Author: Бочаров П.П. Печинкин А.В.
Tags: теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов массовое обслуживание
ISBN: 5-209-00796-0
Year: 1995
Text
ББК 22.17
Б 72
Утверждено РИС Ученого совета Российского университета дружбы народов
Рецензенты:
кафедра теории вероятностей МГУ им. М.В.Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор В.В.Рыков
Бочаров П.П., Печинкин А.В.
Б 72 Теория массового обслуживания: Учебник. М : Изд-во РУДН, 1995. 529 с., ил.
ISBN 5-209-00796-0
Предлагаемый учебник написан на основе курсов по теории массового обслуживания, читаемых авторами в течение ряда лет студентам специальностей "Математика” и ”Прикладная математика” и направления ’’Прикладная математика и информатика”, а также аспирантам соответствующих специальностей. В нем излагаются основные4 модели теории Массового обслужвания, а также методы их исследования, в том числе и современные.
Учебник рассчитан на студентов, обучающихся по направлению ’’Прикладная математика и информатика”, специальностям ’’Математика” и ’’Прикладная математика”, а также студентов других специальностей и аспирантов, использующих в своей работе математические модели теории массового обслуживания.
к 1602010000-003 , п
Б ЛЮГО2Р95~ Бет °бъявл-
ББК 22.17
ISBN 5 209 00796 0
@ П.П.Бочаров, А.В.Печинкин, 1995 г.
Введение
Теория массового обслуживания (ТМО) представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей производительности технических устройств, или, как мы будем говорить, систем массового обслуживания (СМО), предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживание, или требований. При этом существенную роль играют случайные флуктуации в процессе поступления и обслуживания заявок.
Для того чтобы понять необходимость ТМО и те последствия, к которым приводит игнорирование случайностей при расчете показателей обслуживания СМО, рассмотрим простейший пример. Пусть на некоторое обслуживающее устройство или обслуживающий прибор поступает поток заявок. Допустим, путем длительных наблюдений мы установили, что среднее число поступающих на прибор заявок постоянно и равно 6 в час. Спрашивается, какую производительность должен иметь прибор, чтобы успешно с правляться с поступающим на него потоком заявок? Сам собой напрашивается ответ: прибор должен обслуживать в среднем 6 заявок в час плп каждую заявку за 10 мин. Конечно, осторожный проектировщик всегда сделает небольшой запас, скажем, в 10% на всякие непредвиденные обстоятельства и предложит производительность прибора, соответствующую обслуживанию одной заявки за 9 мин. Дальнец-шее увеличение производительнос ти прибора вряд ли целесообразно, поскольку тогда он будет большую долю времени простаивать. Итак, ответ готов: прибор должен обслуживать заявку в среднем за 9 мин. При этом заявки перед прибором нс- должны накапливаться, а сам прибор в среднем 6 мин каждый час будет простаивать.
Однако на практике весьма быстро было подмечено следующее обстоятельство. Да, прибор действительно был свободен 10% времени. Но в очень многих случаях перед прибором возникали весьма значительные очереди. В частности, при пуассоновском входящем потоке» и экспоненциальном обслуживании (см. § 1 гл. 3) при Ta-
i’
4
Введение
ких исходных данных в среднем перед обслуживающим прибором скапливается очередь из 8 заявок.. Поиски причин этого явления выявили и виновника: им оказался именно элемент случайности в поступлении и обслуживании заявок.
Дальнейший ход событий предсказать нетрудно. Раз виноваты случайные явления, а случайными явлениями занимается теория вероятностей, то необходимо для анализа СМО применять методы этой дисциплины. Таким образом сформировался еще один раздел теории вероятностей теория массового обслуживания.' Родоначальником ТМО считается сотрудник Копенгагенской телефонной компании известный датский ученый А.К.Эрланг, который первым предложил для описания процессов, происходящих в СМО, использовать марковские процессы с дискретным (конечным или счетным) множеством состояний. Это нетрудно понять, если учесть, что основным практическим потребителем результатов ТМО были телефонные сети, а к настоящему времени добавились сети передачи данных, информационно-вычислительные сети и т.д.
Пик своего развития ТМО достигла в 50 70-е годы. В это время ежегодно публиковалось большое количество статей, появились многочисленные монографии по различным проблемам ТМО. В свою очередь, ТМО оказала стимулирующее воздействие на развитие других разделов теории вероятностей, в частности, на теорию случайных процессов.
Затем интерес к ТМО несколько ослабел. Это было связано с несколькими причинами. Остановимся на одной из них математи-чс-с 1 он. Здесь нужно отметить, что. с одной стороны, характерной особенностью задач ТМО является необходимость почти для каждой СМО искать собственные методы исследования, а с другой большой интерес ис с ледователей к ТМО привел к тому, что задачи, допускающие' простые решения, особенно в вычислительном плане, уже* были решены. Кроме' того, у аналитических методов исследования СМО появился серьезный конкурент имитационное моделирование.
Однако в последнее время снова возродился интерес к задачам ТМО. обусловленный не только новыми проблемами, возникшими в практической жизни и особенно в областях, связанных с разра-ооткои и применением вычислительной техники, но и новыми математическими подходами к их решению. Одним из таких подходов является алгоритмический подход, возникший в связи с широким
применением вычислительной техники, в частности, перс ональных компьютеров в научных исследованиях, и предполагающий получение решении задач ТМО в виде тех или иных вычислительных алгоритмов. Алгоритмический подход, проигрывая традиционным аналитическим методам в наглядности пол^^семых результатов, возможности их использования в задачах оптимизации и т.п., тем нс' менее обладает и несомненным преимуществом, которое заключается в его ориентации на создание, в конечном итоге, комплексов и пакетов прикладных программ и таблиц, что в практической жизни часто оценивается гораздо выше даже очень ’’красивых’ формул.
Цель нас тоящей книги состоит в ознакомлении читателя с некоторыми (в том числе и с овременнымп) методами, применяемыми в ТМО, и результатами, полученными на основе этих методов. Конечно, разнообразие задач, встречающихся в ТМО, чрезвычайно велико. и нельзя при первом знакомстве даже описать вес' их возможные' постановки. Поэтому при написании книги мы остановили свое внимание на тех задачах и методах их решения, которые, на наш взгляд, наиболее часто и плодотворно используются в ТМО
В математике существует закономерность: чем более современный раздел этой науки рассматривается, тем большее число вспомогательных сведении необходимо усвоить для возможности его изучения. Не обошла с тороной этйузакономерность и ТМО. Несмотря на кажущуюся простоту постановок задач, а иногда и методов их решении, в ТМО используются методы самых различных математических дисциплин, причем основную роль играет теория вероятностей. Поэтому собственно изложению ТМО предшествует вводная глава (гл. 1). посвященная некоторым специальным сведениям из теории вероятностей. Что кпсается других математичесжих дисциплин, то испольву<^1ЫЯ из них результаты, в целом, полностью перекрываются курсом математики, являющимся обязательным во всех университетах для специальностей ’’Математика” и ’’Прикладная математика”. К тем немногочисленным исключениям, которые вс третятся в тексте, даются подробные пояснения. Отмстим, что первая гдава носит справочный характер. Читатель, уверенный в своих силах, может начинать чтение книги сразу со второй главы, обращаясь, по мерс> надобности, к первой.
Во второй главе приводится формализованное описание СМО, их определяющих параметров и показателей производительности. Основное’ внимание в этой главе уделено входящему потоку заявок,
6
Введете
поскольку именно- правильность его описания в очень большой степени отражает адекватность выбранной модели реальному техническому устройству. Здесь же приводятся классификация Кендалла наиболее простых СУЮ и описание некоторых вероятностных распределении, которые будут играть важную роль в дальнейшем.
Третья и четвертая главы поевяшены так называемым марковским СУЮ. причем в третьей главе’ разбираются простейшие модели. а в четвертой более сложные. Исследование этих моделей проводите я с помощью относительно простого математического аппарата. В частности стационарные’ показатели производительности СУЮ определяются из решения системы уравнении равновесия (СУР), представляющей собой систему линейных алгебраических уравнений. Однако здесь сразу же проявляетс я обычная в таких случаях проблема размерности. Для того чтобы справиться с этой проблемой, в ТУЮ разработаны свои принципиально новые’ методы, приме нению которых для анализа конкретных СУЮ и посвящена, в ос новном, четве ртая глава.
В пятой главе проводится подробный анализ СУЮ, которую в классификации Кендалла обозначают как M/G/1/оо. Именно эта модель является той основой, на которой часто опробываются и отрабатываются новые1 методы в ТУЮ. Опираясь на полученные в этой главе результаты, в с ледующей, шестой главе изучаются другие ’’традиционные’’ СУЮ.
В седьмой главе1 рассматриваются СУЮ У1/С/1/сс со специальными дисциплинами обслуживания, к которым относятся приоритетные1 системы, а также1 системы с порядком обслуживания, отличным от обслуживания заявок в порядке1 поступления в систему. Использование' таких дне циплин позволяет в ряде1 случаев существенно улучшить показатели производительности СУЮ практически без каких-либо дополнительных технических усовершенствований.
Восьмая глава посвящена широко применяемому в теоретических исследованиях методу анализа достаточно общей СУЮ системы G/G/1/оо (обычно пишут GI/GI/1/оо).
Наконец, пос ледняя, девятая глава дает начальное представление о с етях массового обслуживания (СеУЮ).
В список литературы, приведенный в конце книги, включены некоторые наиболее известные учебники и монографии по ТМО, источники, на которые в тексте делаются ссылки, а также оригинальные статьи, использованные при написании книги.
В написании § 8 гл. 2 и § 6 гл. 4 принимал участие В.А.Наумов. Авторы благодарны академику РАЕН профессору Г.П.Башарину за ряд ценных замечаний.
В книге принята отдельная нумерация параграфов в каждой главе, а также теорем и формул внутри каждого параграфа. При ссылке на параграф другой главы к номеру параграфа добавляется номер главы. Так, § 2.4 означает § 4 гл. 2. Аналогично, если делается ссылка на теорему или формулу другого параграфа этой же главы, то перед номером теоремы или формулы ставится дополнительно номер параграфа, а если ссылка происходит на другую главу, то перед номером параграфа добавляется и номер главы. Например, (3.4 б) означает формулу (6) § 4 гл. 3, а теорема 3.1 представляет собой теорему 1 § 3 этой же главы. Нумерация рисунков сплошная в каждой главе.
В заключение приведем список сокращений, используемых в книге:
ПЛ преобразование Лапласа;
ПЛС преобразование Лапласа-Стилтьеса;
ПРГ процесс размножения и гибели;
ПФ производящая функция;
СеМО—сеть массового обслуживания;
СМО -система массового обслуживания;
СУР система уравнений равновесия:
ТМО —теория массового обслуживания;
ФР функция распределения.
Глава 1
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В этой главе, носящей справочный характер, в сжатом виде без каких-либо доказательств приведены относительно общие сведения по характеристическим преобразованиям случайных величин и по случайным процессам, наиболее часто используемым в ТМО. Пояснения даны только для тех результатов, которые непосредственно будут использованы при выводе и ранении уравнении, описывающих поведение СМО, и служат для более полного уяснения физической картины происходящего.
Выбор материала для данной главы определился тем обстоятельством. что именно эти разделы теории вероятностей обычно недостаточно полно освещаются в общих курсах математики.
В последнем параграфе главы приводятся также определение и основные свойства кронекерова произведения матриц, которое используется для компактной записи систем уравнений равновесия и выражении для ряда характеристик сложных СМО.
§ 1. Характеристические преобразования
К характеристическим преобразованиям случайных величин относятся характеристическая функция (ХФ), преобразование Лапласа Стилтьеса (ПЛС) и производящая функция (ПФ).
Характеристические преобразования однозначно определяют функцию распределения (ФР) случайной величины. При этом ХФ имеет любая случайная величина, ПЛС неотрицательная, ПФ неотрицательная целочисленная. Поскольку в ТМО имеют дело, в основном, с неотрицательными и неотрицательными целочисленными случайными величинами, то и используют, как правило, ПЛС и ПФ.
В этом параграфе мы определим также преобразование Лапласа (ПЛ), которое хотя и не относится к характеристическим преобразованиям случайных величин, но имеет те же основные свойства и будет применяться нами при исследовании нестационарных характеристик функционирования СМО.
§ 1. Характеристические преобразования
9
Заметим, что характеристические преобразования относятся как к случайным величинам, так и к ФР. Поэтому мы в дальнейшем будем также использовать название ’’характеристические преобразования (ХФ, ПЛС и ПФ) функции распределения”.
Характеристические преобразования позволяют во многих случаях представить решения сложных уравнений для искомых характеристик СМО в простои форме.
Практическое применение характеристических преобразовании сдерживается необходимостью их обращения. И здесь, на наш взгляд, дело даже не в том, что это слишком сложная задача (современные вычислительная математика и вычислительная техника позволяют решать подобные задачи), а в нежелании большинства серьезных специалистов приложить некоторое усилие и перекинуть мостик через совсем обмелевший ручей, разделяющий теорию и практику решения этой проблемы.
1.1. Характеристическая функция
Характеристической функцией случайной величины £ называется функция
6(1) = Ме*'« = J ellxdA(x),
где А(.т)— ФР величины £, a t—действительное число.
ХФ имеет следующие свойства:
1.6(f)—непрерывная функция, 6(0) = 1, |6(f)|<l, -oa<t<oa.
2. Если 4i и ^2—независимые случайные величины, имеющие ХФ 6i(t) и 62(e), то их сумма £=^+£2 имеет ХФ 6(e) = 61(e) 62(е).
3. Если случайная величина £ имеет (конечный) момент п-го порядка aSn) = М£”, то ХФ дифференцируема п раз и 6^(0) = = ?А(6А\ к < п. При четном п справедливо и обратное: если существует (конечная) производная 6(п)(0), то случайная величина £ имеет (конечный) момент n-го порядка.
Если случайная величина £ является непрерывной, то ее ХФ
ОС
с точностью до множителя 1 / х/2тг совпадает с преобразованием Фурье плотности распределения а(.т) = А'(.т).
Основной недостаток ХФ заключается в необходимости работать с комплекснозначной функцией.
10
Гл 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
1.2. Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа функции р(х'), х > 0, называется функция
тг(в) = I e~sl'p(x) dx. b
Мы не будем акцентировать внимание на тех общих условиях, при которых существует ПЛ. Для наших целей в большинстве случаев будет достаточно непрерывности и ограниченности функции р(х), тогда ПЛ будет задано для всех s > 0.
ПЛ обладает следующими свойствами:
1. Если тг(в)- ПЛ функции р(х), то производная р'(х) имеет ПЛ s7r(s)-p(0). „ , ч .
2. Если р(.т) представляет собой свертку функций (х) и р2(х), т.е.
х
р(я.) = ур}(х - y)p2(y)dy,
О
то ее ПЛ tf(.s) имеет вид tf(.s) = 7Tj (s) tt2(s). где тгДв) и тг2(в) - ПЛ функции pi (х) и р?(х).
3. Если существует lim р(ж), то существует lims7r(s) = ж—Юо s—>0
= lim р(х).
х—>оо
Для обращения ПЛ необходимо перейти к комплексному аргументу s. Тогда при сделанных предположениях ПЛ тг(в) будет аналитической функцией в области Res > 0.
1.3. Преобразование Лапласа-Стилтьеса
Преобразованием, Лапласа-Стилтьеса неотрицательной случайной величины £ называется функция
ОС
a(s)=Me’* = I fi~sa'dA(x), s>0.
О
Если £ непрерывная случайная величина, то ПЛС
оо
a(s) = У e~s’ra(x) dx о
совпадает с ПЛ ее плотности распределения а(х) = Д'(а.).
ПЛС обладает следующими свойствами, аналогичными свойствам ХФ:
S{ 1. Характеристические преобразования 11
1. ci(s)- положительная непрерывная убывающая функция, о(0) = 1.
2. Если и f2—независимые неотрицательные с л аиньк вс личины с ПЛС oi(s) и 0-2(5), то их сумма f = £1 + £2 имеет ПЛС a(s) =ai(s)a2(s).
3. Случайная величинаf имеет (конечный) момент n-го порядка 0(«) — Mf " тогда и только тогда, когда существует (конечная) производная ciC‘)(O); при этом «<’) _ (_1)па;(п)(0).
Преимущество ПЛС перед ХФ заключается в том, что ПЛС является действительной функцией действительного аргумента, поэтому работать < .ПЛС проще, чем с ХФ.
Однако, как и для ПЛ, иногда необходимо рассматривать ПЛС o(s) как функцию комплексного переменного з. Тогда n(s) будет аналитической в полуплоскости Res > 0 и непрерывной вплоть до границы Res = 0 функцией, |«(s)'| < 1. Заметим также, что в этом случае значение ПЛС <t(s) в точке 5 = it совпадает со значением ХФ а(1) в точке — t.
Иногда бывает полезной следующая формула, связывающая ПЛС а п.пс (л) случайной величины f с ПЛ
<*пл(5') = j e~sarA(.T) d.r о
ее ФР:
аплс(«) = 5О'пл(^)-
1.4. Производящая функция
Производящей функцией неотрицательной целочисленной случайной величины f, имеющей ряд распределения рп = P{f = и}, п = 0,1,... , называется функция
Г(г) =
п=о
ПФ задана при всех z из интервала |z| < 1. Здесь также обычно будет рассматриваться действительный аргумент z, но в некоторых случаях мы будем обращаться и к комплексному z, а тогда ПФ P(z) будет определена в круге |z| < 1.
ПФ получается из ПЛС, если положить z = e'~s.
Перечислим необходимые нам свойства ПФ:
1. P(z) непрерывна на отрезке [-1,1] (если P(z) рассматривается как функция комплексного аргумента .г, то она аналитична
12
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
внутри круга |zl < 1 и непрерывна вплоть до окружности \z| = |j Р(1) = 1 и |P(z)j < 1, |z| < 1.
2. Если случайная величина £, представляет собой сумму дву? независимых неотрицательных целочисленных величин с ПФ Г) (;. п H2(z), то ее ПФ P(z) имеет вид P(z) = Д (z) P>(z).
3. Случайная величина £ имеет конечный момент n-го порядк» аЫ> = М£" тогда и только тогда, когда существует (крнеч! ная левосторонняя) производная Р(я)(1). При этом Р(и>(1) J = М£ (^ — 1) • • (С — и +1) = М(£)„; последняя величина носит наэва ние факториального момента порядка п. Начальные и факториаи ные моменты могут быть выражены друг через друга, например,
a = = M(£)i • «(2) = М£2 = М(£) > + М(£)!.
Введение ПФ оправдывается тем, что работать <• ней еще про ше, чем с ПЛС.
1.5. Формулы обращения
В заключение этого параграфа приведем формулы обращения позволяющие переходить от характеристических преобразовании i-ра< пределениям случайных величин, и. р кажем несколько слов по поводу их применения.
Обращение ХФ о (Г] производится по формуле
X
1 /' е-!/а'2 — е~1/:Г1
Л(.п) - Л(а:2) = — Jini^ / --------------------a(t)dt.
-X
Здесь х । и ,т2 любые точки непрерывности функции распределение Л(.т).
Необходимо отметить, что при численном обращении ХФ ча-< то вознимЦт сложность ср сходимостью интеграла. В этом случае можно воспользоваться методом Берри Эс< ена [85].
Формула обращения ПЛ тг(«) имеет вид
i+iX рбг) — liin f es3:7r(s) ds, 2m x'->oo / '
где А произвольное положительное число, а интегрирование ведется по любой (гладкой) кривой, лежащей в полуплоскости Res > 0 и соединяющей точки 8—гХ и 6+iX (обычно в качестве такой кривой удобно взять отрезок, соединяющий эти точки). \
При обращении ПЛ бывают полезны следующие теоремы.
1 Характеристические преобразования
13
Теорема 1 (первая теорема разложения). Пусть существует «о такое, что при s > s0 ПЛ tt(.s) разлагается в ряд по степеням 1/s:
Тогда оригинал р(х) также можно представить в виде сходящегося (при любом х) ряда
ОО
п=0
Теорема 2 (вторая теорема разложения). Пусть ПЛ tt(s) является дробно-рациональной функцией, т.е. его можно представить в виде суммы простейших дробей
m \'\ ____Ей___
Тогда оригинал р(х) находится по формуле
7П к*
(/-1)!
Теорема 3 (третья теорема разложения). Пудть тг(ь) аналитическая нг1 расширенной комплексной плоскости функция, за исключением конечного числа особых точек .5]...s„. Тогда
п
fc=l
Здесь res{f(sk)} вычет функции f(s) в особой точке sk.
Для обращения ПЛС o(s) можно применить либо формулу обращения ХФ, либо (например, если существует непрерывная ограниченная плотность я(а)) формулу обращения ПЛ.
Значения вероятностей pn = Р{£ = n }, п = 0,1,... , дискретной случайной величины £ определяются с помощью дифференцирования в нуле соответствующее число раз ПФ Р(г):
Рп = ^Р(п)(0).
п\
14 Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
В свою очередь, для численного нахождения производно
Р( 0(0) часто удобно использовать интегральную формулу Коши '
гМ(0) = дк/-^*,
' ' 2т. J zn+l
L
где L замкнутая (гладкая) кривая, обходящая точку 0 и содержа щаяся в круге |z| < 1. Обычно в качестве контура L берут сам] единичную окружность |z| = 1.
Более подробно на методах обращения характеристически: преобразований мы останавливаться не будем, отсылая заинтере сованного читателя к специальной литературе.
§ 2. Экспоненциальное и пуассоновское распре, деления
В этом параграфе мы рассмотрим свойства экспоненциальноп распределения. Особое внимание, которое здесь уделяется экспо ненцнальному распределению, обусловлено свойством ’’отсутствие последействия”. Это свойство, которое должно быть хорошо из вестно читателю, изучавшему теорию вероятностей, позволяет го ворпть об экспоненциальном распределении как о ’родоначальнике’ марковских процессов, являющихся, в свою очередь, теоретическо! базой ТМО.
Также напомним здесь определение пуассоновского распределе нпя. которое, как увидим далее. тесно связано с экспоненциальны) распределением.
2.1. Экспоненциальное распределение
Экспоненциальное (показательное) с параметром А распределе нпе имеет ФР G(.r) и плотность распределения д(х) = G'(x) вида
ад =
если .г < 0;
ес ли ;г > 0.
= {ас^
если ,т < 0:
если .т > 0.
Математическое ожидание и дисперсия экспоненциально рас предсленнои с параметром А случайной величины ( задаются фор мулами:
М£ =
о
“Лх dx = V
j(x-M(,)2Xe~Xrdx = о
§ 2 Экспоненциальное и пуассоновское распределения 15
Лемма 1 (’’отсутствие последействия”). Случайная вели-чина Е распределена по экспоненциальному закону тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие "отсутствия последействия”' для любого у > 0 условное распределение
( 0, если у < 0;
Gv(x) = Р{Е, —у < х\£> у} = I 0& + у}-ССУ , еслиж>0)
I 1 -G(y)
совпадает с безусловным распределением G(x) = PR < ж}, т.е.
Gv(x) = G(x). (1)
Доказательство. Положим G(x) = 1 — G(x), Gv(x) = 1 — Gy(x).
Тогда условие (1) эквивалентно условию Gy(x) = G(x).
Покажем сначала необходимость последнего условия для экспо-ненциальности G(x) Действительно, в силу определения условной вероятности
G'y(a:) = PR > х + у | £ > у} =
PR > v}
PR > X + уД > у} PR > X + у} =--------------*>0-
Вспоминая теперь определение экспоненциального закона, имеем
PR >х + у} PR >2/} или окончательно
-А(ж+у)
___.____— Р~Хх
Gs(x) = GR),
что п требовалось доказать.
Для доказательства достаточности условия (1) воспользуемся равенством
G(a- + у) = PR > ж + у} = PR > х + у | f > у}РR > у} =
= PR - у > х R > 4PR > у} = Gv(x) G(y).
Из условия (1) получаем
G{x + ?/) = G(ar)GR), т,г/>(). (2)
В силу свойств ФР G(t) является невоэрастающей функцией х. Известно, что все невозрастаюгцпе решения уравнения (2) имеют вид
G(®) = 0, х > 0,
или
G(t) = е~Хх, х > 0, 0 < Л < со.
16
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ'
Естественно, первое решение нас не интересует. Кроме того, во втором решении нужно отбросить случай А = 0. Таким образом, мы приходим к достаточности условия (1), что завершает доказательство леммы.
Интерпретируя £ как время обслуживания заявки, можно дать такую трактовку условия ’’отсутствия последействия”: распределен ние. Gy(x) остаточного времени £ — у обслуживания заявки не зависит от времени у, в течение которого она уже обслуживалась.
В дальнейшем мы будем пользоваться условием, эквивалентным условию ’’отсутствия последействия”: если заявка не была обслужена к моменту у, то вероятность закончить обслуживаю
ние на ’’малом” временном интервале [у,у + Л) не зависит от у и с точностью до о(Д) равна АД
Действительно, при ’’отсутствии последействия”
СУ(Д) = G(A) = 1 - е“ЛД = 1 - [1 - АД + о(Д)] = А Д + о(Д).
Наоборот, если
С,,(Д) = А Д + о(Д),
то в соответствии с определением Gy(a )
= = Л Л + °(Л)’ откуда имеем
з»±_льед = _лед+„(1). I
Устремляя Д к нулю, получаем дифференциальное уравнение
G\y) = -XG(y),
решая которое с учетом начального условия G(0) — 1 — G(0) = 1, приходим к равенству G(y) = е~Ху, у > 0, что в силу утверждения леммы 1 эквивалентно ’’отсутствию последействия”.
Будем обозначать отсюда и до конца этого пункта через ? = 1,711, независимые случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону с параметрами А,, г = 1,т, а через £ = min минимальную из этих величин.
1<г<т
Лемма 2 (минимум экспоненциально распределенных случайных величин). Случайная величина £ имеет экспоненци-т
альное распределение с параметром А = 52 А,.
I
2 Экспоненциальное и пуассоновское распределения 17
Доказательство следует из цепочки элементарных неравенств и определения экспоненциального закона:
Р{4 > ж} = P{min(6,- --,U) > ж} = Р{41 > Ж,.. ,,Ст > ж} =
= Р{41 >x} - P{U > 3-} = е“А,а'---е~А’"а' =е-Хх, х > 0.
Лемма 3. Справедлива формула
р{е = б} = Т’ * =
Л
Доказательство. В соответствии с определениями экспоненциального распределения и распределения функции от случайных величин имеем
что и доказывает лемму.
Положим теперь 7)3 = С — 4г, г, j = 1, hi.
Лемма 4. Имеет место равенство
Р{й1 > Ж1,...,7/г_1 > Я£-1,7р+1 > т,+ 1,.. .др,, > .г,„ |4 = 4,} =
= е-Л1Ж1 ...<>-А,_1Х,_1<,-А,+1®,+ 1 j — j^l.
Доказательство проводится точно так же, как и предыдущей леммы. Действительно,
Р{й1 > Ж],. . . > Ж,_1,7/,+ 1 > Ж,+ 1, . . > 7„, | 4 = 4, } =
~ Р{4г —41 Ж! , . . . , 4г 4г—I Ж,;—1,4/ —
< 4>+1 -жг+1,...,4, < 4,„ -.г,„}(Р{4 = 4,})'1 -
2 2717
18
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
1
₽{£ = &}
• • е ЛтУт dyi • -dym =
ос
J' гпУт dym dyi ==
Ух+Хт
1 р{е=еа
—(Л1ЭТ1Ч-|-А»—1Х*—1 +^»+1аЧ+14-*”+^т®т)
ОС
J А^е-л-«<е-<л*+ --+л-1+Ач-1+-+л")^ dy, О
1 рк=Ы
е Лу- dyT =
о
“(Aj xj4-----}-Xf_iaTf„i4-At_},i®«4-i4----hAmarm
что и требовалось доказать.
Утверждение леммы 4 означает, что если минимальной из случайных величин j = 1,ш, будет то, вычитая из остальных величин £г, мы получим новые величины j которые,
как и j ф i, будут независимы и распределены по экспоненциальному с параметрами j г, закону.
Для того чтобы читатель почувствовал уверенность в своих силах, мы предлагаем ему самостоятельно доказать следующие обобщения лемм 3 и 4.
Лемма 5. Справедливо равенство
Р{€ = Сг | С = я} = y > i = V”-Л
Лемма 6. Имеет место соотношение
Р{*?1 >3-1, • - - , ^1—1 > 1, f]i+l > ^i+lt • , > хт | £ “С, £ — tJ =
= е~х'Х1 • • -е~х'- 1Х'~‘е~х‘+1х‘+1 .. zj>0, j =
Утверждение леммы 5 означает, что даже если нам известно значение х величины то все равно событие {£ = &} будет иметь
§ ^роц^ссы восстлмблсщи.
Регенерирующие процессы
19
вероятность А,/А, не зависящую от х. утверждение леммы 6.
2.2. Распределение Пуассона
Аналогичный смысл имеет
собой
Распределение Пуассона с параметром А представляет распределение неотрицательной целочисленной случайной величины о имеющей ряд распределения
Pi = Р{п ' г} - е А, г > 0.
Тогда
оо \ i о°
Ми = £ 4 е"А = A, Dn = £(г - А)2 | е-А = А, i=0 1=0
т.е. параметр А пуассоновского закона является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины и.
§ 3. Процессы восстановления. Регенерирую-
щие процессы
Хотя описание процессов восстановления и основывается на простейшем понятии последовательности независимых неотрицательных одинаково распределенных случайных величин, роль теории восстановления (области теории вероятностей, занимающейся исследованием процессов восстановления) и особенно узловой теоремы восстановления в современной теории вероятностей невозможно переоценить. Использование элементов теории восстановления, как мы увидим из дальнейшего, позволит нам свести изучение поведения многих сложных систем к изучению их поведения на специально выбранном временном интервале.
Для лучшего усвоения предлагаемого материала рассмотрим сначала случай дискретного (целочисленного) процесса восстановления, а затем общий случай, хотя обычно эти два случая объединяют в один. Такой подход оправдывается еще и тем, что в различных задачах нам придется использовать как первую, так и вторую модификации процесса восстановления, что, в свою очередь, связано с выбором метода исследования соответствующей СМО.
В конце параграфа мы рассмотрим регенерирующие процессы, Которые, хотя, на первый взгляд, и представляют собой весьма незначительное обобщение процессов восстановления, но тоже оказываются весьма полезными при анализе различных СМО.
20
Га. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
3.1. Дискретные процессы восстановления
Пусть {£•„, п > 1}—последовательность независимых неотри цательных целочисленных случайных величин. Обозначим чере; {.9г(”\ г > 0}, = Р{^п = г} ряд распределения случайной вели
чины £п, п > 1.
Будем предполагать, что все £•„, начиная со второй, одинако во распределены с рядом распределения {дг, г > 0}, т е. д[п^ = дг п >2.
Кроме того, чтобы избежать тривиального случая, будем пред полагать, что до < 1.
Наконец, последнее предположение заключается в следующее не существует такого целого /, I > 2, что дг > 0 только для i = jl j — 0; это предположение не является ограничительным, поскольку если оно не выполняется, мы можем изменить ’’масштаб времени” i рассматривать только моменты п = jl, j > 0.
Положим То = 0, Л’ = 52 Ст, г > 1- Момент тг будем называл моментом i-го восстановления. Последовательность {гг, г > 0 является неотрицательной и неубывающей. Случайную последова тельность {i/n, п > 0}, = шах{г : т, < п} назовем (общим
дискретным. процессом, восстановления (рис. 1). Очевидно, чт ип представляет собой число восстановлений, произошедших до мс мента п включительно.
Рис. 1
§ ? Процессы восстановления. Регенерирующие процессы 21
Процесс восстановления {i/n, п > 0} называется простым, если (1) дгу i > 0, т.е. распределение первого момента восстановления ® совпадает с распределением случайных величин fn, п > 2.
Процесс восстановления {i/n, п > 0} называется стационарным, если ряд распределения г > 0} первого момента восстановления 7-j = задается формулой
1 00
о(1)—л О(»-1ГО г>1
Уо — ut У — / .Ал г —
3=i
оо
Гдс д = Mf„ — среднее значение f„, т.е. времени между
1 = 1
п — 1-м и n-м моментами восстановления, п > 2. Разумеется, при определении стационарного процесса восстановления мы обязаны предполагать, что д < оо.
Случайная величина имеет моменты любого порядка (более того, для любого процесса восстановления {i/n, п > 0} и каждого п > 0 <ущс<твует такое число С = С(п), что Mz/*' < Ckkl при всех к > 0).
Функцией восстановления Н„ назовем последовательность {Н„, п > 0}, Нп = М//„, а рядом восстановления hn—последовательность {hn, п > 0}, ho = Hq, hn = Нп — Hn-i, п > 1. Иными словами, Нп есть среднее число восстановлений, произошедших до момента п включительно, a hn—среднее число восстановлений, произошедших в момент п. Функция восстановления Нп (или, что то же самое, ряд восстановления hn) играет основную роль в теории восстановления. В тех формулах, которые мы будем выводить в дальнейшем, величину hn можно трактовать как вероятность того, что в момент п произошло восстановление.
Ряд восстановления {/in, п > 0} удовлетворяет уравнению восстановления
п
hn - + 52 hi9n-t, п > 0. (1)
2=0
Уравнение восстановления получается из формулы полной вероятности следующим образом: в момент п произойдет восстановление т°гда и только тогда, когда либо первое восстановление произойдет в Момент п (с вероятностью либо предыдущее восстановление Произойдет в момент г, i — 0, п, (с вероятностью /г,), а следующее восстановление произойдет уже в момент п (с вероятностью дп-г).
22
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
Для решения уравнения (1) удобно воспользоваться ПФ
ОС- ОС ОС
G(2) = £Si?, G'1>(z) = £Si(1)zi, H(z) = Y,hlZ'
i=0 t=0 *=0
(отметим, что, в отличие от ПФ G(z) и G '(г), ПФ П(г) задан; только при |г| < 1). Тогда из (1) получаем
H(z) = G(1\z) + H(z)G(z),
и, значит,
(2
n(z}. G^(z) Я( > l-G(z)
Из формулы (2), в частности, видно, что для процесса восстановления
я(г) = АгЬ’
где А = 1/д, откуда, переходя к оригиналу, имеем h0 = 0, hn = A, n > 1.
Итак, для стационарного процесса восстановления среднее числ восстановлений hn, n > 1, не зависит от момента п и равно А = 1/д Справедливо и обратное утверждение: если ho = 0 и hn — Х = 1/д n > 1 то процесс восстановления будет стационарным. Отметим что число А естественно назвать интенсивностью (процесса) вое становления.
Асимптотическое свойство процесса восстановления задаете: следующей теоремой.
Теорема 1 (теорема Блекуэлла). Для (общего) процесс; восстановления hn —> А.
Обычно в приложениях удобна следующая эквивалентная фор мулировка теоремы Блекуэлла.
Теорема 2 (узловая теорема восстановления Смита) Пусть {/„, п > 0} произвольная числовая последовательность та кая. что Е IAI < оо. Тогда п=0
1=0
71 = 0
§ S Процессы восстановления. Регенерирующие процессы 23
Рассмотрим следствие из узловой теоремы восстановления. Обозначим через £+(п) разность между моментом первого после и восстановления и п, т.е. £+(n) = TVn+1 — п. Величину £+(п) естественно назвать перескоком через п, или остаточным временем ожидания в момент п. Найдем распределение £+(п). Полагая y+(n) = P{£+(n) = O, * > 11 имеем по формуле полной вероятности 71
(«) = 9п+г + 52 Нз9п+г-], I > 1-j=0
Первое слагаемое в этом равенстве при п ~> оо стремится к нулю, а второе в силу узловой теоремы восстановления—к
ОС оо
J=o J з=г
Таким образом, предельное распределение перескока будет совпадать с распределением первого момента восстановления стационарного процесса восстановления.
Можно показать, что в стационарном процессе восстановления распределение перескока будет для любого п > 1 в точности совпадать с распределением первого момента восстановления. Это, в частности, означает, что стационарный процесс восстановления {vn, п > 0} является последовательностью со стационарными приращениями (конечномерные распределения приращений оп+т—vm не зависят от т), что оправдывает название ’’стационарный”. Смысл узловой теоремы восстановления заключается в том, что (общий) процесс восстановления (для которого g < оо) с течением времени стремится к стационарному. Если д=оо, то А=0. Тогда дЛп) —> 0 71—>ОО для всех г > 0 или, иными словами, перескок(w) при п —> оо стремится к бесконечности по вероятцретйг
Подобным образом можно рассматривать процессы восстано-°о оо
вления {оп, п > 0}, для которых 52 ft — 1’ Г ft < 1- Последнее г=0 г—О
неравенство означает, что я-е восстановление, п > 1, с вероятно-ОО
стью 1 — 52 ft окажется последним. Для таких процессов общее £=0
число восстановлений на [0, оо) конечно с вероятностью 1.
3.2. Процессы восстановления (общий случай)
Исследование общих процессов восстановления практически ни чем не отличается от исследования дискретных процессов восстановления.
24
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
Пусть {£п, п > 1} последовательность независимых неотрицательных случайных величин, причем Р{£1 < х} = G(1)(т), P{£n < х} = G(x), п > 2, т.е., начиная со второй, величины одинаково распределены.
Будем считать, что G(0+) < 1 и, кроме того, не существует такого I, что случайные величины £п, п > 2, могут принимать , только значения jl, j > 0 (невыполнение последнего предположения приводит нас к дискретному процессу восстановления).
i
Как и прежде, моменты т0 = 0, т,- = ^2 > 1; назовем
1=1
моментами восстановления. Случайный процесс {p(f), t > 0}. p(t) = max{i : Ti < t} назовем (общим) процессом восстановления г>о
(рис. 2).
Рис. 2
Процесс восстановления {p(t), t > 0} называется простым,
X
если G^(x)—G(x), и стационарным—если G^(x)=f[i~G(y)]dy/g, О
х > 0, где д = [ xdG(x) = /[1 — G(x)]dx = M£n—среднее время о о
между n-м и п 4- 1-м, п > 1, восстановлениями.
Функцией восстановления назовем функцию H(t) = Mi'(f), t > 0. Если существует производная h(t) = H'(t), то она называется плотностью восстановления. Дифференциал dH(t) = h(t)dt в случае существования плотности восстановления h(t) имеет смысл
25
• у Процессы восстановления. Регенерирующие процессы поятностп того, что за время (t, t-j-dt) произойдет восстановление;
^алогичную трактовку (см. предыдущий пункт) допускает dH(t)
и в общем случае.
функция восстановления H(t) удовлетворяет уравнению становления
H(f)=G(1)(*) + f G(t — x)dH(x). b
Переходя к ПЛС
о
О
I c-'dGlt),
b
получаем из (3)
откуда находим
Из формулы (4) становления
а 1 о J — --,—Г •
V ' 1 - 7(a)
следует, что для стационарного процесса
вос-
(4)
вос-
i-tG) ,
^) = тЛт--1 - 7(,v) a
где A = J/р интенсивность восстановления. Поэтому
H(x) « Ат,
т.е. функция восстановления Н(х) является линейной с коэффициентом А = 1/д, равным интенсивности восстановления. Наоборот, если Н(х) — Ат, то процесс восстановления является стационарным.
Теорема 1' (теорема Блекуэлла). Для любого х функция Постановления (общего) процесса восстановления удовлетворяет предельному соотношению
H(t + ж) - —+ Хх.
I—>оо
Эквивалентная формулировка теоремы Блекуэлла заключается в (<'дующем.
(, у Пр°‘Чессы восстамовления- Регенерирующие процессы 27
t It) 0) на интеРвале Моменты тг (моменты восста-
Р'1' ’ процесса {i'(t), t > 0}) будем называть моментами ре-геиерацгш. а интервалы [т,,т!+1)—периодами регенерации процесса , /о t > 0}. В моменты т, процесс t > 0} полностью
’’забывает” свое ’’прошлое”, что оправдывает название ”регенерируют1®” •
Пусть А произвольное (измеримое) подмножество множества состояний X процесса {»?(t), t > 0}. Предположим, что выполнено также следующее условие:
5. Функция Р(А, t) Р{?7!(Л) 6 А,£2 > t} непрерывна по t.
Найдем Р{т?(£) € А}—вероятность того, что в момент t процесс ’j(t) находится в множестве1 А. По формуле полной вероятности ее можно выразить через функцию восстановления Н(t) процесса восстановления v(t) в виде
t
P{v(0 С А} = Р{*7о(0 6 А, £1 > t} + P(A,t — x)dH(x).
о
Рассмотрим теперь предельное поведение G А} при t —t со. С одной стороны, в силу сделанных предположений процесс восстановления v(t) удовлетворяет узловой теореме восстановления 2'. С Другой стороны,
рЫ^еа^о^р^О—>0,
28 Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРА
Р(А, Ц < Р{& >0 = 1- ГД), г > 2,
[1 — F(t)] dt = МЦ < оо, г > 2. о
Поэтому Р(А, I) как функция от / удовлетворяет условию узло1 теоремы восстановления, и мы приходим к следующему результа! который в силе важности для дальнейшего сформулируем в вц, теоремы.
Теорема 3 (теорема эргодичности для регенерирующ го процесса). При выполнении условий 1 5
ОО
РЫЦ € А} —> А / Р{А. r)dr, г->°° J о
где 1/А = / а; c/F(a) - средняя длина, г-го периода регенерации, i > о
ОС,
Число А / t) dt, которое, используя понятие условного м о
тематического ожидания, можно записать также в виде
ОО £.2
X I P(A,t) dt = XM I Р{%(Ц e A Ibjdt, b b
представляет < обой не что иное, как вероятность Р{?;(/) € А| усредненную по одному периоду регенерации [r,,r,+ J. i > 1.
§ 4. Цепи Маркова
Цепь Маркова представляет собой случайный процесс с дк кретным временем, для которого существует зависимость мели значениями процесса в различные моменты времени. Однако д1 цепи Маркова эта зависимость распространяете я только на оди шаг.
Как мы увидим из дальнейших глав этой книги, несмотря и относительную простоту цепей Маркова, их использование позв лит дос таточно полно (а в некоторых случаях и исчерпывают! исследовать показатели производительности отдельных СМО. Ilf этом всюду (за исключением главы 8) будут встречаться толы цепи Маркова с дискретным (т.е. конечным или счетным) множ ством состояний X. Что касается главы 8. то мы там же по xoj)
29
5 Jt Цепи Маркова
а изложим необходимые нам сведения по специальному типу це-*е5 Маркова случайным блужданиям; здесь же мы ограничимся только определением случайного блуждания.
Цепи Маркова, которые будут использоваться в дальнейшем, обладают свойствами апериодичности и неприводимости. Поэтому мы в этом параграфе не будем отвлекать внимание читателя на опи-ание тех последствий, к которым приводит появление у цепей Маркова несущественных и периодических состояний или нескольких эргод и не ских клас сов.
Напомним также, что всюду в этой книге рассматриваются од-породные (по времени) цепи Маркова.
4.1. Определение и общие свойства Церя Маркова с дискретным множеством состоянии
Пусть {пп, п > 0}—случайная последовательность, множество состояний X которой дискретно (т.е. конечно: X = {Xi, X?, • • •, Xm} или < четно: X = {X,, Х2,...}). Ставя в соответствие состоянию Хг 6 X его номер г, определим множество I номеров состояний, которое мы будем использовать ниже для удобства записи. Из этих же соображений мы в настоящей главе будем отождествлять состояние X, с его уомером г, а само множество состояний X—с множеством номеров Т. Однако оговоримся сразу же, что в следующих главах при исследовании СМО нам будет удобно (и читатель поймет, почему) вернуться к общему определению множества состояний X.
Последовательность {пп, п > 0} называется (однородной) цепью Маркова, если она удовлетворяет свойству марковости: для любых п > 1 и го, ij,..'., г’п_2, г, j g Т
Р{1/„ = у | но = *о> • • , "п-2 = in-2, "n-i = г} =
= Р{"п = j | Рп—1 = i} = Pij.
Марковское свойство вкратце можно охарактеризовать следующей фразой: при фиксированном ’’настоящем” ”будущее” и ”прошлое независимы. В дальнейшем мы будем пользоваться этим свойством в применении не только к случайным последовательностям с Дискретным множеством состояний, но и к случайным процессам с произвольным временем и произвольным множеством состояний.
Вероятность p2j носит название вероятности перехода или переходной вероятности (за один шаг) из состояния i в состояние j марковской цепи {н„, п > 0}. Матрица
/Р11 Р12 •\
Р = (п,,) — ] Р22 •••|.
30 Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ аппарат!
называется матрицей переходных вероятностей. 1
Для матрицы переходных вероятностей цепи Маркова справеЯ ливы соотношения I
= i£T. I
i€Z 1
Любая матрица с неотрицательными элементами, удовлетворяющая этим соотношениям, называется стохастической. |
Для вероятностей = P{i/n+m = j | vm — г}, п > 2, пере хода из состояния г в состояние j за п шагов справедливо уравнен® Колмогорова-Чепмена I
D("+') -V.WJO В
Pij ~ Pfej- |
feez I
В соответствии с уравнением Колмогорова-Чепмена верояя • ность р[^ определяется формулой I
I
(n) v' Is
Рг] = > . Pik,Pk,k2 • -Ркп_13,
а матрица P^ = (И" ) вероятностей перехода за n шагов предста-1 вляется как п-я степень матрицы Р, т.е. Р(п^ — Рп.
Для того чтобы полностью определить распределение цепи! Маркова {vn, п > 0}, наряду с матрицей переходных вероятно-! стей Р = (pij) необходимо задать начальное распределение рг(0) =1 = Р{го = г}, i^T, или, что то же самое, вектор-столбец начальных! вероятностей р(0). Тогда вероятности состояний Pi(n) — P{i/n — г} I определяются выражением
рЛп) = ^2рйР)Рр?> ieT’
1CL
или в матричной форме I
рт(п)=рт(0)Р".
Цепь Маркова {i/n, п > 0} называется стационарной, если рг(1) = Pi(0) для всех г € Т\ последнее равенство влечет за собой! тождество рг(п) = р,(0), г G Т, при всех п > 1. Вероятности! Pi = рг(0), г 6 Т, в этом случае носят название стационарных веро-1 ятностей состояний цепи Маркова {i/n, п > 0}. Еслир,- >0, г € ТА то {р^ г g Т} называют также равновесным распределением. Ста-1 ционарные вероятности состояний удовлетворяют системе уравне-1
31
Цепи Маркова
равновесия (СУР) = iel,
jez
,в матричной форме
(1)
есТественному условию нормировки
= (2) ;ег
Справедливо и обратное: если некоторый набор {р,. г € 1} не-грицательных чисел удовлетворяет СУР (1) и условию нормировки !), то матрица переходных вероятностей Р вкупе с начальным рас-ределением р,(0) = р,, г € I, порождает некоторую стационарную епь Маркова с множеством состояний Т.
Состояния г и у называются сообщающимися, если найдутся та-ие fi! > 1 и n2 > 1, что р^ > 0 и р}"г) > 0. Цепь Маркова Vn, п > 0}, все состояния которой сообщающиеся, называется (приводимой. Заметим, что матрица переходных вероятностей не-риводимой цепи Маркова является неразложимой.
Пусть г—произвольное состояние цепи Маркова {кп, п > 0}. ассмотрим множество JV, всех тех моментов п > 1, для которых
> 0, т.е. моментов, в которые, исходя из состояния г, можно :-рнуться обратно в состояние г. Обозначим через I наибольший об-uni делитель всех п € Л/"г. Состояние г называется периодическим периодом I, если I > 1, и непериодическим (апериодическим) -ли I = 1. Любые два сообщающиеся состояния являются одновре-енно либо непериодическими, либо периодическими с одним и тем е периодом I. Цепь Маркова {vn, п > 0}, все состояния которой 1 периодические (для неприводимой цепи для этого достаточно не-'риодичности только одного произвольно выбранного состояния), Иывается непериодической.
При изучении показателей производительности различных МО нас в первую очередь будет интересовать их предельное поверие с ростом времени, поскольку, как показывает опыт, болыпин-греальных систем с течением времени довольно быстро входят в гаЧИонарный (установившийся, равновесный) режим работы. Пресное поведение цепей Маркова тесно связано с так называемым °нятием эргодичности.
Цепь Маркова {ип, п > 0} называется эргодической, если суще-г^Ует такое распределение вероятностей {рг, г € Т}, р, > 0, г € Z,
32
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППДр
(п) что переходные вероятности удовлетворяют предельному < ношению
Ру’—»PJ>
' п—>оо
Распределение {рг, i g Т} называется в этом случае пределу (финальным) распределением цепи {г„, п > 0}.
Из приведенного определения видно, что эргодичность Маркова определяется только ее матрицей переходных вероятно Р = (ру) и не зависит-от начального распределения {p,(0), i g Поэтому можно говорить об эргодичности всех цепей Маркова, ющих одну и ту же матрицу F, а при исследовании эргодичне цепи Маркова не обращать внимание на начальное распредел| {/>.(()), геР}.
Предельные вероятности р,, г £ Z, эргодической цепи Мар обязательно являются стационарными вероятностями этой же (или, точнее говоря, некоторой стационарной цепи с тем же жеством состояний Z, той же матрицей переходных вероятно Р = (p,j) п начальными вероятностями рг(0) = рг, г € Z).
Заметим, что само название ’’эргодическая” заимствован теории стационарных случайных процессов. Это название ог дывается следующим свойством эргодической цепи Маркова. с мотрпм произвольное- с остоянпе г и определим случайную вели’ <(„(/), равную суммарному числу попаданий цепи в состояние и шагов, поделенному на п. Тогда (г) —> р, с вероятность п—»ос
Свойство эргодичности, в частности, позволяет при имитацио! моделировании СМО вместо многих реализации обходиться о^ достаточно длинной.
4.2. Эргодичность цепи Маркова с конечным мне ством состояний
Итак, пус ть цепь Маркова {//„, п > 0} определена на коне' множестве’ состоянии Т = {1,2,. .,?»}.
Теорема 1 (эргодическая теорема для конечной Ц Маркова). Любая неприводимая непериодическая цепь Мар {//„, п > 0} с конечным множеством состоянии Z являетсяз дичее кои. Предельные вероятности р,, i = l,m, определяются един( твенное решение’ с пстемы уравнении равновесия (1) с уело, нормировки (2)
Таким образом, эргодическая теорема 1 говорит, что у лк неприводимой непериодической цепи Маркова существует и npi
33
Цепи Маркова
ветвенная стационарная модификация; именно к этой стационар-модификации сходится (в смысле сходимости конечномерных 'аСПределений) сама цепь {п„, п > 0}.
Обратное, вообще говоря, неверно. Могут существовать раз-ичные стационарные цепи Маркова, имеющие одну и ту же ма-риНУ Р переходных вероятностей. Однако эти цепи не будут не-фИВОДИМЫМИ.
В случае неприводимой периодической цепи обязательно будет уществовать единственное стационарное распределение {р,, _ но далеко не при каждом начальном распределении {рг(0), _ fTii} распределение {р,(п), г = 1,т} будет сходиться к распределению {р., г = 1,т}.
4.3. Эргодичность цепи Маркова со счетным множеством состояний
В случае счетного множества состояний Т — {1,2,...} ситуация ,• эргодичностью цепи Маркова, в целом, та же самая, что и в случае конечного, хотя и несколько более сложная из-за возможности ’ухода” цепи на бесконечность.
Пусть в момент 0 цепь Маркова {р„, п > 0} находится в состоянии г. Обозначим через момент первого (после 0) возвращения в состояние г. Состояние г называется возвратным, если Р{т(г) < оо} = 1, и невозвратным— в противном случае. Возвратность состояния г означает, что, выходя из состояния г, с вероятностью 1 цепь Маркова хотя бы раз (а, значит, и бесконечное число раз) вернется в это состояние. Возвратное состояние г называется положительно возвратным, если < оо, и нулевым— если Мт}’* = оо.
В неприводимой цепи Маркова со счетным множеством состоянии все состояния одновременно либо невозвратные, либо нулевые, либо положительно возвратные, поэтому можно говорить о невоз-еротностпм, нуль-возвратностиизш положительной возвратности всей цепи. Возвратность цепи определяется только матрицей Р переходных вероятностей и не зависит от начального распределения Ь.(0), г>1}.
Отметим, что последовательность j > 1} моментов воз-вРащения в состояние i порождает простой процесс восстановления; ПРИ этом, если состояние i невозвратно, то (оо) = Р{т1(г)<оо}<1, и’ Значит, процесс восстановления обрывается за конечное число ша-г°в- Аналогичную трактовку (только уже в виде общего процесса 3-2717
34 Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ аппаЛ.
восстановления) допускает последовательность моментов попадД в состояние i при любом начальном распределении {/>, (0). i > р]
Теперь мы можем сформулировать следующий результат. И
Теорема 2 (эргодическая теорема Феллера). Пусть п > 0} неприводимая непериодическая цепь Маркова (со счет, множеством состояний). Тогда:
если цепь положительно возвратна, то она эргодическая, j чем предельное (стационарное) распределение {pi, i > 1} опред стоя как единственное решение системы уравнений равновесия
ОО I
удовлетворяющее условию 22 |Pi | < оо и условию нормировки (2 г—1
если цепь нуль-возвратна, то —> 0, i,j > 1;
сети цепь невозвратна, то при любом начальном распределе. {pi(0), i > 1} она в каждом состоянии i побывает с вероятное: 1 лишь конечное число раз, и, следовательно, как и в случае н] возвратности, —> 0, i,j > 1.
J n—Уоо
Заметим, что в соответствии с теоремой Феллера случай неа вратной цепи Маркова естественно трактовать как уход ее в бес нечность с вероятностью 1.
При практическом использовании теоремы Феллера обычно 1 никают затруднения, связанные стем, что хотя бы для одного стояния i нужно найти распределение момента первого возврат ния
В ряде случаев удается найти некоторое нетривиально с1 pel ние СУР (1), иногда в виде рекуррентной процедуры. Тогда . выяснения эргодичности цепи Маркова {//„, и > 0} можно воспо зоваться другой теоремой.
Теорема 3 (эргодическая теорема Фостера). Для т< чтобы неприводимая непериодическая цепь Маркова {//,.. и > была эргодической, необходимо и достаточно существование нет виального решения {рг-, г > 1} системы уравнений равновесия
ОО
такого, что 22 |Рг| < оо. Решение {р,, г > 1} с точностью i=i
нормирующего множителя совпадает с предельным (стацпонарнь рас пр едслением.
Наконец, приведем еще один результат, используя который । многих случаях довольно просто проверить эргодичность цепи Ml кова.
ij 5. Марковские процессы с
дискретным множа швом еост.
35
Теорема 4 (критерий Мустафы). Для того чтобы непри-
и > 0} была эргодп-
Д11Мая непериодическая цепь Маркова {vn,
В скоп достаточно существования числа е > 0, целого числа щ и набора неотрицательных чисел .гд, .г2, таких, что
< -Ъ ~ ‘ >'о.
7=1
(3)
ОС.
52 < ос, ? <
7=1
(4)
4.4. Случайные блуждания
В этом пункте мы дадим определение еще одного типа цепей Маркова, вообще говоря, с непрерывным множеством состоянии.
Пусть последовательность независимых случай-
ных величин, причем £|,£-2.--- одинаково распределены с ФР F(.r). Тогда последовательность частичных сумм {£„, и > ()}.
п
Sn = S() + ” > 1-
7=1
назовем случайным блужданием (на прямой).
В ТМО встречаются цепи Маркова {?/„. и > ()}. которые ведут себя как случайное блуждание {5„, и > ()}. но только пока S„ > 0. Однако их значения у„ не могут быть меньше нуля и тогда цепь Маркова {?/„, и > 0} можно определить рекуррентным соогноше пнем
'Ю = So, z/„+| = max{i/„ +G + 1- 0}. и > 0
Заданную таким образом цепь Маркова естественно назвать случайным блужданием с задерживающим экраном в нуле.
Как уже говорилось, мы здесь не будем приводить реп дьдады по случайным блужданиям. Опп будут рас < мо 1 рены в главе 8. < печш-ально посвященной исследованию общих СМО < помощью еду чанных блуждании.
§ 5. Марковские процессы с дискретным множеством состояний
Если цепи Маркова с ди< кретным (конечным иди < четным) ушо *< <двом состоянии представляют собой, в общем, лишь в< помога-( чьныи аппарат при п< следовании СМО. то У1арковскпе процеыы
Г
36
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ
с непрерывным временем и дискретным множеством состояний а дут являться основным инструментом при изучении целого класр СМО, которые мы даже назовем ’’марковскими”. Всюду в дальне] шем будем для краткости изложения опускать слова ”с непрерывны, временем”, поскольку процессы с дискретным временем мы отожд ствим со случайными последовательностями.
Во избежание недоразумений оговоримся сразу же, что то от сание марковских процессов с дискретным множеством состояни которое мы сейчас приведем, охватывает далеко не все возможнь случаи. Однако именно зто определение позволит нам сразу L ’’убить двух зайцев”: во-первых, априори выкинуть из рассмотр ния ’’экзотические” для ТМО процессы, а, во-вторых, избавит ься с обращения к довольно сложной теории, используемой при исс ледов, нни общих марковских процессов с дискретным множеством сосц яний. Марковские процесс ы с дискретным множеством состояни которые нам в дальнейшем понадобятся, имеют очень много общи черт с цепями Маркова (с дискретным множеством состояний). П этому довольно часто их также называют цепями Маркова. Mt однако, нс будем следовать этой традиции, поскольку у нас иног; могут одновременно появляться и процессы, и цепи Маркова, и т, гда их необходимо различать. Напомним также, что в этой главе м договорились отождествлять множество состояний X с множестве I номеров этих состояний.
Поведение процессов Маркова с дискретным множеством со тоянии в еще большей степени, .чем цепей Маркова, определяете множеством состоянии I. Если Т конечно, то существует иолнг аналогия между процессами и фепями Маркова. Более того, npi цсссы устроены даже несколько проще, поскольку в них нет понят! периодичности. В случае счетного множества состояний Т ситу ция ухудшается, так как, наряду с возможностью ухода в ’ беек нечность” за ’’бесконечное” время, появляется дополнительная во можность: процесс может уходить в’’бесконечность” и за конечне время. Однако, справедливости ради, необходимо отмстить, 41 уход в ’’бесконечность” за конечное время является нетипичным д' реальных СМО. Поэтому в настоящем параграфе мы ограничим! формулировкой необходимых для дальнейшего результатов, а во можные аномалии рассмотрим только на простейшем примере та называемого процесса чис того размножения и то лишь для тог чтобы читатель смог понять, с чем связано появление таких ОТКЛ
нении.
§5.
Марковские
процессы с дискретным множеством сост.
37
5 1 Инфинитезимальная матрица
П сть * — 0}—случайный процесс с непрерывным време-и дискретным множеством состояний I, где Т = {1,2,..., т} Н<Мгчж: конечного и Z = {1,2,...} в случае счетного множества В '•'АУ о СОСТОЯНИИ.
Процесс {??(t), t > 0} называется марковским, если для любых наборов моментов времени tx,12,..., tn+i, 0 < tx < t2 < • • • < tn+i, и состояний ix, г2, , i„+i € Z выполнено равенство
P{v(^n+1) = гп+1 I ’ЯМ = *1> • • • ’ ’ЯМ — *п} —
— P{v(^n+i) — in+i | v(^n) — in}-
Марковский процесс {»?(£), t > 0} называется однородным (по времени), если P{r)(t + s) = j j »?(s) = г}, i,j G I, не зависит от s. В дальнейшем мы всегда (кроме специально оговоренных ситуаций) будем рассматривать только однородные марковские процессы.
Обозначим через p,(t) = Р{т?(£) = i} вероятность того, что в момент t процесс ?;(f) находится в состоянии г, а через рг}(1) = =P{v(f+s) = j | t?(s) = i}—вероятность перехода за время t из состояния г в состояние j. В дальнейшем дляiGZ, иру(1), мы будем использовать также матричную запись p(t) и P(t), где p(f)i> вектор-столбец, a P(t)—матрица.
Функции рг] (t) и p,{t) удовлетворяют уравнению Колмогорова-Чепмена
P.j(t + «) = 52plfc(t)pfcj(s), (1)
feez
p,(t + s) =52ру(1)р^(в), iel. (2)
или в матричной форме
F(t + s) = F(t) F(s), pT(t + s) =pT(t)F(s).
Уравнение (2) получается так. Для того чтобы процесс {?/(!), — 0} в момент t + s находился в состоянии i, необходимо, чтобы в момент t он был в состоянии j, а за оставшееся время s из состояния J Перешел в состояние г. Применяя формулу полной вероятности, с учетом марковости процесса {?;(t), t > 0} получаем (2). Аналогично выводится уравнение (1).
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что
Рч(Л)^>^, г,3&Р,
(3)
38
Гл 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
где —символ Кронекера. Это условие является естественным I приложений.
Показано, что из условия (3) вытекает существование предел
«у = ДЩ , г, j е 1 i^j,
р„(Д) - 1
— а, = «„ = пт---------, г £ Z.
Д|о Д
причем
О < аг < сю, г € Z, 0 < агз < ос, г, j £ Z, г j,
У~^«у < О, i € Т.
Число Оу, i,j £ Z, г 7^ j, называется интенсивностью переход из состояния г в состояние j, число ог, г £ I, интенсивности выхода из состояния г, а матрица А = («у) матрицей интенсивнс стей переходов, или инфинитезимальной матрицей. Эти названи оправдываются тем, что вероятности рг] (Д) при ’’малом” Д имею вид
Ру(Д) = бу 4-йуД+ о(Д), i,j£Z.
В дальнейшем у нас будут появляться только процессы, для торых о, < оо.
Если вместо неравенства (5) выполнено строгое равенство
Оу =0, г £ Т, зет
то процесс {//(Л), t > 0} будем называть консервативным регулярным). Далее всюду в случае счетного Т и, если не -
противное, то и в случае конечного Т будем рассматривать
консервативные процессы.
5.2. Конструктивное описание марковского процесса
Пусть {т?(£), t > 0} -консервативный марковский процесс начальным распределением {р, (0), г € Т\ и инфинитезималь» матрицей А = Положим (предполагая, что а, 0, г £ Т) аг] .
-тг-, если if г.
0, если i = j.
Qij —
Из свойства (7) следует, что матрица Q = (q,j) является матрице переходных вероятностей некоторой цепи Маркова.
Физическая трактовка марковского процесса {z;(Z), t > 0} сж дующая. Сначала с учетом начального распределения {рг (0) ? £ 2
у рковские процессы с дискретным множеством сост. 39
ТСЯ начальное состояние г. I? состоянии i процесс {?/((), 4бира пребывает СЛуЧайное время, распределенное по экспонен-- * mV закону с параметром а,. Затем с вероятностью qtJ, не ,аЛЬ пей от времени пребывания в состоянии г, он переходит в iWK 1 в котором находится экспоненциально распределенное , ( тоЯНИс j ? г
аметром а3 время, не зависящее от того, когда и как он попал состояние ] Потом с вероятностью </tk переходит в состояние к т д
П сть То = 0, тп, п > 1,- момент n-го изменения состояния, а | 4- о) состояние процесса сразу же после n-го изменения итояния. Тогда {щ,, п > 0} является цепью Маркова с начальным определением {р,(0). г С 2} и матрицей переходных вероятностей — (q,;) Эту цепь будем называть вложенной цепью Маркова (по оментам всех скачков) для процесса {?/(t), t > 0}. Если vn = г, о время между n-м и п 1-м моментами изменения состояний распределено по экспоненциальному с параметром а, закону и не зави-iT от того, каким путем и за какое время процесс попал в состоя-
ие г.
При определении процесса {?/(!), t > 0} мы допустили возмож-ость аг = 0, которая соответствует тому, что, однажды попав в остояние г, процесс из него уже больше никогда не выйдет. По-юму (остояние г, для которого аг = 0, естественно назвать поглощающим. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что прессе может иметь не более одного поглощающего состояния. Боге того, появление поглощающего состояния будет оговариваться собо и иметь прозрачную физическую предпосылку.
Итак, определяющими параметрами марковского процесса t > 0} с дискретным множеством состояний 2 являются:
начальное распределение г € 2};
набор параметров {аг, г £ 2};
матрица переходных вероятностей Q = (yI;), г, j El, i ф j, ложенной цепи Маркова {к„, п > 0}.
Впрочем, как мы видели, вместо {a,, i € 2} и Q — (qi}) можно Чдать одну матрицу 4 = где аг} = a,ql}, i,j El, i Ф J, и '"~~a„ iel.
Приведенное конструктивное описание (консервативного) марковского процесса не является полным. Действительно, положим
— sup г,, . Может случиться так, что Р!^ < оо} > 0, т.е. с личной от нуля вероятностью процесс {??(£), t > 0} совершит <ем ечное число переходов за конечное время. В этом случае бу-считать, что если тк < t, то значение r/(t) в момент t (и в
40 Гл 1 ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАр
следующие за ним моменты) не определено, или, другими c.toJ процесс {ri(t)y t > 0} оборвался до момента t.
Для того чтобы избежать возможность ухода в ’’бесконечно за конечное время, вводится понятие регулярности. Назовем j сервативный процесс t > 0} регулярным (устойчивым. <
кообразным), если тж = оо с вероятностью 1, т.е. процесс не рывается за любое конечное время. Понятие консервативности, торос мы ввели выше, еще не гарантирует регулярность проц. {?/(/), t > 0}. Для обоснования регулярности может служить дующая
Теорема 1 (критерий регулярности). Для того чтобы \ цесс {r/(f), t > 0} был регулярным, достаточно:
либо равномерной ограниченности аг (т.е. аг < с < оо, г £ либо возвратности всех состояний вложенной цепи Мар {р„, п > 0}.
Из этой теоремы, в частности, следует регулярность лю консервативного марковского процесса с конечным множеством тоянии.
Заметим, что в ТМО (или, по крайней мере, в той ее ча которая нами будет рассмотрена) появляются только регуляр процессы. Это связано с тем, что число изменений состояний у ковского процесса, описывающего СМО, допуская некоторую в< ность речи, не сильно отличается от числа поступающих в сист заявок, которое, в свою очередь, конечно с вероятностью 1 на бом конечном интервале времени. Поэтому во многих учебника] ТМО обходятся вообще без введения понятия регулярности.
5.3. Система дифференциальных уравнений Колмо рова
Пусть {?/(f), t > 0} консервативный марковский процесс, скольку мы допускаем возможность обрыва процесса {ц(Г), t > за конечное время, то условия нормировки вероятностей;),^) и единицей заменяются на более слабые:
< 1,
\
jez
Соотношение (8) может превратиться в строгое неравенство тех® одновременно для всех t > 0 Это же утверждение справедливо И
5 Марковские nP0V‘eccbl с дискретным множеством сост. 41
и каждом i £ 1. Процесс {p(t), t > 0} является регулярным только тогда, когда £ p,(t) = 1 для некоторого t > 0.
тогда и геТ
Иля вероятностей Pi(t) справедлива система (прямых) диффе-ренциальных уравнений Колмогорова
Pi(t) = ' afiPj (01 4 € 2-; (10)
3EI
которую можно записать также в матричном виде
-^pT(t) =pT(t)A dt
Начальные условия для системы (10) задаются начальным распределением процесса
Р.(0) = Р{р(0) = г}, г € 1. (И)
Система уравнений (10) в дальнейшем будет играть основную роль при исследовании марковских СМО. Поэтому мы приведем здесь идею вывода этой системы. Рассмотрим состояние процесса {y(t), t > 0} в моменты t и t -f- А, где A—’’малое” приращение времени. Выписывая для моментов t и t + А уравнение Колмогорова-Чепмена (2), получаем
Pi(t + А) = 52Pj(Op^(A)-
3EI
Вычитая из обеих частей этого равенства p,(t) и деля на А, имеем
P At + ^~Pr(t)
А
Устремляя теперь А к нулю и воспользовавшись предельным соотношением (4), приходим к системе (10).
Заметим, что для строгого математического обоснования приведенного вывода в случае счетного I необходимо показать законность предельного перехода под знаком суммы. Это довольно сложная задача, и за ее решением мы отправляем читателя к специальной литературе (см., например, [86]).
Аналогично из (1) и (4) выводится система (прямых) дифференциальных уравнений Колмогорова для pZJ(Л):
Ру (1) = 52 a'=jP>fe(l)’ Ч1 6 Т' feez с начальными условиями
р.7(0) = Йч,
(12)
(13)
42
Гл 1 ВЕРОЯТНОСТНЫЙ
которую, используя матрицу P(t) = (.PijW), можно записать в всц P’(t) = P(t)A.
В случае конечного множества состояний I система (10) rd же как и система (12)) представляет собой систему линейных ,щ(| ференциальных уравнении первого порядка с постоянными кож] фициентами Она имеет единственное решение рг(1). г G Z, щ р,,(1), г, j £ 1). удовлетворяющее начальному условию (11) щ (13)).
В случае счетного Т система (10) наряду с p,(t) может имс| и другие решения, удовлетворяющие условиям неотрицательной p,(t) > 0. нормировки (8) и начальным условиям (11). Появтсн! таких решений физически связано с тем, что, достигнув ’’бесконс ности” за конечное время, процесс {'/?(/), t > 0} может тем же i тс вернуться обратно (напомним, что мы с самого начала решили таы случаи нс рассматривать). Однако, если процесс: {>/((), t > 0] р гулярен, то других решений, удовлетворяющих перечисленным чр бованиям, система нс имеет, при этом, как и положено условие ю| мировки (8) превращается в строгое раве нство У) р((1) = 1 Ч вышесказанное относится и к системе (12)
Формальное решение с истем (10) и (12) можно записать в виц P(t) = еЛ/,
р'(*)=р‘(оИ4, (1‘
где матричная функция
Я Л
Z-. г1
1=0
представляет собой так называемую матричную экспоненту. Г>о мальный ряд (15) сходится, если, например, аг равномерно огр ни чены или множество Z конечно.
Для решения системы (10) во многих случаях удобно вс под зоватьс я ПЛ
ОО
тгг(«) = fe~stpt(t)dt, г £ Z.
о
Тогда, вспоминая свойства ПЛ (см. § 1), получаем из (10) си тел линейных алгебраичес ких уравнении
s7r,(s) -р,(0) - а^тг^з), ?£Z. (I1
»eZ
Дарком кш
IIроц< < I ы
<)uci,pt иты м мчит I < тиом t <>< т
43
добным образом можно привести к системе лине иных алгебрап-кпх сравнений и систему (12)
5_4. Обрывающиеся марковские процессы с конечным рожеством состояний
Пусть {'/(^)- марковский процесс < конечным множс
у 1 оянпп = {1-2. о)} Возвратим) я к гомг < ц чаю.
<>гда |,и н< является консервативным. те вместо равенс гва (7) (ЫпаДНСНо неравен) тво (5)
Как и в случае консервативного процесса положим с/,, = О = Тл»- 4ij ~ о,Ju,. I.) = l.ili. i i Теперь еже матрица ) = (с/,,) может и не оыть матрицей переходных вероятное геи не-1,1
апороп (конечной) цепи Маркова, посколькг 52 7 < I с = 1 hi ,= |
ГаКШ'матрицы носят название' uo.itycmi>iat niii'it сын
Тем не менее, то конетру кт ивное огни анис ко горое сбыло прпве-к'ноп п 5 2 дтя коне ервативного пронесс а. имеет меч го и в ггом с ту -ыс. за И< к мочением одном детали в MOMC'Hl очередною перехода ttl сроцсс с может ВЫЙТИ из состояния с не вероятное гью с/, = ]-'hi i-i к попасть более- ни в одно состояние' Веков процесс еакже ее се тве-нно назвать обрыван>шим< и. хотя природа порыва здесь сонер-ценно иная процесс с пенс Левов вероятностью порывается пос те' сОШ'ЧНО! о чпе да пе реходов
Для вероятное геи с ос гоянин /»,(!). i =- I т. в переходных веро-ниостси p,,(t). с ) = l.zn. порывающегося марковского процесса конечным множеством состоянии I также с и]> им дливы сие гемы 10) и (12) (прямых) 1ис|к|>срснци<ктьных сравнении Колмогорова < сачатьнымв ус ловиями (11) и (13). а их решения сатаюгс я с|>ормс сами (Ц)
Обозначим через ро(/) вероятность порыва процесса {)/(/).
0} до момс'нта t. Сумма 52рс(1) = 1 — вреде ывлясч с о-с=1
К|и вероятность тсп о что процесс не оборвется до момс-нта / По Кольку зту сумме можно записать в матричном виде1
tn
У2р.(П=рЧ')1
1=1
д< 1 вектор е тодбец из единиц размернос ти ш. то из форме ты поц чаем
1-ро(0=Р'(0)< ‘'1
44 Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРд
Отсюда, в частности, следует, что вероятность p0(t) имеет В1ц
Po(t) = l-pr(0)eAtl.
Полученная формула задает в матрично-экспоненциа^ форме вероятность po(t), представляющую собой ФР времени момента обрыва процесса {p(f), t > 0}.
Неконсервативныи процесс {p(t), t > 0} легко привести сервативному {p(i), t > 0} добавлением дополнительного пог® ющего состояния, которое обозначим, допустим, через 0. При эд в качестве инфинитезимальной матрицы процесса {p(i), t > нужно взять матрицу А = где atJ = ay, i,j = l,m, й0, ____________ т ____
= 0, i = 0, m, й,о = — 52 °О> * = 1,»п. Тогда обрыву проц<
• j=i
{p(t), t > 0} соответствует просто переход процесса {p(t), t> в поглощающее состояние 0. Однако мы не будем этого делать ключительно из соображения удобства, чтобы каждый раз не о сывать дополнительное состояние.
Неконсервативныи (обрывающийся) марковский процесс с нечным множеством состояний является очень удобным спося описания PH-распределений, которые будут использованы в глаи при исследовании общих марковских СМО.
В дальнейшем, наряду с записью {»?(£), t > 0}, для об( веющегося марковского процесса будем использовать запись {>, t 6 [0, т)}, где т - момент обрыва процесса.
Аналогичным образом можно описать неконсервативный и ковский процесс {p(t), t > 0} со счетным множеством состоя Т. И в этом случае процесс можно превратить в консервати® {p(t), t > 0} добавлением дополнительного поглощающего сост ния. Мы не будем пользоваться неконсервативными процессами счетным множеством состояний, опять-таки, из соображения уз ства, поскольку здесь возникает дополнительная сложность, свИ ная с двумя типами обрыва: уход процесса в ’’бесконечность’ конечное время и исчезновение его после очередного перехода. '
5.5. Стационарные марковские процессы
Марковский процесс {p(t), t > 0} называется стационар® если вероятности p,(Z) = р,, г 6 Z, не зависят от t. Вероятно* рг, г 6 I, в этом случае носят название стационарных верв ностей состояний процесса {»;(<), />()}. Как и в случае Ич Маркова, если р, >0, г Е I, то {р,, i 6 1} называют также ра6 весным распределением.
ковские процессы с дискретным множеством сост. 45
Стационарные вероятности состояний удовлетворяют СУР
о=52°^’ г еТ’ (17)
улучающейся из (10) заменой p((t) нулем, и условию нормировки
У> = !. (18)
гех
1 силу принятого соглашения о возможности обрыва необходимым тловием стационарности процесса {??(/), t > 0} является его регу-[Яркость.
Справедливо обратное: если для регулярного процесса {p(t), > 0} некоторый набор {рг, i € 1} неотрицательных чисел удовлетворяет СУР (17) и условию нормировки (18), то инфинитезимальная матрица А вместе с начальным распределением рг(0) =рг, г el, юрождает некоторый стационарный процесс с множеством состояний 1.
Поскольку в дальнейшем нам очень часто придется работать с СУР (17), остановимся на общих принципах ее составления. Прсд-гтавим все состояния г, i е Т, процесса t > 0} в виде графа на плоскости (рис. 4). Выделим некоторое состояние г. Тогда величину агрг(1) естественно трактовать как поток вераятностей, выходящий в момент t из состояния i. В свою очередь, величина “hPjW представляет собой поток вероятностей из состояния j в состояние г, a ajiPj(i)—суммарный поток вероятностей, в.г.о-
дящий в состояние i. Для стационарного процесса {/;(/.), t > 0} зти потоки должны уравновешиваться, что приводит к соотношению
агР, = амРг
Это равенство представляет собой г-е уравнение СУР (17). В ТМО его часто называют уравнением глобального бйланса для состояния г.
^аРяДУ с уравнениями глобального баланса в ТМО используют Уравнения локального баланса. Пусть множество состояний I произвольным образом поделено на два подмножества Т\ и !>= 1 \ 7, 1Р с. 5). Тогда £ £
представляет собой суммарный поток г^г‘
вероятностей из подмножества Zi в подмножество а "б?! Яз'Рз (О из подмножества Z2 в подмножество Z,. Прирав-
46
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАр^
Рис. 4
нивая в стационарном случае эти потоки, получаем уравнение калъного баланса
У? У2 ачР1
•611 3&2
У? У? аАРз
j^zI-2
между подмножествами Т\ и Т^.
Рис. 5
Наконец, скажем об еще одном виде баланса между состоя® ями частичном. Частичным балансом между состояниями * ®
§ 5 Марков cniie
процессы с дискретным множеством сост.
47
называется равенство
GijPi —
е от глобального и локального балансов, частичный баланс В °Т™деТся не всегда. Однако, если он выполнен, то это, как пра-ВЫП0 приводит к далеко идущим последствиям В частности, из Этичного баланса между состояниями г и j следует соотношение Z — а Рз/о.г, между стационарными вероятностями состояний р,
ТЛРт
5.6. Эргодичность марковского процесса
Состояния г и j называются сообщающимися, если найдутся такие ti > о и <2 > 0, что Py(ti) > 0 и p3,(t2) > 0. Состояния г и являются сообщающимися тогда и только тогда, когда, psj(i) > 0 > 0 для всех t > 0. Процесс Маркова {?/(/), t > 0} называется неприводимым, если все его состояния сообщающиеся. Процесс Маркова является неприводимым тогда и только тогда, когда неприводима его вложенная цепь Маркова.
Марковский процесс {p(f), t > 0} называется эргодическим, если существует такое вероятностное распределение {р„ г Е I}, рг > 0 г 6 I, что переходные вероятности рзг(б) удовлетворяют
предельному соотношению
г,]ЕТ.
Распределение {р,, г £ 2 } называется предельным (финальным) распределением процесса t > 0}.
Предельные вероятности р,, г Е Т, эргодического марковского процесса являются стационарными вероятностями некоторого марковского процесса с той же инфинитезимальном матрицей А и начальными вероятностями р, (0) = р,, г Е 1.
Эргодический марковский процесс обладает следующим свойством, аналогичным свойству эргодической цепи Маркова. Рассмотрим случайную величину (?(?). равную суммарному времени, проведенному процессом в состоянии г, поделенному на время наблюдения Т. Тогда (у(/) —> рг с вероятностью 1. Другими словами, тационариую вероятность р,, г Е Т, эргодического марковского процесса можно трактовать как долю времени, в течение которого процесс находится в состоянии i на большом промежутке времени.
Эргодическое свойство марковского процесса так же, как и Цепи Маркова, существенно зависит от того, каково (конечное или четное) множество состояний Т.
48
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
Теорема 2 (эргодическая теорема для марковского ирй цесса с конечным множеством состояний). Неприводим^ процесс Маркова {//(/:), t > 0} с конечным множеством госте! ний 1 = {1,2,..., т} является эргодическим; при этом предельнм вероятности рг, г = 1, т, определяются как единственное решен* СУР (17) с условием нормировки (18).
Теорема 3 (эргодическая теорема для марковского про цесса со счетным множеством состояний). Пусть {//(#[ t > 0}—регулярный неприводимый процесс Маркова со счеты, множеством состоянии Т = {1,2,...}. Тогда:
либо pMt] —> 0, г, ? > 1;
t—>оо
либо процесс t > 0} эргодический, причем пределы» распределение {р,, г > 1} определяется как единственное решен,
СО
СУР (17), удовлетворяющее условию У) |рг| < сю и условию норлЦ — 1
ровки (18).
Теорема 4 (эргодическая теорема Фостера). Для то! чтобы регулярный неприводимый процесс Маркова {//(7), t > О был эргодическим, необходимо и достаточно существование истр виального решения {рг, г > 1} СУР (17) такого, что У) |рг| < оо г=1 это решение с точностью до нормирующего множителя совпадаем предельным распределением.
Заметим, что как и для цепей Маркова для марковских процес сов можно ввести понятия невозвратности, положительная ва вратности и нулъ-возвратности. По-прежнему, нуль-возвратнос1 регулярного неприводимого процесса Маркова будет соответстой вать ’’убеганию” процесса (за бесконечное время) в ’’бесконечное^] по вероятности, а невозвратность с вероятностью 1. Положите! ная возвратность неприводимого марковского процесса эквивалеИ на его эргодичности.
5.7. Процессы размножения и гибели
Рассмотрим здесь один класс марковских процессов, которЫ описывают наиболее простые марковские СМО. Как мы сейчас увй дим, для таких процессов СУР (17) может быть решена в явн«)ч виде, а система дифференциальных уравнений Колмогорова (Ю)--Ч явном виде в терминах ПЛ. I
5 Марковские nPGlieccbl с дискретным множеством сост. 49
Пусть для марковского процесса {»?(/), t > 0} его состояния ожно занумеровать таким образом, что (рис. 6)
А,-, если j = i + 1;
если J = г — 1; }
-(А,+/!,•), если ] = г; >
0, если U — г| > 2,
аг] —
огда процесс {^(t), t > 0} будем называть процессом размножения гибели (ПРГ).
Aq Aj—i Aj
(jDZSClC •
Д1 Pi Mt'+l
Рис. 6
Заметим, что в дальнейшем для удобства трактовки нам будет цобно нумерацию состояний ПРГ (а также некоторых других провесов с дискретным множеством состояний) начинать с 0, а не с . Поэтому будем считать, что I = {0,1,..., т} в случае конечного ножества 1\\1- {0,1,...}—в случае счетного.
ПРГ имеет чрезвычайно простой физический смысл: непосред-: венный переход из состояния i может произойти только в соседние остояния i + 1 (с интенсивностью Аг) и г — 1 (с интенсивностью //,). роме того, поскольку у состояния 0 только одно соседнее состоя-ие 1, то из 0 возможен переход только в 1 и а00 = — Ао. Аналогичное амечание справедливо и для т в случае конечного множества со-гояний I = {0,1,.. -, т}; в этом случае атт = —рт.
Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, будем счи-ать, что А,- > 0 и р,- > 0 для всех состояний г, для которых они пределены. Очевидно, что в этом случае ПРГ будет неприводимы. CAT для процесса {^(t), t > 0} имеет вид
- Аоро + Р1Р1 = 0,
~ (Аг- + рг)pi + Xi~ipt-i + pt+ppi+i = 0, i > 1.
,ри этом в случае конечного множества состояний I нужно допи-ать отдельное уравнение для рт:
"Р'ТпР'ГП Н” ^тп — 1ртп — 1 “ 0-
50
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАР
Система (20) весьма просто решается. Действительно, пер] сывая ее в виде
- Ао/>о + Р1Р1 = 0, |
- А,р, + m+iPi+1 - + /1грг) = 0, г > 1,
получаем
-A.-jpi-i + =0, г > 1.
Отсюда вытекает рекуррентная формула
Aj-1 А,_| ^г-2 . . I
Р< = -----Рг-1 = —---------Pi-2 = , г > 1,
/'. Pi Pi-1
и in окончательно
7=1
Ддя определения po воспользуемся условием нормировки (1 1огда в слт час счетного Т
ос г ч
и=(1+£п^Г.
а в ( 1\ чае конечного I
гп 1 \ _ 1
,=1J=1
Таким образом, в случае конечного множества состоянии ТП] це< < {//(/). I > 0} эргодичсн. а формулы (21) и (23) задают! предельное (< гационарное) распределение. В случае счетного Z, установления эргодичности процесса {//(/), t > 0} необходимо О чала проверить его регулярность. Здесь в большинстве слу'1 Ю< га точно воспользоваться критерием регулярности (теорема При 3 1 ом матрица переходных вероятностей Q = (</,,) вложен! цепи Маркова {н„, п > 0} имеет вид
</<>! ~ 1, = 0, ./ # 1,
, А, А, + //,
Р'
А, +14
0,
если j' = г + 1;
если./ = г — 1;
если Ь - «I # 1,
i > 1, J > 0.
5 Марковские пРт^ессы с дискретным множеством вост 51
Иногда для проверки регулярности ИРГ полезным оказывается Остаточное условие Карлина и МакГрегора [68, 69]
ЕП? = “ <«)
i=lj=l 3
с
2сли процесс {»/(£), t > 0} регулярен, то из (21) и (22) следует, что [еобходимым и достаточным условием существования предельного стационарного) распределения {р.„ г > 0} является в силу теоремы Ростера сходимость ряда в правой части (22), т е выполнение уСЛС-
да
(25)
метим, что совместное выполнение условий (24) и (25) является только достаточным, но и необходимым для эргодичности ПРГ
Нестационарное распределение {p,(f), г 6 Г} ПРГ {/;(f ), t > 0} же может быть найдено в явном виде, но в терминах ПЛ. Дей-вительно, система (16) для ПЛ tt,(s) имеет в данном случае вид
STTo(’) -jPo(O) = -AO7To(s) +Р17Г1(5), S 7Г, (s) - р, (0) = —(A, + р, ) 7Г, (А ) +
+ Аг_] 7г?_] (я) + /сг+17г,+ 1(я), г > 1.
(26)
Система (26) может быть решена рекуррентно Однако мы не будем •того делать, поскольку в дальнейшем для ее решения в конкретных лучаях будут использованы специальные приемы
В заключение этого пункта, как мы обещали, покажем на про-тейшем примере, с чем связано отсутствие регулярности процесса r/(t), t > 0}. Пусть ПРГ {?;(!), t > 0} удовлетворяет условию с, = 0, г > 1 Тогда из состояния г возможен переход только । состояние г + 1, и такой процесс естественно назвать проще сом шетого размножения.
Предположим для простоты изложения, что в начальный мо-гент времени 0 процесс {r)(t], t > 0} чистого размножения с о с чет-1ьш множеством состояний находится в с остоянии 0, т е ро(0) = 1, 'г(О) = 0, г > 1 Тогда система уравнении (26) принимает вид
S7T0(s) - 1 = -А07Го(«)-
«%,(«) = -Агтг;(в) + Ат_1тг,_1 (а), г > 1. 1ая эту систему, находим
7r0(s) =
52 Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АЛЛАРд
tt;(s) = —Ц— П , г > 1.
s + Ao , s + Aj з-1 J оо В частности, полагая ^^(.s) = 1/s — ^2 ^(s), имеем i=0
Функция ttoo(s) представляет собой ПЛ вероятности ртс (£) того, ч-процесс {/;(/), t > Q} оборвался до момента t. Формулу (27) jioJ получить и не обращаясь К (26). Для этого достаточно заметил что время достижения процессом чистого размножения ”6eci оне мости” представляет собой сумму ’’бесконечного числа” незг вис мых экспоненциально распределенных с параметрами А;, г >1 случайных величин, откуда переходя к ПЛ, имеем (27).
Пользуясь формулой (27), можно показать, что Роо(£) = 0 д всех t > 0 тогда и только тогда, когда
о° 1
12 г = 005 (2
1=0 Лг
в противном случае poo(t) > 0 также для всех t > 0 (см. также [85 Таким образом, условие (28) является необходимым и достаточны для регулярности процесса чистого размножения. Условие (?8) с всем легко понять, если вспомнить, что 1 /А, есть среднее врем т пр оо '
бывания в состоянии г, а тогда ^2 представляет собой среди 1=0
время, проведенное процессом во всех состояниях.
Если у процесса чистого размножения А, = А, г > 0, то к процесс носит название процесса Пуассона.
5.8. Неоднородные марковские процессы
В отдельных случаях нам придется отказаться от одноро Ш сти (по времени) марковских процессов с дискретным множсс гво состояний. Правда, неоднородные процессы, которые мы буде испрльзовать, будут иметь очень простую структуру, не на’ шот отличающуюся от структуры однородных процессов. А имен! все отличие будет состоять лишь в том, что интенсивности к'Р1 ходов a,j могут зависеть от t: а,3 = «ч(/). Для таких процеСи также выполнена система дифференциальных уравнении КолмоГ1 рова (10), но при этом интенсивности агз, как мы уже сказали, зависеть от t. Поскольку неоднородные процессы будут появ < яти только эпизодически, мы сейчас не будем останавливаться на '(
g Мар‘1'овсьпе процессы с дискретным множеством сост. 53 дробном их изучении. Способы решения систем дифференциаль-[X уравнений Колмогорова (10) будут рассматриваться особо для аждого конкретного случая.
5.9. ’’Обращенные” марковские процессы
При изучении СеМО особую роль представляет исследование ыходяшего из СМО потока. Здесь большую помощь оказывает' ме-, ,д обращения времени, который мы сейчас опишем
Предположим сначала, что (регулярный неприводимый) Саровский процесс {//(А), t > 0} задан на временном интервале [0, оо), ричем для определенности положим, что 7/(0) = 1, т.е. в начальный омент времени 0 процесс с вероятностью 1 находится в состоянии В случае счетного множества состояний 1 процесса {//(I), t > 0} удем предполагать также, что (iri ограничены в совокупности
"Обращенный” процесс {?/(/), t < 0} получается из процесса ?/(t), 1 > 0} заменой времени t на —t, т.е. fj(t) = ’ii(-t) (рис. 7).
Поскольку в силу марковости процесса {//(/), t > 0} для него Ч’и фиксированном ’’настоящем” ’’прошлое” и ’’будущее” независимы, а при переходе от процесса {?/(/), t > 0} к процессу {?/(!), , ~ будущее” и ’’прошлое” просто меняются местами, то процесс I Л ), t < 0} также будет марковским.
^^Посмотрим, что представляет из себя ’’обращенный” процесс
54
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ
Множество состояний ’’обращенного” процесса t <
совпадает с множеством состояний Т процесса {?](£), t > 0}, является дискретным.
Покажем, что для процесса t < 0} при всех t < 0 cj ствуют интенсивности
, ч , P{’?(i + А) — 3 I ^(0 = 0 /
av(t)= h^0—-----------д' ~ J
Для этого воспользуемся определениями условной вероятност ’’обращенного” процесса. Тогда
P{rj(t + Д) = j | ij(t) = г} _ P{fj(t + Д} = = г} _
Д ДР{р(<) = г}
_ Р{р(~* ~ А) = j, q(-f) = г}
др{,Н) = О
Заменяя теперь P{f)(—t — Д) — = г} эквивалентной
нечно малой величиной Ру(—t — Д) «71Д ~ pj(—t) арД и уст ре: к нулю, имеем
~ — а31ТЙ
гА)~ Pi(-t) •
Аналогично,
Р{^(< + Д) — -г | i)(t) = г'} - 1 _ P{/](t + А) = г, ^(/) = г} - 1 Д Д Р{р(<) = г}
Р{р(—t —Д) = г, — — l P{r;(—Z —Д)^г, r/(—t) = i}
= др{ч(-*)=г} др{,и=г}
Е - А) = J, p(-i) = i}
APbH) = i)
Снова заменяя Р{?у(—t — Д) = j, r/(—t) = г} эквивалентными бе< нечно малыми величинами р3 {—t—Ы) а3,А ~ р7(—t) aJtA и устреь Д к нулю, находим
!!V ' д~»о Д
Е аз^з{
3-^---------, i е
Таким образом, окончательно имеем
ау (t) =
а]1Рз ( 0
Рг(-*) ’
Е a3‘P:i (—0
3^______г—
рг(-0
3 + г;
J -i,
г-3 G Т.
[]олуморковские, линейчатые и кусочно-линейные проц
55
Итак, мы получили, что ’’обращенный” процесс t < 0}
едставляет собой неоднородный марковский процесс, описанный П₽п 4 8. То, что процесс {/)(<), t < 0} является неоднородным, тановится очевидным, если вспомнить, что он обязательно должен попасть в момент 0 в состояние 1.
Пусть теперь процесс {r/(t), — оо < t < ос} задан на временном интервале (—ос, ос) и является стационарным с распределением I. € 2}- Тогда ’’обращенный” процесс {^(f), —ос < t < ос} также задан на интервале (—ос, ос). Все, что говорилось выше для интервала (—ос, 0]. переносится и на интервал (—ос, оо). Более того. в соответствии с формулой (29) ’’обращенный’’ процесс будет однородным, а также стационарным с тем же распределением {р,. i £2}. и его инфинитезимальная матрица Л = (й,,) определяется формулой
Р, ’
52 nj’Pj
>*•
Pi
i.j е 1.
§ 6. Полу марковские, линейчатые и кусочнолинейные процессы
При исследовании СМО, не относящихся к марковскому типу. уже недостаточно использования только марковских процессов с непрерывным временем и дискретным множеством < остоянии. Поэтому в этом параграфе мы опишем некоторые другие классы слу -чайных процессов, которые также можно отнести к процессам марковского типа, однако множество состояний для них уже не будет дискретным (здесь необходимо пояснить, что при том определении, которое будет дано ниже, полумарковскип процесс и цепь Маркова с полумарковским управлением будут иметь дис кретное множество значений, однако не будут марковскими; ес ли мы захотим t делать из них марковские процессы, то необходимо присоединить дополнительную непрерывную компоненту).
Рассматриваемые ниже процессы имеют отличительную особенность (эта особенность характерна для всех СМО), заключающуюся в том, что существенные изменения в них могут происходить только в дискретные моменты времени, или. по образному ВыРажению А.Н.Колмогорова, ’’являются случайными процессами с Дискретным вмешательством с лучая”. К процес с ам такого типа относятся и процессы, рассмотренные' нами в 3 о. Внутренним
56 Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ AIIHAi
объединяющим признаком таких процессов является наличие у них точек регенерации (восстановления).
В этом параграфе мы ограничимся лишь конструктивны^ < анпем рассматриваемых процессов. Скажем сразу, что. как ц жде, мы не будем гнаться за общностью определении, а. как пр;(1 будем накладывать излишне жесткие ограничения, которые ц, лят существенно упростить описание, но, тем не менее, всегда | выполняться в дальнейшем.
6.1. Полумарковские процессы
Полумарковс кип процесс является естественным обобщц Маркове кого процесса с непрерывным временем и дискретным-жеетвом состоянии I = {1,2,...,»)} или 1 - {1,2....} на той чаи, если время пребывания в состоянии / может иметь рас пре; ние, отличное от экспоненциального.
Констрх ктпвное описание по.думарковского процесс а [ 1 > 0} заключается в следующем. Пусть у нас имеются:
распределение {;»,(()), i € Z}. которое мы будем называя Чальным распределением процесса;
набор ФР F,(jj. / g Z, определяющих время пребывания цс-сса в состоянии /;
набор неотрицательных функции </,,(•<), /, j gZ, 'h i(x ,el 1 i E I. которые представляют собой вероятности непосредств! переходов из состояния i в состояние у при условии, что в соста / процесс находите я время .г.
Поведение по.думарковского процесса {»(/), t > 0} опре,1 с гея следующим образом (рис. 8). Сначала в момент 0 с вер ностью р,(0) процесс находится в состоянии /. В этом сося он пребывает случайное время Т], распределенное по закону f Затем с вероятностью </,,(•»). зависящей от времени .г пребыв в состоянии I. процесс переходит в состояние у, в котором та находится случайное время т-> — г,, распределенное по закону f и не зависящее- от того, когда и как он попал в состояние у. П< с вероятностью <hi, (еу), зависящей только от времени пребыв® в с ос тоянпи у. переходит в состояние к и т.д. Значение полум» с кого процесса »(/) в момент t это то с остояние- /. в котор0’ находится в этот момент.
При определении полумарковского процесса мы допус кас> о 1но небольшое- обобщение, связанное с тем. что. в отличие- от’ ковекого процесса, вероятность су,,(.<) может и не- равняться Я1 т е возможен переход из < остоянпя е в это же- состояние.
Цолумарковские, линейчатые и кусочно-линейные проц.
57
Рис. 8
Если рассматривать состояние процесса ип — и(тп + 0) сразу же после w-ro перехода, то получается цепь Маркова {i/n, п > 0}, которую, как и в случае марковского процесса, естественно назвать вложенной цепью Маркова полумарковского процесса {i/(t), t > 0}. Переходные вероятности qij = P{izn+i = j \ vn = 1} вложенной цепи Маркова {i/n, п > 0} в соответствии с формулой полной вероятности имеют вид
ОО
Чц- У 4ij(x)dFi(x).
о
В частности, вероятности 4i}(x) могут не зависеть от х, и в этом случае, естественно, qi3(x) — qtJ для любого х > 0, г, j £ Т.
Как и в случае марковского процесса, описанный таким образом полумарковский процесс определен еще не полностью, поскольку возможен уход в "бесконечность” за конечное время. Сейчас мы приведем условия, которые, с одной стороны, легко проверяются, а с Другой—гарантируют отсутствие всяких аномальных ситуаций.
Положим
F+(x) = supFj(x), F~(x) = inf Fi(x).
iei
Будем предполагать, что
1- F+(0+) < 1, a F~(x) является ФР (т.е. F~(+oo) = " = 1) и существует (конечное) математццуукое од<ц-
58 Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРА1
оо
даши f~ — / .г</Г“(.|). о
Очевидно, чго ф.енкция F+(.i) также является ФР. причем ti| выполнении условия 1 0 < f+ = / .1 :dF+(x) < f~ < ос. Кроме з Л о I
ОС
обозначая через /, = J x<lFt(r) среднее время пребывания проце<( о
в состоянии /. имеем f+ < f, < f~, г € I.
Будем < читать также, что выполнено еще одно техничсч-ц, условие
2. Нс существует такого / > 0, что все F,(-i) являются ФР р<ц прсделения дискретных случайных величин, принимающих толь» значения к 1. k>Q
Отметим, что невыполнение' последнего условия приводит к по лумарковскцм процессам с дискретным временем.
Петть теперь H,(t) среднее число переходов в состояние г л, время t.
Теорема 1. Пусть для процесса {iz(t), t > 0} выполнены уело пия 1 и 2, а вложенная цепь Маркова {</„, п > 0} является нспри водимой и нспериодяче< кои Тогда, если вложенная цепь Марков: эргодична, то дтя любого s > 0
E fiP,
где p‘ предельные (стационарные) вероятности по вложенной цсрЕ Маркова; в противном случае
H,(t + »)-H,(t)(^о. «ет.
Тсррема 1 представляет собой обобщение теоремы Бле.кузлл<> на поле Маркове кис процессы. Поскольку свойства полумарковскогс процесса с этой точки зрения адекватны свойствам процесса во! становления, то полумарковский процесс иногда называют такя® маръпескам процс<• с.ом восе.та.новления.
Теорему 1 можно сформулировать также в виде, аналогично» теореме Смита.
Положим p,(t) = P{n(f) = ?}, i с Т. Из теоремы 1 можн« поле чпть следующий результат.
Теорема 2. Пусть для процесса t > 0} выполнены условия теоремы 1. Тогда, если вложеннм цепь Маркова {i/„, н > 0)
59
g Цолумаркоеские, линейчатые и кусочно-линейные проц ргодична, то
с т-
Е fjP3
противном случае
Теорема 2 устанавливает связь между предельными (стационар-1ыми) вероятностями состояний полумарковского процесса и его итоженной цепи Маркова.
6.2. Цепи Маркова с полумарковским управлением
К сожалению, в ТМО в большинстве случаев полумарковский процесс является пить вспомогательным инструментом исследования. Для его введения обычно необходимо произвести дополнительные зачастую довольно сложные построения. Определенные трудности представляет и обратный переход от полумарковского провеса к характеристикам качества функционирования СМО Сей-iac мы опишем еще один класс случайных процессов, который уже можно использовать для непосредственного анализа СМО. Отличие процессов этого типа от полумарковского заключается в том что наряду с изменениями состоянии, управляемыми полумарковским процессом, допускается также наличие дополнительных скачков, подчиняющихся законам марковского процесса Правда, мы для простоты изложения несколько упростим структуру ” опорного” полумарковского процесса, потребовав, во-первых, чтобы множество состояний было конечным, а, во-вторых, чтобы вероятности переходов Qjj(t) = ql} не зависели от t.
Определение процесса дадим, исходя, как и ранее, из его конструктивного описания. Поскольку нас в этом пункте будут ин тересовать только стационарные характеристики, то мы не будем останавливаться на определении начального состояния процесса
Рассмотрим случайный процесс {??(£), t > 0} = {(r(t), £(£))> > 0} с конечным множеством состояний X С Т х представляющим собой подмножество множества 1 х А’ всевозможных пар (г>п), г G Z, п G W. Пусть в момент т^_15 к > 1, компонента £(0 процесса r](t) изменилась и приняла значение п. Тогда она будет оставаться равной п до момента ту, причем разность ту. — ту_] не зависит от предыстории функционирования процесса и распределена По закону Fn(x), F„ (O-f-) = 0. Далее, в течение времени (ту._| rf) пребывания компоненты ^(t) в состояний п компонента v(t) представляет собой (однородный) марковский процесс с инфинитезимальной матрицей Ап = где Тп = {? е I | (г, я) G Д'}—набор
60
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ЛППАр
тех значений г, которые может принять компонента v(t) при чении п компоненты £(t). В момент ть изменения состояния । поненты £(t) происходят также изменения состояния компон^ p(t), причем вне зависимости от поведения процесса t j до момента с вероятностью
9n’fm = Р{^(^) = J, С(п) = m I ~ °) = *> - °) = «},
(г,п), (j,m) е X,
компонента n(t) принимает значение j, а компонента Gt)—зна> ш. Определенный таким образом процесс {//(t), t > 0} называ( цепью Маркова с полумарковским управлением.
В этом пункте мы рассмотрим только тот случай, когда I ФР К (ж), п g М, имеют дробно-рациональный вид, т.е. пре, | ляют собой отношения полиномов. Тогда, как мы увидим, си онарные распределения можно находить из систем уравнений i СУР, но не являющимися, вообще говоря, таковыми. В общем । чае цепи Маркова с полумарковским управлением можно исс] вать либо с помощью построения вложенного полумарковского г цесса, либо методом введения дополнительной переменной, kotoj будет рассмотрен в следующем пункте.
Рассмотрим теперь две вложенные цепи Маркова: , k > 1
ЧМп), СЫ), С(п-о)), к>
Отметим, что множество Х+ состояний цепи Маркова , к | может не совпадать с множеством X состояний цепи {r](t), t> поскольку довольно часто приходится изучать такие цепи {ч t > 0}, для которых вероятности попадания в некоторые соя ния из X сразу же после моментов изменения значения компоня £(£) равны 0; зти состояния естественно выкинуть из рассмотри Предположим, что цепи Маркова {*?(£), t > 0}, {т/J, к > 1 , к > 1} зргодичны.
Положим p(j,m) = lini Р{?;(<) = (j,m)}, p±(j,m)= lim P{fi t—>oc k—*00 Г
= I
Поскольку мы предположили, что ПЛС ФР Fn(x), п g 0 ются дробно-рациональными функциями, то для Fn(x) существ матрично-экспоненциальное представление [49]:
Fn(x) = 1 - ‘ухе~с"х1, х>0, пеЯ,
где G„—квадратная матрица порядка 1п, собственные числа К« рой имеют положительные действительные части, а вектор!
мерности 1п. Положим дп = Gnl. Имеет место следующая теор'"
\ Цолумарковские, линейчатые и кусочно-линейные проц. 61
Теорема 3. Существует единственный набор векторов ) е R1", (*• п) £ %’ удовлетворяющий системе уравнении m}Grn=yyr^™)ai£+ 52 xr(i,n)g„g^m^, (j,m)eX-,
(?,?/)
(2)
(3)
(г,п)€г£
11 всех (./, cn) & Л p+(j,m)= 52 52 f(4)
(?,n)€Af (i,n)€X
p(j, n) — х*(г, n) 1, (5)
стационарные вероятности p+ (г, n) и р~(г, n) связаны между собой ютношением
р+(рш) = £ (6)
(г,п)€Х
Рассмотрим теперь множество Л"2 = X х X и фиксируем исковое подмножество X С X2. Далее, пусть 0 < тц < Т[2 < ... ^последовательность моментов перехода полумарковской компо-нты процесса {р(^), > 0} таких, что (р(т(|, - 0), »2(T7fc)) € X,
положим 0^ = г](т[к — 0), 0* = p(T(fc), k > 1. Можно показать, ю подпоследовательности {б1^ к > 1} тл-{0^, k > 1} образуют ^породные цепи Маркова. Будем предполагать, что эти цепи эр->дичны.
Положим
р±(г,тг)= lim P{#J = (г,п)}, (г, п) Е X.
к—>ос
ведем также множество Х^ ту — {(i,n) | g X]. Пре-
1 льные (стационарные) вероятности р±(г,п) определяются с помо-|>ю следующей теоремы.
Теорема 4. Для всех (J, m) € X
Р+(.),т) = ^ 52' x:‘(i,n)gnq’T;^ 52 ;?r(z-n).9»9nfm, (7)
(i,n),(fc,()ex y,n)ex^^
стационарные вероятности p+(j,m) ир~(г,п) связаны соотноше-ием
p+{j,m)= 52 Р-(г»9п?т, (Д"г)€Т. (8)
(•,п)еЛ(31„)
62
Гл. 1 ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППЛ,р^
В заключение этого пункта заметим, что рассмотренный J( тип процессор-—цепи Маркова с полумарковским управленп -м-1 ляется специальным случаем более широкого класса полуреген рмющих процес сов.
6.3. Линейчатые марковские процессы
Идея появления линейчатого марковского процесса слс ч и!
Введенная в предыдущем пункте цепь Маркова с полз аЛ ским управлением не является марковским процессом. Одна! очень легко сделать таковым. Для этого нужно присоедини ;ь| погнительную непрерывную координату (переменную), отследЛ ющую время пребывания компоненты в состоянии п. Здесь! ножны два варианта: взять в качестве дополнительной персме! остаточное время которое компоненте (’(/) осталось пре стп в состоянии и, иди прошедшее время £~(t), которое с на! провс ьа в состоянии п. В соответствии с этими двумя вариант: возникают два типа линейчатого процесса.
Приступим теперь к конструктивному описанию линеича! Маркове кого процес са первого типа. Начнем с множества знача 1’ Дм наших дальнейших целей удобно выделить отдельное сос янпс 0. для которого непрерывная компонента не определи тся остальных случаях состояние линейчатого процесса {(/(/) t I определяете я парой (»'(£), ^(1)), где множество состояний Т д сскр нои компоненты i'(t) является конечным (Z = {1,2,..., т}) иди cj ным (Z = {1,2, .}), а множество состояний непрерывном кЛ ненты представляет собой полупрямую [0, оо) Таким с браз множество значений X линейчатого процесса {ц(1), t > 0} им вид А’= {0; (/,.г), г g I, х > 0}.
Определяющими параметрами линейчатого процесс а {с; t > 0} являются. !
начальные вероятности ро(0) = Р{ц(0) = 0} того, что про! в момент 0 находится в состоянии 0, и P,(.t,0) = P{i'(0) = ?.£(/)< i G Т, того, что дискретная компонента приняла в момент 0 шече I, а непрерывная меньшее т;
I распределение F,(a"), г g Т, величины скачка непрерывной I поненты при условии, что в момент скачка значение- дискрет1 компоненты было г;
вероятности г g Т, j g ZU {0}, перехода дискрв компоненты из Достояния г в состояние j в момент обраще ffli прерывной компоненты в 0; I
интенсивности оч, i,j g Т U {0}, дополнительных псреХ® дне кретнои компоненты иэ состояния г в состояние ;, подчиняй законам марковского процесса. I
63
легко
роверяемые Условия:
i&T,
Лолу^ирковские, линейчатые и кусочно-линейные проц.
р дальнейшем у нас всегда будут выполнены следующие
‘ 1. с.о = 0, г 6 Т.
2. £ °и = 0’ гб^ЩО}-,еги{°}
3- со = ~аоо >0-
4 Из состояния со значением дискретной компоненты г, 1ожно с ненулевой вероятностью за некоторое время перейти в со-тояние со значением дискретной компоненты j, j &T\J {0}.
5. Интенсивности в, = -а.-,-, г G Т, равномерно ограничены.
6. Функция F+(x) = sup Ff(x) удовлетворяет равенству
7. Функция F (х) = inf F.(.t) является ФР (т.е. F (+ос) = 1). igX
меющей (конечное) математическое ожидание f~ = / xdF~(x).
о
Условие 1 означает, что дополнительные переходы не могут пе-евести дискретную компоненту в состояние 0. Условис 2 являет» я словием консервативности марковского процесса, управляющего цполнительными переходами. Условия 3 и 4 естественно назвать словиями неприводимости. Условия 5 и 6 гарантируют рсгуляр-юсть процесса. Наконец, условия 6 и 7 приводят к тому, что, как мы видим далее, эргодичность процесса определяется эргодичностью го вложенной цепи Маркова.
Отметим, что в случае конечного Т условие -э выполнено ав-оматически, а условия 6 и 7 эквивалентны условиям F,(0+) = 0. € Z, и существования (конечных) математических ожидании ОО
г = JxdFt(x). i g Т.
о
Ра звитие линейчатого процесса t > 0} во времени со-
тоит в следующем. В начальный момент 0 либо с вероятностью *.(0) выбирается значение 0 процесса, либо в соответствии с рас-Ределением Р;(т,0), i G Z, выбираются значения i дпекретноп омпоненты и х непрерывной. Далее (рис. 9) непрерывная компонента £(t) уменьшается с единичной скоростью до тех пор. пока не тратится в 0. При этом возможны изменения дискретной компоненты p(t); если в МОМснт t она имела значение J, то с вероятностью
+ °(Д), не зависящей от поведения процесса до момента f. она л Малое” время Д может поменять значение на к, к G I. причем j изменение никак не влияет на непрерывную компоненту £(/). Момент обращения непрерывной компоненты £(/) в 0 с вероят-Тью 'hk (также нс зависящей от предыстории) происходит смена
64
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
значения дискретной компоненты с j на к, к g 7 U {()}. По« этого в соответствии с распределением Ft (.г) разыгрывай г< я ново, .значение непрерывной компоненты 4(7) и т.д. Если в начальный J какой-нибудь другой момент обращения непрерывной компонентыj О ди< кроткая компонента приняла значение 0, то непрерывная koJ понснта 4(0 нс определяется, а процесс z/(f) пребывает в «JctohhI 0 экспоненциально распределенное с параметром ап время п затеи, вероятностью <ioi/ao переходит в состояние со значением дискрет нон компоненты I.
Е< ли мы рас < мотрпм последовательность значении ?/,, = с<'(т„+® дискретном компоненты сразу же после п-го момента т„ обраШ пня непрерывной компоненты в нуль, то получим цепь Марко?
jj0JlyjnapKoecKue, линейчатые и кусочно-линейные проц. 65
п У ij Эту цепь естественно назвать вложенной цепью Мар-Vn' линейчатого процесса t > 0}. При этом в множество
^тояний вложенной цепи Маркова {р„, п > 1} входят только те °С яния г, вероятность попадания в которые этой цепи отлична °'нуля хотя бы для одного п > 0.
т Поведение линейчатого процесса {ylt), t > 0} во времени апактериэуется функциями p0(t) = Р{чСО = 0} и P,(x,t) = p{i/(t) = *,£(*)<*}•
Выпишем систему уравнений, аналогичную системе дифферен-щальных уравнений Колмогорова, для p0(t) и Pt(x,t) Для этого усмотрим состояние процесса {y(t), t > 0} в моменты t и t + Д , д—”малое” приращение времени.
Процесс в момент t ф Д будет находиться в состоянии со значе-1ием дискретной компоненты 0, если:
либо в момент t он находился в состоянии со значением дискрет-10Й компоненты 0 (с вероятностью Ро(/)) и за время Д не произошло е изменения (с вероятностью 1 - «0 Д ф о(Д));
либо в момент t значение дискретной компоненты равнялось , г g Z, а непрерывной было меньше Д, т.е. p(t) = г и £(£) < Д вероятность этого события равна /’(Д,/)) и после обращения в 0 Непрерывной компоненты процесс перешел в состояние 0 (с вероят-юстью дг0).
Остальные возможные переходы имеют вероятность о(Д).
Поэтому по формуле полной вероятности получаем
p0(t ф Д) - p0(t) (1 - а0Д) + Рг(Д, t) ql0 ф о(Д). (9)
>ez
Для того чтобы в момент t ф Д процесс t > 0} нахо-
!ился в состоянии со значением дискретной компоненты г, г е I. а |епрерывной—меньшим х, необходимо, чтобы:
либо в момент t дискретная компонента находилась в состоянии > а непрерывная была заключена в пределах от Д до х ф Д (с вероят-юстью Р,(х ф A, t) — рг(Д,«)) за время Д не произошло изменения декретной компоненты (с вероятностью 1 — агД Ф о(Д));
либо в момент t дискретная компонента находилась в состоянии I непрерь1вная была заключена в пределах от Д до х ф Д (с вероят-Юстью Р, (.т ф Д, /_) /’ (Д, t)) и за время Д дискретная компонента Менила значение с j на г (с вероятностью с,,Д Ф о(Д));
либо в момент t дискретная компонента находилась в состоя-। непрерывная была заключена в пределах от 0 до Д (с вероят-ОСТЬЮ Р)(Д; и на интервале (t, tф Д), когда непрерывная компо-еНТа °братилась в 0, дискретная компонента сменила значение на г 5-2717
66
Гл. 1 ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АШ1Л,
(с вероятностью qJt), а непрерывная компонента приняла знгЛ меньшее х (с вероятностью Р-Ах))'.
либо, наконец, в момент t процесс находился в состоянии ОI роятностью Poft))-, за время А дискретная компонента сменил^ значение на г (с вероятностью aOi Д 4- о(Д)) и в момент измсц значения дискретной компоненты непрерывная компонента прц( значение, меньшее х (с вероятностью
Все остальные переходы имеют вероятность о(Д).
Воспользовавшись формулой полной вероятности, имеем I
Pi(x,t + Д) = [Р,(х + ДД) - В(А,1)](1 - «г А) +
+ ZL [Р,(.т +Д,<)-Р/Д>1)]«71Д+
+ Е^(А, t)q3tF,(x) +р0^)атАГг(а’) + о(Д), г G Т. зет
Вычтем из обеих частей\равенств (9) и (10) ро(/) и Р,(.т+. соответственно и поделим на Д :
= _aoPo(t) + 1 £Д(ДД) Ql0 + о(1), I £еЕ
Р, (х, t + Д) — Р, (.г + Д, i) _ ___________ _
Р(х, t + Д) - Р,(х, t) — Р,(х 4- Д, t) + Pi(x, t) _
= —агРг(х 4-A,t) — — Pi(A,t) 4- J2 (<-’ +Д, 0 aji+ I jez\{»}
+ i£P7(A,t)gj!F!(a;)+P0(^«mFY(T)+o(1), I A зет
Устремляя Д к нулю, получаем систему линейных дифферент! ных уравнений
p'0(t) = -«opo(t) +У 5-P(.T,t) ql0, ot IX—0
lET
f P,(x,t) - ~P,(x,t) = 'VPj(a:,^aj{ - j)| 4-
dt ox z^, ' 3 Qx x L—o
зет
+ E +po(,t)aO1F,(x), i el.
jez °X x~°
§ £ Долумарковскне, линейчатые и кусочно-линейные проц. 67 При выводе системы уравнений (11) мы предполагали существо-Ие производных, входящих в эти уравнения. Но это ниоткуда не Ба сет и, более того, может быть неверным. В общей теории марковских процессов выход иэ создавшегося положения находят в том, что переходят к так называемому сопряженному пространству. Однако МЫ не будем забираться в такие дебри, а будем работать с системой (11)- Оправдательных причин у нас несколько, но основная заключается в том, что если мы найдем какое-либо решение этой системы, выраженное в явном виде или в терминах ПЛС и удовлетворяющее вероятностным свойствам (неотрицательности и нормированное™ на единицу) и начальным условиям ро(0) и Рг(.т, 0), i £ Р, то это решение и будет являться искомым распределением.
С ростом t функции po(t) и Р2(т,1), г g I, стремятся к пределам, которые либо одновременно для всех г и х равны 0, либо положительны и удовлетворяют условию нормировки.
В последнем случае р0 = lim p0(t) и Р,(х) = lim P.(x,t), t-Юо ' i—юс '
называются предельными (а также стационарными) вероятностями состояний линейчатого процесса {?/(!), t > 0} и определяются из системы уравнений
0 = -аоро + Р( (0) дг0,
J6Z
(12)
16Z
+ +р0а0гРг(х), г е Z,
jez
получающейся из (11), если убрать зависимость от времени. В этом случае говорят, что процесс {?/(t), t > 0} является эргодическим. Разумеется, при решении системы (12) нужно учитывать условие нормировки
iez
Отметим, что, в отличие от системы (11), все входящие в систему (12) производные существуют.
Теорема 5 (эргодичности линейчатого марковского пеРвого типа). Для того чтобы линейчатый марков-го ИтПроцесс {7?(i), t > 0} (при выполнении условий 17) был эр-№ским, необходимо и достаточно положительной возвратности воженной цепи Маркова {пп, n > 1}.
5*
68
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАР^
Из этой теоремы следует (при выполнении условий 1-7): I если вложенная цепь Маркова непериодическая (а в наших д! нейших исследованиях это всегда будет так), то эргодичность! нейчатого процесса эквивалентна эргодичности этой цепи;
любой линейчатый процесс с конечным множеством состоя» дискретной компоненты является эргодическим.
Описание линейчатого марковского процесса второго типа} приведем для частного случая Ft(x) — F(t), i € Т. В осталь! линейчатый процесс второго типа определяется точно теми жа раметрами. Естественно, условия 6 и 7, которые мы постул» вали при определении j<iнейчатого процесса первого типа, 6yj выполняться в этом случае автоматически при выполнении уело» F(0+) = 0 и J xdF(x) < оо. о
Отличие линейчатого процесса второго типа от линейчая процесса первого типа заключается в том, что в момент такого! менения значения дискретной компоненты р(1) с г на j, g Z, к® рое влечет за собой изменение непрерывной компоненты, непрерь ная компонента £ (t) обращается в 0 и дальше растет (а не убывае с единичной скоростью. Точнее говоря, если в момент t непреи ная компонента имеет значение х, а дискретная - значение >, г € то за время (t, t У Д) с вероятностью [F(x + Д) — F(®)]/[1 — F(. происходит изменение дискретной компоненты, которая с верш ностыо дг], j € Т U {0}, принимает значение у, и, если у О, непрерывная компонента обращается в 0- Так же, как и для лив чатого процесса первого типа, с вероятностью аг};Д у о(Д) за лое” время Д может произойти изменение дискретной компонеш с г, i € Z U {0}, на у, j g Т, причем если г 0, то это изы нение не влияет на непрерывную компоненту, которая продолжу увеличиваться с единичной скоростью, а если г = 0, то непрерывн компонента принимает значение 0 и также начинает увеличивай с единичной скоростью. По-прежнему, если дискретная компожеЖ равна 0, то непрерывная компонента не определяется (рис. 1(1). j
Значения дискретной компоненты vn = и(тп у 0) сразу же п<| моментов тп обращения непрерывной компоненты в нуль образ! Вложенную цепь Маркова {ty, п > 1}.
Так же, как и ранее, обозначим p0(t) = Р{1/(С — 0}, Р(х-А — P{i/(t) = г, £(t) < х}, i g Т. Будем предполагать, что существ?* производные р,(х, t) = дРг(х, t)/dt.
Выведем уравнения, которым удовлетворяют Ро(/) и рлА г € Т. Для этого рассмотрим моменты t и t У Д, где Д "мал9 приращение времени. •
g Полу марковские, линейчатые и кусочно-линейные проц.
69
Процесс будет находиться в момент t + Д в состоянии со значением дискретной компоненты г, г е Z, а непрерывной х + Л, если:
либо в момент t значение дискретной компоненты было г и непрерывной х (с плотностью вероятностей p,(x,t)), а за время Д не произошло изменения дискретной компоненты (с вероятностью 1 - а, Д -р о(Д)) и непрерывная компонента не обратилась в нуль (с вероятностью [1 — F(x + Д)]/[1 —
либо в момент t значение дискретной компоненты было j, j € Z, к непрерывной х (с плотностью вероятности p3(x,t)), а за время Дискретная компонента сменила значение на г (с вероятностью
+ о(Д)) и непрерывная компонента не обратилась в нуль (с “еРоятностью [1 - F(x + Д)]/[1 - F(x)]).
70
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ
Остальные переходы имеют вероятность о(Д).
Воспользовавшись формулой полной вероятности, имеем
рг(а: + A, t + А) = р<(х, t) (1 - atA) +
ч 1 — F(x + Д) ,
+ 12 Р3(хЙ)а3Л—. + о(А).
^2\{,}
Полагая p,(x,t) = [1 — -F(x)] r,(x, t), вычитая p,(.T,f) из ooeit частей равенства и деля на Д, получаем
гг (х + A, t + А) — г, (,т, t) _
А =
_ гг(х + Д, t + А) — гг(х + A, t) + гг(х + A, t) — гг(х, t] _ =
= aIr,(a:,t) + ajirAx^) + °(1)-
Устремляя теперь Д к нулю, приходим к равенству
^гг(а:Д)+ ~rt(x,t) = ^а,гГ,(х,Т)- (13
yez
Далее, для того чтобы процесс в момент t + А находился в состоянии 0, необходимо, чтобы:
либо он находился в состоянии 0 в момент t (с вероятности Po(t)) и за время Д его состояние не изменилось (с вероятность» 1 — <Jo А + о(Д));
либо в момент t он находился в состоянии (i, х), i € Т, (с плот ностью вероятностей pi(x, t)) и за время А непрерывная компонент обратилась в нуль (с вероятностью [F(t + А) — F(a?)]/[1 — F(a:)]),’ дис кретная поменяла свое значение на 0 (с вероятностью q,n).
Вероятности остальных переходов имеют вид о(Д).
Воспользовавшись формулой полной вероятности, получаем
ОО
Po(t+A)=Po(t) (1-а0Д)+12 [РАхй) dx9*о+о(Д)
Отсюда, вспоминая, что р,(х, t) = [1 — F(.r)] гг(х, /), вычитая р0(t)11 обеих частей равенства и деля на А, имеем
= _„ой(1)+ I
ЦолУмаРковские’ лине^чатые и кусочно-линейные проц 71
/ / м -^(ж + А) — -F(-'c) , z, ,
+ / гг(Ж, I) ----д--------- dx 9гО + о(1).
О
казано [62], что если г, (ж, I)—непрерывная ограниченная функция гумента х, то интеграл в правой части последнего равенства при
0 стремится к J гг(:1:,1) dF(:i:'). Поэтому, устремляя Д к нулю, ‘ о
олучаем окончательное уравнение
Ро(0 = -°оРо(1) + У. / л(.т,^)йГ(.т)дго. ’«о
(14)
Наконец, выпишем соотношение для pt (0,t). Для этого заметим, го процесс в момент / + Д находится в состояниях со значениями искретной компоненты г, г g I, и непрерывной, заключенной в редких от 0 до Д, если:
либо в момент t процесс находился в состоянии 0 (с вероят-остью Po(t)) и за время Д произошло изменение значения дискрет-ой компоненты на г (с вероятностью аогД + о(Д));
либо в момент t процесс находился в состоянии со значениями 1скретной компоненты j, j 6 I, и непрерывной х (с плотностью ероятностей р,(.т,/)), а за время Д непрерывная компонента обратись в нуль (с вероятностью [F(.t + Д) — Р(ж)]/[1 — F(.t)]) и.дис-ретная компонента изменила свое значение на г (с вероятностью
Поскольку остальные переходы имеют вероятность о(Д), то, ис-ользуя формулу полной вероятности, получаем
ОО
H,(A,z) = Po(fl 0()гд + [ Рз(х, t) dx д1г + о(Д).
