Text
                    В. П. МИХАИЛОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для механико-математических
и физических специальностей
высших учебных заведений
Издательство «Наука>
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва 1976


517.2 УДК 517.9 Дифференциальные уравнения в частных производ- производных, В. П. Михайлов, Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», 1976. В книге рассматриваются основные краевые задачи для эллиптических и задача Коши и смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений вто- второго порядка. Широко используется понятие обобщен- обобщенного решения. < Для чтения книги достаточно владеть основами математики в размере программы первых двух курсов механико-математических или физических факультетов университетов или втузов с повышенной математиче- математической подготовкой; все необходимые сведения из функ- функционального анализа и теории функциональных прост- пространств, в частности, теоремы вложения Соболева, в книге излагаются. Книга является расширенным изложением курса лекций, читавшихся автором студентам третьего курса Московского физико-технического института. 20203—032 @ Главная редакция **• „,., ,„о, -с Ю-/О физико-математической литературы O издательства Шаука», 1976
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ' 5 Глава I. Введение. Классификация уравнений. Постановка некоторых задач 7 § 1. Задача Коши. Теорема Ковалевской 10 1. Постановка задачи Кошн A0). 2. Аналитические функции нескольких переменных A9). 3. Теорема Ковалевской B1). § 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений второ- второго порядка 29 § 3. Постановка некоторых задач 33 1. Задачи о равновесии и движении мембраны C3). 2. Задача о распростра- распространении тепла C8) Задачи к главе I 40 Глава II. Интеграл Лебега и некоторые вопросы функционального ана- анализа - 41 § 1. Интеграл Лебега 41 § 2. Линейные нормированные пространства. Гильбертово простран- пространство 63 § 3. Линейные операторы. Компактные множества. Вполне непрерыв- непрерывные операторы 72 § 4. Линейные уравнения в гильбертовом пространстве 86 § 5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы 95 Глава III. Функциональные пространства 102 § 1. Пространства непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций 102 § 2. Пространства интегрируемых функций 105 § 3. Обобщенные производные 112 § 4. Пространства Я* (Q) 122 § 5. Свойства функций из Я1 (Q) и Я1 (Q) 136 § 6. Свойства функций нз Я* (Q) 150 § 7. Пространства С' ° и C2s- \ Пространства Нг- ° н H2s-s . . . 156 § 8. Примеры операторов в функциональных пространствах .... 162 Задачи к главе III 166 Глава IV. Эллиптические уравнения , 170 § 1. Обобщенные решения краевых задач. Задачи на собственные значения 170 1. Классические н обобщенные решения краевых задач A70). 2. Существо- ванне н единственность обобщенного решения в простейшем случае A73). 3. Собственные функции н собственные значения A75). 4. Вариационные свойства собственных значений и собственных функций A82). 5. Аснмпто- 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ тическое поведение собственных значений первой краевой задачи A88). 6. Разрешимость краевых задач в случае однородных граничных условий A90). 7. Первая краевая задача для общего эллиптического уравнения A93). 8. Обобщенные решения краевых задач с неоднородными граничными ус- условиями A96). 9. Вариационный метод решения краевых задач B04). § 2. Гладкость обобщенных решений. Классические решения .... 209 1. Гладкость обобщенных решений в одномерном случае B09). 2. Внут- Внутренняя гладкость обобщенных решении B12). 3. Гладкость обобщенных решений краевых задач B17). 4. Гладкость обобщенных собственных функ- функций B27). 5. О разложениях в ряды по собственным функциям B28). 6. Обобщения B31). § 3. Классические решения уравнений Лапласа и Пуассона .... 232 1. Гармонические функции. Потенциалы B32). 2. Основные свойства гармо- гармонических функции B36). 3. О классических решениях задачи Дирихле для уравнения Пуассона B43). 4. Гармонические функции в неограничен- неограниченных областях B53). Задачи к главе IV , . 261 Глава V. Гиперболические уравнения ,...,... . 266 § 1. Свойства решений волнового уравнения. Задача Крши для вол- волнового уравнения 266 1. Свойства решений волнового уравнения B66). 2. Задача Кошн для вол- волнового уравнения B74), § 2. Смешанные задачи , 283 1. Единственность решения B83). 2. Существование обобщенного решения B90). 3. Метод Галёркнна B98). 4. Гладкость обобщенных решений. Су- Существование решения п. в. и классического решения C03). § 3. Обобщенное решение задачи Коши 325 Задачи к главе V 336 Глава VI. Параболические уравнения 339 § 1. Свойства решений уравнения теплопроводности. Задача Коши для уравнения теплопроводности 339 1. Свойства решений уравнения теплопроводности C39). 2. Задача Кошн для уравнения теплопроводности C47). § 2. Смешанные задачи 358 1. Единственность решения C58). 2. Существование обобщенного реше- решения C66).' 3. Гладкость обобщенных решений смешанных задач. Существо- Существование решения п. в. н классического решения C71). Задачи к главе VI 385 Предметный указатель 388
ПРЕДИСЛОВИЕ Книга является расширенным изложением курса лекций, читавшихся автором в течение ряда лет студентам Московского физико-технического института. Она рассчитана на студентов, владеющих основами математического анализа, алгебры и теории обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме универси- университетской программы. Все необходимые сведения содержатся, напри- например, в учебниках: СМ. Никольский, Курс математического анализа, т. 1, 2; А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры; Л. С. Понтрягин, Обыкновенные дифференциальные уравнения. За исключением главы I, в которой рассматриваются некото- некоторые общие вопросы дифференциальных уравнений в частных произ- производных, расположение материала соответствует основным типам уравнений. Центральную роль в книге играет занимающая наи- наибольший объем глава IV, в которой изучаются эллиптические уравнения. V и VI главы посвящены гиперболическим и парабо- параболическим уравнениям. Используемый в книге метод изучения краевых задач и, частично, задачи Коши опирается на понятие обобщенного реше- решения, что позволяет рассматривать уравнения с переменными коэф- коэффициентами столь же просто, как и простейшие уравнения: урав- уравнение Пуассона, волновое уравнение и уравнение теплопроводно- теплопроводности. Наряду с вопросами существования и единственности реше- решений основных краевых задач в книге значительное внимание уделено приближенным методам их решения: методу Ритца в эллиптическом и методу Галёркина в гиперболическом и парабо- параболическом случаях. Необходимые для такого построения сведения о функциональ- функциональных пространствах, в частности, теоремы вложения С. Л. Соболева, содержатся в главе III. При этом знакомства читателя с нужными
6 ПРЕДИСЛОВИЕ разделами теории функций и фукционального анализа не предпола- предполагается; им посвящена имеющая вспомогательный характер глава II. Ко всем главам, кроме второй, приводятся задачи. Большая их часть предназначена для углубления и расширения содержания соответствующей главы; с этой же целью приведены и списки дополнительной литературы. Для упражнений можно рекомендо- рекомендовать «Сборник задач по уравнениям математической физики» В. С. Владимирова и др., «Сборник задач по математической физике» Б. М. Будака, А. А. Самарского и А. Н. Тихонова и задачник М. М. Смирнова «Задачи по уравнениям математической физики». В заключение автор выражает глубокую благодарность В. С. Вла- Владимирову за постоянный интерес к настоящей книге, а также Т. И. Зеленяку, И. А. Киприянову и С. Л. Соболеву, ознако- ознакомившимся с рукописью и сделавшим ряд весьма ценных замеча- замечаний. Особую признательность автор выражает своим товарищам А. К. Гущину и Л. А. Муравью, плодотворные дискуссии с ко- которыми во многом способствовали улучшению книги. Июль 1975 года. g. Михайлов
Глава I ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ. ПОСТАНОВКА НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ Введение ' Дифференциальными уравнениями называются такие уравне- уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными являются функции многих (не менее двух) переменных, то уравнения назы- называются уравнениями в частных производных. С такими уравнениями мы и будем иметь дело в дальнейшем; при этом мы будем рассматривать только одно уравнение в частных производных с одной неизвестной функцией. ¦Л Уравнение в частных производных от неизвестной функции и переменных xlt ..., хп называется уравнением N-го порядка, если оно содержит хотя бы одну производную порядка N и не содержит производных более высокого порядка, т. е. уравнение ди ди д*и д*и dNu \_п Х\, . ., , Хп, U, — , ... , — . ~ - , • • • , дг —". дхх дхп дх\ дд д% J Уравнение A) называется линейным, если Ф, как функция переменных и, —— , ..., —?- , является линейной. В дальней- дхг дх% шем мы будем рассматривать линейное уравнение второго порядка, т. е. уравнение вида л 2 B) здесь х= (хи..., хп). Функции % (х), i, /= 1,..., п,at (x), i= 1,... ..., п, а(х) называются коэффициентами уравнения B), а функция f (х) — свободным членом. Обозначим через Rn n-мерное евклидово пространство, и пусть х=(хи ..., хп) — точка Rn, \x\ = (x\+. .. + x%I'2. Как обычно, под областью в Rn или n-мерной областью мы понимаем открытое связное (непустое) множество точек из Rn. В дальнейшем, если противоположное не оговорено особо, рассматриваемые области будем считать ограниченными.
о ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ I Пусть Q — некоторая л-мерная область. Множество Е czQ назы- называется строго внутренним по отношению к Q, EmQ, если Е czQ, где Е — замыкание (в смысле расстояния в Rn) множества Е. Множество всех функций, имеющих в Q непрерывные, частные производные до порядка k включительно, где k — некоторое целое неотрицательное число, обозначим через Ск (Q), а подмножество этого множества, состоящее из всех функций, все частные произ- производные до &-го порядка которых непрерывны в Q, обозначим через Ck (Q). Для множеств С0 (Q) и C°(Q), непрерывных в Q и соответ- соответственно непрерывных в Q функций, будем пользоваться также обозначениями С (Q) и C(Q). Множество всех функций, принад- принадлежащих всем Ck(Q), k = 0,l,-., обозначим через C^iQ), т. е. 00 Сю@)= р| Ck(Q). Множество всех функций, принадлежащих всем со C*(Q), k = 0, 1,..., обозначим через Cm(Q), CCO(Q)= fl Ск(Q). Функция f{x) называется финитной в Q, если существует такая подобласть Q'<sQ, что /(х) = 0 в Q\Q'- Множество всех финитных функций из Ск (Q) обозначим через Ck (Q), а пересечение со всех этих множеств Г) Ck (Q) — через C°°(Q). Пусть а=(а!,.'.., а„) —вектор с целыми неотрицательными координатами, через |а| будем обозначать otx +... + а„: |а| = = а1-\-...-\-ап. Егли функция /(x)eC*(Q), то частную производ- НУЮ о а~ часто Для краткости будем обозначать через дх^... дхпп Daf. Для производных первого и второго порядков будем исполь- использовать также обозначения fx, fx.x.. Градиент (fx ,..., fx \ функции f^&iQ) будем обозначать через V/(x). Под (п— 1)-мерной замкнутой поверхностью S мы будем пони- понимать ограниченную замкнутую (м— 1)-мерную поверхность без края класса С при некотором k^ 1, т. е. лежащую в Rn связную ограниченную замкнутую (S = S) поверхность, обладающую следующим свойством: для любой точки лг° е S существуют ее (n-мерная) окрестность Uxo и принадлежащая С (U^) функ- функция Fx°(x), для которой V Fx* (х°) Ф 0, такие, что множество S П Uх°> описывается уравнением Fxo(x) = 0 (т. е. все точки множества S f) U#> удовлетворяют уравнению Fxo(x) = 0 и лю- любая удовлетворяющая уравнению /v(x) = 0 точка из Ux« принад- принадлежит S).
ГЛ. I] ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ » Границу области Q будем обозначать через dQ. В дальнейшем, если противоположное не оговорено особо, границы рассматрива- рассматриваемых областей будем предполагать состоящими из конечного числа непересекающихся замкнутых (п— 1)-мерных поверхностей (класса С1), объем Q будем обозначать через \Q\. Заметим, что если замкнутая (п — 1)-мерная поверхность S принадлежит классу Ck, то для любой ее точки х° существует столь малая ее окрестность ?/*», что пересечение S Г\ U& одно- однозначно проектируется на некоторую (п— 1)-мерную область Dx« с границей класса С*, лежащую в одной из координатных плос- плоскостей, т. е. описывается при некотором t, t = l, ..., п, уравне- уравнением Xi = <Px?(Xi, . .., X(..i, Xj+i3 -.., Хп), (Xi, ..., Xi^i, Xi+i, ... ..., х„)еД^>, и ф^о е Ск (Де»). Пересечение S () U& будем назы- называть простым куском (или куском) поверхности S. Так как S ограничена и замкнута, то из покрытия {U'x, JteS} поверхности S можно выбрать конечное подпокрытие. Совокуп- Совокупность соответствующих такому конечному покрытию простых кусков Si, ..., SN будем называть покрытием поверхности S простыми кусками. Под (п— 1)-мерной поверхностью S класса Ck, k^\, будем понимать связную поверхность, которую можно так покрыть конечным числом (n-мерных) областей ?/,-, /=1, ..., N, что каждое из множеств St = S f) Ui3 t = l, ..., N, однозначно проек- проектируется на некоторую (п— 1)-мерную область Dt с границей класса Ch, лежащую в одной из координатных плоскостей, т. е. при некотором p = p(i), p=\, ..., п, описывается уравнением ( ( )D p j p p p и что ф;бС (D/). Совокупность поверхностей S(—простых кусков поверхности S, соответствующих такому покрытию Uu ..., UN поверхности S, будем называть покрытием поверхности S прос- простыми кусками. В дальнейшем под (п— 1)-мерной поверхностью мы будем понимать (п— 1)-мерную поверхность класса С* при некотором k :>=1. Обозначим через Q6, б > 0, являющееся областью объединение повеем*0 е= Q шаров {|х-х°|<6}: Qe= \J {\x-x°\ <6};Q<sQ6. Через Qe, б>0, будем обозначать множество, состоящее из всех точек области Q, расстояние от которых до границы dQ больше б; Qe <5 Q; при достаточно малом б > О Q6 является областью. Пока- Покажем, что для любого достаточно малого б > 0 существует беско- бесконечно дифференцируемая в Rn функция ?в(*)> равная 1 в Qe и равная 0 вне Q6/2. Функцию teW в дальнейшем будем называть Ь-срезающей функцией (или, просто, срезающей функцией) для области Q. Прежде чем построить функцию ?е(х), введем важное понятие ядра усреднения.
Ю ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I Пусть а>, (t) — бесконечно дифференцируемая, четная, неотрица- неотрицательная функция одного переменного t (—оо<?< +°о), равная нулю для 11 | ^ 1 и такая, что \щ(\х\)с1х = $ <М1*1)**=1. C) В качестве Wj (/) можно взять, например, функцию 0, где постоянная С„ подобрана так, чтобы выполнялось условие C). Пусть Л—произвольное положительное число. Функция <МИ)=^-<М1*1/Л) называется ядром усреднения (радиуса К). Ядро усреднения (oA(|xj), очевидно, обладает следующими свойствами: а) ю*(|*|)б= С» (/?„), шЛ(х)^0 в /?„, б) шА(|х|)э0 для |дг|>А, в) \ <D*(|*|)dx=l, г) для любого « = («!, ..., а„), |а|^=0, и при всех хе/?„ где Са —некоторая не зависящая от h положительная постоянная. Пусть (оЛ (|х|) —произвольное ядро усреднения. Непосредст- Непосредственно проверяется, что при достаточно малом 6>0 функция является срезающей функцией для области Q, при этом функция ?в (х) удовлетворяет в Rn неравенствам 0 «^ ^в (х) ^ 1.. § 1. Задача Коши. Теорема Ковалевской 1. Постановка задачи Коши. Рассмотрим в некоторой области Q «-мерного пространства Rn (область Q не обязательно ограни- ограничена, в частности, она может совпадать со всем /?„) линейное дифференциальное уравнение второго порядка j A) при этом коэффициенты и свободный член будем считать доста- достаточно гладкими комплекснозначными функциями. Матрицу ||яу(||
§ 1J ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ И i, j = 1, ... га, составленную из коэффициентов при старших про- производных, будем обозначать через А (х); матрица А (х) отлична от нулевой матрицы всюду в Q. В случае одного пространственного переменного, п=1, урав- уравнение A) есть обыкновенное дифференциальное уравнение и его можно записать (аи Ф 0) в виде u=g(x). B) Простейшей задачей в этом случае является задача Коши — задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего при некотором х = х° начальным условиям м(х°) = м0, и'(Х°) = и1. Посмотрим, как можно ставить аналогичную задачу для урав- уравнения в частных производных A). Возьмем некоторую принадле- принадлежащую Q достаточно гладкую (класса С2) (га—1)-мерную поверх- поверхность S, заданную уравнением *"(*) = 0, C) где F (x) — вещественнозначная функция, и пусть |^|=^0 при всех jceS, Пусть в Q задано векторное поле /(*) = (/, (х),..., /„(*))> где li(x), i=l, ..., га, — вещественнозначные функции, принадле- принадлежащие С1 (Q), | /12 = 1\ +... -f 1% > 0, такое что при всех j:e5 вектор 7(х) не касается поверхности S, т. е. 0L —Mill Tf s ~ \Ц (В дальнейшем нас будут интересовать значения поля / (х) только на 5.) Возьмем произвольную точку х° е 5 и рассмотрим уравнение A) в достаточно малой окрестности U этой точки (пусть i/ —шар с центром в точке х° достаточно малого радиуса). Пересечение 5 П U обозначим через So. Предположим, что в U задано решение и, u^.C2(U), уравне- уравнения A), и пусть «о (х) — значение функции и на So, а «х(х)—значение производной ~ на 50: u\s, = uo{x), D) = «iW- E) Покажем, что для уравнения в частных производных, в отличие от обыкновенного уравнения, и0 и ult вообще говоря, не могут быть произвольными (гладкими) функциями. Поскольку VF (х°) ф 0, то одна из координат вектора VF (х°) отлична от нуля; пусть, например, FXn (х°) Ф 0. Считаем, что
!2 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ Т окрестность U настолько мала, что в U Fx (х) ф О и уравнение C) можно представить в виде с гладкой функцией ф(х'). Обозначим через Fn(x) функцию F(х), а через Ft (х) — функции х-,— х\, t = 1, ...,«—1, и рассмотрим взаимно однозначное отображение y, = Fi(x), i=l, ..., «, ' F) области U в некоторую окрестность V начала координат — образа точки х°. Обозначим через 2 лежащий в плоскости уп = 0 образ поверхности So: 2 = У (]{t/ = (yu ..., yn-i) e/?„_!, г/„ = 0}. Функ- Функцию и (х (у)) будем обозначать через v (у). Так как их. = ^ vypFpxi> п. п ., то уравнение A) в но- ноР, Q = l P=\ вых переменных имеет вид II Р// Ы о^7+ 21 Р* (У) vy{+ р (г/) 0 = Л (г/), (Г) где ру (г/) — элементы квадратной матрицы \\(A(x(y))-VFi(x(y)), VFj(x(y)))\\, в частности, Кп (У (х)) = (А (х) VF (х), VF (х)). G) Условия D) и E) принимают соответственно вид »|z=Do(jO (8) (V, где vo(y') = uo(t/, Ф(г/')), v'1(t/) = u1(t/, ф(/)), а вектор 1(у(х)) = ( Щ xeSo' причем на 6О. Прежде всего покажем, что через функции v0 и у,' однозначно определяется значение вектора Vy на поверхности 2. Действи- Действительно, производные vy[ s, t=l, ..., я—1, вычисляются из (8): = yOl/(., i = l, ..., п—1, а в силу E') Vyny=v1{tf), (9) л—1 где / \
§ 1] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ '3 Очевидно, условия (8), E') и условия (8), (9) эквивалентны. Рассмотрим теперь значения на 2 вторых производных функ- функции v (у). Прежде всего заметим, что в силу равенств (8) и (9) значения на 2 всех вторых производных функции v (у), кроме производной vy у , однозначно определяются через функции v0 и v-i. Для определения значения на 2 производной vy y восполь- воспользуемся уравнением (Г). Из (Г), учитывая G), имеем (А (х (y))>VxF (х (у)), VXF =/i (у) - s Pyiv, - "i; Kvy.yn - i; v,vyt - po. (i") i. i-i i=i i=i Если на поверхности So функция (А (х) V/7, VF) Ф 0, то функция (A (x(y)) 4XF (x(y)), VxF(x(y))) отлична от нуля на 2, а следова- следовательно (считаем, что окрестность U достаточно мала) ив V. В этом случае уравнение A") в V можно переписать в виде п.— 1 п.— 1 п. vvnvn = S Yy V/ + .2 ЪпЩ1Уп + 1] bvyi + yv + h. A0) Полагая в A0) г/л = 0, получим значение на 2 производной vy y Таким образом, если (А (х) VF, VF) ф 0 на 50, то на 50 одно- однозначно определяются все производные функции и (х) до второго порядка включительно. Если же в некоторой точке ieS0 (A(x)VF(x), 4F(Jc)) = 0, то в соответствующей точке д (A (x(y)LxF (x(y)), 4xF(x(y))) = = 0. Тогда равенство A") в точке у является равенством, связывающим уже определенные величины v(y), vy[(y), Vy,y.(g), i=\, ..., n, j=\, ..., n— 1. Таким образом, значение в точке д функции у0 и ее производных до второго порядка и функции Vi и ее производных первого порядка, а следовательно, и значения в точке х функции «0 и «х и их соответствующих производных связаны некоторым соотношением, т. е., вообще говоря, не могут быть произвольными. Точка х поверхности 5 класса С1, заданной уравнением F = 0 (F — вещественнозначная функция, VF^O на 5), называется характеристической точкой для уравнения A), если в этой точке (A(x)VF(x), VF(x)) = 0. Поверхность 5 называется характеристической для уравнения A) или характеристикой (для) уравнения A), если все ее точки характеристические. В этом параграфе мы будем изучать задачу Коши для урав- уравнения A), т. е. задачу отыскания решение уравнения A), удов-
•4 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I летворяющего условиям D) и E) с некоторыми заданными функ- функциями «0 и ии в случае, когда поверхность 5 не имеет характе- характеристических точек. Значительно более сложным является случай, когда поверх- поверхность 5 содержит характеристические точки. Как было показано, если точка х° е 5 характеристическая, то существуют такие (глад- (гладкие) функции «0 и мь что ни в какой окрестности этой точки не существует гладкого (из C2(U)) решения уравнения A), удов- удовлетворяющего на S0 = S[]U условиям D) и E). Легко убедиться, что если U+ — одна из частей, на которые So разбивает U (счи- (считаем, что окрестность U является шаром с центром в х° доста- достаточно малого радиуса), то не существует и решения изС2(и+[}^0), удовлетворяющего на 50 условиям D) и E). Если, тем не менее, гладкое решение существует, то оно может быть неединственным. Пусть, например, га = 2. Рассмотрим в некотором круге U с центром в начале координат уравнение гх,хг = /(*)> для которого прямая х2 = 0 является характеристикой (к такому виду можно привести с помощью замены независимых перемен- переменных уравнение uXlXl — «ад = /i — волновое уравнение). Легко про- проверить, что для существования гладкого в U (из С2 (U)) решения этого уравнения, удовлетворяющего условиям и\Хг==о = ио(х1), Ux,\x,=o = Ui(xi)t необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие иух" ==f (хь 0). Причем, если это условие выполнено, то решение предоставляется в виде U (Хи Х2) = \ d|l \ f (ll, l2) <%2 + "О о о где g — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям g @) = 0, ^ = иг @). Если поверхность 5 характеристическая, то возможны и такие случаи, когда задачу для уравнения A) нужно ставить по ана- аналогии с задачей Коши для обыкновенного уравнения не второго, а первого порядка. Так, например, для уравнения (пусть снова га = 2) (уравнение теплопроводности), для которого прямая х2 = 0 явля- является характеристикой, в главе VI будет изучена задача (задача Коши), которая состоит в отыскании решения этого уравнения в полуплоскости х2>0, удовлетворяющего только одному усло- условию D): u'lX,=o = uo(Xx).
§ 1] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 15 Перейдем теперь к изучению задачи A), D), E) в случае, когда поверхность S не содержит характеристических точек. Пусть Q —n-мерная область, а 5 —лежащая в Q и заданная урав- уравнением C) (га— 1)-мерная поверхность, рассекающая Q на две непересекающиеся области Q+ и Q~, т. е. Q\S = Q+UQ~> Q+D (]Q-=s0. Предположим, что в области Q задано уравнение A) (т. е. в Q заданы коэффициенты и свободный член уравнения A)), а на поверхности 5 задано нигде не касающееся поверх- поверхности 5 векторное поле 1(х) = A1(х), ,.., /„(л1)), |/(х)|>0 на S, и две функции и0 (х) и «х (х). Пусть поверхность 5 не имеет характеристических точек уравнения A), т. е. (A(x)VF, VF)=?0 на 5. A1) Требуется найти функцию и(х), принадлежащую C2(Q), удовлетво- удовлетворяющую в Q уравнению A) и удовлетворяющую на 5 начальным условиям D) и E). Будем называть эту задачу нехарактеристи- нехарактеристической задачей Коши. Заданные функции — коэффициенты и сво- свободный член уравнения A), функцию F из C), вектор-функцию / и функции «о и «! — будем называть данными задачи. Предположим, что данные задачи A), D), E) бесконечно диф- дифференцируемы: коэффициенты и свободный член уравнения A) и функция F (х) из C) принадлежит С°° (Q), а функции 1г (х), ..., 1п{х), ио(х), «!(х) принадлежатС°°E) (т. е. функции l^xiy)),..., ux(x{jj)), где х = х(у) — заданное формулой F) отображение некоторой окрест- окрестности U произвольной точки х° е 5 в окрестность V начала коор- координат, бесконечно дифференцируемы в (га— 1)-мерной области 2 = = V(\{y'^Rn-i, г/л = 0}). Предположим также, что существует бесконечно дифференцируемое в Q решение и(х) задачи A), D), E). Как было показано выше, на поверхности 5 через данные задачи однозначно определяются все производные решения и (х) до второго порядка включительно. Докажем, что на поверхности 5 через данные задачи однозначно определяются все производные любого порядка функции и(х). Так как в рассматриваемом слу- случае отображение F) окрестности U произвольной точки х° е 5 в окрестность V начала координат задается с помощью бесконечно дифференцируемых в U функций Fi(x), i= I, ..., га, то в резуль- результате отображения F) задача A), D), E) в области U (под этим мы понимаем задачу нахождения в области U решения уравне- уравнения A), удовлетворяющего начальным условиям u\sa = u0(x), ~ =ы1(х), где S0 = U(]S) заменяется эквивалентной задачей (8) —A0) для функции v (у) в области V с бесконечно дифферен- дифференцируемыми данными. При этом поскольку существует бесконечно дифференцируемое в U решение и (х) задачи A), D), E), то и задача (8) — A0) в V имеет бесконечно дифференцируемое в V реше- решение v (у) = и (х (у)). Для доказательства утверждения достаточно
16 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I установить, что все производные Dayv{y) на 2 однозначно опреде- определяются через данные задачи ((8) —A0)). Значения на поверхности 2 производных D'a'- °>а (у) nD<a'> l)v(y) при любых а'= (аъ ..., an-i), |a'|3=0, определяются непосред- непосредственно из условий (8) и (9): = Da'v0, ?«*'• •>» |s = Da'V]_. a! Обозначим через ya значение в начале координат функции —rDav («!=«!!...«„!): A2) Тогда через функции v0 и Vi однозначно определены va- ци% ь |а'|^0: fa', 0 = -^yDa'v0\y = 0, A3) ((«)! %!! ..^!). Для определения на 2 производной D(a'-2>y (г/), |а'|^0, вос- воспользуемся уравнением A0). Дифференцируя A0) по уи ..., г/„..х и полагая г/„ = 0, получим где функция Ях (у) определяется в V формулой л—1 л—1 Я1 (У) = _ S Тг/ (#) vy.yf + 2 Y*» Ы vy.yn + (в которой в качестве v (у) подставлено решение задачи (8) —A0)). Функция D(a'- °>//x !2 есть функция (линейная с известными коэф- коэффициентами) уже определенных величин D(P'-°>y|2 и D(vM)y|2 при 0 ^ | Р' | ^ | а' | + 2, 0 < | у' | ^ | а' \ + 1. Поэтому на 2 одно- однозначно через данные задачи определяются все производные D<-a'-2b(y), |a'|^s0, и, в частности, о*.2 = B! (a')!)'1^"' 0)#i (У) 1<м» I« Предположим, что при некотором &;з=2 на 2 однозначно через данные задачи уже определены все производные D(a'.*-Dy (y}y | а' | Ss 0. Найдем производную D<a'- *>у (г/) |2, | а' | ^ 0. Для этого продифференцируем в V уравнение A0) о^ раз по уи ..., ап^ раз по г/„_х и ^ — 2 раза по уп, а затем положим уп = 0.
§ 1] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 17 В результате получим Функция D(a'-*-2)//i |s есть функция (линейная с известными коэффициентами) относительно уже определенных величин D'P'- (">y |s, 0<1^&-1 @<|Р'|<|а'| + 2 при 0^i^k-2 и O==S|P'|=?S <:|а'|4-1 при i = k—\). Поэтому на 2 однозначно определяются через данные задачи все производные D(a'-*)y, |a'|^0, в част- частности, »«'.*= ((«')! Л!)-»?>с«'.*-2)Ях(у) U. A5) Утверждение доказано. Замечание. Пусть v (у) — произвольная бесконечно диффе- дифференцируемая в области V функция. Рассмотрим бесконечно диф- дифференцируемую в V функцию я—1 я —1 t, } —\ (=1 Yo-A. A6) Из проведенных рассуждений вытекает, что если значения функ- функции v (у) и всех ее производных удовлетворяют условиям A2), где числа va, |a|3sO, определены равенствами A3) —A5), то DaH{y)\!H> = 0 при всех а, |а|=э=О. A7) Итак, мы показали, что если на поверхности 5 нет характери- характеристических точек, го данные задачи однозначно определяют на 5 все производные бесконечно дифференцируемого решения задачи A), D), E). Следовательно, в классе функций, однозначно определя- определяемых своими значениями и значениями всех своих производных на 5, решение задачи A), D), E) единственно. Одним из таких классов является класс аналитических функций. Далее в этом параграфе мы покажем, что в классе аналитических функций задача A), D), E) с аналитическими данными разрешима. Отметим, что, в отличие от случая обыкновенного уравнения, условие аналитичности данных в столь общей ситуации (если не налагать на коэффициенты уравнения A) дополнительных огра- ограничений) является, в определенном смысле, необходимым для разрешимости задачи. Следующий пример, принадлежащий Г. Леви, показывает, что уравнение в частных производных с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и свободным членом вообще может не иметь решений. Пример 1. Дифференциальное уравнение и*л + шад, + 21 (*! + ix2) м,л =/(*,) A8)
18 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I ни в какой окрестности начала координат (пространства R3) не имеет дважды непрерывно дифференцируемых решений, если вещественнозначная функция / (х3) не является аналитической функцией. Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно проверить, что уравнение uXl + iux, + 2t fo + ix2) uXz = / (x3) A9) ни в какой окрестности начала координат не имеет непрерывно дифференцируемых решений. Предположим, напротив, что в цилиндре Q = {х}-\-xl <C R2, \х3\<.Щ при некоторых /?>0 и #>0 существует принадле- принадлежащее С*(ф) решение и(х) уравнения A9) с неаналитической на интервале \х3\<.Н вещественнозначной функцией f(x3). Тогда функция «х(р, ф, x3) = «(pcos9, р sirup, x3) в параллелепипеде П={0<р</?, 0<ф<2я, \х3\<сЩ является решением урав- уравнения e"f + 21ре'*иХз = / (х3), причем «j е С1 (П) и их (р, 0, х3) = их (р, 2я, х3). Проинтегри- Проинтегрируем это равенство (при фиксированных р и х3) по <р е @, 2я). В результате получим, что в прямоугольнике К\ = {0 < р </?, д:3 |<Я} функция «2 (Р. *з)= f "i(P> Ф. о иг(Р. ^^^(^i), удовлетворяют уравнению Поэтому принадлежащая С1(К2)(]С(К2), где К2 — прямоугольник {0<r<R\ |х3|<Я}, функция v (r, x3) = Vr «2 (Уг , х3) является в /С2 решением уравнения или, что то же самое, уравнения (v (r, x3) + in] f (g) dl)r + i(v(r, x3) + in\f (I) dl) = 0. 0 \ 0 /x, Но последнее уравнение есть условие Коши — Римана для
§ 1] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ IS функции w (г, х3) = v (г, х3) + in $ / Й) &,. о Следовательно, функция ш (г, х3) является аналитической в Кг и непрерывной в Кг функцией комплексного переменного r + ix3, w(r, x3) = g{r + tx3). Так как Regi,._0 = 0, то согласно принципу симметрии функция g(r + «:3) допускает аналитическое продол- продолжение в прямоугольник К3 = {\ г | </?2, |х3|<//} и, в частности, является аналитической по х3 функцией на отрезке {г = 0, |х3| <С.Н}. Хз Но g |,._0 = in ^ / Й) d^, поэтому аналитической при |х3|<Я яв- о ляется и функция f(x3), что противоречит предположению. Заметим, что, например, плоскость хх = 0 не содержит харак- характеристических точек для уравнения A8). Таким образом, задача Коши для уравнения A8) (с начальными условиями, заданными на плоскости хх = 0) не. имеет решений ни в какой содержащей начало координат окрестности ни при каких начальных функциях. 2. Аналитические функции нескольких переменных. Пусть Q —некоторая область n-мерного пространства Rn, a g(x) — ком- плекснозначная функция, определенная в Q. Функция g(x) называется аналитической в точке х° eQ, если в некоторой окрестности U этой точки она представляется абсо- абсолютно сходящимся степенным рядом [x-x°)a, B0) a Функция g(x) называется аналитической в области, если она аналитична в каждой точке этой области. Пусть функция g(x) аналитична в точке х° eQ. Тогда в кубе KR(x°) = {\Xi — xl\<CR, t = l, ..., п) при некотором/?>0 она представляется абсолютно сходящимся (в Kr (x0)) рядом B0). Так как абсолютно сходящийся в Kr (x°) степенной ряд в любой строго внутренней подобласти К куба Kr(x°), К <SKr(x°), схо- сходится равномерно вместе со всеми производными, то функция g (х) е С°° (/() и, следовательно, g (x) e С00 (Kr (x0)). При этом, очевидно, ga = —.Dag(x°), где 0.1 = 0.^. ...«„!, т. е. ряд B0) яв- является рядом Тейлора функции g(x) в точке х°. Отсюда вытекает, что аналитическая в области Q функция однозначно определяется
20 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ [ГЛ I во всей области Q своим значением и значениями всех своих производных в произвольной точке из Q, в частности, если в какой-либо точке из Q она равна нулю вместе со всеми про- производными, то g(x)^0 в Q. Покажем, что если функция g (х) аналитична в точке x°eQ, то она аналитична и в некоторой окрестности этой точки. Для этого достаточно доказать, что если Kr (х°) — куб, в котором функция g (х) представляется (абсолютно сходящимся) рядом B0), то g(x) аналитична в кубе Kr/4(x°). Из абсолютной сходимости ряда B0) в Kr (х°) вытекает, что при любом ре@, R) alP|al<°o. B1) Возьмем произвольную точку х1 е Кцц (х°). Тогда для всех хе /O^1) имеем = 2ga12 c?(Xl-*d*(x\-*»*-Ах... \ / ... X =2 2 --2 x(X! -x,1)^ ... (х„ -хУ« (xl -*J)«i-* ... (jfi-x»)a«-p«. Так как для всех хеKris(x1) при любых a = (a!, ..., а„), = (Pi. ••-. Р«). Рг<аг. »=1. •••. «. a'-ai • • • <- а 1*1 -МГ • • • 1-*л Х„; л л и поскольку в силу B1) ряд ар то функция g (x) представляется в Kr/s (x1) абсолютно сходящимся ^ядом 2 где ^ = 2 ••• 2 ffaC?W-JcJ)*-"¦••• С^(х„-х„)а«-"л.
§ 1] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ . 2' довательно, функция g(x) аналитична в точке х1 и тем самым в силу произвольности Xх е Кнц(х°) в /Cr/4(дс°)- Утверждение доказано. Аналитическая в точке х° вещественнозначная функция ё (x) — ^j §<* (х ~~ х°)а называется мажорантой в точке х° фун- кции g(x) (из A8)), если для всех а, |а|5эО, \gg Пусть {ga, | а | ^ 0} — некоторая комплексная числовая после- последовательность, для которой существует вещественная числовая последовательность {ga, |a|5s0} такая, что для всех а, |а|2=0, И ряд ^gaiX — X0) абсОЛЮТНО СХОДИТСЯ В Некоторой окрестности точки х°. Тогда, очевидно, функция g(x) = y]ga (x — л"°)а а аналитична в точке х° и функция g (х) = ? ga (x — х°)а является а ее мажорантой в точке д-0. Очевидно также, что у любой аналитической в точке х° функ- функции существует мажоранта (в д-0). В качестве мажоранты для функции g(x) из B0) можно взять, например, функцию 21 Sa I (x — х°)а. Мажоранту функции g (x) из B0) можно построить а также следующим образом. Пусть ряд в B0) абсолютно сходится в кубе Kr(x°) при некотором /?>0. Возьмем некоторое р из интервала @, R). В силу B1) существует такое положительное М, что lga!p|a| ^М, т. е. |gaI^M/Pla!. Для всех a = (ax, ...,ая). Это означает, что мажорантой функции g(x) в точке х° является функция ('-¦¦ Хп — Х°п р / \ р Мажорантой функции g(x) в точке х° является при любом Л^ ^ 1 также фуйкция поскольку для всех а = (alf ..., <хп) ^ 3. Теорема Ковалевской. В этом пункте мы будем изучать задачу Коши в классе аналитических функций, т. е. будем рас- рассматривать аналитические в области Q или в некоторой ее под- подобласти Q', содержащей поверхность 5, решения задачи A), D), E). При этом будем предполагать, что данные задачи A), D),
22 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ [ГЛ I E) аналитичны, т. е. будем считать, что коэффициенты и сво- свободный член уравнения A) и функция F из C) (задающая урав- уравнение поверхности 5) — аналитические в Q, а функции /х(*),... ..., 1п(х), и0(х), их(х) — аналитические на S (т. е. функции h(x(y)), ..., ln(x(y)), uo(x(y)), «i (*(#)). где х(у)-заданное фор- формулой F) отображение некоторой окрестности U произвольной точки x°eS в окрестность V начала координат, аналитичны в (п— 1)-мерной области 2= V П {у' ^Rn-i> Уп = 0}). Напомним, что решение задачи, коэффициенты и свободный член уравнения A) и начальные функции комплекснозначны, а координаты 1\ (х), ... ..., 1„(х) вектора 1(х) и функция F (х) вещественнозначны. Будем предполагать, что поверхность 5 не имеет характеристических точек для уравнения A). Прежде всего докажем локальную теорему существования и единственности решения этой задачи. Теорема 1 (теорема Ковалевской). Пусть данные задачи A), D), E) аналитичны и поверхность S не имеет характери- характеристических точек для уравнения A). Тогда для любой точки х° е S существует такая окрестность Ux« этой точки, в которой эта задача имеет аналитическое решение, и ни в какой окрестности точки х° не может быть более одного аналитического решения этой задачи. Напомним (см. п. 1), что под задачей A), D), E) в области Uxa мы понимаем задачу нахождения решения и(х) уравнения A) в Ux«, удовлетворяющего начальным условиям u\sa = u0, -щ = и1г где 50 = 5 П U*>', при этом окрестность 11^ предполагается столь малой, что поверхность 50 разбивает ее на две непересекающиеся области. Пусть х° — произвольная точка поверхности S. Рассмотрим взаимно однозначное отображение F) некоторой достаточно малой окрестности U этой точки в окрестность V начала координат — образа точки х°. Поскольку данные задачи A), D), E) и функ- функции Fi(x), 2 = 1, ..., л—1, аналитичны, то задача Коши A), D), E) в области U при этом отображении переходит в эквивалент- эквивалентную ей задачу (8) —A0) (в области V) с аналитическими данными. Для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что найдется такая окрестность V начала координат, в которой существует аналитическое решение v(y) задачи (8) —A0), и что решение этой задачи единственно. Прежде всего докажем единственность. Пусть в некоторой окрестности Vx начала координат существует аналитическое ре- решение v(y) задачи (8) —A0). Так как v (у) eC°°(Vx), T0 из рас- рассмотрений п. 1 вытекает, что на поверхности S данными задачи однозначно определяются значения всех производных Dav, ]a|^0. В частности, однозначно определяются все значения Dav@),
§ 1] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 23 |сс|5=О. Следовательно (см. п. 2), решение v(y) однозначно опре- определяется через данные задачи в области Vi. Единственность до- доказана. Перейдем к доказательству существования. Прежде всего отметим, что достаточно доказать существование такой аналити- аналитической в начале координат функции v (у) — в силу свойств ана- аналитических функций (см. п. 2) она аналитична и в некоторой окрестности V начала координат, — которая является решением в V задачи (8)-A0). Равенствами A2) —A5) (см. п. 1) по данным задачи (8) —A0) (однозначно) определяются числа va, |oc|^=O. Покажем, что фор- формально написанный степенной ряд Xvay* B2) а представляет собой аналитическую в начале координат функцию. Тогда сумма этого абсолютно сходящегося в некоторой окрест- окрестности V начала координат ряда, обозначим ее через v{y), будет искомым решением. Действительно, из A3) вытекает, что значение аналитической по у' функции v(y', 0) и значения всех ее производных по уъ ..., уп-1 при у' = 0 совпадают с соответствующими значениями для аналитической по у' функции vo(y'). Следовательно, v(у', 0) = =5V0(y') на Ц = Vf\{y' ^Rn-u Уп = 0}. Аналогично из A4) полу- получаем, что vy (у', 0) =з Vi (у) на ?. То, что функция v (у) удов- удовлетворяет в V уравнению A0), проверяется следующим образом. Рассмотрим аналитическую в V функцию Н (у), определенную равенством A6), где в качестве v(y) подставлена исследуемая аналитическая функция B2). В силу выбора чисел va, jajs=O, согласно сделанному в п. 1 замечанию имеют место равенства A7), т. е. функция Н (у) и все ее производные в начале коорди- координат равны нулю. Следовательно, аналитическая в V функция Н (у) н= 0. А это и означает, что функция v {у) удовлетворяет в V уравнению A0). Итак, нам нужно доказать, что ряд B2) абсолютно сходится в некоторой окрестности начала координат. Для этого (см. п. 2) достаточно показать существование мажоранты для этого ряда в начале координат. Задачу Коши (в V) с аналитическими данными л—1 л—1 л 0»я*я= S ъАрЛ 2 Ъ1/>у1вя+ 2 ъ^+ув + Ъ, (Го) С/=1 ?=1 (=1 (8) (9)
24 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I будем называть задачей, мажорирующей задачу (8) —A0), если данные этой задачи являются мажорантами в начале координат соответствующих данных задачи (8) —A0). Если задача (8) —(Ш) имеет аналитическое в начале коорди- координат решение и(у) = ^ауа, B~2) а то это решение является мажорантой в начале координат для ряда B2) и, следовательно, ряд B2) представляет собой анали- аналитическую в начале координат функцию. Доказательство этого утверждения заключается в проверке справедливости при всех а, \ а | ^ 0, неравенств | va | <i va. По определению мажорирующей задачи функции й0 и йг являются мажорантами в начале координат функций и0 и их соответственно. Следовательно (см. A3) и A4)), для всех а', |а'|5=0, I va\ о I =sS va; о и | va; 11 < va', i • Предположим, что при некотором k^l уже доказаны при всех s, 0<;s=sS&— 1, и всех а', |а'|^0, неравенства |oe'iS|^ ^ 5а', s. Покажем, что тогда и | va\ k I ^ ^а', ь | а' | ^ 0. В силу A5) 2 I Р' К I а' I + 1 I Р' К I а' | + 1 ft-2 s = 0 IP'К I а' I + 2 где постоянные ср», s —линейные комбинации с неотрицательными коэффициентами значений в начале координат производных коэф- коэффициентов уравнения A0), а ср», s есть те же самые линейные комбинации соответствующих (неотрицательных!) производных коэффициентов уравнения A0). Так как задача (§) — A0) — мажорирующая задачу (8) —A0), то \ha',k\<^ha\k и |ср-,,|< < ср', s • Следовательно, | va', k I < v»-, k-
§ 1] ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 25 Таким образом, для доказательства абсолютной сходимости в некоторой окрестности начала координат ряда B2) нам доста- достаточно построить мажорирующую задачу (§) — A0), имеющую аналитическое в начале координат решение. При построении мажорирующей задачи удобнее иметь дело с однородными началь- начальными условиями (8) и (9): v 1*„=о = 0, (80) «Ч,!»"-о = °- (9о) Заметим, что для доказательства существования аналитиче- аналитического решения задачи (8) —A0) достаточно доказать существова- существование аналитического решения w(y) следующей задачи с однород- однородными начальными условиями: л—1 л—1 л - 2 Yy«V/- 2 Yi»«W - 2 №у,-yw-h'=0, i,i=\ l' i=\ ln i=\ w\y =o = O, где я —1 л —1 Действительно, легко видеть, что если w — аналитическое реше- решение этой задачи, то функция v = w + w' является аналитическим решением задачи (8) —A0). Следовательно, мы можем считать начальные условия (8) и (9) однородными, т. е. нам достаточно построить мажорирую- мажорирующую задачу для задачи (80), (90), A0). Поскольку коэффициенты и свободный член уравнения A0) аналитичны в начале коорди- координат, то (см. п. 2) в качестве уравнения A0) мажорирующей задачи можно взять уравнение М Р я—1 я—1 ( V/ при некоторых р>0, М>0 и произвольном N^sl. Рассмотрим зависящие только от у'+-"г^"-'+ У" _ ^ решения v = Y (tj) уравнения (Го). Все такие решения являются решениями обыкно-
26 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ [ГЛ. I венного уравнения а —т) ' v ' гдс A=.Mp(n-l + N) B_M? fl=1 Ж(д-1У (д-1)М g б рем N настолько большим, чтобы число а было положительным, 1 Возьмем решение КоСп) уравнения B3), удовлетворяющее однородным начальным условиям Yo @) = Y'o @) = 0. Так как коэф- коэффициенты уравнения B3) аналитичны при т) = 0 (даже при | л | <Г ) то нетрудно убедиться, что и функция УоОп) аналитична в нуле *). Поскольку все производные в точке т) = 0 функции —— положительны, то в силу B3) d*JoiO) ^0 для всех k = 0, 1, .... Таким образом, аналитическая в начале координат функция ( + + + N) является решением уравнения (ш) v(y) = Y0( и все ее производные в начале координат неотрицательны. Сле- Следовательно, мы построили аналитическое решение задачи Коши, мажорирующей задачу (80), (90), A0) в начале координат. Теорема доказана. Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение. Теорема 2. Пусть данные задачи A), D), E) аналитичны и поверхность S не имеет характеристических точек. Тогда суще- существует такая содержащая поверхность S область Q' (Q'czQ), в которой эта задача имеет аналитическое решение, и ни в какой области, содержащей поверхность S, не может быть более одного аналитического решения этой задачи. Прежде всего заметим, что утверждение о единственности решения немедленно вытекает из теоремы 1 и свойств аналити- аналитических функций. *) Проще всего в этом можно убедиться следующим образом. Рассмотрим уравнение B3) коэффициенты которого (поскольку 0 <а < 1) мажорируют соответствующие коэффициенты уравнения B3). Уравнение B3) является уравнением Эйлера для функции К+1. Удовлетворяющее начальным условиям К@) = К'@)=0 решение уравнения B3) К0(т))= К A — Tj/af2 —а2A — ф)аЛ — 1, где СТ1—°2 al=[l - А+ Y(\-Af + AB]I2, a <J3 = [l -A - /(I - ЛJ + 4В]/2, анали- тично в нуле и мажорирует в точке т] = 0 функцию К0(т)).
§ 1J ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ 27 Докажем существование решения. В силу теоремы 1 для каждой точки х° поверхности 5 существует такая ее окрестность, в которой задача A), D), E) однозначно разрешима. Нетрудно видеть, что уменьшая каждую из окрестностей Ux», х° eS, можно получить покрытие {U'xo, x° ge 5} поверхности S, обладаю- обладающее следующим свойством: если пересечение любых двух окрест- окрестностей непусто, то оно является открытым множеством, каждая связная компонента которого содержит точки 5 (т. е. это пере- пересечение представляется в виде объединения не более чем счет- счетного числа непересекающихся областей, каждая из которых содержит точки 5). Действительно, рассмотрим в Ux° шар {\х — х°\ <г0} такого достаточно малого радиуса го = го(х°)>О, что угол между нор- нормалями к 5 в любых двух точках из пересечения этого шара с 5 меньше л/4. В качестве 11'^ возьмем область {х: х = х1 + + tn(x1), x1^Sf]{\x-x°\<rj4}, t(=(—80, б0)}, где nix1) — — нормаль к 5 в точке х1; при этом будем считать б0 = б0 (х°) < < го/4 столь малым, что через каждую точку этой области про- проходит только одна нормаль к поверхности Sf){\x — x°\<.r0} (т. е. для каждой точки x^U'x» существует только одна точка Xх (х), принадлежащая 5 |~| {\х — х° \<.г0}, такая, что х принадле- принадлежит прямой \х: x=x1 + n(x1)t, t^Ri}). Очевидно, что покрытие {U'x°, х° е 5} поверхности 5 является искомым. Так как при каждом х0 е 5 U'x» a Uxo, то в U'xo существует единственное аналитическое решение задачи A), D), E); обозна- обозначим его через их«(х). Заметим, что если х° и х1 — две произволь- произвольные точки поверхности 5 и И'&^И'&ф 0, то их« (х) н= uxi (x) в U'x°f\U'xi. Следовательно, в области Q'= M U'x<,, Q'czQ, °s можно определить аналитическую функцию и (х) равенством и (х) = = ихо (х) при х е U'jfi. Функция и (х) является искомым аналити- аналитическим решением в Q' задачи A), D), E). Теорема доказана. В случае, когда поверхность 5 не содержит характеристиче- характеристических точек, как показывает теорема Ковалевской, задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка, которая в п. 1 была поставлена по аналогии с задачей Коши для обык- обыкновенного уравнения второго порядка, и на самом деле в опреде- определенном смысле ей аналогична. Известная в теории обыкновенных уравнений теорема Коши утверждает, что обыкновенное уравне- уравнение B) с аналитическими на интервале а < х < b коэффициентами и свободным членом в некоторой окрестности точки х0, в кото- которой задаются начальные условия, а<.х°<.Ь, имеет единственное аналитическое решение, удовлетворяющее этим начальным усло- условиям. Теорема Ковалевской является обобщением теоремы Коши на случай уравнения в частных производных: если поверхность 5, на которой задаются начальные условия, не имеет характеристи-
28 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I ческих точек и данные задачи A), D), E) аналитичны, то в неко- некоторой «окрестности» поверхности 5 задача A), D), E) имеет единственное аналитическое решение. Однако полной аналогии между задачей Коши для обыкновен- обыкновенного уравнения и задачей Коши для уравнения в частных про- производных и, тем более, между теорией обыкновенных уравнений и теорией уравнений в частных производных не существует — в случае уравнений в частных производных ситуация значитель- значительно сложнее. В п. 1 было показано, что в случае, когда на поверхности 5 имеются характеристические точки, существования аналитического (и даже дважды непрерывно дифференцируемого) решения задачи Коши гарантировать нельзя: если точка Jt°ES характеристиче- характеристическая для уравнения A), то существуют такие гладкие и даже аналитические начальные функции и0 и ых, что ни в какой окре- окрестности U этой точки не существует решения (из С2 (U)) задачи A), D), E). При этом отмечалось, что если поверхность 5 является характеристикой, то возможны такие случаи, когда задачу Коши нужно ставить по аналогии с обыкновенным урав- уравнением первого порядка (например, для уравнения «*,*, — «*2 = = f(x), для которого прямая х2 = 0 является характеристикой, в главе VI будет изучена задача Коши, которая состоит в оты- отыскании решения этого уравнения в полуплоскости х2 > 0, удов- удовлетворяющего одному начальному условию и !t2 = o = «o(*i))- Как показывает следующий пример Ковалевской, и в этом случае аналитичность данных задачи не гарантирует существование аналитического решения. Пример 2. Не существует аналитического в начале коорди- координат решения уравнения «ад - «*2 = 0. удовлетворяющего начальному условию _ 1 uU,=o-yq^j. Непосредственно проверяется, что если аналитическое в начале координат решение этой задачи существует: U/y VI — X 11 V** V** «1, «2 то коэффициенты иаи tt2 имеют вид u2St k = BT[ :' (— 1 )*+* и «2т, k = 0 при s 3?- 0, k 3s 0. Но тогда написанный ряд не может быть сходящимся ни в какой окрестности начала координат, поскольку он расходится, например, в любой точке @, х2) при
§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 29 Как известно, решение задачи Коши для обыкновенного урав- уравнения B) непрерывно зависит от начальных данных. Приводимый ниже пример Адамара показывает, что уравнения в частных про- производных этим свойством, вообще говоря, не обладают. Пример 3. Рассмотрим в круге Q = {*i + *| < 1} задачу Коши хг = 0 — «я, 0 д— Y П = е где л — натуральное число (прямая a\j = O, очевидно, не имеет характеристических точек для уравнения иХгХ2= — «*,*,)• Решение этой задачи (единственное в классе аналитических функций), как легко проверить, имеет вид и = ы„ (х) = е~ ^ " ch пх#ш\ Следова- Следовательно, для любой точки х = (хи х2) из круга Q, не лежащей на начальной прямой х2 = О, | ы„ (*) |->-оо при л-»-оо несмотря на то, что ы„,о(Xi)->-0 (\ип,о | =е~^п) и даже при любом ?5=1 —^-р-^0 при л->-оо равномерно на [—1, 1]. dxl Более того, хорошо известно, что у любого обыкновенного уравнения B) с непрерывными на некотором интервале коэффи- коэффициентами и свободным членом всегда существуют решения (на всем этом интервале). В случае же уравнения в частных произ- производных в столь общей ситуации, которую мы рассматривали до сих пор, аналогичное утверждение не имеет места: как показы- показывает (приведенный в п. 1) пример Леви, существуют такие линей- линейные уравнения второго порядка в частных производных, которые не имеют ни одного решения ни в какой окрестности некоторой точки; при этом никакие условия на гладкость коэффициентов (и даже аналитичность коэффициентов) не гарантируют существо- существование решения ни при каком сколь угодно гладком (и даже бес- бесконечно дифференцируемом), свободном члене. Следовательно, при изучении неаналитических решений линейного уравнения второго порядка в частных производных нужны дополнительные условия на структуру уравнения. В следующем параграфе мы выделим некоторые классы уравнений, которые и будем в дальнейшем рассматривать. § 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка Рассмотрим в некоторой л-мерной области Q линейное диффе- дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка я я Хи = У аи (х) ихх + У а, (х) и
30 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ I Коэффициенты aij(х), i, /=1, ..., п, будем считать веществен- нозначными; решения уравнения A) будем предполагать принад- принадлежащими C?(Q). Матрицу А (х) = || а,ц (х) ||, состоящую из коэффи- коэффициентов при старших производных оператора X, можно считать симметрической. Действительно, ? %«*,.*/ = ]>] а'цих.Х/ + ? а"цих.Хр гле a'u = j(atj + alt), all=-^(ail — ali). Так как ux.Xj=uXjX., то 2fl'/t4*/ = 0> ПОЭТОМУ 2 a«/"v/s 2 aiiUxff причем матрица I a'u (x) I ~ симметрическая. Пусть ^ — произвольная точка из Q, ^(д-0), ..., Хп(х°) — собст- собственные значения (очевидно, вещественные) матрицы А (х°). Число положительных собственных значений обозначим через п+ = п+(х°), число отрицательных —через «_ = «_ (х°), число нулевых — через ° + ( Уравнение A) называется уравнением эллиптического типа в точке х° (или просто эллиптическим в точке х°), если п+ — п или п. = п. Уравнение называется эллиптическим на множестве Е, Е czQ, если оно эллиптично в каждой точке этого множества. Примером уравнения эллиптического в Rn является уравнение Пуассона где A = g^ + ---+g^r — оператор Лапласа. Уравнение A) называется гиперболическим в точке x°eQ (уравнением гиперболического типа в х°), если пь = п — 1, ал.= 1 или если л+ = 1, а л_ = п — 1. Если уравнение гиперболично в каждой точке множества Е, Е czQ, то оно называется гипербо- гиперболическим на Е, Примером гиперболического во всем пространстве Rn переменных хх хп является волновое уравнение их х -4-... -4- их х — их х = /. *1*1 Л-.1 Л-1 ХП П ' Уравнение A) называется ультрагиперболическим в точке х°, если по = О и 1<л+<л —1. Уравнение A) — ультрагиперболи- ультрагиперболическое на Е, Е czQ, если оно является ультрагиперболическим в каждой точке Е. Уравнение Ызд + UXiXi - иХЛ - UXiXt = f (X) является ультрагиперболическим во всем пространстве #4. Уравнение A) называется параболическим (или уравнением параболического типа) в точке x°^Q, если ло>О- Уравнение A) называется параболическим на множестве EczQ, если оно пара- параболическое в каждой точке Е. Примером параболического урав- уравнения во всем пространстве ?>„ переменных xlt .... х„ является
§ 2J КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 31 уравнение теплопроводности Конечно, тип уравнения не обязан быть одним и тем же для всех точек области. Например, уравнение Чаплыгина (л = 2) где функция Т (Xi) положительная для Xi>0, отрицательная для Хх<0 и равная нулю для *i = 0, эллиптично длях1>0, гипербо- гиперболично для Xi<0 и параболично для *i = 0. Напомним (см. п. 1 § 1), что лежащая в Q поверхность S, заданная уравнением/7(х)=0(вещественнозначнаяфункция^еС1((Э) и |VF|^fcO на S), называется характеристической поверхностью (характеристикой) для уравнения A), если* для всех точек j;eS (A(x)VF, VF) = 0. B) Если уравнение A) эллиптично в Q, то матрица А (х) является положительно или отрицательно определенной в каждой точке xeQ, Это означает, что равенство B) может иметь место только при | VF | = 0. Следовательно, эллиптические уравнения р.е имеют характеристических поверхностей (более того, никакая поверх- поверхность S не содержит ни одной характеристической точки эллип- эллиптического уравнения). Если уравнение A) гиперболическое в Q, то можно показать, что через любую точку области Q можно провести характери- характеристическую поверхность. Например, в случае волнового уравнения «*л+... + «*„_!*„_!=«*„*„ уравнение B) имеет вид Этому уравнению, в частности, удовлетворяет функция (х — х°, ш) = = (*!—х\)тх + • • •+ (х„—Хп) т„, где-х0 — произвольная точка из Rn> а вектор т = (т1, ..., тп), |т| = 1, подчинен условию т\ + ...+ + m%-i = m%. Уравнению B') удовлетворяет также функция (*i — *?J +... + (хп-1 — х°п-1J — (хп — ХпJ, где х° — произвольная точка из Rn. Следовательно, плоскость (х — х°, т) = 0 и кониче- коническая поверхность (x1—XiJ + ... + (xn-1 — xn-\J = (xn — x0nJ явля- являются характеристиками волнового уравнения. Для уравнения теплопроводности их х -\-...-\-их х = их уравнение B) имеет вид Очевидно, что любое решение этого уравнения имеет вид ^ = Ф (х„), где Ф —произвольная непрерывно дифференцируемая функция (Ф'^0). Поэтому характеристики уравнения теплопроводности суть плоскости хп=const.
32 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. I Пусть х° — некоторая точка области Q. Обозначим через у = у{х) (yi = yt(xi> •••> *л)| t = l|...i n) преобразование, взаимно одно- однозначно отображающее некоторую окрестность U точки х° на окре- окрестность V соответствующей точки у0, у°<=у(х°), а через х = х (у)— обратное ему преобразование. Будем предполагать, что функции yi(x)<=C2(U), t = l, ..., п, и что матрица Якоби J(x)= преобразования у = у (х) не вырождена, т. е. что якобиан преобра- преобразования det J(х)ФО в U. Функцию и (х(у)) обозначим через v(у). п п п I i\V VQV // *~~ \ 71 it, it X »р ц. II I \' ft ц, ЛС1Л Ч'Х' / i UuzjRX,\ ^"X'Xj / I ^UuU Z/КХ'УSXj~\ /t **Uu4kX X k=\ ' ' ' A.s = I * ' A=l ' '* то уравнение A) в результате замены переменных будет иметь вид _ v, Vt»), C) ft, s=l n где a*j(x)= 2j aif(x)ykx.ysxr a F—некоторая функция, не зави- зависящая от вторых производных функции v. Так как матрицы А (х) = \\аь„(хI и А (х) = ||Су (*)|| связаны равенством Л (х) = УЛ/*, то согласно известной теореме Алгебры число положительных, число отрицательных и число нулевых собственных значений матрицы А (х) совпадает с соответствующими числами для матрицы А (х). Это означает, что в любой точке г/е V уравнение C) имеет тот же тип, что и уравнение A) в соответствующей точке х е U. Таким образом, приведенная выше классификация уравнений второго порядка инварианта относительно гладких взаимно одно- однозначных невырожденных преобразований независимых переменных. Этим обстоятельством можно воспользоваться для упрощения уравнения A). Возьмем произвольную точку x°eQ. Известно, что для мат- матрицы А (х°) существует такая невырожденная матрица Т = Т (х°) = что ТА{х°)Т*=Л{х<>)= Сделаем линейную замену независимых переменных у = Т(х°)х. Так как матрица Якоби этой замены равна Т, то в результате преобразования уравнение A) перейдет в уравнение B), матрица коэффициентов при старших производных в котором равна ТА (х) Т*.
§ 3] ПОСТАНОВКА НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 33 Это означает, что при х = х° уравнение C) имеет вид в которой функция Fi не зависит от вторых производных функ- функции v. Этот вид называется каноническим видом уравнения A) в точке х°. Таким образом, для любой точки x = x°^Q можно указать неособое линейное преобразование независимых переменных, при- приводящее уравнение A) при х = х° к каноническому виду. Поскольку преобразование зависит лишь от значений коэффициентов при старших производных в A) при х = х°, то в случае, когда эти коэффициенты постоянные в Q, найденное линейное преобразование приводит уравнение A) к каноническому виду в каждой точке области Q (в области Q). § 3. Постановка некоторых задач В этом параграфе мы рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к задачам для дифференциальных уравнений в част- частных производных. 1. Задачи о равновесии и движении мембраны. Рассмотрим задачу о нахождении положения равновесия мембраны (тонкой упругой пленки), находящейся под действием некоторой системы сил. Будем считать, что в любом допустимом положении мембрана представляет собой поверхность, лежащую в пространстве (х, и) = = (*i, х2, и), однозначно проектирующуюся на некоторую область Q плоскости хх0х% и задаваемую уравнением u = u(x), xeQ, при некоторой функции и (х) класса С1 (Q). Если и = <р(х), xeQ,— какое-нибудь допустимое положение мембраны, то будем считать, что любое другое допустимое положение и = и(х) получается из положения и = ср (х) так, что каждая точка мембраны перемещается параллельно оси Ои. Предположим, что действующая на мембрану внешняя сила направлена параллельно оси Ои и имеет непрерывную плотность fi(x, и), равную f{x) — a{x)u (на мембрану действует сила с плотностью f(x), xsQ, и сила сопротивления упругой среды, плотность которой — а(х)и пропорциональна смещению и обратна ему по знаку, а (х) >= 0 — коэффициент упругости среды). Работа этой силы по перемещению мембраны из положения ср (х) в поло- положение и (х) равна $ U\ h {х, и) dudx=\ [f (х) (« (х) -Ф(*)) - ^ («2 М-Ф2 (х))] dx. Q ф« . Q На мембрану, кроме того, действует внутренняя упругая сила. 2 В. П, Михайлов
34 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I Будем считать, что ее работа по перемещению мембраны из поло- положения ф (х) в положение и (х) равна - \k ( Q \ (х) [УТ+ЩГ^ - уТ+уъёТ2] dx Q (работа этой силы, отнесенная к элементу (xlt *i +A*i) x (x2, хг-\- -|- Д*г) из Q, пропорциональна изменению площади поверхности части мембраны, проектирующейся на этот элемент; коэффициент k(x)>0 называется натяжением мембраны). Если в точках границы мембраны приложена сила с линейной плотностью gi(х, и) = gi(x) — at (х)и (ах(хM= 0 — коэффициент упругого закрепления границы), то работа этой силы по переме- перемещению мембраны из положения ср (х) в положение и (х) равна jj [ft (х) (и (х) - ф (х)) - а-^- («2 (х) - ф* (х))] dS. Sq Таким образом, в положении и (х) потенциальная энергия мембраны равна где ?/(ф) — потенциальная энергия мембраны в положении ф. Для упрощения задачи предположим, что градиент функции и (х) мал для всех допустимых положений и(х), которые может принимать мембрана, и будем пренебрегать членами порядка |V«[4. Тогда потенциальная энергия мембраны в положении и примет вид (и) = U (Ф) + J [-§- (| V« |2 f - / (и - Ф)] dx + Ш («2 - ф2) - gl (и - фI dS. dQ dQ Если и — положение равновесия мембраны, то согласно прин- принципу возможных перемещений при любом допустимом v мно- многочлен (по t) U{и) +1К (kVu Vv + auv -fv)dx+l (a^uv -g&) dS] + [
§ 31 ПОСТАНОВКА НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 35 имеет при ? = 0 стационарную точку. Следовательно,—тМ = 0, т. е. при всех seC'f^) функция и(х), описывающая положение равновесия мембраны, удовлетворяет интегральному тождеству \(kVuVv + auv)dx + $ atuvdS = J fvdx + J gtvdS. A) <3 dQ Q dQ Если граница мембраны неподвижна (жесткое закрепление), то все допустимые положения и мембраны удовлетворяют условию U \dQ = ф \dQ- B) В этом случае потенциальная энергия мембраны в произвольном положении и равна (если пренебречь членами порядка |Vuj4) Пусть и — положение равновесия жестко закрепленной мемб- мембраны. Тогда для любой seC'fQ), удовлетворяющей условию o|aQ = 0, C) функция u-\-tv при всех t удовлетворяет условию B). Следова- Следовательно, для всех таких v многочлен Q имеет минимум при / = 0. Значит, для всех иеС'(ф, удовлет- удовлетворяющих условию C), функция и (х), описывающая положение жестко закрепленной мембраны, удовлетворяет интегральному тождеству \(kVuVv + auv)dx=\fvdx. D) Q Q В пятой главе будет показано, что при определенных ограни- ограничениях на заданные функции k, a, au f, glt а в случае жесткого закрепления мембраны и на фаз интегральное тождество A) и интегральное тождество D) при условии B) определяют единст- единственные функции и (х). Более того, будет доказано, что при доста- достаточной гладкости границы dQ функции и (х) принадлежат прост- пространству C2(Q). Сейчас же, предполагая, что u(x)eC2(Q), k (x) e. С1 (Q), k (х) 25 k0 > 0, а (х) «= С (Q), а, (х) е С (dQ), gle=C(dQ), феС (dQ), найдем вместо интегральных условий A) и D) локальные условия, которым искомая функция и (х) должна удовлетворять. 2*
36 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I Так как при любой seC1 (Q) согласно формуле Остроградского Q (div (kVu)-au^-f) v dx - jj (k^ + a^-gjv dS = 0 (Г) dQ x = — jj v div (№u)dx + ? k^vdS, Q SQ то тождества A) и D) можно переписать соответственно в виде dQ И dx = 0. D') Q Поскольку функция div (kSu) — au + f непрерывна, то из тожде- тождества D') вытекает равенство div (kVu)-аи+f = 0, xe=Q, E) которое вместе с граничным условием B) дает искомые локальные условия, которым должна удовлетворять функция и (х) в случае жесткого закрепления мембраны. Задача нахождения решения уравнения E), удовлетворяющего граничному условию B), назы- называется первой краевой задачей (задачей Дирихле) для уравнения E). Поскольку в (Г) функция v (х) — произвольная функция из С1^), то, в частности, при v, удовлетворяющих условию C), получаем, что и(х) и в этом случае удовлетворяет уравнению E). Поэтому тождество (Г) может быть переписано следующим образом: dQ Так как для любой функции из С1 (dQ) существует принад- принадлежащее С1 (Q) продолжение в Q (см. п. 2 § 4 гл. III), то 'из по- последнего тождества вытекает граничное условие ди дп аи dQ F) где <т = < Задача нахождения решения уравнения E), удовлетворяющего граничному условию F), называется третьей краевой задачей для уравнения E). В случае, когда а = 0, третья краевая задача называется второй краевой задачей (задачей Неймана). В этом случае граничное условие имеет вид dU " G) дп dQ Таким образом, положение равновесия мембраны описывается решением уравнения E), удовлетворяющим некоторому гранич-
§ 3] ПОСТАНОВКА НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 37 ному условию. Уравнение E) является эллиптическим уравнением и называется уравнением равновесия мембраны. Рассмотрим теперь задачу о движении мембраны. Пусть функция и (х, t) определяет положение мембраны в момент времени t. Тогда функции и, (х, t) и ии (х, t) (предпо- (предполагаем, что эти производные существуют) определяют скорость и ускорение мембраны в точке х е Q. Пусть в некоторый (началь- (начальный) момент времени t = t0 заданы положение мембраны и ее ско- скорость, т. е. u\t=to = %(x), *e=Q, (8) и, |/-/. *=%(*). x(=Q. (9) Условия (8) и (9) называются начальными условиями. Согласно принципу Даламбера уравнение движения мембраны есть уравнение равновесия E), в котором функция / (х) заменена функцией — p(x)ult+f (x, t) (—р (х) ии — плотность силы инерции в точке х, р (х) > 0 — плотность мембраны в точке х, f (x, t) — плотность внешней силы, вообще говоря, зависящей от t): div (kVхи)- аи +f(x, t)-p(x)utt = 0, xt=Q, t>to. A0) Граничные условия, как и в статическом случае, имеют вид B), F) или G) в зависимости от заданного на границе dQ режима и выполняются при всех рассматриваемых значениях времени t^t0. Задачи нахождения решения уравнения A0) при условиях B), (8), (9); G), (8), (9); F), (8), (9) называются соответственно первой, второй и третьей смешанными задачами для уравнения A0). Таким образом, движение мембраны описывается решением уравнения A0), удовлетворяющим начальным и некоторым гра- граничным условиям. Уравнение A0) является гиперболическим (в трехмерном пространстве) и называется уравнением движения мембраны. В случае бесконечно протяженной мембраны (Q = R2) описы- описывающая движение мембраны функция и (х, t) при всех хе/?г и t>t0 является решением уравнения A0) и удовлетворяет начальным условиям (8) и (9). В этом случае говорят, что и (х, t) есть решение начальной задачи {задачи Коши) для уравнения A0). Если коэффициенты в уравнениях A0) и E) постоянны: k(x) = k, p(x) = p, и а(х) = 0, то эти уравнения называются соот- соответственно волновым уравнением: 1«„-Д« = ^А xeQ, t>t0, A0') а = ~у —, и уравнением Пуассона: x«=Q. E')
38 ВВЕДЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ [ГЛ. I В случае одной пространственной переменной уравнение A0') имеет вид ±ии-ихх = ЩЛ, Хе(а, р), t>t0. A0") Оно описывает движение струны, расположенной над интервалом (а, р). В случае, когда x = (xlt х2, х3), уравнение ^ы„-Ды = ?%А xeQ, t>t0, A0'") описывает движение газа в области Q (функция и (х, t) характе- характеризует, например, малые отклонения в точке xeQ, в момент времени t давления газа от постоянного давления). Число а в этом случае есть скорость распространения звука в газе. 2. Задача о распространении тепла. Пусть вещество, находя- находящееся в трехмерной области Q, имеет плотность р(х)>0, тепло- теплоемкость с(х)>0 и коэффициент теплопроводности k(x)>0. Обозначим через и(х, t) температуру в точке xeQ в момент времени /. Предположим, что температура в начальный момент времени t = t0 известна: и(х, t)\t=to = %(x), xeQ; A1) требуется определить ее при t>t0.- Пусть Q' — некоторая подобласть Q. В соответствии с законом Ньютона количество тепла, проходящее через границу 0Q' в область Q' за промежуток времени (tlt t2), ^0^^i<4> равно l h dQ' где п — внешняя по отношению к Q' нормаль к dQ'. Если в области Q имеются источники тепла с известной плот- плотностью / (х, t), то приращение количества тепла в Q' за промежуток времени (tlt t2) равно и Q' U dQ' и, следовательно, уравнение теплового баланса в Q' имеет вид U h -\dt ^k(x)d?dS+\dt[f(x, t)dx = h dQ' t Q' = \ С (X) p (X) (U (X, t2) - U (X, tj) dX. Q' U Учитывая, что и (х, t2) — и (х, tx) — \ -3 dt, и пользуясь формулой
§ 3] ПОСТАНОВКА НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 39 Остроградского, получим и \dt\\c (х) р (х) ~ - div (k (x)Vu) - f (x, О] dx = 0. Если подынтегральная функция непрерывна в Q, то в силу произвольности области Q' и интервала (tlt t2) последнее равен- равенство эквивалентно дифференциальному уравнению c(x)p(x)^-div(k(x)Vu)=f(x, t), xeQ, t>t0. A2) Это уравнение является уравнением параболического типа (в четы- четырехмерном пространстве хъ х2, х3, t). В случае, когда функции с(х), р(х) и k(x) постоянны, уравнение A2) называется уравне- уравнением теплопроводности: 1 /^2 A2') a2 "' "** cp ' где a2 = ^. Подчеркнем, что уравнение A2) имеет место лишь для t>t0 и лишь для внутренних точек области Q. Поведение функции и(х, t) при t = t0 задается начальным условием A1), а для x^dQ должно быть задано дополнительно. Оно диктуется кон- конкретной физической задачей, устанавливающей тепловую связь Q с внешней средой. В простейшем случае задается температура и (х, t) на гра- границе dQ: U\9Q = fo(X, t) A3) для всех рассматриваемых значений t. В этом случае температура будет описываться решением и(х, t) уравнения A2), удовлетво- удовлетворяющим условиям A1) и A3). Если известна плотность qo(x, t) теплового потока через гра- границу dQ, то согласно закону Ньютона граничное условие имеет вид k(x)^ =qo{x, t). A4) Если известна температура ио(х, t) среды вне области Q и плотность теплового потока q0 (x, t) через границу dQ пропор- пропорциональна разности температур и \sq и и0 \dQ, то граничное условие принимает вид иди . , , /1С. Ад—г R\U = KiUq , (^"/ где ki (х) > 0 — коэффициент теплообмена тела с окружающей средой.
40 ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ (ГЛ t Задачи нахождения решений уравнения A2) при условиях A1), A3); A1), A4); A1), A5) называются соответственно первой, вто- второй и третьей смешанными задачами для уравнения A2). В случае, когда вещество заполняет все пространство R3, Q = R3, температура и(х, t) удовлетворяет при t>t0 уравнению A2) и при t = t0 начальному условию A1). В этом случае говорят, что и (х, f) есть решение начальной задачи [задачи Коши) для уравнения A2). ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1 1. Пусть поверхность S класса С2 разбивает область Q на две непересе- непересекающиеся области Q+ и Q", и пусть функция и (х) принадлежит О (Q) П П С2 (Q+ U S) П С2 (Q" U S) и удовлетворяет в Q+ и в Q~ линейному уравнению второго порядка л я 2 at/(х)uHXj -f 2 °i (*)uXi+a(x)u=f(x) . A) i, /=1 i = l с непрерывными в Q коэффициентами и свободным членом. Доказать, что если для любой окрестности V# некоторой точки x°eS функция и (х) не принад- принадлежит С2 (Uxo), то точка Xй — характеристическая для уравнения A). 2. Пусть в двумерной области Q задано линейное уравнение второго порядка A) с аналитическими коэффициентами и свободным членом, и пусть две пересекающиеся в некоторой точке х° е Q прямые Lt и L2 являются характеристиками для этого уравнения. Доказать, что задача (задача Гурса) отыскания решения и (х) уравнения A), удовлетворяющего условиям и \L =ult и\ц=и* с аналитическими функциями их и и2, имеет в некоторой окрестности точки х° единственное решение в классе аналитических функций («х (ха) = = и2 (х»)). 3. Пусть в области Q задано линейное уравнение второго порядка с непре- непрерывными коэффициентами. Доказать следующие утверждения. Если в некоторой точке области Q уравнение эллиптично (или гипербо- гиперболично), то оно эллиптично (или соответственно гиперболично) и в некоторой окрестности этой точки. Если в Q существуют две точки, в одной из которых уравнение эллип- эллиптично, а в другой —гиперболично, то в Q найдется точка, в которой это урав- уравнение параболично, Дополнительная литература к главе I И. Н, Век у а, Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, 1959. В. С. В лад и м ир ов, Уравнения математической физики, «Наука», 1971. B. С. Владимиров, Методы теории функций многих комплексных переменных, «Наука», 1964. И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. C. Л Соболев, Уравнения математической физики, Физматгиз, 1954. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
Г л а в а II ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА § \, Интеграл Лебега Понятие интеграла и связанное с ним понятие интегрируемой функции являются основными понятиями математического ана- анализа. В связи с потребностями прикладных наук, да и самой математики эти понятия в процессе своего развития претерпевали значительные изменения. Для решения одних задач достаточно было уметь интегрировать непрерывные или даже аналитические функции, для решения других— приходилось эти множества рас- расширять, а иногда рассматривать и множество всех функций, интегрируемых по Риману. Более того, для математического опи- описания ряда явлений оказывается недостаточно богатым даже множество функций, интегрируемых по Риману. Естественно, что это множество оказалось недостаточным и для потребностей самой математики. В частности, некоторые процессы удается приближенно опи- описывать с помощью последовательности «хороших» функций fk (х), k=l, 2, ..., о которой можно утверждать лишь сходимость в некотором интегральном смысле. Так, например, последова- последовательность fk{x), k—\, 2, ..., может обладать одним из следующих свойств: \ | /fc — fm | dx -> 0 при т, k -> 00 (фундаментальность последовательности в среднем), ^ (fk — fmJ dx ->0 (фундаменталь- (фундаментальность в среднем квадратичном) или в более сложных случаях — стремятся к нулю интегралы, содержащие производные от функ- функций (фундаментальность по энергии). Эти свойства, в частности, фундаментальность в среднем квадратичном, сами по себе могут не гарантировать сходимости в обычном смысле: последователь- последовательность может не сходиться ни в одной точке. И, тем не менее, можно показать (ниже это будет сделано), что существует в опре- определенном смысле единственная функция, к которой эта последо- последовательность сходится (в среднем квадратичном). Эта функция, вообще говоря, по Риману не интегрируема, поэтому интеграл в определении сходимости приходится понимать в более широком смысле — смысле Лебега. 1. Множество меры нуль* Множество EczRn называется мно- множеством (и-мерной) меры нуль, если его можно покрыть счетной системой (и-мерных) открытых кубов со сколь угодно малой
42 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II суммой объемов (суммарным объемом), т. е. по любому е>0 можно найти такую счетную систему кубов К%, /С2> •••» что со со Е cz М К» а суммарный объем этих кубов ^ I^C* I < е> гДе i^C/l — «¦= i i= i объем куба Кь i=U 2, ... Непосредственно из определения вытекает, что множество, состоящее из счетного числа точек, есть множество меры нуль. Пересечение и объединение счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль. Гладкие поверхности размерности k<.n тоже представляют собой множества меры нуль. В дальнейшем нам будет полезен следующий критерий. Лемма 1. Множество Е является множеством меры нуль в том и только в том случае, когда существует такое его покры- покрытие счетной системой кубов с конечным суммарным объемом, при котором каждая точка оказывается покрытой бесконечньш множе- множеством этих кубов. Предположим сначала, что покрытие, о котором говорится в лемме 1, существует. Выбрасывая из него конечное число кубов с максимальными объемами, можно добиться, чтобы суммарный объем оставшегося покрытия был сколь угодно мал. Значит, Е есть множество меры нуль. Обратно, если Е — множество меры нуль, то его можно покрыть счетным числом кубов с суммарным объемом, меньшим 2~k, при любом целом k^l. Нужное нам покрытие получится после объединения по &=1, 2, ... этих покрытий. Если какое-либо свойство выполняется для всех точек х из некоторого множества G, за исключением, быть может, множе- множества меры нуль, то говорят, что это свойство выполнено для почти всех точек jcgG, почти везде в G, почти всюду в G, п. в. (в G). Так, функция Дирихле %(*), равная 1 для точек, у кото- которых все координаты рациональны, и нулю во всех остальных точках, равна нулю п. в. в Rn. Пусть Q — некоторая область пространства Rn. Наряду с функ- функциями, определенными всюду в Q (т. е. имеющими в каждой точке Q конечное значение), мы будем рассматривать и функции, определенные почти всюду в Q, т. е. функции значения которых не определены на множествах меры нуль. При этом функции/+g, !'8AИ§ определены п. в.) определены в тех точках, в которых определены обе функции / и g. 2. Измеримые функции. Пусть Q — некоторая область про- пространства Rn. Последовательность (определенных п. в. в Q) функ- функций fk(x), />=1, 2, ..., называется сходящейся п. в. eQ, если для п. в. ^°gQ числовая последовательность значений этих функций в точке х° имеет (конечный) предел. Функция f(x) называется пределом п. в. сходящейся последовательности fk(x), &=1, 2, ...,
§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 43 fk(x) ->/(*) п. в. bQ при &->оо, если для п. в. х° ^Q lim ffe (л:0) == fc->co — f(x°). Очевидно, что если функции f(x) и g (x) являются пре- пределами некоторой сходящейся п. в. последовательности функций, то они совпадают п. в. Функция f (х) называется измеримой в Q, если она является пределом п. в. сходящейся последовательности функций из C(Q). Отметим некоторые очевидные свойства измеримых функций. Произвольная линейная комбинация измеримых функций — измеримая функция; функция Д-/^ измерима, если ft и /2 изме- измеримы. Вместе с / измеримой является и функция |/|. Функции max (ft (x)), min (ft (*)) и lim fk (x) (предел понимается в смысле п. в.) isgfc i^.k k-+a> измеримы.если/^/а,... измеримы. Так как sup (fk (x)) = lim max (ft (л:)) и inf (/fc(*)) = limmin(ft (л:)), то эти функции тоже измеримы при k k —> оо i s^ k измеримых fk, k=\, 2, ... Производная измеримой функции, если она существует п. в., измерима. jfe определения вытекает, что функция f(x), принадлежащая C(Q), измерима. Произвольная функция f(x) из C(Q) тоже изме- измерима, так как ее можно представить в виде предела сходящейся в Q последовательности функций из C(Q): f (*) = Пт/(л:)?е (*)> где во W— срезающая функция для области Q (см. гл. I). 3. Интеграл Лебега от неотрицательных функций. Мы будем часто рассматривать монотонно неубывающие (невозрастающие) п. в. в Q последовательности fk (*), />= 1, 2, ..., измеримых функ- функций, т. е. такие последовательности, для которых при всех k^ 1 п. в. в Q имеют место неравенства fk+1 (x)^fk (x) {fk+1 {x)^fk(x)). Если такая последовательность функций п. в. ограничена (т. е. для п. в. x°^Q числовая последовательность fk(л*), k= 1, 2, ..., ограничена), то она сходится п. в. к некоторой функции. Будем при этом пользоваться обозначениями: fk\f п. в. при />->оо, если последовательность монотонно не убывает, и fk\f п. в. при />->оо, если последовательность монотонно не возрастает. Неотрицательная п. в. в Q функция f(x) называется интегри- интегрируемой по Лебегу в Q (no Q), если существует и. в. в Q сходя- сходящаяся к ней монотонно неубывающая последовательность fk(x), k=\, 2, ..., функций из С(Q) с ограниченной сверху последова- последовательностью интегралов (Римана): J/ft(jr) dx^C, k—\, 2, ... При Q Q этом точная верхняя грань множества И fk (x)dx, k=l, 2, .. Л, на- называется интегралом Лебега функции f (х): (L) У dx^sup $ fk (x) dx= lim lfk (x) dx. A)
44 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (ГЛ. II Докажем, что если неотрицательная п. в. в Q функция f(x) интегрируема по Лебегу, то для каждой монотонно неубывающей последовательности f'k(x), />=1, 2, ..., функций из С(Q), сходя- сходящейся п. в. к/, последовательность интегралов \ f'k (x) dx, &= 1,2,..., Q ограничена сверху и sup \f'k {x) dx—(L) \f dx, т. е. интеграл Лебега ь q q не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. Прежде чем доказать это утверждение, покажем, что если fk(x), &=1, 2, ... . — произвольная последовательность функций из С (Q) такая, что fk\f п. в. при k-у со (/(*) ^= 0 п. в.), то sup § fk (x) dx ^ 0, и тем самым, что для любой п. в. неотрица- * Q тельной интегрируемой по Лебегу функции f(x) x^0. B) Пусть fk(x)\f(x) п. в. при &->оо. Возьмем произвольное е>0. Множество Е точек, в которых или последовательность fk, k=l, 2, ..., не сходится к функции /, или/<0, есть множество меры нуль, поэтому его можно покрыть счетным множеством откры- открытых кубов {/(,-, t= 1, 2, ...} с суммарным объемом, меньшим е. Обо- Обозначим через К объединение всех кубов этого покрытия. Для любой точки х° е Q\K fk (x°) \f (x°) Ss 0 при k -> oo, поэтому суще- существует такое N = N(x°), что fN(x°)> — e. Так как функция /jv(x)eC(Q), то последнее неравенство будет выполняться и в пересечении U х°[\0. множества Q с некоторым открытым кубом Uxo с центром^ в точке х°. В силу монотонности последо- последовательности в Ux« fl Q имеют место также и неравенства fk {x)> — z для всех k~^ N. Совокупность открытых множеств {Ux, x e Q\K} U U {/(,-, t = li 2, ...} покрывает множество Q, а так как множество Q замкнуто, то из этого покрытия можно выбрать конечное под- подпокрытие Uл, ..., U I, Id , ..., Ki • Обозначим через К' объеди- S нение (J Kir Так как | К' |< е и существует такое Af0, что /=i / / \ _ для всех x€zQ\K' cz \J UX.){]Q fk(x)>-enpn всех k^N0, то для таких k \ \ \ Q Q\K' K' где | Q| —объем Q, y41 = min/1 (л:). Из этого неравенства в силу произвольности е>0 получаем неравенство B).
