти X,
то нетрудно вычислить r\, f. С этой целью применим преобразо-
преобразование к граничному условию на бесконечности
d/(oo)/drj=l
и получим
или
k = [dF(oo)/dg\-*/\ A.22)
Таким образом, решение исходной задачи проводится в три
этапа.
1. Ищется решение уравнения A.19) с начальными условиями
A.20) и A.21), в частности находится dF{oo)[d\.
2. По формуле A.22) вычисляется К.
3. Из соотношений A.17) определяется f (ц).
Обсуждение деталей вычислений и физическая интерпретация
результатов представляют известный интерес, но мы отложим их
до разд. 7.2.1.

7.1. Введение 131
Рассмотренный пример показывает важность идеи решения
граничной задачи сведением ее к вспомогательной задаче Коши.
Этот подход позволяет избежать итераций.
Ценность описанного выше преобразования очевидна, но до
работы Кламкина [2], опубликованной в 1962 г., не было попы-
попыток развить эту идею для других типов задач. Следуя соображе-
соображениям Тёпфера, Кламкин показал, что обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка вида
2 А, (d2//dr]T< (df/dr]p fr'r]si = О A,23)
i
с граничными условиями
f@) = 0, df(oo)/dr\ = k
сводится преобразованием
F = l*-if(y]), g = b«Ti A.24)
к уравнению
N
2 A , (d2F/di2)m< (dFldlp Fr'lsi = 0 A.25)
i=1
с начальными условиями
Интегрируя это уравнение, находим F (|) и
. k
а затем по формулам A.24) вычисляем f (-ц).
Константа а, входящая в преобразование A.24), выбирается
так, чтобы преобразованное уравнение A.25) не зависело от К.
Хотя результаты Кламкина являются существенным развитием
метода, он все еще остается довольно ограниченным по следую-
следующим трем соображениям. Во-первых,, пока установлена пригод-
пригодность только преобразований, подобных приведенным выше. Во-
вторых, граничные условия во второй точке ставятся на беско-
бесконечности. В-третьих, граничные условия в начальной точке
должны быть однородными. Чтобы устранить некоторые из этих
ограничений, данный метод нужно рассмотреть с точки зрения
теории групп преобразований. Это будет сделано в следующем
параграфе.

132 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
7.2. Метод преобразования при помощи заданной группы
7.2.1. Уравнение Блазиуса теории пограничного слоя
Рассмотрим теперь решение уравнения Блазиуса A.7), пред-
предложенное Тёпфером, с точки зрения групп преобразований. Пусть
имеется уравнение
= 0 B.1)
с граничными условиями
f @) = df @)/dr| = 0, df (оо)/А) = 1.
Возьмем линейную группу преобразований вида
ц = Аа'ц, f = Aa*f, B.2)
где А —параметр преобразования, а а, и а2 — константы, подлежа-
подлежащие определению. Применяя эти преобразования к уравнению
B.1), получаем
Прежде всего потребуем, чтобы преобразованное уравнение не
зависело от параметра А. Это означает, что степени А в обоих
членах уравнения должны совпадать, т. е.
а2—3«i = 2a2—2а,. B.4)
Тогда
и, следовательно,
d3f/drf + A/2O d*f/dr\* = O. B.6)
Далее положим недостающее начальное значение равным па-
параметру преобразования, а именно
= Л. B.7)
Такой шаг представляет некоторый произвол, но не является
ограничением, поскольку А по-прежнему остается неизвестным
параметром. Преобразование условия B.7) дает
А^-га, [0 (())/*[»] = А . B.8)
Потребуем, чтобы это условие также не зависело от А. Послед-
Последнее требование выполняется, когда
о,—2о,= 1, . B.9)

7.2. Метод преобразования при помощи заданной группы
133
и тогда B.8) принимает вид
Из системы уравнений B.4) и B.9) находим, что
ах = — а,г = —1/3.
B.10)
B.11)
Наконец, параметр А определяется из граничного условия на
бесконечности
Аа'~а' [d/(oo)/dTJ]= 1 B.12)
по формуле
А =
B.13)
Остальные граничные условия преобразуются тривиальным об-
образом:
]^O. B.14)
Уравнение B.6) с условиями B.10) и B.14) определяет задачу
Коши, численное решение которой представлено на рис. 7.2.
^±=2.0*52
1 Z 3 4 5
Ч
Рис. 7.2. Производная от решения уравнения B.6).
Видно, что при т), стремящемся к бесконечности, df/dr] прибли-
приближается к значению 2.0852, которое и берется в качестве df (<x>)/dr\.
Подстановка этого значения в формулу B.13) дает
А = [df (oo)/dT)]-3/2 =0.332068
— в силу равенства B.7) недостающее начальное значение при
т) = 0. Поскольку а1; а2 и А теперь известны, остается найти
решение исходного уравнения B.1) по формулам B.2).

134
Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
Представляет интерес физическая интерпретация зависимости
df/dr] от т), представленной на рис. 7.3. Из соотношений A.3) и
A.6) следует, что
= д(/ШО)/ду = УШ~т (df/dn) (дц/ду) =
K VVJ(vx) df/dr] = L/
и =
или
u/U^ = df/ch\. B.15)
Таким образом, на рис. 7.3 изображена зависимость скорости от т).
I
1.0
Рис. 7.3. Производная от решения уравнения B.1).
Пусть требуется найти профиль скорости на расстоянии х = х„.
Соотношение A.5) устанавливает однозначную связь между г| и
у, а именно
K\ = yVUj(vxa) B.16)
при заданных Ux, v и х0. Тогда по кривой на рис. 7.3 можно
найти u/U^ для любого у.
Подводя итоги, укажем, что рассматриваемый метод включает
следующие шаги.
1. Задается группа преобразований. В преобразованиях, пред-
предложенных Тёпфером [1] и Кламкином [2], легко узнать семейство
линейных групп. Напрашивается мысль о существовании других
групп, может также возникнуть вопрос о существовании дедук-
дедуктивного способа получения конкретной группы (см. [16]). В на-
настоящее время такая теория еще не завершена, и поэтому мы
будем говорить о методе, опирающемся на заданную группу пре-
преобразований.
2. Требование, чтобы дифференциальное уравнение не зависело
от параметра преобразования, устанавливает только одно соотно-

7.2. Метод преобразования при помощи заданной группы 135
шение между а, и а2. Этот шаг представляет собой первую про-
проверку пригодности метода. Например, уравнение Фолкнера—Скэн
не зависит от параметра преобразования группы, задаваемой
уравнениями B.2), лишь при ах = а2 = 0. В данном случае метод
применить нельзя.
3. Недостающее начальное значение полагается равным пара-
параметру преобразования. Это позволяет выписать еще одно соотно-
соотношение, связывающее а, и а2 и образующее вместе с соотношением
из шага 2 систему уравнений, решение которой дает at и а2.
Параметр А при этом остается неизвестным.
4. Параметр преобразования находится из граничного условия
во второй точке по формуле, аналогичной B.13). Интересен слу-
случай, когда на бесконечности задано однородное граничное усло-
условие, т. е. правая часть B.12) равна нулю. Такой пример рас-
рассмотрен в работе |17[ для ламинарной струи неньютоновской
жидкости. Интересен также случай, когда промежуток интегри-
интегрирования конечен. Оба этих случая мы рассмотрим позже.
5. Наконец, преобразуем граничные условия в начальной
точке. При этом требуется, чтобы они были /однородными, иначе
не удастся применить метод. Например, если f @) = k, то после
преобразования получим, что
- Aa*~f(O) = k.
Это выражение не зависит от А только при а2 = 0. Мы обсудим
решение задач с неоднородными граничными условиями в началь-
начальной точке в двух следующих главах, а здесь ограничимся при-
примером из работы Кламкина [18], в которой он пытался устранить
требование однородности условий в начальной точке. Пусть име-
имеется уравнение
\> + A/г)) df/dr] = а + р//«
с граничными условиями
df(O)/dr\=af(O) + b, f(oo)=l.
После преобразования B.2) дифференциальное уравнение при-
примет вид
Возможны три случая (последний из них разобран Кламкином).
Случай 1. Если аир одновременно отличны от нуля, то из
инвариантности дифференциального уравнения получаются два
уравнения
а2—2(^ = 0, 2а2 = 0

136 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
с нулевым решением. Последнее означает, что задачу нельзя
свести к задаче Коши.
Случай 2 Если а = 0 (т. е. дифференциальное уравнение не со-
содержит постоянного члена), то из инвариантности дифференциаль-
дифференциального уравнения получается только одно соотношение
а2— 2а: = —2а2,
связывающее щ и а2. Граничные условия должны дать еще одно
уравнение, связывающее а, и а2. Его мы получаем, полагая не-
недостающее начальное значение равным А. Отсюда ясно, что гра-
граничные условия в начальной точке должны быть однородными —
иначе получатся дополнительные уравнения, связывающие а, и а2.
Поэтому в данном случае метод применить нельзя.
Случай 3. Если а и [3 равны нулю (т. е. преобразованное
дифференциальное уравнение аналогично исходному), то ограни-
ограничений на ccj и а2 из-за дифференциального уравнения нет. Чтобы
найти ах и а2, остается воспользоваться граничными условиями.
Пусть
Тогда первое граничное условие дает
Ла«-«1 [d'f @)/dr\] = aA
Полагая
f@) = l и d](O)/th\=h
получаем два уравнения
а2=1 и Аа*-а*=Аа + Ь,
которые вместе с граничным условием во второй точке
Aa>=l/f(oo)
образуют систему уравнений для определения ах, а2 и А.
Рассмотренный пример показывает, что наложение ограниче-
ограничений на вид дифференциального уравнения позволяет устранить
отдельные требования, предъявляемые методом.
7.2.2. Задача о брахистохроне
Задача о брахистохроне—наиболее известная задача из разде-
разделов оптимального управления и расчета траекторий. Она заклю-
заключается в нахождении оптимального пути между двумя точками
при движении в гравитационном поле.-
Пусть имеются две точки А и В в однородном поле тяжести,
как показано на рис. 7.4. Координаты @, г/0) начальной точки

7.2. Метод преобразования при помощи заданной группы
137
движения А заданы, конечная точка движения В лежит где-то
на прямой х=хТ, причем в ней dy/dx = 0. Требуется найти кри-
кривую, по которой материальная точка переместится (при отсутст-
отсутствии сопротивления) из А в В за кратчайшее время.
хт
Уо
-х
Рис. 7.4. Оптимальная траектория.
Поскольку на материальную точку действует только сила
тяжести, время спуска равно
x-i х-,
Т= J(l/V)ds=
Обозначим подынтегральную функцию через
и запишем Т в виде
BЛ7)
B.18)
B.19)
Чтобы найти минимум Т, выпишем уравнение Эйлера для функ-
функции F:
?-?(&)-»• <2-20>
Подставив сюда выражение для F, получим
2y<Pyldxz + I -f-'dyldxf = 0. B.21)
Граничные условия имеют вид
У(Ъ) = Уо, dy(xT)/dx = 0. B.22)
Таким образом, мы получили двухточечную граничную задачу.
Прежде чем сводить ее к задаче Коши, сделаем простое преоб-
преобразование переменных
г|=1— х/хт, f =

138 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
Соображения, по которым оно вводится, будут видны позже.
Уравнение B.21) и граничные условия примут вид
2fd*f/dx\* + 1 + {dfldr\y = 0, B.24)
df(O)/di\ = O, f(l) = s, B.25а, б)
где s = yJxT.
Для перехода к задаче Коши используем линейную группу
преобразований
т1 = Л««т], f = Aa'f. B.26)
Требуя, чтобы уравнение B.24) не зависело от параметра преоб-
преобразования А, получим следующее соотношение для аг и а2:
а, = а2. B.27)
Уравнение B.24) принимает вид
2fdH/d^ + 1 + {dfld^Y = 0. B.28)
Преобразуя граничное условие B.25а), получаем
df(O)/dr\ = O. B.29)
Введем недостающее начальное условие в виде
/@) = Л, B.30)
так что после преобразования будем иметь
Отсюда
«2=1 B.31)
и
7@)= 1. B.32)
Именно в этом заключается смысл замены переменных B.23).
Поскольку в исходной задаче, определяемой уравнением B.21),
не хватает начального значения dy @)/dx, пришлось бы положить
dy @)/dx = А.
После преобразования
х—Аа'Х, y=zAaiy
мы получили бы
Aa*-a*dy@)/dx = A.
Это условие нельзя свести к не зависящему от А виду, так как
аналогичное требование для дифференциального уравнения дает
at = а2. Замена переменных B.23) позволяет обойти такую труд-
трудность,

7.2. Метод преобразования при помощи заданной группы 139
Решая систему уравнений B.27) и B.31), находим, что
К1 = аа=1. B.33)
Наконец, граничное условие в начальной точке Движения дает
f = s/A при г\=1/А. B.34)
Исключая отсюда А, получаем
Неитёрационное решение уравнения B.24) для заданнго зна-
значения s можно получить следующим образом. Сначала интегри-
интегрируем уравнение B.28) с начальными условиями B.29) и B.32) до
тех пор, пока отношение f/т) не будет равно s. По соответствую-
соответствующим значениям f или т) из .B.34) находим А. Зная А, при по-
помощи формул преобразования B.26)* можно найти искомое реше-
решение уравнений B.24), соответствующее f (г\).
В качестве примера рассмотрим случай s = 3. Результаты ин-
интегрирования уравнения B.28) представлены в табл. 7.1. Отно-
Таблица 7.1
Пример решения
0.000
0.030
0.060
0.090
0.120
0.150
0.180
0.210
0.240
0.270
0.300
0.324
1
1.0000
0.9998
0.9991
0.9980
0.9964
0.9944
0.9919
0.9889
0.9855
0.9816
0.9773
0.9721
п
0.000
0.092
0.185
0.277
0.369
0.462
0.554
0.646
0.738
0.831
0.923
1.000
3.0864
3.0763
3.0742
3.0707"
3.0658
3.0596
3.0519
3.0429
3.0324
3.0205
3.0071
3.0000
шение f/т] достигает значения 3 в точке
^ = 0.324, f = 0.9721.
Параметр преобразования можно найти из соотношений B.34)
двумя способами, приводящими к одинаковому результату:
А = З/f = 3/0.9721 = 3.0864,
Л= l/rj= 1/0.324 =3.0864.

140 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
Наконец, по формулам B.26) остается вычислить решение исход-
исходного уравнения; полученные результаты тоже представлены в
табл. 7.1. Таким образом, мы нашли оптимальную траекторию,
удовлетворяющую всем ограничениям.
7.2.3. Продольный удар по нелинейному
вязкопластическому стержню
В качестве еще одного примера рассмотрим задачу из работы [19]
о продольном ударе по нелинейному вязкопластическому стержню,
изображенному на рис. 7.5. Начало координат поместим в конце
стержня, а ось х направим вдоль оси стержня. При / < 0 стер-
стержень покоится, в момент / = 0 по концу производится удар, в
dx
Рис. 7.5. Схематическое изображение стержня.
результате чего при t > 0 материал стержня приходит в движение.
Будем считать стержень тонким и пренебрегать боковым выпу-
выпучиванием и влиянием поперечных деформаций. Предполагая, что
сжимающие напряжения положительны и смещения всех точек
любого поперечного сечения равны и параллельны оси стержня,
приступим к выводу уравнений продольного движения.
Рассмотрим элемент стержня, ограниченный в начальный момент
времени / = 0 сечениями с координатам!, х и x + dx, а в момент
t—сечениями с координатами х* и х* + dx* соответственно. Обо-
Обозначим смещение этого элемента через и; тогда х* = х-\-и. Пре-
Пренебрегая производными высших порядков от и, получаем, что
dx* = A + ди/дх) dx Пусть в момент / = 0 площадь поперечного
сечения равна А, а плотность — р; тогда уравнение движения
элемента длины dx* в лагранжевой системе координат можно
записать в виде
B.35)
где F (x, t) — сила, действующая на поперечное сечение с коор-
координатой х в момент /. Перепишем это уравнение, перейдя к ско-
скорости частиц v(x, t) и напряжению а (х, t)\ тогда
pdv/dt = —да/дх. B.36)
Необходимо ввести определяющее уравнение, описывающее
механические свойства вязкопластического материала и устанав-
устанавливающее связь между деформацией е и напряжением а, напри-

7.2. Метод преобразования при помощи заданной группы 141
мер уравнение вида
= D(o/a0—l)p. B.37)
Уравнение такого типа описывает пластическую деформацию при
скоростном ударе. Константы а0, D и р зависят от материала
стержня. В случае малых деформаций уравнение, связывающее
скорость деформации со смещением, имеет вид
de/dl = —dv/dx. B.38)
Остается выписать граничные и начальные условия, а именно
о@, /) = о. (о.>0, f>0),
о(оо, 0 = 0 (*>0), B.39)
v(x, 0) = 0,
где константа и0—скорость удара.
Исключая а и е из системы B.36) — B.38), получаем уравнение
yq (d*v/dx2) (—dvldx)"-1 = dvldt, B.40)
где q=\/p и y = oJ(pD«).
Преобразованием подобия
о = o«f (Л). B.41)
где
уравнение B.40) и условия B.39) сводятся к обыкновенному диф-
дифференциальному уравнению
2—rm\ (—dfldx])*-* = 0 B.42)
с граничными условиями
f@)=l, f(oo) = 0. B.43)
Решение этого уравнения может быть представлено в замкнутой
форме, а именно как
ч
f(T])=»l-$(c + ftt,«)-edb, B.44а)
о
где
=.р/(^-1), B.446)
¦" <
а Г( ) — гамма-функция. Дифференцируя B.44а), находим недо-
недостающее начальное значение /' @)
/' (о) = — 1/си= —

142 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
Таблица 7.2
Сравнение различных способов получения /' @) *)
р -Г@), по B.51) -С @), точное
5.734
4.748
4.348
4.436
4.386
4.354
х) Перепечатано из [19] с разрешения Industrial Ma-
Mathematics Society.
или
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
5.718
4.730
4.550
4.500
4.489
4.488
Щ
п[т ф-1/
как функцию от р.
С физической точки зрения решение B.44а) описывает зави-
зависимость скорости частиц от х и t. Подставляя его в B.38) и» ин-
интегрируя по t, получим удельную деформацию сжатия.
Попытаемся теперь свести граничную задачу к задаче Коши.
Используя вспомогательную функцию g=l—/, перепишем
уравнение B.42) в виде
« = 0. B.45)
Соответственно граничные условия B.43) дадут
g@) = 0, g(oo)=l. B.46)
Инвариантность уравнения B.45) относительно линейной группы
преобразований
Ч = Аа*г\, g = Aa*~g B.47)
дает следующее соотношение, связывающее аг и а2:
а2/«х = (<7+1)/(<7- 1). B.48)
Далее полагаем dg(Q)/dr\ =A, откуда получаем второе соотношение
а2—а1=1. B.49)
Решая систему уравнений B.48) и B.49), находим
B.50)

7.3. Расширение возможностей метода 143
Чтобы отыскать А, возьмем преобразованное граничное условие
на бесконечности
Aa'g(oo) = l;
отсюда
Л=[?(оо)]-2/<* + 1). B.51)
В табл. 7.2 представлены значения f @), полученные по формуле
B.44г) и по описанной выше методике (см. [19]). Результаты
хорошо согласуются.
7.3. Расширение возможностей метода преобразования
для звданной группы преобразований
7.3.1. Винтовая группа преобразований
Как уже указано выше, класс преобразований, использован-
использованных Тёпфером [1] и Кламкином [2], относится к линейной группе
преобразований. Естественно возникает вопрос о существовании
других групп преобразований, позволяющих получить аналогич-
аналогичные результаты для других типов уравнений. В качестве примера
рассмотрим задачу теплопроводности с экспоненциальным источ-
источником тепла из работы На и Тана [20].
Пусть имеется уравнение
= O C.1)
с граничными условиями
dT@)/dr = Q, T(\) = 0,
где параметр р принимает значения —1, 0 и 1 для плоского,
цилиндрического и сферического случаев соответственно. Требо-
Требование инвариантности уравнения C.1) относительно линейной
группы преобразований (например, вида B.2)) приводит к равен-
равенству нулю постоянных «! и а2. Иначе говоря, линейная группа
не позволяет применить метод. В качестве второй попытки ис-
используем винтовую группу преобразований
г = еа'а7, Т = Т + а2а. C.2)
Тогда уравнение C.1) примет вид
и не будет зависеть от параметра преобразования а, если сте-
степени е одинаковы, т. е. если
—2а1 = а?. C.4)

144 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
В этом случае вместо C.3) получается уравнение
d*T/dr* + [(р + 1)/7] df/dr+ \eT= 0. C.5)
Граничное условие при г = 0 сохраняет свой вид, т. е. *
df (O)/dF= 0. C.6)
Далее, как обычно, возьмем недостающее начальное значение
равным параметру преобразования, т. е. положим
Т@) = а,
и после преобразования получим
Г@) + а2а = о.
Это условие не зависит от параметра преобразования в том слу-
случае, когда
«2=1; C.7)
отсюда
f@) = 0. C.8)
Из системы уравнений C.4) и C.7) находим
, а, = —1/2, а,-1. C.9)
Чтобы найти параметр преобразования, возьмем преобразо-
преобразованное граничное условие во второй точке, т. е.
Г + ага = 0 при 'геа>° = 1, C.10)
или
Т = —а при г = <*/*. C.11)
Найти отсюда параметр а сложнее, чем по формуле B.13),
так как условие поставлено в конечной точке, а не на бесконеч-
бесконечности. Обойдем эту трудность, исключив а из C.11), что дает
7=е-т'*. C.12)
Тогда решение уравнения C.1) будет состоять из следующих
шагов.
Интегрируя уравнение C.5) с начальными условиями C.6) и
C.8), строим кривую Т(г). Формула C.12) позволяет построить
другую кривую Т (г). Точки пересечения этих двух кривых дают
значения Г и г, по которым из C.10) или C.11) можно опре-
определить а.
На рис. 7.6 приведены решения уравнения C.5) для пяти зна-
значений р и кривая Т (г), построенная по формуле C.12). Для фи-

7.3. Расширение возможностей метода
145
и
-2
-4
-В
-8
-10
У 1
1 1 1 1 J -
-
1 ! 1 I I
20
60
Рио. 7.6. Графическое определение а (перепечатано из работы [20] с разре-
разрешения изд-ва Academie-Verlag).
0,25
0.20 *
0Л5 -
ОАО -
0.05 -
0,2 0.4 0.6 0.6
Рио. 7.7. Распределения температуры (перепечатано из работы [20] с разре-
разрешения изд-ва Academie-Verlag),

146 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
ксированного J точки пересечения графиков решения и зависи-
зависимости C.12) дают пары значений Т и г. Так, при р < 1.7 имеются
два пересечения, т. е. возможны два решения задачи. При р=1.7
кривые касаются друг друга в одной точке и, следовательно,
возможно только одно решение. При f>, больших этого крити-
критического значения, решения не существует.
Наличие двух решений в первом случае (р<1.7) типично
для многих нелинейных обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Однако для большинства физических задач только одно
решение имеет физический смысл. Такие решения приведены на
рис. 7.7. Физически они представляют распределения темпера-
температуры. Критерий устойчивости для выделения решений, имеющих
физический смысл, будет подробно рассмотрен в разд. 7.4.
7.3.2. Задача Эймса на собственные значения
В этом разделе мы рассмотрим в общих чертах интересный
альтернативный подход, предложенный Эймсом [21] для решения
уравнения теплопроводности с экспоненциальным источником.
Пусть снова задано уравнение
d*T/dr* +[(p + l )//•] dT/dr + {ieT = 0 C.13)
с граничными условиями
dT (Q)/dr = 0, 7A) = 0. C.14а, б)
Эймс предложил интерпретировать параметр Р как собствен-
собственное значение, полагая при этом р = (о2. Исключая р из C.13)
заменой R — cor, получаем
d*T/dR* + \(р + 1)//?] dT/dR + ет = 0. C.15)
Однако теперь со появится в граничном условии, так как
0, Г((о) = 0. C.16а, б)
Введем далее винтовую группу преобразований, аналогичную
C.2), в которой параметром преобразования является со, т. е.
R==ealw^t r = f + a2co. C.17)
Как и уравнение C.3) (см. выше), уравнение C.15) не изме-
изменится, т. е.
f f f=0, C.18)
если <Xj и а2 связаны соотношением
—2а1 = аг. C.19)

7.3. Расширение возможностей метода 147
Преобразованное граничное условие при R = 0 имеет вид
f 0. C.20)
Теперь мы несколько отступим от рассуждений Эймса, поло-
положив недостающее начальное значение Т @) равным сумме пара-
параметра преобразования и произвольной константы у,
и после преобразования получим
f (O) + a2co =
откуда
а2=1 C.21)
и
f@)-v. C.22)
Из системы уравнений C.19) и C.21) находим
а1 = —1/2, а,= 1. C.23)
Наконец, чтобы найти собственное значение со, преобразуем
граничное условие при # = со:
Г + со = 0 при Яе-и/2 = со. C.24)
Исключая отсюда со, получаем
^е-г/2 = _ J C.25)
Таким образом, задав у, интегрируем уравнение C.18) с на-
начальными условиями C.20), C.22) и при этом проверяем, выпол-
выполняется ли равенство C.25). В точке, где C.25) выполняется, пре-
прекращаем интегрирование и находим со, воспользовавшись одним
из соотношений C.24), а затем определяем р = со2. Иначе говоря,
мы устанавливаем соответствие между недостающим начальным
значением Т @) (теперь представленном в виде оэ -f- у) и величиной C.
Этот подход отличается от описанного в разд. 7.3.1 тем, что
раньше задавалось C и искалось начальное значение Т@), теперь
же задается Т @) и ищется р. Эймс в своей работе рассмотрел
частный случай у— 1. Детали вычислений предоставляются чита-
читателю в качестве упражнения (см. задачу 6 в конце главы).
7.3.3. Преобразование однородных граничных условий в неоднородные
Описанный выше метод содержит существенное ограничение,
заключающееся в требовании неоднородности граничного условия,
когда последнее задано на бесконечности. В противном случае не
удается вычислить параметр преобразования, а следовательно,

148 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
нельзя применить метод. Если вернуться к примеру, рассмотрен-
рассмотренному в разд. 7.2.1, то станет очевидно, что наличие во второй
точке граничного условия df (oo)/dr] = 0 вместо df (oo)/dr] = l
не позволило бы найти параметр А из уравнения B.12). В та-
таких задачах требуется дополнительное преобразование. Поясним
это на следующем примере.
Рассмотрим вытекание несжимаемой жидкости через узкую
двумерную щель (см. рис. 7.8) в ту же жидкость. Для описания
таких течений можно использовать уравнения теории погранич-
пограничного слоя
C.26)
C.27>
с граничными условиями
при у = 0 v = Q
при у = оо и = 0.
Поскольку давление в окружающей жидкости постоянно, поток
импульса J не меняется, т. е.
«/ = р J u% dy = const.
Вводя безразмерные величины
x = x/L, y =
и функцию тока ij? согласно равенствам
и = сН|У<Зг/, v = —
мы тождественно удовлетворим уравнению C.26), а вместо C.27)
получим уравнение
(дЩду) д^р/дх ду - {д^/дх) дгЦду* = Ртр/ду3 C.28)
с граничными условиями
при г/ = 0 д2я|)/(Эг/2 = 0,
при у = оо д\р/ду = 0.
Преобразованием подобия
уравнение в частных производных C.28) сводится к обыкновен-
обыкновенному дифференциальному уравнению
dsf/dr\* + A/3) / d'l/dt]* + A/3) (df/dr])* = 0 C.29)

7.3. Расширение возможностей метода
149
с граничными условиями
при т] = 0 /@)=0,
при I] == оо df (oo)/dr\ = 0.
Соответственно выражение для потока импульса примет вид
(df/dx])*dr].
C.30)
Таким образом, мы имеем нелинейную граничную задачу с одно-
однородным граничным условием во второй точке. Непосредственное
применение метода невозможно до тех пор, пока это граничное
Поток
Рис. 7.8. Схематическое изображение струи.
условие не будет приведено к неоднородному виду. Чтобы сделать
его неоднородным, применим дополнительное преобразование
Можно показать, что уравнение C.29) не зависит от параметров
преобразования В и С, если
В этом случае вместо C.29) получается дифференциальное урав-
уравнение
cPf/cbf + A/3OdH/d^ + ( 1/3) (dfld^Y =0 C.31)
с граничными условиями в точке ц = 0
= 0. C.32)
Исследование граничных условий уравнения C.29) показывает,
что df/dr\ убывает от некоторого значения в точке г| = 0 до нуля
при стремлении г} к бесконечности. Следовательно, если мы про-
проинтегрируем df/dt] от нуля до бесконечности, то получим конечное

150
Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
число
площадь = j {dfldr\) dr\ = const,
о
После преобразования имеем
площадь = С J (df/dtj) dr\ = С \J (oo)—f @)].
о
Положим теперь С = площадь; тогда с учетом-граничного усло-
условия / @) = 0 получим
/(оо)=1. C.33)
Преобразуя выражение C.30) для потока импульса, имеем
J = p{U%/\^W^e)C3 ^ (dj/dr))*dr\. C.34)
Отсюда можно найти константу С, поскольку J — заданная ве-
величина.
Таблица 7.3
Решение задачи Коши
df*/dr\*
0.00 '
1.25
2.50
3.75
5.00
6.25
7.50
0.0000
1.1517
1.8864
2.2304
2.3681
2.4198
2.4386
1.0000
0.7789
0.4069
0.1708
0.0652
0.0240
0.0087
8.75
10.00
11.25
12.50
13.75
15.00
2.4454
2.4479
2.4487
- 2.4490
2.4491
2.4491
0.0031
0.0011
0.0004
0.0001
0.0001
0.0000
Таким образом, решение задачи для уравнения C.29) сводится
к решению граничной задачи для дифференциального уравнения
C.31) с граничными условиями C.32) и C.33). Граничное условие
во второй точке теперь уже является неоднородным.
Опуская процесс преобразования граничной задачи к задаче
Коши, приведем окончательные результаты. Сначала интегрируем
уравнение
начальными условиями
/*@) = 0, df»(O)/dx]'=\,

7.4. Единственность решения
151
(результаты представлены в табл. 7.3) и, в частности, находим
значение f* (oo), при помощи которого вычисляем параметр пре-
преобразования
А =[/»(оо)]-2 = 0.1667.
Наконец, выполняя обратное преобразование
находим решение уравнения C.31). Результаты представлены
в табл. 7.4.
Таблица 7.4
Решение уравнения C.31)
0.000
3.062
6.123
9.185
12.246
15.308
18.369
1
0.0000
0.4702
0.7702
0.9106
0.9669
0.9880
0.9957
df/dr\
1.0000
0.1298
0.0678
0.0285
0.0109
0.0040
0.0015
Т)
21.431
24.492
27.554
30.616
33.677
36.739
7
0.9984
0.9995
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
0.0005
0.0002
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
В такой задаче физический интерес представляет распределение
скорости. В переменных J и г\ можно получить следующие выра-
выражения:
Г? - _1~2/3 -
uf[J(\xI"] = A/р2/3) \ (df/dr)J eh\ df/eh] C.35)
Г" _1/3
\ (df/dr\J dr] у
Lo J
y/x*'K C.36)
Для заданной двумерной струи полный поток импульса всегда
известен. Коэффициент вязкости жидкости можно взять из соот-
соответствующих таблиц. Заменив интеграл в формулах C.35) и C.36)
его численным значением, можно использовать их вместе с табл. 7.4
для определения скорости в любой точке (х, у).
7.4. Единственность решения
В предыдущем параграфе было установлено, что уравнение
C.1) может иметь два решения, одно решение или совсем не иметь
решений (при значениях р, соответственно меньших, равных и

152 Гл. 7, Метод преобразования: прямое преобразование
больших кршического значения рсг=1.7). В случае двух решений
(Р < Per) возникает проблема выбора решения, имеющего физиче-
физический смысл.
Неединственность решения имеет место и в других прикладных
задачах. Так, подробное обсуждение устойчивости уравнений,
описывающих течения в химических реакторах, можно найти в ра-
работах [22— 25J. Арис [24] и Лусс [25] сформулировали критерий
устойчивости для более широкого класса нелинейных обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку такая проблема
возникает довольно часто, мы рассмотрим ее подробно на при-
примере уравнения C.1).
Непосредственный путь решения этой проблемы заключается
в постановке соответствующей нестационарной граничной задачи
с однородным начальным условием. Поскольку эта задача кор-
корректна, ее решение единственно [26]. Ограниченная функция,
к которой приближается решение нестационарной задачи при;стрем-
ленин времени к бесконечности, называется стационарным реше-
решением [27]. Таким образом, нужно решить нестационарное уравне-
уравнение; при этом появляется еще одна независимая переменная —
время.
В этом параграфе мы рассмотрим простой способ выделения
имеющего физический смысл решения, который позволяет избежать
трудностей, связанных с решением нелинейного дифференциального
уравнения в частных производных. Используя решение стационар-
стационарного уравнения в качестве начального условия, можно исследовать
устойчивость дальнейшего поведения температуры, а затем при
помощи критерия устойчивости выделить единственное решение.
Нестационарная задача для исследования устойчивости решений
уравнения C.1) определяется уравнением
дТ/дх = A/г) д (г дТ/дгIдг + рег D.1)
с начальным и граничными условиями
Г(л,0) = Г0(г), D.2)
дТ@, т)/дл = 0, ГA,т) = 0, D.3)
где |3 — параметр, а Г, г и т — безразмерные температура, радиус
и время соответственно, связанные с реальными величинами а, Т''.
г', t соотношениями
T = yT', r^r'/R, T =
Здесь R, p, k и с — радиус, плотность, коэффициенты теплопровод-
теплопроводности и удельной теплоемкости соответственно, а а и у — физи-
физические константы в (формуле, описывающей источник тепла:
количество тепла, выделяющееся в единице объема за единицу
времени = aev7",

7.4. Единственность решения 153
Пусть Т., (г) — решение стационарного уравнения C.1), т. е.
уравнения
A/r) d (rdT0/dr)/dr+\ieT<- = 0 D.4)
с граничными условиями
Т;@) = 0, Т0A) = 0; D.5)
тогда оно также решение и нестационарной задачи D.1) — D.3).
Воспользовавшись обычным способом проверки устойчивости —
наложением малых возмущений, найдем решение То (г) + ST (г, т)
уравнения D.1), удовлетворяющее граничным условиям D.3) и
при т = 0 равное 7\, (г) + 6Т0 (г). Для этого подставим выражение
Т0(г) + &Т (г, х) в уравнение D.1). Разлагая е67 в ряд
и ограничиваясь двумя первыми членами, получим для 6Г линей-
линейное дифференциальное уравнение в частных производных
д (8Т)/д% = {1/г)д[гд (8Т)/дг]/дг + fV» FГ) D.6)
с начальным и граничными условиями
бТ(г, 0) = бТ0(г) = 8(г), D.7)
д(8Т)/дг\г=с = 0, 6Т|Г=!=О. D.8)
Если все решения 8Т (г, т) этой задачи ограничены, то говорят,
что решение стационарного уравнения То (г) устойчиво; в против-
противном случае оно неустойчиво.
Поскольку уравнение D.6) линейно, причем функция То известна
и зависит только от г, можно воспользоваться методом разделения
переменных. Будем искать решение вида
8Т(г, х)-Х(т)Г(г); D.9)
подставив его в уравнение D.6), имеем
-сс, D.10)
где а —подлежащий определению параметр, точка означает диф-
дифференцирование по х, а штрих —дифференцирование по г. Урав-
Уравнение D.10) распадается на два обыкновенных дифференциальных
уравнения для X (х) и У (г). Уравнение
Х+аЛ" = 0 D.11)
для X (т) имеет решение вида
Х = Ае~™, D.12)
где А — постоянная интегрирования. Отсюда видно, что у огра-
ограниченного решения уравнения D.6) вещественная часть а не мо-
может быть отрицательной величиной.