.761 {
вступая, как и прежде, и учитывая, что lim Р, (Д,1)/Д = рг(0, t) = Г'(0, t), имеем
=p0(t)a0t + / r3(x,t)dF(x)qlt. (15)
i&o
иовТаКИМ °бРазом’ мы получили, что функцииро(0 и гг(х, t), г g Z, сте В0РЯЮт линейным дифференциальным уравнениям (13) (15). еНН0’ ПРИ Решении уравнений (13) (15) необходимо задать ьное распределение {р0 (0); Рг (х, 0), г g I}.
72
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ AHHApL
Что касается вопросов существования соответствующих пря водных и решения уравнений (13)—(15), то здесь справедливы все-замечания, которые были сделаны для линейчатого процесса ti(. вого типа.
Предельные (стационарные) вероятности ро = Jim р0(() Pt(x) = Jim Рг(т, t), i G Z, определяются из системы уравнений
о©
О = -аоро + У2 / гг(т) dF(x) qi0,
j€Z0 I
г.(ж) = 52о^(ж)’ ieZ’ Il
оо
гг(0) = PoO-oi + 52 / Ч (•''’) dF(x) Qj,, i e Z, ~ZiJ о
полученной из уравнений (13) -(15) приравниванием к нулю при: водных по t. В этой системе Р'(х) — Pi(x) = [1 — F(x)] гг(т).
Аналогом теоремы 5 является следующая теорема.
Теорема 5' (эргодичности линейчатого марковски процесса второго типа). Для того чтобы линейчатый процг {z/(/) > t > 0} (при выполнении условий 1-7) был эргодическим, Het ходимо и достаточно положительной возвратности вложенной це: Маркова {и„, п > 1}. I
Здесь также при условии непериодичности вложенной цс Маркова эргодичность линейчатого процесса эквивалентна эрт дичности этой цепи.
Отметим, что системы уравнений (16) и (12) очень похожи Д> на друга. Однако система (16), как правило, решается нескоЯ проще, поскольку начальные условия для нее образуют отдельй уравнения. Поэтому если функционирование некоторой СМО м<® описать и линейчатым процессом первого типа, и линейчатым К цессом второго типа, то предпочтение желательно отдать пос® нему.
Так же, как и для эргодических цепи Маркова и марковси процесса с дискретным множеством состояний, для эргодичесК® линейчатого процесса {r/(Z), t > 0} (первого и второго тиЯ( справедливо следующее свойство. Пусть Х\—некоторое (изМ«1 мое) подмножество в множестве состояний X. Для простоты ‘ ложения предположим, что подмножеству А'| соответствуют зй« ние дискретной компоненты i и значение непрерывной компоне?
g ЦолумаРко6Ские’ лин€’^чаты€ и кусочно-линейные проц. 73
тервале [0,ж). Рассмотрим случайную величину Cz(Ai), рав-В * поли времени на интернате [0,Т], в течение которого процесс ^сбывает в подмножестве Aj, т.е. в состояниях со значением дис-ПР твой компоненты г и непрерывной от 0 до х. Тогда при Т -> оо с вероятностью 1 выполнено соотношение ('/(А^) —> Рг(я:).
6 4. Кусочно-линейные марковские процессы
В ряде случаев (в частности, при исследовании СМО M/G/n/O) получения марковского процесса необходимо присоединить не одну а несколько дополнительных переменных. Такую конструкцию часто можно реализовать кусочно-линейным марковским процессом. Так же, как и в случае линейчатого процесса, можно ввести два типа кусочно-линейного процесса. Здесь мы сейчас приведем краткое описание только кусочно-линейного процесса первого типа.
Кусочно-линейный процесс так же, как и линейчатый содержит дискретную компоненту, принимающую значения г, г € Z U {0}. но уже не одну, а несколько непрерывных компонент, изменяющихся с постоянными, но, вообще говоря, разными скоростями.
Поставим в соответствие каждому состоянию г, г 6 Z, некоторое положительное целое число |г| (состоянию 0 ставится в соответствие число 0| = 0). Число |г| показывает, сколько дополнительных непрерывных переменных надо присоединить чтобы процесс стал марковским. Значение кусочно-линейного процесса {»?(t), t > 0} представляет собой набор, состоящий из дискретной компоненты n(t), принимающей значение из множества {г, г € Z}, и |i/(t)| неотрицательных непрерывных компонент
Если кусочно-линейный процесс t > 0} в момент t находится в состоянии (г, Tj,..., Т|г|) и Xi > 0,..., Т|,| > 0, то значения £?(0> ] = 1, |г|, непрерывных компонент в этот момент убывают с постоянными скоростями d1}.
Изменения процесса {?/(£), t > 0} происходят в моменты, когда одна из непрерывных компонент (пусть £*(£)) обращается в 0. Тогда дискретная компонента i/(t) с вероятностью qff переходит из состояния i в состояние j, причем обязательно должно быть UI — |г| - 1 (число непрерывных компонент уменьшается ровно на единицу). Обратившаяся в 0 координата £*(£) вычеркивается из записи^а остальные продолжают уменьшаться со скоростями dp, ’ 1^1*
Ма Роме того, возможны изменения в произвольные моменты по имел°ВСК°МУ законУ- Если дискретная компонента в момент t стьк)1 ЗНаЧение *> г € Z, то за ’’малое” время А она с вероятно-ачД + о(Д) может перейти в состояние j, причем |'/) > |г|.
74
Гл. 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АППАРАТ
Если |j| > |г|, то к уже имеющимся непрерывным координат^ £l(f),---,£h|(f) Добавляется |j| - |г| новых £|г|+1(1), • •, £|д(*), не за. висящих от поведения процесса до момента t и распределенных закону
В(Ж] , . . . , Ж|7|_|г|) = P{£H+1(t) < < Жр|-|г|}- I
Для полного описания кусочно-линейного процесса необходим задать начальное распределение. Кроме того, для корректного опц. сания процесса необходимо подбирать определяющие параметры та-ким образом, чтобы две непрерывные координаты не могли одновременно обратиться в 0.
Как и для других типов марковских процессов, встречающиеся нам далее кусочно-линейные процессы будут всегда обладать ’’хорошими” свойствами, в частности, свойством эргодичности. Более подробно работу с кусочно-линейными процессами мы рассмотрим на конкретных примерах. |
§ 7. Кронекерово произведение матриц
Пусть А и В—прямоугольные матрицы размеров т х п и р х с соответственно. Кронекеровым произведением А® В матриц А и Е называется следующая матрица размера тр х nq блочного вида: 1
(аиВ а}2В а1пВ\ Л21В а22В а2}В
^7)2-® ’ ’ ’ /
Учитывая. что эта матричная операция еще не столь широко распространена, приведем наиболее важные се свойства (см., например. [79 80])-
1. (оА) ® В = А ® (аВ") = а(А ® В), где а—некоторое число.
2. (А + В) ® С = А ® С + В ® С.
3. А ® (В + С) = А ® В + А ® С.
4. А® (В® С) = (А ® В) ® С.
5. (А® By = АГ®В'Г.
6. Если имеют смысл произведения АВ и CD, то
(АВ) ® (СВ) = (А ® С)(В ® В).
Свойства 1-6 справедливы для любых матриц, для которых к’0' ответствующие операции имеют смысл. Следующие свойства имев место для квадратных матриц.
7 Пусть А и В квадратные матрицы порядков т и п соответ-твенно, а В и единичные матрицы тех же порядков. Тогда
(А ® В) = (А ® 1п)(1т ® В) = (Zm ® В)(А ® /„).
8 Если А и В—невырожденные матрицы, то
(А® В)"1 = Л"1
9 Пусть А и х—собственное число и собственный вектор матрицы А порядка т, а р и у —собственное число и собственный вектор матрицы В порядка п. Тогда:
, кронекерово произведение х®у является собственным вектором матрицы А ® В и соответствует собственному числу Ар;
X ® 1 ,г + 1m ® «/—собственный вектор матрицы А ® 1п + 1т ® В и соответствует собственному числу А + р (здесь 1д.—вектор, состоящий из к единиц);
все тп собственных чисел и соответствующие им собственные векторы матриц А® В н А ® 1п + ® В имеют указанный выше
Матрицу А ® 1п + 1т ® В часто называют кронекеровой суммой риц А и В и обозначают через А ф В. Для этой операции имеет го следующее свойство.
10. Если С = А ф В, то е'
.в
'•/
Глава 2
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ СМО
Уже из того, что было сказано во введении, читатель моя представить себе все разнообразие реальных технических обзд) тов, изучением которых занимается ТМО. Разумеется, для тог, чтобы применять математические методы, необходимо прежде вс, го поставить задачу расчета показателей, характеризующих ка» ство функционирования СМО, в формальном математическом вад Именно этому посвящена настоящая глава. ' I
У всех СМО можно выделить некоторые общие компоненты. 1 ним относятся:
входящий поток заявок, т.е. процесс поступления заявок в си тему;
структура системы, т.е. количество и типы обслуживают» приборов, а также наличие и емкости накопителей перед всеми npi борами в целом и/или отдельными из них;
времена обслуживания заявок на приборах, т.е. те времена (i считая времен ожидания и прерывания обслуживания), которые I явки должны реально находиться на приборах, чтобы иметь во можность завершить обслуживание и покинуть систему;
дисциплина обслуживания, т.е. процесс распределения заЛ между приборами, формирования очередей, выбора заявок из о® реди на обслуживание и т.д.
Описав исходные параметры СМО, мы можем переходить • расчету показателей производительности, т.е. пользовательски характеристик обслуживания, которые показывают, в какой Ме( СМО справляется с возложенной на нее задачей.
§ 1. Входящий поток
Входящий поток заявок характеризуется случайными м® тами поступления заявок в систему, а для более сложных систем типами поступающих в эти моменты заявок. В этом параграфе рассмотрим способы описания входящих потоков, остановивгВ
77
§ ] Входящий поток ко более подробно на тех потоках, которые будут исполь-нескольк
Зованы Далее.
J Обычно предполагают, что входящий поток —пуассоновский, да рассматривают рекуррентный поток. Системы с более об-
ИЙ ти входящими потоками практически не изучены, для них, в луч-ш z rrv'iae получены только частные результаты о существовании тационарных режимов функционирования и сходимости к таким режимам.
1.1. Случайный поток и его свойства
Случайный поток {ту., к > 1} на интервале времени [0, оо) представляет собой неубывающую последовательность случайных моментов Л, 7г,..., г*,,... , ту > 0, наступления некоторых событий- Всюду в дальнейшем случайным потоком у нас будет поток поступающих в систему или выходящих из системы (потерянных и/или обслуженных) заявок и, соответственно, событием потока поступление заявки в систему или уход из нее. Аналогичным образом определяется случайный поток на любом временном интервале [с,Ь), где а и b могут принимать любые значения, в том числе и бесконечные.
Заметим, что если мы рассмотрим число р(1) заявок, поступивших на интервале [0,f), то получим случайный процесс, принимающий целые неотрицательные значения и являющийся неубывающим и непрерывным слева. Обратно, если рассмотреть на интервале [0, t) любой неубывающий непрерывный слева случайный процесс i/(t), принимающий целые неотрицательные значения, то он будет задавать некоторый случайный поток. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между случайными потоками и случайными процессами, принимающими целые неотрицательные значения и являющимися неубывающими и непрерывными слева.
„ Обычно употребляют два способа вероятностного описания случайных потоков.
Первый способ состоит в задании для любого к > 1 совместной Функции распределения
. - . I.» (<71,(7(7ь.
«тсрвадов J Зйтгът------- L °
^i,G,...,^(ai,a-2,...,Tfc) = P{G < ат, 6 < а-2,- • -,& < a’fe} времен £—\ 1 п
ч " si — тг — , z > 1, то = О, между соседними поступлениями
" втг°Р°м способе рассматриваются произвольные наборы аэал ~ 0 < h < ... < tk, & > 1,
Д юте я совместные распределения
G(”h,.. .,mfc;<i, ...,tk) = P{ia - mx,...,vk = тк}
78 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ Щ
чисел v,, i = 1, А, поступивших на интервалах [Аг_i, Аг) заявок. 1 При втором способе описания удобно выделить следующие ъ свойства, которыми может обладать случайный пот ок: отсутсв последействия, стационарность и ординарность.
Отсутствие последействия представляет собой независ имо| случайных величин i/j,..., г/*,. Иными словами, число поступим на каком-либо интервале [Лг_1, Аг) заявок никак не влияет на чие заявок, поступивших на остальных интервалах j i.
Стационарность означает, что вероятностные свойства ц01 ка не меняются с течением времени, т.е. распределение’ чисел» явок, поступивших на интервалах [0,Ai), [А] ,А2),..., [Ar-i-A*,], то I самое, что и распределение чисел заявок, поступивших на ннтеш лах [Т, Ai + Т), [А + Т, t? + Т),..., [tfc—i + Т, tk 4- Т) при любых Т >| и к > 1.
Наконец, ординарность потока предполагает, что выполи следующее соотношение: Р{г(А, t + Д) > 1} = о(Д), где v(t. t + Д| число поступивших на интервале [А, А + Д) заявок. Физически орд парность потока означает, что заявки могут поступать только одной.
Рассмотрим некоторый стационарный поток. Обозначим чер Р1 (А) вероятность того, что за время А поступила хотя бы одна явка, а через Л(А) = Мг(А) среднее число поступивших за врем заявок. В силу стационарности потока Р](А) и Л(А) не зависят того, где располагается интервал длины А, а Л(А), кроме т ого, у. влетворяет равенству
Л(А+л) = Л(А) + Л(л), I
вытекающему из свойства математического ожидания. I Поскольку Л (А) является неубывающей функцией А, то из |>ав ства (1) следует, что Л(А) обязано иметь вид Л(А) = Аа, А > 0.1 стоянная А носит название интенсивности потока и представ собой среднее число заявок, поступающих в единицу времени. < метим, что интенсивность А может принимать как конечное, та бесконечное значение.
Можно показать, что существует предел 7 = lim Pi (А) д-ю
Этот предел, который может принимать бесконечное значение, зывается параметром потока.
Параметр потока 7 всегда не превосходит интенсивное^ Если же 7 < ос, то равенство А = 7 выполняется тогда в то» тогда, когда стационарный поток является одновременно и °Р нарным.
,79
§ I Входящий поток
1 2 Пуассоновский поток
Случайный поток, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами (отсутствием последействия, стационарностью и тинарностью) называется пуассоновским или, как еще иногда говорят! простейшим потоком.
Найдем для пуассоновского потока вероятности p,(i), i > О, того, что на интервале длины t (расположенном где угодно на оси времени [0, се)) поступит ровно г заявок. Начнем с вероятности ро (t) того, что за время t не поступит ни одной заявки. Очевидно, ро(^) является неотрицательной невозрастающей функцией t. Поскольку событие ”на интервале длины t + s не поступали заявки” представляет собой пересечение событий ”на интервале длины t не поступали заявки” и ”на примыкающем к нему справа интервале длины в не поступали заявки”, то в силу отсутствия последействия и стационарности пуассоновского потока po(t) удовлетворяет уравнению
po(i + «) =po(t)po(s)- \ (2)
Известно, что любое неотрицательное монотонно невозрастающее решение уравнения (2) имеет вид po(i) = e’"At, 0 < А < оо, или Po(f) = 0. Второе решение нас не интересует, поскольку для него на любом сколь угодно малом интервале времени с вероятностью 1 поступает бесконечное число заявок. Случай А = 0 также естественно исключить, так как тогда ро(/) = 1 для любого t > 0 и заявки вообще не поступают. Таким образом, окончательно получаем
p0(t)=e~xt, 0 < А < со. (3)
Это означает также, что время до первого поступления заявки распределено по экспоненциальному с параметром А закону.
Из формулы (3) следует, что при А —> 0
ро(Д) = 1 - А А+о(Д). (4)
В свою очередь, вероятность Pi (А) = 1 — ро(Д) того, что за время А поступит хотя бы одна заявка, имеет вид
Р1(Д) = АД + о(Д). (5)
Отсюда получаем, что А является параметром пуассоновского потока.
t и (Д'™ опВеДеления остальных рг(£), г > 1, рассмотрим моменты гДе Д~ ’’малое” приращение времени. Тогда в силу стацй-Рности и отсутствия последействия
г
Рг(!+&) = ^2рг_/()р/Д).
1=0
i
80 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
оо
Далее, в силу ординарности потока ^2 Pj(A) = ^2 (Д) = о(Д). Ц j=2
этому pi (Д) = Р1(Д) + о(Д), откуда, воспользовавшись равенства^ (4) и (5), получаем
рг (t + Д) = рг (t) (1 - А Д) н- р,-1 (t) А Д + о(Д).
Перенося pt(t) в левую часть и деля обе части на Д, имеем
i [рг (t + Д) - рг(О] = ~Ap,(t) + Ap,-l(t) + о(1)- ((
Устремляя теперь Д к нулю, приходим к системе уравнении
Ро(0 = е-Л', I
p',(t) = -Xpt(t) + Ар,_](£), г > 1, с начальными условиями р,(0) = 0, г > 1. Существование произво; ной p'(t) следует из существования предела в правой части (6). Д решения системы (7) воспользуемся заменой р (t) = e~At<7,(f), г >1 Тогда система (7) приводится к виду
9о(0 = 1,
<?'(t) = A<p_i(t), «>!,
с начальными условиями <у,(0) = 0, г > 1. Интегрируя рекуррентн последнюю систему, имеем
, х (At)1
9.(0 = -тр- , I > о, откуда окончательно получаем
Рг(О = е“Лг, г > 0. I
Таким образом, число заявок пуассоновского потока, поступи ших на любом интервале длины t, распределено по закону Пуассон с параметром At.
Среднее число заявок, поступивших за время t, равно At. И этому А является также интенсивностью, что очевидно в силу орЛ1 нарности пуассоновского потока.
Исходя из свойств, определяющих пуассоновский поток, но показать, что времена между соседними поступлениями зал®( представляют собой независимые случайные величины, распрт ленные по тому же самому (т.е. экспоненциальному с параметр11 А) закону, что и время до первого поступления заявки.
81
§ ; родящий поток
Заметим, что число i/(t) заявок, поступивших на интервале [0,/), тавтяет собой пуассоновский процесс. Напомним, что пуассо-^Р^ий процесс является процессом чистого размножения, у кото-яоВ д _. А (см- § 1-4), т.е. однородным марковским процессом с
Т идей интенсивностей переходов А = элементы atJ которой отделяются как
—
если j = г, если j = i 4-1, О в остальных случаях.
В некоторых случаях пуассоновский поток удобно определять, исходя из его локального поведения на ’’малом” временном интервале [<3 + Л)- В этих случаях бывает полезна
Лемма 1. Пусть для некоторого ординарного случайного потока вероятность поступления заявки на интервале [t, t + Д) равна АД+о(Д), причем А не зависит от предыстории потока до момента t Тогда поток является пуассоновским.
Рассмотрим теперь некоторый случайный процесс {'/(f), t > 0}, значение которого в момент t, возможно, зависит от процесса поступления заявок пуассоновского потока, но только до момента t. Тогда в силу отсутствия последействия для пуассоновского потока случайная величина p(t) и поток поступающих после момента t заявок независимы. Поэтому условное распределение '//(/) при условии поступления заявок на временном интервале [t,t + Д), Д > 0 совпадает с безусловным распределением ?/(/). Устремляя Д к 0 и воспользовавшись свойством ординарности пуассоновского потока, получаем, что условное распределение процесса z/(t) в момент t при условии поступления заявки в этот момент совпадает с безусловным. В свою очередь, это приводит нас к следующему свойству, которым мы в дальнейшем будем постоянно пользоваться: распределение характеристик очереди функционирующей в стационарном режиме СМО с пуассоновским входящим потоком в момент поступления заявки в систему совпадает с безусловным распределением этих же характеристик или, как говорят, стационарное распределение ха-Рикгперистик очереди по времени совпадает со стационарным рас-
V- елением по моментам поступления заявок в систему.
1-3. Пуассоновский нестационарный поток если^естацпона1,ный пуассоновский поток получается в том случае,
'Ш отказываемся в определении пуассоновского потока от свой-Вей СТаг(ионаРности и оставляем только свойства отсутствия после-чесго ИЯ И °РДинаРности- Мы будем предполагать, что математи-
°Жидание числа заявок, поступивших на интервале времени 6-2717
82 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ СЩ
[t, t + А), рарно A(t) А + о(Д), где A(t)~ некоторая неотрицатель< функция времени. Тогда А(А) естественно назвать мгновенной тенсивностъю нестационарного пуассоновского потока. Мгнов^ ная интенсивность полностью определяет вероятностные свойсц нес тационарного пуассоновского потока.
Для нестационарного пуассоновского потока число заявок, ц, ступивших на временном интервале [tj, (2), распределено по закЯ
У
Пуассона, с параметром Л = j A(t) dt. Так же, как и для (стационар
I ного) пуассоновского потока, для нестационарного пуассоновское потока А(/) является одновременно мгновенным параметром потоц т.е. A(t) А представляет1 собой с точностью до о(Д) вероятное^ того, что на интервале [t, t + А) поступит хотя бы одна заявка. I
1.4. Пуассоновский неординарный поток
Предположим теперь, что случайный поток обладает толы с войс твами стационарности и отс утствия последействия. Такой п ток называется неординарным пуассоновским потоком.
Для того чтобы выяснить с труктуру неординарного nyac coJ с кого потока, достаточно проанализировать выкладки, которые и провели для (ординарного) пуассоновского потока. Заметим, что гои части расс уждении, где речь шла о моменте первого поступи ния заявки и временах между сос едними поступлениями заявок, и фактически нс- пользовались ординарностью потока. Поэтому в ординарный пуас ооновский поток можно описать следующим обр зом. .Моменты поступления заявок (вызывающие моменты) обр зуют (ординарный) пуассоновский поток, но в каждый вызывл оо
щпи момент с вероятнос тью //,, к > 1, У) И — 1, не зависяшейс
I предыс тории потока, может поступить ровно к заявок.
Параметр у неординарного пуасс оновского потока с овпадает параметром (и интенсивностью) у потока вызывающих моменте* а интенсивность А определяется формулой А — у/, где / = У) 11 /.=1 1 среднее число заявок, пос тупаюгцих в вызывающий момент.
Для неординарного пуассоновского потока при А —> 0 с правь ливо следующее- асимптотичес кос- представление вероятности />*(*' поступления ровно А заявок за время А : I
рА(Д) = А/аД + о(А),
вывод которого вполне- очевиден
83
t Вхожий поток
“ ем вероятность того, что произвольная заявка поступит в
** содержащей к заявок. Для этого заметим, что за время t в >Уппе^ прИдет 7/1 заявок, причем из них в среднем 7 klkt заявок ^еднем группах, содержащих ровно к заявок. Поэтому искомая ^тность равна отношению 7 к lkt к 71t, т.е. равна к 1к/1
1 1 5 Разреживание и суперпозиция пуассоновских по-
|)КОВ
В этом пункте мы рассмотрим две операции, применяя которые ассоновским потокам, мы снова получим пуассоновские потоки. Первая операция носит название разреживания, или просеива-потока. Ее можно описать следующим образом. Пусть каждая •ступающая заявка пуассоновского потока интенсивности А с веро-гностыо о*,, к = 1, т, ak — 1, не зависящей от предыстории ;тока, оказывается заявкой к-го типа. Тогда поток заявок к-го ша будет представлять собой разреженный пуассоновский попит.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1 (разреживание пуассоновского потока). Ножи заявок к-го типа, к = 1,т, являются пуассоновскими. Эти ггоки независимы (в совокупности). Интенсивность к-го потока тиа o-fcA.
Вторая операция, представляющая обратную первой, называйся суперпозицией, или объединением, потоков. Она состоит в том, о поступающие т независимых пуассоновских потоков интенсивней А*,, к = 1, т, объединяются в один общий поток.
Теорема 2 (суперпозиция пуассоновских потоков). Су-'рпознция к независимых пуассоновских потоков интенсивностей I-, к = 1, т, снова является пуассоновским потоком интенсивности
*=i
1-6. Марковский поток
Реальные запросы приложений привели к появлению в последнее емя новых моделей потоков, устроенных более сложно по сравне-0' ^пуассоновским потоком и в определенном смысле обобщающих bcess^ ЧИслУ относится марковский поток заявок (Markov arrival t МАР), с помощью которого удобно описывать потоки за-С7 П°Т< Рянных в некоторой СМО по тем или иным причинам или иных ею, а также суперпозицию этих потоков.
84
Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
Приступим к описанию марковского потока. Пусть, по-цр( нему, число заявок, поступивших в интервале времени [(/ a Tj,T2.... моменты их поступления. Предположим, что иаде| также марковский процесс {£((), t > 0}, определенный на конеХ множестве состояний 1 = {1,2,...,/}. Положим r)(t) = Множество состояний процесса {»/(<), t > 0} представляется в ц U Тк, где Тк = {(i,fc), ® = М}, & > 0- Таким образом. npOft
__
{?;(!), > 0} находится в состоянии (г,к), i = 1,Z, к > 0, ее®
моменту t поступило к заявок, а процесс {{(t), t > 0} в момец-пребывает в состоянии г.
Будем говорить, что поток заявок {vj, у > 1} является* коескилс (по отношению к процессу {{(t), t > 0}), если случай® процесс {//(/), t > 0} является однородным марковским процесц а его м< трица А интенсивностей переходов имеет блочный вид
/Л N 0 0 \
0 Л N 0 •••
А= 0 0 Л N >
V
где Л и N квадратные матрицы порядка I. Заметим, что матр А* = Л + является матрицей интенсивностей переходов Марк <кого процесса {£(1), t > 0}.
Очевидно, что зтементы Х]т матрицы Л при j т зад пнтен<пвности таких переходов процесса {»?(£), t > 0}, которые (вязаны с пос туплением заявок, а элементы п jm матрицы Л - и| сивнос тп переходов, сопровождающиеся поступлением заявок.
Я< но, что если I = 1, Ап = —А и пп = А, то мы имеем обычя
пуа< < оновскии поток.
Если матрица 7V- диагональная, то марковский поток в э1
< лучае называется также пуассоновским потоком, управляемы» пью Маркова (Markov modulated Poisson process—MMPP).
Еще один важный случай марковского потока, часто йеной емыи при расчете моделей телефонных сетей с помощью так на ваемого метода эквивалентных замен и известный как прер№ щийся пуассоновский поток (Interrupted Poisson process—IPP)' дастся матрицей А’ порядка I = 2, у которой отличен от ну-’
(трого положителен лишь один диагональный элемент.
И, наконец, в случае, если матрица N порядка I представлю в виде N — к Г‘, где и и а- некоторые вектор-столбцы поряДк причем <\ является вероятностным вектором, то соответствуй^ марковский поток называется потоком фазового типа (типа г
родящий поток 85
§
Известно, что если {£(£), t > 0}—стационарный марковский сс то порождаемый процессом {y(t), t > 0} марковский поток является стационарным.
Теорема 3. Пусть {£(£), t > 0}—стационарный марковский лесе р—вектор стационарных вероятностей его состояний и =: Арт Тогда соответствующий марковский поток является пу чссоновским потоком интенсивности А.
1.7. Рекуррентный поток
Рекуррентный поток удобно задавать, исходя из первого способа описания случайных потоков.
Поток называется рекуррентным, если времена между поступлениями заявок независимы и одинаково распределены, т.е.
Р{6 < Xi
= P{£1 < » i• PRa- < = Л(хх) • A(a>),
где Л(',;)—ФР времени между соседними поступлениями заявок.
Поток называется рекуррентным с запаздыванием, если времена между поступлениями заявок независимы и одинаково распределены, начиная со второго, т.е.
Р{£1 < Я 1, . . . , < хк} =
= Р{6 < ач}'- Р{& < а*.} = А(.т2) А(хк).
Наконец, поток называется рекуррентным стационарным, или потоком Пальма, если времена между поступлениями заявок независимы и, начиная со второго, одинаково распределены с ФР А(.г), а ФР -Ai(t) имеет вид
X оо
Ai(t) = — J"[l — A(y)]dy, а = J xdA(x).
о о
Рекуррентному, рекуррентному с запаздыванием и рекуррент-н:°му стационарному потокам соответствуют простой, общий и стационарный процессы восстановления.
Пуассоновский поток интенсивности А является частным слу м Рекуррентного потока и характеризуется тем свойством, что Определение А(.г) экспоненциально с параметром А. Кроме того, есоновский поток является также рекуррентным стационарным
86
Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
1.8. Обсуждение z
Как уже говорилось, большая часть результатов в ТМО Чена для систем с пуассоновским или рекуррентным входящими! токами заявок. Скажем в заключение этого параграфа неско! слов о корректности такого описания.
Очевидно, что уже свойство отсутствия последействия в реа ных системах обслуживания в точности выполняется крайне ред поскольку у обладающего таким свойством потока за произволь» промежуток времени может поступить любое число заявок с отд, ной от нуля (хотя, возможно, и очень малой) вероятностью, чт, действительности, естественно, не выполняется. Однако критеда правильности ТМО как прикладной теории является практика,, торая показывает, что описание входящего потока пуассоновски подавляющем числе случаев приемлемо для практических расчет, Существуют и математические аргументы в пользу такого опи ния. Одним из них служит теорема Хинчина [28] и ее обобщи [50, 51], которые говорят, что суперпозиция большого чи< та ”р ких” потоков при весьма слабых ограничениях дает поток, близк к пуассоновскому. Пуассоновский поток можно получить и bi честве предельного из рекуррентного, если используется onepat разреживания рекуррентного потока и при этом вероятность > ждои заявке остаться в потоке стремится к нулю.
Второе свойство пуассоновского потока—стационарно® также может быть подвергнуто сомнению. В самом деле, интенс: ность входящего потока, как правило, зависит от времени сут года и т.п. Один вы?сод из этой ситуации может быть в том, ч если сохранить свойства отсутствия последействия и ординарное то мы получим нестационарный пуассоновский поток Однако,» в ряде1 случаев и удается'разработать математические методы р чета систем с таким входящим потоком, тем не менее получаезс при этом формулы очень громоздки и трудны для практически применения. Поэтому возможен второй выход: при построении? дели ограничиться некоторым временным интервалом, на котор интенсивность входящего потока мало меняется.
Наконец, если заведомо не выполнено только свойство орДИ® ности, то входящий в СМО поток можно описать нсординар® пуассоновским. Большинство результатов, справедливых дл® f тем с пуассоновским входящим потоком,^практически без измен® переносится на системы с неординарным пуассоновским поток®
Необходимость исследования систем с рекуррентным входя® потоком проще всего понять на примере многофазной СМОЛ СМО, в которой заявка последовательно проходит несколько '
87
§ 2 Структур»- системы
жпвания на различных приборах. Тогда, как правило, уже ^одясипй 1 первой фазы и поступающий на вторую фазу поток вЬ1Х пгг пуассоновским. Приближенное описание поступающего на ЯС 0V4e* '
то фазу потока рекуррентным позволяет, с одной стороны, вое-ВТ0 зеваться имеющимися методами расчета систем с рскуррент-П°1Ь входяшим потоком, а с другой повысить точность расчетов 0 сравнению с пуассоновской аппроксимацией.
§ 2. Структура системы
Для задания структуры СМО необходимо перечислить все приборы, имеющиеся в системе, и указать, заявки каких типов может обслуживать каждый прибор. При этом отдельный прибор может обслуживать заявки нескольких типов и, наоборот, заявки одного типа могут обслуживаться несколькими приборами.
В дальнейшем мы в основном ограничимся слу таем, когда в СМО имеется один или несколько одинаковых приборов и каждая заявка может обслуживаться на любом из1 них Системы такого типа называйте я однолинейными (в с'лучнс одного прибора) или много-линейными пдйнодостуиными (при нескольких приборах). Кроме1 того, будем предполагать, что после1 окончания обслуживания за
явка покидает систему и больше в нее нс1 возвращается, т.е. система является однофазной.
Представление о методах расчета многофазных СМО, в которых заявка должна последовательно обслужиться на нес кольких прибо-рах (проити несколько фаз обслуживания), дают < ети массового обслуживания, которые мы опишем в § 7. Простейшим методам расчета СеМО посвящена глава 9.
В с ис темах обслуживания могут быть предусмотрены накопи-иклг/. различной емкости, или места для ожидания, которые1 пре-Достав.тяют возможность заявкам, заставшим в момент своего по-(Тупления в систему вес1 приборы занятыми, ожидать начала об-яужнваиия. Если емкость накопителя бесконечна, то говорят о она СМ<1Х ^>ск°ксчной емкости, или системах с ожиданием, если Я()()/К0НС'1на ° снетешеи: конечной емкости, или системах с ко-ствущИ чигЛом мест ожидания если же накопители вообще отс ут-^орьГТ (Лаявка’ 3d< тавшая в момент поступления в с истему все припру 'Шять1ми: покидает систему и больше в нее не возвращается;
еР обычные телефонные1 сие темы) о системах с потерями.
88 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ Cty
§ 3. Времена обслуживания заявок
Времена обслуживания заявок на приборах также предс тав.^ собой сложный объект для формализованного описания.
Вообще говоря, наряду с непрогнозируемыми случайнЛ флуктуациями могут существовать систематические изменен» времен обслуживания заявок с течением календарного времени, I висимость времен обслуживания от процессов поступления и o6q живания других заявок и т.д.
Однако обычно предполагается, что времена обслуживав всех заявок суть независимые между собой и от всех протека 1цих в системе процессов одинаково распределенные случайные» личины. В этом случае по аналогии с рекуррентным потоком I ворят о рекуррентном обслуживании. Тогда время обслуживав любой заявки характеризуется лишь одной ФР, которую мы буде обозначать через В(х).
Если в СМО поступают заявки нескольких типов, то распред ление времени обслуживания может зависеть от типа заявки. |
§ 4. Дисциплина обслуживания I
Как уже говорилось, дисциплина обслуживания заключаете правиле постановки заявок в очередь и порядке их выбора из оче реди на обслуживание, распределении приборов между заявками, в многофазных системах -и между фазами обслуживания.
В основном мы будем предполагать (и это разумно при перво знакомстве с ТМО), что в системе реализована естественная диск плина обслуживания заявок в порядке поступления (first come fit' served FCFS). В многолинейных системах, в которых организуй1 общая очередь ко всем приборам, находящаяся в очереди первой ® явка поступает на .любой освободившийся прибор.
Тем не менее в СМО могут быть использованы и более сложи® дисциплины обслуживания. Простейшими примерами таких Д111 циплин являются: инверсионный порядок обслуживания (last сои first served -LCFS), при котором первой обслуживается заявка,» ступившая в систему последней, случайный выбор на обслужив^-(RANDOM), когда при наличии в системе п заявок на прибор с вер ятностью 1/п поступает любая из них, .и дисциплина равном* разделения прибора (processor sharing PS), при которой каждая1 п находящихся в системе заявок обслуживается с одинаковом о® р остью 1/п.
89
Показатели производительности СМО
Иногда в момент поступления заявки в систему становится из-ным время ее обслуживания (работа, которую предстоит совер-ве< , Тогда можно использовать дисциплины, зависящие от оста-ШИ виемен обслуживания заявок. В частности, дисциплина об-
/л гния первой заявки с минимальным остаточным временем ^бслуживания (shortest remaining processing time—-SRPT) позволяет получить минимальную длину очереди в любой момент времени.
Применение сложных дисциплин обслуживания очень часто позволяет существенно улучшить показатели производительности СМО.
Особый класс СМО представляют собой приоритетные системы, в которые поступают потоки заявок нескольких приоритетов, причем заявки более высоких приоритетов имеют преимущество перед заявками более низких приоритетов, т.е. обслуживаются раньше. Приорит еты могут быть относительными, когда заявки более высокого приоритета не прерывают обслуживания находящихся на приборах заявок более низких приоритетов, и абсолютными, когда такое прерывание происходит. В случае абсолютных приоритетов также возможны различные модификации: недообслу-женные заявки с прерванным обслуживанием покидают систему (системы с выбиванием), продолжают обслуживаться после того, как все заявки более высоких приоритетов покинут систему (системы с дообслуживанием), обслуживаются заново и т.д.
К дисциплинам обслуживания следует отнести и такие факторы, как разогрев прибора перед началом обслуживания очередной заявки или после того, как в свободную -систему поступила заявка. переключение прибора на обслуживание заявки другого типа, обслуживание заявок ненадежным прибором, отключение прибора на случайное время после опустошения системы или после окончания обслуживания определенного числа заявок и т.п.
Наконец, может быть ограничено время пребывания заявки в С11( геМе или время ожидания начала ее обслуживания.
в этом перечисление дисциплин обслуживания мы заканчи ' 1 хотя читатель без труда сам может привести еще много при-f Ров других ДИСЦИПЛИН.
§ 5. Показатели производительности СМО
К)т и ПИГаем теПеРь те характеристики СМО, которые представля-Рйстик!! е<? 'ДЛЯ пользователя- Мы будем называть эти характе-п°казателями производительности системы. Иногда на
90 Гл. 2 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ СЦ
практике их называют вероятностно-временны,ми тарант t рис,! ками обслуживания.
Наиболее важными характеристиками обслуживания являй! длина очереди (т.п. число ожидающих начала обслуживания зздЛ и время ожидания начала обслуживания, заявки. Поскольку и очереди, и время ожидания начала обслуживания величины ( чайные, то они характеризуются своими распределениями. КрЯ того, распределения длины очереди и времени ожидания начала о,, елуживания зависят от текущего момента времени. Иногда налК с длиной очереди рассматривают общее число заявок в системе, наряду с временем ожидания начала обслуживания общее врщ пребывания заявки в системе.
В* системах с потерями или накопителями конечной емкое к важнейшим характеристикам относится также вероятность j тори заявки
В системах конечной емкости, а также в системах бес конечц емкое ти при вес ьма слабых ограничениях на исходные' парамД < истомы с течением времени устанавливаете я стационарные ре.жч ее функционирования, определяемый постоянством во времени вер ятностных характеристик СМО. Именно нахождению стационарии характеристик посвящено большинство работ в ТМО, хотя и нест< ционарные характерце тики исследованы достаточно подробно, настоящей книге1 мы также в основном ограничимся изучением ст ционарных характерцетик.
Наряду с вышеперечисленными в некоторых работах расе» трены другие1 показатели производительности, например, числа» служенных и потерянных за определенный промежуток временит явок, времена, проведенные1 системой в свободном и занятом гост яниях, время до первой потери заявки и т.д.
§ 6. Классификация СМО
6.1. Классификация Кендалла
Как мы видели, класс реально существующих СМО весьма Р нообразен. Для*гого чтобы нс1 описывать каждый раз основ® компоненты СМО, Кендалл предложил классификацию простей® однофазных систем.
Классификация Кендалла состоит из четырех позиции, при на первых двух обычно с тоят буквы или комбинации букв М- ® (или НМ), НЕ, PH, D или G (иногда пишут GI), а на двух о<'« ных цифры
91
f 6 Классификация СМО
К ква или комбинация букв на первом месте характеризует вхо-“поток заявок. Буква М означает, что входящий поток пуассо-g—зрланговский (т.е. рекуррентный, у которого времена Н° v поступлениями заявок распределены по закону Эрланга), Н -гиперэкспоненциальный (времена между поступлениями И ют гиперэкспоненциальную ФР), НЕ—гиперэрланговский (вре-н^на между поступлениями заявок распределены-по гиперэрлангов-скому закону), PH—фазового типа (времена между поступлениями имеют PH-распределение), D— детерминированный и G —общий ре-уррентный (часто в случае рекуррентного потока пишут GI, а буква G означает произвольный стационарный поток). Иногда сим-
волы Е и Н сопровождают индексами, указывающими значения целочисленных параметров соответствующих распределений, например Е( или Н(. В последнее время изучаются также СМР с марковским входящим потоком, который в классификации Кендалла обозначается буквами МАР на первом месте.
Буква или комбинация букв на втором месте характеризует распределение времени обслуживания заявки, Буква М означает, что время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, Е по закону Эрланга, Н (или НМ)—по гиперэкспоненциальному закону, НЕ по гиперэрланговскому закону, PH время обслуживания имеет PH-распределение, D—время обслуживания постоянно и G—имеет место рекуррентное обслуживание (здесь также следует сделать замечание, что часто в случае рекуррентного обслуживания используют обозначение GI, оставляя букву G для того случая, когда времена обслуживания могут зависеть между собой и даже от входящего потока).
Цифра на третьем месте показывает число обслуживающих приборов.
Цифра на четвертом месте задает емкость накопителя.
Например, запись М/М/1/оо кодирует однолинейную систему с накопителем бесконечной емкости (ожиданием), пуассоновским входящим потоком заявок и экспоненциальным распределением времени 0 служивания заявки, запись G/G/n/0 n-линейную систему с потерями, рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием.
6-2. Марковские модели
р
б '1\И В кла<(И<1>ик;щии Кендалла на первых двух местах стоят 0Тн“ PH, а также МАР на первом месте, то СМО
отличи СЯ К ТаК называемым марковским системам,. Характерным ем марковских систем является то, что их функционирование
92 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ CIUq
может быть описано марковским процессом с непрерывным fcpej* нем и дискретным множеством состояний, а иногда даже процесс! размножения и гибели. Это позволяет использовать для их изучен», хорошо разработанные математические методы (см. § 1.4). Марко» ские модели будут рассмотрены в главах 3 и 4 настоящей книги.
В случае, когда процесс поступления заявок (одного или L скольких типов) в систему является пуассоновским, а времена » обслуживания характеризуются экспоненциальными распределен» ями, СМО часто называют экспоненциальной.
6.3. Другие классификации
Для более сложных систем можно использовать другие класс», фикации, однако ни одна из существующих классификации, крои, классификации Кендалла, не является общепринятой.
Большая часть классификаций представляет собой модпфик» нии классификации Кендалла, позволяющие включать в нее какие то дополнительные типы систем: приоритетные, многофазные и т.н Мы не станем останавливаться на этом, хотя в дальнейшем иногдг будем пользоваться модифицированными обозначениями Кендалла поясняя их смысл по ходу изложения.
Пример классификации, построенной на несколько отличном о: классификации Кендалла принципе, можно найти в [9].
§ 7. Сети массового обслуживания
Простейший пример сети массового обслуживания представляет с обои многофазная СМО.
Характерной ос обенностью СеМО является то, что она состоя! из нескольких СМО {узлов обслуживания), и поступающая в СеМО или постоянно циркулирующая в ней заявка должна пройти обсл] живание в некоторых из них, а, может, во всех и даже по несколь® раз. Для простоты изложения мы ограничимся случаем, когда вс заявки, обслуживаемые в СеМО, принадлежат к одному типу иля иначе' говоря, являются однотипными.
Различают замкнутые и открытые СеМО.
В замкнутых сетях циркулируют одни и те же заявки, переход* щие из узла в узел в соответствии с определенным вероятностна законом. Чаще всего предполагают, что переходы из узла в Узе' управляются некоторой стохастической матрицей, элементы ксР рой не зависят от предыстории процесса, описывающего функВ®е пирование сети до момента перехода заявки. Новые заявки в э811 кнутую СеМО не поступают, равно как находящиеся в сети заяв® не покидают ее.
93
§ g Свойства распределений
В открытую СеМО эаявки.поступают из вне и, пройдя опреде-й цикл обслуживания, покидают ее. Как и в случае замкнутой МО передвижения заявок из узла в узел управляются матрицей ятцостей переходов, но, в отличие от замкнутой сети, являются полустохастической.
Если распределения, описывающие времена обслуживания в сети являются экспоненциальными, а в открытой сети, кроме того, входящие потоки пуассоновские, то такую сеть (открытую или замкнутую) называют экспоненциальной СеМО.
§ 8. Свойства распределений для некоторых типов рекуррентных входящего потока и обслуживания
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые типы распределений, используемых при описании СМО в соответствии с классификацией Кендалла. Эти распределения характеризуются тем, что, с одной стороны, достаточно хорошо аппроксимируют параметры реальных объектов моделирования, а с другой—в большинстве случаев позволяют упростить методы исследования самих СМО.
8.1. Частные случаи рекуррентного потока’
В соответствии с определением (см. § 1) рекуррентный поток характеризуется лишь одной ФР А(х) интервала между поступлениями двух соседних заявок, который мы в дальнейшем будем обозначать через £.
Регулярный, или детерминированный, поток (D). В этом случае заявки поступают через постоянное время и, следовательно,
если х < а,
' ' 1.1, если х > а.
ПЛС a(s) ФР А(х) имеет вид
dA(x) = e
a(s) = J e~sx
о
^етРУДно видеть, что М£ = а, М£к = ак, к > 1, и Щ = 0. Вводя ^еперь коэффициент вариации случайной величины £, определяемый С =
, получаем, что для детерминированного потока ^4=0.
nv Пуассоновский поток (М). Как мы уже указывали выше, для У ссоновского потока
Л(х) = 1 — е~Хх, х > 0,
94
Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
т.е интервалы между поступлениями заявок имеют экспоненци^ ное распределение с параметром А, 0 < А < оо (здесь и далее дл«С( крещения записи будем определять ФР неотрицательной случайц величины лишь для положительных значений ее аргумента, имея виду, что для остальных значений аргумента ФР равна нулю), д, ПЛС ФР Л (ж) имеем формулу
a(s) = ----.
v ' A + s
При | s| < А ПЛС a(s) можно разложить в степенной ряд
°° к
к—О
От< юда и из свойств ПЛС следует, что
ь|
= —, к>1,
Аи п < роднее время между поступлением соседних заявок равно ме = | • л
Поэтому А = 1/М£ имеет смысл среднего числа заявок, поступи щпх в < диницу времени, которое, в свою очередь, является не че иным, как интенсивностью пуассоновского потока. Дисперсия определяете я формулой
D«=T' I
и, следовательно, коэффициент вариации для пуассоновского пот» равен единице, т.е. Сд = 1.
Гипврэксмоненг1иальный поток (НМ или Н). Для данного в тока ФР Л(т) является гиперзкепоненциальной:
е
где >0, £ аг = 1 и 0 < А, < оо, i = 1,I, т.е. А(.т) представ 1=1
< обои сме< ь < весами аг экспоненциальных т параметрами А, Р8' пределении. Используя свойства экспоненциальной ФР, полу*» что
al
Свойства распределений
i
95
М^ = ЕГ’ D£ = 2£g-(M£)2, l=i Л' i=i 1
коэффициента вариации Сд имеет место неравенство Сд > 1, а вращающееся в строгое равенство только при I = 1. Доказательство этого неравенства мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
Эрланговский поток (Е). В этом случае Л(.т) является эрланговскоп ФР с параметрами I и А, которая обычно задается своей плотностью распределения
е~Хх
V' (/-1)!
где 0 < А < сю, а / положительное целое число. В дальнейшем для эрланговскоп ФР мы иногда будем использовать обозначение Е/ (г). ПЛС ФР А(х) имеет следующий вид:
ПЛС a(s) при |.s| < А представимо в виде ряда
Afc
DC='i
fc=O
Отсюда получаем, что
ме=1 Me={l+k.;1)k А Лк
Коэффициент вариации для эрланговского потока равен С'Л =1/\/1-
Иногда эрланговское распределение задаете я параметрами / и = А//. В этом случае при I —> сю и фиксированном А'
А 6 1Л /->ОС'
Таким образом, эрланговское распределение при различных I = Г И2,... определяет целый класс потоков, включающий в < ебя при ~ 1 пуассоновский поток, а в качестве предельного при I —> сю
рТеРМинированный ПОТОК. г*- »
Мус Обращаясь еще раз к коэффициенту вариации потока, являюще 'П(>Я ° опРеДеленном смысле показателем его случайнос ти, видим, ( Для рассмотренных потоков справедливы следующие' неравен
п _ z~*D s-th' z~*M _ л z~*//
и Ъ с д S Ьд — 1 S Ьд -
96 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
Позволяя себе некоторую вольность речи, можно сказать, что I больше коэффициент вариации потока, тем ’’более случаен” п<уг. С этой точки зрения гиперэкспоненциальный поток является а,ц* ори самым плохим из представленных выше потоков. Исследова^ и численные расчеты для конкретных СМО показывают, что, ц. правило, гиперэкспоненциальный поток дает наихудшие значец. показателей производительности СМО, в то время как детермЯ рованный поток, для которого коэффициент вариации минимум дает в основном лучшие результаты по сравнению с другими пот, ками.
Гиперэрлангоеский поток (НЕ). Для данного потока ФР 4/. является гиперэрланговской
I
А(х) = У^о;Ь\(а;),
г=1
__ 1
где а, >0, )>) Ф = 1, а Е’/Дх), г — 1,1,—ФР Эрланга с парад i=i
трами /, и Л,. Так же, как и гиперэкспоненциальное, гипсрэрла! гопскос распределение представляет собой смесь с весами <>,, но г экспоненциальных, а эрланговских распределений. Используя сво, ства эрланговской ФР, получаем, что I
»« = £» (уут)'''
1=1
= = к>1. I
А, А
!=1 ’ 1=1 I
Для гиперэрланговского потока коэффициент вариации (Дл моЖс принимать любые значения 0 < С Д' < оо. I
Отметим, что гиперэрланговским распределением с любой tf1 пенью точности можно приблизить (в смысле слабой сходимоС1 ФР) любое распределение А(.т). Это следует из того, что, как^ видели, эрланговским распределением можно аппроксимировать ? терминированное распределение, а, значит, смесью эрланговс® ФР любую ступенчатую ФР, имеющую конечное число скачк11 Но ступенчатыми ФР, в свою очередь, можно приблизить лю^ распределение А(х).
8.2. Некоторые распределения времени обслуживай^
Согласно сделанному выше описанию СМО вероятностной • рактеристикой времени обслуживания является его ФР, ь.отор!
, g Свойства распределений . 97
„.давились обозначать через В(ж). Соответствующее ей ПЛС '^значим через /3(s), а саму случайную величину длительность об< дуживанпя чере3 71' Наиболее часто используемые в ТМО типы фр времени обслуживания совпадают с рассмотренными выше распределениями для рекуррентного потока.
При
п, \ ГО, если х < Ь, Щх) = 1 , Г .
I I, если х > Ь,
„бслумиваниС является детерминированным (D). Тогда /3(s) = e~sb Mr/ = b. Dr; = 0 и С// = 0.
При экс понснциальном распределении
В(.г) = 1 - с-'11, х > 0, 0 < /г < оо,
говорят об экспоненциальном. обслуживании, которое по аналогии с пуассоновским потоком, обозначают символом М. В этом случае /Де) = м/(/х + *)- М//=1/р, D?/ = 1/р2 и = 1.
Е< та
П7
В(г) = £2/^(1ж > 0, (!)
У=1
т
где dj >0, l^j — 1 11 0 < р} < оо, j = l,m, то обслуживание 3 = 1
называется гиперэкспоненциальным. (НМ или Н). В этом случае
3=1 3=1 СЗ ?=1 /‘j
<1 для коэффициента вариации С'^ выполняется неравенство С{/ > 1 Е< ди фр В( г ) эрланговская, т.е.
Г 1/ . ,.7п^.т,— 1
= = ж>0, m = l,2,..., о<р<то, (2)
обзлунзиванш также называют эрланговским (Е). Тогда
\р + sJ
Мт/ = -
/1
И. наконец, если
т D '/ = ,
/г2
Е
В
(3)
пг
3=1
98 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ Cjjf
где Щ > 0, £ Щ = 1, а Emj (х), j = Т~^, ФР Эрланга с J }=1
метрами и //^, то обслуживание называется гиперзрланговцд (НЕ). В этом случае
3=1 4b+s/ J=1 Mj
8.3. Распределения фазового типа
В этом пункте мы остановимся подробно на свои< твах распре лений фазового типа. Фактически выше мы уже имели дело с пр ставителями этого класса распределении, такими как эрланговсв гиперэкспоненциальное и гиперэрланговское распределения, и I смотрели некоторые их свойства. Здесь мы намерсвасмс я т.ю® другое видение этих распределений, исходя из их вероятностной» терпретации, основанной на понятии фиктивных фаз. Однако I этого пункта несколько шире и предполагает введение и об( уждн свойств наиболее общего представителя класса распределении фа-вого типа—PH-распределения, включая его вероятностную фазов интерпретацию. Естественно, PH-распределение может описыв как входящий рекуррентный поток заявок, так и времена пх обе живания. В этом случае мы будем говорить о потоке и/или врет обслуживания фазового типа.
Идея введения фиктивных фаз принадлежит А.К.Эрлангу, ки рый использовал их для марковизации эрланговского рае предел» По своей сущности эта очень простая идея тесно связана с понят СМО или, точнее говоря, ее определяющих параметров.
Поясним сказанное на простых примерах. Рассмотрим обе живающий прибор и пусть В(х) ФР времени обслуживания поб пающей на него заявки. Предположим, что В(ж) эрланговска! вида (2) с параметрами ц и т. Тогда, согласно (3). ПЛС p(sH В(х) можно трактовать как ПЛС суммы т независимых вел» каждая иэ которых распределена экспоненциально с параметрон Следовательно, процесс обслуживания мы можем разбить на « ставляющих или, как принято говорить, фаз, которые заявка nF дит последовательно одна за другой. При этом времена прохс* ния фаз будут независимы между собой и распределены экс1Ж циально с параметром д. Сам процесс обслуживания заявки Д0’ изобразить в виде схемы, приведенной на рис. 1. Здесь оваг обозначены фазы обслуживания, которые заявка должна проИ приборе. Заявка, поступив на прибор, проходит последовали все т фаз, начиная с фазы 1. Ясно, что в любой момент вР01
99
g Свойство распределений
„ , может находиться не более одной заявки. Это означает,
на ПР1'1 фазами нет накопителей. Кроме того, заявка не может что М Л' ЛНОВременно две или более фазы обслуживания.
зайПИ-ИЬ од
Рис. 1
Рассмотрим теперь другой случаи, когда время обслуживания имеет гиперэкспоненциальное распределение, т.е. распределение, определяемое формулой (1). Само выражение для ФР наводит На мысль, что зде<ь также можно выделить фазы обслуживания, и это получаете я с ледующим образом: в момент начала обслуживания заявка с вероятностью f3j направляется на фазу J, где обслуживается случайное время, имеющее экспоненциальное с параметром /у распределение, и после этого процесс- обслуживания считается завершенным. Если изобразить схематично процесс обслуживания заявки (рис 2), то в данном случае фазы имеют параллельное расположение из которых проходится только одна. На стрелках, входящих в овалы (фазы обслуживания), указана вероятность поступления заявки на данную фазу. Так как на приборе может находиться не более одной заявки, то это означает, что одновременно может быть занято не более одной фазы. Итак, гиперэкспоненциальное распределение так же, как и эрланговское, допускает фазовую интерпретацию, и в этом смысле оба они являются распределениями фазового типа (строгое определение этого типа распределении мы дадим ниже) ' 1
Остановимся еще на нескольких свойствах гиперэкспоненциаль-011 г Покажем, что ФР вида (1) может быть представлена в виде
B(.r) = 1 - Д ’ еМх 1, х > 0, (4)
Хгон = ’' ’ ’ вектор-строка и М = diag(-p,,.. ., -рт)
альная матрица. Действительно,
7*
= diag(e ЦтХ).
100 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ К.
ft г—)
---~—П Р1 I-----~
ft , ГТ~|_____.______
I ^-7 ]
Рт ГТ—I " ( Р'п)
Рис. 2
Тогда
В(х) = 1 - Щ еМг Г = 1 - е~^х = Д (1 - е~^х). 7 = 1 7=1
Таким образом, из (4) следует (1). Очевидно, что справедлив! обратное, т.е. из (1) вытекает (4).
Далее положим р = —М1 и найдем теперь матричное пр ставленис ПЛС fts) гиперэкспоненциальной ФР, исходя из фор лы (4):
оо ОС
да = /е-»авМ = -/е-Д;е-м^ = I о о
оо
= Дт У e~(s/~M):r dx Р = /Г (si - М)~'р.
В Значит, для гиперэкспоненциальной ФР ее ПЛС представляет* виде
0(s)=0'(sI-M)-'p.
Заметим, что при доказательстве формулы (5) для обо£® ния обратимости матрицы si — М используется из свойств В экспоненты лишь тот факт, что диагональные элементы ма1т М строго отрицательны. Очевидно, что некоторая ФР вид® 1 вероятностным вектором Д и матрицей М, собственные чив торой имеют строго отрицательные действительные части, г имеет ПЛС вида (5).
101
5 СеОйстпва распределений
сЯ теперь к распределению Эрланга. Можно показать, пЧС ФР Б(х), имеющее вид (5), также представляется в форме ЧТ^ П1-' д г
, пчять вектор р размерности т и квадратную матрицу М (3) если 1оря^ твида
о р -р
/-М о
о
о о о
о о о
о о
р
р
-р о
о
М =
(6)
о
\ О
о о
о о
о о
\°/
-р о
р
-р
Справедливо и обратное, т.е. ПЛС (3) представимо в виде (5) с вектором fi и матрицей М, определяемыми согласно (6). Доказательство этого факта мы предоставляем читателю. Вспоминая теперь замечание к формуле (5), можно утверждать, что эрланговская ФР также представляется в матричной форме (4) с вектором /3 и матрицей М вида (6).
Резюмируя изложенное выше, приходим к тому, что:
эрланговское и гиперэкспоненциальное распределения отражают некоторый процесс обслуживания с фиктивными фазами;
их ФР представляются в матричном виде (4);
ПЛС этих распределений представляются в матричном виде (5).
Напрашивается вывод: нельзя ли придумать более общую ФР вида (4) и соответствующую ей схему обслуживания с фиктивными фазами, включающую в себя не только последовательное или параллельное обслуживание? Оказывается, можно. Такую общую схему обслуживания с фиктивными фазами дает PH-распределение, введенное М.Ньютсом. Ниже мы в сжатой форме изложим основные понятия и результаты для РН-распределений.
ФР F\x) неотрицательной случайной величины называется рас-Ре елением фазового типа, или PH-распределением, если она пред-(тавима в виде
Г(х) = 1 _ peGx 1, х > 0, (7)
где f — т
J вектор размерности т, для которого < 1, fj > 0, 1 ~ 1— 7=1
g ! а (_т квадратная матрица порядка т со свойствами: J=i J ~ >0, г j; Glt < 0, i,j = 1,т, и, по крайней
’ Для одного i GtJ < 0. Пара (f,G) называется РН-пред-
j=i
102 , Гл 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ СЩ
ставлением порядка т ФР F(x). Ниже часто мы будем просто г0В( рить о PH-представлении, понимая под этим пару (/. G) где веКТ(. / и матрица G обладает свойствами, указанными выше Дале е, цЖ жим д = -G1 PH-представление (f,G) называется неприе офщц, если /о = 1 — /т 1 1 и матрица
A = G+--^gr ((
I - Jo неразложима.
ФР типа PH допускают вероятностную интерпретацию, й( йользутощую концепцию фаз. Остановимся на этом более по дроби
Пусть щ,. ., I'm некоторые действительные числа, v, > ~Q ! — l,m, а числа г,у = 1,т, определяются по формуле
если г = J, если г у= j.
Тогда 52 Щ < 1, > 0, г-3 — 3,т.
/=,
Рас смотрим теперь открытую СеМО, состоящую из т узле (рис 3), в которой в каждый момент времени находится не бог одной заявки, т с-, при наличии в сети заявки входящий в сеть пси» блокируете я. Поступившая заявка с вероятнос тью /, направляете, _____________ HI I узел г, г = 1,»«, и с дополнительной вероятностью /0 = 1— 52 ZcMi
Ч J ~ 1 |
ну я вес- узлы, сразу же поквдает сеть. Время обслуживания заяя в узле г распределено экспоненциально с параметром иг. ПокиЕ' узел с. заявка с- вероятностью 0г; направляется в узел j, j =1,W, m
с. дополнительной вероятностью = 1 — 52 уходит из сети.
з J=1
Рассмотрим процесс- обслуживания некоторое! заявки, пост пившей в Сеть, когда она была пуста. Обозначим через т 41 пребывания заявки в сети, т е время, начинающееся с момент»* стз-пления заявки в сеть и заканчивающееся в момент се выхода с ети Пус ть //(/) номер узла, в котором заявка находите я в мой* времени t. Случайный процесс {»/(!), t Е [0, г)}, определенный л1* для моментов времени, лежащих в интервале [0, г), является o6f* вающимс я однородным марковским процессом, а матрица G Я матрицей пнтенс пвностеи переходов. При этом
q еслпг=7;
если г J.
Свойства распределений
103
Рис. 3
Пусть рг} (t)- вероятность перехода заявки из узла г в узел j за время [0, t) при условии, что заявка, поступившая в сеть в начальный момент 0, направлена в узел г. Матрица переходных вероятностей P(i) = (Р^(^))г,^=Т^Г Удовлетворяет системе прямых дифференциальных уравнений Колмогорова
±P(t) = P(t)G
с начальным условием Р(0) = I, решение которой определяется формулой
P(t) = eGt.
Отсюда получаем, что
Р{Г < = ! - Е Е = 1 - Г РИ 1 = 1- / Г I-г=1 j = l
есть ФР момента т обрыва процесса
0^ . го то же самое, времени пребывания заявки в сети.
Ланг ВИДНО, что гиперэкспоненциальное, эрланговское и гиперэр-РЦ. РаспРеделения при такой вероятностной интерпретации
Распределения являются его частными случаями.
Чости Pit Также Дать вероятностную интерпретацию неразложи-
представления. Для этого положим f, = Л/(1 — /о),
Следовательно f 6 [0, г)} или ,
104
Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ Cty(
г = 1,т, и рассмотрим замкнутую СеМО, изображенную,, рис. 4, в которой циркулирует ровно одна заявка и которая в о< ном аналогична рассмотренной ранее открытой сети за тем исключением, что здесь вводится дополнительный узел с номеЖ 0, куда заявка уходит из сети и откуда тут же возвращаете я в При этом заявка, попав с вероятностью 0го из узла г. г ~ узел 0, мгновенно проходит этот узел и направляется снова в Соо. ветс твии с распределением {/7, ] — 1, m} в один из узлов с номеД 1,2,..., т. Тогда неприводимость PH-представления означг ет, чт при обслуживании одной заявки в замкнутой сети она мо,кет ц пасть из любого узла i в любой другой узел J, ] г, i,j = l.m.
Если задано PH-представление ФР типа PH и оно неприводим то < помощью вектора / и матрицы G можно получить в< е осн" ные характеристики этой ФР. В частности, для ПЛС функй распределения F(x), принимая во внимание тот факт, что Д-яЯ® приводимого РН-представления матрица G не вырождена, имев
= /о + Г - G)~lg = 1 - sf т (si - G)"1 i* ' а для моментов ФР F(x) справедливы формулы
Мт* = (-l)fcfc!/rG~fel, к = 1,2,.. . (
105
Свойства распределений
с '
ТПМ, что первое выражение для <д(в) в (9) при /0 = 0 мы тнчески обосновали при выводе формулы (5) с учетом сде-'*ftToKTaM замечания
’1йНН0с.тавляя теперь в стороне ряд известных фактов для PH-рас п-нпй [39, 7, 64], остановимся лишь на тех результатах, которые 6 -ются для доказательства утверждений главы 4, а также на
П<ЛУ .mav важных для уяснения с ущнос ти PH-распределений и при-бпетенпя навыков работы с ними.
0 Для удобства изложения будем в дальнейшем, следуя [79], на-ывать матрицу G устойчивой, если для всех ее собственных чисел Д выполнено условие ИеАг < 0, и полуустойчиввй-если ReAt < 0. Известно, что если PH-представление неприводимо, то все собственные чис ла матрицы G имеют строго отрицательные действительные части и, следовательно, матрица G является ус тойчивой.
Заметим также, что PH-представления являются ммтрично-эыпожнциалъными представлениями в смысле (1.6 1) для ФР с дробно-рациональными ПЛС.
Прежде чем сформулировать другие результаты, относящиеся к PH-распределениям, приведем две вс помогательные леммы ([7, 77]).
Лемма 1. Если матрица G устойчива, а матрица L полуустои-чива, то
У (eGf ® e£t)eft = -(G ©£)-'.
О
Здесь символ ® означает кронекерово произведение' матриц, а символ ф- кронекерову сумму (определения этих операции и их ос -новные свойства приведены в § 1.7).
Лемма 2. Если матрица N имеет вид
N = Q + CB, (11)
Q -квадратная невырожденная матрица порядка ш, В и С Аиольные матрицы, порядки которых равны п X m и m х п ветственно, а матрица Ф. определяемая как
Ф = 1 + ВСГ1С, (12)
ыроддена, то матрица существует и представимч в виде
N~y =Q-1(I-C^~lBQ~l). (13)
►аясноХиеМСЯ ТепеРь к свойствам PH-распределений и, ввиду их *'1.Ми ’ изложим приводимые ниже результаты с докаэатепьст-
106 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ сщ
Лемма 3. Пусть (f-G)—неприводимое РН-представленце F(x) фазового типа, fт 1 = 1, g = -G1 и квадратная матрицI полуустойчива. Тогда
I eHt dF(t) = I-(I® Г)(Н Ф G)-1(H ® 1) = i
= 4l®r)(H(SG)-1(I®g) =
= 1- (f '' ® I) (G бЭ Я)"1 (1 ® H) = -(/1 ® I) (G Ф Я)"1 [g ® I).
Доказательство. Используя лемму 1, получаем
ОО /-(/®/,)(ЯфС)-1(Я®1) = /+(/®7’г)У(eHf®eG,)dl (Я®1) = о
= I + Jr eGt 1 dem = J eHt dF(t) = JeHt f ‘ eGt gdt J l| 0 oo
= (/®fT) I (еш®ес‘)Л(1®5) = -(1®7т)(НфС)-1(/Л . о
Аналогичным образом доказываются два других равенства, j
Лемма 4. Пусть (f,G)—неприводимое РН-представпсние Ф F(.r) фазового типа, /т 1 = 1, <p(s)—ПЛС ФР Ffx), а п х п-матр® Н полуустойчива и имеет собственные числа 71,72! >7и-
матрица
$ = 7-(7®f-')(H®G)-1(F®l)
нс вырождена тогда и только тогда, когда 0 для всех!'
Доказательство. В соответствии с леммой 3
ОО
Ф = У eHI dF(t) = <p(-H). о
Следовательно, собственные числа матрицы Ф равны у’('7 г = 1,п, [88], что и завершает доказательство леммы.
g Свойства распределений • 107
Лемма 5. Пусть (f, G)—неприводимое PH-представление по-m фР F(x) фазового типа, fт 1 = 1, <p(s) —ПЛС ФР Р(х) и ?гг^квадратная полуустойчивая матрица порядка и с собственными делами 71,72Т"- Тогда пт х пт-матрица
не вырождена тогда и только тогда, когда у>(-7,) / 0 для цсех у,.
Доказательство. Перепишем матрицу G в виде
С = НфС-(Я®1)(/®/т).
Используя равенство [80]
det(Q + СВ) = det Qdet (/ + В Q-1C),
(15)
получим
det G = det (Я ф G) det [/ - (/ ® fT)(H ® G)-1 (Н ® 1)].
Так как матрица G устойчива, а матрица Н полуустойчива, то матрица H:G также устойчива и, в частности, не вырождена. Таким образом, необходимым и достаточным условием невырожденности матрицы G является невырожденность матрицы
Ф = I - (/ ® /Г)(Я ф С)-1(Я ® 1).
Утверждение леммы 5 теперь вытекает очевидным образом из леммы 4. что и требовалось доказать.
Заметим, что ПЛС y'(.s) неотрицательной случайной величины не имеет нулей в правой полуплоскости. На этом основании из предыдущей леммы вытекает следующий результат.
Лемма 6. Пусть (f, G)- неприводимое РН-представленнс ФР Т(х) фазового типа, fT 1 = 1, и матрица Н имеет только депстви-тельные неположительные собственные числа. Тогда матрица
G = H®(I-If')+IGG
Вс вырождена.
прткт₽ИВе'£'СМ С'Ще один Результат, имеющий важное значение для /1чсских расчетов, связанных с обращением матриц, рассматриваемого в лемме 5 типа.
„ ^емма 7. Пусть (J, G) и (f, Я) —неприводимые' РН-пред< тав-' НЙЯ /71/ А г / \
г (ж,) и L(x) фазового типа, / 1 1 = 1 и матрица G =
= Я®(7- lfT) + / ® G не вырождена. Тогда матрица G 1 Mo^J быть представлена в виде
G"1 =(Я©С)-1[/Ф(Я®1)Ф-1(/С5/т)(Я(|)С)-1], (16
где матрица Ф определяется формулой (14).
Доказательство леммы вытекает из лемм 2, 4 и форму гы (14)
Рассмотрим теперь ФР F(x) вида (7), в которой сняты огр<1Н|1 чення fj > 0, j = Тёт. ФР такого типа будем обозначать симвоюм QPH (quasi-PH). а пару (f,G) называть QPH-npedcmaeacHut м. 1
Далее заметим, что при доказательстве лемм 3 6 мы нигде j, использовали условие f7 > 0. Это замечание дает основание сфер мулировать следующий результат.
Лемма 8. Пусть (J, G) QPH-представление QPH-pat предан-ния F(x), где f '' 1 = 1 и G устойчивая матрица, tp(s) ПЛС Ф/ F(x) и Н квадратная полуустойчивая матрица с coot твениымц зд слами {7г}- Тогда матрица
G ~ Я ® (1 — 1 f т) + / ® G
не вырождена тогда и только тогда, когда у?(—7,) ё 0 для всех'),
Глава 3
простейшие МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
Изучение СМО мы начнем с рассмотрения простейших марков-ских моделей. Как уже говорилось, марковские СМО характеризуются тем свойством, что их функционирование может быть описано марковским процессом с непрерывным временем и дискретным (конечным или счетным) множеством состояний, что позволяет для исследования применять хорошо разработанный и относительно простой математический аппарат.
Достаточным условием марковости СМО является пуассоно-вость входящего потока заявок и зкспоненциальность распределения времени обслуживания каждой заявки; именно это мы и будем предполагать выполненным в первых четырех параграфах настоящей главы (напомним, что такие модели называются также экспоненциальными). Как мы увидим, такое предположение приводит не только к марковским процессам с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, но даже к ПРГ, для которых, как нам известно из § 1.5, стационарные вероятности состояний выписываются совсем просто.
В последних трех параграфах этой главы рассматриваются марковские СМО, которые, хотя и не описываются с помощью ПРГ, но, тем не менее, также анализируются весьма просто.
Всюду в этой главе будем предполагать, что выбор заявок из очереди на обслуживание происходит в порядке их поступления в систему, т.е. в соответствии с дисциплиной обслуживания FCFS, ти™ результатЬ11 получаемые при этой дисциплине для характерис-гих ’аЛИНЫ очеРеДи, остаются справедливыми также и для ряда дру-RAN^Om*1™11 °®слУживания; в частности, для дисциплин LCFS и ы ®СНовная задача настоящей главы состоит в том, чтобы на при-состз ростеищих марковских моделей научить читателя, во-первых, Йессов ТЬ уравнсния Для вероятностей состояний марковских про-^орых °Пись1ваюЩих функционирование марковских СМО, а, во-но и в ’ решать эти уравнения, причем не только в стационарном, иестационарном случаях.
110 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ М()дЛ
§ 1. Система М/М/1/со
В соответствии с классификацией Кендалла система М/М/Р представляет собой однолинейную СМО с накопителем неорД ценной емкости (с ожиданием). В систему поступает пуасс-Л с,кий поток заявок, интенсивность которого мы обозначим чер(э. Времена обслуживания заявок являются независимыми (в совоку, ногти) случайными величинами, распределенными по экспоненщ. альному закону с параметром р. Система М/М/1/ос- относите» числу экс потенциальных СМО, в которых интервалы между nock пениями заявок и их времена обслуживания распределены по эк»®,, ненциальному закону, и, как следствие этого, является простсщ» марковской СМО, т.е. ее функционирование, как мы сейчас ув-дим, описывается марковским процессом с непрерывным времеа-. и (четным числом состояний и, более того, ПРГ.
1.1. Уравнения, описывающие распределение числа зг явок в системе
Обозначим через ц(1) число заявок в системе в момент t. ! одной стороны, в силу пуассоновости входящего потока и его» зависимости от времен обслуживания заявок процесс посту плен заявок в систему после момента t не завиейт от поведения спстеи до момента t. С другой стороны, в соответствии с описанием СМ времена обслуживания тех заявок, которые в момент t находил в очереди или поступят поело момента t в систему, и по с войск-экспоненциальйого закона (лемма 1.2.1) остаточное время оболу»"1 вания заявки, находящейся на приборе (если в момент t система® пуста), также не зависят от поведения системы до момента t. Зв Чит, процесс {ц(1), f > 0} является марковским, причем в®' стационарности пуассоновского потока и одинаковой распредели ности времен обс луживания заявок он обладает свойством однора ности (гм. § 1.4). Ясно, что число заявок в системе может пр® мать значения 0,1,2,. , поэтому множество состоянии A7 Ipoi® {ц(1), t > 0} имеет вид А) = {0,1,..
Прежде чем продолжить изложение материала, сделаем еле®' шее замечание. В дальнейшем иногда для краткости будем ото»--ствлять состояние, в котором находится описывающий CMOJ* ков( кии процесс, с. состоянием самой сис темы и на этом основа® вместо ’’состояние процесса” будем говорить ’’состояние с истей
Для того чтобы выписать систему (прямых) дифферент*3" ных уравнении Колмогорова, посмотрим, что может проиэоЯ процессом p(t) в промежутке времени (1,1 + Д), где' Д 15:13
Ill
§ } Система M/M/l/oo
ащение времени, и найдем выражения для вероятностей рг) (Д) пРиР лов из состояний г в состояния j за время Д.
перер0_Первых, за это время с вероятностью 1 - А Д+о( Д) не постуки одной заявки и, если в системе имеются заявки (м(1) > 0), то пЯТ оятностью 1 — р Д + о(Д) не обслужится ни одна из них. Зна-С е<пи в момент t система находилась в состоянии i (p(t) = г), Ч11Трна останется до момента t + Д в этом же состоянии с вероятностью Роо(Д) = 1 - А Д + о(Д) при i = 0 и с вероятностью р ,(Д) = [1 — А Д + о(Д)][1 — р Д + о(Д)] = 1 — (А + р) Д + о(Д) при * > 0-
Во-вторых, с вероятностью А Д + о(Д) может прийти одна заявка и тогда, если м(1) = i > 0, то за время Д система перейдет из состояния i в состояние г + 1. Следовательно, рг = АД + о(Д), г>0.
Наконец, если м(1) = г > 0, то с вероятностью р Д + о(Д) будет обслужена одна заявка и система за время Д перейдет в состояние г - I. Таким образом, рг+1,г(Д) = р Д + о(Д), г > 0.
Вероятности всех остальных переходов, таких как поступление двух и более заявок, обслуживание двух и более заявок имеют порядок малости о(Д). Например, вероятность того, что за время Д одна заявка поступит в систему и одна будет обслужена, не превосходит [А Д + о( Д)][д Д + о(Д)] = о(Д). Значит, рг_,(Д) = о(Д), |г —j|>2.
Таким образом, в соответствии с (1.5.6) и (1.5.19) процесс {м(1), t > 0} является ПРГ, причем Аг = А, г > 0, и рг = р, г > 1. Обозначая через p,(t) = P{p(t) = г} вероятность того, что в системе в момент t находится г заявок, на основе формулы полной вероятности получаем
Po(i +Д) = (1 - АД)р0(1) +рДр1(1) +о(Д), рг(/. + Д) = [1 - (А + р) &\рг(1) + АДрг_!(1)+ + рДрг+1(1) +о(Д), 1 > 1.
Вычитая из обеих частей равенства рг(1), деля на Д и переходя к пределу при Д —> 0, приходим к системе дифференциальных уравнений Колмогорова
Ро(0 = -Apo(t) + ppi(t),
ftW = -(А + р)рг(1) + Арг_1(1) +ррг+1(1), г > 1.
1-2. Стационарное распределение очереди
це1сВР1/ некотором условии, о котором будет сказано ниже, про-ниек! — 0} будет эргодическим. Это означает, что с тече-
Реж вРемсни Функционирование СМО стремится к стационарному У, т.е. р, (1) —> причем вероятности рг > 0, г > 0, и не
112 Гл. -У. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОдЛ
завшят от начального состояния р(0) Стационарные вер >ятЯ)1т. р, удовлетворяют СУР
О = -Хр0 + /ср],
О = -(А + р)рг + >р,-1 + l'P,+i, г > 1. 12
которая получаете я из (1) приравниванием нулю производных р, времени.
При надлежащем навыке обращения с марковскими модДД CA P типа (2) удобно выписывать и без привлечения нестациоц4. йен е) с лучая, основываясь только на равенстве в установившсме я жиме' потоков вероятностей, входящих вдсаждое фиксированное сс стояние1 рассматриваемой СМО и выходящих из него, и гнтерпр. тируя СУР как систему уравнений глобального баланса (см S> l.j, Йоясним, как зто делается, на примере г-го уравнения в (2), /II
Рассмотрим диаграмму переходов (рис 1), в котором овала ми обозначены состояния СМО, а стрелками непосредственно возможные- переходы с указанием их интенсивностей. Суммарны! поток вероятностей, входящий в состояние г, складывается из ш тенсивности А перехода из состояния г — 1. умноженной на вероятность р,_] этого состояния, и интенсивности р перехода п> си тояния ? 4-1 умноженной на его вероятность p,+ i, а суммарныг поток вероятностей, выходящий из состояния г, получаете^! стаже нис-м интенс ивнос теп А (за счет поступления новой заявки) ц р (т счет окончания обслуживания заявки на приборе), умноженных в вероятность р, состояния г. Приравнивая суммарные потоки вероятностей, входящий в состояние- г и выходящий из него, позуча!’ 1-е уравнение- системы (2).
Рис. 1
Для решения системы (2) воспользуемся другим видом балв с а локальным балансом (см § 1.5), констатирующим в дан ном <"1' час равенс тво вс тречных потоков вероятностей между двумя с осв яниямп ину 1. Поскольку поток вероятностей пз с ос тс-£НИЯ 11 состояние I 4-1 равен Ар,, а в обратном направлении рр,+ \ н»1**’ с зедующс-с уравнение локального баланс а:
^Pi=PP,+t, »>0.
113
R < Система М/М/1/00 8 7 лю предлагается проверить, что последние равенства легко
^ЙТ чить также последовательным суммированием уравнений из (2) поЛ' =0 1, • •
ПРИ jj3 уравнений локального баланса находим, что решение систе-тоавнений (2) задается формулой
I Ы У г
pt = ДР.-1
е _ х/р. Естественно, тот же самый результат мы получим, воспользуемся общей формулой для стационарных вероятностей состояний ПРГ (см. § 1.5).
Для определения р0 воспользуемся условием нормировки. Тогда
’г-2 = =РоР1, г > 0,
(3)
(4)
г=0 г=0
Сумма в правой части (4) конечна и равна 1/(1 — р) тогда и только тогда, когда р < 1. Покажем необходимость и достаточность условия р < 1 для существования предельных (стационарных) вероятностей рг (эргодичности процесса {г(1), t > 0}). Для этой цели проще всего воспользоваться результатами Карлина и МакГрегора (см. § 1.5). Действительно, в нашем случае Аг = A, p.t = р. а значит, РЯД
к
к
-к
расходится и ряд
оо к
к=1
к
к
Vi
к-l г=1 к-1
сходится тогда и только тогда, когда р < 1, что в силу результатов арлина и МакГрегора представляет собой необходимое и достаточное условие существования стационарных вероятностей.
аким образом, неравенство 'р < 1 является необходимым и до-очным для существования стационарного режима функциони-имеемИЯ СИстемы М/М/1/оо. При выполнении этого условия из (4) Р п hh>° = ~ Р’ Тогда с учетом (3) окончательное выражение для
Те ст А = G ~Р)рг, « > 0, (5)
явлЯе^аЦИОНаРное Распределение числа заявок в системе М/М/1/оо нце пп ГеометРическим. Величина р, входящая в это распределе-пак>1ц11х'ЧСТавляет собой отношение среднего числа А заявок, посту-8-2717 В СИстемУ за единицу времени, к среднему числу р заявок,
114 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОД^
которые система в состоянии обслужить за единицу времени, ц,, нуемос загрузкой системы. Кроме того, стационарная вероятно и того, что в системе имеется хотя бы одна заявка, т.е. сц(Т(; занята обслуживанием, равна и = 1 — ро — Р- Значит, р в дщ,^ случае имеет также смысл средней доли времени и, которую сиВ в стационарном режиме занята обслуживанием заявок (зто сле^ из эргодичности процесса {z?(t), t > 0}). Величину и называ1 иногда коэффициентом использования системы.
Если р > 1, то с течением времени число заявок в системе стр. мится к бесконечности, т.е. —» 0 при всех г. Отметим,
t—+оо
стремление очереди к бесконечности имеет место даже в сдуц р = 1, что существенным образом отличает данную СМО otj терминированных систем.
Приведем формулы для стационарных среднего числа заявок системе N и средней длины очереди Q: ос ос
=52«рг = (1 - р) ,
г=0 г=0 Р
оо оо 2
q = - = ~ ~р = тт7 •
1=1 г=1 '
1.3. Стационарное распределение времени пребывав! заявки в системе
Время пребывания заявки в системе состоит из двух неза» симых слагаемых: времени ожидания начала обслуживания и« ственно времени обслуживания.
Для определения ФР IP (ж) времени ожидания начала обслу» вания заявки в стационарном режиме предположим сначала, что г ступающая в систему заявка застает в ней i других заявок. 1 как каждая заявка, в том числе и находящаяся на приборе, обо живается экспоненциально распределенное с параметром у вре; то общее время ожидания начала обслуживания заявки, застав® в момент поступления i других заявок в системе, будет иметь Р! предоленис Эрланга Д(.г) с параметрами //и?’. Если же г -т.е. поступающая заявка застает систему пустой, то она сразу начинает обслуживаться, и, следовательно, ее время ожидания, Р‘ нос нулю, имеет ФР £’()(?) = н(т), где и (ж) -функция ХевиаИ it(.r) = () при г < 0 и ??(.г) = 1 при .т>(). Поскольку при пуасс» ском потоке* вероятность того, что в стационарном режиме за>® в момент се поступления в систему застает ровно i других за®5
Система M/M/l/oo 115
ар (см. § 2.1), то по формуле полной вероятности получаем
И7(ж) = 52 = (1 - Р)52'9‘-Е^ж)'
1=0 т=0
Для того чтобы определить И7(з') в явном виде, удобно восполь-ться ПЛС; так как распределение Эрланга Е,(х) имеет ПЛС 2°(s) = {/V(s + и = lj т0 имеем
-
w(s) = / е sxdW(x) = =
о ,=о
(» + РУ s + р (1 - р)
Переходя от ПЛС к ФР, находим
W(x) = 1- р + р[1~е-^~р)х], х > 0.
Полученная формула имеет очень простой смысл: либо с вероятностью ро — 1 — р поступившая заявка сразу же начинает обслуживаться, либо с вероятностью 1 — ро = р ожидает начала обслуживания случайное время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром р (1 — р).
Поскольку время обслуживания заявки распределено по экспоненциальному закону с параметром р, то стационарное распределение V’(.7 ) времени пребывания заявки в системе имеет ПЛС
СЮ
= fe~sxdV(x) = -f-w(s) = .
./ s+p s + p(l-p)
Предоставляем читателю возможность в качестве упражнения определить У(ж).
Стационарные средние времена ожидания начала обслуживания 11 пребывания заявки в системе v задаются формулами:
оо I
W = I xdw(x) = -<У(0) = —Г,
./ р (1 - р)
сю
v = / rfV(т) = _^'(0) = w + 1 = -7^—т -
116 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДЕДц
1.4. Формулы Литтла
Сравнивая стационарное среднее число N заявок в системе ((| стационарным средним временем пребывания заявки в систед11 убеждаемся в справедливости соотношения
N = А V.
Это соотношение носит название формулы Литтла..
Интуитивные соображения, приводящие к формуле 1иттда. очевидны. Действительно, пусть система функционирует в стя ционарном режиме на достаточно большом интервале времени Г Тогда за это время в систему поступит в среднем А Т заявок.! |> свою очередь, каждая заявка находится в системе среднее время ®. а значит, среднее время V. проведенное в системе всеми АТ ваяя ками, равно A v Т, и в каждый момент в с истеме в среднем находится N = V/Т = А о заявок.
Приведенные выше расс уждения можно сделать строгими, если воспользоваться эргодической теорией стационарных с лс чанных процессов. Ясно также, что формула Литтла имеет сферу действия гораздо более широкую, чем рассматриваемая здесь система М/М/1/оо. Она бывает полезна при анализе таких систем. для которых мы умеем вычислять только одну из характерен тик К или
Аналогичное равенство имеет место для Q и и>:
Q = A w.
Его также1 называют формулой Литтла.
1.5. Нестационарные характеристики
Для нахождения нестационарного распределения {p,(f), i > pl числа заявок в системе снова обратимся к системе дифференциал ных уравнений (1). Чтобы решить эту систему, необходимо задать начальное1 распределение числа заявок в сис теме {;>,(()), / > Н
Обычно считают, что в начальный момент 0 система с вободна Рт заявок, и, значит, ро(О) = 1, />,(()) =0, ? > 1. Мы, однако, допусти® любое1 начальное1 распределение р, (0).
Для нахождения решения системы (1) введем ПФ Рд.О I ОО
= Умножая г-с уравнение системы (1) на z1 и
»=о
все уравнения, получаем
= [а (г - + - 1)]Р(г,0 + /1(1 - |)ро(')-
Воспользуемся теперь ПЛ
Система M/M/l/oo
117
Применяя
S 7Г|
0
ПЛ к уравнению (6), имеем - P(z) — [a (z — 1) + р
М*) = у о
Polf) dt.
z
z
е . 5Z Р»(0) —ПФ числа заявок в системе в начальный момент 0. Решая последнее уравнение, получаем
, X zF(z)-//7i0(s)(l-z) ^s)=_a22 + (.5 + a + /;)^-
В формуле (7) осталось неопределенным 7T0(s). Для его нахождения рассмотрим знаменатель дроби формулы (7). Положим
/(z) = -Az2 + (s + А + /<) z - //.
Поскольку /(0) = -р и /(1) = 6, то квадратное уравнение
—Az2 4" (s -f- A -j- р) z — р — 4)
(8)
имеет при всех s > 0 два корня
s 4- А 4- р . [ [ s 4- А 4- р А 2 р
21’2 = ~^а~ 2А / _а’
причем оба корня положительны, минимальные! из них меньше единицы, а максимальный больше единицы. Обозначим минимальный корень через z(s). Знаменатель дроби в (7) обращается в нуль при всех * > 0 и z = z(.s). Функция 7i(z,.s) задана при всех значениях > > 0 и z таких, что 0 < z < 1, в ча<тности, во всех точках (»,z = z(.»)). Но тогда в этих же точках должен обращаться в нуль и числитель дроби, т.е.
F(z(.s)) - p7Io(.5)f-i- - 1) = о,
или 2 А
z(.s)r(z(.,))
гр Г
ДВо' dMIKl образом, задача нахождения tt(z,,s) решена в терминах ния з °Г0 П1)с°бРазованпя. Вопросом обращения этого преобразова-°варнь'Ь’ КаК’ В1^Р0ЧСМ, 11 в дальнейшем, при исследовании нсстацп-Ресов К хаРакТеРИстик мы заниматься нс будем, отсылая запнтс-ХаРак °ГО чптателя либо к литературе, не носящей уже учебного >а’ лп6о к справочникам для соответствующих преобрази-
118
Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДЕ^
ваний.
Роль времени ожидания в нестационарном случае играет ь,. туальное время ожидания r](t) в момент t. т.е. то время, котор^ прождала бы начало обслуживания гипотетическая заявка, ц0(.^ пившая в момент t. Если обозначить через W(х, £) = 7>{//(/) < г ФР виртуального времени ожидания то, как и в п.1.3, имеД оо
W(x,t) = J"' Ег(х)рг(£), г—0 <
откуда, переходя к двойному преобразованию—ПЛС по х и ПЛ по оо оо
w(sj, s2) = f J e~S2XW(dx,t)e~s,tdt, получаем о о
w(s],s2) = tt(—-—,.st).
S2 + /'
Среднее число заявок в системе и среднее виртуальное врем; ожидания в момент t, выраженные в терминах ПЛ, предлагаем Has ти читателю.
1.6. Выходящий поток
Выясним, какую структуру будет иметь выходящий поток, T.t поток обслуженных заявок, покидающих СМО М/М/1/ос. Для эти цели применим метод обращения времени (см. § 1.5).
Предположим сначала, что система функционирует на интервале времени [0, оо), причем для определенности предположим, как обычно, что в начальный момент времени 0 система полное» свободна от заявок. Рассмотрим ’’обращенный” процесс {f>(t t € (—оо,0]}> полученный из процесса {р(1), t > 0} заменой вре мени I на —1, т.е. v(t) — i'(-t)- Как было показано в п.1.5.9, процео {£>(£), t € (—оо,0]} также является марковским, но неоднородны»! В соответствии с формулой (1.5.29) интенсивности переходов аг1(1 для него имеют вид
PPl+l(t) P,(t) ’
Арг-1(0
GjjW — <
/др1+1(1) к Pi(t)
lo,
если j = i + 1;
если j = i — 1;
если j' = г;
если |j — г| > 2,
(^) —
ЛР1Ш Po(t) ’
PPi(t)
Po(t) ’
если j — 1;
если j = 0;
если j > 2.
119
Спстема М/М/1/оо теперь система функционирует бесконечно долго, т.е.
/2оо оо). Тогда в предположении р — Х/р < 1 она обязана 1 ' ься в стационарном режиме, а вероятности р, = p,(t) —
(t) = 0 ие зависят от времени и определяются формулой (5). = чит ’’обращенный” процесс —оо < t < оо}, рассматри-
0н‘1 "Теперь уже на интервале t € (—ос, ос), также является ста-фонарным. Подставляя в формулу (9) вместо pt(l) стационарные вероятности р„ получаем
/б
-(А + р), 0,
если если
если
если |j — г| > 2,
j = г + 1;
j = г — 1;
f Л’ ooj — (
( 0,
если j = l; если j = 0; если j > 2.
(Ю)
Таким образом, в стационарном режиме ’’обращенный” процесс {i>(t), —ос < t < оо} является ПРГ, причем интенсивности о> i+i = А нс зависят от состояния процесса г Но в терминах исходной рассматриваемой СМО М/М/1/оо интенсивность «,.,+ 1 = А представляет собой интенсивность выходящего потока при условии, что в системе находится i заявок. Применяя теперь лемму 2.1.1, видим, что выходящий из функционирующей в стационарном режиме системы М/М/1/оо поток является пуассоновским интенсивности А.
Полученный результат допускает простую интерпретацию в терминах ’’обращенной” СМО. Действительно, в нестационарном случае процесс {й(1), t € (-оо,()]} описывает некоторую абстрактную СМО, которую мы и будем называть ’’обращенной”. Посмотрим, что это за система и как она связана с исходной. Во-первых, момент поступления заявки в исходную систему представляет собой момент ухода заявки из ’’обращенной” системы и, наоборот, уход заявки из исходной соответствует поступлению заявки в обращенную” систему. Значит, для исходной и ’’обращенной систем меняются местами входящий и выходящий потоки. Во-вторых, в обращенной системе, как и в исходной, и поступление, и уход заявок происходят по одной, т.е. процесс {й(1), t € (—оо,0]} тоже представляет собой процесс ’’типа” ПРГ. На этом сходство систем заканчивается. В самом деле, если входящий в исходную систему поток является пуассоновским, то поток, поступающий в обращен-?У*о систему, уже не будет таковым, поскольку его интенсивность I = = \(t) = o,ii+1(t), вообще говоря, зависит от состояния г,
120 Гл 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОдЛ
в котором находится в момент t процесс />(£), и, более того, от мого момента t (последнее совсем легко понять, если вспомнить, Л ’’обращенный” процесс обязательно должен в момент 0 попасть в С() стояние 0). То же самое относится и к интенсивности обслуживал^ заявки.
Однако в стационарном случае, как мы только что показали входящий в ’’обращенную” систему поток заявок будет пуассон^. ским с параметром Л. Более того, из формулы (10) видно, что вре1с обслуживания в ’’обращенной” системе будет иметь экспоненциал ное с параметром р распределение. Таким образом, в стационарно;, случае ’’обращенная” система также представляет собой систем; М/М/1/оо с теми же самыми интенсивностями А входящего нотой и р обслуживания.
В том случае, когда р > 1, выходящий из системы поток в пре деле также будет пуассоновским, но интенсивности А = р. Эи следует из того, что при р > 1 очередь с течением времени стр мится к бесконечности, а при бесконечной очереди времена между уходами заявок из системы независимы и распределены по экспонен циальному с параметром р закону.
Как мы увидим далее, выведенное свойство пуассоновости выходящего потока присуще и некоторым другим системам.
§ 2. Система М/М/п/г
Система M/M/n/г представляет собой п-линейную СМО с т местами для ожидания (г < оо), в которую поступает пуассонова® поток интенсивности А, а времена обслуживания заявок независима и при этом время обслуживания каждой заявки на любом приборе распределено по экспоненциальному закону с параметром р. В еду чае, когда г < оо, заявка, поступающая в переполненную систем) (т.е. когда заняты все приборы и все места для ожидания), теряете® и вновь в нее не возвращается. Система M/M/n/г также относите® к экспоненциальным СМО.
2.1. Уравнения, описывающие распределение числа э» явок в системе
Рассматривая //(?) -число заявок в системе в момент t, так Я® как и в п.1.1, нетрудно показать, что процесс {r(i), t > 0} явв ется однородным марковским процессом с множеством состоя1®1’1 X = {0,1,...}. Ниже мы покажем, что процесс {r'(t), t > 0} пр6? ставляет собой ПРГ.
Выпишем систему дифференциальных уравнений Колмогор0®" Для этого, как обычно, рассмотрим моменты t и t+Д. Предполагав
§ g Система M/M/n/r 121
момент t процесс v(t) пребывает в состоянии i, определим. ЧТ° он может попасть в момент t + Д, и найдем вероятности р,} (Д) ^переходов за время Д. Здесь возможны три случая.
В этом случае все находящиеся в системе заявки бслуживаются на приборах (если г — 0- заявок в системе вообще I Вероятность того, что за время Д процесс n(t) не выйдет из состояния 1. равна произведению вероятности 1 - А Д + о(Д) непо-•пления заявки за время Д на вероятность (1 - р Д + о(Д))г того, что за это время не обслужится ни одна из i заявок, т.е. равна р (Д) =1-(А+«р) Д+о(Д). Вероятность перехода за время Д в состояние г+1 равна p,jl+i(A) = А Д+о(Д) - вероятности поступления заявки в систему. Наконец, поскольку каждый прибор закончит за время Д обслуживание находящейся на нем заявки с вероятностью дД+ о(Д), а таких приборов г, то вероятность перехода в состояние г - 1 равна (Д) — гр Д + о(Д). Остальные переходы имеют вероятность о(Д).
Б. п < 1i < п + г. Этот случай отличается от первого тем, что
обслуживаются ровно п заявок, т.е. все приборы заняты. Значит, вероятность через время Д остаться в состоянии г равна рг1 (Д) = = 1-(А+пр) Д+о(Д), а перейти ₽ состояние г—1 за это же время -РМ-1(Д) = пр Д + о(Д).
В. г = п+г (этот случай может иметь место только при г < оо). Тогда, как уже говорилось, поступившая заявка теряется. Поэтому
в состоянии п + г можно остаться через время Д с вероятностью Рп+г,п+г(Д) — 1 — пр Д + о(Д) и перейти из него за это же время в состояние п + г - 1 с вероятностью рэт+г,114.г-1(Д) = пр Д + о(Д).
Таким образом, основываясь на формулах (1.5.6) и (1.5.19), мы фактически доказали, что процесс {i/(t), t > 0} является ПРГ с интенсивностями А, = А при г = 0, п + г — 1, А„+г = 0, р, = гр при ‘ ~ 0, п — 1 и рг = прИ j — п,п + т.
Обозначая через p,(t) = P{i/(t) = г}, г = 0, п + г, распределение числа заявок в системе в момент t, получаем следующие выражения дая + Д) в случае, когда г < оо:
Ро(1 + Д) = (1 - А Д)ро W + р Дрг (t) + о(Д),
Рг(< + Д) = [1 - (А + гр) Д]р,(«) + А Др,_1(<)+
+ (г + 1) р Др!+1 (t) + о(Д), i = ,
Рг(1 + Д) - [1 _ (у nflj Д]р?(1) + А Др,_](1) +
+ г,р Др,+1(<) + о(Д), i = n,n + r — 1, In+r{t + Д) = (1 _ Пр Д)рп+г(£) 4- А Дрп+г-1(1) + о(Д).
122
Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ
Если же г = сю, то. очевидно, последнего соотношения не 6j дет предпоследнем индекс 1 может принимать значения г = п, п + 1
Вычитая теперь р, (f) из обеих частей равенства, деля на Д Ц1 реходя к пределу при Л —> 0, получаем систему дифференциал^, уравнений:
Po(#) = -Apo(f)+/'Pi(t), _______ I
p'(^ = ~(a+'7')a(0+^p!-i(0+('+1)i4>>+i(t), i = i,n-i. j pj (f) = - (Л + "I1О Р< (О + ЛР>-1 (О +11Р+1 (О г = »," + С -1.
К+,(^ = -«РРп+>-(/)+ЛРп+г-1(*)-
2.2. Стационарное распределение очереди
В случае конечного i процесс {v(t), t > 0} является эргода ским. Также он будет эргодическим и в случае г = ос при выпал нии условия, о котором будет сказано ниже. Тогда из (1) при t -) получаем, что стационарные вероятности со<тояний р, у довлел ряют СУР
0 = -Ар() + PPi,
О — -(А + ip)p, + Ap,-i + (г + l)pp,+ i, г = 1,п-1.
О = —(А + tip.)p, + Хр,—\ + прр,+ 1, г = п,п + т — 1.
0 = -прр„+, + Ар„+,_|.
Поясним теперь вывод СУР (2), исходя из принципа глоба: ного баланса. Так, например, согласно диаграмме nepcxoJ (рис. 2), для фиксированного состояния г, г = 1, п — 1. имеем, ч суммарные потоки вероятностей, входящий в состояние / и выхи щий из него равны. соответственно, Apt~i+д (?+1)р,+ ) и (Appi). Обоснование уравнении (2) для других значений i на основе глоба’ ного баланса мы предоставляем читателю.
Исходя теперь из принципа локального баланса, получаем,4 баланс потоков вероятностей между состояниями г и i' + 1 отри ется равенствами
Ар, = (г + 1) др,+ 1, i = О.п — 1,
Ар, =nppl+i, i = п, п + г — 1, являющимися уравнениями локального баланса для данной Читателю предлагается проверить справедливость равенств*1 непосредственным суммированием СУР (2) по i при г = 0. й п + ?•—!. |
Рис. 2
Из соотношения (3), выражая рекуррентно вероятности рг через ,получаем
если г = 0, п — 1;
если i = п,п + г,
ОО
“ Р = А/р, аро определяется из условия нормировки р, = 1, т.е.
<=о
_ь £----------
и! 1 - £
"=0 ’ ’ »=0 1=0
Ясно, что, как и в случае системы М/М/1/оо, формулы (4) и можно получить из общих соотношений для стационарных веро-ностей состояний ПРГ (см. § 1.5) при указанных выше значениях /МлГ” слУчае п ~ т-е- Для однолинейной системы / /I с накопителем конечной емкости г имеем
Если
(5) cjje г ~ 00 (система с ожиданием), то, как нетрудно видеть, Шо ЧТ0 вероятность р0 строго положительна только при
ргОра п™ НеРавенства Pln < 1- Проверка условий Карлина и Мак-Ва дляП°КаЗЬ1ВаеТ не°бходимость и достаточность этого неравен-40. сУгцествования стационарного режима функционирования
124 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ Mot
Если же г < оо, то стационарный режим существует при р, 0 < р < оо.
Выпишем теперь выражения для некоторых характерна реди.
Стационарная вероятность Рт-о немедленного обагМ заявки (обслуживания без ожидания) совпадает со стационар^ роятностью того, что в системе находится 0,1,..., п — 1 завдо
П —1 Л“1 г
Pw=O = У Рг = РО У 7Г ' г=0 г=0
Если г < оо, то заявка может быть потеряна. Это прои, в том < лучас, когда в момент поступления заявка застает за® вс е приборы и места для ожидания. Стационарная вероятно потери заявки в силу пуассоновости входящего потока совпад стационарной вероятностью р„+,., т.е.
р’*+г
Л = Рп+г ~ ~I-“ PO-
TI'. Пг
Представляет интерес также другой частный случай, г = (). Тогда в системе отсутствуют места ожидания (систем! тсрямп М/М/п/0) и такая система носит название системы Эр Сне тема Эрланга описывает процессы, происходящие в проси телефонных сетях, и названа так в честь А.К.Эрланга, впер исследовавшего. Для системы М/М/п/0 стационарные верой р, определяются формулой Эрланга
J=o '
Следовательно. стационарная вероятность потери заявки оЦ1 стся формулой
которую также называют формулой Эрланга.
Наконец, если п = оо, то мы имеем систему М/М/о°’'1 торой при любом р < оо стационарные вероятности су|Ч (предоставляем проверить это читателю) и, как следует 113 ’ Эрланга при и > оо, имеют вид
i > 0.
г!
§ Сис^ М/М/п/г 125
Стационарная средняя длина очереди Q в системе М/М/и/г о11ределяется формулой '
1Пп после (уммировлния
Q ~ (« - 1)!
1 +у(£)>+1 - (^ + i>(g)?
(G)
Вернем» я теперь к соотношениям (3). Суммируя эти равенства
П() г = 0,1. С получаем
П—1 п+г
А (1 - л) = //(52 'Р, + 52 ”?’) -?=1 1—П
где и среднее число занятых приборов. Выписанное соотношение отражает равен» тво интенсивностей принятого в систему и обслуженного ею потоков в стационарном режиме. Отсюда мы можем получить выражение' для пропускной способности системы Ар, определяемой как среднее число заявок, обслуженных системой в единицу времени, и называемой иногда интенсивностью выхода:
А р = А (1 — тг) = // я.
Различные выражения для интенсивности выхода целесообразно использовать для контроля расчетов по формулам (4) и (5).
Выражение для стационарного среднего числа N заявок в системе нетрудно получить либо непосредственно из распределения вероятностей (4), либо воспользовавшись очевидным соотношением = Q + ”, что читатель легко сделает самостоятельно.
2.3. Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе
Стационарное распределение Ил(.т) времени ожидания начала 0,1 луживания принятой в систему M/M/n/г заявки вычисляется практически так же, как и для системы М/М/1/оо. Заметим, что са’ заставшая при поступлении г других заявок в системе, не-Жив НН° На1пнает обслуживаться, если г < п, и ждет начала обслу-ЗК(,./1Н!1Я вРемя, необходимое для обслуживания полностью загру-заг ,Ш *И< 1 ем°й 1 ~ 71 + 1 заявок, если п <г <п+г. При полностью р;к ,? сннои <истоме заявки выходят из нее через экспоненциально П<о1(<'Де',1<?Нные с параметром пр (а не //) времена (см. лемму 1.2.2). »п< -г „ Врсмя ожидания начата обслуживания заявки, заставшей в
*еМс п I ,,
т / , и ч. г < г, заявок, распределено по закону Эрланга
126
Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДц
Et^.i(x) с параметрами пр и г' + 1. Воспользовавшись формулой ной вероятности и учитывая, что ФР ИЛ(ж) является условной условии принятия заявки в систему, получаем
По »!<
1 п —1 г—1
РИ(ж) — — ~ Рг 4~ ^Pn+i^i+l (apj — г=0 г=0
— 1 |^w=0 ~Ь у^ 2 Ря+i^i+l (•£) j
1 — 7Г L ' J
г=0
или, переходя к ПЛС, оо т— 1
W(«) = j e~sxdW(x) = [Рю=о + пррп £ yr] =
о г~°
1 [о 1 Cs+n/J 1
= i---- Pw=0 + пррп ---------- .
1 — тт L s + пр — A J
Отсюда с учетом независимости времени обслуживания от вр мени ожидания начала обслуживания следует, что стационарное рас пределение V’(x-) времени пребывания в системе принятой к оба: живанию заявки имеет ПЛС
°° / А \
<д(.о) = [ e~sxdV(x) = —[fw=0 + пррп - - - 1 —
J 1 — 7т L s + np — XJs + p
0
Стационарные средние времена ожидания начала обслуживав» w и пребывания заявки в системе v задаются формулами:
«,=-„-(о) = ,
(пр — А)2 1 — л
v = —<^'(0) = w + — .
Последние выражения можно получить также из формул Литтла-
2.4. Нестационарные характеристики *
Нестационарное распределение числа заявок в системе г > 0} получается интегрированием системы (1) с учетом нача® ного распределения {рг(0), г > 0}.
Если г < оо, то система (1) представляет собой линейную оД родную систему обыкновенных дифференциальных уравнений пе' вого порядка с постоянными коэффициентами.
127
§ Система М/М/п/г
Если г = <х> то, как и в п.1.4, удобно перейти к ПФ P(z, t) =
Правда, аналог уравнения (1.8) будет иметь п непз-
,=ных функций Ро(0, Pn-i(t\ ПЛ которых определя-
вес -грх же соображений относительно нулей числителя и зна-ются в (1 7)
^^О^альные нестационарные характеристики системы М/М/п/г том числе виртуальное время ожидания, находится так же, как в
предыдущем и этом параграфах.
2.5. Выходящий поток
В системе М/М/n/oo, так же как и в системе М/М/ ../ос, в установившемся режиме поток заявок, покидающих систему, является пуассоновским. То же самое можно сказать и о выходящем потоке из системы М/М/п/г, если понимать под ним суммарный поток как обслуженных, так и потерянных заявок. Доказательство этого с помощью метода обращения времени полностью совпадает с доказательством аналогичного факта для системы М/М/1/оо и мы пре
доставляем его читателю.
Однако сейчас мы приведем другое доказательство пуассоновости выходящего из системы М/М/п/г суммарного потока обслуженных и потерянных заявок, представляя его в виде марковского потока (см. § 2.1). Преимущество этого доказательства заключается в том, что оно позволяет не вычислять в явном виде стационарные вероятности состояний, что в ряде случаев довольно « ложно сделать.
Рассмотрим последовательность {77, к > 1}, 0 < ту < < ... ,
моментов ухода из системы заявок суммарного выходящего потока, усть /(б) -число заявок этого потока, покинувших СМО за время и 0 — (р(б),С(А))- Очевидно, что процесс {«/(б) t > 0} является однородным марковским процессом, матрица интенсивное теп переходов которого удовлетворяет следующим условиям.
РМ*+Д)=.7,С(б+Д)>Ан-2 | p(f) = ?,<(6) = jfc} = о(Д).
Р{^+Д)=ЛС(б+Д) = /-+1 | = </t) = А} = п0Д+о(Д),
РМ*+Д) = ф+Д) = А: | н(б) = г, £(б) - А:} = + Аъ Д + с(Д),
г, j = 0, п + г, ответ^тв пнтенгивности переходов процесса {г(б), t > ()}, со-И не НН°’ пР11ВОДЯЩих к появлению заявок выходящего потока .ТМ’ S- символ Кронекера. Следовательно, При А > 0} порождает марковский поток {т>, к > 1}.
М отличные от нуля элементы матрицы N = (n<j), ,-о„.+,
128 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОд^
имеют вид — рг, г = l.n + г и пп+ГгП+г — А, а матрй, Л = (Ау)1 J=o п±г определяется из равенства Л* = А + N, где д. матрица интенсивностей переходов процесса {^(4), t > 0}. q гласно теореме 2.2.3 марковский поток {rfc, к > 1} будет являт^’ пуассоновским потоком интенсивности А, если выполнено услоь p^'N = Хр4', где р1 = (ро,Р1, • • i jMr! Непосредственная пров^ этого условия для состояний г = 0, п + г — 1 приводит к уравнен^ локального баланса (3), а для состояния г = г+п имеет место тоад ство. Таким образом, выходящий суммарный поток обслуженных потерянных заявок, как и входящий поток, является пуассоновсц и имеет ту же интенсивность А.
§ 3. Система М/М/1/оо с ’’нетерпеливыми” за. явками
Рассмотрим систему М/М/1/оо с интенсивностью входящег пуассоновского потока А и параметром экспоненциального распр деления времени обслуживания р.
На практике в силу различных причин часто случается так, чг заявки могут уходить из системы, не дождавшись окончания обсл живания.
Возможны две постановки задачи. В первой постановке заявг может уходить только из очереди, и если она уже начала обслуж ваться, то будет обслуживаться до конца. Во второй постанов; заявка может уходить как из очереди, так и с прибора.
Здесь мы для примера рассмотрим первую постановку задачи которой заявки уходят только из очереди. Будем предполагать, чт каждая поступившая заявка может ожидать начала обслуживания; более случайного времени, распределенного по экспоненциальной закону с параметром у.
Заметим, что в силу сделанных предположений и эта систй будет экспоненциальной.
3.1. Уравнения, описывающие распределение числа явок в системе И
Как и раньше, введем v(t)—число заявок в системе в моМ^ t. Используя результаты предыдущих параграфов, нетрудно а01' зать, что процесс (г(4), t > 0} является однородным марковсК множеством состояний X = {0,1,...}.
Выпишем вероятности р,,(Д) переходов из состояния г прой {^(4), t > 0} за ’’малое” время Д. И
Вероятность перехода из состояния i в состояние z +1 за вР Д равна рг ,г+1(Д) = АД + о(Д).
129
Система M/M/l/co с ’’нетерпеливыми” заявками §
Переход из состояния г > 1 в состояние г — 1 за время Д воз-п0 двум причинам: во-первых, с вероятностью //Д + о(Д) М° рт обслужиться заявка, находящаяся на приборе; во-вторых, не М° -давшись начала обслуживания, с вероятностью у А + о(Д) мо-^ет уйти из системы каждая из находящихся в очереди г — 1 заявок. Поэтому общая вероятность перейти из состояния г > 1 в состояние г_ 1 за Д равна рг,,-1(Д) = [р + (г - 1) у] А + о(Д).
Вероятность остаться в состоянии г за время Д равна р„(Д) = = 1 _ [А + /х + (г - 1) 7] Д + о(Д).
Вероятность остальных возможных переходов за время Д равна о(Д)-
Таким образом, согласно (1.5.6) и (1.5.19) процесс {р(1), t > 0} является ПРГ, причем А, = A, i > 0, и /у- = р + (г - I) у, г > 1.
Не вдаваясь больше в подробности, выпишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний p,(t) = P{r(i) = «}’ 1 — 0, которая в данном случае имеет вид
pJ)(f) = -ApoW+HPiW,
р'1(0 = -[Л+И+(г-1)7]Р«(0+ЛР»-1(0+(1/+«7)Рг+1(<), г>1-
3.2. Стационарное распределение очереди
Как мы увидим далее, процесс i/(t) будет эргодическим при любых значениях параметров А, р и у. Стационарные вероятности р, того, что в системе находится i заявок, удовлетворяют СУР
О = — Apo + РР1,
О = -(А + р + (i- 1)у)р, + Арг_! + (р фгу)р,+1,
Мы предлагаем читателю с учетом полученного им в предыдущих параграфах опыта дать вероятностную интерпретацию СУР 1^), используя принцип глобального баланса потоков вероятностей. е приводя здесь диаграмму переходов для данной системы и принимая во внимание, что переходы могут быть только в соседние состояния, выпишем уравнение локального баланса
= (p + «y)p1+i, г > 0. (3)
праведливость (3) также легко проверить непосредственным суммированием уравнений СУР (2) по г = 0,1,... .
Вероя соотношений (3) получаются выражения для стационарных
(2)
9-2717
Pl ~ p0-----—-----------------------
(p + 7)'' [д + (г - 1) 7] ’
(4)
130
Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ
которые, как и раньше, можно получить из общих соотношений стационарных вероятностей состояний ПРГ. Для выяснения у вий существования стационарного распределения {р.;, i > 0} сд обратимся к условиям Карлина и МакГрегора. Поскольку ряд
| | | | | | | | | |
Р (р + ?) • • • [р + (г - 1) 7] А‘
расходится, а ряд
А*_____________
Р (р + 7) ’' ’ [Р + (« - 1) 7]
сходится при любых значениях параметров А, р и 7 > 0 (установит; этот факт мы предлагаем читателям самостоятельно), то стад» нарное распределение {р,, г > 0} также существует при люби значениях этих параметров.
Вероятность р0, как обычно, определяется из условия норщ ОО Щ
ровки р, = 1 и имеет вид
г=0
г А*__________I -1
Р° L +~tP(p + 7) •• [р+(«-1)7]-1
Стационарные среднее число N заявок в системе и средняя дл на Q очереди определяются формулами:
оо оо £ А*
ДГ ~ г/,!~ S • [Р + (’ - !) 7] ’
ОО ОО / • -« \ х i
Q = 1)Рг=Р°£р(Р + 7)---[р+(’-1)7]-
Вернемся к уравнениям локального баланса. Пршуммиров* уравнения (3) по всем г = 0,1,... , получаем равенство
ОО
А = р(1 -ро) + 7^2(г' “ l)Pi = Р (1 — Ро) + 'fQ, г=1
имеющее очевидный физический смысл: в стационарном реЖиЛт тенсивность А входящего в систему потока равна сумме интИ ностей р (1 — р0) потока обслуженных и 7 Q потока ’’нетерпелив^ заявок. Это равенство может быть полезным для контроля пра® * ности расчетов при вычислении стационарных вероятностей рг
131
\ Система M/M/l/oo с ’’нетерпеливыми" заявками
3 3 Стационарное распределение времени пребывания заявки ® системе
Найдем сначала ФР И7,(ж) времени ожидания начала обслужи-’’терпеливой” (т.е. не покидающей очередь) заявки, застав-вания 1 г
в момент прихода в системе г других заявок. Первая из этих Ш аявок (см лемму 1.2.2) уйдет из системы через время, распреде иное по экспоненциальному закону с параметром (г — 1) у (эт о , т либо обслуженная заявка, либо заявка, не дождавшаяся начала обслуживания), следующая—через экспоненциально распределенное с параметром р + (г - 2) у время и т.д. Поэтому ПЛС ФР И) (ж) имеет вид
W.(s) = [ e~sxdWt(x) =
О
р+(г-1)у
А’+д+(г-1) у
д+(»'-2)у s+p+(i—2) у
Р s+p
ФР общего времени, которое прождала бы начала своего обслу- 1 живания "терпеливая” заявка в стационарном режиме, определяется по формуле полной вероятности и имеет ПЛС
ОО
^(Д = У^1Мг(я)рг =
1=0
_ с + \______________ _______а___________Д_1 >
1 “’А + д + (г —1)у s + д + (г — 2) у s + р 1
Одной из основных характеристик системы с ” нетерпеливыми” заявками является Р$ стационарная вероятность того, что заявка будет обслужена. Как мы уже знаем, заявка, заставшая в момент псктупления г других заявок в си< теме, закончит свое ожидание в ин-Ttриале времени (ж, х + dx) с вероятностью бЛРДх), если до момента не уйдет из очереди. Но вероятность того, что она не уйдет до момента х из очереди, равна е~7Ж Применяя формулу полной веро-
сти, получим выражение для вероятности Рд.г того, что заявка, Шая в системе г заявок, дождется начала обслуживания:
Р$,г = I e~^dWt(x) =w,(y) = о
= . м+(г-2)у _м_ _ V
+ д + (г-1)у у + д+(г-2)у у + д р + г-у'
132 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОД^
Применяя еще раз формулу полной вероятности, имеем
Ps = 52-Ps>-P’ =^41 + 52 < 4- \Л д]= т (]-ро). ]
Для сравнения приведем другой вывод формулы (5), основу ный на чисто качественных рассуждениях и использующий свойств эргодичности процесса { v (t), t > 0} В систему за единицу вреМеВ| в < реднем поступает А заявок. Поскольку прибор в среднем загру жен долю времени 1 — ро, а при полной загрузке он обслуживает । заявок за единицу времени, то фактически обслуживается р (1 -у, заявок в единицу времени. Деля теперь среднее число обслуженД заявок р (1 — ро) на среднее число поступивших заявок, получав формулу (5). Приведенный здесь вывод показывает, как порой пре < тые качественные рассуждения позволяют проверить правильной вычисления какой-либо характеристики системы.
Наконец, определим стационарное распределение V (я?) времен; пребывания заявки в системе. На интервале времени (х, х + dx} за явка, заставшая в момент поступления в системе i других заяви I > 1. может < вероятностью 7е^s * 7' [1 — И^(ж)] dx уйти из систем не дождавшись начала обслуживания, а с вероятностью е—'ул’<7И40г дождаты я начала обслуживания и поступить на прибор; в после; нем случае она до ухода из системы будет еще обслуживаться экспо ненциально распределенное с параметром р время. При этом вра пребывания в первом случае будет иметь ПЛС e~sx, а во втором-с-'1 /</($+р). Применяя формулу полной вероятности, получаем ПЛС 7'Т(-ь) ФР V, (.г) времени пребывания в системе заявки, заста» щеп в мом нт поступления i дру их заявок, формулу
ОО
&(*) = fe-^dVt(x)= '
о
I ‘e-"'y^!C[l-Wi(x)]dx + Ie'sx -^-^e-yxdW2{x). b b
Беря первый интеграл по частям, имеем
s + 7 s + Р
(м ~ 7) *
(* +p)(s + 7)
w,(s +7),
133
Cncii>eMa М/М/1/х с ’’нетерпеливыми” заявками что при ? = 0 справедливо равенство
Очевидно
<р0(г>) = —— , /х Ч~ s
формально следует и из предыдущего соотношения, если п ПОЖИТЬ в нем г — 01
| ПрпМеНЯЯ еще раз формулу полной вероятности, окончательно ходим ПЛС у(’) стационарного распределения У (.-с) времени пребывания заявки в системе
_(P~7)g (s + /z)(s+y)
Рг =
i=0
о
Читателю предлагается вычислить самостоятельно стационарное среднее врем# ожидания начала обслуживания ”терпеливой’’ заявки и = п <тационарное среднее время пребывания заявки в системе v = —У(0). а также показать справедливость формул 1п тла
3 4. Нестационарные характеристики
Для определения нестационарного распределения г > 0}
(числа заявок в системе в момент t необходимо с учетом начального распределения {р,(0), г > 0} решить линейную однородную систему о 1ыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами (1) Эту систему можно решить двумя сп обами. ,
Первый, приближенный способ заключается в переходе от бес-кон чнои системы (1) к конечной которая возникает при замене
М/М/1/оо с неограниченным накопителем системой М/М/1/r ограниченным числом мест ожидания. Если г достаточно велико, I рассматриваемые характеристики для обеих систем будут практически одинаковыми.
I Второй способ состоит во введении ПФ P(z,t\ = рг(1) z’.
? C Уравнение системы (1) на гг и суммируя по г = 0,1,... ,
^p{z,t)+y(z-l)^P(z,t) = .
L = [А (г - 1) _ (г _ 1}1 + LZ_2 (г _ 1} ро(;).
[бледнее v „ „
ЙОе'Рав Равнение представляет собой линейное дифференциаль-е в частных Производных первого порядка с начальным
134 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДц
условием P(z,0) = P(z) = Р»(°) z'> включающее в себя нец3в
г=0 '
ную функцию po(t), связанную с P(z,t) соотношениемpo(t) =
Вводя ПЛ
ОО оо
тг(г,б) = J e~stP(z,t)dt, tt0(s) = j e~stpo(t)dt. о о
его можно привести к линейному дифференциальному уравнещц,
s?r(z, s) — P(z) + 7 (z — 1) —tt(z, s) =
= [A (z - 1) - (z - 1)] tt(z, s) + (z - 1) тг0(4 '
Решение уравнения (6) при p > 7 с учетом начального усад>
тг(О, s) = 7Го(«) имеет вид
*M = Z т(1-2) J [^Н) + о
+------tto(s) in (1-нре -> du.
'уи J
Для определения тг0(,$) заметим, что (1 — стремится к беа нечностп при z f 1 и s > 0. Но тогда, поскольку тг(г, s) стреми
СО
к конечному пределу тг(1, .s) = J e~sldt = l/.s, то интеграл в Ирак о
части (7) должен стремиться к нулю, откуда получаем
1
лдЬ) = —-— / н?-1(1 — и) т ~1P(u) е~~dux
Р--3 J о
1
х [ I — г/) т </)/] о
Если же р < 7, представим решение уравнения (6) в виде
7r(z,s) = z’“t(1 - г);теЛ/ I И ~
IJ LV7 (u ~ 1) 7?z '
о
хн7-1 (1 — и)3е~~ ~ ~~ тго(в) uV-2l<fii 4- z т “1 ff0(s)}’
135
Система c конечным числом источников
j пользуя те же рассуждения, что и выше, находим значение Ло(в):
(1 —ы)т 1Р(и')е i dux
о
1
о
Наконец, случай р = у исследуется совершенно аналогично. Однако мы не приводим здесь решение уравнения (1) для этого случая, поскольку при р = у система М/М/1/оо с ’’нетерпеливыми” заявками с точки зрения распределения числа заявок в системе эквивалентна обычной бесконечнолинейной системе М/М/оо, рассмотренной в § 2.
Нестационарные характеристики, такие как распределение виртуального времени ожидания, распределение виртуального времени пребывания (времени, которое находилась бы в системе заявка, поступившая в момент t), виртуальная вероятность обслуживания (вероятность того, что заявка, поступившая в момент t, будет обслужена). находятся точно так же, как и аналогичные стационарные характеристики.
§ 4. Система с конечным числом источников
В предыдущих параграфах предполагалось, что входящий поток является пуассоновским, т.е., в частности, не зависит от того, сколько заявок находится в системе. Однако встречаются СМО, в которых это предположение заведомо не выполнено. К таким системам относится система с конечным числом источников, называемая также системой Энгсета по имени впервые ее исследовавшего с Энгсета.
„ Предположим, что в однолинейную СМО с накопителем конеч-К емкости т поступают заявки от т одинаковых источников, «ждыи источник может послать только одну заявку, и пока эта заяво Не Т обслужена (вернется в источник) источник других ник Не П0СЬ1лает- Время от момента возвращения заявки в неточно з ° М0Мента следующего поступления ее в систему распределено Ток °ненциальному закону с параметром А. Заметим, что ио-систе'к В?К такогС1 типа (с интенсивностью, зависящей от состояния Время к называют иногда пуассоновским потоком второго рода, ненпт,, _ л.Уживания каждой заявки также распределено по экспо-ному закону с параметром р.
136
Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОД^Л
Хотя входящий в систему Энгсета поток не является пуассо^ ским, она тоже относится к числу экспоненциальных.
Классическим примером системы Энгсета является обслу>К1! нис т станков одним ремонтником.
