1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. К. Белый
Введение в теорию массового
обслуживания
Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению
«Информационные системы и технологии»
Петрозаводск
Издательство ПетрГУ
2014

2
УДК 519.21
ББК 22.172
Д439
Печатается по решен ию редакционно-издател ьского совета
Петрозаводского государств енного у нив ерситет а
Издается в рамк ах реал изац ии комп лекса мероприятий
Программы с тратеги ческого развития ПетрГУ на 2012—2016 гг.
Рецензенты:
д-р физ.-м ат. наук, п рофесс ор каф. геометрии и топологии ПетрГУ
С. С . Платонов;
д-р эконом. наук, зав. отделом модел ирован ия и прогнозирова н ия
регионального развития инс титу та экономик и КарНЦ РАН
П. В. Дружинин
Белый, Евгений Константинович.
Б439 Введен ие в теори ю массового обслу живания : у чебное пособие для
с т удентов, обу чающи хся по на пра влен ию «И нф ормационн ые системы
и технологи и» / Е. К . Белый . – Пе троз аводск : Издатель ство ПетрГУ,
2014. – 76 с.
ISBN 978-5-8021-2203-7
Учебное пособие предна значено д ля с тудентов, обу чающи хся по
направлению «Информационные системы и технологии», а также для
всех и нтере су ющи хся те орией массового обслу живания и владеющи х
математическим ап п аратом в рамка х ву зовского курса высшей
математ ик и и теори и вероят ностей.
УДК 519.21
ББК 22.172
© Белый Е. К., 2014
© Петрозаводский государственный универ-
ситет, 2014
ISBN 978-5 -8021-2203-7

.
Содержание
Введение
4
Глава 1. Входящий поток
9
§1.1.Определениепростейшегопотока ............. 11
§1.2.Уравненияпростейшегопотока............... 12
§1.3.Свойствапростейшегопотока ............... 18
§1.4.Простейшийнестационарныйпоток............ 21
Глава 2. Марковская модель СМО
26
§2.1.УравненияКолмогорова................... 29
§2.2.ОдноканальнаяСМОсотказами.............. 31
§ 2.3. Дублированная СМО с восстановлением . . . . . . . . . 38
§2.4.СМОсприоритетнымизаявками ............. 44
Глава 3. Процессы гибели и размножения
55
§3.1.ФормулыЭрланга...................... 56
§3.2.МногоканальнаяСМОсотказами............. 58
§ 3.3. Одноканальная СМО без ограничений на длину очереди 62
§ 3.4. Одноканальная СМО с ограничением на длину очереди 66
§ 3.5. Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявками . . . . 67
§3.6.ЗамкнутаяодноканальнаяСМО.............. 68
Биографические справки
72
Список литературы
75
3

Введение
То и дело раздаются голоса, утверждающие, будто главная за-
дача обучения математике в школе и вузе – это научить людей
логически мыслить. Отсюда чрезмерная формализация мате-
матических дисциплин, изложение их в отрыве от задач прак-
тики. Слов нет, привычка к логическому мышлению – хорошее
дело, но у математики есть и другие задачи: активного вмеша-
тельства в практику, разумной организации производственных
и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от математи-
ка ответа на вопрос, как поступить в том или другом случае,
при тех или других сложившихся обстоятельствах. И дело его
чести – не уходить от этих требований в пучину абстракций,
а по мере сил удовлетворять их.
Е. С. Вентцель
Теория массового обслуживания родилась в датском королев-
стве в начале XX века под именем «Теория очередей». Первые
идеи теории были высказаны директором Копенгагенской теле-
фонной компании Фредериком Йохансоном в 1907 году в статье
«Время ожидания и число вызовов». Затем идеи были математи-
чески развиты и оформлены инженером той же компании Агне-
ром Эрлангом. Опубликованную им в 1909 году статью «Теория
вероятностей и телефонные переговоры» принято считать кра-
еугольным камнем в фундаменте теории. В 30-х годах теорией
очередей серьезно занялся Александр Яковлевич Хинчин в связи
с автоматизацией московской городской телефонной сети. В на-
4

учной литературе прижился введенный тогда Хинчиным термин
«теория массового обслуживания» (ТМО), а предмет исследова-
ний вскоре стали называть системами массового обслуживания
(СМО). ТМО опиралась на фундаментальные работы в области
теории случайных процессов Андрея Андреевича Маркова, Ан-
дрея Николаевича Колмогорова и ряда других математиков.
Хотя все началось с телефона, вскоре на ТМО обратили внима-
ние представители ряда наук, далеких от проблем связи. Оказа-
лось, что в модели СМО вписываются многие реальные явления:
от железнодорожных касс до противовоздушной обороны и про-
цессов, протекающих в компьютере. С системами массового об-
служивания мы сталкиваемся буквально на каждом шагу. СМО
– это торговля, общественное питание, транспорт, бани, банки,
страховые компании, налоговая инспекция, парикмахерские, ин-
дустрия развлечений, ремонтные мастерские, здравоохранение,
образование и т. д.
Что же представляет собой СМО? Это система, реализующая
многократное выполнение однотипных задач. Для любой такой
системы характерен, по крайней мере, один входящий поток –
поток заявок на обслуживание, множество каналов обслужива-
ния и как минимум один выходящий поток – поток обслуженных
заявок. СМО может быть значительно сложней. Выходящие по-
токи обслуженных заявок, заявок, получивших отказ и заявок,
обслуживание которых было по той или иной причине прервано
5

в свою очередь могут образовывать входящие потоки для дру-
гих подсистем СМО. Так, поток пациентов на прием к терапевту
разделяется после обслуживания на выходящий поток заявок,
обслуживание которых завершено, и потоки заявок на обслужи-
вание к хирургу, кардиологу и другим специалистам. Источник
входящего потока в зависимости от целей исследования может
рассматриваться как нечто внешнее по отношению к СМО или
же как часть системы.
Насколько для организации массового обслуживания нужна тео-
рия? Действительно, во многих случаях руководящие решения
опираются на опыт и интуицию. И не всегда эти решения оказы-
ваются плохими. Однако обратимся к примеру из третьей главы:
пусть пропускная способность городского травматологического
пункта – 10 пациентов в час, а в городе в этот период времени
случается 9 травм в час. На первый взгляд, здесь все в порядке –
травматологический пункт должен справиться с работой. И все
же, согласно теории, средняя длина очереди у пункта составит
8,1 человека, а среднее время пребывания пациента в очереди
– 0,9 часа (54 минуты). При этом 10 % времени работы пункта
придется на простой. Например, если смена продолжается 6 ча-
сов, то из них 36 минут персонал простаивает. Другой пример:
малое количество касс в супермаркете приведет к росту очередей
в определенные периоды работы магазина и потере части поку-
пателей, а большое – к большому простою и неэффективным
расходам на заработную плату кассиров. Оптимальное решение
6

опять неочевидно. Мы только что рассмотрели два самых про-
стых примера. А если речь пойдет об организации работы рай-
онной поликлиники? Это уже проектирование сложной системы!
В основу предлагаемого учебного пособия лег курс лекций, в
течение нескольких лет читаемый автором для студентов, обу-
чающихся по направлению «Информационные системы и тех-
нологии». Пособие призвано помочь студенту овладеть первич-
ными навыками исследования СМО и построения их моделей.
К сожалению, объем книги не позволил автору в полной мере
реализовать свои планы. Однако, учитывая опыт преподавания
дисциплины, он стремился тщательно разобрать вопросы, вызы-
вающие у студентов наибольшее затруднение, дать приводимые
доказательства достаточно подробно, сделать изложение доступ-
ным для широкого круга читателей. Небольшая книга не может
дать ответы на широкий спектр вопросов, но иногда, прежде
чем открыть солидную монографию, человеку нужно прочитать
«тонкую» книгу, чтобы понять, кому и зачем нужна теория, и
чтобы возникла заинтересованность.
Пособие состоит их трех глав. Первая посвящена входящим по-
токам – простейшему и простейшему нестационарному. Во вто-
рой рассматриваются уравнения Колмогорова и примеры их ре-
шения для достаточно простых СМО. Таким образом, для ря-
да СМО получены аналитические решения дифференциальных
уравнений, описывающих их работу. В более сложных случаях
7

аналитическое решение получить непросто. Однако в широком
классе задач вероятности возможных состояний СМО быстро
приближаются к некоторым предельным значениям – устано-
вившемуся решению. В третьей главе анализируются системы
гибели и размножения для случая установившихся решений.
Значительное влияние на структуру и содержание предлагаемо-
го пособия оказали работы А. Я. Хинчина [8], Б. В. Гнеденко и
И. Н. Коваленко [3], Л. Г. Лабскера и Л. О. Бабешко [7].
В качестве источника задач для творческого усвоения и закреп-
ления пройденного материала можно рекомендовать книгу
О. А. Новикова и С. И. Петухова [6].
Замечания и предложения можно направлять по одному
из адресов:
belyi@petrsu.ru или kurs_belyi1@mail.ru.
8

Глава 1. Входящий поток
Уже давно в самых разных сферах человеческой деятельности
для описания процессов, протекающих во времени, широкое рас-
пространение получило понятие поток событий, которое озна-
чает последовательность событий, разделенных некоторыми ин-
тервалами времени. Так, одним из ключевых понятий финансо-
вой математики является поток платежей, автодорожники гово-
рят о потоке машин. В теории массового обслуживания события
обычно называют заявками или требованиями и, соответствен-
но, рассматривают потоки заявок или требований.
События, образующие поток, могут происходить как в фиксиро-
ванные, так и в случайные моменты времени. Например, ваши
дни рождения приурочены к фиксированным моментам, а встре-
чи знакомых во время вашей прогулки по городу, скорее всего,
образуют поток случайных событий. Часто случайные факторы
накладываются на определенную закономерность. Так, даже при
наличии четкого расписания прибытия автобусов на станцию ре-
альные моменты этих событий могут отличаться от плановых в
результате непредвиденных задержек: пробок на дорогах, оста-
новок у шлагбаума, погодных условий и т. д. Поэтому при по-
строении математических моделей мы можем рассматривать мо-
менты наступления одних и тех же событий как фиксированные
или как случайные, в зависимости от цели исследования, от раз-
броса фактических моментов наступления событий относитель-
но ожидаемых, от требований к точности. И все же часто, в силу
9

природы исследуемых явлений, события приходится рассматри-
вать именно как случайные.
Вопрос о том, что в той или иной ситуации можно считать со-
бытием, обычно не вызывает затруднений. Если нас интересует
работа диспетчера такси, очевидно, что событиями будут звонки
клиентов на служебный телефон, но никак не звонки ее подруг
на личный мобильный телефон. Другой вопрос – однородность
потока. Однородность означает возможность привлечь для об-
работки событий одни и те же технологии, ресурсы системы. На
практике часто неоднородный поток заменяют набором однород-
ных потоков. Например, неоднородный поток бытовой техники
в ремонтной мастерской удобно разбить на однородные потоки
холодильников, чайников, утюгов и т. д. Это разбиение моти-
вируется спецификой обслуживания соответствующих заявок и
различными квалификационными требованиями к мастерам по
ремонту техники. Здесь вопрос однородности заявок тесно свя-
зан с вопросом глубины специализации персонала мастерской.
Под источником входящего потока часто, но не всегда, подразу-
мевают нечто внешнее по отношению к системе массового обслу-
живания, свойства которого не зависят от особенностей функци-
онирования системы. Так, входящий поток станции скорой по-
мощи – множество телефонных вызовов врача – не зависит от
организации работы станции.
10

