Text
                    УДК 519.6
ББК 22.194
П85
Прудников А. П., Б рынков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и
ряды. В 3 т. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы. — 2-е изд.,
исправ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 688 с. - ISBN 5-9221-0325-3.
Книга содержит неопределенные и определенные интегралы, суммы и ряды, не вошед-
вошедшие в предыдущие два тома. Приведены таблицы представлений обобщенных гипергеомет-
гипергеометрических функций, G-функции Мейера и их преобразований Меллина. Помещены разделы,
посвященные свойствам гипергеометрических функций, G-функции Мейера и //-функции
Фокса.
Первое издание — 1986 г.
Книга предназначена для широкого круга специалистов в различных областях, а также
для студентов высших учебных заведений.
ISBN 5-9221-0325-3 (Т. 3)
ISBN 5-9221-0322-9	© физматлит, 2003


ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................................................... 21 Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ....................... 23 1.1. Введение. ................................................. 23 1.2. Обобщенная дзета-функция ^(s,sc), многочлены бернулли Вп(х), Эйлера Еп{х) и полилогарифм Ыу(аз) ..................................... 23 1.2.1. Интегралы, содержащие ?(s,x),Bn(x) и Еп(х) ......................... 23 1.2.2. Интегралы вида ха Ып(ах) dx .................................. 23 1.2.3. Интегралы вида /(ж) 1л2(ж) dx .................................. 23 1.3. Обобщенные интегралы Френеля S(x^u) И С(ж,1/) ................... 23 1.3.1. Интегралы вида /(ж К ' > dx .............................. 23 J lC(ax,i/)) 1.4. Функции Струве Н^(ж) И Liv(x) ................................. 24 1.4.1. Интегралы вида х Ии(ах) dx ................................... 24 1.4.2. Интегралы вида xxelxHu(x) dx ................................. 24 1.4.3. Интегралы вида х Ш/л(ах)Ш1/(Ьх) dx .............................. 25 1.4.4. Интегралы вида х JfJ,(ax)'H.i/(bx) dx .............................. 25 1.4.5. Интегралы вида ххЪ1/(ах) dx ................................... 26 1.4.6. Интегралы вида жАе Liu(x) dx ................................. 26 1.5. Функции Ангера Л1/(аз) и Вебера Ejy(a?) ............................ 26 1.5.1. Интегралы вида ж < и > dec ................................ 26 J [Е^аж)] 1.6. Функции Ломмеля з^^{х) Ш S^^ix) ............................. 27 Г л Г 5м и (ах) 1 1.6.1. Интегралы вида \ х < > с!ж ............................... 27 J 1^^(аж) J 1.6.2. Интегралы, содержащие Ju(x) и 5^,1/(ж) ............................ 27 1.7. Функции Кельвина Ьег^Дж), beliy(sc), keiv (ж) и ке1ц/(ж). ................ 28
4 Оглавление 1.7.1. Интегралы вида [ **( ^^ } dx и Ы ^<°ХН Ас 28 J [ bei|/(aa;) J J I keii/(aaj) J 1.7.2. Интегралы, содержащие произведения функций Кельвина .................. 28 1.8. Функции Эйри Ai (аз) И Bi (аз) .................................. 29 Г f Ai(х) 1 1.8.1. Интегралы вида /(жК ) Л dx ................................ 29 J I Bi (as) J 1.8.2. Интегралы, содержащие произведения функций Эйри ..................... 30 1.9. Интегральные функции Бесселя «/^(аз), Неймана Yiv{x) и Макдональда Къ„{х) ...................................................... 31 1.9.1. Интегралы вида xaJil/(x) dx ................................... 31 г ( Yi (x) 1 1.9.2. Интегралы вида ха < ^ > da; ................................ 31 1.10. Неполные эллиптические интегралы jF(ae,fc), E(xyk) Ш II(аз, is, к) ........ 31 1.10.1. Интегралы по аргументу х ..................................... 31 1.10.2. Интегралы по модулю / ................................... 33 1.11. Полные эллиптические интегралы K(fe),E(fe) И П(—?^5fe| ............. 33 1.11.1. Интегралы вида ка{1 — к ) s \ dk ........................... 33 1.11.2. Разные интегралы, содержащие K(fc),E(ib) иП(—,i/, к) .................. 33 1.12. Функции Лежандра Р^(аз) И Q^(x) ............................. 34 1.12.1. Интегралы вида /(ж)Р^(ж) da;, f{x)Q%(x) dx ....................... 34 1.12.2. Интегралы, содержащие произведения функций Лежандра ................. 35 1.13. Функции Уиттекера Мр>о.(аз) И WPjO-{x) .......................... 35 1.13.1. Интегралы вида \хае±ах^Мр^а{ах) dx ............................ 35 1.13.2. Интегралы вида I* xae±ax/2Wp,a(ax) dx ............................ 36 1.13.3. Интегралы, содержащие произведения функций Уиттекера ................. 37 1.14. Вырожденные гипергеометрические функции Куммера tF%(a;b;x) и Три- коми Ф(а, Ь; аз) ................................................. 38 1.14.1. Интегралы, содерж:ащие 1^1@; 6; а;) .............................. 38 1.14.2. Интегралы, содержащие Ф(а, 6; ж) ................................ 38 1.15. Гипергеометрическая функция Гаусса 2-Fi(ct, Ь; с; аз) . ................. 39 1.15.1. Интегралы вида a;Q2Fi(a,fe;c;ic) <1ж .............................. 39 1.15.2. Интегралы вида A — х)@ 2^\(а5 Ь; с; х) dx .......................... 40 1.15.3. Интегралы вида хаA ¦— х)^ 2^i(ct, 6; с; ж) da; ........................ 40 1.16. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); ж), G-функция Мейера, JE7— Функция Мак-Роберта И JEf-функция Фокса .................. 41 1.16.1. Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); ж) ........................... 41 1.16.2. Интегралы, содержащие (j-функцию Мейера ......................... 41 1.16.3. Интегралы, содержащие ^-функцию Мак-Роберта ..................... 42 1.16.4. Интегралы, содержащие Н-функцию Фокса .......................... 42 1.17. Эллиптические функции Якоби и Вейерштрасса ................... 42
Оглавление 1.17.1. Интегралы вида f(snu) du ................................... 42 1.17.2. Интегралы вида /(спи) du ................................... 43 1.17.3. Интегралы вида f(dnu) du ................................... 44 1.17.4. Интегралы вида /(sntx, en и, dnu) du ............................. 44 1.17.5. Интегралы, содержащие эллиптические функции Вейерштрасса ............. 46 Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .......................... 47 2.1. Введение. ................................................. 47 2.2. Гамма-функция Г(аз) ......................................... 47 2.2.1. Интегралы по прямой (-у — гоо, "у + ioo) .............................. 47 2.3. Обобщенная дзета-функция ?(в,аз) ............................... 48 2.3.1. Интегралы от f(x)?(s, a + bx) ................................... 48 2.4. Многочлены Бернулли Вп(х) и Эйлера Еп(х) ...................... 48 2.4.1. Интегралы от f(x)Bn(x) ....................................... 48 2.4.2. Интегралы, содержащие произведения многочленов Бернулли ............... 49 2.4.3. Интегралы от f(x)En(x) ....................................... 50 2.4.4. Интегралы от Ет(х)Еп(х + а), Вт(гх)Еп(х) ......................... 50 2.5. Полилогарифм Ы1/(ж) ........................................ 50 2.5.1. Интегралы общего вида ........................................ 50 2.5.2. Интегралы от А(х) Lin( —еж) ..................................... 51 2.5.3. Интегралы от А(х) Li2( —еж) ..................................... 52 2.6. Обобщенные интегралы Френеля S(x, и) И С(х, i/) ................... 52 2.6.1. Интегралы общего вида ........................................ 52 {S(cx I/) 1 ' > ................................... 57 С(сх, I/) J ±г ( S(CX I/) 1 2.6.3. Интегралы от хаерх I к ' J } ................................ 59 [ С(сх, и) J 2.6.4. Интегралы от ха < >< ' >.............................. 59 [ cos bx J {C(cx,v)) 2.6.5. Интегралы от яа Пп(а: + z) 1 j 5(сЖ, i/ 59 2.6.6. Интегралы от A S^x^\\{ ^*>*)\ ............................ 60 1СF) J 1С() J {S(cx i/) 1 >......................... 60 _C(cx,i/) ) ( si(bx) 1 f S(cx,u) 1 2.6.8. Интегралы от ха { \{ >.............................. 61 [ ci (bx) J [ С(сж, v) J 2.6.9. Интегралыот x<*{ ^ ^ i} } { ^'^ } 62 2.6.10. Интегра.ыот ,4 S^X\ }{ S?*' V\ } 62 {C(bx)) {C(cx,v)} 2.6.11. Интегралы от ЖЛ т(м, M 1| 5(СЖ, 2.7. Функции Струве Н^аз) И L^ (аз) ................................. 63 2.7.1. Интегралы общего вида ........................................ 63 2.7.2. Интегралы от хаШ1/(сх) ....................................... 69
6 Оглавление 2.7.3. Интегралы от xa(z ± xf I H"(ca;) I ................................ 69 I Меж) J 2.7.4. Интегралы от xa(z2 ± х2I3\ и^СХ' \ .............................. 70 2.7.5. Интегралы от жае~раЧ "ч ; ^ .................................. 71 [ Ъи(сх) J 2.7.6. Интегралы от хае^рх±2 I Н^СЖ^ 1 ................................ 72 I Меж) j 2.7.7. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и Ну (еж) .............. 72 {Ни(сх) 1 > ............ 73 Меж) J 2.7.9. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции и Н^ (еж) ....... 74 2.7.10. Интегралы от хаШ,Л(Ьх±1)Ш1/(сх) ................................ 74 {Hjjicx) 1 > ......................... 74 Ьи(сХ) J {Н (еж) 1 1/1 ' } .............................. 74 Li/(cx) J 2.7.13. Интегралы, содержащие ^^(ба;)^ v \ ........................... 74 [ liU(cx) J 2.7.14. Интегралы, содержащие J^(bx г)Ши(сх) ............................ 75 2.7.15. Интегралы, содержащие YfJ,(ip(x))M.t/(cx) ............................ 76 2.7.16. Интегралы, содержащие произведения специальных функций на Yu(cx) ¦— Н|/(сж) . . 77 2.7.17. Интегралы, содержащие произведения элементарных функций на /±у(сж) — L^(c?c) . 78 2.7.18. Интегралы, содержащие произведения специальных функций на 1±и{сх) — Liu(cx) . 79 {Н^(сж) 1 > ......................... 80 Меж) J 2.8. Функции Ангера Jl/(a?) и Вебера "Еи(х) ........................... 82 2.8.1. Интегралы общего вида ........................................ 82 2.8.2. Интегралы от А(х)\ и^СХ* \ .................................... 84 [Ви(сх) J хП { JlJ)CX\ I 1Е,(сж)/ 2.8.3. Интегралы от хае^рхП { JlJ)CX\ I ................................. 85 1Е(сж)/ 2.8.4. Интегралы от ж"/81116"}/^^} ............................... 85 [cosbx ) [Е1/(еж) J {Jj/fcx) 1 > .......................... 86 Е(сж) J 2.9. Функции Ломмеля «/л,ь/(ж) И Sp,iV{x) ............................. 87 2.9.1. Интегралы общего вида ....................................... 87 [S^^(cx) j 2.9.2. Интегралы от А(х)\ ^'^СЖ^ 1 ................................... 89 [S(cx) j хГ [ ^'"(сж) \ {Sp,v(cx)) 2.9.3. Интегралы от хае^рхГ [ ^'"(сж) \ ................................ 91 {Sp,v(cx)) 2.9.4. Интегралы, содерж;ащие тригонометрические или обратные тригонометрические функ» f \ .............................................. 92 2.9.5. Интегралы от xaJx(bx±l)< M' > .............................. 93 2.9.6. Интегралы от xaY\(bx)sfJijl/(cx) . ............................. 94 Зц,и\сх) I ............................. 94 2.9.8. Интегралы по индексу, содержащие Sn,nix(c) .......................... 94
Оглавление 2.10. Функции Кельвина < v { beiz/(a;) 2.10.1. Интегралы общего вида ....................................... 95 2.10.2. Интегралы, содержащие алгебраические функции и функции Кельвина ......... 98 2.10.3. Интегралы, содержащие е^рх и функции Кельвина .................... 99 2.10.4. Интегралы, содержащие тригонометрические или логарифмическую функции и функ- функции Кельвина .................................................. 100 2.10.5. Интегралы, содержащие произведения двух функций Кельвина .............. 101 {l-»«|* J л /у* \ I "; !} ............................. Ю2 Ъе\и{сх) J 2.10.7. Интегралы от ха Ju(bx){ кеГ" ^ 1 ............................... 102 [ keiu{cx) j 2.10.8. Интегралы, содержащие Кц{Ъхп) и функции Кельвина .................. 102 2.11. Функции Эйрж Ai (аз) ж Bi (аз) ................................. 103 2.11.1. Интегралы общего вида ....................................... 103 Г Ai (еж) 1 2.11.2. Интегралы от А(х){ ) {} ................................... 105 1В1(сж) J г Г Ai (етI 2.11.3. Интегралы от хае^рх I К } \ ................................. 105 I Bi (еж)J 2.11.4. Интегралы от ха \ вШ Х > Ai (еж) ................................ 105 [ cos bx J 2.11.5. Интегралы от ха Ju{bxr) AI (еж) .................................. 106 2.11.6. Интегралы от Ai {ах + Ъ) Ai (еж + d) ............................... 106 2.12. Интегральные функции Бесселм «/«^(х), Неймана Yijj{x) и Макдональда Kiv(x) ...................................................... 106 2.12.1. Интегралы общего вида ....................................... 106 2.12.2. Интегралы от А{х)Ли{сх) и А(х)\ %1/^СХ^ I ......................... ИЗ { Kiy{cx) J 2.12.3. Интегралы от хае^рх±П Jiv{cx) и хае^рх±П { Ytt/^x) X ................. Ц4 { Kiv{cx) J _, f sin bx 1 . _, f sin bx 1 Г Уг„(еж) 1 2.12.4. Интегралы от ж° }Ли{сх) и ха{ \{ х ; ^ ............... 115 [ cos 6ж j [ cos bx ) { Ki (еж) J 2.12.5. Интегралы от ха < 9 9 > Jiv{cx) и ж"< (^ In |ж — z \ ) | In 2.12.5. Интегралы от ха { ^ ^о ' V \ЛАсх)тха( "* ч"\ + V U * "иу""'' ^ ........ 116 , Kiv{cx) _ 2.12.6. Интегралы, содержащие Ei { — bx)Jii/ (еж) или Ei ( — bx)l v > ............ 116 ^Ьг.^и^!^;}!^} 117 ciFaj)J [ci {bx) ) [Kiu{cx) (erf{bxr)} . . f егГFжгI f Yiv{cx)\ 2.12.8. Интегралы, содержащие ^ v /^^(сж) или <^ v \\\ ) \\ ...... 118 [?F )J [?F )j [^()] )] 2.12.9. Интегралы от A S(bx) }jiv(cx) и x~{ S(bx) U У^(сХ) ) 119 \c(bx)j "K ' \c(bx)j\Kiv(cx)j 2.12.10. Интегралы от х° ( ^' Ьх) \jiv{cx) и ,./7(с.ИН^И| 120 {Yi (сжI > .......... 120 Ki{cx)j {Yi (ex) 1 > 121 Kiu{cx)) 2.13. Функция Лагерра Lv(x) ...................................... 122 2.13.1. Интегралы общего вида ....................................... 122 2.13.2. Интегралы от А{х)е^рхLv{cx) .................................. 127 2.13.3. Интегралы от жае??(ж)Ь1/(сж) .................................... 129
8 Оглавление 2.13.4. Интегралы от хае^сх{ r }Lu(cx) ............................. 130 [cos bx J 2.13.5. Интегралы от хае~сх [ Ы<кХ +^ *\ьу(сх) .......................... 130 ! 1п|жп - zn\ J 2.13.6. Интегралы от хае^ Ei(bxk)LIJ(cx) .............................. 131 2.13.7. Интегралы от хае^сх {Sl)bX r{ \ь„(сх) ............................. 132 {ci(bxr) J {erf (bxr) 1 1 ; \lu(cx) ............................ 132 erfc (bx ) J Г S(bxr) 1 2.13.9. Интегралы от жае^саЧ V ; }Lu(cx) ............................. 132 {C(bxr) j 2.13.10. Интегралыотжае~сжG^'к Нь^сж) ........................... 133 1ГОЬжг) J 2.13.11. Интегралы от xote~cxJIJb{bxr)LlJ(cx) .............................. 134 2.13.12. Интегралы от хае^сх\ Y^bx ) Цлсж) ........................... 135 2.13.13. Интегралы от хае^х)Lll(bxr)L1J{cx) ............................. 135 2.13.14. Интегралы от xae(p^Hm(bxr)LU(еж) ............................. 136 2.13.15. Интегралы от хае^ Lfi(bxk)Liy(cx) .............................. 136 2.14. Функция Бейтмена к^(х) ..................................... 136 2.14.1. Интегралы общего вида ....................................... 136 2.14.2. Интегралы от А(х)е^х)kv(cx) .................................. 142 2.14.3. Интегралы от хае^рх\ 8Ш &Ж \kv{cx) .............................. 144 [cos bx J 2.14.4. Интегралы от жае^ржAп^Ж + ^Н^1/(сж) ........................... 145 [ In |ж — z\ j 2.14.5. Интегралы от хае~рх FA(±bx)kv(cx) .............................. 145 2.14.6. Интегралы от жае"рж< ч 7 fcJca;) ............................. 146 [d(bx) ) 2.14.7. Интегралы от жае^рж{ erf Fж ) 1 ^/ч ............................ 147 [ erfc Fж ) J 2.14.8. Интегралы от хае^рх\ S^bx\ \ku(cx) .............................. 147 [ С(Ьх) J 2.14.9. Интегралы от хае^рх< J^jbX^\kl/(cx) ............................ 148 {Г(Ь)} 2.14.10. Интегралы от кц{Ъх)ку{сх) .................................... 148 2.15. Неполные эллиптические интегралы F(x, fe), Е(х, к), П(ж, i/, fe) .......... 149 2.15.1. Интегралы от /(ж)< ' > ................................... 149 [ Ej(ж, /г) J 2.15.2. Интегралы по модулю А; ....................................... 150 2.16. Эллиптические интегралы К(ж), Е(ж) ............................ 150 2.16.1. Интегралы общего вида ....................................... 150 Г Щсх) 1 2.16.2. Интегралы отжа V ; \ ..................................... 152 2.16.3. Интегралы от (ж ± a)a(b ± ж)/3К(сж) ............................... 152 2.16.4. Интегралы от (ж2 ± a2)a(b2 ± x2f { ; [ 1 ......................... 153 [ Щсх) J 2.16.5. Интегралы от жа(ж2 ± а2I3(Ь2 ± ж2O! ^СХ^ I ........................ 154 I Щсх) J 2.16.6. Интегралы от А(х)~К(сх) ...................................... 156
Оглавление 2.16.7. Интегралы от А{х)\ К, , чч 1 .................................. 157 1 j 2.16.8. Интегралы от А(х)е^ [ К(сж^ 1 ................................ 158 1 Е(еж) j } ............................ 159 Е(сж) J 2.16.10. Интегралы, содержащие In A(x)~K(cx) ............................. 160 2.16.11. Интегралы, содержащие Е1 (у?(ж)) или erfc (у?(аз)) и К(сж) ................ 160 2.16.12. Интегралы, содержащие Jt/(<f(x)) или ^(^(ж)) и К(сж) ................ 160 Г К(сж) 1 2.16.13. Интегралы, содержащие К~1,(у?(ж))< > ......................... 161 I Е(сж) J 2.16.14. Интегралы от Д(ж)Н0О(ж))К(сж) ............................... 162 2.16.15. Интегралы от Л(жMм^(^(ж))К(сж) .............................. 162 2.16.16. Интегралы от А (ж) /К^Ж))К(СЖН .............................. 162 1 Ч Е(??(ж))Е(сж) J 2.17. Функции Лежандра 1-го рода Р^ (х) j P^f (х) ........................ 162 2.17.1. Интегралы от (zm ± хт)^Р^(сх) ................................. 162 2.17.2. Интегралы от xa(z2 ± x2fpff{cx) ................................ 163 2.17.3. Интегралы от (ж ± a)a(b ± хI3 Р?((р(х)) ............................ 164 2.17.4. Интегралы от (хт ± am)a(fe2 ± ж2)^Р^(сж) .......................... 165 2.17.5. Интегралы от (ж ± а)а(b ± x)^(d ± жOР^(сж) ........................ 166 2.17.6. Интегралы от Л(ж)[Р^(сж) + Р^(-сж)] ............................. 168 2.17.7. Интегралы от А(х)е^х) Pj?(x(x)) ................................. 168 2.17.8. Интегралы, содерж:ащие гиперболические функции и Pjf((p(x)) .............. 169 2.17.9. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и Р^((р(х)) ............ 170 2.17.10. Интегралы, содержащие erf (ip(x))P^(cx) ........................... 170 2.17.11. Интегралы, содержащие е6^2'/4Dх(Ьх)РЦ1 (сх) ........................ 171 2.17.12. Интегралы, содержащие J\((p(x))Pjf(x(x)) •••••••••••••••••••••••••• 171 2.17.13. Интегралы, содержащие Y\((p(x))P^(cx) ........................... 173 2.17.14. Интегралы, содержащие 1\((р(х))Р^(сх) ........................... 174 2.17.15. Интегралы, содержащие K\{(p{x))Pj^{cx) ........................... 174 2.17.16. Интегралы, содержащие I Л^Ж^ 1р^(сж) ........................ 175 [ L,x((p(x)) j 2.17.17. Интегралы, содержащие SXj\((p(x))Pjf (еж) .......................... 175 2.17.18. Интегралы, содержащие К(у?(ж))Р1/(сж) ............................ 176 2.17.19. Интегралы от Л(ж)Р^Fж)Р^(сж) ................................ 176 2.17.20. Интегралы от A(x)P}?i<p(x))Pg(x(x)) ............................. 179 2.17.21. Интегралы, содержащие показательную или тригонометрические функции Р?(<р(х))Р?(х(х)) ............................................... 180 2.17.22. Интегралы от жа«/Л(^(ж))Р^(сж)Р^(еж) ............................ 180 2.17.23. Интегралы, содержащие три функции P{f((p(x)) ....................... 181 2.17.24. Интегралы по индексу от произведений Рах+и(с) на элементарные функции .... 181 2.17.25. Интегралы по индексу от произведений Р?х_1 /2^с) на элементарные функции . . . 182 2.17.26. Интегралы по индексу от произведений Ргш^1/2(с) на специальные функции .... 182 2.17.27. Интегралы по индексу от произведений Р?х+и (с) на специальные функции ..... 184 2.17.28. Интегралы по индексу от произведений Pjra._i/2(&)Aa;-i/2(c) на элементарные функции ..................................................... 187 2.17.29. Интегралы по индексу от произведений Ргш-1/2(^)Аж-1/2(с) на специальные функ- функции ......................................................... 188 2.17.30. Интегралы по индексу, содержащие Р^ГЖ_1/2F)Р^____1 ,2(с) ................ 188 2.18. Функции Лежандра 2-го рода {^(ж), QjJ(as) ....................... 190 2.18.1. Интегралы от (zm ± xm)PQ^{cx) ................................. 190
10 Оглавление 2.18.2. Интегралы от xa(z2 ± x2)@Q^(cx) ................................ 191 2.18.3. Интегралы от (ж ± a)a(b± x)^Q^((p(x)) ............................ 191 2.18.4. Интегралы от ха(хт ± amf(b2 ± x2OQ^(cx) ........................ 192 2.18.5. Интегралы от (ж - а)а(Ь ± х)@(хт ±dmIQ^(cx) ...................... 193 2.18.6. Интегралы от А(х)е^х)Q4(cx) .................................. 194 2.18.7. Интегралы,содержащие гиперболические или тригонометрические функции и QZ(<p(x)) ..................................................... 194 2.18.8. Интегралы от A(x)Jx(<p(x))Q%(x(x)) .............................. 195 2.18.9. Интегралы от A(x)Kx((p(x))Q%(cx) ............................... 196 2.18.10. Интегралы от A(x)K(ip(x))Qu(cx) ............................... 196 2.18.11. Интегралы от Д(ж)^д(>(ж))^(сж) .............................. 196 2.18.12. Интегралы от A(x)Jr]((p(x))Qxi(cx)Qti(cx) .......................... 198 2.18.13. Интегралы от A(x)P^(ip(x))Q^(cx) .............................. 198 2.18.14. Интегралы от А(х)\ sm(p)x\ XР^(сх)д^(сх) ........................ 199 [cos^(x) J 2.18.15. Интегралы от A(x)Jr,(<p(x))Px(cx)Q?(cx) .......................... 200 2.18.16. Интегралы по индексу,содержащие Q±ix-i/2(c) ••••••••••••••••••••••• 200 2.19. Функции Уиттекера MPjtT(x) И WPitT(x) .......................... 200 2.19.1. Интегралы общего вида ....................................... 201 2.19.2. Интегралы от xaWPjCT(cx) ..................................... 212 2.19.3. Интегралы от хае^рх < р'а У ................................ 213 2.19.4. Интегралы от хае^х' < р'а > ............................... 214 2.19.5. Интегралы от А(х)е±сх^21 7/^/^4 \ ............................. 216 2.19.6. Интегралы от х^е±сх/2 i smbx 1 Г—am>v~«v k ........................ 220 2.19.7. Интегралы от жае±сш/2 In (^(ж)|Мр)<т^СЖ^ I .......................... 222 2.19.8. Интегралы от xae±cx/I Ei(-bx){ р' ) ' } ......................... 223 2.19.9. Интегралы оТ х-е"{ , V."^ Ц ™^^J ^ 224 2.19.10. Интегралы от жогерж1)|/F(ж + z)±1/2)| „/'"",, } ..................... 226 2.19.11. Интегралы, содержащие е±сх^А Jv(bx±r)l ±гж^ах-^^ {. ................... 227 2.19.12. Интегралы, содерж;ащие /?/Fжг)< [> ........................ 231 Г У (Ьжг) 1 Г М (сх) ' 2.19.13. Интегралы, содержащие < и\ \\ Pia) [ )> ...................... 233 [ Kv(bxr) J {WPya(cx) J 2.19.14. Интегралы от жае±сж/2Н1/FЛ/^)(Мр'сг(СЖН ........................ 237 [ Wp,a(cx) J 2.19.15. Интегралы от А(х)е±сх^2 Pn(ax±r ~ h){MpJ<T^X\X .................... 238 1 И^р,ст(сж) j 2.19.16. Интегралы от Л(ж)ерж1„(а + Ьж)^ Pj } ........................ 241 {WP}a(cx) ) 2.19.17. Интегралы от хае^рхНп(Ьу/х){ р^а^СХ^ I ......................... 242 {WPia(cx) )
Оглавление 11 2.19.18. Интегралы от A(x)e±cx^2C^{ax±r ^ b){Mp'a^X\\ .................... 242 2.19.19. Интегралыот Л(Ж)е±сж/2Р^'1/)(аЖ±1 ^1)(Мр'а^ЖН .................. 247 1 WPia(cx) J 2.19.20. Интегралы or^Je^/2/^^^ If М^(СЯI ..................... 249 2.19.21. Интегралы от Л(ж)е±сж/2Р^(^(ж)IМр!<т^СЖН ....................... 250 {WPj(T(cx) j 2.19.22. Интегралы от ^(x)e±ca;/2Q{;(^(^))fMp'cr^a'H ....................... 253 2.19.23. Интегралы от А(х)\ М^Х + *\\{ М^х\ \ . ..................... 254 2.19.24. Интегралы от жае/(ж) f] М^.,^. (Ь^х±г) WPk^k (ckxTl) ................. 257 2.19.25. Интегралы от ха cos ахМ^^(Ьх)МРга- (еж) ........................... 259 2.19.26. Интегралы от жа^Fж±г) f\ MPjj<Jj(bjx)WPkjCTk(ckx) ................... 260 2.19.27. Интегралы от ха < v ±/ H > ................. 262 2.19.28. Интегралы по индексу, содержащие MPjG(c) или WpitT(c) ................. 262 2.20. Вырожденные гипергеометрические функции Куммера iJPi(a;6;sc) и Три- коми Ф(а, 6; as) ................................................. 264 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2-Fi(ci, Ь; с; аз) . ................. 264 2.21.1. Интегралы от Д(ж) 2^1 (а, 6; с; ж) ................................. 264 2.21.2. Интегралы от A(x)e^px±r 2F1(a1 b; с; <р(ж)) ........................... 268 Г з1п(ГЖ±1/2 1 2.21.3. Интегралы от Д(ж)^ +1/9 > 2^1@, 6; с; <р(ж)) ...................... 270 У cosax^ 1 J 2.21.4. Интегралы от A(x)Jl/(ax±rJF1(a1 b; с; у>(ж)) ......................... 272 2.21.5. Интегралы от Л (ж) i ^l^V^j i 2^^^ 5; с; у?(ж)) ....................... 274 2.21.6. Интегралы от Д(ж)АГ1/(у?(ж)J^1(а, 6; с; х(ж)) ......................... 275 2.21.7. Интегралы от Л(ж)К(о-ж) 2Fi(a, b;c; у(ж)) ........................... 277 2.21.8. Интегралы, содержащие функции Уиттекера и 2-Fi(a, 6; с; шх) .............. 277 2.21.9. Интегралы, содерлеащие произведения двух функций 2-Fi(a, Ь; с; у?(ж)) ......... 277 2.21.10. Интегралы по параметрам, содержащие 2^1@., 6; с; ж) ................... 279 2.22. Обобщенная: гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); ж) и гипергеомет- гипергеометрические функции двух переменных ................................ 280 2.22.1. Интегралы общего вида ....................................... 280 2.22.2. Интегралы от А(х) pFq((ap); (bq); <p(x)) (см. также 2.23.1) ................ 282 2.22.3. Интегралы от ef^pFq((ap);(bq); ex) (см. также 2.23.2) .................. 282 2.22.4. Интегралы, содержащие функции Бесселя и pFq((ap); (bq); сх) (см. также 2.23.3) . . 284 2.22.5. Интегралы, содержащие различные специальные функции и pFq((ap); (bq);cx) (см. также 2.23.4-6) ................................................. 285 2.22.6. Интегралы по параметрам, содержащие pFq((ap); (bq); ж) .................. 286 2.22.7. Гипергеометрические функции двух переменных ....................... 287 2.23. ?7-функция Мак-Роберта Е(р; ar : q; bs : ж) ......................... 288 2.23.1. Интегралы от A(x)E((ap);(bq); ср(х)) .............................. 288 2.23.2. Интегралы, содержащие показательную или гиперболические функции и Е((ар); (bq); еж) ................................................. 288 2.23.3. Интегралы, содержащие функции Бесселя и Е((ар); (bq); сх) ............... 289 2.23.4. Интегралы, содержащие функции Лежандра и Е((ар);(bq);сх) ............... 290
12 Оглавление 2.23.5. Интегралы, содержащие функции Уиттекера mE((ap);(bq);cx) 2.23.6. Интегралы, содержащие произведения двух /^-функций .... 2.24. G-функция Мейера G™ 2.24.1. Интегралы общего вида .... 2.24.2. Интегралы от A(x)G™qn (<p(x) 2.24.3. Интегралы, содержащие показательную, гиперболическую или тригонометрическую функции и G™qn 2.24.4. Интегралы, содержащие функции Бесселя и G^J1 I шх ' 1 2.24.5. Интегралы, содержащие ортогональные многочлены и 2.24.6. Интегралы, содержащие функции Лежандра и (Ор) (М J/k w\ (Ья) ) 2.24.7. Интегралы, содержащие функции Уиттекера и К) (М 2.24.8. Интегралы, содержащие функцию Гаусса 2-^1 (сь, 6; с; ж) и 2.24.9. Интегралы, содержащие sF*((cs); (dt); -(ix)G™n (шх1/к (М 290 290 291 291 293 295 296 297 297 297 298 299 299 299 300 300 2.25. Ж-функцим Фокса ^VQ |W . [bq,Bq\ J 2.25.1. Интегралы общего вида ......................... 2.25.2. Интегралы, содержащие элементарные функции и //-функцию 2.25.3. Интегралы, содержащие специальные функции и //-функцию . 2.26. Тэта-функции %(ж,д) ....................................... 301 2.26.1. Интегралы от /(ж)б^-(ж, q) ..................................... 301 2.26.2. Интегралы, содержащие произведения 0j{ax^q) ........................ 302 2.26.3. Интегралы, содержащие произведения 0j(x,aq) ........................ 302 2.26.4. Интегралы по <у,содержащие 0j(x,aq) .............................. 303 2.27. Функции Матье ............................................ 304 2.27.1. Интегралы, содержащие элементарные функции и сете(ж, q) или sen(x,q) ....... 304 2.27.2. Интегралы, содержащие специальные функции и сеп(ж, q) илизеп(ж,д) ........ 306 2.27.3. Интегралы, содержащие Сеп(ж,д) или Sen(x,q) ....................... 308 2.27.4. Интегралы, содержащие fen(x,q) или gen(x,q) ....................... 309 2.27.5. Интегралы, содержащие Реп(ж,д) или Сеп(ж,д) ....................... 309 2.27.6. Интегралы, содержащие произведения функций Матье ................... 310 2.28. Функции ъ'(аз), z/(as,p), /х(аз,Л), /х(аз, т, п), Л(аз,а) ................... 311 2.28.1. Интегралы, содержащие i/(ex), v(сх, р) ............................. 311 2.28.2. Интегралы, содержащие /х(сж, А), /л(сх,т,п) ......................... 311 2.28.3. Интегралы, содержащие Л(сж, а) ................................. 312 Глава 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СТУПЕНЧАТЫХ ФУНКЦИЙ .................................. 313 3.1. Введение. 313
Оглавление 13 3.2. Кусочно постоянные функции .................................. 313 3.2.1. Ограниченные функции ........................................ 313 3.2.2. Неограниченные функции ...................................... 314 3.3. Некоторые кусочно непрерывные функции ........................ 315 3.3.1. Степенные функции .......................................... 315 3.3.2. Разные функции ............................................ 317 Глава 4. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ................................ 319 4.1. Введение. ................................................. 319 4.2. Двойные интегралы ......................................... 319 4.2.1. Интегралы, содержащие функции Hl/(x),Ju(x)iheru(x)ibeiu(x)iSfJltU(x) .......... 319 4.2.2. Интегралы, содержащие iF\(a;b;x) ................................ 320 4.2.3. Интегралы, содержащие 2F\(a, b; с; х) .............................. 320 4.2.4. Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq)\ х) ............................ 321 4.3. Многомерные интегралы ...................................... 322 4.3.1. Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); x) ............................ 322 4.3.2. Интегралы по сфере .......................................... 322 4.3.3. Разные интегралы ........................................... 323 Глава 5. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ .................................. 324 5.1. Числа и многочлены Бернулли ВП9 Вп(х) и Эйлера Еп, Еп(х) .......... 324 5.1.1. Суммы, содержащие Вп ........................................ 324 5.1.2. Суммы, содержащие Вп(х) ...................................... 324 5.1.3. Суммы, содержащие Еп ........................................ 325 5.1.4. Суммы, содержащие Еп(х) ...................................... 326 5.2. Функции Лежандра Р?(х) и Q?(x) .............................. 326 5.2.1. Суммы вида ]Г акр??к(х), "?а^±шк(х) ......................... 326 5.2.2. Суммы, содержащие произведения функций Лежандра .................... 327 5.3. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((o>p)i (bq); ж) и G-функцим Мейера. ..................................................... 327 5.3.1. Суммы вида ^afcP+iFg( —А; — га, (ар); Fд);ж) ......................... 327 5.3.2. Суммы вида Vj ак p+2Fq( — k, v + к, (ap); F9); x) ....................... 328 5.3.3. Суммы вида \J a^ p+iFg( —fe, (ap) + k; (bq) + k\ x) ...................... 329 5.3.4. Суммы вида V^ a^ p^-tFq(^k, (ap) — mk; (bq) — nk; x) .................... 329 5.3.5. Суммы вида ]P ak pFq({ap) + k(cp);(bq) + k(dq); x) ..................... 330 5.3.6. Суммы вида ]Г ак pFq((ap) - k(cp); (bq) - k(dq); x) ..................... 331 5.3.7. Разные суммы, содержащие pFq((ap); (bq); x) .......................... 332 5.3.8. Суммы, содержащие Gr-функцию .................................. 332 5.3.9. Суммы, содержащие многочлены Неймана Оп(х) ....................... 333 5.3.10. Разные суммы ............................................. 333 Глава 6. РЯДЫ. .............................................. 335 6.1. ВВЕДЕНИЕ ............................................... 335 6.2. Обобщенная дзета-функция C(s,v) ............................... 335 6.2.1. Ряды вида ^ aktk((s ±k,v) .................................... 335
14 Оглавление 6.3. Числа и многочлены Бернулли Bnj Вп(х) ш Эйлера Еп, Еп(х) .......... 335 6.3.1. Ряды вида ^ акВк .......................................... 335 6.3.2. Ряды вида ^ акВк(х + ку) ..................................... 336 6.3.3. Ряды вида ^акЕк .......................................... 336 6.3.4. Ряды вида ^акЕк(х + ку) ..................................... 337 6.4. Функции Струве Н1/(х), Вебера Е1/(х) и Ангера «/^(ж) ................. 337 6.4.1. Ряды, содержащие Н1/(ж) ....................................... 337 6.4.2. Ряды,содержащие "E(k)u(x) ..................................... 338 6.4.3. Ряды,содерхашие Ли(х) ........................................ 339 6.5. Функции Лежандра Р?(х) и Q?(sc) .............................. 339 6.5.1. Ряды вида J2a^Ktka(x) ...................................... 339 6.5.2. Ряды вида J2a^tta(x) ..................................... 341 6.5.3. Ряды вида J^ ак cos (ka + ьЖ+ка(х) •••••••••••••••••••••••••••••• 341 6.5.4. Рядь, вида Е 6.5.5. Ряды вида *? «ь Pfc&Hx)Р%#% (у) 342 6.5.6. Ряды вида ^a,Q^+^(x)Q^+^22(j/) 342 6.5.7. Ряды вида Еа*^Ж(»)^+^(«) 343 6.5.8. Ряды вида ? a* cos (Ы + Ь)Р?+*? (х)Р?+*?(у) 344 6.5.9. Рядь, вида ? a* cos *aQ?+*? (Ж)С?^+^22(г/) 344 6.5.10. Ряды вида ? afc cos (ka + Ь)Р%+*? (x)Q^+^(y) 345 6.6. Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера i-Fi(a; 5; ж) ....... 345 6.6.1. Ряды вида 2_^ ак l-^i (ctfc; ^fe5 ж) ................................... 345 6.6.2. Ряды вида ^afeiFiCafe^fc^JiF^a;^;;!/) .......................... 346 6.6.3. Разные ряды, содержащие iFi(a;b;x) ............................... 347 6.7. Гипергеометрическая функция Гаусса 2-Fi(ct, ?»; с; ж) . .................. 347 6.7.1. Ряды вида У^ ад. 2^1 (од., бд.; сд.; ж) ................................. 347 6.7.2. Ряды вида ^М^") М^) .......................... 349 6.7.3. Разные ряды, содерж:ащие 2^1(а,6;с;ж) ............................. 350 6.8. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); ж) ........... 351 6.8.1. Ряды вида ^aktkpFq((ap) ± k(cp);(bq) ± k(dq);x) ..................... 351 6.8.2. Ряды, содержащие тригонометрические функции и pFq((ap); (bq); x) ........... 354 6.8.3. Ряды, содержащие специальные функции и pF<?((ap); F^); ж) ................ 354 6.8.4. Ряды, содержащие произведения pFq((ap); (bq); x) ....................... 355 6.9. Различные гипергеометрические функции ......................... 355 6.9.1. Ряды, содержащие 2^2(«, Ь\ с, d; x) ................................ 355 6.9.2. Ряды, соде ржащие 3^2@.1, «2, «з 5 bi, 62; ж) ........................... 356 6.9.3. Ряды, содержащие разные гипергеометрические функции .................. 357 6.10. Ж-функция Мак-Роберта E(p;ar : q; bs : z) ......................... 358 6.10.1. Ряды вида ^2акЕ((ар) ±mk;(bq) ± пк; z) .......................... 358 6.10.2. Ряды, содержащие произведения ^-функций ......................... 359
Оглавление 15 6.11. G-функция Мейера G^n ( z 6.11.1. Ряды вида V aktkG™n (ар)±к(ср)\ (bq)±k(dq)J •••..•••.••••..••••••••...• 6.11.2. Ряды, содержащие тригонометрические функции и бг-функцию ............. 360 6.12. Разные ряды .............................................. 361 6.12.1. Ряды, содержащие многочлены Неймана Оп(х) ....................... 361 Глава 7. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА,ПРЕДСТАВЛЕНИЯ,ЧАСТНЬ1Е ЗНАЧЕНИЯ ............... 362 7.1. Введение. ................................................. 362 7.2. Основные свойства гжпергеометрнческих функций ................... 362 7.2.1. Гипергеометрическая функция Гаусса 2F\ (a, 6; с; z) ...................... 362 7.2.2. Вырожденные гипергеометрические функции Куммера iFi(a; 6;^),Трикоми Ф(а, b; z) и Уиттекера MPj?J(z), WP}CT(z) .................... 365 7.2.3. Обобщенная гипергеометрическая функция pFg((ap); Fg); z) ................ 368 7.2.4. Гипергеометрические функции нескольких переменных .................... 377 7.3. Функции iF0(«;z) и 2-Fi(a,b;c; z) ................................ 382 7.3.1. Представления iFq(a; z) и 2Fi(a, 6; с; z) ............................. 382 7.3.2. Частные значения 2Fi(a, 6; с; z) ................................... 395 7.3.3. Представления 2Fi(a, 6; с; —z) .................................... 410 7.3.4. Частные значения 2Fi(a, b; с; —z) .................................. 411 7.3.5. Значения 2Fi(a, 6; с; 1) ........................................ 412 7.3.6. Значения 2Fi(a, 6; с; -1) ....................................... 412 7.3.7. Значения 2F1 [ а, 6; с; - ] ....................................... 414 7.3.8. Значения 2Fi(-n, 6; с; 2) ....................................... 415 7.3.9. Значения 2Fi(o, 6; с; z0) при z® ф ±1,2±г ............................ 416 7.4. Функция 3F2(ai,a2?a3;bi?b2;^) ................................. 419 7.4.1. Представления 3F2(ai, a2, аз; &1? &2 5 2) .••..•••..•.•...••...•.•.••••. 419 7.4.2. Частные значения 3F2(ai, аг, аз; 6i, &2J ^) ............................ 422 7.4.3. Частные значения 3F2(ai, а2, аз; &i, &2J—я) ........................... 448 7.4.4. Значения 3F2(ai, O2, аз; 6i, 62; 1) .................................. 449 7.4.5. Значения 3F2(ai, аг, аз; 61, 62;—1) ................................. 460 7.4.6. Значения 3F2(ai, 0,2, о-з5 ^1 ? ^25 %о) при zq ф dbl ......................... 464 7.5. Функция 4^з(«1, «2? «3,0,4; 61,62,63; z). ............................ 465 7.5.1. Представления 4F3(ai, аг, аз, 04; &i, &2> &з; 2) •••••••••••••••••••••••••• 465 7.5.2. Частные значения 4F3(ai, аг, аз, а4; 6i, 6гj &з; з) ........................ 467 7.5.3. Значения 4F3(ai, а2, «з5 а45 bi, 62, &з; 1) .............................. 467 7.5.4. Значения 4F3(ai, аг, аз, a4j &i, 62, &з;—1) •••••••••••••••••••••••••••• 473 7.5.5. Значения 4F3(ai, а2, «з5 а4 5 bi, 62, &з; ^о) при zo т^ il •••••.•.••.•••••.•••• 475 7.6. Функция 5-^4(cbi, ... ,as; bi, ... ,64; z) ............................. 475 7.6.1. Частные значения 5F4(ai, ..., 05; 61, ..., 64; iz) ........................ 475 7.6.2. Значения sF4(ai, . . . , 05; 61, . . . , 64; 1) ............................... 475 7.6.3. Значения sF^ai, . . . , as; fei, . . . , 64; —1) ............................. 478 7.6.4. Значения 5Fi(ai, . . . , 05; 61, . . . , 64; zq) при zq 7^ dzl ..................... 479 7.7. Функция 6-F5(cti, ... ,ae; bi, • • • ,65; 2) ............................. 479 7.7.1. Представления 6F5(ai, ..., ae; bi, ..., 65; z) ........................... 479 7.7.2. Значения 6F5(ai, . . . , a®] 61, . . . , 65; 1) ............................... 479 7.7.3. Значения 6F5(ai,...,a6; 61,..., 65;-!) ............................. 480
16 Оглавление 7.8. Функция 7-Fe(«i? • • • jO75 bi, ... ,6в» я) ............................. 480 7.8.1. Значения т^бОъ • • • , «75 6Ь • • • , 66; 1) ............................... 480 7.8.2. Значения 7^б(«1, . . . , а7; 6i, • • • , бе; -1) ............................. 481 7.9. Функции 8F7(«i, ... ,as;bi9 ... ,b7;z) и g-Fefai» ... ,а9;Ьг, ... ,b&;z) . . . . . . . . 481 7.9.1. Значения e^Mai, ... ,a8;6i, ... ,67; ±1) ............................. 481 7.9.2. Значения 9F8(ai, • • • , «g; &ъ • • • , Ь8; 1) ............................... 482 7.10. Функция q+1Fq(oi, ..., aq+i; 61, ... ,bq; z) ......................... 482 7.10.1. Значения g+iF9(ai, ... ,a9+i;6i, ... ,6g; 2) ........................... 482 7.10.2. Значения g+iF9(ai,...,a9+i; 61,..., 6g;±l) .......................... 483 7.11. Функции Куммера %F±(a;b;z) ш Трикоми Ф(а, b; z) .................. 487 7.11.1. Представления 0 Fq(z) и iFi(a;b; z) ................................ 487 7.11.2. Частные значения iFi(a;b; z) ................................... 488 7.11.3. Представления iFi(a; 6; —2) .................................... 491 7.11.4. Представления и частные значения Ф(а, 6; z) .......................... 491 7.12. Функции 2^2(а1,а2;б1,Ь2;;г) и qFq(ai, ... ,og; bi, ... ,6q; г) ............. 492 7.12.1. Представления 2F2(ai, a2 5 6i, &2 5 ^) ................................ 492 7.12.2. Частные значения 2F2(ai, аг; &i, 62; z) .............................. 492 7.12.3. Представления 3Fs(ai, a2, аз; 6i, 62, 63;—2) .......................... 499 7.12.4. Представления qFq((aq); (bq); z) .................................. 499 7.13. Функция 0Fi(fe;z) .......................................... 499 7.13.1. Представления и частные значения oFiF;diz) ......................... 499 7.14. Функция 1^2(a; bi,b2;z) ...................................... 500 7.14.1. Представления iF2(a; 61, 62; z) ................................... 500 7.14.2. Частные значения 1F2 (a; fei, 62; z) ................................. 501 7.14.3. Представления iF2(a; 61, 62; —z) ................................. 512 7.14.4. Частные значения iF2(a; 61, 62; ^z2) ............................... 513 7.15. Функция 2F3(ai,a2;bi,b2,b3;z) ................................ 513 7.15.1. Представления 2^3@1, a2; fc»i, 62, b%; z) ............................. 513 7.15.2. Частные значения 2Fs(ai, 02; 6i, 62, 63; z) ........................... 514 7.15.3. Представления и частные значения 2^з(а1, «2; 6i, &2, bg; —z) ............... 514 7.16. Функции вида 0Fq((bq); z), qr = 2, 3, ... ........................... 514 7.16.1. Частные значения 0^2F1,6252:) .................................. 514 7.16.2. Представления и частные значения о-^з(&1> &2> &з; z) ••••••••••••••••••••• 514 7.16.3. Представления и частные значения о-^з(&1> &2> &з; —г) •••••••••••••••••••• 515 7.16.4. Представления 0^4F1,62563,64;^) и oFq—i((bq—i); z) .................... 516 7.17. Функции видар-Ро(-п,(ар_1); 2), р = 2,3, ... ....................... 516 7.17.1. Представления 2^о(—n,a;z) .................................... 516 7.17.2. Представления 2^Ь(—п, а; — z) ................................... 517 7.17.3. Представления з^Ь(^?г, oi, «2; 2) ................................. 517 7.18. Разные гипергеометрические функции ........................... 517 7.18.1. Представления iFq(a;(bq); z) .................................... 517 7.18.2. Представления 3Fg(ai, a2, аз; 61, •••, be; 2) ........................... 517 7.18.3. Представления 4Fi(—n, ai, аг, аз; 6; г) ............................. 517 Глава 8. G-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА И Я^ФУНКЦИЯ ФОКСА. ............. 519 8.1. Введение. ................................................. 519
Оглавление 17 8.2. G-функцжм Межера < (ap)(bq) J ........................... 520 8.2.1. Определение и обозначения ..................................... 520 8.2.2. Основные свойства ........................................... 520 8.3. Ж-Функция Фокса Н, ¦тп pq ap,Ap][bq,Bq] 528 8.3.1. Определение и обозначения ..................................... 528 8.3.2. Основные свойства ........................................... 529 8.4. Таблица преобразований Меллина ж представлений элементарных ж специ- специальных функций через Gr-функцию Мейера ж JEf-функцжю Фокса ........... 531 8.4.1. Формулы общего вида ......................................... 531 8.4.2. Степенная и алгебраическая функции ............................... 532 8.4.3. Показательная функция ........................................ 534 8.4.4. Гиперболические функции ...................................... 534 8.4.5. Тригонометрические функции .................................... 535 8.4.6. Логарифмическая функция ...................................... 537 8.4.7. Обратные тригонометрические функции ............................. 539 8.4.8. Обратные гиперболические функции ................................ 540 8.4.9. Полилогарифм Ып(ж) ......................................... 541 8.4.10. Функция Ф(ж, s, v) .......................................... 541 8.4.11. Интегральная показательная функция Ei (ж) .......................... 541 8.4.12. Интегральные синусы Si (a;),si (ж) и косинус с! (ж) ....................... 542 8.4.13. Интегральные гиперболические синус shi (ж) и косинус chi (ж) ............... 543 8.4.14. Интегралы вероятности erf (ж),erfc (ж) и егп(ж) ........................ 543 8.4.15. Интегралы Френеля S(x) и С(х) ................................. 544 8.4.16. Неполные гамма-функции y(v, х) и ^(^j x) ........................... 546 8.4.17. Обобщенные интегралы Френеля S(x,v) и С(х,и) ...................... 548 8.4.18. Функция параболического цилиндра Du(x) ........................... 548 8.4.19. Функция Бесселя Ju(x) ....................................... 549 8.4.20. Функция Неймана Yu(x) ....................................... 552 8.4.21. Функции Ганкеля Я^1}(ж) и Я^2)(ж) ............................... 559 8.4.22. Модифицированная функция Бесселя 1и(х) .......................... 559 8.4.23. Функция Макдональда Ки(х) ................................... 563 8.4.24. Интегральные функции Бесселя Jiu(x),Yiu(x) и Kiu(x) .................. 566 8.4.25. Функции Струве Н^ж) и Ъи(х) .................................. 567 8.4.26. Функции ВебераЕ„(ж),Е{;(ж) и Ангера JI/(x),J(J(aj) ..................... 568 8.4.27. Функции Ломмеля s^}u(x) и 5^,г/(ж) ............................... 569 8.4.28. Функции Кельвина befi/(ж),beit/(ж),kerjy(ж) и keii/(aj) ..................... 569 8.4.29. Функции Эйри Ai (ж) и Bi (ж) .................................... 572 8.4.30. Многочлены Лежандра Рп(х) ................................... 575 8.4.31. Многочлены Чебышева 1-го рода Тп(х) ............................. 577 8.4.32. Многочлены Чебышева 2-го рода Un(x) ............................. 579 8.4.33. Многочлены Лагерра Ln(x) и Ln(x) ............................... 582 8.4.34. Многочлены Эрмита Нп(х) ..................................... 582 8.4.35. Многочлены Гегенбауэра Сп(х) .................................. 583 8.4.36. Многочлены Якоби Р^р'а\х) .................................... 586 8.4.37. Функция Лагерра Lu{x) ....................................... 587 8.4.38. Функция Бейтмена ku(x) ...................................... 588 8.4.39. Функция Ломмеля Uu(x, z) ..................................... 588 8.4.40. Полные эллиптические интегралы К(ж),Е(ж),1Э(ж) ...................... 588 8.4.41. Функции Лежандра 1-го рода Pjf(x) и Ри(х) .......................... 592 8.4.42. Функции Лежандра 2-го рода Q^(x) и Qv (ж) .......................... 599 8.4.43. Функция Уиттекера МРуСТ(х) .................................... 607 8.4.44. Функция Уиттекера Wp^a(x) .................................... 608 8.4.45. Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера 1^1@; 6; ж) ........... 609
18 Оглавление 8.4.46. Вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми Ф(а, Ь; х) ............. 609 8.4.47. Функция 0Fi(b; x) .......................................... 611 8.4.48. Функция iF2(a; 6i, 62; ж) ...................................... 612 8.4.49. Гипергеометрическая функция Гаусса 2.Fi(a, 6; с; ж) ..................... 612 8.4.50. Функция 3-F2(ai, a2, аз; 6i, 62; ж) ................................. 619 8.4.51. Разные функции гипергеометрического типа .......................... 620 8.4.52. Указатель частных случаев G-функции Мейера и /f-функции Фокса .......... 623 Приложение I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ, РЯДОВ,ПРОИЗВЕДЕНИЙ И ОПЕРАЦИИ С НИМИ ................... 626 1.1. Введение .................................................. 626 1.2. Сходимость интегралов и операции с ними ......................... 626 1.2.1. Интегралы по неограниченным кривым .............................. 626 1.2.2. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функ- функций ......................................................... 627 1.2.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами от произвольных функций 629 1.2.4. Интегралы от неограниченных функций по ограниченным кривым ............. 630 1.2.5. Признаки сходимости интегралов от неотрицательных неограниченных функций . . . 631 1.2.6. Равномерная сходимость функций и интегралов, зависящих от параметра ........ 632 1.2.7. Операции с интегралами, зависящими от параметра ...................... 633 1.3. Сходимость рядов и произведений и операции с ними ................ 635 1.3.1. Основные понятия ........................................... 635 1.3.2. Признаки сходимости положительных рядов ........................... 635 1.3.3. Признаки сходимости произвольных рядов ............................ 640 1.3.4. Признаки равномерной сходимости рядов, зависящих от параметра ............ 641 1.3.5. Операции с рядами ........................................... 641 1.3.6. Степенные ряды ............................................. 642 1.3.7. Тригонометрические ряды ...................................... 645 1.3.8. Асимптотические ряды ........................................ 645 1.3.9. Бесконечные произведения ...................................... 646 Приложение II. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА .................................... 647 II. 1. Биномиальные коэффициенты ( ] ............................. 647 v Ь' 11.2. Символ Похгаммера(а)|{, ...................................... 647 11.3. Гамма-функция T(z) ......................................... 648 11.4. Пси-функция if>(z) .......................................... 650 11.5. Полилогарифм LII/(z) ........................................ 651 11.6. Обобщенные интегралы Френеля S(z, и) Ш C(z, i/) ................... 653 11.7. Обобщенная дзета-функция ^(z,t?) .............................. 653 11.8. Многочлены Бернулли Bn(z) и числа Бернулли Вп . ................. 653 11.9. Многочлены Эйлера En(z) и числа Эйлера еп ...................... 654 11.10. Функции Струве Hiy(z) и L,y(js) ................................ 655 11.11. Функции Вебера E^(z), E^(z) и Ангера Jv(z), 3%(г) ................. 656 11.12. Функции Ломмеля sfJ,il/(z) ш S/J,ilJ(z) ............................. 656 11.13. Функции Кельвина beiv^), heiu(z), kerv(z) и kel^z) ................ 657
Оглавление 19 11.14. Функции Эйри AI(z), Bi(z) ................................... 658 11.15. Интегральные функции Бесселя Jiv(z), Yiu(z), Kiv(z) .............. 659 11.16. Неполные эллиптические интегралы Р(ср^к), Е((р,к), ?)(y>,fe), П(<^, is, fe), ?/3?fe) и полные эллиптические интегралы K(fe), E(fe), D(fe) ............ 659 11.17. Функция Бейтмена fel/(z) ..................................... 661 11.18. Функции Лежандра Pv(z), P?(z), Qv(z), Q?(z) .................. 661 11.19. Ж-функция Мак-Роберта Е(р; ar : q;ba : z) ........................ 667 11.20. Эллиптические формулы Якоби cnw, dnw, snw ................... 667 11.21. Эллиптические функции Вейерштрасса р(и), C(u)j ^i11) ¦¦-•--•-¦•¦¦¦- 668 11.22. Тэта-функции 6j(z,q), j = 1, 2, 3, 4 ............................. 668 11.23. Функции Матье ........................................... 668 11.24. Многочлены Неймана On(z) и Шлефли Sn(z) ..................... 674 11.25. Функции u(z), v(z,p), jla(z,A), /x(z,A,p). ........................ 674 Список литературы ............................................... 675 Указатель обозначений функций и постоянных ............................. 678 Указатель обозначений символов ...................................... 686
20 Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ Решение многих задач, относящихся к различным областям науки и техники, приводит к вычислению интегралов и суммированию рядов, содержащих элементарные и специальные функции. Как известно, эта работа значительно упрощается с помощью соответствующей справочной литературы, среди которой следует отметить серию книг Г. Бейтмена и А. Эр- дейи «Высшие трансцендентные функции» и «Таблицы интегральных преобразований», пользующихся мировой известностью, и справочник И.С. Градштейна и И.М. Рыжика «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений». Эти справочники на протяжении нескольких десятилетий являются настольными для физиков-теоретиков и экспериментаторов, инженеров-исследователей, специалистов в об- области прикладной математики и кибернетики. В них, однако, содержатся лишь формулы, полученные до конца 40-х годов, что привело к необходимости издания более полного справочного руководства, в котором были бы отражены новые результаты. В связи с этим в издательстве «Наука» в 1981^1983 гг. вышли книги «Интегралы и ряды. Элементарные функции» и «Интегралы и ряды. Специальные функции», которые включают результаты в этой области математического анализа, опубликованные в последние годы. Предлагаемая вниманию читателя третья книга включает в себя таблицы неопределен- неопределенных и определенных интегралов, конечных сумм и рядов, содержащих функции Струве, Вебера, Ангера, Ломмеля, Кельвина, Эйри, Лежандра, Уиттекера, гипергеометрические, эллиптические, Матье, Мак-Роберта, Мейера, Фокса и некоторые другие. В нее также вошли таблицы представлений обобщенных гипергеометрических функций и таблица преобразо- преобразований Меллина широкого класса элементарных и специальных функций, объединенная с таблицей частных случаев G-функции Мейера. Помещены разделы, посвященные свойствам гипергеометрических функций, С-функции Мейера и Л-функции Фокса. В приложениях содержится дополнительный материал, которых может быть использован при вычислении интегралов и суммировании рядов. Основному тексту предшествует достаточно подробное оглавление, с помощью которого можно отыскать нужные формулы. Используемые обозначения, как правило, общеприняты в математической литературе и приводятся в указателях в конце книги. При ссылках запись ви да 2.17.9.1 обозначает формулу 1 из пункта 2.17.9. Во всех главах к, I, га, в = 1, 2, 3, ..., если не указаны другие ограничения. Для компактности изложения используется сокращенная запись. Например, формула (a2 -x2)^/2\cosbx j м/ж a ) Ь5Г _, /a +1 a _ _ 1 l + a + <5^M^i/ 2 + a + <5 ™ /i x 2F3 —-—, ^ + i5; <5 + ™, 2 ' 2 ' ' ' 2' 2 ' 2 '4 a > 0; Re a > -5; Re/1 < 1; 5 = <
22 Оглавление представляет собой сокращенную запись двух формул: (х \ — ) dx = а/ ,а - о = л/i I ^ 1 ¦ ьт \ А "а + 1 а 3 2 + а- д- i/ 3 + a-/x + i/ а262 2 ' ?+ ' 2' 2 ' 2 ' 4 [а > 0; Re а > -1; Re jw < 1]. (берутся только верхние знаки и верхние выражения в фигурных скобках) и (х \ а/ Г[A + о^ М-^)/2, B + a-/x + ^)/2j X 'а + 1 а 1 1 + а-/х-1/ 2 + a^ii + i/ a262 [a > 0; Re a > 0; Re д < 1]. (берутся только нижние знаки и ниж:ние выражения в фигурных скобках); по определению [-1 771 П ai сЧ=ПГЫ/ПГF,). k=l 1=1 Список основных литературных источников приведен в конце книги. Значительная часть результатов получена авторами и публикуется впервые. Мы надеемся, что три книги справочного руководства «Интегралы и ряды» будут полезны научным работникам, инженерам и другим специалистам, использующим в своей работе математические методы. Авторы
Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1.1. ВВЕДЕНИЕ В этой главе содержатся неопределенные интегралы от специальных функций, а также определенные интегралы, у которых один из пределов интегрирования является перемен- переменным, в случаях, когда подынтегральная функция от него не зависит; постоянная интегри- интегрирования для краткости опущена. Некоторые формулы при определенных значениях параметров теряют смысл. Если эти значения следуют из структуры формулы, то соответствующие разъяснения опускаются. Выражения для интеграла при этих значениях параметров, как правило, даются в после- последующих формулах. 1.2. ОБОБЩЕННАЯ ДЗЕТА^ФУНКЦИЯ ?(в, ж), МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ Вп(х), ЭЙЛЕРА Еп(х) И ПОЛИЛОГАРИФМ Li „(а?) 1.2.1. Интегралы, содержащие ((s, ж), Вп(ж) и 5п(ж). Г 1 1. C(sj x) dx = ((s - 1, х) [Res > 2]. J -L s 2. [ Bn(x) dx = -—Bn+1(x). 3. [ En(x) dx = —J—?/те(ж). 1.2.2. Интегралы вида /Уп(аж)Aж. 1 c^ir / 4i axa+1 _ /1, 1, . . . , 1, а + 1;-аж\ 1. \x Lin(-ax) dx = —-п+2^п+1 о i о [Rea>-1; |arga|<7r]. J ft~T"l yZ, Z, . . . , Z, Q!t^ J f 1 2. — h\n{—ax) dx = Ып+1(^аж) [| arga| < тг]. J x 1.2.3. Интегралы вида /(жIл2(ж) dx. -^v~j dx = -] 1 — ж • I  Г77 JLj121X J UX — JLji21X J — — ill I JL — XI. J ^ JL X j JL X Zi 3. \a2(x) dx = In ж Ыз(ж) — Ы4(ж). J •? 4. — Ы2(ж) dx = In2(l — ж) Ы2(ж) 1п2A — ж) Ы2A — ж) + J JL — X A A I + 31пA - ж)Ы3A - ж) -3Li4(l - х) 1пж1п3A - ж). 1.3. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ 5(ж, и) И С(ж, и) S(ax, p) 1.3.1. Интегралы вида f(x) 1 . С (ах, и) I, О. — 1 I О[AХ. Is) I I D\UJL. V) I . XI ulttX, Is) I tl I OlttX, Ct " X С (ах, и) ) X С (ах, v) ) а \ С (ах, и) j а \ С (ах, а
24 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.4.1 (ax,v)\ , ж1^" Г 5(аж, i/) 1 а^1 fcosax} C(ax, is) ) 1 — v X С{ах1 и) / 1 — i/I sinaa; /' С(ах,и)ГХ- Ъ \C{ax,v)} -< >[(& + ъа)~и^({у^ ^ж + i^x) =р (& — ia)~u'y{y, ^ж ~ *аж)]. . Г . , Г S(ax, и) \ 1 Г S(ax, v) J \C(ax,i>)) b 2b[\a-bJ \ C((a - Ь)ж, i/)J \a + bj \ С ((a + b)x, v) J J' , f S(ax, v) 1 . 1 . . Г S(ax, v) 1 ysbxi _\ \ > dx = — 81пож< _\ ' > =p [G(аж, i/)J 6 [G(аж, и) ) J_ Г/ а V /С((а-6)ж, i/)l /_о_у ГС((а + Ь)ж, i/; T 26 [\a - b) \S((a-b)x, v)f \a + b) \ S((a + b)x, v\ 1.4. ФУНКЦИИ СТРУВЕ Н„(а;) И Lv(x) 1.4.1. Интегралы вида ж Н„(ах) dx. Т л а1/+1жЛ+|/+2 1. ж Н„(аж) с!ж = ±- ^т^ гт^т ^тгг X | ^ ^г|«^(А«й «LJ1 «LJ1 ^4|«^(-&. 1>€/ «АУ а ^ 7Т оСЗО 1 /\ ~j| U \~ _L J 71 j Za\ 1 U I Г Г Ж1 = 0, ж2 = ж; Re (A + */) > -2 [ [ я?! = ж, Ж2 = оо; а > 0; R< __ .-,_ ..,.., ., ReA< 1/2; Re (A + i/) <0 /,,\ -^ q /o w § eyfy JL JL|/ I U/eX/ I CXeAy I \< а [[ж1=ж,Ж2:::::::::::сх),а>0; Re v < — 1 ail . ,„ ,-+3 3. i/—l l —i/ 0( О Г22 /1, 1; -а2а2 к Т1 5. j- 1.4.2. Интегралы вида ж егжН|/(ж) с!ж. ±1/ «* ж1±|Уе*ж ^^ж; ж^ 2г/ dz 1 ^^J^2 ^±il ° A 11/2 f г^тг/2 т + 1±1/2Ц егх-1 2. 1 ж^1/2егжН^1/2(ж) dx = Si Bж) -\ ^=- [С + 1п2ж — ci Bж)]. Г Г 1/^-1/2; Rei/>-lll LI ^^^i/2 IJ1 о -1/2 г ж 1 Г Ж 3. ж ' е Н1/2(ж) dx = 2 ci (ж) — ci Bж) — С — In—Ь 2iSi (ж) — iSi Bж) . J V2tt L 2 ' о
1.4.4] 1.4- Функции Струве Ми(х) uhv(x) 25 1.4.3. Интегралы вида жЛНм(аж)Н1/Fж) dx. г iff 1. жлНм(ж)Н|/(ж) dx = I -(Л + /х + I/ - 1) жлНм^1(ж)Н?/^1(ж) с!ж + J Л — [A — V-\-l( J хх+^Ш^г{х) dx - 1/2) 2. HA1(a;)Ht/(a;)da;= {/ ax o /оч ж и^^ж; аж > см. i.4.ij. /tt V(u + 3/2) J J tt Г(/1 + 3/2) J i/tt V(u + 3/2) [см. 1.4.1]. Г 1 Г J ft2 - 62 { l + —=—; ™^ la17 x^Wvlbx) dx — 6 ж^Н^Гаж) <^ж > [см. 1.4.1]. у7Г 1 ^ 5. [Ih (,)HJx)i J ж M H (ж) dx — [cm. 1.4.1]. f 1 и -— 1 Г 1 1 g# ¦—-Н^(ж) dx = -~Н^__1(ж) da; [Н^__1(ж) + Н^(жI + H|/_i(a;) da; [см. 1.4.1]. [см. 1.4.1]. f 1.4.4. Интегралы вида ж JM(aa;)H1/(fea;) "+"+1^(х)-а^х) dx = 2(ax + i/ + 1 1 ' IL™™ — — ' [CM. [i8]) 1.8.1]. . f a;-''-'+1^(a!)Hl,(a!) dx = J v I) Г ж 3. a;JI/(aa;)HI/Fa;) da; = — —[bJu(ax)'H.u-i(bx) — aJt/-i(ax)'H.u(bx)] — л "-" Г » т / \-wrt /J \ т/ / \ -Ш--Ш- /» \1 ЯХ ^rг^[6Л(аж)Нг/(Ьж) аХ(аж)Н1/Fж)]ъг ( а1 — Ьл а1 — о1 \а х [^
26 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.4.5 5. l-Jp{x)Hu{x) dx = Х_ 2[^(ж)Н1/_1(ж) - Jli-1{x)H.v{x)} - X 1 Г 1 п~1 J x 2n \V? k=Q - [Jo(x)Ho(x) - Jn(x)Mn(x)] - 2 2^ Jk(x)Mk(x) \ [см. [18], 1.8.1]. 1.4.5. Интегралы вида жАЬ1/(аж) dx. х и+1 x+v+2 / \ \ 2 2\ о [Re(A + ^>-2]. „ Г 1±„т , w ж1=с" 2. jx L,(ax) dx = —Ъи±1(ах) - и — любое о Г Л ж' 1.4.6. Интегралы вида ж е жЬ|/(ж ~ Bi/ + l)r(i/ + 3/ [Re i/ > -1; v + l ±х 2v (l±l)i/Wi -^^-[L,^ Т L,+1(x)] - B|/ + 1)r(|/ + s/2)V?7B^ + 2, 2. f ж^1/2е±шЬ^1/2(ж) dx = ±-^=[Ei(±2:c) - С - 1п2ж]. J у2тг о ж 4. жт1^2е жЬ!/2(ж) с!ж = . Ei (di2a;) — 2Ei (iba;) + С + In — . о X-2 5. f жЛ[/±г/(аж) - Jjv{ax)] dx = 3 /A=bi/ + 1 A±i/ + 3 а2ж2\ 2Agcosj/7T [A + A ib i/)/2] X ' 2 V 2 ; 2 ' 5 ^Г; ~ aA+! sin [(A + i/)tt/2] [A - A ± i/)/2j [cci =0, Ж2 = ж; e = 0; Re (A ± i/) > —1] или [xi = ж, Ж2 = oo; e = 1; Re (A + i/) < 0]. 1.5. ФУНКЦИИ АНГЕРА Jv(x) Ш ВЕБЕРА Е^(ш) 1.5.1. Интегралы вида хх< ^ ; J ? x Ju(ax)\ _ 2(^1)ежЛ+1 . i/тг f cos (i/Tr/2) 1 \ _ 2(^1 / rfiB" (I + A + 1A + 3 и и а2х2\ , 2(-1)?ажл+2 иж (sin (i/tt/2) 1 x2i^8 I 1,1+--; 2+^? 3 + I/ 3^l/- aV^ B/a)A+1e7rsecA7r /sin[(A-i/Or/ 2' 2' 2 ' 2 ' 4 у Г(A-А-1/)/2)Г(A-А + 1/)/2)\со8[(А-1/)тг/
1.6.2] 1.6. Функции Ломмеля 81Л^1/(х) и Б^^(х) 27 [xi = 0, х2 = х; е = 0; Re (Л) > -1] или [х\ = ж, ж2 = оо; е = 1; а > 0; Re (Л) < 0]. 1.6. ФУНКЦИИ ЛОММЕЛЯ вд,. 1.6.1. Интегралы вида I xxI J*'v , \\ dx. S(ax) J ?;й)} - 2А+м~1тт~А~1 msec Л + /17Г^Г(^ ~ " + *) А (м + ^ + 1)/2] / О 2 Г Г = О, Ж2 = ж; Re (Л + fi) > —2; | arg а\ < тг = ж, ж2 = оо; Re Л < 1/2; Re (Л + ц) < 0; а > О ? л 2. j, F (л A + At | i Л + М | о М^ + 3 М + ^ + 3 аж\. 1 2! Л - и + 3 J1 Л 2 ;1-"' 2 ; = О, Ж2 = ж; Re (Л + /л) > —2; Re Л > | Re i/|; | arg a\ < тг ' Ж1 = ж, Ж2 = со; Re (Л + /л) < 0, а > О 3. \xS^u{x) dx 2^r(u+l J 2 - (д + I/ - 1)жН4ж)^-1^-1(ж)] + I xfIMl/(x) dx 1.6.2. Интегралы, содержащие Ju(x) и з^1и(х) . L. 1 — а2 Н — ж J\(x)Sfj,}U(ax) dx = x[Ja(x)s^5 ^(аж) — J\(x)s^j u(ax)] — о x . -| \ т / \ / \ J / \ / \ /\ M X'2/ \ ^^ ?il^ dx = **'" . 0 3. I —'/s т 7 ч ^^^ dx = In I —- 4. о x^1 Ju(x) dx (fJL + V - l)Ji/(x)sfJ,-lii/-i(x) - Ji/-l(x)sfjliU(x) 0
28 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.1 1.7. ФУНКЦИИ КЕЛЬВИНА Ьег^аз), bei^sc), keiv (ж) И Ш„(х) Обозначения: I/„ = Ъети(х), \fu = кег^ (ж), \ f» = Ьеи,(ж), \fu = ке^(ж), u = he\u(x), I gu = ке!1/(ж), 1 gv = — Ьег1/(ж), 1 #„ = — keiv (ж). Далее jv, gV и /*, g-* — любая из этих четырех пар функций. 1 m 1 тж Г л[Ьег1/(ажI Г л ( keiv (аж) 1 1.7.1. Интегралы вида ж < ч ? аж и ж < > ах. ) { Ъе\и{ах) J J I keiu(ax) J , Г ЛГЬег1/(ажI , auxx+i/+1 f cos Ci/tt/4) ' J \Ъе\„(ах) ) ~ 2"(A + + l)r( + l\iC/4) ; 2' "^-' 2 +1' аж / sin Ci/7t/4) \ /A+iz+3^ 3 v I r» ,a4-9 / Л i . . i O\T-l/. . i O\ 1 /O /yl\ П ^ I 2-+-2(A + i/ + 3)r(i/ + 2)\cosCi/7r/4)J 4\ 4 '2'2 ' 2 ' 4 ' 256 [Re(A + i/) > -1]. 2» \^VZ::rJ}dx = UH [ReX>\Re,\^l}. cos Ci/7r/^ sin Ci/7r/^ 1 4l ^ ' 4 ' 2 ' 2' 2' 256 ) 2^-i(A + i/ + l) l j1 sin f°— //l4 ^ A+iz+1^ A+I/ + 5 l + i/ i/ 1# _o^4\ а2^"жл"г/+3 4 ' 4 ' 2'2+'2'^25 cosCi/7r/4) а4ж4 _ 2пжА"п+1 yJ (n-ife-1)! f cos [Cn - 2А;)тг/4] 1 / a2iL , in) - 1^ Z^ 1^7^ «юы i\ I sin [Cn _ 2^)тг/4] J V Г" ' cos [(n — 2k)ж/ 2"+2 ^ A;!(n + fe)!(A + n + Ik + 1) \ sin [(n - 2k)ir/4} f ж+ Г ж1м|/ ^ = 0, 1, 2, . . 3. x1+u fv dx = — (/„+i - gu+i)- 4. xX^v fv dx = -^^(/„_! - gu-г). J ^ J ^ 1.7.2. Интегралы, содержащие произведения функций Кельвина. . Xlf^gv ^ gufu) dx = -X(fufu - fvfu + gugu - gvgv ). Г 1 - I xtfvgt+gvfZ) dx = -^xIBflJgl-f1J~igZ+1-fi;+igl . I x{fl + g-J) dx = x(fug'v - flgv).
1.8.1 ] 1.8. Функции Эйри At (ж) и BI (ж) 29 г 1 4. I xfugu dx = -x2Bfl/gl/ - fv^1gy+1 - fv+igv-i). 5. I x{fl - gl) dx = ^x2(fl - fu-ifu+i - gv + gv-igv+i). f /ГЬегЦж)!2 |ЬеС(жI2\ _ Г Ьег^ж) ЪетЦх) + beiI/(x) ЬеС(ж) 1 J I \ кегЦж) / \ ке^(ж) /I \ keiv (ж) кегЦж) + kei^sc) ке^(ж) / 7. ж[Ьег ;(ж) кег ;(ж) — bei '(ж) ке1;(ж)] dx = ж[Ьег1(ж) keri(a;) — beii(ic) keii(aj)]. 1.8. ФУНКЦММ ЭЙРМ Ai(aj) И BI (ж) Г Г Ai (ж) 1 1.8.1. Интегралы вида f(x)< •) (\ ^х- ? w А+ 2 А + 5 4 х3 ^ (А + 2)ГA/3) V 3 ' 3 ' 3' 9 2. jV/2 Ai(x) dx = ^|^Г (^\ Ui(x)L_2/3 0ж3 О Г ч /9 <3™/^ /i9\J^919\J^Pi /1 I \ _L о ^^/""/^аз/ч О \ _±~ 1 ?_т # JL .4J /\ ~~f~~ ^ JL .u /\ "j" О Tt Q / О Р^ I /-V3 ^э < /л | I О^ 1 #у flf% ——— _______________^^ О^ ^-- §~j л I „„„„„ ____________________________ * __ ___________________________ * 1 __ fY% I J l ' (А + 1)ГB/3) 2 Чб' 3 ' 3' 3 ' 3 3~1/3 л+2 „ (Ь 2А + 4 5 2А + 7 4 3/2\ ~ (Х + 2)ГA/3)Х 2F2U'^; 3'^~;±3Ж J [ReA>-l]. С ч /9 Q~l/^ /i9\J-919\-l-.l:\ /I 6 Л ±2жл/2/3 ю- / N J A+! n I ' ' i ' J u j (л + 1)гB/з) 22\6' з ' з' з ' з 31/6 л+2 „ /5 2Л + 4 5 2Л + 7 ,4 2 .... . г- Г 1/2 ±2ж3/2/3 д./ \ j 2 з/2 ±2ж3/2/3 д. 7. ж ' е ' Ai (ж) аж = -ж ' е ' Ai о 9 2ж^ ±2ж3/2/з 8. \х'е ' BI (ж) с!ж = -х ' е ; BI (ж) =р J 5 ° /9 \ /9 \1 Ч1/3 /1 Г I ^ 3/2 \ , г ( ^ S/2\\ _ О ' ( I V3 / V3 /J 57Г V3 i# ж3/ 1 T1/3f з/2х f Ai(^) ^= uJZa\ г4/3/ 3/2xfAi^^T 3-^.4 3/2 [Л/з(ах3/2)) ^2 з/Л _ 22/з . 35/V/3 Т7г(9^+4)Ж \/1/3(аЖ3/2);К4 J.U. X ii/з | ^л I ^i i^j ttJ" ~™ '77;х \^x i 1jJl/3 | "^^ I ^-l X'1) ~ о
30 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.8.2 2 3/2\ „, B 3/2 4V3*• Ах 1 /2 I з/2 ^ I ~о I А1{х) ах ^ 4ж Г , . , B 3/2\ 1 /жч1/2 /2 3/2\ „/ /2 з/2 1 /жч п (з) dx = 27T (х/3I/2/1/3BЖ3/2/3) 1(ж) ^/з П тгА1(ж) 1.8.2. Интегралы, содержащие произведения функций Эйри. Обозначения: у = аА1(х) + 6В1(ж), уп = ап Ai (ж) + 6пВ1(ж), га = 1, 2; а, 6, ап, Ъп — комплексные постоянные. tin i -*¦ Г п —1 / / I / ч о то / / , I. ж t/ii/2 аж = ———^[гаж B/i2/2 + 2/12/2) ^ ^ж 2/i2/2 + J 2Bn + 1) + 2жп+ 1/12/2 — га(га — 1) жте~ B/i2/2 + 2/12/2) ^ж г» 1 П —1/ / , /Ч / -1 Ч Г П — 2/ f . /Ч i a f П —1 / / j г \ - 2- =9 ж B/i2/2+2/i2/2)-(^-1) ж (г/12/2+ 2/12/2) "Ж-2 ж 2/i2/2 «ж [тг^. L J J J « f n / j 1 Г - Г n-1 Л . г n + 1, / /J J. ж 2/i2/2 dx = - ж 2/12/2 — га ж г/12/2 аж Н —ж B/i2/2 — 2/12/2) • J 2 [_ J n + 1 J 4. хпу[у2 dx = 2/2п + з\1 (n + 2) UnB/i2/2 + 2/12/2) - 5. \vMdx = xyM-yW*. ^п\Х-\у'1У2 + У1У'2) б. 2/i2/2 ^ = -B/12/2 + ^2/i2/2 ^ 7. 2/i2/2 ^ж = -B/i2/2 + 2/12/2 ¦ Г 1 , , , , , 2 ч 8. ж2/i2/2 «ж = -B/i2/2 + 2/12/2 - 2хугу2 + 2ж 2/12/2). 9. ^2/13/2 с!ж = -{2у[у2 + х2у[у2 - x2yiy2). г 1 Гз 10. «2/i2/2 dx = - -(ж2/i2/2 + ж2/12/2 - 2/12/2) + ж у[у2 II. 2/ dx = ху -у . 12. \yydx = -y. I # *2 JL # #2 о о I о X # в 13. 2/ ^ж = ^B2/ 2/ + Ж2/ -жгу). 14. жгу dx = -(у у - ху J 6 J о 15. жгу 2/ ^ж = -гу . 1Й Г ,2 1 Г / , 1 2\ 2 ,2 ' 16. ж г/ dx = - \3\xy у --у )+жг/ - ж ^ J ^ ^ J tn Г22, 1 Го Z' ' 1 2Л 2/2. 32] 17. ж 2/ "Ж = - 2 I Ж2/ |/ - -2/ ) - х у + ж г/ • J ь L \ z / J . ж22/'|/ 18. ж22/'|/ rfx = ™
1.10.1] 1.10. Неполные эллиптические интегралы F{x1 к), Е(х, к) и П(ж, i/, к) 31 -ил Г 2 /2 , 1/. 2 / j /2 . 3/2 4 2\ 19. ж у ах = — Dж |/ |/ — 4|/ -\- х у — ж у ). о л Г 3 2 I 1 /о 2 / о '2 3 /2 . 4 2\ 20. ж 2/ аж = -(Зж у у — Зу -ж у + ж 2/ )• г»ч f 3 / i 1 / о / . 3 2 . 3 2 /2 . 3 21 21. ж |/ у ах = - I -Зж2/ у + -у + -х у +х у \. J о V z А 1 1.9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Л„(х), НЕЙМАНА Yiu(x) И МАКДОНАЛЬДА Kiv(x) 1.9.1. Интегралы вида \ xaJiu(x) dx. \ dx = «/г!,(ж)± ztz I/ zl ztz 2. ж ^Jiy(x) J Г i/ ж1/+1 217 / 1\ 3. xv Jiv(x) dx = Jiu(x) H ^тг Г ( i/ H— J ж[^(ж)Н1/_1(ж) — ^_1(ж)Н1/( 4. J*2n(^) dx = xJi2n(a:) + xJo(^) + —[^(ж)Но(ж) — Jq(x)H1(x)] — 2 J n 5. Ji2n+i(«) с?ж = xJi2n+i(x) — Jo(x) — 2 ^ J2k(%)- iu(x) 1 Г f Yiu(x) 1 1.9.2. Интегралы вида ж°Ч ^ , ; > dx. 2±, 2. j ж1±1/Уг4ж) da; = j^YiAx) ± . j ж1±1/Уг4ж) . j x1±uKiv( см. в 1.9.1.1]. 3. j x1±uKiv(x) dx = 1.10. НЕПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ F(x, к), Е(х, к) Ш П(ж, i/, fc) 1.10.1. Интегралы по аргументу х. X Г 1 1. sin xF(x, к) dx = — cos xF(x, к) -\ arcsln (A; sin ж). J к Г л/ i\ i • n/ i\ l*i /1 ~ k2 sin2 x 1 * i / 1 2. cos xF(x, k) dx = sin xF(x, к) + у Arch W — — — Arch I ^^^ J А; у 1 — к к \ у 1 — 3. \sm2xF{x, к) dx = -^[(A;2 sin2 ж - l)F(a;, Л) + ?(ж, Л)]. 4. [iHLE^a,, fc)t/a: = itg2a;F(x, fc) J cos ж ^ ^a,, fc)t/a: = tga;F(x, fc)+ cos ж ^ л (l — Aj J / I i sin x „, , ч , 1 „, ,4 1 „/ / 7ТГ vl-^2 sin^ x 5. F(x,k)dx= F(x, k) p=rln Vb^tga: ' v 1 cos ж l ; cos ж l ; J\ - k2 l 6. \^^LF(x,k)dx = — F(a, A:)-ln ctg<c + sin ж sin ж *
32 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.10.1 7. 8. 9. 10. 11. 12. 14. F(x, k) dx = tgxFix, k) - к2 y/l - к2 sin2 - Jc2 sin2 ж , *) d* = 1-А; - Ш yl-г sin ж ., Щ d<r.= -=-[*- - (ж, A;) dx = \/l - A;2 sin2 ж F(x, k) dx = v 1 "~ F(ж5 к) - — In | л/l — к2 tg ж - Fix, к) + In ctg -. 2 sin 2ж 2ж {x> к) dx = -FF^« k) ~ —^rn;F(x. к) dx = Fix, k) arctg X 15. sin xE(x, k) dx = — cos xE(x, k) -\ -[A; sin ж у 1 — к2 sin2 ж + arcsln (A; sin ж)]. J Jttb о x 16. Ш8 ж, A;) dx = 81пж Г /2 — \k cosx^/l^k2sm2x -(I-k2) Arch \ Г ~ k* S1f X -k 2,k у 1 л Arch 1 — 17. [ %/l - к2 sin2 ж Е(ж, A;) dx = \e2{x, к). , A;) dx F2(ж, Jfe)E(Jfe) . во[Р(х, к)] = Ь in in ¦ 19. у 1 — fe2 sin2 ж = k-2[B - k2)x + k2 sinxcosx - 2E(x, k)y/l- A;2 sin2 ж]. | 1 ( j 20. sin жП(ж, и. к) dx = — созжП(ж, i/, A;) H . arctg I \ J л/к2 -и \ V 1 о v \ к2 - и - к2 sinz ж 21. = — cos жП(ж, i/, A;) H Arth 1-A;2 sin2 ж \v > к2}. L J 22. созжП(ж, и, к) dx = шжП(ж, и, к) - /(ж) - /@), 2A - и)(и - к2) + A - i/sln2 ж)BА;2 - v - ик2) 21/^A - i/)(i/ - Jfe2) cos ж д/l - к2 sin2 ж П
1.11.2] 1.11. Полные эллиптические интегралы К(А;); Е(А;) и П ( —, г/, k J 33 [A -!/)(!/ -*2)<0]. 1.10.2. Интегралы по модулю к. 1. lkF(x, k)dk = Е(х, к) - A - k2)F(x, к) + (\/l - fc2sin2 ж - l)ctgx. 2. 1кЕ(х, k)dk = - [A + к2)Е(х, к) - (l-k2)F(x, к) + {л/l - к2 sin2 x -l)ctgar]. J о 3. [ш(ж, i/, k)dk = (к2 - 1/)П(ж, i/, А;) - F(x, к) + ?7(ж, А;) + {\/l - к2 sin2 х - l)ctga?. 1.11. ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ K(fc),E(fc) И пГ-, i/, fe k2f j K;f( 1 1.11.1. Интегралы ви д а [ jfca(l - k2f j K;f( 1 dk. J I E(A;) J . lkaK(k)dk = Ja, Ja = -^2 {(a - IJ Ja^2 + A;a[E(A;) - a(l - +1 2' 2' 2 ' ' 2 1 • fc2 1  ^ , Ji = E(A;) - A - ife2)K(^), J3 = i[D + к2)Щк) - A - A;2)D + 3A;2)K(A;)], J5 = —[F4 + 16k2 + 9fc4)E(ife) - A - jfe2)F4 + Ш2 + 45A;4)K(A;)]. 2. /« = —: т{(а - 1J/«^2 - А;"^^ - Jfe2) - 2]Е(А;) - k^fl - fe2)K(ife)}, а(а + 2) v2' 2' 2 ' ' 2 ' /5 = т^гг[F4 + 16fe2 + 9к4 + 22Бк6)Щк) - A - Jfe2)F4 + Ш2 + 45A;4)K(A;)], 1575 [A fe)K(^) 2Е(Л)], /_4 ^l[2(^ 2)Е(Л) + A - k2)K{k)]. 3. J 1 — к 4. | 5. I Y^nk) dk = -±[(k2 - 4)K(fc) + (к 2 6- J A _ fc2K/2K(fc)dk = 7=fr[R(fc) ~ E(fc)l- 7- J (i -1K/2E<fc>dk = 7T=W[ik2 ~1)K(fc) + E(fc)]' 1.11.2. Разные интегралы, содержащие K(A;), E(A;) и П( —, i/, A;J. 2. 2 А. П. Прудников, Т. З
34 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.12.1 Г kK(k)dk * J [Е(к) - A - к2)Ж(к)]2 ~ A - к2)Щк) - Щк)' 5. [ш (-, I/, A;) dk = (fe2 -i/)n(-, i/, А;) -К(к) 1.12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА РДж) И Q?(a?) При вычислении интегралов, содержащих функции Лежандра, можно использовать соотношения, приведенные в приложении 11.18, в частности (г) — sin (/i — i/)tt 1.12.1. Интегралы вида f(x)P^(x) dx, f(x)Q^(x) dx. Обозначение: ЛГA - , x 2. о 4. J(l ± xT'\l T xy-^^RMx) dx = 2v^u)(l ± *)"/2(l T XT x {(/x - i/ - 1)Я^+1(х) + [Bi/ + 1)Ж ± 5. J(l ± xyl\\ T x)-"/a-"-aR4{x) dx = 2( + 1)A + + 1)(l ± *)"/2(l =F X [(l/ — fJL-\- l)R^+1(x) ± (fl + V - T. ilia?) A ^ a?) tijj(ж) йж = —-, • —гA ± a?) A ^ a?) x 8. [A - x2)-»/2R4{x) dx = -A - х2у^ x) n(x)ax Г о /o i fl - Ж2Г7 10. A - x Y' Ri(x) dx = ± o ; o \Bt/ -
1.13.1] 1.13. Функции Уиттекера MPi(T{x) и 35 12. 13. dx = -{[(i/i^ + V-: —^{[B|/ + 1)Ж2^1]С( 14 15. . f жA • A^2) 2Ч-1//2-1 16. j, 17. - О т М + 1)Д^ 1 — ж Pv[x)dx = - v(y + 1) in 1 — ж 1.12.2. Интегралы, содержащие произведения функций Лежандра. Обозначения: Я?(ж), Я^(ж) = Р^(ж) или <Э^(ж). . f жС(ж)С(ж) dx = г {[/i2 - (i/ + l)(i/ + жJ]С(ж)С(ж) - (х) + Д^+1(х)Д^(х)] - (м - ^ - IJ Д^+1 - i/ - 1) х R»+1(x)R?(x)\ + 2(p-v- IJR» 3. (j/ + 1)(j/ + x2 ± - i/ - 1)(г/ ± /х + 1) x [R*( RSWRZix) dx = - v - 1) ж [Д^ 5. 1.13. ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА Mp>o.(as) И VFP)^ 1.13.1. Интегралы вида \хае ах'2Мр,а(ах) dx. a + (j + 3/2, [ж, Re (с 1/2) > 0].
36 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.13.2 оо . \ха-1е-ах 2аа+1/2жа+<т+1/2 /g + G + l/2, p + G + l/2;-aa; Х^ 2а + 2G + 1 2 \ а + сг + 3/2, 2сг +1 + e_ar^-^^+l,^+^+l/2J [ш> Ree) Re(p_a) >0]. 3. 4. 5. 6 7. 8. dx = . f J ) dx = ^-jxa ex/2 Mp_ х) dx = 2g .^ das = 1 - zp + la — 1 p_1/2,a+1/2 (x). dx = ~ 2р + 2G- : 1.13.2. Интегралы вида \хае ax'2WPj(T{ax) dx. Я? %J I  / О I I 1 / О г™ . lxa~1e±ax/2Wp,a(ax)dx = 2а 2G г. j x^e " Ж x 2F2 1/2 ^ р ^ сг 1, а + а+ 3/2 2а - 2а Q . ,arga| <Зтг/2; Re (a + p) <0 . д р ' 1 Re a > 0 ' + ^ = Г ^ a-G+ 1/2, -a-p f 1/2, 1/2- p-a j -?T + 1/2, a - cj + 1/21 a — p + 1 . [ Bр + 2о- + 1)Bр -2G 2p 5. 6. Т. 8. х-'е^И^+х/а,^!