154 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
Функции Y (г) соответствует дифференциальное уравнение
(l/r)(rY')'+$eT°Y + aY = O D.13)
с граничными условиями
J"@) = 0, ГA)=0, D.14)
полученными подстановкой выражения D.9) в граничные условия
D.8). Эта граничная задача представляет собой задачу Штурма —
Лиубилля [28], откуда следует существование счетного множест-
множества вещественных значений alt а2, .. параметра а, которым со-
соответствуют нетривиальные решения. Такие аг, аг, ... называют
собственными значениями, а нетривиальное решение Yt(r), соот-
соответствующее а,,—собственной функцией задачи. Поскольку а,
вещественны и различны, их можно занумеровать в виде возра-
возрастающей последовательности
а, <«,<«,< , D.15)
Решение уравнения D.6) можно представить в виде ряда
6Г (г, т) = 2 Ale~aixYl (r). D.16)
Это решение должно удовлетворять начальному условию D.7), т. е.
оо
е(/-)=2Л,Г,(/-). D.17)
'=1
Отсюда, используя свойство ортогональности собственных функ-
функций Y,(r), находим коэффициенты разложения А,-. Поскольку ва-
вариация г (г) начального значения произвольна, разложение D.17)
может содержать все Уt (r). Следовательно, ограниченное решение
ЬТ вида D.16) может существовать только тогда, когда наимень-
наименьшее из всех собственных значений аг неотрицательно. Согласно
нумерации D.15), это условие равносильно тому, что oti^ 0- Иначе
говоря, решение Т0(г) является устойчивым для нестационарной
задачи D.1)—D.3), если наименьшее собственное значение соот-
соответствующей задачи Штурма —Лиувилля D.13), D.14) неотрица-
неотрицательно. В этом и заключается критерий устойчивости.
Такой критерий устойчивости можно использовать для опре-
определения решения стационарной задачи D.4), D.5), имеющего фи-
физический смысл. А именно если решение стационарной задачи Ти (г)
имеет физический смысл, то решение нестационарной задачи D.1) —
D.3) должно быть устойчивым. Из определения устойчивости сле-
следует, что решение нестационарной задачи с начальным значением
То (г) не меняется во времени, т. е. То (г) является стационарным
решением. Для проверки устойчивости необходимо установить
знак наименьшего собственного значения задачи D.13), D.14).
Поскольку точное решение задачи найти трудно, ограничимся

7.4. Единственность решения
155
оценкой собственных значений методом Галёркина [29], позволя-
позволяющей с достаточной точностью определить знак наименьшего соб-
собственного значения. Согласно этому методу ищем нетривиальное
решение в виде
м
). D-18)
где М — заданное целое положительное число, фу- — набор орто-
нормированных с весом г функций, удовлетворяющих граничным
условиям D.14). В качестве функций q^ можно взять
есть /-й корень
Используя Y (г) вида D.18), задачу Штурма — Лиувилля D,13),
D.14) можно свести к обычной задаче на собственные значения
= O,- D.20)
где Jo—функция Бесселя нулевого порядка,
уравнения Jo (к) = 0, а
гдеб(/ — символ Кронекера, [С;/]— симметричная матрица порядка
/И, элементы которой равны
1
С{} = Ь,в,7—р
eT»w ф. (г) ф/ (г) dr.
Проводя расчеты любым стандартным методом, можно найти наи-
наименьшее собственное значение этой матрицы alt которое соответ-
соответствует наименьшему собственному значению задачи D.13), D.14).
В качестве примера рассмотрим случай р = 0.7. Согласно работе
[20], мы оказываемся в ситуации 0.7 < (iCr, т. е. двух возможных
Таблица 7.5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Г, (О
0.204
0.202
0.195
0.185
0.170
0.151
Решения стационарной
Г, (г
4.696
4.526
4.072
3.482
2.868
2.281
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
задачи
i\ (У)
0.128
0.101
0.071
0.037
0.000
Г. (О
1 739
1.244
0.792
0.379
0.000

156
Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
стационарных решений, представленных в табл. 7.5. Обозначим
их Tt(r) и Tt(r).
При То (г) = Т, (г) наименьшее собственное значение а,, полу-
полученное методом Галёркина, равно 4.96, т. е. больше нуля. Отсюда
видно, что Т, (г) является устойчивым решением нестационарной
задачи и, следовательно, имеющим физический смысл решением
стационарной задачи. При Г0(г) = Г2(г) наименьшее собственное
значение а0 —— 25.09 (меньше нуля). Следовательно, Тг (г) яв-
является неустойчивым решением и физического смысла не имеет.
Таким путем можно выяснить вопрос о единственности.
ЛГ
*-
АХ
[
Мйг =1
Рис. 7.9. Расчетная сетка.
Хотя рассмотренный выше подход эквивалентен исследованию
устойчивости решений нестационарного уравнения, представимых
в виде произведения, для проверки наших выводов мы все же
найдем численное решение нестационарной задачи.
Поскольку уравнениеD.1) нелинейно, используем метод конеч-
конечных разностей, как это предложено в работе [30]. Возьмем рав-
равномерную сетку по г и х с шагами Аг и Дт, как показано на
рис. 7.9, и конечно-разностную аппроксимацию уравнения D.1)
вида
Т/ + 1 Т/ Т' + 1 971/ + 14-T' + 1 I T/ + 1
' i ~ ' I ' (Ч 1 *' 1 "Г ' I- 1 . i+1
Дт ~ (АгJ "" 1Дг 2Лг
0<1'</И, />0, D.21)
где T{ = T(iAr, /Дт). При r = 0 (t==0) второй член в правой
части этого уравнения становится неопределенным, так как
i'Aa = 0. Из граничного условия дТ/дг=-0 при г = 0 следует, что
T[%\ — T[i[. Применяя правило Лопиталя, можно записать урав-
уравнение D.1) в виде
при г = 0. D.22)

7.4. Единственность решения 157
Соответствующая конечно-разностная аппроксимация имеет вид
\х ~L (ДгJ -t-pexp/, ,
;=0, />0. D.23)
Остается выписать начальное и граничное (при г=1) условия:
Г? = Г0AДг), D.24)
Tii = 0, D.25)
Решая систему уравнений D.21), D.23) — D.25), находим значе-
значения Т в любом узле сетки. Прямое решение этой системы алгеб-
алгебраических уравнений невозможно, поскольку она содержит нели-
нелинейный член РехрГ{+1. Поэтому перепишем уравнения D.21),
D.23) с учетом условия D.25) в виде
(а—26) ТГ + W{+1 =-• Л/Дт + J3 ехр Ц+\
{ii+ аТ{+1 _+^--с) 7ЭД = Г{/Дт+ ? ехр Г{+\ D.26)
ф + с) T'Jl, + aTtil 1 = Т'М- J\i + Р ехр ПГ_\,
где
а=1/Дт+2/(ДгJ, Ь = — 1/(ДгJ, с=1/BгДг).
Рассмотрим процесс вычислений на (/4-1)-м шаге по времени.
Значения Т[ О' = 0, 1, . . ., М) известны либо из начального усло-
условия, либо из вычислений на предыдущем /-м шаге. Следовательно,
правая часть системы D.26) содержит неизвестные только в членах
вида рехрТ{ + 1. На первой итерации мы заменим их приближен-
приближенными значениями |ЗехрТ{. Решая линейную систему уравнений
с трехдиагональной матрицей, легко находим Т[^1. На второй
итерации мы подставим полученные Т[+1 в члены р" ехр Т[+1 и снова
найдем решение системы. Этот процесс продолжим до тех пор,
пока разницей решений на соседних итерациях можно будет
пренебречь.
Используем теперь табличные значения решений Тг (г) и Т2 (г)
(табл. 7.5) в качестве начальных условий нестационарных задач.
Сначала возьмем начальное условие То (г) = Г, (г) и положим
Дг = 0.025 и Дт = 0.01. Решение остается равным начальному
значению Тг(г) даже после 50 шагов по времени. Это демонстри-
демонстрирует устойчивость решения 7\ (г).
Далее возьмем начальное условие То (г) = Т2 (г) и положим
Д/- = 0.05 и Дт —0.001 Профили по г нестационарного решения
до момента времени т = 0.09 изображены на рис. 7.10. Темпера-
Температура растет с увеличением времени и в момент х = 0.09 наступает
переполнение арифметического устройства ЭВМ из-за больших
значений Т при вычислении ет. Это демонстрирует неустойчи-
неустойчивость решения Тг(г).

8.0
6.0 -
2.0 -
"v ^ t =0.09
i i
i i
¦
0
a,z
0.8
t.a
ал о.б
r
Рис 7.10. Нестационарное решение для начального условия То (г) = Т% (г)
(E = 0.7).
0Л 0.6 0.8 1.0
г
Рис. 7.11. Нестационарное решение для начального условия TQ(r)=0 О =0.7).

Задачи 159
Покажем более наглядно, что Г, (г) является стационарным
решением, имеющим физический смысл. Возьмем начальное усло-
условие Т„(г) — 0, шаги Ах = 0.001 и Дг=0.05. Профили по г полу-
полученного нестационарного решения изображены на рис. 7.11.
С ростом времени они приближаются к стационарному решению.
Сравнение со значениями температуры из табл. 7.5 показывает,
что нестационарное решение очень близко к Tt (г).
Проведенные результаты расчетов еще раз показали закон-
законность критерия устойчивости. Таким образом, исследуя устойчи-
устойчивость, можно, не решая полностью нестационарную задачу, вы-
выделить из всех возможных решений стационарного уравнения
решение, имеющее физический смысл. Критерий устойчивости
сводится к проверке знака наименьшего собственного значения
задачи Штурма—Лиувилля D.13), D 14). Это собственное значе-
значение можно оценить, например, методом Галёркина.
Задачи
1. Дифференциальные уравнения вида
F Г I) «I W*1)"' (dyldxpx" <1 =0,
где F—произвольная функция, не зависят от параметра преобразования а
винтовой группы преобразований
когда ai=0. В качестве примера рассмотрим граничную задачу, определяемую
дифференциальным уравнением
d2y/dx2 + 2 (dy/dxJ +1=0
и граничными условиями
dy@)/dx = 0, 0A) =0.
Решить эту задачу способом, описанным в разд. 7.3.1, и сравнить получив-
получившийся результат с точным решением
у = 0.5 (In cos yix—lncosjA2").
Указание: 0^=0, a2 = l; параметр преобразования находится из соотно-
соотношения а = — у A).
2. Решить граничную задачу, определяемую дифференциальным уравнением
y3d2y/dx2 + sin(y dy/dx) +1=0
и граничными условиями
dy@)/dx = 0, 0A) =0,
сведя ее к задаче Коши.
Указание: хотя дифференциальное уравнение содержит синус, получить
соотношение, связывающее параметры <х: и а2, нетрудно. А именно, в случае
2a2—ai = 0 дифференциальное уравнение не зависит от параметра преобразо-
преобразования.

160 Гл, 7. Метод преобразования: прямое преобразование
Ответ у @) =0.90168.
3. При рассмотрении нестационарных течений жидкости со степенным
реологическим законом Хабиб и На [31] сформулировали следующую гранич-
граничную задачу:
N = 0, F @) = 0, /•(оо) = 1.
Требуется свести эту задачу к задаче Коши и найти решения для N =0.25,
0.75, 1.25 и 2.0.
Ответ: недостающие начальные значения производной dF (O)/dr) равны
0.6574, 1.0200, 1.1992 и 1.3090 соответственно.
4. В заметке [32] Пифко и Гольдберг применили уравнения Феффла — Хенки,
описывающие большие прогибы мембраны, для исследования смещений коль-
цеиой мембраны под действием равномерно распределенной нагрузки. Внутрен-
Внутренний край мембраны поддерживается опорой, а наружный защемлен. При этом
получается граничная задача, определяемая дифференциальным уравнением
и граничными условиями
Преобразовать эту задачу в задачу Коши и сравнить результаты с решениями
вида
/(|) = A/4)^ф[1-ф~B/3)ф2-A3/18)ф3-A7/18)ф4-г-C7/27)ф6-
— A205/567) ф6 +...],
получающимися путем разложения в степенные ряды. Здесь
(p = (S-A.2)/ai3.
а значения а1 берутся из следующей таблицы:
X
a± 1
0.0
.7245
0
1.
.01
724
0.1
1.713
0.2
1.678
0.3
1.625
0.4
1.553
Указание: сначала ввести вспомогательную функцию ф = А.2 — ?, а затем
показать, что <Xi = 3 и а2 = 4.
5. Снова рассмотрим задачу 3 из гл. 4, для которой
=Q, Сд@) = 1, йСь (l)/d?=0.
Свести ее к задаче Коши и сравнить полученные результаты с точным решением
g _ch[\TJJJ/D(l-l)]
ch VkL2/D-
при W,3/.D = 10-2 и Ю-3.
Указание: перед применением метода преобразования сделать замену неза-
независимой переменной s=l—г.
6. Найти значение {5 для задачи из разд^ 7.3.2 при у^—С.6 и --0,5,

Литература 161
•Литература
[1] Тёпфер (Toepfer К.)- Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung.—
Z. Math. Phys., 1912, B. 60, S. 397—398.
[2] Кламкин (Klamkin M. S.). On the transformation of a class of boundary
value problems into initial value problems for ordinary differential equa-
equations.— SI AM Rev., 1962, v. 4, p. 43—47.
[3] Ha (Na T. Y.). Transforming boundary conditions to initial conditions for
ordinary differential equations.—SIAM Rev., 1967, v. 9, p. 264—210.
[4] — Further extention on transforming from boundary value to initial value
problems.— SIAM Rev., 1968, v. 10, 85—87.
[5] Эймс (Ames W. F.). Nonlinear differential equations in engineering.
Vol. 2—New York: Academic Press, 1972, Ch. 2.
[6] На, Хансен (Na T. Y., Hansen A. G.). Similarity analysis of differential
equations by Lie group.—J. Franklin Inst., 1971, v. 292, p. 471—489.
[7] Блюмен, Коул (Bluman G. W., Cole J. D.). Similarity methods for diffe-
differential equations.— New York: Springer, 1974.
[8] Овсянников Л. В, Групповые свойства дифференциальных уравнений.—
Новосибирск: Изд-ао СО АН СССР, 1962.
[9] На (Na Т. Y.) Group-theoretic analysis of unsteady one-dimensional gas
dynamics equations. Part I: Similarity solutions by Lie group.—Symp.
Group-Theoretic Methods in Mech., Calgary, Canada, 17—19 August 1974.
[10]—Group-theoretic analysis of unsteady one-dimensional gas dynamics equa-
equations. Part II: Non-similar solutions by Lie group.— Symp. Group-Theoretic
Methods in Mech., Calgary, Canada, 17—19 August 1974.
[11] Гольдштейн (Goldstein S.)., Modern developments in fluid dynamics.—Lon-
dynamics.—London, Oxford Univ. Press, 1957. [Имеется перевод 1-го изд.: Гольдштейн С.
(ред.). Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости.
Т. 1.2.— М.: ИЛ, 1948.]
[12] Ли, Энгель (Lie S., Engel F.)- Theorie der Transformationsgruppen.
B. 1—3.— Leipzig: Teubner, 1890.
[13] Биркгоф (Birkhoff G.). Hydrodynamics.—Princeton: Princeton Univ. Press,
1950. [Имеется перевод: Биркгоф Г. Гидродинамика.— М.: ИЛ, 1954;
2-е изд.— М.: ИЛ, 1963.]
[14] Морган (Morgan A. J. A.). Reduction by one of the number of independent
variables in some systems of partial differential equations.— Q. Appl. Math.,
1952, v. 3, p. 250—259.
[15] Хансен (Hansen A. G.). Similarity analysis of boundary value problems
in engineering.— Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964.
[16] На, Хансен (Na T. Y., Hansen A. G.). General group-theoretic transforma-
transformations from boundary value to initial value problems,—NASA Rep. CR-61218,
1968.
[17] Лемье, Юнни (Lemieux P. F., Unng Т. Е.). The laminar two-dimensional
free jet of an incompressible pseudoplastic fluid.— J. Appl. Mech., 1968,
v. 35, p. 810—811. [Имеется перевод: Труды Амер. об-ва инженеров-ме-
инженеров-механиков, сер. Е, Прикладная механика, 1968, № 4, с. 209.]
[18] Кламкин (Klamkin M. S.). Transformation of boundary value problems into
initial value problems.—J. Math. Anal. Appl., 1970, v. 32, p. 308—330.
[19] Сешадри, Ha (Seshadri R., Na T. Y.). Invariant solution for nonlinear
viscoplaslic impacts.— Ind. Math., 1975, v. 25, p. 37—44.
[20] На, Тан (Na T. Y., Tang S. C). A method for the solution of heat con-
conduction with nonlinear heat generation.—Z. Angew Math. Mech., 1969,
B. 49V2, S. 45—52.
[21] Эймс, Адаме (Ames W. F., Adams E.). Exact shooting and eingenparameter
problems,—Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl., 1976, v. 1, p. 75—82.
[22] Раймонд, Амундсен (Raymond L. R.. Amundson N. R.). Some observations
on tubular reactor stability,—Can. J. Chem. Eng., 1964, v. 42, p. 173—177,
,6*
№ 2018

162 Гл. 7. Метод преобразования: прямое преобразование
[23] Амундсон (Amundson N. R.). Some further observations on tubular stabi-
stability.—Can. J. Chem. Eng., 1965, y. 43, p. 49—55.
[24] Арио (Aris R.) On the stability criterion of chemical reaction engineering.—
Chem. Eng. Sci., 1969, v. 24, p. 149—169.
[25] Лусс (Luss D.). Sufficient conditions for uniqueness of the steady state solu-
solutions in distributed parameter systems.—Chem. Eng. Sci. 1968, v. 23,
p. 1249-1255.
[26] Гарабедян (Garabedian P. R.). Partial differential equations.—New York:
Wiley, 1964.
[27] Коппл, Хартрн, Портер, Тисон (Copple С, Hartree D. R., Porter A.,
Tyson H.). The evaluation of transient temperature distribution in a dielectric
in an alternate field,—J. Inst. Electr. Eng., 1939, v. 85, p. 56—66.
[28] Черчилл (Churchill R. V.). Fourier series and boundary value problems,—
New York: McGraw-Hill, 1963.
[29] Кренделл (Crandall S. H.) Engineering analysis.—New York: McGraw-
Hill, 1956.
[30] Брюс, Писмен, Ракфорд, Райе (Bruce G. H., Peaceman D. W., Rach-
, . ford H. H., Jr., Rice J. D.). Calculation of unsteady-state gas flow through
porous media.— Am. Inst. Mining Metal. Eng. Trans., 1953, v. 198,
p. 79—91.
[31] Хабнб, Ha (Habib I. S., Na T. Y.).- AIAA J., 1973, v. 11, p. 238—239.
[Имеется перевод: Ракетная техника н космонавтика, 1973, № 11, с. 157.]
[32] Пнфко, Гольдберг (Pifko А. В., Goldberg M. A.).—AIAA J., 1964, V. 2,
р. 1340—1342. [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1964,
№ 7, в, 226.]

Глава 8
МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ИЗМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ
ПАРАМЕТРОВ
8.1. Введение
В главе 7 мы выяснили, как можно существенно прояснить
и дедуктивно обобщить идеи Тёпфера, сначала вводя некоторую
группу преобразований, а затем требуя независимости преобра-
преобразованного дифференциального уравнения от параметра преобразо-
преобразования. Таким образом получалось конкретное преобразование,
сводящее граничную задачу к задаче Коши. Там же был рассмот-
рассмотрен ряд важных расширений и приложений метода.
Целью настоящей главы является демонстрация еще одного
расширения метода для специального типа задач. Это расширение
метода можно использовать для решения задач, содержащих не-
некоторый физический параметр либо в дифференциальном уравне-
уравнении, либо в граничных условиях и, что наиболее важно, при
поиске совокупности решений в нужном интервале значений па-
параметра. Такие задачи возникают в большинстве инженерных
проблем, где обычно представляет интерес зависимость физических
величин, характеризующих процесс, от нескольких параметров,
а не их значения для отдельного набора значений параметров.
В этих случаях требуется найти совокупность решений граничной
задачи в некотором интервале значений параметров.
Метод будет изложен на примере нескольких задач.
8.2. Преобразование физических параметров
8.2.1. Управление пограничным слоем
При обтекании тела, например крыла самолета или лопасти
турбины, на его поверхности образуется очень тонкий вязкий
слой, называемый пограничным слоем. Решение уравнений, опи-
описывающих течение в таком слое, позволяет определить силу вяз-
вязкого сопротивления, действующую со стороны жидкости на поверх-
поверхность тела. Известно, что при увеличении давления в направлении
течения происходит отрыв пограничного слоя от поверхности тела,
вызывающий значительное увеличение торможения. Поэтому же-
желательно предотвратить отрыв, предпринимая надлежащие меры
по управлению пограничным слоем; одна из этих мер заключается
в отсосе жидкости из слоя прежде, чем возникнет возможность

164
Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
отрыва. На рис. 8.1 -изображена схема пограничного слоя с отсо-
отсосом жидкости через поверхность тела.
С математической точки зрения единственное отличие этой
задачи от задачи, рассмотренной в § 7.2, состоит в том, что из-за
переноса массы через поверхность тела граничное значение ком-
Рис. 8.1. Схематическое изображение течения (отсос при С < 0, поддув при
С>0).
поненты скорости v в направлении у отлично от нуля. Можно
показать [1], что при скорости отсоса
V(x, 0) = — (\/2)CVvUjx B.1)
уравнения теории пограничного слоя A.1) и A.2) из гл. 7 преобра-
преобразованием подобия A.5) и A.6) (см. гл. 7) сводятся к уравнению
=0 B.2)
с граничными условиями
/@) = С, df @)/dTi = 0, df{oo)ldy\ = \.
Поскольку, как уже отмечалось выше, единственное отличие
этой задачи от рассмотренной в § 7.2 задачи заключается в гра-
граничном значении / (т|) при т) = 0, все проделанные ранее действия
между B.1) и B.13) гл. 7 остаются в силе. Однако преобразован-
преобразованные граничные условия при т) = 0 имеют вид
и не зависят от параметра А лишь при а2 = 0. Но тогда из соот-
соотношения B.4) гл. 7 следует, что ах = 0, и, следовательно, метод
применить нельзя.
Эту трудность можно преодолеть, модифицируя исходный метод
для поиска совокупности решений в некотором интервале значе-
значений параметра С, а не для отдельного значения последнего, как
делалось раньше. Ключом к такой модификации является введе-

8.2. Преобразование физических параметров
165
ние параметра
Соответственно для граничных условий при т) = 0 имеем-
7@) = с, #(О)/Л| = о.
B.3)
B.4)
Из выражения B.1) видно, что безразмерный параметр С прямо
пропорционален скорости отсоса жидкости, причем если С отри-
отрицателен, то имеется в виду поддув в пограничный слой. Иначе
говоря, если С берется равным нулю, то скорость отсоса также
равна нулю. Как видно из того же выражения, скорость отсоса
линейно растет с увеличением
С, причем она обратно пропор-
пропорциональна х. Следовательно,
поиск семейства решений урав-
уравнения B.2) в соответствующем
интервале значений параметра
С позволяет исследовать влия-
влияние на течение указанных воз-
воздействий на пограничный слой.
Согласно соотношениям B.7)
главы 7 и B.3) данной главы,
параметр С равен произведению
значения d2f @)/dy\2 в степени
—1/3 и С. Из уравнения B.2)
и его граничных условий следу-
следует, что заданному значению С
соответствует определенное зна-
значение d2f @)/di\2. Следовательно,
соотношение B.3) устанавливает
связь между параметрами С и
С. Тогда поиску совокупности
решений в некотором интервале
значений параметра С будет со-
соответствовать поиск решений в определенном интервале значений па-
параметра С. Чтобы найти такие решения^ задаем значение С вместо
С и интегрируем уравнение B.6) гл. 7 с начальными условиями
B.10) гл. 7 и B.4) данной _главы, т. е. опять имеем задачу Коши.
Получив значение df (oo)ldx\, по формуле B.13) гл. 7 вычисляем
параметр преобразования А, а затем из соотношения B.3) данной
главы находим С. Варьируя значения С, можно найти решения
для различных С. Численные результаты решения задачи B.2)
при изменении С от —7 до 7 с шагом 1 представлены в табл. 8Л,
Рис. 8.2. Производная от решения
уравнения B.6) из гл. 7 (перепечатано
из работы [2] с разрешения Амери-
Американского общества инженеров-механи-
инженеров-механиков).

166 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
Рассмотрим в качестве примера случай С = 4 Найденная чис-
численно производная d]ldr\ как функция от ц изображена на рис. 8.2,
из которого видно, что она стремится к константе 0.4864 при боль-
больших ц (т]^4.2); тогда по формуле B.13) гл. 7 А =2.9478. Зна-
Значение С, соответствующее этому решению (С = 4), согласно B.3),
равно 5.7353. Поскольку значения параметров ах, а2 и А известны
(а именно —1/3, 1/3 и 2.9478 соответственно), преобразованием,
описанным в гл. 7, можно найти решение исходного уравнения B.2).
Остальные результаты в табл. 8.1 получены аналогичным образом.
Таблица 8.1
Отдельные численные результаты для задачи B.2I)
в
7
—6
—5
—4
—3
—2
0
2
4
6
7
df{oo)/dr\
34.7939
26,4395
19.3835
13.6107
9.0884
5.7530
2.0852
0.8682
0.4864
0.3304
0.2841
А [ = Г@K
0.004872
0.007356
0.011718
0.019915
0.036498
0.072471
0.332068
1.236130
2.917783
5.265859
6.603934
в
—1.18671
—1.16688
—1.135673
—1.084224
—0.995123
—0.833843
0.0
2.146437
5.735332
10.438571
13.133052
J) Перепечатано из работы [2] с разрешения Американ-
Американского общества инженеров-механиков.
- На рис. 8.3 изображена зависимость недостающего начального
значения d*f @)/dr]2 от С. Результатов, приведенных в табл. 8.1,
вполне достаточно для определения решений задачи B.2) в интер-
интервале значений параметра Сот —1 до 10. Следует только отметить,
что задавать значения С нужно так, чтобы в процессе вычисле-
вычислений покрыть требуемый интервал для С.
Физически локальное поверхностное вязкое сопротивление равно
%w (х) = и (ди/ду)у=0 = ц?/_ Wj(vx) f" @).
Таким образом, зависимость d2f@)/dr\2 от С, представленная на
рис. 8.3, необходима для вычисления силы вязкого сопротивления.

8.2. Преобразование физических параметров
167
о
6
dZf(O)
йт\2 4
п
-
i
1
1 1'
-
1 1
-2
4
С
Рис. 8.3. Зависимость начального значения /"@) для задачи B.2) от пара-
параметра С (перепечатано из работы [2] с разрешения Американского общества
инженеров-механиков).
8.2.2. Проектирование химических реакторов
Рассмотрим снова задачу проектирования прямоточного реак-.
тора, но уже для химической реакции л-го порядка. Постановка
этой задачи аналогична постановке задачи, описанной в разд. 2.2.1,
за исключением того, что скорость исчезновения компонента А
равна теперь kC\dx. Требуется найти зависимость этой скорости
от трех безразмерных физических параметров, а именно от осевого
числа Пекле Npe, групповой константы реакции R и порядка
реакции п. Таким образом, необходимо найти совокупность реше-
решений дифференциального уравнения
- d*y/dz*-Npedy/dz—NveRy" = Q B.5)
с граничными условиями
y@)-(\/N9e)dy@)/dz=l, dy(l)/dz = 0. B.6)
Прежде чем преобразовывать эту граничную задачу в задачу
Коши [3], заменим независимую переменную г, положив
z = l -s, B.7),
а затем перепишем уравнение B.5) и граничные условия B.6): -
д? у Ids' + /Vpe dylds - Nfe Ry" = 0,
dy@)/ds=*Q,
B.8);
B.9a, 6).

168 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
Теперь введем линейную группу преобразований вида
s = 4a'F, у = Аач), B.10)
где аг и а2—константы, подлежащие определению, а Л —пара-
—параметр преобразования.
Преобразуя уравнение B.8), получаем
dhjlds2 + NveAa*dy/ds—NveAa^RA^-1> <**+ «ч/« = 0. B.11)
Положим
aj = 0 B.12)
и
Я = #Л(П-1)ОС'; B.13)
тогда уравнение B.11) примет вид
(l/Nve)d*y'/d~s* + d~y/dl—Ry'" = O. B.14)
Преобразуя граничное условие B.9а), получаем
dy@)/d~s = 0. B.15)
Далее приравниваем параметр преобразования А недостающему
начальному значению при s = 0, т. е. полагаем
У(О) = А, B.16)
и после преобразования будем иметь
Аа'у~@)=А,
откуда
а,= 1, у@)=\. B.17а, б)
Наконец, преобразуя граничное условие B.96) во второй точке,
получаем соотношение
из которого находим
A=\j}(l) + [l /Npe) dy( 1 )/d~s]~K B.18)
На этом завершается преобразование граничной задачи в задачу
Коши.
В качестве иллюстрации рассмотрим случай п — 2, iVpe = 1.0
и параметра R, меняющегося в интервале от 0.0 до 10.0. В этом
интервале требуется найти зависимость недостающего начального
значения у@) от R. Результаты могут быть представлены в виде
графика или таблицы. Выбор шага А/? в этом случае не играет
роли, поскольку для описания исследуемой зависимости у@) от R

8.2. Преобразование физических параметров 16$
всегда можно взять нужное число точек. В действительности
шаг &R может быть и переменным. Свобода в выборе &R позваг
ляет обойтись без итераций. Алгоритм нахождения решений со-
состоит из следующих шагов.
1. Задается произвольное значение R, например R = 0.l.
2. Интегрируется уравнение B.14) с начальными условиями
B.15) и B.176) по s от 0 до 1 и находятся значения уA) и
dy(l)/ds, равные
F(l) = 1.0374, dy(l)/ds = 0.06533.
3. По формуле B.18) вычисляется значение
А = A.0374 + 0.06533) = 0.9069,
согласно определению B.16) равное недостающему начальному
значению, т. е. у @) = А — 0.9069.
4. По формуле B.13) определяется значение параметра
# = RA 1~» = @.1) @.9069)-J = 0.11026.
5. Задается другое значение R и повторяются шаги 2—4.
6. Значение R увеличивается на &R = 0.05, и шаги 2—5 повто-
повторяются до тех пор, пока R не достигнет требуемого максималь-
максимального значения, в данном случае 10.
Результаты вычислений представлены в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Некоторые начальные значения для я = 2
N
ре
R
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
2.
0
1
3
5
7
9
1
2
3
4
5
7
8
9
1
0.0
0.1103
0.3976
0.7867
1.2953
1.9442
2.7583
3.2362
3.7667
4.3545
5.0043
6.5123
7.3827
8.3400
10.546
1
0@)
1.0
0.9069
0.7546
0.6356
0.5404
0.4629
0.3988
0.3708
0.3451
0.3215
0.2997
0.2610
0.2438
0.2278
0.1991
0
0
0,
0,
1
2,
3.
3.
4.
5.
6.
9.
10.
.0
.1104
.4030
.8150
.3833
. 1575
2046
8578
6161
4961
5181
0873
696
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0<о>
.0
.9055
.7445
.6135
.5061
.4172
.3433
.3111
0.2816
0.
0.
0.
0.
,2547
2301
1870
1683
0
0
0
0
1
2
4
5
7
10
«
.0
.1107
.4122
.8685
.5722
.6866
.5149
.8650
.6580
.078
5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0@)
.0
.9032
.7279
.5757
.4452
.3350
.2436
.2046
.1698
.1389
0
0.
0,
0,
.0
,1109
.4184
.9113
1.7552
3.
6.
10.
,3390
7334
021
10
1
0
0
0
0
0
0
0
0@)
.0
.9019
.7170
.5487
.3988
.2695
.1634
.1198
Заметим, что каждый столбец заканчивается при

Л70 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
Следует подчеркнуть, что каждая пара величин R и у@)
вычисляется без итераций. Единственное отличие этого метода
от итерационных методов заключается в том, что задается значе-
значение R вместо R. В результате интервалы между найденными сосед-
соседними значениями R различны. Тем не менее это искомая совокуп-
совокупность решений, а не отдельное решение для какого-то значения R.
Зависимость у@) от R можно изобразить графически, используя
значения из табл. 8.2, и при "этом отнюдь необязательно, чтобы
значения R были расположены равномерно. Если же потребуется
равномерное расположение значений R, то можно воспользоваться
простой интерполяцией величин из табл. 8.2.
По найденным значениям параметров
ai = 0, a2=l, Д=у@) (из табл. 8.2)
с помощью формул преобразования B.10) можно получить зави-
зависимость концентрации от расстояния вдоль оси реактора.
8.2.3. Нелинейное уравнение диффузии
В этом разделе мы используем метод преобразования для ре-
решения одной нелинейной граничной задачи из биологии. Рассмот-
Рассмотрим процесс, в котором фермент Е с концентрацией Е„ взаимо-
взаимодействует с субстратом S концентрации С, образуя сложное со-
соединение E-S. Последнее в свою очередь может как диссоцииро-
диссоциировать на исходные компоненты, так и разлагаться с восстановле-
восстановлением Е и выделением продукта Р [4], т. е.
E + S ^±E-S-^E + P.
Локальную скорость потребления субстрата можно связать с ло-
локальной концентрацией последнего уравнением Михаэлиса—Мен-
тен
где
Тогда концентрацию С субстрата можно найти как решение ста-
стационарного одномерного уравнения диффузии
d*C/dr* + [{р + l)/r] dC/dr = K,E0KC/[D A + КС)] B.19)
с граничными условиями
при r = 0 dC/dr = 0,
при r = r0 DdCfdr=H(C0-C{),

8.2. Преобразование физических параметров
где D и // — коэффициенты диффузии и переноса массы. Пара-
Параметр р в зависимости от геометрии равен —1, 0 и 1 для плос-
плоского, цилиндрического и сферического случаев соответственно.
Введем безразмерные переменные
7=/¦//¦„ и С = С/С0 B.20)
для радиуса и концентрации субстрата; тогда получим граничную
задачу, определяемую дифференциальным уравнением
d2C/d72 + [(/'H- l)/7jdC/d7=pC/(l +k*C) B.21)
и граничными условиями
при 7 = 0 dC/dr = 0,
при 7=1 dCldr--=-N{\—C),
где ' •
Р = K2EariK/D, k* = КС0, N = HrJD.
Чтобы свести эту граничную задачу к задаче Коши, исполь-
используем линейную группу преобразований вида
7=Лат», С=Аа>С*. B.22)
Преобразуя с их помощью уравнение B.21), получаем
d*C*/dr*2 + Т,(Р + \)lr*]dC*/dr* = A2a$C*/(l +k*Aa'C*). B.23)
Одновременно полагая
k'= k*A<* B.24)
и
04 = 0, B.25)
приводим уравнение B.23) к следующему- виду:
d?C*idr + | р+\)/7]dCVd~r= рС*/( 1 + fr'C»). B.26)
Граничное условие в точке л=0 принимает вид
при 7=0 dC*/dr=0. B.27)
Недостающее начальное значение в точке л=а0 полагаем, равным
параметру преобразования, т. е. "
при г—0 С —А,
и, преобразуя это условие, получаем
при 7=0 4<*«С* = А
Это выражение не зависит от А при
о,= 1; B.28)

172
Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
тогда
при 7 = 0 С* = 1. B.29)
Параметр преобразования А можно найти из граничного усло-
условия в точке г=\, а именно из уравнения
A{d&/dr)-rml=N(l-AC'\7 0.
откуда
А =
N
(dC*/drO=l+NC*\7=
B.30)
Алгоритм поиска решений задачи для заданной пары величин
Р и N в некотором интервале значений параметра k* состоит из
следующих шагов.
0,0 0.Z ОЛ 0,6 0,8 1.0
Рис. 8.4. Функция С* (г) @=12, *' = 1.0).
Сначала задается некоторое значение параметра k'. Далее
интегрируется уравнение B.26) с начальными условиями B.27),
B.29) от 0 до 1, находятся ОA) и dC*(\)/dr, а затем по фор-
формуле B.30) вычисляется А. Наконец при помощи преобразова-
преобразования B.22) находится решение исходной задачи B.21), а соответ-
соответствующее ему значение параметра к* получается по формуле B.24).
Затем задаются другие значения k' и описанные действия повто-
повторяются до тех пор, пока не будет пройден весь нужный интер-
интервал значений параметра k*.
В качестве иллюстрации найдем профили концентраций для
случая цилиндрической симметрии (/> = 0) при 0 = 12, N = 1 и k*,

8.2.. Преобразование физических параметров
173
меняющемся от 5 до 20 Рассмотрим поиск решения для k' = 1.0.
Графики решения задачи B.26), B.27), B.29) и его производной
изображены на рис. 8.4 и 8.5.
О O.Z 0.4 0.6 0.8 1.Q
г
Рис 8.5. Функция dC*ldr C = 12, k' = 1.0).
ол
0.3
0,2
D.I
i 1
-
- 0.1532
0.4168—.
У"
-
1 ?
о.о о.г о л о.б 0.8 i,a
г*
Рис. 8.6. Решение уравнения B.21) (Р=12, й* = 6.529, N-=\).
По найденным значениям решения С* и его производной в точке
7=1, равным 2.7216 и 3.8078, вычисляем параметр преобразова-

174
Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
ния А, а затем к* по формулам
А =
и
dC*(l)/dr+NC*(l)
k* = k'/A= 6.5274.
= 0.1532
Значение концентрации на внешней стороне цилиндра при
К =2000 л/г-моль равно
Со = к*/~К •= 0.00326 г-моль/л.
Наконец, при помощи формул преобразования B.22) находим
решение исходной задачи B.21). Результаты представлены гра-
графически на рис. 8.6. Как показано на этом рисунке, концентра-
концентрация субстрата увеличивается от значения 0.1532 С„ на оси ци-
цилиндра до 0.4168 Со на внутренней стороне поверхности цилиндра;
затем она скачком достигает значения С„ на внешней поверхно-
поверхности цилиндра
При изменении к' от 1.0 до 10.0 найденные значения k* ме-
меняются от 6.529 до 18.247 соответственно, т. е примерно покры-
покрывают нужный интервал значений параметра к* (от 5 до 20).
Окончательные результаты представлены в табл 8.3. Решения
этой задачи для других значений параметра к* можно найти
в работе [4J.
Таблица 8.3
Некоторые численные результаты (Р=12, /V=l)
к
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
6.529
8.609
10.146
11.477
12.704
13.870
14.997
16.098
17. 179
18.247
0.153-1
0.2323
0.2957
0.3485
0.3936
0.4326
0.4668
0.4970
0.5239
0.5480
СО)
0.4168
0.4797
0.5255
0.5625
0 5935
0.6200
0.6432
0.6636
0.6817
0.6979
8.2.4. Прогиб круговой мембраны
Исследуем большие прогибы тонкой однородной изотропной
упругой круговой мембраны под действием равномерно распреде-
распределенной нормальной нагрузки, как показано на рис. 8.7.