§ 1.1. Определение простейшего потока
В теории массового обслуживания наибольшее распространение
получил простейший поток. Это обусловлено тем, что он явля-
ется достаточно адекватной, математически обоснованной и на-
сколько возможно простой моделью многих реальных потоков.
Простейшим нызывают поток однородных событий, обладаю-
щий следующими тремя свойствами:
1. Стационарностью. Стационарность потока означает, что
для любых вещественных T , t > 0 и целого k ≥ 0 веро-
ятность появления k событий на интервале (T , T + t) не
зависит от T.
2. Отсутствием последействия. Под отсутствием последей-
ствия подразумевают независимость вероятности появле-
ния k событий на интервале (T , T + t) от количества и вре-
мени появления событий до момента T . В дальнейшем ве-
роятность появления k событий на интервале длины t в
простейшем потоке будем обозначать Pk (t).
3. Ординарностью. Ординарность потока означает выпол-
нение равенства P>1 (h) = ∘(h). Здесь P>1 (h) – вероятность
появления более одного события за время h, а ∘(h) – произ-
вольная вещественная функция h, бесконечно малая более
высокого порядка, чем h. То есть
lim
h→0
P>1 (h)
h
=0.
11

Отсюда следует равенство нулю вероятности появления од-
новременно двух и более событий (разумеется, последнее
не исключает возможность появления сразу двух и более
событий).
Простейший поток является таким же абстрактным математиче-
ским объектом, как прямая линия в геометрии. Стационарность,
отсутствие последействия и ординарность не более чем допуще-
ния. Так, поток вызовов скорой помощи можно считать стацио-
нарным лишь на некоторых ограниченных интервалах времени
суток. При небольшом количестве радиоактивного вещества в
потоке распадов атомов последействие практически не имеет ме-
ста, но в случае большой массы того же вещества наблюдается
цепная реакция, т. е. вероятность распада некоторого количе-
ства атомов на заданном интервале времени зависит от количе-
ства произошедших ранее распадов. Допущение об ординарности
также периодически нарушается. Например, в железнодорожной
кассе иногда приобретаются билеты сразу на целую группу ту-
ристов. Увы, мы живем не в идеальном мире, но это не повод
отказаться от любых попыток понять его.
§ 1.2. Уравнения простейшего потока
Введем обозначение P0(1) = θ, где P0(t) – вероятность того, что
за время t не произойдет ни одного события. Разобьем единич-
ный интервал времени на n равных частей. Тогда для того, чтобы
на всем интервале не произошло ни одного события, необходимо
12

и достаточно, чтобы ни одного события не произошло на каж-
дом из n частных интервалов. Поскольку P0(1/n) зависит толь-
ко от длины интервала, при условии отсутствия последействия
P0(1) = [P0(1/n)]
n
= θилиP0(1/n)=θ
1
n . Аналогично при на-
туральном k получим P0(k/n) = θ
k
n . Пусть вещественное число
t > 0. Тогда для любых t и n можно найти такое k, что
k−1
n
≤t≤
k
n
=⇒
=⇒ P0(
k−1
n
)≥P0(t)≥P0(
k
n
)илиθ
k−1
n
≥P0(t)≥θ
k
n.
Тогда
lim
n→∞
k
n
= lim
n→∞
k−1
n
= t и P0(t)=θ
t
.
Поскольку вероятность всегда принимает значения из интерва-
ла[0;1], мы должны рассмотреть три случая: θ = 0 , θ = 1 и
0<θ<1.ВпервомслучаеP0(t)=0длялюбогоt>0и,сле-
довательно, на любом сколь угодно малом интервале произойдет
бесконечное множество событий, что противоречит принципу ор-
динарности потока. Во втором случае P0(t) = 1 и поток, как та-
ковой, отсутствует. Остается только третий случай. Введем заме-
ну переменной θ = e
−λ ·t , где λ > 0 – некоторый вещественный
параметр. Тогда, θ ∈ (0; 1]
=⇒
λ ∈ [0; +∞). Таким об-
разом, вероятность отсутствия событий на интервале длины t
задается равенством P0(t) = e
−λt. Смысл параметра λ мы выяс-
ним ниже. Поскольку e
α
−
1=α+∘(α)илиe
α
= 1+α+∘(α),
мы можем записать равенство, которое нам в ближайшее время
пригодится: P0(h) = 1 − λ · h + ∘(h). Теперь докажем лемму.
13

Лемма
В простейшем потоке P1(h) = λ · h + ∘(h). То есть вероятность
появления одного события за время h с точностью до бесконечно
малой более высокого порядка, чем h, пропорциональна h.
Доказательство
Для любого h ∈ [0; +∞], P0(h) +P1(h)+ P>1 (h) = 1. Подставив
в последнее равенство P0(h) = 1 − λ · h + ∘(h) и P>1(h) = ∘(h),
получим P1(h) = λ · h + ∘(h), что и требовалось доказать. 
Напомним, что ∘(h) – произвольная бесконечно малая величи-
на, большего, чем h, порядка. Поэтому ∘(h) ± ∘(h) = ∘(h) и
C · ∘(h) = ∘(h) , где ∀ C ∈ (0; ∞) – вещественная константа.
Рассмотрим интервал времени длины t + h . Пусть на этом ин-
тервале произошло k событий. Тогда, если на участок длины t
пришлось j событий, то на участок длины h придется k − j со-
бытий, где j = 0, 1, . . . , k . По формуле полной вероятности для
k = 1 имеет место равенство
P1(t+h) = P1(t)·P0(h)+P0(t)·P1(h)=
=
P1(t)·(1−λ ·h+∘(h))+P0(t)·(λ·h+∘(h));
P1(t+h)=P1(t)·(1−λ ·h)+P0(t)·λ ·h+∘(h). (1)
Аналогично для k > 1
14

Pk(t+h) =
k
∑︁
j=0
Pj(t) · Pk−j(h) =
=
Pk(t) · P0(h) + Pk−1(t) · P1(h) +
k−2
∑︁
j=0
Pj (t) · Pk−j (h);
0≤
k−2
∑︁
j=0
Pj(t) · Pk−j(h) ≤
k−2
∑︁
j=0
Pk−j (h) =
k
∑︁
j=2
Pj(h) = P>1(h) = ∘(h).
То есть
k−2
∑︁
j=0
Pj(t) · Pk−j(h) = ∘(h).
Значит,
Pk(t+h) = Pk(t)·P0(h)+Pk−1(t)·P1(h)+∘(h)=
=
Pk(t)·(1−λ ·h+∘(h))+Pk−1(t)·(λ·h+∘(h))+
+∘(h);
Pk(t+h)=Pk(t)·(1−λ ·h)+Pk−1(t)·λ ·h+∘(h). (2)
Тогдаиз(1)и(2)дляk≥1следует
Pk(t + h) − Pk(t)
h
= λ ·Pk−1(t)−λ ·Pk(t)+
∘(h)
h
.
(3)
Хотя для k = 0 уже получено решение P0(t) = e
− λ·t , составим и
для этого случая равенство
15

P0(t + h) − P0(t)
h
= −λ ·P0(t)+
∘(h)
h
.
(4)
Устремив к нулю h в левых и правых частях (3) и (4), получим
бесконечную систему дифференциальных уравнений:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
P′
0(t) = −λ · P0(t);
P′
1(t)=λ ·P0(t)−λ ·P1(t);
...
P′
k(t)=λ ·Pk−1(t)−λ ·Pk(t).
(5)
Начальные условия:
P0(0)=1, P1(0)= ...Pk(0)=0.
(6)
Первый способ решения системы (5)
Подставим во второе уравнение выражение P0(t), запишем урав-
нение в виде
P′
1(t)+λ·P1(t)=λ ·e
− λ·t
и, учтя начальное условие P1(0) = 0, найдем решение:
P1(t)=λ ·t ·e
−λt
.
Теперь, подставив в третье уравнение выражение P1(t), получим
уравнение
P′
2(t)+λ·P2(t)=λ
2
·t·e
−λ ·t
16

и, учтя начальное условие P2(0) = 0, найдем его решение:
P2(t) = (λ·t)2
2!e
−λ ·t . Процесс будем продолжать до тех пор, по-
ка мы не догадаемся, что вероятность появления k событий за
время t равна
Pk(t)=(λ·t)k
k!
e
−λ ·t
.
(7)
Теперь, когда мы знаем результат, нетрудно обосновать его, при-
бегнув к методу математической индукции. Здесь мы пропусти-
ли собственно сам процесс решения уравнений. Первый способ
позволяет получить решение, опираясь на минимальный мате-
матический аппарат. Однако в некоторых случаях этот способ
может оказаться слишком громоздким. Теперь рассмотрим бо-
лее компактный метод решения бесконечной системы линейных
дифференциальных уравнений.
Второй способ решения системы (5)
Введем производящую функцию φ(t, z) = ∑︀
∞
k=0 Pk(t) · zk. Заме-
тим, что из (6) следует φ(0, z) = 1. В уравнениях (5) левые и
правые части соответственно индексу при P умножим на zk и
просуммируем отдельно левые и правые части. Тогда
∞
∑︁
k=0
P′
k(t)·z
k=λ·
∞
∑︁
k=1
Pk−1(t) · z
k−λ ·
∞
∑︁
k=0
Pk(t) · z
k; (8)
∞
∑︁
k=0
P′
k(t)·z
k=(
∞
∑︁
k=0
Pk(t) · z
k)′
t=
∂φ(t, z)
∂t
;
∞
∑︁
k=1
Pk−1(t) · z
k=z·
∞
∑︁
k=1
Pk−1(t) · z
k−1
= z ·φ(t,z).
17

Суммы в левой и правой частях (8) можно переписать в виде
∂φ(t,z )
∂t = λ·(z−1)·φ(t, z), после чего решение бесконечной системы
сводится к решению одного уравнения.
∂ln(φ(t, z))
∂t
= λ·(z−1) =⇒
ln(φ(t, z)) = λ ·(z−1)·t+ln|C|
или
φ(t,z)=C ·e
λ·(z −1)·t
,
где вещественное C = const. Учитывая равенство φ(0, z) = 1,
получимC=1и
φ(t,z)=e
λ·(z −1)·t
=e
λ·z ·t
·e
− λ·t
=
∞
∑︁
k=0
(λ·t)k
k!
e
− λ·t
·z
k=
∞
∑︁
k=0
Pk (t)·z
k.
Осталось только приравнять в последнем равенстве коэффици-
енты при степенях z. Мы снова получили Pk (t) = (λ·t)k
k!e
−λ ·t. По-
следняя формула в теории вероятностей известна как формула
распределения Пуассона.
§ 1.3. Свойства простейшего потока
На рис. 1 представлены графики функций (7) при k = 0, 1, 2, 3 и
λ = 4 . Взяв (при k > 0) производную одной из функций (7) и
приравняв ее к нулю, легко найдем точку максимума функции
tmax =
k
λ . Значение вероятности в точке максимума Pk(tmax) =
=
kk
k!·e
−k . Хотя мы предполагали k > 0, формула tmax =
k
λ спра-
ведливаиприk=0.
18