1.13.3] 1.13. Функции Уиттекера MPi(T{x) и Wp^{x) 37 1.13.3. Интегралы, содержащие произведения функций Уиттекера. Обозначения: UPi(T(x), UPf(T(x) = Мр,а(х) или WPi(T{x). / cosp7r\A:Fi)/2 /(a + l)/2, 1/2+ p, 1/2- p; а2ж2/4\ V slncjTri 3 4 V I/2, (a + 3)/2, 1 - G, 1 + G ) 2pa2s°+2 A±1)/2 Г 2<т [ X -2)(l-4G2) , 1-p; aV/4 3/2, 2-a/2, 3/2-G, 3/2 + a/ ' a + 2a + l A [V^P"*7 „ /1/2 + p + <j, 1/2 - p + c, (J + (a + l)/2; aV/4 4 V 1 + G, 1 + 2G, 1/2 + G, G + (a + 3)/2 2G, 2cr 1 A/2 + p- a, 1/2 - p^ ^5 (l + a)/2 - а; а2ж2/4 '_l/2 - p + (J, 1/2 + p + d\ 3 4 V 1 - G, 1 - 2G, 1/2 - G, C + a)/2 - cj . Re (a + 2a) > -1 ж > 0; Re a > -1; ^ v ; [Rea > 2|Rea| - : a+ 2a + l [1/2-p- o / l/z + p + o", 1/^ — p + cj, ^I + ftJ/z + crj —а ж /4 . X 3^4 I /o _i_ 1_L \( ¦  '- ' + \ 1 + ZG, 1/Z + G, 1 + G, (J + (tt 0 I а1^2<тжа^2<т+1 2 [ 2cr ] ^ (l/2 + p — cr, 1/2 — p — cr, l| a^2<j + l [1/2"-P+"<TJ \ 1-2G, l/2-G, 1-е, C + a)/2-G тгаж x 2(a + l)cjsIn<j7rr(l/2 - p + G)ГA/2 - p - a + a)/2, 1/2 + p, 1/2-p; ^а2Ж2 3 2тгра2жа+2 _ (a/2 + 1, 1 + p, 1-p; -а2 3/2, a/2 + 2, 3/2-G,3/2 + G ж > 0; < [Rea > 2|Recr| - ] 3. f - J ж t/P! ЛжHр,4Ж) ^ = ир,*(х)ир,а(х) + UPt<r(x)Up, ж c/p c/p 4. [-И^><г(я;)Жр>0Г(я;) dx = ^^[WPja(x)Wfl,(T(x) - Шр,а(х)Ш J x p, — p ()^() d U() U'() U'{) Г 1 5- J ^ —UPtU{x) — Up,a{ 6. f -^Wp, „(x)»Vp,r(x) dx = 2X 2[Wp,a{x)W'p,T(x) - W'Pta(x)Wa,T( J X TO" f /' &2 — а2 но — pb i/2 — <j2 7. + ^ + 8. | j i - IJ Up^(x)Up,4x) dx=U + ^^ - \ ) xUPitr(x)UPia(x) - J x
38 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.14.1 = (а-Ь)(ЛР-1/2) [^sjl*-(a+b)*/2MP+^-^)WP+,AbX) ~ 1.14. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КУММЕРА iFi(a; Ь; ж) И ТРИКОМИ Ф(а, 6; ж) 1.14.1. Интегралы, содержащие iFi(a; 6; ж). . [ xa^\F1(a; b; ±Xx) dx = ± — 2F2(a, a; a xi = О, Х2 = х; Re a > О = х, Х2 = оо; Re A, Re (а - а) > 0 j ' о Г п i-f / 1 \ j I V (~1) A ~~ Ь)кХП~ ( ill ч J v ; ^ (l-a)fe(n-A; + l)! 3 1 /j» - IT7-, ( /7 • /) • <7» I ft ф — TJ ! T* > - - i l^i I fl I?' h' T 1 Г ¦¦¦/ (Л п\ г ( ITt JU _|_ 1 Л f V 7 4. f^-SFifo; 6; ж) dx = nlxb+n ^ ^^ 4ji^i(a; 6 + А;; ж). 5. fiFi(a; 6; ж) dx = ^^1F1(a^l; 6-1; ж). 6. жа~ iFi(a; 6; ж) dx = жа~ iFi(a — 1; 6; ж). 7. lxb^11F1(a; b; x) dx = ^xb1F1(a; 6 + 1; ж). ? _i _x xa 8. ж" e iFi(a; 6; Аж) dx = ±—2F2(a, 6 - a; a + 1, 6; - J a ^arJa, 6, 6^ a - aj f Ol ГГ xi = 0, ж2 = ж; [ 6 — a, 6 — о J 11 J [1ж1=:ж5ж2=:со5 Rg A, ] Г ^-+3 /_-i\fc + l/-| __ »\ n —fe + l = ж; Rea > 0 1 1 ' Ж J g 10 11 . Ub+n^1e^xiFi(a; 6; ж) dx = n!xb+ne^x V , ч ) } rlFi(a + A;; b + А;; ж). J ~i(b)k(n-k + l)\ . lxb^a^n^2e^x1F1(a; b; x) dx = ^ (a - 6 + l)fc(n- fe + 1)! 12. f е~Ж1^(а; 6; ж) с!ж = ^ eMjKiFi(a; 6-1; ж). J a — b + 1 13. f^e^iFifo; 6; ж) dx = |хье"ж iFi(a + 1; 6 + 1; ж). 14. (V^2e^iFi(a; 6; ж) rig = % _ xb^a^e^x iFi(a + 1; 6; ж). 1.14.2. Интегралы, содержащие Ф(л, 6; ж). ^ а Г 1 IjI 1. hca(a, 6; Лж) d» = ± —Г 2F2(a, a; a + 1; 6; Аж) ±
1.15.1] 1.15. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,b;c;x) 39 = 0, х2 = х: Re a, Re (а - b + 1) > О = ж, Х2 = со; \k+l7.n-k+l / ^ n ' Ж>0; = ж, Х2 = со; Re (а — а) > О J к^ п + 1 J ^ (l-a)fe(b-a)fc(rc-A; + l)! l 4. ж6^1^, 6; х) dx = п!Ж6+п V Т > ^^.^(a, 6 + Л; ж). Г 1 5. Ф(а, Ъ; х) dx = Ф(а -1,6-1; ж). J 1 — а 1 6. (>^2Ф(а, 6; ж)с!Ж = 7 ^1 -Ф(о-1, 6; J (а — 1)(а — 6) ь 7. \xb~1V(a,b]x)dx=- Ф(а, 6 + 1; ж). . f жа^1е^ЛжФ(а, 6; Лж) dx = ± — Г Х^& 2F2(a, 6 - а; а + 1, 6; ^Лж) ± J а [1 + а - 6J 8 ± = 0, ж2 = ж; Re a, Re (а - b + 1) > 0; arg А < тг . . >, ж > 0 xi = ж, ж2 = оо; Re A > 0 Г J г ^ тп-к+1 . жпе^шФ(а, 6; ж) dx = ~п\е~х ^ —^— -Ф(а, 6 - А;; ж). f Ь-а-п-2 -« Ь-а-п-1 -»^ 1 J l ; f-f (n-A; + l)! v ; п+1 fe 11. жь+п^1е^шФ(а, 6; ж) da = ^п!жь+пе^ж V -^(а + к,Ь + к; ж). k=i V 7 ^ (п- к-\-1)\ 1.15. ГМПЕРГЕОМЕТРМЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАУССА 2Fi(a, Ь; с; ж) 1.15.1. Интегралы вида жа2^1(«, 6; с; ж) da;. l c;-xj a \ c,a + l xi = О, Х2 = x; Re a > 0 ж > 0 Ж1 = ж, Х2 = оо; Re (а ~~ a), Re F - а) > 0 / ' ' i ах = п\ } ( — 1) +1т :—, i4t/ . ч /L гт—2-гц , I- с; ж/ ^—J (n - Л +1)!(а-A;)a,F-л)д. \ с - к; ж / п + 1 о I а-п-2 о / «, О \ ^^ __,__a_n_i О» IX ^ (n- ^ a,6\ c-1 /o-1,6-1 } dx = ^ 6. С* ^уэ I f /1 I | / #1 || I /S 1 * гр 5 JL / I U JLJlt/ JL J \ С JL 5 Jy а^1,6л c; x J a — 1 \с;ж
40 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.15.2 7. lxc~12F1( ttj Ь\ dx = —2Fi(a, b; с + 1; ж). J \c; xJ с у 1.15.2. Интегралы вида \A — x) 2Fi(a, b; с; х) dx . ^стп[с, а + b — с] ^ fс — а, с — 6, /3 ~ а ^ 6 + с; 1-х [ж < 1; Re^, Re(/3 - а - Ь + с) > б]. 6J3 2\ + 1, 6 - а + 1 ж < 1; Re (a-P), Re F - /3) > 0]. а — к, b — к 4. j()(::) +i a,b = n'fl - ж)а+ь-с+п+1 V 5. Kl-sy—W0'6 с; ж . .а_та_! y^ (^l)fc(c "~ ^)fc p (а — к, Ъ ^П ^(п-к + 1)\(а-к)к(с-Ь-к)к2 1\с-к;х 6. Т. )da; 7^Д^lxJF1( c\xj (c-a-l)(c-b-l)K } \c-l\x 1.15.3. Интегралы вида жаA — ж) iF\(a, b; с; ж) с!ж . ' Ц ( )^Г б] //3, а-с+1, Ь-с+1; 1-ж c\ Aж) [с, a + 6cl /З-а-6 + с [ a, b J3 2\ /З-а-Ь + с + 1, с-а-6 2 1 ' ¦; ж n^^ / i>\ n — fc + l / i i __ ^ 2_ "V ""^ / -| ч jfe~x~- \ I С^ гь } 1^ Ju j—. $ (Jj Л/ • С/ n+i vc;ж 4. \x (lж) F( с!ж п!ж > y F[ J с!ж = п!ж > ?Y^2F1[ c; ж/ -^ (п-к + 1)\(а-к)к \ c; x 5. [-1(Г^1(а ) \c;x
1.16.2] 1.16. Обобщенная гипергеометрическая функция , G-функция Мейера и др. 41 6. \хс~1A-х)а+ъ~с+П2 с; х = п\A — х те+1 7. 8. \хс~1A- 9. 10. 11 c; x е; c; ж (п- а + k, b + к ^ fa + k, b с; ж = -xc(l-x)b-c2F1(a+l'b). с \с + 1; х) a + 1, 6 + с + 1; ж I с+п —1/-I \а —с —п —1 г-? I Q") О \ j . ж A — ж) 2-Г11 \ ах = J \с; х) П4 -I о с —а —п —2/-i \а+Ь™с j-г / ""? " \ » 12. ж A — ж) 2^11 I dx = J \c; ж/ = rj.lr 13. 14. - х) а+ь~с+п a, b n+l а, „ , аж = с; ж/ с — а — 1 a + k, b + k a, 6 + A; с + &; ж a + A;, b c; x a + A;, b l)\{c-a-k)k2ri\ с; х с; ж 1.16. ОБОБЩЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРМЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ pFq((ap); (bq); ж), G-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА, Е-ФУНКЦИЯ МАК-РОБЕРТА И Ж^ФУНКЦИЯ ФОКСА 1.16.1. Интегралы, содержащие р^((%); (^д); ж). 2 1 /у7 Г/"л V (h V /^-7»^ /7'г — т» , -, Р * -, ((п \ 1 • (h \ 9- z1^^ J fe=l 1=1 1.16.2. Интегралы, содержащие G-функцию Мейера. II rna /^iTnn I _~, V Р/ I /7т» — т»а f~2-<m' ^" \°ч) 1 — а, (ар\ {bq), -a -Ъкф 1, 2, . . . ; к= 1, . . . , ш; 1= 1, . . . , щ Rea+ min Re Ьл > 0; 1) с*, ж > 0, | argc| < с*тг, 1 ^ j ^ m или 2) с, ж > 0, с = 0, р= q, Re /j < 1, еж 7^ 1? или 3jc, ж > 0, с =0, р= qr, Re д < 2, еж = 1,
42 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.16.3 или 4) с, х > 0, с* = О, р> q, Re [(p — д)а —/х] > -3/2; с* = га + те — (р + 9 Р 3=1 3=1 at + 1, п2, • . • , ар с р Gpg I еж 3 4. 5. | x~bqG™qn I ex p_i), ap — 1, 62, • • • , [n < p]. [w ^ 1]. [m < q]. 1.16.3. Интегралы, содержащие iiJ-функцию Мак-Роберта. X 1. [ жаЕ((ар); Fq); еж) d» = -xaE((bq), -a; (ap), 1 - а; еж) р р+1 3, -1, -2, . . . ; j = 1, . . . , га; Re I 2а - Y] а^- + У] 6j 1)р + 1 > д, ж > 0, |argc| < (р - д + 1)тг/2, или 2) р + 1 = q, с, х > О . Г 1- 2. ж ар?/((ар); F9); ж) dx = —ж apiiJ((ap-i), ap — 1; F9); ж). 3. ж ?/((<2р); (бд)^ ж) dx = ?J((a,p) — 1; Fд) — 1; ж). 1.16.4. Интегралы, содержащие Я-функцию Фокса. 1. / о , Ар] [Ья, — Ж Лр+1^ СЖ [1 - a, 1], [ap, Ap [Ья, Bq], ha, 1] х > 0; |argc| < p q E i=m+i >0 . 1.17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ И ВЕЙЕРШТРАССА 1.17.1. Интегралы вида \ f(snu) du . г 1 1. snn и du = 7 ч—о en ii dn и snn™3 и + J (п — 1)^2 , (n^2)(l + fe2) Г п^2 п^8 Г п^4 , + /—\\i2 \ш и du^ —ч sn и du. f du _ -1 enwdnw (n - 2)A + Jfe2) f du (n - 3)k2 Г dw J snn г* n — 1 sn71^1 ii n — 1 J snn^2 и n — 1 J snn^4 и ' 3. sn гх dtx = -z- In (dn гх — к en гх) = — Arsh j к — —^— j = — — In (dn и + к en гх). 4. sn2 ti dix = — [гх — E(amu, k)]. f 1 1 + к2 5. sn3 и du = —— en гх dn гх -\ of 3 In (dn гх — к en гх). 6. ln sn« en ti + dn и = ln 2k3 dn ix — en и
1.17.2] 1.17. Эллиптические функции Якоби и Вейерштрасса 43 _ Г du cnndnn _, . ч 7. —-— = Ь и — Kfamn, k). J sn^ и sn n 8. —-— = —rj[k сп и dn и + A + ^2) In (dn и — ken и)]. J SO U An, f dn —1 en w dn a + snn)n (n - 1)A - a2)(l - ife2a2) (a Bn - 3)A + Jfe2 - 2Jfe2a2)a Г dn (n - 2)A + k2 - 6k2a2) (n - 1)A - a2)(l - k2a2) J (a + snu)^1 (n ~ 1)A ~ a2)(l ~ k2a2) } (a 2Bп^Ъ)к2а Г dn (n - 3)Jfe2 f dn (n- I)(l-a2)(l-ife2a2) J (a + snn)" (n - 1)A - a2)(l - k2a2) J (a .' dn q=l enndnn (n™l)(l™5^2) [* dn I / -I I \ «-. /^ -« \ / -I I О 4 / -< I \ «-. ' (lisnw)" Bn^l)(l^ife2) (lzbsnn)" Bn^l)(l^ife2) J (lisnn)"^1 dn (n-2)^2 Г du Bп-1)A- к2) du dilc cnndnn (n ~~ 1)E — k2) [* du 13. 1.17.2. Интегралы вида /(cnn)dn. f 1 1. cnn и du = 7 г—г snndnncnn~ n^ cn n dn + -—;— ч, о— I cn n dn. Г fJ/ll 1 ST1 11 Яп 11 2. (n-l)ife2 J (n-l)A;2 dn 1 sn n dn n cnn n ~ (n - 2 dn (n-3)Jfe2 Г dn 3. cn и du = y- arccos (dn n) = — In (dn n — ik sn n) = — arcsln (A; sn n) = — arctg . J к к к к dn и + 1 г 1 4. сп2 и du = — [?J(amn, A;) — A — к2)и]. 5. сп3 и du = — arcsln (A; sn n) -\ sn и dn n. J An, An, Г du 1 . \/l — k2 sn n + dn n 1 . dn и + \/l — k2 sn n 6. = - In = - In r^=^= . J cnn y/\ — k2 cnn y/l — k2 dnii- \/l-fc2 snw f 4 1 snndnn 1 _. I4 7. —r— = r^ И- ^^(amn, A;). cn2 n 1-r спи 1 — Jfe^ dn 1 snndnn 1 — 2Ar , \/l — к2 snn + dn I %JSJ %JU -ft- KJ л. л. %JU \Л. л. J. %JU -J- AaA S ft/ ' rf^ = 2A - ife2) cn2 n + 2A - ' оч° /о П ' П
44 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.17.3 _ Г du . Л snudnu 9. = и — Elamu, к) ± J 1 ± сп гг и Elamu, к) ± 1 ± сп гг 1 ± сп и 1.17.3. Интегралы вида \ f(dnu) du . 1. dnn и du = sn и en и dnn^3 и + J п-1 (п-2)B^к2) Г , те^2 , (n-3)(l-fc2) f, п + ~ '- dnn 1udu- dnn п-1 J п-1 J 2. dn и du = arcsln (sn it) = am u. 3. dn2 и du = E(amu, k). г 1 4. dn3 и du = - [B — fe2) am w + fc2snucnw]. Г dи 1 cnu 1 . sn и 5. = / arccos = t arcsin . J dnu y/\ - k2 dnu Vl - k2 dnu Г du k2 snucnu 1 _. . ч 6. —г— = 7^—i + r^E(amu, k). J dn и 1 — к2 dnu 1 — к2 m Г du 1 Г _2ч л/1 — ^2 sniA — спи _2 /^ 7. —5— = —; очо /о B — А; ) arcter , к v 1 — 8. —j-^— = — L - E(am и, А;) - СП ^ . J 1 ± dnu k2 I snu J 1.17.4. Интегралы вида /(sn«, en и, dnu) du . 1. Я(зпп5 спи, dn и) du = = Ri (sn и) du + Д2 (sn и) сп и du + Д3 (sn и) dn и du + Д4 (sn и) сп и dn и du \R1 R\, R2, R3, Д4 — рациональные функции своих аргументов]. 2. г Г / It \ 3. Дз (sn и) dn и cin = Яз ( ^ 1 — 2t 2 sn ад = —-, сп и du = — 2 2t 2 sn-u; = -, dn ад аи = at. t = 1 + t2 1 + t2 cnu 5. | sn и сп и du = -dnu. к2 6. I snu dnu du = — спи. 7. \ cnudnu du = snu. 4. Я4 (sn и) сп и dnu du = R4 (x) dx [x = sn ад, dx = сп ад dn ад du]. Г J . sn и dn и du = — спи. 7. 8. sn и сп2 и du = —-- A — fe2) Arch + A; en и dn и \. 9. sn и сп и du = —^ [arcsln (ksnu) — к snu dnu]. 10. dn2 usnu du = — A — k2) Arch , — Аг сп и dn и . г 1 11. sn2 и en2 и du = ^r^r [B — fe2)?(am и, A;) — 2A — k2)u — k2 snucnu dn u]. J OK
1.17.4] 1.17. Эллиптические функции Якоби и Вейерштрасса 45 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 28. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. sn ixdn и du = ——г \{2к — 1)Е(ати, к) + A — к )и — к sn и сп и dn гх]. 9 9 i cn и dn и du = 3k2 [A + fe2)iiJ(amt?, A;) — A — к2)и + 1г2 впгх cn tidn гх]. du = спгь впгх dnu ¦In- спи 2л/1 - к2 /1 — 1г2 — А; сп гх dnti - arctg ¦ к спи ¦ arctg - k2 к2 — 1 спи . . 1 — dnu 1 . 1 — dn и . snu аи = in = — In = in . snu snu 2 1 + dn и dnix + 1 спи . 1. 1 —A;snix 1, l-\-ksnu 1, 1 + ^ sn и аи = ——in = — In = — In . dnu к dnu 2k 1 — ksnu к dnu dnu li du = - in en и 2 1 — sn и snu . 1 • = In — - sn и dnu . 1 . 1 — спи du = —in = In sn и 2 1 + cnu en и спи snu спи dn2 и du = du = In 1 — k2 snu + dntt 1 . — arcsin (A; sn u). спи к snu dn2 и спи sn и dn2 и en и sn2 и dnu du = In — к Arch en и + dn и snu l*i Arch en и + dn и к dnu du = к arcsin (к sn гх) + \/l — Is2 In 1 dnit du = 1 — к2 спи' 1 спи 1 — к2 dnu dnu du = . 27. du = — snu спи спи snu аи = 29. snz гх cn гх dn и sn гх snu dnu спи snu спи dn гх спгх snu dnu snu cn гх dn гх dnu, snix du = In sntt. 1 dn2 и dnu du = dnn," snu du = In ¦ en ti , = ^— In dnii. TV du = In ¦ 1-k2 In dnu, du = In sn it en ix en ti е/гх = [sn гх dn и du = — 1 JU2 r JL — n> I I cn и dn гх sn tx , k).
46 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.17.5 n sn и , 1 Гж-,/ ,ч / ,9ч , 9 sn и сп и 1 d ^( fc) A fc2) А;2. J du= TVT\ Пп ^(атгл, fc) - A - fc2)u - А; Г dn2 и ( 2\ cnudnu ( I4 39. —-— du = A- к )u Eamu, k). J SO2 U EIIU dnii J СП U . 1 Г _. 1Ч , 2 SI1 ti СП 111 40. —~— du = —т \и — Е(ати. к) + к . J dn1 и к2 L dn^ J Г dn2 и . —. 1Ч snttdnti 41. —-— aw = и — Е(ати, к) -\ . J en2 и спи 1.17.5. Интегралы, содержащие эллиптические функции Вейерштрасса. Обозначение: С (и) — эллиптическая функция Вейерштрасса. f п/ 1 JP { 4Bn-l) 3. 4. , ^^ -1 р'{и) Ц2п-3)а 5. и) - p]» (n - 1N [p(«) - p]" 2(n - 1N J \p{u) - p]" 6Bn - 4)a f dw 2Bn - 5) Г J [p(«) - p]" ~ (n - 1N J ' (n - 1N J [p(u) - p]" (n - 1N J [р(м) - p]" a = 4p2 - -g2, b = 4p3 - g2p - gz Ф 0 . f du _ -2 p(u) 8(n - l) - l)a [p(u) - e]n Bn - l)a J [p(u) - e]^1 du Г 2 1 [ = ^--g2 du -2 pf(u) 4 О V / — e 3a р(ад) — e . C(^)
Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. ВВЕДЕНИЕ В этой главе содержатся определенные интегралы от специальных функций, не вошед- вошедшие в [17, 18]. Интегралы, у которых один из пределов интегрирования является переменным, в слу- случаях, когда подынтегральная функция от него не зависит, помещены в главе 1. Отметим, что многие интегралы, не вошедшие в эту книгу, могут быть вычислены с помощью метода, изложенного в главе 8, или же получены как частные случаи интегралов общего вида из разделов 2.24—2.25. Указанные в формулах условия сходимости интегралов обеспечивают их существование либо в обычном смысле, либо как несобственных интегралов, либо в смысле главного значения. Некоторые формулы при частных значениях параметров теряют смысл, так как в пра- правых частях возникают неопределенности; раскрытие неопределенностей позволяет получать формулы, справедливые при этих значениях параметров. В начале разделов, как правило, помещены интегралы общего вида, у которых аргумент одной из подынтегральных функций зависит от параметра г > 0. При рациональных значениях г правые части равенств выражаются через обобщенные гипергеометрические функции. Пример такого преобразования приведен в [18], 2.1.1. Некоторые частные значения интегралов общего вида помещены среди формул последующих пунктов. 2.2. ГАММА^Ф?НКЦМЯ Г(ж) (См. также [18], 2.2.) 2.2.1. Интегралы по пря мой G — *оо, j + гоо). Другие интегралы вида Г(ад-+ a,-a)r(bfc?„«)« см. в 8.4. Г тпг 11 п -п Ul "I" ^15 О\ Н~ ^2 j 0,2 ~~Ь Ь\. U2 ' 1. F[ai + s, «2 + s, oi — s, 02 — sj as = 2тггГ [- Re ai, - Re a2 < 7 < Re 61, Re 62; см. также 8.4.49.20]. 7+ioo 7+ f r\ai + S' tt2 + S' bl ~ S] J - -p[(ai + fol)A a2 + 6ll J L ! + tti ^«2 -61 + s J [l-a2 + (ai-b1)/2\ [-Reai, -Reo2 < 7 < Re 61]. 7+ioo 3. f J -\-d — 1, с — a, d — b 7 —ioo [- Rea < 7 < Reb; Re(a + 6 - с - d) < -1; см. также 8.4.49.19]. J |_ fti~h a,2И™ d3~\~bi~{-s J |_ /i — fti, /1 — 0-25 Л- — 0.3 J 7 —ioo [h = a\ + u2 + «3 + bi; — Re ai, — Re «2, — Re аз < 7 < 0, Re h\].
48 Гл.2. Определенные интегралы [2.3.1 7 Г гГа + з, 1 + а/2 + s, 6 + s, с + s, d + s, 6 — а — s, J [ а/2 + s, 1 + a-c + s, 1 + a-rf+s j _ Гб, с, rf, 6 + с - a, 6 + rf - a! гГ 7+ioo [-Re a, -Re a/2- 1, -Re 6, -Rec, -Red < 7 < Re F- a), 0]. _ 7+ Г Га + s, 1 + a/2 + s, 6 + s, с + s, rf + s, e + s, / + s, b — a — s, J [a/2 + s, 1 + a-c+s, 1 + a-ci+s, 1 + a-e + s, l + a™/ _ ._, 6, с, rf, e, /, 6 + с — a, & + rf — a, & + e — a, & + / — a l + a — d^e,l + a — c — e,l + a — c — d,l + a — с — /, 1 + a — d— /, 1 + a — e^ 7+ioo -l; - Re a, - Re a/2 - 1, - Re 6, - Re c, - Re d, - Re e, -Re/ < 7 < Re F- a), Ol. J 7 7. f J s, C2 + s, . . . , cc + s, ai — s, с/2 — s, . . . , do — s\ А В min Re bk: A, B. C, D = 0, 1, 2, . . .; 0 ^ |argz| < —E (при ?J > 0) или | argz| = -^|при E > 0 м jA + Rei/ < -1 или arg z = 0 (при E = 0, А ф 0 и 7А + Re v < 1/2) илиarg2; = 0 (при Ё = А = 0и Rei/<0,z^l или Re 1/ < — 1, z = 1)], f 1 - fei, . . . , 1 - Ьв, ci, . . . , cc j A+D K [А > 0 (или А = 0, \z\ < 1)], [А < О (или А = О, \z\ > 1)], [z = (-1)А^С, А = О, А > С, Rei/ + С - Л + 1 < О]. 2.3. ОБОБЩЕННАЯ ДЗЕТА^ФУНКЦИЯ ?(s, ж) 2.3.1. Интегралы от /(ж)?E, а + 6ж). со L. жа C(s? а Н~ ^ж) ^ж = ^ аВ(о!, s — q)^(s — о, а) [а, 6 > 0; 0 < Rea < Res — 1]. 1 2. [ ж J _¦/ \ cosec — 41 (s) 2 3. sin 2ttx((s, x) dx = J 2.4. МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛ1 Bn(x) Ж ЭЙЛЕРА Еп(х) 2.4.1. Интегралы от f(x)Bn(x). 1 a+l 1. I Bn(x) dx = Sn,o. 2. Bn(x)dx = an. [0 < Rea < Ree - 1]. [1 < Re 5 < 2]. 3.
2.4.2] 2.4- Многочлены Бернулли Вп{х) и Эйлера Еп{х) 49 о \ k=o ' 1/2 f Гзт2тшгж1 , ч , (/ 1ЧП Bn-J)! Г 5. < >B2n~s{x) dx = dz( —1) -у \2п~<5 га, п ф 0, 5 = о 1 6. < }Вп(х) dx = О К J [ cos тжх J LI ^t- + n — нечетное о l _ Г f sin гитгж 1 _ / ч , , / - xn 1 + (™l)m Bn — ё" 7. < >152п^5(ж) dx = ±(—1) 7:—-—7^ гтг^ J [СО8 1П7ГЖ] 2 (fTl7r)in" 0 1 0 1/2 9. \cosBw -1/2 2.4.2. Интегралы, содержащие произведения многочленов Бернулли. 1/2 1. [ Вт{х)Вп{х) dx = (^l)m+1 m!w!. |oBm+n [m, тг^О; m + n-четное]. J (m + n)I2 о 1 2 . [ Вт(ж)Вп(Ж) da; = (^l)m+1 m'n' Bm+n J (m + n)! о n 3. Bm(x)Bn(x + a) dx = (-l)m+1anmln\ Y^ 7 —7 гтт^т+л [т, п Ф 0]. J ^ (m + A;)!(n - A;)! 0 fc=i 4 }в2 (ж)В2 (х + -У) dx = 2(B2 (x)B2 (x^) dx= З2"^1-! Bт)!Bп)! ^ +2 о о 1/2 [m, n^O]. 5. В2то+1(ж)В2п+1 ( ж + - I б?ж = 2 ж + - I dx = _ 1 - 22m+2n+1 Bm + l)!Bn + 1)? p " 22-+2n+i ^Т2^Т2)Г 2 6. I Bm(x)Bn(x)Bp(x) dx = .p+i |Г\-Гг /w\ /m\l (m + n-2. P 7 w , + n\ , 1 7 / ^ \*)Ь ) \9^/ (то 4- « 4- -n L \ dLifb / \ jLa Fb / J \ i i I/ \^ § fa \^ U U A \ l l г m n " ' - * ' m\~\ (m + n — 2k — 1)\ г m 7 1П [nfc ^ 0; fe = 1, . . . , m]. г m 1 pi, . . . , pm > 0 — целые попарно простые числа; N = FT Pk', Пк Ф 0; А; = 1, . . . , га .
50 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.3 2.4.3. Интегралы от f(x)En(x). 1 1. \хтЕп{х) dx = 4(^1)теBт+п+2 - 1) т1^1 Вт+п+2 + о т_Л + 2(^1)птЫ У 7 ^—— Г еа + 1 / n+1 2к - 1 2. еаш?/п(ж) с!ж = (™1)п т^- I a*h — — а — 2 ^ ———акi { аП V 2 *=i Л- 1 f f sin ттгж ]Л/Ч1Л ГГт + п^ четное 3. < >Еп(х) dx = 0 к J [ cos гятгж J |_ l ш + п — нечетное о 2{^l)n+8Bn i dx = 1 sin Bm + 1)*х )E^W dx = [Bm + l)vfn 0 5. sec7TxE2n^i{x) dx = (—1) ^ 2—2n | f ( 2n + 2, — J — Q ( 2n + 2, — ) |. о 2.4.4. Интегралы i . J Em(x)En(z) ЙЖ = 4( 2. j B()B( + ) d 4AГ«Ы ^ ~ . t^_-,v v " —-^о*(т + Л + 2)!(п-А)! 1 3. \ Bm(x)En(x) dx = 0 [ra + n — нечетное]. О 5. j B () E() d 0 2.5. ПОЛИЛОГАРИФМ Li^jc) 2.5.1. Интегралы общего вида. ' — г °° / i\k Г /_ , i.\ /„ 1 к (ас) кп 1й + 1а + А;)/г I fe=i [г, Re^ > 0; Re a > -1; |ас| < 1]. [riRe/3>O;Re(a+/3r)<r;|argc!<7r; _г_д.г^7Г "Г^ ^Г Lin(—еж) rfa; = ^> ^ ч 7 Г I J Г ( р — о ^=1 pr — а \~~^ (— 1) (p)fc(p^* — С^ Н~ ^^) П / \rfc "" 7ГС ? гг^—т ;—\ \cz) [г > 0] —1
2.5.2] 2.5. Полилогарифм \ли{х) 51 а (У 4- кг — а (У 4- кг — а)п Esin(Q_r_fcrOr(C2/) Г»"' V > О; -KRea<r; |argc|<^; |cy|< 1]. J v 00 / 1\fc 0; Re a > —1; | arg c\ < тг]. 7 ce_1/sin6a;r\ J Ж \со56Жг/ nl _ 1 тг A/2 + 5) Д 2C sin [(а- А;)тг/Bг)]1 / 6 f co B, Bm)! I 2 sin[a7r/Br)] if lnT' ± fe! \lnT _y-,(n-A;-2m-20 /^ ! \ r (n - к ~~ 2m ~~ 21) см. в 2.5.1.5; 6, r > 0; —1 — Sr < Re a < r; | arg c\ < ж, ё = 7. — UJb j LiifiX—CXI (IX — sin (a-\-kr)n \c' . , , cosec тг kn \OL-kJ r \cr k/r (=0 (-f) ^ A;! \ol) 4^ g!(n-p-ife-9-2/)! V r, [r > 0; -r-KRea <0; | argb|, | argc| < тг, \b\ < \c\r, At см. в 2.5.1.5 ]. 2.5.2. Интегралы от А(х) Lin(—еж). 1. \ ха 1 Lin( — еж) с/ж = . с а [-1 < Rea < 0; | argc| < тг]. о а 0 X п+2^п+1(« + 15 1, 1, • • - , 1; « + /3 + 1, 2, . . . , 2; —ас) [а, Re/З > 0; Re а > -1; |argc| < тг]. со Q а — ~^-( \@ — ^ Т * / \ /-/
52 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.3 а, ЕеД > 0; Re (а + /3) < 1; |argc| < тг]. a + l, p-a-l)n+2Fn+i(a + l, 1, 1, . . . , 1; 2 - р + а, 2, . . . , 2; cz) + n+iFn(p, р - а, • • • , р - а; 1 + р - а, . . . , 1 + р - a; cz) < тг]. 5. (р - a)nsin(a - р)тг [—1 < Re a < Rep; |argc 1лп(-сж) dx = 7rc|/Q:ctga7rn+iFn(l, 1, . . . , 1; 2, . . . , 2; -cj/) - A — a)n sin an n 2.5.8. Интегралы от Л(х) Li2(—еж). а Г / Т ' J Х 12\а аА I о а dx = — > 7 п2 6 /-^i к L k=i 2. \xn~1U2(- J va о а Г / X \ 3. Ы2 ( — J <iiZ? J Va/ о . I 1 /ж\ 1 I тг'а 7 V2" Li2 ( — ) dx = — —т : о 5. f ^^ Li2 J ж + z 4тг Jz fl, 1 - a, . . . , 1 - a; 2 - a, . . . , 2 - a; -cj/) [t/ > 0; | Rea| < 1; |arge| < тг]. [а > 0; Re a > -1]. [а > 0]. [а > 0]. [О < а < у]. | argc|, | argz\ < тг]. т ( а\ 1, 2/ а - Li2 ( - ) - - In2 ( 1 2 V 2/ 2.6. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ 5(ж, i/) И С(ж, i/) При I/ = 0 обобщенные интегралы Френеля S(x, i/), С (ж, */) сводятся к интегральным синусу и косинусу, 5(ж, 0) = -si (ж), С(ж, 0) = -с! (ж), а при I/ = 1/2 — к интегралам Френеля, s соответствующие интегралы см. в [18]. 2.6.1. Интегралы общего вида. Обозначение: S = xl >. (а + ^ + J + 2А)/г 1/ас / + а ч f sin (i/tt/2) r'^ U)\cos(i/jr/2) [a, r, Re a, Re/3 > 0; Re(a + г/) > -S]. (-1)" \ 2 2k
2.6.1] 2.6. Обобщенные интегралы Френеля S(x, и) и С(х, v) 53 (ac)rk (ac)rk(l - p)k^(a + v + r/3 - r - rk) f sin [(a + и + r/3 - r - гк)тг/2] k\{r — r/3 — a + rk) cos [(a + v + r/3 — r — г^)тг/ 3. о X S) и) с, v) гГ(р) [а, с, г, Re^ > 0; Re (а + r/3 + i/) < г + 2]. X \ fczx )\2) _сгр-а? fc=O (^l)fe(cz)rfc(p)fcr(a + i/ — rp — r&) J sin [{a + i/ — rp — гк)тг/2] k\{rp — a + r&) \ cos [(a + i/ — rp — гк)ж/2] 4. xr - yr r \r ' ' r J ч ' [cos(i/7r/2) [c, r, Re а > 0; ^<5 < Re (a + i/) < r Re p + 2; r| arg z\ < тг]. C g r ^ «'A/2 + djfe(d + и + Zk) r ^a V^ (c2/)rfcr(a + г/ - r - r&) / sin [(a + i/ - r - г^)тт/2] cos [(a + и — r — гк)ж/2] г/2) 1 r/2)J J С (ex, v) [с, r, t/, Re a > 0; ™cf < Re (a + i/) < r + 2]. [c, r, Rep, Re a > 0; Re (a + v) > -S], 2fc r(a/r)r(i/)fsin(i/7r/2) \cos(i/7r/2) (a/r)r(i/)fsi rp«/^ \co L Ь U(r) = — sin [(a +1/ 17A) см. в 2.6.3.1. 6. C(cx, v) ( + Г( и)Г(-а/г) a/r f sin (i/tt/2) ] 1 у, Г(а + ^ - rfc) f sin [(a +/. - rfcOr/2] ] r P \cos(i/ir/2)J c"^ fcl(a-rfe) \ cos [(a + ^ - rfe)ir/2] J l 7. [COS 0Ж [c, r, Rep > 0; Re(a + ^) < 2]. [b, c, r > 0; Rea> -<5r; -?r - 1 < Re (a + i/) < 1 + max (r, 1)],
54 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.1 2к)ж/Bг)] 2к Г(и)Г(а/г) i/-7 /sin[a7r/Br)] Н i 7 COS — "'" cos [атг/Bг)] 2с" U(j) при r = 1 см. в 2.6.4.1-2. 8. \ x < r >СЧеж, i/j < J [ cos ож J [6, с, г > 0; Re a > -<5r; -5r < Re (a + i/) < 1 + max (r, 1); [/G) см. в 2.6.1.7]. 9. с, г, Re а > 0; -1 < Re (a + i/) < 2, argz < тг z > 0 _k\(S- cosec [(a + v + 7 + 2^)тг/г] ctg[(a + i/ + 7 + 2feOr/r] J V 2 zr ~ (=pl)fcr(a -\-i/-r-rk) л/ 4- 9&Vrv 4- i/ 4- л/ 4- 9^Л z"w.,u™T-I'Jcosec(a'r/'') 2 [ ctg(air/r) 1 — a) rF(a + 1/) 7 — a — i/ — cos J тг 2aco; 2 - ^ ^тг 2 In с 10. • J с, r, Re a > 0; 0 < Re (a + u) < 2, 5(сж, i/) dx = W(l) z I < тг z > 0 , 1/G) см. в 2.6.1.9 . [6, c, r, Re a > 0; Re (a + /ir) > -5r; Re (a + 1/) > -1; Re (a + /zr + i/) > -1 - <5r; Re (a + fir -\- v) < r + 1 + max (r, 1); при r < 1 замена х = t1' r] l/-4-'Y °° / -1 \ к C^1 ^"^ ( —1) i/2)fc(a + 1/ + 7 + 2A;)(i/ + 7 + 2k) хГ /x a + v + 7 + 2k\ ( sin [(/if + a + */ + 7 + 2А;)тг/Bг)] \ f с cos [(/xr + a + 1/ + 7 + 2А;)тг/Bг)] J V261/ Г(|/)Г(/х + а/г) i/-7 f sin[(/xr + aOr/Br)] 7-7-7- COS - TTs при r = 1 см. в 2.6.6.1-2. 12. 13. 2 [ cos [(/xr + а)тг/Bг)] [6, с, г, Re a, Re (a + v) > 0; Re (a + fir) > -6r; -Sr < Re (a + /zr + v) < r + 1 + max (r, 1); ^G) см. в 2.6.1.11]. [с, r, Re 6, Re a > 0; Re (a + u) > -(! (-1)* pfr) = Г \ 1 } fe(«+-+5)/r Z^ д.!^ + i/2)k(a + 1/ + S + 2ife)(i/ + <5 + 2Jfe) r / \261/r/ a6a/r \ cos (i/ir/2) J
2.6.1] 2.6. Обобщенные интегралы Френеля S(x, и) и С(х, v) 55 , , b ул T{a + v + r + rk) / sin [(a + i/+ г + гА?)тг/2] 1 ( _Ъ\к ^ ~ са+г ^ kl(k + lJ(a + r + rk)\cos[(a + i/ + г + rk)n /2] j \ cr J f i/) f sin \(a + и)ж/2] 1 Г_. г . , ч . гж Ti a + i/ . c ^^Ч г, ч , С \-гф(а + 1>)±—tgT тг - In — •а X cos [(а + 1/)тг/2] / [ а ^ ' 2 6 2 6 1 ас" I cos [(a + и)ж/2] j |_ a ' r v ' ; 2 ° 2 P(l) см. в 2.6.7.1. oo 14. [ ха~1е±ЬхГ Ei (т&жгM(сж, */) с!ж = Q(l), c, r, Re а > 0; -1 < Re (a + i/) < r + 2, J ' аЩ ' < L ь > о J cosec [(a + i/ + 7 + 2к)ж/г] 1 / с \2fc ттГ (г/)Г (a / r) j~u ( cosec (атг/г) 1 r__a 00 . Iin/ . v . / r \ fe с ж~^ Аг!Г(а + г/ — г — rk) oi + u^r^rk^'y I с \ -\ — У, —7 COS Ж 1 Г Lr > 1], 1 ir^ Г(а + i/ + rJc) a + 1/ + rk — 7 ca ^^ k\(a + rk) k=Q l ; 1/+ rA) + — tg t-ff + in —j \±—j [r < 1], QG) при r = 1 см. в 2.6.7.3-4. CO 15. [ ха^е±ЬхГ Ei (т&жг)С(сж, i/) fe = Q@) c, r, Rea > 0; 0 < Re(a + i/) < r+ 2, i 'arg i, ^G) см. в 2.6.1.14 . l ь > 0 j j arg i, ь > 0 j 16. f ж"! Si ffH }s(cx7 u) dx = X(l) J I ci (bx ) J 0 x [6, c, r, Re a > 0; -1 < Re (a + 1/) < r + 1 + max (r, 1)], ,(a+i/+7)/r Z-^ kl(j + 1/2)лA/ + 7 + 2A;)(a + и + 7 + 2A;) sm[(a + i/ + 7 + 2JfeOr/Br)l 1 / с \2fe Г(г/)Г(а/г) v - 7 f sin [атг/Bг)] 1 afeQ;/r 2 [cos[o;7r/Br)] j r(l + 2<5) ^ (A; + l)!C/2 + ё)к(а + Sr x cos ¦ a + ?/ + or + lr + 2r« — 7 ( 0 .OJ 2ac« C°S 2 * [' Л"G) при г = 1 см. в 2.6.8.1-2. [6, c, r, Rea > 0; 0 < Re (a + u) < r + 1 + max (r, 1); ^G) см. в 2.6.1.16].
56 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.1 f Re a > -r; -r - 1 < Re (a + */) < 2] , , 1 c, r > 0, < . 4V ; L arg6 < тг/4 1 Re a > 0; Re (a + i/) > -1 j ' ' 7 J ^ + 7 г ^ А;!G хГ и) а + I/ - У G) при г = 1/2 см. в 2.6.9.3^4. 20. 1/+7 [6, с, г >0; Rea > - > - Re(a + i/) < 2], ^ к\A/2 + 7)fe(^ + 7 + 2А;)(а + i/ + 7 + 2А;) 2ife 1\ J sin[Ba + 2i/ +27+ 4ife+ г)тг/Dг)] + 2/ 1 cos [Bа + 2i/ + 27 + 4Jfe + г)тг/Dг)] Or/Dr)] )тг/Dг)] а +1/- 7 {1) ~ (^l)fcr(o + 1/ + 6r + r/2 при г = 1 см. в 2.6.10.1-2. DA; + 2J + \){Ark + r + 28r + 2a) X ^ ^тг f — J 21. [r < 1], [6, c, r > 0; Re a > -r(S + 1/2); -r(J + 1/2) < Re (a + v) < 2; ^G) см. в 2.6.1.20]. С' Г ' ' Re fj,, Re (a + /xr) > 0; -1 - г Re /x < Re (a + t/) < 2 Re a, > 0; Re (a + i/), Re (a + /xr + 1/) > - = ±- v + 7 хГ 7 + 2k) a
2.6.2] 2.6. Обобщенные интегралы Френеля S(x, и) и С(х, v) 57 Е kKlt + fc)(a + lir+rk) cos г 4 R{"i) при г = 1 см. в 2.6.11.1-2. zs. x ^ ^f^ ^_rx fLj{cx, и) ах — щи) о c,,,Re6>0,( iR, Re(a + /xr), Re(a + i/), Re (a +/ir + и) > O {S(CX h>) 1 C{cx,v)\ Обозначение: ё = < >. 1 \ (а + 1/) f sin [(a + 1/)тг/2] 1 г 4 \) [ '*} c, Rea>0; - C(cx,v)\ aca {cos (a + i/)tt/2 1- Jx<x * о 2. \ха^г(а-xY^l ' \dx = -~ J [С(сх, и) J , ) J i/ + d о 2 ' 2 2 ' 2 ' А' 2 '^' 2 'u ' 2' 4 [a, Re а, Re^ > 0; Re (а + i/) > -E B 0, С(сж, i/)J 2(i/+ J) V 2 о i/ + <5 a + i/ + ^ i/ + <5 . _ a + i/ + ^ . 1 а2 с2 x 2^'з I , ; \-l, 0 -\ , 8 + -; 2 2 '2 2 '2 4 ! T a-V ч/3-1 . жа1ж^«Г J i/ + о , 1-a-^-i/-J) x sin [(a + P + i^Ot/! 1-/3 /3 l-a-/3# 3-a-/3 3 - a - ^ - i/ a +'/3 + i/ 1ш а2 с2' 2 ' ~2"' 2 ' 2 ' 2 ' 2 '2' 4~ ac2^a^/3(l -^)r/a , a , ^ _ 2ч f sin l(a + ^ + v) 2 — a — p \ cos [(a + /3 + i/) ^ 3^/3 a + /0 « + /5 a + /3 + i/ З-а^/3-i/ 3_ a2c2 2 ' 2 ' 2' 2' 2' 2 ' 2' 4 , ... i [a, c, Re^>0; Re(a + i9 + i/)<3]. ч cos (i/Tr/2) J -, {is-\-S a + u + 8 у+ 8 . „ a + i/ + <5 _ 1 a2c2 x2F3f^-,^ ;^- + l,/3+ j '5+2;-^
58 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.2 I'1"* 6. 2'2^- v+8 a+v+8-p р 1 + р р —¦ ol р -— а а -\- и -— р \ — а. — v -\- p 1 1+р-а v р 1 + р^а 3 + р^а 3 + p^a^i/ 1 а + i/^p З c^z ^' 2 ' 2^ ' 2z2 В (a, p-a)r(i/) /-' f S(cx, v) 4 COS I UTT I ?) , , 1, ; [c, Rea>0; -S < Re (a + u) < Rep + 2; |argz| < p x2F3 1 , , 1- P+ 5 . t 1 2 2 Ip — а T{a+u-2p x a a 2' P; "+1" 2' ' ; 8. ctg 2-1; {sin [(a + и)ж cos [(a + и)ж /2] 2 ' 4 а л а + I/ 3^a^F COS A/7Г/2) 2 ' 2 ' 2 [с, t/, Re а > ( 9. 2 2 _ _, i; 2 - -, 2 - ctg атг , .Г sin(i/7r/2) 1 2 ^j\cos(i/7r/2) J 3 - a - и с2у2 ; - — [с, У, Reo > 0; -tf < Re (a + v) < 4].
2.6.5] 2.6. Обобщенные интегралы Френеля S(x, и) и С(х, v) 59 2.6.3. Интегралы от хаерх ;}¦ С(сж, I/) Обозначение: S = , jl. x e \ ^, , / ax — . . c / . ^ч x J Г \с(сж, j/) j ?( ) 0„ (v + 8 a + v + 1 a + v . v + 8 t . . 1 с2 \ , Г(аI» Г sin (un/2) X 3F2 (^-, , —j- -M; __ + 1, * + -; -_j + { [с, Rep, Re a > 0; Re (a + v) > -S]. ¦ \xa~1( ¦"• \ X G \ „, . / OiX — „ / ¦ , c\ in. / r»\ A 2 + 1 л+I. _C^ . r(i/)r(a/2)/sin(i/ff/2) I Г sin (i/tt/2) 1 "\cos(i/tt/2) J oo 2 ' 2 ' 2 ' '" ' 2' [c, Rep, Re a > 0; Re(a + v) > -S]. 5(сж' v) V j™ _ - г _Г | _ Г(а + i/) Г sin [(a + i/)tt/2] 2 ' " ! 2' 2 ! ' ' 2 '4 a a a -\-1/ \ — a. — v <?% 2' x 2'A 2 ' 2 ' 4 ;^ 2 Al^;A V 2У\со8(|/тг/2) [с, Rep > 0; Re (a + v) < 2]. a Г Sin &Ж 1 f S(CX. u) 1 2.6.4. Интегралы от а; >< ч>. [ cos ox j i 6 (еж, v) J Обозначение: . f a-1 J 31П&Ж 1 , , ( , 1. ж < , >Я(сж, I/) ^ж = 17A) J [cos Ьх J о [6, с > 0; —S - 1 < Re (а + i/) < 2 при 6 ^ с, -J - 1 < Re (a + i/) < 1 при 6 = с], = crCa + iz + T)/ sin [(a + и + 7)^/ 1 } 6a \ = Ь*Г(а+ i/ + J)f sin [G - a - |/)тг/2] 1 [0 < с < Ц, l7j c«+5(a + ^) \cos[G-a-i/Or/2]J 2 J f r"^1) smox \п(гт v\ (It — U(ft) J [cos Ьх J [6, с > 0; -5 < Re (a + v) < 2 при 6 ф с, -5 < Re (a + i/) < 1 при b = c; 17G) см. в 2.6.4.1]. S(cx, и) it х- я /я I In .1! — Z 11 2.6.5. Интегралы от х л , n ^. . r. In |ж — z j { С (ex, v) J 111 Обозначение: S = 0 ^-v /1 — -""V IJ —4— <"\/ Ai —4— I J —4— -"V # cosec |(a + i^Ot| VG) = -(Tl)^2 7^с"-|-уга+|<+1' f. V" V ^ (»/ + 7)(a + i/ + 7)\
60 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.6 25 2 + lj 2+ 1-а 1 3 3-а Ъ-ol-v —- г' 1; 2' —' ~^— с,1 с2г2>\ 2?Г(а + 1/- М + 2; ^^rj T с«-1A-а Г ' ' ' Г 2 ' 2 ' 4 х °? МпГ-,+ ,П x^na + ^-.tg —--' 2. атп/ ч I/— 7 fcosecaTr] Г(а + i/) a + i/ — 7 ГЫ cos —^тг< > Н ~- cos ltt v ; 2 [ ctgaTT J 2aca 2 0 c, Rea > 0; 0 < Re (a + u) < 2, <j 'arg2:' K П\, V(j) см. в 2.6.5.ll. 2.6.6. Интегралы от ж ^ \ ^; H ^} 7, >. Обозначение: S = [6, с, Re a > 0; Re (a + v) > -1; Re (a + /1) > -5; Re (a + /z + 1/) > -5 - 1; Re (a + /z + 1/) < 3 при b ф с, Re (a + 11 + 1/) < 2 при 6 = с], а + /i + 1/ + 7) [ sin [(a + /i + 1/ + 7)тг/2] 1 (^ + 7) 1 cos [(a + \i + 1/ + 7)^/ a +/i + 1/+ 1 a + /i + v a + j/ + 7 +7; 1 c\ ГA/)Г(а + /х) 1/-7 fsin[(a + /xOr/2]l 7 + -; 7^- M— ; — cos L?r< L_; ; ' \ \ о < с ^ ь , f 2' б2/ об" 2 \cos[(a + tiOr/2] J L ^ J' br(a + ^ + i/ + ^) [sin [(a + /x + 1/ - 7)тг/2] l7j c«+M+5(a + fj + <5)(/i + 5) \ cos [(a + /i + и - 7)тг/2] 1 Л ВДГ(^ a+^ fSinH2)l 2' 62/ aca 2 \cos(/xtt/2) J L J 0 [b, c, Re a, Re (a + 1/) > 0; Re (a + ц) > -8; -S < Re (a + /л + v) < 3 при b ф с, —S < Re (a + /it + i/) < 2 при 6 = с; VVG) см. в 2.6.6.1]. 2.6.7. Интегралы, содержащие EI (—Ьхпл J ^1^ ' . ж Ei( — Ъх){ „) [ } dx = Обозначение: 8 = [ U J 1 с\ Г(а)Г(|/) / sin (i/tt/2) ' +2; ЬУ \ 2 ' 2 +; 2 + ' 2 + ' +2; ЬУ аб" \ cos (i/tt/2) / sin (i/tt/2) | \ cos (i/tt/2) J
2.6.8] 2.6. Обобщенные интегралы Френеля S(x, и) и С(х, v) 61 [с, Re b, Re a > 0; Re (a + v) > -S]. 2 I Л2 , + м + ; 0; Re(a + „) > -Я [ (/) J 3. [ j'-'e* Ei (Tbx)S(cx, v) dx = Q(l) [c,Rea>0;-KRe(a + t/ + 7) f cosec [(a + */)тг] ] ctg[(a + i/Or] / +fc(l-a) "°^ff.F, ^1, 1, 5, ; 3-a 3-a-i/ , a + i/ c2\ с2"аГ(а + v - 2) а + гу- 1;J+C°S ' 2'1^; 3 . a _ а л a + i/ 3 —a —i/ с2 \ ттГ(а)Г(|/) 2' X" 2; 2" 2 ' ^^' ; j^^ 4. f ха^ге±Ьх EI (тбж)С(сж, i/) dx = Q@) c, Re a > 0; 0 < Re (a + 1/) < 3, <j ' arg 6' "^ Ж }, Q(t) см. в 2.6.7.31. Г si F3I Г, \ciFx)/\. OJ" I Q~l I ^ \"*^j I n/ \ J v/i\ I I Cl I UX II 2.6.8. Интегралы от х Обозначение: 8 = 1. о [6, с, Re a > 0; -1 < Re (a + v) < 3 при b ф с, -1 < Re (а + i/) < 2 при 6 = с], = сГ(а + 1/+ 7) f sin [(a + 1/ + 7)тг/2] 1 l7j 6(«+I/+^)A/ + 7)(a + v + 7) 1 cos [(a + 1/ + 7)тг/2] J + 7 a + 1/+ 7 a + 1/+ 1 a + 1/ 1. с^ ГМПа)^^ Г«п(Г/2) [0<с,Ч, 2 ' 2 ' ' 2' б2/ «^ 2 65+2Г(а + 1/ + <5 + 2) f sin [G - а - */)тг/2] + J + 2)B + 8)\ cos [G - а - ^)тг/2] i/ + <5)J sin [G - а - 1/)тг/2] 1 J 11 тгГ(а + i/) а + 1/- 7 ¦COS 7Г, -a^i/Or/2]J Ц 0 J 2аса 2 i = С h ^(ск + v) tg тг —- In — ol 2 2 о
62 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.9 [b, c, Re a > 0; 0 < Re (a + v) < 3 при b ф с, 0 < Re (a + i/) < 2 при 6 = с; ХG) см. в 2.6.8.1]. 2.6.9. Интегралы от х } l) \erfc (bxr)j\c(cx, и) У fRea>-l; |Re(a + i/)| <21 . Ll .1 > 0, < к агеб < тг/4 3f3 ( V1 5—, -V1. ^ + 7; —5-^ + 1. -^ + ^г (SLtl) cos fll^, + ( ! } OJ л . Rea > -1/2; -3/2 < Re (a + i/) < 2 . . 1 Rea > 0; Re (a + i/) > -1 Г ' yG) = ± Обозначение Г f Rea > -1/2; -1/2 < Re (a + i/) < 2] , , , -/4 1 c>0J oo/ , wn [, arg6 <тг/4; УG cm.b2.6.9.3 L I Rea, Re (a + v) > 0 J J егралы : ? = < >. 2.6.10. Интегралы от xa{ ) [ \{ ) ' ; \. \C[bx) j [С7(сж, v) j 0 [6, c>0; Rea>^™l/2; -8 - 3/2 < Re {a+v) < 2 при b ф с, ™<f-3/2 < Re (a+i/) < 3/2 при 6 = с], + и + 7 + 1/2) /sin [Ba + 2i/ + 27 + 1)тг/4] X 4'3 l^-' —г"' 4 ' 4 +7; 7+2'
2.7.1] 2.7. Функции Струве Н„(х) uLu(x) 63 Г(|/)Г(а + 1/2) i/-7 f sin [Bа + 1)тг/4] 1 Г(а + i/) а + i/ - 7 = 23/У+1/2Г(а + ^ + ,5 + 1/2) Г sin [G - а - v - 1/2)тг/2] 1 Ш 3s0F с"+5+1/2Bа + 25 + 1) 1 cos [G - а - г/ - 1/2)тт/2] J 2a+2i/+3 2a+2i/+l . 2а + 2<5 + 1 . 1 5 + 25 2а + 28 + 5 Ь [0<Ь<с]. [6, с > 0; Re а > -8 - 1/2; ^ - 1/2 < Re (а + и) < 2 при b ф с; -Я - 1/2 < Re (а + и) < 3/2 при 6 = с; Z(j) см. в 2.6.10.1]. 2.6.11. Интегралы от ( Re/i, Re(a + /x) > 0; -1 - Re/л < Re(a + и) < 2 ' ' (Re a, Re (a + /x) > 0; Re (a + v), Re (a + /x + v) > -1 c~f+lT(a + 7 + fji + г^) /a + 7 + ^ 7 + ^ a+ fj,+ v+ 1 a+ /i+ v " 6«+-r+-( + + )( + L/'3 V 2 ' ~2~' 2 ' 2^ +7 0 f Re /1, Re (a + /x) > 0; Re ix < Re (a + u) < 2 ) , ч 1 с, Re6>0, < P / / ч , Л к ЯG) см. в 2.6.11.1 . 1 Rea, Re(a + i/), Re(a + /i), Re(a + /i + i/) > 0 J J Re /1, Re (а + и) > 0; - Re и < Re (а + и) < 2 2.7. ФУНКЦИИ СТРУВЕ Н„(х) Ш Ъ„ 1 3 При и = ± —, dz —, . . . функция Н1/(ж) и прр к функциям Неймана У^(ж) и Бесселя Ju(x), Iv{x): 13 13 При и = ± —, dz —, . . . функция НгДж) и при и = , , . . . функция I^(ж) сводятся которые при этих значениях параметров являются элементарными функциями. Например, ~2~ тгж [ sin ж J "'"ч ' V тгж Соответствующие интегралы см. в [17]. При вычислении интегралов от Ь|/(ж) можно использовать формулу 2.7.1. Интегралы общего вида. (сх) о
64 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.1 a + v + r/3-r+l и 7 a + v + rP-r+l v + l Г о "I . J ,-V - а')""^^) d, = y0Fr Г„ /3/2 Г1 7г a \^ A — /5)fc sec [(а + г/ + г/3 — г — гк)ж/2] k=o K' F(l + ' l " ~ '^ ' "» )r(l + /ac\rk \2/ Г ж 3. 2 у \ 2 [а, с, г, Re/З > 0; Re (а + г/3) < г + 3/2, г- Rei/ + 1]. "" 0 °° / 2 2/A4fc \ ^ ( С Z /4J I **,v i ^ i «^ i j. i , X / :—г ; ;—г—1 I II \ О — ж /c\rP~~a ir--\ (^l)fc(p)fc sec [(ск-1-ь/ — гл — r'fcW/?/! /^r\^fc rk + rp + v-a\r rk + rp-v-a\\2 2 /V 2 [c, r > 0; -1 < Re(a + i/) < r Rep + 1; Re (a - rp) < 3/2; r\ mgz\ < тг]. fc=O /с\г™"^л sec [(a + и — r — гк)ж/2] /су\гк 1 2 127 ^^7 rfc + r + F^^| 7 rfc + r^i/^^\ vTJ "= V + 2 J1 V + 2 J [с, г, у > 0; -1 < Re (a + i/) < r + 1; Re a < r + 3/2]. T , _ г ГН (ex)} 5. жа e px < УК ; > dx = ?/±(r) [c, r, Rep > 0; Re (a + v) > -1], 7Г о i/+i 1 j 2-^F p(«+"+i)/rrr(i/ + 3/2) ^ C/2)fc(i/ + 3/2)fc , ± тг y^ ii; sec[^a + i/ + r/gj7r/zj / z^p_ \ 1 г C/±(l) см. в 2.7.5.2. СХЭ 6. f ха^1е^рх^Ш1/{ ^ 3/2)fe sec [(a + и - гк)ж/2] ca ^ А?!ГA -{а-и- гк)/2)V{1 - (a + v - rk)/2) \ 2 [c, r, Rep > 0; Re (a + i/) < 1; Re a < 3/2] oo # r 7. f ж"! smbx im Jcx) dx = UM к с, r>0; -1 - 5r < Re (a + i/) < r + 1; Re«<3/2 J [ cos к J L fill 0 при r < 1, Re a < r + 1/2 при r > 1; <5 = < I ,
2.7.1] 2.1. Функции Струве Н„(ж) и ~Lv{x) 65 {Г) ~ 2 (-1)" F гГ(|/ + 3/2) ^ C/2)*(i/ + 3/2)* sin [(a + i/ - 2/c - 1)тг/Bг)] 1 /2b1/r\2k 2a+Sr-1nb5 cos [{a + v-2k- 1)тг/Bг)] / + J' 17A) см. в 2.7.7.4. CO 8. [ xa~1J)>(bxr)Ilv(cx)dx = V(r) 0 [b, c,r> > 0; Re (a + fir + u) > -1; Re (a + u) < r + 3/2; Re a < 2 при r < 1, Rea < r + 1 при г > 1], (-1)* •-«-"-2*- V(l) см. в 2.7.14.1. 9. a' J' [a, c, r, Re/3 > 0; Rea > |Rei/|] /асч«_ V 2 / r(^)[7cosi/7Ti4(i/) + 7Л(-1/) ± A - j) sin и ж A(±u)], 10. [ 0 oo 11. | xa~1{xr - a a 3 А. П. Прудников, Т. 3 ) - bv{cx)] dx = W(Q) L c, r, Re/3 > 0, > 0 -Rea - 1 < Re i/ < Rea dx = r 1 W/ J [a, r, Re /3 > 0; Re (a + r@ + u) < r + 1; | arg c\ < тг],
66 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.1 ?SC/2)*(i/ + 3/2)* Z\2k Cr~Cr~a(cOSU7T A - /3)fer((a + 1/ + /3r - r - rk)/2) ('a - и - r + f3r - 1 + Я frW/91 xsm 12 СХЭ . f xa~1(xr - arf^[I±1J(cx) - Lu(cx)] dx = X@) [a, r, Re/3, Re с > 0; Re (a + r/3 + i/) < r + 1; ^G) см. в 2.7.1.11]. 13. W; + 3/2)^-Q Wt)k xnP--" + a^ + 1)(Ci) [г > 0; | Re v\ < Re a < Re (rp — v) + 1; r| arg z\ < тг; | argc| < тг], « (_1Ot k\ [7 cos unD{u) + 7Z)(—!/¦) dz A — 7) sin i/7rD(zbi/)], г ¦ r, Rec > 0; Re(a L 15. - L»(cx)} dx = Y(Q) <1, ' Re(a + ,)>0 x у dx = < тг; У G) см. в 2.7.1.13 . J [r, 3/ > 0; I Re v\ < Re а < r — Re 1/ + 1; | argc| < тг], k 2h > + 3/2) S (cy\2h_ "" V 2 7 а - v - г - rk)/2) х sin 2r-a+i7r in1 ^ тг (^J cos [(а + г/- г - гА:)тг/2] fe=O
2.7.1] 2.7. Функции Струве Ми(х) и Ъи(х) 67 16. ;[1±и{сх) - Lu(cx)] dx = г, у, Rec > 0; Re (a + i/) < r + 1, <| "" v^ ' " ; " " 1; V ; \~Rea~ 1 < Rei/ < Rea j см. в 2.7.1.151. J Re (a + и) > О a - 1 < Re v < 17. (* ха~1е~рхГ[Уи(сх) -Н„(сж)] da = 17A) [r, Rep > 0; Rea > |Rei/|; |argc| < тг], о Ufr) = -t -y^ rT{u + 3/2) ^ n^c/r "[7 cos utiF{u) + jF(—v) ± A — 7) sin i/7rF(±i/)], > 1], » (_!)* r((a + v + гА)/2)Г((а - v + rfe)/2) 2s k\ coSi(a + v + rk)n/2] l-a-i/)/r /тг Г(|/ + 1/2) 18. 19. da; = {/@) г, Re с, Rep > 0, Re (a + v) > О 1 r 1 J V/ J - Re a - 1 < Re v < Re a . dx = V(l) [r, Rep > 0; |argc| < тг; Re (a + v) < 1], 2fc (-1Г ^ rV{u + 3/2) ^ C/2)fc(i/ + 3/2)fc Г - cp (cosi/тг) (l+7Tl±7)/2 ?¦ A;! cos [(a + i/ — г&)тг/2] cp 2fe 20. 21. r / \ 2 ж)] dx = V@) [r, Rec, Rep > 0; Re (a + v) < 1; 1/G) см. в 2.7.1.19]. 6, г > 0; | Re v\ - ёг < Re a < 1 + r - Re 1/; | arg c\ < тг, 5 = 0/ ' ,*) = —. (-1Г 3/2) ^ C/2)fe(i/ x cos ¦ 2r -[7 cos vttI{v) +7/(—i/)±(l —7) sin i/7r/(zbi/)],
68 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.1 х cos Г((а + v + <5r)/2 + гк)Г((а - и + <5г)/2 - cos [(а + и + г<5 ¦ 22. I* Z sin 6жг 6, г, Rec > 0; Re(a + i/) < г + 1, Re (a + z/) > -r -1-r-Rea < Re i/ < Rea rJ V ; J 23. ха~ cos bxr[I±l/(cx) -Lu(cx)] dx = W@, 0) о 6, r, Rec > 0; Re (a + i/) < r + 1, I Re (a + i/) > 0 . в 2.7.1.211. V ; Ч-1-Rea < Re i/ < Re a f l/ ; ' 24. f ж" ^( [6, r > 0; | Re i/1 - r Re/i < Re a < 3r/2 + 1 - Rei/; |argc| < тг], f?V+1 L V27 r^AFrfi/- 3/2) ^ C/2)*(j/ + 3/2)* [l + (/xr - a - i/ - 2k - l)/Br) J V b1/r 2«/r-i (-«/) ± A - j)si 2jk\2 )k 2 )k ria + lir^jLt^l Lit oo 25. xa^1 [б, г, Rec>0; Re (a+i/) < 3r/2 + 1, dx = X@) Re (a+i/+r/i) > 0 см. в 2.7.1.241. wy J
2.7.3] 2.7. Функции Струве Н„(а?) и Ь„(а?) 69 2.7.2. Интегралы от ж"Н|/(сж). 2 со 1. Н^(сж) dx = --ctg J с [с > 0; -2 < Rev < 0]. [с > 0; Re а < 3/2; |Re(a + i/)| < 1]. [c>0;Rei/>-3/2]. 2.7.3. Интегралы от xa(z ± ж) 3 3 а + /3 + f + 1 а 2> "+21 2 ' 2 ха~~1(х — а)^~~1Ш ' J а I гу -Х- и х 3F4 1, 1 + ! [а' Re/3>0; Re(a 2^V^ L^ + ^A -a - ^ 2 ' 2 ; 1 + 3 3 aV -, -, i/ + -; -- + Т7 « 2 2 ' 2' 2' 4 cosec [(a + /3 + и)ж /2] 2 V27 Г(C - а - /3 + 1/)/2)Г(C - а - /3 - i/)/2) ~ "У V2/ 2' 2' 2 ' 2 '4 2^«^ A - /3) sec [(а + /3 + */)тг/2] ГB - (а + ^ - ^)/2)ГB - (а + /3 + i/)/2) /3 3-/3 3 о а + ^ 2- 2' 2 ' 2' 2 ' " 2 ' 4 [а, с, Re /3 > 0; Re (a + C) < 5/2; Re (a + /3 + i/) < 2] x 3F4 1, 2 ' 2 + 1; , 1 + '-Р 3 3 c2z^ тг /су X 2 ' ~ ' 2 ' 2' 2 sec [(a + ^ — р)тг/2] ГA + (р + «/ - а)/2)ГA + (р - «/ - а)/2) ^ х 2F3 ( ^, ^; 1 + ? + р^, 1 + ^-^, i; -^ р cosec [(а + i/ — р)тг/2] Г(C + р + у - а)/2)Г(C + р - i/ - а)/2) Х >-г/-а 3 c2z: ' 25 4" 4. 2 ' 2 ' 2 ' 2 [с > 0; -1 < Re(a + i/) < Rep + 1; Re (a - р) < 3/2; |argz| < тг] З + i/-а 3-1/-а с2|/2 1/ ^ а)/2)Г(C -u^ a)/2) г 2\;
70 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.4 8ес[(а + 1/)тг/2] Л • 9 - а ~ ^ 2 - а + ^ • с2|/2 ГB-(а-у)/2)ГB-(а + у)/2) 1 2 \ ' 2 ' 2 ' 4 [с, 2/ > 0; -1 < Re (a + i/) < 2; Re a < 5/2]. 2.7.4. Интегралы от xa(z2 ± 2"+1>/5РГ(|/ + 3/2) 2. х1~и(а2 — ж2)^3" ° [а, Re^ > 0]. 3. ж17 (а — ж ) . .«/(ас) [а, Re^ > 0; Re v > -3/2]. „+1, 2^ 2r,-l/2fH,fe)] , , C"^1 „/1 \ fl — о [a > 0; -3/2 < Re i/ < 1/2]. 5. [ Х"+* (а2 - ,2)— 21/+1^тга [ shac [a > 0; -3/2 < Re v < -1/2]. 6. [ /"Ух2 а2)/3^1Н|/(сж) dx = Да+1/+2^-1' t/+1 x 2F3I1, ^^; ^^+/3, 77, ; _^ 2^ 2 "' 2 a, Re/3 > 0; Re (a + 2/3) < 7/2; Re (a + 2/3 + 1/) < 3]. -2^ „I/-2/3+1 sIn/Зтг ГC/2-^)ГC/2 + 1/- _ Г — I// 2 2 \y0 — 1тт / \ j - «• ^ ' • I V U j МГЖ. 1/\^L,Ju J ttJL — ; ~ „ /„ m ^»ч Т-. /~ JTI '. ^»ч X | ^ J) Ia' c>0; 0<Re/3< 1; Re (i/ - 2/3) > -5/2]. [a, c> 0; 0 < Re^ < 1/2; Re B/3 - 1/) < 3/2]. i. ж (ж — a ) M.t/(cx) ax = —z - [sinp7rJ_i/_/з(ас) + cosi/Trrl^+^g^ac)] J c^ cos (/3 + i/)tt [a, c, Re^ >0; Re A/+/3) < 1/2; Re A/+ 2/3) < 3/2]. 10. [ ж"+1(ж2 - [а, с > 0; Re v < -2n - 1/2].
2.7.5] 2.7. Функции Струве Ми(х) и Ъи(х) 71 11. dx = "г- f1 \ г2 (аС\ [а, с > 0; |Rei/| < 1/2]. [с, Rez > 0]. = ^—cosec л (-г iF2 I 1; 3-i/ -, ——; — ?*& dmi> 4k [c, Rez > 0; |Rei/| < 2]. В •I/ + 1. 3 3 ' 2' 2 15. 16. 17. 18. 1 + P 2 '1 + Р 2 ' 4 [с, Rez > 0; -1 < Re (а + i/) < 2Rep + 1; Re (а - 2p) < 3/2]. тгс^1^1™^17 cI/+1z3^2p Г р — 3/2 Wl(^) + 2 + 2 Г хЛA;^^+^ [с, Re z > 0; Re p > 1/2; Re Bp + и) > 1/2]. p-i i+i/-p [с, Re z > 0; Re (i/ - р) < -1/2; Re i/ > -3/2; Re (у - 2p) < -1/2]. XlF2 1,2-—,2-—, (rp I л/7.2 [с, у > 0; -1 < Re (а + i/) < 3; Re a < 7/2]. /7Г Z "•" ' Г Г2 /TZ\ Г2 -^—. sh^r ^+1/2 ( ^rHch^ /c sin 1/7Г L I \ A J A 2.7.5. Интегралы от xae ae px< ^z [c, Rez > 0; -2 < Re i/ < 0]. Л = In . с , В = arcsin -, p {Rep> | Rec| jj' =± / = 2 f 2 ± 2 7Г ^ С 2p2 c2Jp2±c2 \B)I ' 13 = 4p2 2c2 с/ж = i/+ 3/2
72 Гл. 2. Определенные интегралы [2.7.6 1, 3 с2 -1]. 3. - е р < ; ( } dx = Jn \A = In - J ж I ьп(сх) J /p2 + с2 + с D . с fRep>|ImC|i] , В = arcsm —, < > , р р {Rep> ] Rec| J J л = т- 11- 7Г ±с2 с2 ( А со ж « I Ж С 1 i ?/ I CX J CX еД п+1/2 п+1/2л/р2 ±с2 Р [Rep > | Rec|; Re v > -1/2]. Г Г Rep > |Imc|11 LlRep> |Rec|jJ" ±2 f Н^(сж) 1 2.7.6. Интегралы от хае рх < ^ > ж=AГ15—^ 3 3 L ^ + 3/2 JX [Rep > 0; 2. 3. 4. 5. L,(cx) ^) erf dx 2^+2р3/2Г(|/ + 3/2) 2 c»r(l/2 + v] dx = exp / 1 \ 2 > -1]. [Rep > 0; Re и > -3/2]. [Rep>0]. [Rep > 0]. ^ + 3/2 J 1; 2'" ' 2' 3 a + i/ + 3> c2p 2 ' "T" a — i/ a + is с р [c, Rep > 0; Re a < 3/2; Re (a + v) < 1} 2.7.7. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и Ни(сх). -1/2 Г 2 2 1. 81п6жНо(сж) с/ж = (с — h ) + о CO 2. созбжНо(сж) с/ж = (б2 — с J 7Г -/2 1,24-1/2 1 С + VC2 - б2 = г (с - И 1п 1 2 7Г [6, с> 0; Ьф с]. [0 < с < 6], [0 < 6 < с].
2.7.8] 2.7. Функции Струве Ми(х) и Ъи(х) 73 со 3. — cos Ъх Но (еж) dx = < > I J X v J V о оо # 4 f та^1} Smbx Iff (гт) dr ~~ II J [ COS OX J /с2 - Ь2 О < b < с О < с < b -1 - <5 < Re (a + u) < 2; Re a < 3/2 при 6 ф с, Re a < 1/2 при 6 = с; S = и = ±- a + i/ + 11 J cos [(a + i/)tt i/+ 3/2 J \ sin [(a + i/)ir /2] /2] 1,1; -,*+-; [0 < с < 6], /тг V2 a + i/-l icos[(a + i/Or/2J i/+ 1/2 J\sin[(a + i/Or/2] 1тг6д sec [(a + i/ + ^)тг /i а I1 a + 8-v 1 b2 [0 < b < c]. 5. x v sin 6ж Н1/(сж) dx = о CO f л —i/ —1 i тт / \ i 1 n / 2 6. ж созожН^Дсж) аж = \/ — (с — о 7. ж/481п о [6, с> 0; Ьф с; Re i/ > -1/2]. 8. ж о dx = - 4c 8c 9. | ж sin 6ж2Н0(еж) da = -r {sin 10. S(ip)} [6, с > 0; Ьф с; Re i/ > -3/2]. [6, с > 0]. [6, с > 0]. [(р = с2/D6); 6, с > 0]. [0 < 6 < с; Rei/ > -5/2]. 2.7.8. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию L. ж In о со a — л/а2 — х2 ГНо(сж) { ; ! Ьо(сж) In 2: + л/х2 + z2 1 Г sin ac sh ас ¦Но(сж) с/ж = —--- е Ас [а > 0]. [с, Re г > 0].
74 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.9 2.7.9. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции и Н1/(сж). Г 1 Г/ ч Ж1 тт / \ » / тг . ас т /ас\ 1. — cos (и + 1) arccos — Н^ (сх) dx = Л — sin — J^+i /2 — J л/a2 - x2 V } a\ K ) У ас 2 "+1/2 V 2 / 0 [a > 0; Re и > -2]. 2.7.10. Интегралы от ж"НмFж±1)Н1/(сж). со J M dx= ~ v" ^' М + 1/2, I/ + 1/2, /X + I/ + 1/2 и оо [с, Re(^ + i/) > 0; Re/i, Rei/ > -3/2]. 2. Г Н^ ( — | Н„(сж) dx = -- J2vBy/bc) [b, с > 0; Rei/ > -3/2]. J \xj 00 Г 1 fb\ 1 ^~ 3. -H,;-! — Ши(сх) dx = -== J2U-iBvbc) [b, с > 0; Rei/ > -1/2]. J ж \ж/ V6c 0 2.7.11. Интегралы, содержащие Е1(^6ж2)< ^ >. I Ь^(сж) J х и + 3/2 J X3F3 A, , ; -, - + и, ; T^j [Re6>0; Re (a + 1/) > -1]. 2. f жеЬж2Е1(-6ж2)Н0(сж) dx = -^- exp ( ^- ] erfc \-^=\ [c, Re 6 > 0]. J 2o \4o/ \2vfe / 1. ж егГсFж)< т ; , > dx = 3 3a + i^ + 3 с ¦' 2' ^+ 2' 2 ' TiP [Re(a + i/) > -1; |arg6| < тг/4]. 2. J a* erfc (bv^)| ^gj } dx = ^^Г+Г) Г [ 1/+ 3/2 ' X 3 3 + с2 ; -, I/+-, 2.7.13. Интегралы, содержащие Du(bx){ 1 L, (еж) а +1/ + 1 а +1/ , 3 3 5=Ы ol + v±\l .ее2
2.7.14] 2.7. Функции Струве Н„(ж) и Ь„(ж) 75 Г11 2a+'i-17r6A' + l°iC^r(l-a + ^-t/)r(l-Q + /X + , 1 iRe(<; + '' |arg 0 [Re(a + i/) > -1; |argfe| < тг/4; |argc| < тг; U-(e) см. в 2.7.13.1]. . f жае^ь2ж2 0 ^ X 1F1 I — ; 1+ i/+ —; ^^т^ ) [c, b > 0; Re^ > -1; Re (/x + v) > -3/2]. \ / 2.7.14. Интегралы, содержащие J^(bx r)Mv(cx). oo 1. [ xa^1JfJ,(bx)Ml/(cx) dx = U [b, с > 0; Re(a + /x + t/) > -1; Re (a + i/) < 5/2; Re a < 2 при с ф b, Re a < 1 при с = 6], /-д 3 3 2c Г (a + /i + i/ + l)/2 1 / /5Рб°+"+1 L + 3/2 (l + )/2j3 2 V 2 ' 2 5 2'2+i/; [0 < с < 6] _2Г^_ \ (a + /x + i/l)/2 1 / 1 1_ ^b^1 [i/ + l/2C + /iai/)/2j3 2V '2'2 l/' 2'2 l/' 2 ' 2 с«+м Г[М + 1,1- [0 < 6 < с] ею f,,.._fll 4 /с - 6\ Г Г 0 < 6 < с j ° \о/тгF + с) \c + fe/ L10 < с < 6 о со 3 о . f х1/2Л+1/2Fж)Н1/(сж) da; = J-b~u~1/2cu(c2-b2)^1/2 [6, c>0,6 ^ c;-3 о CO . f жм+1/+1^(&ж)Н1/(сж) с!ж = / [6, с > 0; -3/2 < Re (/x + i/) < 0; Re (//+ 2i/) < 1/2], 4 о , ; [0 < 6 < с], 3 3 2 1 , 1; ;^J [0<c<6]. 5. f жм/+1^Fж)Н1/(сж) dx = J [6, с > 0; -3/2 < Re/i < min(l/2, Rei/)], о _ 2b sin /i7r(c б) 2V /] ~ СГ() + бм+i [z, + i/2J 2^x ^' 2 ^ 2
76 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.15 о Т. [ J . [ x J + ;_ с \4с da; = У^+i ( — 2^ 4 9. [ J-v (- J Н„(са;) da; = ^ [si j L 10. + [с > 0; -1/2 < Re/ix < 1 - Ret/]. [6, с > О; |Rei/| < 1]. [6, О 0; -3/2 < Rei/ < 1/2]. + - К2г,{2л/Ы:Ц ж J [6, с > O; -7/2 < Re i/ < 0]. Г[/1 + 1, 1+ (il+v- a)/2, 1 + (/x- i/- a x ,F4 (l со 11. f J [6, с > 0; -5/2 < Re (a + v) < Re /i + 1; Re (a - /x) < 3/2]. 2 ~~ J0(ca;)Hi(ca;)] dx = — (p2 + c2)^3/2 тгр 12. [ же"рж[Л(сж)НЦсж) - Jl{cx)Wv{cx)] dx = — (p2 + J 7ГР [Rep > 2| Imc|]. [Re i/ > -1; Rep > 2|Imc|]. 13. [6, c> 0; -3/2 < Re и < 0]. 2.7.15. Интегралы, содержащие YiJj((p(x))Miy(cx). с < б }' СО 2. [ xti->+iYlt{bx)O.v{cx) dx J с2 - 3. f У2„(Ьл/ж)Н„(са;) dx = - Jv [ — \ z— r(i/ J с \4с/ тг2с 4. [cos bxJy{bx) — sin 6жУ1/Fж)]Н|/(сж) da; = < > P^ J [ 0 J v&c CO J V V V , Г> - il) [b, с > 0, Ьф с; Re (/х- i/) < 0; -3/2 < Re /lx < 1/2]. l n/.. i i \ a I ^__ I Ac) -1/2 ( V [b, c> 0; -1 < Rei/ < 3/4]. с V26y 26 3 с X 2Fi ( 1, 2i/+-; I/ + 2; — ) [0 < с < 26; -3/4 < Rei/ < 1/2].
2.7.16] 2.7. Функции Струве Ни(х) и Ъ^{ 77 6. x[Jfj,(bx)Jt/-fj.(bx) — У^(Ьх)Уи-1х(Ьх)]Н.и(сх) dx = x[(c- (с - [b, с > 0, 26 ф с; -3/2 < Re i/ < 1; Re /i > -3/2; Re (/i - i/) < 3/2]. К (Ъж)У FжIН (еж) da; = с со 7. f [6, с > 0, 26 ф с; Rei/ > -3/2; -3/2 < Re/i < 1/2; -3/2 < Re (и + i/) < 1]. oo 2 —3i/ i/ —1 Г 1 —i/r т /i \ т /i \ i/- /i \л/- /i \itt / \ i AC . 2 ,,2\у-1/2 L^V / " V / " V / ^V / J ^ V / /ЦГ L 9 fу "П /. . i 1 / О \ ^ oo [b, c> 0, 26 7^ c; -1/2 < Re v < 3/2]. 9. f x[Jl/2(bx) - y^/2(bx)]MlJ(cx) dx = — (c2 - 462)+1/2 о [6, с > 0, 26 ^ с; -3/2 < Re v < 1]. 10 т1/+1Г J2(hr) — Y2(br)]H (rr) dr — 0 [6, c> 0, 26 ф c; -3/4 < Rei/ < 1/2]. 11. = ± -1/2 J exp(-zVc2 - 462 ) < 26 < с < с < 26 , -3/2 < Rei/ < 1 . 2.7.16. Интегралы, содержащие произведения специальных функ- функций на Уи(сх)—Ни(сх). г|> + 1/2, 1/2 +а*-1/1 х 1 1 1/2 + i/, 1 + д — ; |argc|<7r; -l/2<Re^ < 3/2; Re (/x-i/) > -1/2]. 2^р ^ j fii^p^rv^ /z1»^^ "Н" (f*rriW т I eiy С/ |/ | С/«Х/ J J |/ I IL-eX/ I A JL |/ I О «Лу I da; = — 3. | xJ-u(bx)[yu(cx) - П„(сх)] dx = 0 2cv cos viz + СХЭ 4. J^^1+cr ( — J \Yu(cx) - Н|/(сж)] da; = - J x1~f'a \x J [6, c> 0, 6^ c; |Rei/| < 2]. [6 > 0; |argc| < тг; Re v < 1/2]. 4COSI/7T 2,+i^a B V&c) . f J WjrTj^ )/2сA-<т)/2 ¦<т = 0 или 1; 6 > 0; | arg c| < тг; а - 3/2 < Re и < а/2]. cos и-кКъи(V2ibc )Ж21/(V-2i6e ) [6 > 0; |argc| < тг; -1/2 < Rei/ < 1/3]. в. -1 F fi- I I. 6 4 7 ' 2 I ' 4' 4' 64c2 7 c"u V 4c [6>0; |argc|
78 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.17 2.7.17. Интегралы, содержащие произведения элементарных функ- функций на I±u{cx)— Jju{cx). 1. ж [I±u(cx)-liU(cx)]dx = sec—-—тг^ >Г v ;/ J са 2 [cosi/TTJ [I - (a=Fi/)/2j [Re c> 0; -1 - Re и, T Re i/ < Re a < 1 - Re i/]. 2 1 ™ / /-$ ___ лр 1 ^ I jF [ i /** OP I — T I /"* ОГ9 I /^ r?9 —— — - m § шЛу I LI/ tX/ I J. -4- f/ I L-'tX/ I JLJ i/ 1 L-'fX' I 11/шАу — л (ol±v л , _ adz i/ a2c2 J \ 1, 3 a2c2 ; a' Rec' Re/3 > 0; Re(« 4. ж + (ж ^a )p [I-u(cx)-bu(cx)]dx = ъ J €s K ? ^ J xsec a + v -2p ,1; 1 3 3 3 + a + i/ с2 1; -ru + -r p; - (R Л [I^p^v{ac) L^+V(ac)] LOh I ID I /^ I #T [a, Rec, Re/3 > 0; Re (C + i/) < 1/2]. В .±1/) V 2 'F 2 У 1ЖА\ 2 ' A^"J ^ F ' 2 ' 4 ^ -1 - Re a < Re и < Re a 6. — [I±v(cx) — Ъи(сх)] dx = tg жЪи(су) + 0 xsec^-l-iv " il,F^l- 2-^-til о "~t/- ^^^l т ffy°^ etc a±" X bCL л 7Г1 | л / ч /л I 1-^2 IJ-i^1 ^i^1 ~5 ^ 1+ « ^1ь <j X ¦— Re a — 1 < Re i/ < Re a со _^ ^^i , 2 7 f т1^1/р™рж2[/ (rr) — L (гт^Ыт — - — IT» ж б [У i J о
2.7.18] 2.7. Функции СтрувеШ1/{х) иЪи(х) 79 [Rep > 0; Re и < 1]. 8. ха 1 sin bx[I±u(cx) — Ъи{сх)\ dx = 17A) . -2 - Re a < Re v < Re a + 1 J J' [b,Rec>0;Re(a + ,)<2, { Re(« + ")>-l -3/2 f Sm " 7Гз 2* " ' " ' ' 3 3 c2\ c*" rftt±i/ 2' ' 2' 6V ' 2±-b«±" \l±i/J 2 CO 9. ж"™1 cos 6ж[/±1/(сж) — Ъи(сх)\ dx = 17@) о I 6, Rec > 0; Re (a + i/) < 2, ( Re (a + i/J > 0 1 2.7.17.81. 2.7.18. Интегралы, содержащие произведения специальных функ- функций на 1±и(сх) — 1ии(сх). x^J (bx)\I+ (ex) L(cx)]dx- 2a°P+1 г x J^bx)[l±^cx) - hv(cx)\ dx--^. ba+v+1 1 Д l + a + /i + J/ l + a + i/-/i 3 3 c2 fa±u-fi 2 2 ' 2 '1=сгУ' 6 Ке(а + „ + и)>0 -1 - Re (a + ^) < Re v < Re (a + /i) 4 2. 0 2 ' 2 ' ^' ' fc 6 Rec>(M -l/2<ReM<3/2 ' eC ' ^ -1 < Re/i < 3/2, Re(/Lt-г/) > -1/2 oo 4 0 u + I) cos^1'/2 ^аЛ (l, 3-±^ + щ O.) lRe/i > -1, -3/2 - Re i/ < RejLi < 1/2-2 Re i/ СХЭ -I _|_ I - J а>1±1/""^(^)[/±„(са!) - Me*)] rf* = 7 i + ,) 2Fl (l, 1±^; ^|^ + W [6, Re c> 0; ± Re v > -1; Re (^ - i/ =F ^) > -1/2]. 6. f x1/2Jv+1/2{bx)[h{cx) - Lv(cx)] dx = J^ b-"-1/2c"(b2 + c2y1/2 0 [b, Rec> 0; |Rei/| < 1].
80 Гл. 2. Определенные интегралы [2.7.19 оо 7. х~пJo(bx)[In(cx) — Ln(cx)] dx = Jn [б, Re с > 0; z = с/л/b2 + с2 ], Jo = — ВД, Ji = — [K(z) - E(z)], J2 = -^ [B + z2)K(z) - 2A + *2)E(*)], 7 C 7ТГ 2 ^13 - (8 + 7z2 + 8z*)E(z)]. сю n \ - [/.(еж) - ЬЛ x J 23/2 ,_„_! Г 4с 6 9. жНоFж)[/о(сж) — Ьо(еж)] dx = — In - J ж1о{ол + с2) с [6, Rec > 0; -1/2 < Re i/ < 1]. [6, Rec > 0]. . f же^рж[/1(сж)Ь0(сж) - 10(схIл(сх)] dx = — (р2 - с2) J ¦тгр о J тгр о {Н^(сж) 1 > Jju(cx) J [Rep> 2|Rec|]. [Rep > 2|Rec|; Re i/ > -1]. ¦i/)/2, 3/2 1 + a 1 + a - Imc| Rec| Re 6 > |Rec| 3 3 cA , Rei/>-3/2l. J 3. 4 о oo '• J" e [c, Re b > 0; Re i/ > -E ± l)/4]. 1,(сж) йж = -—^ Г(|лНM_,/-2 u-i f — ) [c, Re6 > 0; Rei/ > -1]. 7ГСГ \4c/ arg6| < B=p 1)тг/2; Re (a + i/) > 2|Re/i| - 1, | argc| < 7Г c> 0; Re (a + v) < 2; Re a < 5/2 /J' /zp (e) = =b (cos 11Ж cosec ¦ cosec [(a + i/)tt/2] 3/2 1 1 2 +M' 2' ^a + i/ 3 —a —i^ с 2 ' 2 ' 86
2.7.19] 2.7. Функции Струве Ни(х) и Ъ^{ 81 6. [ ха~1е~Ьх2#А4(Ьж2)Ь„(сж) dx = /-(-1) 0 [Re 6 > 0; |argc| < тг; Re (a + v) > 21 Re /x| - 1; 1-(е) см. в 2.7.19.5]. 7. ехр 8. f [2#2„(Ьл/я) J 9. [ J da; = - Л ( — с \4с 2тгс \4c/ [с>0; |arg6| < тг; -3/2 < Re i/ < 0]. [6, О 0; -К Re i/ < 1/4]. 10. 11. 2c [c> 0; | arg 6| < тг/4; | Re i/| < 3/2]. 1 / Ь2л — exp -—) [0 0; |arg6| < тг/4; Re v > -3/2]. ЛС ? 12. x^V^iz J da; = 2-%/^c2-+1/2 ""-V^ ^2Cy [c > 0; |arg6| < тг/4; Re i/ > -1/4]. oo 14. cos о /i - ^ 2 1 „ sin [c > 0; |argb| < тг/4; Re v > -3/4]. ca;) da; = [c > 0; |arg6| < тг/4; Rei/ > | Re/x| -2]. 15. f xYJbVx2 + z2 - bz)Kl/(bVx2 + z2 + bz)Uy{cx) dx = Дг exp ( ^cz - — ) J 2c2 \ 2cJ [c, Rez > 0; |arg6| < тг/4; -1 < Rei/ < 3]. ..(еж) j -^F6«+^+1 L ^ + 3/2, a + i/ + l J -M + l a + iz-A + M + 1 a + i/-A-/i + l" X 5^4 A 3 3 2' l/+2' 2 ' + |Rec|J 2 ' 2 , Re (a + i/) > | Re A| + | Re /z| - 17. x2Fi(l,2i/+|; 1/+ 2; 2 Re 6 > Imc|l Reel/ , Rei/ > -5/4 .