8.2. Преобразование физических параметров
175
Основные дифференциальные уравнения для безразмерных вели-
величин радиального напряжения Sr и вертикального перемещения W
можно записать [5] в виде
Уравнение B.31) получается из условия равновесия для моментов,
а уравнение B.32)—из условия совместности деформаций. Безраз-
Рис. 8,7. Схематическое изображение мембраны.
мерный радиус р и параметр нагрузки Я, определены следующим
образом:
где b, E, t, a up—радиус мембраны, модуль упругости, толщина
мембраны, радиус сферы и равномерно распределенное нормальное
давление соответственно. Безразмерные напряжения Sr и Se, ра-
радиальное U и вертикальное W перемещения связаны g соответ-
соответствующими размерными величинами соотношениями
r r B(p)
U = (kiaVb3) и, W = (ka/b*) w.
Мы не будем останавливаться на выводе уравнений B.31) и B.32),
а отметим только, что меридиональное уравнение равновесия
имеет вид
S9=*0, B.33)

176 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
а напряжения связаны с деформациями зависимостями
B.34)
B.35)
где v—коэффициент Пуассона. В правых частях этих уравнений
стоят деформации удлинения в радиальном направлении и в направ-
направлении, перпендикулярном радиусу.
Граничные условия выбираются следующим образом. В полюсе
(р = 0) из соображений симметрии следует, что dW/dp — Q, а из
физических соображений —что Sr конечно. Условие защемленности
края мембраны дает
при р=1 U = W = 0.
Интегрированием уравнения B.31) найдем функцию d[W —
— %p2/2]/dp, подставим ее в B.32) и после несложных преобразо-
преобразований получим уравнение
dsF/dl2+lVC2Fs)=:X2/8, B.36)
где
| = р2, F^lSr. B.37 а, б)
Соответствующие граничные условия имеют вид
при | = 0 F = 0,
при |=1 B38)
Первое из них вытекает из физических соображений (в полюсе
напряжение Sr конечно), а второе получается из уравнения равно-
равновесия B.33) с учетом зависимости B.35) на защемленном краю
мембраны.
Найдя решение F граничной задачи B.36), B.38), по формуле
B.376) можно вычислить напряжение Sr. Подставляя его затем
в уравнение B.31) и дважды интегрируя результат по р, определим
прогиб мембраны
1
J B.39)
Решение задачи B.36), B.38) было получено Гольдбергом [5]
итерационным методом. Сейчас мы рассмотрим неитерационный
метод решения этой задачи [6].
Введем линейную группу преобразований
| = Л«>|, F=?Aa'F. B.40)
Уравнение B.36) не будет зависеть от параметра преобразования А
т. е. сведется к уравнению
Ff B.41)

8.2. Преобразование физических параметров Г77
если одновременно положить
at—2nl = 2a1—2at B.42)
и
Я» = А,Маа«-<Ч B.43)
Преобразуя граничное условие в точке \ =О, получаем
F@) = 0. B.44)
Полагая недостающее начальное значение производной равным
параметру преобразования,
A, B.45)
преобразуя его и требуя независимости от А, находим, что
а2—ах=1 B.46)
и
dF@)/df=l. B.47)
Из системы уравнений B.42) и B.46) находим параметры а, и а2:
а^З, а2 = 4. B.48)
Наконец, преобразуя граничное условие во второй точке, полу-
получаем, что там
2ldF/fif=(l+v)r и А=A/1У'а. B.49)
В качестве иллюстрации используем описанный в этой главе
метод для решения граничной задачи B.36), B.38) при изменении
параметра нагрузки i от 0 до 1.5. Алгоритм поиска решений со-
состоит из следующих шагов.
Сначала задается некоторое значение параметра %*. Далее инте-
интегрируется уравнение B.41) с начальными условиями B.44) и B.47)
до тех пор, пока не будет выполнено первое из соотношений B.49);
тогда из второго соотношения B.49) находится параметр преобра-
преобразования А. Затем при помощи преобразования B.40) получается
решение F исходной задачи B.36), B.38) и по формуле
B.50)
вычисляется соответствующий ему параметр нагрузки %. Варьируя
значения А.*, можно найти решения задачи в нужном интервале
значений параметра X.
Отдельные результаты, представленные в табл. 8.4, хорошо
согласуются с решениями, приведенными в работе Гольдберга.
В третьем и шестом столбцах табл. 8.4 приведены значения Sr(l).
Напомним, что в силу B.376) S, A) = FA).

178
Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
Таблица 8.4
Некоторые численные результаты для задачи B.36), B.38)
0.01
0.05
0.10
0.13
0.233
0.545
0.825
0,991
Sr(D
0.3233
0.3149
0.3063
0.2932
к*
0.16
0.19
0.20
0.22
к
0.171
1.388
1.474
1.694
0.2755
0.2626
0.2579
0.2418
8.3. Приложение к системам дифференциальных уравнений
Описанный в предыдущих разделах метод можно применить
для решения систем дифференциальных уравнений, когда тре-
требуется найти два недостающих граничных значения. В качестве
примера рассмотрим пограничный слой при обтекании вязкой не-
несжимаемой проводящей жидкостью плоской полубесконечной плас-
пластины в магнитном поле. Этой задачей первоначально занимались
Гринспен и Каррьер [7] и Глауэрт [8]; Кламкин [9] и Эймс [10]
ссылаются на нее как на пример неприменимости метода Тёпфера.
Следуя работе Глауэрта [8], выпишем систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений для стационарного магнитогидродинамического
течения несжимаемой жидкости, а именно
уравнение движения:
(q-V)q = —
уравнения Максвелла:
J/a=E
= rotK,
= O, rotE = 0.
C.1)
C.2)
C.3)
C.4)
Здесь p, q, J, H, E—давление, скорость, плотность тока,
напряженности магнитного и электрического полей соответственно.
Граничные условия имеют вид
при г/ = 0 q = 0, Hy = 0,
при у = оо р~р0, q==U0\, H=//Oi.
Напряженность -электрического поля можно положить всюду
равной нулю; тогда, исключая J из C.1) и C.2) с помощью урав-
уравнения C.3), получаем следующие уравнения:
H-V)H, C.5)
C.6)
qx Н =
rot H.

8.3. Приложение к системам дифференциальных уравнений 179
Из системы уравнений C.4) видно, что скорость ц и напряжен-
напряженность магнитного поля Н можно представить в виде
q = rot -ф (ж. у) k, H = rotA(x, ц)к, C.7)
где к—единичный вектор в направлении оси г. Подставляя эти
выражения в уравнения C.5), C.6) и вводя затем обычные допу-
допущения теории пограничного слоя, получаем следующую систему:
дт|з с>а-ф Л|зЛ^_ _#? ц / дА д'гА дА_д*А\
W'dTdy~~dx~lW~VlhF + Р\ ду дхди дх~ду*)'
&$_ 0А_ дЦ_ 6А_ _ J_ дМ .„ q.
ду дх дх ду ац ду2 ' '
Преобразованием подобия
$={и^х)"> I (ц), A=H0(vx/Uvy'*g(T)),
i\=*(l/2)(Uj{vx)y" у
система уравнений в частных производных C.8) и C.9) сводится
к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
dV/dti' + / d*f/dy)*—Cg tfgidrf = 0, C.10)
cPgldr? + 8 if dgidr\—g df/dy]) = 0 C.11)
с граничными условиями
) = O, df (oo)/dr\ = 2, g@) = 0, dg(oo)/di\ = 2.
Чтобы перейти от этой граничной задачи к задаче Коши [11],
используем линейную группу преобразований вида
П = Л^, f = e/, g^-Cg, C.12)
где А, В и С—параметры, подлежащие определению. Преобразуя
уравнения C.10) н C.11), получаем
d3f/d 1? + Л Bj d*fldr\* — |i (A C*/B)g d2~g/drf = 0, C.13)
d*i/diff" + -/1В {fdg/d^—gdT/drd = 0. C.14)
Как и раньше, потребуем, чтобы дифференциальные уравнения
не зависели от Л, S и С. Однако для определения параметров А,
В и С требуется ровно три уравнения, причем два из них должны
быть получены из граничных условий на бесконечности. Следова-
Следовательно, из уравнений C.13) и C.14) нужно найти только одно
уравнение для параметров. Поскольку мы будем искать решения
задачи для ряда значений параметра р, уравнения C.13) и C.14)
можно сделать инвариантными относительно А, В и С, если поло-
положить одновременно
АВ = \ C.15)

180 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
и
р = Р(ЛС2/В) = рЛ2С2. C.16)
Тогда система уравнений C.13) и C.14) принимает вид
f Ti i = 0, C.17)
O. C.18)
Следует подчеркнуть, что хотя параметр р является функцией
от Л и С, мы будем задавать |3 и решать для него задачу Коши.
Соответствующее такому решению значение параметра р нахо-
находится из равенства C.16). Все это становится возможным, по-
поскольку ищется совокупность решений системы уравнений _C.10)
и C.11) для ряда значений параметров р и г. Остается только
подходящим образом определить недостающие начальные значения
производных d?f @)/dr\2 и dg@)/dr\, т.е. задать их так, чтобы
после преобразования они не зависели от А, В и С, Этого можно
добиться, если взять их в виде
d2f@)/d4*=B/A*, dg{0)/dr\ = C/A; C.19)
тогда
df@)/dV=l, dg@)/d4=l. C.20)
Эти два условия вместе с тремя другими, а именно с условиями
ff^ г 0 C.21)
позволяют решить систему уравнений C.17) и C.18) как задачу
Коши.
Наконец, два оставшихся уравнения, необходимых для опре-
определения параметров А, В и С, можно получить из граничных
условий при т) = оо, которые после преобразования примут вид
(B/A)dT(oo)/dr\ = 2 и (C/A)dg (
или
Из этих уравнений и соотношения C.15) находим выражения для
параметров А, В и С:
/I — Я = [ A /2) df (оо )/?fiil v«, C.22)
C=*[2dJ(oo)/(h\]l/y [dg(oo)/*)]-». C.23)
В качестве иллюстрации рассмотрим случай [11], когда е = 0.5,
а р меняется от 0.2 до 0.8. Алгоритм нахождения решений состоит
из следующих шагов.
1. Задается некоторое значение параметра р (вместо Р), напри-
например р~=0.20.

8.3. Приложение к системам дифференциальных уравнений
181
2. Интегрируется система дифференциальных уравнений C.17),
C.18) с начальными условиями C.20)^ C.21). На рис. 8.8 изобра-
изображены зависимости производных df/dr\ и dg/dr\ от г\; видно, что
при больших т) производные приближаются к константам. Эти кон-
константы берутся в качестве /'(оо) и g' (oo):
Д(ооIйх\= 1.84798, dg(oo)/dr\ = 2.04067.
3. По формулам C.22) и C.23) вычисляются параметры преобра-
преобразования А, В и С, а затем из C.16) находится соответствующий
IK- 3.0
Рис. 8.8. Производная от решения «дачи C.17), C.18), C.20), C.21) (е = 0.50,
Р=0.20).
l1aa 0-2439.
|
решению параметр р1:
4. По формулам C.19) вычисляются недостающие начальные
значения производных
d*f (O)/dif = В/А*= 1.1259, dg @)/dr\ = C/A = 0.9801.
5. Задаются другие значения J3 и шаги 2—4 повторяются до
тех пор, пока не будет пройден весь нужный интервал значений
параметра р" (в данном случае интересуют значения ft от 0.2 до 0.8).
Некоторые численные результаты приведены в табл. 8.5.

182 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
1
о о о о
t
.2
.4
.6
.8
) Нижние
Численные
7п(»,
1.84798
2.12768
2.56630
3.33271
индексы озиа1
результаты
Л1«,
2.04067
2.27483
2.64417
3.28990
для
0
0
0
0
задачи
>
.24388
. 45724
.63697
.77958
¦ ают дифференцирование по
C.10), C.11)'
V0)
1.12590
0.91135
0.68799
0.4648S
соответствующи м
Таблица 8.Е
)
V01
0.98007
0.87919
0.75638
0.60792
переменным.
Представляющие физический интерес компоненты скорости и
напряженности магнитного ноля могут быть записаны как
и = A/2) Ut df/dr], о = - A/2) (Uav/xyi* (/ - цdf/dr)), C.24)
Hx=(l/'2)Hadg/d4, //„=»-( 1/2) Н, Vv/(Uax) (g- ndgldr\). C.25)
Аналогично можно выразить полную величину электрического
тока в пограничном слое, а именно
\dy, C.26)
о
где
J = _ д*Мду**=- (Hj4)[U0/(xx)y>> d*g/drf.
Получив решения системы уравнений C.10) и C.11), по этим
формулам можно вычислить физические величины и, v, Hx, Ну
и •'полн1
8.4. Приложение к задаче на собственные значения
В этом параграфе метод преобразования граничной задачи к за-
задаче Коши будет применен для решения задачи на собственные
значения, получающейся при исследовании конечного продольного
изгиба нелинейной упругой стойки [12], один конец которой за-
закреплен, а цругой нагружен в осевом направлении, как показано
на рис. 8.9.
Будем предполагать, что поперечные сечения стойки при дефор-
деформации остаются плоскими; тогда локальный изгибающий момент
в типичном сечении можно записать в виде
М = — Рь, D.1)

8.4. Приложение к вадаче на собственные значения
183
где Р—осевая нагрузка, a v—поперечное отклонение стойки.
С другой стороны, момент связан с кривизной стойки соотноше-
соотношением
M = (D0—О1)ф0^(ф/ф0) + О,Ф. D.2)
Здесь Do и Dt—характеристические коэф-
коэффициенты жесткости на изгиб, ф0—предел
линейной упругости материала, а
y = dQ/ds D.3)
— кривизна стойки; в D.3) 0—угол пово-
поворота сечения, a s—длина дуги вдоль изог-
изогнутой оси.
Приравнивая правые части зависимос-
зависимостей D.1) и D.2), дифференцируя резуль-
результат по s и учитывая, что
sin0 = dv/ds, D.4)
после несложных преобразований полу-
получаем дифференциальное уравнение
ft —Pstae/pjl- (РЧР+ЛО'П-*.
ds \ °[ (Ов-01)ОоФоЧ/
D.5)
Введем безразмерные величины
и = v/L, z = s/L, e =,
= !/[(!—в) Р1],
Рис. 8.9. Схематическое
изображение упругой
стойки (перепечатано из
работы |12] с разрешения
Американского общества
инженеров-механиков).
D.6)
Тогда уравнения D.3) — D.5) примут вид
du/dz = smQ, D.7)
dQ/dz = ф, D.8)
dtydz = — (л2/4) I sin 0 {1 — (я2Хн/4 + ?.1|з)*/[р* A — е)]}. D.9)
В соответствии с рис. 8.9 возьмем граничные условия в виде
0 0 = 0, 6@) = а, 0A) = О. D.10)
где Ркр—критическая нагрузка Эйлера:
Требуется найти совокупность решений этой граничной задачи
для ряда значений параметров е, а и р. В процессе решения
должны быть определены значения параметра X, удовлетворяющие
уравнениям и граничным условиям. В численном методе, предло-
предложенном первоначально Оденом и Чайлдсом [13], требовались ите-
итерации в каждой точке.

184 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
На рис. 8.9 видно, что угол а характеризует наклон конца
стойки. Рассматриваемая задача состоит в том, чтобы для задан-
заданного наклона конца стойки определить вызывающую его нагрузку,
а именно параметр нагрузки X.
Введем линейную группу преобразований
где af, аа, а3 и а4 — константы, подлежащие определению, а Л —
параметр преобразования.
-Преобразуя систему уравнений D.7)—D.9), получаем
Aa'-a>du/d7= sin (Ла*0), D.11)
j = Ла«ф, D.12)
D.13)
Следуя общему подходу, полагаем
0, D.14)
D.15)
= р. D.16)
Тогда система D.11)—D.13) запишется в виде
u7~ D.17)
D.18)
"= — (я2/4) sin 0{1 —[1/A —е)][(л*/4) ы + ефрР}, D.19)
а граничные условия будут
при z = 0 ы = 0, tp = O, 0 = a, D.20)
при 7=Л-^ 0 = 0, D.21)
где без потери общности преобразованный параметр % взят рав-
равным единице и для удобства введено обозначение
Э= 1/р2. D.22)
В качестве примера найдем решения задачи для пары значе-
значений параметров е = 0.25 и a — 60° [12]. Алгоритм поиска реше-
решений состоит из следующих шагов.

8.4. Приложение к задаче на собственные значения
185
Сначала задается некоторое значение р, например 50. Далее
интегрируется система дифференциальных уравнений D.17)—D.19)
с начальными условиями D.20). Зависимость найденного решения
0 от г изображена на рис. 8.10; видно, что 6 (z) пересекает ось
1 в точке z = 0.5858. Этой точке соответствует граничное усло-
условие D.21) и, следовательно, Аа'— 1/0.5858. Наконец, по форму-
формулам D.22) и D.15) находятся значения параметров р а X:
р =
A/VP) A/Ла0 = 0.5858/V50 = 0.08,
и вычисления для заданного значения р завершаются.
1.00
0.75
0.50-
0.25 -
1
-
1
1
1
1
X
1
i
\
1
1
\
1 \
0.1
0.2
0.3
и
0.4 0.5
0.6
Рис. 8.10. Функция 8B) (перепечатано из работы [12] с разрешения Амери-
Американского общества инженеров-механиков).
Затем значение Р увеличивается на Ap* = 25, повторяются опи-
описанные выше действия и находится следующее решение:
Р = 75, р = 0.07, Х = 0.33.
При заданном таким образом наборе значений р получается со-
совокупность решений задачи для пары значений параметров е = 0.25
и. а = 60°. Для иллюстрации в табл. 8.6 представлены пять таких
решений (см. нижнюю часть левой половины таблицы).

186
Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
Таблица 8.6
Численные результаты для некоторых значений
е а р
0.25 20° 0.5334
0.3136
0.2322
0.1893
0.1624
0.25 60° 0.3087
0.2172
0.1505
0.0800
0.0700
Л
0.8534
0.6884
0.5932
0.5373
0.5009
0.4764
0.4247
0.3852
0.3400
0.3300
е а
0.75 20"
0.75 60°
е н а')
р
0.5684
0.3192
0.2626
0.2278
0.2037
0.5724
0.3223
0.2665
0.2321
0.2082
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
9691
9168
8967
8824
8716
9829
9348
9232
9159
9107
1) Перепечатано из работы [12] с разрешения Американского общества
инженеров-механиков.
8.5. Заключительные замечания
Рассмотренные в предыдущих параграфах примеры демонст-
демонстрируют различные приложения метода получения совокупности
решений граничной задачи в нужном интервале значений како-
какого-либо физического параметра. Со строго математической точки
зрения метод в действительности не является неитерационным,
когда ищегся решение задачи только для одного конкретного
значения параметра. Однако не следует забывать, что на прак-
практике наличие решения для одного значения параметра в общем-
то бесполезно. В самом деле, любого инженера всегда интересует
поведение физических величин (т. е. совокупность решений), ха-
характеризующих некоторый процесс, в каком-то интервале значе-
значений физического параметра, которое можно изобразить графичес-
графически или представить в виде таблиц в зависимости от целей исполь-
использования. При таком подходе неважно, какие значения параметра
берутся для построения графика или таблицы, если они доста-
достаточно равномерно покрывают нужный интервал.
Одним из достоинств этого метода является то, что его можно
применять для решения граничных задач с неоднородными гра-
граничными условиями. Другой подход к таким задачам, предложен-
предложенный Кламкином [14], уже обсуждался в разд. 7.2.1. Отметим,
однако, существенное ограничение метода Кламкина, а именно

8.5. Заключительные замечания 187
то, что дифференциальное уравнение должно быть инвариантно
относительно параметра и констант используемого преобразова-
преобразования. К сожалению, на практике очень мало граничных задач,
удовлетворяющих этому требованию..
Ниже мы кратко опишем другое полезное применение метода,
связанное с получением общих решений граничной задачи, содер-
содержащей физический параметр только в граничном условии во вто-
второй точке. Рассмотрим задачу о больших прогибах кольцевой
мембраны под действием давления, которую можно свести к поиску
решений граничной задачи [6], определяемой дифференциальным
уравнением
/2d2//dil2 = -Ti2/32 E.1)
и граничными условиями
при г) = 0 / = 0, E.2)
прит]=1— Хг 2df/dr) — (]+v)f = O. E.3)
Следует подчеркнуть, что физический параметр X содержится
только в граничном условии во второй точке, а именно в усло-
условии E.3). Требуется найти совокупность решений этой задачи
для некоторого набора значений к.
Линейным преобразованием
г) = /?а>т), f = Aai E.4)
приводим уравнение E.1) к виду
А*а'-<а*ТчгТШцг = — Л2а'гГ2/32. E.5)
Это уравнение будет инвариантно относительно преобразования,
когда степени А равны, т. е. когда
За„—2а, = 2а,. E.6)
Заметим, что возможность наложения связи такого типа на аг
и а, снимает одно из условий применимости метода Кламкина
[14], а именно условие одинакового вида степеней А в обеих
частях уравнения E.5) (т. е. либо За2 — 2а,, либо 2а, в обеих
частях уравнения). Таким образом, преобразованное дифферен-
дифференциальное уравнение имеет вид
=-П2/32. E.7)
Преобразуя первое граничное условие, получаем
1 @) = 0. E.8)
Полагая недостающее начальное значение производной равным
параметру преобразования, т. е

188 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
и преобразуя его, имеем
а'-а' = А. E.9)
Отсюда видно, что оно не зависит от А, когда
а2—«1 = 1- E.10)
а именно
#@)/*[=1. E.11)
Решая систему уравнений E.6) и E.10), находим константы пре-
преобразования
а, =3 и а2 = 4.
Наконец, чтобы иметь возможность определить параметр А, пре-
преобразуем граничное условие во второй точке и получим
при ппр = A -ЩА* 2 (d7/AJ)np-(I + v) Afpp = 0. E.12)
Исключая отсюда А, будем иметь
X2 = 1 - 2ппр дап)„р/[A + v) /J. E.13)
Чтобы найти общее решение задачи для всех значений парамет-
параметра X, интегрируем уравнение E.7) с начальными условиями E.8)
и E.11), вычисляя при этом X по формуле E.13) в каждой теку-
текущей точке г). Соответствующее значение параметра преобразова-
преобразования А (недостающее начальное значение производной) можно
найти, разрешив относительно него одно из соотношений E.12).
При малых г) правая часть E.13) отрицательна и, следователь-
следовательно, вещественные значения X отсутствуют. С ростом г) правая
часть E.13) увеличивается и ^при г) = 12.4632 обращается в нуль.
При дальнейшем увеличении ц будут получаться нужные поло-
положительные значения X. Таким образом можно построить полную
таблицу значений X. Читателей, интересующихся деталями вы-
вычислений, мы отсылаем к работе [6].
В следующей главе мы модифицируем описанный здесь метод
для решения граничных задач с несколькими параметрами.
Задачи
1. Увеличение поверхности тела для выделения тепла в виде излучения
имеет большое значение при проектировании сильноточных проводников, так
как оно является единственным способом отвода излишнего тепля. Чтобы мас-
масса теплоизлучателя была по возможности наименьшей, его делают в виде на-
набора тонких кольцевых пластин с малым углом между боковыми гранями.
Келлер и Холлридж в работе J15J показали, что распределение температуры

Задачи 189
в такой пластине является решением уравнения
d/?2+[/? + p (I— /?)tga+0jd# A— /?)tga+e~
с граничными условиями
(У @) = 1.0, (dU/dR)R=1 = 0,
где
/? = г-. ^=4:. 6=r-Lr-. Р=г-Ц-.
где а—угол между гранями пластины. Здесь г, гв, гт и zT—текущий ради-
радиус, радиус основания, радиус вершины и толщина пластины в вершине соот-
соответственно, а Г и Гв—текущая температур' и температура основания.
Свести эту задачу к задаче Коши и найти решения последней при р = 0.5,
а=6.0°, 6 = 0.05 для Р из интервала @.1, 1.0).
Указание: сначала сделать замену независимой переменной s=l — R. При
использовании метода преобразования будет ясно, что ах = 0, а2=1 и {5={5Л3,
а значение А определяется по формуле A = [U A)}~1.
Ответ: U A) = 0.75643 при 0 = 0.10014 и V A)=0.49507 при 0=1.
2. Задача, описывающая плавление твердого тела в результате резкого
увеличения температуры поверхности, представляет существенную трудность
из-за движения границ и переменности коэффициента теплопроводности. При
исследовании этого процесса Цой и Сандерленд [16] получили нелинейную гра-
граничную задачу, определяемую дифференциальным уравнением
d [A + Рб) <Ю/Л)]/Л) + 2т]Л)/Л1 = 0
и граничными условиями
е(О)=о, е(оо)=ь
Решить эту задачу, сведя ее к задаче Коши, для E= 1.441 и 4.0 [17].
Указание: ах = 0, "р = Aa*fi.
Ответ: d0 @)/Л]= 1.388 при 0= 1.441 и dQ @)/dr\= 1.751 при 0 = 4.0.
3. При исследовании изгиба консольной балки Бишоп и Друккер [18] по-
получили нелинейную граничную задачу, определяемую дифференциальным урав-
уравнением
и граничными условиями
6@) =0,
где G — угол поворота сечения относительно оси балки. Свести эту задачу к
задаче Коши и найти решения для {5 = 0.01 и 0.5.
Указание: а2 = 0 и"р=_рЛ2а'-
Ответ: dQ (O)/ds = \/~$.
4. Течение газа через пористую среду является важным разделом гидро-
гидромеханики. При исследовании нестационарного течения газа через пористую
среду в работе [I] была сформулирована граничная'задача, определяемая диф-
дифференциальным уравнением
2 + Bг/ Vl—aw) dw/dz = 0
и граничными условиями
ш@)=1, w(oo) = 0.
Свести эту задачу к задаче Коши и найти решения для значений а из отрез-
отрезка [0.05, 0.5].

190 Гл. 8. Метод преобразования: изменение параметров
Указание: сначала сделать замену переменных
х\=г1\г\ — а, /(т]) = ш—1,
а затем, применяя метод преобразования, показать, что
а,=0, Р = [а/A— а)] Аа:
Ответ: некоторые численные результаты приведены в следующей таблице:
a 1H(»/dr\
0.04272 —1.12055
0.15406 —1.09820
0.27194 —1.07092
0.36450 —1.04609
0.49940 —I.0024I
5. Снова рассмотрим задачу 4 из гл. 3 (течение ньютоновской жидкости
между двумя коаксиальными цилиндрами), для которой
( 6A)= I.
Свести ее к задаче Коши и сравнить полученные результаты сточным решением
In Ц In*
для ? = 0.9 и значений N из отрезка [0.1, 1.0].
6. Методом, описанным в§ 8.4, найти собственные значения задачи, опреде-
определяемой гармоническим уравнением
й2и/йх* + Хи = 0
и граничными условиями
u@) = 0, иA) = 0.
Полученные результаты сравнить с точными решениями
и (х) = sin nnx,
где л=1, 2, 3, ... н Я = п2я2 [19].
Литература
[1] Шлихтинг (Schlichting H.)- Boundary layer theory—New York: McGraw-
Hill, 1968, Ch. 14. [Имеется перевод; см. с. 67.J
[2| На (Na T. Y.). An initial value method for the solution of a class of non-
nonlinear equations in fluid mechanics.—J. Basic Eng., Trans. ASME, 1970,
v. 92, p. 503—509. [Имеется перевод; см. с. 87.]
[3] Линь, Фань (Lin S., Fan L. Т.). Examples of the use of the initial value
method to solve nonlinear boundary value problems. — AIChE J., 1972, v.
18, p. 654—656.
[4' Ha, Ha (Na H. S., Na T. Y.). An initial value method for the solution of
certain nonlinear diffusion equations in biology. —J. Math. Biosci., 1970,
v. 6. p. 25-35.
[5 Гольдберг (Goldberg M. A.). An iterative solution for rotationally sym-
symmetric nonlinear membrane problems.— Int. J. Nonlinear Mech., 1966, v. 1,
p. 169-178.

Литература 191
[6] На, Кураджан, Чью (Na Т. Y., Kurajian G. M., Chiou J. P.). General
solution of the problem of large deflection of an annular membrane under
pressure.— Aeronaut. Q., London, August 1976, v. 27 p. 195—200.
[7] Гринспен, Каррьер (Greenspan H. P., Carrier G. F.). The magnetohydro-
dynamic flow past a flat plate. —J. Fluid Mech., 1959, v. 6, p. 77—96.
[8] Глауэрт (Glauert M В.). A study of the magnetohydrodynamic boundary
layer on a flat plate.—J. Fluid Mech., 1951, v. 10, p. 276—288.
[9] Кламкин (Klamkin M. S.). On the transformation of a class of boundary
value problems into initial value problems for ordinary differential equa-
tins.—S1AM Rev., 1962, v. 4, p. 43—47.
[10] Эймс (Ames W. F.). Nonlinear ordinary differential equations in transport
processes. — New York: Academic Press, 1968.
[11] Ha (Na T. Y.). An initial value method for the solution of MHD boun-
boundary layer equations.—Aeronaut Q., 1970, v. 21, p. 91—99.
[12] Кураджан, Ha (Kurajian G. M., Na T YX An initial value method for
the solution of an eigenvalue problem in solid mechanics.—J. Appl. Mech.,
1972, v. 39, p. 854—855. [Имеется перевод: Труды Амер.. об-ва инжене-
инженеров-механиков, сер. Е, Прикладная механика, 1972, № 3, с. 217.]
[13] Оден, Чайлдс (Oden J. Т., Childs S. В.). Finite deflection of a nonlinear
elastic bar. —J. Appl. Mech., 1970, v. 37. p. 48—52. [Имеется перевод:
Труды Амер. об-ва инженеров-механиков се^, Е, Прикладная механика,
1970, № I, с. 52].
[14] Кламкин (Klamkin M. S.). Transformation of boundary value problems
into initial value problems. —J. Math. Anal. Appl., 1970, v. 32, p. 308—330.
[15] Келлер, Холдридж (Keller H. H., Holdrege E. S.).—J. Heat Transfer,
Trans. ASME. 1970, v. 92, p. 113—116. [Имеется перевод; см. с. 87.]
[16] Цой, Сандерленд (Cho S. H., Sunderland J. E.). — J. Heat Transfer, Trans.
ASME, 1974, v. 96, p. 214—217. [Имеется перевод; см. с. 87.]
[17] Чжоу, На (Chiou J. P., Na T. Y.).—J. Ind. Math., 1978, v. 28, No. 2.
[18 Бишоп, Друккер (Bishop К. F., Drucker D. C.).—Q. Appl. Math., 1945,
v. 3, p.-272—275.
[19] Бедфорд (Bedford G, G.).— S1AM J. Numer. Anal., 1969, v. 6, p, 99—103,

Глава 9
МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ:
ИНВАРИАНТНЫЕ КОМБИНАЦИИ
ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
9.1. Введение
Описанный в гл. 7 метод преобразования был усовершенство-
усовершенствован в гл. 8 для поиска совокупности решений нелинейных гра-
граничных задач, содержащих физический параметр в дифферен-
дифференциальном уравнении или в граничных условиях, в некотором
интервале значений этого параметра (вместо поиска отдельного
решения для конкретного значения параметра). Это позволило
успешно решить целый ряд нелинейных граничных задач, среди
которых задача Блазйуса о пограничном слое с учетом отсоса
или скольжения [1], нестационарное течение газа через пористую
среду [1], пограничный слой в магнитной гидродинамике [2],
нелинейная задача диффузии [3], проектирование прямоточных
химических реакторов [4J, течение с образованием ударных волн
[5] и ламинарный пограничный слой в псевдопластических жид-
жидкостях [4, 6].
Важность предложенного усовершенствования метода связана
с тем, что в большинстве физических задач, содержащих пара-
параметры, представляет интерес именно совокупность решений для
всего диапазона значений параметров, а не отдельное решение
для конкретного набора значений параметров.
Несмотря на достоинства описанного в гл. 8 метода, он тре-
требует дальнейшего усовершенствования, поскольку годится лишь
для задач, содержащих только один параметр. Так, например,
его нельзя применять для решения задачи Блазйуса, в которой
одновременно учитываются отсос жидкости и скольжение. В ка-
качестве других примеров можно указать задачи, рассматриваемые
в этой главе.
Дальнейшие усовершенствования метода, которые мы будем
рассматривать в этой главе, можно осуществить различными спо-
способами. Сначала мы разберем ряд задач, содержащих несколько
физических параметров, и решим их, используя инвариантные
относительно преобразования комбинации параметров (такой прием
мы еще не применяли). Далее мы покажем, как можно ослабить
требование независимости дифференциальных уравнений от пара-
параметров преобразования, которым мы пользовались до сих пор.
В результате таких усовершенствований метода можно будет
решать без итераций более широкий класс задач.