Рис. 1. Распределение Пуассона
Нетрудно также аналитически доказать еще одну отраженную
на рисунке закономерность. График каждой функции пересека-
ет график следующей по значению k функции в точке ее макси-
мума.
Как доказано выше, P0(t) = e
−λ ·t – вероятность того, что за вре-
мя t не произойдет ни одного события или, иначе говоря, того,
что промежуток между двумя событиями больше t.
ТогдаP(τ<t)=F(t)=1 −e
− λ·t – вероятность того, что время
τ между двумя событиями меньше t, а плотность вероятности
f(t)=F
′
(t)=λ·e
− λ·t
.
̄
Tож=M(t)=
∫︁+∞
−∞
f(t)·t ·dt=
∫︁+∞
0
λ·e
− λ·t
·t·dt=
1
λ
19

– математическое ожидание времени t между двумя событиями.
M(t2) =
∫︁+∞
−∞
f(t)·t
2
· dt=
∫︁+∞
0
λ·e
−λ ·t
·t
2
· dt=
2
λ2
– математическое ожидание t2 .
D(t) = M(t2) − (M(t))2
=
1
λ2,
σ(t) =
√︀D(t) =
1
λ
– соответственно дисперсия и среднее квадратичное отклонение
времени между двумя событиями от ожидаемого. Иначе говоря,
среднее время между заявками на обслуживание 1
λ и среднее от-
клонение от среднего также 1
λ.
Заметим также, что M(tk) = k!
λk . Теперь определим ожидаемое
количество событий за время t и его разброс.
M(k) =
∞
∑︁
k=0
k·Pk(t)=
∞
∑︁
k=1
k·
(λ·t)k
k!
e
−λ ·t
=
=
e
−λ ·t
·λ·t
∞
∑︁
k=1
k·
(λ · t)k−1
k!
=e
− λ·t
· t ·(eλ·t
)′
t=
=
λ·t.
Значит, математическое ожидание количества событий за время
t равно λ · t , а λ – ожидаемое количество событий, приходяще-
еся на единицу времени. Величину λ называют интенсивностью
входящего потока, или параметром потока.
20

Аналогично найдем математическое ожидание k2:
M(k2) =
∞
∑︁
k=0
k2
·
(λ·t)k
k!
·e
−λ ·t
= λ ·t+(λ·t)2
,
дисперсию и среднее квадратичное отклонение k:
D(k) = M(k2) − [M(k)]2
=λ·t,
σ(k) =
√︀D(k) =
√
λ·t.
Таким образом, ожидаемое количество событий за время t равно
λ·t±
√
λ·t.
§ 1.4. Простейший нестационарный поток
Как было отмечено выше, стационарность потока является всего
лишь допущением. По большей части реальные потоки не явля-
ются стационарными. Например, интенсивность потока отказов
технического устройства, как правило, является функцией вре-
мени λ(t) и на графике (рис. 2) представляет собой известную
U-образную кривую. Неисправности приборов случаются чаще
всего в начале и в конце срока их эксплуатации. Любопытно,
что и человек болеет чаще всего в молодости и в старости. Досто-
верную статистику по выходу из строя бытовой техники можно
найти в соответствующих мастерских. Естественно, статистика
отказов оборудования ведется на транспорте, на производстве и
в других сферах деятельности человека.
Для нижней части U-образной кривой характерен пологий уча-
21

Рис. 2. Кривая отказов технического устройства
сток, на котором интенсивность отказов можно считать постоян-
ной (участок AB на рис. 2).
Теперь вернемся к заголовку параграфа. Поскольку простейший
поток мы определили как стационарный, заголовок может пока-
заться противоречивым. Однако в данном случае речь идет всего
лишь о новом определении: простейший нестационарный поток
– это ординарный поток без последействия. Простейший неста-
ционарный поток также называют пуассоновским потоком.
Поскольку в нестационарном потоке вероятность появления k со-
бытий на интервале зависит не только от длины интервала, но
и от его начала t0, в дальнейшем будем обозначать Pk(t0 , t) ве-
роятность появления k событий на интервале (t0 , t) . Добавим к
ординарности условие, соответствующее условию леммы из § 1.2.
22

Тогда
P>1(t,t+h)= ∘(h), P1(t,t+h)=λ(t)·h+∘(t). (9)
Подставим в равенство
P0(t,t+h)+P1(t,t+h)+P>1(t,t+h)=1
выражения (9) и придем к равенству
P0(t,t+h)=1 −λ(t)·h+∘(h).
(10)
Подставив (10) в равенство
P0(t0,t+h)=P0(t0,t)·P0(t,t+h),
после несложных преобразований получим:
P0(t0, t + h) − P0(t0, t)
h
= −λ(t) · P0(t0, t) + ∘(h). (11)
Аналогично
Pk(t0,t+h)=
k
∑︁
j=0
Pj(t0, t) · Pk−j(t, t + h).
Повторив рассуждения из § 1.2, получим отношение
Pk(t0, t + h) − Pk(t0, t)
h
= −λ(t)·[Pk−1 (t0 , t)−Pk (t0, t)]+∘(h). (12)
23

Устремив в (11) и (12) h к нулю, получим бесконечную систему
дифференциальных уравнений:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
∂P0(t0,t)
∂t
= −λ(t) · P0(t0, t);
∂P1(t0,t)
∂t
= −λ(t)(P0(t0, t) − P1(t0, t));
...
∂Pk(t0 ,t)
∂t
= −λ(t)(Pk−1(t0, t) − Pk(t0, t));
...
(13)
Введем вспомогательную функцию P−1(t0 , t) ≡ 0. Тогда
∀k≥0
∂Pk(t0, t)
∂t
= λ(t) · [Pk−1(t0, t) − Pk(t0, t)]. (14)
Введем производящую функцию
φ(t0, t, z) =
∞
∑︁
k=0
Pk(t0, t) · z
k.
(15)
Умножим левые и правые части уравнений (14) на соответству-
ющие степени z и просуммируем их.
∞
∑︁
k=0
∂Pk(t0, t)
∂t
·z
k=λ(t)·[
∞
∑︁
k=0
Pk−1(t0, t)zk
−
Pk(t0, t)zk],
∂φ(t0, t, z)
∂t
= λ(t)·φ(t0, t, z)·(z−1),
∂lnφ(t0,t,z)
∂t
= λ(t)·(z−1).
24

Проинтегрируем последнее равенство по t:
ln(φ(t0, t, z)) − ln(φ(t0, t0, z)) = (z − 1) ·
∫︁t
t0
λ(t)dt.
Из начальных условий:
P0(t0,t0) = 1,P1(t0,t0) = ··· = Pk(t0,t0) = ··· = 0 следует
φ(t0, t0, z) = 1. Введем обозначение Λ(t0, t) = ∫︀ t
t0
λ(t) · t. Тогда
φ(t0,t,z) = e
(z −1)Λ(t0 ,t)
e
z Λ(t0,t)
=
=
e
−Λ(t0 ,t)
·e
z cdotΛ(t0,t)
=
=
e
−Λ(t0 ,t)
·
∞
∑︁
k=0
[Λ(t0 , t)]k
k!
·z
k.
(16)
Приравняв в (15) и (16) коэффициенты при соответствующих
степенях z, получим:
Pk(t0, t) = [Λ(t0, t)]k
k!
·e
− Λ(t0,t)
.
(17)
Пусть ̄λ =
Λ(t0 , t)
t−t0
=
∫︀ tt0
λ(t)dt
(t−t0)
– средняя интенсивность входящего потока на интервале (t0 , t),
τ = t − t0 – длина интервала. Тогда Λ(t0, t) =
̄
λ · τ и уравнение
(17) примет вид
Pk(t0, t) = [
̄
λ·τ]k
k!
·e
−
̄
λ·τ
.
Таким образом, мы снова пришли к формуле Пуассона.
25

Глава 2. Марковская модель СМО
Функционирование СМО мы будем рассматривать как случай-
ный процесс с непрерывным временем и дискретным
множеством состояний. Следовательно, в любой момент вре-
мени t ∈ [0; +∞) система находится в одном состоянии из задан-
ного конечного или счетного набора.
Например, в цехе имеется десять однотипных станков. Станки
обслуживает один мастер по ремонту. Таким образом, соответ-
ствующая система может находиться в одном из 11 состояний:
S0 – все станки исправны, S1 – один в ремонте и девять в рабо-
чем состоянии, S2 – один в ремонте, один в очереди на ремонт
и восемь работают, . . . , S10 – один в ремонте и девять в очере-
ди. Очевидно, момент отказа станка и время, необходимое для
устранения неисправности, – случайные величины. В процессе
функционирования система иногда переходит из одного состоя-
ния в другое. Более того, теоретически в любой момент времени
система может находиться в любом из перечисленных выше со-
стояний. Поэтому имеет смысл говорить только о вероятностях
соответствующих состояний: P0(t), P1(t), P2(t) . . . P10 (t).
Случайный процесс называется марковским, если для любого
момента времени t условные вероятности всех состояний систе-
мы в будущем зависят только от состояния системы в момент t и
не зависят от того, когда и каким образом она пришла в это со-
стояние. Иначе говоря, будущее зависит от прошлого только че-
рез настоящее. Марковский процесс называют также процессом
26

без последействия. Мы будем считать процесс функционирова-
ния СМО марковским. Хотя марковская модель СМО не являет-
ся единственно возможной, она достаточно адекватно отражает
широкий класс реальных систем.
Пусть система в любой момент времени может находиться в од-
номизnвозможныхсостоянийS,гдеi=1,2,...n . В частно-
сти, не исключается случай n = ∞. То есть множество исходов
не более чем счетно. Иногда нам будет удобней говорить не «со-
стояние Si », а «i-е состояние». Нумерацию состояний мы часто
будем начинать не с единицы, а с нуля. Сделаем допущение, что
вероятность перехода системы за время h из i − в j − состояние
задается равенством
Pij(h) =λij ·h+∘(h),где i
̸
=j.
(18)
То есть на небольшом интервале времени вероятность перехода
системы из i-го в j-е состояние пропорциональна длине интерва-
ла. Равенства (18), очевидно, делают процесс марковским. Вели-
чинуλij,гдеi
̸
= j , назовем интенсивностью перехода из i-го
в j-е состояние. В общем случае λij могут зависеть от времени,
но здесь мы ограничимся случаем постоянных интенсивностей.
Равенства (18) аналогичны равенству, доказанному в первой гла-
ве для простейшего потока P1(h) = λ · h + ∘(h) . Более того, сам
поток однородных событий можно интерпретировать как слу-
чайный процесс накопления событий. Пусть k(t) – число собы-
27