82 Гл. 2. Определенные интегралы [2.8.1 18. 19. f J 20. 21. f хК1(Ьх)Ш0(сх) dx Jbt/(еж] J dx = 3 c2 liV{cx) 2Re6> Re c| J dx = v + 3/2) 2' 2' F+ 2' Т№ 2 Re 6 > 2' F + ImcMl ReclJJ" 2 ^-2/x-l^ 62^CZ | Rec| j' z - (z + c) M - (z - c) M] ; 2Re6 22. 23. dx = ^ [si |Rec| J cosy?si |Re/x| < 3/21. J ); 6, c>0]. 24. f ж^ J dx = Ь0(сж) cV4P±c2 0; Rei/ > -1/4]. ImcMl Rec|/J 2.8. ФУНКЦИИ АНГЕРА ЛДж) И ВЕБЕРА 2.8.1. Интегралы общего вида. .0_1 J Л„(сж) L. [ж^^^-ж^ ¦Г(/3)х 1г^гГ (А; + а)/г 1 Г cos [(А; + ^)тг/2] 1 / ac\fe Х ^ [/3 + (fe + a)/r, 1 + (k + i/)/2, 1 + (А; - v)/2\ \ sin [(A; + i/)tt/2] J I"T/ [a, r, Re a, Re/3 > 0]. 2. X > Г cos [(к + 1/)тг/2] 1 /_ acf _ V dx = r 1- p - {k + a)/r l^[k + a)/r, 1 + (A; + i/)/2, 1 + (A; - i/)/2 J \ sin [(A; + i/)tt/2] J V 2 У 3r~a ^^ [i _ ^jfe cosec (r — ' ^ k\ ГA + (r + v — a — rP cos [(r + и — a — rP + rk)n/2] 1 /ac\rk , sin [(r + i/ - a - r/3 + г^)тг/2] J VT/ гГ(р)
2.8.1] 2.8. Функции Лнгера Ju(x) и Вебера ~Еи(х) 83 ( cz\k /с\гР~а (~l)k(p)k cosec (rp + г к — а) ж ^ Г (a + k)/r,p-(a + k)/r ]( coe[(v + к)п/2]\ / cz\» x Е к=0 k\ ГA + (rp-a + u + гА;)/2)ГA + (rp - a - i/ + rife)/2) {cos [(у — а + гр + гА;)тг/2] 1 /cz\гк sin [(у - а + гр + гк)ж/2] j \~2 ) ^' Г' X Г:_ J.. _.,_., J.J Т [с, г, Rea>0;Re(a-rp)<l;r|arg,|<7r]. Г ж™ х | Jjy(cx) 1 тг^/" т ^"^ 1 к + си J жг — iir 1 Е ("~х = ~^ v т^/1 i /I. , .л /о\т-1/-1 ГТТ .л /о\ C^S I ^ х г <-^1'A+[к + 1')/2П'[1 + [к1-1/)/2) ~ г о cos [(i/ + A;Or/2] 1 / c|/\fc /с\г^а\Г^ cosec (г + г^™а)тг 2 / .' cos \(i/ — а + г + г^)тг/2] 1 /су\гк X \ г) , ч / 1 М I с, г, у > 0; 0 < Re а < 1 + г . \ sin [(i/- а + г + гА;)тг/2] / \ 2 / бЬ = t/(r) [с, г, Rep, Re а > 0], Г>1], f cos [(i/-a-rifeOr/2] 1 / 2rp \ J !F~ feOr/2] 1 / ;Or/2] J \ 17A) см. в 2.8.3.1. Ir "^ 4' 6. \ xa-1si J 0 [6, c, r > 0; -r < Re a < r + 1/2 при r > 1, -r < Re a < min C/2, r + 1) при г < 1], г<5 — а — к ( cos [(А; + и)ж/2] 1 / с \fc Х €Ш 2^ ^t sin [{к + |/)тг/2] J l^^1^ ' [Г > Ч' V(S)-± r<f + l-a + ife f sin [(i/ — Aj)tt/2] \ / -„ , 0 . - . X COS 7T< r/ ; . , > I + 7Г& - I X 2r \cos[(i/-feOr/2]JV с J \c) E°° (™l)fc cosec (a + rS + 2гк)ж к\(8 + l/2)fcr(l - (a + i/ + <5r)/2 - гА;)ГA - (a - i/ + 5r)/2 - rife) X cos[(i/^a^r^^2rifeOr/2]" ^ —i^2fe = 1 см. в 2.8.4.1-2. I sm L^ - a - ^ - ¦ о [6, c, r, Re a > 0; Rea<r + 1/2 при r > 1, Rea < min C/2, r + 1) при г < 1; V(?) см. в 2.8.1.6].
84 Гл.2. Определенные интегралы [2.8.2 о Г Зг + 1 min (Зг, 1 + г) 1 о, с, г > 0; — г Не /z < Не а < при г > 1, —г Не /х < Не а < 1 Н при г < 1 , L 2 2 J ¦(ife + i/)/2, l + (A:-i/) '~' Х w J L \ ' / / J ¦ ¦ \ sin [(A; + i/)tt/2] ШтЛ = ±1-1 iVr (»r + a k- ^j/x^.j | 1 j V2/ cr f^ [l + (/xr - a + fc + l)/Br), A + v - A;)/2, A - v - fe)/2j sin [{и - к)ж/2] cos [(i/- А;)тг/2] / \ с E cosec (a + /ir qj A;!(l + /i)fcr(l - (a - i/ + /xr)/2 - гА;)ГA - (a + v + /xr)/2 - X \ sin [(i/ - a - /xr - 2r^)?r/2] J \ cr W(l) см. в 2.8.5.1. 2.8.2. Интегралы от /1(жК v >. Г a_i f Л и (сх) 1 . 2a7rc^a cosec an ( cos Г(г/ — а)тг/21 1 •J lE^cx)/ r(l-(a-i/)/2)r(l-(a + i/)/2)\sin[(i/-a)ir/2]J [c> 0; 0 < Rea < 1]. _ (a _ t/);2;;;;_ (tt+v)/2) ec (ax/2 sin A/7Г/2) sec (атг/2) x { C°S (^/2) -sec (ax/2) | > < Re q < ± [ sin A/7Г/2) sec (атг/2) J 2/ 1^1 —cosi/ttJ ' 2' M 2' a + 1 3 + f 3 - i/ a2c2 4. 7a!--V-oY-1f^Ca:J}da!=^^B(JS1l-^-^)f1Bin'/'r }x J ^()] 2 V 2/ [ 1 - COSI/ТГ J sin^TT | „ /, а + 1 я , a + 1 X 2 ' r ' 2 ' 2 ' 2 ' 4 /c\2—2/3—a cosec (a + 2^)тг f cos [(i/ — a — ' ^ V2/ ГB - /3 - (a - 1/)/2)ГB - /3 - (a + i/)/2) \ sin [(i/ - a - 2/3)тг/2] -, 2 - /3 - — -; -^_E_ ) rtt5 C5 Re^ > 0; Re (a + 2/3) < 3]. 2 2 4/
2.8.4] 2.8. Функции АнгераЗ„(х) и Вебера~Е„{х) 85 7 1 3„{сх)\ л za-2" D (a a\( сХI dX = ^ГВ B' Р~ 2) \ za-2?+1 а "' 2"' ™Р+ 2"' sini/тг ] „Л а + 1 3 + а 3 + */ 3 - i/ 2F3 1, —— - 4 ! —-"'—'—; "T /сл2^™" cosec Bp — а)тг J cos [(i/ — а + 2р)тг/2] ~ Ж \2i ГA + p - (a - */)/2)ГA + p - (a + i/)/2) \ sin [(i/ - a + 2р)тг/2] 2 2 . sini/тг 1 _ / 3 + 1/ 3 — 1 Ч , , > i^2 1; -^-, ^г- ГB-(а-1/)/2)ГB- {cos [(*/ —а)тг/21 1 _. / ol—v а + и с2у2\ г/ ч / 1 Ь^2 1; 2 ,2 —; ^- ) с, у >0; 0 < Rea < 3. sin[(i/-aOr/2] J V 2 2 ' 4 у L'^ ' J со 7. f ж"+1(ж2 - а2)/3^|/(сж) ± Л^^Ссж)] с/ж = 2,/з±Дас) - - 2/3~1тг [tgT1^ J^-i/2(ac) + yTl/_i/2(ac)]} [a, c, Re/3 > 0; Re (i/+ 2/3) < E ± l)/4]. 2.8.8. Интегралы от ж со I. Jx^e"' ¦v(cx) j иж \ 1 — cos иж а а + 1 „ . I/ _ и с2 X X 3F2 I 1, -^—, - + 1; -^—, ^^; 1 [Rea > 0; Rep 00 f { х \ / / 2 2. j Жа ге рх {vu{cx))dX= 2иж \l-coSI/7rJP ^V1' г"; 1 + ^' ^I5"^ о с /a + l\ f sini/тг о о л тж a ( Sin 6ж 1 f J^ (СЖ) 1 2.8.4. Интегралы от ж Н^/ \ (• { cos ож J [ ЕДеж) J . (V^sIn J 2 ' 2 ' 2 ' [Rep, Re a > 0] 1 о [6, с > 0; -KRea < 3/2 при 6 ^ с, -1 < Re a < 1/2 при 6 = с], Г(а) <5-a f sini/TT 1 / a a ^n/3 4' г'
86 Гл.2. Определенные интегралы [2.8.5 сГ(а + 1) . 8 - а Г sini/тг ] ^ ( а + 1 а 3 + f 3 - i/ с2 -1) . а-fl / slni/тг I / 1-й l + i/ 3-а а 1/62-°Т(а-2) a-J / sin i/тг \ „ Л п " -, , " 0 « 3-а &2 .« /2\a+5coSec(a + ^ W W ГA - (a + i/ + <*)/2)ГA - (a - i/ + 1 I f" J \Eu(cx) о [6, с > 0; 0 < Re а < 3/2 при b ф с, 0 < Re a < 1/2 при 6 = с; V(S) см. в 2.8.4.1]. 2.8.5. Интегралы, содержащие Jp,{bx)m [b, с > 0; — Re /i < Re a < 2 при b ф с, ^Re/i<Rea<l при 6 = с], rr - i sin^ \ГГ (a + /x)/2 1 fa^M Q^ + Z1 i.i,17 i I/. c2>\_l ^ - 737^"i i «_..- Г I i , /.. Лл/о1 3J^2 1 ~~2~> 2 ' ' I' ' ft2/ 2ac f slnj7?r . ... , . . . ,, , A - |/2)тг6а+1 [I + cosi/tt j L(! + M- «)/2J x 3f Zi Zi Zi Zi I/ ч г / . „ \ / ,-* n Sin 1/7Г I + cosi/ttJ^ LC + M^«)/2JX 1 —i/ l + i/ 3^/i^a 3 + /i^a b \ ub a J sin г/тг . _ .. _ cosec (a + м)тг ca+|i p[^ + 1? j _ (a + ^ _ ?/)/2, 1 - (a + /i + u)/2] [(i/— a — д)тг/2] 1 f a + fi — is « + /1 + ^^ ,-•.&' _sin[(i/^a^MOr/2] j z ' V 2 ' 2 ' ' ? a-irr/ ч т / м i 2asini/7rT,r (a + i/)/2 1 2. ж 1[Jt,(cx)-JJcx)]dx = Г , y/w J caslna7r 1 + (i/— a)/2 о [Re(a + t/) > 0; 0 < Rea < 1; | argc| < тг].
2.9.1] 2.9. Функции Ломмеля sll^{x) и Б^^( 87 оо . xJu{bx)\Ju{c J dx = [a, Re^ > 0; Re v > -1; Re f> + 2C) < 1; |argc| < тг]. sin i/7T [6 > 0; Rev > -1; |argc| < тг]. 2.9. ФУНКЦИИ ЛОММЕЛЯ 8^„{х) И ^.„( 2.9.1. Интегралы общего вида. 1. (-1)* 2 J 0 I z a l} г A + /i + i/)/2, i a, r, Re^ > 0, ^ F , , . \Rea > -Re/x-1, Rei/ /J , l2i A;! 7ГСа' 1 sec ¦ ¦тгГ „ . а — i/ — r(k — p + 1) \ Г f cos (r — rp — x Г [ \ *- '- cos иж =p { v 2 / [ [ cos fin {cos (r — rp — a + г^)тг 11 / ac\rk cosfin j\ \~2~/ = (ас/2)- ГA + /i + i/)/2, i/l Г1 - BЛ + a - u)/r - k{ } (li/)* L (l + )/2 J L Г с > 0; Re (a + r/3) < r + 3/2 11 a, r, Re/3 > 0; Re (a +/i + r/3) < r + 1, ^ ' V P; ' \\. CO 4 (ж- + (}лс = argc ; + 1J-^]Г(р) x г p - 1 H ;(/*-!/ + з)/2)к \ Z / 7Г С ^ E fe=0 (—l)k(p)k oc + (j, — rp — rk ( a + v — rp — rk\ (a — v — rp — S6C — 7Г1 [ z I I I z I X A;! X COS 1/7Г =F Л 2 V 2 cos (rp — a + г^)тг "[] ^ cz Yfc COS/iTT (?)' +
Гл. 2. Определенные интегралы [2.9.1 _ (cz/2)-" 2, 1/ f Re(a-rp) < 3/2; с > 0 11 [ Re а > | Re i/|; | arg e| < тг J J J fe=O 3)/2)fc((M-i/ + 3)/2)fc + /x- /cgf \ 2 / _, /a + i/ - г - rfe\ _. /a - iv - r - x Г Г 2 у 7 fc=O COS 1/7Г =F 1 cos (r — a + гк)ж 11 /су \гк cos jtiTr }](?)' г, у > 0; -1 < Re (a + ^) < r + 1, r, Rep > 0; Re (a + fi) > -1, Rea < 3/2 + г; с > О Re a > | Re v \; | arg с | < тг c> 0 Re о > |Rei/|; |argc| < тг/J' t/(r) = x Г r[(p + Ik + a r /==0 2, ^1 /2 + „ /а — и + rfc) \ I I cos х Г ( '- ) cos г/тг =р о + г^)тг 11 /2гр :os fiTi /J \ cr 2 17A) см. в 2.9.3.1. . [ жа8т J 6, Г с > 0; Rea < max A, г)+ 1 [ I arg c\ < тг; Re а > Re v\ — 1/2 11 f r J J v / ~~ (-1)* ¦1J-1/ = - /i — <5r - ^ + 3)/2)fc
2.9.2] 2.9. Функции Ломмеля sll^{x) и Б^^( 89 г[ VЖ V- • x cos - 2b1/ г 1 + /1 — U 2 V 2 cos (a + 2 J \ 2 a — и + Sr x cosi/tt [ cos/iTr 2r-1b\2k rk x при r = 1 см. в 2.9.4.1, 2.9.4.3. 7. Г /ч cos bxr I */' v [CX 0 r > 0; -1< Re (a + ^) < r + 1, ( C > °; Rea < maxA' "} + 1/2 1; У(й) см. в 2.9.1.6] . I || R | R| J J |argc| < тг; Re a > | Ret/ 1; J 2 W(r)=(- (\r 2k (Ar + a - 2r-4\2k/r A + ц. - и)/2, A + м + и)/2] ^ (_i) Ar + 2rfc х Г г А; 1 Г а - I/ + Лг cos иж q= см. в 2.9.5.1, 2.9.5.3. {о I СЖ I 1 1. \ х { J: ) ; > ь ( I cos аж -тг cos иж =p л \ [ COS jtiTT
90 Гл. 2. Определенные интегралы [ 2.9.2 i/ 1+n-v a+v a-v c>0;Rea<3/2 / \ dx = х Г a, Re /3 > 0, Re (a + fi) > -1; Re a > \Rei/\ cos P7r 2 ' 2 ' 2 ' 2 2 2 ' 4 х х arg с < 7Г 4. ж1 ь'(ж2 — ( ч} [с, Re/3 > 0; Re (i/ - 2/3) > -3/2, Re^- 1]. 5. "• x 2F3 | 1 2[(АХ + 1)*-1/2] ' о Р» < 7Г 1"
2.9.3] 2.9. Функции Ломмеля sll^{x) и Б^^( 91 ¦тгГ 2 |2' 2 ' 2 r' 2 cos Bp — а)ж -р х x \cosu7T^i x ' ' }\ iF2 p; COS /Х7Г " l (l-Ax + i/)/2 ; ,i,; 2 ' -i/)/2] /o+^ 7. 8. Rez > 0; -1 < Re(a +/x) < 2Rep + 1, sec ^^ тг 2м Г f . 2 '- ' -' 4 Re (a -2p) < 3/2; с > О Re a > | Re v |; | arg с | < тг 2 / V 2 [с, Rez > 0; ^3 < Re (/x + i/) < 1; Re i/ < 3/2]. t tg 7Г 2 2 ' 2 ' 2 / (созатгП t ч Г 01 2^тг2|/а X COS 1/7Г =F 1 f Sl-a, I/(C1/) - Г, ; \ [ COS /17Г J / [ 1 J Sin 1/7Г I/ > 0; -1 < Re (a + ^) < 3, Re a < 7/2; с > 0 4 da; = sin/хтг Re a > | Re v \; | arg с | < тг + |/ + 1\„/АХ-|/ + 1 x 10. [p = (/x + i/ + l)/2, o- = (^- i/ + l)/2; c, Rez > 0; -1 < Re ^ < 0]. 2 ' 4 ' 2 2.9.3. Интегралы от ж1 , л(ас) [а>0; |argc|<7r; | Re A| + Re/i < 1/2] — a —/Lt —1 \A{?) Rep > 0; Re(a + /t) > -1, c> 0 Re a > iRefc1!; jargc| < n
92 Гл.2. Определенные интегралы [2.9.4 2 Rep>0; Re(a + M)>-1, (D „ ^ , }] • I Re a > | Re i/|; j arg c| < 7r J J 9^ \ / 2 3. j x~1/4e~p^Sfl,1/4(cx) dx = ^ [ |J ^ [c, Rep > 0; Re /1 > -7/4]. 2.9.4. Интегралы, содержащие тригонометрические или обратные , ( 3/х,*/(сж) 1 тригонометрические функции и < „ . . >. Обозначение: 8 = < >. 1 ^tfs'mbx} t Ч1 , fc-«-M-icA*+i fcos[(a + MOr/2]1 J [cos&xj (/i + IJ — i/2 [ sin [(a + jw)tt/2] J a + /i + l a + /i + 2 3 + /x - 1/ 3 + /x + 1/ c2" , ; , ; [0 < с < 6, Re a < 3/2 или 6 = с > 0, Re a < 1/2; -1 - 5 < Re (a + fi) < 2], с 3- a - 2 -a- s C j cosec [(a + /i)ir/ \ sec[(a + AtOr/ Г (м - i/+ l)/2, (/* + " +l)/2 1 F /a + ^ + J a-tz + J 1 6^ U(" + " + *)/2 l + (va«)/2j 2 X V 2 ' 2 ' +2'C2 [0 < b < c, Re a < 3/2 или с = 6 > 0, Re a < 1/2; -1 - 5 < Re (a + ц) < 2]. 2. J^1 0 / ь\ X (c2 - 62)?M+1)/4PJ^2/2 ( " ) [6, c> 0; Re/i > ^3/2 при 6 ф с, Re/x > -1/2 при b = с]. со а-i f sin 6ж 1 f ч , _ , i-^-а «-1ГГ Л cos [(а + /х)тг/2] 1 [cos&xj [ sin [(а + д)тг/2] J Г о. ж J Л [(а + /х)тг/2] 1 (а 2 Ч 2 ' 2 ;д+2; [6 > 0; -1-<У < Re(a + ^) < 2; Re a > |Rei/| -5; |argc| < тг]. ^ f ! Г/ , i\ Ж1 / \ j оМ-2 ^ / 4. г- cos (/1 + 1) arccos — sM ^(сж) йж = 7r тгГ J va2 — ж2 L а\ \ х т /ас\ _ /flc\ X J(i+/i+I/)/2 — ^1+^-^/2 ( -^- ) [а > 0; Re /х > -2]. \ Z / \ А У
2.9.5] 2.9. Функции Ломмеля sll^{x) и Б^^( 93 5. — cos \(ll + 1) arccos — Su и (ex) dx = J Vfl — ж2 L a-I = 2^2n{ac)^1 г fac\ /осл _ /осл /осчн sin |/тгГ(A - i/ - /х)/2)Г(A + v - /i)/2) L p I 2 У " I 2 ) a V 2 J p V 2 Л [p = ; a > 0; 1]. 3. . ^- cos l /x arccos — J 5» v (ex) dx = a 2.9.5. Интегралы от xaJ\{bx 2^4 [a > 0; Re /x < 1; | argc| < тг]. x 3F2 1, 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' [0 < с < 6, Re a < 2 или 6 = с > 0, Re a < 1; - Re A - 1 < Re (a + /x) < 5/2], Хз 2 ! ' хГ ^ A^jti^a 3 2 ' < [0 < b < c, Re a < 2 или b = с > 0, Re a < 1; - Re A - 1 < Re (a + ft) < 5/2] 00 [6, с > 0; Re (/i + i/) > -1 при 6 ^ с, Re (/x + i/) > 1 при 6 = с; -3 < Re (/x - i/) < 2]. oo 3. I xa^1Jx{bx)Sl,ylJ{cx) dx = - c«+a sec 2 ^ [ A + 1, A - /x - i/)/2, A - /i + v)/2} X + A + i/ a + A-i/ ft2\, q«+m-2»i~«~m /x-i ^ -^ . 2 'A + 1'^j+2 & c x X 1 4. 3^2 11 ¦ i/ — /i 1 — i/ — /x 3™A™/i™a 3 + A^/i^a 6 5. [6 > 0; Re(a +A) > |Rei/|; -1 - Re A < Re (a + fi) < 5/2; |argc| < тг]. (& — С ) / \ P( 4- 1/2 1 ~~ I [b > 0; Re(/x-3i/) < 4; Re (/x - i/) < 1; -6 < Re (/x + i/) < 4; |argc| < тг]. о X Г
94 Гл. 2. Определенные интегралы [2.9.6 в. 1 - 1 + \-\i [6 > 0; -1 < Re A < 3/2; Re BA - /x) > |Rei/| - 1; |argc| < тг]. 7. [6 > 0; Re A > -1; -1 < Re (A + u) < 1/2- Re/z; Re (/z + i/ + 2A) > -3; |argc| < тг]. 2.9.6. Интегралы от а J х1- х (с2 - [6, с > 0, b ф с; ^3 < Re (/z - i/) < 1; Re (/x + i/) > 0]. Г ^ ^ 1 2.9.7. Интегралы от хаK\(bxr)< M;l/^ ^ i х 3F2 1, а + /х - А + 1 3 + /х - I/ 3 + /х + [Re 6 > |Ime|; Re (а + и) > |ReA| - 1] со 0 со о со Ж лд ^Oi с!ж = м, v{cx) dx = 5 —/х-1, v [с, Re 6 > 0; Re/z > | Re ia| ^ 2]. - ЬГA + /х - 1/)ГA + /i + i/M^M^2 ^-i ( — | [с, Re 6 > 0; Re (/х + i/) > -2; Re (/z - i/) > -4]. Г( • ' ix x 3F2 — /i — v З^А^а^ 6 ; -- ] + ; , ; Г-А, (a + A + i/)/2, (а + А-И Vl[ A - ц + u)/2, A - y, - u)/2 Ь2\ 2а+"-3тг6"А а + ц - A j+ 2 ' 2 ' ' ' с5 A, (a + i/-A)/2, (a-i/-A)/2l nx -A a -1/- A [Re 6 > 0; |argc| < тг; Re (a + /1) > | Re A| - 1; Rea > | Re A| + |Rei/|] 2.9.8. Интегралы по индексу, содержащие Sn nix(c)- CO ' Kix(b)So7ix(c) dx = 2 xth7TxKix(b)So,2ix(c) dx = -|i/^- exp ( |- - 6 J El f-fr )• J о у ZO \ou J \ 00J
2.10.11 5, in m rx (Ъети{х)\ Гкег1/(жI 2.10. Функции Кельвина < ; х > « < , •! ? 95 оо Ч П^ + - 1пх{Ь)8ц,2гх(с) dx = /п b2 + с2 " 2.10. ФУНКЦИИ КЕЛЬВИНА ( ^"^ } И ( ^ [ beiE/(a;) J [ kei^ 2.10.1. Интегралы общего вида. eiu(cx) (х) (х) Z^v\ ^ix cos[Ci/-2ifeOr/4]l [a, r, Re/3, Re (a + i/) > 0]. oo 4 + a [r > 1; Rep, Re(a + i/) > 0; r = 1 см. в 2.10.3.2]. з. X oo I. Jo—Eil cos [Ci/ - 2^)тг/4] sin[Ci/-2A;Or/4] [r > 1; Re 6 > 0; Re (a + v) > r|Rejx|; r = 1 см. в 2.10.8.1]. ()/ a + и)/г) X cos Ci/- 2А;)тг/4П / с \2к t . r;o on /j Uirr r >1; Re6, Re(a + i/) >0; г = 1см. В2.10.6.1. sin[Ci/-2А;)тг/4] J ^б1/^/ L v y J 5. /"^/-ЖТ ! , l/; , > dx = U(is) fa, r, Re^ > 0; Rea > Rei/П, J i keiI/(cx) j " /a™) [^ ^ • • • j -2, -1, 0, 1, 2, . . .], fc=0 n —1 n)! ^ I Г \ Г Ak{y) = У2], Г СО b. j ж (ж - a j < fc=i Bjfe + a + : f BJfe + a - 4^ r dx = cos [(n — 2k)n/¦ sin [(n — 2к)ж f< лл ас ±1 n — 2A; 1 /ac\2k r - 4 In — =p 7Г tg±1 ^^ ttJ ^ — J [n = 0, 1, 2, . . cos[Ci/-2A;Or/4]' ^) [a, t, Re/? > 0; |argc| < тг/4], -\ ± v{u) \v ф . . . , -2, -1, 0, 1,2,.. .],
96 Гл. 2. Определенные интегралы [2.10.1 = ь^Ч^-ПР) Е ^ ch(n) (f f ± fe=O {cos [(n — 2^)тг/4] 1 Г sin[(n-2A:Or/4] J [ t{ 1 л 1 пС - 4 In — : 1 + 1) + -' Г п _ 2к 1 /ас\2к тг — ± v(n) [п = 0, 1, 2, . . .], (ос/г)-" f i/, 1 - /3 - BA + a - »/)/r A-")* 1 f cos [C«/ - 2k)n/4] \ /\sin[Ci>-2fc)ir/4]J' . и _ г _ r^ ^ / а _|_ гя _ |/ _ г — • I Г 7. J i + zr)p { keljj( cos [(a + r/3 + 2г/ — r — г^)тт/4] 1 /ac sin [(a + rf3 + 2i/ - r - гк) <7r; тг/4] 1 /ac\rfc тг/4] J IT/ " [i/^..., -2, -1,0, 1,2, ...], k=O cos [(n - 2^)тг/4] sin [(n — 2^)тг/4] 4 lf Ah, I LZ у i-" (y) 2k [n = 0, 1, 2, ...], 1 /cyp-<* V) = 4 B) - ol — v 2^ + а-^1 f cos [Ci> — 2А;)тг/4] 1 7 ' P r^ J \ sin [Ci/ ^ 2ifeOr/4] J ' -1/ — rp — rk ^ ( a — и — rp — rk fe=0 cos [(a + 21/ — rp — г^)тг/4] 1 f cz\rk sin [(a + 2i/ - rp - г^)тг/4] J V 2 r- 8. яГ I ker^ (еж) [r, t/ > 0; Re a > I Re i/|; | arg c| < тг/4], fe=0 V. rctg: + а + n J cos [G1 — 2Js)tt sin [G1 — 2A;) 7Г/4] J L 8тг + 1) n + 1) +
2.10.11 5, in m rx (Ъети{х)\ (keru(x)\ 2.10. Функции Кельвина < ; х > « < , •! ? 97 fe=O oo f a-i -Ржг J кегг/ (еж) J \ ке!1/(сж) a — v J cos [Ci/ — 2к)ж /4\ 1 r ^1 sin [Ci/ - 2А;)тг/4] J ' a + ?/^r^rfc\ /a — i/ — r — rA;\ {cos [(a - sin [(a - ' — r — гк)ж/4] •-г- гк)тт/4] j К 2 r, Rep > 0; Re a > |Rei/|; |arge| < тг/4; r = 1 см. в 2.10.3.9], + гк)ж/4] а — i/ + rfe \ J cos [(а - 2 / I sin [(а - -а/г -а/г fc=0 [г > 1; I/ ^ ..., -2, -1, 0, 1, 2, . ..], 1 f 'УЬ 4- rv 4- 7i \ ( гпч ГГп 9&W /41 1 х ¦ тг — 4 In 2fe [r > 1; n = 0, 1, 2, . . .], (l-i/)* sin [(Si/ - 2Л)тг/4] I' СХЭ in Г ol-i . и г J кег^ (еж) 1 10. ж sink < , , ч > J [ ке1х/(сж) J l • i г I keiv (еж) § ТХ7-/ i\ sinfea; ^ , , : > dx = Wiv, 1) ке1|/(сж) ' [6, r > 0; Rea > | Rei/| - r; |argc| < тг/4; r = 1 см. в 2.10.4.2], + rS + у , Л „ ( a - A +rk x , -a/r + n — l > 1; v ф . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .], ^ 1 fc=0 Sr ~~ a — n — 2k ( cos [(гг^2^)тг/4] X COS 7Г < 2r \sin[(ra-2A;Or/4] cos [Ci/ - 2^)т sin (fc, - 2*K 4 А. П. Прудников, Т. З
98 Гл. 2. Определенные интегралы [2.10.2 11. оо 12. J x- [b, г > 0; Re a > |Rei/|; |argc| < тг/4; г = 1 см. в 2.10.4.3; W(i/, ?) см. в 2.10.1.10] eiv (еж) dx = Z(y) [b, r > 0; Re (a + /ir) > | Re u\; | arg c\ < тг/4; r = 1 см. в 2.10.7.1], cos [(a + 2i/ + vii + 2rk)n/4] 1 /2Г~16\2*; na/r-2 n —1 1 \r < 11 sin [(a + 2i/+ r/i + 2rifeOr/4] j V cr f L J' [r > 1; i/^..., -2, -1, 0, 1, 2, ...], 2fc/r sin[(n-2A;Or/4] J [ 2 2 , /. /xr-a-n-2A;\ 4 , c' ¦I---0I1 + - I --ln: / r 4 "J V Ь [r > 1; n = 0, 1, 2, ...], 2V-Vlvhvlr \ v, (fir + a - i/ + 2ife)/Br) ] / cos [Ci/ - 2^)тг c"(l - i/)fe |_1 + (/xr - a + i/ - 2A;)/Br) J \ sin [Ci/ - 2^)тг 2.10.2. Интегралы, содержащие алгебраические функции и функ- функции Кельвина. ' 2 Д sinCi/7r/4) , - + l, 4 ' 4 ' 2' 2 ' 2 256 (iz + 2) a + ^ , , 3 2 i/ + 3 ' 2 ' cos Cf7t/4) J X + 2^ + 2 a + i/ + 2/9 a f x i / ч » 1 f . ac . ac . ас ас \ 2. — ber (еж) dx = —— ch ^^ sin ^^ + sh —^ cos ^^ J Va2 - x2 l ; c^2 V V2 ^2 ^2 лД J a 3. ber (-у/ж(a — ж)) 4 ' ' 256 [a, ЕеД, Re (a + v) > 0] a > 0 dx = \Pl ( sh —=¦ cos —— + ch —— sin V 2л/2 2^2 2i/2 ^ Г Ж i • / \ i ^ -ac/y/2 I ac 4. / ^ =r kei (еж) dx = — -—;=— e 7 ( cos —^ + sin ¦ / x^ — > [a > 0]. ; / J [a > 0; |arge| < тг/4].
2.10.3] * *п ^ ^ (Ьеги(х)\ ( кет и (ж) 1 2.10. Функции Кельвина < ; х > « < , •! ? 99 2.10.3. Интегралы, содержащие е рх и функции Кельвина. э_рх ( Ьег(сж) \ bei (еж) dx = /р^Гс^ ±р2 2(р4 + с4) Rep > Ree 2. ж Ьег1/(сж) heltj(cx) 1 с" Га + i/l Г cos CI/7T/4) 1 J 2"р«+" L ^ + 1J I sm C1/7Г/4) / 1 и + 1 и с , !2'—'2+1;)Т 4 ' 4 4 4 <?\"+2 _а_„_2г Га + 1/ + 2] Г sin Ci/ir/4) \ i P [ I/ + 2 J\cosC/,7r/4)/X ' d -\- и -\- 2 а -\- и + 3 си + ?^ o + iz + 5 3 4 ' А' 4 ' 2' 2 ' 2 +1; р4 Ые (а + I/) > 0; v^ Re p > Re с + | Im c|l Г ™рж2 J Ьег^(еж) 1 1 /тГ / с2 \ J cos (p 1 J \ Ье11/(сж) J 2yp ^^ \8p/\sin^J [(р = с2/(8р) - 3A - 1/)тг/4; Rep > 0; Re i/ > -l] no 1 _ ^ г Г (а + i/)/2l f cos C1/7Г/4) 1 / ^ " 2"+ip(«+")/2 l [ I/ + 1 J \sinCi/7r/4) JX 4 Г «-1 J hel^cx) 1 i/ +1 v ' 2 ' 64p2 . 3 i/ + ; ksinCi/7r/4) + 2 5. 6. 8. 9 sin (З^тг/4) cos Ci/tt/4) 7 1 2 1 Г c2 / c2 - e^px [1 - ber (еж)] dx = - С + In — - ci ( — J ж 2 4p \4p 1 _ 2 1 /с — e рж bei (еж) с?ж = — si I — l ; 2 \4p [Rep>0]. [Rep>0]. 1 [y> = c2/(8p), ^ = c2/(8p) + 3i/tt/4; Rep > 0; Re i/ > -2]. 2 f ЬеГ и (CX) I ь I tuisw I о ,, ч e "- <| , . ) !> dx = -r^TTTT< . !> Г^ = c2/Dp)+3i/7r/4; Rep>0; J ( \ Ье1г/( Bp)^i и oo a^2 жа e pxI } dx = ± < r/ ч J { ке^(сж) J ea [ sin [(а + 2г/)тг /4]J~ V 2 У^ V 2 a + i/ a + и + 2 а- и a - и + 2 1 1 3 p4' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4' 2' 4' ^c4 2^V/ cos [(a + 2i/ + 1)тг/4] "lr f ^ , ^ , ^ t p sin [(a + 2i/+ 1)тг/4] a + 1/ + 1 a + i/ + 3 a - 4 ' 2' 4' 4' а + 2|/)тг/41 j V 2 + ^ ! V 2 +11 X 4 ' 4 ' 4 ' sin [(a + 2i/)tt/4] ^cos[(a + 2i/)tt/4] a — i/ + 2 a — 3 5 3 p4 1; 4' 4' 25 ^^
100 Гл. 2. Определенные интегралы [2.10.4 ^а 3 2 р 1 Зса+3 f sin [(а \ cos [(а / + 2и 2и 4 + + 1)тг/4] 1)тг/4] 1 < 4 V 2 + 3^ 4 he (л 1 г/ |1 | V а — + с) 2 4 > J + 5 | Im с 5 4 3 ' 2' Re а 7 4' > <-; Re «/П. 10. 2 = c2/(8p), ^ = c2/(8p) ^i/7r/4; Rep > 0; |Rei/| < 1]. СО 11. хе^рх X kei (еж) siny? 12. tv (еж) dx = ±r'vr)/2(c- Cv [ SI cos у? cos Cftt/4) sin Ci/tt/4) x 2F3 а-i/ а - i/ + 2 1 1 - i/ '2' 2 ' 2' 2^3 cos Ci^tt/4) sin Cj/tt/4) 5 2' /с l j V + 1 X 2 3 ! 3 v Ъ-v c 5 2' J ^1T; ~ 6V sin Ci/7r/4) 1 ^ cos Ci/7r/4) J 4 ^^' 2' 2^A' 2 ' 64p2 [Rep > 0; Rea> |Rei/|]. 2.10.4. Интегралы, содержащие тригонометрические или логариф- логарифмическую функции и функции Кельвина. } Пш ( с \ ( с \ 1. ber (су sin x) dx = ttJq i —=г 1 /о I ^^ 1. J \ у 2 / V V 2 / СХЭ . Г Г кег (ежI Г Г1 2. \ха^ mnbxl^y^\dx = U(l) \b > 0; Rea > | Rei/| - 1; | argc| < тг/4, S = | os [(а + <5 + 2i/Ot/4] = a + ё - i/ a + <5 - v + 2 13 X 4^3 + 1, 2 a -5-1/ 3 5 3 1 +1; 2' 4' 4 ' Г ol-i , f кег^ . ж соз6ж< Л J [ ке^ ^ (еж) (сж) с!ж = 1/@) [b > 0; Re a > |Rei/|; |argc| < тг/4; U(S) см. в 2.10.4.2]. Г sin bx 1 . 1 sin ия i . . r /t r^ 5--, , 4. < > kei \c\/(x — aJ + z2 } dx ¦ J [cos bx J ¦ е z<*+ х /б4 + е4
2.10.5] 2.10. Функции Кельвина { > и Ъе\и(х) кет и (ж) 101 Г sin ab 1 г 2 JicosaH F± = ±Ъ2; а, 6, с, 5. xe-px 0 ; Rep>0]. 2.10.5. Интегралы, содержащие произведения двух функций Кельвина. f -рж2 J Ж<3 0 oo I. \ ха~ге~рх1Ыт1{сх) + bell(cx)] Ье1Лсж) dx = — sin — H — Л — [Rep > 0; Rei/ > -1]. 4p \2p 2 / \2р/ с!ж = 4 ' . f жа^1е . f J 4 ' 4 ' 2 ' 2 ' ' ' ' p [Re(a + 2i/) > 0; Rep > лД (Rec+ |Imc|)l. X ' [Rep, 0]. ^1 x dx J -i /c2\ n /i/ — [Rep > 0; Rei/ > n-1]. \2pJ oo 5. f жа[кег^(сж) + ке^(сж)] da; = a^4^ai^\a a + 2v a — 2u ' 4 ' 4 в. о x Г [Re a > 2|Rei/|; |argc| < тг/4]. belt (еж) И , с2 7. \ e px [hert/(cx)heiu(cx) -\-heiu(cx)her'l/(cx)] dx = —Iu [ — I J Ac \2pJ о o Г a_i -px2 L / ч f her'u(cx)\ . ( x f belt (еж) 11 8. ж ep Ьег?/(сж)^ , v ( ^ ± Ье^сжК ,v /}\ [Rep, Rei/> 0]. daj = 9 ° V 4 4 ' 2 4 [Rep > 0; Re(a + 2i/) > ±1]. Г 2 ж2 / / с /с2 \ х2е^рх [her и (ex) belt (еж) — heiu(cx) ЬегЦсж)] dx = —- /j, I — 1 [Rep>0; Rei/>—2]. J 4»^ V 2p / 10. dx = [Rep, Rei/ > 0].
102 Гл.2. Определенные интегралы [2.10.6 {Нрг ( f"V] 1 heiv(cx) J T (- + _ sin Ci/tt/4) J V 4 ' -3 a +1/ a + i/ л 1 is -\-1 is „ i 4 ' 4 ' ' 2' 2 ' 2 ' ' 64 + 2 a + г/+ 3 6-"-"-у+а ra + i/ + 2l/sinCi/7r/4)\ /а 2-+2(a + i/ + 2) L ^ + 2 RcosCi/7r/4)J 5 4\ a + i/ a + i/ + 5 a + i/ + 2 a + i/ + 6 3 i/ i/ + 3 c4 ^^+ ' 4 ' 4 5 4 ' 2' 2 + ' ^^; ^F [Re (a + u) > 0; Re (л/2 6 - с) > | Im c|l. (сж)/ 2I/(a + i/) [ ^ + l J \ sin Ci/7r/4) + v a + и + 2 a + i/ 1 i/ +1 i/ . с4 \ + 1 +1 '2' 2 ' 2 4I x 3 i/ + 3 f sin Ci/tt/4) 1 \cosCi/tt/4) J I (ex) j c2 1 - cos [c /D6I зг^ (еж) [Re 6, Re (a + i/) > 0]. L J 2.10.7. Интегралы от xaJn{bx cos [(a + jti + 2i/)tt/4] 1 |"(a +/x + i/)/2, (a +/x - i/)/2l sin [(a + /i + 2i/)tt/4] i/ a + /i + i/ + 2 a + /x-i/ a + /i^i/ + 2 1 /x + 1 4' 4' 4' 45 2'^' 2+1; 2«-2fe/x+2 j gin [(a + ^ + 2i/)tt/4] 1 [(a + /x + i/)/2 + 1, (a + /x - i/)/2 + l )тг/4П Г(а- W4]J L х a+/i—i/ + 2 a+[jl—is . 3 /i /i+ 3 +1, j , j + 1; ^ 2 + 1, —; ^ [6 > 0; Re (a + /x) > I Re i/|; I arg c| < тг/4]. Г Г крг Гг*^ I 1 I In 11 ~4~ be 1 2. JiFic)< .; 4W» = 77S /,2/2ч^ [6>0; |argc| < тг/4]. I Lpi (/"I'll 4n *?С1 rrfrr \ r\ n 0 lk- 2.10.8. Интегралы, содержащие K^(bxn) ж функции Кельвина. '} - sin (Sistt/4) x 4F3 ( , i , —, = ; -, -^-, - + 1; -Vi
2.11.1] 2.11. Функции Эйри Ai (х) и Bi (ж) 103 "(a + i/ + /x)/2 + l, (a + i/-/x)/2 + ll f sinCi/7r/4) I и + 2 J [ cos Ci/7t/4) J X a+F^ii+2 a+u—a 3 г/ i/+3 c4 , . а+*///+2 а+ */ /i 3 г/ , л +1, j , j + 1; -, -+1, Re(a + i/) > |Re/i|; Re (л/2 6- c) > |Imc|l. 2fsinCi/7r/4)\] [Re i/ > -1; Re(v/2 6- c) > |Imc|l. «*• ж 1\|х10Ж Js , . , ч > ax ¦—- —,, , __w_— i . ^ x . f xa 1K^(bx2)\ ^T."(\ \ dx = — (a+|/)/2C Г ^ a + i/ - 2/x 1 i/ + 1 J cosCi/7r/4) 1 / \ sin C1/7Г/4) J 2 3 V 4 ' 4 5 2' (a + i/ + 2/i + 2)/4, (a + i/ - 2/x + 2)/4l f sin Ci/tt/4) 1 ^ + 2 J|cosCi/7r/4) J X / + ^/ + 2/1 + 2 a + i/- 2/1 + 2 3 и 1 i/+ 3 c4 ; +1; 4 ' 4 ' 2' 2 ' ' 2 ' [Re 6 > 0; Re (a + i/) > 4. Tx^1^ (barber2 (еж) 1 bci2 (ex)] dx = ^'^^ Г Г (^ + 2^ + 2^)/4, (a + 2i/-2M)/4 0 5 "^-. 2 [Re 6 > 0; Re(a + 2i/) > 2|Re/i|]. 5. J y+^2l 2 ^^ f | . J xy+^aK{v+a)/2{bx2)[berl{cx) + bei2 (еж)] с!ж = ^^ ° [<j = 0 или 1; Re 6 > 0; Re v > -1]. oo 2 6. f x3Ko(bx2)[her2(cx) + Ье12(сжI dx = —7 ch ^- [Re 6 > 0]. J 2o2 26 0 l fa + 2i/ + 2/x T 1 a + 2*/ - 2/x =F Tn[(a + 2i/ + 2/i=Fl)/45 (a + 2i/2^Tl)/4l „ хГ[ + iti^i Г 0; Re (a + 2i/) > 2| Re д| ± 1]. 2.11. ФУНКЦИИ ЭЙРМ А1(ж) И В! (ж) Некоторые интегралы, содержащие функции AI (ж) и В1(ж), можно получить из [18], 2.15-16 с помощью соотношений 2.11.1. Интегралы общего вида. 3<l=F3)/12a«M 2тгг (a + S*)/r 1/aVy 3<^V^c /2
104 Гл.2. Определенные интегралы [2.11.1 a3c3\k J оо ¦у С? — 1 / Г Т\0 — 1 -. j ж {х ^а ) , ж) с!ж = 2-31/е7ГГ 27ГГ i /2 ascs^k jfe! (a + rp-r-rk\ V 3 [a, r, Re^ > 0; |argc| < тг/3]. 3. AI (еж) dx = 2- -p г2/з 2 . k + [г, Re а > 0; I arg с| < тг/3; rl arg z| < тг] a__r /i\ °° -1 i oi / 3 3\« I/ / 1 \ <г--л 1 Q + Oft Icy rWV U/ ^0 *!B/3)* Ctg ~~Г~ П \T fc=0 x^r(a~r."rMrr+Q~r~' fe=0 cy 2 • [r, t/, Rea>0; | argc| <тг/3]. Bi(ca!) ^ fc!B/3)fc V r " 3Da-7)/6 [Rea, Rep > 0; r > 3/2; r = 3/2 см. в 2.11.3.1]. а + гА + 2тгс« ^^ A;! fc=0 6. j x e Ai(ex) с 0 oo ^ r 7. f /-11 Sm bt Xr I Ai (еж) с/ж = С/(г) J [ cos 6ж J ГA/3) ^ ! /a + 3fc\ fBin[(a + 3fcOr/Br)]\ / с3 ^ [Rea, Rep > 0; 0 < r < 3/2; |argcj < тг/3]. , r > 0; Re a > -rS, 5 = i i; | arg c| < тг/6 , {) 2 ^0 fc!B/3)fc 31/6сГB/3) 1\ / sin 1)тг/Bг)]\ / c: .3/2],
2.11.4] 2.11. Функции Эйри Ai(x) u Bi(x) 105 3Dа+4Дг-7)/бЬд ~ (-1)" (a+5r+2rk\ (l+a+Sr+2rk '2k {Г)^ 2*0°+'* jLk\(s + l/2)\ 3 ) V 3 [г < 3/2], С/C/2) см. в 2.11.4.1. ОО . f xa~1Jt/(bxr) Al(cx) dx = V(r) [b, r, Re (a + vv) > 0; | arg c| < тг/6], 8 о 3i/6.2(a-H)/r-2crB/3) ! (i/r+a+1+3fe)/Br) l/2^\ = тгс«+-Г(|/ + 1) AjA;!(i/ + l)fc V 3 j \ 3 / \ 2c- У [r < 3/2], VC/2) см. в 2.11.5.1. {Ai (еж) 1 В1(сж)J °? oDa —1)/6 —1 , N / _|_ 1 \ 1. J ж"-1 Ai (ex) da; = ^ Г (|) Г (^^- j [Re a > 0; | arg c\ < w/3]. 2 L-Va3 xY^fА{(СЖ)] dx- ar(l/3) B U *\ Ы1 ;' 9 23е3\ J [a, Re а, Re/3 > 0]. 3. 1 /_1_ Al(cx)dx = 2z/\l^ А1(^з ) [а>0; |argc| < тг/3]. "All 2.11.8. Интегралы от ^ ^ л _ , ч [ Bi(еж) о/о f Ai ( пф\ Л ч("~1:Т:^)/12Р/'1 /Ч^ /е)т\ / гу 'Угу 4~ Ч *) ^у "I f%~. ^ о у xj a JIL J. I \^f еду J I 4L# JL I -1- / t_# I f ^J C^C. 1 f Ul, ^y f^^, |^ fj ^ 0 r/2Q + 2\ /q + 1 2a+ 5 2 4c3 [Re a > 0; Re Cp ± 2c3/2) > 0; | arg c\ < тг/б]. 2.11.4. Интегралы от xa^ """^¦"^ [-Ai (еж). ;}¦ a_i J sink3/2 1 Обозначение: S = < Х- J X { cos6х3/2 } Al (СЖ) ^ = 2.С^+з^/2 Г (б J Г (в [6>0;2Rea>-3,;|argci<7r/6].
106 Гл. 2. Определенные интегралы [2.11.5 2.11.5. Интегралы от ха Ju{bxr) Ai (еж). . 7 х~*МЬх'») Ai (Сх) d, = 3D+ 6 ; i/ + l; -j-3 ) [6, 0; |argc| < тг/6]. 2.11.6. Интегралы от Ai (аж + b) Ai (еж + d). оо 1. Ai (аж + b) Ai (еж + d) dx = 3^= — 6c [0 < с < а]. 2.12. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Л„(х), НЕЙМАНА Yi^(x) И МАКДОНАЛЬДА Kiv{x) Интегральные функции Jiu(x), Yiu(x), Кги(х) определяются формулами 2.12.1. Интегралы общего вида. 1. f ха^г(аг - x^^JiJcx) dx = -17A) + a" В (-, р) J иг V г / [a, r, Rea, Re^, Re (a + v) > 0; U(e) см. в [18], 2.12.1.1]. 2. = -U и 2i/r \7rcosec(i/7r/2)J W /а . ха^(хг - ar J [а, г, Re/З > 0; Re a > |Rei/|; ^(e) см. в [18], 2.13.1.1]. 3 dx = - в A - ^ - -, г 4. [а, с, г, Re^ > 0; Re (a + /Зг) < г + 5/2; V(e) см. в [18], 2.12.1.2]. /3-^,/3) Re с > 0 [c, r, Re a > 0; - Re v < Re a < r Rep+ 5/2; r|argz| < тг; W{e) см. в [18], 2.12.1.3]. 6. 7. 8. (жг + zr)p z^^f 2ctg(i/7r/2) \_ /а 7rcosec(i/7r/2) V г г/ г > 0; Rea > |Rei/|; r|argz| < тг, I ° Г/? < 'С> }, Wv{e) см. в [18], 2.13.1.31. ^7 Jiv(cx) dx = —X(l) ctg xr - yr иг г с, г, |/, Re а > 0; - Re и < Re а < г + 5/2; Х(е) см. в [18], 2.12.1.4]. тг cosec (i/tt/2) J & r
2.12.1] 2.12. Интегральные функции Бесселя, Неймана и Макдональда 107 \Г1 У > 0; Re а > | Re v со i. \ха~1е~рхГЛ1/(сх) dx = С/, Re a < г+ 5/2; с > 0 Re с > 0 , Xv(e) см. в [18], 2.13.1.4 . U при г = 1 см. в 2.12.3.5 [г, Rep, Re а, Re (a + */) > 0; с > О при г ^ 1, | argc| < тг при г > 1; У(е) см. в [18], 2.12.1.5]. ю. dx = Ui, 2i/r \r/ X тг cosec (г/тг/2) при г = 1 см. в 2.12.3.6 r, Re p > 0; Re a > | Re i/ с > О ' 1 Re c> 0 , У„(е) см. в [18], 2.13.1.5]. 11. жа~ е рж Лу(сх) dx = -Z(l) ¦ о = —Zu(l) ± [с, r, Rep > 0; Re a < 5/2; Z(e) см. в [18], 2.12.1.6]. / OL\{ 2ctg(l/7T/2) 1 I < > 1I < 2ur \ г) \ 7Г cosec (W/2) r, Rep > 0, (Rea < 5/2; C > °1, Z^e) см. в [18], 2Л3.1.б1. I Re с > 0 I I 13. C/2 = - 1 cos 6жг а\ Г sin [атг/Bг)] i/r \г/ \ cos [атг/Bг)] С/2 при г = 1 см. в 2.12.4.1 6, с, г> 0; Rea > -5r; -6г - Re i/ < Rea <- + max (r, 1); 5= i 1, P(e) см. в [18], 2.12.1.7 . ,1), 14. \cos6a; V G, 1 = -^G, 1 + &™а/г Г(а/г) f sin[a7r/B ur sin (ук/2) [cos [а7г/B 2r)] 1 y v-к ; } cos7 — 2г)] J 2 r r > 1 , УG, 1) при г = 1 см. в 2.12.4.2-3 6, с, г > 0; |Rei/| - ^г < Rea < 3/2 +max (г, 1); ё = I I, С/х/G» г) см- в [18], 2.13.1.7 . J \ cos 6жг / 2 о [6, г, Re с > 0; |Rei/| < Rea + 5r; V(j, 1) см. в 2.12.1.14]. 15
108 Гл. 2. Определенные интегралы [2.12.1 16. J,- -1e-p""lBmb.Xrr\jiv(cx)dx = Us, I cos ox J _, /a\ I дтт а ¦ Г ( — cos \r/ \ 2 r §tt a arccos¦ r [r > 1] или [r = 1; |c|2 < |62 +p2|], [r < 1] или [r = 1; |c|2 > |fe2 +p2|] 6, r, Rep > 0; Re a, Re (a -f i/) > —<5r; с > 0 при г ^ 1, | arg c| < тг при г > 1; S = | X 1, Q(e) см. в [18], 2.12.1.8J. IT. j x- 0 - J sin bxr I cos bxf Wiu{cx)dx = W(l, 1), , 1) = KG, 1) — cos arccos ¦ / rJ I 2 r Jb2- X cos7 cosec [r > 1] или [r = 1; |c|2 < |fe2 + p2|], [r < 1] или [r = 1; |c|2 > |fe2 + p2|] 6, c, r, Rep > 0; Re a > \Rev\ - Sr; S = I 1; К G, e) см. в [18], 2.13.1.8 . с» 18. Jx- 19. f a" J 20. f a;a J CO 21. |жа" -l -p/ f sin 6жг e 1 b, r, Re c, Re p > 0; Re a > | Re v irza S=i1\ loj' In — cosec — а 1/ r c, r, Re a, Re (a + v) > 0; Re a < 5/2, argz < тг z >0 i ln ln c, r > 0; I Re v\ < Re a < 5/2, аи sin {an/r) r|argz| < тг' z >0 WG, 1) см. в 2.12.1.17 . см. в [18], 2.12.1.9 . , e) см. в [18], 2.13.1.9 . 'ги (ex) dx = Wi/@, 1) cosec cosec — r, Rec > 0; Re a > | Re i/|, | Г' aFgZ' < ^ 1, ^G, e) см. в [18], 2.13.1.9 . 22. [ Z El (-6жг) Jiu(cx) dx = U4, [/4 = (/4 при r = 1 см. в 2.12.6.1 [r > 1], [r < 1], [c, r, Re 6, Re a, Re (a + u) > 0, X(e) см. в [18], 2.12.1.12].
2.12.1] 2.12. Интегральные функции Бесселя, Неймана и Макдональда 109 U5 = UV{1) U5 при г = 1 см. в 2.12.6.2 {с > О 1 1 >, Uu(e) см. в [18], 2.13.1.12 со 24. f ха~1е±ЬхГ EI (=р&жг) ЛДсж) с!ж = G6, тгб ~'' /а\ I cosec ( г/г V г У \ ctg(a?r/r) ' |76 при г = 1 см. в 2.12.6.3 [с, г, Re 6, Rea > 0; - Re i/ < Rea < r + 5/2; У(е) см. в [18], 2.12.1.13]. со 25. [ ха^е±ЬхГ EI {^bxr)Yiv{cx) dx = ЛA, 1), Л/ 1 \ Г Г / 1 \ ЛG, 1) = -Uv(i, 1) а\ Г cosec (an/г) 1 ~ i/тг i/тг 2 Г ( —)< . / / ; > cos7 — cosec иг \г/ { ctg (аж/г) 26 , 1) при г = 1 см. в 2.12.6.4-5 [с, г, Re b > 0; |Rei/| < Rea < г + 5/2; ^G, e) см. в [18], 2.13.1.13]. со . [ /"'е^'' Ei (Tbxr)Ki,(cx) dx =-- А@, 1) [г, Re 6, Re с > 0; Rea > |Rei/|; АG, 1) см. в 2.12.1.25]. 27. [ ж"/ S! 5^} ) Jiv(cx) dx = U7, J 1 ci (bx ) J Ь~а/\Т(а\ \ sin [атг/Bг)] а|/ \г/ \ cos [атг/Bг)] U7 = [г > 1], [г < 1], JJ7 при r = 1 см. в 2.12.7.1 [6, с, г, Re (a + и) > 0; 0 < Re a < 3/2 + r + max (r, 1); Z(e) см. в [18], 2.12.1.14]. r; }Yiu(cx) dx = GA, 1), 28. сь, ц = -P.h, it - ^ г (?) {"'Г//^! /»" т— 2 GG, 1) при г = 1 см. в 2.12.7.2-3 [6, с, г > 0; |Rei/| < Rea < 3/2 + г + max (r, 1); КG, е) см. в [18], 2.13.1.14]. dx = ^l 2 [6, r, Re с > 0; Re a > |Rei/|; CG, 1) см. в 2.12.1.28]. со Ч Чп I Z! erf I— У I т- / ч » _ тт ли. tx < ^^^}Jt,,(cx) dx - Us, о
110 Гл. 2. Определенные интегралы [2.12.1 Us = - U8 = U8 при г = 1/2 см. в 2.12.8.4 [ fi-i- iw с, г > 0; Rea > -- 31. f J " ( I eric (о [г < 1/2], тг | -г - Re г/ < Re a < - , arg6| < -, < 2 \, U(e) см. в [18], 2.12.1.15 44 Re(a + i/) >0 ' ' L, 1), Ц- cosec ^ 2 2 ?>G, 1) = И/,G, 1) DG, 1) при г = 1/2 см. в 2.12.8.5-6 г arg 6| < тг/4; Re a > | Re */| - A ± ] a_i/ erf Fжг) > о [г>1/2], [г < 1/2], 1 , Wv(y, e) см. в [18], 2.13.1.15 . 32. \X erfc I iu{cx) dx = •j [r, Re с > 0; |arg6| < тг/4; Rea > | Rei/| - A ± l)r/2; D(j, 1) см. в 2.12.1.31]. oo r 5. жа e < r > Jiv(cx) dx = f/9, J 1 erfc 1 bx 1 1 ( isec[a7r/Br) 2x/ \ 2 cosec (атг/г) J [^ > x/2], f/9 = F(l) t/9 при r = 1/2 см. в 2.12.8.7 [r < 1/2], [c, r > 0; I arg 6| < тг/4; Re а > -A ± l)r/2; - Re 1/ - A ± l)r/2 < Re a < r + 5/2; ^ V(e) см. в [18], 2.12.1.16]. ^a 1 a~i( S(bxr)\ JT J \C(bxr)j 0 /10 = sin [(r + 2aOr/Dr)] 2r У \ cos [(r + 2а)тг/Dг)] Uio = W(l) С/ю при r = 1 см. в 2.12.9.1 [r>l], [r < 1], 35. [b, c, r > 0; Re(a + y) > -B±l)r/2; -B±l)r/2 < Rea < 5/2; W(e) см. в [18], 2.12.1.17]. dx = E(l, 1), = -X1/G, 1)- 1/7Г 1/7Г [r > 1], [r < 1], , 1) = Л-„G, 1) , 1) при r = 1 см. в 2.12.9.2-3 [6, с, r > 0; | Re v| - B ± l)r/2 < Rea < 5/2; ЛГ„G, е) см. в [18], 2.13.1.16]. 7 -1 f S(&*r 36- J^lc^' 'iv(cx) dx = --E@, 1) [6, r, Re с > 0; Rea > | Re i/| - B ± l)r/2; E(j, 1) см. в 2.12.1.35].
2.12.1] 2.12. Интегральные функции Бесселя, Неймана и Макдональда 111 , Ьх ) ji*(cx) dx = Un, С/и = f/ц при г = 1 см. в 2.12.10.1 [с, r, Reb, L , Re (a + fir) > 0, /Re^>0- Rea < 5/2 \ X(e) см. в [18], 2.12.1.181. I. Re (a + w), Re a > 0 J J Fij, 1) = —1^G, 1) Т FG, 1) = ПG, 1) FG, 1) при г = 1 см. в 2.12.10.2-3 с, г, Re 6 > 0; Re (а + fir) > | Rei/|, ~ 1/7Г 1У7Г ¦ — I cos ! — cosec — г / 2 2 0! Rea <5/2\ УЛ Rea > | Rej/| J [г > 1], [г < 1], е) см. в [18], 2.13.1.17 r, Re 6, Re с > 0; Re (a + ttr) > Rei/|, < G^ > , i, FG, 1) см. в 2.12.1.38 . [ Rea > | Re i/1 J J 40. U12 = - dx = ¦(?) >Т[^)Т±\ л /ж \ \г/ V 4 U12 при г = 1/2 см. в 2.12.11.1 с, г, Re а > 0; | arg 6| < B ± 1)тг/4, Re (а + и) > 0 [г < 1/2], L У{е) см. в [18], 2.12.1.19]. 41. I xa^e±b2x2r/4D^bx^Yi^cx) dx = GA, 1), а\ cos7(i/7r/2) 2r J sin(i/7r/2) GG, 1) при г = 1/2 см. в 2.12.11.2-3 42 с, г > 0; | arg Ь| < B ± 1)тг/4, со Rei/| < Rea < 5/2 - rRe/ii |Ret/| < Rea J ^ ^y8 I /1 ^p 1 -J f П Si jJU 1 U/JU — vJTlUj II , Zl/G, e) см. в [18], 2.13.1.18J. [r, Re с > 0; Re a > |Rei/|; |argfe| < B ± 1)тг/4; GG, 1) см. в 2.12.1.41].
112 Гл. 2. Определенные интегралы [2.12.1 43. [ Z Jll(bxr)Jil/{cx) dx = С/13, - a)/Br) 1)к{а + fir + 2rk) [l - (а + fir - и)/2 - гк\ \ с 2Г-Ч Ui3 при г = 1 см. в 2.12.12.1 [6, с, г, Яе(а + дг+ 1/), Re (а + fir) > 0; Re а < (г + 3)/2 + max (I, r); 5(е) см. в [18], 2.12.1.10]. w= i при г = 1 см. в 2.12.12.2-3 (/xr-a)/Br) + lJ [ тг cosec [г > 1], [г < 1], Re с > 0 ОО 45. I xa~1Ifx(bxr)Kit/(cx) dx = -- 17+@, 1) [г ^ 1; | arg 6| < тг; Re с > 0 (Re (с - Ь) > 0 при г = 1); Re (а + fir) > | Re i/|; 1У+G, е) см. в [18], 2.13.1.10]. 46. 6, с, г > 0; Re а > -Зг/2; -Зг/2 - Re v < Re а < 5/2 + г Re pt; T(e) см. в [18], 2.12.1.11]. '2cos[(a-/xrOr/Br)] 7Г , 1) - ^^м, 47, 1) Т 2l/7rfea/rrsin(l/7r/2) //G, 1) = U^^uljj 1) #G, 1) при г = 1 см. в 2.12.12.4 Г6 > 0; Re а < (г + 3)/2 + тах (г, 1Y ie 1/ / c,r>0; 1 Re 6 > 0 ,e) см. в [18], 2.13.1.11 | > r, Rec > 0; Re а > r|Re/i| + Re 1/, | > 1, ЯG, 1) см. в 2.12.1.47
2.12.2] 2.12. Интегральные функции Бесселя, Неймана и Макдоналъда 113 'Yiu(cx) 2.12.2. Интегралы от A{x)Jiv{cx) и А(х)^ , Р 2а^1 Г (ol + vMI Л 1. \ xa^1Jil/(cx) dx = Г К. )\. [с, Rea >0, -Rei/ < Rea < 5/2]. J aca I 1 — (a — &0/2J о ? a-i(Yiu(cx)} _ 2a^2 Г (a + i/)/2 If 2ctg [(a - i/)tt/2] 1 J [^«^(сж)/ aca [l — (a — i/)/2j \ Trcosec [(a — i/)tt/2] J о Г п . (с> 0; Re a < 5/211 Re a > Rei/ , < ' } \. ^ '' I Rec>0 JJ 3. \ ха~г(а2 - х2)^1 Л^(сх) dx = V-(v) + — В (-, [a, Rea, Re/3, Re (a + и) > 0], 2 f a-l/ 2 2чв^1 f Yiv(cx) 1 , . 1 ffcOSi/Trl,. ( ч f 1 1., , Л J V ; \Kiv{cx)) sini/тг [I тг/2 J I71"/2/ J 3^2 5. | /^(ж2 - а2)^1 Jiu(cx) dx = U-{и) + V^ + ^^— В (l - | - /3, [а, с, Re^ > 0; Re (а + 2/3) < 9/2], 2 ' 2' F 2 '2 г 2з-а-2/з(а + 2/3 _ 2) L2 - /3 + (j/ - a)/2j Г а-1/ 2 2ч/3^1 f Yiu (a + 2/3 - i/)tt/2] 1 , ^+2^2 ( 2ctg(i/7r/2) 1вЛ_а* : [(a + 2^ - i/)tt/2] J T 4i/ \ 7Г cosec (i^tt/2) J V 2 P' 2ctg[( 2 1 7Г cosec L v . , <9/2\ },J/tH,Vtcm.b2.12.2.5] [с, Re z, Re a > 0; - Re i/ < Re a < 2 Rep+ 5/2], 2 ' 2" 2 ' ' ' ' r ' 2 ¦ ^ 4 Г|
114 Гл. 2. Определенные интегралы [2.12.3 8. {Yiu(cx)\ 1 Ffcosi/Trl Kiu(cx)} X^ sini/тг [\ тг/2 J -v)\ ± Trcosec [(i/ — а + 2р)тг/2] ^^ ( 2ctg(i/7r/2) 1 /a _a\ тг cosec (i/tt/2) J \2'P 2/ Rez > 0; Re a > |Rei/|, < ° > °J ^ (" " ^ < ^ }, W±(i/), X± см. в 2.12.2.71. ' Rec > 0 j l ; J 9. x2 — y2 ctg — [c, 3/,Rea>0; -Rei/<Rea<9/2], 2a" (a-: {u - a)/2 a 1. 9 O + ?/ 9 tt^ 9 «. ^^V 2 ' ' 2 ' 2 ' 2 ' 4 2ctg[(a-i/Or/2] 2 [ тг cosec [(a — и)ж/2] у > 0; Re a > | Rei/|, ctff 8 2 \ ж cosec (j/tt/2) J , YT(u), ZT см. в 2.12.2.э1. >(Yiv(cx)} X Kiu(cx) j * 2.12.3. Интегралы от жае рх Л^(сх)шхае oo i е~рх Jio(cx) dx = - In — [с, Rep > 0]. о oo г / \  f e^pxJiI/(c^) d» = — 1 - I C^ J [c, Rep > 0; Rei/ > -1; i/ ^ 0]. о L\FVi^ /J ^^ тг2 Г 0] Г Г c>0 11 -~Г< л \ Rep>0, { И. 4p[lJ L lRec>0jj io(cx) cos i/TT 1 / p + ртг (тг/2 t cosec i/TT f 1 i/p [тг/2 p+JP2± с2 J cos 1 1 с > 0 Г(а) I a + i/ /a- Rep > 0; |Rei/| < 1, [c, Rep, Re a, Re (a + v) > 0], Л2 - f a_i ^„ж f Yi жа e px{ J [Ki Yiv{cx) Г(а) f 2ctg(i/7r/2) 'a \ тг cosec (i/tt/2) Rep > 0; Rea > |Rei/|, ° 1, Oj см. в 2.12.3.5 . J
2.12.4] 2.12. Интегральные функции Бесселя, Неймана и Макдоналъда 115 со 7. f ха~1е~рх2Л„(сх) dx = V-(v) + ^2 [Rep, Rea, Re (a + u) > 0; |argc| < тг], о . же рж2 Jio(ca^) с!ж = —Ei[-— | [Rep >0; I argcl < тг]. J 4p V 4p/ 9. Tx^e^l^^Hd^i^f/^^l^H^I 1 К(-„I± J \Kiu(cx)) sini/тг [I тг/2 J \ тг/2 / Tl ;J fReP>0;Rea>|Re,|; { C>° |, V^u) см. . 2.12.3.rl. 10. [ 1/2 . [ ха~1е~р/х2Л„(сх) dx = W+{u) + V+ + Г (--) [с, Rep > 0; Rea < 5/2], 11. о Р^1Г(--I 2cts(^/2) 1±I{ 2ctg[(a-i/Or/2] 1 41/ \ 2 / \ Trcosec (j/tt/2) J 2 \ тг cosec [(a — и)ж/2] j kep > 0, {C > °; Rea < 5/2l IV±M, V± см. в 2.12.3.10l. 1 Re c> 0 J J n _. _ . тж a f sin &ж 1 . . x a ( sin 6ж 1 f Yiu(ca 2.12.4. Интегралы от ж < f >Jiu(cx) и ж < , >< _, , [сойож] [ cos bx J [^«^(сз Обозначение: J = < >. со 1. ж < yJiyicx) dx = U J I cos bx J 0 [6, с > 0; Re (a + v) > -S; -S < Rea < 5/2 при 6 ^ с; -5 < Rea < 3/2 при b = c], I \C6) I Sin^OJTT/zJ I 1/6" \ cos (сктг/2) J "^ о [0<6^c], (а + J 2 J 0 [6, с > 0; Rea > |Rei/| - <f; Rea < 5/2 при 6 ф с; Re a < 3/2 при Ь = с], ,) _ <,(_„)] + ЕМ ctg ^{sin ^ } [о < с < 6], i/6a 2 [cos(a7r/2)J
116 Гл. 2. Определенные интегралы [2.12.5 W = Г ж 1 л (а + и + 8\ л fa-iz + tf^ / sin [A/-а)тг/2] cos [(*/ —а)тг/2] Fo[0<6 ^ с], [U(и), V1 см. в 2.12.4.1]. СО Г а-1 I sin ^ж I 5» Ж \ / J [ COS ОЖ J 2.12.5. Интегралы от х In 2 / V 2 [6, Re с > 0; Re а > |Rei/| - 5; V1 см. в 2.12.4.1]. In OO ( I \х^ЛЫ " J 1 In (и - а)/2 \ф (——-)+ф (-—— + l) 2 In - [с, Re а, Re (a + и) > 0; Re a < 5/2, Rez > 0 z >0 cosec ctg[( "(a + i/)tt/2] 1 а + |/)тг/2] J =± x 2F3 -—^Г — .2' а Л а 2 - a-i, (-1Г 2. ln a^^l^tg^^^21n^ ¦ -a^(W2) 3. а-1[1п(^ + . In c> 0; |Rei/| < Re a < 5/2, б!ж = -^ z > 0 2J ausin (атг/2) , C/7(i/), V1 см. b2.12.5.i1. ) —L/o(—^jj— - Vo cosec —^~ Rec > 0; Rea z > 0 атг i/тг cosec cosec — (i/), V1 см. в2.12.5.1|. {Yiu(cx) 1 г ^^j^ Г(а) L. xa Fii( — bx)Jil/(cx)dx = U^(u) Ц-^- [с, Re 6, Re a, Re (a + u) > 0]. avba i/ a + i/ a + i/ + 1 a + о T a-iP./ , ЛУг„(са!I 1 Г/cog 2. ж Ei (—6ж)< r^ ) {[} dx = ± < J I Klv{CX) J Sin 177Г I 7Г cosi/tt г/2 U/2J Tl
2.12.7] 2.12. Интегральные функции Бесселя, Неймана и Макдоналъда 117 _ЦаЦ 2ctg(^/2) I [Reb>0;Rea>|ReH,( с>° \,^W с. „2.12.6.11. 2avba \ ж cosec Отг/2) J [_ iReoOJ T J 3. ix-'e^EiiTbxVUcx) dx = Ui{u) ± Vx - W - Z[I>) J cosecQ7r \ J i/6" [ CtgttTT J + i/l f cosec (a + ?/)тг 1 „ /^ a + is a [c, Re 6, Re a > 0; - Re i/ < Re a < 7/2], 2 V 2"-2 Г(а + 1/-1)/2] /1^-a 1 3-a-i/ 3- a+1/ 3-a. H)V 7 (ljft1 |( 3)/2j 4 3 V 2 '2' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' ft2 4 3 lx 2 ' 2' "' "' 2 ' 2 ' 2 ' б2 W^ = р (а + иI2 7 /г> \U1 (У — 2 / \ /О i IZ — (ЖШ С 11^ — ^//^ I "о"' ^) ' ' ' о ' ^> Л А Л Л 4. I жа^1е±6ж Ei (^fbx)Yiu(cx) dx = [cosi/7rt/i(i/) — Gi(—i/)l dz J Sin 1/7Г J cosec атг 1 \ CtgttTT J [c, Re 6 > 0; |Rei/| < Re a < 7/2; (/7(i/), V7, W7 см. в 2.12.6.3]. 5. [ xa^1e±bx El {^hx)KilJ{cx) dx = ^ [[/0(i/) - ?/0(-^)] T J ii Sin 1/7Г тг?Г a — i/ тгТжг ol — v 7Г Г(а) — Vo sec 7Г H Wo cosec тг -\ —- cosec 2 2 2 2 2uba i/тг f cosec атг 1 2 \ ctgan j Обозначение: S = I [Re 6, Re с > 0; Re a > |Rei/|; I77(i/), V7, W1 см. в 2.12.6.3]. (cx) 1 (сх)) л^л^ „ a f si (&ж) 1 _. . ч a f si (&ж) 1 f Yiy 2.12.7. Интегралы от xai m) ! }J%v{ex и xaI .) ; H " {ci(bx)) (ci{bx)) [Къи . f x<--4slbx \jiu(cx)dx = U J [ cl bx J [6, c, Re(a + i/) > 0; 0 < Re a < 7/2 при 6 ^ с; 0 < Re a < 5/2 при 6 = с], Vo+ Г (^ + Q + 5) [0<6,c] = ^ U + ^1 Г sin [(a + V)ff/2] 1 v ; 2"^(a + v)ba+v L^ + lJ\cos[(a + j/Or/2] J v a + v a + v a + f + 1 v a + v c2 (^ + 2)BJ + l)(a + J + 2)c«+'s+2 V'2
118 Гл. 2. Определенные интегралы [2.12.8 3 (- 2. [6, с > 0; Rea > | Reu\; Rea < 7/2 при b ф с; Re a < 5/2 при b = c], sin(mr/2)^ [0<cO], Г г г/ \ ГГ/ \1 \ / x COSI/TTt/fi/) — t/( —1/)| ^т^ Ctg ж sin 1/7Г auba 2 [cos(a7r/2j 1 r(oL±Ji±S (a + ё)жса+§ ~ V 2 r^a —2 ¦ i/ + E \ J sin [(i/ — а)тг/2] 1 + J \cos[(i/-aOr/2l / a ~~ и + 8 Msin [(*/- а)тт/ 5 cos [(i/ — а)тг /2] /2] S = С + i 2 Г cv^i f si (bx) Л T~. J [ciFx)J 2 7 -a"!46 —T"ln25 1 ^ /a Г [C/(i/M Vj см. в 2.12.7.1]. (a + S)ca+8 2 x —3 [6, Re с > 0; Re a > |Rei/|; V7 см. в 2.12.7.1], f erf(&ж ) 1 т / \ f er 2.12.8. Интегралы, содержащие < . \ 'yJivlcx) или J [erfc (bx \/~ n ( p rn \ I c> 0; Re a > -A ±l)/2; | arg b\ < тг/4, -1 - Re i/ < Rea < 5/2 Re (a + и) > О a + i/ + 1 a + i/ 465 OG Z r n \ }Yiv(cx) dx = ±- [coeutiUi(u) - Ui(-v)] - J [erfcFx)j sini/тг f ll 2a-1 _ /a + i/\ _ (ol-v\ ol-v Г a + 1/2 ^ i/тг - \ \ Г Г cos 7Г =p —^ ^ ctg — \0)ажса V 2 / V 2 / 2 ^ а1/у^г6" 2 I. J ^ arg6| < тг/4; Rea Ee 2 sin i/тг V 2 У V 2 ) см. b2.12.8.i| Vtt i/TT _, / a + 1 — cosec — I 2auba 2 V 2 [Re с > 0; |argfe| < тг/4; Re a > | Re v\ - A ± l)/2; t/7(i/) см. в 2.12.8.1]
2.12.9] 2.12. Интегральные функции Бесселя, Неймана и Макдоналъда 119 J \erfcFv^)i Г(а 2"(а + i/)i/0Fb2e+2" a +1/ v a + v и -^-, -; -^- + 1, - + 1, 5. [erfcFv^) dx = ol-v Г(а + 1/2) i/тг ' тг =1= — ¦ —- Ctg B 2 |arg6| < тг/4; Re а > | Re i/| - A ± l)/4, Re а "^ 5/2; C>0 с > 0 см. в 2.12.8.41. J J ! ^/t\ \к%и{сх) dx = Tt^ erfc(b^x) J 2sini/7r ^±^\ r f^ 2 J \ , 2 / 2ai/62a sin (i/tt/2) [Re с > 0; |arg6| < тг/4; Rea > |Rei/| - A ±l)/4; V7(i/) см. в 2.12.8.4]. 7. ' "^—' 25 " + 1' 2 +1; ^ |"Ba + 2i/-l)/4l /l-2a 1 3 5 - 2a 5 - 2a - 2i/ 5 - 2a + 2i/ с2 Ba + 2I/ - 3)/4l X C- '3-2a 3 5 л 7-2a-2i/ 7 - 2a X 4^'a I , 7, 7, 1; , т 4 4' 4' 4 4 « + 7)/4J X 7-2а с2 ж ( secern ] 4'64/ 2ub2a 12 cosec 2атг I [c > 0; |arg&| < тг/4; Re а > -A ± l)/4; -Rei/ - A± l)/4 < Re а < 3]. < 2.12.9. Интегралы от х < ГУ), { >Jiv(cx)nx < ry)L \ Н т,. ) \ >. {G(bx)J v ; {C(bx) J [ Kiy(cx) J J l dx = U [b, с > 0; Rea, Re (a + i/) > -B ±l)/2; Rea < 5/2], X 4F3 + l/2lfcos[(l-2a-2^Or/4] + \ J \ sin [A - 2a - 2^)?r/4] v a + v v a + , -, -^-; " + 1, 2+1, —г c2 1; ^
120 Гл. 2. Определенные интегралы [2.12.10 _ 7 ~ 2a + 2S - 2и 2а + 2E + 1 2<5 + 1 2<5 + 5 2а + 28 + 5 1 (^ 4 ' ^^5 ~~4~' 4 ' 25 [Ь, с > 0; | Re z/| - B ± 1)/2 < Re a < 5/2], С/ = sini/тг cos ажса V 2 / V 2 / 2 Г(а + 1/2) Г sin [Bа + 1)тг/4] 1 i/тг l\ fsin[Bi/-2a-lOr/4]l 4у 1 cos [Bi/ - 2а - 1)тг/4] J [0 < 6 ^ с], [<7(i/), V7 см. в 2.12.9.1]. со Kiu(cx) Q-I/ 2 4/ V 2 4, [6, Re с > 0; Rea > | Rei/| - B ± 1)/2; V1 см. в 2.12.9.1]. 2.12.10. Интегралы от х \Г(ц,Ьх) \Г(/х, bx)){KilJ(cx)j с, Re 6, Re (a + /x + i/), Re (a +/i) > 0, J Rea < 5/2; Re^ > 0 \ Re a, Re (a + i/) > 0 i/ + 1 a +1/ i/ a + /i + i/ a + /i + i/ + l a 2 ' 2' 2 ' 2 ' ~~ 1, - 7с2 CO 2. f х^Ч 1 /i? 6Ж Wi J 1Г(/1, 6ж) J Г /х, 2a^1 0 J атгса с, Re b > 0; Re (a + /i) > |Rei/|, -, bx) cos 2 ' 2 J — 2 jRea < 5/2; Re/x > 1 Re a > Re v (™1Oс Г(а + ii) г/тг 7Г =p ——t^ ctg — ^ ai/6a & 2 °},ад см. в 2.12.10.1 . ; = T:r^ 2 sin i/TT 0 J acQ 2 ' 2 Re/i > | Re " 2ai/6a sin (i/tt/2) [Re6, Rec> 0; Re(a + /x) > |Rei/|, ( Ее^ > ° \ ^ / ч см< b2.12.10.i1. L I Re a > |Rei/| j J 'Bi/-2a-/x)/4+lJ 10 11 ГBа Oj [{2v ¦ц-2)/4],
2.12.12] 2.12. Интегральные функции Бесселя, Неймана и Макдоналъда 121 -Rei/ < Rea < E-Re/z)/2ll ^ }j c,Re«>0;|arg6|<B±l , f W4,{ ХГ 2a ¦¦^ 7 ±1 4 ' 8 ' 4 A« 2-/i 3 -/* 2a + 2 ' 4 , (^1O4с2^ S P 1 2a+ ii 2a + /i 2' 4 ' 4 4' 4' 4' 4' / 2a w — ^- Bа + м- /2-/x 3-/x /x 5- 54\4'4' 4' 4'4' 4'4' 4 ' 3 6-2a-/x-2i/ 6-2a-/x + 2i/ 6 - 2a -/x (- oo J dx = -A— [cosi/7rt/i(i/) - sin utt 1!1 0; | argfe| < B ± СХЭ J dx = 2 sin ГBа) Ч4J^°^fe^\ 0F /sin(W2)r I4 [Re с > 0; Re a > |Rei/|; |arg6| < B ± 1)тг/4; U7(u), V1, W1 см. в 2.12.11.1]. 2.12.12. Интегралы, содержащие произведения функций Бесселя ) Kiu(cx) со 1. [ xa^1JfI(bx)Jiiy(cx) dx = U 0 [6, с, Re (а + [1 + и), Re (а + /л) > 0; Re а < 3 при 6 ^ с; Re а < 2 при b = с],
122 Гл. 2. Определенные интегралы [2.13.1 i/)/2 oo •> по01 — 1 2. jx . ) dx = W [6, с > 0; Re(a + fi,) > | Rei/|; Rea < 3 при b ф с; Re a < 2 при b = c], (i/), V7 см. в 2.12.12.1]. ¦-")/2 Re (а + ^)> Re^|, j ,, - "" ' " ^ „ J,, Ут см. в 2.12.12.11 6, Re с > 0 arg&| < 7Г, Re(c - 6) 4. [ /"';(,((» dx = Re6>0,| C>° |, Rea 2.13. ФУНКЦИЯ ЛАГЕРРА Lv(x) Некоторые интегралы, содержащие функцию Лагерра ЬхДж), можно получить такж:е из формул раздела 2.19, поскольку Lv{x) = ex/2Mu+1/2t0(x). u+1/2t0( 2.13.1. Интегралы общего вида. а, 1 I гп (ft <~т \Р р I I ргп | А <-п L # 1 db I Uj еду I О JLJ |у I С^ €А/ I IX еду j ^ ) \ ) г оо J [а, г, Re а, Re/З > 0]. dx = к ¦Е- А;! A;), 1 - a -^ + *I(ас)" [a, r, Rec, Re^ > 0; Re (a + r/3 - i/) < 1 + г при i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. Ё < г L -
2.13.1] 2.13. Функция Лагерра Lv(x) 123 )fc Ta-r(p+k), l-a + v \ [ 4- [r, Re c, Re a > 0; r\ arg z\ < тг; Re (a — rp — i/) < 1 при t/ ^ 0, 1, 2, . . .]. ot — r °° / i -i \ i i ч , 7TV \T~"^ [IS ~\- l)k CX. + 1С / ч ь k=0 „r —ex (су)гк [г, у, Rec, Re a > 0; Re (a - i/) < 1 + г при i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. CO 5. f ха~1е~рхГ~сх Lu(cx) dx = U [r, Rec, Rep, Rea > 0], _ [r>1J' г, I — a + i/ — 17 при r = 1 см. в 2.13.2.2. . 7 х*-*е-*"-г-"Ь„{ J - rk, 1 - 7. r, Rec, Rep > 0; Re (a - v) < 1 при i/ ф 0, 1, 2, . . .]. 1 , г ^4СЖ' [ cos ox J 6, r, Re с > 0; Re a > -<5r; Re (a - i/) < r + 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . . ; S = v = b »<• y, (^+ l)k ^ / a + к \ j sin [(a + к)тг1 = A;! sin [(a - i/- jfe - 1)тг/Bг)] cos [fa - i/- A; - 1)тг/BгI 1 fb1/r o/J' 1], + - a - Jr - 2rA; V при г = 1 см. в 2.13.4.1. l if, 1 — a + и rk
124 Гл.2. Определенные интегралы [2.13.1 г, Re с, Re а > 0, |rlargz' <Ж\; Re (а - i/) < 1 при и ф О, 1, 2, . . . 1. со 9. f xa~1e~cx Ei(-bxr)Ll/(cx) dx = U [r, Re 6, Rec, Re а > 0], a-u-k-l r J \ с 1 ^\а -\- г -\- rk, 1 — а -\- is — г — rk~\ f b \ — а + и) + гфA — а) — In — [г < 1], U при г = 1 см. в 2.13.6.1. со ). [ха~1е±ЬхГ~схЕЦ JL \J # I еду С- 1 JI | —j— U JU I JL/1/ \ C'sX/ / CXtX/ —— r Lrg6 b > 0 [г, Rec, Rea > 0, ('arg6' "^ ^1; Re (а - i/) < г + 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .1, I ь > о J J v = -^^: Е°° (i/+ l)fc /а + fc\ f cosec [(а + ^)тг fc_n (fe!J V ^ У I ctg[(a + A:Or/ с ^> q, OO г 1-1 I 1 / V i/ + l) ^ "Г[ 1-a + r + rJb J \ ^ a + rfc, 1 — a + г/ — rls 1 7 fc=o i I / г \к гфA — a + и — rk) — гфA — a — rk) — In — I ±— I — к° -• - * -:»*/:1 k=0 - v ¦ /v ~o l(" - J' - fc - !Wr] J V c У при г = 1 см. в 2.13.6.2. со Г a_i ^сх Г si Fжг) 1 11. жа е сх< . /, г\ [>Ь1/(сж) с!ж = VF о [6, г, Rec, Re а > 0; Re (a - и) < 2г + 1 при и / 0, 1, 2, . . .], 8 = A ± 1/2), _ /r ^ A/ + 1). /а^\ f sin [(a + *)тг/Bг)] 1 ,__с_\* f^Q(klJ(a + k) V ^ / \cos[(a + ifeOr/Br)]J V feV-J [r ^ iJ' -i/-ife-l\f sin[(a-i/-ife-lOr/Br)]l Л ~~r y\cos[(a-i/-ife-lOr/Br)]/ \ bV "¦ i *-) I ' _> Ilr/Xll.r / /-»/ i/ ?• I \ I сшПл ii k> I \/ir/IVi»ll I / Л-"-/'' w = у. 1 - a - §r - 2r - 2rk \ \2c'
2.18.1] 2.13. Функция Лагерра Lv{x) 125 b5 \a + ёг, 1 - a + v - ёг i/ + l, 1-a-Jr Ji^J [Oj2ca R = С + r^(a) + гфA - a) - гфA - a + i/) - In — при r = 1 см. в 2.13.7.1. 12. a;a"V \егГсFжг) dx = U r, Re с > 0; | arg 6| < тг/4, Re a > -r; Re (a - i/) < 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . Re a > 0 k fl] а /7rcI/+1r(-i/) ^ A;!(l - a + i/ + A;) 6 ^ (-l)k 1/2) 2r гк, 1 — a + i/^ r^ ' — a — r — 2rlc 17 при г = 1/2 см. в 2.13.8.2. О 1 Г 1 4-1 Иг-1"";; 1J [l-a, J/ + 1J OO 13. ха^ге^сх< b, r, Re с > 0, Re a > -r(? + 1/2); Re (a - i/) < 1 при i/ 7^ 0, 1, 2, . . . , S = A ± l)/2], cos[Ba r 2 l(l^a + u + k) + 1, х sin [(r + 2a - 2v ~~ 2к - 2)тг/Dг)] \ fb1/r cos [(r + 2a - 2j7 - 2k - 2)тг/Dг)] r/2+ 2rk, 1- a+ i/- r<5- r/2- b 2(f 2k [r<] V при r = 1 см. в 2.13.9.1. -, Re 6, Re c, Re (a + /xr) > 0, f Re ^ > 0, Re (a - i/) < 1 при v ф 0, 1, 2, I Re a > 0 с \fc /ll _a Га, /x, 1 ^) +\0/C Г[ l-a, -1/) ^ A;!(l - a + i/ + A;) 1 r^^^i+P ±
126 Гл.2. Определенные интегралы [2.13.1 ?jj к) [ 1-a-fir-rk + сГаГ[а, /х, 1 - а + ИГ^A - а)Г^(> + 1)A Т 1)/2 [г < 1], W при г = 1 см. в 2.13.10.1. со 15. f xa~1e~cxJIJ,(bxr)Lu(cx) dx = U ° [6, г, Re с, Re(a + ^r) > 0; Re (а - i/) < 3r/2 + 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .], r ^ n 2ст 2^1 *<*> U при г = 1 см. в 2.13.11.1. b > 0; Re (a - i/) < 3r/2 + 1 при v ф 0, 1, 2, 2r 2г " k\ x Г 2г 2r [r < 1; Um = 4c2 mr + 2rfe, 1 — a + 1) + ^/>(А; + га + 1) - 2гф(а + wr + 2rA?) + 2r0(l - - 2r^(l -a-mr- 2rfe) + 2 In ^1 f Т А") Г + Vm b J V 4c2V J /^ при r = 1 см. в 2.13.12.1. 2cr . . . , -2, -1, 0, 1, 2, — 2rk [r < 1; m = 0, 1, 2,
2.18.2] 2.13. Функция Лагерра Lv{x) 127 ею 17. [ ж«-1е-ь*г-с*LZl(bxr)L]y( cx) dx = V [г, Reb, Rec, Rea > 0], 1-a-rA; V при r = 1 см. в 2.13.13.1. 18. lxa-1e-^ f ill r, Re b > 0; Re a > -Sr; | arg c\ < тг/4, <5 = < > , W= b2 \" 1 j k\ —J [r < 1/2], при г = 1/2 см. в 2.13.14.2. 19. [ х*-1 ° f/ = bx^L^cx) dx = U [г, Re 6, Rec, Rea > 0; Re (a - jwr - v) < 1 + г при /x, i/ ^ 0, 1, 2, . . .], + Л)/г] / c_\k -(a + k)/r c_\k 17 при г = 1 см. в 2.13.15.1. 2.13.2. Интегралы от А(х)е^рхLu{cx). ^pxLv{cx) dx = ^P 7+f 2Fi (a, CO J oo . \ x J [Rep, Re(p-c), Rea>0]. о f ol-1 -ex T ( ч » _a a, 1 +1/— a 3. \ x e Ljj(cx) dx = с Г [Rec, Rea > 0; Re (a - i/) < 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .].
128 Гл.2. Определенные интегралы [2.13.2 а 4. lxa~1(a-xf~1e~cxLl/(cx)dx = aa^~1B(a, /3) 2F2(a, i/+ 1; 1, а +/3; -ас) о оо [a, Rea, ЕеД > 0]. 5. f ха~1(х - af^e'^L^cx) dx = а^ В A - а - /3, /3) х х ^(a^ + ljl.a + Z»;^^ х 2F2(l-/3, 2 + i/-a-/3; 2 - а - /3, 2 - а - /3; -ас) [a, Re с, Re/З > 0; Re (a + j3 - и) < 2 при и ф 0, 1, 2, . . .]. со ., Г Ж" 6. у г^ е cxLu(cx) dx = za р В (а, р - a) 2F2(a, i/ + 1; 1, 1 + а - р; ся) + + ср~аТ \а " Р'Х | Р + ^ " "I 2F2(p, 1 + р + i/ - а; 1 - а + р, 1 - а + р; с*) |_ I/ + 1, 1 — а + р J [Re с, Re а > 0; | arg2:| < тг; Re (а — р — i/) < 1 при v ф 0, 1, 2, . . .]. 7. [ ^^ X 2F2A, 2- а+ I/; 2- а, 2- а; -су) [у, Rec, Rea>0; Re (а- и) < 2 при i/ ф 0, 1, 2, . . .]. а 8. \xa-1(a2-x2)l3-1e-cxLI,(cx)dx = В (|, /з) х о „ + ^., а0^-^^ + 1) _ /а 2 ' I"' Х + 2 5 2' 2' Х' 2 +/3; —j ^1^) [a,Rea,Re^>0]. 9. [ ха^{х2 - a*f-^e-cxLv(cx) dx = ^ В (l - | - /3, ^) х , , 1 + ^ 2' 2' Х' 2 1 + 1 + 5 2 '1+2' 2 Д'2'2' 2 +/^' 4 9 Я 9 Я Я Я —; 2 — Р, 2 — Р, — /3, — Р; - [a, Rec, Re^ > 0; Re (a + 2/3 - и) < 3 при и ф 0, 1, 2, . . .]. 10. о 3 3 3 + a c2z2\ 2р_а_Га-2р, l^a + i/ + 2p] — ? -1"i—•> j -1? ~ч ~i P5 I +c 1 \ — a + v u — a I — a 1 —a a a c2z2 '2 ' 2 ' 2 '2 ' 2 ' 2 ' 4 [Re c, Re z, Re a > 0; Re (a - 2p - i/) < 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .].