9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами 193
В качестве иллюстрации возможностей метода мы рассмотрим
решение четырех нелинейных граничных задач: задачу Блазиуса
из теории пограничного слоя с учетом переноса массы и сколь-
скольжения [7], возникновение и распространение поверхностного горе-
горения [8], обтекание заостренного параболического тела вращения
|9] и большие прогибы тонкой упругой распорки [10—12].
9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами
9.2.1. Задача Блазиуса с учетом переноса массы
и скольжения
В § 8.2 был кратко описан один из способов предотвращения
отрыва пограничного слоя, заключающийся в отсосе жидкости
из слоя через поверхность тела. В литературе\по гидромеханике
известен еще один способ подавления отрыва пограничного слоя —
посредством регулирования скольжения жидкости, когда относи-
относительно тела перемещается соединенная с ним дополнительная по-
поверхность, так что разность между скоростями твердой поверх-
поверхности и основного потока жидкости уменьшается. Хотя из-за
технических трудностей, связанных с перемещением таких поверх-
поверхностей, эта идея имеет пока малую практическую ценность, суще-
существует экспериментальное подтверждение [13] эффективности
скольжения для устранения отрыва пограничного слоя.
С математической точки зрения единственное отличие этой
задачи от задачи, рассмотренной в разд. 8.2.1, заключается в
том, что теперь граничное значение /' @) уже не равно нулю.
Таким образом, необходимо решить граничную задачу, опреде-
определяемую дифференциальным уравнением
^0 B.1)
и граничными условиями
где параметр В равен отношению скорости скольжения к ско-
скорости основного потока жидкости. Остальные величины те же,
что и в разд. 8.2.1.
Чтобы свести эту граничную задачу к задаче Коши, введем,
как это делалось раньше, однопараметрическое линейное преоб-
преобразование
т) = Ла'Т1, f=:Aa'~f. B.2)
В точности повторяя описанные ранее действия, получаем диф-
дифференциальное уравнение
ds~f/d43 +(l/2)~f d'f/drf^O B.3)
7 № 2018

194 Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
с начальными условиями
=l, B.4)
где
С^СА-1'3, В = ВА-2'3- B.5)
'2. B.6)
Предложенный в гл. 8 алгоритм поиска решений состоит из
следующих шагов. Сначала задаются некоторые значения пара-
параметров В и С вместо В и С, а затем интегрируется уравнение
B.3) с начальными условиями B.4). При этом находится значение
производной dfldx\ на бесконечности, подстановка которого в фор-
формулу B.6) дает А. При известном А по формулам B.5) вычис-
вычисляются соответствующие этому решению значения параметров В
и С. Варьируя значения В и С, можно найти решения граничной
задачи B.1) для различных значений параметров В и С.
Этот неитерационный метод чрезвычайно полезен при поиске
совокупности решений граничных задач в заданном диапазоне
значений некоторых физических параметров. Так, при поиске
решений задачи B.1) может представлять интерес изменение вели-
величины d2f @)/dTJ, которой пропорционально поверхностное трение,
в заданных диапазонах значений параметров переноса массы через
поверхность С и скорости скольжения В. Полученные результаты
могут быть представлены или в виде набора кривых зависимости
d2f @)/dr\2 от С для нескольких значений В, или в виде таблиц.
Без этого метода в каждой точке кривой пришлось бы делать
итерации.
Однако описанный выше алгоритм удобен для граничных за-
задач, содержащих только один параметр. В граничных задачах
с несколькими физическими параметрами, например в задаче B.1)
при ВФ0 и СФО, возникает дополнительная трудность при
обработке результатов вычислений, в частности, при построении
упомянутых выше кривых. А именно, эта трудность заключается
в том, что В и С являются в действительности функциями от В
и С и поэтому линии уровня В не совпадают с линиями уровня В.
Иначе говоря, когда мы решаем преобразованную задачу Коши,
то задаем значения В и С, а не В и С, и поэтому до заверше-
завершения вычислений мы не знаем, какая пара значений В а С будет
соответствовать решению. Даже если мы зафиксируем В и будем
изменять С, го ни один из найденных параметров В или С не
будет постоянным. По этой причине обработка численных резуль-
результатов (когда для построения таблицы или кривой требуется, чтобы

9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами 195
один из параметров В или С был постоянным) представляет опре-
определенную трудность.
Чтобы преодолеть указанную трудность, необходимо найти
какую-нибудь комбинацию параметров, инвариантную относи-
относительно преобразования Это позволит модифицировать метод для
поиска решений граничных задач с несколькими физическими
параметрами G].
Из формул B.5) видно, что, исключив А, можно получить
инвариантную относительно преобразования комбинацию пара-
параметров В и С:
В/С» =, В /С2,
Обозначим ее значения через Р; тогда начальные условия при-
примут вид
^ ~^=\, B.7)
а необходимую таблицу результатов можно построить следующим
образом.
. Возьмем произвольное значение Р и найдем решения уравне-
уравнения B.3) с начальными условиями B.7) в некотором интервале
значений параметра С. При этом для каждого решения выпишем
найденные значения С и d2f @)/drJ. Далее аналогичным образом
найдем совокупность решений для других значений р. На рис. 9.1
представлен набор найденных кривых зависимости d2f @)/dn2 от
С для нескольких значений р, а численные значения, по кото-
которым строились эти кривые, приведены в табл. 9.1. Для каждой
Таблица 9,1
Недостающие начальные значения d2/@)/dij2 для задачи B.1)J)
р
0,0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2.0
3.0
4.0
0
0
0
0
0
0
0
0,
0
-0.4
.1956
.2012
.2053
.2083
.2106
.2109
.2016
.1748
.1340
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
-0.2
2616
2624
2630
2637
2643
2646
2658
2653
2634
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
(
0
3321
3321
3321
3321
3321
3321
3321
3321
3321
0.2
J.4060
0.4053
0.4044
0.4036
0.4024
0.4014
0.3954
0.3875
0.3779
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.4
.4832
.4764
.4688
.4604
.4514
.4417
.3886
.3114
.2271
0
0
0
0
0
0
0.7
.6037
.5663
.5230
.4744
.4211
.3633
') Перепечатано из работы [7J с разрешения Американского общества инженеров-ме-
инженеров-механиков.
7*

196
Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
из этих кривых точки d2f @)/dr]2 = 0 указывают границы интервала
значений С, с помощью которого мы можем найти решения в за-
заданном интервале значений параметра С. В особом случае, когда
6= со (при С = 0 и ВФ§), решения можно найти методом,
описанным в гл. 8.
Результаты, приведенные в табл. 9.1, можно использовать
различными способами. Например, нам нужно построить кривую
0.05
-0.5
Рис. 9.1. Зависимость d2f (O)/drf от Р и С (перепечатано из работы [7] с раз-
разрешения Американского общества инженеров-механиков).
зависимости d2f @)/dr\2 от В при некотором значении С, скажем
при С = 0.7. Для этого найдем в таблице нужный столбец зна-
значений d2f @)/dr\2 и вычислим соответствующие значения параметра
В по формуле
На практике может представлять интерес зависимость В от С
при постоянном значении d2f @)/dr\2. Чтобы установить ее, нужно
для каждого значения В линейной интерполяцией найти С, а затем,
зная С, вычислить В по указанной выше формуле.

9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами 197
Кроме того, с помощью двойной интерполяции можно полу-
получить недостающее начальное значение d?f (O)/dr)a при любых задан-
заданных значениях параметров В и С, а затем найти требуемое ре-
решение задачи B.1). Если потребуется большая точность в неко-
некотором диапазоне значений параметров В и С, то таблицу можно
дополнить более подробными вычислениями по описанной выше
схеме в этом диапазоне.
Каковы бы ни были приложения, важным моментом является
то, что без этого метода каждое значение в любой таблице или
каждую точку графика пришлось бы находить с помощью ите-
итераций.
9.2.2. Возникновение и распространение горения
После серии случайных пожаров внутри отделяемых кабин
космических кораблей, происшедших в середине шестидесятых
годов, было проведено изучение [8] наиболее существенных пара-
параметров, характеризующих возникновение и распространение раз-
различных видов, горения, которые могут иметь место внутри кос-
космического корабля.
Для математического моделирования таких процессов исполь-
использовалась релеевская жидкость, температура которой резко воз-
возрастает на поверхности тела. Течение этой жидкости образуется
за счет потока массы с поверхности тела в результате простой
одношаговой необратимой химической реакции. Законы сохране-
сохранения в дифференциальной форме дают следующие уравнения:
уравнение неразрывности для смеси:
O; B.8)
уравнения неразрывности для компонентов смеси:
р dC(/dt + pv дС(/ду = д (pD, dCt/dy)/dy, B.9)
где f=l, 2, ..., N (N—число компонентов смеси);
уравнение баланса энергии:
B.10)
В этих уравнениях р, v, h и Т—соответственно плотность,
скорость, энтальпия и температура жидкости, a Ct — концентра-
концентрация t'-ro компонента смеси.
Граничные условия для этих компонентов Ci можно записать
в виде
при у = 0 y/ = -(pDl)w(dC//d^)w + (po)wC/wt B.11)
приг/=оо Ci = Cie, дС^ду^дЩду'^О, B.12а, б)

198 Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
а граничные условия для энтальпии имеют вид
при *<0 h{y,t)=hu для всех у, B.13)
при *>0 Л @, t) = hw, h(oo, t) = hs. B.14a, б)
После введения уравнения химической кинетики для реакции
на поверхности тела все газообразные компоненты окажутся свя-
связанными, и поэтому в качестве переменной оставим только одну
из них (в данном случае возьмем концентрацию кислорода Со).
Обычно предполагается, что
p'D/(p|De) ='const = у,
где индексом е отмечены значения величин для невозмущенной
части жидкости. Тогда из уравнения B.8) следует, что v не зави-
зависит от у, и поэтому ее можно рассматривать как скорость про-
продуктов реакции, покидающих поверхность тела, т. е. считать
постоянной.
Число зависимых переменных свелось таким образом к двум,
а именно Со и А, которые можно найти, решая уравнение нераз-
неразрывности для кислорода и уравнение энергии. Чтобы достичь
дальнейшего упрощения задачи, введем новую переменную
Cow^A-^/A,—Aw. B.15)
Это позволяет объединить два только что упомянутых уравнения
в одно уравнение
\ г
где а—физический параметр, характеризующий поток массы
с поверхности тела, a #w — коэффициент для определения энталь-
энтальпии на ней. Соответствующие граничные условия имеют вид
М@) = 0, М(оо)=1. B.17а, б)
Задача свелась теперь к нахождению зависимости переменной
М от двух параметров, а именно от а и //w. Требуется найти
совокупность решений граничной задачи B.16), B.17) в заданном
диапазоне значений параметров а и //w.
В качестве примера рассмотрим случай, когда [а меняется от
0.1 до 0.75, а Ну — от 2 до 6. Поскольку требуется найти сово-
совокупность решений, а не отдельное решение для каких-то значе-
значений а и //w, будет особенно полезна модификация метода, пред-
предложенная в начале главы.
Применяя, как обычно, линейную группу преобразований
г] = Ла>т), М-Аа'~М B.18)

9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами 199
к уравнению B.16), получаем уравнение
о
которое, как мы увидим, не будет зависеть от А, если положить
ai = 0, a = aA, 77w = [tfw/(^w-l)];4-<4 B.20)
Преобразуя граничное условие в точке т) = 0, получаем
М@) = 0. B.21)
Приравняем недостающее начальное значение производной пара-
параметру преобразования А, а именно положим
dM@)/dr\ = A B.22)
и, преобразуя, получим условие
Л«г-<х. dM @)/dr\ — A,
которое не зависит от А, когда
«2—^=1. B.23)
Таким образом, имеем
dM@)/dri=l. B.24)
Решая систему уравнений B.20) и B.23), находим, что а^О,
а аг=:1. Из преобразованного граничного условия во второй
точке получим формулу для определения параметра А:
А = [М(оо)]~\ B.25)
Теперь нужно найти инвариантную относительно преобразова-
преобразования комбинацию физических параметров а и #w. Из соотношений
B.20) видно, что (поскольку а2=1)
ctfi^ =<хНЧ11(НЧ1— 1),
т. е. получили искомую инвариантную комбинацию параметров.
Обозначим ее значение через f5, а именно положим
tw—l). B.26)
После всех проделанных выше действий уравнение B.19) при-
примет вид
-W=Q_ B>27)

200
Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
Для заданных диапазонов значений параметров а и #w из B.26)
следует, что значения |3 будут принадлежать интервалу [0.1, 1.6].
Найдем в качестве иллюстрации решения для четырех значений {5,
а именно для 0 = 0.35, 0.85, 1.1, 1.6. Алгоритм поиска решений
состоит из следующих шагов.
Для каждого из указанных значений параметра |3 интегрируем
уравнение B.27) с начальными условиями B.21) и B.24) в неко-
Таблица 9.2
Недостающие начальные значения dM@)/dr\ задачи B.16), B.17) при C = 0.35
а
0.005
0.010
0.050
0.075
0.100
0.125
0.150
а
0.0045
0.0089
0.0465
0.0716
0.0983
0.1271
0.1586
М'@)
1.1233
1.1183
1.0759
1.0475
1.0170
0.9836
0.9457
а
0.175
0.200
0.212
0.214
0.216
0.218
0.220
а
0.1944
0.2388
0.2684
0.2748
0.2823
0.2916
0.3063
М'@)
0.9001
0.8377
0.7900
0.7787
0.7652
0.7477
0.7182
Таблица 9.3
Недостающие начальные значения dM@)/di) задачи B.16), B.17)
a
0.005
0.010
0.050
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.100
1.200
о
1
1
1
1
0
0
= 0.35
.1227
.1171
.0718
.0150
.8922
.7208
0=0.85
1.1239
1.1196
1.0853
1.0445
0.9687
0.8988
0.8323
0.7672
0.7014
0.6312
0=1.1
1.1091
1.1077
1.0873
1.0486
0.9776
0.9208
0.8647
0.8085
0.7523
0.6962
0.6422
0.5892
p=1.6
1.1243
1.1204
1.0894
1.0530
0.9865
0.9358
0.8855
0.8353
0.7851
0.7385
0.6990
0.6614
0.6257
0.5902
0.5556

9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами 201_
тором интервале значений параметра а, вычисляя при этом а и
dM@)/dr). Полученные для Э = 0.35 результаты представлены
в табл. 9.2. Значения а, при которых dM (O)/dr) обращается в нуль,
укажут границы интервала значений а, когда решения попадают
в нужный интервал значений параметра а.
Интерполируя результаты, приведенные в табл. 9.2, с помощью
полинома Лагранжа, можно получить значения dM (O)/dr\ для а,
равных 0.005, 0.01, 0.05, 0.10 и т. д. Аналогичным образом
строим таблицы значений dM (Q)/dr\ для 0 = 0.85, 1.10 и 1.6.
Полученные результаты сведены в табл. 9.3. Все замечания, вы-
высказанные в разд. 9.2.1 по поводу пользы таких таблиц, пол-
полностью справедливы и в данном случае.
9.2.3. Обтекание заостренного параболического тела вращения
В качестве другого примера рассмотрим обтекание несжимае-
несжимаемой жидкостью заостренного параболического тела вращения. При
большой скорости основного потока жидкости образуется погра-
пограничный слой, для описания' которого можно взять [9] следующие
уравнения:
уравнение неразрывности:
(rv)/dy=Q; B.28)
уравнение изменения импульса:
и ди/дх + v ди/ду = (у/г) д (г ди/ду)/ду. B.29)
Граничные условия имеют соответственно вид
при г/ = 0 и —0, и —uw(x),
при у = оо и = i/.
Здесь и и v—компоненты скорости в направлениях х и у, a v —
коэффициент вязкости. Текущее расстояние / от оси вращения
определяется по формуле
r(x, y)=*r0(x) + ycosQ. B.30)
Система координат показана на рис. 9.2.
Применяя преобразование Леви—Лиза [9]
* У
У
= S (ДО) dx, т) = VUj(vl) I (rIL) dy
и
И/1/. = df/dr), v = - (L//) VWJ {(дц/дх) df/dr\ + (/I/L2) [//B6)]}

202
Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинаций
к системе уравнений B.28) и B.29), удовлетворим тождественно
B.28), а вместо B.29) получим уравнение
d3f/dr\s + A/2) / d2f/dr\2 + td(r) d*f/d\\2)ldy\ =» 0. B.31)
Здесь L — характерная длина тела, ?/„,—скорость основного потока
жидкости, а
— параметр поперечной кривизны. Граничные условия после пре-
преобразования имеют вид
= С, df(O)/dr\ = O, #(
где константа С характеризует безразмерную скорость отсоса
жидкости из пограничного слоя (или поддува жидкости в погра-
пограничный слой) через поверхность тела.
Рис. 9.2. Схематическое изображение тела.
Чтобы свести граничную задачу B.31) к задаче Коши, исполь-
используем, как обычно, линейную группу преобразований
г) —Л^г), f = Aa'f,
применение которых к B.31) и граничным условиям в точке tj =; 0
дает уравнение
Да,-аа1 d'j/dtf + A/2) Asa'-iajd*f/diJ + Ma«-2a'd (r\df[/dr\2)/dr\ = 0
B.32)
и начальные условия
A<*'f @) = С, Aa'~^df@)/dr\ = 0. B.33)
Полагаем недостающее начальное значение второй производной
равным А, т. е.

9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами 203
и после преобразования получаем
= А. B.34)
Требуя независимости уравнения B.32) и условий B.33), B.34)
от А, приходим к системе уравнений для постоянных <хх и <ха
<х2— Зах = 2а2 — 2at = a, — 2а!, а2 = 0, а2— 2а1=1,
решая которую, снова сталкиваемся с ситуацией, когда ai=a2=0.
Чтобы преодолеть эту трудность, введем так же, как и в первом
примере, два вспомогательных параметра
7 = A~a>t, С = А-а>С. B.35)
Подставляя их в B.32) и B.33), а затем требуя независимости
полученных соотношений и B.34) от А, приходим к системе
уравнений
<х2—За1 = 2аг—2а1~а$4-а2 — 2ах, а2 = а4, а2—2а1 = 1,
из которой находим постоянные преобразования
at = —1/3, a2=l/3, a3=l/3, а4=1/3.
Таким образом, мы получили задачу Коши, определяемую диф-
ференциальным уравнением
d3//dtf + A /2) / dffld^2 + 7d fop'f/difl/di] = 0 B.36)
и начальными условиями
7 @) = С, d/ @)/d^ = 0, ^
Параметр преобразования А, связывающий решения этой задачи
и задачи B.31), определяется из оставшегося граничного условия
во второй точке по формуле
]'2. B.37)
Наконец, можно построить таблицу недостающих начальных
значений d2/ (O)/dT}a решений задачи B.31) аналогично тому, как
это делалось в предыдущих разделах.
Исключая из соотношений
7=Л'1/Зг, С = А~1/3С
параметр А, получаем инвариантную относительно преобразова-
преобразования комбинацию параметров t и С:
Далее, задавая р, можно построить зависимость d2f @)/dr\2 от С;
полученные для нескольких значений р* результаты представлены

204 Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
30
20
dzf(O)
10
1
' \
-5 \
\\
-3 X \
^^
i /
77 -
//
// У
V/
-30 -10 10 30
с
Рис. 9.3. Значение d2/ @)/drJ как функция от С для некоторых значений р.
Рис. 9.4. Значение d2f (O)/dr\2 как функция от t при С=0.

9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами
205
Таблица 9.4
Решения задачи B.31) для С = 0
t
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
d'l @)/dt|f
0.33206
0.45863
0.56656
0.66459
0.75706
0.93445
t
5.0
7.0
9.0
11.0
13.0
d'l
1
1
1
2.
2.
27874
61625
94841
27428
60909
Решения задачи B.31) для С Ф 0
Таблица 9.5
и
0,0
1.0
3.0
5.0
7.0
9.0
Р
—0.5
—2.0
-4.0
-6.0
-8,0
— 10.0
0 0
0.3321
0.3321
0.3321
0.3321
0.3321
0,3321
—25
21.7830
27.9359
2.0
1.1694
1.4426
2,0574
2.6943
3,3258
3.9512
-15
6.0476
10.0227
13.9400
17.7961
4.0
2.1074
2.4970
3.6488
4.8555
6.0456
7.2146
в
-8.0
1,3553
3,6219
5,8820
8.1002
10.2795
6 0
3.0771
3.5500
5.2048
6,9476
8.6658
10.3544
—6.0
1.1211
2,8811
4.6269
6.3380
8.0177
8 0
4,0596
4.6033
6.7360
8.9945
11.2236
13.4147
-л 0
0.0671
0.8756
2.1061
3.3192
4.5063
5.6701
15.0
7.5330
8.2812
11.9684
15,9416
19.8771
23.7535
-2.0
0,1194
0.6199
1.2813
1.9293
2.5625
3,1848
на рис. 9.3. Как и прежде, требуется отдельно построить набор
решений для особого случая р = <х (С — 0, 1ф0), используя для
этого, например, метод, описанный в гл. 8. Зависимость d2f @)/dr\2
от / при С = 0 изображена на рис. 9.4. Численные результаты,
использованные при построении этих кривых, сведены в табл. 9.4
и 9.5. Все замечания относительно возможных применений табл. 9.1
относятся и к этим таблицам.

206
Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
9.3. Возможные модификации метода
В этом разделе мы ограничимся только общими указаниями
относительно трех возможных путей модификации метода.
Во-первых, можно использовать свойство инвариантности
комбинаций физических параметров относительно преобразования,
как это делалось в предыдущем параграфе.
Во-вторых, можно ослабить требование независимости диффе-
дифференциального уравнения от параметра преобразования.
В-третьих, для задач, имеющих бесчисленное множество реше-
решений, возможен систематический способ поиска этих решений.
Пример подобной задачи разобран в следующем параграфе, где
еще раз продемонстрирована многосторонность метода преобразо-
преобразования и показана его высокая эффективность для поиска таких
решений и исследования их свойств.
9.4. Большие прогибы тонкой упругой распорки
Рассмотрим большие прогибы тонкой упругой распорки под
действием внецентренно приложенной нагрузки. Закрепленные
концы распорки дополнительно удерживаются спиральными пру-
<2
Рис. 9.5. Схематическое изображение распорки (перепечатано из работы [11]
с разрешения Американского общества инженеров-механиков).
жинами с жесткостью k на кручение, как показано на рис. 9.5 [10].
При этом будем использовать следующие дифференциальные
уравнения:
уравнение Эйлера:
dQ M (cm2/L2) sin (ns/L) .
2 » Г*-1/
ds ~ El
cos2

9.4. Большие прогибы тонкой упругой распорки 207
уравнение для перемещений распорки в направлении оси у:
duy!ds = sin 6—(an/L) cos (ns/L); D.2)
уравнение для перемещений распорки в направлении оси х:
d|/ds = cos8. D.3)
Соответствующие граничные условия имеют вид
u,@) = 0, uu(L) = 0, 1@) = 0. D.4)
Здесь а, Е, I, L, M, s, 0, иу и \ — величина начальной кривизны,
модуль упругости, момент инерции поперечного сечения, длина
распорки, изгибающий момент, длина дуги вдоль изогнутой
центральной линии, угол наклона центральной линии, смещения
вдоль осей у и х соответственно.
Поскольку прогиб распорки симметричен относительно ее
середины, граничные условия можно переписать в виде
9(L/2) = 0, uy@) = 0, ?@) = 0. D.5)
Для данной схемы нагружения зависимость момента М от
перемещений и нагрузок можно записать так:
М = — Риу — A/2) Ql — Pasm (ns/L) — Pe + kQ @). D.6)
Вводя безразмерные величины
t = s!L, Nve=ji*EI0/L\ K = kL/{EI0), i = i/L,
y = uy/L, a = a/L, e = e/L,
получим вместо D.1) уравнение
л*а sin nt
В частном случае, когда отсутствует поперечная нагрузка Q
в середине пролета распорки, начальная кривизна а равна нулю,
а момент инерции / всюду равен /0, уравнение D.7) сводится
к более простому виду:
D.8)
Для этого случая уравнения D.2) и D.3) после перехода к без-
безразмерным величинам запишутся как
dyldt = sin 6, D.9)
dl/d/ = cos8, D.10)
а граничные условия D.5) примут соответственно вид
9A/2) = 0, |/@) = 0, 6@) = 0. D.11)

208 Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
Мы будем заниматься далее только поиском решений системы
уравнений D.8) и D.9). В самом деле, если функция б(^) известна,
то l,(t) можно найти, интегрируя обычным образом уравнение
D.10), поскольку теперь оно не связано с уравнениями D.8) и
D.9). Для решения этой задачи Хаддлстон предложил итера-
итерационный метод [10]. Трудность задачи, отличающая ее от рас-
рассмотренных ранее задач, заключается в том, что она имеет бес-
бесчисленное множество физически допустимых решений.
Чтобы свести граничную задачу к задаче Коши, вводим, как
обычно, линейную группу преобразований
t=Aa^l, 0 = Л°Ч), г/ = Ла»г/, D.12)
где а1г а2 и а3—неизвестные пока постоянные преобразования,
а А—параметр преобразования. Преобразуя D.8) и D.9), полу-
получим систему уравнений
S/di = — (n*NVTAa'+a>/Aa>) (у -f-s/Л а») + А"Л««0(О), D.13)
dy/dl=:Aa'-a> sin (Aa*Q). D.14)
Основное требование метода состоит в том, что эти дифферен-
дифференциальные уравнения не должны зависеть от параметра преобразо-
преобразования А. Проверка системы уравнений D.13) и D.14) показывает,
что это требование можно удовлетворить только тогда, когда
а1 = а2 = а3==0, т.е. при тождественном преобразовании. Чтобы
преодолеть эту трудность, положим сц = а3 и введем вспомога-
вспомогательные параметры
ЛГ;Г = ЛГРГЛ2«., е* = е/Л°\ К* = А**К. D.15)
После этого система уравнений D.13) и D.14) примет вид
dQ/dT^ — (л *N'PTIA a>) {у + 8») + К*Ъ @), D.16)
dyldl =*s,m {Аа'Ъ). D.17)
Следуя схеме метода, лзложенной в предыдущих параграфах,
возьмем недостающее начальное значение в точке / = 0 равным
параметру преобразования или его отрицательному значению, т. е.
положим
в@)=*±Л, D.18)
и после преобразования получим условие
из которого следует, что
а2=1 и 6@)=. ±1. - D.19)
Далее необходимо использовать свойства инвариантности ком-
комбинаций физических параметров. Иначе говоря, нужно найти

9.4. Большие прогибы тонкой упругой распорки 209
комбинации физических параметров, которые будут инвариантны
при преобразованиях D.12). Легко проверить, что такими комби-
комбинациями являются
М"пТг** — М„ге* и ?*K*=t&K. D.20)
Обозначим их значения через
а = #*ге*2 = ЛГрге», \р=е*К* = еК D.21)
и используем а и г|> в качестве вспомогательных параметров
(вместо е* и К*). Без потери общности возьмем вспомогательный
параметр AfpV равным единице. Остается только выразить пара-
параметры е* и К* через а и ф, а затем подставить их в систему
уравнений D.16), D.17). Таким образом получим задачу Коши,
определяемую системой дифференциальных уравнений
D.22)
dlj/d7=sin(A6). . D.23)
и начальными условиями
у@) = 0, 9@)= ±1. D.24)
Наконец, чтобы завершить процедуру преобразования гранич-
граничной задачи к задаче Коши, а именно установить соответствие
между их решениями, нам нужно найти аг. Преобразуя для
этого граничное условие в точке ^=1/2, получаем условие
9 = 0 при Ла*7= 1/2,
из которого следует, что
^ = {In @.5)—1п[7(при 8 = 0)]}/1пЛ. D.25)
Рассмотрим теперь алгоритм поиска решений задачи Коши
для заданного набора значений параметров а и г)э. Поскольку
практический интерес представляет прогиб в середине пролета
распорки, а именно у A/2), алгоритм поиска решений будет со-
состоять из следующих шагов.
Сначала рассмотрим случай 9@) = + 1. Задавая некоторое зна-
значение А, интегрируем систему уравнений D.22), D.23) с началь-
начальными условиями D.24) до значения t, при котором 9 обращается
в нуль. Подставляя это значение t в формулу D.25), находим
постоянную преобразования о^, а затем, согласно D.15), вычис-
вычисляем соответствующие значения физических параметров
Л^Л-2». , D.26)
и
D.27)

210 Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
Наконец, преобразуя с помощью D.12) найденное значение у
в точке t, где 9 = 0, находим прогиб у A/2) в середине пролета
распорки, а именно г/A/2) = Аа'у. Задавая другое значение А и
повторяя описанные выше действия, получаем новый набор зна-
значений величин NPT, е и у A/2). Продолжая таким образом, мы
можем пройти весь нужный интервал значений параметра Npr
Полученную зависимость у A/2) от NVT при постоянных а и 1|з
можно изобразить графически или представить в виде таблицы.
Поступая аналогичным образом в случае 6@) = —1, получим
еще одну зависимость у A/2) от NPT при тех же самых значениях
вспомогательных параметров а и 1|з.
Интересно отметить, что интегральная кривая 8G) задачи
Коши D.22) — D.24) может пересекать ось t не один раз. Этим
можно объяснить возможность наличия нескольких решений для
некоторых наборов значений параметров, отмечавшуюся в опубли-
опубликованных ранее работах. Для иллюстрации рассмотрим набор
значений параметров а = 0.05 и я|з = 0.5.
Сначала возьмем 8@.) равным +1; тогда, согласно D.22) —
D.24), будем иметь систему уравнений
d©/d7 = - (я*/А) (~У + V*) + ty/Va, D.28)
i= sin (AQ) D.29)
с начальными условиями
у@) = 0, 5@) = 1. D.30)
Здесь а и 1|з заданы, а А — варьируемый параметр, с помощью
которого можно построить некоторое семейство решений этой
задачи Коши. Возьмем, например, Л = 0.65 и найдем соответст-
соответствующее решение задачи Коши D.28) — D.30). Интегральная кри-
кривая 6(/) изображена на рис. 9.6. Интервала значений t от 0.0
до 5.6 вполне достаточно, чтобы увидеть свойства этого решения.
По рис. 9.6 находим первое пересечение интегральной кривой
с осью t, которое происходит в точке / = 0.394. Подставляя это
значение t в формулу D.25), получаем постоянную преобразования
а, = In @.5/0.394)/ln @.65) = —0.552, D.31)
а затем по формуле D.26) вычисляем соответствующее значение NVT:
#рг = (О.65J<о.б52)==о.б21б. D.32)
Следует заметить, что аэ=а1 по предположению, а а2=1 в силу
D.19). Теперь, когда мы знаем все постоянные преобразования,
можно по формулам преобразования D.12) определить прогиб
у A/2) в середине пролета, который в данном случае оказывается
равным 0.1785.

9.4. Большие прогибы тонкой упругой распорки
211
Найденное выше решение соответствовало первому пересече-
пересечению интегральной кривой Э (t) с осью t. На рис. 9.6 видно, что
8(F)— гладкая кривая. При малых 7 она имеет положительные
значения, с увеличением t убывает и становится отрицательной,
а затем снова положительной. Каждый раз, когда Э меняет знак,
происходит пересечение с осью t и, следовательно, получается
решение граничной задачи. На изображенном участке интеграль-
-1.0
Рис. 9.6. Интегральная кривая б (t) для а = 0.05, г|)=0.5, Л =0.65 (перепе-
(перепечатано из работы [11] с разрешения Американского общества инженеров-ме-
инженеров-механиков).
ной кривой видно шесть таких пересечений. Первое из них мы
уже рассмотрели, а остальные пять происходят при значениях t,
равных 1.425, 2.456, 3.487, 4.518 и 5.549. Проводя вычисления,
Таблица 9.6
Первые шесть решений для if =0.5, « = 0.05, /4 = 0.65J)
7(в=о)
0.394
1.425
2.456
3.487 •
4.518
5.549
—0.552
2.431
3.695
4.509
5.110
5.587
V
0.6216
8.1245
24.1297
48.6374
81.6478
123.1604
УA/2)
0.1785
—0.1030
0.0287
—0.0421
0.0156
—0.0264
>) Перепечатано нз работы [11] с разрешения Американского общества ннжене-
ров-механиков.

212
Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
аналогичные описанным выше для первого пересечения, можно
найти решения в этих точках. Полученные таким образом резуль-
результаты представлены в табл. 9.6.
Представляют интерес кривые прогиба у (t), полученные по
формулам преобразования D.12). Эти кривые для шести указан-
указанных выше возможных решений граничной задачи построены на
рис. 9.7. В силу симметрии задачи показана только половина
распорки от левого конца / = 0 до середины пролета /=1/2.
0.2 г
-0.2
Рис. 9.7. Кривые прогиба для <х = 0.05, г|з = 0.5, /4=0.65 (перепечатано из
работы [llj с разрешения Американского общества инженеров-механиков).
Чтобы лучше понять характер зависимостей, изображенных
на рис. 9.7, перепишем исходную систему уравнений D.8), D.9),
подставив в них вместо К и е их выражения через а, г|з и Nvt.
Тогда получим граничную задачу, определяемую дифференциаль-
дифференциальными уравнениями
dy/dt = sin 9
и граничными условиями
*/@) = 0, 0A/2) = O.
& 0@),
D.33)
D.34)

9.4. Большие прогибы тонкой упругой распорки 213
Поскольку недостающее начальное значение полагается равным
параметру преобразования, т. е.
то система уравнений D.33), D.34) примет вид
dB/dt = - я2#рг (у + VWN^) ± г|> VTQUA, D.35)
dyldt = sin0, D.36)
а начальные условия для нее запишутся как
г/@) = о, 0@) = ±л.
Таким образом мы получили задачу Коши.
Как и в рассмотренном выше примере, берем знак плюс
в уравнении D.35) и в начальном условии, а параметры а, г|э и
А полагаем равными 0.05, 0.5 и 0.65 соответственно. Тогда полу-
полученные шесть решений (см. табл. 9.6) будут решениями, соответ-
соответствующими шести значениям Nvt.'
Чтобы получить другие решения, будем изменять А от 0.05
до, скажем, 1.85, находя при этом для каждого А первые шесть
решений и соответствующие им значения NVT, как это делалось
выше. Отбирая найденные значения Nvr и у A/2) для первого пере-
пересечения интегральных кривых с осью t, можем построить график
зависимости у A/2) от Nvr. Аналогично строятся графики для
остальных пяти пересечений. Полученные результаты представ-
представлены на рис. 9.8 кривыми, обозначенными A+), B+), C+),
D+), E+) и F+). Знак плюс указывает, что при построении
этих кривых 0@) бралось равным +Л.
Рассмотрим теперь случай, когда 6@) = — А, т.е. в диффе-
дифференциальном уравнении D.22) и начальном условии D.24) берется
знак минус. Повторяя описанные выше действия, можно полу-
получить другие шесть кривых. Они также изображены на рис. 9.8
и обозначены A—), B—), C—), D—), E—) и F—).
Следует отметить, что хотя число пересечений интегральных
кривых 0 с осью t может быть больше шести, нет необходимости
продолжать дальнейшие вычисления, поскольку характер зави-
зависимости отчетливо вырисовывается на рис. 9.8.
Прежде чем переходить к дальнейшему обсуждению кривых,
изображенных на рис. 9.8, подчеркнем, что каждая точка этих
кривых была получена без итераций. Это не является единствен-
единственным достоинством новой модификации метода. Кроме того, метод
дае_т последовательный способ нахождения всех решений гранич-
граничной задачи для заданного набора значений физических параметров.
Чтобы сравнить решения, полученные с помощью метода пре-
преобразования, с результатами Хаддлстона [10], возьмем следую-

214
Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
щие значения параметров:
/( = 5, е = 0.1, Wpr = 5. D.37)
Из рис. 4 работы Хаддлстона можно получить значения
у A/2) = 0.375, —0.17, —0.43 D.38)
для трех решений. В соответствии с обозначениями этого пара-
параграфа для данных D.37) получим следующие значения комбина-
комбинаA+) ..—..,,('->
0.01 -
0.001
Рис. 9.8. Зависимость величины у A/2) от NVT для ^=0.5 и <х = 0.05 при
изменении ± 0@) от 0.05 до 1.85. Для кривых 1 + , 2+ и т. д. по оси ор-
ординат отложены значения -\-у(\/2); для кривых 1—, 2— и т. д.—значения
—1/A/2) (перепечатано из рабогы [11] с разрешения Американского общества
инженеров-механиков).
ции параметров:
а = 0.05, г|э =
D.39)
Для этих значений а, г|э и Л^рг рис. 9.8 дает те же самые три
решения. В самом деле, проведя вертикаль через точку Л^РГ = 5,
получим три пересечения с кривыми, т.е. три значения уA/2).
Таким образом, число пересечений вертикали, проходящей через
заданное значение /Vpr, с кривыми зависимости г/ A/2) от Nvt
равно числу решений для заданного набора значений физических
параметров. Так, из рис. 9.8 видно, что мы можем получить

Задачи 215
в зависимости от Nvt одно, два, три, четыре или пять решений
при а = 0.05 и г|5 = 0.5.
Рассмотренный выше пример показывает большую эффектив-
эффективность метода для задач, имеющих бесчисленное множество реше-
решений. Описанная модификация метода позволяет последовательно
находить такие решения (обходясь при этом без итераций) и упро-
упрощает исследование их свойств. Наконец, она помогает создавать
удобные рабочие таблицы для конструкторов [13].
Задачи
1. Используя результаты, приведенные в табл. 9.5, построить кривые
зависимости d2f @)/drf от С для нескольких значений параметра поперечной
кривизны /.
2. Последние исследования гиперзвуковых полетов, входа ракеты в плот-
плотные слои атмосферы, камер сгорания ракетных двигателей, энергетического
оборудования для межпланетных полетов и ядерных реакторов с газовым
охлаждением привлекли внимание к излучению как к одному из важных спо-
способов передачи тепла. Для приведенных выше технических проблем имеет корен-
коренное значение анализ эффектов охлаждения путем конвекции и излучения.
С этой целью Висканта и Грош [14] рассмотрели течение в пограничном слое
жидкости при наличии конвекции и излучения. Для нахождения распределе-
распределения температуры ими была сформулирована граничная задача, определяемая
дифференциальным уравнением
и граничными условиями
0@)=0w 0(oo) = l.
Здесь функция /—решение задачи Блазиуса A.7) из гл. 7. Решить эту задачу
при помощи описанного з данной главе метода.
Указание: положить
и использовать приближенную формулу
/=C/2) т| -A/2) л3-
Ответ:
N
0.1
1.0
10.0
1.5
2.0
1.5
2.0
1.5
2.0
</В@>/Л1
—0.04225
,-0.06971
—0.00381
—0.01507
—0.00553
-0.00658

216 Гл. 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации
3. Рассмотрим снова задачу 4 из гл. 3 для определения распределения
температуры ньютоновской жидкости, находящейся между неподвижным внут-
внутренним и вращающимся с постоянной угловой скоростью внешним коаксиаль-
коаксиальными цилиндрами. Соответствующая граничная задача определяется дифферен-
дифференциальным уравнением
и граничными условиями
6(fe)=0, 6A)=1.
Решить эту задачу описанной в данной главе модификацией метода преобразо-
преобразования и сравнить полученные результаты t точным решением
6 = [N +1 — N/12] — [N +1 — N/k*] In |/ln k
fe = 0.1, 0.2, ..., 0.9; W = 0.1, 1.0, 10.
Указание: использовать группу линейных преобразований
1 = Аа*1, 6=Ла<
положив при этом
~ 2
Литература
[1] На (Na Т. Y.), An initial value method for the solution of a class of non-
nonlinear equations in fluid mechanics.— J. Basic Eng., Trans. ASME, 1970,
v. 92, p. 503—509. [Имеется перевод; см. с.87 .]
[2] — An initial value method for the solution of MHD boundary layer equati-
equations.—Aeronaut. Q., 1970, v. 21, p. 91—99.
[3] Ha, Ha iNa H. S., Na T. Y.). An initial value method for the solution of
certain nonlinear diffusion equations in biology.— J. Biosci., 1970, v. 6,
p. 25-35.
[4] Линь, Фань, (Lin S. H., Fan L. Т.). Examples of the use of the initial
value method to solve nonlinear boundary value problems.— AIChE J., 1972,
v. 18, p. 654—656.
[5] Вимала, Нэт (Vimala С. S., Nath G.). An initial value method for the
study of shock-induced laminar compressible boundary layers.— ASME paper
73-FE-4, 1973.
[6] Нэт (Nath G.). Initial value method for a preudoplastic fluid in a laminar
boundary layer over a porous flat plate with suction.— J. Appl. Mech.*
1973, v. 95, p. 1123—1124. [Имеется перевод: Труды Амер. об-ва инже-
инженеров-механиков, сер. Е, Прикладная механика, 1973, № 4, с. 301.]
[7] Скотт, Ринсклер, На (Scott Т. С, Rinbdiler G. L., Na T. Y.). Further
extensions of an initial value method applied to certain nonlinear equations
in fluid mechanics.—J. Basic Eng., Trans. ASME, 1972, v. 94, p. 250—251.
[Имеется перевод; см. с. 19.]
[8] Лью (Liu S. W.). Onset of surface combustion in still atmosphere.— AIAA
J., 1969, v. 7, p. 734—736. |Имеется перевод: Ракетная техника и кос-
космонавтика, 1969, № 4, с. 197.]
[91 Марк (Mark R. M.). Laminar boundary layers on slender bodies of revolu-
revolution in axial flow.—Guggenheim Aerosp. Lab., California Instit. of Tech-
Technology, Hypersonic Wind Tunnel Memo. No. 21, July 1954 (не опубликовано).
[10] Хаддлстон (Huddleston J. V.). A numerical technique for elastic problems.—
J. Eng. Mech., Proc. ASCE, 1968, v. 94, p. 1159—1165.