4.1. Уравнения, описывающие распределение числа явок в системе
Снова рассмотрим v(t) - число заявок в системе в момент i Процесс {^(t). t > 0} имеет конечное число состоянии, поскодц, максимум в системе могут находитьс я т заявок, и. следователь», множество его состояний X имеет вид X — {0,1,..., т}. УчЛ вая, что рассматриваемая система является СМО экспоненциал, ного типа, т.е. интервалы между поступлениями заявок в систем и времена их обслуживания распределены по экспоненциальному& кону, нет необходимости в подробном обосновании марковости про цесса {i/(t), t > 0} и его однородности, которое можно провести» аналогии с тем, как это было сделано в § 1.
Для определения вероятностей Переходов р;3 (А) за ’’малое” время А заметим, что из состояния г, г = 1, т, процесс за время Д может перейти в состояние г —1 с вероятностью рг/,-ДА) — рД+о(Д. В состояние г 4-1 за это же время он может перейти из состояв» г, i ~ 0, т — 1, с вероятностью (А) = А (т — г)А + о(Д), пе скольку если в системе находится г заявок, то число источники могущих посылать заявки, равно т — г, а каждый такой истот ник посылает заявку с вероятностью АД + о(Д). Наконец, вероятность того, что процесс не выйдет из состояния г. равна рг,(Д = 1—[А (т~г)+д] Д+о(Д) при г — 1, т и равна рг1 (А) = 1— Хгп А+о(Д при г~(). Вероятности остальных возможных переходов равны о(Д
Следовательно, принимая во внимание формулы (1.5.6) ! (1.5.19), мы показали, что процесс {i/(t), t > 0} является ПИ причем А, = А (т — г), i — 0, т — 1, а р, = //, г = 1, т.
Обычным путем получаем, что вероятности p,(t) = P{p(t)='l г = 0, ш, удовлетворяют системе уравнений:
РоЙ) = -mXp0(t) + ррДР),
p'(t) = ~[(m - 0 Л + + (т ~ г + i) Ap,-i(t)+ (j
+ pp,+i(t), г = l,m— 1,
Pm(0 = + Apm_i(t).
4.2. Стационарное распределение очереди
Поскольку процесс {c/(t), t > 0} является ПРГ с коне1#®; числом т состояний и все его состояния сообщаются между с°
137
Система с конечным числом источников
§ 1
„годичен при любых Лири его стационарные вероятности т°^0влетворяют следующей СУР:
д^-тАро+РРь
0=__[(т-г) А+р]р1+(тп-г+1)Арг-1+РРг+1, (2)
О^-рРт+^Р771—1 •
Мы как и раньше, предлагаем читателю получить СУР (2) с помощь10 принципа глобального баланса потоков вероятностей (см. диаграмму на рис. 3).
Am А (т-1) А(т—г+1) А(т—г) А(т—г—1) А
fj. li Р fi Р Р
Рис. 3
Применяя теперь принцип локального баланса, с помощью этой же диаграммы получаем следующие уравнения локального баланса:
А (т — i)p, = ppi+i, i — — 1, (3)
решая которые рекуррентно, находим:
Рг — Ро (m)i рг, г = 1,т,
m 1 / .\
Ро = []Р(т),рг] .
7=0
= А/м.
Стационарное среднее число N заявок в системе задается формулой
т N = РоУУ(т)грг.
д.
стационарной средней длины очереди Q получаем
т
Q -Ро 52(г - 1) (т)г рг = N - (1 - ро).
1аКИМ г=1
образом, справедливо равенство
N = Q + l-p0. (5)
138 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДЩ
Еще одно полезное соотношение для показателей производи тельности системы можно получить из (3) суммированием этих ра венств по г = 0,1,..., т — 1, в результате чего имеем
Х(т- N) = р(1~Ро)- (6
Последняя формула отражает равенство интенсивностей потоков За явок, поступающего в систему и обслуженного ею. Отсюда слеЛ выражение для такого важного показателя системы, как Ад~^ пропускной способности, или, что тоже самое, интенсивности вц хода из системы:
Ац = р (1 - ро) = A (m - N).
г-*. г m—N р .
= р0 > (m - 1)г р = —--------- = —- (1 - Ро .
т Хпг
Это равенство удобно использовать также для контроля вычислений.
Важной характеристикой системы Энгсета является стационар ная вероятность кг того, что произвольно выбранный источник мо жет послать заявку. Вспоминая пример с ремонтником, видим, чтс кг представляет собой стационарную вероятность станку находить ся в рабочем состоянии, которую называют стационарным коэ^ циентом готовности. Если в системе имеется i заявок, то про извольный источник находится среди способных посылать заявку: вероятностью (т — г)/т. Воспользовавшись формулой полной вер ятности, получаем т
Г- = > ------- Р>
т ... — __
1=0 г=0
4.3. Стационарное распределение времени пребывани заявки в системе
Так же, как и в системе М/М/1/оо, время ожидания начала обслуживания заявки, заставшей при поступлении в системе ? ДРУ1® заявок, г = l,m — 1, распределено;’по закону Эрланга Ег(х) с пар метрами р и г, т.е. имеет ПЛС ег(я) — (р/(я + р))’; если же г = (V1 поступающая заявка не ждет начала обслуживания, т.е. = "
Однако при вычислении безусловного стационарного распроА ления W(х) времени ожидания начала обслуживания нужно учест* что входящий поток заявок уже не является пуассоновским, поэтов стационарная вероятность наличия в системе i заявок непосреД0 венно перед поступлением произвольной заявки не совпадает со ционарной вероятностью р,. Для нахождения этой вероятности потребуется ввести дополнительные вероятностные конструкций! именно: рассмотрим случайную величину v~ — v(rn — 0), гДе момент поступления в систему n-й заявки. Нетрудно видеть. следовательность {и", п > 1} образует однородную цепь
139
Сист(Ма 1 конечным числом источников
Жество состояний которой совпадает с Л’ \ {т} Так как цепь МаРкова неприводима и непериодична, то существует ее предельное (стационарное) распределение, причем 1ш^ Р{р~ = ?} = pf > 0. Именно 7'7 и пРеДставляет собой стационарную вероятность того, что произвольная заявка застанет в системе в момент прихода г других заявок. Исходя из общих результатов для марковских (ио-ду^арковских) процессов (теорема 1.6.2), имеем, что стационарные вероятности рг и р~ связаны следующим образом:
- А,р, _-----------
Р, = у—, г —0,m—1,
где A, — A (m
A (m - TV) Отсюда с учетом (3) получаем
P, = Po —----Г7- , I = 0, m - 1
m - N
Возвращаясь теперь к стационарному распределению И'’(т) времени ожидания начала обслуживания произвольной заявки, получаем по формуле полной вероятности что его ПЛС имРет вид
V (—~Y»- = Ро V л (та),+1 + ' '"'А’
Поскольку время пребывания заявки в системе состоит из времени ожидания начала обслуживания" и экспоненциально распределенного времени обслуживания, то для ПЛС y(s) стационарного распределения I (,т) времени пребывания в < ис теме произвольной заявки справедлива формула
1 <p(s) = —
Р + 5
Стационарные средние времена ожидания начала обслуживания пребывания заявки в системе v задают я выражениями
«’=-ю'(0)= V Р» V г (т\ , , „>+1 =
^,+1 А(щ-1У)^ ( Н11
Ро п/ . г Q _ Q
1)(т)гР ~ Х(т-У) Хо1
V =
Ар ц
14о Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОдщ
Последнюю формулу с уютом равенств (5) и (6) можно привести.
виду
N
У'В
Отметим, что формулы (7) и (8) представляют собой анад>Г( формул Литтла для рассматриваемой системы.
4.4. Нестационарные характеристики
Нестационарное распределение {p2(f), г > 0} получаете я ищу грированием конечной линейной однородной системы дифферент альных уравнении первого порядка с постоянными коэффициента! (1) с учетом начального распределения {рг(0), г > 0} Нес±аЛ парные рас пределения виртуальных времен ожидания начата обеду живания и пребывания Заявки в с истеме и их с редине значения.[ также' средние1 длина очереди и число заявок в системе находятся в аналогии со стационарными.
§ 5. Система М1х'/М/1/оо с групповым поступлением заявок
‘ Система М^/М/1/оо отличается от с истемы М/М/1/ос +ольк тем. что заявки поступают в нее группами, а не поодиночке1 Пото, групп заявок является пуассоновским с параметром А, а в кажи группе1 приходит случайное число заявок с вероятностью к >1 того, что поступит ровно к заявок. Заявки обслуживаются по одно! и времена обслуживания заявок независимы и одинаково распред1 ле>ны по экспоненциальному закону с параметром /л Будем считать что группы заявок обслуживаются в порядке Их поступления; вн' три группы заявки обслуживаются в случайном порядке, т.е в№ ответствии с правилом, при котором произвольная заявка можи оказаться на любом месте в группе; из к заявок с одинаковой вере ОО
ятностью \/к. Ясно, что Z*. = 1, и, если Ц =1, к = 0. к 4’
В
то система M^/M/l/oo превращается в систему М/М/1/эс. |В Будем, по-прежнему, изучать случайный процесс Z
где p(t) чпе ло заявок в системе в момент t. Рассматриваемая Св является экспоненциальной, поэтому процесс {r(Z), t > 0} 6}# марковским и однородным, в чем несложно убедиться с помои'*’1' рассуждении, аналогичных приведенным в § 1. Очевидно, что жество с ос тояний процесса {;/(£), t > 0} имеет вид Л’ = {0.1 I *
Как заметил, наверное, внимательный читатель, до сих ® (§§ 1 4) мы шли по ’’накатанной дорожке”; определив марко®1’ '
141
5 Система /М/1/со с групповым поступлением.
оцесса {И*)’ * — 0}, доказывали, что он является ПРГ, а за-ПР выписав интенсивности переходов, позволяли себе некоторую Т тодическую роскошь и решали уравнения дм стационарных ве-ятностей состояний, хотя вполне могли бы получить последние из обших результатов для ПРГ.
Однако список таких ’’хороших” СМО, описываемых ПРГ не ст0ЛЬ велик и мы практически его исчерпали. В частности, процесс lu(t) t > 0} для рассматриваемой сейчас СМО уже не является ПРГ, что интуитивно ясно в силу группового поступления заявок. Поэтому, использовав полученный ранее опыт для составления опп сывающпх поведение СМО систем уравнений, мы будем дальше двигаться непроторенным путем и каждый раз находить новые с пос обы решения соответствующих уравнений. Хотя, как выяснится, и на этом пути окажется много типовых приемов, тем не менее таким легким, как раньше, он уже не будет.
5.1. Уравнения, описывающйе распределение числа заявок в системе
Итак, подготовив читателя к предстоящим трудностям, мы продолжим изучение процесса {v(t), t > 0}. Покажем более строго, что этот процесс уже не будет ПРГ. Действительно, как и для системы М/М/1/оо, вероятность выхода процесса из состояния г за малое” время Д равна (А + р) Д 4- о(Д) при г > 1 и А Д + о(Д) при г = 0 и, следовательно, р„(Д) = 1 - (А + ц) Д + о(Д) и роо(Д) -= = 1 ~ А Д + о(Д). Из состояния г процесс попадает в состояние г - 1 с вероятностью (Д) = р Д + о(Д). Однако из состояния г процесс {v(t), t > 0} может попасть не только в состояние г + 1, но и в состояния г+ 2, г+3,... . Поскольку процесс {//(t), t > 0} попадает из состояния г в состояние г + к, если в группе пришло к заявок. I в< роятность перейти за время Д из состояния г в состояние’ / + к равнар11+к(Щ = х Д/;,-[-о(Д) и, значит, процесс {;/(£), t > 0} уже не Удет ПРГ Вероятности других возможных переходов равны о(Д). т Учетом изложенного выше обычным способом получаем с ш -
. Дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятное теп СОСТ°янийР!(0=:р{;/МХ\}, г>0:
To(f) = -Ap0(t) + /cpt(t),
(X + + ppl+i(t)', г > 1. 1
j=o
142 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДеЛ
5.2. Стационарное распределение очереди
В предположении, что процесс {17(1), t > 0} -эргодичес^, (условия эргодичности мы выпишем ниже), стационарные вероЯ1 ностп состоянии рг, г > 0, определяются из СУР
о = -Apo + ДР1,
0 = -(А + д)р, + А^рД,-^ + цр,+1, г> 1. '2
, 7=0
Если исходить из принципа глобального баланса, то необхо димо заметить, что диаграмма переходов для СМО А1^/М/1/а имеет уже более < ложный, чем прежде, вид. Рассмотрим отдел ные < ос тоянпя этой диаграммы, показывая, как и прежде, стрю ками (с Оказанием соответствующей интенсивности), входящими овал, из каких других состояний можно перуптп в рассматриваемое состояние и выходящими куда можно выити из этого состов (рис 4) Случаи а отражает ситуацию для состояния 0, а случи б для остальных состоянии г, г >1. Следует отметить, что, во обще говоря, при составлении системы уравнений равновесия нет необходимости показывать на диаграмме, в какие конкретно состояния можно выити из данного состояния, а важно лишь указать за счет какого события (поступления или окончания обслуживания происходит выход
Для выписывания уравнении локального баланса обозначимте рез X, множество состояний X, = {0,1, Будем рассуждав
следующим образом (рис 4 в): рассматривая переходы из мне Жества X, в множес тво X, = X \ Хг (вправо) и обратно (влево: констатируем, что суммарный поток вероятностей вправо равен А £2 PjL^j, где L(i = 1 и L, = 1 — У) 13, г > 1, вероятность пос тупления В группе более, чем i заявок, и влево -ppi+i. Приравняв эти потоки, имеем
A^Ppji,-; = pp,+i, г > 0. 3
j=o
Для проверки равенств (3) мы предлагаем читателю получить непосредственным суммированием уравнении (2) при г = 0,1-••Д1
Поскольку процесс {и(1), 1 > 0} не является ПРГ. мы У*6 можем выпис ать решение этой системы в явном виде. Но мы Я®* получить рекуррентные формулы для расчета р,, исходя из
j Система
/М/1/ос с групповым поступлением
143
□DzrCZ)
а
Рис. 4
(3). Действительно, вводя величины тг = рг/ро, г > 0, из (3) получаем
1-1
тг = г>1, (4)
У=о
гДе р — с другой стороны, суммируя (3) по г = 0,1,... , с Учетом условия нормировки Г, рг = 1 имеем после суммирования в левой части г=°
\ ОО оо оо оо оо
J=0 г=0 J=o j=Ofc=j+l fc=l
Г'Дб /
РеДнее число заявок в группе, а в правой части—/л(1 — р0), л
144 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОД^
что приводит нас к соотношению
/А = р(1 -р0)-
Отсюда следует, что
Ро = 1 - Р, I
где р =; I р = IX/р.
Таким образом, рекуррентные формулы (4) вместе с форму,, (5) позволяют при заданном распределении {Zj, j > 1} вычисли-стационарные вероятности рг, г > 0.
Заметим, что из (5) следует необходимость условия р < 1 дЛЯс ществования стационарного режима. Поскольку все состояния пр. цесса { ы (/), t > 0} сообщаются, то, применяя критерий рсгулярь сти (теорема 1.5.1) и теорему Фостера 1.5.5, можно показать,,; это условие является также достаточным. Условие р < 1 очевида поскольку IА—среднее число поступающих в систему заявок за ед ницу времени, а р—среднее число заявок, которое прибор может; единицу времени обслужить.
Итак, мы показали, чторо = 1— р, и тогда по формуле (4) мож рекуррентно вычислять рг. Однако рекуррентное соотношение! не дает возможности находить моменты стационарного распред ОС ления числа заявок в системе, поскольку из сходимости ряда £
оо оо
еще не следует сходимость рядов ip, , *2Рг и Т-Д- Поэтому й
г~0 г=0 '
выпишем также СУР (2) в терминах ПФ.
Введем обозначения: i ,
оо оо I
P(z) = £>‘, ь(г) = £/,?.
г=0 г=1
Умножая г-е уравнение системы (2) на zl и суммируя, получаем
оо оо оо оо
0 = —(А + р)У^ргг‘ + А^Рг-г’У^^^ + РРо + рУ^Р»2'1 ' г=0 г=0 J = 1 г=1
= -(А + /г) .P(z) + АР(г)1(г) + ^P(z) + РРо(1 -
Решая последнее уравнение, находим
1 — %
Р(^) = Р (1 - р) (1 _ 2) _ д2 [1 _ L(z)] ’
Моменты числа заявок в системе легко получить с дифференцирования ПФ в точке z = 1 соответствующее
ПоМ0®"'
145
CvcW(Ma /М/1/vj с групповым, поступлением § 5 ''
таиионарпое среднее число заявок в системе задается фор-
МР0’1 /(2) + /
N = r'^ = W^^
j(2) — ^2 —второй момент числа заявок в группе.
В ' 1
Дтя стационарной средней длины очереди Q очевидным образом потечаем
Q = N - р-
Из полученных формул видно, что стационарная средняя оче-дь конечна тогда и только тогда, когда конечна дисперсия числа заявок в группе
5.3. Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе
Как и в системе М/М/1/оо, если поступившая группа заявок застает.в системе еще г заявок, то первая заявка из группы будет ожидать обслуживания время, распределенное по закону Эрланга /'.(.<) с параметрами р и г, если г > 1. и время, равное нулю, т е. имеющее ФР E(1(.r) = w(r). если г = 0. Поэтому по формуле полной вероятности стационарное распределение 1У*(.т) времени ожидания начала обслуживания первой заявки из пос тупившей группы имеет П1С
= / е—сШ7*(.г) = £ = Р(-^ -)
Для нахождения с тационарного рас пределения времени ожида-начала обслуживания произвольной заявки заметим, что она §°ГпПаСТ ° пс1’оятпостью к lk/l в группе, содержащей к заявок (см. чтой ' Прич<м с одинаковой вероятностью 1//г на любом месте в 0Нд, П’Уппе. Но если заявка приходит на _/-м месте в группе, то т начала своего обслуживания после момента начала обслу-Э1>1ан'1Я ПСРВОИ }аявки из группы время, распределенное’ по закону если _ с паРаметрами и/-1 (ясно, что это время равно нулю, з;щв а г - Значит, по формуле полной вероятности произвольная н,1чала Т ОЖИДАТЬ начала своего обслуживания после момента служивания первой заявки из группы время, имеющее ПЛС
Z’/ ___ 1 , , оо 1 _ / я .Л-
к 1 -fe=l С + «
10 2717
146
Гл 3 ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ М&дк = /£+2Г1_ь(_^_)1.
Is I p+s J
Поскольку общее время ожидания начала обслуживания пр0). вольной заявки состоит из времени ожидания начала обслуживЛ первой заявки из группы, в которой она поступила, и времени началом обслуживания первой и произвольной заявок, для П 4С сг ционарного распределения И7 (ж) времени ожидания начала обелу4 вания произвольной заявки справедлива формула
w(s) = J e~s:rdW(x) = w’(s) О
Is I > + > + s
Стационарное распределение У(х) времени пребывания прог вольной заявки в системе имеет ПЛС
ОО
+(s) = [ e~sxdV{x) = -^-a>(s) =
' J p,+ s 1st /1+s J
0
Стационарные средние времена ожидания начала обслуживаю w и пребывания в системе v произвольной заявки задаются вырЯ ниями:
Q
N
'rm /(2>+/ 1
1 /(2> + i
V =х -</(()) =?(?+-= ----—-------
/1 2 /11 (1 — р)
где А = ЛI, представляющими собой формулы Литтла для даня СМО.
В системе с групповым поступлением заявок иногда быи важно определить стационарное распределение времени преоыва» в системе всей поступившей группы заявок. Эту задачу мы п« < тавляем читателю.
5.4. Нестационарные характеристики
Для нахождения распределения {/>, (t), г > 0} числа заяв системе в момент t введем ПФ
ОО p(z,t) = г=0
§ g Система M/Em/l/co 147
чаТеМ применим ПЛ а3 со
7r(z,s) = J e~stP(z,t)dt. о
Тогда система (1) дает уравнение
sir(z, s) - P(z) = [a L(z) - А - fi + ?r(z, s) + fl л0(«) (1 - ,
oo
где F(z) = 52 P«(0) —ПФ числа заявок в системе в начальный мо-г—О
со
мент, а тго(«) = jf e~stPo(t) dt. Последнее уравнение решается точно о
также, как и аналогичное уравнение для системы М/М/1/оо, за исключением того, что квадратное уравнение (1.8) заменяется функ-циональным уравнением
s-XL(z) + X + fi- = 0. Z
Нестационарные распределения виртуальных времен ожидания начала обслуживания и пребывания заявки в системе определяются, как и такие же стационарные характеристики.
§ 6. Система М/Ет/1/оо
В системах обслуживания, у которых в соответствии с классификацией Кендалла на одном из первых мест (или даже на обоих) стоит либо Е, либо Н, число заявок п(1) в системе в момент t уже ие будет марковским процессом. Однако для таких систем также можно построить марковский процесс с непрерывным временем и Дискретным множеством состояний, описывающий их функционирование. Для этой цели служит метод ’’фиктивных фаз”, основанный на идее вероятностной фазовой интерпретации распределений типа PH. Эта идея подробно изложена в § 2.8, и мы лишь вкратце омним ее здесь в приложении как для входящего потока, так и времени обслуживания эрланговского типа. '
к, если входящий в систему поток является эрланговским (Е/) тами етРами А и Z, то интервал между двумя соседними момен-Димых°СТУПЛеНИЯ Заявок можно разбить на I последовательно прохо-Меж К <^>а3 (этапов), причем времена прохождения фаз независимы кону с с°б°й и одинаково распределены по экспоненциальному за-ланговПаРаМетРом При такой вероятностной интерпретации эр-прохлх, °Г0 потока реальная заявка поступает в систему лишь после
Х°жДения всех / фаз
10-
148 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДЕд*
Для эрланговского с параметрами // и т распределения BpejjJ обслуживания предполагается, что каждая заявка на приборе ходит т фаз обслуживания, длительности которых распределены П(. экспоненциальному с параметром // закону, и только после окоц^ ния обслуживания всех т фаз она покидает систему.
Такой подход, как уже было отмечено в § 2 8, можно исподу вать и в случае, когда входящий поток заявок и/или их времена служивания описываются допускающими аналогичную вероятное^ ную трактовку распределениями фазового типа (РН-распредедеВ11. ями), частными случаями которого, как мы знаем, являются эрлан. говское, гиперэкспоненциальное и ряд других распределений. Од нако, придерживаясь избранной нами стратегии идти от простоте к сложному, мы отложим рассмотрение этого более общего слу>л до следующей главы. Здесь же мы изложим более подробно метод фиктивных фаз на примере СМО М/Ет/1/оо.
Итак, рассмотрим однолинейную систему М/Е„,/1/оо с накопи толем неограниченной емкости. На вход системы поступает пуас < оновский поток заявок интенсивности А. Времена обслуживания заявок независимы между собой и распределены по закону Эрланга с параметрами ц и т.
6.1. Система уравнений, описывающих марковский
процесс
Рассмотрим, как обычно, н(1) -число заявок в системе в 1» мент £, и, кроме того, пусть £(£) число фаз, которое осталось об служиться заявке, находящейся на приборе в этот момент. Пронес {p(t), t > 0} не является для данной системы марковским (в си» того, что эрланговское распределение не обладает свойством отсутствия последействия), однако на его основе с учетом дополнительное информации о числе £(t) фаз, оставшихся до окончания обслужив® ния заявки, мы определим новый процесс t > ()}, которое
будет таковым. Если в системе в момент t нет заявок, т.е. v(t) то мы положим т/(() = p(t); так как обслуживание в этом случаев происходит, то марковость 'ij(t) для таких моментов обеспсчивае® пуассоновостью входящего потока. Если же в системе в момея1' происходит обслуживание (p(f) > 0), то мы дополнительно укаЖ*' значение £(t) и> следовательно, положим '//(/) = (zy(/), в с11'т' экспоненциальности фаз обслуживания и. опять-таки, пуассово®0 сти потока для таких моментов времени '//(/) обладает свойс1®”' марковости.
Следовательно, процесс {//(Л), t > 0} будет являться марЯ ским и, как нетрудно видеть, однородным. Множество состо®Ц этого процесса имеет вид X = {(О);(г,у), г = 1,... , j =
149
§ g Система. М/Ет/1/оа
состояние (0) соответствует свободной системе, а в состоянии где коМпонента i указывает число заявок в системе и j —число фаз, авппдая до конца обслуживания заявки, находящейся в данный "омеяг на приборе.
Определим теперь вероятности перехода процесса t > 0} за промежуток времени (t, t + Д).
Из состояния (0) за "малое” время Д возможен переход только состояние (1,»п) с вероятностью АД 4- о(Д) (поступила заявка и началось обслуживание ее первой фазы).
Из состояния i > 1, ji = 2,m, возможны переходы в состояния (г + 1, у) с вероятностью А Д + о(Д) (продолжается обслуживание той же фазы заявки, находящейся на приборе, но поступила еще одна заявка) и (г, j — 1) с вероятностью р Д 4- о(Д) (окончилось обслуживание очередной фазы заявки, находящейся на приборе).
Из состояния (г, 1), г > 2, переходы могут произойти в состояние (г 4- 1,1) с вероятностью А Д 4- о(Д) (поступила новая заявка) и в состояние (г — 1, т) с вероятностью р Д 4- о(Д) (окончилось обслуживание последней фазы заявки, находившейся на приборе, она покинула систему, а вновь поступившей на прибор заявке нужно пройти все т фаз).
Наконец, из состояния (1,1) возможны переходы в состояние (2,1) с вероятностью А Д 4- о(Д) (поступила новая заявка) и в состояние (0) с вероятностью р Д 4- о(Д) (окончилось обслуживание последней фазы единственной находившейся в системе заявки).
Вероятности остальных возможных переходов равны о(Д).
Поскольку любое состояние, кроме состояния (0), непосредственно связано более чем с двумя состояниями (например, из состояния (1,1) можно непосредственно перейти в состояния (0) и (2,1), а в состояние (1,1) можно попасть из состояния (1,2)), то, как и следовало ожидать, марковский процесс t > 0} уже не будет 1»ГЛ1олагаяр0(г)^Р{1/(#)=0}, p4(t) = P{j/(t) = i,£(t) =j}, i>l. 1 ~ и предоставляя читателю провести подробный вывод, выпишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
Ро(<) = -Ap0(t) + ppn(t),
pijW = ~(А 4-p)p13(i) 4-ppi tj+1(t), j = l,m - 1,
= -(A+p)p1TO(t) + Ap0(t) + pp2i(t),
t) (A + p)pJ3(t) 4-Ap,_ld(t) 4-ppM+i(t),
* - 2> j = l,m - 1,
Plw(/) = _(д + p)pwi(t) + Api_liTO(i) 4- pp,+i,i(t), г > 2.
150
Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ
Torn
6.2. Стационарное распределение очереди
Предположим, что СМО функционирует в установившемся жиме (условие его существования мы сформулируем ниже), стационарные вероятности ро и рг] удовлетворяют СУР
О = —Аро 4-ДРи,
О = -(A +p)pi3 + ДР117+1, j = l,m-l,
О = -(А + p)pim + Apo + РР21,
0= -(А + р)рч +Арг_1>7 +pplj+i, г > 2, j =
0 — (А 4“ д) Ргт 4" —1,т 4" РРг+1,1, ? > 2.
Как и раньше, поясним СУР (2), трактуя ее как систему ypas нений глобального баланса и используя при этом диаграмму пере, ходов, изображенную на рис. 5. Тогда, например, для состояла (г,у), г > 2, 'I = 1,т — 1, (см. рис. 5 г) имеем, что суммарный поток вероятностей, выходящий из него равен (А + д) />,( (мЬ] не указываем, в какое состояние происходит переход из состоянй (г,./)), а входящий—Арг-1,7 + РРг,3+Г, приравнивая эти потоки, получаем предпоследнее уравнение в (2). Вывод остальных уравнений аналогичен.
Рассмотрим теперь подмножества Хг состояний с не более, чем г заявками в системе: /С0={(0)}, Л'г = {(0); (к, j), k = l,i, j =l,m} г > 1. Применяя принцип локального баланса и приравнивая встреч ные потоки вероятностей между множествами Л) и Л)+1. г >0 (рис. 6), получаем равенства
Ар0 = дрц,
Арг,. = дрг+1,1, г > 1, где символом здесь и в дальнейшем будем обозначать с ммиро ванне по всем возможным значениям дискретного аргумента соответствующей функции. Вывод уравнений (3) можно также ocyiff ствить последовательным суммированием сначала по j = 1,2,. • • ,5 при фиксированном г, а затем по г = 1,2,... и мы предлагаем сДе' лать это читателю.
Вернемся снова к уравнениям (2) и просуммируем их по ’ ' = 0,1,... при фиксированных значениях j = 1, т — 1. В результат1 получим, что др = др j+1, ] = 1, т — 1 и др.:„, = рр.д, т.е.
Рд = Р-,2 = =Р,т- II
Далее, из (3) и условия нормировки ро -bp., = 1 следует paW ство
А = др.д,
Система М/Ет/1/оо
151
Рис. 5
Часть (5) есгьРаЧНЫ^ Физическ™ смысл Действительно , левая В;ад Т!(_>Ток Ь интенсивность входящего в систему потока, а пра-’ выходящего из нее, а так как в системе нет потерь,
152
Гл. 3 ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОдЛ
то в стационарном режиме эти интенсивности должны совпадай Из (4) и (5) получаем, что
Р ,з = P, 3 =
где р = А/p. В < вою очередь, последнее равенство вместе с условие нормировки позволяет определить р0\
Ро = 1 - р, с
где р = тпХ/р = ХЬ. а b—среднее время обслуживания. Вели'Я р естественно назвать загрузкой системы. Равенство (6) показы вает, что и для данной системы выполнение условия р < 1 являете необходимым для существования стационарного режима Ниже мь покажем и достаточность этого условия.
Зная р0, мы можем теперь рекуррентно вычислить вероятное® р,,, исходя из уравнений (2). Действительно, из первого уравнен® в (2) вычисляем рц, из второго -piy, } = 2, in, из третьего --P;i из четвертого при г = 2 p2j> 3 — 2,т, из пятого р.п-, затем в четвертого и пятого уравнений при г = 3 -рз.3, 3 = 2, т и рц и тЗ
Справедливости ради нужно заметить, что осуществляемые та ким образом вычисления иногда могут приводить к большим грешностям в силу того, что приходится складывать числа с пр11 тивоположными знаками. Однако существуют и другие мето> позволяющие производить вычисления вероятностей ptJ более ЭЧ фективным образом в смысле их устойчивости, это матричны»! матрично-геометрический подходы, с которыми мы познакомив в следующей главе. Сейчас же мы остановимся на традинио»00, решении СУР (2) с помощью ПФ
Система М/Ет /1/оа
153
Введем ПФ
оо
РЛг) = ^Рг3г1.
1=1
Умножая уравнение для p2J на zl и суммируя, получаем
о = -(А +р) Р3(г) + Аг Р3(г) + РPj+1 (z), j = 1,т—1.
О = -А (В„(г) +ро] - р Лп(г) + Аг [Pm{z] + ро] + | Р\ (г).
Выражая P,+i(«) через Р,(г)> находим
Р3(г) = [1 + Э(1-<'’1Л(г), J = 2^, _ , . pz (1 — г)
~ Г-г[1+р(1-г)]™Р°'
Тогда ПФ Р(г) стационарного распределения числа заявок в системе определяется формулой
РИ = Ро + Р.(г) = (1 - р) (7)
Стационарное среднее число Л’ заявок в системе и стационарная средняя длина очереди Q равны
о = Ai + £)
У 2(1-р)
(последнее равенство следует из очевидного соотношения N = Q+/>)-Стационарные вероятности р, = р7, того, что в системе находится ровно i заявок, можно найти в явном виде Для этого нужно ^предедить все нули гр, г15.. , z,„ знаменателя дроби в равенс тве (7), Решить алгебраическое уравнение т + 1-и степени
1 — z [1 Т р (1 — z)]m = 0 (8)
очесе11'*4’ 1Т° 0,дин нуль знаменателя (пусть это будет г()) вполне По м ДРН г° ~ 1 (можно показать, что ос тальные нули различны п пРо. ^Алю больше единицы). Представляя теперь Р(г) в виде суммы <тых дробей
154 Гл 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДеА
и вспоминая, что р, = F(l) (0)/г!, получаем после дифференцировЛ
Точно так же находятся стационарные вероятности рг] =
Покажем теперь достаточность условия р < 1 дтя эргодпчН() сти процесса {pit). t > 0}, описывающего СМО М/Е,„ Д1я этого во< пользуемся следующим результатом, доказанным . laj бергом в работе [71]. в марковской СМО достаточно общего щц.,, с неограниченным накопителем на входе для существования с тадя онарного режима достаточно выполнение условия А < Ау, где интенсивность входящего потока, а Х*1} интенсивность выхода щ такой же СМО, но в которой входящий поток заменен бункере J неограниченным запасом заявок.
Обозначим вновь введенную СМО с бункером на входе через В/Е,„/1. Как легко установить, функционирование этой СМО опв (ывается лишь процессом {£(/), t > 0} (напомним, что в соответ ствии с приведенным ранее определением £(/.)—число оставшюи фаз обслуживания заявки, находящейся на приборе в момент t). который задан на множестве состояний X = {1,2,.. .г»} и является марковским. Поскольку все состояния процесса {£(/) t > 0} общаются, то он является неприводимым и, следовательно, существуют стационарные вероятности р* = lim Р{£(/.) = ;}, удов®-творяющие следующей СУР:
0 = -ЦР* + /4>*+ы .7 = 1. т - 1, 0 = ~РР*т + рр{-
Вывод этой сис темы уравнений с помощью принципа глобальней1 баланса с учетом рис. 7 очевиден.
t
Рис. 7
155
§ 6 Систем М/Ет/1/<х
решая последнюю систему вместе с условием нормировки с1 » _ 1 получаем, что р* = 1/m, j = 1,т. Так как заявка %Рз "
З'1 Рт систему лишь после завершения фазы 1, то интенсивность РоК а определяется как Ар = рр{ = р/т Таким образом, выход \*D равносильно условию тХ/р < 1 или р < 1.
УСЛ°Заметим, что для применения условия Лавенберга в более об-
марковских СМО требуется, чтобы модифицированная система Анкером на входе не имела внутренних потерь и описывалась неприводимым марковским процессом с конечным числом состояний.
6.3. Стационарное распределение времени ожидания заявки в системе
Распределение времени ожидания начала обслуживания заявки, заставшей в момент поступления в системе г > 1 заявок, в случае, когда заявке, находящейся на приборе, осталось пройти еще j фаз обслуживания, является эрланговским Ei\x) с параметрами р и I, где I = т (г — 1) + j общее число фаз обслуживания всех заявок, находящихся в этот момент в системе. Если же заявка поступает в свободную систему, то она немедленно начинает обслуживаться. Воспользовавшись формулой полной вероятности, получаем для ПЛС стационарного распределения П'(.т) времени ожидания начала обслуживания формулу
yc-^w)=P0 + LL “I
О !=1 »=!
(i-l)m+j
Pij =
=Po+f^Y’V ( Yf(( П = - s^+g)-,(1_--£)_.
Р° V м J Mp+J A\i+s’ ' (s-A)(p+s)-+Ap-
7=1
Стационарное распределение V(x) времени пребывания заявки в системе имеет ПЛС
-s//r7i(1p)
\ f-L -j- s )
_ (s - A)(p + s)m + A pm 0
и п 17ационаРные средние времена ожидания начала обслуживания ывания заявки в системе определяются выражениями:
и, = -j(0) = = 2
2p(i-p) А
р(1 + £)1 =N
2 (1 - Р) J А ’
-^'(0) = — [1 + /'
V =
156 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДЁ^
т.е. опять-таки мы получили формулы Литтла, связывающие чины w и v с величинами Q и N соответственно.
Аналогично тому, как это делалось при вычислении стациОц^ ных вероятностей рг, ФР 1У(х) и V(x) можно найти в явном Для этого нужно определить т + 1 корней «о, s т,..., sm алгебру ского уравнения
(s - А)(р 4- »)”’ + Хр.т = О, (t
а затем представить w(s) и ^(s) в виде суммы простых дро^ и перейти к обратному преобразованию Лапласа. Подробные ц кладки мы предлагаем проделать читателю самостоятельно. За», тим только, что корни уравнений (8) и (9) связаны между собо соотношениями st = А (1 — г,), поскольку замена s = А (1 — z) при», дит уравнение (9) к уравнению (8).
6.4. Нестационарные характеристики
Нестационарные вероятности состояний ро (t) и р,:,В) находят из с истемы (1) с помощью введения ПФ РДг, £) = £ Ръ W г*: В
=-(А4-р)Р,(гД)4-АгР,(г,0 Ч-р-Р,+1(М),
.7 = 1, пТ^Т,
q- ~Po(t) = -A[Fm(z,t) +po(t)] - pPm(z,t)+
4- Az [7ф„ (z, t) 4- Po(t)] + ~ Fi(z,t).
Последнюю систему дифференциальных уравнений легко привести обычной линейной алгебраической системе с потмощью ПЛ
= f x0(s) = Je~stpo(t)dt:
о о '
SJT;(z,s) ~ Fj(z) = — [A(l - z) +p]?Ij(2?,s) -I- p7Tj+l(z.s), J
j — T, m — 1,
s irrn(z, s) — 7^m(z) 4- s 7T0(s) - po = -[A (1 - ) 4- p] s^'
- A (1 - z) 7t0(s) 4- ^i(z,s)-
Здесь P3{z) = y; p!J(0)z’, po = po(0)~начальные условия ФЯ ’ »=i — /»Д
онирования системы. Дальнейшие шаги по нахождению том числе определение тго(-т), мы предоставляем! читателю.
157
Ценима M/M/1/0 с повторными заявками § 7
иестационарные распределения виртуальных времен ожидания обслуживания и пребывания заявки в системе и средние не-^^оцарные характеристики системы находятся точно так же, стационарные.
§ 7. Система М/М/1/0 с повторными заявками
Большинство реально существующих телефонных систем нель-описатьни СМО типа M/G/n/oo, ни СМО типаМ/G/n/O: с одной стороны, заявка, заставшая все п приборов занятыми, получает отказ и поэтому очередь в системе не образуется; с другой стороны, часто заявка, получившая отказ, повторяет попытку соединиться с вызываемым абонентом, т.е. в системе возникает поток повторных заявок.
Рассмотрим возникшую ситуацию на примере простейшей модели-системы М/М/1/0 с повторными заявками. В этой системе, как и в обычной СМО М/М/1/0, входящий поток пуассоновский с параметром А, а времена обслуживания распределены по экспо-ненциальному закону с параметром р. Однако заявка, получившая отказ, становится в очередь повторных заявок, существенно отличающуюся от обычной очереди.-
Во-первых, повторная заявка не может попасть на прибор сразу же после ого освобождения. Она может попасть на него только тогда, когда произошла повторная попытка, и при условии, что в этот момент прибор свободен. Повторные попытки каждая заявка производит через случайное время, причем мы предположим, что оно распределено по экспоненциальному закону с параметром 7.
Во-вторых, после каждой неудачной попытки занять прибор заявка (как вновь поступившая, так и повторная) может уйти из сис-рМЫ с вероятностью q.
Разумеется, даже при наличии повторных заявок после освобо-кДения прибора на него может попасть вновь прибывшая заявка.
п Уравнения, описывающие распределение числа Вт<>рных заявок в системе
врем\'1ССМотРим ,у(0 число повторных заявок в системе в момент Зандт™ *11 Х(1) величину, равную в момент t единице, если прибор дву,. °бслуживанием заявки, и нулю в противном случае. Тогда Процссс {??(<), t > 0} = {(u(t),x(t)), t > 0} будет = 0 ] ИК1’ опРеделенным на множестве состояний X = г = Всцсте",’ = 1}’ где пребывание в состоянии (г,/) означает, что
* ИМеется i повторных заявок и прибор свободен, если j = 0, I лт> если j — 1
158 Гл. 3 ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДщ
Так как рассматриваемая система является экспоненциалу^ типа, то обоснование марковости и однородности процесса t > 0} не должно вызывать затруднений.
Выпишем вероятности переходов процесса {g(t), t > 0} за межуток времени (t, t + Д).
Из состояния (г,0), г > 0, за ’’малое” время Д можно с вер(. ятностыо А Д + о(Д) перейти в состояние (г, 1) (поступила н0Ва, заявка, которая сразу же начала обслуживаться) и с вероятности гу Д + о(Д)—в состояние (г — 1,1) (произвела удачную повтору попытку одна из г находящихся в системе повторных заявок).
Из состояния (г,1), г > 0, система за время Д с вероятность» fi Д + о(Д) может перейти в состояние (г, 0) (окончилось обслужив» ние заявки, находившейся на приборе), с вероятностью А ( ! - <;) Д_ +о(Д) -в состояние (г +1,1) (поступила новая заявка и, застав при бор занятым, с вероятностью 1 — q осталась в системе и стала повторной) и с вероятностью гуд Д + о( Д)—в состояние (г — 1 1) (одаг из г повторных заявок произвела неудачную попытку и после этой ушла из системы).
Вероятности остальных переходов имеют порядок о(Д).
Ясно, что марковский процесс {g(t), t > 0} не является ПРГ.
Обозначим через ptf>(t) = Р{п(/) = i,y(t) = 0} вероятно* того, что в системе в момент t находится г повторных заявок и прибор свободен, а через pa(t) = P{n(t) = i,\(t) = 1}—вероятность того, Что в системе находится i повторных заявок и прибор занят обслуживанием. Тогда для р,3 (t) справедлива система дифферент альных уравнений Колмогорова:
р'о(С = Pio{t) + ppa(t), г > 0,
pOi(t) — —[А (1 — q) + fi] poi (t) + Ap00(t) + 7Pio(i) + 7g pn, p't(O = Ч-Ч1 - 0) + p + «7?]P2i(C + A(1 - g)p,-i,i(i)+
+ Ap!0(t) + 7(« + l)p!+li0(i) + 7g(i + l)pl+lil(t), г > 1.
7.2. Стационарное распределение числа повторны» заявок
Как обычно, СУР для стационарных вероятностей состояв® Pij (в предположении, что они существуют) получается, если в <,,f теме (1) заменить производные нулем:
0 = -(А + 17)р,о + ДРгь, i > 0,
0 =-[А (1 - д) + д]рм + Ар00 Турю + ygpii, (2
° = (1 - 9) + М + «?g]p,i + А (1 - g) рг_1Д + Арг0+
+ 7 (г + 1) Рг+1,о + 7? (г + 1) Pi+1,1, г > 1-
159
„ Смгтелй М/М/1/0 с повторными заявками
Поясним вывод системы (2) с помощью принципа глобального баланса. Будем считать, что читатель получил уже достаточные навыки работы с марковскими процессами, описывающими функционирование СМО экспоненциального типа или даже марковского, но преобразуемых к экспоненциальному, подобно системе М/Ет/1/ос. Поэтому при выписывании уравнений глобального баланса не будем рисовать диаграмму переходов, а будем отслеживать все возможные входы в состояние и выходы из него ”в уме”.
Так, суммарный поток вероятностей (А + гу) рг0 выхода из состояния (г, 0) образуется за счет поступления на прибор либо новой заявки, либо одной из i повторных, а прийти в это состояние можно лишь после завершения обслуживания на приборе (поток вероятностей равен pPti)', равенство этих потоков дает первое уравнение (2).
Из состояния (0,1) можно выйти (суммарный поток вероятностей равен [А (1 — g) + p]poi) за счет либо поступления новой заявки, заставшей занятым прибор и ставшей (с вероятностью 1 — q) повторной, либо завершения обслуживания заявки на приборе, а прийти в него можно либо при поступлении заявки в свободную систему (поток вероятностей равен Ароо), либо при удачном завершении попытки единственной повторной заявки (поток вероятностей равен урю) и либо, наконец, при неудачной попытке повторной заявки (поток вероятностей равен удрц); это дает нам второе уравнение системы (2).
Аналогично объясняется последнее уравнение.
Для того чтобы решить СУР (2), просуммируем первое соотношение этой системы от г+ 1 до оо, а третье от г до оо. Складывая между собой получившиеся результаты, приходим к следующим равенствам:
Ароо — О Pci, /3)
Ар,о + А(1 - g)p,-i,i = (р + nq)P.i, г > 1.
Мы предлагаем читателю вывести эти равенства, исходя из соотношении локального баланса.
Выражая теперь из первого равенства СУР (2) р,0 через р?1 и
ПоДставляя в (3), получаем соотношение
(р + i^q - -т~—) p,i - А(1 - д)рг_1д, г > 1,
\ Л + гу/
второе с учетом первого равенства (2) позволяет с е точностью до Роо Вывести выражения для вероятностей p,j, имеющие следующий
160
Гл 3 ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ
вид:
I
РгО =Р00 CTt
3 = 0
г (4
Р,1=РооП^’ 1 - °’ / 3 = 0
где t
О - п - ~ О — л(! ~9)(Л + г7) _ Р
° /I ’ ' 'О' (м + (Й + i<n) ’ 1 + h ’
Вероятность р0() находится из условия нормировки р . = 1;
wo = [52(1+сг’) Пл] . г=0 J=o
Можно показать (мы предоставляем это читателю), что если §>(1 то ряд (5) сходится при всех значениях А, р и у > 0. а если q =С то только при р = А/р < 1. Более того, в этих случаях сущей вуют стационарные вероятности р;А, г > 1, j = 0,1 (доказатель ство этого факта, которое мы здесь не приводим, можно провеет по < тедующей с хеме: во-первых, показать регулярность процесс? {»/(!), > 0}, исходя из первоначального определения и псполь
зуя то свойство входящего потока, что число поступлении заявок» любом временном интервале конечно, а число изменений состояние процесса {?/(/), t > 0} не может превосходить число поступлеи* заявок более чем в три раза; во-вторых, воспользоваться теореме Фостера 1.5.4).
Таким образом, формулы (4) и (5) позволяют вычислить ставив парные вероятности рг]. Однако для полноты картины мы приведи вывод этих же формул с помощью ПФ.
Вводя ПФ Pj(z) -= 52 Р<з^', j = 0,1, умножая г-е уравнение в г=0
г1 и суммируя, получаем
0 = -APo(z) “ 7zfo(z) + рГЦг),
О = А По (г) + ?+о(г) - [А(1 - g)(l - z) + р] Fi(z)+ + 79(1 - г)И((г).
Последняя система двух линейных однородных дифференШИ\ ных уравнении приводится к уравнению Бесселя. Мы для пр(|ГГ'* ограничимся здесь частным случаем абсолютно настойчивых I явок, при котором каждая заявка повторяет попытки до тех 1,01
161
у М/М/1/0 с повторными заявками
не „бслужится (общий случай мы предлагаем для исследования П<> чтелю, хорошо знакомому с функциями Бесселя). В этом случае 4 - 0 и система (6) имеет вид
О = ЛР0(г) фуР^г) - [А(1 - г)фр]Р|(г).
Выражая из первого уравнения P/z) через Р0(г) и подставляя во второе, получаем
а (1 - рг) Щг) - рР0(г) = О,
Где р = Д/р —загрузка системы, а а = у/А. Решение этого уравне ния имеет вид
Ро(г) = С(1-рг)-^. '
Отсюда и из первого уравнения (7) следует
Р|(г) = Ср(1-рг)-1^.
ПФ Р(г) стационарного распределения чис ла повторных заявок в системе задается выражением
Р(г) = Р0(г) + А(г) = С[1 + р(1 - г)](1 - рг)-'-*.
Постоянная С определяется из условия нормировки Р(1) = 1, т.е.
С=(1-р)1+1/“.
Дифференцируя по г функции Р0(г) и Pi (г) и подставляя г — О, получаем выражения для вероятностей р,0 и р,р.
р*> = р0(!)(0) = (1 - р)1+^ р‘ + ' ~ ,
Ai = Рр’(О) = (1 - р),+- p‘+1 Л* * '
итателю предлагается проверить, что последние формулы совпадают с формулами (4) (при q = 0).
Стационарное среднее число N повторных заявок в системе и чионарная вероятность Р„ =о того, что поступившая в систему Ви Ка 0УДет обслужена с первой попытки, имеют (также при q = 0)
11 2717
N = Р'(1) = -
а(1 -р)
ОО
Pw=o = Рю = Л)(1) = 1 - Р-2 = 0
162 Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОДЕДц
Сравнивая различные способы вычисления стационарных ха рактеристик рассмотренных в этой главе СМО, читатель сдедЛ вывод: в целом использование простых и наглядных принципов гж бального и локального балансов в марковских моделях приводит I конечным результатам гораздо быстрее и с меньшими физически^ затратами, чем введение ПФ. Поэтому в следующей главе, посвя. щенной исследованию стационарных характеристик более сложных марковских моделей, метод ПФ не будет использоваться.
Однако ситуация коренным образом меняется, если изучают] нестационарные характеристики, а также немарковские СМО: здесь в ряде случаев достойной альтернативы применению ПФ, ПЛ и ПЛС в настоящее время не существует. При этом, конечно, при практической реализации полученных результатов на первый план выдви-гаются методы обращения соответствующих преобразований, которые', как уже говорилось, мы в этой книге не рассматриваем.
7.3. Нестационарные характеристики
В этом пункте мы ограничимся случаем <; = ().
Для нахождения нестационарных вероятностей (t) введем ПФ
ОС
= .7=0,1.
г=0
Из < пстемы (1) получаем
д д
~P0(z,t) = -AF0(z,£)~72 — P0(z,t)
д д
-Г, (z, С) = Аг Р, (z, 7)-(А+р) Р, (г, t)+A F0(z, t)+7 -^P0[z.t).
Применяя ПЛ
ОО сю
tt0(z,s)= I e'~*lPo(z,t)dt, tti(z,.s)= ^c-6<Fi(z,t)cft, о о
имеем
-*> 7г0(г,А-) - F0(z) = —Att0(z,s) - yz ^tt0(z,s) +
S7T| (z,.s)-P| (z) = Az7n(z, s)-(A+p) 7Ti(z, s)+Att0(z, s)+7 ^7Г°(г’^
где r0(z) = 52pio(0)z7, P|(z) = 52p>i(O)z’. Выражая из перв°г
i=О г=0
уравнения тг|(г,«) через ~()(z,.s) и подставляя во второе урав»е
с 7 Cu< m(M,‘
S '
M/M/1/0 с повторными заявками
163
,/ , (A + s)(A + pi + s) - Xpi — A (A + ,s) z _ / x
^°^S} 7[Az2-(.s + A + p.)z + p]
_ (s + A + p. - Аг) P„(z) + ft Py (г)
у [Аг2 - (s + A + //) z 4- pi]
Уравнение
Az2 - (s + А + pi) z+pi. = O
имеет два положительных решения при всех s > 0, причем одно меньше единицы (обозначим его через Zy = Zy(s)), а второе (z2 = _ £>(«)) больше единицы. Поэтому, разлагая входящие в уравнение4 (8) дроби на простые, его можно записать в виде
—7r0(z.s) - (-----+-------pr0(z,s) =----
dz \z —Zj z — z2 / z — zi
где a — «(а) и b = b(s) функции от s, a P(z) = Z>(z,s) -функция, непрерывная no z в области |z| < 1 при всех s > 0. Нетрудно показать также, что а < 0. Решая последнее уравнение, получаем r0(z,e) = |z-z1|'1|z-z2]b[ / D(z)|z-z1rG(z-z1)-1|^-z2|-fcrfz+cj.
Для определения С необходимо заметить, что 7r(l(z,.s) непрерывная по г при |;.| < 1 функция, в том числе и в точке z = Zj. Но тогда выражение в квадратных е кобках должно равняться нулю в этой точке, т.е окончательно имеем
^(z,») = |z-
lu
Формулу для 7Г] (z, ,s) читатель может выписать самостоятельно.
Найдем теперь ФР времени ожидания начала обслуживания заявки (причем как стационарное распределение, так и распределение
Ртуального времени ожидания в момент t).
Мент Г1Нем * нсстационарного случая. Будем считать, что в мо-АИтьс^ '°',евиДН0> процесс t > 0} в этот момент будет нахо-вЬ1Де Я В ' °‘Т0ЯНии (б 1) с вероятностью p,j (f)) в систему поступает <чиТ1^ННая Заявк<1- Рассмотрим новое время х, которое будем от-И (r ,/1Ть °т момента t Наша цель заключается в определении ФР нрибо ~ ‘} момента т поступления выделенной заявки на
164
Гл. 3. ПРОСТЕЙШИЕ МАРКОВСКИЕ МОд^
Для достижения этой цели введем новый процесс {''/(/'), х определяемый точно так же, как и процесс {?/(/), t > ()}, но с дС|.' влением еще одного состояния, которое обозначим, допустим, И (—1) Точнее говоря, состояние (г, j), i > 0, j = 0,1, соответств тому случаю, когда в системе наряду с выделенной находится^ i повторных заявок и прибор либо свободен (J = 0), либо (/ = 1). Попадание же в состояние (—1) означает, что обс:луЖи. ние выделенной заявки, за которой мы наблюдаем, началось, а тог дальнейшее поведение системы нас не интересует. Значит, соя* ние (—1) поглощающее.
Для процесса {'//(.'), т > 0} интенсивности входов во все состй ния (г,./) совпадают с аналогичными интенсивностями для процес {'/(t), > «} Однако из состояний (г,0) и только из них щ»
цесс {'/(•'), г > 0} может перейти в состояние (—1); такой иереи
< оответс твует тому, что выделенная заявка произвела повтори;, попытку и она оказалась успешной. Очевидно, что интенсивное! перехода из любого состояния (г, /) в состояние (—1) равна у. Яд также-, что поскольку состояние (—1) поглощающее, то интен® но< ть выхода из него равна нулю.
Полагая теперь гч (.г) ~Р{'//(.г) = (г, j)}, r_; (а) = P{z/(ar) = (-1)1 получаем систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
' д>( г) = ~(Л + П + 7) r,o(.r) + /"<1 (ж)> г' > °, 'oi(r) = Чл + /7) 'oi(-') + Агоо(ж)+ yrio(j), Ги(Г) = —(^ +/7)r'l(J) + + Агго(.т) +
+ у (г + 1) г!+1,о(.г), г>1,
' '-'(И =52'7''-1о(-е).
г=0
Заметим, что функция г_| (.г) и представляет собой ФР ИД-гД)Б® туапьного времени ожидания в момент t.
Остановимся подробнее- на начальных условиях для системы > Если в момент I прибор свободен (процесс {c/(f), t > 0} нахоД в состоянии (/,())), то поступающая в этот момент выделенная явка с разу же начинает обслуживаться или, иными словами, пр°цГ {?/( '•), с > 0} вместо состояния (/,0) сразу же попадет в сост° (—1). Если же1 процесс t > 0} в момент t находится ®
стоянии (/,1), то и процесс {'//(•':), .г > 0} в момент 0 также находиться в сос тоянии (?, 1). Резюмируя вышесказанное, поя)
)Щйе начальные условия для уравнения (9): < зеД^
г,о(О) = О,
’-Л0) = ’’.1(о) =ри(0
i=O
Ясно, что ПРИ вычислении стационарного распределения вре-fHU ожидания начала оослуживания в выписанных соотношениях н(,обходимо заменить на стационарные вероятности
Система (9) решается точно так же, как и система (1) Отметим. что При этом с ама ФР ?_ , (,с) = II' (./,/) выражаетс я в терминах П.1, а н<; в тсРминах ПЛС, что, впрочем, легко устранить х множе-нпем на s.
Как обычно, время пребывания заявки в системе' складывается из времени ожидания начала обслуживания и собственно времени обе лхжпвания на приборе.
Аналогичным образом можно наитп и другие- характерце тики системы с повторными заявками, например, распределение чпе ла попыток до поступления заявки на прибор (повторных пеЙыток)
Глава 4
МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ:
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ А1
В предыдущей главе мы познакомились с подходами, исподи мыми для анализа простейших марковских СМО. Прежде всего,; рассмотрели системы, описываемые с помощью ПРГ; в этом слух аналитические трудности получения стационарного распределен очереди были совсем незначительными: нужно было лишь над интенсивности переходов в соседние состояния и подставить и известные формулы для ПРГ. Другие СМО, рассмотренные в па 3, описываются процессами, которые можно назвать обобщенны ПРГ; при этом представленный там спектр различных систем нч своей целью научить читателя строить несколько более сложи чем ПРГ, модели марковских процессов и познакомить с метода: их анализа. Нужно заметить, что степень ’’обобщенности” Ш здесь была такова, что большую часть характеристик СМО уда.® получить в явном виде.
Однако последний факт можно отнести скорее к исключеа: чем к правилу, т.к. в большинстве случаев при анализе 1юдЯ очередей, описываемых’’рбобщеиными” ПРГ, получение замкнет формул оказывается невозможным. В частности, если СМО и® коночную емкость, то возникают трудности с применением вен популярного в ТМО метода производящих функций, и хотя в ре случаев принципиально эти трудности преодолимы, тем нс MfE окончательные формулы не являются замкнутыми в полном см* этого слова и требуют применения численных методов.
Но уж если говорить об использовании численных методов казалось бы, их можно было применять для анализа СмО к нои емкости ”с самого начала”, т.е. для непосредственного ! ния СУР. Однако такая простая идея плохо реализуется на тике. Это связано с тем, что, несмотря на большую разре^ТО матриц коэффициентов для СУР, запись последних в павЯЯ требует большой степени алгоритмизации. К тому же- зна'Н раметров СМО, таких как емкость накопителя, число Фа3
167
§ I Систем1,1 М/Нт/1/т и Hi/M/1/г
вания и Т-Д-’ определяющих порядок СУР, могут быть таковы, * ^посредственное решение системы становится невозможным за ее большой размерности (это, конечно, не единственные трудности. но- во всяком случае, первые, с которыми приходится сталкиваться при решении данной задачи). Поэтому здесь нужны иные подходы и методы, впрочем, также основанные на использовании ЭВМ. А именно: учитывая высокий уровень развития персональных компьютеров и их доступность для исследователя, наиболее целесо образным в ряде случаев представляется алгоритмический подход, предполагающий получение решения систем уравнений и нахождение ряда характеристик СМО в виде рекуррентных формул, в ма тричной форме, а также в виде матрично-рекуррентных формул п алгоритмов, достаточно легко программируемых и позволяющих производить расчеты характеристик СМО на ЭВМ либо непосредственно, либо с применением выполненных на их основе пакетов при кладных программ. Ознакомление читателя с алгоритмическими подходами анализа СМО, описываемых марковскими моделями, и явля-
ется целью настоящей главы.
§ 1. Системы М/Н„,/1/г и Н,/М/1/г
Изложение заявленного нами в этой главе алгоритмического подхода для расчета стационарных характеристик сис тем обе тужи ваниямы начнем с относительно простых систем типа М/Н,„/1/1 и Hz/M/1/r.
Первая из них система М/Н„,/1/г представляет собой одно чиненную СМО с накопителем конечной емкости г (2 < г < оо). в которую поступает пуассоновский поток заявок интенсивности А ыли при поступлении заявки в систему в накопителе нет свобод ыхмест, то эта заявка покидает с истему необслуженнои. Времена °б<Дуживания заявок имеют гиперэкспоненциальную ФР В(.т) = ~ ~ е-'1' '), а: > 0 Как и ранее, мы предполагаем что
иыоор ца обслуживание заявок из очереди осуществляется в соот рГРсВии е оДной из фиксированных дисциплин обслуживания типа
LCFS или RANDOM.
отн Т°Р-^Ю систему^- Н//М/1/г можно назвать двойственной по Рент еНИЮ к псРв°й- В этом случае входящий поток являете я реку р-нЫм с гиперэкспоненциальной ФР интервалов между поступле
Ниями -1. 1
аявок 4(а ) — «,(1— е~х,х), х >0, а времена обслуживания
Дедены по экспоненциальному закону с параметром //.
168 Гл. Д АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛр^
Условие г > 2. которое мы ввели для этих систем и остав((Х( ниже для других < истем конечной емкости, не является огранщЯ тельным для излагаемого подхода и связано лишь с желанием пц'ц жать рассмотрения отдельных случаев при г = 0 и г = 1, нсскоц^ выпадающих по записи из обпито случая.
Как уже было показано в § 2.8, гиперэкспоненцпальному pj пределению времени обслуживания (или времени генерации) задЛ можно дать вероятностную фазовую трактовку. А именно: црРд полагается, что в момент начата обслуживания (генерации) повод заявки с вероятностью 3,. j = 1,ш, (о,, ? = 1J) определяетсяфИ j (фаза ?). которую заявка проходит экспоненциально распределен, ное время с параметром //, (А,). После прохождения (разы / (фазы г) обслуживание (генерация) заявки заканчивается. Таким образец выделяя экспоненциально распределенные фазы обслуживания да8 СМО М/Н,„/1/1 или (разы генерации для СМО Н//М/1Д, можно по аналогии с тем, как это было сделано в 3.6 для СМО М/Е/./1/х определить соответствующий марковский процесс с дискретным множес твом состоянии. На первый взгляд может показаться, что имея большую схожесть на описательном уровне, т.е. при построении марковских моделей для этих трех систем, мы (толкнемся ( одинаковыми трудней тями при их анализе. Однако это верно лишь отчасти, т.к. рассматриваемые здееъ СМО исследуются в более общем, чем для системы М/ЕГ11/1/ос, предположении, когда емкость накопителя ограничена, и это допущение приводит, как было (ъа зано во введении к данной главе, к дополнительным трудностям при анализе соответствующих СУР. Если, следуя традиции, мы попита емся применить ПФ, то даже для получения средних характеристик будем вынуждены находить численно корни некоторого много'Жв (любознательный читатель может сам убедиться в этом, продел™ все выкладки для получения ПФ).
Другой подход, к изложению которого мы приступаем в эт<1М параграфа’, связан с непосредственным решением СУР и основ»11 на предварительном се анализе, в результате которого исходная с®' стема уравнений разбивается на подсистемы меньшего порядка, свя занные между собой простыми рекуррентными завис имостями. Пр11 этом в ряде случаев матрицы коэффициентов получаемых подеив141' можно обратить в явном виде и тогда, как следствие рекуррсн'1®’1 связанности подсистем, удается получить рекуррентные (]>opJI.'lb‘ для нахождения решения исходной СУР, которые могут быть пр^ ставлены либо в скалярном виде, либо в матричном.
Системы М/Нт/1/г и Hi/M/l/r
169
1 1 Уравнения равновесия для системы М/Н,„/1/г
Как и Для Ранее исследованных систем, рассмотрим r(f) число системе в момент t. Так как гиперэкспоненциальное распре-L В°ие вррмени обслуживания не обладает свойством отсутствия ^едИствия, то процесс {r(t), t > 0}, очевидно, не является мар-П° J им Поэтому мы, как и в случае системы М/Ето/1/ос. введем К°В тнительно величину ^(/) номер фазы, на которой процесс об-*1СПдд1ванпя заявки на приборе находится в момент t. Определим нова» провесе {й(01 > 0} таким образом, что для моментов времени
( когда прибор свободен (т.е. в системе нет заявок), '//(f) = v(t). а в0 всех остальных случаях 7/(f) = (i/(t),CW)-
Пуассоновский характер потока и экспоненциальность фаз обслуживания позволяют нам утверждать, что определяемый так процесс {?/(f), 1 - 0} является однородным марковским. Множество состояний X процесса {77(f), t > 0} имеет вид X - {(0); (А,./), А = = 1J?, ) — 1,ги}, где через R = г + 1 мы обозначаем суммарную емкость системы. Состояния из множества X имеют следующий
смысл: если '//(1) = (0), то это соответствует свободной системе, а сечи J)(t) = (А, 7), то это означает, что в момент t в системе имеется А заявок и обслуживаемая на приборе заявка находится на фазе j.
Число состоянии процесса {77(f), t > 0} конечно и равно I? т +1 Легко видеть также, что все со< тояния этого процесса сообщаются. Поэтому процесс {77(f), f > 0} - эргодический, и существуют строго положительные предельные вероятности lim P{?7(f) — (0)} — Ро и /—>ос
P{7/(f) = (А, 7)} = , не зависящие от начального состояния
процесс а 77(0) и являющиеся стационарными вероятностями.
Выпишем теперь СУР, которой удовлетворяют стационарные вероятности р0 и pk]:
С1то5Тр<)ГИн
,0Т1>ении и-
ГН
о = — Хро + ^2/^spls? (1)
«.= 1
т
~(^ +/ij)Pu + ^,'^р(1 + 3 = 1,»». (2)
Л’ = I
о — т
Pk]+Xpk-i,j+l3} У k=2,r, j = (3)
»=!
0 = -PjPRj + ^Prj, j = l,tn. (4)
вывод системы уравнений (1) (4), основанный на рас-‘Менении процесса {77(f), f > 0} на интервале
170
Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHAjty
(t.t + Д), учитывая относительную ее простоту, мы не будемз приводить и дадим лишь пояснения к этой системе, базируй принципе глобального баланса потока вероятностей и используя ' этого диаграмму переходов в СМО (рис. 1). На диаграмме не у( зано, в какие состояния можно выйти из данного состояния п скольку в этом, как уже упоминалось в главе 3, нет никакой J ходимости.
Рис. 1
Из рис. 1 а видно, что из состояния (0) можно выйти с ' тенспвностью А за счет поступления заявки в свободную выходящий из состояния (0) поток вероятностей равен Аро-в это состояние можно из состояний (1,1),..., (1, тп) с интенсив
I Системы M/Hm/l/r и Hi/M/l/r
171
,, .... //„, соответственно за счет окончания обслуживания на тяМ11/1’' „ •
дней из т фаз; суммарный входящий в состояние (0) поток равен
Приравнивая эти потоки, получаем уравнение (1).
3=i
Из состояния (1, j), согласно рис. 1 б, выход может быть осуществлен как при поступлении заявки (с интенсивностью Л), так и при окончании обслуживания заявки, проходящей на приборе фазу j (с интенсивностью р3)', суммарный выходящий поток вероятностей равен (A4~/'j)Pij- Поток вероятностей, входящий в состояние (1, j), складывается из интенсивности А /3, поступления заявки в свободную систему на фазу j, умноженной на вероятность р0 состояния (0), и интенсивностей /3jjus перехода из состояний (2, s), s = 1,т, за счет окончания обслуживания заявки на фазе s с учетом вероят
ности fi3 того, что новая заявка на приборе начнет обслуживание на фазе у, умноженных на вероятность p2s того, что в системе находилось две заявки и процесс обслуживания был на фазе s, s = l,m; суммарный входящий поток вероятностей равен (к, PsPis- От-
S=1
сюда получаем уравнение (2).
Объяснение уравнения (3) отличается от предыдущего лить тем, что вход в состояние (A:,j) за счет поступления заявки происходит не из свободного состояния системы (рис. 1 в), а из состояния (к — l,j) и его интенсивность равна просто А, а поток вероятностей Xpk-i,3-
Наконец, для последнего уравнения, согласно рис. 1 г, мы не Должны учитывать интенсивность выхода из состояния (/?, /) за ечет поступления заявки (поскольку система в этом случае полностью заполнена, то поступившая заявка теряется) и интенсивно-Сти ВХ0Да в него за счет окончания обслуживания из состоянии с большим числом заявок (таких состоянии в системе просто нет).
1-2- Решение системы уравнений равновесия для сис-Темы М/Нш/1/г
ВЬ1Х^ЛК обычно, мы начнем решение СУР (1)-(4) с предваритель-и пРеобразований. Просуммируем уравнение (2) по j = 1,2, ..., т 3 ^Я'им с (!)• Затем полученный результат сложим с уравнением пРи к ; 2, просуммированным также по у = 1,2,... , т. Дей
172 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.ПИ^
ствуя подобным образом, мы на каждом шаге с учетом (1) полу
j=i
111
А/ц,. = У7 /bP*4-t,.p * = ./=>
Соотношения (5) представляют <обои уравнения локального оалацц и легко могут быть получены на основе диаграммы переходов, пред ставленной на ри<. 2. Это мы пре дос тавляем еде чать читателю в ка'ич тве упражнения.
- Г/7.ТП
Рис. 2
Из соотношения (5) уже нельзя получить выражение для вероятности р0 по аналогии с тем, как это было сделано в § 3.6 (цесь мы имеем дело с одним из проявлении эффекта ограниченности накопителя), и мы найдем ро по-другому не в первую очередь, а в последнюю. Как йзвестно, стационарные вероятности ро и pk} на ходится из системы (1) (4) с точностью до константы. Поэтому мы можем отбросить одно из уравнении системы, например, уравнение (1) и выразить все неизвестные рь3 через вероятность р0. а ро найти затем из условия нормировки
И in.
»+ЕЕ». = '. • ”
A-=l j=l
И здсс ь. при решении оставшихс я уравнении (2) (4) < оотно1Н‘'н1|й (5) оказываются весьма полезными для преобразования уронен*1®
173
(8)
, ^(стис-лсы M/Hm/i/r 11 Hi /1Л/1/т § 1
и (3). Действительно, подставляя в уравнения (2) и (3) вместо умм их выражения из равенств (5), получим
-(А + Р^Ры + А/^рр = ~Л^А>, j = lpnt,
- (А + Р3)Ркз + *0зРк,= -^Pk-ij, к = 2^г, j = 1,п1.
п ,РЗультате таких преобразований мы представили систему уравнении (2) и (3)’ а также уравнение (4), записанное как
РзРНз = Хрг], j = l,m, в виде рекуррентно (вязанных между собой по индекс у к подсистем уравнений относительно векторов неизвестных _. (рм,РГ2, • • • ,Рктг,), к = 1,п. Вводя матрицы _ diag(~Pi, • • •, D = -XI + М, вектор А = Al и у = р -р А Дт, запишем (7) и (8) в матричном виде:
р}гМ = -Xftrp0,
р^М = -Ap^i, k = 2j, Р'нм = ~^Рт-
Й = м =
полагая
1,Z?.
(9)
Тогда, если мы покажем, что матрица М не вырождена, то можно будет, полагая к — 1,2,...,?’, последовательно решить эти подсп (темы и выразить все неизвестные векторы рд через р0.
Рассмотрим теперь матрицу М. Согласно лемме 2.8.2 для матрицы такого типа, в общем случае с произвольноп невырожденной матрицей D и произвольными векторами А и 1, при выполнении условия/1' А -1 существует обратная матрица Л/"1 следующего вида-
л/-1 = (d + A/Г)-1 = d~'- (io)
l-b/l'P-'A
В нашем случае матрица D диагональная и невырожденная Кроме того ’ »
1+ PD-' А = 1-А/1'(А/-М)~'1 =В(А),
ГД( ^(А) = pj)'есть не что иное, как ПЛС ФР В(.г) в
/=1
,_1К|’ и, следовательно, /ЛА) > 0. Поэтому матрица Л/-1 суще-,ТВ>'ет и равна
Л/-1 = D~l
XD-liiVD~l ~WT
(П)
174 Гл. 4- АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗ^
Возвращаясь теперь к рекуррентным соотношениям (9) и вводя матрицы W = —ХМ-1, й/д = -АЛ/-1 и вектор wj = -X J'Af-i который согласно (11) примет вид гг0‘ = —Xfl'ID-1//3(X). перепцщ^ (9) в виде
Pi = Ро’ДЛ Pk=Pk-iW> к = 2,г, Pii = P,‘wR-
Отсюда очевидным образом получаем окончательный результат стационарное распределение вероятностей состояний {po,j>k, ks = 1,7?} в СМО М/Нт/1/г представляется в виде усеченной матрично-геометрической прогрессии:.
f 7>oworB ,fe \ если к = 1,г, -*г /
Рк = 1
lpo«o Wr ‘IVr, если к = R.
(13)
Для определения р0 воспользуемся, как обычно, условием нор-
мировки (6), подстановка в которое формулы (13) дает
Ро = [1 + wor ( 52 И'А' + 1]
fc=O
(14)
Конечно, при практических расчетах вряд ли кто будет пользоваться формулой (14). Проще поступить по-другому: вычислить величины p^.j = Pkj/Po, а потом найти р0 из условия ро = (1 +?,)
В частном случае, когда В(.т) = 1 — еРх, х > 0, т.е. для СМО М/М/1/г имеем: /3 — (1), М — (—р) и, следовательно, W — —А (А' -р - А)-1 = (А/р) - (р) = wo и И'д = -А(-р)-1 = (р). Поэте! Рк =Рерк\ k=l,R.
Итак, нами показано, что при переходе от системы M/M/V1 к (истоме М/Нт/1/г геометрическое распределение числа заявок® системе переходит в матрично-геометрическое!
Для расчетов стационарных вероятностей р^, помимо явВД матричных формул (13) и (14), можно использовать простые Pf куррентные формулы, которые вытекают непосредственно из I
Системы M/Hm/l/r и %/M/l/r 175
“(12): Aftpo • j—
Pi)s (A + /b)/3(A) ’
pk3=тёг+(а+рп/?(а) §pMm’J=1,m’ k==2,r’ (15)
= Ap_-, j = i,?n.
PR’3 p3
Заметим также, что матричные формулы (13) или получаемые их основе рекуррентные формулы (15) (при достаточно больших значениях емкости накопителя г) могут быть использованы для при-бшженного расчета (с точностью до заданного е) стационарных характеристик соответствующих СМО с бесконечной очередью.
В заключение этого параграфа получим выражения и некоторые полезные соотношения для показателей производительности системы, функционирующей в стационарном режиме. Выведем сначала несколько соотношений, основываясь на качественных, не очень строгих, на первый взгляд, рассуждениях (впрочем, строгое обоснование можно было бы дать, привлекая эргодические теоремы, но мы не будем здесь глубоко вдаваться в эту область).
В стационарном режиме среднее число заявок, принятых в систему за единицу времени, интенсивность принятого потока Ад должно быть равно среднему числу заявок, обслуженных ею в единицу времени,— интенсивности обслуженного потока Ар, или пропускной способности. Далее, пус ть тг вероятность потери заявки: в силу пуассоновости потока тг = рце , Тогда 1 — тг доля времени на оольшом промежутке времени, в течение которого система доступна для приема заявок, т.е. когда в накопителе имеются свободные места (это следует из эргодичности процесса {//(f), t > 0}). п. с*довательно,
Ал = А(1-тг). (16)
Аналогичным образом, вводя в рассмотрение величины р0 ве-HHflTH°CTb ПРОСТОЯ системы и и = 1 — ра коэффициент использова-опять же можно интерпретировать как долю вре-Пп Иа большом интервале, когда прибор занят обслуживанием), шлУчаем
Ар = /г(1-р0)- (17)
Вн°дя интенсивность обслуживания р = Ь~' = | £2 , на
ании баланса интенсивностей принятого и обслуженного пото
176
Гл. Jt. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНдЛ
ков получаем соотношение
А(1-тг) =д(1-р0), hj
которое также можно записать в виде
р(1 -тг) = 1 -ро, (р.
где р = \/р загрузка системы.
Правую часть формулы (18) можно представить в ином ви.. Действительно, суммируя все равенства в (5), с учетом условия нор мировки получаем
Отсюда и из (16) и (17) вытекает, что
а-
Соотношения (16) (21) связывают между собой характеристик СМО Ад. A D, тг и р0. Кроме1 того, эти соотношения могут быть и пользованы для контроля вычислений, осуществляемых по фор» лам (13) или (15).
На ос нове1 стационарных вероятностей pk3 можно вычисли’ стационарные1 вероятности рь = рь,- того, что в системе будет заявок (без учета ефазы обслуживания), а с помощью последних
К стационарные средние1 число N = У) Ард. заявок в системе и дли fc=i
очереди Q = (А - 1)р/,..
А—2
1.3. Стационарное распределение времени ожидали’ при дисциплине FCFS для системы М/Н,,,/1/г
Изучим теперь с тационарное распределение времени ожидая® начала обслуживания заявки, принятой в систему, при дисиипЛ обслуживания в порядке- пос тупления, основываясь при этом на № ходе, уже1 неоднократно использованном в главе 3.
Пусть IV(/) условная ФР времени ожидания некоторое! в»-* ленной заявки при условии, что она принята к обслуживая®0 И’(f| (())) и lV(A|(A',j)) условные ФР времени ожидания вЫДе^ ноц заявки при условии, что в момент своего поступления стана систему в состояниях (0) и (A,j) соответственно; ПЛ ФР обозначим через u’(.s), u’(s | (0)) и cc(s | (А:,.?)). Тогда, если поступила в свободную систему, то она сразу же идет на пр11
. у Лтемы М/Нт/1/г и Hi/M/1/r 177
„овательно, w(s | (0)) = 1- В случае, когда заявка застает систему ^состоянии (к, j), к - 1,т, она не теряется и будет ждать в очереди 8 ^ала своего обслуживания до тех пор, пока не закончит обслужи-НдНие заявка, находящаяся на приборе на фазе j, и все к — 1 заявок, стоящих в очереди перед поступившей заявкой. В этом случае время ожидания есть сумма к случайных величин, первая из которых распределена экспоненциально с параметром , а остальные по закону В(аг). Так как все эти случайные величины независимы в совокупности, то
I'j + S
В силу пуассоновости входящего потока в стационарном режиме вероятность заявке застать в момент своего поступления систему в некотором состоянии совпадает со стационарной вероятностью этого состояния. С учетом этого по формуле полной вероятности получаем выражение для H7(Z):
2 т 1
[w 1 (0))ро + Е Е । .?)) ,
J=I fc=l
где тг- вероятность потери заявки. Отсюда, переходя к ПЛС, находим, что
1 т г
^Г^Ь + ЕЕ^г^'Н (22) j=l fc=l Pj-r*
m
гд('/3(я) = + s)—ПЛС функции распределения В(.т).-
j=i
Для среднего времени ожидания w, применяя формулу w = и (0), получаем
1 т г 1 г
"‘Г^ЕЕт^ + -Е(‘~М- <23>
j=lfc=l '3 ' fc=l
опт Д™ DPCMCHI1 пребывания заявки в системе (при условии, что жиоПРИНЯТа в нес) опять же с учетом независимости времен обслу-ания заявок имеем
<р(*) =w(.s)/3(s).
для среднего времени пребывания v получаем
'2 271?
1
V = W -|------.
р
(24)
178 Г.п J, АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАДц3
Заметим, что для нахождения величин w и v можно также Е0(. пользоватьс я формулами Литтла, которые для данной системы. Л юлцеи конечную емкость, записываются в виде
А (1 - тг) ir = Q,
А (1 — тг) г = N.
Эти формулы, наряду с формулами (23) и (24). также цслесообрадц, использовать для контроля вычислении.
1.4. Система Н//М/1/г
Остановимся кратко на основных результатах для С'М() Н//М/1/1. При этом мы покажем, какая связь существует медд, этой системой и с пс темой М/Н„,/1/г. рассмотренной выше
Как и для предыдущей СМО. вводя в расе мотрение величии />(/), имеющую прежний смысл, и £(?) номер фазы, на котов находите я процесс генерации заявки в момент t, и полагая гД) = = с учетом вероятностной трактовки гиперэкспонснщ-
ального рас пределения времени генер щпп заявки определим Маркове кип процесс {’/(/), t > 0} с множеством состоянии X = {(Ц / = 1,/. к = 0,7?}. Здесь ргвенство т/(?) — (i,k) для некоторого цемента времени I означает, что поступающая заявка проходит фазе ч и в с не теме' имеете я к заявок; через 7? — г + 1 мы, по-прежнему обозначаем емкость системы,
Чис до элементов множества X, равное (7? + 1)/, конечно, и вес с ос тоянпя сообщаютс я Поэтому существуют предельные вероялио-cfii Inn Р{//(7) = (г, А)} = р1к > 0, которые не зависят от начального состояния процесса т/(0) и удовлетворяют следующей СУР:
О =-А,р,о + Р7>г1, г = 1,1, (25!
I
О = -(Л + /е)7-»ж+<1г A.spSi/(_| +/ср,д.+ |, ? = 1,1. 7 = 1,г. (2е)
Ь=1
I /
О = -(Аг + р) р,ц'+ Aeps, + о-, у* XsPsii, ? = 1. /.
S=1 S=1
Дадим пояснения уравнениям равновесия (25) (27). привлек снова принцип глобального баланса и используя для этих целей Ди<| грамму переходов в СМО (рис-. 3). Н V
Ил состояния (с,0) (рис. 3 а) можно выйти с интенсивное л ь№7 за счел окончания генерации заявки на фазе г (поток вероятное14’1 равен А,р,о), а войти в него можно из состояния (г. 1) с интенс’11^ нос тью р за с чет окончания обслуживания едиш твеннои заявк”
2 Системы М/Нт/1/т и Hi/M/1/r
179
Рис. 3
системе, находящейся на приборе (поток вероятностей равен дри); Равенство соответствующих потоков вероятностей дает уравнение
Из состояния (г, к) (рис. 3 б) также можно выйти при поступлении новой закончившей свою генерацию на фазе г заявки с интенсивностью Хг и, кроме того, за счет окончания обслуживания заявки на приборе с интенсивностью р (суммарный поток в этом слУчае равен (А, + p)pik). Войти же в это состояние можно из сос фТ И (г’ — 1)’ * = 1>ПРИ поступлении новой заявки с одной из /
с Учетом того, что новая заявка начнет генерироваться с фазы ? (cva °
' ММаРНый поток при этом равен a, ^sPs.fc-i), или из состояния б I. ! 1 \ , S=1
' ’т 1) за счет окончания обслуживания заявки на приборе
180
Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.Ци3
< интенсивностью р (поток вероятностей равен рр,/, + )). С'к.ла| вая потоки, входящие в состояние (г, fc), и приравнивая рсз\ льтат выходящему из (i,k) потоку, получаем уравнение (26). 11
В последнем уравнении требует пояснения лишь последнпи г в правой части, который дает интенсивность входа в сое товдЕ (г.7?) из состоянии (1,/?), (2,7?)Z?), т.е. в случае, когда СВ( тема полностью заполнена, за счет окончания генерации заявки. К()
торая теряется, и с учетом того, что новая заявка начнет гснерцр0 ваться с фазы г.
Для решения СУР (25) (27) мы могли бы использовать тот же подход, что и в случае' системы M/Hm/l/r. Однако мы поступив по-другому.
Рас смотрим однолинейну ю СМО с пуассоновским входящим I током интенсивное ги /с. ФР времени обслуживания А (.г) и емкостью накопителя на единицу большей, чем в исходной системе' Н//М/1Д Эта система называется двойственной по отношению к исходной системе в смысле нагрузки, так как она получается из исходноп заменой А(,с) <-> В(х). Обозначим такую систему как M/H//1/R Пусть {ро,Ркг, к=1,В+1, г = 1,/} стационарное рас пре'деление вероятностей состоянии для СМО M/Hy/l/R.
Покажем, что стационарное' рас пределение для исходной СМО Hz/M/1/r определяется соотношениями
рщ = P'LJi+y' г =1,1, к = 0, В. (№
1 ~ Ро j
Для этого введем константу ря+1, определяемую из равенства
I
I'Pli+l =^2^sPb,H-
s=l
Известно, что решение системы уравнении (25) (27) находится' точностью до константы. Поэтому, подставляя (29) в уравнение (27), можно выразить все неизвестные р,/, через константу рн+i-а последнюю определить из условия нормировки
I и
ЕЕаа. = 1.
7 — 1 k = 0
Положим теперь рw+i =Ро/(1-Ро). Подставляя (28) в (25) (2") учитывая при этом (29) и делая замену А, на рг и р на А, а заТе'' заменяя г на у и В — к + 1 на к, получим сие тему уравнений, коТ°Р^ является не чем иным, как системой уравнении равновесия для M/H//1/R, что и доказывает справедливость соотношений (28)-
; Системы. М/Нт/1/г и Hi/M/l/r
181
Итак, мы решили задачу нахождения стационарных вероятно-тейрг/п на основе которых можно получить соответствующие сред-дйе хараКтеРистики Длины очереди, числа заявок в системе и другие показатели. Читатель может это сделать самостоятельно. Однако МЫ не можем пока выписать выражение для вероятности потери так как поток уже не является пуассоновским. Для нахождения последней можно воспользоваться соотношениями типа (18) или (19), которые будут справедливы и для СМО Н;/М/1/г, имея в виду прй этом, что вероятность простоя р0 системы определяется как рд =р 0. В справедливости соотношении (18) и (19) нетрудно убедиться’ проведя такие же рассуждения, как и для СМО M/Hm/l/r. Можно получить и другое эквивалентное выражение для вероятности потери в системе Hj/M/1/r, основываясь на строгих рассуждениях. Эту задачу, как и задачу нахождения стационарного времени ожидания, мы решим несколько позже для СМО, более общей, чем рассматриваемая здесь система Н//М/1/г.
1.5. Обобщения системы M/Hm/l/r
Оказывается, что результаты, полученные для СМО М/Нт/1/г, можно использовать в качестве базовых для анализа более сложной системы. А именно: рассмотрим эту же систему, но с т независимыми пуассоновскими потоками интенсивностей A,, i = 1,тп, 771
и суммарной интенсивности А = Аг, предполагая, что времена г=1
обслуживания заявок г-го потока (г-заявок) имеют ФР В, (.г) = = 1-е""''*-'', х > 0. Предположим также, что заявки обслуживаются согласно дисциплине FCFS. Такую систему мы будем кодировать как Mm/Mm/l/r/FCFS.
Функционирование этой системы можно также описать марковским процессом с конечным множеством состояний. Не вдаваясь в детали, покажем, как связаны между собой стационарные вероятности состояний систем Mm/Mm/l/r/FCFS и М/Нга/1/г. Пусть од’'у- стационарная вероятность такого состояния СМО lvWMm/l/r/FCFS;
когда на приборе обслуживается заявка и в
Реди ожидают к — 1 заявок в порядке их поступления с номерами веп К°В ®2’ гз, - - -, 4, и, кроме того, пусть р1?П1, ,,Пт— стационарная Реп Тность того, что на приборе обслуживается г-заявка, а в очс-
11 ожидают щ заявок тИпа важно в
-С ооновского потока, можно ^отношения [43]:
1, 7/2"_типа 2, .-,7im—типа т, не-каком порядке, ns = к — 1. Основываясь на свойствах показать, что имеют место следую-
Г.« 4 АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.рщ
к
р„,!2, .4 =РА,п П°Ь’ гь- .,г* = Гт. k = l,R.
3-2
(k-l)CC' ...агД ------
Р„П1, ,«,„=№--------Д~1-- г = 1'П1’ "'+• + п™=*-1
/ /г ] . . . . I С П1 .
rfle pki стационарные вероятности для СМО M/H,„/l/i в | оторв, Л( = А,/А, г = Т7т.
Заметим, что такие же соотношения имеют место и для дися спины LCFS (с учетом перенумерации порядка в очереди) а Втс. рос- соотношение для дисциплины RANDOM Более того, подо! ная связь сохраняется для этих дисциплин обе -суживания и для (1К тем M,„/G,„/l/r и M/HG„,/l/r [46]. где обозначение HG„, о,чна>1 ет смесь m произвольных распределении В,(») с, весами о, = Х:/) г = 1. т.
§ 2. Система М2/М/п/г с относительным приоритетом
В предыдущем параграфе мы расс мотрели один из подходов позволяющих получить для расчета стационарных характ,-ристяк СМО рекуррентные формулы, которые-, как показывает опы г. являются достаточно эффективными. Ниже на примере двухпен оком приоритетной полнодоступной с истемы обе -суживания мы разберем другой подход, также приводящий к рекуррентным форм) зам, но несколько иного типа, чем для Системы М/Н„,/1/г.
Итак, рассмотрим < истему с п идентичными обе лудив пошили приборами и накопителем конечной емкости г (2 < ? < ос),в которую поступают два независимых пуассоновских потока заявок® тенсивностей А) и А2 и суммарной интенсивности А ~ А, + А> Вр( мена обслуживания заявок каждого из потоков независимы и со®0 купности и имеют общую ФР В(.т) = 1 — е~дг, з > 0 одн) и1' же для всех приборов. Если вес- приборы заняты, то поездппиша® заявка ожидает в накопителе, при этом заявки обоих потоков <>°Р* зуют общую очередь. Заявки первого потока (1-заявки, или приор® тетные заявки) обладают относительным приоритетом по срЯШ нию с заявками второго потока (2-заявками, или неприорит -тиЫ® заявками). Это означает, что при наличии в очереди заявок потоков на обслуживание выбирается 1-заявка, а 2-заяв1 а >1(,Ч быть выбрана на обслуживание- только тогда, когда в очсрсД11 1-заявок. Внутри каждого приоритетного класса заявки обсЛИ ваются в соответствии с одной из фиксированных дисциплин Т1
Система М->/М/п/г с относительным приоритетом 183 §
„ j Cf'S или RANDOM. При переполнении накопителя, т.е. ко-нем нет свободных мест, заявка любого типа теряется.
гда В связи с тем, что мы рассматриваем два типа заявок, кото-соответственно, формируют две очереди (хотя и в общем на-Рые’теле), наши усилия будут направлены на то, чтобы получить К° ктеристики для каждой из этих очередей. Для определения ха-ХаРаеристик общей очереди безотносительно к типу заявок не имеет "городить огород”, так как в этом случае мы можем воспользоваться результатами § 3.2. Действительно, как известно (см. теорему 2.1.3), сумма двух независимых пуассоновских потоков интенсивностей А) и А2 дает снова пуассоновский поток, но уже интенсивности А — Ai + А2, и поэтому анализ характеристик общей очереди может быть выполнен на основе системы М/М/n/r с интенсивностью потока, равной А
2.1. Система уравнений равновесия
Итак, приступим теперь к построению модели двух очередей. Пусть i/,(t), г — 1,2, и г(/)—число г-заявок в накопителе и общее число заявок, обслуживаемых на приборах в момент t. Определим теперь процесс {//(f), А > 0} следующим образом: если в момент t в системе меньше, чем п заявок, то положим T)(t) = n(f), в противном случае положим r)(t) = (pi(t), //2(/)). Так как рассматриваемая СМО является экспоненциальной (потоки пуассоновские, а времена обслуживания экспоненциально распределены с параметром р. не зависящим ни от типа заявок, ни от прибора, на котором оно обслуживается), то процесс {’/(f), t > 0} будет однородным Маркове кпм Множество состояний X процесса {/;(/.), t > 0} имеет следующий вид:
X = {(г), г = 0, п — 1; (А,т), 0 < к + т < i}.
Состояния из этого множества интерпретируются следующим образом: если T](f) = (г) в некоторый момент времени t, то заняты обслуживанием г приборов, а если //(f) = (к, т), то заняты обе лужпванпем Kc п приборов, а в накопителе' ожидают к 1-заявок и т 2-заявок fOOTBCTCTBCHHO.
Положим,р, = lini P{//(f) = (г)} и р/,.т = lim P{//(f) = (A, m)}. Так i-»oo /->оо
, Как все' состояния процесса t > 0} сообщаются, а их
СТ^Л0’ PdBHoe п + (г + 1)(г + 2)/2, конечно, то в силу эргодичности ПР°Цесса {^(0, t > 0} предельные вероятности" р, и рд-„, суще-
‘ Ют’ строго положительны, не зависят от начальных условии и Влстворяют следующей CAT:
0== ~(^ + гр)р, +«(г) Xp,-i + (г + 1)рр,+ 1, г = (),п-1, (1)
184 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЛНАЬШ
О = -(А + пр) роо + Ар„_1 + п/лрю + пцр01,
0 = -[AM(r-/c)+np]pfco+AiPfe-i,o+v(r-fe)nppfc+ii0', к=ТД, I
О = -[Aw(r - Tn) + Пр]рОт + A2po,m-1 +
+iz(r -r m) (npplm + nppo.m+i), m=i,r, L
0 = —[Aw(r - k— in) + np]pkm + AlPfc_ljm + А2р*,т-1 +
+u(r - к — m) пррк+1гГП, m=l,r — 1, k = l,r~ m. I
Здесь для компактности записи объединины некоторые груПП1 уравнений с помощью функции Хевисайда w(;r).
Имея предыдущий опыт, мы легко можем выписать вероятное^! переходов процесса {r/(t), t > 0} в интервале времени (t, t + Д) Прц ’’Малом” Д и получить соответствующие интенсивности переходов Оставляя читателю строгий вывод уравнений (1) (5), ограничим^ лишь их пояснением на основе принципа глобального баланса.
Первая группа из этих уравнений очевидна, так как она сов падает с соответствующими уравнениями равновесия для СМС М/М/п/г с пуассоновским потоком интенсивности А . Диаграмма переходов, на основе которой строятся оставшиеся уравнения (2) (5), приводится на рис. 4.
Из состояния (к,т), если к + m г, можно выйти либо при пос туплении 1-заявки с интенсивност ью Ав или 2-заявки с интев-сивностыо А2, либо за счет окончания обслуживания какой-то и; заявок на одном из п приборов с интенсивностью пр (суммарна поток вероятностей равен (Ав + А2 + пр)ркт = (А + пр)ркт)- Прг к + т = г поступающая заявка теряется, и поэтому выйти из состоя ния (fc, г — к) можно лишь с интенсивностью пр (поток вероятности' равен nppk,r-k)-
Войти в состояние (0,0) (рис. 4 а) можно из состояния («"' при поступлении новой заявки любого типа с интенсивностью -М ’ +А2 — А (суммарный поток будет равен Ар„_в), а также за О6 окончания обслуживания заявки на любом из приборов, когда в о'11 роди была одна приоритетная или одна неприоритетная заявка-одинаковыми интенсивностями пр (потоки вероятностей РаВ® прр10 и nppoi соответственно). Сумма всех этих потоков ДОЛЯ* быть равна потоку, выходящему из (0,0), что дает нам уР'111'1 нис (2). ______ д
В состояние (1.0) при к = 1,г — 1 (рис. 4 б) можно воити I из с остояния (к — 1,0) при поступлении новой приоритетной зая с интенсивностью Aj (поток вероятностей равен Aij>fc_i,o)> ЛИ°^л< счет окончания обслуживания на одном из приборов при УсЛ
M?/M/n/r с относительным приоритетом
185
(JuC11U‘Ma
ж (fc = l,r—1)
Рис. 4
сцВнВ иЧеРРДи ожидало только к + 1 приоритетных заявок с интен-ЬЮ (Поток вероятностей равен n/ipc+i о); приравнивая Этих потоков к выходящему из состояния (fc,O) потоку, полу
186
Гл. 4 АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНД^
чаем уравнение (3) при к г. Случай к — г (рис. 4в)) отлД тем, что в состояние (г, 0) войти можно лишь из состояния (г 1 при поступлении новой приоритетной заявки с интенсивности
При к + т г (рис. 4 ж) войти в состояние (/с, т) можно из состояний (к — 1, т) и (/с, т — 1) соответственно при постуД одной приоритетной заявки с интенсивностью А; (поток вероЖ теи равен AiPfc-i,TO) или неприоритетной с интенсивностью ток вероятностей равен XzPk.m-i), либо из состояния (к + 1)П! счет окончания обслуживания заявки на одном из п приборов t условии, что в очереди ожидают к +1 приоритетных заявок и щ приоритетных, с интенсивностью пц (это тот случай, когда сра тывает приоритет при выборе из очереди, поток вероятностей; этом равен пр.рь+1 ,ш); приравнивая получаемый при этом сумд ныи поток вероятностей к потоку, выходящему ИЗ СОСТОЯНИЯ (1; получаем уравнение (5) при к + т г Случай к + т = г отличат от предыдущего лишь тем, что в состояние (к, г — к) нельзя во; за < чет окончания обслуживания заявки. Уравнение (4) поясни аналогичным образом и мы оставляем это читателю.
2.2. Решение системы уравнений равновесия
Прежде чем приступить непосредственно к решению систе уравнении (1) (5), введем стационарную вероятностьрп+, того,’ в очереди имеется г заявок безотносительно к их виду (или п заявок в системе). Очевидно, что
Нетрудно видеть, что для фиксированного г = 0,т, объединяя нения (2) (5) 1аким образом, чтобы сумма индексов к + т у вс ности phm в первых членах правых частей этих уравнений равв г, получим уравнения, которым удовлетворяют вероятности / которые вместе с (1) представляют собой СУР для СМО M/N Рассмотрим теперь уравнения (3) и (5) и запишем их в ма пом вид<\ Для этого поделим эти уравнения на пр и введем мач Ва = (1), Di = (—1) и матрицы D,, j > 2, порядка j вида
/-1-р 1 0 0 0 0 }
Pl -1 - р 1 0 0 0
0 pl -1 - р • 0 0 0
0 0 0 • pl -1-р 1
\ 0 0 0 • 0 pl -1/
И Мз/М/п/г с относительным приоритетом 187
__ /)i + Р2, А = -\/(«/с), 7 = 1,2, а также векторы р^ = Ие С " . ,рг-т,т) и = (1,0, ..,0). Тогда уравнения (3) и
== ^‘"дтрпчнои записи примут следующий вид:
Drpo =
-> -» —----------------- (,*)
Dr-mPm = -piPomCl - PzPm-l , Ш = 1,Г - 1.
Таким образом, систему уравнений (3) и (5) мы разбили на г «тем относ ительно неизвестных векторов р0,Р1- -.. ,рг-1 мень-L о порядка (подсистема с номером т имеет порядок г — тп), кото-₽еГ°могут быть пос тедоватепьно реше ны Действительно, так как L оятность рп известна (она определяется формулой (3.2.4)), то, ^щая первую подсистему из (7), матрица коэффициентов Dr кото-роп является якобиевоп и. следовательно, невырожденной, находим Ь Далее, полагая в (8) т = 1, получаем уравнение относительно также с якобпевои матрицей D, . Однако в правой части этого уравнения имеете я вероятность poi, которая еще не определена. Для «хождения последней вое пользуемся формулой (6), преобразовав ее
I виду тп
Ро„, =?„+„>-5274,m-А, m = l,r, (8)
i=i f
। гкударо] выражается через известные величины p„'+i ирщ- Теперь мы можем найти решение р, системы (7) при т = 1. Затем из (8) при m = 2 находим р02 и снова решаем с нс тему (2), но уже при т = 2 пт д. В принципе на этом можно было бы поставить точку, имея в ИДУ то, что для решения получаемых на каждом шаге линейных ап-ораических сис тем уравнении с якобиевой матрицей существуют рндартные подпрограммы. Однако решение этих систем уравнении можно выпис ать в аналитическом виде, воспользовавшись пра-ник'.ч Крамера Для этой цели рассмотрим определитель матрицы Я(7' Кот°рый мы обозначим через с/7, и разложим его по элементам рвого столбца. В результате этого для вычисления d} получим Г ®К)Щис рекуррентные соотношения.
' d3 = -(l + p)rfJ_1 -Р1^_2, j>2. (9)
taTpH ™Г°’ нам понадобятся матрицы Ь3, J > 2, получаемые из ш ицы 3dMeHOII элемента в правом нижнем углу, равного — 1, на зтих 2 " MdTlJllLlbI Д) = (1) и D} — (—1 — р). Тогда определители d3 9 н2'Т*)Иц Вычисляютс я также по рекуррентным формулам вида В^РИм Н‘1'1альнь1мп условиями dg — 1 и cli = — 1 — р. Далее, рас-определите сь д., который получается из dr_„, путем
188 Гл Д АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АЦц
замены к го столбца на столбец рт-1 Раскладывая опреде^ dr-m,k по элементам к-го столбца, получаем
fc-i
52(-l)fc+s^,m-iPi“srfs-i +
3=1
r—m
+dk-i (-l)fc+sps>m_1rfr_TO_s, к = 1, r - m,
S^k
0 где принято соглашение 53 = 0.
S=1
Применяя теперь правило Крамера для решения систем ураЕ. нии (7), находим, что
„ _ (~Pi)kpndr-k , i—
Рко — -----7------, к — 1, г,
аг
P2dr—ra,k + ( Pl) dj—тп—kPom [I Ркт_________________________________,
dr~m
к = 1, г — тп, т = 1, г — 1.
Для вычисления входящих в формулы (10) и (11) величин: определяемых по рекуррентным формулам (9), можно также по,т чить явные выражения. Действительно, рекуррентное соотношу (9) можно рассматривать как однородное разностное уравнениевт рого порядка с постоянными коэффициентами Тогда его харап рштическое уравнение
22 + (1 + р) z + pi =0
имеет корни
2
х I 7
--------2^, 21 - г2
1 (1+р)2' '
Определяя произвольные постоянные в решении d при помощи начальных условии, получим ’
1 , 1 + 22 j
а. =-----zi -
22 - 21 Аналогичным образом находим
= l+p+22
1 + р + Zj 7 (1
--------4, з > °-21—22
В зави< имости от значений параметров СМО и требуемой т°чН вычи< ление d3 и d3 можно производить по рекуррентным фоР’1' (9) или по явным формулам (12) и (13).
г2 ~ М
тема Мз/М/п/т с относительным приоритетом 189 § , мы получили рекуррентные формулы (8), (10) и (11) для
сипя совместного стационарного распределения двух очере-вЫч11С осНове которого можно получить маргинальные распреде-дрИ' На1йН каждой из них. Пусть q4—стационарная вероятность 1еНия fl заняты п приборов и в накопителе ожидают j заявок ти-того, ч __ г_}
ТлгпаОи = Рз, > J = 0,r, гДеР;. = Е Рзт- Аналогично имеем па г ___ ™=о
j = 0, г Тогда стационарная средняя длина Q, очереди ^заявок определяется формулой
(14)
Очевидно, что стационарная средняя длина очереди Q безотносительно к типу заявок определяется как
Q — Qi + Q‘2- (15)
Ответим, что формулу (15) можно использовать для контроля вычислений, так как левая часть может быть вычислена по формуле (3'2 6). а правая по формулам (14).
Наконец, заметим, что поскольку заявки обоих типов скапливаются в общем накопителе, то при поступлении заявки любого типа в полностью заполненную систему она теряется с вероятностью — Рп+т-
2.3. Стационарное распределение времени ожидания приоритетных заявок
Остановимся теперь на вопросе о распределении времени ожидания приоритетных заявок, принятых в систему, функционирующую в стационарном режиме. Будем предполагать дополнительно, 1Т0 одноприоритетные заявки обслуживаются в порядке их поступ-юния, т.е. согласно дисциплине FCFS.
Так как на время ожидания приоритетной заявки не оказывают викакого влияния неприоритетные заявки, как ожидающие в оче-ния ’ ТаК И вновь поступающие, то задача нахождения распределе-1-МО к'М<'НИ °ЖИДания 1*заявки близка к аналогичной задаче для 1/ 'i/n/г, чем мы ниже и воспользуемся.
Той в °3начим через И7! (t) ФР времени ожидания 1-заявки, приня-пХть Функционирующую в стационарном режиме. Далее,
ЛеНц0"?'ж)—условная ФР времени ожидания некоторой (выде-т°пнии 1 Заявки’ заставшей систему в момент поступления в сос-°6означе е = Л'\Л'"+г, и W!(s|a:)—ее ПЛС, где через XnJrr
но, как и ранее, множество состояний с п + г заявками в
190
Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АЦа.
системе, т.е. A’„+l = {(к,г — к), к = 0, г}. Так как еХ() в систему потоки—пуассоновские, и, следовательно, стащюЛ-вероятность застать систему в некотором состоянии х в медЛ В ступления заявки совпадает со стационарной вероятностью р состояния по времени, то по формуле полной вероятности
-Г • 1 — 7Г
х£Х'
или, переходя к ПЛС,
= 7~ 52 Р^1(®1«)- !
хеА”
Ясно, что если рассматриваемая заявка застает систему вв тоянии (г), г = 0, п — 1, то она сразу же начинает обслуживав и в этом случае ce(.s | (г)) = 1. В случае же, когда выделенная зм= застает в очереди к 1-заявок, т.е. в одном из состояний (1",0).({ ..., (к, г — к — 1), то она не получит отказ, впереди нее будет очер из к 1-заявок, а ее обслуживание начнется лишь после того, j в интервале, начавшемся с ее прибытия, завершится обслуживав Z + 1 заявок. Поэтому при к = 0, г — 1
fc+i _______________ I
, т = 0, г — к — 1.
V s + ПЦ
С учетом этих рассуждений из (16) получаем окончательное вы жение для (s):
( А 1
ш1(5) = 1----
1 — 7Г
к=0 т=0
ПЦ s -\-пц
где pw=o = 52 Рг вероятность обслуживания любой заявки ,=0
ожидания.
Дифференцируя (17) по s, можно получить момент wj | Я°Р
I времени ожидания 1-заявки с помощью формулы = (-1)^'1
WS° = 52(/; +О' (?*-• ~Pk,r-k)-
.. fc=0
В частности, отсюда при I = 1 следует выражение для ('!|(5Е времени ожидания иц 1-заявки:
г-1
wi = 52(^ + 1) (Рк,- ~Pk,r-k)-к=0
191
s Спстемы M/PH/l/r и PH/M/l/r впрочем, что для вычисления u>i можно также использо-[ СфоРмУлу Литтла, которая в этом случае цмеет вид
A1(1-?r)wi =Qj. (19)
т факт целесообразно учитывать при осуществлении вычисле-чя п\ контроля. Мы предлагаем читателю в качестве упраж-Н"И я доказать непосредственно формулу (19), исходя из формулы ('iSj H уравнений равновесия (3)-(5).
§ 3. Системы М/РН/1/r и РН/М/1/r
В предыдущей главе для анализа СМО М/Ет/1/оо, а затем в § 1 этой главы для СМО М/Н„,/1/оо мы использовали метод введения фиктивных фаз, что позволило марковизовать модель. Однако, как показано в главе 2, разбиение процесса обслуживания на '’экспоненциальные” фазы можно сделать и в гораздо более общем случае, а именно для PH-распределений, что мы подробно разберем на примере системы М/РН/1/r, а затем результаты для последней переносом на систему РН/М/1/r.
Сначала мы изучим СМО М/РН/1/r, построив для нее марковскую модель и изложив матричную технику ее анализа, приводящую к матрично-геометрическому решению для стационарного распределения очереди. Заметим при этом, что для читателя, внимательно разобравшего материал § 1, не составит труда овладеть материа-том данного параграфа, так как в идейном плане эти разделы очень близки.
В соответствии с классификацией Кендалла система М/РН/1/r представляет собой однолинейную СМО с накопителем конечной емкости г (2 < г < сю), в которую поступает пуассоновский поток задв°к интенсивности А, а времена обслуживания заявок имеют ФР (х) фазового типа. Предполагается, что ФР В (.г), равная
В(ж) = 1 - /Г ем г1, х > О, /Г'Г = 1,
2 Я К<1 Т Н<'П1)ИВОД11МО<' PH-представление (/3 r,Af) порядка гп (см.
Д- Выбор заявок на обс луживание осуществляется в соотвст-рСр'1 1 °Дн°и из фиксированных дисциплин обслуживания типа текст’ LCFS или RANDOM. Как обычно, мы будем оговаривать в е<ли потребуется фиксировать определенный тип дисцип-
При переполнении накопителя вновь прибывшая заявка теря-
Ка(<1ется системы РН/М/1/i, то ее можно назвать двой-1 относительно предыдущей системы. Это означает, что в
192
Гл. 4 АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА^ системе РН/М/1/г входящий поток имеет фазовую структур! является рекуррентным с ФР А(.т), равной >'
А(г-) = 1 — ЙтеЛа:1, х > 0, <5*1 = 1,
и допускающей неприводимое PH-представление (ат, Л) поряди времена обслуживания распределены по экспоненциальному за(1 с параметром //.
3.1. Система уравнений равновесия для СМО М/Р^,
Итак, приступим теперь к построению математической для системы М/РН/1/r. Основываясь на вероятностной интерн, тации PH-представления, изложенной в § 2.8, поведение этойг. темы можно описать однородным марковским процессом t > 0} с множеством состояний X = {(0); (k.j), k = l.R, j =Т7 где через 7? = г + 1, как и ранее, обозначена суммарная емки-системы. Состояния этого множества имеют следующий сыне если г;(/) =. (0) в некоторый момент времени /, то система пус а если r/(l) = то в системе имеется к заявок и обслуживай на приборе заявка проходит фазу j. *
В силу свойства отсутствия последействия для пуассоновскг потока и экспонснциальности распределений длительностей фаз» служивания при известном состоянии процесса -q(t) в момент вр мени t его дальнейшее после t поведение не зависит от прошлого, т-от того, в каких состояниях находился процесс до момента врема t. и, кроме того, от выбора этого момента на оси времени. Там-образом, процесс {?/(/), t > 0} является однородным марковски
Число состояний процесса {?;(£), t > 0}, равное Rт+1, коняг и все состояния сообщаются между собой. Поэтому он эргодичи существуют предельные вероятности р0 = lim po(t) > Он Ph' = lim Pkj(t) > 0, не зависящие от начального состояния про№с( I">ос
?;(0) и совпадающие с его стационарными вероятностями.
Выпишем теперь СУР для вероятностей рд и Pfcj. ДлЯ эТ0' введем некоторые дополнительные обозначения.
Пусть /Г = (Д,...,/Зт), м = (Мгз)г^ ир= -м 1. ним, что согласно вероятностной интерпретации РН-распреДе®нГ компонента Д, вектора ft есть вероятность начать обслуЖ1®8"' в соответствующей экспоненциальной разомкнутой сети (в случае на приборе) с узла (фазы) j, элемент М13 матрицы М" , тенсивность перехода заявки в сети (приборе) из узла (флзь!' узел (фазу) j, i j, а компонента /13 -вектора /7 интенсив!®
„ыхода заЯВКИ И? Усматриваемой
s Системы M/PH/l/r и PH/M/l/r 193
сети (прибора) с узла (фазы) j. Тогда СУР для СМО запишется в следующем виде:
m
0= -Apo + (1)
2=1
т т
0 = -ApiJ + 52Mupil+A^po + Pj^n,p2l, J = 17rri, (2) г=1 г=1
т т
n=-Ap^+y^^jPfa+Apfc-ij+/3j У^ /'»Р/,-ц,г, k=2.r, j = (3)
2=1 2=1
о = У^М,рд, + Xpr3, j = l,m. (4)
2 = 1
Кроме того, должно выполняться условие нормировки
R тп.
» + ££>, = 1. (5)
k=l .1=1
Поясним теперь вывод уравнении равновесия. Для этой цели введем множества Л’о = {(0)} и Л). = {(А:, /), j = 1, zn}, к = 1,Р. Заметим, что А/,. есть множество сое тоянии, при которых в системе имеется к заявок.
Рассмотрим возможные изменения процесса {z/(2), t > 0} в промежутке времени (t,t + Д), где Д-”малое” приращение. Пусть {?ji(t + Л) = (0)}. Это событие можно получить двумя способами:
если в момент t 7](t) = (0) и за время Д не поступит новая заявка (вероятность такого события равна р0(1) [1 — А Д + о(Д)]);
если в момент t G Л), т.е. находится в одном из соетоя-®1И (1, 1), J = l, hi, и за время Д закончится обслуживание заявки Iе Учетом того, что вероятность закончить обслуживание' заявки Нафазе j есть р, Д + о(Д), суммарная вероятность такого события m
радна£р1Д1)^д + о(Д)).
I
вероятность других переходов за время Д равна о(Д).
, рт<к>да, суммируя, получаем, что вероятность p0(t + Д) собы-" W(t + Д) = (0)} равна
Ро(1 + Д) = (1 - А Д)р0(1) + 52р1Д1)/ьД + о(Д)-„ j=i
194 Гл. 4- АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHAjju
Выполняя обычные преобразования, т.е. перенося po{t) в часть, деля на Д, а затем переходя к пределу при А —> О, полу^
т
Ро(0 = -Apo(t) + 52 (С-
Отсюда при t —> ос следует уравнение (1).
Пусть теперь r/(t 4- А) = (1, j) для некоторого фиксировав j — 1,2,..., т. Тогда за время А в системе возможны следу^ переходы, которые приводят к этому событию:
''/(Г) = (l,j) и за А не поступит заявка, а также не за®#, чится обслуживание на фазе j (вероятность такого события pa3F Pij (t) [1-А A+o(A)][l+MjjA+o(A)] = pij(t) [1-(А-М^)Д+о(Д)'
rj(t) £ Л), т.е. процесс rj(t) в момент времени t находится, одном из состояний (1,г), г = 1,т, г / j, и за А изменится фй( обслуживания с г на j (учитывая, что переход с фазы г на фазу происходит с вероятностью Мг} Д+о(Д), получаем, что вероятно® тп
данного события равна 52 Рн(0 А + о(Д));
4=1,
?/(/) = (0) и за А поступит заявка (переход ’’снизу”), которм начнет обслуживаться на фазе j (вероятность этого события равь p(l(f) АД/3, + о(Д));
z/(t) б A'-2, т.е. в момент времени t процесс ??(t) находится! одном из состояний (2,г), i = 1,т, за А закончится обслуживав? заявки (переход ’’сверху”), а новая заявка начнет обслуживаться
(разы j (вероятность такого перехода равна fl3 52 P2;(i) /А'Д+ °(А
г=1
Вероятность других возможных переходов равна о(Д).
Таким образом, для вероятности pij (< + А) события
= (1,.?)} получаем
т
Pij(t+A) =Pv(t) [1 - (А - М3}) А] + pb(t)M„A+
1 J
+Ро(САД^ + 52?>2.(^) + o(A),
1=1
откуда приходим к уравнению
»п
Х/?) ~ -t- 52 MjPi.fo) + Aftp0(o+
г=1
Системы М/РН/1/r и РН/М/1/r
195
т
+Рз $2 ^гР21 w ’ j: =
г=1
оо к уравнению (2).
П П^В общем случае, когда к = 2,3,... ,г переходы за время Д, при-е к событию //(Я-Д) = (к, j) для некоторого фиксированного ®°2 j 2 ,,тп, аналогичны случаю к = 1, за исключением лишь пе-
' "снизу” тогда, если Tj(t) = (fc — l,j), то за Д возможно
Р Д.упление заявки (эта заявка направляется в накопитесь), вероятность чего равна А Д + о(Д). Поэтому по аналогии со случаем 1 имеем
Pk3(t + Д) — [1 — — ^р3з) + У2рь(1) MtJA+
г=1 г^З
т
+А Д Pk-i,i (t) + /З3 '^Pk+i,t(t) ргД + о(Д),
г=1
откуда следуют уравнение
ТП
Й7(0 = -xPk3(t) + У2Л/оРь(0 + Apfc-ij(i)+
г=1
тп
+Рз^Р.рк+1.^, i = к = 2,г, г=]
и при t —> ос уравнение (3).
Наконец, рассмотрим случай, когда i](t + Д) = (1?,у) при фиксированном j = 1, 2,..., т. Тогда за время Д возможны < леду ющпе переходы, которые приводят к этому событию:
’/(О = (R,j) и за время Д это состояние не измените я (всроят-ность такого события равна рд7(/) [1 + Д+ о(Д)]). Заметим, что поступление новой заявки не изменяет состояния, так как заявка Ряетея, поэтому, в отличие от предыдущих случаев для к = 0.7 . ЗДСсь не учитывается вероятность непоступления заявки за Д;
r/(0 G Л’ц и за время Д произойдет переход с некоторой фазы I -J 111
/Нафазуу (вероятность такого < обытия равна Р/б(0^'?Д+
;= 1,
+о(Д));
р^) ~ и за время Д в систему поступит одна заявка (вс-и°сть данного события равна prj (f) А Д + о( Д)).
сроятность остальных возможных переходов равна о(Д)
196 Гл. 4 АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗ^ Таким образом, для вероятности рпД. + А) события {^(i + Д) = получаем
PR, {t+Д) =рп, (*) [1 +Мп Д] + Ря> (*) Мч Д +Ргз (*) Л д+°(А),
1=1
откуда приходим к уравнению
тп X
PR, = 52 Мг,РНг (<) + APrj (*), J = 1, т, 2=1
и при t —> ой к уравнению (4).
В качестве упражнения предлагаем читателю самостоятельно получить уравнения (1) (4) на основе принципа глобального баланса, выписав предварительно диаграмму переходов в СМО.
3.2. Матрично-геометрическое решение уравнений равновесия для системы М/РН/1/r
Опыт решения уравнений равновесия, полученный в предыдущих параграфах, подсказывает нам, что некоторый предварительный их анализ может в значительной мере упростить проблему. Здесь мы будем следовать тем же путем, что и в § 1, но используя уже матричный аппарат. Возможно, что вначале матричные запись и операции над уравнениями покажутся не столь понятными, как скалярные (особенно в плане их вероятностной интерпретации). Однако с приобретением определенных навыков становятся очевидными все преимущес тва матричного подхода с точки зрения записи уравнении и техники их анализа, причем вероятностное толкование получаемых результатов (если, конечно, оно имеется) также стано-вп ге я вполне' прозрачным. Но, повторяем, для этого нужен опыт, и мы (начав, отчасти, работать с матрицами в предыдущих параграфах и привлекая их здесь уже в полной мере) постараемся помочь читателю приобрести сто.
Возвращаясь к нашей проблеме—решению СУР (1) (4), запи шем эту систему в матричной форме, введя предварительно вектор Ра. (РАД ? - - • iP/cm). ...
—Apo +Pi/i = о,
Р,г (—А / + М) + А Дгр() + йгр Дт = от,
Рь(-Х1 + М) + ХрД1 +Pfc+iP/3r = бт, fc = 2,r, /ДМ +Ар,г = бт, У
где' 0 вектор, целиком состоящий из нулей
s Системы M/PH/l/r и PH/M/l/r
Условие нормировки (5) представимо в виде
R
&fe = l>
197
(10)
где Рк
= Рг'1—стационарная вероятность нахождения в системе к
заявок. _
Умножая теперь каждое уравнение (7) (9) справа на вектор 1, а
затем последовательно суммируя полученные равенства и принимая во внимание (6), приходим к следующему результату
^Рк = р£цР, к = ОГг. (11)
Соотношения (11) представляют собой уравнения локального баланса между группами состояний с к и менее (слева) и к + 1 и более (справа) заявками в системе соответственно. Действительно, вправо мы можем перейти только из состояний (k,j), j = l,m, за счет поступления новой заявки (суммарный поток вероятностей при этом равен Ар*.,.), а влево - лишь из состояний (Р + l,j), j = 1,т, за счет окончания обслуживания (суммарный поток вероятностей т
равен l‘jPk+i,j)j равенство этих потоков и дает нам (11).
;=1
Вернемся теперь к уравнениям (6) (9). Легко видеть, что уравнения (7) и (8), представляющие собой матричные рекуррентные уравнения второго порядка относительно рь, с помощью (11) можно привести к рекуррентным соотношениям первого порядка следующего вида:
Р]Г(—А / + М) Api/3T + Xpofi1 — 0т,
Ра- (—АI + М) + Арг-Д* + А р^_ ] — 0т, к = 2, г.
Вспоминая теперь, что р*. = р£1, и вводя вектор А = А 1 и матрицы ® = -XI+ М и М = D + А Д т, отсюда, а также из (9) окончательно получаем
р{М = -АДтр0,
PfcTM = -ApfcT_1; к = 27,
(12)
PW = -Ар)т.
Ров ?аКИМ образом, мы получили простые соотношения для векто-Извп^’ КОтоРые, если матрица М не вырождена, позволят нам про-Ное ДИТЬ РекУРРентный расчет. Внимательный читатель, навер-зац^Же Заметил, что соотношения (12) полностью совпадают по и с соотношениями (1.9) с той лишь разницей, что там при
j gg Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗ определении матрицы М матрица М была диагональной. а зЛе произвольного типа (естественно, удовлетворяющая свойсгвац обходимым для того, чтобы (б, М) было РН-представлсниех! л. В(х))- Мы также можем использовать для обращения МатрцЛ М формулу (1-10), но при этом нам необходимо установить. тима ли матрица D в исходных предположениях, и когда выпспн# ется условие [К D~lX —1, при котором матрица J/-1 существу^ Для этого заметим, что в силу неприводимости РН-предс тавдещ (б',М) все собственные значения матрицы М имеют отрпцате®, ные вещественные1 части, т.е. матрица М является устойчивой (с, § 2.8), а, значит, матрица D = — XI 4 М также устойчива и. сдедо вательно, не вырождена. Нам осталось определить, при каких у(10 виях fl'D~'X = АД'Р-11 —1. Обозначим через i(s) ПЛС фр
В(Г). Тогда, как следует из (2.8.9), 1 + АДтЛ-11 = 1 — А 1'(А1--М)-11 = /3(А) > 0. Таким образом, матрица M~i при сделанных выше1 предположениях всегда существует и равна
/У(А)
(13i
Необходимо заметить, что обратимость М можно было быпо.и чить, используя более общую лемму 2.8.5, полагая при этом (f.G) = = и Н = (—А). Однако мы предпочли получить этот реэуль тат непосредственно с целью помочь читателю в развитии навыки работы с матрицами такого типа. I
Обращаясь снова к рекуррентным соотношениям (12). мы можем теперь получить явные- выражения для р),., действуя при этом как и в § 1 для СМО М/Н„,/1/г. А именно: вводя такие1 же матрицы FT = -AM-1, WR - -ХМ'1 и вектор w0 = -AДГ»-1 /Ж) приведем соотношения (12) к виду
рГ = Рогеот,
Рк = Pk-i W7, к - 2, г, Pli = i>rwR,
формально полностью совпадающему с (1.12). Как следствие этого получаем следующее утверждение: с тационарное рас предолснис вс роятностей состоянии {ро,Рк, к = 1,7?} СМО М/РН/1/r вырааа ется в форме усеченной матричной прогрессии:
fpo«JlPfc 1, если к = 1, г: Рк = S
1роУфгИгг-1Ил/г, если к — В.
199
Системы М/РН/1/r и РН/М/1/r §
пероятность ро определяется из условия нормировки (10), а по-е при этом явное выражение для ро полностью совпадает ’'^писи с (114)- Однако, как мы уже замечали в § 1, в прак-П° ких расчетах этим выражением не пользуются, а находят ве-Т" шны Йч “ Pkj/poi а потом из условия нормировки вычисляют (1+р, Г1-
1° Мы предлагаем читателю в качестве упражнения получить яв-выражения для матриц W, ТРд и w0 в случае эрланговского рас-НЬ лечения времени обслуживания с параметрами р и ттг, т.е. для СМО M/Em/’ I1 Имея явные выражения для матрицы W (или, что тоже самое, ля А/-1), расчет стационарных вероятностей состояний системы М/Е„,/1/г можно будет производить не только с по Ьпщью матричной прогрессии (15), но и на основе рекуррентных формул, которые в этом случае легко получаются из соотношений (14) Как мы уже упоминали в § 1, матричные формулы (15) или же рекуррентные формулы, получаемые из них наподобие случаю системы M/Hm/1/r, можно использовать для приближенного вычисления стационарных характеристик в аналогичных системах, но с бесконечной очередью. Такие расчеты, как показывает практика, приводят к более устойчивым результатам, чем, например, вычисления по рекуррентным формулам непосредственно из СУР для СМО \1/Е,„/1/ос, о которых мы упоминали в п.3.6.2.
Остановимся теперь кратко на основных соотношениях для показателей производительности СМО М/РН/1/r в стационарном режиме ее функционирования. С помощью таких же качественных рассуждений, как и в § 1, можно показать, что для интенсивностей принятого Ад и обслуженного X/j потоков выполняются соотношения
Ад = А (1 — тг),
\ Н 1 к>)
Ad = р(1 - ро),
<’ опять же в силу пуассоновости входящего потока вероятность терь я определяется выражением тг = рд1 = рд, а // интенсив-иость обслуживания, определяемая согласно формуле (2.8.10) выра-*дНИРМ I1 = —(ДтЛ/-11)-1. Тогда из равенства интенсивностей Ад 11 в стационарном режиме имеем, что
Ad = А(1 - тг) = р(1 -ро). (17)
Равенство в соотношении (17) можно также записать в Рентной форме
ГД Р=А/Р.