2.18.3] 2.13. Функция Лагерра Lv(x) 129 аж ¦~2~ I/ + 3 3 3. c2y2 ' *> o» ' 2' 2' 4 -2, 3-a [y, Rec, Re a > 0; Re (a - 1/) < 3 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. 12. 13. -,i/ + l; 1, a + ^, a+ _ ; z 2 Z [a, Re a, Re C > 0]. В A - ^ - 2a, ^) x 1-/3 /3 3-/3 1 3-/3 3-/3 a ; , a, a; -ac 14. j^=^ i. [a, Rec, Re/3 > 0; Re Bа + C - 2i/) < 3 при и ф 0, 1, 2, . . .]. е'^Мсж) dx = 2za~p/2 В Bа, р - 2а) х p + 1 P , , 3 2~' 2 ' p)/2-a -a 3 3 + /' 2' 2 оо п1/2_ар[в-1/2,3/2-а + 1/ 3/2-а, 1/ + 1 i 1 —ск /— [Rec, Re а > 0; |argz| < 2тг; Re Bа - р - 2i/) < 2 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. 3 , з з У'1; 2~а'2 :F2B - а + i/, 1; 2 - а, 2 - а; -с?/) [у, Rec, Re а > 0; Re (а - и) < 3/2 при х/ ^ 0, 1, 2, . . .]. 2.13.3. Интегралы от xae(fi^Lu(cx). 2' 2 ' ' 2' 2' 2' ' 4p 2 ' i+ 2' 2 ' ' 2' 2' 4р [Rep, Rea>0]. 5 А. П. Прудников, Т. З
130 Гл.2. Определенные интегралы [2.13.4 X2F2 (u + 1, u + 1; 2-a + v; §-« + „; fW^' ^^j 2F \ 2 Ас) [1 ai/ + lj (а, а; \, а-,; ? \ 2 4с р _Га + 1/2, l/2-a + i/l _ / , 1 13 1 1/2-a, I/ + 1 J '4 2'" ' 2' 2' 2 ' " "' 4с [Re с, Rep, Re a > 0]. оо J " ?55 I 1 — QJ, i/ Ч- 1 I о X iF2(l ^ а + v; t- a, t- a; cp) [Re с, Rep > 0; Re (а - i/) < 1 при v ф 0, 1, 2, . . .]. 2"' 2' 2' ' + ?' ^^Г о 2 \ 2/ ^ + ' 2 4 I + 2"' ~~2~; ' 2' 2' 2 ^^™ а, 1 — а + г/] ^ /1 —а + г/ и —а 1 —а 1 —а а а с2р [Re с, Rep > 0; Re (а - i/) < 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. 2 4. жа 1е р^ж схЬ^(сх) dx = Г( ) . f xa~1e~p/V^~cxLl/(cx) dx = 2p2aF(~2a) 1F3 f 1 + i/; 1, 1 + a, ^ + a; - - - 4)^ t' x 1F3 f --a + i/; -, 2^a' 9^°' ~~4~) ^ReC' Rep>0; Re(«^l/)<1 ПРИ i/^0, 1, 2, . . .]. *^ t о ^ тж « -ся Г S™ ^ж 1 r / \ 2.13.4. Интегралы от же < , r }Lvlcx). { cosbx J J s'mbx (a)/sin(a7r/2)l b" Icos(a7r/2)J 4 3 Г(а)/8т(атг/2)\ /i/ + 1 i/ a a + 1 11 c2 4 3 I ~~2~> +2J I' ^^5 ' 2' 25 ^62 cF(a + l)(i/ + 1) / cos (атг/2) \ /a + 1 a i/ i/+ 3 3 3 _c^ 6«+1 \sin(a7r/2)J 4 4 2 '2+> +2' 2 5 '2'25 b^ [6, Rec > 0; Rea > -A ± l)/2; Re (a - i/) < 2 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. ? a-i ^сж f sinftv^ 1 r / ч, 262l/^2a+2 T,\2a-2v-2] ( sin (a-i/)tt\ J ^cosfev^J c L ^y J {cos(a - u)tt ) ?• \ x с \ , ,— ? Liv\ cx i ax — т™; i I \ \ , ? x 0 / 3 x 2F2 fi/ + l, i/ + l; 2 - a + i/, a ¦ Г[ i/ + l, 1-a-J/2 J2i?2 \ + 2' °+ 2; ^+ 2' a+ 2 ~ ^; ^IcJ 6, Re с > 0; Re a > -5/2; Re (a - i/) < 3/2 при i/ ^ 0, 1, 2, . . . ; S = \ 2.13.5. Интегралы от /е"сТ/ j f a_i ^сж f In (ж + z) 1 T f ч . 7tz f cosec атг 1 _ , ., ^ ч . . ж e < , v ; ^^(сж)^ = < > 2F2(a, v + 1; 1, a + 1; ±cz) ± J I In ж - z I a { ctg атг J о : - 1, 2 - a + i/] з|?зA^ 1? 2 ^ a + ^j 2 ^ a, 2 ^ a, 2; ±cz) +
2.18.6] 2.13. Функция Лагерра Lv(x) Ш [ф(а) + ^A ^ а) - фA - а + и) - In с] Re с, Rea > 0, | 'arg2:' < ^1; Re (а - у) < 1 при и ф О, 1, 2, . . . . 2. а \ ctg(a7r/2) /а X 3-Г4 I — 2' 2 ' 2 ' ' 2' 2' ' 2 2+1' ~2~' X) 2' 2' sec(a7r/2) i , 1, ; 2, 4 Г[T'J t Rec, Rea > 0, a + 1 {tg(aw/2) с2^а^2рГ« - 2, 3 + U - 2 ' 2' 2' Т 4 J+ ; Re (а - и) < 1 при i/ ^ О, 1, 2, . . . . > 0 2.13.6. Интегралы от жо: со 1. [ ха~1е~сх EI (^6ж)Ь4сж) dx El 2. ^ з^2 fa, a, i/ + 1; 1, a + 1; --) [Re 6, ReF + c), Re a > 0]. ^ + 1; 1; ±| b/ cigan оо J EI (- 2'2' 2 ' J Rec, Rea > 0, { 'arg6' < ^1; Re (a - u) < 2 при и ф 0, 1, 2, I b > 0 J ^Гсж) dx = - Г(а/2) i/ 1 1 a c2 \ ' 2 2' 2' 2 4V 1 a + l^i/ i/ + 3 n 3 3 X + l 5 > X + 2 ' ^5 lj 2' 2' ^5 46 ^ /a\ f coseC(a7r/2) ctg(a7r/2) ! 2' 2' l! sec(a7r/2) tg(W2) 3 — 2 ' -2, 3-a a 3 — a 3 — a c2 Rec, Rea > 0, { 'arg ' < ^ 1; Re (a - u) < 3 при и ф 0, 1, 2, . . l о > 0 J
132 Гл.2. Определенные интегралы [2.13.7 2.13.7. Интегралы от хае~сх\ &\ ),ХГ{ \hJcx). \ ),Г{ ci(bxr) J ~*е- \ Sl <**> \l4cx) dX = -Щ fa a 5 4 VI' I' \l4cx) dX = -Щ <?'] } x ci(bx)) l ; aba X cos (атг/2) J i/ 1 1 а с2 \ cF( ' I+ 5 2' 2' ' I+;^pJ a + 1 а + 1)(у + 1) Г cos (атг/2) 1 , а + 1NО:+1 \ sin (атг/2) J ' F + 3,3 3a + 3 с2' , __, _ + i, - + i, __, i, _, _, __; ^ [b, Rec, Re a > 0; Re (a - i/) < 3 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. ciFv^ cos (a — i/)tt з ь2У I/ + 1, I/ + 1, 1 - а + I/; - - а + I/, 2 ^ а + i/, 2 ^ а + i/; ^^ ) - bs+2 a -a-J/2, -, -, -; 2, 2+ -, -, <5 + -; ^^ Я = С + l [ф(а) + ^A - a) - фA - a + и)] - In 6, Re c, Re a > 0; Re (a - i/) < 2 при и ф 0, 1, 2, . . . ; S = ( erf (bxr) 1 2.13.8. Интегралы от xae cx{ C\J r\}Lu(cx). { erfc (bx ) J F4 - 1 - i - - "' 2" + ' ' 2' 2' ? + . , I/ " + 3. - 3 3 ll _a [a, 1-a + i/l 2 ' ' 2 ' ' 2' 2 ' ' 2' 2' 2 ' 4&V Re а > -1; Re (а - i/) < 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . . J 2- Iх е uc\bW)}L"{cx)dx = 1, Г(а Re с > 0; | arg6| < тг/4, 2.13.9. Интегралы от жае~сж< ^ г^ ^^(сж). Re а > -1/2; Re (а - i/) < 1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . . Re а > 0 J \C6x)J r 0 a 2a+ 1 2a+ 3 6" \cos Bа + 1)тг/ 1/ , . . 1 1 a I + 1; lj 2' 2'?
2.18.10] 2.13. Функция Лагерра Lu(x) 133 Г(а + 3/2)A/ + 1) (sin [A - 2а)тг/4] (а + 1)л/2^Ьа+1 I cos [A - 2а)тг/4] /а + 1 2а + 3 2а + 5 i/ */+3 3 3 а + 3 с2\ с~а Га, 1- \ ' ' ' + ' 5 ' ' ' 5 J + [ /а + 1 2а + 3 2а + 5 i/ */+3 3 3 а + 3 с\ с Х54\ 2 ' 4 ' 4 ' 2+ ' 2 5 ' 2' 2' 2 5 62J + 2 [6, Re с > 0; Re а > -1 =р 1/2; Re (а - */) < 1 при и ф 0, 1, 2, . . .]. 2. j ^ г Г2а - 2i/ - 3/2] Г sin [A + 4а - 4i/)tt/4] 1 -а + i/) L ^v J \ cos [A + 4а — 4|/)тг/4] / л/2жс^ ^ х з^з [^ + 1, ^ + 1, 1 - а + I/; 2 - а + I/, - - а + i/, - - а + i/; - — \ 4 4 4с _l л/2 6д+1/2 Га + B<5 + 1)/4, i/ - а + C - 2<5)/4 [ C-2Я)/4-а 2E + 1 2<5 + 1 2<5 + 5 2<5 +1 " 1^ б2 6, Re с > 0; Re а > -B8 + 1)/4; Re (а - i/) < 1 при i/ 7^ 0, 1, 2, . . . ; 5 = | 2.13.10. Интегралы от xae~cxi '^ r{ }L,,(cx). aba Г Reu > 0; Re(a-i/) < 1 при 1/7^0, 1, 2, . Re 6, Re с, Re (a +/1) > 0; ^ P ' V ; P ^ ' ' ' [ Re a > 0 2. I xa^Le^cxI ' vr~' """ 7 VL (еж) dx = Т^ vr" '" а х о ^а а l + i/ ^ 11а 2' 2 ^' 2 ' 2' ' 2' 2' 2 /а + 1 а + 1 I/ I/ + 3 3 3 а + 3. с^ , /l^_eJa, /1, 1- Х4^4 о , о -|-Д, 1-h , ,1,,, 2 ' 2 ' ^' ' 2' 2 ' ' 2' 2' 2 ' < Г Re и > 0; Re (а - и) < 1 при v ф 0, 1, 2, . Re 6, Re с, Re (а + 2u) > 0, I v ; 1 Re a > 0 tJU f / 1 I—\ \ 1 1v — 2ol4-2 Г 1 3. \x e^cx{ ) '\Lu(cx)dx = ±^^r? гГ p x J \Г(/х, &v^)J c^+^l-a + i/) [ -1/ J 0 u 3- • - a - -, ^7- дс« ' |0| Га,М, 1-а + И \l/ L l-a, I' + l J
134 Гл.2. Определенные интегралы [2.13.11 Re b, Re c, Re Ba + /x) > 0, 2.13.11. Интегралы от xae^cx J^(b Г Re и > 0; Re (а - и) < 1 при и ф 0, 1, 2, . . . [ Re а > 0 1' 1? 2' 2' CO 4 2 ' ' 2' 2' [6, Re c, Re (a + /x) > 0; Re (a - i/) < 5/2 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .] 62 exp J r + [6, Rec > 0; Re v > -3/2 при v ф 0, 1, 2, . . .] 3. oo '•J . J -i/, 2~ 2F2 [6, Rec, Re Ba + /x) > 0; Re (a - i/) < 7/4 при i/ ф 0, 1, 2, . . .]. b2" x2, 62^ X M(l/_A,+i)/2, (/x+^/2 ( ^- ) [6, Re c> 0; Re (/x + 2i/) > -3/2 при и ф 0, 1, 2, . . .]. exp (-?) W/2 (^ [6, Rec > 0; Re i/ > -5/6 при v ф 0, 1, 2, . . .] 6. сю ч 0 х 1У( oo Ч 0 со Ч 4с/ \4су [6, Rec > 0; Re v > -3/2 при v ф 0, 1, 2, . . .] exp [6, Re с > 0; Re /x > -1; Re (/x - 2i/) < 3/2 при v ф 0, 1, 2, . . .] 6 ж] ах = exp I [b, Rec > 0; Re v > -3/2; Rei/ > -1 при i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. T^T T™^ exP [6, Rec > 0; Re i/ > -1/2]. [6, Rec > 0; Re v < 0; Re i/ > -5/6 при i/ ф 0, 1, 2, . . .].
2.18.13] 2.13. Функция Лагерра Lv(x) 135 2.13.12. Интегралы от жае"са!( ^Ь,Х )А Ljcx). ( У 2 v 1 1 ,с\ , - + 1; -, -, 1; ±-j ± 3 3 ,с2 1 ± 2 ' 2 ' 2 ' 2' 2' ' • О 2 cos мтг — /х, а + /i/2, 1 + и — а — д/2 2 cos - |, 2 - а 2.13.13. Интегралы от xaev(x) оо . \xa~1e~{b+c)xLll{bx)Lv{cx)dx = = ^1 + 7^,7тГ^^ 3^2 fa, a-7, ^ (гт) Нт- 5 -? 9 -т."" 2. j. О [l-a, , а, 7 -, , 7 1+5 а + 1/2, 1/2-а +1/ х 4F4 2 - a + i/, a + i/, 2 2 - + 1/; -— 2 4c [Re 6, Re c, Re a > 0].
136 Гл.2. Определенные интегралы [2.13.14 2.13.14. Интегралы от хае<р{х)Hm(bxr)L1J(cx). Обозначение: S = < >. J \ H2m(bx) a a + 1 i> + l i> 11 1 + a - <5 - 2m c2 '^^'^^' 2+1; 2' 2'1' 2 ! W [Re с > 0; Re a > ^5; |argfe| < тг/4]. 2. |Ж e 4 2/V 2 X 3F2 ( a, - + a, i/ + l; 1, — ha-m; -™] [Re c> 0; Re a > -<5/2; |arg6| < тг/4]. \ 2 Z 0 / 2.13.15. Интегралы от хае<р{х)Lfl(bxk)Ll/(cx). 00 J г-, i ^ % - _.jok — /x — 1, 2 — ок + д + i/l X3F2 Q,q,i/ + 1; 1, 1 + a - /x: --r M ,. ¦, Г л . . . x 3F2 (a, a, 1/ + I; 1, l + a-/x; -- V 6/ —M, 2 — a +/i, x 3F2 (// + 1, /x + 1, 2 - a + /x + i/; 2 - a + /i, 2 - a + /i; - [Re 6, Re c, Re a > 0; Re (a - /x - i/) < 2 при /z, v ф 0, 1, 2, . . .]. 2 T,-^-^-L (br2)L ( X4^4t2'2' 2'2+I'2'2'2 M' 4feJ 26<«+4/' [ (l-a)/2,^+l, p + 1 ' _l_ о ii _i_ -1 _i_ -1 Ч Ч 2" ~2' 2 ' 2 ' 2 ' ~~2 ^' ' 2' 2' 46 " ^\a - la- 2, 3- o:+ 2ii + i/l ¦Г „ „ . x 11 11^™а + |/, ^,i/^al 3 — a , 3 — a , _ a, + 1, /x + 1, + /i, 2+ ^—+ /i; ^^ +jti5 ^^ 4- /x, 2 —- — 4- /x, 2 h/i; 77 [Re 6, Re c, Re a > 0; Re (a - 2/x - i/) < 3 при д, i/ ^ 0, 1, 2, . . .]. 2 4oy 2.14. ФУНКЦИЯ БЕЙТМЕНА kv(x) Некоторые интегралы, содержащие ки(х), можно получить также из формул раздела 2.19, поскольку М*) = ГA + |//2)Ж|// 2.14.1. Интегралы общего вида. ^ fc!(A +1)! fe=0
2.14.1] 2.14- Функция Бейтмена kv{x) 137 ± A; - In Bac) + Sin-— В (/3, - жиг 2 V г [a, r, Re a, Re/3 > 0]. 2. \xa-1(xr-arf-1e±cxku(cx)dx = а _ 2аа+г/^г+1сГ(/3) . 1/тг ^ (IT W ^ k\(k )^гГ1-/3-(* + а + 1)/г1х 2а° -sin— В + Bс)г-^-° ул A^/3)^Га - гA - /3 + А;), 1 + а - гA - Р + к) sm — cosec Irp — r — rk + a^ J тг Bас) ( | arg c\ < it; Re (a + r/3 + i//2) <" r ' oo 4 a, r, Re^ > 0, 2cZa + 1^rp 1/7Г тггГ(р) 81П^ Re c> 0 x Г [p 1 ' k + ) Bc)rp~a ^ (-l)fc(p)fc 1 + a dz i//2 — rp — rk x I sin -— cosec I a — rp — rk + — / I/\ l(l±l)/2 I a — rp — rAj + — 1 тг Bcz) V А У j r, Re a > 0, arg c| < тг; Re (a — rp + ^/2) < 0 Re с > 0 , r|argz| < тг . oo '•J \±\-v ± A; - In Bcy) - 22/° УЖ (ХЖ 1 ^T ctS — r — rk oo . \xa^1e^pxr±c Г . 1/7Г / . l/\ 1 sm — cosec I а — rk — r -\ I тг arg c\ < тг; Re Ba + v) < 2r Re с > О argc| < тг ', у, Rea > 0, r, Rep, Re а > 0, Re с > 0 17 = 2c
138 Гл. 2. Определенные интегралы [2.14.1 , , 2с \к 2Г(а/г) . 1/тг х ±^^ Н l , J sin pl/rj ^ «/r и = 1 Га + rJc, a+l+rfe] [ . Bс)"/2 ^ (- A;! 2r 2c [г < 1] , U при г = 1 см. в 2.14.2.4. со 6. f xa^1e^px~r±cxk1J{cx) 1) + j ЖГ lzbl - i/ к + а 1/r)k \ . sin L \ . ( x sin — cosec а - L 2 V arg c\ < тг; Re Ba + v) < 0 . J/7T sm — г, Rep > Л Re с > О 7. \ха-1е-сх J , r }ky(cx) dx = 17A) 6, r, Re с > 0; Re a > ™^r: S = л , ,, cosbx I I I 0 J j 2c . 1/7Г :sm — _ i r -(-iyy/2)kv(k + a- 2r _ in -\ 2r 2 „;„ иж rfa\ fsin[air/Br)] ;Sln^~ V7/ \соа[аж/Bг)} •A-7)- Bc)-/ 2a ^ A;! V 2r 17G) при г = 1 см. в 2.14.3.1. со # 8. \х е I r }k1/(cx)dx = 17@) J I cos bx I о sin [Ba + v - 2feOr/Dr)] 2c Ь 6, r > 0; Rea> -?r; Re Ba + i/) < 2r; | argc| < тг; S = \ \] U(j) см. в 2.14.1.7|. 9. = 1/A) г, Re а, Re с > 0, arg z | < тг z >0
2.14.1] 2.Ц. Функция Бейтмена kv(x) 139 VM = 2cza+1 sin ™ V Ш 2 ?-, c [(к + а + 1)тг/г] cosec(a7r/r) a -r-rk + (-lO^/2J V 2/ v ; Bc) a,a sin(i/7r/2) I1 + a)n ctg ? _ in Bc)] . 10. f xa-1ee"[X^ К + *Г) }kv(cx) dx = V{0) J [ in ж — z J \r, Re a > 0; large! < тг; Re Ba + u) < 0, ( Г' Жё^ К Ж 1, У(т) см. в 2.14.1.91. L I z > о J J со 11. I ха^е±сх Ei(^bxr)kJcx) dx = U J Re fe, Re a > 0; f ^rg c| <C тг Re с > 0 2 ^ k\(k 2c \к 2Г(а/г) 1/7Г ^n-l l ' sin— ^ 2 Г . [si x[sin (l±l)/2 Bc) 7/2 Г 1/7Г ( V\ ] sin -— cosec I a + — J тг Q | fc(y+2a) х a ± 1//2 ]\гж ctg UJ ж - In ^1 [r < 1], U при г = 1 см. в 2.14.5.1. со 19 /г»а"~^<о-*-°х ~~сх "с1, f~rh J.J&. X С JZLjI ^-f-f/ о 2с . 1/тг ^ Rec, Re« > 0, argfe| < тг b > 0 7^
140 Гл.2. Определенные интегралы [2.14.1 тгГ fe=O a-r-rk,l + a-r-rk] . 7_ sin7 2с 1 / 2с ЬГA - (- sin7 а — г — гк Н— тг I q= 2J ^ 2' 2rc r\k 2Г(а/г) . i/it ( cosec (air/r) 2 \ ctg(a7r/r) Bc)-asin1-T(i/7r/2) ^ 1 Г а + rfe, 1 + а + гк 1 . 7_i = " gr[ jSm x ф(к + 1) — 2гф(а + г к) — а + гк f 1 + а 2rcr tBc /2 2 b ги + 2а - 2к\ ( cosec [(и + 2а - 2А;)тг/Bг)] k\ 2c 17G) при г = 1 см. в 2.14.5.2-3. оо 13. [ жае±6жГ+сж El {^bxr)K{cx) dx = 17@) о г, Re а > 0; Re Bа + и) < 2r, | arg с| < тт; 14. f xa~1e~cx J 6ж ) , 17G) см. в 2.14.1.12 . > 0 b,r, Rec, Rea>0; <5 = 2 ^ к\{к + 1)\{к + а ¦ 2c 2Г(а/г) i/Trf sin [атг/Bг)] 1 - 2 \cos[a7r/Br)]J L Ь = 1 U * а + <fr + 2r + 2rife, 1 + а + <5г + 2г + 2гк] 2r a + rS, l^a sin [Ba + 1/ - 2^)тг/ 2c sin (i/tt/2) 1 ^7 [ 1 ] v a тг - In 1],
2.14.1] 2.Ц. Функция Бейтмена ku{x) 141 V(j) при г = 1 см. в 2.14.6.1-2. 15. [ xa-1ecxiS\ ffr\ \ku{cx) dx = V@) J [ Cl (OX ) J [6, r, Rea> 0; Re Ba + u) < 4r; |argc| < тг; V(j) см. в 2.14.1.14]. 16. [r, Re с > 0; Re a > -A ± l)r/2; | arg fe| < тг/4], 'А; + г + а + 1% 2r 2r + 2c 1 / 2c х Г KK GJ — =t ^ fc!(Jfe-a-i//2) а, а - 2с при г = 1/2 см. в 2.14.7.3-4. 0; Rea>-(l±lW2i | argc|< «, I |arg6| < тг/4 18. 0; Rea > -r(S + 1/2); «= /2 + 2a + r + 2J^ ¦Г| — -^—— I х 2г 1 . B + 2a + r + 2Jfe\ тг Tl 2 + 2a + r + 2k 2c 1 / 2c л/2 . 1/тг /2а + r\ f sin [Ba + г)тг/Dг)] *-Sm 2 М, 2r / tcos[Ba + rOr/Dr)] uh)= ё + 1/2)
142 Гл.2. Определенные интегралы [2.14.2 I ^ Г Л Г /9 ^к ^ v/f /9 Г Г™7 г (a + ^r + 2rk+ V 9 T) 2r+1cr С/G) при г = 1 см. в 2.14.8.1-2. 19. J xa-1ec' a^u/2 \ sin [Ba + i/ + r - 2А;)тг/Dг)] 1 / b1/r \k cos [Ba + u + r- 2А;)тг/Dг)] J V ~2c" = U@) b, r > 0; -rE + 1/2) < Rea < -Rej//2; jargc| < n; S = I I; [/G) см. в 2.14.1.18 . 20 \Г(/х, r, Reb, Rec, Re(a + rAt)>0) (Re/'>0)) 4Rea>0j' 2c 2c sIn1^7(i/7r/2) sin (a + i//2)tt El Га + fir + rA;, 1 + a + /xr + 7 v -;•-/-/ _ ife!(/x + A;) [ l + a + /ir + rife + (^lOi//2 А С x Г V(j) при r = 1 см. в 2.14.9.1-2. 21. a, a + 1, /x i//2, a + 1 + sin(i/7r/2) [r<l] [ Re a > 0 2.14.2. Интегралы от A{x)ep^kv{cx). 2. -i ±СЖ| e a, a + 1 2 Re a > 0, [Rec, Rea > 0]. arg c| < тг; Re Ba + v) < 0 Re с > 0
2.14.2] 2.Ц. Функция Бейтмена ku(x) 143 ОС aFlA|2; 2 _-; [Re(c + 4. 5- 6. е^ о Т. j х- О [Re(e + p), Rea> 0]. [Re(c + p) >0; n = 1, 2, 3, . . .]. [Rep > 0]. х sin ¦ утг 2а - A±1)/2 a+ 1/2, a+ 3/2 33 . иж 2а + и sin — sec тг 2 2 1 ^/Л17/2 8. ^^cxk2n{cx) dx = (^1)-i2 X GXP W/- C+2n)/4,(i^2n)/4 OC-- [Re с, Rep > 0]. a-1e-p/x±cx 9 f xa-1e-p/x±cxk (cx)dx- 2C »a+1 sin ^ ГГ a A T ^/ ^(fc!JB + a)fc(Jb + l) ± к ) + ^(-А; - а - 1) - In Bрс) + Bс) ^-r(-a)sin^ |Rep>0, Re с > 0 10. I xa~1{a-xf~1e±cxk4cx)dx = K + L (a + /3 + A; + 1) - ф(а + A; ± к I ~~ ln Bac) I x X (±2ac)k + — sin— В (a, /3) [a, Rea, Re/5 > 0]. 1/7Г 2
144 Гл.2. Определенные интегралы [2.14.3 11. I ха~1{х - a)^1e±cxK{cx) dx = х ^(А: + 1) 12. Ч- т к+1 (-a - /3 - А:) - ^(-а - к) - ф Л 1/тг 2а + 2/3 + ^ х I sin -— cosec ж 2 2 х sin — В (a + 1, p — a — ф(р — a — к — 1) — ф(а - ± А;) - In Bac)l x c>0 -ф ± Л - Ы Bcz)\ x / J а-р, 1 + а- i/тг 2a^2 х I sin -— cosec zl A Rea>0, 2^2 ( р, р — а Т ^ 1 + Р — aj Р — а5 argc| <7г, Re(a-p + i//2) < 0 к=0 2тг cosec 2атг - ; +1 \2 иж t ч1_а Г а-1, а tB) r^ ± к) -\пBсу)\ (±2су)к - 1/тг 2а + и in — cosec ^— A±1)/2 x 2F2A, 1-aT^i 1 - a, 2 - a; ±2c|/) L Rea > 0, j argc| < тг; Re Ba + i/) < 2 Rec > 0 2.14.3. Интегралы от xae px< [cos ож Обозначение: ? = < >. 1. 1 cos bx J 6d Г sin(i/7r/2) n1^7 &5 Rec>0; -8], Bc)«+'5 /a + 1 a , . n , a 1 + a 3 ( ^-' 2+5' 1+2 ' — a+ 1, a+ 2,5
2.14.5] 2.14- Функция Бейтмена ku(x) 145 Г а-1 сх Г sin Ьх 1 , , ч . 2. ж е < >«1/(сж)аж = 1 cos Ьх \ 2-2a-i/ b2 [2сУ^г f a + I//2 - 1 ] Г cos [Bа + |/)тг/- 6«+"/2-i L "/2-1 Jlsin[Ba + i/Or/' 2-v v и б-i^ З 6- 2а -^ 2а + и^ 4 ' ~ I' ~ I' 4 ' 2' 4 ' 4 ' [6 > 0; Re а > -ё; Re Bа + и) < 2; | arg с| < тг; ?/G) см. в 2.14.3.1]. 2.14.4. Интегралы от хае In о:_1_1 . 1/7Г I cosec а тг * + 81П- In Rec, Re a > 0, arg z I < тг z > 0 ctgaTr 1 1 1 / ч1 >Н : lnBez) х 2 cosec 2атг I а + А; + 1 д. 2za . i/тг J cosec атг ai/ 2 \ ctgair a — 1, a sin (viz/2) sin (v/2 — а)ж 1-7 x 3F3 ^1, 1, 1 - a - (-1O-; 2, 1 - a, 2 - a; t(^1O2cz1 + Bc) a x хГ, a, a + 1 1 [ sin(i/7r/2) 1 ^7 x a + l-lj'i/y 2. иа-1Лс*/1п(ж In ku{cx)dx = Re a >0; Re Ba + 1/) < 0; |argc| < тг; Лагб*1 < ^ 1 г > 0 2.14.5. Интегралы от xae^px El(±bx)klJ(cx) . 1. \xa-1e±cxm{-bx)kv(cx)dx = ±{2c)-a-1T\ " + 1',?*2 . См. в 2.14.4.11. o . \(l±l)/2 . viz 2a + v у J/ x ( sin — cosec тг I F3A, 1, a + 1, a + 2; 2, 2, a, a + 1 2a sin —- cosec — Л Л
146 Гл. 2. Определенные интегралы [2.14.6 2. -1 (±Ь-с)х = -BсГаГ EI (^Ъх)ки{сх) dx = 17A) Re с, Re a > 0, j sin(i/7r/2) I1 6 > О а, а + 1 1 + а + (^lOi//2, 1 - (-lOi//2 J [sin (а + *//2)тг 3. xa~1e{±b+c)x EI (=p &ж)^(сж) с!ж = 17@) I Re a > 0; Re Ba + i/) < 2; |argc| < тг, ( ' arg6' < ^ 1, U{j) см. в 2.14.5.2 L I b > 0 J ku(cx) . 2.14.6. Интегралы от хае рх dx = V(l) r_sin(i/7r/2) т1 Z • О" у&С)~ ' " ' ~{О -f А) [ х Г b, Rec, Re а > 0, S = : + 2) L sin (а + 1//2)тг -3, а+ 2<5+ 2 ) . Л с . 3 2а + (-1 i 1, ' 2^' 2 + d, a + S + (-l)Ti^/2, 1 - (^l)°V/ т^- = С 2а- 2c 2. о х Г 2a sin [Ba + г/)тг/4] 2a 2a 2 - 2a - 2Bc) и/2-1 cos [Ba + i/)tt/4] \ Га + i//2 - 1 4 ' 4c2 7 Ь^+^-^г-га-!/) \sin[Ba + i/Or/4] /2-1/ 1 1/ 1 1/ 6-1/ 2^2a^i/ 3 6^2a^F 6^2a^i/ {Г> г - 4' г ~ 4' ~' 4 5 2' 4 ' 4 ' 2a + v b2 \ 1 ; [6, Re a > 0; Re Ba + u) < 4; largcl < тг; 1/G) см. в 2.14.6.1]. 4 4c2 /
2.14.8] 2.14- Функция Бейтмена ku(x) 147 2.14.7. Интегралы от х a-i ^cxf erf(bx) са Le сх) v ; [ erfc (bx) ляг/ \ 2С . U7T iyG) = T<,a/2l>tt+1sin — r\ \кУ(сх). ) ' * ~РХ Г erf | [ erfc Fжг daj = W(l) [Re с > 0; Rea > -A ± 1)/2; |arg6| < тг/4], 2 а + А; х Г а, а + 1 1 Г sin(i/7r/2) - (-lOi//2, 1 + а + (-lOi//2j [sin(a + i//2Or 5- J e Rea > -( er: erfc argc M f Re Ba + v) < 0; | arg 6| < тг/4 I arg6| < tt/4 см. в 2.14.7.1 . kv(cx)dx = (/A) [Rec > 0; Rea > -A ± l)/4; |arg6| < тг/4], 26 sin(i/7r/2) I1 а+ 1/2, а+ 3/2 / -i \7 /о i_ /q _i / 1 2'UT2'UT2' 2' x Г а, а + 1 sin (|/тг/2) 1-7 4. - (-lOi//2, 1 + a + (^lOi//2j [sin (а + ^/2)тг i/(еж) dx = f/@) + —^=—2a + Jf \ ^ X Re а > -A ± 1)/4; | arg c\ < тг, ~Г ji" 2' A"" Г Re Ba + i/) < 0; | arg 6| < тг/4 I/ 1 — I/ 62\ см. в 2.14.7.3 . 2.14.8. Интегралы от ею 1. j х-1* 0 V[l) = \ | arg 61 < тг/4 Aii/(еж). 6, Re с > 0; Re a > -5 - 1/2, 8 = \С{Ьх) 0/ ' a+ 3/2, a + 2E + 1/2 Oi//2, a + S + (^lOi//2 + 3/2 sin(i/7r/2) I1 _ /2E + 1 2a + 3 2a + 5 2a + 1 _ 2a + 3 _ x 1Т„„„/. , .. /оч_ I 5^4 ( —-—, —, —, ho, —-. ho; cos (a + i//2)tt 2E 4 1 J 2' 4 ' 4 ' 4 ' 4
148 Гл.2. Определенные интегралы [2.14.9 = у(п) _ (^У/2У2 Га + (i/ + 1)/2] | sin [Bа + i/ + 1)тг/4] 1 lj ^FB + i/N«+-/2 [ 1 + I//2 J \ cos [Ba + i/ + 1)тг/4] J 4' ^; 2' 4 4i a + (i/-l)/2l f sin[B a^y- 1)тг/4] 1 - 2a - u)ba+^/2- 2 — у и у 6 — у 2 — 2a — i/ 3 6 — 2a — у 5 — 2a — i/ 4 ' ~4' ~ 4' 4 ' 4 ' 2' 4 ' 4 ' 3 - 2a - v b2 4 ' 4c2 [b > 0; -B± l)/2 < Re a < -Rei//2; |argc| < тг; 1/G) см. в 2.14.8.1]. 2.14.9. Интегралы от хае^рх{ 1^J ^l \к„(сх). J \(/, ) sin(i/7r/2) ^l}kl/(cx)dx = W(l) [Re6,ReC,Re(« + /x)>0, (lL \Г(/х, Ьж)/ l ; W L lRea>0jJ' 0 = ± x 3F2 /i, a + /i, a + /i + l; /x + 1, l + a + /x+ ^™—; (^lO^ \ 2 2c [ [ U " (-lO^/2, 1 + a + (-lO^/2j [sin (a + v/2)ir 2. ТУФ^ЖП 1-7 _. . i/ i/ 1/ у у b x 3F2 ,1 , —& ; 1 — a , 1 — a — и : — !2' 2' 2' 2' P2'2c 2 , bx) 0 x .. » / Г , x , f Re 11 > 0, Re Ba + 1/) < 0] , ч 1 Re 6, Re (a + ш > 0; arg с < тг, < >, W(j) см. в 2.14.9.1 . L { Re a > 0 J J 2.14.10. Интегралы от kf?(bx)kt/(cx). a-i, / ч, / ч , sin(i/7r/2) _[ a+ 1, a/2, a/2 + 1 1 жа fc-y(ex)K{ex)dx = \ ' 7Г , \/9 , r wo [Rec, Rea>0]. [1с)ауж [1 + (a + i/j/2, 1 + (a — i/j/zj 0 Г «.-i, 2_ 2^-1, w a-^-'c . ^a + l J 0F V 2 .^ Z Z Z Z Z ^o (a/2 + f3 + 1)кC/2)к(к\)Цк + 1)! { (^1-60-3^'^ +l) + [a, Rea, Re/3 > 0].
2.15.1] 2.15. Неполные эллиптические интегралы F(x, k), Е(х, к), П(ж,1/, А;) 149 ci / \i / \ j / \m+n—2 4С 3. J ж о со 4. 1 ^е рш^2т(Ьж)^2п(сж) с?ж = о 4C 1 — тп, 1 — n: 2; —— p2 [Re Bc + p) >0; ra, n = 1, 2, 3, . . .]. n - l)!6eF - с + p)n^1(c - b + p)w^ X . J x^ x 2-^1 1-m, 1-n; 1 — m — n; (р + b + с)(р — 6 — с) (р + 6 — с){р + с — Ъ) [Re F + с + р) > 0; т, п = 1, 2, 3, . . .]. п п< .1=1 х FA ( п + а; -пы, . . . , -тп; 2, ... , 2; —-^-, . . . , : с + р с + р , п = 1, 2, . . .; Rep, Re(n + a) > 0 . 2.15. НЕПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ F(x, fe), ?7(я5, fc), П(ж, i/, fc) 2.15.1. Интегралы от /( тг/2 ж)< ' ^ >. [ К(ж, A;) J 1 ctg xF(Xj k)dx = - K(Vl - k2 ) + - In A;K(A;). 2. 3- 4. 5. 6. г/2 0 tt/2 Sm2f 7Г/2 (x, А;') с!ж = — 7 In l ' ; 2A-A;) A о тг/2 V 1 ^ ^ sin ж ™ fe2 sin2 a sin2 ж) \/l - ife2 sin2 ж - \ In A - dx = - K(Vl - ^2 ) [A;' = VT^ sin2 x - sin2 o)(sin2 6 - sin2 x) ° I к 8mb F(ai , к) J dx := secacosecft f K(A;) 1 2 \ E(fc) J x K(ч/l - tg2 a ctg2 6 ) + I ° I к 8mbK(\/l- sin2 2a cosec2 2b ) [A; = л/l - ctg2 actg2 b]. [ 1J 2 cos a L J
150 Гл. 2. Определенные интегралы [2.15.2 1. 2.15.2. Интегралы по модулю к. Е(х, к) sin ж 3 1/2 Г т v ' 1 4- v '" sin т 2. кЩх, и, k)dk = tg In 1/o 1/П(ж, I/, 0). J 2 2 1 — и1'1 sin ж о 2.16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ К(ж), Е(ж) 2.16.1. Интегралы общего вида. Обозначение: 8 = < >. "" (l/2)*(±l/2)fc Е(сж)/аХ 2г х Г nin(a,6) 2. Oi — l fir Г (br - xrf _! J Щу/1-х/а) Щу/l-x/a) (acfk [a, r, Rea, Re/3 > 0; |ac| < 1]. dx = I [a, 6, r, Re a > 0 (и Re /3 > 0 при a ^ b)}, A;! a + rfc, 1 + rk — 8 + a ^2 ^ k! ж [l/2 + а + гк, 3/2 + a - <5 + &a+/3r^r Г 16fl 1 1 /O \1 / = 7 В ( —, /3 In — ^ I — ) H— Ф \ Ь/3 ± 2dr \r / [ 6 r \r / r \2 /J AГ 2§r ^ ife!(A; + J-l)! _ , /1 , \ 1 , (a + k\ 1 (a + k . 3. (жг Щу/1-х/а) = x Г a + rfc, 1 + a — 8 .} (f Г _l/2 + a + r^, 3/2 +a - 6 + rk\ \zj [a, r, Re a > 0; |z| > a, r| argz| < тг; p = 1 при zr = ~~yr, у > a]. 4. /ж + b 2r 2s dx = ^(l/2)fcC/2-. ^ (&!J ¦^ A — /3)fc [a + rfe, (a- k-l/2)/r (a-k-l/2)/r + , ? 1/2 +a+ rk [a, r, Rea, Re/3 > 0; |6| < a; |arg6| < тг]. 5. '(хг-ау-1 K(y/b/(x+b))\ , .ra x Г - (a-k- l/2)/r 2r [a, r, Re/3>0; Re(a+ Дг X fe=0 V V + 1/2; |6|<o; |arg6|<7r].
2.16.1] 2.16. Эллиптические интегралы Ж(х), Е(ж) 151 6. (xr dx = ^a-pr-1/2 2гГ(р) (kif ba^1/2 у, (^l)fc(p)fc Га + rfc, 1+a-J+rfc, 1/2 ^ a ^ rfe 2**p' ?j k\ [ 1/2 +a+ rk [r > 0; 0<Rea<rRep+ 1/2; |6| < |z|; |arg6|, r|argz| < тг]. 7. о X Ctg (xr - уг) 2r 2V fe, 1 (*!J ife, 1/2 ^ a ^> [г, у > 0; 0 < Re a < r + 1/2; |6| < y; |arg6| < тг]. 8. x Г x Г а + rfe, 1 + a — S + rk, 1/2 — а — rk 9. Щл/l - x/a) 1/2 + a + rk dx = [r, Rep, Rea > 0; | arg6| < тг]. 10. ж" sin bx1 /G) = a -1-1 Г a — 1 11. Ж Щу/1-х/а) \ 1 [a, r, Rea > 0]. 2rk —h a + 7Г - , 3 C' 2 I K(Jl-x/a [a, r > 0; Rea > -r]. [a, r, Rea > 0; /G) см. в 2.16.1.10]. 12. _(l-2a)/Br) = J(l), 2r 2r + a7 a+7r 2^ 9t»^* 1 /9 ry л/т- 9т»&1 [a, r > 0; -г < Rea < г + 1/2; |arg6| < тг]. 1Q T 13. J [a, r > 0; 0 < Rea < r + 1/2; |arg6| < тг; J(j) см. в 2.16.1.12].
152 Гл. 2. Определенные интегралы [2.16.2 14. dx = — 4? a ' b\ a b ^ Щ\/1 ~~ x/a] , 1/2 — а — иг — 2гк~ \ [a, r, Re(a + i/r) > 0; Re a < Cr + l)/2; |arg6| < тг]. Ql^.y OO х Г 1/2 + а + иг + 2гА;, 3/2 + а - 5 + иг К(сж 2.16.2. Интегралы от жс 1 (x/o о [0 [а, г, Re (а + i/r) > 0]. [а > 0]. [а, Re а > 0]. . Т J К2' <J - «) 1-а/2 [Re с > 0; 0 < Re a < 1]. 2.16.3. Интегралы от (ж ± а)а(Ъ ± ж)/3К(сж). 8 а . [ 7Х J х/а - х V а 7 I 1^ тг 2 ' 2 ' 2 ' 2 /3)/2 [Re с > 0; -A ±1) < Re a < =pl]. [a > 0]. [a > 0]. [a > 0; 0 < Re/3 < 1]. [a, Re/5 > 0]. 5. y/(x-a)[b-x) x } dx = 8z + 8 1/2
2.16.4] 2.16. Эллиптические интегралы Ж(х), Е(ж) 153 2(b2 -аЪ + а2) - 2y/abEab - 2а2 - 2Ь2) Dab ~~ Ь2 - а2) k± = - 2а2 - 2Ь2) - 2 + 2>/z + ± 1/2 2.16.4. Интегралы от (ж2 ± а2Г(Ь2 ± ix = — 2F2 i, i; 1; aV ,2 _ ^2 А г \4' 4' ' 0 2. =: /1 + ас — ^1 — ас 3. 1 /K(*/a) /a2 - x2 \Щх/а) [b ^ 2a ^ 26]. [a > 0]. [a > 0; \ac\ < 1]. [a > 0]. a 1 та~г(п2 JB (!¦")•• + 2/3^2 zl Л Л А [a, Re a, Re/3 > 0; | arg A - aV)| < тг]. 5. dx = |)/ A - a2c2f/2P_-f/2(l - 2а2с2) [a, Re^ > 0; |arg(l - a2c2)| < тг]. 7. 8. 9. -=Fl/2 [a, Re/3 > 0]. [а > 0]. 2 2 2 с 10 11. f -2/3/ 2 2ч/3-1/ . ж (а — х ) < J l } \ 4acos/37r\2/3J [@ + 1/2 [0 < ac < 1; 0 < Re/3 < 1/2]. l\r2[ /3 /2 [a > 0; 0 < Re/3 < 1/2]. [a, Re/3>0]. /3 4, ? + 1/4 1О Г 2^4/3/ 2 12. ]Ж ^(а - [a > 0; 0 < Re^ < 3/4] 13. [^(а2- J v ?,/3,3/4-/3 3/4,3/4, 1/4+ y Г (l + 2?)/4, E-2?)/4 1 In/Зтг A [3/4, 3/4, A + ?)/2, 1 - ?/2j [a > 0; 0 < Re/3 < 1].
154 Гл. 2. Определенные интегралы [2.16.5 14 15. 16. 17. 18. 19. Е(г- [3/4,3/4, (l + 2/3)/4j [а > 0; 0 < ЕеД < 3/2]. I, C-а)/21 К(сж) с!ж = 1-а/2 2 ¦ К 1 - а2с2 к± = ab~1(l± К Rea > 0; 0< Rea < 1 . -а2^)'1; 0 < о < б]. [0 < а < 6]. г а + b [О < а < 6]. [a > 0; Re/3 > 2]. 2.16.5. Интегралы от ж° Обозначение: S = < >. -,2/3 , /3-е+ 3/2 , /3, /3 - e + 1; /3 + i; /3 - e + |; а, ЕеД > 0, Rez > 0 z > а 2. 4. 1/2 V - ж2) (б2 - ^){е(ж/Г)}' _ГК(ж/а) 2&Vb2^ тга | K(a/Va2 6. D(a/Va2 + z2; ] J Л/(а2-ж2)F2-ж2) Va/ a __2 / / 2a 7 a + 6 a + Ь [0 < а < b; Re/3 > 0]. [a, Rez > 0]. [а, Re/З > 0]. [О < а < 6].
2.16.5] 2.16. Эллиптические интегралы К(х), Е(ж) 155 9. [a, Re^ > 0; 0 < Re/3 < Rep+ 1/2]. а Г 2~2Я (а2 — Ж2)^ Г К(ж/а) 1 . TTtg/Зж i_2/3/ 2 2\/3-1 Г КB//а) 1 J ^2~2/2 \Е(ж/а)ГЖ^ 2 ^ (а 2/) \Е(г,/а)/ + « r[i9,l + /3-J, 1/2-01 о ^ ,,.,,.! , л 1 , л. 2/2 [0 < у < а; 0 < Re/З < 3/2]. 12. Iх1 ]Р^~Х^ г к(-^] dx = ^a2f3~4pB (P-, l-p} x о X 3^2 (-, -, 1-р; 1, 1 + | -р; 1J [а, Re/З > 0; Rep < 1]. is. -ж"л/о' ° Bа2 - ж2\B/з+з)/4 \ал/2/ 2^+5/2а3 I C + 20)/4 о [а > 0; 0 < Re/З < 1/2]. а JL4. ж (о. ж) (о ж] л ^- / ,,\ ^ яж = т я ft (f? а) х J ? 1 dx = [ Mj[x/b) J 4 [Re/3 > 0; Re @ + 7) < 3/2; 0 < a < b]. b i r f 2-2а-2Э/ 2 2\а —1/i2 2\/3-l I К(ж/6) 1 7Г 1-2/3 i 1 —2а /1 2 2 15. ж (ж — а ) (о — ж ) < , ' > аж = — а о (о — а J |^ Лг^Ж/ Oj J 4 3 f 3 «2 Т~ х 2 1/2 +'/3 j sF2 ^/3, 1 + /3 - J, 1 - а; - + /9, - + /3; ^—j [0 < а < Ь; Rea, Re/3 > 0].
156 Гл. 2. Определенные интегралы [2.16.6 1. 2.16.6. Интегралы от Л(ж)К(сж). ж о v/(e2 - х2) (х - у) W 2^/y(a - у) 2. ж а — b — х rr (х /а? -х2 а2 + Ь2 - х2 «» i , жа а — ) dx = у К ¦Е < у]. Kl-)dx = 2Ьх/а2 + б2 [а, 6 > 0]. 4. ,/2 «3-3/4 -ж2)[а6^&2-ж2 - б2 \ „ / б2 /-3/4 ^3/4 а\/Ъ2 — а2 1 263/2F2-а: Ь2 [0 < a < b]. -1/4 a\/b2 — a2 [0 < a < 6]. 5. ж (i/ж2 + z2 + \а/ r^—i—7Г a/2 a2 + z2 - a) ' x =2\fa2 6. (а2 — ж2) 1[(ж + Ьл/а2 — ж2 ) 2 + |ж — 6Va2 — ж2 о -a)/s; a, Re z 7. - bVa2 - x2 [0 < b < 1; |Re/3| < 1/2]. 8. (a - ж ) 7 6ж + Va2 - ж2 7 + (-1) 6ж - V«2 ^ ; К (- = 0или1; а, 6>0]. 9. ,-1/2 7.2 _ — Fж + у «2 — sgn?(bx — л/а2 — х2 I /ж\ К. I — 1 аж = &ж - Va2 - ж2 |i/2 а^& > + 1 + Г ) [е = 0 ИЛИ 1; а, 6 > 0].
2.16.7] 2.16. Эллиптические интегралы Ж(х), Е(ж) 157 2.16.7. Интегралы от А(х) 1. 2. 3. 4. 5. 6. ¦К тг a_i I а/2, A-а)/2 ''-+а)/2,1-а/ [Rez > 0; 0 < Re а < 1]. ¦К (Vx^T^ - zJ\ , _ z"-1 Ja/2, A - a)/2, A - a)/2 dx = Г -К l-a/2 [Rez > 0; 0 < Re a < 1]. 2х/х2 Г ' Ba + 3)/4 J [Rez > 0; 0 < Re a < 1]. ^ Га/2, (l-a)/2, A - a)/2l [Rez > 0; 0 < Re а < 1]. -К 1/2 К /ж2 + а2 — а ж2 + а2 + а/ л/х2 + а2 + а X sech2 CK(sech ()K(th () [a, Re z > 0; ch С = (а + [a, Rez > 0; 0 < Re a < 1]. - a2 I/2/BaI/2]. z2 + x \ z I 8. ¦E -ж) : + z2 — ж a/2, E-2a)/4, A - 2a)/4 l-a/2 9. 10. 11. ~ ^2 + _ [Rez > 0; 0 < Re a < 1/2]. Га/2, a/21 V а — \/я2 — ж2 ( (aVa2 -х2 - а2 + ж2) \ ¦ Е I 1 с!ж = ж ,«/2 , (a 4 a+ 1/2 [a, Re a > 0]. [а > 0; Re a > 1]. ¦Е тш^ Г а/2+ 1, a/2- 4 (a + l)/2, (a- [а > 0; Re a > 2].
158 Гл. 2. Определенные интегралы [2.16.8 12. /а2 — х2 + а dx = «/2 [а, Re а > 0]. 2.16.8. Интегралы от А(х)е Обозначение: S = if{x) I I Е(сж) J /3, /3-5 , /3- «5 + 3/2 х 2F2 Г/3, /3 - 5 + 1; /3 + i, /3 - <5 + |; а2 [а, Re/З > 0].  Г/3,/3-^ + 1,1/2-/3 /3 + 1/2 [a, Rep, Re/3 > 0]. 4. 5. (а2 - ж2K/2 1, 1 1/2-/3, 1/2, 1/2 [0 < Re/3 < 1/2]. 6. (a2 - ж2 Ь2 - ж2\ , /ж\ , ехр ( ^р^9 Г? * V J = Т^2W2 еХР РГ^22\ (а2 — ж2K/2 \ (а2- ж2) ТТЛ V ^7 4р3/4 у 2 8. 1 г/ о К 2 <~ ( о ) 12а/ [0 < a < 6; Rep > 0]. P \ 8а2/ ( Р \ -1/4, О I Т^ ) [а, Rep > 0]. [а, Rep > 0]. 9. 10. 1 / рх ехр ' (а2 - ж2) (а2 - ехр — К (-) dx = \а/
2.16.9] 2.16. Эллиптические интегралы Ж(х), Е(ж) 159 2.16.9. Интегралы от A(x)iSin<P[X\}lKlCXl} . { cos(f(x) J { Е(сж) J 2 2 cos [о(а — ж )] „ , ,J +1 /3 . . I 20 +2S + 3 2/3 + 25 x 2F3 ( —, j +*; «5+ 3, j , -4 а > 0; -5, 5 = 2. x(a - x о 3. dx = Г2C/4) ( \ 2 [a, 6 > 0]. [a > 0]. a 4 [ж-1/2а + ж fsin[by/x /(a - x)] \ /x\ л/а к f b J a — x \ cos [Ьл/х /(a — x)] J \a/ 2 \4^a тг /0F/Dv^)) 1 ^)) J [a, 6 > 0]. 5. J sin [b\fa + x /{a — x)\ 6. \x(a2~xY~llsln{bVa2^X2 cos F\/a2 — x2 ' - \ j г и ( b \\ ж1° — ) dx = . /Co —^^ H ^2a \2л/2а/\ = /A), [a, b > 0]. Г ж , ^^ 9\т^ fx\j к а 2 {ab 7. — cos ova — ж2 )K I — I dx = Jo — J x/a2 ^ x2 K } \aJ 4 ° I 2 8. l^-.Y-1'8111^2^2 cos (by a2 — ж2 9. |x-"'"'(oa-xy-18in- [a > 0]. [a > 0; ЕеД > -5/2; I(e) см. в 2.16.9.6]. /3 + е/2, 1 + 0-S + e/2, A - e)/2 - /3 X2F3(/3 + ^l + /3-J + ^; — 23/ 2 2\3 — l ^5 j) [«, b > 0; -1/2 < Re/3 < 1]. 0 [a, b > 0; 0 < ЕеД < 1; J(e) см. в 2.16.9.9].
160 Гл. 2. Определенные интегралы [2.16.10 11. s!n(&/Va2 - ж2) а2 -ж2 I cos {b/л/а2 - х2 ) j Va К [4(b/Ba))~Y02(b/Ba))] 12. |(a2 -/)/2sin 14. 15. а2- (а2 + Ьх iaz — xz x\ 16. cosbx 1. 2. 3. 4. ' 167Г 2.16.10. Интегралы, содержащие 1пА(ж)К(сж). 2 2 9 Ж i ft У -rr ( &\ 1 Я ln^~ /a2 — ж2 (ж2 — у2) а — К ^ хл/а2 - х2 Bа2 - In- In (i-^- T3/2 In A 12 ?Г 8 L3/4 [a, b > 0]. [a, 6 > 0]. [a, 6 > 0]. [a, b > 0]. [a, 6 > 0]. [6 > 0]. [0 < у < a], [a > 0]. [a > 0]. [a > 0]. 2.16.11. Интегралы, содержащие El (ip(x)) или ег?с(^?(ж)) и К(еж). 2 fab\ (ab = -тга2/о т Uo hr [a, Re 6 > 0]. 2. (a2 - ж2K/2 exp 9 9 \ 2 erfc ( b 2.16.12. Интегралы, содержащие Ju((p(x)) или Yu(jp(x)) и К(сж). Обозначение: 5 = < ?. [a > 0]. л жг i <ju , 7Г a b , / a b , 1 Ko ( ^ ) ^ж = ^ ^ , sin -^- Jo ( -^- ) [a > 0]. sin ab 2 ж(а" + ж") / 6ж \ /x\ (a2 - ж2M/2 la2-ж2 / Va/ 63/2Г2A/4) [a, b > 0].
2.16.13] 2.16. Эллиптические интегралы К(ж), Е(ж) 161 3. /3 + 1//2, 1 + /9-J- 1, [a, Re B/9 + iz) >0]. 4. /a2 - ж2 \ ГК(ж/аI , < ; ' ' > с!ж = ж ){Щх/аI 13 3-1/ * iF, (,9 +^ [a, 6, ReB^ + и) > О; /2а2 - х2 К < 5/4]. [а, 6 > 0]. [а, Ь > 0]. I—9—I о" I J TL/ ^ i 2\ / / 2 2\-\ х\/а2 + ж2 j Jo[o(a +ж )/(а — ж )J I /ж (а2 - х2J \ Y0[b(a2 + ж2)/(а2 - ж2)] } ' " sin F/2) = 7|_ Г f COS F/2I /6 27/2afe [\ Sin F/2) j ° V2/ ^ 1 cos F/2) |К(сж) /6 ° V2 2.16.18. Интегралы, содержащие п. 2 Ж О (а2- К - ) dx = 7Г SVab (a2 - ж2J \a [а, [а, ab [a, b > 0]. Re 6 > 0]. Re 6 > 0]. Re 6 > 0]. ГК(ж/а) }\Щх/а) dx = -i/, /3 + I//2, а > 0; Re^ > Rev\, 5 = хЗ/2 6 А. П. Прудников, Т. 3
162 Гл. 2. Определенные интегралы [2.16.14 6. 7. (п2 _ ™2\3/2 (a2 - ж2K/2 Ко exp - Ъх '¦{-) \а/ К - ) dx = Aab [а, Ее 6 > 0]. bx2 Ьа2 К ( - ) d» = - 2^26 а Ei(-26) 2.16.14. Интегралы от А(х)Ш0((р(х))Щсх) . Ъ i. \x-^ib^EZ о к(-) dx = --Ко(Ь) \а/ а 2. 1. 2. 3. (ж2 - a2M/2 ^^7 Ho bx /2^^ К ( —^=- I dx = - M ' o /o e /7Г ^6 2.16.15. Интегралы от А (ж) 5^, Ь/(^(ж))К(сж) . x\J a? + ж2 (а2 - (а2-ж2K/2 ^м,о ¦5_i к© [a, Re 6 > 0]. [a, Re 6 > 0]. [a, Re 6 > 0]. i+i, oF) [a, Re 6 > 0]. -///2, -/х/2 - сг.% Va/ К - ) dx = 2.16.16. Интегралы от А(х) [a, Re 6 > 0]. l)-"DcV + 1)К2(гсж) йж = P, P 2. х 3. К(с^а2-ж2)К(гсж) E(cVa2 -ж2)Е(^сж) [Re с > 0; 1/2 < Rep < 1]. > dx [а, с > 0]. /^^^)Е(гсж) dx = ^4 [К(^с2) " Е(«2с2)] [а, с > 0]. 2.17. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 1-ГО РОДА Р„(ж), 2.17.1. Интегралы от (zm ± жт) Pjf(cx). г- I Р^ (-) dx = ZJ7Z _ч /our/-', ^х /ои/1 ¦ i\i [m = 0, 2, 4, . . . , п = 2, 4, . . .]. 2. = п[(п - ш)/2]![(п + т)/2]\(п + 1)! i + п)\(п + 1)!?па7г 3. =0 4. [т, тг = 1, 3, 5, . . .]. т + п = 1, 3, 5, . . .]. [a, Re a > 0].
2.17.2] 2.17. Функции Лемсандра 1-го рода Р1/(ж), Р^{х) 163 5. 6. а/2 v I? x3F2 Ъ 7. \{Ъ - x)a-xPv (-) dx = Г(а)(Ь2 - а2)а/2Р~а (- J Vа/ \а 8. 9. 10. 11. 12. а + и + 1, а — и [a, Re а > 0; Re и < 2]. [-b < а < b; Re a > 0]. [0 < а < 6; Re а > 0]. [а, Re а > 0]. [а > 0; тг - 7П = 1, 2, . . .]. ^ - ) dx = [a, Re (/3 + 1/) > 0; Re (/3 - i/) > 1; |arg(z + a)| < тг]. sin [(i/ + 1/2) arccos (г/а)] 7.2 - z2 sin(i/ + 1/2)тг [а > 0; ^3/2 < Re v < 1/2; |arg(z + a)| < тг]. sin i/TT Га, 1 — a + i/5 —a — v t — a [a > 0; 0 < Re a < - Re i/, Re i/ + 1]. CO I ^1 SI /y* /1 1 1--^ I 1 лф I /v 1 /v I f i /"y I/ I /If #1 i ' IP I 1 JLtJ. I 1 Л (A I 1 у 111 yJuJLi 1 I UK 5 -L CJt n^  tJ- J V / f III о [a > 6 > 0; 0 < Re a < - Re i/, Re v + 1]. 14. 2a, v , a-/x/2, A +/x a>0;2 Re a > Reu . [a, Re Ba - д) > 0; Re Ba + 2/) < 1; Re Ba - u) < 2]. 2.17.2. Интегралы от xa(z2 ± x2)CP{?(cx). ,0-?; 1-M, /3 + ^r^; 1 [o,Rea,ReB/3-A.)>0]. [a, Re B/3 - ц) > 0; Re(i/ -2/3) > -1]. /3-/U/2, -2/3-1/ 1 L-/3-M/2, -/x-i/J [a > 0; Re/t/2 < Re/3 < -Re^/2].
164 Гл.2. Определенные интегралы [2.17.3 4. 5. {1+а- X Г i- i/)/2, 1+ (a- /i+i/)/2j [a, Re a > 0; Re /x < 1] fo, Rea > 0; m = 1, 2, ...1. L' ' ' ' J 7. =0 8 S. J [a > 0; I, 77i, n = 1, 2, . . . ; I + w + n = 2fe; As = 1, 2, ...; w.^n^l + ra]. [ при a > 0 и остальных значениях к, I, га, п = 1, 2, . . .]. ft I .tv, I I о Ж = A ft oo Г 1 О О Ц т" ff — п a oo L0. ж" ж2 — a _1-р- /i/2, A - /х ± i/)/2, A =р 1 ~~ /х Т ^)/2j [a > 0; Re/i/2 < Re/3 < (l±Rei/)/2, A T 1 =p Re i/)/2]. + Ax + i/-a)/2, (M^^^a)/2] 1-a [a > 0; Re^i < 1; Rea < 1 + Re(/x + v), Ке(ц - и)]. V/ 2++!/^ [ l + J Va/ /х [а > 0; 0 < Rea < 1 + Re (i/ - ^), - 2.17.3. Интегралы от (x ± a)a(b ± xf P^ Щ dx = BаГ \ /x + 1, a + /3 + /x; 1) [a, Re BД - /i) > 0; 2 Re a . f (x + a) J 3. 4. | (Ж + aj ) () [ a/ [ 1-/3—11/2, —и, —\i—v J [a, ReB^ - /x) > 0; | Re^| + 2 Re {C + i/) < 0]. *\ dx = Ba)-^T \ J + ^ a ~ ^2, a/ l ; [a-fi/2 + u + l, ot-ii/2- v [a >0; Re/ix < 1; 2Rea > = 0 [a > 0; Re/x < 1; A; = 0, 1, 2, . . . ; A; < Re i/, Re (/x - . [ (Ж + aY Pv (- J x — у va — a oo . \{х-а)а^г{х + а dx = -(a ^ dx = [a > 0; Re/x/2 < Re a < 1 + Re (i/=F м/2), - Re (i/± |x/2)].
2.17.4] 2.17. Функции Лемсандра 1-го рода Р1/(ж), Р^{х) 165 7. *) dx = . f (ж + a)a" Г W ; [а > 0; Re/x < I; Re а < 1 + Re(/x/2 + i/), Re (/i/2 - v)\. Bа)а+м/2 sin уж Га + /х/2, а - /i/2, 1 - а - /х/2 + 1/, -а - /х/2 - i/l 7Г [ 1 - /Х + I/, -/X - I/ J [а > 0; |Re/x|/2 < Re a < 1 + Re {у - /х/2), - Re (i/+/х/2)]. 9. 10. ж"?. ' DM а + x a — x dx = aa+lJF 1 + i/, a - /i/2, -a - /i/2 - i/ -/x - i/, 1 + a - /i/2 + i/, 1 - a - /i/2 [а > 0; Re/i/2 < Re а < - Re (/i/2 + i/); Re v > -1]. аж + bx + с с!ж = I — COS О7Г Sin2 1/7Г a/ sin (i/— aOrsin (i/+ а)тг X Г(о — ^)Qi /о— ( v 1 ~h rf2 )Qi/ = b2d2; Re a, Re с > 0; | Rea| < - Rei/, Rei/+ l]. 11. CO 12. J«- /x [a > 0; Re/i < 1/2; Re a > Rei//2, -A + Rei/)/2)]. aa+Mcos/i7r r[/i + 1/2, a + (i/ + l)/2, a - и/2, -a - /x - i//2, A + i/)/2 - /x - a 13. 7Г3/2 '[ -/X-I/, 1-/X + I/ a > 0; Re*//2, -(Rei/ + l)/2 < Re a < - Re (/x + i//2), l/2 + Re(i//2- /x)]. diC= - n|a-/x, -a-i/, 1/2-a] [Re/i< Rea < 1/2, -Rei/; | argz| < тг]. 2.17.4. Интегралы от (жт ± am)a(b2 ± x2f РЩсх). \х = Г(а)(Ь2 -а2)(а~ 2. 3. 4. ^PS (-) dx = Г(/3)F2 - а2 va/ -Ь < а < b; Rea > 0; Re/x < 1]. 'ьл [0 < a < 6; Re^ > 0; Re/x < 1]. (а2 (а2 х- — х ¦ / х2) -у х2) т/2 т/2 g (f 2(-1) •¦© (p — l)!(n — [y > a > 0; re ^ m ^ 0]. > а > 0; n > m > 0; p = 1, 2, . . .].
166 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.5 7. |(Ж - а)"" V - б2)"'^ (|) dx = (а2 - Ь2)(«+">/2 х [у 0 [-а, о]; -га - 1 < Re/x < 1; га = 0, 1, 2, . . .]. x = (а2 - Ь2)(«+">/2 8. хГ[1 "i -^ ++/-м -~/ ~ " Р"+" (? [а > 6 > 0; Re а > 0; Re (а + jx) - 1 < Re i/ < -Re(a + /x)]. i/, 7 + /X —i/ —1 x 2F1 ( 7 + /x + i/, i/ + 1; 7 + jn; z + a 9. = (z2 - а2 7 [a > 0; Re /x < 1; - Re G + /x) < Re i/ < Re G + д) - 1]. \ — il-\-v 1 a [-6 < a < 6; Re a > 0]. 11. |(x2 - a2)"" V - (!)*¦ = a, 1 — a + (i/ — /x)/2, A — /x — i^)/2 — a x 2Fi , 1 - a + —?-?; 1 - a - ц; 1 - — [0 < b < a; Re a > 0; Re Ba + ц) - 2 < Rei/ < - Re Ba + fi) + 1]. 2.17.5. Интегралы от (x ± a)a(b ± xH(d ± xI P^(ex). /, a- ^; 1- [0 < a < 6; ЕеД, Re Ba -/x) > 0]. 2. 1; (-) dx = Va [0 < a < b; Re/x > -1/2]. 3. x k- j? 2a 2a 2a M 2a / \ / j [0 < a < 6; RejLA > 1/2]. — I dx =
2.17.5] 2.17. Функции Лемсандра 1-го рода Р1/(ж), Р^{х) 167 [О < а < 6; Re/t < 1/2]. . [(ж - а)-("+1)/2F - Ж)-"-3/2(Ж + аГ/2Р1; (| 6. • = (Ь-а)<* х — у 8. x - у [-6 < а < 6; Re a, Re B/3 - /х) > 0]. Ж)-^ /хч ^ = _ + /2+ _ ^-^ /?ч \а/ \а/ [у ? (-оо, a]; Re i/ > -1; - Rei/ - 1 < Re/x < 1]. >m f^\ J ( 1\тп-1от I/ 2 2\m/2 глт (У n y-j dx = (-1) 2 2/B/ - a ) ' Qn ^- 9. j (a - x) [y $. [—a, a]; m ^. n; I = 0, 1, . . . , n — m]. |) dx = = ±2Aт1)/2- п ч*1/2 .х [a > 0; г 0 [-a, a]; -1/2 < Re/it < 1]. 10. -) dx = ,3+^2 \a - $ - ц/2, p - a - ц/2 - v, 1 - a + /3 - /x/2 + i/l "l j [ 1-M + ", -А*-". 1-а + /3-м/2 J Bа)" Ja - М/2,/3 - а - /3,1-м х 3^2 lot , —/х — i/, 1 — /х + i/; 1 + а^/З , 1 — /х; [а, Re Bа - /z) > 0; Re (а - /3 + /х/2) - 1 < Re i/ < Re (^ - а - 11. , Д - a + /x/2 - i/, 1 - a + ^ + /x/2 + */ [a, Re Ba - /z) > 0; Re (a - /3 - /л/2) - 1 < Re v < Re (/3 - a
168 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.6 12. Ux- а) z)"-1±1/2P? (J) dx 1 -"± »> 13. 14. 2a J u \Ц 2а [а > 0; Re/i < 1; Re (jtt =p ") < 1; Re (д =F ") < 1 Т 1; | arg (z + а)| < тг]. ¦Bа)аГ ' ~ ' ~ ~ X /; 1 — а — /х; - ) [а > 0; 0 < Re а < Re i/ + 1, - Re i/]. 4c(a - 6)™M / 4c2 + (a - bJ Г 1/2 - тг у 16аЬс2 — (а — ЬL \_1 — /i + i/j sin (jla + i/)tt sin (у — д)тг Sin /17Г COS 1/7Г (a - 1. 2. 2c [а + 6 > 2c; а > 6; Re /x - 1 < Re i/ < - Re д]. 2.17.6. Интегралы от Л(ж)[Р?(сж) + Р^(-сж)]. 2\в-1 [a > 0; 2Re/3 > |Re/*|]. » + /х/2, /3-/х/2 (и- -^ с!ж = = T Г[A - /x ± »/)/2, A T 1 - /i T v)/2, /3 + 1 ± 1/2] 2 ' 2 2.17.7. Интегралы от A(x)eif{x)P^( 2. 3. 2ар а - /х/2, 1 + I/, -I/ — ) dx = [0 < a < |6|; Re/3 > 0]. [а, Rep > 0]. [a, Rep, Re Ba - fi) > 0]. -a-fx/2 ~a 5. ?[-\ dx = а + /i/2, -I/, l + i/ Р 2а" [а, Rep, Re Bа - /х) > 0]. jI/+i/2Bap) [a, Rep > 0; Re /л < 1]. [a, Rep > 0; Re д < 1].
2.17.8] 2.17. Функции Лемсандра 1-го рода Р1/(ж), Р^{х) 169 = 2'4-1а-1/2рB№1)/4-1е-а2р/2^Bм±1)/4>B,+1)/4 -2(а2 " х2)-»/2е-рх-2Р!: (J) da; = = Bр)<"+"-1>/2а-"е-р/Bв!'>?>„-1,-1 Р„ (^ ^ПГ ^ (а) 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. ха~1(а2 — ж2)~(а+1/)/2 о Bа)-" ^з (а2р) [а, Rep > 0; ReM < 1]. ) ft у [а, Rep > 0; ReM < 1]. [а, Rep > 0; 2z± = р(л/г + а ± л/г - а)]. Pv (J I [j ,+1/2 У,+1/2 > 0]. \ a/ -- dx = - ж + а а / р Р ^ W_^1/2t0 (-?=¦) [o,Rep>0]. Р U-_,-1/2,o(^=) [a,Rep>0]. г^/2е-р(«-»)/(а " Va/ = Bа)>^-1)/2+"ер/2И/(м_1)/2_;,,м/2(р) [a, Rep > 0]. 7гГ(-д - ./) " 4 l-a/2, (l-a)/2 0, 1/2, -(a + /x + i/)/2, (/x - ^ - a)/2 15. 1 а тг [a, Rep, Rea> 0]. [Rep > 0; 2az± = p(b ± \/b2 -2a)}. 16. х-"/а(х + а)"/2(Ж + Ь)-(и+1)'\х + а ¦ о ab [«. ^, Rep > 0; ReM < 1]. 2.17.8. Интегралы, содержащие гиперболические функции и Р^((р(х)). ГЫ sin2 иж cos an „, ,^^^^1/2, , 7Г3 sin (i/ + crjTrsm (г/ — а)тт l + 62d2) = a2d2; Re b > 0; |Rea| - 1 < Re i/ < - 2. i + (p_M + I/)/2, (i + p-^-^/2 J [Re/i < 1/2; Re (p + ^ - i/) > 0; Re (p + /i + г/) > -1].
170 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.9 оо ч [-1, -Rei/ -3/2 < Rep < - Re (/x + i/) - 1]. 4. е рх sh1 ^ хPJ?(ch x) dx = о [Re/x < 3/2; Re (р +/х - i/) > 1; Re (р +/х + */) > 0]. 2.17.9. Интегралы, содержащие тригонометрические функции и Р?(ф)). «.«-1 1. (а2 — ж2)^/2 \ cos 6ж / \а -) dx = J , а + 1 а , с С| 1 1 + а + д — fj, — is Л х 2F3 ( —^—i ^ ' 2' 2 ' оо . f (ж2 - а2 [а > 0; Re а > -5; Rejx < 1; ? = A ± 1)/2]. Л- dx = (i/ - X 5'Ju+i/2,i/+i/2(tt6) [а, 6 > 0; Re/x < 3/2; Re (/x + i/) < 1]. 1 1 sin (Ьл/х + a) I _ /ж\ , /a fseci/7r" ж + a I cos {b\fx + а ^ byj- J-v-i/2(by/a/2) [a, b > 0; -1 < Rei/ < 0]. 4. - a)Fl71 (- Va [a, 6 > 0; ^3/2 < Re i/ < 1/2]. 5. | ^^^^^ cos (б^ж — a)Pu ( — ) <ix = — v ^^ sin 6. I cos , Pv [ — ) dx = - - [a, 6 > 0; -1 < Re^ < 0]. ж + а i/ж + а Va [a, 6 > 0; -1 < Rev < 0]. oo 4 2 ' 2 [6 > 0; -1 < Rei/ < 0]. 2.17.10. Интегралы, содержащие erf (ip(x))P^(cx). ^(^1 dx = 1 + (a - /x - i/)/2, C + a - /x + i/)/2 fI /1 a + 1 a , n 3 a — fi — i/ 3 + a —/x + i/ 2,2 x з*я i -, -^—, - + 1; -, 1 + 1 , 2~^ ; ~a h [a > 0; Rea> -1; Re/x < 1].
2.17.12] 2.17. Функции Лежандра 1-го рода Ри{х), РЦ{х) 171 v - a) J2, {ц-у-а 2-а Г 1 // + i/ — g [1 — и — а + 1 3 а 3 ^ а б2 1 1 2' 2' 2 [а > 0; Re/n < 1; Re (а - jti) - 2 < Rev < Re (jti - а) + 1] 3. jV^^V^ о t* g + 1 \ + ol-\l-v 1 g-/x + i/ 2,2 1 ' ~~2~; —"—' ^^; ' " _, / g + 1 g , . 3 л x x 3F3 A, -^-,2+1; 3, 1 + 3, 1 +2' 2! a [a, Re a > 0; Re/i < 1; |arg6| < Зтг/4] 4. Т(Ж2 - a2)--/2ea=2 erfc (ЬЖ)^ (*\ dx = J V \ dx = ^ b\T () a/ тгу a \ 2 / a X W/(i^2ju)/4, (i+2i/)/4(a2b2) [a > 0; |arg6| < Зтг/4; -1 - Re/i < Re i/ < Re и < 1]. 2.17.11. Интегралы, содержащие е ж 'АD\{bx)P^{cx). B) [a>0;ReA<Rei/<-ReA-l; |arg6| < Зтг/4]. 2. T2 ^vv^ (=) (M-A + i/)/2, (M-A-i/-l)/2l faV »/»/C+2A~2M)/4,Bi/+l)/4 [a > 0; Re /x < 1; Re (A - /x) < Re i/ < Re (^ - A) - 1; | arg 6| < Зтг/4]. 2.17.12. Интегралы, содержащие J\{ip{x))P^{x{x)). PZ (^) dx = \ a + X 1 LA + !,(! + « + A - M ^ ^)/2, l + (g + A-/x + v)/2\ ; Л + 1, ^, 1 +^; [a, Re(a + A) > 0; Re/i < 1] 2. Ja^-^-*2)-"/2Л+хМЬаОР^ (f) ^ = /f a1"^"/2 J1/2_ [a > 0; Re/i < 1; Re (i/ - /x) > -2] о Г Л" г /l \o fx\ j 1 [п \ ab ix /«6\ . . ab 3. V^J,+l/2(^)P, ( -J dx = -T\ ~ COS — У^+1/2 — +8111 — j v a / c?yz[z \ л j л [a, 6 > 0; -1 < Re и < 0].
172 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.12 4. п 1 = —а — а Т 1 ^ j dx = 'ab Wl/2 I "ir I + «Л/+1/2 I ^ 1 ^-1/2 о5л 2; '^l/z v 2 У ' ^1/Z12 У '^1/z 12 a, 6 > 0; Re/x < 1; -2 Re /x - 1 < Re v < 2 Re /x]. 5. a л Г /л-5/2/ 2 6. аГ 7 (а 7. (ж + а) ; — а со 8. f(x + a)^M a, 6 > 0; Re A < 5/2; Re (A + 2i/) < 3/2]. — | dx = i/ — cos 7Г — т)! m)! [a, b > 0; 0 < Re/x < 1]. — «/2n+i F V2a ) [a > 0]. 9. 10. 11. !ж = л/а b^ sinu7rK2v+i(by2a) ж [a, 6 > 0; Re/x < 1; - Re /x - 3/2 < 2 Re 1/ < Re /x - 1/2]. /_x 7М+2лB/1+3)/4 / f—\ f^.)P» (-) dx = -=^ ^ Kl+1/2 (bj± ) ^a^ >/Ь^ГA-/х + 1/)Г(-/х-1/) +/ \ V 2 / [a, 6 > 0; Re/i-3/2 < 2 Re 1/ < -Re/x - 1/2]. [a, b > 0; Re/x < 1; Re^ - 3/2 < 2 Re v < - Re ц - 1/2]. [2з± = с(л/а + 6 ±Vo- 6); a > 6 > 0; Re /x < 1/2; Re/i/2^ 1 < Re 1/ < -Re/x/2]. 12. I (ж + а)/4(а-ж) / t/z —1/2 3! Л/2-^(Ьл/2а)Л_1/2(Ьл/2а) [a > 0; -1/2 < Re/x < 1]. - dx = ^y a/ 2^ cos 1/7T 1 J - ^-^-1/2 [a, 6 > 0; Re/x < 1; -1 - ReM/2 < Re i/ < Re/x/2]. CO "•I oo 15. [(Ж-а) J x J [a, 6 > 0; Re/i/2^ 1 < Re i/ < -Re/x/2]. х + a J ^a
2.17.13] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 173 x iFi I/; 1-2/х; - 16. j [a > 0; Re и < 1; Re /x - 1 < Re i/ < - Re д]. [a, b > 0; Re i/ > -3/4]. it. ЛЬ) [a, 6 > 0; Re/x < 1; 2Rei/ < -|Re/x| - 1/2] CO 18. [j_M( -) dx = 19. i/ I I U/«Iy .— РП - ) d x = ?) a/ [a, 6 > 0; Refi < 1; -3/2 < Re i/ < 1/2]. oo / \ 20. [ xlj/2Jl/(b%fx~)PIJ I Ж + 22; J [a, b > 0; Re/Lt < 1; Re i/ > -1/2]. dx = 21. 22. [6 > 0; -1 < Re i/ < -1/4; |argz| < тг]. dx = 1^^ ^/2 [b > 0; -1 < Re и < 0; |argz| < тг]. 23. Je*. a) X (n-m)!Bn + l) [6 > 0; -1 < Re i/ < -1/6; |argz| < тг]. [а > 0; те ^ га]. 24. 25. shbx Jr — n \aJ an+1bn 7ГТ7 (n-m)!Bn f 1, 3, 5, ... 11 \o, 2, 4, .../J 1, Л a/2, (a- + ж, 1 + Л, l + ж+Л, A + a — /x — i/)/ [a, Re (a ¦ 2.17.13. Интегралы, содержащие Yx((f(x))P^(cx). L. \x1/2Yv+li2{bx)P1J(^ a Г ab _ f ab\ . ab . — сО8уЛ+1/2[Т)-81Пт (а - /x + i/) Л) > 0; Re/x < 1] aft [a, 6 > 0; -1 < Rei/ < 0].
174 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.14 2. Т [ - ) dx = i/ / ab CO . Ux + a ab\ (ab\Y fab^ 2 J \2 J \2 [a, b > 0; -1 - 2Re/x < Rei/ < 2Re/z < 2]. -) dx = 2j~ YlJ+1/2 \b V 2 J y-"-1/2 V6 V 2 [a, 6 > 0; Re/i < 1; -Re/^/2- 1 < Re i/ < Re/i/2]. 2.17.14. Интегралы, содержащие 1\(ф(х))Р„(сх). . f (x - а)^/2(Ж + a)^ J Z (-) dx = V a J оо 2. J (ж 2a [a > 0; Re /x - 1 < Re i/ < - Re д]. -o))P^ - fe = 0/ [а, 6 > 0; (-l±Re/x)/2 < Re i/ < (-1 =р Re//)/2]. (n-m)!Bn . 1, 3, 5, . . . a>°5 n^m=^0, 2, 4, ... 2.17.15. Интегралы, содержащие К\((р(х))Р^(сх). . J = \^ e~abKv+1/2 2. (f 4 a oo [a, Re 6 > 0]. [a, Re 6 > 0; Re/к < 1]. x W/M_C=Fi)/4,l,+C±i)/4(a6) [a, Refe > 0; Re/i < 1]. 2 / ^^1/2 V 2 5. 6. [a, Refe > 0; Re/i < 1]. i(bV2a) [a,Re6>0; Re/i<l]. [a,Refe>0; Re/i<l].
2.17.17] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 175 oo }(x~a> (x + a a a 8. f (ж + а)м/4(о- = )P?(Z)dx = a J \aJ oo 4 [a, Refe > 0; Re ц < 1]. [a, Re 6 > 0; Re /л < 1]. [a, Re 6 > 0; Re/z < 1]. 10. 11. 1)] dx= 12. f (x + a)<"-3>/2(a - x) J [a, Re 6 > 0; |Rejx| < 2]. 2/1-i,2V(bv^) [a, Re 6 > 0; Re^ < 1]. -»'2e-p/{ 2.17.16. Интегралы, содержащие oo . f (ж + а)/4(ж - a)"M/2[yM^1/2Fi/^T^) J oo J \x + a/ \a/ -г'^Г (M, |) [a, Rep > 0; Reц < 1]. -) dx = атг D^ ; smptir 2 sini/тг [a > 0; Re ц < 1; -1 < Re i/ < 0; | arg 6| < тг]. sin2i/7r [a, Re 6 > 0; Re/z < 1; -1 < Ret/ < 0]. 2.17.17. Интегралы, содержащие f) dx = — cos jwttF oo 2. f J [Re/x < 1; |Re(/z + i/)| < 1; Re (ц - и) < 2; |arg6| < тг] (x2 - a2)-"/2S3€tl/2(bx)P!; (-) dx = + i/ - x)/2 + 1/4, (m - v - x)/2 - 1/4 1/2-x [a > 0; Re/it < 1; Re {x - fi) - 1/2 < Re iv < Re (p - яг) - 1/2; |arg6| < тг]
176 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.18 со . [(ж - a) ^)P^ (-) dx = [а > 0; Re/i < 1; Re (^ - ^) - 1 < 2 Re i/ < Re (д - ^) - 1; |arg6| < тг]. /х + а 'iH-l/2,/ [а > 0; Re i/ < 0; Re i/ < Re/i < 1]. 2.17.18. Интегралы, содержащие • [тг cos */7г + 2 sin i/tt(C + 2 In 2 + ^(i/ + 1))] [a > 0; Re i/ 7^ -1/2]. [a >0; i/= -1/2]. x {Г 1/4,^/2 + 1 1^ з/4, {v + l)/2J 2 + [ 1/4 (f 4, „/2 + 1 J 2 / [a > 0; i/ ^ -1/2]. [a > 0; i/ = -1/2]. Pv [-) Pa [-) dx = \a/ \aJ тг [a > 0; Re i/ > -1/2]. 2a A sin (сгтг/2) cos (i/tt/2) — Л^1 sin (i/tt/2) cos (сгтг/2) 2.17.19. Интегралы от A(x)P^{bx)P^{cx). Условие: a > 0. 2. 1 РЛ-1РЛ-] <** = 3. 4. 2тг sin (cr — i/W + 4 sin a > 0; Л = Г ¦(!/ + !)- ^(G + 1)] 2, O-/2 _ ТГ2 - 2 Sin2 <77Г^'(<7 + 1) [о- - t/, сг + 1/ + 1 7^ 0]. ^2 7x2BG + 1) a Г i / T \ / T* \ P^ ( — ) P^ ( — ) dx = а!(к7 I, in, n), J V a/ \a/ — a /(ra, I, ra, n) = ^,„-— w /(ra + 2, I, ra, n) = 0 [n > I или / — га = 1, 3, 5, . . .], /(га + 2, n, га, n) = — (n + ra)! (n-m- 2)! 2n + 1'
2.17.19] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 177 /(га+ 2, п + 2,т,п) = 4(w (га-га)! [те + к = 2, 4, 6, . . . , к > то]. 5. 6. f х'-пРГ(^)р^(^ J \а/ \а — а 7. j хРГ (§) Р» (f) cte = 0 (Z-ra)I(ra-m)!' (п — т)\ [1 + 3/2 [/ > п]. [1фп±1]. 8. 9. 10 10. — любой многочлен степени j; I + j < те; А; ^ те; / + п = 2, 4, 6, . . .]. рп2"г(^) dx = 0 [I + п = 2, 4, 6, . . .; / ^ п; к - р > т; (/ - п)/2 < р ^ fe]. )! Г Г\ (п _ т)! Х [ / + 3/2 [i, гг ^ т; / > щ т = О, 1, 2, . . .]. 11. [ J а) \а 13. 2/ia + cj) > -1]. [ReM<0]. Г-) — m ~ 2)\ma' а Г ^ J а2 ~~ — а а 15. [ -jJ—j P,m (-) Р™ (-) dx = О — а а ¦ \~ J ал - (п — тIта 16 17. р? (? -га)! "' тA-т-2к- 1)! ПI 2fc X а 19. [ Va2 [О ^ т ^ те; 0 ^ к ^ п]. [О ^ те ^ I ^ щ п - Z = 1, 3, . . .]. [п > I]. [те < I], [fc = 0, 1, 2, ...; т^О]. [I + те = 2, 4, 6, . . . , I ^ те, Аг - р ^ то, I - 2р < те, р = 1, 2, . . .]. ^ = 0 [те^1±1]. 20. =
178 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.19 а 21. [ _L_ Р? (-) Р™ (-) dx = I(k, I, m, n), J у a2 — x2 va/ \aJ I(m — 1, тг + 2k + 1, га, тг) = /(ттг — 1, тг + 2k + 1, m, тг) = /(га + 1, тг — 2/ + 1, га, тг) = О, /(га + 1, тг + 2k + 1, га, п) = (гг-ш)! ' /(га — 1, тг — 2k — 1, га, тг) = 22. (п - т - 2к)\ = O, 1,2, ...]. —/3, 1—/3—д, 1 —/х + i/, I—/i— [a > 0; Re/i < Re/3 < 1 - | Rei/|, 1/2]. -0, р-» + 1/2, 1/2 - р - I/, 3/2^/3 + i/l 3/2 - /3, 3/2 - /3 - /х, 2 - /х + I/, 1 - /х - и \ [а > 0; Re/i^ 1/2 < Re^ < 1/2-Re i/, 3/2 +Re i/]. 1/2 - p, p - fj., 1 - p + i/, -is - 0 ~\ \- — 0, 1 — /x + г/, —/x — i/, 1 — /3 — /x J [a > 0; Reju < Re/3 < -Ret/, 1 + Rei/]. 25. 26. хГ a2/3 sin i/TT ^ [0, 1/2 - 0, -0 - i/, 1 - 0 + i/1 [a > 0; 0 < Re/3 < - Re i/, 1 + Rei/]. p — /x, —/x — i/, 1 — /x + i/ x 2Fl (^ 2 ; %P ; P-w i- [Rep < 1; Re(p + cr + v - fi) > -1; Re (p + */ - <r - /x), Re (p + cr - pt - i/) > 0, Re (p - /x - o- - i/) > 1; 0 < 6 < a ]. хГ CO • Jc a (p- (f (J, (p- /X- l)/2- G, (p- [Rep < 1; Re(p- /х + 2<т), Re (p - /x - 2o-) > 1; Re (p - /x) > 0; 0 < b < a]. sin [A - 2(т)тг/4] p - /x + Ba - l)/4, p - /x - B<7 + 3)/4 p^ 2^^1/2, 3/2 ^p 2b2 -a2 [0 < b < a; Re p < 1; -3/2 < Re <r < 1/2; 2 Re (/t - />) + 1/2 < Re <r < 2 Re (p - /it) - 3/2].
2.17.20] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 179 2Q 29. B|/ + 3)/4, A - 2i/)/4, р - II + B1/ - 1)/4, р - /i - Bi/ - 3)/4 2а2 - б2 [О < b < щ ^3/2 < Re v < 1/2; 2 Re (и - p) + 1/2 < Re v < 2 Re (p - /x) + 3/2]. 1. 2.17.20. Интегралы от хГ r + A - ц + v)/2, г-(ц + v)/2, l-p,l-a + (p- /x)/2 j /i + P 1 — p + С Р + СГ 1 — р, X 4i 1-I/-P 2 ' 2 17 ^P ... l 2 ' . . ,-i/2, a + (i/-p)/2,r + e-a + (l-i/ + G)/2,r + e-a-(i/ + G)/2 ' " ¦ i/)/2, A-p + a)/2 + e, s- (p + cr)/2,1 + (i/ - /x)/2,1 + r- a - (i/ + p)/2 ''/X — l/l — /X + I/ 1 — I/ + G 1/ + СГ 2 ' 2 p-i/ 2^I/'1^°I 2 2 ' p + и b\ ,1 + r-a--^-; -) х Г tin 1 + |/ + Pi, , ^ + (J . 1 + I/ - G -1/2 - i/, a , 1 + r + s-aH —, r + s - a 1 —/х + I/ 1 — р + сг p + cr 1 — ^x — i/ 3 + i/ — p , г*- 2 /х 2 ' 2 , i/ + cr , , г 1 - G + 1/ З-р + 1/ ¦а; -) с/ 2 2 2 ' c/ [r = 0 или 1/2; s = 0 или 1/2; Re (/x + p)/2 < Re a < r + s - Re (i/ + o-)/2, ¦|, |argc| < тг]. 2. о 1/2 2\—p/2/ 2 4. (ж — a j (ж ¦ a2/3 Г1/4 + /9, 1/4-/3, 1/4 + /9 -/x, -l/4-р-иЛ тпЖ L 3/4-^-/x, l/4 + ^-i/, -/x-i/ J [a > 0; -1/4, RejLi- 1/4 < Re^ < 1/4, -1/4-Rei/]. i/^/x + p + cr + l i/ — /x + p — a 2 ' 2 ' [a > 0; Re (/x - i/ - p) - 1 < Re <7 < Re (p + i/ - /n); a2 z| < тг; x(x2 /ж2 + с2 dx =
180 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.21 V + G — fJL + 1/, 1 — /i + <X [Re 6, Re с, Re (v + ст) > 0; Re p, < 1]. 2.17.21. Интегралы, содержащие показательную или тригонометрические функции Р^^ /ЖЛ р1/4 /Ж\ Va/ " Va/ /ар\ B) /ар\ 2р 2 -+1/2 V 2 ) -+1/2 V 2 У а ( 2 2. ч-1/4 cos F-^ж2 — a2 [a, Rep > 0]. ab 2тг Г(F ± l)/4 + u)V(B ± l)/4 - i/) Kl/+1/2 ^T [a, 6 > 0; (=pl - 6)/4 < Re i/ < B ± l)/4]. 3. K (ab\ "-1/2 VY; л /2 2\ —1/4 4. | ж(ж — a ) 7  cos (б^ж2 — a2 a ab [a, 6 > 0; |Rei/| < 1± 1/4]. 0; -l=Fl/4<Rei/<±l/4]. 5. Г - 6. sin p(a —a;)sin IAxPy о L В Q - /x, | - pj sin 2.17.22. Интегралы от жаJx((p(x))Pl?(cx)P?(cx). in p aP^(cosa) [a > 0; Re/i < Rep < 1/2]. [a > 0; Re/i, Re p < 1/2]. гГA - /х + 1/)ГA - /x - i/) 2. afe\ /a6 K^+i/2 I — ) da; = 2 /"^+1/2lT ) ? ( a / V a [a, b > 0; Re^ < 1/2; |Rei/| < 3/4]. a 2 J. f xJo{by/x* - a2 JP"*4 (J) P^ (|) -) dx = - тгГB-/х + 1/ [a, 6 > 0; Re/x < 1, -5/4 < Re i/ < 1/4]. 2 sin 1/7Г тгб2 m 4. 2a sin i/TT 7Г26 [a, b > 0; -3/4 < Re i/ < -1/4]. ab" Y [a, 6 > 0; -3/4 < Re v < -1/4].