Литература 217
[11] На, Кураджан, Холберт (Na Т. Y., Kurajian G. M., Holbert D. L.). Ana-
Analysis and design of thin struts with large elastic displacement. Part I.— J.
Eng. Ind., 1974, v. 96, p. 917—922.
[12] Кураджан, На, Холберт (Kurajian G. M., Na T. Y., Holbert D. L.). Ana-
Analysis and design of thin struts with large elastic displacement. Part II.—
J. Eng. Ind., 1974, v. 96, p. 923—930.
[13] Фавр (Favre A.). Contribution a 1'etude experimentale des mouvement
hydrodynamiques a deux dimensions.— Ph. D. thesis.— Paris: Univ. of Paris,
1938.
[14] Висканта, Грош (Viskanta R., Grosh R. J.).— Int. J. Heat Mass Transfer^
1962, v. 5, p. 795—806.

Глава 10
МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ
10.1. Введение
Метод дифференцирования по параметру известен также под
названием метода продолжения. Лихтенштейн [1] отмечает, что
идеи метода прослеживаются в литературе с 1869 г. (Шварц).
Ранние работы на эту тему относились к теории конформных
отображений. Однако для решения инженерных задач этим мето-
методом стали пользоваться только в начале шестидесятых годов
нашего века в связи с расширением возможностей ЭВМ. В основ-
основном метод применяется для решения дифференциальных уравне-
уравнений с параметром, входящим в само уравнение или в граничные
условия. Взяв сначала известное решение для некоторого значе-
значения параметра, интегрированием производной решения по пара-
параметру можно найти решение для другого значения параметра.
На каждом шаге вычисления проводятся при малом изменении
параметра. Тогда уравнения линеаризуются и можно использовать
неитерационные методы, описанные в гл. 2—4. Полученное реше-
решение снова используется при поиске очередного решения для малого
приращения параметра, и так продолжается до тех пор, пока не
будут найдены все решения в нужном интервале значений пара-
параметра.
Прежде чем приступить к нелинейным дифференциальным
уравнениям, в § 10.2 дается интересное приложение к решению
нелинейных алгебраических и функциональных уравнений. Основ-
Основная идея дифференцирования по параметру излагается в § 10.3.
В качестве примеров рассматриваются четыре нелинейные гранич-
граничные задачи. В § 10.5 приводится описание общего параметриче-
параметрического отображения (ОПО) Кубичека и Главачека [2], а затем
в § 10.6 излагается метод продолжения Робертса и Шипмана [3].
10.2. Система нелинейных функциональных уравнений
Кейн [4] и М. Н. Яковлев [5] независимо предложили метод
решения системы нелинейных функциональных уравнений, заклю-
заключающийся в построении я интегрировании некоторой системы
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

10.2. Система нелинейных функциональных уравнений 2Ш
Для простоты рассмотрим сначала случай одного функцио-
функционального уравнения
f(x) = 0. B.1)
В качестве начального приближения возьмем произвольное
x = k B.2)
и рассмотрим уравнение
f(x)=f(k)(l-x), B.3)
где т—новая независимая переменная, меняющаяся от 0 до I.
При т = 0
f(x)=f(k),
т. е. х равно выбранному начальному приближению k, а прит=1
т. е. х удовлетворяет исходному функциональному уравнению B.1).
Таким образом, следует ожидать, что при изменении т от О
до 1 х будет меняться от произвольного начального приближе-
приближения k до значения, удовлетворяющего исходному уравнению. Это
наводит на мысль о дифференциальном уравнении, которое можно
получить, дифференцируя уравнение B.3) по т:
fx(x)dx/dx = -f(k) B.4)
(где fx(x)=dfldx). Начальное условие имеет вид
при т = 0 x = k. B.5)
Рассмотрим в качестве примера алгебраическое уравнение
f(x) = 3x*—2x— 1. B.6)
Возьмем начальное приближение k — 2. Тогда получим
Ш = Ъх-2, ./(Л)=/B) = 3- B)*-2. B)—1 = 7.
Дифференциальное уравнение B.4) и начальное условие B.5) при-
принимают вид
dxldx^— 7/F*—2), , B.7)
при т = 0 х = 2. B.8)
Интегрируя это уравнение по т от 0 до 1, можно найти решение
уравнения B.6). На практике интегрировать обычно приходится
численно. В табл. 10.1 приведены значения решения в отдельных
точках. При т=1 х—1.000; следовательно, решение уравне-
уравнения B.6) равно 1.000.
Уравнение B.6) имеет два независимых решения, одно из ко-
которых уже найдено. Если взять k ближе к другому решению

220 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметре/
Таблица 10.1
Решение дифференциального
уравнения B.7)
0
0
0
X
.0
.2
.4
2.
1.
1.
000
854
691
0
0
1
т
.6
.8
.0
1
1
1
X
.507
.288
.000
(х = —1/3), то значение х будет стремиться к —1/3 при увеличе-
увеличении т от 0 до 1. В дальнейшем мы обсудим этот вопрос более
подробно.
Обобщим полученные результаты на систему п функциональ-
функциональных уравнений, запишем эту систему в виде
F(x) = Q, B.9)
где F (х)—вектор размерности п, и будем считать решение х этой
системы вектором размерности п
Чтобы найти вектор х, удовлетворяющий этой системе, пред-
представим его как функцию параметра т, принимающего значения
из отрезка [0, 1]. При т = 0
x{0) = k, B.10)
где k — произвольно выбранный вектор размерности п. Далее
потребуем, чтобы х(т) удовлетворял системе
F(x) = F{k){\-x), B.11)
дифференцирование которой по т дает систему уравнений
Fx{x)'dxldT = — F(k), B.12)
откуда находим
-[Fx{x)]-iF{k). B.13)-
Обращение матрицы и интегрирование системы обыкновенных
дифференциальных уравнений производятся обычными методами.
Таким образом, проинтегрировав систему B.13) по т от 0 до 1
с начальными условиями B.10), получим искомый вектор х, ибо
при т = 1 система B.11) сводится к системе B.9).
Рассмотрим в качестве примера систему уравнений
sin (х3—х2) sin X, -+- sin (x3—х$ sin x2 = 0,
cos л:,—2 cos хл -f 3 cos x3 = 0, B.14)
sin xx—2 sin x2 -f 3 sin xa = 3—З1'2.

10.2. Система нелинейных функциональных уравнений 221_
Система уравнений, соответствующая B.12), имеет вид
[sin (хв—хг) cos X, —cos (x3—xx) sin x2] ~- +
+ [sin (х3—хг) cos х2—cos (х3—х2) sinxj -^- +
+ [cos (х3—х2) sin X, -f cos (хя—хх) sinx3j -^- =
* ¦ ^^^_ lotП I i? ^^^к i? 1 ciП ?? Т о 1 Ti i /? ь^^ Ь \ с|Т1 Ь I / / 1 ^i
"¦ ¦ " 1 О 111 I 9\/п **^ / О 1Л1 *v 1 I' О II1 \ "V о *-"¦• /v-| I Olll rvn I. I ^ * i K_J I
sin xt -^-—2 sin x2 -^- + 3 sin xs -^- = cos?, — 2 cos^2 -|- 3cos k3,
dxt с dx2 . o dx»
COS Xi -r1- — Z COS X, -г-*- + С COS X, -r2- =
1 ат ' я ' 3 dx
= — (sin k, —2 sin 62 + 3 sin ^„—3 + 31/*).
Кейн [4] использовал в качестве начального приближения
Интегрирование системы B.15) от т = 0 до т=1 на машине Бар-
роуз 5500 заняло менее трех секунд и дало решение
хх = —0.68968, х3 = 0.47982, ха= 1.23000.
Такое же решение было получено и при других начальных условиях
Отличное от него решение
Х! = 3.83127, х2 = 2.66178, х3 = 1.91159
получается при начальных условиях
*з@) = ?3 = я/2.
Это связано с тем, что трансцендентные уравнения могут иметь
неограниченное число решений.
Рассмотрим теперь использование метода в нескольких инже-
инженерных задачах.
10.2.1. Определение равновесного состава смеси газов
при высокой температуре
Задача теоретического определения равновесного состава смеси
химически реагирующих газов имеет большое значение в различ-
различных областях техники. Ее сложность заключается в необходи-
необходимости решения системы нелинейных алгебраических уравнений.
Хотя для решения таких систем разработаны специальные ите-
итерационные методы, дифференцирование по параметру является
наиболее удобным. Рассмотрим простой пример.

222 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
Пусть один моль СО2 нагревается при постоянном давлении
в 10 атм. Требуется найти равновесные составы в интервале тем-
температур от 1000 до 6000 К в предположении, что равновесный
состав содержит СОа, СО и Оа.
Исходя из этих условий, можем записать, что
B.16)
где в левой части указано начальное состояние, а в правой —
химический состав при равновесии. Искомые параметры а, р, у —
числа молей компонент. Учитывая баланс элементов С и О, по-
получаем из этого уравнения соотношения
а + р-=1, B.17)
2а + 3 + 2у = 2. B.18)
Поскольку неизвестных величин три (а, р, у), требуется еще
одно уравнение, для получения которого воспользуемся уравне-
уравнением химической реакции
B.19)
Из закона действующих масс имеем
ИЛИ
раур—Д2а2B + В + у) = 0, B.20)
где К — константа химического равновесия, а р—полное давле-
давление (в нашем случае р=10 атм). Зависимость константы хими-
химического равновесия для реакции B.19) от температуры приведена
в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Зависимость константы химического равновесия
для реакции B.19) от температуры
'Г (К) In К
1000 —23.535
2000 —6.641
3000 —1.117
Т (К) In К
4000 1.593
5000 3.193
6000 4.239

10.2. Система нелинейных функциональных уравнений 223
Окончательная система уравнений для определения а, р и у
при заданной температуре имеет вид
B.21а)
—2, B.216)
a+$ + y). B.21 в)
Применим к ней метод дифференцирования по параметру, сле-
следуя схеме уравнений B.9)—B.13). Система, аналогичная B.12),
имеет вид
da/dx + dP/dT = — (ao+po— 1), B.22)
2da/dx + dp/dr + Uyld* = — Bа0 + ft, + 2у0— 2), B.23)
— К2 (За2 + 2ар + 2«v) da/dx + (Щр—К2а*) dp/dt +
+ (pp—KW) dy/dx = - {$yop-K*al (а, + р„ + у0)}, B.24)
где а0, р0 и у0—произвольное начальное приближение. Другими
словами, эта система интегрируется по т от 0 до 1 с начальными
условиями
t(O) = Vo- B.25)
Необходимо только обратить матрицу коэффициентов при произ-
производных в уравнениях B.22)—B.24) и выразить явным образом
da/dr, dp/dr, dy/di через а, р и у. Обращение матрицы и инте-
интегрирование полученной системы осуществляются стандартными
методами.
Численные решения системы B.22)—B.24) в отдельных точках
при температуре 3500 К для начальных приближений
р@) =ро = 0.462, T(O) = Vo = 0-200 B.26a)
a(
т
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0)
а.
0
2
4
6
8
0
= a
500
. Р(С
)) = Рв = О.
Численные решения
Начальное приближение
0.
0.
0.
0.
0.
0.
a
53800
51928
50147
48450
46829
45281
0.
0,
0.
0.
0,
0.
э
,46200
.48071
.49852
,51550
.53170
54719
! B.26а)
0.20000
0.21556
0.23066
0.24535
0.25965
0.27359
500, '
системы
б.
т
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
V @) = Yo =
= 0.500
B.266)
Таблица 10,3
B.22)—B.24)
Начальное приближение
а
0.50000
0.49290
0.48487
0.47573
0.46524
0.45308
Р
0.50000
0.50710
0.51513
0.52427
0.53476
0.54691
B.266)
V
0.50000
0.45355
0.40756
0.36213
0.31738
0.27345

224
Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
приведены в табл. 10.3. Значения а, р и у при т= 1 являются
решением системы B.21):
а=аA) = 0.453,
0.273. B.27)
Найденные аналогичным образом равновесные составы при дру-
других значениях температуры представлены в табл. 10.4.
Таблица 10.4
Равновесные составы при различных температурах
Г (К)
1000
2000
3000
4000
5000
6000
а A)
0.981
0.981
0.739
0.251
0.068
0.025
3d)
0.019
0.019
0.261
0.749
0.932
0.975
V A)
0.010
0.010
0.130
0.374
0.466
0.487
10.2.2. Исследование течения в сетях трубопроводов
Расчеты сетей трубопроводов, позволяющие оценить направле-
направления и величины потоков в трубах, представляют интерес для
инженеров коммунальных служб, химиков и механиков. При ре-
Рис. 10.1. Сеть трубопроводов. Диаметры труб указаны в дюймах, расход жид-
жидкости— в фут3/с.
шении таких задач обычно полагают постоянным коэффициент
трения и используют широко распространенную формулу Хазена—
Вильямеа, связывающую расход жидкости Q через трубу с пере-
перепадом давлений Н{—Не:
,-Не = D.7/ОД6
ОД
B.28)

JO.2. Система нелинейных функциональных уравнений 225
где #i и Не—давления на входе и выходе трубы, а I и d—длина
и диаметр трубы соответственно. Коэффициент Хазена—Вильямса
Chw является эмпирической величиной. Рассмотрим в качестве
примера задачу, решенную в книге [6J классическим методом
Харди — Кросса.
На рис. 10.1 приведена сеть трубопроводов одинаковой длины
2000 фут, для которой коэффициент Хазена—Вильямса равен 100.
Требуется найти расход жидкости через каждую из пяти труб.
Выпишем уравнение B.28) для каждой трубы:
Яа-Яв = /СавC1а15, HA-Ht-kACQ\&\ B.29)
Нв-Н,, = *BCQB?\ HB-HD = kBDQB*Db,
где коэффициенты к вычисляются согласно их определению B.28)
по формуле
Л,е = D.7/С{Л (W-ee)- B.30)
При заданных Chw=100, длинах и диаметрах труб получим
kAB = 4.5492, kAC = 1.8755, kBC = 13.456,
?BD = 54.466, kCD = 4.5492.
Исключим давления из системы B.29) следующим образом.
В контуре АВСА суммарный перепад давлений равен нулю, а
именно
Отсюда
Лд.'Ж + kbcQ^-kAcQAt = 0. B.31)
Аналогичным образом суммарный перепад давлений в контуре
BDCB равен нулю, т. е.
(HB-HD)-(Hc-HD)-(HB-Hc) = 0,
и поэтому
*bdQb-d — *cdQcd*—*hcQbc6 = 0- B.32)
Кроме того, из закона сохранения масс имеем
= 7 фут'/С B.33)
7фут7с, B.34)
Qab = Qb +Qbd- B-35)
Таким образом, чтобы найти QAB. Qa^. Qbc» Qbd и QCd. необхо-
необходимо решить систему уравнений B.31) — B.35).
8 № 2018

226 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
Система уравнений, соответствующая B.12), имеет вид
1.85?AbQab5 dQAB/dx + 1.85?BCQBc5 dQBC/dx — 1.8bkkcQ\f dQACldx =
= - (^abQabo + kBCQB%-kACQA%), B-36)
1.85*bdQBd* dQB nidi — 1.85?CDQ??5 dQCD/dr — 1.85fcBCQBc6 ^Qbc/^ =
= - (*BDQbdo-^cdQ^o - *bcQb$, B.37)
dQAB/dj + dQAC/dx = - (QAB, + Qao,—7), B.38)
dQBD/di + dQCD/dr = —(Qbdu + Qcdo—7), B.39)
dQAB/dr—dQBJdx—dQBD/dx = — (QAB0—QBa>—Qbdo)- B.40)
Остается проинтегрировать эту систему по т от 0 до 1 с началь-
начальными условиями
Qcd(O) = Qcdo, B.41)
используя стандартные методы обращения матрицы и интегриро-
интегрирования. Полученные результаты представлены в табл. 10.5.
Таблица 10.5
Решения системы B.36) — B.40)
т
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Оав
3.000
2.877
2.751
2.623
2.491
2.356
«АС
4.000
4.123
4.249
4.377
4.509
4.644
<?вс
1.000
0.968
0.938
0.908
0.878
0.849
«BD
2.000
1.908
1.813
1.715
1.613
1.507
<?CD
5.000
5.092
5.187
5.285
5.387
5.493
Решением исходной системы B.31) — B.35) являются значения
величин Q при т= 1, т. е.
Qab=QabA) = 2.356, Qac = QacA)= 4.644,
Qbc = Qbc(D = 0.849, Qbd = QbdA)= 1.507,
0cd = QcdA) = 5.493.
Подставив эти значения в исходную систему B.31) — B.35), можно
проверить точность'метода.
10.2.3. Малые поперечные колебания балки под действием
растягивающей следящей силы
В этом разделе мы покажем, сколь эффективно используется
метод дифференцирования по параметру при неограниченном числе
решений.

10.2. Система нелинейных функциональных уравнений
227
вместо B.42) получаем уравнение
Рассмотрим однородную балку Бернулли — Эйлера, один коней
которой защемлен, а на другой действует растягивающая следя-
следящая сила постоянной величины Р, как показано на рис. 10.2.
Дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний около
оси х имеет вид
El diy/dxi—P д2у/дх' + р d2y/dt2 = 0, B.42)
где Е, I и р—модуль Юнга, момент инерции и линейная плот-
плотность соответственно. Вводя безразмерные переменные
B.43)
B.44)
Как обычно в таких задачах, ищем решение вида
y(l, T) = Y(l)sincoT, B.45)
удовлетворяющее граничным условиям
Y @) = dY (O)/dg --= d*Y (l)/dl2 = d3Y (\)ldV = 0.
При этом получаем следующее уравнение для частоты со:
^ + 2со2A + ch?i2 cos %%)—со/г2 shA,2smX1 = 0, B.46)
где
)ll = [(cu2 + ^4/4I/2—йа/2]1/г и ^2 = [(co2 + fe4/4I/2 + fe2/2]1/2.
Уравнение B.46) позволяет найти собственные частоты для
различных значений /г2. (Заметим, что при фиксированных /, Е
и / значение k2 пропорционально нагрузке Р.)
wo,
80 -
Рис. 10.2. Схематичес-
Схематическое изображение бал-
балки.
100
Рис. 10.3. Зависимость трех первых
собственных частот от параметра
нагрузки k2 (перепечатано из ра-
работы [7] с разрешения Американ-
Американского института аэронавтики и аст-
астронавтики).

228
Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
Андерсон и Кинг [7J нашли итерационным методом первые три
частоты' в интервале значений k2 от 0 до 100. Их результаты
представлены на рис. 10.3.
Таблица 10.6
Решения ш (т) при различных <в0 (Аа = 20) ')
1
5
10
25
40
т
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
СО(Т)
1.0000
1.2409
1.4405
1.6141
1.7695
1.9112
5.0000
4.5996
4.1398
3.5934
2.9047
1.9112
10.0000
9.2058
8.2707
7.1022
5.4592
1.9112
25.0000
25.5830
26.0660
26.4830
26.8530
27.1870
40.0000
38.6260
37.0300
35.0700
32.3920
27.1840
50
67
80
100
т
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
и(т)
50.000
47.432
44.697
41.516
37.250
27.182
67.000
67.387
67.749
68.089
68.410
68.716
8О.000
78.572
76.929
74.964
72 451
68.714
100.000
96.455
92.605
88.079
81.996
68.712
1) Перепеча1ано из работы 18] с разрешения Американского
института аэронавтики и астронавтики.

10.3. Применение метода к дифференциальным уравнениям 229
Покажем, как найти со2 методом дифференцирования по папя-
:ру (см. [8]). Дифферет
ствующее B.4). имеет вид
>i1) — йа sh X2 sin X,
метру (см. [8]). Дифференциальное уравнение для da/dx
: B.4)
[4co(l
, <в3 /sh A,2 cos Xi ch A,2sin А.Л
(D2k2 /ch X2 sin A,, sh A,2 cos ХЛ1 rfco
Vf +chXtocos3iie)—(De^shJi^sinJii,,], B.47)
где Wj — начальное приближение, т. е.
со@)=соо B.48)
и соответственно
К = [К + W4y/> — k*/2]W Хго = [К + ^4/4)^г + kV2)^.
Интегрируя от 0 до 1 уравнение B.47) при заданном k2 с началь-
начальным условием B.48), находим со A), которое и будет решением
уравнения B.46). Однако это решение зависит от принятого на-
начального приближения ю0. Выбирая значения соо близкими к пред-
предполагаемым частотам, по интегральным кривым со (т) при т=1
найдем эти частоты. В нашем случае можно начать с со0 = 0 как
с первого решения и далее последовательно увеличивать соо каж-
каждый раз на Дсоо. Сначала решения будут приближаться к первому
собственному значению, затем — ко второму и т. д. Это наглядно
показывает табл. 10.6. Для первых трех значений соо=1, 5 и 10
решения дают первое собственное значение 1.9112. Следующие
три значения со0 дают второе собственное значение 27.18. Далее
для соо=67, 80 и 100 получаем третье собственное значение 68.71.
Этот процесс можно продолжить дальше для нахождения требуе-
требуемого числа собственных значений.
10.3. Применение метода дифференцирования по параметру
к дифференциальным уравнениям
В этом параграфе дается общее описание применения метода
дифференцирования по параметру к нелинейным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям, Рассмотрим граничную задачу, определяемую
уравнением
d2y/dx* = f(x, у, dyldx, X) C.1)
и граничными условиями
аву @) + ах dy @)/dx = о„ %у (L) + p, dy (L)/dx = р„ C.2а, б)
8* № 2018

230 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
где к—физический параметр. Задача, которой мы будем зани-
заниматься, заключается в следующем.
Известно решение уравнения C.1) для одного частного значе-
значения к = к0 и требуется найти решения для значений к в интервале
Введем новую функцию ср(х), дифференцируя у(х) по к, т.е.
положим
C.3)
Предположим, что функция / непрерывно дифференцируема по
всем аргументам; тогда, продифференцировав уравнение C.1) по к,
получим
d^jdx* = (df/dy) ф + (dfldy') d<p/dx + df/дк, C.4)
где у' = ду/дх. Граничные условия после дифференцирования по к
примут вид
аоФ @) + at dq> @)/dx = 0, р0ф (I) + C, dip (L)/dx = (X C.5a, 6)
Поскольку / и ее производные берутся при к — к0, уравнение
C.4) линейно и может быть решено без итераций одним из трех
методов, описанных в гл. 2—4. Найдя ф (х) и проинтегрировав
уравнение C.3), получим
C-6)
т. е. решение у(х) при ко-\-Ак. Аналогично можно найти решения
при \-\-2hk, к^ + З&к и т.д.
Теперь применим этот метод для решения некоторых практи-
практических задач.
10.3.1. Проектирование реактора1)
Снова рассмотрим изотермический прямоточный реактор, в ко-
котором протекает химическая реакция вида
А + А — В. C.7)
Влиянием прокладки пренебрегаем, за исключением вклада в осе-
осевое смешивание. Безразмерное дифференциальное уравнение для
оставшейся доли у вещества А (см. разд. 2.2.1 и 8.2.2) имеет вид
) d'y/ds* + dy/ds—Ry» = 0. C.8)
а соответствующие граничные условия таковы:
=l. C.9а, б)
1) См. работу На и Хабиба [9],

10.3. Применение метода к дифференциальным уравнениям 231
Требуется найти решения уравнения C.8) с граничными усло-
условиями C.9) при заданных Nve и порядке реакции п для ряда
значений R. Таким образом, варьируемым параметром будет R.
Дифференцируя уравнение C.8) и граничные условия C.9)
по R, получаем
tyn C.10)
= O, C.11)
где
<p = dy/dR. C.12)
Уравнение C.10) соответствует C.4), а граничные условия C.11) —
условиям C.5).
Поскольку уравнение C.10) линейно, можно воспользоваться
методом суперпозиции из гл. 2. Представим ф в виде
q> = F + kG, - C.13)
введя неизвестный параметр
?1 = Ф@). C.14)
Граничная задача C.10), C.11) разбивается на две задачи Коши:
^ ^ ^- = 0; C.15)
S ^fG = 0, G@) = l, ^ = 0. C.16)
Искомое значение X находится из граничного условия C.11) при
s=l:
— k = [NveF (I) +dF (l)/ds]/[NveG ") + dG (l)/ds]. C.17)
В качестве примера рассмотрим случай (Vpe = 5, «=0.25, &R
пусть меняется от 0 до 0.6. При R = 0 решение г/=1 Следует
Таблица 10.7
Недостающие граничные значения у @) для уравнения C.8) (АЛ=0.02)
R
0.00
0.10
0.20
0.30
У @1
1.0000
0.9017
0.8068
0.7155
0
0
0
н
.40
.50
.60
0
0
0
У @)
.6280
.5445
.4653

Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
подчеркнуть, что при применении данного метода требуется знать
стартовое решение для одного из значений параметра. Располагая
таким y(s), интегрируем уравнения C.15) и C.16) для R=*\R,
чтобы найти F и G с их производными при 0 ^ s ^ 1. Далее по
формуле C.17) вычисляем К, а по формуле C.13) находим ф.
Наконец, интегрируя C.12), получим решение для R = AR:
У (s) |/?=дя = у (s) \R=U + ф (s) AR.
Аналогично можно найти решения для R = 2kR, ЗА^, ... (см. [9]).
Ряд граничных значений уф) приведен в табл. 10.7. Физически
они соответствуют (безразмерным) концентрациям вещества А на
выходе химического реактора.
10.3.2. Пограничный слой на клине
Теперь используем метод дифференцирования по параметру
для решения уравнений пограничного слоя жидкости на поверх-
поверхности двух пересекающихся полубесконечных пластин. Такие по-
поверхности часто встречаются в инженерных задачах (см. рис. 10.4).
Рис. 10.4. Примеры подобных течений в пограничном слое.
Дифференциальные уравнения теории пограничного слоя, полу-
получающиеся из уравнений Навье—Стокса, аналогичны уравнениям
A.1) и A.2) гл. 7, за исключением дополнительного члена, обуслов-
обусловленного тем, что скорость основного потока, т. е. скорость на
границе слоя, является теперь функцией от х. Поэтому
ди[дх+ и/ду = 0, C.18)
р (ы ди/дх + v duldy) = pUt dUjdx + ;.i д*и/ду\ C.19)

10.3. Применение метода к дифференциальным уравнениям 233
а граничные условия имеют вид
при у = 0 ы = 0, и = 0;
при у = оо u=aUe(x) = Uoo (x/L)m.
Введем, согласно равенствам
и v =
функцию тока ij>; тогда уравнение C.18) удовлетворяется тожде-
тождественно, уравнение C.19) принимает вид
(дОр/ду) д^/дх ду— (д^/дх) д2^/ду2 = Ue dlfjdx + v dstydy\ C.20)
а граничные условия записываются так:
при у — Ь dty/dx = 0
при у = оо д-ф/дг/ = t/^ (x/L)m.
При помощи преобразования подобия
2, = 1^A/2) (m+ I) UJ(vL") (y/x^-^), C.21)
Lm/(vUJ (г|)/х<1 + т>/2) C.22)
можно перейти от уравнения в частных производных C.20) к обык-
обыкновенному дифференциальному уравнению
= 0 C.23)
с граничными условиям
при т] = 0 / = 0, df/dr\ = O,
при т) = оо df/dx\= 1,
где Р = 2т/(ш+1). Уравнение C.23) обычно называют уравнением
Фолкнера—Скан. Решение его при различных значениях Р привле-
привлекало внимание как математиков-прикладников, так и аэродинами-
аэродинамиков. Единственное семейство неитерационных решений, известное
в литературе, было получено Руббертом и Ландалом в работе [10]
при помощи метода дифференцирования по параметру.
Если нужно найти зависимость этих решений от р, то есте-
естественно взять р в качестве варьируемого параметра и ввести новую
функцию
() #/др C.24)
дифференцируя / по C при постоянном г\. Далее дифференцируем
по р" уравнение C.23) и его граничные условия; это дает
fldr?—2${dfldr[)dgldr\ = (dfldr\f— 1, C.25)
dg(O)/dT] = O, dg(oo)/dT] = 0. C.26)
Интегрирование уравнения C.24) можно начать со значения
Р = 0, т. е. с уравнения Блазиуса, решение которого было найдено

234 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
в разд. 7.2.1. Подставим это стартовое решение / (х\) в уравнение
C.25), после чего из получившегося линейного дифференциального
уравнения можно найти g(r\). Хотя граничные условия заданы
в двух точках, воспользуемся методом, описанным в гл. 2. Будем
искать g (т)) в виде
n), C.27)
где С—неизвестная пока константа. При помощи этого выраже-
выражения сведем граничную задачу C.25), C.26) к двум задачам Коши:
d3F/dr\» + fd2F/drf + (dtf/dif) F — 2p (df/di\) dF/dr\ = (df/dnJ — 1,
C.28)
F@) = 0, dF@)/dx\ = 0, d2F (O)/dri2 = 0 C.29)
и
d3G/dr\3 + f d2G/drf + (d2f/drf) G — 2p {dfldx\) dGldr\ = 0, C.30)
G@) = 0, dG@)/dri = 0, d2G{O)/d\\2= 1, C.31)
а из граничного условия C.26) на бесконечности получим
r_ dF(eo)/dr\ „ „„
При поиске решения / (ц) для р = Ар функция / (т]) и ее произ-
производные, входящие в уравнения C.28) и C.30), берутся из решения
уравнения C.23), соответствующего р = 0 (см. разд. 7.2.1, решение
уравнения Блазиуса). Интегрируя C.28) — C.31), найдем F (т)),
G (ц) и их производные. В частности, по dF (oo)/d\] и dG (oo)/dr\
найдем С, а следовательно, и функцию g(r\), при помощи которой
из C.24) получим / (г\) при р = Ар. Последнее можно осуществить,
записав C.24) в виде
откуда
f (т|) |р=др = f (Ц) |р=о + g (т,) Ар. C.33)
Аналогично можно найти решения для р = 2Др, ЗАр, .,. .
В табл. 10.8 представлены типичные решения, полученные
таким способом со стартовым решением при р = 0. Рубберт и
Ландал в работе [10] аналогичным образом нашли решения для
значений р в интервалах от—0.19884 до 0 и от 0 до 1 (см. также
решение, полученное Смитом в работе [11]).
Тэн и Дибиапо в работе [12] решили уравнение C.23) для
ненулевого значения / (ц) при ц = 0 (физически это соответствует
переносу массы через границу) с граничными условиями вида
= _/(, df(O)ldr\ = O, d/(oo)/dTi=l. C.34)

10.4. Применение к системам уравнений 235
Отдельные
Р
0,00
0,05
0,10
0.15
0,20
0.25
решения уравнения
d'l (O)/dri
Описанный метод
0.4696
0.5321
0.5886
0.6406
0.6886
0.7340
Таблица 10.8
C.23)
2
Работа [10]
0,4696
0.5870
0,6867
При заданном В искались решения для различных значений К,
т. е. варьирование параметра К проводилось при фиксированном В.
Метод, использованный Тэном и Дибиано в работе [12], аналогичен
методу Рубберта и Ландала (см. [10]).
10.4. Применение к системам уравнений
10.4.1. Конечный прогиб нелинейной упругой стойки
(задача не собственные значенияI)
В § 8.4 (см. рис. 8.9) было рассмотрено неитерационное реше-
решение этой задачи на собственные значения методом преобразования.
Решим ее теперь методом дифференцирования по параметру.
Задача определяется системой дифференциальных уравнений
du/dz = sin6, D.1)
\|), D.2)
0, D.3)
а%р _ pa A —e) (wg/4) Я. sin в
dz p2(l-e)
p2(l-e) — [я8Яи/4 + е\И2 к
и граничными условиями
и@) = 0, i|>@) = 0, 6@)-об, 6A) = 0, D.5)
где е и а — заданные физические параметры. Требуется найти
собственные значения К при различных р, т. е. варьируемым пара-
параметром будет р.
*) См. работу На и Кураджана [13].