тий, произошедших до момента t. Каждая реализация такого
случайного процесса представляет собой ступенчатую функцию
(рис. 3), значение которой увеличивается на единицу с появле-
нием очередного события.
Рис. 3. Простейший поток как случайный процесс
Можно также связать описанный случайный процесс с системой,
имеющей множество состояний Si, где i = 0, 1, 2, . . . , n. В данном
случае i – количество событий. Тогда интенсивности переходов:
λij =
⎧
⎨
⎩
λ,еслиj=i+1,гдеi,j =0,1...∞;
0, иначе.
Здесь под λ мы, как и в первой главе, подразумеваем интенсив-
ность входящего потока событий. В данном случае на множестве
состояний S0, S1 , S2 , . . . допустимы только переходы слева напра-
во в порядке возрастания номеров.
СМО с дискретным множеством состояний мы часто будем схе-
матически представлять в виде направленного графа, вершина-
ми которого являются состояния, а дугами – допустимые пере-
ходы из одного состояния в другое.
28

§ 2.1. Уравнения Колмогорова
Пусть состояния СМО занумерованы натуральными числами i =
= 1, 2, . . . n . Заметим, что вероятность (18) перехода
Pik (h) = P (Sk (t + h)/Si(t)) – условная вероятность, иначе говоря,
вероятность того, что система в момент времени t + h оказалась
в состоянии Sk при условии, что в момент t система находилась
в состоянии Si. Разумеется, k = 1, 2, . . . n.
Если здесь t настоящее, то, таким образом, вероятности всех воз-
можных состояний в будущем зависят только от состояния в на-
стоящем. Обозначим также
Pkk(h) = P (Sk(t + h)/Sk(t))
– вероятность того, что система за время h не изменит текущее
состояние. Поскольку находящаяся в состоянии Sk система за
время h либо перейдет в какое-либо иное состояние, либо оста-
нется в Sk,
n
∑︁
i=1
Pki(h) = 1, откуда Pkk(h) = 1 −
∑︁
i
̸
=k
Pki(h).
По формуле полной вероятности
Pk(t+h)=
∑︁
i
̸
=k
Pi(t) · Pik(h) + Pk(t) ·(1 −
∑︁
i
̸
=k
Pki(h)).
29

Подставим в последнюю формулу значения из (18), получим:
Pk(t+h) =
∑︁
i
̸
=k
Pi(t)(λik · h + ∘(h)) +
+ Pk(t)·(1−
∑︁
i
̸
=k
(λki·h+∘(h)))=
=
∑︁
i
̸
=k
λik·h ·Pi(t)+Pk(t)·(1−
∑︁
i
̸
=k
λki·h)+∘(h).
Отсюда
Pk(t + h) − Pj(t)
h
=
∑︁
i
̸
=k
λij · Pi(t) −
∑︁
i
̸
=k
λkiPk (t).
Устремив h к нулю, получим линейное дифференциальное урав-
нение, соответствующее k-му состоянию системы:
P′
k(t) =
∑︁
i
̸
=k
λij · Pi(t) −
∑︁
i
̸
=k
λkiPk (t).
(19)
Уравнения (19) для всех состояний СМО образуют систему урав-
нений Колмогорова, описывающую работу произвольной СМО с
постоянными интенсивностями переходов:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
P′
1(t)= −
∑︀
i
̸
=1λ1i·P1(t)+λ21·P2(t)+···+λn1 ·Pn(t);
P′
2(t)=λ12 ·P1(t)−∑︀
i
̸
=2λ2i·P2(t)+···+λn2 ·Pn(t);
...
P′
n(t)=λ1n · P1(t)+λ2n · P2(t)+··· −
∑︀
i
̸
=n
λni · Pn(t).
Начальные условия обычно имеют вид P1(0) = 1 , P2(0) = P3(0) =
= · · · = Pn(0), поскольку в начале работы СМО находится в неко-
30

тором исходном состоянии.
Рассмотренной выше СМО соответствует полный направленный
граф, т. е. допускаются переходы из любого состояния в любое
другое. Граф реальной СМО, скорее всего, окажется неполным.
Однако для нас это будет означать только то, что в системе урав-
нений (19) некоторые интенсивности переходов следует прирав-
нять к нулю.
§ 2.2. Одноканальная СМО с отказами
Самая простая СМО – одноканальная с отказами (рис. 4).
Рис. 4. Одноканальная СМО с отказами
Эта система в любой момент времени может находиться в одном
из двух состояний. Состояние S0 – единственный канал свобо-
ден, S1 – канал занят обслуживанием заявки. Если в момент
поступления очередной заявки канал занят, заявка получает от-
каз, т. е. теряется. Как видно на схеме, интенсивности переходов
λ01 = λ и λ10 = μ. Здесь λ – интенсивность входящего потока,
μ – интенсивность потока обслуживания. Предполагается, что
время обслуживания – случайная величина с экспоненциальной
плотностью распределения f(t) = μ · e
− μ·t . То есть время обслу-
живания распределено по тому же закону, что и время между
31

двумя соседними заявками. Таким образом, для вероятностей
переходов выполняются равенства (18):
P01(h)=λ ·h+∘(h)иP10(h)=μ ·h+∘(h).
Математическое ожидание времени обслуживания
̄
Tобсл = M(t) =
∫︁+∞
−∞
f(t)·t ·dt=
∫︁+∞
0
μ·e
−μ·t
·t·dt=
1
μ
.
Это соответствует полученному в первой главе результату для
времени ожидания очередной заявки ̄Tобсл = 1
λ . Естественно
возникает вопрос: «Не несет ли в себе параметр μ смысл, ана-
логичный смыслу интенсивности простейшего потока λ?». Дей-
ствительно, μ можно определить как ожидаемое количество об-
служиваемых в единицу времени заявок при условии, что канал
обслуживания работает непрерывно. На самом деле канал обслу-
живания иногда простаивает, и потому μ не совпадает с интен-
сивностью выходящего потока, т. е. потока обслуженных заявок.
Запишем систему уравнений Колмогорова для одноканальной
СМО с отказами:
⎧
⎨
⎩
P′
0(t)= −λ ·P0(t)+μ·P1(t);
P′
1(t)=λ ·P0(t)−μ ·P1(t).
Начальные условия P0(0) = 1 и P1(0) = 0 , т. е. в начале работы
32

система готова принять заявку. Подставив в первое уравнение
P1(t) = 1 − P0(t), получим P ′
0(t)+(λ+μ)·P0(t)=μ. (20)
Решение
1. Найдем решение соответствующего однородного уравнения:
P′
0(t)+(λ+μ)·P0(t)=0.
dP0
P0
= −(λ+μ)·dt=0 =⇒ lnP0(t)= −(λ+μ)·t+ln|C|,
гдеC−const.ТогдаP0(t)=C ·e
− (λ+μ)·t .
2. Найдем одно частное решение исходного уравнения в виде
ρ(t) = α методом неопределенных коэффициентов. Подста-
вивρ(t) = α в (20), получим (λ+μ)·α = μ. Таким образом,
ρ(t) =
μ
λ+μ .
3. Общее решение неоднородного линейного уравнения скла-
дывается из общего решения соответствующего однородно-
го и произвольного частного решения. Следовательно, об-
щее решение уравнения (20) будет иметь вид
P0(t)=C ·e
− (λ+μ)·t
+
μ
λ+μ
.
Из условия P0(0) = 1 вытекает C = λ
λ+μ и искомое решение
P0(t) =
1
λ+μ
· (μ+λ·e
−(λ+μ)·t
).
33

P1(t) найдем как 1 − P0(t) и представим результат в виде
⎧
⎨
⎩
P0(t) = 1
λ+μ ·(μ+λ·e
−(λ+μ)·t);
P1(t) = λ
λ+μ·(1−e
−(λ+μ)·t).
(21)
Заметим, что lim
t→+∞
P0(t) =
μ
λ+μ
, lim
t→+∞
P1(t) =
λ
λ+μ
.
Таким образом, графики P0(t) и P1(t) на бесконечности стремят-
ся к некоторым асимптотам.
Значения P0(t) =
μ
λ+μиP1(t)= λ
λ+μ называют установивши-
мися решениями, а также предельными вероятностями,
или стационарными вероятностями. В установившихся ре-
шениях после Pk мы не пишем в скобках t.
На рис. 5 представлены графики вероятностей состояний систе-
мы на временном интервале [0; 2]. Как видно, графики очень
быстро сливаются с асимптотами. В таких случаях часто сосре-
дотачивают внимание на установившихся решениях. И все же
иногда, например, когда речь идет о запуске космического ко-
рабля, крайне важно поведение системы именно на начальном
временном интервале. На графиках представлены три решения
при различных отношениях между интенсивностью входящего
потока заявок и интенсивностью обслуживания и, соответствен-
но, три варианта установившегося решения:
1. λ < μ – система чаще свободна, чем занята обслуживанием
заявок;
34

Рис.5.ОдноканальнаяСМОсотказами:a)λ=4иμ=2,b)λ=2иμ=4,
c)λ=3иμ=3
2. λ > μ – система чаще занята;
3. λ = μ – система простаивает ровно в половине случаев.
Установившиеся решения можно получать и непосредственно из
уравнений Колмогорова. Для этого достаточно в одном из урав-
нений (19) заменить переменные Pk (t) на константы Pk и доба-
35

вить условие ∑︀
kPk=1.
Для рассмотренной в этом параграфе СМО система уравнений
примет вид
⎧
⎨
⎩
−λ ·P0(t)+μP1=0;
P0(t)+P1=1.
(22)
Разумеется, ее решение совпадет с результатом, полученным вы-
ше путем предельного перехода.
Характеристики одноканальной СМО с отказами
1. Ожидаемое время между двумя последовательными
заявками
̄
TОжид =
1
λ
.
2. Ожидаемое время обслуживания заявки
̄
TОбсл =
1
μ
.
3. Относительная пропускная способность Q(t) = P0(t)
– доля обслуженных заявок в общем количестве поступив-
ших. В данном случае эта величина совпадает с вероятно-
стью того, что единственный канал обслуживания в момент
t свободен.
В пределе
Q=P0=
μ
λ+μ
.
36

4. Абсолютная пропускная способность A(t) = λ · Q(t) =
= λ · P0(t) – среднее число обслуживаемых в единицу вре-
мени заявок.
В пределе
A=λ·P0=
λ·μ
λ+μ
.
Поскольку каждая принятая заявка будет обслужена, эта
величина здесь совпадает с интенсивностью выходящего
потока.
5. Ожидаемая доля необслуженных заявок среди посту-
пивших в момент t: Pотк(t) = P1(t) = 1 − Q(t).
В пределе Pотк =
λ
λ+μ
.
Обратим внимание на тот факт, что рассмотренная в этом
параграфе система имеет два выходящих потока заявок. В
предельном случае:
A=λ ·P0=
λ·μ
λ+μ
– интенсивность потока обслуженных заявок и
A=λ ·P1=
λ2
λ+μ
– интенсивность потока потерянных заявок.
37