2.17.24] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 181 5. 6. [W,,,v+1/2(e"ab) - W^v [a, b > 0; Re/i < 1; ^3/4 < Re v < -1/4]. 2а о fab^ ¦ К Va/J [a, b > 0; Re/i < 1/2; ^3/4 < Re i/ < -1/4]. 2.17.23. Интегралы, содержащие три функции Р„\ [2p ^ 2. -1/4 , — т — четные; I ^ га; га ^ /г — Z — тп ^ тг ^ А; + / + ?n]. -2 + z2 \ пи (л/х2 + ; х X aX — {2и + 3)/4 - /х, A - 2i/)/4 - /i 3/2 -2/х [a, Re^ > 0; Re fi > 1/2; 2 Re ft - 3/2 < Re v < -2 Re/x + 1/2]. 2.17.24. Интегралы по индексу от произведений Рах+^{с) на элементарные функции. Рх(с) dx = 2. 3. 1 /2A - с) ¦К 4« |^SP*e-i/2(c)da: = Q,-1/2(c) 5. sh bx сЬтгж ) dx = 2^3/2sinfe (с + cos бK/2 _ . ch 6ж . ч 6. | —^ Pix_1/2(c)dx = СП 7ГЖ arctg 1 + cos b с — cos b 7. 8. сЬтгж dx = тг V с + cos b 1 arctg с + cos о [|c| < 1]. [c > 1]. [c > 1; Rez > 0]. [6 > 0; -К с ^ 1]. [c > 1]. [c > 1]. [6 > 0; |c| < 1].
182 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.25 _ , cos Ьх ( . 1 9. I —2 Pix-i/2(c) dx= - sh жх ~ 10. = [с > chb]. [c<chfe]. 2.17.25. Интегралы по индексу от произведений -Р^в-1/2(с) на эле" ментарные функции. -I л —(м+1)/2 < 1/2]. 2. 3. dx = 2- + ch b) 2.17.26. Интегралы по индексу от произведений PiX-i/2(c) на специ- специальные функции. shTrx II ix ix 1 thirx I Г + ~2~' ^~ 2 ' 2 2b /cos (be - Зтг/4) \ 7Г \ sin (be- shGrx/2) / Jia,(b) thTra? J Jix(b) 8. - J-ix(b)Yig,(b)]Pix-1/2(c) dx = ^ CO 9. J xthnx[jl(b) dx = i 10. 1 ,/ 2 eibV*Z+2 ж V c + l [с > 1]. [с > 1]. [с > -1].
2.17.26] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 183 11. о 12. ^ хеж 13. 14. ж {a)H\2J ч i 2^) ^iz с) dx = е [z = у а2 + b2 + 2abc; /2c- 2 [с > 1]. с\ < 1]. [с > 1]. сЬтгж 15. iCth7TniC/<ri/a:F)Pia._i/2(c) dx = /П; I 1 /7Г •1 16. Ж '~л лх%о сп рттх = 1Р [с > 1], 1], , /1;1 = -jA еЬс EI (-6 - 6с). = 4/— [A + be - Ь)е~Ъ + 6Bс - 6 + 6с2)еЬс EI (-6 - 6с)] [6 > 0; 1< с < 1]. V 2тг 18. сЬтгж 19. ж Re[Kix+1/2(b)Pix_1/2(c)}dx = Г JisBF) [Ь > 0; -1 < с ^ 1]. сЬтгж 20. J xthжx[Iix{a)Кix{b) - Kix(a)Iix(b)]Pix-1/2(c) dx = о 21. (* xsh7TxKfx(b)Pix^1/2(c)dx = 22. [ xthTrxKix(a)Kix(b)Pix-1/2(c) dx = ^^ • — 2^ T 2a6c < a2 + b2 ' \ 2abc ^ a2 + 62 jj ' [c > 1]. 23. СП7ГЖ [z = л/a2 + b2 + 2abc] a, b > 0; -1 < с ^ 1]. [ez EI (-2; - a - b) - e~z EI (z - a - b)} [z = л/a2 + b2 + 2abc]. 00 24. [ xth<irxKix(be"i/4)Kix(be-"i/4)Pix-1/2(c) dx = —^ 2y^c
184 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.27 25. 26. (i/ -\- ix)r(u ~ i S1/2,ix(b)Pix-i,2(c) dx = = 4у6тг [sin Fс) с! Fс) — cos Fс) si Fс)]. [Rei/ > 0]. 2.17.27. Интегралы по индексу от произведений на специальные функции. 1 ffi чгф VI „ i ,"т 1 г I и 4v 1 Р^ (Л rlry — Л.» L.I1 7Гь6 II — — IJj "у" ь«1/ II I — — LL — IJu I 1 ¦ -I /nl LI С*Х — J \ ^ / \ ^ / 2. ж вкттх Т(у + га J о J l/2 + i/ [1/2-ц-и (с-1)-"- . a 4. 5. 2 + Sh26)- (с2 + Sh сЬ7ГЖГ 2-^ + НГ 2-^-")^-/^^ = Re i/ ^ 0; Re (/x + 2i/) < - . [b > 0; с > 1; | Re/x| ^ 1/2]. chb sh2 b x [(с + 1)(C - Г (I " Г (I """'" ?_„ ch- _ c2 - c - ch 6\< c-1 J ~" \ 2 V ch6-c 1/2 / b ^^2 \ 2 ; с > 1; Re/i ^ 1/2J. [1 < с < ch6; Re/z < 1/2]. [с > chb; Refi < 1/2]. . /i + ix j Г I fi - ixj P^
2.17.27] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 185 + cos М-1/2 ¦ К- ОО 9. ж sh тгпж Г = л/1 - cos _ рЦ-1/2 /_ ч| ^с; Re/x ^ 1/2]. + гж, /х — гж, г/ 10 11. | хГ Q - М + ix^j Г Q - /х - 1/2]. . J 12. JxehTTxT Q - [Jix(b)Y-ix(b) + J-i*(b)Yix(b)] x 13. - l)->l/2Y1/2-lt(by/2T+2) [| Re/xK 1/2]. 14. J хГ Q - 15. Г Г1 - /x (Ь) - У^ Vi/2_^F>/2^T2) [Re/x < 1/2]. /2(с) dx = гл/2тг A - с2)~м/2 х = \/а2 + б2 + 2а6с; а, 6 > 0; |с| < 1; Re/х < 1/2]. . f J 16. жяЬ о с) dx = 17. Ei (-' - 4 > 0; -1 < с ^ 1]. b - be2 - 3c - 1 , + 46c- Г + 2)e5c EI (~b - bc)\ [b > 0; -1< с < 1].
186 Гл. 2. Определенные интегралы [2.17.27 19. ж th тгж (ж2 + 1/4) eh тгж _ BжЬУ 20. xshwnxF I- — fi-\- гх\Г I- — fi — ixj ^Ux(b)P^x_1^2(c) dx = Jn,i, Ji,2 = еЬс EI (-Ъ - be) ~~ еЬ EI (-26) - e^b In —— [b > 0; -1< с < 1]. [Re/i ^1/2], 1; Re/x<l/2], [с > 1; Re/i ^ 1/2]. CO г L. 21. жяЬтгжГ о 4 ) \ 4 = 2^1/27г2^6Fс)A±1)/2^ 7 тгж /1 \ /1 \ 22. ж sh — Г I \i + ix ] Г I /х - гж 1 Kix Kix{b)P?x_1/2(c) dx = ± 1/2]. 1/2]. 23. f хЬЪтгхГ (- - ц, + ix) Г (-- /j, - ixj Kix(b)P?x_1/2(c) dx = 24. J Г Q - M + гх) Г Q - ц - гх) Re [AT (-/х, 6c + 6) [ReM ;C 1/2]. c)] dx = | Г Q - M) x + c)-1/2(l - с)^/2еь(с-1)/2И/м/2,м/2(Ьс + 6) [6 > 0; -К с < 1]. X С оо 25. [ ж sh ^f Г ( ± - /1 + гж ) Г j ± - м - ix ) [ Jix (b) J i \z о [Re/x ^ 1/2]. 26. | zsh Ц- Г Q - Г Q - M - г 27. (гж- [Re/i ^ 1/2]. dx =
2.17.28] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 187 2аЬ {с < ix) Г Q - /i - гж) ^4«)^ 28. ^ xshnxKtx(a)Kix(b)P?x_1/2(c)dx = х (с2 - 29. = \/a2 + 62 +2a6c; Re jla $C 1/2; |arga|, |arg6| < тг/2; | arg (с - 1)| < ?rl. 30. = 2Bм)/4тг3/2(с + 1У1/4(с - 1Г^/2К1/2^^(ЪлД^Т2) [а = b; Re/x ^ 1/2]. '2с - 2 ) [Re/x^-1/2]. dx = : /x± 1/2, I = 1; Re/i ^ 1/2]. [i/ = 2/i, I = 2; Re/i ^ 1/2]. *№P?_i/2(c)ds = [Re/i < 1/2; Re v > 0]. 32. жвЬтгжГ ( - -/х + гж ) Г ( - - fi - ix 33. = 34. 1 , - A /c- 1 - гж, i/ + —, A = 23/2^2|/тг3/2Г ^^^ (с2 - 2.17.28. Интегралы по индексу от произведений Pirx-i/2(p)Pix-i/2(c) на элементарные функции. 1. 2. 3- СП7ГЖ th 7ГЖ P(ix-i)/2(b)Pix-1/2(c) dx = 2Е ch тгж 6-IX-1/2 7Г2(С^6) 6 + 1" /2 = 4. | Ж , ^ P*a._i/2(b)Pi«-l/2(c) б!ж = сЬттж 5. I ж (ж 4 / ch тгж Pix-i/2(b)Pix-1/2(c) dx = 2(fec+l) [-1 < b, с < 1]. [-1 < 6, с < 1].
188 Гл.2. Определенные интегралы [2.17.29 2.17.29. Интегралы по индексу от произведений PiX-i/2(p)Pix-i/2(c) на специальные функции. J 3. | x sh ^ о 4. OG - J da; = da; = ^ Jo2 Q dx = dx = - b). с2 + 1 2с 0]. l<6<2c2-l [6 > -1]- 8. = 9 ч о In - 1 + da; = if а + 6 + с а + 6 ¦ — — cos cos 4тг 2 2 ^а + 6 + с 2 2 [О < а, 6, с < тг; 7г<а + 6 + с<3тг; правая часть — действительное число]. 2.17.30. Интегралы по индексу, содержащие Pi"rx-i/2(b)PfIx_1,2(c). [-1 <b, с < 1] 1/4) 1 /A-Ь)A-с) с) • . J xshnrxF Q - /* + гш) Г Q - /х - ix^J P^-1/2(fe)P^_1/2(c) do; =
2.17.30] 2.17. Функции Летсандра 1-го рода Ри(х), РЦ{х) 189 (с2 - 1)~м/2F - с)" [г = 1; Л = 0; К b < с; 0 < Re/i <: 1/2]. 6. =0 7. =2" [г = 1; Л = 0; 1 < с < 6; 0 < Re и ^ 1/2]. lFr(|-Ax)F + i)^V- • = 1/2; Re/i ^ 1/2]. 8. хЬкжпхГ l--fi-\-ix)rl--fi-ix) Pinx-i/2(b)P?x_1/2(c) dx = I \Z У \Л У [п = 1; Re^ ^ 1/2]. 9. 10. 11. = со 12. I x о B/л-3)/4 р?,< [п = 2; Re^ ^ 1/2]. Hj Г ^ - H F (с2 - с2 - (с2 - [Re/it sC 1/2; v = A - Ь2 + с - iys/2c[b + л/62+ c2-If F - [Re^<;3/4; «/ = C- вЬтгж с+1 (A*-l)/2 OG 13. x sh 7гж Г 1/2]. , \i — ix, и + ггж, v — irx Ptx-i = ттГA - Л - fi)(b2 - 1ГА/2(с2 - l)-"/2(fe + c)x+»-\ [v = 1/2- Л; г = 1; Re A, Re/t < 1/2]. 14. =2A+V/2F(l^A^/i)(C2^ 15. = 2лтг3/2ГB - Л - ос •1 + c2 - V V 62 + c2 - 1 [1/ = A - 2Л)/4; г = 1/2; Re A, Re /x < 1/2]. c2 - yb2 + c2 — 1 [1/ = C - ЗЛ)/4; r = 1/2; Re Л < 3/2; Re /x < 1/2]. 16 1 л гж 1 л гж 1 .1 xp(i-i)/2Wd/2w^ = ' 2 6-lV ^_2А-м)F + 1Гл/ах [г = 1; Re A, 17. = 2FА+1)/4тг Г Q - Л Г Г| - 2А - д) (Ь - 1)"л/2F + 1)-1/4(с2 - 1)
190 Гл. 2. Определенные интегралы [2.18.1 -* \ I/O I С 18. 19. 20. 21. л^/2 V& + 1 nb т fb R 2Л r /fe Л 2 8 " V2 V У " V2 [c > 1]. [-1 < с < 1]. [-1 < с < 1]. dx = /n [с > 1; Re/x ^ 1/2], -1I / = —— J2 I - 22' (I) ^ (I) (f) "-"/< (I)] [¦ - 23. = Jn, = F 2c2 - /4 (f) ^1/4 (f 24. P?x_1/2{c) dx = 2~^ Г Q - Л (b2 - l)-"(c - l)^/2(c + ^^"^^(гб2 + с - 1)^ 2.18. ФУНКЦИИ ЛЕМСАНДРА 2^ГО РОДА Q»(x), Q^(x) 2.18.1. Интегралы от (zm ± xmf Q^(cx). [Re/x < 1/2]. [a, Rei/ > 0]. 2. I x^Qu (|) fe = eewT(a)(a2 - 62)a/2Q;a f^). 3. J \a [a > 0; 0 < Rea < Rei/ + 1; |arg(a - Ь)| < тг]. Л [a > 0; 0 < Rea < Rei/+ 1]. 5. = eeirir(a)(o2 -
2.18.3] 2.18. Функции Лежандра 2-го рода Qu{x), Q^{ 191 6» = /f Г(а)ГA - а 7. J ( [а > 0; 0 < Rea < Rei/ + 1; | arg(a - Ь)| < тг]. Ж2 - |) dx = 2.18.2. Интегралы от xa{z2 ±х2I3Q4{cx). /3-P/2 1-2/3+, [a > 0; |Re^|/2 < Re/3 < (l + Rei/)/2]. [М + i/ + 1, /3 - At/2, -/3 - i//2] x Ц/2, (l-v)/2- [a > 0; |Re/x|/2 < Re/3 < -Rei//2]. 3. [ Ж A±1)/2 (Ж2 - a2)^"^!; (J 4. ж C ± 1 + 2/х + 2i/)/4, /3 + /х/2, /3 - /х/2, C =F 1 + 2i/)/4 - , [а > 0; !ж = —Г , C ±1 + 2i/)/4 + /3 J C =F l + 2Rei/)/4]. 2P + I/ + 1 [а > 0; Rei/ > -3/2; Re^ > |Re/i|/2]. 2.18.8. Интегралы от (ж±а)аF±; а У 2sin/i7r sin (/i — i/)tt -i/, -ii-v + COS /Х7Г [a > 0; |Re/x|/2 < Re^ < -|Re/x|/2- Ret/]. (\IS — в / \/3 — 1 f~\U ( \ J y^UJ ж + a) la — ж) ц/jy I — J ax = X \a/ 2sm/i7r x Г [a > 0; |Re/i|/2 < Re/3 < 1 + Rer/- | Re/j|/2]. , \, M- Q. G) dx = Qv(z+)Qv(z-) (ж — а)(ж — 6) ч с/ [Re и > -1; 2cz± = y/a{c- b) + c(c + b) ± y/c(c- b) - a(c + 6I. Л/(ж-а)(ж-Ь) v« f-a<6<al.
192 Гл. 2. Определенные интегралы [2.18.4 5. 6. 7. хГ a + /x/2, a - /x/2, 1 - a ^ /x/2 + i/ [a > 0; |Re/x|/2 < Re a < 1 + Re (y =F /x/2)]. _ + /i + i/, l + i/, a + /x/2, a-/x/2l 1 + a + /x/2 + i/, 1 + a - /x/2 + i/ J a + ж [a > 0; Re i/ > -1; Re a > |Re/x|/2]. dx = 8. s^a"""^1 Га +/x/2, a - /x/2, 1 - a + /x/2 + i/, I- a- /x/2 + i/l 2 L 1 +1/, 1 - /x +1/ J [a > 0; |Re/x|/2 < Re a < 1 + Re (у ± /x/2)]. sin iVTr / e\a/2 . sin (u г— ( —) r(l + a + i/)P_ _. 2 V1 + d2 ) x — (iOT \a/ a I = b2d2; Re a, Re с > 0; | Re a\ < Re v + l]. dx = 4^v (а2 + 62)B^1)/4РаТ17/2 2V2-./ * V 2 6 10. a2 + 62 dx = еМ7гг^тг aa+l// [Re a, Re 6 > 0; |Rea| < Re 1/+ 1]. 11 f т" 11. JЖ [a > 0; Re i/ > -3/2; Re a > |Re/x|]. [a > 0; Re/x < 1/2; -(l + Rei/)/2 < Re a < 1/2 + Re (/x + i/)/2]. 12 13. 00 . ж (z + x) ! QZ J COS jtiTTZ x Г ¦ iv + 1, a + /x, a — /x, 1/2 — a 1 + a + i/ ^ ' 2Z + X l с!ж = |Re/i| < Re а < 1/2; |argz| < тг]. 2^(^ + ж) , OL — /i, 1 — O + l^ 2.18.4. Интегралы от xa(xm ± amf (b2 ± ; oo 1. f (ж - аУ3^2 - b2)~^/2Qi (y) da; =
2.18.5] 2.18. Функции Лежандра 2-го рода Qu{x), Q^{ 193 2. = e^ со 3. J (ж2 - а2)"" V [О < Ь < щ О < Re/3 < ReO + i/) + 1]. ( J) 1/ 3 ; и + 3/2 [О < b < щ 0 <ReC < Re(/x + i/)/2 + l]. . J x1""-*-1^2 - а2)*-^ ofe-l|, k + l-v-2ul-m/ 2 ,2^-1/2^1 (a\ Го . , . D . o /ol = 2 «!а о (a — b ) ' Qv^u ( т ) [0 < 6 < a; Rei/ > —3/2]. 2.18.5. Интегралы от (х - a)a(b ± xf (xm ± dmyQ4(cx). ^ (^) dx = 2. iM —) dx = a + 6 Q4 [0 < a < 6; Re/z < 1/2]. ja + 2a [0 < a < b; RejLi < -1/2]. 26 [a > 6 > 0; Re^ < 1/2; Re (fj, + i/) > -1]. oo i. J(x- 26 5. I (x - a)a^(x - 26 — | dx = [a>6>0; Re/i<^l/2; Re (u + i/) > -2]. i/+ 3/2 4c2 -6 - a, 2a + ^ + i/ ^ + o/ ^ [a > b > 0; Re a > 0; Re Ba - /u - i/) < 2]. 7 А. П. Прудников, Т. З
194 Гл. 2. Определенные интегралы [2.18.6 6. ? (f [(l + d2)Dc2 + d2(a-6J) = (a + bfd2; a + b > 2c > 0; a, b > 0; Re /x > -1/2; Re i/ > -l]. 2.18.6. Интегралы от Л(ж)е^(ш)д^(сж). CO f x-a"e-»'Qn (*) dx = {-1Гп\Л О.п- J Va/ VP о f j;^) dx = ею Г -1 а + /i/2, и + 1, —I [Re a, Rep > 0]. [а, Rep > 0; 2 Re а > |Re/j|] a^ /i/2, i/ + 1, —v a, Rep > 0; 2 Re a > |Re/i|]. 0; Rei/>-3/2]. гр [а, Rep > 0; Re v > -3/2]. [a, Rep > 0; Re i/ > -1]. [a, Rep > 0]. f(a2 - a,2)TB, (x\ (-J x 2.18.7. Интегралы, содержащие гиперболические или тригонометрические функции и QjJ(y?(sc)). 4 осп ж) аж = у — ГA/ — <т + 1) V 2 sm 2; Re 6 > 0; Re и > | Re cr| - 1
2.18.8] 2.18. Функции Лежандра 2-го рода Qu{x), Q^{ 195 sin b\fx — a i (x 2. Г cosb\/x — a _ fx\ . 3. Д— Qu [-) dx = bJ- 2.18.8. Интегралы от A(x)Jx((p(x))Qii(x(x)). oo 1 [(x^aT^ix + aT^^J (Ьх/я^а)О^ (-) dx = J v \a/ хГ' - ¦ \ i^ ¦ Л, 1 + a ¦ [a, b > 0; Re v > -3/2]. [a, -i/, 1 + A, Л — /j a& 2 ' ' 2 ' ' 2 6 A| ^ + 3/2, 2 - a + (A + /x)/2 + i/ x 2F3 ( 1 + /i + i/, l + i/; 2-a+ ^^ + i/, 2i/ + 2, 2 - a + ^^ + v\ ^ oo 2. Ux- а [a, 6 > 0; ReBo: + Л) > |Re/i|; Re Ba - д - 2i/) < 7/2]. {^j dx = 21-"ем"Л/?о b^1/2 x 2i/) > -2]. [a, 6>0; Re,к> -1/2; 3. | (x - a)B")/4(x2 - /a + с — va — /a + с + л/а — I. \{x-a)a-1{x + a) J 2 J "v^i* у 2 [a ^ с > 0; Re/i > -1/2; Re (/i + 2i/) > -2]. •(J [ - ) d» = 5. f (x - а) J a - /i/2 - i/, a - /i/2 + i/ + 1 \ a + /x/2, a - /i/2, A/2, -A/2 J [a, 6 > 0; ReBa - А- д- 2i/) < 2; 2 Re a > |Re/i| -3/2]. ж -a/ Va 6. a)-»'2J±M±1/2 [a, 6 > 0; Re/i > -1/4; Re i/ > -1]. [a, 6 > 0; Refi > -1/3]. 7. f (x - аГ"-5/4(Ж + a)"/2JM_1/2 (-fJ=) Q4 (-) dx = J \ \/x — a J Va/ b \ cos/itt / 6 T-1/-1 I 7^ i "TV I/ + l/2, 7*
196 Гл. 2. Определенные интегралы [2.18.9 со i. \(x- o)-"-B/4(a! + а)м/2 J1/2_M J [a, b > 0; -Rei/ - 1, Re*/ < Re// < 1/3]. ? (-) da; = ж — а / V а со Г / 2 2\ . j (ж - а ) а со О. J(.'-. ^5/4 T f J +1/2 1-2/х J "^-" ^ VV2a [а, 6 > 0; Re// < 1/3; Re i/ > -3/2; Re (//+ */) > -1]. [a, 6 > 0; |Re//| < 1; Rei/ > -3/2]. жл oo f . J Qn (f 0]. 11 2.18.9. Интегралы от A(x)Kx((f(x))Q^(cx). CO 1. [(ж - a)-"-5/4(x + a)"/2KM_1/2 ( 6 ) Q4, (-) dx = J \ у x — a, J V a / [6, с, Rez > 0; Re i/ > -1]. [a, Refe > 0; Re v > -3/2; Re (//+ i/) > -1]. (f 1. 2. 2.18.10. Интегралы от А' _J: Kf / 2а "\п р 2V+1J [a, Reb>0; (^ + 1) + С + 2 In 2] ¦K I i/—¦— Qi/ - da = x -\- a [a > 0; Re i/ > -1/2]. [ttcosutt - 2C ^41n2 - 2ф(у + 1)] [a > 0; i/ ^ -1/2, -1, -2, . . .]. 3. f г К (J^—^. ) Qv (-) dx = п П Bv + IJ [a > 0; Rei/ > -1/2]. J V^ + a \V^ + a/\a/ 16 2.18.11. Интегралы от — (Л — Л ) Sin 7Г + (Л ¦ 2l ; 2 v Sin 7Г
2.18.11] 2.18. Функции Лемсандра 2~го рода Qv{x), Q^( 197 А = Г (А + А/2- [о, Re A, Re 2/ > 0]. [а > 0; I > ?1; I + те — четное]. 3. = - 4. 5. r. (Z-rc)(Z + n х Л п! [ A/2)! J [а > 0; Z > n; Z = 2, 4, 6, . . . ; п = 1, 3, 5, . . .]. + 1) — ф(и + 1)]A + cos Атг cos i/тг) — тг sin (А — 1/)тг [Л + v = -1; A^i/; A, i/ 7^ -1, -2, -3, . . . ; a > 0], + cos2 f/тг) 2Bi/ 2a [Л = I/; I/ ^ -1, -2, -3, . . . ; а > 0], [Л = -г/ - 1; I/ ф -1, -2, -3, . . . ; а > 0]. a > 0, J [«-(!)] !)]*= > n; / + n = 2, 4, 6, ^n; Z + Ti = 1, 3, 5, 9. 10. = 11. 12. 13. 14. oo 15. J [a > 0]. [A = u; a > 0; Re i/ > -1/2]. + i/, ^-/x + 1/2, ^ + /x-l/2, 3/2-/З + i/l /3, 2-/x + i/, /3 + i/+ 1/2 J [a > 0; 1/2, |Re/x- 1/2| < Re/3 < 3/2 +Re i/]. — j dx = ^ e2^ia2^ir Г/3, /3 + /i, /3 - /i, C ± [a>0; + i/, /i + i/ + (l , C±l)/2-/x + i/ J C ±l)/2 + Rei/]. /3 + 1/2, /3 + I/ + 1, 1-/X [a > 0; COSjLJTT *, /3 - /х, /3 + /х, 1/2 - /х, 1 + /х + i/, /x - i/l 1 + /3 + i/, /3 - i/ J [a > 0; |Re/x| < Re/3 < 1/2]. — j dx =
198 Гл. 2. Определенные интегралы [2.18.12 1/4 + /3, 1/4 - /3, /3 + /i + 1/4, 3/4 - /3 + is, /i + i/ + ll 3/4-/3 + /X, /3 + i/+ 5/4 J [a > 0; -1/4, -Re//- 1/4 < Re^ < 1/4, 3/4 + Re is]. Ал/2 2.18.12. Интегралы от A(x)Jr]((p(x))Q^(cx)Qlt(cx). 1 ( Ь \ f \ f \ 2fl7ri Г + 1. (ж2 - a2y1J2l, I ) Q?_i ( —) Q^ ( —) <^ж = ~~т;— Г J W^2 - a2 J Va/ Va/ 2a |_!~М~ a [a, 6 > 0; | Re pt| < 3/4; Re i/ > -1/2]. oo 2. J(,2-a2)-V.+1(- e— Г1 + . + , 1 2a — J Kp I — ) [a, b > 0; Re и > -1, -5/4 < Re /x < 1/4]. CO [a, b > 0; Re i/ > -1; jRe/i| < 1/4]. 2.18.13. Интегралы от A(x)Px((p(x))Q4(cx). a -t f о fx\ гл (x\ j a 1. \px[-\Qv[-\dx J Va/ Va/ A-i/ ГА/2 + 1, (i/- (A-i/)(A + i/ + 1) 1 2 [a, Re A, Re и > 0]. a Г /ж\ /х\ 7Г — 7Г cos (A — i/)tt — 2 sin Attcos иж[ф{\ + 1) — ф{и + 1)] J Va/ Va/ тг(А — г/)(А +1/+ 1) 3. = - ttBi/ + 1) a 4. f РГ f-) Q™ (-) J Va/ Va/ (I - n)(/ + n + l)(n - m)! [А ф u; a, Re A, Re v > 0]. [A = 1/; a, Rei/ > 0]. [I ^ n; a > 0]. . J^(f)«.(f [a, Re (t/ - A) > 0; Re (A + i/) > -1]. 6. 7. x Г /3, /3 + /i, 1-/3 +1/ /i, 1 + 1/ + /З [a > 0; 0, ±Re^ < Re^ < 1/2, 1 + Rei/]. + — a + к ~ и 3 /i + 1/ — a 3 5 1У+ + ' и — a a1 8. 2 ' ' 2' 2 ' ^' 2 < a; Re^ < 1; Re (^ + A + ц + v - a) > -2; Re (ж - X + fj, + i/ - a) > -1]. ж f) ^ ( 3/2 + 1/
2.18.14] 2.18. Функции Лемсандра 2~го рода Qv{x), Q%(x) 199 2 ' 2 ' 2 +l/' \ < щ Re ж < 1; Re (ж + Л + /х + i/) > -1; Re (^ - Л + /i + i/) > 0]. 9. = ^V^b (а2 - X Р 10. -«/-1/2 [Л = I/; |6| < a; Re^ < 1, Re (ж + ц + 2i/) > -1; Re {ж + *х) > 0]. М^1 /2а /2 < а; Re^ < 1; Re i/ > -3/2; Re Bж + 2/i + i/) > 1/2]. гГ/3 + 1/4, , . . . , у , , . , , , . , [ /3+3/4, /3+1/+ 5/4, v~ /i+2 J [а 12. (^-аУ^р-Г, < Re^ < 7/4 + Rei/]. 13. ' - 1/4, /3 + /i + 3/4, /3 - /х - 1/4, 5/4 - ? + i/l /3 + 1/4, /3 + i/ + 3/4, i/ - /x + 1 J [a > 0; 1/4, -RejLA-3/4, Re fi + 1/4 < Re^ < 5/4 +Re i/]. ¦Г /3 + 3/4, /3 + i/ + 5/4, i/ - /x + 1 J [a > 0; |Re/x| - 1/4 < Re/3 < Re ?/ + 3/4]. —- 1 dx = V8 7Г COS/iTTtt Г /3 + 1/4, 1/4 - /3, /3 + /i + 1/4, /3 - /x + 1/4, /i + i/ + 11 /3 + i/+ 5/4,/3-i/+ 1/4 J [a > 0; |Re/x| - 1/4 < Re/3 < 1/4]. 2.18.14. Интегралы от А{х)[БШЧ)^Х\\рх (cx^Q^icx). I cos <p(x) J = e^ ' a* 1-/3, l-/3±/x, 1-/3TM 1/2 - /3, 1 - /3 + »/, A ± l)/4, -/3 - i/, A т l)/4 [a, 6 > 0; Re/3, Re (/3 q= A») > -A ± l)/4; Re/3 < 1; Re (/3 - i/) < 3/2]. ^ + 5/4j " ^- ) [a, 6 > 0; Re и > -3/4].
200 Гл. 2. Определенные интегралы [2.18.15 3. 26 '" ab к v+1/* ab [a, b > 0; Re i/ > -3/4]. 2.18.15. Интегралы от со . f J CO 2» JxJo( / la/ 6 [a, b > 0; =pRe/i > -1/2; Re i/ > -3/4]. Va/ u \a) b2 i 2i/+ 2 X MTM?I/+1/2(a6)VF±Mjl/+i/2(a6) [a, 6 > 0; TRe/i> -1; Rei/ > -3/4]. CO . f ж(Ж2 - oY- J oo '•J l/2-0,l-0 + v,Ti/2, -p-v, -r a, b, Re B/3 + ?7), Re B/3 + 2^ + »j) > 0; Re/3 < 5/4; Re (/3 - i/) < 7/4]. [a, 6 > 0; Re v > -1; Re (/x + w) > -1]. 2.18.16. Интегралы по индексу, содержащие Q±ia:-i/2(c). 2 -1/2(c) + Q-ix-1/2(c)]dx = ~^ о [c > 1]. 2. i (z _ а _ 5) _ е^ El (-z - а - = л/а2 2.19. ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА Мр?ст(ж) И WPjCT(x) Функции Уиттекера Мр?сг(ж) и WPj(T{x) связаны с вырожденными гипергеометрически- гипергеометрическими функциями\F\(a; b; х) и Ф(а; 6; х) соотношениями MPia(x) = ^,.(Ж) Же(ст \ При некоторых других значениях параметров функции MPi(T{x) и WPj(J(x) сводятся к другим специальным функциям, например -; 2G + 1; ж ), ^ 2G + 1; А kJ тг V 2 Соответствующие формулы см. в главе 7, а интегралы — в других разделах настоящей главы и в [17, 18].
2.19.1] 2.19. Функции Уиттекера МР}(Т(х) и WPj(r(x) 201 2.19.1. Интегралы общего вида. Обозначение: 1. xa^1(ar -xrf^1e±cx/2MPiCT(cx)dx = 17@) [a, r, Re /3 > 0; Re (a + a) > -1/2], о fe=0 [1а^^;/й v-1- *u)k тр-Аг\ ^ Л l p 2. 0 [а, г, Re/З > 0; Re a > |Re<r| - 1/2], Ua(j) = U(j) при а ф n/2, -n/2; 17G) см. в. 2.19.1.1; fc=0 f) [Лд.(о-)см. в 2.19.1.1]. 3. [жа(жг ™аг)/3е^сж/2М/M<т(сж)с1ж = V@) [a, r, Rec, Re^>0; Re (a + r^ - p) < r], "f)fc х((-1Г v/ ' ?//^ac)fc + cr^r/3^aT7^ l Pjfc Г - + a + <j-(l-/j + fc)f) x fc=O " ^ 2/1 \ x Г27 ч - + A - 272)(cr - a + r - rP + rife) 1 x x Г^т2+7+1 ( A - 272)p + ^^ + G2 - 7 - l)(a - r + r/3 - rA;)) (ac)rfe 4. '1 Rec > 0 JJ' yCTG) = V(j) при «г ^ n/2, -n/2; ^G) см. в 2.19.1.3;
202 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.1 " 1п ( .сг-г0-а|г('!+П _Wl-n С» ч Е1^ТГЙГ ^ + «-A -" + ')¦¦ )г(^ + а-A-Ц + к x Г±г ( — p =p (a ^ r + r/3 - rk) ] (ac)rfe [^fe(o-) см. в 2.19.1.3]. x-l [r, Rec > 0; ™l/2^RecF < Re a < Re(r6> + p); r|arg^| < тг], (l-2(j)fc ¦ Г -+а + а — гв — гк Г т —и1^27 ) х х (а — а ¦ Ск((т) = (с; G2 - 7 - l)(a - rO - rk) ) (cz)rk, - p + a) Q - а - G2 + 7 - l)p r /l/2 + а- l 1/2 + a~ 6. г > 0; Re а > | Re a\ - 1/2; r| arg z\ < тг, Г Re (а + р - гв) < 0; | arg c\ < Зтг/2 1 1 Re с > 0 = W{n) ПРИ о- ф п/2, -га/2; WG) см. в 2.19.1.5; /Г 1) + V(n + fc + 1) - V ( ^^ - /9 ± fe ) - 2a + n + Ik fe=0 х Г 7. А;! [Cfe(o-) см. в 2.19.1.5]. = Х@) [г, у, Rec > 0; -1/2- Re a < Re а < Rep + r],
2.19.1] 2.19. Функции Уиттекера МР;СГ(х) и WPia(%) 203 )x A272)p ^7 . / 2 1W -z— + G ^7^ l)(a-r-- ^и = 8. \ + a - p\ f\ - a - G2 + 7 - l)p) ctg r; iargcl < Зтг/21 = X{i) при о- / n/2, -n/2; XG) см. в 2.19.1.7; r \ *-^ k\ \k=0 lira , , 1 , -'• p ± к H cosec - 2 It r ¦ тг-\п(су) - a — r — rAj I x Dk(a) см. в 2.19.1.7. CO 9. f xa-1e-pxr-cx/2WPi<T(cx) dx = У@) [r, Rec, Rep > 0; Re (a + a) > -1/2], Y(j) = c~ar* 1/1 Г A - 272)p (A_27)p_a)/r !_Л 2<т + G2 - 7 - l)(a- A/2 + a + A - 27)p)t(l/2 - a + A - 27)p). УG) = pBa+l)/Br)r [r < 1], [r > 1], УG) при r = 1 см. в 2.19.3.1-8. 10. I xa-le-r*r+c*/*} . J я;в-1 V r [r > 1; Rep > 0; Re (a + o") > -1/2].
204 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.1 11 ra~1-e-Px ±cx'zw (cr)flr — Y (±1) — Y [r, Rep > 0; Rea > |Reo-| - 1/2; |argc| < A±1/2)тг], = Y(j) при r < 1 или при г>1иа/ ^/2, ^n/2; Y{^) см. в 2.19.1.9, 00 12. I xa^1e^px~r^cx/2MP;a(cx)dx = Z@) [r, Rec, Rep, Re (p - a) > 0], о ZG) = c-aT7 ? 1 Г (i + а + a - rk\ Г2^-1 (| + A - 272)^ -a + rk)\ x fc=0 ^ ^ ^ ^ 2, , со 13. f /^^"^/2 со . f /-^-^"^/2^^^) dx = Za(±l) = Z-a(±l) L I Re c> 0 Za(j) = Z(j) при а ф n/2, -n/2; ^G) см. в 2.19.1.12; 2 xL]grl1f + a-r*lr|^ + a- g Fk(a) см. в 2.19.1.12. CO 14. f xa-1e-cx/2l Sln t*r W, .(еж) da: = 1/@) J [ cosbx J 0 [6, r, Rec > 0; -1/2- ?r - Recr < Rea < Rep + r], /I \ Г (- + a + . + Sr + 2r*) x хГ27 U + (l- 272)((j -a-Sr- 2rk) Г^7 +7+1 A - 272)p
2.19.1] 2.19. Функции Уиттекера МР;СГ(х) и WPi(J(%) 205 2/е 2 о Toil _ 7 -1-1 , ((i-27)p-a)/rrl-7 2G + 1 Ll/2-p + ff ^ A/2 + a + A - 27)p)fc(l/2 - o- + A - 27)p). /g - A - 27)p - k\ X L ы Г ^ r ' X fc=O x к X sin [(a - A - 2j)p - А;)тг/Bг)] cos [(a - A - 27)p - к)ж/Bг)] ГBст) } № [г < 1], ¦Лк(а) fe=O 1 2 ~ 17G) при г = 1 см. в 2.19.6.1-3. ч к I а —1 сж/2 15. \ х е ' { x Г [г > 1], а - а + к + 1/2^ / sin [(а - а + к + 1/2)тг/Bг)] cos [(а - <т + А; + 1/2)тг/Bг)] J' [6, г > 0; | Recr| - ёг - 1/2 < Re а < г- Rep; |arge| < Зтг/2], ПРИ г < 1 или при г > 1 и сг / п/2, —п/2; U(j) см. в 2.19.1.14; и (-1I* E fe,fc(i 2r -^-^^^И'1^^I1} 16. IT. 2r & 4г [7 = 1 или -1; г > 1; Afe(<r) см. в 2.19.1.14]. [6, г, Re с > 0; Re а > | Re сг| - Sr - 1/2; 17СТG) см. в 2.19.1.15]. z| < 7Г VG) = nz- -, Re с > 0; -1/2- Re о- < Re a < Re p, о / ч ¦ .2 ГBа) z > 0 / 1 / 2 , ч /о \fe zrT7 V ^^ Г ("i + а + а - г - г к) Г27" (- + A - 272)(ст - а + г + rfe)) x х Г-72+7+1 f A _ 272)р + 71Z7 + G2 _ 7 _ 1)(а _ r _ rfc) j (M)r* -272)р-
206 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.1 ф ( | + A - 272)(<т -а))-ф (A - 272)р G2 - 7 " 1)« ) " Вк(<т) = 18. \xa-\^ - р + ffj Q - а - G2 + 7 " cosec [(а - о + к + 1/2)тг/2] r > 0; |Recr| - 1/2 < Re а < -Rep; |argc| < Зтг/2, 19. xa~1t о 20. 1п г, Rec> 0; Re а > |Re<j| - 1/2, rl argzl < ^ ^ > 0 , 1/G) см. в 2.19.1.17| > в 2.19.1.17[ J = W@) [r, Re 6, Rec>0; Re (а + а) > -1/2], -1) ^ + A^212){а^а^г^гк)\Г^ 2cr + 1 х у, A/2 + а + A - 27)p)fc(l/2 - а + A - 27)p)fc р ^а - A - 27)р - fe\ u_^7c - 7 - D(a + r + rk) ) ( - A) - 72 ^7 2 (\ + A - 272)(<т - a) 1 (l-272)p и/G) = - ЬBа+1)/Bг L^272)p- - 7 - 1)а - In -г [г < 1] A-2с7)л | - Р при г = 1 см. в 2.19.8.1-2. 21. \ ха^е±сх El (^ter) х = W(±l) [г, Re 6 > 0; Re a > | Recr| - 1/2; |argc| < A ± 1/2)тг, 14^G) см. в 2.19.1.20].
2.19.1] 2.19. Функции Уиттекера MPt<r(x) и Wp,a(x) 207 22. I erfc (bx = X@) 2b k=0 A/2 + a + A - 27)p)fc(l/2 - + a + a) Г2-2-1 Q - 27> G2 - 7 - XG) при r = 1/2 см. в 2.19.9.2-6. 23. x (a - о + к 2r 4)f 24. erfc argc| < Зтг/2 j X(j) см. в 2.19.1.22 . 25 [r, Rec> 0; Rea > |Recr| - (r±r +l)/2; |arg6| < тг/4; ХG) см. в 2.19.1.22]. со . f xa~1e~cx/2 J^(bxr)MPjG(cx) dx = Y@) [b, r, Re с > 0; Re (a + i/r + cr) > -1/2; Re (a - p) < 3r/2], V2 A7)""а)/г 1-7Г 2a+ 1 1 f, A/2 + a + A - 27)p)fc(l/2 - a + A - 2
208 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.1 /r + a-(l-27)p-*)/Br) - а + A - 27)р + fc)/Br) + 1 < 1], 2>iB« + l)/Br) ^ ~ ! I П(-2а) 2r а/г x Г УG) при r = 1 см. в 2.19.11.1-2. CO 6, r > 0; Re (a + i/r) > | Re <r| - 1/2, I Re ^ [Г > 1], - а + <т - 1/2 - А;)/Bг) + 1J' < 3r/2; |argc| < Зтг/2 11 Rec>0 /J' Уо.G) = УG) при г < 1 или при г > 1ша ф п/2, -п/2; УG) см. в 2.19.1.25; 2a+1)/Br) " k - 1)! о /п ^ ( (г) fc=0 lzbn 27. F/2)" + l|--ln-rM±- [r > 1; ?Jfc(<r) см. в 2.19.1.25]. 21/rf ;, 1/2 +a - a [0 < г < 1; Re О 0; Re (а + иг) > |Re<r| - 1/2; |arg6| < тг]. СО 28. [ xa-1e-bxr-cx/2Il/(bxr)Mp,a{cx) dx = 17@, 0) [г, Re 6, Re с > 0; - Re (ur + сг) - 1/2 < Re а < Rep + 1/2], (^lI" 2 25 G2-7-2)тг(е -e)/ V+e)/2 ^ A/2 + a + A - 27)p)fc(l/2 - ct + A - 27)p)fc A;! (l-27)p-a x Г"? +?+ 2?lV2-3--r- 6 / V2 ' -/ V2 - e2 + A - 2e 2ч i^r + A — 27)p - a + к [r < 1],
2.19.1] 2.19. Функции Уиттекера МР;СГ(х) и WPi(J(%) 209 х Г1 (- - а + i/r - rk) - 272)р [г > 1], = С/@, ±1) 29. 30. 31. 1 xa^1ebxr±cx/2KlJ(bxr)WPia(cx)dx = 17A, ±1) о г г > 0; Re а > r| Re i/| + | Re a\ - 1/2; | arg 6| < Зтг/2, = U(±l, 0) Re с > 0; Re a > r\Rei/\ + | Re ст | — 1/2, 32. 33. Re c> 0 'е, т) см. в 2.19.1.28 1 . Re (а - р) < г/2; | arg 6| < Зтг/2 Refe > О U(e, т) см. в 2.19.1.28 1 . Re (а + р) < г/2; | arg c\ < Зтг/2 Re О О U(e, т) см. в 2.19.1.28 1 . = f/(-l, ±1) [г, Re 6 > 0; Re а > r|Rei/| + |Re<j| - 1/2; |argc| < A ± 1/2)тг; С/(е, 7) см. в 2.19.1.28]. а-1 -сх/2 ( ?„(Ьхг) \Kv{bxr) Mp,a(cx)dx = Uu< 72 -7-2 /-2 2,7 A/2 + a x Г 2г ^2 2r А1 7^M A + 1/)* J V*C*r [и ф т, -т; т = 0, 1, 2,
210 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.1 1 \~2 (m-fc-1)! Mm) \ т). Ак{и) = (Ц^ 2 v 2 ^7 " Г( -¦ (a - a - 2rk - rm) 1 + 2гф I A - 2j )p - ,ч\ , 2cH ( &2 X^ frm + 2r&)) + 2 In =p—^ 7 о V 4cir x Г-7"+7+1 '-2 [m = 0, 1, 2, ...], ')(<7 — a + ur — 2rk) J x x (^lI^ [r > 1; 7 = 0 или 72 = 1 и (j 7^ n/2, -те/2], 2\ f ^2 1^ I V(^fc-l)!o n\ Л_пA+7)/2 2Дс Ba + l)/Br) 6 / 1 7Г f 47ГГ А;! (- ,n^B*(-n/ -^ k\(k + n)! ф(к 2r _ J_ ~ 2r 4-im^|((-D^a^ l/2\ [n = 0, 1, 2, ...; 72 = 2r ХГ 35. r > 0; Re а > |Reo-| +r|Rei/| - 1/2; |argc| < Зтг/2, 0; 3r/2 Re 6 > 0 Uv,<tW) cm- в 2.19.1.3: |r, Re с > 0; Re а > |Re<r| + r|Rei/| - 1/2; |argc| < Зтг/2, { > \, Uv,cr{l) см. в 2.19.1.331 3. I xa^1e^(bxr+cx)/2M^4bxr)MPja(cx)dx = V@, 0) [r, Re 6, Re с > 0; -Re(i/r + a) - (r + l)/2 < Re а < Re(/xr+ /э)],
2.19.1] 2.19. Функции Уиттекера МР}(Т(х) и WPj(r(x) 211 j -(е2+е)/2 w ^ A/2 + а + A - 27)р)»A/2 - о- + A - 27)р)> ^ f , Х 2^ jfcj ' I 2 + " " fe=O V 1 - 27)р - а + — а + гу — rk ) I x 2 / G2 - 7 - 1) (а - ту + rk + ?)) , г A - ГB - ? - 2 х/2 - A/2 _ 2e) x - 272)(<т -a + kr + fir(l - 2e))\ Г4^1 (A - G2 " 7 " 1)(« ~kr- e, 7) при r = 1 см. в 2.19.24.2-7. 37.
212 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.2 Va(e, 7) = V(e, 7) при г < 1 или при г > 1 и а / тг/2, ^п/2; V(e, 7) см- в 2.19.1.36, 2i/ + l (I) foe; 1±п ~ g ~ 2 s2^s jju.r(l — 2е)—- скр1—-е х2а + п + 2к + 1 „гТ-'И^-' x Г 38. ' - а - rk - /xr(l - 2e) - 2s)) [r > 1; Ffe(<j) см. в 2.19.1.36] . 39. l/(bxr)Wp,a(cx)dx = Va(l1 ±1) = V-a(l, ±1) \ r > 0; Re а > r\ Re i/| + | Re <r\ - (r + l)/2; | arg 6| < Зтг/2 , /Ее(а + р + | I Rec>0 4bxr)WP;a(cx)dx = W(-l, ±1) = VLff(-l, ±1) 0; |argc| < Зтг/2 1 ), Me, 7) см. в 2.19.1.37 [г, Re 6 > 0; Re a > r\Rei/\ + |Recr| - (г + 1)/2; |argc| < A ± 1/2)тг; ^(е, 7) см. в 2.19.1.37]. 2.19.2. Интегралы от xaWP} a(cx). ею L. [ xa~1WPf(r(cx)dx = Ap}(r [Rec > 0; Rea > |Recr| - 1/2], 1 1' а а, - а сг, ар, Г(C - 2p + 2«т)/4)Г(C - 2p - к Ф о], [Re a > -1/2].
2.19.3] 2.19. Функции Уиттекера МР;СГ(х) и WPia(%) 213 2.19.3. Интегралы от хае WPi<r(cx)f L. [ xa~1e~pxMPta(cx)dx = Ia 0 [Re(a + a) > -1/2; 2 Rep > |Rec| или Re (p - a); 2 Rep = Re с > 0], Bp - c)« Г - + a P/2 -+p + a,- + a- 2а + l)Dp2 - P/2 [Recr >-l/2], I-p-2a — • _ p+5/4 - р)ГBа Dр+1)тгг/2 1/4/2 -1], [Re (cr - p) > 0] . 2. 3. 2c + l, p-a, l/2 + a + (jj l/2 + p + (T, 1/2 - a + <j J [Re с > 0; -1/2- Re cj < Re a < Rep]. cB±1)/4 x . J = 2Г ^ [2 Rep > |Rec|]. [2 Rep > |Rec|]. 5. Jo = 1 [1/2 <(J(cx)dx = Ja [ReBp + c) > 0; |argc| = Зтг/2; Re a > |Re<r| - 1/2], ¦ a + c, 1/2 + a - cl ^ /^1 , л. , , 1 , л. _. , , Л. Л. с^ 2р^ 1 - O--1/2 С / COSCT7T P/2 X OIp-1/2 2p /4р2 _ С2 2c Recr| < 1/2]
214 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.4 Ji/2-p = - р + <т)ГA - р - (т)с1/4Bр - с)р~1/2Bр + с)~1/2 х х Р; 2р-1/2 2с J^p^l/2 — 2' 7. f /-V« J [|Re<j| - 1/2 < Re a < -Rep; |argc| < Зтг/2]. [Re а > |Re<r| - 1/2; Re с > 0]. 8. 2.19.4. Интегралы от ж"е "е/( ж) ( [Re с, Rep > 0; Re (a + <т) > -1/2], G - 7 - 1)<* х а + а, | + а - а; |, 1 + а 1Ua:+1./JrA+<1+'>I*I(i+<1-JTl)('-<1-i -7 +7+1 (/у2 _ 7 _ 1)а _ 1 a + l,a-a + l;^, | + а + G2 + 7 - 2a - 2A - 27)р) х , I ; 1-а + A-27)р, 1-а
2.19.4] 2.19. Функции Уиттекера МР;СГ(х) и WPi(J(%) 215 2. 0 fp2 X GXP ( я~ г f T°-ip-v\f*-* Чж e о со *• J 0 oo т It* p l-p-a-e)/2 p-a-1 i— [e = 0 или 1; Rec, Rep > 0; Re a > -(l + e)/4]. 4 c/ ГDст + 1) a ^4a [Rep, Rec> 0; Re a > -1/4]. (pt} (It = /4 f~ 11 [Rep > 0; Rea > \Ша\ - 1/2; |argc| < A ± 1/2)тг; A(j) см. в 2.19.4.1]. (cx)dx = Б@) [Rec, Rep, Re (p - a) > 0]. xl1-" 4 2+A^272)(c7^a) 7 - A-: l a' 2 72 ^7 x^a(§ G2 + 7 - l)p; 2*7 + 1, | + a + a; (-l)(^)/2cp ) ± - -¦ I CO 4 0 oo 4 = B(±l) Re с > 0 J [Rep > 0; |argcj < A±1/2)тг 8. dx = 0 [Rep > 0; |argc| < Зтг/2]. oo 9. f X^ 0 10. 11. [Rep > 0; Recr > -1/4; |argc| < Зтг/2]. [Rec, Rep > 0]. 4G [Rep > 0; |argc| < Зтг/2].
216 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.5 J о 2.19.5. Интегралы от A{x)e±cx/2l ^ "^1. 1. {xa~1(a-xf~1e±cx/2MPi<r(cx)dx = 1/@) [Re с, Rep > 0]. [a, Re/3 > 0; Re (а + а) > -1/2], 3, i х 2F2 Q Т Р + (г, \ + а + а; 1а + 1, | + а + C + а; ±ас\ + 12аа 2. [a, Re/3 > 0; ¦ 1)е±ас/2Мр±C/2}(Т+C/2{ас) [а, Re/З > 0; Recr > -1/2]. 4. а . l ха~г{а - [а, Rep > 0; Re <т > -1/2]. (cx) dx = U(±l) [a, Re^ > 0; Re а > |Retr| - 1/2; 17G) см. в 2.19.5.1]. 6. 1/2- p + a, 1/2- p- a [а, Re/3 > 0; Re (/3 + p) < l/2-|Re<r|]. 7. ж о P-/3-1/ = V@) c x — p + сг)тг м^^^Сас) +со8(р-(тOг1Ур-^<г(ас)| [a, Re/3 > 0; Re (/3 - p) < 1/2- |Reo-|]. [a, Re/3, Rec> 0; Re (a + /3 - p) < 1], 7 - 2 о - 7 tt ^^ J В (/3, i - a - /3 - a ) x /3, 2<j, 1/2- а - j3 + a 1/2-р + о-, 1/2-а+ (т ; | + а + /3 - G, 1 - 2ст; ±ас
2.19.5] 2.19. Функции Уиттекера MPt<r(x) и Wp,a(x) 217 2а+ 1 - 272)(<т - а - /3 -а- в-( 2 + -1)---а-в + а--а-в-а- (-1)^ 9. 10. 11. 12. 13. 14. ) dx = @-1)/2-<г ~C/2Г [Э, 2G + 1, р + (Т -/9 + 1/2] -ас/2.,- / ч [а, Re^, Re с > 0; Re (р + ст - C) > -1/2]. = V(±l) 0Л > 0 eac/2Wp+/3/2)CT±/3/2(ae) [a, Re/5 > 0; Re (/3 + p ± a) < 1/2; |argc| < Зтг/2]. dx = [x + z) [а, Rec, Re/3>0]. [a, Rec, Re,0 > 0]. [Rec > 0; -1/2- Re a < Re a < ReF> + />); |argz| < тг], В (I + a + *, в - a - o - I) x x 2F2 - + а + a, - + a - G2 + 7 - l)p; 2a + 1, - + a - в + a; (- + 7v/2^ а а-9-а+1/2г [2<7, 1/2 + а - а, в - a + a - 1/2] L в,1/2-р + а J x 2F2 -Tp-ff, 7 + a-^; - + а - Й - <r, 1 - 2<т; x ГA/2 + а - 0 + <т)Г2'у2^1A/2 + A - 272)((j - a + 0)) x - 272)p 0, 0 - а - G2 + 7 ^ l)p; ^-а • G2 -7 - !)(« - 1 + сг, - - а + \G^+7)/2^
218 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.5 15. 16. 17. {x + zf dx = cV-Wz*-°/*r [2" + 1>° + Р-'- V2 x a + n+1/2 X + Z :) [Re с > 0; -1/2 < Rea < Re (в + p) - 1/2; |arg^| < тг]. ~cx/2Mp,a(cx) dx = (^1)п+1ГBст + 1)Г ( - + p - a) Z-+-+1/2 x x e -cz/2T^P;Cr(cz) [Re с > 0; -те/2- 1 < Re <т < Re (p - те - 1/2); |arg^| < тг]. Ж" ге±сж/2РУр,<т(сж)с1х = И/(±1) (ж + zH 18. 19. X ——е~сж/2Мр Acx) dx = X@) x - у [ReOO; Re (в + p) > 2; |argz| < тг]. "^; 1^2ct; ±cy [у, Re с > 0; -1/2- Re a < Rea < Rep + 1], tg (a + а)ж х 2<т + 1 + <J + l/2 1 \ /1 х\Г[--р-<т\г1--р + * -l)p; |- a + a, |- a - <r; (_i 20. 21. - у „(еж) dx = X(±l) • 0; Rea > | Rea| - 1/2, TTz ± Re с > 0 ?Гсж/2МР5СТ(сж)б!ж = У@) П j См. в 2.19.5.191 J [г = 0 или 1/2; Re с > 0; - Re B<т + i/^ i/) - 1 < 2 Re a < Re Bp - i/) + 2r], УG) = (±i/I^2rcA^l/)/2^o:z1/2^rr(a + i//2 + <т) x 2+G ^7^1)x Dp) Г1 Г[|-р-(т] x
2.19.5] 2.19. Функции Уиттекера МРуГТ(х) и Wp,a{x) 219 /I \2г 2г —а —1//2 гщ I 1 + ^ , , п (±1/) с ; z Г I Ь а + сг — 2г I 27 — 1) х V х 3F3 \2г + |, 2г - |, 2г - а - | - G2 + 7 - 1)р; 2r + i, 2r - а - а; 2Г ~~ i + G - G2 + 7 " 2г - 2а - I/ - 2G - 1, а + G + 7, - 2r- v- l)/2l 7 \ -2г, 2G X 1 A - i/ =F ")/2 - a + cr, 1/2 - p + cr x з^зA/2 + a - G, 1/2 + a + i/ - <т, 1/2 - <j - jp; l-2cr, 1 + a + - - cr, aH cr - 22. Г яа-1 [r = 0 или 1/2; | arg c\ < Зтг/2; 2| Re a\ - Re A/ =p ") - 1 < 2 Re « < 2r - Re {u + 2p), УG) см. в 2.19.5.21]. [r = О или 1/2; Re с > 0; Re Ba + v =p v) > 2|Re<j| - 1; У G) см. в 2.19.5.21]. 24. [г = 0 или 1/2; Rec > 0; -1/2 - Retr < Rea < Re (p =F "/2) + r], ZG) = 2±ucr-a^v/
220 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.6 2а -, А l/ 4l 1, г - a - G - | ^ + сг + 1, ™ + <т - G2 + 7 ~ 1)р; —« А А а + ff _ Г) -* <н-(,,+1)/2-«7-ггГ2а-2<7 + 1, G -а - A ± 1/)/2 + Г, 2G ^ [ ")/2 + а-а-г, 1/2-р+а - г; - + а - а, - + а - а, - - <т - 7Р; 3-1/ а - сг - г, 25. 26. [г = 0 или 1/2; |argc| < Зтг/2; j Recr| - 1/2 < Re а < г - Re(p± w/2); ^G) см. в 2.19.5.24]. г = 0 или 1/2; Re с > 0; Re а > | Recr| - 1/2; Z(j) см. в 2.19.5.24]. (ж + О1ПС TI ol ±cx/2 Г Sinbxr 1 f MP)G(CX) X 2.19.6. Интегралы от x e ' { , r >< Ж1Г ; : >. [cosfex J [ Wp a(cx) J cosbx 2p 2p 2a+ 2cr + l 2a ir(a + cx+5l(COs[Ba + 2<J + 1Or/4] 1 1_ ^c^ 2 ' °" + ' 2 ' ~ 62 x X 4F3 2a + 2G + 3 2a+ 2cr+ 5 2. 2G + 3 2p + 2G + 5 , 3 3 c2 , , , ; ,7 + 1, * + -, -; -- [6, Re с > 0; -1 =F 1/2 - Re a < Re a < 1 + Rep] p „(ex) dx = U(l) [6 > 0; | Re cj| ™ 1 =F 1/2 < Re a < 1 ™ Re p; | arg c\ < Зтг/2; S = -G+l)/2 0fJ' 2 / V 2 3 + 2a-2<7 l + 2a^2cr 3 +2a+ 2(j l + 2a + 2<r 4 ' 4 1 + a + P7 r I 2ba+P sin [(a + p)ff/ 3 - 2p + 2a
2.19.6] 2.19. Функции Уиттекера МР;СГ(х) и WPia(%) 221 ^ 2р ^ 2<т 3 - 2р ^ 2<т 1 + Р 1-g-p, _\L_ . , 2 ' 2 ' с2 ' ± G + 1) 3- 3 З^а^ ' 4 -p 62 5. жа e cx/ < J \cc CO Чж e 0fJ' хГ x Г^ [6, Rec>0;Rea>|Reo-|- 1 + 1/2; U(j) см. в 2.19.6.2]. Мр,а(сж)с1ж = V@) [b, Rec > 0; - Re cj - E + l)/2 < Re a < Rep + 1/2, S = G2 - 7 - 1) (а + I A - 272)p + CA-27)P x 2F2 ( -+o 5. 6. oo r. j x 8. 9. , i 2a+1 1-Ba-2(i-27)p){8inja-;;-f^;>x I. cos (a- A-27)р)тг ; l-a + (l-27)p, i- 6' Rec' i2 \ [6, Rec > 0; Re cj > -1/4]. , ^ (еж) dx = y^ ( - Л p+o—1 V ^^J W(p_3or)/2,(p+<7)/2 ( ^J [6, Rec>0; Re (p + ex) > -1/2]. wp [b > 0; |Recx| - IT 1/2 < Rea < 1/2- Rep; |argc| < Зтг/2; VG) см. в 2.19.6.4]. [6, Rec > 0; Rea > |Recr| - l=p 1/2; VG) см. в 2.19.6.4].
222 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.7 10. 11 f та^г( II. J X t )dx = 2 b > 0; Re < = W@) >'-{;}] [6, Re с > 0; - Re a - 1 < Re a < Re p + 8/2, 8 = - - G2 + 7 " _l/2-p-<7 ¦cr + l,a + crH—; (—1) ч/2А2а-2^ + 1^1/2-с/ COS (« - аOГ 1 p Г 2G, 2d - 2tt - Г ^ H a+ cr x - 272) [a- a+ A- ¦G -7-1) «- о х 12. 13. [6 > 0; \Rea\ - 1 < Re a < Rep+ 5/2; |argc| < Зтг/2; W(j) см. в 2.19.6.11]. ° [6, Rec > 0; Re a > |Re<r| - 1; 1^G) см. в 2.19.6.11]. 2.19.7. Интегралы от хае±сх/2 In <p(x){ ™p1<rifX\\. 1. f xa~1e~cx/2\nxMpia(cx)dx = Л@) [Rec > 0; ^l/2^Recj < Re a < Rep], - 272)(<r - a x 1-0 i -+Q+O-) +^ ( ™+A^272)(<j-a) )-t 2. f жа^1е±сж/2 1пжИ/Р!<т(сж) с!ж = A(±l) 0 Г R [Re a > Re с > 0 G2 - 7 - l)«) x G2-7-1)а) -lncl J . [ x*-xe~cx J 1 ( In \x — z p,a(cx)dx = V@)
2.19.8] 2.19. Функции Уиттекера МР;СГ(х) и WPia(%) 223 Re с > 0; -1/2 - Re a < Re a < Re p, = ±- -2G a + a + l/2 [1/2 — р — 1 Г sec (a + сг)тг1 ¦<т\\ tg{a + a)n j х 2F2 ( ^ + a - G2 + 7 - l)p, а + а + i; 2<r + 1, а i; z| < тг >0 ± 2<т 1 f sec (a - c (a - <т)тг 1 , a - o- + |; a 1/2J L \2 x 3F3 Л l, l - а - G2 + 7 - l)p; 2, | - а + <т, | - а - 2G + 1 + (т + 1/2 Г| ^ x Yl - 272)(<т - a x L Q + а + Л + ф Q + A - Recr| - 1/2 < Rea < -Rep; |argc| < Зтг/2, I |Rec > 0; Rea > |Re«r| - 1/2, j 2.19.8. Интегралы от ж"е±сж/2 EI (-Ьж)( Мр! ^11. см. в 2.19.7.3 см. в2.19.7.з|. 1. [ ха~1е~сх/2 EI (^6ж)МР)СТ(сж)с1ж = 14/@) [Re 6, Re О 0; Re (a + a) > -1/2], WG) = -1 * Г ^2а x 3F2 B (-1I - p - «г 1 1/2-p +о- 1 , a - ±
224 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.9 ею 2. f ха^е±сх/2 EI (-Ьх)Wp, a(cx) dx = W{±1) 3. 2.19.9. Интегралы от [Re6 > 0; Rea > |Re<r| - 1/2; |argc| < A ± 1/2)тг; WG) см. в 2.19.8.1]. 1 \ / 3 с x В ( 2c- + 1, - + p - <т ) 2Fi ( 1, 2<т + 1; - + p + a; 1 - - [Reс > 0; -1/2 < Rea < Rep+ 1/2; |arg6| < Зтг/2]. „I erf (by/a dz ж ) I f Mo о-(сж) I erfc Fvа ± ж ) J [ И^р, ст (еж) J 2fe2 _ Х2^[1, j-p; ^; 462с Ь2 -с) [2 Rep > | Rec|; |argb| < тг/4]. 2. -, ) с!ж = — 1 + 2' a" + 2^7 -, 2o . f 4. j с/ж = [Re с, Recj > 0; |argb| < тг/4]. 5. Re (а + сг) > 1/2; | arg 6| < тг/4, erfc 1) J Re (fe2 - c) > 0 или 6 = л/с , Re (a - p) < 1/2 \ Re с > 0 J Re (a + p) < 0; | arg c| < Зтг/2 1 |argc| < Зтг/2 s 1-7 a + a, 1 + a - a, i; , | 2^) ± G 9'2~a~/9'
2.19.9] 2.19. Функции Уиттекера МР}(Т(х) и WPj(r(x) 225 [Re с > 0; Re а > |Recr| + (тЗ - 1)/4; jargfe| < тг/4; ХG) см. в 2.19.9.5] 7 7 7- J erfc [Re О 0; - Re a - C±l)/4 < Re a < Rep+ 1/2; |argfe| < 26 Г(а + a + 1)Г2"г2-1G2 + A - 272)(o- - а)) - 272)p + 72 - 7 - i + G2 - 7 - l)a) x , a + <r + 1, a - a + 1; J4 + a + G2 + 7 - l)p; T(-l x SF2 Q + a + A - 27)p, i - a + A - 27)p, i - a + A - 27)p; 1 - a + A - 27)p, I - a + A - 27)p; T(-lO^ | + A - 272)(^ - а) OG 2 Г Ta~ 1. jx oo - 272)p + 1-p- + G2 - 7 - l)a) x a + G2 + 7 - , p-<T + 1/2 [Reс > 0; -1/4 < Recj < Rep + 1/2; |arg6| < Зтг/4] erfc (Ъу/х)Мр, а(сх) dx = ca+1/2 [4G + 2 p-a] ( 1 n 3 3 , с [Re с > 0; -1/2 < Re ст < Rep; |arg6| < Зтг/4]. |Reo-| - C± l)/4 < Re а < 1/2 - Rep; |argb| < B =p l)?r/4; |argc| < Зтг/2; БG) см. в 2.19.9.7] 8 А. П. Прудников, Т. 3
226 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.10 ¦{; 12 [Re с > 0; Re а > |Recr| - C ± 1)/4; |arg6| < B =р 1)?г/4; ?G) см. в 2.19.9.7]. / / \ Г <г-1/2 -я!/Bа) Л О-Ж /Ж\ . ж ' е 'к ) erf \ Мр а ( — ) аж = J \уа/^а/ а 13. i [2<т + 5/2 2.19.10. Интегралы от жае §=¦ 2; ас-аб2) [а > 0; Reo->-1/2]. 1. [ xoc^1ei±b2^2c)x/4DlJ(bv^)MPja(cx) dx = 17@) Re (а + (г) > -1/2; | arg 6|< B ± 1)тг/4, Re с, ReBp- 2a - i/) > 0 Re с > 0 2. + 1) х хГ7 х 3F2 ( - + <т - G2 + 7 ^ 1)Р, - + а + а, 1 + а + <т; 2G + 1, + а + ст; А 4 (-„) х а _ ст; ±(_ 1/2-р+о- - а - 7р, I + а - а, 1 + а - а; 1 - 2а, Ъ±1 0) 6" ы_72[ 2а+ 1 A - 27> + -L-^-L + (^ - 7 - 1) (a + '- ) ) x . J 4<т v 2с 1 [Re с > 0; Re ст > -1/2; Re Bp - 2сг - i/) > 1; | arg b\ < Зтг/4].
2.19.11] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T{x) и 227 3. р - сг - 4. [Re с, ReBp-2(j- и) > 0; Re сг > -1/4; |arg6| < Зтг/4]. 2+2c)x/4Dt/(b^)Wp,a(cx)dx = U(l). Г Re Ba + 2p + v) < 0; | arg c| < Зтг/2 1 Re a > | Re a\ - 1/2; | arg 6| < B ± 1)тг/4, I oo 3. j Ж С argc| < Зтг/2 /' U(j) см. в 2.19.10.1 6. xp 0 7. [Re с > 0; Re a > | Rea| - 1/2; |arg6| < B ± 1)тг/4; U(j) см. в 2.19.10.1]. b 2G + 1, 1/2- p- [Re c, Re Bp + 2a - v) > 0; Зтг/4]. 1. :) [Re с > 0; Re v < -1; Re a > -1/2; |arg^| < тг]. 2.19.11. Интегралы, содержащие е±сх/2Jv[bx±r^ Mp^^cx^ Bp+2cr + l 2p+2<j + 3 Ьа+а+1/2 i i г ' 2' a+ 2' {J + 1' ™P V+3/2Bp + 2g + 1) Г(t/ + a + <r + 3/2)/2l X 4J 6a+a+i/2BCT + 1) [(jy - a - a + l/2)/2J 2p + 2<t + 3 2p + 2<t + 5 2a + 2v + 2<r + 3 2a - 2v + 2<r + 3 3 -, -;-- 4 4 4 [6, Re с > 0; -1/2- Re (i/ + a) < Re a < Rep+ 3/2]. 2. 2a 2a + 2i/ - 2a
228 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.11 5 ' а - v + р 2 '2' с2, 3-2р + 2<т 5-2р + 2<т 5-2р-2<7шЗ-а-1/-р ^- 3. [ xa~1e~cx/2 J4b^)Mp,a(cx) dx = У@) [6, Rec> 0; -Re(i//2 + <r) - 1/2 < Re a < Rep+ 3/4], G2 - 7 - 1) (а + V- 2 f G2-7-2) 7 " x 2F2 Q + ct + A - 27)p, i - ct + A - 27)p; + A - 27)p - ^ - a, 1 + A - 27)p + ? - a; (^1O+1 ^ 4. 2G + 1 p - a + 1/2 5. [6, Re с > 0; -1/2 < Re a < Re (p + i//2) + 1/4]. 2a 6. [6, Re с > 0; -1 < Re i/ < 2 Re (p + a) + 1/2]. exp I [b, Rec > 0; Re p > 1/4; Re <r > -1/2]. X <r) > 0]. 8. X exp ( -^- 1 D c/ 'а'-2' (^) [b, Rec > 0; Re (/> + <r) > -1/2].
2.19.11] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 229 q [ B*-2р-3)/4-сх/2 j 9. j ж е Лзо 1/2 X ехр (-— ) /fp-<r ( — ) [6, Rec> 0; Re (За - р) > -1/2; Re (<т - Зр) < 1]. 10. X exp ( -— j Ip+a f — ) [6, Rec> 0; Reo- > -1/2; Re Cp + a) > -1]. [6, Re с, Recr > 0]. . erfc Mj 13. жа е сж J о \b > 0; Re(a + i// 14. [6, Rec, Recr > 0]. - 1/2, 15. J 16. Ь2 [6 > 0; |argc| < Зтг/2; Ret/ > -1; -1 < Re (i/ ± 2<r) < 1/2- 2 Rep]. -1/2 [6 > 0; ReO±3<r), Re (p ± <r) > -1/2; Re Cp ± <r) < 1; |argc| < Зтг/2] / b2\ /b2\ X exp I -— 1 M(I/+p±3<r+i/2)/2,(i/-p±<r+i/2)/2 I ^ J [6, Rec> 0; Re i/, Re (i/ ± 2cx) > -1]. oo 17. f x( X exp (-g- [6, Rec > 0; Re(-p±3<r), Re(-p±a) > -1/2]. СХЭ 18. f xa~1e~cx/2Jv (-^ ) Mp Л J \V% J 0 [6, Rec> 0; ^5/4^Recr < Re a < Re(p + i//2)], l/2-p-Gj , a + a H —, — h a + a;
230 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.11 A - 27> G2 - 7 - (-l)) - - x 19. f жа^1е J f 4^ > 0 20. [ xOL~1e 0 [6, Re с > 0; -1 - Re (д + i/+ 2<т) < 2 Re a < 2 Re p + 1], A - x 4F4 + 1 + 1 ; (-1I хГ 2p(l- -) - 2a, 7 + 1 + G2 + 7 - *а B7-1)p x_7 a - p(l - 27) -a + p(l-27) 4F4 Q + p(l - 27) - a, 1 + p(l - 27) - a, i + a + p(l - 27), ^ - a + p{l - 27); - 27) - a, - 27) - a, - 27) - a, 21. ) dx = W(±l) Re с > 0
2.19.12] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 231 ~ 2\ 22. f x~1/2ecx/2Ei(-cx)J2a(bVx)Mp a(cx) dx = - (\ j с х о ' ^ ' хГ . °" + exp ( — ) Г ( - + p - <r, ^O(-+p + <j, — ] [l/2 + p + (jJ V4c/ V2 4c/ V2 4c/ [6, Rec> 0; Re p > -5/4; Re cr > -1/2]. {M a(CXI 1. 0 [Rec > 0; | Re a\ ~~ Re v ~~ 1/2 < Re a < 1/2- Rep], ^a / гзт^тгЧ1 Г-i/, l/2 + a + i/ + <7, 1/2 + a + i/ - cr, -a - i/ - pi 7Г У - + 1/, -+а + гу + ст, - + a + v - <т; l + 2u, 1 +a +и + p; 1 zl Л А c^a „ [i/, 1/2 + a - i/ + cr, 1/2 + a - i/ - cr, i/ - a - pi 4- "y Г x 72^2- L 1/2-p + cr, 1/2-p-cr J x 3^2 [- — ь?,- + а — и + а.^ + а — v-(i] 1 — 2i/, 1 + a — i/ + p; 1 7^1/2Г(а + i/ + p)Y2l-1{l- 7 + A- 27)(i/- a^ р))Г^2т Q- A- 27)(a 2. \xa~1e~cx/2IU' -v -I- iy -I- /t 1 /9 4- a- 4- i/ - лг1 4F3 2. о -2a + 2i/ + 2cr 3 + 2a- 4 ' 4 ' 2 ' 2 ' ' ' ' < [Rec > |Re6|; Re (a + i/) > |Recr| - 1/2]. oo I. [ жае^F+с/2)ш/|/(&ж)М/))СТ(сж)с1ж = 17@, 0) 0 [Re 6, Rec > 0; - Re (y + cj) - 1/2 < Re a < Rep + 1/2], ч Г ( 2 . y-^.L^r 2G + 1 (e 7) = — sini/тг Г 7 / + A - 272)(. - a - 1/)) Г-2+7+1 (A - 272)p + - + u, - + QL + U + ®, - + a + A A A с
232 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.12 Q + A - 272)(сх + „ - а)) х ( - 272)р + ^р + G2 - 7 - 1)(а - *>) х з^2 ( « — *Л - + а — v + а, - + а — и — а; 1 — 2i/, 1 + а — i/ + G2 + 7 — 1)р; (~1)( г 2b с -B6) A-27)р-а 1/2 - p + <r -*2+*-и A - а) ) х х з*2 Q + <т + A - 27)р, | - ^т + A - 27)р, A - 27)р - а + |; 4. ^a~V~6 о 5. 1 + v + A - 27)р - а, 1 - и + A - 27)р - a; (-lI"^* +е)/2^ ) . (bx)Wp,a{cx)dx = 17@, ±1) со 3. f xa^1e^cx ею 7. f xOL~1e~b^E~cx/2h 1ш 26 2' ' 'с [Re с, Re(c^ b) > 0; Re (а + i/) > |Re<r| - 1/2] X а - 1 + [Re с > 0; Re (а + и/2) > |Reo-| - 1/2; |arg6| < тг]. (еж) dx = D@) [Re 6, Ree > 0; -1/2 - Re (a + i//2) < Re а < Rep+ 1/4], F/2)" _ Г A + i/)/2 + а + <rl _x_72 Г 2G <J +1/2 x Г -7+7+1 5 Л 5 ' 2 - а — a; 1/2, 1/ + 1/2, и + 1, 1 + a + i//2 + G2 + 7 - l)p; (- [l + i//2 + a + G] х_72Г 2.7 [ 1 J
2.19.13] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 233 2-Р- ¦» A - 272)р + /2 ^ f У + 1 ¦G -7-1) <* + —^— I 1 х х 4F4 , , 1 + + а + (т,1 + + а<т; 3/2, и + 1, и + 3/2, C + i/)/2 + а + G2 + 7 - 1)р; (-1)(t2+7)/V/c) - G2 - 7 - \ 2 " * + A " 27)р, j + A " 2^р " а' 4 + A " 27)Р " а; ^^ "« + (!- 27)Р, 1 + ^-а + A- 27)р, ^у^ - а + A - 27)р, 1 - | - а + A - 27)р; (-1O^ ) • rp,a(cx)dx = D(±l) о. X О Re с > 0 2.19.18. Интегралы, содержащие J Лит X О х Г Ки(Ъх ) j [И/Р)<т (СЖ) — \ A / [Rec> 0; Rea > |Rei/| + |Re<r| - 1/2; 0G) см. в 2.19.12.1]. /2a - 2i/ + 2<r + l\ (i±i)/2 /2a - 2i/ + , c2\ [2 2'°^2' , /2a + 2i/ + 2(j- V 4 :F X 4 О» tl/ ti/ О 2а - 2i/ + 2(j + 1 2cr + 3 2p + 2cr + 5
234 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.13 -p-7(a-i/)J \Г[2~Р + (Г)Г\2~Р~(Г i + 2a-2u + 2a 3 + 2a - 2v + 2a 1 + 2a -: - 2а 1 + а - 7 + 7Р а - 5 ' 2 ' + 4 -IP. 1 -¦ 2а + 2i/ - 2<т 3 + 2а + 2и - 2а 4тг [ тг 1 \6 X 4^3 - 2р - 2<т 3 - 2р - 1 а + и Г 2 4 , 1- Ь2 ; Тс2) -2) B 2% [ 7Г j \by a^^ + P^)[A^2pJ^^ 3-2p^2<j 5~2p~2(T 4. 5. 6. x- 4 ' 4 2' 2 ' ~ Rec > 0; Re a > |Rei/| + \Rea\ - 1/2; |argc| < Зтг/2, i "^^ |>, ^G) см. в 2.19.13.3| ,0) Re 6 > 0 0]. 7. 8. х2*(р,р + 2<г;2* + 1;-^ са^1ж(ь±с/2)ж^Fж)И/Р!<т(сж)с1ж = С/A, ±1). oo f ха^гх^ъ±с/2)хKv{bx)Wp,(T{cx)dx = t/(-l, ±1) 3 /2 /Re(« + P) < V2; |argc| <Зтг/21 717 ' 1 Rec>0 J' U(e, 7) см- в 2.19.12.3 .