236 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
Дифференцируя D
циальных уравнений
dU/dz
dC/dz
dL/dz
dP/dz
.1) — D.5) по р, получаем систему
= (cos 0) С,
— Р,
= 0,
= h—fLL—fcC—f^J—fpP
с граничными условиями
U @) = 0,
где
U = du/dp,
Р@) = 0, С@) = 0, СA) = 0,
С = d0/dp, Р = dip/dp, L = dtydp
дифферен-
дифференте)
D.7)
D.8)
D.9)
D.10)
D.11)
и
/0 = 2р A — е) (п2/4) К sin 0G2//72,
/i = р2 A — е) (п2/4) sin 0 (F + 2Xn2uG/4)/F2,
fc = р2 A _ S) (п2/4) Я cos 0/F,
)и = 2p2 A — e) (it4/ 16) Я2 sin 0G/F2,
/p = 2p2 A — e) (я2/4) к sin 9Ge/F2,
F=p2(l-e)-(n2
G=:
Система D.6) — D.9) линейна, и поэтому ее можно свести
к двум задачам Коши, положив
U = Ux + sUv C = C, + sC2, P = P,+sP21 L = L, + sLv D.12)
где
s = L@). D.13)
Соответствующие системы уравнений и граничные условия имеют
вид
dt/1/d2=(cos0)C], dCjdz = Plt dLjdz = 0, D.14)
dPjdz^ft-f^—fcd—faU^fpP» D.15)
f/,@) = P,@) = C1@)=L1@) = 0 D.16)
= O, D.17)
d/V<fe = - hU—fcC—foUt—fpP,, D.18)
^«@) = P,@) = Ct@) = 0, D.19)
M0) = l. D.20)
Значение s находится из граничного условия
C(l) = C1(D + sC2(l) = 0, D.21)
т.е.
l D.22)

10.4. Применение к системам уравнений
237
В качестве примера рассмотрим случай а = 40°, 8 = 0.25, и
пусть р меняется от 0.1349 до 0.45. Собственное значение К при
начальном р = 0.1349 равно 0.3822.
Интегрируя систему D.1) — D.4) при начальных значениях К
и р, находим соответствующие н, 9 и ф Подставляя их в систему
D.14)—D.20), после ее интегрирования получаем U[t С,, PiwLl
(t = l, 2) при р = 0.1349 + Ар. Далее из выражения D.22) нахо-
находим s и по формулам D.12) вычисляем U, С, Р и L. Остается
только проинтегрировать систему D.11) и получить решение исход-
Собственные значения для некоторых а, 8 и р х)
Таблица 10.9
MTRJ)
A, (PD) »)
0.50
40°
0.5180
0.2772
0.2260
0.1951
0.1789
0.8051
0.6914
0.6641
0.6471
0.6381
0.8012
0.6900
0.6634
0.6469
0.6380
80°
0.5284
0.3321
0.2606
0,2068
0.1901
0.8377
0.7722
0.7469
0.7274
0.7212
0.8347
0.7710
0.7464
0.7271
0.7211
0.75
40°
0.5618
0.3145
0.2594
0.2256
0.2072
0.9467
0.8899
0.8751
0.8656
0.8603
0.9440
0.8892
0.8747
0.8655
О:8603
0,4598
0.3393
0.2808
0.2448
0.2247
1.0570
1.0358
1.0251
1.0184
1.0146
1.0560
0.0353
1.0249
1.0183
1.0146
') Перепечатано из работы [13] с разрешения Американского института аэронавтики и
астронавтики.
2) TR — метод преобразования.
8) PD — метод дифференцирования по параметру

238 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
ной системы D.1) — D.4) при р = 0.1349 + Др. Тогда
и (г) /р=0.1Я49 +др = «(г) |p=o.i34» + U (г) Ар,
а 6 (г) и ij>(z) находятся аналогичным образом. Заметим, что соб-
собственное значение к не зависит от г и вычисляется по формуле
к |р = 0. 1349+Др — Л [р=о
Повторяя описанную процедуру, можно найти решения системы
D.1) —D.4) при р = 0.1349 + 2Ар, 0.1349 + ЗДр Отдельные
результаты приведены в табл. 10.9
вместе с решениями, полученными ме-
методом преобразования (см. § 8.4).
и" 10.4.2. Естественная конвекция вдоль
полубесконечной вертикальной пластины
Движение жидкости, возникающее
под действием силы тяжести, называет-
называется естественной конвекцией. Рассмот-
Рассмотрим в качестве примера течение вдоль
поверхности полубесконечной плас-
пластины, как показано на рис. 10.5.
Скорость жидкости в точках, находя-
находящихся далеко от пластины, равна
нулю. Если температуры пластины
и жидкости различны, то из-за изме-
изменения плотности жидкости возникает
Рис. 10.5. Схематическое ияо- ее движение вблизи пластины. При
бражение пластины. этом представляет интерес зависи-
зависимость потока тепла от разности тем-
температур, размеров пластины и физических свойств жидкости.
Дифференциальные уравнения непрерывности, изменения им-
импульса и энергии имеют вид
ди/дх + dv/dy = 0, D.23)
и ди/дх + и ди/ду = v д*и/ду* + g [(TV—TJ/TJ 9, D.24)
и дв/дх + v дв/ду = а дЮ/ду2, . D.25)
а граничные условия—вид
при # = 0 и = 0, У=0, 6=1,
при у—оо ы = 0, 6=-0,
где и и v — компоненты скорости в направлениях х и у соответ-
соответственно,

10.4. Применение к системам уравнений 239
— безразмерная температура, a g, Tv, Т^ и а—ускорение силы
тяжести, температуры пластины и жидкости на бесконечности и
коэффициент температуропроводности соответственно.
Введем, согласно равенствам
и == dty/dy и v = —
функцию тока ф, а затем при помощи преобразования подобия
I
(ц), C = [gG\,—TJ/Dv*Tj]lJ' D.26)
сведем систему D.23) —D.25) к двум обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнениям
d3F/diy + 3F d2F/drf —2 (dF/dr\J + 6 = 0, D.27)
d20/dT]2 + 3NvtF dQ/dn = 0 D.28)
с граничными условиями
при т| = 0 F @) = 0, dF @)/dr\ = 0, 0 @) = 1,
при т] = оо dF (oo)/dr\ — 0, 0(оо) = О,
где Л^рг — число Прандтля. Требуется найти решения этой системы
при различных Afpr. Сначала продифференцируем уравнения и
граничные условия по Afpr и получим уравнения
— 4 (dF/di\) dgldr\ + S = 0, D.29)
3F dB/dr) + 3NVTg dQ/dr\ + 3NftF dSldr\ = 0 D.30)
и граничные условия
при т] = 0 g@) = 0, dg@)/dT! = 0, S@) = 0,
при т] = оо dg {oo)ldr\ = 0, S(oo) = 0,
где
g = dF/dNw, S=dQ/dNvr D.31)
Поскольку уравнения D.29) — D.30) линейны, можно ввести
три задачи Коши. Пусть
=ft+ *& + №.
( >

240 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
тогда
~Sf + 3 W gl + 3F ~d^~~ 4 ~Щ Ч^ + Si = °'
drf 8* + *г drf * d-ц
-0
= 0, Sl@)=0,
ft(O) = %P=o, -M=i, 5з(О) = ^1=о.
Начальные условия в этих задачах сформулированы на основе
граничных условий при ц = 0, причем
k = dS(O)/dr\.
Наконец, граничные условия на бесконечности дают систему
(°o)/dt\ + ц dgs (oo)/dr\ = — dgj. (oo)/dr\,
из которой находим к и ^:
i — Sg(oo)dg1(oo)/dTi
— St (oo) dg2 (oo)/dTi
f* S3(oo)dg2(oo)/di1-SI!(oo)dfi's(oo)/dTi* ^tO^
Последовательность вычислений аналогична использованной
в разд. 10.4.1 (см. работу [14]). Найденные решения представлены
в табл. 10.10 и хорошо согласуются с результатами, полученными
Острахом в работе [15]. В каждом наборе решений производные
d2F (O)/df\2 и d0 (O)/df\ для начального ./Vpr считаются известными,
а для остальных Л^рг находятся методом дифференцирования по
параметру.
Плотность потока тепла находится по формуле
-k (дТ/ду)у=0 = — kCx-1'* dQ (O)/dr\,

10.5. Общее параметрическое отображение . 241
л/
V
0.72 2)
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.06
0.04
0.01
2.004)
3.00
4.00
. 5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
Некоторые
Описанный
d*F @)fdr\2
0.6760 3)
0.6946
0.7131
0.7354
0.7633
0.8009
0.8590
0.8961
0.9221
0.9887
0.5713 3)
0.5312
0.5036
0.4827
0.4660
0.4522
0.4405
0.4304
0.4215
решения
метот
</6 @)/<Jti
—0.5046
—0.4725
—0.4420
—0.4066
—0.3641
—0.3101
—0.2326
—0.1864
—0.1556
—0.0817
—0.7165
—0.8145
—0.8898
—0.9517
—1.0047
—1.0512
—1.0930
—1.1390
—1.1658
системы D.27), D.28) г
Остр ах
i*F (O)ldrf
0.6760
0.9862
0.5713
0.4192
Таблица 10.10
[15]
dQ @)/dr\
—0.5046
—0.0812
—0.7165
—1.1694
') Перепечатано нз работы [14] с разрешения International Journal of Heat and Mass
Transfer.
') Для этого набора решений AN f =—0.005.
3) Начальные решения взяты из работы Остраха [15], а остальные получены методом
дифференцирования по параметру.
4) Для этого набора решений AN f = 0.05.
или
qJikCx-1'*)^ — dQ@)/dr\. '
Отсюда видно, что dQ @)/dr\, полученные описанным выше метолом
для различных значений N9t, нужны при вычислении плотности
потока тепла.
10.5. Общее параметрическое отображение (ОПО) Кубичека
и Главачека
В этом параграфе мы кратко опишем метод общего параметри-
параметрического отображения (ОПО) Кубичека и Главачека (см. работы [2] и
[16—20]). Хотя этот метод схож с описанным выше, он дает аль-
альтернативный подход к решению подобных задач.

242 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
Рассмотрим граничную задачу, определяемую дифференциаль-
дифференциальным уравнением второго порядка
d2y/dx2 = / (х, у, dy/dx, a) ' E.1)
и граничными условиями
= yo, E.2)
Vi, E.3)
где а — некоторый физический параметр. Требуется найти решения
при различных значениях а.
Обозначим неизвестное начальное значение через А, т.е. по-
положим
вместе с граничным условием E.2) это дает
у@) = А, p0dj/@)/dx = Yo—«И- E-4)
Очевидно, А —функция от параметра а; найдем для нее диффе-
дифференциальное уравнение.
Сначала продифференцируем уравнение E.1) и начальные усло-
условия E.4) по а и получим уравнение
d2q/dx2 = (df/ду) q + (df/ду') dq/dx + df/да E.5)
(здесь у' = dy/dx) с начальными условиями
<7@) = 0, dq{0)/dx = 0, E.6)
где
q = dylda. E.7)
Далее, продифференцировав E.1) и E.4) по А, получим уравнение
d2p/dx2 = (df/ду) р + (df/ду') dp/dx. E.8)
и начальные условия
р@)=\, dp(O)/dx = ~ao$o, E.9)
где р = ду/дА .
Учитывая зависимость у от А и а и граничное условие E.3),
введем функцию
F(A, a) = aly(b)+hdy(b)/dx — y,. E.10)
Для искомой функции А (а) выполняется соотношение
(dF/дА) dA + ydF/да) da = 0,
откуда
' EЛ1>

10.5. Общее параметрическое отображение 243
Подставляя сюда выражение E.10) для F, получаем дифферен-
дифференциальное уравнение для недостающего начального значения А
(как функции параметра а):
dA a
da" al
Это уравнение можно проинтегрировать численно, используя
при вычислении его правой части решения задач Коши E.5),
E.6) и E.8), E.9).
Детали метода будут рассмотрены ниже на примере уравнения
Фолкнера—Скэн. Читателей, интересующихся приложениями ме-
метода к другим задачам, например решением систем дифференци-
дифференциальных уравнений и нахождением решений вблизи точек ветвле-
ветвления, мы отсылаем к работам Кубичека и Главачека [2, 16—20]
и к указанной в них литературе.
Уравнение Фолкнера — Скэн
Вернемся к поставленной в разд. 10.3.2 задаче о погранич-
пограничном слое на . полубесконечном клине. Преобразованием перемен-
переменных уравнения теории пограничного слоя сводятся к обыкновен-
обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению
= 0 E.13)
с граничными условиями
f@) = 0, #@)/dr|.= 0, E.14)
df (oo)/dr)=l. E.15)
Покажем, как решать это уравнение с помощью метода ОПО
(см. работу [16]).
Введем недостающее начальное условие
= A, E.16)
где величина А является функцией параметра р. Выведем диф-
дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта
функция.
Дифференцируя по А уравнение E.13) и начальные условия
E.14), E.16), получаем уравнение
dsg/dyK + (di/di)*) g + ftPg/drf — 2p {df/dr\) dg/dr\ = 0 E.17)
и начальные условия
g@) = 0, dg@)/dr\ = 0, d2g@)/drJ=l, E.18)
где
E.19)

244 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
Далее, дифференцируя E.13), E.14) и E.16) по р, получаем
уравнение
с начальными условиями
S<0) = 0, dS@)/dr\ = 0, diS@)/dr\*-=0, E.2l)
где
S^df/ф. E.22)
Наконец, поскольку d//dr}—функция от Л и Р, введем на осно-
основании граничного условия E.15) во второй точке функцию
F(A, P) = #(oo)/dT)—1. E.23)
Для искомой функции А ф) справедливо соотношение
(dF/дА) dA -f (<3F/dP) d$ = О,
откуда
rfp ~ dF/дА ' @-?V
Подставляя в E.24) выражение E.23), получаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение для А ф):
dA d
Считая, что решение уравнения E.13) при Р = 0 известно, най-
найдем решения при E = Др, 2А|3, ЗАр, ... следующим образом.
Сначала интегрируем две задачи Коши: E.17), E.18) и E.20),
E.21); при этом функции f, df/dr\, d2f/drf берутся для предыду-
предыдущего значения р (на первом шаге для р = 0). Значение г\, при
котором перестает меняться отношение
dS (тр/dri
dg (tl)/dT) '
рассматриваем как г\ = оо и прекращаем интегрирование. Таким
образом получается значение
подстановка которого в E.25) дает dA/dfi, а затем очередное зна-
значение
А (дДр) = Л [(я— 1) Ар]—f ^^ Ар. E.27)
v ^ LV 7 п <fe (oo)/dT) (Л-1)др
Так как Л (лАр) известно, то можно найти решение уравнения
E.13) при fi = nAp, интегрируя это уравнение с начальными ус-
условиями E.14) и E.16).

10.6. Метод продолжения Робертса и Шипмана 245
Таблица 10,11
Значения da/@)/dr)B для некоторых
вариантов задачи E.13)
Э ОПО Итерационный метод [221
0.00 0.4696 0.4696
0.05 0.5322
0.10 0.5887 0.5870
0.15 0.6406
0.20 0.6889 0.6867
0.25 0.7342
0,30 0.7770
0.35 0.8177
0.40 0.8566 0.8544
Типичные решения, полученные по описанной выше схеме,
приведены в табл. 10.11. Решения для других значения р можно
найти в работе [21]. Видно, что метод ОПО точнее метода диф-
дифференцирования по параметру, изложенного в разд. 10.3.2, и
представляет другой подход к решению уравнения Фолкнера—
Скэн.
10.6. Метод продолжения Робертса и Шипмана1)
Концепция продолжения, как отмечает Лихтенштейн в книге
[1], прослеживается в математической литературе с 1869 г.
(Шварц). Первоначально она использовалась в теории конформ-
конформных отображений Последующее ее применение для функциональ-
функциональных уравнений отражено в работах Бернштейна [23], Лере и
Шаудера [24], Лере [25], Фридрихса [26], Фиккена [27] и в ли-
литературе, указанной в этих работах. Роберте и Шипман (см. ра-
работы [28—30]) внесли большой вклад в развитие ее как метода
решения (наряду с другими методами) различных прикладных
задач. По Существу идея метода аналогична соображениям, рас-
рассмотренным выше, а именно решение операторного уравнения
F (х, X) = 0 для заданного к ищется на основе известного реше-
решения при некотором значении параметра к0. Основное различие
заключается в том, что первое интегрирование по независимой
переменной проводится на интервале, меньшем заданного. Когда
решение на этом интервале найдено, производится продолжение
решения на больший интервал, где оно ищется снова. Такая
1) См., например, работу |3j.

246 Гб. 10. Метод дифференцирования по параметру
процедура повторяется до тех пор, пока не будет найдено реше-
решение на всем заданном интервале.
Полное описание метода с подробно разобранными примерами
содержится в работах Робертса и Шипмана [3, 28—30]; поэтому
мы продемонстрируем общую схему метода на одном из практи-
практических примеров.
Задача Трёша
Граничная задача, поставленная Вейбелом [31] и Трёшем [32],
первоначально была связана с исследованием обжатия плазмен-
плазменного шнура давлением излучения. Из-за жестких ограничений ее
решение не представляет особого физического интереса Значи-
Значительный интерес, проявленный к ней в последние годы специа-
специалистами по численным методам (см. работы [33—38]), в основном
объясняется тем, что она является хорошим тестом для проверки
методов решения неустойчивых нелинейных граничных задач.
В безразмерных переменных задача Трёша сводится к реше-
решению уравнения
= nshny F.1)
с граничными условиями
0@) = 0, 0A)= 1. F.2)
Прежде чем приступать к описанию метода, проведем квази-
квазилинеаризацию уравнения F.1) по схеме, изложенной в § 5.4.
В результате получим линеаризованное уравнение
у v+1> = ?<v) F.3)
с граничными условиями
y<v+i>@) = 0, #(V+1)A)= ' 0, F.4)
где v—номер итерации, а
ф{*> = — п2 ch nylv\
q><2V) = п sh ny(v)—n2ylv> ch ny(v\
Для того чтобы начать итерации, необходимо задать начальное
приближение уш(\ = 0). Это можно сделать следующим образом.
Перепишем уравнение F.1) в виде
d2yM)/dx2 = nshyi0\ F.5)
возьмем граничное условие при х = 0
г/°> = 0 F.6)
и зададим начальное значение dyi0) @)/dx. Скорость сходимости
метода зависит от того, насколько оно близко к точному значе-

10.6. Метод продолжения Робертса и Шипмана 247
нию dy(O)/dx. Так, для « = 0.1 точное значение dy{0)/dx = 0.9984.
Однако для демонстрации метода возьмем начальное значение,
заметно отличающееся от точного, а именно
dyw @)/dx = 5. F.7)
Метод продолжения дает последовательный способ приближения
к решению задачи. Необходимо проделать следующие действия.
Таблица 10.12
Решение задачи F.1), F.2) методом продолжения (я = 0.1)
К
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
v=0
0.0000
0.5000
1.0001
v=l
0.0000
0.5000
1.0000
0
0
0
0
1
v = 3
.0000
.2499
.4999
.7499
.0000
v = 5
0.0000
0.1666
0.3332
0.4998
0.6644
0.8332
1.0000
v = 7
0.0000
0.1249
0.2498
0.3447
0.4996
0.6246
0.7497
0.8748
1.0000
v = 9
0.0000
0.0998
0.1997
0.2996
0.3994
0.4994
0.5994
0.6994
0.7995
0.8997
1.0000
1. Интегрируем уравнение F.5) с условиями F.6) и F.7) как
обычную задачу Коши. Заметим, что окончательное решение y<v) (x)
должно принимать значение у = 0 при х = 0 и значение у=\ при
х=\. Поскольку выбранное начальное значение первой произ-
производной приблизительно в пять раз больше точного, следует ожи-
ожидать, что yi0) (x) достигнет 1 при х, меньшем 1. Как видно из
табл. 10.12, это произойдет уже при # = 0.20. Поэтому в качестве
отрезка интегрирования мы (пока незаконно) возьмем [0, 0.2].
2. Используя в качестве начального приближения ут (х), по-
полученное на шаге 1, решим любым описанным ранее методом
уравнения F.3) с откорректированными граничными условиями
y'v+i>@) = 0 и y(V+l>@.2)= 1.0.
Подчеркнем, что отрезок интегрирования здесь меньше заданного
и равен [0, 0.2]. Отсюда мы получим первое приближение у{1) (х)
исходной граничной задачи, но на меньшем отрезке [0, 0.2].
3. Воспользуемся полученным на шаге 2 решением уA) (я) и
перейдем от [0, 0.2] к отрезку большей длины, например [0, 0.3].

248 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
При вычислении ф^1' и ф^1' в уравнении F.3) используем уа> (х)
на отрезке [0, 0.2] и значение г/1'@.2) на отрезке [0.2, 0.3].
Далее решаем уравнение F.3) (полагая v= 1) с граничными усло-
условиями
г/<?>@) = 0 и г/2)@.3) = 1.0
на отрезке [0, 0.3].
4. Повторяем шаг 3, увеличивая отрезок интегрирования, на-
например, до [0, 0.4].
5. Выполняем шаг 4 до тех пор, пока отрезок интегрирова-
интегрирования не станет равным [0, 1.0], что будет соответствовать реше-
решению граничной задачи F.1), F.2).
Численные результаты, полученные по описанной выше схеме,
представлены в табл. 10.12. С задачами для больших значений л,
когда решение становится неустойчивым, читатель может позна-
познакомиться в работах [33—38].
10.7. Заключительные замечания
В этой главе мы занимались в основном решением граничных
задач, зависящих от параметра. Был рассмотрен ряд отличаю-
отличающихся в деталях методов, в основе которых лежит одна общая
идея. Поиск решения граничной задачи для заданного значения
параметра проводится на основе известного решения для некото-
некоторого другого значения параметра. Идея метода заключается в том,
чтобы, используя это известное решение в качестве начального
приближения, найти решение для близкого значения параметра.
Последовательно увеличивая каждый раз значение параметра на
небольшую величину, мы таким образом достигнем заданного
значения параметра и получим искомое решение задачи. Считая
изменение параметра непрерывным, нужно дифференцировать
уравнения и граничные условия задачи по параметру. В случае
нелинейных граничных задач применение такого подхода равно-
равносильно линеаризации, когда исходная задача приводится к ли-
линейной граничной задаче, причем итерации оказываются не обя-
обязательными— при каждом приращении параметра решение нахо-
находится за один проход. Для граничных задач, чувствительных к
начальному значению, этот метод позволяет проследить изменение
решения от одного значения параметра к другому. Математиче-
Математическим обоснованием метода продолжения довольно много занима-
занимались Роберте и Шипман [3, 29]. Читателям, интересующимся бо-
более полным описанием этого метода, мы рекомендуем обратиться
к книге Уэккера [39].

Задачи 249
Задачи
1. При исследовании работы змеевика холодильника [40] температура про-
протекающей по нему жидкости находится из нелинейного уравнения
Г-2ехрB100/Г) — l.ll-10" = 0.
Решить это уравнение методом дифференцирования по параметру.
Ответ: 7 = 551.774 °R.
2. В работе [411 нужно было найти наименьший положительный корень
уравнения
АВ [ВA— хJ— АхЩ[х(А — В) + В]2 + 0.14845 = 0.
Решить эту задачу при помощи метода дифференцирования по параметру при
Л = 0.38969 и В = 0.55954.
Ответ: дг = 0.691471.
3. Поведение неньютоновских жидкостей представляет интерес для спе-
специалистов по химической технологии. При исследовании естественной конвек-
конвекции таких жидкостей между параллельными пластинами Брюс и На [42] пока-
показали, что скорость жидкости представляется решением граничной задачи
?~* —;¦ 0@) = 0, иA) = 0.
Найти распределение скорости при а=0.01 и при р из отрезка [0.1, 1.0]. При
а = 0.01 и Р = 0.1 недостающее начальное значение do @)/ds=0.0299.
Ответ: при а = 0.01 и р = 1.0 dv @)/rfs = 0.1642.
4. При исследовании переноса тепла и массы с одновременным протека-
протеканием экзотермической химической реакции в каталитическом реакторе Куби-
чек и Главачек [2] установили, что концентрация реактанта является реше-
решением граничной задачи
+РA—У)
Найти недостающее начальное значение #@) при изменении б от 0 до 0.14 и
при y = 20, E = 0.4 и а — 0. За стартовое решение принять решение у @) = 1
при 6 = 0.
Ответ: у@) = 0.9 при 6 = 0.11429 и (/@) = 0,8 при 6 = 0.13734.
5. При исследовании течения в двумерном канале с однородными пори-
пористыми стенками, проницаемыми для жидкости, получается следующая гранич-
граничная задача для распределения скорости [43]:
= 0, cPf
Решить эту задачу методом дифференцирования по параметру при изменении
R от 0.2 до 2.0. За стартовое решение принять решение при /? = 0.133121 и
d2f(l)/dr\2=— 3.01159, cPf(l)/drf =2.69213.
Ответ: при i? = 1.31066 и 2.15638 cfa/ (l)/<ir|2 = — 3.13103 и —3.2392 соот-
соответственно, а
d»f(\)/dr\* = 3—(81/35) R + D68/35.770) R2.
6. При изучении особенностей ударных волн для определения полной эн-
энтальпии в работе [44] была сформулирована следующая граничная задача:

260 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
Найти решения Н при изменении параметра К от 0.01 до 0.1 при Ntt=\0 и
п — 5. За стартовое решение принять решение при К —0.01 с недостающим
начальным значением dH @)/dx, равным 2.5145.
Ответ: при /С = 0.1 dH @)/dx = 2.41065.
7. В работе Нэта [45] были рассмотрены уравнения пограничного слоя в
области застоя, образующейся при обтекании пористого изолированного затуп-
затупленного тела вращения сжимаемой проводящей жидкостью. Соответствующая
граничная задача имеет вид
cPf/drf + /d^W + P {g [l + M(l-gdf/dr\)\-(df/dr\f} =0,
<Pg/dr\* + NVIf
= K, df(O)/di\ = O, g@) = 0, df(ao)/dr\=l,
где / и g — безразмерная функция тока и безразмерная энтальпия, М — пара-
параметр, характеризующий влияние магнитного поля, К—коэффициент переноса
массы, /Vpr — число Прандтля, а Р—параметр градиента давления, в данной
задаче равный 0.5.
Найти решения этой задачи при К = 0.5, /Vpr = 0.72 и при изменении М
от 0 до 2. Недостающие начальные значения при М = 0 таковы: d2f @)/А]2 =
= 0.9278 и dg@)/dr\ =0.7086.
Ответ; при М = 2 d5/ @)/dr]3 = 1.1881 и dg (O)/dr) = 0.7389.
8. После преобразования подобия уравнения пограничного слоя в сжима-
сжимаемой жидкости принимают вид
$[S — (d//dr]J] = O,
а граничные условия — вид
) = 0, df (O)/dti = 0, d/(oo)/dti=l, S@)=5w, S(oo) = l.
Найти решения этой задачи методом дифференцирования по параметру [46]
при Sw=0.2 и при изменении E от 0 до 2. Недостающие начальные значения
при E = 0 таковы: d3f @)/drJ = 0.4696 и dS (O)/dr] = 0.3757.
Ответ: при 0 = 2 d2/ @)/dti2 = 0.9489 и dS @)/di\ = 0.4339.
Литература
[1] Лихтенштейн (Lichtenstein L.). Kontinuitatsmethods in Qebiete der konfor-
men Abbildung.— In: Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften,
IIC3 (Potentialtheorie, konforme Abbildung). Lepzig: 1970, sect. 46, S.
346—352.
[2] Кубичек, Главачек (Kubicek M., Hlavacek V.). Solution of nonlinear bo-
boundary value problems.— Va: A novel method: General parameter mapping
(GPM)-.— Chem. Eng. Sci., 1972, v. 27, p. 743—750.
]3] Роберте, Шипман (Roberts S. M., Shipman J. S.). Two-point boundary
value problems: Shooting methods.— New York: Elsevier, 1972, Ch. 7.
[4] Кейн (Kane T. R.) Real solutions of sets of nonlinear equations.— AIAA J.,
1966, v. 4, p. 1880—1881. [Имеется перевод: Ракетная техника и космо-
космонавтика, 1966, № 10, с. 244.]
[5] Яковлев М. Н. К решению систем нелинейных уравнений методом диф-
дифференцирования по параметру.— ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, № 1, с. 146—
149.
[6] Стритер (Streeter V. L.). Fluid mechanics handbook.— New York: McGraw-
Hill, 1961.
[7] Андерсон, Кинг (Anderson J. t\., King W. W.). Vibration of a cantilever
subject to a tensile follower force.—AIAA J., 19G9, v. 7, 741—742. |Имеется
перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1969, № 4, с. 204.]

Литература 251
[8] Чью, На (Chiou J. P., Na T. Y.)- Solution of lateral vibration of a can-
cantilever subjected to a tensile force by parameter differentiation.— AIAA J.,
1975, v. 13, 1233—1234. [Имеется перевод: Ракетная техника и космонав-
космонавтика, 1975, № 9, с. 120.]
[9] На, Хабиб (Na Т. Y., Habib I. S.) Nonitarative solution of a boundary
value problem in reactor design by parameter differentiation.— Chem. Eng.
Sci., 1974, v. 29, p. 1669—1670.
[10] Рубберт, Ландал (Rubbert P. E., Landahl M. Т.). Solution of nonlinear
flow problems through parameter differentiation.— Phys. Fluids, 1967, v. 10,
[И] Смит (Smith A. M. O.).—Inst. Aeronaut. Sci. fund paper FF-10, 1954.
[12] Тэн, Дибиано (Tan С. W., DiBiano R.). A Study of Falkner —Skan prob-
problem with mass transfer.—AIAA J., 1972, v. 10, 923—925. [Имеется пере-
перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1972, № 7, с. 90.]
[13] На, Кураджан (Na Т. Y., Kurajian Q. M.). Solution of an eigenvalue
problem by parameter differentiation.—AIAA J., 1975, v. 13, p. 220—222.
[Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1975, №2, с. 119.]
[14] На, Хабиб (Na Т. Y., Habib I. S.). Solution of the natural convection
problem by parameter differentiation.— Int. J. Heat Mass Transfer, 1974,
v. 17, p. 457—459.
[15] Острах (Ostrach S.). An analysis of laminar free-convection flow and heat
transfer about a flat plate parallel to the direction of the generating body
force.—NACA Rep. No. 1111, 1953.
[16] Кубичек, Главачек (Kubicek M., Hlavacek V.). Solution of nonlinear boun-
boundary value, problems.— III: A noval method: Differentiation with respect to
an actual parameter.—Chem. Eng. Sci., 1971, v. 26, p. 705—709.
[17] Solution of nonlinear boundary value problems.—VIII: Evaluation of
branching points based on shooting method and QPM technique.— Chem.
Eng. Sci., 1974, v. 29, p. 1695—1699.
[18] Solution of nonlinear boundary value problems.— IX: Evaluation of
branching points based on the differentiation with respect to boundary con-
conditions.—Chem. Eng. Sci., 1975, v. 30, p. 1439—1440.
[19] Кубичек (Kubicek M.). Evaluation of branching points for nonlinear boun-
boundary value problems based on QPM technique.—Appl. Math. Comput., 1975,
v. 1, p. 341—352.
[20] Кубичек, Главачек (Kubicek M., Hlavacek V.). Direct evaluation of bran-
branching points for equations arising in the theory of explosions of solid explo-
explosives.—J. Comput. Phys., 1975, v. 17, p. 79—86.
[21] Ha (Na T. Y.). General parameter mapping of the Falkner—Skan equations.—
Paper No. 11, presented at the 11th Ann. Meet. Soc. Eng. Sci., Duke Univ.,
North Carolina, 11—13 November 1974.
[22] Себеси, Келлер (Cebeci Т., Keller H. В.). Shooting and parallel shooting
methods for solving the Falkner—Skan boundary layer equation.— J. Com-
Comput. Phys., 1971, v. 7. p. 289—300.
[23] Бернштейн (Bernstein S.). Sur la generalisation du probleme de Dirichlet.—
Math. Ann., 1906, B. 82, S. 253—271; 1910, B. 89, S. 82—136.
[24] Лере, Шаудер (Leray J.,Schauder J.). Topologie et equations fonctionelles.—
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1934, t. 51, p. 45—78.
[25] Лере (Leray J.). Les problemes de representation conforme d'Helmholz;
theorie des sillages at des prones.—Comment. Math. Helv., 1935/1936, v. 8,
p. 149—180, 250—263.
B6] Фридрихе (Friedrichs K. O.) Functional analysis.— Inst. Math. Mech., New
York Univ. Press, 1950, Ch. 9, 10.
[27] Фиккен (Ficken F. A.). The continuation method for functional equations.—
Commun. Pure Appl. Math., 1951, v. 4, p. 435—456.
[28] Роберте, Шипман (Roberts $. M., Shipman J. S.). Continuation in shooting

252 Гл. 10. Метод дифференцирования по параметру
methods for two-ppint boundary value problems.— J. Math. Anal. Appl.,
1967, v. 18, 45—58.
[29] Justification for the continuation method in two-point boundary value
problems.- J. Math. Anal. Appl., 1968, v. 21, p. 23—30.
[30] Роберте, Шипман, Рот (Roberts S. M., Shipman J. S., Roth С V.). Con-
Continuation in quasilinearization.—J. Optimization Theory Appl., 1968, v. 2,
p. 164—178.
[31] Вейбел (Weibel E. S.). Confinement of a plasma column by radiation pres-
pressure.— In: The plasma in a magnetic field (R. К. М. Landshoff, ed.).—
Stanford: Stanford Univ. Press, 1958.
[32] Трёш (Troesch B. A.). Intrinsic difficulties in the numerical solutions of a
boundary value problem.— Internal Rep; NN-142, TRW Inc., Redondo
Beach, California, 1960.
[331 Роберте, Шипман (Roberts S. M., Shipman J. S.). Solution of Troesch's
two-point boundary value problem by a combination of techniques.— J.
Comput. Phys., 1972, v. 10, p. 232—241.
134| Джонс (Jones D. J.). Solutions of Troesch's and other two-point boundary
value problems by shooting techniques,— J. Comput. Phys., 1973, v. 12,
p. 429—434.
[35] Кубичек, Главачек (Kubicek M., Hlavacek V.). Solution of Troesch's two-
point boundary value problem by shooting technique.— J. Comput. Phys.,
1975, v. 17, p. 95—101.
[36] Чью, Ha (Chiou J. P., Na T. Y.). On the solution of Troesch's nonlinear
two-point boundary value problem using an initial value method.— J. Com-
Comput. Phys., 1975, v. 19, p. 311—316.
[37] Трёш (Troesch B. A.). A simple approach to a sensitive two-point boundary
value problem. - J. Comput. Phys., 1976, v. 21, p. 279—290.
[38] Роберте, Шипман (Roberts S. M., Shipman J. S.). On the closed form solu-
solution of Troesch's problem.—J. Comput. Phys., 1976, v. 21, p. 291—304.
[39] Уэккер (Wacker H. J.). Continuation methods,— New York: Academic
Press, 1978.
[40] Билоуз, Амундсон (Bilous О., Amundson N. R.)—Am. Inst. Chem. Eng.
J., 1955, v. 1, p. 513.
141] Шахам, Кехат (Shacham M., Kehat E.).—Chem. Eng. Sci., 1972, v. 27,
p. 2099-2101.
[42] Брюс, Ha (Bruce R. W., Na T. Y.).— ASME paper 67-WA/HT-25.
[43] Террил (Terril R. M.).—Aeronaut. Q., 1964, v. 15, p. 299—310.
|44) Мерем (Nerem R. M.)—AIAA J., 1966, v. 4, p. 539—541. [Имеется пере-
перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1966, № 8, с, 220. |
D5] Нэт (Nath G.).— AIAA J., 1973, v. 11, p. 1429—1132. (Имеется перевод:
Ракетная техника и космонавтика, 1973, № 10, с. 94.]
146| На (Na Т. Y.).—AIAA J., 1973, ;. 11, p. 1790—1791. [Имеется перевод:
Ракетная техника и космонавтика, 1973, № 12, с. 223.]

Глава 11
МЕТОД ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ
11.1. Введение
Концепция инвариантности впервые была использована для
преобразования граничной задачи в задачу Коши В. А. Амбар-
цумяном [1] при изучении процессов рассеяния в атмосфере.
Чандрасекар [2] распространил такой подход на задачи о пере-
переносе лучистой энергии и назвал его «принципом инвариантности».
В последующие годы этот подход интенсивно изучался и обоб-
обобщался Беллманом, Калабой и их коллегами (см. [3—8]) и полу-
получил свое современное название «метод инвариантного погружения».
Этот метод оказался очень подходящим для решения различ-
различных физических и прикладных задач. Основные его приложения
относятся к задачам переноса нейтронов [5, 9], переноса лучистой
энергии [2, 5], случайного блуждания и рассеяния [6], распро-
распространения волн [6, 7], динамики разреженного газа [3], решения
уравнений движения в форме Гамильтона [8] и расчета течения
в химических реакторах [10]. Весьма полную библиографию ра-
работ, выполненных до 1962 г., можно найти в книгах Уинга [9]
и Беллмана с соавторами [5]. По поводу более поздних работ
см. книги Ли [10], Мейера [11] и Скотта A2].
Метод инвариантного погружения по сути своей отличается
от того классического подхода, в котором изучение частного ре-
решения дифференциального уравнения также проводится при помощи
изучения некоторого семейства решений. И хотя погружение может
показаться действием, скорее усложняющим, чем упрощающим
задачу, оно оправдывается тем, что позволяет связать частную
задачу с другими задачами семейства и, рассматривая такую взаи-
взаимосвязь между близкими задачами, найти характеристики реше-
решения частной задачи. Именно этому аспекту метода инвариантного
погружения и будет посвящена данная глава; более полное изло-
изложение метода можно найти в упомянутых выше книгах и многих
других публикациях.
11.2. Понятие инвариантного погружения
Инвариантное погружение позволяет сводить граничные задачи
к задачам Коши путем введения новых переменных состояния
и включения («погружения») конкретной задачи в семейство по-

254 Гл. 11. Метод инвариантного погружения
добных ей задач. В данном параграфе мы вкратце объясним
смысл этого утверждения.
Рассмотрим граничную задачу, определяемую обыкновенным
дифференциальным уравнением второго порядка
d*x/dt* = g(x, dxldt, t) B.1)
и граничными условиями
*@) = 1, dx(l)/dt = 0,
и постараемся найти "неизвестное значение dx(Q)/dt.
Сначала представим уравнение B.1) в виде системы двух диф-
дифференциальных уравнений первого порядка
dxldt = у, dyldt = g (x, у, t); B.2)
тогда граничные условия запишутся как
*@) = 1, г/A) = 0, B.3)
И теперь нам нужно будет найти у@).
Граничная задача B.2), B.3) является элементом семейства
граничных задач, определяющихся системой уравнений
dxldt = у, dyldt = g [x, у, t) B.4)
и граничными условиями
х(а) = с, */A)=0, B.5)
где а и с—вещественные постоянные. Беря различные пары зна-
значений а и с в первом из граничных условий B.5), можно полу-
получить все семейство граничных задач. Задача B.2)—B.3) является
одним из элементов этого семейства, который соответствует зна-
значениям а = 0 и е= 1.
Итак, введенное нами семейство граничных задач обладает
следующими свойствами:
1) решение каждой входящей в семейство задачи удовлетво-
удовлетворяет одной и той же системе дифференциальных уравнений B.4);
2) решение каждой входящей в семейство задачи удовлетво-
удовлетворяет одному и тому же граничному условию при t=\, а именно
A) О
)
3) задачи семейства различаются между собой лишь значе-
значениями а и с.
Согласно свойству 3), неизвестное значение у (а) является
функцией от а и с, т. е.
del
у (а)-^ г (о, а), B.6)
и нам нужно будет найти значения этой функции при некоторых
значениях сна. Рассмотрим, в частности, взаимосвязь между зна-

11.2. Понятие инвариантного погружения 255
ченгоши г (с, а) для двух близких задач семейства при одном и
том же значении с, скажем при с = с;-. Пусть для первой задачи
dx/dt = y, dy/dt = g(x, у, t), B.7)
x{at) = cj, г/A) = 0, B.8а, б)
а для второй задачи
dxldt--=y, dyjdt = g{x, у, t), B.9)
дс(с, + Л) = су, г/A)=0. B.10а, б)
Поэтому
у{а{) = г(с-, а{)
B.11а, б)
r(c/t о, + Д).
Согласно B.8а) и B.10а), вместо B.11) будем иметь
y(ai) = r[x(ai), at] B.12а)
y(at + b) = r[x(at + b), а, + Д]. B.126)
Чтобы найти взаимосвязь между величинами B.12), разложим
теперь обе части равенства B.126) в ряды Тейлора. При этом
для левой части B.126) получим
y(ai + A)=y(ai) + (dy(ai)/dt)A + O[A*]. B.13)
Так как y{ai) = r(c], at) и, согласно второму из уравнений B.4),
dy(at)/dt = g[cJt r(cp а{), а,.],
вместо B.13) будем иметь
у (а,- + А) = г (cJt а() +g[cJt г (с,, а,), а,.] Д + О [Д«]. B.14)
Для разложения правой части B.126) прежде всего заметим,
что
х (а{ + Д) = х (а,-) + (dx (at)/dt) Д + О (Д*),
или, согласно B.8а), B.4) и B.11а),
¦х (а, + Д) = с, + у (а,.) Д + О (Дг) = с, + г {с,, at) Д + О (Д2).
Поэтому для правой части B.126) будем иметь
г [х (а, + Д), а{ + Д] = г [с, + г (ср а,) Д, а{ + Л]. B.15)
Подставляя B.14) и B.15) в B.126), окончательно получаем
г (с,, ai)+g[c/t r(cJ} a,-), a(\H = r[c/ + r {с,, а,)Д, а,- + Д]. B.16)
Уравнение типа B.16) является основным для неитерационного
способа решения граничных задач *). Детали такого подхода бу-
будут рассмотрены в двух следующих параграфах.
х) В качестве основной может быть использована и дифференциальная
форма инвариантного погружения,— Прим. перев.