§ I] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 45 Пусть теперь /(^ — произвольная п. в. неотрицательная инте- интегрируемая по Лебегу функция, a fk(x), k=\, 2_,..., fk\f п. в. при &->оо — последовательность функций из C(Q), для которой последовательность интегралов ограничена. Возьмем произвольную последовательность fk(x), &=1, 2, ..., функций из С(Q) такую, что fk(x)\f(x) п. в. при &->оо. Покажем, что lim \f'kdx= lim \fkdx, k—*CO Q k —*CO Q При произвольном т рассмотрим последовательность fk — f'm, k—\, 2, ... Так как при &->оо fk — f'm\f — f'm^O п. в. в Q, то lim \(fk — f'm)dx= lim ^fkdx — ^f'mdx^s0. Следовательно, после- довательность ^f'mdx, tn — l, 2,..., ограничена и lim \f'mdx^L q m-»coQ «g; lim ^fkdx. Поскольку, очевидно, справедливо и обратное нера- fc-»COQ венство, то утверждение доказано. Возьмем содержащий область Q куб с гранями, параллель- параллельными координатным плоскостям, и разобьем его на конечное число параллелепипедов плоскостями, параллельными граням. Непустое пересечение открытого параллелепипеда полученного разбиения с областью Q будем называть ячейкой (разбиения области Q), а совокупность всех ячеек —разбиением П области Q. Измеримую функцию f(x) назовем ступенчатой в Q, если она принимает постоянное значение внутри каждой ячейки некоторого разбиения П области Q. Под интегралом от ступенчатой функции будем, естественно, понимать сумму объемов всех ячеек, умноженных на значение функции в соответствующей ячейке. Лемма 2. Для любой монотонно неубывающей последователь- последовательности fk(x), ?=1,2,..., функций из С(Q) существует такая монотонно неубывающая п. в. последовательность fk (x), k— 1, 2,..., ступенчатых функций, что п. в. fk(x)^fk(x), ?=1, 2,..., и fk{x) — f'k{x)-+O п. в. при &->со. В силу равномерной непрерывности функции fk(x) найдется такое_число бА > 0, что | fk {х') — fk {х") \ < 2~k для любых точек х', /eQ, для которых | х' — х" \ < бА, k = 1, 2, ... Обозначим через Пх разбиение области Q с максимальным диаметром ячейки ^6t. Ступенчатая функция /((*), равная в каждой ячейке К разбие- разбиения rij числу min/х (л:), обладает свойством: 0sg:/i (*) — /J (л:) ^2 хек для п. в. xeQ. За счет измельчения разбиения Пх построим новое разбиение П2 с максимальным диаметром ячейки ^б2. Ступенчатая функция f{(x), равная в каждой ячейке К разбие-
46 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. I! ния П2 числу min/2(;r), удовлетворяет при п. в. x^Q неравен- keK ствам 0 ==:/<,(*)-/И*) <=2-2. Кроме того, п. в. в Q ft(x)^f[(x). Продолжая этот процесс, получим для любого й^г 1 разбиение ПА области Q и вместе с ним ступенчатую функцию fk(x), обладаю- обладающую свойствами: 0sg fk (х) — fk (х) < 2~k, fk(x)^fLi(x) Для п- в- xgQ, Следовательно, fk(x)^fk(x) п. в. в Q и п. в. в Q сущест- существует и равен нулю предел последовательности fk(x) — fk(x), й = = 1, 2, ... Лемма доказана. Лемма 2'. Для любой монотонно неубывающей п. в. в Q последовательности f'k(x), й=1, 2,..., ступенчатых функций существует такая монотонно неубывающая последовательность fk(x), й=1, 2, ..., функций из C(Q), что п. в, fk(x)^fk(x) и f'k(x) — fk(x)-+Q п. в. в Q при й->оо. Очевидно, это утверждение достаточно доказать в случае, когда функция f\(x)^O п. в. Рассмотрим функцию fk (х) (из f[(x)^O п. в. вытекает, что '% (-"О 3^ 0 п. в.), и пусть соответствующее ей разбиение ГЦ неко- некоторого содержащего область Q куба (обозначим через а0 длину ребра этого куба) состоит из mk ячеек (когда соответствующее fk разбиение Щ области Q состоит не более чем из mk ячеек). Возьмем 8j. = min/", ——j g-i, где ak — длина наименьшего из всех ребер всех параллелепипедов — ячеек разбиения Щ, и пусть ?efc (х), 0 sg ?eft (x) =sS I,—б*.-срезающая функция (см. гл. I, вве- введение) р-й ячейки разбиения Щ Ffc выбрано так, чтобы суммар- mk ный объем пересечения параллелепипедов, в которых ^ ??ft (x) < 1, с областью Q не превосходил 2~k). mk Обозначим через tyk(x) функцию fk(x)- ^ Шк(.х)- Легко видеть, что функций ipk(x) <^C(Q), ipk(x}^cfk(x) п. в. и f'k(x) — ^(л:)->0 п. в. при й->со. Тогда непрерывные в Q функции fk (л:) = тахфт (*) удовлетворяют п. в. неравенствам fk(x)^fk(x), й=1, 2, ..., и f'k(x) — fk(x)-+Q п. в. при й->оо. Лемма доказана. Из лемм 2 и 2' немедленно вытекает следующее утверждение. Теорема 1. Для того чтобы неотрицательная п. в. в Q функция f(x) была интегрируемой по Лебегу в области Q, необ- необходимо и достаточно, чтобы существовала п. в. сходящаяся к ней монотонно неубывающая п. в. последовательность fk (х), й= 1, 2, ..., ступенчатых функций с ограниченной последовательностью инте- интегралов. При этом (L) J / их = sup \ fk dx. Q k Q
§ I] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 47 Лемма 3. Монотонно неубывающая последовательность функ- функций из С (Q) с ограниченной последовательностью интегралов схо- сходится п. в. в Q. Из леммы 2 вытекает, что для доказательства леммы 3 доста- достаточно установить справедливость следующего утверждения: если последовательность fk, k=\, 2,..., ступенчатых функций п. в. монотонно не убывает и последовательность их интегралов огра- ограничена, то последовательность fk, &=1, 2, ..., сходится п. в. в Q. Покроем границу dQfiQ^C1, см. гл. I, введение) конечным числом замкнутых кубов /Ci, ..., Ki с достаточно малым суммар- суммарным объемом так, чтобы множество Q' = Q\M/G было областью. i = i Очевидно, что нам достаточно показать, что п. в. монотонно неубы- неубывающая последовательность ступенчатах функций fk, k—l, 2, ..., сходится п. в. в многограннике Q'. Рассмотрим произвольную функцию fk (x) из этой последова- последовательности, и пусть ПА — соответствующее ей разбиение многогран- •. ника Q'. Обозначим через S объединение граней всех многогранников, входящих хотя бы в одно из разбиений П/г, &=1, 2, ..., а через Ш — совокупность всех тех точек х множества Q'\S, в которых числовая последовательность fk(x), k=l, 2, ..., не ограничена. Так как S есть множество меры нуль, то нам достаточно пока- показать, что % — множество меры нуль. Возьмем произвольное е>0, и пусть $&, Е — множество, состоя- состоящее из (конечного числа) ячеек разбиения Щ, на которых fk (х) ^ Ssl/е. Так как С Ss \ fk (x)dx^ — \ Ai\\Q'\ + — | Шк „|, где Л, —наи- меньшее из значений, которые функция ft (x) принимает на ячейках разбиения Пх (fk(x)^A1 п. в. в Q"), то | §fc, Е|«се(С+ | Ах \ \Q \). Так как § с: (J ^,E = ^i, EU (J ($k+i, e\%k, s)> то множество § покрыто счетной системой многогранников, причем суммарный объем этих многогранников не превосходит е(С-Н Лх| |Q|), по- поскольку в силу монотонности п. в. последовательности ступен- ступенчатых функций fk (х), & = 1, 2,..., при любом N^\ §Xi 8 (J U (J (^ft+i, г\%к, е) с: %м, е. и» следовательно, ЛГ— 1 Но тогда множество Ш можно покрыть и счетной системой открытых
48 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II кубов с суммарным объемом, меньшим 2е(С+ | At \ \Q\). Лемма доказана. 4. Функции, интегрируемые по Лебегу. Любую вещественно- значную функцию / (л:) можно представить в виде /+(*)-/-(*). C) где функции /+(л:) = max (/(*), 0) и /-(*)= max (—f(x), 0) неотри- неотрицательны. Функция / (*) называется интегрируемой по Лебегу по области Q, если функции /+(*) и f~(x) из C) интегрируемы по Лебегу по области Q. Интеграл от / (*) определяется равенством \f-dx. D) Обозначим через A(Q) множество всех интегрируемых по Лебегу в Q функций. Из определения A(Q) вытекает, что функция Ci/i W+C2/2 (х) е A(Q), если функции /((jt)eA(Q), а С,- —про- —произвольные постоянные, i — l, 2. При этом (I) $ (d/x + CJz) dx = Сг (L) J /, dx + C2 (L) J /2 dr. Q Q Q Поэтому, в частности, |/ (*) | =/+ (л:) +/- (л:) е Л (Q), если / (л:) е eA(Q), т. е. интегрируемая по Лебегу функция абсолютно инте- интегрируема. Так как |/|+/ = 2/+^0 и |/|-/ = 2/-^0, то для из неравенства B) вытекает неравенство х. E) В силу того же неравенства B) для функций Д и /2 из A(Q), удовлетворяющих для п. в. х ^Q неравенству /isg/г, имеет место неравенство Функции тах^^), /2 (*)) = у (/i + /2 +1 /i - /21) и min^ (*), /:2(-v))=-2-(/:i+/2 — l/i — /21) принадлежат A(Q), если Д и /2 при- принадлежат Л (Q), а следовательно, и max (/2 (*), ..., fm (x)) gA((J), min (ft (x), ..., fm (x)) eA(Q), если /,(*)<= Л (Q), i = 1, .... m. Теорема 2. Для того чтобы п. в. неотрицательная инте- интегрируемая по Лебегу в Q функция f {x) была равна нулю п. в., необходимо и достаточно, чтобы (L)^ dx — 0. Q Если / (*) = 0 п. в. в Q, то последовательность fk (x), k = 1, 2, ..., функций, тождественно в Q равных нулю, обладает свойством
§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 49 fk(x)\f(x) п. в. в Q при k-*-oo. Значит, по определению (L)\fdx = O. Q Обратно, пусть (L)^f dx = 0. Тогда существует последователь- <? ность fk{x), k=l, 2, ..., функций из C(Q) такая, что fk(x)\f(x) п. в. при &->-оо. Рассмотрим последовательность ft(x), &=1, 2,... Очевидно, ft(x)eiC(Q), k=l, 2, .... и п. в. #(*)t/W при ?->со. Значит, Q<\fk{x)dx^{L)\f dx=0, т. e. /?(*) = О для <? о всех ^^1 и, тем самым, / = 0 п. в. Теорема доказана. 5. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Если функция / (*) интегрируема по Риману (напомним, что интеграл Римана опре- определяется только для ограниченных функций), то, как известно, существуют две сходящиеся п. в. к / (*) последовательности Д, fk, k= I, 2, ..., ступенчатых функций, f'k, k=l, 2, ..., монотонно п. в. неубывающая, f"k, k=l,2,..., монотонно п. в. невозра- стающая, такие, что последовательности их интегралов имеют общий предел, равный интегралу Римана от функции }{х). В более «экономном» процессе построения интеграла Лебега обходятся (воспользуемся теоремой 1) лишь одной первой последователь- последовательностью (ограниченную функцию / (*) можно считать, за счет добавления к ней соответствующей постоянной, неотрицатель- неотрицательной). Значит, если функция f (x) интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу, и ее интегралы по Риману и по Лебегу совпадают. Поэтому в дальнейшем значок L перед знаком инте- интеграла будем опускать, понимая всегда под интегралом —интеграл Лебега, а под интегрируемой функцией — функцию из A(Q). Множество ограниченных функций, входящих в A(Q), шире множества функций, интегрируемых по Риману, поскольку, напри- например, функция Дирихле %(х) ^ A (Q) ограничена и не интегрируема по Риману. Далее, при построении интеграла Лебега от функции f (х) не предполагалась ее ограниченность, например, неограниченная функция I*!"™ при 0<а<л принадлежит Л(|*|<1). В курсе Анализа рассматривается обобщение интеграла Римана на неогра- неограниченные функции (несобственный интеграл). Нетрудно показать, что абсолютно интегрируемая по Риману (в несобственном смысле) функция f(x) принадлежит A(Q) и ее интеграл Лебега совпадает с несобственным интегралом Римана. Заметим, что в областях размерности, не меньшей чем 2, все несобственно интегрируемые по Риману функции — абсолютно несобственно интегрируемы. Поэтому только в одномерном случае из существования несобственного интеграла Римана от некоторой функции может не следовать интегрируемость этой функции по
50 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II Лебегу. Примером такой функции является заданная на @,1) функция —sin — . X X 6. Достаточные условия интегрируемости по Лебегу. Теорема Леви. Перейдем теперь к установлению связи между измеримостью и интегрируемостью функции. По определению интегрируемая функция измерима. Однако не всякая измеримая функция, как показывает пример заданной в шаре {|л:|<1} функции |jf|~a, a>n, интегрируема. Установим некоторые достаточные условия интегрируемости. Для этого нам понадобятся важные и сами по себе теоремы о возможности перехода к пределу под знаком интеграла. Прежде всего рассмотрим монотонные последовательности функ- функций и докажем теорему о «замкнутости» множества интегрируе- интегрируемых функций относительно монотонных предельных переходов. Теорема 3 (Б. Леви). Монотонная п. в. последовательность fk{x), k=\, 2, ..., интегрируемых в Q функций с ограниченной последовательностью интегралов п. в. в Q сходится к некоторой интегрируемой функции f(x) и при этом \\m\fkdx=\fdx. G) *->со Q Q Доказательство теоремы достаточно провести для случая моно- монотонно неубывающей последовательности. Случай монотонно невоз- растающей последовательности сводится к предыдущему: доста- достаточно изменить знак у всех функций. Итак, пусть /ft (*), k= 1, 2, ..., — монотонно неубывающая п. в. последовательность интегрируемых функций. Не умаляя общности, можно считать, что функции ftl(x)^s0 п. в., k=l, 2, ... (в про- противном случае вместо последовательности fk(x), k=l, 2, ..., сле- следует рассмотреть состоящую из неотрицательных п. в. функций последовательность Fk(x)=fk(x) — f1(x), k = l, 2, ...). Возьмем для каждого k^s\ последовательность fkm(x), tn = = 1,2,..., функций из C(Q),fkm(x)\fk(x) п. в. bQ при т-+_оо. Функции <pm(x)=max(fim(x)), m=\, 2, ..., принадлежат С(Q) и обладают следующими свойствами: . а) Фт (*) < Фт+1 (*), б) fkm(x)sSФт(х)<¦-fm(х) Для k^m (второе неравенство в б), конечно, выполнено п. в.), в) S<pm(*)dx<S/m(*)dr<C, Q Q г) \fkm(x)dx^\(pm(x)dx при k^m. Q Q Из а), в) и леммы 3 следует, что при т->со п. в. в Q фт|/» где / — некоторая измеримая функция. Переходя к пределу при
4 1] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА SI пг-уоо в левом неравенстве из б) и используя правое неравен- неравенство из б), получим, что для всех k фА (*) =s?ffc (*) <f(x) п. в. в Q. Тогда fk(x)-+f(x) п. в. в Q при &->оо и /(^0 п. в. в Q. Следовательно, / (*) gA(Q) и \ / dx= lim \ фА (*) dx. Переходя в в) и г) к пределу при т->оо, получим, что при любом k ^fkdx^ Q «S $ fdx^ lim \fmdx, т. е. \f dx= lim \fmdx. Теорема доказана. q m->coQ q m->coQ С помощью теоремы Леви установим следующее достаточное условие интегрируемости функции. Теорема 4 (лемма Фату). Если последовательность fk(x), k=l, 2, ..., интегрируемых п. в. неотрицательных функций схо- сходится п. в. к функции f (х) и ^fkdx<iA, k=l, 2, ..., то f (x) Q интегр ируема и $ / dxs^A. Q Рассмотрим при т<& интегрируемые функции tymk (x) = = min (ft(x)). Так как п. в. ^mk (х) \ ^т (х) = inf (/,(*)) при &->оо и п. в. 0^i))mft (x)^fm(x), то из неравенства F) и /гео- /георемы Леви следует, что г)зт (x)gA(Q) и 0 ==S ^ г)зт (л:) с/л: < ^ \fm (x) dx^с А. Утверждение теоремы теперь вытекает из тео- Q ремы Леви, поскольку п. в. г)зт (х) f / (л:) при т->оо. Еще одно достаточное условие принадлежности функции мно- множеству A(Q) содержится в следующем утверждении. Теорема 5. Если функцияf (х) измерима и п. в. |/ (*)|«Sg(*). где g (х) — интегрируемая функция, то f (x) тоже интегрируема. Таким образом, измеримая функция с интегрируемым модулем интегрируема и, в частности (область Q ограничена!), интегри- интегрируема любая ограниченная (т. е. | f (x) | ^ const п. в. в Q) измеримая функция. Доказательство теоремы 5. Так как функция f(x) измерима, то существует последовательность интегрируемых (на самом деле, даже непрерывных в Q) функций fk(x), k=l, 2, ..., сходящаяся к f (х) п. в. в Q. Последовательность интегрируемых функций f'k (x) = max (— g (x), min (fk (x), g (x))), k = \, 2, ..., тоже сходится к f (х) п. в. и дополнительно обладает свойством: \ f'k(х) \ =^g(х) п. в., k=l, 2, ... Тогда последовательность fk(x)-\- + ?(*), k=l, 2, ..., состоит из п. в. неотрицательных функций, п. в. сходится к f-\-g и при всех k ^(f'k-{-g)dx^2^gdx. По Q Q лемме Фату f-\-g^A(Q), а следовательно, и /geA(Q). Теорема доказана.
52 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ П*Л. II Из теоремы Леви и теоремы 5 вытекает следующее утверждение. Следствие. Если fk (х) е Л (Q), k = 1, 2, ..., ы д 2 5 °> то п- в- в Q абсолютно сходится ряд ^ /*(*) т \ т. е. п. в. сходится последовательность 2|/а(х)|, т= 1, 2, ... \ k=\ I оо ы функция / (х) = 2 /ft (*) е Л (Q). 7. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интег- интеграла. Одним из центральных результатов теории лебеговского интегрирования является следующая теорема Лебега о возможно- возможности перехода к пределу под знаком интеграла. Теорема 6 (теорема Лебега). Если последовательность изме- измеримых функций fk(x), k=l, 2, ..., сходится п. в. в Q к некото- некоторой функции f(x) и \fk(x)\^g(x) п. в., k=l, 2, ..., где g (x) интегрируема, то f {x) тоже интегрируема и \\m\fkdx=\fdx. G) ft->CO Q Q В силу теоремы 5 функции fk(x), k=l, 2, ..., интегрируемы. Рассмотрим измеримые функции <ps (х) = sup (fk (х)) и tys (x) = = Ы (fk(x)), s=l, 2,... Поскольку п. в. | ф4 (jf) | ft>s \$s(x)\^g(x), s= 1, 2, .... то функции q>s(x) и^D s=l, 2 тоже интегрируемы. Но <ps(x)\f(x), ^>s(x)\f(x) п. в. 'при s->oo; значит, по теореме Леви /(x)gA(Q) и \>fdx= Пш ^(psdx = = lim \tysdx. Равенство G) теперь следует из очевидных нера- S->CO Q венств ^s(x)^fs(x)^((>s(x) п. в., s=l, 2, ... Теорема доказана. Равенство G) может не иметь места, если последовательность не мажорируется интегрируемой функцией. Например, последо- последовательность /А (*) = —i-^— (I — ] х |), k = 1, 2, ..., где а„ — площадь "л "л поверхности единичной сферы в л-мерном пространстве, заданная в шаре Q = {\x\<.\}, всюду в Q стремится к нулю, но ^fkdx = Q = ~т—Г7Г-; г~п—*¦ 1 при k—>-oo. (k-\-n)(k-\-n+l) v Из теоремы Лебега вытекает Теорема 7. Пусть при некотором SS=O функция f (х, у), х = (хи .... *„) <= Q с=/?„, у=(уъ ..., ym)j=QaRm, принадле- принадлежит для п. в. x^Q пространству CS(Q) и для всех i/eQ и
§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 53 | а | ss: s | D"/ (*, у) | «?g (х) при п. в. х е Q, где g (x) — интегри- интегрируемая по Q функция. Тогда \f(x, y)dx^Cs(U)- Q 8. Замена переменных под знаком интеграла. По отношению к замене независимых переменных интеграл Лебега ведет себя аналогично интегралу Римана. Пусть непрерывно дифференцируемое в области Q преобразо- преобразование У = У(х) (yi = yi(xi xn), г=1, ..., п) (8) взаимно однозначно отображает область Q на область Q'. Прежде всего покажем, что это преобразование переводит множество меры нуль в множество меры нуль. Действительно, пусть Е, Е cz Q, — множество меры нуль. Так как объединение счетного числа множеств меры нуль есть мно- множество меры нуль, то нам достаточно показать, что образ мно- множества Еь = Е П Qe при любом достаточно малом б > 0 при преоб- преобразовании (8) есть множество меры нуль. Возьмем произвольное е>0. Множество Ец можно покрыть счетной системой кубов с суммарным объемом, меньшим е. Можно считать, что все кубы этого покрытия имеют диаметры, 'меньшие 6/2, и следовательно, все они принадлежат Qe/2. Так как каждый куб этой системы, диаметра d, при отображении (8) переходит в область с диаметром d' sg d Vn max | yyt I = Cd, то образ мно- / жества Ец> можно покрыть счетной системой кубов с суммарным объемом, меньшим Сп (Vп)п е. Утверждение доказано. Теорема 8. Пусть непрерывно дифференцируемое в Q преоб- преобразование (8) взаимно однозначно с отличным от нуля в Q яко- якобианом J (х) отображает область Q на область Q'. Для того чтобы функция f (у) принадлежала A(Q'), необходимо и доста- достаточно, чтобы функция f (у (х)) \ J (x) \ принадлежала A (Q). При этом \f(y)dy=\f(y(x))\J(x)\dx. (9) Q' Q Обратное к (8) преобразование взаимно однозначно переводит Q' в Q, непрерывно дифференцируемо в Q' и имеет отличный от нуля в Q' якобиан. Поэтому доказательство теоремы 8 достаточно провести в одну сторону. При этом можно ограничиться случаем неотрицательной п. в. в Q' функции / (у). Пусть / (у) — п. в. неотрицательная интегрируемая по Q' функ- функция и fk(y), k=l, 2, .... — последовательность функций из C(Q'), fk{y)\f{y) п. в. в Q' при &->-оо. Рассмотрим последовательность непрерывных в Q' функций fk(y)=fk(y)U(kp(y))> 6=1,2
54 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II где определенная на [0, со) функция ?,(t) равна 0 при 0==s*«=; 1/2, равна 2t—l при 1/2<*<1 и равна 1 при /5*1, _а p(у) — рас- расстояние от точки у eQ' до границы dQ' (p(y) eC(Q')). Очевидно, что для любого k f'k(y)<fk(y)^f (у) п. в. в Q' (откуда вытекает ограниченность последовательности \fkdy, k = Q = 1, 2, ...) и f'k(y)\f(y) п. в. в Q' при &->оо. Следовательно, lim ^ f'k{y)dy=\f(y)dy. » 00 Q ft-» 00 Q, В силу непрерывности в Q' функций Д (г/) $ Д (г/) йу = = ^ /* (У (х)) \J(x)\dx, k = l,2,... Поэтому функция / (у (х)) \J(x)\, Q являющаяся пределом п. в. в Q сходящейся монотонно неубы- неубывающей последовательности fk (у (х)) | J (x) |, k = 1, 2, ..., функций из C(Q), интегрируема по Q и имеет место равенство (9). Тео- Теорема доказана. Замечание. Из теоремы 8 немедленно вытекает, что если в области Q имеют место неравенства С0«ё| J (л:)|^С1( где Со и С! — некоторые положительные постоянные, то необходимым и достаточным условием интегрируемости по Q' функции / (у) является интегрируемость по Q функции f(y(x)). При этом спра- справедливы неравенства C0\\f(y(x))\dx^\\f(y)\dy^C1l\f(y(x))\dx. A0) Q Q Q 9. Измеримые множества. Интегралы по измеримым множе- множествам. Рассмотрим некоторое подмножество Е области Q. Функ- Функция %е(х), равная 1 для х^Е и 0 для x^Q\E, называется характеристической функцией множества Е. Множество Е называется измеримым, если измерима его харак- характеристическая функция. Мера измеримого множества Е (mesf) определяется равенством mesE = '\)%E(x)dx A1) Q (интеграл в правой части имеет смысл в силу теоремы 5). Если Q' — подобласть области Q, то она измерима, поскольку 3(о'(л:) = Пт?а(л:), где ^ (л:) — срезающая функция для области Q'. При этом mesQ' = |Q'|- Определенные в п. 1 множества меры нуль измеримы, и они и только они имеют равную нулю меру (по данному только что определению). Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться теоремой 2 из п. 4.
§ II ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА 55 Если Е — измеримое подмножество области Q, а /(л:) —функ- —функция, интегрируемая по Q, то по определению будем считать эту функцию интегрируемой и по Е, причем интеграл по Е опреде- определим формулой \fdx=\ftEdx A2) (интеграл в правой части имеет смысл снова в силу теоремы 5). Если множество Е есть подобласть Q' области Q, то эти новые определения интегрируемости и интеграла по Q', конечно, как нетрудно проверить, не находятся в противоречии с принятыми прежде (п. 4) соответствующими определениями, данными непо- непосредственно для Q'. 10. Абсолютная непрерывность интеграла. Следующее свой- свойство называется абсолютной непрерывностью интеграла Лебега. Теорема 9. Пусть функция f (х) интегрируема по Q. Тогда по любому е >> 0 можно указать такое б > 0, что для произволь- произвольного измеримого множества Е czQ, mesE <6, имеет место неравен- неравенство \1 fdx Б <е. A3) В силу неравенства E) теорему достаточно доказать для функ- функции |/(*)|, т. е. можно считать, что f(x)^O п. в. в Q. Возьмем произвольное е>0 и подберем такую функцию /Е(х)еС($), что f(x)^fe(x)^O п. в. в Q и O^\fdx — -\fedx^z/2. Тогда ifdx-lfxEdx-W-fJtEdx + lhtEdx^ Q E Q Q Q ==s4- + Menies?, где Ме = тах/е(л:). Поэтому для того, чтобы выполнялось неравенство A3), достаточно в качестве б взять число е/BМе). Теорема доказана. 11. Связь между кратными и повторными интегралами. Обра- Обратимся теперь к вопросу о сведении кратного интеграла Лебега к повторным и одновременно к вопросу о возможности переста- перестановки интегралов. Пусть Qn— ограниченная л-мерная область переменных х — = (*!, ..., хп), a Qm —ограниченная m-мерная область перемен- переменных y = (yt ут). В ограниченной области Qm+n = QmXQn (т + я)-мерного пространства переменных (*, у) рассмотрим функ- функцию f(x, у). Теорема 10 (теорема Фубини). Пусть функция f(x, у) ин- интегрируема по Qm+n. Тогда для п. в. x<=Qn f(x, у) интегрируе- интегрируема по y^Qm, для п. в. у <=Qm f (x, у) интегрируема по x^Qn,
56 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II функции ^ f(x, y)dy и \ f (х, у) dx интегрируемы по x<=Qn и по у eQm соответственно, и $ fdxdy= \dx \fdy= \ dy\fdx. A4) Доказательство теоремы Фубини, конечно (см. п. 9), доста- достаточно провести для случая, когда Qn есть куб Кп — { \xt | <а, г = 1 «}, Qm есть куб Km = {\yi\<a, г=1, ..., т], a Qm+n есть куб Km+n={\Xi\<a, \yj\<a, i=l п, /=1 т\ при некотором а >• 0. Прежде чем перейти к этому доказатель- доказательству, докажем следующее утверждение. Лемма 4. Пусть Е —множество {т-\-п)-мерной меры нуль, расположенное в Кт+П' о. Е2(х) и Ех{д) — его т-мерное и п-мерное сечения плоскостями х = х и у = у соответственно. Для п. в. х е Кп множество Е2(х) имеет т-мерную меру нуль, и для п. в. у<^Кт множество Ех (у) имеет п-мерную меру нуль- В силу леммы 1 (п. 1) множество Е можно покрыть счетной системой кубов с конечным суммарным объемом так, что каждая его точка принадлежит бесконечному числу кубов. При этом можно считать, что грани этих кубов параллельны координатным плоскостям. Ряд из интегралов от характеристических функций tk(x, у) этих кубов сходится. Так как $ %k(x, у) dx dy = Km+n — § dx \ %k dy, то согласно следствию из теорем 3 и 5 (п. 6) ряд из Кп Кт интегралов $ %k(x, у) dy сходится при п. в. х. А это и означает, что для п. в. х множество Е2(х) оказывается покрытым счетным числом m-мерных кубов с конечным суммарным объемом, причем так, что каждая его точка принадлежит бесконечному числу таких кубов. Лемма доказана. Переходя к доказательству теоремы Фубини, прежде всего заметим, что можно ограничиться случаем f (х, у)^0 п. в. в Кт+п- Возьмем последовательность fk(x, у), k=\, 2, ..., функций из С(Кт+п) такую, что fk(x, у) \f{x, у) п. в. в Кт+п- Обозначим через Е такое множество (т + я)-мерной меры нуль, что для всех (л:, у) е Кт+п\Е последовательность fk(x, у) монотонно сходится к/(*,у). По определению интеграла при />->оо 5 dx \ fk(x, y)dy= ] fk(x, y)dxdy-+ \ fdxdy. Kn Km Km+n . *"
§ I] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 57 Согласно теореме Леви монотонная последовательность F,, {х) = = \ fk(x, у) dy, k= I, 2, ..., функций из С(Кп) сходится п. в. в /С„ к некоторой интегрируемой по К„ функции F (х) и \Fdx=\\m \Fk{x)dx= \ f dx dy. A5) Возьмем произвольную точку х е /Сл, в которой числовая последовательность Fk(x), k=\, 2, ..., сходится к F(х) и мно- множество Е2(х) (пересечение множества Е с плоскостью х = х) имеет /п-мернуга меру нуль. В силу леммы 4 множество точек из /С», не обладающих этими свойствами, имеет л-мерную меру нуль. Последовательность fk(x, у), k = \, ..., монотонно сходится для всех у<=Кт\.Еъ{х) (следовательно, п. в. в /Ст) к /(х, у). Тео- Теорема Леви утверждает, что / (X, j/)gA (Кт) и при k -> со \ f(X, y)dy. A6) Следовательно, функции \ f(x, у) dy и F (х) совпадают в Кп п. в. Теорема доказана. В дальнейшем мы часто будем использовать следующее пред- предложение, вытекающее из теоремы Фубини. Следствие. Если f (х, у) измерима в Qm+n, неотрицательна п. в. и существует один из повторных интегралов в A4) (т. е., например, для п. в, х функция f (x, у) интегрируема по у и функ- функция I f dy интегрируема по х), то функция f (х, у) интегрируема по Qm+n и, тем самым, существует второй повторный интеграл и имеет место равенство A4). Для доказательства достаточно проверить, что / (*, i/)sA (Qm+n)- Последовательность fk(x, y)=min(f (x, у), k), k=\, 2, ..., обла- обладает свойствами: fk(x, у) \f{x, у) п. в. в Qm+n, $ fk(x, y)dxdy= \ dx \ fk(x, y)dy^ $ dx $ f dy О 0 0 О О чт+п чл чт чп чт (здесь равенство написано на основании теоремы Фубиии, при- примененной к измеримой и ограниченной, а значит, и интегрируе- интегрируемой по Qm+n функции fk {x, у)). Принадлежность функции f (х, у) A(Qm+n) после этого вытекает из теоремы Леви. 12. Интегралы типа потенциала. Пусть р (л:) — измеримая огра- ограниченная п. в. в Q функция, |р(*)|<;М п. в. Тогда для каж- каждого x^Rn определена функция и {х) = \ -|^_ у , а < п, на- называемая интегралом типа потенциала.
58 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II Покажем, что и (*) е С (#„). При а=^0это очевидно. Пусть а>0. Прежде всего заметим, что для любых точек х° и х и любого 6>0 имеет место неравенство и (х°) - и (х) \Р(У)\ 1 I *°-< х~у\а dy- +м $ i х°~у\а \х—у\а dy. A7) Фиксируем х° и возьмем произвольное е>0. Так как при и х=?х° a mes {(| х-у |< б) П (| х° -у |> 6} = mes {(| х -у\>6) П (I *° - <б)}, то Поэтому Следовательно, можно найти (и зафиксировать) такое б > 0, что первое слагаемое правой части A7) будет <е/2. Функция F (х, у) = том множестве Q = { х-х° \х-У\ непрерывна на замкну- ло = 0. Поэтому можно найти такое tj, 0<т|<6/2, что при для всех Следовательно, для \х — л:0|<т] и второе слагаемое правой части A7) не превосходит е/2. Таким образом, для |* — х°\ <tj | и (х°) — u (jf) | < е, т. е. функция и (х) непрерывна. Пусть п — а>1. Покажем, что в этом случае и(х) непре- непрерывно дифференцируема в Rn и что Так как -г/Г'2 х-У » г = 1- •••» п> то с помощью рас-
§ Ц ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 59 суждений, аналогичных проведенным выше для функции и(х), устанавливается, что функции непрерывны в Rn. Далее, согласно теореме Фубини для любого i, г = 1, ..., п, X. Х{ I \ Ml — Xl * ж! Q Поэтому 4 = U(X)-U(X1, ..., Jf^i, X их,(х), i=l, ..., п. 1, ..., Хп). Утверждение доказано. Точно так же устанавливается, что если n — a^s, где s — целое число, то и (х) имеет непрерывные производные до порядка s включительно и для всех а = (а1, ..., а„), |a|^s, Заметим, что функция U1(x) = [p(y)ln\x-y\dy, Q называемая логарифмическим потенциалом, (п—1) раз непре- непрерывно дифференцируема в Rn и для всех а, |а|<;я—1, Dau1(x) = \p(y)DUn\x-y\dy. Q 13. Интеграл Лебега от комплекснозначных функций. Пусть функция / (*), заданная в области Q, является комплекснозначной Функция f (х) называется измеримой в Q, если измеримы в Q функции Re/ и Im/. Функция f (х) называется интегрируемой в Q, если интегрируемы в Q функции Re/ и Im/. Интеграл от функции / (*) в этом случае определяется равенством i ]lmfdx. Q
60 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II Так KaK^-(|Re/| + |Im/|)<|/|^|Re/| + |Im/|, то для того чтобы измеримая функция f (х) была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы функция |/(лг)| была интегрируемой. 14. Интеграл Лебега на (п— 1)-мерной поверхности. Пусть 5 — (п— 1)-мерная поверхность (класса С1), и пусть Sm, m — = 1, ..., УУ, —покрытие поверхности 5 простыми кусками, 5 = N = U Sm (см. гл. I, введение). Каждый простой кусок Sm они- т= 1 сывается уравнением хр = Ут(х1< •••> хр-1< хр+1< •••> хп)> (х1г .... хр.и хр+1, ..., xn)<=Dm, фтеС1фт) A8) (Dm — проекция Sm на координатную плоскость хр = 0, l«sp = = р(т)^п, — (п— 1)-мерная область с границей класса С1). С помощью формулы A8) устанавливается взаимно однознач- однозначное соответствие между точками (хи ..., лгр_ь хр+1, ..., хп) мно- множества Dm и точками (хг, ..., хр-ъ хр, ..., хп) из Sm: каждой точке {хъ .... *р_!, фт(хг хр-и хр+1, ..., хп), хр+1, ..., хп) е е Sm ставится в соответствие точка (хь х2,..., хр^ъ хрП,..., хп) е sfl,, (ее проекция на плоскость хр = 0). Пусть множество Е содержится в Sm при некотором т, т = = 1, ..., N. Обозначим через Ш принадлежащий Ът его прообраз при этом отображении. Будем говорить, что множество Е есть множество поверхностной меры нуль, если множество Ш есть мно- множество (п— 1)-мерной меры нуль. Принадлежащее 5 множество Е называется множеством по- поверхностной меры нуль, если каждое из множеств 'E(]Sm, пг = = 1, ..., N, является множеством поверхностной меры нуль. Легко показать, что свойство множества Е с: 5 быть множе- множеством поверхностей меры нуль не зависит от выбора покрытия Si, ..., Syv поверхности S. Понятие множества меры нуль позволяет в полной аналогии со случаем л-мерной области (см. пп. 1—4) ввести понятие схо- сходимости п. в. на S и связанные с ним понятия измеримой на S и интегрируемой по Лебегу на S функции. Заданная на S функция называется- измеримой (на S), если она является пределом п. в. на S сходящейся последователь- последовательности функций из C(S). Неотрицательная функция f(x), заданная на S, называется интегрируемой (по Лебегу) на S, если она является пределом п. в. на S сходящейся монотонно неубывающей последователь- последовательности fit(x), k=l, 2, ..., непрерывных на S функций с ограни- ограниченной сверху последовательностью поверхностных интегралов
§ 1] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 61 (Римана): \fk(x) dS^C, k=l, 2, При этом поверхностный s интеграл (Лебега) от функции f(x) определяется формулой 5/d5 = sup ^ fk (x) dS = lira \fk (x) dS. S k S ft»oos k S Заданная на 5 вещественнозначная функция f(x) называется интегрируемой по Лебегу по S, если неотрицательные функции f+ (x) = max(J (х), 0) и /~(л:) = тах(—f(x), 0) интегрируемы по Лебегу. При этом \f dS = \f+ dS - lf-dS. s s s Пусть функция / задана на поверхности 5 и Slt ..., Sn — некоторое покрытие поверхности 5 простыми кусками. Обозна- Обозначим через fm(xlt ..., хр{ту1, хрт+1, ..., х„) заданную на Dm ФУНКЦИЮ f(xlt ..., Jfp(m)_i, фт(^1. •••. Xp(m)-lt Xp{m)+1, ..., Хп), Xp(mVrl< • • • ' Хп). Покажем, что функция f измерима тогда и только тогда, когда измеримы все функции fm, m=l, ..., N; функция f инте- интегрируема по S тогда и только тогда, когда каждая из функций fm интегрируема по Dm, m=\, ..., N, при этом N \fdS= 2 \ fmVl +|Vcpm№ ... dxp^dxp^dx», A9) где D[ = D1, а D'm при т>1— проекция Sm\ У Si на пло- т—\ и (=1 скость лгр(т) = О. Если / измерима (интегрируема), то, очевидно, измерима (интегрируема) каждая из функций fm, m=\, ..., N. Покажем, что если все функции fm, m=\, ..., N, интегри- интегрируемы,, то интегрируема и функция / (утверждение об измери- измеримости устанавливается аналогично); при этом будем считать (это не умаляет общности), что функция /, а следовательно, и все fm, т=1, ..., N, неотрицательны п. в. (на S и соответственно на DM). При каждом т, т=\, ..., N, возьмем монотонно неубываю- неубывающую последовательность /™, k=\, 2, ..., неотрицательных функ- функций из C(Dm), сходящуюся п. в. (в Dm) к функции fm. Рас- Рассмотрим последовательность Щ, k=l, 2, ..., разбиений (л — 1)- мерного куба К, содержащего область Dm: П^ —разбиение куба /(
62 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II на 2"'1 равных подкубов с ребром, равным половине ребра куба К, разбиение П2 — измельчение разбиения Пъ при котором каждая ячейка (куб) разбиения Ili делится на 2" равных подкубов, и т. д. Обозначим при любых т = 1,..., N и k= 1, 2, ... черезD'm,k замкнутое множество, состоящее из (конечного числа) замыканий всех ячеек разбиения ПА, содержащихся в D'm, а через /^ — не- непрерывную в Dm функцию, равную в Dm\D'm,k нулю и равную вО'тк функции f^-l(k-rmk), где ?@ = 0 при 0<t<±, ?(t) = 2t—l при у«Sts^ I, ?@ = 1 при t> 1, a rm<k — расстоя- расстояние от точки (хи ..., Jfp<m)-i, JfP(m)+i *„)е?>;„,* до гра- границы D'm>k. Ясно, что при любом т, m=l N, последова- последовательность f'k, k=\, 2, ..., монотонно не убывая п. в. в D'm, сходится к функции fm. Определим непрерывную на 5 функцию /Г. т=\, ..., N, k=\, 2, ..., следующим образом: При *<=Sm ~fk=Fb(Xi, ..., *p(m)-l,*p(m)+i, ..., Х„), при x^ и пусть fk= ? }F, k= 1,2, ...Очевидно, что каждая из m =1 функций fk, k=\, 2, ..., непрерывна на 5 и \hdS=i \kdS-Z \kdS = S m~\ S m= 1 Sm фт| l ••• "*p(m)-i"*p(m)+i ••• dxn N ^ 2-i J I k ' ' т m I "*j ••• "p(m)-l p(m)+l '" n- ( ' Кроме того, fk\f п. в. на 5 при &->-оо. В силу интегрируемости на D'm функции f"]/l + 1 ^фт|2. m=l, ..., УУ, из B0) вытекает, что последовательность \fkdS, k=\, 2, ..., ограничена. Следо- s вательно, функция / интегрируема по 5. Переходя в равен- равенстве B0) к пределу при &->-оо, получим A9). Из доказанного немедленно вытекает, что для измеримых и интегрируемых по 5 функций справедливы все свойства, уста- установленные выше для случая «-мерной области.
§ 21 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 63 § 2. Линейные нормированные пространства. Гильбертово пространство 1. Линейные пространства. Линейным пространством назы- называется множество «F, для элементов которого определены опера- операции сложения и умножения на вещественные (комплексные) числа, не выводящие из а?" и обладающие свойствами; a) б) f±f) f hf h) в) в aF существует элемент о такой, что для любого 0f = o, Г) ( Д) ) ()f (f) ж) \-f = f для любых /, fi, ,„е/ и любых вещественных (комплексных) чисел с, Ci, ... В зависимости от того, на какие числа, вещественные или комплексные, допускается умножение элементов из <& , простран- пространство sF называется вещественным или комплексным линейным про- пространством. Для определенности мы в этой главе будем рас- рассматривать лишь случай комплексных линейных пространств. На случай вещественных линейных пространств соответствующие оп- определения и результаты переносятся без затруднений. Подмножество линейного пространства У, само являющееся линейным пространством, называется линейным, многообразием в пространстве <У'. Пусть fm, m=l, 2, ...,—счетная (или конечная) система эле- элементов линейного пространства «F. Множество элементов вида cifi + • • • + ckfk при всевозможных k и произвольных комплексных съ ..., ck является линейным многообразием в пространстве sF и называется линейным многообразием, натянутым на элементы fk, k=\, 2, ... Элементы flt ..., fm из «F" называется линейно неза- независимыми, если равенство c1f1-\-... + cmfm = o возможно лишь при с1 = ... = ст = 0; в противном случае flt ..., fm — линейно зави- зависимы. Бесконечное множество элементов из aF называется линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо. Линейное многообразие конечномерно (п-мерно), если в нем существует п линейно независимых элементов, а совокупность любых его л + 1 элементов линейно зависима. Линейное многообразие, натянутое на линейно независимые элементы fk, k=\, ..., п, из «F, п-мерно. Линейное многообразие называется бесконечномерным, если в нем можно найти линейно независимое подмножество, состоящее из бесконечного числа элементов.
64 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ, II 2. Линейные нормированные пространства. Линейное простран- пространство а?" называется нормированным, если каждому его элементу / можно поставить в соответствие вещественное число || /1| = || / |§г- (норма /), и это соответствие обладает следующими свойствами: а) ||с/1|= \с\ 11/1 при произвольных комплексном с и /е</", б) ll/i + tall^I/ii + IIAJ Для любых /ie/, i=\, 2 (неравен- (неравенство треугольника), в) 1!Л|5гО> причем |/|| = 0 только для /=о. В линейном нормированном пространстве можно определить понятие расстояния Ц/i —/2|| между двумя элементами /х и /2, а вместе с ним и понятие сходимости. Последовательность fm, т=\, 2, ..., элементов из гГ назы- называется фундаментальной, если |/ft — /m|->-0 при k, m->-oo. Последовательность fm, m=\, 2, ..., элементов из <У назы- называется сходящейся к fe/ /7m-»-/ ПРИ /и->-оо, или lim fm = f\, \ m -»со у если ||/т —/||->0 при т->-оо. Последовательность не может сходиться к двум различным элементам, так как если ||/т — /||->-0 и ||/m — g|^-0 при т->-оо, ТО \)f-g\\ = \\f-fm + fm-g\\^\\fm-f\\ + \\fm-g\\-+O ПРИ т-^СО, т- е. ||/-g|=0, откуда / = g. Если /т->-/, то ||/т||-Н|/|| (непрерывность нормы). Действи- Действительно, в силу неравенства треугольника ||/m|^|/m — /| + ||/| и |/|<|/m-/| + |/ml!. Поэтому |||/т|-|/|||<|/ш-/|К0 притчею. Если последовательность сходящаяся (/т->-/), то она фунда- фундаментальна, так как Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Линейное нормированное пространство называется полным, если для любой фундаментальной последовательности jsro элементов найдется элемент этого пространства, к которому она сходится. Полное линейное нормированное пространство В называется банаховым пространством. Линейное многообразие в банаховом пространстве В, полное в норме В (и, тем самым, само являющееся банаховым простран- пространством с той же нормой), называется подпространством простран- пространства В. Линейное многообразие, натянутое на конечное число эле- элементов из В, является подпространством пространства В. Пусть <М — некоторое линейное многообразие в В. Множе- Множество еШ, полученное в результате присоединения к <М предель- предельных элементов всех фундаментальных последовательностей элементов из oftl (в пространстве В любая фундаментальная последовательность имеет предельный элемент), называется замы- замыканием (в В) многообразия оМ.
§ 21 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 65 Замыкание oftl линейного многообразия <М, очевидно, является линейным многообразием. Покажем его полноту. Пусть fk, k = = 1, 2, ..., — произвольная фундаментальная последовательность элементов из <зМ, а /= lim fk. Убедимся, что [еэЙ, Из опреде- й-»со ления <М следует, что для любого k=l, 2, ... существует такой элемент fk ее <ш, что || fk — fk\< 1/& Поэтому при &->со, т. е. /= lim Д. Это и означает, что [ёэЙ, *->оо Итак, замыкание линейного многообразия в В является под- подпространством . Замыкание линейного многообразия, натянутого на элементы fk, k=\, 2, ..., называется подпространством, натянутым на эти элементы. Множество <з/Н' с В называется ограниченным, если существует такая постоянная С, что ||/||^С для всех /еео^'. Множество <з/Н' с: В называется всюду плотным, в В, если для любого элемента / е- В существует последовательность Д, k = = 1, 2, ..., элементов из &ft', сходящаяся к /\ Банахово пространство В называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество. 3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Будем говорить, что в линейном пространстве Н введено скалярное про- произведение, если любой паре элементов Ль h2 se Н поставлено в соот- соответствие комплексное число (hly h2) (скалярное произведение этих элементов), и это соответствие обладает следующими свойствами: а) (hlt h2) = (h2, hi) (в частности, (Л, Л) — вещественное число), б) (Ai + A,, h) = (h1, h) + {h2, h), в) для любого комплексного с (chu h2) = c(h1, h2), г) (Л, Л) 3=0, причем (Л, Л) = 0 только для h = o. Установим следующее важное неравенство Буняковского: КЛь л2)|2<(Л1, /ii)-(/i2, л2), A) имеющее место для любых Лх и 1ц из Н. Если 1ц = о, то нера- неравенство A) очевидно. Пусть Ь.2фо. При произвольном комплекс- комплексном / (X fo ,, а) ( ,) + (W + ( 2) К1 Х(Л2, Л2)- Если /=—У" *:¦, то это неравенство принимает вид (Ль fti) ~ ^ М1' ^ 0. эквивалентный A). («2, «2J Скалярное произведение порождает в пространстве Н норму |Л|| = ]/(Л, Л). Свойства а) и в) для так введенной нормы 3 В. П. Михайлов
66 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II очевидны. Для доказательства свойства б) (неравенства треуголь- треугольника) воспользуемся неравенством Буняковского Линейное пространство со скалярным произведением, полное в норме, порождаемой этим скалярным произведением (т. е. являю- являющееся банаховым в этой норме), называется гильбертовым прост- пространством. В гильбертовом пространстве наряду со сходимостью (по норме) удобно ввести еще один вид сходимости. Последовательность hm, т = 1, 2, ..., из Н называется слабо сходящейся к элементу АеЯ, если lim (hm, f) = {h, f) для любого элемента [еЯ, т —*со Покажем, что последовательность не может слабо сходиться к различным элементам Н. Пусть существуют два элемента h и Л'еЯ, для которых lim (hm, f) = (h, f) и lim (hm, f) = (h', f) при m —*¦ со tn —*¦ со любом /ееЯ. Тогда для всех [еЯ {h — K, f) = 0, в частности, при f = h-K имеем {h-H, h-h') = O, т. е. Л = Л'. Если последовательность hm^H, m=\, 2,..., сходится к h se H, то она и слабо сходится к Л. В самом деле, |(Л«, Г)-{К f)\ = \{hm-h, Я|<||Л«-Л11П->0 при т->со. 4. Эрмитовы билинейные формы и эквивалентные скалярные произведения. Будем говорить, что на гильбертовом пространстве Н задана эрмитова билинейная форма W, если любой паре элемен- элементов ht и Л2 из Н поставлено в соответствие комплексное число W (hlt Л2), и это соответствие обладает следующими свойствами: а) Wih + tb, п) = №(П1, h) + W(h2, Л), б) W(chlt ht) = cW(hlt h,), в) W(hlt h2) = W(h2,h1) при произвольных Л, hi, h2^H и произвольном комплексном с. Квадратичной формой эрмитовой билинейной формы W (hi, 1ц) называется заданная на Н функция W (Л, И). Из свойства в) выте- вытекает, что квадратичная форма эрмитовой билинейной формы вещественнозначна. Примером эрмитовой билинейной формы, заданной на Н, явля- является скалярное произведение. Соответствующая этой билинейной форме квадратичная форма есть квадрат нормы, порождаемой ска- скалярным произведением. Если квадратичная форма некоторой эрмитовой билинейной формы обладает свойством W (Л, Л) ^ 0 для всех Л se Н и W (Л, И) = = 0 только для h = o, то билинейную форму W (hi, h2) можно принять за (новое) скалярное произведение в Н: W (/гь h\) = (/гъ/г2)'.
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 67 Соответствующая (новая) норма тогда определяется равенством \\h\\' = V~W(h, h). Норма || ||' называется эквивалентной норме |] |], если сущест- существуют такие постоянные Сх>0 и С2>0, что | Л f ic d || Л ||, |A||ss; s=SC2||A|' для любого элемента ЛеЯ, Скалярные произведения ( , ) и ( , )' называются эквивалентными, если эквивалентны порождаемые ими нормы. Если норма || If эквивалентна норме | ||, то множество Н явля- является гильбертовым (т. е. полным) пространством и в скалярном произведении ( , )'. Действительно, пусть последовательность элементов hk,k = = 1, 2,..., из Н фундаментальна по норме || |': ||hk — hs\->-0 при k,s-+co. Так как |hk — А41| *s;С2\\hk — hs|f, то эта последовательность фундаментальна и в норме | |. Поскольку Я —полное простран- пространство в норме || ||, то существует элемент Л ge Н, к которому взя- взятая последовательность в этой норме сходится: \hk — Л|->-0 при &->-оо. Так как ||Aft —A|r<;Ci||Aft —А||, то последовательность схо- сходится к Л и в норме || [. Утверждение доказано. 5. Ортогональность. Ортонормированные системы. Элементы ht и Л2 ge Н называются ортогональными (ht _J_ h^j, если (hu A2) = = 0. Элемент h называется ортогональным множеству Н' аН, если (Л, Л') = 0 для всех И ge Н'. Два множества Н' и Н" из Н называются ортогональными (#' А_Н"), если (К, Л") = 0 для всех Л'<ееЯ', Л"еЕЯ". Если Л ge Н ортогонален всюду плотному в Н множеству Н', то Л=о. Действительно, пусть последовательность hk, k = — 1,2,..., элементов из Н' и hk ->А при k ->-оо. Так как (Л*, Л) = 0 для всех k^zl ив силу слабой сходимости (h'k, Л)->-|Л|2, то [Л|| = 0, т. е. Л = о. Элемент Age Я называется нормированным, если ]Л||=1. Мно- Множество Н' с: Я называется ортонормированным (ортонормирован- ной системой), если его элементы нормированы и попарно орто- ортогональны. Ортонормированное множество, очевидно, линейно неза- независимо. Счетное (или конечное) линейно независимое множество эле- элементов hk, k=\, 2, ..., можно преобразовать в счетное (или конечное) ортонормированное множество следующим образом (метод Грамма —Шмидта): fti . _ К—fe * 2~ \\h-(K (в силу предположения о линейной независимости множества hk, k = 1, 2, ..., при любом n Ss 2 К — (Л„, ех) ?! — ... ...—(Л„, е^е) 3*
68 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II 6. Ряды Фурье по произвольной ортонормированной системе. Пусть / — произвольный элемент из Я, а еъ ..., еп, ... — некото- некоторая счетная ортонормированная система в Н (если пространство Н конечномерно, то нужно взять ортонормированную систему, состоящую из конечного числа элементов). Обозначим через Нр подпространство, натянутое на элементы еъ ...,ер при некотором р Ss 1, и найдем в Нр элемент наиболее близкий (в норме прост- пространства Н) к элементу /. Так как произвольный элемент Нр имеет р вид 2 с^ег при некоторых постоянных clt ..., ср, то эта задача г=\ сводится к нахождению таких чисел съ ..., ср, при которых достигает своего минимума величина бя (/; съ ..., ср) = II Р 2 Р Введем числа /* = (/, ek), k=\, 2, .,., называемые коэффи- коэффициентами Фурье элемента / по системе ех, е2, ... Так как ; С! ср)= [f- г = 1 Р Р Р г = \ r=\ то величина бд (/; съ ..., ср) достигает минимума только при cr = fr, r=l, ..., р, и этот минимум — обозначим его через 6J, (/)- равен ||/ f-J] 1/И2: /¦ = ! B) Таким образом, при заданном / для всех сх, ..., ср имеет место неравенство выражающее минимальное свойство коэффициентов Фурье, причем равенство достигается только при cr = fr, r=l, ..., р. Обозначим через /р единственный ближайший к / элемент в подпространстве Нр:
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 69 Тогда \\f-fp\? = 8hp(f). C) Элемент /" называется проекцией элемента / на подпростран- подпространство Нр. Из равенства B) следует, что для любого элемента /еЯ р и любого /?5sl 2 |/>|а<||/||а. Это означает, что числовой ряд г=\ со V | fr |2 сходится и имеет место неравенство Бесселя г=1 г=1 Лемма 1. Пусть fk, k=\, 2, ..., —некоторая последователь- последовательность комплексных чисел, a ek, k=l, 2, ... ,—ортонормирован- со ная система в Н. Для того чтобы ряд ^ /*е* сходился в норме k = \ Н, необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд p oo Пусть Sp= 2 frer — частичная сумма ряда 2 /А- Для Ip |« p ^] /^ = ^ |/г|2, из которого ?+l I <7+l вытекает, что сходимость ряда 21 /, |2 необходима и достаточна для фундаментальности последовательности частичных сумм ряда и, тем самым, в силу полноты пространства Н для сходимости этого ряда. Лемма доказана. Пусть / — произвольный элемент из Н и /*, k= 1, 2, ...,— его коэффициенты Фурье по ортонормированной системе ek, k = -1, 2, ... Ряд называется рядом Фурье элемента/ по системе ек, k=\, 2, ... Из неравенства Бесселя и леммы 1 вытекает Лемма 2. Ряд Фурье произвольного элемента /еЯ по про- произвольной ортонормированной системе сходится в норме прост- пространства Н. Лемма 2 устанавливает существование элемента / е Н, к кото- которому сходится ряд Фурье элемента /. Возникает естественный вопрос: не справедливо ли для всех /ёЯ равенство /=/?
70 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II В общем случае, если не делать никаких дополнительных предположений относительно системы еи е2, ..., кроме ее орто- нормированности, ответ на этот вопрос будет отрицательным. 7. Ортонормированный базис. Из B) вытекает, что при любом [еЯ величина 6# (/) с ростом р может только уменьшаться. Поэтому a priori могут представиться два случая: а) для всех /еЯ 6д (/)-*¦ 0 ПРИ р-*-оо, б) существует такой элемент /еЯ, для которого при р-+оо 8h(fH p В случае а) в силу равенства C) для любого [ёЯ имеет место соотношение f= lim ? fkek или, что то же самое, равенство f = 23 fkek, D) т. е. в случае а) ряд Фурье любого элемента / сходится (в мет- метрике Н) к /. При этом для любого / е Н имеет место равенство 1/1Г=|] 1/*12, E) называемое равенством Парсеваля — Стеклова, и обобщающее его равенство (/>?)=!№- E') справедливое для любых элементов / и g из Н. Равенство E) вытекает из B). Докажем равенство E'). Прежде всего заметим, что ряд, стоящий в правой части, абсолютно схо- сходится, так как его общий член мажорируется общим членом схо- сходящегося ряда: \fkgk\^-2 A/*12 + |?*12)- Далее, в силу D) (f,g)= lim (fP,g)= lim B3 fc*. g) = p^oo p^oo \k=l I = Hm 23 h(ek> g)= lim 23 f*8k= 23 fa*- Что и требовалось установить.
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 71 В случае б) существует такой элемент /ей, ряд Фурье кото- которого сходится (согласно лемме 2 предыдущего пункта) к элементу ff т. е. элемент h = f — f=?o. Таким образом, где кфо и h ортогонален подпространству, натянутому на сис- систему в\, е2, ... Вернемся теперь снова к случаю а), который, естественно, нас в основном и будет интересовать. Счетная ортонормированная система еи е2, ... называется пол- полной или ортонормированным базисом пространства Н, если любой элемент / <= Н может быть разложен в ряд Фурье D) по этой системе. Из доказанного выше вытекает справедливость следующего утверждения. Лемма 3. Для того чтобы ортонормированная система е^ е2, ... была ортонормированным базисом Н, необходимо и доста- достаточно, чтобы для любого элемента f e H имело место равенство Парсеваля — Стеклова E) или для любых двух элементов fug из Н имело место равенство E'). Лемма 4. Для того чтобы ортонормированная система е1( е2, ... была ортонормированным базисом пространства Н, необхо- необходимо и достаточно, чтобы линейное многообразие, натянутое на эту систему, было всюду плотным в Н множеством. Если система еь е2> ¦¦• является ортонормированным базисом в Н, то любой элемент /еЯ сколь угодно точно аппроксими- аппроксимируется в норме Н частичными суммами своего ряда Фурье, являющи- являющимися линейными комбинациями этой системы. Необходимость установлена. Докажем достаточность. Пусть / — произвольный элемент из Н. Для произвольного е>0 найдем число р = р(г) и числа ct(e), ... 1 I) ..., Ср{&) такие, что / — 23 с*(е)е* <е- В силу минимального свойства коэффициентов Фурье S f - 23 с*(е)е*| откуда и следует разложимость / в ряд Фурье D). Теорема 1. В сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис. Пусть h[, h'i, ... — счетное всюду плотное в Н множество. Обозначим через hx первый отличный от нуля элемент hjtt (h\ = = ... — h'kl—\=o) этого множества, через /i2 первый элемент мно-
72 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II жества h'^ + i, h'kl + 2 образующий с hi пару линейно независи- независимых элементов и т. д. Счетная (или конечная) система hi, h2, ... линейно независима, и линейные комбинации элементов этой сис- системы всюду плотны в Н. Преобразуем систему hlt h2, ... (и. 5) в счетную ортонормированную систему элементов еъ е2,..., линей- линейные комбинации которых тоже плотны в Я. В силу леммы 4 эта система является ортонормированным базисом пространства Н. Теорема 1 доказана. § 3. Линейные операторы. Компактные множества. Вполне непрерывные операторы 1. Операторы. Функционалы. Пусть Bi и В2 — банаховы прост- пространства, а В[ — некоторое множество, лежащее в Въ Будем гово- говорить, что на В\ задан оператор А (оператор А из Вх в В2), если любому элементу / е В[ поставлен в соответствие некоторый эле- элемент g^B2 : g = Af. Множество В\ называется областью опреде- определения DA, DA = B'U оператора А, а множество элементов вида Af при / е DА — областью его значений RAczB2. Оператор А называется функционалом, если пространство В2 есть множество комплексных чисел (за норму на этом множестве принимается модуль комплексного числа). Функционалы обычно будут обозначаться буквой /. Простейшими операторами являются операторы О — нулевой и (при Bi = B.y) / — единичный, определяемые следующим обра- образом: Of = o для всех feflo, // = / для всех /eD,. Оператор А называется непрерывным на элементе f^DA, если он любую сходящуюся к / в норме Bt последовательность fk, k = l, 2 элементов из DA переводит в сходящуюся к эле- элементу Af в норме В2 последовательность Afk, k=\, 2 ... Опера- Оператор А называется непрерывным на множестве Е c:Da(b частности, на DA), если он непрерывен на любом элементе f^E. Оператор А, непрерывный на DA, будем называть непрерывным. Оператор А называется линейным, если DA— линейное много- многообразие и A (cj/t + cji) = CiAfi + c2Af2 для любых элементов ft e DA и чисел си i=l, 2. Линейный оператор А нулевому элементу пространства Вг ста- ставит в соответствие нулевой элемент пространства В2, поскольку Ao = A@-f) = 0-Af = o (/ — произвольный элемент из DA). Для непрерывности линейного оператора А необходимо и доста- достаточно, чтобы он был непрерывен на нулевом элементе (или. вообще, на каком-либо элементе из DA). Необходимость утверждения очевидна. Докажем достаточность. Пусть fk, k=\,2 — последовательность элементов из DA,
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 73 сходящаяся к/еОд. Поскольку ?* = /* — /, k=\, 2 — после- последовательность элементов из DA, сходящаяся к нулю, то Agk-+o при &->-оо. А это и означает, что Afk-+Af при &->-оо. Утвер- Утверждение доказано. Пусть Лг, i=l, 2,—линейные операторы из В1 в В2, ?>л, = — Da^, а с/, i=l, 2, —некоторые числа. Определим оператор А=с1А1 + с2А2 следующим образом: для любого f <=Da = Da,= = Da2 Af = CiAif-\-c2A2f. Оператор А также является линейным. Таким образом, на множестве линейных операторов с общей областью определения введены операции сложения и умножения на комплексные числа. Нетрудно убедиться, что это множество образует линейное пространство. Линейный оператор А называется ограниченным, если суще- существует такая постоянная С>0, что | Л/Цв^^СЦ/Цв, для всех /е еЬл, или, что то же самое, || Л/||в, <;С для тех / ёОл, для кото- которых l!/|k=i. Точная н}1ж«яя грань значений постоянной С называется нор- нормой оператора А и обозначается через | А ||. Покажем, что = sup W*= sup 'И/Ik- (П Обозначим sup ЦЛ/Цд./Ц/Цв, через а. Поскольку для всех/е=?л д 1И/1в2/1Л1в. ^а> т0 || ^4 1| ^ сх. Установим обратное неравенство. По определению точной верхней грани для любого е>0 суще- существует элемент fe<=DA, для которого | A/B|k/l/elk ^ а~е- Эт° означает, что |Л|^а —е при любом е>0, т. е. |Л|^а. Итак, \\А\\ = а. В частности, если оператор А является линейным ограничен- ограниченным функционалом, А=1, то его норма ^i= sup \lf\. Отметим, что множество линейных ограниченных операторов с общей областью определения есть линейное многообразие в про- пространстве всех линейных операторов с этой областью определения. Введенная норма линейного ограниченного оператора удовлетво- удовлетворяет всем аксиомам нормы. Легко показать, что это нормирован- нормированное пространство является полным (т. е. банаховым). Следующее предложение устанавливает связь между понятиями непрерывности и ограниченности для линейных операторов. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен, необ- необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
74 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II Достаточность. Пусть последовательность fk, k=\, 2, ..., из DA сходится (в Вг) к f(=DA. Так как | Afk — Af ||в, = || A (fk — —/Iк^||Л III/* — /|U,->-0 при &->-оо, то Afk-+Af в В2 при&->-оо. Необходимость. Предположим, что оператор Л неограни- неограничен; тогда существует последовательность f'k, k=\, 2, ..., элемен- элементов DA, для которой ЦЛ/йИв^&Ц/йЦв,. Но это противоречит не- непрерывности оператора А, поскольку последовательность fk = = /ft/(*||/ftlk). k=\, 2, ..., принадлежащая DA, стремится в Bt к нулю, а последовательность Л/А, &=1, 2, ..., не может стре- стремиться к Ао—о, так как ||Л/А||ва^=1. Линейный ограниченный оператор А с всюду плотной в Вг областью определения DA всегда можно считать заданным на всем Ви доопределяя его на Bj\DA следующим образом. Пусть /'— любой элемент из B1\DA, a fk, k=l, 2, ..., —некоторая после- последовательность элементов из DA, сходящаяся в норме Вх к / (DA всюду плотно в Вг). Так как оператор А ограничен, то после- последовательность Afk, k=\, 2, ..., элементов из В2 фундаментальна в В2. В силу полноты В2 последовательность Afk, k=\, 2, ..., имеет в В2 предел. Покажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности fk, k—l, 2,... Действительно, пусть Д, k = = 1,2, ...,—другая последовательность из DA, сходящаяся к /. Тогда \\Afk-Afk]\B2 = \\A (Д-/А)к = | А ЦЯ-fbfo^O при к^оэ. Следовательно, предел зависит только от элемента /. Примем его за значение Af оператора А на элементе /. Полученное расшире- расширение оператора А, называемое расширением по непрерывности, является линейным ограниченным оператором, заданным на всем Bt. Если Ах и А2 — линейные операторы, для которых /?д,сО^, то линейный оператор АгА2 на DAl с областью значений из RA, определяется так: A1A2f = A1(A2f). Если Ах и А2 — ограниченные операторы, то АгА2 тоже ограничен и ЦЛИгЦ^ЦЛхЦЦЛгЦ. Пусть для любого g^RA уравнение Af = g имеет единственное решение f^DA. Это означает, что на RA задан оператор, будем обозначать его через Л, ставящий в соответствие элементу g^RA тот единственный элемент f^DA, для которого Af = g. Оператор А'1 называется обратным к оператору Л. Ясно, что DA-i — RA, RA-1==DA, A~lA = l, AA-1^/. Если оператор Л линейный, то обратный оператор Л тоже линейный. 2. Теорема Рисса. Примером линейного ограниченного функ- функционала, заданного на гильбертовом пространстве Н, является скалярное произведение: фиксируем произвольно элемент йеЯ, тогда (/, К) является (по /) линейным ограниченным функциона- функционалом (ограниченность его следует из неравенства Буняковского). Весьма замечательно, что в виде скалярного произведения при надлежащем выборе h e H может быть представлен любой линей- линейный ограниченный функционал, заданный на Н (или в силу п. 1
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 75 на всюду плотном в Н множестве). А именно, справедливо сле- следующее важное утверждение. Теорема 1 (теорема Ф. Рисса). Для любого линейного огра- ограниченного функционала I, заданного на гильбертовом пространстве Н, существует единственный элемент h^H такой, что для всех /<ееЯ /(/) = (/, А). B) При доказательстве этой теоремы ограничимся случаем сепара- бельного гильбертова пространства Н (только для таких прост- пространств мы этой теоремой и будем пользоваться). Пусть еи ..., еп, ... — ортонормированный базис в Н (он суще- 00 ствует в силу теоремы 1 § 2), а 23 /^—разложение в ряд Фурье р некоторого элемента /еЯ. Так как при р -*- оо 23 /АеА->/, то в силу непрерывности функционала / /(/) = lim I[ 23 f#k\ = Hm 23 fJЫ = 2! /A' C) где hk = l(ek), k=l, 2,... p Рассмотрим элемент hp= 23 h,fik. Так как | / (hp) \ «= k=\ p p (ограниченность функционала /), a l(hp)= 23 hj(ek)= 23 IM2 = p = ||/гр|[2, то для всех p^l 23 \hk\2^\\lf- Это означает, что ряд k=i 00 00 23 \hk\2 сходится и 23 |ЛА|2<|/12. В силу леммы 1 (п. 6 § 2) k=\ k=i 00 ряд 23 ^*е* сходится в норме пространства Н к некоторому эле- k=\ менту h^H (^ — коэффициенты Фурье элемента К). Подставляя в C) fk = (/, ek) и снова пользуясь непрерывностью 00 функционала /, получим равенство B): l(f)=^](f, hkek) = \ k=\ I Если наряду с представлением B) есть другое представление функционала /: /(/) = (/, h'), то для всех /ёЯ (/, h — h') = 0. А это означает, что h = h'. Теорема доказана.
?6 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (ГЛ. II Отметим, что в процессе доказательства теоремы 1 установ- установлено неравенство ||А|^||/(. Из B) и неравенства Буняковского вытекает обратное неравенство || /1| ^ |[ h [[. Следовательно, ||/|| = ||А||. 3. Сопряженный оператор. Пусть Н — гильбертово простран- пространство, а Л—линейный оператор из Я в Я, заданный на всюду плотном в Н множестве DA (оператор А, вообще говоря, не пред- предполагается ограниченным). Пусть DA* —множество всех элементов из Н, обладающих сле- следующим свойством: для любого g e Da* существует такой элемент АеЯ, что при всех f^DA имеет место равенство Множество Da» —непустое, поскольку нулевой элемент про- пространства Н ему принадлежит: при g = o элемент h = o. Покажем, что любому элементу g^DA* соответствует лишь один элемент АеЯ. Пусть, напротив, некоторому geD^» отве- отвечают два элемента h и К из Н. Тогда для всех f^DA имеет место равенство (/, h — h') = O, из которого вытекает, что h = h' (напомним, что DA всюду плотно в Н). Таким образом, на Da* задан оператор, будем обозначать его через А*: каждому элементу geZ)^« ставится в соответствие единственный элемент h = A*g^H такой, что (Af,g) = (f,A*g) D) для любого / еОд. Оператор А* называется сопряженным к опе- оператору А. Множество Da* всех элементов из Н, для которых выполнено равенство D) при всех /еО^, является его областью определения. Пусть glt g2 — пР0ИЗВ°льные элементы из Da*, si cl7 c2— любые комплексные числа. Тогда в силу D) для любого f <^DA (f, c1A*g1 + c2A*g2) = c1(f, A*gl) + c2(f, A*g2) = = ?i (Af, ft) + C2 (Af, ft) = (Af, dg! + c2g2). Это означает, что c^ + c^^Da* (т. е. Da*—линейное много- многообразие) и A* (Cig1 + c2g2) = c1A*g1 + c2A*g2. Таким образом, опе- оператор А * — линейный. Пусть теперь оператор А ограничен. В силу п. 1 его можно считать заданным на всем пространстве Н. Возьмем произвольный элемент g^H. Линейный функционал l(f) = (Af,g) ограничен, поскольку | / (/) | =ss 1 Л/1| || g || «S (| А || | g ||) |/1|. Согласно теореме Рисса (п. 2) существует (единственный) элемент /ig И такой, что / (/) = = W, g) = (f, h) = (f, A*g). Следовательно, равенство D) имеет место для всех g^H, т. е. DA* = H.
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 77 Докажем, что оператор А* ограничен и что ||Л*| = ||Л||. Под- Подставляя в D) f = A*g при произвольном g ен Я, получим g, g)^\\A(A*g)\\\\g\\^(\A\\\\gi)\\A*g\\. Поэтому 1М*?||^||Л ||||g||, т. е. оператор А* ограничен и |Л*||==г ==?; |[ А ||. Подставляя в D) g = Af при любом /eW, аналогично получим ||Л*||2г||Л||. Значит, ||Л*|| = ||Л[|. Итак, оператор А*, сопряженный к линейному ограниченному оператору А, определен на всем пространстве, линеен, ограничен, и его норма равна норме оператора А. Легко проверить, что (А*)* = А, (сА)* = сА* (с — комплексное число), (А+В)* = А* + В*, (АВ)* = В*А*. 4. Матричное представление линейного ограниченного опера- оператора. При доказательстве теоремы Рисса было установлено, что линейный ограниченный функционал, заданный на сепарабельном гильбертовом пространстве, полностью определяется его значе- значениями на ортонормированном базисе этого пространства. Ана- Аналогично обстоит дело и с линейными ограниченными операторами. Пусть Л—линейный ограниченный оператор, действующий из сепарабельного гильбертова пространства Я в Я. Пусть DA = H, a ei, ..., еп, ... — некоторый ортонормированный базис Н. Бесконечную матрицу alj=(Ael, ej) = (ei, A*ej), i~s^\, /3*1, будем называть матричным представлением оператора А в базисе еи ..., еп,... Так как (A*ej, e,) = dy, /=1, 2, .... — коэффици- коэффициенты Фурье элемента A *ej, то согласно равенству Парсеваля — 00 Стеклова (равенство E) п. 7 § 2) ряд ^] \ai/\* сходится и для i=\ всех /= 1, 2,... имеет место неравенство 2 E) i=\ Возьмем произвольный элемент [ей, и пусть / = 2 /а6* — его разложение в ряд Фурье. Так как элемент Af e H, то его коэффициенты Фурье (Af)j = (Af, e,) = IA f; ffih e\ = f] f, (Aeh ej) = J] fa,, F) V i I /= 1, 2,... Ряд в правой части F) сходится абсолютно, поскольку общий его член f,atj мажорируется общим членом сходящегося ряда ^ (\fi \2-\-\aif I2)- Подставляя значения коэффициентов Фурье
78 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II оо в ряд Фурье Л/= 2] {Af)jeh получим ( /= 1 V= 1 Таким образом, для любого / <= Я элемент Af <= Я может быть найден по / с помощью лишь матрицы (а1}). Это означает, что матрица (ау) полностью определяет оператор А. Если (%) — матричное представление оператора А в базисе еъ е2, .... а (а*,-) — соответствующее представление сопряженного оператора Л*, то of) = (A *et, ej) = {eh Aej) = ап для всех i Ss 1, / Sa 1. Оператор А называется конечномерным (п-мерным), если он отображает гильбертово пространство Н в некоторое его «-мерное подпространство. Пусть Нп — подпространство пространства Н, натянутое на элементы еи ..., еп. Для того чтобы линейный ограниченный опе- оператор А переводил пространство Н в Нп, необходимо и доста- достаточно, чтобы <% = 0 для />я, i^l. Это утверждение немедленно вытекает из равенств F) и G). 5. Самосопряженные операторы. Операторы ортогонального проектирования. Заданный на гильбертовом пространстве Н линей- линейный ограниченный оператор А из Я в Я называется самосопря- самосопряженным, если А=А*. Самосопряженному оператору А можно поставить в соответ- соответствие эрмитову билинейную форму W(f, g) = (Af, g) и соответ- соответствующую ей квадратичную форму (Af, f). Эти формы называются соответственно билинейной и квадратичной формами оператора А. Квадратичная форма самосопряженного оператора вещёственно- значная. Если (Af, /)^0 для всех / из Н, то самосопряженный оператор А называется неотрицательным. Неотрицательный опе- оператор А называется положительным, если (Af, /) = 0 только при f = o. Матричное представление (%) самосопряженного оператора (в случае сепарабельности пространства Я) обладает следующим свойством: aij = uji, i, /=1, 2,... Пусть еи е2, ...— некоторый ортонормированный базис сепара- бельного гильбертова пространства Я, е(-, ... е{ , ... — некоторое его счетное (или конечное) подмножество, а е,- , ..., в/ , ... — под- подмножество базиса, дополнительное к выбранному. Обозначим через Щ' подпространство, натянутое на элементы е( , k=l, 2,..., а через 91" — подпространство, натянутое на элементы е,-, k = — 1,2,... Подпространство 91' (Ti") есть совокупность элементов про-
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 79 странства Н, ортогональных всем элементам e,-ft, k=\, 2,... (elk, k=\, 2, ...). Или, что то же самое, подпространство У1' (9Г) есть множество всех тех элементов из Н, у которых в разложениях в ряды Фурье по базису ek, k=l, 2, ..., коэффициенты Фурье при элементах e-,k, k—\, 2, ... (е^, k=\, 2, ...), равны нулю (т. е. соответствующие члены в разложениях отсутствуют). Под- Подпространства W и 9Г ортогональны, W ±_ W. Сопоставим произвольному элементу /ёЯ, разложение кото- которого в ряд Фурье имеет вид ?/*А> элементы Ряды в (8) сходятся в норме пространства Н в силу неравенства Бесселя и леммы 1 (п. 6 § 2), поэтому соотношениями (8) на Н задаются два оператора Р' и Р". Они линейны. Области их зя&- чений: RP. = W, tfP» = 9f". Операторы Р' и Р" называются операторами ортогонального проектирования пространства Н на подпространства W и 9Г соответственно (для краткости, эти операторы будем называть проекционными операторами). Проекционный оператор ограничен и его норма равна 1. Дей- 00 ствительно, так как для всех /еЯ \\P'ff = \f'f= *? S 1/П2 = |/12. то fP'Hl.Ho P'e(l = eh, значит, \\P'\\=l. Проекционный оператор является самосопряженным, поскольку для любых f и h из Н (P'f, й) = (|] fiket, h\= \i / Из равенства (8) вытекает, что для любого / е Н f = If = P>f + P»f, i = P' + p-, (9) где P'fezW, P"f^W. При этом \\f\f = \\P'f + P"ff = \\P'ff + \\P"ff + (P'f, P"f) + + (P"f, P'f) = \\P>ff + \\p»fi*, A0) поскольку 9l'_L9T. 6. Компактные множества. Пусть Н — гильбертово простран- пространство. Множество вМ czH называется компактным в Н, если любая
80 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II (бесконечная) последовательность его элементов содержит фунда- фундаментальную в Н подпоследовательность. Лемма 1. Компактное множество ограничено. Пусть <М — неограниченное множество. Покажем, что оно не может быть компактным. Возьмем какой-нибудь его элемент f1 и обозначим через Sp шар радиуса 1 с центром в f1, т. е. мно- множество тех элементов f еЯ, для которых |/ —г||< 1. Так как <э/№ неограцичено, то множество oMl = oM\Sfi непусто. Возьмем произвольно f?9^! (| /2 — f1 || ^ 1). Так как и множество &Я2 = o/H^\S]i непусто, то существует такой элемент /Зе®^, что ||/3 — РЦ^г 1, || f3 —/21| Зг 1. Продолжая этот процесс, получим последовательность /*, k=\, 2, ..., элементов из <М, удовлет- удовлетворяющих при любых i, j, 1ф\, неравенству \\f{ — fjj^l. Эта последовательность не содержит ни одной фундаментальной под- подпоследовательности. Следовательно, множество <М не может быть компактным. Лемма 2. Для того чтобы множество <М из конечномерного (п-мерного) гильбертова пространства Н было компактно, необ- необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено. Необходимость ограниченности вытекает из леммы 1. Докажем ее достаточность. В силу ограниченности множества <М || /1| sg С для всех /е»й. Поэтому коэффициенты Фурье fi = (f, et), i—\, ..., п, разложе- разложения f = fiei + ... + fnen произвольного элемента /еате *) удовле- удовлетворяют неравенствам |/,-1 = | (/, et) | sgfl/HIec|| = j|/|^С. Следова- Следовательно, для любой последовательности /*, k=\, 2, ..., элемен- элементов из <М последовательность n-мерных векторов (f*, ..., /*), k=l, 2, ..., где fi = (fk, ej), ограничена. По теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выбрать фундаментальную подпосле- подпоследовательность (/**, ..., /М, s = l, 2, ...: -/>|2 + 0 при s, p-vcx,. Соответствующая подпоследовательность /** = f^e + • • • + fknsen> s=l, 2, ..., фундаментальна в Я, поскольку Г + |Й'-Й'Г-*0 «Ри S.P-+OO. Утверждение доказано. 7. Теорема о компактности множеств в сепарабельном гиль- гильбертовом пространстве. Пусть Н — бесконечномерное сепарабель- ное гильбертово пространство, a elt ..., еп, ... — его ортонорми- рованный базис. Прежде всего заметим, что не всякое ограниченное множество из Н компактно. Например, любое ограниченное множество, содер- *) По некоторому ортонормированному базису ех, ..., е„.
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 81 жащее ортонормированный базис, некомпактно, так как из после- после! = довательности ek, k=\, 2, ..., в силу равенства ||^ — 6/1! i Ф j, нельзя выделить фундаментальной подпоследовательности. В частности, множество {||/||^1} (замкнутый единичный шар) в бесконечномерном пространстве некомпактно. Обозначим через Р'п проекционный оператор, отображающий Н на л-мерное подпространство #„, натянутое на элементы ех,..., еп, и пусть Р"п = 1—Р'п- Для любого [ёЯи произвольного л5г1 имеем (см. (9)) , A1) где P'nf= 2 fkek, Pnf= 2 fifik- Из A1) вытекает, что k=\ k=n+l A2) = |j |Д|1. Значит, для любого [еЯ числовая последовательность (Ря/Ц2, л= 1, 2 моно- монотонно не возрастая, стремится к нулю при п->оо. Теорема 2. Для того чтобы множество <М аН (Н — сепа- рабельное гильбертово пространство) было компактным, необхо- необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и для всякого е>0 существовал такой номер п = п(е), что ||Р^/|^е для всех 1М 1 Другими словами, для компактности множества ©^ необхо- необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено и «почти конечно- конечномерно». Достаточность. Пусть ||/Ц«гС для всех /е<М. Возьмем произвольную последовательность /*, k = 1, 2,..., элементов из <М. Положим е=1, тогда |Рл,/*|<; 1 для всех k, где п1 = п(\). Так как ЦРл.РЦ^Ц^И^С для всех k (Р„ из A1)), то множество P'nJk, k=\, 2 есть ограниченное множество ni-мерного про- пространства //„,. По лемме 2 (п. 6) из него можно выделить фунда- фундаментальную подпоследовательность, а из последней — подпоследо- подпоследовательность P'nJl's, s=l, 2 обладающую свойством: \\P'nJUs — P'nJl'p\\^ 1 для BcexsnpSsl. Тогда для подпоследова- подпоследовательности /'¦', ..., /''s, ... в силу A2) имеем неравенства справедливые для всех р и s. По е=1/2 возьмем число п2 = п A/2). Последовательность P'nJljl> ..., P'nJ1'*, ... принадлежит Н„2 и ограничена; следова- следовательно, из нее можно выделить подпоследовательность P'nJ2's, 5=1, 2, ..., для которой ||Р„/2-5 — Р„8/2-р||^ 1/2 для всех р, s.
82 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II В силу A2) имеем \\f2-s- Р-' Ц2 = || P'nJ2-s - P'nj2-" f + II P'nj2's — —Р'Ц2'Р|2«S 1/4 + 4/4 = 5/4 при всех s, p; и т. д. Для e=l/i найдем n, = n A/0 и из подпоследовательности P'n.fc~x's, s = = 1, 2, ..., выделим подпоследовательность P'n.fi<s, s=\, 2, ..., такую, что lP'n{f1's — P'n/1'" J^S 1/i при всех s, p. Для подпосле- подпоследовательности P's, s=l, 2, .... имеем в силу A2) |/'•s— /*'•"f ^ < 1/г'2 + 4/г2 = 5/!2 при всех s, p. Диагональная последовательность /s-s, s=l, 2, ..., является подпоследовательностью исходной последовательности, и для нее \\fp, P — fs, s|^5/i2 для всех р, sS^i, т. е. она фундаментальна. Необходимость. Необходимость ограниченности множества <М доказана в лемме 1 (п. 6). Докажем необходимость второго условия теоремы. Пусть <М компактно, но, тем не менее, существует такое ео>О, что для всякого п \P^fn\\^se0 при некотором /" е<М. Возьмем произвольно nlf по нему найдем }п^^.<ш такой, что | P'nJ15э е0. По элементу /"» выберем такое число п2 > пъ что I P'nJ1 < ео/2 (это можно сделать, ибо для любого фиксирован- фиксированного /еЯ ЦЯа/Ц-^О при й->оо). По п2 выберем /^e®w так, чтобы 1Р;'/ f 5э е0. По /"« находим па так, чтобы |Р;з/^|<е0/2, и т. д. Таким образом, мы получили последовательность /"*, k = \, 2, ..., элементов из <М, для которой выполняются нера- неравенства Покажем, что эта последовательность не может содержать фундаментальной подпоследовательности. Действительно, для любых &>s в силу A2) и монотонности по п функции H^nfll имеем V* II -К/' IIJ > (во-во/2J = 85/4. Следствие. Пусть <М — множество из сепарабельного гиль- гильбертова пространства Н. Рассмотрим некоторое семейство мно- множеств <МгаН, е>0, обладающих следующим свойством: для любого[еэЖв каждомэ#Е, е> 0, найдется такой элемент/'=/'(е), что ||/' —/||^е. Если для некоторой последовательности eft-»-0 при ks-сю, ek>0, все множества <Mek компактны, то <М ком- компактно. Возьмем произвольное eft из этой последовательности. В силу компактности множества <Мгк найдется такое n = n(ek), что
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 83 || P"nf || sg eft для всех /es#eft. Но тогда для любого f^o/H \\pm=\\Pn(!4')+pu'\\^\\Pn(f-n\\+\\Pnf'\\^\\f-r\\+ если /' Атакой элемент из ^е^. что ||/ —/'|*Se*. Так как то в силу теоремы 2 множество э# компактно. 8. Слабая компактность. Множество э# из гильбертова про- пространства Я называется слабо компактным, если из любой (бес- (бесконечной) последовательности его элементов можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу из Я (не обязательно принадлежащему множеству <М). Теорема 3. Любое ограниченное подмножество гильбертова пространства слабо компактно. На самом деле, ограниченность множества не только доста- достаточна, но и необходима для его слабой компактности. Мы не будем, однако, останавливаться на доказательстве необходимости, а докажем лишь достаточность ограниченности в случае сепара- бельного гильбертова пространства. Пусть ek, k=\, 2, ..., —некоторый ортонормированный базис Я, а ^ — ограниченное множество в Я: ||/||«sC для всех [ё*^, Возьмем произвольную последовательность /*, k= 1, 2, ..., из <з/М. Так как для всех k ||/*||^C, то числовая последовательность (/*, ei), k=l, 2, .... ограничена: \{fk, ег)\ s^ f/* || || ех || sg С. Поэтому из последовательности /*, k = 1, 2, ..., можно выделить подпо- подпоследовательность /'•*, k = l, 2 для которой числовая после- последовательность (/'•*, ei) сходится к некоторому а^. (/'•*, е^^-а-^ при ^->оо. Числовая последовательность (/'•*, е2) также огра- ограничена. Значит, из последовательности /'•*, k = l, 2, ..., можно выделить подпоследовательность /2- *, k=\, 2, ..., для которой числовая последовательность (/2> *, е2) стремится к некоторому ст2 при й->оо, и т. д. Покажем, что диагональная последовательность /*• *, k = = 1, 2, ..., является слабо сходящейся. Прежде всего отметим, б 1 (/* * ) k П что для любого s любом а,е, )= / р 1 (/*• *, es) -> as при k -> оо. Поэтому при (fk I <*t i2 при k -> со. Так как /*• *, ?=1 то ?=1 1=1 оо 2 [ |2 ^ С2 для любого т 5г 1. Следовательно, ^] | стг |а ^ С2. (=1 i=i 00 В силу леммы 1 из п. 6 § 2 ряд 2 ст,е; сходится к некоторому
84 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II элементу feff, причем ||/f= ^] | ot |2. Покажем, что последова- ?= 1 тельность /*•*, k=l, 2, ..., слабо сходится к /. > Пусть g — произвольный элемент из Я. Возьмем произвольное 8>0 и выберем так число s = s\z), чтобы I ft Со- гласно обобщенному равенству Парсеваля — Стеклова (равенство E') п. 7 § 2) имеем !</*•*-/, 8)\ = При этом *, e,)-at)gl 1=1 + E !</*•*, et) + ft I- A3) ?=s+ 1 II2-V2 S !(/*•*, e,)! I ft Ifti1^^». В силу определения чисел at и первое слагаемое правой части A3) может быть сделано <е, если k^sko(e) при некотором ko(e). Поэтому \(fk-k-f, ^)|^е + е(С + |/||) для k^ko(e). Теорема доказана. 9. Вполне непрерывные операторы. Пусть Н — гильбертово пространство. Линейный оператор А из Я в Я, заданный на Я, называется вполне непрерывным, если он переводит любое огра- ограниченное множество в компактное множество. Если операторы Аг и А2 вполне непрерывны, то при любых постоянных сх и с2 оператор c1A1JrC2A2 вполне непрерывен. Если оператор А вполне непрерывен, а заданный на Я оператор В ограничен, то операторы АВ и ВА вполне непрерывны. Из леммы 1 (п. 6) вытекает, что вполне непрерывный опера- оператор ограничен. Однако не всякий ограниченный оператор вполне непрерывен. Так, например, единичный оператор /, действующий в бесконечномерном гильбертовом пространстве, вполне непре- непрерывным быть не может, так как он переводит некомпактное огра- ограниченное множество — ортонормированный базис — в себя. Конечномерный ограниченный оператор вполне непрерывен. Это следует из леммы 2 (п. 6). Следующий критерий является непосредственным обобщением этого утверждения.
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 85 Теорема 4. Для того чтобы заданный на сепарабельном гильбертовом пространстве Н линейный ограниченный оператор А из Н в Н был вполне непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 можно было найти такое целое число п = п (е) и такие линейные операторы At и А2, А1 — п-мерный, || А21| «? е, что A4) Таким образом, вполне непрерывные операторы — это опера- операторы «почти конечномерные». Необходимость. В силу A1) (см. п. 7) для любого /еЯ и любого л>0 имеем разложение Af = P'nAf + P'nAf (A = P'nA + P'nA). A5) Так как А вполне непрерывен, то по любому е>0 можно най- найти такое п = п(е), что ЦР^ЛЦ^е. Действительно, в силу тео- теоремы 2 || P'aAf1| = ||/1| || P"nA(f/1|/1|)|| see I/1|, поскольку из ограни- ограниченности множества {//||/||} следует компактность множества {А (//||/|)}. Так как оператор Р„А —п-мерный, то необходимость доказана. Достаточность. Пусть /*, k=l, 2, .... — произвольная ограниченная последовательность из Я, ||/*|^С, k=\, 2, .... Покажем, что из последовательности Afk, k=\, 2, ..., можно извлечь фундаментальную подпоследовательность. Числа е>0 будем брать из множества {1, 1/2 1/t, ...} и для e=l/t найдем nt = n(l/i) и операторы А[ и А[ такие, что А = А[ + А'!1, А[—пг мерный и || Л^Н 1/1. Тогда И{|| = |Л-Л^|Л|| + |ЛЛ<|Л ||+1. Множество А |/\ k = 1, 2, ... , — ограниченное множество пх-мерного пространства, поэтому (лемма 2 из п. 6) из него можно выбрать фундаментальную подпоследовательность Л}/1-*, k=\, 2, ... Последовательность /'•*, k=l, 2, ..., при этом обладает свой- свойством: ИУ^ЦгёИЦЦ^Цг^ЬС. Последовательность А?/'¦*, k = = 1, 2, ... , — ограниченная последовательность п2-мерного прост- пространства. Следовательно, существует ее фундаментальная подпо- подпоследовательность A\f2'k, k=\, 2, .... При этом выполняется неравенство И?/?-*||^|Л22||р-*||<:1 .?, и т. д. Диагональная последовательность /'•', /2-2, ..., очевидно, обладает следующими свойствами: последовательность А{/*•*, k = = 1, 2, ... , — фундаментальная для любого i, так как для k^i /*•* являются элементами последовательности /'•*, k=\, 2, ... Кроме того, \\AlJk-k\\g^C/i для всех L Покажем, что последова- последовательность Afk'k, k=l, 2, ... , фундаментальна. Возьмем произ- произвольное е>0 и фиксируем t>l/e. Тогда в силу фундаменталь- фундаментальности последовательности A\fk-k, k=\, 2, ..., при достаточно
86 . ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II больших k, s имеем || Afk ,k _ Afs,s || ^ J Д { (/*,* _ fs,s} I + || Д « (f*,* _ fs,s) || ^ Что и требовалось установить. Из теоремы 4 вытекает, в частности, следующее предложение. Пусть А — заданный на всем сепарабельном гильбертовом пространстве Я вполне непрерывный, линейный оператор из Я в Я. Тогда и сопряженный к нему оператор А* вполне непрерывен. Действительно, представление A4) порождает представление А* = А*-\-А*, где |Л11| = ||Л21|«Se. Следовательно, сформулиро- сформулированное утверждение будет доказано, если показать, что оператор А* — конечномерный. Пусть /?л, —«-мерное подпространство пространства Я, а еъ ... ..., еп — его ортонормированный базис. Тогда для любого /ёЯ Atf= 2 Hi/. едЪ= Ti (f> A^et)ei- Поэтому при любых / и g из Н имеем > 8) = S </ ?=1 \ ?=1 т. е. п Следовательно, для всех g^H Afg= ^] gA*ei. Это и означает, что Ra* есть подпространство, натянутое на элементы А\ех, ... ..., А*еп, т. е. является конечномерным. § 4. Линейные уравнения в гильбертовом пространстве Результаты этого параграфа справедливы в случае любого банахова пространства. Однако мы ограничимся рассмотрением случая лишь сепарабельного гильбертова пространства Н. 1. Сжимающий линейный оператор. Заданный на Н линей- линейный оператор Л из Я в Я называется сжимающим, если |Л||<1. Лемма 1. Если А—сжимающий оператор из Я в Н, то существует заданный на Я оператор (/—Л) из Я в Н, причем К/-Л)- ' i-H Г Для доказательства рассмотрим уравнение A)
§ 4] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 87 и покажем, что при любом g €= Я единственным его решением является решение, представляемое сходящимся в Я рядом / = ft = 0 Этот ряд сходится, поскольку пространство Я полное и час- т тичные суммы ряда gm = ^ Akg образуют фундаментальную последовательность: при р~>т Элемент / е Я есть решение уравнения A), так как A — A)f= A (A A2 ) (g+g )(g g )g Это решение единственно. Действительно, пусть существуют два решения /х и /2 уравнения A). Тогда элемент / = /1-/2 является решением однородного уравнения f = Af. Поэтому для него выполняется соотношение |!/|| = || Af |sS|| A \\\\f\\. Следовательно, f = o, т. е. /1 = /2. Таким образом, оператор (/—А)'1 существует, определен на всем Я, итак как \\(l—A)-1g\\ = \\g + Ag+... + Amg + ...\\^ ]_щ Для всех g^H, то он ограничен и ||(/ — Л)'1Ц^._|| . ,. Лемма доказана. Замечание. В предположениях леммы 1 существует также ограниченный оператор (/ —Л*), поскольку |Л*|| = ||Л||< 1. При этом G-Л*)-1 = [(/-Л)-1]*. Для доказательства последнего равенства возьмем произволь- произвольные f и ^ёЯи построим по ним (лемма 1) такие / и g^H, что (/ — Л )/ = /', {1 — A*)g = g'. Так как / = (/ —Л)/' и g={l — Л*)^'. то равенству ((/-Л)/, g) = (f, (I-A*)g) можно придать вид (/', (/-Л*)/) = = ((/ —Л)/', g')> откуда и следует нужное нам равенство. 2. Уравнение с вполне непрерывным оператором. Рассмотрим уравнение A) без предположения о малости нормы оператора Л. Вместо этого будем считать, что оператор Л вполне непрерывен. С помощью теоремы 4 из п. 9 предыдущего параграфа урав- уравнение A) можно переписать в виде (/ — Л2)/ — Atf = g, где опе- оператор Аг — n-мерный, а |Л2|^е<1. Обозначим (/ — Л2)/через h. В силу леммы 1 оператор / — Л2 имеет заданный на Я ограни- ограниченный обратный оператор (/— Л2)~\ . U f / / А \~~1 h /0\
88 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II Уравнение A) для h перепишется в виде h-A1(I-A2)-lh = g. C) Пусть Л* —сопряженный к А оператор. Уравнение (I-A*)f* = g* A*) называется сопряженным к уравнению A). Из равенства Л =ЛХ + + А% имеем А* = Л* + А%. В силу замечания к лемме 1 опера- оператор (I — At) имеет заданный на Н ограниченный обратный (iAt)*[{iA)*\; A-At)~1g* = z*, g* = (l-A$)z*. B*) Уравнение A*) можно переписать в виде Применяя к нему оператор (/ — Л*), получим эквивалентное уравнение = г*, C*) в котором оператор [(I — А2)'1]*А* является сопряженным к опе- оператору At(I — А2У1 (в уравнении C)). Оператор Ai(I — А2)~1, очевидно, n-мерный, поэтому его мат- матричное представление (ау) в соответствующем ортонормированном базисе ek, k=l, 2, ... (подпространство, натянутое на элементы еи ..., еп, совпадает с RAl(I-A2fi), обладает свойством: % = 0 для (^ 1, /^п + 1 (см. п.4 § 3), причем из формулы E) п.4 § 3 следует, что для любого / 1-1 l|2 Уравнение C) согласно формуле G) из п.4 § 3 можно предста- представить в виде ^,hjej — J^J^htatjef = J^gjef, эквивалентном в силу / / / / / / линейной независимости системы еъ е2, ... алгебраической системе уравнений для коэффициентов Фурье hx hm,... искомого элемента п: Так как коэффициенты ht для />п известны: hj = gj> />«, D) то последняя система сводится к системе алгебраических
§ 4] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 89 уравнений П 00 hi~ Ti aiAi=g/+ H, °t/gi> i= ь •••» «- E) для определения hf, /=s?n. Аналогичным образом, уравнение C*) можно эквивалентно заменить алгебраической системой для определения коэффициен- коэффициентов Фурье /*, /= 1, 2, ... , элемента /* через коэффициенты Фурье zf, /=1, 2, ... , элемента г* = {1 — Atyig*. При этом для /*, /<;«, получим линейную алгебраическую систему t = z1' j = h...,n, E*) a ff, j>n, определяются однозначно через /*, /<л, формулами 1> (=1 3. Первая теорема Фредгольма. Матрицы систем E) и E*) являются эрмитово сопряженными. Следовательно, модули опре- определителей этих матриц равны. Поэтому если одна из этих систем разрешима при любом свободном члене, т. е. соответствующий определитель отличен от нуля, то и другая обладает этим свой- свойством, и решения этих систем определяются однозначно. В част- частности, решения соответствующих однородных систем — только нулевые. Или: если одна из однородных систем E) или E*) имеет лишь нулевое решение (следовательно, соответствующий определитель отличен от нуля), то тем же свойством обладает и другая; при этом системы E) и E*) разрешимы (однозначно) при любых свободных членах. Тем же свойством обладают и уравнения A) и A*). Действительно, пусть уравнение A) (или A*)) разрешимо при любом ?(или g*) из Н. Или, что в силу B) (или B*)) то же самое уравнение C) (или C*)) разрешимо при любом g (или г*) из Н. В частности, оно разрешимо и для любого g (или г ) из подпространства, натянутого на элементы е1у ..., еп. Следовательно, система уравнений E) (или E*)) разрешима при любой правой части. То есть определитель системы отличен от нуля, и однородные системы E) и E*) имеют только нулевые решения. Тогда в силу D) и D*) однородные уравнения A) и A*) имеют только нулевые решения. Обратно, пусть одно из однородных уравнений A) или A*) имеет только нулевое решение. Тогда соответствующая однород- однородная система E) или E*) имеет только нулевое решение Следо- Следовательно, определители обеих систем отличны от нуля. То есть
90 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II неоднородные системы E) и E*) (однозначно) разрешимы при любых свободных членах. А тогда в силу D) и D*) (однозначно) разрешимы при любых свободных членах из Я и уравнения A) и A *). Значит, существуют обратные операторы (/ — Л) и (/ — Л*), заданные на Н. Покажем, что эти операторы ограничены. Пусть система E) однозначно разрешима (определитель матрицы в E) отличен от нуля) и (hlt ... , hn) — ee решение. Из правила Крамера следует, что существует такая постоянная С>0, не зависящая от свободного члена в E), что имеет место неравенство \8j+ 2 аф\2- F) Так как то Поэтому согласно B) Ш<С,||?|| G) с постоянной С3>0, не зависящей от g. Это и означает, что оператор (/—Л), а значит, и оператор (/—Л*) ограничены: \\{уЦ \{УЧ Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 1 (первая теорема Фредгольма). Пусть А—задан- А—заданный на Н вполне непрерывный линейный оператор из Н в Н. Если одно из уравнений A) или A*) имеет решение при любом свободном члене, то и второе уравнение имеет решение при любом свободном члене, причем эти решения единственны, т. е. однород- однородные уравнения A) (g = o) и A*) (g*=o) имеют только нулевые решения. . Если одно из однородных уравнений A) (g = o) или A*) (g* = o) имеет только нулевое решение, то и другое имеет только нулевое решение. При этом уравнения A) и A*) однозначно разрешимы при любых свободных членах, т. е. существуют заданные на Н
§ 41 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 91 операторы (I — A)'1 и (/ — Л*), причем эти операторы огра- ограничены. 4. Вторая теорема Фредгольма. Заметим, что ранги матриц В = |bi)||, где Ьи = Ьц — аф i, j = \, ... , n (8t/ = 0 при iФ/, в«=1), и В? =\b)i\ в системах E) и E*) одинаковы. Поэтому однородные системы E) и E*) всегда имеют одинаковое число k *S n линейно независимых решений. Тогда в силу B), D) и D*) и во множествах всех решений однородных уравнений A) и A*) имеется ровно по k линейно независимых. Таким образом, доказана Теорема 2 (вторая теорема Фредгольма). Если однородное уравнение A) (А—заданный на Н вполне непрерывный оператор из И в И) имеет ненулевые решения, то линейно независимых среди них лишь конечное число. При этом однородное уравнение A*) имеет такое же число линейно независимых решений. 5. Третья теорема Фредгольма. Перейдем теперь к вопросу о разрешимости уравнения A) в случае, когда однородное урав- уравнение A) может иметь ненулевые решения. Согласно второй теореме Фредгольма линейно независимых решений однородное уравнение A) имеет лишь конечное число: f1, ..., fk. Такое же число линейно независимых решений имеет и однородное урав- уравнение A*): /'*, ..., /**. Систему f1, ..., fk (так же как и систему /'*, ..., /**) можно считать ортонормированной. Теорема 3 (третья теорема Фредгольма). Для того чтобы уравнение A) с заданным на Н вполне непрерывным оператором А из Н в Н имело решение, необходимо и достаточно, чтобы элемент g был ортогонален всем решениям однородного уравнения A*). Среди всех решений уравнения A) есть единственное решение f, ортогональное всем решениям однородного уравнения A). Любое другое решение уравнения A) представляется в виде суммы этого решения и некоторого решения однородного уравнения A). Для решения f имеет место неравенство G) с не зависящей от g посто- постоянной. Пусть решение уравнения A) существует, тогда в силу B) существует решение уравнения C), а вместе с ним и си- системы E). Пусть ранг матрицы В = \\Ьц\\, где bij = bij — alj, i, /=1, ... ..., п, равен n — k. Тогда подпространствоRn-k я-мерного векторного пространства, натянутое на векторы Bi = (ba, ..., bin), i' = l, ... ...,п, — столбцы матрицы В, имеет размерность n — k. Так как одно- га родную систему E*): ^ Ьр^ = 0, /=1, ..., п, можно записать в виде (/*, 5/) = 0, 1 = 1, ..., п, то решения однородной системы E*) образуют ^-мерное подпространство, ортогональное подпро- подпространству Rn-k, обозначим его через Rn-k.