§ 2.3. Дублированная СМО с восстановлением
Теперь рассмотрим одну классическую задачу теории надеж-
ности. Некоторое устройство в процессе работы может выхо-
дить из строя. Имеется резервное устройство, которое в случае
неисправности основного автоматически включается в работу.
В этот же момент начинается восстановление основного. Будем
считать, что резерв ненагруженный, т. е. во время работы основ-
ного устройства резервное не может потерять работоспособность.
Пусть λ – интенсивность потока отказов, μ – интенсивность вос-
становления. Тогда 1
λ=
̄
Tотк – ожидаемая наработка на отказ,
т. е. среднее время работы устройства до его отказа, 1μ =
̄
Tвосст
– ожидаемое время восстановления неисправного устройства,
т. е. среднее время устранения неисправности.
Изначально система находится в состоянии S0 – работает основ-
ное устройство. В случае выхода из строя основного устройства,
система переходит в состояние S1 – работает резервное устрой-
ство. Если во время работы резервного устройства было восста-
новлено основное, система возвращается в S0. Если же до вос-
становления основного устройства вышло из строя резервное, си-
стема переходит в состояние S2, что фактически означает пре-
кращение работы системы.
Составим по изображенной на рис. 6 схеме систему уравнений
38

Колмогорова:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
P′
0(t)= −λ ·P0(t)+μ·P1(t);
P′
1(t)=λ ·P0(t)−(λ+μ)·P1(t);
P′
2(t) = λ · P1(t).
(23)
Рис. 6. Дублированная СМО с восстановлением
Начальные условия: P0(0) = 1 и P1(0) = P2(0) = 0. Из второго
уравнения выразим
λ·P0(t)=P
′
1(t)+(λ+μ)·P1(t).
(24)
Левую и правую части первого из уравнений (23 ) умножим на
λ и подставим в полученное уравнение значение λ · P0(t) из (24).
После приведения подобных членов получим линейное однород-
ное уравнение второго порядка
P′′
1(t)+(2·λ+μ)·P
′
1(t) + λ2
· P1(t)=0.
Составим соответствующий ему характеристический многочлен:
k2+(2·λ+μ)·k+λ2
39

и найдем его корни:
D = 4λμ+μ2;
k1=
−(2·λ+μ)−
√︀4λμ + μ2
2
<0;
k2=
−(2·λ+μ)+
√︀4λμ + μ2
2
.
Поскольку 4λμ+μ2 < (2·λ+μ)2, k2 также меньше нуля. Все корни
характеристического уравнения отрицательны. Многочлен, ве-
щественные части всех корней которого отрицательны, называ-
ют textbfустойчивым. Устойчивость означает, что, как и в при-
мере предыдущего параграфа, все экспоненты, линейной ком-
бинацией которых является решение уравнения, при t → +∞
стремятся к нулю и уравнение имеет предельное решение.
Общее решение уравнения запишем в виде
P1(t) = e
−
2λ+μ
2·t
· (C1·e
√4λμ+μ2
2
·t
+C2·e
−
√4λμ+μ2
2
·t
).
Подставив в уравнение t = 0 и применив начальное условие
P1(0) = 0, получим C2 = −C1. С целью экономии пространства
и времени введем обозначения:
2λ+μ
2
=aи
√︀4λμ + μ2
2
=b.
Теперь уравнение перепишем в виде
P1(t)=C ·e
−at
· (ebt
−
e
−bt )
40

и возьмем производную
P′
1(t)=C ·e
−at
· ((b−a)·e
bt+(a+b)e
− bt).
(25)
Подставив во второе уравнение (23) t = 0, и, учитывая P0(0) =
= 1 и P1(0) = 0, получим недостающее для дифференциального
уравнения второго порядка начальное условие P ′
1(0)=λ.При
t=0из(25)следует:C·(b−a+a+b)=λилиC= λ
2b.
P1(t) =
λ
2b
·e
−at
· (ebt
−
e
−bt ).
Теперь легко из (24) получим уравнение
P0(t) =
1
2b
·e
−at
· ((b+
μ
2
)·e
bt+(b−
μ
2
)·e
− bt).
Вероятность безотказной работы системы в течение времени t
R(t) = P0(t) + P1(t) =
1
2b
·e
−at
· ((a+b)·e
bt
−
(a−b)·e
−bt ). (26)
Разумеется, P2(t) = 1 − R(t). Причем limt→+∞ P2(t) = 1, и, зна-
чит, система в конце концов закончит свой путь в состоянии S2.
Однако нас в этой задаче прежде всего интересует вероятность
безотказной работы системы в течение заданного времени. Под-
ставив в правую часть (26 ) значения a и b, после ряда преобра-
зований получим:
R(t)=e
−
2λ+μ
2·t
·[
2λ+μ
√︀4λμ + μ2
· sh(
√︀4λμ + μ2
2
)+ch(
√︀4λμ + μ2
2
· t)].
(27)
41

Чтобы найти вероятность безотказной работы соответствующей
СМО с резервом без восстановления, достаточно устремить к ну-
лю μ.
lim
μ→0
e
−
2λ+μ
2
=
e
− λ·t
;
lim
μ→0
ch(
√︀4λμ + μ2
2
·t)=1;
lim
μ→0
sh(
√︀4λμ + μ2
2
)/
√︀4λμ+μ2 = lim
b→0
sh(b · t)
2b
=
= lim
b→0
e
bt−e
−bt
4b
=
lim
b→0
t·(ebt−e
− bt)
4
=
t
2
.
Следовательно,
lim
μ→0
R(t)=e
− λ·t
· (1+λ·t).
На рис.7 представлены графики функции R(t) при μ > 0 (си-
Рис. 7. График R(t) при λ = 2. Сплошная линия: μ = 4, пунктир: μ = 0
стема с восстановлением) и μ = 0 (система без восстановления).
Теперь найдем ожидаемое время наработки системы на отказ.
Функция распределения времени безотказной работы F (t) = 1 −
R(t). Соответственно, плотность распределения f(t) = F
′
(t). Вер-
42

немся к более компактной, чем (28), формуле (26). Тогда
f(t) =
λ2
2b
·(e
− (a−b)·t
−
e
−(a+b)·t
).
Обозначим наработку на отказ системы ̄Tсист в отличие от на-
работки на отказ каждого устройства ̄Tотк:
̄
Tсист = M(t) =
∫︁∞
0
t·f(t)·dt=
λ2
2b
·(
1
(a−b)2−
1
(a+b)2).
Подставив значения a и b, получим:
̄
Tсист =
2
λ
+
μ
λ2.
Здесь μ
λ2 – увеличение наработки системы на отказ за счет вос-
становления. При μ = 0 значение ̄Tсист = 2
λ=2·
̄
Tотк. То есть
наработка на отказ системы без восстановления равна сумме на-
работок на отказ основного и резервного устройств. Тот же ре-
зультат можно получить, взяв
R(t)=e
−λ ·t
· (1+λ·t),
F(t) = 1 −R(t) =⇒
f(t)=F
′
(t)=λ
2
·t·e
−λ ·t
.
̄
Tсист = M(t) =
∫︁∞
0
t·f(t)·dt=
∫︁∞
0
λ2
·t
2
·e
−λ ·t
· dt=
2
λ
.
Например, система, где λ = 0, 5 без восстановления будет иметь
наработку на отказ ̄Tсист = 4, а при интенсивности восстановле-
ния μ = 2 получим ̄Tсист = 12.
43

§ 2.4. СМО с приоритетными заявками
Системы массового обслуживания с приоритетами мы наблюда-
ем в железнодорожных кассовых залах, когда вне очереди оформ-
ляют билеты ветеранам войн и другим категориям граждан, на
которые распространяется соответствующая льгота; в стомато-
логическом кабинете, где принимают без очереди пациентов с
острой болью. Можно привести много подобных примеров.
Системы с приоритетами классифицируют прежде всего по ко-
личеству категорий заявок. Так, в военно-полевой медицине при-
нято делить раненых на четыре группы по срочности оказания
медицинской помощи. Такая классификация впервые была пред-
ложена выдающимся российским хирургом Николаем Иванови-
чем Пироговым. На телеграфе когда-то выделяли три категории
телеграмм: простые, срочные и молния. СМО с приоритетами
может быть с отказами или с очередями. Кроме того, при по-
ступлении приоритетной заявки обслуживание «рядовой» может
прерываться или же система будет ждать завершения обслужи-
вания. Например, в противовоздушной обороне при появлении
более опасных целей система может отпустить неприоритетную
заявку и переключиться на обслуживание «дорогих гостей».
Мы рассмотрим СМО (рис. 8) с отказами и с двумя входящи-
ми потоками заявок: обычный с интенсивностью λ1 и приори-
тетный с интенсивностью λ2. Интенсивности обслуживания со-
ответствующих заявок – μ1 и μ2. Система может находиться в
44

Рис. 8. СМО с приоритетами
трех состояниях: S0 – свободна, S1 – обработка обычной заяв-
ки, S2 – обработка приоритетной заявки. Первоначально система
находится в состоянии S0. В случае поступления обычной заяв-
ки система переходит в состояние S1. Если до завершения об-
служивания обычной заявки поступила приоритетная, система
прерывает обслуживание текущей заявки и приступает к обслу-
живанию приоритетной, т. е. переходит в состояние S2. После
завершения обслуживания любой заявки система возвращается
в исходное состояние S0.
Обыкновенная заявка получает отказ, если система занята об-
служиванием любой другой заявки, приоритетная – только то-
гда, когда СМО занята обслуживанием другой приоритетной за-
явки.
Такая система будет иметь пять выходящих потоков, которые
соответственно составляют обслуженные приоритетные и обыч-
ные заявки, приоритетные и обычные заявки, получившие отказ
в обслуживании и, наконец, обычные заявки, принятые на об-
45

служивание, но не обслуженные по вине приоритетных.
Составим систему уравнений Колмогорова:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
P′
0(t)=(λ1+λ2)·P0(t)+μ1·P1(t)+μ2·P2(t);
P′
1(t)=λ1·P0(t)−(μ+λ2)·P1(t);
P′
2(t)=λ2·P0(t)+λ2·P1(t)−μ2·P2(t).
(28)
Начальные условия по-прежнему P0(0) = 1 и P1(0) = P2(0) = 0.
Будем искать частные решения системы (29) в виде
P0(t)=α·e
−kt;
P1(t)=β ·e
−kt;
P2(t)=γ ·e
−kt
.
(29)
В таком случае k должно быть корнем характеристического урав-
нения
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
k+λ1+λ2
−μ1
−μ2
−λ1
k+λ2+μ1
0
−λ2
−λ2
k+μ2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
=0.
Преобразовав левую часть последнего уравнения, разложим на
множители полученный многочлен:
k·(k+μ2+λ2)·(k+μ1+λ1+λ2).
Итак, характеристический многочлен имеет три различных ве-
46