256 Гл. 11. Метод инвариантного погружения
11.3. Изотермические прямоточные химические реакторы
Вернемся к задаче об изотермическом прямоточном химиче-
химическом реакторе, обсуждавшейся в разд. 8.2.2, но теперь будем
считать концентрацию на входе реактора заданной постоянной.
Для такой задачи
d»x/dzi—Nvedx/dz—NveRxn = O C.1)
и
*@)=1, dx(l)/dz = 0. C.2а, б)
Чтобы применить к ней метод инвариантного погружения, сна-
сначала представим уравнение C.1) в виде системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка
dx/dz = y, dy/dz = Nve(Rxn + y), C.3)
решение которой должно удовлетворять граничным условиям
*@) = 1, г/A) = 0. C.4)
Как и в предыдущем разделе, введем семейство граничных
задач, каждая из которых определяется системой уравнений
dx/dz = y, dy/dz = Nve(Rx"+y) C.5)
и граничными условиями
х(а) = с, 0A) = 0.
Для этого семейства граничных задач уравнение B.16) примет
вид
г (c/t at) + {Npe[r (c/t at) + Rcf]} A = r{[C/ + r (c/t at)
Разрешая его относительно г (c/t а,), получаем
г (с/' а<)= 1 + л/реА {г Iе/ + г (с/' а'> д• а/ + д] —
Для достаточно малых Д справедливо приближенное равенство
г[С/+г(С/, а;) Д. а, + Д] = г[С/+г {с,, аг + Д)Д, Щ + А], C.6)
и поэтому
г (с/, at) = 1 + ^реД [г (cd/, ai + A)-NveRcfA], C.7)
где
cd/ = c/ + r(c/,al + A)A. C.8)
Чтобы понять смысл формулы C.7), обратимся к рис. 11.1.
Для точки q с = Ср а=а{, для точки р с = с}, a=>at-{-Д, для
точки d} с = с4 , a = a,-f Д. Рассмотрим точки q и dt на рис. 11.1.

11.3. Изотермические прямоточные химические реакторы
257
Соответствующие им задачи семейства определяются для точки
q так:
dx/dz = y, dy/dz = Nvt(Rx" + y), x{at)=cf, f/(l)==0, C.9)
а для точки &i—так:
dx/dz = y, dy/dz = Npe(Rx>- + y), x(a, + \) =cdf, y(l) = 0. (ЗЛО)
Разница между этими двумя задачами заключается в одном лишь
граничном условии, и поэтому каждая точка изображенной на
рис. 11.1 плоскости представляет одну из задач семейства.
Рис. 11.1. Плоскость переменных а, о,
Но вернемся к задачам C.9) и C.10). Согласно определению
B.6), для них недостающие начальные значения равны соответ-
соответственно
r(Cj, at) для точки q,
r (cd •> ai + А) Для точки dj,
а формула C.7) связывает эти значения. Поэтому если значение
r(cd a, + A) в точке df известно, то по формуле C.7) можно
найти г (c,j, a{) в точке q.
Возьмем теперь на плоскости а, с сетку с узлами в точках
(a,, cf), для которых (см. рис. 11.2)
а,+1—а,- = А, с/+1—С/ = Дс (i, /=:0, 1, 2,...).
Если значения функции г (с, а) известны при a = at + Д и с = 0,
с1; ся, ..., т. е. в узлах некоторой вертикальной линии сетки,
то в соответствии со сказанным выше можно вычислить г (с, а)
в узлах ближайшей слева вертикальной линии сетки, для которой
a — at и т. д. Для этого нужно выполнить следующие действия.

258
Гл. И. Метод инвариантного погружения
1. Так как значения г(Су, а,+ Д) известны для всех с,, по
формуле C.8) можно вычислить cd. и тем самым определить от-
отмеченные на рис. 11.2 точки d,- для / = 0, 1,2,....
сг
с
d3
*2
dl
Рис. 11.2 Точки сетки.
2. После этого вычисляются значения функции г в точках dj
путем линейной интерполяции по значениям г (с,-, at-\-A) и
-0.4
-0.8 -
-i.Z -
l.o о.б о.г о
Рис. 11.3. Зависимость г (с, а) от
а при различных значениях с.
3. Далее по формуле C.7) вы-
вычисляются r{Cj,a) при а = а{ для
всех значений с}.
4. Повторяя шаги 1—3, можно
получить значения г (c/t а) при
а = <з(-— Д для всех Cj.
5. Шаги 1 — 4 повторяются до
тех пор, пока не будет достигнуто
значение а = 0. В результате будут
вычислены недостающие значения
производной для задач семейства
при а = 0 и всех с,-.
В качестве численного примера
рассмотрим задачу, для которой
i я = 2, JVpe = 6, /? = 2, с,0=1,
Да = 0.1, со = О, Дс = 0.1, с=1.
По описанному выше алгоритму
МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ Г (Су, 0) ДЛЯ
всех c,j. В нашем случае требуется найти г (с10, 0), которое ока-
оказалось равным —1.42231. Более точные итерационные методы
дают для г (с10, 0) значение —1.4100, так что относительная

11.4. Пластина теплового радиатора 259
ошибка нашего неитерационного метода оказалась меньше 1%.
При уменьшении До и Дс точность вычислений увеличивается.
Аналогичным образом можно вычислить значения г (с, а) и
при других значениях п, N9e и R. На рис. 11.3 (он взят из ра-
работы [10]) показана зависимость г от а при различных с для
указанного выше случая.
1.4. Пластина теплового радиатора
Стало общепризнанным, что отток тепла от горячего тела к
холодной жидкости можно ускорить за счет расширения поверх-
поверхности тела путем добавления выступающих пластин. Анализируя
этот вопрос для пластины в виде кольца постоянной толщины,
Чамберс и Сомерс [13] установили, что функция распределения
температуры в такой пластине является решением следующей
граничной задачи:
—1O+ []\dQ/dr — у9* = 0, D.1)
в@) = 1, d§(l)/dr = 0, Ч D.2)
где
и безразмерный параметр у определяется равенством
У = (гв—г{)*гаТ,/(к6).
Величины Т, Т',, г,, г0, е, 0, k и б—это соответственно функция
распределения температуры в пластине, температура основания
пластины, ее внутренний радиус, ее внешний радиус, коэффици-
коэффициент эмиссии, постоянная Планка, коэффициент теплопроводности
и толщина пластины. Эта задача аналогична той, которая была
рассмотрена в разд. 3.3.3, за исключением того, что теперь тол-
толщина пластины постоянна.
С математической точки зрения задача сводится к отысканию
недостающих значений dQ @)/dr для различных пар значений р и у.
Если значение производной уже известно, то плотность потока
тепла вычисляется по формуле
<7W = —kdT/dr \Г=Г( = —[?7У(г0—г,.)] dd @)/d7. D.3)
Чтобы решить задачу D.1),'D.2) методом инвариантного погру-
погружения, напишем уравнение B.16) для данного случая:
г (су, о,-) + (YC/-{(P- 1)/[(р— 1) а, + \]}г {с,/, ot) Д =
==, {су + г (с,, а() Д, а; + А\. D.4)

260
Гл. 11. Метод инвариантногг, погружения
Разрешая это уравнение относительно л {cf, at) и снова используя
приближение C.6), вместо D.4) получаем
Л) А,
¦*Ш. D.5)
С помощью алгоритма из § 11.3 для этой задачи были полу-
получены результаты, приведенные в табл. 11.1. Они хорошо согла-
согласуются с результатами работы [13].
Таблица 11.1
Недостающие значения производной
р
1.5
V
0.4
- 0.8
1.2
1.6
d'O(O)/dT
—0.348?
—0.5587
—0.7158
—0.8445
р
3.0
V
0.4
0.8
1.2
1.G
dB (O)/dT
-0.5085
—0.7782
—0.9694
-1.1212
U.S. Решение уравнения Фолкнера — Скэн
Уравнение Фолкнера—Скэн теории пограничного слоя (см.
работы [14—15]) является одним из наиболее важных уравнений
механики жидких сред. Это нелинейное обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение третьего порядка, причем одно из трех гра-
граничных условий для соответствующей ему задачи ставится на
бесконечности. Только метод инвариантного погружения позво-
позволяет свести такую граничную задачу к задаче Коши, что и будет
сделано в этом параграфе. В переменных, выбранных из сообра-
соображений подобия, рассматриваемая граничная задача определяется
уравнением Фолкнера — Скэн
1-/1) = 0 E.1)
и граничными условиями
при g =
=0,
= 1 ,
E.2)
E.3)
где нижний индекс означает дифференцирование по независимой
леременной {-.
Обычно от граничного условия E.3) на бесконечности перехо-
переходят к условиям
при ?=-?. k = 1 и /й = е, E.4)
где е — малая величина, выбираемая в соответствии с той сте-
степенью точности, с которой требуется найти решение. Величина

11.5. Решение уравнения Фолкнера — Скэн
261
\ж—это то расстояние от пластины, на котором предполагается
выполненным граничное условие /g(oo) = l. Введение четвертого
граничного условия, а именно /ц = е не создает никаких затруд-
затруднений, так как одновременно с этим вводится неизвестный пара-
параметр ?„,. Наша задача — найти недостающее значение /ц@).
Метод инвариантного погружения в изложенной выше форме
нельзя применить непосредственно к уравнению E.1). Удобно
ввести новую независимую переменную
л = ?.-?. . E.5)
после чего вместо E.1) мы будем иметь уравнение
Лтл=*/Лт + РA-/!|)- E-6)
которое дополняется граничными условиями
прит,=0 /„@) = —1, /чл@) = е, E.7)
при T, = L /(U = MU = 0. E.8)
Теперь наша цель —найти недостающее значение fm (| J и вели-
величину %„.
Следуя концепции инвариантного погружения, рассмотрим
более широкий класс задач, каждая из которых определяется
граничными условиями
прит, = 0 /л@) = —1, /„„(()) = в, E.9)
при ц = а f(a) = c, Л,(а) = 0, E.10)
где параметр ?„ заменен на а для единообразия обозначений.
Полагая
а = 0, Д, 2Д, ... и с = 0, б, 26, ...,
мы получим семейство задач, отличающихся друг от друга только
значениями а к с или граничным условием f(a) = c, т. е. снова
получим двухпараметрическое семейство. При этом будут спра-
справедливы все те рассуждения, которые привели нас в свое время
к определению B.6), и поэтому мы снова рассмотрим взаимо-
взаимосвязь между близкими задачами, чтобы определить недостающие
значения
frmia, c) = r(a, с) E.11)
для задач этого семейства.
Используя разложение в ряд Тейлора, можно показать, что
г(а + Д, c) = r(a, c
а, согласно уравнению E.6),
Л|пч(о. с) = сг(а,
где
[s(a, с)]2},
= 1ц(а, с).
E.12)
E.13)
E.14)

262 Гл. 11. Метод инвариантного погружения
Поэтому вместо уравнения E.12) будем иметь
г(а + А, с) = (\+сА)г(а, с) + ?{1— [s(a, с)]а}Д. E.15)
С другой стороны, используя граничное условие f (а, с) —с,
получим, что
г(а + А, с) = г[а + Л. /(а + Л, с)] = г \а + А, /(а) + /„(а, с) Л]
E.16)
или
r(a + A, c)=:r[a + A, c + s(a, с) А]. E.17)
Приравнивая правые части соотношений E.15) и E.17), находим,
что
s(a, с) Д] = A+сЛ) г (а, с) + р{1—[s(a, с)]2} Д. E.18,)
По таким же соображениям
Ма + Д,/(а, с) + Ма. с)Д] = /ч(а, с) + г(а, с) А
или
, c+s(a, c)A] = s(a, c) + r(a, с) А. E.19)
Соотношения E.18) и E.19) можно использовать непосредст-
непосредственно для определения недостающих значений г {а, с) для всех
входящих в семейство задач. Другой подход состоит в том, что
левые части этих соотношений раскладываются в ряды, что дает
cr(a, c)+P{l-[s(a, c)f} =d-L^+dJ±^ls(a, c) E.20)
г (а, с) — —-^ 1 -^—s(a, с). (°-^1)
Эти формулы также могут быть использованы для нахождения
г (а, с) и s(a, с).
В приводимом ниже примере использовались разностные соот-
соотношения E.18) и E.19), поскольку они сохраняют физические
свойства решения. Для этого примера
р=1, Д = 0.025, с = 0, б, 26, ..., 6 = 0.05. E.22)
В своей книге A0) Ли отмечает, что выбор расчетной сетки не
сопряжен с какими-либо особыми обстоятельствами: основную
роль в этом вопросе играют вычислительный опыт, размеры опе-
оперативной памяти и желаемая точность результатов. Алгоритм
решения задачи сводится к следующим шагам.
1. Сначала параметр а полагается равным нулю. При помощи
граничных условий численно находятся следующие начальные

11.5. Решение уравнения Фолкнера — Скэн
263
значения:
/(О, с) = с, /„(О, c) = s(O, с) = —1, /„„(О, с) = г(О, с) = е,
а из уравнения E.6) получаются величины
/ЧЧЧ(О, с)Д = сг(О, с)Д+р[1 — s2@, с)],
где с принимает значения О, б, 26, ... и е — малая величина
(для этого примера она равнялась 0.0001). На рис. 11.4 ука-
@,26-)
@,0) (А,п) - BА,0) (ЗА,п)
Рис. 11.4. Точки сетки на плоскости а, с.
занным значениям параметров а и с соответствуют точки @, 0),
@, б), @, 26), ..., лежащие на оси а — 0.
2. По формуле
/@, с) = 6 + s@, с)Д
вычисляются значения функции f в отмеченных на рис. 11.4
точках d. Так как эти точки известны, в них по формулам E.18)
и E.19) соответственно вычисляются значения г (а, с) и s(a, с).
Наконец, третья производная в этих точках вычисляется как пра-
правая часть дифференциального уравнения E.6).
3. Зная величины в точках d, можно путем интерполяции
или экстраполяции определить их значения в точках (А, 0), (А, 6),
(А, 26), ... и тем самым подготовить все к новому циклу вычи-
вычислений.
4. После увеличения а на А шаги 2 и 3 повторяются, Продол-
Продолжая этот процесс, мы будем иметь при а = пА для с = 0, б, 26, ...

264
Гл. П. Метод' инвариантного погружения
E.23)
величины
8(яД, 0), в(яД, б), 5(яД, 26),
г(яД, 0), ' г(яД, б), г(яД, 26),
Важно отметить, что если дифференциальное уравнение E.6) будет
непосредственно интегрироваться в итерационном процессе с уче-
учетом граничных условий
U @) = —1, /(пА)-О, /ч(яД) = 8(яД, тб), E.24)
гдет = 0, 1, 2, ..., то недостающие значения /т,л (пА), или г (пА,
тб) в конце интервала интегрирования будут такими же, как и
приведенные в E.23). Теперь ясно, что ценность концепции инва-
1.0
о
«Г
<0
I
Z00 Л
Рис. 11.5. Зависимость функции s(a, 0) от а(Р=1).
риантного погружения заключается в возможности получать зна-
значения г (пД, тб) Сез помощи итераций.
5. После того как вычислены все значения s и г для очеред-
очередного значения а, проверяется условие /,,(о) = 0 [т. е. /я (?«.) = 01»
чтобы не пропустить тот момент, когда мы дойдем до |„. Так как
при т) = а для каждой задачи семейства /(а) = 0, то с — 0, и поэ-
поэтому нужно проверять условие
/4(a) = s(a, 0) = 0. E.25)
На рис. 11.5 приводится график функции s(a, 0) для этого при-
примера. При ее обращении в нуль
s(a, 0) = s(?_. 0),

11.5. Решение уравнения Фолкнера — Скэн 265
откуда и определяется значение Ете. Значение г (а, 0) в этой точке
равно недостающему значению /44(lj- Для этой задачи ?„ нахо-
находится между 186Д и 187Д, как показано на рис. 11.5. Функция
s(a, 0) изменяется от —1 при а = 0 до нуля примерно при т)—
=54.66. При этом
Uaj-ria, 0)= 1.242340.
Этот результат, полученный безитерационным путем, отличается
менее чем на 1% от «точного» значения 1.232587, полученного
при помощи итераций.
Аналогичные вычисления были проведены и для других зна-
значений р, и каждый раз ответ получался за один проход без ис-
использования итераций. Численные результаты для р от 0 до 2
приведены в табл. 11.2. Для сравнения там приводятся также
результаты, опубликованные в работах [14] и [15] и полученные
с помощью итераций (за исключением случая р = 0). В последнем
столбце таблицы приводится относительная ошибка, которая каж-
каждый раз была меньше 1%.
Таблица 11.2
Значения /ц @) для некоторых значений ft
В
0.00
0.05
0.10
0.20
0.60
0.80
1.00
1.60
2.00
Описанный
метод
0,4675750
0.5317823
0.5895354,
0.С915536
1.0042250
1.1294110
1.2423400
1.5327980
1.6995770
Работы
(U1 и |Ч51
0.4695999
0.5311298
0.5870348
0.6867079
0.9958359
1.1202660
1.2325870
1.5215120
1.687217D
Относительная
ошибка, %
—0.431
0.123
0.426
0.706
0.842
0.816
0.791
0.742
0.733
11.6. Заключительные замечания
В этой главе мы рассказали об инвариантном погружении
очень кратко, поскольку имеется много учебников [3—5, 10—12],
в которых специально рассматриваются различные аспекты такого
подхода. Когда инвариантное погружение было предложено впер-
впервые, оно представлялось скорее теоретическим, чем практичес-
практическим приемом. Смысл инвариантного погружения состоит в рас-
расширении формулировки исходной граничной задачи путем введе-
введения новых переменных или параметров. Последовательное развитие
этого подхода превратило его в новый метод решения граничных
задач, сводящий их к задачам Коши.
9 № 2018

266 Гл. 11. Метод инвариантного погружения
Читателям, интересующимся теоретическими аспектами метода
инвариантного погружения, мы рекомендуем обратиться к книге
Мейера [11].
Задачи
I. При рассмотрении конечного изгиба тонкостенной трубы (см. работу
[16]) получается следующая граничная задача:
df (O)/d| = p @)=/ (л/2) = р (я/2) = 0.
Решить эту задачу методом инвариантного погружения для а=1.0 и 3.0.
Ответ: безразмерный момент определяется как
Я/2
т = Dа/я) \ /cos (?-f-P)dg;
о
для а =1.0 он равен 0.8650, а для а = 3.0 т = 0.7250.
2. Снова рассмотрим задачу 6 из гл. 6 о прогибе консольной балки -год
действием сосредоточенной нагрузки Я, т. е. граничную задачу
Решить ее методом инвариантного погружения для ^ = 8.
Ответ: df (l)/rfs = — 3.194.
3. При рассмотрении переноса тепла и массы в аористом катализаторе
(см. работу [17]) получается следующая граничная задача:
6A— у)
Решить ее методом инвариантного погружения для у = 20, р =!1.4 и 6 = 0.1376.
Ответ: у @) ==0.7928.
4. Рассмотрим течение жидкости между двумя концентрическими вращаю-
вращающимися цилиндрами (см. работу [18]). Функция распределения давления вдоль
радиуса получается как решение следующей граничной задачи: i
dr* \ dr) ^dr \r dr
при г = Г| ip/dr = p/^cui. p — Pi, при r = rs dp/dr = pr2u>i.
Решить ее методом инвариантного .погружения и сравнить с точным решет..
где
— щп) / (п — г\),
взяв значения входящих в задачу физических величин такими: илотно:ть жид-
жидкости р = 62 фунт/фута, угловая скорость внутреннего цилиндрао)] = 10об/мин,
углоиая скорость внешнего цилиндра оJ = 30 об/мин, радиус внутреннего ци-
цилиндра /i=5 дюймов, радиус внешнего цилиндра г2 = 6 дюймов, давление на
Поверхности ннутреннего цилиндра рх = 20 фунт/дюйм2.

Литература 267
Литература
[1] Амбарцумян В. А. Теоретическая астрофизика. —М.: ГТТИ, 1952.
[2] Чаидрасекар (Chandrasekhar S.). Radiative transfer. — New York: Dover,
1960. [Имеется перевод с англ. издания 1950 г.: Чандрасекар С. Перенос
лучистой -энергии. — М.: ИЛ, 1953.)
[3] Арозести, Беллман, Калаба, Уэно (Arosesty J. Bellman R., Kalaba R.,
Ueno S.). Invariant imbedding and rarefied gas dynamics. — Proc. Natl.
Acad. Sci., 1963, v. 50, p. 222.
[4] Беллман, Калаба, Преструд (ВеНтал R.,- Kalaba R., Prestrud M. C.).
Invariant imbedding and radiative transfer in slabs of finite thickness. —
New York: American Elsevier, 1963-
[5] Беллман, Кагивада, Калаба, Преструд (Bellman R., Kagiwada H. H.,
Kalaba R. E., Prestrud M. C). Invariant imbedding and time-dependent
transport processes.—.New York: American Elsevier, 1964
[6] Беллман, Калаба (Bellman R., Kalaba R E.). Invariant imbedding, ran-
random walk, 4nd scattering. — J. Math. Mech., 1960, v 9, p. 411
[7] — — Wave branching processes лпд invariant imbedding. — Proc. Natl.
Acad. Sci., 1961, v. 47, p. 1507.
[8] — — A note on Hamilton's equations and invariant imbedding. — Q. Appl.
Math., 1963, v. 21, p. 16f>.
[9] Уинг (Wing G. M.). An introduction to transport theory. — New York: Wiley,
1962.
[10] Ли (Lee E. S.). Quasilinearization and invariant imbedding.—New York:
Academic Press, 1968
[11] Мейер (Meyer G. H.). Initial value methods for boundary value problems.—
New York: Academic Press, 1973.
[12] Скогг (Sroti M. R.). Invariant imbedding and its applications to ordinary
differential equations: An introduction.—Reading: Addison-Wesley, 1973.
[13] Чамберс, Сомерс (Chambeis_ R. L., Somers E. V.). Radiation in efficiency
for one-dimensional heat flow in a circular fin.—J Heat Transfer, 1959,
November, v. 81, p. 327—329
[14] Элзи, Сиссон (Elzy E., Sisson R. M.). Tables of similarity solutions to
equations of momentum, heal and mass transfer in laminar boundary layer
theory. —Eng Exp. Station, Bull. 40, Oregon State Univ., February 1967.
[15] Myp (Moore F.). Theory of laminar flow. — Princeton: Princeton Univ. Press,
1964, p. 127.
[16] Перроне, Kao (Perrone N.. Kao R.). —J. App. Mech., 1971, v. 38, p. 371 —
376. [Имеется перевод; см. с. 88.]
[17] Кубичек, Главачек (Kubicek M., Hlavacek V.). — Chem. Eng. Sci., 1974,
v. 29, p. 1695—1699.
[18] Шлихтинг (Schlichting H.) Boundary layer theory.—New York: McGraw-
Hill, 1968, p. 80—81. [Имеется перевод; см. с. 67.]

Глава 12
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
12.1. Введение
В методе интегральных уравнений граничная задача заменя-
заменяется интегральным уравнением, затем при помощи квадратурных
формул это уравнение аппроксимируется системой алгебраических
уравнений, а последняя решается уже численно. Получение экви-
эквивалентного граничной задаче интегрального уравнения является
в общем случае достаточно сложной процедурой, в которой ис-
используется функция Грина для линейной граничной задачи. Чтобы
дать представление об этой процедуре, начнем с простого примера.
Рассмотрим следующую граничную задачу:
d'y/dx* + у =* 0, A.1)
0@)=. О г/A) = 0. A.2)
Интегрируя уравнение A.1) от 0 до х получим
ydx+c A.3)
о
Применяя то же самое к A.3), будем иметь
:x+d. A.4)
Но, как известно из математического анализа,
J...J (x)dx...dx = j^±Tr^(x-^)"^l (l)dl, A.5)
и и О
(л раз)
и поэтому уравнение A.4) принимает вид
K — Z)y(l).1 +...X + 4. A.6)
Для определения двух постоянных интегрирования cud ис-
используем два граничных условия A.2), что дает
= 0 и с=

12.2. Линейные граничные задачи 269
Тогда вместо A.6) будем иметь
у (х) = х { A -|) у (?) dl - ( (х -?) у (?) <&,
о о
или
г/(д;) =^ хA — ?)«/(?)? + ^ *A — ?) г/ (?)d? — \ (х—\) y(l)dl,
и v О
т. е.
у (х) - J Е A -х) у (?) С + J я- A -1) у (?) dl. A.7)
Назовем ядром функцию
., р j ?A—х) при | < х,
' " ~\ хA—?) при | > х.
Тогда уравнение A.7) можно переписать в виде
i
М*. X) У (?)«?• (!-8)
Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Чтобы найти у (х) из уравнения A.8), можно применить ка-
какой-либо численный метод построения приближенного решения
интегрального уравнения (см. [1]). Таким образом решение
граничной задачи сводится к численному решению интегрального
уравнения.
Мы рассмотрим решение неоднородных обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в
§ 12.2, где будет показано, что их общее решение может быть
выражено через так называемую функцию Грина. Применение
этого метода к нелинейным граничным задачам будет обсуждаться
в § 12.3.
12.2. Линейные граничные задачи
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Ly = <f(x) B.1)
с оператором
где p(x)>0, a q (x) ^ 0. Граничные условия при х = и к—Ь

270 Гл. 12. Метод интегральных уравнений
однородны:
0, B.3)
0. B.4)
Функция Грина G (x, g) определяется таким образом, чтобы ре-
решение уравнения B.1) можно было представить в виде
\(x, 5)ф(?)^. B.5)
а
Для заданного ? ? (я. Ь)
[ Gi(x,
и{Х'1)-\Ог(х,
) при х<1,
I) при х>1
и выполняются следующие условия.
1. Функции Gj и G2 удовлетворяют уравнениям
LGt = 0 при х<1 B.6)
и
LG2 = 0 при х> I. B.7)
2. Функция G{ удовлетворяет граничному условию B.3), а
функция G.i — граничному условию B.4).
3. Функция G непрерывна при * = ?, т. е.
Gi(x, t)\x=t = G,(x, l)\x=l. B.8)
4. Производная функции G по * меняется скачком при* = |,
а именно
dG2(x, Wdx\x=i—dGi(x, l)/dx\x=l = —l/p(l). B.9)
Теперь покажем, что если существует функция Грина, удов-
удовлетворяющая этим условиям, то решение исходного дифферен-
дифференциального уравнения B.1) может быть представлено в виде B.5)
(см. [1]).
Пусть и(х) удовлетворяет уравнению Ly = 0 и граничному
условию B.3), a v (x)— тому же уравнению и граничному усло-
условию B.4). Это останется верным, если умножить и (х) и v (x) на
постоянные множители. Первые два из перечисленных выше
условий будут выполнены, если определить функцию Грина в виде
I с,и (х) при х < I,
G(x, ?)= ; ' ' B.10)
к ' ¦' I c3t) (х) при х > I. к '
Третье и четвертое условия можно использовать для нахождения
постоянных с, и с„. Подставляя B.10) в B.8) и B.9), получим

12.2. Линейные граничные задачи 271_
для них систему уравнений
е»ИЕ)--«1«E)-0, B.11)
c*v'{l)-cxu'(l)=-\lp{l), B.12)
из которой
(?)[»(?)«'(?)-«'(?) «(?)]}. B-13)
[»(?)«'(?)-"'(?)«№ B-14)
где
и' (\)=Aи{хIйх\х=г и o'(S)=d
Чтобы упростить выражения B.13) и B.14), заметим, что и и
v удовлетворяют уравнению Ly = ), т. е.
d[p(x)du/dx]/dx — q (*)ы = 0 B.15)
и
d[p(x)dv/dx]/dx — q(x)v = 0. B.16)
Умножив B.16) и B.15) на к и о соответственно, взяв разность
этих результатов и положив а==:, получим
или
откуда
р (|) [и (?) и' (g)—v (|) ы' (?)] = const ^ -Л.
Поэтому вместо B.13) и B.14) будем иметь
d^Avd) и с2=АиA),
а функция Грина B.10) запишется в виде
v (I) и (х) при х < |,
Л),М при *>Б. BЛ7)
Теперь покажем, что если функция Грина уже известна, то
функция B.5) удовлетворяет дифференциальному уравнению B.1).
Для этого перепишем B.5) в виде
- A J v A) u W ф (I) dg — Л J « (|) и и) ф (?) dg. B.18)

272 Гл. 12. Метод интегральных уравнений
Дважды дифференцируя B.18) для получения dy/dx и d*y/dx2 и
подставляя найденные выражения в уравнение B.1), будем иметь
A fo[Lo (х)] и (?) Ф (?) dt + J [Lu (x)] v (I) Ф (I) dl
B.19)
Так как первые два члена в левой части B.19) тождественно
обращаются в нуль, а третий и четвертый члены взаимно уничто-
уничтожаются, функция B.5) тождественно удовлетворяет уравнению
B.1). Рассуждая аналогичным образом, можно показать, что
функция B.5) удовлетворяет граничным условиям B.3) и B.4).
Полученный результат допускает следующее очевидное обоб-
обобщение. Если дифференциальное уравнение имеет вид
Ly = г (х) у (х) + s (х), B.20)
то соответствующее интегральное уравнение может быть записано
как
ь
y(x) = ~\G (x, I) [r (I) y$) + s A)] dg. B.21)
a
Представленные в следующих двух параграфах примеры пояс-
поясняют вычислительные особенности применения этого метода.
12.2.1. Отвод тепла через теппоизпучатепь конической формы
Рассмотрим теплоизлучатель конической формы, выступаю-
выступающий из плоской стенки, температура поверхности которой равна
Ts. Пусть радиус основания и длина излучателя равны R и L
соответственно. Излучатель находится в жидкости с температу-
температурой Т оа. Искомое распределение температуры удовлетворяет
уравнению
(см. [2]) и граничным условиям
dT@)fdx = 0 и T(L) = Ts,
где h и k — коэффициенты конвекционного переноса тепла и
теплопроводности излучателя соответственно.
Введем безразмерные переменные
x = x/L, <d = (T-
и положим

12.2 Линейные граничные задачи 273
Тогда уравнение B.22) примет вид
+ {21 х) dQ/dx = {m*/x) F — 1), B.23)
а граничные условия запишутся как
d6@)/dx = () и в A) = 0.
Чтобы найти функцию Грина, сначала перепишем уравнение
B.23) в следующей форме:
d {х2 dQ/dx\/dx = mbc F — 1), B.24)
а затем сравним это с уравнением B.1), что даст
Поэтому интегральное уравнение можно записать в виде
1
9 (х) = - S G (х, I) т% [6 © -1 ] dg. B.25)
о
Рассмотрим теперь уравнения
L9, = 0 и L92 = 0,
или
d (x2 d8xldx)ldx = 0 и d (x2 d$Jd~x)ld~x = 0,
решениями которых являются функции
9, = —с,/х + с„, 92==— Сз
Для нахождения констант сначала применим граничное усло-
условие при х — 0 к 9t, т. е. положим
й = 0,
откуда получим, что с, = 0. Далее применим граничное условие
при х = 1 к 92, т. е. положим
откуда будет следовать, что с4—с3 = 0- Поэтому
е,=са и 92 = с3 A — 1/х).
В силу B.17) функция Грина G (х, '§) запишется как
при х<?, B.26)
>|. B.27)

274 Гл. 12. Метод интегральных уравнений
Для нахождения последней постоянной Ас^:3 воспользуемся усло-
условием на скачке при х = ?, в силу которого
dG2(x, l)/dxU=i-dGt(x, l)ldx~\T=t = -\lp{l). B.28)
Подставляя сюда выражения B.26) и B.27) для функции Грина,
получаем
откуда
Поэтому окончательное выражение для функции Грина имеет
вид
ОГх ?)=(
" 1 1/— 1 при х>%. B.30)
Теперь мы знаем функцию Грина и поэтому можем найти
решение уравнения B.24), аппроксимируя 0 (х) сеточной функ-
функцией 8y- — Q(xj), значения которой получаются в результате ре-
решения системы линейных алгебраических уравнений
j
9, = —? тЮ(х„ x/)x/(Q/—l)A/ (i=l, 2, ..., J). B.31)
f= i
Иначе говоря, 8^ удовлетворяют системе линейных уравнений
A + «и) 9, + «1282 + .. . + а,Дг = Pi,
=р„
= р.,,
где
а{/ = «2^6 (х,-, лг7) Ау, Р,- = m2 ^ xfi (xt, xt) A;
и в случае интегрирования по правилу трапеции и постоянного
шага сетки Ах
Д1==Д>/ = ДЗс/2, A7 = Ax при / = 2,3 У—1. B.33)
Численные результаты, полученные описанным выше методом
при /и2 = 1 и 10, показаны в табл. 12.1. Они согласуются сточ-
сточным решением, приведенным в работе [2]. Например, для 8@)
точное решение при /пг—1 и 10 дает 0.3713 и 0.9621 соответ-
соответственно, а численно указанным методом при У =100 в этих слу-
случаях получились значения 0.3702 и 0.9600 (см. табл. 12.1).

12.2. Линейные граничное задачи
275
Решения уравнения B.23) (/па=1 и 10)
Таблица 12,1
т'
1.0
X
0.0
0.2
0.4 .
0.6
0.8
1,0
н
0,3702
0,3085
0.2393
0.1655
0.0869
0.0031
10.0
«
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
е
0.9600
0,9089
0.8144
0,6556
0.4000
0.0020
то уравнение C.16) из разд. 2.3.2 примет вид
(Pfldxl—
а граничные условия—вид
12.2.2. Расчет трехслойной балки
Теперь мы применим метод интегральных уравнений к задаче
о трехслойной балке, рассматривавшейся в разд. 2.3.2. Если ввести
функцию
B.34)
B.35)
Если функция / известна, то искомую функцию ф можно полу-
получить интегрированием уравнения B.34) по х. Покажем сначала,
как найти /.
Прежде всего перепишем B.35) как
fflffdx* = k»f—a B.36)
и, сравнивая это с уравнением B.20), найдем, что
р(х)=1, ? (*)=(), г (х) = /е2, sW=-a.
Поэтому соответствующее интегральное уравнение Фредгольма
второго рода можно представить в виде
-lG (х, ?) [k*f (I)-a]dt. B.37)
Чтобы найти функцию Грина, рассмотрим уравнения
L/t = 0 и L/2 = 0,
или
= 0 и
= 0.