92 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II По теореме Кронекера — Капелли для того, чтобы система E) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы совпадали ранги матрицы В и расширенной матрицы, получающейся присоедине- присоединением к В столбца свободных членов в E), т. е. чтобы вектор свободных членов принадлежал пространству Rn-k или, что то же самое, был ортогонален Rn—k- Учитывая, что любое решение f* однородного уравнения A*) имеет вид где вектор /* = (/!,..., /?) — решение однородной системы E*), a f* = ^ a jiff яля />л, и записывая условие ортогональности векторов J* и правой части в E) следующим образом 0=2 U+ S 1=1 \ i=n + l получаем, что если решение неоднородного уравнения A) суще- существует, то элемент g должен быть ортогонален всем решениям однородного уравнения A*). Обратно, если элемент g ортогонален всем решениям f* одно- 00 родного уравнения A*), то вектор с координатами gj + 2 av8i> + У=1| -..,«, ортогонален всем решениям f* однородной системы E*). Следовательно, система E), а вместе с ней и уравнение A) имеют решение. Пусть /0 — какое-либо решение неоднородного уравнения A), a f1, ..., fk — ортонормированная система решений однородного уравнения A). Тогда элемент f = f0 — (f0, f1)f1 — ... — (f0, fk)fk — тоже решение уравнения A), причем оно ортогонально всем реше- решениям однородного уравнения A). Такое решение единственно: если бы существовало еще одно такое решение f, то их разность f — f, будучи решением однородного уравнения A), была бы ортогональна всем решениям однородного уравнения A), в том числе и себе, т. е. f — f = o. Пусть [ — любое решение неоднородного уравнения A). Тогда f — f = f есть решение однородного уравнения A), т. е. f'=f + f". Докажем теперь неравенство G). Пусть Л —элемент из Я, соот- соответствующий согласно B) элементу /. Это означает, что h есть решение уравнения C), удовлетворяющее k условиям: O = (f,n = ((l-A2) lh,fl) =(h,(l-A*2)~in, i = l,...,k. (8)
§ 4] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ^3 Так как расширенная матрица системы E) имеет тот же ранг n — k, чтб и матрица В, то некоторые k уравнений в системе E) являются линейными комбинациями остальных n — k уравнений. •Следовательно, если эти k уравнений выбросить, то полученная система будет эквивалентна системе E). Таким образом, я-мерный вектор (Лх, ..., пп) является реше- решением линейной системы п уравнений (n—k уравнений из E) и k уравнений (8)), коэффициенты которых не зависят от правой части в E). Причем из единственности элемента f следует, что (hlt ... .. .,hn) — единственное решение этой системы, т. е. определитель полу- полученной системы отличен от нуля. А тогда вектор (hu ..., hn) можно получить по правилу Крамера. Следовательно, для него справедливо неравенство F), откуда немедленно следует нужное неравенство G). Теорема доказана. 6. Собственные значения и собственные элементы вполне непре- непрерывного оператора. Число X называется собственным значением линейного оператора А, действующего из Я в Я, если суще- существует такой элемент /еЯ, что f Ф о и А\ = Xf. Элемент f назы- называется в этом случае собственным элементом оператора А. Число ц = \/Х при X Ф 0 называется характеристическим числом. Так как наряду с f элемент cf при любой постоянной с Ф 0 тоже является собственным элементом, отвечающим собственному значе- значению X, то собственные элементы можно считать нормированными, например, условием ||/|| = 1. Максимальное число линейно независимых собственных элемен- элементов, отвечающих данному характеристическому числу (собственному значению), называется кратностью этого характеристического числа собственного значения. Если характеристическому числу (собственному значению) соответствует бесконечное число линейно независимых собственных элементов, то кратность характеристи- характеристического числа (собственного значения) бесконечна. Пусть определенный на всем Я оператор А вполне непрерывен. Тогда вполне непрерывен и оператор \х,А, где ц — произвольное комплексное число. Из теорем 1, 2 и 3 вытекают следующие утверждения. Для того чтобы уравнение было разрешимо для всех geH, необходимо и достаточно, тюбы ц не было характеристическим числом оператора А (т. е. 1/ц не было собственным значением). Если ц является характеристи- характеристическим числом, то его кратность конечна и ц является характе- характеристическим числом оператора А* той же кратности. Для разре- разрешимости уравнения (Г) в этом случае необходимо и достаточно, чтобы элемент g был ортогонален всем собственным элементам
94 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II оператора А*, соответствующим собственному значению 1/fX. При этом у уравнения (Г) существует единственное решение, ортого- ортогональное всем собственным элементам оператора А, отвечающим собственному значению 1/ц. Обычно именно эти утверждения понимают под теоремами Фредгольма. 7. Четвертая теорема Фредгольма. Установим некоторые свой- свойства характеристических чисел вполне непрерывного оператора. Теорема 4 (четвертая теорема Фредгольма). Для любого М > 0 в круге {\ ц \ <С М} комплексной плоскости может содержаться лишь конечное число характеристических чисел вполне непрерывного оператора, действующего из Н в Н, с областью определения Н или, что то же самое, вне круга {\ К | <; 1/М} может быть лишь конечное число собственных значений. Предположим, напротив, что в круге {|ц|<;Л1} есть беско- бесконечное число характеристических чисел цъ ..., цп, ..., Ц[ф ц;-, / Ф /. Пусть е, — какой-нибудь собственный элемент, отвечающий характеристическому числу ц.,-, i=\, 2, ... Покажем, что при любом п^\ система е1у ..., еп линейно независима. Для п=\ это утверждение очевидно. Пусть оно справедливо для п — 1. Предположим, что еъ ..., еп линейно зависимы. Тогда еп=^с1е1-\-¦... + cfl-ien_1 при некоторых постоян- постоянных clt ..., с„_ь не всех равных нулю. Но Ле„ = — = с1— + ... откуда чего не может быть, поскольку 1 — — Ф 0, k=\, ..., п— 1. Обозначим через У1п подпространство, натянутое на элементы elt ..., еп. Из доказанного следует, что 9?i с: 9?2 с:... аШп с:... и ШпфЖп-х ни при каком п. Поэтому для любого п найдется элемент /„ е 9?„, /„ _1_ У1п _ ь || /„ || = 1. Поскольку множество Д, /2,... ..., /„, ... ограничено, а оператор А вполне непрерывен, то из множества Aflt ..., Afn, ... можно выделить фундаментальную подпоследовательность. в Покажем, что на самом деле этого сделать нельзя, это и будет противоречием, доказывающим теорему. Для произвольных целых чисел т и п, т<.п, Afn — Afm = = ^nfnJr^n(^nAfn-fn)-Afm = —Jn-]ron, где ст„е91„_1, пос- поскольку Afm<= Шт с: Wn_ 1 и ц"л/„-/„=цпА (сх?1 + ... + спеп) — () ) ОЭТОМу | fn fm\\ ^^Jn-t "J—"|цл|Н'п1 lUnl-^M' T- e# последовательность Afi, ... , Afn, ... не может содержать фунда- фундаментальной подпоследовательности. Теорема доказана.
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 95 Из теоремы 4 вытекает, что множество характеристических чисел вполне непрерывного оператора не более чем счетно (оно может быть и пустым!). Характеристические числа, если они существуют, можно перенумеровать в порядке неубывания модулей Hi, Иг,--, (9) IM^lH' + i I» I==l> 2,..., причем каждое характеристическое число в последовательности (9) встречается столько раз, какова его кратность. Множество (9) может состоять из конечного числа элементов (в частности, может быть пустым) или из бесконечного числа элементов. В последнем случае \цк\-*-оо при А->оо. , A0) Последовательности (9). отвечает последовательность соответст- соответствующих собственных элементов еъ е2, ..., A1) являющаяся линейно независимой. В следующем параграфе будет доказано, что для вполне непре- непрерывного самосопряженного оператора АфО множества (9) и A1) не пустые. § 5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы Г. Собственные значения и собственные элементы самосопря- самосопряженного вполне непрерывного оператора. Пусть А — линейный ограниченный самосопряженный оператор из Я в Я. Так как для всех /, 1/1=1, | (Af, /) | =s? || A ||, то на единичной сфере 1/1 = 1 существуют точные верхняя и нижняя грани квадратичной формы (Л/, Л оператора А: т= inf (Af, /), M= sup (Af, /), при этом llFII = i |]fl| = i m|<| A ||, ЛКЦЛЦ, m^(Af, f)^M. Если / — произвольный отличный от нулевого элемент из Я, то элемент f/\\f\\ принадлежит единичной сфере. Поэтому т = = inf ,,;',/, M = sup ,,/',,, и тем самым, для всех /из И имеют /ей II/ 1г /ея II/ 1г место неравенства m\\ff^(Af, /)^M||/||2. Поскольку квадратичная форма оператора А вещественно- значная, то все его собственные значения (характеристические числа) вещественны: если X — собственное значение, а / — соответ- соответствующий собственный элемент, т. е. Л/=Л/, то h = (Af,f)/\\ff. Следовательно, т-^к^М. Собственные элементы Д и /2 оператора А, отвечающие раз- различным собственным значениям Xt и К2, ортогональны. Действи- Действительно, умножая скалярно равенства Afl = 'k-if1, А[2 = к^2 на /2 и Д соответственно, а затем вычитая их друг из друга, получим
96 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. II i. h) - (ft, Af2) = (kt -12) (h, h). Поскольку (Afv ft) = (h, AfJ и K^K то (Д,/2) = 0. Лемма 1. Для того чтобы число М = sup (Af, f) было соб- ственным значением самосопряженного ограниченного оператора А из Н в Н, а f0 (считаем, что \\fo\=l)~ соответствующим собст- собственным элементом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (Af0, fo) = M. Аналогично, для того чтобы число /n= inf (Af, f) было собст- собственным значением оператора А, а Д, (считаем, что \\fo\\—\)— соответствующим собственным элементом, необходимо и доста- достаточно, чтобы выполнялось равенство (Afo,fo) = m. Если М — собственное значение, а Д, — произвольный соответ- соответствующий ему собственный элемент оператора А, то Afo = Mfo. Следовательно, (Af0, fo) = M(fo, fo) = M. Необходимость доказана. Докажем достаточность. Пусть (Af0, fo) = M для некоторого /о. |/о|| = 1» или> что то же самое. (Що — Afoyfo)^®- Поскольку для всех f из Н O^M\\f\\*-(Af, f) = (Mf — Af, f), то при про- произвольном ф из Н и любом комплексном / (М (f0 + t<p) — А (/<, + l ) f )O, т. е. l(Mfo-Afo, <p) + t(Mfo-Afo, Ф) + + 1112 (My — A(p, ф) 5г 0. Полагая в этом неравенстве / = — ае'а, где a = arg (Mf0 — Af0, ф), а а вещественно, получим справедливое при всех вещественных а неравенство — 2а | (Mf0 — Af0, <p) \ + + а2(Мф — Лф, фMэ0, из которого следует равенство (Mf0 — — Af0, ф) = 0. Поэтому в силу произвольности ф МД, — Л/о = 0. Второе утверждение леммы следует из первого, если вместо оператора А рассмотреть оператор—Л. Лемма доказана. Лемма 2. Если оператор А из Н в Н является самосопря- самосопряженным и вполне непрерывным, то число М = sup (Af, f) (анало- \\П = 1 гично, число т— inf (Af, f)), если оно отлично от нуля, является llfll = i собственным значением этого оператора. Пусть М Ф 0. Рассмотрим эрмитову билинейную форму (Mf — — Af,g),f,g^H, и соответствующую ей квадратичную форму (Mf — Af,f). Для всех f из Н имеет место неравенство (Mf — -Af,f)^O. Покажем, что существует такой отличный от нулевого элемент f0, что (Mfo — Afo,fo)=O. Тогда утверждение леммы 2 будет сле- следовать из леммы 1. Предположим, что такого элемента /0 не существует. Тогда (Mf — Af, f), f^H, может обратиться в нуль лишь при f = o. Поэтому билинейная форма (Mf — Af, g) может быть взята в качестве нового скалярного произведения в Н. Значит, для любых f и g из Н имеет место неравенство Буняковского | (Mf - Af, g) |2 ^ (Mf - Af, f) (Mg -Ag,g). A)
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 97 Из определения М, как точной верхней грани квадратичной формы (Af,f) на единичной сфере 1/1 = 1, вытекает, что сущест- существует последовательность fu f2, ..., ||Д-[|=1, 1 = 1,2, ..., для которой (Afn, fn}-*-M, или (Mfn-Afn,fn)^O, п-+сю. B) Полагая в неравенстве A) / = /„, g = Mfn — Afn, получим \\Mfn — - Afn f ^ (Mfn - Afn, fn) (M% - 2MAfn + Ain, Mfn - Afn) ^ ^ (Mfn — Afn, fn) (I M | +1| A |]K. Из соотношения B) поэтому сле- следует, что последовательность Mfn — Afn-*• 0 при п->оо. Пос- Поскольку оператор А вполне непрерывен, а последовательность fly f2, ... ограничена (ЦА||=1), то последовательность Afu Af2, ... компактна. Значит, из нее можно выделить сходящуюся подпо- подпоследовательность; будем считать, что она совпадает с Afi, Л/2» .. • Тогда последовательность Mfi, Mf2, ..., а вместе с нею (М Ф 0) и последовательность /ъ /2, ... тоже сходится. Если обозначить через /0 предел последовательности Д, /2, ... , то очевидно, что Ц/оЦ = 1, и в- силу B) (Mf0 — Af0, /о) = 0. Лемма доказана. Теорема 1. Для всякого отличного от нулевого вполне не- непрерывного самосопряженного оператора А из Н в Н (Н — гильбер- гильбертово пространство) одно из чисел ±l/\\A\\ = ±l/ sup | ( Af, f) \ II f 11= i является первым (наименьшим по абсолютной величине) характе- характеристическим числом Hi, причем Hi=l/M, если М>\т\, где М = = sup (Af,f), m= inf (Af, f), iii—l/m, если М<.\т\. Если iifii—i imi=i М = \т\, то оба числа 1/М и 1/т являются наименьшими по модулю характеристическими числами оператора А. Все элементы f0, для которых имеет место равенство (Afo, fo)/Uof = M в случае М>\т\, или равенство (Af0, /o)/||/o||2 = = т в случае M<Z\m\, и только они являются собственными элементами, соответствующими Hi- Если М = \т\, то собствен- собственными элементами, соответствующими характеристическому числу \/М, являются те и только те элементы f0, для которых (Afo, fo)/\\fo\\i = M, а собственными элементами, соответствую- соответствующими характеристическому числу 1/т, те и только те элементы /о, для которых (Af0, fo)/\faT = m. В частности, если оператор А неотрицательный, то ^ [| А [| sup (Af, f) -„j™ ! (Af, f) ~ fl™H (Af, f)' ы соответствующими \it собственными элементами, нормирован- нормированными условием [|Л'|=1, являются те и только те элементы f0, |/о||=1» на которых квадратичная форма (Af, f) на единичной сфере достигает своей верхней грани. 4 В. П, Михайлов
98 • ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. И Для доказательства теоремы 1 в силу лемм 1 и 2 достаточно показать, что |Л| = #, где N = sup \(Af, f) | = max (| m I, M). llfll = i Как показано выше, N «g | A ||, поэтому нам остается установить справедливость обратного неравенства |Л||<;#. Поскольку для любого §еЯ \(Ag, g)\^N\\gf и поскольку (A(J1±f2), f1±f2) = (Af1, h) + {Af2, П)±2Яе(АП, f2), то для любых fi и /2 из Я j\(A(f1 + M, fi+fi)-(A(fi-ft), f,- ^+^12+1^^И Полагая в этом неравенстве Д = j/OV /, /2 = -у= Af, где / — про- произвольный элемент из Н, получим | Aff^-^[N\ff^\--^ \ Aff откуда вытекает, что ЦЛ/Ц^Л^Ц/Ц. Поэтому ||Л||<;#. Теорема доказана. Таким образом, множества (Ai, lh> •••» C) ей et, ... D) характеристических чисел и соответствующих им собственных элементов для самосопряженного вполне непрерывного оператора АФО непустые. При этом все характеристические числа веще- вещественны, а систему собственных элементов можно считать орто- нормированной, поскольку собственные элементы, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны, а конечное число линейно независимых собственных элементов, отвечающих одному характеристическому числу, можно ортонормировать. Пусть А — вполне непрерывный самосопряженный оператор из Я в Я. Обозначим через Я„ подпространство пространства Я, состоящее из элементов /, ортогональных первым п собственным элементам оператора А: (/, е,) = 0, /=1, ..., п. Для любого f из Я„ элемент Af тоже принадлежит Я„, так как (Af, e,) = (/, Aet) = — (/, et) = 0 при всех /=1, ..., п. Это означает, что оператор А можно рассматривать как оператор из гильбертова пространства Я„ в Я„. При этом он, конечно, яв- является самосопряженным и вполне непрерывным. Его характе- характеристические числа и соответствующие собственные элементы сов- совпадают с характеристическими числами (д,л+1, (д,л+2, ... и соответ- соответствующими собственными элементами еп+1, епл2, ... оператора А
§5] САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 99 из Н в Н. Поэтому на основании теоремы 1, примененной к опе- оператору А из Нп в Нп, имеем . 11 'H*nl- sup | (Л/, /)| - sup | (Л/, /)Г J|fll=i llfll=i /=1 л Если оператор А неотрицателен, то ^ C ДА <-» « 2. Разложение в ряд Фурье по собственным элементам вполне непрерывного самосопряженного оператора. Рассмотрим ортонор- мированную систему D), состоящую из собственных элементов вполне непрерывного самосопряженного оператора Л из Я в Я, АфО. Пусть Рп — оператор ортогонального проектирования на подпространство, натянутое на элементы ev ..., еп, и оператор АЯ = А-АРЯ = АA-Рп). Оператор А „ — линейный и ограниченный: || Ля||<;|| А ||. Оператор Рп перестановочен с оператором А, поскольку для любого /еЯ APJ = А (/л +...+fnen) = /Ие1 +...+fnAen = = (/, Лв1)в1 + ... + (/, Ле„)е„ = (Л/, e^ei + ... + (Af, en)en = PnAf. Так как операторы А и Р„ — перестановочные и самосопряжен- самосопряженные, то А Рп — самосопряженный: (АРп)* = Р%А* = РпА =АРп. Поэтому оператор Ап — тоже самосопряженный. Кроме того, он вполне непрерывный как сумма двух вполне непрерывных операторов: оператора А. и конечномерного опера- оператора АРп = РпА. Для любого /еЯ ~ek- F) ft = l Числа |х„+1, ... и элементы еп+1, ... являются характеристи- характеристическими числами и соответствующими собственными элементами оператора Ап. Действительно, так как (ер, ek) = 0 при &#р, то в силу F) для р^ л + ^= 1 Других характеристических чисел оператор Л„ не имеет. Пусть, напротив, jx и е —характеристическое число и собственный 4*
100 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (ГЛ. II элемент, \лАпе = е, \хф\хр, р^п+l. Умножая скалярно это ра- равенство на ek, k=^n, получим (е, ек) = ц(А„е, ek) = \i(e, Anek) = 0, поскольку Anek = o для k^n. Поэтому в силу F) Апе = Ае, т. е. \iAe = e. Таким образом, (д. есть характеристическое число, ае — собственный элемент оператора А. Так как все характеристи- характеристические числа оператора А находятся в последовательности C) и так как e_i.ek, k=l, ..., п, то ц совпадает с одним из \xk, *l Так как |а„+1 — наименьшее по абсолютной величине характе- характеристическое число оператора Ап, то на основании теоремы 1 G) Если последовательности C) и D) конечны и состоят из т элементов, то оператор Ат = 0 в силу теоремы 1, поскольку он не имеет характеристических чисел. В этом случае А = АРт — ко- конечномерный оператор, т. е. для любого /е Н Пусть теперь последовательности C) и D) бесконечные. Из G) и соотношения A0) предыдущего параграфа вытекает, что [|Л„[|-»-0 при л->оо. Значит, для любого /еЯ ||Л^| Щ/Ц-О при л->оо, т. е. для любого /еЯ 00 00 Af= lim APJ= У ^е*= У (Af)kek. (9) Таким образом, доказана следующая важная Теорема 2 (теорема Гильберта—Шмидта). Если А—само- А—самосопряженный вполне непрерывный оператор из Н в Н, a f — про- произвольный элемент из Н, то элемент Af разлагается в ряд Фурье (9) {или (8)) по системе D). Ниже нам потребуются некоторые следствия из теоремы Гиль- Гильберта—Шмидта. Согласно лемме 2 п. 6 § 2, ряд Фурье ^ fkPk произвольного элемента [еЯ по ортонормированной системе D) сходится в Н. 00 00 Следовательно, А 2 /***= 2 М«*- Н° fkAek = fke-± = (f, Aek)ek= — (Af, eh)ek = (Af)kek. Поэтому в силу (9) имеем 2/**)
§ Б] САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 101 Если оператор А имеет обратный А'1, то из равенства A0) вытекает, что для любого элемента [еЯ. Это означает, что в этом случае система D) есть ортонормированный базис пространства Н. Таким образом, установлено Следствие 1. Если вполне непрерывный самосопряженный оператор А из Н в Н имеет обратный, то система D) является ортонормированным базисом пространства Н. В общем случае из равенства A0) вытекает лишь, что для любого элемента /е# существует такой элемент г,ЕЯ, Аео = О, что f = eo+]?lfkek. A1) 4 = 1 Множество SR элементов ge#, для которых Ag = 0 есть подпро- подпространство пространства Я; любой отличный от нулевого элемент из 91 является собственным элементом оператора А, отвечающим нулевому собственному значению. Если предположить, что про- пространство Н сепарабельно, то в 91 можно построить счетный ортонормированный базис е[, e'v ... (состоящий из собственных элементов оператора А, отвечающих нулевому собственному зна- значению). Тогда из A1) следует, что для любого / е Н имеет место разложение Д = (/, ei). Таким образом, установлено Следствие 2. Для всякого вполне непрерывного самосопря- самосопряженного оператора А из сепарабельного (гильбертова) простран- пространства Н в Н существует ортонормированный базис пространства Н, элементами которого являются собственные элементы опера- оператора А.
Глава III ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В предыдущей главе были введены понятия банахова и гиль- гильбертова пространств. Сами эти понятия опираются только на соотношения между элементами: достаточно ввести удовлетворяю- удовлетворяющие определенным аксиомам операции сложения элементов и умножения их на числа, норму или соответственно скалярное произведение. При этом совершенно не существенна природа эле- элементов этих пространств, и общие утверждения, полученные в предыдущей главе, применимы ко всем пространствам, из каких бы элементов они не состояли. Однако, для теории дифференциаль- дифференциальных уравнений этих общих свойств не достаточно. При изучении дифференциальных уравнений в частных производных естественно рассматривать функциональные пространства, т. е. пространства, элементами которых являются функции п, в нашем случае веще- вещественных, переменных. В настоящей главе будут введены некоторые функциональные пространства и получены такие утверждения о взаимоотношениях между ними, которые позволят из одних свойств элементов устанавливать другие их свойства. § 1. Пространства непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций 1. Нормированные пространства C(Q) и Ck(Q). Рассмотрим множество С (Q) всех непрерывных в Q (Q — ограниченная область пространства Rn) функций. Прежде всего отметим, что это мно- множество является линейным пространством. Непосредственно прове- проверяется, что заданный на С (Q) функционал max \f(x)\ удовлет- воряет всем аксиомам нормы (п. 2 § 2 гл. II): max |c/| = = Н max |/|; |Ы*) + Ы*) К1Ы*I + 1М*) I ДОЯ всех* х е= Q, поэтому j ^ xeQ xeQ xeQ xeQ _ и max \f (x) | = 0 только при f (x) = 0. Следовательно, в С (Q) можно
§ 1] ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ЮЗ ввести норму (*)|. A) Сходимость по норме^ A) есть равномерная сходимость в Q. Пространство С(Q) с нормой A) банахово, поскольку произ- произвольная фундаментальная в норме A) последовательность функций из С (Q) в силукритерия Коши равномерно сходится к некоторой функции из C(Q). Так как любая непрерывная в Q функция по теореме Вейер- штрасса является пределом некоторой равномерно сходящейся в Q (т. е. в норме A)) последовательности многочленов, то множество всех многочленов всюду плотно в С (Q). Но произвольный много- многочлен в свою очередь может быть представлен как предел равно- равномерно сходящейся в Q последовательности многочленов с рацио- рациональными коэффициентами. Поэтому в C(Q) всюду плотно и счетное множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Значит, пространство С (Q) сепарабельно. Рассмотрим в С (Q) множество C(Q), состоящее из всех функ- функций, обращающихся в нуль на границе 6Q области Q. Очевидно, С (Q) — линейное многообразие в С (Q). Это многообразие замкнуто (в норме A)), поскольку предел последовательности функций из C(Q), равномерно сходящейся в Q, есть функция из C(Q). Следо- Следовательно, С (Q) — подпространство пространства C{Q). Рассмотрим теперь в С(Q) подмножества Ck(Q), k=l, 2, .,., состоящие из всех функций, имеющих в области Q все производ- производные j№( порядка k включительно, непрерывные в Q. Множество С* (Q) есть линейное пространство. Кроме того, в С* (Q) можно ввести норму \cHQ)= S ma_x|D<7(*)|. B) Сходимость по этой норме есть равномерная в Q сходимоаяъ функций и всех их производнйх До &-го порядка включительно. Очевидно, пространство Ck(Q) (с нормой B)) банахово. Пусть юл(|л: — у |) — некоторое ядро усреднения (см. гл. I, вве- введение), а f^C(Q). Рассмотрим при /t>0 функцию *<=/?„. C) Функции fh{x), Л>0, называются средними функциями для функции f (х) (усредненными функциями для f (х)). Из свойства а) ядра усреднения и теоремы 7 п. 7 § 1 гл. II следует, что при любом h >0 U (х) <= С00 (/?„). Кроме того, /Л{л:) = 0 вне Qh (Qh — объединение по всем x°^Q шаров {\х — x°{<.h\).
•04 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Покажем, что если feC(Q), то fh(x) стремится к f (х) при Л->0 равномерно на любой строго внутренней подобласти Q' области Q, Q'mQ. Действительно, при достаточно малых h (меньших расстояния между dQ' и dQ) из свойств б), в) и а) ядра усреднения имеем при х е Q' \Ш-Пх)\ = I f(jj)a>h(\x-y\)dy-f(x) I <*h(\x-y\)dy \x-y\<h \x-y\<h max \f(y)-f(x)\ J v>h(\x-y\)dy= max \f(tj)-f(x)\. Следовательно, из равномерной непрерывности f (x) в Q получаем, что \\hf\\-*° ПРИ h~+°- Так как для fsC* (Q) при х е Q' и достаточно малых h Q = \Dayf{y)-<uh{\x-y\)dy, то из доказанного утверждения имеем: если /eC*(Q), то для любой Q'e 2. Формулы интегрирования по частям. Пусть в области Q (грйница dQ е С1) задан вектор А (х) = (At (x), ..., А„ (х)), коорди- координаты которого Лг(х)еС (Q) (] СЦО), i = 1, ..., л. Из курса Анализа известно, что если функция divА (х)^-^+ ...+-— непрерывна в Q или даже интегрируема по Q, то имеет место следующая формула Остроградского: $ div А (х) dx = \ А (х) п (х) dS, D) Q dQ где л —единичный вектор внешней по отношению к области Q нормали к границе dQ. Пусть и (х) <= С2 (Q) П С1 (Q), уе С1^), а функция Аы = div (V) интегрируема по Q. Так как рЛы.= у ¦ div (Vm) = div (pVm) V
§ 2] ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 105 (yuVv = uX]yXi + ... + Ux vx ), то согласно формуле Остроградско- Остроградского D) имеем [[^ [ x, E) Q поскольку Vu-n J dQ ди =5- dQ дп Q dQ Если обе функции и и v принадлежат С2 (Q) f| C1(Q), а функ* ции Аи и Av интегрируемы по Q, то наряду с формулой E) имеет место и формула \ uAv dx=\u^-dS—\ \v\u dx. E') 1 1 On 1 v Вычитая почленно из E), E'), получим равенство S. F) Формулы E) и F) называются формулами Грина. § 2. Пространства интегрируемых функций Как было показано, множество непрерывных в Q 'функций является банаховым пространством с нормой тах|/(л:)|. Однако часто бывает удобно рассматривать на этом множестве интеграль- интегральные нормы, например, §|/(х) \dx или l\\f (x) |2dxV/2 (нетруднопро- Q \Q I верить, что при этом выполнены все аксиомы нормы). Рассмотрим пространство с нормой <\\f(x)\dx, элементами которого являются Q непрерывные в Q функции. Это нормированное пространство не является полным. Действительно, из определения интеграла Лебега следует, что для любой интегрируемой по области Q функции / (х) существует сходящаяся к ней в этой норме последовательность непрерывных в Q функций fm{x): \\fm{x) — f(x)\dx-*-0 при/п-»-оо. Q Это означает, что если мы хотим получить полное нормированное (банахово) пространство с нормой \\f(x)\dx, в котором содержа- Q лись бы все непрерывные (или даже бесконечно дифференцируемые) в Q функции, то мы должны включить в него все интегрируемые по Q функции. Но тогда функционал \j\f(x)\dx перестает быть Q нормой—он не удовлетворяет последней аксиоме (см. п. 2 § 2
106 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III гл. II) нормы, так как § | f (х) \dx = 0 для всех f (x) = 0 п. в. в Q. Однако в силу теоремы 2 п. 4, § 1, гл. II $ | f (х) \ dx = 0 только для функций f(x), равных нулю п. в. bQ. Следовательно, для того чтобы последняя аксиома нормы выполнялась, мы должны отож- отождествить все функции, равные п. в. в. Q. Для этого можно либо считать элементами пространства классы функций, в каждый из которых входят все функции, равные п. в., либо, что на самом деле то же самое, ввести новое определение равенства функций: функции равны, если их значения совпадают почти всюду. Поскольку удобнее иметь дело с функциями, а не с классами функций, то мы будем далее считать равными функции, значения которых совпа- совпадают для почти всех (а не обязательно для всех) х из Q. Так как при таком определении равенства функций функции не меняются при произвольном изменении их значений на любом фиксированном множестве меры нуль, то в этом случае естественно считать, что функции заданы почти всюду. При этом если функция / почти всюду равна нулю, то мы ее считаем нулевой функцией. Анало- Аналогично, если функция почти всюду совпадает с всюду определен- определенной непрерывной функцией, то мы будем ее считать непрерывной. Если она почти всюду совпадает с всюду определенной непре- непрерывно дифференцируемой до порядка k функцией, то мы будем считать ее непрерывно дифференцируемой до порядка k. В соот- соответствии с введенным понятием равенства будем считать, что и элементами пространства Ck(Q), k^O, являются непрерывно дифференцируемые до порядка k функции, определенные почти всюду в Q. То есть функция f(x) принадлежит С* (Q), если она почти всюду совпадает с функцией, определенной во всех точках Q и непрерывной вместе со всеми производными до порядка k вклю- включительно в Q. При этом под значением в некоторой точке элемента пространства С (Q) (и, тем более, функции из Ck(Q)) будем пони- понимать значение в этой точке всюду определенной непрерывной функции, совпадающей п. в. в Q с этим элементом. 1. Пространства Li(Q) и L2(Q). Рассмотрим множество комп- комплекснозначных интегрируемых по Q функций. Очевидно, что оно является (и в новом понимании равенства функций) линейным пространством, и функционал J |/ (х) | dx удовлетворяет всем аксио- Q мам нормы. Будем обозначать это линейное нормированное про- пространство через Z-! (Q); U \x. (I) Множество измеримых комплекснозначных функций (напомним, что функции, совпадающие п. в., отождествляются), квадрат мо-
§ 2] ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 107 дуля которых интегрируем по области Q, обозначим через L2(Q). Покажем, что L2 (Q) — линейное пространство. Пусть Су и с2— произвольные числа, a fx(x) и /2 (х) — произвольные функции из L2(Q). Так как измеримая функция Cifi(x)-\-cJ2{x) удовлетво- ряетнеравенству \c1f1(x)-\-c2f2(x)\^2\c1f\f1 (x) \a + 2\ca\t\fa(x)\a,io по теореме 5ji. 6 § 1 гл. II функция |ci/i(*)+C2M*) I2 интегри- интегрируема. Значит, cjx (х) -\-c2f2 (х) е L2 (Q). Функция fi(x)f2(x), где Д(*) и /2 (*) принадлежат L2(Q), интегрируема, поскольку она измерима и | Д (л:) /2 (л:) | <: ^-2"(l/i (x) i2 + l/2 (x) I2)- Поэтому паре функций /х и /2 можно поставить в соответствие число \Ш B) Легко проверить, что формулой B) определяется скалярное произведение в L2(Q). Порожденная этим скалярным произведе- произведением норма имеет вид (*Y/2- C) Так как 1/1 = 1/1 • 1 ^у (|/|2+ 1), то в случае ограниченной области Q функция /(*), принадлежащая L2(Q), принадлежит и Li (Q). Значит, для ограниченной области L2 (Q) <= Lt (Q). Оче- Очевидно также, что в случае ограниченной области Q C(Q)cz L(Q)L(Q) )( Теорема 1. Lt (Q) есть банахово пространство с нормой A), L2(Q) — гильбертово пространство со скалярным произведением B). Для доказательства теоремы достаточно установить полноту пространств Li(Q) и L2(Q) в соответствующих нормах. 1. Пусть последовательность fk, k=l,2,..., функций из Ly (Q) является фундаментальной в ^(Q), т. е. для любого е>0 су- существует такое число N (в), что | fk — fm Цц<q> < б для всех k, m^N(e). Возьмем б = 2~* при некотором целом k и обозначим через Nk число N B~k), и пусть при этом Nk^Nk+1. Тогда при N и, в частности, |1/лгь — fsbJ_ \, l0, <2~k. Поэтому ряд Y ||/jv. — —/л^л AL (Q) сходится. Значит, на основании следствия из п. 6 § 1 гл. II п. в. в Q к некоторой функции из Z-i(Q) сходится ряд оо У\ (/л/. — /л/.) и, тем самым, п. в. в Q при &->оо сходится
Ю8 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III к некоторой функции/ <=Lx(Q) последовательность/лг., k=\,2,...: Покажем, что |fm — f\\Ll{Q) -v0 при m-+oo. Действительно, из D) вытекает, что для m~^Nr и & Переходя в этом неравенстве к пределу при k -v со на основании леммы Фату (теорема 4 п. 6 § 1 гл. II), получим неравенство \\fm—f\\L1(Q)^21~r, справедливое для всех т5= Nr. При достаточно больших т число г может быть взято достаточно большим, по- поэтому ||/т —/||l, <Q)-»¦ 0 при т-»-оо. Итак, ^(Q) — полное про- пространство. 2. Пусть теперь функции последовательности fk (х), k=\,2,..., принадлежат L2(Q), и последовательность является фундаменталь- фундаментальной в норме L2(Q). Так же как и при доказательстве первой части теоремы, найдем такую числовую последовательность Л^<; <ЛГ2=яс...<ЛГл<..., что ~k Из для всех m^Nk, и в частности, \\hk+1-fNk\L {Q)<2 неравенства Буняковского следует, что \\fN ~/лгД <о>*^ <1/Т0Т|/jvft+1 ~fNkIImQ) ^VlQI 2"*, поэтому существует функция f(x)^L1(Q) такая, что fNk(x)-+f (х) при &->со п. в. в Q. А зна- чит, и ¦|/|2при&- -оо п. в. в Q. Кроме того, _ 1 2 (Q) (Q) (Q) • Поэтому на основании леммы Фату /(jc)sL2(Q). Покажем, что Ц/т —/1к«г>-»-0 при m-vco. Для имеет место вытекающее из D') неравенство Переходя в этом основании леммы |оо, снова на неравенстве к пределу при |, Фату получим неравенство |/m —/||l«(Q)^21-', справедливое для всех m^Nr. А так как число г можно взять достаточно большим, если т достаточно большое, то получаем, что |/(в —/|k(Q)-*"O при т-*-со. Теорема доказана. Замечание. Отметим, что при доказательстве теоремы 1 одновременно установлена справедливость следующего утвержде- утверждения. Из всякой последовательности функций, сходящейся к неко- некоторой функции f в Li(Q) или в L2(Q), можно выбрать подпосле- подпоследовательность, сходящуюся к f почти всюду.
2] ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 109 2. Плотность множества C(Q) в Li(Q) и L2(Q). Сепарабель- Сепарабельность пространств Li(Q) и L2(Q). Непрерывность в среднем эле- элементов ?,! (Q) и L2 (Q). Теорема 2. Множество непрерывных в Q функций всюду плотно в Lx (Q) и L2 (Q). 1. Пусть функция /(jc)eLj(Q). He умаляя общности, можно считать ее вещественнозначной и неотрицательной. Тогда по опре- определению интегрируемости функции / (х) существует последователь- последовательность непрерывных в Q функций fk(x), k=\, 2, ..., обладающая свойствами fk(x)ff(x) п. в. в Q и jjfkdx-»-$/dx при &-»-оо. Так Q Q как ^|/— fk\dx = ^{f — fk)dx, то I/ — /*||l,«?)-»¦ О при ^->-оо, что Q Q и требовалось установить. 2. Пусть функция /(jc)eL2(Q). Снова можно считать ее ве- вещественнозначной и неотрицательной. Поскольку /(jc)eLi(Q), то найдется монотонно неубывающая последовательность fk, k = = 1, 2, ..., функций из С(Q), сходящаяся к / п. в. в Q. Функ- Функции fk (x) можно считать дополнительно неотрицательными, заме- заменив в случае необходимости взятую последовательность последо- последовательностью /*(*), k=\, 2, — Но тогда fk{x)\P{x) п. в. в Q при &-»-оо. По определению интеграла от/2(jc) \fkdx-*~\f2dx, Q Q T- e- |/*li-t (Q)~*/IIU(Q)- Так как fkf ^/2, то по теореме Лебега (теорема 6 п. 7 § 1 гл. II) lim (fk, /)^(Q) = II/1L(Q)- Значит, )-^0 при ft-^oo. Тео- Теорема доказана. Отметим, что если последовательность функций из^Г(^) схо- сходится к некоторой функции в норме пространства C(Q), то она сходится к ней и в нормах пространств Ьг (Q) и L2 (Q). Следова- Следовательно, любую непрерывную в Q функцию можно приблизить последовательностью многочленов с рациональными коэффициен- коэффициентами в нормах Li(Q) и L2(Q). Тогда из теоремы 2 следует, что счетное множество многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в Li(Q) и LziQ). To есть имеет место Теорема 3. Пространства Lx (Q) и L2 (Q) сепарабельны. Принадлежащая пространству L2 (Q) (и продолженная нулем вне Q) функция f(x) называется непрерывной в среднем (квадра- (квадратичном) или в норме пространства L2 (ф), если по любому б > О найдется такое б>0, что |/(* + г)— /(x)\\LliQ) <е для всех г, \г\<8. Принадлежащая пространству Lx (Q) (и продолженная нулем вне Q) функция / (х) называется непрерывной в среднем или в норме пространства Li(Q), если по любому е>0 найдется такое б> О, что || / (х + г) — / (х) \\Ll (q)< б для всех г, | г | < 6.
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Из теоремы 2 вытекает следующее утверждение. Теорема 4. Любая функция из L2(Q) непрерывна в среднем (квадратичном). Любая функция из Z,i(Q) непрерывна в среднем. Пусть функция f^L2(Q) (в случае, когда /eLi(Q), доказа- доказательство утверждения совершенно аналогично). Возьмем число а>0 столь большим, чтобы Q<^Sa, где Sa — шар {|*|<а}. Функция F (х), равная f(x) для jceQ и нулю для xs=S2a\Q, принадлежит L2(S2a), так как /(jc)eL2(Q). Возьмем произволь- произвольное е>0. На основании теоремы 2 существует непрерывная в S2a функция F(х), удовлетворяющая неравенству \\F (х) — F (x)\.2(S2a) < < е/3. За счет умножения функции F (х) на подходящую срезаю- срезающую функцию области Sa можно считать, что функция F (х) = О для xeS2s\Sa. Поэтому для |г|<а \\F(x + z) — F (* + z)\\l2(s2u) = = \F(x)— F(jc)||La(sa)<e/3. Так как функция F(x) равномерно непрерывна в S2a, то существует б > 0 (б < а) такое, что \P(x-\-z) — F(x)\l^s )^e/3, как только |г|<б. Значит, при И6 Теорема доказана. 3. Усреднение функций из Li((?) и L2(Q). Для функций из LxiQ) и L2(Q), так же как и для функций из C(Q), можно опре- определить усредненные функции. Пусть o)ft (|* — у |) — некоторое ядро усреднения (гл. I, введе- введение), а / (х) е Ьг (Q). Функция h>0, E) называется средней функцией для функции f (усредненной функ- функцией для f). Из свойства а) ядра усреднения и теоремы 7 п. 7 § 1 гл. II сле- следует, что /ft (х) е Сда (Rn) при h > 0. Кроме того, /ft (jc) = 0 вне Qh. Теорема 5. ?с^ы f(x)^L1(Q) (L2(Q)), то \\fh-f\\LliQ)-+O (ll//IL0) ft0 llIL«2)) Доказательство обоих утверждений одинаково, поэтому оста- остановимся, например, на случае /eL2(Q). Будем считать функ- функцию/ продолженной нулем вне Q. Свойства б) и в) ядра усреднения, неравенство Буняковского, свойство г) ядра усреднения, по-
§ 2] ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 111 следовательно примененные, дают \fh(x)-f(x)\* = $ ny)<*h(\x-y\)dy-f(x) J щ(\х-у\)<1у <; \х—y\<h \x — y\<h < \ v>U\x-y\)dy \ \f(y)-f(x)\2dy^ \x-y\<h \x-y\<h ^T [ \f(x + z)-f(x)\*dz. \z\<h Согласно следствию из теоремы Фубини (п. 11 § 1 гл. И) \ \z\<h = ^ \ dz\\f(x + z)-f(x)\*dx. F) lz|<ft $ Возьмем произвольное е>0. Согласно теореме о непрерыв- непрерывности в среднем (теорема 4) найдется такое 8>0, что || / (л: + г) — — /(х)\\ц(Q)<Е> если только |г|<Л<6. Поэтому для таких h из F) вытекает неравенство || fh — / \\ц (q) ^ const • б. Теорема дока- доказана. Замечание. Отметим, что при доказательстве теоремы 5 не использовалась неотрицательность ядра усреднения. Следова- Следовательно, если среднюю функцию fh(x) для функции f (х) опреде- определить формулой E), где щ (| х -у\) = ^A^ оо, — бесконечно дифференцируемая четная функция, рав- равная нулю для \t\^\ и такая, что § щ (| х |) dx = 1 (ср. с опре- делением ядра усреднения во введении, глава I), то теорема 5 остается справедливой и в этом случае. Теорема 6. Множество С00[Q) является всюду плотным в MQ) " б L2(Q). Пусть / (х) е L2 (Q) (случай / е Lx (Q) рассматривается анало- аналогично). Зафиксируем произвольное е>0. Согласно теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега (теорема 9 п. 10 § 1 гл. II) найдется такое 8>0, что J |/|2djc<e2/4. Это означает, Q\Q6 что финитная в Q функция F(x), принадлежащая L2(Q) и рав- равная / (х) для х е Qe и нулю для х е Q\Qe, удовлетворяет нера- неравенству \\F — /|l,,(Q)=s?e/2. В силу теоремы 5 можно найти такое ho>0, что ||К — .F||l2(q)<e/2 для всех 0</i^/i0. Средняя функ- функция Fh для финитной функции F принадлежит при достаточно
112 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III малых h множеству С™ (Q) и Теорема доказана. Так как при любом k^O C°°(Q)cz Ck (Q) cz L2(Q), то Ck (Q) при всех &3=0 всюду плотны в L3(Q). 4. Линейные пространства L\, ioc, L2, ioc- Множество интегри- интегрируемых в каждой строго внутренней подобласти Q' области Q, Q'mQ, функций обозначим через Llt ioc(Q). Множество измеримых в Q функций, модуль квадрата кото- которых интегрируем по любой строго внутренней подобласти Q' области Q, Q'mQ, обозначим через ?-3. ioc(Q). Ясно, что L), ]ос (Q) и L2, ioc (Q) есть линейные пространства. Кроме того, Li (Q) <= L,, ioc (Q), L2 (Q) cz L2,loc (Q). Функция (i_[jt[)w, например, принадлежит Lit\oc(\x\<.\) и L2, iOc(|jf| < 1) при лю- любых m, и в то же время она принадлежит ^(|л:|<;1) только при m<l, a L2(jjcj<:l) только при т<1/2. § 3. Обобщенные производные 1. Простейшие свойства обобщенных производных. Пусть не- непрерывная в Q функция / (х) имеет непрерывную в Q производ- производную fXl (x). Тогда при любой функции g (x) e С1 (Q) имеет место равенство Оказывается, этим равенством производная fx функции / пол- полностью определяется: нетрудно показать, что если для непрерыв- непрерывной функции f (х) существует такая непрерывная функция hi{x), что при любой g (x) e С1 (Q) выполняется равенство ]dx=-]hgdx, A) Q то функция f(x) имеет в Q производную/*, и для всех xs=Q fx =hi. Таким образом, с помощью тождества A) можно дать другое, эквивалентное (в классе непрерывных функций) обычному, определение производной функции f(x). Если в равенстве A) отказаться от непрерывности функции f (х) и hi(x), а вместо этого потребовать их интегрируемость или интегрируемость их квадра- квадратов (последнее нам удобнее) и интегралы в A) понимать в смысле Лебега, то мы расширим класс функций, для которых можно
§ 3] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ИЗ ввести понятие производной; функция hi называется обобщенной производной по xt функции / в области Q. Пусть а = (о^, ..., а„) — вектор с целыми неотрицательными компонентами. Функция fa (х) e L% ioc (Q) называется а-й обобщен- обобщенной производной (о. п.) в области Q функции /(х) eL2?i0C(Q), если для любой функции g(x) e Oal (Q) имеет место равенство B) Прежде всего покажем, что функция f(x) может иметь лишь одну о. п. fa (x) (напомним, что функции считаем равными, если они совпадают п. в.). Действительно, пусть ff(x) и /"(*) — две о. п. функции f(x). В силу B) для произвольно фиксированной подобласти Q', Q'<sQ, и произвольной функции g (х) е С1 а I (Q') имеем равенство $(/" — f%)gdx = 0. Но /* — /«eL2(Q')> поэтому в силу теоремы 6 Q' п. 3 предыдущего параграфа ff — f$ = O п. в. в Q', а значит, и п. в. в Q. Пусть функция f (x) e C|(X|(Q). Тогда из формулы Остроград- Остроградского имеем равенство C) для любой функции g(x) e Cial (Q). То есть функция /(jc) имеет о. п. fa(x), равную Daf (х). В частности, функция f (х), (п. в.) в Q равная постоянной, имеет любую о. п. fa(x) = 0, |aj>0. В дальнейшем обобщенную производную /а функции / будем обозначать через Daf. Для обобщенных производных, в основном первых и вторых порядков, будем пользоваться также обозначе- , , df а2/ НИЯМИ fx,, /v,v, ... И ^-, з з—, ... Поскольку для гладких функций g(x) производная — д не зависит от порядка дифференцирования, то из единственности обобщенной производной и формулы B) следует, что обобщенная производная тоже не зависит от порядка дифференцирования. Также из определения сразу следует, что если функции ft(x), 1=1, 2, имеют о. п. Dafi, то функция Ci/i + c^ при произволь- произвольных постоянных ci имеет о. п. D7-(c1f1-\-c2f2) = c1Daf1-\-c2Daf2. Пример 1. Функция /(jc) = |jc1| в шаре Q={|jc|<1} имеет первые обобщенные производные fx = signal, /. =0, t = 2, ..., п.
44 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ш Действительно, для любой функции g(x) et1 (Q) где Q+=Q П (xi > 0), Q" = Q П (*i < 0)- Из формулы Остроградского имеем (*ig = 0 на dQ и при *i = 0) \\xi\gXldx — — S ? ^ + S 8 dx^ — Ss'§n-^i¦ Sf'i*'- q q+ q- Q Поэтому о. п. по лгх функции \хг\ существует и равна функции signal. Так как для /5=2 то функция |*i| имеет о. п. по xt, г = 2, ..., п, равные нулю. Заметим, что классической производной по х1 функция \хг в области Q не имеет (не существует производной при jc1 = O). Пример 2. Функция / (х) = sign хг в шаре Q = {| х \ < 1} имеет обобщенные первые производные fx. = 0, г = 2, .... п, но не имеет обобщенной производной fx . Существование о. п. f.X[, i = 2, ..., п, устанавливается так же, как и в примере 1. Докажем, что функ- функция / не имеет о. п. по хх. Предположим, напротив, что сущест- существует функция со е L2. toe (Q). являющаяся обобщенной производной по хх функции /. Тогда для произвольной функции g (x) e С1 (Q) имеет место равенство \a>gdx = — 5(signxx) gXldx = — ) gx,dx+) gx,dx = Q Q Q+ -Q- = 2 ^ idjf,...dic.. D) Из этого равенства прежде всего следует, что со = 0 (п. в.) в Q. Действительно, подставляя в D) произвольную функцию g(jc)e eC'(Q), равную нулю в Q-, получим равенство ^ a>gdx=0, из которого вытекает, что со = 0 (п. в.) в Q+. Аналогично дока- доказывается, что со = 0 (п. в.) в Q~. Следовательно, для любой g(jc)e e^(Q) ^a>gdx = 0, т. е. ^ g(x)dx2 ...dxn = O. Последнее равенство, однако, не может иметь места при любой функции g(x) e ^(Q). Обобщенная производная Daf, в отличие от соответствующей классической производной, определяется тождеством B) глобально, сразу в Q. Однако и в любой подобласти Q'czQ функция Daf будет о. п. функции f, поскольку функция g(x), принадлежащая
§3] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ П5 Oal(Q') и продолженная нулем вне Q', принадлежит Clai(Q) (этим свойством мы фактически уже воспользовались при дока- доказательстве единственности обобщенной производной). Поэтому если функция f(x) имеет в' Q о. п. Daf и f(x) = c(n. в.) в Q' czQ, то Da/ = 0 (п. в.) в Q'. В частности, о. п. (если она существует) финитной в Q функции f (х) (т. е. для некоторой Q", Q"<sQ, f(x) = 0 п. в. в QXCf) финитна в Q и, следовательно, принадлежит LAQ). Пусть функция f(x), принадлежащая L% ioc(Q)> имеет о. п. Daf = F, а функция F(x) имеет о. п. D$F = G. Тогда существует о. п. Da+P/ и D«^f = G. Действительно, пусть g(x) e C|a + P| (Q). Так как 61@), то что и требовалось установить. В отличие от классической производной обобщенная производ- производная Daf определяется сразу для порядка | a | без предположения о существовании соответствующих младших производных. Покажем, что младшие производные и на самом деле могут не существовать. Пример 3. Рассмотрим в шаре Q = {|jc| < 1} функцию f (х) = = ф(*1) + ф(*2). где ф (хг) = sign Хг. Из результатов примера 2 вытекает, что f(x) не имеет обобщенных производных fXln fX2. Покажем, что тем не менее существует обобщенная производ- производная fXlX2. Возьмем произвольную функцию g (x) e С2 (Q). Имеем S \ S Ф (xt) Q Q Q Поскольку \L>(xijgxtxldx = — ] ~gXtXldx+ ] Q Q(]{x,<0) Q()(x, > и, аналогично, \<p(x2)gXlX, dx = 0, то 3 $ $ Таким образом, обобщенная производная fXlXl существует и равна 0. 2. Обобщенные производные и средние функции. Критерий существования обобщенной производной. Пусть функция / (х) е ?B) coft — некоторое ядро усреднения, а l h>0, — усредненная функция для функции / (х), fh (x) e Сю (/?„).
 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Лемма 1. Если функция f(x) из L2(Q) имеет обобщенную производную Daf е= L2 (Q), то для любой точки (/eQ при доста- достаточно малом h > О (D«f)h(y) = D«fhly) E) и для произвольной подобласти Q' eQ при h-*-0 \\D*h-D«f\UQ')-+0. F) Если функция f (х) дополнительно финитна в Q (и продолжена нулем вне Q), то формула E) имеет место для всех (/eQ при достаточно малых ft ||D«/ft-D«/|lM«-+0 при h-+0. G) Подставляя в формулу B) в качестве функции g (x) ядро усред- усреднения щ(\х — у\), (/eQ, при достаточно малом Л>0 (h меньше расстояния точки у до границы dQ), получим на основании тео- теоремы 7 п. 7 § 1 гл. II формулу E) Если Q'isQ, то существует такое /i0X), что при h^.ho фор- формула E) имеет место для всех y^Q'. В случае финитной f(x) (Dxf тогда тоже финитна и принадлежит L2 (Q)) также существует такое ho>0, что при h^h0 формула E) имеет место для всех у е Q. Поэтому соотношения F) и G) вытекают из теоремы 5 п. 3 § 2. Следствие. Если все о. п. первого порядка функции f равны нулю, то / = const. Действительно, в любой подобласти Q'<s=Q при достаточно малых h (fXi)h = 0, t = 1, ..., п. В силу E) (fh)Xi = 0, t=l,...,n, т. е. fh = const = с (К) в Q' для таких h. Так как ||/л —/||l,<Q') = = ||с(Л)—/|mq')-»-0 пРи й->-0 (теорема 5 п. 3 § 2), то ||c(/i1)-c(/i2)|L(Q') = k(/ii)-c(/i2)|K|Q7l-^O при /ilT А8-*0. Сле- Следовательно, c(h)=fh сходится равномерно в Q' (и тем более в L2(Q')) к некоторой постоянной, т. е. / = const в Q', и тем самым, в Q. С помощью леммы 1 докажем следующий критерий существо- существования обобщенной производной функции /eL2 (Q). Теорема 1. Для существования о. n.D^f функции f e= L2 (Q) необходимо и достаточно, чтобы для любой подобласти Q' (s Q существовали такие постоянные С (Q') и ho(Q'), что || Da/ft ||^2 №'> ^ C(Q') для всех h<ho(Q').
§3J ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ  Необходимость доказана в лемме 1. Докажем достаточность. Возьмем такую систему областей Qi ш (S <?2 <S... <S Qm <S... <S Q, что любая точка х е Q принадлежит некоторой области Q; (а следовательно, и всем Q/ при />()• Так как при h<ho(Q1) ||D7ftUM«.><C«?i). то множество {Dafh\ для таких Л слабо компактно (теорема 3 п. 8 § 3 гл. II). Поэтому можно найти такую последовательность значений h, hh u ..., /i1?ft,... ..., /ii? л, 10 при k -*~ oo, что последовательность функций Da/ft , k = = 1, 2, ..., слабо сходится в Z-2(Qi). Аналогично, из последова- последовательности /i1?ft, k=l, 2, ..., можно выбрать подпоследователь- подпоследовательность /i2?ft, &=1, 2, ..., такую, что слабо сходится в L2(Q2) по- последовательность функций ?>а/л2 k, k=l, 2, ...При этом слабый предел этой последовательности в Qu конечно, совпадает со сла- слабым пределом последовательности D^f^ , 4=1, 2, ..., и т. д. Диагональная последовательность Da/ftft ft, k=l, 2,..., слабо сходится к некоторой функции со (х) е L% ioc (Q) в пространстве L2(Qi) при любом /=1, 2, Тогда для любой Q'mQ ^a/ftftft слабо сходится к со в L2(Q'). Возьмем произвольную функцию g^C\a^(Q), и пусть Q' — область, вне которой g(x) = 0, Q'<sQ. Для всех k—\, 2,... имеет место равенство h в котором интегрирование на самом деле проводится не по всей области Q, а по Q'. Поскольку последовательность Dafh , k = = 1, 2, ... слабо сходится в L2(Q') к функции со, а последова- последовательность fhk k, k=l, 2, ..., сильно (а значит, и слабо) схо- сходится к функции /, то в этом равенстве можно перейти к цре- делу при k ->¦ со: Это означает, что функция / имеет обобщенную производную Daf, равную функции со. Теорема доказана. 3. Существование обобщенной производной в объединении областей. В п. 1 уже отмечалось, что если Daf является о. п. функции / в Q, то и в любой подобласти Q' czQ она является о. п. этой функции. Настоящий пункт посвящен доказательству следующего предложения. Теорема 2. Если функция f имеет о. п. Daf в областях Qi и Q2 и QiUQ2=Q тоже является областью (т. е. является связным множеством), то о. п. производная Daf существует в Q.
I'8 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ill Возьмем произвольную точку х е= Q. Пусть Sp (x) — шар радиуса р>0 с центром в точке х, а р!= min \x — y\, р2 = fjedQ, = min |jf — ^|. Если *eQi\Q2, то SPl/2(*)sQi. Если хе QQi, то Sp2/2 (-с) е Q2. Если же-геС^НС^ и p = min(pi, p2), то Sp/2 (*)<sQi и Sp/2 (x)<sQ2. Все точки области Q разобьем на два класса: в первый класс отнесем все точки из Qi\Q2 и те точки из Qif\Q2j для кото- которых Pi<p2, p = Pi; во второй —все остальные, т. е. все точки из Q2\Qi и те точки из QiRQ2> для которых p2^Pi, p = p2. Таким образом, мы получили покрытие области Q шарами Sp/2 (х): если х— из первого класса, то p = Pi, если х — из вто- второго класса, то р = р2. Пусть Q' — произвольная строго внутренняя подобласть обла- области Q, Q'^Q. Из покрытия Q' шарами Sp/2 (x) выделим конеч- конечное подпокрытие. Часть шаров этого подпокрытия, имеющих центры в точках первого класса, образуют открытое множество QldsQi, остальные — открытое множество Q!2 ш Q2. Таким образом, для области Q' найденыдва открытых множества Q[ и Q'it обладаю- обладающих следующими свойствами: a) Ql, i=l, 2, есть сумма конеч- конечного числа шаров, б) Q' принадлежит области QJUQa и QI<sQi, Q2 Ш Q2. Так как в Qj и Q2 существует о. п. Daf, то по теореме 1 существуют такие постоянные C{Q[), C{(&), ho(Q[) и ho(Q'i), что для A<Ao = min(Ao(Qi), *o(Q0) \\Оак1М)^С(Q\), lD*fhlt(Qi)<. =s^C(Q'i), где /ft —средняя функция для функции / в области Q. Поэтому \\Dah ||12(Q') ^ ||^a/ft ||12(QJ) + \\Dafh ||L(QD < C\ (Q[) + C\ (Qi) = C2 (Q') для всех h<Ch0 Следовательно, по теореме 1 функция / имеет о. п. а-го порядка в Q, конечно, в Qx и Q2 совпадающую Da/. Теорема дока- доказана. 4. Связь обобщенных производных с конечно-разностными отношениями. Пусть функция / (х) финитна в Q и принадлежит L2 (Q). Продолжим ее нулем вне Q и рассмотрим при h -ф 0 разност- разностное отношение g*f ix\ = хп)~f(x) k=l, ..., п. Ясно, что при всех h Ф 0 б*/(jc) e L2 (Q). Если функ- функция g(x)^L2(Q) (и продолжена нулем вне Q), то для достаточно малых по модулю h (меньших расстояния между границей обла- области Q и границей области Q', вне которой /=0) имеет место
§ 3] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ формула «интегрирования по частям» П9 г ..., х„) —/(*)) g(x) dx = -i, xk-h, xk+1, ..., xn) -g(x))dx = — (A «itfW О) Теорема З. Пусть финитная в Q функция f (x) принадле- принадлежит L2 (Q). а) ?слы существует о. п. fXk при некотором k=\, ..., п, то при всех достаточно малых по модулю hj=0 2 «?) №)" A0) б) Если существует такая постоянная С>0, что при всех достаточно малых по модулю h Ф 0 | 6*/Jil(Q) ^C, то в Q суще- существует о. п. fXk функции f, имеет место неравенство ifxA, (Q) *S s^C и соотношение A0). Доказательство предложения а). Пусть сначала функция / е С1 (ф. Не умаляя общности, можно считать, что п. Тогда 4 j '(^' |я, где, как обычно, х' = (хг,... п ..., jcn_i). Следовательно (пусть для определенности откуда +СО 5 — оо * din т -т Интегрируя последнее неравенство по х' е /?п_х. получим (П)
120 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ill Далее, ,-i  хп+1г Поэтому + 00 -] а/(*'.?«) <?/(*',*„) h —оо A +00 <?.= lidn { ( _ dx Интегрируя это неравенство по х' ^Rn_lt получим Неравенства A1) и A2), установленные пока для функций / е С1 (Q), справедливы и для финитных функций из L2(Q), имею- имеющих о. п. fx в Q. Чтобы в этом убедиться, достаточно аппрок- аппроксимировать функцию / (х) ее усредненной функцией с достаточно малым радиусом усреднения р, воспользоваться для последней неравенствами A1) и A2) (усредненная функция будет финитной в Q) и перейти в них к пределу при р-»-0. Таким образом, первое неравенство п. а), совпадающее с A1), доказано. Для доказательства соотношения A0) воспользуемся теоремой о непрерывности в среднем (квадратичном) функции из L2 (Q) (теорема 4 п. 2 § 2), из которой вытекает, что для любого е>0 найдется такое число б^б(е), что если |t]|s^|/i|^6, to Поэтому из A2) следует неравенство \^nJ — fx |i(O)^e2> если только |Л|^б. Предложение а) доказано.
§3] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 121 Доказательство предложения б). В силу теоремы 3 п. 8 § 3 гл. II множество Ш/} при малых \h\ слабо компактно в L2 (Q). Поэтому из него можно выбрать слабо сходящуюся к некоторой функции со <=L2(Q) последовательность bkhf, р=\, 2,..:, Лр->-0при р-^-со. При этом ||a)||MQ)==sC. Далее, в силу (9) л/> S)LAQ)=-^,8lLhpg)Ll(Q) при любой функции g(x) <=fr(Q). ри /?->оо левая часть равенства стремится к (со, g), а правая на основании теоремы Лебега — к — (/, gX/i^ Поэтому существует о. п. fXk и fXk = a. Теорема доказана. В дальнейшем нам понадобится также следующее предложе- предложение. Пусть Q — односвязная область пространства Rn, содержащая начало координат и симметричная относительно плоскости х„ = 0 (т. е. для любой точки * = (*', хп), принадлежащей Q, точка (х', — хп) тоже принадлежит Q), и пусть б > 0 — столь малое число, что множество Qg есть область. Введем обозначения: + Теорема4. Пусть функция f (x) e L2 (Q+) uf(x) = 0e Q+\(Qe) а) Если в Q+ существует о. п. fXk при некотором k<.n, то при всех достаточно малых по модулю h^O *r° при м т б) Если существует такая постоянная С>0, что при всех достаточно малых по модулю h^tQ | б*/1|^ ((?+) ^С, k<.n, то в Q+ существует о. п. fx причем \\fxk\\L ,п^^С и имеет место соотношение A0'). Определим в области Q функцию F(x) следующим образом: F(x)=f(x) в Q+ и F(x) = f(x', -xn) в Q~. Очевидно, что Fe <=^@) и F(x) = 0 вне Qe. При этом || 6^^(<а = 2|| 6*/^, k<n, 0<\h\<8. Доказательство утверждения а). Пусть функция/ имеет о. п. fXk в Q+. Прежде всего покажем, что тогда функция F имеет о. п. FX/t в Q. Действительно. Возьмем произвольную функцию g(x) eC1^) и при произвольном б>0 функцию U (хп) е С1 (— оо, + оо), четную, 16 (— хп) = ?б (х„), удовлетворяю- удовлетворяющую при всех хп неравенству |2в(л:„)|^1, равную 1 при 8 и 0 при 0«2лб2
122 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, III Из равенства U(x', = $ / М 8'k (х) Ь> (*») dx+U(x', -xn) gXk (x) U (х„) dx и определения о. п. функции / в области Q+ имеем (функция Se (*») fe (х1, xn) + g(x', - хп)) е С* (Q+)) n) + g(x',-xn))dx = -J fK (x1, — x 0+ Переходя в этом равенстве на основании теоремы Лебега к пре- пределу при 6->0, получим, что функция, равная fxk(x) в Q+ и fxk(x', —х„) в Q", является о. п. FX/i в Q функции F, при этом имеет место равенство В силу теоремы 3 = 21 ... Поэтому Так как 1 -/*»Е.«К) и поскольку |^Ja(Q) — fxk\\LAQ+)-*-Q при /i->0. Утверждение а) при /i-»-0, то доказано. Доказательство утверждения б). Пусть при всех достаточно малых по модулю h ^ 0 ~ ~ для всех таких h ствует о. п. Fx и f*k> \\fxk?L ^ доказана. , k < п. Тогда <; 2 • С2. Согласно теореме 3 в Q суще- /Г^|^((?)^2-Сг. Значит, в Q+ существует о. п. и имеет место соотношение A0'). Теорема § 4. Пространства Hk(Q) 1. Линейное пространство ^*C(Q). Гильбертово пространство Н* (Q). Множество функций из Z,2, ioc (Q). имеющих все обобщен- обобщенные производные до порядка k,k^\, включительно (из Ы, iOc(Q))> будем обозначать через #*Ос (Q)- Обозначим через Я* (Q) подмно-
§ 41 ПРОСТРАНСТВА H"(Q) 123 жество #foc (Q), элементы которого вместе со всеми обобщенными производными до порядка k включительно принадлежат L2(Q). Под #?0C(Q) и H"(Q) при k = 0 будем понимать L2,loc(Q) и L,(Q) соответственно: Woc(Q) = L2,\oc(Q), H°(Q) = U(Q)- ' Ясно, что #foc(Q) и Я*(Q) — линейные пространства. Покажем, что Hk (Q) — гильбертово пространство со скалярным произведе- произведением (f.*W,= I> \D*fD*gdx. A) I a Kfe Q Для проверки этого утверждения достаточно установить пол- полноту Hk (Q) в порожденной этим скалярным произведением норме B) Пусть /m, m= 1, 2, ... . — произвольная фундаментальная по норме B) последовательность элементов из Hk (Q): |/.-/»С/*й)= Е \\Dafs-Dafm\2dx-+0 при m, s->oo. Тогда для любого а, |а|=^&, при т, s->oo 5|Da/s-Da/m|2^->0, C) Q и в частности (при а = 0), D) В силу полноты Li(Q) из D) вытекает существование функции f^L2(Q), к которой (в LiiQ)) сходится последовательность fm, т=\, 2, ..., а из C) существование при любом a, \a\s^k, функ- функции /а е L2 (Q), к которой (в L2 (Q)) сходится последовательность Da/m, m=l, 2, ... Так как каждая функция fm (x) имеет все принадлежащие L2(Q) обобщенные производные до &-го порядка включительно, то при любом a, \a\^k, (fm, Dag)LAQ) = (- 1I « I (D«fm, g)Li(Q) для любой функции g^Ck(Q). Переходя в этом равенстве к пре- пределу при т->со (из сильной сходимости следует слабая сходи- сходимость), получим, что функция /а есть а-я о. п. функции./. Таким образом, f^Hk(Q) и Ц/я, — /l|tf*(Q)-*-° при т^-оо. Утверждение доказано.
'24 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Замечание. Иногда удобно рассматривать множество всех вещественнозначных функций из Hk(Q), k = 0, 1, ... (Н° (Q) = = L2(Q)). Это множество, конечно, является (вещественным) гиль- гильбертовым пространством со скалярным произведением A). Будем называть его вещественным пространством Hk(Q) и сохраним за ним то же обозначение. Отметим некоторые свойства пространств Hk (Q). 1. Если область Q'c=Q и /e=//*(Q), то f<=Hk{Q'). 2. Если f<=Hk(Q) и a(x)<=Ck(Q), то функция af(=Hk(Q). При этом любая обобщенная производная Da(af), \a\*s^k, вычис- вычисляется по обычным правилам дифференцирования произведения. В частности, {af)x=ax.f-\-afx., i=\, ..., п. 3. Если / е Hk (Q), a fh (x) — средняя функция для функции /, то для любой подобласти Q', Q' eQ, | fh — f \\Hk (Q/) -> 0 при h-*-0. Если функция / дополнительно финитна в Q, то при /i->0 I/ft-/!«*«?)-* °- 4. Если финитная в Q функция f^Hk(Q), то функция, рав- равная / в Q и нулю вне Q, принадлежит № (Q') при любой области Q', Q'=>Q. Свойства 1 — 4 прямо следуют из определения пространств Hk(Q) и свойств обобщенных производных. 5. Пусть преобразование у = у(х) {Hi = Hi{x1, ..., х„), i = 1, ..., п) взаимно однозначно отображает область Q на область Q, и пусть х=х{у) {х{=хг (у1г ..., уп), i = \, ..., п) — соответствующее обратное преобразование. Предположим, что при некотором k 5$ 1 iji (х) е С* (Q), jc,- (^) е С* (й), / = 1, ..., п. Тогда для того чтобы функция F (х)—f (у (х)), где f(y) — функция, задан- заданная в Q, принадлежала пространству Hk(Q), необходимо и доста- достаточно, чтобы функция f(y) принадлежала пространству #*(Q). Производные функции F (х) вычисляются по обычным правилам дифференцирования сложной функции. Например, для первых производных имеют место формулы „„ . <=1, •.-.«. E) Кроме того, существуют такие постоянные Сг и С2, зависящие от функций Уг{х), i=\, ...,n, что а) ()@) Обратное преобразование jc==jc(^) удовлетворяет тем же усло- условиям, что и преобразование у = у(х), поэтому можно ограничить- ограничиться доказательством достаточности и неравенства а). Пусть k = \ и / (у) s//1 (Q). Из замечания к теореме 8 п. 8 § 1 гл. 11 вытекает, что функция F (х) и функции Fi(x)=*
§ 4] ПРОСТРАНСТВА Ht(Q) '25 = ^fvf(y(x))Wi* i=i " принадлежат L2(Q). Если fh(y) — усредненная функция для f(y), то функция F(h, x)=fh(y(x)) принадлежит С1^). причем —-^—= ^ hv, (У(х)) ^F» < = = 1, ..., п. Пусть подобласть Q'<sQ, a Q'— ее образ, тогда Q'efi. Поскольку ||/Л — /||г.а<а) —*-0 и Ц/Ц — /»JL(a')-*"O' '=!» ••¦> «. при h-*-0, то в силу замечания к теореме 8 п. 8 § 1 гл. II \\F(h, x)-F(x)\\LAQ)-+0n\\FXi(h, x)-Ft(x)lLtm-+0, i=l,...,n, при /i->0 для любой Q' e Q. Это означает, что в равенствах (F(h,x), gx.{x))Li(Q) = —{FK.{h, x), g(x))LAQ), i=\ п, где g— произвольная функция из С1^) (Q' выберем так, чтобы g = 0 в Q\Q')t можно перейти к пределу при Л->0: (F, gx)L2(Q) = = — {Fi'g)LAQ)- Поэтому функция F имеет все первые обобщен- обобщенные производные из L2(Q), т. е. принадлежит H1(Q); при этом имеют место равенства E), а следовательно, и неравенство а) при k=\. Пусть теперь k = 2. Мы уже доказали, что F(x)^H1(Q) и имеют место формулы E). Правые части в равенствах E), как функции у, в силу свойства 2 принадлежат Н1 (Q). Тогда и функ- функции Fx.(x) принадлежат Н1 (Q). Следовательно, F e H2(Q) и спра- справедливо неравенство а) при k = 2. Рассматривая третьи производные как производные от вторых и т. д., получаем справедливость утверждения для любого k. Следующее свойство будет использовано в п. 2. 6. Если область Q есть прямоугольный параллелепипед, jo в пространстве Hk (Q) множество C^iQ) (и, тем самым, С (Q)) является всюду плотным множеством. Это предложение достаточно установить для параллелепипеда no = {|^(|<fl(. < = 1» ¦¦ ¦ i «}. где a = (alt ..., ап), аг>0, /= 1, ..., п. Возьмем произвольную функцию /ей'(П„) и произвольное к>0. Каково бы ни было а, 0^ | а| *^k, функция Daf e L2 (Па), поэтому согласно теореме 2 п. 2 § 2 существует такая функция Ф„ (дг) е= С (Пв), что ||?>а/-фа||Мпа)<е. Рассмотрим в параллелепипеде Паа = {| xt \ < а,ст, i = 1, ..., п), где <т>1, ПаеПаа, функцию Fa(x) = f(x/o), В силу свойства 4 и, тем самым, Fa e Я* (Па). Так как - tPa (х/а.) \\Ыиио) +\\ фа (^) - Фа (х/а) \h (na)
•26 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III и согласно теореме 8 п. 8 § 1 гл. II I^aW-Фа то (J - ^й) №*! К (Па) + °"/2е + IIФа (X) - Фа (Х/О) \\{., („в) Поэтому для любого а, 0<:|а|<:&, || Daf (х) - D*Fa (х) ||ц (па) <; || L>af - Фа 1Ч (Па) +1| D"F0 - Фа |ц (Па) < Функция фа W е С (Ш), значит, |фа (х)-ц>а (дг/сг) ||i2 (Па) —*- 0 при ог->1. Поэтому найдется такое ст = сто>1, что для всех а, 0^|а|<^, lDaf(x)-DaFOl)(x)\\f.i{Tla)^3s. Следовательно, Возьмем теперь среднюю функцию (F0o)h (x) для функции F0o (x) e s Hk (ITaa0). Из свойства 3 вытекает, что || (F0o)h — Fa<1 ||я* ,п -> 0 при Л->0. Значит, можно найти такое h =h0, что || (F0o)h0 — ^а„||я* ,п ^ к. Функция (fa.K (х) е С00 (Па) и л„ - Fo. \ны (nj +1| F0o - f \\Hk (nj< (С +1) e. Утверждение доказано. 2. О продолжении функций. Пусть функция f (х) задана в об- области Q и область Q' содержит Q. Функцию F (х), заданную в Q' и совпадающую с /(*) в Q, будем называть продолжением в Q' функции f (х). Прежде всего заметим, что для любой функции f (х) существует продолжение. Например, F (х) можно положить равной нулю в Q'\Q. В случае, когда f (x) sL2(Q), таким продолжением мы уже пользовались. Однако если / (х) является гладкой функ- функцией в Q, например, f^Hk(Q) (или /eC*(Q)) при некотором k ^ 1, то и продолжение ее F (х) естественно разыскивать в клас- классах функций, столь же гладких в Q': из Hk(Q') (или из C(Q')). Покажем, что при определенных условиях на границу области Q такие продолжения существуют.
§ 4] ПРОСТРАНСТВА H*(Q) 127 Пусть сначала область Q' есть куб Ка с ребром 2а > О, Ка = = {I Ui I <¦ а>''¦ = 1 > • • •. «} (независимее переменные мы будем здесь обозначать через У\,...,уп), а область Q есть параллелепипед Ка=*Ка[){Уп>-0}- Продолжение Z(у) некоторой функции г(у)^ еС*(/Са) определим в Ка = Ка[\ {Уп <0} следующим образом: Z(y)= ^AiZ(y', -упП), F). где */' = (*/i, ..., ^„_i),.a Ль ..., ЛАИ —решение линейной алгебраи- алгебраической системы уравнений *+i 2](-1/0М,= 1, s=0, ...,*. G) Заметим, что если у<=К~а, то точки (#', ~yji) в F) при всех / = 1, ..., ?+1 лежат в Ка. Определитель системы G) (определи- (определитель Вандермонда) отличен от нуля, поэтому система G) имеет единственное решение Л,, ..., Ak+1. Для любого у° = (у°', 0) е/еаП {Уп = ®} Функцию Z(y) положим равной lim z(y). Таким образом, функция Z (у) определена на f всем Ка. Так как z(y) e Ck(KZ),_?o в силу F) Z(y) <=Ck{Ka). Покажем сначала, что Z (у) еС(/Са). Переходя в F) к пределу при у-*-у°, у^Ка, в силу G) получим lim Z{y)=Y,Ai lim z(y)^ Это означает, что Z (^) s С (Яа). Для любого целочисленного вектора a=(alt ..., а„), |a| согласно F) при у ^Ка имеем DaZ (у) = 2 Л,- (- l//)a«Da2 (^', -^/0. (8) Переходя к пределу при у-+у°, у^Ка, в равенствах (8) при всевозможных а, для которых | а | = 1, получим, что lim DaZ{y)= lim DaZ(y). Тогда в точках плоскости Ка(]{Уп=Щ существуют все первые производные функции Z(y), и они совпадают с соответствующими предельными значениями. Следовательно, Z (у) &С1 (Ка). Повторяя
128 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III эти рассуждения, в силу G) получим, что Z(y) eC' (Ка) при всех /«?&. Из равенства (8) следует, что при любом a, \a\^k, для всех у е /Сп Daz(y', -yn/i) * = k+\ az(y', -yn/i)\\ Интегрируя это неравенство по у е Ка, получим fe+i \ \D«Z\*dy^C0^ \ \Daz(y', -yn/l)\2dy = Поскольку Z(y) = z(y) при y^Kt, то \Daz(y)\*dy. Суммируя эти неравенства по всем а, | а | =^ k, получим нера- неравенство в котором постоянная Сх>0 не зависит от функции z(y). Таким образом, построено продолжение Z(y) еС*(/(„) функ- функции z(y) из Ck (Ki) и для него имеет место неравенство (9). Пусть теперь функция z(j/)e№(i(J), В силу свойства 6 из предыдущего пункта существует последовательность zs(y), s = = 1, 2,..., функций из Ck(Ka), сходящаяся к функции z(у) в норме Нк(Ка)' \\zs— г1я*(/с+)~>^ ПРИ s-*-°°- Обозначим через Zs (у) продолжение функции zs (у) в Ка, полученное описанным только что способом, Zs (у) е С* (Ка). В силу (9) имеем нера- неравенство || Zs — Zp IHk (Ka) ^ Ci I zs — zp \Hk /Kt\, показывающее, что последовательность функций Zs, s=l, 2,..., фундаментальна в норме Hk(Ka)- Это означает, что существует функция Z(y)e ^Hk(Ka)> к которой в норме Нк(Ка) эта последовательность сходится. Поскольку Z(y) = z(y) для г/е/Са, то функция Z(y)
§ 4] ПРОСТРАНСТВА H"(Q) 129 является продолжением в Ка функции z(y). Функция Z(y), оче- очевидно, удовлетворяет неравенству (9). Итак, доказана следующая Лемма 1. Для любой функции z (у) е Hk (Ki) (Ck (Ki)) суще- существует продолжение Z(y)^Hk(Ka) (Ck(Ka))- При этом имеет место неравенство (9). Отметим, что так как для функций Zs(y), s=l, 2, ..., имеют место равенства F) и zs-+z в Hk(Kt), a ZS->Z в Я*(/Са). то это равенство справедливо и для функций Z(y). Лемма 2. Пусть функция f(x)<^Hk(Q) (или Ck (Q)) и для любой точки ? е dQ существует функция F^ (х), определенная в шаре Sr(l) = {\x—l\<r} некоторого радиуса г =/¦(?)>(), татя, что F%{x) = f{x) для x<=Q{\Sr{Q и Ft(x) e№(Sr(%)) (С* (Sr (l))) (функцию F^ (x) будем называть продолжением функ- функции f (х) в шар S,.(?)). Пусть, кроме того, имеет место нера- неравенство с постоянной С2, не зависящей от функции f(x). Тогда при любом р > 0 существует продолжение F (х) в область Qp *) функции f (х), обладающее свойствами: F (х) е Нк (Qp) (Ск (Qp)), F{x)=D вне Qp/2, существует такая постоянная С3>0, завися- зависящая лишь от области Q и числа р, что («Р)^Сз11Л1я*№Г (И) По условию леммы для любой точки g e Q существует шар Sr(l), r = r(?), в_ котором определена или сама функция / (я) е е Hk (Sr (I)) (С (Sr (g))), если I e Q, или ее продолжение из того же класса. Считаем, что /"(?)< р. Совокупность шаров Sr/3 (l) при всевозможных ? е Q покрывает множество Q. Следовательно (на- (напомним, что область Q ограничена), из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие Sn/3(x1), ..., SrN/3(xN), где rt = = /¦(*'). Пусть функция fy (л;) е С°° (Rn), % (х) = 1 в S^/з (х1) и 0t (x) = 0 вне шара Sri/2(x'), /=1, ..., Л^. Обозначим через at (x) функцию l — Bi(x), /=1, ..., Л^, и построим функции Ti (х) = 9Х (*), V2 (х) = ох (х) Э2 (л;),..., Vi (х) = аг{х) ... ам (х) % (х), i^N. Ясно, что у,- (х) е С00 (i?n), T,W = 0b \}Srj/3(x>) A2) *) QP — объединение по всем x°eQ шаров {\х— б В. П. Михайлов
130 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III И yt(x) = 0 вне Sr{fl(A A3) Кроме того, Ъ(х)+ ... +Ъ(х) = A-о1(х)) + о1(х)A-оа(х))+ ... + . + аг(х) ... aw(x)(l-ot (х)) = 1 -ах(х) ... а, (х), поэтому У1(х)+...+ъ(х)=*1 A4) для х е |J Soy3 (•*') и, в частности, для х е S^/8 (•*')• Определим функции ft(x), 1=1, ..., N, для всех х е^„ сле- следующим образом: в S^ (*') функция fi(x) совпадает или с f (х) или с ее продолжением Fxi{x) в Sri{xl), вне Sr.(x') функция ft (x) равна f (х), если ^sQ, и нулю, если x<?Q. В силу A3) и свойств 2 и 4 из предыдущего пункта функция yi(x)fi(x)^Hll(QP) (C*(QP)). Поэтому функция принадлежит ^*(QP) (Ck(Qp)). Пусть л; — произвольная точка из Q, и пусть Sr^3 (•*') — первый шар выбранного конечного покрытия, содержащий эту точку. Так как для всех i=l, ..., N fi{x) = f{x) и из A2) yt(x)f {x) = О при г>/, то F (х)= ^ У1 (х) f (х) — f (х) в СИЛУ A4)- Эт0 означает, что функция F (х) из A5) является продолжением функции f (х). Равенство ^(^^Овне Qp/2 вытекает из A3) и A5), поскольку /"/<р, /=1, ¦¦•» Л^. Неравенство A1) немедленно следует из A0) и A5). Лемма доказана. Теорема 1(о продолжении). Пусть Q и Q' — ограниченные области, QeQ' и dQ s С*. Тогда для любой функции f {x) е Я* (Q) (С* (Q)J существует финитное в Q' продолжение F (х) e=Hk(Q') (C*(Q') где постоянная С>0 зависит лишь от Q и Q'. Возьмем произвольную точку | е dQ. В некоторой ее окрест- окрестности ?/| уравнение dQ можно представить (перенумеровав, если нужно, переменные) в виде хп = ер(xv ..., хп^) с функцией (f(xu ..., хп-х) е С*(D), где (и—1)-мерная область D —проекция dQ П Ui на плоскость л;л = 0. Считаем, что в области Q f| U% хп > ф. Замена переменных yt = Xi — li, i=\, ..., п-\, yn = xn-y(Xi, .... Xn-д A7)
§4] ПРОСТРАНСТВА H"(Q) 131 взаимно однозначно отображает U% на некоторую окрестность Q начала координат в переменных Уи---,У,г. Пусть /Са—куб {\yi\<-a< i=h...,n\, принадлежащей области Q, а область U'i — его прообраз при преобразовании A7). Образом области Q{\U'i тогда будет параллелепипед/Со =/Со П {^л>0}» а заданная в QC\Ui функция f(x) перейдет в функцию z(y)=f(y1-\-l1, ... .... &i-i + l,-i, У„ + Ч>(У1 + 1и .... &i-i + l»-i)). принадлежащую в силу свойства 5 предыдущего пункта Нк (Ка) (С* (/Со)). Согласно лемме 1 существует продолжение Z (у) функции z (у) в куб Ка- Это продолжение порождает в силу обратного к A7) преобразования Xi = yi + b, i=\, ..., П—l, *n = #n + <P(#i+?i, .... Уп-1 продолжение F$[х) функции / (л;) из Q{\U{ в Щ и, тем более, в шар Sr(l) некоторого радиуса г = /¦(?)> О с центром в точке |, содержащийся в ?/g. При этом (см. свойство 5 п. 1) имеют место неравенства IIFi L* (S, <6)) < И h I н*(и{) < Сз || 2 ||я* (Кв), 121я* (/с+) ^ С* 1/1я* A/| п<3) ^ С* II'Чя* (Q)' в которых постоянные С3 и С4 зависят лишь от функции ср (хи ... ..., xn-i) из A7) и ее производных до порядка k включительно. Из этих неравенств и неравенства (9) вытекает неравенство A0). Утверждение теоремы следует теперь из леммы 2, если взять р меньшим расстояния между границами dQ и dQ' областей Q и Q'. Замечание. Построенное при доказательстве теоремы 1 продолжение F (х) в область Q' принадлежащей Hk (Q) функции / (я) удовлетворяет не только неравенству A6), но и неравенствам при всех , До сих пор мы продолжали функцию из области в более широ- широкую область. В дальнейшем нам потребуется гладкое продолжение функции с границы. Пусть на границе dQ области Q задана непрерывная функ- функция f(x). Непрерывную в Q функцию F (х) .будем называть про- продолжением eQ функции f (х), если для *edQ F(x)=f(x). Спра- Справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Если граница dQ e С* при некотором k^l, то для любой функции f {х) е С* (dQ) существует функция F (х) из Ck(Q), являющаяся продолжением в Q функции f(x). При этом имеет место неравенство в котором постоянная С>0 не зависит от
132 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Так как dQ e С, то для любой точки | е dQ существует такое число р = р (|) > 0, что кусок границы dQ f\ Sp (g) (Sp (g) — шар радиуса р с центром в точке g) однозначно проектируется в не- некоторую область Di какой-нибудь координатной плоскости — пусть плоскости хп = 0 (за счет изменения нумерации переменных этого всегда можно добиться) и уравнение поверхности dQ (] Sp (g) имеет вид хп = ц>(х'), х' <=DV где ф(лг') е= C*(?>s). Выберем такое достаточно малое число r = r (?);>0, что (п— 1)- мерный шар {| х' — X I < г) ш D%. Тогда функция п переменных Fi(x) = f (x1', Ц>(х')) (не зависящая от хп) определена на замкну- замкнутом шаре Sr(l), принадлежит C*(Sr(?)) и на dQ(]Sr(E,) совпадает с /. При этом ||^б||с*E^|-))<С(|)||/||с*(д{?I где постоянная С(|) не зависит от /. Множество шаров Sr/3 (I) при всех | е dQ покрывает границу dQ. Выберем из этого множества конечное покрытие границы Sr,/3(х1), ..., SrN/3(xN), где п = г(х<). Определим для любого I = 1, ..., N функцию ft (x) следующим образом: в шаре Sr. (х1) положим ее равной Fxi(x), а вне Sr. (x') равной нулю, если x^dQ, и равной f (х), если x<B.dQ, Тогда при всех г=1, ..., Л^ функции fi(x)y,(x), где yt(x)— функция, построенная в процессе доказательства леммы 2, принадлежит С* (Rn) и, тем самым, С* (Q). Значит, и функция тоже принадлежит С* (Q). Возьмем произвольную точку х е dQ и предположим, что пер- первым шаром из выбранного конечного покрытия границы, содер- содержащим эту точку, является шар S^/з (•*')• Поскольку для всех г=1, ..., N fi(x) = f(x), то из соотношений A2) и A4) вытекает, что f (*)= ^ Yi W/ W = / W- Таким образом, функция F (x) « = i является продолжением из С* (Q) функции f (x). Требуемая оценка является следствием соответствующих неравенств для функций F i(x). Теорема доказана. 3. Плотность С°°((?) в Hk (Q). Пространства Hk(Q). Пусть граница dQ области Q принадлежит классу С*. Теорема 3. Множество функций С°°(Q) (и, тем более, С*(Q)) является всюду плотным в пространстве Я*(Q). Возьмем какую-нибудь область Q', для которой область Q является строго внутренней, QeQ'. Пусть /(х) — произвольная функция из Нк (Q). В силу теоремы 1 предыдущего пункта су- существует продолжение F (х) функции / (х) из Q в Q', принадле-
§ 41 ПРОСТРАНСТВА H"(Q) 133 жащее Hk(Q'). Согласно свойству 3 (из п. 1; имеет место соот- соотношение где Fh(х) — средняя функция для F(х). Так как Fh(x)^Cco(Q), то теорема доказана. Множество С* (Q) есть линейное многообразие в Нк (Q). Из теоремы 3 вытекает, что если граница области dQ e Ск, то замы- замыкание множества С* (Q) в норме пространства Нк (Q) совпадает ctf*(Q)- Пусть S — некоторая (п— 1)-мерная поверхность, содержащаяся в Q. Подмножество Cj (Q) функций из С* (Q), обращающихся в нуль в пересечении с Q некоторой (своей для каждой функции) окрестности поверхности S, тоже является линейным многообра- многообразием в Hk (Q). Замыкание Cj (Q) в норме Нк (Q) является под- подпространством пространства Hk(Q). Обозначим его через Hs(Q). В случае, когда S = dQ, подпространство H^q(Q) будем обо- обозначать через Нк (Q) (нормой в Нк (Q) является норма простран- пространства Hk(Q)). Из теоремы 6 п. 3 § 2 следует, что при k = 0 под- подпространство Hk (Q) = Н° (Q) совпадает с пространством Н° (Q) = = L2 (Q). В п. 1 следующего параграфа будет показано, что при yfeSsl H"(Q) не совпадает с H"(Q). Если Q'— некоторая область, содержащая область Q, QczQ', то любая функция f(x) из Ck(Q), продолженная нулем в Q'\Q, принадлежит Ck(Q'). Поэтому из определения пространства Я* следует, что продолженная нулем в Q'\Q функция f(x) из Hk(Q) принадлежит Hk(Q'). t 4. Сепарабельность пространства Нк (Q). Будем считать, что граница dQ области Q принадлежит классу С*. Теорема 4. Пространство Нк (Q) сепарабельно. Рассмотрим сначала куб К = {\xi \ <л, г = 1, ..., п}. Счетная система функций Bл)-п/2е'<т'х'>, где т = (тг, ..., тп), mt = =0,±1, ±2, ...,/= 1,...,«, (m, x) = т±хх-f-...-(-тпхп) является ортонормированной системой в L2(K)- Любой функции f(x)eZ-2(/() можно сопоставить ряд Фурье где fm = J-^-h п/2 — коэффициенты Фурье функции f(x), 2l?
134 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Пусть функция f (x) e С00 (Я). Прежде всего заметим, что для всех т имеет место неравенство Положим /«'==(/«!, ..., mn-i), х'*=(х1г ..., хп-х), К' = {\xt\<.n, i = l, ..., n— 1-} с:/?„-!. Если т„=?0, то при любом натуральном р, откуда |fm|< , р { ' и, следо- следовательно, в силу A9) \fn при любом натуральном р. Наряду с этим неравенством, конечно, имеют место и нера- неравенства 1 А" 1 а значит, и неравенства {^}f B0) (+ Так как max |тг |^-^|т|, то из B0) вытекают справедли- <¦ у п вые при всех т и любого натурального р неравенства if i °р -< р /on Возьмем р = п-\-2. Число слагаемых в сумме 2 fmeilm-x), s<|mt<s+l равное числу точек m с целыми координатами в шаровом слое i's^|m| <s-j-1. не превосходит числа таких точек в кубе
§ 4] ПРОСТРАНСТВА H"(Q) 135 с ребром 2(s+l), т. е. не превосходит B(s4-l))". Поэтому s<|m|<s + l s<|m|<s Это означает, что ряд A8) равномерно в К еходится. Полагая р = п-\-Ъ, получим, что при любом г, 1 'x) s)" +s Следовательно, равномерно в К сводится ряд, полученный из ряда A8) почленным дифференцированием по х„ г= 1, ..., п. Аналогично доказывается, что ряды, полученные из ряда A8) почленным его /-кратным, 1 = 2, 3, ..., дифференцированием, схо- сходятся равномерно в К. Обозначим сумму ряда A8) через g(x): Мы доказали, что g (х) е С°° (К). Значит, и функция ф(л:) = g(x) — f (х) е= С°° (/С). Покажем, что ф (х) == 0 в /С. / gi (m, х) v Так как /g(jf), /2 j =/m, то при всех m /2 \ к Фиксируем произвольно m' = (mi, ..., тп-х) и перепишем это равенство в виде J eim»x»\\ц>(х', хп) ё^> **) dx'\ dxn = 0. Поскольку бесконечно дифференцируемая по х-п, \хп\^п, функ- функция (рт'(хп)= \ч>(х', хп)е^т'-х"> dx' ортогенальна в скалярном К' произведении L2(—я, я) функциям е""Л при всех тл = 0, ±1, ±2, ..., то при любом т' ут'(хп) = 0 для всех дг„, |*„|«^я. Введем обозначения: mH = (mi, ..., тл_2). л:" = (^1, ..., лг„_2), " = /(' f) {jfB_x = 0}. Для любого фиксированного т"', любого хп, \^п, и всех т„_1 = 0, ±1, ..., имеем 0=
136 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Значит, \ ф (*", хл.х, хп) е^т"- *'"> dx" = 0 К" при любых *„_!, хп, \хп^\^п, \хп\^п и всех т". Продолжая этот процесс, получим равенство <р(*) = 0 в К. Таким образом, доказано, что любая функция / (х) е С°° (К) разлагается в ряд A8), сходящийся вместе с производными любого порядка равномерно в К. Очевидно, что это утверждение справедливо и для любого куба /Сй = {| *t I <a, г = 1, ..., п). Перейдем теперь к доказательству теоремы. Возьмем число а>0 столь большим, чтобы область QmKa- Согласно теореме 1 и. 2 любую функцию j (x) e Я* (Q) можно продолжить финитной в Ка функцией F (x)<=Hk (Ка)- Из свойства 3 п. 1 вытекает, что любую такую функцию F (х) можно аппроксимировать в норме Hk (Ко) средними функциями Fh (x), являющимися бесконечно дифференцируемыми и при достаточно малых h финитными в Ка. Как мы доказали, каждая функция Fh(x) (при достаточно малых К) может быть равномерно в Ка вместе со всеми произ- производными (а тем самым, и в норме Я* (Ка)) приближена частичными суммами ее ряда Фурье. Следовательно, любая функция F'h(x) может быть аппроксимирована в норме Я* (Q) линейными комби- i — (т, х) нациями системы е а с коэффициентами, действительные и мнимые части которых — рациональные числа. Таким образом, построено счетное множество, всюду плотное в Я* (Q). § 5. Свойства функций из fP(Q) и fP(Q) 1. След функций. Пусть Q — область в Rn, a 5^—некоторая гладкая (п — 1)-мерная поверхность, лежащая в Q. Если в Q задана определенная в каждой точке функция / (х) (т. е. если равенство функций понимается как равенство их значений в каж- каждой точке), то мы можем рассматривать значение этой функции на 5 — определенную в каждой точке 5 функцию / \x<=s, значения которой для всех xeS совпадают со значениями f(x). Если мы рассматриваем в Q функцию, заданную п. в. (т. е. функции равны, если они совпадают почти всюду), то значение / на фик- фиксированной поверхности 5 определяется неоднозначно: поскольку mes 5 = 0, то функция может иметь на 5 произвольное значение. Однако, в определенном смысле, можно говорить о значениях на (п— 1)-мерных поверхностях и почти всюду определенной функции. Пусть для простоты поверхность 5 — S (хп) является пересе- пересечением области Q с плоскостью хп~ const. Тогда в силу теоремы
§ 5] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ИЗ HHQ) И fi'(Q) I37 Фубини *) для почти всех хп существует определенное почти всюду на 5 значение f\xes(x) функции / на S (хп) (равенство функций п — 1 переменного, естественно, понимается как равен- равенство их значений почти всюду в смысле (п— 1)-мерной меры). При этом, очевидно, значение на 5 (хп) непрерывной в Q функции при почти всех х„ является непрерывной функцией на 5 (хп), а значение на 5 (хп) функции из L2 (Q) при почти всех х„ при- принадлежит L2 E (хп)). При изучении решений дифференциальных уравнений часто задаются условия, которым решение должно удовлетворять на некоторой фиксированной (п — 1)-мерной поверхности, например на dQ (граничные условия). Поэтому нам понадобится обобщение понятия значения на (п— 1)-мерной поверхности 5 почти всюду определенной функции — понятие следа функции на S. Для опре- определенной п. в. функции, удовлетворяющей некоторым условиям гладкости, это понятие можно ввести однозначно. В частности, оно легко вводится для непрерывной в Q функции. Следом /|s функции f из С (Q) на (п — \)-мерной поверхности S будем называть значение на этой поверхности определенной в каждой точке, непрерывной в Q функции, почти всюду совпа- совпадающей с / (т. е. под следом на S непрерывной функции мы понимаем ее значение, однозначно распространенное по непре- непрерывности на S). При этом, как обычно, равенство заданных на 5 функций понимается как равенство почти всюду в смысле (п — 1)-мерной меры. Понятие следа функции на 5 можно вести и для функций из некоторых пространств с интегральными нормами, в частности, для функций из пространств Hk(Q) при k^l. Так как все Я*(Q) при k^l включены в H1(Q), то это понятие достаточно ввести для функций из H1(Q). Пусть 5 — поверхность класса С1 (см. гл. I, введение), лежа- лежащая в Q, а 5Х —ее простой кусок, однозначно проектирующийся на некоторую область D плоскости {хп = 0} и имеющий уравнение хп = ц>(х'), где *' = (*!, ..., *„_!), cp^eC^D). Область Q ограничена, поэтому можно считать, что она распо- расположена в кубе {0<л:,<а, 1 = 1, ..., п} при некотором а>0. Предположим сначала, что функция f(x) принадлежит С1^), и положим ее равной нулю вне Q. Согласно формуле Ньютона — Лейбница is, /(*', ф (*'»= *) А точнее, в силу леммы 4 п. 11 § 1 гл. (I.