2.19.13] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и 235 [Re b > 0; Re a > | Re u\ + | Re<r| ~~ 1/2; |argc| < A ± 1/2)тг; U(e, 7) см. в 2.19.12.3]. СХЭ 9. I x^p^/2e{c/2^b)xKa(bx)Wp,(T(cx)dx = 0 -p, 2a-p; -2p; 1 - ^) 10. —p, 2a — p, ^2cr — p 11 1 2 ^'2 °" ^'2 [Re 6 > 0; Rep < -2|Reo-|; |argc| < Зтг/2]. »..>ft,».(.+.)>,R.,i-..{'>^<;;."<}]- FG) = \ 7Г J 27ГСа 1-.2 Г 2а + 1 ) + <7 + ly '1 - I/ - x x Г -7+7+1 x 2F2 " 7 " a- a; 1- „, 1 + a- "-+ G2 + 7- l)p; (-l -a--||x A - a + a, -^- + Q-O-; G2 - 7 - 1) (a + ? &\ \ _ 72-7-2f-2cos(a - A - 27)p - i//2)ff 4c) j 4A^L (a - A - 27)p - |) 2F2 (i хГ tt-fl- - 27)p, i - a + A - 27)p; - 27)p + |; T(-lO^ ) • "•I , ф ( 7Г \ 2 COS I 2G 4 J 7Г 2 / ^' sin \^(T - p 12. [2v? = 3a ± i/ +p + 1/2, 2^ = 2<r + n-l/2 1/2; 6, Re с > 0; Re Ba ±v)> -1; -1/2 < Re cj < 1/4 +Re (p =F i//2)]
236 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.13 13. 2cr+ 1 [6, Re с > 0; те > -1; Re <т > -1/2; Re p > -те/2]. (l-2n)/4(cx)dx = "•¦;г[<,-агл>(-?)М?) > = p + is , 2ф = p - и + — ; 6, Re с > 0; Re v > — ; Re (y - 2p) < n \. 4 4 4 14. 2(р = 1/ - р - За, 2ф = - + v - р + <т; Re 6, Re с > 0; Re ст > ; Re (i/ + 2а) > -1 • JLO. X t 0 Re i/| + 2| Re o-| - 1; |argc| < 3^; °5 Re (a :' L FG) см. в 2.19.13.10 . 16 I ха~ге~сх/ lb. j* e 17. rLe о / U [Re 6, Re с > 0; 2 Re a > | Re v\ + 2| Re a\ - 1; FG) см. в 2.19.13.10]. CO 18. f жае^сж/2/м [6, Re с > 0; Re p > -1/4; Re <r, Re (v + <r) > -1/2]. г(сж)с1ж = G@) [Rec> 0; (|Rei/| - Re (/x + 2<r) - l)/2 < Re a < Rep+ 1/2], 2(l-27)p-2a г Г(м + ^)/2 + a - A - 27)р, (М - «/)/2 + a - A - 27)р, 2A - 27)р - 2а + 1] [ 1 + ( )/2 + A 2) 1 + ( + )/2 + A 2) J 1 + (/х - i/)/2 - а + A - 27)р, 1 + (ц + и)/2 - а + A - 27)р х 4F4 Q + A - 27)р - а, 1 + A - 27)р - а, | + а + A - 27)р, | - о- + A - 27)р 1 + A - 27)р -а- ^±^, 1 + A - 27)р - а - ^у^, 1 + A - 27)р - а + + ^, 1 + A - 27)р - а + ^; (_1)(^
2.19.14] 2.19. Функции Уиттекера MPj(T(x) и Wp^{x) 237 19. [ жа~1 cx) dx = 2.19.14. Интегралы от xae±cx/2 Н„ 1. f xa~1e~cx/2Hu(by/x)MPi<r(cx)dx = #@) W ,a(cx) J > 0 J GG) см. в 2.19.13.18 [6, Rec> 0; -Re(a + u/2) ~~ 1 < Re a < Re(p - i//2) + 1/2, Rep+ 3/4], l7j ~ 1 G2 + A - 272) (a - a - U-)) -G2+7)/2 - 272)p + i + G2 - 7 - 1) x ^; |, | + 1/, G2 + 7- х Г 4с i-Л 2а + 1 [1/2-р + а | - а + A - 27)р) Г (l-¦?-« + (!- 27)р)] 2. x 2F2 ( i + a + A - 27)p, 1 - ff + A - 27)p; ,2 1+ ^ + A - 27)p - a, 1 - V- + A - 27)p - a; (-lI^ dx = 3. x~1/2ecx/2M2a(bV^)Wp,a(cx)dx #G) см. в 2.19.14.1 . p ;_ f _ [b > 0; -3/4 < Recr < -Rep; Rep < 1/4; |argc| < Зтг/2] oo . J + 1) > 0; Re. > -3/4; |argc| < 3./2]
238 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.15 2.19.15. Интегралы от А{х)е±сх/2Рп{ах±г - b)\ а 1. \ха~1е~сх/2Рп (— -l) Mp a(cx)dx = (/@) [а>0; Re (а + а) > -1/2], 1/2 ^p^J (а + ст , ^ + а + <7, -+а + <т; 2<т + 1, - A A A A (-1I- -<гг 2<т 1/2 - р + о-J A/2 + а - G)п+1 1 1 ~ 2а, ^ + а ~ а + п, - + а ~ а ~ щ (- 2. \xa-1e±cx/2Pn(—-l)wp,tr(cx)dx = ° [а > 0; Re а > |Recr| - 1/2; (/G) см. в 2.19.15.1]. а 3. [^"^"^Рп ( — -1) MPj(T(cx)dx = У@) [а>0; Re (а + ст) > п - 1/2], 1 1 X3F3 I - + a- (j2 +7- l)p, ™+a \ z! zl (-1I zl 3 cr, - + a + cr, 2<j+ 1; zl г! 1 1 3 - - cr - G2 + 7 - l)p, - + a - cr - n, - + a-<j 4. - l со . f xa~1e~cx/2Pn f — -1 ) Mp / dx = V(±l) [a >0; Re a > \Re a\ + n ^ 1/2; V(j) см. в 2.19.15.3]. [a, Rec>0; Re (a - p) < -n], x 3F3 j - + a+ a, - + a + a, - + <j^ (j2 + 7^ l)p; 1 + 2cr, - + a + a^ n, - + a + G + n; (_1) 1-G2+7)/2 A/2 - a - + а-G,- + а- cr, -- cr™ G +7 - l)p; 1- 2<7, - + a- cr - n, - + a- cr (-1 \ С1 — 7) /2 ~1) ас 'Bп)!, .1^т2Г Ll/2
2.19.15] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 239 -а-п))х A - 27> + -^ + (у _ 7 _ 1)(а + n) j х , —гг, у —1)р; ~2п, — — а~(т~п, — — а-\-о — щ (—1 А Л . J ха-1е±еи/2Р„ f ^ - 1J WP,.{cx) dx = W{±1) Rec>0 7. f ха~1е~сх/2Рп (— - l) MPia(cx)dx = X@) [a, Rec, Re (p - a) > 0], a C/2 + a + a)n ^ x 1/2 - p - o-J (-1/2 - a - cr)n+i -I <> -I О О x 3F3 f - + a + cr- n, - + a + cr + n, - + a- (j2 + 7- l)p; - + a+ a, - + a + a, 1+ 2cr; a \ (_1}« 2a«- 3 W' 2 1 3 n' 2^ a~ ^2 +7 ~ 1^>Р; 2 3 ' 2 1/2 ^p + G2 - 7 - l)a) x x SF3 (-n, n + 1, -a - G2 + 7 - l)p; 1, | - a - a, \ - a + a; (-lI-('y!'+'y)/2 8. 9. <0; |argc Rec > 0 [e = 0 или 1; а > 0; Re (а + <т) > -(e + l)/2], (g/2-<*-g)n ^ |-n, 2<т + 1, а Л + 2(_ 1}п ааа
240 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.15 Ю. 11 1 - 2G, а - а + ^^ + щ {~lfl~1}/\ V (ет\ Нт — У(+Л\ " р, О" \'-'«-'/ t*X 1 ^_I_ JL^ [е = 0 или 1; а > 0; Re а > | Re<r| - (е + 1)/2; У G) см. в 2.19.15.9]. о ZG) = "caJ/ P2n+e (J- I МР)?Т(сж)с1ж = Z@) ? = 0 или 1; а > 0; Re (а + <т) > п + (е - 1)/2], X 1/2 - р - а\ ((е - 1)/2 - а - ст)те+1 —^-, - + а - G2 + 7 - 1)р, а а + G + 1, а + <т + -, 2<т + 1; (-lI" т'?;/"ас ) + а-. „l/2^p + crj((s-l)/2^a + cj)n4 : — СГ — П - Л е -; Л 12. 13. 1 + а — сг, ™ + а^сг, 1 — 2сг; (—1) 7 ас = Z{±1) [е = 0 или 1; а > 0; Re а > | Re ст| + п + (в - 1)/2; Z(j) см. в 2.19.15.11]. /ж" [е = 0 или 1; а, Re с > 0; Re (а — р) > —е/2 - п], X 1/2 - р - cjJ (A + е)/2 + а + <j)n+i ., 1 . . е 1_ гт -Х- п *?/т —I— 1 • / -| \ 1 — ? « 5 —« *---<*-: х Г-^+^+1 ( A - 27^)р + ^^ + Ga - 7 - 1) (а + п + ^ 1 х ° /2 -п, -- - а - п - G ¦
2.19.16] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 241 - — е — 2n5 — а - а — п, — а + <т — п; (—lI 14. f xa-1e±cx/2P2n+e (\ -) Wp,a(cx)dx = 15. | ха~1е~сх/2Р2п+е (J^) Mp,a(cx) dx = V@) [e = Оили 1; a, Rec > 0; Re (a - p) < e/2], -2a a + a - n, - a + a + 1, a + a + |, 2a + 1; (-lj^ 2, nn a-a+l/2 l/2-.т 2G (g/2 + a - G + 1)» x 3F3 I — ha-cr-n, ^^^^ ^^' 9 + a^ a+n + 1; a- cr + 1, a- cr + -, 1- 2cr; A-7)/2 N ; / ^. /а /а_ ,_, 2. e *' 2 i 9' 2 16. ± j Wp,«(cx)dx = V(±l) g =: 0 или 1; a > 0, < 2.19.16. Интегралы отА(ж)ершЬп(а + к) a J ' ' 0 схэ 2. жа^ e^ +c' ^xLn{bx)MPi(J{cx) dx = см. в 2.19.15.15] (Л + 1)/2; а > 0; Re Л, 2 Re ст > -1]. [Re 6, Rec>0; Re (а + сг) > -1/2], - п;
242 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.17 2 ( - +« - Х- а, - + а- о-, -- о- -7Р; 1^ 2ст, - + а - Л - а - га; (-lI^7^ г та^1е{^ь±с/2)/х Т,х(Ьт)\? (гт) Нт — W(+1) J [Re 6 > 0; Re a > \Recr\ - 1/2; |argc| < Зтг/2, И/G) см. в 2.19.16.2]. 2.19.17. Интегралы от/е"Мгг 7* ^ч [е = 0 или 1; Re с > 0; Re (а + а) > -(е + 1)/2; | arg 6| < тг/4] П, а- <т; -+е, |+ G2- 7- 2. ! + о- + A - 27)р, | - о- + A - 27)/9, ^-^ - а + A - 27)р + п; 1±? - а + A - 27)р, 1 - а - | + A - 27)р; (-lI^ (cx) dx = Х(=Ы) 1. [е = 0или 1; Rea > |Recr| - (е + l)/2; | arg 6| < тг/4; |argc| < A ± 1/2)тг, ХG) см. в 2.19.17.1]. 2.19.18. Интегралы от Л(х)е±сх/2С^{ах±г - Ъ){ Мр>°^х\\, {Wp,a(cx)j р^{сх) dx = \ - -2а [а > 0; Re A, Re (а + а) > -1/2], А + 1/2, « +а+ 1/21 J Х J /1 9 1 х (Л - а - (т)п з^з ( « + °" - G + 7 - !)Р> 2 1/22-' \+ V2, а - . + 1/2 1/2 — р + сг, а + Л — сг + n + 1 + g _
2.19.18] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T{x) и 243 1 2 1 77 - <7 - G + 7 ~ 1)Р, - + а-<т51 + а-А^сг; z z 111 _|_ _|_ \ _|_ 1 _|_ \ /" -| Ч 1 — 2. 3. dx = a > 0; ReA > -1/2; Rea > |Re<r| - 1/2; 1/G) см. в 2.19.18.1]. [a > 0; ReA > -1/2; Re (a + <x) > те - 1/2], l x BA)n3F3 j - + a - 4. CO . f J а+ А+ сг + 1 1 1 ?, - + а + <т - п, - 1 -) x - + а + 2А + <7, 1 + а + А + а, 2G + 1; (-1I ( 2<7, Л+ 1/2, «^G^^ + 1/ 1/2 — p + <7, a + A — cr + 1 x 3F3 I - - a - 7P, - + a - cr - n, - BA)n а 1 - х 2 - + а + 2А - с, 1 + а + А - сг, 1-2G; (^1)A т)/2ас Zi Ж/2ОА — -1 Wp,CT(c^)dx = y(±l) \ X J [а > 0; ReA > -1/2; Re а > | Re а\ + те - 1/2; V(j) см. в 2.19.18.3]. /2т \ '^ ( — - 1 ) Мр аГсж) Aж = W@) \ a J [а, Re с > 0; Re А > -1/2; Re (а + А - р) < 1/2 - п], Г 'l/2-р-аП 1/2-а-сг ]BА)„(А-а-а)вх 1 1 2 '2 '2 ac + 1/2, <7-а-Л- а-Л-<7, - + а - сг, --сг- - 2<7, 1 + а-Л-G-п, -G2+7)/2
244 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.18 1 2 -2Л-га, --Л-га, --а-Л-га-G + 7 - 1 — 2Л — 2га, 1 — а — Л — <х — п, 1 — а — Л + с со в. [ /-'(г - а)х-1/2е±сх/2С* ( — - 1 ) И/р,ст(сЖ) rfa; = W(±l) 7. f ха^1(Ж^а)л/2е"сж/2С^ ( — - 1) Mp,a(cx)dx = Х@) [а, Re с > 0; Re Л > -1/2; Re (а + Л - р) < 1/2], ! l [\/2-p-ay[ 1/2-a-a x BЛ)„ (-+a+2\+a) 3F3 (-+a+a - n, -+a+2X+a + n, -+ a- (~y2 + 7 - 1 + а + Л + <т, - + а + 2Л + a, 1 + 2ст; (>1IЧт2+7)/2ас п! L1/2 - р + ^5 i/2 - а + {J + п -+«-^-«, -+а+2Л—сг + п, -— сг— 7Р5 1+а+А— <т, -+а+2Л— сг, 1— 2сг; "G2+7)/2 г27 - 272)р + \ + G2 - 7 - - Л - n, i + Л + п, ^а-Л^ . [ Xй-1 (х - а)х^1/2е±сх/2С^ (— - 1 ) Wp а{сх) dx = X(±l) { V ж / ' l/2{Ee(a + ^^ { 9. ^ха^(а - x)x^1/2e^cx/2GL+e ( J| J Mp> a{cx) dx = У@) 0 [е = 0 или 1; а > 0; Re Л > -1/2; Re (а + о-) > -{е + 1)/2], Х Г[ V+л\" ^ га + e/t+ 1 |Г72 I 1/2 -2р - а I (I ~ " ~ ^п
2.19.18] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 245 1 _/ 2 _г) 1 2 17+7 Jp, « -+- ex -+- 2, <7---га; А 1/2-р + <7,а- 1 1 (? _ Q + <Л lJ V2 а + <7)„ х з^з ( 2 ~ а - 7Р> а - а + -, 1 + а - а; а-сг---п, 1 - 2<т, 10. 11. /^ J Wp,a(cx) dx = Y(±l) [e = 0 или 1; a > 0; Re Л > -1/2; Re a > \ Re a\ - (e + l)/2; УG) см. в 2.19.18.9]. p,a(cx) dx = Z@) [e = 0 или 1; а > 0; Re Л > -1/2; Re (а + о-) > n + (e - l)/2]. Л е +1 - + о- - G2 + 7 - 1)Р> -—; А Bп а + А + <т + i, 2,7 + 1; (-lI- «т, А+ 1/2, a-a- 1/2-р +a, l + a + о ~ °" ~ 7Р5 « - сг - п ^, ; 12. 13. а Г 1а ° [е- СО J ж (ж-а ) dx = Z{±1) [e = 0 или 1; a > 0; Re Л > -1/2; Re a > | Re <r\ + n + (e - l)/2; ^G) см. в 2.19.18.11]. p a(cx) dx = U@) [e = 0 или 1; a, Re с > 0; Re Л > -1/2; Re (a + Л - p) < A - e)/2- n], Л + 1/2, -е/г^а^А^^т^ | ^ « ^ <r) 3F3 Q + cj - G2 + 7 - i)p, ^ + « + ^,i + « + ^; Л + 1/2, а-а- Х-е/2-п, 2a] (e
246 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.18 - — сг — 7Р, - А А — 2сг, l + a-a;l-- + a ?2n+e (l-e)/2-a-A-n -G2+7)/2 ^ (l - 72 + A - 272) (^ - | - a - A - n)) x f A - 272)p +I + G2^7^l)(a + A + |+n 1 1-е 2 A — n, a ^ A — n — G + 7 — l)p, 1 — A — e — n; 1 - A - e - 2n, l-a-\-a---n, 1 - a - \ +a - - - щ (-if-^+^^t 14. = 0 или 1; а > 0; Re Л > —1/2, < I Re с > 0 15. argcl < Зтг/21 >, t/G) см. в2.19.18.1з] '- ) MPj(J{cx)dx = V@) J [e = 0 или 1; a, Re с > 0; Re A > -1/2; Re (a + A - p) < (e + l)/2], l/2,?/2-a-\ a + A - CTJ 3F3 — + a-G-n, --o--G +7-1) -^ + a + A-<j + n; i+a + A-cj, l + a + A-^т, I - 2a; (-l)A^7)/2ac Zi A - 272)p + \ + G2 - 7 - 1) (a + A - |)) x - A - n, - l)p, i + e + n;
2.19.19] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 247 16. | ха-\х - a)x-1/2e±cx/2cL+t (Jl J Wp,«{cx) dx = Re с > 0 j ' V(j) см. b2.19.18.15J 2.19.19. Интегралы от Л(х)е±сх/2Р^ 1/)(аж±1 - 1I Мр' а^СХ\ 1. [а > 0; Re/i > -1; Re (а + а) > -1/2], -^a + i/^ 2^7 + 1, | + а + /х + (т + п, i Г 2G, /X + П + 1, а - G + 1/2 1 L1/2 - Р + ^5 « + j^ ^ <J + n + 3/2j 1 11 - - G - р7, - + « ™ ^, ^ + « ™ ^ Л А А Ч, 1 1-2G, - + а + /х-G + га, - 2. [a > 0; Re/z > -1; Re a > |Rea| - 1/2; ^/G) см. в 2.19.19.1]. 3. [Жа(а^ж)^е"сж/2Р^'1/) f— -Л J \х J [а > 0; Re^ > -I; Re (a + а) > те - 1/2], п\Х 2 -J (а + ц + и + а+^Л В /1 1 Ч х з^з ( - + а - G2 + 7 - 1)Р> - + а + ст-п, - а+м_<т+1/2с1/2_а г l/2 + a-a-r.l /3 l 1 3 - - о- - 7Р? - + а - G - n, - -G, | + а + /х - G, 1-2G; (- 4 \та~1(а — т^Р±сж/2рО'") [ _ _ 1 \ Ш (гт) dr — X(+l) J Vх о
248 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.19 5. УG) = [а > 0; Re/i > -1; Re а > |Re<x| + n ~~ 1/2; X(j) см. в 2.19.19.3]. 4P) a (ex) dx = Y@) [a, Re с > 0; Re/i > -1; Re (a + /it - p) < -n], гс! 1, - + а- , - 2 1^^ +l)/2 2 „ - + a - i/ - <r, - + a - <t, - _ a _ » _ n _ - cr - 7p; 1 - 2cr, - n)n x /1 x Г (± - - a - м - n)J x ^^ "" nJ ^a — I1 — n — (l2 + 7 ~~ 6. (^ 7. [^(s-aJ J -1 Py(T(cx) dx = [a, Re с > 0; Re/i > -1; Re (a + /x - p) < 0], x Г7 -I О x з^з ( - + a + cr - n, - 1 о , -i 1"^ +7)/2 2 7 n! 1/2 -
2.19.20] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T{x) и 249 '3 х (- - + а — а — п, - I A 1 - — сг — jp; А -+а + „-а,- п! ¦ i/- <т, 1 - 2<т; (-lr-t'^ac 2<т + G2 " 7 " 1)(а + ц) ) х х з^з ( —М — п, 1 + г/ + п, ^а — /i — G2 + 7 — 1)р; v, --a-fi-<T, - - а - ц + а; (-1I" r,.2a_1 а Г fRe а, Re и, > — 1, < L I 2.19.20. Интегралы от А(х)е [а > 0, Re(a + cx) > -1/2], +i 1 /О I cj + 1/2, а + (т- 2 Г ^2(j J L1/2 - Р ~ ° /_ 1ч1 х з^з ( - ^ ^ ^ 7Р, « ^ Л* X С о а Г о. ж б а - а + 1/2, а - G + 1 1 1 • 1, а - сг Н —, 1 - 2сг; (-] «,а-1 4. I /ж + z VM = 2 Г -2с ХГ '.l/2-,-CT|3^V2 [а > 0; Re а > |Re<j| - 1/2; (/G) см. в 2.19.20.1]. [а > 0; Re а > |Recr| - 1/2; ?/G) см. в 2.19.20.1]. (nv\ tine — \/(п\ [Re с > 0; -1/2- Re a < Re а < Rep + 1/2; |arg^| < тг], X 1 2'
250 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.21 2а + 1, а + а + 1, а + а + 1; (^ 9(=р1-1)/2 2 а^а 1/2^<х i 1Z C +l)/2c '' Л 1 X3F3 ( --о—7Р, а-<т+-, a-<j 2G, G - а, « - G + 1/2, а - G + 1 =F V2 a-v + l,l/2-p + <r 1 l=F ^5 1-2с, а-с + 1, а-<т+1; (-l 2 / • - а)) Г~7 +7+ ^ A - ¦ 2 + G -7-1)а) х 2 > х Т 2 ' 2 ~ G' + 7 ~ 1)Р " Щ 1? Х ~ а + {7> Х ~ а ~ а; (^1 5. 6. -С^в-/2 Wp,(T{cx)dx = V{ Re<j| - 1/2 < Re а < 1/2™ Rep; |argc| < Зтг/2; |argz| < тг; 1/G) см. в 2.19.20.4]. [Re с > 0; Re а > |Re<r| - 1/2; |argz| < тг; V(j) см. в 2.19.20.4]. 2.19.21. Интегралы от А(х)е±сх/2Р?(ф))\ ^р'а(;СХ\ {^ УУ р, сг \СХ) 1. J Xй-1 (х + 2z)±tl/2e-cx/2P? (| + l) Mp><7(cx) dx = W@) [Rec>0; Re(jw/2™ о-)- 1/2 < Re а < Re (p- 2/=р^/2), Re (p + i/ =p /z/2) + 1; |argz| < тг/2], Г тм -1 1 т м \ flTii/2 — П/ — 1J — /Т — П/ -\- 1 Sin 1/7Г u — 1 1 T M 1 — M a - i/ - <t, — a + i/ - a, — h a + — а — а + 1, a + i/ 5i + .^7 + 7^)p5i± + a - i/ + <r; (^1)( ¦1/)Г(-/х-1/)]" sin i/тг 2ст, Г 1 —М - a - */ + <t, A =F A*)/2 - a + i/ + G, A - 1/2-p +G, (l-/x)/2-a + o- 1 1+li 3 it ii 1 it м r, -^<r-7p, ^-^+o:-(j; 1-2o-, ' +a + i/-a, — A 2, A A 0^ -, 2 ,--,-—, 2 „_а-^/2. -, гГ" + 1/2,а- 2. + 1 /1 '2 + р + сг 12 2^i Л
2.19.21] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T{x) и 251 + G — 7 — ± | 2 " "' 2 -i/-1/2, a- j/ + 1, 1 =F | - а + i/ - G2 + 7 " 1)/», 2. Ж" О —1/2 / Sln 2<т+1, l/ :G, р^1/Т^^1/21Aт1)/2Г p J [2G- I/, 2G+ i/ + 1, p+ <7 + 1/2 J [Re с > 0; Re a > -1/2; Re (p =F /x) > | Re i/ + 1/2|; |argz| < тг/2]. хГ X 3. | ха-1(х + 2 0 [Re ^/2+ \Rea\- 1/2 < Re a < - Re(p + i/±/x/2), Re(i/- p =F м/2) + 1; |argc| < Зтг/2, < тг; И/G) см. в 2.19.21.1] . Cffi/2P^ (I + l) Wp,a(cx) dx = W(l) 4. f /^(ж + 2z)±tA/2e^cx/2P!; (| + l) Wp, a(cx) dx = W(-l) о [Re с > 0; Re (а - /i/2) > |Recj| - 1/2; |argz| < тг; И/(т) см. в 2.19.21.1]. 2 ~сж/2 е 3/2 - /i - р - а ^ Г 1 3 1 \2(р = р + а + /1 ± /i, 2^ = р + Зо- Ь /х Т М; Rec > 0; Reft, Re (fj, + 2a) < 1; |argz| < тг . 6. = 0или1/2; Rec>0; Re (д/2-сг)-1/2 < Rea <Re (p-i//2) + r, Re (p + ; |argz|<Tr], , r - а - ст, а + a г - (/x + i/)/2, г + A - /i + i/)/2, A - /i)/2 - a ~~ [l/2 - p - ] ' 2
252 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.21 , 2 1/2 —о- а —О- + 1/2 —гт-i + 7 С Z I 1-М 1 + М V + \ У 1 — LL 2а, г - а + а —, г - а + а + -, а - а -\ — 1 , \i + v , 1-// + I/ 1-/х 2 ' ' 2 '2 3 + г 1 ^сг — г, г| I/ + 1/2, A + ^)/2 + а + а-г1 х A - 272)р г ^,^^«^^-^G +7-1)Р, G2 ^ 7 - 1 1 1 — («+?-г)) -Г1" - 272)р + \ г + -I/-1/2, а + сг-г - - I | ^ -/х - I/ X Kf т. 8. ?¦ , г - а + — G + 7 - 1)р, Х + Z 2ст + 1, p + iz/2, p- p + ex + 1/2, a+{, [Rec, ReBp + i/) > 0; Re Bp - i/) > -1; ^.„(ca;) d« = X(±l) z/2 z| < тг]. r = 0 или 1/2; Re (а - /i/2) > |Re<r| - 1/2; |argz| < тг, = /i - p + a + C ± l)/4, 2ф = /i + p + 3<j - G ±l)/4; Re с > 0, fRe/x, 1 Re/i, Recr > О
2.19.22] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T{x) и 253 2.19.22. Интегралы от A{x)e±cx ^/2e^c"/2Qe (| + l) Mp,a(cx) dx = Y@) [Re c> 0; | Re/i|/2 - Re a - 1/2 < Re a < Re (p =F /x/2 + i/) + 1; |argz| < тг], Г1 yG) = e x Г U-p + И , а + а ¦ 1/2-p-a Г1 + M + , a - a + л /1 1 +д 1д 3±м 1±м X3F3 ( --o"^7p, a- a H ^, a- cr H —; 1 - 2a, a + v- а Л —, ol-v-<t-\ —; и + 3/2 ?)¦» x 3F3 (i/ + 1, 1 =F /i + 1/, 1 - a + 1/ T I - G2 + 7 - l)p; 1/ + 2, ^ - a + 1/ + a, ^ - a + 1/ - a; (^l)^ 2 I ^ + (/*-1)/2/ , 2 чах/2 ^с x B 3. 4. 5. - 2<7, 2с + 1, р - о- - 1/2, р-а -1/2 р + сг + 1/2, р - <т - 2д - 1/2 = 1/2 - ц - р - <г, 2ф = р - ц - За - 3/2; Re с > 0; Re ст > -1/2; Re (p ^ cj) > 1/2; Р; сг(сж) с?ж = V'(l) | Re/i|/2 + | Recr| — 1/2 <Rea <Re(i/^ ft/2 - p) + 1; | argc| < Зтг/2; |argz| < тг; Y(j) см. в 2.19.22.1]. Vo,a(cx)dx = Y(~l) [Re с > 0; Re a > |Re/i|/2+ |Reo-| - 1/2; |argz| < тг; УG) см. в 2.19.22.1].
254 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.23 = О или 1/2; Rec>0; | Re^|/2 - Re a - 1/2 < Re a < Re (р + у/2) + г + 1/2; |argz|<7r], x Г 1, - — h r, h < 2 '2 -2a ¦ p- a 3 + L2 - a + a — r, 1 + 2a, 1 + a + a - r - |; {^l + - cr l/2 + a-cr-r Г2о-, (/x + i/)/2 - r + 1, i//2 - a + G + r, A + /x)/2 + a - <r, A - /x)/2 + a - <rl 1/2 + 1 + /2 + 3 + /2 + J 1/2 - -(T, « - o- - 7P5 Л l; 3/2- 272) (a + r + \ - а)) -7-1) x r, f a-l/ 1 \-r -e 3 2+" — г -сш/2/-,2сг-2о + z 7. Mpj a (CX) dx = if, 2ct + 1, p+cj- 2a+l/2 [r = 0 или 1/2; 2y? = <т - p - 2r - 2a + 2, 2^ = p - о- + 2r - 2a - 1; Re с > 0; 0 < Re a < Re p + r - 1/4; Re <r > -1/2; |argz| < тг]. wp,a(cx)dx = fRe(a 2.19.23. Интегралы от А(х r = 0 или 1/2; Re а > |Re/i|/2+ |Reo-| - 1/2; + p) < Re i//2 + r + 1/2; | arg c| < Зтг/2 1 Re с > 0 J ' argz| < тг, ^G) см. в 2.19.22.5 z)\(Mp,rT(cx)\ z)j\Mp,a(cx)j- -21/ 1 M+a + ^ + ^l + e + iz-a.-l^-a-i/-. 111 l/2-p + ff, 1/2-p-a '
2.19.23] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 255 _„Г< )/2 2i/, 1 + a ~ г/ + <т, 1 + a — i/ — <7, i/^a^p™ 1/2 1/2 - p + cr, 1/2 - p - a, 1/2 - /x + i/ 3 1 + a - i/ + <7, 1 + a - i/ - <r; 1 - 2i/, - + a - i/ + p; r (i + ± (/i - a - p)) 3F2 ( - - p + <r, - /x ~~ a - p; l< Rea < Re (/x - p) Г 2ст+1 j cos(a/2-сг)тг\A±1)/2 [l/2- p+ a\ sin (a/2+ р)тг J a/2-p, l + a/2 + p -1,-1-2Reo-<Rea<-2Rep oo J,-, 0; |Re<j| < 1/2; [л ф р; а ф 0]. | < 1/2; cj^O]. [Re с > 0]. oo Жа^1М|/+то+1/2!1/(сж)М(Т + п + 1/2,<т(сж)бгЖ = / () iF ? ^1 J 2cQ Rec>0, Re(a + i/ + o-) > -1 . L v ; J a)/2 + G, p-a/2,-p-a/2l + p+cj, (l-a)/2 + o-, ^: J [c > 0; -l-2Recr < Rea < -2|Rep|]. * ' О О" \ ^^ *^^ Iff /J ^T I €/ 1^- еДу I ЧЫ/ «АУ — j_ j 0 [2|Recr| - 1 < Re a < -2 Rep; |argc| < тг]. Г а-1/ 2 2\C- \ x [a — x ) ¦ ( V 4a V 2 '1 1 A±1)/2 Г l 1 / с + crJ V si Sin СГ7Г/ a + 1 a2c2 1/2-p + a\{ cosan
256 Гл.2. Определенные интегралы [2.19.23 т,- ' 2 г, 1 +¦ 2ст, ^ + а + ^^^ 1/2 - р + о-, 1/2 + р + ст 1 1 + а х з*4 I ^ + Р - ^ 2 ~ Р ~ {J' ^^ ~ <J; Х ~ {7' г ~ 2(Т' § ^ {J' 2 /3^; а, Re^ > 0; Rea > -1, Re а > 2| Recr| - 10. ж (а -ж )р J ' ;. : > dx = ¦В (Д,^— )х х 3F4 I - + р - сг, - - р - ег, — ег; 1 - 2<т, - - ст, 1 - <т, /3, (а 4 / \l/ 4<rsincT7r [/3 + (а + 1)/2, 1/2 - р + <т, 1/2 - р - а 1 1 1 + а 1 „1 + а а22 - + р, - - р, —?-; -, 1 - <т, 1 + а, /3 + —2~; cosатгЧ/З + а/2 + 1, 1/2 - р + а, 1/2 - р - 3 3 3 , а , а , , а2 + + /3 + 1 11 . жа™ ' (а — х)и~ ' M^jtJ(ca — cx)Mpj(T(cx) dx = = al/+<TBBi/ + 1, 2<т + 1)Мм+РI/+<т+1/2(ас) [а > 0; Re и, Re a > -1/2]. а 12. f ж1/2^ст(а - жI/2^1/Мм,г/(са - сж)МР)<т(сж) da = 7 5. J x^1( 14. I" xv ? [1/2-р + (т, 1/2^р^<т ^^ 1^^ I_ +<Ji^ ^ 1 2 ¦ а'с2 [а, Re/З > 0; Re (/3 + 2р) < 1; |argc| < тг]. ix + ^)И/р,а(сж) daj = [Re с > 0; Re v > |Recr|;
2.19.24] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T(x) и WPi(T(x) 257 p,a{cz) Rep -1/2 < Re. <0 ^ 1/2 < Re. < 1/2 - Rep; Re. > 0 2.19.24. Интегралы от xaef(x) f\ MMj., ^. (bjX^) WPkjGk (ckxTl) ^е^М^, сгFж)Мр,сг(сж) dx = 22<T+1(bc)a+1/2FBa + l)Bp + b + с о x Bp + с - b)^a^1/2Bp + 6 - C)p-a-1/22Fi f I - ^ + ^, i - p + (j; 2a + 1; 46c \ Bp + c-fe)Bp + fe_c)j [R->-l/2;2ReP>|Re6| OO 2. [жа^1е^(ь+с)ш/2ММ!1,Fж)Мр,С7(сж)Aж = V@, 0) [Re6, Rec > 0; -Re(i/ + <r) - 1 < Rea < Re(/x -2j/ 72 - 7 - | + G2 - 7 - l)(a + ^)) 3F2 Q + ^ - (?2 a+ v+ a, 1 + a+ i/ - a; 1 + 2i/, | + a+ v + G2 + 7 - ^-(T2 + A - 272)(. - a + ,)) x - 272)p + 72 " 7 " \ + G2 " 7 " 1)(« " i/ x 3F2 ( - — v — e/i, 1 + a — iv + <T, 1 + a — v — cr; 1 — 2f, - + a — 72-7-2 (i-27)p-ari- ? ? + A - 2?2)(^ + A - x 3F2 (i + <r + A - 27)p, i - a + A - 27)p, A - 27)p - a - (e2 + e - + 1/ + A 27)p - a, \ - v + A - 27)p - a; (_i 9 А. П. Прудников, Т. З
258 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.24 3. dx = V@, ±1) 4. xoc^1e{b^e)x/2M^l/{bx)Wp^{cx)dx = о '-- 3/2 + a + и - p 3 5. 1, - + a + i/ — p; - [Rec, Re(c- 6) > 0; Re (a + i/) > |Recr| - 1]. 1/2-p =f <T, 1+ [Л+ I/-p ± (Г ^ + /i + i/5l + 2i/±2(j; l + /x + i/-p±G; 1 - - 2 с [Re 6 > 0; Re v > -1/2; -1/2 < Re (y ± a) < Re (/i - p); | arg c\ < Зтг/2]. . f жаеF±с)ж/2И/м, ^(Ьж)Жр, с (еж) dx = У A, ±1) Rea Recr| - 1; |argb| < Зтг/2, Re (a + /i + p) < 0; | arg c\ < Зтг/2 ) Re с > 0 J ' V(e, 7) см. в 2.19.24.2] . 7. xa~1e{~b±c)x/2WIJttu(bx)WPia(cx) dx = V(-l, ±1) 0 [Re 6 > 0; Re а > |Rei/| + |Re<r| - 1; |argc| < A ± 1/2)тг, V(e, 7) см. в 2.19.24.2]. Pja(cx)dx = U@, 0) [Re 6, Rec> 0; -1/2 - Re (jx + a) < Re а < Re A/ + p) + 1/2], 8. 1/2 -fi- и Г(а - - 272)p + i + G2 - 7 - l)(a - * x (.7 - a - ?, - — ol — 1/ — z - 272)(^j - a + i/)) x + 1/ - (г2 2-P- 1/2 -p + i/ -272)p+^ + G2-7- Ь 7 — l)p; 1 — 2i/, 1 — a — г/ — <т, 1 — a — 1/ + <т; ^ Г|2Г a + , + <T
2.19.25] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T{x) и 259 х Г2 . -2е2)(а + 1/ + <7))Г" - е~ \){а + а 2G + 7 2^ | - (s2 - e - a - 7p, 9. J-)WP a(cx)dx = U@, ±1) ReOO J , Ще, 7) см. в 2.19.24.81 J oo 10. \x«-\ 11. 12. 13. (cx) dx = U(l, ±1) x = U(-l, ±1) > 0 J U(s, 7) см. в 2.19.24.8 = П 4& ^и(Ъа - bx)Mp,a{cx) dx = { Y+p В Bi/ + 1, 2a + l)eac/2Mp+l/+1/2tI/+a+1/2(ab - ac) \lJ, + v + p + (T = -1; a > 0; Re z/, Retr > -1/2]. MPk^k(ckx)dx = ol + R: pi + <7i, — '2 F ' 2 2o + 1, • • • 5 2<jn + 1; ¦ :> cfe,jR=> <jfe + -; Re(a + R) > 0; 2 Rep > > fe=i fe=i fe=i 2.19.25. Интегралы от жа cosaa?MMj 1/(Ьж)Мр,о-(сж). 'He „ /2c2 . ж^1 > »-l/2 •1
260 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.26 2.19.26. Интегралы от ха Jv(bx±r) f\ MPji a. (bjx)WPky(Tk(ckx). оо 3, к 1. ж" Ju(bx)Mp,a(—icx)MPia(icx) dx = / [b, с > 0; -1 - Re(и +2a) < Re a < 3/2™ 2|Rep| кроме того, Re a < 1/2 при 6 = с)], 1 + a - i/ , l + a + i/ "<J? 2 ~ P + {J' 1 1 c2\ - + p + cj; 2G + 1, G+ -, G + 1; ^1 [c< 6], 7 + 1, 2о- + 1, p-(a + i/)/2, -p-(a + i/)/2, A + а + i/)/2 + 1/2 - р + сг, 1/2 + р + <т5 -а - I/, A - а - i/)/2 + сг, i/ + 1 1 + а + i/ 1 + а + I/ а + i/l + a + i/ а + 1 + 1 + + 2 ' 2 2 ' г, - 1 1 , о i а + i/ 7, 1-p, - ^p; l-2p, 1-p —, p; — 7, i p, i 2p, !^^y . J2CTFa?) x [(c + Vc2 - 62 Jp + (c - Vc2 - b2 fp] СХЭ j f -O--1/2 т 2G + 1, 2G + 1 1/2-p +G, 1/2+ p + 7^ c; 6, c> 0; |Rep| < 1/4; Re a > -1/2]. ol/2 —о- /1ГЛ1 —о- Z ' Л/7Г С /9 , 9чя-/2 CO . J2crFx) 5. 0 x Г i/)/2 - p, 1 + a + 1/, A + a + i/)/2 [6 ^ с; 6, с > 0; Re a > -1/2, 2| Re p| - 1] 2G + 1 Г[1/2™р + ст](^2 + с2+С) [6, Rec> 0; Rep < 1/4; Re a > -1/2]. X (lTl)/2 sin (p + (a + i/)/2)tt A - a - i/)/2 + G, 1 + (a + i/)/2 - p, v + 1 J [ cos (cr ^ (a + + a + i/ 1 + a + 1/ 1 + a + 1/ a + 1/ G, +G, , !+^—; ! X a + v + x 4F3 I - - p- <r, - - p + G, - - p, 1 - p; 1 - 2p, 1 - p —, 1 - pH —; fRe(a + i/), Re(a -1; Re(a + 2p) <3
2.19.26] 2.19. Функции Уиттекера MPi(T{x) и 261 6. оо Г. Jx x3F2(--p+(j, - - р, 1 - р; 1 - 2р, - + V- р-(г\ —^ >, Rec > 0; Recr > -1/2; Re Bp + 2а - и) < 1/2]. 'Ь2 + с2 /б2 + с2 с» 3. Ж™ Jo(bx)W^p, • 1/2J*'-1/2 \ 6 [6, Rec> 0; Re р < 3/4; Re a > -1/2]. 2Ш8?Т7Г р-а) р о--1/2 S-P-1/2 /б2 + С2 [6, Rec> 0; |Recr| < 1/2]. 9. х 4F3 I-- р, 1 р, а, -- р-а\ 1- р , 1 - рН —, 1 - 2р; — <T, (a + i/ (a + i/)/2-p, l/2-p + <7, 1/2-p-o- и 2 ' 2 2 а + i/ 62 a; 10. 13 14. сю 0 оо 0 оо [6 > 0; 2|Recr| - Re и - 1 < Re a < -2 Rep; |argc| < тг]. <т - p + 1/2J J""p V^J K"+P V^cy [6, Rec > 0; Rep < 3/8; Re<r > -1/4]. 4c '—^ W (- [6, Re с > 0; Re i/, Re (i/ + <j) > -1/2; Re (p - ц) < 3/4]. [6, Rec > 0; Rep < 1/2; Recr > -1/4]. + cos (cr — — ) WPi a(—icx)Wp, (r(icx) dx = [6, Rec> 0; |Recr| < 1/4]. Ac №A/2 - p + <т)ГA/2 - р-<т)
262 Гл. 2. Определенные интегралы [2.19.27 15. f J2*{bx)M-Pi<r[c(Vx2 0 X K2a(V2ibc)K2a(V-2ibc) [b > 0; |argc| < тг; Rep < 1/2; | Recr| < 1/4]. z)]dx = ,V\^2a + 1 I (/б2 + с2 exp /b2 + с2 L1/2-P + <7J [6, Re с, Re^ > 0; Re p < 1/4; Re a > -1/2]. ±r i r ., i fi.T 2.19.27. Интегралы от хс oo '•J 0 oo 4 2с, >, Re 6 > 0; Recj > -1/2]. [c, Re 6 > 0]. 3. 4. [6, Re с > 0; |Recj| < 1/4]. ' [Refe, Rec>0]. sln(p - a 2.19.28. Интегралы по индексу, содержащие MPi(T(c) или Wp, o-(c). Условие: b, с > 0. '1 ОС 2. 3. | + сг + гж J Г Г | + сг - гж ch(y/2) 1 1 2 M ^ Ж' 2 ch(y/2)J 1 [Recr > -1/2; [Rea > -1/2; |Imy| < тг]. x Мм^Ж)<т(с)с1ж = ^+i/2 Г2<7 + l, 2<7 + 2/z + 1, 2G - 2д + 1 2G + 3/2 F +с) [Re о- > | Re^| - 1/2]. 4. 5. ¦2(т + 2ж)ГA + 2|/-2ж) 2G [Re A/ + <т) > -1/2]. 1Jтгж] sin 2тгжГA + 2(j + 2ж)ГA + 2и - 2х) M^X}1J~x(c)Mp+Xy(T+x(c) dx = -1/2].
2.19.28] 2.19. Функции Уиттекера Мр,а(х) и Wp,a(x) 263 7. 8. 9. 10. 11. оо I — оо р+х,а + х{С) чх „ р. 1 V ~ ^ X 2 " 2 1 оо ж вЬптгжГ I р-\ 0 V 2 / оо J 0 оо Г A j xth2irxri--p + о оо 0 оо Ж oil aj7T3;I I 0 «г2* Ь2<т + 2Ж, 1/2-м- Г1 2 [i/2-M + l/, 2 ' 2 \ / 1 Л -гж)г( - ~ p~ix 0Г(-р-2гжM2р+1, 7ГСР /1 о \ • 1 г 1 ' ) V2 Р у С3/4р ^_ _ 2^j eF2 о 1 о • \ р ( Zp 1 Zi-Ж |1| -|/-2ж, 1/2-р I/-/X- 1/2^р+а, 1/2 + — р + <т _ 1 2 ** 1 ' , /2^2 2гжF)И//?,гж(с)с1ж /62-2с2\ Слр (^ 4с J 9 9*1 P2 AjP AJ%X I J 2- — <j — 2ж] м P + СГ 2i/-p-<r, 1/2- i/ + 2cr, +2j [Re (i/ - ( \ jt _ г 7г261/)срехр f = J 1 b2\ V P+ 2' 4cJ гж(с)с1ж = '2c) [Re с > (с) аж — ^ I -p~v + 2o ; p -; |Lt - p + О") [Rep^ ' 2c2 + 62 4c [Rep ¦ 0; Re p < — 1 / C [Rep^ c) da? = 1 4c j >0]. 1/2], <^ fll 1/2]. -bc/2 1/2]. СХЭ 12. I жвЬтгжГ --/i + ia;, - - /x - гж, - - р + гж, - - p - гж ^^1 /9ч (м-1)/2 x Wp, ix(c) dx=l±) тгГA - р)ГA - /x - р)(Ь + 1 V оо 13. ж зЬ2тгжГ — — /х + 2гж, — — /х — 2*ж, -^р + гж, - J I •" ^ ^ X PL-l [Re/i, Rep< 1/2]. 14. жзЬ2тгжГ 2р + 2гж, 2р - 2гж, p + ix, р - ix\ РЦ^1у2{Ь) х « L J о х Wp,ix{c)dx = 2^-3/2^+1/2^2 _ 1}P-i/4exp (^_1±Л erfcF^) [Rep > 0]. ОО 15. ж sh 2тгжГ р + 2гж, р — 2*ж, — + гж, — — г х М/Р!^(с)^ж = 2~p~Vc3/2~pF2 - 1)"р/2ехр f2& ~ гсЛ erfc (be) [|Rep| < 1/2].
264 Гл.2. Определенные интегралы [2.21.1 1С 16. eh тгж 2Vbc ехр Ъ + С оо 17. [ Г(гж)ГA- — оо da; = оо 18. 19. = 2тг*ГB<т ^р ^р - 2ix)Wp,iX(b)Wp+1/2jiX(c) dx = 20. f хsh2nxK2ix(b)Wp,iX(c)W-p,iX(c)dx = е"(ь+с)/2 б РС = 0 со 21. f + с2 [6 > с]. L [b < с]. [Rep < 1/2]. 2.20. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КУММЕРА iFi(a; Ь; ж) И ТРИКОМИ Ф(а, 6; ж) Вырожденные гипергеометрические функции iFi(a; 6; ж) и Ф(а, 6; ж) связаны с функциями Уиттекера МР}(Т(х) и WPjCr(x) соотношениями Ф(а, Ь; ж) = ^b/2eK/V6/2-fl!F-i)/2W. Для вычисления интегралов, содержащих функции \F\{a\ 6; ж) и Ф(а, 6; ж), следует перейти к функциям Мр? ^(ж) и WP; «г (ж) и воспользоваться формулами раздела 2.19; см. так- также формулы раздела 2.22 «Обобщенная гипергеометрическая функция pF9((ap), (^g)j ж)>;> при р = q = 1. 2.21. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАУССА 2Fi(a, Ь; с; ж) 2.21.1. Интегралы от A(xJFi(a, b; с; ж). СХЭ ^аГ Г' "' " °' " [0<Rea<Rea, Re6; |argw| <тг]. . \xa^12F1(a, b; с; -wx)dx = шГ Г J [ a, 6, с— о; CO . ж 2^11«, 6; с; 1 — шх) dx = ш Г\ J [ 3. а, Ь, с — а, с — b [О, Re (а + b - с) < Re a < Re а, Re b; |argw| < тг]. с ~ а7 а — b + 1 '
2.21.1] 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,b;c; ж) 265 . 1 5. 6. 7. 8. оо х жa^a^12Fl (а, а - с+ 1; а - 6 + 1; - ) dx = уаГ\ ~ J V х/ [а, 1 — 6 +¦ ск, с — oj 2/ [у > 0; Re(c- о- 6) > -1; 0 < Rea < Rea; 6 ф 1, 2, . . .]. ~г{у — х)^~г 2Fi(a, b; с; -шж) а*ж = В (а, ^)уа+^~1 3F2(a, 6, а; с, а + /3; ^шу) [у, Rea, Re/3 > 0; | arg(l + a;t/)| < тг]. [2/, Rea, Re/3, Re (с - a - b + /3) > 0]. [a = c; Rea, Re/3, Re(a +/3 - a - 6) >0]. a, b; c; - с, /3, c^a^ _ « _ a с, a, /3, с- a - a c ~ a1 с — a, a + /3 [6 = a + /3; Rea, Re^, Re (c - a - a) > 0]. (с)те 1, а [a = -тг, n = 0, 1, 2, . . .; /3 = 6-c-7i + l; Rea, Re/3 > 0]. c, a — с + 1, с — a/2 — 6 [a = a-c + l, /3 = c-6; Re 6 < Re с < Re a + 1; Re Bc - 26 ~~ a) > 0]. b; c; 1 - us) dx = i/^^F [ ' ' ' ^4 x — а, с — a™6 + a; c^a™6 + l5 с™а^6 + а + Д; а;у) [2/, Rea, Re/3, Re (c - a ~~ b + a) > 0; |arga;| < тг]. 11 f CL-lf NC-1 Tp ( U Л Х\ Л 11. ж B/ — ж) 2-ti I fl? о; с; 1 ах = |/ 1 V у) с+а-1гГ с, а, с-а-6 + а Г 12. a, a + 1; 2; ^ [у, Re с, Rea, Re (с - а - b + а) > 0]. г—х:г [t/>0; Rea< 1]. 13. , 6; с; - , 1 - a - /3) x a, b, c^a^/3 + 1 [у, Re/3 > 0; Re (а +/3 - a), Re (а + /3 - 6) < 1; |argw| < тг]. 14. I xa~1(x~yf~12F1(a, b; с; 1 - шх) dx = ш~ауа+C~а~1 х ' ' 3F2(a, с — 6, а — а — /3 + 1;а — а + 1, а — 6 + 1; — I + а, с^б, 6^а + 1 х 3F2 ( 6, с — а, 6 — а — у5 + 1; 6 — а + 1, 6 — а + 1; а; у
266 Гл. 2. Определенные интегралы [2.21.1 15. [у, Re/3 > 0; Re (a + C - a), Re (a + C - b) < 1; |argw| < тг]. a, 6; c; —a; ж) с!ж = za p В (a, p — a) 3F2(a, 6, a; c, a — p + 1; шz) + c, a — a + p, 6 — a + p, a — pi ?F2(a ^ а + р, 6 ^ а + р, р; с^а + р, a, 6, с — a + p p - a + 1; wz) [Re a, Re (a - a + p), Re F - a + p) > 0; 16. 17. х Г 2Fi(a, 6; с; -шх) dx = а + Ъ — с + р; 1™ -ctJc, a^c+p, 6^ г:)^2 ' (a, 6; с; 1 - шх) dx = ш^а ^| < тг]. p, a + 6™ c+ p J [Re (a + p), Re F + p) > Re с > 0; | argw|, | argz| < тг]. с, a, a — a, fe^a, c^a^fe + a] а, Ь, с — а, с — Ъ x 3F2 ( a, p, с ^ a ^ 6 + a; a — a + 1, a — 6 + 1; — ) + a; b — a^ c, a —a, a™ —a a—p—a хГ ( 1 \ _ь аРъ \ 3F2I а, с—Ъ, а-а + р; а—а + 1, а—6 + 1; +а; z F x а, р J \ a;z/ а — 6, с, а — b, b — а а, с - 6, р [Re a, Re (с — а — b + a), Re (а — а + р), Re F — а + р) > 0; | arga;|, | arg2:| < тг]. F2 [ 6, с-а, Ь-а + р; Ь-а + 1, 6-а + 1; ею Г ж"™1 ( Ч1 !_а_Гс, а — а + 1, 6 — а + 1, а — 18. 2Fi(a, 6; с; -а;ж) dx = ш Г\ ' ] х-у I а, 6, с - а + 1 о х 3F2A, а™ а+ 1, 6™ а+ 1; 2 — а, с — а + 1; ~шу) — т?уа~ ctga7T2Fi(a, 6; с; ~ 19. х-у 2Fi(a, 6; с; 1 — а;ж) [2/, Re a > 0; Re (a - a), Re (a - b) < 1; |arga;| < тг]. 2/° --^-^ctgfa-ajTrrr' 6, с — а а, с - Ь; а - Ь + 1; —) + тгаГ V W2/ (Ь - а х 2Fi 6, с-а; Ь-а + 1; V Г ' ' х [ а, Ь, с-а, с-Ь J х 3F2 [ 1, а, с — а — b + а; а — а + 1, а — 6 + 1; V 20. x F3 ( p, a, P, 6, г/ 21. Ja;6-1^-^-" [t/, Re a, Re (c - a - 6 + a) > 0; Re (a - a), Re (a - 6) < 1; |argw| < тт]. X [у, , | arg A - z)\ < тг]. z)^ хA — шх)а c /32Fi(a, 6; с; шх) dx = |/с+/3 X(l + шу)аA — шу) с х X В (с, /3JFi(a, & + /3; с + /3; о;у) [у, Rec, Re/3 > 0; | arg(l - шу)\ < тг]. 22. A-zx) а, Ъ; с; - ) dx = У
2.21.1] 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,b;c; x) 267 1/с+/3 \г\ с, р, с-а-, A-2/2)" 3F2 [р, р, с-а-Ь + /3; с - а + /3, с- & + /3; yz Лп(у, z) 23 [у, Re с, Re^, Re (с - а - b + /3) > 0; |arg(l - yz)\ < ж]. I Т* I ^ Ф I 17/ 1* 1 о /^i 1/7 h * Z1* * 1 — 1 /У 'T* J V 2// c, a, /3, c — a — b = У + ya 24. 25. -а, с-Ь, а + 0\ С, а + 6 - С, /3, С - а - а, 6, с™а™& + а + с- а- 6 + 1, с-а-& + а+ Р) - c = 2/ I/ 3-^2 \J- a5 i 05 с a o -p о5 )<z<2/; Re a, Re/3, Re(c- a- 6 + a)>0]. (a, 1 — P, с — a — b + a; с— а + а, с— 6 + а; — ) [0 < у < z; Re с, Re а, Re (с - а - b + а) > 0]. у) 3-ip.T с, а, с- а- 6 + а Г с — а + а, с — b + а х Г с, с — а — Ъ. в, 1 — а — с™ а, с™ 6, 1 - a a, 6; c; 1--) ^ = y^z^^1 x с, а + 6-с, /3, а а, 6, а + 6 1 — а, 1 — 6, с — а — 6 + а; с — а — 6 + 1, с^а^ с+а+/з-2гГ с, а + /3-1, с-а-Ь + а + /3- [0 < z < у; Re с, Re/З > 0]. 26. а, Ь; с; 1 rfa; = = 1/ -i^-pp c, a, c — a — 6 с — a + a, с — i ¦a / _ _ ш _ _ _y\ [y, Rec, Re a, Re (c — a — b + a) > 0; | argz| < тг]. у 27. [Ж" '(У^^H Х 2Fl ( ь с;1--} d^ = ^7T|/c^1ztt^1ctga7rr|"C' С ~ п ~ Ь] х } х - z \ у J [с- а, с- b\ L, б^с + 1; а + Ь^с а, ой 28. - ^a + b-l^c-a-b+a-l ctg (а + 6^с^аOГ х 2// |_с —а + а —1, с — 1, а — с — а + 2, 6 — с — а + 2; 2^а, а + 6^с- [0 < z < у; Rec, Re a, Re (с- а- 6 + а) > 0]. . 3F2 A, а, с — а — 6 + а; -а, с — о + ol\ 2/
268 Гл. 2. Определенные интегралы [2.21.2 29 с-а + а, с — 6 + а; — J [0 < у < 2; Rec, Re а, Re (с - а - 6 + а) > 0]. . ж (у — х) 2Fi(a, 6; с; их (у — ж)) с!ж = = гуа+/3В(а, /3LF3 fa, 6, а, /3; с, ^—, ; ^^) [у, Rea, Re/3 > 0]. у ^ I T°L~1(ll — тЛС~а~1A — 1НТ — ?"] • I tA/ It/ «A/ J 11 W Jb /С J 30 2F1 а, а + -; с; — г^ 1 2 A — wx — zxJ = у^1 В (a, e-a)F4Ba, а; с, с; угу, yz) [у > 0; Rec > Rea > 0; 2.21.2. Интегралы от A(x)e~px±r2Fi(a, 6; с; <р(ж)). oo 1. ж e 2^1 (a, 6; с; -шж dx = ш Y\ x J ^ J x ( р х ра с 2F2 (а, а — с + 1; а — а + 1, а — 6 + 1; — 1 Н V а; / uja ( Р\ РЬ"° (а, а — с + 1; а — а + 1, а — 6 + 1; — 1 Н г~ V а; / ш° x 2F2 _г|с,Ь-а,а-а| х 6, с — а с, а — 6, а — b а, с — b F, 6 - c + 1; 6 - a + 1, b - a + 1; — ) [Rep, Rea > 0; |argw| < тг]. 2. 3. 00 о оо ,!-»; с; - 1 1; с; ^а;ж) da; = A/^ 2 / у ш ^A-а-Ь)/2, (а-Ь)/2 [Rec, Rep > 0; |argaj| < тг]. [Rec, Rep > 0; |argo;| < тг]. а; рс [Rec, Rep > 0; |argw| < тг]. , а, а^а, 6 — а, с — а — 6 — а а, Ъ; с; 1 - шх) dx = ш~а х 2F2 ( а, с - а - 6 - а; а-а + 1, а-6 + 1; -—) + Г V а;/ а;а [ х 2F2 (а, с-6; а-6 + 1, а-а + 1; --) а, 6, с — а, с — 6 с, 6 — а, а — а >, с — а 'ь"а гс, а -6, а-6 а, с — 6 2F2 F, с-а; 6 —а + 1, 6 —а + 1; —— ) [Rep, Rea, Re (с- a- b + а) >0; I argwl <тг]. оо Г а_х ^р/х f , _а \с, а, а — а, о — а\ . \ х е Pl iF\{a, 6; с: —а;ж) rfx = w Г , х J [ a, b, с- а х 7. 8. 2Fi(a, 6; с; ^d а ^ а, 6 ^ а; 1 — а, с ^ а; а;р) + р"Г(^а) 2F2(a, 6; с, а + 1; шр) [Rep, Re (a- a), Re F - а) > 0; | arg а; | < тг]. р 1 — а — b, а — Ь ^ fe _ fl^ [Rep > 0; |argw| <тг]. 6, с — а 1; 2 а, с — 6
2.21.2] 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,b;c; x) 269 6,6 — I - a, b - a, 6, с — a 6 - а ; _а Гс, а, а — а, 6 — а 1 ' 2' 4u, a, a — с + 1; a — a + 1, a — 6 + 1, ™; ^: p Гс, a + 1/2, a - a - 1/2, 6 - a - 1/2] X 2^3 9. 10 0 . \ x e J a, b, c-a- 1/2 3 13 3 , 3 i 2'a+2; 2'°^a+2'a^6+2; ~4 a, 6; J; - 2 a, 6; c: 1 — [Rep, Re а > 0; |argw| < тг]. [Rep > 0; | argш\ < тг]. 2a^2a Гс, 6-a, 2a Г I b, c- a 1 p2\ 2p2b~2a Гс, a ^6, 2a ^ a, с — 6; a — 6 + 1, a — a + 1, a — a + -; -r— I H г—Г , I x 2 4cj/ ct;b [ a, c - 6 Х2^з[Ь, с —a;6 —a + 1, 6 —a + 1, 6 —a + -;—)+a;~ar ' ' *' ' 2 4ш/ [ a,6,c^a,c^6 x 2F3 fa, с - a - 6 + a; -,a-a + l, a-6 + 1; — p _гГс, a+ 1/2, a^a^ 1/2, 6^ a -1/2, с -a- 6 + a + l/2l x -, a, 6, с — a, c — b 1# 3 3 3 p2 ; 11. 6; с; - 6+-; — [Rep, Re a, Re (c - a - 6 + a) > 0; |arga;| > тг]. a, b, c- a 2 _ a? c _ a; - x 2F3 I a, 6; c, a + 1, -;—— 2 4 1 , a-1/2, a-a + 1/2, fe-a 7 ^ 13 3 1 р2ш -; -, --a, c-a+-; - — у , 12. Ja;e-1(j/-a:)c-1e-f"I>2Fi f [Rep, Re (a - a), Re F - a) > 0; |argw| < тг]. a, b; с; 1-- dx = ус+а-хГ X 2-^2@, c--a--6 + a; c— a + a, c--6 + a; —py) [y, Re c, Re a, Re (c — a — 6 + a)>0]. 13. а, 6; с; 1-^ с — а + а, с~ / 1 х 2^3 (а, с — а — 6 + а; с — а + а, с — 6 + а, -; 2F3 ( a + -, c-a-6 + a+-; 1 3 -, -a + -, -; ^—^ ] [2/, Rec, Rea, Re(c™a™6 + a) > 0]. , a, — с — a + 1, b — с — с ^^ / \ г 14. f xa-1(x-j,)c-1e-f>Fi (a, 6; с; 1--) dx = ^""VГ' °~C"
270 Гл. 2. Определенные интегралы [2.21.3 а^с^а+1 аг,Гс, 6-а, с-а + а - 1 X X2F2A —6, a —c + 1; a —I х 2F2(l^a, 6 — с + 1; 6 — а + 1, 6 ^ с ^ а - о, с — а а, с — Ъ ty) [у, Rec, Rep > 0]. X 15. 2Fi fa, 6; c; 1 - V у = У z, а — с ~~ а - 1 - а, аН F3 a, c-a-6 + a; c-a 2(a-c-a + l) arfc, 6 - tt, 2(c - tt + Q - x 2F3 [ 1 - 6, a - 3 2; ^- »2F" _с_а+1)^ьг[с, а- 6, 2(с^ & + а - 1) с — Ъ1 а x 2F3 ( 1 - a, 6- c + 1; 6-a + l, 6-c-a+-,6-c-a + 2; ^ ) - oo 16. J" 17. г, а-с-а + 1/2, 6 - с - а + 1/2 1/2 - а, а + b - с - а + 1/2 . .1 . . ¦ I. з. Л/ !' 2' 4 -, c- A 2Fi ( а, с - а - -; с; 1 - — 1 , , 1 [t/, Rec, Rep > 0]. [Rec, Rep > 0]. (ж- о Г(с) Рс^а^ь z)b Fi a, 6; c; 1 18. 19. (x + го)а(ж + z) ; pz) [Rec, Rep > 0; | arg го |, | argz| < тг]. П / -• Ж(Ж + W + Z) \ I — 2-Ti I л, «; 1; у— w ^т I dx = [Re p > 0; | arg ги |, | arg z | < тт]. pz (ж „ ( 1 2F1 I a, c- a - -; c; \ 2 гКтг]. 7+*оо 20 ^2c+i(y2pz) [Rec, Rep > 0; |argi ¦ p _ь / 1\ Г с 1 ь_1 ж ер 2Fi а, 6; с; 1 da; = 2тг«Г f р Ф(а, а + 6 - с + 1; р) j_ \ ж/ l^5 c ~ aJ 7^*°° [Re 6, Re(c^a) > 0; 7 > 1/2]. f • ±!/2 1 2.21.3. Интегралы от Л(а;)< ±1/2 /2Fi(a, b; с; (р(х)). ycosax J Обозначение: S = < >. оо ^ ^ 1. j8in^^2F1(a,6;|;-^jda: = ^^^rF) ча + Ь-2.,-(о + Ь)/2 v/aJ
2.21.3] 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,b;c; х) 271 2. ж [а > 0; Re a, Re b > 1/2; |argw| < тг]. ^i(slna\/x\ t-i / i \ i 2а2а^2а _ [6 — а, с, 2а — 2а] Г sin (а — а)тг 1 V 2^а,1);с;-а;жс1ж= Г ' К } ; > х [ cos cry ж J иа [ о, с—a J [ cos (а — а)тт 1 гт2 \ 2<т2Ь"а: а, а — с + 1; а — 6 + 1, а — аН—, а — а + 1; — j Н г— х 2 4а; / а;6 хГ а-Ь, с, 2а-2Ь1 f sin (а-Ь)тг а? с"" " 6, Ь- 1 , сг2 -, Ь-а + 1; ¦— ^ 4а; с, а + <5/25 а - а - ё/2, Ъ - а - 8/2 ,a + --c + l;a+--a + l, а+--Ь + 1, J+|; [о- > 0; Re а > -5/2; Re (а - а), Re (а - Ь) < 1/2; | arg ш| < тг]. Г / 1 3. \ х^ ' cosсг^ж 2^1 [а, 6; —; ™с* J \ 2 22~а~ Г(а 00 f • Г a_iJ Sir J 1 со{ a, 6; с; —а;ж) dx = [<j, Re a, Refe > 0; |arga;| < тг]. а" „Гс, a-<5/2, a - a + J/2, 6 - a + <5/2 a, 6, с — a + E/2 f ; 1. > 0; Rea > -1/2; Re (a - a), Re (b - a) > -<*/2; |argw| < тг]. Г Г * Г~ 1 5. ж"] I— > 2Fi(a, 6; с; 1 — а;ж) <ia? = J [ cos cry ж J о Гс, а + 8/2, а- а- 8/2, Ь-а- 8/2, с-а- а7 b, с - а, с - b + + 1 а+- -; а+--а +<5/2 -; ~ оа \ cos (а — а)тг 2ст hft U, с-6; а-6 + 1; а-а+-,а- 6, с — а | \ 2 , , 1 , ^т 6, с-а; Ь-а + 1, 6-а + -, 6-а + 1;--— 2 4ш э Г а-i/ чс-1 . ж (j/ - ж) J — 6, с cos (а— 6)тг j [а, с — b [а > 0; Re a, Re (с- а- 6 + а) > -E/2; Re (а - a), Re (а - Ь) < 1/2; |argw| < тг]. ^- >2^1 ( а, 6; с; 1 ) dx = ^.с+а+д/2-iT, Г с. « + ^/2. с - а - 6 + а + с5/2 а + <5/2 -, ё , 1 d2 [i/, Re с > 0; Re а, Re (с - а - b + а) > -8/2]. ж . а? о; с; 1 аж = у/
272 Гл. 2. Определенные интегралы [2.21.4 _ 8 c+a+5/2-ir[c, а-с-а-6/2 + 1, Ь-с-а-8/2 + 1 = а у г, i S х 2F3 [ а + -, с-а- 1 - а - 6/2, a + b^c^a^S/2 + 1 S 6 . S . 1 a'zy Ь^ c-a + a+-,c-6 + a + -,J+-; — _ 2{j2(a^c^a + l) app-fl, cl f Sm (c - a + a)n [б, с — aj \ cos (c — a + а)ж , - 3 - 6, а - -, _ 2о.2 2(ь-с-«+1) bpU - Ь, cl f sin (с - И sin (с — 6 + а)тг 1 cos (с — b + а)тг j а, с — b\ X cos (с — b - a, b - с + 1; Ь-а -, [у, о-, Re с > 0; Re (с - а + а), Re (с - 6 + а) < 3/2]. 2.21.4. Интегралы от A(x)Ju((tx rJFt(a, b; с; ip(x)). 1 (a, 6; с; ™о;ж) <ix = \с, а + и/2, a - a - i//2, 6 - а - и/2~ ш"^^/^ I a, 6, i/+ 1, с — a — i//2 a + i//2, a + v/2 - с + 1; i/ + 1, a + i//2 - a + 1, a + v/2 -6 + 1; I i /O 6, с — a, a — a + v/2 + 1 a, a— с + 1; a— 6+ 1, a^a hi, a-aH hi; -— 1 + 2 2 4ct? f b_ _v _a+v a, c — b^ b — a + и/2 + 1J \ 2 2 [a, ReBa + i/) > 0; Re (a - a), Re (a - b) < 3/4; |argw| < тг]. 2. j x(c-1)/2Jc-1(<T^JF1(a, 6; с; -и) dx = ^ (а+Ь)/2 Г ш(а+Ь)/2ГL J [0 < Rec < 2Rea+ 1/2, 2Re6 + 1/2; |argwi < тг]. oo , f c-a/2-1 (a, Ь] С\ - 4. i/trt [a, 6J 1 < ReBe^ a) < 2 Re a + 1/2, 2 Re 6 + 1/2; |arga?| < тг]. (с X I ft • /->• (tin1 1 /Ут* — + 1 Г (Зс —2а э. ж1 —2а —3)/4 1-с)/2,а-с/2 5 -; с; - 2 <J : — a) X [Re а < Re с < 2 Re a + 2/3; | arg ш \ < ж]. [a > 0; -1 <Rec<2Rea + 2/3; |argw| < тг].
2.21.4] 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,b;c; х) 273 "(I)' (a, Ь; с; -шж) dx = /2-а ®\v f )V/2-ar[c) a — v/I, a - a + i//2, 6 — a + i//2 a, 6, v + 1, с — a + i//2 х 2 i/ . v и и аи) o_a + _)b_a + _;j, + i)__a + i,__a + c;_ [о- > 0; -3/4 < Re a < Re(a + i//2), ReF + i//2); |argw| < тг]. с с - -; ci ^ь = А Шк X J , a+ -¦ с; - 2 ¦ = 2c<72a"c 2a 2 у"— V 2 i. Z Ju((i^/x JFi(a, b; c; 1 — шж) о?ж = [Re a < Re с < 4 Re a + 1/2; |arga;| < тг]. 5 c^ a^ a - x 2^3 ( а, с — b; a — 6 + 1, a — a+ — + 1, a — a— — + 1; — -— W2J6-2", , c- a; 6- c, a + а, с — 6, 6 — a + и/2 + v ^a+-+, ^«^ ? ft — о — jz/2, 6 — en — jj/2j с — a, 6, с — a, с — 6, i/ + 1 + -5с-а-6 + а+-; i/ + l, a+ - -a + 1, a+ - -6 + 1; -- [o-, Re Ba + i/), Re(c-a-6 + a + t//2) > 0; Re (a - a), Re (a - b) < 3/4; |argw| < тг]. 10. \ a, b; с; 1- - ) dx = -(!LY с+а+^/2~1гГ c1a + u/21c-a-b + a + u/2 j 12/ У |_i/ + l, c-a + a + i//2, c-6 + a + i//2j tt+2'C^a^' -; 1/ + 1, c-a + a+ [1/, Rec, Re Ba + i/), 11. /a\4a V2"/ a, 6; c; 1 I dx = 2// «^[c, 6 - a, c- a + a + и/2 - 1 c^a, 6, а™с^а + i//2 + 2 x 2^3 A — 6, a — с + 1; a — 6 + 1, a^c^a h 2, a^c^aH • A A ; + i//2) > 0].
274 Гл. 2. Определенные интегралы [2.21.5 (!)s a, с — 6, b — с — a + и/2 + 2 x 2^3 ( 1 — a, 6 — с + 1; 6 — a + 1, 6 — с — a h 2, b — с — a -\ h 2; A A z, a-c-a- и/2 + 1,6- с- а- и/2 + 1 . - a - i//2, a+6-e-a- i//2 + 1 /ол" c+a+I,/2-ir с7а~с~а 42/ * U + 1, 1-а p a2y ; 12. а. -; с; ' 2' ' [у, сг, Re с > 0; Re (с - а + а), Re (с - b + а) < 7/4]. Г х 2F3 а, а 2 ' 2 a.-\- v и — a cr i , -,« s—+ i. e + —s—+ i; —r-1 + a*z«+*-2* Г(с + 1)/2, (с + 1)/2-о, (a + i/)/2,a-(a + ^)/2l a, I/ + 1, (с- а - I/ — с + 1 а + I/ ^ а + I/ I/ + 1 а + i/ + с + 1 — a; — ' 2 ' ' ' 2 ' ' 2 -' 4 [c, Re (a + w) > 0; Re a - 3/2 < 2 Re a < Re с + 2; jargz| < тг]. 13. ^J(c-1)/2(^JF1(a, |;c; ^^ ¦ + l)/2, (c+l)/2-o С1Ж — zl (T Z X Q. [2Rea-2, -1< Rec<4Rea; тг]. 2.21.5. Интегралы от Л(ж){ Y^a^)\ 2F1(a1 b; с; 1. 0 (a, 6; с; -шж) с?ж = — /2 - a, 6, с — a ¦ cos I a — a H 1 x _. Гб — a, c, a + г//2 — a, a — i//2 — 6] _. / x тгГ| , ; ' I2F3 (^a, a- - cos o-aH 1 ttI V 2/ hi; a - 6 + 1, a - a - - + 1, a— 6, c, a— u/2— a, a+ u/2— b а, с — b 6, 6 - - . J а, 6, с -— а -- I//2 Гс, i/, a - j//2, a - a + i//2, & - a + i//2l 7 L a, 6, c^o + f/2 J X 2 • f V V U О" x 2-^з I a , a c+1: 1 — 1/, a a + 1, a o + l: — 1 2 2 2 2 4ш [a > 0; Re(a - a), Re (a - 6) < 3/4; 2 Re a > |Rei/|; |argw| < тг]. Pi I —, a; —; ^о;ж I dsc = (а/2) 6-3/2 V^ra;r(a) a" [а > 0; 1 < Re а < 2; |argw| < тг]
2.21.6] 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,b;c; x) 275 оо О оо 1, 2с ; с; — шх ) dx = l, a; |; -w*j dx = ^g > 0; -3/2 < Rei/ < 1/2; Re Bа - i/) > 3/2; |argw| < тг]. 5. (ELY с+а \2/ a, b: с: 1 I dx = У/ с, а + I//2, с — а — o + a + i// —|— 15 с — л ~\- ct -\- и/2, с — о -j~ ct - у и и и а у а + -,с-а-6 + а+-; I/ + 1, с-а + а+-,с-Ь + а+-; ^р [у, Re с, ReBa + i/), Re (с - а - Ь + а + *//2) > 0]. 2.21.6. Интегралы от Л (ж) ^(^(ж)) 2Fi (a, b; с; х(ж)). J Г /2-a,a-v/2-a Ь, с — а а, a — с + 1; а — 6 + 1, а-аН hi, а — а Ь 1; 1 + 2 2 4ш/ Га - 6, с, а + I//2 - 6, а - I//2 - Ь] [ Ь \ + 2шь 6, Ь-с + 1; Ь-а + 1, Ь- ^ + 1; ^^ 2 4а; (<т/2)" Гс, -I/, a + i//2, а-а-и/2, Ъ-а-и/2Л «+-/2 [ 6 /2 \ ( U U x2F3(a+-,a+--c a, a ¦ с — a — — a I//2 + 1, a и + 2 (<t/2)-%[c, ^, a - «//2, a - a + *//2, 6 - a + i// a, о, с — CK + i//z [Re<j > 0; 2 Re a > | Rei/|; | arg а;| < тг]. 2. (a1 b; с; ^шх) dx = ш{а+ъ)/2 Г(сM1-а-ь,а-ь f -^ оо . f Z^ f-^ ) 2Fi(a, 6; c; -wx) dx = j v^; [Rec, Re<r > 0; |argw| < тг]. Гс, -г/, а - г//2, a - a + i//2, 6 - a + i//2~ a, о, с — a + I//2 ™, 6-a + ™; i/ + l, l-a+-,c-a+ Гс, i/, a + i//2, a - a ^ u/2, b^a^ i/ (J Ш x 2F3 [ a - a - -, b - a - -; 1-й, l-a--,c-a--; +
276 Гл. 2. Определенные интегралы [2.21.6 (*/2f v 2 и а ш +1; 4. f xa~1Kt/(ay/xJF1(a, b; с; 1 - шх) dx = ^^ ° [Re a > 0; 2 Re (a- a), 2 Re (b - a) > \Reu\; |argw| < тг]. 2a-2a X хГ — а, с, а + г//2 — а, а — W2 — а 6, с — a 2^з (а, с-6; а- J V v 1, a - a - - + 1, 2 + ' j a — 6, c, a + i//2 — 6, a — v/2 — bl ~A , x а, с-6 b, с- а; 6-а + 1, 6-а-- + 1, 6 - а + - + 1; 2 2 + Y ^[c, —i/, a + i//2, a — a — i//2, 6^a^ ^/2, c^a^6 + a + i//2l —7^-1 . X а, Ь, с-а, с- -,c-a-6 + a+-; I Гс, i/, а - I//2, а - а [ + - 2 U О" --6 + 1; — ^6 + a^ и/2 а7 Ь, с- а, с- Ъ z z z 4 [Recr > 0; 2 Re a, 2 Re (с - а - b + а) > | Rei/|; |arga;| < тг]. 1/ 5. f x^iy - x)c-1Kv(<tVx~JF1 (a, b; с; 1 - -) dx = 2»-1а-"ус+а-'//2-1 J V У) хГ с, и. а —и/2. с— a— b + a— v/2 c-a+a-i//2, c-b+a-i//2 ; 1- i/, с- а+ а , 2' ' 2' 2' с, -I/, [у, Re с > 0; 2 Re а, 2 Re (с - а - 6 + а) > |Rei/|]. 6. а, 6; с; 1- - У - а, с, с- 6, с^а l - 6, а - с + 1; а-Ь + 1, а-с-а+^ + 2, а-с-а-^ + 2; ^- -65 с, с- а, с — о X 2 x 2F3 ( 1 - a, 6 - c + 1; 6-a + l, 6-c-a+- + 2, fe-c-a--+2; ^^¦ 1 2 2 4 1 - a + i//2, a + &-c-a + i//2 + 1 ol — —, с — п — b + о, — — 5 I — v, с — fl + o; — —, с — b + ск — — 5 ^^1 ь, c+Q^/2-infc, — *Л а — с — a — i//2 + 1, 6 — с — а — и/2 + 1 - а - и /2, а + 6-с-а- i//2 + 1
2.21.9] 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a, 6; с; x) 277 х 2F3 [а, 6; с; -- V . U О" --, с - 6 + а + -; —— [Re с, Re«x > 0]. с-(а+Ь+1)/2 2(c+i fc-g-c+ 2 |_ 2 ' 2 [|/, Re с > 0; Re (a - b - c), Re (b - a - c) > -1; |argz| < Зтт/2]. 2.21.7. Интегралы от Л(ж)К(<тжJ^1(а, b; с; (f(x)). 1 1 y2\ тг Г а, 1/2-a a, a; -; 1 — -^ <ix = —Г . ' 2 '2' ж2/ 2у [l/2 + a, 1-a [у > 0; 0 < Re a < 1/2]. 2. 3. К(- a,—; с; 2 ^ с; 4с dx = 1 2' 2' > у > 0; Re с > 0]. 2. X 2Fi (i i; c + 1; /(a2 + ш - <r2a;?/2) ) [t/, Rec>0; | arg A - шУ2)\ < тг]. \Z I / 2.21.8. Интегралы, содержащие функции Уиттекера и 2Fi(a, b; с; шх). — ) 2Fi(a, b; с; —а;ж) с!ж = Л5 ft "у" С zlO J ' = 2a - a - 26 + 1, 2^ = a - 2a; Re cr, Rec, Re (a - a), Re (a + 6 - 2a) > 0; |arga;| < тг]. a, b; c; 1 у (о+ь-1)/2 , (а - 6 ^ с + 1)/2 - р, (Ь - а - с + 1)/2 - [j/, Re О 0; Re (с + 2р) < 1 - | Re (а - Ь)|; |arg<j| < Зтг/2]. 2.21.9. Интегралы, содержащие произведения двух функций 2Fi(a, b; с; (р(х)). . f 2Fi A - а, 1 - Ь; 2 - с; - ) 2Fi (а, Ь; с; - J V у) \ у 3. 4 (c — lJ/{[t/?(a) — ф(Ь)] sin атг sin Ъж + [t/>(c — a) — ^(c — b)] sin (с — а)ж sin (с — &)тг} F — a) sin стг sin (c — a — Ь)ж [с ф 1; а ф b; \Re(c - a - b)\ < 1]. [c = 1; a^ 6; 0 < Re(a + 6) < 2]. -[(B, a) - CB, 1 ~~ a)} [c = 1, 6 = a; 0 < Rea < 1]. 2тг f ( . 2Fi (l-a, — a, 2 — b: 3 — c; — 1 2F1 f a, 6; c; — 1 dx = 2// V У/
278 Гл. 2. Определенные интегралы [2.21.9 а(с — 1)(е — 2) sin (с — а)ж sin (с — 6)тг F — 1)(с — а — 1) sin еж sin (с — а — 6)тг 5. хс (у-—х)а с 2F1 I а, 6; с; — I dx = J L V У/1 о 7Г2/" (а —6) sin (с —а —6)тг [а? ^? е —а, с — с, с X -ф(с-Ь)] [а ф b; 1]. 6. 7, 7Г|/ 2а sin (с — 2а)тг [а^ с ~~ а] оо Г с^г п ( и \ и1 f ' и' ' . х 2-^i(a? о; с; —ах) 2^i\Q> 5 о ; с ; —б • = а; |Re(c- 2а)| < 1]. ^а а^сГ\с, с,а + а-с,а + Ь'-с,а+Ь-с,Ь + Ь'- Ш ' а5 Ъ,а\ b'.a + a1 + b + h' ^2c х iF\ (а + а —с, а + 6 ™ с; а + а +6 + 6 — 2с; 1 [Re с, Re(a + a' -с), Re (а + 6; - с), Re {а1 + 6 - с), Re (b + bf - с) > 0; | argo-|, | argw| < тг]. со 8. JoT о (а, Ь; с; - (а, Ъ; с; 2, с X X 2FiBa- 1, 26- 1; 2с- 1; -д а I а, 6, с - 1/2 [Re а, Re b > 1/2; |arg<x|, |arga;| < тг]. 9. хс~г(у — х)с ml 2F1 (а, 6; с; — а;жJ^1(а, 6; с;; а;(у — ж)) rfa: = а, 6, (а + Ь)/2, (а + 6 + 1)/2; ш2у2 а + 6, 10. 11. жс 1(у ~~ х) [6^ ™а; 2/, Re с, Rec; > 0; | arg A - шу)\, \arg(l+ шу)\ < тг]. 1/2, а, -а; ш2у2 [6 = —а, у, Re с, Re с' > 0; | arg(l — шу)\, | arg A + шу)\ < тг]. i (а, 6; с; стжJ^?1(с + с# — а, с + с# — 6; с;; а;(у — х)) dx = = Ус+С'^ В (с, с;)A - шуJа~с~с' 2Fi(o, 6; с + с'; (а + а; - <та;)у) [у, Re с, Rec; > 0; | arg A - <ry)\, |arg(l- шу)\ < тг]. 12. xa~1(y-x)c~12Fi [a,b] с; 1- -) 2^1 (а', 6;; с'; 1 - иж) Же = о = У , с;, с'-а'-Ь', а, с- а- 6 + а] / а;, 6;, а, с- а- 6+ а; шу ^ с —а , с —о J \с—а+а, с—6 + а, а + о —с+1 a^i ^\ с, с, а!+ Ъ' - с, с - а'- У + а, с + с'- а - а'- 6 - 6' + а] [ 6+6+ + 66+ J (с — а , с ^6, с ^а ^6 +а, с + с^а^а — 6 — 6 +а; ajf/ \с —а —6 +1,с + с — а — а —о +а,с + с —а —6 — 6 + а/ [у, Re с, Re а, Re (с- а- 6 +а), Re (с' ™ а' ™ 6' + а), Re(c + с' - а - а' - 6 - 6; + а) > 0; |arg(l -wy)| < тг] 13 . f ха(х - а)с~г(ш - ж)с/т12^1 fa, 6; с; 1 - -) 2Fi fa', б'; с; 1 --) dx = J V (Т / \ и) / = В(с, c/)(w-a)c+c^1Ha;B2Fi fc, D; c + c;; 1- -) [0<ст<ш; Rec, Rec'>0].
2.21.10] 2.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a,b;c;x) 279 а - а' - b + b + b + b + a 0 0 0 f bf — с - a' - a -c a - - с - с f - с + - с -c + a' - ^c a' - 1 - с + - с с а а а а -Ь + а + + Ь' -с' а а — с' а Ь + а — b -Ъ' а b с — ft с — а с + с — а b c + b' b b b b b t a a t a i ft / a ft i a t ft a a t ft b' c—a c—a' b' b' b' b' b' b' b' b A a a с + с'— с- b + a' + + b'-c' -a'-b' a' + b' b-b' A b-b' b + a — с о -\- ft — с В — ft — a a +b' - b-c t — с — с — с a +bf - r — с — с В a +b' - — с — с — с — с С а + а' а + а с + с — а' с — b + а' с + Ь' о + с — а С с- Ь+ + с — а' с + Ь' с а с с b b D с + с — а с ~~ а+ -b + bf fc'-6' — a + ft' - bf + с D -b' + c b + a' b + a' 14. - wx)~a' 2F!(a, b; c; ujxJF1 (a\ b ~ c; c; V dx = V 1- wx = B(c, c)yc+c'~12F1(a + a, b; c + c; wy) [y, Rec, Re с > 0; | arg A - шу)\ < тг]. 2.21.10. Интегралы по параметрам, содержащие 2^1@, &; с; ж). s + d 2F1(a, s; с; -х) ds = 0 7 —ioo 7+ioo 2. [ r\b^S}2F1(a1 s; c; ^x)ds = 27Tix^bFl C' п ~ [7, Red > 0; 0 < Rea < Rec; |argx| < тг]. 7+ioo 7+ ^ 3. Г \ S 2Fi(a, s; c; -x)ds = J [s + d\ j — ioo 7+ioo 4. [ r\b + a, 1-6, c-bj [7 < 1; 0 < 7 < Re6 < Rea < Rec; \mgx\ < тг]. 0 [7, Red > 0; 0 < Rea < Rec; |ащж| < тг]. ft, S] с + S] —x) ds = 0 [Rea > 0; 7 > - Re b; Re (c ~~ a ~~ h) > 1; | arg (x + 1)| < тг]. 5. c+ s, 1 - s 7 — too 7+ioo с, 1 — d, a [Rea, Re (a - d) > 0; - Re b < 7 < Re d < 1; | arg (x + 1)| < тг]. . I zsTBc - 1 + s)r(-sJFiBc - 1 + s, -s; с; -ж) ds = 7го° z2I/2"c [l-2Rec < 7 < 0; |arg(» + l)| < тг]. 7+гоо 7.
280 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.1 [, i -| tt' Fi(a, 6, bf; с; го, г) [^Rea, ^Rebf < 7 < О]. [ 8. [ (z)\ f J L с + Га 6'1 = 2ттгГ а', F2(a, 6, b'; с, с;; го, z) [-Re a, -Re 6' < 7 < 0]. 7 / / L C J . [ (^z)sr\a' + S"b' + S^SJF1(a,b; c + s; w)ds = J L c + s J \ ' h'~\ = 2ттгГ ' F3(a, a\ b, b'; c; w, z) [- Rea', - Re6; < 7 < 0]. L J 7+ioo 9 7+ioo 10. Г (-2)'r|a + e^b+fe8> el2Fi(a + e, 6+s; c; 7 —*oo = 2ттгГ Г*', \F4(a, b; с, с; w, z) [-Rea, -Re6 < 7 < 0]. L c J 11. \ x sh27TxF(a + *ж)Г(а — ix)K2iX(b) 2F\{a + ix, a — ix; c; —z)dx = [6 > 0; Rec > 2Rea > 0; |arg^| < тг]. 12. [ (c - 1 + ix)V (\ - ix) Г ( 2c - I + гж ) /c-i+«(a)^c-i+«D x о -, \ / ,\c-l/2 x 2Fi ( 2c - I + to, I - to; c; ^zj <te = 2с^1/2^Г(с) Г^\ Kc_1/2(w) \w = Ja2 + b2 + 2a6(l + 2z); | arg (z + 1)| < тг . CO L J f SlnBn + 1OT3? . ч - F^—^=7^ r2Fi(a, 6; с + ж; z) x J 81птгжГ(с +ж)Г(й — ж) + rf — a — 1, с-\- d — b — 1) d — x; z) dx = ^ jx X 2Fi (a, 6; c + d^ 1; 4z(z - 1)) [Re (c + d) > 1; |z| < 1]. 2.22. ОБОБЩЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТР1ЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ pFq((ap); (bq); x) Ш ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ (см. также 2.23^24 и 2.19-21) 2.22.1. Интегралы общего вида. Обозначения: к, I, га, п, р, q = 0, 1, 2, ...; А;, I/O; тп^п + 1; р^^ + 1; г = 1/к р q т п [к, I — взаимно простые], EY^ , , q — p + 1 v-^ T^ j , ^^^, + 1 % " 2^6i + ^—^ ' P = Z^c^ Ъ^" + 2 i=i i=i i=i i=i [aj, bj, Cj, dj — комплексные параметры, a.j, Cj 7^ 0, —1, —2, . . .], (p = q-p-r(n-m+ 1) + 1, g = 2^1[A - l)(m - n + 1) + A - fc)(p - q + 1)], cr, a; — комплексные переменные. 1°. Re (a - Cj - rai) < 0 [j = 1, 2, . . . , те; i = 1, 2, . . . , p]; 2°. (ra- n^ l)Re(a - ra^-) - Rep > ^3/2 [i = 1, 2, ..., p]; 3°. (p- q - l)Re(a - с,-) -rRe/x> ^3r/2 [j = 1, 2, ..., p]; 4°. |y?| + 2Re[(g ^p+ l)(n - m + l)a + r(n - m + l)(/x - 1) + (q - p + l)(p - 1)] > 0;
2.22.1] 2.22. Гипергеометрические функции: обобщенная и двух переменных 281 5°. \<р\ - 2Re[(q - р + 1)(п - т + 1)а + г(п - т + 1)(/х - 1) + (д - р + 1)(р - 1)] > 0; 6°. Если A; = ra — га + 1, / = </ — р+1, то | arg A — zo<x™ а; )| < тг, где q-p+1 m-n-1 _ кп — га + 1у причем при Re [/х + р + (тг — га + 1)ск] < 1 допускается значение aq 7°. Re(a + ci) > 0 [j = 1, 2, . . . , m]; 8°. Re (a - raj) < 0 [j = 1, 2, ..., p]; 9°. Re [(p - g - 1) - r/x] > -3r/2; 10°. Re [(n - ra + l)a - p] > -3/2. 11°. Выполняется одно из следующих трех условий: Ас > 0 или Ас = 0, As / 0, Re (a + /х) < 3/2 или Ас = As = 0, Re (a + /х) < 1/2, ¦ + |<71 cos (argcr), где Ас = (д - р + жа 1mFn((cm); (dn); -о-ж) pF9((ap); q-p + 1 x G <k + lm, kp+l q^p+l /k\ ^x — (bq), (dn) 1,1 — a), A(A;, 1 — (aP)), A(/, (rfn) — «) Д(Л, 0), Д(/, (cm) - a), A(k, 1 - F,)) 0]. если выполняется любая из следующих четырех групп условий: 1) тр /0; га = тг или п + 1; р = q или д + 1; | arg ст| < (га — тг + 1)тт/2; |arga;| < (р - д + 1)тг/2; Re a > 0; 1°; 2) 771 > 0; га = тг или п + 1; р = д^1 или д; | arg <г\ < (ттг — тг + 1)тт/2; |arg )тг/2; Re а > 0; 1°, 3°; |g| (рд )/ 3) га = п — 1 или п; р > 0; р = q или д + 1; | arg <т\ = (гм — п + 1)тг/2; | arg ш| < (р-д + 1)тг/2; Re а > 0; 1°, 2°; 4) га = п — 1 или тг; р = д — 1 или д; | arg <j\ = (га — п + 1)тг/2; | arg 2. 1)тг/2; Re а > 0; 1°-3°, 5°, 6° [ случаи m = п = 0 или р = q = 0 см. в 2.22.1.3]. ); (dn); -.тх) PF,((op); F,); -uxl/k) dx = /q \g-i д »р+а(п —т —1) —1 ар \"<?/? \"''«, — \ / / \ / |_ \^р/ ? V^m АA, -а), А(к, 0), А(А;, 1 - (bq)), А(/, 1 - а - (dn)) если выполняется любая из следующих четырех групп условий: 1) тр /0; т = п или га + 1; р = q или д + 1; | arg а\ < (га — га + 1)тг/2; |arga;| < (р - 9 + 1)тг/2; 7°, 8°; 2) тга = га или га + 1; р = </ — 1 или д; | arg сг| < (т — п + 1)тг/2; |arg 3) 771 = тг — 1 или тг; р = д или д + 1; | arg <т| = (га — тг + 1)тт/2; |argo;| < )тг/2; 7°, 8°, 10°;
282 Гл. 2. Определенные интегралы [2.22.2 4) т = п — 1 или п; р = q — 1 или g; | arg сг| = (га — п + 1)тг/2; |argo;| = (p-qr +1)тг/2; 7°~10° [случаи 77г = п = 0 или р = q = О см. в 2.22.1.4]. 3. [ap)] (bq); ^ (bq A(Z, 1-a), г, 1-(Ь,)) если выполняется любая из следующих пяти групп условий: 1) q — р — г + 1 > 0; Re a, Re а > 0; arg ш — любой; 2) р = q или q + 1; Re а, Recr > 0; | argw| < (p — q + 1)тг/2; 3) А; = 1; I = q — р-\-1\ р < q — 1; Re а, Recr > 0; | argo;| < 2тг; 6° при m = п = 0 и 11°; 4) А; = 1; I = г = 2; р = q - 1; Re а, Recr > 0; 0 < | argш| < 2тг; 6° при m = n = 0 и 11°; 5) к = I = г = 1; р = q; Re а, Recr > 0; тг/2 < |argw| < Зтг/2; 6° при т = п = 0 и 11°. 4. = L К). , (ар)) , -a), A(fe, 0), ¦ - • - I --г I кр, fcg + fe + l I i| р = q или д + 1; Re <т > 0; | argw| < (р — д + 1)тг/2; 0 < Re а < г min Re «j I. 2.22.2. Интегралы от А(х) pFq((ap); (bq); <р(х)) (см. также 2.23.1). ip), a; [a, Re а, 0; р 1]. 2. —n, dx = '— п, а, (ap_i); ш Р, Fд) [Re р > Re а > 0; | argz| < тг при р ^ д + 1; | arg z|, | arg (I — ш)\ < тг при р = q + 1]. iF2 1 ; о, с; dx = C [Reb,Rec>0]. 2.22.3. Интегралы от ef{x)pFq((ap); (bq); ex) (см. также 2.23.2). со I 1- fx0"^"^' PFg((ap); Fg); -шж) с!ж = 1^т^1аГAа) l+pFg f(op), A(/, la); (bq); -^), если выполняется любая из следующих пяти групп условий: 1) I < q — р + 1; Re a, Re <т > 0; arg о; — любой; 2) р = q или q + 1; Re a, Recr > 0; | argo;| < (p — q + 1)тг/2; 3)/ = qf — p + 1, p<qf — 1; Re а, Recr > 0; | argo;| < 2тг и 6° (при т = п = 0), 11° с заменой а на 1а; 4) I = 2; р = д + 1; Rea, Recr > 0; 0 < | arg о; | < 2тг и 6° (при m = п = 0),
2.22.3] 2.22. Гипергеометрические функции: обобщенная и двух переменных 283 11° с заменой а на 1а; 5) I = 1; р = q; Re a, Re a > 0; тг/2 < | arguj\ < Зтг/2 и 6° (при т = п = 0), 11° с заменой а на 1а [ условия 6° и 11° см. в 2.22.1]. Г с^! . ж J 1? tt? ^5 ^^ с, с+1/2 йж = 21 {2с)о- ш _(а+Ь)/2 3. 4. I ж~ ^е о a + 6, с, с + 1/2 а+Ь — 2с — 1 A —а —Ь)/2тхт- T W1 Н/Aь)/2 a, 6, тг — a, n — b; -wi n-1/2, с, с+ 1/2 тгГBс) [Re с, Re<j > 0; |arga?| < тг]. [Rec, Recr > 0; |argw| < тг]. (n/2-bOrirr(l) / ^n (b-n/2Ort rr(i) Л1 . [ ж^ J c, d [п = 1 или 2; Re с. Re <т > 0; | arg ш \ < тг]. dx = ^^-2Fi fa, b; d; —) [Rec > 0; Re«r > Rew, 0]. 6. 7. 8. 9. r-cnd-l/2l1_2uA l±l/2, с —га, тг + 1; а;ж 1, с d J [Rec, Recr > 0]. [Rec > 0; Re «r > Rew, 0]. } -p = arcsin у/ш/а ; Rec, Re a > 0]. dx = (J~cT{c)Pn ( 1 - — J [Rec, Re<r > 0]. /d-3/2 dx = _ Г(с) Г [sin Bn oo 10. \xc~1t с, с+1/2 [Rec, Rea, > 0]. CO 11. [ xc~1e~ax0F2(c, d; -wx) dx = F{c)F{d)a о . J ж е o^ 12 13. 2, -, —j 2, 2c- 1; -u (Jc I cos{2y/a/u)) 2ш3^\ [Rec, Recr > 0]. [Rec, Г(с)ГBс - [Rec > 1/2; Re a > 0].
284 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.4 14. Ixc-Ie-"^OF3 Uc+\, d; -wx} dx = 22 /П \ [Rec, Re<r>0]. 15. \1lj = 2"-1Г(с)Г (±±±) Л^'-^-^е"'»"»/,.,/, ( —) [Rec, Recr> 0]. OO V / 16. f xc~1e~ax1F2(l\ c, d; шж) dx = (d - l)F(c)(id~c~1uj1~deaj/aj (d - 1, -) ? [Rec, Retr > 0; Re d > 1]. 17. \xc~1e~<rx1F2(-n\ c, d; о;ж) dx = П;Г(С) L^-i /w\ jRec? Re(J>0]i J (tt)nCTc Vcr/ о oo 18. \ хс^е^ал/Ш iF2(a; с, с + 1/2; ^о;ж) с!ж = 2ГBс)(т2а^2с(а2 + 4ш)"а ^ [Rec, Re(a±2y^) > 0]. 19. J *-e- " ,F, (с; с +а; А7+ 2/3) ^ = ЗГ(Зс)а,-«(.- + 27а,)- ^ [Rec, Re ha - 3w1/3l > 0]. 20. JzV^fJ , ; J \3/2, c, c + 1/2, о [Re^ Rea > 2.22.4. Интегралы, содержащие функции Бесселя и pFg((ap); (&g); еж) (см. также 2.23.3). / + 1, (bq) + V/2- a, , Т a-i , / \p = q + 1; o-, Re Ba + i/) > 0, Rea < 3/4+ min Rea^; | argw| < тг, или [р = g; Rew > 0], I + «//2 - а, ^ + 1, F,) + у 12 -а 2\ Г V/2a I / L + /2 1JP * 2\2а p g или \p = q - 1; Re a < 3/4 + min Re ay ш > 0; Re ( 2a + ^ aj - ^ bk ] < 11 . j=i k=t CO 2. о l . \ xc^1//2^1Jl/((jy^JF2(aJ b; c, d] -шх) dx = Г^ °Г^Г^ [А(а, b) + A(b, a)], oo 3. о A(a1b) = F\ b^a .J2F2. La^a,o,a^c + i/ + lJ \a — 0 + 1; a^c + i/ + l [a, Rec, Rew > 0; Re Bc - 2a - u), Re Bc - 26 - 1/) < 3/2].
2.22.5] 2.22. Гипергеометрические функции: обобщенная и двух переменных 285 X W(a+b+3)/2^c,(a^b)/2 ( -;— I к, Нес, Неш > 0; Re(e^2a), Re (с - 26) < 1/2]. \4а;у t {c+d)/2 — 1 т / /—\ rp l l. j. \ j \^ / / Г ' J тгсхд '/ [a, ° Г /<T2\ x < Г(а)ГF — a) sin (c — a)?rM(a+5^i)/2 (a-6)/2 ( — I +ГF)Г(а^6) sin (c —6) x /cj2\1 X тгМ(а+5^1)/2 F-a)/2 If [Re c, a, Re a; > 0; Re(c+d-2a), Re (c + d - 26) <3/2]. CO 6. f a;(c)/2Kc-i(fJv^)oF2(l, с; а;ж) с!ж = —^Y^e4w/cr2 [Rec, Reo-> 0]. о СХЭ 7. f жКо((туж)о^B, 2; а;ж) dx = ^^ El f -^ J - In -^ - С [Rec>0]. о oo o , _ , xc Jc-i(ay/x)Kc-i(ry/x)oF2(c, 2c — 1] —wx) dx = J [Rec > 1/2; Rer : (ст2 + - 0 9. ]X^IA^)K4r^hF2 (?; c, d; -a,x c + 1 4a2r2 4 ' 2 ' ' 2 ' (cj2 + r2 + 2a;J ' (ст2+т2 + 2ш [Red, Re(d + i/) > 0; Rer > | Re<j| + | Im л/ш |]. 10. [ ж"^^)^^^)!^ (-; с, d; -шх\ dx = 22dr(d)[AI/ + A-u], 4(j2r2 4 ' 2 ' r ' 2 ' (cr2 + r2 + 2a;J ' (cr2 + r2 + 2a;J [Re d > | Re i/|; Re (r + <r) > | Im 2.22.5. Интегралы, содержащие различные специальные функции и p^q((ap)i (^9)? сж) (см- также 2.23.4-6). . Ix^ia^xfpi7'^ A-—) PFq((ap); (bq); шх) dx = J \ a J ), a, a-j; n\ \(o9), a+ p + n + 1, a — 7 — n [a, Rea > 0; Re/3 > -1]. f 1/4 / /^\ /7933 \ 8^2 a5/4 j ^ j ( , ; , ; a 3. Lbl+b2^"^1(a^a;)a+ai^bl^622Fi fa-6i, a - 62; a + «i - 61 - b2; 1 - -) x nit \ /L \ \ J O1 -In Г ^1? ^2, CK + «1 — 6l — 62] ,-, / x з^2((аз); (ог); wa; аж = a I 2^1@2, «3; a; L a ai J a, [Re 61, Re 62, Re (a + ai - 61 - 62) > 0; |arg(l - aw)| < тг]. 4. о ^a-a;H^1-61-62-^^ (a-fti, a - 62; a + a2 - 61 - b2; 1 - |) x
286 Гл.2. Определенные интегралы [2.22.6 [г 1 , г i и iFi(a2; а; аи) а, а\ \ [Re6i, Re62, Re (a + a2 - 6i - 62) > 0]. } ( 2x\ / 3 \ 5. x n(a — xy Pn \ 1 1 iF2 I /3 — a + 1: n + /3 — a + 1, n + /3 H—; — a; ж 1 dж = J \ a) \ 2 ) (/3 - a + 1)ПГ ( §) [a > 0; Re^ > -1]. 6. ^xb/^1e^ax/2W1+b/2^a,{1^b)/2((ixIF2(a; 1, b; шх) dx = г\Ь}а^Ь/2еш/а [a;, Re<r>0]. - 1 26-2 „i, , , ч , 22с-4Ьо/-2Ь Г26-1, с, с, 1/2-26 + с] 7- Г ^2(C-b;fe,C;-^)^= ^ г| с_26 + 1;2с_2Ь J [Re 6 > 1/2; Re(c^26) > -1/2]. 8. жь+6 ~2 iF2(a; 6,2a; —а;жI^2(а;; б', 2a;; — шх) dx = 0 о [Re F + 6;) > 1; b-bf = ±1, ±3, ±5, . . . ; a; > 0]. _ w1^6^ Г6, 26 - 1, a + a; - 26 + 1, a + 1/2, a + 1/2] ~ л ч "" a-6 + 1, a'-6 + 1, a + a'-6 + 1/2 J [6; = 6; ш > 0; Re (a + a1 - 26) > -1; Re 6 > 1/2]. 2.22.6. Интегралы по параметрам, содержащие pF9((ap); (°д); х)- oo — OO a + ж, a — ж] \(a + x)/2, (a + ж + l)/2y \(a — x)/2, (a — ж a/2 + 3/4; ГBа-1) \a/2-l/4, a + 1/2 I 1 F / a- I/2, a; ^ \ Г[а + ж, a - ж, 6 + ж, 6- ж] 2 \(а + ж)/2, (а + ж + l)/2y X ' 2a + 26 - 3 2a + 26 - 1 2a + 26 + 1 2a + 26 - 3 2a + 26 - 1 27ш2 6 ' 6 ' 6 ' 4 ' 4 ' T~ [Re (a+ 6) > 3/2]. _ J Г [a + x, 6 — ж, с + ж, d — x] X собжтг (smxn\FJ(a + b)/2,a';u;\ X собжтг J \ а + ж, 6^ ж J . ^ + d)/2,c; ш\ = 1 X2 2| c + x, d-x ) X^ 2Г[(а + 6)/2, (c + d)/2, a + d - 1} (sm[{b-a)n/2}\ (a' + c';w rf = fc ^ ft c >
2.22.7] 2.22. Гипергеометрические функции: обобщенная и двух переменных 287 2.22.7. Гипергеометрические функции двух переменных. оо 1. ха~ е~рхФ\(а1 Ь; с; ш, zx) dx = Г(а)р~аF\ I a, b, а; с; ш, — 1 J V pJ [Rep, Re(p- z), Re a > 0]. 2. f ^"^""^(б, 6'; с; шх, z) dx = r(a)p^"Si (b, 6;, a; c; -, zJ [Re a, Rep, Re (p - w) > 0]. oo 3. f жае^ржФ2F, Ь'; с; с^ж, *ж) с!ж = r(a)p~aFi [a, 6, &;; c; -, - ) J \ p pJ ^ [Re a, Rep, Re(p^w), Re (p - z) > 0]. 4. f ж^^'^Фг^, 6;; с; шх, zx) dx = Г(с)рь+6^с(р - шуь(р - z)^ о [Re с, Rep, Re (p - ш), Re (p - z) > 0]. 5. f ха~1е~рхФ3(Ь; с; w, ^ж) dx = Г(а)р~аФ2 (b, а; с; ш, - ] [Rea, Rep, Re(p-«)>0]. J V V) oo 6. f ха~ге~рхФз(Ь; с; шх, z) dx = F(a)p~aE2 (a, b; c; —, z) [Rea, Rep, Re(p-w)>0]. о oo 7. f жае"ря?Ф3F; с; шх, zx) dx = Г(а)р^аФ1 (a, b; c; —, - ) [Rea, Rep, Re(p-w)>0]. J V p p/ oo 8. f хс^1е^рхФз(Ь; с; шх, zx) dx = Г(с)рЬ^с(р - ш)~ье*/р [Re с, Rep, Re (p - ш) > О]. о oo 9. [ ха~1е~р^Ф3(Ь; с; ш, zx) dx = 2FBa)p~2a5i (а, Ъ,а+-; с; Щ, о ^ [Re a > 3/4; Rep > 10. [ жа^1е^ржФ1(а, 6; с, с; ш, zx) dx = F(a)p^aF2 (a, 6, а; с, с'; ш, - J [Re а, Rep, Re (p - z) > 0]. oo . . 11. ха^1е^рх^2(щ с, с: шх, z) dx = F(a)p^a4fi I а, а; с, с'; ^, z 1 [Re а, Rep, Re (p - ш) > 0]. 7 а-1 -рхт / / ч , „,,-„„( , Ш Z\ J \ р pJ [Re а, Rep, Re(p-w), Re (p - z) > 0]. 7 а-l ( I Л 13. ж e 2i(a, a , 6; с; а;, 2:ж) dsc = Г(а)р F3 a, a , 6, а; с: ш, — ] J V pJ [Re a, Rep, Re (p - z) > 0]. 00 . . 14. жае^рж!Н2(а, b; с; ш, zx) dx = T(a)p~aE,i ( a, a, 6; с; ш, — ) [Re a, Rep, Re (p - 2) > 0]. 12 15. жа e Py^x S2(a, 6; с; а;, ^ж) с!ж = 2ГBа)р aF% I a, a, 6, a -\—; с; ш, — I J V 2 p у [Rea > 3/4; Rep > 2|Re-/?|].