р (1 - тг) - 1 - Ро,
(18)
200 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.Пц.
Выведем теперь другое эквивалентное выражение для пра|И части формулы (18). Для этого просуммируем уравнения (8) ° J k = 2, 3,..., г и сложим результат с уравнениями (7) и (9) В цТ|В 1 пол 5 ним 1
R н
Складывая это равенство с уравнением (6), предварительно ц1(1( жив его на вектор ;Т', получаем
R
£рДм + /7/Г) = 6т.
А-1
Умножая последнее равенство с права на Л/-11 и учитывая vciobit R ‘Г
нормировки ^2 Рк = 1т приходим к соотношению
А=0
1 11 i-po = pf.fi- (и
/z fc=i
Отсюда, а также из (16) следует, что
R
Ал = Ар - ^PkP- (2С
А=1
Соотношения (16) (20) показывают, как связаны между с обоим рактеристики СМО Ад, Ар, тг и р0. Кроме того, эти соотношения могут быть использованы для контроля вычислений, ос ушествляе мых по формулам (1Й) или по рекуррентным формулам, получас®»! из (14).
После вычисления векторов р*. на их основе определяются л* ционарные вероятности р/, = pff — pi,, наличия к заявок в систем-
R
стационарное среднее число N = крь заявок в системе, сташ||!
г fc= 1
я
парная средняя длина Q = ^2 (^ “ 1)/Ч- очереди, а также \1'1!<нТ /.=2 выс ших порядков.
3.3. Стационарное распределение времени оЖИДаВ,,я при дисциплине FCFS для системы М/РН/1/r
Для определения стационарного рас пределения времени <eKB j ния заявки в очереди при обслуживании заявок в порядке' по<т>
201
. Системы М/РН/1/r и РН/М/1/r §
воспользуемся тем же подходом, который применялся для нахо-В0Я011Я этой характеристики в главе 3, а также в § 1 данной главы, -олько формализовав его.
0еСКр5ОЗначим через W(t | а?) условную ФР времени ожидания неси выделенной заявки при условии, что она застала систему в
’' стоянии х € Л" — %\Xr (в этом случае заявка не теряется и будет Г нятана обслуживание). Заметим теперь, что для пуассоновского П>ока. как было уже неоднократно отмечено ранее, стационарные оятности для произвольного момента времени совпадают со ста-В<1онарными 1 ероятностями состояний СМО, рассматриваемой в моменты t - 0 поступления заявок С учетом этого для ФР 1Р(А) вре-уени ожидания заявки в очереди при условии, что она была принята в систему, получаем
W(t)=1_.
тел”
где Рг стационарная вероятность состояния а", а тг = pR- вероятность потери заявки. Переходя в (21) к ПЛС, имеем
1
52 l^WI3-'),
(21)
(22)
Найдем теперь функции w(s|z). Пусть х = (0), т.е. выделенная заявка застала < истему пустой; в этом случае она сразу же идет на обслуживание, время ее ожидания равно нулю и, следовательно, w(s|(0)) = 1. В случае, если х = (А ,;/) для некоторых фиксированных А- = 1,2, ...,?• и j = 1,2,..., т, то время ожидания поступившей выделенной заявки будет складываться из времени дообслуживания заявки на приборе, которая в момент поступления наблюдаемой заявки обслуживалась на фазе и времен обслуживания к — 1 за-|Я®°к, ожидающих в очереди. Так как длительности обслуживания заявок независимы в совокупности, то w(s|(fc,j)) = /?/i-1(s)/3J(s), ГДе^(8) ПЛС распределения остаточного времени обслуживания приборе, начавшегося с фазы j. С учетом того, что длитель-И 11 обслуживания на фазах имеют экспоненциальное распреде-/о , ’ а также основываясь на результатах § 2.8, получаем, что
-’’"'(*)) ' = (si - М)~1р. Тогда, вводя вектор u£(s) = Lle^'sl(^Il)),...,w(s|(A:)m))) и пеРехоДя к матричной записи,
wfc(s) = (si - A/)-1/z/3fc-1(s).
фОр^Т‘1К MbI получили все необходимые данные, чтобы с помощью №bI (22) выписать окончательное выражение для w(s). которое
202 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНД тцМ
имеет вид
w(s) = -4^ [р0 + (^ ~ (,s)] й
fc=l
Из (23) путем дифференцирования oz(s) легко можно получить менты времени ожидания. В частности, для среднего времени оЖц данпя w = —и/(0) получаем
’<’= (24| 1 L А=1
где b среднее время обслуживания, a Q средняя длина очерЛ Заметим, что другое (эквивалентное) выражение для w можно получить, исходя из неоднократно упоминаемой нами ранее формути Литтла, которая с учетом возможных потерь в системе приникает вид
А (1 - л) w = Q. (25)
Поэтому одну из формул (24) или (25) целесообразно использовать для контроля расчетов.
3.4. Система РН/М/1/r
Судя по тем аналогиям, которые мы имели для систем М/Н„,/1/г и М/РН/1/r, можно ожидать, что для систем Н//М/1/ги РН/М/1/r подобная аналогия сохранится. Так же, как и в п.1.4,вве дем случайный процесс = (£(7), c/(t)), t > ()}, где £(t) номер фазы, которую в момент времени t проходит процесс генерации за явки, а п(/) по-прежнему, число заявок в системе в этот момент Тогда с учетом вероятностной интерпретации РН-распредслении А(ж) процесс t > 0} будет однородным марковским. Мио
жсство сто состоянии X = {(г, к), г = 1,1, к = 0, /?}, где П = г + 1 совпадает’ с множеством состоянии для системы Hz/M/1/г, при этом и сами состояния (г,&) имеют тот же физическии смысл, что и Д® системы Hz/M/1/г: г фаза, на которой находится генерируемая за явка, а к число заявок в системе.
Так как число состоянии X конечно (равно (7? + 1)/) и все» состояния сообщаются, то процесс {//(Л), t > 0} будет эргодиИ ким, и, следовательно, существуют стационарные вероятности' — lim P{z/(Z) = (г, к)}. Вводя векторы р£ = (рц.,... .р//. ) и А =
>СС _ /ГТ
запишем СУР, которой удовлетворяет распределение {рЛ., к = 1
сразу в матричной форме:
6T=PoA + pPiT,
х Системы М/РН/1/r и РН/М/1/r 203
б =Рк(Л ~рГ) +й'_1Аа‘ +/лр^+1, к=р7, (27)
О' —Pr{^ ~ РI) + FrX °' 4" Pr^ о '
(28)
л Подробный вывод уравнений (26) (28) мы проводить не будем, а приведем лишь диаграмму переходов в СМО (рис. 5), используя которую читатель может получить эти уравнения равновесия на основе принципа глобального баланса. На рис. 5 используются f уодутоыпс обозначения. Л.г] (г, _?)-элемент матрицы /\ (интенсивность псрехо 1Я с «разы г на фазу J), А,—г-я компонента вектора А (интенсивное ь выхода сгенерированной заявки с фазы г) и а,—г-я компонента вектора п (вероятность того, что заявка начнет генерироваться с фазы г).
Рис. 5
204 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.лм.
Для решения СУР (26) (28) мы используем тот же подх0д для системы Н//М/1/г. А именно: рассмотрим однолинейную р? с накопителем, емкости на единицу большей, чем в исходц0;-теме РН/М/1/г, в которой произведена замена А(.т) <-> В(х\ ' систему, являющуюся двойственной по отношению к исходи^ * теме. Такую СМО мы будем обозначать как M/PH/1/R. стационарные вероятности состояний ро и ркг, к ~ Т2/7-Р1 1,/, определяются по формулам, аналогичным (14) < точность^ соответствующих переобозначений (/3 О а, М <-> Л т <-> /, д J и г О В). Введем теперь вектор рк = (pki, ,Pkl). ЧиТате, предлагается доказать самостоятельно утверждение, что
Й = k = O,R.
1 ~ Ро которое обосновывается совершенно аналогично тому, как этобв ( делано при доказательстве соотношения (1.28) для СМО Н//М/1
Имея распределение г = 1,/, к = 0,7?}, можно получи:, ряд характеристик СМО РН/М/1/r. В частности, вероятность пр-стоя системы р0 определяется как р0 = р 0, а вероятное ть потерь можно найти из соотношений (17) иди (18), справедливость которь для СМО РН/М/1/r обосновывается с помощьютех же pacett ний, что и для системы М/РН/1/r. 'Также можно получить др гое эквивалентное выражение для вероятности потерь, основаны на строгих рассуждениях, но мы займемся этим несколько позл. в § 5, где будет исследована более общая система < непуассои ским потоком—СМО РН/РН/1/r. Там же будет изучен вопрос времени ожидания в системе с непуассоновским потоком. Стам нарное среднее число N заявок в системе и стационарная среда*
длина очереди Q определяются формулами N = 52 * * * 11
А = 1
н
= 52 (к — l)p.,fc соответственно.
к—‘2
§ 4. Система М/РН/1/r с отключением ПР бора и потоком, зависящим от состояния очереД
В
этом параграфе мы покажем, как можно развить
использованный в предыдущем параграфе для анализа
М/РН/1/r, на случай, когда в такой системе прибор может о
чаться на случайное время, а поступающий поток зависит от очереди. Решение, которое мы здесь получим, уже не будет
205
Система М/РН/1/r с отключением прибора § етрическим, но, тем не менее, матричная его запись имеет в°'Г^ипЛИкаТИВНуЮ ФОРМУ-
МУЛ® аК мы продолжим изучение СМО М/РН/1/r. По-прежнему сЧитать, что входящий поток заявок является пуассоновским ^„сивности А. Однако дополнительно мы предположим, что по-^^авдщая заявка, заставшая в очереди к других заявок, к = 0, г — 1, поятностыо А, 0 < А < 1, принимается в СМО и с вероят-с ю 1 - А получает отказ в обслуживании и теряется. Есте-Я веняо, что заявка также теряется, если в момент ее поступления система полностью заполнена, т.е. когда в накопителе находится г заявок- Длительности обслуживания заявок имеют ФР Bi(x). После опустошения системы прибор может с вероятностью в\ отключиться на случайное время, а с вероятностью = 1 — Ot он остается свободным и ожидает поступления новой заявки. Длительность отключения прибора имеет ФР Во (а:). После завершения отключения прибор с вероятностью во снова отключается на случайное время с ФР Во(х), а с дополнительной вероятностью во = 1 — $о он остается в свободном состоянии, ожидая новую заявку. Если после завершения отключения прибора в системе имеется по крайней мере одна заявка, то прибор возобновляет работу. Такая дисциплина отключения прибора называется исчерпывающей (exhaustive).
Мы рассмотрим случай, когда обе ФР ВДш), гi = 0,1, являются РН-распределениями
Bi(x) = х > О, /3/1 = 1,
допускающими неприводимые PH-представления (/3х, Мг) порядка % г = 0,1.
4-1. Система уравнений равновесия
„ Перейдем теперь к построению математической модели описан-Иои СМО. Стохастическое поведение этой системы можно изучить, Рассмотрев однородный марковский процесс {i](t), t > 0} с мно-«еством состояний
2 % ~ {(0); (г, к, j), г = 0,1, j = к —О, г}.
рТДЛЯ Некот°РОГО момента времени t состояние (0) соответ-Дает слУ'1аю> когда система полностью свободна и прибор ожи-ИМее-г 0,?Пления заявки, состояние (i,k,j) означает, что в очереди ПрОцесЯ * Заявок и процесс отключения прибора (при г = 0) или Марк С обслуживания (при г = 1) проходит фазу j. Обоснование нцзват 01,1 пР°^есса {*/(0, t > 0} и его однородности не может сцС1е^ ЭаТруднений’ так как при рассмотрении таких состояний является экспоненциальной, а вероятности А, к = 0,г — 1,
206
Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АЦдл
с которыми заявка может присоединиться к очереди после t зависят лишь от состояния системы в момент поступления за '* и не зависят от того, что происходило с системой до момента t '
Ясно, что все состояния процесса {/?(<), t > 0} сообщу между собой, а их число R (т0 + Wj ) + 1 конечно. Поэтому п' дельные вероятности р0 = ₽{»?(£) = (0)} и ргк] = Jnn Р{^
= существуют, строго положительны, не зависят от нача^
него распределения и совпадают со стационарными вероятности. Выпишем теперь СУР, которой удовлетворяют стационар^ вероятности ро и Pikj- Учитывая предыдущий опыт построения СУ-для различных систем и, в частности, для СМО М/РН/1/r (§ 3) г эта процедура была рассмотрена детально, здесь мы ограничив лишь матричной записью уравнений равновесия, а их пояснение L дим на уровне схемы переходов за ’’малое” время Д. С этой целы-введем векторы р'‘к - (pifcl,... ,рщт). Стационарное распредели® {ро,р,А., г = 0,1, к = 0, г} удовлетворяет СУР следующего вида:
1
0 = -АоРо + 52 >
г=0
б1 = РОТО(-АО7 + Мо) + fa 52
г=0
б = av-w+мо+АоД-ро+Дг 52^^, г=0
б' = Po'fc(—Ад/+ Mo) + Afc_ipJfc_1, k=l,r — 1,
б' к = 1,г ^А-. (3
г=0
бГ = р?гМг + Хг~\Рг\г-^ i ~ 0, 1,
где jit = —МД и Ад, = АД, к = 0, г — 1. Кроме того, до.й®' выполняты я условие нормировки
г=0 А~0
„ СХ^!
Поясним вывод уравнений равновесия. На рис. 6 показана переходов между подмножествами состояний процесса {р(<)’ "
207
Система М/РН/1/r с отключением прибора
М
Г „ аЛое” время Д; при этом, естественно, понимается, что пере-За I происХ°Дят не вообще в то илн иное подмножество, а в соот-ft^yioinee состояние, определяемое согласно принятому внутри ®rTl [110жеств порядку и отвечающей этому порядку матричной за-На этом рисунке используются следующие обозначения: для ^дратной матрицы А = через Adg обозначена диаго-
Пьная матрица Adg = diag(ay i, а22,....«,,,,) и через A°dg матрица . в которой все диагональные элементы заменены нулями, Хо = {0} ' Ук = {(»,к,jj, j — г = 0,1, к = 0,г. Кроме того, здесь
везде опущены слагаемые о(Д).
Пользуясь этой схемой, поясним, например, вывод уравнения (5) при фиксированном к = 1,т — 1 (рис. 6 д). В подмножество X,k за время Д можно попасть из подмножества <¥,,*-1 за счет поступления новой заявки, которое происходит с интенсивностью Ад_| = Можно также попасть в подмножество Адд, за Д из подмножеств ЛЬ t+i и Ад/ч-1 за счет окончания отключения прибора или обслуживания заявки соответственно, что характеризуется векторами интенсивностей До и /1]. При этом сразу начинается обслуживание новой заявки, а выбор начальной фазы ее обслуживания определяется вероятностным вектором (Зу. Кроме того, имеется возможность за Д не выити из подмножества Хц.. Для этого существуют1' два варианта. В первом из них за время Д не закончится прохождение текущей фазы обслуживания и в систему нс пос тупит новая заявка. Этот случай отражают интенсивности, равные элементам главной диагонали матрицы Му и взятые с обратным знаком, и интенсивности X/.I поступления новых заявок. Во втором варианте за Д может произойти изменение текущей фазы обслуживания. Эту ситуацию характеризуют интенсивности, равные элементам матрицы Му, не расположенным на главной диагонали. Остальные с лучаи, отражен-НЫ(' на рис 6 а-г, е, поясняются аналогичным образом.
Читателю предлагается дать интерпретацию уравнении равнения (1)-(5) на основе принципа глобального баланса в скалярной записи. Имея вероятности переходов за Д, указанные' на рис. 6, это Делать совсем нетрудно.
4-2. Матрично-мультипликативное решение системы авнений равновесия '
Как
нИя мы Уже убедились в § 3. введение матриц, помимо упроще-Ч«)Го ИСИ расширяет возможности получения ее аналитиче-в разВдСШСНИЯ’ прсдст<шляемого также в матричной форме. Ниже, «вц0|, Тие поДхода § 3, мы покажем, что можно также получить
Матричное решение СУР (1) (6), имеющее вид произведения
208 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНдл^
[ Л'оо ] ( К 0 ]
а ^0/'()Д\^ у/?lPl Д
г А’о ] i ) 1 — Ад Д
с Л’ю |
6 ^1Д1Л‘А
{{Mo)dg+OoPoPo\^ ( Ко | ) I — [ - ( Л Л) ) dg+А 0 7] Д
[ Л'01 । [ Л 'ч 1
ДоДга\ Л1ДГА
В (^i)?/ffA ( А’ю L ) I—|—(ЛТ) )dt;+A()7]A
) АоДх1 Д
С К |
(м^д ( A’ok ) 7—[—(A/o)de+Afc7]A
г (fc = l,r —1) | Afc-iД
[Л'о^-1|
p’o,fc+i| [A'i A.+1]
/7(),31тд\___//о^Д
Д (A=iy^T) 7{ Л’1А. )7
*• ' К-1д
1^1 л-д]
(M-)S9a CZI к,- г lJ+(W
<- (’ = 0,1) , |а ,Д
РП f
Рис. 6
209
Г ^ycnie.M« М/РН/1/r с отключением, прибора
пых матриц, составленных на основе исходных параметров /гКалярных и матричных), которые определяют ее нагрузку. И Прежде чем приступить к непосредственному решению СУР I запишем ее в иной форме. Для этого введем матрицы
Ло =
Мо + ро/д) 6о 0
Pi^o^i М]
Mo 0 А
О М} J ’
N =
я векторы
Pk = (PokiPik), к = °, г, v = -АН, ро = -м>1, Дт = (б1,/^).
Нетрудно видеть, что с использованием этих обозначений СУР (1) (6) представляется в < ледующем виде: 0 = - Аоро + Ро по,
0т — Ро (~А(>/ + Nq) + ХороРт + Pi v /3Т, бт = Рк + N) + Afe- 174L1 + Рк+1Р Дт, А- = 1, г - 1,
(8)
(9)
(10)
от =рг^ + Аг_1р;_1. (п)
Перейдем теперь к решению системы (8)-(11). Прежде вс его заметим, что эта система уравнении по записи похожа на СУР (3.6) (39) для СМО М/РН/1/r, в которой интенсивность потока зависит от числа к заявок в сйстеме, а PH-распределения времени обслуживания первой после периода простоя прибора заявки и последующих заявок имеют PH-представления (fl. No) u'(ft.N) соответ-Iетвенно. Однако такая схожесть является формальной Это свя-1,11,0 с тем. что РН-предс тавление (J. А') не являете я неприводимым что легко видеть, следуя вероятностной интерпретации РН-|РгпРеделении. Следовательно, ’’укрупнимость' обслуживания не Г'П<111Влет ' ообщаемос ти с остоянии ” новых” фаз обслуживания.
ютря на это вообщс говоря, с ушественнос расхождение между Дем',аННЬ1МП f П< темами Уравнении, для анализа СУР (8) (11) мы бу-Ьни1<П0ЛЬЭОВЛТЬ ТОТ ЖС’ ЧТ° 11 в § 3’ ПОДХОД’ хотя обратимость Занс>в1аЮЩпх ПРИ таком подходе матриц нам придется доказывать
<11а'1адааК’ С!1е^Ая этапам матричного анализа СУР в § 3, получим Вцд Уравнения локального баланса. Уравнение (8) непоерсдет-^ет нам с оотношение
АоРо = Ро^о-
(12)
li 2717
210 Гл 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.Цц.
Умножая теперь уравнения (9) и (10) при фиксированное^ = 1,г на вектор 1, а татем суммируя последовательно получр. равенства и используя приходим к соотношениям
xki>k 1 = Pk+1 'Л к = 0, г - 1.
Впрочем, исходя из физического смысла, соотношения (13) можно было бы выписать сразу, не прибегая ни к каким рованиям СУР (8)-(11). Действительно, нетрудно видеть, чтоС(/ ношения (12) и (13) отражают баланс потоков вероятностей kKj} подмножествами состоянии Aq = {(0)} и A'i,, к = 1,г, и подмНо ----------------- ---------------- --------- 1 ствами Л), I = 0. к, и А',., п = к + 1, г, к = 1, г, где Лд, = (J
! = 0 следовательно являются уравнениями локального баланса.
Подставляя теперь соотношения (12) и (13) в уравнения (9) (10) и вводя матрицы Ло = XoI—No—Xolf3T иЙк = XkI~N-АД) получаем
Pn = X(tptifir, ___________________________ (Ц
PkNk = Afc_ip)!_|, k = l,r-l.
Кроме того, непосредственно из. (11) следует, что
'PrN =-^r-1'Pr-i, (1з
Из (14) и (15) видно, что если матрицы No, Nk, к = 1,г-1 и N не вырождены, то векторы /4, к = 0, г, можно выразить ре куррентным образом через ро, а последнюю вероятность найти 1 условия нормировки.
Невырожденность матрицы N вытекает из неприводимого PH-представлений (Д,Мг), в силу которой существуют M~J, = 0.1, и тогда обратная к N матрица имеет вид
N-1 = ё1гад(МД1, М^1).
Однако для невырожденности No и Nk неприводимости ио® ных PH-представлении недостаточно и дополнительно необходим наложить условия на параметры 0„ г — 0,1. Эти условия форм'1 руются в следующей лемме.
Лемма 1. Пусть РН-представлсния (/Зг,Мг), г = 0ДДД1,,‘ водимы, 0О 1, и Д 1 Тогда матрицы Ад, к = 0, / вырождены.
Доказательство. Положим Do = X0I ~ No, Dk. = ХД -= 1-' — 1. и йк = АД, к = 0, г — 1, а через /31(‘>) обозначив'
Система М/РН/1/r с отключением прибора 211
gyqHO ПЛС в, (ж), г = 0,1. Тогда матрицы Nk для к = 0, г - 1 за-° .?ся в виде Nk = Dk — йкр '. Для матрицы такого вида согласно (4.1-10) (полагая в ней D = Dk и А = —ик) получаем, что S сушествует Dkr и
/3ТР~Ч- + 1, то обратная матрица Л)?1 существует и имеет вид у-1 - р-1 + Dk1’uki3rDk1 l-p‘D~luk
(16)
(17)
Заметим, что матрицы Dk, к = 0, г — 1, должны быть невырожденными (см. доказательство формулы (1.10)). Рассмотрим теперь матрицу Nk для фиксированного к — 1,2,..., г — 1. Покажем, что для этих значений к имеет место (16). Действительно,
BW^Uk = Xk(pr,P?(XkI - Mj)-1) 1 = Хк[ЗЦХк1 -Му)-1! Следовательно, 1 -ДТТ)“Ч7А. = 1-Аа,Д1т(АаТ-Л/1)“1Г = (Зу(Хк) > 0. Отсюда следует справедливость (16) при к = 1,г - 1. Таким образом, доказано, что матрицы Nk 1, к = 1, г — 1, существуют и имеют вид (17).
Докажем теперь обратимость матрицы No. Для этого, учитывая невырожденность матрицы Do, необходимо показать, что неравенство (16) имеет место и при к = 0. В этих целях найдем сначала явный вид Do используя формулу Фробениуса [81]:
(Q-M^o)-1 0 \
С (XoI-My)-1)'
гдеQ = Ао/- мо и С = (Хо1 - Му)-1 - Др/Зо^о)-1. Тогда
/3TD-\7O = (Д,'С, /3[Г(АО/ - Му)-1)^ =
= /51Г(Ао/-М1)-1Д1Д;^1((2_До/Зог0о)-1Ао1+Лт(Ао/-М1)-1Ло1.
МатРИца Q не вырождена и, кроме того, 60(3^Q~1p0 = Ней°и0^°^ 1, то матрица Q — роРо^о не вырождена и обратная к
имеет вид
— (AqI — No) 1 =
И-
(Q Д'о/Зо ^о) — Q 1 +
Q-^o^Q-1
l-Mo(Ao) ’
212 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHAjfa
Покажем теперь, что имеет место (16) при к = 0. Д<йСт тельно,
1 - — 1 - (А (Ло) 0\ - /?о(Ао) + 1 °] (ДдУ^]-
41 - А(Л.)1 = А (Л.) [а + ЛО.) - =
L 1— UqPq(Aq) 1
— /51 (Ло) pi +
/Зо2(Ло)ёо 1
1 — #оА)(Ло) J
Отсюда следует, что в условиях леммы имеет место (16). Таюв образом, лемма доказана.
Введя теперь обозначения wj = X(1ft ' Nt~{, Wk = Xk^iN^\ = T, r — 1, и Wr = — Ar_i№1, из (14) и (15) получаем окончательно если выполнены условия леммы 1, то стационарное распределение {р0, Рк, к — 0, г} представляется в виде
к
Рк = Ро^о П Wi ’ к = 2=1
О
где принято ]"[ = 1. Для определения ро имеем условие нормировки г—1
к=0
которое вместе с (18) позволяет получить явное матричное вира жение для вероятности ро- Однако это выражение может служи® пожалуй, лишь ’’для украшения”, впрочем, как и явное выражение (1.14) дляро в случае системы М/Нт/1/г, или аналогичное выра® ние для СМО М/РН/1/r, так как реальные расчеты никто по та® формулам не проводит. Об этом мы уже говорили в §§ 1 и
Рассмотрим теперь частный случай, когда Д = /, к = (V/ Тогда Xk — Xf, к = 0,г—1. Положим N = Nk, к = 1,г-1-условиях леммы 1 при fk — f, к = 0, г — 1, имеем, что
ТВ
( PowJWk, если к = 0, г — Г, Рк' = S
Ipowjn7’’ lWr, если к = г,
где И- XfN~l. '
Конечно, матричные явные- выражения имеют свои ства, прежде всего аналитического характера. Однако в pea-11’
213
Система М/РН/1/r с отключением прибора
Н
четах часто отдают предпочтение рекуррентным формулам, в РаСеСТБе которых здесь можно рассматривать формулы (14) и (15) р выполнения обращений матриц N, No и Nk. Мы предлагаем п°^аТелЮ из соотношений (14) и (15), используя явный вид (17) для . атной матрицы N^1 и формулу Фробениуса, получить рекур-°евтные формулы, но уже для векторов рок и р1к.
Р Завершим этот пункт традиционно выписыванием выражений дтя основных показателей производительности данной СМО. Положим Р.л = йХ Рк = Pok+Pi,k-i, к = 1“F, pR = р1г и, кроме того, введем величины q0 = p.t0 + р0 и qk = р.,к, к = 1, г. Величины к = 0, г + 1, задают_стационарное распределение числа заявок в системе, a qk, к = 0, г, определяют стационарное распределение длины очереди. Заметим, что р0 есть вероятность того, что система пуста, а прибор ждет появления новой заявки. Далее, обозначим через ps и Pw стационарные вероятности того, что прибор занят обслуживанием заявки и что прибор отключен, соответственно Тогда ps =pi, и pw = Ро,-
Пусть теперь /.q—интенсивность обслуживания заявки на приборе, /ф1 = — а через тг обозначим, как и ранее, вероят-
ность потери заявки. Используя баланс интенсивностей принятого и обслуженного потоков, для интенсивности выходящего потока обслуженных заявок Ad имеем
Ад = А (1 - тг) = . (20)
Другое выражение для правой части полученного равенства можно найти, суммируя уравнение (5) по к = 1,2, ...,г — 1, а затем складывая результат с (3) и (6) при i = 1. Умножая полученные таким образом равенства справа на после простых преобразований получаем:
(21)
(22)
PiPi,. =Pi,. Pi-Следовательно, (20) можно записать в виде
Аг> = А(1 - тг) =p'w pi-
Соотношение (20) дает нам выражение для тг.
т Ps тг = 1---,
где Pl
ро^1 = "V1'1, а соотношение (21) мы можем использовать для конт-иехо 1>;1С'1< Г1ОВ- Заметим, что вероятность тг можно также получит?, Для ДЯ И3 ^Дующих соображений. В силу исходных предположений Чет ^ИсТемь1 вероятность потери заявки при условии, что она заста-Накопителе к заявок, равна 1 — fk, к — 1, г — 1, и 1 — fr = 1.
214
Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНДд^
Тогда, принимая во внимание, что входящий поток заявок явд^ пуассоновским, по формуле полной вероятности получаем
тг = 52(1~ fk)qk-k=o
Эта формула также может оказаться полезной для контроля слений.
ВЫчц
4.3. Стационарное распределение времени ожид при дисциплине FCFS
Мы предположим здесь, что заявки обслуживаются в порД их поступления, а для анализа времени ожидания применим тот » подход, что и в п.3.3. Обозначим через IV(t) стационарное рас' пределение времени ожидания начала обслуживания производи® заявки при условии, что она принята в систему, а через [т) ус ловную ФР времени ожидания заявки, в момент t — 0 перед поступлением которой система находилась в состоянии х g X. Черв w(s) обозначим ПЛС IF(f), а через w(s|x)—ПЛС IV(t |.т). Введи, вектор IFJ(Z) = (W(£| (г, к, 1)), IF(£| (i,k, 2)),..., W(t | (г, к, т,))), а через сЗ,к (я) обозначим ПЛС этого вектора.
ФР времени ожидания для произвольной заявки, принятой в систему, имеет вид (1 —я) 1Р(£) Тогда по формуле полной вероятности < учетом того, что входящий поток является пуассоновским, имеех
I г-1
(1 - л) iT(t) = foPow(t I (0)) + £ £ fkffkwJk(t).
!=0 fc=0
Применим теперь к обеим частям этого равенства ПЛС и разделим на 1 — тг. Тогда получим
МЧ = [fopow(s I (°)) + У У • г=0 fc=o
Заметим теперь, что если в момент t—О поступления выделенног заявки с истома находилась в состоянии (0), то заявка с разу же на*® идет обслуживаться. Следовательно, а>(я | (0)) = 1. Если же заявь’а застала систему в состоянии (t,k,j), то она начнет обслуживать** после того, как закончится обслуживание заявки, находящейся ® приборе (при г — 1), или закончится отключение прибора (при® -и обслужатся к заявок из накопителя. Так как времена обслужи ния заявок и отключения прибора независимы в совокупности,
для данного случая получаем
w.fc(s) = (s I - i = 0,1, к = 0,7 -1-
Система РН/РН/1/r 215
§ 5
Л рассуЖДения вместе с (23) дают нам окончательное выражение
2^(4
1 т 1
(24)
г=0 к=0
гдеЛИ^^Г(-5'7~М|) 1р1'
Для среднего времени ожидания w заявки в очереди, вспоминая, чТ0 w = -1л>'(0), получаем выражение
1 1 г~1 1 г-1
w = (— 52 kfkqk ~ (25)
к=1 г=0 к=0
Для ПЛС y(s) времени пребывания заявки в системе имеем выражение
p(s) =w(s)ft(s), справедливость которого очевидна. Тогда среднее время v пребывания в системе равно
1 v = w 4----.
Pi
Заметим также, что величины w и v, как обычно, могут быть получены из формул Литтла:
А (1 — тг) w = Q.
А (1 — тг) v = N,
где Q =
R
~ Е kpk
4=1
Е к qk -стационарная средняя длина очереди и к=1
стационарное среднее число заявок в системе.
N =
§ 5. Система РН/РН/1/г
После изучения предыдущих разделов этой ет возникнуть вполне естественный вопрос: 0 пуассоновости
Оставления
главы у читателя является ли свой-входящего потока определяющим фактором для геоме^<ШЛ< К1ГЯ стационаРного распределения очереди в матрично-стращ РИческ°й форме? Оказывается, что нет. Ниже мы распро-Поток.1Ь1 Ре-’У-тьтаты §§ 1 и 3 на случай рекуррентного входящего а’ опРеДеляемого ФР фазового типа, при весьма слабых огра-х на параметры соответствующего РН-представления.
216
Гл. Д АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHA.^
Так же, как и в §§ 1 и 3, рассмотрим здесь однолинейную гл, с накопителем емкости г (2 < г < оо). Предположим, что цс заявок является рекуррентным с ФР 4(.т) фазового типа,
A(.r) = 1 — ci'1 еЛа”1, т > 0, а11 = 1, допускающей неприводимое РН-прсдставление (сТ Л) порядк| Длительности обслуживания заявок имеют ФР фазового типа £?(})
В(т) = 1 угг'' f. ж > О, Д'г1 = 1.
также допускающую неприводимое PH-представление порядка щ В качестве дополнительного ограничения, налагаемого на фр А(х) и В(х), потребуем, чтобы для всех собственных значении 1 матрицы А для ПЛС /J(.s) ФР В (л) имело место условие Д(—"Х.) ^() Заявка, поступающая в систему в момент времени когда нац, питель полностью занят, теряется и вновь в систему не возврата, ется. Дисциплина выбора заявок из очереди является тобой фиксированной из дисциплин FCFS, LCFS и RANDOM
5.1. Система уравнений равновесия
Основываясь опять на вероятное тнои интерпретации процессов поступления заявок и их обслуживания, функционирование расе® триваемой СМО можно описать однородным марковским процессе»! {//(£), f > 0} с множеством состояний
R X = U хк, k-o
где, как и ранее, Р = г + 1 емкость системы, Л’о = {(с, 0), г = 1,1} Xk = {(г,&,у), г = 1,1, j = 1,ш}, к = 1,7?. Здесь для произвольного момента времени t состояние (г, 0) соответствует случаю, когда система полностью свободна и процес с поступлений заявок № ходится на фазе г (в узле г интерпретирующей этот процесс сети) а состояние (г, к, j) отражает ситуацию, когда в системе* имеетсяI заявок, а процессы поступления и обслуживания заявок находятся на фазах г и ; соответственно (в узлах г и ) соответ с тп\ющих 3TUJ[ процессам сетей).
Из неприводимости исходных РН-представленип следе ст что все состояния процесса {»?(£), t > 0} сообщаются В силе 5Т0Г° процесс {?/(£), t > 0} с конечным числом \Г m + \)l < остояиип эрг0 дичен, а, значит, предельные вероятное ти р,0 = lim Р{»/(1) = I*
с-юс oi
и IMj = lim = (г, к, j)} строго положительны не зависят И начальногс/распрсделения и совпадают со стационарными вер*’яТ ностями.
217
I РН/РН/1/r
\Ibi полагаем, что читатель, внимательно разобравший преды-парат рафЫ этой главы, приобрел уже достаточный опыт вы-А'1 "Сравнений равновесия для СМО, описываемых распределени-В°Да«базового типа, а также получил некоторые навыки матрич-Гл записи этих уравнении. Поэтому здесь мы сразу запишем СУР ^Еричной форме, предоставляя читателю самостоятельно вы-® ‘ (,е скалярный аналог. В этих целях введем векторы j7(j —
,Р/о), Й — (Р1И, • iPlkm, -Р».Ч-РЦ-2,
Стационарные вероятности {рц-, к — 0, /?} образуют единственное решение < те дующей СУР:
бт =PoTA+piW£), (I)
бг =Ро (А<?' ®/?т) +р7(Л0 +р?(1 ® ДДт), (2)
б" ® Л+Й(лб Л7)+р/+1(1®Д/Зт), к = 2^г, (3)
0 ” =й (Ае7т ® 7)+рл(Л(ВМ + >с?т®7) (4)
t ггтовисм нормировки
п
(5)
k=o
Здесь A = -Al, /7 = — Ml, A ® В кронекерово произведение натрин А и В и А ф В = А®1-р1®В кронекерова сумма матриц Ди В
Как уже было сказано выше, мы не будем вдаваться в подроб-н«тя вывода СУР и лишь поясним ее вывод с помощью схемы переходов процесса {?/(£), t > 0} на интервале (t,t + Д), где Д- -'ВДыц промежуток времени (рис. 7) Предварительно, так же как ч в § 4, условимся для квадратной матрицы А = («о),-J=p^ «означать через Adq матрицу Adg = dtag(an,a22, - . • ,апп) ч через ds Матрице А, в которой все элементы главной диагонали заме-ГНЬ1 нулями Также мы условимся для упрощения записи опускать (асме, представленной на рис. 7, символ о(Д).
а2 ?°Я1НИМ сначала вывод уравнения (3) при фиксированном к = ГРемя" ’' В подмножество состояний Х^ с к заявками в системе за Квой Мтокно попасть из подмножества X^-i за счет поступления t , Эаявки, которое происходит с интенсивностью, характеризу-
Вект°ром А При этом учитывается, что сразу же начинаетс я пр,,*' ЦНя ^Дующей заявки, а выбор начальной фазы (узла интер-To[)QMК юЩеп сети) ее генерации определяется вероятностным век-
Q Кроме того, в подмножество Xk можно попасть за время Д
218
Гл. Г АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.Дц3
ПЛ ’
(1®Д)Д
(л)°д CZZt Х> ]~ )/—(—л)д
а
пп
(/®дДт)д
(ЛфМ)39Д CZZ[ А
(Аат®Дт)Д пп
б
[ Хк+1 ] (/®ддт)д
(А®Л/ДД ( г[ хк
(ХсГ®1)Д
[ Хк-1 ]
в (к = 2, г)
[Xаг ®/+(ЛфМ)®9]д ( Г| xR ]7 )/-[-(л®M)ds]д
(А<?Т®/)Д
пи
Рис. 7
219
. Система PH/PH/l/r §5
одмножества A’k+i путем окончания обслуживания заявки с ин-®э йВНостью, определяемой вектором /7. При этом дополнительно TC«ho иметь в виду, что начальная фаза обслуживания следующей ' я выбирается в соответствии с вероятностным вектором (3. И, овец, имеется возможность за время А не выити за пределы мно-"ества Л7- Это может осуществиться двояким способом. В первом ^учае за время Д не закончится прохождение текущих фаз гене-апии заявки и обслуживания. Эту возможность отражают интенсивности, равные элементам главной диагонали матрицы Л ф М и взятые с обратным знаком. Во втором случае за данный промежуток времени могут произойти изменения фаз текущих процессов генерации заявки и обслуживания. Такую ситуацию отражают интенсивности, равные элементам матрицы ЛфТИ, не расположенным на главной диагонали.
При выводе уравнения (2) мы учитываем, что заявка, закончившая генерацию, тут же направляется на обслуживание, осуществляя выбор начальной фазы в соответствии с вектором /3. Ситуации, отраженные на схемах рис. 7 а, г, на основе которых выводятся уравнения (1) и (4), поясняются аналогично, и мы предлагаем читателю сделать это самостоятельно. Кроме того, мы рекомендуем читателю получить уравнения (1 ) -(4), исходя из принципа глобального баланса.
5.2. Матрично-геометрическое решение уравнений равновесия
Прежде чем приступить к непосредственному решению СУР, выполним ее анализ, который фактически приведет нас к искомому результату—матрично-геометрической форме для стационарного распределения очереди. Сначала поясним идею такого анализа. Редварительно вспомним, что для СМО М/РН/1/r, используя лишь Уравнения локального баланса, нам удалось снизить порядок рекуррентности матричного уравнения со второго до первого, избавпв-ь от старшего члена, а ’’раскрутить” полученное рекуррентное в авнение было уже ” делом техники”. Для данной СМО такая идея ^Ист°м виде не проходит. Однако здравый смысл подсказывает,
Можно попробовать тем же самым приемом избавиться как от Поп 6Г0 члена в рекуррентном матричном уравнении (3) второго Поль а’ так и от младшего члена поочередно, а потом уже ис-УравЭ°Вать Уравнения локального баланса и поручить рекуррентное
«ение первого порядка. Ниже мы реализуем эту идею.
ЛУ'1ИМ сначала уравнения локального баланса. Для этого ум-спРава обе части равенства (1) на вектор 1 и равенств (2) (4)
220 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАлЛ на вектор 1 ® 1 (в скалярной записи это равносильно суммпрОваЛ каждого уравнения для plkj по всем значениям компонент г и Д затем будем последовательно суммировать получаемые равенст''' В результате получим соотношения '
Ро^ = ЙГ(1 ®Р),
Pkfi® 1) =Й+1(1® р), к = 1,г,
которые представляют собой уравнения локального баланса для рас < матривасмой СМО. Естественно, что эти равенства также можно получить, исходя из баланса потоков вероятностей, циркулирующих между группами подмножеств Хо, Хг,..., Хк и Хк+1, Хк+2... Я для каждого фиксированного к = 0,1,..., г.
Умножая теперь обе части равенств (2) и (3) справа на матрицу I ® (1 fl 1 — I) и учитывая равенство (1), получаем следующие соотношения:
р/М =р/(7®рДт) =-^(Л® Дт), (7)
РкМ = Й_,(А«Т ®Г)+р£[(1 -1ат) ® РАТ], k = 2flr, (8)
где М = Л ® (1 fl *' - 7) - I ® М.
Наконец, умножая обе части равенств (2) и (3) справа на матрицу (1« 1 — 7) ® 7, приходим к соотношениям
i>^ = Pkfia1 ®/)+#^+1[(7-1ат)®дДт], А=Г7. (9)
где Л = (1 а ' - I) ® М - Л ® I.
Из (7) (9) и (4), используя (6), путем несложных выкладок поту чаем, что имеют место следующие рекуррентные соотношения:
Й'М = -РОТ(Л®ДТ), (W)
РкМ=р£_1А, к = 2, г, (11
р„М — —рТ (Аат ® 7),
где М = Л ф М + А а'г ® I.
Заметим теперь, что в исходных предположениях относительно РН-распределсний Л(.т) и В(.т) на основании леммы 2.8 5 можно утверждать, что матрица М не вырождена. Из определения РЙ распределения следует также невырожденность матрицы 37. этому уравнения (10) (12) можно решить рекуррентным обра3 и выразить все неизвестные векторы рк, к = 1,7?, через всК
(Jric^£Ma PH/PH/l/r
221
Ппя формулировки окончательного результата введем допол-Р' ,пьно матрицы И'о = —(А® ДТ)М-1, W = AM"1. И', = НИТС‘ - -1 _
ддот ® 11 матРиЦУ z = W0Wr~1(WrM - Л) (I ® 1).
Теперь можно сформулировать окончательный результат, за-ленный нами в заголовке этого раздела, который мы, учитывая Яро важность, а также громоздкость доказательства, представим в теоремы.
Теорема 1. Если PH-представления (а, Л) и (Д, М) неприво-ддмы и для в( < х собственных значений {ys} матрицы Л выполняется условие 0(-7s t то стационарное распределение {pk, к = О, Р} вероятностей состояний СМО РН/РН/1/r представляется в виде усеченной матричной прогрессии:
[ Ро1, если fc = 1, г;
Рк = < (13)
I p^roWr~1Wr, если к = Р.
где вектор ро определяется единственным образом из системы уравнений
PoZ = бт
(14)
вместе с условием нормировки (5).
") о введем = (а<; му
Доказательство. Из определения матриц И, Ио и Иу и равенств (10) (12) вытекает, что стационарное распределение процесса {?/(!), t > 0} имеет вид (13). Однако нужно заметить, что преобразования, с помощью которых СУР (1) (4) была приведена к виду (10) (12), не являются эквивалентными. Поэтому чтобы убедиться в том, что выражения (13) задают решение СУР, необходимо подставить их в уравнения (1) (4), чем мы и займемся ниже. Очевидно, что уравнение (4) удовлетворяется тождественным образом при подстановке в него (13). Прежде чем обратиться к осталь-НЬ1М уравнениям, приведем некоторые соотношения, вытекающие из определения матриц Л и М и необходимые нам для дальнейшего про ВеДения доказательства. Прежде всего заметим, что имеют место <цеДУющие соотношения:
Ла‘ф1 = Л(1ат+1), /®рДт = М(/®1ДТ). (15)
матрицы Н 1ат®7—/®1Дт+1ат®1 /3'1 и
Н. С учетом соотношений (15) легко устанавливается,
F = -МН = -ЛЯ,
(16)
222 Гл 4 АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНД.ТЩ
откуда, в свою очередь, следует равенство
= {17)
Рассмотрим теперь уравнение (3) при фиксированном к = 2 3 г — 1, которое мы должны с помощью равенств (13) или равносиц ных им соотношении (10) (12) обратить в тождество. Для этой цГ1 преобразуем (3) < помощью (11) и (16) к следующему виду: 1
бг=рА'Г, к = 2^ГГ1.
Применяя повторно равенства (11) и (16), из последнего равенства получаем
б" = -Pb-tF.
Действуя аналогичным образом, по индукции устанавливаем, что б'' = PkF = Pk--iF = • = pfF.
Обратимся теперь к уравнению (2). Учитывая равенство
А«г ® Дг = -(Л ® Д'г) (laT ® I)
и соотношения (10) и (11), преобразуем уравнение (2) к виду
бт = Р\Е
Таким образом, последовательной подстановкой соотношений (10) и (11), равносильных (13), в уравнения (2) и (3) при к = 2,г-1 мы получили систему равенств
PkF = Pk-iF = '-- = PiF-
В свою очередь, из (10) и определения матриц F и Н, а также с учетом свойства
(1®Дт)Я==бт
получаем
p;f = -й'(л®(pjiir'F =йг(л( /Г')л/- .и// =
= р0‘ (Л ® /) (/ ® Д') И = б'г.
Рассмотрим теперь уравнение (1), Преобразуем второе слагаемое в правой части этого уравнения, используя при этом соотноП* ния (10) и (15):
Pi (I ® р) = pi М(I ® 1) = -рот (Л с Дт) (I ® 1) = -рЦ А-
Подставляя этот результат в уравнение (1), обращаем последн,’е тождество. Наконец, подстановка выражений (13) для рд, в урав ние (3) при к — г приводит к системе уравнений (14).
223
г с«гтема PH/PH/1/r
J
faKi®1 образом, в результате подстановки выражений (13) для
сварного распределения в систему уравнений (1) (4) получена уравнений (14) порядка / для определения неизвестного век-с®с j? Из того факта, что СУР (1)-(4) вместе с условием норми-Т°вки (5) имеет единственное положительное решение, следует, что Р вестные рм- г = 1,/, находятся из системы уравнений (14) с ЙечНостью до константы, которая единственным образом определяйся из уравнения (5). Тем самым теорема доказана.
Заметим, что для нахождения вектора р0 можно получить дру-пю систему сравнений. Для этого умножим равенства (1)-(4) (права на мат ищу 1 ® 1 и просуммируем полученные равенства по [; = 0.1, • •, р- И результате получаем
R
бт = [pj + 52 Рк i1 ® 1)] (Л + А «')• k=l
(18)
С помощью несложных выкладок, которые мы предлагаем проде-тать читателю, можно показать, что это равенство с учетом (13) равносильно (14). Положим теперь
г-1
v = I + (52 w°wk+w° (i ® Г).
k~0
Далее, пусть у решение СУР
ут(Л + Аат) =бт, 2J , ’ (19)
У 1 = 1-
Поскольку матрица Л + Аат в силу неприводимости РН-представле-«ИЯ (о, Л) неразложима, то эта система уравнений имеет единствен-10(! решение. Подставляя выражения (13) для р^ в (18), получаем, 1То вектор роу удовлетворяет системе уравнений
РотР(Л+-Аат) = бт.
гатому porV = где с—некоторая константа. Из условия нор-Р°вки (5) и (13) следует, что с = 1. Следовательно, вектор р0
*творяет системе линейных алгебраических уравнений
где РоТ1/Г = Р'т, (20)
У единственным образом находится из системы уравне-Равй J ’ В свою очередь, учитывая, как мы уже указали ранее, <еИ?Н0СТЬ (18) “ (14') , получаем, что решение для р0, опреде-113 системы (20) с учетом (19), также единственно.
224
Гл 4- АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНдд^
5.3. Обобщения системы
Рассмотрим здесь более общий случай, когда у ФР /Цжс И В(х) сняты ограничения а, > 0, г = 1,1, или /З3 > 0. j =; Естественно, что ФР А(х) и В(т) в этом случае уже могут не PH-распределениями, и тогда мы условимся их кодировать снмво 1 QPH (см. § 2.8).
Система QPH /РН/1/г. Функционирование этой систдж может быть описано цепью Маркова с полумарковским управлени (см. § 1.6) {??(£) = (v(t),C(t)), t > 0}, где {i/(t), t>0} -марковсД процесс, определенный на множестве состояний А' — {(0), (A:, j). р _ = 1,7?, j = l, т}, а {£((), t > 0} — полу-марковский процесс с мц& жеством состояний У = {()}. Состояния процесса {r(t), t > Qj интерпретируются следующим образом: r(t) = (0). если система пуста; i>(/) = (fc, j), если в системе имеется к заявок и обслуживание находится на фазе у. Процесс t > 0} имеет лишь одно состоя нис 0, и ФР Ро(х) времени пребывания £(t) в состоянии 0 совпадает с А(.с). Тогда, следуя обозначениям § 1.6, получаем, что G(l = -А То = «, а отличные от нуля вероятности pv,w — р^’д имеют следующий вид:
pC’J.lU) = p(t,j),(fc+i,j) = = 1, 7 = Т^; к = 17г.
Положим теперь xl0 = х(г, (0), 0), .т,/,., = ж(г, (fc.j),0) и введем векторы .Гр и Ад, имеющие структуру' и размерности векторов ро и Йь к = 1,7?. Тогда система уравнений (1.6.2), (1.6.3) запишется» виде (1) (5) с учетом переобозначений р О х. Для краткости будем называть полученную систему уравнений квази-СУР. Положим Ро — р((0),0) и р^ = р((А,у),О). Заметим теперь, что, следуя доказательству теоремы 1, мы видим, что условие а, > 0 используется (в неявном виде) лишь при обосновании невырожденности матриц да и М. Однако из лемм 2.8.2, 2.8.4 и 2.8.8 вытекает, что эти матрицы будут нс1 вырождены и в случае, когда условие а, > 0 не выполни ется. Следовательно, для нахождения векторов х^, к = 0, Р- м°жН° ис пользовать теорему 1 с учетом переобозначений р О х, а зная вс личины хго и мы можем, согласно формуле (1.6.5), опреДсЛИ1Ъ вероятности р0 и Pkj '
Po = x.fi, Рк3=х к<:1, k — yR, j —
Система PH/QPH/1/r. Функционирование данной I также описывается цепью Маркова с полумарковским управлей 1 {д/(1) = (n(f),£(/)), t > 0}, где марковский процесс {n(t), f
225
, (устсма PH/PH/l/r
В ___ __________
лен на множестве X — {{г, к), г = 1,/, к = 0, /?}, а полу-о^овский процесс {£(/), t > 0} на множестве У = {0,1,.../}. >,а^Кь = есЛИ заявка на вхоДе системы находится на фазе системе имеется к заявок. ФР F0(x) времени пребывания £(/) ,И стоянии 0 совпадает с В(х). Вспомним теперь (см. § 2.8), что ® вероятностной интерпретации ФР фазового типа А(х) как про-блуждания в некоторой открытой сети массового обслуживания считается, что время пребывания заявки на фазе i распределено экспоненциально с некоторым параметром мг-, переходы с фазы г на фазу 7 происходят с вероятностью 0г], а выход заявки из сети осуществляется с вероятностью 0,о = 1 — £ &ij Поэтому можно считать, э = 1
ттоФР Ft(x~) пребывания £(/) в состоянии г, г = 1,1, экспоненциальна с параметром и,. Следовательно, 70 = /3, Go = —М, = (1),
Q = (и,), г = 1, /. Ненулевые вероятности р£’“ имеют вид
р^+1}’(г’к} = р(«.1).(ьо) = 1; . = к =
= 0.si i,,s=l,/, p^0),(l,1) = агев0, s,i = l,l.
Положим хг0 = х((г, 0), г), x^j = a?(j, (г,/г),О) и введем векторы 4 такие же, как и для СМО QPH/PH/1/r Кроме того, пусть р,() = =р((г,О),г) и р,к - р((гД),0).
По аналогии с системой QPH/PH/1/r, привлекая снова формулы 2.6.5), можно показать, что
рго - я,о, i — 1,1, ргк = х,,к,- , i = 1,1, к = 1,7?, (22)
где, опять таки, величины х>0 и х,к] находятся с помощью теоремы 1 (с учетом переобозначений р о х).
Внимательный читатель, наверное, уже заметил, что мы получили здесь несколько неожиданный результат. Действительно, для систем QPH/PH/1/r и PH/QPH/1/r, которые в общем случае не ®ВДяются марковскими, мы построили системы уравнений (квази-внешне неотличимые от СУР (для аналогичных СМО, где I п заменено нц PH), но, тем не менее, не являющиеся таковыми интенсивности переходов не могут быть отрицательными!). Од-мы, не обращая внимания на этот факт, решаем квази-СУР Ким же образом, как и обычную СУР (для СМО РН/РН/1/r), г ’в°просту говоря, пользуемся готовым решением, заменяя р на от Ри этом некоторые из величин .т,о и Xik] могут получиться Р°Вав ТСЛЬНЬ1МИ’ хотя в сУмме они Дают единицу. Но, просумми-величины х по индексам i или j, не имеющим физического >5 2717
226 Гл 4 АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАд^
смысла, т е уже не обозначающим фазы генерации или обс.ту^ вания (мы не имели права выделять этр фазы, так как ФР или В(х) типа QPH уже не допускают фазовой вероятностной^ терпретации), мы получили, в конце концов, нужный и, естествен правильный результат стационарные вероятности состояний €О01 ветствующих (немарковских!) систем. Таким образом, нам удадц, здесь распространить алгоритмический подход, основанный нацр^ менении матричного аппарата, для анализа немарковских свд^ обе луживания
5.4. Основные показатели производительности систем^
Обозначим через А и р интенсивности входящего потока и об-служивания соответственно Тогда согласно (2.8.10) А-1 =— и /с"1 = — (5 r А/-11. Загрузку системы, как'и ранее, обозначим через р = X/р Положим р = У~) р^. Тогда величина и = рт1 есть коэф.
k=i
фициент ис пользования прибора, а величина ро = рог1 = 1 — и есть вероятность простоя системы. Пропускную способность системы ши интенс ивнос ть выхода по-прежнему будем обозначать через Ар а интенсивность принятого потока через Ад. Кроме- того, введем стационарную вероятность потери заявки л.
Из тех же с соображении, что и в предыдущих параграфах, устанавливаем, что в с тационарном режиме функционирования САЮ
Ар = Р(1 - Ро),
Ад = А (1 — л) (23
Пз пос леднего равенс тва подучаем
ТГ = 1 - . (21
Так как в стационарном режиме- Ад = Хр, то из (23) вытекает физичес ки очевидное < оотношение
р(1-тг) = 1-р0
•Левая часть (25) определяет величину загрузки, принятую систеяЯ а так как < ис тема имеет один прибор, то эта величина совпадает коэффициентом ис пользования.
Обратимся теперь снова к САР (1) (4). Умножая обе част” равс-нс тв (2) (4) с перва на матрицу /® (1/3 г — /), а затем суммФ' Е вс с- полученные равенс тва, приходим к с оотношению
б- =р'[А<с' ®(1Дт-/) + (Л( A/)(Z® (Г/з*-/))] и|
r (JucnieMn PH/PH/l/r 227
И
логичным образом, умножая обе части равенств (2)(4) справа
атрйНУ (1 Ат—/)®/ и суммируя полученные равенства, с учетом
я й с0отношений (6) получаем
О'1' = рт[(Л ф М)((1 ат — I) ® I) — I ® flji’1 + Ха г 1Д1]—
-PJ(A® Дт)-Й(Аат ® 1ДТ). (27)
Вычитая из (26) равенство (27), приходим к следующему соотношению: _ _ _ _ _
/т(Л®1/Зт)+Рог(Л®^т)=Рт(1«г®ЛЛ-рА(Аат®1/Зт). (28)
Умножая теперь обе части этого равенства на матрицу I® 4/“'1 и учитывая (1), получаем
-i [р' (Л ® 1) +pJA] =р‘ (1ат ® 1) + -р,{{Ха '' ® 1).
Последнее равенство, принимая во внимание соотношение рт(1 «ч ® 1) = (1 - ро) А
вытекающее из условия нормировки (5), приводится к виду
-- [рт(Л® 1) +ро'Л] = (1 - ро) А' + -pjt(Xa '' ® 1). (29)
Л //
Умножая обе части этого равенства справа на матрицу —Л-11 и еще раз учитывая нормирующее условие (5), получаем
1-ро = р[1-|й(А®1)]. (30)
Из (29) и (30) следует, что
-[рг(Л®1)+р0гЛ] = Аог. ' (31)
Умножая обе части (31) справа на матрицу —Л-1, имеем
Ро + ?' (/ ® 1) = — АатЛ-1, (32)
гДе г-я компонента вектора в левой части равенства есть всроят-Н0(ть р10 +pliV того, что в стационарном режиме в произвольный момент времени генерируемая на входе системы заявка находится На Фазе г.
Из (31), умножая обе части равенства на вектор 1, также имеем
Ро А + р Г(А ® 1) = А. (33)
гок ^aM< TI!M теперь, что соотношения (25) и (30) приводят к дру-у аквива.нентному выражению доя вероятности потерь:
7Г= тРн(А®1)- (34)
15- А
228 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛц3
Тогда равенство (28) с учетом соотношения (32) запишется в В11
А(1 - тг) (а1 ® Д'1) = —рт(1ат ® М). щ
Умножая обе части этого равенства справа на матрицу 1 (g получаем
-А(1 -тг)Д''М-' = рт(1®7),
где у-я компонента p.,.j вектора в правой части равенства есть вер0 ятность того, что в стационарном режиме в произвольный момент времени обслуживаемая заявка находится на фазе j.
Наконец, умножая обе части равенства (35) справа на вектор 1 ® 1, получаем еще одно простое соотношение
А (1 — тг) = рт(1 ® д), (36;
из которого с учетом (25) и условия нормировки, в свою очередь ^следует равенство
Рт(1 ® Д) = РРГ1. (37)
Выведенные здесь соотношения дают возможность глубже у сгнить связь между показателями производительности СМО. Кроме того, эти соотношения позволяют обеспечить довольно полнып контроль вычислений, осуществляемых по алгоритму теоремы 1
В заключение отметим, что с помощью аналогичных выкладок можно показать, что соотношения (23)-(37) справедливы (с точное тью до переобозначений-р ж) для СМО QPH/PH/1/i и PH/QPH/1/г.
5.5. Стационарные вероятности состояний для вложенных цепей Маркова
Рассмотрим сначала СМО QPH/PH/1/r н продолжим изучение цепи Маркова с полумарковским управлением, определенной ди этон системы в п.5.3. В соответствии с обозначениями, введенными в Ь 1.6, положим рд0 = р~((0),0), р±(7’,у) = p±((7’, j),0) п вводе'1 векторы = (p±(k, 1),... ,р± (к, т)).
Стационарное распределение {РдУ к = 1, R} вложенной №ffll Маркова, порожденной значениями процесса {p(t), t > 0} 'I'1)’' же после моментов тп поступления заявок в систему QPH/PH/1/ получается из формул (1.6.4) и равенства (33), справедливого,1^ уже говорилось, и для данной СМО (с учетом замены р на имеет вид
j Zq (А ® /Зт), если к = 1; $
Р'л л = . _ ^-г-
+ SktRx’^)(X® I), если к = 2,7?.
Г Сист< ма РН/РН/1/r , 229
8 3
я символ Кронекера.
ГД Теперь покажем, что стационарное распределение {рд0, Р7\ к-, j~R} цепи Маркова, вложенной по моментам тп — 0 поступления заявок в СМО QPH/PH/1/r, находится из соотношений
Ра,о = д З'о^> (39)
Рд7ь = | а7 (А ® /), к = 1J?. (40)
Соотношения (39) и (40) для к = l,r— 1 вытекают непосредственно из (1.6.6) Также из (1.6.6) при к = R получаем
Ра.п =Ра,г + Ра,11- (41)
Больше уравнений для определения и p~R из (1.6.6) мы извлечь нс можем, и для получения дополнительной информации нам потребуется рассмотреть саму вложенную цепь Маркова {т/~, п > 0}
Нетрудно видеть, что из уравнений равновесия для этой цепи Маркова следует
Ра7к = (Рл7г + Ра 7и) <Э, (42)
ОО
где Q = feMldA(t). Заметим, что элемент qSJ матрицы Q есть
условная вероятность того, что за время между поступлениями соседних заявок не закончится обслуживание заявки, находящейся на приборе, и процесс обслуживания в момент поступления новой заявки окажется на фазе у, при условии, что в момент поступления предыдущей заявки процесс обслуживания находился на фазе s. На основании леммы 2.8.3 имеем, что
(?=-(ат®/)(ЛфЛ/)~1(А®/). (43)
1Ь (41) и (42) вытекает равенство
Ра,и = Pa+rQ- (44)
Рассмотрим теперь уравнение (4) квази-СУР. Умножая обе части этого уравнения справа на матрицу (ЛфЛ/)-1(А®/)/А, с учетом ) получаем равенство
1-1
- ^(А ® I) = ~ (а? + -^)(А ® /) Q,
вИду’>0< Hd основании соотношения (38) при к = R приводится к
V^(A®J) = p£RQ-
А
230 Гл. Д АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.ГЦщ
Отсюда п пз равенства (44) следует справедливость формулы (эд, для к = /?. Наконец, пз равенств (38), (40) при к = В и (41) Ubr[.1 кает, что соотношение (40) верно также и при к = г.
Полученные выше результаты позволяют дать определение В(, роятностп потерь л в СМО QPH/PH/1/r. Для этого заметим.
вероятность потери заявки есть вероятность того, что в МомГНт т„ — 0 ее поступления в систему накопитель полностью занят. д0 этому л — р\~1}1. и, следовательно, согласно (40) имеем
я=^.т/ИА®1). (45)
Рассмотрим теперь СМО PH/QPH/1/r. В соответствии с обозначениями п.5.3 п § 1.6 определим множество
Z= {(((Z,A + 1),0), ((/,£),0)), i = TJ, к (((А1),0),((/,0),/)). г = 17}.
Тогда последовательности п > 1}. определенные (в соответствии с теоремой 1.6.4) для введенной в и.5.3 цепи Маркова с паду марковскпм управлением, представляют собой цепи Маркова, вложенные по моментам s„ ± 0 окончания обслуживания заявок. Положим Ру(ЛО) — р+((?.О),г), p^)(i,k) = p±((i,k),O) и введем векторы Род. = 1Ь формул (1.6.7) и (1.6.8) с учетом
равенства (36), справедливого также и для системы РН/С)РН/1/г вытекает, что стационарные распределения {р^ к, к = 0, г} и {ркк к = 1.7?} цепей Маркова, вложенных по моментам .s„ ± 0 окончания обслуживания заявок в СМО PH/QPH/1/r, определяются соотношениями:
Р/М- = Л(Г17) **+1 <1 ® ?>' к = (461
Род- = Л (-/_—) W ® Я к = М?-
где вероятность потерь л определяется формулой (34) (с учете»1 замены р на .г).
Положим теперь рк = рк(\ ® Г), р%к = р^.1 и р±} к - pfy где рк, р± к и р± к стационарные вероятности наличия к заявок® системе для произвольных моментов времени, для моментов т„ ± поступления заявок и для моментов sn ± 0 окончания обслуживай! заявок соответственно, и рассмотрим несколько примеров.
231
(!цст<'ма РН/РН/1/r
Пример 1- СМО М/РН/1/r. Для пуассоновского потока из -•(ТВ (39) и (40) получаем, как и следовало ожидать, -.„пения Рд 11 Р совпадают. Связь распределений и устанавливается соотношениями
•ЧЗ*' J
Ро, если к = lj__
Pfc-i + &k,RPR, если к = 2,7?.
д1Я распределения //), из (46) получаем
fc = 67-
СМО Е//Е,„/1/г. Выражения (38)-(40)
(калярнои записи для этой системы принимают
раве® предел
Рл,к -
что рас-р в этом
Пример 2. предек’нип тгл в гюд\кяшп1 вид;
+ (IР10- если j = т, к = 1;_____
1) - р (pi.A-ij + <5fc ,RPiRj), если./ = 1,т, k = 2,R,
для рас-
Рл,о = 1Рю,
Рд(к,Т) = lPikj, J = k = l,R.
Распределения р^ в этом случае, согласно (46) и (47), имеют вид
pj(i, к) = Y77 +—\ , г = 1,= 07г;
Л(1 - л)
Рп(.г,к) = \ ГркТ\ ' i = к = 1,В-
Л (1 - «)
5.6. Стационарное распределение времени ожидания при дисциплине FCFS
Будем рас сматривать функционирование СМО QPH/PH/1/r в •тационарном режиме, причем предположим, что заявки обслужи-йнотся в порядке их поступления, т.е. согласно дисциплине FCFS. Для этен системы изучим время ожидания начала обслуживания замки, принятой в СМО. Соответствующую условную ФР мы будем «означать через !¥(?).'
Дна ^АК П БЛнес> рассмотрим некоторую выделенную заявку и обо-№ц'ИМ чс1)ез ^(? | т) условную ФР ее времени ожидания при усло-1 что непосредственно перед поступлением она застала систему
|В(0<тоянии X, Т ел”= и х~к, где к=а
{0}, если к =0;
{(^>.?), .1 = ^,т}, если/с = 1,г.
232
Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHAjj^
Далее, обозначая через w(s | х) ПЛС ФР И'(4 | .т), введем ве wjf(s) = (w(s| (к, 1)),.. ,,w(s| (к.т)). Тогда на основании форДц^ полной вероятности получим выражение для IP (f). которое в ''' минах ПЛС запишется в виде
1
1 — л
Дя) —
[рд.О w(« I (°)) + ^РА,к <^(5)]
А=1
где л вероятность потери заявки.
Нам ос талось, как и для ранее рассмотренных систем, найти вц ражение для a»(s | .т). Если х = (0), то время ожидания, естествен® равно нулю, поэтому uj(s | (0)) = 1. Если же непосредственно nepej поступлением заявка застает систему в одном из состоянии подано-жества А'д А,, к = 1,г, то она начинает обслуживаться лишь пос® того, как закончит свое обслуживание заявка, находившаяся на приборе в момент поступления выделенной заявки, а затем обслужатся все к — 1 заявок, стоящих впереди нее в очереди. Из независимости времени обслуживания и свойств PH-рас пределения следует, что
где ПЛС /?(«) ФР B(t) согласно (1.8.9) имеет вид
Подставляя теперь выражения для w(,s | (0)) и wa(s) в формулу (48) получаем окончательное выражение для ш(я):
= 7^[Рл,о + ^Рд^(^-М)-1р/3''-'(,5)].
А=1
Для первых двух моментов w и w/2* времени ожидания на основании формулы = (—l)‘w(,),(0) из (49) с помощью, вообще говоря, непростых выкладок, которые мы все же рекомендуем про1р' лать читателю самостоятельно, можно получить следующие выражения:
А (1 — л) w = Qi,
А (1 - л) w(2) = 2 [bq2 - дДГ ( М 1 Г)].
Здесь Qi—средняя длина очереди, компонента q2(i,j) вектора определяется как g2(г, j) = £ Сг*) = чЖ’ 'У второй б®80 &=3
миальный момент длины очереди и Ъ среднее время обслужив
233
г (ж‘пгема РН/РН/1/r §
5 7. Выходящий поток
п данном пункте исследуем распределение интервала между выли соседних обслуженных заявок из СМО PH/QPH/1/r, функ-'"'дируюшой в стационарном режиме. При этом будем использо-И11°ьтот жр самый подход, который неоднократно эксплуатировался ®а . прИ получении распределения времени ожидания для различ-"уХ ранее изученных СМО.
Пусть D(t | ж) условная ФР интервала между выходами соседних обслуженных заявок при условии, что непосредственно после окончания обслуживания первой из соседних заявок система нахо-ядасыв с остоянии х, х G Х^ = j X* к, где Х.+ к = {(г, к), i = t k=O
= 177}, /• = б, г. Далее через 6(s | х) обозначим ПЛС D(t | х) и введем ^op^(S) = (5(.S|(l,fc)),...A(.s|(/,fc))).
На-основании формулы полной вероятности для ПЛС 8(s) без м ловной ФР D(x) интервала между уходами соседних обслуженных заявок получаем
(5Q)
fc=O
Так как выражения для вероятностей рд (г, к) уже нами найдены. то осталось определить М4 Если после ухода заявки система остается непустой, т.е. в одном из состояний подмножества к = 1, г, то время до выхода из системы следующей заявки будет равно времени ее обслуживания, и, следовательно,
Ms) = /?(«) 1, к = 1, г. (51)
Если же уходящая обслуженная заявка оставляет систему пустой, 1 е- в одном из состояний подмножества Х^о, то время до выхода (1еДУющец заявки складывается из остаточного времени до поступ-Генерируемой заявки в систему и времени ее обс луживания, еилу независимости этих величин
п Ms) = (яI-Л)-1 А/3(4 (52)
ВЫпСТаВ1ЯЯ Вь1Ражения (51) и (52) в (50), получаем окончательное Рвение для ПЛС ФР Г>(1):
-«•О = [1 - P+Dfi +Й+о (^ - A)-1A]/3(s). (53)
1'С|>в^[ПРК1Ула (53) позволяет получить начальные моменты 5^ ин-°в МеЖду уходами заявок, определяемые согласно равенству
234 Гл. 4 АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАцц,
— (_Опуская соответствующие выкладки, под-., п ' '
<5(0 = М«) + л.т+_У(_l)'(w), A“J1M"~J), п > 1.
где Ь(п) = ff'c/B(t) В частности, из формулы (54) < учетом т,н формул (23) и (32) находим другое- эквивалентное выражение
Ь = А (1 - тг) ’
где вероятность потери л определяется формулой (34) с учетом s, мены р на а .
Далее, пусть Од дисперсия времени обслуживания. a* JIR перс ия длительности прос тоя обе луживающего прибора и <т]} дП( Персия интервала-между выходами. Тогда имеем
2 2.2
°1) ~ пн + °о,
где
=2р;+0Л-21-(р^, А-'1)2.
11оследнсс с оотношение вытекает непос редс твенно из формулы (54
§ 6. Марковские- системы, описываемые обобщенным процессом размножения и гибели
Пусть функционирование- ('МО описывается однородные ковским процессом {/;(t), t > 0} с блочной трехдиагональноп трицей интенс ивностси переходов Q вида
fN0 Аг 0 0 0 0 0
№ Л2 0 0 0 0
0 ЛА N; Л, • • 0 0 0
Q = / _
• 0 0 > 0 0 а/’_2 ЛА-i Аг
\ 0 0 0 0 0 ЛАГ_1 Nr) /А й ' тс-п**
Здес ь Ат квадратные матрицы порядка rij, прямоугольные размеров пюд х rif и щ._| а матрицы 1 х Пк соотве
Множество состояний X такого процес с а является объеди""
?• Л’ = 1) Л) неперес екающихс я подмножеств Хк, которые
А=0 называть слоями. Чис ло состоянии, входящих в к-и слои Д.РаУ
]^(1ръ’овсъг1е <ист(-мы- описываемые обобщенным ПРГ 235
Переходы возможны лишь либо между состояниями, принадле-м ми одному слою, либо между состояниями из соседних слоев. (Шрковский процесс {r;(/), t > 0} такого типа естественно от-,тйк же, как и процессы, изученные в предыдущих параграфах Г" павы, к обобщенным. ПРГ; более того, в силу достаточно!! ^'ности матрицы Q задаваемый таким образом процесс можно °, тически использовать как определение обобщенного ПРГ.
Ф' £удем говорить, что рассматриваемый процесс имеет однород-Ы(, сдои, если ДНЯ некоторых целых чисел а и Ь, 0 < а < Ъ < г, траведливы следующие равенства: Afc = A, Nk = N, Мк = М для , < А < Ь Числа а и Ь будем называть соответственно нижней и верхней границами однородности.
Ниже мы покажем, что при некоторых слабых ограничениях компоненты pi стационарного распределения р = (Й,Р1, • •-Рг)т щрковского процесса с однородными слоями могут быть продета-В.1ГНЫ в виде
р'- = f'Rb-u + а<к< 'ь,
где f и g некоторые векторы, a R и S корни квадратных матричных уравнений.
В конце параграфа мы рассмотрим в качестве примеров две конкретные СМО. которые описываются обобщенными ПРГ, и выпишем для них множество состояний А' и матрицу Q.
6.1. Вспомогательные результаты
Рассмотрим систему уравнении
+ zkB + zk+1C = бт, к = 1,/— 1 (1)
Здесь А, В, С некоторые квадратные матрицы одинакового раз-4Ч><1 и £0, 2j,..., £(- искомые векторы. Для ее решения нам пона-100,1Кя знать корпи R и S квадратных матричных уравнении
А + БВ + 7?2С = 0, S2A + SB + C = 0, (2)
1Я*,Т0Рых нс вырождена матрица SA + В + RC.
К из (2), непосредственной проверкой устанавливается, спРаврДливы следующие равенства:
i (/~s^(b+2?c)=(/-/?s)(jd+5a)=5x+-c+-rc’ (з)
НРВьЧ’ожденными будут также матрицы I — SR. I — RS. ^C»B + SA.
1> ПУСТЬ А + RB + = 0, S2A + SB + С = 0 и
•-’А 4- В -р RC не вырождена. Тогда каждое из следующих
236
Гл. Д АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ApAjl}j
условий равносильно тому, что векторы z0,... ,zi образуют системы уравнений (1):
1.
4Т = 4T_j7? + - SR), k = 1,1,
где gT = (z(T - zf_xR)(I - SR) ’.
2.
= 4'+1S + fTRk(I -RS), k = O,l- 1.
где Г = (z0T - zxS)(I - RS)~l.
Доказательство. Сначала получим ряд полезных соотнощенц необходимых для доказательства утверждении леммы. Положил
U=-(B + RC)~\ V=—(B + SA)~i.
Тогда
R = AU, S = CV, i
и, следовательно, матрицы U и V удовлетворяют уравнениям U= -(В + AUC)~\ V = -(B+CVA)-1.
В свою очередь, уравнения (7) эквивалентны следующим равен вам:
I + BU + AUCU = 0, I + BV + CVAV = 0, I+UB+UAUC = О, I + VB + VC VA = 0. Отсюда вытекают следующие тождества:
AU{I-AUCV) = Д - AUCV)AV,
СУД - CVAU) — (I - CVAU)CU, в силу которых имеем
АУ = Д-RS)~lR(I - RS), CU = Д - SR^Sil - SR).
Далее докажем лишь равенства (4), так как равенства (5) Д°‘ зываются аналогично. Поскольку
4-М+^+4,+1с=(4'-4т-1Л)(в+лс)+(27+1-4тр?)с
то равенства (1) имеют место тогда и только тогда, когда
= (4т+1 - zkR)си, к = ТД-Д
что, в свою очередь, равносильно равенствам
4Т = zkr_x R + (z7 - гДД^С U)l~k, к = U которые с учетом формул (10) совпадают с равенствами требовалось доказать.
, овские системы, описываемые обобщенным, ПРГ 237
Теорема 1. Пусть А + В В + В2С = О, S'2A + SB + С = 0 и 1 гя SA+B + BC не вырождена. Тогда общее решение системы
Г^ений (1) имеет ВВД
,1~к, к = 0,1,
i ,г а—произвольные векторы. где / 11 У
Доказательство. Из леммы 1 вытекает, что для всех
2, ’*
= [<S + ГВ^1 (I-BS)]B + g‘ Sl~k(I - SB) =
= %SB + (/THfc + gTSl-k)(I - SB).
кроме того, из равенств (4) и (5) следует, что для всех
1, J"1
^В + gTSl-k-' (I - SB)] S + f rBk(I - ВS) = = ^RS+(fRk + ffTS'“fc)(7 - RS).
(12)
(13) к = О,
к = 1
(14)
Формула (13) означает, что компоненты 4ч к = 1,1, решения системы уравнений (1) представимы в виде (12), а из соотношения (14) вытекает справедливость формулы (12) для компоненты Го.
Обратно, для векторов, заданных формулои -(12). справедливы равенства
4 - 4-!^ = вTs‘-k(i - SB), к = 1J.
Отсюда при к = I получаем, что
Г = (4 - г7_1Н)(1 - SB)~'
(16)
Таким образом, векторы, определяемые формулои (12), удовлетворяют условию 1 леммы 1 и, следовательно, образуют решение < и< -темы уравнении (1). Что и требовалось доказать.
Отметим, что доказанный результат применим к < и< теме урав-рВДий (1) с любыми матрицами А, В и С. Рассмотрим теперь «то
Рименение к решению СУР.
в-2. Стационарные распределения
Г)
t у еРНемся к рассматриваемому нами обобщенному ПРГ {j](t), ц2 3аДаваемому блочной трехдиагональноп матрицей интенсивно ПеРехоДов Q. Предположим, что множество состояний А’ 5ада^Са t > 0} имеет однородные слои, при этом числа а и b И1И ч Нижнюю и верхнюю границы однородности. В предположенной ° ВСе состояния процесча {?/(/), t > 0} сообщаются между ’ данйый процесс будет эргодическим.
238
Гл АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHA l]{;
Пусть р = (р0,pi,... ,рг)т вектор стационарных верояти его состояний. Тогда из СУР p'rQ = 0т следует, что компов ря, Р„+1, • • •, Рь вектора р удовлетворяют уравнениям
Pk-iЛ + + р£+1М = бт, а < к < Ъ,
и для их определения можно воспользоваться теоремой 1.
Действительно, векторы Zfc = рк+а, к =0,Ъ~ а, удовлетвор{ < пс теме уравнений (1) с I = Ь — а. Поэтому, если Л + R N -р _1 S2A+SN+M = 0 и матрица SK+N+R М не вырождена, то коц' ненты р„, pQ+ j,.. , рь стационарного распределения допускают п№ с тавление ' !
S' = f'Rk-°+fSb~k, k = ^b. (18)
Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая. В < j ном из них « — 1, b = г — 1, а в другом а = О, Ъ = г. Эти случае мы разберем более подробно и результаты д.пу них изложим в вид следующих теорем.
Теорема 2. Пусть
A + RN + П2М = О, 52Л + SN + М = О
и Матрица SA + Лг + RM нс вырождена. Вектор p r = (pj,. ..р,
удовлетворяет системе урлвнений p' Q = 6 г с матрицей
/No Ai 0 0 0 Mo N A 0 • 0 0 M N A • • 0 Q= ! ! 0 0 0 0 0 \ 0 0 0 0 (20)
0 0 0 0 • • • M 0 0 0 0 • • - 0 \ 0 0 0 0 0 N M 0 .A 0 N A,. M,-! Nr /
(21 (22 x-
P4
(2.1
тогда и только тогда, когда для некоторых векторов / и д спр<®' ливы равенства: л
ft = f'Rk~x + g'ST'x~k, к = Tyri, Ро№ + (/г+Г5г-2)Л/о = б'г, РоТЛ1 + f'r(N + RM) — grSr~xA = бт, /Т/Л/,-! + gr(N + SA) - f‘Rr-xM = бт, p/N, + (f 'Rr~2 + д') Л,. = 6 ‘.
]tfapK°ecKue системы< описываемые обобщенным, ПРГ 239
Доказательство. Выпишем систему уравнений pTQ — б'г с ма-Ьей (20):
Ро Л1 + PiN + р£ M = 6’r,
Pk-i^ + PkN + Pk+1M = бт, k = 2,r — 2,
(26)
(27)
(28)
Рг-гЛ + Pr-tN + р? Mr_L = бт, (29)
Pr-i\r+PrNr = G'r, (30)
Согласно теореме 1 равенства (28) имеют место тогда и только тогда, когда для некоторых векторов f и д справедливы равенства (21). Подставив эти выражения в равенства (26) и (30), получим равенства (22) и (25). Если же подставим их в равенства (27) и (29) и воспользуемся тем, что R и S—корни уравнений А + R N + R2 М = 0 и S2A + SN + М = 0, то получим равенства (23) и (24). Что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 3. Пусть Л + RN + РГМ = 0, 52Л + SN + М = 0 и матрица S\ + N R М не вырождена. В этом случае вектор Р = (Й>>Й, ,Рг) г удовлетворяет системе уравнении p‘Q = бт с матрицей
/No Л 0 0 ... о 0 0 0 \
м0 N Л 0 • 0 0 0 0
0 м N Л ... 0 0 0 0
Q = (31)
0 0 0 0 м N Л 0
0 0 0 0 ... 0 м N Лг
\ 0 0 0 0 0 0 м N, /
тогда и только тогда, когда для некоторых векторов f и g снравсд-№вы равенства.
Pl = ГИк + pTS”-\ к = 07, (32)
7т(Ло + R Мо) + grSr~l (SN0 + Л/о) = бт, (3?)
frRr~1(RNr + A.r) + gr(Nr + SAr')=6r. (34)
т
1>иЧам КИМ °®Разом1 решение системы уравнений p'Q = О1 с мат-Ньц. Ми Ф вида (20) или (31) сводится к отысканию корней квадрат-^\-|.Ь|уТРИЧнь1х уравнений, проверке невырожденности матрицы + RM и решению системы уравнении небольшого порядка.
240 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНд,^
Так как процесс {//(/), t > 0}—эргодический, то решение СУр „ ственно с точностью до постоянного множителя. Следовательно^ Шения систем уравнений (22)-(25) и (33) (34) также единствен^ точностью до постоянного множителя, который можно опред^У1 из условия нормировки. Ть
6.3. Корни квадратных матричных уравнений
Исследуем теперь возможность определения корней уравнен (19). Заметим, что матрицы Л и М неотрицательны. Матрица имеет неотрицательные недиагональные элементы и матриц Л + N + М является матрицей интенсивностей переходов. Будй1 в дальнейшем считать, что матрица A + N + М неразложима. Тогда существует единственное положительное решение л СУР
7?'Г(Л + Л' + Л/) =б с условием нормировки
(35)
7?о = 0,
So = О,
Обозначим через а) модуль минимального диагонального э.® мента матрицы N. Тогда матрица N + ш I будет неотрицательной Рассмотрим последовательность матриц
Rk = -[A + Rk^N+^I) + R2k^M], к>1, f (37)
Sk — 1 Л “Ь $k— 1 Z) 4- Af], к > 1.
и
Очевидно, что Л\ > 7?о, а из неравенства Rk > R^-i вытекает, что
Л*-+1 > - [Л + Ик_у (N + w I) + Rl^M] = Rk.
bj
Поэтому Д) < /?j < R-2 < ... .
Также очевидно, что тгт7?0 < 7?т, а из неравенства тМВк следует, что /
1 о 1 -т
тС Rk+i = — тг1 [A.+Rk(N+cvI)+R~kM]< — тгт(Л+N+М+ы1)~“ ш и
Поэтому л rRk < л'г для всех к > 0. I
Покажем теперь, что элементы неотрицательных матрип ‘ удовлетворяющих неравенству л ГХ < 7гт, являются равномерно or раниченными. Для этого заметим, что для каждой такой матр®^
— (^o)i,j=TT справедливы неравенства
Хг,- < С = -----, г j = 1, п.
min 7rs
Марковские системы, описываемые обобщенным ПРГ
Действительно, из неравенства X,-.,-. > С следует, что
241
i=l
о полученное неравенство противоречит условию тгтХ < тгт, Основательно, Xtj равномерно ограничены постоянной С.
0’ Поскольку последовательность матриц Rk, к > 0, монотонно неубывающая и ограниченная, то существует предел R = Jlim Rk и, того, выполняется неравенство тг т7? < тгт.
К Аналогично, последовательность матриц Sk монотонно сходится к пределУ S = JHm Sfc и тгт5 < тгт. Переходя к пределу в рекур-
рентных формулах (37), приходим к выводу, что неотрицательные матрицы R и S являются корнями уравнений (19).
Далее, пусть X—некоторая неотрицательная матрица, для которой Л + XN 4- Х2М — 0. Ясно, чтр X > Ro = 0. Из неравенства X>Rd вытекает, что
А'=-'-[Л+Х(ЛЧШ7)+Х2М]>1 [Л+^.(ЛЧ^ I)+R2kM] = Rk+l. Ld <jJ
Таким образом X > Rk для всех к = 0,1,, а, значит, X > >R= lim Rk.
fc->OO J
Аналогично, если Y некоторый неотрицательный корень уравнения У2Л + YN + М = 0, то У > S.
Матрицы R и S называются минимальными неотрицательными корнями уравнений (19). Отметим, что существуют и другие методы вычисления минимальных неотрицательных корней R и S [70].
Как известно, любая неотрицательная матрица X имеет действительное собственное число р(Х) со свойством: модуль любого Другого собственного числа не превосходит р(Х). Это собственна число называется спектральным радиусом матрицы X. Ему с<>-^ветствует неотрицательный собственный вектор. Если матрица неразложима то ее спектральный радиус является простым соб-^нным ч„слом [87]
R и 11 У неотрицательные собственные векторы матриц > соответствующие р(7?) и p(S). Тогда из полученных выше «тв тг ‘ R < тгт и тгт5 < тгг вытекает, что
тгт.т > tTRx = p(R) тг 'я?,
^кутг
7Г ТУ > ТГТ5 у = p(S) ТГ Гу.
гх > 0 и тгту > 0, отсюда следует, что
16~2717
p(R) < 1, p(S) < 1.
242
Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНА.лМз
Справедливо следующее утверждение, доказательство кот0 довольно сложно и которое вытекает из более общих резу,т[Ьт ^Г| содержащихся в [74].
Теорема 4. Пусть матрица Л + N + М неразложима делитель матрицы Л + s N + s2M не равен тождественно Q S—минимальные неотрицательные корни уравнений (19). g
случае:
М Эй.
1. p(R) = 1 тогда и только тогда, когда тгтЛ1 > тгтЛ1Т „
-> т п -»Т '
ЭТОМ 7Г R = 7Г .
2. p(S) = 1 тогда и только тогда, когда тгтЛ1 < птМ1-этом тг'1 S = тг'.
Ир теоремы 4, в частности, следует, что для невырожденное^ матрицы Si\ + N + RM необходимо выполнение условия л'гЛц ± тгтЛ/1.
Действительно, если тгтЛ1 = тг'гЛ71, то тг'г7?,$' — тгт, и, с* довательно, матрица I — RS вырождена. В этом случае сог.ад равенствам (3) матрица SA + N + RM также будет вырожденной К сожалению, пока не существует простых достаточных условий ее невырожденности.
6. 4. Марковская система бесконечной емкости
Пусть стохастическое поведение СМО бесконечной емкосп описывается марковским однородным неприводимым процесса! {»/(!), > 0} с матрицей интенсивностей переходов
(No Мо Ai N 0 A 0 0 0 0 ...\
Q = 0 M N A 0
0 0 M N A
\ : ‘J
Мы не будем подробно разбирать этот случай и лишь руем основные результаты, отсылая читателя за доказательств
к монографии [39].
В данном случае для получения стационарного распред процесса достаточно вычислить минимальный неотрицатель рень матрицы R матричного уравнения А + RN + R2М ==
д
Теорема 5. Неприводимый марковский процесс с матрицей интенсивностей переходов вида (38) является эр
g ft[apKOecKUe системы, описываемые обобщенным ПРГ 243 тогда и только тогда, когда p(R) < 1 и система уравнений
Ро^о + P^Mq = От,
Ро Л1 + Pi(N + RM) = бт,
Рот1 +рГ(/ - Р)~' 1 = 1
единственное положительное решение (po,pi). В этом случае ^адпонарное распределение р = (р0, ръ ...) т процесса {t](t), t > 0} имеет вид '
P^p^Rk'\ к = 1,2,... . (40)
(39)
Эта теорема вытекает из более общих результатов, содержащихся в [39].
Вероятностный вектор рт = (pS,р?,...), у которого компо-НеитыЙ>Р2> • • имеют одинаковую длину и связаны равенством (40), называют модифицированным геометрическим распределением. Если же все компоненты вектора pit, к > 0, имеют одну и ту же длину и связаны равенством
Pk=PoRk, к = 0,1,..., (41)
то говорят, что процесс {t](t), t > 0} имеет матрично-геометрическое распределение. Такое распределение имеют процессы с матрицами вида (38), когда Aj = Л.
Действительно, в этом случае иэ (39) вытекает, что р/ = = ~Ра + RM)~i = PqR. Невырожденность матрицы N + RM показана в [39].
Заметим, что для контроля вычислений матрицы R по рекуррентным соотношениям (37) можно использовать соотношение RM1 = Л1, вытекающее из результатов [39].
6. 5. Система РН/РН/2/r с неоднородными приборами
В качестве примера применения результатов п.гкб.Гб.З рассмотрим СМО с двумя неоднородными приборами и общим накопите-
к ним конечной емкости г, 1 < г < оо. Входящий в систему ”от°к заявок является рекуррентным с ФР А(х) фазового типа с ‘Представлением (а, А) порядка I, аг1 = 1. Времена обслужи-, а Заявок на приборе з независимы между собой и не зависят от J Уживания на другом приборе и имеют ФР Bs(x) также фазового ила с PH-представлением (Д, Ms) порядка тв, /3/1 = 1, s = 1,2. Нсп^П°ЛаГаеТСЯ1 что PH-представления (А, А) и (J3S,MS), s = 1,2. ’сот- В°ДИМЬ1- Выбор заявок из очереди может производиться в FrpQ ствки с фиксированной дисциплиной из. набора дисциплин , LCFS и RANDOM.
244 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHaji^
Заявка, поступившая в свободную систему, с вероятность направляется' на прибор 1 и с дополнительной вероятностью ~ S = 1 — q на прибор 2, 0 < q < 1. 15
Стохастическое поведение рассматриваемой СМО, принимая внимание вероятностную интерпретацию PH-распределений гЕь § 2.8), можно описать однородным марковским процессом
t > 0} с множеством состояний X = U Хк, где fc=0
ЛЬ = {(г,О), г = 1,1},
Xi = Хц и Л12,
= {(Aj», « = М, J = 1, raj, s = 1,2,
Хк = {(г,к,Д,]2), г = 1,1, js = l,ms, s = 1,2}, к = 2.R, а Л=? +2—общая емкость системы.
Состояния процесса имеют следующий смысл: z/(i) = (г, 0), ecu система пуста и Процесс генерации заявки проходит фазу г; -= (г, у, ,s), если в системе имеется одна заявка и ее процесс обеду живания на приборе s проходит фазу j, ? имеет прежний смысл z/(t) = (г,к,Д, j2), если в системе имеется к заявок и обслуживаемая на приборе s заявка проходит фазу js, г имеет тот же смысл, что и ранее.
При сделанных предположениях все состояния процесса t > 0} сообщаются и, следовательно, он эргодичен. Поэтому существуют предельные вероятности
РгО = lim Р{т?(£) = (г, 0)},
Pijs = lim P{»?(t) = (г, j,s)},
Ptkj,h = ,lim = (xkJiJz)}, t—>oo
причем все они строго положительны и совпадают со стационарными вероятностями.
Мы не будем здесь останавливаться на выводе СУР. Более того мы выпишем СУР сразу в матричной записи, приведенной к виД' (20), предоставляя читателю проверить свои навыки работы с г распределениями и матричной записью уравнений с использован! *
кронекерова произведения матриц.
Для того чтобы не возникало путаницы в обозначениях^ условимся здесь помечать сверху символом матрицы Ай М, и индекс г, используемые в описании матрицы интенсивно переходов Q.
g hfapKoecMie С11Стемы' описываемые обобщенным ПРГ 245
рведем теперь векторы
Роо = (Р10,Р20, -,Рю),
Pls - (Pile, • • • ,Р1т„я,Р>15, - ,P2msS, .Plm,s), Po = (PooiPu’Pizh
p,1 (Pl Л4-1 Л!)•-•? Р1.Л+1 Л tll'2 i i Pl,A 4-1,mi m2 •> '• i P/,A4-1,111
• 5 Pl, A" 4-1 ,lm2 i * • i P/J'4-l ,mj m? ) > A — 1. Г + 1
Тогда- полагая i ’ = r+2, получаем, что матрица интенс явностей переходов процесса t > 0} имеет вид (20), при этом ее элементы задаются < ледующим образом:
q А а г 0 /3/ q А <7 г ® /32т
АфМ] 0 0 А ф М2
/ °
170* = (0,70 7®/72.7® д+07), Л, = I Аат®7®Д21
\ А <+' ©Дг 0 7
/ Л
Ао = 7®/Л \ 7 С /7о
Лм = V 0 7 ® I + 7 0 Мх 0 7 + 707 <: М2, М" = ®1 + 1®1®Р202, Л*=АпЧ 7.0 7
N*. =1 (Л + Ао г) 01 ® 7 + 7 0 0 1 + I ) 7 © М2
Mr^t=M*, л;. ^=л‘.
Здесь^используются традиционные для PH-распределении обозначе-нм: А= -Д1 и /7S = -МЛ.
TftktiM ьб|зпзок1, если Мы йййДбм минимальные йсч+рицате.дь “Ыо корни матричных уравнении (19) (в терминах A*, N* и А7*) и Мановим что матрица 5А*+N*+H М* не вырождена, то согласно Тс»реме 2 стационарное распределение вероятностей состояний ра< -2‘<1тРиваемой СМО можно искать в виде (21), при этом векторы р0,
111 9 определяются из системы уравнений (22) (24) и у< товпя ВОРМ11|)ОВК11 рЧ-]'= j
Рамр 6 Система МАР/РН/2/г с неоднородными прибо-
С\|0 р^МатРиваемая здесь система отличается от изученной выше ВС() ‘VPH/2/r лишь тем, что поток заявок является Маркове ким. (^‘“'"^тони < описанием марковского потока заявок (см § 2 1) витать, что оц характеризуется матрицами Л и N порядка /
246
Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHAjj^
Напомним, что матрица Л содержит лишь те интенсивности цеп дов в множестве фаз {1,2...,/}, при которых не появляются н(|1 заявки, а матрица N—интенсивности переходов в том же мно>кеСт ' фаз, но приводящих к поступлению новой заявки. Мы предполаг & что матрица Л + N неразложима. 1
Здесь мы впервые столкнулись со случаем, когда поток зая не является рекуррентным. Однако этот факт не ведет к Кат.Е строфическим последствиям в смысле чрезмерного усложнения тематической модели для описания СМО и невозможности ее ана лиза. Более того, модель остается почти той же самой, что и предыдущем случае. Действительно, мы можем описать функцц0 нирование рассматриваемой системы однородным марковским про цессом с тем же самым множеством состояний X как по записи так и по физическому смыслу, что и для СМО РН/РН/2/г. Ogo'
снование этого вполне очевидно, если вспомнить, что длительности прохождения фаз генерации Заявки экспоненциально распределены Но сходство указанных моделей на этом не заканчивается. Оказывается, матрицы интенсивностей переходов Qmap и Qрц для марковских процессов, описывающих СМО МАР/РН/2/r и РН/РН/2/г соответственно, фактически совпадают, за тем лишь исключением что в матрице Qpn нужно заменить матрицу Ас?т на матрицу Д’ В самом деле, (г, в)-элемент А,<тл матрицы Айт есть интенсивность перехода процесса генерации заявки с фазы г на фазу s, сопровождающегося поступлением в систему новой заявки; такой же смысл, как мы уже упоминали, имеет и элемент пга матрицы N.
Таким образом, для нахождения стационарного распределения вероятностей состояний СМО МАР/РН/2/r мы снова можем использовать теорему 2, отсылая читателя за дальнейшими комментари
ями к предыдущему пункту.
6.7. Система РН/РН/1/оо
Для иллюстрации результатов и.6.4 рассмотрим систем РН/РН/1/оо. Эта система отличается от изученной в § 5 лишь тем, что ее накопитель имеет неограниченную емкость. Мч по-прежнему, будем считать, что PH-представления (а, А) поряД1® / и (/3, М) порядка т неприводимы. О других ограничениях на № раметры системы мы скажем ниже.
Функционирование СМО РН/РН/1/оо с учетом вероятности011 фазовой интерпретации PH-распределений можно описать однор03 ным марковским процессом {r/(t), t > 0} с множеством состояв
х = U xk, где Хо = {(г,0) : i = 1,/}, Хк = {(г, А:,.;), г = М’ 3 ' k=0
, пвские системы, описываемые обобщенным. ПРГ 247 МсР1'1
' > 1. Здесь состояния процесса {rpt), t > 0} интерпрети-
,П’’так же, как и для конечного накопителя: ?/(<) = (г,0), если рУ]0’гСЯа пуста и генерируемая на входе заявка находится на фазе сцсТе>1^ если в системе имеется к заявок и обслуживаемая
1 4 ч проходит ФазУ ?’ индекс-г имеет тот же, что и ранее, смысл. ^Так как PH представления (а, Л) и (Д, М) неприводимы, то, ложно убедиться, будет неприводимым и марковский про-
K8KX(t). t>0}-
DfCCСнова помечая символом матрицы N,, М, и Лг, входящие в
янпс матрицы интенсивностей переходов Q, устанавливаем, что на имееТ вид (38), при этом ее элементы определяются следующим образом:
М,’ = I ® р. Aj — А ат ® /3т, М*=1®РР'1, =
No* = Л, дг* = Л б М,
Где как обычно, А = —Л 1 и р = —М 1.
’ Рассмотрим теперь матрицу Л* + N* + М* и покажем, что в предположении неприводимости PH-представлений (а, Л) и (/3, М) эта матрица неразложима. Обозначим ее через А и представим в аедующем виде:
4= Г+ЛГ*+ЛГ = (Л+А <5Т)® 1+1®(М+Р = Л® 1+1®М=ЛфМ.
Используя вероятностную фазовую интерпретацию неприводимости PH-представлений (см. § 2.8), нетрудно видеть, что матрица 4 является матрицей интенсивностей переходов марковского процесса, описывающего блуждание двух заявок в двух независимых замкнутых СеМО (в каждой сети по одной заявке), первая из которых интерпретирует неприводимость PH-представления (а, А), а вторая (/3, М). Тогда матрица переходов этого процесса
F(t) =eAt®e"z =e(A®^)z.
Отсюда следует, что все состояния данного процесса сообщаются РЖДУ собой, а значит, матрица А = А ф М неразложима.
Лемма 2. Пусть PH-представления (а, А) и (/3, М) неприво-'ЙМЫ- Тогда решение СУР
тгтА=бт, тгт1 = 1 (42)
й 'г быть представлено в виде я = т?1 Стг2, где ж, и тг2—решения "ЧУющпу сур:
^'(A + Aa1) = бт, я2г(м + рДт) = от,
jffl = 1; я2т1 = 1
(43)
248 Гл. 4- АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ AHAji^
Доказательство. Покажем, что выражение тг — т?1 0 г и тг2—решения СУР (43), является решением СУР (42). Де^' тельно, из свойств кронекерова произведения следует, что 11
ТГ 'А = (тг/ ® ТГ2Т)[(Л + А<?Т) ® I + I ® (М + Д/Зт)] =
=тг/ (АфА ат)®тг2г 4-тг/ ®тг2г (М+р Дт) =бт®тг2т +тг/®бт =qt
Аналогичным образом получаем
тгт1 = (тг/®тг2т} Г = (тг/®тг2т)(1®Г) = тг/1®тг2т1 = 1®1 = 1
Следовательно, выражение ttj ® тг2 является решением СУР (42) j силу того, что матрица А неразложима, СУР (42) имеет единствен ное решение тг > 0 и, значит, тг = т?1 ® тг2. Таким образом, лищ доказана.
Для получения модифицированного матрично-геометрическог решения вида (40) для стационарного распределения рт = процесса {»?(<), t > 0} в предположении, что оно существует, нам необходимо найти минимальный неотрицательный корень уравнения А* + R N* + F?M * '= 0, а также установить, при каких условиях спектральный радиус p(R) полученного решения R меньше единицы Согласно теореме 4 условие p(R} < 1 равносильно условию
тгт(/®/гДт) 1 > тгт(А<?т ®/) Г, (Ц
где л решение СУР (42). Покажем, что это неравенство равно сильно следующему:
тг2 р
где т?1 и тг2 - решения СУР (43).
Действительно, неравенство (44) можно переписать в виде
(тг/ ® тг/)(/ ® ДДТ - Аат ® /)(1 ® 1) > 0
или, что то же самое,
(тг/ ® тг/)(1 ® ДДТ1 — АДТ1 ® 1) > 0.
Поскольку ат1 = 1 и ДТ1 = 1, то имеем
тг/1 ® 7г/р — тг/ А ® тг/1 > 0.
-йев^'
Отсюда в силу равенств тг1т1 = 1 и = 1, получаем нер^ во (45). уч11
Вернемся теперь к СУР (43) и рассмотрим первую из hiiX' тывая, что матрица А не вырождена, умножим обе части раВ
. Марковские системы, описываемые обобщенным ИРГ 249 §b
Г» + Аат) ~ 0Т спРава на матрицу А-11. В результате, вспоми-
JT] \ -»грд — 1 7* х — 1 х
что —« Л 1 = Л , где Л—интенсивность входящего потока, рая?
имеем
тг1г1 + тг/Аа'1 Л 11 = 1 - 1 тг,тА = 0.
А 1
Отсюда следует, что
тг^А = А. (46)
Аналогично показывается, что
*2Д = /6 (47)
гдер интенсивность обслуживания, р-1 = — (3Ч'М~11.
Из (45) (47) вытекает, что условие (45) равносильно неравенству А < р или, вводя величину р = А/р—загрузку системы, хорошо известному условию для других СМО неограниченной емкости
р < 1. (48)
Таким образом, условие (48) является согласно теореме 5 необходимым для эргодичности процесса {ц(1), t > 0}.
Покажем, что условие (48) является также и достаточным. Для этого воспользуемся результатом Лавенберга (см. § 3.6) и рассмотрим соответствующую системе РН/РН/1/оо систему В/РН/1 с бункером на входе. Функционирование такой СМО описывается марковским процессом {£(t), t > 0} с множеством состояний X = = {(м), г = 1,/, j = 1,т}. Здесь индексы г и j при указании состояния (г, j) означают, по-прежнему, фазу генерации заявки на входе и фазу обслуживания заявки на приборе соответственно. В <му неприводимости PH-представлений (а, Л) и (Д, М) все состояния процесса {£(0, > 0} сообщаются и, следовательно, суще-
ствуют предельные вероятности
тг.у = lim P{£(t) = (i, j)}. i-tcc
Пусть 7ГТ = (тгц ,..., 7Tlm, тг2т, • , ^Zm)- Нетрудно видеть, что
И Для процесса {£(/), t > 0} имеет вид (42), где А = Л ф М, гЛ®3гомУ согласно лемме 2 тг = тг, ® тг2, где тгг и тг2 - решения (43).
С0ГТ[ДЛя существования стационарного режима СМО РН/РН/1/со д ' ^Но условию Лавенберга достаточно выполнения неравенства Чт0 Г,£'е интенсивнос ть выхода из СМО В/РН/1. Очевидно,
= ят(1 ® р) = (тг/ ® тг2т)(1 ® р) = р.
250 Гл. 4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗ^
Таким образом, условие А < р или равносильное ему условие р< j является достаточным, а, как мы ранее показали, и необходщ1Ьй для эргодичности процесса {£(£), t > 0}. Следовательно, по TeopeMf 5 стационарное распределение р ' = (pj, pf,...) представляется в виде (40), а векторы ро и р) единственным образом находятся щ системы уравнений (39).
Вводя некоторые дополнительные ограничения на ФР А(т) ц В(я-), о которых мы скажем несколько ниже, можно получить мат. рично-геометрическую форму решения для вектора р с точностью до вектора ро. С этой целью рассмотрим первые два уравнения системы (39), которые в нашем случае примут вид
Ро Л + Pi (I ® Р) = 0т, 1 (49)
рог(А«т ® Дт) +р]Г[Лф М + Я(/®рДт)] =бг. (50)
Умножим обе части равенства (50) справа на матрицу /®(1 /Зт-—I). В результате получим равенство
р';м = ® рДт),
где М = Л®(1 /Зт — I) — 1®М. Отсюда и из равенства (49) получаем, чтё
Р1ГМ = (Л ® Дт)у (51)
Заметим, что соотношение такого типа мы получили в § 5 для СМО РН/РН/1/r. Там же было указано, что если для всех собственных значений {7,,} матрицы Л/3(—7„) 0, где /Xs) ПЛС функции распределения В(я-), то матрица М обратима. Вводя, так же каки в § 5, матрицу 1У0 = —(Л ® /Зт) Л?-1, из (51) получим соотношение
Р,1 = Ро W (52)
Подставляя (52) в уравнение (50), получаем уравнение pJ[A«T ® /Зт + 1Р0(Л Ф М + R (I ® р Дт))] = бт,
которое вместе с уравнением
Рот [1 + W - ИГ1 (1 ® 1)] = 1, (54)
получаемым из последнего уравнения (39) и (52), единственным разом определяет вектор ро.
Таким образом, нами доказана следующая теорема.
g {^аркоеские системы> описываемые обобщенным ПРГ 251
,ГеореМа ^СЛИ выполнено условие р < 1 й для всех собствен-значений {'Л, } матрицы Л /3(—уп) / 0, то стационарное распре-^вве вероятностей состояний СМО РН/РН/1 /оо представляется крично-геометрической форме
Sii Pk = PowoRk~1, fc=l,2,...,
вектор Ро определяется единственным образом из системы урав-
Вычисление матрицы R производится на основе рекуррентных соотношений (37), которые для данного случая принимают вид
Ro = о,
Rk = — [А <гт <S> 7 + Rk-i (Л ф М) + Rk_1(I ® р/Зт)], к > .1.
Заметим, что с учетом блочных структур матриц, входящих в эти соотношения, вычисление матрицы R можно существенно упростить. Подробное обсуждение процедуры расчета матрицы R для СМО РН/РН/1/оо дается в [39].
Для контроля расчетов можно использовать равенство RM*1 = = Л*1, которое в нашем случае имеет вид R (1 ® р) = А ® 1.
6.8. Система МАР/РН/1/оо
Очевидно, что с учетом изложенного в п.6.6 результаты этого пункта можно без особых усилий перенести на систему МАР/РН/1/оо с марковским входящим потоком, характеризуемым матрицами Л и N порядка /.
Матрица Qmap интенсивностей переходов марковского процесса, описывающего функционирование СМО МАР/РН/1/оо, будет Отличаться от матрицы Qph интенсивностей переходов для системы ,ч‘Н/1/ос лишь тем, что в матрице Qph необходимо заменить на N. При этом условие неприводимости РН-представления заменяется условием неприводимости матрицы Л + N.
В этих предположениях лемма 2 из п.6.7 также справедлива и Данной СМО (естественно, с заменой А о"1 на N), так как все УЖДения, проведенные при ее доказательстве, повторяются ПОЛОСТЬЮ.
Рассм°трим теперь векторы рк, к = 0,1,... (такие же по струк-Деле'КаК И ^ЛЯ СМО РН/РН/1 /оо), задающие стационарное распре-чТо 8Ие ВеР°ятностей состояний СМО МАР/РН/1/оо (при условии, Прй^ СуществУет)- Тогда СУР можно записать в виде (5.1)-(5.3) L Q = N и с учетом того, что в уравнении (5.3) к = 2,3... .
По аналогии с (5.18) получаем, что справедливо соотнощеН(1
[^т+ЕАта®1)](л+^ = бтЛ (55.
Отсюда с учетом свойства марковского потока
(Л+Л-)1=о й)
и условия нормировки
Ро 1 + Р? (1 О 1) = 1 (5?)
k=l 1
получаем, что система уравнении (55) и (57) равносильна первоц системе уравнений в (43), т.е
7?1t(A + N) = 6t, irITl = l. (58)
Учитывая единственность решения системы уравнении (58) или цТо то же самое, системы (55) и (57), имеем
= Ро + 1)-
/.=1
Далее, положим, как и ранее, А ~ —Л 1. Тогда из Г-56) следует, что А — N 1, т.е. г-я компонента вектора А есть интенсивность поступления заявок, закончивших свою генерацию на фазе г. Принимая это во внимание, получаем, что для для интенсивности входящего в СМО МАР/РН/1/ос потока, которую мы обозначим через А, выполняется равенство А = л/А. Таким образом, для СМО МАР/РН/1/оо по-прежнему справедливы формулы (46) и (47) (доказательство формулы (47) сохраняется полностью). Поэтому условие (48) р < 1 также является необходимым для существования предельного распределения {рь, к > 0} и для системы МАР/РН/1/оо. Дня доказательства достаточности этого условия уже нельзя использовать результат Лавенберга, который получен лишь для рекуррентного входящего потока заявок. Однако достаточность условия р < 1 можно показать, привлекая более тонкие результаты для общих СМО со стационарным входящим поток®1 заявок [9].
С учетом этого замечания, повторяя полностью рассужД₽н1,я проведенные для СМО РН/РН/1/оо, можно показать, что для fI,f темы МАР/РН/1/оо также справедлива теорема 6 с топ лишь Р'*3 ницей, что в формуле (53) матрица А а 1 заменяете я на матриц -
Глава 5
СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Система M/G/1/оо представляет собой однолинейную СМО с накопителем бесконечной емкости (с ожиданием). Входящий в эту систему поток заявок является пуассоновским, его интенсивность мы. как обычно, обозначим через А. Однако буква G на втором месте в кодированной записи системы означает, что времена об
служивания заявок независимы в совокупности, не зависят от моментов поступления и одинаково распределены по произвольному закону B(t). Мы будем предполагать, что на обслуживание заявки выбираются из очереди в порядке их поступления в систему, т.е. согласно дисциплине обслуживания FCFS, хотя, как уже говорилось в главе 3, результаты, касающиеся характеристик длины очереди, автоматически переносятся на дисциплины LCFS и RANDOM.
Если Bit) не является ФР фазового типа, то нельзя построить процесс который описывал бы функционирование системы и
являлся марковским процессом с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. В частности, не будет таким процессом число заявок в системе в момент t, поскольку распределение остаточного времени обслуживания заявки, находящейся на приборе, в отличие от экспоненциального случая, зависит от того времени, в течение которого эта заявка уже обслуживалась.
Для исследования СМО M/G/1/ос применяются различные’ методы. В этой главе мы рассмотрим некоторые' из них. Отметим, наша цель состоит не столько во всестороннем анализе системы /С/1/оо, сколько в ознакомлении читателя с основными подхо-Дами’ применяемыми в современной ТМО, и именно на примере си-стемы M/G/1/оо это проще всего сделать. Как мы увидим из по-ДУющих глав, дЛЯ изучения более сложных систем, как правило, ли Н0 Использ°вать далеко не все предлагаемые здесь методы, а сп некоторые из них и то только с привлечением более тонких ильных результатов теории случайных процессов.
254 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВдцц
§ 1. Вложенная цепь Маркова
Исторически первым методом исследования системы M/G/i явился метод вложенной цепи Маркова. Мы также начнем изуч^ ние системы M/G/1/оо именно с этого метода, поскольку его пп менение основывается на использовании наиболее простого КДа^ случайных процессов дискретных цепей Маркова.
Основной недостаток метода заключается в том, что он позв0 ляет вычислять лишь некоторые характеристики, связанные с слом заявок в системе, и только в специальные моменты времени Как мы сейчас увидим, даже нахождение стационарного (по вре мени) распределения числа заявок в системе на основе полученньц таким образом характеристик требует привлечения более сложных чем цепи Маркова, вероятностных конструкций.
1.1. Вложенная цепь Маркова
Суть метода вложенной цепи Маркова заключается в следующем: у многих СМО существуют такие, вообще говоря, случайные моменты времени, в которые немарковский процесс, описывающий функционирование системы, становится марковским. У системы M/G/1/оо такими моментами являются моменты П, Тг,. Л,тП).. окончания обслуживания первой, второй,..., п-й, .. заявки. Действительно, пусть vn — v(t„ + 0) число заявок в системе сразу же после момента т„ (рис. 1). Для определенности будем считать, что то совпадает с начальным моментом 0 функционирования системы, и в этот момент система свободна, т.е. = г(т() +0) — О. Покажем, что последовательность {i/„, п > 0} образует (однородную) цепь Маркова.
Обращаясь к опис анию с истемы M/G/1/oq, вспомним, что процесс поступления и обслуживания заявок для нее характеризуется с ле дующими свойствами:
А. Входящий поток является пуассоновским, т.е. удовлетворяет условиям отсутствия последействия и стационарности.
Б. Времена обслуживания заявок не зависят друг от ДРУ11®'1 от входящего потока и являются одинаково распределенными (с ** B(t)) случайными величинами. ’
Теперь, если > 1, то интервал времени т„+1 — т„ совпадает временем обслуживания п + 1 -и заявки, в силу свойств А и Б не зй висит от всей предыстории функционирования системы до мом'1 тп и его ФР В(1) нс» зависит от номера п. Если же ип = т„+] — тп представляет собой сумму времени от тп до поступл п + 1-и заявки и с обственно времени обслуживания п + 1-й 3'‘" в т.е., опять-таки в силу свойств А и Б не зависит от "прошлого ,
Вложенная цепь Маркова
255
этом случае ФР разности rn+i — тп не зависит от номера п (однако является сверткой экспоненциальной с параметром А ФР и Итак, мы вывели еще одно свойство процесса поступления и обслуживания заявок в системе M/G/1/оо:
В. При фиксированном значении vn случайная величина т„+1 — т„ не зависит от поведения системы до момента тп, а ее pacnjieделение—от номера п.
Совершенно аналогично из свойств А и В выводится следующее свойство:
Г. При фиксированном значении vn число заявок, поступивших на интервале (тп, Tn+i], также не зависит от функционирования системы до момента тп и, в частности, от значении t'Oji'i, очевидно, что и его распределение’ не зависит от номера п (но, подчеркнем это, зависит от значения м„).
Учитывая теперь, что число r„+i находящихся в системе в мо Мент т„+1 заявок совпадает с суммой числа ип заявок в момент т„ и ®сла заявок, поступивших на интервале (т„,тл+|], за вычетом од-н°и обслуженной заявки, окончательно получаем из свойства Г, что последовательность {и„ == о(т,, + 0), п > 0} образует (однородную) Цепь Маркова.
Ков ^Чевп^но’ что множество состояний X вложенной цепи Марова {гП; п qj представляет собой множество целых нсотрица-1ь«Ых чисел: X = {0,1, 2,..
^ внимательный читатель заметит, что при доказательстве мар-
СТи последовательности vn = v(rn + 0) мы фактически Поль-
256 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оа: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВ^ зовались более сильными условиями, чем те, которые постук, вались при описаний процесса поступления и обслуживания поскольку свойства независимости числа поступивших заявок п, ' мен их обслуживания применялись по отношению к случайным^ ментам времени тп, а не к детерминированным моментам, как обходимо в соответствии с описанием. Авторы берут этот грех себя, заметив, что возникшее недоразумение устраняется введена ' понятия строгой марковости, которое в силу его сложности для подготовленного читателя мы здесь не используем.
Отметим также, что в приведенном доказательстве нигде фигурирует свойство ординарности входящего потока заявок. Ц(| так и должно быть, поскольку все результаты не только настоя щего параграфа, но и всей этой главы с незначительными допад. нениями переносятся на систему M/G/1/ос с групповым постуше. нием заявок (неординарным пуассоновским входящим потоком), и даже, более того, исследование многих других систем с групповым по< туплением заявок практически не отличается от исследования аналогичных систем с ординарным входящим потоком.
Определим переходные вероятности ptJ для вложенной цепи Маркова {с’,,, п > 0}.
Прежде всего найдем вероятность /3/. того, что за время обслуживания одной заявки в систему поступило к других. Поскольку каждая заявка с вероятностью dB(t) завершит свое обслуживание! интервале (/, t + </f), а за время t с вероятностью (Xt)k ехр{— Xt}/k\ б систему поступит ровно к заявок, то, воспользовавшись формулой полной вероятности, получаем
OG
о
Число /Зц. носит название fc-ro экспоненциального момента ФР 5(f)
Дифференцируя к раз ПЛС (3(s) = / e-sfdB(t), экспоненциалы®11 о
момент /Зь можно представить в виде /5fc=-t^/3(fc)(X).
Последнее выражение дает эффективный способ вычисления 0к ® тех случаях, когда имеется простое представление ПЛС /3(s), в чаГ1 ногти, если 13(f) является гиперэрланговским распределением.
Пусть теперь vn = г > 0. Тогда, для того чтобы в т,,+| в системе' оказалось j заявок, в систему с учетом ухода служенной заявки должно поступить еще' j — i + 1 заявок. ПоэТ
257
I ^рдасеняая цепь Маркова §
Lj^y-i+i, г = 1,2,..., j ~ г — 1, i, г 4- 1,... . Если же pn = О, Р» 1-я заявка начинает обслуживаться только после ее поступ-п в систему, т.е. р0] совпадает с р1}. Таким образом, матрица ^сходных вероятностей р1} вложенной цепи Маркова имеет вид
/ Po
Pi
1.2. Стационарные вероятности состояний для вложенной цепи Маркдва
При некотором ограничении, о котором мы скажем ниже, существуют стационарные вероятности р* = lim Р{ц„ — ?} для вложенной цепи Маркова {цп, п > 0}. СУР для р*, г > 0, имеет
вид
»+i
Р* = РоРг + 52pfcft-fc+i, г > 0.
к=1
(1)
Система (1) численно легко решается рекуррентным образом. Действительно, из уравнения для рд получаем
. ,1-Д) .
Pi ~ Ро — =РоП,
Ро затем из уравнения для находим
. _ Р1(1 - Л) - Р*оР1 _ . п(1 - Рг) - рг _
Р,----------д - Ро - Р0г2
Ит-Д. Таким образом,
Рг=Роггг
ГМ' г; определяются рекуррентной формулой
го = 1,
1 ~ /Зо Ро
Гг - pt—1 Рг— 1 ^Tfc/3,_ fc | , i > 2.
L fc=l J
,, Отметим, что в параграфах 3 и 4 будут получены другие, в том % е более рациональные в вычислительном плане алгоритмы нахо-Дел0 ИЯ Точнее говоря, эти алгоритмы предназначены для опре-Ия стационарных вероятностей р, — lim = г} состояний t—>ос
е Мени. Однако в п.1.3 мы покажем, что р* и р, совпадают.
’С2717
258 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВд^
Вероятность рд вычисляется из условия нормировки 52 р*
1=0 ' " ’ т.е. задается формулой
ОО —1
й = (2>Г-г=0
Однако здесь сразу же встает вопрос о точности вычислен^
Рд. Действительно, хотя ряд 52 в силу предположения о суще.
г=0
ствовании стационарных вероятностей р* должен сходиться, мы не можем сказать, когда нужно оборвать вычисления при суммирова-нии этого ряда, чтобы гарантировать заданную точность вычисления рд. Кроме того, полученное рекуррентное соотношение не дает возможность вычислять моменты стационарного распределения числа заявок в системе, поскольку даже если мы установили ОО
сходимость ряда 52 гг, то это еще не гарантирует сходимости ря-г=0 оо оо
дов 52 12 и Т-Д- Поэтому мы сейчас для решения системы
г—0 г=0
оо
(1) воспользуемся производящей функцией P*(z) = 52 Р*Р- ДРУ-1=0
гой способ вычисления Рд, правда, при некотором дополнительном предположении мы приведем в п.1.5.
Умножая i-е уравнение на zl и суммируя по г = 0,1,... , получаем оо оо г+1
г=0 г=0 А?=1
Заметив теперь, что
оо оо 00 00
EAz‘=E I f сГЛ((1"г)dB(t)=0(X-Xz),
г-0 г=0 ’0 *0
находим
оо - оо г
р* (*)=р*0 Е + - Ег’ (E^-fc - ро ч
г=0 г=0 А—0
Воспользовавшись свойством ПФ свертки, имеем
P*(z) = Р*МХ - Xz) + j [F*(z) - р5] Д(А - Аг),
j рц,ож:енна,я цепь Маркова
да следует оТМс
259
Ро-
(1-е)/ДА-Аг) /ДА - As) - з
вероятность pg определяется из условия нормировки 52 Р* —
р»(1) = 1- Применяя правило Лопитапя, имеем
Отсюда получаем, что
Ро = 1 - Р>
(2)
где Ь= [ tdB(t) —среднее время обслуживания заявки, а р — А b о
загрузка системы. Таким образом, мы получили окончательное выражение для P*(z):
1 =
Полученная формула носит название формулы Поллачека Хинчпна.
Поскольку вероятность р^ обязательно должна быть положительной, отсюда, в частности, следует, что р < 1 является необходимым условием существования стационарных вероятностей с ос го-янии для вложенной цепи Маркова. Ниже- мы покажем нс- только необходимость, но и достаточность условия р < 1 для эргодичности вложенной цепи Маркова {//„, и >0}.
Дифференцируя формулу (2) по z в точке- z — 1. получаем вы раженпе для среднего числа N заявок в системе по вложенной цепи Маркова в стационарном режиме
(3)
CXJ
j> /,U) = j't'2<lB(t) второй момент времени обслуживания за-о
ВКи- Из формулы (3) видно, что необходимым и дос таточным уело-М"'м конечности стационарной средней длины очереди является су Пк'<твованш- Аналогичные формулы нетрудно получить и для 'Щпонарных моментов длины очереди более выс окпх порядков
в Заметим, что, вводя коэффициент вариации времени обслужп-ия Сн =; (//.2) _ j^y /2фОрМуЛу (з) можно записать в виде
17-
jV p+ 2(1 —p) '
260 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАЦц^ Последняя формула известна под названием формулы Поллачек Хинчина для среднего числа заявок в системе в стационарном ° жиме. В частности, учитывая, что для экспоненциального расп^' деления Св = 1, получаем из нее для системы М/М/1/оо уЖе W вестный нам результат: N = рЦу — р).
В заключение этого пункта покажем, что условие р < 1 являетс также достаточным для существования стационарного распредеде ния вложенной цепи Маркова {pn, п > 0}. Для этого примещщ критерий Мустафы 1.4.4, в котором положим хг = i, i > 0, и г0 ~ j Выпишем явные выражения для сумм в неравенствах (1.4.3) и (1.4 4/ Как было показано выше,
Г /Зу, если г — 0;
если j' > i — 1, i > 1;
(.0 в остальных случаях.
Тогда левая часть неравенства (1.4.3) при г > io = 1 примет вид
ОО ОО сю оо
^ЗРг3 = Ц зР.;-г+1 =
3—G j—1 — l j=0 j—0
Аналогичным образом для левой части неравенства (1.4.4) при г = 0 < г0 = 1 получаем
ОО оо
^3Poj = "^зРз = Р-
3=о j=o
Значит, выполнение неравенств (1.4.3) и (1.4.4) равносильно одновременному выполнению двух условий: р + г — 1 < 1 — е и р < со или, что то же самое, выполнению одного условия р < 1 — е. В свою очередь, если р < 1, то последнее неравенство очевидным образом выполняется при соответствующем выборе числа е.
Окончательно получаем, что условие р < 1 является достаточным, а также, как было показано ранее, и необходимым для существования стационарных вероятностей р*, i > 0.
1.3. Стационарное распределение очереди по времени
В предыдущем пункте мы определили стационарные вероятное ти состоянии для вложенной цепи Маркова, порожденной момея тами ухода заявок из системы. Однако для практических Иеле1’ гораздо больший интерес представляют стационарные вероятно состояний по времени рг = lim P{p(t) — г}, поскольку в силу пУаС соновости входящего потокаГименно pi характеризуют распреД6* ние очереди в момент поступления произвольной заявки в сисге функционирующую в установившемся режиме (см. § 2.1)-
261
Сложенная цепь Маркова § ''
докажем, что для системы M/G/1/оо справедлив закон ста-нарн°й очереди Хинчина: стационарное по времени распределе-числа заявок в системе совпадает со стационарным распреде-ИЙд11Р1л числа заявок в системе для вложенной цепи Маркова, по-'^денной моментами ухода заявок из системы, т.е.Jim P{r(t) =
i = lim Р{г„ = г}. Поэтому P*(z) представляет собой также
дф Р(г) — 53 Pi2' стационарного (по времени) распределения числа заявок в системе.