138 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Поэтому на основании неравенства Буняковского #(*'. In) Умножая это неравенство на У~1 + ф1, + --- + ф*я_1 и интегрируя по Z), получим неравенство @) A) S, с постоянной С>0, не зависящей от функции /. Поскольку поверхность 5 можно покрыть конечным числом простых кусков — кусков типа 5Х (может быть, проектирующихся на другие координатные плоскости), то, суммируя соответствую- соответствующие неравенства A), получим неравенство где постоянная С>0 не зависит от функции /. Неравенство B) имеет место и для любой функции f(x) e С1 (Q). Для того чтобы это доказать, достаточно воспользоваться теоре- теоремой 1, п. 2, § 4 о продолжении (предполагая, конечно, что dQ e С1) и неравенством B) для финитной функции из С1. Пусть теперь /ёЯ1 (Q). Из теоремы 3 п. 3 § 4 следует, что существует последовательность fp(x) р=\, 2, ..., функций из С1 (Q), сходящаяся в норме #'(Q) к /. Для функции fp — fq не- неравенство B) имеет вид -Мяч<?). C) Так как ||/p-/J|w4Q)->0 при р, ?->оо, то и ||/p-/?||l2(S)->0 при р, <7->оо. Это означает, что последовательность следов /p|s функций /р на 5 является фундаментальной в L2(S). В силу полноты L2 E) существует функция fs (x) e L2 (S), к которой схо- сходится последовательность следов /p|s при р-*-оо. Переходя в C) к пределу при р->оо, получим ih-fsk^^eWh-fhHQ). D) Покажем, что функция fs(x) не зависит от выбора последова- последовательности fk(x), k=l, 2, ,.., аппроксимирующей в норме #X(Q) функцию f(x). Действительно, пусть fk(x), k=\, 2, ...,_—другая последовательность функций из CX(Q), для которой ||/ — fk \\Hl <qj -»- ->0 при ^->оо, a fs(x) — предел в норме L2(S) последователь- последовательности fk |s, k = 1, 2, ... Тогда 1/5 - h Ik (S) < 1/s - /, L (S) +1/, - U \\L, (S) Щ- fs \\Ц (S) <
§ 5] СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ИЗ HHQ) И HHQ) 139 в силу неравенств C) и D). Так как при <7->оо правая часть последнего неравенства стремится к нулю, то fs = fs- Функцию fs (х) (как элемент L2 E)) будем называть следом функ- функции f (х) <= Я1 (Q) на поверхности S и обозначать символом / |s (||/Is|Ims) бУДем обозначать через fl/JLts})- Таким образом, понятие следа функции определено для любого элемента / из #X(Q). Покажем, что это понятие действительно является обобщением понятия значения функции на (п— 1)-мерной поверхности. Пусть, для простоты, 5 = S (хп) — переселение области Q с плоскостью хп = const, а функция /еЯ'Ю). Возьмем последовательность fm(x), т = 1, 2, ..., функций из С1 (Q), сходящуюся к / в норме про- пространства #X(Q). По определению, следам /is(*n) при каждом х„ является предел в L2 (?(-*:„)) послед©вательности функций fm \s(x у' Так как последовательность /т, т=1, 2, ..., сходится в L2(Q) к /, то по замечанию к теореме 1 п. 1 § 2 из нее можно выбрать подпоследовательность fmk, k = 1, ..., сходящуюся к / почти всюду в Q. То есть для почти всех хп последовательность fmk\S(x ,, k = = 1,2,..., сходится к значению функции / на S (хп) почти всюду в смысле (п— 1)-мерной меры. Следовательно, для почти всех хп след и значение функции / на S (хп) совпадают. Таким образом, мы располагаем понятиями следа на 5 функ- функций, непрерывных в Q, и функций, принадлежащих #X(Q). Про- Проверим, что если функция / принадлежит и С (Q) и #X(Q), то ее след, как след функции из C(Q) (обозначим ег.о через f\s), и ее след, как след функции из #X(Q) (обозначим его через /|s), сов- совпадают. Действительно, в силу теоремы 1 п. 2 предыдущего пара- параграфа функцию f можно продолжить в область Q',_Q<sQ\ так, что ее продолжение F будет принадлежать и С (Q') и Я1 (Q'). Рассмотрим средние функции Fh (x) для функции F. Поскольку Fh-+F при А->0 и в норме пространства С (Q) (см. п. 1 § 1) и в норме пространства #X(Q) (см. п. 1 § 4, свойство 3), то при h -> О Fh (х) \s ->/1 ? в норме пространства С (S) и Fh (х) \s -+f \"s в норме пространства L2(S). Следовательно, f\s=f\s- След / |s функции / (х) <= Н? (Q) (определение этого простран- пространства см. в п. 3 § 4) равен нулю, поскольку функция / \s есть предел в норме L2 (S) функций, равных нулю на 5 (следов на 5 функций из Cs(Q)). В частности, след /|а<г функции f (х) е Ях((?) равен нулю. Отсюда, между прочим, вытекает утверждение п. 3 предыдущего параграфа о том, что Hk{Q)^Hk{Q) при^^1: при- принадлежащая любому Hk(Q), k^l, функция, равная 1, непрерывна в Q, поэтому ее след на dQ равен 1; следовательно, эта функция не принадлежит Я* (Q) ни при каком k >г 1.
140 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III След /Is функции /e#x(Q) удовлетворяет неравенству B). Для доказательства этого достаточно в неравенстве B), написан- написанном для функций fp(x) (fp(x)^C1(Q), ||/p — /||я,(B)->0 при р-> ->оо), перейти к пределу при р->оо. До сих пор мы предполагали, что граница dQ e С1. Однако если 5<eQ, то для определения следа функции на 5 и доказа- доказательства неравенства B) это требование излишне. Действительно, в этом случае найдется такая область Q' <S;Q, что dQ' eC1 и SeQ'. Таким образом, нами доказана Теорема 1. Пусть (п — 1)-мерная поверхность S класса С1 или принадлежит Q', Q' ш Q, или вместо этого S cr Q и допол- дополнительно dQeC1. Тогда любая функция f(x)^H1(Q) имеет след /Is на этой поверхности, принадлежащий L2(S), и имеет место неравенство B). Пусть функция f(x)^Hk(Q), k>\. Поскольку любая обоб- обобщенная производная Daf, порядка |а|<&, принадлежит #X(Q), то согласно теореме 1 на любой (п— 1)-мерной поверхности 5 класса С1 существует след этой производной Daf \s, принадлежа- принадлежащий L2 (S). При этом имеют место неравенства I Daf It, (S) *? С1 / ||я, а, + , (Q) ^ С || / \н„ {Q) E) с постоянной С ;> 0, не зависящей от функции /. 2. Формула интегрирования по частям. Пусть функции / (х) и g (х) принадлежат Я1 (Q) и dQ е С1. Тогда для любого i = 1, ..,, п справедлива формула интегрирования по частям S fx? dx = $ fgm dS - $ fgx dx, F) Q dQ Q где Я/ = cos (n, X;) — косинус угла между внешней нормалью п к поверхности dQ и осью х-„ а функции fug, стоящие под зна- знаком интеграла по dQ, — следы функций / и g на dQ. Таким обра- образом, с точки зрения применимости формулы F) функции из Я1 (Q) ведут себя так же, как функции из CX(Q). Для доказательства равенства F) возьмем (теорема 3 п. 3 § 4) последовательности fp(x) и gp(x), p=\, 2, ..., функций из СЦС}), сходящиеся в норме Я1 (Q) к функциям / (х) и g (x) соответст- соответственно. Для функций /р и gp равенство F) справедливо: \ fpxfr dx = ^ fPgqni dS - $ fpgqx dx. Q dQ Q Переходя в нем к пределу при р->оо и q-yoo (напомним, что ||/Р— /Ik,I*»-*-0, \\gq— g|k,<dQ)-*-O), получим равенство F). Из F) немедленно следует, что если ge№(Q) и компоненты /,(*), г = 1, •-., п, вектора /(*), f(x) = (f1(x), ..., /„(*)), принад-
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ИЗ H4Q) И //'(QJ 141 лежат H1(Q), то имеет место равенство \gdivfdx=\g(f,n)dS-\f-Vgdx. Q dQ Q G) 3. Свойства следов функций из H1(Q). Критерий принадлеж- принадлежности подпространству /Л(ф). Пусть Го — достаточно малый (т. е. содержащийся в шаре достаточно малого радиуса г0) простой кусок некоторой лежащей в Q поверхности класса С1, и пусть Го однозначно проектируется в некоторую область D координат- координатной плоскости {хп = 0}, причем хп = (р(хг), / eD,-уравнение Го, Обозначим через Г^ поверхность {x'^D, хп = ц>(х') + S}, а че- через Q6 —область {/eD, ф (л:')<л:л<ф(х') + б} при б>0или область {x'^D, ф(*') + б<*л<ф(*')} при б<0. Отметим, что при достаточно малом I б | (и достаточно малом г0) по крайней мере одна из областей Q+iei или Q_iei содержится в Q._ Пусть x^Q6czQ, тогда для любой функции feC'fQ) имеем Ф (х') + б / (*-, ф (/) + в) - / (*-, ф (*-)) = jj Щ^- dxn, откуда Умножая это неравенство на области D, получаем где х° = (х', ф'л:') Ф (х') + 6 xf, xn) дхп dxn 0, *6 = л:6 (л:0) = (^, +• • • + 4>х и интегрируя по (8) б, а С2 = /sfl Очевидно, что наряду с неравенством (8) имеет место и нера- неравенство (9) Приближая функцию /e№(C) функциями класса CX(Q), в силу определения следа функции из Я1 (Q) получаем, что нера- неравенства (8) и (9) справедливы для всех функций из #X(Q)- Эти неравенства выражают определенную непрерывность сле- следов на поверхностях Г6 функций из Я1 (Q) в зависимости от сдви- сдвигов этих поверхностей.
142 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. III * Если след на Г„ функции / равен нулю, /|го=О, то из (9) вытекает, что при любых р и 8, 0<fi sgpsSPo, где ро таково, что QPo czQ (для определенности считаем, что ро>О), имеет место неравенство Интегрируя это неравенство по б е @, р), в силу абсолютной непрерывности интеграла получаем ||/||l2(qp) = o(p) при р + 0. A0) Таким образом, мы доказали, что если /еЯ'(C), Лг„=0 и QpCrQ (в частности, Го может быть куском границы dQ), то спра- справедливо соотношение A0). Лемма 1. Пусть f е Я1 (Q) и ее след на границе f \gQ = 0. Тогда ll/lk(Q\Qe) = °(8) при 8 + 0, A1) Так как граница dQ e С1, то для любой точки у е 5Q най- найдется такой шар S2r(y) радиуса 2r, r = r(y)>§, с центром в этой точке, что кусок границы dQ П S2r (у) однозначно проектируется на некоторую (л — 1)-мерную область D2r (у), лежащую в одной из координатных плоскостей, скажем, в плоскости {хп = 0}. При этом уравнение куска dQ П S2r (у) имеет вид хп = ц> (*'), x'^D2r (у), ф (х') е е^^аг^)). Обозначим через Г0 = Г0(г/) поверхность dQf\Sr (у), а через Г6 --= Г6 (у) и Q6 = Q6 (r/) — построенные по Го описанным выше способом «параллельную» поверхность и соответствующую область. Выберем Ь0 = Ь0(у) столь малым по абсолютной вели- величине, что область Q6o = Qe, (#) <= Q П 52^ (^/)> _ Поскольку расстояние между dQ\S2r (у) и Q6o (r/) положи- положительно и расстояние между dQCI^fe/) и Т6(у), где ве@, бо) при бо>0 и б е (б0, 0) при бо<0, очевидно, больше у [ 6 с некоторой постоянной у — у (у), 0<7<1> то можно выбрать такое Уо = Уо(У)> 0<уо<1. что при всех таких б имеет место неравенство in? lJt-?j>Yo'8|. A2) xedQ 1^ Выберем из покрытия 6Q шарами Sr(y), ye.dQ, конечное покрытие S^ix1), .... SrN(xN). Тогда существует такое число &!>0, 62< min |бо(д-тI, что Q\Q6lc: U Qj.^tAf»). A3) m= 1
§ 5] СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ИЗ W(Q) И W(Q) 143 Кроме того, в силу A2) для всех б, 0<8<8i, и т=1, .... N, где 71= min yo{xm), 1 ==m==JV Из включений A3) и A4) вытекает, что для любой / е Я1 (Q) имеют место при 0<б<бх неравенства N Так как /|а<з = О, то из последнего неравенства и соотношения A0) вытекает A1). Лемма доказана. Теорема 2. Для того чтобы функция из пространства #2(Q) принадлежала подпространству Н1^), необходимо и доста- достаточно, чтобы ее след на границе области был равен нулю. Поскольку необходимость очевидна, то остановимся только на доказательстве достаточности. Пусть функция /еЯ1^), и пусть /|<э<з = О. Возьмем произвольное е>0. В силу леммы 1 и теоремы 9 п. 10 § 1 гл. II об абсолютной непрерывности инте- интеграла существует столь малое б = б(е), что II / Ik, (Q\Q6) < eS. II / 11и« (Q\Q6) < в. Так как для функции fe№(Q) (теорема 3 п. 3 предыдущего параграфа; напомним, что dQeC1) существует последователь- последовательность fp(x), p — \, 2, .,., функций из CX(Q), сходящаяся к / в норме H1(Q) (и, тем более, в норме ^(QXQe)). то можно найти такое число N = N(8) = N(8(г)), что A5) (IMk(Q\Q6)<2e. Возьмем функцию SeW= \ Щ1г{\х-у\)йу, «6/2 где Юр (| х — у \) — некоторое ядро усреднения. Из свойств ядра усреднения вытекает, что &,(*) еО(?„), ?в(*) = 1 Для AreQ55/e и, тем более, для AreQe, ?6(дг)=0 вне Q6/6, т. е. ?вМеСш(ф, Кроме того, для всех x^Rn 0 «s: ^6 (дг) ^ 1, |V?6|sg: С/8 с посто- постоянной С>0, не зависящей от б.
144 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ш В силу A5) имеем II/JV — /лг?б 1|я< (<Э) = II /лг — /лг?б ||Я' (Q\Q6) «S (II /* III, (в\вв) + 21| | V/^ | ||ia (Q4Qe) + 21 f fN | Функции /лг(в(е)) W5s(8) (*) принадлежат ||/лГ(в(8)) W Sfi(8) W —/ W ||я< (Q) <||/ Следовательно, функция / (х) еЯ1 (Q). Теорема доказана. 4. О компактности множеств в L2 (Q). Теорема 3. Ограниченное в Н1^) множество компактно в U (Q). Пусть множество <М ограничено в Я1 (Q), т. е. для всех / е g^ 1/||яч«^С. A6) Предположим сначала, что &М czH1 (Q). Продолжим все функ- функции из ©^ нулем вне Q. В рассматриваемом случае полученные продолжения принадлежат Н1 (Q') при любой области Q' =э Q. Если /ft (*) — средняя функция для функции /(дг)е©^, то справедливо неравенство F) п. 3 § 2: dx. A7) Для функции /(x) ^.C1(Q), тоже продолженной нулем вне Q, при любом векторе z имеет место равенство f [х + г) — / (*) — 1 1 = \ df(X?t2) dt=\ (v/ (x + Щ ¦z)dt. Значит, и, тем самым, $|/(* + г)-/(*)|2^<|г|*||Л|НЧC). A8) Q Неравенство A8) справедливо и для любой функции f&effl, в чем можно убедиться с помощью обычного предельного пере- перехода.
§ 51 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ИЗ H'(Q) И W(Q) 145 Из A7) и A8) следует, что \z\<h где постоянная С2 ни от h, ни от / в силу A6) не зависит. Если теперь показать, что при любом фиксированном h > О множество <^ih, состоящее из средних функций fh(x) всех функ- функций f(x)^i<M, компактно в С(Q) (и, тем более, в L2(Q)), то утверждение теоремы будет вытекать из следствия из теоремы 2 п. 7 § 3 гл. II. Согласно свойству г) ядра усреднения (см. гл. I, введение) ! < ¦.%¦ J I / (х) \ dx < Со || / |[L, №) < Со || / ||я. (в) ^ const Q с не зависящей от / в силу A6) постоянной. Применение теоремы Арцела доказывает компактность в С (Q) множества {/Л (х)} =&rih *). Пусть теперь э^сгЯ1^). Обозначим через ^'множество функций F (х) из Я1 (Q'), полученных в результате продолжения согласно теореме 1 п. 2 § 4 функций / (х) из ©^ в некоторую область Q, Q<5;Q', Поскольку ||/||hi«з'>^const||/[|я1 (<з> с постоян- постоянной, не зависящей от /, то множество <М ограничено в Hl (Q'). По только что доказанному, оно компактно в L2(Q'). Значит, множество <М компактно в L2 (Q). Теорема доказана. *) Пусть множество 3J непрерывных в Q функций равномерно огранинено и равностепенно непрерывно: ||g|| /-.^ const для всех g e Ш и для любого е>0 существует такое б=б(е)>0, что при произвольных х', х" из <3 таких, что | х'— х" | <б, | g(x')—g(x")\ <e для всех geSDf (в нашем случае Ш = еЖн, а равностепенная непрерывность ч/И'^ вытекает из равномерной ограниченности производных). Покажем, что множество Ш компактно в C(Q). Пусть {gr,} —произвольная бесконечная последовательность функций из Щ. Для каждого натурального т. возьмем в Q такое конечное множество точек I*™}-, ?=1, ..., р(т), что для любой x^Q существует точка этого множе- множества, отстоящая от точки х на расстоянии, меньшем чем б B~т). Выделим из последовательности {g^} подпоследовательность fgk \, сходящуюся в каждой точке множества {x'q}; тогда |gki — gh^(^ <3• 2-1 'при kv l^Nx, Из [gkt] выделим подпоследовательность [g^^, сходящуюся в каждой точке множества |л:=} и т. д.. Таким образом, при любом т имеем последовательность {gkm}, обладающую свойством: \gkm — gim j| с«?)<3 ~m ПРИ*m> lm3^NmiОчевидно, что диагональная последовательность {gmm} фундаментальна в C(Q).
146 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. III 5. О компактности множества следов функций из () Теорема 4. Если множество функций ограничено в Н1 ^ то множество их следов на (л— \)-мерной поверхности TczQ класса С1 компактно в L2(F). Пусть ©^ — ограниченное множество в Нх(Q), a <MV —множе- —множество следов на Г функций из <М. Обозначим через ©^ ограничен- ограниченное в Я1 (Q') множество, состоящее из продолжений в Q'^Q функ- функций из <М (теорема 1 п. 2 § 4, dQ^C1). Пусть Го —кусок поверхности Г, однозначно проектирующийся в область D плоскости {хп = 0}, и хп-=ц>(х'), /eD,- уравнение Го. <f {х') ^. С1 (D). Существует такое б>0, что область й2а = = {/eD, ф (х1) <хп <ф {х1) + 26} принадлежит Q'. Для любой функции / (х) е С1 (Q') и любых точек х => = (/, дг„) еГои (аг', г/„) <= Q25 имеем Из этого равенства вытекает х +26 df(x', In) din 'din. Проинтегрируем последнее неравенство по уп е (б, 26): 26 !/(*', у, дfix', din "п а затем полученное неравенство по х по поверхности Го (т. е. умножим его на l/"l +ф!1+... + ф1 и проинтегрируем по D): б \ |/|2dSsSconst/2$ |/|2Л: + 4б25 | V/|2dx \ Так как поверхность Г может быть разбита на конечное число кусков типа Го и для каждого такого куска справедливо только что установленное неравенство, то, суммируя эти неравенства, получим где постоянные С[ и С2 не зависят ни от /, ни от б. Обычным способом убеждаемся, что это неравенство справедливо не только для любой функции /еС1 (Q'), но и для любой функции из Н1 (Q'). В силу замечания к теореме о продолжении функции (см. п. 2 § 4) из последнего неравенства имеем справедливое для любой /е//1 (Q)
§ 51 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ИЗ H4Q) И HHQ) неравенство По теореме 3 (предыдущего пункта) множество <М компактно в L2(Q). Поэтому из любой бесконечной последовательности эле- элементов множества <М можно выделить фундаментальную в L2(Q) подпоследовательность /р, р=1, 2, ...: по любому е>0 найдется такое N, что для всех p^N и q^N ||/p — /«llti<Q)<e- Но тогда последовательность следов fp\s, p=l, 2, ..., фундаментальна в L2(S), поскольку для р, q^N из неравенства A9), написан- написанного для fp — fq, и неравенства A6) имеем если взять б = е. Теорема доказана. 6. Эквивалентные нормировки пространств //*((?) и /() Пусть в области Q, dQ e С1, задана вещественная непрерывная в Q симметрическая матрица Р (х) = (ру (х)), i, j=l, >JL., п. Это означает, что вещественнозначные функции Ру(дг) eC(Q) и pi} = ^ Pyit /, /=1, .... л. Пусть, кроме того, в Q задана веществен- вещественная функция q(x) eC(Q), а на dQ вещественная функция r(x) e CCQ) (Q) Определим на Я1 (Q) эрмитову билинейную форму (п. 4 § 2 гл. II) rfg dS B0) Ql,i=l Q (в последнем интеграле, конечно, f = f\dQ, g — gldo)- ¦ Теорема 5. Если матрица Р (х) — положительно определен- определенная, т. е^ для любого комплексного вектора g == (gx, .... ?„) и для всех х е Q !,/=1 1 = 1 с постоянной 7>0. функции q(x)^0 на Q, г(х)^0 на dQ и-или q(x)^0, или г (х)фЬ, то билинейная форма B0) определяет на Н1 (Q) скалярное произведение, эквивалентное скалярному произведению (f.g)H4Q> = \(VVg+fe)dx. B2) Q Согласно определению (см. п. 4 § 2 гл. II) для доказательства тео- теоремы нам следует установить существование двух таких посто- постоянных С2>0 и С2>0, что неравенства ' w (/, /) ^С! 1/[!я. №), 1/[|Ь №) ^qr (/, /) B3) имеют место для всех /e//'(Q). •
148 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. III Прежде всего заметим, что по условиям теоремы каждое из трех слагаемых в выражении для W (/, /) (в B0) g — f) неотри- неотрицательно. Так как п п S ? Pijfx]Xjdx^A\ 2 \fXl\\fXj\dx^ Qt,j=l Qt,j=\ где А = Q где A1 = \q\\c^y и согласно неравенству B) из п. 1 dQ где Л2 = || г \\с (и®, то первое из неравенств B3) имеет место с постоянной С\ = Ап-\-Ау\- А2С2. Докажем справедливость второго неравенства в B3). Предпо- Предположим, напротив, что нужной постоянной С| не существует. Тогда для любого целого т^з= 1 найдется такая функция fm (x) e Я1 (Q), что || fm|я1 №) > mW (fm, fm), или, что то же самое, найдется функция gm(x)(=HL(Q) (gm = fm/tfmiH4Q)), ДЛЯ КОТОрОЙ \\gm\\H4Q)=l B4) 5 , q\gm? dx + \ r\gm? dS <\lm. Из этого неравенства вытекает, что каждое из трех слагаемых в W(gm> gm) меньше l/tn, и поэтому (воспользуемся неравенством B1)) имеют место неравенства \r\gm?dS<±t. B5) dQ В силу B4) последовательность gm, m=l, 2, ..., ограничена в Hl (Q), поэтому (теорема 3 п. 4) из нее можно выбрать подпо- подпоследовательность, фундаментальную в L2 (Q). Не умаляя общности, будем считать, что сама последовательность gm, m=l, 2, ..., фундаментальна в L2(Q), т. е. ||gm — gp|Ll{Q) -> 0 при m, p->oo.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ИЗ H4Q) И HHQ) 149 Так как в силу первого из неравенств B5) II gm - gP |й« «а = II gm - gP (I, (« + II | V (gm - gp) | [I, «г, *=: < II g» - ?P III, «a + 21 |Vgm I III. «a + 21! Vgp | Ц, (Q) < 2 4- — T0 \\gm — gp\\H>(Q)->0 при m, р->сю, т. е. последовательность gm, m=l, 2, .... фундаментальна и в Hl(Q). Поэтому эта после- последовательность сходится в норме Н1 (Q) к некоторому элементу g^^iQ). Переходя к пределу при т~>оо в равенстве B4) и неравенствах B5), получим соотношения: а) Q В) Г) Из равенств б) и а) вытекает, что g = const = 1/J/ |Q | bQ и gJ5Q= l/j/jQ | на 5Q. Но это противоречит, если q(x)^0, равенству в) или, если г(х)^0, равенству г). Теорема доказана. Пусть Р (х) = р(х)Е, где Е — единичная матрица. Из теоре- теоремы 5 вытекает Следствие. Билинейная форма где p(x)^C(Q), q(x)e=C(Q), r(x)e=C(dQ), p (jr)ssconst >0, q(x)^0 в Q, г(хM^0 на dQ и или q(x)^0 в Q, или г(х)^О на dQ, определяет в Я1(Q) скалярное произведение, эквивалентное скалярному произведению B2). Теорема 6. Если матрица Р (х) — положительно определен- определенная и функция q(x)^Q в Q, то эрмитова билинейная форма Q задает скалярное произведение в Я1(<3), эквивалентное скалярному произведению B2). Так как Н1 (Q) cr H1 (Q), то из теоремы 5 вытекает, что в Н1 (Q) можно ввести скалярное произведение, эквивалентное скалярному произведению B2), с помощью билинейной формы B0) при г (х) == 1 на dQ и q(x)$sO в Q. Но для /(х) и g(x), принадлежащих
150 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III //'(Q), значения билинейных форм W и Wx совпадают. Теорема доказана. Пусть Р(х) = р(х)Е. Из теоремы 6 вытекает Следствие. Билинейная форма где р (*) е= С (Q), q(x)t=C(Q), p(xK*const>0, q(x)^0 в Q, определяет в Н1 (Q) скалярное произведение, эквивалентное скаляр- скалярному произведению B2). В частности, эквивалентным B2) скалярным произведением является скалярное произведение Q Из последнего утверждения немедленно вытекает справедливое для любой функции /еЯ1 (Q) неравенство Стеклова !/|fMQ)^ const $|V/|*d*. Q § 6. Свойства функций из /7* (С?) В этом параграфе будет изучаться взаимоотношение прост- пространств #*(Q) и С1 (Q). Будет показано, что если функция при- принадлежит пространству Hk (Q) при достаточно большом k, то она принадлежит и пространству С1 (Q) (т. е. ее можно так изменить на множестве меры нуль, что она будет непрерывна вместе со всеми производными до порядка / в Q). Для получения этого результата нам потребуется представле- представление достаточно гладкой в области Q функции через интеграл по Q от некоторой комбинации ее производных. 1. Представление функций с помощью интегралов. Теорема 1. Пусть функция f (x) ^ С2 (Q) и размерность пространства п ^з= 2. Тогда для любой точки х ge Q имеет место равенство где 1 _ _ для л>2, и(х)= --¦¦--- s- 1п ,— для л = 2,
§ 6] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ИЗ H"(Qi I51 а ап = 2я"/2/Г (л/2) — площадь поверхности (п — \)-мерной единич- единичной сферы *). Функция U (х — I) (она называется фундаментальным решением для оператора Лапласа) как функция от g при \фх удовлетво- удовлетворяет равенству ^U A-х) = (щ +... + ~\U A-х) = О, в чем нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием. Зафиксируем произвольную точку xeQ и возьмем столь малое е>0, что шар {Ц — х | ^е} czQ. В области QE = Q\{|* — — ?|«^е} для функции U A~ — х) (рассматриваемой как функция переменного ?) и произвольной функции / (?) е С2 (Q) имеет место формула Грийа (см. п. 2 § 1) Так как на сфере |g — х\ = г g—= — ,, %_xv> T0 второе сла- слагаемое правой части в C) имеет (при п > 2) вид 1 S ^ I6-Jti = e D) поскольку площадь сферы | nl и дг| = е равна 0nenl, а для const. Функция UA-х) интегрируема по Q, поэтому предел при е->0 левой части равенства C) равен интегралу по Q от функ- функции UA-х) Af (I). Переходя к пределу при е-»-0 в равенстве C), с помощью D) получим равенство A) при л>2. Для л = 2 *) Представление A) имеет место и в одномерном случае (Q = (a, b)) ь 1 С 1 Легко проверяемому тождеству / (*) = -^ V | х — 11 f (|) d| + -j (/(a) + /Ф)) — а — у ((а—x)f (а) + F—x)f ф)) можно придать вид A), если ввести функцию U (х — ?) = -2" I *—11- Однако равенством A) при п=1 мы пользоваться не будем.
152 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. III доказательство остается прежним, только второе слагаемое правой части C), в отличие от D), равно / (х) -\-0 (е In e). Теорема доказана. 2. Непрерывность и непрерывная дифференцируемость функ- функций из Hk (Q). Для произвольной функции / е С2 (Q) в теореме 1 предыдущего пункта получено представление этой функции через интеграл по Q от ее вторых производных. Если функция более гладкая, /еС*@, ?>2, то наряду с A) для нее имеют место и представления через производные ?-го порядка. Для получения этих представлений нам потребуется следующее простое утвер- утверждение. Лемма 1. Пусть л 3=3. Тогда при любом (вещественном) ц функция Ф -2, «ц (X) = (М-2I Aп|*|)/(л-2) 1п|*| |*|"-2(я — 2) при — п, при |х= — 2, при (х = — л для всех x^Rn, хфО, удовлетворяет уравнению Аы(г = | В справедливости леммы легко убедиться непосредственным подсчетом. Пусть функция /еС2(Q). В силу формулы A) для имеем В частности, при л = 2 при л = при л>3 1 у ' 4я J \x — l\ b> A/g) /W = -7sd с — ? "~2 E) F) G) Пусть л = 4, а функция / (х) gC3 (Q). С помощью равенства . _?|2 = ~2 Д^In|А" —1\ (лемма 1) интегрированием по частям получим из G) -?l4. (8)
S6J СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ИЗ H*(Q) 153 Если я = 5, то из G) и равенства \х — Ц~3 = 2"чЙг \x— (лемма 1) для функции f(x)^C3(Q) получим представление (9) и т. д. Пусть f(x) еС2р(ф, p^2. Тогда из справедливых при и > 4р — 3 равенств р-1 1 P-J _g j2P"l . | *_K |4р-4 — ^р-2^1 | Л._| |2р-2 . | x_t |4p-3 | g j вытекающих из леммы 1, в силу G) имеем f(x) = Clp-^lx^flfp_2ds при л = 4р-2 A04р.2) и / (X) = СГр-1 где С; и С[ — некоторые абсолютные постоянные. Так как при л>4р-1, 2 1 1 \ y > ;_6 |4p-l — то для /еС№1@, pss2, из G) имеем / (x) = CIP ^ V (Д7 (g)) V? ^ x_| |2/)_2) ^ при л = 4р A04p) = C,Vi Q) при n = Ap + 1, A04p+1), где СЬ Сi — абсолютные постоянные. Поскольку t [jC_[ "Ри (9), A04р-2)—A04p+i) получаем неравенства л-4р-2, то из F)> (8)' , A14Р_2) ^dS для n-4p-l,
154 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III для всех / еС8' (Q) и неравенства Для л = 4р, рг*1, A14Р) n = 4p+l, ps=l, ( для всех /еС"*1^), Q — абсолютные постоянные. С помощью неравенства Буняковского из E) получим из A14р_2) \1/2 №) п = 4р-2>2, и, аналогично, из (ll4p-i) — (Il4p+i) где постоянная С зависит от п и области Q. Таким образом, неравенство я «a имеет место для всех / е С I-2 .1 (ф), я ;э= 1, с не зависящей от / постоянной. Справедливость этого неравенства при п=\ немед- немедленно следует из представления ь /(*)»¦§¦ любой функции /(jf)eC'([fl, b]). Если функция /gC I-2 J (ф) при некотором / > 0, то наряду с неравенством A2) она удовлетворяет и неравенству 11ЛИсг)^с<11Л .... \п_л . A3) я + +l 2j«2) в котором постоянная Q > 0 не зависит от /.
§ 61 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ИЗ Hk(Q) 155 Действительно, для любого вектора а = (ах ..., а„) с целыми неотрицательными координатами, |a|«g/, в силу A2) имеем н h J«) Суммируя эти неравенства по всем а, |а|<:/, получим неравен- неравенство A3). Пусть теперь /ей L2 J (Q), а fm(х),т — 1, 2,..., — после- последовательность функций из С L2j@( сходящаяся в норме 2) к /. В силу A3) при т, s-*-oo, т. е. последовательность /т, т= 1, 2, ..., оказы- оказывается фундаментальной в норме С' (Q). Это означает, что пре- предельная функция / принадлежит С1 (Q). Переходя в неравенстве 1/1с1/1 fm\\ci(Q)^c\\fm\\ ,+ , + Ш к пределу при т-*-оо, получим Я L 2 J (Q) ./ + 1 + 1—1 справедливость неравенства A3) для любой /еЯ *-2 J (Q)- Пусть функция / е Я1ос L2 J (Q). Возьмем любую подобласть Q'<eQ и построим функцию ? (*) е С00 (ф), равную 1 в Q'. Функ- 0;4-1 + [—I ция /-?еЯ \-2HQ), поэтому она принадлежит С1 (Q) и, зна- значит, функция / принадлежит С1 (Q'). В силу произвольности Q' функция / принадлежит С1 (Q). Таким образом, доказано следую- следующее утверждение. Теорема 2. Любая функция из пространства H\OQ. I-2 -I (Q) ,4-1 + Г—1 принадлежит пространству C'(Q), т. е. Н1ос ^2 i(Q) czC1 (Q). /+1 + Г—1 Пусть теперь /ей L2 J (Q). Предположим, что 5Qcz с: С L2-!. Тогда в силу теоремы о продолжении для (любой) области Q', Q' э<2, существует принадлежащая Я L з J (Q') функция F, совпадающая с / в Q, причем Ц^Ц | г л ] » где постоянная С не зависит от /. н + m (Q)
156 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III Функция F ёС' (Q') и для нее имеет место неравенство (Ц^^) г/,-1 (неравенство A3) для функции/7 в области Q'). я 1Т]«п Следовательно, f^Cl(Q) и справедливо неравенство Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 3. Если dQ ес'+1 + Ы, moHl + l + Ы (Q) с: Cl(Q). При этом для любой функции /ей l 2 -> (Q) имеет место неравенство A3), в котором постоянная С>0 не зависит от f. § 7. Пространства С- ° и С2*' *. Пространства Я'- о и H2s- * До сих пор мы рассматривали функциональные пространства (С*, Hk, k = 0, I, ...)» состоящие из функций, дифференциальные свойства которых одинаковы по отношению ко всем независимым переменным: пространство Я*, например, состоит из всех функций, принадлежащих L2, все обобщенные производные которых до ?-го порядка включительно принадлежат L2. В теории дифференциаль- дифференциальных уравнений используются также множества функций, диффе- дифференциальные свойства которых по разным переменным различ- различны. В частности, в посвященной параболическим уравнениям ше- шестой главе будут использованы вводимые ниже пространства функций. Пусть D — ограниченная область пространства Rn (х = (хъ ... ..., хп) — точка Rn), a QT = {х еD, 0</<Т) — цилиндр высоты Г>0 в пространстве Rn+i = Rn X {—оо</<оо}. 1. Банаховы пространства Сг>0 (QT) и C2S'S(QT). Обозначим через C'j ° (QT), где целое число Г2г1, множество всех непрерыв- непрерывных в QT функций / (х, t), у которых существуют непрерывные в QT производные — ^- при всех (целых и неотрицательных) аи ..., а„, а!+_... -\-п^. Через C2s-S(Q,-), где целое число s^ 1, обозначим множество всех непрерывных в QT функций f(x, t), у которых существуют непрерывные в QT производные —^- при всех (целых дх ... дхппдГ и неотрицательных) аи ..., ап, р, ах+ ._.. +a^-f-2p-^2s. Под С- ° (QT) при г = 0 и под C2s-s (QT) при s = 0 будем пони- понимать пространство C0-°(QT) C(Q)
§ 7] ПРОСТРАНСТВА Crfl И С','. Нг,« И Я'»,» 157 Ясно, что множество С-0(QT), г:=гО, является банаховым пространством с нормой + -+V ^•°fe)= . L ^т™ дх ... дхап'> а множество C2i- * (QT)> s^ 0, —банаховым пространством с нормой m-aX Qr 2. Гильбертовы пространства Hr'°(QT) и HZs-s (QT). Обозначим через Hr'°(QT), где целое число r^l, множество всех принад- принадлежащих L, (QT) функций f(x, t), у которых существуют и при- ttj+...+О надлежат L2 (QT) обобщенные производные — -— при всех дх^ ... дхп" (целых и неотрицательных) alt...,an, ax+...+а„<;г. Через H2s's(QT), где целое число s^l, обозначим множество всех при- принадлежащих L2(QT) функций f(x, t), у которых существуют и +++р принадлежат L2 (Qr) обобщенные производные — —^- при дхг \.. дхп пдГ всех (целых и неотрицательных) а1( ..., а„, р таких, что 2$ 1+ + + $ Под Hr-°(Qr) при г = 0 и под H2s-S(QT) при s = 0 будем пони- понимать пространство Я0- ° (Q,.) = L^ (QT). Отметим сначала следующие, немедленно вытекающие из опре- определений свойства множеств Hr- ° (QT) и His-s (QT). 1. Множество Hr'°(QT), r^O, является гильбертовым про- пространством со скалярным произведением ¦•¦ Oxn a множество H2s-S(QT), sSsO, является гильбертовым простран- пространством со скалярным произведением 2. При любых г и s, 0^r<2s, ^2s-s (QT) czHZs-°(QT)c:Hr-0(QT).
158 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III 3. Если f(x, t)^Hr-°(QT), то при да1+ •••+«„/ 4. Если f(xyt)<=H2s-s(QT), то при + + + р 4 где s'scs, функция ^—(Qr) a* ... дхппдг Покажем теперь, что функции из пространств Hr> ° (QT) и H2s's (QT) при достаточной гладкости границы dD области D можно с сохранением гладкости продолжать в более широкие (чем QT) области. А именно, установим справедливость следую- следующего утверждения. 5. Пусть D' —произвольная область из Rn такая, что DmD', а /° и t1 — произвольные числа, удовлетворяющие неравенствам *° < 0, t1 > Т. Обозначим через QU, л цилиндр {х е D', t° < t < t1}. Если dD е С, r^sl, то для любой функции / е Hr-° (QT) суще- существует финитное в Q/о.л продолжение F е Яг' ° (Q/o, ^), при этом имеет место неравенство в котором положительная постоянная С не зависит от функции/. Если 3D s C2i, s 5= 1, то для любой функции / е Я2х- * (Q,-) суще- существует финитное в Qio,p продолжение / еЯ2'1 s(Q'to,p)> при этом имеет место неравенство в котором положительная постоянная С не зависит от /. Искомое продолжение F функции f из Hr" ° (QT) или из #2s's (QT) строится в два этапа: сначала находится продолжение Fj функ- функции / через боковую поверхность цилиндра QT в более широкий цилиндр Q'T = {x e D', 0<С/<Г} той же высоты Т, а затем функ- функция Fj продолжается через верхнее {*eD\ t = T\ и через ниж- нижнее {xeD', / = 0} основания цилиндра Q'T. Для построения функции /^ воспользуемся той же схемой, что и при продолжении в D' функции из Hk (D) (см. п. 2 § 4). При этом воспользуемся построенным в п. 2 § 4 продолжением функций из прямоугольного параллелепипеда. Обозначим через Т\.а,т, а>0, прямоугольный параллелепипед {|*г|<а, 1 = 1, ..., п, 0</<Г}, а через Щт и ПдO. —прямо- —прямоугольные параллелепипеды {|^|<а, i—\, ..., п— 1, 0<дг„<а, 0<^<Г} и {|*,|<а, i=l, .... л-1, —а<д-„<0, 0<^<Г} соответственно. Пусть функция г (х, t) s С* (Щ,,.) при некотором fe 1. Продолжение Z (x, t) функции г (х, t) в параллелепипед П^,,
§ 7] ПРОСТРАНСТВА Сг.» И С2'.', Н'." И №*.' 159 определяется в параллелепипеде Щ т следующим образом: ft+i где х' = (Xi, ..., xn-i), a A lt ..., ческой системы — решение линейной алгебраи- алгебраиПри доказательстве леммы 1 п. 2 § 4 было установлено, что Z(x, /)еС*(Па т), и при любых alt ..., а„, р, 1 <V-V МП*г) где постоянная С>0 не зависит от г. Поэтому для любого г «g; k IIZII < СИ z II + D) и для любого s, 2s^k, где положительная постоянная С не зависит от г. Так как в пространстве Hr-°(UifT) и в пространстве H2s's(Tia,T) множество С°°(Щ>7.), а тем самым, и множество С*(Щ;т) при любом fe^r или k^n2s соответственно является всюду плотным (это утверждение доказывается так же, как аналогичное утвер- утверждение для пространства Hk (D), см. свойство 6 п. 1 § 4), то в силу полноты этих пространств из сказанного вытекает, что и для любой принадлежащей ЯГ-°(Щ17.) или H2s-s(UtiT) функции z существует продолжение Z в UatT, принадлежащее 'Нг-°(П.агТ) или соответственно H2s-s(UaiT), причем функция Z в Иа,т задается формулой C) и имеет место неравенство D) или неравенство E) соответственно. Дословно повторяя далее рассуждения, применен- примененные при доказательстве теоремы 1 (п. 2 § 4), получим функцию F1 (x, t), являющуюся продолжением функции/ (х, t) в цилиндр Q'T, причем если f^Hr'°(QT), то Fx<= Hr<°(Q'T) и имеет место нера- неравенство л о ( \нг, о ( а если / efl!i'J (QT), то (Q'T) и имеет место неравенство
160 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III (положительные постоянные Сх и С2 в этих неравенствах не зави- зависят от /). Кроме того, функция F1 = 0 в Q'T\Qr, где Ql = {x <= D", 0</<Г}, a D" — некоторая область пространства Rn такая, что DD"' Теперь построим нужное нам продолжение F функции / в ци- цилиндр Q't°,tL В случае, когда f^Hr-°(QT), в качестве функции F возьмем функцию, равную Fx в Q'T и нулю в Qt<,tt\Q'T. Очевидно, функ- функция F принадлежит Hr'°(Qi«,tt) и является финитной в Q't°,v\ при этом имеет место неравенство A). Если функция f<=H2s-s(QT), то ее продолжение F в цилиндр Qt°,tt определим равенством F = t,(t)F2(x, t), где ?(/)<= С00(—оо, + оо), ?(/) = 1 для /<=@, Г), ?@ = 0 для t>^ и для /<-|°, а функция F2(x, t) равна F1(x, t) в Q'T, равна У A'iFJx, ip,] s+l в{х<=?',/°</<0}иравна ^A'fJx, T-~ . -^j в {*<=?', i = l Г</</1}, где v4i, ..., y4s+i —решение линейной алгебраической s+l 2 1 Т \Р Ai[jp>) = 1» Р = 0 s, а ЛI, ..., v4s+i — S+T А \ i(ti—T)l . Р = 0' ¦¦¦ > s- Очевидно, что t = i функция FeЯl!s•s(Q^.,(l) финитна в Qi«itt и имеет место неравен- неравенство B). Из свойства 5 на основании леммы 1 п. 2 § 3 немедленно получаем справедливость следующего утверждения (соответствую- (соответствующее утверждение для пространства Нк см. п. 3 § 4). 6. Если граница 5D е С, т >- 1, то множество С00 (QT) всюду плотно в Hr-°(QT). Если dD <= С25, s^ssl, то множество С00 (QT) всюду плотно в //2s-s (QT). 7. Пусть / (х, t) <= Я1- ° (QT), a S — принадлежащая D (п — 1)- мерная поверхность класса С1; в частности, S может совпадать с границей dD области D. Обозначим через TS>T цилиндрическую поверхность {jteS, 0</<Г}; боковую поверхность TdD>т = {хеdD, 0<t<T} цилиндра QT будем также обозначать через Тт. Согласно свойству 6 (dD e С1) существует такая последова- последовательность fk, k=l, 2,..., функций из C^Qj.), что lim \\fk — ft—*со ~f\\Huo(QT) =0. Поскольку функции fk(x, t), k=l, ..., как функ- функции от х, при любом / е [0, Т] принадлежат С1 (D), то при
§7] ПРОСТРАНСТВА Сг-° И C2s>t, Нг'° И Я 2'-' 161 любом / е [О, Т\ имеют место неравенства l/*-MH,<s><c«||/*-M|k'u». k, s=i,2,..., F) в которых положительная постоянная С зависит только от области D и поверхности S (см. неравенство C) п. 1 § 5). Интегрируя F) по / е (О, Т), получим неравенства Mk-fslLi{rs<T)^C\\fk-fs\\Huo(QT), k, S=l, 2, ... Так как последовательность fk, k=\, 2, ..., фундаментальна в HX-°(QT), то из последних неравенств вытекает, что последова- последовательность значений fk\(Xtt)ers г. k=\, 2, ..., этих функций на Ts, т является фундаментальной в L2 (FSi г). Следовательно, суще- существует функция /rSi T^L2(TS, г), к которой в L2(TS, г) сходится последовательность fk\(X,t)ers T, k=\, ..., причем, как легко проверить, повторяя соответствующие рассуждения п. 1 § 5, функция /ps г не зависит от выбора аппроксимирующей функцию / последовательности fk, k=\, 2, Функцию frs T естественно назвать следом функции f (из Hu°(Qr)) на цилиндрической поверхности Г5, г и обозначать через / |rSj г. Как и в п. 1 § 5, без труда убеждаемся, что (здесь ||Лк*A\ r) = |/lrs, T^ps, г)), гДе постоянная С>0 не зави- зависит от /. Заметим, что если <М — произвольное ограниченное множество функций из Hl-°(QT), то множество <М следов этих функций на 1$, г в силу последнего неравенства является ограниченным в Li,{^s, г), но, в отличие от случая пространства H1(QT), не является компактным. Введенное понятие следа позволяет распространить на функ- функции из Я1- ° (QT) формулу интегрирования по частям. А именно, для любых двух функций / и g из Hl-°(QT) имеет место формула интегрирования по частям (формула Остроградского) ^ fxfi dxdt=\ fgnt dSdt-l fgx dx dt, QT Гт Qt где tii — i-я координата «-мерного (единичного) вектора внешней нормали к поверхности dD, i = \, 2, ..., п, а функции fug, стоящие под знаком интеграла по боковой поверхности Гт цилиндра Qt, — следы на Гт функций fag. Доказательство этой формулы легко получить (ср. с п. 2 § 5) с помощью аппроксима- аппроксимации в HX-°(QT) функций fug функциями из ^(Q) 6 В, П. Михайлов
162 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. III Если / ейг'° (QT), г;з=1, то любая производная этой функ- функции по Хц ..., хп порядка, меньшего чем г, имеет след на боко- боковой поверхности Гт цилиндра QT. Если / е H2s- S(QT), sssl, то следом на боковой поверхности Гт цилиндра QT обладает любая аа1+...+а„+р производная — —+- при dx~i...dx "дг § 8. Примеры операторов в функциональных пространствах 1. Интегральные операторы. Интегральное уравнение Фред- гольма. Пусть Q— некоторая ограниченная область п-мерного пространства Rn. Рассмотрим на QxQ измеримую функцию К (х, у). Пусть функция /(у) такова, что для п. b.jcgQ К (х, у)х Xf(y)^L1(Q) (например, /=0). Каждой такой f(y) поставим в соответствие функцию g(x) = \K(x,y)f{y)dy. A) Q Это отображение можно рассматривать как оператор (очевидно, линейный) из U(Q) в Li(Q), из L2(Q) в L2(Q), из С(Q) в C(Q) и т. д. Функция К (х, у) называется ядром этого оператора. Конечно, этот оператор может быть определен не на всем про- пространстве, например, для оператора из С (Q) в C(Q) областью определения является множество всех таких функций из C(Q), для которых g(x)eC@, Однако легко видеть, что если ядро К (х, у) еС (QxQ), то этот оператор определен всюду (в Li(Q), в L2(Q), в С(Q)) и ограничен. Мы будем рассматривать определенный формулой A) оператор с ядром К(х, у) = К0(х, У)\х — у\-а, jr-де К0(х, y)<=C(QxQ), а 0-~Sa<n, как оператор из С (Q) в С (Q) и как оператор из L2(Q) в L2(Q); при этом в обоих случаях будем его обозначать через /С: g = Kf- B) Оператор К называется интегральным оператором Фредгольма. Согласно результатам п. 12 § 1 гл. II для любой функции /е ^C(Q) функция g<=C(Q). Это означает, что оператор К из C(Q) в C(Q) задан на всем C(Q). Так как функции \.K{x,y)\dy и $ \К{х, у) I dx непрерывны в Q, то они ограничены, т. е. max x f; К (х, у) | dy\ < оо. C)
§ 8] ПРИМЕРЫ ОПЕРАТОРОВ 163 Поскольку для любой точки xeQ то i^lc(o)^^l/lc(o)- Значит, оператор К из C(Q) в C(Q) огра- ограничен и Ц/СЦг^А. Пусть /(х) еL2(Q). Так как функции \f(y)\2\\K(x, у) \ dx Q и ^ | К (х, у) | dx принадлежат Lj(Q) (последняя — даже C(Q)), то о по следствию из теоремы Фубини функции К (х, у) | / (г/) |2 и К (х, у) принадлежат Li(QxQ). Значит, пространству ZQ) принадлежит и функция К(х, y)f(y), поскольку \К(х, ssgl*^ УI + 1^(*> У)Н/(УI\ т0Гда согласно теореме Фубини функции g(x) = 5/C(x, y)f(y)dy, \\K(x, y)\dy и J | К (х, у)\х Q Q Q X\f(y)\2dy принадлежат Li(Q). Для п. в. xeQ имеем неравен- неравенство <:A\\K(x,y)\\f(y)\*dy, Q из которого следует, что g(x)EL2(Q). Интегрируя это неравен- неравенство по Q и пользуясь теоремой Фубини, получим \\g\L(Q)^A\dx\\K(x,y)\\f(y)\'idy = Q Q = A\\f(y)\*(\\K(x,y)\dx)dy^A>\\ffL2iQ). Таким образом, оператор К из Lj(Q) в L2(Q) задан на всем L2(Q), ограничен и Ц/СЦ^Л. Лемма 1. Оператор К, действующий из L2(Q) в L2(Q), вполне непрерывен. Оператор К, действующий из С (Q) в C(Q), вполне непрерывен. 1. Рассмотрим сначала оператор К, действующий из L2(Q) в L2(Q). Определенная при любом N>0 равенством Т(х, у) при \х — ylSzN'1, {0(x,y)Na при \x — y\<.N~1 функция Kn(x, у) принадлежит C(QxQ)- Поскольку для 6*
164 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III произвольной точки хе^ имеет место неравенство [\К(х, у)-Кн{х, y)\dy = pa+i-n где 5~1^в|с(ё5<ё), ап~площадь поверхности (п—1)-мерной еди- единичной сферы, то по любому е>0 можно указать такое N, что max \ \К(х, у) —KN{x, \ Поскольку Kn(x, у) <=C(QxQ), to существует такой многочлен 8 Р (х, у), что | Р (х, у) — Kn(x, у) | <2Tq] Для всех (*• У)е Это означает, что max \ | К (х, у) — Р (х, y)\dy^ max \ | К (х, у) — KN (x, у) \ dy -f , y)-P(x, y)\dy<~ + ±*=e. D) Аналогично устанавливается неравенство max\\K(x,y)-P(x,y)\dx<e. D') Q Q Многочлен Р (х, у) и функцию G (x, y) = K (x, y) — P (x, y) = = °^x> y'~ ' y^\x~y\ можно рассматривать как ядра интег- интег_ ральных операторов типа B), обозначим эти операторы через Р и G соответственно. При этом имеет место равенство и в силу D) и D') оценка Итак, оператор К представлен в виде суммы оператора G со сколь угодно малой нормой и конечномерного оператора Р (этот оператор переводит L2 (Q) во множество многочленов степени, не превосходящей степени многочлена Р (х, у)). Поэтому на основа- основании теоремы 4 п. 9 § 3 гл. II К вполне непрерывен.
§ 8] ПРИМЕРЫ ОПЕРАТОРОВ 165 2. Рассмотрим теперь оператор К, действующий из С (Q) в C(Q). Поскольку К ограничен, то любое ограниченное в С (Q) множество <М он переводит в некоторое ограниченное множество <М'. В силу результатов п. 12 § 1 гл. II для любого е>0 най- найдется такое б>0, что $ \К(х', у) — К{х", у) \ dy<ie, как только |х'-х<6. Поэтому для \х' — х"\<8 Таким образом, множество <М непрерывных в Q функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Следова- Следовательно, по теореме Арцела оно компактно. Лемма доказана. Уравнение ф = ц/Сф+/, где \и — комплексный параметр, а /С — интегральный оператор Фредгольма, т. е. уравнение С(х, y)<p{y)dy+f(x), E) называется интегральным уравнением Фредгольма (второго рода). Будем рассматривать уравнение E) в L2 (Q) if s L2 (Q) и реше- решение ф будем искать в L2(Q)). В силу леммы 1 для уравнения E) справедливы теоремы Фредгольма (пп. 3 — 7 § 4 гл. II). В частности, если ц не явля- является характеристическим числом оператора К (а таких чисел не более чем счетное'множество), то существует ограниченный опе- оператор (/ —(г/С), т. е. уравнение E) имеет единственное решение q>GL2(Q) ПРИ любом свободном члене / sL2(Q). Если ядро К (х, у) обладает свойством К (х, у) = К(у, х), то оператор К из L2 (Q) в L2 (Q) является самосопряженным. Действительно, на основании теоремы Фубини для любых ф и г|з из L2 (Q) QQ \ x)^ (x) dx) dy = (ф, Ky)Li «»¦ Q \<? ' Поэтому для оператора ./( справедливы результаты, доказан- доказанные в § 5 гл. II для случая общего вполне непрерывного само- самосопряженного оператора. В частности, все собственные значения и характеристические числа оператора К вещественны, и в про- пространстве Z^(Q) существует ортонормированный базис, состоящий из собственных функций этого оператора (следствие 2 из теоремы 2 п. 2 § 5 гл. II).
166 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. III 2. Дифференциальные операторы. Пусть в n-мерной области Q для каждого целочисленного вектора а = (а1( ..., а„), а(^0, 1=1, ..., п, |а| ==?;?, где k^sl, задана измеримая ограниченная функция аа(х). Линейный оператор из L2(Q) в L2(Q), ставящий в соответствие функции / функцию = 2 aa{x)D«f{x), F) называется линейным дифференциальным оператором (из L2(Q) в L2(Q)). Будем считать, что оператор X имеет порядок k, т. е. хотя бы один из коэффициентов аа{х) при \a\=k отличен от нуля (множество, на котором аа (х) Ф О, не является множеством меры нуль). Оператор X, конечно, не определен на всем L2 (Q). Однако множество функций /, для которых выражение F) имеет смысл (Daf — обобщенная производная), содержит Hk(Q). Поэтому Hk (Q) можно взять в качестве области определения этого оператора. Если все функции аа(х), \a\^k, непрерывны в Q, то фор- формулой F) задается и линейный оператор из C(Q)_b C(Q) (линей- (линейный дифференциальный оператор из С (Q) в С (Q)). В качестве области определения оператора X в этом случае можно взять C«(Q). Частным случаем оператора X из L2 (Q) в L2 (Q) (из С (Q) в C(Q)) является оператор ГРЛ \a\ = k, ставящий в соответствие функции / из Hk (Q) (из Ck (Q)) ее обобщенную (классическую) производную. Оператор Da из L2 (Q) в L2 (Q) не ограничен, поскольку последовательность fm (х) = ет ^1+ '"' +*п\ т = 1, 2,..., функций из Hk{Q), ограниченную в L2(Q) (||/m||i,«?) = Vi^]> m = = 1, 2, ...), он переводит в последовательность gm(x) = (im)|a|x (+ ^п), т = 1, 2, ..., неограниченную в L2 (Q) (\\gm ||z.2@) = ||Q | ->oo при т-+оо). Аналогично можно доказать, что и оператор X, k^l, из L2(Q) в L2(Q) не ограничен и что операторы ГР и X из С(Q) в С (Q) также не ограничены. Если оператор X рассматривать как оператор из Я* (Q) в L2(Q) или из Ск (Q) в C(Q), то он является ограниченным, поскольку для любого /еЯ*(Q) (Ck(Q)) ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III 1. Шар S = { |j*[l< 1} банахова пространства будем называть строга выпук- выпуклым, если для любых точек хну, хфу, единичной сферы, jj*|j = |j y\\= 1, и любого ве@, 1) точка а*+A — а) у e S, т. e. ||o«J-(l ~ot,)y\\ < 1. Является ли единичный шар в пространствах С {Q), li(Q), I8(Q) строго выпуклым?
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III 167 2. Пусть х—точка единичной сферы в С (Q) (jLj (Q)). Найти множество всех точек у единичной сферы, для которых все точки'отрезка ах-\-(\— а) у, 0=^a==gl, принадлежат этой сфере. 3. Множество Ck (Q) есть линейное многообразие в Ск (Q). Обозначим че- через С* (Q) замыкание этого множества по норме max 2 \Daf(x)\: te'Q Ck(Q)=Ck(Q). Из каких функций состоит С*@)? 4. Показать, что если dQ e С*, то С°° @) всюду плотно в С* @). Пусть В — банахово пространство, a gw и &V — его подпространства. Говорят, что В есть прямая сумма о/Ц и ^V: B-=&H © ®/^\ если любой элемент f из В однозначно представляется в виде суммы h+Zj, где /х евЖ, а /2е@^°. Если гильбертово пространство Н = оМ@@/Г и q# _L ®^*, то G//^ (и ®/f°) называется ортогональным дополнением к ®У (соответственно к <М) в Я. 5. Представить пространство Ck([a, b]) в виде прямой суммы подпро- подпространства С* ([а, Ь\) и некоторого подпространства ®^°, Найти размерность @/f°. 6. Множество функций из L2(Q), равных нулю (п. в.) в области Q', Q' dQ, есть подпространство пространства Lt(Q). Найти его ортогональное дополнение. 7. Рассмотрим на плоскости х = (хъ *2) = (гcos <p, r sin <p), 0=<;<р<2я, функцию f(x) = raq>. При каких а функция feH'-iQ), где область Q есть а) круг {г<1}, б) {г<1. ф^О}? 8. Пусть последовательность fm (x), т= \, 2 функций из С* (Q) слабо в jL2 (Q) сходится к некоторой функции f, а последовательность Dafm, m = = 1, 2, ..., при некотором а = (а! а„), |а|=А, ограничена в L2(Q)- Показать, что функция f имеет обобщенную производную Daf. 9. Пусть последовательность fm(x), т=\, 2, .,., функций из & (Q) слабо сходится в L2 (Q), а последовательности ^—, i=l, ..., п, /п=1, 2, ..,, ограничены в JL2(Q). Показать, что последовательность /т, /п=1, 2, ..., схо- сходится в jL2 (Q) сильно. Привести пример последовательности, удовлетворяющей сформулированным условиям и некомпактной в Я1 (Q). 10. Показать, что если последовательность fm\x), m=\, 2, ..., функций из С* @), &5= 1, слабо сходится в Lj (Q) к функции / и при всех а = (аь ,.., ал), a\=k, || ?>а/щ ||l, (с?) ^ const, т=\, 2, ..., то а) /еЯ*(<?), б) последова- последовательность /m, m=l, 2, ..., сходится к / сильно в H*-i (Q). 11. Доказать, что для любой функции /(*) нз Нк (К) (из Ск{К))< где /С — n-мерный куб, существует финитное продолжение F (х) в более широкую область Q, Q3>K, принадлежащее Hk(Q) (Ck(Q)). При этом имеет место неравенство || Z71| fts? С Ц/11 ft постоянная С>0 в котором не зави- зависит от /. 12. Пусть xf>—точка области Q n-мерного пространства Rn, n> 1. Пока- Показать, что замыкание линейного многообразия непрерывно дифференцируемых в Q функций, обращающихся-в нуль в некоторой окрестности (своей для каждой функции) точки xf>, совпадает с Я1 (Q). 13. Доказать, что множество Я1 (а, Ь) всех функций f из Я1 (а, Ь), для которых f (a)=f(b), есть подпространство пространства Я1 (а, Ь). Показать, что имеют место включения Я1 (a, b) CZ Я1 (а, Ь) CZ Я1 (а, Ь). Найти ортого- ортогональные дополнения НЦа, Ь) в Н1 (а, Ь) и № (а, Ь) в Н1 (а, Ь) и построить ортонормированные базисы пространств Я1 (а, Ь), Я1 (а, Ь) и Я1 (а, Ь). Пусть функция f^L2(K), где К—куб {|*г|<а, »=1, .... п]. Согласно теореме Фубини для почти всех д:л=|е (—а, а) определена функция /(*',?), принадлежащая L%(K'), где К'—(п~ 1)-мерный куб {|xt | < a, i = 1, ..., п — 1}. Эту функцию назовем значением функции f на сечении К[) {*л = |}. Анало-
168 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III гично, для почти всех *'=?'e^' определена функция /(?', хп), принадле- принадлежащая L2 (— а, а). Эту функцию будем называть значением функции / на се- сечении Kf]{x' = l'\. Для функции f e Я1 (К) при всех %=|е[— а, а] существует след f\x .. из!г(/С'). П'1 14. Доказать, что если функция f е Я1 (К), то для п. в. \' е К' ее зна- чеьие f (?', *,,) на сечении К[\{х' -=\'} принадлежит пространству Я1 (—а, а), для п.в. | е (— а, а) ее след f\x и ее значение f (*', ?) на сечении К Л {-«л = ?} принадлежат Я1 (/(')¦ 15. Доказать, что множество следов всех функций из Н1 (Q) на (п—1)- мерной поверхности S d Q не совпадает с jL2 (S). 16. Доказать следующие утверждения: а) если функция [ей1 (Q), то функция | /1 тоже принадлежит Я1 (Q),' б) если функции fv ..., fN принадлежат 7/1 (Q), то функции max (Jv ¦¦-,fN) и min (f1, .... ^) тоже принадлежат Н1 (Q). 17. Будем говорить, что функция / (*) принадлежит классу С* (Q) при некотором а, 0<а<1, если для любой строго внутренней подобласти Q', Q' <S.Q, существует такая постоянная C=C(Q'), что для всех точек х' и х" из Q' имеет место неравенство [ f(x') — f(x") \ =<; С | х'— х" |а. Если при неко- некоторой постоянной С это неравенство имеет место для всех л:' и х" из Q, то будем говорить, что функция / (*) принадлежит классу О (Q). [-1 + 1 Доказать, что если f е Я,^ J (Q) (Q —n-мерная область), то f при любом а < [п/2] + 1 — n/2, a если функция feF2-! (Q) или fe f-1 + l [-1 + 1 eЯL2J (Q)ndQ<=d2l , то ^ е C«(Q) при любом а < [n/2] +l — n/2. 18. Доказать, что любое ограниченное множество в Я ^ (Q) (Q — 11 n-мерная область, dQ e С L J) компактно в Ck (Q). 19. Пусть функции ?(*), ^(дг), р(х) принадлежат С (Q), а (х) <= С (dQ) k(x)>0, а(хK?0, р(*)>0 в Q, а(х)>:0 на dQ. Показать, что заданные на Я1 (Q) билинейная форма 1 +pf d* при а+р^О и билинейная форма c~gdS\, если или а^О или афО, задают в Н1 (Q) скалярные произведения, эквива- эквивалентные скалярному произведению = $ 20. Пусть функция t(j;)eP ([0, 1]) и k (х) > 0 при * > 0. Обозначим через Яд @, 1) пополнение множества всех функций из С1 ([0, 1]), обращаю- обращающихся в нуль при х=\ по норме, порожденной скалярным произведением | k (x)f (x) g' (x) dx. Доказать, что Нk @, l)dJL2@, 1) тогда и только тогда, когда lim k {x) ¦ х'2 > 0,
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ Ш 169 21. Показать, что в пространстве Hk (Q) скалярные произведения (f, g)' = Л DvfDVgdx и (f, g)" = ^ 2 D<*fD<*g dx эквивалентны. laKft Q|a|=ft 22. Пусть f e L2 @, 1). Линейный функционал l.(u) = (f, и)^2 (Q) ограни- ограничен в Я* @, 1) при любом ?3:0. Согласно теореме Рисса существует такой (единственный) элемент F е Нк @, 1), что при всех ией'@, 1) If (u) = = (Л «)&ft v- Найти F и показать, что F е= Я* @, 1)ПЯ2»@, 1). (В ка- п @, 1) честве скалярного произведения взять а) скалярное произведение (f, g) = 1 1 = 5 f{k'g'k> dx, б) скалярное произведение (/, g) = § (fik>g<k' + fg) dx, где /<*'= о 0 . dk f \ ~ dxk)' Дополнительная литература к главе III О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, «Наука», 1975. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и тео- теоремы вложения, «Наука», 1969. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в ма> тематической физике, Изд. ЛГУ, 1950.
Глава IV ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Обобщенные решения краевых задач Задачи на собственные значения 1. Классические и обобщенные решения краевых задач. Пусть в я-мерной области Q задано эллиптическое уравнение %u=a<iiv(k(x)Vu)-a(x)u*=f(x), A) коэффициенты которого вещественнозначны и удовлетворяют усло- условиям а(х)еС(ф, k(x)^C1(Q), k(x)^ko>0 для всех xeQ. Функция и(х) и свободный член f (х) уравнения, вообще говоря, могут быть комплекснозначными._ Функция и (х) из С2 (Q) П С (Q) называется решением (класси- (классическим решением) первой краевой задачи или задачи Дирихле для уравнения A), если в Q она удовлетворяет уравнению A), а на границе dQ — условию "|ао = Ф(х) B) с заданной функцией ср (х). Функция и (х) е С2 (Q) П С1 (Q) называется решением (классиче- (классическим решением) третьей краевой задачи для уравнения A), если в Q она удовлетворяет уравнению A), а на границе dQ условию ^(x) C) при заданной функции а (х) из C(dQ) и заданной <р(х). Мы будем считать, что о(х)^0. Если функция а (х) в C) тождественно равна нулю, то третья краевая задача называется второй краевой задачей или задачей Неймана. В случае я = 1 уравнение A) есть обыкновенное дифферен- дифференциальное уравнение %u = (k(x)u')'-a(x)u=f(x). (U) Область Q в этом случае представляет собой некоторый интер- интервал (а, Р), а граничные условия первой и третьей краевых задач имеют соответственно вид
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 171 (— и' + аои) U-a = ф0, («' где Фо, фх, о0 5= 0, стг^г 0 — некоторые заданные постоянные. Пусть функция и(х) является классическим решением в областиQ первой краевой задачи A), B). Умножим тождество A) на про- произвольную функцию v (х) е С1 (Q) и проинтегрируем по области Q полученное равенство. С помощью формулы Остроградского по- получим likVuW + autydx^ — \fvdx D) Q Q (возникающий при этом интеграл по границе dQ равен нулю в силу финитности функции v). Если дополнительно предположить, что частные производные решения иХ[ e L2 (Q), i = 1 п, т. е. что ы (х) е Я1 (Q), а / (х) е е L2 (Q), то интегральное тождество D) будет иметь место не только для всех функций v(x)^C1(Q), но и для всех ue#x(Q). Для того чтобы в этом убедиться, возьмем произвольную функцию v изЯх(ф) и некоторую последовательность vk(x), k=\, 2,..., функций из С1 (Q), сходящуюся в норме H1(Q) к функции и. Для каждой функции vk(x) имеет место равенство D). Переходя в этом равенстве к пределу при?->оо, установим справедливость равенства D) и для функции и. Таким образом, если /eL2(Q)i то классическое решение и задачи A), B), принадлежащее пространству Я1 (Q), удовлетворяет интегральному тождеству D) при всех ней1 (Q). Введем следующее определение. Функция u^H1(Q) называется обобщенным решением задачи A), B) при f ^L2(Q), если она удовлетворяет тождеству D) для всех tie№(Q) и граничному условию B). В граничном условии B) равенство понимается как равенство элементов из L^idQ), u\gQ — след функции и. Заметим, что так определенное понятие обобщенного решения не является в полной мере обобщением соответствующего клас- классического понятия, так как для того чтобы классическое реше- решение и(х) было обобщенным, на него следует наложить дополни- дополнительные условия «интегрального» характера, а именно, предполо- предположить, что u^H1(Q) и %и^.Ьъ@), где X — оператор в A). Аналогично можно ввести понятие обобщенного решения третьей (второй) краевой задачи для уравнения A). Пусть функция и (х) является классическим решением третьей краевой задачи A), C). Предположим, что правая часть f (х) в уравнении A) принадле- принадлежит L% (Q) и функция ф (х) в граничном условии C) принадлежит Li(dQ). Умножим тождество A) на произвольную функцию v(x)
'72 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV из Я1 (Q) и проинтегрируем полученное равенство по области Q. С помощью формулы Остроградского получим интегральное тож- тождество § (k Vu Vv + auv) dx + § kauv dS = Q dQ = — lfvdx+lk((>vdS, E) Q dQ которому классическое решение и (х) удовлетворяет при всех v(x)e=H4Q)- Введем определение. Функция иеЯ1 (Q) называется обобщенным решением третьей (второй, если о(х) = 0) краевой задачи для уравнения A) при f^L2(Q), ср eL2(dQ), если для нее выполняется тождество E) при всех не #X(Q). При определении обобщенных решений функции v в тождест- тождествах D) и E) мы предполагали комплекснозначными. Однако их равным образом можно считать и вещественнозначными. Действи- Действительно, если функция и из Я1 (Q) удовлетворяет, например, при всех комплекснозначных v из HX(Q) тождеству D), то она, оче- очевидно, удовлетворяет этому тождеству и при всех вещественно- значных v H3#X(Q). Обратно, пусть функция и из H1(Q) удов- удовлетворяет тождеству D) при всех вещественнозначных v из H1(Q). Тогда это тождество справедливо и для любой комплекснозначной v = Rev-\-ilmv из H1(Q), поскольку оно справедливо для при- принадлежащих Я1 (Q) функций Re и и Im v. Отметим, что с обобщенными решениями краевых задач для уравнения A) мы фактически уже встречались (в двумерном слу- случае), когда занимались в п. 1 §3 гл. I выводом условий равно- равновесия мембраны: интегральные тождества D) и E), участвующие в определении обобщенных решений, совпадают с тождествами D) и A) п. 1 §3 гл. I. Определения обобщенных решений краевых задач для уравне- уравнения A) относятся, конечно, и к одномерному случаю. Функция и из пространства Я1 (а, {5), удовлетворяющая граничным усло- условиям Bх) (из теоремы 3 п. 2 § 6 гл. III вытекает, что и еС([а, {5])), является обобщенным решением первой краевой задачи для урав- уравнения (li), если при любой CE/Z'fa, P) имеет место равенство 5 (ku'v' + auv) dx = — \fvdx. Dt) a a Функция и из Я1 (a, P) есть обобщенное решение третьей (вто- (второй) краевой задачи для уравнения (lj), есди при любой
§ II ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 173 сеЯ1 (а, Р) выполняется равенство р $ (ku'v' + auv) dx + k(P) Oju (P)v(P) + k (a) aou (a) v (a) = Настоящий параграф посвящен изучению обобщенных решений краевых задач. Поскольку обобщенные решения являются эле- элементами гильбертова пространства Я1 (Q), то мы при этом будем широко пользоваться соответствующими общими результатами второй главы. Исследование классических решений краевых задач — задача значительно более сложная, и ее естественно разбить на две более простые задачи: сначала построить обобщенное решение, а затем, установив (при определенных предположениях) его глад- гладкость, показать, что оно является классическим решением. Дока- Доказательство гладкости обобщенных решений будет проведено в следующем параграфе. 2. Существование и единственность обобщенного решения в простейшем случае. Изучение вопросов существования и един- единственности обобщенных решений краевых задач удобно начать со случая, когда граничные условия однородны (т. е. функция ср равна нулю). Согласно определению обобщенное решение краевой задачи A), B) при ср = О есть функция и из #X(Q), удовлетво- удовлетворяющая при всех сеЯ1 (Q) интегральному тождеству D): $ (kVuVv + auv) dx = — \fv dx. Обобщенное решение третьей (второй) краевой задачи A), C) при Ф = 0 есть функция «e№(Q), удовлетворяющая при всех us е Я1 (Q) интегральному тождеству $ (kVuVv + auv) dx + $ kauv dS = ~\fv dx. F) Q dQ Q Пусть a (x) ^ 0 в Q. Тогда согласно следствию из теоремы 6 п. 6 § 5 гл. III в пространстве Н1 (Q) можно ввести эквивалент- эквивалентное обычному Uu, v) — \ (VuVy -\- uv) dx\ скалярное произведение \ ¦ Q . I ("- v)^ =\(kVuVv + auv)dx. G) Q В связи с этим тождеству D) можно придать вид ("» w)tf'№) = —(/> °)ме>- (8)
174 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. IV При фиксированном / из L2 (Q) (/, и)ы«) является линейным функционалом, заданным на #X(Q), og№(Q). Так как I if, v)l2 <е> |< || / It. @) II и Ik,«?) <^C\f \\ц (Q)\\v ||я, (Q), где положительная постоянная С не зависит от / и и, то этот функционал ограничен и его норма не превосходит С||/||^а@). Согласно теореме Рисса (теорема 1 п. 2 § 3 гл. II) в Я1 (Q) найдется функция Flt для которой (/, v)laq) — (Fu i>)HI(<?) при всех v^Hx(Q). Такая функция единственна и удовлетворяет неравенству Ц/Мячо^^МС)- Следовательно, в HX(Q) суще- существует единственная функция u = Fi, удовлетворяющая тожде- тождеству (8). Таким образом, доказана Теорема 1. Если а(х)^0 в Q, то для любой feLj(Q) существует единственное обобщенное решение и задачи A), B) (при ф = 0). При этом 1№св^Мь О) где положительная постоянная С не зависит от f. Если а(х)^=0 в Q и хотя бы одна из функций а(х) или а(х) не равна нулю тождественно, то согласно следствию из теоремы 5 п. 6 § 5 гл. III в Я1^?) можно ввести эквивалентное обычному скалярное произведение (и, у)ЯЧC) = $ (kVuVv + auv)dx+ § kouvdS. A0) Q dQ В связи с этим тождество F) можно переписать в виде (и, v)H4Q) = — (f> у)м<?)- (И) Так как при фиксированном f e/^ (Q) линейный по неЯ1 (Q) функционал (/, v)L,(Q) ограничен: | (/, o)L,@)l<ll/lk.«?)ll'lk@)< ^•^if\V:iQ)\\vlH1(Q)> гДе постоянная С>0 не зависит от/ и и, то по теореме Рисса в Я1 (Q) существует функция F2, для кото- которой (/, w)l, (о = — (Ft, v)hhq) пРи любой v<=Hl(Q), причем эта функция единственна и |Т^ячо)^ С !/|i.2(g). Следовательно, bH1(Q) существует единственная функция и = F2, удовлетворяющая тож- тождеству A1). Таким образом, доказана Теорема 2. Если а(х)^0 в Q и хотя бы одна из функций а (х) или а (х) не равна нулю тождественно, то для любой f e е L2 (Q) существует единственное обобщенное решение и задачи A), C) (при ср = О). При этом 1И*'«>>*?С«Л1м<>» A2) где положительная постоянная С не зависит от f.
§ II ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 17Г> Замечание. Если функция / вещественнозначна, то решения рассмотренных в теоремах 1 и 2 граничных задач тоже вещест- веннозначны. Действительно, пусть u = Reu-\-i Iты —обобщенное решение какой-либо из этих краевых задач. В силу веществен- вещественности коэффициентов уравнения и функции / функция Re и, как это следует из D) (или F)), тоже есть обобщенное решение этой же задачи (функции v в D) и F) можно считать вещественно- значными). Поэтому из единственности решения следует, что u = Reu. 3. Собственные функции и собственные значения. Не равная тождественно нулю функция и (х) называется собственной функ- функцией первой краевой задачи для оператора % = div (k (х) V) — а (х), если существует такое число К, что функция и (х) является клас- классическим решением следующей задачи: %и = Хи, xeQ, A3) u\dQ = 0. A4) Число X называется собственным значением (соответствующим собственной функции и(х)). Очевидно, каждой собственной функции отвечает единственное собственное значение. Обратное соответствие неоднозначно. В частности, если и (х) — собственная функция, то и функция си (х) при любой постоянной с Ф О также является собственной функцией, отвечающей тому же собственному значению. В связи с этим можно рассматривать собственные функции, нормирован- нормированные, например, условием 1«|l,«?)=1. Пусть X — собственное значение, а и (х) — собственная функция первой краевой задачи, и пусть u(x)^H1(Q). Умножая A3) на произвольную сеЯ1 (Q) и интегрируя полученное равенство по области Q, получим интегральное тождество \ (№uVv + auv)dx = — Л$ uvdx, A5) <? <? которому функция и удовлетворяет при всех неЯ1 (Q). Не равная нулю функция иеЯ1 (Q) называется обобщенной собственной функцией первой краевой задачи для оператора X, если существует такое число X, что функция и при всех wetf^Q) удовлетворяет интегральному тождеству A5); число X называется собственным значением (соответствующим обобщенной собственной функции и). Будем считать, что 1«1l2(Q) = 1. Не равная тождественно нулю функция и (х) называется соб- собственной функцией третьей (второй) краевой задачи для оператора <5? = div (k (x) V) — а(х), если существует такое число X (собствен- (собственное значение, отвечающее и(х)), что функция и (х) является
176 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV классическим решением следующей задачи: Легко видеть, что собственная функция третьей (второй) кра- краевой задачи при всех ней1 (Q) удовлетворяет интегральному тождеству § (kVuVv-\-auv) dx-\- § kouvdS =—Х^ uvdx. A6) Q dQ Q He равная нулю функция и е Я1 (Q) называется обобщенной собственной функцией третьей (второй) краевой задачи для опе- оператора X, если существует такое число К (собственное значение, отвечающее и), что функция и при всех иеЯ1^) удовлетворяет интегральному тождеству A6). Будем считать, что || и 1|l, «?) = 1. В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать только обобщенные собственные функции и соответствующие им собственные значения. Нам будет удобно рассматривать тожде- тождества A5) и A6), определяющие обобщенные собственные функции, как равенства скалярных произведений в пространстве L2 (Q) и в пространствах Я1 (Q) или Я1 (Q) соответственно. Пусть m = mina(x) (здесь мы не предполагаем, что a(.v)^O). Тогда функция Поэтому скалярное произведение (эквивалентное обычному) в #X(Q) можно задать равенством ("' v)fll(Q)=\(kVuVv+auv)dx, A7) Q а в Я1 (Q) — равенством (и, v)H4fi) = \(k4u4v-\-auv)dx-\- § kauvdS. A8) Q dQ Тождества A5) и A6) после этого можно переписать в виде (и, v)>H4Q) = {—X — т-\-1)(и, v)l2(Q) A9) и (", v)Hi(Q)-=--(—h — m + l)(u, v)mo>. B0) Прежде всего установим справедливость следующих утверждений. Лемма 1. Существует линейный ограниченный оператор А из L2 (Q) в Нг(О) с об.тстью определения L2 (Q), для которого
§ 1J ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ '77 при всех сёЯ1 (Q) имеет место равенство (и, v)l1(q) = (Au, »)j},(<2). B1) Оператор А имеет обратный оператор А-1. Оператор А, если его рассматривать как оператор из Я*(<2) в Я1 (Q), является самосопряженным, положительным и вполне непрерывным. Лемма Г. Существует линейный ограниченный оператор А' из L2(Q) в #*(Q) с областью определения L2(Q), для которого при всех иеЯ1 (Q) имеет место равенство (". v)mo) = (A'u, v)hhq)- B1') Оператор А' имеет обратный оператор А''1. Оператор А', если его рассматривать как оператор из Я1 (Q) в Я1 (Q), является самосопряженным, положительным и вполне непрерывным*). Докажем лемму 1. Доказательство леммы Г проводится ана- аналогично. Для любой (фиксированной) функции ие[2(Q) линейный по v, v еЯ1 (Q), функционал l(v) = (u, и)м<?) ограничен, так как I / (») | = | (U, O)t, «?) К | U It, №) I V Hi.,«?) < С I U Цг., «?) || U || J,, (<2). Поэтому согласно теореме Рисса существует единственная функ- ция t/e^(Q),Ji/lA4<?) = ||Zl<C||u|ltl(Q) такая, что /(t») = (?/, o)rfl(<?) для всех ye#x(Q). Это означает, что на L2(Q) задан оператор А (очевидно, линейный): Au = U, для которого выполняется B1). Так как \\Au\\^iiQ)^C\u\\mQ), то оператор А из U(Q) в Ях(<2) ограничен. Если при некотором и из L2(Q) Au = 0, то в силу B1) (и, v)mQ)—0 для всех v^H1(Q), т. е. ы = 0. Это означает, что существует оператор Л. Из B1) вытекает, что оператор А из Н1 (Q) в #X(Q) яв- является самосопряженным: (Ли, w)^i((?) = («, y)z.2<<?)== (у> ")?•№) = = (Ли, «)^i((?) = («. ^^яцс)- Из B1) вытекает также, что опера- оператор Л положителен. Покажем, что оператор Л из Я1 (Q) в Я1 (Q) является вполне непрерывным. Возьмем произвольное ограниченное в Ях(<2) мно- множество функций. В силу теоремы 3 п. 4 § 5 гл. III это множе- множество компактно в L2 (Q). Значит, из любого его бесконечного подмножества можно выбрать фундаментальную в L2 (Q) последо- последовательность us, s== I, 2, ... Так как оператор Л из L^iQ) в Ях(<2) *) Вид операторов А и Л', конечно, зависит от способов задания в Н1 (Q), соответственно в Нх (Q), скалярных произведений. Мы пользуемся скалярными произведениями A7) и A8).
•78 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV ограничен и, следовательно, непрерывен, то последовательность Aus, s=l, 2, ..., фундаментальна в H1(Q). Лемма доказана. Согласно лемме 1 тождество A9) можно записать в виде опе- операторного уравнения в пространстве #X(Q): -l)Au = u, иевН1®). B2) Согласно лемме Г тождество B0) можно записать в виде опе- операторного уравнения в пространстве H1(Q): -l)A'u = u, u<=Hl(Q). B2') Таким образом, число X является собственным значением пер- первой (соответственно третьей) краевой задачи для оператора X, а и — соответствующей ему обобщенной собственной функцией тогда и только тогда, когда —(Х-\-т — 1) есть характеристическое число самосопряженного вполне непрерывного оператора А из, Ях(<2) в H4Q) (А' из #X(Q) в Н1®)), а «-соответствующий' ему собственный элемент. Поэтому из результатов § 5 гл. II следует, что существует не более чем счетное множество собственных значений первой (третьей) краевой задачи; это множество не имеет конечных пре- предельных точек; все собственные значения вещественны; каждому собственному значению отвечает конечное число (кратность соб- собственного значения) взаимно ортогональных в Я1 (Q) (в Я1 (Q)) собственных функций; собственные функции, отвечающие различ- различным собственным значениям, ортогональны в Ях(<2) (в H1(Q)). Отметим, что для каждого собственного значения X первой (третьей) краевой задачи можно выбрать ровно k, где k — крат- кратность X, действительных попарно ортогональных в Ях(<2) (вЯх(<2)) собственных функций. Пусть и = Re и ^- Ит и — собственная функ- функция, отвечающая собственному значению X. В силу веществен- вещественности X и коэффициентов k (x) и а (х) функции Re и и Im ы, как это видно из A5) или A6) (функции v в A5) или A6) можно считать вещественными), тоже являются собственными функциями, отвечающими тому же X. При этом нетрудно видеть, что макси- максимальное число попарно ортогональных вещественных собственных функций равно k. Пусть Х\, л2, ..., Xs, ... B3) — последовательность, содержащая все собственные значения первой (третьей) краевой задачи для оператора X, причем каж- каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность. Пусть щ, и2, ..., щ, ., ' B4)
§ I] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ '79 — система взаимно ортогональных в Н1 (Q) (в Н1 (Q)) обобщенных собственных функций (||«j|z.,(O)= 1); каждая us соответствует соб- собственному значению Ks: l)Aus = us, s=l, .... B5) для первой краевой задачи и 1)А'и, = и„ s=l, .... B5') для третьей краевой задачи. Умножая B5) (B5')) скалярно в Я1 (Q) (в Я1 (Q)) на us, полу- получим в силу B1) (B Г)) равенства k l). B6) l), B6') которые (скалярные произведения в Я*(<2) и в Я1^) определены формулами A7) и A8j) можно переписать в виде \ l \us\2dx = 0 B7) Q Q для первой краевой задачи и для третьей краевой задачи. Из равенства B7) вытекает, что для всех s=l, 2, ... Я,< — m = — min a(x). B8) Из равенства B7') вытекает, что для всех s=l, 2, ... A,ssg — m = — mina(x), причем для всех s=l, ... имеет место строгое неравенство, если или а (х)^ const, или а(х)=?0. Если же о(х) = 0 (вторая кра- краевая задача) и а (х) = const, а{х)швт, то среди собственных зна- значений второй краевой задачи есть значение, равное —т, с собст- собственной функцией, равной const = 1/|/"|Q ! • Это собственное значе- значение имеет кратность 1, так как в силу B7') все собственные функции, ему отвечающие, удовлетворяют равенству \k\4u[*dx = Q — О, т. е. являются постоянными. Из B6) (B6')) вытекает, что система i/т—z:—тг> ч'#> i/т———т^' ••• \L^)
180 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV ортонормирована в Ях(<2) (в #X(Q))- В силу следствия 1 из теоремы 2 п. 2 § 5 гл. II она является ортонормированным базисом в Ях(<2) (в #X(Q)). И так как^пространство Й1®) (Н1®)) бес- бесконечномерно, то множество B4), а значит, и B3) бесконечно. Поэтому A,s-> — oo при s->oo. Умножим B5) (B5')) скалярно в Я1 (Q) (в Я1 (Q)) на uJt j Ф s. С помощью B1) (B1')) получим равенство — (Xs-\-tn— l)x X («j, «/)z.,@) = 0, т. е. система B4) ортонормирована bL2(Q). Поскольку линейное многообразие, натянутое на систему B4) (и, тем самым, на систему B4)), всюду плотно в H1(Q) (в H1(Q)), то оно всюду плотно и в L2(Q). Следовательно, система B4) является ортонормированным базисом в L2 (Q), т. е. любой эле- элемент f&L-tiQ) разлагается в сходящийся в L2(Q) ряд Фурье /=!!/,",. f* = <f' "^<<?>. B9) s=l и имеет место равенство Парсеваля —Стеклова Пусть функция /еЯ1 (Q) (Я1 (Q)). Она разлагается в сходя- сходящийся в Я1 (Q) (в Я1 (Q)) ряд Фурье по ортонормированному базису (й) лГ~\ ™ <i— I ° i/T" s=i x yi-m-ls/HHQ)y\. для случая первой краевой задачи (/е Я1 (Q)) и ^Ьи C0#) s для случая третьей краевой задачи (/ е Я1 (Q)). При этом имеют место равенства Парсеваля — Стеклова s=l и соответственно I K'- Frdfa (Q)
§ 11 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 181 Ряд C0) (C0')), конечно, сходится к / и в норме L2(Q). Сравнивая его с рядом B9), получим fs = (/, «s)i2@) = = ft us \ » /* = /* «i \ x \" VlmlJHHQ)VlmX V \ Vlm%) X Поэтому s= 1 откуда в силу B8) I/, s=l s=l s=l и соответственно (в силу B8')) s=l Следовательно, имеет место неравенство s=l где Xs, 5=1, 2, .... — собственные значения первой краевой задачи, a /e//x(Q), и неравенство C2) где Xs, s=l, 2, .... — собственные значения третьей краевой задачи, а /еЯ'((?). Постоянная С в C1) и C2) не зависит от/. Таким образом, доказана Теорема 3. Собственные значения Хи Х2, ... первой или третьей (второй) краевой задачи для оператора X = div (k (x) V) — — а(х) вещественны и A,s-> — oo при s-+oo. Собственные значе- значения первой и третьей при вфО краевых задач, а также второй (а==0) краевой задачи при а(х)=?const для всех s=l, 2, ... удовлетворяют неравенству Xs<. — mma(x). Собственные значения
182 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV второй краевой задачи при постоянной функции а(х)^т удов- удовлетворяют неравенству Xs^ — m, s= 1, 2, ..., причем существует однократное собственное значение, равное —т, с обобщенной собственной функцией 1/У\ Q |. Обобщенные собственные функции рассматриваемых краевых задач Ui(x), и2(х), ... образуют орто- нормированный базис в L2(Q), т. е. любая функция f e L2 (Q) раз- разлагается в ряд Фурье B9), сходящийся в L2 (Q). Для функции /g№ (Q) ряд B9) по обобщенным собственным функциям первой краевой задачи сходится в HX{Q) и имеет место неравенство C1"). Для функции /еЯ1 (Q) ряд B9) по обобщенным собственным функциям третьей {второй) краевой задачи сходится в Я1 (Q) и имеет место неравенство C2). 4. Вариационные свойства собственных значений и собствен- собственных функций. Поскольку определенный равенством B1) оператор А из Я1 (Q) в Я1 (Q) вполне непрерывный самосопряженный и поло- положительный (лемма 1), то на основании теоремы 1 п. 1 § 5 гл. II его первое, очевидно, положительное, характеристическое число f е/Ь «a (Aft Я А» (<а fs/?, (<а И / 1И2 «э (норма элемента / в Я1 (Q) согласована со скалярным произведе- произведением A7)). При этом функционал || Л1#««?) / II ЛИ.«?) принимает значение \it при f = ux, где и.\ — первый собственный элемент опе- оператора А. Поэтому первое собственное значение первой краевой задачи для оператора X X. ж+1- inf Ш®— in! * t|f|,. C3) fsri'ia l/ll'«» ferf««» \l/l8djc и точная нижняя грань функционала на пространстве Я1 (Q) достигается на первой собственной функ- функции их. Из результатов п. 1 § 5 гл. II вытекает, что (^+1)-е харак- л ¦ ( t теристическое число цА+1 оператора А равно inf Так как.согласно B1) (/,
§ 1} ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ i — 1, 2, ..., то — inf — inI 0 J83 i=l ft Поэтому (k+l)-e собственное значение первой краевой задачи для оператора 25 inf = — inf V- f?dx C4) Точная нижняя грань функционала \f\*dx на подпространстве пространства Й1 (Q), состоящем из всех функ- функций, ортогональных в скалярном произведении L2 (Q) собственным функциям Ui, ..., Utt этой краевой задачи, достигается на собст- собственной функции мА+1. Совершенно аналогично, для третьей (второй) краевой задачи для оператора X г = — m-\-l— inf I/ft. = — m-fl- = - inf lilt ko\f\*dS [\f?dx C3') I / Ifff« CO» г=1 ft ^=— inf {ka\f?dS * C4')
184 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Точная нижняя грань функционала j ko\f\*dS \f\*dx на Я1 (Q) достигается на первой собственной функции «j. Точная нижняя грань этого функционала на подпространстве простран-4 ства Я1 (Q), состоящем из всех элементов, ортогональных в ска- скалярном произведении Lz(Q) собственным функциям их, ..., uk соответствующей краевой задачи, достигается на (&-|-1)-й соб- собственной фуНКЦИИ Uft+1. Формулы C3) и C3') можно объединить в одну. f ko\f\*dS - fee \\f?dx причем %t есть первое собственное значение третьей (второй при а==0) краевой задачи для оператора X, если G = H1(Q), и %t есть первое собственное значение первой краевой задачи, если G = HX{Q) (в случае, когда / 6= Я1 (Q), интеграл \ka\f\*dS = 0). Аналогично можно объединить и формулы C4) и C4'): = — inf ? = ^ . C4" fe f[/l2^ V Использование формул C4), C4') и C4") иногда бывает затруд- затруднено тем, что (k-\-l)-e собственное значение ЯА+1 с их помощью вычисляется на основе знания предыдущих собственных функций их, ..., ик. Ниже будет получена формула для ЯА+1, свободная от этого недостатка. Возьмем произвольно k функций q>lt ..., (pk из L2(Q) и обо- обозначим через /?(фх, ..., ц>к) подпространство пространства Ях(<2), состоящее из функций /, ортогональных в скалярном произведе- произведении L2(Q) функциям Фх, ..., фА: (/, 4>s)La(Q) = 0, s=1, ...,k. Пусть
§ I] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 185 точная нижняя грань числового множества {d (cpi,..., } взятая по всевозможным системам q>lt ..., ц>к функций из L2(Q): dk+1= inf d((plt ..., щ). (ч* f>k) 4>seL2 «?> s=l, .... к Покажем, что dft+1 = ^+1, где ЯА+1 — (&+ 1)-собственное значе- значение первой краевой задачи для оператора X. Так как d(uu ..., ик) = Хк+1 (формула C4)), то dft+1<^ft+1. Установим обратное неравенство. Для этого достаточно при про- произвольном фиксированном выборе системы cpt, ..., q>k построить такую функцию / из /?(фх, ..., Ф*), для которой ||/||z.,@) = 1 и Функцию / будем разыскивать в виде s=l Тогда условия f^R((pu ..., фА) и ||/||z.,«» = 1 примут вид if, Фр)х-2 «?> =^fs (us, <РР)ц «?> = 0, р = 1, ..., k, C5) s=l ft+1 »=i;im'=i. C6) Поскольку линейная система C5) относительно вектора (fu ... • • •. /a+i) есть однородная система k уравнений с k + 1 неизвест- неизвестными, то она всегда имеет нетривиальное решение. Нормировоч- Нормировочное условие C6) при этом всегда можно удовлетворить. Так как в силу B6) и C6) 5=1 5=1 s= 1 (напомним, что Xi^X2^:. ..^ЯА+1), то функция / искомая.