288 Гл.2. Определенные интегралы [2.23.1 2.23. Я-ФУНКЦИЯ МАК^РОБЕРТА Е(р; ar : q; bs : ж) Соотношение Е(р; ar:q; bs : ex) = дает возможность получать интегралы, содержащие ^-функцию, также из формул раздела 2.22. При этом условие q ^ р — 1 для обобщенной гипергеометрической функции заменяется условиями q ^ р + 1, | arg с| ^ (р^д + 1)тг/2 для iiJ-функции. Интегралы, содержащие Е- функцию, можно также получать из раздела 2.24, поскольку она является частным случаем (^-функции Мейера. Для J^-функции используются следующие обозначения: E(p; ar : q; bs : x) = E((ap); (bq); x) = ^l v Ph X ~ ^' l p) ^ 1. I xa-LE((av): (ba): ex) dx = Г I a + (%),\ "Ic^ 2.23.1. Интегралы от Л(х)Е((ар); (bq); (fi(x)). oo ха^гE((ap); (bq); ex) < о 10 ^ g < p + 1; — min Re a^ < Re a < 01 или Р р+1 L = р + 1; -1/4 + Re 5^ afc - 5Z &Z / 2, - min Re afe < Re a < 0 . CO . f жа(ж1/то^а1/т)/3^1Е'((ар); Fд); еж) dx = X El (ap)'A4(m:,X ma ^; ^ I [a,Re/3>0; Re(ma+/3)<l;m = l,2,...]. 1 (y, A(m, 1- ma) f . j /"'(a - xf-'EiM; F,); ^""(o - a;)"') dz = 3 j о f(ap), A(k, a), [a, Rea, Re/9>0; ib, / = 1, 2, ...]. L И J /(ap) Д(„ -p-l/2); (b + 2V55)-\ c R 5. \x1/2-p(a + bx + cx2yE((ap); F,); [9 < p + l; Re a ^ 0; Re с > 0; Rep < -3/2]. 2.23.2. Интегралы, содержащие показательную или гиперболиче- гиперболические функции и Е((ар); (bg); еж). 1. жа 1e sxE((ap); (bq); ex) dx = О Г //Л \. ±тгг / \ // ч , _. л± Fq), 1-a J \ (bq I _a с,/ («р); е 7rtc/s\ _a /(ap) + a; e ^с/г ^тгеовесатг s ?J ' Л Fl
2.28.3] 2.23. Е~функция Мак-Роберта Е(р; ar : q;bs : ж) 289 q < p + 1; Re s > 0; | arg c\ < (p — q + 1)тг/2; Re a > — min Re a^ | или p p+i г = р + 1; с, Re s > 0; Re а > — min Re а&, Ь Re x^ 4 2 . 3. Fg); c(s/m)r' [я ^ P + I» F^e s > 0; I arg cl ^ (p ~~ 4 + lOr/2; Re a < 0]. ap); (b,); (a + bch x)n) dx = J^j (a + b)e+a/2 v (ap), Д(п, -й-3/2); (a + 6] (ap), A(n, -^- 2.23.8. Интегралы, содержащие функции Бесселя и Е((ар); (bq); еж). ; еж) dx = 2ma Д (ор), Д(т, J//2 - та), А(т, -и 12 - та); e"m7riBm)m62mc ехр г)Е г, ma), А (га, ma); em7i < р + 1; 6 > 0; | arg с\ < (р ~~ q + 1)тг/2; -3/Dт) - min Re afc < Re a < Re i//Bm) или 3 = p+ 1; 6, С > 0; 3 1 / <с—-\ ir—^ \ m + 1 i7 min Re ад., Re — I > a^ — > 6| < Re a < Re 4m l^fc^p 2 I j!i^ ^-^ I 4m 2m OG . f 2mBa + [q 3. ap); (bq); ex) dx = b \ 2ma /(ap), A(ra, i//2 — raa), A(ra, —u/2 — ma) I ^ 1 —2m 1m hi; Refe > 0; |argc| $C (p - q + 1)тг/2; Re а < -| Re i/|/Bm)]. ; еж) с!ж = ар), A(ra, i/ — ma), l CO l-m/2 ), A(ra, —i/ — ma) ; Re b > 0; | arg c\ ^ (p - q + 1)тг/2; Rea<- 3/2-mL2ma )Ки[Ьх~{2т) г)Е((ар); (bq); ex) dx = ap), A(w, (y + /i)/2 — ma), A(m, (i/ — aO/2 - ma), A(m, (/i — i/)/2 — ma), A(m, — (/x + г/)/2 — ma) ; (b/mJmc 10 А. П. Прудников, Т. З
290 Гл. 2. Определенные интегралы [2.23.4 [q ^р + 1; Reb > 0; |argc| ^ (р - q + 1)тг/2; Re а < —(| Re/x| + | Rei/|)/Bm)]. 2.23.4. Интегралы, содержащие функции Лежандра и i?((ap); Fд); еж). _ @ ^ « (aP), A(m, (// + i/ + l)/2), A(m, (/x — (fcg), ABm, 1); ac [q ^ p + 1; a > 0; |argc| ^ (p - g + 1)тг/2; Re/x, Re Braa - /x - i/) < 1; ReBma - ц + is) < 0]. CO 2. ж (ж — о, ) jP^ I 2 I — I — 11 E((ap); \bq)\ ex) dx = a (ap), A(m, fi — ma), A(m, —ma); ac K(bq), A(m, 1-\- is — ma), A(m, — i/ — ma) [q ^ p+ 1; a > 0; | argc| ^ (p - q + 1)тг/2; Re a, Re (ma + pt) < 1; Re /x < 1]. 2.23.5. Интегралы, содержащие функции Уиттекера и ?J((ap); F9); еж). na ('(ap), A(m, 1/2 + <7 - ma), A(m, 1/2-a- ma) 2. (bq), A(m, 1 — p — гтга); (s/m)mc ; Res > 0; |argc| ^ (p - g + l)?r/2; m Re а + |Recr| < 1/2]. ар); (&д); еж) с!ж = 52maTOi/2-2ma /(др)? дBш, 1 - 2ma), A(m, ^ + <т - ma), A(m, i - (г - ша)\ ill 1 -" I 2тBа + 1)^17Гт^1/2 I ^^ д^^ 1 + р ^ таM Д(тj 1 _ р _ та). Bт)т&2тС I [д ^ р + 1; Re b > 0; | arg с\ ^ (р - д + 1)тг/2; т Re а + | Re a\ < 1/2]. 2.23.6. Интегралы, содержащие произведения двух IiJ-функций. 1. I xa^E((cm); (dn); ax)E((ap); (bq); шх1/к) dx = Bтг) о А| и, 11/-\-(тп — п — 1)о; — 1 —сх k^l v 'ax I, fc + lm k + kq+lm, kp+l + ln I Ц(п- A(k, 1), Д(/, l-a-{cm)), A(k, (fe,)) \ Д(/, -a), A(k, (ap)), Д(/, 1 - a - (dn)) / A = (m - n - 1)A - 0/2 + (p~q- 1)A - fe)/2, r / у J / j J ¦ л ' / .у J / у J ' q ' условия см. в 2.24.1.1 при s = v = m, 5 t = n = l, it = n + l, m = q = Pj p = q-\-l] (cu) = l, (dn); (dv) = (Cm)i (°>p) = li (bq)] (bq) = (d>p) • со n + l,kp+lm I ll(m-n-l) A(Aj, 1), A(l, 1 - a), I, (dn) -a) A(A;, (ap)), A(/, (cm) - a) [Л, /i, i/ см. в 2.23.6.1; условия см. в 2.24.1.1 при s = n = l, t = u = m, v = n-\-l, m = q = p, p^^ + 1;
2.24.11 2.24- G-функция Мейера (bq) 291 2.24. G-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА GZT (x (ар) А (bq)J В разделе 2.24.1 приведен интеграл общего вида, который содержит в качестве част- частных случаев при различных значениях параметров многие интегралы с элементарными и специальными функциями; часть этих интегралов включена в настоящий справочник. 2.24.1. Интегралы общего вида. Обозначения: 7П, га, р, д, з, t, и, v = 0, 1, 2, . . . ; k, I = 1, 2, 3, . . . [к, I — взаимно простые числа], b* = p ¦t —, с =т + п- «2 ¦ + 1 [aj, bj, Cj, dj — комплексные параметры (p = g — p — r(v — u), 7] = 1 — ql(v — u) — /i — p [a — комплексный параметр с ш — комплексные переменные; сг, ш / 0. 1 . а» — bj, Cg- — dh ф 1, 2, . . . 2°. Re (a + с4 + rbj 0 [г = 1, 2, . . . , щ j = 1, 2, . . . , га; g = 1, 2, , [j = 1, 2, .. 3°. Re (a + 4°. (р- g) 5°. (р- g) 6°. (ад - v) 7°. (^-v)Re(a + r6i)- 8°. \<p\ + 2 Re [(g - p)(v - 9°. M - 2 Re [(g - p)(v - 10°. arga| < 6*тг; 11°. argcr| = 6*тг; 12°. argo;| < с*тг; 13°. га*) < г + 1 + c^ - 1) - rRe/i > -3r/2 + d^) -rRe/x> ^3r/2 + rai - r) - Rep > ^3/2 -3/2 [г = 1, 2, т; п; h h g Ы [h [* U = = 1,2, = 1,2, = I? 2, = 1, 2, = 1,2, = 1, 2? = 1. 2. . . . . , s . . . , 8 . . . , t . . . , t . . . , 8 . . . , 71 ... 771 (v - u)(fi - 1) + (9 - p)(p - 1)] > 0; - 1)] > 0; = с*тг; 14°. Если ip = 0и c*+rF* -1)^0, то | arg A - госг~1шк)\ < тг5 где z0 = rl{v~u) exp [-A6* + + Агс*)тгг], причем при Re [/i + p + a(i; — ix)] < 1 допускается значение <т ш = zq. 15°. Выполняется одно из следующих трех условий: Лс > 0 или Лс = 0, Л5 ф 0, Re ту > —1 или Лс = Xs = 0, Re 77 > 0, где Лс(д - 1/() 1/() 1 + (q — in — га)тг], ^ = g -p As = (g — p)|cj| '{q~p> sgn (arga;) sini при условии arg <т • arg cj / 0; если arg <j = 0, arg w / 0, то As = A^ если arg а ф 07 arg cj = 0, то As = A^ если argcr = arg a; = 0, то As = Aj"+, u* sgn (argo;) sin 0, где A^ = lim s, As = lim As, arg ш—->-d=O I. T^-^^Jc (d.) (jrnn M = lim As. org cu—->+0 гя<т^±0 10*
292 Гл. 2. Определенные интегралы [2.24.1 lt, kn+ls v, kq+lu , ai), an), A(/, 1 - a - di), . . . , A(Z, 1 - a - civM 6m), A(Z, 1 - a - a), . . . , A(I, 1 - a - cu), ap) bq) если выполнено одно из следующих условий (если ms = 0 или nt = 0, то соответственно 2° или 3° опускаются): 1) mnsi ф 0; Ь*, с* > 0; 1°-3°, 10°, 12°; 2)u = v\ b* = 0; с*, а > 0; Rep < 1; 1°-3°, 12°; 3) р = q; с* = 0; 6*, ш > 0; Re/x < 1; 1°^3°, 10°; 4) р = д; гх = v; 6* = с* = 0; <т, о; > 0; Re/i, Rep < 1; cr1 7^ wfc; l°-3°; 5) р = д; м = v; 6* = с* = 0; а, ш > 0; Re О + р) < 1; а1 = шк; 1°-3°; 6) р > д; 8, Ъ* > 0; с* ^ 0; 1°-3°5 5°, 10°, 13°; 7) р < q; t, 6* > 0; с* ^ 0; 1°^4°, 10°, 13°; 8) и > V, т, с* > 0; 6* ^ 0; 1°^3°, 7°, 11°, 12°; 9) и < v; n, с* > 0; b* ^ 0; 1°-3°, 6°, 11°, 12°; 10)p>g; u = v; Ъ* = 0; с* > 0; <т > 0; Rep < 1; 1°-3°, 5°, 13°; 11) p<q; u = v; 6*=0; с* ^ 0; <т > 0; Rep < 1; 1°^4°, 13°; 12)р = д; гх > v; &* ^ 0; с* = 0; о; > 0; Re/x < 1; 1°-3°, 7°, 11°; lS)p = q; u<v; 6*^0; с* = 0; ш > 0; Re/x < 1; 1°-3°, 6°, 11°; 14) р < g; w > г?; 6*, с* > 0; 1°^4°, 7°, 11°, 13°; 15) р > g; tx < и; 6*, с* > 0; 1°^3°, 5°, 6°, 11°, 13°; 16) р > д; и > v; b*, с* ^ 0; 1°-3°, 5°, 7°, 8°, 11°, 13°, 14°; 17) р < д; и < v\ 6*, с* > 0; 1°™4°, 6°, 9°, 11°, 13°, 14°; 18) t = 0; s, 6*, (^ > 0; 1°, 2°, 10°; 19) s = 0; t, 6* > 0; у? < 0; 1°, 3°, 10°; 20) п = 0; т, с* > 0; у> < 0; 1°, 2°, 12°; 21) т = 0; п, с*, ^ > 0; 1°, 3°, 12°; 22) st = 0; 6*, с* > 0; 1°-3°, 10°, 12°; 23) тп = 0; Ь\ с* > 0; 1°-3°, 10°, 12°; 24) w + п > р; t = ср = 0; я, 6* > 0; с* < 0; |arga;| < (т + п - р + 1)тт; 1°, 2°, 10°, 14°, 15°; 25) m + п > д; s = (р = 0; t, 6* > 0; с* < 0; | arga;| < (т + п - д + 1)тг; 1°, 3°, 10°, 14°, 15°; 26) р = д - 1; t = (р = 0; s, b* > 0; с* > 0; с*тг < |arga;| < (с* + 1)тг; 1°, 2°, 10°, 14°, 15°; 27) р = д + 1; s = ip = 0; t, 6* > 0; с* ^ 0; с*тг < | argш| < (с* + 1)тг; 1°, 3°, 10°, 14°, 15°; Щ Р < Ч - 1; t = if = 0; s, 6* > 0; с* ^ 0; с*тг < | arg о;| < (т + п - р + 1)тг; 1°, 2°, 10°, 14°, 15°; 29) р > д + 1; s = у? = 0; t, 6* > 0; с* ^ 0; с*тг < | arg о;| < (т + п - д + 1)тг; 1°, 3°, 10°, 14°, 15°; 30) п = (р = 0; в + t > и; т, с* > 0; 6* < 0; | argсг| < (в + ? - гх + 1)тт; 1°, 2°, 12°, 14°, 15°; 31) т = (р = 0; в + t > v; п, с* > 0; b* < 0; | arg <т| < (s + t - v + 1)тг; 1°, 3°, 12°, 14°, 15°; 32) n = (f = 0; гх = v - 1; m, c* > 0; 6* ^ 0; 6*тг < |arga| < F* + 1)тг; 1°, 2°, 12°, 14°, 15°; 33) m = (p = 0; tx = v + 1; n, c* > 0; 6* ^ 0; 6*тг < |arg<r| < F* + 1)тг; 1°, 3°, 12°, 14°, 15°; 34) n = (f = 0; и < v - 1; m, с* > 0; 6* ^ 0; 6*тг < | arg a\ < (s + t - и + 1)тг; 1°, 2°, 12°, 14°, 15°; 35) m = <p = 0; и > v + 1; n, c* > 0; 6* ^ 0; 6*тг < | arga| < (s + t - v + 1)тг; 1°, 3°, 12°, 14°, 15°.
2.24.2] 2.24- G-функция Мейера (bq) 293 -t, n+s J. jx Guv[a {1P) ) dx = K) [cm. 2.24.1.1 при к = I = a = 1]. (d«) dx = fc=O 1 — a, (an), 1 + к - a — (dv), an+i, . . . , ap (bm), 1 + k- a- (cu), 1 + k- a, 6m+i, . . . , bq b*, c* > 0; I arg <j| < тг; argcu < с*тг; — min bj < Re a < 2 — max Re бц — max Re сь . 4. _, I ap_i + ap — bq^i — bq — 1 =i , , , , \_(lp — l — Oq — 1, ttp — 1 — Oq , ftp — Oq_i, flp — Og c* > 0; | arg ш| < с*тг; Re («p-2) 2.24.2. Интегралы от А(х) Обозначения см. в 2.24.1. dx = Jo "" V (Ьд) J = аГ«гГ Fm) + a, l-(an)-a 1 L«n+i + a, . . . , ap + a, 1 — 6m+i — a, . . . , 1 — 6^ — aj Г71 + 7i Ф 0; c* > 0; |arga;| < с*тг; ш ^ 0; — min Re bj < Rea < 1 — max Re «j или p^g; c* ^ 0; | arga;| = с*тг; — min Re 6j < Re a < 1 — max Recij, Re [ft + (q — p)a] < 3/2 или \p = q; c* = 0; w > 0; — min Re bj < Rea < 1 — max Reaj, Re у_Д^ — «j) < 0 . a —1/ . Ж (a Ilk ^ , (ap)) , F,)), Д(/, l-a-/3 [условия см. в 2.24.1.1 при а = a 1, s = и = v = 1, t = rfi = 0, ci=/3]. CO -C T* I 71 /7 1 It I 4. z) Д(/, l-a-/3), Д(Л, F,)) ) [условия см. в 2.24.1.1 при <т = а^ , 5 = rfi = 0, t = и = v = 1, ci = /3]. /~imn I Ilk rGpq я)
294 Гл. 2. Определенные интегралы [2.24.2 А—1^а-Х кПх~^% G / к I 1,кп+1 I ш z k+l I ( l,kq+l 1 [условия см. в 2.24.1.1 при а = z", s = t = u = v = l, ci = 1 — A, d\ = Ol. A(f, 1-a), A(fc, (ap)) A(l, A-a), 5. x-y ^mn I Ilk Gna ШХ ' dx = A(J, 1-a), A(fc, (ap)), A(I, 1/2 - a) A(Z, 1-a), A(fc, F,)), A(l, 1/2-a) 6. [условия см. в 2.24.1.1 при cr = у , s = t = 1, и =¦ v =¦ 1, c\ = d\ = О, С2 ^ c?2 ^ 1 /2J. ^ r~imn 0 / = ш11 { z , a), 0 < к < I; c* > 0; \arg(ujzl~k)\ < с*тт; (Z - ife) ( 1 - max Re aj ) + Re {C - a), A; - fe max Re aj + Re a > 0 I , (A; - ~im-\-k, n-\-k — l 0< l< k; c* > 0; ^k-l [ c*tt; (к—I) min Re bj - I, a- /3 + 1), (ap), A(I, ^) А(Л, a), (bq) •¦— к max Re aj + Re a > 0 I, Jp+fc,q+k ife, a), I = к > 0; с* > 0; | argw| < с*тг; Re(/3 - a), A; - A; max Re а^ + Re а > 0 . 7. [1 + ax + 6A - dx = g: •m, n + k + l L^J^ \k+i ,1-/3), (aP) , l-a-/3) m > 0; p < q; Re a + I mln Reb,-, Re^ + к min Re69- > 0 I или I n > 0; p > q: c* > 0; [ KjXm J l^jXm J J [ |arga;| = с*тг; Re а + I min Re6.-5 Re/3 + A; min Re6?- > 0; Re((g - p)a + l/x) < 31/2; 8. Ы dx = J, г о \l — k — l 1 2a —1/2 a+jS —1/2 шк2 ABife, 1 - 2a), (ap) с + /, 1/2 - a - /3), Fq), A(fe - I, 1/2 + /3 - a)
2.24.3] 2.24- G-функция Мейера (bq) 295 _ Qtn+k + l,n+2k I ш^ ABfc, 1 - 2a), (ap), A(l - A;, 1/2 + a - , •I, 1/2 - a - P), (bq) x G J = + 2k, n + 2k p+2k, q+2k ] a-P-1/2 z<x+/3-l/2 ABk, l-2a), (ap) ABk,l/2-a-0), (bq) [I = к] [mn ф 0; c* > 0; | arg(Wfc+l)| < с*тг; |argz| < тг; Re (a + kbj) > 0, j = 1, 2, . . . , m; Re [a + /3 + (Jc + /)(сц - 1)] < 1/2, г = 1, 2, . . . , n] или [m > 0; q > p; c* ^ 0; | arg(wzfe+l)| = с*тт; |argz| < тг; Re (a + kbj) > 0, j = 1, 2, . . . , m; Re [a +/3 + (fc + Z)(ai - 1)] < 1/2, г = 1, 2, . . . , n; Re [(g - p)(a + $- 1/2) + (Aj + Z)/x] < 3(fe + Z)/2] или [те > 0; q < p; e* > 0; | arg(wzfc+l)| = с*тт; | arg z\ < tt; Re (a + fe6j) > 0, j = 1, 2, . . . , m; Re [a + /3 + (k + Z)(ai - 1)] < 1/2, г = 1, 2, . . . , n; Re [(q - p)a + fe/x] < 3A;/2]. 9. 2(o/K/2 /, 3/2) A(l,0),(bq m+l,n /, 1/2) 10. [p^g; c*, Rea > 0; Re с > 0; Re [1A - a^-) + a] > 3; j = 1, 2, . . . , n; Z = 1, 2, . . .]. / ax2 + 6ж + с A(Z, 2-a), (ap) Fg), A(Z, 3/2^ a) [p ф q; c*, Rea, Re с > 0; Re(l6i + a) > 1; j = 1, 2, . . . , те; Z = 1, 2, . . .]. 2.24.8. Интегралы, содержащие показательную, гиперболическую или тригонометрическую функции и G^J1 ( шх Обозначения см. в 2.24.1. /k («р) оо / \ I. \ x^e-^G™ (u>xl/h (йр) п, kn+l I tJ , (op)) [условия см. в 2.24.1.1 при s = v = I, t = и = di = 0]. 2. Gp"," f(a + 6cha;)' (bq ¦g: <m-\-l, n 2Ь3Р Р+1' y+l (a+ 6)' h 3/2) I, 0), 2 61 , A(ra, 1/2) I, 0), Fg) + B<9 g; c* > 0; Re 6 > 0; Re [1A -a,) - 0] > 3/2; j = 1, 2, . . . , n; Z = 1, 2, . . .].
296 Гл. 2. Определенные интегралы [2.24.4 Г J Г О. \ X J ex — 1 J SID OX I ^fjin ^ cos ox J ш/к (ap) (M A(l, C т 1 - 25)/4), A(fc, (ap)), A(/, C ±1 - 2a)/4) [условия см. в 2.24.1.1 при а = a/2, a = 62/4, s = 1, t = и = 0, v = 2, d\ = 1/2, d2 = A T I)/4]- 7Г/2 1. [ Sin"; ше sin ж da? = [p < q; m > 0; |argw| = с*тг; тг/2 Г • a —1 э. sin _ i7rcx/2 ?-/ Re(l6J- + a) > 0; j = 1, 2, Re(lbj + a) > 0; j = 1, 2, sin1 i-Kl/2 l, 1-a), (op) 2тг- . . . , m ] или [ q < p; те > 0; с* ^ 0; . . , m; Re[(p- g)a - /д] > -31/2]. ^j ) ^ = 1A, 1-a), A(fc, 1-^), (ap) \ [p < g; m > 0; Re (a + /6^), Re (C + feb^) > 0; j = 1, 2, . . . , m ] или [ тг > 0; g < p; с* ^ 0; arga;| = с*тт; Re (a + Ibj), Re (Д + kbj) > 0; j = 1, 2, . . . , те; Re[l/i + (g - p)a] < 31/2; Re [fe/x + (g - p)/3] < Sk/2]. 2.24.4. Интегралы, содержащие функции Бесселя и G™nn ( шх ' Обозначения см. в 2.24.1. 21/к V dx = [условия см. в 2.24.1.1 при a = 5/2, а = 62/4, s = 1, t = и = 0, v = 2, rfi = i//2, d2 = -^/2]. 2. х° о 211k , fcg+I B/J , (ap)), д (/, 3- a + i [условия см. в 2.24.1.1 при a = a/2, ст = Ь2/4, s = 2, t = 0, it = l, v = 3, ci = с?з = A-1/)/2, di = -*//2; 3. r~ikm, кп + 21 Х °"А!р+2/, feq С?Ж = , 1 - (a + i/)/2), A(l, 1 - E - , (ap)) [условия см. в 2.24.1.1 при a = a/2, a = 62/4, 5 = v = 2, t = и = 0, d\ = -i^/2, d2 = ^/2].
2.24.7] 2.24- G-функция Мейера (bq) 297 2.24.5. Интегралы, содержащие ортогональные многочлены и 1. (Ья). Обозначения см. в 2.24.1. , kn-\-2l kq+2l 2l/k ы dx = (Ья) ДB/, 1 - 5), A(fc, (ap)) , F,)), АA, A - 5 - г)/2 - А), Д(/, A - 5 + г)/2) [условия см. в 2.24.1.1 при а = 5/2, сг = а™2, s = w = t; = 2, ? = 0, ci = А + A + г)/2, сг = A - г)/2, di =0, d2 = 1/2; г = 0, 1, 2, . . .]. ab\3 n p ^ g; a, c*, Re/3 > 0; |argu>| < с*тг; Rea + i min Re6i > 0 . [ l^j^m J 3. 2ж ¦укт, fen + 2I Jfcp+2I, feg+2I A n, А(/, 1 - а), Д(/, 1 - а + I/), A(ife, (ар)) [условия см. в 2.24.1.1 при а = а *, s = it = v =2, t = 0, ci = А + г + 1, C2 = ^i^ ^ r, di =0, с^г^^^; г = 0, 1, 2, ...]. 2.24.6. Интегралы, содержащие функции Лежандра и Обозначения см. в 2.24.1. 1. (ap Bтг) /-ykm, fcn + 21 Х °"А!Р+2/, fcg+21 ДB/, 1-й), А(к, (ар)) е, F,)), Д(«, (А - 5 - «/)/2), Д(/, A + А - 5 + и)/2) [условия см. в 2.24.1.1 при а = 5/2, <т = а~2, s = u = t» = 2, t = 0, ci = A- A- v)/2, c2 = l + (v- A)/2, di = 0, d2 = 1/2]. СХЭ / \ 1 1 ~ \ -^кт-\-21, кп Ткр+21, кц+21 , (ар)), ABI, 1-5) A(l, (A - 5 - i/)/2), A(Z, A + A - a + i/)/2), A(ife, [условия см. в 2.24.1.1 при а = а/2, сг = а^2, t = ifc = v = 2, s = 0, ci = A-A-i/)/2, c2 = 1 + (у— А)/2, di =0, d2 = 1/2]. 2.24.7. Интегралы, содержащие функции Уиттекера и Обозначения см. в 2.24.1. a —1 —-ax . \ x e /2 n ж ( с/ж =
298 Гл. 2. Определенные интегралы [2.24.8 гукт + l, kn+l X ^kp+21, kq+l -Р) A(Z, 1/2 - a ~~ i/), A(fc, (ap)), A(Z, 1/2 - a + i/) A(l, A — a), A(fc, Fq)) 2. [условия см. в 2.24.1.1 при s = t = и = 1, v = 2, c\ = 1 — A, d\ = 1/2 + i/, d2 = 1/2 — i/]. (ap) (bq) x G ¦km, kn + 2l kp+2l,kq+l A(Z, 1/2 - a - i/), A(l, 1/2 - a + i/), A(A:5 (ap)) Ь,)), А(/, A-a) [условия см. в 2.24.1.1 при s = v = 2, t = 0, и = 1, c\ = 1 — A, d\ = 1/2 + u, d2 = 1/2 — i/]. (%) km + l, fcn + 21 ГA/2 - A - |/)ГA/2 - A + i/) A(Z, 1/2 - a - i/), A(Z, 1/2 - a + i/), A(ife, (ap)) A(I, -a - A), A(fe, (bq)) x О [условия см. в 2.24.1.1 при s = v = 2, t = и = 1, ci = A + 1, d\ = 1/2 + u, d<i = 1/2 — v\. 2.24.8. Интегралы, содержащие функцию Гаусса 2^1(^,6; с; х) и dx = Обозначения см. в 2.24.1. со / \ 1. [ xa-\F1(a, b; с; 1 - <rx)G™n (uxl/k ^p) j B7rJ(l-l) + c*(fe- ГГ x G' fcm+2l,fen + 2l I ^ -P) /, 1 - a), A(Z, l + a + &-c^aM A(ife, (ap)) A(Z, a-a), A(l, 6-a), А(Л, F,)) [условия см. в 2.24.1.1 при s = ? = u = v = 2, ci = 1 — a, C2 = 1 — 6, di = 0, d,2 = с — a — b]. 2. a, 6; c; l- (ap) x G' km, fcn+21 A(Z, 1 - a), A(Z, l + a + &™c-a), A(ife, (ap)) , Fg)), A(Z, 1 + a - с - a), A(Z, 1 + b - с - a) [условия см. в 2.24.1.1 при a =d 1, s = u = v = 2, t =0, ci = с— a, C2 = c — b, d\ =0, б?2 = c — a — t 3. , 6; c; l- B7r)c*(fe-l)dl-c-a чкт+21, кп A(ife, (ap)), A(Z, 1 - a), A(Z, l + a + 6-c-a) A(Z, 1 + a - с - a), A(Z, 1 + 6 - с - a), A(fc, (bq)) Л ^kp+2l,kq+2l I ^к(Ч~р) [условия см. в 2.24.1.1 при а = d^1, ? = it = v = 2, s = 0, ci = с — a, C2 = с — 6, di = 0, d<i = с — a — b]. 4. b; c; - ja + b-c-l -а. Г 4, . , w, ., Г x G i,kn+i(«^ km-\ kp+2l, kq+21 Z, c-a) A(Z, a - a), A(Z, b - a), [условия см. в 2.24.1.1 при s = 1, ? = it = г; = 2, ci = 1 — a, C2 = 1 — 6, di = 0, cfo = 1 — с].
2.25.11 2.25. Н-функция Фокса Ы™п |ж[г/' \bq,Bq] 299 а / \ 5. \xa-1{a-x)a-c2F1 (b, 1-b; с; -) G™n [u(ax-x2)'/k ^p) 1 Jo V a> V (M / р,кт, kn+-ll I *" "> Д(^5 1 "" a)i ^(h c — a)i ^(^5 (ар)) 1 ;бд)), Д(/, A-Ь + с)/2-а), Д(/, (Ь + с)/2-а) / [р < </; а, то > > 0; Re (kа + Ibj), Re (к + ка - кс + Ibj) > 0; j = 1, 2, . . . , т ] или [ р > д; а, п > 0; с* > 0; argw| = с*тг; Re (ка + Ibj), Re (A; + ка ~~ кс + Ibj) > 0; j = 1, 2, . . . , то; (р — </)А; Re а — I Re /i > > -31/2; (р- g)lc(l + Rea - Re с) - / Re д > -31/2]. 6. а, 6; -6+1 х . „ 1 5 а » Gp -ffcm, fcn+21 A(I, 1 - а), Д(/, (а + b + 1)/2 - а), Д(А;, (ар)) Д(А;, Fд)), Д(/, (а + 1)/2 - а), Д(/, F + 1)/2 - а) [а, с* > 0; |argw| < с*тг; Re (ка + /&_,-) > 0; Re Blbj + 2ka - ка - kb) > -к; j = 1,2, . . . , то]. тг/2 7. sin" ж cosc жe^Q+c^ 2^1(^5 6; с; е*жсозж)С! рд Ы dx = +2fc A(l, 1 - a), A(I, l + a + 6-c-a), (ap) 1 Fg), A(l, 1 + a - с ~~ a), A(l, 1 + b - с ~~ a) ) [p < q; Rec, Re (c - a - b), Re (a + Ibj) > 0; j = 1, 2, . . . , то ] или [ д < p; n > 0; с* ^ 0; ;| = c*7r; Rec, Re (c - а - 6), Re (« + %)> 0; j = 1, 2, . . . , то; Re [(p - q)a - l/x] > -3J/2]. 2.24.9. Интегралы, содержащие sFt((cs); (dt); —« Обозначения см. в 2.24.1. / , ,, (г, \ \ dx = ,„ ч w, J/fe t. ja, . sykm+sl, kn+l ^kp+tl + l, kq+sl A(l, (c8)-ct), A(k, (bq)) [условия см. в 2.24.1.1 при s = 1, t = и = s, v = t + 1, (cu) = 1 — (cs), (dv) = 0, 1 — (dt)]. 2.25. Я-ФУНКЦИЯ ФОКСА If™ \x^PJ Ap}] I lbqj Вч\ J Приведенные в этом разделе условия сходимости интегралов являются лишь достаточ- достаточными; можно указать и другие условия сходимости. 2.25.1. Интегралы общего вида. Обозначения: р т q * \ "^ л \ "^ л \ "^ \ "^ j=l j=n+l j=l j=m+l Ь*=\"Г7,^ V r7,4-VD,- V П, 1. [Си, Си] [dv, Dv] К, Ap] [bq, Bq]
300 Гл. 2. Определенные интегралы [2.25.2 _ -a Tjm+t,n+s ш_ [a>n, Лп], [l — dv — aDVj rDv], (an+i, An+i), • • • , (aP, Лр) [СгГ f^m' Вт], [1 — cu — aCu, rCu], Fm+i, Bm+i), • • • , F9, Bg) j must Ф 0; a*, 6*, r > 0; |argcr| < Ь*ж/2; |argw| < а*тг/2; Rea + r min Re (bj/Bj) + min Re(dh/Dh) > 0; Rea + r max Re ((o^ - 1)^-) + max Re ((сл - 1)/Ch) < 0; Aj-F/i, + к) Ф Bh{aj — I — 1); fe, I = 0, 1, . . . ; j = 1, 2, . . . , щ h = 1, 2, . . . , «г; ^¦(dfc + к) ф Dh(cj - I - 1); k, I = 0, 1, . . .; j = 1, 2, . . . , t; h = 1, 2, . . . , s j. 2.25.2. Интегралы, содержащие элементарные функции и if-фу н кцию. Обозначение: п р т q j=l i=n+l j=l j=m+l К, ^Р] dx = = ш Г 1 — an — Лпа 1 , . . . , 1 — bq — Bqa\ 2. тпфО; a* > 0; | argw| < а*тг/2; -^ min Re (bj/Bj) < Re a < ^ mm Re (A - clj)/Aj) |. к, — a ^р+2)<?+1 Ql, T*J), ^ JL p , pj , [dp , Ут.р| ¦mn, ^ 0; r, p ^ 0; a, a* > 0; | arga;| < а*тг/2; Re a -+- r min Re (bj/Bj) > 0; Re a - 3 1 a —1 —ax jj-mn r . I x e Hpq \шх [ap, ax — о (l-a, r), [ap, Лр] тп ф0; a*, r.Recr > 0; |arga;| < а*тт/2; Rea + r min Re(bj/Bj) > 0 4. я, Вя. (C T 1 - 2a)/4, r/2), [ap, Лр], (C ±1 - 2a)/4, r/2) I a*, r, o- > 0; |argw| < а*ж/2; Re a + r min Re (bj/Bj) > (-1 + l)/2; Re a+ + r max Re ((clj - l)/Aj) < 1 . 2.25.8. Интегралы, содержащие специальные функции и Я-функцию. о 2, (а - г = 2° [ttp, ApJ F + гж, r), F — гж, г), [6д, Бд] [ap, Лр] о + Ь, г), F + 1/2, r), [6,, Bg] m+2,n p» 9+2 I tz:
2.26.1] 2.26. Тэта-функции 0j(x, q) 301 а*, г, Re а > 0; |argw| < а*тг/2; Reb-r max Re((aJ- - l)Mj) > 0 . 2. A - (a + i/)/2, r/2), [op, Ap], A - (a - i/)/2, r/2) a*, r, a > 0; |argw| < а*тг/2; Re (а + i/) + r min Re (bj/Bj) > 0, Re a+ + r max Re((aj - 1)/A/) < 3/2 . 3. xa~1Jli(ax)Jv((Tx)H. mn pq Tj-m+l, n+1 "Лр+4,д+1 2 2, r/2), [op, Лр], -a, r), . - (a - /x - i/)/2, r/2), A - (a + /x - i/)/2, r/2), A - (a - /x + ^)/2, r/2) a*, r, a > 0; |argw| < а*тг/2; Re (a + ^ + v) + r min Re(bj/Bj) > 0, Rea+ 1 + r max Re ((а^ — '. 4. я, Bq] ia-2 -Я, то, n + 2 a JiP+2,g - (a - i/)/2, r/2), A - (a + *)/2, r/2), [ор, [Ья, Bq] 5. a*, r, Recx > 0; |argw| < а*тг/2; Re а - | Rei/| + r min Re (bj/Bj) > 0| a», A/ ); -<rx)H ™ шж dx = = Г (dt s, n + 1 A - a, r), [ap, Лр], [rft - a, t] a*, r > 0; s + 1 > t] |arga| < (s - t + 1)тг/2; |argw| < а*тг/2; Rea + r min ReFi/JBi) > 0; Rea- min Re Cj + r max Re ((a,j — 1)/Aj) < 0 . 2.26. ТЭТА-ФУНКЦИИ %(ж, 2.26.1. Интегралы от f(xHj(x1q). L. 0j(nx, q) 1 к dx = 0 = l, 2; n = l, 2, ...] rf 3. (a:, g) rfaj = 0. 4. P2n(cosa?)^2(^, g) dx = 0. J 7Г 5. 0j(nx, q) dx = ж [j = 3, 4, . . . ; n = 1, 2, . . .].
302 Гл.2. Определенные интегралы [2.26.2 7. 8. 9. 10. 0 7Г jsin 0 {cos 0 = 0 АТГЬХ \2mx = 0 [в остальных случаях]. [j = 3, 4]. ч , „„ = (±l)m/n7rqm2/n2 [m/n = 0, 1, 2, . . .]. i(nx, q) l [в остальных случаях]. Г 11. cos Bm + l)x0j(nx, q) = 0 [j = 3, 4]. о т/2 2 gcos2ж — g t ч тг _1/4Л 12. г-<7з(ж, q) dx = —g 02@, g). о 13. о 2.26.2. Интегралы, содержащие произведения 9j{ax1 q). TV 1. 0i(mx, qH2(nx, q) dx = 0 [ra, n = 1, 2, . . .]. о 2. |(9,-(Bт + 1)ж, р)^(Bш + 1)Bп + 1)ж, g) d^ = (^l)ni7T^2@, F4n2+4n+1g) [j = i, 2]. о 3. 6>2(Bm + 1)ж, p)9j(nx, q) dx = 0 [j = 3, 4; n = 1, 2, . . .]. о ТГ 4. |"^-(Bт + 1)ж, р)^-(Bш + 1)ж, g) rfx = тг6>3@, pq) [j = 3, 4]. о ТГ 5. |"^Bтж, рN>4(пж, q)dx = 0 [j = 1, 2; m = 1, 2, . . .]. о ТГ 6. l02Bmx, pHj(nx, q)dx = (^I)m(j)/n7rl92 (o, pq4m2/n2^ [j = 3, 4; m/n = 1, 2, . . .]. о 7. [ 6>з(шж, рN>4(пж, g) dx = ж04 (о, pgm2/] [m/n = 1,2,.. .]. о 2.26.3. Интегралы, содержащие произведения 0j(x, aq). 1 , ^«^xj -xV^5 ^, ^7 L л^ _ ..- ^ j shBv«^) ' J \б»2(ж, <7/a)J 9 ch^Tr 0 . . . . ;^-2Ж)]. [Rea> 0; ^(тг±7г)/4 ^ ж ^ (Зтг =р тг)/4]. Г g-xfgsCic, q/a)\ ' Jg \б/4(ж, q/a)j Ч 0 \ «) J [Re a > 0; -(тгТтг)/4 ^ ж ^ (Зтг ± тг)/4].
2.26.4] 2.26. Тэта-функции 0j(x, q) 303 3. 4. [iln"-1^ Я Я 5. [Re a > -1/(/Зтг2); C > 0]. q/a) 2 ?j B* + 1J« \ cos B* )ж ] )x J [Re a > 0; Re a > 1/2; -A ± 1)тг/4 < ж < C Т 1)тг/4] о 3±3^ ж ^'^+2^ л 5±1 ж [Re a, Re a > 0; -A ± 1)тг/4 < x < C =F J q\e4(x,q/a)- [Re a, Re a > 0; -A =p 1)тг/4 < x < C ± 1)тг/4]. о 2.26.4. (тг/2, q/a) - Интегралы по g, содержащие 0j(x7 aq). [Re а > 0; Re а > 1/2; -A =F 1)тг/4 < ж < C ± 1)тг/4]. I [Re а > 0; Re a > 1/2]. [Re а > 0; Re a > 1/2]. 1. 01' 8  [Re a > 0; Re a < 0; -(l±l)/4 < x < C=pl)/4] 2. 3. 4. 5. 1 - 2a, Ifl + x) - С f 1 - 2a, 4 / V [Re a > 0; Re a < 0; -A =F !)/4 < x < C ± l)/4]. 62(х, aq) dq = а \ch[(l-2x)y/p/a] [Re а, Rep > 0; -A ±1)/4 ^ ж ^С C=р1)/4]. 0з(х, aq)\ ±1 х > dq = —-= , ,7/sh[(i-: cosech 4 / — J 2-^ч 1 6 ^д19зFд5 ад) с?ж = -—: ( th a | зЬBжур/а) [Re a, Rep > 0; -A =F l)/4 ^ ж ^ C±l)/4]. -th^+2 [a, 6 > 0; Rep > 62/a2].
304 Гл.2. Определенные интегралы [2.27.1 2.27. ФУНКЦИИ МАТЬЕ В этом разделе содержатся интегралы, в подынтегральные выражения которых входят функции Матье первого рода сеп(ж, g), sen(x7 g) и второго рода fen(x, g), gen(x1 g), моди- модифицированные функции Матье первого рода Сете(ж, g), Sen(x, q) и второго рода Реп(ж, д), Gen(x, q). Для краткости в некоторых формулах параметр q в обозначениях функций Матье опущен; при этом к = 2\/q • Определения и обозначения см. в приложении 11.24. 2.27.1. Интегралы, содержащие элементарные функции и сете(ж, д) или sen(x, q). V/ () \ жА / ce^@) \ >се2те(ж, q)dx = ^—l _г >ce2n(a). J 7 2 I ce (тг/2) I о тг/2 ch(kmnamnx) \ n >се2те(ж, q)dx = ^—l _г cos О cos a cos ж) J 7 2 I ce2n (тг/2) f cos ж eh (fe sin a sin ж) 1 . ч тг ,Bn+i) f sec a/ ce2n+i@) 1 • /i \ >ce2n+i(^, q)dx = ±T^i 1f/ , / /o; ^ ce2n+i(a). { sin (A; cos a cos ж) J 4 [ k/ ce2n+iGr/2) J о тг/2 f sh (A; sin a sin x) 3. < . J { sin ж cos (A; cos a cos ж) 0 / [coseca/se2n+iGr/2) 1 . ч . . . /f > 8е2+2(ж q) dx = sin x sin (A; cos a cos ж Г f cos ж sh (A; sin a sin ж) 1 . ч . 4. < . . /f x> 8е2п+2(ж, q) dx = J [ sin x sin (A; cos a cos ж) J seca/se2n+2@) 8 [coseca/se2n+2GT/2) 7Г / 1 Л Г Г ch (lech a sin ж) 1 . x / -,\n ЛBп) I ce^n @, g) , 5. \< ) /\ce2n(x1q)dx = (-lOrA}) 4 _x V Се2п(тг, -q J [ ch (kshacosx) J 1 се2те (тг/2, g) j Г 6 1 § Ъии 1 II/ 4OJL JL 4JU V/V/kJ «4V I J / \ f ^^ ^^fl I ^"^ 2 Tl \ ^ 1 ~f/ I J \ cos (fe cos a cos ж) J n ' се2п(тг/2, g) [ ce2n(a5 g) j " о 7. sh (A; ch a cos ж) ce2n+i (ж, g) dx = — Se2n+i (a, —q). 0 п 1 I sin (A; ch a cos ж) 1 тткА] } \ Ce2n+i(a, g) I 8. < ( > се2п+1(ж, g) аж = -;—-. ri / >. J [8ш(Лсо8асо8ж) J 2се2те+1(тг/2, g) [ ce2n+i(a, g) J о sh (A; chasm ж) 1 , ч . жкВ\ п+ ' f f^l)n Ce2n+i(a, —q) 1 /* se9 -Li i ж о 1 аж =:::: я /¦ sh (fe sin a sin ж) j n ' 2se2n+1@, g) \ se2n+i(a, g) J* со8(^8Ьаз1пж)се2п(ж, g) 1 _ тг J 2Л^2п)Се2п(а, g)/ce2n@, g) sin(A;shasina;)se2n+i(ic, g) J X ~~ 2 1 ^,Bfn+1) Se2n+i(a, g)/se2n+1@, g) Г о Г f cos (A; shasin ж) 1 11. со8ж< . >се2п+1(ж, д)с!ж = J [ ch (A; chasm ж) J 0 тгЛ^п+1) f sechaCe2n+i(a, g) i . j' cos (A; ch a cos ж) 1 . ч . 12. 8шж< >8е2п+1(ж, д) йж = 1 ' ch (А^пасозж) j 2ce2n+i@, g) \ (-1)та cosecha Se2n+i(a, -q) )' О _„Bп+1) cosecha Se2n+i(a5 g) 2se2n+iGr/2, g) \ (-l)nsechaCe2n+i(a, -q) )
2.27.1] 2.27. Функции Матье 305 7Г to Г f sin (A; sh a sin ж) 1 / ч 13. совж< \ . ' >se2n+2^, q) dx = J [ sh (A; chasm x) J 0 жкВ{^п+2) / sechaSe2n+2(a, q) 4se2n+2(Q, q) \ (-l)n coseeh a Se2n+2(a, -q) )' f . f sin(A;chacosa?)\ 14. шж > 8е2п+2(ж, q) dx = J [ sh(^shacosx) J 0 nkB^ n ' ( cosecha Se2n+2(a, q) 4se2n+2Gr/2, g) \(~l)nsechaSe2n+2(a, -q) )' sin [z cos (ж - w)] 1 _ Г 0 1 Bn) се2та(ц)Се2пН > се2тцж] ax — < >Z7rA0 — г—— [ cos [z cos (ж - w)J J [1J ce2n@)ce2nGr/2) 0 [z = kvch2 v — sin2 -и , tgw = tgиthv]. Г J sin [2 cos (ж--ш)Ц / ч. fl\ l /i Bn+i) ce2n+i (ц) Ce2n+i (^) 16. < >се2те+1(ж)о5ж = ^ >7г/сЛ^ — —— J [ cos [z cos (ж - w)] J [OJ ce2n+i@)ce^n+1Gr/2) 27r [w, z см. в 2.27.1.15]. f 1 7 cos [z cos (ж — w)\ J [OJ se2n+H4uj se2n+ii [w, z см. в 2.27.1.15]. • Г / Ml f г\ Л i 2 oBn+2) / \ о / \ sin [2 cos (ж — wjj 1 /\» I 0 1 ж к B% SG2n+2(u)be2n+2(v) г / Ч-, f se2n+2 (ж j dx = — < > j-t - z—j-rz k cos [z cos (x-w)\) { 1 J se 2n+2 @) se 2те+2 (тг/2) о 2ж [w, z см. в 2.27.1.15]. ю f /"i./ sin a sin я П ( w _ .Bn)/ ce^CO) 19. exp ft . > се2п(ж)аж = 27гЛй \ -\, /лЧ J \ [гсозасояж]/ I ce2n (тг/2) о v 2тг ^л Г Г cos ж ехр (A; sin a sin ж) 1 / ч Bте+1) f seca/ce2n+i@) 20. \\ у J }ce2п+1(x)dx = жA\ Ч ., ; , , ;' J [ ехр (гк cos a cos ж) J [ гк/ се2п+1(тг/2) о 21 [/ ехр (Is sin a sin ж) 1 Гж) rfx - тгВBп+1) I ^/se2n+i@) 1 , , J \ sin ж ехр (гA; cos a cos ж) J п 1 \ coseca/ se2n+iGr/2) J о 7Г Г Г cos ж ехр (A; sin a sin ж) 1 / ч . 22. N . PV \ Ue2n+2 ж)dx = J [ sin ж ехр (гA; cos a cos ж) J 0 ~и ¦ ¦ ( seca/se2n+2@) г cosec a/ se2n+2 (тт/2) n@) се2п(тг/2) \ i cef2n(u) » = — еи cos (ж — и) -\— cos (ж + и) = — (ch v cos ж cos ад + sh v sin ж sin и) . 8 8 4 J e < yce2n+1(x)dx = -— -^— < , }Ce2n+i(v) [dw/diij ^^се2п+1@)се2п+1(тг/2) ^ 2ce2n+1(ii) [w см. в 2.27.1.23]. 2тг e dw/ди j n se2n+1(O)se2n+iGr/2)\ se2n+1(ii) [w см. в 2.27.1.23]. 2тг 26. 6* < > Se2n-f 2 [X)CLX = г—f" z :—г \ j {dw/duj к se2n+2@) se2n+2Gr/2) I 2se2n+2(ii) [w см. в 2.27.1.23].
306 Гл.2. Определенные интегралы [2.27.2 2.27.2. Интегралы, содержащие специальные функции и ееп(ж, q) или sen(x, q). 1. Jo (к (cos а — cos ж) К /\>ах = — О k2[A{2n+1)/ce'2n+1(n/2)]2fe2n+1(x) [fe2nGr/2) = се2п(тг/2), fe2n+1Gr/2) = се2п+1(тг/2)]. о Г SlUX T/if \\ \ se2n + l(x) \ 2. Ji(«(cGsa — cos ж))< ; ; > ах = J cos а — cos х [se2n+2(^)J о cosec а Г 4тг1с2 [в[2п+1) / se2n+i (тг/2)]2 ge2n+1 (а) - 32 se'2n+1 (а) 32к \^тгк [В2п /se2n+2Gr/2)] ge2n+2(a)^: 7ГD2П)J 3. Jo A;W се2п(ж) dx = т^г ' се2п(^). J \ V 2 I се2те@)се2п(тг/2) о cos ж vcoS2, 4^2 cos z ce2n+i @) се 2та+1 (тг/2) sin ж sin^se2n+1(O)se2n+iGr/2) cos22: sin ж v /, 4 0032, sin2o; ch2, 2тг 9. _се2п+1(ж) j ^ "" |g[Afn+1)/ce2n+iGr/2)]2ce2n+i(z) 2тг 10. Ji(^(cosz — со8ж))< ; : > dx = J cos z^ cos ж [se2n+2(a?)J Г 4[вBп+1)/8е2п+1Gг/2)]28е2п+1(Ж)
2.27.2] 2.27. Функции Матье 307 е/2т(^СО8ж)се2п(ж) ^2т+1 (k cos ж) ce2n+i (ж) о 2тг 12. g2m()i J Lse2 ^2п + 2(ж) / T 8mBm rV2 0 X 2тг 14. I Щ3)(к(сЪг-со8х))сеп(х)Aх = ^^ {j) n v ; [j = 1, 2]. о Gn \ ) 15. | Я«(fc(sh г - г sin Ж)) се21г(Ж) dx = 4г^JJ^k^O) ' 2тг 2 16. ^1}(fe(shz - ^8тж))8е2п+1(ж)с1ж = 4 2n+1— 2n+Lx • J se 2n+1 @) Gek2n+i @) 2tt "•f 4i(ce2n+iGr/2)JFek2n+i(z) r^Я} (^(вЬ2:*81пж))се2п+1(ж)^ж = /^ ^ 77^ shz-tsma; к ce2n+i@) Fek2n+1@) Г сшж rr(i)/i/i • • w / \j 4(se2n+2Gr/2)JGek2n+2(^) 18. — r^ Я} )(k(shztsmx))se22(x)dx = ^+ ) ' ^4 J h Г J shz-tsma; Is cos z se2n+2@) Gek2n+2@) 2tt f 19. о -+2 2tt СО8Ж ГгA)Л..Ли2„ , ....,1 .Л __ /^ л 4ice2n+1Gr/2)Fek2n+1(g) fech«Fek^n+1@) 0 J 2 \се2пGг/ 21. 22- о Ce2n+ll7r/ ш2ж rr(i)/, AT2 i^ч /41 24. —7j H\ iky sh z + cos2 ж ) se2n(^) dx = J h^ + 2 (), i^ / o \ iky sh z + cos2 ж ) se2n(^) dx = —-r- cosech2z se2n H\ iky sh z + cos ж ) se2n(^) dx r cosech2z se2n I I 7it z + cos2 ж fe2 \ 2 / Ne^ @) 25. h(k(smz + sin ж)) се2п(ж) dx = 2тг I —^--7—г 1 . /0 (A; ( жк 26. I Io(k(sinz + smx))se2n+i(x) dx = —
308 Гл.2. Определенные интегралы [2.27.3 f cosx T t1t чч , ч , TTifc3 / Bi2n) V , ч 27. ; /i fcsmz + sms se2n ж йж=- —^77^ se2n(z). J sin 2 +sin ж Scosz \ se2n@) I о v / 7 28. : It(k(sinz+ sinx))ce2n^i{x)dx = — — ce2n+i(z). J sin 2 +sin ж 2cosz \ce2n+i@) I 0 V 2.27.3. Интегралы, содержащие Сете(ж, q) или Sen(x, q). 0 Се2п+1(Ж) j 2 } kAfn+1) Fek2n+1 (a 2 i „, «cnacnn ~wm-r±v"/ j Jm ?ri [21?! n Gek2n+i(a)/ se2n+i(тг/2) о 4 sh a } ЛB[2n+2) Gek2n+2 (a)/ se'2n+2 (тг/2) /' . . .' sin (kch ach x) 1 _ , N , тгВ!2п+1^ cosecha f Se2n+i(a) 1 О qU mJ X ' l Цр ITI ЛТ = < > 4se2n+iGr/2) (Gey2n+1(a) J >Se2n [() J 0 sin (kch ach ж) 1 o , ч . жкВ^ cosecha f Gey2fX,2(a) 1 cos(fechachx) J 8se'2n+2Gr/2) [ Se2n+2(a) J [() J 2n+2( 0 00 C2 \ f Ce2n(a) -7ГГ Г Г з!п(^сЬасЬж) 1 5. < ; ; >Се2те(ж)с1ж = J [cos(fechach«) J 77ГГ p [() J 2се2п(тг/2) { Fey2 0 n(a) 1 n(a) J 4ce2n+iGr/2) I Ce2n+i(a) j о CO Г , / cos (A; cos ach ж) Се2п(ж) J \ sin Aг cosach ж) Се2п+1(ж) 1 f ^ce2nGr/2)ce2n(a)/A^2n) 1 Г . f cos (A; cos a cos ж) се2п(ж) , f fe2sina 1 2ce2n+1Gr/2)ce2n+i(a)/Afn+1) J J \ sin (A; cos a cos ж) се2те+1(ж) _ о Г f соз(^со8асЬж)8е2п+1(ж) 1 _ J X i (A h ) 8() j n Г , Г cos (A; chachx) Се2п(ж) 1 . Г . f cos (A; ch a cos ж) се2п(ж) 1 . 8» I sn x л / аж ^^ I sin x \ У dx J \ sin (A; ch ach ж) Се2п+1(ж) J J [ sin (k ch a cos ж) се2п+1(ж) J sin (A; cos a ch ж) Se2n+2 (ж) _ 4 J ^se2n+iGr/2)se2n+i(a)/Bfn+1) 1 f J cos (A; cosacosx) se2n+±VM,/ . ~ ^2|28е2п+2(тг/2)8е2п+2(а)/В^п+2) J J \ sin (k cos асоэж) зе2п+2(ж) j со тг/2 Г J cos (fcch ach ж) 8е2п+1(ж) 1 Г J cos (A; ch a cos ж) 8е2те+1(ж) 1 J X sin (A; ch ach x) 8е2п+2(ж) J J \ sin (A; ch a cos ж) зе2п+2(ж) / о о И81п(^со8аспж)Се2п(ж) 1 . ж ( 2A^2n)[ce2n(a) - fe2n(a)]/се2п(тг/2) I = — i B 4-1) cos (fc cos ach ж) Се2те+1(ж)] 4 l к A] jfce2n+i(a)^fe2n+i(a)l/се2те , 1(тг/2) о ' ^ [fe2nGr/2) = се2п(тг/2), Ге2п+1(тг/2) = се2п+1(тг/2) со Г I sin I h. рпя л гЬ 1*1 Ярп„ i I i т* i I 12. cos (A; cos a ch ж) Se2n+2 (ж) о
2.27.5] 2.27. Функции Матье 309 тг 8 [ kВ{22n+2) se2n+2 (a) ~~ ge2n+2 («)]/ se f2n+2 (тг/2) = se2n+iGr/2), ge2n+2Gr/2) = se'2n+2Gr/2)]. 2.27.4. Интегралы, содержащие fen(x, q) или gen(x, q). тг/2 Г • Г sln(kcosacosx)[fe2n(x) — се2п(х)] J \ cos (A; cos a cos ж) [fe2n+i (ж) — ce2n+i (ж) о cos (A; ch а cos ж) [fe2n+i (%) — ce2n+i (ж)] J . cosecha ( се2п(тг/2) Се2п(а)/Ло dX < , /о _!_¦ к \се2п+1(тг/2)Се2п+1(а)/4 [fe2n(Tr/2) = се2п(тг/2), к'2п+1{ж/2) = се^+1(тг/2)]. тт/2 со Г Г sin (А;со8асо8ж)^е2та I-|(ж) — se2n+i^)]l Г Г sin (A; cos ach ж) Se2n+i(x) 1 3. < > аж = < > аж J [ cos (A; cos a cos ж) ge2п+2(ж) ~ 8е2п+2(ж) J J { cos (A; cos ach ж) Se2n+2(a:) J ж/2 [ge2n+i(^/2) = se2n+iGr/2), 8е2те+2(тг/2) = 8е2п+2(тг/2)]. " sin (A; ch a cos ж) [ge2n+1 (ж) - se2n+i (ж)] COb ^Л CIl U Luo Л j Lon + 2 V / — ®^2n + 2 v^/J 1 / se2n+iGr/2)Se2n+i(a)/Bfn+1)l > «Ж Z< ч / „B71 + 2) f J [8е2п+2Gг/2)8е2те+2(а)/^ ;j ge2n+iGr/^) = se2n+iGr/z), ge2n+2Gr/^) = se2n+2Gr/2)j. 2.27.5. Интегралы, содержащие Fen(x, q) или Gen(x, q). CO sin (lech ach ж) 1 . . ce2nGr/2) , . , sin (kch ach ж) 1 . Z. I ЬП Ж^ /II i \ f ¦ cos (A; ch a ch ж) J = ±- k fe'2n+i @) Fey2n+1 (a) / ce2n+i @) J ' sin (А; сЬасЬж) 1 cos (A; ch ach ж) J k2 ge2n+i @) Gey2n+1 (a) / se 2n+1 @) 8е2п+1(тг/2) I 1 452n+i(g) Se2n+i(a) f f sin (А; сЬасЬж) 1 „ / ч , 4 I < > (тРп i of /IT — J [ cos (A; ch ach ж) J ж I se2n+2(?r/ Г 252n+2(g)Se2n+2(a) I ^ Se2n+2 (°) СеУ2п+2 (a) / se 2те4 4A.2 I BBn+2) I Uge2n+2@)Gey2n+2(a)/se2n+2@)
310 Гл.2. Определенные интегралы [2.27.6 5. [ sh х sin (к cos bch ж) Fe2n(x) dx = ce24^/2) \жС^(я) ce /fe) _ fe2n(fe)l [0<6<тг]. J A;sin6i4^2n) L 2 J CO 6. fshscos(fccosbchg)Fe2n(s)<ftc = - ^"W^V71"/2) Реу2те@) ce2nF) [0<6<тг]. J 21s sin 6Aq П ce2n @) 7. f sh ж sin (A; cos 6 ch ж) Fe2n+i (x) dx = 7rC>2w+1(^2"+iGr/2) Fey2n+1 @) ce2n+i F) J k2 sin ЪА\ п+ jce2n+i@) ^ [О<6<7Г]. 8. f sh я cos (к cos 6ch a) Fe2n+1 (ж) dx = 2C6'2w+1^ \*Cwb) ce2n+1 (b) - fe2n+1 FI J к2 sin ЬА\ } I A J [0 < 6 < 7Г]. oo о f • /i l u \o / \j 2se2n+i(-7r/2) [7r52n+i(g) ,,ч ,,Л 9. sin (A; cos bchx) Ge2n+i (x) dx = Bn+i)— о se2n+i (o) - ge2n+1 (o) [0 < b < ж]. 10. [ cos (к cos 6ch x) Ge2n+1 (*) <te = - ff^"+i(g)8^"+i(T/2) Gey2tl+1 @) se2n+1 F) J kB\ 'se2n+i@) [0 < 6 < тг]. OO L J 11. [ sin (к cos 6 ch x) Ge2n+2 (x) d x = - SS2n+?}Q}™ 2n+2 (?г/2) Се2та+2 @) 8е2та+2 F) J ^3^2 ;se'2+2@) ;se'2n+2@) тг]. io f /i и и \п f \j 4se2n+2Gr/2) 7го2п+2(д) / ч /1Л 12. cos 0 cos b ch ж) Ge2n+2 (ж) dx = |2n+2) ? se2n+2 (b) - ge2n+2 F) [0 < b < тг]. 2.27.6. Интегралы, содержащие произведения функций Матье. 2тг 1. I сет(ж)сете(ж)с1ж = тг<5то,те. [те, п ф 0]. [те, те ^ 0]. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 0 2тг J J 0 2тг Л J 0 I J 0 2тг Г I 0 2тг | J 0 7 0 2тг 0 8ет(ж)8ете(ж)^ж = сет(ж)зеп(ж)с1ж = \се2т(ж)8е2п(ж) j ( ( \ ' I ^m+ 2п+1 sin 2*/^J^}2 Л cos 2ж се2п(ж) с!ж = 0 te = 0. ' ЙЖ :=:::: it / \ "\ ( Т* ) 1 (х) с = 0. оо 27rS 8. J 0 эBп) ТГ >, • 1=0
2.28.2] 2.28. Функции v(x), */(ж,р), //(ж, А), /х(ж,ш,п), А(ж,а) 311 оо cos2*ce2n+1(a0d* = y(A^ оо 0 . lcos2xsein+2(X)dx = ж о -I -I Г о 2 / \ i Я" / г>Bп+1)\2 . V r>Bn + l) i-»Bn+l) 11. со8 2ж8е2п+1(ж)с1ж = --«(^ +7r2B Б 0 2.28. ФУНКЦИИ 1/(ж), 1/(ж, р), /х(ж, А), //(ж, т, п), А(ж, а) 2.28.1. Интегралы, содержащие и(сх), v(cx, p). 1. [x^vi-} dx = aa\-, Р-. г [a, Rea>0]. J \а) J а + ж Гж + 1 L J о о 2. [(а-ж)^1!/^ с/ж = а/3Г(/3)|/A, /3) [а, Re/З > 0]. о со 3. f e~pxv{cx)dx= [pln^y1 [Rep>c]. о оо п 4. f xne~pxv{cx)dx = - fc=o Rep > с; a/g — коэффициенты разложения (s + l)n = 2_j aks • fe=o J 5. е рх и(сх) dx = а — v \ — [Rep > 01. J V Р \4р/ о оо __ °° 6. -^ v(cx) dx = - ? (ж + 1, 1 - -) dx [Rep > 0]. о о оо 7. е рж?/(сж, р) ^ж = —— (in — 1 [Rep > с; Rep > —1]. J р^ v с/ о оо п 8. [ жпе^рж|/(сж, р)с!ж= те^+1 ^fefcfc? (ln^)"* о Р fc=o Г п 1 Rep > с; Rep > —1; b^, — коэффициенты разложения (s + р + 1)п ^ Л b^s оо L fc=0 J Г -рх2 рК ( С р\ 9. е uicXjp) dx = 4 / — i7 I —, — I [Rep > 0; Rep > — 1]. J У p \4p 2/ о о 2 10. J xe-px\(cx, p) dx = -^^v (±-, B-^) [Rep > 0; Rep > -1]. 0 2.28.2. Интегралы, содержащие \l(cx, А), /х(сж, m, n). . f е"р>(сж, А)сгж= Г(^ +1^ln^) A1 [Rep>c; ReA>-l]. о . f хпе^рж/1(сж, A) dx = ^гт У" акГ(к + A + 1) fin ^) ~к~Х~г J pn+i ^^ V c/ о 2
312 Гл.2. Определенные интегралы [2.28.3 1 Rep > с; Re А > —1; а^ — коэффициенты разложения (s + 1)п = 2_j aks k=o J ? л /F /с2 \ 3. \ e px fi(cx, X)dx = 2AJ- ц ( -—, A [Rep > 0; Re A > -1]. J r~v7/ у р \4p J a Г 1 n 4. - W3 —fj,(cx, A) cfe = Г(/3 + l)/i(ac, A - /3 - 1) [a > 0; Re A > -1]. J ж ж о 7 _ x2 hf /с2 \ 5. \ e px fi(cx, m, 2n) dx = 2m J- /i —, m, n J [Rep > 0]. J у p \4p J 2.28.8. Интегралы, содержащие А(сж, a). oo , Г 1 /тг 1. \ x e p А (еж, a) о?ж = — д / — A By/cp , 2a) [a, Rep > 0]. J 2 У Р J 2VP 2. о . f аГ5/2е^р/жА(еж, a) с!ж = ^^[AB^^, 2a + 1) - AB^^, 1)] [a, Rep > 0].
Глава 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СТУПЕНЧАТЫХ ФУНКЦИЙ 3.1. ВВЕДЕНИЕ В этой главе помещены преобразования Лапласа оо F(p) = \e~pxf(x)dx о некоторых кусочно непрерывных функций, заданных различными формулами на отдель- отдельных интервалах действительной положительной полуоси. 3.2. КУСОЧНО ПОСТОЯННЫЕ ФУНКЦИИ 3.2.1. Ограниченные функции. /(а) F(p) Mi О о 1 1 1 Mo Mi М2 [па < ж < па + bi] [па + Ь\ < ж < па + 62] [па + bm < ж < (п + 1)а] [6i < b2 < • • • < bm < а] [2па < х < Bп + 1)о] [Bп < ж < Bп + 2)а] < ж < Bте + 1)а] [Bп + 1)а < ж < Bп + 2)а] [BпJа < х < Bп + 1Jа] [Bп + 1Jа < ж < Bп + 2Jа] [О < х < fei] [теа + 6i < ж < па + 62] [па + &2 < х < па + &з] [па + fem < ж < (n + 1)а] [О < ж < а] [Bп + 1)о < ж < Bп + 2)а] Ml - т6-ар . m —1 Mo — (мо + Мт)е ар + (Mfc+i - Mfc)e т —1
314 Гл. 3. Определенные интегралы от ступенчатых функций [3.2.2 7 Q О 9 10 -1 0 1 0 -1 1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 [Bn + [Dm 4 [Dm 4 [Dn4 [Dn4 [0 < ж < а и [Dп4 [Dтг4 [Dт 4 [0 < ж < а и [(8п4 [(8п4 [(8п4 [(8п4 -2)а < -1)о< -3)а < -1)а< -3)а < 4тга < -1)а< -2)а< -3)а < 8тга < -1)а< -3)о < -5)а < -7)а < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С ж < С Bте4 [0 < ж С Dте4 С Dт 4 [0 <Г ж С Dп + ; Dп + С Dта + ; Dп + С Dп + С Dп + С (8та + С (8п + С (8та + ; (8п + ; (8п + 3)а] < а] 3)о] 5)а] 3)о] 5)а] 1)о] 2)а] 3)о] 4)о] 1)о] 3)о] 5)о] 7)а] 8)а] F(p) sech ар 2р 1 — sech ар Р 1-е ар р(е«Р _|_ е-ар) sh ар pch2ap 1 2 3 4 5 6 7 о 9 3.2.2. п п + 1 2п + 1 п(п п* пт nflm л Неограниченные /(ж) [па [па [па 1) [па [па [па [па [па [па 4 Ь\ [па 4 6т-1 [6i < Ь2 < < < < < < < < < < < функции. ж ж X X X X X Z а. С X X < < < < < < < < [о (п 4 1)о (п4 1)а] (п 4 1)о] (п 4 1)о] (п 4 1)о] (п 4 1)<х] па 4 bi] па 4 62] (п4 1)а] т-1 < «] < ж < 6] 1 п(еаР — 1 рA- е - cth — ю 2 2 р2/еар е°Р4 р(е«Р - е2ар + р(еР т 1 { ' рA - е Р F(p) 1) -ар) -1) 1 IJ -1K — е ар dm 1 р арт 1 — е^аР р Г т^2 -, fe = l -" "ЬрL
3.3.1] 3.3. Некоторые кусочно непрерывные функции 315 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 те/i + и 0 те + 1 МО те/ii +  те/12 + ^2 0 2те + 1 -2п-2 те 2те + 1 0 те + 1 ) [па + 6 < ж < (п + 1)а + 6] [BпН [па + [DпЧ [DпН [(п + 1/2) те/i + i/ [a In (теЬ + с) < ж те/i + I/ те + 1 о [0 < ж < а] ^1)а<ж<Bп + 3)а [0 < ж < 6] [теа + b < ж < теа + с] с < ж < (те + 1)а + 6] [0 < ж < а] - 1)а < ж < Dп + 3)а - 3)а < ж < (An + 5)о] [те2а < ж < (те + 1Jа] [те2а < ж < (те + 1Jа] [0 < ж < а/4] 2а < ж < (те + 3/2Jа] < а1п(те6 + 6 + с)] [а In те < ж < а 1п (те + 1)] [а!пBте + 1) < х < а1пBте + 3)] [па < ж < (те + 1)а] [па < ж < (те + 1)о] 1/e-0P_(t/_/L()e-Ba+6)P cosech ар 2р if 1 V(l с"Ьр) ! р 1^ик" " ; ' 1~е^аР х [i/iep + (i/2 ^i/i)e"cp - е~ар ^2С A - е™аРJ x[me-bP + (№_m)e-cP_^ sh ар 2р ch2 ар 2р — б^з @^ в ) р 2р 1(/1/ С\ /1 1/ | р \baP \Pj b) caP ' F + c)aPJ 1 2_ар р A"е"прЧИ| ,1~е'ар) р V 1-6е^аР/ 1 р(еаР - 1)т ™"С(р + ?/) [Rep > — Re v + 1] р 3.3. НЕКОТОРЫЕ КУСОЧНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 3.3.1. Степенные функции. 1 Aijc А2Ж XjfiX [па [па + 6, [теа + 6i < < Ж Ж ж < теа < теа < (пЛ + + - 1 )а] Р2A 1 - е~аР т —1 + J2 к=г J Г - Ai + -АО т-1 - ^ ( fe = l Пр) (ар 1 ар т Afe+i — Ад.) х
316 Гл. 3. Определенные интегралы от ступенчатых функций [3.3.1 f(x) F(p) О Аж + 71/i + У \\Х + ГЦ11 + Л2Ж + 71Д 2 + X X 0 ж ж — па b — па — Ь-с — 2па Ъ - Bп- - с 10 6 — а О ж — 4тга — х + 4па + 2а О ж — па — х + тга + b О ж - Bп + 1)о 6 ж — 2тга [па < ж < па + 6] [па + 6 < ж < (тг + 1)а] [тга < ж < (тг + 1)а] [па < ж < па + Ь] [па + 6 < ж < (тг + 1)а] р2A - А и 1 I 2 а _ е-ар) Р2A_е-ар) [па < ж < па + 6] [тга + 6 < ж < па + с] [?га + с < ж < (тг + 1)а] [па < ж < па + 6] [тга + 6 < ж < тга + с] [па + с < ж < (тг + 1)а] [2тш < ж < 2па + 6] [2па + b < х < Bтг + 1)а] [Bтг + 1)а < ж < Bп + 2)о] [4па < ж < Dтг + 1)а] [Dтг + 1)а < ж < Dтг + 2)о] [Dтг + 2)а < х < Dтг + А)а] [па < ж < па + Ь] [па + 6 < х < па + 26] [тга + 26 < ж < (тг + 1)а] [тга < ж < Bтг + 1)а - 6] [Bтг + 1)а - 6 < ж < < Bп + 1)а + 6] [Bтг + 1)а + 6 < ж < (тг + 1)а] [2па < ж < 2па + Ь] [2па + b < х < Bтг + 2) а - Ь] p2(l - e~aP) i th^ Не"") 2 p2(l ^e^2ap
3.3.2] 3.3. Некоторые кусочно непрерывные функции 317 /(ж) F(p) 12 -х + Bn + 2) a [Bn + 2)о - 6 < х < Bп + 2) а] Лож [0 < ж < 6i] Л1Ж [па + bi < ж < па + 62] па + 6т < ж < (п + 1)а] [6i < 62 < . . . < Ът < а] х [Ао + (Ао — Аоа — Хта)р — (Ао + Хт)(ар - р 13 14 15 16 [0 < ж < а и (An + 3)а < ж < Dп + 5)о] 1 + ар th ар [Dn ж < Dп + 3)о] [0 < ж < а] - 2па - 2а) [Bп + 1)а < ж < 17 18 19 20 ж О ж + (-1 а- ж) [2а < ж < Bп + 2)а] О [0 < ж < а] (тг + 1)(ж — па — а) [Bп + 1)а < ж < пж - п(п + 1)а [2па < ж < Bп + 2)о] Bп + 1)ж - гг(п + 1)а [па < ж < (п + 1)о] 2р2 ch ар sech ар th ар Р и coseco ар 2р2 р2(е2ар^; -— cth — р2 2 - а) + [па < ¦1) (ж — тга) х < (п + 1)о] [па < ж < (п + 1)а] 2 аBр + а) ^3" ~ п2(^ар __ 1\ 3.3.2. Разные функции. F(p) [а(х — па) — (ж — паJ}1" [па < ж < (п + 1)о] тгГB?/ + 1) ар / а X^+Va cosech — ( — I x [Rei/ > -1 х I/ + 1/2 ±[2а(ж - 2па) -(х- 2naJf 2па < ж < Bп + 1)а Bп + 1)а < ж < Bп + 2)а ГГ21/ +1/2 ( V 2 / , Rei/ > -1 : cosech ар Lv+1/2 (ар)
318 Гл. 3. Определенные интегралы от ступенчатых функций [3.3.2 J2 (ж-In те)" bn [Rei/ > -1] [па < ж < (п + 1)о] [па < ж < (те + 1)а] [па < ж < (те + 1)а] A-62) сте sin 6n cn cos бте [па < x < (те + l)o] [na < ж < (те + l)o] [па < ж < (n + l)a] p(eap fi-T_ 1 1) -1 -6) ^-6K csinb(eap - [Rep > Re In b] [Rep > Re In b] [Rep > Re In b] p(e2ap _ 2ceaP COS 6 + C2) [Rep > Re In с + |Im6|] p(e2ap _ 2ce°P COS Ь + C2) [Rep > Re In с + |Im6|]
Глава 4. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4.1. ВВЕДЕНИЕ В этой главе помещены двойные и многомерные интегралы, содержащие специальные функции. Кратные интегралы с другими специальными функциями, а также ряд формул общего характера, с помощью которых кратные интегралы сводятся к одномерным, приве- приведены в [17, 18]. 4.2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4.2.1. Интегралы, содержащие функции Н1/(ж), Л1/(ж), herl/(xI Ье11/(ж), () о о 2 3/2, i/ + 3/2 о о X Vl, a/2, /3/2; -с2/Dа6)\ 1 . ^ Г (а + 1)/2, (/3 + 1)/2] -(a+i)/2,-(/з+1)/2 Ч 1 +«//2, 1-^/2 j + 8Sm 2 LC + )/2 C)/2ja 3. ^-i^-ig-»* -ь» ber (СЖ|/) dx dy = _ Г(а/2)Г(/3/2) ^ /a/4, (a + 2)/4, /3/4, 4:a-/-u^/- \ i/z, l/z, i; ^c / {IDC L ч OO OO 4aa/26/3/2 4^ 1/2, 1/2, 1; -с4/A6а262 [Rea, Re/3>0]. A I I a-i ^-i -а*2-ь„2к ./ ч , , с2Г(а/2 + 1)Г(/3/2 + 1) 4. \ \x yp e bei (ежу) ^ж dy = ig^/o. т, д/о. 1 x (a + 4)/4, (/3 + 2)/4, 4 2 2 1, 3/2, 3/2; -c /A6a 6 ) / CO OO 5. \\xa yp e y \herl/(cxy)+heilJ(cxy)\ dx dy = ^/9 ¦ |У, д/9 , |У х 2-2i/-2J2i/ [a/2 + i/, /3/2 + 1/1 /(a+ 2i/)/4, (a + 2i/ + 2)/4, (/3 + 1 + 1 J44 ( l)/2 //2 + 1, i/ + l; c4/Da262) [Re (a + 2i/), Re (/3 + 2i/) > 0]. -2i/-2^2i/-1 2-2^c- 6. xay e ax by [her1/(cxy)her'l/(cxy)+ heiv(cxy) hei'v(cxy)] dx dy = _ Г a/2 + i/, /3/2 + 1/1 _ /(a+ 2i/)/4, (a + 2i/ + 2)/4, (/3 + 2i/)/4, (/3 + 2i/ + 2)/4 2, i/ + 1; с /Dа о ) X [Re i/, Re (a/2 + i/), Re(^/2 + i/) > 0].
320 Гл. 4- интегралы [4.2.2 т. 1, (а 4.2.2. Интегралы, содержащие iFi(a; 6; ж). Fi(a; b; -cxy)dxdy = , (/3 + /х + 1)/2; -c2/Dafe) 3)/2, (fi + v + 3)/2 [Re (a + /х), Re (/3 + ц) > -1]. 2. 3. 4. 5. в. a + P + 7 a, 6^a, ДB, a), ДB,/3); e2/64\ 1(a; b; x(l - y)) 1F1(af; bf; 1 - x) dx dy = 1 (ft, b1) Ul-tf^^fi^tFtia + a; b + b''; 1 - t) dt. 0 a; b'; = B {щ b] xIF1(a; b'; y) dx dy = = BF, bf &;; t) dt. ГF/2)Г(F + 1)/2) / a, 6 - a 2FiU ГF)Г((Ь+1)/2) a, 6 - a 4.2.8. Интегралы, содержащие 2^1(^5 b; с; ж). l l i I I/ \c —I/-» . lUxy) A x2F1[a,b;c; 1 -хГ ~ ^(l-y)a^d(l-uxya(l- vyya x uv xy \ , , „ [c, c, d — c, a — 6 — d + 1 — ux)(l — vy) 41 [Rec, Re(ci-c), Re (a - 6 - d + 1) > 0; |u| + \v\ < 1]. » ж 2/ a, a + 1; 6; (I — da; dj/ = = Г ' / C,' . F4Ba, b; [c + 0, d + oj b, d + b; u, v) [Re6, Rec, Red > 0; x/R + л/R < A • L J 3. \\{xy)c-1(l-x)d-1(l-y)a+b-2c-d{l-ux-vy)-a2F1 (a, b; c; - ^ Ж|/ ) rfx dy = J J V 1 — гхж — г;2// о о = 1 с, с, d, a + 6-2c- a, a — d + 1 4@,, с; c + d, a + o — с — d + 1; гх — wv, v — uv)
4.2.4] (.2. Двойные интегралы 321 [Re с, Red, Re (a + b - 2c - d + 1) > 0; |it| + \v\ + \uv\ < 1]. 4.2.4. Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); x). dx dy = Bl K), A(m, a), A(n, /3); , Д rn + n, a 2. 4. dxdy = _ — 1 a + 1, /3, 7, /3- 3 + 7, « + /3 + - (ap), A(m, /3), A(n, 7), A(m + га, /3 + 7 + ^); см [Re a > -1; Re/3, Re7, Re [f3 + 7 + 5) > 0, 11 = mmnn(m + n)^m^' Rfn nJ^-'/W P /(ар),Д(т, а),Д(п,/3); cUim+rl\ D(a, p) t j{t) p+m+ntq+m+n 1 I at J \ F9), A(m + n, a + p) J 0 [Re a, Re/3 > Q; и = mmnn(m + n)"m"n]. к т" <i/p p~ о. ж I/ e о о с, (ap), A(m, a), A(n, /3); сгь р+то+тг^™ [Re a, Re^, Re7 > 0; и = mmnn( J а*ж б?2/ := . Г(а)Г(/3) (ap), Д(т, a), A{n, /3) (bg); c(m/a)m(n/b)n [Re a, Re b, Re a, Re /3 > 0; g > p + те + n — 1 или | arg(—c)| < (p — q + 1)тг/2 при р = q, q + 1]. 6- J Jaje 0 0 (ар), а, а + 1/2, /3, /3 + 1/24 Fq); 16c2/(a262) / 3; Rea, Re6, Rea, 7 8. (bq [p ^ q; Re a, Re 6, Re a > 0]. (ap); dx dy = , /3, a (ap), A(m, a), A(n, ^), A(m + n, a + ^ + 7) (bq), A(m-\-n, a + p); cm n Re a, Re/3, Re (a + /3 + 7) > 0; q > p + m + те - 1 или |arg(-c)| < — — при p = q, q + l\. 11 А. П. Прудников, Т. З
322 Гл. 4- интегралы [4.3.1 4.3. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4.3.1. Интегралы, содержащие pFq((ap); (bq); ж). Обозначение: dx = dx\ dx^ . . . dxn. dx = 2 f n); c/4 fe = 1 , a); cut an, этг = mi + . . . + mn, it = (%), A(mi, ai), . . . , A(mn, «n) [га = rai + . . . + mn; Re ад., Re a^ > 0, A; = 1, 2, . . . , те]. CO OO c + с — га; ^ 4.3.2. Интегралы по сфере. c;-Xk jr + ^a-^ (w + l a, b\ [ (n + l)c - n [Rea, Re6> n/(n + l); A > 0; n = l, 2, ...]. Обозначения: ж = (sci, . . . , жп), a = (ai, . . . , an), | ж | = у xf + . . . + х„ , a ж = + . . . + anxn; a = (<n, . . . , <rn), |cr| = 1, da — элемент площади на сфере \<т\ = 1; Дт(сг) — ( ^ сужение однородного гармонического I т.е. удовлетворяющего уравнению Лапласа V дх1 д2 \ \ + . . . + ——— 1 Rm(x) = 0 1 многочлена порядка m от га переменных xi, . . . , жт на сферу = 1. '• J (n-l)/2 ¦±Л f /(M*)(i-t2)(n-3)/2^(*) ж / j dt 2. m(i) = Tm(i) при n = 2, (n-l)/2 I f при
4.3.3] (.3. Многомерные интегралы 323 Г • а 4. | \xa\aRm(a)da= ^^\хГтГ^ а + 1, (га - а)/2 (т + п + а)/2 а + 1 -га + п)/2, 1 + (а - га)/2 5. 6. Г?1... «Г*1 Г Г m = 2, 4, 6, . . . ; т ф а + 2, а + 4, . . . ; I [ [ 771 = 1, 3, 5, ... или т = а + 2, а + 4, . . . ; п 1 п — Re а > -1 Re а > - '• J |сг| = '• J da 2 \ 2 [Q — положительно определенная квадратичная форма]. 2тгп/2 ? tm~1dt Г(га)Г(п/2 - га) . . . (t + an) [ak > 0, к = 1, 2, . . . , n; 0 < m < те/2]. 4.3.8. Разные интегралы. Обозначения: см. в 4.3.2. оо оо L = ПРИ <* * 2' 4' • " • 5 A = 2. dx ГПЧРГ Г(п/2) 2 ка In к при а = 2, 4, . . . ; 0 < а < 1 . [|о| < г; 0 < а < 2]. ХA- = гГ1' ата, 7 _ «. \7-«1-...-ате-1 . . . |^1 ^C-j^Z^J Ct Ж = l, . . . , ап, —y^i, . . . -0п, 75 ^i, • • • , zn) , Re G - «l - . • . - ап) > 0; | arg(l - zk)\ < тг; A; = 1, 2, . . . , n]. 4. i, ..., an, 75 ^l, • ••, zn) an, 7 - ai - . . . - an 7 J Re G ~~ a\ — ... — an) > 0; | arg(l — z^)\ < тг; к = 1, 2, . . . , n]. 1 1 5. J . . . I x? 71"1 . . . A - Xn^-^-^l - xlZl - . . . - sn*n)*daj = о о = Г ап, 7i 7i» ( — 0, «1, • • • , «и, 71? • • • 1 In', Zi, . . . , Zn) [Re «fc, Re G^ — ад.) > 0; | arg A — zk)\ < тг; A; = 1, 2, . . . , n]. 11*
Глава 5. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ 5.1. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ ВЕРНУЛЛИ Вп, Вп(х) Ш ЭЙЛЕРА Еп, Еп(х) 5.1.1. Суммы, содержащие Вп. t t , (-l)-t nt2n+1 3- 2n+4 '• E 2 b2 Bn)!2 = a|C(o + l)-i + (o + i; n + k)\ D B2n+1(r^[r})dT 1; a^O; Re a > -2n - 1]. = 0. = 0. * " 2k ^ {2k + a)\{2n - 2k + \)\{2m + 2k + 2a + 2)\ [0 ^ 77i ^ n; <J = 0 или 1] +122ra+"Bn+a)! j D+2 + l)! [0 ^ m ^ n; cr = 0 или 1]. 9. 24n-l Dn)!4 B2k - 1)B2' - pt pt BA;)!B/)!Dn - 2k - 21 + 4)! 5.1.2. Суммы, содержащие Вп(х). 2. x ± 2n - n ± n) + Bm (x 1± 1
5.1.3] 5.1. Числа и многочлены Бернулли ВП1 Вп{х) и Эйлера ЕП1 Еп{х) 325 . ^—v „ / x + mk \ fmxp^1 ^—v / ж + n^ \ 4. > i?D I I — 1 — У ^p • ip I 1 7 р m —1 / о 7 n-l та —1 / kl\ 6. ^ kB2m i — I :=: —(^ m — l)^2m [^5 те взаимно простые]. fe=l Vn / 2 fe= 7. k=Q к—0 [n/2] Г /ol )t \Bk+n [x - -tj + (-1) B*+B fc=O v " 7 1 2n + 2 " ^ k\ |"»-r»-r-i- ¦ t iv -/ Bfc+n+1 ^ max (to, n) fc=O = Вт(ж)Вп(ж) + (-1)т-т :—^r~Bm+n [m + n > 2]. max (rn, n) 12. ^ fc=O 13. ~~ = (±l)n \n j x ± у - ^^ } Bn-!(x ±y)-(n- l)Bn(x ± ; 14- Е(^)^В*(х)Вп-,B/) = ^(^)^^(^+ж)В"-*(«) [а любое]. k=0 fe=O 5.1.3. Суммы, содержащие Еп. fe=O ХАгь n^ U I.\All Arvl.A {An, T^ Alft> n^ / V "^ ^^ / \ "^ / [0 ^ m ^C n; «г = 0 или 1]. П / /I V4 I 1 D IP /1 _L fJ^ O4n-1\ о - /2n + l /, I of. _l 1 fcO \Z^ + 1
326 Гл. 5. Конечные суммы [5.1.4 5.1.4. Суммы, содержащие Еп(х). k=0 fe=O 2 2. JT {-l)kEm (x ± ^py) = ±Bn + l)-mEm ({2n + l)x - Bn + lI^) =F fe=O n — 1 / . fe=O 2 /2m V ^ , ^kn (x + nk 2m 5. ^J(±l)fe ( 'I ) Ek(x)En^k(y) = 2(±l)n | ( ^^ Tx-y) En(x ±y)± En+1(x ±y)\. k=0 6\. I iK ел/Чел /\ \. I i iK гр I i tf \ tp / \ г г ~\ ^-^ \h / *-^\kJ \ t / k=0 fe=O (tj\1? .Г / 'y* \ / 'y -4- 1 I I 2^кЕьЕ л. -ъ(т) = 2m+n \E \-\E I . ife УJ m+n l ; I m \2/ n V 2 8. k=0 n n 9. ^ (^)tfcBfe^)?Jn^fc(|/) = ^ (n)tkBk(x + a)?7n_fc(y + at) [a любое]. 5.2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА РДж) Ж <Э^ (При /л = О, I/ = п см. также [18], 4.3) 5.2.1. Суммы = ^— [(±1/ Т -„+1W + I-IJ lM + ^ + ^ + [Д^(^) = ^(z) или Q^{z)\. fc=O 3. }^ fc=O к=о 2 2 [ж-1 ж + l J fe=O n 6. X"Dn-4k- x) [* > 1].