276 Гл. 12. Метод интегральных уравнений
решениями которых являются функции
fi=c,x + c2 и /, = ^,а: + с4.
Для нахождения констант сначала применим граничное условие
при х = 0 к ff, т. е. положим
МО)-о,
откуда следует, что с2 = 0. Далее применим граничное условие
при х — 1 к /2, т. е. положим
мо=о,
откуда следует, что с3+ ?„=(). Поэтому
/! = с,л: и /» = с8(х—1),
а функция Грина в силу B.17) запишется как
Gt(x, l) = Ac1cax(l—l) при *<?,
6г(Х Ъ) = Ас1СяЪ(Х—1) При Х>%.
Для определения последней постоянной Асхсл применим условие
на скачке B.9) при х = ?, что дает
или
Поэтому окончательное выражение для функции Грина имеет
вид
| A —|) при х < |,
-*> при *>1 <2-38>
Зная функцию Грина, мы можем теперь решить интегральное
уравнение B.37), аппроксимируя / (х) сеточной функцией f/ = f (хЛ,
значения которой получаются в результате решения системы
линейных алгебраических уравнений
j
/, = -Z G(xf xj){k*fj-a)^, i=\, 2, ...,J. B.39)
/= i
Иначе говоря, ff удовлетворяют системе линейных уравнений
-Pi,
: B.40)
ayi/i + «Wt + ••+(!+ «/у) /у = Py>

12.3. Нелинейные граничные задачи 277
Таблица 12.2
Решения уравнений B.37) и B.34) (а= 1)
5.0
10.0
0,0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
—0.0120
—0.0092
—0.0033
0.0033
0.0092
0.0120
—0.0040
—0.0029
—0.0010
0.0010
0.0029
0.0040
0.0000
0.0246
0.0326
0.0326
0.0246
0.0000
0.0000
0.0086
0.0098
0.0098
0.0086
0.0000
где
j
аи = k*G (xit х.) A/f Р, = S aG (*,, Xj) A,-,
a Ay можно взять, например, такими, как в B.33).
Решения этой задачи для а=1 и А: = 5 и 10 приводятся
в табл. 12.2. Значения г|з в третьем столбце получены путем
интегрирования уравнения B.34). Эти результаты согласуются
с теми, которые были получены в разд. 2.3.2.
12.3. Нелинейные граничные задачи
В этом параграфе мы рассмотрим нелинейные граничные задачи
и покажем, как метод, описанный в предыдущем параграфе,
может быть использован для сведения такой задачи к интеграль-
интегральному уравнению (см. [3]).
Рассмотрим нелинейную граничную задачу, определяемую
уравнением
Ly = f(x,-y,dy/dx) C.1)
и граничными условиями при х = а и х = Ь
0, C.2)
Q, C.3)
где L—оператор вида B.2).

278 Гл. 12. Метода интегральных уравнений
Чтобы решить такую задачу методом интегральных уравнений,
необходим некоторый итерационный процесс. Пусть уже сделано v
итераций; тогда следующую итегацию будем искать как решение
уравнения
= f{x, у™, dy^/dx), C.4)
удовлетворяющее граничным условиям
a^<v +1> (а) + Эг dyfV + >> (a)/dx = 0, C.5)
a2#(v + х> Ф) +fo dyiv+ »> фIйх = 0. C.6)
Сравнивая уравнение C.4) с уравнением B.1), мы видим, что
для нахождения (v-f- 1)-й итерации yiv+r, функцию f(x,y<v),
dy(v)/dx) можно отождествить с функцией ф (х). Поэтому реше-
решение задачи C.4)—C.6) может быть представлено как
*
г/v+D (дг) - - J G (х, \I {%, у™ (I), dy^ {l)ldl} dl, C.7)
a
где v = 0, 1, ... . Пример применения такого подхода приводится
в разд. 12.3.1.
Но даже если этот итерационный процесс сходится при любом
начальном приближении, сходимость может оказаться медленной.
Преодолеть это затруднение хорошо помогает применение метода
Ньютона: заменяя в нелинейном интегральном уравнении у на
у~{-Ау, разлагая зависящие от у выражения по степеням Ау и
отбрасывая в этих разложениях члены порядка выше первого,
можно получить линейное интегральное уравнение относительно
Ау, которое затем аппроксимируется системой линейных алгеб-
алгебраических уравнений. Детали такого подхода поясняются на
примере, приведенном в разд. 12.3.2.
12.3.1. Перенос теппа и массы в пористом катализаторе
Анализируя баланс гепла и массы в грануле пористого катали-
катализатора при каталитической химической реакции, Кубичек и Глава-
чек пришли к следующей нелинейной граничной задаче (см. [4]):
найти решение уравнения
(Py/df = aO +y)exp[-yfiy/{l—^y)], C.8)
удовлетворяющее граничным условиям
dy@)/d( = 0 и у(\) = 0. C.9а,б)
Для этой задачи
L=d*/dt\ C.10)
т. е.

12.3. Нелинейные граничные задачи 279
Чтобы найти функцию Грина, рассмотрим уравнения
Ly1 = 0 и ?#2 = 0,
или
d?y1/dt2- = 0 и
решениями которых являются функции
у, =с^ + с2 и #2 = с3
Граничное условие C.9а) для ух дает с,=0, а в силу усло-
условия C.96) для у% имеем с4 =— с3; поэтому
уг=с2 и y2 = ca(t—l).
Согласно B.17) функцию Грина можно представить как
Для нахождения постоянной Ас2с3 подставим выражения из
C.11) в условие B.9) разрыва производной при / = ?, что дает
Поэтому окончательное выражение для функции Грина имеет вид
| 1—S при / < 5,
Git, %) = { , , ,. t C.12)
v ; \ 1 —* при ^>g. v у
Зная функцию Грина, можно представить решение уравне?
ния C.8) как предел последовательности функций
1
#<v+ » (/) e _ J G "(<, |) / [*/<v> (?)] dg, C.13)
о
где
(|) =а [ 1 + «/<v> (g)j exp {- tP#<v) F)/[l -P#<v> (g)]}. C.14)
Выбирая в качестве начального приближения функцию
можно с помощью C.13) найти все последующие итерации с но-
номерами v = 1, 2, ... . В табл. 12.3 приводятся результаты реше-
решения типичной задачи лля a = 0.1, у =1.0 и 0 = 0.5. В этом при-
примере для достижения сходимости потребовалось всего четыре
итерации.

280 Гл. 12. Метод интегральных уравнений
Таблица 12.3
Решение уравнения C.8) (а = 0.1, у= 1-0, р = 0.5)
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
v=0
— 1.0000
—0.9600
—0.8400
—0.6400
—0.3600
—0.0000
v=l
—0.0105
—0.0260
—0.0321
—0.0289
—0.0175
—0.0000
v = 2
—0.0496
—0.0473
—0.0413
—0.0314
—0.0177
—0.0000
—0.0491
"" —0.0471
—0.0412
—0.0314
—0.0177
—0.0000
v = 4
—0.0491
—0.0471
—0.0412
—0.0314
—0.0177
-0.0000
12.3.2. Детонация твердого взрывчатого вещества
Уравнение энергии, которому удовлетворяет распределение
температуры при детонации твердого взрывчатого вещества,
в безразмерных переменных может быть записано как (см. [5])
d*%ldt2 + B/0 dQ/d( + аехр [9/( 1 + в/у)] = 0. C.15)
Оно дополняется граничными условиями при t = 0 и ^=1
где A/nu—число Нуссельта. Переписывая C.15) в виде
d(t2de/dt)/dt=; — a*2exp[9/(l +Q/y)] C.16)
и сравнивая это с уравнением B.1), находим, что
p(t) = t\ </@ = 0.
Можно показать, что в данном случае
при t<l,
и поэтому соответствующее интегральное уравнение имеет вид
1
6 @ = J G (t, I) а?2 ехр [Те/(у + 0)] d\. C.18)
о
Значения сеточной функции 8;Г = Э(^) определяются как реше-
решение системы уравнений
j
6,= 2 aG(tlt ^^explveytv + e^jdy, ( = 1,2 J, C.19)

12.3. Нелинейные граничные задачи 28J
где в случае интегрирования по правилу трапеции и постоян-
постоянного шага сетки
di = dJ=A(/2; df = M, / = 2, 3, ..., J— 1.
Неизвестные 0,- входят в эту систему нелинейно, и поэтому для
их определения необходимы итерации. Чтобы получить уравнения
для итерационного процесса, положим в C.19)
и представим результат в виде
ДеГ = |>С (*„ t,) t, J^fci exp [^jvrj Д0«> + гГ, C-20)
где
r?> = 2 aG (t., t,) t\ exp [y&f»((y + e!v')J d,—W>. C.21)
Переписав C.20) в виде
A -/„) АВГ-f» А9Г- ¦ • ¦ -Uj АО'/1 = гГ,
-fn Л8Г" + A -f22) №?>- .. —fv A97' - rG',
C.22)
- f л де«" -f 72 дег —.. + (l - / „) леу" = r1/»,
где
C.23)
и взяв в качестве первого приближения, например, функцию
C.24)
Таблица 12.4
Численное решение уравнения C.15) (/Vnu=1.0, a^l.O, у =0.1)
I
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
v=l
0.3000
0.2998
0.2994
0.2986
0.2974
0.2960
Значения функций Н'
v=2
0.0233
0.0231
0.0222
0.0208
9-0188
0.0163
v=3
0.0223
0.0221
0.0213
0.0200
0.0181
0.0156
v=4
0.0223
0.0221
0.0213
0.0200
0.0181
0.0156

282 Гл. 12. Метод интегральных уравнений
можно при помощи C.22) вычислять последующие итерации Э$2),
6{8), ... до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.
Численные результаты для случая Afnu = l.O, a =1.0 и у — 0.1
приводятся в табл. 12.4.
12.4. Заключительные замечания
Метод интегральных уравнений, в общих чертах описанный
в этой главе, состоит из двух основных шагов: перехода от гра-
граничной задачи к интегральному уравнению и численного реше-
решения полученного интегрального уравнения. Для линейной гра-
граничной задачи ответ находится однократным выполнением этих
шагов, тогда как для нелинейной граничной задачи необходимы
итерации.
Переход от граничной задачи к интегральному уравнению при
помощи функции Грина не является единственно возможным
путем. Поясним это на примере уравнения Блазиуса из теории
пограничного слоя (см. уравнение A.7) из §7.1)
= 0, D.1)
где штрихи обозначают дифференцирования по ц. Разделив обе
части D.1) на /" и проинтегрировав результат, получим
-A/2) Sf(g)dM- D-2)
Интегрирование уравнения D.2) по ц дает
п г о л
Г -a J ехр - A/2) U {%) dl Ji. +0t. D.3)
о L о J
Из граничного условия f @) = 0 находим, что Pi = 0. Для полу-
получения а воспользуемся граничным условием f'(oo) = l, откуда
xJ - A/2) S^d)d? \с1ц) . D.4)
L о J '
Интегрируя D.3) по ц и определяя постоянную интегрирования из
граничного условия /@) = 0, получаем
n i| Г 1
/ = % \ \ ехо — A/2) \ / (|)d| \dr\a
о n L о J
или
> Г 6
- A/2) $/(s)dsU, D.5)
J

Задачи _283
т. е. интегральное уравнение для нахождения / (т)). Это дает
пример другого способа сведения граничной задачи к интеграль-
интегральному уравнению.
В приведенных в этой главе примерах для численного реше-
решения получавшихся интегральных уравнений использовались только
два метода. Более полное представление о различных способах
аппроксимации интегральных уравнений и методах численного
решения получающихся при этом систем уравнений читатель
может получить, обратившись к книгам Хилдебранда [1], Куранта
и Гильберта [6], Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [7J и
Грина [8]. Тем, кто интересуется математической теорией метода
интегральных уравнений, т. е. такими вопросами, как сходимость-
итераций и единственность решения, мы рекомендуем обратиться
к книге Келлера [3J, в которой эта теория изложена достаточно
подробно.
Задачи
1. Рассмотрим прямолинейный тешюизлучатель, ширина которого линейно
возрастает с ростом х от 0 при х = 0 до 2К фи * = L. Функция распределе-
распределения температуры вдоль оси симметрии излучателя является решением следу-
следующей граничной задачи (см. задачу B.26) в работе [2]):
Решить эту задачу методом интегральных . уравнений для L = 2 дюйма,
Г8=200°/7, roo = 70°F и m2 = 1.37 фут-1.
2. Граничная задача, определяемая уравнением
и граничными условиями
Я@)=0,
где R и L—физические константы, а п — целое положительное число, была
решена в работе [9] методом преобразования. Решить эту задачу методом
интегральных уравнений для я = 5, R = 10 и Z. = 0.01, 0.1, 1.0 и 10.0.
Указание: чтобы привести дифференциальное уравнение к виду B.1), надо
выполнить преобразование
3. При расчете слияния двух вплотную расположенных капель с различ-
различными потенциалами Тейлор [10J и Аккерберг [11] пришли к следующей гра-
граничной задаче:
d*y I dy_ p dy@)
Решить эту задачу методом интегральных уравнений для E = 0.1 и 0.3.
4. Анализируя напряжения и прогибы кольцевых диафрагм, Пифко и
Гольдберг [12] сформулировали следующую граничную задачу:
при ?=А,2/ = 0, при ? = 1

284 Гл. 12. Метод интегральных уравнений
При помощи преобразования к\ — \ — %? автором работы [13] удалось получить
общее решение этой задачи. Решить эту задачу методом интегральных урав-
уравнений при v = 0.3.
Литература
[1| Хилдебранд (Hildebrand F. В.). Methods of applied mathematics.—Engle-
wood Cliffs: Prentice-Hall, 1954, Ch. 4.
[21 Майеро (Myers G. E.). Analytical methods in conduction heat transfer.—
New York: McGraw-Hill, 1971, Ch. 2.
[3] Келлер (Keller H. В.). Numerical methods for two-point boundary value
problems.—Boston: Ginn-Blaisdell, 1968, Ch. 4.
[4] Кубичек, Главачек (Kubicek M., Hlavacek V.). Solution of nonlinear
boundary value problems. Part VIII.— Chem. Eng. Sci., 1974, v. 29,
p. 1695—1699.
[5] Главачек, Марек, Кубичек (Hlavacek V., Marek M., Kubicek M.). Mode-
Modeling of chemical reactors.— X: Multiple solutions of enthalpy and mass
balances for a catalytic reaction within a porous catalyst particle.— Chem.
Eng. Sci., 19C8, v. 23, p. 1083—1097.
[6] Курант, Гильберт (Courant R., Hilbert D.). Methods of mathematical phy-
physics. Vol. I.—New York: Wiley, Interscience, 1953. [Имеется перевод
нем. изд, 1930 г. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.
Т. 1.— М.: ГИТТЛ, 1951.]
[7] Канторович Л. В., Крылов В: И. Приближенные методы высшего ана-
анализа.— 5-е изд. М.— Л.: Физматгиз, 1962.
[8] Грин (Green С. D.). Integral equation methods,— New York: Barnes and
Noble, 1969.
[9] Чью, Ha (Chiou J. P., Na T, Y,).—Int. J. Math. Ed. Sci. Tech., 1978,
v. 9. p. 253—256.
[10| Тейлор (Taylor G. I.).—Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 1968, v. 306,
p. 423—434.
[11' Аккерберг (Ackerberg R. C.).—Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 1969,
v. 312, p. 129—140.
A2) Пифко, Гольдберг (Pifko А. В., Goldberg M. A.).—A1AA J., 1964, v. 2,
p. 1340—1342. [Имеется перевод; см. с. 162.1
[13] На, Кураджан, Чью (Na Т. Y., Kurajian G. M., Chiou J. P.),—Aeronaut.
Q., 1976, August, v. 27,'p. 195—200.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Блазиуса задача 215
— — с отсосом и скольжением 192—
197
— задачи решение 127—130, 132—136
— уравнение 233, 234, 282
Большие прогибы кольцевой мембраны
160
тонкой упругой распорки 193,
206—215
Возникновение и распространение по-
поверхностного горения 193. 197—201
Волн распространение 253
Вязкопластический стержень 140—143
Вязкоупругая жидкость 32
Дифференциальные уравнения с од-
одним граничным условием в началь-
начальной точке 44—45
Дифференцирования по параметру ме-
метод 11, 14, 218—252
— — — — для дифференциального
уравнения 229—235
— — — — — систем уравнений
235—241
— — — — — — — нелинейных
функциональных 218—229
Диффузии уравнение нелинейное 170—
174, 192
Диффузия в химическом каталитичес-
каталитическом конверторе 76—80
— гази в жидкость 66
Дополнительных функций метод 30,
32
Галёркина метод 155, 156, 159
Гамеля задача 113—116
Гамильтона уравнения 253
Грама — Шмидта процесс ортогона-
лизации 65
Граничные задачи с несколькими па-
параметрами 193—206
Грина функция 269, 270
Группа преобразований винтовая
143—145
линейная 13, 132, 142, 184
Единственность решения 151—159
Естественная конвекция в погранич-
пограничном слое 117—122
— — вдоль полубесконечной верти-
вертикальной пластины 238—241
— — жидкости неньютоновской меж-
между параллельными пластинами 249
— — — Пауэлла — Эйринга между
вертикальными пластинами 99—
101
Движение тяжелой частицы вдоль
вращающегося стержня 50
Действие излучения на течение иад
плоской поверхностью 123
Детонация твердого взрывчатого ве-
вещества 280—282
Динамика разреженного газа 253
Дифференциальные уравнения с гра-
граничными условиями в трех точках
(трехточечные задачи) 28, 45—47
Жидкость между коаксиальными вра-
вращающимися цилиндрами, распреде-
распределение давления 266
— — — — скорости 67
температуры 50, 216
Задача на собственные значения 145—
147, 182—186
— о брахистохроне 136—140

286
Предметнып указатель
Зондовые электростатические изме-
измерения в струе реактивного двигате-
двигателя 24—27
Изгиб балки консольной 189
лежащей на опорах 58—61, 65
Изотермический прямоточный (труб-
(трубчатый) реактор 22—24, 167—170,
192, 230—232, 256—259.
Инвариантного погружения метод 11,
14, 253—267
понятие 253—255
Инвариантности принцип 253
Инвариантные комбинации физичес-
физических параметров 192—217
Интегральных уравнений метод 268—
284
— — — для линейных задач 269—
277
— — нелинейных задач 277—
282
Инфинитезимальныг преобразования
126
Исследование работы змеевика холо-
холодильника 249
Малые поперечные колебания балки
под действием растягивающей следя-
следящей силы 226—229
Массы перенос на вращающемся диске
32
Матрицы обращение, метод Гаусса —
Зейделя 89, 93
— — — релаксации 93
— — — факторизации 93—116
Маятник 97—99
Методы итерационные 11
— неитерационные 11
Михаэлиса — Ментен уравнение 170
Напряжение в сферической мембране
87
Напряжения и прогибы кольцевых
мембран 283
Нестационарное течение газа в полу-
полубесконечной пористой среде 70—73
— — жидкости со степенным реоло-
реологическим законом 160
Ньютона метод 11, 12, 65, 69—73
Ньютона — Рафсона метод 87
Квазилинеаризации метод 11, 12, 65,
81—86
Кламкина метод 13, 126, 131, 186, 187
Конвекция естественная см. Естест-
Естественная конвекция
Конечно-разностные методы 11, 12.
См. также Конечных разностей метод
Конечный изгиб тонкостенной трубы
266
— продольный изгиб нелинейной уп-
упругой стойки 182—186, 235—238 '
Конечных разностей метод 89—125
Конформные преобразования 218
Куятта течение магнитогидродинами-
ческое 54—58
Ламинарный пограничный слой в
псевдопластической жидкости 192
Леей — Лиза преобразование 201
Магнитогидродинамические течения
54—58, 178—182, 192, 250
Обтекание вязкой жидкостью заострен-
заостренного параболического тела враще-
вращения 193, 201—205
— — несжимаемой проводящей жид-
жидкостью полубесконечной пластины в
магнитном поле 178—182
Общего параметрического отображения
(ОПО) метод 218, 241—245
Определение равновесного состава сме-
смеси газов при высокой температуре
221—224
Параллельной пристрелки метод 12,
74—81
Пауэлла—Эйринга жидкость 99
Перенос лучистой энергии 253
— нейтронов 253
— тепла и массы в каталитическом
реакторе 249
— — — пористом катализаторе
266
Плавление твердого тела 189
Пограничного слоя уравнения 164
— — — в области застоя в проводя-
проводящей жидкости 250
Пограничный слон 163

Предметный указатель
287
Пограничный слой в магнитогидро-
магнитогидродинамике 192
ламинарный в псевдопластичес-
псевдопластических жидкостях 192
на клиие 232—235
с отсосом и поддувом 163—165
Пограничным слоем управление 163—
167
Предсказывающе-исправляющий ме-
метод Адамса — Мултона 18
Подобия преобразования 128
Преобразование однородных гранич-
граничных условий в неоднородные Н7—151
— физических параметров 163—178
Преобразования метод 11, 13, 14
изменение физических пара-
параметров 163—191
инвариантные комбинации фи-
физических параметров 192—217
— приложение к задачам на собст-
собственные значения 182—186
прямое преобразование 126—162
Преобразования метода возможные мо-
модификации 206
Приведение к задаче Коши граничной
задачи второго порядка 2&—27
третьего порядка
27—30
Пристрелки методы 11. См. также
¦ Квазилинеаризации метод, Ньютона
метод, параллельной пристрелки ме-
метод .
Прогиб консольной балки под дейст-
действием сосредоточенной нагрузки 124,
266
— круговой мембраны 174—178
Прогибы большие кольцевой мембраны
187
Прогонка обратная 34, 40, 44, 47
— прямая 34, 40, 44, 47
Прогонки метод 11, 12, 34—51, 65
— уравнений вывод 34—35
Продолжения метод 218, 245—248
Продольный изгиб нелинейной упру-
упругой стойки 182—186, 235—238
— удар по вязкопластическому стерж-
ию 140—143
Проектирование реактора 142, 230—
232
Разность вперед 90
— назад 90
— центральная 91
Распределение температуры в кольце-
кольцевой пластине радиатора 188—189,
259—260
Распределение температуры вдоль
оси прямолинейного излучателя 283
Распространение волн 253
— тепла в пластине бесконечной с ис-
источником тепла 38
радиатора 41—44, 50,
96—97
радиальном течении между
параллельными дисками 32
Рассеяние 253
Рунге — Кутты метод 15—17, 20
Слияние капель с различными потен-
потенциалами 283
Случайное блуждание 253
Сопряженная система дифференциаль-
дифференциальных уравнений 52—53, 56, 62
Сопряженного оператора метод 11, 13,
52—67
Суперпозиции метод 11, 12, 20—33, 65
Тейлора метод 15, 16
Теплоизлучение кольцевых пластин
трапецеидального сечения 82—83
Теплопроводность в тонких иглах 123
Течение в канале с однородными по-
пористыми стенками 87, 249
клинообразной области (зада-
(задача Гамеля) 113—116
— — пограничном слое при наличии
конвекции и излучения 215
сетях трубопроводов 224—226
— — узком зазоре между коаксиаль-
коаксиальными цилиндрами 66
— — химическом реакторе 253
— вязкоупругой жидкости вдоль бес-
бесконечной горизонтальной пластины
32
— газа через пористую среду 189
_ нестационарное 192
— между коаксиальными цилиндрами
50, 190
— с образованием ударных волн 192,
49—250
Тёпфера метод 13, 126, 132 139, 178
Трехслойная балка 29—30, 47—49,
61—64, 123—124, 275—277
Трёша задача 246—248
Ударные волны 192, 249—250
Устойчивости критерий 152

288
Предметный указатель
Фазовые переходы в твердых телах 87
Феффла — Хенки уравнения прогибов
мембраны 160
Фолкнера — Скан уравнение 135, 233,
243—245, 260—265
Фредгольлю интегральное уравнение
второго рода 269
Хазена — Вильямса коэффициент 224
— — формула 224
Харди — Кросса метод 224
Хименца течение 110, 111, 124
магнитное ПО—113
Центральная разность 91
Частных решений метод 30—32
Численное интегрирование задачи
Коши 15—18
Штурма — Лиувилля задача 154, 155,
159
Эймса задача на собственные значения
145—147

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адаме (Adams E.) 161
Аккерберг (Ackerberg R. С.) 283, 284
Амбарцумян В. А. 253, 267
Амундсон (Amundson N. R.) 161, 162,
252
Андерсон (Anderson J. А.) 32, 33
Андерсон (Anderson J. M.) 228, 250
Арис (Aris R.) 152, 162
Арозести (Arosesty J.) 267
Бахвалов Н. С. 12
Бедфорд (Bedford G. G.) 191
Бейли (Bailey P. В.) 19
Беллман (Bellman R.) 88, 253, 267
Берд (Bird R. В) 50, 51, 67
Березин И. С. 18, 34, 51
Беркант (Berkant N.) 124
Бернштейн (Bernstein S.) 245, 251
Билоуз (Bilous О.) 252
Биркгоф (Birkhoff G.) 128, 161
Бишоп (Bishop К. F.) 125, 189 191
Блазиус 127—129
Блисс (Bliss G. А.) 53, 67
Блюмен (Bluman G. W.) 126, 161
Бобков В. В. 11
Брюс (Bruce G. Н.) 162
Брюс (Bruce R. W.) 99, 124, 249, 252
Варга (Varga R. S.) 125
Вейбел (Weibe! E. S.) 246, 252
Вимада (Vimala С. S.) 216
Висканта (Viscanta R.) 123, 125, 215,
217
Гарабедян (Garabedian P. R.) 162
Гельфанд И. М. 12, 34
Гильберт (Hilbert D.) 283, 284
Гир (Gear С. W.) 19
Главачек (Hlavacek V.) 243, 249—252,
267, 278, 284
Глауэрт (Glauert M. В.) 178, 191
Гольдберг (Goldberg M. А.) 160, 162,
176, 177, 190, 283, 284
Гольдштейн (Goldstein S.) 161
Грин (Green С. D.) 283, 284
Гринспен (Greenspan H. Р.) 178, 191
Гриф (Grief R.) 32, 33
Грош (Grosh R. J.) 123, 125, 215, 217
Гудман (Goodman T.) 19, 52, 53, 67
Джонс (Johnes D. J.) 252
Джонс (Jones D. S.) 34
Дибиано (DiBiano R.) 234, 235, 251
Друккер (Drucker D. C.) 125, 189, 191
Жидков Н. П. 18, 34, 51
Изаксон (Isaacson E.) 125
Кагивада (Kagiwada H. H.) 267
Калаба (Kalaba R, E.) 88, 253, 267
Канторович Л. В. 283, 281
Kao (Као R.) 88, 267
Каррьер (Carrier G. F.) 178, 191
Кейн (Kane T. R.) 218, 221, 245
Келлер (Keller H. В.) 19, 86 88, 93,
123—125, 251, 283, 284
Келлер (Keller H. Н.) 82, 87, 188, 191
Кехат (Kehat E.) 252
Киддер (Kidder R. Е.) 71, 87
Кинг (King W. W.) 228, 245
Кламкин (Klamkin M. S.) 13, 19, 126,
131, 134, 135, 143, 161, 178, 186, 191
Коллатц (Collatz L.) 12, 17, 18, 33,
125
Коппл (Сор pie С.) 162
Коул (Cole J. D.) 126, 161
Крайчинович (Krajcinovic D.) 29,. 33
Кренделл (Crandall S. H.) 162
Крылов В. И. 11, 283, 284
Кубичек (Kubicek M.) 243, 249—252,
267, 278, 284
Кукарни (Kukarni К. М.) 67
Кунцман (Kuntzmann J.) 19
Кураджан (Kurajian G. М>) 191, 217,
235, 251, 284
Курант (Courant R,j 283, 284

290
Именной указатель
Лайтфут (Lightfoot E. N.) 51, 67
Ламберт (Lambert J. D.) 18
Ландал (Landahl M. Т.) 233—235, 251
Ланс (Lance G.) 19, 52, 53, 67
Лемье (Lemieux P. F.) 161
Лере (Leray J.) 245, 251
Ли (Lee E. S.) 19, 33—88
Ли (Lie S.) 128, 161
Линь (Lin S. Н.) 190, 216
Лихтенштейн (Lichtenstein L,) 218,
245
Локуциевский О. В. 12, 34
Лусс (Luss D.)~ 152, 162
Лью (Liu S. W.) 216
Майерс (Myers G. E.) 284
Маккыо (McCue G. A.) 88
Марек (Marek M.) 284
Марк (Mark R. M.) 216
Мейер (Meier G. H.) 19, 253, 266, 267
Мейз (Maise G.) 33
Миеле (Miele A.) 31, 33
Монастырский П. И. 11
Морган (Morgan A. J. A.) 128, 161
Мур (Moore F.) 33, 267
На (Na H, S.) 190, 216
На (Na T. Y.) 13, 18, 19, 32, 33, 87,
99, 126, 143, 160—162, 190, 191, 216,
217, 230, 235, 249, 251, 252, 284
Нараин (Narain ,1. P.) 123, 125
Нерем (Nerem R. M.) 252
Нэт (Nath G.) 216, 250, 252
Роберте (Roberts S. M.) 19, 33, 65, 67,
245, 246, 248, 250—252
Pot (Roth С W.) 252
Рубберт (Rubbert P. J.) 233—235, 251
Сабаделл (Sabadell A. J.) 33
Сандерленд (Sunderland J. E.) 87, 88,
189, 191
Себесн (Cebeci T.) 124, 125, 251
Сешадри (Seshadri R.) 161
Сидом (Sidhom M. M.) 32, 33
Силиври (Silivri I.) 124
Сиссон (Sisson R. M.) 267
Скей (Schey J. A.} 67
Скотт (Scott M. R.) 253, 267
Скотт (Scott Т. С.) 19, 216
Смит (Smith A. M. O.) 234, 251
Сомерс (Somers E. V.) 259, 267
Стритер (Streeter V, L.) 250
Стюарт (Stewart W. E.) 51, 67
Сыокик (Sjukic Dj. S.) 124
Тан (Tang S, C.) 18, 143, 161
Тейлор (Taylor G. I.) 283, 284
Террил (Terril R. M.) 87, 88, 252
Тёпфер (Toepfer K.) 13, 19, 126, 128,
131, 132, 134, 143, 161 163
Тимошенко С. П. 67
Тисон (Tyson H.) 162
Тодд (Todd J.) 67
Томас (Thomas L. H.) 93, 124
Трёш (Troesch В. А.) 246 252
Тэн (Tan С. W.) 234, 235, 251
Овсянников Л. В. 126, 161
Оден (Oden J. T.) 183, 191
Острах (Ostrach S.) 240, 241, 251
Уберой (Uberoi M. S.) 123, 1-25
Уинг (Wing G. М.) 253, 267
Уолтман (Waltman P. E.) 19
Уэккер (Wacker H. J.) 248, 252
Уэно (Ueno S.) 267
Перроне (Реггопе N.) 88, 267
Писмен (Peacemen D. W.) 162
Пифко (Pifko А. В.) 160, 162, 283, 284
Портер (Porter A.) 162
Преструд .(Prestrud M. С.) 267
Фавр (Favre A.) 217
Фань (Fan L. Т.) 190, 216
Фиккен (Ficken F. А.) 245, 251
Фокс (Fox L.) 19, 102, 124
Фридрихе (Friedrichs R. О.) 245, 251
Радбилл (Radbill J. R.) 88
Раймонд (Raymond L. R.) 161
Райе (Rice J. D.) 162
Райт (Wright F. В., Jr.) 53, 67
Ракфорд (Rachford H. H., Jr.) 162
Ринсклер (Rinschlei G, L.) 19, 216
Хабиб (Habib 1. S.) 160, 162, 230, 251
Хаддлстон (Huddleston J. V.) 208, 214,
216
Хансен (Hansen A. G.) 19, 126, 161
Хартри (Hartree J. R.) 162
Хейдеман (Heideman J, C.) 33

Именной указатель
291
Хеминг Р. 18
Хенричи (Henrici P.) 19, 125
Хилдебранд (Hildebrand F. В.) 125,
283, 284
Хименц (Hiemeri7 К.) 11, 124
Холберт (Holbert D. L.) 217
Холдридж (Holdrege E. S.) 82, 87, 188,
191
Шампайн (Shampine L. F.) 19
Шаудер (Shauder J.) 245, 251
Шахам (Shacham M.) 252
Шипмаи (Shipman J. S.) 19, 33, 65,
67, 245, 246, 248, 250—252
Шлихтинг (Schlichting H.) 67, 124, 190,
267
Цой (Cho S. Н.) 87, 88, 189, 191
Чайлдс (Childs S. В.) 183, 191
Чамберс (Chambers R. С.) 33
Чамберс (Chambers R. L.) 259, 267
Чандрасекар (Chandrasekhar S.) 253.
267
Черчилл (Chulrehil) R. V.) 162
Ческино (Ceschino F.) 19
Чью (Chiou J. P.) 191, 251, 252, 284
Эймс (Ames W. F.) 19, 126, 145, 147,
161, 178, 191
Элзи (Elzy E.) 267
Энгель (Engel F.) 161
Юнни (Unng Т. Е.) 161
Яковлев М. H. 218, 250

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
1лава 1. Введение 9
1.1. Введение 9
!.2. Методы решения 11
1.3. Численное интегрирование задачи Коши 15
1.4. Заключительные ра.иечания 18
Литература 18
Глава 2. Метод суперпозиции 20
2.1. Введение 20
2.2. Приведение линейной граничной задачи к задаче Коши ... 20
2.3. Приведение граничной задачи третьего порядка к задаче Коши 27
2.4. Заключительные замечания 30
Задачи 32
Литература 33
Глава 3. Метод прогонки 34
3.1. Введение . 34
3.2. Вывод уравнений прогоики для дифференциальных уравнений
второго порядка 34
3.3. Применение метода 36
3.4. Дифференциальные уравнения третьего порядка 44
3.5. Заключительные замечания 49
Задачи 50
Литература 51
Глава 4. Метод сопряженного оператора 52
4.1. Вьедение 52
4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 54
4.3. Дифференциальные уравнения третьего порядка 61
4.4. Заключительные замечания 64
Задачи . 65
Литература . 67
Глава S. Итерационные методы: методы пристрелки 68
5.1. Введение . . , 68
5.2. Метод Ньютона 69
5.3. Параллельная пристрелка 74
5.4. Квазилинеаризация 81
5.5. Заключительные -•амечания 86
Задачи 87
Литература 87

Оглавление 293
Глава 6. Итерационные методы, метод конечных разностей 89
6.1. Введение 89
6.2. Конечные разности , 89
6.3. Решение граничных задач методом конечных разностей ... 91
6.4. Дифференциальные уравнения второго порядка 93
6.5. Дифференциальные уравнения третьего порядка 101
6.6. Система первого порядка и мегод Ньютона 116
6.7. Заключительные замечания 122
Задачи 123
Литература 124
Глава 7. Метод преобразования: прямое преобразование 126
7.1. Введение 126
7.2. Метод преобразования при помощи заданной группы .... 132
7.3. Расширение возможностей метода преобразования для заданной
группы преобразований 143
7.4. Единственность решения 151
Задачи 159
Литература . . ' 161
Глава 8. Метод преобразования: изменение физически* параметров 163
8.1. Введение 163
8.2. Преобразование физических параметров 163
8.3. Приложение к системам дифференциальных уравнений . . . 178
8.4. Приложение к задаче на собственные значения 182
8.5. Заключительные замечания 186
Задачи 188
Литература 190
Глава 9. Метод преобразования: инвариантные комбинации физи-
физических параметров 192
9.1. Введение 192
9.2. Граничные задачи с несколькими параметрами 193
9.3. Возможные модификации метода 206
9.4. Большие прогибы тонкой упругой распорки . 206
Задачи . . - 215
Литература 216
Глава 10. Метод дифференцирования ло параметру 218
10.1. Введение 218
10.2. Система нелинейных функциональных уравнений 218
10.3. Применение метода дифференцирования по параметру к диф-
дифференциальным уравнениям 229
10.4. Применение к системам уравнений . . . . , 235
10.5. Общее параметрическое отображение (ОПО) Кубичека и Гла-
вачека 241
10.6. Метод продолжения Робертса и Шипмана 245
10.7. Заключительные замечания 248
Задачи 249
Литература 250
Глава 11. Метод инвариантного погружения 253
11.1. Введение 253
11.2. Понятие инвариантного погружения 253
11.3. Изотермические прямоточные химические реакторы 256

294 Оглавление
11.4. Пластина теплового ралиатор.ч 259
11.5. Решение уравнения Фолкнера — Сюн 260
11.6. Заключительные замечания 265
Задачи 266
Литература 267
Глава 12. Метод интегральных уравнений 268
12.1. Введение 268
12.2. Линейные граничные задачи 269
12.3. Нелинейные граничные задачи 277
12.4. Заключительные замечания 282
Задачи 283
Литература 284
Предметный указатель 285
Именной указатель 289

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформле-
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по
адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
издательство «Мир».

Цунг-Йен На
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ПРИКЛАДНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Ст. научный редактор Г. М Ильичева
Мл. научный редактор Н. С. Полякова
Мл. редактор Л В. Бекренева
Художник А. В. Проценко
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. Д- Толстякова
Корректор Т. П. Пашковская
ИБ № 3007
Сдано о набор 01.02.82.
Подписано к печати 15.06.82.
Формат 60Х90'/и-
Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 9.25 бум. л. Усл. печ. л. 18.50. Уел. кр..
отт. 18.50. Уч.-изд. л 15.10. Изд. № 1/1659.
Тираж 12 000 экз Зак. .2018'. Цеиа 1 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва. 1-й Рижский пер., 2.
Отпечашно с матриц ордена Октябрьской Рево-
Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии имени А. А. Жда-
Жданова в Ленинградской типографии № 4 ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» им. Евгении
Соколовой Союзполнграфпрома при Государст-
Государственном комитете СССР по делам издательств, по-
полиграфии и книжной торговли. 191126. Ленинград,
Социалистическая ул., 14.