щественных корня:
k1=0,
k2= −(λ2+μ2) и k3= −(λ1+λ2+μ1).
Для каждого корня k подставим (29) в (28) и выберем два пер-
вых уравнения из трех линейно зависимых. Найдем решения по-
лученных систем с точностью до постоянного множителя.
1.k1=0:
⎧
⎨
⎩
(λ1+λ2)α−μ1·β =μ2·γ;
−λ1·α+(μ1+λ2)·β =0;
=⇒
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α=μ2·(λ2+μ1);
β=λ1·μ1;
γ=λ2·(λ1+λ2+μ1).
2.k2=−λ2−μ2:
⎧
⎨
⎩
(λ1−μ2)α−μ1·β =μ2·γ;
−λ1·α+(μ1−μ2)·β =0;
=⇒
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α=μ1−μ2;
β=λ1;
γ= −λ1−μ1+μ2.
3.k3=−λ1−λ2−μ1:
⎧
⎨
⎩
μ1·α −μ1·β =μ2·γ;
−λ1·α+(μ1−μ2)·β =0;
=⇒
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
α=1;
β= −1;
γ=0.
47

Тогда общее решение системы (28) примет вид
⎛
⎜
⎜
⎝
P0(t)
P1(t)
P2(t)
⎞
⎟
⎟
⎠=C1·
⎛
⎜
⎜
⎝
μ2·(λ2+μ1)
λ·μ2
λ2·(λ1+λ2+μ1)
⎞
⎟
⎟
⎠+
+C2·e
−(λ2+μ2)·t
·
⎛
⎜
⎜
⎝
μ1−μ2
λ1
−λ1−μ1+μ2
⎞
⎟
⎟
⎠+
+C3·e
− (λ1+λ2+μ1)t
·
⎛
⎜
⎜
⎝
1
−1
0
⎞
⎟
⎟
⎠,
(30)
где C1, C2 и C3 – произвольные вещественные константы. Для
нахождения частного решения (28), удовлетворяющего началь-
ным условиям, подставим в общее решение t = 0.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
μ2·(λ2+μ1)·C1+(μ1−μ2)·C2+C3=1;
λ1·μ2·C1+λ1·C2−C3=0;
λ2·(λ1+λ2+μ1)·C1+(−λ1−μ1+μ2)·C2=0.
Решим систему относительно неизвестных:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
C1=
1
(λ1+λ2+μ1)·(λ2+μ2) ;
C2=
λ2
(λ1+μ1 −μ2)·(λ2+μ2) ;
C3=
λ1 ·(λ1+λ2 +μ1 −μ2 )
(λ1+λ2+μ1)·(λ1+μ1 −μ2)
.
Подставив значения C1, C2 и C3 в (30), получим искомое ре-
48

шение. К сожалению, запись уравнений оказалась слишком гро-
моздкой, но тем не менее мы получили аналитическое решение
путем ряда довольно стандартных, рутинных операций, которые
любой человек, знакомый с основами теории дифференциальных
уравнений, легко может проделать. Аналитическое решение от-
крывает нам большие возможности теоретического исследования
различных режимов работы системы.
Непосредственно из (30) путем предельного перехода найдем уста-
новившееся решение:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
P0=
μ2 ·(λ2 +μ1)
(λ1+λ2+μ1)·(λ2 +μ2 ) ;
P1=
λ1 ·μ2
(λ1+λ2+μ1)·(λ2 +μ2 ) ;
P2=
λ2
λ2+μ2
.
(31)
Запись решения системы уравнений (28), как и промежуточные
выкладки, значительно упрощается, если взять равные интен-
сивности обслуживания обычных и привилегированных заявок.
На рис. 9 представлены графики решения системы уравнений
(30), а также предельные вероятности (31) при λ1 = 4, μ1 = 6,
λ2=1,μ2=4.
В приведенном примере предельные вероятности P0 = 0, 509,
P1 = 0, 291 , P2 = 0, 2 . Как видно на рисунке, графики очень
быстро прижимаются к соответствующим асимптотам. Здесь P0
– доля времени простоя системы, P1 – доля времени, приходяще-
гося на обслуживание обычных заявок, P2 = 1 − P0 − P1 – доля
времени, приходящегося на обслуживание приоритетных заявок.
49

Рис. 9. Вероятности состояний СМО с приоритетным входным потоком
В дальнейшем при исследовании системы мы сконцентрируем
внимание на характеристиках, основанных на предельных веро-
ятностях.
Как следует из описания работы СМО, приоритетные заявки
ведут себя так, как если бы поток обычных заявок отсутство-
вал. Таким образом, характеристики обслуживания приоритет-
ных заявок совпадают с характеристиками, рассмотренными в
§ 2.2. С обычными заявками ситуация несколько иная. Найдем
вероятность того, что обслуживание принятой обычной заявки
будет завершено до появления приоритетной. Вероятность того,
что обычная заявка, находящаяся на обслуживании в момент t,
будет обслуживаться в течение элементарного промежутка вре-
мени равна dt равна μ1 ·e
− μ1·t
· dt. Вероятность того, что к моменту
t не поступила приоритетная заявка e
− λ2 ·t . По формуле полной
50

вероятности искомая вероятность
∫︁+∞
0
μ1·e
− (λ2+μ1)·t
·t=
μ1
λ2+μ1
.
Итак, μ1/(λ2 +μ1)− вероятность того, что принятая заявка будет
обслужена, а, соответственно, λ2/(λ2 + μ1)− вероятность того,
что обслуживание принятой заявки будет прервано. Обе вероят-
ности условные, т. е. при условии, что заявка принята. Соглас-
но (31), безусловная вероятность обслуживания обычной заявки
равна:
Pобычн_обсл = P0 ·
μ1
(λ2 + μ1)
=
μ1·μ2
(λ1+λ2+μ1)·(λ2+μ2)
;
Pобычн_прерв = P0 ·
λ2
(λ2 + μ1)
=
λ2·μ2
(λ1+λ2+μ1)·(λ2+μ2)
.
Разумеется, Pобычн_обсл + Pобычн_прерв = P0 – вероятность при-
нятия обычной заявки на обслуживание.
Характеристики СМО с отказами и приоритетными
заявками
1. Ожидаемое время между двумя последовательными
заявками в обычном потоке
̄
TОжид_об =
1
λ1
, в приоритетном потоке ̄TОжид_пр =
1
λ2
.
51

2. Ожидаемое время обслуживания обычной заявки
̄
Tобсл_об =
1
μ1
и приоритетной ̄Tобсл_пр =
1
μ2
.
3. Относительная пропускная способность по приори-
тетным заявкам Qпр = P0 + P1 =
μ2
λ2 +μ2
– доля приоритет-
ных заявок, принимаемых на обслуживание. Все принятые
заявки обслуживаются.
4. Абсолютная пропускная способность по приоритет-
ным заявкам
Aпр=λ2·Qпр=
λ2·μ2
λ2+μ2
– ожидаемое количество обслуживаемых в единицу време-
ни приоритетных заявок.
5. Относительная пропускная способность по обычным
заявкам
Qоб = Pобыч_обсл =
μ2
λ2+μ2
·
μ1
λ1+λ2+μ1
– доля обычных заявок, принимаемых на обслуживание.
Интересно, что относительная пропускная способность (ОПС)
по обычным заявкам равна произведению ОПС по приори-
тетным заявкам на ту ОПС, которая была бы, если бы от-
менили приоритеты, т. е. если бы все заявки обслуживались
как обыкновенные.
52

6. Абсолютная пропускная способность по обычным за-
явкам
Aоб=Pобыч_обсл·λ1 =λ1·
μ2
λ2+μ2
·
μ1
λ1+λ2+μ1
– ожидаемое количество обслуживаемых в единицу време-
ни обычных заявок.
7. Интенсивность выходящего потока приоритетных за-
явок, получивших отказ,
P2·λ2=
λ2
2
λ2+μ2
– ожидаемое количество приоритетных заявок в единицу
времени, получающих отказ по причине занятости един-
ственного канала обслуживанием другой приоритетной за-
явки.
8. Интенсивность выходящего потока обычных заявок,
получивших отказ,
(1−P0)·λ1=(1−
μ2·(λ2+μ1)
(λ1+λ2+μ1)(λ2+μ2)
)·λ1
– ожидаемое количество обычных заявок в единицу време-
ни, получивших отказ по причине занятости канала.
53

9. Интенсивность выходящего потока обычных заявок,
принятых на обслуживание, но не обслуженных по
причине появления приоритетной заявки
Pобыч_прер · λ1 =
λ1·λ2·μ2
(λ1+λ2+μ1)(λ2+μ2)
– количество обычных заявок в единицу времени, вытес-
ненных из системы приоритетными заявками, т. е. заявок,
принятых на обслуживание, но необслуженных.
Приведем пример расчета интенсивностей выходящих потоков
дляпредставленногонарис.9случая:λ1 =4,μ1 =6,λ2 =1,
μ2=4.
No Интенсивности выходящих потоков Обычные заявки Приоритетные заявки
1
Обслуженных заявок
1,745
0,8
2
Заявок, получивших отказ
1,964
0,2
3
С прерванным обслуживанием
0,291
0
4
ИТОГО
4
1
Очевидно, сумма интенсивностей всех выходящих потоков равна
интенсивности соответствующего входящего потока.
54

Глава 3. Процессы гибели и размножения
Пусть СМО имеет множество состояний {Si}, где i = 0, 1, . . . , n.
В частности, не исключается случай n = ∞. По-прежнему спра-
ведливы допущения (18) о вероятностях переходов. При этом
возможны только переходы вида
λi,i+1иλi+1,i, гдеi=0,1,...n −1.
Тогда процесс функционирования системы называют процес-
сом гибели и размножения. Таким образом, для процессов
гибели и размножения характерны только последовательные пе-
реходы слева направо или справа налево (рис. 10). Этот класс
Рис. 10. Процесс гибели и размножения
процессов впервые начали изучать в связи с исследованиями
динамики численности популяций, распространения эпидемий и
другими подобными задачами. Отсюда и закрепившееся за про-
цессами название. Если возможны переходы только слева напра-
во, процесс называют процессом чистого размножения. Если
же возможны переходы только в обратном направлении, говорят
о процессе гибели.
Запишем уравнения Колмогорова для произвольной системы ги-
55

бели и размножения. Согласно схеме первое уравнение
P′
0(t) = −λ01 · P0(t) + λ10 · P1(t),
далее
P′
k(t) = λk−1,k · Pk−1(t) − (λk,k−1 + λk,k+1) · Pk(t) + λk+1,k · Pk+1(t),
где k > 0. Если множество состояний конечно и номер крайнего
справа – n, то систему будет замыкать уравнение
P′
n(t) = λn−1,n · Pn−1(t) − λn,n−1
· Pn(t).
Уравнения Колмогорова для случая процессов гибели и размно-
жения иногда называют уравнениями Эрланга.
§ 3.1. Формулы Эрланга
Аналитическое решение систем уравнений Колмогорова даже для
простых процессов гибели и размножения с конечным числом
состояний часто оказывается довольно громоздким. Однако ес-
ли существует установившееся решение, получить его нетрудно.
Система уравнений Колмогорова для установившегося решения
56