186 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ - [ГЛ IV Итак, (k-\- 1)-собственное значение первой краевой задачи для оператора X задается формулой Ят = inf f-m+l- inf (ФХ Ф s=l * N 1 = 1 А =-*+1- sup inf (? /)М<?) i = l ft = - sup inf ^ -. , C7) () U \\f\2** s2 (!i)AQ) s=l, ...,k 1=1, .... k выражающей так называемое минимаксное свойство собственных значений. Точно так же устанавливается формула для (&+1)-го собствен- собственного значения третьей (и второй) краевой задачи для оператора X >*„ m+I- sup inf (фг-.фа) fHH s=l ft I = 1> ••••* Uk\Vf\*+a\f\2)dx+ j ko\f\*dS sup . inf 2 f|twj « . C7'). Ve,«»Vi).«» 1=1 ft t=1 * Формулы C7) и C7') можно объединить в одну: j (A |V/|» + a|/|i) <** + ¦¦$ >.*« = - sup inf 5 ЭД f Cr) (ФХ <P*).f (SO \l/|2^ 1=1 ft ' —' * причем XkH — есть (&+1)-е собственное значение первой краевой задачи для оператора div (k(x)V)~a(x), если G = H1(Q), и Я*+1 — (&+1)"е собственное значение третьей (второй при а==0) краевой задачи, если О = ЯХ(С). Минимаксное свойство собственных значений дает возможность сравнивать собственные значения различных краевых задач. Теорема 4. 1. Пусть Xk, ^" и Xlu — k-e собственные значе- мия первой, второй и третьей (при некотором a 15=0) краевых
§ 1J ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 187 задач для оператора X = div(&(*) V) — а(х). Тогда Яа<Я"'<Я" при всех k=l, 2,... 2. Пусть X'k — k-e собственное значение первой, второй или третьей (при некотором а = а' 3= 0) краевых задач для опера- оператора X' = div (k' (x) V) — а' (х), a Хк — k-e собственное значение соответственно первой, второй или третьей (при некотором а = <х"ЗгО) краевых задач для оператора X" = A\v (k" (х) V) — а" (х). Если k' ^k", а' ^а" в Q ив случае третьей краевой задачи o's^o" на dQ, то К3=Хк для всех & = 1, 2,... 3. Пусть Q' — некоторая подобласть области Q, Q' cQ, а Хк (Q) и Xk(Q') — k-e собственные значения первой краевой задачи для оператора X = div (k (x) V) — а (х) в Q и соответственно в Q'. Тогда Хк (Q) Зг lk (Q') при всех k = 1, 2,... Доказательство. 1. Пусть &>1. Так как значение функ- функционала, стоящего под знаком inf в C7") для случая третьей краевой задачи (а з^О), не меньше, чем его значение для второй краевой задачи (а = 0), а множество G в обоих случаях одно и то же — Я1^), то справедливо неравенство Л*11^^1. Неравенство Ал^йДа11 также вытекает из C7"), поскольку множество G, по которому берется inf, для случая третьей краевой задачи шире множества G для первой краевой задачи: Н1 (Q) z> H1 (Q). Утверждение 1 при &=1 следует из C4"). 2. Утверждение 2 вытекает из C7") (при k> 1) и C4") (при &=1), поскольку значение функционала, стоящего под знаком inf, в случае оператора -X" не меньше соответствующего значения в случае оператора %'. 3. Поскольку множество H1(Q) содержит в себе множество #!(Q) функций из H1(Q), обращающихся в нуль на Q\Q', то при &> 1 MQ) = - sup inf ) ,ц ( 5).«a s=\ ft-1 s=l A-l 3s— sup inf Л ? .(«Н..«г> s = 1 *-! s=l A-l = - sup inf (фг ...,ФЛ1) f<=H4Q') s=\ A —1 s=l A где
188 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Если k = 1, то MQ) = - inf T(f)^- inf T(/) = MQ')- г Теорема доказана. 5. Асимптотическое поведение собственных значений первой краевой задачи. Рассмотрим сначала собственные значения первой краевой задачи для оператора Лапласа А (оператора X = = div(?V) — а при k=l, а = 0) в кубе К( = {0<xt</, i = = 1, ..., п} с ребром / >¦ 0. Обобщенная собственная функция и (х) первой краевой задачи для оператора А в Ki, отвечающая собственному значению X, определяется как функция из Н1 (К/), удовлетворяющая при всех v из Н1 (Ki) тождеству I VuVvdx = — % I uvdx. Легко проверить, что функция иту ...,т(х) =(т)" х л хТТ sin^Y^ при любых целыхт1>0,... ,тл>0 является соб- ственнои функцией рассматриваемой краевой задачи; соответствую- соответствующее собственное значение равно — ^(mf-f... + тл). Система функций ит т (х) при всех целых /П/>-0, t = l, ..., л, ортонормиро- вана в L2 (Ki)- Поскольку любая функция из L2 (Ki), ортогональ- ортогональная всем итх тп, равна нулю (это утверждение доказывается так же, как в п. 4 § 4 гл. III доказывалось соответствующее утверждение для системы функций ит т = exp {i {tnlxl +... ... + тпхп)} в кубе {|jq|<jt, t = l, ..., л}), то эта система яв- является ортонормированным базисом в L2(Ki) и, следовательно, содержит все собственные функции первой краевой задачи для оператора А в Ki. Таким образом, между множеством всех собственных функций рассматриваемой задачи и множеством всех точек {mlt ..., тп) с целочисленными положительными координатами и, тем самым, множеством всех кубов Ктх тп = {щ — l^Xt^ni;, i = 1, ..., п\ имеется взаимно однозначное соответствие. При этом соответствую- соответствующее функции ит т (х) собственное значение равно квадрату расстояния от точки (тх, ..., тп) до начала координат, умножен- умноженному на —я2//2. Таким образом, кратность собственного значе- значения X равна числу точек с целочисленными координатами, лежа- лежащих на сфере радиуса У— % tin, В частности, число —%п —
§ 1J ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 189 первое собственное значение; оно однократно. Ему отвечает соб- собственная функция т, ^ 1 (лс) = (т~j sin^j1... sin^p. Следующее собственное значение равно — ^-(л + 3); оно л-кратное. Ему соот- соответствуют собственные функции и\ i,2,i....,i W = (t)" i 1 i,2,i....,i W = ()" i— 1 i=l, ..., п. Обозначим через N (p) число собственных значений (с учетом кратности), не превосходящих по абсолютной величине некоторого р>0, N (р) равно числу точек {т^, ..., тп) с целыми положи- /2 тельными координатами, для которых т\-\-...-\-т*п-^-^р или, что то же самое, равно объему тела Му-1/л, составленного из всех кубов Kmv....mn, для которых т\ + ... + т% < -^ р. Так как -ei/n\=Whi Р"/2- Поскольку, с другой стороны, при р > п J- Перенумеруем собственные значения, как обычно, в порядке невозрастания: 0>^Ss^Ss... (каждое собственное значение в этой последовательности встречается столько раз, какова его кратность). Возьмем произвольное собственное значение Xs; пред- предположим, что его кратность равна ps, р5^1, и пусть %s_ >, ... .... Xs, ..., \+р" при некоторых целых р^О, PsSsO, Ps-\- + pj + l =Pii — все собственные значения, равные Xs. Число ps равно объему тела, составленного из кубов Кт т вер.шины (mlt ..., тп) которых лежат на сфере радиуса — |Л.,I1/2 с центром в начале координат. Поскольку это тело содержится [D)/2D)/2 |s||4|[()()] В частности, учитывая, что Xs-+ — со при s->-oo, отсюда получаем lim fen/2 = 0- Из определения функции N (р) следует, что s-\-ps =N(\ ks |). Поэтому ^(^-Kn)n/2<S + p^§(^)n/2. А так как 0^ps' ^Ps, то существует предел отношения s/\Xs\"/2, и он равен ^-1п12л~п/2. Следовательно (напомним, что ...^ ^2^^i<0), найдутся такие постоянные С„ и Clt 0<C0^Cx, что при
•*Ю ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV всех s= 1, 2, ... -^s2/*<^-^s2/*. C8) Так как собственные значения не зависят от выбора системы координат, то неравенства C8) для собственных значений первой краевой задачи для оператора Лапласа имеют место и в случае, когда куб Ki заменен любым кубом с ребром /. Легко видеть, что собственные значения первой краевой задачи в кубе с реб- ребром / для оператора &<Д — а0, где k0 > О и а0 — постоянные, равны — k0 ^ (т\ +... + т%) — а0, где mlt ..., тп — целые положительные Числа. Поэтому неравенства C8) с некоторыми постоянными Со и Сг (зависящими от k0) справедливы и для них при всех s, начиная с некоторого s0 (зависящего от k0 и а0). Рассмотрим теперь общий случай. Теорема 5. Пусть Xs, s=l, 2, ...,— собственные значения первой краевой задачи для оператора X = div (k(x) V) — а(х) в об- области Q. Существуют такие постоянные Со и Си 0<.С0^Съ и номер s0, что для всех s^s0 имеют место неравенства -ClS2/«^;^<-CoS2/n. C9) Пусть Xs и ^ — собственные значения первой краевой задачи в Q для операторов X = <jiv(?v) — s = ?A — а и Х = Ш — а соот- соответственно, где ? = max&(*), k = mmk(x), a = maxa(x), a = Q 3 ^Q = mina(^). Тогда в силу утверждения 2 теоремы 4 для s=l, _ 2,... имеют место неравенства XS-^XS^:XS. Обозначим через К' и К" такие кубы, что К' czQczK", а через \'s и X"s — собственные значения первой краевой задачи для опера- оператора X в К' и оператора X в К" соответственно. Согласно утвер- утверждению 3 теоремы 4 для всех s X's ^ ~XS и Kg S= A^. Утверждение теоремы теперь вытекает из того, что, начиная с некоторого s = = s0, для X's и %1 справедливы неравенства C9). 6. Разрешимость краевых задач в случае однородных гранич- граничных условий. В п. 2 изучался вопрос о существовании и единст- единственности обобщенных решений первой и третьей (второй) краевых задач для уравнения A) в предположении, что а(х)^6 в Q. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть т = т\па(х). Перепишем тождества D) и F) так: (и. у)я.«з) + (т-1)(". v)laq) = — (/. v)laq)> D') (и, v)HHQ)^(m~\)(u, у)м« = —(/- у)м«. F')
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 191 где скалярные произведения в H1(Q) и в #X(Q) определены с по- помощью равенств A7) и A8). В силу леммы 1 п. 3 тождество D') эквивалентно операторному уравнению u + (m-l)Au = — Af D0) в пространстве Н1^), а тождество F') в силу леммы Г —опера- —операторному уравнению u + (m-l)A'u = — A'f D0') в пространстве HX(Q) (напомним, что Af^Hl(Q), A'f^ Оператор А как оператор из Hl(Q) в //X(Q) (Л' из tfx(Q) в ()) вполне непрерывен. Поэтому для исследования уравнения D0) (D0')) можно воспользоваться теоремами Фредгольма (теоремы 1_4 пп. 3—7 § 4 гл. II). 1) Если число — т+1 не является характеристическим чис- числом оператора А (А'), то в силу первой теоремы Фредгольма уравнение D0) (D0')) однозначно разрешимо при любой /eL2(Q)- При этом имеет место неравенство \\u\\^HQ)^:Ci\\Af\\^4Q)^C\\f\\mQ) (Iы\\hhq)«?С|/\\ц«з)) с постоянной С>0, не зависящей от/. По- Поскольку — т + 1 является характеристическим числом оператора А (А') тогда и только тогда, когда нуль является собственным значением первой (третьей) краевой задачи для оператора X, то нами установлено следующее утверждение. Теорема 6. При любой / из L2(Q) существует единственное обобщенное решение и (х) каждой из краевых задач (I), B) и A), C) при однородных граничных условиях (<р = 0), если нуль не является собст- собственным значением соответствующей краевой задачи для опера- оператора X. При этом имеет место неравенство в котором постоянная С>0 не зависит от f. 2) Если —т+1 есть характеристическое число оператора А (А') (тогда, конечно, тф\), то воспользуемся третьей теоремой Фредгольма. Для разрешимости уравнения D0) (D0')) в этом слу- случае необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства (Л/, ыр)^, (Q) = 0 ({А'/, ир)н' (Q) = 0) для всех собственных функций ир оператора А {А'), отвечающих характеристическому числу —т+1. При этом существует единственное решение и уравнения D0) (D0')), ортогональное в //X(Q) (в #X(Q)) всем функциям ир, и для него имеет место неравенство || и у, (Q) s? С | / ||l, «з> (||и||я«<<Э)«? fiSC||/]|L2(Q)) с постоянной С>0, не зависящей от /. Любое дру- другое решение уравнения D0) (D0')) представляется в виде суммы решения и и некоторой линейной комбинации функций ир.
192 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Из определения операторов А и А' (B1) и соответственно BГ)) вытекает, что ортогональность функций Af (A'f) и ир в #X(Q) (в Н1 (Q)) эквивалентна ортогональности в L2 (Q) функций / и ыр. Кроме того, ортогональность в Н1 (Q) (в Я1 (Q)) решения и урав- уравнения D0) (D0')) собственной функции ир эквивалентна их орто- ортогональности в L2(Q), поскольку в силу B1) (BГ)) (и. ир)Й1{9) = A- ((и, ыр)я.(C) = (!-'")(«, up)LAQ)). Таким образом, нами доказана следующая Теорема 7. Если нуль является собственным значением пер- первой или третьей (второй) краевой задачи для оператора ?, то для существования обобщенного решения задачи A), B) или A), C) при однородных граничных условиях (<р = 0) необходимо и доста- достаточно, чтобы выполнялись условия: (/, «p)l2(Q) = 0 для всех обоб- обобщенных собственных функций ир соответствующей задачи, отве- отвечающих собственному значению, равному нулю. Существует единственное решение и задач A), B) и A), C) (при <р = 0), орто- ортогональное всем этим собственным функциям: (и, «p)i.2«3) = 0. Это решение удовлетворяет неравенству с постоянной С>0, не зависящей от /. Любое другое решение представляется в виде суммы этого решения и и некоторой линей- линейной комбинации функций ир. Из теоремы 3 следует, что нуль является собственным значе- значением второй краевой задачи (а = 0) для оператора X при а = 0; соответствующая единственная собственная функция равна \JY\Q\- Поэтому из теоремы 7, в частности, вытекает Теорема 8. Для того чтобы существовало обобщенное реше- решение задачи необходимо и достаточно, чтобы Q В этом предположении существует единственное обобщенное реше- решение и, удовлетворяющее условию ^udx = 0, и для него имеет место Q неравенство || U JHHQ)^ С || f\\LAQ)
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 193 с постоянной С>0, не зависящей от функции /. Любое другое обобщенное решение и этой задачи представляется в виде й = и-\-сх, где сх — некоторая постоянная. Замечание. Если функция / вещественнозначна, то и реше- решения, о которых идет речь в теореме б, вещественнозначны. Это утверждение доказывается так же, как соответствующее утверж- утверждение в замечании, сделанном в конце п. 2. Решения, о которых идет речь в теоремах 7 и 8, также можно считать вещественнозначными, если, конечно, все соответствующие собственные функции брать вещественнозначными и ограничиться их линейными комбинациями с вещественными коэффициентами. 7. Первая краевая задача для общего эллиптического уравнения. Результаты предыдущих пунктов без труда распространяются и на более общие эллиптические уравнения. В качестве примера рассмотрим следующую краевую задачу: t = f(x),x^Q, D1) мк = 0, D2) где вещественные коэффициенты а-ч (х) е С1 (Q), at(x) eC1 (Q), а(х)^С (Q), i, / = 1, .... и; матрицу |ац (х) || считаем симметриче- симметрической и положительно определенной (эллиптичность уравнения D1)), т. е. удовлетворяющей с некоторой постоянной у>0 при любом вещественном векторе (|lt..., |л) и любой точке j;e?? неравенству 2! flyWbE/^viia. D3) i, /=1 ( = 1 Классическое решение и(х) задачи D1), D2) определяется обычным образом: это функция из С2(Q)(]C(Q), удовлетворяю- удовлетворяющая D1) и D2). С помощью формулы Остроградского без труда убеждаемся, что если f^L2{Q), то классическое решение задачи D1), D2), принадлежащее /fx(Q) при всех v^=H1(Q) удовлетво- удовлетворяет интегральному тождеству + \ и J! aflXi + ( J] ^ - a) v \dx = - J/0 dx. D4) Q L( = 1 \f = 1 / J Q Функция ы из Н1 (Q) называется обобщенным решением задачи D1), D2), если она при всех и <= Н1 (Q) удовлетворяет интеграль- интегральному тождеству D4), при этом считаем, что /eLj(Q). 7 В. П, Михайлов
194 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. IV Согласно теореме 6 п. 6 § 5 гл. Ill в Я1 (Q) можно ввести эквивалентное обычному скалярное произведение Q i. i= 1 В связи с этим тождество D4) можно переписать в виде п п = —(/, u)i.,(Q)- D5) Лемма 2. 1. Для любых непрерывных в Q функций ао(х), ai(x), ..., а„ (х) существует такой линейный ограниченный опера- оператор А из L2(Q) в H1(Q), определенный на всем L2(Q), что при всех v e Ях(<2) имеет место равенство V ) - А 2. Оператор А, если его рассматривать как оператор из Я' (Q) в Я1^), вполне непрерывен. Так как при фиксированном и е L2 (Q) заданный на Я1 (Q) (»e//'(Q)) линейный функционал /(и) = (ы, ^]aiVX(-\-aovj ограничен: | l(v)\ ^J иЦ/.2(<э) где постоянная С>0 зависит лишь от ||^]|с(q)» / = 0, 1,..., л, то согласно теореме Рисса существует единственная функция U е ': Я1 (Q), для которой / (у) = (U, у)яч<Э) ПРИ всех v^H1 (Q), причем .. Это означает, что на L^ (Q) задан опе- оператор А (очевидно, линейный), переводящий L2 (Q) в Я1 (Q): Аи = U. Этот оператор ограничен, ЦЛЦ^С, и при любых u<=L2(Q) и иеЯ1 (Q) имеет место равенство , + «о" < СI и ||La (Q) 1 и \\Й1 Покажем, что оператор Д, если его рассматривать как опера- оператор из H1(Q) в Я1^), вполне непрерывен. Возьмем произвольное ограниченное множество в Я1 (Q). Согласно теореме 3 п. 4 § 5 гл. III это множество компактно в L2(Q). Тогда из любой беско- бесконечной последовательности его элементов можно выделить фунда- фундаментальную в L2 (Q) подпоследовательность. Поскольку оператор А
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 195 из L2 (Q) в #X(Q) ограничен (и, тем самым, непрерывен), то эту подпоследовательность он переводит в фундаментальную последо- последовательность в #X(Q). Следовательно, оператор А из #X(Q) в #X(Q) вполне непрерывен. Лемма доказана. Поскольку заданный на Й1 (Q) (и е Н1 (Q)) линейный функ- функционал (/, v)Li(Q) ограничен: | (/, o)L,(Q) | *? С|/1|^(Q) |оЦ,(Q)> то по теореме Рисса существует единственный элемент F e#x(Q), для которого при всех ye//x(Q) (/, v)L {Q) = (F, v)^HQ), причем W\c\\f\ Поэтому с помощью леммы 2 полагаем а0 = j^ aiX{ — а) инте- \ 1=1 i гральное тождество D4), определяющее обобщенное решение, можно переписать в виде операторного равенства в пространстве Й1 (Q): u + Au = F, u^Hx(Q). D6) Лемма 3. Если -~ У alxt — а ^ 0 в Q, то однородное уравне- i-1 ние D6) имеет лишь нулевое решение. Пусть и — решение уравнения ы + Лы = 0. Умножая скалярно в H1(Q) это равенство на и, получим |«|^1(Q) + (^«. и)н'Щ)~®' Откуда следует, что ||u||^4Q) + Re(/4u, «)^lS=0. Так как Reагы^ = -^(аг\и f)Xi — ~\uf и и|а<з = 0, то Re (Ли, u)?1(Q) = Re Поэтому |"|^1((Э)^0, т. е. м = 0. Из леммы 3 и первой теоремы Фредгольма вытекает п Теорема 9. Если у У aiX[ — a^O eQy то обобщенное реше- (=i ние задачи D1), D2) при любой функции /eL2^Q) существует и единственно. 7*
196 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV 8. Обобщенные решения краевых задач с неоднородными гра- граничными условиями. Рассмотрим сначала задачу A), B). Напом- Напомним, что обобщенным решением этой задачи называется удовлетво- удовлетворяющая интегральному тождеству D) функция и из Я1 (Q), след которой на границе 3Q равен граничной функции ср. Из определения обобщенного решения вытекает естественное условие на граничную функцию ср. Нужно требовать, чтобы ее можно было продолжить в область Q функцией из пространства H1(Q). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что это усло- условие выполнено. В противном случае обобщенное решение задачи A), B) не может существовать. Из теоремы о следах функций из Я1^) вытекает, что ер должна принадлежать пространству L2(dQ). Но этого недостаточно для того, чтобы ее можно было продол- продолжить в Q функцией из #X(Q); более того, для этого недостаточно даже ее непрерывности. В конце пункта мы еще вернемся к этому вопросу и в случае окружности получим необходимое и доста- достаточное условие возможности такого продолжения. Отметим, что если cpeCx(dQ), то такое продолжение суще- существует. Из теоремы 2 п. 2 § 4 гл. III вытекает существование функции Ф(лг) из С1 (Q) и, тем более, из H4Q), для которой Ф|а<з = ф. причем имеет место неравенство ЦФЦнмо^^ЦфНсмл?) с постоянной Ci>0, не зависящей от ср. Итак, пусть существует функция ФеЯ1^), для которой Ф|яэ = ф- С помощью замены и — Ф — w задача нахождения обоб- обобщенного решения и сводится к задаче нахождения функции даеЯ1^), удовлетворяющей при всех ye//x(Q) интегральному тождеству $ v + awv) dx-= — \ (kV<?>Vv + аФо +fv) dx. D') Q Q Заметим, что если Ф еЕ Я2 (Q) (для этого при dQ e С2 достаточно, чтобы феЕС2(д<2)), то тождество D') можно переписать в виде где / =/— div (^Ф) + аФ, т. е. задача сведена к задаче, иссле- исследованной в п. 2 и 4. Ограничимся, как и в п. 2, случаем, когда а(х)^0 в Q. Вводя в Я1 (Q) скалярное произведение по формуле G), перепишем D') в виде где I (и) = — J (?VQVs Ц- дФб 47е) dx — линейный функционал, Q
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 197 заданный на H1(Q){v^H1(Q)). Поскольку где постоянная С2 > 0 зависит лишь от коэффициентов k и а, то функционал / ограничен и ||/||==?С2 (||/||/.,(<э) + |!Ф|нче?))- Поэтому согласно теореме Рисса в Я1 (Q) существует единственная функ- функция w, удовлетворяющая тождеству D'), причем ||^!1//1((Э) = ||/||^ ^Cj(|/||l,(Q) + ||O||h«(Q)). Тогда функция и = w + Ф является обоб- обобщенным решением задачи A), B). При этом имеет место нера- неравенство с постоянной Cs>0, не зависящей от / и Ф, а следовательно, и неравенство inf ЦФЦнчс), D7) в котором постоянная не зависит от / и ср. Если граничная функ- функция ijeC1 (dQ), то из этих неравенств вытекает неравенство ^ D7') Покажем, что найденное решение единственно. Действительно, если существует другое обобщенное решение и', то разность и = = и — и' является функцией из Я1 (Q), удовлетворяющей в силу D) при всех v евЯд (Q) интегральному тождеству \ (k^uVv + auv) dx = 0. Q Поскольку левая часть этого равенства есть скалярное произве- произведение в Н1 (Q) функций и и v, то й = 0. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 10. Если а(х)~^0 в Q, а функция ср является гра- граничным значением некоторой функции из Hl(Q), то существует единственное обобщенное решение и задачи A), B). Это решение удовлетворяет неравенству D7), а тем самым при ср еЕ С1 (dQ) и неравенству D7'). Замечание. Как нетрудно проверить, множество вМ задан- заданных на dQ функций ср, являющихся следами некоторых функ- функций Ф из Я1^), есть банахово пространство с нормой |ф|!сЖ = = inf |Ф||и»(<3)- В связи с этим неравенство D7) можно пере- Фея>(C) писать в виде
198 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. IV Рассмотрим задачу A), C). Напомним, что функция и из Н1 (Q) называется обобщенным решением этой задачи, если она удовлет- удовлетворяет интегральному тождеству E) при всех v^H1(Q). Гранич- Граничная функция ф в этом случае предполагается принадлежащей L2 (dQ). Теорема 11. Если а(х)^0 в Q и или а{х)фО в Q, или а(х)^0 на dQ, то для любых f ^L2(Q) и (peis(dQ) существует единственное обобщенное решение и задачи A), C). При этом имеет место неравенство в котором постоянная С > 0 не зависит от f и ф. Введем в Я1 (Q) эквивалентное обычному скалярное произве- произведение по формуле A0). Тогда интегральное тождество E) можно переписать в виде (И, V)H4Q) = 1(V), где l(v) = — {fvdx + \k<fDdS Q dQ — линейный функционал, заданный на #X(Q) (v^ H1 (Q)). Так как согласно теореме 1 п. 1 § 5 гл. III \l (v) I *? II / Ik и) || о \\ц «з) + max k (х) ¦ || <р ||L, (ао> | v ||l. (ад < с постоянной С>0, не зависящей от /, ф и и, то функционал l(v) ограничен и ||/||г^С(||/||м<з) + ||ф!кг(ад)- По теореме Рисса существует единственная функция и из Я1^), удовлетворяющая тождеству E), причем || и \\hhq) = || /1 ^ С (||/ ||li(q) +1| Ф |U-,<ao))- Теорема доказана. Пусть теперь в задаче A), C) а(х) = 0 в Q и а(лг) = О на dQ. Введем в Я1 (Q) эквивалентное обычному скалярное произведение (и, v)HHQ) = $ (WuVv + uv) dx. D9) Q Тогда интегральное тождество E), определяющее обобщенное реше- решение второй краевой задачи для оператора div (?V), можно пере- переписать в виде (и, и)яч<Э)-(и. v)l,(Q) = 1(v), E0) где \ \kyvdS E1) dQ
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 199 — линейный функционал, заданный на tfx(Q) (v e #X(Q))- Так как согласно теореме 1 п. 1 § 5 гл. III | / (и) К |/\\laq) I v \\laq) + max k (х) с постоянной С >• 0, не зависящей от /, ср и и, то функционал /(и) ограничен и |Z|ssC' (If |к,«?L-||ф||мад))- По теореме Рисса в Я1 (Q) существует единственная функция Т7', для которой при всех вей1 (Q) имеет место равенство /(у) = (Г, v)hHq), E2) причем |f'|^(Q)^C'(li/||L2(Q) + |k|L2(aQ)). E3) В силу леммы Г п. 3 (скалярное произведение в H1(Q) считаем заданным по формуле D9)) существует такой ограниченный опера- оператор А' из L2(Q) в H1(Q) с областью определения L2(Q), что при всех ое//1^) (", v)LtlQ) = (A'u, v)H4Q). E4) При этом оператор А', если его рассматривать как оператор из Я1 (Q) в Я1 (Q), является самосопряженным и вполне непрерывным. С помощью E2) и E4) тождество E0) можно заменить экви- эквивалентным ему операторным уравнением в пространстве Ях(<2): u-A'u = F'. E5) Так как для функции ых(лг) = const = -j= ПРИ любой кеЯ1 (Q) ) имеет место равенство (ых, u)lhQ) = (ui» v)hhq) (скалярное произ- произведение в Я1 (Q) определено формулой D9)), то в силу E4) (A'ui, v)h>{Q) — (ui, v)l2(Q) = (uv v)h4q). Это означает, что число 1 есть характеристическое число оператора А', а ых = тт== — соот- V \ QI ветствующая собственная функция. Поскольку любая собственная функция и\ оператора А', отвечающая характеристическому числу 1, удовлетворяет равенству (и[, u[)hhq) = (A'u[, u[)hhq) = {u[, u[)Li(Q), то для нее имеем J a i vM; |» dx—о. Q Следовательно, ы[ = const, т. е. число 1 есть однократное харак- характеристическое число оператора А'. Согласно третьей теореме Фредгольма для разрешимости урав- уравнения E5) необходимо и достаточно, чтобы функция F' была ортогональной в Hl (Q) функции «1 = -r==: lf\ f j =0.
200 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ IV Из E2) и E1) вытекает, что это условие эквивалентно условию -\fdx+ \ k(f>dS = O. E6) О dQ При выполнении этого условия уравнение E5) имеет един- единственное решение и, ортогональное в Я1 (Q) постоянным. Оно явля- является обобщенным решением исследуемой краевой задачи. При этом в силу E3) имеет место неравенство D8) с постоянной С, не зави- зависящей от / и ф. Все остальные решения отличаются от функции и постоянными слагаемыми. Поскольку для функции из Я1 (Q) усло- условие ортогональности постоянным в скалярном произведении D9) эквивалентно условию ортогональности постоянным в скалярном произведении L2 (Q), то нами установлено следующее утверждение Теорема 12. Для существования обобщенного решения задачи div (k (x) Vu) = f, -,- =ф необходимо и достаточно, чтобы выпол- выполнялось равенство E6). При этом обобщенное решение и, ортого- ортогональное в скалярном произведении L2 (Q) постоянным, единственно и для него имеет место неравенство D8). Все остальные обобщен- обобщенные решения задачи отличаются от функции и на постоянные. Замечание. Если функции / и ф вещественнозначные, то и решения, о которых идет речь в теоремах 10—12, тоже веще- вещественнозначные. При исследовании первой краевой задачи для уравнения A) с неоднородным граничным условием возникла следующая задача: найти условия на функцию ф из Lz(dQ), при которых существует ее продолжение в область Q, принадлежащее Я1 (Q). Как было показано, достаточным для этого условием является принадлеж- принадлежность пространству С1 (dQ). Сейчас в случае, когда Q есть круг, мы установим необходимое и достаточное условие. Пусть область Q (я = 2) есть круг {|лг| = р<1}, х=(х1у х2) = = (pcos9, psin9). Рассмотрим на окружности dQ = {p=l} веще- вещественную функцию ф из (вещественного) , пространства L2(dQ), Ф (9) е L2 @, 2л). Разложение функции ф (9) в сходящийся в норме L2@, 2л) ряд Фурье имеет вид где 2л 1 Л J о 2л = - [ фF) sin^8d6, ?=1,2 о — ее коэффициенты Фурье.
1) ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 201 Согласно равенству Парсеваля — Стеклова = -i-lkl|i,(o.«)<oo. E7) Имеет место следующее утверждение. Теорема 13. Для того чтобы функция срF) из Ц@, 2я) была следом на окружности {'х\=1\ некоторой функции из Н1(\х\ < 1), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ^ k(al+b%). E8) В силу E7) последовательности ak и bk, k=l, 2, ..., ограни- со чены. Поэтому функция ^ (a*— ibk)zk, где z = Xi-\-ix2, анали- тична в круге {] г |< 1}. Значит, функция w(x) = w(p, e) = ^ + Re s=i = ?+ 2 Pft(aftcos?9 + 6ftsin?9) E9) принадлежит С°°(! xj< 1), причем ряд в E9) и ряды, получаю- получающиеся из него почленным дифференцированием, сходятся абсолютно и равномерно в круге {jxj<;r} при любом г<1. При доказательстве теоремы 13 нам потребуется следующее утверждение. Лемма 4. Для того чтобы определенная рядом E9) функция w (х) принадлежала пространству Я1(|лг|<;1), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд E8). Обозначим через wm(x) частичную сумму ряда E9): Так как все функции системы pftcos?9, pksink0, k — 0, I, ... , попарно ортогональны в L2(|at|<1) и ||pftcos^9 |J2l2(^i < о = = || р* sin fe61lL,(l*|<i)=2(fe+ l)' k= l' 2' •••¦то для любых р и q, <7>P.
202 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ IV Поэтому из сходимости ряда E7) вытекает сходимость в L2 (| х | < l) последовательности wm(x), m—l, 2, .... Следовательно, функция w e L2 (|лг| < 1), и ряд E9) сходится к ней в 12(|*|<1). Пусть сходится ряд E8). Тогда (при q>p) 2я ' '" г = ^Рф^ \(Wg—l 1 = Т 2 ft=p+i *=p+i при р, ^->оо. То есть последовательность дат, m = l, 2, ..., сходится в Я1(|*|<1). Следовательно, и» е Я1 (|*| < 1). Пусть теперь w^ Я1 (|*| < 1). Так как для любого г<1 последовательность норм \\и>т\\нч\х\<г) = тп монотойно не убывая, стремится при /п->оо к |и»||я« (\х\<г), то при всех г < 1 и всех m имеет место неравенство Следовательно, частичные суммы ряда E8) ограничены: т 2 =1. 2 т. е. ряд E8) сходится. Лемма доказана. Перейдем к доказательству теоремы 13. Достаточность немед- немедленно вытекает из леммы 4, поскольку в случае сходимости ряда E8) функция w из E9) принадлежит Н1(\х\<.\) и ее след на окружности {|х| = 1} равен ср. Докажем необходимость. Пусть существует функция Ф е е Я1 (|*| < 1), для которой Ф|{;л:;=1)=(р. Тогда в силу теоремы 10
5 11 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 203 существует обобщенное решение из Н1 (\x\<cl) первой краевой задачи для уравнения A) с граничной функцией ф. Пусть и — обобщенное решение первой краевой задачи для уравнения A) при k=l, a=/sO, удовлетворяющее условию и| {1*|=1>=Ф- В п. 2 следующего параграфа будет показано, что функция и принадлежит С°°(|лг|<1) и удовлетворяет в круге {|а:|<1} уравнению Лм = 0. Воспользуемся этим результатом и разложим функцию ы(лг) = ы(р, 9) при фиксированном ре@, 1) в равно- равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье по 6: 00 "(Р. 8) = ^+ 2(tf*(P)cos*e+V*(p)sin*e), где 2л О 2л Vk(p) = — [ и(р, 9) sin 69 d9, 6=1,2,... Функции Uk(p) (и Vk{p)), 6 = 0, 1, ..., бесконечно диффе- дифференцируемы при 0<р<1 и ограничены при р-> + 0. Поскольку и е Я1 (\х | < 1), то в силу теоремы о следах функций из Яд(!лг|<1) для всех 6 = 0, 1, ... имеем 2 л /2л § (ы(р, 9) — ф (9)) cos 69 db -*¦ 0 ^ (ы(р, 9)—ф (9)) О \0 / при р-> 1 — 0. Это означает, что все функции Vk(p) (Vk{p)) непрерывны слева в точке р=1 и Uk(l) = ak (Vk(l) = bk), 6 = 0, 1, ... Так как для ре@, 1) Аы = ыРо-|—«р + -5"ее = О, то для Р Р таких р 2л 2л Щ (р) = — \ ырр (р, 9) cos 69 db = \ ир cos kb db — v 2л Это означает, что для любых 6 = 0, 1, ... функция Uk(p) удов- удовлетворяет при 0<Ср<1 обыкновенному дифференциальному 1 Ь2 уравнению (Эйлера) i/' -\— у' —j у = 0. Поскольку общее решение
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ tV этого уравнения имеет вид Врк-\-Ср'к при J^O и при & = 0, где В и С —произвольные постоянные, то f/ft(p) = = akpk, & = 0, 1, ... Аналогично показывается, что Vk(p) = = bkpk, k= I, 2, ... Таким образом, функция и, принадлежащая Z/1 (| лг j <C 1), сов- совпадает с функцией w из E9). А тогда в силу леммы 4 сходится ряд E8). Теорема доказана. Используем эту теорему для построения непрерывной на окружности {р=1} функции ф(9), которую нельзя продолжить в круг {|лг|<1} функцией из Я1(!лг;<1). Пусть оо cos А3а Так как этот ряд сходится равномерно, то функция ср е eC(jxj=l). Согласно теореме 13 она вместе с этим не может быть следом функции из Й1 (\х\<.1), поскольку ряд E8) для / \ нее он имеет вид / к -ттш] расходится. 9. Вариационный метод решения краевых задач. Пусть Н' — произвольное подпространство вещественного пространства #X(Q), в частности, Н' может совпадать со всем Hl(Q). Будем считать, что в Н' задано скалярное произведение, эквивалентное обычному скалярному произведению в Я1 (Q). Возьмем некоторую вещественную функцию f^L2(Q) и рас- рассмотрим на Я' функционал /, v)Ll(Q), vz=H'. F0) Так как | (/, v)UiQ) \ ^| Лкю>НЬ<с?)^С||/|кп<?)Н!я'. то для всех v e Я' Е (v) ^ || v Ifr - 2 |(/, v)l, (Q) \^\\v \\fr -2C\\v ||я' || / ||l, (Q) = Это означает, что множество значений функционала Е на Я' ограничено снизу. Обозначим через d = d(H') точную нижнюю грань функционала Е на Я': Функция и из Я' называется функцией, реализующей мини- минимум функционала Е на Я', если E(u) = d. F1) Как и число d, функция и, конечно, зависит от выбора под- подпространства Я'.
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 205 По определению точной нижней грани, существует последова- последовательность vm, /n = l, 2, ... , функций из Я', для которой UmE(vm) = d. F2) m->oo Любая такая последовательность называется последователь- последовательностью, минимизирующей функционал Е на Я'. Лемма 5. Для любого подпространства Я' пространства Я1 (Q) (в частности, Я' может совпадать с Я1 (Q)) существует единственная функция и из Н', реализующая минимум функцио- функционала Е на Н'. Любая последовательность, минимизирующая функционал Е на И', сходится к этой функции в норме Hl(Q). Пусть vm, /n=l, 2 —произвольная минимизирующая функционал Е на Я' последовательность элементов из Я'. Тогда по любому е>0 можно указать такое число N = N(e), что для всех т^ N F3) Так как Я' = 4-II о. + i\v№.±i(vM. vs)w, то ,+ Из последнего равенства с помощью F0) получаем Vm-Vs\? _ ' /II.. 112 I N.. 112 ч Vm + Vs f _ 2— \\н' 2" ^1 m IIя' + II s 1'я'' ~~ —2 \н> ~ Ho E\Vm~^Vs\^d, а функции vm и vs при m, ряют неравенствам F3); значит, при всех т, s неравенство 1 V удовлетво- имеет место \Н' из которого в силу произвольности е>0 следует фундаменталь- фундаментальность в Я1 (Q) взятой последовательности. Следовательно, сущест- существует функция и из Я', к которой эта последовательность схо- сходится в норме Hl{Q). Но тогда || vs\н- ->\\ и \\н, и (/, vs)Ll(Q,-+- ->(/, u)lz(Q) при s->oo, и значит, E(vs)-*~E (и). Равенство F1) следует теперь из соотношения F2). Покажем единственность функции и, реализующей минимум на Н' функционала Е. Пусть существуют две такие функции их и ы2. Тогда последовательность ult «3, ult u2, ... является после- последовательностью, минимизирующей функционал Е на Я', и не является сходящейся в Я', что противоречит только что доказан- доказанному утверждению. Лемма.доказана.
206 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. ГУ Изложим теперь метод Ритца построения минимизирующей функционал Е последовательности. Возьмем в Н' произвольную линейно независимую систему функций cpft, k=l, 2 линей- линейная оболочка которой всюду плотна в Н'. В случае, если Н' = = Н1 (Q), в качестве такой системы можно взять, например, мно- множество всех одночленов xa = xft ... хапп, где а — произвольный «-мерный вектор с целочисленными неотрицательными коорди- координатами. Обозначим через Rk натянутое на ф^ ..., фй 6-мерное подпро- подпространство пространства Н' с Н1 (Q) и найдем элемент, реали- реализующий минимум функционала Е на Rk (согласно лемме 5 такой элемент существует). Так как любой элемент из Rk представляется в виде СхУх-\-... -\-Cktyk при некоторых вещественных постоянных сь то эта задача эквивалентна нахождению минимума по сх, ... ...,ck функции t. i=i ;=i Вектор (cl ..., ck), на котором функция F достигает минимума, является решением системы линейных уравнений ~— = 0, i = 1, ... ..., k, т. е. системы k 2 (ф*. Ф/)я'С/ + (/. фг)Ls «а - 0, I = 1..... k. F4) /=i Определитель системы F4), называемый определителем Грамма системы фх фй, отличен от нуля. Действительно, если бы он был равен нулю, то из линейной зависимости его строк следовало бы существование таких постоянных |lt ..., |А | |х | + ... -j-1 |ft | Ф 0, что \х (фх, Ф/)я' + ... +Ь(Фа, ф/)я' = 0 при всех / = 1,...,.k. А это означало бы, что функция 51Ф1+ ... +|аФа ортогональна всем функциям ф! фл, т. е. 11Ф1+ ••• +1аФа = 0, что противоречит линейной независимости системы фх, ..., ц>к. Итак, линейная система F4) всегда имеет единственное реше- решение с\ с?. Тогда функция е*-е?ф1+...+е?ф* F5) из Rk реализует минимум функционала Е на Rk. Последователь- Последовательность функций vk, 6=1, 2 называется последовательностью Ритца для функционала Е по системе ФиФг, ... Лемма 6. Последовательность Ритца vk, k = 1,2, ..., функ- функционала Е по произвольной линейно независимой системе функций Щ, k = 1, 2 с всюду плотной в Н' линейной оболочкой является
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 207 последовательностью, минимизирующей функционал Е на Н'. После- Последовательность vk, k=\, 2, .... сходится в норме Я1 (Q) к функции и, реализующей минимум Е на Н'. Поскольку Ri с R2 cz ... с Rk с ... с Я', то Е MZ&E (v2M?...5*E (vk)-=3t...5?d. F6) Так как линейная оболочка системы cpft, k=\, 2, ..., всюду пло- плотна в Я'', то по любому е>0 найдутся такие числа k=k(z) и ci(e), .... c'k(e), что |ы8 — и||н'<е, где ые = с[ (е)ф1 + - И принадлежит ,Rft. Из F0) тогда вытекает, что (и.) '= II и. ||я< + 2 (/, m8)l2 «?) = | и, - и + и II/' + 2(/, ие-и-\-и)ь,м = Е(и) + Е(ие \E(uE-u)\+2\\ue-u\\H<\\u\\H<^d+\\uB-ufH,+ (Q) | мЕ - и \\н' + 2\\иг-и ||я-1 и \\Н' < при некоторой постоянной Сх ~> 0. Так как минимум Е на Rk достигается на функции vk, то для всех s^k в силу F6) d^ ^<? (vs)^:E (vk) ^d + CiE. Это и означает, что E(vs)-+d при s->oo. Сходимость последовательности vs, s= 1, 2 к функции и следует из леммы 5. Лемма доказана. Установим теперь важное свойство функции и, реализующей минимум функционала Е на Н'. Возьмем любую функцию »ей' и произвольное вещественное число /. Функция wt = u-\-tv прина- принадлежит Н', поэтому многочлен (по t) P (t) = E (wt) = E (и) + + 2/((и, »)я'4-(/. v)Ll(Q))-\-P\vfH'^d для всех/е(—оо, +°°)- Кроме того, P@) = E(u) = d. Значит, Итак, любая реализующая минимум функционала Е на Н' функция и из Я' при всех v e Я' удовлетворяет тождеству (и, v)H' + {f, v)l2(q) = 0. F7) До сих пор нам было безразлично, каким образом в подпро- подпространстве Я' определено скалярное произведение, эквивалентное обычному скалярному произведению в Я1 (Q). Пусть Я' = Я1 (Q). Возьмем функцию k \х) <= С (Q), А: (л:) ^ Ло = = const > 0, функцию а (*) е С (Q), а(^)^0 в Q, и функцию a(^)GCEQ), a(^)^0 на dQ, и предположим, что или а(х)^0 в Q, или а(х)^0 на 5Q. Скалярное произведение в Н1 (Q) опре- определим равенством A0): (Mi у)я> (Q) = J FV«Vp 4- a«^) dx +
208 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Тождество F7) тогда совпадает с тождеством F): \(kVuVv + auv)dx+ \ kouvdS=—\fvdx, Q 0Q Q определяющим обобщенное решение третьей или второй (если о == = 0) краевой задачи для уравнения A) (при однородном гранич- граничном условии). Если H' = H1(Q), а скалярное произведение в Я1 (Q) опреде- определено формулой G): (k(x), a (x) принадлежат С(Q), k (x) ^ko>0, a (x) ^ 0), то тож- тождество F7) совпадает с тождеством D), определяющим обобщенное решение первой краевой задачи для уравнения A) (при однород- однородном граничном условии). Таким образом, доказана следующая Теорема 14. Существует единственная функция и из Н1 (Q), реализующая минимум функционала Е на Я1 (Q). Если скалярное произведение в H1(Q) определено равенством A0), то эта функция является обобщенным решением третьей или второй (при a ss 0) краевой задачи для уравнения A) (при однородном граничном условии). Существует единственная функция и из Я1 (Q), реализующая минимум функционала Е на H1(Q). Если скалярное произведение в Н1 (Q) задается формулой G), то эта функция является обобщен- обобщенным решением первой краевой задачи для уравнения A). Теорема 14 дает другой, независимый от метода, применяв- применявшегося в теоремах 1 и 2, вариационный способ доказательства теорем существования и единственности обобщенных решений рас- рассмотренных в п. 2 краевых задач, и указывает на вариационный смысл обобщенных решений. Если подпространство Я' совпадает с Н1 (Q) (с Я1 (Q)) и в HX(Q) (H1(Q)) введено эквивалентное обычному скалярное про- произведение по формуле A0) (G)), то последовательность Ритца vk, 6=1, 2 функционала Е на Hl(Q) (HX(Q)) в силу леммы 6 и теоремы 14 сходится в Hl(Q) к обобщенному решению третьей (первой) краевой задачи для уравнения A). То есть последователь- последовательность Ритца можно рассматривать как последовательность, при- приближающую обобщенное решение краевой задачи для уравне- уравнения A). Таким образом, доказана
S 21 ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 209 Теорема 15. Последовательность Ритца функционала Е, заданного на Я1 (Q) или на Я1 (Q) (скалярное произведение задается формулами A0) или G)), построенная по произвольной линейно независимой системе функций, линейная оболочка которой всюду плотна в Н1 (Q) или Н1 (Q) соответственно, сходится в Я1 (Q) к обобщенному решению соответствующей краевой задачи (третьей или первой) для уравнения (I). §2. Гладкость обобщенных решений. Классические решения В предыдущем параграфе мы занимались изучением разреши- разрешимости основных краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка. Перейдем теперь к исследованию гладкости реше- решений этих задач. Будем предполагать, что данные рассматриваемых задач вещест- веннозначны. Тогда, как отмечалось в § 1, обобщенные решения этих задач тоже вещественнозначны. Поэтому всюду далее мы, не оговаривая этого особо, будем понимать под решениями вещест- веннозначные функции — элементы вещественных пространств Ck(Q) или H"(Q), k = 0, 1, 2, ... При исследовании гладкости обобщенных решений целесо- целесообразно выделить одномерный случай, поскольку результаты, которые в этом случае будут получены, вообще говоря, неспра- несправедливы для п~>\. Исследование в. одномерном случае, кроме того, значительно проще. В частности, при п = 1 обобщенные реше- решения краевых задач (они принадлежат пространству Я1 (а, Р)) являются на основании теоремы 3 п. 2 § 6 гл. III непрерывными функциями на [а, р]. В одномерном случае просто решается и вопрос о продолжении функции, заданной на границе, в область функцией из Я1 (а, Р): если Ф|л_а = Фо1 Ф'л-р = ф1. то в качестве такого продолжения можно взять линейную функцию Ф = = *(<Pi—Фо) «<Pi—Рфо Р—а Р—а ' 1. Гладкость обобщенных решений в одномерном случае. Напомним, что краевые задачи для уравнения Xu = (ku')'-au=f, x€=(a, P), (I) в классической постановке состоят в нахождении решения и (х) этого уравнения, удовлетворяющего следующим условиям: в слу- случае первой краевой задачи и (х) е С2 (а, Р) П С ([а, Р]) и и!*=а = Фо. "U=3 = (Pi. B) в случае третьей (второй) краевой задачи и (х) е С2 (а, Р) П ПС»([а,Р])и p = q>i- C)
210 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. IV Здесь k (х) <= С1 ([а, Р]), а (х) е С ([а, Р]), / (х) — заданные функции, k(x)^ko>0; ао, сгь фо, фх —заданные постоянные. Обобщенное решение задачи A), B) (feL8(a, Р)) есть функ- функция и(х) из Я1 (а, Р), удовлетворяющая интегральному тождеству Р 3 \(ku'v'+auv)dx = — \fvdx D) а а при всех v e Я1 (а, Р) и граничным условиям B). Обобщенное решение задачи A), C) (/eL2(a, P)) есть функ- функция и{х) из Я1 (a, P), удовлетворяющая интегральному тождеству 3 \ (ku'v' + auv) dx + k (P) axu (P) v (P) + A: (a) аоы (а) у (а) = a P = _ \fv dx + k (p) Ф1у (р) +k (а).Фоу (а) E) a при всех ye Я1 (а, Р). Справедливо следующее вспомогательное утверждение. Лемма 1. Если /eC([a, P]), то функция и(х) из Я1 (a, P), удовлетворяющая интегральному тождеству D) /гры всех v e е Я1 (а, Р), принадлежит пространству С2 ([а, Р]) и является в интервале (а, Р) решением уравнения A). Так как функция ы(л:)е=С([а, Р]) (Яг(«, Р) с: С ([а, Р])), то X / + аиеС([а, Р]) и $ (f(|) + a(|) «№))<€ е С1 ([а, р]). Рассмотрим о функцию и0 (х) = \ т-Д; \ if E) + a E) ы (|)) d?. В силу условий на k{x) функция ы0 (х) е С2 ([a, P]) и, кроме того, она является на (a, P) решением дифференциального уравнения (ku'Q)' =f (x)-\-a(x) u(x). Следовательно, при любой »еЯ1 (a, P) функция ио(х) удовлет- удовлетворяет равенству Э Э I (ku'tv' + auv) dx = — \fv dx; a a значит, принадлежащая Я1 (a, P) функция их = и — и0 удовлетво- удовлетворяет интегральному тождеству Р \ku\v'dx = 0, неЯЧа, р), а из которого вытекает, что функция ku[ имеет на (a, P) обобщен- обобщенную производную, равную нулю. Следовательно, ku[ = const, т. е. «j е С2 ([а, Р]). Поэтому и функция «(х1) еС2([а, Р]).
§21 ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 211 Так как для всех кеЙ1 (а, Р) J ku'v' dx = — J (ku')'v dx, то а а из D) вытекает, что непрерывная на [а, Р] функция (kit')' — — а (х) и (х) —f{x) ортогональна (в скалярном произведении L3 (a, Р)) любой функции из Я1 (а, Р). Поэтому функция и (х) является в (а, Р) решением уравнения A). Лемма доказана. Обобщенное решение и{х) любой из краевых задач, первой, второй или третьей, принадлежит Я1 (а, Р) и для него имеет место тождество D) при всех не//1 (а, Р). Поэтому в силу леммы 1 и(*) еС2([а, р]) и и(х) является в (а, Р) решением уравнения A). Таким образом, мы показали, что при /еС([а, Р]) обобщен- обобщенные решения рассматриваемых краевых задач имеют на отрезке [а, р] непрерывные производные до второго порядка включительно и удовлетворяют уравнению A). При этом очевидно, что в слу- случае первой краевой задачи функция и (х) удовлетворяет гранич- граничным условиям B). В случае третьей (второй) краевой задачи для любой функции v (x) <= Я1 (а, E) Э Р \ku'v' dx = — \ (ku'Y vdx + k(р) и' (р) v (p)-k(а) и' (а) v (а). а а Значит, в силу тождества E) при любых v (Р) и v (а) (напомним, что при любых у (а) и у (Р) существует функция v{x) из Я1 (а, Р), принимающая при х = а и * = р значения v(a) и у(Р)). Поэтому функция ы(*) удовлетво- удовлетворяет граничным условиям C). Итак, доказана Теорема 1. Если функция / (*) е С ([а, р]), то обобщенные решения первой, второй и третьей краевых задач для уравнения A) принадлежат С2 ([а, р]) и являются классическими решениями соответствующих задач. Пусть us (x) — обобщенная собственная функция, например, третьей (второй) краевой задачи для оператора X'. Это означает, что us (х)!е Я1 (а, Р) и, тем самым, us (х) е С ([а, р]), и для нее при любой ие№(а, Р) выполняется равенство § 5 (ku'sv' + ausv) dx + k (p ) alUs (p) v (p) +* (a) aous (a) v (a) = a Э = — Xs)usv dx, a где Xs — собственное значение. Согласно теореме 1 функция us (x) принадлежит С2 ([a, PJ) и является классическим решением
212 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV уравнения %u = (ku'y-au = lsu, *e(a, P), F) удовлетворяющим однородным граничным условиям C), т. е. us (х) есть классическая собственная функция третьей (второй) краевой задачи для оператора X. Аналогично показывается, что обобщенная собственная функ- функция us (x) первой краевой задачи принадлежит С2 ([а, р]) и является классической собственной функцией этой задачи. Докажем, что собственные значения любой из рассматриваемых краевых задач однократны. Пусть существует собственное значе- значение "ks, например, третьей краевой задачи, которому отвечают две линейно независимые собственные функции ыA) и ы(а). Как известно, общее решение уравнения F) имеет вид CiU[VjrC2uw, где Сх и С3 — произвольные постоянные. Это означает, что любое решение уравнения F) должно удовлетворять граничному условию и' (а) — аои (а) = 0, поскольку обе функции цA) и цB» удовлетворяют этому граничному условию. А вместе с тем существует решение уравнения F), не удовлетворяющее этому условию, например, решение с начальными условиями ы(а) = 0, м'(а)=1. Таким образом, установлена Теорема 1. Обобщенные собственные функции первой, второй и третьей краевых задач для оператора X принадлежат С2 ([а, Р]) и являются классическими собственными функциями соответст- соответствующих краевых задач. Все собственные значения однократны. 2. Внутренняя гладкость обобщенных решений. Перейдем теперь к исследованию гладкости обобщенных решений краевых задач в случае п~>\. Для того чтобы технические детали не мешали выяснению существа дела, ограничимся рассмотрением частного случая уравнения A) предыдущего параграфа — изучим гладкость обобщенных решений краевых задач для уравнения Пуассона (*sl,eaO) Ди=/. G) Напомним, что обобщенным решением первой краевой задачи для уравнения G) является функция и {х) из Я1 (Q), удовлетворяющая интегральному тождеству \VuVvdx = — \fvdx (8) Q Q при всех уел1 (Q) и граничному условию и|ас? = ф (функция feLj (Q), а функция ср является следом некоторой функции Ф из Н1 (Q), т. е. существует такая функция Фей1 (Q), что Ф \oq = ф). Обобщенным решением третьей (второй) краевой задачи для уравнения G) является функция и (х) из Я1 (Q), для которой
§ 21 ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 213 выполнено интегральное тождество i\ouvdS = — \fvdx-\- \ <pvdS (9) dQ Q dQ при всех v^Hr(Q) (функция f^L2(Q), a cp ()) Из результатов предыдущего параграфа вытекает, что обоб- обобщенное решение и (х) первой краевой задачи существует, единст- единственно и удовлетворяет неравенству ||/||L2(Q) + inf ||Ф||яч<?>\ (Ю) Феячс?) \ с постоянной С, не зависящей от / и ср. Обобщенное решение и (х) третьей краевой задачи при а^О, а^О, тоже существует, единственно и удовлетворяет неравенству с постоянной С, не зависящей от / и ср. В случае второй краевой задачи (а == 0) будем предполагать выполненным условие ее разрешимости: — ^fdx-\- \ <pdS = O. Q dQ Тогда в классе функций, ортогональных в скалярном произведе- произведении L2 (Q) постоянным, существует единственное обобщенное реше- решение и (х) второй краевой задачи и для него имеет место неравен- неравенство A1). Так как все другие обобщенные решения отличаются от функции и (х) постоянными слагаемыми, то при изучении глад- гладкости обобщенных решений второй краевой задачи можно огра- ограничиться исследованием функции и(х). Лемма 2. Пусть f seU(QHНш (Q), k = 0, I, 2 а функ- функция и^Н1 (Q) и удовлетворяет интегральному тождеству (8) при всех v^Hl(Q). Тогда ыeЯlot2(Q) и для любой пары подоблас- подобластей Q' и Q" области Q таких, что Q' eQ" <eQ, имеет место неравенство с положительной постоянной C = C(k, Q', Q"). Доказательство. Пусть Q' и Q" — произвольные подобла- подобласти области Q такие, что Q'<^Q"eQ. Обозначим через б>0 расстояние между границами dQ' и dQ" » рассмотрим функцию ?(*), обладающую следующими свойствами: ?(*) е(Г (/?„), ?(*)s= s= 1 в Qe (и, тем самым, в Q'), t,(x) = 0 вне Ql&/3. Подставим в тождество (8) в качестве функции v (x) функцию t,{x)vo{x), где у0(х) — произвольная функция из H1(Q"), продол- продолженная нулем вне Q" (очевидно, ?(*) v0 (x) ей1 (Q)). Так как
214 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ IV V« Vv = Vu V (?y0) = V — и V? Vy0, то тождество (8) принимает вид \ VUVvodx= \ Fvodx+\ uVt,Vvodx, A30) где функция ?/ (x) = I {x) и {х) A4) принадлежит Hi(Q"), обращается й нуль вне Q26/3 и совпадает с и (х) в Qg, а функция /7(дг) = —/С —Vm-VC A5) принадлежит L2 (Q") и обращается в нуль вне (?2б/з- Отметим, что на самом деле интегрирование в A30) произво- производится по области (?2б/з- Поэтому это равенство имеет место не только для любой v0 e Я1 (Q"), но и для любой v0 e Я1 (Qe/2) (произвольно продолженной вне Qe/2, как элемент L2(Q")). Возьмем произвольную функцию vx{x), пpинaдv^eжaщyю Я1 (Q") и продолженную нулем вне Q". Для любого i= 1, 2, ..., п и про- произвольного /г, 0<|/г|<8/2, конечно-разностное отношение б' .v(x) ="l(*" -' ^' х<~*'ь*г+ь •••' x")-°i^ является функ- цией из Я1(Qб/2) n^-2(Q")- Положим в A30) уо = б-лУ1 (х) при неко- некотором t=l, 2, ..., /г и некотором /г, 0<|/г|<6/2. С помощью формулы «интегрирования по частям» (формула (9) п. 4 §3 гл. III) получим равенство ^l J A60) <?2б/3 О" Докажем сначала утверждение леммы при & = 0. Из A5) немедленно вытекает оценка Поэтому из A60) с помощью теоремы 3 п. 4 § 3 гл. III полу- получаем неравенства \ V8ihUVv1dx Полагая у1 = бл6' (считаем функцию U продолженной нулем вне Q), получим, что || | VtiU \ \\ц «п ^ С (Q', Q") (|| f \\и т +1| и || для всех t = l, 2, .... п, 0<|А|<8/2.
§ 21 ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 215 Согласно теореме 3 п. 4 § 3 гл. Ш из этого неравенства вытекает, что Ue H*(Q") и J?/|h.(Q»,<C(Q', Q")(l/lk«?») + + ||"||ячо"))- Так как в области Q U = u, то «e//2(Q'), и имеет место неравенство A2) при k = 0. Поскольку Q' — произвольная строго внутренняя подобласть области Q, то ыеЯ?ос(<2). Пусть теперь f ^.Huxt1 (Q). Предположим, что функция и (х) обладает следующими свойствами: ыеЯ™с^2(<2), для любой пары подобластей Qi и Q2 области Q таких, что Q1mQ2<S:Q, имеет место неравенство A2) при k = m: и для любых а, | а | <; /n, t = 1, 2, ..., п и 0 < | h | < 6/2 спра- справедливо равенство J 5 ym+1dA:( A6m) Q26/3 °" где ym+1 — произвольная функция из Я1 (Q"). Отметим, что при т = 0 указанные свойства уже установлены. Так как в силу сделанных предположений из A4) и A5) сле- следует, что DaU (=H2(Q"), a D^F <=Hl {Q"), то на основании теоремы 3 п. 4 § 3 гл. III в A6т) можно перейти к пределу при h-+0. В результате для любых а, \а\ = т, t=l, 2, ..., п получим равенство $ VD«Ux.Vvm+1 dx=- $ D*F (vmn)x. dx+ $ D« («V?)x Vym+1 Лс, О" <?2б/3 Q" из которого следует (функция DaF равна нулю вне Q26/3)» что при всех ym+1 e Я1 (Q") $ VD«Uxyvm+1 их = ^ ?>а^Ут+1 ^+ \D« (mVQ Vym+1 dx. A3m+1) Это равенство совпадает с A30), если в нем заменить D^Ux. на U, DaFXi на F, Da (иЧ?}х. на «V? и ут+1 на v0. При этом D^^ e е Я1 (Q"), обращается в нуль вне Q26/3 и совпадает с Daux. в Qg, a D'xFXj e L2 (Q") и обращается в нуль вне Q26/3. Так как интег- интегрирование в A3т+1) на самом деле производится по области Q26/3» то в это равенство можно подставить vm+i(x)=8Lh,vm+2(x), \ — = 1, 2, ..., п, 0<|А|<8/2, где vm+2 — произвольная функция из
216 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. IV H1(Q"). В результате получим Q" = - $ DaFxbLhvm+2dx+ $ Используя неравенство A2m) (в нем положим Qi = Qh/3> a Q2 = Q"), из A5) имеем II F ||H Подставляя теперь в A6m+1) vm+2 = &L(DaUx\ снова в силу теоремы 3 п. 4 § 3 гл. III получим, что «eW[J+3(Q) и для и(х) справедливо неравенство A2) при k = m-\-\. Лемма доказана. Из леммы 2 вытекает следующее утверждение. Следствие. Пусть f^L2(Q), а функция иеЯ1^) и удов- удовлетворяет интегральному тождеству (8) при всех oel/1 (Q). Тогда функция и(х) (п. в.) в Q удовлетворяет уравнению G). Нам нужно доказать, что сумма обобщенных вторых произ- производных ихх -f... + м* х (мы только что показали, что эти про- производные существуют) почти всюду в О равна функции /. Под- Подставим в качестве функции v (x) в (8) произвольную функцию из Н1 (Q')> Q' SQ, продолженную нулем вне Q'. Так как иеЯ2(C'), то на основании формулы Остроградского $ (Аи — f) v dx = 0, от- Q' куда Аи — / = 0 (п. в) в Q', а значит, и (п. в.) в Q. Так как обобщенные решения и (х) первой, второй и третьей краевых задач для уравнения G) удовлетворяют условиям леммы 2 и неравенствам A0) или A1) (решение и(х) второй краевой задачи предполагается ортогональным в Lz(Q) постоянным), то из леммы 2 и теоремы 2 п. 2 § 6 гл. III вытекает следующее утверждение. Теорема 3. Если f e L2(Q)П#ioc (Q), где k7»0, то обобщен- обобщенные решения и (х) первой, второй и третьей краевых задач для уравнения G) принадлежат Я?+2 (Q) и (п. в.) в Q удовлетворяют уравнению G). Для любых подобластей Q' и Q" области Q, Q' ш eQ"<?Q, существует такая положительная постоянная С, зави- зависящая от Q', Q" и k, что в случае первой краевой задачи и II и \\нш {Q,j < С (|| f \\Hk ((f) +1| f \\L
§ 21 ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 217 в случае второй и третьей краевых задач (в случае второй краевой задачи считаем, что ^udx = Q). Если & =3= Uh — 1, то и(х) еС l21 (Q). В частности, если (Q), то u(x\e=C*(Q). Из теоремы 3 следует, что гладкость обобщенных решений краевых задач для уравнения G) внутри области Q не зависит ни от типа граничных условий, ни от гладкости границы, ни от гладкости граничной функции. Внутренняя гладкость зависит лишь от гладкости правой части/(дг) уравнения. Полученный результат является предельно точным: гладкость решения выше гладкости правой части на величину порядка уравнения. Замечание. В одномерном случае было, в частности, дока- доказано, что если правая часть уравнения G) непрерывна, то обоб- обобщенные решения имеют непрерывные производные до второго порядка включительно. Аналогичное утверждение в многомерном случае не справедливо. Далее (в п. 3 следующего параграфа) будет приведен пример такой непрерывной в Q функции f{x), что обобщенное решение первой краевой задачи для уравнения Пуассона G) не принадлежит С2 (Q) (конечно, оно принадлежит HiiQ)) ) 3. Гладкость обобщенных решений краевых задач. В предыду- предыдущем пункте была установлена внутренняя гладкость обобщенных решений, т. е. принадлежность решений пространствам Я*ос(<2) или С (Q) при некоторых k и /. Здесь мы будем ; изучать глад- гладкость обобщенных решений краевых задач во всей области Q, т. е. принадлежность решений пространствам Я* (Q) или С1 (Q). Естественно, что гладкость решения «вплоть до границы» зависит от гладкости границы и гладкости граничных функций. Будем предполагать, что граница dQ <= СА+2 при некотором &SsO. Рассмотрим сначала случай однородных граничных условий. Обобщенные решения первой или второй краевых задач *) с одно- однородными граничными условиями (функция ср — правая часть в гра- граничных условиях — равна нулю) для уравнения G)—это функции из пространств H1(Q) или H1(Q), удовлетворяющие интегральному тождеству (8) при всех v из Я1 (Q) или Я1 (Q) соответственно (в случае второй краевой задачи функции / и и предполагаем ортогональными в скалярном произведении L2(Q) постоянным). *) Для простоты мы ограничиваемся рассмотрением решений первой и вто- второй краевых задач. Исследование гладкости обобщенных решений третьей краевой задачи при некоторых требованиях на функцию а (ж) (из (9)) может быть проведено тем же методом.
218 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Теорема 4. Если /еЯ*(ф), a <5QeC*+2 при некотором & 5= О, то обобщенные решения и (х) первой и второй краевых задач с однородными граничными условиями для уравнения Пуассона G) принадлежат Я*+2 (Q) и удовлетворяют (в случае второй краевой задачи считаем, что С и dx = 0) неравенству Q с постоянной С>0, не зависящей от /*). Пусть *° —произвольная точка границы dQ. Выберем систему координат так, чтобы точка х° была началом координат, а нор- нормаль к границе в этой точке имела направление оси Охп. Возь- Возьмем столь малое число г = г (х°), что кусок границы dQ {] (| х | < < 4л) является связным множеством, однозначно проектирую- проектирующимся вдоль оси Охп на некоторую область D плоскости хп = 0; уравнение поверхности dQf\(\x\ < 4л) имеет вид *л = ¦>!>(•*'). х' = (хх, ..., xn-i) e D, где ф (*') - функция из С*+2 (Ъ), ф @) = 0, ^ @) =... = ^„ х @) = = 0, причем выполнены неравенства 1***1^2^ • '=1 л-1,х'еО. A8) Тогда область Q = Q(~|( \x\ <3л) и, тем самым, ее подобласть &' = Qr\(\x\<.r) проектируются вдоль оси Охп в D. Обозначим через Г общую часть границ областей Q и Q, Г = = dQf\( \х\ <3л), а через Го—остальную часть границы обла- области Q. Множество функций из Н1 (Q), след которых на Г равен нулю, обозначим через Яр(Й). Пусть функция ?(лг)€ееО(/?„), С(дс)в1 для |дс|<г, ?(х)в0 для | * | > 2л. Тогда при произвольной функции v0 (x) из Яр (Й) (из Я1 (Q)) функция у (дг), равная в Q функции ^ (х) v0 (x) и нулю в остальных точках области Q, принадлежит Я1 (Q) (Я1 (Q)). Под- Подставляя эту функцию v (х) в (8), как и в предыдущем пункте, получим равенство $ x = \j Fvodx+ $ гДОуоС(л:, A9) О Q О где в случае первой краевой задачи у0—произвольная функция из Яг (Й), в случае второй краевой задачи у0 —произвольная *) Для функции и (х), являющейся обобщенным решением третьей краевой задачи для уравнения G) с однородным граничным условием, имеет место сле- следующее . утверждение: если . } efl* (Q), dQ <= Ck+2 и а (х) <= C*+1 (dQ) (a ^ 0) при некотором Ь^0, то и{х) е //*1a(Q) и выполняется неравенство A7).
ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 219 функция из Н1 (Q), а функции F (х) и U (х) определяются равен- равенствами A4) и A5) с только что введенной функцией ?(*). Оче- Очевидно, что U(xjs=Hl(Q), F(x)seeL2(Q). Преобразование yi = xt, 1=1, ..., п-1, Уп = хп — У(х') B0) взаимно однозначно с единичным якобианом отображает области Q и й' на некоторые области со и со'. Рис. 1. Образы поверхностей Г и Го обозначим через у и у0 соответ- соответственно. Заданные в области Q функции U(x), u(x), ... в резуль- результате преобразования B0) перейдут в функции U (у), и (у), ... (сохраним за ними прежние обозначения), заданные в области со. При этом U (у) = и (у) в со' и при некотором б > 0 функции U (у) и F (у) равны нулю в точках множества со \ ©в» где ©в —подоб- —подобласть области со, состоящая из всех точек, которые отстоят от у0 на расстоянии, большем б. Поскольку при х^п (у^а>) Ux. = UУ1 — UyntyXi для t = l, ... , п-1 и UXn = , то п — 1 1=1 л— 1 и поэтому равенство A9) в новых переменных имеет вид Ф i, /— 1 0) 1, / = B^y.uvoy.dy, B10) л-1 где Ain = Ani = tyXi при t=l, ..., п-1, Апп = — 2^-. для всех остальных t и /; Ву^=Ьи-Ау, б,; = 0 при t ^ /, би=1, i=l, ..., п. Очевидно, что ЛуеС*+1(а), By е ""* '
220 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV при всех i и /; кроме того, в силу A8) \Ац{у)\^~, i, /=1, 2, .... п, #еЕ0. B2) Так как функции U (у) и F (у) равны нулю в со\соб/2, т0 равенство B10) имеет место не только для любой vo(y) из Я^(со) или из Я1 (со), но и для любой vo(y) из Ну(щ/2) (произвольно продолженной вне сов/2 как функция из L2 (со)) или соответственно из Я1(соб/г) (произвольно продолженной вне сое/2 как функция из L2 (со)). Возьмем любую функцию Vi(y), принадлежащую Яу(со) (Я1 (со)) и продолженную нулем вне со, и положим в B10) vo = 6l-hVi при некоторых /<п и 0<|/г|<!б/2 (функция vo(y), очевидно, при- принадлежит Яу(соб/г) П^-Л10)- и соответственно Я1 (сов/г) П L2 (со)). Равенство B10) примет вид + $ J] e'fcUiA^Ox^dy + J. 2 бЦБ^м) vlyi dy B30) иг, 7 = 1 СО t, / = 1 (заметим, что интегрирование в этом равенстве производится не по всей области со, а по ее подобласти сов/г; поэтому все подын- подынтегральные выражения в B30) определены). Из теоремы 4 п. 4 § 3 гл. III вытекает, что L hVx dy \L, (и) (со) ¦I] PL , . III Vn I IIr / > 194- 1 : || " ||L2 (CO) || I v VI I ||t2 @)) • \^0) Прежде чем оценить второй интеграл в правой части B30), разобьем его на два слагаемых е> i, /=1 to », /=1 $ 2 бПЛ'/)^у^/^- B50) со », /=1 При этом мы воспользовались справедливым для произвольных функций / и g равенством где glh(y) = g(yi, .... Ун, У/+А, y,+i ,..., у„).
§ 2] ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ Первое слагаемое оценим, используя B2), 221 и i. /=l •/2 4 = i п \1/2 /=l B6o) Второе слагаемое в B50) оценим вместе с третьим интегралом из правой части равенства B30). Поскольку функции Д-;- и Б,-; непрерывно дифференцируемы в со, то (О 1, /=1 • И 1. /=1 «Я. (В) B70) где постоянная Сх не зависит от и и Из B30) в силу B40)-B70) имеем (ll F Ik, L ( B80) Полагая в этом неравенстве и1 = 8/,?/, с помощью вытекающего из A5) неравенства \\F{y) |k, (со) = \F (х) \l, (В) ^ С2 (|| / It, (Q) +1 и ||я. №)) B90) (постоянная С2 зависит лишь от функции ?, т. е. лишь от области Q) и неравенства A0), или неравенства A1), в которых Ф = 0 (тогда в A0) ЫЦФЦя. (q) = 0), получим оценку l||v6lt/||LMSsC||/|L(Q)) i=i, .... n-i, из которой в свою очередь следует (теорема 4 п. 4 § 3 гл. III), что все обобщенные вторые производные функции U, кроме произ- производной Uу у , принадлежат L2 (со) и для них имеет место нера- неравенство Wyiyj\LAa) ^СЦЛкгЮ)- Значит, для соответствующих про- производных функции и (у) имеем неравенства II и || <СИЛ1 Для оценки иУпУ в со' воспользуемся следствием из леммы 2, согласно которому п. в. в Q, а тем самым, и п. в. в Q' Axu=f.
222 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV В новых переменных это равенство выглядит так: л — 1 л — 1 л — 1 Ауи(у)-2 2 2 2 1=1 откуда для всех у е со' P* - 2 «ад + "*,. 2 Так как i|)eC'42(D) при &SaO, то Таким образом, мы установили, что для любой точки х° edQ найдутся такие положительные числа г = г(х°) и С = С(дг°), что ы (х) е Я2 (Q П (| * — *° | < г (х0)) и имеет место неравенство 1 и Цл«(<гп<1 х-х Из покрытия границы 5Q множествами dQ{](\x — x°\<.r (x0)) при всевозможных х° ^dQ выберем конечное подпокрытие dQu(\x—*x'!i <г(дг'))> t=l. 2, ..., ^V. Тогда существует такое N число б0 > 0, что Q \Q6o с U Q П (U - Следовательно, и (х) e№(Q\Qe») и ||ы Цн»«?\q6j ^Сх||/|L,(<?), где Сх — некоторая положительная постоянная. Но по теореме 3 «We№(Q6l/2) и И"» («в./а)<с*1/!*••«»• Поэтому u^H*(Q) и (|и((//»(qjя^С71|/Цг.2(q>, где постоянная С>0 не зависит от /. Таким образом, теорема 4 при & = 0 доказана. Пусть k — любое натуральное число. В силу теоремы о внут- внутренней гладкости обобщенных решений (теорема 3) достаточно, как и при & = 0, установить, что для любой граничной точки х° существуют такие числа г = г (х°) > 0 и С = С (х°) > 0, что и (х) e№+2(Qfl (\x — х° \ <г)) и имеет место неравенство (точку д^ можно считать началом координат, а ось Охп — направ- направленной по нормали к dQ в этой точке). Для этого в силу глад- гладкости преобразования B0) (гладкости границы) достаточно пока- показать, что и (у) 6Е Нк+2 (со') и | и ^«(«о^С!/!«*«?)• Мы уже доказали, что |ф)еЯ'(A)'), iMltfMo'^CII/k.W) и, кроме того, имеет место равенство B30). Повторяя схему,
§ 21 ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 223 использованную при доказательстве леммы 2 предыдущего пункта, покажем, что для любого т=\, 2, ..., k u((/)Wa(') I"lltfm+2(u>'i ^^i/IUm(Q) и имеет место равенство = - $ DaFbJhvm+1 dy + \ ? 6{, (D*A,{Jyi) (vm^)y. dy + (о и(,/ = 1 + $ J] Ь1н{ЕРВ,?ви) (vm+1)Uidy, B3,я) и /,/' = 1 справедливое для всех а = (а!, ..., а„^1( 0), [a|sgm, /=1, ... ... , п — 1, 0 <! /г |< 6/2, um+1 e Я{, (со) в случае первой краевой задачи и ит^^Н1((л) в случае второй краевой задачи. Дока- Докажем это утверждение при т—1. Перейдем в равенстве B30) к пределу при /i->-0 и проинтег- проинтегрируем по частям первое слагаемое правой части полученного равенства. В результате получим равенство \VUyiVv1dy = \Fyiv1dy + \ J] (Al/Uyt)yiv1yidy + (О И СО /, / = 1 + $ S {Bt&y^y^y.dy, B1i) @ 1, /=1 справедливое при всех vx из Ну (а) в случае первой краевой задачи и из Я1 (со) в случае второй краевой задачи. Тождество B11) для UVl отличается от тождества B10) для U лишь тем, что функции F, А^иуг B{jt,yu в нем заменены соответ- соответственно функциями Fyi, (A;jUy.)yi, [Bift,y.u)yl, а функция v0 заме- заменена на функцию Vi с теми же свойствами. Полагая в B1t) v1{y) = b^hv2(y), s<n, 0<|/i|<8/2, где Vi (У) — произвольная функция из Яу(со) (из Я1 (со)), продолжен- продолженная нулем вне со, получим аналогичное B30) равенство \% Ы ((АииУ1)у) (v2)y/dy со i, i =• 1 Как и в предыдущем случае, оценим интегралы, стоящие в правой части B30. Аналогично B40), имеем (так как u^H2(Q)
224 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ a f^Hk(Q), &3&1, то в силу A5) ф е= С*+2 (D), то F (у) е Я1 (©)) [ГЛ. IV и поскольку Аналогично B50), разобьем второй интеграл в правой части B3i) на два слагаемых $ 2 Of, /= 1 0) 1,/=1 Используя B2), оценим первое слагаемое из B5Х) п 2 0I, /=1 «т ). B60 Так как функции Л,7 и В!}- принадлежат C*+1(ffl), ^^1, то сумма второго слагаемого в B5i) и третьего интеграла в правой части B3i) оценивается следующим образом: г п Mi, ;=i Из B3Х) с помощью B41) — B7t) получаем неравенство U (и) + 2" II! VbhUyt I Ik. (со) + Const I «2 Цнг (Q) / = 1, ..., п — 1, s = 1, ..., п — 1. , (M), Полагая в этом неравенстве и3 (t/) = b\Uyi (у), с помощью выте- вытекающей из A5) оценки и уже доказанной при /г = 0 оценки A7) получим, что || | ei | IL (о,) ^ const ||/||н. (<?), s, /=1, .,., п-1, 0<|А|<6/2.
§ 21 ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 225 Значит, в со' существуют обобщенные производные иу у у р = = 1, 2, ..., п, s,/=1, ..., п— 1, принадлежащие L2(со') и удов- удовлетворяющие неравенству || иу У^У[ || =^ const |/ ||я> «?>¦ Для оценки остальных третьих производных иу у у , р = = 1, 2, .... п, воспользуемся равенством C0). Дифференцируя его сначала по ур при р < п, получим, что при всех таких р "урУпУп^1*^') и чт0 ||"v»*»k<M')<Cl^l"I«)- Далее> *Ф рпп ||v»»k ренцируя C0) по уп, получим, что иу у у е L2 (со') и juy у у |t (t0<) ||||№) Таким образом, мы доказали, что ы(г/) еЯ3(ш'), | и \н> C\fW ^ l 1 0/62 | 6/ р () ( | \ и при всех ^ s=l, ..., п— 1, 0<|/г|<6/2 и E^fia) (^еЯ1^)) имеет место равенство B3i). Повторяя этот процесс т раз (m^k), получим, что « е Ят+2 (to'), |j«||ят+2 (й)/) < ^C||/||Hm (<?) и имеет место равенство B3т). Теорема доказана. Установим теперь, в каком смысле рассматриваемые обобщен- обобщенные решения удовлетворяют граничным условиям. В случае пер- первой краевой задачи сразу из определения (и е Я1 (Q)) вытекает, что решение имеет равный нулю след на dQ: ы|а<? = 0. Покажем, что в случае второй краевой задачи решение удов- удовлетворяет граничному условию в следующем смысле: Vu \dQ.n = 0, где п — вектор внешней нормали к dQ, \п\=\, а Чи'щ — вектор с компонентами их. \gQ, t = l, ..., п, являющимися следами на dQ функций их. из Я1 (Q). Действительно, так как «е Я2(Q), то с помощью формулы Остроградского из (8) получаем справедливое при любой неЯ1 (Q) равенство I (Vm • n)vdS = $(Дм- /) vdx dQ Q (здесь Vu-n = 4u\dQ-n). Так как Au = f п. в. в Q, то откуда и вытекает нужное равенство, поскольку в силу теоремы 2 п. 2 § 4 гл. III множество следов v\oq функции из Я1^) всюду плотно в L3 (dQ). ди Выражение Vu\dQ-n далее будем обозначать через ^~ . Отме- dQ тим, что если и^С1 (Q) П Я2 (Q), то функция ^ как элемент L2 CQ) совпадает с нормальной производной ^- функции и на гра- нице dQ. Обозначение ^ Q В. П, Михайлов dQ естественно и в том смысле, что
226 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV существует такая функция из H1(Q), след которой на dQ совпа- дает с 5Un\dQ*]' Таким образом, если dQ ge С2, то обобщенное решение второй **) краевой 3ada4u фовлетворяет граничному условию ди дп = 0. Из теорем 4 и 3 и теорем 2 и 3 п. 2 § 6 гл. III, в частности, вытекает Г--1 + 1 [-1-й Тео рема 5. Пусть f ^.Ш2* (Q). EMudQ<=CL2i , то обоб- обобщенное решение первой краевой задачи dля уравнения G) с odno- podnbiM граничным условием является классическим решением этой задачи. Если 3QeCl2J , то обобщенное решение второй крае- краевой задачи для уравнения G) с однородным граничным условием является классическим решением этой задачи. Рассмотрим теперь вопрос о гладкости обобщенных решений во всей области в случае, когда граничные условия не являются однородными. Остановимся на первой краевой задаче. Пусть функция и (х) является обобщенным решением первой краевой задачи, т. е. принадлежит Я1^), удовлетворяет при всех dg№(Q) интегральному тождеству (8) и граничному усло- условию v\dQ=(f>. Предположим, что при некотором k^sO f^Hk(Q), dQ^Ck+2, а граничная функция ср является следом на dQ некоторой функ- функции Ф из Я*+2 (Q) (для того чтобы функция ф была следом на dQ функции из Я*+2(<3), в силу теоремы 2 п. 2 § 4 гл. III достаточно, чтобы ф принадлежала С*+2 (dQ)). Покажем, что тогда и е Я*+2 (Q). Рассмотрим функцию z = и — Ф. Ясно, что ze№(Q) и удов- удовлетворяет при всех v е= Я1 (Q) интегральному тождеству \ VzVu dx = — \ VФVu dx — \ fv dx Q Q Q *) Такую функцию достаточно построить в Q\Q(, при некотором б > 0. Так как dQ e С2, то для любой точки х е Q\Q& при достаточно малом б>0 существует единственная точка y—y(x)sdQ, \у—х | < 6, такая, что вектор у—х направлен по нормали л (у) к границе dQ в точке у. Функция Vu (x)X Хл (у (х)) принадлежит Я1 (Q\Qs) и ее след на dQ Vu (x) ¦ л (у (х)) \gQ = Vu \gQX du dn dQ' **) В случае третьей краевой задачи обобщенное решение удовлетворяет /du граничному условию (^- + сш dQ = 0,
§ 2J ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 227 или, что в силу формулы Остроградского то же самое, интеграль- интегральному тождеству \VzVvdx = — \hvdx, Q я где /i=/ —ДФ. Поскольку функции fi^Hk(Q), то в силу тео- теоремы 4 геЯн2й). Поэтому обобщенное решение и = г + Ф е е #ft+2 (Q). Утверждение доказано. 4. Гладкость обобщенных собственных функций. Пусть и (х) — обобщенная собственная функция первой, второй или третьей краевых задач для оператора Лапласа, а X — соответствующее собственное значение. Тогда для любой de№(Q) имеет место равенство \ VuVvdx = — X\uvdx, Q Q совпадающее с равенством (8) при / = Ы. Так как Хи е Нх (Q) и, тем более, Хи е L2 (Q), то из теоремы 3 следует, что и е #?ос (Q) и п. в. в Q выполняется равенство &и = Хи. C1) Таким образом, функция Хи, стоящая в правой части B8), при- принадлежит Щос (Q) П L2 (Q). Поэтому, применяя еще раз теорему 3, ПОЛУЧИМ, ЧТО U e #foc (Q) И Т. Д. Следовательно, и е Н\ос (Q) при любом k. На . основании тео- теоремы 2 п. 2 § 6 гл. III и (х) <= Ст (Q). Итак, установлена Теорема 6. Обобщенные собственные функции первой, вто- второй и третьей краевых задач для оператора Лапласа бесконечно дифференцируемы в Q и удовлетворяют уравнению C1). Гладкость обобщенных собственных функций во всей области определяется гладкостью границы. Теорема 7. Если dQ^Ck при некотором k^2, то любая обобщенная собственная функция и (х) первой или второй краевой задачи для оператора Лапласа принадлежит Hk (Q) и удовлетво- удовлетворяет соответствующему граничному условию (и |ау = 0 в случае первой краевой задачи и ди/дп |а<? = 0 в случае второй краевой за- задачи). Обобщенные собственные функции первой краевой задачи при k 5s у М-1 и второй краевой задачи при k^\~\-\-2 являются классическими собственными функциями *). *) В случае третьей краевой задачи имеет место следующее утверждение. Если dQ <= Ck и о(х) <= С* (dQ) при некотором k^:2, то л:обая собственная функция и (х) третьей краевой задачи для оператора Лапласа принадлежит Hk (Q). При этом (д--(-ан) =0. Кроме того, если k 5? -~- +2, то обобщен- \оп I \dQ Lг J ные собственные функции третьей краевой задачи являются классическими соб- собственными функциями. 8*
228 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Так как dQ ge С* и и^Н1 (Q) с L2 (Q), то в силу теоремы 4 и<=Нг (Q). Если dQ е= С3, то по теореме 4 u<=Ha{Q). При dQ е= С4 из включения u^H2(Q) следует, что u^Hi(Q) и т. д. Таким образом, получим, что если dQeEC*, то u^Hk(Q). Кроме того, обобщенные собственные функции в силу тео- теоремы 6 принадлежат (^(Q) и удовлетворяют уравнению C1). Если k^z у 1+1. то согласно теореме 3 п. 2 § 6 гл. III не ' (Q)czC{Q), а при k^l^ + 2 и gC^Q). Следова- Следовательно, в силу результатов п. 1 § 5 гл. III собственная функция и первой краевой задачи при k ^ у +1 удовлетворяет в класси- классическом смысле граничному условию и[3<? = 0, а собственная функ- функция и второй краевой задачи при k^ -?- +2 удовлетворяет в классическом смысле граничному условию =- =0. Теорема доказана. 5. О разложениях в ряды по собственным функциям. Пусть ulT u2, ... — система всех обобщенных собственных функций пер- первой (второй) краевой задачи для оператора Лапласа, a Xlt X2,...— соответствующая система собственных значений. Как было дока- доказано (теорема 3 п. 3 § 1), система us, s=l, 2, ..,, является орто- нормированным базисом пространства L2 (Q). Это означает, что произвольную функцию /eL2(Q) можно представить в виде сходящегося в L2 (Q) ряда Фурье 00 /= 2 fmUm, /m = (A «mki«?). C2) m= 1 по любой из этих систем.1 Пусть функция / ge Я* (Q) при некотором & Зг 1. Ее ряды Фурье по собственным функциям первой и второй краевых задач, конечно, сходятся к ней bZ^Q). Однако в норме Hk (Q) и в нормах #*' (Q), 0<&'<&, эти ряды, вообще говоря, не схо- •дятся. Например, ряд Фурье по системе собственных функций первой краевой задачи функции fo(x), равной 1 в Q, не может сходиться в норме Hk(Q) ни при каком k^l. Действительно, если бы этот ряд сходился в норме Я1 (Q), то он сходился бы не- непременно к /о(*), а этого быть не может, поскольку сумма схо- сходящегося в Я1 (Q) ряда с элементами из Я1 (Q) должна принадле- принадлежать НЦО). Для того чтобы ряд Фурье функции / из Hk(Q) сходился к ней в Hk(Q), нужно потребовать, чтобы функция / удовлетво- удовлетворяла некоторым граничным условиям.
§ 2] ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 229 Заметим, что для сходимости в норме пространства Я1 (Q) ряда Фурье C2) функции / по системе собственных функций пер- первой краевой задачи для оператора Лапласа достаточно (теорема 3 п. 3 предыдущего параграфа), а как только что показано, и не- необходимо, чтобы f^H1(Q). Обозначим через Н% (Q) при k ^ 1 подпространство простран- пространства Hk(Q), состоящее из всех функций /, для которых ?=о д[~Н/эд=о. Под H%(Q) будем понимать пространство L2(Q). Заметим, что в силу теоремы 2 п. 3 § 5 гл. III Я^ (Q) = Я1 (Q). Через Hkjp{Q) при k^-2 обозначим подпространство простран- пространства Hk(Q), состоящее из всех функций /, для которых Под Н%° (Q) будем понимать пространство L2 (Q), а под Лемма 3. Пусть dQ e Ck при некотором k^\. Существует такая постоянная О 0, что для любой функции / из Н% (Q) или любой функции / из Htv(Q), ортогональной постоянным века- лярном произведении L2 (Q), имеет место неравенство ..?)- C3) если k —четное, и неравенство 1/11н*«?)^с!1д~Г~/1и«?), C3') если k — нечетное. Рассмотрим сначала случай четного k, k = 2p. Лемму будем доказывать индукцией по р. Установим оценку C3) при р=1. Пусть f<=H%(Q) (Hlv>{Q))- Обозначим через F функцию Д/. Тогда f(x) п. в. в Q удовлетворяет уравнению Пуассона A/-F. C4) Кроме того, в силу определения пространства H%(Q) (H!r(Q)) JU \dQ = 0 (соответственно ^ =0J. Умножая C4) на произвольную и^Я1^) и применяя фор- формулу Остроградского, получим, чтол^ является обобщенным ре- решением первой (второй) краевой задачи для уравнения C4). По- Поэтому справедливость неравенства C3) при k = 2 вытекает из тео- теоремы 4.
230 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Предположим, что неравенство C3) установлено при k = 2p, и пусть /ёЕЯ|р+2(ф) (H2J.+ 2{Q)). Поскольку в этом случае функция F = Af принадлежит Н2$ (Q) (H^r(Q)), то Но f(x) является обобщенным решением первой (второй) краевой задачи для уравнения C4), поэтому в силу теоремы 4 ||/||я2р+2 (<?) < С2 \\F ||я2Р (<?) < С] A"+1/ ||Ls (Q). Пусть теперь k — нечетное. При k=\ неравенство C3') три- тривиально. Пусть оно установлено для k = 2p — I, ps^l. Докажем его для k = 2р + 1. Пусть / е Я|р + ' fQ) (Я^ +' (Q)). Тогда F (х) = = &f^H2/~l(Q) (Я^~'(<2)). По теореме 4 и по предположе- предположению индукции имеем С|| Д'-^||я1 №) = С||Д/>/||я, №). ¦ Лемма доказана. Теперь мы в состоянии доказать следующее утверждение. Теорема 8. Пусть граница dQ^Ck, k^l. Для того чтобы функция f разлагалась в ряд Фурье C2) по системе соб- собственных функций первой {второй) краевой задачи для оператора Лапласа, сходящийся в норме пространства Hk{Q), необходимо и достаточно, чтобы f принадлежала H%{Q) (H%°(Q)). Если f e ^H%(Q) (H$r(Q)), то сходится ряд ^ fs\Xs\k и существует та- S = 1 кая не зависящая от f положительная постоянная С, что S «». ¦ C5) Доказательство. Из равенства C1) и теоремы 7 выте- вытекает, что если dQ e С*, то обобщенные собственные функции пер- первой (второй) краевой задачи для оператора Лапласа принадлежат H%{Q) (Htr(Q))- Поэтому, если ряд Фурье функции / еHk(Q) по собственным функциям первой (второй) краевой задачи схо- сходится в норме Hk{Q), то f^.Hkil(Q) (H$r(Q)). Необходимость до- доказана. Пусть теперь f^H%(Q) (Я^(<2)). Установим справедливость неравенства C5), Предположим сначала, что k — четное, k = 2p, pSsl. Обозначим через ys коэффициент Фурье функции Др/ : ys = = (Др/, ns)Ll (Q). С помощью формулы Грина имеем Ys = (Ap/, «s)l,«?)-(Ap Y. д"^ №) = К (Д"/- и*)i-г «?) = ••• ...=Xps(f, us)Lt(Q) = Kpsfs, s=l, 2, ...