Для вывода закона стационарной очереди Хинчина рассмотрим процесс {£>(£), t > 0}, принимающий постоянное значение i>(t) = vn на интервале т„ < t < ~„+i, которое будем трактовать как состояние этого процесса на данном интервале времени (см. рис. 2, на котором процесс {r(t), t > 0} обозначен жирными линиями). Иными словами, г(1) есть число заявок, которые находились в системе сразу же после момента тп, последнего до ухода заявки из системы. Процесс {£>(<), t > 0}—полумарковский (это показывается совершенно аналогично тому, как была установлена марковость вложенной цепи {i,n, п > 0}). При этом если v„ > 0, то время тп+1 — тп между п-м и п + 1-м моментами изменения состояния этого процесса распределено по закону В((). Однако если = 0 (система в момент т„ полностью освободилась), то время rn+i — тп представляется в виде суммы двух независимых частей: экспоненциально распределенного с параметром А времени до момента поступления очередной заявки в свободную систему и распределенного по закону B(t) времени обслуживания поступившей заявки. Очевидно также, что вложенные цепи Маркова {i/n, п > 0} и {£>„ = v(rn +0), п > 0} для исходного процесса {r(t), t > 0}, описывающего число заявок в системе в момент t, и полумарковского процесса {i>(Z), t > 0} совпадают.
По теореме 1.6.2 определенный таким образом полумарковский процесс {£>(£), t > 0} при t —> оо будет сходиться к стационарному ® том и только том случае, когда аналогичному свойству удовлетворяет вложенная цепь Маркова {р„, п > 0}. Однако применить ЭтУ теорему для определения стационарных вероятностей состоя-
₽«> i > 0, мы не можем, поскольку процессы {i>(i), t > 0} и ) U, t > 0} различны. Поэтому воспользуемся теоремой 1.6.1, в У которой для стационарного полумарковского процесса вероят-
Ь Того’ что на произвольном интервале времени (t, t + dt) про-‘ перейдет в состояние j, равна p*dt/(^ fkPk), где А—среднее
Роят ПРе®Ь1вания процесса в состоянии к, a р)—стационарная ве-°сть состояния j для вложенной цепи Маркова.
Применим этот результат к процессу й(б). Очевидно, что Д. =|, при /. > 0 и fa = b+1/X. Поэтому £ fkp*k = h+p^/X = b(l+p*/p) = к-о
= 1/Л. и. значит, вероятность того, что построенный нами для функционирующей в стационарном режиме СМО M/G/1/ос по.п марковский процесс —оо < t < 00} на любом интервале вре-
мени длины df перейдет в состояние j, равна Xp*dt. В термина» мои системы эта вероятность представляет собой вероятность того, что на интервале длины dt окончится обслуживание заявки и пост ее ухода в « истоме останст< я / других заявок.
Теперь мы в состоянии перейти к определению стационарных по времени вероятностей р, состоянии системы M/G/1/оо. Для этого обозначим через -4(z), i > 0, событие: ”в произвольный момент времени (без ограничения общности в стационарном режиме мы м«»с'! выбрать этот момент равным нулю) в системе находится i заявок 11 представим это < обытпе в вид<‘ объединения следующих ’‘бесконечно малых’’ событии .4(/, /. г), г > 0. j = 0, г т > 0: "’на времени0'1 интервале (— г — d.i\ —.г) из « истомы уйдет заявка и после ее в < истоме останется / заявок, на интервале [—.г. 0) н«' «будет <>б( ” жено ни одной заявки и на этом же интервале в « истому посту””1 еще । — j заявок”. Очевидно, события .4(/, /,.г) несовмсстн личных пар (/. г) п их объединение по ) и .г совпадает с
4(/)- Л
Найдем вероятности событии A(i. j. .г). При этом отделы101’ смотрим случаи / > 1 и / = 0.
ДЛЯ ра. событие'1
263
. Сложенная цепь. Маркова
V'
Если '/ > 1, то вероятность события А(г, j, х) равна вероятности ^го что на интеРвале (—х — dx, —х) окончится обслуживание за-и и после ее ухода в системе останется j заявок (эта вероятность, было показано выше, равна Ар* dx), за оставшееся время х не учится обслуживание заявки, поступившей в момент — х на при-бор (с вероятностью 1 — В(х)) и за то же время в систему поступит _ j заявок (в силу пуассоновости входящего потока вероятность последнего события равна (Хх)'~3е~Хх/(г — j)!). Поскольку все перечисленные выше события независимы, то х)) = Ар*с/т[1 —
-В(ж)] (ХхУ~3е~Хх/(г — .
Если же ] = 0, то вероятность того, что на интервале (—х —
-da:, -ж) окончится обслуживание заявки и после ее ухода система освободится от требований, по-прежнему равна Xp^dx. Однако далее нужно снова рассмотреть два случая. В случае i — 0 в систему за время т не должно поступить ни одной заявки (вероятность этого события равна е~Аа:). Тогда Р(А(0,0,х)) — Xp^dxе~Хх. В случае
1 на некотором промежуточном интервале (—х + у, — x + y+dy),
О < у < х, впервые после момента —х должна поступить заявка (с вероятностью Xe~Xydy), эта заявка не должна обслужиться за время х — у (с вероятностью 1 — В(х — у)) и за то же время х — у в систему должны поступить еще г — 1 заявок (с вероятностью [А(т — у)]‘-1е-А^_1^/(г — 1)!). Поэтому по формуле полной вероятности
,Р(А(г,О,т)) = Ар^ J Ле-Аф-В(Ж-р)]^-^-е-А^^.
О
Воспользовавшись теперь формулой сложения вероятностей, имеем
1 °° _
= Е Ар) / ^[1 - dx+
0
оо X
+ХР*о Idx / ' [1 - Д(ж-у)] rfy, г >1.
J J (г-1)!
264 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАН^
ОО
Отсюда, вводя ПФ P(z) ~ получаем
г=0
оо
P(z) = X[P*(z)-p*0] f e-^-^[l-B(X)]dx+
О
оо а? оо
+Xp*oz JdxJ[l—B(x—y)]e~^x~v^1~z^Xe~Xvdy+XpQ Je~x*dx. 0 0 0
oc
Интегрируя по частям равенство /3(s) = f е “ (ж), находим
о -
оо
fе-”;[1 - В(ж)] dx = 5
о
что приводит к формуле
оо z
[е~х^-^[1 - B(x)]dx = 1 ~ f (Л ~~. .
J А — AZ
0
Производя элементарные преобразования и воспользовавшись формулой свертки, имеем
Г), X \ГО*Г \ 1-/3(А-Лг) + 1-/3(A-Az) +
Р(;) = А [Р*(г)-р*] —у_~д— ' +XP(}z x-Xz +Ро =
= р*(2) + Л*)ДА _ xz).
Подставляя вместо P*(z) его выражение (2), окончательно получаем Р(-г) = P*(z), что и доказывает закон стационарной очереди Хинчина.
Читателям советуем еще раз разобрать приведенные выше выкладки, поскольку в дальнейшем мы часто будем пользоваться подобными рассуждениями, не давая им столь подробного обоснова ния.
Из закона стационарной очереди Хинчина следует, в частности’ что среднее число заявок N в системе в стационарном (по времен ) режиме также задается формулой (3). <-
Отметим, что закон стационарной очереди Хинчина имеет мес то и для некоторых других систем.
265
I р^у/сенмая цепь Маркова
4 Нестационарные вероятности состояний для вло-I Кой цепи Маркова
Обозначим через р,(п) вероятность того, что после n-го шага енная цепь Маркова {п„, п > 0} находится в состоянии г. настоящего пункта найти в терминах двойного преобразователь на оо оо
P(z 22) = 52 52 Рг(п) 2 Г22 нестационарные вероятности р,(п). ВИЛ Г' г-0,-0
Из теории цепей Маркова известно (см. § 1.4), что для на-ождения а(п) достаточно вычислить матрицу (р^) переходных I оятностей за п шагов, представляющую собой п-ю степень ма-ицы (Рч)’ 11 подействовать ею на вектор начальных вероятностей "т(0) = (?о(О),Р1(О), ,)- Однако прямое вычисление n-ой степени матрицы, тем более бесконечной, представляет значительную трудность, поэтому мы воспользуемся другим методом, основанным на теории восстановления. Возможность применения данного метода обусловливается тем фактом, что вложенная цепь Маркова имеет специфический вид, точнее говоря, представляет собой так называемое целочисленное случайное блуждание на прямой с задерживающим экраном в нуле (см. п.1.5). Преимущество метода станет очевидным из дальнейших исследований (см. § 5).
Как уже говорилось, для просл оты изложения мы считаем, что в начальный момент 0 система свободна.
Назовем моментами восстановления для вложенной цепи Маркова {г„, п > 0} те моменты т„, после которых система полностью освобождается от заявок. Разумеется, моменты восстановления (точнее говоря, номера тех шагов, на которых восстановления произошли) являются неотрицательными целочисленными случайными величинами. Будем считать также, что первый момент восстановления совпадает с началом от< чета 0.
Назовем периодом занятости число шагов между соседними восстановлениями, т.е. соседними моментами полного освобождения системы. Очевидно, периоды занятости предс тавляют собой неза-|висимые одинаково распределенные положительные целочисленные ^"Чайные величины. Обозначим через п > 1, вероятность Дем ’ ЧТ° пе1’И0Д занятости продлите я п. Для определения д„ вве-Тог В<Помог'м <'льные величины д„ (m) п > 1, т > 1, вероятности Чаль '1Т0 пеРИ0Д занятости продлится п, но при условии, что в на-Го8овЬ1и момент 0 в системе находилось тп заявок (в этбм случае ЧТо что период занятости открывается т заявками). Ясно,
цель Марлова
267
(7)
дТЯ f'( r^
при п > 1 справедливо соотношение г+1
/>(») = - 1)д-.,+1,
,часмое из следующих рассуждений: в системе после n-го шага 1 'одит<я / заявок и нс закончился период занятости, если после 1 1 го шага не закончился период занятости, в системе находилось ' заявок и за время обслуживания очередной заявки поступило еще Н* оо оо
[ +1 заявок. Переходя к двойной ПФ F(zt, z.,) = 52 52 A(n) z?z2, У ,,=i1=i'
LcM ИЗ ([)
i [F(a, Fl (z2)] = — [F(zi, z>) Д(А-A z2)-z2f(z1)],
I 2’2
где ОО
П=1
Поэтоьп
F(zi z->) = z2 z^(X~Xz^~ zieo~ Zif(M) (8x
• z2 ~ z\/3(X — Az2)
Для определения f(z) заметим, что F(zi, ;•_>) являете я непрерывной функцией аргументов .-.j и в области 0 < < 1, 0 < z2 < 1.
Питому в тех точках (zi.z2), где обращается в нуль знаменатель И, должен обращаться в нуль и числитель. Но в соответствии с ИЧвненпем (5) знаменатель (8) равняется нулю в точках (zi,G(zi)). Значит, Z]/i(, у. - j /(.;,) = G(zi), откуда окончательно имеем
~2 '— ^1/+^ — AZ-?)
Т
L 1<Г:<3,Ь iIbI в состоянии определить р,(п). Для этого заметим, - П0(л<' момента т„ система полностью свободна, если в момент " Роизошло восстановление. Поэтому
в Ро(и)=й,,-
7» + 0 в системе находите я г, г > 0, заявок, если в неко-о(1 п1)о'1сжуточныи момент т,„ произошло вое становление, а за 4 Я П ~ )П шагов с истсма ни разу нс освободилась и вложен-I Пь ^Ь1рк()Ва перешла в состояние /, т.е.
п-1
р-(") = 52 ~т)-
/м=()
268 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/со. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАЦц
Переходя к двойному преобразованию P(zi,zz), получаем (6) и (9) окончательную формулу
С
Z-2 Z1/3(X — Xz2) — G{zi)
(Z1,Z'2) ~ l-G(zi) ’ z2 - zrf(X - Az2)
В заключение этого пункта вернемся к условию существоваН1! стационарных вероятностей со< тоянпй для вложенной цепи Марксу (см. и. 1.2) и получим его из других соображений. Из общей Те ории цепей Маркова известно (см. § 1.4), что для неприводимой непериодической цепи Маркова (а, как нетрудно видеть, вложеинад цепь Маркова для системы M/G/1/оо является таковой) необходи мым и достаточным условием существования (собственного) пре. дельного распределения pt = lim р,(п) является конечность сред, него времени возвращения в некоторое (а значит, и в любое) состояние; в противном случае рг(п) —> 0 для любого г. Применяя
П—>00
этот результат к состоянию 0 и учитывая, что время возвращения в состояние 0 представляет собой период занятости, видим, что необходимым и достаточным условием существования стационарного
режима является конечность среднего значения периода занятости, иначе рг(п) —> 0 для всех г, или, что то же самое, число заявокв 71—100
системе будет по вероятности стремиться к бесконечности.
Дифференцируя уравнение (5), по z и переходя к пределу при z —> 1 видим, что в случае р = Xb < 1 средняя длина периода занятости д = 1/(1 — р) конечна, и, значит, стационарный режим существует. Если же р = 1, то, несмотря на то, что период занятости конечен с вероятностью единица, его средняя длина равна бесконечности (см. § 5), и очередь по вложенной цепи Маркова не-ограничено возрастает. Наконец, в случае р > 1 (также см. § 5) сам период занятости может принять бесконечное значение (никогда не кончиться) с положительной вероятностью; более детальный анализ показывает, что в этом случае очередь стремится к бесконечности
даже с вероятностью единица.
Аналогичные свойства очереди справедливы и для вероятностей рг(Д) по времени.
1.5. Описание вложенной цепи Маркова в терминах слу чайного блуждания
Сейчас мы рассмотрим несколько иную трактовку вложенН цепи Маркова {//„, п > 0}, опирающуюся на понятие случа блуждания с задерживающим экраном в нуле. Результаты 3
269
рлОлсенная цепь Маркова
предназначены в основном для первоначального ознакомле-ИУ®11 тем методом, который будет применен при исследовании об-в||Я исТемы G/G/1/оов главе 8. Кроме того, с их помощью мы другие11 ^особом практически без вычислений определим стационарные г10'1 ятность Ро и среднее число N заявок в системе M/G/1/оо. вЕР°Обозначим через время обслуживания п-й заявки, а через ^число заявок, поступивших в систему за это время. Ясно, что яр окончания обслуживания п + 1-й заявки значение м„, с одной тороны, уменьшится на единицу за счет ухода обслуженной заявки, Сс другой—увеличится на число поступивших за время
заявок. Но это не относится к тому случаю, когда заявка поступает в свободную систему, поскольку она сразу же начинает обслуживаться, и после ее ухода число заявок в системе просто равно rjn+\. Поэтому для vn справедливо следующее рекуррентное соотношение:
vn - 1 + Vn+i, если vn > 1;
Цп+1, если оп = 0.
С помощью функции Хевисайда и(х) это соотношение можно переписать в виде
b'n+l — У-п ^{уп) “Ь J?n+1- (10)
Выясним ту связь, которая существует между вложенной цепью Маркова {мп, п > 0} и целочисленным случайным блужданием [S„, п > 0}, порожденным последовательностью независимых случайных величин {?)„ = г)п — 1, п > 0} и определяемым соотношением = О, S„+1 = sn + fjn+1, П > 0. Пока vn > 0 и Sn > 0, vn и Sn задаются одной и той же формулой
n'n+l = I'n + ijn+1, Sn+l = Sn + 7/n+l.
Однако последовательность Sn может принимать и отрицательные значения, в отличие от последовательности которая за счет слагаемого ч;(р.п) не может опуститься ниже нуля. Таким образом, вложенная цепь Маркова {м„, п > 0} представляет собой некоторую
Дификацию случайного блуждания {Sn, п > 0}, которую можно ать случайным блужданием с задерживающим экраном в нуле.
щ 5°бенностью вложенной цепи Маркова {vn, п > 0}, как и юЩиеИН0ГО блУжДания {‘’п, п > 0}, является то, что определя-1е их величины т]п удовлетворяют свойству Р{т)п < —1} = 0, С1уча<'Ка'1КИ вниз не могут быть больше, чем на единицу. Такие (^Иные блуждания, как мы уже упоминали, называют непрерывнее СНизУ целочисленными случайными блужданиями. Свойство Мере с ВНОсти снизу позволяет, как мы убедились выше на при-
стемы M/G/1/оо, получать довольно простые алгоритмы
270 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВдцц расчета стационарных и даже нестационарных распределений чайных блужданий. Сл'’'
В главе 8 будет проведен общий анализ СМО G/G/1/ос ванный на рекуррентном соотношении типа (10). Сейчас же с мощью (10) мы выведем некоторые уже известные нам формулы вложенной цепи Маркова {рп, п > 0}.
Поскольку u(i'n) случайная величина, принимающая значещ 0. если = 0, и 1, если > 0, то
Мм(1/„) = Р{р„ > 0} = 1 -Ро(п). (ц
Беря теперь математические ожидания от обеих частей равенств (10), получаем
М1/п+1 = Мр„ - 1 +ро(п) + М»/„+1.
Вспоминая, что для любых п
Р{т7„ = к} = /Зк,
(12)
а ПФ 52 ftk-1' случайной величины т}п равна /1(А — Аг), получаем А=(>
М(//„), = ,1?’(А - Аг)|г=1 = (-A)‘/3w(0) = АТ/г>, i > 1,
ОО
где М') = J CdB(t) z-ii момент времени обслуживания заявки. От-b
сюда, в частности, имеем
Мг/„=АЬ = Л
Мт£ = М(г]п)2 + Мг]п = А2Ь<2> + р.
С учетом этого перепишем соотношение (12) в виде
М//„+1 = Mz/„ — 1 +Ро(п) + р.
Теперь, если предположить, что система функционирует в стационарном режиме, то Мм„+1 = Mz/„ = N, и, значит,
Ро = 1 - Р- 1
Опираясь на (10), мы пришли к уже известному нам выражению Д® стационарной вероятности р(*.
Аналогичным образом можно вычислить моменты любых № рядков стационарного распределения числа заявок в системе-частности, для определения стационарного среднего числа злЯ в системе возведем соотношение (10) в квадрат:
-> 2 > 2 (I5)
vn+i =г/и“2 //„«(//„)4-2 p„7/„+i 4-» (у„)—2w(zz„) а/,,+ 1 +'/й+1 Воспользовавшись очевидными равенствами
УпЫрД) = м,„ М(/А,7/„+|) = Ml/„Mz/„+I,
^ртуамтое время ожидания 271
w2(vn) = u(vn), M(«(i/n) ??11+i) = Mu(i/n)Mife+i
ябеР*оТ
обеих частей (15) математические ожидания, имеем
М^1+1 = Mi/2 - 2Mi/„ + 2Mi/„Mi/„+i+
+Mn(i/„) - 2Mm(i/„)Mt?„+i + M??2+1.
Отсюда- переходя к дучае соотношения А получаем
стационарному режиму и вспоминая, что в этом (11), (13) и (14) приводят к равенству M?z(z/n) =
2ДГ(1-д) = р-2рг + р+Х2Ь^\
йЛи окончательно
Х^Ь'^' = Р+2(П^)-
Итак мы еще раз получили формулу Поллачека Хинчина для среднего числа N заявок в системе в стационарном режиме.
Однако необходимо отметить, что сейчас формула для pj была найдена при априорном предположении существования стационарного среднего числа N заявок в системе, а формула для TV, в свою очередь, при условии существования стационарного второго момента числа заявок в системе. Поэтому предложенный здесь вывод не может полностью заменить того подхода, который был использован в п.1.2.
§ 2. Виртуальное время ожидания
Исследование времени пребывания заявки в системе мы произведем с помощью другого типа марковского процесса. Как мы уви-Лм в этом параграфе, применение такого подхода приводит к прочнейшим интегро-дифференциальным уравнениям, которые легко Решаются в терминах ПЛ и ПЛС. Для читателя, знакомого с общей ^“Риеп марковских процессов с непрерывным временем и непре-ным пространством состояний, заметим, что рассматриваемый Чесс6 ПР011есс представляет собой обобщенный пуассоновский про-с отрицательным сносом и задерживающим экраном в нуле.
tin Г С','ОСТ'1-ГГОК предлагаемого метода заключается в невозможно-Использования его для вычисления характеристик очереди.
2 1
’*• Уравнение Такача
Н^^н-шм через £(/) виртуальное время ожидания в момент t.
* ВИм что виртуальное время ожидания, £(£)—это то время,
274 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/l/<x>: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАц^ не превосходит АД, т.е. P(Dj) < А Д. Кроме того, P(D0)
—P(Z>i) > 1 - А Д. Поэтому
Po(t. + Д) > (1 - А Д)ро(0 > Po(i) - а Д,
p0(t + Д) < Po(i) + А Д, откуда окончательно получаем
-А Д < p0(t + Д) -ро(#) < А Д.
В математическом анализе доказывается, что выполнение'noc.1PJ него неравенства влечет за собой существование ограниченной ЧИ(. лом А производной pg(t). Используя несколько более тонкие рассу». дения, можно показать также, что Po(t) будет непрерывной фущ цией, если непрерывной является ФР В(х) времени обслуживания заявки.
Доказательство существования dW(x,t)/dt проводится север шенно аналогично, если в качестве At взять событие: в момент! значение пропесса ((7) заключено между нулем и ж, и мы предоставляем его читателю.
Заметим, что приведенное здесь доказательство существования производных Po(i) и dW(x, t)/dt представляет скорее методологический, чем практический интерес. Это связано с тем, что в настоящее время хорошо разработана теория обобщенных функций, которая позволяет, в частности, при выводе и решении линейных дифференциальных уравнений не следить за тем, чтобы существовали производные рассматриваемых функций в обычном смысле. Это замечание пригодится нам в дальнейшем, когда мы уже не будем уделять такое внимание обоснованию существования соответствуют® производных.
Функции ро(/) и W(a:,t) удовлетворяют соотношениям Ро(^ + Д) = [?о(С + К' (Д, i)](l — АД) + р(Д), W(а-, t + Д) = [W(.t + Д, t) - ЙДД, t)](l - А Д)+ ? ®
+ АД I W(x ~ y,t) dB(y) + XAs.B(x)po(t) + о(Д)-.
о
которые получаются следующим образом. Во-первых, за вре^я вероятностью 1 — А Д + о(Д) не поступит ни одной заявки,। туальное время ожидания уменьшится на Д, если оно было нуля, или останется равным нулю, если оно равнялось нул^ вторых, виртуальное время ожидания может",обратиться и -в том случае, если в момейт t оно было меньше Д и не поступили заявки; это происходит с вероятностью ",
-0f , а ВИГ боЛьГ*
В0'
в 0УЛ\П
[ за U1' cif < р{0 < №
I рир'П1У"'м,м(>е вРемя ожидания 275
,/1 - А Д) + о(Д) = И7(Д, t) 4- о(Д). Далее. виртуальное- время ^^1Н11Я может стать меньше ,т в момент t + Д. если в момент бы®' меньше .г — у и за время Д поступила заявка с време-* ^обслуживания i/; этот случаи с использованием формулы гюл-вероятности учитывается интегральным слагаемым второго из ^ношении (1). Наконец, виртуальное время ожидания в момент (0°д будет меньше .г, если в свободную систему поступит .заявка ^временем обслуживания меньше1 .г. Остальные1 события имеют вероятность о(Д).
Перенося ро(/) пли 1Г(.г+Д, f) в левую часть, деля на Д и устрем ,«« А к нулю, получаем из (1): 1лл
Рв(О = (''/)|J.=0’
.г
+ х I и (.г - //,f)c/B(.y) + XB(j)p0(t). о
Существование1 производных еЛГ(.г,/)/с>.г и с9П'( i. t)/di |,=() вытс-Ьст из существования производных p'0(f) и <Л1 (.г. t)/dt.
Уравнения (2) носят название1 уравнения Такача
2.2. Стационарное распределение1 времени пребывания заявки и системе
Предположим, что существует пре тельное1 (стационарное) рас
Прсделсние ИД г) = lim И7 (.г t). Как и в предыдуще-м пункте, тля I —>оо
Чобства изложения положимро = И’(0+) = lim po(t). 11 (•>)-И'(») —
"Ро = lim Напомним также1, что в стационарном случав'
!'11епрс1де1л<1НПе виртуального врс'менп ожидания совпадает с рас пре-чв'Нпем обычного времени ожидания начала обслуживания (см. 1> 2-1). Уравнения для р0 и 1Г(.г) можно получить, приравнивая в 2b'i(0 nc7ir(.r,f)/<}Z к нулю:
0 = -Аро + 1Г'(0).
Н '(.|) = -АП (.с)-П-'(О) + А I \У(л-!))<1В(ц)+ХВ(.1)ра.
О
276 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/l/oa: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВац^
Для решения последней системы уравнений используем HjjQ
ОО
Je-4WM, о
= J e о
Тогда имеем
о
W' (0) = Apo,
-s[w(s) -po] + W"(O) = -A[cj(s) -p0] + АЦа) Дл),
откуда получаем
^>=^в_А + АД(< (3)
Постоянная ро определяется из условия нормировки И-’(ос) = = сДО) = 1. Применяя правило Лопиталя, получаем р0 = 1 что нам уже известно из предыдущего параграфа. Это означает что необходимым условием существования стационарного распределения И7(ж), как и стационарного распределения числа заявок дц вложенной цепи Маркова, является условие р < 1. Доказательство достаточности этого условия мы откладываем до § 5.
Поскольку время пребывания заявки в системе состоит из времени ожидания начала обслуживания и собственно рремени обслуживания, стационарное распределение V (.т) времени пребывания заявки в системе имеет ПЛС
ОС
p(s) = j e~sxdV(x) = w(s) 0(s). (4)
о
Стационарные средние времена ожидания начала обслуживания w и пребывания заявки в системе v задаются соотношениями:
w = — о/(0) =
А6<2>
2(М’
v = — <р'(0) = b + w = b +
А6<2>
2(1-р) '
(5)
(6)
которые нетрудно получить также из формул Литтла.
2.3. Нестационарное распределение виртуального вр®-мени ожидания
Ранее мы нашли решение уравнения Такача (2) в стационару случае. Сейчас мы получим в терминах двойного преобраз00 нестационарное решение этого же уравнения.
^иртуальное время ожидания
277
Обозначим через
оо оо оо
у у e-s^-s^W(dx4)dt+ f e~Sltpo(t)dt о о о
двойное преобразование виртуального времени ожидания £(t) в момент i. Поскольку мы положили, что в начальный момент 0 система свободна, то, пользуясь свойствами ПЛ и ПЛС, получаем из второго уравнения (2):
si [w(sb s2) ~ Je S1<Po(i)dt] - s2[w(si,s2)-0
e~s,tdt =
e 1 + A 0(s2) , s2),
откуда
4-s'i,s2) [si - s2 + A - A/3(s2)] = ^o(sj) [«(sj - s2], ^1,g2) = -7r°^)^1)-s2]
V 7 sc+A-A^)-^’
e SltPo(i)dt,
00
<®(si) = si+A--------1— I e~SltW'(x,t)\x=odt.
tto(si) J
0
'u.t
Для определения аз^) заметим, что функция ca(si,s2) опреде-нспрерывна при всех sj >0, s2 > 0 (более того, является
278 Г, 5 СИСТЕМА М/G/1/^: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАЦп
аналитической в области Resi > 0. Re.s-j > 0 функцпеи комщ(, ных аргументов s, п s2). Поэтому в тех точках (*|, ъм). где зн;цй>й те. ль (7) обращаете и в нуль, должен обращаться в нуль и чис лит,^' 1 'ас с мотрпм уравнение
К*”) = т (ч - + А). Л
Полагая -, = (s, — л_> j А)/А. это уравнение можно запнс ать в форц Д.51 + Д — Д-) = . ig
В '{ 5 мы проведем детальный анализ \ равнения (8). Сейчас >J заметим, что при каждом .S| >0 это уравнение- имеет единственно! решение ", = "(.у) (0 < -, < 1). Но тогда, как уже говорилось.! точках (.Ь|. S-2 = S|+A — А (.sj)) должен обращаться в нуль чпс.лиге.ц (71. а значит.
a'(-si) = s । + А — А у (s । ).
Да iee. = 1. Поэтому m(s|.O) = l/.s, и
Подставляя найденные значения тг0(лс) и аДм) в формулу (7). получаем окончательное* выражение* для двойного преобразования м(*ч. s ,) виртуального времени ожидания (,/):
_______________‘Ч + А — А J (.S|) — -ь->___________________
s । + А — A Д.ь_») - №][•>! + А — А ।)]
Справедливое тн ради необходимо сказать, что полученный результат довольно сложно использовать на практике*, поскольку для этого необходимо обратить двойное* преобразование.
§ 3. Введение дополнительной переменной: остаточное время обслуживания
В этом и с ле дующем параграфах мы рассмотрим еще одни
год псе ледованпя СМО M/G/1/ос. связанный с введением дополни тельной переменной.
Для того чтобы понять суть метода и причину его появления вс помним, что подходы предыдущих параграфов страдали одн<»<>° костью, поскольку позволяли вычислять либо распределение '11И ла заявок. либо распределение времени пребывания заявки В * * 11
геме. Естественно. возникает желание объединить эти Д1з;| хола и построить достаточно простои марковский процесс {'/(
279
^сягв?почное время обслуживания
. > £(/)), i > 0}, который, хотя и имел бы более сложное про-? состояний, состоящее из двух координат: дискретной и cfP пивной, но, тем не менее, относительно легко поддавался бы ^дадованию.
Hfi ОчеВидн°, что в качестве дискретной координаты //(/) такого цесса наиболее разумно выбрать, как и прежде, число заявок в w не Посмотрим, какую дополнительную координату £(t) нужно сЯ оедцнить к г(/), чтобы получившийся процесс {?/(/) = (//(/), ^(^)), стал марковским. Ясно, что эта координата не должна быть с заявками, находящимися в очереди, если считать, что связям* „
я обслуживания каждой заявки становится известным только ее поступлении на прибор. Значит, £(/) должна зависеть только от заявки, находящейся на приборе.
Теперь у нас есть две возможности: выбрать в качестве дополнительной переменной £(t) либо время, которое заявке, находящейся на приборе, осталось обслуживаться (остаточное время обслуживания), либо время, которое заявка, находящаяся на приборе, уже обслуживалась (прошедшее время обслуживания). В этом параграфе мы остановимся на первом варианте, выбрав в качестве £(t) остаточное время обслуживания.
3.1. Марковский процесс, описывающий функционирование системы
Обозначим через г(/), как обычно, число заявок в системе, а через £(1)—остаточное время обслуживания, т.е. то время, которое осталось пребывать в системе заявке, находящейся на приборе в момент t. Каждый из этих двух процессов не является марковским. Однако на их основе мы сейчас определим новый процесс {< t> о}, который уже будет марковским.
Если система в момент t свободна (г(/) = 0), то нет необходимости вводить дополнительную переменную £(/) и в этом случае естественно положить r](t) = v(t). Если же в момент t обслуживается заявка (г,(1) > 0), то помимо фиксации числа заявок, находящихся в системе в данный момент, будем указывать, сколько времени осталось дообслуживаться заявке на приборе, т.е. введем дополнительную переменную £(/) и таким образом определим процесс
= ("(/),£(/)). Множество состояний X процесса можно пред-
= {(0); (г, а:), г = 1,2,..., х > 0}, где состояние полностью свободной системе, а состояние (г, т) .„щю, когда в системе имеется г заявок и до конца ЗаУЖивания заявки, находящейся на приборе, осталось время х. Вит ТИМ’ Что в Данном случае время обслуживания заявки стано-Ся известным только в момент поступления ее на обслуживание,
( Гить в виде X I ^ответствует Сражает сгтгаттт
280 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДов^ а не в момент поступления в систему, Как было при исследов виртуального времени обслуживания.
Покажем, что определенный таким образом процесс ( t > 0} является марковским. В самом деле, если ??(to) = (0) g '' который момент t0, т.е. система свободна, то, как мы уже н некратно отмечали, поведение процесса т](Д) после t0 не зависит того, как он развивался до момента t0. Однако если ri(t0) = (г ж дальнейшее поведение процесса tj(t) определяется не только чис/0 заявок г, находящихся в системе в момент t0, но также и вреМ(11а. их обслуживания. Но те заявки, которые находятся в момент / очереди, еще не обслуживались и, значит, их времена обслуживания не зависят от предыстории процесса ?/(t). Что же касается заявки находящейся на приборе, то ее (остаточное) время обслуживания а- нам известно. Таким образом, процесс {??(/), t > 0} является (однородным по времени) марковским и, как нетрудно видеть линейчатым (см. § 1.6).
Положим p0(t) = Р{г(£) = 0}, Pt(x,t) = Р{^(<) = г,£(4) < г} Как обычно, будем считать, что в начальный момент 0 система сво бодна от заявок, т.е. i/(0) = 0, и, значит, р0(0) = 1, Д(ж, 0) =0.
Рассмотрим состояние системы в моменты t и t + Д. Тогда для того, чтобы < истома была свободна в момент t + Д, с точностью до вероятно< ти о(Д) необходимо, чтобы либо система была свободна в момент t и за время Д в нее не поступила заявка, либо в момент 1 в ней находилась ровно одна заявка с остаточным временем обслуживания, меньшим Д. Отсюда получаем
Po(t + Д) = Po(t) (1 — А Д) + Pi(Д,t) + <?(Д).
Совершенно аналогично рассматривается случай i > 2. Для того чтобы в момент t + Д в системе находилось г заявок и остаточное время обслуживания заявки, находящейся на приборе, было меньше .г, необходимо выполнение одного из условий:
в момент t в системе было г заявок, причем остаточное время обслуживания заявки на приборе было заключено в пределах от А до .г + Д и за время Д в систему не поступали заявки;
в момент t в системе было г —1 заявок, причем остаточное обслуживания заявки на приборе было заключено в пределах от до :г + Д и за время Д по< тупила еще одна заявка;
в момент 1 в системе было г +1 заявок, причем остаток обслуживания заявки н< , _ 7.,. . 7 ‘ _
на прибор поступила заявка с временем обслуживания меньше т
Поскольку остальные события имеют вероятность о(Д), т°
P,(x,t + Д) = [Д(ж + Д,£) - PI(A,f)](l - А Д)+
чноевРй1Л
ta приборе было меньше Д и после ее У*0,3
Q(.mam°4'noe время обслуживания
д [Рг_1(х+Д,^) —Рг_1(Д, 1)]+В(ж) Рг+1(Д, г)+о(Д), Наконец, приведем без комментариев соотношение
Pi (ж, t + Д) = [Pj (ж + Д, t) - РЦД, i)](1 - А Д)+
281
г>2.
+А Д В(ж)р0(1) + В(х) Р2(Д, i) + о(Д).
Перенося в этих соотношениях Po(t) или р(ж + Д,£) в левую часть деля на Д и устремляя Д к нулю, получаем систему дифференциальных уравнений
^А(М) - |^А(М) = -АР1СМ)-
В - +хвю?°®+ви ip^\x^ (1)
I ~ = ~ХР^х^ ' ^р,(ж’^1=о+
9 j
+XPt^(x,t) + В(ж) — Рг+1(ж,() , ? > 2,
дх 1ж=О
с начальным условием
Ро(0) = 1, Рг(ж,0)=0, г>1. (2)
Что касается существования производных, фигурирующих в Уравнениях (1), то мы за комментариями отсылаем читателя к предыдущему параграфу.
3.2. Стационарные вероятности состояний
Пусть существуют стационарные вероятности ро — lim Ро(/), Ы) = lim PJx,t). Тогда они удовлетворяют системе уравнении i—toa 4
0 = -АРо+Р{ (0),
~р;(.,) = -APj (.т)-Р1'(0)+АБ(ж)ро+Р(ж) Р^(0), (3)
~Р^х) = -AP.CO-P/^+AP^^j^+BC^P^JO), i>2,
®°лУчающеися из (j) приравниванием к нулю производных по вре-
То ^ек°торое неудобство при решении системы (3) представляет в г'р Уравнение входит Рг'+) (0). Но мы сейчас увидим, что от '•Hit Н<УДобс,Гва очень легко избавиться. Действительно, обозна-^Р^Рг = Р,(оо) стационарную вероятность того, что в системе
282 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАЦц„ находится г заявок. Устремляя в (3) х к бесконечности, видим, существует предел
--Рг'(ОО)= lim (--Рг'(а:)):г:-ЛРг--Р1'(0) + ЛРг-1+Р1'+1(0), «>1. (4\
Х~>ОО V*J
Но поскольку
оо
рг = Рг(оо) ;= УP'(x)dx < 1, о
то этот предел может быть только нулем. Поэтому из (3) и (4) имеем 0 = — Аро+Р{(0), 0 = — Арг4-Рг'+1(0)+Арг-1 — РДО), г>1,
откуда окончательно получаем
Рг'+1(0) = ЛРг, «>0-
Подставляя последнее равенство в (3) и производя элементарные преобразования, приходим к системе уравнений
Л (х) 4-A [pi - Pi (а;)] = А [1 - В(т)] ро + А [1 - В(т)] pi, I
Рг'(я:)+А[р,-Рг(а:)] = A[p,_i-Р,_1 (т)]+А[1 -В(х)]рг, г>2.
Система (5) легко решается рекуррентно. Положим
R,(x) = е-Лг[рг - Рг(т)]. (6)
Тогда из (,5) получаем систему уравнений
- р; (х) = А [1 — В(х)] е~Ххр0 + А [1 - В(х)] е-ХхР1,
— Г'г(х) = АРг_1(ж) + А[1 — В(х)]е~Ххрг, i > 2,
с очевидным начальным условием Pt(oo) = 0. Решение этой системы определяется рекуррентно по формуле
Р1(т) = Аро J[l- B(y)]e~Xydy + Xpi J[1 - B(y)]e~Xvdy, X X
Рг(ж) = А У Rt-i(y)dy + Xp, j\l - B(y)]e~Xydy, г>Ъ X X
или, что то же самое, задается выражением
А (7)
Р,(т) = Qt-i(x)p0 + Q,_fc(a:)pfe, г > 1,
fe=i
вр< мя обслуживи-ния
283
гдс.
D свою очередь. Q,(.r) определяются рекуррентно по формуле
ОС'
<2о(») = А 1{1-В{у)]е~хЫу.
Qi(') = A j Q,~i(y) dy, i > 1.
г
Интегрируя послед нее соотношение по частям, получаем
+1 °°
= /('У[1-В(/У)]е-Ч//7. />0. (8)
.г
Хотя вероятности р, мы уже ранее определяли (см § 1). вычислим их ешс раз. Полагая в (6) .г = 0, получаем равенство В, (0) = р,. С учетом этого равенства находим из (7) и (8)
Pi = Qi-iPo + ^^Qi-i,Pi,- i > 1, (9)
/,-=1
где
ОС' Д/-М р
(?, = —/ .г'[1-В(.г)] е“А'</.!. />(). (10)
()
Система уравнении (9) отличается от системы (1-1). которая оыла использована для определения р* = р, ранее. Для доказатсль-(тва эквивалентности (9) и (1.1) воспользуемся ПФ. Положим
ОС’ ос
Р(г) = £р,Д, Q(z) = '£Q,z'.
i=0 ?—0
^0ГДа из (9) получаем
ОО /
^Г)-ро = ср()С>(') + У2 г' Qi-1-Рк = [~1>о + Р(~)- 1’о](?(г).
п3 цо) имеем
ОС'
Q(~) = А I еА,г[1 - В(.г)]е-А'</.г =
О
284 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВдцц = A J[1 - В^]е~^Ых = -
О
Поэтому
P(z) - Ро = [P(z) - ро(1 - z)] --
и, следовательно, (l-z)^(A-Az)
4 /3(А — Az) — z Р°'
Отсюда очевидным образом находим: р0 = 1—р. Итак, мы получщи уже известный из § 1 результат формулу Поллачека-Хинчпна.
Систему (5) можно решить и с помощью ПФ. Полагая
P(z,x) z’,
г-1
получаем из (5) уравнение
~P(z, х) = Л (1-z) P(z, т)+А [z-В(т)] P(z)+X В(х) (1 -z)р0. ох
решение которого имеет вид
я?
P(z, х) = А е^1-^ У[(z-B(p)) P(z)+(1 -z) В(у)р0] e'^~^dy о
В свою очередь, последнюю формулу также удобно переписать в терминах двойного преобразования
= А2(1-г) У e^-^-^dx J[(z-B(y))P(z')+(l-z)B{y)^ о о
ос
xe-^’-^cfy+A j e-sx[(z-B(x))P(z) + (l-z)B(x)po]<i:r-
О
Изменяя порядок интегрирования в первом интеграле, полу
л(я, s) = А2(1 — z) / dy [е-О-Ч1-О^е-Ч1-Оу[^-В(у))Р^
О
У
0сГПаточное время обслуживания 285
ОО
+(Нг)5(«/)ро]^+Л У e_s*[(z-B(z))F(z) + (l-z)B(z)po]dz =
О
у е-^[(2-В(.г))Р(2) + (1-2)В(т)р0]с/а: = о
Г л2(1~г) . Л1
Is—А (1 — z) J L s
P(7)+(lz^Wft],
1С1Й окончательно
7г(2, «) =
А(1~г) s — А (1 — z)
z[/3(A-A2)-/?(*)] Д(А - Az) - z Ро'
(И)
Из результатов этого пункта, в частности, следует, что необходимым условием существования стационарных вероятностей ро и является условие р = Xb < 1. Доказательство достаточности этого условия будет приведено в § 5. Кроме того, необходимость и достаточность можно вывести из теоремы 1.6.5 и результатов § 1.
3.3. Совместное стационарное распределение числа заявок в системе и времени ожидания начала обслуживания
В стационарном режиме поступающая в систему заявка с вероятностью ро застает ее свободной. Естественно, в этом случае время ожидания начала обслуживания равно нулю.
С вероятностью с/Рг(ж) поступающая заявка застает в системе * других и при этом остаточное время обслуживания заявки, находящейся на приборе, заключено в пределах от х до x + dx. Но тогда распределение времени обслуживания i — 1 заявок из очереди представляет собой свертку В^г~1^ (х) г — 1 ФР В(х). Следовательно, °°Щая стационарная вероятность ИД.'/') того, что поступающая в систему заявка застанет в ней i других и будет ожидать начала обслуживания время, меньшее х, определяется выражением
X
ЖДт) = У В^~^(х - у) dP,(y), X > О, о
ТкУДа, переходя к двойному преобразованию
286 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оа: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВ^ окончательно получаем с учетом (11)
=(!-/>:
/j(s}
- [;/J(.s)-/l(A-Ac/3(.s))][A-A^(S)-.s] Г (12)
В частности, полагая s = 0 пли z = 1, из последнего выражено, нетрудно получить формулу Поллачека-Хинчина (1.2) для стацно парного распрсдел<'нпя числа заявок в системе или формулу (23 для стационарного распределения времени ожидания начала об(.щ. жпванпя.
3.4. Нестационарные характеристики
Решение ( истомы уравнении (1) в нестационарном случае пред-< тавляет собой (Второе демонстрацию возможностей современных математических методов, чем какой-либо практический интерес. С этим мы > же столкнулись в главе 3, где даже для (истомы М/М/1/ос. при нахождении нестационарных вероятностей состоянии пришлось прибегать к хе лугам ПЛ по времени. Тем не менее, мы все-там приведем для сапнтересованного читателя краткое изложение возможных путей вычисления Г, (.г,/).
Первый их и>. как ооычно. состоит в использовании ПФ, ПЛ в II. И'. По южпм
О
о
о
тг
~Гу(.гЛ)|.1=0Л. и.г
‘ о
Гогда применяя к системе (1) введенные преобразования в Пр(И|3 водя люменгарные выкладки, полхчаем < учетом начального.'1 впя (2)
1(ч2) + {(.S | + А - Л: )[1 - ,3( S.,)] - ,s2 Ы-s!) - [1 -
S|_S2+A(l-;)
о Остаточное время обслуживания 287
§
Для определения тг0(в) и tt(s,z) заметим, что, поскольку при
— «! + А (1 — z) обращается в нуль знаменатель (13), то при таких 9 должен обращаться в нуль и числитель, а, значит,
д(«+A- Az)[l - (s+А - Лг) 7г0 (»)] = [1 - ^s+X
(И)
Рассмотрим теперь уравнение
7 = /3(« + А - Ау).
Мы уже неоднократно встречались с этим уравнением и знаем, что при s > 0 оно имеет единственное непрерывное решение у — y(s). Положим z = y(s). Тогда
Д(5 + А-Ау(5)) =о 7(«)
Поэтому правая часть в (14) равна нулю и, значит,
1
М») = , \-----Г T •
s + A - Ay(.s)
Подставляя найденное значение tto(.s) в (14) и (13), получаем
1
(15)
х
(16)
7T(S1, Z, S2) = -—----- X
si + А - Ay(sj)
_ [л - 7(si)][/3(s2) - ff(si + A - Az)] \ [si — s2 + A — Az][z — /l(s] + A — Az)] /
В частности, из формулы (16) нетрудно найти в терминах преобразования cj(si,z,s2) совместное нестационарное распределение И(а-,1) числа заявок в системе и виртуального времени ожидания в момент t. Действительно, производя те же самые выкладки, что и в п.3.4, имеем:
Ц«1, z, S2) = 7T0
0 0
е S2tWi(dx,t) dt—
А + «1 — Ay(sj) I
х [гД(52)-7(^)][Ж)-Д(^+А-Аг/3(52))] [z /l(s2) —/3(«1 +А— Az /3(s2))][sj +А —Az /5(s2) —s2] 1
Второй путь заключается в следующем. Уже первый взгляд на ^тему (j) показывает, что г-е уравнение системы (1) представляет
288 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/l/<x>: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВд^ собой относительно Р, (г, 1), i > 1, линейное неоднородное ур^ ние с частными производными первого порядка, которое. Kai М вестно из теории уравнении < частными производными, весьма п'1' сто решаете я в явном виде.
Однако в уравнения (1) в качестве неизвестных функццп в дят dP,(.t\t)/O.i\l=o, i > 1. Для их определения, как и в стащ," нарном случае, устремим х к бесконечное ти. Вспоминая своцсТВ| dP,(x,t)/dx —-> 0, получаем из (1)
р'(0 = _АЛ(0 + АР1 (.,,/)! U.r I *
p'At) — —Xp,(t) — —P,(r,l)| _() + ^Pi-i(0 + 7^;-P>+i(;t^)| _f)- />1.
где p,(i) — P,(oc,t) = Р{//(1) = г}. Последняя система может спу жи.тй для рекуррентного вычисления дР, (.г, t)/dx\3 _0 при известных p,(t). Таким образом, задача вычисления нестационарных вероятностей po(f) и Р,(.г,1), г > 1, свелась к задаче нахождения эффективного алгоритма вычисления p,(t), i > 0, которую мы здесь обсуждать не будем.
Можно отмстить также, что в терминах двойного преобразования (функции OP,(.i,O/<9r|,=o определяются из равенств (14) п (15).
§ 4. Введение дополнительной переменной: прошедшее время обслуживания
В этом параграфе мы снова обратимся к методу введения дополнительной переменной, однако, в отличие от предыдущего па-раграсфа. в качестве дополнительной переменной £(t) рассмотрим прошедшее1 время обслуживания. Как увидит читатель, получеН' ные в этих двух параграфах уравнения очень похожи и факПГ1е,и1 приводят к одному и тому же конечному результату.
Отметим, что строгое- математическое обоснование уравнения равновесия при п< пользовании прошедшего времени обе лужпвания-как сейчас увидим, гораздо сложнее, чем в предыдущем сЛ' Чтобы не затруднять читателя математическими выкладками. во-первых, рассмотрим в этом параграфе только стационарным ’ чаи, а, во-вторых, некоторые утверждения приведем без доказа?' ства. Тех, кто захочет ознакомиться с полным обоснованпе-м ионных результатов, мы отошлем к [45] (см. также* § 1-6)-
289
Upiniie duiee время обслуживания 5
4д. Марковский процесс, описывающий функционировав системы
Дтак, снова начнем с определения процесса {/;(/.), t > 0}, опи-Baioniero функционирование системы. Пусть, как и ранее, v(t)— ю заявок в системе в момент t. Если v(t) = 0, то нам не потре-z. тся дополнительная переменная, и, следовательно, z/(i) ~ ми «е > °’ то процесс z;(<) определим как z/(f) = (/'(<),£(*)), ь согласно принятому выше соглашению дополнительная коор-Г^ната ((0 представляет собой прошедшее время обслуживания, с то время, которое уже обслуживалась заявка, находящаяся в момент t на приборе. Таким образом, множество состояний про-letca 1 — 0} можно записать-в виде X = {(0); (г,.т), i = _ ] 2,. • •, х > 0}, причем для произвольного момента времени t нахождение процесса ?/(/) в состоянии (0) означает, что система свободна, а в состоянии (г, .г) соответствует ситуации, когда в системе имеется i заявок и обслуживание находящейся на приборе заявки уже продолжается время а;. Отметим, чтц при таком подходе время обслуживания каждой заявки становится известным лишь в момент
ее ухода из системы.
Покажем, что процесс {/>(/), t > 0} является марковским. Действительно, если в момент t0 система свободна, т.е. //(б0) = (0), то поведение процесса при t > t0, как мы уже неоднократно показывали, нс зависит от траектории процесса //(<) до момента /». Если же ri(t0) — (г, а;), то дапьнепшее поведение процесса i/(t) определяется уже не только входящим потоком и временами обслуживания заявок, находящпхе я в момент t0 в очереди и поступающими в систему после момента б0, которые, по-прежнему, не зависят от предыстории функционирования системы до момента t0, но п остаточным временем обе луживания заявки находящейся в момент б() на приборе. Однако поскольку нам известно прошедшее время обслуживания ,г этой заявки, то распределение его остаточного времени, *®Торое мы обозначим через полностью определяется. В самом Делс\ обозначая через у полное время обслуживания заявки, находящейся в момент й, на приборе-, и учитывая, что к моменту она уже 0°®УЖивалась время г, имеем по формуле ус зовион вероятности
р<с. < »i = р<1 - - <»к > а = Д1Т-в(,Г') '10нчательно получаем, что информация о поведении проце с са z/(^) to нс- оказывает влияние на вероятности возможных со-с^1111 п<)(ле момента to, и процесс {//(1), t > 0} является марков-1 И, как нетрудно видеть, линс-пчатым (см. 1.6).
290 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВац
‘*1
Для того чтобы полностью описать марковский процесс I t > 0}, нужно задать также начальное состояние //(0), т.е. сов^р ’ ное распределение числа заявок в системе в момент 0 и прощед^'1' времени обслуживания той заявки, которая находится в момент 0^° приборе. Однако мы в этом параграфе рассмотрим только преДе Н<1 ные (стационарные) характеристики системы, а. как будет показгщ" далее, предельные распределения не зависят от начального со(Тоя° ния системы. Поэтому мы не будем задавать начальное < остояиц //(()), а читателю, привыкшему к определенности, предложим счц тать, что в начальный момент 0 система свободна от заявок //(0) = (0).
4.2. Уравнения для стационарных вероятностей мар-ковского процесса
Введем обозначения
Ро(0=РМ0=0}, F,(T,f)=P{74f)=/,e(z)<J},
p,(j-,f) = ^;F,(j-,f), «>! •
Доказательство существования плотностей p,(.r,f) проводится примерно таким же* образом, как и в предыдущих параграфах, подробнее читатель может узнать об этом, например, в [3]. Мы для простоты изложения будем предполагать непрерывность функции распределения В(.г), что влечет за собоп непрерывное ть р, (.г, /), а также выполнение1 неравенства 1 — Z?(.r) < 1 при вс ех .г.
Перейдем теперь к выводу уравнении. Для этого, как обычно, расе мотрпм моменты I и / +Д. Тогда для того, чтобы в момент f+A процесс //(f) находился в состоянии (/, .r+Д), необходимо выполнение следующих условии:
в момент f процесс- i/(f) находил/ я в с остоянии (/, .г), а за время Д нс поступило заявок (с вероятностью 1 — А Д) и не окончил<)<ь обслуживание1 заявки, находящейся на приборе- (вероятность эт<)Г<| события, как следует пз сказанного ранее, равна [1 — B(j + A)J/P -В(.г)]); ’
в момент t процесс- //(f) находился в состоянии (/ — l.-'j- а' время Д поступила заявка (с вероятностью А Д) и нс окончи®’*^ обслуживание1 заявки, находящей/ я на приборе; отмстим, чт<> г = 1, то последнее событие1 произойти нс может, пос кольну пр” шее время обслуживания лк/бои поступающей в свободную <11( заявки равно О.
291
Прошедшее время обслуживания
Поскольку остальные события имеют вероятность о(Д), то мы 0 формУле полн°й вероятности можем написать
р,(х + A, t + Д) = рг(х, 0 (1 - Л Д) 1
i — £>\Х)
+и'(г - l)p,_i(.r,t) А А 1 В + о(Д), (1)
1 — в (х)
где «(ж)—функция Хевисайда.
Следующий шаг в наших рассуждениях должен состоять в предельном переходе при А —> 0. Однако прежде, чем сделать этот шаг, мы предположим, что существуют предельные (стационарные) вероятности ро = ,lim po(t) и Pt(x) = lim Pi(x, t). Условие, при котором существуют ро > 0 и РДх) > 0, мы оговорим позже (хотя, как уже догадывается читатель, это р = Xb < 1), сейчас же скажем, что можно показать существование плотностей рг(а ) = P/(a). В стационарном случае равенство (1) переписывается в виде
Pi(x + А) = Pi(x) (1 - А Д) 1 +
1 - В(х)
+«(г - L)(х) А А 1 В(* +А) + «(А). (2)
1 - В(х)
Кроме того, в дальнейшем нам будет удобно работать не с плот-нистямирД.т), а с функциями = р,-(х)/[1 — В(х)]. После неслож-
ных преобразований находим из (2)
qi(x + Д) - с;,(х) = -А Д qt(x) + u(i - 1) А Д qt-\(х) + о(Д),
откуда, деля на Д и устремляя А к нулю, окончательно получаем систему уравнений
9'(-г) =•?) + »('--1) А <7,-1 (а-)г /> 1.
(3)
4,3. Граничные условия
Система (3) является более простой, чем (3.3), поскольку не содержит производных в точке х = 0. Однако для ее решения необхо-Димы дополнительные (граничные) условия для р0 и <7, (0), к выводу которых мы сейчас приступим.
Начнем с р0. Вернемся к нестационарному случаю и рассмот-Тто' КаК И п1,ежДс, состояние системы в моменты t и t+А. Для того ы в момент t + А процесс y(t) находился в состоянии (0), необ-д м<>’ чтобы либо в мбмент t система была свободна н за время Пса тупила заявка (с вероятностью 1 — АД), либо в момент t < <с qft) находился в состоянии (1, х) и за время А окончилось
292 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оа: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАН^ обслуживание находящейся на приборе заявки (это происходцт роятностью [В(а? + Д) — В(а?)]/[1 — В (а)]); вероятность остальвВе событий равна о(Д). Воспользовавшись формулой полной Ben ности, получаем
ОО
роа+Л) = (1-АД)^(«)+ ^Х±Л)-Д(Ж) dx+o{^
0 >
откуда, переходя к стационарному режиму и вспоминая определецц функции <71 (а), приходим к равенству
ОС'
А Д ро - J <р (ж) [В(а- + Д) - B(;r)] dx + о(Д). (4j
О
Можно показать, что рг(х) < А [1 — В(.т)], откуда, в частности вытекает ограниченность всех дг(х). В силу непрерывности и ограниченности <р\.г) справедливо предельное соотношение (см. [62])
д "о J,Jl <lx = / qi dB(x)-
о о
Поэтому, деля обе части уравнения (4) на А и устремляя А к нулю, получаем первое граничное условие
оо
Аро =?= J (p(x)dB(x). (5)
о
Подобным же образом выписываются граничные условия для с/,(О). Если >>2, то для выполнения события {г/(^+Д) = < Д } необходимо, чтобы в момент I процесс ?/(t) находилс я в состоянии (с + 1, с) п за время Д окончилось обслуживание заявки, находящей! я на приборе; остальные возможные переходы имеют вер0' ятность о(Д). Таким образом,
г,( д, t+д) = 7 А+1 (.с, t) dx+о( д).
J I ±3\Х)
О
Переходя к (тационарному с лучаю и воспользовавшись тсоррМ011 с редком, получаем
А
Д(А) = JPi(r)djr — Рг(вА) А = о
Прошедшее время обслуживания
293
ОО
[ Qi+i(a:) [-В(з: + Л) - 5(ж)] dx + о(Д), о
о<е< 1,
откУДа
после деления на Д и перехода к пределу при Д —> О следует
равенство
9.(0) = / </>+1(а-)^В(а-), » > 2
(6)
о
Наконец, в случае г = 1 необходимо учесть возможность того, что событие {p(Z + Д) = 1 £(7 + Д) < Д} может произойти и тогда, когда в момент t система была свободна, а за время Д поступила заявка. Тогда
ОО
<71(0) = у\/2(->) dB(x) + Apo (7)
*0
Граничные условия (6) и (7) можно свести в одно, если воспользоваться функцией Хевисайда:
ОО
<7;(0) = jQi+t(a:) c/B(a:) + и(2 - г) Ар0, г > 1 (8)
о
4.4. Стационарные вероятности состояний
Итак, мы показали, что задача определения стационарных вероятностей р0 п Р,(.г) сводится к решению системы рекуррентных Дифференциальных уравнений (3) с граничными условиями (5) и (8) г последующей подстановкой
р,(.т) = Р,'(а;) = [1 - Б(.г)] </,(./:). (9)
Решая систему (3) для г = 1,2 и применяя затем метод математической индукции, нетрудно получить, что
2 1 , » \ Д.
fyi(.T)=e-A’^-^-Q,_fc(0), г>1. (10)
в k=0
Раведливости (10) легко убедиться также, подставляя q,(а:) в (3) и обращая ее тем самым в систему тождеств
113 (9) и (10), в частности, следует соотношение
P,(3) = [l-B(.T)]e-^£^9!_fc(0), г>1, (11)
к=0
294
Гл. 5.
СИСТЕМА M/G/1/оа: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВд
для плотности р,(.г) ФР Р (•<'), представляющей собой верод тц0 того, что в системе имеется г заявок и находящаяся на приборе'11 явка обслуживается время, меньшее х. Интересно отметить стационарные плотности р, (х) для прошедшего времени обслуа^" ния определяются несколько проще, чем аналогичные плотности ' остаточного времени обслуживания (см. формулы (3.6) (3.8)) предлагаем читателю вывести соотношения, связывающие эти плотности между собой.
Для определения стационарных вероятностей р, = Р,(оо). щ > 1, того, что в системе находится i заявок, нам снова понадобят('я величины Д, определенные в § 1. Кроме того, введем величину В -
г
= 1 — Д*. , представляющую собой вероятность того, что за время
k=o
обслуживания заявки поступит более чем i новых заявок, i > 0. Д.зя вычисления величин В, (при известных Д,-) можно воспользоваться рекуррентными формулами
Во — 1 — До- Вг — Bt-i — Д, i > 1.
ОС
Вспоминая теперь, что pt = J рг(х)<1.1\ имеем из (11) о
?__। ОС
р, = Ё I- B(x)]dx, i > i.
k=o ’ {
Беря последний интеграл по частям и воспользовавшись формулой
/ xkeX*dx = сЛ’ £(-!)> + С,
3=0 после несложных преобразований приходим к следующему выраже" нию для рг:
Pi = 7 Ё BtfB-fc(0), i > 1.
k=0
Осталось найти </,(0). Для их вычисления подставим значенИ <ji(x) из (10) в уравнения для граничных условий (5) и (8). В тате получаем
А Во = Доф(О), i (13!
ф(0) = 52 ftrh-k+i (0) + А «(2 - г) р0, « > L
Дрошедшее вРемя обслуживания
>5ее полагая
295
(14)
- -cli — Ро
е элементарных преобразований равенств (13) приходим к референтным формулам для q,:
91 =
До
}' = s
?-I
- 52 - А u(3 - о], i >2-
k=\
Це вычисляя пока />о, остановимся на некоторых других возможных формулах для q, и р,, которые, зачастую, бывают более удобными при численных расчетах.
Складывая i первых уравнений в (13), приходим к следующим рекуррентным с оотношениям:
1 ’-1
<h = <р... i > 2. (15)
Полученная формула предпочтительнее для вычислений, так как выражения в правой части предо тавляют собой суммы положительных величин.
Для стационарных вероятностей р, также можно получить более простые соотношения, чем (12) Действительно, умножая обе части дифференциальных уравнений (3) на 1 — В(.г) и интегрируя ,1Х по д в пределах от 0 до оо, получаем
ОО
~9»(0) + ] ф(-1) dB(.r) = -Хр, + u(i - 1) , i > 1.
о
^илДЫвая зто равенство при i = 1 с (5), а при i = 2,3,... с (8), имеем
-91(0) + Лро = -Арь
~9.(0) +д,_,(0) - и(3- i)Xp0 = -Xpt + Ap,_i, i > 2.
О'ГС 1{) ГТ
Да последовательным суммированием полученных соотноше-"а получаем
9.(0) Р1=___ро,
9.(0) Л = -г-, ' >
(16)
296 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/l/oo: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВд^ Естественно, формула (1G) в силу ее простоты более прпвлекате^ для вычислении, чем формула (12), хотя формула (12) может г использована, например для контроля рас четов.
Обратные я теперь к вычислению р0. Для этого здес ь кщ В( пользуемся следующим приемом. Просуммируем сис тему уравнен, (3) по г = 1,2,... . Тогда получим уравнение с/(т) — 0, где с-щщ" лом как мы уже условилис ь ранее, обозначаете я « уммиров^щ по всем возможным значениям дискретного аргумента. Рещая уравнение, имеем с/.(.г) = </.(<)). Интегрируя последнее соотнодцеН||( в пределах от 0 до ос, предварительно умножив обе сто частиц, 1 — В(.т), с учетом (9) и условия нормировки получаем
1-ро =/;<;(()).
Суммируя теперь равснс тва (16) и с нова принимая во внимание ус.» вне нормировки, имеем с/ (0) = А. Отсюда и из (17) следует соотношение
Po = 1 - p
где р = А Ь, что, впрочем, мы и должны были ожидать.
Таким образом, мы снова получили, что если стационарный режим функционирования системы существует, то загрузка р < 1 т.е. последнее условие является необходимым для существования стационарного режима. Доказательство достаточности этого условия снова откладываетс я до § 5 (см. также теорему 1.6.5' и § 1).
В заключение этого параграфа по традиции получим выражение для ПФ стационарного распределения числа заявок в системе Пусть
<?(2) = £с/,(о)Д.
Тогда, умножая соотношения (16) на г1 и суммируя по /, после сложных преобразовании получим
P(z)=l-Q(z) + (l-z)p0, !
Для определения ПФ Q(z) воспользуемс я формулами (13) (16), п₽^ варптельно преобразовав их к виду
с/,(0) = 52 ^<-*^(0) + "(2 “ -Чл>, ' > 1-
297
I ^пользование процессов восстановления
'' ая обе части последнего равенство на z'1 и суммируя по г, М1Я°Я с использованием свойства ПФ свертки, что
^ча X-
Ро 1 - B(z) ’
n/M = V В,;:'. Для последней ПФ имеем
1=0 fc=0
1 /З(А-Ал)
1-2 1-г
Оидоватепьно,
Аг(1 —
^(г) Ро /1(А - А~) - z ’
и в силу (18) мы можем выписать окончательное выражение для Р^-
z)[3(X-Xz)
С(=) = (1-^Л_Лг)_, .
которое представляет собой уже хорошо нам известную формулу Поллачека Хинчпна.
4.5. Другие характеристики системы
Используя полученные результаты, мы можем провести дальнейший анализ характеристик системы M/G/1/оо, в том числе и нестационарных. Однако мы здесь этого делать не будем, поскольку выкладки будут почти полностью совпадать с тем, что мы делали в предыдущем параграфе. Несущественное отличие заключается в вычислении распределении времен ожидания начала обслуживания и вреоыванпя в системе заявки, пос кольку в этом случае нам вес' равно стен произвести пересчет распределения прошедшего времени "кидания в рас пределенпе остаточного.
§ 5. Использование процессов восстановления
® Этом параграфе на примере системы M/G/1/оо мы рассмот-Й1Го°^Ц,1П1 подход к исследованию характеристик довольно широкое ' Л'Иса СМО. основанный на наличии моментов регенерации ТрйЫ аНовлен111Я), в которые описывающий функционирование сис-П(Ов Ч’оцесс полное тью забывает свое ’’прошлое” (см. § 1.3'). Это IВЛЯ< Т п<пользовать методы теории восстановления и свести за-К7ИЗЛ Хс11’лктр1)1к тик системы на заданном временном ин-1 1] к задаче изучения тех же характеристик на отдельном
298 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДовдь периоде регенерации, т.е. периоде между восстановлениями jj ложеннып подход позволяет выписывать (в основном в тещ преобразовании) совместное распределение1 практически люебцу ' рактеристпк с истомы, причем как в стационарном, так и в Нр онарном случае. Преимущество данного подхода станет очевцдц1111' в главе 7. Ь‘
Очевидно, что в системе M/G/1/оо наиболее удобными ддя лива моментами восттановленпя являются моменты поступлеипя^1 явок в свободную систему (пли. что практически то ^ке самое, тс^ менты ухода заявок пз системы, после которых система полноодьц освобождается). Интервалы между соседними моментами вон» новленпя оудем называть циклами. Ясно, что циклы незавпещщ между собой п каждый цикл с остопт пз двух также1 незавпе щ1Ьп частей: периода занятос ти, т.е. времени от момента поступлецщ заявки в свободную систему до с ледующето после него моморта под. ного освобождения системы, и свободного периода, т.е. времени между моментом полного освобождения и следующим за ним моментом поступления заявки в с вободную систему. В силу пуасс оновостп входящего потока с вободнып период распределен по экспоненцпаи-ному закону с параметром А.
Дальнейшие наши действия с ледующне. Сначала мы изучим период занятости. Затем напдем распределение основных характеристик системы на одном периоде занятости. Далее определим нестационарные характеристики с пс темы и, наконец, покажем, как си нестационарных характеристик псреитп к стационарным.
Хотя, как уже1 говорилось, излагаемый здесь подход позволяет найти совместное нестационарное1 распределение1 практпчес кп во бых характеристик обслуживания, мы для простоты изложения ог ранпчпмея только числом обслуженных к моменту t заявок, а также числом заявок в системе1 и виртуальным временем ожидания в момент t.
5.1. Период занятости
Обозначим через Gn{t). ii > 1, совместное распределение1 пер11 ода занятости и числа обслуженных на нем заявок, т.е. вероятноеть того, что период занятости продлится врс'мя. меныпес f. и на» будет обслужено ровно п заявок.
Для вычисления G'„ (/) изменим дисциплину обслужп#н11Я ' явок и сбудем предполагать, что заявки обслуживаютс я в <<1()Т ствип с дисциплиной LCFS. т.е. в'порядке, обратном порядь' обе1' ступленпя, причем поступившая в систему заявка прерыва’ 1 11 живание находящейся на приборе заявки и сама начинает е>о<Д' ваться. Заявка, обслуживание которой было прервано, дообе-
299
кование процессов восстановления jjcioM'
Очевидно, что такое изменение дисциплины никак не ска-^еТгЯ на периоде занятости и числе обслуженных на нем заявок. K>C*enepb период занятости будет совпадать с временем пре-ОдйаК° в системе выделенной заявки, поступающей в свободную 6ь®айИЯ а обслуженные на периоде занятости заявки—с заявками, МС'гй*^йОЛМП за время пребывания в системе выделенной заявки, сбсЛ}?к саму. В дальнейшем нам будет удобно называть время еь110 1В;гния (т.е. пребывания на приборе) заявки длиной этой за-обсЛ''?к11 ‘
ЯВ|1П едположим, что выделенная заявка имеет длину х. Подсчи-[ сколько времени она провела в общей сложности в системе и 1т о за это время было обслужено заявок. В силу пуассоновости Г"дядаго п<>т<>ка за вРемя х с вероятностью (Хх)пе~Хх /п\ произой-BfT ровно п прерывании обслуживания выделенной заявки. Но, в ' дою очередь, в силу принятой дисциплины длительность каждого I .1)ЫВания совпадает с временем пребывания в системе прерываю-Ьй заявки, т.е. также с периодом занятости, а число обслуженных I за время прерывания заявок—с числом обслуженных на одном Периоде занятости заявок. Обозначим через G„{t | х) условное распределение периода занятости и числа обслуженных на нем заявок при I условии, что длина открывающей его (выделенной) заявки равна х, а через
I e~sldGn(t,), о
7(.s-,;|a) = £2" I e~slGn(dt\x) »=! /
Лмные преобразования G„(t) и Gn(Z|a-). Воспользовавшись тем чиктвом ПЛС и ПФ, что суммарная длина п периодов занятости суммарное число обслуженных на этих периодах занятости заявок двойное преобразование [7(.ч, г)]", и применяя формулу пол-0,1 вероятности, получаем
-[.s+A-A7(S,2)].T
(1)
В л "—°
|иЯ1(. (1) множитель z соответствует тому, что на периоде за-
откРЬ1ваемом заявкой длины х, была обслужена сама эта lipejj ’ а множитель e~sx тому, что период занятости наряду с ,пРеРЫваний включает в себя и собственную длину х от-Чеи его заявки. Вспоминая теперь, что длина любой заявки,
300 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/ж: МЕТОДЫ ИССЛЕДо^* в том числе 1 кону В(х), и сти, имеем
7b, г) = J^*,z\3)dB(x) = о
I открывающей период занятости, распределен воспользовавшись еще раз формулой полной ВРП. °За'
1
I (>-[s+A-A-,^.2)bdB( t ) = zlj(, + A- Ay(s,2)). о
Окончательно получаем, что двойное преобразование y(s, г) риода занятости и числа обслуженных на нем заявок Удовлетворяет уравнению
7 (-7 г) = z /3(.« + А - Ау(.$, z)). (2)
Отметим, что как двойное преобразование функция y(.s, г) задана в комплексной области Re.s > 0, |г| < 1, непрерывна и удовлетворяет неравенству |у(я, г)| < 1 в этой области, а также аналитична в области Re.s- > 0, |г| < 1. Кроме того, '/(*, 1) = y(s) является ПЛС периода занятости, а у(0, г) представляет собой ПФ числа об
служенных на периоде занятости заявок.
Исследуем решение уравнения (2). При этом мы ограничимся только ПЛС y(.s) = у (.s,1), предоставив изучение общего преобразования y (-s,-:) и ПФ у (0,;) читателю.
Нам понадобятся следующие свойства/i(.s + A —Ау) как функция от аргументов 7, 0 < 7 < 1, и л, s > 0:
А. При фиксированном л, .s £ [0,00), + А — Ay) являет
строго возрастающей строго выпуклой вниз функцией 7, у б [ОД] принимающей в точках у = 0 и 7 = 1 значения /3(«+ А) > 0, fi(s) - '
Б. При фиксированном у, у £ [0.1], + А — Ау) является
строго убывающей функцией .s, s £ [0, ос).
В. Справедливо равенство (/3(А — Ау))^ |7=1 — ХЬ = р-
Свойства А В являются очевидными следствиями определи®11
ПЛС 3(s) = [ с ~'"'’clB(.r) и его производной /3'(s) = — J те б о
Рассмотрим теперь отдельно три случая.
1. Загрузка р < 1. В этом случае (см. рис. 4 а) уравнение у = /?(» +A-Ay) 1
при каждом -s >0 имеет единственное решение у = у(»), (
причем у(0) = 1 п y(-s) —> 1 при -s —> 0. Но это означает, вероятностью единица период занятости конечен. ДпффеРрни
301
I ^пользовсшгсе процессов восстановлены
получаем уравнение для определения средней длины периода ^тости д-
9 = -7(0) = -//(0) [1 - А7(0)] = 6(1 + А<7),
а (у 6/(1 — р). Таким образом, при р < 1 период занятос-с'™ тоЛЬко конечен с вероятностью единица, но и имеет конечное ,ее значение. Как мы уже знаем из предыдущих параграфов, 2 вне Р < 1 является необходимым для существования стационар-. характеристик очереди и времени пребывания заявки в системе, пд 5 4 мы покажем, что при р < 1 система с течением времени обязательно приходит к стационарному режиму.
б
Рис. 4
2. Загрузка р = 1. II в этом случае (рис 4 6) уравнение (3) имеет единственное решение y(.s), y(.s) —> 1 при * —> 0. Однако тс*-®рь, как нетрудно видеть, средняя длина периода занятости равна Й^°НР'1Ности..
1- Загрузка р > 1 (включая р — оо). Этот случаи (рис. 4 в) уже Wctbchho отличается от предыдущих. Уравнение (3) при s = 0 4*ет Два решения: 71 (0) = 1 и 7>(0) = 7(0) < 1. При л > 0 это ^Уравнение имеет единственное решение 7(s), причем у(») —> 7(0)
0. Отсюда следует, что с вероятностью 1 — 7(0) период ости принимает значение +оо, т.е. никогда нс1 кончится.
L Заклк’чение этого пункта приведем выражение для распреде-(t) цикла и числа обслуженных на нем заявок. Пос кольку <<кТ<>пт из периода занятости и свободного периода, причем
302 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВд^ свободный период имеет экспоненциальное с параметром д п деление и заявки на нем не обслуживаются, то для двойного образования 7*(.s,z) распределения С?*(£) справедливо выраж^^'
Средняя длина цикла д* задается формулой
* 16 1 1
7 -9+х-Т^-р + х~х(1^р)-
5.2. Характеристики системы на одном периоде заня тости
Пусть в момент 0 в свободную систему поступает заявка В этом пункте мы исследуем характеристики системы в момент t, од. нако будем предполагать, пто первый пер’иод занятости, начавшийся в момент 0, нс закончился к моменту t.
Сначала мы найдем Fm(n,i), п>1, т>1, t>0,—вероятность одновременного выполнения следующих событий: n-я заявка будет обслужена до момента t, до момента окончания обслуживания п-п заявки сис тема нп разу не освободится (не закончится период занятости, начавшипся в момент 0) и сразу же после окончания обгаживания ti-ii заявки в системе останется т, т > 1, заявок. Естественно при этом положить Fj(O, t) = 1 и F„,(0, t) = 0, т > 2, при всех t > 0. Введем также обозначение = Е^ДпД), п >0
in > 1, (отметим, что /’]((),/) является обобщенной производной от функции Хсвпс айда). Для простоты изложения будем предполагать что ФР B(.i) длины заявки имеет плотность 6(:г) = В'(х). Поскольм для того, чтобы обе лужпвание n-й заявки закончилось в момент I н пос ле этого в с п< теме ос талось т заявок, необходимо выполне нпе условии: обе тужпванпе и — 1-и заявки завершилось в некоторь® промежуточный момент у/, до момента у не закончился период занятости, сразу же после момента д в системе осталось г, г > 1. заявок время обслуживания n-й заявки равнялось t — у, за время t -У00' служивания п-п заявки в с истему поступило еще т — г +1 заявок для /,„(«, f) можно по формуле полной вероятности написать (0°‘ ношение
t) = £ j е-^ЦП-1, у) b(t-U) dy.
н
и > 1, т > 1.
303
^пользование процессов восстановления *
пя к тропному преобразованию
Це1>еХ А
f,„(n, t) dt,
о
мучаем пз (4)
№ + д _ А-2)
--------------- ф( Z1,8, Z-, ) -
:0
пли
si/3(-s + А) ^ф(~1, 8, c-j)|;,=o
+ А — Xz2)
Для определения числителя дроби в (5) заметим, что уравнение
Z-У — ZilJ^S + А — Xz-y) = 0
имеет единственное решение г2 = 7(А-~1) (см. предыдущий пункт) при всех Ji, 0 < ci < 1 и s > 0 (если загрузка р > 1. то при : । = 1 n s = 0 мы берем минимальный корень уравнения). Но в точке (:i,s,7(.s,2i)) должен равняться нулю и числитель дроби (о), т.е.
7(«,21) = Ji/^s + A)-^-</>(;1,.s,22)|
UZy lc2=O
откуда получаем
Обозначим теперь через P*tl (.г, и, t), и > 0, т > 1, вероятное ть ^Дующего события: до момента t не закончился период занятости , по-прежнему, считаем, что в момент 0 в свободную систему в <тУП1|ла заявка), до момента t обслужено и заявок, в момент t '«теме находится т заявок и следующая, и + 1-я заявка обслу-я До момента t + .г. Тогда, воспользовавшись формулой полной “ятности, получаем для г*„(.г, »,/) = сН?*,(.г, и, t)/O.r выраж<’нпе
”, ') = ~Л/ ~/У д, е~Л('--,')й(1-/у+.г) 11/у,
it > 0, т > 1.
(7)
s,te S21^n(x,n,t)dx(lt
0 0
304 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВдщ Вводя теперь преобразование
СЮ оо
п=0 »п = 1
и воспользовавшись равенством оо оо оо оо
< -s, tf *h(f + с) dx dt = J dt I r-«. dy =
0 0 0 I
оо у oo
g J------e-^b(y)dy =
о о 0
oo
=----i--- [(e~S2V - e~s'y) b(y) dy = /3(‘S'2) ,
•S1 52 J S1 ~ s2
0
имеем пз (7)
= </>(zi,si,;2)
/>*(-!, »Ь~2
/^(Аг) ~ /3(si + A — Az2) «1 + A (1 - z2) - «2
Последняя функция, которую мы здесь введем /?,п(т,п,<), представляет собой вероятность того, что: до момента t не закончился период занятости, до момента t обслужено п заявок, в момент I в < пстеме находится т заявок и виртуальное время ожидания в момент / меньше .г. Таким образом, 7?,„(.с, п, t) отличается от /?*,(./-, п, t) только тем, что остаточное время обслуживания заявки находящемся в момент t на приборе, мы заменили виртуальным временем ожидания в зтот же момент. Поскольку виртуальное вр®£ ожидания в момент t представляет собой сумму следующих незави симых слагаемых: остаточного времени обслуживания заявки, иа ходящейся на приборе, и времен обслуживания т— 1 заявок нах щихся в очереди, то по формуле полной вероятности получаем Д® г„,(х,it, t) = (7?,„(.г. и,,/))' выражение
о
где //*’")(.») плотность распределения суммарного времени живания in заявок (?/гкратная свертка й(а)). Переходя к пр11
агцолъЗОвЛн11е процессов вос< тчновлсним
305
1(>^япк>
' г,„ (.г, и. t) <l.i <lt,
о о
uMefM
LB с учетом формул (8) и (6)
P(^*l
х *(-_>))
/Л^з) ~ /Я5! + ~ Л*'-*))
Х .5, +A-;2AJ(.5,)-.42
Именно последняя формула И представляет собой выраженное втермпнах преобразовании совместное распределение основных характеристик обслуживания на одном периоде занятости.
5.3. Нестационарные характеристики
Определим в терминах преобразовании совместное нестационарное распределение основных характерен тик функционирования системы в момент t: чис ла обслуженных к момент} / заявок. чис * и заявок в системе в момент / п виртуального времени ожидания также в момент I. Будем для прос тоты предполагать, что в начальный момент времени 0 сне тема свободна от заявок, хотя все полу 'iC'HHbje в этом пункте' результаты очевидным образом перенос яге я на случаи произвольного начального сое тоянпя.
Рассмотрим два процесс а вост тановленпя. порожденных цпк-имп.
Пс'рвып процес с восстановления образу ют моменты г,. т2. . . . ос -|*"'<’Ждс'ння системы. причем начальный момент 0 будем также с чи-Тать Моментом восстановления с номером 1 (рис . 5). Обозначим 1(’рсэ //(। )(/ п > () ( р(.днес' число восстановлении, пронзошед-И11Х До момента t, и вероятность того, что на закончившихся к 'Ч’Ыс'нту / периодах вое становления (циклах) было обе лужено и за-яв,п'. Тогда. и) = n}/dt имеет очень простои фи зпчес -
<Мы<.1: /,(1) [f представляет с обои вероятное ть того, 'сто за + закончплс я (какой-либо) период занятос ти (цикл) и
''’Мече ,у j _|_ f)bJ,]o обслужс-но п заявок. Как известно пз теории
306 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/оо: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАЦц^ восстановления, преобразование
определяется выражением
1 - 7*(s, г) А + .s — A 7(s, г)
Второй процесс восстановления, образованный моментами Ц. 72,... поступления заявок в свободную систему (см. рис. 5), с точки зрения теории восс тановленпя отличается от первого только тем, что первый момент во< становления сдвинут на экспоненциально р<1<" пределенну ю < параметром А случайную величину свободный период. Вводя величины и и>(21(*,:.) по аналогии<
/i(,)(t,n) и я,(|'(и,г), получаем
А+> _ ______2_______
l-7*(s,;) A + s- A7(.s,~)
(П)
Теперь мы в состоянии найти П'„,(»?,.?•,t) совместное ра<П1>< деление основных характеристик системы в произвольный моМсЯ1 т.е. вероятность того, что обслужено и заявок, находится в стк'тг>г
in заявок и виртуальное время ожидания меньше .г.
Для того чтобы в момент t с истема была свободна, нсобхоД11*1 чтобы в некоторый промежуточный момент // (0 < ц < t) <‘п<
307
цолъзоьанш проце< < ов воссщцновм ни»
родилась (произошло восстановление первого процесса вое ста Г (.пня) л за ос тавшеес я время t — у в свободную с пс тему нс- пОс тс -1,1 нп одной заявки (напомним что виртуальное время ожидания 1,1 л1 с лз чае равно нулю) Поэтому с,т ‘
I
По(«, r,t)= I п >0. с>0 (12)
о
Аналогично, для того чтобы к моменту 1 было обе лужено и за-ивок, в момент / в с истоме находилось т заявок и виртуальное время ||Апдания в момент t было меньше j, необходимо, чтобы в промежуточный момент у в свободную систему поступила заявка (произошло восстановление' второго процесса восстановления), причем Ьомента у было обслужено z, с = 0, п, заявок, а за оставшееся *!Я t - У не закончился период занятости, начавшийся в момент j было обе лужено и — i заявок, в момент t в системе находилось in заявок и виртуальное время ожидания было меньше i Значит.
Пт(и, Z) = ^2 / 7?,„( <, —z,Z —у)/;(2)(у./) r/б, о;>1, /;>() (13) ,=о I
Переходя теперь к преобразованию
у(м.я, . -2,у>) = ^
"=0”'=° о Ь
итчаем из (12) и (13)
м. ->. •>>)-—— a>(l)(s|. ;i)+p(.m, S|,c2- s2) <е(2)(м, ;,) ь i 4- л '
U11I< учетом с оотношенпп (9) (11)
х^__[;2 j(s2)-;(‘4,~i)][3(s2)-~ ^i+A-ccA l(s2))] -i
I ['-’^(‘м) — ~i H м + А — г2А 3( s2))][s] + А— с2А i(s2) — s>]J
п '1<итнозтп. полагая в (14) :2 = : и = 1. мы другим путем 11(,Дим jv формуле (3.17).
308 Гл. 5. СИСТЕМА M/G/1/ос: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЕ
5.4. Стационарное совместное распределение числа за явок в системе и времени ожидания начала обслуживания
Предположим теперь, что загрузка < in темы р < 1. Обозначил через П’„, (j\t) = 52 И щ (" •'•. 1) совместное распределение чш ла -, »=(>
явок в системе и виртуального времени ожидания в момент f. 4 ,1(, рез IP,„(.г) = lim 1Г,„(.!./) предельное (стационарное) совместное распределение числа заявок в < и< теме и времени ожидания начал। обслуживания. Разумеется, число обслуженных заявок мы не р,1(. сматриваем, пос кильку эта характеристика стремится к бесконечности.
Прежде' ЧС'М переходить к вычислению П’„,(.1), МЫ ВЫПОЛНИМ свое обещание и покажем, что условие1 р < 1 является достаточным для существования П„,(|) (а значит, и для существования маргинальных предельных распределении числа заявок в спс теме и виртуального времени ожидания). Сейчас мы увидим, что этот факт являете я тривиальным е ледствием узловой теоремы восстановления 1.3.2'. При этом для ирос тоты изложения потребуем, чтобы ФР B(t) была непрерывной (с с шествование- плотности распределения b(t) не предполагаете я). Отказ от этого требования приводит лишь к тому, что предварительно нам пришлось бы доказать узловую теорему восстановленпя в несколько более общих, чем-это делается обычно, ус ловиях.
Сначала мы перепишем равенства (12) и (13) в терминах функции восстановления, выкинув при этом из рассмотрения число об-c. луженных к моменту t заявок. Положим
нт(/) = n—0 п—о
B„,(.r.t) =
Тогда из (12) и (13) имеем:
/ У
]V0(.r.t) = I .!>(), (15)
о
/
1Г,„(1.0 = I .»>(). ш>1. (1С)
о
§ 5 Использование процессов восстановления 309
Далее, выведем некоторые свойства функции /?,„ Пзеа-|оГо определения Я„, (.г, t) следует равенство £ ^) = 1-6'(1).
т=0
Поскольку’ р < 1, то отсюда вытекает неравенство
У Л„, (•»', t) dt < I [1 - G’(f)] dt = f) = —— < oo.
b b 1
Значит, /?,„ (.r, t) интегрируемая на (0, оо) функция. Можно показать, что в < илу непрерывности B(t) функция /?,„ (.г, /) также непрерывна по t.
Наконец, пос кольку /> < 1, то для процессов восстановления, порожденных моментами Т|,г2,... и f|,T2,... , среднее' время между восстановлениями (средняя длина цикла) д* = 1/(А (1 — р)) конечно. Кроме того, ФР времени между вос становлениями непрерывна (и даже, более того, имеет ограниченную плотность), так как представляет собой свертку функции распределения G(t) периода занятости и экспоненциальной с параметром Л функции рас пределенпя свободного периода.
Таким образом, при t —> оо мы можем к соотношениям (15) и (16) применить узловую теорему восстановления:
Ро = По(.г) = (1йи П
о
П ’>„(.!) = 11111 П
I—>ос
о
Последние равенства доказывают существование И',„(а).
Независимость П'„,(.г) от начального состояния системы вытекает из того, что это сос тояние' влияет только лишь на первый период восстановления процессов восстановления, порожденных мо Лентами Т|, т2,. .. и Т|, т->,.. . . а, как П.звес тно. узловая теорема постановления справедлива для общих процессов восстановления.
Заметим, что приведенный результат является частным слу-<1<м эргодичес кой теоремы 1.3.3 для регенерирующих процессов.
Для нахождения собственно предельного рас пределенпя И ВЬ)1>аженного в терминах двойного преобразования
</П „,(.,).
о
достаточно вспомнить определение преобразования Лапласа мени)
(п<> вРе.
.. ОО ОС’
o.s->) = /c-si'[521" Ег?" /
'п ?i=0 in—О л
оо
= /г-я'' [ Е2”' /н;" (dr’ *)]dt-{ т=° о
Поскольку 1Г,„(.«,/) > nz,„(j.-), ТО w(l, б! , Z, .S2) ~ w(z, .S'2)/,s,
•S] —> оо, п, значит,
U?(c,.S2) = lim .S|LC>(1, .S'!, с, s2).
Воспользовавшись формулой (14) и вычисляя по правилу Лопитаия
.•(,;,.ь) = (1-р){1+Аг
-.->0 .5 + А [1 - 7(.s)] 1 + Xcj
получаем
[г/1(.я)-1][/3(.ь-)-/1(А-гА/3(5))] }
[;/3(,.)-/3(A-;A/3(.s))][A-zA/3(s)-.s]J-
Итак, мы «нова пришли к <{>ормул«' (3.12).
В заключен!!»1 парагра«{>а приведем без доказательства следующее утверждение:
е< in р = 1, то число заявок в системе и виртуальное время ожидания в момент t при t —> со стремятся к бесконечности по вероятности:
если р > 1. то эти же характеристики при t —> оо стремятся ь бесконечно! ти даже с вероятностью единица.
Глава 6
ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
I
В этой главе продолжается исследование простейших немарков-(Ы1Х моделей. Мы покажем, что те методы, которые были предложены для исследования системы M/G/1/оо, с незначительными совершенствованиями хорошо работают и при их применении ко уногим другим СМО. Правда, как мы увидим, в отличие от системы M/G/1/оо, при изучении других систем, как правило, можно использовать далеко не все методы предыдущей главы. Так, в системе M/D/n/oo расчетные формулы можно получить только для вероятностен состоянии, причем используя метод вложенной цепи Маркова. В системе M/G/n/0, наоборот, для вычисления стационарных вероятностей состояний приходится привлекать метод введения дополнительных переменных.
Собственно говоря, и с ама задача этой главы в корне' противоположна задаче, поставленной и решенной в предыдущей. Здесь мы ни в коей мере нс' будем увлекаться полнотой исследования, а ограничимся только тем, что покажем, какой из методов наиболее пригоден для исследования топ или иной с истемы. Вооружившись Спасом знаний, почерпнутых из предыдущей главы, читатель сам «может довести ис следование' заинтересовавшей его сие темы до логического конца.
Последовательнос ть изложения в этой главе, как и во всей кни-Ге’ соответствует усложнению методов исследования. Сначала идут "гконечнолинейные' системы M/G/oo и G/G/oo, для изучения кото-по сути дела, ничего, кроме- понятия входящего потока, знать нужно. Затем в системах M/D/n/oo и G/M/1/оо применяется
ВЛ(,Ж(‘ннои цепи Маркова, и, наконец, в с истемах M/G/1/n, ‘*/Чп/0 и MAP/G/1/г анализ производится с помощью метода вве-
,я Дополнительных переменных.
Т('М ^ЛЯ <’п1)<’Дсленностп примем, что в рассматриваемых ниже сис-I(,<tX с ожиданием заявки обслуживаются в порядке поступления, в ‘'(’ответствии с дисциплиной FCFS.
312 г.,I 6 ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ М()ДЕ!1
Конечно, нсооходпмо еще раз подчеркнуть. что рас с ма j pIIB утые науш СМО прете тавляют весьма незначительную тодпку В( ’ разнообразия мо к и I реа паю в< трсчаюшпхс я технических Х(. ропс тв Однако авторы надеются, что п зучпвшнп эту книгу Ч] татель сможет проводить п самостоятельные пс с дедованпя.
§ 1. Система M/G/x
В бес конечно ппнепиоп СМО M/G/x. каждая пос ту паю]ц,1я ь с пс тему заявка с ра су же начинает обе дужпватьс я поэтому для Н(,(, имеет с У1ьн i Изучать то пжо характерце тики, связанные с чщ д(|у( заявок в с пс Tcyie Интенс пвнос ть входящего потока, как обычно оу дем ооозначить черес А Время обслуживания каждой заявки р,ц предо юно по произвольному закону В(г).
Сущее твуют ра зличные уютоды исследования с пс темы M/G/x Мы здесь изложим наиболее простои метод, основанный на ошюа ппп вероятное теп состоянии с помощью нестационарного ну ас с о невского потока. Этот уюто I позволяет с помощью элементарныу рассуждении находить не только < гацпонарпое. но и нес тацпонар нос' рас пре дс'ленпя чпе ia заявок в с щ теме.
1.1. Нестационарное распределение числа заявок в системе'
Обо сиачпус черес и(/) чпе то заявок в системе' в момент / а не ре с = Р{и(/) = /} вероятное гь того, что в момент f в с пс теме находите я / заявок Очевидно, множество состоянии процесс;
t > 0} < овпадает с множествоуз неотрицательных целых чи сел: Л’ = {0. 1.. .} Для простоты п сложения будем предполагать что в начальный моуюнт 0 система свободна (<'(()) = ())• хотя полученный результат тривиальным образом переносится на случаи
произвольных начальных условии.
Потру дно видеть что в данном с ту час* пропсе с / > 0} »
является марковским. Однако, используя фактически только ТП1® определение нестационарного пуассоновского потока, как УДЫ сейчас увидим, легко вычислить нес тацпонарное распределение {Р<(^ I > 0} процесса {/'(f). t > 0}. Болес' того. читателю мы П]»'Л лагаеуд найти с помощью приведенного здесь метода совук'стл® мнод омернос распредетс'нпс' Р{/Д/д ) = ц.^(Бс) = 1 п} прои(,<<
{/'(f) f > 0} и даже совместное многомерное распределение и® нпп i'(t) в У1ОМСПТЫ G, .. ,t„ и ос таточных (ппп прошедших) вр* обе ту жпванпя заявок, находящпхе я в эти момен ты на приоорах
Рассмотрим на интервале ((). t) поток заявок, нс' обе ту же к моменту t (текущее время будеУ! обозначать буквоп ь). Я1 П()-
Система M/G/сл
313
эдее число не обслуженных к моменту t заявок совпа дает с о знанием процесса z/(fj.
Этот поток обладает свопе твом отсутствия последействия, по-
,,ьКх в силу nvaccoHOBocтп входящего потока и независимости (К11, •
)слен оос лужпванпя заявок друг от друга и от входящего потока р-дует, что чис ла нс' обслуженных к моменту t заявок, поступивших Я1 непсресекающпхс я отрезках временного интервала (0,1), явля-(ясЯ независимыми случайными величинами.
Далее, поток ординарен, так как вероятность пос тупленпя на интервале длины Л более одной заявки, не обе лужснноп к моменту t, превосходит просто вероятности поступления на этом интервале рейсе одной заявки и. значит, равна о(Д). |
Однако поток нс> является стационарным. поскольку' распредЛ-1ГНПС числа заявок, поступивших на одинаковых по длине- пнтерва-I,IX времени, естественно, будет зависеть от того, где- этот пнтер-вал находите я: чем дальше интервал будет отстоять от момента t.
тем меньше1 заявок, поступивших на нем. останетс я в системе к моменту t Значит, поток не обслуженных к моменту' t заявок будет нестационарным пуассоновским с зависящей от времени > интенсивностью А(л). Интенсивность A(.s) легко вычислить, для этого надо просто умножить пнтенс пвность исходного потока А на вероятность 1 — B(t — .s) того, что заявка за время t — .s нс1 обслужите я, те. A(.s) = А [1 — B(f — .s)].
Окончательно получаем: число заявок z/(l) в системе M/G/эс в момент t представляет собой число поступивших на интервале (O.f) заявок нестационарного пуассоновс кого потока интенсивное тп М’) = А [1 — B(t — •»)]. Отсюда вытекает (см. 1; 2.1), что z/(l) распре-Иено по закону Пуассона с параметром
z t
A(f) = I А [1 - B(t - .s)] </s = A I [1 - B(.s)] </s. (1)
b b
('Щц вероятности p,(t) того, что в системе' в момент t находится ’лавок, имеют вид
I А(0=^<-Л1'). (2)
1 2
сцСт Стационарное распределение числа заявок в
I Для того чтобы получить стационарные вероятное тп р, = uJ-yi^'(0- достаточно в формулах (1) и (2) устремить t к бес-'"1Н<)с тп.
314 Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОдЕ^ ОО ОО
Если «реднее время обслуживания Ь = [ f[l — _£?((ai ,
о b '
конечно, то A(f) -» Ab — p при f —> ос. Значит. стационарное ])(( пре-деление числа заявок в системе в этом случае будет пуасс()н ( кпм < параметром р:
Если же 1> = ос. то А(1) -» эс. Поэтому/>,(!) •—-> (), / > q Т( < течением времени число и(1) заявок в системе-будет стремиться к бесконечности по вероятности. Более точный анализ показывает что ;z(f) будет с тремитьс я к бесконечности даже с вероятностью единица.
1.3. Выходящий поток
Исс ледование- выходящего потока мы начнем со случая, когда время обс луживания каждой заявки постоянно, т.е. с вероятностью 1 принимает вс его одно значение Ь. Очевидно, что в этом случае выходящий поток отличается от входящего только сдвигом на велп-чпну />. Но это означает, что выходящий поток является нсстацпп-нарным ординарным пуассоновским потоком, причем его интенсив ность X* (f) имеет вид: А*(1) = 0 при t < 1> и А*(/) = А при t > Ь.
Пусть теперь время обслуживания любой поступающеп в систему заявки может принимать только одно из двух значении bt и 1>» (для определенности пус ть Ь| < Ь2) 1 вероятностями 3| и 12 соответственно. Тогда входящий поток (см. теоремы 2.1.1 и 2.12) можно представить в виде суперпозиции (объединения) двух независимых пуассоновских потоков: потока интенсивности БА заявок, имеющих время обслуживания l>t, и потока интенсивности /БА заявок с временем обслуживания Ъ>- Выходящий поток также- является суперпозицией двух незавпе иных, но уже- нестационарных пуассонов-ских потоков, причем первый поток будет получен с двпгом псрв<|Г<| входящего потока на время обслуживания Ь|. т.е. иметь зависящую от времени интенсивность Aj(l), равную 0 при t < b, и равную т ПРП 1 > Ь|. а второй с двпгом второго входящего потока на !>> *Г1 интенс ивность А*,(/) равна 0 при t < b2 и равна ЕХ при t > ^2-ким образом, суммарный выходящий поток будет нестационарп пуассоновским интенсивности А*(1) = А)(1) + А.’,(1). т.е. А*(1) " при 0 < t < Ъ\. А*(1) = 3, А при !>i < t < Ь> и А*(1) = /\ при t > ц
Аналогично показывается пуассоновос ть выходящего ‘ в случае, когда время обслуживания каждой заявки может П1 мать любое- конечное пли даже- счетное- число зн.гк-нпп '
Сытела G/G/x) 315
В случае произвольного pat предо пения В(.с) времени обслужп-инпя заявки заметим, что входящий поток можно представить в 5ЦДР суперпозиции ’’бесконечно большого’’ числа независимых пуас-новскпх потоков пнтенспвностеп Ас/В( с), причем каждый отделы ВЬ1И поток будет задержпваты я на время с. Значит, и выходящий поток также будет пуассоновским (но нестационарным), причем его интенсивность А* (Л) определяется формулой A*(f) = / А <//?(.;) =
Очевидно, что A*(f) —> А при f -> оо, и, значит, в пределе (в стационарном режиме) выходящий поток будет стационарным пуа< -(оновским интенсивности А. Отметим, что при этом на ФР В(с) времени обе луживанпя не накладываютс я никакие ограничения
§ 2. Система G/G/co
Система G/G/oo представляет собой наиболее общий вариант' бесконечнолпнс иной с истомы в клас с пфпкацпп Кендалла. пос кольку входящий поток являете я произвольным рекуррентным. .1 время оо служпванпя каждой заявки распределено по пропсвольноугу лакону По-прежнему будем обозначать через 1(c) ФР времени между поступлениями заявок в с пс тему, а через В( г) ФР времени обе лу жп ванпя заявки. Так же, как и в СМО M/G/cc, будем интерес оватьс я только числом заявок //(/j в системе1 в момент времени / пли, другими словами, числом занятых в момент t приборов.
Как мы с епчас у видим, нес мотря на кажу щу юс я с ложное гь рас -сУлтрпв.семои системы, условие1 бес конечно линейное т и столь сильное, что оно щ зволяет все-таки получить относ п'гельно Ирш одные
ЧПс ленных рас четов формулы, оппс ывающпе рас преде.ление чи-1ъ,3аявок в с пс теме1 в произвольный момент времени ) ли форму лы ВЬ1]>ажаютс я в виде1 рекуррентных процедур для II I по времени би Мпальных моментов числа заявок в спс теме1 в момент 1.
2>1. Система уравнений для вероятностей состояний
Будем для простоты изложения считать, что момс-н I 0 с овпа-г Моментом поступления первой заявки в свооодную ( истеки ’"Значим через p,(t) вероятность того, что в момент / в системе1 х"ДПтс я / заявок Тогда р, (t) удовлетворяет следующей рекуф-
316
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ
рентной сис теме уравнений:
Ыо^,
РОЙ) = 5(0 [1 - ЖО + у Рой - .г) dA(.r)], О
/ nW = Вй)
О /
+ [1 - 5(t)][1 - A(t) + У РоЙ ~ 3’) ,
О
I
р,Й) = ВЙ) У р,й - x)rfX(j-)+ о
/
+ [1-5(0] Ур,-1(1-.г)<М(.г), / > 2. о
Система (1) получается таким образом. Рассмотрим следующий после момента 0 момент г поступления заявки в систему. Тогда в момент t система свободна лишь в том с лучае, если поступившая в момент 0 заявка обслужптся до момента t (это происходит е вероятностью ВЙ)) п либо х больше t (с вероятностью 1 — _4(/)). либо г меньше t, но пос тупившие' в момент .г и за промежуток времени (т,б заявки также' будут обслужены до момента /. Очевидно, чт<> вероятность того, что поступившие' в момент .г и на интервале времени (.»-,/) заявки будут обслужены до момента t, совпадает с рой -Оте кеда по формуле- полной вероятности получаем первое' уравнен111 системы (1).
Совершенно аналогично выписываются остальные уравнеЯ системы (1). Так, в системе в момент t находится /, i > 2, заЯ® если первая заявка обслужена до момента t, а среди пост?11 на интервале- (0, t) заявок к моменту t в системе осталось ' 31 4 Т1() (
или если пе рвая заявка нс- была оослужена до момента е, пос тупивших на интервале (0, t) к моменту t осталось / — 1
°° 1П
Вводя ПФ F(^,Z) = zii систему (1) молено зап
»=о
J dU<"fl1(Ma G/G/'Xj
317
,11Д? f
f(L) = [; + B(f)-;B(t)][l-.4(0 + yP(;,t-.r)rZX(.r)]. (2) io
2.2. Нестационарные вероятности состояний
Хотя интегральная часть уравнения (2) представляет собой све-функции P(z. t) и A(t), для его решения нельзя применить ПЛ. рольку перед интегралом стоит зависящий от t множитель. Од-ико в точке .: = 1 этот- множитель обращается в единицу, что по-Сдоет именно в этой точке использовать ПЛ по времени, причем Bf только для самой функции Р(гЛ). но и для всех производных Можно показать, что эти производные в точке z = 1 Г1Ш«твуют и нс могут расти очень быстро с ростом что гарантп-|ЛГт гходимос ть в некоторой окрестности точки z — 1 всех встре-мющпхея далее рядов.
Итак, положим
'>1=
i,(l) есть биномиальный момент порядка i распределения {рЛ1).
!>()}. При I = 0 пз условия нормировки = 1 следует равен-
>=0
11811 МО = 1. Дифференцируя (2) по z в точке z = 1 и используя Ммулу Лейбница, получаем
I
М0 = У /1(Г-.|)1Ы(.|) + 1-В(0, о
I , (3)
'(0=У rI(^-T)rf.4(j-)+[l-B(0] //•,-l(^-.r)</.4(.r), />2.
в ‘ Ъ
L.'НкЦпп г>(0- так же как и р,(1). определяются пз рекуррент- ^'1емь1 уравнений, которой в данном случае являет»я система ДНако теперь уже, в отличие от системы (1). можно восполь-'1Ть<-я ПЛ. Полагая
/»,(.*)= У i > 1,
о
318 Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОдЕ
О
II эс I
i',(•') = / B(t)] I r,_, (f - .г) J.4(.r) dt, / > 2. (
0 0
из (3) имеем
P,(•>)= P,(s)(l(.s) + C-,(.s), I > 1,
II.III
/',(') =
1 -n(s) ’
I > 1.
Формулы (4) и (5) в принципе позволяют рекуррентно вычислять р,(s). начиная < р,(к). Правда, прп этом необходимо каждый раз производить псре< чет p,-i(*) в с,(<>). для чего нужно от ПЛ p,_i (s) вернуты я к оригиналу r,_| (Z). а затем по формуле (4) наптп
Для определения к > 0, достаточно заметить, что >•/,(/) представляют < обои коэффициенты разложения функцпп P(z,t) в < тепенноп ряд по степеням ; — 1, т.е.
r(;.Z) = £nU)(;-l)\
I =<>
В частности, ости прп каком либо t радиус сходимости последнего ряда больше 1. то
№(^) = EQ (-l)/-fc'7('h * >0-
Сами функцпп i ,(t) позволяют легко вычислить все .моменты (можно показать, что они конечны) чпс ла заявок в системе в момент f. В частности, с, (t) представляет собой среднее чцсло заявок в (Истоме в момент 1.
2.3. Стационарные вероятности состояний
Будем предполагать, что средние времена между поступлен'1 ямп заявок <1=1 .1<1А(г) и обслуживания заявки h = / •< с/В(-<) k 0 ° те'
нечны. Кроме того, будем с читать, что выполнено еше одн<
где м<>ГУ1 нпческос v(.iobii(‘: времена между постх плениямп заявок 1
' 1 ' с о 1 о -О \"'КН"
принимать только значения А .г0. А = 0.1,2.... , .го > и-
(7»м шсма. M/D/ii/<x>
319
злть. что при этих предположениях существуют предельные ве-' ' ос
«ГГНО1ТП Pi = lim p,(f). 1 > 0. Тогда ПФ Р(с) = £ p,z‘ можно '-*00 ,=о
.„чставпть в виде F(z) = £>,(;- 1)', где г, = lim /,(!).
1Ч’М ,=о /_>ос
р свою очередь, пз (5), используя свойства ПЛ, получаем, что
Г /А Г V’i(0) . _ 7
гг = lim .s рАя) = Inn ---— = —-— , i > 1.
s-К) »-ю 1 — ci(.s) «
Стационарные вероятное тп ///, k > 0, и моменты стационарного числа заявок в системе находятся пз этой формулы как п в нестационарном случае1. В частности, по-
скольку у"|(0) = т<> отацпонарное среднее число заявок в системе
распределения 41ЛЧН0 тнк же,
а
Последнее1 равенство следует также1 пз формулы Литтла, если учесть, что в стационарном режиме интенсивность поступления заявок в систему равна 1/«, а время пребывания заявки в системе совпадает с временем ее обслуживания и имеет среднее значение Ъ
§ 3. Система M/D/и/эо
Система M/D/11/оо, представляющая собоп час тнып случаи /> шнепнои системы M/G/n/oc с ожиданием, характеризуете я тем. что каждая заявка обе лужпвается постоянное (нес тучапнос) время, которое для определенное тп будем считать равным 1. Как и р шее. интенсивность входящего пуассоновского потока будем обозначать через Л.
К Настоящему времени не создано методов исследования мно-Пипиепиоп с пстемы M/G/и/оо (нс1 говоря уже о более с ложной спс-теые G/G/ii/oo), которые1 позволяли бы находить для нес1 даже стационарные показатели производительности в с коль-ппбх дь пригодном для анализа виде1. Однако, как мы с епчас увидим, система 'и/и/оо представляет собоп одно пз немногих исключении, хотя Для нес1 можно получить только некоторые характеристики, свя-ные с числом заявок в с пс теме.
3-1 • Вложенная цепь Маркова
*lt(^V<Tb, как обычно, //(1) число заявок в с пстемс в .момент 1. Ра-К>1 1 Т< я’lp(^)1 > 0} нс-являс’тся Маркове кпм процес с с>м. Поэтом\’
n^J’^’MoTpiiM значения v0 = //(О), и, = г(1)... = г(щ),...
,<(а ,/(1) только в целочшленные моменты 0,1,..., т,....
320
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ
М°ДЕлц
Если заявка в момент ш находилась на приборе, то к мом(> ш + 1 она обязательно покинет < пс тему. Среди остальных как находящпх< я в момент т в < пс теме, так и поступивших Нп ' меннбм интервале (ш, т + 1), ровно и (пли менее п. если суммарН|' чис ло заявок, находпвшпхе я в очереди в момент т и поступпвцщ. ' интервал!1 (in. ш + 1). менее п) в момент ш + 1 будут обслуживать,*1' а остальные, если они есть, будут ожидать начала обслужпвпнцц5 очереди. Отсюда и пз пуассоново! тп входящего потока легко )д лать вывод: последовательность {г,,,, in > 0} образует однородна цепь Маркова
Выпишем переходные вероятности р,( вложенной цепи Марк1>в "!>()}
Ес ли i < п, то все заявки, находпвшиес я в системе в момент ш покинут ее к моменту in + 1, и в ней будут находптьс я те п 1одьм те заявки, которые поступили на интервале (in,/и + 1). Посколыа число таких заявок равно / с вероятностью /1, = А'с-Х//!, то
р,( = А,. I = 0,и, j > 0
Если же I > и то в момент п/ + 1 в системе ос танетс я I — и заявм из i находпвпшхе я в момент /п и еще должно поступить / — (; -») других Значит,
)>,, = 3,_,+„. I > и. / > i - и.
Итак, матрица переходных вероятное теп цепи Маркова {//,„ in > 0} имеет вид
3.2. Стационарные вероятности состоянии
Предположим. что выполнено условие р = Х/п < 1 (вели 1111 р <•< тес твепио на >вач ь загрузкой с ис темы, поскольку она пр<’Д( ‘ зяет собой отношение пптенс ивиостп А входящего потока к <1 нему чпе зс заявок п. которое система в состоянии обспуЖПТ1’ единицу времени). Гогд.с существуют предельные (стационар вероятное ги состоянии р, = Inn P{i/,„ = с}, которые яв-i "'-,Х и ||11 Л1'
чакже преде1|Ы|ЫМИ (стационарными) вероятностями сое гоЯН
Система M/D/n/<x>
321
реМеНП Р‘ = Р{"(0 = '} (доказательство необходимости и до-
^точнос тп условия р < 1 проводите я точно так же, как это де-1 цось ранее). СУР для определения стационарных вероятностен р, яМ₽еТ вид
р, = 52 +52
4-=0 4=0
(1)
Зная р,- i = 0, п — 1, из системы (1) рекуррентно можно вычислить ос 'сильные р,, i > и. Действительно.
1 п-1 I
-тг Pn+i = - & 52 - 52 ’ 1 °-
* ° 4=0 4=1
Для определения р„ i = 0,п — 1, напдем решение системы (1)
втерминах ПФ Р(г) = TT,Pi~‘- Умножая с-е уравнение системы (1) г=0
наг1, суммируя по г и вспоминая определение /1,, имеем
Р(г) = с-М‘-=> + 1[Г(Д - £ Pk,-м
4=0 ~ 4=0
откуда получаем
71 — 1 77—1
Е/V ЕрГ
• (2)
Воспользуемся теперь теоремой Руше, которая говорит, что «яп функции /(г) и </(.'-) аналитичны внутри области D, ограниченной замкнутым контуром, непрерывны вплоть до границы D и ® границе удовлетворяют условию |./(-)f > |<7(с)|. то функцпп /(;) иЛг)~!7(~) имеют в области D одинаковое' число число нулеп (с учетом кратности). В этой теореме' положим /(г) = ;иеА<1--), <Д-) = 1. НетРУДно видеть, что |/(г)| > |р(г)| на окружности |Д = 1, за ис-к®оченпем точки z = 1, в которой /'(1) = </(1) = 1. Заметим, что в ^уусЛовпяр<1
[С-^(1- = ) _ -АХ).
^()чтому найдется такое г ] > 0, что для любого £, 0 < t < г ।, выпол-17® неравенство zuex(i-~) > | дЛЯ В(СХ лежащих на окружности J + е. Но тогда в силу теоремы Руше число нулей функции
— 1 внутри круга |с| < 1 -pt (а значит, в силу пропзвольно-
" 11 в круге |с| < 1) совпадает с числе»! нулей функции -''('АВ-~)
322 Гл 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДЕ^ (с учетом кратности нулей). По функция г"еА(1_г) имеет единствР!1 нып нуль кратности п в точке z = 0. Поэтому г’,еА(1-г) — | Так^ имеет п нулей (нетрудно показать что все нули простые), Котору мы обозначим через zo, Zj,..., z„_j. При этом единственный Ну ' лежащий на окружности |z| — 1 (для определенности пусть это бу дет z0). очевиден: zo = 1. Для нахождения остальных нулей ну^ определить все и — 1 лежащих внутри круга |z| < 1 решении фуН) цпонального уравнения
г’'еА(1~г> -1 = 0.
Вс помним теперь, что F(z) является аналитической внутри кру. га |z| < 1 функцией комплексного переменного z. Поэтому чи-с тптечь формулы (2) также* должен обращаться в нуль в точках I, а значит, мы имеем для определения р,, г = OTnTj
и — 1 линейных у равнений
»-1 п-1
=()- ' = (з)
А=0 А—0
Пос леднпп корень z0 = 1 для определения р,, г = 0, n — 1, ничего не дает, пос кешьку при поде тановке его в чис литель (2) по.лучаетця очевидное- тождес тво. Недос тающее уравнение’ получим, если вс помним ОО
ус ЛОВИС’ нормировки 52 l>i = Г(1) = 1 и воспользуемся правилом Ло-/=0
питали Тогда получим
, п-1 п-1
Последнее равенство становится очевидным, если учесть, что и — I
52 (п ~~ М Рь /11 ПРСД( тавляет с обои с тацпонарную вероятность про' пзвояьному прибору находиться в свободном состоянии, равну* (о - Х)/п. F
Отметим, что вместо решения системы (3) можно воспоть30 ва гы я предс тавлением м-1
Z" - C^PAZ* = (Z - l)(z - z,).. • (z - z„_,), A=0
где r = (52 Pa) 2 позволяющим с точное тью до нормирук>ш<>г(1 ‘
А=0 _______ v(3)
/кителя находить вероятное тир,, i = 0, п — 1, нс решая rinTf
323
Система G/M/l/<xi
§ 4. Система G/M/l/cc
Однолинейная система G/M/1/оо характеризуется тем, что хОдяП1ИИ в нее поток является рекуррентным, причем времена меж-поступлениями заявок распределены по произвольному закону 4(t)- Времена обслуживания заявок имеют экспоненциальное распределение с параметром /л
Как мы увидим в этом параграфе', система G/M/1/оо описыва
ется случайными процесс ами, очень похожими на процессы, возни-ка10щпе прп исследовании системы M/G/1/оо. Более скрупулезный аНалпз показывает, что это одни и те же процессы, только перевернутые ’’вверх ногами”. Однако оказывается, что при таком перевороте расчетные формулы для основных характеристик обслуживания становятся совершенно другими. Обсуждение этого факта мы оставим до главы 8, а пока приступим к изучению системы.
Для исследования системы G/M/1/ос можно применить любой из рассмотренных в предыдуще й главе методов. Мы воспользуемся самым простым из них -методом вложенной цепи Маркова, который (с незначительными дополнениями) позволяет провести подробный анализ всех (в том числе и нестационарных, хотя мы здесь этого делать не будем) характеристик. Причина такой универе альностп метода вложенной цепи Маркова в данном е лучас кроется в том, что для системы G/M/1/оо. во-первых цепь Маркова более проста, чем для системы M/G/1/ос, поскольку невозмерйно появлении' ситуации, когда после окончания обе лул пвания должно было проптп еще' дополнительное время до поступления заявки в с вободную с истому, а,
во-вторых, моменты поступления заявок в систему. т.е. те моменты, в которые определяются времена ожидания начала обслуживания и Пребывания заявок в с нс теме', как раз и являюте я марковскими моментами для вложенной цепи Маркова. Наконец. мы увидим, что и 'ами стационарные- вероятности состоянии дтя епетс'МЫ G/M/1/ск. представляются в геометрпчее ком виде1, т.е. имеют простую срорму; ^осуждение этого с вопства мы та: ®> отложим до главы 8
4-1. Вложенная цепь Маркова
Исследование системы мы начнс'М с опредс'ленпя стационарных ВсР<>ятностс'п состоянии. Пусть /'(f) число заявок в системе в мо-*нт f. Тик как л дЛЯ системы M/G/1/оо. процесс {и(/), t > 0} являете я Маркове ким, и опять же, как и для системы M/G/1/оо, {'Ф? ТВУК>Т мом<'нть1 т0, ту.т„.в которые- значения процесса
ь 1 > ()} образуют цепь Маркова. Однако, в отличив' от сис-
M/G/l/cc, это будут но моменты окончания обслуживания, а рНты пос тупленпя заявок в с истому. Для определенности будем
324
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОдЕд считать, что само значение вложенной цепи Маркова предст вляет собой число заявок в системе непосредственно перед постуд' лением очередной (n-ii) заявки в систему, т.е. />„ = н(тп —0). 1<рОц^ того, будем предполагать, что в начальный момент 0 в свободную систему поступает заявка, т.е. т0 — 0 и и0 = и(т0 — 0) = 0.
Определим переходные вероятности ptj вложенной цепи Мар кова {//„, п > 0}. Обозначим через
«А- =
е~^х dA(x),
к > 0,
вероятность того, что за время между поступлениями соседних заявок будет обслужено ровно k заявок (разумеется, при условии, что их в системе после прихода первой из поступивших заявок было больше к). Кроме того, положим
ОО k
Ak = о, = 1-У2п>’ к>0.
1=А+1 i=0
Пусть = I (перед моментом поступления n-й заявки в системе находилось i заявок). Тогда для того, чтобы /6,4.1 = j, j = l,i + 1, (перед моментом поступления п + 1-й заявки в системе находилось j заявок), за время 6,4.1 — т„ должно обслужиться ровно i—j+1 заявок, т.е. p,j = o,_J4-1. Если же j = 0, то обслужиться должны все « + 1 заявок, находящихся в системе после момента тп. Поэтому р,0 = 1-
— па = -4,. Таким образом, получаем окончательно, что матрица А=0
Р = (]>ij) переходных вероятностей вложенной цепи Маркова имеет
вид
Г=(РУ)
/ -4() «о
-4, <Ti
А2 а2
\ 5
0 0
cio 0 «1 о0
4.2. Стационарные вероятности состояний по вложен ной цепи Маркова
Положим р — l/fjia), где а = J .г dA(.r) среднее время ме#Д
О j и
поступлениями заявок. Ясно, что р имеет тот же смысл, что нес, т.е. представляет собой загрузку системы. Естественно, нахождении стационарных вероятностей будем предполагать,
и
Система G/M/1/ео
325
агрузка системы р меньше единицы. Как мы увидим из дальнейшего, условие р < 1 является необходимым и достаточным для существования стационарного режима.
Пока же мы предположим, что при п —> оо существуют предельные вероятности р* = lim Р{рп = г}, г > 0, представляющие собой стационарные вероятности вложенной цепи Маркова |г„, п > 0}. Однако, в отличие от системы M/G/1/оо, для рассматриваемой СМО вероятности р* по своему определению являются также стационарными вероятностями того, что поступающая в систему заявка застает в ней г других заявок, поскольку приход заявок в систему происходит только в моменты г„.
Стационарные вероятности р* удовлетворяют СУР
ОО
Ро = 5Z
А.-0
оо
Рг =
А.-0
оо
Для решения СУР рассмотрим ПФ P*(z) = 52 P?zt- Умножая
7=0
i-e уравнение, i = 1, 2,... , на z1 и суммируя, получаем для любого комплекс ного г, равного по модулю единице,
326 Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДЕДц
Тогда
Г*(;)[1-ссфс-^)] =/(г), (1)
причем /(г)—аналитическая вне круга |:. | < 1 (включая бескоце,( ную точку) функция.
Рассмотрим функцию 1 — * о(// — p/z) Очевидно, что эта функция аналитична вне круга < 1. непрерывна в этой области вплоть ДО окружности |~| = 1 11 11М<’СТ В точке Z = ОС Простои ПОЛЮС . КроМ(, того, |г сфс —р/с)| < 1 на окружное тп | :| = 1, за псключенпемточки z = 1. Дифференцируя, получаем также
(гефе - ^)) | =( = 1 -/ш = i - .
В силу условия р < 1 вычисленная производная Отрицательна. Тогда существует ti > 0 такое1, что для любого г, 0 < t < tj, при |г| = = 1 + е справедливо неравенс тво Re (1 — z i\(p — p/z)) > 0. Поэтому в с илу теоремы о логарифмических вычетах чпе до нулей минус число полюсов функции 1 — z ci(/c — p/z) в области |г| > 1 + г, а значит, и вне круга |г| < 1 равно нулю. Но функция 1 — za(p — p/z) имеет единственный простои полюс- в точке z = ос. Отсюда след} ет, что уравнение1
1-сфс-^) = 0 (2)
имеет единс твенное1 решение1, по модулю большее- единицы, которое мы обозначим через г0- Как уже--было показано при исследовании системы M/G/1/ос, это решение1 является положительным
Предс тавим теперь функцию 1 — z а(р — p/z) в виде
1 - za(p -^) = (z- z0)g(z).
Ясно, что g(z) аналитическая вне круга < 1 функция (в том числе в точке z = ос), не обращающаяс я в нуль в этой области. Тогда уравнение (1) можно переписать в виде1
P*(z) (z - с„) =
/(£) '/(;)'
(3)
Левая часть уравнения (3) как произведение ПФ P*(z) и ф}н1^ цпп z — ;0 представляет собой аналитическую внутри круга |-| функцию, непрерывную вплоть до окружности |г| = 1. Аналоги4 свойство имеет правая часть (3), но вне круга |.:| <Л. Но тогда-®^ и правая части (3) представляют с обой аналитические продо.тж
, Система G/M/l/oo 327
И
()п п топ же функции, которая к тому же в силу аналптично-тИ Б° БСС>й расширенной плоскости должна равняться постоянной Таким образом,
— го
Достоянная С, как обычно, определяется из условия нормировки р*(1) = 1- Окончательно имеем
ч 1 “ 2o
ПФ Р*(?) легко разложить в ряд по степеням г, что позволяет получить выражение для р*:
К = С1 - — )(-о)-г-
X г0 /
(4)
[[так, стационарное распределение числа заявок в с истеме по вложенной цепи Маркова является геометрическим с- параметром 1/г0.
В заключение этого пункта остановимся на условиях существования предельных (стационарных) вероятностей р*, i > 0, т.е. эргодичности вложенной цепи Маркова п > 0}. Достаточность условия р < 1 вытекает из теоремы Фостера 1.4.3, поскольку наиденные выше вероятности р* i > 0, задают именно то решение СУР, о котором говорится в теореме Фостера. Необходимость итовпя р < 1 показывается несколько сложнее. Для этой цели можно, например, рас смотреть время т0 возвращения цепи Маркова {"», п > 0} в состояние 0 (см. § 5.1) и показать, что Мт0 < ос, если /’<1, Мто=ос, если р = 1 и 7о = оо с отличной от 0 вероятнос тью, «ли р > 1; в силу теоремы Феллера 1.4.2 это доказывает необходимость (и достаточность) ус ловия р < 1 для эргодичнос ти вложенной Цепи Маркова.
4-3. Стационарное распределение числа заявок в системе по времени
Будем предполагать, что время между поступлениями заявок Может принимать только значения к ,г0 •
Найдем стационарные вероятности числа заявок в системе по
Менп pt = Р{;/(/) = г). Для их определелия воспользу-
Дементами теории вос становления. Выберем некоторый мо-ВБрменц, для которого будем определять вероятность р,. То-!ТцВ <оответегвпп с узловой теоремой восстановления 1.3.2' веро-
Ть того, что в стационарном режиме последнее поступление
328
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДЕЛ{} заявки произойдет на временном интервале [1, t + dt) до расемат ваемого момента, равна [1 — A(tj]dt/a. Поскольку перед По * ним поступлением (см. формулу (4)) в системе с вероятность^ р* = (1 — 1/;о)(го)-' было j заявок, а за время t с вероятность^ (pt)kf~tl1/к] обслужено к заявок, то по формуле полной вероятное тв вероятность того, что в рас сматриваемый момент в системе нах(| дится i заявок, i > 1, задается выражением
,-я-1^)фг =
а
Pi
J и о
оо
\ zok\zoJ J a \zqJ ap
о
Вспоминая, что в с илу уравнения (2) а (р —р/z0) = 1/z0, а ар = \1р получаем
Р, = p(z0- 1)(л0)~', l > 1. (5)
Значит, начиная с i = 1 стационарное распределение по времени числа заявок в системе также являетс я геометричес ким с тем же параметром 1/г().