принимает вид
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
−λ01·P0+λ10·P1=0;
λ01·P0−(λ10+λ12)·P1+λ21P2=0;
...
λk−1,k · Pk−1
−
(λk,k−1 + λk,k+1) · Pk + λk+1,kPk+1 = 0.
Положим, zk = λk,k+1 · Pk − λk+1,k · Pk+1 , тогда
z0=0,
z0−z1=0,
...
zk−1
−
zk=0
.
Отсюда, независимо от того, конечна система или нет,
z0=z1=···=zk=···=0
и, следовательно, Pk+1 =
λk,k+1
λk+1,k
· Pk,гдеk>0.Поиндукции
получим выражение предельных вероятностей через
Pk=(
k−1
∏︁
i=0
λi,i+1 /
k−1
∏︁
i=0
λi+1,i),
где k > 0. Введем обозначение:
αk=(
k−1
∏︁
i=0
λi,i+1 /
k−1
∏︁
i=0
λi+1,i),
где k > 0. Тогда Pk = αk · P0 . Таким образом, чтобы получить αk ,
надо просто произведение интенсивностей всех переходов, веду-
щих на схеме 10 слева направо к Sk , разделить на произведение
57

интенсивностей всех переходов, ведущих справа налево от Sk .
Если положить α0 = 0 , то из условия
∑︀n
k=0 Pk = 1 непосред-
ственно следует
n
∑︁
k=0
αk·P0=1
=⇒
P0=(
n
∑︁
k=0
αk )−1
.
Все сказанное справедливо и для случая n = ∞, если соответ-
ствующая сумма сходится. Итак,
αk=
⎧
⎨
⎩
1,еслиk=0;
(∏︀k−1
i=0 λi,i+1/
∏︀k−1
i=0 λi+1,i ), если k > 0.
(32)
Pk=αk·(
n
∑︁
k=0
αk )−1
.
(33)
Выражения (32–33) известны как формулы Эрланга, поскольку
именно Эрланг впервые получил их для установившегося про-
цесса в многоканальной СМО с отказами. Ниже мы рассмотрим
примеры использования формул (32 - 33) для различных типов
СМО.
§ 3.2. Многоканальная СМО с отказами
Система с отказами и n каналами обслуживания имеет конечное
множество состояний {Si}, где i = 0, 1, . . . , n: S0 – свободны все
каналы, S1 – занят один канал, S2 – заняты два канала и так
далее, Sn – заняты все n каналов обслуживания. Интенсивность
входящего потока – λ , интенсивность обслуживания – μ. Как
58

видно на схеме (рис. 11), интенсивности переходов по возраста-
нию индекса совпадают с интенсивностью входящего потока, а
интенсивности переходов по убыванию индекса зависят от ин-
декса состояния.
Рис. 11. Многоканальная СМО с отказами
Так, интенсивность перехода Sk → Sk−1 равна k · μ , т. е. произ-
ведению интенсивности обслуживания одним каналом μ на ко-
личество задействованных каналов k.
Применим формулы Эрланга α0 = 1 и αk =
λk
1·2·...·k·μk для k>0.
Введем обозначения ρ = λ
μ – приведенная интенсивность входя-
щего потока или нагрузка системы.
Тогда
αk=
ρk
k!
, гдеk=0,1,...,n,
P0=(
n
∑︁
k=0
ρk
k!
)−1
.
Отказ в обслуживании заявка получает только тогда, когда си-
стема находится в состоянии Sn, т. е. все каналы заняты. Веро-
ятность этого события Pn.
59

Характеристики многоканальной СМО с отказами
1. Относительная пропускная способность системы.
Q=1 −Pn
2. Абсолютная пропускная способность, она же интен-
сивность выходящего потока обслуженных заявок
A=Q ·λ =(1−Pn)·λ.
3. Интенсивность выходящего потока заявок, получив-
ших отказ,
Pn·λ.
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов,
т. е. математическое ожидание числа занятых кана-
лов
̄
K = M(k)=
n
∑︁
k=0
k·Pk=
n
∑︁
k=1
k·Pk=
n
∑︁
k=1
k
ρk
k!
· P0=
=
ρ·
n
∑︁
k=1
ρk−1
(k−1)!
· P0=ρ·
n−1
∑︁
k=0
ρk
k!
· P0=
=
ρ·
n−1
∑︁
k=0
Pk=ρ ·(1−Pn).
Таким образом, среднее число занятых каналов равно про-
изведению приведенной интенсивности входящего потока
60

на относительную пропускную способность системы.
5. Среднее число свободных от обслуживания каналов
̄
N0=n−
̄
K.
6. Коэффициент занятости каналов ̄K /n.
7. Коэффициент простоя каналов ̄N0/n.
Иногда рассматривают СМО с бесконечным числом каналов. Хо-
тя кто-то может вполне резонно возразить, что таковых не бы-
вает, названная модель вполне адекватно описывает некоторые
реальные ситуации. Например, если каналы обслуживания – но-
мера в гостинице на курорте в мертвый сезон, а также в других
ситуациях, когда каналов очень много, а заявок очень мало. Оче-
видно, в такой системе обслуживаются все заявки.
В этом случае
P0=(
∞
∑︁
k=0
ρk
k!
)−1
=e
−ρ
,
Pk=
ρk
k!
·e
−ρ
.
Среднее число занятых каналов
̄
K=
∞
∑︁
k=0
k·Pk=
∞
∑︁
k=1
k
ρk
k!
·e
−ρ
=ρ
∞
∑︁
k=1
ρk−1
(k−1)!
·e
−ρ
=
=
ρ·
∞
∑︁
k=1
(ρk
k!
)′
ρ·e
−ρ
=ρ·(
∞
∑︁
k=1
ρk
k!
)′
ρ·e
−ρ
=ρ·(e
ρ
)′
ρ·e
−ρ
=ρ.
61

Таким образом, среднее число занятых каналов в «бесконечно-
канальной» СМО ̄K = ρ определяется только отношением ин-
тенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания.
§ 3.3. Одноканальная СМО без ограничений на длину
очереди
Рис. 12. Одноканальная СМО без ограничений на длину очереди
Одноканальная система без ограничений на длину очереди (рис.
12) имеет бесконечное множество состояний {Si}, где где i =
0, 1, . . . : S0 – единственный канал свободен, S1 – канал занят об-
служиванием заявки, S2 – канал занят, и одна заявка находится
в очереди, S3 – канал занят, и две заявки находятся в очереди и
т. д. Таким образом, состояние Sk , где k > 1, – это когда в оче-
реди находится k − 1 заявка. Интенсивность входящего потока
– λ, интенсивность обслуживания – μ. Интенсивности всех пере-
ходов в порядке возрастания индекса равны λ, а интенсивности
всех переходов в обратном направлении, в отличие от случая из
§ 3.2, совпадают и равны μ .
Если заканчивается обслуживание очередной заявки при нали-
чии очереди, система переходит к обслуживанию следующей, а
длина очереди уменьшается на единицу.
62

Формулы Эрланга теперь примут вид
αk=
λk
μk=ρk, гдеk=0,1,2...;
P0=(
∞
∑︁
k=0
ρk)−1
=1−ρ.
Разумеется, должно выполняться условие ρ < 1 . В противном
случае, когда λ ≥ μ , интенсивность обслуживания не превы-
шает интенсивности поступления заявок, очередь со временем
стремится к бесконечности и сам разговор о предельных вероят-
ностях теряет смысл.
В дальнейшем мы не будем специально выделять основные ха-
рактеристики рассматриваемых СМО.
Вероятности состояний системы Pk = (1 − ρ) · ρk . Любая посту-
пившая заявка принимается в очередь и рано или поздно обслу-
живается. Отсюда относительная пропускная способность Q = 1,
а абсолютная A = λ. Выходящий поток только один и образован
обслуженными заявками, его интенсивность равна интенсивно-
сти входящего потока λ.
Найдем среднюю длину очереди ̄Lоч для установившегося реше-
ния. Вероятность нулевой длины равна P0 +P1, и далее при k > 1
63

вероятность длины k равна Pk+1 . Таким образом,
̄
Lоч = M(k)=
∞
∑︁
k=1
k·Pk+1=
=
(1−ρ)
∞
∑︁
k=1
k·ρk+1
= (1−ρ)·ρ
2
·
∞
∑︁
k=1
k·ρk−1
=
=
(1−ρ)·ρ2·(
∞
∑︁
k=1
ρk)′
ρ=(1−ρ)·ρ
2
·(
ρ
1−ρ
)′
ρ=
ρ2
1−ρ
.
Пусть Tоч – время нахождения вновь поступившей заявки в оче-
реди. M(Tоч/Sk) – ожидаемое время пребывания заявки в оче-
реди, при условии, что система на момент поступления заявки
находится в состоянии Sk. Тогда
M (Tоч/Sk ) =
⎧
⎨
⎩
0,еслиk=0;
k
μ, еслиk>0.
По формуле полной вероятности ожидаемое время пребывания
заявки в очереди
̄
Tоч =
∞
∑︁
k=0
P (Sk) · M(Tоч/Sk) =
∞
∑︁
k=1
Pk · M(Tоч/Sk) =
=
∞
∑︁
k=1
Pk·
k
μ
=
1−ρ
μ
·
∞
∑︁
k=1
k·ρk=
ρ
μ(1−ρ)
.
Отсюда – первая формула Литтла: ̄Lоч = λ ·
̄
Tоч.
Среднее время пребывания заявки в системе равно сумме сред-
него времени пребывания в очереди и среднего времени обслу-
64

живания:
̄
Tсис =
̄
Tоч + ̄Tобс =
ρ
μ(1−ρ)
+
1
μ
.
Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, ̄Lобсл =
= 1 − P0 = ρ. Тогда среднее число находящихся в системе заявок
̄
Lсис =
̄
Lоч + ̄Lобс =
ρ2
1−ρ
+ρ=
ρ
1−ρ
.
Отсюда легко получается соотношение между количеством за-
явок в системе и временем пребывания заявки в системе (34) –
вторая формула Литтла. Таким образом,
̄
Lоч=λ·
̄
Tоч,
̄
Lсис=λ ·
̄
Tсис.
(34)
Рассмотренная нами в этом параграфе система без ограничений
на длину очереди является довольно распространенной моделью
реальных систем. Например, пусть пропускная способность го-
родского травматологического пункта – 10 пациентов в час, а
в городе в этот период времени случается 9 травм в час. Чему
равна средняя длина очереди ̄Lоч и среднее время пребывания
пациента в очереди ̄Tоч? Итак: λ = 9 , μ = 10 . Следовательно,
ρ=0,9; ̄Lоч=8,1пациента; ̄Tоч=0,9часа,или54минуты.При
этом, если смена длится 6 часов, то из них 0,6 часа, или 36 минут,
пункт простаивает. Эти моменты важно учесть при подготовке
организационных решений, связанных с медицинским обслужи-
ванием и другими видами обслуживания населения.
65