§ 2] ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 231 оо Поскольку функция Д"/е L2(Q), то V YsH|Ap/IIL«?>» поэтому 2 /* I ^s\k =I^2/1l,«?)» и тем самым, очевидно, имеет место не- s=l равенство C5). Если k = 2p+\, то функция Ар/е Я1 (Q) (Я1 ((?)). Поэтому на основании теоремы 3 п. 3 § 1 имеет место неравенство 00 2 Vs! А,4|<;С|| Др/||я1 (Q), из которого вытекает неравенство C5). s=l Обозначим через Sm(x) частичную сумму ряда C2). Очевидно, что при всех т=1, 2, ... SmeEH$(Q) (V) При k = 2p ъ силу C3) и C5) (пусть m ~ S, С* №) < С || Л" (Sm - при m, t -> со. Это означает, что ряд C2) сходится к / в Я* (Q). Если & = 2р+1, то доказательство проводится аналогично с использованием неравенства C3'). Теорема доказана. Теорема 9. Пусть граница dQ области Q принадлежит Ск при некотором k ^ у +1. Тогда любая функция f из Hk$ (Q) (Htr(Q)) разлагается в ряд Фурье C2) по собственным функциям первой (второй) краевой задачи для оператора Лапласа, сходя- щийся в пространстве С L 2 Из теоремы 3 п. 2 § 6 гл. III следует, что пространству С L2J @ принадлежит как функция f(x), так и все собствен- собственные функции us(x), а вместе с ними и все частичные суммы Sm (x) ряда C2). При этом имеет место неравенство \\Sm — Si\\ r „i =s? с UJ"® ^C||Sm— 5;||яй(<?), в котором постоянная С не зависит от т и i. В силу теоремы 8 ||Sm — St\\Hk (Q) -+ 0 при т, t-»-co, поэтому |Sm —SJ| *_Гл |_i ^-0 при m, t->-co. Значит, ряд C2) схо- С L 2 J (у) дится в С L2 J (Q). Теорема доказана. 6. Обобщения. Метод, с помощью которого в пп. 2 и 3 была исследована гладкость обобщенных решений краевых задач для уравнения Пуассона, может быть применен и при изучении глад- гладкости обобщенных решений краевых задач для более общих урав- уравнений. Пусть, например, и (х) — обобщенное решение первой
232 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV краевой задачи a(x)u = f, xe-Q, -о C6) Если k (х) е= Cp+1 (Q), а (х) е С (Q) и / (х) е= U (Q) П tffoc (Q) при некотором рЗ&0, то u(j;)effiof((l). В частности, любая обобщенная собственная функция первой краевой задачи для опе- оператора X принадлежит tffot2 (Q). Если дополнительно граница dQ е Ср+2 и / е Нр (Q), то ы (х) е e#p+2(Q), и, в частности, любая обобщенная собственная функ- функция первой краевой задачи для оператора X принадлежит HP+2(Q). Совершенно аналогичные результаты имеют место и для обоб- обобщенных решений второй и третьей краевых задач для уравнения C6) и соответствующих собственных функций оператора X. § 3. Классические решения уравнений Лапласа и Пуассона 1. Гармонические функции. Потенциалы. Вещественная функ- функция и (х) называется гармонической в области Q (или в некотором открытом множестве) пространства Rn, если она дважды непре- непрерывно дифференцируема в Q и в каждой точке xgQ удовлетво- удовлетворяет уравнению Лапласа Ды = 0. A) Легко дать и другое, эквивалентное, определение гармонич- гармоничности функции в терминах пространств Я* (как обычно, функции будут считаться равными, если они совпадают почти всюду). Функция и (х), принадлежащая H\0S(Q), где Q — некоторая область пространства Rn, называется гармонической в Q, если она удовлетворяет интегральному тождеству $VuVydx = 0 B) <? при всех финитных в Q (т. е. равных нулю п. в. в Q\Q' для некоторой Q' eQ) функциях v eff^Q). Если функция и (х) из С2 (Q) гармонична в области Q, то она, очевидно, принадлежит пространству H\Oc(Q)- Умножим A) на про- произвольную финитную в Q функцию веЯ1 (Q) и проинтегрируем полученное равенство по области Q. С помощью формулы Остро- Остроградского получим, что функция и удовлетворяет интегральному тождеству B). Пусть теперь функция и е Н\ос (Q) и удовлетворяет интеграль- интегральному тождеству B) при всех финитных в Q функциях v, принад-
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 233 лежащих Я1 (Q). Возьмем произвольную строго внутреннюю под- подобласть Q' области Q. Так как функция и е Я1 (Q') и удовлетво- удовлетворяет тождеству ^vuvycpf = U при всех v^nl(Q), то согласно лемме 2 п. 2 предыдущего параграфа и теореме 2 п. 2 6 гл. III функция и е Си (Q'). Кроме того, функция и удовлетворяет в Q' уравнению A) (см. следствие из леммы 2 предыдущего параграфа). В силу произвольности <7 функция и (х) принадлежит С00 (Q) и удовлетворяет уравнению A) в Q, т. е. является гармонической. Если гармоническая в Q функция и дважды непрерывно диф- дифференцируема в Q, то, интегрируя равенство A) по Q и пользуясь формулой Остроградского, получим равенство 0= [ Audx= [ div (Vu)dx= [ pdS, C) [ Audx = [ div (Vu)dx = [ которым будем в дальнейшем неоднократно пользоваться. Пусть \ — произвольная точка из Rn, а г=\х —1|. Так как для функции /, зависящей только от г, A/ = /r/.-f ~ //¦> то завися- зависящая только от г гармоническая функция и удовлетворяет обыкно- обыкновенному дифференциальному уравнению игг + -^- иг = 0. Общее решение этого уравнения на полуоси г > 0 имеет вид -—^ + сх при п>2 и colnr + Ci при п = 2, где с0 и ^ — произвольные постоянные. Поэтому все функции, гармонические во всем про- пространстве, кроме точки х = \, и зависящие лишь от \х — \\, имеют вид С1.п^ + с1 при п>2ясо1п\х — 1\+с1 при п = 2 (с0 и сх — про- I * 5 I извольные постоянные). Гармоническая в #л\{х = ?} функция n>2, D) где ап — площадь поверхности единичной сферы, называется фун- фундаментальным решением уравнения Лапласа. Эта функция играет важную роль при изучении решений уравнений Лапласа и Пуас- Пуассона. Для любой измеримой ограниченной в области Q функции ро(?) при всех х определена функция \ E) называемая объемным потенциалом с плотностью р0.
234 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Для любых интегрируемых на dQ функций рх всех х е Rn\dQ определены функции dQ [ГЛ. IV и р2(|) при F) G) называемые потенциалами простого и deounozo слоев с плотностями Рх и р2 соответственно. С потенциалами E), F) и G) мы уже встречали.ь, В п. 1 § 6 гл. III (теорема 1) было доказано, что любая функция и (х) из C*(Q~) может быть представлена в виде суммы трех слагаемых: объемного потенциала с плотностью Ды, потенциала простого слоя ди с плотностью —д- и потенциала двойного слоя с плотностью и: и (х)= 5 U(x-l)Au(l)dl- (8) Если функция и еС2 (Q) и является гармонической в Q, то из (8) вытекает, что для любого xeQ Si- (9) Лемма 1. Потенциалы простого и двойного слоев являются гармоническими функциями в Rn\dQ. . . Пусть х° — произвольная точка из Rn\dQ, и пусть б > 0 — рас- расстояние от этой точки до dQ. Подынтегральные функции в F) G) для всех х, лежащих в шаре {\х — х°\ <б/2}, как функции переменного \, \ е dQ, принадлежат Lx (dQ) и при п. в. \ из dQ как функции переменного х принадлежат С00 (| х — х° \ ^6/2). Кроме того, для всех gedQ и х из шара {|х —х° <б/2} имеют место оценки Da U (х — Q \ < С, « где а = произвольно, а постоянная С>0 зависит только от б и а. Поэтому Тогда по теореме 7 п. 7 § 1 гл. II функции их(х) и щ(х) беско- бесконечно дифференцируемы в шаре {\х — х°\<.6/2} и Dau, (х) = I Pl (I) OQ (x -1) dS%
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 235 И dQ при любом а. В частности, dQ = \ р2 (g) ~ А,?/ (х - 6) dSs = 0, Ч поскольку &XU(х — |) = 0 при хф\. Лемма 2. ?слы pod^eC^Q), mo объемный потенциал ио(х) принадлежит С2 (Q) П С1 (Q) и для всех х е Q удовлетворяет урав- уравнению Пуассона Аыо=ро. Из измеримости и ограниченности в Q функции р0 вытекает (см. п. 12 § 1 гл. II), что «0 g С1 (Q) и §=$^^Ро(Ю4=-^^^Ро(|Ш t = l:...,n. Если pod") e С1 (ф), то на основании формулы Остроградского где щ (l) = cos(n, gj)—непрерывная на 5Q функция. Первое слагаемое правой части этого равенства есть объемный потенциал с непрерывной в Q плотностью 4f. Значит, это сла- гаемое принадлежит С1^). Второе слагаемое есть потенциал простого слоя с непрерывной на dQ плотностью р0П/ и_ согласно лемме 1 принадлежит Сте (Q). Поэтому функция ы0 е С1 (Q) П С2 (Q). Возьмем произвольную финитную в Q функцию if из C2(Q). Так как j дп dQ = 0, то из (8) для всех xeQ имеем A0) Применяя к функциям if и ы0 формулу Грина и используя последовательно теорему Фубини (теорема 10 п. 11 § 1 гл. II)
236 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV и равенство A0), получим $ ф (х) Д«о \x)dx=[Aip (х) • и0 (x)dx = Q Таким образом, при любой финитной в Q функции if из С2 (Q) имеет место равенство откуда и вытекает, что Дыо = ро в Q. Лемма 2 доказана. 2. Основные свойства гармонических функций. Установим теперь некоторые важные свойства гармонических функций. Теорема 1 (первая теорема о среднем). Пусть и(х) — гармо- гармоническая в области Q функция, а х — произвольная точка из Q. Тогда при любом г, 0<r<d, где d — расстояние точки х до границы dQ, имеет место равенство A1) l*-l' Поскольку функция и A) е С*(Ц — х\ sgr), то к этой функции в области {(? — х\<.г] можно применить формулу (9). В силу этой формулы для п>2 (для п = 2 рассуждение аналогичное) «(*) = - S 1 (п—2H на сфере я * IS-*!"-2 а« 2 a я (?) я и"& • s ¦ IS-*!-' 5 — x\n-i [ "(I) J (я-2) с )u®dS+ l (n-2) a ... "Л a^e IS-*I=' и-2 Формула A1) теперь вытекает из формулы C). Теорема 2 (вторая теорема о среднем). Пусть и(х) — гармо- гармоническая в области Q функция, а х — произвольная точка из Q. Тогда при любом г, 0<Xd, где d —расстояние точки х до
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 237 границы dQ, имеет место равенство J «©*. A2) ||-*|<г Согласно теореме 1 для любого р, 0<p<;d, имеет место равенство Интегрируя это равенство по р от 0 до г, получим равенство A2). Теоремы 1 и 2 называются теоремами о среднем, поскольку в правых частях равенств A1) и A2) стоят средние значения функции и по сфере .{| g — jc ] = г} и по шару {|? — х\<.г] соответ- соответственно lev"-1 — площадь сферы, — объем шара). Как было показано, гармоническая в области Q функция бес- бесконечно дифференцируема в Q. При изучении гармонических функ- функций часто бывает полезной следующая Лемма 3. Пусть функция и (х) гармонична eQ и ограничена: \и(х)\^М. Тогда любая производная Dau{x) порядка \a\ = k, k = 1, 2, ..., в точке jtgQ удовлетворяет неравенству |D«u(x)|«? Л* (¦?¦)***, A3) где б — расстояние от точки х до границы dQ. Доказательство леммы будем проводить индукцией по k. Пусть сначала А=1. Покажем, что иХ[ sgMn/б для всех 1 = 1, ..., п. Так как функция иХ[ гармоническая в Q, то в силу теоремы 2 для любого б'<б S ^ \ и (I) cos a, dSly li—*|<8' |g—*l = 8 где а, — угол между вектором \—х к осью 0^. Поэтому Переходя в этом неравенстве к пределу при 8'->-8, получим требуемое неравенство. Предположим теперь, что лемма доказана для всех производ- производных Ьаи, где |a|«S& — I, &Ss2. Докажем неравенство A3). Возьмем два шара {\\ — х|<6'} и {Ц — x\<.6'/k} с центром в точке х (б' —любое положительное число, меньшее б). По пред- предположению индукции для любой точки \ из шара {Ц — x\<.8'/k]
238 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV и любого р, \p\ = k— 1, имеет место неравенство i d\ и о | < м {?^)к'1 (k - D*-1 = м Таким образом, для любого р, |Р| = &—1, гармоническая функция Dfu(g) ограничена в шаре {Ц — x\<ib'/k} постоянной М (n/б')* kk~x. Тогда для первых производных этой функции по уже доказанному имеем М (f)" **-i (^) = М (?)* *\ / = 1 п. То есть для любого a, \a\=k, имеем \Dau\-^M(nlb')kkk. Пере- Переходя в этом неравенстве к пределу при 8'->-8, получим неравен- неравенство A3). Лемма доказана. Рассмотрим некоторые приложения леммы 3. Теорема 3. Из любого бесконечного множества гармонических в Q функций, ограниченных в Q одной постоянной, можно выбрать последовательность, сходящуюся равномерно на любой строго внут- внутренней подобласти области Q. Пусть ЭЛ —некоторое бесконечное множество гармонических в области Q функций и(х), ограниченных в Q в совокупности: \и(х)\^М. Возьмем произвольную последовательность областей Qi. Qa> .. ¦ > обладающую следующими свойствами: Q1czQia со. cQ,c...; Qi^Q, / = 1,2, ...; (J Q, = Q. Множество $Н состоит из функций, принадлежащих C($i) и ограниченных на Qx в совокупности. В силу леммы 3 существует такая постоянная С>0, зависящая лишь от области Qlt что для всех функций и из дЯ \ Vu | <: С при х е Qx. Поэтому множество 2)J равностепенно непрерывно в Qv По теореме Арцела из Ш можно выделить последовательность ип, ы12, ..., равномерно схо- сходящуюся в Qx. Так как эта последовательность равномерно огра- ограничена и в силу леммы 3 равностепенно непрерывна в Q2, то из нее можно выделить подпоследовательность ы21, и22, ..., равномерно сходящуюся в Q2. И так далее. Очевидно, диагональная последо- последовательность ип, ы22> •¦¦ является искомой. Теорема доказана. Теорема4. Пусть последовательность гармонических в области Q функций «i(x), u2(x), ... сходится к функции и(х) равномерно в любой строго внутренней по отношению к Q подобласти. Тогда функция и (х) гармоническая в Q и для любого а = (а1т ..., а„) последовательность Daux, Dau2, ... сходится к функции Dau равно- равномерно в любой строго внутренней подобласти области Q. Пусть Q' — произвольная строго внутренняя подобласть об- области Q. Тогда функция и(х) gC(Q'). Возьмем такую область Q", что Q' ts Q" Ш Q. Ясно, что каждая функция ит (х) ограничена в Q".
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 239 В силу леммы 3 для любого а существует такая постоянная С>0, зависящая лишь от Q', Q" и |а|, что при всех т, s=l, 2, ... имеют место неравенства \\Da (ит - us) \}c&) <C\\um-us \\c&y Так как || ыот — ы51!сE") ~*"^ ПРИ m> s->oo, то все последователь- последовательности Daum, m=l, 2, ..., являются фундаментальными в норме пространства С (Q'). Это означает, что функция и (х) е Сте (Q') и при любом a \\Daum — Оаи\с^-+0 при m-»-oo. Переходя в равенстве Дыт = 0, jtgQ', к пределу при т->-оо, получим, что Ды = 0 в Q', т. е. функция и (х) гармоническая в Q', а тем самым, и в Q. Теорема доказана. Теорема 5. Функция, гармоническая в области Q, является аналитической в Q. Пусть функция и (х) гармоническая в области Q. Возьмем произвольную точку х° из Q и обозначим через б>0 расстояние от этой точки до границы 6Q, а через Se/4 (х°) — шар {\х — х°\<. 6/4}. Функция и(х) е C(Qi/i), поэтому она ограничена в Qe/2; пусть М = max | и (х) |. Так как расстояние от любой точки шара 5в/4 (х°) до границы /2 не меньше чем 6/4, то в силу леммы 3 для любой точки х из 5е/4 (*°) и любого а = (а1( ..., а„) имеем неравенство Поскольку lim -—_Г = -г= (формула Стирлинга), то существует k-юэ k\ ek у 2я такая постоянная С>0, что для всех натуральных k kk^Cekkl и, тем самым, | a|ia| <:Ce!al (|aj)!. Полагая в тождестве (xi+ ¦•• +xn)k= У -|рЛ справедли- \a\-k вом при любом натуральном k, хх = ... = хп = 1, получим равенство n*= Vj (|a|)!/a!, из которого вытекает неравенство (| s^n'. Поэтому при всех х е Se/s (х°) и всех a |Da«| ^CM Dn2e/6)'°" a!. A4) Из неравенства A4) прежде всего вытекает, что ряд Тейлора функции и (х) абсолютно сходится в шаре S = ||x — /|<р-}, поэтому сумма
240 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV ряда является аналитической функцией в S. Докажем, что этот ряд в шаре S' = || х — х° | < ^-Л сходится к функции и(х). Для этого достаточно показать, что остаточный член формулы Тейлора функции и г = 0 |a|=ft *-=*!» (Х-X*)*, где |8|<1, стремится к нулю при Af-voo в каждой точке S'. Поскольку при jteS' точка х° + 9 (х — х°) тоже содержится в S' и, тем самым, в шаре Se/4 (x°), то из A4) вытекает, что для всех х из S' см Поэтому RN(x)->0 при N-*~oo. В силу произвольности точки х° е Q функция и (х) анали- тична в Q. Теорема доказана. ^ В двумерном случае наряду с теоремой 5, устанавливающей аналитичность гармонической функции как функции двух пере- переменных Х\, х2, имеет место и более глубокий результат, связы- связывающий гармонические функции с аналитическими функциями одного комплексного" переменного z = х± + ix2. Для простоты огра- ограничимся случаем односвязной области. Теорема 6. Для того чтобы функция u(xlt x2) была гармо- гармонической в односвязной области Q, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая аналитическая в Q функция f(z), z =Xj_-\-ix2, что u(xlt x2) = Re/B). Достаточность. Пусть f (z) аналитична в области Q. Тогда функции и (*i, х2) = Re/ (хг + 1х2) и v (xlt x2) = Im/ (xx + ix2) в Q бесконечно дифференцируемы и удовлетворяет условиям Коши— Римана uXl = vXi, uH = — vH. . A5) Дифференцируя первое из равенств A5) по х1у второе — по х2 и складывая полученные соотношения, получим Дм = 0, т. е. и — гармоническая функция. Н е о б х о д им ость. Пусть функция и гармоническая в Q. Рассмотрим функцию v М = I ~ ич d*i + ич dxv
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 241 где л:0 = (х°, х°) — некоторая фиксированная точка из Q, х = (xlt х2), a L(x°, x) — произвольная спрямляемая кривая, соединяющая точки х° и х и лежащая в Q (из односвязности области Q в силу формулы Грина следует, что функция v не зависит от контура L). Функция к (*) е С1 (Q) и удовлетворяет условиям A5). Следова- Следовательно, функция [ = u-\-iv аналитична по xx + ix2 в Q. Теорема доказана. Замечание 1. Аналитическая функция /(г) по гармониче- гармонической функции и (хц х2) определяется с точностью до произвольной чисто мнимой постоянной. Действительно, пусть Д (г) = и + ivi и /а(г) = и + /р2 — две аналитические в Q функции", для которых Re fx = = Re/2 = «. Тогда аналитична в Q функция fi—f2 = iv, где (вещественная) функция v = v± — v2. В силу условий Коши—Римана vXi = vx^ = 0, т. е. v2 = Vi~\-c, где с — произвольная вещественная постоянная. Поэтому /а (г) = /i (г) + г'с. Утверждение доказано. Замечание 2. Утверждение, аналогичное теореме 6, имеет место и в случае произвольной области Q. В этом случае анали- аналитическая по Xx-\-ix2 в Q функция /, построенная по гармонической в Q функции ы, может быть многозначной. Например, гармони- гармонической в кольце {1 < | х | < 2} функции In | x \ отвечает многозначная аналитическая в этом кольце функция Ln г = 1п | х \ + / Arg(xi + '*г)) (z = x1-\-ixI). Следствие. Пусть аналитическая в односвязной области Q функция z' = F(z) = F1(x1, x2)-\-iFi(x1, x2), г = х1-\-1хъ взаимно однозначно отображает эту область на некоторую односвязную область Q' комплексной плоскости г'=х\ + 1х'%. Если функция и'(х') гармоническая в Q', то функция и(х) = и'(F1(x), F2(x)) гармоническая в Q, Действительно, пусть /'(г') — аналитическая в Q' функция, для которой «'(*') = Re/' &')¦ Так как функция / (г) = f (F (г)) аналитична в Q, то функция и(х) = и' (Fi(x), F2 (x)) = Re/' (г') = = Re/B) гармонична в Q. Следующее важное свойство гармонических функций, вытека- вытекающее из теоремы о среднем, называется принципом максимума. Теорема 7 (принцип максимума). Пусть гармоническая в Q функция и (х) непрерывна в Q. Тогда или и (х) = const в Q, или min u(x)<.u (x) <max и (х) A6) для всех xeQ. Пусть М = тахи(х), Покажем, что если в области Q сущест- ? вует точка, в которой нарушается правое из неравенств A6), то функция и (х) = const = М в Q. Действительно, пусть такая точка существует. Тогда в Q есть точка л:0, в которой ы = М. Возьмем произвольную точку у из Q и покажем, что и(у) = М. Соединим точку у с точкой х° конечнозвенной ломаной L (без
242 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV самопересечений), целиком лежащей в Q. Пусть d>0 — расстоя- расстояние между L и dQ. Покроем кривую L конечным числом шаров S;= {\х — х' | <d/2}, / = 0, 1, ..., N, центры которых х' <= eLf|S(_i, /=1, .... АЛ При этом точка х° есть центр шара So, а точка у <= S^. В силу второй теоремы о среднем (теорема 2) \x—x°\<d/2 т. е. $ (u(x)-u(x°))dx = O. Поскольку подынтегральная функция и(х) — и (х°) неположительна, то u(x) = u(x°) = M в So и, в частности, и(х1) = М, Повторяя для точки х1 и шара S± те же рассуждения, что и для точки х° и шара So, покажем что и(х) = М в S] и, в частности, и(х2) = М. И так далее. В итоге получим, что и(х) = М в SN и, в част- частности, и{у) = М. Таким образом, доказано, что или и (х) = const в Q или для всех х из Q имеет место правое из неравенств в A6). Применяя это утверждение к функции — и(х), получим, что или и(х) = const в Q, или для всех х из Q имеет место левое из неравенств A6). Теорема доказана. Следствие. Из теоремы 7 немедленно вытекает, что для любой гармонической в Q функции и (х), непрерывной в Q, имеет место неравенство A7) Теорема 8. Пусть функции uk(x), A=l, 2, ..., принадле- принадлежат С (Q) и являются гармоническими в Q. Если последователь- последовательность uk\dQ, k=l, 2, ..., сходится равномерно на dQ, то после- последовательность uk, k=l, 2, ..., сходится равномерно в Q к неко- некоторой гармонической в Q функции. Действительно, в силу формулы A7) для любых s и т 1 us — ит \\с ( q ) «S | us — ит \\с (а<?) - Так как последовательность uk\dQ, k=\, 2, ..., равномерно на dQ сходится, то | us — ит \\с (dQ) -*¦ 0 при т, s-vcx>; поэтому ||«s —«m|lc(-Q)->-0 при т, s-voo. Из полноты пространства C(Q) вытекает, что существует непрерывная функция и (х), к которой равномерно в Q сходится последовательность uk(x), k — l,...' Гармоничность функции и (х) в Q следует из теоремы 4. Теорема доказана.
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 243 3. О классических решениях задачи Дирихле для уравнения Пуас- Пуассона. Напомним, что функция и (х) называется классическим ре- решением задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Пуассона Ды = /, xe=Q, A8) м|а<? = ф, A9) если и (х) е С2 (Q) П С (Q) и удовлетворяет соотношениям A8) и A9). Прежде всего докажем единственность решения. Теорема 9. Задача Дирихле для уравнения Пуассона не может иметь более одного классического решения. Пусть «j (x) и и2(х) — два решения задачи A8), A9). Тогда функция и (х) = «1 (х) — ы2 (х) является гармонической в Q, непре- непрерывной в Q и обращается в нуль на dQ. Поэтому из неравенства A7) вытекает, что м = 0 в Q, т. е. м1 = м2. Теорема доказана. Существование классического решения задачи A8), A9) в \±\ + 1 Г -1 4- 1 Г-1 4-1 предположении, что dQ <= (Л2 J , f <= #L2 J (Q), ф <= (Д2 J (dQ), установлено в п. 3 предыдущего параграфа. На самом деле там доказано более сильное утверждение: при сделанных предполо- предположениях относительно dQ, / и ф обобщенное решение и задачи A8), A9) принадлежит пространству H\jJ (Q)f\mJi + l (Q). Отсюда в силу теорем вложения следует, что и(х) е C2(Q)f\C(Q), т. е. является классическим решением. Но принадлежность функции -1 + 3 [-1 + 1 пространствам Н ^ (Q) и #L2J (Q) условия значительно более сильные, чем принадлежность пространствам C2(Q) и С (Q) соответственно. Поэтому естественно ожидать, что классическое решение существует при более слабых ограничениях на dQ, / и ф. Теорема 10. Если dQ<=C2, /eC1^), <peCCQ), то задача A8), A9) имеет классическое решение. Прежде всего установим справедливость теоремы 10 для случая однородного уравнения A8), т. е. для задачи A), A9). Лемма 4. Если dQ<=C2, а ф«=С(д<2), то задача A), A9) имеет классическое решение. [-1 + 1 Пусть сначала dQ е Сл2 J . Так как ф е С (dQ), то существу- I •-] +1 ет последовательность фА, А=1, 2, ..., функций из СL2J (^Q), равномерно сходящаяся на 6Qk функции ф. (Действительно, непре- непрерывное продолжение функции ф в Q можно приблизить в С (Q) функциями из C^iQ), а их значения на границе принадлежат [-1 + 1 CL2 J (dQ).) Но для любой щ существует гармоническая в Q функция uk(x), являющаяся классическим решением задачи A),
244 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV A9) с этой граничной функцией. В силу теоремы 8 последова- последовательность uk(x), k=l, 2, ..., равномерно в Q сходится. При . этом предельная функция и (х) является гармонической в Q, непре- непрерывной в Q и удовлетворяет граничному условию A9), т. е. является классическим решением задачи A), A9). Пусть теперь dQ e С2. Обозначим через Ф непрерывное продол- продолжение в Q граничной функции ф, и пусть М = max | Ф (х) |. Во- зьмем последовательность областей Qh t = l, 2, ..., обладающую 00 следующими свойствами: QtmQi+г для всех i=l, 2, ...; (J Qi = ( = i [-1-Ы = Q; dQ;eCL2J , t = l, 2,... Согласно доказанному при любом » = 1, 2, ... в области Qi существует классическое решение vt(x) задачи A), A9), удовлетворяющее граничному условию Vi\dQ.= = Q>\dQt. При этом при всех 1 = 1, 2, ... Обозначим через щ (х) заданную в Q функцию, равную vt (x) в Qi и нулю вне Qh i = l, 2, ... В силу теоремы 3 последова- последовательность функций и2(х), us(x), ... , гармонических в Q2, содер- содержит подпоследовательность ыи, и12, ... , равномерно сходящуюся в Oi. Последовательность ип, и12, ... состоит из функций, гармо- гармонических в Q3 (если из нее выбросить, возможно, содержащуюся в ней функцию ы2 (х)). Поэтому по теореме 3 из нее можно выб- выбрать подпоследовательность и21, ы22, .... равномерно сходящуюся в Q2. И так далее. Возьмем диагональную последовательность ип, и22, ... • ••. ирр> • • • Соответствующую подпоследовательность последователь- последовательности областей Qm, m=l, 2,..., будем обозначать через Q», i = l, 2, ... : функция ии равна vи в Qu и равна нулю вне Q;;- Очевидно, последовательность ырр, р=1, 2, ... , сходится в Q и эта сходимость является равномерной на любом Qit. Следова- Следовательно, согласно теореме 4 предельная функция и (х) гармони- гармоническая в Q. Кроме того, \и(х)\^М для всех xeQ. Покажем, что и(х) непрерывна в Q и удовлетворяет гранич- граничному условию A9), т. е. докажем, что и (х) — классическое реше- решение задачи A), A9). Возьмем произвольную точку x°edQ. Так как dQ^C2, то существует такая точка х1 ф Q и такое г > 0, что касающийся границы dQ в точке х° шар {\х — х1]\<.г} не содержит точек области Q, а сфера {\х — х1\ = г} имеет лишь одну точку х°, общую с dQ. Фиксируем любое е>0. В силу непрерывности в точке х° функции Ф(х) существует такое б = б(е)>0, что | Ф(х) — Ф(х°) |<е для всех точек из шара {|* — х°|<б}, лежа-
§ 31 КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 245 щих в Q. Так как гармоническая при хфх1 функция (для определенности мы рассматриваем случай п>2; в случае n = 2w(x) =— Inr + ln\x — x11) неотрицательна при всех ^eQ и обращается в нуль только в единственной точке _х° из Q, то можно найти такое С = С(8)>0, что для всех xeQ будут спра- справедливы неравенства Ф(*•)-е-Cw(х) <Ф(х)<Ф(х°) + z + Cw(х). Функции ирр (х) + Cw (х) и ирр (х) — Cw (x) гармонические в Qpp, непрерывныев Qppu(upp-\-Cw)\dQ = (Q>-{-Cw)\dQ >Ф(х0) — ей (ирр — Cw)\dQ =(Ф — Cw)\dQ р<Ф(х°) + е. Поэтому согласно прин- принципу максимума в области Qpp upp(x) + Cw(x)>(I>(x0) — e и upp(x)-Cw(x)<O(x°) + e, т. е. Ф (х°) - е - Cw (х) *=? ирр (х) *=? Ф (х°) + е + Cw (х) для всех хеQpp. Следовательно, для любого ^gQ Ф (Х°) - 8 - CW (X) =?= Ы (ЛГ) =?= Ф (Х°) + 8 + Cw (x). Из этих неравенств, поскольку w(x)^-0 при x-v^°, в свою оче- очередь вытекают неравенства Ф (х°) — е ^ lim и (х) ^ Tim и (х) «S Ф (х0) + е, откуда в силу произвольности е >¦ 0 следует, что и (х) непре- непрерывна в х° и и(х°) = Ф(хо) = ц>(х°). Лемма доказана. Докажем теперь теорему 10. Рассмотрим функцию ы0 (х) = ^ U (х — у) f (у) dy, являющуюся объемным потенциалом Q с плотностью /. В силу леммы 2 ы0 (х) е С2 (Q) f| С1 @) и явля- является решением в Q уравнения A8). Согласно лемме 4 существует классическое решение v(x) задачи Др = 0 в Q, у |а<? = ф — "olaQ- Тогда функция m = mo + i> является классическим решением задачи A8), A9). Теорема доказана. С помощью теоремы 10 установим следующее важное свойство гармонических функций. Теорема 11 (теорема об устранении особенности). Пусть функция и(х) гармонична в области Q\{x°], где х° — некоторая точка области Q. Если при х^~х° и(х) = о (U (х — х0)), где U — фундаментальное решение уравнения Лапласа, то существует lim и(х) = А, и функция и(х), доопределенная в точке х° значе- нием А, гармонична в Q.
246 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Доказательство. Возьмем шар SR(x°) = {| х — х°\ <CR}, лежащий строго внутри Q. Обозначим через v (x) классическое решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре SR(x°), удовлетворяющее граничному условию v\dsRix°) = u\dsR(x>)- Функ- Функция и (х) — v (х) = w (х) гармонична в Ss(x°)\{x0} и w\dsRw) = 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что в каждой точке множества Ss(x°)\{x0} функция w = 0: в этом случае функция и(х) при всех xGSs(x°)\{jr°} совпадает с функцией v(x) и, следовательно, функция и (х), доопределенная в точке х° числом A=v(x°), совпадает с гармонической функцией v(x) во всем шаре SR(x°). Рассмотрим при произвольном е>0 две функции (пусть, для определенности, размерность пространства п>2; если /i = 2, то функции z+ (х) = е In,x_x0, ±w(x)). Функцииг± (х) гармоничны в SR (х°)\{х°} и г+ (х) \dsRm = ?/Rn~2>0. Так как R ПО УСЛОВИЮ U(x)=o( ¦ _Jc0|B-aj ПрИ Х^Х°, ТО (^y Следовательно, при доста- достаточно малых р>0 z±(x) \\x—x>\=p >0. Согласно принципу мак- максимума г±(л:)>0 для всех х из шарового слоя p«g \x — x° \^R. Пусть х1 — любая точка из Sfl^Xjx0}. При достаточно малом р она принадлежит шаровому слою psg|x — x°\ ^R. Следовательно, г±(х1)>0,т. e.lwix^K |^_^о^, откуда в силу произволь- произвольности е>0 te (х1) = 0. Теорема доказана. В теореме 10 доказано существование классического решения задачи Дирихле A8), A9) при любых /еС'(ф, срeC(dQ), dQ e С2. Возникает вопрос: не достаточно ли для разрешимости этой задачи предполагать лишь выполнения условия /еС(Q)} Условие /gC(Q), действительно, завышенное: можно доказать, что для разрешимости задачи достаточно предположить, что функ- функция / удовлетворяет в Q условию Гёльдера некоторого положи- положительного порядка *). Однако заменить это условие условием f^C(Q), как показывает следующий пример, нельзя. Рассмотрим в шаре Q = {\x\<.R} радиуса 7?<1 уравнение Пуассона *!-*! / п+2 1 2\х\* U- + *) Функция f(x) называется удовлетворяющей в Q условию Гёльдера порядка а > 0, если существует такая постоянная М, что для любых точек х' и х" из Q | / (x')-f(x") | «с М | х' —х" \а.
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 247 функция в правой части которого (доопределим ее нулем в начале координат) непрерывна в Q. Функция B1) принадлежит С(ф)ПС°°(ф\{0}) (точка {0} —начало координат) и, как легко проверить, удовлетворяет в Q\{0} уравнению B0) и граничному условию /=ТН"*- B2) Однако функция и (х) не может быть классическим решением задачи B0), B2): поскольку lim uXlX,= lim B(-ln\x\Y'2 + |*|-0 |*l-0\ zxi *1~*г *i\*i~*t) . *| 2(-\n\x\I'2 2\x\2(-\n\x\I'2 4 И4 (-In i * |K'2 то и (x) & С2 (Q). Покажем, что задача B0), B2) вообще не имеет классического решения. Предположим, напротив, что классическое решение v (x) этой задачи существует. Тогда функция w (х) = и (х) — v (x) гармонична и ограничена в Q\{0}. По теореме об устранении особенности функцию w (х) можно так доопределить в начале координат, что она станет гармонической в Q и, тем самым, будет принадлежать C2(Q). Поэтому, в частности, существует (конечный) предел lim wx.Xi. Существование конечного предела lim vXlX. вытекает |*|-0 |*|-0 из принадлежности функции v (x) пространству С2 (Q). Поэтому должен существовать конечный предел lim uXiX, = lim wXlXl + |*|-0 1*1-0 + lim vXlXi. Это противоречие доказывает утверждение. |*|-0 Мы уже неоднократно пользовались формулой (8), дающей представление произвольной функции и (х) из С2 (Q) через зна- значения в Q ее оператора Лапласа и значения и и -^- на границе dQ. Для дальнейшего нам понадобится еще одна формула такого рода. Прежде всего заметим, что для произвольной функции и (х) из С2 (Q) и любой точки у ф Q имеет место равенство B3) где U(y — Q — фундаментальное решение уравнения Лапласа.
248 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Для доказательства этого равенства достаточно воспользо- воспользоваться формулой Грина, примененной к функциям и (|) и U(y — \) в области Q: dQ и гармоничностью по | в Q функции U(y — %). Возьмем теперь любые точки xeQ, У ФО. и произвольную непрерывную вне Q функцию d(y). Умножая B3) на d(y) и вычи- вычитая почленно полученное равенство_ из равенства (8), получим, что для любой функции и из С2 (Q) имеет место представление + 6q' при всех xeQ, уфО. и произвольной непрерывной вне Q функ- функции d(y). Можно показать, что при весьма широких предположениях относительно области Q существует такое отображение у = у(х), ставящее в соответствие каждой точке xgQ точку уфQ, и такая функция d(y(x)), что для всех xeQ d(y(x))U(y(x)-t)-U(x-t) = O, Z<=dQ. B5) Формула B4) тогда даст представление в Q произвольной функ- функции и (х) из С2 (Q) через ее значение на границе и значение опе- оператора Лапласа от этой функции в Q. Мы ограничимся случаем, когда Q есть шар; в этом случае функции у(х) и d(y(x)) легко находятся в явном виде. Итак, пусть Q = {|||<7?}, и пусть, для определенности, раз- размерность пространства п>2. Тогда условие B5) имеет вид 1 ^ d(y(x)) _0> ||| = ^ или, если обозначить dI/("~2) через Ь, вид Л-*, IE 1-Я. B6) Отображение у = у(х) будем искать в виде у = а(х)х B7)
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 249 с неизвестной пока функцией а(х). Тождество B6) будет выпол- выполнено, если функции а (х) и Ъ (у (х)) связаны соотношением или соотношением (а2 (*) - Ь2 (у (х))) \х\* + (\-Ь*(у (х))) Я2 -з n Положим b (у (х)) = -г—г, а (х) = Ь2 (у (х)) = т^г- Тогда выполня- выполняется тождество B6) и для любой х < точка ._ к» X B8) находится вне Q, так как при'\x\<.R \y\ = R2/\x\'>R. Для сферы {|||=/?} нормаль щ = |/| 11 = |/7?, поэтому 5 / 1 \ /г, 1 \ л—2 , t v _ (д-2)(дс-Ь 1) _ (я-2)((дс, /г B9) Аналогично вычисляется -^—(V\y(x) —1|"). Поэтому с помощью B6) для ||| = /? имеем _а_ / 1 dtit ("-2) где Таким образом, если и (х) е С2 (| х \ ^ R), то для любой точки х, 7, имеет место равенство , C0) C1) C2) Совершенно аналогично устанавливается представление C0) и в двумерном случае, я = 2. При этом функция Рц{х, ?) имеет вид C1), а \ GR{x, l) = ~ 2л &-¦тут I х г Д|*-61 C2')
250 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Функция Рц(х, ?), определенная при \l\ = R, |jtl<:# форму- формулой C1), называется ядром Пуассона первой краевой задачи (задачи Дирихле) для оператора Лапласа в шаре {\x\<C.R}. Функция GR(X, |), определенная при |gj<:7?, jjt|<:i? фор- формулой C2) в случае п>2 и формулой C2') в случае п — 2, назы- называется функцией Грина первой краевой задачи (задачи Дирихле) для оператора Лапласа в шаре {|лг|<#}. Лемма 5. Функция GR(x, |), определенная в области {хф\, х ф lR2/\ 112} пространства R2n формулой C2) для п > 2 и фор- формулой C2') для п = 2, непрерывна в этой области и обладает следующими свойствами: а) GR(x, ?)==0 при |*| = #, б) GR(x, i) = G*(?, x), в) GR (x, ?) гармонична по х и по | \ 0<GR(x, ?)< 1/ n = 2. Iх- |"-2 ) для г) при n>2 «О- _ Свойство а) функции GR (x, g) вытекает непосредственно из C2) (или из C2') при /г = 2). Для любых х и | справедливо равенство |#2? — *|||2i2 |*i2 = = |#2x — II* |21211|2. Из него немедленно вытекает, что условие l = xR2/\x\2 эквивалентно условию х = |Я2/| ? |2; поэтому если точка (х, ?) (из R.2n) принадлежит области определения функции GR (x, |), то и точка (?, х) принадлежит этой области. Кроме того, из этого R R равенства вытекает равенство х\\В?хЦх\*-\ X). Свойство б) а следовательно, и равенство GR(x, Q'=GR(l доказано. Из C2) (или из C2') при /г = 2) вытекает, что функция GR (x, |) гармонична по ?. В силу симметрии функции GR (x, ?) (свойство б)) она гармонична и по х. Свойство в) доказано. Правое неравенство свойства г) при п>2 вытекает из C2). Для доказательства правого неравенства свойства г) при п = 2 заметим, - R2x/\ х | что при П*1 + Я2 ? 2R2. Поэтому при \x\\l-R*xl\x\2\ = \l\x кд о< x\\t-R?xf\x\* и, тем самым, GR(x, |) = 2~ x\\t—R*x/\x Докажем теперь левые неравенства из г). Пусть сначала = 0. В силу свойства б) GR@, |) = G/?(|, 0), поэтому G^@, |) = ^h^)в ^у436 ">2 и G@ |Iп при /г = 2. Возьмем теперь произвольную точку х0, 0<|л:01<R, и шар ||| — х°|<е} радиуса е, 0<е<7? —|лг°|, лежащий в шаре
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИП ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 251 <R}. Согласно свойствам а) и б) GR(x°, l) = 0 для а сфере {|| —лг°| = е} при достаточно малом е при 0 при п = 2. Поэтому в силу принципа максимума гармоническая по \ функция Gr(х°, |)>0 в области {!?1 <R} \ {\? — х°|<е}. Поскольку число е>0 может быть взято произвольно малым, то из этого неравенства вытекает левое из неравенств в г). Лемма дока- доказана. Интегральное представление C0) получено в предположении, что функция и(х) еС2(| jc | ^R). Лемма 5 позволяет получить это представление при меньших требованиях на функцию и. Лемма 6. Пусть функция и(х) (=С(\x\<:.R)r\C2(\x\<R) и функция Ды(дг) ограничена в шаре {\x\<R}. Тогда для любой точки х, \x\<.R, справедливо равенство C0). Пусть х0 — произвольная точка шара {\x\<.R}, и пусть р0 и р —такие числа, что |jc°| <po^p<R. Так как и(х)еС2(|х|-<р), то в силу C0) для всех х, |х|<р, и, в частности, для х = х, имеем и (*•) = J Яр (х°, |) и (|) dS% - $ Gp (*>, |) Аи (|) dg. C3) III = p ISi<P Сделаем в интеграле по сфере {| 11 = р} из C3) замену перемен- переменных | = ^-р: ii=p Так как функция (р/7?)" Яр (д:0, т]р/7?) ы (цр/R) по переменным тц> •••> Лл» Р непрерывна на множестве {|т]| = 7?, ро^р^/?} и при р -> R (p/R) Яр (д:0, цр/R) и (цр/R) -> Я« (дс°, г]) ы (г]), то lim \ Яр (д(«, |) и (|) dS6 = ^ PR(x°,l)u (|) dS6. C4) Рассмотрим теперь второе слагаемое правой части C3). Обозначим через Gp(дг°, |) функцию, равную Gp(дг°, |) при 111<р и нулю
252 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV для HISsp. Тогда ISKp ПК* Очевидно, что Gp(x°, l)-^GR(x°, ?) при р->-# для всех ?^ [||<;#. Кроме того, на основании свойства г) из леммы 5 функ- функция Gp (х°, |) Ды (|) мажорируется не зависящей от р интегриру- интегрируемой в шаре {|||<#} функцией: при п = где М= sup |Au(jc)|. Поэтому на основании теоремы Лебега lim \ Gp(x°, 5) Аи (Б) d? = $ С*(х°, g) Аи (g) dg. C5) P-^llK 16КЛ Переходя к пределу в C3) при р->#, с помощью C4) и C5) получим равенство C0) для любой точки из шара {|лг|<#}. Лемма доказана. Из леммы 6 следует, что классическое решение задачи Ди- Дирихле при непрерывной на сфере {|х|=./?} функции ф и ограниченной непрерывной в шаре {|x|<i?} функции / представляется (если оно существует) в виде «(*)= \ Ял(дс, 6)?F)dS6- ^ GR(x, ?)/(?)dg. C7) Заметим, что эти условия (как показывает приведенный выше пример) не гарантируют существования классического решения. В силу теоремы 10 для существования классического решения задачи C6) достаточно потребовать, чтобы f(x)^C1(\x\^R). Таким образом, из теоремы 10 и леммы 6 вытекает следующее утверждение. Теорема 12. Если f (х) е= С1 (|х\ <R) и <р(х) еС(|х\ =R), то классическое решение задачи Дирихле C6) существует и пред- представляется в виде C7). Замечание. Пусть Q — одно;вязная область плоскости (хи х2), и пусть z' = F(z), z=Xx + ix2, z'=x[ + ix'2 — аналитическая bQ и непрерывно дифференцируемая (по хх, х2) в Q функция, осу-
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 253 ществляющая взаимно однозначное отображение области Q на круг {\z'\<R} радиуса R (R = \F(z)\\2SdQ). Обозначим через u(z) = u (xlt х2) классическое решение задачи Дирихле Ды = 0, zgeQ, <p(z) где ф(г)еС (dQ), а через и' (г') = и' (х[, х? — классическое реше- решение задачи Дирихле Аи' = О, где iM*') = <P (F-i (г')) (F Согласно теореме 12 1 \V z'\<R, Q). iZ, Z Из теоремы единственности классического решения задачи Дирихле (теорема 9) и следствия из теоремы 6 вытекает, что u(z) = «(F_1(z')) = «'(z'). Поэтому решение задачи C8) имеет вид \P (Q-F 4. Гармонические функции в неограниченных областях. Пусть Q — неограниченная область пространства Rn, и пусть ее допол- дополнение Rn\Q содержит хотя бы одну внутреннюю точку; поместим в эту точку начало координат. Рассмотрим взаимно однозначно отображение х' = C9) области Rn \ {0} на себя. Это отображение называется преобразо- преобразованием инверсии (относительно сферы {|лг|=1}), им мы уже поль- пользовались в предыдущем пункте. При отображении C9) сфера {|х| = 1} переходит в себя, область {0<|x|<l} отображается в область {|jt|>l} и, наоборот, область {|х|>1}—в область {0<|д:|<1}. Очевидно, что отображение, обратное к C9), имеет вид X' т. е. тоже является преобразованием инверсии.
254 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV В результате преобразования инверсии область Q переходит в некоторую ограниченную область Q'. Отметим, что начало коор- координат является граничной точкой области Q'. В случае, когда dQ не ограничена, начало координат является граничной точкой и множества Q'. Если же dQ ограничена, т. е. если Q —внешность некоторого ограниченного множества, то начало координат — изо- изолированная граничная точка области Q' и, тем самым, внутренняя точка множества Q'. Пусть в области Q задана функция и(х). Функция ы'(дг'), определенная в области Q' равенством х' называется преобразованием Кельвина функции и. Из формул C9) и D0) вытекает, что и(*) = тття D0) D1) т. е. преобразование, обратное к D0), тоже является преобразо- преобразованием Кельвина. Лемма 7. Если функция и(х) гармонична в области Q, то функция и' (х') гармонична в области Q . Пусть Q[ — произвольная строго внутренняя подобласть обла- области Q', а область Qx — ее прообраз при преобразовании инверсии. Тогда область Qx является ограниченной строго внутренней под- подобластью области Q. Так как функция и гармонична в Qx и при- принадлежит C2(Qi), то согласно формуле (9) для всех х из Qi dQ, где ]i (I) = 1 (л —2H„ дп dQ, — непрерывные на . .. aOl' 'w (/i-2) а„ 2x функции (для определенности, мы рассматриваем случай я>2; в случае п = 2 все рассуждения совершенно аналогичны). Поэтому в силу D0) для всех х' ^Q[ i-ъ | n—2 "Г X' I" i-l D2) Из утверждения в) леммы 5 предыдущего пункта вытекает, что функция | х JL(\X> 2-я .' <,2-п *'!2 2-я» 2— п , а следовательно, и функция 1 гармоничны по х' при . Таким
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 255 образом, подынтегральная функция в D2) и любая ее производ- производная по х' непрерывны по совокупности переменных |, х' и гар- / х> моничны по х при ? е дОл и х еО условие —7-5 ф. дОл экви- валентно условию х' Следовательно, для любой точки x1^Q[ равенство D2) можно дифференцировать по х' под знаком интеграла любое число раз и при этом Ды' = 0. В силу произвольности Q[ лемма дока- доказана. Таким образом, исследование гармонических функций в неог- неограниченной области, дополнение которой имеет внутренние точки, с помощью леммы 7 сведено к исследованию гармонических функ- функций в ограниченной области. Пусть, дополнение Rn\Q области Q из /?„ ограничено. Задан- Заданная в области Q гармоническая функция и (х) называется регуляр- регулярной на бесконечности, если при |дс|-*-оо ы(х) = оA) в случае я>2 и ы(х) = оAп \х\) в случае я = 2. Пусть дополнение области Q имеет внутренние точки (и среди них, как и выще, начало координат). В результате преобразова- преобразования инверсии C9) область Q перейдет в ограниченную область Q', имеющую изолированную граничную точку — начало координат. Если заданная в Q гармоническая функция регулярна на беско- бесконечности, то в силу D0) преобразование Кельвина и'(х') этой функции при х'-+б есть о(|дг'|2~л) при п>2 и оAп|х'|) при я = 2, т. е. при дг'-уО и' (х') = о (U (х')), где U — фундаментальное решение уравнения Лапласа. Тогда по теореме об устранении особенности существует lim и' (х') = А и функция и'(х'), доопре- ж'->0 деленная в начале координат значением А (сохраним за нею прежнее обозначение и'(х')), является гармонической в области q;=q'u{o}. Таким образом, доказано следующее утверждение. Лемма 8. Пусть функция и (х) гармонична в неограниченной области Q, дополнение которой ограничено и имеет внутренние точки, и регулярна на бесконечности. Тогда ее преобразование Кельвина гармонично в Q'o. Согласно теореме 5 функция ы'(дг') аналитична по х' в Q'{){0}. Поэтому, в частности, существует такое число Ro, что функция и' (х') разлагается в шаре {\x'\<.R0} в абсолютно (и равномерно) сходящийся (вместе со всеми производными) ряд Тейлора где Aa = ^Dau' @), AQ=A. Но тогда в силу C9) и D1) для
256 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV всех х, jc|> |2|а | + л-2> D3) причем ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится при |д:|>1/7?о абсолютно и равномерно вместе со всеми своими производными. Обозначим через Т(х) функцию и (х) — -,—^, т. е. при \х >1/#0 Т(Х)= 2 А" и2|я|+»-2 • ТЭК КЭК ПРИ Люб0М а = > = ((*! а„) Dau=Da—^zr и так как „+iai —1 ' гДе Со —некоторая положительная постоянная, то для всех х, \х\> l/R0, Dau — Da \п— 2 В частности, «(*) — A0B-n)x ]x n const const D4) D5) Утверждения о поведении при больших значениях 1 х | гармо- гармонической в области Q и регулярной на бесконечности функции и(х), только что установленные в случае, когда дополнение обла- области Q ограничено и имеет внутренние точки, справедливы всегда, когда дополнение области Q ограничено (в частности, Q может совпадать со всем пространством Rn). Действительно, поскольку нас интересуют значения функции и (х) лишь при достаточно больших значениях |лг|, то ее можно считать заданной только на области Qi = { \x \>Ri], являющейся при достаточно большом #х подобластью области Q. А область Qt является дополнением мно- множества { I л: | sg: 7?х}, начало координат для которого является внутренней точкой. Таким образом, доказана следующая Теорема 13. Пусть дополнение области Q ограничено. Тогда для любой регулярной на бесконечности гармонической в Q функ- функции и(х) существует такая постоянная R>0, что для всех х, x\>R, функция и(х) разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся вместе со всеми производными ряд D3) и имеют место неравенства D4). Из теоремы 13, в частности, вытекает, что если функция и (х) гармоническая в n-мерной, п>2, области Q, являющейся
§ 3] КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 257 внешностью ограниченного множества, убывает на бесконечности, то она убывает не слабее, чем фундаментальное решение уравне- уравнения Лапласа, и при этом существует предел функции и(х)\х\А~2 при | jc | —>-оо. В случае /г = 2 гармоническая в Q функция и(х), растущая слабее, чем фундаментальное решение, на самом деле ограничена, и существует ее предел при | х | -*- со. Замечание. Если дополнение области Q не ограничено, то для гармонической в Q функции и (х), удовлетворяющей условию: и(х) = оA) при |jc|->oo, xeQ, для п>2 или и(х) = о(\п\х\) при |х|->оо, jreQ, для /i = 2, утверждения теоремы 13, вообще говоря, места не имеют. Напри- Например, в случае я = 2 функция arg(x1 + ix2), гармоническая и огра- ограниченная в области &2\{*2 = 0> *i3iO}, предела при |лг|->оо не имеет. ¦ Пусть функция и (х) гармонична во всем пространстве Rn. Будем говорить, что и(х) полуограничена, если она ограничена снизу или сверху, т. е. если для всеххе/?„с некоторой постоян- постоянной М выполняется неравенство и(х)^М или неравенство и (х) «^ /И соответственно. Теорема 14. Гармоническая в Rn полуограниченная функция постоянна. Так как функция — и (х) для ограниченной сверху функции и(х) ограничена снизу, то при доказательстве теоремы достаточно рассмотреть только случай и(х)^ М в Rn. В этом случае гар- гармоническая в Rn функция v (х) = и (х) — М ^ 0 в Rn. Теорема будет доказана, если мы установим, что v (x) = const. Возьмем произвольную точку x°^Rn и шар {\x\<R} радиуса #>|лг°|. Так как задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре {\x\<R} с граничной функцией v \{\х\=и) имеет единственное клас- классическое решение, то для всех х, \x\<C.R, о(*Н $ PR(x,l)v(l)dSl, где Рц{х, I) — ядро Пуассона задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре {|x|<#} (формула C1)). В частности, при х = х° имеем = \ Pr(x°, D имеем Поскольку для 111 = 9 В, П. МихаЛлов
258 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV то (напомним, что функция а AM=0) или в силу первой теоремы о среднем Переходя в этом неравенстве к пределу при R-*~oo, получим v(x°) = v@). Так как точка х° произвольная, то v (x) = const. Теорема доказана. Следствие. Если гармоническая в RH функция и(х) при всех х е Rn удовлетворяет неравенству | и (х) | sS С A -f! х | )*, где С —некоторая постоянная, a k — целое неотрицательное число, то и (х) — многочлен степени не выше чем k. При /г = 0 это утверждение содержится в теореме 14. Пусть /г>0. Возьмем произвольное число R~>\. В силу леммы 3 п. 2 для любого а=(а1, ..., а„), |а| = /г, max \Dau\^kk(^)'1 max |и(*)|< Ckk (-?)* A + 27?)* ^ Ckk (-J-)* C7?)* = С Из этого неравенства вытекает, что при любом a, |a| = /fe, rap- моначеская в Rn функция Dau ограничена в Rn. Согласно тео- теореме 14 функции Dau, \a\ = k, постоянны в Rn. Следовательно, и (х) — многочлен степени не выше чем k. Утверждение доказано. Выше мы установили некоторые свойства гармонических функ- функций в неограниченных областях. В частности, было показано, что исследование гармонической функции в неограниченной обла- области (дополнение которой содержит внутренние точки) может быть сведено с помощью преобразования Кельвина к исследованию гармонической функции в ограниченной области. Рассмотрим теперь краевые задачи для уравнения Лапласа в неограниченных областях. Прежде всего заметим, что в случае неограниченной области обычных условий на решение (налагае- (налагаемых в случае ограниченной области) недостаточно для единствен- единственности. Например, все функции с In r, c(rk — /-*) cos kb, с(rk — r~k)sinkB, k=l, 2, ..., где с —произвольная постоянная, Xi = г cos 6, х% = г sin 6, гармоничны в области {г > 1} с: R2, непре- непрерывны в ее замыкании и обращаются в нуль на границе {^ = 1}. Поэтому в определение решения естественно включить дополни-
§ 31 КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УР-НИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 259 тельное условие, характеризующее поведение решения на беско- бесконечности. N Пусть область Q = Rn\ (J Qlt где Qit t = l, ..., N, — ограни- t=i ченные области с непересекающимися границами. Функция и (х) из С2 (Q) называется (классическим) решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области Q: Ды = 0, JreQ, D6) " \dQ = ф, если она гармонична в Q, непрерывна в Q, удовлетворяет гра- граничному условию в D6) и регулярна на бесконечности. Функция и (х) из С2 (Q) называется (классическим) решением третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в Q: Дм = 0, xe=Q, ди , , . \\ D7) если она гармонична в Q, непрерывно дифференцируема в Q, удовлетворяет граничному условию в D7) и регулярна на беско- бесконечности. При сг==О третья краевая задача называется второй краевой задачей или задачей Неймана. Обозначим через Q' ограниченную область, являющуюся обра- образом области Q при преобразовании инверсии (начало координат — внутренняя точка дополнения Q). Предположим, что и (х) — решение задачи D6). Тогда из леммы 8 следует, что функция и' (х') — преобразование Кельвина функции и (х) (доопределенная по непрерывности в начале координат) — является гармонической функцией в QJ = Q'U{0}- Кроме того, очевидно, и' {х') <= С ($) и и' (х') \х>е dQ> = Ч>'(х'), где ф' (х') = 1 / х' \ = . ,|--аФ г~лг • Это означает,ччто «' (х') есть классическое реше- ние задачи Дирихле для уравнения Лапласа в (ограниченной) области Q'o с граничной функцией ф' (х'). Обратно, если «' (х') — классическое решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области QJ с граничной функцией ф' (х'), то функция и(х) — ее преобразование Кельвина — гармонична в Q, непрерывна в Q, удовлетворяет граничному условию ы|а$ = ф и, очевидно, регулярна на бесконечности, т. е. и (х) — классическое решение задачи D6). Поэтому из теорем существования и единственности классиче- классического решение задачи Дирихле в ограниченной области (теоремы 9 .и 10) вытекает
260 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ IV Теорема 15. При любой непрерывной граничной функции ср существует единственное классическое решение задачи Дирихле D6). Исследование третьей краевой задачи в неограниченной обла- области Q с помощью преобразования Кельвина также сводится к исследованию третьей краевой задачи в ограниченной области QJ. Мы остановимся только на доказательстве теоремы единственности. Теорема 16. Третья краевая задача для уравнения Лапласа в области Q при а (х) ^ 0, а (х) =? 0, не может иметь более одного решения. Вторая краевая задача для уравнения Лапласа в области Q в случае п>2 не может иметь более одного решения, а в случае п = 2 решение (если оно существует) определяется с точностью до постоянного слагаемого. Пусть третья (вторая) краевая задача имеет два решения Ux(x) и и2(х). Тогда функция и (х) = «i(x) — «2 (х) гармонична в Q, непрерывно дифференцируема в Q, удовлетворяет граничному условию (-Д + аиj =0 и регулярна на бесконечности. Возьмем число R > 0 столь большим, чтобы область {| х | >/?} содержалась в Q, и воспользуемся в области QR = Q (] { | х | < R} формулой Грина 0= J uAudx = —[ | Vu]2dx+ [ ~ J uAudx = —[ | Vu]2dx+ [ В результате имеем равенство \ \Vu\* dx+\ou*dS= \ ^udS. 5Q \ В силу теоремы 13 и\ {|,|=«> = о(^-)и Jn|{|jc[=i? и п>2 иж|{,Л|=«,=0(ж)при п=2- Поэтому J ^-Wd5 = 0(^W) при я>2 S S г—/г Переходя в равенстве D8) к пределу при R -*¦ оо, получим ^ \Vu\2dx+ \ au2dS = 0.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV 261 Поскольку cr;ssO, то это равенство эквивалентно двум равенствам $|V«|2dx = 0 и $(XM2dS = 0. D9) Q dQ Из первого равенства в D9) вытекает, что и = со = const в Q. Если п > 2, то в силу регулярности функции и (х) на бесконеч- бесконечности со = О, т. е. «1 = «2 в Q- Если п = 2 и сг(х);з=0, (т(л')^О (третья краевая задача), то равенство ео = О вытекает из второго соотношения в D9). Если же п = 2 исг(х)==0 (вторая краевая задача), то функция и (х)=с0 при произвольной постоянной с0 есть регулярная вQ гармони- гармоническая функция, удовлетворяющая однородному граничному усло- условию -Д =0. Теорема доказана. ОП \dQ ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV 1. Показать, что функция и(х), принадлежащая Liioc(Q) и удовлетворяю- удовлетворяющая при всех V е С°° @) тождеству \ u\vdx=0, гармонична в Q. 2. Найти пополнение множества функций из L2 (Q), гармонических в Q, по норме пространства Ц@). 3. Пусть функция и е #?ос (Q) П С @) и 3Qe С2. Доказать, что если Ди е= L2(Q), тоце4 (Q). Отметим, что из результата задачи 3 вытекает, что классическое решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона Ди = /, и \gQ = 0 с принадлежащей L2 (Q) правой частью / является обобщенным решением и даже решением почти всюду. Следовательно, классические собственные функции первой краевой задачи для оператора Лапласа являются обобщенными собственными функциями. 4. Пусть dQ e С2. На множестве всех функций и (х) из С2 (Q) f) С (Q), для которых Ди (*) е 12 (Q), введено скалярное произведение ^Au-Avdx. Найти пополнение этого множества по норме, порожденной этим скалярным произ- произведением. 5. Пусть граница dQ области Q принадлежит С*. Доказать следующие утверждения. \ а) В гильбертовом пространстве Hk^ (Q) можно ввести эквивалентные обыч- обычному скалярные произведения | (Д*'2/, bkl2u)LAQ) при k четном, tf- «Ц«»~\ (д*-!)^ д(»-1)/2г)№№ при k нечетном if. 8)"h^iQ)= 1, fs8s\K\", где fs=(f, us)l1(Q)> a us и ^~х'я собственная функция и соответствующее ей собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа в Q.
262 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. [V б) В гильбертовом пространстве H^,(Q) можно ввести эквивалентные обычному скалярные произведения _((bk/2f, bk/2g)Ll{Q) + (f, g)Ll(Q) при * четных, {/' S)h"^Q) [ (Д'*^, b{k~l)/2g)H, (Q) + (f, g)L,(Q) при k нечетных, где ls=(f, us)l,(Q)' a us и ^~s'n собственная функция и соответствующее ей собственное значение задачи Неймана для оператора Лапласа в Q. 6. Пусть функция e(«)eC (Q), и пусть для любой точки л: е Q суще- существует такое число г = г(х)> 0, что шар Sr (х) = { \ %— х | < г} с Q и и (л:) = = j—-j \ u(g)dSj. Показать, что функция и (л:) гармонична в Q. 7. Пусть функция и (х) е С1 (Q), и пусть для любой сферы S, лежащей в Q, -^— dS=0 Показать, что функция и(х) гармонична в Q 8. Показать, что первое собственное значение первой краевой задачи для операгора Лапласа в области Q, dQ e С2, однократно и что соответствующая ему собственная функция не обращается в области Q в нуль. 9. Показать, что функция и (х), принадлежащая С2 (Q) и удовлетворяющая в области Q уравнению Гельмгольца Аи + Хи = 0, где X — постоянная, аналитична в Q. Заметим, что из результата задачи 9 вытекает, что собственные функции любой краевой задачи для оператора Лапласа в Q аналитичны в Q. 10. Пусть Xk(Qi) и Xk(Q2)—k-e собственные значения первой краевой задачи для оператора Лапласа в областях Q, и Qa, Qt (g Q2. Доказать, что 4(Qi)<4(QJ при всех k=\, 2, ... 11. Обозначим через L^idQ) (dQ— граница n-мерной области Q) подпро- подпространство пространства L2 (dQ), состоящее из всех функций, ортогональных (в скалярном произведении La (dQ)) постоянным. Для любой функции if (*) е е L2 (dQ) существует единственное обобщенное решение и (х) задачи Неймана для уравнения Лапласа в Q с граничной функцией г|з, след которого на dQ u\dQ = <p ^L2(dQ). Таким образом, на L2(dQ) задан оператор А, ставящий каждой функции if e L2 (dQ) функцию ф е Ц (dQ): Лф = ф. Доказать следующие утверждения. а) Собственные значения Xk, k=\, 2, ..., оператора А положительны; собственные функции ek, Ae/l = Xkeil, k=\ образуют ортонормированный базис пространства Z.a (dQ). б) Существует обобщенное решение Uk (x) задачи Дирихле для уравнения Лапласа в Q с граничной функцией V4ek, k=\, 2, ... Система Uk (x), k = = 1, 2, ..., образует ортонормированный базис в пространстве со скалярным произведением \ v« yC» dx, состоящем из всех гармонических в Q функций из Q H1(Q), след которых на dQ принадлежит ?2(dQ). 00 в) Для любой функции г|) е L2 (dQ) ряд ^] г|)й Y4 "ft (•*). где rf^ = = (if, ek)^0Qt, сходится в H1 (Q) и представляет собой обобщенное решение за- задачи Неймана для уравнения Лапласа в Q с граничной функцией if.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV 263 г) Пусть функция ф е L2 (dQ). Для того чтобы существовало обобщенное решение и (х) задачи Дирихле для уравнения Лапласа в Q с граничной функ- 00 цией ф, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд У \J* -, где щ = fci = (Ф. ek)u(dQy ПРИ этом и1*) = Щт\ <fdS+ > ft = l д) Найти собственные значения и собственные функции оператора А в слу- случае, когда область Q есть круг { | де | < 1} (двумерный случай), и показать, что условие п. г) настоящей задачи совпадает в этом случае с условием тео- теоремы 13 п. 8 § 1. 12. Для того чтобы функция /(ф), заданная на границе {г—\} единичного круга {г<1} плоскости x1=rcos<p, х^гБШф и принадлежащая Ц (О, 2я), была граничным значением некоторой функции из //1(г<1), необходимо и 2я 2я достаточно, чтобы сходился интеграл V -з- 1 (I (ф +1) — f (ф)J d<p. О О Принадлежащая С* (Q) (] С1 (Q) функция и (х), удовлетворяющая уравнению и граничным условиям u]dQ = 0, %L = 0, B) называется классическим решением задачи Дирихле для уравнения A2u=f в области Q. Принадлежащая С4 (Q) П С2 (Q) функция и (х), удовлетворяющая уравнению A) и граничным условиям "к=°. д"|<хг=°> C) называется классическим решением задачи Рикье для уравнения Д2« = / в об- области Q. Пусть функция /eL2(Q). Функцию и, принадлежащую пространству Нг (Q) и удовлетворяющую интегральному тождеству \ Аи Av dx = ^ fv dx D) Q Q при всех v e Ф (Q), назовем обобщенным решением задачи Дирихле A), B). Функцию и, принадлежащую Н'% (Q) и удовлетворяющую интегральному то- тождеству D) при всех v e H% (Q), назовем обобщенным решением задачи Рикье A), C). 13. Пусть dQ^C2. Доказать следующие утверждения. а) Принадлежащие С4 (Q) классические решения и (х) задач A), B) и A), C) являются обобщенными решениями этих задач. б) Обобщенные решения задач A), B) и A), C) существуют при всех /eLj(Q) и единственны. Пусть Q—шар радиуса R: Q={\x\<R\. Обозначим через Si полусферу {\х\ = R}(\{xi>0}, а через S2 полусферу {| л: | = R\ П {*i «SO}. Функция и (х), принадлежащая пространству С2 (Q) П С1 (Q U St) П С (Q), удовлетворяющая уравнению Пуассона
264 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV и граничному условию da "и __ о и I = 0 F) dn s, ' Ss ' называется классическим решением задачи E), F). Обозначим через Н1 (Q) подпространство пространства Н1 (Q), состоящее из всех функций иеЯ1 (Q), след которых на S2 равен нулю. Пусть /ei2 (Q). Обобщенным решением задачи E), F) назовем функцию и е Н1 (Q), удовлет- удовлетворяющую интегральному тождеству [ Vu Vvdx = — [fvdx <? Q при всех оеЯ1 (Q). 14. Доказать, что при любой /eL2(Q) обобщенное решение задачи E), F) существует и единственно. Пусть Q—ограниченная двумерная область с границей dQ e С8, и пусть /(*) —заданный на dQ дважды непрерывно дифференцируемый вектор, |/(х)| = 1, составляющий угол ос (*), | ос (*) | < я/2. с вектором (внешней) нор- нормали к dQ (oc(*) = (/i, /)). Функция и(х), принадлежащая С1 (Q) П С2 (Q), удовлетворяющая уравнению Аи —и=/, xeQ, G) и граничному условию , = 0. (8) называется классическим решением задачи с наклонной производной G), (8). Обозначим через А (х) принадлежащую С2 (Q) функцию, значение которой на границе dQ есть tgoc(*). Пусть /eL2(Q). Обобщенным решением задачи G), (8) назовем функцию кеЯ1 (Q), удовлетворяющую интегральному тож- тождеству f (V« Vv + uv) dx+ f A (uxvXi - axvX2) dx + Q Q Q "' "' X' "' Q~ при всех we//1 (Q). 15. Доказать следующие утверждения. а) Классическое решение задачи G), (8) является обобщенным решением. б) Если а (х) = const, то при любой /eL2(Q) существует единственное обобщенное решение задачи G), (8); это решение не зависит от способа про- продолжения (А (х)) в Q функции tgoc(*). Дополнительная литература к главе IV С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг, Оценки решений эллипти- эллиптических уравнений вблизи границы, ИЛ, 1962. Л. Б е р с, Ф. Джон, М. Шехтер, Уравнения с частными производ- производными, «Мир», 1966. А. В. Бицадзо, Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, «Наука», 1966. И. Н. Век у а, Новые методы решения эллиптических уравнений, Гос- техиздат, 1948. И. Н. В е к у а, О метагармонических функциях, Тр. Тбилисского матем. ин-та XII A943), 105—174.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV 265 В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, «Наука», 1971. В. А. Ильин, О сходимости разложений по собственным функциям опе- оператора Лапласа, УМН 13.-1 A958), 87—180. Ф. Ион, Плоские волны и сферические средние и их применения в диф- дифференциальных уравнениях с частными производными, ИЛ, 1958. М. В. Келдыш, О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, УМН 8 A941), 171—292. М. В. К е л д ы ш, О полноте системы собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов, УМН 26:4 A971), 15—41. Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Application de la methode de Palgorithme variationel a la solution approchee des equations differentielles aux derivees partieHes du type elliptique, ИАН, ОФМН A930), 43—71 и 105—114. P. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, т. 1, 2, Гостехиздат, 1951. М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для си- систем уравнений эллиптического типа, Изд. АН СССР, 1962. М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник, Курс вариационного ис- исчисления, Гостехиздат, 1950. М. М. Лаврентьев, О задаче Коши для уравнения Лапласа, ИАН, сер. матем., 20 A956), 819—842. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, «На- «Наука», 1973. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцев а, Линейные и квазили- квазилинейные уравнения эллиптического типа, «Наука», 1964. К- Миранда, Уравнения с частными производными эллиптического типа, ИЛ, 1957. И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. B. А. Стек лов, Об асимптотическом поведении решений линейного диф- дифференциального уравнения, Изд. Харьковского ун-та, 1956. C. Л. Соболев, Уравнения математической физики, Физматгиз, 1954. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в ма- математической физике, Изд. ЛГУ, 1950. А. Н. Т и х о н о в, А. А. С а м а р с к и й, Уравнения математической фи- физики, «Наука», 1972.
Глава V ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В этой главе мы будем изучать задачу Коши и смешанные задачи для гиперболического уравнения вида ult-div(k(x)Vu(x, t)) + a(x)u(x, t) = f(x, t). Здесь (x, t)— Xi, ..., xn, t) — точка (п-\- 1)-мерного пространства Яп+1) x<=Rn, te=Rlt Vv(x, 0=(g| ^) и div (Wl (x, t), ... ..., wn(x, t))=^r + --- + -^r; при этом под Аи(х, t) будем по- 0*1 0*я нимать div Vv(x, t) = ~s+ • • • + _^j- Данные задач будем считать вещественнозначными функциями и будем рассматривать только ве- щественнозначные решения этих задач. В связи с этим в дальнейшем под Нк и С, k = 0, 1,..., мы будем понимать соответствующие ве- вещественные пространства. § 1. Свойства решений волнового уравнения. Задача Коши для волнового уравнения 1. Свойства решений волнового уравнения. Рассмотрим про- простейшее гиперболическое уравнение второго порядка — волновое уравнение п Uu(x, t) = и„- Аы = и„- 2 4xiXi = f{x, t). A) ( = 1 Прежде всего найдем некоторые специальные решения одно- однородного волнового уравнения (?« = ()), зависящие только от t/\x|. Функция v(x, t) = w(t/\x\), являющаяся при |^|^=0 решением однородного волнового уравнения, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению Общее решение этого уравнения в каждом из интервалов (—оо, —1), (—1, +1), (+1. + оо) задается формулой я —3
1} СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 267 где Ci и е2 — произвольные постоянные. Отсюда, в частности, полу- получаем, что при 0<|jr|< —/, {г — t/\ х\ < — 1) функция v(x, f) имеет вид v (x, t) = cx In v(x, t) = ct In- /—1*1 -j- v(x, t) = cim в случае л= 1, - -J- сг при n = 2, при п = 3 и т. д. Будем обозначать через Кх\г,/° конус {\x — x'\<.t'—t, t°< </</'} с вершиной в точке \х', t) «высоты» /' —/°, через IV,г,/« — его боковую поверхность {|* — *' |=/' — /, ^°^/^/'}, Рис. 2. являющуюся характеристикой (см. § 2 гл. I) для волнового уравнения, через DX'it\/° — основание конуса {|* —*'| </'—/°, / = /0} и через Sx> t<t t« — границу основания —сферу {| * — *'| = = t'-t°, t = f>]. ' i Пусть (л:1, t1) — некоторая точка из Rn+i,K — конус Кх\ t\ t°,t° <.tl, aD = Dxi)/i,/о —основаниеэтого конуса (см. рис. 2). Покажем, что если функция ы(л:, /) достаточно гладкая в K[)D, то ее значе- значение в произвольной точке (х, t) конуса К определяется через ?« в конусе Я*, t,t° и и и ut на основании этого конуса D*.,, /». Рассмотрим сначала случай трех пространственных перемен- переменных, п = 3. Будем считать, что u (x, t) е= С2 (/() П С1 (К U ^) и D«eC(/CUO). Пусть (?, т) — произвольная точка из К. а е — произвольное положительное число, меньшее t — /°, 0<е <т —1°.
268 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Обозначим через Кв лежащую в К область {е<| х — ||<т — t, /°</<т — е}. Границу области /Се разобьем на три части: Ге = {\t\ ttot}D {t\t0 / /»} } Возьмем специальное, зависящее только от . ~\ решение однородного волнового уравнения v(x-l, *_т) = г?1г + 1. B) Поскольку функции и(х, t) и v(x — t, t—x) принадлежат (У (Кг), ТО В'К& Интегрируя это равенство по /Се и учитывая, что в/СЕ на основании формулы Остроградского получим Г з -] — 2 ("^и — "и^)"' + (uiv — uvt) nAdS = C) где n = (nl, n2, n3, n4) —единичный вектор внешней нормали к дКе, а /г?. /де. /Ye-интегралы по Ге, De, ye. Рассмотрим интеграл по Г?. Из B) вытекает, что у|Ге = 0. Кроме того, так как VH'-T)^, 4-j^, D) а нормаль на ГЕ rt = ^7|(fjnf|- \l—i\> |*-g|' 1) = ^(^ZT' 'j- то з Следовательно, Г / 8 \ / 3 П /ге= S "( 2 vxin,-vtnt) + v[щпй- 2 м^/г,1 dS = O. E) rL \/ = i / \ / = i /J с Так как на De нормаль n = @, 0, 0, —I), то в силу B) и D)
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 269 Поскольку функции и(х, t°) и щ(х, /°) непрерывны С1 (К U D)), существует предел интеграла /Og при е-»-0 и S - S т& 1-х— |1<т—<» На поверхности уе нормаль я —(Г^Тг, 0) = р—^.0]. Поэтому, 'учитывая D), получим ч— - S (^ (О ro |jc-||=e T — E Л Так как при \х — g| = е, д i*-ii=f — e имеют место неравенства M и ! и (х, t) — и (|, /) | sg Me, где /И — некоторая постоян- , то ная'(Л1= max i лг—||<т—г ди и(х, t)dSx- ? 4яе2УИ и (I, t) dSx U-JI-8 Поэтому существует предел интеграла /Y при е->-0 и т lim/Y =4n\(t-x)u(t, t)dt. G) е-0 8 /о е-0 Переходя в C) к пределу при е-»-0, в силу E), F) и G) получим, что для любой точки (I, т) из К 4n\(t-r)u(l, t)dt = ?|<x—^ Ijc—||<x 5 (fi=f i < t i" iX — l\<X—t
270 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Продифференцируем это равенство по т: т [ «(Е. 0 dt = 4ЖТ1—fo) J «(*• f) dSx + fi \x—ll—x—f IX — 6I<T—<» (» |X_^|<T— откуда 1 f 1 Поскольку T Т—Р то для любой точки (х, t) конуса Кх\ t\ t« имеет место следующая формула Кирхгофа: I*—g|</—С Так как 1 то 5 / 1 dt 14я (/—/•) 141 = 1
§ Ц СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 271 Поэтому формулу Кирхгофа можно переписать в виде Формулы (8) и (9) показывают, что значение функции и в про- произвольной точке (х, t) из /С выражается через ?« в Kx,t,t° и ы и Ы/ в DXft,t«- Заметим, что значение функции и в точке (х, t) е/С определяется (при п = 3) значениями функции ?« не на всем конусе Кх, t, р, а лишь на его боковой поверхности Г*, /, /• и зна- значениями функций ы, ы/ и Vu не на всем основании DXt t, t°, а лишь на его границе —сфере SXtt,t*. В частности, если для некоторой точки (х, t)^K П« = 0 на rx,t,t<> и « = U/ = |Vu| = 0 на Sx,t,t°, то в этой точке и (х, f) = 0. Из доказанного немедленно вытекает справедливость при п = 3 следующей теоремы, утверждающей, что решение и уравнения A) в конусе K.xtlt',t« = K однозначно определяется значениями и и щ на основании Dxiitiit° = D этого конуса. Теорема 1. Пусть функции Ui(x, t) и и2(х, t) принадлежат С2(К)ПС1 (K[]D), D«i = D«2 в К и Ul(x, t°)\D = u2(x, t°)\D, fl) dt du2(x, d( D Тогда Ui = u2 в К. Действительно, функция и = их — и2 принадлежит С2 {К) П OC^KljD), Пы = 0 в К и при *e=D u(x, t°)=ut(x, /°) = 0. Из (9) вытекает, что и (х, t) = 0 в К, т. е. ur (x, t) ss u2 (x, t) в К- Теорема доказана. Соответствующее представление, а также доказательство тео- теоремы 1 в случае произвольного числа пространственных перемен- переменных может быть получено тем же методом. Если функция и (х, t) e еС^/ОПСЧ/Си^)» Функция ?« и все ее производные по про- пространственным переменным до порядка m = maxf у — 1, 0) непрерывны в K\JD, u(x, t°)^Cyi(D) и щ(х, t°)<=Cm(D), то значение и(х, t) в произвольной точке (х, t)^K выражается через функцию ?« (и ее производные по пространственным пере- переменным до порядка т) в Кх, t, t° и функции и и щ (и их произ- производные до порядков у и т соответственно) в DXtt,t°- Например, для п>3 представление получается точно так же, как и для л = 3, при этом в качестве специального решения однородного
272 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ V волнового уравнения v(x — g, / — т) при , ~?, <— 1 нужно г / я—3 • взять функцию $ (?2— l)"^, г =, ^~^,. Отметим, что в случае четных п, п Зз 2, значение функции и в точке (х, t) определяется значениями функции ?« (и ее про- производных по пространственным переменным) на всем конусе Кх, и v и значениями функций и и и, (и их производных по про- пространственным переменным) на всем основании Dx, t, <«. В случае же нечетного числа пространственных переменных л>3, как и в случае л = 3, значение функции и в точке (х, t) определяется значениями функции ?" и ее производных по пространственным переменным только на боковой поверхности Г*, t, /о конуса и зна- значениями функций и, щ и их производных по пространственным переменным только на границе Sxjtt* основания. В случае двух и одного пространственных переменных соот- соответствующие представления, а вместе с ними и доказательства теоремы 1 проще получаются непосредственно из формулы (9)(или (8)). Пусть функция и(х, t), х — (хъ х2), задана в конусе К = = Кх',/..<., х1 = (х\, 4)> и принадлежит С*{К) (\&{К\)D), D = = Dx>,tKt° и nu = utt-uXlXl-uXiX2ezC(K\]D). Функцию и(х, t) можно рассматривать как не зависящую от х3 функцию четырех переменных хи х2, х3, t, заданную в четырехмерном конусе Kxi.xi.xi.n.toi где *з произвольно; при этом u(xlt x2, 0 е ^ С2 (Л*;, х\, x>z, ti, t«) П С1 {Кх\, *i, *i, ti, to U Дс|. х\, *i, <i, to) И Utt — — "^Л— ич V2 — иХзх3 е С (Кх\,..., to U Dxi to). В силу формулы (9) для всех точек (хъ х2, t), принадлежащих К, имеем и (хи х2, 0 = 4Я(/—<оу (|J + ( » —ЕеJ = Так как
§ П СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 273 то (/-/о) .1 С ut(l,t°)dl , 23v K(''°Jl*gl2 .<-Р)^, (И) 1*-6'1 где | = (|ц Ы> -f = (-fif x2), а точка (л:, /) — любая точка конуса Kxt,t>,t°- Эта формула дает искомое представление функции в случае л = 2. Заметим, что для любой точки (х, t) конуса К / Поэтому равенство A1) можно переписать в виде и(Х f\-l(l Формула A2) называется формулой Пуассона. Аналогично в слу- случае п = 1 соответствующее представление легко получается из формулы A1) (или A2)). Если и(х, t) eC2(/C) {\Cl{K\)D)t где K = Kxiftiit, (треугольник {t — tl<x — x1< — t + tl, t°<t<t1}), а D = Dx,,t',t° (интервал (*1 + /° — t1, xi + P — t0)), и ?« = «« — — ы^ е C(/CU^)' т0 значения функции и в произвольной точке (х, t) e К выражаются следующей формулой Даламбера: и(х, t) 2 ^ 2 У ' * Л + ^-Т , T)d|, (л:, /)е/С*«, <!,<¦• A3)
274 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. V 2. Задача Коши для волнового уравнения. Будем для крат- краткости множества точек {x^Rn, f>t0}, {хе/?„, t^st0}, {хе#„, <°<<<И. {xe=Rn, t = t0} обозначать через {/>/»}> {t^t0}, {t°^t^t1}, {t = t0} соответственно, а пространства Cft({/>/0}), Ck({t^t0}) через Ck(t>t°) и Ck(t^t°). Функция u(x, t), принадлежащая С2 (t > 0) f\ С1 (t ^. 0), назы- называется решением (классическим решением) задачи Коши для вол- волнового уравнения в полупространстве {/>0}, если при всех x^Rn, />0 оно удовлетворяет уравнению ? « = /, A4) а при t = 0 — начальным условиям и|,=о = Ф(*), u\ q(x) где ф, -ф и / — заданные функции. В силу теоремы 1 предыдущего пункта решение и (х, t) задачи A4), A5) однозначно определяется в любом конусе KxKtl,o (^1ei?ra, /х>0) и, тем самым, во всем полупространстве {/>6} через заданные функции /, <р и if. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Теорема 2. Задача Коши A4), A5) не может иметь более одного решения. Перейдем к вопросу о существовании решения задачи Коши. Пусть решение и(х, t) задачи A4), A5) существует. Из резуль- результатов предыдущего пункта вытекает, что если /еС(^О), то решение представляется в случае трех пространственных пере- переменных (п = 3) формулой Кирхгофа в случае двух пространственных переменных (п — 2) — формулой Пуассона и(х «_ A7)
« 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 275 а в случае одного пространственного переменного (п=1) —форму- —формулой Даламбера A8) В связи с этим доказательство существования решения задачи A4), A5) сводится к нахождению условий, при которых функция и (х, t), заданная соответствующим представлением, является решением этой задачи. Рассмотрим сначала случай трех пространственных перемен- переменных (п = 3). Справедливо следующее утверждение. Если феС9(/?3), г|)еС2(/?3)> а функция f и все ее производ- производные по Xi, х2, х3 до второго порядка включительно непрерывны в {t^Q}, то функция и, заданная формулой Кирхгофа A6), является решением задачи Коши A4), A5); при этом для любой точки (X, Т) е {^3*0} имеет место неравенство Замечание. Из формулы A9) вытекает, что если функция / ограничена в {0<f<71}, функция \]р ограничена в RS, а функ- функция ф ограничена в R3 вместе со всеми первыми производными, то решение и задачи A4), A5) ограничено в {()<*< 7] и sup iMKsupiqjj + Tsup! V(p- + rsup'i|3; + -s- sup |/|. {0</<7-} R, . R, R, * {0</<7-} Прежде всего изучим функцию , t>0, B0) где g(x,. t)gC(t^0). В случае, когда функция g не зависит от параметра т, g(x, i) = g(x), функцию ug(x, t, т) будем обозна- обозначать через ug(x, t). Лемма 1. Если функция g(x, т) и все ее производные по xlt xit х3 до порядка k включительно,-/г = 0, 1, ..., принадлежат С(т^0), то функция ug(x, t, т) и все ее производные по xlt xa, t до порядка k включительно непрерывны на множестве R t^sO, т^О}. При k 2э=2 функция ug(x, t, т) для любого
276 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V т^О удовлетворяет в {^>0} уравнению \jug = 0 и условиям Mff|/=o = O, Aug |<-=o = O, ugt\t=o = g(x, x). Первое утверждение леммы вытекает из равенства ие(х, ', т) = 4 J g(x + fr|, x)dS4. B1) 1П| = 1 Из B1) следует также, что ug\t=0 = 0. Так как при ?3^2 Aug(x, t,x) = ± J Д$(х + *т|, x)dS4, B2) |Щ = 1 то A%|/=0 = 0. Дифференцируя B1) по /, получим W = 47T J *(* + <Л. *)dS4 + ^ J (^(х + Ч^т,)^, B3) mi=i ni=i откуда "e<!/=o=Iim-^-= ^ ^ g(jft T)d5n = g(x, x). ~* 111=1 Поскольку 141=1 ) дп u—IK' где I (x, t, x)= I Ag(l, x)d?, то B3) можно представить в виде откуда &*ие 1 1 dtia 13/ / ? ,, j « j — dt2 Р в t dt irrt л' = ~ ? "I" 7 \T "^" 4зй/ "^ 4л/ a/ ~ 4nF = 45 a 5 Afif(x + /ri, T)dS4. B4) Из B4) и B2) следует, что иеП = Аиг. Лемма доказана.
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 277 Так как второе слагаемое в правой части A6) есть и$(х, t), то в силу леммы 1 (\|)еС8(/?3)) оно принадлежит С2 (/5*0), является решением однородного волнового уравнения и удовлет- удовлетворяет начальным условиям *''~° ' Ы /_o Первое слагаемое в правой части A6) есть -^-. Так как фе ёСИ, то функция -^gC2(^0), является решением одно- однородного волнового уравнения и удовлетворяет начальным условиям Третье слагаемое правой части A6) обозначим через F(x, t) и преобразуем следующим образом; 1 Р \ |х-|| I x—\\<t где G(x, /, t) = m^(x, ^ —т, т). В силу леммы 1 функция G(x, t,T) и все ее производные по xlf x2, x3, t до второго порядка включи- включительно непрерывны на множестве {хе/?3, ^5*0, О^т^/} и при любом т ^ 0 G«-AG = 0 при t Тогда функция F(x, t) = ^G(x, t, т) dx непрерывна в {^5*0} о вместе с первой производной по t и всеми производными по xlt х2, х3 до второго порядка включительно. А так как t t Ft = G |w + \ Gt (x, t, x) dz = \ Gt (x, U x) dx,
278 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V то F<=C2(t^0). Кроме того, AF (х, 0 = $ AG (х, t, x) dx о и t t Fit = Gt \x-t + $ Gu (x, t,x)dx = f + \AG (x, t, x) dx. о о Следовательно, функция F(x, t) удовлетворяет уравнению \JF = F и однородным начальным условиям F\t.0=0, /, |,_o = 0. Таким образом, доказано, что заданная формулой A6) функ- функция ы (х, t) =¦—^ Ь-"ф(^»О+ \Uf(x,t — x,x)dx является решением задачи A4), A5). Докажем теперь неравенство A9). Пусть (X, Г) — произволь- произвольная точка полупространства {*>()}. В силу B0) для любой точки (х, t) из конуса Кх.т.о и любого т>0 \ug(x,t,x)\^t max \g&,x)\^T max |g(|, т)|. B5) l*-tl=< \x-l\ = t Следовательно, и II ' II \\uf(x, t-x, x)dx\ ^J(/-x) max \ F(KX,T.O) 0 !*-||-<-x T кх,т.о)\(Т-^^Ч\\П\с(-Кх,т.о). B7). о Аналогично в силу B3) B8) Неравенство A9) немедленно вытекает из B6) —B8). Отметим, что условия на функции ф, ip и /, при которых" доказано существование решения задачи Коши, в определенном
§ II СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 279 смысле ослабить нельзя. Следующий пример показывает, что усло- условие принадлежности функции <р пространству C2(R3) недостаточно для существования решения задачи A4), A5). Пусть функция <р принадлежит C2(R3) и зависит только от \х\, <р(х) = а( \х |). И пусть существует решение и (х, t) задачи A4), A5) с этой функцией <p(x) и функциями г|) =зО и / = 0. Тогда в силу A6) Пусть | x I Ф 0. Так как для всех точек \ сферы {| х — \ | = t\ имеет место равенство |?2| = |х|2 + ^2 + 2|x\tcos9, где 9 —угол между векторами х и \ — х, то 2л л a (V t2 +1 х |2 + 2 | х \t cos 9) sin 9 d9 + 1 Поэтому 1<- 1 Отсюда в силу непрерывности решения ы@, t) — ta'(t)-\-a{t). А так как функция и @, /)еС2(/>0), то функция а(\х\) должна принадлежать C3(lx|>-0), что, конечно, не вытекает из принадлежности функции ср пространству С2 (R3). Пусть теперь п = 2. Покажем, что если у(хх, х2) gC3(^2), ^(x1( Хг)еСг(Щ, а функция f(xlt x2, t) непрерывна в {t^O} вместе со всеми производными по переменным Xi и х2 до второго порядка включительно, то функция и (xlt x2, t), заданная форму- формулой Пуассона A7), является решением задачи A4), A5). При этом для любой точки (X, Т) полупространства {^>0} имеет место неравенство A9).