Для определения р0 проще' всего вос пользоваться условием нор-
мировки 52 Рг = 1- Тогда
>=(!
(6)
Мы получили обычную для с истем с бес конечным накопителем ф°Р мулу ро = 1 - р. 1
Необходимым и достаточным условием существования ст онарного распределения числа заявок в с истеме по времени та является выполнение неравенства р < 1 (это доказывается гично тому, как было сделано в § 5.1 для СМО M/G/l/®0)- Bf следует отметить одну интерес ную деталь: для данной СМО ис ключаем возможнос ть а = ос, т.е. бесконечного среднего вРе между пос туплениями заявок. Тогда, как нетрудно видеть из мул (5) и (6). ро = 1, pi = 0, i > 1. Это означает, что при сис тема полнос тью ос вободптся от заявок.
г Система M/G/1/r 329
Г
4,4. Стационарное распределение времени пребывания эаЯВки в системе
Как мы впделп, в стационарном режиме заявка в момент сво-еГе поступления застает в системе i других заявок с вероятностью < = (1 — 1/го)(-о)-!- Тогда с учетом того что заявки обс'лужи-в'аются в порядке поступления, и в силу экспоненциальностп вре-vchii обе луживания поступившая заявка будет ожидать начала < во-ff0 обслуживания время, распределенное по закону Эрланга с параметрами i и /I. Переходя к ПЛС, получаем по формуле полной вероятности выражение для ПЛС к-'(я) стационарного распределения П (.т) времени ожидания начала обслуживания
I — V' * ( ,l У = , И (~о~1)
c/i+sc (/«+») ~о~Д --о =o[(/*+s) ~о~/1]
Возвращаясь к оригиналу, имеем
И'(.г) = 1-—+ — (l-c"',<1-'^)j) = 1- —>() ~0 -О -О
Для нахождения стационарного распределения I '(>) времени пребывания заявки в системе необходимо к времени ожидания наша обслуживания добавить экс поненцпально рас предо ленное время обслуживания, или в терминах ПЛС
Читатель может самостоятельно обратить последнее ПЛС.
§ 5. Система M/G/1/r
В этом параграфе мы рассмотрим однолпнсчшую СМО с пуас-Wobckiim входящим потоком интенсивности А и произвольным расселением В(.г) времени обслуживания заявки Однако, в отличие главы 5, будем предполагать, что в системе имеется конечное чи-
110 Мест ожидания г.
| ^аК 11 В П1>И и<ч леДованпн СМО M/G/1/1 мы ограничпмс я ^,АДснис'м стационарных вероятностен состояний, применив при К Ь1етоД введения дополнительной переменной, в качестве кото-В<ПЬ1'1РМ прошедшее время обслуживания. Будет показано, что т, ЧК)Нарные вероятности состоянии для системы M/G/1/r фак-M/Q/'11 с°впадают с аналогичными вероятностями для системы
330
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОдЕ^
Для сокращения заппс и. как и ранее, через В = / + 1 будем _ значить общую емкость системы. Кроме того, чтобы не иметь д,"* со случаем, несколько отличающимся по записи от общего слу.,1' будем считать, что г > 2.
5.1. Марковский процесс, описывающий функционир0 вание системы
Обозначим через //(f) число заявок в < ис теме. Ес ли //(f) = () пм мент времени I. то положим //(f) = //(f). Ес ли же //(f) > 1, то наряд; с //(f) введем дополнительную компоненту £(f). равную прошедш^ времени обслуживания заявки, находящем я в момент f на прибор,, a //(f) определим как //(f) = £(f)). Процесс {//(f), f > ()}
марковский (линейчатый), однако, в отличие- от § 5.4, его множество состоянии Л’ имеет вид Л’ = {(0); (/,./'). / = 1. В, .г > ()}.
Положим po(t) — P{'/(f) =()}- Л( ', t) = P{//(f) — <'}, i =
= 1Д?.
Предположим, что математическое ожидание- b = [ / <1В(,г) врс-<>
мс-нп обслуживания заявки конечно. В зтом случае' (ем. теореме 1.6.-5') существу ют предельные- (стационарные) вероятности ро = = lim ро(0 п Pi(-i') = lim P,(.r, f). Можно показать также, что су->ос /->ос
ществуют плотности р,(.г) = P'(-i').
Стационарную вероятность того, что в системе имеется / заявок без учета прошедшего времени обс луживания заявки на при-
боре, будем, как и в 5.4, обозначать через р,: р, = J p,(.r)d.r. о_____________________________________________________
Введем функции = р,(.г)/[1 — B(.r)], i = 1. В Для с/, (г) с праведлива с пс тема уравнении
</'( <) =-Ас/,(.г)+ «(» - 1) Ас/.-Дт), / = 1,г,
/кС1') = А//,(->)
с граничными условиями
ос
Apo = I
__ (31
(hW= I <l<+i(r)dB(r) + i/(2 -/) Ар», ( = l,/’> b
ifff(O) = 0,
где //(./ ) функция Хевисайда.
331
t {jucmeMa M/G/l/r
Уравнения (1), (2) и граничные условия (3) получаются точно ,кР как и для СМО M/G/1/оо. В пояснении нуждаются только L тношення для и д«(0). Но их очень легко понять, если 1° ть что 1,3 еостояния (7?, х) невозможен переход в состояние 'р , р.г) из-за отсутствия такового (это объясняет уравнение (2)) г логичной причине в состояние (7?, 0) невозможен переход пз Деяния (7? +1-г).
5.2. Стационарные вероятности состояний
Решение системы (1), (2) с учетом граничных условий (3) имеет
вМ
?,(') = A'r 52 tfi-fc(O), » = 1,
Ь=0
(4)
<?/*(•») = (5)
fc=i
Справедливость соотношений (4) и (5) проще всего показать подстановкой их в уравнения (1) и (2), в результате которой уравнения (1) обращаются в тождества, а уравнение (2) приводится к ваду
Г
52 =
к-\
В еною очередь, последнее соотношение можно получить, суммируя iljno ; = 1,2,..., г. Таким образом, функции </,(.r), i = 1,7?, задава-иыеформулами (4) и (5), тождественно удовлетворяют уравнениям II) п(2).
Возвращаясь к плотностям р,(.г), i = 1,7?, имеем
А(.г) = [1 - 7?(.г)]е-^ £ <р_Л(0), ? = Г?,
к=0
Рк(г) = [1 - В(.г)] ^[^.(О) -
ТегРируя оба соотношения по .г в пределах от 0 до ос, получаем
! _____________________
Pi = у 52 ^</>-*(0), ' = г’ (6)
/;=0
i>r = - 52 vk+ь 52(°) ’ (7)
к= I к= I
332
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОдЕд где величины В/. определены в § 5.4, а b среднее время обслуа^ ния. Соотношение (6) доказывается точно так же, как и фор^' (5.4.12), а доказательство равенства (7) очевидно.
Для определения граничных условии <7,(0) подставим фор[п (4) в уравнения (3). В результате получим систему из 7? уравНн.Л относительно ро и (С), • — 1 —
Ар0 = /Vp(<>),
l,r:
q,W = ihr-k+i (0) + А и(2 - i)p0. i = 1, с. fc=0
где величины 3/, также определены в 5.4.
Вводя по аналогии с § 5.4 величины q, = <7; (0)/у>0, из (8) получад1 выражения для qp
А
Точно так же, как и в § 5.4, получаем соотношения
Р\ = v<Zi(O) - Ро, Л
P. = v'/i(0), ’ = 2, г, Л
более просто связывающие вероятности р, и граничные значения <Л(0).
Для определения ро воспользуемся оставшимся пока невостре-бованным условием нормировки ^2 Pi = 1 и соотношением (7). № fc=o
(7) следует, что и 52р, = bq.(O), *=1
где символ по-прежнему, означает суммирование по в<1 1 чениям дискретного аргумента. Отсюда и из условия нормир
вытекает равенство
1 -р0 = &</.(()).
Выражая теперь q,(0) через </,, приходим к следующей форму* ро - [1 + Ьср]-1.
333
{ Система M/G/1/r Г
Таким образом, задача нахождения стационарных плотностей . j i — 1, /?, и стационарнЬьх вероятностей р,, i = 0, /?, решена. F Получпм теперь еще одно соотношение, связывающее всроятно-ро 11 PR- Суммируя равенства (10) по i = 1,2,..., г и учитывая сдовпе нормировки, получаем
1 - PR = v<Z-(0)-
(13)
Отсюда и из (11) следует равенство
А (1 -Pr) = /г(1 - Ро), где = b~l интенсивность обслуживания.
Вводя величину р = Х/р загрузку системы, равенство (13) можно переписать в виде
р(1 -pR) - 1 -р0. (14)
Соотношение (13) отражает равенство интенсивностей принятого в систему и обслуженного ею потоков заявок в стационарном режиме функционирования СМО. По сути дела, левая и правая части (13) дают нам два эквивалентных выражения для интенсивности выходящего из системы потока:
Х/> = А (1 - р0).
Aw = А (1 — рд).
Заметим, что равенства типа (13) и (14) мы уже получали нс-одиократно для ряда других СМО с ограниченным накопителем. Рассмотренных в главах 3 и 4, и, следовательно, они справедливы широкого класса систем конечной емкости. Обоснование этого Факта можно получить, исходя из эргодичности процессов, описы-ВаюцШх функционирование соответствующих СМО.
Наконец, поясним высказывание ’’стационарные вероятности ^стоянии для системы M/G/1/r фактически совпадают с анапогич-и вероятностями для системы M/G/1/оо". Положим р, — pt/po „£^от1>им вели’1ИНЬ1 Р;°°\ и Р?1' (l\'} Для СМО M/G/1/ос Ио ,'Л'V1' соответственно. Простым сопоставлением результатов, Ц |Рнных в Sj 5.4 и в данном параграфе, приходим к выводу, что
П “(»*) 1 гТ->
ctjj " 11 Р, — р, для х = 1, г. 1акнм образом, зная вероятно-
Ь((| 1>1Тоянии для одной из этих систем, нетрудно пересчитать их Ветствующие вероятности для другой системы.
334
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ
§ 6. Система M/G/n/O
Мо^!{
Многолинейную СМО M/G/n/O с потерями по аналоги системой М/М/11/0 называют иногда системой Эрланга (систе ' М/М/п/О, являющаяся частным случаем системы M/G/n/O, рассмотрена в Sj 3.2). Система M/G/n/O также относится к ч,/ ту немарковскпх систем, ее функционирование нельзя описать ц-ковскпм процесс ом с непрерывным временем и дискретным мно;ц, < твом состоянии.
В системе M/G/n/O основной практический интерес предСТав ляет вероятность потери заявки. К настоящему времени не создано метода, позволяющего находить эту характеристику в нес тационар. ном режиме. Однако, как мы сейчас увидим, стационарные вероят-ногти с ос тояний этой системы описываются на удивление простыми и наглядными формулами.
Как обычно, предполагается, что поступающий в систему пуас-с оновскпп поток имеет интенсивность А, а время обслуживания каждой заявки на любом приборе' распределено по произвольному закону В(.г).
6.1. процесс
Система уравнений,
описывающих марковский
Для нахождения стационарного распределения ’тела заявок в с нс теме применим метод введения дополнительных переменных прпводящпп к кус очно-линеиному Маркове кому процессу (см. § 1-6) Такими переменными, наряду с числом v(t) заявок в системе в момент t, могут служить, например, остаточные времена G(f). । £,.(/) (f) обслуживания заявок, находящихся в момент t на занятых приборах в порядке' их нумерации. Добавляя эти координаты в мы получим кусочно-лпнепнып марковский процесс {'/(Н
= ("(f), £1 (t), • • • ,G(/)(^))’ t > 0}, множество состоянии Л’ рого представляет собой набор векторов (/, .г,,..., г,), ' =
•' 1, • - - г, > 0, переменной размерное тп i + 1.
Положим p0(f) = P{p(f) = ()}, P,(j |,... ,.r,T) = P{"(0 =l £l(f)<ri....G(0 <.r,}, г = 1,п. т||
Показано ([9]. см. также' [62]), что при условии конечное
сю ТВ'
среднего времени обслуживания заявки b = f ,г<1 В(>)
0 г ) '
ют стационарные вероятности р0 = lim p0(f), Р,(.гь- •’ '
___ Г|)^
= lim Д(.гггД), г = 1,и, имеющие плотности ;>>(•''1 ’ ’ ’
335
£ Система M/G/n/O
^p,(.ri, • • •,-r,)/(5.ri • • Для простоты изложения предполо-' что ФР £(•' ) времени обслуживания также имеет плотность
Выведем уравнения, которым удовлетворяют стационарная ве-„ятйостьро и плотности р,^,...,.г,), I — 1,п.
Рассмотрим все возможные переходы из состояния (г, .г ।,. .., .т,) ^Валое” время Д. За это время остаточные времена обслуживания всех заявок уменьшатся на Д, с вероятностью А Д + о( Д) может ^ступить заявка и с вероятностьюр (.Г|... ., J'k-i > 0, .R.+ i, , Я‘,)Д+ |о(Д) может окончиться обслуживание А-й заявки, имевшей остаточное время обслуживания меньше Д. В свою очередь, поступающая в систему заявка имеет время обслуживания у <; плотностью распределения Ь(у). Поскольку мы расе матриваем стационарный режим, то распределения кус очно-линейного процесса {р(£), t > 0} в моменты t и t + Д совпадают и имеют плотности распределения p,(a:i, • • •, а)- Будем считать, что поступившая заявка может с одинаковой вероятностью занять любой по номеру свободный прибор. Учитывая вышесказанное, получаем для р,(хь..., .г,), i = 1, п — 1, следующее соотношение:
7л(-П,....<’.) + Д,.. - ,.г, + Д)(1 - А Д)+
+А Д т 52^-1 (•' 1, • • • ,->Ч—+ />(.! /,) +
1 А=1
>+1
+ Д ^2р,+ 1 (j'l, 0. .ц,, .г,) + о(Д).
А;=1 \
Соотношение для стационарной вероятности р() отсутствия за-®(|к в системе имеет вид
Ро — Ро (1 — А Д) + (Д) + о( Д).
|11п, заменяя Pt (Д) на эквивалентную величину pi (()) Д,
Ро = Ро (1 — А Д) + pi (0) Д -|- о(Д).
di если в системе находится и заявок, то поступившая в
Оос Заявка теряется. Это замечание позволяет нам выписать ' еДнее равенс тво:
Рп ("Ц , • - - , -Тп) = рп (1'1 + Д,..., .г„ + Д ) +
1 "
Д ('1’ ' • • ’ • • • ,•'«) Ця'к) + о(Д).
к=1
336
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДЁд
Вычитая ро, + Д,..., х, + Д) и pn(xt + Д,..., хп -р обеих частей соответствующих соотношений, деля на Д и устре^*6 Д к нулю, получаем систему уравнений:
Ьро =Р1(0),
, д д . . . , , .
- (-Х— + ••• + 7Г-)р.(ж1,...,а:.) -Ар1(ж1,...,жг) +
cb'i дх\
<+1
+ 57 Pt+i (Ж1, • , xk-i, 0, хк,..., жг)+
k=i
1 * \
+ A-Vp1~1(x1,...,xk_l,xk+l,...,xi)b(xk), г = 1,п-1
г £—1
/.= 1
с) д . ,
- (-Х— + ’ + -^—)Рп{хЛ,..., а п) =
их I сЛг „
1 "
= А - У'Р„_| (.1’1, • , .г/г-1 , .Tfc+1, - - - , хп) Ь(хк).
К=1
6.2. Стационарное распределение числа заявок в системе
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что функции
\/ 2 _______________________
P,(.Tj,. = —р0 JJ[1 - B(xfc)], 7=1,71, 2
/—I
являются решением системы (1), т.е. плотностями стационарного распределения процесса {//(f), t. > 0}.
Стационарная вероятность р, наличия в системе ровно г заявок задается формулой '
ОО ОО ,
р- — Рг(оо,... ,оо) = I'- I рг(.г},... ,.гг) г/.г} (Lr, = о о
где р = А 6, а ро определяется из условия нормировки $2 Р‘ = Т «=0
'~° т стапи0"
Особо важную роль в практических расчетах играет нарная вероятность тг потери заявки, совпадающая со стаЦ1
вероятностью р„ того, что все приборы заняты.
г Система M/G/n/O 337
$
Нетрудно видеть, что стационарные вероятности />, для < ш те-,Ъ1 M/G/n/O определяются темп же выражениями, что и стацпонар-И1С вероятности для системы М/М/и/0 с параметром экспонс нцп-^ного распределения времени обслуживания /4 = 1/6. Таким образом мы имеем дело с интересным фактом инвариантности, ста-№Л<арные вероятности состояний р, в СМО M/G/n/O твшят 111(,лъко от среднего времени обслуживания. заявки и не завшят от Ша распределения В (.г).
6.3. Выходящий поток
Будем называть выходящим пз системы M/G/n/O потоком общин поток заявок покидающих систему как обе ту жеиных так и потерянных. Для выяснения структуры выходящей» потока < нова применим метод обращения времени (см 1.5 и 3.1).
Рассмотрим ’’обращенный" марковский процесс {/'/(/) = '/(—/) / < 0} полученный пз марковского процесса {//(I). t > 0} заменой времени на обратное. Сразу же будем предполагать, что исходная сп< тема фу нкционируст в стационарном режиме, а значит, и процесс {i/t}. -оо < / < ос} и процесс {//(I). -зс < t < -х } стационарные. Опишем обращенную” < истому, которой < оотве'т-ствует ’’обращенный” процесс {//(/). — эс < / < к }. Коорди
наты p(t) и />(1) представляют собой числа заявок в момент I в исходной и ’’обращенной” системах. Однако момент г поступления заявки в ’’обращенную” систему соответствует моменту — г схода заявки пз исходной системы, и, наоборот, момент т ухода заявки из "обращенной” моменту — т поступления в исходную. Очевидно также, что если Для исходной системы означает остаточное' время обслуживания заявки находящейся в момент I на /м при поре, то время, прошедшее с начала обслуживания заявки.
№ии,ДЯ1Цепся в ’’обращенноп” системе в момент t на том де приборе.
Интенсивность входящего в оор сщенну ю систему потока. В""Щс говоря, должна зависеть от состояния процесса {,/(/). 00 С' t < ои}: А, — А,(.» |../ ,). где с значение координаты
1 <’ а гI координаты £,(/). Вспомпн.ш теперь. что поступление за ‘,<,ЦЯ (М + А) заявки в 11 обращенную” ciktcmv соответс твуот окон-М1ю е>с)( лужпвания за вре-мя (—1 — A, —t) заявки н i каком-либе» из Ti'H П1П1”°Р‘’В в исходной системе, и пользуясь опрс'делс'ииямп ин
’Чзностп потока и условной вероятности, получаем
338 Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ Модели
P({f/(f) = i, iAt + A) = i + 1} П {.r, < ^(t) < Xj + сЦ.})
= liul ------------------------J—------------------J _
AP({(/(<) = /} П {.t, < <,(*) < ж, +<?.T(})
J=1
P({z/(-£-A)=i+l} П {^fc+A<Cfc(-t-A)<a:fc+A+da; i a-=i
________п{о<е(^-д)< A}__________
A P({p(-t) - /} h К < СЮ < })
j=i
P| {afc + A < &+i(~* - A) < xk + A + dxk}) k=j
Поскольку, как мы договорились с самого начала, система находится в стационарном режиме, а для стационарных плотностей вероятностен состоянии справедлива формула (2), то окончательно имеем
П[1-в(п)][1-в(0)] ПММ k—1 k=j »
---------------------------------— Д.
тг П[1-#(•’’Г-)] ь- 1—1
Если / = и (исходная и ’’обращенная” системы полностью за-
няты), то при любых значениях fi(/),... ,£n(t) в силу принятого (оглашения поступлению заявки в ’’обращенную” систему соответствует уход, а значит, и поступление потерянной заявки в исходную, откуда в силу пуассоновости входящего в исходную систему потока
снова имеем А„ (J’i,..., .г,,) = А.
Таким образом, интенсивность поступления заявок в обращенную” систему не зависит от состояния прбцеоса {№’ — оо</<ос}, а зто означает, что в стационарном режиме вы ходящий из системы M/G/11/0 поток заявок (включая потерянны I
являетс я пуассоновским с параметром А.
Читателю рекомендуем самостоятельно показать, что е (' £,(/) = .г, в момент t (т.е. в исходной системе в момент — t на приборе находится заявка с остаточным временем обслужив a’j), то независимо от состояния остальных компонент nP(®e<
339
IJ Сист(Ма MAP/G/1/r
,л —со < t < оо} вероятность того, что за время (t,t + dt) за-1'6 ’находящаяся на j-м приборе в ’’обращенной’’ с пстеме, покинет I спи Дта исходной системы эта же заявка пос тупит на интервале’ ejjeHii (—t — dt,—t) непосредственно перед моментом — t), равная S’L)Bgoii вероятности того, что обслуживание заявки закончится за 'СрМЯ ПРИ Условии, что оно уже продолжалось время
определяете я формулой bl^Xj) dt/[l- B(xj)]. В совокупности с до-^днным выше постоянством параметра А это означает, что срунк-цоНирук,ЩАЯ в стационарном режиме ’’обращенная” система также представляет собоп СМО M/G/n/O, только при построении с оот-веТствующсто ей кусочно-линейного процесса {r)(t), —oc<f<oc} в качестве дополнительных переменных ^(А) были взяты нс ос таточ-иые, а прошедшие времена обслуживания.
§7. Система MAP/G/l/r
В § 6.5 мы рассмотрели однолинейную < пс тему M/G/1/1 < ограниченным накопителем емкости / и произвольной ФР Щ.1) времени обслуживания заявок входящего пуассоновского потока. Здесь же мы изучим более общий случаи, когда входящий поток заявок являть марковским; тогда < оответ< твующая цктша классифицируете я как МA P/G /1 /г.
Как известно, Марков* кип поток являет! я наиболее оощим представителем < роди потоков фазового типа. Более того, он не являс 1с я рекуррентным. Эти два обстоятельства. < одной (Тороны, делают модель очереди с Маркове кпм потоком привлекал сльнон для пес ледо-ватенеи своей общностью, а < другоп оттгпвают их < ложностью проблемы. Однако как мы уже показали в § 4 6. в ряде случаев “"общение модели на Маркове кип поток можно получить осз ооль-~пк Усилии. Похожая с птуацпя складывается п для рас сматривас-® 'Десь с истомы Оказываете я. метод введения дополнительной гРАюнноц годится и в этом случае. К тому же его приме нение к I ^‘‘MAP/G/l/r не вызывает трудное той и во многом опирается
Технику. пс пользованную при анализе СМО M/G/1/г.
Марковский поток, как п ранее, будем характеризовать ма-
' Л » л г j
л п .У порядка с, при этом предположим, что матрица
^ + А неразложима, а матрица А отлична от нулевой. Это м1рует, что матрица А будет невырожденной.
^ак и в 1, 5 будем считать, что h = / [1 — В( г)] d.i < ос. Кроме' Ч>, , о
4’Полнптельно предположим, что для всех собственных зна-22-
340
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДщ чений {с;} матрицы Л выполняется условие /3(—сгг) 0, где ги по-прежнему, ПЛС ФР В(.т). '
7,1. Система уравнений
Пусть /Д/), как и для ранее изученных СМО, есть число заявок системе в момент времени /, £(/) -фаза, на которой находится Пр'(В цесс генерации заявки на входе системы, и ту(1) -время, прошедшее начала обслуживания заявки на приборе к моменту времени t (еС1|1 в системе есть заявки). Положим теперь £(t) = (£(!),/'(!)), еслив системе нет заявок = 0), и <(t) = (£(«), г(<), 7?(t))- ® противное случае (р(1) > 0). Тогда процесс {C(t), t > 0} является линейча-тым марковским процессом. В этом нетрудно убедиться, привлекая рассуждения, проведенные в § 5.4 для СМО M/G/1/оо и учитывая помимо этого, что длительности пребывания заявок на фазах гене-рации распределены по экспоненциальному закону.
Множество состояний Д’ процесса {£(t), I > 0} имеет вид
д’ = {(«,о), ; = IJ; (', Fз:), I = 1Д, * = М?, > о}, где R = г + 1 емкость СМО. Состояния процесса {£(£), t > 0} интерпретируются следующим образом. Если = (7,(1) для некоторого момента времени /, то это означает, что генерируемая на входе СМО заявка проходит фазу i и система пуста, а £(<) = (г, 1,1) соответствует такому < остоянию системы, когда генерируемая зэ явка проходит сразу с, в системе находится к заявок и при этом время, прошедшее с- начала обс луживания заявки, находящейся на приборе, равно .г.
Положим p,o(f) = F{(£(1),/Д1)) = (г,0)}, Plk(x,t) = Р{(ЙЙ=^ »(t) = < .г)} и р,с(.г,1) = dPik(.r,t)/dx, i = 1,1, к = 1Л-
Доказательс тво существования плотностей (т,/) можно провести аналогично тому, как это было сделано в § 5.3 для СМО M/G/l/06 Более подробное обоснование этого факта содержится в [45]. Д-1’ простоты изложения, как и в 5.3 и 6.5, будем считакь, что В(.с) непрерывна, откуда, в свою очередь, с ледует непрерывно плотное той р,к (.т, t) и, кроме1 того, выполнено неравенстве? 1 <’ < 1 для вс ех .т.
Пусть t„ п-и момент начала обслуживания некотором на приборе или перехода с истемы в одно из состояний мне» До = {(г, 0), i = 1,1}. Положим = (Д/,, +0). Тогда последовать^ ность {£,,, п > 0} образует однородную цепь Маркова, влолс * по моментам переходов процесса {£(1). / > 6} в какое-лисю ние (г, А;, 0) или в дискретное множество Д’о. Легко видеть. цепь Маркова является неприводимой. Поэтому выполняю'1’1 (ц вия теоремы 1.6.5', с огласно которой процесс {£(1), t Д 0} яв'
„ Система MAP/G/1/т 341
г()д1ГК'< ким и- следовательно, существует предельное (сташюнар-
1 1>а< пределенпе данного процесса:
fl0<7 1 ___
P.O = lim р,0(1), ' = 1 J,
P,a(.i) = lim Plk(x.t). i = 1,1. k=l,P, a- > 0. /—>oc
rimi этом стационарные вероятности Л/.(.г) имеют плотности
Далее, введем функции 6/,а,(г), определяемые соотношениями p.k\-r) = [1 - В(1 )]<;,/. (.г), (1)
а также векторы q,.'(.г) = (</i А (-»')' ... ,сдА(.г)) и р0‘ = (р10,... ,р,0).
Покажем теперь, что с/л- (»'), А =1,7?, удовлетворяют следующей октемс дифференциальных уравнении:
(-*')= <7а'(* ) A + u(k - 1) <7,.'_, (.г)Л\ А = 77. (2)
(') ~ (1к С* I с + 71 h) а (з)
(граничными ус ловиями
ОС'
(Г =р7А+/с7Д.г)с/В(.,), (4)
о
оо
<Тк (0) = I <7а41 ('•) <1В(Г) + "(2 - ЦРотХ А- = 17, (5)
О
<7«(0) = б, (б)
4°, как и ранее, //(.г) —функция Хевисайда.
Рассмотрим, как обычно, моменты времени t и t + А. Для того 1Т"6ы в момент / А процесс ДА) находился в состоянии (г, к, х + )• ’ = 1,/, А = 1, г, необходимо выполнение следующих условий: д в Момент t процесс £(/) находился в состоянии (г, к, .г), а за время й( закончилась генерация фазы ч (с вероятное тью 1 + А,, А +о( А))
В(1 ааве1>шплось обслуживание заявки, находящейся на приборе (с j Мятное тью [1 - В(.г + Д)]/[1 - В(.с)]);
Момент t процесс ("(/) находился в состоянии (j,A,,.r). j = 'te г’ а за время А процесс’ £(/) генерации заявки перешел 1о(ду Иа Фазу I без поступления заявки (с вероятностью А7,А + б и не закончилось обслуживание заявки на приборе;
342
Гл. С ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ
в момент t процес с (,(f) находите я в с ос тоянии ( /, Zj , = 1.1. а за время -X процесс генерации заявки завершу ход с фазы ) на фазу /. < опровождающппс я поступлением £ 11,111 вероятное тью .V,,A 4-о(А)). и не закончилось обслуживание ц щепе я на приборе заявки: заметим. что ес ли Z’ = 1, то это не может осуществиться, так как прошедшее время обслуд^ заявки, поступившей в свободней) систему. равно 0.
В с илу того, что вс с- ос татьные возможные переходы пме1(1Т роятность о(А). мы можем теперь, ис пользуя формулу полной ятности. написать
Р,л (.г + A. t + А) = p,A(.r, Z) (1 + A„A)
1 — В(.г)
/
+ I’li (•' • Z) А;,Д
1=1
1 — В(.г + А)
<#<
+"(/>' -х) ДГ'’А +"<А>-
Переходя в этом равенстве’ к стационарному режиму и ис подай с оотношение’ (1), после элементарных преобразовании имеем
1
<1,1. (। + А) - с/,/..(•') = 'М W Л" А+
j=i
* /
+«(Z- - У^ф.а-|(э-)тУ,,А + "(А), г = 1,Л Z = l,' .1=1
Отсюда, деля на А и ус тремляя А к нулю, окончательно^ пол.'1,1 систему дифференциальных уравнении
I 1 _
'М (•'•) = ^2</)а (•'•) A,,+w(Z -1) ^2 <lj A-l (•') Aje, I = 1-/- * =1 (=1 ./=1
которая в матричной записи эквивалентна уравнению (2)- ...
Для получения уравнения (3) заметим лишь, что для тс>г°
в момент времени А +А процесс ((t) находился в состояний ( _1Пр1' необходимо, помимо выполнения аналогичных указанным
к В условиям, для Z = К добавить еще одно условие:
§ 7 Система MAP/G./l/r 343
в момент t процесс находился в состоянии (J, R, a-), j — 1, Z, а за время Л поступила и потерялась заявка, причем процесс генерации £(б) перешел с фазы j на фазу г (вероятность этого события равна Лг7гЛ + о(Д)) и не завершилось обслуживание находящейся на приборе заявки.
Все остальные шаги по обоснованию уравнения (3) аналогичны действиям, выполненным при выводе уравнения (2).
Перейдем теперь к граничным условиям. Начнем с условия для рд. Вернемся к нестационарному случаю и снова рассмотрим состояние процесса в моменты t и t + А. Тогда для того чтобы в момент t + А процесс £(£) находился в состоянии (л, 0), i = 1.Z, необходимо осуществление следующих событии:
в момент t процесс £(£) был в состоянии (г, 0) и за время А не закончила/ь генерация фазы / (с вероятностью 1 + Л„А + о(А));
в момент t процесс ((/) находилс я в состоянии (;,0), j = l.Z. j I, а за время А процесс £(/) генерации заявки перешел с фазы ; на сразу i п при этом не поступила заявка (такое событие происходит с вероятностью Л,,А + о(А));
в момент t процесс <((/) был в состоянии (с. 1,з) и за время А закончилось обслуживание заявки, находящейся на приборе (с вероятностью [В(.г + А) - В(.г)]/[1 - В( г)]).
Вероятность всех других возможных событии равна о(А).
Тогда по формуле полной вероятности получаем
1
p,o(t + А) == p,o(Z) (1 + А„.А) + А,г Аф
j=i
ОС
+ + ,. = Г7.
о
Отсюда, переходя к стационарному режиму, с учетом соотношения В) пос ле упрощении имеем
1 00
0 ~ i (j ) [I?(.r+A) — I?(.r)] cZ.c+o(A), Z = 1,Z.
j=t {
t Можно показать, что pliy (т) и, следовательно, </,/,-( с) являются Ранпченными функциями (доказательство этого факта можно Пти в [45]). Тогда в силу непрерывности и ограниченности ср^.(.т)
344 Гл. 6 ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАГКОВСКИЕ МОделц имеем ([62])
Г В(.е + А)-В(з) / , UR/ >
Inn / Q,л (j )--------------с/г = / <i,f. (.r)ilB(.r).
о о
Возвращаясь теперь к полученным выше равенствам для р деля обе их части на Л п переходя к пределу прп Л —> 0. прпходПЛ] к следующим граничным условиям:
I
0 ' = 11.
'=' О
Эго уравнение в Mai грпчпоп записи соответствует (4).
Получим теперь граничные' условия сд (0). С этой цетыо рассмотрим < обытпе {£(/ + А) = /. i'(f + А) = К . i/(t + А) < А}. > = 1.1. k — 2.1. Для выполнения этого события необходимо, чтобы в момент времени t процесс (ДА) находился в состоянии (/.А + 1. i) п за время А завершилось обслуживание' заявки, находящепс я на приборе. Вероятность остальных возможных переходов равна о(А). Следовательно
P,i. (A. t + А) = У р,./. + 1 (> 0 (,л +
о
I = 177. А = 277.
Отсюда. переходя к с тацпонарному режиму и применяя затем теорему о среднем, с учетом (1) имеем
Л*(А) = ] = Pll.(0b)A =
b
= У <6.а + 1(г)[В(г+А)-В(.г)]с/.г + о(А). ()<»<!, /=Т77. А=277. ()
Деля пос ледние' соотношения на А п переходя к предс ту прп приходим к равенс твам
У'б.А + 1 ( | )с/В( । ). 1 = 1.1. к = 2. г.
о ____
которые в матричной записи дают нам уравнение (5) прп А = 2.'-
345
. н CwmtMn MAP/G/l/r
Для обоснования уравнения (5) при к = 1 необходимо учесть до-()1йптельно. что событие + А) = i. v(t + A) = 1. i/(t + Л) < А} ° .от осуществиться не только за счет окончания обслуживания х1(|Л1 _ -
вкП. имевшейся на прпооре в .момент времени f, но и в том слу-ре когда в момент t процесс <(f) находился в состоянии (./.0) и за д произошел переход < фазы генерации j на фазу i. сопровождаются поступлением заявки (с вероятностью Aj,A + о(А)). Остальное шаги по обос нованию (5) при к = 1 аналогичны случаю к 7^ 1.
Справедливость равенства (6) очевидна, так как в состояние |( J?.0) невозможно попасть за счет окончания обслуживания в силу )Г0, что в с истеые не может быть больше, чем Z? заявок.
Введем теперь с тационарную вероятностьрд сое тоянпя (/. к, л ). когда не учитываете я прошедшее1 время обслуживания:
ппможпм рк = (/>1 /...рц,). Тогда условие1 нормировки запишете я
в виде
Р.г1 = 1: (7)
весь, как и ранее, точкой в качестве1 нижнего индекса некоторого символа обозначено суммирование по ве ем возможным значениям .у того индекса.
7.2. Решение уравнений: рекуррентный матричный алгоритм
Рассмотрим сначала систему дифференциальных уравнении (2) 11 (3). Для нахождения ее решения введем следующую пос лс-дователь Иость матричных функций:
F0(.r)=e'v,
Fa.(t) = I к> 1
о
Г (8) следует, что Fn(0) = I и FA.(0) =0. к > 1.
г Дифференцируя равенства (8). а затем, ис пользуя снова эти со-1( 0В11'нпя. приходим к системе дифференциальных уравнении, ко-'|,Ь111 удовлетворяют F/Д.е):
F'k(.r) = Fk(.r)\+u(k)Fk.^l{.r)N, к > 0. (9)
( TIT<
матрицы F^(.r) имеют вероятностный смысл. A есть вероятность того, что за интервал времени
346
Гл. 6 ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ М()де [О, .г) поступит к заявок и процес с генерации заявок в момент г находпты я на фазе / при условии, что в начальны!! момент вр(Л 1 он находился на фазе ?.
Обратимся теперь к решению системы дифферент^-,, уравнении (2) Решая эту систему сначата для А = 1 и 2 и учцТЬ1с при этом соотношения (8), затем по индукции получаем, что *
fc-1
J=o
где для сокращения запис и принято обозначение ср. = <р(0).
Заметим, что в справедливости формулы (10) можно убедить;, подставив ее с учетом (9) в уравнения (2) и обратив их тем самьИ| в тождес тва.
Для нахождения ср?(г) прос уммирсем уравнения (2) и (3)по1 = — 1,2,...,/?. В результате получим
-^-с/.' (г) = с/1 (j ) А*.
(IX
Отсюда следует, что
q '(.Г) c/''cV'. (И)
Последнее равенс тво позволяет нам получить выражение для cp?(.i)
= 7 '<A'J - С
С-1
В формулах (10) и (12) остаются пока неизвестными векторы ср., к — 1, г, п мы приступим теперь к их отысканию. С этой целы1 подставим выражения (10) для ср.(.т) в равенства (4) и (о) при' " = 1, г — 1. В результате получим следующую систему аягебраич ких уравнении относительно неизвестных ро и ср,., к = 1,г:
0 1 = р(>‘ А + ф1 В(>, к _______| (В'
ф/ = + "(2 ~k'o7)N^ к = I-'- - I-
7 = 0
где В, = f F(,(.i) dB(.r).
о jjOpfH
Мат]>ица В/, есть матричный аналог экспоненцпатьног0 ‘ h та порядка к ФР В(.г) и ее элемент (Bi),j представляет < ятность того, что за время обслуживания некоторой 3'1ЯВЬ',1пВйк1!’1 пит к заявок, а процесс генерации после окончания обе Т'/Ь
у Сш'пнм(1 MAP/G/1/r
347
(.цдет на фазу j прп условии, что в момент начала обслуживания В начачс я с фазы I.
Преобразуем теперь систему (13). представляя ее как систему ----------------- ----- -> д _ 1,?-. п считая прп
1Вненпп относительно неизвестных ед. 'том вектор ро известным. Тогда получим
/ Во 0 В, -1 в, ви Bt-I .. В,-!\ в,_2
('В* • - . , ) 0 0 Во ... В,._з =
\ 0 0 0 Во 7
— ( -Рот A,-/V V, бг,....бт )• (14)
В силу того, что матрица коэффициентов системы уравнении (14) являете я блочно-треугольной, то прп условии обратимое ти матрицы Во, метено вес неизвестные ср, к = 1,г. выразить через вектор рЬ •
Заметим теперь, что
В„ = I еЛт<1В(В) = 3(-А), о
где/i(.s) ПЛС ФР В(.г). Известно также ([88]), что если ст, собственное число матрицы А, то /3(—ст,) является собственным числом матрицы 3(—Л) = Вд. Принимая во внимание сделанное' выше1 предположение' о том, что /1(—ст,) ф () для всех i = 1,7. имеем, ito матрица Во нс1 вырождена и, следовательно, существует обратная матрица В~1.
J читывая изложенное выше, решение системы уравнении (1-1) будем искать в виде
(Jk=PoQk, * = 1Л5 (15)
Др Матрицы Qa определяются с- помощью следующих рекуррентных “’отношении:
Qi = -ЛВ~‘.
Qk = [Qa_i - Qk-jB} - м(3 - к) А’] В'1. к = 2, г.
пРлведливость формулы (15) нетрудно установить путем ее 'VT cUlOBKn в уравнения (14), в результате которой последние с 011 (16) обращаются в тождества.
348 Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДщ
Оставшийся пока неизвестным вектор р0 можно наитп (t Tf i ностыо до константы) пз последнего соотношения (5) (при /, после подстановки в него выражении (10) и (12) для q\ (.г), /, и выражении (15) для с/}.. к = 1./. Действительно, система Од родных уравнении (13) вместе с этим дополнительным соотно нием имеет 1В неизвестных у7() и <д. к = l.r, и содержит <тодЬко же уравнении. В силу единс твеннос тп с тационарного распредед(.К11с процесса {((f). t > 0} имеем, что ранг такой системы равен //?-] ц значит, ее решение может быть найдено с точностью до константы которая, в свою очередь, находится пз (дополнительного) условия
нормировки.
Однако для определения у70 мы сбудем использовать нс» полу»1Н0. мую таким образом систему уравнении, а другую систему, эквивалентную данной. Для этого прос уммпруем вс е уравнения в (4) и В результате получим
<Г = I су.1 (.г) с/П(.с) + у70гА*. о
Подставляя в последнее равенство выражение» (11) для q(.i). имеем <ZT ='Г'Во+/70’Л*. (17)
где Л,, = / <л ' <1B(j ). И, наконец, подставляя в (17) выражения о ___________________
(15) для q/,. к = 1, г, приходим к следующей системе» уравнении относительно вектора неизвестныхр(1:
PoQ = б г, (18)
где Q = Q (I ~В*)~ Д’.
Как уже было сказано, вектор у70 находится пз (18) с точностью до константы. Для определения последней ниже» мы получпм уравнение, эквивалентное ус ловию нормировки (7). Для этого рассмотрим соотношение (11) и умножим обе» его части справа на вектор 1- Тогда ПОЛУЧПМ
</-(') = '/• W
где q.(i) = су1 (г) 1 и q. = q г1. Умножая теперь обе части с оотноПУ ния (19) на 1 — В(,г), а затем интегрируя их по .г в пределах от 0 б1’ ос- и используя условие нормировки (7). получпм
l-p0 = bq..
Таким образом, система уравнении (18) вместе' с соотношением (-и с учетом выражении (15) для суд к = 1,?, позволяет опредс’7 вектор у7(| единс твенным образом.
349
н fwcmeJna MAP/G/l/r 8 '
Перейдем теперь к определению векторов р),., к = 1,Р. С этой пью вернемся к дифференциальным уравнениям (2) и (3). Умно-“ддобе части уравнений (2) и (3) на 1 — В(г) и интегрируя их по г Пределах от О Д° °°’ в результате несложных выкладок с использованием равенств (4) и (5) получим с ледующие соотношения:
-9iT = (рот + Pi) л.
-«7 + 4-1 - "(3 - к)PJN = р7А + p^N, к = 27,
(21)
(22)
q? =p£A*+prTN.
[1з (21) и (22) очевидным образом следует, что
Pi = “(«/А-1 + 47
Pk = - (чк + ZZ1VA*)A-1 ’ А' = 27-j=o
(23)
(24)
Нам осталось определить вектор рр. Для этого сложим (24) при k - г, умножив предварительно обе части этого равенства справа на матрицу Л, с равенством (23). В результате получаем систему сравнении для определения рц:
р.'А* = б'. (25)
В соответствии с определением марковского потока матрица Л* есть матрица интенсивностей переходов Маркове кого процее са {f(0-f> 0}. Поэтому система уравнении (25) вместе с условием нормировки (7) позволяет определить единственным образом вектор р., wo, в свою очередь, дает возможность найти вектор рц пз соотношения
Рн=Р - ^Рк- (26)
к=0
7.3. Вычисление матричных экспоненциальных моментов
В этом разделе мы покажем, как можно вычислить матричные ^поненциальные моменты Вк. Именно эти вычисления сос тавляют ®аЯболее существенную часть предложенного выше алгоритма.
С этой целью предварительно остановимся на вычислении ма-ц|и ц д > о Рассмотрим сначала матрицу F0(.c) = <
Усть а = шах |Л„|, и, кроме того, положим
Р = 1 + а~1А.
(27)
350 Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
Необходимо заметить, что определенная в соответствии с (27) уа. трица Р представляет собой матрицу переходных вероятное теп Нр. которой обрывающейся цепи Маркова.
Из (8) и (27) получаем, что матрица F0(a:) представима в виде
F0(.r) = e— (28)
71—0
где Fo„ = Г".
Поставляя теперь (28) в (8) при к = 1, после несложных выкладок приходим к равенству
где F|„ = £ F'SP"-'-1 п s = a-'N.
Z=0
Поступая далее аналогичным образом, в общем случае по индукции получаем
ЕДг)^<— (29)
п=к где
F,„ = £ P'S , п > к > 1. (30)
/=о
Нетрудно видеть, что для матриц F/.,, можно получить, шходя из (28) п (30), < ледующпе рекуррентные соотношения:
F0„=F", »>0
Fu. = FA_1,A_,S. k>l, (31)
F*„ = F/,,„_|F + Fe~K„_iS, п > к + 1, к > 1.
Заметим, что справедливость соотношении (29) и (31) может быть показана путем подстановки выражении (29) для Fc(.i) с учетом (27) в уравнения (9).
По аналогии < предыдущим. полагая а* = max|A*| nF* =7 + +(rt*)~1A*, получим для F(,(.r) (ледующее представление:
«=о
где Fo*„ = (Г*)”, »>().
{tyc?11* MA Р/Ст/1 /г
351
Г рррцем< я теперь к матрицам В).. Подставляя выражение (29) г ,) в равенство Вь = J Fk{x) dB(x), получаем, что матрицы |в В' о
j представить в виде
Bk - 57 Fknfin, к —0, г, п~к
(33)
1I« —экспоненциальный момент порядка м ФР В(т):
Аналогичным образом для матрицы получаем
ОО
В*о =
п—О
№
оо
Р*п = I сГа'-^2(1В(х), п > 0.
О
(34)
Вычис ление матрицы Г/. на основе ряда (33) производится сле-лощим образом: при заданном £ > 0 определяется номер п0 такой, По
Ео L, Рп > 1 — е, н тогда суммирование в правой части ряда (33) п=0
вйнчивается, когда индекс п достигает значение' «о, при этом член чтим номером включается в частичную сумму.
В этом случае для остатка матричного ряда (33) с учетом веро-костного смысла величин [i„ и матриц Р и S. на основе которых •соответствии с соотношениями (31) определяются матрицы В,„, Ччаем следующую оценку:
“/1Н какая-либо из норм матрицы А.
Ч'Могпчная процедура используется и при вычислении матри-°о-
. При Siia
«а
некоторых дополнительных ограничениях на ФР В(.г) вы-Для матриц В; можно получить в явном виде. Остановимся Этом случае.
352
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ
М°ДЕл1}
Пусть ФР В{.г) имеет дробно-рациональное ПЛС. Тогда известно (см. 8 1.6.2), В(л ) представляется в виде
1(Ч
В(.г) = 1 - Д гс ~Gr 1, г > 0, (3.
где1 G матрица порядка т с собственными числами, имеющие п ложительные вещественные части, a /7 вектор длины т. ПодОЙЩ М = —G п /7 = —М 1. Тогда выражение (35) для ФР В (г) запцщеТ( в виде
B(.r) = 1 — Д тел/< 1, х>0. (ЗС.
В этом с лучае1 имеем
Вк = У ГА (.г)сШ(.г) = У Щ.г) ДтеЛ'г/7с/.г = о о
= (/ Д') у (ПА(.г) (<>с>л/') с/.е(7С>/7), (37)
О
где1 Л с Б кронекерово произведение матриц А п В. Даяее положим
л = У(ГА(.г)с.)сл/1)с/.с, Л-> 0. (38)
О
Тогда согласно (37) имеем
вк. = {1 (39)
Следовательно, для определения матриц В/. необходимо н<штп выражения для матриц ^А. Для этого рассмотрим с начала (38) про к — 0. Тогда из (8) получаем, что
. у (,л *Лэ<ЛЛ' У с1(л'г,л/),с/.г = -(ЛеИЛ/)'1, 4
о о
где1 Л(|)Л/ = Ле I +1 'iM кронекерова сумма матриц Л п V. тпм, что обратимость матрицы ЛфЛ/ вытекает из с вопств , рова пропзве-денпя матриц, принимая во внимание1 также тот <1 • что матрицы Л п Л/ являютс я устопчпвымп. Далее, прп 1=1 и (8) с- ун-том (40), опуская проме-жуточные- выкладки, П"7' 1
У с/.г( у Fo(.'/)^eЛ,•'-'')</^/( ^cЛ/, е> о
Система MAP/G/l/r
353
— <0 I) Со-
действуя аналогичным образом, в общем случае по индукции „случаем
<fik = CoG'V ® I) СА—ь к > 1- (41)
ц3 (39) (41) теперь нетрудно получить явные выражения для матриц В к:
Вк = (-l)fc+I(W T)[(A®M)-1(7V®7)]fc(A*M)-I(l«p)- (42)
Аналогичным образом получаем явное выражение для :
в* = -(I ® Д Г)(Л* ф М)~' (I ® /7).
Обратимость матрицы Л* tH М опять же следует из свойств кроне-керова произведения матриц и пз того, что матрица Л* полуустой-чива, а матрица М устойчива.
7.4. Основные показатели производительности системы
Матричный алгоритм, полученнып выше, позволяет найти стационарные плотности вероятностей {p/,.(.r), к = 1.7“} п стационарное распределение вероятностей {рк, к — 0.7?} состоянии СМО MAP/G/1/r, рассматриваемой в произвольные моменты времени. В определенном смысле эти характеристики являются базовыми, так как позволяют получить на их основе целый ряд других стационарных показателен производительноетп системы и, в частности, распределения для цепей Маркова вложенных по моментам поступления заявок или моментам окончания их обслуживания. Ниже1 мы остановимся на определении последних. Однако предварительно выпишем необходимые для этих целей и. естественно, важные сами По себе выражения для некоторых показателен производительности 'Истемы и установим соотношения между ними.
Прежде всего определим интенсивности потоков, входящего в С1(тему, принятого в нее, потерянного на входе1 с истемы и обслу-*₽нного ею. Обозначим интенсивности этих потоков через А, Ал, I И Xf) соответственно.
Положим А = —А 1 и н — N 1. Из определения марковского по-ПоцЛ < Лед-'ет’ '1ТО = 0’ п поэтому А = V. Заметим, что i я ком-Vc с HT<1 В<*КТ<>РОВ А и и ес ть пнтенс явность пос тупления заявки при
Ии, что она заК()НчПЛа свою генерацию на фазе i. Помимо этого
354
Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОдЕ^
имеем, что согласно (25) вектор р.т задает стационарное расцре ление марковского процесса {£(£), t > 0}, т.е. plt. есть стационар^' вероятность того, что в некоторый момент времени входящийма ковский поток будет находиться на фазе г. Учитывая изложенной получаем, что
(43)
В дальнейшем для краткости равенства типа (43) мы будем Вапису вать лишь в терминах вектора Л.
Далее, рассмотрим вектор р. — р к; i я компонента этого ве1.
тора есть стационарная вероятность того, что процесс генеращ1п заявки находится на фазе г и в накопителе имеется по крайней мере одно свободное место (в этом случае система доступна для входящих в нее заявок). Тогда для интенсивности Ад принятого потока
имеем
^4 — (Р-Г ~ Рк) 2с
(44)
Нетрудно также видеть, что для интенсивности Ад выхода из с пс темы, называемой также пропускной способностью с истемы, имеет мес то с ледующес равенство:
Ад = //(1 - ро).
(45)
Так как в стационарном режиме работы системы Ад = Ад, то имеем другое выражение для Ад:
Ар = (р.т -Рк) А. (40)
И, наконец, учитывая, что Л = Ад 4-At, из (43) и (44) непосредственно получаем
Аг=/7/)А. (47)
Определим теперь вероятное ть потери заявки тг для стационарного режима функционирования СМО. Известно, что в этом слу'И1’
П~ X ’
Пз этого равенс тва с учетом (47) получаем другое выражение Д-вероятности поте рь:
1 - гГ (48
Вернемся теперь к равенствам (24). Умножая обе1 части )Т1 равенств справа на вектор А и суммируя их по k = 1 2 учетом (43) получаем, что
</ . = А - рк А.
355
у ритема MAP/G/1/r
Н следнее Равенство с учетом (20) п (48) приводит к следующему ^ношению:
А(1-г)=—™
(49)
„торос'. впрочем, могло оыть получено непосредственно, пс ходя пз эргодичности процесса {((A), t > ()}.
Обозначая через /> = ХЬ загрузку системы, перепишем равенств» (-W) в виде
/>(1 -7r) = 1 - ум-
равенства (49) п (50) целесообразно использовать для контроля
расчетов, производимых с ног<> алгоритма.
помощью предложенного выше матрпч
7.5. Стационарные распределения для вложенных цепей
Маркова
Изучим теперь цепи Маркова, вложенные либо по моментам поступления заявок в с петому, либо по моментам завершения их об-(цужпванпя.
Цепь Маркова, вложенная по моментам поступления заявок. Положим = ((т„—0). Последовательность {(,7,,- " > > 0} образует однородную цепь Маркова, вложенную но моментам г„ - 0 пос тупленпя заявок. Множество состоянии цепи Маркова {(। „, и > 0} совпадает с множеством состоянии V для процесс а {((О- f>0}.
Пусть Лд ;) стационарная плотность вероятное теп с ос точим (с,А, с ) для цепи Маркова {<7,,- " 2? •>}• а 7Г7 л> 11 ,т с ,* стационарные вероятности состоянии (с.О) и (я. А) = (J (с.А. с) с о-' ><’
"тветственно. Введем также1 векторы 7F7 z ( г) 11 я7 * • аналогичные 1,11 структуре п размерности векторам /ц(с) II р,,. Тогда имеем
<!.* (•') = уЛ,'(-')^- А- = 1.Z?. Л
(51)
= тЛ' v А =0.7?. (52)
Л
'До X
R. интенсивнос ть входящего потока, опрс'дс'лясмая срормулоп
у Доказательс тва формулы (51) достаточно заметить, что < <ТЬ 3и<‘м<'нт<1Рная вероятность пос тупленпя заявки за малып Ч’Вал времени (А.А + _Х), оставляющеп процесс (<(А), А > 0} в
356 Гл. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ М()дЕ^
момент 1 + Д на фазе j при условии, что в момент t он находи^, фазе i. Тогда нетрудно видеть, что в стационарном режиме ционпрования СМО
, (г) = lim
Л д-+о
;ТтА
Отсюда с учетом (43) получаем (51). Справедливость равенства (5? очевидна.
Пусть теперь тгд k(jc)—стационарная плотность вероятностей /
состояния (А1, .г) = U (г, к, х), рассматриваемого в момент тп - о По. г=1
ступления заявки, а 7Гд к есть стационарная вероятность того, чтоб момент т„ — 0 поступления заявки она застанет в системе к заявок. Непосредственно из (51) и (52) следует, что
*А,кИ = vA-'(J')A, к = Т^В, (53
Л
7ТА,к = ^Рк-^ k = 0,R.
(54)
Заметим, что вероятность Яд определяемая на основе (54) при к = В, есть не что иное, как вероятность потери заявки, и выражение для нее совпадает с выражением (48), полученным из других < оображении.
Цепь Маркова, вложенная по моментам окончания обслуживания. Пусть s„ момент окончания обслуживания и-й заявки. Положим п = £(.s„ +0). Нетрудно показать, что последовательность п > 0} образует однородную цепь Маркова, вло-
женную по моментам + 0 окончания обслуживания заявок. Мио жество состоянии Д'р цепи , п >0} имеет вид А'и = ’
где Ад. = {(/,/.-), i = 1,/}, к — 0, т, а состояние (г, к) означает, чТ в момент sn + 0 процесс генерации заявок находится на фазе г 11 системе1 имеется к заявок.
Обозначим через тгд гА. стационарную вероятность сскт° яния (г, А’) для цепи Маркова {Ср„ , п > 0} и положим ОД
357
„ Система. MAP/G/l/r
. (jrp.lA-’ " 4^’ Т°ГДа ИМееМ
если к = О,
если к = 1,
если к = 1, г.
прежде всего заметим, что заявки за малый интервал
Для доказательства формулы (55) рсроятность окончания обслуживания jpfiieHlt (t,t + Л) при условии, что с начала обслуживания прошло В|,смя Л равна [В(.г + Л) — В(.г)]/[1 — В(.г)]. Поэтому в стационарном р(7Кпме работы СМС) получаем, что
17<&1(г)[В(.г + Л)-В(.г)]^
ТГр д = lini —-----------------------------
Л"*° д f ф(а’) [В(-г + Д) - в(-')] dr о
J <zZT+i (•’) <1ВИ
= А- = О,г.
Jc/.(j-)c/B(j)
О
Отсюда с учетом (19), (20) и (45) следует, что
оо
^D+k = I ' к = П,г,
о
что вместе с (4) и (5) приводит к соотношению (55).
Положим теперь тг^ к = тг 1. Тогда тг^ fe —стационарная вероятность того, что в момент »„ + 0 окончания обслуживания заявки в системе остается к заявок, -находится по формуле
л+ = 2- Рк \ к = 0. г. (56)
Лр
Формула (56) следует пз (55) с учетом равенств (24).
7.6. Стационарное распределение времени ожидания ри Дисциплине FCFS
; ’смотрим по-прежнему стационарный режим функционпро-;Е( я СМО и изучим время ожидания заявки, принятой в систему, '^п 1<1Р’ ког^а обслуживание заявок производится в порядке1 их по-1енИя. т.е. согласно дисциплине FCFS.
358
Г.1. 6. ПРОСТЕЙШИЕ НЕМАРКОВСКИЕ МОДЁПц
Обозначим через П'(А | (/. к. .г)) условную ФР времени WK] нпя некотором выделенной заявки, заставшей в момент т„ _ g ‘ь поступления систему в состоянии (i.k. 1).. а ПЛС этой фр u?(s | (/. А-. .»•)). Длительность ожидания заявки, заставшей с пстс^'4 в состоянии (ЛА..г). равна суммарной длительности обе.туЖиваВ1 А' — 1 заявок, предшествующих данной. плюс время, необходим,,,, завершения обе лд живанпя заявки, находящейся на приборе- в мс>м,.н пос тупления данной заявки. В сип этого, а также-, считывая нез, впспмость длительнос тей обс луживания заявок, имеем, что
-Ф1(<-,А-..г))=сЛ-‘(л)у,—1 - -»>0, ' = м. А=Г7.
о
Кроме того, возможна ситуация, когда выделенная заявка застает систему в состоянии (/.()): условную ФР для данного случая обозначим через ТГ(А|(ЛО)). а ее ПЛС через т(s | (/, ())). Так как в этом случае- рассматриваемая заявка застает систему пустой, то. с ледовательно. она не ожидает. Поэтому
-(•с | (/,())) = 1. /=1Д.
Пус ть теперь некоторая заявка прпня 1 а в с нс тему функционирующую в стационарном режиме. Обозначим через И , (А) вероятность того, что время ожидания этой заявки меньше Айв момент ее пос тушения пронес с генерации заявок находите я на фазе к д через u.-,(s) ПЛС для ТГ,(А). Кроме того, введем вектор Д 1 (v) = = (u,’i (.->)... . _С/( s)). Проведенные выше- рас сужденпя позволяют нам записать выражение для Д(->) в виде
J = 1~ Рл.о + 52 (•s) (•'') <l>
А-1 о о
где- л вероятность потери заявки. Последнее- равенство с учете»! формул (51) и (52) приводится к виду
+ £у-'(•>) / к =1 о о
Отсюда с счетом выражении (10) для <7д(г) и соотношении (9) тем ряда преобразовании, которые мы отекаем, получим с.кД' щес- выражение для Д(ь)'
':',(s)=a(TL-'7tK +
„ Система MAP/G/l/r 359
Il r k~'
+ Г//"* (*) Е йТ-Л(-1Г+W) (* J+A)"1 (TV (.S /+Л)-1 у +
& '=°
+ E(-1)”'Bj-™(^ + A)“1(Ar(^ + A)-I)”,]}7V. (57)
;»=0
3aii₽TI,lJ’ что «братимость матрицы s I + Л вытекает пз сделанных Бь1П1<’ предположений относительно матриц Л и N.
IB (57) очевидным образом получаем ПЛС w(s) для стацпонар-доп ФР времени ожидания заявки, принятой в систему:
cj(s) = се t(.s) 1,
MeJ(s) определяется формулой (57).
7.7. Стационарное распределение интервалов между выходами обслуженных заявок
Рассмотрим, как и ранее, стационарный режим функционирования СМО и найдем распределение интервалов между выходами заявок обслуженного потока.
Обозначим через Z)(Z|(z,A')) условную ФР промежутка между выходами (ос еднпх обслуженных заявок при условии, что в момент s„ + 0 окончания обслуживания некоторой заявки СМО находите я вихтоянип (с. А'), (ЛА') £ Л'д, а через <V(s |(t, А)) обозначим ПЛС, соответствующее этой ФР. Тогда ПЛС <V(s) ФР интервала между выходами обслуженных заявок определяется соотношением
^) = E^M^.(.s), (58)
k=o
ч4т(.ь) = (Л(а|(1,А-)),...Л(.у|(/Д-))).
Если обслуженная заявка в момент s„ + 0 ее ухода оставляет Ч'сгемх в одном пз (остоянии множества — {(г, А:), г = 1,/}, А = ~Ег, то следующая заявка покинет систему через время, равное ее ®итетьности обслуживания. Поэтому
4(.s) = /3(6) 1, А' = V. (59)
Ли же обслуженная заявка, уходя из системы, оставляет ее в од-
(.(М 111 состояний множества Ао = {(«,()), г = 1,/}, т.е. когда в
Me нет заявок, готовых для обслуживания, то время до выхода j ^Нои злявкп определяется как сумма двух независимых слу-(Ч<Т 1Х вели’шн: остаточного времени генерации заявки на входе
И Длительности ее обслуживания. Найдем ПЛС этого сум-° времени. Для этого вернемся к формулам (8). Обозначим
через f0(x) = 1 - F0(.r) 1, а через <p(s)- ПЛС для /о(' )- Тогда., следует, что 113 (8)
^o(-s) = (.ь Z - А)-‘А.
В силу этого имеем, что
<?0(.s) = (si- A)-'A/3(.s).
Таким образом, мы можем теперь, объединяя формулы (5 выписать окончательное выражение для <5(.s):
<И->') = [1 - тг+0 + n; + (sl - А)’1 А],!(,).
Заметим, что формула (61) совершенно идентична по з,1ПП( формуле (4.5.53) для ПЛС распределения интервала между БЬЦ.(|П дамп в СМО РН/РН/1/r (см. § 4.5). В силу этого для вычпсдеН11я начальных моментов порядка j для ФР D(t) можно использован формулы (4.5.54).
(60)
8) (60)
Глава 7
СИСТЕМА M/G/1/оо: НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
в настоящей главе мы рассмотрим СМО M/G/1/оо с некоторыми специальными дисциплинами обслуживания Эта глава дает представление о современных аналитических методах исследования, используемых в ТМО. Отметим, что часть из представленных здесь результатов получена совсем недавно и публикуется в учебной литературе впервые. Выбор дисциплин обусловлен не столько их практической важностью, сколько желанием дать читателю представление о возможно большем числе специальных приемов, применяемых в ТМО.
Первый и третий параграфы посвящены приоритетным системам (для простоты изложения мы ограничиваемся случаем двух приоритетов). В § 1 рассматривается СМО с абсолютным приоритетом и дообслуживанием. Здесь на помощь приходит СМО М/G/1 /оо с ненадежным прибором, которая позволяет свести изучение маргинальных характеристик СМО Mfc/Gfc/1/ос с абсолютным приоритетом и дообслуживанием к изучению системы, практически со-йадающей с обычной системой M/G/1/оо. В § 3 рассматривается СМО с относительным приоритетом. Для ее исследования используйся метод введения дополнительной переменной, дающий хорошие “Вычислительном плане алгоритмы определения совместного стаци-“н'фного распределения основных показателей производительности ^стемы. Совместные нестационарные распределения всех основ-показателей производительности СМО M^/Gfe/l/oo с относимым и абсолютным приоритетами можно определить с помощью »Ъг t а’ изложенного в § 8 Отметим, что исследованию приоритетах СМО посвящено большое количество работ. В частности, мы • °Чянем здесь монографии [14 17, 19, 21].
2-7 в той или иной степени использован новый прием -линая замена времени. При этом если в §§ 2 5 (системы с
362
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИП.Ли^ инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приори том, относительным приоритетом, равномерным разделением п бора, ограничением на время ожидания) эти замены имеют'ве(Ь11 прозрачный смысл (либо выкидывание отдельных интервалов, изменение в определенное число раз скорости течения времени) п приводят к более простым моделям ТМО, то в §§ 6 и 7 они да1ек не тривиальны и приводят к специальным типам случайных процСс сов. В § 7 начинает активно использоваться и метод анализа С’М() на одном периоде занятости, введенный нами в § 5.5.
Наконец, в § 8 находятся все основные (в том числе и несТа ционарные) показатели производительности системы M/G/1/oq ( дисциплиной SRPT. Здесь уже все рассуждения основаны на иссле-довании характеристик СМО на одном периоде занятости. Заме, тим, что набор рассматриваемых показателей производительности обоснован не столько желанием продемонстрировать общность метода, сколько тем фактом, что введение' дополнительных показателей практически никак не влияет на применяемые выкладки.
В данной главе нам будет удобно вместо названия ’’время обслу живания заявки’’ говорить ” длина заявки” или даже ” работа, привносимая заявкой”. Как увидит читатель, это связано с тем, что из-за прерываний обслуживания или обслуживания с переменной скоростью реальное время обслуживания заявки будет отлично от ее длины, т.е. того времени, которое она обслуживалась бы, если бы ей не мешали другие заявки.
Кроме того, чтобы каждый раз не повторяться, напомним что мы придерживаемся наших стандартных обозначений для СМО M/G/1/оо, в которых Л -интенсивность входящего потока, аВ(т) -ФР длины заявки. Для упрощения записи мы везде, где это воз можно, будем предполагать существование у распределения ВЦ) плотности Ь(ж) = В'(х).
§ 1. Обслуживание ненадежным прибором Абсолютный приоритет
Предположим, что в СМО M/G/1/оо с бесконечным накоп^ телем прибор ненадежен, т.е. можем отказывать как в свобод состоянии, так и при обслуживании заявки. Будем считать, вероятность выхода прибора из строя на ’’малом” интервал6 мени (£, Z + Д) зависит только от состояния системы в момент если система в момент t свободна, то равна у*Д + о(Д): а е&»Пц приборе находится заявка, то равна у Д + о(Д). Параметры 7
363
j Обслуживание ненадежным прибором
ственно назвать интенсивностями отказа прибора в свободном Снятом состоянии.
" I Если в момент отказа прибора система свободна, то прибор ре-т1)руется случайное время, распределенное по закону С* (.с). При первая заявка, поступившая в свободную систему в момент ’ донта прибора, становится на прибор, но ее обслуживание начи-^тся только после окончания ремонта. Остальные поступающие 1ЯВК11 скапливаются в очереди.
Если же в момент отказа прибора на нем находится заявка, то обдуживание прекращается, а прибор ремонтируется время, распределенное по закону С(.т). В зто время заявка продолжает находиться на приборе, но ее обслуживание возобновляется только после окончания ремонта, причем суммарная обслуженная длина засчитывается при продолжении обслуживания. Такая дисциплина обслуживания прерванных заявок называется дисциплиной с дообслуживанием. Поступающие заявки, как и прежде, становятся в очередь.
Дисциплина выбора заявок из очереди FCFS.
В этом параграфе будет показано, что стационарные распрсде-таня числа заявок и времени пребывания заявки в описанной СМО («редс.тяютс я так же, как и в СМО M/G/1/оо с надежным прибором. за исключением того, что обслуживание заявки, поступающей в свободную систему, производится по иному закону, чем заявки, поступающей в систему при наличии других заявок. Последняя система исследуется в соответствии с методами главы 5.
В конце параграфа на примере двухприоритетнои СМО мы поржем, что анализ системы с абсолютным приоритетом и дообслу-вшанпем с помощью простейшего преобразования сводится к ана-В СМО с ненадежным прибором.
11. Время обслуживания заявки
Исследование СМО M/G/1/оо с ненадежным прибором мы на-IH('t < вычисления ФР времени обслуживания заявки, т.е. общего пребывания заявки на приборе с учетом возможных ожида-(м На'1ал<1 обслуживания и прерывании. Здесь возможны два слу-Че 3<WDKa поступает в свободную систему и в систему, в которой ( имеюг< я другие заявки.
L а'1Нем < о второго случая. В этом случае ^необходимым усло-?ПостУп ления заявки на прибор является окончание обслужи-i*i п НР^.ьЩУщей заявки, и поэтому в момент поступления заявки )0Р прибор обязательно должен находиться в исправном со-^бо3начим через D(x) ФР времени обслуживания такой
364
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИП.ЛЦ^
Пусть длина заявки равна х. В силу сделанных предполп. ний на интервале [0, х) фактического времени обслуживания заяв/ моменты прерываний образуют пуассоновский поток интенсив сти 7, и, значит, с вероятностью ('ух)ке~"',х/к\ на этом интерв. произойдет ровно к прерываний обслуживания. В свою очеред/ времена прерываний—независимые одинаково распределенные С1; чайные величины с ФР С(х). Поэтому общее время прерываний при условии,, что произошло ровно к прерываний, имеет ПЛС [x(s)]к Гдс y(.s) ПЛС ФР С(х). С учетом собственной длины ж заявки по фор муле полной вероятности получаем для ПЛС <5(s) ФР £>(.т) времени обслуживания заявки, поступившей на прибор из очереди, равенство
Г &Z) / \ fc
Ф) = / =
о fc-°
= У e-^-^xdB(x) = (3(з + 7-7 (1)
о
В частности, среднее время обслуживания такой заявки задается формулой
d = -<5'(0) = -Д'(0) [1 - 7/(0)] = Ь (1 +7с),
где b = J xdB(x) — средняя длина заявки, а с = J xdC(x) -среднее о о
время ремонта прибора, отказавшего во время обслуживания заявки.
Пусть теперь заявка поступает в свободную систему. В этом случае она сразу же идет на прибор, но прибор может находитыя на ремонте, и поэтому еще до фактического начала обслуживания заявка может провести на приборе некоторое время, распределение которого обозначим через D**(x).
Для вычисления D** (х) предположим, что с момента освобожде-ния прибора прошло время х и в этот момент в систему поступи® заявка. Рассмотрим на интервале [0, х) два процесса восстанов -с ния, первый из которых порожден моментами отказов прибора, а второй моментами окончаний ремонта, причем во втором случае будем считать, что первое восстановление совпадет с начальным мо ментом 0. Ясно, что оба процесса восстановления имеют одинак° вые распределения интервалов между восстановлениями, а сами тервалы состоят из двух независимых величин: экспоненциальной параметром 7 и распределенной по закону С* (х) (отличие $ ется в порядке следования величин) и имеют ПЛС 7*A*(s)/(^
j Обслуживание ненадежным прибором 365
q йак° первый момент восстановления у первого процесса распре-лен по экспоненциальному с параметром 7* закону, а у второго, как гЛЬТ Договорились, совпадает с моментом 0. Обозначим через д(я) и функции восстановления этих процессов. Тогда в оТВетствии с результатами § 1.3 Нг(х) и Н2(.т) будут иметь ПЛС
где X*(s)~ПЛС ФР С* (ж).
Условная вероятность d$* (ж) того, что поступающая в свободную систему заявка застанет прибор в рабочем состоянии, при условии того, что она поступит через время х после освобождения системы, находится следующим образом. Прибор в момент х будет исправен только в том случае, если в некоторый промежуточный момент у, 0 < у < х, произойдет окончание ремонта (или, что то же самое, восстановление второго процесса восстановления, это происходит с плотностью восстановлений /гг(г/) = Н?(уУ)-, а за оставшееся время х — у прибор больше не откажет (в силу экспоненциальности с параметром 7* распределения времени до отказа прибора в свободной системе вероятность такого события равна е-7 у)). Отсюда
по формуле полной вероятности имеем
X
= je-^^dH2(y). (4)
О
Условная плотность вероятностей d**(y |ж) того, что поступив-Шая в свободную систему заявка будет ожидать окончания ремонта прибора время у, при условии, что она поступила через время х п°сле освобождения системы, определяется так. В промежуточный Момент г, 0 < z < х, прибор отказал (произошло восстановление первого процесса восстановления, это происходит с плотностью вос-^Иовлений /7 (2) = //((г)), а окончание ремонта произошло в мо-р тУ+х-г (с плотностью вероятностей с*(у+х~г) = С*'(y+x—z)).
°Ва используя формулу полной вероятности, находим
X
(/**(?/1 ж) = jс*(у + X - z)dH1(z). (5)
о
366
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН
Поскольку время от момента освобождения системы до Мгч поступления следующей заявки в свободную систему распред по экспоненциальному с параметром А закону, то, еще раз Г1П <!1<' няя формулу полной вероятности, получаем для ПЛС безусдо^’ функции распределения D**(y) следующее выражение: Н°®
И*) = / e~sydD**(y)
О
или, подставляя вместо и d**(y | ж) их выражения из (4) и (5)
I е~^-уЫН2(у)+ О
оо
О
4- х — г) dHA (z).
Изменяя порядок интегрирования, имеем
у с-(А+т*Нфс+ У
о
ОО оо оо
+ х — z) dx —
р—- I e~XydH2(y)+X j e~sydy е-х^+^г(у+^^=
o b b b
oo oo oo
= + А У (-^dy у е-А(з-у>с*(.г)Фг- J<-XzdHi(z) =
О у 0
367
Обслуживание ненадежным прибором
ОО
= д+2(г + je~Xx[l - e-(s-x)x]c\(x)dx =
О
Подставляя теперь вместо ад (А) и а'г(А) их выражения из (2) и
3) получаем окончательно 1
__ [i . x*(g)-x*(A)i
5 () А + 7*-7*(А)х*(А) Г + 7 A-s Г (6)
Общее время обслуживания заявки, поступившей в свободную систему, состоит из времени ожидания окончания ремонта прибора и времени обслуживания заявки, поступившей на исправный прибор, т е имеет ПЛС
<5*(S) = <5**(W)- (7)
Дифференцируя формулы (7) и (6), с учетом вычисленного значения (1 нетрудно найти среднее время обслуживания заявки, поступившей в свободную систему:
d* = \~---------m [с* “ —У(Л)] + d, (8)
A + 7*-7*X*(A)L A J ’
ОО
где с* = f х dC* (а?)—среднее время ремонта прибора, отказавшего о
в то время, когда система была свободна
1.2. Вложенная цепь Маркова
Обозначим через г(1) число заявок в системе в момент t. Для определенности будем считать, что в начальный момент 0 система. свободна и прибор находится в исправном состоянии. Тогда "(0) = 0.
Пусть т0 = 0, ат,,, п > 1, последовательные моменты ухо-л°в заявок из системы. Поскольку после каждого ухода заявки из .'!(Темы прибор обязательно находится в исправном состоянии, то
” = p(T7i + 0), п > 0} (однородная) цепь Маркова.
Выпишем переходные вероятности цепи {уп, п > 0}.
Если г > 1, то переходные вероятности рг] определяются точно
как и ДОЯ системы M/G/1/оо с надежным прибором (см.
UojT ’ За исключением того, что вместо В(х) нужно взять D(x).
рг] = <57_г+1, г > 1, .? > г - 1,
368
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН где 8) — 6^ (А)/к\—к-й экспоненциальный момент функции расп деления D(x), определяемой ПЛС (1).
Однако если i = 0, то, в отличие от СМО M/G/1/ос, П0(т пающая в свободную систему заявка пребывает на приборе вре^ распределенное по закону Значит,
Poj = i > О,
где 6% — 6^k\X)/kl—к-й экспоненциальный момент распределения D*(.г), задаваемого своим ПЛС (7).
Окончательно получаем, что матрица переходных вероятностей вложенной цепи Маркова {г„, п > 0} имеет вид
/Ч* Ъ % -А
<5о 8^
0 Ло <$1 •
0 0 й0 • • •
1.3. Стационарные вероятности состояний по вложенной цепи Маркова
Будем предполагать, что средние времена с и с* ремонта при бора и средняя длина Ь заявки конечны и, кроме того, выполнено условие р = Xd < 1. Тогда существуют предельные (стационарные) вероятности состояний р* = lim Р{г„ = г} по вложенной цепи Мар-п—>ос
кова {»„, п > 0}. Необходимость условия р < 1 для эргодичности вложенной цепи будет показана ниже. Достаточность этого условия нетрудно получить, воспользовавшись, как и в § 5.1, критерием Мустафы 1.4.4.
Для определения р* выпишем СУР
p:=^:+£p^-fe+i- (у)
/с-1
Так же, как и система (5.1.1), система (9) легко решается Ре куррснтно: * *
Рг = РоГгг
где г г определяются рекуррентной формулой
г0 = 1, п = ^- (1 - <S£),
Оо
369
Обслуживание ненадежным прибором
jvlbi не будем здесь заниматься поиском более рациональных ал-ор11Тмов вычисления р*, а сразу же воспользуемся ПФ P*(z) = у p*z‘. Умножая г-е уравнение системы (9) на z1 и суммируя.
1=0 „случаем
Р*(г) = р*<5*(А - Az) + | [F*(z) - P;] <5(A - Az), откуда находим
(Ю)
. A(A-Az)-z<5*(A-Az) ,
p W =-------<(А_л-г)-г-----
Для определения р*>, как обычно, воспользуемся условием нор-
ОО
жировки Р* = -Р*(1) = 1- Применяя правило Лопиталя, получаем
г=О
Ad - 1 - Ad* , —d-1 ft = *
откуда вытекает следующее выражение для :
* - Х~р
Ро 1-p+Ad*’
Из полученной формулы, в частности, следует, что условие р < 1 является необходимым для эргодичности вложенной цепи Маркова.
Дифференцируя формулу (10) соответствующее число раз, можно получить моменты любого порядка стационарного распределения числа заявок в системе по вложенной цепи Маркова. Так, среднее число заявок задается формулой
N = 1-------—ГГ + ГГdt(2) + X </*rf(2)],
1 - р+ Ad* L 2 2(1 - p) J
rA< d 2> и d*<2) вторые моменты времени обслуживания заявки, полупившей при наличии и. отсутствии других заявок в системе. Возможность выразить е№ и d*(2> через исходные параметры системы предоставляем читателю.
1-4. Стационарные вероятности состояний по времени
Найдем стационарные вероятности р, = lim Р{г(<) = г}, г > 0, ’(Ис —юо
ла заявок в системе по времени. Для этой цели рассмотрим ь 5есс {"(О, 1 > 0}, принимающий постоянное значение v(t) = «Во” На интеРвале тп < t < тп+1 между уходами п-й и n + 1-й за-Па из еистемы. Так же, как и в § 5.1, процесс {£•(£), t > 0}
Марковский.
370 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН^
Обозначим через /, среднее время пребывания полумарковск0Гс процесса в состоянии г, или, иными словами, среднее время межй моментами уходов соседних заявок из системы при условии, что п0 еле первого ухода в системе оставалось i заявок. Очевидно, что
Л = d, i> 1- (ц
Если же г = 0, то время между моментами уходов заявок будет состоять из экспоненциально распределенного с параметром А вре. мени до первого после освобождения системы момента поступления заявки и распределенного по закону Г)*(х} времени обслуживания заявки, поступившей в свободную систему (заметим, что в данном случае эти времена зависимы!), и, значит,
/о = | + «Л. (12)
Пусть теперь /ч, г, j > 0,—среднее время, проведенное системой в состоянии j за время нахождения полумарковского процесса {v(t), t > 0} в состоянии г, т.е. среднее время, в течение которого в системе находилось j заявок на интервале между двумя последовательными моментами уходов заявок из системы, причем после ухода первой из них в системе оставалось еще г заявок. Сразу же отметим, что поскольку между соседними моментами уходов заявок число заявок в системе может только увеличиваться, то f ,3 = 0 при j < i.
Определим /ZJ, j > г.
Сначала рассмотрим случай i > 1. Предположим, что время обслуживания заявки равно .г. Тогда через время у, 0 < у < х, после начала ее обслуживания в системе с учетом i имевшихся ранее заявок с вероятностью (А?/)'с ~ А?//(j — г)! будут находиться j заявок, а значит, среднее время, проведенное системой в состоянии j на интервале ад при условии, что в начальный момент было г заявок, равно f (Аг/рf — г)!. Поскольку время обслуживания заявки при-
б I
нимает значение х с плотностью вероятностей d(x) = D'(x), то по формуле полной вероятности получаем
ОО X
!гз = IdD(x) f^^e-^dy, i > 1, j > i. о 0
Если
В случае i = 0 отдельно нужно рассмотреть два подслучая.^^^ j = 0, то среднее время, проведенное системой в состоянии 0, -совпадать со средним временем до поступления заявки, т.е-
. 1 (14)
/оо — V •
371
Обслумгивтие нснад<лтым прибором (1
р(ли же j• > 1, то мы должны выбрать началом отсчета момент ступлсния заявки в свободную систему. Далее полностью про-()дят РА< *уждения предыдущего абзаца с учетом того, что нужно дожить г = 1, a D(r) заменить на D*(.r). Поэтому
b^/dD^j'^Le-^dy. j>l. о 'о
(15)
Теперь мы в состоянии вычислить стационарные вероятности р,. ' > 0- Однако, в отличие от §-5.1, сейчас удобно воспользоваться № теоремой 1.6.1, а утверждением, объединяющем теоремы 1.6.2 и 13-3, в соответствии с которым
ОО
£ Ая>;
= , ./><’• (16)
£ Ар;
7 = 0
Используя формулы (11) и (12), а также соотношение для pj. имеем
1 ОО ОО 1
£ ар;=(д+</*)ра+</£р; = </£р;+(х -</+<ф*>=.
1=0 1=1 ( = 0
Отсюда и из формул (13) (16) находим:
р() = А £ flUp* = Д £ /,()р* = р* . 1=0 1=0
ОО г’7=А£АХ 7 = 0
=а£ах=а 7=0
(Ау)^1 0-1)!
Xv<l!l 1>о+
J г _
’~1 о о
1’<,Ходя к ПФ P(z) = 52 Р/^7, получаем 1=0
о
'с/Р* (.с)
^)=p;[i + a£
21*
374
(18,
л. 7 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦцп^ +А I 1Г(г-.г/Л)<Ш(//) + [АР(.1)+7*С‘(х)]ро(1) <’ /
Предположим теперь, что р = Xd < 1. Тогда существует
дельное (стационарное) распределение П'(.т) = ,lim И'(т, t) (эТ()П,>1 называется так же, как и для системы M/G/1/ос с надежным бором) или, что то же самое, существуют ро = lim Po(t) и IVb \ f—>00 ’ V’ J
= lim 1Т(.гЛ). Как и ранее, распределение П'(.т) является так k стационарным распределением времени ожидания начала обсл\Ац вания.
А равнения для рп п И'( г) получаются, если в (17) и (18) прпрн, пять нулю производные' по t: •
0=-(А + 7*)ро + И"(0), -Й"(.г) = -АЙ(.г) - Й"(0)+
.i- - ?/, t) dD(y) + [AD(j-) + 7*С*(.т)]р0.
о
Переходя к ПЛС u?(.s) = / e s'с/И'(.г), получаем систему о
И"(0) = (A+ ')*)W>,
-s [сф)-р0]+Й"(()) = - А [ш(.->)-;>()]+Au?(.s) <5(.‘0+7*а’(-,)Ро-
из котором находим
(19)
Po =
= л —A + A<S(s) }Г
Вероятность ро определяется из условия нормировки w(0) " ' Применяя правило Лопиталя. получаем
1-Р 1 + *<'
Отметим, что вероятность р0 для стационарного распред1'™ времени ожидания начала обслуживания нс* совпадает со стаЦИ<,н‘ нои вероятностью рп отс утствия заявок в системе, вычисле предыдущих пунктах. Это очевидно, пос кольку из-за оТказОВо3(1А бора отс утствие в системе в некоторый момент заявки effle чает, что в этот момент виртуальное время ожидания равно как прибор может находиться на ремонте.
I Обслум пеаны: ненадежным, прибором 375
Стационарное распределение V(a?) времени пребывания заявки елстсме имеет ПЛС
(20)
+(s) = w(s) <5(s).
Стг пюнарные средние времена w ожидания начала обслужива-п г пребывания заявки в системе получаются дифференцирова-Ндсм л'(5) 11 в нУле 11 задаются формулами
7*с*(2) AdW
2 (1 + у*с*) + 2 (1 - р) ’
7*с*<2) Arf<2>
2(1+ 7*с*) + 2 (1 - р) + '
Здесь с(2) и с*(2) вторые моменты времен ремонта прибора, отказавшего при обслуживании заявки и в свободном состоянии.
Сравнивая стационарное среднее число заявок и стационарное среднее время пребывания заявки в системе, Получаем после несложных. но утомительных преобразований, что
Аг-,
и мы еще раз убеждаемся в справедливости формулы Литтла.
1.6. Система M2/G2/I/0C с абсолютным приоритетом
Рассмотрим теперь систему, в которую поступают к независимых потоков заявок интенсивностей А,, г = 1,к. Длины заявок его потока распределены по закону В.(:с'). Если г < j, то заявки i-го потока имеют абсолютный приоритет перед заявками j-ro потока. Это означает, что заявка г-ro потока, поступающая в систему 11 застающая в ней только заявки потоков с номерами, большими г, ирерывает обслуживание заявки, находящейся на приборе, и сама яачинает обслуживаться. Недообс.луженные заявки дообслужива-Ютса также с учетом номеров потоков. При этом то время, которое Заявка уже обслуживалась ранее, вычитается из ее длины. Заявки °Дного потока обслуживаются в порядке поступления. Такая сис-Тема обычно кодируется как M^/Gfe/l/oo с абсолютным приорите-т°м (и дооб< луживанием).
Сейчас мы покажем, что те формулы, которые были получены ще для СМО M/G/1/оо с ненадежным прибором, могут быть при-ны и к системе Mj./Gfc/1/оо с абсолютным приоритетом для бдения стационарных распределении числа заявок в системе и
376
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
времени пребывания заявки каждого потока в системе. Для простоты изложения мы ограничимся случаем к = 2. При этом заявки первого потока будем называть приоритетными, а второго потока неприоритетными.
Заметим прежде всего, что неприоритетные заявки не оказывают никакого влияния на обслуживание неприоритетных заявок Поэтому распределения числа приоритетных заявок в системе и времени обслуживания приоритетной заявки определяются как и для обычной системы M/G/1/оо, в которую поступают только приоритетные заявки (см. главу 5).'
При определении аналогичных характеристик для неприоритетных заявок предположим, что неприоритетные заявки обслуживаются ’’вслепую”, т.е. они не знают, из-за чего происходит прерывание обслуживания. Тогда с их точки зрения система представляет собой просто систему M/G/1/оо с ненадежным прибором, в которой интенсивность входящего потока равна интенсивности поступления нсприоритетных заявок (А = Аг), интенсивности отказов прибора в свободном и занятом состояниях совпадают и равны Ас (7=7* = Ai), а время обслуживания заявки имеет ФР ВДх). Кроме того, совпадают ФР С'(.г) и С* (ж) времен ремонта прибора. Однако прерывания происходят не на время обслуживания приоритетной заявки! а на то время, пока система полностью не освободится от всех приоритетных заявок. Поэтому ФР С(т) = С*(а) равны не В\ (а), а ФР периода занятости системы приоритетными заявками. Напомним, что в соответствии с § 5.5 ПЛС 7(5) периода занятости системы M2/G2/I/00 приоритетными заявками определяется из уравнения
-y(s) = /Зх (a- + Ac — Ac7(s))-
Подставляя эти значения в формулы (10), (19) и (20), получаем стационарные распределения числа неприоритетных заявок в системе, времени ожидания нсприоритетной заявкой начала обслуживания и полного времени пребывания неприоритетной заявки в системе.
Стационарные средние значения IV, w и v для неприоритетных заявок мы предоставляем найти читателю. Читателю также пред-лагается показать, используя результаты предыдущих пунктов, что необходимым и достаточным условием существования стационарного режима является р = Aibj + АгЬг < 1, где bf = f xdBi(z) 11 о
377
^версионный порядок обслуживания.
§ V’
, 'fxdBzfa) —средние длины приоритетных и неприоритетных fe «
^в01< соответственно, а р—суммарная загрузка системы.
к 2. Инверсионный порядок обслуживания с вероятностным приоритетом
Предположим, что в момент прихода каждой заявки в систему (Тановится известной ее длина х, которая сравнивается с (остаточной) длиной у заявки, находящейся на приборе. Вновь поступившая заявка с вероятностью d{x, у), зависящей только от длин х и у и не зависящей от предыстории функционирования системы, прерывает обслуживание и сама становится на прибор, вытесняя обслуживавшуюся ранее заявку на первое место в очередь, а с дополнительной вероятностью 1 — d(x.y] занимает первое место в очереди. Остальные заявки, находящиеся в системе, сдвигаются на одно место в очереди с сохранением порядка. Недообслуженные заявки дообслу-живаются. Такую дисциплину будем называть инверсионным порядком обслуживания с вероятностным приоритетом (LCFS РР).
Цель настоящего параграфа состоит в изучении основных стационарных показателей производительности рассматриваемой системы. Как мы увидим далее, для этой системы, вообще, даже не существует конечномерного марковского процесса, описывающего ее функционирование. Тем не менее, применение специального метода, основанного на выкидывании отдельных временных интернатов, позволяет свести задачу исследования данной системы к задаче воследовательного решения простейшего интегрального уравнения. Отметим, что общие методы, аналогичные используемым в § 5.5, ®ют возможность изучить даже нестационарные совместные распределения показателей производительности. Однако мы здесь та-задачи рассматривать не будем.
2,1 • Марковский процесс, описывающий функциониро-ание системы
Для исследования системы применим сначала метод введения <tiog ИТельных пеРеменных- Однако в данном случае для того, И получить марковский процесс, нужно отслеживать остаточ-всех находящихся в системе заявок. Поэтому рассмотрим процёсс {?y(t) = (^(0,^(0, > 0}, где i/(t)—число за-
в системе в момент t, а £(£) = (G(<), • • • ,^(z)(C)— (остаточные)
378
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИЦд^
длины заявок, находящихся в системе и расположенных в По очереди, т.е. £i(<) длина обслуживаемой заявки, £2(<) длива^ явки, находящейся в очереди на первом месте, и т.д. g сду^ i/(t) = 0 вектор £(Z) не определяется. Процесс r](t) является i ковским и, более того, кусочно линейным (см. § 1.6). ''
Введем обозначения:
ро(<) = Р{г(«) = О},
Р„ (ад,..., хп, t) ~ Р{«(<) = п, £ । (t) < ад,..., £n(t) < а„}, п>р
Будем предполагать, что р = Л b < 1 (загрузка системы меньше единицы). Тогда существуют предельные вероятности р0 = = limpo(t), ...,«„) = lim Р„(х1,...,«„,<). Можно показан t—too I—>оо
также, что существуют производные дР„ (ад,..., х^/дху, п > j по первому аргументу, которые мы будем обозначать через р„(®1,.. -, хп). Кроме того, для простоты изложения будем считать что В(з:) имеет плотность Ь(с) = В'(х).
2.2 . Система с конечным числом мест ожидания
Для нахождения стационарных вероятностейро и Рп(а]1,. ..,тп). n > 1 рассмотрим систему M/G/1/n 1, п > 0, отличающуюся от исходной системы тем, что число п — 1 мест ожидания в ней конечно. Такую систему будем называть «-системой. При этом будем считать, что заявка длины х, поступившая в «-систему и заставшая в ней « — 1 заявку в очереди и на приборе заявку длины у. с вероятностью <7(.т, у) теряется и с дополнительной вероятностью 1 — d(x,y) становится на прибор, вытесняя обслуживавшуюся ранее заявку длины у из системы.
Функционирование «-системы также описывается процессом {»?'’')(<), t > 0}, только теперь координата iAn)(t) процесса i] ( может принять максимальное значение «. Обозначим через ft и Р{п\хА,..., хд.), к = 1,« предельные (стационарные) верен ности процесса {//(,^(i), f > 0} и положим p^(xi,-= дР^)(х1,...,хк)/д.т1. ,
Сделаем еще замечание цо поводу 0-системы. В 0-<п< 1 любой момент времени заявки отсутствуют и поэтому Ро '
Как мы увидим далее, для определения р0 и Рп(х^’''' « > 1 достаточно найти только Р„^ (xi,..., хп). ПокаЖе Pi,"\xl..... хп) удовлетворяют системе уравнений
Инверсионный порядок обслуживания,
379
ОС' з?
р(|)(.т) = А[1-В(а:)]р*1)+А У dz J[l-d(z,y)]p(li}(y)b(z)dy-О о
а оо
-А У dz j[l-d(z,y)]p\'\y)b(z)dy, О о
оо а?2
р!,п)(гь- = л Уdz j d(z,y)р^1^у,х3,... ,хп) b(z) dy+
i i О
i> oo
+ x I dz l[l-d(z,y)]p^lll(y,.t3,...,xA)b(z)dy+
0 Tj
OO t'l
+ A У dz I [l-d(z, y)]p{"\y,:r2.....»•„) b(z) dy-
b b
T] oo
- А У dz У [1 - d(z, y)]p\”\y, x2, Xn)b(z) dy, n > 2. b b
Действительно, в момент /4 А выполнено событие —
= n,fj"\O < -fi, . - < .r,,}, n > 2, если выполнено одно из
условии:
в момент t выполнено событие {//"'(t) = п, А < < -Г| +
+^,?2П\|Г) < -<’2, • - < а„} (с вероятностью Рп"\.Т| + Д,
’2>-• ч-т„, У) — P,V'\a, .T2,. - -, .С'п, 4)) и за время А не поступила замка (с вероятностью 1 — А Д + о(Д));
в момент t выполнено событие ’(О — <
J'2’• • < .тп}, 0 < ?/ < ад, (с плотностью вероятностей
Ор'*1*) (
" (..У, (2, - 1)/ду), а за время А поступил;! заявка (с веро-
^Ностьк) А А 4 о(Д)), длина которой оказалась z (с плотностью Р°ятностей 6(z)), эта заявка теряется (с вероятностью ri(z,i/));
в момент t выполнено событие = у,
МО < T2,...,e<"’(0 < (<’ плотностью вероятностей
ятн а за время Д поступила заявка (с веро-
()< гью А Д -|- о(Д)), длина которой оказалась z, 0 < z < xj, (с
380 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН
плотностью вероятностей b(z)), эта заявка стала на прибор, ВЬ1Те нив обслуживавшуюся ранее из системы (с вероятностью 1 — d(z.
в момент t выполнено событие = п — =
< х3,... ,^"21W < -г,,}, О < у < .г’2, (с плотностью верОят' ностей dP^21(y,x3,..-,xn,t)/dy), а за время Д поступила заявКа (с вероятностью А Д+о(Д)), длина которой оказалась z, 0 < г < ж (с плотностью вероятностей Ь(г)), эта заявка прервала обслуживание и сама стала на прибор (с вероятностью rf(z,t/));
в момент t выполнено событие = n —=
&\Г) < < .т„}, 0 < у < хъ (с плотностью вер0ят.
ностей дР^'21(у,х3.... ,xn,t)/dy), а за время Д поступила заявка (с вероятностью А Д+о(Д)), длина которой оказалась г, 0 < z < (с плотностью вероятностей b(z)), эта заявка заняла первое место в очереди (с вероятностью 1 — rf(z,t/)).
Как обычно, остальные события имеют вероятность о(Д). Снова вспоминая, что система находится в стационарном режиме, имеем
Д'"’ (.г-1, - -, г-„) = (1 - А Д)[Р^ (Ж1 + Д, ,г-2,...,
Ж| оо
+АД У dz j\l-d(z,y)]p2'}(y,x2,...,xn)b(z)dy+ о о
Xi x-i
+АД У dz У d(z, у) р^эт21(г/. г’з,- ,xn)b(z)dy-о о
Х2 Ху
+X/±fdz j'[l-d(z,y)]p2‘li(y,x3,...,xn')b{z)dy, п>2-о о
Производя элементарные преобразования и устремляя А к HV лю, приходим к уравнению
381
g Инверсионный порядок обслуживания
Ху оо
/ dz f^1~d^z,y^p^^y’x2r---’x^b^dy~ о о
Ху х%
*/dZ /d^Z,y^P^-i(yix3^-^x^)b(z)dy-О о
Х2 Ху
-Л f dz f^~d^z,y^p^-^y,x3,',xn^b^dy' о о
Из этого уравнения, учитывая равенство
ОО Ху
(.?!,..., тп) = A J dz J (?/, х2,..., хп) b(z) dy,
о о
получаем
Р(пЧх1, > хп) = Pnn)(0, х2,..., жп)+
ОО Ху
+Л J dz J^~d^z,y^p<”^y,x2,'--,xn^b^dy~
о о
Ху оо
j dz J^-~d^z,y^p^^yJX2'---’xn^b^dy~
о о
Х2 Ху
j f^L~d^Z^y^P^-dy^X3^'^xn)b(Z)dy-
О о
(2)
Для определения р^(0, х2,..., хп) устремим .Т] к оо. Выражение в правой части (2) имеет предел
ОО Х2
Pnn)(05^2, ...,хп) - Л J dz J d(ziy)p^1(y,X3y...yXn)b(z)dy~ о о
Х2 ОО
-Л f dz ~ d^z'y^p”-^y,x3'---,xn^b^dy-о о
) при а,'! -> оо может СТре
382 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН^
Поскольку ПЛОТНОСТЬ р\" 1 (.Т|, а,'2, .. . , JCn миться только к О, то
ОО «2
(°,'•2, ",Жп) = X 1^ dz I d(z,у)p{”li(y, я3,..., хп) b(z) dy+ b b
Xi ОО
+А У dz ^[1 - rf(z,j/)]p^2j (у,.гз, Ь(г) dy,
о о
(тг) /
откуда окончательно приходим к уравнению для (Х1,...)Жп) п > 2, системы (1). Подобным же образом получается уравнение для 7>1 (ж).
2.3. Основное свойство марковского процесса
Прежде чем переходить к дальнейшему исследованию исходной рассматриваемой системы, установим связь, существующую между ней п //-системой. Для этой цели нам понадобится один результат из теории эргодических процессов.
Пусть {//(/), t > 0} случайный процесс с множеством состоянии Д' (и о-алгеброй *В(Д') на множестве Д', относительно которой измеримы значения процесса {//(f), t > ()}). Будем называть процесс {//(f), t > 0} обобщенным эргодическим, если для любого (измеримого) подмножества А С А’ с вероятностью 1 существует
г
I = ц(А),
О
где \ д(.г) индикатор множества А (т.е. функция, принимающая значение 1, если л € А и 0, если ./ А), а р,(А) числовая функция
Пусть теперь {//(f), f > 0} обобщенный эргодический прс‘ цесс. Зафикс ируем некоторое (измеримое) подмножество .V С ' такое, что /'(А) > 0, и отметим те моменты времени f, в которЫ z/(f) X (рис. 1 а). Выкинем отмеченные моменты времени из ра< смотрения, а оставшиеся куски процесса //(f) склеим. В результат* такой операции получим новый процесс {//x(f), f > 0}, множеств" состоянии которого совпадает с X (рис. 1 б).
Лемма 1. Процесс {z/x(f), t > 0} является обобщенным эРги дитеским, причем для любого (измеримого) множества А С А
г
Т I ХлМ» dt = '
о
Инверсионный порядок обслуживания
383
Доказательство. Обозначим через т(Т) случайный момент времени для процесса t > ()}, соответствующий моменту Т для Чюцесса {»?x(Z), t > 0} (см. рис. 1). Момент т(Т) определяется из
т(Г)
I ХхШ<* = Т. о
g
си-1у обобщенной эргодичности процесса {//(f), t > 0} с вероят-
384 Гл. 7.
ностью 1 существует
Т I
l™1 =
Т—>оо Т\£ ) или, что то же самое,
г ЛТ) _ 1
Т р(Х) '
Снова воспользовавшись обобщенной эргодичностью процесс г t > 0}, видим, что с вероятностью 1 существует
т т(Т)
/ *AM))dt = Tlim^y I XA^dt^ о о
Отсюда получаем, что с вероятностью 1 существует г
lim — [ Ха(т1х(ЛУ) dt = lim
Г-»оо Т J Л V к ” Т—^оо tIT) Т
1 о что доказывает лемму.
Следствие. Пусть процессы ,
удовлетворяют условию леммы 1 и, кроме того, существуют предельные распределения
Р(А) = lim P{z/(t) £ А} t—>оо
И
Рх(А) = lim РррД) € А}.
t —>оо
Тогда для всех А С X
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦц^
I ХаШ<*=^.
J д(Х)
t > 0) и inv(t}. t >
Рл(Л) =
РИ)
Р(Х)-
Доказательство следствия немедленно вытекает из равенс
ц(А) = Мр(А) = М lim 1 [ XA^)(t))dt = 1 —>оо 1 J
О
= lim [ Мул (//(t)) dt = lim i [ P{?y(t) € A}dt-^‘
0н( (рсионный порядок обслуживания
385
п /
р х (Л) = М у \ ( 4) = М I \ л ('/ \ (f)) <lt = О
/ /
- Inn i I Mu('/\(f))df = lim / P{c/\(f) e -4}<7f = P\(.4).
" /-400 1 J ' -*OC 1 J
() 0
Предположим теперь, что у нас имеютс я две системы, одна лз которых исходная система M/G/1/оо. а вторая "-система \I/G/1 11 I, причем в начальный момент 0 обе они свободны. а в дальнепшем в них поступают одинаковые потоки заявок. Рассмотрим поведение' процессов {'/(f), t > 0} и {'/'"'(f), t > 0} до того момента т, когда число заявок в системе' M/G/1/ос впервые станет больше- п. Очевидно, что процессы {'/(f). f > 0} и (;/"\f), t > Д° этого момента совершенно идентичны. Пусть г, первый после1 г момент, когда в системе' M/G/1/ос чис до заявок снова станет равным ". Тогда от т до Г| последние- " координат процес < а {'/(f), f > 0} остаются неизменными, а поскольку они совпадали с координатами процесса {'/'"'(f), f > 0} в момент г. то они сбудут совпадать также- в моменты тд и т. Но это означает, что '/(г,) = '/(,4(т), а в силу пуас соновостп входящего потока инезавпен юстп и одинаковой распределенности длин заявок обе системы от моментов Т| и т и до с дедующих моментов т-> и т' выхода процесса {//(f), f > 0} за уровень " снова будут функционировать совершенно одинаково с точки зрения вероятностных характеристик. Таким образом, если мы выкинем для псходноп системы M/G/1/ос все- тс- интервалы времени, когда число заявок в №пбольше ", и оставшиеся куски процесса {'/(f). f > 0} склеим, го нмучпвшипся процесс будет идентичным по своим вероятностным Юопствам процессу {'/'"'(f), f > 0}. В (вок) очередь, в cn.iv след-1твпя пз лем !ы 1 это означас-т, что стационарные- распре-деления /)(|.
I ), к = 1, ", и Ро"', Pa'"'(j 1,. .., 11,), А = 1. ", также со-Вп<1Дают с точное тью до некоторой пос тоянноп. завис ящеи только от ", Т.е.
р0 = с(")/4"'
Л(,'•а)=С(")Ра("'(.'1...ГА), А =1,".
Ясно, что постоянная С(") легко может быть определена из
384 ! Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН
ностью
эрмировки для стационарных вероятностей состояний (t), t > 0} и t>0}.
Про.
Стационарные вероятности состояний
или, что
ыведенного выше основного свойства марковского Пр0 t), t > 0} следует, что его стационарные вероятности ', хп), п > 1, удовлетворяют системе уравнений
Снова вс оо х
t > 0}, в= А[1-В(ж)]р0+Л jdzj[l-d(2,p)]pi(p) b(z) dy-о о
lim *
T^J dz J [^ ~ d(z,y)]p1(y)b(z)dy, Отсюда ° °
ОО »2
,...,яп) = A dz / d(z,y)pn-i(y,X3,... ,xn)b(z) dy+ lim J J
Г—too Xi 0
Xi ОС
ITO док< Г dz у)]рп_Цуг x3,...,xn) b(z) dy+
Слей
удовлетЕ <x> xi
дельные [ ({z j y^pn^ X2y...yXn) b(z) dy-
b о
a’i oo
J dz J[l- d(z,y)]pn(y, Ж2, - - , Xn) b(z) dy, n>2, 0 0
1 Д цей с системой (1) за исключением отсутствия верхнего
>ма (3) представляет собой систему интегральных уравне докрая решается рекуррентно, начиная с первого уравнени-
ем счете, все pzl(x1,..., хп) выражаются через ро- Сам0 гястся из условия нормировки и, как мы увидим чуть ниже.
эбычной формулой ро = 1 — р.
ко в большинстве случаев достаточно знать
’п(.г, оо,..., оо), п > 1,—стационарные вероятности т _ геме находится п заявок и (остаточная) длина заявки! гЗ на приборе, меньше х. Тогда Рп(х) имеют ПР011300^^.
’Дх) = рп(х,оо,..., оо). Подставляя в системе (3) 00
Инверсионный порядок обслуживания
387
X2j, я'п и производя тривиальные преобразования, получаем
Z ОС’
pi(a-) = X[l-B(x)]po+xjpi(y)dyJ [1-ф, ?/)] b(z) dz-
0 0
0 0
x c
pn(a’) = A[l-B(a-)]pn_i+A J p„(y)dy j 0 *0
oc x
-X j Pn(y) dy J[1 - d(z, ?/)] b(z) dz-
0 0
X OC’
~x^ p„-i(y)dy j [1 — d(z,y)]b(z) d;
0 0
oo x
+ X I p„-i(y)dy j\l-d(z,y)]b(z)d; b < b
(4)
где pn = Pn (сю) = [ p„ (.r) d.r стационарная вероятность того, что b
в системе находится п заявок.
Систему (4) можно свести к одному уравнению, если восполь-
зоваться аппаратом ПФ. Положим
ОС’ р(г,т) = '^p^Plz”, 11=1
P{z, а-) = ро + 2" =Ро+ f Р(~,у)
’-=1 о
P(z) = ^p„z’> =T{z,^.
11=0
Х1Н()Жая н-е уравнение системы (4) на z" и суммируя, имеем
р(г,.г)=Лг[1-В(.г)]Г(г)+
388 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПдц^
X оо
+А (1 - z) ( jp(z, у) dy [[1 - d(v, 3/)] b(v) dv-о b
ОС X
- А У P(z, У) (1У I С1 - d(v, 3/)] b(v) dv^. о о
Из уравнения (5) дифференцированием по z в точке z = 1 моЖН(| получить моменты любого порядка.
В частности, полагая z = 1 и вспоминая условие нормировки
52 Р„ = Г(1') = 1, имеем
7>(1,.т) = Л [1 — В(х)],
оо ОО
У p(l,.r)d.r = 1 - Ро = Л I[1 - В(т)]Фг = ХЬ = р, Ь о
откуда видим, что вероятность р^ находится по обычной формуле
Ро = 1 - Р-
Далее, дифференцируя (о) по z и подставляя z = 1, находим
~рЦ.. .r)l = А [1 - В(.т)] + А [1 - В(х)] Р\Ц-
UZ 1г=1
X оо
- А ( У А [1 — В(?/)] dy У[1 - d(v, £/)] b(v) dv-b о
ОС X
- А у А [1 - В(«/)] dy ^[1 - d(v, з/)] b(v) dv), о о
^'(1)= / VP(-.')| ^ = р[1 + Г'(1)]-
J dz lz=i
о
ОО I оо
- А2[ j d.i ( j [1 - B(y)]dy I[1 - d(v,y)]b(v) dv-b b b
y[l - B{y)] dy У[1 - d(v, 3/)] b(v) . о b
Инверсионный порядок обслуживания,
389
па получаем выражение для стационарного среднего числа за-в (ц< теме
оПА яи*>к
у = Р'(1) = {р - А2 [ j j [1 - #(?/)] dy j [1 - d(v. i/)] b(r) dv-o b b
- 111 - B(y)]dy У"[1 - е/(гм/)]Ь('-’И’)]}(1 - p) ' b о
2.5. Время пребывания заявки в системе
Прежде чем переходить к вычислению распределения времени пребывания заявки в системе, заметим, что период занятости и период занятости, открываемый заявкой длины х, для данной системы в точности совпадают с аналогичными характеристиками для системы M/G/1/оос обычной дисциплиной FCFS обслуживания заявок в порядке поступления, т.е. их ПЛС 7(5) и 7(5 |т) определяются формулами (см. § 5.5)
7(«) = /3(s + А - Ay/s)),
7(.s|.t) = с-М-л-АдРОк
Обозначим теперь через </>(s | ,т) ПЛС полного времени обслуживания заявки длины .г с учетом возможных прерывании, т.е. время, начиная от первого момента поступления заявки на прибор и кончая моментом ухода заявки из системы. Для того чтобы найти у>(и |.т), подсчитаем то время, которое должно пройти, чтобы длина заявки 'моньшилась на Д. Это время включает в себя собственно время А. необходимое для уменьшения длины на Д. Кроме того, за время ’ оо
~ с вероятностью 1 — АД/ d(y, .г) b(y) dy не произойдет прерыва-о
Р обслуживания, а с плотностью вероятностей А Дс/(.у,а) 6(т/) в 1,1<тсму поступит заявка длины у, которая прервет обслуживание “Уделенной заявки. Очевидно, в силу рассматриваемой дисциплины Чп'РЫвание будет длиться время, равное периоду занятости, открытому заявкой длины ?/. Воспользовавшись формулой полной верности, имеем
#*> I т) = c-sAV’(a | X - Д) [1 - А Д I d(y, .т) b(y) dy+
о
390
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН
+А А
+ О(А).
Перенося i'(s | .г—А) в левую часть равенства, деля на А и устреХ11 А к нулю. получаем для t’'(.s | .г) дифференциальное уравнение
- ?(•« I ?/)] d(y. a) b(y)dy}.
Поскольку полное3 время обслуживания заявки нулевой длины равно нулю, то для г (у |.г) справедливо начальное условие
V-(«|0) = l. (7)
Решая уравнение (G) с начальным условием (7), находим
-st-A J du j [I—,(s | y)]d(y,u)b(y)dy c(.s I т) = С я 0
Определим в терминах ПЛС Да | а ) стационарное распределение времени пребывания в системе заявки длины х.
Во-первых, заявка длины т может с вероятностью р0 = 1 - р поступить в свободную систему и тогда время ее пребывания в системе будет совпадать с полным временем обслуживания.
Во-вторых, с плотностью вероятностей р(1,т/) = А [1 - B(j/)] она может застать систему занятой, причем на приборе будет находиться заявка длины у. Во втором случае возможны два варианта:
либо с вероятностью cl(x. у) поступившая заявка становится на прибор, при этом ее время пребывания в системе по-прежнему будет совпадать с полным временем обслуживания;
либо с вероятностью 1 — <7(.т, у) она становится первой в очередь и ожидает начала своего обслуживания время, совпадающее с периодом занятости системы, открываемых! заявкой длины ?/
В очередной раз применяя формулу полной вероятности, нах-дим
| .т) = Да | х) (р0 + А I d(x. у) [1 - БД)] <1у+
’о
J ?(s I У) [1 - d(x, ?/)][1 - В(?/)] dy}. О
391
Инверсионный порядок обслуживания §
Наконец, ПЛС <p(s) стационарного распределения времени пре пания в системе заявки произвольной длины получается усредне-
С нд I по РаспРеДелению В(х) длины заявки:
<p(.s | ж) Ь(х) dx.
W, а с Формулу
Определение среднего времени пребывания заявки в системе и проверку справедливости формулы Литтла мы предлагаем читателю-
2.6. Частные случаи
Выпишем стационарные вероятности состояний для некоторых частных случаев.
А Пусть <1(ж, ?/) = 0. В этом случае мы имеем инверсионнып порядок обслуживания без прерывания обслуживания, при котором поступившая заявка не прерывает обслуживание, но становится на первое место в очереди. С точки зрения стационарных вероятностей состоянии р„ такая дисциплина совпадает с дисциплиной FCFS обслуживания заявок в порядке поступления. Подставляя (/(ж, у) = 0 в формулу (5) и дифференцируя по ж, получаем уравнение
= А(1 - z)p(z,x) - A[P(z) - (1 - z)p0] Ъ(х), решение которого с учетом условия lim p(z.x') = 0 имеет вид 3?—>о©
р(г,ж) = A[P(z) - (1 - z)p0]eA(1-z):r У e-^l-^b(y)dy.
X
В свою очередь, интегрируя последнее равенство от 0 до оо, получаем для Р(я) уравнение
P(Z) - Ро = [1 - /?(А - Az)],
учетом равенства ро = 1 — р имеем известную из § 5.1 Поллачека Хинчина
- (1-p)(1-^)/3(A-Az)
4 ‘ ~ /3(Х -Xz)-z
3Дав^' HVCTb d(x,y) — 1- Это означает, что каждая поступившая ка тут же становится на прибор. Такую дисциплину обычно на-
392
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ
дисциплин
зывают инверсионным порядком обслуживания с прерыванием служпванпя. Система (3) имеет в этом случае вид
об-
Pi(.') = А [1 — В( г)](1 - р).
P„(-''i...»„)== А[1—Г?(.Г|)] j ;;>2
О
откуда индукцией по и нетрудно получить
/’»(.<!...<’„) = А» (1 - р) У с/у, ... У П[1 - В(.у,)]фу„ =
о о ,= |
= А" (1-p)JJ / [i-В(.у, )]</.!/„ //>(). '=’ о
В частное тп.
Р„ = Е„(х......эе) = р"(1 - р). а > 0.
Последняя формула показывает, что в системе M/G/1/оо с инверсионным порядком обслуживания с прерыванием обслуживания стационарное распределение числа заявок в системе, являющееся геометрнчес кпм. завис пт только от загрузки системы р и не зави-с пт от самого распределения длины заявки Б (л) пли. как говорят, инвариантно относ ительно В(.г).
В. Пусть, наконец,
_ Г 1. если ,с < 1;
'' ' ~ 10 в противном случае.
Это означает, что после' сравнения длин поступившей заявки и заявки. находившейся на приборе, обслуживание' продолжает та пз них. которая имеет минимальную длину (оставшаяся заявка, как мы договорились, занимает первое' место в очереди). Будем называть такую дисциплину обслуживания инвариантной. Подставляя значг ние' </(.г. у) в формулу (5) и производя тривиальные преобразования, приходим к уравнению
р(с. I ) = Аг [1 - В(л )] Г(г) + А (1 - г )[1 - В(.г)] рЦ.у) dip
о решение которого имеет вид
А(1-г)
о
р(;..г) = Аг[1-В(.с)]Р(г)с
jjw6epcw.oHW.w.a порядок обслуживания
393
Дчя определения Р(г), как обычно, проинтегрируем p(z, а ) от О с Тогда
ОС
P(z) = ра + I p(z, .г) (1х = р0 + [е₽(1“2) - 1]
О
P(z} _ (1 - , 1 — z еР
д01учсннып результат показывает, что стационарное распределение числа заявок в системе M/G/1/оо с инвариантной дисциплиной 0()( п жпванпя при фиксированной загрузке ртак же, как и в системе (инверсионным порядком обслуживания с прерыванием обслуживания. нс зависит от вида распределения длины заявки (что оправды-вдет название дисциплины), хотя п определяется совершенно другой форм у.топ. Для того чтобы понять, что это за формула, рассмотрим (1кт«п M/D/1/ос с постоянной длиной заявки и обычной дисциплиной FCFS. Поскольку с точки зрения стационарных вероятностен «хтоянпп эта система совпадает с системой M/D/1/оо с дисцп-пишоп LCFS без прерывания, которая, в свою очередь, полностью («впадает с системой N'I/D/1/оо с инвариантной дисциплиной, то окончательно получаем, что стационарные вероятности состоянии «системах M/G/1/оо с инвариантной дисциплиной обслуживания и V/D/1/оо с дисциплиной обслуживания FCFS и той же загрузкой
(«впадают.
Последнее свойство, в свою очередь, позволяет вывести интеросные следствия об оптимальности постоянного времени обслужи-гаиия в системе M/G/1/оо. Предположим, что у нас есть возмож-м<ть выбирать вид распределения 2?(.т), но при условии, что средня Длина заявки фиксирована. Оказывается, постоянная длина за-®Кп минимизирует стационарную очередь при дисциплине обслуживания LCFS и, наоборот, максимизирует при дисциплине SEPT, которое представление о методах доказательства этого факта ’’Татель может получить в § 8, посвященном исследованию СМО 'G/1/оо с дисциплиной SRPT.
2-7. Выходящий поток
toi ^Ь1хоДящпй 113 системы M/G/1/оо с дисциплиной LCFS РР по-°^1ЦеА1 имеет довольно сложную структуру. Однако в одном f н°м случае, а именно, в системе M/G/1/оо с дисциплиной LCFS срыванием обслуживания выходящий из функционирующей в
394
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПлц^ стационарном режиме системы пот ок будет пуассоновским. Эта называется точно так же, как и для других рассмотренных п систем (см. § 6.6). !
§ 3. Система M2/G2/1/oo с относительны приоритетом 61
В систему Mfc/Gfc/1/ос с относительным приоритетом посту пают /г независимых пуассоновских потоков заявок интенсивностей A,, i = l.fc, причем длины заявок г'-го потока имеют ФР В,[з_] Отличие этой системы от аналогичной системы с абсолютным приоритетом заключается в том, что если i < j, то заявка г-го потока поступающая в систему и застающая в ней только заявки потоков с номерами, большими ?, не прерывает обслуживание заявки, находящейся на приборе, а начинает обслуживаться после освобождения прибора (если при этом не поступили заявки потоков с номерами меньшими г). Заявки одного потока обслуживаются в порядке поступления.
Для нахождения стационарных показателей производительности системы Ma;/Ga/1/oo с относительным приоритетом мы, каки в предыдущем параграфе, воспользуемся методами введения дополнительной переменной и случайной замены времени, однако теперь в качестве дополнительной переменной будет взято прошедшее (а не остаточное) время обслуживания.
Для простоты изложения мы рассмотрим здесь случай двух потоков. При этом, как и ранее, заявки первого потока будем называть приоритетными, а второго потока- неприоритетными.
3.1. Периоды занятости и числа обслуженных на них заявок
Прежде чем переходить к основным выкладкам, проведем некоторые вспомогательные построения.
Введем обозначения:
G(.t) ФР периода занятости системы, в которую поступаю* только приоритетные заявки;
G\(а11 у)— ФР периода занятости системы, в которую посту пают только приоритетные заявки, при условии, что этот период занятости открывается заявкой остаточной длины у.
<72(.г|г/)—ФР периода занятости системы, в которую посту пают только приоритетные заявки, при условии, что в начале риода занятости в системе находится заявка остаточной длины У еще одна (приоритетная) заявка.
Система Rlz/G-i/l/oo с относительным приоритетом 395 g соответствии с результатами § 5.5 ПЛС ';(s) ФР G(x) может определено из уравнения
7(s) = $i(s + Ai - Ai7(s)), (1)
,e0i(s) ПЛС ФР В1(ж)> a ПЛС 7i(« |з0 и 72(s|j/) ФР Gi(.t|t/) и (j. | у) задаются выражениями
71 (s|?/) =
72(S|2/) = 7(S)e-ts+A*-A>^
(2)
(3)
Пусть теперь:
-у, вероятность того, что на периоде занятости системы приоритетными заявками поступило i неприоритетных заявок, г > 0;
вероятность того, что г, г > 0, неприоритетных заявок поступило на периоде занятости приоритетными заявками, открываемом заявкой остаточной длины у;
Э2,(?/) вероятность того, что г, г > 0, неприоритетных заявок поступило на периоде занятости приоритетными заявками, при к kibim. что в начале этого периода занятости в системе находилась заявка остаточной длины у и еще одна (приоритетная) заявка.
Тогда
ОО
^ = f{-^-e~^dG(X), (4)
о
оо
7i.(i/) = У e~XiXGl(dx\y), (5)
О
оо
72,(2/) = I e-^G^dx | у). (6)
О
В дальнейшем нам понадобятся ПФ
00 оо оо
Г(г)=^7.2,, ri(z|7/)=J271I-(«/)zl, Г2(2|?/)=5272г(2/)г'.
г=0 2=0 2—0
Равенств (2)-(6) нетрудно получить:
Г(г) = 7(А2(1 — г)), (7)
Г1(г I у) = 71(А2(1 - z) I у) = e-IMi-HAi-x.rWb (8)
Г'Дг 12/) = 72(А2(1 - z) h) = Г(2)е-^<1Л)+Л1-Л1Г(-’)К (9)
396
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛ^
Наконец, обозначим через ут,(?;). i > 0, вероятность того на периоде занятости приоритетными заявками, открываемом явкой обслуженной длины у. поступило i неприоритетных заяв0 через У2,(с/), ' — О- вероятность того, что i неприоритетных явок поступило к моменту ос восхождения системы от приоритеты * заявок, но при v< товпи, что в начальный момент времени на при сборе- обслуживалась нсприоритетная заявка обслуженной длины (| в с ис теме- находилась одна приоритетная заявка.
Если в начальные! момент времени в системе находилась ПрВ(| ритетная заявка обслуженной длины у. то с плотностью вероятно стен (г) ее остаточная длина равна г — у. Поэтому по формуле полной вероятности подучаем
(10)
У
Аналогично
72, (у) =
(И)
1 - В2(?У) ./
3.2. Уравнения для стационарных вероятностей состояний
Обозначим через ра стационарную вероятность отсутствия заявок в системе, через Pi,-i(x), i > 1, j > 0, стационарную плотность вероятностей того, что в системе' находится ? приоритетных заявок и у неприоритетных заявок и на приборе обслуживается приоритетная заявка обслуженной длины .т и через р2г](х), i >0, 12. > 1. стационарную плотность вероятностей того, что в систем' находится i приоритетных заявок и j неприоритетных заявок и н< приборе обслуживается неприоритетная заявка обслуженной длины .г. Положим также
,12)
P2,j(x)
Функции ) и q2ij(x) удовлетворяют следующим сист' уравнении:
1)AiQi,.-ij(3:)+
+u(j) A2<7i,i,j-
397
Система AIi/Gz/l/'x* с относительным приоритетом
fe,/3’) = “(Л1 + -М 92и(Ж) + «(«) Мз, г-1, J (•<')+
+u(i - 1) А292,г17-1(а:), г > 0, .7 > 1, (15)
и(г) функция Хевисайда.
Г-1< Системы уравнений (14) и (15) получаются точно так же. как система (5.4.3), с учетом того, что при г > 2, 7 > 2, переход в ^гоянпе с г приоритетными и 7 неприоритетными заявками возможен как из состояния с i — 1 приоритетными и 7 неприоритетнымп заявками, так и из состояния с i приоритетными и / — 1 неприори Сными заявками.
Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться в том. что решения систем (14) и (15) имеют вид
>!. 2>0,
(16)
,>0. ,г1.
(17)
Таким образом, мы нашли стационарные плотности вероятное -тейсостояний с точностью до постоянных c/i4(0) =pi,j(0) и </2г/(0) -i=P2ij(0).
3.3. Граничные условия
Найдем <7iij(0) и gaij(O). При этом для упрощения выкладок воспользуемся методом, предложенным в § 2.