§ 3.4. Одноканальная СМО с ограничением на длину
очереди
Теперь рассмотрим систему, аналогичную исследованной в преды-
дущем параграфе, но с ограничением на длину очереди. Пусть
система имеет n + 1 состояние: S0 – единственный канал свобо-
ден, S1 – единственный канал занят обслуживанием заявки, S2 –
канал занят и одна заявка находится в очереди и т. д. Последнее
состояние Sn+1 – в очереди n заявок (рис. 13).
Рис. 13. Одноканальная СМО с ограничением на длину очереди
Формулы Эрланга:
αk=
λk
μk=ρk,гдеk=0,1,2...,n+1;
P0=(
n+1
∑︁
k=0
ρk )−1
.
Выполнение условия ρ < 1 теперь не требуется. Pk = P0 · ρk .
Вероятность принятия заявки на обслуживание равна 1 − Pn+1 ,
вероятность отказа – Pn+1 . Система имеет два выходных потока:
поток обслуженных заявок с интенсивностью A = (1 − Pn+1 )λ и
поток заявок, получивших отказ, с интенсивностью A = Pn+1 · λ.
Средняя длина очереди
̄
Lоч=M(k)=
n
∑︁
k=1
k·Pk+1=P0·
n
∑︁
k=1
k·ρk+1
.
(35)
66

Аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе,
нетрудно найти ̄Lобс, ̄Lсис, ̄Tоч, ̄Tсис. Разумеется, формулы Литт-
ла также выполняются.
§ 3.5. Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявками
Описание системы совпадает с представленным в § 3.2. Един-
ственное отличие – новый выходящий поток, поток нетерпели-
вых заявок. Для него мы вводим новый параметр ω – интен-
сивность ухода заявки из очереди. Таким образом, 1
ω
– среднее
время ожидания заявки в очереди. Схема СМО изображена на
рис. 14.
Рис. 14. Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявками
В рассматриваемом примере заявки иногда покидают очередь
по своей инициативе, не дождавшись обслуживания. Формулы
Эрланга:
α0 = 1,αk=
λk
∏︀k
i=1(μ+(i−1)·ω)
= ρk, дляk>0;
P0=(
n+1
∑︁
k=0
ρk)−1
,Pk=αk·P0.
Также рассматривают приведенную интенсивность потока ухо-
67

довβ=
ω
μ . Тогда
αk=
ρk
∏︀k
i=1(1+(i−1)·β)
.
Средняя длина очереди ̄Lоч = M (k) = ∑︀
n
k=1 k · Pk+1 . Каждая
заявка «испытывает желание» уйти с интенсивностью ω . По-
этому интенсивность выходящего потока покинувших очередь
заявок равна ̄Lоч · ω. Поскольку в очередь принимаются все без
исключения заявки, абсолютная пропускная способность систе-
мыA=λ −
̄
Lоч·ω.
§ 3.6. Замкнутая одноканальная СМО
До сих пор мы рассматривали СМО, в которых входной поток
не зависит от того, сколько заявок в данный момент обслужива-
ется или находится в очереди. Так, в большом городе вы можете
считать, что ваш звонок не окажет влияния на общую интенсив-
ность звонков по городу и, хотя население даже очень большого
города конечно, вы можете в модели считать количество источ-
ников заявок бесконечным. Другое дело, например, когда в цехе
всего десять станков и один мастер по их ремонту. Тогда моде-
льюцехабудетСМОссостояниями{Si},гдеi=0,1,. ..,n :S0–
работают все станки, S1 – один станок в ремонте, остальные ра-
ботают, S2 – один в ремонте, один в очереди, остальные работают
и, наконец, Sn– один в ремонте, остальные в очереди на ремонт!
Интенсивность потока заявок на ремонт с одного станка, т. е. ин-
тенсивность потока отказов – λ , интенсивность обслуживания –
68

μ . Величину 1/λ в теории надежности называют наработкой
на отказ. Такие системы называют замкнутыми, или системами
Энгсета (рис. 15).
Рис. 15. Замкнутая одноканальная СМО
Формулы Эрланга:
α0 = 1иαk=
k!
(n−k)!
· ρk, дляk=1,2...n;
P0=(
n
∑︁
k=0
ρk)−1
,Pk=αk·P0.
Абсолютная пропускная способность СМО A = Pзан · μ , где Pзан
– вероятность того, что система занята обслуживанием заявки.
Напомним, что здесь μ – производительность системы при усло-
вии, что она обслуживала бы заявки непрерывно, без простоев.
В замкнутой СМО можно выделить некоторые количества ак-
тивных Nакт и пассивных N пас источников заявок. Например,
пассивные источники – это находящиеся в ремонте или в очере-
ди на ремонт станки. Только активный источник может подать
новую заявку на обслуживание. Очевидно, Nакт + N пас = n.
Также и для средних: ̄Nакт + ̄N пас = n. Средняя интенсивность
входящего потока
̄
Λ=A =(1−P0)·μ =(n− ̄
N пас)·λ =⇒
̄
Nпас=n−
1−P0
ρ
.
69

Здесь
̄
N пас = Lсис;
̄
Lоч =
̄
Lсис − ̄Lобсл =
=
n−
1−P0
ρ
−
(1−P0)=n −(1−P0)·(
1
ρ
+ 1).
Вероятность того, что заявка активна, т. е. доля активных заявок
Pакт=1 −
̄
Lсис
n·λ
;
̄
Tоч =
̄
Lоч
̄
Λ
.
70

***
К сожалению, объем пособия не позволил рассмотреть многока-
нальные системы с ограничением и без ограничений на длину
очереди, многоканальные системы с нетерпеливыми заявками
и замкнутые многоканальные системы. Также не рассмотрены
многофазовые системы, пропущен ряд теоретических вопросов
существования решений уравнений Колмогорова, а также осо-
бые случаи входящего потока и порядка обслуживания, случаи,
когда нарушается ординарность потока или когда заявки посту-
пают по законам простейшего потока, но отдельные заявки не
обслуживаются. Например, занятия на курсах английского язы-
ка начинаются по мере комплектования групп. В таких случаях
не всегда классические учебники дадут ответ на все вопросы и
приходится обращаться к дополнительной литературе. Однако
студент, освоивший методы моделирования СМО и основные ха-
рактеристики СМО на рассмотренных в книге примерах и во-
оружившись необходимой литературой, сможет самостоятельно
исследовать многие пропущенные нами классы СМО. В конце
концов для чего-то существуют и «толстые» книги.
71

Биографические справки
1. Вентцель Елена Сергеевна (1907–2002) – советский математик,
доктор технических наук, профессор, автор научных работ и
учебников по теории вероятностей, исследованию операций и
теории массового обслуживания. Елена Сергеевна является так-
же автором ряда романов, повестей и рассказов.
2. Гнеденко Борис Владимирович (1912–1995) – советский матема-
тик, академик АН УССР, специалист по теории вероятностей и
математической статистике. Занимался задачами, связанными с
обороной страны. Автор многих работ по теории массового об-
служивания, один из основоположников теории надежности.
3. Йохансон Фредерик Фердинанд (1855–1934) – датский инженер,
директор Копенгагенской телефонной компании. Изложил пер-
вые идеи теории очередей в 1907 году в статье «Время ожидания
и число вызовов».
4. Каштанов Виктор Алексеевич (1934) – советский математик, док-
тор физико-математических наук, лауреат Государственной пре-
мии СССР 1979 года. Один из руководителей разработок в об-
ласти фундаментальных проблем системной безопасности.
5. Коваленко Игорь Николаевич (1935) – советский математик, док-
тор технических наук, доктор физико - математических наук,
профессор, академик АН УССР, лауреат Государственной пре-
мии СССР 1978 года. Основные труды относятся к теории веро-
ятностей и ее приложениям, теории надежности, теории массо-
вого обслуживания.
6. Колмогоров Андрей Николаевич (1903–1987) – выдающийся со-
ветский математик, академик АН СССР, Герой Социалистиче-
72

ского Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР,
профессор МГУ, иностранный член Национальной академии на-
ук США, член Лондонского королевского общества, член Гер-
манской академии естествоиспытателей и многих других акаде-
мий и научных обществ мира. Внес значительный вклад в раз-
витие теории марковских процессов с непрерывным временем.
7. Клейнрок Леонард (1934) – американский инженер в области ин-
формационных технологий и компьютерных сетей. Сыграл важ-
ную роль в создании сети ARPANET – предшественницы Интер-
нета.
8. Марков Андрей Андреевич (1856–1922) – русский математик,
академик Российской академии наук, профессор физико-мате-
матического факультета Санкт- Петербургского университета.
Внес большой вклад в теорию вероятностей, математический
анализ и теорию чисел, впервые исследовал широкий класс сто-
хастических процессов с дискретным временем (марковские це-
пи) и непрерывным временем (марковские процессы). Цепи Мар-
кова нашли широкое применение в работах Планка, Эйнштейна
и других ученых.
9. Пуассон Симеон Денни (1781–1840) – французский математик,
механик и физик, профессор Политехнической школы в Пари-
же, почетный член Петербургской академии наук. Предложил
один из важнейших законов распределения случайных величин,
впоследствии названный его именем.
10. Хинчин Александр Яковлевич (1894–1959) – советский матема-
тик, один из наиболее значимых ученых в советской школе тео-
рии вероятностей, член-корреспондент АН СССР, действитель-
ный член и один из основателей Академии педагогических наук,
73

лауреат Сталинской премии 1941 года. Является (совместно с
А. Н. Колмогоровым) создателем современной теории случай-
ных процессов и теории массового обслуживания. В молодости
Александр Яковлевич опубликовал четыре небольших сборника
своих стихов.
11. Энгсет Торе Олаус (1865–1943) – норвежский математик и инже-
нер, один из основоположников теории массового обслуживания.
12. Эрланг Агнер Краруп (1878–1929) – датский математик, стати-
стик и инженер, сотрудник Копенгагенской телефонной компа-
нии, основатель научного направления по изучению трафика в
телекоммуникационных системах. В 1909 году Эрланг опубли-
ковал свою первую работу «Теория вероятностей и телефонные
разговоры», которая была признана во всем мире и легла в ос-
нову теории массового обслуживания.
74

Список литературы
1. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных.
М.: Мир, 1989. 540с.
2. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее
инженерные приложения. М.: ACADEMA, 2003. 432 с.
3. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового
обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.
4. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массо-
вого обслуживания. М.: Высшая школа, 1982. 256 с.
5. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностро-
ение, 1979. 432 с.
6. Новиков О. А., Петухов С. И. Прикладные вопросы теории мас-
сового обслуживания. М.: Советское радио, 1969. 400 с.
7. Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Теория массового обслуживания в
экономической сфере. М.: Издательское объединение ЮНИТИ,
1999. 319 с.
8. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового об-
служивания. М.: Государственное издательство физико-матема-
тической литературы, 1963. 236 с.
9. Чернецкий В. И. Математическое моделирование стохастических
систем. Петрозаводск: Издательство Петрозаводского государ-
ственного университета, 1994. 488 с.
75

Учебное издание
Белый Евгений Константинович
Введение в теорию массового обслужива ния
Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению
«Информационные системы и технологии»
Редактор
Редак тор Е. Е . Порывакина
Е. Е . Порывакина
Компьютерная верстка
Компьютерная верстка Е. К. Белого
Е. К. Белого
Фотография для обложки предоставлена старшим преподавателем
Фотография для обложки предоставлена старшим преподавателем
кафедры физической культуры
кафедры физической культуры
Г. А . Крикуновым
Г. А . Крикуновым
Подписа но в печать 17.12 .14 . Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Уч.-изд. л . 2 ,7. Тираж 105 экз. Изд. No 168
Федера льное гос ударственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ
185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33