280 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Согласно формуле A0) при любом х8 и to, х* t) = S, st(xvxvx») ° M-Ws) A7') где Sp(jflt x2, x3) — сфера радиуса р с центром в точке (xlt х2, x3): (xi — hJ+(x2 — Ыа+(*з — Ы2 = Ра- Как только что доказано, стоящая в правой части равенства A7') функция является реше- решением задачи: utt — uXlXl — иХгХ, — ux,Xi=f (xlt x2, t) в {*>()}, и |<_0 = = ф(*1, х2), ut\t-0 = 4l(xu х2) и для нее выполняется неравенство A9). А так как функция и не зависит от х3, то она является решением задачи A4), A5) при п = 2. При п=1 непосредственно проверяется, что функция и(х, t), заданная формулой Даламбера A8), является решением задачи A4), A5), если 9gCj(/?i), ^ e С1 (/?!), а функция f(x, t) и ее первая производная по х непрерывны в {t^O}. При этом для всех точек (X, Т) полуплоскости {^>0} имеет место неравенство (Кх Т о-треугольник {t + X-T<x<T+-X-t, 0<t<T}, a DXfTf0={X-T<x<X + T, ^ = 0}-его основание). В случае более трех пространственных переменных (п>3) 1-1+2 так же, как при п = 3, устанавливается, что если феС^ (/?„), I1 i f (/?„), а функция / непрерывна вместе со своими про- производными по xi хп до порядка \— -f 1 включительно на множестве {^^0}, то заданная соответствующим представлением функция и является решением задачи A4), A5). Теорема 3. Если ср(х) еСт+3(/?„), ^(х) еСт+2(/?„) и 0г/нк- цмя f(x, t) непрерывна вместе со своими производными по хъ ... ...,хп до порядка т + 2 включительно в {t^O}, где т = = max (| yI — 1, См, то существует решение и (х, t) задачи A4), A5). При этом для любой точки (X, Т) полупространства {*>0} имеет место неравенство некоторой зависящей только от Т постоянной С,
§ Ц СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 281 Как уже отмечалось в предыдущем пункте, из формулы Пуас- Пуассона в случае п = 2 и из соответствующего представления в слу- случае любого четного п > 2 вытекает, что значение решения задачи Коши A4), A5) в точке (х, t), t>0, зависит от значений функ- функции / (а в случае п> 2 и от значений ее производных по про- пространственным переменным) во всем конусе Kx,t,o и от значений начальных функций ц> и ф (и от значений их производных) на всем основании DXttt0 этого конуса. В случае любого нечетного п^З (также как и в случае п = 3) значение решения в точке (х, t) зависит от значений функции /, а в случае п>3 и от зна- значений ее производных по пространственным переменным только на боковой поверхности Г^.о конуса Kx,t,o и от значений начальных функций ф и if и их производных только на границе основания конуса—сфере SXftf0- В связи с этим конус Kx.t.o B случае четного числа простран- пространственных переменных п^2 и коническую поверхность 1\,ло в случае нечетного п^З называют областью зависимости решения задачи Коши A4), A5) в точке (х, I) от правой части уравнения. Аналогично, шар DXttt0, лежащий на начальной плоскости, в случае четного ns=2 и границу шара—сферу Sx>t>0 в случае нечетного п^З называют областью зависимости решения задачи Коши в точке (х, i) от начальных данных. В случае п= 1 из формулы Даламбера A8) вытекает, что решение задачи Коши в точке (х, t) зависит только от значений функции / в треугольнике Kxj,«, от значений начальной функции ty на осно- основании этого треугольника Dx>ti0 и от значений функции <р на границе основания —в точках (x-\-t, 0) и (x — t, 0). Предположим, что при некотором /?>0 начальные функции ф и if равны нулю для | х | ^ R, а функция / равна нулю для | х | +1 ^ R. Тогда решение и задачи Коши равно нулю для всех (х, t) e <=:{\x\^R-\-t, ^SsO}, поскольку конус Kx,t,о при таких (х, t) не имеет общих точек с множеством {\x\-\-t <R, ^>0}, а его основание DXit,0 не имеет общих точек с шаром {\x\<.R, t = 0}. (Это утверждение остается справедливым, даже если / равна нулю только при \x\^sR + t.) В случае четного числа пространственных переменных мно- множество {\x\^R-\-t, t^O} является, вообще говоря, максимально возможным множеством, на котором ы = 0. Например, при п = 2, если взять функцию ty положительной в круге {|х|</?}, а функ- функции ф и / равными нулю, то из формулы Пуассона вытекает, что и(х, t)>0 при всех (х, t) <={\x\<R + t, t>0]. В случае нечетного числа п^З пространственных переменных функция и (х, t) обращается в нуль не только на множестве {\x\^R + t, tSsO}, но и на множестве {\x\^t—R, t^sR), по- поскольку при (х, t)^.{\x\^t—R, t^sR) коническая поверхность
282 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V TXitt0 не имеет общих точек с множеством {',x\-\-t<.R, *>0}, а граница основания Sx t 0 не имеет общих точек с шаром {\x\<R,t = 0}. Множество G = {\x\^R + t, *=sO} [} {\x\^t-R, t^sR} является, вообще говоря, максимальным множеством, на котором ы = 0. Например, при п = 3, если функция ty(x)>0 при \x\<zR, а функции Ф и / равны нулю, то из формулы Кирхго- Кирхгофа вытекает, что и (х, t) > 0 на дополнительной к G области {| /? 0} {| } Если свободный член f(x, t) в уравнении A4) задан не во всем полупространстве \t>Q), а лишь в полосе {0</<Г} = Пт при некотором Г>0, то рассматривают задачу Коши для уравне- уравнения A4) в полосе Пт. Принадлежащая С2 @ < t < Т) f| С1 @ ^ t < Т) функция и (х, t) называется решением задачи Коши A4), A5) в полосе Пт, если для всех точек (х, ЛеПт она удовлетворяет уравнению A4), а при * = 0 начальным условиям A5). Для задачи Коши в полосе, конечно, имеют место теоремы существования и единственности, аналогичные соответствующим теоремам для задачи Коши в полу- полупространстве. Задача Коши в полосе Пт не может иметь более одного решения и, например, в случае п = 3, для существования решения задачи Коши в полосе Пт достаточно, чтобы феС3^), г|)еС2(/?3)> а функция / была непрерывной в {0^^<Г} вместе со всеми производными по переменным х±, х2, х3 до второго порядка включительно; при этом решение задачи представляется в Пт формулой Кирхгофа. Наряду с задачей Коши в полупространстве {^>0} можно рассматривать задачу Коши и в полупространствах {*>*0} или {*<*0} при любом t°. Принадлежащая пространству C2(t>t°) fl Л Cr(t~^zt°) функция и(х, t) называется решением задачи Коши в полупространстве {*>*0} для волнового уравнения, если в {*>*0} она удовлетворяет уравнению ?«=/, а при t=t° — начальным условиям ы|<=<о = ф, ы/|/=/о=я|з. Аналогично определяется реше- решение задачи Коши в полупространстве {^<^0}. Задача Коши в полу- полупространстве {*>*0} сводится к задаче Коши в полупространстве {t>0} с помощью замены t на t — i°. Задача Коши в полупро- полупространстве {*<*0} сводится к задаче Коши в полупространстве {t>0} с помощью замены t на t° — t. С помощью замены t на t/a (a — положительная постоянная) к задаче Коши A4), A5) сво- сводится задача Коши в полупространстве {^>0} для уравнения ~utt-Au=f. Пусть D — некоторая «-мерная область плоскости {^ = 0}, а ле- лежащая в полупространстве {^>0} область Qсостоит из точек (х, t), являющихся вершинами конусов Kx,t,o> основания которых (шары, Dx.t.o) принадлежатД. Если, в частности, D есть шар \\х — х° |< R}, то область Q язллегся конусом Кх\ r, о', если D — куб (j xt —x'l |<a,
§ 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 283 /=1 я}, то Q —пирамида, основанием которой является этот куб, а вершина расположена в точке (х°, а); если D— вся пло- плоскость {^ = 0}, то Q — полупространство {*>0}. Принадлежащая С2 (Q) П С1 (Q U D) функция u(x,t) называется решением задачи Коши в Q для волнового уравнения, если она удовлетворяет в Q уравнению П« = / и при t = 0, xeD,— нача- начальным условиям м|,_0 = <р, ы,|,_0 = г|). Из теоремы 1 предыдущего пункта немедленно вытекает теорема единственности решения задачи Коши в Q: задача Коши в Q не может иметь более одного решения. Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае справедлива и теорема существования—теорема 3. Например, при и = 3 реше- решение задачи Коши в Q существует, если феС30), ifeC2(D), а функция / непрерывна в Q [} D вместе с производными по пространственным переменным до второго порядка включительно. При этом решение и(х, t) задается формулой Кирхгофа A6). Заметим, что решение задачи Коши A4), A5) в полупростран- полупространстве {t > 0} в области Q совпадает с решением задачи Коши в Q для уравнения A4) с начальными функциями ф и г|э, рассматри- рассматриваемыми только на D. § 2. Смешанные задачи 1. Единственность решения. Пусть D — некоторая ограниченная область «-мерного пространства Rn (х = (хг,..., хп) — точка этого пространства). В (и+1)-мерном пространстве Rn+1 = /?„ X { — оо< <*< + оо} рассмотрим ограниченный цилиндр QT = \xgD, 0< <.t<.T} высоты Г>0. Обозначим через Гт боковую поверхность {xedD, 0<*<Г} цилиндра QT, а через Dx — сечение |xeD, / = т} этого цилиндра плоскостью / = т; в частности, верхнее основание цилиндра QT есть DT = {х е D, t = 7], а нижнее его основание — Do = ^eD, ^ = 0}. В цилиндре QT при некотором Т > 0 рассмотрим гиперболиче- гиперболическое уравнение Хи = щ, - div (k (x) V и) + а (х) и = / (х, Г), A) где k(x) geС1 (S), a(x)<=C(В), k(xMгk0 = const>0. Функция и (х, t), принадлежащая пространству (^(Qt) [\ П ^(Qj U Гт U Do), удовлетворяющая в QT уравнению A), на Do начальным условиям " \t-o = ф» B) "/!/-о = ^. C) и на Гт одному из граничных условий гт = Х
284 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. V ИЛИ где а —некоторая непрерывная на Гг функция, называется (клас- (классическим) решением первой или соответственно третьей смешанной задачи для уравнения A). Если а = 0 на Гт, то третья смешанная задача называется второй смешанной задачей. Так как случай неоднородных граничных условий легко сво- сводится к случаю однородных граничных условий, то в дальнейшем мы будем рассматривать однородные граничные условия "!гт = 0 D) Будем считать, что коэффициент а(х) в уравнении A) неотри- неотрицателен в QT, а функция а в граничном условии E) зависит лишь от х, о = о(х), и неотрицательна на Гт. Пусть функция и (х, t) является решением одной из задач A) —D) или A), B), C), E), причем правая часть f(x, t) уравне- уравнения A) принадлежит L2(QT). Возьмем произвольное б, 0<б<7\ Умножим A) на функцию v(x, /), принадлежащую Сх(фт_в) и удовлетворяющую условию *Ьг_а = О, F) и проинтегрируем полученное равенство по цилиндру QT_e. Так как uuv = (utv)t — utvt, a v div (kVu) = div (kvVu) — &V«Vy, то, учи- учитывая начальное условие C) и условие F) с помощью формулы Остроградского, получим \ fvdxdt= \ ((ulv)<-div(kvVu))dxdt + «r-e QT-e + J «r-e DT-6 D» ГТ-в xdt= - [tyv dx- \ kv ~ dSdt-\- T-6 D« ГТ-б 4- J (kVuVv + auv — utvt)dxdt. G) Если и (х, t) есть решение третьей (или второй) смешанной задачи,
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 285 то в силу E) из последнего равенства вытекает, что и (х, t) удов- удовлетворяет интегральному тождеству $ (kVuVv + auv — utvt) dxdt+ $ kauv dS dt = «r-в rr-6 \ fv dx dt + $ i|w dx D при всех v(x, t) из С1(^г-е), для которых выполнено условие F), а следовательно, и при всех v(x, t) из #x(Qr-6)> удовлетворяющих условию F). Если функция и(х, t) является решением первой смешанной задачи, то предположим дополнительно, что v (x, f) удовлетворяет условию у|гг_в = °- (8) Тогда из G) получим, что и (х, t) удовлетворяет интегральному тождеству $ (kVuVv + auv — ulvt)dxdt= \^vdx+ $ fvdxdt «r-л Do «r-e при всех v еЯ'^-ц), для которых выполнены условия F) и (8). С помощью полученных тождеств введем понятия обобщенных решений рассматриваемых смешанных задач. Будем предполагать, что f(x, /)«=MQr), a iK*)eMD). Принадлежащая пространству Н1 (QT) функция и называется обобщенным решением в QT первой смешанной задачи A) —D), если она удовлетворяет начальному условию B), граничному условию D) и тождеству I (kVuVv + auv-utvt)dxdt= \tyvdx + \ fvdxdt (9) при всех !/бЯ'E,), для которых выполнены условия D) и условие v\dt=0. A0) Принадлежащая пространству Н1 (QT) функция и называется обобщенным решением в QT третьей (второй при <т = 0) смешан- смешанной задачи A), B), C), E), если она удовлетворяет начальному условию B) и тождеству ^ (kVuVv + auv — utvt)dx dt + § kauv dS dt = = \tyvdx+ I fvdxdt A1) при всех !/efl'(Qr), для которых выполнено условие A0),
286 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Заметим, что, как и классические решения, обобщенные ре- решения обладают следующим свойством. Если и — обобщенное реше- решение задачи A) —D) или задачи A), B), C), E) в цилиндре QT, то оно является обобщенным решением соответствующей задачи и в цилиндре Qt- при любом 7" < Т. Действительно, если функция и является обобщенным реше- решением в QT одной из рассматриваемых задач, то для любого 7" < Т «eff'fQr), в случае первой смешанной задачи ы |Гг, =0, и для нее при всех, у, принадлежащих H1(QT) и удовлетворяющих условию v \р = 0» а в случае первой смешанной задачи еще и условию v\r = 0, имеет место соответствующее интегральное тож- тождество. Нетрудно непосредственно проверить, что если функция v принадлежит Н1 (Qr-), v \dt, = 0 и v = 0 в Qt\Qt>, to tie№(QT) и v \dt = 0; а если, дополнительно, v \гт. = 0, то и v \гт = 0. Поэтому функция и удовлетворяет интегральному тождеству, с помощью которого определяется обобщенное решение соответствующей сме- смешанной задачи в Qt>. Отметим еще, что понятие обобщенного решения смешанной задачи введено нами как обобщение понятия классического (при /eL2(QT)) решения, причем доказано следующее утверждение; классическое решение в QT каждой из задач A) —D) и A), B), C), E) с f e L2 (QT) является обобщенным решением этой задачи в QT_e при любом 6е@, Т). Наряду с классическим и обобщенным решениями смешанных задач можно ввести понятие решения почти всюду (решения п. в.). Функция и называется решением п. в. смешанной задачи A) —D) или третьей (второй при <т = 0) смешанной задачи A), B), C), E), если она принадлежит H2(QT), удовлетворяет в QT (для п. в, (х, /)eQT)) уравнению A), удовлетворяет начальным условиям B) и C) и одному из граничных условий D) или E) соответственно. Сразу из определения вытекает, что если классическое реше- решение задачи A) —D) или задачи A), B), C), E) принадлежит пространству H2(QT), то оно является решением п. в. соответ- соответствующей задачи. Кроме того, если решение п. в. задачи A) —D) (или задачи A), B), C), E)) принадлежит С2 (QT) П С1 (QT [} U Гт U Do), то оно является классическим решением этой задачи (функция U/, — div (kVu)+au — f непрерывна и почти всюду в QT равна нулю; следовательно, она равна нулю всюду в QT). Как было показано выше, классическое решение первой или третьей (второй) смешанной задачи для уравнения A) в QT при /е?2(Qt) является обобщенным решением соответствующей задачи в QT_5 при любом б е @, Т). Аналогично доказывается, что реше- решение п. в. первой или третьей (второй) смешанной задачи для
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 287 уравнения A) в QT является обобщенным решением соответствую- соответствующей задачи в QT. Имеет место также следующее, в определенном смысле обрат- обратное, утверждение. Лемма 1. Если обобщенное решение задачи A) — D) или задачи A), B), C), E) принадлежит пространству H2(QT), то оно является решением п. в. соответствующей задачи. Если обобщен- обобщенное решение задачи A) —D) или задачи A), B), C), E) принад- принадлежит C2(QT) П CX(QT иГти^о). то оно является классическим решением соответствующей задачи. Доказывать оба утверждения леммы будем одновременно. Пусть обобщенное решение задачи A) —D) или задачи A), B), C), E) принадлежит H2(QT) (или C2(QT) П CHQt U Гт U Do)). Тогда для доказательства утверждения леммы достаточно устано- установить, что в QT функция и удовлетворяет уравнению A), на Do — начальному условию C), а в случае третьей (второй) смешанной задачи и граничному условию E) на Гт.. Возьмем произвольную функцию oeC1 (QT) и преобразуем (9) или соответственно A1) с помощью формулы Остроградского следующим образом: \ (-div№u + аи + utl-})vdxdt = 0. Если иеЯ2йт), то — div (kVu) + аи + utt — } е L2 (QT), а так как множество С1 (QT) всюду плотно в L2(QT), то функция и удо- удовлетворяет п. в. в QT уравнению A). Если ыеС2(<2т) П C^Qt U Гт U Do), то -div (kVu) + au-^- -f- utt — /e L.2 (Q1) при произвольной подобласти Q'ш(}; поскольку множество функций С1 (QT) всюду плотно в L2(Q'), то из произволь- произвольности Q' вытекает, что функция и удовлетворяет в QT уравне- уравнению A). (Так как функция — div (№u) + аи + ин непрерывна в QT, то и функция / непрерывна в QT, т. е. функция и удовлет- удовлетворяет уравнению A) всюду.) Возьмем произвольную функцию v, принадлежащую С1 (QT-e) при некотором 8е@, Т) и удовлетворяющую условиям F) и (8). Если ae№(QT), то из (9) или соответственно A1) е помощью формулы Остроградского получаем равенство Это же равенство справедливо и в случае, когда иеС2(QT) fl П ^(Qt U Гт U ?>0), так как в этом случае — div № и + utl = = /-йие^ (QT) ииеС (QT б). Поскольку по любой функции g из С1 (Do) (множество таких функций всюду плотно в L2 (Do))
288 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V можно построить функцию v, принадлежащую CPiQ-r-t) и удовлет- удовлетворяющую условиям F), (8) и условию v\o0 = g, то функция и удовлетворяет начальному условию C). Возьмем теперь для любого б е (О, Т) произвольную функцию C1 (Q)' удовлетворяющую условию F). Тогда из A1) получим гт-в Но для любой непрерывно дифференцируемой и финитной на Гт функции g (множество таких функций всюду плотно в L2(TT)) можно найти б е (О, Т) и функцию веС1 (QT в), удовлетворяющую условию F) и условию v\rT 6 = g/k, Поэтому (^-+шл =0. Лемма доказана. Докажем теперь следующую теорему единственности. Теорема 1. Каждая из задач A) —D) и A), B), C), E) не может иметь более одного обобщенного решения. Пусть и — обобщенное решение задачи A) —D) или задачи A), B), C), E) при / = 0 в QT, ф = 0, if) = 0 на Do. Покажем, что ы = 0 в QT. Возьмем произвольное т е @, Т) и рассмотрим функцию v(x, /) = \ \u(x, t О,1 x<t<T, Непосредственно проверяется, что функция v имеет в QT обобщен- обобщенные производные — и, 0</<т, О, и ($«,,(*, B)dB, 10, Следовательно, v(x, t) еЯ1 (QT). При этом v\oT = 0, и в случае, когда и — обобщенное решение первой смешанной задачи, у|Гг = 0, Подставим функцию v в тождество (9), если и является обоб- обобщенным решением задачи A) —D), или в тождество A1), если и является обобщенным решением задачи A), B), C), E), Тогда в случае первой смешанной задачи получим равенство kVu ^Vudb — avvt -f u,u\ dxdt = 0,
5 2J СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 289 а в случае третьей (второй) задачи — равенство § ikVu [Vu d8 — avvt + utiAdx dt-{- § kou(x, t)^u(x, 8)d6dSd/ = O Qx\ i I rT (напомним, что в области Qx vt = — u^H1(Qx) и, следовательно, v, \гт е L2 (Гт)). Так как \ k (х) Vu (x, t) \ Vu (x, b)dbdtdx = т гх -, = \k (x) \ Vu (х, tmVu (x, e)dS\dtdx = d о Ь J х ii = \ k (x) J V« (л:, 6) d0 J V« (л:, /) d/ dA: = о о о т г = 5 k (х) $ V« (л-, 6) d6 5 V« (л-, /) dtdx — D 0 т D 0 x г , t)dtdx = \Vu(x, t)dt dx-\k {x) Vu (x, t) I Vu (x, 9) db dt dx, TO А: (л:) Vu (x, t) \ Vu (x, 6) d6 di t Поскольку аналогично т \ kau (x, t) \ и {x, 6) d6 dS dt = 4$*w , t)dt dx. dD ix \2 T = I kai\u(x, t)dt\ dS- \ kau{x, t)\u{x, 9) dbdS dt, TO T , T v 2 ? ^аы (x, t)\u (x, b)dbdSdt = ~ \ kali и (x, t) dt) dS, Гт / dD \0 I Кроме того, = — \ av2dx— l/210 В. П. Михайлов
290 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Поэтому Аналогично имеем V avvt dx dt = — -w \a i i dx. Следовательно, если и — решение первой смешанной задачи, го \k{x) D , f)dt dx+ $ av2dx + D, D% а если и — решение третьей (второй) смешанной задачи, то 2 D k(x) \Vu(x, t)dt dx+ $ av*dx+ $ u2dx + Do Так как &(*)>0, равенств вытекает, что § u?dx = Dt dD в QT и <т(* г \2 ka[\u(x, t)dt) dS = O, на Гт, то из этих = 0. Поскольку т —произвольное t число из интервала (О, Т), то « = 0 в QT. Теорема доказана. Как было показано, классические решения задач A) —D) и A), B), C), E) являются и обобщенными решениями этих задач в QT_e при любом б е (О, Т). Поэтому из теоремы 1 немедленно вытекает следующее утверждение. Следствие 1. Каждая из задач A) —D) и A), B), C), E) не может иметь более одного классического решения. Так как решения п. в. задач A) —D) и A) —C), E) являются и обобщенными решениями этих задач, то из теоремы 1 вытекает также Следствие 2. Каждая из задач A) —D) и A), B), C), E) не может иметь более одного решения п. в. 2. Существование обобщенного решения. Перейдем теперь к доказательству существования решений задач A) —D) и A), B), C), E). Для этого воспользуемся методом Фурье, который зак- заключается в том, что решение смешанной задачи ищется в виде ряда по собственным функциям соответствующей эллиптической краевой задачи. Пусть v (х) — обобщенная собственная функция первой краевой задачи div (kVv) - av = Ах/, xeZ), cMaD-0
§ 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ или третьей (второй при <т = 0) краевой задачи div (fflv) — av = Xv, xeD, fdv , \ I _ n (A — соответствующее собственное значение). Это означает, что в случае первой краевой задачи tieff (D) и для всех т|еЯ'(D) [vt\dx = 0, A4) а в случае третьей (второй) краевой задачи we#x(D) и при всех г) е Я1 (D) $ $aT|dx = 0. A5) Рассмотрим ортонормированную в L2(D) систему vu v2, .... состоящую из всех обобщенных собственных функций задачи A2) или соответственно задачи A3); Xlt А2, ... — последовательность соответствующих собственных значений (последовательность соб- собственных значений, как обычно, считаем невозрастающей, причем каждое собственное значение повторяется в этой последователь- последовательности столько раз, какова его кратность). Как было доказано в § 1 гл. IV, система v\, v2, ... является ортонормированным базисом в L2(D) и Aft->- — oo при k-*-co. В случае первой, третьей при <т^0 на dD и второй при й^О bD краевых задач (напомним, что k (х) Зэ &о > 0, а(х)^0 в D и a (x) Ss 0 на dD) первое собственное значение Ях<0, т. е. 0>ЯхЗэА2;зг... Если а(х) = 0 в D, то в случае второй краевой задачи 0 = ЯХ > Я2 ^... Предположим, что начальные функции ц>(х) и гр (х) в B) и C) принадлежат L2(D), а функция f(x, /)eL2(QT)- Согласно теореме Фубини f(x, /)eL2(?>) для п. в. / е (О, Г). Функции ц>(х) и гр (а:) и функцию / (*, /) для почти всех значений / е (О, Г) разложим в ряды Фурье по системе v1(x), v2(x), ... обобщенных собствен- собственных функций задачи A2), если рассматривается задача A) —D), или задачи A3), если рассматривается задача A), B), C), E), (о где фА = (ф, Vk)u(D), iPa = (i|5, vk)L,(D), a' fk(t)=\f(x,t) vk(x)dx, D k=\, 2, ...Так как |fr(/) j2^ J/«(x, /) dx • Jo| dx = $/2 (x, t)dx, D D D то fk(t) eL2@, T), k=l, 2,... Согласно равенству Парсеваля —
292 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Стеклова f D A7) и для п. в. / е (О, Т) $. t)dx. k = \ D Следовательно, ft=10 Qt Возьмем сначала в качестве начальных функций в B) и C) функции q>kvk (x) и i|)ftflfc (x) — k-e «гармоники» из рядов A6), а в ка- качестве функции, стоящей в правой части уравнения A),— функ- функцию fk{t)vk(x), k^l. Рассмотрим функцию ик(х, t) = Uk(t)vk(x). A8) где Uk (t) = щ cos V=ht + тт== sin V^ht + У A fk (т) sin /^Г, (/ - т) dx; A9) в случае, когда ^ = 0, t U1 (t) = ф1 + W + \h (т) (/ -x)dx = = lim t 1 f r,(T)sinV — X1(t~x)dx), Функция Uk(t), очевидно, принадлежит Я2(О, Т), удовлетворяет при / = 0 начальным условиям Uk@) =(рк, ?/*(О)=Фа и для п. в. / е (О, Т) является решением уравнения U"k-XkUk=fk, k=l, 2, ... B0) Покажем, что если vk (x) и %k — обобщенная собственная функция и соответствующее собственное значение задачи A2) (или за- задачи A3)), то функция uk{x, t) есть обобщенное решение первой (соответственно третьей или второй) смешанной задачи для урав- уравнения щ, - div (k (x) Vu)+au = f^ (t) vk (x)
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 293 с начальными условиями " ко = Ф*»* (x), Щ \t_o = q>kvk (x). Действительно, функция uk (x, /)eЯ1(Qг), на Do она удов- удовлетворяет начальному условию B) и в случае первой смешанной задачи — граничному условию D). Покажем, что функция uk{x, t) в случае первой смешанной задачи удовлетворяет интегральному тождеству \ (kVukVv + aukv — uktvt) dx dt = Qt = tyk\vk(x)vdx+lfk (t) vk (x) v dx dt (%) D. Qt для всех принадлежащих пространству #X(QT) функций v, удов- удовлетворяющих условиям D) и A0), а в случае второй и третьей смешанных задач — тождеству § (kVukVv + aukv — uklvt) dxdt+ § kaukv dS dt = QT rT \l A1») Do Qt для всех удовлетворяющих условию A0) v из #X(QT). Справед- Справедливость тождеств (9ft) и AЦ), очевидно, достаточно установить лишь для всех функций v, непрерывно дифференцируемых в QT и удовлетворяющих условиям D) и A0), соответственно, усло- условию A0). В силу A0), A8) и A9) S uktvt dxdt=\ vk (x) h Щ (t) vt dt] dx = Qr U J т = \vk(x)\-ykv(x, O)-\U"k(t)vdt\dx = D L 0 J - —Ф* \vk(x)v(x, 0)dx-h \ ukvdxdt-\fk{t)vk{x)vdxdt. D Qt Qt Поэтому в случае первой смешанной задачи тождество (9А) выте- вытекает из A4): J (k^ukVv + aukv — uktvt) dx dt = = I Uk (t) dt I (k (x) VvkVv + avkv + %kvkv) dx + 0 D + ^ft \vk{x)v{x, O)dx+\fk(t)vk(x)vdxdt = D Qt = % \vk(x)v(x, 0)dx+\fk(t)vk(x) vdxdt, D QT 10 В. П, Михайлов
294 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Аналогично, в случае третьей (второй) смешанной задачи тож- тождество AЦ) вытекает из A5): § (k (x) VafeVa + aukv — uktvt) dxdt+ § k (x) aukv dS dt = Qt Гт \ Uk (t) dt\$(k (x) VvkVv + avkv + %№) dx + \k (x) avkv dS\ 0 i~D dD 1 \vk{x)v{x, O)dx+lfk(t)vk(x)vdxdt = D Qt = yk \vk(x)v{x, 0)dx+ I fk(t)vk(x)vdxdt, D Qt Если в качестве начальных функций в B) и C) взять частич- N N ные суммы рядов из A6) ^ Фа^аМ и S ^a^aW при некото- a=i a=i ром JV, а в качестве функции / в A) взять частичную сумму ее ряда Фурье ^] fk(t)vk(x), то обобщенным решением задачи A)-D) (AМ2). C), E)) будет функция SN (х, t) = 2 "а (х, 1) = 21ик (/) vk (х). a=i ft=i В частности, в случае первой смешанной задачи эта функция удовлетворяет тождеству v - SNtvt) dxdt = $ Z^vk(x)v(x, 0)dx+\ ^lfk(t)vk(x)v(x,t)dxdt B1) D k = \ QT ft = l I при всех !/efl'(Qr)i удовлетворяющих условиям D) и A0), а в случае третьей (второй) задачи—тождеству [ (kVSNVv + aSNv - SNtv<) dx dt + \ kaSNv dS dt = Qt Гт = $ |] to (x) v (x, 0) dx + $ 21 h @ vk (x) v dx dt B2) D ft = l QTk = \ при всех iie/Z'fQr), удовлетворяющих условию A0). Поэтому естественно ожидать, что при определенных предпо- предположениях относительно ф, гр и / решение задачи A) —D) (A), B), C), E)) можно представить в виде ряда ¦ u(x,t)=flUk(t)vk(x), B3)
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 295 где Vi, v2, ... — обобщенные собственные функции задачи A2) (соответственно A3)). Теорема 2. Пусть /eL2(QT), i|)eL2(D), а фей'Р) в случае первой смешанной задачи A) —D) и феЯ'(О) в случае третьей (второй) смешанной задачи A), B), C), E). Тогда обоб- обобщенное решение и соответствующей задачи существует и пред- представляется сходящимся в #X(QT) рядом B3). При этом имеет место неравенство Ци1я.(а.,<СAф1№(О) + Вф|к«» + 1/|к(вг)). в котором положительная постоянная С не зависит от ф, Из формулы A9) вытекает, что для всех /е[0, Т] т k \~1/2 \ I fk (О I dt при k > 1 о B4) и f. (ОI +сх 1 + <М \№)\dt о (в случае второй смешанной задачи при а = О СХ = Т, в осталь- остальных случаях C1=1/VTVJ). Поэтому для всех /е[0, Т] @ при I, B5) B5') Поскольку при любом ^, ^=1, 2, ..., г + 5 I fk \ dt, то для всех / е= [О, Т] dUk dt dt B6) Так как функция ф принадлежит в случае первой смешанной за- задачи пространству Н1 (D) (в случае третьей смешанной задачи — пространству H1(D)), то из теоремы 3 п. 3 § 1 гл. IV следует, что ее ряд Фурье A6) по системе собственных функций задачи"^) (или задачи A3) соответственно) сходится к ней в норме про- пространства Я1 (D). При этом существует такая постоянная С>0, 10*
296 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. V что для всех ф из Я1 (D) (или, соответственно, из Я1 (D)) B7) N Рассмотрим частичную сумму SN (х, t)= ^ Uk (t) vk (x) a = i ряда B3). При каждом / е [О, Т] она и ее производная по / (в силу теоремы 3 п. 2 § 6 гл. III функции Uk(t) и U'k{t), k = = 1, 2,..., непрерывны на [О, Т]) принадлежат Я1 (Dt) (или H1(Dt)). При исследовании задачи A) — D) в пространстве Я1 (D,) удобно ввести скалярное произведение При исследовании задачи A), B), C), E) в пространстве Ях(?>/) введем скалярное произведение \ если или а=?0 в D, или о kouvdS, dDt на 3D, и скалярное произведение если а = 0 bD и а = 0 на dD. Поскольку в случае первой и третьей при о^ёО смешанных задач и в случае второй смешан- смешанной задачи при а^О системы функций v^y — Xlt v,zf\/r—'k2, ... ортонормированы в соответствующих скалярных произведениях, а в случае второй смешанной задачи при а =• 0 ортонормирована система функций vxlY^ — ^i. y2/]/l — Я2,..., то для всех / е [0, 71] и,любых М и W, 1^М<Л/, в силу B5) имеем | SN (X, t) -SM(X, t) \\h(D.) = 2 Uk (t) Vk (X) если или афО в D, или о^О на 3D, и || SN (х, t) - SM (x, t) ЦЦО ) = ^ W @ (! ~
S 2} СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 297 если а-ЕзО вО и ffsO на 3D. Таким образом, во всех случаях lSN(x, t)-SM(x, О |Ь (*>,)< \) B8) О / при всех t е [О, Т]. Аналогично, в силу B6) для всех t е [О, Т] * I A* I + Ч* + S Я л). B8') 0 ' Наряду с этими неравенствами имеют так же место справед- справедливые при всех t е [О, Г] и любых W ^ 1 неравенства i SN (x, t) ||Ь (Df) =!](/* (« f* (x) Г [ B9') 0 / Складывая проинтегрированные no t e @, 71) неравенства B8) и B8'), получим неравенство \\SN(x,t)-SM(x,f)fHl{QT)^ ( S) C0) + 0 / Согласно A7), A7') и B7) ряды |>1A + |А*|), ^^ и 4=1 4=1 2 J/?d^ сходятся. Поэтому из C0) вытекает, что ряд B3) схо- 4=1 О дится в Я1 (QT) и, следовательно, его сумма и^Н1 (QT). Функ- Функция и(х, t), очевидно, удовлетворяет начальному условию B) и в случае первой смешанной задачи граничному условию D). Переходя к пределу при N-*-co в равенстве B1) в случае за- задачи A) —D) или в равенстве B2) в случае задачи A), B), C), E), получим, что и удовлетворяет тождеству (9), соответ-
298 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V ственно A1). Таким образом, и — обобщенное решение первой, соответственно третьей смешанной задачи. Складывая проинтег- проинтегрированные по t е (О, Т) неравенства B9) и B9') с помощью A7), A7') и B7), получаем неравенства B4). Теорема доказана. 3. Метод Галёркина. Можно дать и другие, независимые от п. 2 и не использующие свойств собственных функций, доказательства существования обобщенных решений смешанных задач. Одному из таких методов доказательства теорем существования —методу Галёркина, который одновременно является и приближенным ме- методом решения смешанных задач, посвящен настоящий пункт. Заметим, что, в отличие от метода Фурье, метод Галёркина позволяет исследовать смешанные задачи в случае, когда коэффи- коэффициенты зависят не только от пространственных переменных х, но и от времени t. Рассмотрим, для определенности, первую смешан- смешанную задачу A) —D). Как и прежде, предполагаем, что <р е Я1 ф). ЧМ) / Метод Галёркина состоит в следующем. Пусть vl(x), v2(x), ... — произвольная система функций < из C2(D), удовлетворяющих граничному условию vk\dD = 0, k = = 1, 2, ..., линейно независимая и полная в Я1^), т- е- линей- линейное многообразие, натянутое на эту систему, всюду плотно в Я1 (D). Для произвольного целого m в конечномерном подпространстве Vm пространства L2(D), натянутом на функции vk, k=\, 2, ..., m, решается задача, получающаяся из задачи A)—D) ортогональным проектированием на это подпространство, т. е. ищется функция wm(x, t) (из* H2(QT)), принадлежащая при каждом t е [О, Т] под- подпространству Vm, удовлетворяющая условиям B) и C) с началь- ными функциями q>m(*)= 2 Ф*и* (*)> 'V(x)= 2 Ч1*0* (х) — орто- 4=1 4=1 тональными проекциями на подпространство Vm функций <р(х) и г|з (х) соответственно, и такая, что при п. в. t е (О, Т) ортогональ- ортогональные проекции на Vm (в скалярном произведении L2 (D)) функций f(x, t) и wmtt — div (kVwm) + awm совпадают. Это означает, что ищутся такие функциисх (/),..., cm (t) (из Я2 (О, Т)), удовлетворяющие условиям сА@) = фА, с*(О) = г|зА, k = \, ..., m, что функция wmtt — di(?Vaym) + atiym-/, где > C1) k=\ для п. в. t e @, Т) (для которых f e L2 (Dt)) ортогональна в Ц, (D) подпространству Vm, т. е. I (wmtl - div (k4wm) + awm) vkdx= $ fvk dx C2) D D для k = 1 m.
2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 299 Метод Галёркина заключается в том, что решение и задачи A)—D) аппроксимируется решениями wm «спроектированных» задач. Для его обоснования нужно доказать, что решение wm каждой из таких задач существует (и единственно) и последова- последовательность wm, т=\, 2, .... в некотором смысле (слабо в H1(QT)) сходится к и. Рассмотрим, для простоты, случай однородных начальных условий (ф = 0, г|з = О). Тогда ф*=% = 0, &=1, .... т. е. с„@) = d@) = 0, *=!,...,/п. C3) Равенства C2) есть линейная относительно функций ^(t), ... ..., cm(t) система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами т 2 (cl(t)(vk, vs)L2{D) + cs(t)(vk, о,)д1(о,) = М0. k=l т' C4) где fk {t)=\f (x, t) vk (x) dx e= U @, T) f(h, g)k4 = \ {kVhVg + ahg) dx\ D \ D I Докажем, что система C4) имеет единственное принадлежащее Я2 @, Т) (все координаты принадлежат Я2 @, Т)) решение, удов- удовлетворяющее начальным условиям C3). Так как система функций ии v2, ... линейно независима, то при любом т^г 1 определитель матрицы с элементами (vk, vs)l^d)< k, s = 1, ..., m, отличен от нуля (аналогичное утверждение дока- доказано в п. 9 § 1 гл. IV). Поэтому линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений C4) можно разрешить относительно старших производных. Следовательно, задача C4), C3) эквива- эквивалентна задаче c@) = 0, C5) где с(t) = {c[{t) <4{t), Су(t),..., ст @), F(t) = (Ftit) F2m (t)), A 0, Щ 1, ' 0 — матрица порядка 2т (/ — единичная матрица порядка т). Оче- Очевидно, вектор F(t)(=L2@, T) (Ft(t) e= L2@, T), i=\,...,2m). Для доказательства утверждения достаточно показать, что задача C5) имеет единственное решение, принадлежащее простран- пространству Я1 @, Т). Как обычно, заменим задачу C5) эквивалентной
300 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. V ей системой интегральных уравнений t t с (t) = \Ас (т) dx + \ F (т) dx C6) о о с принадлежащим Я1 (О, Т) и, тем самым, непрерывным на [О, Т] t свободным членом § F (т) dx: если с (t) есть принадлежащее Я1 (О, Т) о решение задачи C5), то в силу теоремы 3 п. 2 § 6 гл. III оно непрерывно на [О, Т] и удовлетворяет системе C6); если c(t) — непрерывное на [О, Т] решение системы C6), то оно, очевидно, принадлежит Я1 (О, Т) и является решением задачи C5). А суще- существование (и единственность) решения (непрерывного на [О, Т]) системы интегральных уравнений C6) устанавливается в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений при доказательстве теоремы существования решения задачи Коши для линейной нор- нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, Л. С. Понтрягин, Обыкновенные дифферен- дифференциальные уравнения, стр. 177). Таким образом, установлено существование и единственность при любом т= 1, 2, ... функций wm (х, t) вида C1), удовлетворяю- удовлетворяю1 =0. t_ щих равенствам C2) и начальным условиям wm\t*=o — -щ1 ^множим C2) на c'k(t), проинтегрируем по @, т), где т —про- —произвольное число из [0, Т], и просуммируем по k от 1 до т. В результате получим равенство \ (wmtt — div (Wwm) + awm) wmt dxdt^\ fwmi dx dt. C7) Щ ( Так как wmttwmt = jJ^ аУт<), div (kVwm) • wmt = div (kwmtVwm) - ( I VWm i2) И aW^mt = §i(j aW*m), TO - div (kVwm) + awm) wmt dx dt = = j\ (trim + ^| Vaym|2 + aw%) dx. Замечая, что в подпространстве Я1 (QT) пространства Я1 (QT), состоящем из функций, обращающихся в нуль на Гти^о> можно ввести эквивалентную обычной норму !ш 1я« №) = f S (*? + * 1 Va» J4 a®2) dxdt\xl\
5 2! СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 301 получим т 2\dx\ (wmlt - div (kVwm) + awm) wmt dx = || wm Щр. Q . 0 «t Поэтому из равенства C7) имеем IIwm|fe,m =2\dx\dt\f(x,t)wmt(x, t)dx = 0 0 D \\\ 0 0 D , t)wmt(x, t)dxdt^2T\\f\\L,{QT)\\wml\\L,{QT) Qt откуда Таким образом, множество функций wm, m = l, 2, ..., ограни- ограничено в H1(QT). Из теоремы 3 п. 8 § 3 гл. II следует, что это множество слабо компактно в Я1 (QT), т. е. из него можно выделить подпоследовательность (будем ее снова обозначать через wm), слабо сходящуюся в Я1 (QT) к некоторой функции и^Н1 (QT). Функция и есть искомое обобщенное решение смешанной задачи. Для того чтобы это доказать, очевидно, достаточно проверить, что при любой sg№(Qt) — так обозначим подпространство про- пространства H1(QT), состоящее из функций, обращающихся в нуль на DT U Тт — имеет место интегральное тождество (9) (в котором г|> = 0): \ (kVuVv + auv - utvt) dxdt=\fvdx dt. C8) Qt Qt Для этого в свою очередь достаточно тождество C8) установить для некоторого всюду плотного в Я1 (QT) множества функций вМ>. В качестве <М возьмем множество всех линейных комбинаций функций vk(x)Q(t), где k= 1, 2, ..., а 6 (/) —произвольная функ- функция из ^([О, Т]), удовлетворяющая условию 8(Г) = 0. Покажем сначала, что равенство C8) справедливо для любой функции v (x, t) = vk (x) 6 (t), а следовательно, и для любой v из о^, а затем убедимся, что множество <М всюду плотно в Я1((?7.). Интегрируя по @, Т) умноженное на 0(/) равенство C2), для mS&& получим \ [(kVwmVvk + awmvk)e-wmtvkB']dxdt= \fvkQdxdt. Qt Qt Отсюда вытекает C8), так как при m-*-co wm слабо в Я1 (QT) сходится к и.
302 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Покажем, что <М всюду плотно в Я1 (QT). Для этого доста- достаточно установить, что любую функцию ц(х, t) из C2(QT), удов- удовлетворяющую условию Ч\гт\Юг = 0 C9) (множество таких функций всюду плотно в H1(QT)), можно аппрок- аппроксимировать в метрике пространства Я1 (QT) функциями из еМ. Норму в пространстве Я1 (QT) определим равенством Заметим, что множество <М можно рассматривать как множе- множество всех линейных комбинаций функций v%(x)b{t), где 6 (t) — произвольная функция из Сх([0, Т]), обращающаяся в нуль при t = T, a v*, и|, ... — ортонормированный базис пространства Я1^) (в скалярном произведении (/, g)ftHD)= \ VfVgdx), полученный D в результате ортонормирования системы и1( v2,... методом Грамма— Шмидта (см. п. 5 § 2 гл. II). Пусть т) (х, ^ — произвольная функция из C2(QT), удовлетво- удовлетворяющая условию C9). Так как для любого /е[0, Т] функции т) (х, t) и т], (*, t) принадлежат Я1 (D), то их можно разложить в сходящиеся в метрике Я1 (D) ряды Фурье D0) где 4k(t)=]44(x,tLvt(x)dx. D1) и При этом I; ы(о+^@) = soVti(*• оi2+1Vti^(^• оi2)dAr- 'е[°«ri- D2) Обозначим через т)дг (х, t) частичную сумму ряда D0): 4n(x, t)=^4k{t)v%{x). D3) 4 = 1 Из D1) и D3) вытекает, что для любого УУ 5э 1 при всех / е [0, Т] функция r\t — r\]Vt^H1(Dt). Поэтому на основании неравенства
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 303 Стеклова (п. 6 § 5 гл. III) где С >0 — постоянная, зависящая лишь от области Da Следова- Следовательно, для любого N5= 1 при всех t е [0, Т] В силу D2) для любого / е= [0, Г] ? (л* С) + С V (ОН 0 4 = ^+1 при N-*-oo. Поэтому на основании теоремы Леви (теорема 3 п. 6 § 1 гл. II) получим, что при N-t-co т \\ц-ц\\% =Л /||т, Утверждение доказано. Заметим, что в силу единственности обобщенного решения и задачи A)—D) (теорема 1) из доказанного следует, что не только некоторая подпоследовательность последовательности wm, m = = 1,2,..., но и сама эта последовательность слабо в Я1 (QT) сходится к и. 4. Гладкость обобщенных решений. Существование решения п. в. и классического решения. При исследовании гладкости обоб- обобщенных решений ограничимся рассмотрением первой и второй (в граничном условии E) а = 0) смешанных задач для частного случая уравнения A) —волнового уравнения (в A) k=l, a = 0), хотя при достаточной гладкости коэффициентов уравнения и функ- функции ст тем же методом устанавливаются аналогичные результаты и в общем случае. Пусть и (х, t) — обобщенное решение первой или второй сме- смешанных задач для волнового уравнения utt-Au = f(x,t), D4) о = $ D5) и или "|гг = 0 D6) в случае первой смешанной задачи, или ди в случае второй смешанной задачи. D7)
304 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V В предыдущих пунктах было показано, что задачи D4)—D6) и D4), D5), D7) имеют (единственные) обобщенные решения, если гре?2(Ь), f^L2(QT), а функция ф принадлежит пространству Я1 (D) в случае первой задачи или пространству Я1 (D) в случае второй задачи. При этом (см. п. 2) каждое из этих обобщенных решений и (х, t) представляется сходящимся в Я1 (QT) рядом u(x,t)=flUk(t)vk(x), D8) где Uk (t) = фА cos V—Ъ ?=1,2,... D9) о (в случае второй смешанной задачи , t)vk{x)dx, A=-l, 2, .... E0) a Uji U21 ••• и Vi ^21 ... — последовательности обобщенных собствен- собственных функций и соответствующих собственных значений первой, если рассматривается задача D4)—D6), или второй, если рас- рассматривается задача D4), D5), D7), краевой задачи для опера- оператора Лапласа в D (напомним, что в случае первой краевой задачи ЯА<0 при всех k = \, 2, .... а в случае второй краевой задачи ЯА<0для k = 2, 3, ... и Jt,! = O, причем их = const = lf]f\D |). Предположим, что граница dD области D принадлежит классу Cs при некотором sS=l. Тогда в силу теоремы 7 п. 4 § 2 гл. IV собственные функции vk(x), k=l, 2, .... первой и второй крае- краевых задач для оператора Лапласа принадлежат пространствам Н%(й) и Hlp(D) соответственно, т. е. принадлежат Hs(D) и удовлетворяют на 3D в случае первой краевой задачи граничным
5 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 305 условиям 1 — 1 vk\dD= ... =AL 2 \vk\dD = 0, k=\, 2, .... а в случае второй краевой задачи при s> 1—граничным усло- условиям Ж Напомним, что H\r(D) = H1(D). Предположим также, что в случае первой смешанной задачи D4)—D6) феЯ^(й), г|э е Я^" (D), а / принадлежит подпрост- подпространству H$?~1(QT) пространства HS~1(QT), состоящему при s>l из всех функций / е Я5 (QT), для которых При s = 1 Hsfl (QT) = Hi (QT) = U (QT). В случае второй смешанной задачи D4), D5), D7) будем пред- предполагать, что феЯ^(й), греЯ^1 (D), а / принадлежит под- подпространству Я^Г1 (QT) пространства H$~1(QT), состоящему при s>2 из всех функций f^Hs~1(QT), для которых д1 дп гт При s = 2 Hs^1(QT) = Hlr(QT) = H1(QT), при s = l Я^Г1 (QT) = ,) M В.этом пункте будет доказано, что при сделанных предполо- предположениях обобщенные решения смешанных задач принадлежат про- пространству Hs (QT) и при достаточно больших s являются класси- классическими решениями. Теорема 3. Пусть при некотором s^l dD^Cs и в слу- случае первой смешанной задачи D4)—D6) (реЯ^(О), греЯ^ (D), f еЯ^ (QT), а в случае второй смешанной задачи D4), D5), D7) (реЯ^(О), г|э<= Я;^1 (D), / е= Я^ * (QT). Тогда ряд D8) сходится к обобщенному решению и (х, t) в Hs (Dt) равномерно по t е [0, Т]. Кроме того, для любого р = 1, ..., s ряд, полученный из ряда D8) р-кратным почленным дифференцированием по t, сходится в Hs~p (Dt) равномерно по t е [0, Т], и для всех t е [0, Т] имеют место нера- неравенства
306 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. V Утверждение теоремы о равномерной по t е [0, Г] сходимости в Hs-p(Dt), р = 0, ..., s, ряда, полученного из ряда D8) р-крат- ным почленным дифференцированием по t, означает, что при любом t е [0, Т] последовательность следов У -щр (Uk @ vk (*)) 4 = 1 на Df р-.х производных по * частичных сумм ряда D8) (каждая из этих частичных сумм принадлежит Я1 (QT)) сходится в Hs'p (Dt) и эта сходимость равномерна по t е [0, Т], т. е. IN II У ^ (I/* @ »*(*)) -»-0 при М, УУ + со. Тогда последовательность частичных сумм ряда D8) сходится и в Hs (QT) и из оценки E1) вытекает неравенство Mrfto^C'Wvlrfw + lVbtnw + lfiHnm). E2) Таким образом, справедливо следующее утверждение. Следствие 1. Пусть при некотором s^ 1 dD eCs ы в случае первой смешанной задачи D4)—D6) фе HS^(D), г(з е Я^~' (D), / еЯ!^' (Qt)> a e случае второй смешанной задачи D4), D5), D7) Ф е Я!»» (D), ijj е Я!^1 (D), / s Я!^1 (Q,.). Тогда обобщенное решение каждой из этих задач принадлежит Hs (QT) и ряд D8) сходится к нему в Hs (QT). При этом имеет место неравенство E2). Для любого р = 0, ..., s—1 функция ~ имеет след на Dt при каждом t е [0, Т] и ряд, полученный из ряда D8) почленным р-кратным дифференцированием по t, сходится к -— в Hs-p(Dt) равномерно по t е [0, Т]. Так как и при p = s последователь- со VI ds ность частичных сумм ряда > -^ (Uk @ vk (x)) , составленного ft = l Dt из следов на D^ принадлежащих Н1 (QT) функций —iws < схо" дится в L^ (Dt) (равномерно по t e[0, 71]), то ее предел при каждом t е [0, Т] можно назвать следом на Dt s-й производной по t обобщенного решения и (х, t). Прежде чем перейти к доказательству теоремы 3, докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2. Если f^H9(QT), q^0, a ge L2(D), mo функция h(t)= \f{x, t)g(x)dx
5 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 307 принадлежит Н9 @, Т) и имеют место равенства Так как для р = 0, 1, ..., q -^^L2(QT), то в силу теоремы Фубини для п. в. /е (О, Т) функции g (х) —}' интегрируемы по Dt и функции Dt (Л(о) (t) = h(t)), интегрируемы по (О, Т). Поскольку, кроме того, то й<*>(*)е= МО, Л, Р = 0, ..., ^. Для произвольной функции Ti (х, t) е С? поэтому при произвольных т)! (^) е С? ([0, 71]) и Ti2 (x) e C? (D) имеет место равенство Множество С9 (D) всюду плотно в L2(D), поэтому последнее равенство имеет место и при произвольной \]t^L2(D), и, в част- частности, при т]2 = ?. Таким образом, при всех т^ (t) е С9 ([0, 71]) г г Это означает, что при р = 1, ..., ^ функция Ыр) (t) является обобщенной производной р-го порядка функции h(t), т. ^--щ- — = А(р) е L2 @, 71). Лемма доказана. Доказательство теоремы 3. Из леммы 2 вытекает, что функции /ft@, k=l, 2, ..., заданные формулой E0), при- принадлежат пространству №'г@, Т) и, тем самым (см. теорему 3 п. 2 § 6 гл. III), при sS2=2 пространству Cs~2 ([0, Т]). Следова-
308 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. V тельно, удовлетворяющие на @, Т) уравнениям Uk — kkUk = fk функции Uk, k=\, 2, ..., заданные формулой D9), принадлежат пространству Hs+1@, T), а значит, и пространству Cs([0, 71]). Тогда в силу свойств собственных функций vk (x) частичные N суммы Sn (x, t) = 2 Uk {t)vk (x) Ряда D8) принадлежат прост- ранству Hs (QT) и при всех t е [0, Т] — пространству Н% (Dt) в случае задачи D4) — D6) (или пространству Нж {D,) в случае задачи D4), D5), 47)). dPSN Кроме того, при р = 1, ..., s функция д" принадлежит про- пространству Hs~p+1 (QT) и при всех t е [0, Т] — пространству HS$.{Dt) (Hsjp {Dt)). Поэтому на основании леммы 3 п. 5 § 2 гл. IV и ортогональности в L2 (D) и Я1 (D) собственных функций vk (x) имеем при всех t е[0, Т], любых р = 0, ..., s и любых М и N, lMN неравенства dtP dtP N в случае четного s —p и dPS в случае нечетного s — р. То есть при всех t^[0, T], любых р = 0, ..., s, и любых М и # 1ММ dP(SN-SM)f <r у ., ,-
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 309 Аналогично, при всех /е[0, Т], любых р = 0, ..., s и любых ^5 1 d"s в случае первой смешанной задачи (Хг Ф 0) и 1др3]\г |р || др (JJ{oA dPfS;.-—ял 112 ~ dtP \ns~p (Dt) = I dtP ' д, <:2 p(°/) в случае второй смешанной задачи (А,х = 0). Таким образом, при всех t<=[0, Т], р = 0, ..,, s, Л^^1 *=i Суммируя последние неравенства по р от нуля до s, получим I. E4) Воспользуемся теперь следующей леммой, доказательство кото- которой будет приведено далее. Лемма 3. Если при некотором s5з 1 5DeCs « феЯ^(О), г|з Eff^)" (D), f^Hs?~x(QT) в случае первой смешанной задачи D4)-D6) или fG^(D), ^<=Hs^l(D), f<^H^l(QT) в случае второй смешанной задачи D4), D5), D7), то при любом 00 ряд1 У ( "dtP^ ) I *1 сх°дится равномерно по t е [О, Г] ы постоянная С > 0 зависит только от QT. В силу этой леммы из неравенств E3) вытекает, что для каж- каждого р = 0, 1, ..., s последовательность dPS N dtP г, СХОДИТСЯ В I - Hs~p(Dt) равномерно по t е [О, Т], а из неравенства E4) в силу
ЗЮ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V очевидной оценки (-^-J «? const^j ф |Ц2(?» вытекает неравенство E1). Теорема доказана. Из следствия 1 при s = 2 вытекает, что обобщенное решение каждой из рассматриваемых смешанных задач принадлежит Я2 (QT), а следовательно, является решением п. в. Отметим, что в условии теоремы 3 кроме требований глад- гладкости заданных функций предполагается выполнение условий = = д1 2 Г!Л_, = ... = AL2J E6) E7) в случае первой смешанной задачи и выполнение условий Ж дп д<р ~дп = 0 E8) в случае второй смешанной задачи. Заметим, что для справедли- справедливости утверждения теоремы 3 некоторые условия такого рода необходимы. Действительно, например, в случае первой смешанной задачи при S3*2 из того, что ф (*) = ы (*, t) |/_0 представляется сходя- сходящимся в Hs (Do) рядом D8), а г|?(,г)= " et t (« —Решение 00 —о п. в.) представляется сходящимся в Hs~l (Do) рядом / —7t\ xvk(x), вытекает выполнение условий E6). Так как ряд D8) сходится к решению п. в. и(х, t) в Hs (QT), а следовательно, 00 ОО 2 vi d?U' ь (t) Uk (t) &vk (x) и У —и% vk (x) сходятся к Аи и к ии соответственно в HS~2(QT), то / = ы« — Аи при s#=3 удовлетворяет условиям Г—1 /|rT=...=AL 2 ]/|Гт=0.
§ 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 311 В случае четного s в теореме 3 потребовано дополнительно условие Al2-! /^ =0. Это условие, действительно, является лишним. Для простоты покажем это при s = 2. Следствие 2. Пусть dD^C2, a f eЯ1 (QT), и пусть в слу- случае задачи D4) —D6) фе^(О), г|зеЯ^(О), а в случае задачи D4), D5), D7) среЕЯМЯ). г|)€=Я>(?). Тогда для р = 0, 1, 2 ряд, полученный из ряда D8) р-кратным почленным дифференци- дифференцированием по t, сходится в Н2~р (Dt) равномерно по / е [0, Т] и сумма и (х, t) ряда D8) является решением п. в. задачи D4) — D6) или соответственно задачи D4), D5), D7). При этом для всех ?е[0, Т] имеют место неравенства E1) при s — 2. В силу теоремы 3 это утверждение достаточно доказать в слу- случае однородных начальных условий: ф = 0, г|з = О. Так как при k> 1 t Uk (t) = yJ=- \ fk W sin К=Л (t - т) dx = ~fk @) cos V~^k l) - Щ (t) = \ h (т) cos К- К (t -x)dx = = /ft @) cos У— Xkt+ ^ f'k (т) ЦЩ (t) < const (ft (t) +/H0) + Г J (/^ (t)J dx), \ T о / {Щ (t)f <const Д @) + T \ (Д (т)J dx\, (Щ (ОJ^ const In@) + т\ (f'k (т)Jdx). А так как в силу принадлежности / пространству Я1 (QT) и со Т оо леммы 2 сходятся ряды ^ 5 (f'kWfdx и^ /НО равномерно по ft=lО *=1
312 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. V ie[0, T], то из неравенств E3) и E4) вытекает справедливость доказываемого утверждения. Заметим, что если / = 0, то из соотношения аи dt +11 -2 !«!(/))- tf „sinV\lk\t + <f>kVTh\ cos = 21 №+i вытекает, что для решений при всех t е [О, Г] имеет место равенство \ (( v" +1V(p которое называется «законом сохранения энергии*. 2 J Теорема 4. Пусть dDe D4)-D6) Феяй(Д). г|? D4), D5), D7) , ы гаг/сть в случае задачи (D), г|з Яу /еЯу-1 у-1 (QT). Тогда ряд D8) сходится в С2 (QT) и его сумма и (х, t) является классическим решением соответствующей задачи. При этом имеют место неравенства F0) (Qt) Доказательство. Поскольку dD e CL2 J , то обобщен- обобщенные собственные функции ух(а:), у2М> ••• первой и второй крае- краевых задач для оператора Лапласа в D принадлежат пространству F-1 + з //l 2 J (D) и, тем самым, в силу теоремы 3 п. 2 § 6 гл. III пространству C2(D). Поэтому частичные суммы Sn(x, t), N=\, 2, ..., ряда D8) принадлежат С2 (QT).
5 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 313 На основании теоремы 3 п. 2 § 6 гл. III и неравенства E3) для всех ?ge[0, Т] и 1 ^М <.N имеем откуда следует, что Согласно лемме 3 ряды с общими членами ( dtPk) \hk\\-2l , р = 0, 1, 2, сходятся равномерно на [О, Т1]^ поэтому ряд D8) сходится в С2 (QT). Таким образом, и gC2 (Qt). Так как при р = 0, 1, 2 по теореме 3 п. 2 § 6 гл. III то неравенства F0) являются следствиями неравенств E1), в кото- которых s = | 4l-f I-f р. Теорема 4 доказана. Доказательство леммы 3 удобно разбить на два этапа: сначала установить ее справедливость в случае, когда / = 0, а затем —в случае когда ф = г|з = О. Пусть / = 0. Из формул D9) тогда вытекает, что для всех t е [0, Т] и k = 1, 2, ... в случае первой смешанной задачи и k = 2, 3, ... в случае второй смешанной задачи /пот* и в случае второй смешанной задачи
314 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Кроме того, для всех ^е[0, Т\ при любых р = 1, 2, ... 1**1<р-1)/2. *=Ь 2, ... (если A,i = 0, то (Xi)°=l). Следовательно, при всех /е[0, Г] для любых &3*1 и р, O Поэтому утверждение леммы 3 (при / = 0) вытекает из сходи- 00 00 мости числовых рядов ^] ф| | %k \s и ^^l^ft Is и неравенств S q>m» i»< сI<рТн°(D). S ^i **Is < ci*!«•-»«о), в которых постоянная О 0 не зависит от ф и г|з (теорема 8, п. 5, § 2, гл. IV). Для доказательства справедливости леммы 3 в случае, когда фг=1|з = 0, нам потребуется несколько вспомогательных предло- предложений. Лемма 4. Пусть dD e С2. Тогда 1) если функция f(x, t) принадлежит пространству #$(QT), q^2, то при любом р, р=1, ..., q, -ф- принадлежит прост- пространству Н%~р (QT); 2) если функция f(x, t) принадлежит пространству Hj^(QT), dPf q^2, то при любом р, р= 1, ..., q, ^~ принадлежит простран- пространству H5F"{Qt). Для доказательства первого утверждения леммы, очевидно, достаточно установить, что если G ^H2 (QT) и G |гт = 0, то Gt \?Т — 0. Для доказательства второго утверждения достаточно показать, что если G еЯ8 (QT) и =- = 0, то i- дп = 0. Гт- Докажем первое утверждение. Так как G|rT = 0, то при любом i, l^i^n, имеем [ Gx.tr] dx dt = — [ Gx,\\t dxdt = \ Gr^j dx dt = — [ Gt\\x. dx dt, Qt Qt Qt Qt где ^ — произвольная функция из C2(QT), удовлетворяющая усло- условиям ti |d, = ii \dt — 0. С другой стороны, при любом I, l^i^/i, \ Gx^ dx dt= J Gtx] n{ dS dt— § G/тц dx dt, Qt Ft Qt где nt — косинус угла между (внешней) нормалью к Гт и осью Oxi.
5 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 315 Таким образом, для любых функций ц еСа(Гг), удовлетво- удовлетворяющих условиям Ti |йо0 = 11 1аог = 0, имеют место равенства S^ = 0, /=1,..., га. F1) Покроем замкнутую поверхность Гт конечным числом (откры- (открытых (ra-f 1)-мерных) шаров Уъ ..., Vm так, чтобы для каждого /=1, ..., т нашлось такое число i = i(j), l^i^n, что на Гту, где ГТ/ = ГТП V/, функция | щ и) (х) | > 0. Возьмем произвольное/, 1^/^т, и произвольную функцию т] (х, t) e С2(ГТ;), продол- продолженную (на Гт) нулем вне TTj. Из F1) следует, что \ GtniU)(x)x](x, t)dSdt = O. rT, Поскольку множество функций п.ц]-){х)ц(х, t) при произвольных ц(х, t) из С?(Гт]) всюду плотно в L2(TTj), то G/|rT =0. Следо- Следовательно, G/ |г =0. Первое утверждение доказано. Аналогично доказывается и второе утверждение. Действи- тельно, так как я- = "Ч |г>г = 0, имеем \ t±.Grx\&xdt = — \ Qt Qt С другой стороны V AG/ • т] i откуда =0, то при любой rj jDo = Qt Qt = 0. Лемма дока- для любой г] е С2 (Гт). Следовательно, ^ зана. Лемма 5. Если dD eC2 ы функция f (x, t) принадлежит пространству Н% (QT) или пространству Н"ж (QT) при неко- некотором <7 2= 2, то при любом t е [О, Т] и р = 1, ..., q — 1 след функции щ? на Dt принадлежит H"$~~p~l (Dt) или соответственно НЧ-Р-* (Dt).
316 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Для доказательства леммы 5 в силу леммы 4 достаточно дока- доказать следующее утверждение. Если функция G (x, t) e Н2 (QT), то при любом t «= [О, Т] G |D, еЕ Я1 (Dty,- если G<=H2 (QT) и G \Гт = = 0, то при любом t(=[0, T] G\Dt<=Hl{Dt). В силу теоремы о следах (теорема 1, п. 1, § 5, гл. III) при любом t «= [0, Т] G |D/ <= Z.2 (О/) и G*. |D, e L2 (?>,), i: = 1, ..., га. Возьмем произвольную функцию % (?) из С1 ([0, 71]) и произволь- произвольную функцию г]3 (х) из ^(D). На основании формулы Остроград- Остроградского при любом i = l, ..., п $ G*;4i*l2 <&# = —$ GruTfe. dA: Л, F2) Qr Qt т. е. Так как множество Сх([0, 71]) всюду плотно в L2 @, 71), а функ- функция J (Gj.Tk + GT^)^* в силу леммы 2 принадлежит простран- t ству Ях@, 71) и, тем самым, является непрерывной на [0, Т], то при произвольной функции г]2 (х) е С1 (D) для всех ^ е [0, Т] \ GXir]2dx = — \ Gx\2x.dx. F3) Следовательно, при любом t^[0, T] G\d etf(D/) и ее обоб- обобщенной производной по Х( является след на Dt функции G^ (x, t), i= I, ..., п. Пусть теперь Ge#2(QT) и G |гг = 0. Тогда равенства F2) имеют место и при любой функции % (х) из С1 (D), Поэтому для любой т]2 (х) из С1 (D) при всех t е [0, Т] имеют место и равен- равенства F3). По доказанному при любом t^[0, T] G\D^Hl{Dt)t поэтому при любой ti2 (x) e С1 (D) наряду с равенствами F3) имеют место и равенства \ G*/n2 dx — \ Gx]»rii dS — [ Gr]2x. dx. Df dDt Dt Таким образом, при произвольной 1]2 (x) из С1 (D)
§21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 317 Из этих равенств вытекает (ср. доказательство леммы 4), что след функции G (x, t) \Df на границе dDt области Dt равен нулю. Лемма доказана. Замечание. Из доказательства леммы 5 немедленно выте- вытекает справедливость следующего утверждения. Если 3D е С2 и f(x, t)f=HHQT)t то при любом /е[0, Т] /Цей'-1^). Лемма 6. Пусть vu vit ... — ортонормированный базис про- пространства L2(D). Тогда для любой функции G(x, t)^L2(QT) имеет место равенство f] \ ( \ G (х, t) vk (x) dxJ dt=\G||LiQl). ft=i о \ot I Поскольку для п. в. t e @, T) функция G (x, t) e L2 (Dt), то для этих значений t Интегрируя это соотношение по (О, Т), согласно теореме Леви получаем требуемое равенство. Лемма доказана. Перейдем теперь к доказательству леммы 3 в случае, когда cp = ij5 = O. Из D9) и E0) имеем Uk{t) =-±=\f {х, x)vk{x)smVXK\{t-T) dx, k=l, 2,... D9') 1 f (в случае второй смешанной задачи Ux (t) = , \ (/ — т) х xf(x, x)dxdx). Пусть сначала р = 0. Поскольку функции / и vk принадлежат пространству H*fx(QT) (или Я^ ' (QT)), a A%= ltvk при любом (д,= 1, ..., [s/2], то для всех t е [0, 71] в случае четного s-1 I A* is/2^ft @ = (- 1Р~ 5 / (^. т) b~vk (х) sin VT^Tl C-т) dxdx = s—1 s—1 = (-1) 2 J Д 2 /(Jf, T) •»*(*) Sin КТО (/-T)d*dl)=O* @,
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V где t I s-1 t — t) dx ¦ \ dx I J A 2 f (x, x)-vk (x) dx 0 \Dt T((A * f(x, t)-vk(x Ш Так как А 2 f^L2(QT)i то в силу леммы 6 числовой ряд оо Т I s— 1 \2 A 2 f(x,t)vk (x) dx) dt сходится и ft=l О и Г/ s-1 2]^ И А 2 0 \D ft=0 0 \D Qt Следовательно, ряд ^ а| (t) равномерно на [О, Т] сходится и В случае, когда s—1 нечетно, s-2 A 2 /(jf, s-2 = (— I) 2 = (_ 1)Т~ J Д"/ (х, т) vk (х) d (cos КГЯЛ (t - т)) (- f, 0 yft (jf) dx- t s-2 A 2 /(jf, S-2 2 /,(Jf, t)vk(x)dx
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 319 где (о Г- А 2 f(Xt t)vk{x)dx s-2 A 2 / (jf, 0) yft (x) dx \ (\ i" (О Г < T \ (\ t^ft {x, t) vk {x) dx) dt. s —2 Функция A 2 / e H1 (QT), поэтому при всех / e [О, Т] s-2 А 2 f(x,i)e=Lt(Dt) и II s-2 II* || s-2 IIA 2 /(*,/)||i8(D,)<const 1Д 2 f(x, t)\]H'(QT)^ const Следовательно, ряд V | al2) (/) сходится равномерно на [0, 71] и Так как для любой функции G (x, t) e Я1 (QT) в силу абсолютной непрерывности интеграла г . . . при 1Г 1 — 1Г то функция ||А 2 /Hi, при всех t е [0, 71] непрерывна на [0, Т]. Следовательно, I; причем по теореме Дини ряд, стоящий в левой части этого равен- равенства (в силу леммы 2 члены этого ряда непрерывны на [0, 71]) сходится равномерно на [0, Т]. Отсюда вытекает, что ряд 00 S 12 о1,11 @1 сходится равномерно на [0, Т] и
320 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Далее, функция А 2 ft ^L2(QT), поэтому согласно лемме 6 0 (Х, t) Vk (X) dx\ dt = 4=10 \d, С \ffHs-l{Qr). Следовательно, ряд [0, Г] и S 12 сходится равномерно на отрезке &»>(/) Г Таким образом, ряд ^ а^ @ сходится равномерно на [0, Г] и его сумма Утверждение леммы 3 при р = 0 доказано. Аналогично оно доказывается и при р= 1. Согласно D9'), E0) при четных s— 1 I К Г*" т? = (- / (*. cos - т) Так как A2' 5 ( J о \ot оо оо то ряд ^ РИО> так же как и ряд 2] «*@> равномерно на [0, Т\ сходится и
S2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 321 В случае нечетного s — 1 s—1 , 0)vk(x)dx + x (x, т) vk (x) sin V\u\ (t-t)dx dx) = Так как Pi1' @ *31 @ S /, (jf, т) vk (x) dxX dx. оо 0 W I то ряды 21 Ш$) У)У (так же как и ряды 21 (а*° (О)*)» s = 2, 3, а следовательно, и ряд 2] Р* @ сходятся равномерно на [О, Т] и Ь Утверждение леммы 3 при р=1 доказано. Пусть теперь р 5= 2. Так как функция Uk (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению Щ — A,ftt/ft = /ft, то в случае чет- четного р, 2^p^s, а в случае нечетного р, 2<p«gs, * 7" ""¦"" ¦: • "т" Поэтому утверждение леммы 3 будет доказано для любого с если проверить, что для любого q, 0 <: q < s — 2, ряд оо У Я1~2~* \-др1 сходится равномерно на [О, Т] и имеет место
322 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V неравенство l в котором постоянная С>0 зависит только от QT. В силу лемм 2 и 5 в случае четного s — q для всех t е [О, Т] имеем , t) — .. jzr=1d4fk_ i=!f± Pd9f(x, t) ,„ I * ~W ' k' j—W—vk(.x Dt s-q-2 (-D 2 $A 2 Dt Так как A 2 ^^Hl{QT), то при любом / «= [О, Т] и функция (д^^^^ „епре- рывна на [О, Г]. Поэтому ряд ^ V* @ сходится равномерно на [О, Т\ и 1 @=IД^ I Пусть s —^ нечетное. Тогда для всех / е [О, TJ sg3 dq, Так как А 2 g^^-H%{QT) (или Hj?(QT)), то в силу леммы 5 при любом / е [О, Г] А 2 ^f e H\(Dt) (или Ях(^)), причем s~g~3a?/f функция А 2 ^1 в непрерывна -на [О, Т\. Поскольку при любом /е[0, Г] 2^(/)(|Яа| + 1)=1а!~^^Гя.гО^ то Ряд оо „ оо s S и, тем более, ряд 2 VI (О I ^* I сходятся
«21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 323 равномерно на [О, Т] и **!< A 2 hk- Лемма доказана. Как уже отмечалось, без условий на заданные функции типа E6) и E7) в случае первой смешанной задачи и E8) и E9) в слу- случае второй смешанной задачи теоремы 3 и 4 несправедливы. Однако если мы хотим установить гладкость обобщенных реше- решений, а не сходимость в соответствующем пространстве ряда Фурье, то условия E6), E7) и соответственно E8), E9) могут быть суще- существенно ослаблены. Остановимся, например, на случае первой смешанной задачи. Теорема 3'. Пусть при некотором s^l dD^Cs, феЯ5(й), феЯ1^), /е#*-х(Bт) и выполнены следующие условия согла- согласования: ф dD = • • • = и при =0 F4, = 0 F5) (считаем, что при s<0 ^ at = 0). Тогда обобщенное решение первой смешанной задачи D4)—D6) принадлежит HS(QT). При s = 1 условия согласования F4) и F5) в теореме 3' имеют вид ф \dD = 0, при s = 2 —вид <V\dD=ty\dD = 0, а при s = 3 — вид Так как / g№'' (Qt), to в силу замечания к лемме 5 ее след f\ot принадлежит Hs~2(D0). Следовательно, для s^3 при любом г = 0, ..., ~2~ существует принадлежащий L2(dD0) след , а для s ^ 4 при любом i = 0, ..,, у — 2 — след dD»
324 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Доказательство. При s=l утверждение теоремы оче- очевидно. При s = 2 оно вытекает из следствия 2 к теореме 3. Дока- Докажем его при s = 3; для s > 3 доказательство аналогично. Вместе с задачей D4)—D6) рассмотрим задачу »«-Д»«=Д, F6) »!,_о —*, F7) . F8) Условия теоремы гарантируют существование обобщенного реше- решения v(x, t) задачи F6)—F8). В силу следствия 2 к теореме 3 функция v {x, f) принадлежит Нг (QT) и является решением п. в. задачи F6)—F8). Покажем, что v — щ. Функция t w(x, t) = y(x) + \v(x, x)dx, о очевидно, принадлежит #Z(QT), и t Vw = Уф + $ Vu (x, т) dx, о wt=v. В силу того, что v является обобщенным решением задачи F6)—F8), функция w удовлетворяет интегральному тождеству \(VwtVr]-wttr]t)dxdt= $(/ + A«p)Tidr+ \ft4dxdt F9) Qt Da Qt для всех 1] е Н1 (QT), удовлетворяющих условиям Лк = 0, t)!iv = O. G0) Пусть г] е С2 (QT) и удовлетворяет условиям Л|ог = *1/Ьг-0, л1г, = 0. G1) Тогда ^ (VwtVx\ — wttv\t) dxdt = Qt = - \(VwVr]t-wtr]lt)dxdt- $ Qt A __ J (УшУ^ 5 Qt Do И 5 fa dx dt = — \ fr\tdxdt- ^ fr\ dx. От Qt D*
§ 3] ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 325 Подставляя эти равенства в F9), получим — wt\]tt) dx dt = \ Щ dx + $ fx\t dx dt. Qt Da QT Так как для любой функции ? (*. 0> принадлежащей С2 (QT) и удовлетворяющей условиям G0), найдется такая принадлежа- принадлежащая С2 (QT) и удовлетворяющая условиям G1) функция ц(х, t), что С = г1мт1(^> t) = — [ ? (х, i) dx), то функция w удовлетворяет \ t i интегральному тождеству \ (Va»VC - wtlt) dxdt=\№dx+\ftdxdt Qt Do Qt для всех ?(х, t), принадлежащих С2 (QT) и удовлетворяющих усло- условиям G0), а следовательно, и для всех удовлетворяющих уело ¦виям G0) ? из ^(Qt). В силу единственности обобщенного ре- решения задачи D4)—D6) w = u и, тем самым, u = ut. Таким образом, u^H2(QT) ut^H2(QT). Так как и является решением п. в. задачи D4)—D6), то при п. в. t <= [0, Т] функция и (х, t) является решением п. в. первой краевой задачи для урав- уравнения Пуассона Ди=/Ь x<=Dt, где fi = (f + utt)\Dt. Так как в силу следствия 2 из теоремы 3 м« \d{ = Vt Id, ^ H1 (Dt), то /i e H1 (D,) и согласно теореме 4 п. 3 § 2 гл. IV для п. в. /е=[0, Т] u^H3(Dt) и ||И ]«. (Dt) ^ Const || /х Ц«. (Dt) ^ COnst [ ||/ ||w, (D/) +1| И« ||Я' (D/)] < ^ const И/ Ц„, (Qr) +1|ij; ||я. (О) +1 Аф + f ||я. «о., + IIЛ ||я, (ад] ^ < COnst 0|/ [я. ((?,) +[1|» 1я> (D) +|| ф ||я- (D)]. Следовательно, u^H3(QT). Теорема доказана. § 3. Обобщенное решение задачи Кош и Рассмотрим в полосе Пг = {х <= /?„, 0 < / < Т1} при некотором Г>0 гиперболическое уравнение и« - div (k(x)V и) + a (x)u = f, A) где А;(лг) г С1 (/?„), й^еС (/?„), inf A; (jf) = k0 > 0, sup А; (лг) = = ki < oo; будем также считать, что а (#) ^ 0. Принадлежащая С2 (Пг) П С1 (UT \j {t = 0}) функция и(х, /) на- называется классическим решением задачи Коши для уравнения A)
326 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V в полосе Пг, если в Пг она удовлетворяет уравнению A), а при t = О — начальным условиям B) C) Обозначим для произвольного /?>0 через QTrR цилиндр х | </?, О < t < Г}, через 5Г, « — его боковую поверхность \x\ = R, 0</<Г}, а через ЬТ)д, те [О, Г],— множество лг | </?, / = т}; в частности, DOt R — нижнее, a DTt R — верхнее основания цилиндра QTi R. Пусть и(х, /) — классическое решение задачи Коши A)—C) в полосе Пт+6 при некотором б>0 с функцией f (x, t), принад- принадлежащей L2(QTrR) при любом /?>0. Умножим A) на произволь- произвольную функцию v(x, t), удовлетворяющую при некотором Ro = = Ro (v) > 0 следующему условию: v(x, Os//1^,/?.). v(x, /) = 0 в Пг\дг>Яо> D) и проинтегрируем полученное равенство по полосе Пг. С по- помощью формулы Остроградского получим J auv — utvt) их dt = Пг = \ fvdxdt + \ i|>(x)v(x, 0)dx E) Пг (в этом равенстве интегрирование на самом деле производится не по всей полосе Пг и плоскости {x^Rn, / = 0}, а лишь по ци- цилиндру Qr.Ro и его нижнему основанию D0tRo соответственно). Пусть / (х, /) е L2 (Qr, r). а гр (лг) е L2 (| лг | < /?) при любом #>0. Введем следующее определение. Функция и называется обобщенным решением задачи Коши A)—C) в полосе UT, если она принадлежит H1(Qt,r) при всех R > 0, удовлетворяет интегральному тождеству E) для всех у, удовлетворяющих условию D) при некотором Ro = Ro(v)>O, и удовлетворяет начальному условию B) (т. е. и (х, t) \Do R = q> (x) при любом /?>0). Наряду с понятиями классического и обобщенного решений задачи Коши A)—C) можно ввести понятие решения п. в. этой задачи. Функция и называется решением п. в. в Пг задачи Коши A)—C), если она принадлежит Н2 (Qt, r) при всех /?> 0, удовлет- удовлетворяет уравнению A) для п. в. (х, 1)еПг и удовлетворяет на- начальным условиям B) и C) (т. е. " |г>0 л = Ф> ut\DOiR = 4> при любом R > 0).
§ 3] ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 327 Выше было показано, чю классическое решение в Пг+в (при произвольном 6>0) задачи A)—C) с /, принадлежащей Ьг (QT, r) при любом /?>0, является обобщенным решением в Ит этой задачи. Аналогично доказывается, что и решение п. в. задачи A)—C) (в Пг) является обобщенным решением (в Пг) этой задачи. Так же как и в случае смешанных задач, легко показать (ср. с леммой 1, п. 1, § 2), что если обобщенное решение в Ит задачи A)—C) принадлежит //a(Qr,R) при любом /?> О, то оно является решением п. в., а если оно принадлежит С2 (Пг)ПС1 (Пт[) {/ = 0}), то является классическим решением. Перейдем теперь к доказательству теорем существования и единственности обобщенного решения задачи A)—C). Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Возьмем некоторое число 7>К^1 (&i= sup k(x)<co). Пусть ti — произвольное число, большее чем Т, а х° — произвольная точка из /?„. Обозначим через Ktuт(*°), где те (О, Т], лежащий в Пт усеченный конус {\х — х° <y(ti — /), 0</<т}, через Г<„т(х°) — его боковую поверхность, Ttuт(х°) = {\х — x°\ = y(t1 — t), 0</<т}, а через De.v(<i-e) (х°) — множество {|лг — х° \<y(ti— 6), / = 6}, О ==S 6 < т (тогда Do, y'i w) и dt, v d-x) (Jf°) — его нижнее и верхнее основания). Если х° — начало координат пространства Rn, то конус /С<„т(^°) = -/С<„ х@) будем обозначать через Ktt, т. а поверхность Г<„ т @) — через Г^, т. В этом случае DT, v (<1_T) @) = = DTi 7(<,-т) и, в частности, Do, v^ и DT,y(tt-T) — нижнее и верхнее основания конуса /0„ г- Лемма 1. Пусть при некоторых tt > Т и х° s /?„ функция и (х, t) <= Я1 (/С/,, г (JC0)), и Ьо ^ (ж», = 0 и вседг v, удовлетворяющих следующему условию: v<=H4Ktl.T (*?)), v = 0 в nT\Ktl,T ы = о в Ktlt Очевидно, справедливость леммы 1 достаточно установить при Возьмем произвольное т е @, Т] и рассмотрим в Ktu т функцию в(х) \ и(х, г) йг в Ktl,i, v(x, t) = 0 в Кк,т\К(иТ,
328 где ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V при (t = B(x), | х |< ytlt — уравнение поверхности Г,,. tUDt. v«i-t))- Функция у(*, t) принадлежит Я1^,, г), у ir<lT» = 0, v\DT'iV{lt-r) = = 0 для всех т' s [т, Т], и обобщенные производные функции у имеют вид '(*) , z)dz + u(x, -{ В Ktit т, В Ktu T \ Ktu т. -u(x, t) в О в G) (8) Проще всего в этом можно убедиться следующим образом. Так как и ^Нг(Ки, т)> то существует последовательность us, s=l, 2, ..., функций из С1 (Ktu т), сходящаяся к ы в Нх(К1и г). Рассмотрим последовательность принадлежащих С1 (Ktu т) функций t»i, v2, ..., 5 "»«(*' г)^г в ^<..« 0 В Ki,.T\Ktux, vm(x, t) = где t,m(t) равна 1 при *<тA — 1/т), равна 0 при t>%, О ^ ?,m (t) ^ I, ^(/JgC1)—оо, + оо), -g5 <;Com. При любом т'е[т, 7] ymlr<,irUDT',v«i-x') =0- Покажем, что последователь- последовательность ут, /п = 1, 2, ..., сходится в Hx(Ktu т) к у. Действительно, последовательность ут, /п=1, 2, ..., очевидно, сходится к у в LiiKti, г), последовательность Vym, m= 1, 2, ..., ?m @ 5 V"'« (^' 2) d2 + Sm @ «m (JT, 8 (x)) VG В Ktt, „ U В Л/. сходится в L2 (Kty, т) к вектор-функции Vy, заданной формулой G),
§ 3] ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ (т. е. (vm)x.->¦vx., i=l, ..., я, при m->-oo) и так как в (х) 5 329 и2т(х, при то последовательность «w 0 В Kt,,T\KtuT, сходится в L2 (/C<,, т) к функции у<, задаваемой формулой (8). Подставляя функцию v в тождество F), получим ем k(x)Vu(x, t) \ Vu(x, z)dzdxdt + k (x) и (х, 6 (х)) Vu (jf, /) - I a(x) vtv dxdt+ $ щи dxdt = O. (9) K<1, T Ktt, Т Так как у |г,„тиот, v(,,_T) = 0, то avvtdxdt=—j J0, ft, Так как и |d0 yti = 0, то аналогично имеем A0) ищ dxdt = -^ \ и2 (х, 6 (x)) dx, 11 В. П. Михайлов A1)
330 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Их) \ Поскольку $ k(x)Vu(x, t) \ Vu(x, z)dzdtdx = Ktu T t в (x) в (x) — \ k{x) \ Vu(x, t) \ Vu(x, z)dzdtdx = о t e (x) e (ж) 5 S х К V'i О в (Ж) - 5 * М S ix\<yt, 0 О > *) \ v" (Jf• 2) dzdtdx = О s (ж) о Ле- Лее (ж) () () - \ k (x) \ Vu (jf, г) ^ Vu (jf, /) согласно G) в (ж) Vu(jf, z)dzdtdx = в (ж) ~ 2 -2u(jf, в (ж) «w Vu(x, t)dt + u(x, — u2(x, J Л (jf) ы (jf, 6 (jf)) VGVu (jf, /) dr dt - 4. k(x)u*(x,Q(x))\W\*dx. [x\<ih в (ж) Поэтому 5 *(jf)V«(jf, t) \ Vu(x, z)dzdtdx + + \ k (x) и (х, 6 (x)) Vu k(x)u2(x, A2)
§ 3] ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 331 Подставляя соотношения A0)—A2) в (9), получим неравенство (ъ \ с* 1—I) \ и2(х, 6 (*)) d* ss 0, из которого вытекает, что § и2(х, x)dx = 0, откуда в силу произвольности те@, Т) °т, v (t, - т) получаем, что и = 0 в Ки.т- Лемма доказана. Из леммы 1 немедленно вытекает теорема единственности обобщенного решения задачи Коши A)—C), а следовательно, и единственность решения п. в. и классического решения. Теорема 1. Задача Коши A)—C) не может иметь более одного обобщенного решения, более одного решения п. в. и более одного классического решения. Пусть иг и ыа — обобщенные решения (и, в частности, реше- решения п. в.) задачи A)—C) (/ е La (QT, R) ty e La (| x | <R) для всех /?>0). Тогда их разность щ — ыа удовлетворяет условиям леммы 1 при любых ti>T и х" еRn. Поэтому и^ = и2. Если их и ыа — классические решения задачи A)—C), то их разность «! — ыа является классическим решением задачи A)—C) с равными нулю функциями /, ф и г|?; поэтому ut — u2 является обобщенным решением и, следовательно, их = иг. Теорема доказана. Пусть феН1 (|х|<R), г|з еLa (|х\ <R), f eij (QT, r) для любого /?>0. При каждом т, /п=1, 2, ..., возьмем бесконечно дифференцируемую в Пг функцию ?,т (х, t), равную 1 в К8тт, 7 и нулю в Пг\/С8(т+1/2) т, т, и обозначим через um(x, t) обоб- обобщенное решение в цилиндре QT, 8(m+i>rv следующей смешанной задачи: итн - div (k (x) V«m) + а (х) ит = fm (x, t), Um\sT, 8(m+l)rV = 0> где <9m(x) = V(x)Zm(x, 0), ^m(x) = ^(x)U(x, 0), fm(x, t) = = f(x, t)t,m{x, t). Это означает, что функция um принад- принадлежит Н1 (Qt, 8(m + urv)> удовлетворяет начальному условию "">1°0,8(т+1) Гу=0 И ПРИ ВСеХ V И3 Н1@Т.6Сп+1)Ту), ДЛЯ КОТО- рых y|Dri8(m + 1O-v = 0 и y|sr,8(m+1O-v = 0, удовлетворяет инте- интегральному тождеству ^ umv-umtvt)dxdt = + 5 4>m(*)»(*. 0)Лг, m = l, 2, ... 11*
332 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V Так как срт еЯ^Оо.в^+огу) (Ф ^H1(D0,8(m+\) т?) и равна нулю для 8 (т + 1/2) Ту < | * | < 8 (т + 1) Ту), то согласно теореме 1 предыдущего параграфа обобщенные решения ит существуют. Возьмем произвольную точку х° е Rn, для которой | х° | = = (8т+ 6) Ту. и подставим в тождество A4) произвольную функ- функцию v, удовлетворяющую следующему условию: = 0 в П (нетрудно проверить, что такая функция v принадлежит tfMQr.sfm+urv) и что ее следы на Dr,8(m+i)rv и ST, 8(m+i) rv равны нулю). В силу леммы 1 получаем, что ит = 0 в /Саг, г(*°)- Поскольку х° — произвольная точка я-мерной сферы {| х | = = (8т+ 6) Гу, ^ = 0}, то ит = 0 в цилиндрическом слое {(8m + 5O'v<|Jf|<(8mH-7O'v, 0<f<T}. Обозначим через йт(х, t) функцию, равную ит(х, t) в Qt, (8m+6)rv и нулю в Пг\ Qr, (8m + 6) rv. /" = 1, 2, ... Очевидно, функция йт, т=\, 2, ..., принадлежит пространству Н1 (Qr,r) и йт1о0,Л=Фт A5) при любом R > 0. Возьмем произвольную функцию у, удовлетворяющую усло- условию D) с некоторым Ro = Ro (v) > 0. Если Ro < (8m + 7) Ту, то функцию у можно подставить в A4). А так как ит(х, t) = um(x, t) в Qt,(8m+7)Ty, то имеем m + т т,,) dx dt = Пг = \ fmV dxdt+\ Mpm (X) V (X, 0) dX. A6) Пусть /?0>(8m + 7Ov. Поскольку um = um в Qr,(8m+7) И Ыт = 0 В Пт-\ф7\(8т + 5) 7v (B Qr, (8m + 7) Tv \ Qr, (8m + 5) Tv «m = Ыт = 0), ТО ^ (&Vum • Vy + aiimv — uMvt) dxdt = Qt, (8m+5) Ту Возьмем некоторую бесконечно дифференцируемую в Пт функ- функцию lm(x), равную 1 В Qrl(Sm + 5)Ty И НуЛЮ В UT\Qt, (8m + 7) Ту. Подставляя функцию о?т в A4), получим (ыт = 0 в Qt, (8m+7) Ty\Qr,(Bm + 5) Ту, fm = 0 В UT \Qt. (8т + 4) Ту, Ь tym = 0
ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 333 t, (8m + 5) Ту • V (vL) + aum (vL) - umt (vDt) dx dt = = \ fmvdxdt+^m(x)v(x, 0)dx. Таким образом, функция йт удовлетворяет интегральному тождеству A6) для всех у, для которых при некотором Ro = = Ro (у) > 0 выполнено условие D). Следовательно, функция йт является обобщенным решением в ПТ задачи Коши A)—C) с функ- функциями ф = фт, ty=tym> f = fm> 7П=1, 2, ... ПОСКОЛЬКУ фуНКЦИЯ йт' — %т (считаем, что т'>т) является обобщенным в Пг реше- решением задачи Коши A)—C) с функциями ф = фт- — фт = 0 при |x|<8m7Y, ^ = г|5т--г])т=О при |л:|<8тГ7 и f = fm,-fm = O в Квтт.т, то в силу леммы 1 ыт< — йт = 0 в Квтт, г. То есть при всех m'^m йт- = йт в К&тт, т, а следовательно и в QT, (8m-i)rv Это означает, что последовательность функций ult йа, ... сходится п, в. в UT к некоторой функции и, причем для любого /?>0 существует такое число N=N(R) (N (R) = I + Jj. vl), что в QriR u = um = um при всех m^N. Из A5) и A6) вытекает, что ы|<==0 = ф (при любом /?>0 для m^sN(R) фт = ф в Do, r и фт = ыт |d0 r = " 1d0 r) и ы удовлетворяет интегральному тождеству E) для всех у, для которых при некотором Ro = Ro (у) > >0 выполнено условие D), Следовательно, ы —обобщенное решение в Пт задачи Коши A)—C). Таким образом, установлена Теорема 2. Если ф(лг) е= Я1 (|*|<#), \|j (jc) e= La (| л: |< R) и f^LiiQr.R) при любом /?>0, то существует обобщенное решение в ПГ задачи Коши A)—C). Отметим, что доказано и следующее утверждение. Для любого /?>0 существует такое N=N(R), что обобщенное решение и задачи A)—C) в цилиндре QTi R совпадает с решениями ит смешанных задач A3) при всех m^sN. Рассмотрим теперь частный случай уравнения A) —волновое уравнение (&=1, а = 0 в A)) u(t-Au=f, A7) Пусть при некотором целом s>l ф е№ (|лг| </?), ty e «ееЯ*-1 (!*!<#)> /^^^(Qt.r) Для любого /?>0. Тогда по теореме 3 п. 4 предыдущего параграфа обобщенное решение
334 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V um(x, t) смешанной задачи A3) (при k=l, a = Q) принадлежит HS (Фт,8(т+1)ту) (фт = 1т (X, 0) ф (х)е- Н% (D0,8(m+1)TV), Ут = Ът (X, 0)\|5 (X) GE Я^ fm — tmf^H<t> (фт,8 Следовательно, обобщенное в Пт решение ы задачи Коши A7), B), C) принадлежит Hs (QTiR) при любом /?>0. Таким образом, доказана следующая ТеоремаЗ. Если при некотором целом s > 1 (ре Я5(|х | < #) > \р е Я5 (| л: |< R), f е Я5 (QTi/?) для любого /? > 0, то обобщен- обобщенное решение задачи Коши A7), B), C) принадлежит Hs(QTiR) при любом R>0. Так как принадлежащее пространству H2(QTtR) при любом /?>0 обобщенное решение задачи Коши является решением п. в. этой задачи, то из теоремы 3 (при s = 2) вытекает следующее утверждение. Теорема 4. Если <f>(=H*(\x\<R), у^^ H1(\x\<R), / <= е H1(QT д) для любого /?>0, то существует решение п. в. в ПГ задачи Коши A7), B), C). Отметим, что порядки гладкости начальных функций и пра- правой части уравнения, гарантирующие существование обобщенного решения задачи Коши или решения п. в., не зависят (теоремы 2,4) от размерности пространства. Пусть s= -гМ + 3. Тогда в силу теоремы 4 п. 4 предыду- предыдущего параграфа обобщенное решение ит (х, t) смешанной задачи A3) (при k=l, a = 0) является классическим решением этой за- задачи. Следовательно, обобщенное решение и(х, t) задачи A7), B), C) является классическим решением задачи A7), B), C). Таким образом, доказана Теорема 5. Если <р е m*) + 3(\x\<R), \ре=т^1 + 2(\x\<R), ("«1 + 2 /еЯ!-2-! (Qt,r) nPu любом R>0, то существует классическое решение задачи Коши A7), B), C). В качестве дополнения к теоремам 4 и 5 о существовании решения п. в. и классического решения задач Коши A7), B), C) докажем следующее утверждение. Теорема 6. Пусть и —решение п. в. задачи A7), B), C) в Пт или классическое решение этой задачи с f e La (Qt, r) при любом R > 0. Тогда при любом R > 0 и любом t, 0 < t < min (R, T), имеет место неравенство ?j/9. @ < Е}? @) + 2} '/1 /1,., (Дя> г>. A8)
§31 где ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ER(t)= 335 A9) Dt,R-t tX = {\x\<R-t, , tg[0, min(R, T)]. Возьмем произвольное те @, min(/?, T)) и проинтегрируем по усеченному конусу KR,% умноженное на ut равенство A7) \ dx dt = J futdxdt. , t , t Согласно формуле Остроградского получим D0,R где Fr,t — боковая поверхность конуса Kr.t, TRtT = {\x futdxdt, тор внешней нормали к TRtX, Поскольку на TRtT -век- с=\ uXin{ = TO ut\dxdt*zER(O) 2. B0) Так как 2\ab\ = 2 что для всех t е @, т) —, то из B0) вытекает, 1
336 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. V Интегрируя это неравенство по /е @, т), получим откуда $ (ы? +1 Vu |a) dx dt ^ 2xER @) + 4t* 1 / |H, (K R т) ^ ^BКт?]/2@) + 2т||/||,!№х))а. B1) Неравенство A8) вытекает из B0) и B1). Теорема доказана. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V Пусть и (х, t), x = (xlt хг) е /?2,— решение (классическое) задачи Коши A) «|<-о=ф, «<ко='Ф ¦ с финитными начальными функциями ф и г);: ф = г);=О при | л: |2 = х\ + дс| > Щ, 1. Показать, что функция и (х, t) аналитична в конусе {\x\<ct — R0, i>Ro) 2. Доказать, что существует такая положительная постоянная С, что при всех «е/?! и <^0 для решения и (х, t) задачи A) имеет место оценка При этом, если ф = 0 и if^O, $ф0, то существуют такие положительные постоянные Со и Т, что при всех t^T и |л:|гй<—Ro . .. Сп 3. Показать, что для любого /? > 0 существует такое 7" > 0, что для всех (х, 0е{ 1л:|^/?, /2зТ"} решение «(х, /) задачи A) представляется в виде суммы сходящегося ряда найти с0 и cv Доказать, что если для какого-нибудь круга /Со= {| х—х° | < г0} (д^ —неко- —некоторая точка из /?2, /¦(,—некоторое положительное число) и всех натуральных/ t'u (x, t) -> 0 равномерно по х е /Со, то и = 0. 4. Пусть ф<=С2(/?2), a tpeC1^), и пусть все вторые производные функции ф и все первые производные функции t|j принадлежат классу Са (/?г) (см. задачу 17 гл. III) при некотором а> 1/2. Доказать, что тогда существует классическое решение задачи Коши A),
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V 337 5. Пусть и (х, 0, * = (*ь *2> ^з) s R3, — решение (классическое) задачи Коши B) с финитными начальными функциями ф и г|5. Показать, что при всех х е R3 и t > О где С — некоторая положительная постоянная. 6. Пусть функция и (х, t), х = (хи *2, ^3)е/?3, принадлежит CfQXJ*0, /°}), где Q—некоторая область четырехмерного пространства Rit а (л:0, Р) — неко- некоторая точка области Q, и удовлетворяет в Q\{*°, /°} волновому уравнению B). Доказать, что и принадлежит С2 (Q) (т. е. се можно доопределить в точке (*°, t°) таким образом, чтобы она стала дважды непрерывно дифференцируе- дифференцируемой в Q). 7. Пусть функция и (х, t) = v(x — nt), х = (хъ хг, х3), л = (л1( пъ п3) — постоянный вектор, принадлежит C3(i?4\i), где L—прямая, заданная уравне- уравнением х— л/ = 0, и удовлетворяет вне L волновому уравнению B). Доказать, что если и (х, Q = o (]/г), где /¦ — расстояние от точки (х, f) до прямой L, то и (х, 0 е С2 (Rt) (т. е. ее можно доопределить на L так, что она станет дважды непрерывно дифференцируемой в R4). 8. Пусть и (х, t)—классическое или обобщенное решение в {t > 0} задачи Коши для волнового уравнения , 0. C) D) и пусть uR (x, 0 —классическое или соответственно обобщенное решение второй смешанной задачи для волнового уравнения в цилиндре {|дс| </? + ], t>0}, R>0, *•*' =0, причем при \x\<R <pR = <p, tyR = ty и при |де[</?, t<R fR = f- Показать, что в любом цилиндре QT = {x^ DB, 0<<<7"}, где Do —произвольная л-мер- ная область, а 7'—произвольное положительное число, разность ы —«^ = 0 при достаточно большом R. 9. Решение первой смешанной задачи для волнового уравнения в цилиндре Qj,= {jceD0, 0<<<7"} можно определить следующим образом: функция и (х, t) называется классическим решением первой смешанной задачи для волнового уравнения C), если она принадлежит С2 (QT) Л С1 (QT (J Do) П С (QT [} (JIVUDo), удовлетворяет в QT уравнению C), на Do—начальным условиям D) и на Тт — граничному условию гг = Х- E) Доказать единственность такого решения. 10. Доказать существование и единственность в цилиндре QT = {x^Da, 0 < t <Т) обобщенного решения третьей смешанной задачи (см. п. 1 § 2) для
338 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. V волнового уравнения uft — Au = f(x, t), {?+•<•>¦!-* (фЕ Я1 (Do), г|г <= L2 (Do), /eij (QT)) в случае произвольной непрерывной на див функции а (х) (без предположения о ее неотрицательности). 11. Принадлежащая пространству Я1 (QT) функция и(х, t) называется обобщенным решением задачи «й=Ан. (*. OeQT, ди , , „ + oM «]^=фМ, «<|<-о=Ч>М. где а (х) (= С (д?>0), а (х) 2= О, ipe Я1 (D), fei, (D), если она удовлетворяет начальному условию и|/_0 = Ф и интегральному тождеству j (u(v(—4uVv)dxdt= j auv(dSdt+ ^ tyvdx+ ^ ayvdS Qt Гг Do 5Do при всех v из С1 (Qr), для которых vt^C^iQr) и t> /-T = 0. Доказать существование и единственность обобщенного решения этой задачи. Дополнительная литература к главе V B. С. Владимиров, Уравнения математической физики, «Наука», 1971. Ф. Ион, Плоские волны и сферические средние в применении к диффе- дифференциальным уравнениям с частными производными, ИЛ, 1958. Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, т. 1, 2, Гостехиздат, 1951. О. А. Л а д ы жен ск а я, Краевые задачи математической физики, «Наука», 1973. О. А. Ладыженская, Смешанная задача для гиперболического урав- уравнения, Гостехиздат, 1953. И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. И. Г. П е т р о в с к и й, On the diffusion of waves and lacunas for hyper- hyperbolic equations, Матем. сб. 17 A945), 289—370. C. Л. Соболев, Уравнения математической физики, Физматгнз, 1954. С. Л. Со болев, Некоторые применения функционального анализа в мате- математической физике, Изд. ЛГУ, 1950. В. А. Стек лов, Об асимптотическом поведении решений линейных диф- дифференциальных уравнений, Изд. Харьковского унта, 1956. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
Глава VI ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В этой главе мы будем изучать задачу Коши и смешанные задачи для параболического уравнения вида ut-div(k(x)Vu(x, t)) + a (x)u(x, 9 =•/(*. t). Здесь (*, /) = (Xi, ..., хп, t) — точка (п-\- 1)-мерного пространства Rn+1,x<=Rn, t^Ru v»(* 9 = (|[-, .--.sl) и div (Wl (x, 0, ... ..., wn(x, t)) = ~x + ... + a^; при этом под Ay(x, t) будем пони- понимать div Vy (x, t) = ;Д + ... -f 4-7. Данные задач будем считать 0Х1 охп вещественнозначными функциями и будем рассматривать только вещественнозначные решения этих задач. В связи с этим исполь- используемые в дальнейшем функциональные пространства Ср-?, Нр-9, ... будем считать вещественными *). § 1. Свойства решений уравнения теплопроводности. Задача Коши для уравнения теплопроводности 1. Свойства решений уравнения теплопроводности. Рассмотрим простейшее параболическое уравнение —уравнение теплопровод- теплопроводности Xu = ut-\u = f(x, t). A) Прежде всего построим в полупространстве {/>0} = {леRn, />0} некоторые специальные решения однородного уравнения теплопроводности Рассмотрим сначала случай одного пространственного пере- переменного, п = 1. Зависящая только от x2/t функция и (х, t) = w (x2lt), являющаяся в {/>0} решением уравнения ut — uxx = 0, удовлет- удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению *) Определения пространств Ср<ц и Hp'q даны соответственно в п. 1 у п. 2 § 7 гл. III.