Введем «-систему, п > 0, которая совпадает с исходной, за пс иочением того, что в ней не может находиться боле с и приоритei вых заявок. Точнее говоря, если в «-системе1 уже имеется и njinopn ’иных и 7 неприоритетных заявок, причем на приборе1 обе ту жива Иея приоритетная (неприоритетная) заявка обслуженной длины е. Впоетупает еще одна приоритетная заявка, то е вероятное т ью ' п( 1) М-1')) в системе становится и приоритетных и / + / неприоритот
заявок (н приоритетных и j + I — 1 непрпорптетных заявок) п ^тпнае-т обслуживаться новая (приоритетная) заявка. В 0-е пстеме 'Иоритстные заявки вообще отсутствуют, а пое тупающая прпорп ’’З’иая заявка переводит 0-систему с вероятностью t в состояние 1 ^'’Приоритетными заявками (если она поступает в свободную я'Теыу) илп ( вероятностью '/2/(т) в состояние с / + I — 1 непрп
Чх /ГНыми -заявками (если она поступает в 0-систему, в которой Е ^Иг< н .) неприоритетиых заявок, 7 > 1, и на приборе1 заявка венной длины .г).
398
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛи^
Выкинем теперь из рассмотрения те интервалы времени, на торых в исходной системе находится более п приоритетных заяВо и склеим оставшиеся куски марковского процесса, описывающей функционирование системы. Нетрудно видеть, что получившийся результате такой операции процесс будет по своим вероятностный характеристикам в точности совпадать с аналогичным марковски^ процессом для n-системы. Поэтому, воспользовавшись следствие^ из леммы 2.1, видим, что стационарные вероятности состояний дая исходной системы и n-системы совпадают с точностью до постояв ной (в качестве которой естественно выбрать р0). Это означает в частности, что при выписывании уравнений для 91,7(0) и g21J(0) можно считать, что мы имеем дело с г-системой.
Начальные условия </|ч(0) и </2ч(0) удовлетворяют следующие соотношениям:
(Ai+A2)Po= I qzoilx) б/В2(а:)+А17оРо+А1 f 720(a) Р201(г) dx, о о
q-2o} (0) = I g2,o,j+i(a’)rfB2(a:) Ч-А^ро + ц(2 - j) А2р0+ о
+ Al ^2 / 72,j+i-/(a)P20/(a) dx, j > 1,
;=i •/
92U(0) = 0, i > 1, j>l,
°?. j+i °?
9iv(0) = /g2,I,j+i(a-)^B2(a.-) + A1 ^2 /72,j+i-/(a)p2l/(a)rfr+ b /=l b
7i,j-i(x)pui(x) dx, г>1, ,)>0. (19)
+A|w(2-«-j)po+AI У2 /=0
Поскольку соотношения (18) и (19) выводятся точно так же, кап и соотношения (5.4.5) и (5.4.8), мы не будем подробно повтор^ выкладки § 5.4, а ограничимся только кратким комментарием. первое равенство в (18) получается из следующих соображении.^ 0-систсме в некоторый момент времени t отсутствуют заявки,^
в момент t — Д также отсутствовали Зайплньи згьвремя Д не поступали (это дает нам левую часть равенства);
о Система M2/G2/l/<x с относительным приоритетом 399 Г'
в момент t — Д была одна заявка обслуженной длины ж и за еМя Д окончилось ее обслуживание (первое слагаемое правой ча-’тИ равенства);
в момент t — Д отсутствовали заявки и за время Д поступила приоритетная заявка, которая перевела систему снова в состояние О /второе слагаемое правой части равенства);
в момент t — Д была одна заявка обслуженной длины х и за время Д поступила приоритетная заявка, которая перевела систему в состояние 0 (третье слагаемое).
Аналогично получается второе равенство в (18) и соотношение (19). Третье равенство в (18) имеет место по той простой причине, что если в некоторый момент времени в системе имеется хотя бы одна приоритетная заявка и прибор освобождается, то на него обязательно поступает приоритетная заявка.
Подставляя теперь в соотношение (18) вместо p2tj(x) их выражения через Q2i7(0) по формулам (17) и (13), вместо 72,г(ж) выражения по формуле (11) и изменяя порядок интегрирования, получаем
ОО
(А1 + Л2)р0 = I e~^+x^q2O1(0)dB2(x) + Л17оро+ О
оо у
+ Ai J dB2(y) I е-(Л1+Л2)®720(у -х) 5201(0) dx, о о
°о j+1
^(0)
0 ‘-1
J+1 °?
+ А17>Ро + w(2 - j) Х2р0 + Al Е J dB2(y)x
!=! Q
V 1 I
X J - x) E 92On(0) dx’ J -
0 n=1 ' '
92г>(0) = 0, i > 1, j > 1,
Аналогичные преобразования соотношения (19) с использова-
Betl формулою) (13), (16) и (17) дают
Lo)
400 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПл^
+А1 52 /<11Ш je_(A1+A2);c72,j+i-((?/-a) 52 12 ?2Ь>(0)х i=i q о ьо»=1
Х^7-М гй" <Ь +лг«(2-»-./)ро+А| 52 /dB> (») /е~(А,+А0* ('-*)’• (<-»)! ±7./ ./ х
J-U 0 0
Ы«=о к' /• \ г
Отсюда, учитывая последнее равенство в формуле (20), имеем
<„,,(0) = ’/у...,
./ I/“г 1 О-
о 1~{
+А‘ 52 /(1ВЛу) IP~(A'+A2)372,j+i-i(?/-a:) у^?2Оп(0)х
/=! '() 0 н = 1
f/.i+A[ н(2—г— J)/>o+Ai 52 / dBi(.!l) Iе ^A|+A2^;rx 1=0 о {
->1. .>>0.(11)
Система уравнении (20), (21) позволяет получить рекуррентный алгоритм вычисления </i,j(0) и <72,j(0) через ро и, значит, найти стационарные плотности вероятностей Pit}(.r) и p-2tj (>') Действительно, все входящие в эту систему' известные величины могут быть записаны в терминах экспоненциальных моментов ФР Bi (-г), В^1) и С(.е). Однако мы не будем этого делать, а перейдем к ПФ
см--., ко) = 52 52 </1,л») ф;-, <л2(г,о) = f;f/,,OJ(o)P.
1=1 J=<> . 7=1
Умножая первое равештво в формуле (20) на 1, а второе н<1 и суммируя по j от 0 до оо, получаем
(Ai +А2)po+Q-2(z,0)~A|I (г)ро+А-2гро + — е ^А'+ Q-^~'
о
Система M2/G2/l/co с относительным приоритетом. 401
L^dB2(x)+~1dB2(y) Ie~^+x^xr2(z I y-x) Q2(z, 0) c>2ZXdx. b b
Отсюда, заменяя ПФ Г2(г|?/ — х) ее значением по формуле (9) и
Жегрируя, приходим к уравнению
(Xi+A2)l'o+Q2(^,O) = A1r(^)po + A22 4>o+|/32(X1+A2-A2z)Q2(3,O)+
+-А УтСЛ ^А1 —^1Г(г)+А2 —A2z)—/32(^1 +А-2 — X2z)]Q>(z,ty,
Z А11 yZ )
где РА-Р ПЛС ФР В2(х). Решая последнее уравнение, окончательно получаем
С*2(г,0) = гф2(г)ро, ' (22)
где
о (~\ _ л1 - А1Г(г) + А2 - А22____
) /32(А1-А1Г(г) + А2-А22)-г' ( 3)
В частности, из формул (1), (7) ц (23), воспользовавшись правилом бпиталя, находим
I . <24>
ОО >
где р = р{ -1~р2—общая загрузка системы, a pi = Aybi = Хг J т dBj (.?) о оо
и Pi = А262 = А2 J х dB2(xY загрузки сис темы приоритетными и
реприоритетными заявками соответственно
Действуя таким же образом, от соотношения (21) приходим к Уравнению
Qi(21,22,0) = 1 /e-(A>+A2)a(ex-2--l)Q2(^,O)eA^2'W2(c)+A121po+ Z2.J
0
I А 7 У
^JdD2(y) Ie-^+x^V2(z, I у-х) (ех> z‘ -1) Q2 (z2, 0) ex-’ 2 d.r+
о 0
+*i IdB.(y) [e-(A‘+A^Tr)(22 I y-x) Q, (zb z2K0) eA<-’-eX222 'di. n 0
402 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИЛЛИЦц
Вычисляя входящие в это уравнение интегралы, имеем
Qi(z1; z2,0) = Ai^ipo Ч-[ft(Ах — AiZi + Аг — A2z2) —
•Z2
—/3г(Ai + Аг — Аг-гг)] Q2(x2,0) + ——r(z2) [ft(ft — ^izi+ft~A2z2)_
—ft (Al — А1Г(2г)+Аг—Аг^г)] — ft(Ai —AiF(z2)-|-A2 — A2z2)+
+ft(Ai +A2-A2z2)^Q2(z2,0) + —[/?i(Ai-AiZ1+A2-A2Z2)-
—ft (ft “ AiT(z2) + A2 — A222)] Qi(zi, z2,0).
Отсюда, учитывая равенство
Г(г2) = ft (Ai — А1Г(г2) + A2 — A2z2), вытекающее из соотношений (1) и (7), находим окончательное выражение для Qi(zi, z2,0):
Qi(zi,z2,0) = Qi(z!,z2)p0, (25)
где
Qi(zt, z2) = zi{A! [zi - T(z2)J + [ft(Ai - Ai.?! + A2 - A2z2)-
—ft(A|—А]Г(г2)Ч-А2—A2z2)]Q2(z2)}[zi—ft(Ai—AiZi+A2—A2z2)] . (26)
3.4. .Стационарные вероятности состояний
Продолжим вычисление стационарных плотностей вероятностей/л,/л), i > 1, J > 0, иргг7(.'с), г>0, j > 1. Для этого введем ПФ ОО оо
<Э1(Х1,г2,ж) = EE^’ft') 2iZ2>
г=1 j=0
оо оо
<Э2(г1, г2, Я;)
г=0 J = 1
Возвращаясь к формулам (16) и (17), с учетом третьего равеН ства в соотношении (20) перепишем (17) в виде
.fcjW = р1-
Умножая полученное равенство на и суммируя по всея i
о Система M2/G2/l/<x> с относительным приоритетом 403 s
получаем
Q2^,z2,x) = e-^-^M-^xz2Q2(Z2)Po. (27)
^алогично, умножая равенство (16) на z\z2 и суммируя, имеем
<?1(г1,г2,Ж) = е-(Л1-Л*г>+Л2-Л2^1(г1,г2)ро. (28)
Вводя теперь ПФ ОО оо
P1(*1,*2,Z) = 5252pizj(s) Z{Z32,
>=1 3=0
ОО оо
Р2(^1,-?2,Ж) = ЕЕ^Иг;4
2=0 j=l
находим из (27), (28) с учетом (12), (13)
(29)
p2(zi, г2, х) = (1 - В2(х))е-(Л1 -^m-^*z2Q2(z2)р0. (30)
Стационарные вероятности plt} = J рц} (х) dx того, что в сис-0
теме находится i приоритетных, и j неприоритетных заявок и на оо
приборе обслуживается приоритетная заявка, и р2г] = J р2г] (х) dx о
того, что в системе находится г приоритетных и j неприоритетных заявок и на приборе обслуживается неприоритетная заявка, задаются своими ПФ
ОО оо оо „
Pi(zi,z2) = == / Pi(zi,z2,a-)<la: =
2=1 3=0
_ 1 — A (А, — AjZ] + А Ai — Aj2j + А2 —
ОО оо
P2(Z1,Z2) = E2E2p2’>Z1Z2 = / P2^1,Z2,x)dx =
2=0 j=l {
~^2Z— Q1 (zj, z2) Po,
Л2^2
1 — (32(Xi — Ajzj + A2 — A2z2) -
= --------------—Г----r-------' ^2Q2(z2)p0.
Ai — AiZi + Л2 — A2z2
Стационарные вероятности p0 отсутствия заявок в системе и г > 0, j > 0, г + j > 1, того, что в системе находится г
404
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПл^ приоритетных и j неприоритетных заявок (без учета приор11т обслуживаемой на приборе заявки), имеют ПФ еТа
P(zl , Z2) = '^y^JPT1z{z32 = p0 + Pi (z1,Z2)+P2(z],Z2) =
г=0 j=0
1 — /31 (А, — XiZi + А2 — A2z2) /5 , .
---Т—Т—--------------Q1 (*1, z2)+
Po-
। ~ /Зг(А1 — XjZj + А2 — A2z2) А} — Aj2j[ 4~ А2 — А2>2>?
В частности, стационарные вероятности р^ = pti., i > 0, того что в системе находится г приоритетных заявок, определяются ПФ
Р^(г) = ^р^Р = Р(г,1) =
г=0
. А2[1 ~ /Зг(А1 — Агг)]
Ai(l-P)
(32)
_ /31 (A, — Xjz) Pi (Al — Aiz) — z
полученной подстановкой в (31) Zi = z и z2 = 1 с учетом равенства (24). Аналогичный вид имеет ПФ числа неприоритетных заявок:
Р(2)(г) = = F(l,z) - ~ М Q2(z)p0. (33)
1=0 , ' Аг
В полученных формулах осталась неопределенной стационарная вероятность р0 отсутствия заявок в системе, которая определяется из условия нормировки
A2
1 = PO + 52 = F(i, i) = F(1)(l) = F<2>(1).
! = 0 J = 0
Из этого условия, воспользовавшись, например, формулой (33) и снова учитывая равенство (24), получаем
Ро = 1 - р. (34)
Таким образом, стационарная вероятность р0 отсутствия заявок системе имеет обычный вид (34). Отсюда, в частности, следУеТ’ что условие р < 1 является необходимым для существования ста ционарного режима функционирования СМО M2/G2/l/co- М0*)) показать, что условие р < 1 является одновременно и достато
о Система M2/G2/I/00 с относительным приоритетом 405 И
Дифференцируя по г15 z2 или z формулу (31) или формулы (32), /13'1 и полагая z-y = z2 = 1 или z = 1, можно найти моменты стационарного распределения числа заявок в системе. Мы не будем проводить здесь простые, но утомительные выкладки, а сразу приедем значения стационарных средних чисел Лу приоритетных и Лг2 ^приоритетных заявок в системе:
м =pW'(l)=p1+A1
аХ2) + A2b<2)
(35)
2 (1 - Р1)
№=Р(2)'(1)»р2 + А2 - — —.
2(1-Pi)(l-P)
(36)
Йдесь bj = / .t2<//1j (.t) и бЦ~ ~ j x2dBz(x)— вторые моменты длин о о
приоритетной и неприоритетной заявок соответственно.
3.4. Стационарные распределения времен ожидания начала обслуживания заявок
Зная стационарные плотности вероятностей pi4 (.г) np2!J(.r), нетрудно вычислить стационарные распределения времен ожидания начала обслуживания приоритетной и неприоритетной заявок.
Начнем с приоритетной заявки. С вероятностью р0 поступающая в систему приоритетная заявка застает систему свободной и сразу же начинает обслуживаться. Кроме того, с плотностью вероятностей pU](a-), г > 1, j > 0 поступающая приоритетная заявка застает в системе г приоритетных и 7 неприоритетных заявок, причем на приборе находится приоритетная заявка обслуженной длины *• В этом случае время ожидания начала обслуживания будет состоять, во-первых, из времени у дообслуживания находящейся на приборе приоритетной заявки, имеющего плотность распределения Мз/ + яг)/[1 - Bi (.г)], а, во-вторых, из времени обслуживания i — 1 приоритетных заявок, находящихся в очереди. Наконец, с плотностью вероятностей Рго(-т), г > О, .7 > 1 поступающая приоритетная заявка застает в системе i приоритетных и j неприори-ТсТных заявок, но на приборе неприоритетную заявку обслуженной ™ны х. Теперь уже время ожидания начала обслуживания будет Срстоять. во-первых, из времени у дообслуживания находящейся на приборе неприоритетной заявки, имеющего плотность распределения Цу + ж)/[1 _ В2(х)], а, во-вторых, из времени обслуживания Приоритетных заявок, находящихся в очереди. Воспользовавшись
РМулой полной вероятности и переходя к ПЛС од (s) стационарной
406
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛЦЦу
ФР P’i(.'c) времени ожидания начата обслуживания приоритет заявки, имеем
Hog
(s) = Ро + 52(Л («))г 1 [pu}(х) dx j e svdy+
1=1 J=O 0 о
oo oo
+ £ (s))! / W dx J i-b7(x) e~SVdy-
J=o J=1 0 о
Отсюда, используя формулы (29) и (30), находим
ОО оо
u,1(s) = {l + ^1(^1) [e-tAi-AiAWJ^ f bl(y + x)e-^dy+
1 Pi(s) J J
о 0
+<2г(1) J e [A1 A1/31<s)la,da: J b2(y + x)e sydy}p0. (37) 0 0
Далее, изменяя порядок интегрирования, получаем
ОС’ ОС’
О о
/31(А1 —Ai/3i(.s))—/3t(s)
s —А] + Ai/31 (s)
ОС1 ОС’
/в-ь-«.<*ЛуМ9+1)е-.Чв =
о о
/Ь^-А^Дз))-/^) s —A] +Aj/3i(s)
Кроме того, из формулы (26) следует:
Q1(/31(S),l)=/31(s)
Ai[/3i(s) — 1] + [fe(A] — А1/З1 (s)) — 1]
A (s) — /51 (А]— -Mi(s))
Воспользовавшись теперь равенством (24) и учитывая равенств0 (34), от формулы (37) приходим к окончательному выражению Дяя ПЛС а>1(в) стационарной ФР Wj(a") времени ожидания начала дослуживания приоритетной заявки:
s(l-p) + A2[l-/32(s)] (38)
s — А] + Aj/3j(s)
Несколько сложнее обстоит дело с неприоритетной заявкой. нахождения стационарного распределения времени ожидания на обслуживания неприоритетной заявки введем следующие уело
ФР:
Система Mz/Gz/l/cx с относительным приоритетом 407
Й (г/11) ФР времени ожидания начала обслуживания неприо-птетнои заявки при условии, что в начальный момент в системе ”аХодится всего одна, причем приоритетная заявка, которая в этот момент начинает обслуживаться;
Ц'(у 11, а,’) - ФР времени ожидания начала обслуживания непри-оритетной заявки при условии, что в начальный момент в системе Вводится всего одна, причем приоритетная заявка, обслуженная длина которой равна а:;
Й’(?/1 2, х)~ ФР времени ожидания начала обслуживания непри-оритетной заявки при условии, что в начальный момент в системе находится всего одна, причем неприоритетная заявка, обслуженная длина которой равна а.-;
W(y | 2) ФР времени ожидания начала обслуживания неприоритетной заявки при условии, что в начальный момент в системе находится всего одна, причем неприоритетная заявка, которая в этот момент начинает обслуживаться.
Соответствующие ПЛС обозначим через lj(s I1), (2>(s|l,a?), ф|2, а.-) и w(s | 2).
Очевидно, что Ил(г/11) совпадает с периодом занятости системы приоритетными заявками, т.е в терминах ПЛС
w(s 11) = 7(s). (39)
Далее, W(y | 2, х) совпадает с периодом занятости системы приоритетными заявками при условии, что открывает этот период приоритетная заявка обслуженной длины х, или, как нетрудно вычислить,
1
о
1
1 - Bi (a. ) J о
(40)
Аналогично
1
1 - В2(х)./ о
1
1 — В2
I e"[s+A,"A|'»<s)42(a.- + ?/)d?/ о
(41)
408 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН^
и
оо
w(s|2) = I 'fi{s\y)b2{y)dy =
О
оо
= У*e^s+x'-x^s^dB2{y) = p2(s + Ai - A17(s)). (42)
b
Кроме того, изменим дисциплину обслуживания приоритетных заявок и будем считать, что они обслуживаются в порядке, обратном поступлению.
Теперь мы можем перейти к нахождению стационарной фр W2 (х) времени ожидания начала обслуживания неприоритетной заявки.
Так же, как и ранее, с вероятностью ро поступающая в систему неприоритетная заявка застает систему свободной и сразу же начинает обслуживаться.
С плотностью вероятностей/щ.Д.т), i > 1, j > 0 поступающая неприоритетная заявка застает в системе г приоритетных и j неприоритетных заявок, причем на приборе находится приоритетная заявка обслуженной длины х. В этом случае время ожидания начала обслуживания будет состоять из следующих независимых слагаемых:
времени до начала обслуживания приоритетной заявки, находящейся в очереди на первом месте (с учетом обратного порядка обслуживания приоритетных заявок это время имеет ФР W(y 11,ж));
г—1 интервалов времени между началами обслуживания приоритетных заявок, находящихся на соседних местах в очереди (каждый такой интервал имеет ФР РИ(»/| 1));
j интервалов времени между началами обслуживания неприоритетных заявок, находящихся на соседних местах в очереди (эти интервалы имеют ФР IV (у | 2)).
Таким образом, суммарное время ожидания начала обслуживания неприоритетной заявки в этом случае имеет ПЛС
сЬ(5|1,а:)(сЬ(Н1))г-1(щ(5|2))<
Наконец, с плотностью вероятностей р2гу(х~), г >0, .'/2 поступающая неприоритетная заявка застает в системе г приор11 тетных и j неприоритетных заявок, причем на приборе находи неприоритетная заявка обслуженной длины х. Этот случай отлила ется от предыдущего только тем, что время до начала обслу ния приоритетной заявки, находящейся в очереди на первом м
о Система M2/G2/I/со с относительным- приоритетом. 409 Г'
сТ Ф? 1Р(?/|2, х). Значит, теперь суммарное время ожидания ^чала обслуживания неприоритетной заявки имеет ПЛС .
w(s I 2, х) (a>(s I l))'(w(s 12))J-1.
Применяя, как обычно, формулу полной вероятности и учиты-вая соотношения (39)-(42), получаем для ПЛС ш2(я) стационарной фр И2(а:) времени ожидания начала обслуживания неприоритетной
заявки выражение
ОО оо w2(s)=ро+Е Ем®))1-1 г=1 7=0
(/?2(s+Ai-Ai7(s)))j pU](x)
dxX.
ОО оо e-[s+At-An(s)];/j^ ЕЕ» <=0 7=1
[p^A^dx [hMEe-P+A.-A.T^)]^, о о
После использования формул (29) и (30) имеем
^(я) = /1 + Qi(7(3),&(s + Ai-Ai7(s)));.
1 7(s)
х оо
Х^-Р.-А^М+А^А^Дл+А^А,-,^))]^ A (2/ + a:)e-P+A1-A17(S)]!Jrf2/+ » 0
+Q2(A>(s + >l-Ai7(s))) e-lX<-Xi-l^+X2-^02<.s+Xi-Xi-l(.^]Tdxx
х [b2(y + x)e ^+А’ Al7(s)',Jdi/|p0-
о
^’Водя теперь выкладки, аналогичные тем, которые применялись ‘ приоритетной заявки, и учитывая равенство (1), приходим к Плательному выражению для wz(s):
W„(S) =__[s + Ai-AnW-p)
s _ д2 _ A2/%(s + Л1 _ А17(<,))
(43)
410
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПДц^
Стационарные ФР I ) (а) и V2(а') времен пребывания в (:И( приоритетной и неприоритетной заявок задаются своими ПЛС
Г1(«) = ^’i(s)bi(s),
й(«) =^2(s)b>(s), (
Из формул (38). (43) (45) дифференцированием в точке « - (| можно получить стационарные моменты времен ожидания начща обслуживания и пребывания в системе приоритетной и -тетной заявок.
V2 пребывания имеют вид
неприор^
В частности, стационарные средние времена в системе приоритетной и неприоритетной заявок
i ,^ + х2ь^ «р^(0) = Ьг4- 2Т1_Р1) ,
Х^ + Х2Ь™
* = й(°> - 42 + ' _______________________
Сравнивая формулы (35), (36) и (46), (47), видим, что и в случае приоритетной системы справедлива формула Литт ла.
(46)
(47)
§ 4. Равномерное разделение прибора
При дисциплине равномерного разделения прибора (PS) каждое из п находящихе я в системе требований обслуживается со скоростью 1/я, т.е. за время Л его (остаточная) длина уменьшается на Д/п.
Для исследования стационарных вероятностей состояний системы M/G/1/оо с дисциплиной PS мы применим метод введения дополнительных переменных, в качестве которых выберем остаточные длины находящихся в системе заявок. Кроме того, для того чтобы подчеркнуть связь рассматриваемой системы с системой M/G/oo, мы произведем случайную замену времени. Такая замена, как мы увидим ниже, позволяет свести задачу изучения стационар ного распределения длины очереди в рассматриваемой системе аналогичной задаче для системы с бесконечным числом приборов, с интенсивностью входящего потока, определенным образом за щей от числа находящихся в системе требований. Последняя зал практически совпадает с подобной задачей для системы Ж/W-JH
Отметим, что все изложенное ниже (за исключением пуа вости выходящего потока) справедливо и для системы с про» ным пуассоновским входящим потоком второго рода. Докаэа ство этого мы предоставляем читателю.
411
равномерное разделение прибора Д'
1. Случайная замена времени
Обозначим через i/(t) число требований в системе в момент t. 1. 'сМОтРпм тепеРь новое ’’фиктивное” время г, связанное с реаль-л1 временем t соотношением и (7) dr = dt. Иными словами, если системе находится п требований, то ’’фиктивное” время т течет ' 7, раз быстрее, чем реальное время t Если система свободна от ’ „бованпй или в ней находится только одно требование, то будем -читать, что ’’фиктивное” время т совпадает с реальным временем.
Посмотрим, как будет функционировать система в ’’фиктивный’' момент времени т Прежде всего, поскольку ’’фиктивное” время течет в п раз быстрее реального, то каждое из п находящихся в системе в момент т требований будет обслуживаться со скоростью n-1/n = 1- Но этот же факт можно интерпретировать и другим образом. Можно считать, что каждое требование обслуживается своим прибором (с единичной скоростью). Иными словами, можно считать, что в "’фиктивном” времени рассматривается бесконечно-(пнейная система.
Однако в ’’фиктивном” времени изменится не только скорость обслуживания, но и интенсивность поступления требований в систему, которая также увеличится в п раз. Значит, интенсивность А„ поступления требований в систему в ’’фиктивном” времени т будет зависеть от числа п находящихся в системе требований (пуассонов-<кип поток второго рода) и задаваться формулой
Ао — А, А„ = пХ, п > 1. (1)
4.2. Стационарные вероятности состояний в ’’фиктивном” времени
Итак, мы показали, что в ’’фиктивном” времени рассматриваемая СМО представляет собой бесконечнолинейную систему с пуас-с°Новским входящим потоком второго рода, т.е. потока, интенсив-°<ть которого А„ зависит от числа п находящихся в системе тре-(Ванц|[ и определяется формулой (1). Для определения стационар-вероятностей состояний р* этой системы воспользуемся мето-J0'1 ведения дополнительных переменных. При этом так же, как и Г 6-6, нам удобно считать, что поступившее требование может с Маковой вероятностью занять любой по номеру свободный при-
Обозначим через р* (ад,..., а?„) плотность стационарного рас-t(„i <Ния того, что в системе находится п требований и их оста-иьзе длины не превосходят ад,..., хп. Проводя те же рассужде-
412 Гл. 1. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛц^
ния, что и в § 6.6, приходим к бесконечной системе уравнений
^оРо =Р1(°),
0 ,, , д .
т— Р (а-1,...,а:„) + ---+ -—p.Jxj,... ,х„) =
UX\ охп
= -^пР*п (Х1, . . . , Х„) + р*п+1 (Х1, . . . , а',-1 , О, Хг, . . . , тп) +
А _ п
+ —Уp*_1(a-1,...,a-i_1,x,+1,...,a:ri)6(xI), n > 1. п *—у
Непосредственной проверкой убеждаемся, что решение этой системы имеет вид
р„(х1,...,хп) = Л°Л1 , Л- 1 П[1 - В(х,)] р* = г=1
В частности, стационарные вероятности состояний р* определяются формулой
оо оо
р* = у...у"р* (а-!,...,da-j = ^-Ро, n > 1, о 0
где стационарная вероятность pj находится из условия нормировки.
4.3. Стационарные вероятности состояний в реальном времени
Возвращение от ’’фиктивного” времени к реальному не вызывает никаких затруднений. Действительно, обозначим через ро, р„ (а-],..., а-„) и рп те же самые вероятности, что и pj, p„(xi,... Лп) и р*, но для исходной системы. Поскольку при условии нахождения в системе п требований реальное время течет в п раз медленнее ’’фиктивного”, то относительная вероятность попадания в сосгС’ ние с п требованиями в исходной системе будет в п раз больше, чем в системе, связанной с ’’фиктивным” временем, т.е.
р„(.Г1,.. .,xn) = п -Л°Л1 Л" 1 JJ[1 - B(xi)]po -г=1
п
= A" JJ[1-В(хг)]7>о, n > 1,
г=1
Ограничение на время ожидания начала обслуживания
413
.^njdxi -dxn = рпр0.,
п > 0.
да1С того, из условия нормировки находим р0 = 1 — р.
Интересно отметить, что и в этой системе стационарные вероятности состояний рп при фиксированной загрузке р не зависят от вйДа распределения -В (а") длины требования и имеют геометрическое распределение.
4.4. Время пребывания заявки в системе
Нахождение распределения времени пребывания заявки в системе M/G/1/оо с дисциплиной PS представляет собой сложную задачу, которая была решена совсем недавно ([53, 75, 78]). Оказалось ([53, 67]), что случайная замена времени, которую мы произвели, приводит процесс {г (1), t > 0} к специальному типу ветвящихся процессов—процессу Крампа-Мода-Ягерса. В свою очередь, методы исследования процесса Крампа Мода Ягерса весьма специфичны и требуют глубоких знаний из теории ветвящихся процессов. Наконец, само распределение времени пребывания заявки в системе представляется в таком виде, который фактически исключает возможность его использования на практике. Поэтому мы здесь не рассматриваем задачу нахождения распределения времени пребывания заявки в системе, отправляя читателя к цитированной выше литературе. Возможности применения ветвящихся процесов к задачам ТМО будут рассмотрены в § 6 на примере более простой для анализа дисциплины обслуживания.
4.5. Выходящий поток
Выходящий из рассматриваемой системы поток будет (в стационарном режиме) пуассоновским. Доказательство этого факта мы здесь не приводим, поскольку оно в точности совпадает с доказательством аналогичного факта для системы M/G/n/O (см. § 6.6).
§ 5. Ограничение на время ожидания начала обслуживания
В ряде технических устройств может возникнуть ситуация, ко-Г’1а обслуживать заявку имеет смысл только в течение определен-Го времени. В частности, в системах передачи информации сооб-нЧя часто довольно быстро теряют свою актуальность, и по ис-еНИи определенного срока их передача становится бесполезной. РТематической моделью таких систем могут служить СМО с огра-('нием на время ожидания начала обслуживания или на время
414
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПДцц пребывания заявки в системе. В настоящем параграфе мы pac(l, трим метод исследования таких систем на примере СМО M/Q/i Л со случайным ограничением на время ожидания начала обслужи ния. Впрочем, частный случай система М/М/1/оо с ’’нетерц^ выми” заявками уже был рассмотрен нами в § 3.3.
Будем предполагать, что наряду с длиной, распределенной ц0 закону В(х), каждая заявка несет с собой еще одну случайную Ве личину ограничение на время ожидания начала обслуживания распределенную по закону Е(х). Как обычно, считается, что все величины, определяющие функционирование системы, независим^ Заявка, поступившая на прибор до истечения срока своего огра ничения на время ожидания, далее обслуживается как в обычной системе. Если Же отпущенное время ожидания начала обслуживания истекло в тот момент, когда заявка находится в очереди то она покидает систему и более в нее не возвращается. Дисциплина обслуживания заявок FCFS.
Здесь мы ограничимся изучением только стационарных распределений времени пребывания заявки и числа заявок в системе, хотя предложенные методы, как увидит читатель, пригодны и для более детального анализа.
5.1. Виртуальное время ожидания
Обозначим через £(t) виртуальное время ожидания, т.е. то время, которое прождала бы начала своего обслуживания заявка (не имеющая ограничение на время ожидания начала обслуживания), поступившая в момент t. Очевидно, что, как и ранее, {£(4), t > > 0} марковский процесс. Обозначим через po(t) = Р{£(4) = 0} вероятность того, что система свободна в момент 4, а через w(x,t) = = 0W(x,t)/dx — dP{^(t) < x}/0x, x > 0, плотность распределения f(4), Тогда для ро(4) и го(.т,4) справедливы уравнения
Po(t) = -Лро(4) + Ц0,4), з з
4)-—w(z, 4) = -А [l-F(.c)] w(x, t)+Xb(x)po(t)+
X
+ А ^[1 - F(t/)] w(y, 4) b(x — y) dy. о
Поскольку первое уравнение системы (1) составляется точно так же, как и для обычной системы M/G/1/оо (см. § 5.2), комментарии нуждается только второе уравнение этой системы-и оно легко получается из исходных предпосылок. Действит^^^
г ^граныченце на время ожидания начала обслуживания 415 Р
в момент t виртуальное время ожидания равнялось у, то посту-ff gtnas в систему в этот момент заявка дождется обслуживания с 1,11 пятностью 1 — F(y). Значит, интенсивность входящего потока
ок принятых к обслуживанию, зависит от значения у процесса й равна А [1 — F(p)]. Дальнейшие выкладки очевидны.
11 5.2. Стационарное распределение времени пребывания
-□явки в системе
3 о©
Можно показать, что если b = J xdB(x) < оо (мы считаем, о
что F(x)—собственное распределение, т.е. F(+oo) = 1, хотя от згого условия легко отказаться), то существует стационарный режим функционирования системы. В частности, если положить ро = = lim p0(i), 1У(.т) = lim 1У(.т, t), w(x) = W'(-t), .т >’0, то из (1)
" t-*co , f—>o© I
подучается система
Ap0 = w(0),*
— w'(.t) = — A [1 — F(.t)] w(.t) + А Ь(ж)/>о+
X
+ А У I1 - F(p)] w(y) b(x - y) dy. о
(2)
Однако, в отличие от СМО M/G/1/оо без ограничения на время ожидания, система (2) уже не может быть решена с помощью ПЛС. Интегрируя второе уравнение системы (2), его нетрудно привести к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Постоянная Pt>. как обычно, определяется из условия нормировки. Ниже будут приведены некоторые частные случаи, в которых решение уравнения (2) можно получить в терминах ПЛС.
Вычислим теперь некоторые стационарные характеристики рассматриваемой СМО, связанные с временем пребывания .заявкй 8 системе.
Начнем со стационарной вероятности Ро6 того, что заявка будет ^служена. Она будет обслужена только в том случае, если:
либо поступит в пустую систему (с вероятностью ро);
либо виртуальное время ожидания х в момент ее поступления Wt х (с плотностью вероятностей ш(.т)) и оно будет меньше от-°>Ченного ей времени ожидания (с вероятностью 1 — Р’(.т)).
Воспользовавшись формулой полной вероятности, имеем
Роб — Ро +
У11
о
F(x)]w(x) dx.
416
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИЩцщ
Далее, стационарное распределение Wo6(t) времени <Жцд;щ начала обслуживания при условии, что заявка будет обслуж, ' соответствии с формулой Байеса задается выражением
«и :еЧ в
Ко6(ж) =
о
Полное время пребывания в системе обслуженной заявки со стоит из времени ожидания начала обслуживания и длины заявки т.е. его ФР определяется формулой
Кб (ж) = Ко6(ж) * В (ж).
Аналогично определяется стационарное распределение времени пребывания в системе потерянной заявки, т.е. заявки не дождавшейся начала обслуживания. Очевидно, потерянная заявка с плотностью вероятностей f(y) = Г'(у) будет находиться в системе время у, причем виртуальное время ожидания в момент ее поступления должно быть больше у. Тогда
К„от (ж) —
1 “ Роб J J
О у
Стационарное распределение числа заявок в
5.3. системе
Для нахождения распределения числа заявок в системе введем новый процесс {//(£), t > 0}—время, проведенное в системе заявкой, находящейся в момент t на приборе. Процесс {y(t), t > 0} уже не будет марковским, однако если рассматривать его значения по вложенным моментам тп—моментам окончания обслуживания /i-й заявки, то {z;n = г](тп + 0), п > 1} образуют цепь Маркова. Для вычисления у„ можно выписать уравнения, аналогичные (1), (2). Однако мы предоставим это читателю, а сами вспомним, что нас интересует стационарный режим функционирования системы, а в стационарном режиме распределение времени пребывания в сис теме заявки, поступающей на прибор, совпадает со стационарнь распределением времени ожидания начала обслуживания обслужен ной заявки и задается формулой (3).
Теперь мы можем приступить к вычислению стационарных роятностей рг того, что в системе находится i заявок. Система бодна от заявок только тогда, когда процесс £ (t) находится в с янии 0, а значит, стационарная вероятность ро того, что с свободна, совпадает со стационарной вероятностью ро Для ПР ca£(t).
. дграничение на время ожидания начала обслуживания 417 Г
g стационарном режиме с вероятностью 1 — р0 система занята. тоМ случае, как нам известно из теории восстановления, с плот-^ стью вероятностей [1 — В(у)]/Ь заявка, находящаяся на приборе, обслуживалась время у. Кроме того, в соответствии с формулой ' ;|еса она с вероятностью ро /Fo6 = W(0+)/Ро6 сразу же поступила Р обслуживание и с плотностью вероятностей w(z) [1 — F(z)]/FO6 начало обслуживания время z. Таким образом, общее время пребывания в системе заявки, находящейся на приборе, имеет плотность
(4)
r(®) = ft1 - в(х - «/)][1 - F(y)]dW(y). о
Пусть теперь заявка, находящаяся в произвольный момент времени на приборе (пусть для определенности этот момент равен 0), пребывает в системе время х. Тогда поток заявок, поступивших за зто время в систему и дождавшихся рассматриваемого момента, является пуассоновским, но нестационарным интенсивности А [1 — F(y)] поступления в момент —р, а общее число таких заявок распределено по закону Пуассона с параметром
X
A(.-r) = A J[l-F(y)]dy. о
Воспользовавшись в очередной раз формулой полной вероятности и учитывая заявку, находящуюся на приборе, получаем окончательное выражение для стационарной вероятности р, того, что в системе находится г заявок
ОО
(5)
О
ГЛ<‘ ? (.<) и Л(.-г) определяются формулами (4) и (5).
Отметим, что выражения для стационарных вероятностей со-ст°яний можно записать в терминах ПФ Р(г) = 52 р, г1, что мы ^Доставляем сделать читателю.
5-4. Частные случаи
Рассмотрим два важных случая, в которых можно предложить °Ритмы решения уравнения (2).
р Пусть ограничение на время ожидания начала обслуживания ет экспоненциальное с параметром у распределение, т.е. F(a-) =
418
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПлц^
= 1 — е-7:с. Тогда, переходя к ПЛС
w(s) = J о
e~sxdW(x)=p0 + J о
имеем из (2)
s [w(s) - ро] = А [1 - Д($)] w(s + 7).
Положим с0 = 1/(АЬ), Cfc = 7&/[А — Х/3(ук)], к > 1. равенства w(0) = 1 получаем из (6)
w((fe+l)7)=cfc[w(/c7)-po] = cfc(cfc_i[w((/c-l)7)-po]-po) =
= С0С1 • • • Cfc — (с0С1 • • • Cfc + С1С2 • • • Cfc + • • • + Cfc)p0.
С
Учетоц
(7)
Очевидно, что, с одной стороны, Cfc —> оо при к —> оо. С другой стороны, i~'(ky) ограничены единицей и, следовательно,
С(|С| • • • Cfc + С1С2 • • • Cfc + • • - + Cfc
Ро----------------------------------------> 1,
'' ~ ~ к—>ос
' ' ' С-к откуда находим выражение для р0:
Г 1 1 1
Ро — (1 Ч---1-----1------
V Со С(|С| С0С1С2
Зная ро, мы можем по формуле (7) определить значение ПЛС ш(ь) в точках s = ку. Значения w(.s) при остальных s восстанавливаются однозначно по значениям w(.s) в точках к'у. Это следует, например, из представления e~sx в определении ПЛС w(s) с использованием ряда Маклорена в виде
s
-1
7*_1)2+...
p-s*
1 S / S 2! 7 \7
Б. Пусть время ожидания ограничено постоянной величиной /. Оказывается, в этом случае при решении уравнения (2) можно воспользоваться результатом, полученным для обычной системы M/G/1/оо без ограничения на время ожидания начала обслуживания. Для доказательства этого воспользуемся методом, который мы уже применили в § 2. Действительно, наряду с исследуемо-системой рассмотрим систему M/G/1/оо без ограничения на время ожидания, виртуальное время ожидания в которой обозначим через С(0 (см. § 5.2). Пусть £(0) = С(0)- Тогда процессы £(£) и £ у полностью совпадают до момента г, когда впервые £(т)=£ (г Пусть теперь Ti и т* первые после т моменты времени, к £ £(tj) — £*(Ti) = f- Тогда в силу пуассоновости входящего пот распределения процессов £(1) и будут совпадать от п следующих моментов т2 и пересечения уровня f и т.д- **
Случайный выбор из очереди
419
дичает, что с точностью до постоянных, в качестве которых, как gbI4H°, выберем ро и р®, совпадают при х < f стационарные распределения Ж(я) и W* (х) виртуальных времен ожидания обеих систем. даЯ х > f стационарное распределение W(ж) нетрудно определить й3 уравнения (2), которое в силу равенства F(x) = 1 при х > f принимает вид
—w
о
Интегрируя последнее равенство с учетом условия w(x) —> 0 при j_»оо, имеем
ш(х) = А [1 - В(т)] р0 + А у [1 - В(х - у)] w(y) dy.
О
Окончательно получаем
Pow*(x),
А ро | [1 - В(х - у)]+J[1 - В(х - у)] w* (у) dy },
если
О < х < /;
если х > /,
где w*(x) задается своим ПЛ (см. § 5.2)
A-Aff(s)
s — А + A f3{s) ’
Ч'о определяется из условия нормировки
§ 6. Случайный выбор из очереди
Дисциплина случайного выбора заявки из очереди характери-3Уется тем свойством, что, если в момент окончания обслуживания ’’’•вредной заявки в очереди находится еще п заявок, то каждая из ' вне зависимости от предыстории функционирования системы, °Динаковой вероятностью 1/п может попасть на прибор.
420
Гл. ri. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПщ
Очевидно, что с точки зрения распределения числа заявокв теме такая дисциплина ничем не отличается от стандартной ди плиньт FCFS. Поэтому в этом параграфе мы исследуем только > пределение времени пребывания заявки в системе. При этом бу*^ использовать еще один подход, связанный с ветвящимися проц^ сами. Такой подход в ряде случаев позволяет применить Хорощ развитый аппарат теории ветвящихся процессов, хотя, к сожалению этот подход до настоящего времени довольно редко использовал в ТМО. ся
6.1. Ветвящийся процесс
Пусть в момент 0 окончилось обслуживание очередной заявки и в этот момент в системе находится еще п заявок. Поставим в соответствие всем этим заявкам п независимых случайных величин Ci,...,Cn, распределенных по экспоненциальному закону с параметром 1. На обслуживание выберем ту из них, которая имеет минимальное значение £г. В силу независимости и одинаковой распределенности Ci, .., любая из п заявок поступит на прибор с одинаковой вероятностью 1/п, т.е. выбор на обслуживание в соответствии < минимальным значением реализует дисциплину случайного вы бора. Оставшимся п — 1 заявкам припишем новые значения величин Ci = ~ Си - - -> Ci—1 = Ci—1 Со С, — Ci+i Ci, • ’ С»—i С» ~ Ci- в силу независимости и экспоненциальной распределенностиС1,...,С. случайные величины Ci, • - • ,Cn-i также независимы и распределены по экс поненциальному закону с параметром 1 (см. лемму 1.2.6). Что же касается /-й заявки, то она с плотностью вероятностей Ъ(х) будет обс луживаться время х, и за это время в систему с вероятностью сд(.с) — (Ar)Ae-Aa’/к\ поступит еще к заявок. Мы пока отойдем от общепринятого обозначения и будем называть время х обслуживания i-й заявки работой, совершенной этой заявкой.
Вновь поступившим заявкам также поставим в соответствие случайные' величины Ст • • • iCn+fc-M независимые и распределены® по экс поненциальному закону с параметром 1. Таким образом в момент следующего освобождения прибора в системе будет п + к заявок и каждой иэ них будет приписана величина С, Если мы опять выбор заявки на обслуживание будем производить в соответствии с минимумом Cj, то снова любая заявка может с одинаковой вер0 ятностыо 1/(п + к — 1) попасть на прибор. Описанную процеД. можно продолжить и далее, что с точки зрения исследуемой сис M/G/1/оо приводит к дисциплине случайного выбора заявки на служиванис.
421
g Случайный выбор из очереди
Дадим теперь иную трактовку полученного результата. Бу-, дазывать заявку частицей, а соответствующую ей величину £— ел1енем жизни этой частицы. В момент своего исчезновения каж-частица совершает случайную работу (напомним, что с точки еНия исходной системы эта работа представляет собой время об-сдуживания соответствующей заявки, распределенное по закону Д(.г)) и ПРИ условии, что работа равна х, оставляет после себя с вСр0ятностью qkfx'j = (Хх)кв~Хх/к1 ровно к точно таких же частиц-потомков (заявок, поступивших за время обслуживания).
Итак, в новом (’’фиктивном’’) времени 1. связанным с временем £ жизни частицы, мы имеем простейший ветвящийся процесс, у которого каждая частица живет экспоненциально распределенное с параметром 1 время, в момент своего исчезновения совершает случайную работу, распределенную по закону В(.т), и, если эта работа равна х, оставляет после себя с вероятностью <7/,(.т) ровно к частиц-потомков.
6.2. Исследование ветвящегося процесса
Цепь этого пункта исследование распределения И, (х. /), п > 1, общей работы, совершенной п находящимися в системе в начальный момент времени частицами и их потомками за время t. Для решения поставленной задачи заметим прежде всего, что каждая из п частиц и ее потомки живут и совершают работу независимо от остальных, а поэтому общая работа, совершенная всеми п частицами и их потомками, представляет собой сумму п независимых одинаково распределенных работ, совершаемых каждой частицей и со потомками, или, иными словами, 7?„(т, t) = /?(а:, £)(*’’). т.е. распределение 7?„(.т,1) представляет собой '//-кратную свертку распределения /?(.т, б) = i?i (.г, t) с собой. Переходя, как обычно, к ПЛС ОО
= j e~s:t'R„(dx,t) и полагая имеем
о
гЫМ) = [V’(V)]”-
Для определения /’(.т, б) заметим, что единственная имеющаяся 8 момент 0 частица может:
либо с вероятностью е~1 дожить до момента б, и тогда совер-®енная ей работа равна 0;
либо с плотностью вероятностей е~у исчезнуть в момент у, с ^отностью вероятностей b(z) совершить в момент исчезновения ра-°ОтУ г и с вероятностью </,(г) оставить после себя г потомков, в Эт°М сдучае суммарная работа, совершенная к моменту t, будет со-Ст°ять из работы, совершенной исчезнувшей начальной частицей, и
422 Гл. 1. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН
работы, совершенной всеми ее потомками. Это позволяет написаТь уравнение
t X
qt(z) Ri(x - z,t- y)dB(z),
О о
откуда, вспоминая выражения для q, (z) и переходя к ПЛС, получу t
V’(s,t) - е-' +
о
7?(а, t) = е ' + /е vdy
У е yfi(s + Л - Л V’(s, t - «/)) dy. ji
Уравнение (1) можно записать также в виде обыкновенного дифференциального уравнения или в виде уравнения в частных производных, однако мы этого делать не будем, отсылая читателя к специальной литературе, посвященной ветвящимся процессам ([84]).
Можно показать, что если h < оо, то уравнение (1) имеет единственное непрерывное при s > 0 решение (это решение будет даже аналитической в комплексной области Res > 0 функцией).
Дифференцируя (1) по s в точке s = 0, можно (при условии существования соответствующих моментов у В(х)) вычислить моменты m,(t) = (—1)! di[>(s,t)/ds\s~0 работы, совершенной частицей и ее потомками до момента t.
В частности, беря первую производную, получаем
t
mi(t) = m(t) = h у e-y[l + Xm(t — y)]dy. b
Последнее уравнение легко решить, воспользовавшись ПЛ по t. По-ОО
лагая fi{s) = J e~stm(t) dt, имеем о
p(s) =ъ [| -
1 Ms)i
s + 1 + s + 1 J ’
, , Ъ -д
= ,(!+,-„) •
где р = ХЬ. Производя обратное преобразование, находим
' Ь t, если р = 1;
= ' Г=^[1 - если р+ 1.
Очевидно, что (редняя работа m(n)(f), совершенная за врем® ' и частицами и их потомками, задается формулой '/П(„)(0 —
с Случайный выбор из очереди 423
6.3. Время пребывания заявки в системе
Предположим сначала, что некоторая выделенная заявка посту-в систему непосредственно перед окончанием обслуживания заявки, находящейся на приборе, и в этот момент в очереди уже имеется п, п > 0, других заявок. Выделенной заявке, как и всем остальным (уже поступившим или пришедшим позже), ставится в ^ответствие экспоненциально распределенная с параметром 1 случайная величина £. Пусть значение £ для выделенной заявки равно t. Тогда, переходя к фиктивному времени, связанному с величинами 1( рассматривая порожденный ими ветвящийся процесс, видим, что время ожидания начала обслуживания выделенной заявки совпадает (общей работой, совершенной за время t остальными п заявками и их потомками, т.е. имеет распределение Rn (х, t). Вспоминая теперь, что величина £ распределена экспоненциально с параметром 1, и воспользовавшись формулой полной вероятности, получаем следующее выражение для распределения TV„(x), п > 0, времени ожидания начала обслуживания заявки, поступающей в систему непосредственно перед окончанием обслуживания и застающей в очереди еще п заявок.
ОО
И'и(х) = j e~*Rn(x,t)dt, п > 0. о
Отметим, что И7„(т) собственное распределение (И’Д+ос) = = 1) при любой (конечной) загрузке р.
Остановимся несколько подробнее на вычислении среднего времени wn ожидания начала обслуживания выделенной заявки. Пусть " = 1. Зададим себе вопрос: при какой загрузке W] будет конечным? Наиболее правдоподобными представляются следующие два ответа на этот вопрос:
1. Wi конечно при любой загрузке р.
2. wi конечно только тогда, когда р < 1.
Оказывается, оба ответа неверны. Действительно, по формуле Нодной вероятности среднее время Wi задается выражением
ОО
wi = J е~*тп(1)с11 = р(1), о
°ТкУда, воспользовавшись формулой (2), получаем, что wi < оо ’Чца и только Тогда, когда р < 2. Читателю мы предоставляем "Ложность самостоятельно убедиться в том, что этот результат астся справедливым для любого п > 1
424
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПл^
Теперь мы можем приступить к нахождению стационар», распределения И'(.г) времени ожидания начала обслуживания. £,Г° ственно, будем предполагать, что загрузка р меньше 1. ВоспоХ емся результатом § 5.5. Как мы знаем, с вероятностьюро = ступающая заявка застает систему свободной; в этом случае вр„ ожидания начала обслуживания равно 0.
Обозначим через Ф,, (т), п > 0. стационарную вероятно^ того, что в системе находится n + 1 заявок, причем заявке, находя шейся на приборе, осталось обслуживаться время, меньшее х. фун цию Ф„(л) можно найти с помощью метода, рассмотренного нащ1в § 5.5, одна’ко мы не будем этого делать, оставляя читателю. Итак поступающая в систему заявка застает в ней с плотностью вероятно-стей ф„ (у) = Ф', (у) еще п заявок в очереди и одну остаточной длины у на приборе. Время ожидания начата обслуживания этой заявки (о-стоит из двух частей: времени у до момента первого освобождения прибора и времени от момента первого освобождения прибора д() момента поступления выделенной заявки на обслуживание. На первом временном интервале заявки могут только поступать, причем с вероятностью </,(?/) их поступит ровно i. Второй интервал, как мы выявили ранее, имеет распределение Mn-pfa:). Таким образом, по формуле полной вероятности имеем окончательное выражение для стационарного распределения lV(a:) времени ожидания налам об< луживания:
~ У) (у).
W) =1-р+ / XX g п=01=0
Используя результаты § 5.5, нетрудно получить аналогичную формулу для времени ожидания начала обслуживания и в нестационарном случае.
Время пребывания заявки в рассматриваемой системе предела вляст собой, как обычно, сумму двух независимых величин: времен11 ожидания начала обслуживания и длины заявки.
§ 7. Преимущественное разделение прибора заявками минимальной обслуженной длины
Дисциплина преимущественного разделения прибора заявкам* минимальной обслуженной длины (ПРП) заключается в следую В любой момент времени для каждой пз находящихся в системе явок известна ее обслуженная длина, т,е. то время, которое ею'^ жпвалась эта заявка в пересчете на единичную скорость ооо. вания. На приборе всегда находится та заявка, обслуженная а
у Преимущественное разделение прибора
425
торой минимальна. Если таких заявок п, то каждая из них общ*у-щипается со скоростью 1/п.
Мы вычислим здесь основные стационарные характеристики
системы: распределение времени пребывания и распределение чи-fia заявок в системе. При этом, естественно, будем предполагать, чТ0 загрузка системы р = A b < 1.
7.1. Время пребывания заявки в системе
ВД.г) = |
Наиболее просто находится стационарное распределение времени пребывания заявки в системе. Отметим, что для данной системы время ожидания начала обслуживания любой заявки равно 0. поскольку каждая поступившая в нее заявка имеет нулевую обслуженную длину и в соответствии с принятой дисциплиной сразу же начинает обслуживаться.
Сначала введем некоторые вспомогательные величины. Пусть у > 0. Положим
В(.г), если х < у;
1, если х > у.
Назовем «/-системой новую систему (все равно, с какой дисциплиной обслуживания —ПРП или FCFS), в которую поступает тот же поток заявок, но каждая заявка, обслуженная длина которой достигла величины у, покидает систему. Тогда распределение длины заявки в «/-системе совпадает с В,/.?), а период занятости в соответствии с результатами § 5.5 имеет ПЛС 'Уу(з), определяемое из уравнения
= Py(s + А — Ayy(s)), (1)
ОО
где /3,,(s) = J e~sx’dBy(x)—ПЛС длины ’’урезанной” заявки. Кроме о
того, нам понадобится распределение периода занятости «/-системы, открываемого одной или несколькими заявками суммарной длины z, которое, как следует из того же параграфа, имеет ПЛС
7j,(s|z) =е-Л«+А-Ату(.Ю]. (2)
Очевидно также, что загрузка «/-системы задается выражением
= A J х dBy(x) = А Д1 - В(х)] dx. о ' о
Итак, пусть в систему M/G/1/оо с дисциплиной ПРП поступает вЫдеденная заявка длины у. С одной стороны, ни одна из находящихся в системе заявок, обслуженная длина которых больше у, не Дет влиять на время пребывания в системе выделенной заявки.
426
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН
Более того, даже все те заявки либо находящиеся в системе и име{0 щие обслуженную длину меньше у, либо поступившие за время п бывания выделенной заявки, которые имеют (общую) длину бодьщ у, будут обслужены за время пребывания в системе выделенной за явки только до длины у. Таким образом, при исследовании времеЙ11 пребывания в системе заявки длины у можно считать длины всех за явок ограниченными величиной у, т.е. предполагать, что функция распределения длины заявки имеет вид Ву(х). С другой стороНЬ1 любая имеющая длину меньше у заявка, как находящаяся в системе так и поступившая за время пребывания выделенной заявки, обязательно покинет ее до окончания пребывания в системе этой заявки Отсюда мы можем сделать общий вывод: заявка длины «/, (поступившая в систему с дисциплиной обслуживания ПРП, будет находиться в ней до тех пор, пока не закончится период занятости соответствующей «/-системы. По< кольку в стационарном режиме поступающая в «/-систему заявка длины у застает в ней с плотностью вероятностей И-Г'(г) другие заявки с суммарной длиной г, где T-P,,(z) представляет собой стационарное распределение виртуального времени ожидания в «/-системе и в соответствии с § 5.2 имеет ПЛС
^^Тз-А + АД,’
то стационарное распределение Vy (,т) времени пребывания заявки длины у в (исходной) системе определяется как распределение периода занятости «/-системы, открываемого заявкой длины у + где случайная величина £ распределена по закону Wy(z), т.е по формуле (2) имеет ПЛС
о
[s + А - A7y(s)](l - ру)
— е-!/[*+Л-Л7у(б')] ____________________________________
з 4- А — А ~ А 4- А4- А — АэЯ5))
_ c-y[s+A-ATy(s)] [s + А - A 7y(s)](l ~ Ру) _ S - A 7y(s) + А Ду(« + А - A 7y(s))
Отсюда с учетом (1) окончательно получаем
-уБ+а-а7у(»)] [д + А ~ A 7v(s)](l - ру) I
(3)
V>y(s) =
Дифференцируя формулу (3) по s в точке s = 0, нетруДн0 П<7Я11 чить моменты всех порядков стационарного распределения вр₽х,<
427
у Преимущественное разделение прибора
ебывания в системе заявки длины у. В частности, среднее время Пребывания vy заявки длины у в системе задается выражением
(4)
1 Ру
Vy Ш-PyYJ о
Безусловное стационарное распределение Т '(.т) времени пребы-ванйя заявки в системе определяется с помощью усреднения условного распределения по длине поступающей заявки у:
V(x) = У Vy(x)dB(y), О
ии в терминах ПЛС
V’(s) = У Vy(s')dB{y). о
7.2. Марковские процессы, описывающие число заявок в системе
Для нахождения стационарных вероятностей состояний рассмотрим один период занятости системы. Пусть в момент 0 в свободную систему с дисциплиной ПРП поступает заявка. Введем в рассмотрение процесс {£(/), t > 0}, определенный следующим образом:
£(t)- число заявок в системе в момент t, если первый период занятости больше
£(/) = 0, если первый период занятости меньше t.
В дальнейшем для простоты изложения будем предполагать, Wo В(.т) < 1 при всех х и существует ограниченная плотность
= В'(.т). Через р(х) обозначим функцию интенсивности времени обслуживания р(х) = Ь(.т)/[1 — В(ж)].
Свяжем с процессом {£(f), t > 0} новый процесс {ц(.т), х > 0}, ^Торый определим следующим образом. Пусть х—максимальная ®3 обслуженных длин заявок, находящихся в системе (по-прежнему '''Усматривается один период занятости). Через ц(.т) обозначим чи-
заявок в системе с обслуженной длиной х. Процесс {ц(.т), х > 0}
Жн° получить из процесса {£(7), t > 0} следующими операциями: во-первых, выкидывая из рассмотрения интервалы времени, на ^орых обслуживаемые заявки имеют обслуженную длину мень-
Во-вторых, делая замену времени £(f) dx — dt.
428
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Ясно, что момент обрыва процесса з> 0} является ;,1() ментом обращения в нуль процесса {£(£), t > 0}.
Процесс {тД.т), .т > 0} можно трактовать как марковский пр0 цесс с непрерывным временем и счетным множеством состоянии интенсивности переходов которого зависят от времени и задаются формулами
АОг(а:) = 0,
Г °,
А,Д.т) = <! ip(x),
если
если
если
J < г - 1; у = г — 1;
3 > Ь
где рг(х) = Р {/;(.;') = г}. Действительно, если значения х достигнут обслуженные длины г заявок, то за то время, пока они увеличатся еще на Д, с вероятностью г //(.т) Д + о(Д) какая-то из заявок может завершить обслуживание. Кроме того, за это же время с вероятностью Аг Д + о(Д) может поступить еще одна заявка, которая прервет обслуживание, порождая свою реализацию процесса {р(х), х > 0}, и с вероятностью (.т) значения х достигнут дополнительно об< луженные длины j — г заявок.
Можно отметить вторую интерпретацию процесса {?;(.'<’), х > > 0} как неоднородного во времени ветвящегося процесса с интенсивностью Ajj(.r) превращения одной частицы в j частиц.
Дифференциальные уравнения Колмогорова для процесса ?/(/) имеют вид:
р'ЦЦ = -[А+//(т)]г7>г(з)+/1(а:) (г + 1)р,+1 (х) +A крДх)р,-Цх)
/с=0
( начальными условиями
Pl(0) = {?’ еслиг?Ч;
1 v 7 11, если i = 1.
оо
Вводя производящую функцию тг(г, х) = 52 Рг(х) Z\ приходим к ква-
-о
зилинейному уравнению в частных производных первого порядка ^-7Г(2,,Т) = [р(х) + Xz(ir(z,x) - 1) - р(х) г]^7Г(г’^ с начальным условием
<-,0) = г. W
Уравнение (5) нетрудно решить методом характеристик. А РаВ нения характеристик имеют вид:
z'(a:) = [р(х) + А (1 - л)] г(х) - р(х),
(j 7 Преимущественное разделение прибора 429
J" /i(u)du+Au(l— тг) — J" p(y)dv—Au(l — тг)
z(x) = e° [с0 - /р(ы)е ° <b ].
о
рспоминая теперь, что //(а)—функция интенсивности времени обслуживания, получаем после несложных преобразований
X
г(г) = [1-В(ж)]~1еЛа:(1_7г) [с1+А (1-я)l[l-B(U)]e-x^-^du]+l. (7) О
Значение функции тг(г,ж) постоянно вдоль характеристик г (ж). Из начального условия (6) находим
тг = тг(х(О), 0) = г(0), С\ = z(0) — 1 = тг — 1.
Подставляя эти выражения в (7) и интегрируя по частям, имеем
X
о
Теперь можно найти 7r(z, ж), решая уравнение
z [1 - В(ж)] = [тг - /3(ж, А - А тг)]
где P(x,s) = У e~sudB(u)—неполное ПЛС ФР В(х). о
7.3. Стационарные вероятности состояний
Положим
qk(t) = P{£(t) = к}, к> 1,
qk = I Qk(t)dt.
о
Очевидно, что qk—среднее время на одном периоде занятости, когда '®(ло заявок в системе равно к.
Для определения qk обозначим через тх момент достижения максимальной обслуженной длиной величины х (по-прежнему рассма-тРИвается первый период занятости системы). Если на первом перине занятости заявки длины больше х не поступали, считаем тх = оо. Сложим
Qk(x) = М У qk(y)dy.
О
430
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИ^ц
Величина <2/с(ж) также имеет простой смысл: она представляет бой среднее время на одном периоде занятости, когда число в системе равно к и при этом максимальная обслуженная длина достигла величины х. Ясно, что бД(оо) = qk.
Для Qk(x) справедливо дифференциальное уравнение
к-1
Q'k = kPk(x) + y^Xip,(x)Qk-i(x).
l'=l
Это уравнение получается следующим образом. Если мы переходим от х к х + Д, то Qk(x) может увеличиться в двух случаях
Во-первых с вероятностью рк(х) значения х достигнут длины к заявок и эти же длины достигнут значения ,т+Д, на что понадобится дополнительно время &Д.
Во-вторых, значения х достигнут с вероятностью рг(х) длины г, г = 1, к — 1, заявок. Но за время г Д, пока эти длины увеличатся еще на Д, с вероятностью Аг Д в систему поступит новая заявка. Эта новая заявка порождает свой период занятости, ’’блокируя” обслуживание г ранее находившихся в системе заявок до тех пор, пока порождаемый ей период занятости не закончится или максимальная обслуженная длина на этом периоде занятости не достигнет х. В частности, когда на новом периоде занятости будут находится к-i заявок длины меньше х, всего с учетом г ’’заблокированных” заявок длины х в системе будет к заявок. Но это означает, что общее среднее время Q(x) за время ’’блокировки” увеличится на Qk-i(x\ Используя формулу полной вероятности, получаем
к-1
Q/,.(.r+A) = к /Хрк(х) + Х Д ipt{x) Qk-,(x) + о(Д),
г-1
откуда, деля на Д и устремляя Д к нулю, имеем (8).
ОО ч д.
Для решения уравнения (8) введем ПФ Q(z,x) = 52 Qk(x)^ к=1
Тогда (8) преобразуется в уравнение о о
—Q(z,x) = Z — 71(z,x) [1 + XQ(z,x)]
с очевидным начальным условием Q(z, 0) = 0, решение котороГ задается формулой
<ЖаО=[де о -1].
g Обслуживание наикратчайшей заявки
431
Теперь уже совсем нетрудно определить стационарные вероят-ости Рк того, что в системе находится к заявок. Действительно, вероятностью р0 = 1 — р в произвольный момент времени сис-т(.уа свободна. С вероятностью р мы попадаем на некоторый пе-иоп занятости. Но в соответствии с теоремой 1.3.3 для регенери-\юп1их процессов условная вероятность того, что в этот момент в системе находится к заявок, равна отношению среднего времени = Qfc(oo), проведенного системой на одном периоде занятости в состоянии к, к средней длине периода занятости Ь/(1 — р), т.е.
ОО
в,.(ж) = PQk/[b/(l - р)] = А (1 - р) qk. Переходя к ПФ F(z) = £ pkzk к=о
й производя тривиальные преобразования, из (9) окончательно получаем
оо
Аг J s^dy
P(z) = (1 — р) е °
(Ю)
Из (10) можно дифференцированием получить моменты стационарного распределения числа заявок в системе любого порядка. В частности, среднее число N заявок в системе в стационарном режиме задается формулой
ОС X
N = Р'(1) = / к Л'2- [ У [1 - £(?/)] dy + -fM </В(Ж), J L \1 Рх) J 1 РхJ
о о
которую можно также получить из (4) и формулы Литтла.
§ 8. Обслуживание наикратчайшей заявки
Дисциплина обслуживания наикратчайшей заявки с прерыванием обслуживания (SRPT) описывается следующим образом. Предположим, что в момент поступления в систему каждой заявки становится известной ее длина. В любой момент времени обслуживается Та из находящихся в системе заявок, (остаточная) длина которой Минимальна. В частности, если в момент поступления некоторой запеки в систему окажется, что ее длина меньше (остаточной) длины паявки, находящейся на приборе, то она прерывает обслуживание и сама становится на прибор. Заявки с прерванным обслуживанием ^обслуживаются.
Дисциплина SRPT на первый взгляд кажется несколько искус-^В'Нной, поскольку она предполагает знание длины каждой по-С1Упающей в систему заявки и, кроме того, оперирует громозд-1(0,1 информацией о всех остаточных длинах. Однако эти недо-Г1'Чки вполне искупаются тем фактом, что в ряде случаев, особенно
432 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН^
при близкой к единице загрузке, ее использование позволяет Суще ственно улучшись показатели функционирования системы. Кр0Ь1е того, как мы увидим в конце этого параграфа, дисциплина SRPy является оптимальной в довольно широком классе консервативных дисциплин, что позволяет использовать результаты настоящего ца раграфа для оценки допустимых границ улучшения качества функ. ционирования системы M/G/1/оо за счет выбора дисциплины обслуживания.
В этом параграфе будем обозначать через z = z(a?) и z, = = z,(ж), 0 < z,z, < 1, измеримые функции аргумента а:, .'<:>() имеющие смысл аргумента обобщенной ПФ числа обслуженных или числа находящихся в системе заявок длины х. Само понятие обобщенной ПФ вводится следующим образом. Предположим, что в момент I в системе находится v заявок длин a?i,..., а?„. Тогда P(z, !\ = = Mz(xj) • • z(.'<„) назовем ПФ числа заявок различных длин в системе в момент t или просто ПФ числа заявок в системе в этот момент. Зная P(z,t), нетрудно вычислить и другие характеристики очереди в момент I. Так, ПФ общего числа заявок различных длин, как функция от скалярного аргумента z получается, если положить z(.r) = г, а вероятность того, что в системе нет заявок длин меньше у. задается формулой /’(Д,,,/), где
= еслиж<у;
! 1.1, если х > у.
В дальнейшем для простоты изложения будем предполагать, что ФР В(.г) является непрерывной. Несоблюдение этого условия приводит к тому, что мы должны задать дисциплину выбора на об-(луживание заявок одинаковой длины.
Наконец, сделаем последнее замечание. Мы уже привыкли к тому, что при суммировании независимых случайных величин их ПЛС или ПФ перемножаются. Внимательный читатель заметил, наверное (и это легко доказать), что свойство умножения многомерных характеристических преобразований справедливо и при сумми ровании независимых векторных величин. Поэтому в настоящем пл раграфе мы не будем сначала выписывать равенства для распределе нии <умм многомерных случайных величин, а затем с этими равен ствами производить характеристические преобразования, а сразу же будем записывать результаты в виде произведений соответствующих преобразований.
8.1. Периоды занятости системы
Предположим сначала, что р момент 0 в свободную систему ступает заявка длины меньше х. Обозначим через тх первый * мент, в который система полностью освободится от заявок Д-1
g Обслуживание наикратчайшей заявки
433
eHbnie х, через ц число заявок, обслуженных за время гх, через г' ... Сс их Длины, через и —число заявок, находящихся в системе ' момент тх, через ip,..., гр— их длины. Положим
7г(*1, z2,s) = • Z](^) z2(vi) • • - z2(rp) e STr.
функция 7a:(^i,Z2,s) представляет собой тройное преобразова-
ние совместного распределения следующих величин: периода заня-10Сти т,г системы заявками длин меньше х (ПЛС аргумента s); чи-заявок, обслуженных на периоде занятости ту. (ПФ аргумента
Z1); числа заявок, остающихся в системе в конце этого периода (ПФ аргумента z2). Как уже говорилось, наряду с числом заявок в определение ПФ входят и их длины.
Для того чтобы выписать уравнение, которому удовлетворяет 1(zj,z2,s), достаточно заметить, что в соответствии с рассматриваемой дисциплиной на периоде занятости тТ будут обслужены те и только те заявки, длины которых при поступлении в систему были меньше х. Наоборот, заявки с длинами больше х начнут обслуживаться только после момента тх. Ясно также, что период занятости
и обслуженные на нем заявки полностью совпадают с аналогичными характеристиками для системы M/G/1/оо с дисциплиной FCFS, в
которую принимаются только заявки длин меньше ж; поток таких заявок является пуассоновским интенсивности А В (ж). Что же касается заявок, имеющих длины больше х, то при условии тх = t их число будет распределено по закону Пуассона с параметром A t [1 —B(t)].
Учитывая сделанные замечания и применяя рассуждения § 5.5 дм периода занятости обычной СМО M/G/1/оо, нетрудно для 7«(zi,z2,s) написать уравнение
=/33-(z1,z2,s + АВ(ж)[1 - 73,(zi,z2,s)]), (1)
где
j /• -у[«+А
flx(z1,z2,s) = I zi(y)e * dB(y).
о
Функция 7*(zi, z2, s | у) определяется точно так же, как и z2, s), но при условии, что в начальный момент в систему по-сТУПает заявка длины у, у < х. Снова используя результаты § 5.5, “олучаем
-у[»+АВ(з-)[1—fe(zi,zz,«))+A [
^(n,z2,s|?/) = zi(y)e « . (2)
434
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Положим
7(z,s) =7oo(z,z1,s), 7*(zi,z2,s) =7*(z1,z2,s|x).
Обозначим теперь через т*у время, за которое поступившая в
свободную систему заявка длины х обслужится до длины у, у <, через //—число обслуженных за это время заявок, через ,..., £ их длины, через и—число заявок (за исключением заявки, поступив-
шей в начальный момент), находящихся в системе в момент
через г/i,..., т^,—их длины. Пусть
< 7y(«i,z2, s |ж) = z2(771)---22(77^)6 ST-.y.
Тогда 7*(zx, z2, s | ж) удовлетворяет уравнению
ОО
^7у(гь22,8 |ж) = {s + A j[l - z2(u)]dB(u)+
У
+А В(у) [1 - 7!Z(z1 , z2, s)]J-7*(z1, z2, s I x). (3)
Для вывода этого уравнения наряду с остаточной длиной у рассмотрим остаточную длину у — Д, где Д—’’малое” изменение длины. Тогда общее время т* состоит из трех независимых частей:
первую часть составляет время т* у, за которое заявка обслужится до длины У;
вторую часть составляет детерминированное время Д собственно обслуживания заявки от длины у до длины у — Д;
наконец, третью часть составляет случайное время, на которое произойдут прерывания обслуживания выделенной заявки при изменении ее длины от у до у — Д (в частности, если прерывания не происходят, то это время равно 0).
При уменьшении длины выделенной заявки от у до у — Д могу г произойти следующие события:
в систему не поступят заявки (с вероятностью 1 — А Д + о(Д));
в систему поступит заявка (с вероятностью А Д+о(Д)), которая будет иметь длину и, и > у, (с плотностью вероятностей Ь(и)), тогда увеличится на единицу число находящихся в системе заявок;
в систему поступит заявка (с вероятностью А Д4-о(Д)), которая будет иметь длину меньше у (с вероятностью В(у)), в этом случае произойдет прерывание обслуживания на период занятости ту, прИ' чем увеличатся числа обслуженных и находящихся в системе заявок (напомним, что совместное распределение этих величин характер!1 зуется преобразованием 7y(z1; z2, s)).
Я Обслуживание наикратчайшей заявки 435
$ °
Применяя формулу полной вероятности, получаем
7„-д (*i, Z2, s Iх) = Ту (zi ,Z2,S |rt) - А Д+
ОО
+АД У г2(м)сШ(ц) + AAB(?/)7y(zi,z2,s)+о(Д)], у
откуда обычным образом приходим к уравнению (3).
Поскольку изменение длины заявки от гг до гг происходит за время 0, и за это время не обслужится и не поступит в систему ни одна заявка, то для уравнения (3) справедливо начальное условие 7^(^i,^2,s|rt) = 1. (4)
Решение уравнения (3) с учетом начального условия (4) имеет вид:
ОО
7y(-2i,^2,s|a:) = exp{-s(rt-?/)-A(rt-?/) j[L-z2(u)]dB(u)-X
X X
-A f (u-y)[l-z2(u)]dB(u)-xjB(u) [1-7„(zi,z2,s)]cM}- (5)
У У
Отметим, что все функции, обозначаемые буквой 7, имеют смысл ПЛС того или иного периода занятости и ПФ чисел обслуженных за этот период и оставшихся к его концу заявок.
В дальнейшем производные от функций 7 будут браться только по аргументу s.
8.2. Характеристики на одном периоде занятости
Снова предположим, что в момент 0 в свободную систему поступила заявка длины меньше х. Обозначим через у.,-(О индикатор события, заключающегося в том, что система к моменту t ни разу 11,1 освободилась от заявок длины меньше х (период занятости тх заявками длины меньше х не закончился к моменту /), через р число обслуженных к моменту t заявок, через , - - -, их длины, Через v—число заявок, находящихся в момент t в системе, через fa,... , Т]у—их длины. Положим
оо
9x(^,^2,s) = У e_s‘Mxx(t) zi(6)--^ife)^2(??i)---i:2(?7P)dt О
436 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Функция g*(jj, 22,6 | .т) определяется точно так же, Kaj. <1з (-1 , ?9, §), НО ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО В НачаЛЬНЫЙ МОМ6НТ В систему ц,)1 ступает заявка длины г.
Наконец, предполагая, что в момент 0 в свободную систему По ступила заявка длины х, обозначим через Xx,y(t) индикатор собы тия. заключающегося в том. что к моменту t длина этой заявки не достигнет значения у, у < .т, (в частности, Х'х,о(*)~'Индикатор события: ”к моменту t обслуживание заявки не закончилось"). р(,_ личины р, £1,.... См, v, йь , Йе имеют прежний смысл. Положим
^(2,, 22. .s | х) = Ie-s/Mxt..y(0 2, (С„) гДщ) .. 22(^) dt, о
Выпишем уравнения, которым удовлетворяют </*(2], 29. 5 I г) и z->, s I г).
Начнем с дДя\. 22, ь). Рассмотрим обслуживавшуюся за время t заявку максимально!! длины у (очевидно, у < х). Эта заявка может поступить в начальный момент 0 (с плотностью вероятностей Ь(у)/В (.г)) и тогда к моменту t не должен закончиться период занятости сис темы заявками длины меньше у, открываемый заявкой длины у (тройное1 преобразование задается функцией с/ (2|, 22, s | у)). Кроме того, такая заявка может поступить и в промежуточный момент. В этом с лучае1 в начальный момент пос тупает заявка длины меньше1 у (с вероятностью В(у)/В(а )), открываемый ею период занятости сие темы заявками длины меньше у заканчивается в некоторый промежуточный момент v, 0 < и < t, (тройное преобразование , 22, б)), за время г поступает заявка длины (у, y+dy) (поскольку интенсивность поступления заявок длины (у, у + dy) равна A b(y) dy, то это происходит с вероятностью A v ЫД) dy) и период занятости заявками длины меньше у, открываемый заявкой длины у. не закончится за время (?к t — v) (тройное преобразование q*(zt, z2, s | </)) Формула полной вероятности приводит нас к равенству
<Ь От, Z-2, б) = /[1+А В(у) 7'у(2|, 22, б)] <7*(2!, 29, s | у) dB(y) (6)
о
(здесь появление производной ДД, 22. а) связано с тем, что У'®’ женпю функции на аргумент соответствует дифференцирование пли ПЛС). ’
Выражение1 для с/*(2|, з2, s | х) получается аналогично: ли>о моменту t не закончилось обслуживание1 поступившей заявки .< (тронное преобразование дДх1, z->, s | г)); либо обслуживание •
437
п Обслуживание наикратчайщей заявки
г
адвки закончилось, а максимальная длина обслуживавшихся после 3fe заявок была у, в этом случае мы поделим интервал длины t на й части, причем первую составляет время, в течение которого ддииа выделенной заявки уменьшилась от х до у (тройное преобра-цдание 7у(г1, г2, s I я:)), вторую- период занятости системы заяв-аМП длины меньше у, открываемый заявкой длины у и соответ-сТВук>ший продолжению обслуживания начальной заявки и всех полупивших после заявок длины меньше у (тройное преобразование ^"(zj, г2,8 | г/), именно на этом периоде и должна поступить заявка длины у) и третью—время, прошедшее с начала обслуживания полупившей на последнем периоде занятости заявки длины у до момента t (тройное преобразование q*(zi, z2, s | у)). Отсюда получаем
5*(гЬ z2, s | a) = qo(zY, z2, s | .?)+
X
+Л У7y(^i^2,s|a.)7*'(z1,Z2,8|?/)g*(z1,z2,.s|?;)dB(j/). (7)
b
Наконец, для Qy(zi, z2, s | J') справедливо дифференциальное равнение
> г2,8 I х) =-z2(y) у* (Zi,Z2,s\ х) [1 + А Б (у) qv (zj, z2, »)], (8)
дя вывода которого, как обычно, наряду с длиной у рассмотрим длину у — Д. Тогда если к моменту t длина начальной заявки не достигнет значения у, то она, естественно, не достигнет и значения J-Д. Однако значение у — Д не достигается еще и в том случае, когда время изменения длины заявки от х до у лежит в интервале A,f), при этом длина заявки, достигнув значение у после мо-№нта t — Д, к моменту t не ус псвает достичь значения у — Д (троило преобразование 7*(zj, z2, в | .г)). Кроме того, значение у длина ^явки может достичь и в произвольный промежуточный момент ’’ однако затем за время уменьшения ее длины на Д поступит за-®ка длины меньше у (с вероятностью АДВ(у)), которая откроет *риод занятости системы заявками длины меньше у, не окончив-г®ся к моменту t (тройное преобразование qy(z\, z2, s)). Учитывая ,0®дную заявку, приходим к соотношению
<7’_A(zi,z2,.s'|a.-) = g*(z!,Z2,s|T) +z2(!/)A7*(z1,Z2,.s|.r)+
+г2(?/)7у(^1,г2,8 | а;) АД В(у) q^, z->, s),
т\Уда после предельного перехода получаем уравнение (8).
438 Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИН^
Решение уравнения (8) с учетом очевидного начального усдОв gj(z1; z2, s | x) = 0 имеет вид: И
9о (г1, z2,s\x)=Jz-Ду) [1 + А В(у) qv(Zl, z2, s)] 7*(zb z2, s | т) dy. (g о
Из соотношений (7) (9) нетрудно получить окончательное интег ральное уравнение для q*^, z2, s | х):
q*(zi,z2,s\x) = У z2(p) 7*(zi, z2, s | a:) dy+ О
х х
+А J {[1 + B(2/)7y(z1,z2,s)] J о V
zi(u)7u(zi^z2,s\x) du+
+%(Z1, z2, S I .t) 7*'(^1, z2, s I y)|g*(zi, z2, s I y) dB(y). (10)
Уравнение (10) численно можно решить практически любым методом.
8.3. Нестационарные характеристики обслуживания
Обозначим через /7 число обслуженных к моменту t заявок, через ^j1),... их длины, через число заявок, находящихся в системе в момент t, через г/[1 ,..., г/,.'» их остаточные длины (за вычетом уже обслуженной части), через Q—виртуальное время ожидания начала обслуживания заявки длины v момент t (время, которое ожидала бы начала обслуживания заявка длины v, поступившая в момент t), через р2 число обслуженных за время t,t + £v заявок, через их длины (если заявка поступила до момента t,
то ее длиной считаем остаточную длину в момент t), через г2 число (2) (2)
заявок, находящихся в системе в момент t + С, через , • • • их остаточные длины. Положим
р=р(«1,21,22,52,2з,24|г>) =
= JЙ1’) zj ($>) z2(r/{1)) • • z2(r/<;))x
О
х^2)) ’ ’ • 2з(^2)) z4(г/$2)) • • • гДт,™) е S2i' dt.
§ & Обслуживание наикратчайшей заявки 439
функция р представляет собой ПЛ по времени (аргумент sj) основных характеристик системы в момент t: числа обслуженных к моменту t заявок (ПФ от аргумента z\), числа находящихся в системе в момент t заявок (ПФ от аргумента z2), виртуального времени ожидания G начала обслуживания заявки длины v (ПЛС от аргумента числа обслуженных за время t, t + (v заявок (ПФ от аргумента ,3). числа находящихся в системе в момент t + заявок (ПФ от аргумента z4).
Наряду с функцией р ъъедем функцию Q = g(si, Zi, z2, s2, z3, z4 | v) тех же аргументов, отличающуюся от функции р лишь тем, что рассматривается один период занятости, начинающийся в момент О поступлением в систему (произвольной) заявки, и при этом дополнительно предполагается выполнение еще одного события: период занятости не закончился к моменту t.
Выразим функцию q через функцию g(zi,z2,s) = <Zoo(z15 z2, s). Для этого изменим дисциплину обслуживания заявок, поступающих в систему от момента t и до.момента t+(v полного освобождения системы от заявок длин меньше и. А именно: будем предполагать, что заявки длин меньше v обслуживаются в соответствии с дисциплиной LCFS. Заявки длин больше v, по-прежнему, не обслуживаются. Очевидно, рассматриваемые характеристики системы от такой замены не изменяются.
Заметим теперь, что все те заявки длин больше и, которые находились в системе в момент t, будут также находиться в системе и в момент t + Поэтому для того, чтобы из g(zi, z2, s) получить q, мы должны при х > v вместо z2 в качестве аргумента подставить в 9(гьг2,я) аргумент z = z2(x) z4(z).
Далее, все заявки, имеющие длины меньше и, к моменту t + будут обслужены, причем заявка длины х внесет в вклад, равный периоду занятости заявками длин меньше и, открываемый заявкой Длины х. Учитывая число обслуженных на этом периоде заявок длин меньше v и оставшиеся после его окончания заявки длин больше г, которые, естественно, не покинут систему до момента £-)-((„, видим, что в случае х < v мы должны в q(zj,z2,s) подставить вместо z2 аргумент z = z2(rr) 7*(z3, z4, s2 | ж).
Таким образом,ч
9(Sl,Z1,Z2,S2,Z3,Z4|r) = g(zi,z,S!),
гДе
{^(ж) z4(rr), если x > v; .
z2(x) 7*(z3, z4, s2 I x), если x < v. ' '
440
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛ^
Теперь мы в состоянии выписать формулу для р. Рассмат вая, как и в § 5.5, два процесса восстановления, один из которц8' порожден моментами освобождения системы, а другой- моменТа "" поступления заявок в свободную систему и учитывая число обСцВ женных на периоде занятости заявок, видим, что интервалы восстановлениями и числа обслуженных на них заявок имеют у ЭТи, процессов двойные преобразования А7(2, ,s)/(.s + А). Отсюда. словно повторяя рассуждения § 5.5, приходим к окончательной фОр муле
Ag(21,Z,.S1) + 1
Р(.„ , 21; Z2, S2, 23, 24 | С) = Л_Л7(2] ,si)+si , (12)
в которой функция 2 = z(22,23,24, s2, с) определяется формулой (11)
8.4. Стационарные характеристики обслуживания
Предполагая, что загрузка р = A J xdB(x) меньше единицы о
из формулы (12) нетрудно получить совместное стационарное распределение основных характеристик системы в терминах Ро(-г2, «2,-^з, г4 |г>) ПФ числа заявок в системе (аргумент z2), ПЛС виртуального времени ожидания Qv начала обслуживания заявки длины v (аргумент ,s2). ПФ числа обслуженных за время С заявок (аргумент z3) и ПФ числа заявок, находящихся в системе в момент С, (аргумент 24). Действительно, как мы знаем из § 5.5, для этого достаточно положить в формуле (12) 2, = 1, умножить функцию р на s4 и затем устремить sj к 0. Поскольку, как уже было показано в § 5.5, lim .sj /|А — A7(l,.s1) + Sj] = 1 — р, то указанные действия приводят нас к формуле
Ро(г2- s2,z3,24 I v) = (1 - p)[A g(l, 2,0) + 1]. (13)
Дифференцируя формулу (13) необходимое число раз по соответствующим аргументам в точке .s2 = 0, 22 = z3 = z4 = 1, с учетом формул (1), (2), (5) (7), (9) (12) можно определить моменты рассматриваемых стационарных характеристик.
В частности, дифференцируя (13) по 22 = г2(ж), находим выр« жение для стационарного среднего числа N заявок в системе
°? Jl/[1 - B(y)]dy
N = X ^71--------
J '(* - у?)2 о
Дифференцирование той же формулы по s даст нам значение ционарного среднего времени ожидания начала обслужив
Обслуживание наикратчайшей заявки
441
^ВКИ длины X
X
Wx = (\ -p~Y / у ~ dy' о
8.5. Время обслуживания
Заметим, что время обслуживания заявки при дисциплине gppT не совпадает с длиной заявки, поскольку возможны прерывания в обслуживании из-за поступления в систему более коротких заявок-
Обозначим через <5T(s) ПЛС времени обслуживания (с учетом возможных прерываний) заявки длины х. Время обслуживания заявки длины х состоит из собственно х и суммарного времени прерываний обслуживания. Поскольку прерывания обслуживания могут производить только более короткие заявки, то моменты прерываний по отношению к остаточной длине у заявки образуют нестационарный пуассоновский поток интенсивности Ау = — ХВ(у). Длтелъ-ность прерывания, произошедшего при остаточной длине заявки у, распределена так же, как и период занятости системы M/G/1/оо, в которую поступает поток заявок интенсивности Ху с функцией распределения длины заявки
В(у)
если х < у\
1,
если х > у,
т.е. длительность прерывания имеет ПЛС (s), определяемое из уравнения
7y(s) = 0y(s + ~
где ПЛС ФР В,(х). Позтому функция распределения времени обслуживания заявки длины х имеет ПЛС
= е о ,
являющееся решением уравнения
- — [.*> + Ад,
В частности, среднее время (1,- обслуживания заявки длины х Сдается формулой
X
О
442
Гл. 7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСЦИЦ^
Время пребывания в системе заявки длины х, как обычно, COtT из двух независимых частей: времени ожидания начала обслу^ 01,1 ния и собственно времени обслуживания.
Приведем также выражения для стационарных средних вреА[ е3. пребывания в системе заявки длины х и v пребывания в сис?^ произвольной заявки:
Цх = wx + dx
—fy[l-B(y)]dy + f
(1 “ РхГ J J 1 ~ Ру
О О
V = [ vxdB(x) = [ 2 -С-~—[ у [1 - В(у)] dy.
J J x2(l~pxyj
ООО
8.6. Оптимальность дисциплины SRPT
В этом пункте мы докажем одно очень интересное свойство дисциплины SRPT. А именно: мы покажем, что дисциплина SRPT минимизирует число заявок в системе в любой момент времени в классе так называемых консервативных дисциплин.
Прежде всего введем определение консервативной дисциплины Пусть в момент времени t в системе находится п заявок, расположенных в некотором порядке. Будем предполагать, что г-я заявка обслуживается со скоростью сг > 0, т.е, за время Д ее остаточная длина убывает на величину, эквивалентную сгД. Скорость с, может зависеть от моментов поступления всех заявок (как тех, которые пришли в систему до момента t, так и тех, которые поступят после), длин заявок (тоже всех и в любой момент) и даже может быть случайной, произвольным образом связанной со всей историей функционирования системы. Единственное требование, определяющее консервативную дисциплину, заключается в выполнении равен-п
ства 23 сг = 1. Понятие консервативной дисциплины, по сути де-®-г—1
соответствует обобщению понятия однолинейной системы.
Пусть теперь у нас имеются две системы, в которые поступает один и тот же поток заявок, причем в первой системе реализов< дисциплина SRPT, а во второй—произвольная консервативная ДиС цйплина обслуживания. Разумеется, будем предполагать, что чальный момент времени 0 обе системы находятся в одина
состоянии.
Обозначим через г(/) число заявок в момент t в системе с циплиной SRPT, а через п*^)—аналогичную величину во вт-.
(. g Обслуживание наикратчайшей заявки
Ьдетле. Покажем, что для любого момента t
443
(14)
Пусть в системе с дисциплиной SRPT заявки расположены в грядке убывания их (остаточных) длин. Обозначим через »;(1) = , • • •) бесконечный вектор, первые v(t) координат кото-
рого представляют собой (как мы договорились, расположенные в порядке убывания) длины заявок, находящихся в системе, а осталь-
равны нулю. Введем вектор £(t) = (G(t),&2(f), • • •), коор-
ОС
дивата которого определяется формулой £,(£) = ]T’?j(l)- Анало-3 = t
гцчные векторы и £*(t) введем и для второй системы, при этом также будем предполагать, что во второй системе заявки расположены в порядке убывания остаточных длин. Очевидно, что i/(t) = max (г : £г(1) > 0), v*(t) = max (г : £*(t) > 0). Будем говорить, что £(1) < £*(t), если £,(/) < £*(1) Для всех г. Ясно, что для доказательства (14) достаточно установить выполнение неравенства
£(*)<т
(15)
Приступим к доказательству неравенства (15). Для этого воспользуемся индукцией по моментам поступления заявок в систему. Очевидно, что в начальный момент 0 неравенство (15) выполнено. Пусть оно выполнено в некоторый момент tj и на интервале (Н,£2) заявки не поступили. Тогда на этом интервале все ненулевые координаты вектора убывают с единичной скоростью. У век-ropa£*(t) скорость убывания ненулевых координат, вообще говоря, только не превосходит единицы. Но это означает, что неравенство (15) выполнено также в момент t?.
Пусть теперь (15) выполнено перед моментом t0 поступления заявки длины С, занимающей в первой системе место с номером г, а во второй—с номером г*.
Предположим сначала, что г < г*. Тогда координаты &t(f) и U1) При k < i увеличиваются в момент to на б и между ними сохраняется неравенство
Ш + о) <Ш + о). (16)
При к > i* координаты Cfc(l) и ££(() сдвигаются на единицу вправо, Ге- Cfc(^o + 0) = Cfc-i(lo - 0), ^(t0 + 0) = £k-i(H) - 0), что снова ®Риводит к неравенству (16). Наконец, при i < к < г*'в силу правила ^®°ра места координаты £k(t) в первой системе увеличиваются не лее чем на С, a £t(t} во второй—не менее чем на Г: следовательно, Ять выполнено (16).
Рассмотрим обратный случай г* < i. Выполнение неравене^. (16) при к < I* и при к > -I устанавливается точно так же, Kai< d ранее, а при i* < к < i вытекает из неравенств !
a(t0+o)=&(^-o)+c<^_i(^-o)<c-i(to-o)=e;,(to+o).
Отметим, что при доказательстве оптимальности Дисциплищ SRPT мы не пользовались пуассоновостью входящего потока. трудно видеть, что единственным существенным условием является независимость входящего потока и длин заявок от дисциплин обсчу жпванпя.
Глава 8
СИСТЕМА G/G/1/с
Наст оящая глава знакомит читателя с общим методом исследования СМО G/G/1/оо, наиболее широко распространенным в насто-дцее время. Метод основан на тесной связи, существующей между временем ожидания начала обслуживания заявки в момент ее поступления в систему и случайным блужданием (на прямой) с задерживающим экраном. Такая связь, с одной стороны, дала возможность использовать большой задел, накопленный при изучении случайного блуждания, а с другой сама стимулировала интерес к получению новых результатов в этом разделе теории вероятностей.
Однако необходимо сразу же предупредить читателя и о недостатках метода. Во-первых, с его помощью в основном можно изучать показатели производительности, связанные с временем пребывания заявки в системе. Исследование' числа заявок в системе сопряжено с большими трудностями. Поэтому подавляющее' число работ. 1 которых используется данный подход, посвящено именно рассмотрению характерис тик, связанных с временем пребывания заявки в системе. Во-вторых, как мы увидим далее, метод оказывается наиболее приспособленным к решению качественных задач ТМО (доказательство существования стационарного режима, оценки скоро-’ти < ходимости и устойчивости к изменению исходных параметров, асимптотический анализ в условиях большой загрузки). Что же касается алгоритмов вычисления показателей производительности (даже в стационарном режиме), то здесь он оказывается малоэффективным даже для тех задач, которые нами уже решались ранее 1 Помощью других Методов.
Резу.льтаты настоящей главы разделены на три параграфа.
В 1 выводятся рекуррентное соотношение' и интегральное' РЛВнение Линдли и на их основе решаютс я некоторые качес твенные 1,1Д<1чи ТМО. Здесь следует отметить, что рекуррентное' с оотноше-lh' Линдли. в отличие от интегрального уравнения Линдли, спра-# Дливо и в том случае, когда времена между поступлениями заявок 1,х длины являются зависимыми случайными величинами. Это ПВ(>ляет проводить исследование' систем даже' более общих типов.
446
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/ц чем G/G/1/сс (теперь уже систему с рекуррентным входящим цОт ком и независимыми временами обслуживания, как было указад0° § 2.6, правильнее называть системой GI/GI/1/оо). Однако при ЭТо® используется новый раздел теории вероятностей—эргодическая ория, а мы вряд ли погрешим против истины, если предположи^ что большинство читателей имеют о понятии эргодичности весьма смутное представление. Тех же, кто все-таки захочет ознакомиться с более глубокими результатами в ТМО, использующими понятие эргодичности, мы отсылаем к монографиям А.А.Боровкова [9,1Q]
Следующий параграф посвящен возможным способам решения интегрального уравнения Линдли. Результаты этого параграфа покажут, что сколь-нибудь пригодные для численных расчетов фор. мулы можно получить лишь в тех случаях, с которыми мы фактически уже познакомились в предыдущих главах.
Наконец, § 3 дает некоторое представление о возможностях метода для изучения показателей производительности СМО в условиях большой загрузки. Дальнейшее развитие метода в этом направлении читатель может найти в двух уже упоминавшихся монографиях А.А.Боровкова.
Напомним, что ФР времени между поступлениями заявок мы обозначаем через А (а), а ФР длины (времени обслуживания) заявки через В(.т). ФР А(х) и В(а) будем называть определяющими распределениями СМО G/G/1/оо. По-прежнему, при первоначальном чтении советуем читателю предполагать, что А (а) и В(х) имеют плотности а(а) = А'(а) и Ь(а) = В'(а). Кроме того, в отличие от предыдущих глав нам будет удобнее снабжать верхним индексом * величины, связанные с поведением соответствующих процессов во времени, а не в моменты поступления или ухода заявок.
Поскольку мы будем рассматривать только задачи, связанные с < уммарным временем обслуживания (суммарными длинами) всех находящихся в системе заявок, то дисциплина обслуживания может быть любой консервативной (см. § 7.8). Для определенности будем считать, что это дисциплина FCFS.
§ 1. Уравнение Линдли
В этом параграфе мы сначала выведем основное рекурРенТ®^ соотношение, на котором базируются все дальнейшие постр нас тоящей главы, а затем с его помощью решим некоторые зад имеющие важное практическое значение. тьгми
Представленные здесь результаты являются наиболее пр°с среди себе подобных. Это сделано специально с той целью,
447
уравнение Линдли
^дые математические выкладки не затеняли сути задач и путей ^решения.
1,1. Основное рекуррентное соотношение
Пусть в начальный момент 0 в систему поступает заявка, ко-ой присвоим номер 0. Кроме этой заявки в системе, возможно, еттся и другие заявки, причем их суммарная длина описывается ^чайной величиной ?/о- В частности, если с/о = 0, то функциони-.„ание системы'начинается с поступления заявки (имеющей номер J в свободную систему.
Обозначим через т„, п > 1, моменты поступления следующих «явок. Тогда {vn = тп — Тп-у, п > 1} в соответствии с классификаций Кендалла будет представлять собой последовательность неза-ясимых одинаково распределенных случайных величин с ФР А(.т). Относительно Т(я) будем предполагать, что Л(0+) < 1 и суще-
ОО
етует (конечное) математическое ожидание а = Mu,, = J xdA(x). о
Далее, через G, п > 0, обозначим время обслуживания (длину) в-й заявки. Величины Q являются также одинаково распределен-1ыми с ФР В(ж), независимыми между собой и от;/,. Будем предлагать, что имеют (конечное) математическое ожидание b =
=М(„ = J xdB(x). о
Последовательности {//„, п > 1} и п > 0} назовем упра-шющими последовательностями СМО G/G/1/ос.
Кроме того, чтобы не рассматривать вырожденный случай, поду в дальнейшем будем считать, что vn и G не могут быть повинными, равными одному и тому же числу.
Положим = С,i-i — vni и > 1. Ясно, что представляет обой разность между длиной ф,-1 п — 1-й заявки и интервалом щ, Кжду поступлениями п—1-й и n-й заявок и в силу сделанных предложений являются независимыми одинаково распределенными аУчайными величинами. ФР будем обозначать через С(х). Починку Gi-i И I'n неотрицательные случайные величины, то
- vn < а} = j j dB(z)dA(y) =
z—y<.x
С(Ж) = P{G
4'+?/
о
448
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/!/
Среднее значение с = М£п по свойству математического ожидав определяется формулой с = — г„) = b — а.
Ия
Наконец, обозначим через , п > 1, время ожидания начала og служивания n-й заявки или, иными словами, суммарную длину Bcej( заявок, находящихся в системе в момент поступления n-й заявки
Посмотрим, как связаны между собой величины г)п и ца чнем с z/i. В момент 0 суммарная длина заявок т/0 увеличится на ((| Однако к моменту ту = щ поступления в систему первой заявки она уменьшится на щ. Значит,
т?1 — % + Со — "1 — т?о + £1 - , (1)
Аналогично после поступления первой заявки суммарная длина уве. личится на Ci, а к моменту поступления второй заявки—уменьшится на i/2. Поэтому
Hi = % + Ci - "2 = т +
Продолжая эту процедуру (см. рис. 1, на котором через т/(1) обозначена суммарная длина заявок, находящихся в момент t в системе), приходим к формуле
Пп — Пп-i “Ь Сп — т/о “Ь Ci “Ь *' * Сгм п > 1. (2)
Напомним читателю (см. § 1.4), что определенная таким образом последовательность называется случайным блужданием (на прямой).
Рис. 1
449
§ I Уравнение Линдли
Однако в наших рассуждениях есть существенный недостаток, ipjio в том, что определенные формулой (2) случайные величины г)п (ОГУТ принимать и отрицательные значения. Но время ожидания ваЧала обслуживания не может быть меньше нуля. Ошибка возникла за того, что в тот момент, когда суммарная длина заявок, находящихся в системе, достигает значения 0, обслуживание прекращается И суммарная длина остается равной 0 до момента поступления следующей заявки. Для того чтобы исправить ошибку, заметим, что уже jjj определяется формулой (1) только в том случае, когда т?о+£1 > 0; в противном случае r)i просто равно 0. Значит,
г)г = тах(г)0 + £1,0).
Продолжая исправлять наши рассуждения, приходим к окончательному правильному результату (рис. 2):
j]n = iiiav(i)„_i +67,0), п > 1. (3)
Рекуррентное соотношение (3) впервые было установлено Д-Линдли.
Обозначим теперь через ИуД.т) = Р{?М < ж}, п > 0, ФР времени ожидания начала обслуживания n-й заявки. Выведем из соот-в°1Пения (3) уравнение, связывающее И/г1_1(х), И7„(.г) и С(.г). По Формуле свертки получаем, что случайная величина + £,, имеет
450
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/i/r
X
ФР J — y)dC(y). Однако поскольку т]п не может быТь
~оо
меньше а при х чаем
0, то написанная формула справедлива только при х > q < 0 выполнено равенство — 0. Окончательно полу
W„(ar) = <
J Wn_^X-y)dC{y\ — ОО
о,
если х > 0;
если х < 0.
(4)
Уравнение (4) носит название уравнения Линдли.
Отметим, что ФР П'„(ж) в точке 0 претерпевает скачок ИДДО-М о / ’
равный f Wn_1(—y)dC(y). Величина этого скачка является веро-—ОО
ятностью того, что суммарная длина + Cn-i заявок, находящихся в системе после поступления п— 1-й заявки, меньше времени v,, между поступлениями п—1-й и n-й заявок.
1.2. Предельное распределение времени ожидания начала обслуживания
Цель этого пункта—выяснить, как будет вести себя последовательность {т]„, п > 0} при п оо. Для этого прежде всего пред-<тавим рекуррентное соотношение (3) в несколько ином виде. Для простоты изложения здесь и в дальнейшем мы Ограничимся случаем т]0 = 0, хотя полученные результаты остаются справедливыми и в общем случае.
Заметим, что наступление события {гуп < х] при х > 0 эквивалентно одновременному выполнению событий {£„ < ж}, {Д„-| +Ц < < ' }- , {£1 +-F (,п < т}-
Вспомним теперь, что случайные величины Ц, г > 1, независимы и одинаково распределены. Поэтому при определении вероятности события {//„ < г} мы можем заменить £п на £i, $„-i на {г и т.д. Это приводит нас к формуле
Р{?7„ < х} = P{£i < ж,С1 + & < т, - -. ,6 +-Ь &»,< а’}’
Далее, событие {£i < ж,£1+£2 < х,.. ,£i + - • -+£,г < ''} |! Д1’УГ( ' записи есть не что иное, как событие Ап = {max (£i, + £2, •, 6 +
+ • • + Ц.) < я } С учетом обозначении предыдущего пункта приходим к соотношению
W„(ж) = Р{7/„ < ж} = Р(Ап) = P{max +&,..., 6 + +fn) <
Очевидно, что если рассматривать* произвольные т, а не только по ложительные, то его нужно записать в виде
иддж) = р{шах (о, 6 + . ,& + • • • +ej < 4-
(. у Уравнение Линдли 451
Соотношение (5) является основополагающим для изучения предельного поведения ФР W„(a:).
Покажем сначала, что для любого х существует И’(.т) = lim 1Уп(ж). Действительно, справедливо включение Ai D A? D • . П"у 00
Поэтому существует событие А = lim Ап, и в силу аксиомы непрерывности Р(А) = ИД.т) — lim И’„(.т). Последнее равенство устанавливает существование предельного распределения IV(х) (возможно, несобственного, т.е. И’(ос) < 1) времени ожидания начала обслу-живания заявки.
Переходя к пределу под знаком интеграла в формуле (4), видим, что ИДх) удовлетворяет интегральному уравнению
X
= J W - у) rfC(y), если х > 0;
_ 0, если х < 0.
Как уже говорилось, полученный результат справедлив и в общем случае произвольно распределенного rj0.
Само распределение И’(х) (если оно собственное, т.е. И’(сх.) = = 1) естественно трактовать как стационарное распределение времени ожидания начала обслуживания заявки (по моментам поступления заявок в систему), поскольку если т]0 имеет ФР ГРД.с), то в соответствии с формулами (4) и (6) все остальные т]п, п > 1, также будут распределены по закону И(х). Отсюда, в частности, следует, что интегральное уравнение (6) может иметь не более одного реше-о
ния, являющегося ФР. Кроме того, р0 = f W(—y)dC(y) представляет собой вероятность того, что в стационарном режиме поступающая в систему заявка сразу же начнет обслуживаться.
Определим, в каком случае распределение W(х) будет собственным. Для этого рассмотрим отдельно три случая: с > 0, с < 0 и с=0.
Из усиленного закона больших чисел следует, что в случае с > 0 при п —> оо с вероятностью 1 Sn = £1 + + —> оо, а значит,
и niax(f1,f1 + f2, - ,fi 4-Ь fn) —> оо. Иными словами, с вероят-
ностью 1 время ожидания начала обслуживания заявки стремится к несконечности, и И’(.т) = lim Г1’„(,е) = 0 для любого х.
п-А-оа
Аналогично исследуется случай с < 0. При этом с вероятностью 1 $п = fi + + £п —> —оо. Значит, среди членов последователь-П-+ОО
ности = f i + • + f.„, п > 1} с вероятностью 1 положительных
452 Гл. 8. СИСТЕМА G/C/i/^
лишь конечное число, что, в свою очередь, приводит к соотнощевв IV(+oo) = lim IV(a?) = 1. 50
х—>оо
Остался последний, самый сложный случай с = 0. Использовать закон больших чисел мы уже не можем (почему?). Однако здесь на помощь приходит теория восстановления.
Напомним, что мы с самого начала условились не рассматрв. вать вырожденный случай С,-,, = vn = const, который эквивалентен равенству £п = 0. Поэтому соотношение с = 0 означает, что случайная величина может с ненулевой вероятностью
PR„ < 0} > о (7)
принимать отрицательные значения.
Не вдаваясь в детали, мы сейчас покажем, что при с = 0, как и при с > 0, IV(а?) = 0.
Для начала заметим, что если W (х) >0 хотя бы для одного х > 0, то W (0+) > 0, т.е. в пределе время ожидания начала обслуживания заявки должно быть равным 0 с ненулевой вероятностью. Действительно, пусть а?0 = inf (а: : W(х) > 0)—минимальное значение времени ожидания начала обслуживания заявки в стационарном режиме. Тогда Xq должно быть равным нулю, иначе в соответствии с (7) при переходе к следующей заявке время ожидания начала обслуживания с отличной от нуля вероятностью может стать меньше .т(). Если же а?о = 0, то аналогичные рассуждения показывают, что для следующей заявки время ожидания начала обслуживания с отличной от нуля вероятностью может принять значение 0.
Рассмотрим теперь моменты т*, i > 1, поступления заявок в си< тему, в которые времена ожидания начала обслуживания заявок равны 0. Последовательность {г*, i > 1} образует (простой) процесс восстановления. Обозначим через m — М(т*+1 — т*) среднее время между восстановлениями. Тогда, как следует из результатов § 1.3, 1/тп = W(0+) > 0. Но это означает, что т < оо. Кроме того, обозначим через то математическое ожидание времени, которое между соседними восстановлениями система проводит в свободно 1 состоянии. В силу условия (7) то > 0. Значит, на каждом интервале между восстановлениями система свободна в среднем долю времени то/т. Рассматривая ’’большой” интервал времени t, видим, чт0 в силу закона больших чисел прибор свободен на этом интервале примерно время tmo/m. Но этого не может быть, поскольку из-за условия с = 0 и того же закона больших чисел суммарная длина всех заявок, поступивших за время t, в точности совпадает с работой bt, которую в состоянии выполнить прибор.
у Уравнение Линдли
453
Таким образом, в случае с = О, как и в случае с > 0, П'(.т) = О, и in при п —> оо время ожидания начала обслуживания n-й заявки сТремится к бесконечности. Более детальный анализ показывает, чТо, в отличие от случая с > 0, в случае с = 0 с вероятностью 1 число моментов освобождения системы бесконечно, но времена $еЖДУ освобождениями имеют бесконечное математическое ожидание- Полученный результат допускает очень простую трактовку, если использовать величину р = b/а, которую и в общем случае системы G/G/1/оо естественно назвать загрузкой системы. Тогда с = а(р — 1). Предельное (стационарное) распределение времени ожидания начала обслуживания заявки существует (является собственным) тогда и только тогда, когда р < 1; в противном случае И;(-т) = 0.
1.3. Скорость сходимости к стационарному режиму
Оценим скорость сходимости П ,,(.'< ) к предельному распределению 1К(.т). Для этого вернемся к обозначениям предыдущего пункта- Ап = {£i <'.т,£1 + & < + < т}, А = =
= {£1 < -т,£1 + & < т,... + •+£„ < ' ,} Положим В„ = = {6 + ’ ’ ’ + Сп > -г’}- Тогда А = А„ П (В„+1 U Вп+2 U • •) = = А„ \ (Bn+i U Вп+2 U • • •), откуда получаем неравенства
РПДт) - Р(В„+1) - Р(Вп+2) - < ИДт) < П'Д.т),
о < и;(т) - И'(.т) < P(Bn+1) + p(Bn+2) + (8)
Пусть теперь выполнены условия:
1.‘с<0.
2’. Существует такое А > 0, что j eSxdC(x) < оо.
0
Теорема 1. Прп выполнении условии 1, 2 найдутся такие е > 0 и С > 0, что прп всех х
Wn(x)-W(x) < Се~гп. (9)
Доказательство. Очевидно, что доказательство теоремы необходимо провести только для х > 0.
Одной из модификаций неравенства Чебышева является неравенство
Р{£ > т} < е-^Ме^.
Возьмем в качестве £ сумму = Ci + ’ ’ ’ + Тогда, поскольку
= Ме®^>+' "ЧА = (Mes£i)n, а в силу условия 2 Ме®^1 < оо при 0 < s < А, то
Р(В„) < е~®а:(Ме®^1)" < (Ме®^)п, 0 < s < А. (10)
454 Гл 8 СИСТЕМА G/G/lfa
Далее, из < воис тв ПЛС следует, что в окрестности точки s = q справедливо разложение
Мс'^1 = 1 4- cs + o(s).
Но тогда в силу условия 1 найдутся такие s, 0 < ь < 6, е > 0, что Mr'51 = е~Е < 1 Подставляя эту оценку в формулу (10), получаем Р(В„) < е~пе.
Теперь осталось воспользоваться формулой (8):
П;,(.т) - Ж(.т) < е-(”+1)£ 7 (-(п+2Г + • = F ''' у . I
Полагая С = с~е/(1 — с“е), приходим к оценке (9), что и доказывает теорему
1.4. Сравнение систем
Рассмотрим теперь следующую задачу
Пусть при заданном распределении А(я) у нас есть возможность выбирать распределение В(х) длины заявки. При этом накладывается единственное ограничение’ математическое ожидание Ь длины заявки фиксировано. Спрашивается, каким должно быть распределение 7?(л), чтобы минимизировать стационарное среднее время ожидания начала обслуживания заявки? Сейчас мы покажем, что это распределение должно быть детерминированным, т.е. длина заявки должна принимать всего одно значение Ь.
Прежде всего, введем некоторые определения. Будем говорить здесь, что случайные величины £0 и £ связаны соотношением 5о -< С если М£о < ос, М£ < оо и J[1 — Fo (у)] dy < /[1 - F(y)] dy для .любого
где F0(.t) = Р{£0 < .т}, F(.t) = Р{£ < а?}.
Для введенного таким образом частичного упорядочения случайных величин справедливы следующие свойства (см. [9]):
1. Для любой случайной величины £ выполнено соотношение & г мо е
' 2. Если -< С. то М£о < М£.
3. Если £о и //о независимы, £ и у независимы и £о С ’Д’ то & + у0 -< £ + у. - ЗВ >• |
4. Если {^оп- п > 1} и {£„, п > 1} две последовательн сти независимых в каждой последовательности случайных величин. Со„ < 8.п, п > 1, И 7/0 = sup (&)1 Ло1 +Со2, • •), У = sup (G , Cl +^2’ ’ причем Мт/ < оо, то 7/о -< У-
Используя приведенное' определение и свойства 1 4, легко И'1' новить сформулированный в начале этого пункта результат.
455
] Уравнение Линдли
Действительно, пусть {к„, п > 1} и п > 0} -управляющие последовательности системы G/G/1/оо. Наряду с этой системой рассмотрим систему G/D/1/оо, у которой входящий поток также рпределяется последовательностью {i'n, п > 1}, а обслуживание— детерминированное с временем обслуживания = М£п. Тогда в силу свойства 1 for, -< Сп, в силу свойства 3 случайные величины (on = Со,п-i ~ vn и = Сп-1 — vn также связаны соотношением (on -< (п и, наконец, в силу свойства 4 /;() = sup ((Oi, (01 + £02, • • •) <
= sup (fi ,fi + £2, • Приведенное выше утверждение вытекает теперь из свойства 2.
Аналогичным образом доказывается и обратный результат. Пусть фиксировано распределение В(х), а мы имеем право выбирать А(х), но так, чтобы сохранялось среднее время а между поступлениями заявок. Тогда стационарное среднее время ожидания начала обслуживания заявки будет минимальным в том случае, когда входящий поток детерминирован.
Объединяя эти утверждения, получаем, что при заданных а и b, Ъ < а, наилучшей в смысле стационарного среднего времени ожидания начала обслуживания заявки является система D/D/1/оо. Очевидно, что каждая поступаюшая в эту систему заявка вообще застает прибор свободным.
Нетрудно видеть, что приведенные здесь результаты остаются справедливыми и в нестационарном случае
1.5. Стационарное распределение виртуального времени ожидания
Как мы видели из предыдущих глав, наряду с распределением времени ожидания начала обслуживания заявки в момент ее поступления в систему одним из важных показателей производительности СМО является виртуальное время ожидания начала обслуживания в момент t или то время, которое ожидала бы начала обслуживания заявка, если бы она поступила в момент t. Мы здесь ограничимся только нахождением стационарного распределения виртуального времени ожидания. Естественно, при этом будем предполагать, что с < 0 (или, что тоже самое, р — Ъ/а < 1). Кроме того, потребуем, чтобы случайные величины vn не являлись решетчатыми, т-е. не могли принимать только значения хр, = kl, к = 0,1, 2,... .
Обозначим через 1У* (х) стационарное распределение виртуального времени ожидания. Для нахождения И'Д.т) в очередной раз 8°спользуемся элементами теории восстановления. Как следует из Узловой теорбмы восстановления (см. § 1 3), для системы, функционирующей в стационарном режиме, распределение интервала г*,
456 Гл. 8. СИСТЕМА G/G/i/%
прошедшего с момента последнего поступления заявки в систему имеет плотность
<**(*) = (Ц)
В свою очередь, время т] ожидания начала обслуживания этой заявки имеет ФР 1Р(ж). С учетом длины С поступившей заявки нетрудН(1 получить для виртуального времени ожидания т]* соотношение, аналогичное соотношению (3):
if = max(j; + С — 1/*,0).
Из полученного соотношения выводится формула для стационарного распределения W' (ж) виртуального времени ожидания:
f Iff a*(v) dW(y) dB(z) dv, если ж > 0; 1Р*(ж) = < y+z-v<x
( 0, если ж < 0,
или, подставляя вместо о*(ж) его выражение из (11),
ш*/' > _ J a fffl1- Л(г’)] dW(у) dB(z) dv, если ж > 0; IP (ж) — \ у+г—v<x
I 0, если ж < 0.
В частности, для вероятности р® = Р{?/ = 0} того, что в стационарном режиме система свободна, имеем равенство
Ро = I jjj [1 - Л(г)] ЛР(ж) dB(y) dz. (12) ж-Ьу—z<0
Последнее равенство мы перепишем в несколько ином виде. Вос-
ОО
пользовавшись очевидным представлением 1 — A(z) = J dA(v) и из-Z
меняя порядок интегрирования, находим
оо
Ро = 1 JJJ dW(x)dB(y)dz У dA(v) =
ж+з/—z<0 z
=Д УУУ dA(v)dW(x)dB(y) j x+y—v<0
dz =
x+y
y) dW(ж) dB(y) dA(z).
(13)
z<0
I Уравнение Линдли
457
В соответствии с полученными в предыдущих главах результа-таМи естественно ожидать, что и в системе G/G/1/оо вероятность * выражается равенством
Ро = 1 ~ Р = 1 - ~ а
(И)
Докажем, что это действительно так.
Обозначим через и /д времена ожидания начала обслуживания соседних заявок, через Q длину первой иэ них, а через v время 1жДУ их поступлениями в системе, функционирующей в стационарном режиме. Тогда г] и /д одинаково распределены по закону И’(.с) [I в соответствии с (3) удовлетворяют соотношению
/д = max (г; + £ — н, 0).
Предположим теперь, что Мт? < оо. Поскольку т] и гр одинаково распределены, то Mr; = М/д, или, используя определение и свойства математического ожидания,
М?/ = М/д = М(//+£—г) — fl! (x+y—z)dW(x)dB(y)dA(z) —
x+y—z<0
= Mr; + М£ - Мп - ljу (x + y-z)dW(x)dB(y)dA(z) = r+y-z<0
М/; + Ь — а +
ffh
K+y-z<_0
у) dlV(x) dB(y') dA(z).
Вычитая из обеих частей последнего равенства М// и учитывая (13), имеем а — b = ар$, откуда приходим к равенству (14).
Хотя здесь равенство (14) выведено при условии М/; < оо, можно показать, что оно справедливо и в общем случае. Доказательство Можно провести, например, по тому пути, который мы наметили в П.1.2 в случае а = 0.
1.6. Стационарное распределение очереди
Предполагая, что загрузка системы р < 1, найдем стационарное распределение длины очереди (т.е. числа заявок, ожидающих начата обслуживания) по моментам поступления заявок в систему и 110 времени.
Начнем со стационарного распределения по моментам поступления заявок.
Пусть в момент 0 в систему, функционирующую в стационарном режиме, поступает заявка. Обозначим через рп, п > 0, веро-р'ность того, что эта заявка застанет в очереди п других заявок.
458
Гл. 8 СИСТЕМА G/G/i/r
Вводя обратный отсчет времени, обозначим через i/n время од момента поступления последней пришедшей до момента 0 заявки и до момента 0, через v2- время между поступлениями предпоДедн и последней заявок и т.д. Случайные величины vn, п > 1, незавп. симы и одинаково распределены по закону А(а’).
Далее, пусть т]п, п > 1,—время ожидания начала обслужив^ ния заявки, поступившей в момент тп — —(i?i + • • • + г„). В силу стационарности режима функционирования системы т]п не зависит от г,, г = 1,п, и имеет ФР W(^).
Заметим теперь, что в момент 0— в очереди будет не менее п, п > Г, заявок только в том случае, когда время г)п ожидания начала обслуживания заявке/, поступившей в момент тп, больше -т„, т.е.
Рп ~ Рг ~ }
г~п
= Р{т7„ > Pi Н-+ г„ } = J A(n*\x)dW{x),
О
где А1'™} (а1) n-кратная свертка Л(х) с собой.
Очевидно, что вероятность рп, п > 1, того, что в очереди находится ровно п заявок, определяется формулой
ОО
Рп = Рп - Рп+1 = J[A<n*\x) -о
В частности, стационарная средняя длина Q очереди непосредственно перед поступлением заявки в систему равна:
Вспоминая теперь (см. § 1.3), что сумма в правой части ства представляет собой функцию восстановления Н(т) про( процесса восстановления, порожденного распределением Л(г)’ 3
у Уравнение Линдли
459
равенство можно переписать в виде
о
Аналогично вычисляются предельные (стационарные) вероятности. р*, и > 1, длины очереди по времени (в этом случае мы должны предположить также нерешетчатость распределения А(.т)). Снова рассмотрим моменты поступления заявок, пришедших в систему до момента 0, однако момент 0 уже не будет моментом поступ-дения заявки, и поэтому, в отличие от предыдущего случая, /у будет иметь ФР не А(.т), а в соответствии с узловой теоремой восстановления (см. § 1.3) А*(т) с плотностью а*(ж) = A*'(z) = [1 — А(ж)]/а. Дословно повторяя предыдущие рассуждения, приходим к формуле
р* = У * A((”-1’*’(.r) - А*(а-) * A(n*’(z)] dW(x).
о
Стационарная средняя длина Q* очереди по времени задается выражением
» Q* = Е пр* = JЕ А* W * ^((П“1)*)И dW(x). n—l Q П=1
Обращаясь снова к теории восстановления (§ 1.3), видим, что в данном случае сумма в правой части равенства представляет собой функцию восстановления Н*(х) не простого, а стационарного процесса восстановления, равную, как мы знаем, /:/*(»') = х/а. Но тогда
Q* — - у xdW(x) = Aw,
о
где X = \ /а интенсивность входящего потока, a w среднее время °жидания начала обслуживания поступающей заявки. Последнее ра-пенство есть не что иное, как хорошо знакомая нам формула Литтла.
1.7. Оценки среднего времени ожидания начала обслуживания •
Для того чтобы получить оценки среднего времени ожидания Начала обслуживания заявки, вернемся к рекуррентному соотношению (3). Полагая т]~ — — niin(p„_| +Д„,0), п > 1, его можно аеР₽писать в виде
(15)
71п — i]n — 7]п-1 + £п-
460
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/i/
Величина г)~ имеет смысл времени простоя перед поступлением п заявки (см. рис. 2).
Беря от обеих частей (15) математическое ожидание, полунае, Мт?„ - Мт?“ = Mt/„_i + b - а.
В частности, если система функционирует в стационарном i,„ жиме, то (при условии существования w = [ xdW(x))
о
= а - Ь. (1С)
В этом случае условное распределение г)~ при условии т)~ > 0 пред, ставляет собой не что иное, как распределение свободного периода ж, т.е. времени, проведенного системой в свободном состоянии на одном цикле (интервале между соседними поступлениями заявок в пустую систему).
Обозначим через f = Мж среднюю длину свободного периода. Тогда
Мт?" = р{т?- > о}м® = +£„ < о}/.
Отсюда, используя обозначения п.1.2 и формулу (16), приходим к равенству
(17)
:2
а — Ь Ро = ~Г-
Возводя теперь обе части соотношения (15) в квадрат и учитывая, что из двух величин rjn и т)~ одна обязательно равна нулю, приходим к равенству
^ + (%Г)2 = ^-1 + 2т?,
Возьмем от обеих частей последнего равенства математические ожидания:
Мт?2+М(т?“)2 = Мт?2.! +2М(??„_1е„) + МЙ.
Снова считая, что система функционирует в стационарном режиме, и воспользовавшись очевидными соотношениями
М(т?7)2 =р0Мж2 =ро/(2),
= М/?„_1(МС„ - Мр„-1) = w(i>-°)>
МЙ = M(G - ^.j)2 = b<2> + a™ — 2ab, где f(2) —второй момент свободного периода, = сгд + « ч* = Од + Ь2~ вторые моменты времени между поступлениями заяво и длины заявки, приходим к равенству
р0/(2) = 2 w (Ь - а) + М2) + а(2) - 2 аб,
у Уравнение Линдли.
461
И71*’ цме®1
подставляя вместо р0 его значение из (17), окончательно
+ </2) — 2 ab
2 (а — б) V
(18)
Равенство (18), полученное К.Т.Маршаллом, является основопо-1аГак>щим для большого числа оценок среднего значения w времени здания начала обслуживания заявки. Мы здесь приведем два наи jonee простых из них.
Прежде всего, из неравенства > f2 следует, что в равенст-
Поскольку а, б, а12) и I/2' выражаются через определяющие распределения А(х) и В(.т) системы, то для того, чтобы получить оценку w сверху, достаточно оценить теперь снизу среднюю длину j свободного периода.
Однако вместо f гораздо проще оценивать среднюю длину g периода занятости.
Как мы уже не раз говорили, стационарная по времени вероятность рц отсутствия заявок в системе, загрузка системы р ц средняя длина цикла j + g связаны между собой соотношениями
, • !
p=p°"7+s'
откуда
1 - р а - Ъ f =------g= , g- (20)
р б
С другой стороны, период занятости не меньше времени обслуживания одной заявки и, в частности, g > b. Из этого соотношения н (18) (20) вытекает неравенство
аА + ав
- 2а(1 —р)
Более точное неравенство можно получить, если воспользовать-
ОО
^следующими рассуждениями. Положим тг = /[1 — А(.'с)]<//!(.<)
'р 0
‘огда
тг вероятность того, что за время обслуживания заявки в №'Тему не поступят другие заявки или, что то же самое, период за-вжтости окончится сразу же после окончания обслуживания первой ^ступившей заявки. Заметим теперь, что период занятости можно
462 Гл. 8. СИСТЕМА G/G/i/
представить в виде суммы случайного числа 7 независимых слу^ ных величин—длин поступивших в Систему на этом периоде заявок При этом событие ”на периоде занятости было обслужено не бодее заявок” не завйсит от длин и+1-й, и+2-и и т.д. заявок. Кроме тог0 вероятность периоду занятости окончиться после обслуживания n-ij заявки при условии, что он не окончился после обслуживания n-l.j заявки, в любом случае не меньше вероятности 1 — тг поступления еще хотя бы одной заявки за время обслуживания и-й заявки. Тогда вероятность того, что период занятости не окончился после обеду, живания п-й заявки, оценивается снизу геометрическим распределением (1 — тг)’1. Значит, среднее число М7 заявок, обслуженных на
ОС'
периоде занятости, не менее 52 (1 — тг)” — 1/тг. Поскольку средняя п~0
длина каждой заявки Ь, то, воспользовавшись тождеством Вальда (см , например, [85]), которое в нашем случае имеет вид д = 6 Му. приходим к неравенству д > b/тг. Снова воспользовавшись соотношениями (18) (20), имеем еще одну оценку
w < zl±_zl_ _
— 2а (1 — р) 2тг
Другие оценки, использующие различные свойства ФР .4(.т) и В(.г), читатель может найти в [29].
1.8. Двойственная система. Свободный период
Рассмотрим теперь наряду с исходной СМО G/G/1/оо с определяющими распределениями Л(.г') и В(.т) другую систему G/G/1/ос, в которой определяющие распределения 4(х) и В(.т) представляют < обои те же ФР А ( г) и В(.т), но взятые в обратном порядке, т.е. .4(т) = В(.г), В(.т) = А(.т). Такую систему будем называть двойственной к исходной. В частности, двойственной к системе M/G/1/ос являет» я система G/M/1/оо и наоборот.
Очевидно, в двойственной системе управляющие последовательности {гп, п > 1} и {£„, п > 0} просто меняются местами: {й„ н. > 1} и {(„ = г„+1, п > 0}. Но тогда
G) ~ 1 Cn —1 ~ U
Поэтому соотношения (3) и (5) для времени дп ожидания начата обслуживания n-й заявки в двойственной системе и его ФР 1Ki(x) " = Р{?Д„ < .с} можно записать в виде
f)n = шах(»)„_1 ~С„,0), п > 1,
И"’,, (.г) =P{min(G,fi + {2, -,6 + ' +G)>“X'}’
j Уравнение Линдли
463
Приведенные формулы дают основание надеяться, что иссле-
дование времени ожидания начала обслуживания n-й заявки и свя-занных с ним характеристик как в исходной, так и в двойственной системе сопряжено с одинаковыми трудностями. Действительно,
в следующем параграфе мы покажем, что, вычислив распределение |Уп(ж) для одной из систем (исходной или двойственной), тем самым фактически вычислим и распределение ГУп(ж) для другой.
Несколько сложнее обстоит дело при нахождении стационар-
ного распределения ГУ (ж) времени ожидания начала обслуживания заявки. Это ясно хотя бы из того, что для исходной и двойственной
систем противоположны условия существования предельного распределения ГУ (ж). Если для исходной системы зто условие имеет вид а - Ъ > 0, то для двойственной, наоборот, Ъ — а > 0. Тем не менее, как мы увидим из результатов следующего параграфа, найдя некоторый алгоритм вычисления ГУ (ж) для какой-либо СМО G/G/1/ос.
мы с помощью аналогичного приема можем получить и алгоритм вычисления ГУ (ж) для двойственной.
Оставшуюся часть этого пункта мы посвятим исследованию связи, существующей между временем ожидания начала обслуживания заявки в исходной системе и свободным периодом в двойственной. Такая связь позволит, например, весьма просто исследовать системы M/G/1/оо и G/M/1/оо и получить для них те результаты, которые уже были получены ранее другими методами.
Как мы знаем, предельное распределение ГУ (ж) совпадает с рас
пределением величины
7/ = SUp Sn, п>0
где So = 0, S,\ = + • • • + £п, п > 1. Рассмотрим теперь номера
шагов пг, i > 1, на которых случайное блуждание п > 0} последовательно достигает своих максимальных значений (рис. 3). Заметим, что на рис. 3, в отличие от рис. 1, по оси абсцисс отложены не времена между поступлениями заявок, а их длины, а по оси ординат, наоборот, времена между поступлениями заявок, взятые со знаком минус. Очевидно, на значениях последовательностей {£„, п > 0} и i > 1} такая замена никак не отразится.
Значение Snt, г > 1, назовем г-й лестничной высотой. В силу самого определения случайного блуждания {S„, п > 0} разности = Sn — Sni_,, г > 1, (мы полагаем н0 = 0) представляют собой ^зависимые одинаково распределенные случайные величины. При этом
V = +-----h Ж* Я--•
464 Гл. 8. СИСТЕМА G/G/1/
Однако если а > Ь, а именно это мы предполагаем, когда говорим о предельном распределении W(х). то величины ж* будут несобственными, поскольку после достижения z-й лестничной высоты Sr,t последовательность {S„, п > 0} с ненулевой вероятностью может никогда больше не превзойти значения . Вероятность последнего события, как нетрудно видеть, не зависит от поведения случайного блуждания {Sn, п > 0} до момента nt и равна вероятности того, что случайное блуждание {S„, п > 0} никогда не примет значение больше 0, которая, как мы знаем, есть P{sup Sn < 0} = W(0+) = ро-7l>0
Вводя теперь новые независимые величины геп, п > 1, распределенные по закону F(x) = Р{а?„ < х} = Р{ж* < х | ж* < оо} = Р{ж* < < ж}/(1 — ро), видим, что 7] можно представить в виде суммы
где 7 случайный индекс суммирования. В силу сказанного выше индекс 7 не зависит от геп.
Далее, вероятность Р{7 > 1} совпадает с вероятностью того, что последовательность {Sn, п > 0} хотя бы раз превзойдет 0 и равна 1 — ро, условная вероятность Р{7 > 2 | 7 > 1} совпадает с вероятностью того, что, достигнув положительного значения Sm-последовательность {S„, п > 0} затем превзойдет Sni хотя бы Ра'1'
465
/. Уравнение Линдли
т е. также равна 1 — р0 и т.д. Отсюда делаем вывод, что Р{7 > п) = (1 - р0)п, п > О,
или
Р{7 = п} = р0(1 -Ро)п, п > 0.
Иными словами, индекс 7 имеет геометрическое распределение.
Полученный результат удобно записать в терминах ПЛС. Действительно, полагая = Me-5’, s) = находим по
формуле полной вероятности
оо оо
= ^Р{7 = п}Ме-(ж'+'+-’) = £р0(1 - РОУШ*)]”, п=0 п=0
илй, производя суммирование,
I.
Теперь для того, чтобы установить связь распределения W(ж) с двойственной системой, достаточно перевернуть рис. 3 и заметить, что изображенный на рис. 4 график в точности совпадает с графиком для двойственной системы, изображенным на рис. 1. Но это, в свою очередь, означает, что аеп представляет собой n-й свободный период для двойственной системы.
Рис. 4
30-2717
466 Гл. 8. СИСТЕМА G/G/1/
В качестве первого примера рассмотрим СМО G/M/1/оо, в Ко торой параметр экспоненциального времени обслуживания заявки равен /г. Двойственной к ней будет система M/G/1/оо. Свобод ный период в двойственной системе в силу пуассоновости входя щего потока будет экспоненциальным с параметром //. Поэтому V>(s) = р/(р + «')• Тогда из формулы (21) имеем
/ Л - Во = во(в+ g)
Обращая эро ПЛС, получаем
W(x) = 1 - (1 -р0)е-'1р% и мы приходим к формуле, известной иэ § 6 4.
Для определения р0 вычислим стационарную вероятность р*. Подставляя в формулу (12) значения ИЛ(х) и В(х) = 1 — е~^х. получаем
оо z z~*y
Ро = ~ /[1 - A(z)]dz j <1В(у) j dW(x) = о oo
OO 2
= I [1 - Л(г)] dz j W(z - y) dB(y) = b о
oo z
= ~ j[l-A(z)]dz I [1 - (1-p0)e"Wo(2“p)]pe-'jy(/?/ = b b
oo
= - Al - А(г)](1 - (-рр«г) Фг = 1 - 1 ~ .
i « ./ appo
о
Используя формулу (14), в которой р — 1/(ар), приходим к уравнению
1 “Ро = <>(рро),
с точностью до обозначении совпадающему с уравнением (6.4.2/.
Обратимся теперь к СМО M/G/1/оо с интенсивностью входя щего потока А. В этом случае в силу свойства пуассоновского потока р0 = ро = 1 - р.
Для нахождения распределения свободного периода в двоис венной системе G/M/1/оо воспользуемся следующими соображс ниями. Заметим, что поскольку в двойственное! системе загрУ;,ь'* больше 1, то число заявок в ней с ростом времени будет стрс»®тьС к оо. Но это означает, что в пределе потоки поступающих в систе-
§ 2. Решение уравнения Линдли 467
(1 уходящих из нее заявок будут независимыми рекуррентными с ФР Д(.г’) = В(х) и В(а) = A(aj = 1 - е~Хх.
Рассмотрим теперь произвольную покидающую двойственную систему заявку. Обозначая через v+ (рис. 5) время до следующего поступления заявки, видим, что, с одной стороны, в соответствии с только что сказанным и узловой теоремой восстановления v+ имеет плотность распределения [1 — j3(a)]/b. С другой стороны, покажем, чт0 выделенной заявке соответствует некоторый период занятости, оканчивающийся именно в момент ее ухода. Для этого рассмотрим интервалы прошедший с момента последнего поступления заявки в систему, й2 между предпоследним и последним поступлениями и т.д. и длины выделенной заявки, ^2 предыдущей обслуженной 71 П ~
заявки и т.д. Положим тп = 52 и тп = 52 Сз- Пусть п* ?=i j=i
минимальное значение п, для которого тп > тп. Такое п* обязательно найдется в силу условия а = 1/А > Ь. Но тогда ввиду отсутствия последействия для экспоненциального закона можно считать, что в момент —ту. (см. рис. 5) в свободную систему поступает заявка и открываемый ею период занятости оканчивается в момент ухода из системы выделенной заявки. Сказанное, в свою очередь, означает, что i'+ = as—свободный период двойственной системы G/M/1/оо и этот период имеет плотность распределения [1—В(а)]/Ь. Поэтому
ОО
V’(s) = Me“s& = Me~sc+ = | [ e-ST[l - B(a)] dx = .
b J bs
0
Подставляя найденное значение V’(s) в (21), получаем v,(s) = 1 -р. =
'U я-А + А/3(я)’
и мы приходим к хорошо известной нам формуле (5.2.3).
§ 2. Решение уравнения Линдли
В этом параграфе мы покажем, как для нахождения в терминах преобразований распределения И'г, (т) времени ожидания начала обслуживания '//-ой заявки и предельного распределения W('/') времени кидания начала обслуживания заявки можно использовать методы теории функций комплексного переменного. Общая идея метода, принадлежащая Н.Винеру и Е.Хопфу, заключается в представлении Комплекснозначной функции действительного аргумента t (в нашем
30*
468
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/l/^
Рис. 5
случае это будут функции 1 — z\(l), — 1 < z < 1, или 1 — \(t)) в виде произведения двух функций комплексного аргумента 1, одна из которых аналитична и ограничена в верхней полуплоскости Im t > О и непрерывна вплоть до действительной прямой 1ml = 0, а другая, наоборот, обладает теми же свойствами в нижней полуплоскости Imf < 0. Такое представление, называемое факторизацией, позволяет свести задачу решения уравнения Линдли к задаче вычисления контурного интеграла, которая, в свою очередь, в двух важных для ТМО случаях приводится к задаче нахождения корней некоторого функционального уравнения. Здесь, правда, необходимо заметить, что эти случаи могут быть исследованы и ранее рассмотренными методами без привлечения интегрального уравнения Линдли.
Интересно отметить, что математическая теория, используе мая в настоящем параграфе для решения уравнения Линдли, существенно проще для нестационарного случат, чем для стационарного, а не наоборот, как это было до сих пор. Поэтому доказательства всех приведенных утверждений мы даем только для нестационарного случая.
2.1. Факторизация
Рассмотрим функцию 1 — г\(1), где x(t)—ХФ случайной величины £ с произвольной ФР C(l), a z- любое число из интервала (—1,1). Поскольку |х(£)| < 1, то In (1 — г\(1)) можно разложить в
j. 2 Решение уравнения Линдли рЯд Тейлора по степенями z
469
(1)
В свою очередь, x"(t) представляет собой ХФ ФР С^п*\х) сум-gn — + - • -р где £i, •..— независимые одинаково рас-
пределенные с ФР С(х) случайные величины. Поэтому мы можем записать
0-
= I eilxdP{Sn < .г} + P{Sn = 0} + j e,txdP{Sn < .г}.
— оо 0-J-
Подставляя последнее равенство в (1), приходим к тождеству
l-zX(f)=exp{-f^ I etljdP{Sn<x}-^^-P{Sn = 0}-
П—1 _^>о п—1
ОС1 П Р
-Xv /«“MPfs,<»)},
которое, вводя обозначения
са_(г, t) = exp
e!/IrfP{S„ < ,г}},
ио(г) = exp { - 52 — Р{^п = °
са+(г, i) = exp
e'txdP{S,\< ,т}|,
Можно переписать в виде
W+(z,0
(2)
Далее мы увидим, что ФР 1Р„ (.т) времени ожидания начала обслуживания n-й заявки и предельное распределение VP(s) времени
470
Гл. 8. СИСТЕМА G/C/i/
ожидания начала обслуживания заявки определяются компонент cu+(z,t) представления (2).
0ц
Выведем некоторые свойства cu+(z,t) и сз_(г,?) как фуНк
ций комплексного переменного /. Поскольку / dP{Sr, < з } ,
о'+
и по формуле Эйлера с’1:г = е~ж1п| ([cos (.т Re ?) + i sin (ж Re ?)]. To
I f ettrdP{Sn < ./ }[ <1 при Im? > 0. Поэтому lo'+
| E f /e^dP{Sn < t}| <f^ = -ln(1- |z|), 71=1 71 = 1
И
0 < 1 - |z| < |cv'+(z,?)| < < oo.
Аналогично при Im? < 0
0 < 1 - |z| < K(z,?)| < —< oo.
1 lzl
Кроме того, если Im? —> +oc, то f e’txdP{Sr, < a.} —> 0. Значит. o'+
—> 1 при Im? —> +oc. Подобным же образом получаем, что iv'_(z,?) —> 1 при Im? —> —ос.
Из вышесказанного следует, что функции w+(z, ?) и o>_(z, ?) удовлетворяют свойствам:
1. Функция (;.-,?) аналитична в верхней полуплоскости Im? > 0, а также непрерывна и ограничена в этой полуплоскости, включая действительную прямую Irn? = 0. Аналогичным свойством в нижней полуплоскости Im? < 0 обладает функция си~(z.t).
2. Функции tv'+(z, ?) wiv'_(z,?) не могут в соответствующих полуплоскостях принимать значения, равные 0 или, как угодно близкие к 0, т.е.
. inf к'+(М1 > °- , inf И (г, t)| > о.
Im t>0 Im КО
3. Справедливы соотношения,
^+(М), 1, cu_(z,t) 1.
Im i—>+oo Im t-+—oo
Пусть теперь существуют две функции cu+(z, ?) и cu~(z, ?) такие-что они удовлетворяют свойству 1 и при всех действительных ?
^+(z,?)[l-zA(?)]=cT-(z,?). J
jj 2 Решение уравнения Линдли 471
Представление (3) назовем факторизацией функции 1 — а функции u>+(z,l) и компонентами факторизации.
Естественно, если мы умножим w+(z,i) и u“(z,l) на одну и ту непостоянную (зависящую только от г функцию), то снова получим . оппоненты факторизации.
Очевидно, .что представление (2) задает факторизацию функции 1 — ’ А (О- При этом можно положить, например,
-’+(z.i) = w+(z,l),
^“(г,1) = ^_(z.l) w0(z) = w+(z,t) [1 -
Покажем, что факторизация функции 1 — z у(1) единственна (с точностью до не зависящего от t множителя). Действительно, пусть наряд}' с (4) имеется другое представление
[l-zA(/)] = c<(z.l).
где (z, t) и wf (z, t) удовлетворяют свойству 1. Тогда
^(г,1) = к>Г(г,р cu+(z,t) w~(z.t)
Так как w+(z, t) удовлетворяет свойствам 1 и 2, то левая часть этого равенства аналитична в верхней полуплоскости Irnl > 0, а также ограничена и непрерывна вплоть до прямой 1ml = 0. Аналогичным свойством в нижней полуплоскости Im t < 0 обладает правая часть равенс тва. Поскольку обе функции совпадают на прямой Im 1 = 0. то они являются аналитическими продолжениями одной и той же функции, которая в силу ограниченности во всей комплексной плоскости должна равняться постоянной.
Из единственности факторизации следует, что если мы нашли некоторую факторизацию (3) функции 1 — zy(i), то с ее помощью нетрудно получить представление (2), определяя u>+(z,t), w0(2) и w_(z.l) таким образом, чтобы выполнялось свойство 3. Однако мы нс будем на этом останавливаться, поскольку представление (2) нужно лишь как вспомогательный аппарат для доказательства существования и единственности факторизации и установления других свойств факторизации функции 1 —z у(1), о которых речь пойдет ниже. Постоянная, с точностью до которой будет задаваться факторизация, находится из обычного условия нормировки В частности, Удобно положить
о© п »
cj+(z,1) = w+(z,l) exp ^^2 ^-P{Sn < 0}j =
n=l
472
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/lfa
= exp { Е Н5'" ^ °) + /<*}]} 11=1 о+
Заметим, что выражение, стоящее в квадратных скобках (5). пре д, ставляет собой Ме',|1,ах(М).
В заключение этого пункта установим связь, существующую между факторизациями функций 1 — zy(t) и 1 — zy(t), где y(f) = — х(—t)- Ясно, что ХФ \(t) соответствует случайной величине
Выпишем для 1 — zy(Z) соотношение (2):
. ~/л.\ “'-v1', ч
Заметим теперь, что при определении c5_(z,Z), cjq(z) и w+(z,f) мы должны вместо случайных величин <7,.... . pact матривать слу-
чайные величины —£|,..., —.... Но тогда
t) — exp
о-
[ <3tdP{-S,
?!-] 0 +
<L0(2) = exp { - ~ P{-S„ = ()}} =
71=1
= exp £ — 52 77 P{S„ = 0}| = cJ0(z), n=l
Г ж°°л f 1
cj+(z, t) = exp { 52 7; / e'trdp{~,s^ < ж)} = ?1=’ o+ r
00 1
П=1 J.QQ V '
Отсюда, в частности, следует, что компоненты c5+(z,Z) и и-(г, О факторизаций функций 1 — z у(£) и 1 — г у(/) связаны между собой соотношением
"+<г’,)=^(Ь)- (6>
§ 2- Решение уравнения Линдли 473
равенство (6) упростит исследование двойственных систем.
2.2. Вычисление компонент факторизации
Очевидно, формулу (2) или фактически эквивалентную ей формулу (5) никак нельзя признать удовлетворительной для нахожде-яия компонент факторизации (естественно, достаточно определить одну из них, например, w+(z,£)). Сейчас мы предложим другие, более удобные с практической точки зрения способы вычисления /(*,*)•
Первый способ основан на интегральной формуле Коши. Рассмотрим
I = ~ Imi > О,
i1 < J L Ь
(этот интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как
lim f • • -ds). Подставим вместо функции 1 — г у(£) ее значение из ч
(2). Тогда
ОО оо
1 = + X [ ^)ds+
2ni J t — s 2tii J t — s — oo —-оо
+ - I -------- ds — /| + 1-2 + Tj-
2л/ J t - s
Нетрудно видеть, что в силу свойств 1 и 2 1hcj+(z, s) будет аналитической функцией в полуплоскости Ims > 0, ограниченной и непрерывной вплоть до действительной прямой Ims = 0. Образуем теперь контур L, состоящий из отрезка действительной оси
< s < S и полуокружности |s| = S, Ims > 0, достаточно больного радиуса S, лежащей в верхней полуплоскости (рис. 6). Тогда в силу теоремы Коши для любого t, Imt > 0,
, 1 /’Inw-iTz.s) ,
lnw+(z,i = у- / - 7 ds.
ZTTl / t — .5
L
Далее, поскольку в силу свойства 3 lrm>+(z,s) —> 0 при Ims —> Too, то интеграл по полуокружности |s| — S, Im s > 0, стремится t; 0 при S —> оо. Значит, Ц — — lnw+(z,t).
474
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/1/r
Совершенно аналогично вычисляется !<,. Рассмотрим контур L' (рис. 7). образованный тем же отрезком — S < ь < S и полуокружностью |s| = S, Ims < 0. Поскольку теперь точка t лежит вне контура L'. то функция lnw_(г, s)/(/ — s) является аналитической внутри полуокружно< ти. ограниченной контуром и, значит.
1 /' lnix>(z, *)
2тг? J t — &
ds = 0.
При этом в-силу свойства 3 lncj_(z,.$) - > 0 при Ims - > —оо. Следовательно, интеграл по полуокружности |s| = S. Ims < 0. также’ стремите я к 0 и Т, = 0.
Рис. 7
2. Решение уравнения Линдли
475
Наконец,
. 1 Г InwoCO , lnw0(z) I' ds 2тгг J t — s 2tu J t — s
_ InО7О(z)
2тгг
Incuo(z)
2
Таким образом,
, , , x In U0
I — — lnu+(z, t) 4——— ,
и, значит,
In (1 - z x(s)) t — s
Поскольку -\/eJ0(z) не зависит от t, то функция
(нова будет компонентой факторизации, и мы получаем представление u+(z,t) с помощью контурного интеграла.
Читатель при желании может получить аналогичную формулу для и-(z,t), Imt < 0.
Представление функции cj+(z,t) с помощью контурного интеграла также обычно является малоэффективным для ее нахождения. Теперь мы перейдем ко второму способу, который, хотя и можно применить далеко не всегда, играет чрезвычайно важную роль в ТМО.
Пусть = Сп-1 — ь'п, где хотя бы одна из независимых величин Cn-i и ип имеет ХФ /3(f) или a(t), являющуюся дробно-рациональной Функцией (в частности, имеет гиперэрланговское распределение й(.т) или .4(.'с)).
Разберем, например, случай, когда /3(t) имеет вид /3(f) = гДе -Р(0 и Q(t)~ полиномы степеней к и / соответственно, к < /, и для определенности коэффициент при f' у Q(t) । Равен 1. Очевидно, что |/3(t)| < 1 при Imt > 0, а значит, Q(t) не I Имеет в верхней полуплоскости Imt > 0 нулей.
476 Гл. 8. СИСТЕМА G/G/l/^
При сделанных предположениях %(t) = /3(t) a(—t), причем a(~/j аналитична в области lint < 0 и |a(—1)| < 1 в нижней полуплоскости Imt < 0.
Рассмотрим в нижней полуплоскости Im t < 0 уравнение
l-zy(t) = l-za(-t)^=O, —1 < z < 1. (7)
Пусть область D представляет собой полукруг в нижней полуплоскости, задаваемый неравенствами Imt < 0, |t| < J
(рис. 8). В силу сказанного выше при достаточно большом Т \za(—t)P(t)/Q(t)\ < 1 на контуре L, ограничивающем область D. Предположим для простоты изложения, что нули функции Q(t) не совпадают с нулями функции a(—t) (это всегда справедливо, если В(а) гпперэрланговскос распределение). Тогда нули функции Q(t) совпадают с полюсами функции 1 — zy(t), а в силу теоремы о логарифмических вычетах число нулей функции 1 — z y(t) совпадает в области D с числом полюсов этой же функции и равно I. Обозна-
чим эти нули через ti,..., t(, и пусть R(t) — П (t — //, ). Положим k=i
.jj+(z,t)) = Запишем функцию 1 — z y(t) в виде
где
^-(z, t) = [1 — z y(t)]ca+(z, t).
Рис. 8
§ 2. Решение уравнения Линдли 477
Нетрудно видеть, что функция c<j+(2,t) удовлетворяет свойству 1 компоненты факторизации, т.е. она аналитична в верхней полуплоскости Imt > 0 (и даже во всей плоскости, за исключением конечного числа I полюсов в нижней полуплоскости Imt < 0), а также непрерывна и ограничена в полуплоскости Im t > 0 (поскольку стремится к 1 при t —> оо). Легко показать, что также удо-
влетворяет свойству 1. Таким образом, задача определения ш+(г,Р) свелась к задаче нахождения всех I (с учетом кратности) лежащих в нижней полуплоскости корней функционального уравнения (7).
2.3. Решение уравнения Линдли: нестационарный случай
Вернемся к изучению времени ожидания начала обслуживания заявки в СМО G/G/1/оо.
Начнем с нестационарного случая. Перейдем от ФР П’п(т) к ХФ
wo(t) = 1,
ОО оо
u>„(t) = J eitxdWn(x) = Wn(0+) + Ie,txdWn(x), п > 1.
—оо 0+
В терминах ХФ уравнение Линдли (1.4) имеет вид
ОО оо
w„(t) = у eaxd J Wn_1(x-y)dC(y)+
0+ —оо
04 оо
+ У elixd j wn-i(x - y)dC(y), n > 1.
— oo —oo
Добавим 'к правой части равенства и вычтем из нее
04- оо
У eitxd [ Wn^(x-у)dC(y).
— cd —оо
Тогда
ОО оо
М0,= У eltxd У Wn^(x-y)dC\y)+
—оо —оо
04- оо
+ У (1 - ettx) d у (а: - у) dC(y), п > 1.
— ОО — оо
478
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/l/^
В последнем равенстве первый интеграл представляет собой Хф свертки ФР Иу,-|(т) и С(.г). Поэтому
0+ ос
^(t) = x(t)^-i(t)+ У (l-e‘u)dУ Wn-i(x-y)dC(y), п>1, (8) — ОО —оо
где x(t) = а(—a a(t) = J ettxdA(t) и /3(t) = j ettxdB(t) -Хф о о
времени между поступлениями соседних заявок и длины заявки.
Рассмотрим теперь двойное преобразование
w(z,t) = -1 < z < 1. (9)
и—0
Умножая соотношение (8) на г" и суммируя от 1 до оо, получаем
Wn-i(x-y)dC(y),
ИЛИ
w(z,t)[l-zx(t)] = ш
где положено
Wn^(x-y)dC(y).
В силу определения (9)
оо
Иг, 01 < Ы01 М" < Е = нгп п=0 1 1г|
Поэтому функция u?(z,t) является аналитической и ограниченной в верхней полуплоскости Imt > 0, непрерывной вплоть до действительной оси Imt = 0 или, иными словами, удовлетворяет свойству '• предъявляемому к компоненте u>+(z,t) факторизации (3).
Нетрудно видеть, что аналогичным свойством в нижнеи полуплоскости lint < 0 обладает <ц~(г,1), т.е. она может служить компонентой u“(z,t) факторизации (3).
Таким образом, равенство (10) задает факторизацию функции 1 — zy(t). В силу единственности факторизации это означает. чт° если мы нашли некоторую факторизацию функции 1 — zy(/). то с< компонента cz+(z, t) с точностью до (не зависящего от t) множитетЯ
479
§ 2. Решение уравнения Линдли
совпадает с двойным преобразованием w(z,4) ФР W ,.(.'<) времени ожидания начала обслуживания n-й заявки.
Для того чтобы от w+(z, t) перейти к w(z, t), достаточно в определении (9) преобразования a>[z, t) подставить t = 0. Тогда
ОО оо ..
w(.,o) = £Wn(o)z" = £z" = r—, 72=0 72=0
и, значит,
= (1 -2)1+(1,0) ’ (П)
Нетрудно видеть, что функция u>+(z, 4), определяемая равенством (5), удовлетворяет соотношению w+(z, 0) = 1/(1 — z). Отсюда получаем так называемое тождество Спитцера:
оо ОО 72 Р
w(z, о = exp { Е ТГ [Р<5п < °} + / el/rrfp{5n < *}]}, (12)
n=i п 04
в терминах случайного блуждания + • + п > 0}
устанавливающее связь между распределениями случайных величин r)u = max(0, Si,..., Sn) и max(Srl, 0).
Итак, для нахождения u>(z,4) мы можем воспользоваты я результатами предыдущего пункта.
Пусть теперь мы каким-то образом нашли факторизацию функции 1—z\(t) для некоторой СМО G/G/1/оо. Рассмотрим двойственную к ней систему. Как следует из самого определения двойственной системы, для нее в уравнении .Линдли С(.с) = 1 — С(—х) и, значит у(4) = х(—t). Таким образом, задача вычисления факторизации функции 1 — z у(4) свелась к задаче вычисления факторизации функции 1 — z x(—t), а для ее решения мы можем воспользоваться формулой (6). Иными словами, найдя для некоторой системы в терминах двойного преобразования u(z, t) распределение W„ (а?) времени ожидания начала обслуживания n-й заявки, мы одновременно решим эту же задачу для двойственной системы.
В качестве первого примера рассмотрим СМО G/M/1/оо. В ОО
этом случае %(£) cv(—t)/3ft), где a(t) = / e1tTdA(x) ХФ времени b
ОС
между поступлениями соседних заявок, /3(4) = [ ettxdB(x) ХФ дли-b
ны заявки и /3(4) = p/(/t — it). Значит, /3(4) является дробно-рациональной функцией: /3(4) = P(4)/Q(4), причем P(t)=p. и
480
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/ifa
уравнение (7) имеет вид
1 — z a(—t) —= 0. it
Обозначим через t\ = t] (z) (единственное) решение этого ур;1П_ нения в нижней полуплоскости (нетрудно показать, что это решение будет чисто мнимым, что существенно упрощает численные алгоритмы его нахождения). Положим R(t) = t — t\. Тогда функция w+(z, 1) = Q(t)/R(t) = {ц — ?t)/(t ~ H) является компонентой факторизации функции 1 — zy(l).
Для того чтобы найти окончательное выражение для w(z,f)5 осталось воспользоваться соотношением (11). Поскольку w+(z,0) = = t'/из этого соотношения получаем
< (М - it)
Ш г’ . р(1 - z)(tx - t) ’
Последняя формула и дает нам в терминах двойного преобразования w(z,l) выражение для распределения Ип(т) времени ожидания начала обслуживания п-й заявки.
Перейдем теперь к СМО M/G/1/оо. Для ее исследования рас-< мотрим двойственную систему, которой, как мы знаем, является СМО G/M/1/оо с временем между поступлениями соседних заявок, распределенным по закону В(т), и интенсивностью обслуживания заявки А. Тогда y(t) = а(—t) (3(t) = /3(1) А/(А + it). Как только что было показано, для двойственной системы G/M/1/оо компонента <v+(z,t) факторизации функции 1 — z у(1) = 1 — zy(—/) = = 1 — z '}(—t) A/(A — it) задается формулой
, , . A — it
“ +(M) = ----~ ,
где Zi ~ ti(z) решение уравнения
1 -2 = 0
Л —’ 'Ll
в нижней полуплоскости Imt < 0. Поэтому7 в силу определения факторизации
&~(z,t) = [1 - Z x(-t)].
С — ч
Но тогда в соответствии с равенс'гвом (7) для системы M/G/1/оо
.+ / о _ 1 _ -Н-t
’’ (А + г!)[1 — z x(t)]
§ g Решение уравнения Линдли 481
^скольку cj+(z,0) = —ti/[A(l — z)], то, снова воспользовавшись соотношением (11) и подставляя вместо ХФ y(f) ее значение, имеем
, ________A (ti + t)_____ A (fi + t)
W Z’ fi(A + it)[l — zy(f)] fi[if + A - Az/3(f)] '
Итак, мы и для системы M/G/1/оо нашли в терминах двойного преобразования co(z,f) распределение И’Д.т) времени ожидания начала обслуживания n-й заявки.
Читателю предлагается провести подобные выкладки для общего случая, когда одно из распределений А(ж) или В(х) имеет дробно-рациональную ХФ.
2.4. Решение уравнения Линдли: стационарный случай
Пусть теперь загрузка р = b/а < 1, и мы хотим определить стационарное распределение W(ж) времени ожидания начала обслуживания заявки. Естественно попытаться воспользоваться результатами, полученными в предыдущих пунктах. Однако напрямую мы их применить не можем, поскольку все они выведены в предположении — 1 < z < 1. Тем не менее, можно получить аналогичные утверждения и в этом случае.
Начнем с тождества Спитцера. Предельное соотношение 11’(.7’) = lim IT,,(.'<’) в терминах ХФ cj(f) и сип(f) записывается в виде П—>ОО
ui(f) = lim cjn(f) или в терминах двойного преобразования cj(z, f) в 71—>ОО
виде
cj(f) = lim(l — z)cj(z,f). (13)
Для того чтобы последнему равенству придать более приемлемую форму, положим сначала f = +гос. Тогда
cj(-Hoo) = I e,txdW(x)I + 1У(0+) = 1У(0+).
J 1*=+оо
0+
Кроме того, в формуле (12)
ОО „ cj(z, +гоо) = ехр {£i-p(s„<0)},
П=1
И, значит,
(1 — z) cj(z, -H'oo) = ехр | — P{S„ < 0} + In (1 — z) J- =
n=l
оо у OO у
= exp{ - У2 -P{5n < 0})} = ехр{У2 ^-P{S„ > 0}}.
71=1 71 = 1
482 Гл. 8. СИСТЕМА G/G/lfa
Поскольку П’(0+) > 0 и в формуле (12)
P{S„ < 0}+У e,(!s)s'dP{S,1 <I} = Mf,!,s>'“(s'”0> =MP-8m“(M) 0+
являстся монотонно убывающей функцией действительного аргумента 5, то
оо 1
5Z - Р<5’> > °} < °°- (И)
п= 1
Заметим теперь, что для любого 1, Im t > 0,
(1-г)к;(г,0 = ехр{-£^ Й1 - c!te) dP{S„ < т}}. ,1=1 о+
и в силу (13) и (14)
W(f) = схр { - £ | Д1 - е!,т) dP{S„ < .г}}. (15)
71=1 о+
Полученная формула представляет собой тождество Спитцера для ХФ u(t) стационарного распределения И7(т) времени ожидания начала обслуживания заявки.
Приступим теперь к факторизации. Уравнение (1.6) по аналогии с нестационарным случаем приводит нас к формуле (для действительных 1)
w(#)[1-x(if)]=w-(t), (16)
где 0+ оо
М*) = j (1 — e’tx) d j W(x — y)dC(y).
Легко показать, что функции u(t) и и_(1) удовлетворяют свойству 1 п.2.1, т.е. равенство (16) задает факторизацию функции i-xW- ' .
Более того, как нетрудно видеть из тождества Спитцера (Щр функция и(1) удовлетворяет свойству 2 и для нее существует конечный отличный от 0 lim u(t), что фактически эквивалентно Im t—¥oc> свойству 3.
Для функции (1) также существует конечный отличный от lim cj_(t). Однако для нее не выполнено свойство 2, поскольку Im t—y—oo
§ 2 Решение уравнения Линдли 483
обязательно (0) = 0. Оказывается, последнее обстоятельство существенно влияет на дальнейшие рассуждения. В частности, неизвестно до сих пор, является ли факторизация (16) единственной с точностью до постоянного множителя.
Доказательства излагаемых ниже результатов в силу пх сложности здесь не приводятся. Читатель может найти эти доказательства, например, в [9].
Поскольку 1 — у(0) = 0, то мы не можем записать функцию u?+(i), равную cj(i) с точностью до постоянной, в виде контурного интеграла, аналогичного (7). Однако если ФР С(т) имеет плотность с(.т) = С'{х) (для этого достаточно существования одной пз плотностей а(а") = Л'(.т) пли 6(.т) = В'(а-)), то 0J+(t) представляется в виде
, г 1 Г 1п(-—^^-(zs + so)) 1
кЛ(Р) = ехр{- — j -------Iin/>0,
— ОО
где sq > 0— произвольная постоянная, а сам интеграл, как обычно, понимается в смысле главного значения.
Так же, как и в нестационарном случае, cj(f) может быть получена в явном виде через корни некоторого функционального уравнения, если одна пз ФР A(f) пли B(f) имеет дробно-рациональную ХФ.
Пусть сначала /3(f) = P(f)/Q(f), где F(f) и Q(t) полиномы степеней к и /, к < /, соответственно. Рассмотрим уравнение
'-'-'’да'0- <17)
Это уравнение в нижней полуплоскости Im t < 0. имеет ровно / корней, которые обозначим через i1:... ,ti (мы, по-прежнему, для простоты изложения предполагаем, что нули функции Q(t) не совпа-1
дают с нулями функции а(—f) пли /3(f)). Положим B(t) = (t — f/,).
fr=i
Функция cj+(f) = с точностью до постоянного множителя,
который определяется пз условия нормировки и(0) = 1, совпадает с ^'(/). Таким образом,
= Q(f)F(0)
() 7?(f)Q(0) '
Рассмотрим теперь случай o-(f) = P(t)/Q(t). Уравнение
= ° (19)
484
Гл 8. СИСТЕМА G/G/lfa
имеет теперь уже в верхней полуплоскости Ini/ > 0 ровно I корней которые обозначим через to,ti,.. При этом ровно один ц3
них, допустим £0. лежит на действительной прямой ImZ = 0. Оче-1-1
видно, t0 = 0. Положим ЩГ) = П (1 — Н). Определим функцию / = 1
+ равенством
+ / х Ш1)
w (0-[i-xW]QH)’ (20)
Функция w+(C' < !• .О до гояннш <> множителя < овпадаетИ л{{). Для нахождения этого множителя, как обычно, воспользуемся условием нормировки са(О) = 1. Подставляя в формулу (20) / ~= () и применяя правило Лопиталя для вычисления lim [1 — x(t)]/t с учетом
[1 — х(0У1/=о = ~гс’ получаем са+(О) = г 7?(0)/[cQ(0)], откуда
= —ictP(t)Q(0)
() [i-xW(-W)’ ( I
Как и ранее, в качестве примеров рассмотрим СМО G/M/1/оо п M/G/1/ос.
В системе- G/M/l/oo fl(t) = ц/(ц — it), и уравнение (17) имеет вид
1 - n(-t) = 0
/7 — it
ИЛИ
—it + /е — /со(—1) = 0.
Обозначим через 1, единственное решение этого уравнения в ниж-неп полуплоскости Imf < 0. Тогда 7?(1) = t — fj, и равенство (18) приводит к формуле
1 p(tt-t)
АнжаЛгично, в системе M/G/1/оо а(£) = АДА — it), и уравнение (19) дает
it + А — А/'1(1) = 0.
Единственное решение t0 этого уравнения в верхней полуплоскости 1ml > 0 очевидно: 10 = 0. Поэтому Г(1) = 1, и по формуле (21)
= /1 + А-А/3(1) ’
S Асимптотический анализ системы G/G/l/oo
485
Вспоминая, ’ito с = b — a — 5-1/A n Xb = p, окончательно цо чу чаем
i . ,.х _ (1 - Р)
) с/ + А —A,J(t)'
Читатель может самостоятельно сравнить полученные в этом параграфе для СМО G/M/l/oc> и M/G/l/oc> результаты с результа* тами. найденными нами ранее в главе 5 и § 6.4
§ 3. Асимптотический анализ системы G/G/1/оо в условиях большой загрузки
В этом параграфе мы исследуем предельное поведение показателен производительности СМО G/G/1/ос при болыпоп загрузке р. При этом под ’’болыпоп загрузкой” будем понимать тот случаи, когда загрузка р близко к 1. причем может быть даже больше 1
Отправным пунктом для асимптотического анализа СМО G/G/1/ос опять-таки является соотношение (1.5), связывающее последовательность {//„. и > 0} значении времен ожидания начала обслуживани я пос ту пающпх в с пс тему заявок и макс имальное значение случайного блуждания. В свою очередь, оказывается, что в с илу центральной предельной теоремы с лу чанное1 блуждание можно приближенно заменить впнеровским процессом. Поэтому, прежде чем Переходить к доказательс тву ос новных предельных теорем, мы найдем распределение макс имума впнеровс кого процес с а и приведем результаты, у с танавливающпс асимптотическую связь между с лучаиным блужданием и впнеровс кпм процсч с ом.
3.1. Винеровский процесс
Непрерывный с вероятностью 1 однородный по времени Маркове кип процесс {'/(О- G>()f\ множеством состоянии Л’ = В и переходной функцией P(i, 11 с/, а) =Р{//(1) < г | !/(») = //} = I’(.c. t—u | //), t > и, называется eimepoetъим (с коэффициентом с носа с и коэффициентом диффузии ст-), ес ли Р( с. 11 у) являете я ФР нормального закона с параметрами < f + у и n~t. т е. имеет плотность
N '/) = у-Р(-> Ч | (/) = г 1.у е ->d, . (1)
o' VZTTCT-f
В дальнейшем всегда будем предполагать также, что в начальниц момент 0 процесс {с/(/), t > 0} находится в состоянии 0, т.е. '/(0) = 0.
486
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/lfa
Винеровскии процесс t > 0}, у которого коэффициент
сноса с = 0, а коэффициент диффузии а- = 1, называется стандартным винеровским процессом. Винеровскии процесс с продз-вольными коэффициентами снос а с и диффузии ст'2 может быть цс. лучен из стандартного впнеровского процесса {//о(0’ t > 0} с помощью линейного преобразования ;;(f) = ct + оr/o(f). И наоборот преобразование i)o(t) = [r/(f) — cf]/o приводит винеровский процесс {//(f), > 0} с произвольными коэффициентами сноса с и диффузии
ст*2 к стандартному винеровскому процессу {»/o(f), t > 0}.
Как уже говорилось, для анализа предельного поведения в условиях большой загрузки ФР 1Р„ (.г) времени ожидания начала обслуживания //-и заявки нам понадобится ФР ИДт, /) ==Р{ шах Т](и) <;cl максимального значения впнеровского процесса //(f) на временном интервале [0, <].
Теорема 1. ФР задастся формулой
t . Ч
1 /’ 3 _
ИЛ(.г, f) — / хи '‘е du. х > 0. (2)
о
Доказательство. Положим »’(.r, f) = — dW(j:,t)/dt (дав мы прямым вычислением покажем существование и;(.г,/)). Поскольку W(a\t)—вероятное ть того, что винеровский процесс t](t) не достиг уровня .1 до момента I, то w(x, t)- плотность распределения момента первого достижения процессом //(f) уровня х, т.е. w(x,t) dt— вероятность того, что впервые уровень х будет достигнут на интервале [t, t + dt).
Для того чтобы процесс //(f) в момент f находился в состоянии .г, .г > 0, необходимо (ри<. 9), чТобы в некоторый промежуточный момент и он впервые достиг значения х (это происходи г < плотностью вероятностей w(x,u)), а за оставшееся время t — u из состояния х вернулся в состояние х (с плотностью вероятностей р(.т, f — и | ./•) = ехр{—(с f)2/[2cr2(f — w)]}/y/2 mx2(t — и)). Воспользовавшись формулой полной вероятности, имеем
/
p(.r, f | 0) — У "’(•<', и) р(х, t — и | j ) du. (3)
о
eg. Асимптотический анализ системы G/G/1/оо 487
Поскольку интеграл в уравнении (3) представляет собой свертку, то для решения уравнения (3) воспользуемся ПЛ по времени
ОО 7г(х, $) = e~'stp(xy 110) dt, b оо ш(х, s) = J e~s'w(x,t)dt, 0 tt(.s) = J e~slp(x, 11 .z.) dt. 0 Гогда уравнение (3) запишется в виде тг s) = w(x, s) rr(.s), 7г(.С, .5') W(-T’ Ь \ 7Г(«) Вычислим 7г(.Г, s) и zr(s). Очевидно, что в силу формулы (1) л(«) = 7—Д '.e-^e-^dt = 1 1 .< J у2тга21 J \/27Ta2t о 0 _ i 7 i ' i HD — / — (3 и Q/ij — — — — л/2<725 + с2 J J-ny ' \Z2<72s+c2 \/к (4) -'G+^T)dt = h (5)
о
488
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/i/^
Аналогично
_________ оо
“ Г 2^ / --- Р 2<г21 (Ц.
J \/‘27TO2t о
Сделаем теперь замену у = (t х/с2 + 2<r2.s — х)/\/a2t. Тогда
2 «?/+
4 (с2 + 2 ф-.s) Ус2 + 2 г2*
dt
—= = 2 <
В последней формуле первый интеграл равен 1 как интеграл от нормальной плотности, а второй равен 0 в силу нечетности подынтегральной функции. Поэтому
1
,2
(6)
и из формул (4)-(6) окончательно получаем
w(x, s) = е i”-
Для того чтобы от ПЛ сД.г, s) перейти к оригиналу w{x,t), продифференцируем последнюю формулу по s:
д х
• Tj- w(a-, s) = , , „ 9 с ds \/с2 + 2 o2s
§ 3. Асимптотический анализ системы G/G/1/ос
489
Значит, О . . , . \
— Ш(;Г, S) = .Г7Г(.Т,«).
Поскольку, как известно из теории ПЛ, дифференцированию ПЛ u(a-,.s) по s соответствует умножение оригинала w(x,t) на t, то из последнего равенства вытекает
tw(x,f) = хр(х, 11 0),
или, подставляя вместо плотности р(х, t1 0) ее значение,
, , 1 _ 3 _ (*-<*)2
w(x,t) = , xt 2е г»2» .
у/2тгст2
Интегрируя последнее выражение, приходим к формуле (2), что доказывает теорему.
Замечание 1. В случае, когда коэффициент сноса с -- 0, выражение (2) можно упростить. А именно, полагая у = х y/t/u, получаем
/’ 1 и2
Hz(.T,f) = 2 / е 2»2> dy.
J V27T(72t
О
Нетрудно видеть, что в этом случае ФР И7(а:, f) имеет плотность распределения dW(x,t)/dx, равную удвоенной плотности распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией cj2t. Этот результат легко может быть получен из соображения симметрии.
Замечание 2. Пусть с < 0. Найдем для этого случая распределение максимума винеровского процесса на бесконечном интервале [0, оо). Оказывается, что, в отличие от конечного t, с помощью замены v = (а-2 + с2н2)/(2 <т2м) интеграл в формуле (2) можно вычи-слить в явном виде. Вычисления дают: Ж(.т,оо) = 1 — е';'/'т , а- > 0. Таким образом, распределение максимума винеровского процесса при с < 0 является экспоненциальным с параметром —с/о2 !
3.2. Случайное блуждание и винеровский процесс
Пусть {£„, п > 1} -последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическими ожиданиями М£?1 = с и дисперсиями D£„ = <т2. Рассмотрим случайное блуждание {S,,, н > 0}, где So = 0, Sn = ^2 6, 11 > 1- Оче-г=1
видно, что случайное блуждание {S,,, п > 0} является однородным по времени марковским процессом с дискретным временем.
490
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/lfa
Лемма 1. Пусть {5„, = с < 0 и D£„ = о-2 < оо. неравенство
п > 0}—случайное блуждание с М£п Тогда для любого X > 0 справедливо
] _ р-[с» 1 (2 Уст?+<т2) + <т2сз X 3]
Р{шах5я > Л'} < -------------------------------
«>о 1 — е-1
где a = сX.
Доказательство. Для доказательства леммы воспользуемся тождеством Спитцера (2.15), которое перепишем в терминах ПЛС и в котором положим 5 = \/Х:
1 с 1 Г
-(Y) = exp{-£-y(l-,,=1 о'+
е x)f/P{S„ < а }|.
(7)
Оценим показатель экспоненты в (7). Для этого положим N = = где [»/]— целая часть ?/, и представим показатель экспо-
ненты в виде
y(l-e-t)f/p{S„<a} = 52^ <а}+
» = ! J+ n = l о'+
+ £ - А1 - е-*) ЛР{5„ < .г} = 7, + 12. ,i=x+i ()+
Оценим 7]. Воспользовавшись неравенством 1 — е < х/Х и неравсш твом Гельдера, имеем
/(l-e-v)f/P{S„<.i}<^- У г17Р{5„<г}<1( y.A/P{S„<.r})2.
0+ (Г+ 6+
В силу отрицательное in < получаем
I .12</Р{5„ < .г}) < Дг - ryi/PfS,, < .71} <
0+ о'+
< I (.1- - ()'-dP{S„ < .г} = DS„ = II <72.
g 3. Асимптотический анализ системы G/G/1/ос
491
Поэтому
(8)
Для того чтобы оценить вторую сумму, заметим, что
I (1 - e-t)f/P{S„ < j } < I dP{S„ < .г} = P{S„ > 0}. о'+ о+
Воспользовавшш ь неравенством Чебышева, находим
P{S„ > 0} = P{S„ — »? с > —и с} < =
(пс)- пс~
Таким образом.
Подставляя в (7) оценки Ц и /2 из формул (8) и (9) и вспоминая определение Л , получаем
Воспользуемс я теперь неравенством
Р{</ > Л } <
представляющим собой одно из очевидных обобщении неравенства Чебышева для неотрицательно!! случайной величины !/. где ui(s)— ПЛС ?/. Подставляя в это неравенство rnaxS,, вместо »/. приходим к м>0
утверждению леммы.
Известно пз курса теории вероятностей, что для последовательности {£„, п > 1} справедлива центральная предельная теорема, т.е. S„ при ’’большом” п распределено приближенно по нормальному закону со средним MS,, — пен дисперсией DS„ = по2. Более того, пз независимости случайных величин S/, и S’/.+ „ — S’/. н той Же самой центральной предельной теоремы с ледует, что при любых значениях к и у =S| и ’’большом” п разность S/.+,, — у также имеет приближенно нормальное распределение с параметрами и с и п о~. Изменяя название ’’номер шага и” на название ’’время t , видим, что переходная функция F(.r, 11 у) — P{S„+( — S„ < .г | S„ = у} слу-Чапного блуждания {S(, t > 0} описывается приближенно той же < амоп формулой, что и переходная функция впнеровс кого процесса.
492 Гл. 8 СИСТЕМА G/G/1/-*
Приведенные выше рассуждения наводят на мысль о том. что прп изучении поведения < лу чайного блуждания {.S’„. и > 0} н,г “большом" интервале времени можно < лучапное блуждание и > 0} заменить впнеровс кпм процессом {//(0, t > 0}. что существенно упростит исследование1.
Перейдем к строгой математической формулировке необходимых в дальнейшем результатов. При этом наша конечная цель анализ показателей производительности СМО G/G/1/рс в ус ловиях большой загрузки требует использование центральной предельной теоремы в с хемс с ерпи. что. в с вою очередь, накладывает дополнительные ус ловия на распределение с лагаемых в случайном блуждании. Мы бу дом предполагать выполненным ус ловпе Линдсборга, которое. с одной с тороны, являете я дос таточно простым а с дру гоп прп некоторых естественных ограничения наиболее общим для выполнения центральной предельной теоремы ({85]).
Пу с ть имеете я с хсма с ерпи, т.е. с смспство пос лсдоватсльностеп
незавпе имых и одинаково распределенных в каждой пос лсдоватсль-ностп с лу чайных величин т >1. и > 1. Будем обозначать ФР случайных величин f,'"1 в " 11 последовательности через = PR-” < ' }• Положим MG1,','1 = G, и D£<
Скажем. что для введенной выше1 с хемы с ерпп выполнено ус ловие Тпндсберга. (( ли для любого > 0
1Й11 II I (т — С „)2с/С„ (.!•)= 0. (' !)
п—Юс J
Положим S,)”1 = 0, Sj//1 = 52 1,1 > 1-
>=1
Введем нцвып случайный процесс {//'''(f). t > 0} с непр<’" рывным времс'нем t. Будем с читать, что значение 4(,,>(/) в •и<>“ мент t = I/п совпадает со значением j)'" . нормированным у/»- т<>' = а в промежуточные1 моменты времени значение
3. AcuMWiornunec-biifi анализ системы G/G/l/oc
493
изменяется линейно (рис. 10). Очевидно, что построенный таким образом процесс {//"'(f), t > 0} сбудет непрерывным.
Справедлив с ледующий вариант центральной предельной теоремы в условиях Линдсборга ([82]).
Теорема 2. Лесть выполнены (Л) и ус ювия
х/пе,, с. —ос- < с < <Xj. - (А)
о;, —> ст2, () < ст2 < ос, (Б)
н —юс
Тогда все конечномерные распределения процессов {//"’(I), t > 0} сходятся к конечномерным распредетениям впнеровх кого пропета {//(f), t > 0} < коэффициентом с носа с и коэффициентом диффузии о~.
Далее нам понадобптс я усиленная форму шровка этой теоремы. Однако, прежде чем переходить к этой формулировке, введем дополнительные величины Пусть Т. 0 < Т < оо произвольное число, а </(/) любой непрерывный еру нкцпонап. заданный на множестве непрерывных функции на отрезке' [0. Т] (непрерывное ть ерункцпо-нала означает, что —> </(/) при /„(/) —> /’(f) равномерно на
отрезке- [0,6Г])_ В частности, непрерывным функционалом являе'тся максимальное значение- <;(/) = ншх f(t) функции /(/) на отрезке-[0, Т] Именно к этому еру нкцпоналу мы сбудем применять с|>орм\1П-руемуто ниже- теорему 3.
Теорема 3. Если выполнены v< товпя (Л). (А) и (Б), то при и —> со ФР с пучанных величин с/(е/(",(1)) слабо < ходите я к ФР е лу-
494
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/1/oq
чайной величины g(r)(t)) (напомним, 4To{i](t), t > 0}—вннеровскцЦ процесс с коэффициентом сноса с н коэффициентом диффузии о2)
Доказательство теоремы 3 можно найти в [82].
3.3. Предельные распределения показателей производительности СМО G/G/1/оо в условиях большой загрузки
Теперь мы можем приступить к исследованию асимптотического поведения показателей производительности СМО G/G/1/оо в условиях большой загрузки.
Пусть имеется занумерованная индексом n, n > 1, последовательность систем G/G/1/оо, причем n-я система имеет управляющие последовательности m > 1} и m > 0} с определяющими распределениями Л„(а-) = Р{/4' * < х} и ВДх) = Р{С™ < ж} соответственно. Как и ранее, будем считать, что в начальный момент времени 0 в каждую из систем, находящихся в свободном состоянии, поступает заявка. Обозначим через iff время ожидания начала обслуживания m-и заявки в zi-й системе.
Наша цель состоит в нахождении предельного при п —> оо распределения центрированных и нормированных соответствующим «правом случайных величин При этом предполагается, что рп —> 1 и одновременно т„ —> оо, где рп- загрузка n-й системы. П-Ъ'Х! П—ЮС
Напомним, что в соответствии с формулой (1.5) ФР iff совпадает < ФР шах где .S,*"1 = 0, = 52 т > Б а
0<i<m г=. j
И") И”) (”)
= (,, — v, последовательность независимых одинаково рас-пределенных случайных величин с ФР С„(.г) = < ж}.
В доказываемых ниже теоремах 4 и 5 будем обозначать через И m ”(.г) = P{,ff / у/п < .с} ФР времени ожидания начала обслуживания ш-й заявки в н-п системе, нормированного у/п.
Теорема 4. Пусть выполнены условия (Л), (А) и (Б) и
— —> Т, 0 < Т < оо.
И »->оо
Тогда ИчнД.г) —> Т'Р(ж) = ТГ(.г, Т), где И’(.»',^) задается формулой (2)- '
Доказательство. Рассмотрим последовательность процессов {»/(n)(t), t > 0} с непрерывным временем t, полученных из последовательностей случайных блужданий {Sm \ m > 0} следующим образом: значение в момент t = i/n совпадает со значением S, ,
§ 3. Асимптотический анализ системы G/G/1/ос 495
нормированным >/п, т.е. z/ («)(,/„) = а в промежуточные
моменты времени значение z/(,l'(f) изменяется линейно. Нетрудно видеть, что И'т^Ст) совпадает с ФР максимального значения процесса на отрезке [0,Т„], где Т„ = тп/п. В свою очередь,
без ограничения общности прп определении максимума процесса z/nl(f) можно положить Т вместо Тп*. Поэтому из теоремы 3, примененной к функционалу </(/) = max f(t), имеем lim И',1,’’? (л) = 0<t<T ?г—>оо
. Р{ max z?(t) < я}, где {z/(f), t > 0}—винеровскии процесс с коэффициентом сноса с и коэффициентом диффузии <т“. Воспользовавшись теперь теоремой 1. приходим к требуемому' утверждению.
Теорема 5. Пусть выполнены условия (Л), (А) а (Б), причем в условии (А) с < 0, п
ос п п~юо
Тогда —» И’(.г), где ТГ(т) = 1 - ,с > 0
11—>оо
Доказательство. Так же, как и прп доказательстве теоремы 4, введем последовательность процессов {z/")(t), t > 0}. По-прежнему, наша задача состоит в нахождении предельного распределения max z/”\f) при п —> ос, где Т„ = ш„/п. однако теперь Т„ —> ос. 0<1<Г„ и-»оо
Пусть Т—произвольное число. Очевидно, что шах z/(,'\z) представляет собой наибольшую из двух величин: шахд/*О(£) и max z;(?,)(t).
J < f tl
По теореме 4 max имеет предельную прп n —> ос ФР
П’(.1.’,Т), определяемую формулой (2). В частности, если Т достаточно велико, то в силу' замечания 2 к теореме 1 И (т, Т) мало отличается от ФР экспоненциального с параметром —с /ст закона Таким образом, для окончания доказательства теоремы достаточно показать, что за счет выбора Т можно сделать Р{^шах '/(")(/) > 0} как угодно малой для всех достаточно больших п. Покажем это.
Действительно, пусть X > 0 и е > 0—произвольные числа. Событие { maX z/")(f) > 0} содержится в объединении событии {z/<")(T) > -.V} и {7 шах [z/n)(0 - z?(n)(T)] > .V}. По теореме 2
Доказателы тво этого факта мы предоставляем читателю
496
Гл. 8. СИСТЕМА G/G/1/оо
найдутся такое сколь угодно большое Т и такое N, что Р{г/"\Т) > > —X} < е/2для всех п > N*. Далее,
Р{тшах - ?/">(T)] > X} = Р{^шах_т?Л’(0 > X} >
> Р{ шах r^(t) > X} = P{max5<7> > X ^}. 0<t<oo ш>0
Воспользовавшись теперь леммой 1 с учетом условий (А) и (Б), видим, что за счет выбора X последнюю вероятность можно сделать меньше е/2 при всех п > Ny для некоторого 7V], Таким образом, Р{ шах > 0} < е для п > max (TV, TVj), что в силу произ-
вольности е доказывает теорему.
Теорема 6. Пусть выполнены условия (Л), (А) и (Б), причем в условии (А) ( >0, и
--- —> оо.
Л п —> оо
Тогда P{[//w2 - т,А„]/л/ш„<т2 < ./} —> Ф(а:), где Ф(.с)—функция п—>оо
стандартного нормального распределения.
Доказательство. Хотя утверждение теоремы 6, на первый взгляд, сильно отличается от утверждения теоремы 5, случай с > О естественно назвать двойственным по отношению к случаю с < 0. Поэтому доказательство теоремы 6 мы проведем таким образом, чтобы воспользоваться теоремой 5.
Положим
с(») _ с(«) _ с?(»>) _ _с
° m >1
m = 0, т„.
Очевидно, что {Sm\ т = (),/</„} является отрезком случайного блуждания, причем
шах ^п} = -S',’,’’ + шах ’’ ()<><>»„
В свою очередь, в силу независимости и Одинаковой распределенности случайных величин ФР — S™ + max S1,^ совпадает
* Формально для соблюдения математической строгости дальнейших выкладок число Т должно быть таким, что Т = knn для всех n > N. Однако мы для того, чтобы не затенять суть доказательства, предпочитаем не гнаться за математической строгостью, а пробелы в доказательстве предлагаем устранить читателю.
§ 3 Асимптотический анализ системы G/G/1/оо 497
с ФР -Sm\ + max, Sm \ где
0</<7П ,1
п> т = (ь^.
1=1
Значит,
P-Г-y-i—[ шах 5г('1) - т„с„] < .Л =
I у/т„а2 L0<г<т„ J )
Далее, нетрудно показать с помощью теоремы 2, что последовательность ФР случайных величин —5^',!, центрированных — ш„е„ и нормированных у/т„ а2, сходится к функции стандартного нормального распределения, т.е.
р{—7^— [^<’'2 + '»«<>.] < '•} «’(')•
у/т„а2 м-юо
Наконец, по теореме 5 распределения шах- /у/й сходятся 0<1<»1 „
при п —> оо к экспоненциальному, а значит, пос ледовательность шах S™'1 /у/тпсг2 сходится по распределению к О.
Таким образом, поскольку каждая случайная величина [е/22 — —m„c„]/\/inna2 может быть представлена в виде суммы двух c.w-чайных величин —[S,?,2 + г»„с-„]/\/тщг^ и mix Si"/ у/m „а2, при-0<« <Ш „
чем последовательное ть ФР — [5,22 +т„< „]/у/т„ а1 с ходите я к функции стандартного нормального распределения, а последовательность шах Sm^/у/т„<72, сходится по распределению к 0 то мы ()<?<?/?„
приходим к утверждению тс оремы С.
3.4. Обсуждение полученных результатов. Дополнения
Остановимс я подробнее на фпзичес коп трактовке полученных в предыдущем пункте1 результатов.
Для лучшего понимания утверждении теорем 4 6 предположим, что определяющие1 распределения Л„(з) и В,,(.!) изменяются таким образом, что а„ = а и ст~ = ст*, т.е. а„ и ст* нс1 зависят от номера и системы. Тогда с„ = Ь„ — о = —«(1 — р„), а условие1 (А) означает, что п ~ 7/(1 - рп)'2, где 7 = (с /а)'2.
В теореме 4 т„ ~ Т1^/(1 — рп)2, т е номер заявки, для кот->pog рассматривается время ожидания начала обслуживания, обратно пропорционален (1 — ft,)2. Этот случаи естественно отнести к перД. ходному случаю, поскольку стационарный режим функционирования и-и системы еще не установился (при с < 0), хотя она и фл секционирует дос таточно долго. Отметим, что нормировка врс менц ожидания начала обслуживания в и-й системе производится коэффициентом, обратно пропорциональным (1 — р„)
Теорема 5 соответствует случаю стационарных режимов ф1 секционирования систем. Из условия этой теоремы видно, что стационарный режим появляется тогда, когда тп стремится к бесконечности быстрее, чем (1 — рп)~2- Нормировка времени ожидания начала обслуживания, по-прежнему, производится коэффициентом, обратно пропорциональным (1 — р„)
Наконец, р теореме 6 также' предполагается, что т„ стремится к бесконечности быстрее, чем (1 — р„)-2. Однако теперь в силу условия с > 0 системы являются перегруженными, а это приводит к тому, что пос ле поступления тп-п заявки п-я система с вероятностью, практичес ки равной 1, уже' никогда не освободится
Утверждения теорем 4-6 сохраняются, если рассматривать не время ожидания начала обслуживания тп-и поступающей в п-ю систему заявки, а виртуальное-время ожидания в момент t„ Тогда в условиях этих теорем нужно положить тп = tr,/an Кроме1 того, аналогичные' теоремы имеют место и для распределения длины очереди по моментам пос тупленпя заявок и по времени Доказатеды тво этих теорем можно получить, основываясь на результатах теории восстановления, с помощью соотношении того же типа что были выведены в п.п.1.3 и 1.6
В зайтпоченпе отметим, что мы решили задачу нахе жденпя предельное о рас пределенпя времени ожидания начала обе суживания заявки в vc ловпях большое! загрузки, <начала установив связь суще < тву ющу ю между1 этоп XI ерактерпе тпкои ее макс имальным значс ином с лучапного блуждания, а затем заменив с лучайное блуждание вине-ровским процессом. Оказывается, для решения бтои задачи .можно применить ее другое! подход, прее котором с самого начала зна'Я-ние времеше ожидания начала оос туживанпя заявке! заменяется га неровс кеем процессом, а условие неотрицательное тее времен!! ожп Дания учитываете я с помощью введения дополнительного граничного ус ловил Такой подход позволяет исследовать более осяцпе, 'сем G/G/1/ос, системы Подробнее об этом подходе' мол но л шать из [10]
Глава 9
СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В главе 2 мы уже ввели понятие сети массового обслуживания (СеМО). Теория СеМО в настоящее время далеко продвинута, а ее результаты отражены в десятках монографий и сотнях статей. Естественно, что здесь мы сможем отразить лишь малую толику того, что было с делано в этой области. Целью данной главы является ознакомление читателя с теорией однородных экспоненциальных СеМО и изложение ее основных результатов теоремы Джексона и теоремы Гордона Ныоелла. Сущность этих теорем заключается в том, что они позволяют представить многомерное с тационарное распределение числа заявок в узлах сети в мультипликативном виде, позволяющем кардинально упростить расчет показателей производительноети сети Без большого преувеличения эти теоремы можно отнести к основополагающим результатам теории СеМО, вокруг которых в той или иной мерс ’’вертится" большая часть дальнейших исс ледовании в этой области.
§ 1. Описание класса сетей
Исследование СеМО мы начнем с более детального описания класса открытых и замкнутых экс поненцпальных с степ. При этом мы ограничимся только сетями с однотипными заявками. Как уже' говорилось в гл. 2, отличие открытых СеМО от замкнутых заключается лишь в том, что в открытые сети заявки пос тупают из вне и, пройдя цикл обслуживания в некоторых выбранных случайным образом узлах, покидают с пстему, в то время как в замкнутых с етях все время циркулируют одни и те же заявки.
В этом параграфе будут выведены также' системы уравнении Для интенс ивностей потоков заявок, поступающих в отдельные узлы. Отметим, что эти системы справедливы и в общем с лучей- неэкспоненциальных СеМО.
500
Гл. 0. СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1.1. Открытые СеМО
Рассмотрим сначала открытые с ети мае с ового обе лу жпвания.
Открытая СеМО состоит из М узлов, в которые пос ту п<пот заявки из внешнего источника (узел 0). Предполагается, что узел i сети представляет собой многолинейную СМО < п, идентичными приборами и общим накопителем неограниченной емкости. 1loTojf заявок из внешнего источника является пуассоновским интснс пвно-сти Ао. Каждая поступающая в сеть заявка с вероятностью ПОг,
У) — 1, нс- зависящей от состояния сети и всей предыстории ее ;=1 ____
функционирования направляется в узел t, i = 1,М Для дали непшето нам удобно принять, что воо — 0. Согласно теореме 2.1.1 о разреживании пуассоновского потока поступающий из вне в узел г поток заявок будет пуассоновским интенсивности Ар, = Ар^ои / = 17л7.
Время обе лужпвания каждой заявки на любом из приборов узла i являете я с лучайной величиной, также не зависящей от состояния сети и ее предыстории (в том числе' от времен обслуживания этой заявки в других узлах сети, если она не поступила в узел I из внешнего источника, а перешла в него из другого узла), распределенной по экс поненцпадьному закону с параметром /с;, ? = 1. .1/.
II. наконец, мы должны указать порядок выбора заявок на обслуживание' й узлах с ети. Д гя определенности мы ограничение я здесь рассмотрением дпе цпплпны обслуживания FCFS. хотя изложенные ниже результаты справедливы и для ряда других дисциплин.
Перейдем теперь к опт анпю маршрутизации заявок в сети. По-<ле окончания обслуживания в узле , с вероятностью О,,, опять-таки нс* зависящей от состояния с ети и ее* предыстории, заявка мгновенно _ \1
Переходит в узел /. с, / = 1.Л/, и с вероятностью Со = 1—^2 _______ / е = |
I — 1, 1/. покидает сеть. Матрица вц = (0,,), г_ЯГ\1 является сто-хас тичес коп и на пяваетс я матрицей переходов. с с уществляемых на МНоЖсстве Al,, = {(). 1...., А/} узлов с ети. или маршрутной матр'11* цсй. На всем протяжении этой главы будем считать, что матрица С-)» неразложима. Физически свойство неразложимости матрицы Но означает, что поступающая в СеМО заявка с ненулевой всроятно-с тью может пос ле некоторого числа переходов попас ть в любой узел сети. Кроме того, пос кильку хотя бы один элемент ну левого столбца неразложпмоп матрицы (-)(> отличен от нуля, то любая заявка в конце концов покидает с еть.
§ 1. Описание класса, сетей
501
Определенную таким образом СеМО в дальнейшем условимся обозначать как
,Vo(Af) =< А/,00, Ао,п„Г, = оо,FCFS, г = Т^М > .
Описав характерна тики входящего потока заявок, времен их обслуживания в узлах и законы перехода маршрутные матрицы, т.е. исходные данные СеМО, перейдем к рассмотрению потоков, циркулирующих в сети
Пусть А,, интенсивность потока заявок из узла с в узел ].
___ Л/ м
I, ) — 0, Д/, Адо = 0, а Л, = А., = ^2 А,, и А, = А,7 обозначают,
J=o J=o
< оответс гвенно, интенсивности суммарного поступающего в узел I и суммарного выходйщего из него потоков заявок. Мы будем рассматривать стационарный (равновесный) режим функционирования СеМО. Об ус ловии, при котором стационарный режим сущес твует, будет с казано нес колько позже1 В с тационарном режиме интенсивности пос туйающего на узел с и выходящего пз него потоков заявок должны с овпадать. поэтому введем для этих интенс пвностеп общее1 обозначение1 А,, т.е А, = АА,, 1 = О, Д/. Тогда имеем
x,j = x,etl, £,7=ЩМ. (1)
Суммируя теперь равенство (1) по / = 0.1.Л/, получаем систему
уравнении равновес ия для интенс ивнос теп потоков, циркулирующих в с ети:
м
а, = £ад„ (2)
|=о
Так как 0О стохастическая неразложимая матрица, то однородная система уравнении (2) относительно неизвестных A,, j = = О, М, имеет порядок Д/ + 1 п ранг А/ (заметим, что система уравнении (2) с точностью до нормирующего множителя совпадает с СУР для некоторой цепи Маркова, порождаемой матрицей переходов 0о и множеством состоянии ЛДо = {0,1,... ,Л/}). Тогда все неизвестные в (2) можно выразить через одно из них, например через Aq. Следовательно, при заданной интенсивности Ао внешнего потока интенсивности AJ5 ; = 1,М, строго положительны и находятся из (2) единственным образом.
Следует также1 отметить, что САР (2) имеет место и в более1 общем случае1, когда пос тупающип из вне в узел ? сети поток заявок является рекуррентным с ФР А, (г), г = 1,М, а время обслуживания заявки на каждом из приборов узла i имеет произвольную
502 Гл. 9. СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ФР В,(.г), i = 1,Л/. В этом смысле СУР (2) инвариантна относительно вида ФР _4,( ।) и В,(.с) при фиксированных средних временах а, между поступлениями заявок и Ъ, обслуживания заявки в узле ,
Бернеме я с нова к матрице переходов (-)0. Помимо этоп матрицы нам также понадобится се подматрица (-) = (#,,), )=у~п
Расс мотрпм теперь процес с блу жданпя некоторой заявки в множестве М = {1,2,.... М} узлов с стп. начпнающипс я с момента поступления заявки в с еть и заканчпвагбщппс я в момент ее выхода из сети, принимая при этом во внимание лишь собственно переходы между узлами, происходящие, как мы будем считать, через единицу времени (через один шаг). Пусть //„ номер узла, в котором заявка находитс я на п мшаге. Тогда {,/„, п > 0} образует однородную поглощающую цс'пь Маркова с матрицей! переходов (-)0 и множен твом состоянии Мо = {0 1,2,..., .1/}, где' с ос тояние 0 являете я поглощающим,^?.о. попадание заявки в состояние' 0 означает ее уход пз с стп (возможно, было бы правильнее выдс'лпть два с ос тоянпя. ()„ пс ток и 0/, сток, но мы, не' углубляясь в этом направлении, будем с читать, что 0„ = О/, ~ 0, т.е. заявка приходит пз вне и туда же уходит).
Обозначим через V,, среднее число посещении заявкой у .зла / до ее ухода пз с стп (поглощения в узле 0) при условии, что процесс блуждания заявки по сети начале я с узла i, i, ) = 1, АГ Ясно, что вероятность Р{//() = этого условия равна i = 1..1Г
Величины V,, удовлетворяют следующим соотношениям:
1/
+ г./= 07. (3)
Действительно, для того чтобы вычислить N,,. нужно прибавить к вкладу в число пос сщенип заявкой узла /, которое даст начальное состояние цепи, вклады последующих шагов. Однако вклад начального состояния отличен от 0 и равен 1 только в том с тучае. когда i = j; этот вклад отражает первый член в правой части На следующем шаге заявка попадет в узел Z и. е ледоватсльно, в с илу с вопства марковости вклад этого с ос тоянпя равен Лд , и нс- завис пт от вклада предыдущего шага. Суммируя по всем состояниям к = 1,2. приходим к (3).
1 Запишем теперь (3) в матричном виде:
2V = / + (-LV (4)
Так как (-) главная подматрица неразложимой с тохае тпчсс коп матрицы (~)0, то матрица I — (-) обратима ([80, 81]). причем
• . (5)
1 Описание масса сетей 503
Поэтому из (4) получаем, что iv = (i-e)-1. (с)
Матрица eV называется фундаментальной матрицей поглощающей цепи Маркова {)/„, и > 0}
Заметим, что из (4)-(С) с ледует равенство О Л’ = ЛГО Учитывая это равенство, соотношения (3) можно переписать в виде
\1
A-(J = + £М=ЦЙ (7)
А;=1
м
Введем Теперь величину h3 — 52 имеющую смысл сред-7=1 ___
него числа посещении заявкой узла j до ее выхода из сети, ] = 1Л1 Тогда, умножая обе части равенства (7) на #ог п суммируя по ? = — 1,2, .,М, получаем, что величины hj. j = 1,М, удовлетворяют следующей с истеме уравнении.
г ' \1
I'j-Ooj + JJh’fy' / = (8)
7 = 1
Далее, определим векторы А ' =(А|. . А\/), 0(! =(001, -.0сш),
А() = Ао$о и /in' = (/р. -hut) Тогда системы уравнении (2) и (8) в матричной саппс и примут вид
А'(1-О)= А,; . /?(1-О) = 0о'. откуда с ледует, что
A' =A0'(I-O)-1 =AJ\V. (9)
У' =0от(7-О)-1 =0q'W. (10)
Сравнивая теперь формулы (9) и (10), приходим к равенству
\=А0/;.,, ./ L.W (11)
Так как А, > 0, j = 1,М, и Ап > 0, то из (11) вытекает, что /с, >0, j = EI7
Формул} (11) можно было бы получить, исходя из следующих качественных рассуждении Среднее число посещений заявками узла j за время 7, с одной стороны, равно АД, а с другой среднему числу Xot поступлении заявок в сеть за время Z, умноженному на среднее чис'ло hj посещеции узла / каждой из поступивших в сеть заявок
504
Гл. 9. СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЕ
Введем теперь величину /)0. равную среднему числу посещении заявкой У зла 0 пос ле выхода ее пз с етп. Яс но, что. с одной < тороны. Л() = 1. С дрдт'оп стороны, подставляя (11) в (2) при / = 0 получаем
\1
= = (12)
1=1
Заметим, что равенства (8) и (12) можно объединить, п тогда они запишутся в виде
М f
h, ) = 0.Л/. (13)
/=о
При этом при решении системы (13) нужно учитывать, что Ло = 1.
1.2. Замкнутые СеМО
СеМО в которой в множестве' At = {1,2,.......11; узлов сети
постоянно циркулируют А' одних и тех же заявок, называется замкнутой.
Так же. как п для открытой сети, будем считать, что узел i замкну тон с етп представляет с обои многолинепную СМО с ч, идентичными приборами и накопителем емкости г, > К. порядок выбора заявок из которого определяется диецпппинои FCFS. Мы сохраним в действии И предположение о том, что ФР времен обс луживания заявок на люб<>м_приооре узла с являетс я экспоненциальной с параметром // с 1.1/ Маршрутизация заявок в с ети, по-прежнему, будет определяться вероятностями перехода 9,г /. / = 1, 1/. При
I/
этом учитывая, что заявки нс покидают сеть, имеем ^3 9,} — 1> ______3 ./=1
I = 1 1/. Так же будем предполагать, что маршрутная стохастическая матрица (-) = (9,,), !~Y~m является неразложимой. Замкнутую СеМО с описанными выше’ параметрами условимся обозначать как
л: (.1/, А) =< М, А, (-), /!,, /!„,,> А. FCFS. i = Т. 17 > .
Рас с мотрим теперь какой либо выделенный узел /* замкнуто i СеМО и по аналогии с открытой сетью рас смотрим процес с блуждания некоторой заявки, который начинаете я с момента ее- пос тупле-ния пз узла i* в какой-то другой узел i и заканчиваете я при ее возвращении в узел i*. Это блуждание может быть опш ано однородной поглощающей! цепью Маркова {//*. и > 0} в’множестве состоянии М с поглощающим состоянием с*. Положим АГ = At \ {'*} Тогда роль матрицы (-) в открытой сети здесь бу дел' играть матрица (-)* = (#,,),., а роль 91() вероятность 0,,-. Введем теперь. как и ранее1, величину А, среднее' число посещении заявкой
о 2. Открытии >»< поненциалъ'ные сети 505
х зла /, j Е М*. на интервале времени между с ос одними пос «нениями! узла I*. Очевидно, что если включить в рассмотрение поглощающее состояние I*, то необходимо положить /р. = 1. Повторяя полностью все расхождения, проведенные выше для открытой сети, получим, что величины /су, j — 1,М. удовлетворяют следующей системе уравнении (аналог системы уравнении (13)).
м
(14) i=i
Так кек узел I* может быть любым пз множества М. то в общем случае' система уравнении (14) имеет решение /у > 0, j = 1,4/, определяемое с с точностью до произвольной постоянной, а приЛик спрованном узле /*, как уже1 было сказано, /;,• = 1, и тогда решение (14) находится однозначно
§ 2. Открытые экспоненциальные сети
Основным результатом настоящего параграфа является доказательство теоремы Джексона о том что совместное1 стационарное распределение чисел заявок в узлах открытии экс поненцпачьнои сети прсдс тавпмо в виде произведения маргинальных рас пределе нии этих чисел, причем маргинальные распределения определяются по тем же с амьш формулам, что и для обычной с истомы М/М/и/ос.
2.1. Мультипликативное предстайление стационарного распределения числа заявок в узлах
Обратимся снова к открытой экспоненциальной СеМО, описанной в п.1.1. Обозначим через и,(А), i = 1, 1/. число заявок в узле с в момент t и положим ;7(1) = (;/1 (f).;<д/(1)).
Рассмотрйм случайный процесс t > 0} Множество со-
стоянии этого процесса имеет вид
Д’= {Г = (Ад,..., А-л/), А:, > 0, г = 1,А/}.
Состояния множества Д’ имеют следующий смысл: если /7(/) = = (ki,....k\i) в момент t, то в этот момент в узле1 1 находится Ад заявок...в узле М- Ад./ заявок (заметим, что, вводя P\t) и А,
мы отступили от ранее1 принятой записи вектора-строки, поскольку векторные обозначения v(t) и А здесь носят скорее символический характер).
Так как рассматриваемая СеМО согласно описанию относится к клас с у экс поненцпапьных с степ, то определенный такйм образом
506 Гл 9 СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
процесс {'?(/), t > 0} будет марковским и однородным Следовательно, для нахождения показателен производительности сети мы можем снова использовать аппарат марковских процессов с непрерывным временем и дискретным множеством состоянии Мы рассмотрим лишь стационарный редким функционирования сети поскольку только в этом случае имеет место доказываемая ниже iec> рема Джекс она
Итак, предположим, что существуют предельные (стационарные) вероятное тп
р(Н Л.м) = Р{''(0 = (^1- *w)}
Об ус ловпп эргодпчнос тп прп котором эти вероятное тп с у щс с тву -ют, МЫ скажем несколько позже Для уйрощения записи в дальней шем будем также1 ис поль совать обозначение р(А) = р(1 . А \/)
Выведем С5» Р которой удовлетворяют стационарные’ вс роятно-стп p(k). £ А’. Для этого нам потребуется ввести некоторые* до-
полнительные' величины характеризующие функционирование с ети Положим р, = XJp,. -ц0,) = пип(А, и,) и р,(А,) = //,'/,(А ) Величина р, есть загрузка одного прибора узла /, *},(А,) представляет собоп чпе то одновременно работающих в момент А в узле i прпооров при уч ловпп. чго в данный момент времени в этом узде пме етс я А, заявок, а вс-личина р, (А,) имеет с мыс т интенсивности обслуживания в .узле' I прп том же самом ус ловпп (см 'j 3 2)
Теперь мы подготовили вс < для того чтобы выппс ать С5» Р Для ее с оставления воспользуемся принципом глобального палаша- для каждого состояния А £ А’ найдем поток вероятное теп выхоЛЯЩПИ пз этого состояния и поток вероятное топ, входящий в нел о с сатем приравняем этп потоки
Выити пз состояния А = (Aj . А(. Ом) мы можем либо за
счет поступления в сеть заявки из вне- (с интенсивностью Ао) либо за счет окончания обе лужпванпя заявки в узле с и ее- ухода пз этого узла в какой-либо другой узел или вообще- пз с ети (с пнтенс пвнос тью /с,(А,)(1 — 6,,)), тогда суммарный поток вероятностей выходящий _ -> f v
пз с ос тоянпя А . бу дет равен р(А) Ау + ^2 /б(^ /) (1 —
L >=1
Посмотрим теперь, как можно воптп в состояние А Прежде вее’го, это можно ос ущес твить за < чет пос ту пленпя заявки и » вне в узел i (с интенсивностью А0АА0,) прп условии, что в нем находи лось А, — 1 > 0 заявок, i — 1,А/ суммарный поток вероятное геи в м _
этом с пу чае равен Ао ^2 '[’О'—У) и(А,). Здес ь, по-прежнему о('
§ 2. Открытые экспоненциальные сети 507
функция Хевпсапда, а через е, мы будем обозначать вектор размерности Л/, все компоненты которого равны 0, кроме г-н компоненты, равной 1. Далее, в состояние к можно попасть в случае, если в узле I заявка обслужптся и уйдет пз сети при ус ловии, что в узле г было А, + 1 заявок (это происходит с пнтенс пвностью//,(А, + 1) 0,о); тогда суммарный поток вероятное теп за счет ухода заявки пз сети равен
V
)>, р(А 4-е,) /е,(А, + 1)0,о Наконец, в с «стояние А можно попасть, ес ли ,=|
заявка обе тужите я в узле г и перейдет в узел j при условии, что в узлах I п ) сбыло kt + 1 и А, — 1 заявок с оответственно (такой переход осуществляете я с интенсивностью р,(А, + 1) в,,); в этом случае с уммарный поток вероятностен за счет перехода заявки пз одного \1 м
узла в другой равен Х2 У? + С ~ G) А'«(^с + 1) в, с=1 у=1
Приравнивая с уммарные потоки вероятностей, выходящий из состояния А и входящий в нет,о, получаем следующую ОТ:
Л/ м
р(?) j^A0 + " /б(^с) (1 — ^>?)J = Ао p(k — <,) 0о,«(А,)+ с=1 1=1
” /
+ ^~~~Д'(А‘ + '1)Рi(^'i 1) ®<o+
c=l
м м
+ 5252р(^ + су-с-7)/4,(А,+ l)0,/(e(AJ. к e Д’. (1)
>=1 7=1 j/-
Наидем теперь решение' этой СУР. которое как раз п определяете я с помощью уже' упоминавшейся выше’ теоремы Джекс она.
Теорема 1 (Джексона). Если в открытой однородной экспо ненцпальноп с етп
А'О(А1) =< .U, е0, Ао, //„ 1, = ос, FCFS, i = TJl >
матрица О нерлзложпмл и выполнено у<ловие р, < /с,, I. = 1, Л/, то процесс {/7(A). А. > 0} является эргодпческпм, а его стационарное распределение р(к). k е Д’, предстаипяется в мультипликативной форме:
м
....Av) = n^<A-)- (2)
508
Гл. 9. СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
где
При этом
Доказательство теоремы мы проведем, воспользовавшпс ь понятием частичного баланса (напомним, что. в отличи»' от глобального и локального балансов, выполняющихся всегда, частичным баланс требует обое нования в каждом конкретном случае')
Предположим, что для рассматриваемой СеМО выполняются два типа частичных балансов. Для час тичного баланса первого типа будем считать, что для каждого состояния к g Л’ равны потоки вероятностей: выходящий из с остояния к за счет поступления заявок из вне и входящий в него за с чет окончания обслуживания заявок в узлах сети и их ухода пз нее. Такой частичный баланс приводит к сие тем»' у равнении
Л/
р(к)Хо = ^>^р(к + <,) р,(к, + 1)9,о, Г £ Л . (5)
с=|
Частичным баланс второго типа отражает равенство для каждого состояния к = (к j,..., к,,..., км) gzV и каждого узла /, / = 1, Л-/, потоков вероятное теп: выходящего из состояния А за с чет окончания обслуживания в узле ?' и входящего в состояние к за е чет окончания обслуживания заявки в узле' j и перехода ее в узел с ГЗ этом случае' уравнения частичного баланса имеют вид
р(к) р,(А-г) (1 - 0гг) = р(А - е,) Х()9о,ч(к,)+
л/
+ р(£+с, — еД + 1)0,,и.(А',), / = 1..П. кеА'. (б)
,с=|
Легко видеть, что просуммировав уравнения (6) по i — 1.2. ..., Л/, а затем сложив результат с (5). получим исходную СЛ Р (1) Поэтому, ее ли мы сможем найти решения каждой пз с ис тем (-5) и (б) (час тичных СУР), а потом покажем. что эти решения с оглас уются
§ 2. Открытые экспоненциальные сети
509
между собой, то, естественно, они будут также и решениями СУР (1)-
Заметим, что, вообще говоря, условие согласованности решении частичный СУР является достаточным ус ловием существования решения уравнений глобального баланс а, однако это условие не является необходимым.
Таким образом, наша задача свелась к тому, чтобы найти согласованные решения систем уравнении (5) и (6). Оказывается, эти решения как раз и задают формулы (2)-(4). Ниже мы покажем это.
Прежде всего заметим, что при фиксированном i = 1,М формулы (3) и (4) определяют стационарное распределение числа заявок в СМО М/М/п,/оо с пуас соновским входящим потоком интенсивности А, и экспоненциальным рас пределением времени обслуживания с параметром р,, одним и тем же для любого прибора. Тогда согласно §3.2 для такой СМО имеют место уравнения локального баланса
Агр,(Лг) = р,(кг + l)p,(k, + 1), k, > 0, г = 1,М. (7)
Из (7) с учетом того, что по предположению р(А) >0 А 6 Л', получим следующие соотношения:
р(А--е.) = /ф); k 7=T3Jj p(k) X,
p(k+ej) = X, p(fc) lli(k, + l)
(8)
p(k + с, - e,) _ Xp p,(k,) p(k) //j(^./+1)
k, > 1, , /, /,/1.1/.
Поделим теперь обе части равенств (5) и (6) на />(/•) п воспользуемся соотношениями (8). В результате после соответствующих сокращении получим следующие равенства:
(9)
/1.(М (1-£)„)='^^А()0о, + £ Лк,)е,^ кеХ, i. = XM. (10)
.//'
При к, = 0 в силу того, что /1,(0) = 0. равенства (10) обращаются в тождества. При к, > 0 имеем, что р,(к,) > 0, поэтому, умножая обе
510 Гл. 9. СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
части равенств (10) на А,//г,(Л,). приводим их к соотношениям
И
А, = Ао^о, -И Ayl9/f, г = 1. Л/,
)=1
являющимся, так же как и соотношение (9). не чем иным, как уравнениями для стационарных интенсивностей потоков, пирке тирующих в сети. Таким образом, подставляя (3) и (4) в частичные СУР (5) и (С), мы получили тождества. Следовательно, (3) и (4) являются также» и решением СУР (1).
Далее, заметим, что формулы (2) и (3) дают положительное' решение' СУР (1). Это решение' будет также и ограниченным, если ряды Р;(А-;), i = 1, М. сходятся, что имеет место при выполнено
нип условия р, < и,, I — 1. 1/(см §3.2). Принимая это во внимание, а также' учитывая, что все1 е ое тояния СеМО сообщайте я между собоп. согласно теореме 15.4 получим, что процесс / > 0}
являетс я эргодическим. Тем самым теорема, доказана.
D заключение' этого пункта сделаем замечание' к теореме' Джексона. Пз этой теоремы, нес первой взгляд, можно быдо бы < делать вывод о том. что в стационарном режиме' узлы сети функционируют независимо как отдельные' СМО М/М/п,/оо с пуассоновскими входящими потоками интенсивное теп А,, / = 1,Л/. Но это, вообще говоря, не так. Вероятностные' характеристики узлов, такие как времена пребывания заявки в отдельных узлах, могут сбыть зависимыми и, более' того, циркулирующие' в сети потоки могут не бьггь пуас соновс кимп. Поэтому о незавпе пмос тп функционирования узлов сети в таком случае' говорить нс' приходится, и она является только кажущейся. Мы не' будем углубляться в обсуждение' этой проблемы. отсылая читателя к с пециаяьноп литературе (< м , например. [27]).
2.2. Показатели производительности сети
Так как стационарное' распределение р(А) представляется в мультипликативной форме (2). то это позволяет относительно просто вычислять показатели производительности отдельных узлов, а также1 некоторые с с'тевые характеристики. В частности, вероятность простоя узла i сети равна р,(0), среднее- число А, заявок в узле i определяется формулой (3.2 6) (с добавлением индекса i к параметрам А,// и п), а с роднее время », пребывания заявки в узле i находите я из формулы Литтла
А,О;=А',, 1.1/ (П)
3. Замкнутые эк^ноненцисеаъны.е сети 511
справедливость которой можно показать на основе простых качественных расе ужденин
Очевидно, что суммарное среднее число N заявок в сети можно получить по формуле м
' = (12)
г—1
Тогда суммарное среднее время г пребывания заявки в с ети (средне е время отклика) опять же можно найти пз формулы Литтла
Аог- = N. (13)
Физический смысл равенства (13) вполне прозрачен. Строгое его обоснование см в [27].
§ 3. Замкнутые экспоненциальные сети
В этом параграфе доказываете я теорема Гордона-Ньюелла. яв ляющ<1яся аналогом теоремы Джекс она для замкнутой экс поненцп-альнои СеМО Оказывается, однако, что при вычислении показателей производительности замкнутой сети наибольшую вычислительную сложность прсдставпяст нахождение нормирующего множителя. Поэтому здесь мы приводим также один пз возможных методов вычисления этого множителя
3.1. Мультипликативное представление стационарного распределения числа заявок в узлах
Обратимс я с нова к замкнутой экс поненциальноп СеМО. оппс аннон выше, и изучим процессы очереден в узлах с ети Сохраним обозначения §’ 2 для м,(1) /7(/), /, и других величин Тогда случайный процесс {,7(1). t > 0}. описывающий функционирование замкнутой СеМО
X (W, К) =< М, К О //,, п,, г, > к, FCFS, I = 1, М >, является однородным Маркове ким процес сом, определенным на мно-жес тве состоянии
Л’(М. К) = U = (*i - М, »=1]Л7. А.=Л} (1)
Физический смысл состояния А = (A j, ., A v) такой же, как и в § 2.
Число состоянии в (1) конечно Кроме того, по предположению, матрица О неразложима, и, следовательно, все состояния в (1) сообщающиеся В силу этого марковский процесс {/7(f). t > 0}
512 Гл. 9 СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
является эргодическим. Поэтому существуют стационарные вероятное тп р(А ) > 0, к € Л'(Л7, 7\ ), которые удовлетворяют следующей СУР:
м
м м
= У7 У?р(^ + ~ fS)/б(А-, + i)6 <Г(МК), (2) 1=1 ,= 1
< ус ловпем нормировки
Е =1 (3)
ке у(лг,к)
Вывод СМ’ (2) практически не нуждается в пояснении, потому что он аналогичен с лучаю открытой с ети, за тем лишь ис ключением, что здесь нс1 нужно учитывать потоки вероятностей, связанные с приходом заявок пз внешней среды и уходом в нее, так как таких потоков в замкнутой с ети попросту не существует.
Сформу тируем теперь основной результат теории замкнутых однородных экс поненцпальньрс сетей, фактически определивший дальнейшее направление ее развития.
Теорема 1 (Гордона Ньюелла). Если в замкнутой однород-ноп эк< поненшАпьноп (ети
X, ( U. К) =< М, АХ). /с„ и,.> К. FCFS, > = 1717 > матрица переходов (-) неразложима. то с тацпонарнос распределенпе р(А). А £ ,1'(1/. А ). предс тавлястся в мультипликативном виде
Л1 ,к,
= их(м,к), (4)
где с/, = Ip/p,, //,. I = 1.1/. некоторое положительное решение А
спс темы уравнении (1.14), В,(А) = 7;(А), А > 1, и 3,(0) = 1- а
j = i
нормирующая константа определяете я из условия
' С(М’Л>= у Пйду (5)
Aga (\l А) '='
Для краткости в дальнейшем вместо Л’(Л/,А) будем писать прос то Л', хотя в ряде1 случаев нам придете я, исходя пз контекста, употреблять п полное обозначение
§ 3. Замкнутые экспоненциальные сети 513
Доказательство. Мы уже убедились, что здесь имеется определенная аналогия в записи СУР и представлении ее решения с* открытыми сетями. Поэтому возникает мысль продолжить эту аналогию и при доказательстве теоремы. А именно: предположим, что для замкнутой сети также имеет мес то час тичный баланс, отражающий равенство потоков вероятностей: выходящего из узла j за счет окончания обс луживания в нем заявки и входящего в узел;/ за счет окончания обслуживания заявки в узле г и ее перехода в узел i — 1,М, г ]. Равенство этих потоков приводит к следующим уравнением частичного баланса:
м
р(£)аь(а’?) (!-^) = У p(^+f<-6)/'<(A,-i-i)6'8J«(A)), ./ = 1,Л'Л ГеЛ’. г=1
3&
(С)
Очевидно, что, суммируя обе части (б) по j = 1,2,. , Л/, приходим к СУР (2). Поэтому, если после подстановки (4) в (6) получим тождество, то тем самым мы обратим в тождество и (2).
Подставим теперь (4) в (6), предварительно поделив обе части (6) нар(А'). В результате после очевидных сокращении получим
= ^1737. ke.v.
Вспоминая, что р,(А',) = /бр/А,), а у,(А,) = min (А-,-./»,), при А', = О получаем тождество. Если k-j > 0, то, учитывая, что с/, = h jft, и /1, > 0, и производя дополнительные < окращенпя, приведем последние равенства к виду
* м
hAi-о.л = V h,e,.. j = te,r.
, 1=1
откуда очевидным образом приходим к равенствам (114) Следовательно, мы получили тождес тво и тем самым доказали теорему.
Внешне простые и математически красивые формулы (4) и (5) имеют своп слабые- места. Прежде всего, для расчетов по этим формулам нужно решить систему линейных алгебраических уравнении (1.14), которая может иметь большой порядок для сетей большой размерности. Однако эта трудность часто бывает преодолима в силу простои структуры матрицы 0. Гораздо более- с ерьезная проблема возникает при расчете нормирующего множителя G(.M, К).
514 Гл. 9. СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Число состоянии множества Х(М, К) равно и оно быстро
увеличиваете я с ростом М и Л'. Уже при М = 5 и Л' = 10 это число равно 1000, а при Л' = 100 и таком же числе узлов оно равно 5 10ь. Ясно, что непосредс твенный расчет G(M, А’) по формуле (5) производить неразумно и для вычисления нормирующего множителя необходимо иметь простые и эффективные алгоритмы, позволяющие экономить как память ЭВМ, так и машинное время. Разработке- таких алгоритмов посвящено огромное число публикаций (подробнее см. [7, 18, 36]). Ниже- мы изложим один из подходов к расчету нормирующего множителя, в определением смысле являющийся классическим.
3.2. Метод свертки для расчета нормирующего множителя
Рассмотрим сначала замкнутую СеМО с однолинейными узлами, т.е. при п, = 1, i = 1,М. В этом случае 7,(fc,) = 0, если к, = 0, и 7,(7,) = 1, если к, > 1. Следовательно, Д(&) = 1 для к > 0. Тогда согласно теореме- Гордона-Ньюелла
Л/
р(Г) = G-' (М, К) П <1-‘, к е х(м, К), (7)
1=1
где нормпрующпп множитель находится из условия
м
G(M,K)= £ (8)
Ге т(Л7,/\)г=1
Введем вспомогательные множес тва X(т, к) = {к = (/,], . . .. к,„).
А, > 0, / = 1, ш, к.=к}, /п = 1,Л/, к = 1, А', и функции
с/(ш,/,-)= m = к — 1.К. (9)
Ге.г(<»Л-)1=1
Очевидно, что д(т,к) является нормирующим множителем СеМО N,(m,k) с т узлами и к заявками. Нам потребуются еще и гра ничные значения для с/(ш к) при п» = 0 пли 1- = 0. Если к = 0, то Д’(ш.,0), > 0, состоит лишь из одного нулевого вектора
к = (0,..., 0) размерности т, поэтому из (9) следует, что
с/(ш,0) = 1, in = 1,М. (10)
Далее, если ?п — 0. то Д'(0. к) не содержит ни одного вектора, и в этом случае следует принять
<7(0, А) = 0, к = (ГК. (11)
§ 3 Замкнутые экспоненциальные сети 515
Представим теперь множество Х(т, к) для фиксированных in и к как разбиение двух нелерес екающихся множеств
Л'о(-т, к) —{к = (kt,...,к,„), к,>0, i = — 1, к.=к}
и
Л'1(т, к) == {fc = (ki,..., кт), к,>0, г = 1,т—1, к,п>1, к — к}.
Тогда (9) запишется в виде
т in
дМ= £ 1И’+ Е IK'- <12>
кеЛ0(т,К) ’=' к^Л\(т,к) !=1
Так как в первом слагаемом в (12) векторы к имеют вид к =
= (fci,...,fcm~i,0), то П4’’ = П и, следовательно, оно мо-г=1 i=i
?п— 1
жет быть записано как 52 П А это есть нс ’1ТО иное, ГеЛ(?п—i,A‘)
как д(т — 1,к) Рассмотрим теперь второе слагаемое в (12) и сделаем в нем замены: к'т = к,„ — 1, а затем к„, ~ к'т. Тогда получаем, что Xi(m,k) = Х(гп,к — 1), и второе слагаемое приводится к виду d,„ 52 ПС’ Следовательно, согласно определению с/(т, Л)
AgA'(m,fe-l) !=1
оно равно dmg(m, к — 1).
Таким образом, мы получили, что
g(m, fc) = д(пг —!,&)+</„, </(?n, А-—1), т=1,М, к = 1,К. (13)
В силу того, что с/(Л/, К) — G(M, К), формула (13) вместе1 с начальными условиями (10) и (11) определяет рекуррентный алгоритм вычисления нормирующего множителя G(M, К), известный как алгоритм свертки или как алгоритм Бузена (см., например, [7, 18]).
Всего для вычисления нормирующего множителя G(M, К) по этому алгоритму надо выполнить МК умножений и МК сложении. При организации вычислении достаточно хранить в памяти ЭВМ всего лишь К величин: К — к величин c/(m — l,j), / = к + 1. А, и величины д(т, j), j =? 1. к.
Перейдем теперь к общему случаю многолинеиных узлов, т.е. nt >1, г = 1,М. Введем дополнительно функции
/7^ _____
^<А’) = TTTjpV’ 1 = 1’М’
Рг I )
516 Гл. 9. СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Кроме того, по аналогии со случаем однолинейных узлов снова рас_ смотрим множества А’(т, к) и функции
д(т,к) = т — 1,М, к = 1,К. (14)
ArCz.Vfm,/,)
Очевидно, что граничные условия д(т, 0) и </ (0, к) для этих функций задаются формулами (10) и (11).
Для фиксированных т и к представим множество Л'(п/,А') как разбиение А’+ 1 непересекающпхся множеств
A’i = {k = (Aj,..., A',,,), fc,>0, г = 1,т—1, кщ=1, к.=к}, 1 = 0,к. Делая замену к'п1 = kta —I, а затем, переобозначая кт = к'„, получим, что Л) = Л’(ш — 1, к — /). Тогда (14) можно записать в виде
к лп—1
c;(w,Z) = £/m(7) £ П /’(А’')-
1=0 кеЛ'(т-1,к-1) 1=1
Однако по определению
ТГ) — 1
52 П = (^т ~11 к ~ 1>>-
l> € V(n»— 1Л—I)
Поэтому окончательно получаем
к
д(ш.к) = 52/,„(/) </(/>/ -1Д- -/). т = ГМ, к = УК (15) 1-0
Так как д(М,К) = G{M,K), то формула (15) вместе с начальными условиями (10) и (11) определяет рекуррентный алгоритм расчета нормирующего множителя G(M. К) в сети с многолпнеи-ными узлами. Можно показать, что общее число арифметических операции, необходимых для вычисления G(7l/, Л'), имеет порядок (71/ — 1)(Л + 2)~. Мы предлагаем читателю обосновать это самостоятельно.
3.3. Показатели производительности узлов сети
Так же, как и для открытой с ети, представление с ташюнар-ного pat пределенпя />(/. ), к g А’(М, К), в мультипликативной форме значительно облегчает вычисление различных с тационарных характеристик отдельных узлов. Однако по сравнению с открытой сетью, когда некоторые характеристики узлов вычисляются по уже известным формулам для многолпнепных СМО, в случае- замкнутой сети рас четные формулы для характеристик узлов еще нужно
§ 3 Замкнутые экспоненциальные сети 517
вывести. Ниже мы займемся этим. С этой целью введем многомерную случайную величину (£i,.--R.w) с распределением вероятностей р(А), k g Л'(7И,К). Для вычисления стационарных показателей производительности узла г необходимо знать маргинальное распределение />,(/ ) = PR, = к}. к = О, Л'.
Остановимся сначала на случае однолинейных узлов и рассмотрим вероятность
P{e,>k} = G-\M,K) £ Jp*’
к£Лг(М,К) kt>k
Делая замену к[ = k, — к. а затем кг = по аналогии с предыдущим пунктом получаем
PR, >k} = G-l(M,K)^ £ ]р'
ke.x(M,K-k)J=‘
Но сумма в правой йасти согласно (9) равна д(М.К — к), поэтому окончательно имеем
Р«'гц = /'!С(М^-- ^<1. - = СТ. (16) Отсюда, учитывая, что
PR, = А-} = PR, > А} - PR, > А- + 1}, к = бТЛ, PR, = А} = PR, > А'}, находим выражение для К (А1):
„ /О - р/r — И — ^[g(M,K-k)-U(K-k)d,g(M,K-k-l)] РЛк) - PR, — А} — С(ЛДА-) ’
А- = 0,Х ' = (17)
где д(М,О) = 1.
Найдем теперь среднее число N, = М£, заявок в узле г:
К 1
М$ = £ ку,(к) = д-М К} [d,g(M, К - 1)-
-djg(M К - 2) + 2<Р,д(М, К - 2) - 2с/р(Л/, А - 3)+
+ • • • + (А' - 1) d‘'-'g(M, 1) - А с^ + (А' - 1) Й,Л].
518
Гл 9. СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
После соответствующих сокращении получаем
7\; = М^ = - / = 1,Л/ (18)
< т М К 1 £’
Определим также пропускную способность узла /. которая сеть не что иное, как интенс ивность А, выходящего из \:wi i потока заявок. Заметим, что величины А,, г = 1,Л/, удовлетворяют CAT для стационарных интенсивностей потоков, циркулирующих в < ети (см. § 1), которая формально может быть получена пз (1 7) при в,о = 0. г = 1,А/. Однако эта система уравнении фактически не дает возможности определить интенсивности Аг, так как ее решение определяется с точностью до константы 1И только тейерь, найдя маргинально^ распределение- р,(А), К = 0, А'. мы можем наптп А, но уже пз других с оображенпп, подобных тем, которые мы пс пользовали для нахождения интенс пвнос тп выхода для обычных СМО. Действительно,‘питенс пвнос ть А, выхода пз узла i равна интенсивности р, обслуживания в узле г, умноженной на долю времени, в течение которого прибор узла ? был занят обслуживанием равную 1 — /у (0). Таким образом,
А, = р,[1 -р,(0)], г = 1,М,
откуда, принимая во внимание- формулу (16) и равене тво с/, = //,/д,, окончательно получаем
су(М,А-1) G(M,K)
г = 1,М.
(19)
Теперь мы можем нартп с реднее время V, пребывания заявки в узле г, ис ходя пз формулы Литтла
Ж=Ж г = 1,М. (20)
Справедливость формулы Литтла в этом случае нетрудно обосновать на качественном уровне, хотя существует и строгое- ее- доказательство, которое мы эдес ь нс- приводим.
Перейдем теперь к общему случаю много линейных узлов и выведем сначала выражения длярдДА1) = Р{£д/ = А}. Повторяя снова рассуждения предыдущего пункта, получим
1 М
Ге 1 (А/,А) 7-]
ШУ
G(M, К)
M-l
Е П /(*.)•
Гб1( 11-1 Л-/,) 1=1
Отсюда, учитывая, что сумма в правой час тп последнего равенства равна — 1,Л — к\. получаем окончательное выражение для искомой вероятности:
Ргу _,.ШУ<Ям-1,к-к)
Нам - А } =---------q- к--------— . А- = 0. К . (21)
Для определения вероятностен Р{£, =А} в случае, когда можно сделать перенумерацию узлов (г о М), но тогда нужно заново решать всю задачу уже фактически для другой сети. Заметим, что есть и другие способы получения маргинальных распределении для многолпнейных узлов, но мы здесь не будем На них останавливаться, отсылая читателя к специально!! литературе (см., например. [7]).
Список литературы
Учебная литература
1. Гнед<нъо Б.В.. Коваленко И.Н. Введение в теорию макового обслуживания. М.: Наука, 1966.
2. Ивченко Г.И . Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982.
3 Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М : Машиностроение. 1979.
4. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984.
5. Gelenin Е. Pujol.lt G. Introduction aux reseaux de hies d’attente. Paris: Eyrolles. 1982.
6. Medhi J. Stochastic models in queueing theory. Loudon: Acad. Press, 1991.
Монографии
7. Башарин Г П Бочаров П.П., Коган Я.Ф. Анализ очередей в вычислительных < утях. Теория и методы анализа. М.: Наука. 1989.
8. Башарин Г.П . Харксвич. А.Д. Шнгпс М.А. Массовое обслуживание в телефонии. М.: Наука, 1968.
9. Боровков А А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.
10. Боровков А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980.
11. Бочаров П.П. Однолинейные1 системы обслуживания конечной емкости. М_: Изд-во УДН, 1985.
12. Бочаров П.П., Спесивое С.С. Таблицы стационарных характеристик однолинейной системы обслуживания конечной емкос ти. М.: Изд-во УДН, 1986.
13. Броди С.М Погосян М.А. Вложенные1 стохастичес кис1 процессы в теории масс ового обслуживания. Киев: Наукова думка, 1973.
521
14. Бронштейн О.И., Духовный И.М Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных с етях. М.: Наука. 1976.
15. Волковинский МИ, Кабалевский АН. Анализ приоритетных очереден < учетом времени переключения. М.: Энергопздат, 1981.
16. Гнеденко Б.В., Даниелян Э.А , Димитров Б.Н., Климов Г П.. Матвеев В.Ф. Приоритетные системы обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1973.
17. Джейкуол Н. Очереди с приоритетами.—М.: Мир, 1973.
18. Жожикашвши В.А.. Вишневский В М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ.—М.: Радио и <вязь, 1988.
19. Иванов Г.А. Длина очереди приоритетных систем обслуживания в нестационарном режиме обслуживания. М.: Изд-во МП', 1973.
20. Климов Г.И Стохас тические сис темы обслуживания. М._ Наука, 1966.
21. Климов Г.П., Мишкой Г.К. Приоритетные' системы обслуживания с ориентацией. М.: Изд-во МГУ. 1979.
22. Кокс Д., Смит В. Теория очереден. М.: Мир. 1966.
23. Кофм.ан А., Крюон Р. Мас совое обслу жпвание. Теория и приложения. М.: Мир. 1965.
24. Наумов В.А. ’Пиленные методы анализа марковских систем.— М.: Изд-во УДН. 1985.
25 Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь, 1966.
26. Скати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов радио, 1971.
27. Уолр.тд Дж-. Введение в теорию сетей массового обслуживания.- М.г Мир. 1993.
28. Хин-чин А. Я Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963.
29. Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохастических модслеи.- М.: Мир, 1979.
522
Описок литературы
•30. Яшков С.Ф. Анализ очереден в ЭВМ. -М.: Радио и связь. 1989.
31. Cohen J.W. The single sener queue.- London: North-Holland Publ., 1969.
32. Cooper П.Б. Introduction to queueing theory. New \ork: North-Holland Publ.. 1981
33. Gelenhe E.. Puyolle G. Introduction to queueing networks. New York: John Wiley. 1987.
34. Gross D.. Harns C.M. Fundamental? of queueing theory New York: John Wiley. 1974.
35. Handbuc h dor Bedieiiungstheorie. I. Grundlagen unci Methoden / Gn< <l< nko 13 W. Komq D. (red.). Beilin- Academic Aerlag 1983.
36. Handbill h dor Bedieiiungstheorie. II. Fonneln mid andere Ergeb-nisse / G-neele nlo B.W.. Коту D. (red.). Berlin: Academic Verlag, 1983.
37. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks. New York: Hohn Wiley. 1979.
38. Morse P.M Queues, inventedies and inaintenanc e. New York: John Wiley. 1958.
39. Neats M.F. Matiix-geometric solutions in stochastic models. An algorithmic approach. Baltimore’ and London: The’ Johns Hopkins Univ. Press. 1981.
40. Newell G. Applications of queueing theory. London: Chapman and Hall. 1971
41. Peeibhu N.U. Stochastic storage processes. Queues, insurance' risk and dams. New York: Springer Verlag. 1980.
42. Тек eecs L. Introdue tion to the theory of queues. New Mirk: Oxford University Press. 1962.
Статьи
43. Башарин Г.П. Один прибор < конечной очередью и заяЛи нескольких видов // Теория вероятностей и ее прим. 1965. Т 10. Вып. 2. С. 282 296.
44 Баше/рин Г.П. Об обслуживании двух потоков < относ от ельным приоритетом на полнодоступнои с истеме с ограниченным числом мест для ожидания // Известия АН СССР. Технич кибер-нет. 1967 N 2. С. 72 86.
523
45. Беляев Ю.К. Линейчатые марковские процессы и их приложение к задачам теории надежности // Труды VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс: Гос. изд-во полит, и науч, литературы Литовской ССР, 1962,—С. 309-323.
46. Бочаров П.П. Анализ однолинейной системы обслуживания конечное! емкости с заявками нескольких видов и дисциплиной FIFO // Методы теории те^етрафика в системах связи и вычислительной тенике.—М.: Наука, 1985.—С. 51-61.
47. Бочаров П.П. Анализ системы массового обслуживания MAP/G/1/r конечной емкости // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Прикладная математика и информатика. 1995.—N 1.—С. 52-67.
48. Бочаров П.П , Громов А.И. О пуассоновской двухфазной системе ограниченной емкости // Методы теории телетрафика в системах распределения информации. -М: Наука, 1975. С. 15-28.
49. Бочаров ПП., Наумов В.А. О некоторых системах массового обслуживания конечной емкости // Проблемы передачи информации. 1977. Т. XIII.—Вып. 4.—С. 96-104.
50. Григелионис Б. О точнос ти приближения композиции процессов восстановления пуассоновским процес с ом // Литовский мат сборник. 1962. Т. 11. N 2.- С. 135 143.
51. Грчгелштш Б. Уточнение многомерной предельной теоремы о сходимости к закону Пуассона // Литовс кий матем. с борник. 1962. -Т. 11—N 2.—С. 143-148.
52. Гришечкич. С. А. Ветвящиеся процессы и системы с повторными вызовами или случайной дисциплиной // Теория вероятностей и ее прим. 1990. -Т. 35. Вып. 1,—С. 35-50.
53. Гришечкин С,А. Ветвящиеся процессы Крампа-Мода-Ягерса как метод исследования системы М/G/l с разделением процессора //-Теория вероятностей и ее прим. -1991, -Т. 36.— Вып. 1,—С. 16 33.
54. Козлов В.В, Соловьев А.Д. Оптимальная дисциплина обслуживания д.ля систем массового обслуживания // Научные труды Кубанского ун-та.—1977.—Вып. 247.—С. 33 37.
524
Список литературы
55. Нагоненко В.А. О характеристиках одной нестандартной системы массового обслуживания. I // Известия АН СССР. Техник: кибернет.—1981.—N 1. С. 187-195
56. Нагоненко В.А. О характеристиках одной нестандартной системы массового обслуживания. II // Известия АН СССР. Тсх-нич. кибернет. 1981. N 3. -С. 91 99.
57. Наумов В А. Марковские модели потоков требовании // Системы массового обслуживания и информатика. М.. Пзд-во УДН, 1987. С. 67-73.
58. Печинкин А.В. Нестационарные характеристики СМО с дисциплиной SRPT // Системное моделирование. Новосибирск’ Изд-во НГУ. 1991. Вып. 17. С. 179 186.
59. Печинкин А.В Об одной инвариантной системе массового обслуживания // Math. Operationsforsch. u. Statist. Ser. Optimization.—1983. Vol. 14.—N 3. S. 433 444.
60. Печинкин А.В. Стационарные вероятности в системе с дисциплиной преимущественного разделения процессора // Известия АН СССР. Технич. кибернет,—1980.—N 5,—С. 73 77
61. Полшв Л Н. Нестационарные характеристики одноканальноп системы с ограничением на время ожидания // Извес тия АН СССР. Технич. кибернет,—1986. N 1.-С. 174-178.
62. Севастьянов Б.А. Эргодическая теорема для марковских процесс ов и ее приложение к телефонным линиям с отказами // Теория вероятностей и ее прим. 1957. Т 2. Вып 1. С. 106 116.
63. Blondie. С. Performance evaluation of M/l-stage in an ATM switching element//Performance Evaluation. 1992.—Vol. 15. P 1 20.
64. Bocharov P.P. Sobre algunas propiedades de PH-clistribuc iones. Revista del Seminario de Ensenanza у Titulacion. 1993 Vol. IX. N 75. P. 1 16.
65. Bocharov P.P., Naumov V.A. Matrix-geometric stationarc distribution for the PH/PH/l/r queue // Elektrou. Informationsveiarb. Kyb. 1986,—Vol. 22. N 4 —P. 179 186.
66. Erlang A.K. Solution of some problems in the theory of probabilities of signific ance in automatic telephone exc hanges // The' Post Ofhc e Electrical Engineers Journal. 1917 18.- -Vol. 10. P. 189 197
525
67. Grishechkin S.A. On a relationship between proce/sor-sharing queues and Crump-Mode-Jagers branching processes // Adv. Appl. Probab—1992.—Vol. 24. P 653-698.
68. Karlin S, McGregor J. The classification of birth and death processes // Trans. Amer. Math. Soc.—1957.—Vol. 86.—P. 366 -400.
69. Karlin S., McGregor J. The differential exudations of birth bold death processes and Stieltjes Moment Problem // Trans. Amer Math. Soc.—1957.-Vol. 85.—P. 458 -546.
70. Latouche G., Ramaswami V. A logarithmic reduction algorithm for quasi-birth-and-death precesses // J. Appl. Prob.—1993.— Vol. 30.—P. 650-674.
71. Lavenberg S.S. Stability and maximum departure rate of certain open queueing networks having finite capacity constraints // Rev. Francaise Automat. Informat. Rech. Operat., Ser. Bleue.- 1978.— Vol. 12.—P. 331 -347.
72. Little J.D. A proof of the queueing formula L = A1F // Operations Research.—1961.—N 9.—P. 383 -387.
73. Lucantoni. D.M., Meier-Hellstern K.S., Nents M.F. A single server queue with server vacations and a class of non-renewal processes // Adv. Appl. Prob—1990.—Vol. 22.—N 2,—P. 676-705.
74. Naoumov V-A. Matrix-multiplicative approach to quasi-birth-and-death processes analysis // Proc. First Internal. Conf, on Matrix-Analytic Methods in Stochastic Models, Detroit, August 24-25, 1995.
75. Ott T. The sojourn-time distribution in the M/G/l queue with processor sharing // .1. Appl. Probab. 1984. Vol. 21. P. 360 378.
76. Schassberger R. The steady-state appearance of the M/G/l queue under the discipline of shortest remaining processing time // Adv. Appl. Probab. 1990. Vol. 22.—P. 456-479.
77. Simpson A Inversion of a class of matrices occurring in control system theory by an m-step procedure allied to Gaussian elimination // Electon. Lett.—1970.—Vol. 6.—N 16.—P, 500 501.
78. Yashkov S. A derivation of response'tinre distribution for q M/G/l processor-sharing queue // Probl. Contr. and Inform. Theory. 1983.—Vol. 12. -P. 133-148.
Вспомогательная литература
79. Веллман Р. Введение в теорию матриц.—М.: Физматгиз. 1969.
80. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
81. Гонтмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.
82. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1966.
83. Королюк В. С. Турбин А. Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка, 1976.
84. Севастьянов Б.А Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971.
85. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Т. 1,2 —М.: Мир, 1984.
86. Чжун Кай-Лай. Однородные цепи Маркова. —М.: Мир, 1964.
87. Berman A.. Flemmons Р. Nonnegative matrices in the mathematical sciences.—New York: Acad. Press, 1979.
88. Kato T. Perturbation theory for linear operators.—Berlin: Springer Verlag, 1966.
Оглавление
Введение...................................................3
Глава 1. Вероятностный аппарат теории массового обслуживания...............................................8
§ 1. Характерпстичес кие преобразования................8
§ 2. Экспоненциальное и пуас ооновское рас пределенпя.14
§ 3. Процессы восстановления. Регенерирующие процессы .. 19
§ 4. Цепи Маркова.....................................28
§ 5. Марковские процессы с дискретным множеством состоянии ... ,v....................................35
§ 6. Полумарковские, линейчатые и кус очно-лпнепные процессы......................................... 55
§ 7. Кронекерово произведение матриц ... ... ........74
Глава 2. Определяющие параметры СМО...................7G
§ 1. Входящий потен-................................ 76
§ 2. Структура системы................................87
§ 3. Времена обслуживания заявок .....................88
§4. Дисциплина обслуживания........................ 88
§ 5. Показатели производительности СМО................89
§ 6. Классификация СМО................................90
§ 7. Сети мас сового обслуживания.....................92
§ 8. Свойства (распределении для некоторых типов рекуррентных входящего потока и обслуживания .... 93
Глава 3. Простейшие марковские модели................... 109
$ 1. Система М/М/1/оо.................................ПО
§ 2. Система М/М/п/г.................................120
§ 3. Система М/М/1/оо с ’’нетерпеливыми'’ заявками.128
§ 4. Система с конечным числом источников............135
§ 5.^ Система M^l/M/l/oo с групповым поступлением заявок............................................140
§ 6. Система М/Е,„/1/оо..............................147
§ 7. Сис тема М/М/1/0 с повторными заявками .........157
528
Оглавление
Глава 4. Марковские системы: алгоритмические методы анализа...............................166
§ 1. Системы M/Hm/l/r и Н;/М/1/г..................167
§ 2. Система М2/М/п/г с относительным приоритетом.182
§ 3. Системы М/РН/1/r и РН/М/1/г................191
§ 4. Система М/РН/1/r с отключением прибора и потоком, зависящим от состояния очереди.........204
§ 5. Система РН/РН/1/r..........................215
§ 6. Марковские системы, описываемые обобщенным процессом размножения и гибели..................234
Глава 5. Система M/G/1/оо: методы исследования......253
§ 1. Вложенная цепь Маркова.....................254
§ 2. Виртуальное время ожидания.................271
§ 3. Введение дополнительной переменной: остаточное время обслуживания..............................278
§ 4. Введение дополнительной переменной: прошедшее время обслуживания..............................288
§ 5. Использование процессов восстановления.....297
Глава 6. Другие простейшие немарковские модели......311
§ 1. Система M/G/oc.............................312
§ 2. Система G/G/oo.............................315
§ 3. Система M/D/n/oo...........................319
§ 4. Система G/M/1/оо...........................323
§ 5. Система M/G/1/r.........„..................329
§ 6. Система M/G/n/0............................334
§7. Система MAP/G/1/r..........................339
Глава 7. Система M/G/1/х: некоторые специальные дисциплины обслуживания.............................361
§ 1. Обслуживание ненадежным прибором. Абсолютный приоритет.......................................362
2. И нверсионный порядок обслуживания с вероятное тным приоритетом.....................377
§ 3. Система M2/G2/l/oo с относительным приоритетом.. .394
§ 4. Равномерное разделение прибора.............410
§ 5. Ограничение на время ожидания начала обслуживания....................................413
§ 6. Случайный выбор пз очереди................ 419
§ 7. Преимущественное разделение прибора заявками мнцимальной обслуженной длины.................................................424
§ 8. Обслуживание наикратчайшей заявки............................431
Глава 8. Система G/G/loo................................................445
§ 1. Уравнение Линдли.............................................446
§ 2. Решение уравнения Линдли.....................................467
§ 3. Асимптотический анализ системы G/G/l«> в условиях большой загрузки..........................................................485
Глава 9. Сети массового обслуживания....................................499
§ 1. Описание класса сетей........................................499
§ 2. Открытые экспоненциальные сети...............................505
§ 3. Замкнутые экспоненциальные сети .............................511
Список литературы.......................................................520
Павел Петрович Бочаров Александр Владимирович Печинкиы
ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Учебник
Г
Редактор Ж. В. Медведева Технический редактор И. М. Любавская
Тематический план 1995 г., №28
ЛР № 020458 от 04.03.1992 г.
Подписано к печати 14.07.95.
Усл. печ. л. 33,0.
Тираж 1500 экз.
Формат 60X88/16. Офсетная печать.
Уч.-изд. л. 34,31. Усл. кр.-отг. 33,25.
Изд. № 3468. Зак. 2717
Издательство Российского университета дружбы народов
117923, ГСП-1, Москва, ул. Орджонмкид»., 3
Производственно-полиграфический комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, 10, Московской обл., Октябрьский пр., 403
Тираж 1000 экземптиров отпечатан в типографии УД МИД РФ. Заказ 1106.