340 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI Общее решение этого уравнения на полуоси @, оо) задается z формулой Ci § e~ S/4?-1/2d? + c2, где сх и сг — произвольные по- о x'/t стоянные. Тогда функция с^е-'У* ?-1/2d? + c2 является реше- о нием уравнения A0) (при и= 1) в областях {*>Q, />0} и {*<0, *>0}. Положим с2 = 0, а сх = —т= при *>0 ис,= т= при *<0. 4ул 4 у к Полученная функция, как нетрудно проверить, бесконечно диф- дифференцируема в полуплоскости {л G /?i, />0} и, следовательно, удовлетворяет в этой полуплоскости уравнению A0). Тогда этому уравнению будет удовлетворять и любая производная (по х или по /) этой функции, в частности, первая производная по х — 1 -Х1 функция U(x, t) = -^y=e «. Пусть теперь и>1. Для того чтобы построить в этом случае нужные нам решения уравнения A0), заметим, что если функции Vi(x, t), / = 1, ..., п, являются решениями уравнения A0) при п=\ в полуплоскости {хе/?!, />0}, то функция v (x, f) = = v1(x1, t) v2(x2, t)...vn(xn, t) является решением уравнения A0) в полупространстве {x^Rn, />0}. Поэтому, в частности, реше- решением уравнения A0) в полупространстве {/>0} является функция я —-г-. Пе е . ,27й = B7^г- Отсюда следует, что если (*°, 1°) — произвольная точка из Rn+i, то функция I*-*0!' ярляетоя решением уравнения A0) в полупространстве {/>/°} = = {хейл, />/0}. Эта функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности (с особенностью в точке (*°, П). Отметим следующие свойства фундаментального решения. Если функцию U(x — x°, t — l°) продолжить нулем в полупро- полупространство {/</°( = {хе/?л, t<il0}, то полученная функция будет бесконечно дифференцируемой в Rn+i\{x°, t0}.
1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 341 Для всех *°€=ЯЯ B) Функция U (х — х°, t — t°) как функция переменных (х°, t°) = (х\, ..., х°п, t°) является решением уравнения в полупространстве {/°</} = {х°ей„, t°<t}. Рассмотрим (ограниченную характеристиками уравнения A)) полосу {0</<Г} = {*е#„, 0</<Г}. Как и в случае урав- уравнения Лапласа и волнового уравнения, используя построенные специальные решения (фундаментальное решение), установим пред- представление в этой полосе произвольной функции и (х, t), принад- принадлежащей С2-1 @ < / < Т) П С @ ==? / < Т), через функции Хи = щ — — Ам и и (х, 0) — значение функции и (х, t) на плоскости {/ = 0} = = {x^Rn, / = 0}. При этом будем предполагать, что функции и(х, t) и 5ви{х, I) ограничены в {0</<Г}. Возьмем бесконечно дифференцируемые в Rn функции t,N (x) = — Z,n(\x\), N=\, 2, ..., удовлетворяющие следующим условиям: sl при \x\<N, ?N(x) = 0 при \x\>N+l и |?дг(дг)ХС0, | =^ Со, | А^дг | ^ Со, где постоянная Со не зависит от N. Пусть (|, т) — произвольная точка полосы {0<Ct<СТ}. Так как функции t,N (х) и (х, t), N=\, 2, ..., и ?/(! — х, т — /) при- принадлежат С2-1 @</<т), то в силу A*) и соотношения X (и (х, t) tN (x)) = 1„Хи - 2Vbv • Vu - иД?дг для всех (х, t) е {0 < / < т} имеет место равенство ?/ (I - х, х -1) (in (х) Хи (х, t) - 2V&V (х) ¦ Vu (x, t)-u (x, t) Д?дг (х)) = = U(l-x, x-t)X(u(x, t)^N(x))-u(x, OCwWx X «S?J. < (t/ (I ~ x, т - 0) = MNU)t + Проинтегрируем его по цилиндру {|дг|<Л^+1, 8<<<т —е} при некотором е е @, т/2). С помощью формулы Остроградского
342 . ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI получим г—е $ dt \ lN(x)%u(x, t)-U(\-x, x-t)dx = е \x\<N+\ = $ "(*• r-e)t,N(x)UA,-x, e)dx- \x\<N+l - $ u(x, e)?N(x)U(%-x, x-e)dx + \x\<N+\ + Xdt \ u(x, t)-^N(x)U(\~x, x-t)dx + e N<\x\<N+l + 2 ] dt $ Vu(x, t)-ViN(x).U(\-x, x-t)dx = e N<\x\<N+\ = ^ u(x, x-e)t,N(x)U(l-x, e)dx- u(x> e) In (x) U A-х, x-z)dx~ -X M \ u(x,t)MN(x)-U(\-x,x-t)dx- -2TX dt \ " (x, *) 4n(x) ¦ V,?/ A-х, x-1) dx = e JV<|jc|<// + 1 \x\<N+\ X е,л/- C) Перейдем в равенстве C) к пределу сначала при N -+оо, а затем при е->- + 0. Так как для всех Л/ = 1, 2, ... и всех (х, /)^{°<*<т} | ?jv (х) Хи (х, t) | ==? Со • sup I Хи | («5?ы ограничена в {0 < / < Т\), [0<t<T) то в силу B) для всех / s @, т) [ \lN{x)Xu{x, t)-U{\-x, x-t)\dx^C0 sup \Xu(x, t)\. Rn {0<t<T} Rn Следовательно, на основании теоремы Лебега имеем т—е lim lim [ dt $ tN(x)Xu{x, t)-U{\-x, x-t)dx = e-OW-co ? \x\<N + \ = \dt\Xu(x,t)-U(l~x,x-t)dx. D) n n 0 «„ Так как для всех Л^=1, 2, ... и всех (х, /)^{0</<т} (х) и (х, t) | < Со • sup \и (х, t) | (и ограничена в {0 < / < Т\), {0<«Т}
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 343 то для всех / е @, т) \ \?,n(x)u(x, t)-U(Z — x,x — t)\dxs^C0 sup I и (x, t)\, R [0<t<T] П откуда lim ^ ?лг (*)"(*. т — е) ?/(? — *, e)dx = = J ы(дг, x — e)U{\ — x, e)dx и lim ^ ?лг (л-) ы (дг, е) t/ A — лг, x — t)dx = N^<x>\x\<.N+l = \ u(x, г) U A-х, x — e) dx. Но функция u(x, f) непрерывна и ограничена в поэтому lim lim /1.e.Ar = lim \ u(x, x — e-*0N-KX> ' e->0 % = -^Пт \ и (Jl) ' e->0 W "A. T)^72$e-'dr,=u(g,'T) E) lim lim /a.e.jv= ^ "(л:, 0)U?-x, x)dx. F) Так как для всех N = l, 2,... и всех (х1, /)е{ |м(л:, /) А?лг (л1) | < Со sup \и(х, /) |, то для всех /е@, т) sup {0<t<T) Следовательно, lim lim |/8,е,лг e->0 W->oo <lim lim \ dt \ \u(x, t) A?N (x) ¦ U (? - x, x-t)\dx^ ?_ОЛГ — со е N<\xKN+] x—e <Colim \ dt lim \ \u(x, t)\U{l~x, x-t)dx = Q. G) 0 Л' e
344 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. УГ Рассмотрим, наконец, слагаемое I4,s.n в C). Так как для всех (х, /)^{0</<т} и всех ЛГ=1, 2,... |v?at•«!«?„ sup \и(х, t)\> {0<t<T} то для всех / е @, т) и (хУ t) V?# (х) ¦ ЧXU (| — х, x — t)\dxs^C0 \ \u(xy где Ci —не зависящая от Af постоянная. Поэтому lim lim /4,e,./v = 0. (8) e->0 N-*<x> Из соотношений C)—(8) вытекает нужное представление функ- функции и. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Если функция и(х, t) принадлежит С2-1 @</<Т) ПС@==? ^/<Г), ограничена в {0</<Г} ы функция Хи ограничена в {0</<Г}, то для любой точки (х, t) из {0</<Г} имеет место равенство и(х, 0= \ "A, 0)?/(лг — g. j S? (9) Используя представление (9), установим некоторые свойства решений уравнения теплопроводности. Теорема 1. Если функция и (х, t) принадлежит С2-' (Q) и ¦%u = ut — Au = 0 в Q, где Q —некоторая область (п+1)-мерного пространства Rn+J, то и(х, /)eC°°(Q), и при любом t° функция и(х, t°) (как функция переменных хъ ..., хп) аналитична в СП {< = <"}. Пусть (^°, /°) — произвольная точка из Q. Будем считать, что /°>0 (этого всегда можно добиться с помощью переноса начала координат). Возьмем такое 6 = б (*°, /°)>0, что цилиндр Qx« p 2б = = {|л:-л:0|<2б> \t-t°\<28\ mQ(]{t>0}, и пусть ? (x, i)- бес- бесконечно дифференцируемая в Rn+1 функция, равная 1 b^,(.,j = = {\х — х° <б, \t — /°|<б} и равная нулю вне Qx°,t<>,26- Тогда
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 345 функция п(х, I), равная и(х, t)t,(x, t) в Qx\t«,26 и равная нулю вне Qxo, ,., 26, принадлежит С2-' @ < / < Т) П С @ < / ^ Т) при Т > >/0 + 2б, ограничена в {0</<Г}, совпадает с функцией м(*, /) в Qx«,f,6 и й(л;, 0) = 0; кроме того, функция ?(й(х, /)) ограни- ограничена в {0</<Г} и .#(#) = О при (л1, t)^Qxoftof6 и при (л1, /) ^ е{0</<Г} \Q*o(/oj26. В силу (9) для всех точек (х, ty^Qxoj*^ имеем и(х, t) = \dx\ U(x-b t- 0 «п ¦ U~61* t'-{ где«(|, t)-^=jjJ?(O(|, t». Из этого представления немедленно вытекает, что и (х, t) e е Сго (Q^o, <о. б). Таким образом, первое утверждение теоремы (точка (х°, /°) — произвольная точка области Q) доказано. Покажем теперь, что функция т\ |JC~?I' ё' ;е 4«°-t> где область D = {|x°-l|<26, /°-26<т</0} \{Ц-х° |-<б, t° — б^т</0}, аналитична в некоторой окрестности точки *°. Для этого рассмотрим в (Зи + 1)-мерном (вещественном) пространстве RSn+1 переменных х, у, 1, т (* = (*i, ..., хл), у—{уи •••» Ул)» 1 = = (li In)) область D1 = {|a^-^|<6/4, |г/|<6/4, A, i)eD) и заданную в ней комплекснозначную функцию
346 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. VI Заметим, что при г/ = 0 функция G совпадает (для \х — х°\<с8/4 (|, t)eD) с подынтегральной функцией в A0). Функция G и ее производные GXk и Gyk, k—\, .... п, очевидно, принадлежат €(Di\{x = t0}) (здесь {т = /°) = {ле^, У^-Rn, |е/?„, т = /0}). Рассмотрим функции G, GXk, GUk, k=l п, в подобласти D[ = {| х-х°|<6/4, |г/|<6/4, 6<| 1-*°! <26, /°-6<т</0} области Dl Так как в D; \% — x\ = |1-*° + *°-*1=?2 .-Ц-л^-Н^-х^Эб/^ |5_х|^|5_дв|_|дв_х|^.зв/4 и 'г/|<6/4, то для всех точек (х, у, |, т) из D\ °—т)л _1 „ — 1, ... , П, где go= (I. ) Следовательно, функции G, С*й, G^, *=1, 2, ..., п, принад- принадлежат С(Щ (G(x, у, 1, t°) = GXk(x, у, 1, t°) = GUk(x, у, 1, /°) =0, &=1 и) и, тем самым, принадлежат С{й^)У Кроме того, так как функция G аналитична по каждому из переменных xt-\-iyi, ..., xn-{-iyn (при любом т</°), то при каж- каждом k, k=l, ..., п, она удовлетворяет в Dt условию Коши — Римана (Re G)Xk = (Im G)Uk, (Re G)yk = - (Im G)v Таким образом, комплекснозначная функция F(x, y) = d\dx непрерывно дифференцируема в области V = {| х — х° | < 6/4, | у | < < 6/4} пространства R2n, причем для всех (х, у) е V и при любом /с, гь = 1 , . . . j fly (ReF)Xb = (Im F)y., (Re F),. = — (lmF)Xh. к к it It Поэтому для любой точки (х1, у1) из области V функция F(x\, ... ..., 4-ь xk, 4+i, •••. х„, у\, .... г/i-i, Укь yk+i, ¦¦-, Уп) двух
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 347 (вещественных) переменных xk и yk является аналитической функ- функцией комплексного переменного xk-{-iyk в точке xk + iyL k=\, ... ..., п. Легко показать*), что тогда функция F(x, у) является аналитической функцией п комплексных переменных Xi-\-itfi, ... .-.., xn-\-iyn в области V. А так как при \х — *°|<6 функция F (х, 0) совпадает с исследуемой функцией и (х, t°), то утвержде- утверждение теоремы доказано. Замечание. Удовлетворяющая в некоторой области Q про- пространства Rn+1 однородному уравнению теплопроводности функ- функция и (х, t) не обязана быть аналитической по /. Например, функция и(х, t), равная t-"i2e 4< при |*|>1, / > 0 и нулю при | х | > 1, / sg 0, удовлетворяет в {| х ! > 1, — оо < </<оо} уравнению A0), но не является аналитической по / (конечно, она принадлежит С°°(|*|>1, —оо</<оо)). 2. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Принадле- Принадлежащая пространству С2-1 @ < / < Т) П С @ ==? t < Т) функция и (х, t) называется решением (классическим решением) задачи Коши для уравнения A), если в {0<Ct<T} она удовлетворяет уравнению A), а при / = 0 — начальному условию и|/-о = ф(*). (И) где f(x, t) и ф (х) — заданные функции. Прежде всего докажем следующую теорему единственности. Теорема 2. Задача Коши A), A1) не может иметь более одного ограниченного в {0</<Г} классического решения. Предположим, что «i(*, /) и и2(х, t) — два ограниченных в {0</<Г} классических решения задачи A), A1). Тогда функ- функция « = «! — ы2 является ограниченным в {0</<;Г} решением однородного уравнения теплопроводности A0), удовлетворяющим однородному начальному условию и|/-о = О. (По) Следовательно, для функции и в полосе {0 < / < Т) справедливо полученное в предыдущем пункте представление (9), из которого немедленно вытекает, что ы==0 в {0</<Г}. Теорема доказана. Обозначим через Ма = Ма(Т), сгйгО, множество всех задан- заданных в {0^/<Г} функций и(х, t), для каждой из которых суще- существуют такие положительные постоянные А и а (зависящие от этой функции), что и(х, /)|<Лея1*1°, для всех (х, t)<={O^t<T}. *) См., например, В. С. Владимиров, Методы геории функций многих комплексных переменных, «Наука», 1964, стр. 42, или Б. В. Ш а б а т, Введе- Введение в комплексной анализ, «Наука», 1969, стр. 273
348 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI Ясно, что множество Ма при любом <тэ=0 является линейным пространством, причем Ма с Ма- при а^а'; Мо есть множество всех ограниченных в {0^/<Г} функций, а М2 — множество всех функций, для каждой из которых существуют такие поло- положительные постоянные А и а, что u(x, t)\*u AePW для всех (х, /) «= {O^t<T}. A2) В теореме 2 установлена единственность решения задачи Коши A), A1) в множестве ограниченных функций Мо. На самом деле, единственность решения имеет место и в М2 и, тем самым, в лю- любом Ма, 0sS<Tsg;2. А именно, имеет место следующее, обобща- обобщающее теорему 2, утверждение. Теорема 2'. Задача Коши A), A1) не может иметь более одного решения, принадлежащего М% *). Для доказательства теоремы 2 нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма 1. Пусть при некотором Г>0 в полосе {О</<Т} функция и(х, t) является решением задачи A0), (По) и удовлетво- удовлетворяет неравенству A2) с некоторыми постоянными а>0 и /1>0, Тогда ы = 0 в полосе {0</<7\}, где 7\ = min{7\ l/5a}. Возьмем произвольное е > 0 и рассмотрим в {0 < / < 7\} две функции w±(x, t) = ±u(x, Эти функции, очевидно, принадлежат С2Л @</<Г1)ПС@</<Г1). Так как и |<_0 = 0, то для всех х е Rn 1*1' w± (x, 0) = e77n/Vr< > 0. A3) Таккак#ы = 0в {0<t<T1},mлля всех точек (х, /)е{0</<7\} \х\г X(w±) = ±Х(и) + гХ(t + (Тх-/)-«/V(?".-0) = е>0. A4) Пусть (х°, /°) — произвольная точка полосы {0</<7\}. Возь- Возьмем столь большое число /?>0, чтобы точка (Xй, t°) принадле- принадлежала цилиндру {\x\<.R, 0</<Гх} и чтобы функции w+ (х, t) на боковой поверхности {\x\ = R, 0</<Г1} этого цилиндра были положительными w±(x, 0ll*l=R>0, 0«<Г1 A5) (последнего всегда можно добиться, поскольку w±\\x\=r = *) Можно показать (см. А. Н.Тихонов, Theoremes d'unicite pour l'equ- ation de la chaleur, Матем. сб. 42 A935), 199—216), что при любом а>2 в множестве Ма решение задачи A), A1) неединственно.
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 349 = ± и |!л:|=л + е п_ 5а е 4 + () + оо при #->оо). Докажем теперь, что если некоторая функция w(x, t) принад- принадлежит C^({\x\<R, 0<t<T1})(]C({\x\^R, 0</<7\}) и удовлетворяет условиям и то w(x, /)^0 w(x, {"Z для 0)=э=0 >0 всех в э= 0 С*. при для х </?, R, 0<t<T1} 0</<Гь |дг|</?, 0</<Г! A3') A4') A5') \. A6') Предположим, напротив, что в {\x\<.R, 0</<Г!} суще- существует такая точка (хг, /'), что w(x', /')<0. Обозначим тогда через {х", t") точку из {|jc|</?, 0</</'}, в которой функция tiy(jf, /) (w(x, t) eC({|x| =</?, 0^/=</'})) достигает минимума, т. е. аф", /")= min В силу A3') и A5') (*", t") e {|x|<R, 0<t^t'}. Если (х", Г) ..., n, откуда ?w(x", Г)^0, что противоречит A4'). Если (х", t")^{\x\<R, t = t'}, то *^ ^^ г= 1, ..., n, откуда Xw(x", Г)^0, что снова противоречит A4'). Таким образом, неравенство A6') доказано. Так как функции w±(x, t) в силу A3) —A5) удовлетворяют условиям A3') — A5'), то для всех (х, /) е={|х| <#, 0</<7\} имеют место неравенства w+ (x, t) ^ 0, откуда w± (x°, t°) ^ 0, т. е. В силу произвольности б>0 и точки (х°, t°) из этого неравен- неравенства вытекает, что и (х, /)=0 в {0</<Г1}. Лемма доказана. Докажем теперь теорему 2. Пусть их{х, t) и иг(х, f) — два решения в {0</<Г} задачи A), A1), принадлежащих М2. Тогда их разность и = и1 — и2 является в {0</<Г} решением задачи A0), A10) и удовлетворяет для всех (х, /)е{0^/<Т'} неравенству A2) с некоторыми постоянными Л>0 и а>0.
350 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI В силу леммы 1 и(х, /) = 0 в {0</<Г1}) где Т1 = т\п(т, Если Тг = Т, то утверждение теоремы доказано. Пусть Тх = g^ < Т. То-да в силу непрерывности функции и (х, t) в {0</<Г} и j_=0. Поэтому функция v(x, t) = u(x, t + ^ является в полосе |0</<7' —^} решением задачи A0), A10) и удовлетворяет в этой полосе неравенству A2). Согласно лемме 1 v(x, /) = 0 в {0</<7\,}, где r2=min{r-l, ^}, откуда сле- следует, что и(х, /) = 0 в |0</<Г2 + д^|. Если Т2 + ^<Т (тогда Т% = ~), то, повторяя это рассуждение, получим, что и (х, 0 = 0 в |о</<2-f~ + 7's}, где Т3 = minfT — g-, ?-), и так далее. Через конечное число шагов получим, что и — О в {0<?<7}. Теорема доказана. Перейдем теперь к доказательству теоремы существования решения задачи Коши A), A1). Из предыдущего пункта вытекает, что если ограниченное в {0</<71} решение задачи A), A1) с ограниченной в {0</<71} функцией f(x, t) существует, то оно имеет вид и(х, t)=\U(x-t, t)q(l)dl+\\U(x-l,t-x)f(l,x)dldx.(\7) Rn ° Rn Поэтому доказательство существования решения естественно сво- сводится к нахождению таких условий на функции ф и /, при кото- которых функция и(х, 0> задаваемая формулой A7), является клас- классическим решением задачи A), A1). Обозначим через В (/?„) и В @ < / < Т) банаховы пространства непрерывных и ограниченных в Rn или соответственно в полосе {0</<Г} функций с нормой |ф|]в(«я)= sup |<p(x)| и Ц/||в(о«<г) = = sup \f(x, /)|. (х, fle{0<«r) Теорема 3. Если ф (х) принадлежит В (/?„), а функции f(x, f) и fx.(x, t), i = l, .... п, принадлежат В@</<Г), то существует принадлежащее В @ < / <; Т) классическое решение и(х, t) задачи A), A1) и оно задается формулой A7); при этом Теорема 3 немедленно вытекает из следующих двух вспомога- вспомогательных утверждений.
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 351 Лемма 2. Если феВ(/?„), то функция Ul(x, /)=$ U(x-t, t)q(l)dl A9) является классическим решением задачи Коши A0), A1) в полу- полупространстве {/>0}; при этом для всех x^Rn, />0 имеют место неравенства inf (p(x)<Ui(x, /)«S sup (f>(x). B0) Лемма 3. Если f и fx., i= 1, ..., п, принадлежат 5@</<Г), то функция М*. t) = \dx \ U(x-t, t-x)f&, T)dg, (x, /)е{0</<Г}, B1) 0 «я «я принадлежит В @ < / < T) и является классическим решением задачи Коши A), A10) в полосе {0</<Г}; при этом ||ы2||в(о<<<г) ^ 71||/||в@<<<г). B2) Доказательство леммы 2. Для доказательства леммы 2 достаточно установить следующие свойства функции ux (x, t): а) «х е С2-1 (/ > 0) и ^«j = 0 в {/ > 0}, б) для функции «! имеют место неравенства B0), в) функция ых принадлежит пространству С(/^0) и удовле- удовлетворяет начальному условию A1). Возьмем произвольные числа б и Т1г 0<б<7\. Так как для всех x^Rn, l^Rn, /е[б, Л] при любых a=(alt ..., а„), а,-^0, i=l, ..., и, и р^0 где Сар = Сар (б) — некоторые положительные постоянные, то функ- функция их(х, 0еС°°(б</<ГО, причем t)= Так как в полосе {6 < / < Т^ функция U (х — |, /) удовлетво- удовлетворяет (по (х, /)) уравнению A0), то в этой полосе уравнению A0) удовлетворяет и функция ых (х, /). Следовательно, в силу произ- произвольности чисел б > 0 и 7\ > б функция щ (х, t) обладает свой- свойством а).
352 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI Поскольку функция U неотрицательна, то согласно B) при всех х е Rn и / > 0 имеем неравенства их(х, /)< \ U(x-t, t)(sup 9(?)\dE= sup Rn inf 9F)\dg= inf <р(дг). Таким образом, установлено свойство б). Перейдем к доказательству свойства в). Возьмем произвольную точку х°е/?„и покажем, что lim ux (х, f) = ф(х°). В силу B) («(»0) для любых (х, /)е{/>0} и при любом 6>0 имеем Ul(x, /)-ф(дг°)= ^ U(x-l = J U(x-t, 1Е-*°1<в + ^ ^(*-?. 0(фA)-ф(^0))^=/1,в+/г,в. B3) Так как функция ф непрерывна в точке х°, то по любому е>0 найдется такое б > 0 (его мы и возьмем в равенстве B3)), что jф(|)_ф(х«) | <8/2, как только || — х°\ <6. Поэтому (x-t, /)d|=e/2. B4) Пусть \х — д^|<6/2; тогда при \\ — д^|>6 имеем \х —1| = |o + °?||o?||°|6-6/2 = 6/2. Поэтому 4, 2«ф11в/Л ) -? B Vnt)n 8' dg- const e 32'^e/2, B5) если только / е @, б0) при достаточно малом б0. Таким образом, из B3) — B5) получаем, что для всех точек (х, t) полупростран- полупространства {/>0}, для которых |x-x°|2 + /2<minFg, 62/4), [и^х, /) — — ф (х°) | < е. Лемма 2 доказана.
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 353 Доказательство леммы 3. Представим функцию и2(х, t) (см. B1)) в виде t и2 (х, f) = -?ra\dt\er№f{x + 2\ VT^t, х) сЩ, B6) (х, /)е={0</<Г}. Для доказательства леммы достаточно проверить, что а) и2(х, 0sC@«<r), и2(х, 0) = 0, б) имеет место неравенство B2), в) и2(х, /)еС2''@</<Г) и Xu2 = f в {0</<Г}. Так как функция f(x, t) ограничена в {0</<Г}, то \e-^'f(x + 2lVt — т, т)|^;е-1512||/||В@</<Г) и, следовательно (/ непрерывна), функция g(x, U т) = -±Д е- непрерывна и ограничена на множестве {х е Rn, 0 < t < Т, 0<т</} и g(x, t, t)=f(x, t), \g(x, t, т)|<|/Цв(о«<л- По- Поэтому функция u2 (x, t) = ^g (x, t, t) dx принадлежит С @ «g / < Г), о ы3],_0 = 0 и Ц«21в(о<'/<г)^71||/|в(о</<г). Свойства а) и б) дока- доказаны. Поскольку функция f(x, f) имеет в {0</<Г} непрерывные производные fX{(x, t), i= I,..., п, и |/| + | V/|^const в {0</<Г}, то функция g(x, t, т) имеет непрерывные производные^.^, /, т), t=l, ..., п, на множестве {хе/?„, 0</<Г, 0<т^/}. Следо- Следовательно, функция и2(х, t) имеет непрерывные на {0^/<7] производные U2X,(x, t), i=\, ..., п, причем t =~х, x)dx, i=l, .... n. B7) Так как при любом / = 1, ..., п
354 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI то функции J e-^%jf(x-\-2\Vt — т, %)d\ имеют первые произ- водные по всем xlt .... хп, непрерывные и ограниченные на мно- множестве jjre^, 0</<7\ 0<т=^}. Из B7) тогда вытекает, что функция ы2 (х, /) имеет все производные по xv ..., х„ до второго порядка включительно, непрерывные в {0^/<Г}. При- Причем t п \ = \ е~Ш' 2 |,/,.(д: + 2|К7^~т, T)dg. B8) &п (=1 Далее, для произвольных точек (х, t) и (х, t-{-At), A/>0, принадлежащих {0 < / < Т}, j ) T)dT+ = B9) В силу непрерывности по т функции g(x, / + A/, т) на отрезке [/, t + At] I1(At)=g(x, t + At, t + Ш), где 6 = 6 (х, /, At), 0 ^ 6 «? 1. Следовательно, lim /1(A/)=g(x, /, /)=/(^, /). C0) Д/ + 0 Так как функция / имеет непрерывные и ограниченные в {0</<Г} производные по xlt ..., хп, то функция g(x, t, т) имеет непрерывную в (хе/?„, 0</<Т', 0<т</} производную по t: (x, U т) =.^ причем | gt (x, t, т) | sg const/j/7 — т. Тогда (*, t+At, T)-g(*, <, т) const
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 355 Поэтому (на основании теоремы Лебега) lim Д/-+0 C1) t=i п Из B8) —C1) следует, что lim -^— л/~ *' f (х< t)-{-Au2(x, t). C2) Аналогично доказывается, что t lim v ы— = ~ lim -д^" \ g(x, t, i)dx + Д/-> —Q. Д -> — 0 t+M C2') Следовательно, функция и2(х, t) имеет непрерывную в {0</<Г} производную по /, равную f-{-Au2. Лемма доказана. В теореме 3 установлено существование классического реше- решения задачи Коши A), A1) при любых ограниченных ф из C(Rn) и любых ограниченных / из С@<?<Г), для которых непре- непрерывны и ограничены в {0</<Г} все производные первого по- порядка по пространственным переменным. Возникает вопрос: не достаточно ли для разрешимости задачи Коши A), A1) предпо- предположить относительно функции / лишь ее непрерывность и огра- ограниченность? Условие существования (ограниченных) производных по пространственным переменным у функции /, действительно, является завышенным: можно доказать, что для разрешимости задачи A), A1) достаточно предположить, что (непрерывная и ограниченная) функция / (х, /) удовлетворяет по пространственным переменным условию Гёльдера, т. е. что для любой точки (х, t) из {0</<Г} существуют такие постоянные М>0, а>0 (за- (зависящие от этой точки), что \f(x', t) — f(x, f) \*?кМ \х' — х \а для всех х' е Rn. Однако, если функция / только непрерывна (и огра- ограничена) в {0</<Г}, то задача A), A1), как показывает сле- следующий пример, может не иметь (классического) решения. Пусть ? = ?(|х|) — произвольная бесконечно дифференцируемая в Rn функция, равная 1 для |х|<1/2 и нулю для |х|>3/4. Рассмотрим следующую задачу Коши: C3) C4)
356 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI где Функция /0 (х) е С (Rn) Л О (| х \ > 0) равна нулю при | х | > 3/4 Rn. Н ф () у / ( (| \ ) р у р | и, тем самым, ограничена в Rn. Начальная функция фо() е С1 (/?„) П С00 (| х | > 0) равна нулю при |х|>3/4 и, тем самым, ограничена в Rn. Непосредственно проверяется (ср. с соответ- соответствующим примером для уравнения Пуассона, гл. IV, § 3, п. 3), что ограниченная функция и (х, t) з= ф0 (х) (она не зависит от /) удовлетворяет при \х |>0 уравнению C3). Кроме того, функция и (х, /), очевидно, удовлетворяет начальному условию C4). Однако функция и (х, t) =s ф0 (х) не принадлежит С2-1 @ < / < Г) ни при каком Г>0, поскольку, например, lim uXlX, (х, /) = оо. 1*1-0 Следовательно, эта функция не является решением задачи C3), C4). Докажем, что задача C3), C4) вообще не имеет решения ни в какой полосе {0</<;Г}. Пусть, напротив, существует реше- решение v(x, t) задачи C3), C4) в полосе {0</<Г} при некотором Т> 0. Тогда функция w(x, t) = и (х, t) — v(x, f) = q>0(x) — v(x, t)s e С2'' ({\x |> 0, 0</<Г}) и удовлетворяет на множестве {| х j > 0, 0 < / < Т} однородному уравнению теплопроводности A0). Кроме того, так как ф0 е= С1 (#„), w(x, /)еС'(Г/2</<Г), Та- Таким образом, w(x, t) еС2''({0<|д:|< 1, Г/2</<Г})П П ^({l^l^l, T/2^t<T}) и wt-Aw = 0 для всех точек (x, f) из {0<|дг|<1, T/2<t<T}. Покажем, что тогда функция w (x, t) должна принадлежать пространству С2'' ({| х \ < 1, Г/2 < / < Г}), чего быть не может, поскольку функция v е С2>' ({| х \ < 1, Г/2 <;/<Г}), а функция и(х, /) = Фо(х)^С2'1({|х|<1, Г/2</<Г}). Итак, пусть w(x, t) eC2'' ({0<|x|< 1, Г/2</<Г})П 1({||1Г/2/Г})^ 0{0||1Г/2/Г} П({||}) {||} Покажем, что w(x, t) е С2 ' ({|х|< 1, Г/2</<Г}). Доказатель- Доказательство этого утверждения в известном смысле повторяет рассуж- рассуждения, примененные в п. 1 при установлении представления (9). Возьмем произвольную точку (|, т) из {0<; |х | •< 1, Г/2< </<Г} и произвольное se@, т—Г/2). На множестве {0< < | х | < 1, Г/2 < / < т} имеет место равенство (w(х, t)U&-x, т- /)), + 2 (wUx.- wx.U)x. = -x, x-f)Xw(x,t)-w(x,t)%ttU(t-x, т-/) = 0.
§ 1] СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 357 Проинтегрируем его по {6 < | х | < 1, Г/2 < / < т — е}, где б — произвольное число из интервала @, | ? |). С помощью формулы Остроградского получим $ w(x, x-e)U(t-x, e)<k = $ w(x,T/2)x \ xU(l-x, x-Tl2)dx- \ dt $ (w(x, Г/2 I I 1 Г/2 I x I = 1 \ \ ((,)x Г/2 | л: I =6 (w(x,t) S,= 3, e, 6- C5) Перейдем в C5) к пределу сначала при е-»-0, а затем при б->0. Возьмем произвольное б0, 0<60<min(l —1| |, |||—6). Тогда ^ w(x, х —г) U A- 6< 1л:|< 1 = ^ И*. т-еI/( i ж — ЕI < во Поскольку на множестве {6 < | х | < 1} П {6o^|Jf — 11} \w(x, x-e)U A-х, в)| то при е->0 ^ a;(x> T_e) иЦ-х, е) dx->0. {б<|д;|<1}П{|Д;-||>бо} Поэтому lim \ ш(х, т — e)f/(| — x, e)dx — 8—Об<|дг, < 1 = Пт $ ш (х, т — е) U (| — х, e)dx = Е^° 1*-?|<в„ = Hm-L [ w(l + 2i\yre, T-t)e-^i*dr\ = w(t, т), 2KS
358 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI и следовательно limlim [ w(x, x-e)U(%-x, z)dx = w{l, т). в_08-.0в<и|<1 Далее, очевидно, lim/lj6= \ w(x, Т/2) U A-х, x-T/2)dx, C6) C7) lim/,..- I dt \ е-О J J и поскольку то lim lim/3 e e=0. 6-0 8-0 C8) C9) Из соотношений C5)—C9) вытекает, что для любой точки (х, t) из {0 < | х | < 1, Г/2 < / < Т) имеет место равенство ' T/2)U(x-l, t-Tl2)dl~ 5 iski -5* Г/2 | из которого немедленно следует, что w принадлежит T/2<t<T}) и, тем более, С*''({1*11 T2t ждение доказано. § 2. Смешанные задачи р ({|| 1. T/2<.t<T)}. Утвер- Утвер1. Единственность решения. Пусть ?> — ограниченная область п- мерного пространства Rn {х={х1, .... х„) — точка этого простран- пространства). Так же как и в случае смешанных задач для гиперболических уравнений, рассмотрим в (п-\- 1)-мерном пространстве /?л+1 = /?„ X X {— оо < t< + оо} ограниченный цилиндр Qr={xeD,0</<r| высоты Т'>0, и пусть Гг —боковая поверхность этого цилиндра: rr = {*<=dD, 0</<Г},аОт, те[0, Т], -множество {xt=D, / = т}, в частности, О0={л:еЬ, / = 0} —нижнее основание ци- цилиндра QT, а О;-={л:еО, / = 7"} — его верхнее основание. Рассмотрим в цилиндре QT при некотором Т">>0 параболиче- параболическое уравнение (x)u~*f(x, t), A) где Л (х) € С1 (Qr), flWeC (Qr), ' ft (л) ^ ^0=const > 0.
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 359 Функция u(x,t), принадлежащая пространству С2- * (Qr) П Л С(Фг1)Гг1) А)) *). удовлетворяющая в Qr уравнению A), на Do — начальному условию Ы|/ = О = Ф(*), B) а на Гг— граничному условию "|гг=Х- называется классическим решением первой смешанной задачи для уравнения A). Функция и (х, t), принадлежащая пространству С*-' (Qt) Л nC(QrUrrU?>o)nCll0(QrUrr)> удовлетворяющая в Qr уравне- уравнению A), на Do — начальному условию B), а на Гг—граничному условию ) |Гг= =x- где <J(л:) — непрерывная на Тт функция, называется классическим решением третьей смешанной задачи для уравнения A). Если <j==0, to третья смешанная задача называется второй смешанной задачей Так как случай неоднородных граничных условий легко сво- сводится к случаю однородных граничных условий, то в дальней- дальнейшем мы будем рассматривать однородные граничные условия «|гг = 0 C) и '*¦ -'А ЧГг = 0- D) Будем считать, что коэффициент а(х) в уравнении A) неотри- неотрицателен в QT, а функция о (х) в граничном условии D) неотри- неотрицательна на Гг. Лемма 1. Пусть f(x, t)e.L2(QT), и пусть и(х, /)'— класси- классическое решение третьей (второй) смешанной задачи A), B), D) или принадлежащее С|>0 (QrUTr) классическое решение первой сме- смешанной задачи (\)—C). Тогда и(х, t) е=Я'- ° (Qr) **). Возьмем произвольные тё@, Т) и ее @, т) и проинтегри- проинтегрируем умноженное на и равенство A) по цилиндру Q6i, = {j:eD, Так как в QT ы«/ = -9-(ы2)/, и div (k V«) = div (ku *) Определение пространств Cp'q см, в п.1, § 7, гл. Ill **) Пространства Hr-°(Qr) введены в п. 2 § 7 гл. III. Гам же рассмот- рассмотрены и свойства элементов этого пространства.
360 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI -6|V«i2, a ~(u%-uiv (kuVu) = fu-au2-k\Vu\* ^LiiQ^x), то согласно формуле Остроградского имеем 2 D u2dx-± \u2dx + \ k\4u\2dxdt + \ au2dxdt — = [ fudxdt, Г8.Т где ГЕ>т = {л:еШ, е</<т}, откуда в случае, когда ы (х, t) — решение первой смешанной задачи, а в случае, когда ы (л:, /) — решение третьей (второй) смешанной задачи. \u2dx-~ \u2dx+ \ k\Vu\2dxdt+ = J fudxdt, - i u2dx-± \ u2dx+ \ k\Vu\2dxdt+ jj au2dxdt + 'Dx °г %,х Qe,x Sdt= \ fudxdx. Поэтому Г 1 6. X \ k(x)\4u 2dxdt^-к \u2dx-{- \ \f\\u\dxdt*u 8» t 8 8. t 2 Перейдем в этом неравенстве к пределу при е->-0. В результате получим, что и2 dx^ ^Wt,w + lult(QJflt(Qr) E) ± F)
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 361 Возьмем произвольное /е@, Т) и проинтегрируем неравен- неравенство E) по те@, /) t 0 D, откуда вытекает, что для любого / е (О, Т) II" \\ (Q,) <= 2Г || Ф Щ, (D) + 4Г21|/ |Цг (<?r) = Q. Следовательно, u^l^iQr) и HK(Qt)^Co- G) Тогда из F) имеем при любом те@, Т). Следовательно, |V«| ^L2(Qr)- Лемма до- доказана. Замечание. Из неравенств E) и G) немедленно вытекает, что для классического решения третьей (второй) смешанной за- задачи A), B), D) и для принадлежащего Cl-°(QT\jTT) классиче- классического решения первой смешанной задачи A)—C) имеет место оценка те(°- Л- (8) где постоянная Сх зависит только от Т, ЦфЦх^о) и ||/||i2(Qr). Пусть и является классическим решением третьей (второй) смешанной задачи A), B), D) или принадлежащим C-°(QrUrr) классическим решением первой смешанной задачи A)—C), при- причем функция f(x,t)^L2(Qr)- Умножим A) на произвольную функцию v(x, t), принадлежащую С1 (Qr) и удовлетворяющую условию v\dt = 0, (9) и проинтегрируем полученное равенство по цилиндру QE, T, где т — произвольное число из (О, Т), а е-произвольное число из (О, т). Согласно формуле Остроградского получим (— uvt + kVuVv+ auv) dx dt- [ kvpdSdt+ 4 = \uvdx+ $ fvdxdt. A0) 12 D. П. Михайлов <?е,т
362 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Vt Если и — решение первой смешанной задачи, то предположим до- дополнительно, что f|rr = 0. A1) В этом случае равенство A0) примет вид (—uvt + k V« Vv + auv) dxdt-\- § uv dx — = \uvdx + \fvdxdt. A0') Dx Если и — решение третьей (второй) смешанной задачи, то равен- равенство F) имеет вид \v) dxdt-\- ^ \ «e.t ге,т Dt = \uvdx+ \ fvdxdt. A0") В силу леммы 1 и ей1-'(Qr) и, следовательно (см. § 7 гл. III), и |гг е L2 (Гг). Используя (8) и (9), перейдем в равенствах A0') и A0") к пределу при е->-0 и т->-Т. В результате получим сле- следующие утверждения. Принадлежащее Cl<°(QT\JTr) классическое решение и(х, t) пер- первой смешанной задачи удовлетворяет интегральному тождеству \ (— uvt + к Vw Vv + auv) dxdt=\ yvdx+ J fv dx dt A2) для всех v из C1(QT), удовлетворяющих условиям (9) и A1), а следовательно, и для все* у из Hl (QT), удовлетворяющих усло- условиям (9) и A1). Классическое решение и(х, t) третьей (второй при <j = 0) сме- смешанной задачи удовлетворяет интегральному тождеству (— uvt-\-k Vw 4v-\-auv) dxdt-\- § kouvdSdt = rr ^ ^ (I3) d0 Or для всех v из CX(QT), удовлетворяющих условию (9), а следова- следовательно, и для все* у из H^Qt), удовлетворяющих условию (9). С помощью полученных тождеств введем понятия обобщенных решений рассматриваемых смешанных задач. Будем предполагать, что / (х, t) <=Z,2 (Qr), aip(x)e L2 (D). Принадлежащая пространству Я1- ° (Qr) функция и (х, t) назы- называется обобщенным решением первой смешанной задачи A)—C),
I 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 363 если она удовлетворяет граничному условию C) и тождеству A2) для всех v (х, t) из Н1 (Qr), удовлетворяющих условиям (9) и A1). Принадлежащая пространству Я1' ° (Qr) функция и(х, t) назы- называется обобщенным решением третьей (второй при <j=0) смешан- смешанной задачи A), B), D), если она удовлетворяет тождеству A3) при всех v (х, t) из Hl(QT), удовлетворяющих условию (9). Наряду с классическим и обобщенным решениями смешанных задач можно ввести понятие решения п. в. Функция и(х, t) называется решением п. в. первой смешанной задачи A) —C) или третьей (второй при <j=0) смешанной задачи A), B), D), если она принадлежит пространству Я2> ' (QT), удов- удовлетворяет для почти всех (х, t) ^QT уравнению A), удовлетворяет начальному условию B) и одному из граничных условий C) или D) соответственно. Выше было показано, что классическое решение третьей (вто- (второй) смешанной задачи A), B), D) и принадлежащее С1- 0(QT[)TT) классическое решение первой смешанной задачи A)—C) являются обобщенными решениями соответствующих смешанных задач. Ана- Аналогично доказывается, что решение п. в. первой, второй или третьей смешанной задачи является обобщенным решением соот- соответствующей задачи. Легко также установить, что если обобщенное решение первой смешанной задачи A)—C) или третьей (второй) смешанной задачи A), B), D) принадлежит Я2'[ (Qr), то оно является решением п. в. этой задачи, если же обобщенное решение в слу- случае задачи A)—C) принадлежит С2'l (Qr)C\C(QT[)TT[)D0), a в случае задачи A), B), D) принадлежит С2, i (QT)f\C(Qr[}Tr\j \jD0)f\Cl- 0(Qr\JFr), то оно является классическим решением (ср. п. 1 § 2 гл. V, где приведены доказательства соответствующих утверждений для решений смешанных задач для гиперболического уравнения). Отметим еще, что обобщенное решение смешанной задачи для параболического уравнения, так же как и классическое решение и решение п. в., обладает следующим свойством: если и(х, t) есть обобщенное решение смешанной задачи A)—C) или задачи A), B), D) в цилиндре Qr, то оно является обобщенным решением соответствующей задачи и в цилиндре Qr при любом 7", 0<Т' < <.Т. Доказательство этого утверждения тоже совершенно анало- аналогично доказательству соответствующего утверждения для решений смешанных задач для гиперболического уравнения. Установим теперь теоремы единственности решений смешанных задач. Теорема 1. Первая смешанная задача A)—C) не может иметь более одного обобщенного решения. Третья (вторая) смешанная задача A), B), D) не может иметь более одного обобщенного решения. 12*
364 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ VI Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы единственности обобщенных решений смешанных задач для гиперболического уравнения (теорема 1 п.1 § 2 гл. V). Пусть щ(х, t) и щ(х, t)— два обобщенных решения задачи A)—C) или задачи A), B), D). Тогда функция u = Ui~м2 явля- является обобщенным решением соответствующей задачи при /=0 и <р = 0. Нам нужно показать, что м = 0 в QT. Рассмотрим в Qt функцию г v(x, t)=\ u(x, 6)d6. i Непосредственно проверяется, что функция v имеет в QT обобщен- обобщенные производные "*< = $ uXi(x, 6)d6, i=l, ..., п. t Так как, очевидно, функции v, vt и vXl, i=»l, ,.., n, принадле- r жат L2(QT), то v^Hl(QT). При этом i>|Dr = 0, v\Vj. =J и \Vj. db, t и, в частности, если и — обобщенное решение первой смешанной задачи, то у ]гг = 0. Подставим функцию v в тождество A2), если и — решение задачи A)—C), или в тождество A3), если и — реше- решение задачи A), B), D). Тогда в случае первой смешанной задачи получим равенство \ [и2(х, t) + kVu{x,t) -\ Vu(x, b)dB — av(x, t)v((x, t)\dxdt = O, A4) а в случае третьей (второй) смешанной задачи — равенство и2 (х, t) + k (x) Vw (x, t) ¦ \ Vu (x, 9) db — avvt \dxdt-\- qt\ 't т \\t=Q. A4') Так как (см. доказательство теоремы 1 п. 1 § 2 гл. V) If к V и (х, t) \ V и (х, 9) dbdxdt = j ^ к Qt 1 \ ум (х, t) dt г » С (? X кои (x, l)]u (x, 6) dbdSdt=--'2 \ka\\u (x, t) dt
§ 2J СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ' 365 И i 'Г 1 V /\ avvtdx dt — —^ Д av2dx^ 0, то из A4) и A4') имеем и?(х, откуда вытекает, что w=sO в QT. Теорема доказана. Поскольку решение п, в. смешанной задачи A)—C) или сме- смешанной задачи A), B), D) является и обобщенным решением соот- соответствующей задачи, то из теоремы 1 вытекает Следствие 1. Первая смешанная задача A) —C) не может иметь более одного решения п. в. Третья (вторая) смешанная задача A), B), D) не может иметь более одного решения п. в. Из теоремы 1 вытекает также следующее утверждение. Следствие 2. Третья (вторая) смешанная задача A), B), D) не может иметь более одного классического решения. Действительно, пусть их и ы2 — два классических решения задачи A), B), D). Тогда их разность является классическим решением задачи A), B), D) с ср = О и /=0 eL2(Qr). Следова- Следовательно, Ui — u2 является обобщенным решением и в силу теоремы 1 равно нулю. Установим теперь теорему единственности классического реше- решения первой смешанной задачи. Теорема 2. Первая смешанная задача A) —C) не может иметь более одного классического решения. Пусть «х и и2 — два классических решения в цилиндре Qr первой смешанной задачи A) — C)^ Тогда функция и^^ — и.^ принадлежит С21 (Qr)f\C(Qr\JTr\JDo)> удовлетворяет в Qr одно- однородному уравнению на Гг —граничному условию C) и на Do —однородному началь- начальному условию «|<-о = О. B0) Покажем, что и (х, t) равно нулю в Qr. Предположим, что существует такая точка (д:0, t°)^Qr, что и (х°, t°) Ф 0. Будем считать, что и (х°, t°) > 0 (если и (х°, t°) < 0, то вместо функции и рассмотрим функцию — и, для нее выпол- выполнено A0), B0) и C) и -и(х°, /°)>0). Обозначим и (х°, 1°) через М и рассмотрим функцию v[x, t) = u(x, t)-^(t-t°).
366 . ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI Прежде всего отметим, что =—^-0<0 для всех {х, t)<=QT. A5) Так как »еС(^), то в ф. существует точка {хх, tx), в кото- которой функция v(x, t) достигает своего максимального значения; при этом, поскольку v{x°, t°) — u{x°, t°) — M, то v{xx, tx)^z ^v{x°, t°) = M. Точка {xx, tx) не может принадлежать множеству Г/о [} Do, так как к |Гг = ы1гг-2^5 (/-/°) = ^0 (/"-/) ^-g- и y|Do = u|Do + -\~Y~Y' Следовательно, точка (х1, tl) должна принадлежать множеству Qt<> \}Dt». Пусть она принадлежит Qt». Тогда vt{xx, tx) = = 0, vx.{xx, /х) = 0 и vXiX.(x\ /а)<0, i=l, ..., п. То есть Xv {хх, t1) = v, {хх, tx) - k {xx) At» (x\ tx) - Vk {xx)V v {x1, tx) + a {xx) x XV{xx, tx)^0, а это противоречит A5). Если же (хг, tl) eD/о, то vt (x1, tx) ^ 0, vx, {xx, /') = 0и vv. {xl, tx) =si 0, I = 1,... , п. То есть снова if» {xx, tx) ^ 0. Теорема доказана. 2. Существование обобщенного решения. Перейдем теперь к доказательству существования решений задач A) —C) и A), B), D). Для этого так же, как и в гиперболическом случае, воспользуемся методом Фурье. Пусть v {х) — обобщенная собственная функция первой краевой задачи div{k{x)Vv)-av = Xv, x<=D, A6) v |ao = 0 или третьей (второй при <j = 0) краевой задачи div {k{x)Vv) — av = Kv, xsD, (X — соответствующее собственное значение). Это означает, что в случае первой краевой задачи v принадлежит Я1 (D) и удов- удовлетворяет интегральному тождеству при всех r\^Hx{D), а в случае третьей (второй) краевой задачи oeff (D) и удовлетворяет интегральному тождеству при всех т| е Я1 (Z>).
§ 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 367 Рассмотрим ортонормированную в L2(D) систему vlt v2, .... состоящую из всех обобщенных собственных функций задачи A6) или соответственно задачи A7); Xlf К2, ... — последовательность соответствующих собственных значений; последовательность соб- собственных значений, как обычно, считаем невозрастающей, причем каждое собственное значение повторяется в этой последователь- последовательности столько раз, какова его кратность. Как было показано в § 1 гл. IV, система оь v2, ... является ортономированным базисом в L2(D) и А*-> — оо при &->оо. В случае первой, третьей при <j=?0 на 3D и второй при а^О в D краевых задач (напомним, что а (х) ^ 0 в D и а (х) ^ 0 на dD) первое собственное значение A.j<0, т. e. 0>ki^K2^... Если asO в D, то в случае второй краевой задачи 0= A.x> A.2^ Х3^.... Предположим, что начальная функция ф в B) принадлежит L2(D), а функция /e?2(Qr). Согласно теореме Фубини f(x, t) e е L2 (Dt) для п. в. / г @, 7"). Функцию ф и функцию / (х, t) для п. в. значений / е @, 71) разложим в ряды Фурье по системе vv v2, ... обобщенных собственных функций задачи A6), если рассматривается задача A), B), C), или задачи A7),' если рассматривается задача A), B), D): A8) где Ф*=(ф. O*)ti(D), fb(f) = (f(X, t), Vk(x))LliD), A9) причем функции fk (t) принадлежат L2 @, T), Согласно равенству Парсеваля — Стеклова B0) *=i и для п. в. /е @, Т) V fl (п = [ f2 (x t\ die k=\ D откуда оэ Г B0') Рассмотрим для любого k = 1, 2, ... принадлежащую Hl@, T) функцию о оо Г 0 V) \ Qt
368 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI удовлетворяющую п. в. на (О, Т) уравнению U'k-kkUk = fk, B2) и удовлетворяющую (Я1 (О, Т) с= С ([О, Г])) условию t/*(O) = q>*. B2') Легко (как и в гиперболическом случае) проверить, что функция является обобщенным решением первой, если vk(x)— собственная функция задачи A6), или третьей (второй), если »А(л:) —соб- —собственная функция задачи A7), смешанной задачи для уравнения ut-div(kV и)+ au = fk(t)vk(x) с начальным условием Следовательно, если в качестве начальной функции в B) и правой части в уравнении A) взять частичные суммы рядов A8) 2(Р*У*(*) и l?ifk{t)vk{x)' то обобщенным решением задачи 4=1 4=1 A) —C) или соответственно задачи A), B), D) будет функция SN(x, t)=2lUk(t)vk(x). В частности, в случае первой смешанной задачи SN(x, t) удовле- удовлетворяет интегральному тождеству $ (-SNvt + kVSN-Vv + aSNv)dx dt = Qt N N = \ 2 Ф*°* (x)v(x, 0)dx+\ 2 /* W v» W v (*• ') ^ <# B3) Do 4=1 (?r 4=1 при всех » из Н1 (QT), удовлетворяющих условиям (9) и A1), а в случае третьей (второй) смешанной задачи —интегральному тождеству (- Sjvo/ + AVSjv • Vo + aSjvt») dx d/ + J kaSNv dS dt = ) v (x, 0) dA:+ $ 2 /* W y* W y (*• 0 ^ * B3') при всех v из Н1 (Qt), удовлетворяющих условию (9).
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 369 Покажем, что обобщенное решение задачи A) —C) или задачи A), B), D) задается рядом u(x,f)=2Uk(t)vk(x), . B4) где в случае задачи A) —C) vk(x), 6=1,2, ..., —собственные функции задачи A6), а в случае задачи A), B), D) vk (х), 6=1, 2, ... . — собственные функции задачи A7). Теорема 3. Если /eL2(Q7-)t и yeL2(D), то каждая из смешанных задач A), B), C) или A), B), D) имеет обобщенное решение и. Это решение представляется сходящимся в H1-°(Qt) рядом B4). При этом имеет место неравенство B5) в котором постоянная С>0 не зависит от ф и /. Из формулы B1) вытекает, что для всех /е[0, Т] t/i(*)|<|«Pi.|+ 0,11/^,0. г), где Ci = VAT' в случае второй смешанной задачи при а='О, в остальных случаях С1—1/У2\Х1\. Поэтому для всех t е [О, Т] Щ (t) < 2Ф!еа*' + ^ \]fk fLt @. Т) при k > 1 B6) С/1(*)<2ф! + 2С!||М»мо.Г). B6') Рассмотрим частичную сумму 5w (x, t) ряда B4). При каждом t (= [О, Г] она принадлежит пространству Н1 (Dt) в случае первой смешанной задачи или пространству Н1 (Dt) в случае третьей (второй) смешанной задачи. При исследовании задачи A) —C) удобно ввести в простран- пространстве Н1 (Dt) скалярное произведение \ (kVuVv + auv) dx. При исследовании задачи A), B), D) введем в пространстве Н1 (D,) скалярное произведение \ (kVuVv + auv)dx+ \ kauvdS, o
370 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ, VI если или а^ЁО в D, или о^ёО на 3D, и скалярное произведение Dt если а = 0 в D и а = 0 на 3D. Поскольку в случае первой и третьей при а=?0 смешанных задач и в случае второй смешан- смешанной задачи при а=?0 системы функций v^jY—Яь v2/Y— ^2. ••• . ортонормированы в соответствующих скалярных произведениях, а в случае второй смешанной задачи при а = 0 ортонормирована система функций fi/Vl—Klt v2/Yl —К* •••' т0 Для всех ^s[0, T] и любых М и N, l^M<iV, в силу B6) имеем || SN (х, t) - SM (х, ф,г{О) -I 2 ^ в случае первой смешанной задачи и в случае второй или третьей смешанных задач, если или а^ЁО в D, или а(х)^0 на 3D, \\SN(x,l)-SM(x,t)ih{Dt)= 2 2 если а = 0 в D и asO на 3D. То есть в обоих случаях имеет место неравенство <С, Ц («Ив2*-** A +1 Л* |) + 5 /i (/) Л). B7) Наряду с этим неравенством в силу B6') справедливо при всех t е [О, Т] и любых N 2* 1 и неравенство Л с/л+ 2 < С, 2 (Ф*2^*' 0 +1 ** I) + S Д (О Л>- B8) fc = 1 О
. $ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 371 Интегрируя по t е (О, Т) неравенства B7) и B8), получим ' fl{t)dt), B9) о / N I T VI /_s I t f! /Л ,o(Qr)s=W 2j (Ч>* + 3 'И')' г В силу B0) и B0') ряд с общим членом q>| + § /f @ ^ сх0' > о дится. Поэтому из B9) вытекает, что ряд B4) сходится в Я1-0(Qт) и, следовательно, его сумма и(х, t) принадлежит H1-°(Qt) и удов- удовлетворяет в случае первой смешанной задачи граничному условию C). Переходя к пределу при N-*-oo в тождестве B3) в случае первой задачи или в тождестве B3') в случае третьей (второй) задачи, получим, что функция и (х, t) удовлетворяет тождеству A2) или тождеству A3) соответственно. Следовательно, и (х, t) — обобщенное решение. Неравенство B5) вытекает из C0), если в нем перейти к пределу при N->-co и воспользоваться равен- равенствами B0) и B0'). Теорема доказана. Отметим, что, так же как и в гиперболическом случае, суще- существование обобщенных решений рассматриваемых смешанных задач может быть проведено с помощью метода Галёркина. 3. Гладкость обобщенных решений смешанных задач. Суще- Существование решения п.в. и классического решения. При исследо- исследовании гладкости обобщенных решений ограничимся рассмотрением первой и второй (в граничном условии ,D) а = 0) смешанных задач для частного случая уравнения A)— уравнения теплопро- теплопроводности (в A) k = l, a = 0), хотя при достаточной гладкости коэффициентов и функции о тем же методом устанавливаются аналогичные результаты и в общем случае. Пусть и (х, () — обобщенное решение первой или второй сме- смешанной задачи для уравнения теплопроводности: и,-Ди=/, C1) и f/н) = Ф C2) и или ы|гу = 0 C3) в случае первой смешанной задачи, или ди дп Гг = 0 C4) в случае второй смешанной задачи. Напомним (см. п. 4 § 2 гл. IV), что если граница 6D области D принадлежит классу С при некотором г^1, то обобщенные собственные функции vk(x), k—l, 2, ..., первой и второй
372 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. VI краевых задач для оператора Лапласа принадлежат пространствам Hr^(D) и Hrjr(D) соответственно, т. е. принадлежат Hr(D) и удов- удовлетворяют на dD в случае первой краевой задачи граничным условиям dD Г—1 dD = 0, *=1,2, .... а в случае второй краевой задачи при г > 1 — граничным усло- условиям ~дп dD дп' t — 1 dD = 0, =1, 2, ...; при r=l Hrj-(D)=Hlr(D) = Hl(D). Обозначим через Н%'1 (Qt) при целом /^1 подпространство пространства Я2'-' (Qt) (см. п. 2 § 7 гл. III), состоящее из всех функций / из H21-1(Qt), для которых под H%'(Qt) при / = 0 будем понимать пространство L2(Qt): Hy(QT) = H°:0(QT) = L2(QT). Через Н^1 (Qt) при целом /э=1 обозначим подпространство пространства H21<1(Qt), состоящее из всех функций / из Н21'' (Qt), для которых дп = 0; под H2ljJ (Qt) при / = 0 будем понимать пространство L2(Qt): Имеет место следующее утверждение. Теорема 4. Пусть при некотором случае первой смешанной задачи C1) —C3) 1 dD eC2s ы в 2s — I (D), » 1). (s !) (Qr), а в случае второй смешанной задачи C1), C2), е Hlr~' (?>)» / ^ Hjrs~l)% (s~1)(Qt)- Тогда обобщенное решение и (х, t) каждой из этих задач принадлежит пространству H2s>s(Qt) и ряд B4) сходится к нему в H2s<s(QT). При этом имеет место неравенство ,_1)l,_1(Qr))t C5) в котором положительная постоянная С не зависит, от q> и f.
§ 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 37.3 Заметим, что в условии теоремы 4 кроме требований гладко- гладкости заданных функций предполагается выполнение условий в случае первой смешанной задачи и выполнение условий дп И Й. дп в случае второй смешанной задачи. Для справедливости утвер- утверждения теоремы 4 о сходимости ряда B4) в H2s-S(QT) к обобщен- обобщенному решению соответствующей смешанной задачи эти условия необходимы. Однако если интересоваться только гладкостью обоб- обобщенного решения (а не сходимостью к нему ряда Фурье), то, как и в случае гиперболических уравнений (см. теорему 3' п. 4 § 2 гл. V), эти условия можно существенно ослабить; как и в случае гиперболических уравнений, они могут быть заменены условиями согласования функций ф и /на dD0. Доказательство теоремы 4. В силу леммы 2 п. 4 § 2 гл. V, функции fk (t), 6 = 1,2,..., заданные формулой A9), прина- принадлежат пространству Я5^, Т) (и, тем самым, при s^2 —про- —пространству Cs~2([0, Т])). Следовательно, удовлетворяющие на (О, Т) уравнениям B2) функции Vh(t), 6=1, 2, ..., заданные формулой B1), принадлежат пространству Hs (О, Т), а значит, и простран- пространству Cs~1 ([О, Т]). Тогда в силу свойств собственных функций vk (x) N частичные суммы SN(x, 0=2 ?4@у*М РяДа B4) принадлежат пространству Щ' S(QT) и при всех t е [0, Т] пространству H в случае первой, или пространству Н^Р s (QT) и при всех t е [0, Т] пространству H2jr(Dt) в случае второй смешанной задачи. Кроме d"SN того, при />= 1, ..., s функции д принадлежат пространству //2(s-p), s-p(qt) и при всех /<=[о, Т] пространству #f (Dt) в слу- случае первой или пространству #^° (Dt) в случае второй смешанной задачи. Поэтому на основании леммы 3 п. 5 § 2, гл. IV и орто- ортогональности в L2(Dt) собственных функций vk{x) имеем при всех t е [0, Т], любых р = 0, ..., s и любых М и /V, 1 ^zM<.N,
374 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Vt неравенства WdPS, ' N dtP IV Ы°д об) Аналогично, при всех /е[0, Т], любых р = 0, ..., s и любых N в случае первой смешанной задачи (Ях ^ 0) и dtp j J в случае второй смешанной задачи (^ = 0). Таким образом, в обоих случаях при всех /е[0, Т], р = 0, ..., s, N^\ Интегрируя по / e @, Г) и суммируя по р, р —0, ..., s, неравен- неравенства C6), получим 1^-s.mII^, s^^c, 2 ?. I^P->||^|@ r)- C8) 0* Л< +
5 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 375 Аналогично из неравенств C7) получаем неравенства С, 2 (|^> p = 0 N \ o,r,bC9) + 2 Воспользуемся далее следующей леммой, доказательство кото- которой будет приведено позднее. Лемма 2. Пусть при некотором q^O dD^C29*2 в случае первой смешанной задачи C1)-C3) фб^'+'Р), /:«=#|«- « (QT), а в случае второй смешанной задачи C1), C2), C4) феЯ^,+ ' (D), *(QT). Гогда ярм любам р, Jl |^Lo( „^e^^iu^)). D0) где положительная постоянная С не зависит от ф и /. В силу этой леммы (при q = s—l) из неравенств C8) выте- вытекает, что ряд B4) сходится в H2s-s (QT). Следовательно, обобщен- обобщенные решения задач C1) —C3) и C1), C2), C4) принадлежат про- пространству Я25- s (QT) (и даже пространствам №*• s (QT) или Н^р s (Qr) соответственно). Переходя в C9) к пределу при УУ->оо, с помо- помощью D0) и очевидных неравенств h^/L < const (|| <р ||?,2 (О) + + |1Л1я2<8-1), s-iWr))i P = 0» •••' s, получаем неравенство C5). Теорема доказана. Поскольку принадлежащее пространству Я2> ' (QT) обобщенное решение смешанной задачи является решением п. в., то из тео- теоремы 4 при s = 1 вытекает Следствие. Пусть dD^C2, / еL2(QT), и пусть в случае первой смешанной задачи C1) —C3) феях0)« а в случае второй смешанной задачи C1), C2), C4) <р«= #'(?). Тогда ряд B4) схо- сходится в Н2- ' (Qr) и его сумма является решением п. в. задачи C1) —C3) или соответственно задачи C1), C2), C4). При этом имеет место неравенство в котором положительная постоянная С не зависит от ф и /. Прежде чем установить справедливость леммы 2, которой мы воспользовались при доказательстве теоремы 4, докажем следу- следующие вспомогательные утверждения.
376 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. VI Лемма 3. Если f(x, t)(=Hr- °(QT), r^\, a #(/)<= L2@, T), то функция h(x) = \f{x, t)g(t)dt 0 принадлежит Hr(D) и для любого a=(alt .... а„), \а\^.г, т Dfi(x)= \Df(x, t)g(t)dt. D1) Если при этом /|гт==0, то /ф?> = 0, а если при г: ал то Ш dD = 0. = 0, Прежде всего заметим, что из принадлежности функции / про- пространству L2 (QT) вытекает, что h^L2 (D). Действительно, так как / (*• 0 S @ е ^-i (Qt)> то п0 теореме Фубини /i e Li (D), а поскольку, т кроме того, /i2 (х) < I /2 (л:, /) d/ • \g |Ц,<о. r>, to/igL2 (D). о Таким образом, функция /i и функции г ft t)g(t)dt, o=(olt ... , an), |o| о принадлежат L2(D). Возьмем произвольную функцию х\(х) из ?Г(Ь). Так как, очевидно, g(t)r] (x) eЯ'¦•0(Qr), то для любого а, |а|<;/-, ^ t)-r\(x)g(t)dxdt = J fix, t Qt Следовательно, функция h имеет обобщенные производные h h ||, принадлежащие L2 (D), т. е. h<^Hr(D). Если / |гт = 0, то для любой функции т) (х) е С1 (D) и любого i= 1, 2, ... , и ^ /цг] d* = ^ fH {x, t) т] (a:) g (t) dxdt = Ъ Qt = - U (*'*)¦ W*)8@^d/ = -J Л¦ tu, dx. Qt D
§ 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 377 С другой стороны, поскольку h^H1(D), то при произвольной П е С1 (D) \ hXir\dx = $ fmtiidS — l hx\Xidx, D dD D где щ (x) — координаты вектора внешней нормали к dD ъ точке х. Следовательно, при любой х\ (х) е С1 (dD) \ пч\щ dS = О, i = 1, ... , п, dD откуда (ср. с доказательством леммы 4 п. 4 § 2 гл. V) вытекает, что h dD = 0. Если г ^ 2 и J- дп = 0, то (ср. с доказательством леммы 4 п. 4 § 2 гл. V) для любой функции r|eC2(fl) ^ bh(x)-n(x)dx= I A/(*, t)-r](x)g(t)dxdt = D QT 5 Qt D С другой стороны, поскольку hеЯ2(D), то для любой ijeC1 (?>) Следовательно, для любой функции цеС1 FD) 3D dh т. е. з- дп dD = 0. Лемма доказана. Следствие. Пусть функцияg(t) eL2@, Г),й функцияf (x, t) принадлежит пространству Щ'r (QT) или пространству H2Jr r(QT) при некотором г 5=0. Тогда функция п(х) принадлежит прост- пространству Н% (D) или пространству Н% (D) соответственно. При этом для любого а = (ах, ,.. , а„), |а|^2г, имеет место фор- формула D1), Лемма 4. Пусть dD^C2. Если при некотором q^sO функ- функция f(x, t)^H^-o{QT), то при любом р, р = 0, ,,, , q, ^e е Н\{ч ~р)- "~p(Qt). Если I <= H2? "(QT), то при любом p,p = 0,...,q, oPf ijUq—p), Q~P/r\ \ ч.тг S Пjv (U/r).
378 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. VI При 9 = 0 и q=\ утверждения леммы очевидны. При q^2 первое утверждение является непосредственным следствием уста- установленного при доказательстве леммы 4 п. 4 § 2 гл. V утвержде- утверждения: если G^H2(QT) и G|rT = 0, то Gt\rT = 0. Второе утвержде- утверждение леммы, очевидно, вытекает из следующего: если Gs^2( дй и S- дп ж, Гт = 0, Заметим, что оно доказывается точно так же, как аналогичное утверждение в лемме 4 п. 4 § 2 гл. V. Действительно, так как ^ т,_ = 0, то при любой \\sC2(QT), Л ta. = Ч \dt = 0> имее* Qt Qt Qt = —$ VGrVv]dxdt. Qt С другой стороны, <х dt= [ ^ ¦ т] dS dt- { VGr Vt] dx dt. Tt Qt Поэтому 1 dG, = 0. для любой т] ё= С2(ТТ), т) |ао„ = Ц \дот = 0. Следовательно, -~ Лемма доказана. Лемма 5. Пусть dD s С2, и пусть при некотором f(x, t)eHlq- q(QT) или f(x, /)e© "(QT). Тогда при любом р, р = 0, ... , q, где положительная постоянная С не зависит от f. Согласно лемме 2 п. 4 § 2 гл. V при любом р, поэтому
§ 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 379 По лемме 4 функция ^р' ) принадлежит Я|(?"р)> 4~p(Qt) или соответственно Н1№~р)' ч~р {Qt)\ значит, в силу следствия из леммы 3 функция \-~^р d\0 dt принадлежит H%{4~P)(D) или соответственно H2J^~P) (D). Следовательно, \2 j Ш Qt , D3) где функция ?p(t) = \^-р?Щ^-.ик{х) dx ъ силу леммы 2 п. 4 § 2 гл. V принадлежит L2 (О, Г). Функция A«-^^ поэтому для п. в. /е= (О, Т) №-Рд"^хр'1) <=L2(Dt) и для п. в. 00 /е@,Г) 2(^W=||A?"PS|L^) -Следовательно, (о, т) = 1 A'-"g | <ад^ const||f ||W?(W. D4) Так как в силу леммы 4 и следствия из леммы 3 функция dPldt'p l) siP) @ dt принадлежит Hl{4~~p) (D) или соответственно dtp
380 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI H2Jr~~p)(D), то из D3) имеем равенство из которого в силу D4) немедленно вытекает D2). Лемма доказана. Перейдем теперь к доказательству леммы 2. Так как функция f<=H2i-i(QT)czH<!(QT), то функция fk\t), k = = 1,2,..., принадлежат (лемма 2 п. 4 § 2 гл. V) Н9 (О, Т). Поэтому согласно B1) и B2) функции ?/*(/),&= 1, 2, .... принадлежат Н9+1@, Т). Из B2) вытекает, что при любом р, 1 +1 Следовательно, в силу неравенства D2) леммы 5 для доказатель- доказательства неравенств D0) достаточно установить, что l/l^,?(QrO- D5) Умножим B2) на Uk и проинтегрируем полученное равенство по t е (О, Г). Пользуясь условием B2 ), получим 7 Т ~Щ (Т) -1 ФЛ - Я* J t/j (/) Л = 5 /* (О Uк @ d/, откуда (ЯА^0) имеем неравенство | h 11| «/* 11,@. г) < у q* + 1 f*|k@, и, тем самым, неравенство I Я/П2? + 1ВДе<0, 7) ^ J ** ! Я Таким образом,
§ 2] СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 38] и, следовательно, неравенство D5) вытекает из неравенства D2) (при р = 0) и неравенства (теорема 8 п. 5 § 2 гл. IV) 00 2 ф1|я*:2?+1^ const Лемма 2 доказана. Докажем теперь теорему о существовании классических реше- решений задач C1)-C3) и C1), C2), C4). Заметим, что если f^H'2-1 (QT), то определенные равенством B1) функции Uk(t),k=l, 2, ..., принадлежат пространству Я2(О, Т), а следовательно, и пространству С1 ([О, Т]). Г1 Г-1+з Если dD eC^2J , то в силу теоремы 7 п. 4 § 2 гл. IV соб- собственные функции vk(x) первой или второй краевой задачи для Ш + 3 оператора Лапласа в D принадлежат пространству #L2J (Д), а следовательно (теорема 3 п. 2 § 6 гл. III), и пространству C2(D). Тогда частичные суммы SN ряда B4) принадлежат про- пространству С2-l (QT)- Теорема 5. Пусть <5DeC2s» + 1, где 2so+1 =э[у] + 3, и пусть в случае первой смешанной задачи C1) — C3) ф е Н2$°+' (D), f еЯ^°' s° (QT), а в случае второй смешанной задачи C1), C2), C4) ФЕЯ^ + 1 (?>), / s Я>So (QT). Тогда ряд B4) сходится в С2- • (QT) и его сумма является классическим решением первой смешанной задачи C1) — C3) или соответственно второй смешанной задачи C1), C2), C4). При этом 1),ч-хш), D6) где положительная постоянная С не зависит, от ц> и f. Установим сначала нужные нам оценки функции Uk (t) и ее производной U'k(t), ?=1,2, ...Из формулы B1) получаем, что I Uk @ | ^ 1 Фй [ + у11-] ЩШо. т) при k>l где Ci= 1/|/ 1^1 в случае первой и CX = YT в случае второй смешанной задачи. Из B2) тогда вытекает, что при всех t е [О, Т] при
382 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI Поэтому для всех t е [О, Т] ^ll D7) D7') . D8) Докажем следующее вспомогательноэ утверждение. Лемма 6. Пусть f(t) — произвольная функция изН1^, Т), а г — произвольное число из (О, Т]. Тогда для всех t е [О, Т] имеет место неравенство /2(О^4Ш1,<о,г>+2е1П1,(О,Г). D9) Обозначим через а среднее значение функции / на интервале (О, Т): и рассмотрим непрерывную на [О, Т] функцию fa(t)=f(t)-a. т Так как § fa(t)dt = O, то существует такая точка t° е (О, Т), что о fa(t°) = O. Поэтому для любого t e [О, Г] и любого е>0 / т т Га @ = 2 ^ /а W/а (О Л ^ | ^ /а @ Л + 8 ^ /'*(/) Л. /» о о Следовательно, для любого t е [0, Т] и любого е, 0<e==s7\ имеем 4 ' e о т т
§ 21 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 383 откуда вытекает неравенство совпадающее с неравенством D9). Лемма доказана. Рассмотрим неравенство D8) для таких k, что |ЯА|3 наименьшее из этих k обозначим через k0. Тогда в силу леммы 6 для всех k^k0 (напомним, что последовательность | Xk| моно- монотонно не убывает) Подставляя последнее неравенство в D8), при всех t е [О, Т] и k^zk0 получим и? (/) ^ зц;+ ^ E0) На основании теоремы 3 п. 2 § 6 гл. III, леммы 3 п. 5 § 2 гл. IV и неравенств D7) и E0) для всех / е [0, Т] и всех М и N. k0 sg: M < N, имеем SN - SM ll^o +1 (D/) +11 (Sa, - SM) = AHI \\H'(Dt) +1 Следовательно,
384 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI Аналогично, с помощью D7') получаем, что при всех /е [О, Т] и всех N ^ 1 справедливы неравенства N @+2i И/*IL-<о. С9 |ф! +1|/х 0. @, г) + J; Ы | X. I2-"' + А*2-1 /* 1L @> г,I E2) а следовательно, и неравенства ,,2 N I k*=\ Так как функция ф принадлежит пространству #§So+1 (D) в случае первой смешанной задачи или пространству H^p+1 (D) в случае второй смешанной задачи, то ряд 2 Ф* I ^* I2s°+1 cxo" дится. Кроме того, из принадлежности функции ф пространству H2$'~l (D) или соответственно пространству H2J?~l (D) вытекает (теорема 8 п. 5, § 2 гл. IV), что 00 2 Ф* Iя* i2s°~' ^ const IIФ &2s«-l и»- E3) Поскольку в случае первой смешанной задачи /е #|So> S°(QT), а в случае второй смешанной задачи / е Н%"' s° (QT), то согласно лемме5сходятся ряды 2 ' ^* i2s° I/*l|i2(o, Пи 2 1^*12<!о~1)|1/*Ш-«>.7> Кроме того, из принадлежности функции / пространству /jr|<s<>-i>. s.-i (BТ)ИЛИ соответственно пространству Я^50*'50 (Q7) и неравенств D2) леммы 5 имеем |2 (S°- || /ft |L @. 7) < Const 1 / |я 2(..- 1), ..-1 (<w • E4) Поэтому из неравенств E1) вытекает, что ряд B4) сходится в C2-l(QT) и его сумма и(х, t) принадлежит C2-X(QT) и, следо- следовательно, является классическим решением соответствующей сме- смешанной задачи. Справедливость оценки D6) вытекает из нера- неравенств E2) —E4). Теорема доказана.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI 385 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI 1. Пусть D—ограниченная область пространства /?„, п>2, а х9—неко- х9—некоторая точка из D. Пусть функция и (х, t) е С2> ' ({х е D\ifi, 0 </ < 7"}), Т>0, удовлетворяет в {х е D\x°, 0</<7'} однородному уравнению теп- теплопроводности, и пусть равномерно по t е (О, Г) ы (х, /Дд: — х° |"~2 -» 0 при х -» дс°. Показать, что тогда функцию ы (д:, /) можно так доопределить на мно- множестве {х=х°, 0 <с t < Г) что полученная функция будет принадлежать C°°({x<=D, 0<t<T}). 2. Пусть функция ы (д:, t) принадлежит С2> ' {/ > 0) и является в полу- полупространстве {t > 0} решением однородного уравнения теплопроводности, и пусть существует такая функция А (х), что при любом R > 0 равномерно по х е { | д: | < /?} ы (д:-, /) -» Л (д:) при / -> оо. Доказать, что функция А (х) гар- гармонична в Rn. 3. Пусть функция ф (д:) принадлежит С (Rn) и для всех х е Rn удовлетво- удовлетворяет неравенству | ф (д:) | ^ Се0|лг'8, где С и а—некоторые положительные постоянные. Доказать, что в полосе lx^Rn, 0 < / <-^— I существует реше- решение и (х, t) задачи Коши «/-Д« = 0, x^Rn, °<'<4j, A) Это решение задается формулой Пуассона и принадлежит классу единствен- единственности В2. Если функция ф(дг)еС(Л„) и удовлетворяет условию: для любого е > 0 существует такое С = С (е) > 0, что |ф(дс)|<Сее|*'' для всех x<=Rn, B) то из результата задачи 3 вытекает, что в полупространстве {t > 0} суще- существует решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальной функцией ф (д;), принадлежащее классу единственности 5а, при- причем это решение задается формулой Пуассона. 4. Пусть функция ф (д) е С (Rn) и для любого е > 0 существует такая постоянная С=С(е)>0, что имеет место B). Обозначим через и (x, t) реше- решение задачи Коши (из класса В2) «,-Д« = 0, *<=#„, *>0, и|/-о = ф(*)- Доказать следующее утверждение. Если существует такая функция А (х), что для любого R > 0 равномерно по х е {| х | < R} \ • ы(|) d%^>A (x) ап9 J 1?|< 1?|р при р -»оо (а„ — площадь поверхности единичной сферы в Rn), то равномерно по х е { | х | < /?} (при любом # > 0) lim и (х, t) = A (x), причем А (х) — гар- моническая функция. 5. Пусть и (х, 0 —принадлежащее б2 решение задачи Коши C), где ф (д:) е е В (J?,), и пусть lim ы @, t)=A. Доказать, что тогда для любой точки х е е/?„ lim u (x, 0 = ^«
386 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI 6. Показать, что решение и (х, t) задачи Коши C), где ipeS (Rn), является аналитической по (х, /) функцией в полупространстве {х е Rn, t > 0}. 7. Показать, что классическое решение первой смешанной задачи щ — Ды = 0, (д:, и г =0 является обобщенным решением этой задачи, если dD e С2. 8. Доказать теоремы существования и единственности обобщенных реше- решений первой, второй и третьей смешанных задач для параболического уравне- уравнения (задач A) —C) и A), B), D) из п. 1 § 2) без предположения о неотри- неотрицательности функций а(х) и а (х). 9. Пусть функция и(х, t) принадлежит С2> ' (<2т) П С@т)> удовлетворяет в QT однородному уравнению теплопроводности \щ— Ди = 0) и однородному начальному условию (u|Do=0, Do —нижнее основание цилиндра QT)- Дока- Доказать, что тогда и е С™ (QT\JDO). Доказать также, что для любой точки (х, t) цилиндра {D'x@, Т)}, где D'ш Do, p= inf \x' — x"\>0, 'dD' _ Pi *• 0 I < С (а, Т) л+а;+8Г, где а = (а0, ах а„), Dau—— —. а С (а, Г) —положительная по- дго... дх п п стоянная, зависящая лишь от вектора а и числа Т. 10. Пусть функция ф е В (/?„), a D,-, »'=1, 2 — последовательность оо областей пространства Rn, D,-<r D,-+1, « = 1, ..., U О; = /?„. Обозначим через ы; (д:, /) решение уравнения ut — Ды = 0 в D,-X @, У), непрерывное в {D,-x[0, Г]} и удовлетворяющее начальному условию ы; |О =ф. Предполо- Предположим, что || uj|| ,— , ^ С, где положительная постоянная С не зависит от i. Тогда равномерно по (х, t) из 5 X [0, Г}, где D —произвольная ограни- ограниченная область из Rn, последовательность ыг, 1 = 1, 2 сходится к (огра- (ограниченному) решению задачи Коши в полосе {х е Rn, 0 <.t <T} для одно- однородного уравнения теплопроводности с начальной функцией ф. Доказать, Дополнительная литература к главе VI В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, «Наука», 1971. А. М. Ильин, А. С. Калашников, О. А. О л е й н и к, Линейные уравнения второго порядка параболического типа, УМН 17:3 A962), 3—146. О. А, Ладыженская, Краевые задачи математической физики, «Наука», 1973.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI 387 О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, «Наука», 1967. B. П. Михайлов, О задаче Дирихле для параболического уравнения, 1, Матем. сб. 61 : 1 A963), 40 — 64; 2, Матем. сб. 62:2 A963), 140—159. И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. И. Г. Петровский, Zur ersten Randwertaufgabe der Warmeleilungs- gleichung, Compos, mathem. 1 A935), 389—419. C. Л. Соболев, Уравнения математической физики, Физматгиз, 1954. А. Н. Тихонов, Theoremes d'unicite pour Pequation de la chaleur, Матем. сб. 42 A935), 199 — 216. A. H. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная непрерывность интеграла 55 Адамара пример 29 Аналитическая функция 19 Базнс ортонормированный 71 Банахово пространство 64 Бесконечномерное многообразие 63 Бесселя неравенство 69 Билинейная форма оператора 78 — эрмитова форма 66 Буняковского неравенство 65 Измеримая функция 43, 60 Измеримое множество 54 Инвариантность классификации 32 Инверсии преобразование 253 Интеграл Лебега 43, 48, 55 — — поверхностный 61 — типа потенциала 57 Интегральный оператор Фредгольма 162 — — — самосопряженный 165 Интегральное уравнение Фредгольма 165 Интегрируемая (по Лебегу) функция 43, 48, 60, 61 Вещественное линейное пространство 63 Волновое уравнение 14, 30, 37, 274, 282, 283 Вполне непрерывный оператор 84 Всюду плотное множество 65 Вторая краевая задача 36, 170, 172, 175, 176, 259 — смешанная задача для гиперболичес- гиперболического уравнения 37, 284, 285, 286 — — — — параболического уравнения 40, 359, 363 — теорема о среднем 236 — — Фредгольма 91 Галёркина метод 298 Гармоническая функция 232 Гельмгольца уравнение 262 Гильберта — Шмидта теорема 100 Гильбертово пространство 66 Гиперболическое в точке уравнение 30 — на множестве уравнение 30 Грамма — Шмидта метод 67 Грина формулы 105 — функция 250 Гурса задача 40 Даламбера формула 273 Движения мембраны уравнение 37 Двойного слоя потенциал 234 Дирихле задача 36, 170, 171, 175, 243, 259, 263 Дифференциальный оператор линейный 166 Задача Гурса 40 — Дирихле 36, 170, 171, 175, 243, 259, 263 — Неймана 36, 170, 175, 176, 259 — Рикье 263 — с наклонной производной 264 Закон сохранения энергии 312 Замыкание линейного многообразия 64 Канонический внд дифференциального уравнения в частных производных вто- второго порядка 33 Квадратичная форма 66 — — оператора 78 Кельвина преобразование 254 Кирхгофа формула 270 Классификация уравнений второго поряд- порядка 29 Ковалевской пример 28 — теорема 22, 26 Компактное множество 79 Комплексное линейное пространство 63 Конечномерное многообразие 63 Конечномерный оператор 78 Коши задача 11, 13, 37, 40 — — для волнового уравнения 274, 282, 283 — — — гиперболического уравнения 325, 326 — — — теплопроводности уравнения 347 — — нехарактеристическая 15 Коэффициенты Фурье 68 Кратность собственного значения 93 — характеристического числа 93 Лапласа оператор 30 — уравнение 232 Лебега теорема 52 Леви Б. теорема 50 Леви Г. пример 17 Лемма Фату 51 Линейная зависимость элементов 63 Линейно независимые элементы 63 Линейное дифференциальное уравнение в частных производных 7 — многообразие 63 — — , натянутое на элементы 63 — нормированное пространство 64 — пространство 63 — — вещественное 63 — — комплексное 63 Линейный дифференциальный оператор 166 — оператор 72 — — ограниченный 73 Логарифмический потенциал 59
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 389 Мажоранта 21 Мажорирующая задача Коши 23, 24 Максимума принцип 241 Матричное представление линейного огра- ограниченного конечномерного операто- оператора 78 — — — — оператора 77 — — — — самосопряженного операто- оператора 78 Меры нуль множество 41, 56, 60 Метод Галёркина 298 — Рнтца 206 — Фурье 290, 366 Минимаксное свойство собственных зна- значений 186 Минимальное свойство коэффициентов Фурье 68 Минимизирующая последовательность 205 Многообразие • бесконечномерное 63 — конечномерное 63 Множество компактное 79 — меры нуль 41, 56, 60 — ограниченное 65 — слабо компактное 83 Начальная задача 37, 40 Неймана задача 36, 170, 175, 176, 259 Неотрицательный оператор 78 Непрерывность в среднем 109 — — — квадратичном 109 — нормы 64 Непрерывный оператор 72 Неравенство Бесселя 69 — Буняковского 65 — Стеклова 150 Нехарактеристическая задача Коши 15 Норма 64 — линейного оператора 73 —, порожденная скалярным произведе- произведением 65 Нормированное пространство 64 Нормированный элемент 67 Область зависимости 281 — значений оператора 72 — определения оператора 72 Обобщенная производная 113 — собственная функция 175, 227, 228, 230, 231 Обобщенное решение задачи Коши гиперболического 333 — — краевой задачи 171, 172, 174, 192, 195—200 — — смешанной задачи для гиперболи- гиперболического уравнения 285, 288, 295, 305 306 — — — — — параболического уравне- уравнения 362, 363, 369, 372, 375 Обратный оператор 74 Объемный потенциал 233 Ограниченное множество 65 Оператор 72 — вполне непрерывный 84 — конечномерный 78 — Лапласа 30 — линейный 72 — — ограниченный 73 — неотрицательный 78 — непрерывный 72 — обратный 74 — ортогонального проектирования — самосопряженный 78 176, 181, для уравнения 326, 331, 191, 79 Оператор сжимающий 86 — сопряженный 76 Ортогональность множеств 67 — элементов 67 Ортонормнрованная система 67 Ортонормированный базис 71, 101 Остроградского формула 104, 140 Параболическое в точке уравнение 30 — на множестве уравнение 30 Парсеваля — Стеклова равенство 70, 180 Первая краевая задача 36, 170, 171, 175, 243, 259, 263 — смешанная задача для гиперболического уравнения 37, 284, 285, 288, 290, 295, 298, 305, 311, 312, 323 — — — — параболического уравнения 40, 359, 362, 363, 365, 369, 372, 375, 381 — теорема о среднем 236 — — Фредгольма 90 Подпространство банахова пространства 64 —, натянутое на элементы 65 Полная система 71 Полное нормированное пространство 64 Полуограниченная функция 257 Порядок линейного дифференциального оператора 166 Последовательность, минимизирующая функционал 205 — Ритца 206 Потенциал двойного слоя 234 — логарифмический 59 — объемный 233 — простого слоя 234 Почти всюду сходящаяся последователь- последовательность (п. в. сходящаяся последователь- последовательность) 42 Преобразование инверсии 253 — Кельвина 254 Приведение к каноническому виду в точке 33 Пример Адамара 29 — Ковалевской 28 — Леви Г. 17 Принцип максимума 241 Продолжение функции 126, 130, 131 Проекционный оператор 79 Проекция на подпространство 69 Пространство банахово 64 — гильбертово 66 — линейное 63 — нормированное 64 — сепарабельное 65 Пуассона уравнение 30, 37 — формула 273 — ядро 250 Равенство Парсеваля — Стеклова 70, 180 Равновесия мембраны уравнение 37 Расстояние между элементами 64 Расширение оператора 74 Регулярная на бесконечности гармоничес- гармоническая функция 255 ..i j Решение второй краевой задачи (задачи Неймана) 170. 172, 174, 191. 192, 198, 200, 216, 218, 225, 226, 259, 260 — — смешанной задачи для гиперболи- гиперболического уравнения 284, 285, 288, 290, 295, 305, 306, 311, 312, 323
390 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Решение второй смешанной задачи для параболического уравнения 359, 363, 365, 369, 372. 375, 381 — задачи Коши для гиперболическо- гиперболического уравнения 37, 274, 275, 279,280,325, 326. 331, 333, 334 — — — — параболического уравнения 40. 347, 348, 350 — первой краевой задачи (задачи Дирихле) 170, 171, 174, 191, 192, 195, 197, 216. 218, 225, 226, 259, 260 — — смешанной задачи для гиперболи- гиперболического уравнения 284, 285, 286, 288, 290, 295. 305, 306, 311, 312, 323 — — — — — параболического уравне- уравнения 359, 362, 363, 365, 369, 372, 375, 381 — третьей краевой задачи 170, 174, 191, 192, 198, 216, 218, 225, 226, 259, 260 — — смешанной задачи для гиперболи- гиперболического Уравнения 284, 285, 286, 288, 290, 295 — — — — — параболического уравне- уравнения 359, 363. 365, 369 Рикье задача 263 Рисса теорема 75 Рнтца метод 206 — последовательность 206 Ряд Фурье 69 — — по собственным функциям краевой задачи 180, 228 Теорема Левн Б.. 50 — об устранении особенности гармоничес- гармонической функций 245 — о компактности множества 80 в Z.j 144 — — — — следов функций из Я1 146 — — непрерывности интеграла, зави- зависящего от параметра 52 — — слабой компактности множества 83 — — существовании обобщенной производ- производной 116 — — — собственного значения у вполне непрерывного самосопряженного опера- оператора 97 — Рисса 75 — Фубнин 55 Теоремы о продолжении функций 130, 131 — — среднем для гармонических функ- функций 236 i — Фредгольма 90, 91, 94 Теплопроводности уравнение 14, 31, 39 Третья краевая задача 36, 170, 172, 259. — смешанная задача для гиперболического уравнения 37, 284, 285 — — — — параболического уравнения 40, 359, 363 — теорема Фредгольма 91 Треугольника неравенство 64 Самосопряженный интегральный оператор Фредгольма 165 — оператор 78 Сепарабельное пространство 65 Сжимающий оператор 86 Система ортонормнрованная 67 Скалярное произведение 65 Слабо компактное множество 83 — сходящаяся последовательность 66 След функции 137, 139, 161 Собственная функция второй краевой задачи 175, 176, 181, 186, 227, 230, 231 — — первой краевой задачи 175, 176, 181, 186, 227, 230, 231 — — третьей краевой задачи 175, 176, 181, 186, 227 Собственное значение второй краевой за- задачи 175, 176, 181, 186 — — линейного вполне непрерывного опе- оператора 95 — — — оператора 93 — — первой краевой задачи 175, 176, 181, 186, 190 — — третьей краевой задачи 175, 176, 181, 186 Собственный элемент линейного вполне непрерывного оператора 95 — — — оператора 93 Согласования условия 323, 373 Сопряженное уравнение 88 Сопряженный оператор 76 Сохранения энергии закон 312 Специальное решение однородного волно- волнового уравнения 266, 267 Средние функции (усредненные функции) юз; по Теорема Гильберта — Шмидта 100 — Ковалевской 22, 26 — Лебега 52 Уравнение Гельмгольца 262 — гиперболического типа в точке 30 — — — на множестве 30 — движения мембраны 37 — — струны 38 — Лапласа 232 — параболического типа в точке 30 — — — на множестве 30 — Пуассона 30, 37 — равновесия мембраны 37 — сопряженное 88 — теплопроводности 14, 31, 39 — ультрагнперболическое в точке 30 — — на множестве 30 — Чаплыгина 31 — Эйлера 26 — эллиптического типа в точке 30 — — — на множестве 30 Усреднения ядро 10 Усредненные функции (средние функции) 1 оз, 110 Фату лемма 51 Финитная функция 8 Формула Даламбера 273 — Кирхгофа 270 — Остроградского 104, 140 — Пуассона 273 Формулы Грина 105 Фредгольма теоремы 90, 91, 94 Фубнни теорема 55 Фундаментальная последовательность 6' Фундаментальное решение уравнени i Лапласа 233 — — — теплопроводности 340 Функционал 72 Фурье коэффициенты 68 — ряд 69 — — по собственным функциям краевое задачи 180, 228 — — — — элементам вполне непрерыг- но го самосопряженного оператора 9']
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 391 Характеристика 13 Эйлера уравнение 26' 'Характеристическая поверхность 13 Эквивалентные нормы 67, 147—150, 168. — — волнового уравнения 31 169, 261 — — уравнения теплопроводности 31 — скалярные произведения 67 — то ка 13 Эллиптическое в точке уравнение 30 — функция множества 54 — на множестве уравнение 30 Характеристическое число линейного one- Энергии сохранения закон 312 ратора 93 Эрмитова билинейная форма 66 Ядро интегрального оператора 162 Чаплыгина уравнение 31 Пуассона 250 Четвертая теорема Фредгольма 94 — усреднения 10