5.3.1] 5.3. Обобщенная гипергеометрическая функция и G-функция Мейера 327 (±l)k pfc-n/ ч k=0 '• 8. ^ [п/2] 10 Y 1- 5.2.2. Суммы, содержащие произведения функций Лежандра. т+п 2. ^ Bk + ljPr^)^"^) = л -P?+n+1(tt)P?+w(s) [-K Ж < 1; m ^ 1]. з. 2^( k=0 [x > 1; те > 1]. 5. ^[^S"fc ^ (V) flfel fsinna [-1 < x, у < 1]. у/ .,tBn-<;)!fsiiibLIM M) _ ^ kl [cosfcaj = (^l)n( Slnna }pn (xy - v/(l^x2)(l^|/2) cosa) [-1 < x, у < 1]. [ cos raa J V /v^/ у 5.3. ОБОБЩЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ pFq((ap); (bq); ж) И G-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА 5.3.1. Суммы ви да \J QLkP+iFq(—k — m, (ap); Fg); ж). -i —гг — 1,
328 Гл. 5. Конечные суммы [5.3.2 2. 2kP+i k=i ^ ^ q^ . V-, л\к(п\ (-к,{ар) - ^, Л^к(п\ f-2k,(ap)\ ЩарУп ( ,n ( -n, (ap а у^ (а)к F (-к, (ар)\ _ (а + 1)п _ ^ ( -п, а, (ар) _ ^ /n\, ч /лч _, f—k, (ap); 7. g(J(«)(^^( 'i к=0 (a-n-l/2)k p+lF4 F 6,) I / ffi 1 Ill / fi f~y in i • /ТЙ n!22«C/2-a)n p^z 9""Ч 3/2, F, a \4 iN<fe^\(«)fc p f-k, (ap); x\ _ @^аУп „ / -n, a, (ap); ж \г р ( 1 р -п, -п, (ар)\ —m — k1 (ар); ж 5.3.2. Суммы вида Л^ ак р+2^я(—к1 и + /г, (ftp); ¦ /-n-1, n + 2, (ap)-l\ /-п, п + 1, (ар)-1 П(^д)п
5.3.4] 5.3. Обобщенная гипергеометрическая функция и G-функция Мейера 329 5.3.3. Суммы вида V^a*. p+iFg(—A;, (ap) + k; (bq) + k; ж). ^-\ /ra\ Bа + 2n — lJfe , x fc=o ^а П^ /-2n, 2а + 2п-1, (ар) — р+2-Г g I /, ч fc=O '—ra — n, (ap); ж QL — ft, (bq) 5.3.4. Суммы вида \, ak p+iFq(—k, (clp) — rnk\ (bq) — nk\ ж). —n, (ftp); ж 1 2n / ^ I i. / TJ(~l \ P+1 <? I /l \ ь k=Q v « / IK1^*; V l°gj "~ ^5 x к V^ tfc ПС1 - Mfc с, /"-^ ^ <r/2, -A; + A - <r)/2, (ap) - A; *-* • • ~ * \ i /л i '. ГТ т—r / -. \ p-|-2 ¦* qf I /1 \ i al , 1 lOI K* • T* Bra + ст) ПA " aP)n V (^) - n; ж + 4/t Д/п\ (-ж)"* п_^_! ПA ~ Mfc /-fc, a-fc, (aP)-fe i^^^l")* j ПA«Р)*Р+2 q{(bq)-k; (ka + l)x 7 V l 'ь ]fk l ilx ~ Uq)k F I ~^' ^ttp^ ~~ ^ 1 = tn ^k^ ПA-ар)* P+ V (&*)-*;; ^ / ПA - aP)n Р^^\(&д)-п; ж-1/* 8. )_^(i 17т~ж~ ТТЛ V" p+i^g (Q)n ^nU(^-bq)n ( -n, (ap) - n, P - a = TbVX TJ(l - a ) p+2 ^ ^fc ori ^ ^ /-fe, (ap)-A;, a fc n(i - ap - 6g)n r f-n, (ap) -n, a-/3-n + l (/3)n ПA - aP)n P+2 q —A; — m, (aP); ж ^-A;, (bq) ~m — n, (ap); ж Д, Fg)
330 Гл. 5. Конечные суммы [5.3.5 5.3.5. Суммы ви да ^ «fc pFq((ap) + k(cp); (bq) + k{dq)\ ж). 4 (b у \( \ Г /а + п, (ар)-1\ /а-1, (ар)-1 )_1x ) (ъ (ар), Д(т, а), Д(т, а-/3 + 1 (b9), A(m, a-^-n-1); a (Р - a)n „ ( Op), A(m, /3 - a + n); x f o\ p+m^ q+2n л \Ч 1 h ^k)(P)k{ Fg),A(m,/3 + _ (P - a)n „ ( (%), A(m, а); ж ^ /n\ xk Шар)к *р (M + к] x\ _ ((ap), р + щ x + CJ + 1/2, (ap); _ f(ap),a-n, о V Ж ll(aP/fc 177 / \ap) + »; Ж \ _ ^ |-r |-r ! о 1) (ар) + 1;ж \ жп+1 ПЮп+i F x PFq+11 /L x , 1 Q ,_ 2 :P^g+i io. jr(n2-к){-^ггШь ); ж , (ap)+ Л 1
5.3.6] 5.3. Обобщенная гипергеометрическая функция и G-функция Мейера 331 1 ( 2п\ Г ( (а ) 1/2" х \ ((а ) 1/2* = О\ I Р+1^ + 2( /L \ -I III + P+l-^q + 2 I /, ч 1 (op), (/3 - bq), /3 - 1, (/3 ; x 5.3.6. Суммы вида ^«fe pF4((ap) — fc(cp); (bq) — k(dq); x). F9) - 1; ж ч V^ l I? I v"p/' " "" л 1 I Or I \ / о\ 1 I On, i\^ o\ I w 2. > fep+ii^g . . I = I Па* - l)(ai - 2) I 1F^ - l)Fj - 2) х 2 Г /(ap)-2, a- i=i p+2m J4 q+m (ap) — 2, a — n — 1 Fq) -2; x ), A(m, a-n) / (аР); ж fc=O ? — а)п р / (аР), A(m, y5 — а + гг); ж . ^ a)n P+m 9+2mU^), A(m,/3), A(m, ^ - а) ft j* Ж (ар), А (га, а — &); _ (Р — Ot)n 7- z^ - fa) Ж-"ПA-Цп / (ор) - п, 1 - а; ж Jap), а — /г; ж\ (fe9),/3-fe ; = (Р - а)пХп \\{ар)п
332 Гл. 5. Конечные суммы [5.3.7 Q (ap) ^k, a \ ( Х) V ( 5.3.7. Разные суммы, содержащие pFq((ap); (bq); х). те т П r(bi-bk) П Г(Ьк-сц + 1) п г=1 г=1 z X к X К) -п, а~ П 1 г=п+1 f[ Г(сч-Ьк) i=m+l — Gnm г [р < q] или [р = д; |ж| < 1]. П T(afc - а^) Д r(bi ~ 2. *=i П r(ai - 5 П ¦ж * х l-ak + (bq); (- ,. .. , од.-1-afc + l, 5.3.8. Суммы, содержащие G-функцию. Обозначения: к, т, n, p, q, r, s = 0, 1, 2, ... < р] или [^ = р; |ж| > 1]. к=0 _(«-, ^n+r 2- тр+7% g + ? A(r, a - /г), (op) (Ь,), Д(г, /3-fe) Д(г, a), (ap) (Ь,), Д(г, /3 - 1) [Re (а - C + s) > 0; т + те > (р + д)/2]. А(г, а + s), Fg), A(r, ^-s) A(r, a-A;), (ap) \ _ A(r,a), Fg), A(r, /9-Л) [Rea < 1; m + те > (p + g)/2]. (Ph г, g+r A(r, a), A(r, a + /3 - 1), (ap) Fq), A(r, a + /3 + s — 1) [Re (a + /3 + e) > 1; m + те > (p + g - r)/2]. r, g+r (ap), A(r, a + fe) ^ _ F,), A(r, /3 + fe) (ap), A(r, a + s 5 (ap), A(r, a-s) (r, a), A(r, /3), F, [Re (a- 13 + s) >0; m + те > (р+ g)/2+ r]. [Rea<s + 1; m+ те > (p + q-
5.3.10] 5.3. Обобщенная гипергеометрическая функция и G-функция Мейера 333 A(r, a). (av). А (г, в + k) \ i A(r, а-в), (ap), A(r, /3 + s) г, n+r [Re a > 0; m + n > 7- ЕЧт 7)* ;)<w; g + r A(r, a — /г), (ap) \ _ (bq), A(r, a + k) J A(r, a + 7), A(r5 a - 7 — s), (ap) F9), A(r, a - 7), A(r, a + 7 + *) (ap), A(r, a-/г) \ _ (ap), A(r, a — 7 — s), A(r, a + 7) A(r, a — 7), A(r, a + 7 + s), Fg) B/3). rp+2r,g+2r (ap), ABr, 2a -A;) \ _ ABr, 2a + fe), Fq) / (ap), A(r, a + /3), A(r, a - /3 - e + 1/2) A(r5 a + /3 + s), A(r5 a - /3 + 1/2), (bq) ^•E Jp+r, q+?° (ap), A(r, a + fe) A(r, a + 2A;), (&g) (ap), A(r, a-^- A(r, a-/3), Fg) _i), ap + A; k, 62, • • • , bq [m + n > (p + g)/2]. < p; q ^ m ^ 1; Re F1 — op) < n]. 5.3.9. Суммы, содержащие многочлены Неймана Оп(х). г„\ ^^ndnOm+n(x) к=0 dxn 2. 3. к=0 х [<т = 0 или 1]. 5.3.10. Разные суммы. s . ( n =F п\ ,. ( 1 =Ь 1 \ = п (h^nv —) +С [в, v + —-—). k=0 4 =n4(
334 Гл. 5. Конечные суммы [5.3.10 n ) 2 ~ 2-^F T(n + v + 3/2) n 4. ^(-l'(")'/2 О („ - „ + 1/2). W'*k- -1"' '(,.-/+ 1/2). ./.,.-./. W- (a)nxn fa + n; x lF4 _ (^l)n(l — b)n ^ (a — n; x 2n\ (а)кBа~2п~1)к к p f a + к; х к ) (а + 1/2)кBа)кBа-2п-1Jк 1 2 \a + к + 1/2, 2a - 2n = r,a + l/2, 2al^_2ar2
Глава 6. РЯДЫ 6.1. ВВЕДЕНИЕ В этой главе приведены суммы рядов, содержащих некоторые специальные функции. При преобразовании таких рядов, в частности при их приведении к форме, которая принята в этой книге, можно воспользоваться формулами из приложения П. Формулы раздела 6.8 дают возможность находить суммы гипергеометрических функций и с помощью формул раздела 7.3 — суммы рядов с различными элементарными и специальными функциями. 6.2. ОБОБЩЕННАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦМЯ ?(s, и) 6.2.1. Ряды вида y^afctfc((g ± к, у). со 1. J2 **С(*> v) = *hH«) - iK» - *)] [1*1 < f < i]- k=2 oo 2- k = 2 3. 4- Er ^, v) = -[2(T4p(v _, / \ l; a = 0 или 1]. 5. V f ^ + 1) 6. = 2 In r(v) + A - In (г; - 1) - In Bтт) + 2v - 2 [arg |v - 1| < тг; 0, -1, -2, . . .]. [1*1 < Ml- s, v) - [-27Г < t < 0; 1, 2, . . .]. arg ( v - - ) < тг 6.3. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛМ Еп, Еп(х) 6.3.1. Ряды вида Л , Вп(х) Ш ЭЙЛЕРА
336 Гл. 6. Ряды [6.3.2 °° t2k 1 ? 2 ЕС)* Bfc)!(fc + 1} В™+* = 2 00 f2fe 2 9. ^(^l)fc {2k + 1)!fe B2k = - Ch(t) + 2 In |t| - 2 [|*|<2тг]. k=l 6.3.2. Ряды вида y^j akBkjx + , 00 4-к п,„хи k=0 v 00 лк x) = (п — l)!(^t)~n — е1жФ(е*, 1 — га, ж) [|t| < 2тг; п = 2, 3, . . .] , _ t ( cosech (t/2) ch ?(ж - 1/2) 1 fc=O 4 Vf+-nfc t2fc+1 p , , t fcosechC^sh^- 1/2I ri/1^2 1 * ^ } Bfc + l)! 2fe+H j 2\cosec(t/2)sint(aj-l/2) / Ll ' J' E\k/ \k ( ктг\ (—1) Bra) Bk(x) cos I 2пж H 1 = nctgn [n = 1, 2, 3; 0 < x < 1]. 6. YVl)feBri + l)fcBfe^)cos ГBп+1)ж+^1 =?2±lctg?2±l [n = 0,1,2; 0<« fc=o L 2 J 2 2 6.3.3. Ряды вида V^ S^y^fc =sech? [\t\ <тг/2].
6.4.1] 6.4- Функции Струве Ну{х), Вебера Е^{х) и Ангера Jv{x) 337 6.3.4. Ряды вида ^^akEk(x + ку). fsech(t/2)cht(a!-l/2)\ sech (t/2) sh t(x - 1/2)  6.4. ФУНКЦИИ СТРУВЕ Н„(х), ВЕБЕРА Еи(х) Ш АНГЕРА Jv{x) 6.4.1. Ряды, содержащие Шу{х). rHv(kx) = , y \ =BтгУп+1 - x 2пЧ x > Ж л \ —¦— -^ / -ш-т / » \ \™^ I ** I . «I «л/ | -L 0Fr(^ + 3/2) + 2-+ir(i/ + 1) \ 0 [-A=р1)тг/2 < ж < C±1)тг/2; Rej/ > -3/2] /, \ 7Г cosec ал- Г cos ( ) =I fc 7Г cosec ал- Г cos air "I , . тг Г1 I }H() + | ^GгТ7Г)/2 < ж < C±1)тг/2; Re и > -3/2]. а у тг i ^ -+- of z) Ad ~ [0 < ж < тг; Re i/ > -7/2]. oo E Н^) ЛМ [E()E()] + 2^) 00 / l ЛЛ jt. 1 Е^ТН°(А:Ж) =  [0<ж<2тг]. Bfe +1) Bnl)!2^F V2J UJ ^ V fe X ^n^fe^lF l ;/ [-тг/2<я; <тг/2; Re i/ > -1/2; n = 1, 2, . . .]. |_ /c/z + I/ + IJ fc=0
338 Гл. 6. Ряды [6.4.2 [-тг/2 < ж < тг/2; Re г/ > -1/2]. ' 0 < х < а ' - а < ж ^ ^ - is. Е^нЛм = - ' '^+1 (х/2)и+1 Г 14.= л-w . » ^ч U- -1 !~ ^ 1 b^il , q/o - o/z [О < а < ж < тг; Rei/ > -1]. 6.4.2. Ряды, содержащие E(/c)i/(sc) . 2- g \k OO I] w2 Е2те+1 ^Ж) = ^Г IctS a7rE2n+i (аж)+J2n+i (аж)]+ AC —ft zlfl (zI?l"T"iJlfl 7Г [-(тг =F тг)/2 < ж < (Зтг ± тг)/2]. [О ^С ж ^С 2тг]. ^ k2 — m2 ш2Bгг + 1)тг Am1 - -—[E2n(mx) - 6. 5] ^^Е2п+1(^ж) = ^ ^Е2п+1(ж)+ |[E2n(a 00 l^ 7# S ^2 ^2n(kx) = ^[ctga7TB2n(ax) - J2n(ax)] ib=i Л а J 00 , - 8- У2 ТЪ ^2n(kx) = 7[E2n+i(ma;) - E2n-i(rax)] - -—E2n(mx) - ^-J2n(mx) fe=i fc^TO [0 < ж < 2тг]. тг . 2m 2n г—|—2 ^««ьЖ j J 4 ггж)- [0 < x < l-^x [0 < ж < С 2тг]. С 2тг]. 00 / i \^ °° f-_i)fe -2 / o\ 2 2- E7irWE sin i/тг ж < C±1)тг/2].
6.5.1] 6.5. Функции Лежандра Р„(х) и Q${x) 339 ^ 6.4.8. Ряды, содерхашие Ju(x). ( 1 1 9 л 1У1Г :C±1)тг/2]. Другие аналогичные ряды, содержащие Ju(zO мож:но получать из соответствующих рядов для функций Вебера El/(z) с помощью соотношений: Е,(^) + Е_„(*) = - ctg ^[J,W - J-,(z)]. 6.5. ФУНКЦИИ ЛЕХСАНДРА РДж) И Q^(a?) При суммировании рядов с функциями Лежандра могут оказаться полезными соотно- соотнок( ( j|g( )|5 |g( l j LI z = ж, -к х Г Г | [{ <тг тг 6.5.1. Ряды /ГТо = 1/2]. 2- ? ^_1/2(«) = nffL(l - *)" 2 " 2 A + Ж)^2 - 1р-1/2(х) \-\<х < 1; Re/x< 1/2]. 3. X](^l)fc^^i/2(cosa;) = -^Р-1/2(СО8Ж) [0 < ж, 1/ж < тг; /i< 1/2]. 4. ^A) JPfcl/^1/2(cosic) ^2 ( cosтгсо8ж1 [Bm - 1)тг < vx < Bm + 1)тг]. ~ (Л _ т2чп/2 5. g^^+nW = Bw - 1)!!AЛ^ + ^)^/2 [-K*< i; 1*1 < i]- 6. f^l)fcB^ + l)P(fc+i/2),_i/2(cos x) = ^^ E ^1)fc+1 sin ^^^ x k=Q V V ^ fc=O V тг — cos x J fBm — 1)тг < i/ж < Bm + 1)тг]. 7* E 2l i jP(fc+i/2)^-i/2(cosa;) = — P_i/2(cosic) [0 < x < тг; О ^ их < тг]. fc=o 00 / i \k [-1 < x < 1; ii < 5/2; j/ ^ 0].
340 Гл. 6. Ряды [6.5.1 9. l;/i< 0]. "•E- + 1/2; ^t2(l - ж2)/4 l, (n + l)/2, 1/2 В формулах 6.5.1.12-14 для —1 ^ x ^ 1 следует заменить z —>- ж, л/z2 — 1 —^ Vl — ж2 J/2 [p = 1 - 2t cos x + t2, 0 < x < тг]. Е ( fc=o Y^Bi/+l)fc y 2 (±zTl) ' 4^ fe' *+" T{v+l){l-2tz+fiY+1/2 t rf|argB+l)|, |arg(*-l)|<,rV| LI г = ж,-Кж<1 JJ 18. ;, <тг = x, -1 < x < 1 21. \Pu(z) [Rez > 0]. [Re^ > 0]. r2 _ ¦ i -/x-i/; l-/x; -A - z «>«1 \ ^ D^ /™\ Г-1 О-/-/1
6.5.3] 6.5. Функции Лежандра Р?(х) и Q%(x) 341 6.5.2. Ряды вида 0е)' !ln: Jln («2-1I/2 x-t+(l-2tx + t2I/2 -1/2; |arg(z 4. 5. 6. [-1 < x < 1]. 2-1)|<7г]. [X > 1]. zp l)n = ^те, ^?i + 1, . . . ; x > 1]. т + п + 1 n + 3/2 8- n + 1 + 3/2 1. 6, n + 3/2; 1/z1 6.5.3. Ряды вида У^ ak cos (к a + b)P?j CO Ы^1/2(СО8Ж) = fl + 2)/2\ 0 < ж < тг; Rcjla < 1/2; Re ^ < -1/2 при x = ±a/u] k± = ±[(ux =ро)/Bтг)], ak = 1 при А; 7^ fe±, ak± = i при A/тгТа)/Bтг) = . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . , afe± = 1 при A/тгТа)/Bтг) ^...,-2, -1, О, 1, 2, ... . 2. 3. yj cos BА; {; Рм1 /о(— cos ж) 2 ^/2l ; 2a — cos ж) м ГГ0<2, Ll 0 < ж 2a < x < n <2а<тг *(г) = |(г ± ^i?^T cosa)" - \ oo 5- E^ (г) = Uz ± 2 — I cos a ^ 11 ' F 2J [Rez > 0]. [Rez > 0].
342 Гл. 6. Ряды [6.5.4 вида 2. y^ cos kaQ^_1/2(z) = k=i [| arg (z + 1)|, | arg B — l)| < тг; oo о V^ i n ( \ ж ( \-i/2 !^i / \ г i о. у cos кп(о^k—1/2 (cos ж] = —т— (cos a — cos x) — --V —1/2(cos ж] [а < ж]. Zl ' Zi fc = l 00 ^*——' 2 2 fc=i OO г ~~ 5. ^J(dzl) cos kaQ(k-i)/2(x) — Bж — 2cos2a)^ ' — ± arctg k=i L ^ж ~~ 6.5.5. Ряды вида ~ - 1)"/2 D1* (fe - а)(Л а [—тг < ж dz 1/ < тг; /х, i/ ^ 0]. sin атг оо 4. ?(±1)*p;(«;)P-*(*) = -Р,(^ ± г/(«2-1)(г2-1)) - -P,(«)^ W fe = l [Re to, Rez > 0; | arg (го - 1)|, | arg(z - 1)| < тг]. оо 11 5. ^(±l)fcP*(cosa;)Pirib(cos2/) = -P^cos (x T y)) - « P./(cosж)Р„(cos?/) [ — 7Г ^ X, y, X + у ^ ТГ]. 6. ^(-l)*Pf(»)P;M(Z) = >„(«;*) - ±Pv{w)Pv(z) k = l [Reto, Re z > 0; | arg (ги — 1)|, | arg (z ¦— 1)| < тг] или [го = cos cp, z = cos 0; G<Cy?, 0, y> + ^ < тг]. °° (^1)к 1 ^ E^^"(«)^"(«) = ^^)? - ^^гГ(Х)РГ»(х) to < , < i]. k=l 6.5.6. Ряды вида ^а^ЖЭД 2. fc = 0 3. J2 k = n
6.5.7] 6.5. Функции Лежандра Р?(х) и Q%(x) 343 4. j^Bk + l)Qk(x)Qnk(x) = 5. 6. Г. Х"( ¦1)!' [ж > 1]. [ж > 1; га = —п, — п + 1, . . .]. Г2"] [ж > 1]. \k-n)V Bn = -n, -n х (ж2-1)~(п (ж) 10- [х > 1; 7П = —тг, — тг + 1, . . .]. [ж > 1; 771 = —71, — 71 + 1, . . .]. [* > 1]. ъРт)'"-- + 1 W + 2 6.5.7. Ряды вида Re го, Re z, Re - 1; \w - \fw2 ~~ 1 | 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ж < у] к = ¦ х 1 l)PZ(x)Qk(y) = (-l)"n! /у/(х [-K ^ 1; у > 1]. [-1^Я!^1; у> 1]. [-1 ^ж ^ 1; |/ > 1]. E( ¦п)\- B/ — x)m+n+1 [—1 ^ ж ^ 1; 3/ > 1; ra = —n, — n + 1, . . .] k=i ?^B/) = -Qv(xy 2 [О < ж < 1; -1 < |/ < 1]. - -Р„(ж)<Э„B/) [К ж <у].
344 Гл. 6. Ряды [6.5.8 9. (x)Q-2k{y) = \Qu 10. п. [1 < у < ж; i/ # -1, -2, -3, . ..]• 2Г(/х — i/) sin i/ж Rew, Rez, Re WZ + X ^ 1; - 1 | I r(-2i/-l) (w 6.5.8. Ряды вида ? afe cos (fea COS [Ш 2. 3. 4. 5. 0 < cosa cos kaPy (cosx)PjJ' (cos y) = —Pu (cos ж cost/ ± sin ж sin у cosa) — — ™i3i/(cosa?)Pl/(cos|/) [0 ^ ж, t/ < тг; ж + у < тг]. Is = 2P"(W ± ^(z2 ~ Х)(^2 - г) cosa) ~ 2()() [Rew, Rez > 0; | arg (w - 1)|, | arg(z - 1)| < тг]. k^1/2(x) = -P^(x2 - A - x2) cos 2a) [0 < x < 1]. 7 - 1) cosa) - - -Pu(w)P1/(z) [Rew, Rez>0; 6.5.9. Ряды вида ]Г ак cos kaQ%+til(x)Q%+%l (у). j
6.6.1] 6.6. Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера iFi(a; b; х) 345 3. *=1 _ , ____ ч , = ^{z -sin a) L-i r-2 r^— i 21 6.5.10. Ряды вида ?a* cos (ka + b)P%+*? (x) Q%#%(y). J2. . (^ -«in2^/2 Г(Л + /л + 1/2) к~г/2К _1/2 /2 cos2 о fj) 3. ^(±1)к cos kaP-k(x)Qt(y) = |0,(^l/±V(^2 k=l [1 < x < y; Imo = 0; i/ 7^ -1, -2, . . .]. • / \ / ^^^ "> "¦ -* t/ \^ )^ и\У) — — ^°C v\<^ У ^C \/ \-L — *L-i /\JL — I/ / Cub Uj — — Г и yX j\c^ и у у j [-A± l)/2 < ж < 1; -(IT l)/2 < у < 1; Imo = 0]. 6.6. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ КУММЕРА iFi(a; 6; ж) Для приведения рядов к виду, имеющемуся в справочнике, можно использовать соотно- соотношение ( , ж . ч iFi(a; о; ж) = е iFi(o —a; о; —ж). Если ряд содержит только гипергеометрические функции вида iFi(—к\ 6; ж), то соответствующие формулы после замены см. в [18], гл. 5. Кроме того, можно воспользоваться рядами для обобщенной гипергеомет- гипергеометрической функции pFq{{ap)] (bq); х) при р = q = 1 (см. 6.8). 6.6.1. Ряды вида ^«fc iFi(afc; 6^5 ж). [0 < Rec < Re (b - 1)]. = e*iFi lFl{b + k
346 Гл. 6. Ряды [6.6.2 a; T 7- Ет^ Jc; ж 0; (а + 6)/2, (а + 6-1)/2; 4ж Зтг/4]. k\B-a)klFl{2-a Q v\ 14fc x y = 1F2 a + k; x + y 6, а + 6 — 1 а/2; -ж2 1/2, C-а)/2 3/2; 2-a/2 )' a; x\ (a; y )lF{ "•Е (а-с)к(с)к kl(b)k(bJk l a + 2A;; ж + 2/ 2k; x = #2(а' 6' 6' ж' У)- C1 X b 13 * i) lFlia2a + 2а )' а + к; х a, 2a — b — с; х 6.6.2. Ряды вида \2akiF1(ak; bk; xIF1(a'k; bfk; y). . ^ i .«,,«,. х I о а1 о а ¦ к J \ b + к ) \ 6, Ъ ; —х : x 2fc о 1 1 a + k; x\ fa + k; x _ ~ 2 а/2, (а 6/2, ( ; -ж2 , 6 ; 4ж &, 6', 6 + 6' -1 5. кЩкB~Ь)к* Ь + к = F( a/2, (a + l)/2; -ж2 Л a(l - b)x /1 + a/2, A + a)/2; -ж2 2 4V2 CЬ)/2 A + Ь)/2/ ЬB6) 2 Ч lj*!(a + 1/2)! ЬB-6) 2 Ч 3/2,2-6/2,1 + 6/2 a; Ax
6.7.1] 6.7. Гипергеометрическая функция Гаусса 2.F1 (a, b; с; х) 347 ^ (a)fc(fe- l)fc(fe- a)fc * fc (a + k;x\ {a + k; y\ f a; x + y xy lFl{ )lFl{ ) = 1Ч - \^ (a)fc(fe- l)fc(fe- a)fc * fc (a + k;x\ {a + k; y\ f a; x + y\ 8- L k\{b-iu{bu xy lFl{b + 2k )lFl{b + 2k ) = 1Ч ь )¦ _ОС' (п\ , (nf\, (h Л\, f п -Х- k>- т» \ /п1 -Х- k" 11 Ni 9» 2^ (-1) V,/l -.О Aл x У i^i l,9, bFi ,,0, =Фг(а, а; Ь; ж, 2/). ^ jfel @ — IJk(bJk \ Ь + Ik J \ Ь + Ik 6.6.3. Разные ряды, содержащие1^(а; b; x). \ 2ife + 2c5" - v^ (la)fe fc[sin(A; + l)y] (а + 25 + к; x ' ^Bk + S)l \ k J1 ^coSexp^(l + cos 7Г 2 L 2 V 2 Sin | ^l x 2 J '—¦(¦> 5- Ъттл:ьк ( E B6)ьD6-1)« [-1 ^ x ^ 1]. ^a; A + ж)з//2\ /a; (l-x)y/2\ 26 /Ч 26 / (a)fc(b - l)fcfe! 4fc p^-i.b-c-i)^^ p^-i^-c-i)^.^ „ /a + ife; ^ ; c, fe^c; |A - ж)A - у), |A + ж)A + 6.7. ГИПЕРГЕОМЕТР1ЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАУССА 2F1(a, 6; с; ж) Для приведения рядов к виду, имеющемуся в справочнике, можно использовать соотно- соотнония 2Fi(a, 6; с; ж) = A — х)с^а^ 2^1 (с — а, с — Ь; с; ж) = {l-x)-%F1(a, с-Ь; с; - = (l-a;)-!>2F1(c-a, 6; с; -?-). V ж — 1/ Если ряд содержит только гипергеометрические функции вида 2Fi(—k,b; с; ж), то соот- соответствующие формулы после перехода к классическим многочленам согласно формулам из 7.3.1 см. в [18], гл. 5. Кроме того, можно воспользоваться рядами для обобщенной гипергеометрической функции PFq((ap); (bq); х) при р = 2, q = 1 (см. 6.8). 6.7.1. Ряды вида ^ttfc 2^1 (afe, fefc; Cfe; ж).
348 Гл. 6. Ряды [6.7.1 *• e^ a — k, b с; ж a ~\~ Л'; о с — а, [И < 1; Re(l-i) > 1/2]. c; x = F2{a1 b,b;c,c\x,t) = F4(a, b; с, с ; ж, t) (c-a) 2Fl(c+k x) =A"t)~a2Fl a + A;, b 10. 12. 13. k\(c)k fc4fc k=o a, b = 2Fl(c;a;+: = FiF, b', a~b'; с; ж, ж —t) [1*1. , \t- F ( 2«, 2^ : + 1/2;ж/ 2 1 V« + 6 + l/2; ж/4 ! , .^ ч -xkyk2F1( ' J = Fi(a, 6, 6; с; ж, у) к\(сJк " \с + 2к; х + у - ху J [\х\, \у\, \х + у - ху\ < 1] (h\ . (г* ft h\ , / rr 4- t Л 4- t \ ,., ч ^ж |/ 2F1 oI = 1^з(а, a, 6, 6; с; ж, у) ЩсJк \c + 2k; х + у - xy J 15. (a)feF)fe(c - a)fc(c - Ь)к 2k Ы(с + 1/2)к(сJк Х = 2Fi k\{c)k{cJ a + k,b 2a, 26 2c; ж a "У" 2*1 1 , ol ' , I = 2^1 I ' J2F1 \c + 2^; x + y - xy J \c; xj \c; у , \y\ < 1; ж + 2/| или х + у — xy\ < 1 a + k,2b + 2 c + 2k,x a, b 18. 19. a+k, b+2k (a)fc(c - a)fcFJfc fe д. 2Fi 2^ = F2F, а, а; с, с; ж, -j г; ж с; с; ж
6.7.2] 6.7. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a, 6; с; ж) 349 22. kl(cJk 2к L^Jfe2Fi a, b с; 4ж — 4ж а, 6 2 ; x с, 26 + 2АЛ „2fa,b Ah J = 2 I 25. l)fc(c - a)fc(c - 6)fc(l/2)fc 2fc /2a + 2fc, 26 X 2 Ч kl(c)k(c+k-l/2)k(cJ 6.7.2. Ряды вида ^ ак 2Fi f ак, Ьк ск; у = F4(a5 6; с5 с;; х - ху, у - ху) fc 2fc Ж 2 ] х a, 6 + 1 к; x J \ c; x (а)к(Ь)к(Ь')к(с-а)к к к „ (a + к, 6 + k\ (a + k, b' + k X У 2Fl{ c + 2k; x )>Fl{ - a)fc(c ~ ^)fc fe fe 1){с) X У -2к; у = Гг(а, 6, б'; с; ж, у) [|*|, |у| < 1]. = 2F1 г(а)к(Ь)к(с)к 2к р k\Ba)kBb)kX 2 г + 2к; ж а, Ъ с; ж + у - ху 2F] 4 »• Е^1) , с/2, (с+1)/2\ а + 1/2, 6 + 1/2, а+ 6; ж2 / a + /г, 6 + fc\ /ft + A;, 6 + Jb\ с + 1г;ж / \c + fc; —ж / с, с/2, (с + 1)/2; ж2 a; + fc, 6; + 4 3 fc (a)fc(a/)fcF)fcF/)fc fc fc /a + A;, Ь + А;\ c + A:-l)fc(cJfciC У 2 Ч с + 2k; x J2 1\ с + 2k; у 2 2 X = F3(a, а, 6, 6;; с; ж, у) [\х\, \у\ < 1]. л, О + К \ I ZCL, Ли
350 Гл. 6. Ряды [6.7.3 1П v^ (а)к(Ь + 1)к(с - а)к(с - Ь)к(-1/2)к 2к [а + к, t" к\( + 1/2)( + к1)() U '2а, 26 + 2с; х ^ (aJk(b)k(b ~~ 1)к(с ~~ а - 6 + l/2)fc ^2fc ^ ^ + ^,6 + ^-1\_ /2а, 26 - 1, а + 6 - 1 V (Ш( )(/) TFf ?^ А;!(а + 6 - l/2)fc(a + 6 + к - 2)к(а + b - 1Jк 2 г \а + Ъ + 2^ - 1; х ( а + к, Ь + к-1\_ / 2а, 26-1 х 2 1V + fe + 2^1 ~ 2 2fc F /a + fe, 6 + k !(а + 6 - 1/2)ЛBа + A; - I)fcBaJfc " \ 2a + 2k; x a + k, b + k-l\ _ „ /26-1, а + 6-Г J^2 4 2a + 26 - 2; x )' a)l(b)k(b - l)feBa + 26-3)fc Jfe PY a + fc, 6 + fe; я /a + A;, 6 + А;-1;ж\_ / 2a, 26 - 1, a + 6 - 1; ж 2 l! 2 + 26 + 2ife2 J^3 2 15. E л; ж ' X /a + A;, 6 + А;-1;ж\_ / 2a, 26 - 1, a + 6 - 1; ж 2 г\ 2 + 2Ъ + 2к1 )^3 2 1л V^ (a)fc(^)fcBa + 2^ "" l)fe 2fc „2 /a + 1г, 6 + ^; ж\ / 2a, 26, a + 6; ж 16. 7 " "—" " "—X 9Г1 I I = Q^O x—* л!1 za -г Au)t^T \ za -г zo ~r AK, 1 \ Zfl -|- zo, zci -t- zo 17 у- (flJW? 2fe „2/ a + A:, 6 + fe; ж • ? . , 1/л . л, . ,ч /л . л, . -ч 2i ^2а + 26 + 2А; + 1, _, , 2а, 26, а + 6; ж = 3^2 6.7.8. Разные ряды, содержащие 2Fi(a, 6; с; ж). V"^ (a)fc fe/2 , „ /a + A;, a\ _ 1 . i/2 v_a 1 „ /a, a ^ A;! C°S ^ 2 ^l + A;; ^/ 2 Z €°S^ Z 22 ^l; z fe5 c; 2/, - ^^ c; 2/ = 2"aF2 ( a, 6, fi + i/ + 1; c, /z; к у^ (fl)fcF)fc ffcp(M,^)/^\ е( + 1Ы + 1)* * ()
6.8.1] 6.8. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq);x) 351 рЗ I i . .« ,. Ж-1Ж + 1 = Fc ( а, 6; с, /х + 1, */ + 1; 2, —^~*» —^~* x-1 2 а, 1/2 X + 1 1/2 <1 - 8. a + /г, 6 + A; *1; |arg(l-j/)| < тг]. 10. fc (Q)fc(Q;)fc(^)fc (a)k(b)k(c-a)k к а + к.Ъ ; у = Si(a, a;, 6; с; |/, ж). 6.8. ОБОБЩЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ aktkpFg((ap) ± к(ср); (bq) ± k(dq); ж). 6.8.1. Ряды вида — А;, (ар) '-А;, (ар)\ _ t 1, 1, (ар) 2, .!._) - ь а - з. ); х (б,); А;! к=о r -А;, (ар) -А;, (ар) ); (ka + 1)~ ж -А;, (ар) ); ж (Ья) <1 k=0 k\ /l-4t \1 + 1 p+l^g + 1 (ap); - [1*1 < 1/4]. /3, 1 — [t =
352 Гл. 6. Ряды [6.8.1 j; x X ю4 kl p+2 ^ 11 11- k=0 h\ P+2^g (bq); x -k/2, A-A;)/2, Fg); ж , , 1 '/ 4A-; L, 3/2, (ftp) - 1 + 1; t2(l-ty2xy '(up); t х/4л = A — Ц p (ap), a/2, (a + l)/2\ yUg J j V у A. LJ th J h X F,); k=0 00 ,k t0 k] UMk ~k, 1 — к — (ap) — k, a + k1 1 — A; — (ap) 1 — A; — (bq); x v V 2 k[ 16. -к, A(r, A; + a), (ap) A(r + 1, a), Fg); ггж {а)к к f(ap), (dp)] t/ъ (l + u)n = (-l)p+qtx; n ^ l] (bq); A- 18. A;! < 1; \x\ < 1 при р ^ q]. -1 ПК). XP+iFg(("P| f' ° ) [Re/3<0; Re 6,- > Re/5; j = 1, . . . , q]. \ \Pq) ~ P' x / к; х\ = F f(ap); t + x h ] X (aP) + k; x ^ *!(/?)* (ttp), (oL + fi — (bq), a, /3, (ap), /3 - a; ж (Ьд), Р [p ^ g] или [p = q + 1; |ж| < 1]
Z. B*)! Bk)\ 6.8.1] 6.8. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq);x) 353 ОО / п\ ГТ/ \ / / \ I I \ / / \ , л\ IPjfc fc I llapjfc j-, / io-pj -h ac, a \ / yap), a -\- p x yi(k \—p+1 q I (h \ h I = p+1 g I /l \ 00 {о \ / f \ i \ / ( \ 24. ~ Л ^ _ 1 - /Ю. (ж±ж)/2\ 1 /(ap); ж ~ 2 Р q+1 \ (Ь ) 1 /2 J~2 P 9+11 z ° i/z z ^ ^fc E[(%)fc p / (ар) + ^;ж \ /" (ap); ж [a = 0 или 1]. (ap); (х±х)/2л ); ж . . _ г» _ 11 i ), a, 1/2 У 2 x , xk \\{ap)k „ ( (ap) + k;x \_ ( (ap); x [<T = О ИЛИ 1]. (ap), 1; ж \ bq), 3/2, 3/2/ о JL» Jz I» 1 ff/i ^i / (n \ -4- Jt*• т* \ / (n \* i* ч*у \^ lllap;fc ci I iap) + л, ж \ _ I-, _ / i«Pj, x 9 p f(ap); x = d/3 p*q+1{(bq), /3 B/3 — 2 — aJk fcEI(ap)fe Ei / (ap) + as; ж \ _ / (ftp); ж Bfc + <r)!(/3- 1JлЖ n(&g)fcP g+4(^) + ^5 2k + PJ~ P q+1\(bq), a + 1/2 [Re^ > 3/2; <j = 0 или 1]. 12 А. П. Прудников, Т. З
354 Гл. 6. Ряды [6.8.2 37. (а)к(а-1)к к; х k; x = pFq+i (%), a; 2x (ap); x 39. B*)! 3/2; (aP); ж/2 :ap); ж (г; + 1) (A(p,kp + b); x f A(p +1, b); x [1, a+b) 6.8.2. Ряды, содержащие тригонометрические функции и pFq((ap); (bq); x). I/2; I sin (ж/2) h A;, 2k sin ж COS Ж К); г/ (o?), 1 { ' F,),3/2; V\cosx ap); 1 со82(ж/2) (&,), 3/2; "" /sinxl \cosxfp*4+1 (ap); jcos (bq),l/2; 6.8.3. Ряды, содержащие специальные функции и pFq((ap); (Ья); х). 2. 4 3. , (ap) (ap);-x2y/4
(-1) [к + - ) —/fc+l, 6.9.1] 6.9. Различные гипергеометрические функции 355 л, К + V, \0,р) 7. ^У J l~xp+I q\(bq); 2A -х)^)' -п, а, (ар) ); 2/ 9. а + 1 J FTi " \^5 (bg); ж?/ 'КО; ^1//ж (У/4)* П(ар) ); (x + l)y/2\ 1 /(ap); j//2 (b,), 1/2 J " 2 P^+1 V F,), 1 (ap); A+a;)j//2\ J [-l^x^l]. оо г^з -, \ т-г/ \ / / \ , i ф \ 1Р); A + х)у/2\ 6.8.4. Ряды, содержащие произведения pFq((ap); (bq); x). 2- ^ШЖ+ТЖГ! p+2 П r& v ж )u(d u к=0 ар), (cr); xy (bq),(d8) 6.9. РАЗЛИЧНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 6.9.1. Ряды, содержащие 2-^2К ^5 с? <^5 ж)- I 2a, 26, a + 6; ж = 3 3' 12*
356 Гл. 6. Ряды [6.9.2 о v^/ -.xfc (a)fcF)fcF/)fc(c - l)fc(c - g)fc 2k fa + k, b + k;x ^ } к\BЬ)кBЬ')к(с-1Jк(сJк Х 2 2\2b + klC + 2k (a + A;, b' + А;; -ж\ _ /a/2, (a + l)/2, F + 6;)/2, F + b' + l)/2; ж2/4 X22' rt" ' ' ' ftf '-4*б| 6 + 1/2, 6; + l/25 6 + 6;, c/2, (c \ ^/ -j \k V^MV^feV"' — J-yfcV1* ~~ "jfe 2A; ^ift + K, 6 + Л;ж\ / tt + К, О - / j\ ) i i / \ о / i -i \ /f\ 2 ¦* 2 I ,i i , r» i I 2 -* 2 I 4 A;!(c)?(d-lJjfe(c02fc \c + fe,d + 2^/ \ c + fc, d + 2fe ( a/2, (o + l)/2, 6, c~6; Ж 4 4c, c/2, (c + l)/2, d/2, (d+ -2A;/ \a + 6 + fe + l/2, c + 2ife_ _ / 2a, 26, a+ 6; ж == 3-^3 I \q. + 6 + 1/2, 2ft + 26 — 1, с к v^/ 14fc(Q)fcF)fcF)fc(c^l)fc(c^a)fc 2fc F fa + k, 6 + А;; ж ^l j fe!B6)B6')(l)() 2 4 26 + fe, с + 2к /o + fe, fe' + fe; -x\ = /a/2, (a + l)/2, (b + b')/2, (b + b1+ l)/2; x2/4 2 2\ 2b' + k, c + 2k J 4 5\ b + 1/2, b' + 1/2, b + b', c/2, (c + l)/2 y( 1)t(a)fc(b)fc(b-c- 2fc a + fe, 6 + fc; x\ /a + fc, 6 — с + A; + 1; ^ж\ /a/2, (a + l)/2, 6 - c/2 + 1/2, c/2 - 6 + 1/2; ж2/4 4 5 V (c + l)/2, C - c)/2, d/2, (d + l)/2, 1/2 aB6 - c)(l - c) /a/2 + 1, (a + l)/2, 1 + 6 - c/25 1 - 6 + c/2; ж2/4 + cdB - c) X4 5\ c/2 + 1, 2-c/2, l + d/2, (d + l)/2, 3/2 - v^/ -^xfc (a)fcF)fc(c - l)k(d - a-b)k 2k F f d - a - 6 + k\ ( a + k,b + k ?^0 k\(c - IJk{cJk(d)k г \ с + 21c; ж / 2 \c + 2k, d + А;; ж _, /d — a, d — 6 = 2^2 , 8 Vf 1xfc(a)fcF)fc(c^ l)fe(c-6)fc 2fc fb + k] -x/2\ (a + k, b + к; х\ = I 1 F 1 I J л П л J fco fc!Ba)fc(c-lJfc(cJA; ХЧ c + 2fc / V 2a + к, с + 2k „ / 6/2, F + l)/2; ж2/16 Va + !A c/2^ 6.9.2. Ряды, содержащие 3^2(^1, «2, ^з; 6i, 62; ж). k=0 3. у: ^"?,r;,"a;fc^a^(;_fcfca';:;) = m-c,a,i-d, bi /; *, -te). Y^ (a)feWfc(c - a)k(c - b)k(c + l/2)fc(l/2)fe 2k /^2a + 2A;, 26 + 2A;, 2c + 2k ' f^Q k\(c)k{cJk(c-l/2Jk X 3 4 2c + 4^, 2c + 2* + 1; ж
6.9.3] 6.9. Различные гипергеометрические функции 357 = ,F1(a>b),F,(a'b'%+.} \с; х) V с, с — 1/2; 2 гУР^(г ~ х + Р)> 2 *^~2(* ~ х 6- L^ _ аЬр2 [ - а, а + 6] ^(а + Ь)/2 ^ ~ yt\ n{a + b)/2 ( Ш + yt -р г[ \с \)c \ = A - 2tx +12I'2, ш = (l - 2*жA - г/) + *2(i - г/JI/2] • ( k -^ (с-1/2)* (с + l/2)fc V 4 7 х (a)fcF)fc (_Ш\к Гс~1/2( ) F (a + k, b + k, c + k; y\ 0; -1 ,C ^ 1]. I - a)fc(e - 6 - c)fc 2fc „ /a +A;, e - 6-ь . г з^ it Ж2-*^11 . „> JX с, /fl + ^? b + А;, с + k\ _ fa.e — b.e d + 2k, e + k] x J \ d, e; x ^ (a)k(b)k(c - l)k(c - a)k(c - b)fc(-l/2)fc 2k /a + ^,fe + ^\ ^ fe!(l/2)(l)() Ж 2 Ч + 2^ J _____ / 2a, 26 ] x )^2 1 -I л X " V"Vfc V"/fc V^/rc V*" ^/fc zk fri ^Ka + ^ ~ l/2)fe(a + 6 + l/2)k(d + A; — l)fe(d!Jfe о jp о I I gjpo 2a, 26, a + 6, с; х ^4 3 - c)fe2fc ^2 /" a + A;, b + /г, с + A;; x X + 6 + Is + l/25 c/ + 21s / 2a, 26, a + 6, с; х = 4 3\2a + 26, a+ 6 +1/2, d 6.9.3. Ряды, содержащие разные гипергеометрические функции. а, а/2, (а + 1)/2, 6/2, у, х^ х ' ^J!()B)(HfelbW° 2\ + ^^ + 2^/° °П \1/2, A + а)/2, C - о)/2, 6/2, F + 1)/2 2A-a)» F аB - а)Ь ° 5 V3/2, 1 + а/2, 2 - а/2, 1 + Ь/2, F + 1)/2
358 Гл. 6. Ряды [6.10.1 ] х \ f а + к; -х )г 2 = 2F5 a, 6 — а; ж2/16 (а)к(Ъ)к iF2 Ч6, 6/2, (Ь + 1)/2, с/2, (с + 1)/2У а + Is; ж \ / Ъ + к; —х ~ 2 2fc „ г 2 (а + 6)/2, (а + b + 1)/2; ; ж \ / а + к] -х I 2{ а/2, (а + 1)/2; -ж2/4 6,6/2, F + 1)/2, с/2, (с+1)/2/' i-t i-t 8- '-А;/2, A-ife)/2, a 1/2; |/ а, а+ 1/2, 6, 6+ 1/2 lv26, 26-1/2, 3/2; l/k2 -к/2, A-к)/2, а/2, (а- ' 2' а- 1)ГD6-2а- 1) [26+1/2>2а>1]. '•Е- (а)к(Ь)к а, 6; с, d, /i + 1, v + 1; г/, у; —-—t, —-—t 2 ' 2 ж - 1 1/2 Ж + 1 1/2 <1 - 6.10. ?7-ФУНКЦИЯ МАК-РОБЕРТА ?J(p; аг : q; bs : z) 6.10.1. Ряды вида ^2акЕ((ар) ± mk; (bq) ± пк; z). а{1) + к) = Е{{а"У' t!) " tZ)) [ltzl < 1; |argz/A -tz)l < *Ь ap), a + 1г 00 j.fc 2. V^t (bq):z-tz g) + А;, с + ^ k\ (ap): arg(l-t)z|<7r]. [Re с > 0; \argz\ < тг]. | < тг].
6.10.2] 6.10. Е-функция Мак-Роберта E(p;ar : q; bs : z) 359 5. 6. 7. о© о© h оо V ,к к\ ,к ^Е (ар), А(га, а - (bq):z (ар), А(га, а) : га; |argz|, | arg((l - ¦ (ар), А(га, a):z [Re F- a- c) > 0; |argz| < тг]. = / t_y V 7 8. ; |argz|, | arg (A 2 а^тг/2; |argz| < тг]. 9. [0 ^ a ^ тг/2; |argz| < тг]. 6.10.2. Ряды, содержащие произведения iiJ-функций. 1. fc=O a,b,c ] ( 2a, 26, a + 6, с [Re a, Re b, Re с > 0; |argz| < Зтг/2]. ;, c 2а, 26, а + 6, с 1/2J" \а + 6 + 1/2, 2а+ 26-1: г [Rea, Re 6, Re с > 0; Re Ba + 26) > 1; |argz| < Зтг/2]. а + к, 6 + к, с + к\ j-,(а — 1 + к, 6 + к, с + к a + b-l/2 + k:z ¦_,. а — 1, 6, с In/ 2а — 1, 26, а + 6 — 1, с [Re 6, Re с > 0; Rea > 1; |argz| < Зтг/2]. a + k, 6 + к, с+ k\Ef 1/2 ^a + k, 1/2^6 + ^, c + b+ 1/2 +k: cos (а- 6)тг Г 1 E 1/2 + а-Ь, 1/2-а + Ь, с, 1/2 [0 < Rea, Re b < 1/2; Re с > 0; |argz| < Зтг/2]. / а + к, d — 6 — с + А; \ / а + А;, 6 + А;, с + к W* \ х )Е{ d + k:z а, 6, с, d~6^c1 тр/я? d — b, d — с d ^ 6, d ^ с \ d: z 6. [Rea > 0; |argz| < Зтг/2].
360 Гл. 6. Ряды [6.11.1 6.11. С-ФУНКЦЖЯ МЕЖЕРА G™qn ( z Т) ~\~ О Обозначение: с* = m + п . 2 / 6.11.1. Ряды вш да^2 aktk G^qn lz (Ь,) (ар)±/г(ср) \ {bq)±k(dq)J- к=0 (%) (&g-l), Ь + к a — A;, {(ip—i) {bq) (ftp—i)j ft — A; ) G (Op) К) a, (ap-i) (ap_i), a 1; m 1; m с*тг]. с*тг]. 1; n с*тг]. i,n + l a - Л, (ap) \ _ a_i i=i [0 ^ m ^ g; 0 ^ n ^ p; |argz| < (с* + 1/2)тг]. a — и — к, (ap_2), a + i/ + , a — i/, (ap_2), a + i/ — 1 a, [1 ^ n ^p- 1; |argz| < с*тг; i/ ^ 0, ±1, ±2, . . .]. a, (ap_i) \а-1л»пп I ^ [|argz| < С*тг; |t| < 1; \tyfl -1/л/^| <с*тг/2]. 6.11.2. Ряды, содержащие тригонометрические функции и G-ф у н к ц и ю. 1 — к, (ар), 2 + А; \ _ i/a 3/2, (bq), I I "  2,д+2 ,9+1 k=0 a, A;, a 2 arg z\ < с*тг; 0 ^ <p ^ тг]. с*тг; 0 ^ (p <C тг] a, (flp-i) + A;, a a + ife - 1/2, Fg)
6.12.1] 6.12. Разные ряды 361 а, (ар-i) \ 1 /l \ ' ~ ~ G p+1, q+1 a, (ap_i), a a-1/2, Fg) [|argz| < с*тг; 0 6.12. РАЗНЫЕ РЯДЫ 6.12.1. Ряды, содержащие многочлены Неймана Оп(ж). ^ 1 1 flJ Ж ~ %J Ж + 2(у-я?) [Ы 2. 3. 4. -«-XVI./J- (я._: B/ - жK у - х' 1 ху\ тг].
Глава 7. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ: СВОЙСТВА, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 7.1. ВВЕДЕНИЕ В настоящей главе излагаются основные свойства, представления и частные значения гипергеометрических функций одной или нескольких переменных. Ввиду важности для приложений наибольшее внимание уделяется случаям p = q + lmp = q обобщенной гипергеометрической функции PFq((ap); (bq); *), причем значительное место отводится таблицам выражений этой функции через различные элементарные и специальные функции при соответствующих соотношениях между параметрами (ар), (bq) с произвольным аргу- аргументом z. Такие выражения в случаях, когда не все параметры фиксированы, называются представлениями; если же все параметры принимают числовые значения, то эти выражения называются частными значениями pFq((ap); (bq); *). Отметим, что формулы представлений pFq((ap); (bq); — *) могут быть получены из соответствующих формул для PFq((ap); (bq); z) путем замены z на ~z; однако в ря- ряде случаев представляется целесообразным приводить выражения также и для функции pFq((ap); (bq); -*). Общая формула для вычисления значения g+iFg((ag+i); (bq); z®) в точке zq = 1 при любых параметрах (ag+i) и (bq) известна только для случая q = 1 (см. 7.3.5). Аналогичные формулы, выражающие значения g+i-Fg((ftg+i); (bq)] z) в других точках zo, получены лишь при некоторых соотношениях между параметрами и для отдельных значений *о. Таблицы 7.3—18 можно существенно расширить, если воспользоваться различными свой- свойствами PFq((ap); (bq); z) из раздела 7.2. Результаты, изложенные в этой главе, могут быть использованы для вычисления зна- значений сумм и рядов после приведения их к виду V^ f z с помощью соотношений из ЩЬ) приложения II, а также для вычисления определенных и неопределенных интегралов на основе формул из глав 1 и 2. 7.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГМПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКМХ ФУНКЦИЙ 7.2.1. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi(a, Ъ; с; z). Гипергеометрический ряд Гаусса определяется формулой а> Ь' Z) ее F (а' Ь (а, 6; с; z) ее F(a, Ь; с; z) ее 2fJа> Ь' Z) V с ) с; zj f^Q (c)kk\ где с ^ 0, —1, —2, ... Он сходится, если выполнено одно из следующих условий: 1)И<1; 2) |я| = 1, Re(c-a-b) > 0; 3) |*| = 1, * ф 1, -1 < Re (с - а - b) ^ 0; в остальных случаях ряд расходится. Гипергеометрическая функция Гаусса определяется при |*| < 1 как сумма ряда Гаусса, а при |*| ^ 1 — как его аналитическое продолжение. Для выделения главной ветви аналитического продолжения, которая также обозначается символом 2F\(a, 6; с; *) и удовлетворяет условию | arg A — *)| < тг, в комплексной z-плоскости проводят разрез [1, оо).Аналитическое продолжение можно получить, в частности, с помощью интегральных представлений Эйлера
7.2.1] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 363 2. 2Fi(a, Ь; с; *) = _ 7+ 3. 2Fl(a,b;c;z) = r\ C 1-L f Г [*' a " *> [a, oj Z7T« J [ с — s ^{\ - t)c^\\ - tz)~a dt 0 [Reс > Re6 > 0; |arg(l — z)\ < тг], или Меллина-Барнса 7+гоо (-*) [0 < Res = 7 < Re a, Re 6; | arg(-z)| < тг]. 7+ioo 7+ f Г[в, s + c-a-b, a- s, b - s](l - 27ri J ds [ a, b, с — а, с — bj 7^io° [0, Re(a + 6-c) < Res < Re a, Re 6; |arg(l-z)| < тг], а также с помощью рядов Гаусса в окрестностях особых точек z = 1 и z = сю. 5. 2Fi(a, 6; с; z) = 6. 2Fi(a, b; c; z) = Г ' с — a, с — (a, b; I + a + b - с; 1 - z) + с, 6 — a 6, с — а Fi ( а, 1 + а - с; 1 г — а, с — 6; 1 + с ™ а ™ Ь; 1 — z) [с — а — b ф din; | arg A — z)| < тг]. , 1% + Г1 ' l^J-^Fi F, 1 + 6-c; 1 + 6-a; - J [a ™ 6 ^ ±n; |arg(-*)| <^] [a, c^ 6J \ z) (случаи с- a-b = ±n, а-Ь±псм.в 7.2.3.14^23, 78^83 и 7.3.1). Некоторые формулы замены параметров и аргумента: 7. 2Fi(a, 6; с; z) = 2FiF, a; с; z) = A^ zya2Ft (а, с - b; с; -^ = A - z)c~a~b2Fi(c -a, c-b; c; z). Другие формулы преобразований функции 2Fi(a, b; c; z) см. в 7.3.1. 8. 2Fi@, b; с; z) = 2Fi(a, b; c; 0) = 1. 9. lim J-2Fi(a, 6; c; z) = (a),m+1 FO+1 zm+1 c->-m I ^cj G72 + I)! zm+1 2Fi(a + m + 1, 6 + m + 1; m + 2; z). Формулы дифференцирования: 10. -f^2F1{a,b; с; z) = (a)nW" 2Fi(a + n; 6 + n; с + n; г). 11. ¦?-[za+n-\F1(a, b; c; 2)] = (a)^ 2Fi(a + n, 6; c; 2). 12. ^-[^-^^(а, 6; c; z)] = (-l)n(l - c)nze-n-1iF1(a, b; с - n; z). 13. 14. 15. 16. 17. 18. dzn dznl (с - а)п(с - 6)П/ 2Fi(a5 b; c; z)\ = )b"c+n2Fi(a, b; c; i )a+b^c2F1(a, b; c; i c —n —l/-i \a+6 —c —n A - z) T -1) (l-c)nz A-z) ) 2 -f^ 1 ^"-7 w, c, , 6; c + n; z). a, 6; с + тг; z). c2Fi(a ^ n, 6; с ^ n; z). (a - n, 0 - n; с - n; г). \a-\-b — c — w2Fi(a — 7i, 6; c; z). dz 2F1 f a, 6; c; — j = (™l)n(a)nz a ^11 a + n, 6; c; -
364 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.1 20. 21. (а)п(с-6)п ^а^ ^ — 1) 2ft U + n, 6; с + га; - V 2 23- п \ / п -, b; с-п; I, fc; с - n - <Т; = 0или1]. = 0или1]. [а = 0 или 1]. = О ИЛИ 1]. (с + п + a - |, 6; c; 29. ^2c^Vi _ 2^-c+n+ff-l/2 ^p 2c —2/1 2\b-c+n+l/2 --,b; с; 2' 6; C; = (-1П2 - 2cJn+CJ2:2cn" 2ft ( —ra ~(jH—,6™n™cr;c^n^cr; [<j = 0 или 1]. : ,6; с + га; 2 Г<7 = О ИЛИ 1 -п-1,Ь-щс- n; [cr = 0 или 1 = 0 или 1].
7.2.2] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 365 = 22n+2a(a)n+CJF)n+aza2Fi [а + п + а, Ъ + п + а; - + a; z2 ) [а = 0 или 1]. V 1 ) I. ^ [* a* (a, b; |; ,')] = ; - - a; zA \ [a = 0 или 1]. ча+Ь-1/2 ) a - n, 6 - n; a + -; zA [a = 0 или 1]„ )a n a 2F1 I a, v _ n _ ff^ b _ n _ ff. 3 a+ a- |; i; X z'T(l-z2)a-n-12F1 [a + a, a + a-\; a + i; 22 ) [o-= 0 или 1]. = (-4)n(a)n(l + <7-a)n x [cr = 0 или 1]. X /2^1 I n + a + 1, a; a + -; z2 ) [a = 0 или 1]. Производные по параметрам см. в 7.2.3.57—62. Дифференциальное уравнение Гаусса 37. гA - z)u" + [с - (а + Ъ + l)z]t/ - абгл = О имеет общее решение u(z) = Ciui(z) + G2tA2(zM где Ci, Ci — произвольные постоянные, в качестве гц, и^ при с ф 0, ±1, ±2, . . . можно взять функции ч?\(а, 6; с; z), zX^c^F\(\ + a — с, 1 + 6 — с; 2 — с; z) или любые из четырех слагаемых правых частей формул 7.2.1.5—6, или же 12 функций, получаемых из 6 названных с помощью формул 7.2.1.7. 7.2.2. Вырожденные гипергеометрические функции Куммера iFi(a; b; z), Трикоми Ф(а, b; z) и Уиттекера MPj<J(z), WPi(T(z). Вырожденные гипергеометрические функции Куммера iFi(a; b; z) и Трикоми Ф(а, 6; z) определяются формулами ОО / ч fg 1. xFito; 6; «) = Е ёё^Г П*1 < «>; Ь # 0, -1, -2, ...]. 2. Ф(а, 6; z) = T " iFi(a; 6; *) + Г F1- iFi(o-6 + l; 2 - b; z) [\z\ < oo; 6^0, ±1, ±2, ...]. 3. Ф(а, n + 1; z) = lim Ф(а, 6; z) = ^ x ( °° / \ fe x < iFi(a; n + 1; z)lnz + V /^ [ф(а + к) -ф(к + 1) -ф(п + к + Щ —
366 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.2 Г(а) ?j(l-n)fc k\ ' 4. Ф(а, 1 - га; z) = zn#(a + n, n + 1; z) [n = 0, 1,2,.. .]. Функции Уиттекера MPjCT(zM WPj(T(z) определяются формулами 5. MPi<T{z) = гь/2е^г/\Рг(щ b; z), Wp,*{z) = zb/2e^z/2#(a, b; z) [a = 1/2 - /o + o-, 6 = 2cr + 1; | argz| < тг]. Интегральные представления: l [h 1 Г ta(l-tN"aeztdt [Re6>Rea>0]. a, b- a\ J о oo 7. Ф(а, 6; г) = —Ц [ t"^ + iN"""^"^ dt [Rea, Rez > 0]. Г(о) J Формулы преобразований: 8. iFi(a; b; z) = ez iFiF - a; b; -z). 9. iFi(a; Ь; ж) = г[ 6 j esa7ri^(a5 6; ж) + Г PI ее(а^ьOГ*е{ВФF- а, 6; - [o^ aj [aJ 10. lim -j- tfifa; 6; z) = (a)n+^n+11Fi(o + n + 1; n + 2; г). ь^-n Г(о) (п + 1)! 11. Ф(а, 6; z) = zlm4(a - 6 + 1, 2 - 6; z). l-e-2mb'*)r[ ^^I, [a — b + 1J [m = 0, ±1, ±2, . ..]. 12. Ф(а, Ь; е2т7гг2) = е-"т("ггФ(а, 6; г) + A - е"^-)Г . J iFi(a; 6; г) а — о + 1 13. iFi(a; 6; z) = lim 2F1 (a, a; b; — J. 14. Ф(а, 6; z) = z^a lim 2Fi fa, a - b + 1; a; 1 - -V a—>oo V Z / Формулы четности и симметрии: Imz > О Imz < О 16. VF CT(z) = W -a(z) = Формулы дифференцирования: dn (a)n 17. -—- iFi(a; 6; z) = ^ ^n iFi(a + n; 6 + n; z). 18. —- [za+n^11F1(a] b; z)} = (a)nza^1 iFi(a + n; 6; z). 19. -^-[^-SFiCa; 6; z)l = (^l)n(l - b)nzb^n^ 1F1(a; Ь-щ 20. -j^ [e"ziFi(a; 6; z)] = (^l)n F а)та e"ziFi(o; b + n; z). 21. ^ [^e^iFila; 6; z)] = (~l)n(l - b)nzb^n^e^z 1F1(a - n; b^n; z). 22. ^ [z6"a+ne"ziFi(a; b; z)] = F - a)nz6~a~Vz iFi(a - n; 6; z). 23. z~aiFi(a;6; ^J= (^l)n (a)nz~a~n \F\ \ a + n; 6; — J. dzn [ V ^/J V ^/ 24. -^- La"be/ziFi fa; 6; i)l = (~l)n(b - a)nza~b~ne~1/z 1F1 fa - n; 6; ^V
7.2.2] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 367 |2п+<т 1 2 x i^i [ n + а + -; c + n + сг; z -;C; 4T \С)П 28. 29. 30. 1; с + i; с - щ 1 а+ 72+ сг; 2' (а + ^5 2 -а> с - 1; с + n + ff; [а = 0 или 1]. = О„ли1]. = 0 или 1]. = 0 или 1]. [а = 0 или 1]. [а = 0 или 1]. / 3 \ X iFi | с ; с + и; z2 J [а = 0 или 1]. 33. «4. = (-1)^B - 2cJn+CJz 2c^2n""e"z2 -п - I; с - п; i; с - n - cj; [<т = 0 или 1]. [a = 0 или 36- z2 / 1 2\ lFl(a-n;<T+2;2J a; |; [a = 0 или 1]. [a = 0 или 1]. 37. -f- Ф(а, 6; г) = (-1)п(а)пФ(а + n, 6 + n; г). azn 38. -f- [гв+—1Ф(а, b; z)] = (a)n(a - b + l)n«<-1*(a + n, b; z). azn 39. ^(а, b; z)] = (-l)n(a - b + l)n/-n"^(a, b - n; г).
368 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.3 40. ?^ [е"*Ф(а, b; z)] = (^1)пе^Ф(а, b + щ z). 41. -?L- [^а+п^е^Ф(а, b; z)] = (^l)nzb^a^e^z^(a - n, b; z). J Г) azn Производные по параметрам см. в 7.2.3.57—61. Дифференциальное уравнение Куммера 43. zu" + (b - z)u ~ au = 0 имеет общее решение u(z) = d iFi(a; b; z) + С2Ф(а, 6; z), где Ci, C2 — произвольные постоянные. 7.2.3. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq((ap); (bq); z). Обобщенный гипергеометрический ряд порядка (р, q), p, q = 0, 1, 2, . . . , определяется формулой _ у> (ai)fc(a2)fe ¦ • • (aP)fc ^fc где 6j / 0, —1, —2, . . . , j = 1, 2, . . . , q; величины сц называются верхними, а bj - нижними параметрами. Этот ряд сходится, если выполнено одно из следующих условий: 1) Р ^ Ч, \А < оо; < 1; j^ g+1 = 1, Re^ = 4) р = g + 1, |z| = 1, z ф\, — 1 < Re^g ^0; в остальных случаях ряд расходится. Если один из верхних параметров равен нулю или целому отрицательному числу, то ряд обрывается, превращаясь в гипергеометрический многочлен (см. 7.2.3.4-5). Обобщенная гипергеометрическая функция порядка (р, q) определяется как сумма обоб- обобщенного гипергеометрического ряда в области его сходимости, а при р = g + I, \z\ j? 1 как аналитическое продолжение этого ряда. Для выделения главной ветви этого продолжения, которая также обозначается символом q-j-iFq((aq-j-t); (bq); z) и удовлетворяет условию arg(l — z)\ < тг, в комплексной z-плоскости проводят разрез [1, оо). Аналитическое про- долж:ение мож:но получить, в частности, с помощью интегрального представления 7.2.3.10, интеграла Меллина-Барнса 7.2.3.13 или с помощью рядов в окрестностях особых точек z = = 00 7.2.3.77-79 и z = 1 7.2.3.80-82, причем в окрестности z = 1 эти ряды для функции q+iFq((aq+t); (bq); z) при q > 1 не являются гипергеометрическими. 2. Функция pFq((ap)'j (bq); z) симметрична относительно верхних и относительно нижних параметров, т.е. не зависит от порядка расположения ai, 0,2, . . . , ар в (ар) и 6i, 62, • • • , bq в (bq). 3. PFq((ap); (bq); 0) = pFq@, (ap_i); F,); z) = 1. Если какой-либо верхний параметр равен — п, п = 0, 1, 2, ...,то функция (bq); z) превращается в многочлен степени п, представимый в виде л гр 1~пч (qp-i); z\ _ (-z)nH(ap^1)n (-n, p g| » /» \ I — /»\ T-r /» \ о+1-^ю—l x -n, (ap_i); Л (m^n)l пП(ар^)п [D ^U v и ' = -b —z —^—^—~— x -m, (bq-i) J ml U(bq-i)n -n, 1 + m-n, 1-n- Fg-i)\ (/ -vm+n (w^?i)!n! l ; m!(m + 1)! m-n, 1 + 7П +(ap_i
7.2.3] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 369 Если какой-либо нижний параметр равен ^m, m = 0,1,2, ..., а среди верхних нет параметра —п^п = 0, 1, 2, ..., или такой параметр имеется, но n > m, то функция pJFg((ap); Fg); z) не определена, но существует 6 Г 1 „ ( (ap); z \ = ^+1 П(ар)т+1 • ь^_тГF)р "\{bq-i),bj (m + l)\n(bq-1)m+1p Если для г значений верхних параметров найдется г равных им значений нижних парамет- параметров, то порядок функции pFq((ap); (bq); z) понижается до (р — г, q — г): (аР-г), (сг); z q-r), {Cr) 8. При фиксированном значении аргумента z функция Г^ [(bq)] pFq((ap); (bq); z) являет- является целой аналитической функцией параметров. Интегральные представления: 1 9. pFq((ap); (bq); z) = Г Ь* [^^(l - ^""""^-iF^-i^ap-i); (bg-i); tz) dt [flp, bq — ap \ J о [p ^ 4 + 1; Re ^q > Re ap > 0; кроме того I arg A — z) \ < тг при р = g + 1]. io. ,+1FiW;^ = Г (i\ \ If P ^ ~ ' ^ . . . . dta 0 0 Kml [Re6fc > Reafc > 0; к = 1, 2, . .., q; |arg(l - z)| < тг]. (ap); ; 11. PFP. V^pJ, {Cr)J 1 1 эт Г ГЛ ^ If Г -T" a -1 Ь -a -1 I t^fe A — tfc) fe afe oFr((cr); ti . . . tpz) dt\ . . . dtp ~ ap) J J J fc=1 fefc > Reafc > 0; k = 1, 2, . . . , p]. Интегралы Меллина-Барнса: ^]^ J [a,j ф 0, -1, -2, . . . ; j = 1, 2, . . . , p; 5 = —k G D+, s = a,j + A; G D~, fe = 0, 1, 2, . . . ; L^oo см. в 8.4.51.1]. 0 < Re s = 7 < min Re a,; | arg ( — z)| < тг Представления через Gr-функцию Мейера см. в 8.4.51.1. Некоторые случаи понижения порядка PFq((ap); (bq); z): 14. pFJ1"'" ^ V 15. pFg 16. с |'(аР-2), Р + ™, <7 + п; ,=Ufc=o i!*Kp)*(<Oi+* X „ /. ч о —2-Го —2 i /, \ , •
370 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.3 18. (ap_i), 1; г q-1 p-1 3=1 k=l [ai, . . . , op_i ^ 1]. -1 X x o- 19. 20. 21 (aP-i),l; ^=f_ir(p-,)n!. — X 1, 2; fei, . . . , feg^i ф 2]. (ap^2), p, cr; z \ = 1 (bg-2), p+ 1, cr + 1/ <j-p ip-i) — ^; % (bq-i) — n (ap_2), p; F9-2), P 4- (ap_2), cr; (bg-2), <r + (p-^T)n1 P^ '" aP-2), p\ z 00 p -n), W; z p-n), W; Z (ap-n), n mi —1 -E A - mj)j| (op_n), гфк 24. np+l t4 nq+n [mn = 1, 2, ... и все <т^ различны; если <jj — сг^ = TV = 1, 2, . . . , то гад. < TV]. 1, Д(га, (ар) + т); z A(n, m + 1), A(n, "П(ар) (ap); (bq); n9 Функции pJF^((ap); F9); z), верхние параметры которых отличаются на целые числа от нижних, связаны рекуррентными соотношениями типа '(аР-2), Р, 25. 27. = (<r - p) 1; 1, a, *-2> (аР-2), o-(r - p) pFq (ар_2), р, сг ¦ = 0.
7.2.3] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 371 32- llfc- 3~ р —2 i= (flp-2), P+ 1, О" = 0. + -1 г /г ^ 34. I | о,- I т vFal ,, ' ..__... " + 1; z _(r_p) F / К-зЬР'^ + Л! , ЯЙПЯ. тг((а>Р-*)- * P 3 = 1 (ар_2), /i + I, I/ + 1; z ¦ >-- м- -/у- -, ^ , («Р-г), /х,  * \ <tt(il- p)(v- р) , CJ+1, Г, (bq-3)J ILV(<T- р)(т- р) ^ Ч\Р+1»<7»Г> /(ap_3), /i, i/, p; 2:\ _ цу((т - р)(т - p) /(аР-з), /i + 1, i/+ 1, /?; ир{(т - /х)(т - /х) ^ ((ар-з), /х, ^ <Т "f" 1 , Т ¦ 37. \а + zV(aj - ЬМ q+1Fql(a'' '^ Z)+zJ2 ^Zi V Уч> ' i=i Ь,- П ( fe = l V I? I (а9)? °"i Z I _ _/-, „\ 177 \Ol, . . . , Uk-1, Ok + I, Ofc + 1, . . . , Oq Соотношения специального вида: r»Q IP ( (%)? Z 1 1 I? I (aP/5 Z \ _ 9 /71 I (ap)? Z «JO. p^gl/, ч - J+p^gi/, ч 1 I — A pi \\pq-2)', &, 1 — СГ/ \@g^2J, ^C", 1 + О"/ 39. PFA „ ^>Г" "'/. )- 2 pF,L (°r,l)l CT; f 1 = -p-xF,-,
372 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.3 ); z J ' * \ [bq); z J ' * \ (bq); z Разбиение pFq на четную и нечетную части и его обобщение: 42. pFq((ap); (ft,); z) = А+(z) + A~(z), A±(z) = -[pF,((op); F,); z) ± pFg((ap); (Ь,); -г)], '(ар)/2,(Ы- 43. pFq((ap); (bq); z) = l, Д(п, ai + fc), ..., A(n, ap + k); zn/nnA+q-p) np+ q+n v A(n> k+1)j A(n'bi Произведение функций pFg((ap); (bq)\ z): oo 44. pFq((ap); F,); cz) rFs((ar); (&); d«) = ^cfc«fe fc! П (/3.)* "+s+l/<'+'- ^ i _ (ap) _ kf (bq) скП(ар)к f-k,l-(bq)-k,(ar); (-i f kl 11 (bq)k \ 1 - (ap) - A;, (/5S) когда р^д((ар); (bq); z) и rJFs((ar); (/3S); z) — не многочлены. Если PFq((ap); (bq); z) — многочлен степени m (например, при ар = —тп), то при А; = 0, 1, . . . , тп значения си определяются теми же формулами и _ dkU(ar)k f-m, I - A3s) - k, (ap_i), ^k; (^l)r+s Если pFg((flp); F9); z) и rFs((ar); (/3S); z) — многочлены (например, при ар = — га, ar = = —n, r?i ^ n), то при k = 0, 1, . . . , га и A; = m + 1, ?n + 2, . . . , n указанные выше соответствующие формулы для с^ останутся справедливыми и Сп+к = т к°к\ щьч)кПф,I " х к - т, (ор-i) + к, -п, 1 - (/?,) - п \ (bq) + kj к + 1, 1 — (ttr__i) — fi; (—1) c/d/ Формулы вырождения: 45. lim pFq ((ap_i), <j; F9); — J = P-ii^((ap-i); (bq); z) [g^p —1]. |<t|--»oo \ G / 46. iini prq((dpM Fg__]_M (jj dz) =:: p.rg—i((dpM lbq—i)] z) |cr|—>oo [<i ^ p + 1; lzl < °°] или [^ = P5 1^1 < i; R-e<t^o]. Дифференцирование по аргументу: 47. -—- pFg((ap); (bg); ^) = —,hP!n pFq((ap) + n; (bq) + n; z). 48. —;- [zCT pFq((ap); (bq); z)] = (—l)n(^o-)nza~np+iFq+i((j + 1, (ap); <r — n + 1, Fq); z) [(r-n + 1^0,-1, -2, . ..]. n!II(ap)n^ 49. = у , , , p+tPq+i{n + 1, (ap) + n^cr; n — <r + 1, (o9) + n — cr; z)
7.2.3] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 373 50. — [za+n^ PFg((ap-i), ст; (bq); z)] = (a)nZ^1 PFg((ap_i), ст + n; Fg); z). 51. ^^ [z"'1 р,Рд((ар); Fg-l), <Т; 2?)] = О - П)^/"" pFg((ttp); Fg-l), G - 7i; 52. -— \z'" pt'q I -n, dzn L V 53. -^ 54. — 55. -^ 56. — [e~z pF,(-n, (ap_i); Fg); = n! —n, n ¦ = n! D-iFo. p+m-* (-?i, cr + 1, (ap_i); cr - n + 1, F9); z). /A(r, -n), A(m, a + 1), (ap^r l\ A(m, <7-n + l), Fg); zm -p+iFq(-n, k — n, (ap_i) + Is; Fg) + A;; z). Дифференцирование pFg((ap); F9); z) по параметрам в общем случае не приводит к гипергеометрическим функциям: ); 2: J = Y^ (ai + l)i . . . (ap_i + 1) ^ Fi + i)i...Fg + i)i V Р 58. ^ p q — l 3 = 1 к=1 ^ (Ъг + 1),.. . (Ь,_х + l),((a + i/)//? + 1), (/ + 1)! Исключение составляют некоторые частные случаи: д „ ( а + I/, (ap_i); р-1 qf-l ¦ П «i П b^f 2, a 2, a + ^ + 1, (ap_i); p-l q-l a + 1/, a + 1/, (ap_i) + 1; z д zez 61. — iFi(l; a + 1/; z) = ^7 гт 2F2(a + 1/, a + 1/; a + 1/ + 1, a + 1/ + 1; -2). aa (a + i/J 62. — 2 63. |-l 64. |.l l, a; ; z) = (a + i/) (a + u) ; z). ;_?! ;_?! = — [slnz cl (z) —cosz SI (z) —sin z (C + ln z — 1)]. = 2[cos z ci (z) + sin z Si (z) — cos z (C + In z)].
374 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.3 65. да 1; а 2 = »<(! а=0 Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет PFq((ap); (bq); z), имеет вид ee- Это уравнение порядка max (p, q + 1) имеет две (z = 0, сю при р ^ q) или три (z = 0, 1, сю при р = 9 + 1) особые точки. Если р ^ д, то особая точка z = 0 — правильная, a z = = оо — неправильная (существенно особая) точка; если р = q + 1, то все три особые точки z = 0, 1, сю — правильные. Введем обозначения: F*) = 6о, &i, • • . , Ьд — 9 + 1-мерный вектор, у которого bo = 1. 67. и = 4(*) = z1^ pFq(l + (ар) - bk; I + F^; - bk; z) [к = 0, 1, 2, . . . , q; bk - bt ф 0, ±1, ±2, . . . , к ф I]. 68. и = uf{z) = z~aiq+1Fp^(l + а3- - (bqy, 1 + aj - (ap)f; (~l)q~p+1 z^1) [j = 1, 2, . . . , p; a3- -акфЪ,±\,±2,...,кф j], где штрих в 1 + F*) - 6fc и 1 + а^ - (ар) означает, что члены 1 + 6^ — 6^ при h = к и 1 + aj — а л, при h = j отсутствуют. 1 - («g+l), I - 6j О, 1 — fej, 1 — F, [^g ^0, ±1, ±2, . ..]. 69. гл = Я,-д(;г 70. и = ^g(z, 71. u = ipq(z) где функция ^ 72. ?o(z, ^а) или в виде ряда У = 1, 2, ..., g]. [^д=0, ±1, ±2, ...], может быть представлена через 6г-функцию Мейера. 1 _ /, , 1 ^Cig 0 < arg(l - z) < 7Г 9+1 k=l 3=1 Здесь coq = 1, Cfco = 0,^ = 1,2, . . ., а остальные коэффициенты формулам си = Я(^1), 2c2i = Я(^1 + 1)сц, . . ., кск1 = 2с22 = [АЯ(^2) - ксш = [АЕ(ф2 + А; - 2) - + А; - Aq-2Q(t/>q -9 + 2) k- 2)cfc_2; А"-1 Я(фд -<? + 2) ^-2Я{фч - д + 3) 1 (9-1)! (g-2)! JCl9 А'-2Щфя-Я + 2) определяются по -9 + З)"
7.2.3] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 375 Ck+j~q' л - где А — разностный оператор вида 74. Д°/(я) = f{x), Af(x) = /(я + 1) - f{x). 75, Д"/(*) 9+1 9 76. Я(ж) = f](ж + a,-), Qix) = xY\ix + bj- 1), причем справедливы соотношения Cfcg = ?q(l, -A;), к=о 1; m = 0, 1, 2, . . .]. Функция ipq(z) совпадает с правыми частями любой из соответствующих формул 7.2.3.81- 82, приведенных ниже. Функции ?q(z, фц) и Lfq(z) в особой точке z = 1 имеют, вообще говоря, соответственно степенную (при Кефч < 0, фч ф — 1, —2, . . .) и степенно-логарифмическую особенности, а все функции Rjq(z) в этой точке непрерывны. Тогда функции щ. (z), к = 0, 1, 2, . . . , q; uJ°(z)J j = 1, 2, . . . , р; Rjq (z), j = 1, 2, ... • • • •> Чч ш ^q(zi Фч) (при фч ф 0, ±1, ±2, . . .) или (fq(z) (при фд = 0, ±1, ±2, . . .) образуют три фундаментальные системы решений уравнения 7.2.3.66 соответственно в окрестностях особых точек z = 0 при p^g + l,z = oo при p^q+lmz=t при р = q + 1. В случае р = g + 1 это уравнение инвариантно при одновременной замене местами z и z~x, bk и 1 — afc+i, а g + 2 его решений Uq(z) = q+i.Fg((ag+i); (bq); z) и u°°(z)^ или Rjq(z), Cg(z? ^g) связаны между собой соответственно формулами 7.2.3.77-79 и 7.2.3.80-83. Представления функции g+iFg((ag+i); Fg); 2:) в окрестностях особых точек z = 00 и z = 1 имеют следующий вид. Если clj - акф0, ±1, ±2, . . . ; j, А; = 1, 2, . . . , q + 1; j / A;; |arg(-z)| < тг, то Fд) - afe X (е71"*^ )в|гд+1^A + ак ^ (bq), flfc5 I + G>k ^ (ag+l) '¦> z )\ штрих означает, что слагаемое 1 + ак — aj при к = j отсутствует. Если an+i — ап = mn, где mn = 0, 1, 2, . . . , п = 1, 2, . . . , г — 1, г = 2, 3, . . . , q + + 1, шг = 00 и aj - ак ф 0, =Ы, ±2, . . . , j, А; = г, г + 1, . . . , q + 1, j / A;, |arg(-^)| < тг, то 78. g+1Fq((ag+i); Fg); z) = Гап, (aq+i)' — anl /e7"^ та (аП1 1 + ате — II /. ч II I a+l-Tg 9+1 fe=^+l 1 - 1 J5^ I »=i «=o nC + a.-aj)! П ГF*-а„-0 k=l k=l [n/2] и ^ ^ )J—Fn-m-i] Fk=Y^ (^1)тМ^тФт, Mo = Фо = 1, m=0
376 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.3 — числа Бернулли], Е Пр*fci' 2 Е „_2то Dk= Ъ В ЧЕСТНОСТИ, При Г = 2, 7711 = П 79. g+1Fq(ai + ?i, (aq); Fq); z) = (bq) l + n, K)J - (a,)' + afc, 1 - ai - n -а -I) ' =i n j 7 (aq)'-ak, ai-afc a1-(bq))k.k\a1,(aqy-a1 ()') L з ~~ ai "~ n ~~ ^) "" i=2 В окрестности точки z = 1 справедливы соотношения: 80. 9+1Fq(K+1); F,); z) = --r^r- 81. (o,+i); F,); г) = Ъ, ±1, ±2, ...; *; F,) + fc; 1)(г - 1)" <тг]. E [фц = га; m = 0, 1, 2, . . .; |1 - з| < 1; | arg A - z)| < тг; Re a^ > -m; aj ф 0, -1, -2, . . . ; j = 1, 2, ..., 9 + l]. 82. 1 LK+i) 4,(^, -m) In A - z) + (^l A - z)fc J [^q = -m; m = 1, 2, . . . ; |1 - z\ < 1; | arg A - 2?)| < тг; Oj ^ 0, -1, -2, . . . ; j = 1, 2, . . . , g + 1] где функция Cg(z) представима в одной из следующих форм:
7.2.4] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 377 7+*оо 2тгг о, 1-0 dt _ nq+l,0 О, 1 - F, [О < 7 < 1; z справа от G — гоо, j + too)]. . sln((ag+i) - 1 -Я;*(*); функции Rjq(z) определяются равенством 7.2.3.69, 9 sin ((bq)f — bj)w = II sin I Коэффициенты dk вычисляются по формуле — bj)w. 7+гоо Г k t, ±m)ln(l-t) Если = 0 m #A-6, - A;) = 0 [0 < 7 < 1]. [j = 0, 1, 2, . . . , где R(x) имеют вид 7.2.3.76, то коэффициент при In (I — z) в формуле 7.2.3.81 G.2.3.82) обращается в нуль и эта формула не содержит логарифмического члена. В частности, при q = 0 и q = 1 справедливы соотношения ?0B, ^0) = r(l-ai) (л _ И^1 - а2; - 2:) = 61 - ai - «2], k\ ); (bq); fe-i,o = 0, — ai, 61 — ft2, I — 1J A — фг)кк\ и равенства 7.2.3.80-82 преобразуются в формулы 7.2.1.5 и 7.3.1.29-31, 79-80. Если же q > > 1, то функции Cg(z) Фя) и Ci(z) не выражаются через гипергеометрические функции аргумента 1 — z, т. е. в окрестности точки z = 1 функция g+ii^g((ftg+i); (bq)] z) имеет поведение не гипергеометрического типа, когда q ^ 2. В заключение приведем представление обобщенной гипергеометрической функции в виде ряда по гипергеометрическим многочленам, обобщающее формулу 7.2.1.7: со / \ / \к 84. ,+iF,((a,), ff; F,); »г) = A - to)-' ^ ^Г (^Т j "+lF^k' ^ ^ *)¦ Относительно других свойств и приложений обобщенной гипергеометрической функции см. [1, 10, 11, 20, 21, 32, 33, 46, 49, 59]. 7.2.4. Гипергеометрические функции нескольких переменных. Определения: л т? г и и' \ \^ (a)k+i(b)k(bf)i wkzl 1. Fi(a, b, b ; с; го, z) = 2_^ с 2. Р2(а, 6, bf; с, с; w, z) = ^ (c)fe+l fe, 1=0 (c)k(C)i k\l\
378 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.4 3. Fs(a, а , b, bf; с; го, z) = 4. F^{a1 b; c, c; го, z) = {a)k{a')i{b)k{b')iwkzl )k+l kill (a)k+i(b)k+i w z k J — гипергеометрические функции Аппеля двух переменных. 5. ФЦа, Ь; с; w, z) = > k\l\ 6. Ф2F, 6'; с; w, г) = % {c)k+l kill ¦ oo 9. Ф2(а; с, c;; го, z) = ^ ] с 10. 2i(a, a;, 6; с; го, z) = Л fc, j oo 11. 2г(а, 6; с; го, z) = \_. ' к, 1=0 Z k\ll — вырожденные гипергеометрические функции двух переменных. 12. FA (a, fei, . . . , fen; ci, ••• , сте; zi, . . . , zn) = °° fa) (b ) (b ) zkl 13. k, k -0 (Cl)*! • ¦ • (С„)*„ i, . . . , an, fei, . . . , &n; c; zi, . . . , zn) = 14. F^n)(a, 6; ci, . . . , cn; zi, . . . , zn) = [\w\,\z\<l]. i=l = l, 2, ... 15. i^jrj (a, fei, . . . , bn] c; zi, . . . , zn) — oo / ч /| \ /| \ fei к = Z) a fcl+'fcTfe + +\' " " ^ fe^!.'''. fen! [kil<i; i = i, 2, ...,n] — гипергеометрические функции Лауричелла. Относительно свойств других гипергеометрических функций нескольких переменных см., например, [31, 40, 41]. Формулы симметрии: 16. Fi(a, 6, b'; с; z, го) = Fi(a, 6', b; с; го, z). 17. i*2(a, fe? fe'; с, c;; z, го) = Fi{a, bf', fe; с', с; го, z). 18. Fs(a, a\ 6, fe;; c; z, го) = Fs(af, a, 6#, 6; с; ги, z). ~g rf^ I~7 /I ^ \ I~7 /I / \ I~7 / I / \ JL CF # 141 *-*' 5  ^5 Оч Х>ч UL/ J — J. 41^5 ^ 5 l^« l^ « /О * UL/ | — 141 ^ 5 ^5 ^ 5 ^5 '-*-' 5 X^ I * 20. Ф2(&, &'; c; z, го) = Ф2(&', 6; с; го, z). 21. #i(a, 6; с, с; z, гу) = ^i(a, fe; c;, с; гу, z). 22. #2(^5 с, с'; z, го) = ФгСа; с', с; го, z). 23. 2i(a, а\ Ъ; с; z, го) = Ea(a/, a, 6; с; го, z).
7.2.4] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 379 24. 22(а, Ь; с; z, го) = 22F, а; с; z, го). Формулы взаимосвязи: 25. Fi(e, 6, 6'; с; «,, г) = A - w)-b(l - z)-*Vi (с - а, Ъ, У'¦ с; -^, -?- ? 26. =(l-w)-aF1(a,c-b-b',b'; с; \ го — 1 1 — го 27. = A - го)с~а~ьA - 2)~bVi (с-а, с - Ь - bf, bf; с; го, 28. lim F\ ( а, 6, —; с; го, ez ) = Ф](а, 6; с; го, z). 29. lim Fi I —, 6, 6;; с; его, ez ) = #2F, bf; с; го, z). 30. lim Fi I —, 6, —; с; его, e2z J = ФзF; с: го, z). E"° , ?, ( 31. F2(a, 6, 6'; с, с; го, z) = A - го) aF2 fa, с - 6, 6'; с, c'; -, — 32. = (l^w^z)^aF2 fa, c^6, c;^6'; c, c;; W Z — w w + z — 1' / 1 . \ 33. I. lim F2 I a, 6, —; с, с'; го, ez J = #i(a, b; с, с;; го, z). 34. lim F2 I a, —, —; с, с; его, ez I = Ф2(а; с, с; го, z). е^о \ е е У 35. F3(a, а, 6, 6;; с; го, z) = Vr[C' P ~ М' <Т^1/](^го)- ^^ [р, a, c-/x-i/J х х F2 1 + Д + ^ - с, /i, 1/; 1 + /i — р, 1 + г/ — с; —, — \ го z [здесь сумма состоит из четырех слагаемых, в которых /х, i/, р, сг равны соответственно а, а', 6, 6;; а, 6', 6, а'; 6, а;, a, bf и 6, 6;, а, о']. 36. Fs(a, а , 6, 6;; а + а;; го, z) = A — z)~ F\ I a, 6, 6;; a + a;; го, J. 37. lim F3 I a, a , 6, —; с; го, ez I = 2i(a, a;, b; с; го, z). e^o \ e У 38. lim F3 ( a, —, 6, —; с; го, e2z | = 2г(а, 6; с; гу, z). e^o \ e e У 39. F4(«, 6; c, c#; w, z) = г[С,' 6^?l(^^)^aF4 fa, 1 + a - c; c, 1 + a - b; —, i [c — a,5fc>J \ z z \, [c — b, 40. F^(a, 61, 62; ci, c2; zi, z2) = F2(a, 61, 62; ci, c2; zi, z2). 41. FJ?\a, b; a, c2; zi, z2) = F4(a, b; ci, c2; zi, z2). Интегральные представления: l а~1 l 42. FUa, b, bf; c; w, z) = Г U^ l 4li/ j -jt du [Rea, Re(c - a) > 0]. 0 о Г с 1 43. Ftia, 6, 6'; с; w, z) = Г , , х [о, о , с — 6 — 6 J х u+«|i [Re 6, Re bf, Re (c - b - bf) > O].
380 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.2.4 44. b1bt; с, cf; С' С }х J 45. F3(a, a\ 6, bf; с; го, z) = Г , , | x [o, b , с — b — b b, b , с ^ b, с — b l l x f Lb~ V^ - uH-**-1^ - vH'-**'-1^ ^uw^ vzya dudv 00 [Re b, Re6;, Re(c-b), Re (cf - bf) > 0]. 6'^ - uw)~a(l - vz)~a> dudv [Re 6, Re fe;, Re (c - 6 - bf) > 0]. u+Vv%°i 46. Fs(a, a', 6, 6;; a + a'; w, z) = Г , x 1 L «, a I Г -i '—i —ь x \u A — u) A — гхго) A — A — гх). 0 r / 47. F4(a, 6; с, с; w(l-z), z(l - w)) = Г , C? C , , [a, o, c-a, с — о [Re a, Rea' > 0]. . — v)c b 1 dudv 48. <S>i(a, 6; с; го, z) = Г a, c — a X ub-1vb'-1(l-u-v)c-b~b'-1euw+vzdudv [Re 6, Re 6', Re (c - 6 - 6') > 0]. 49. so. *.(*;«; «»,*) = nb>1/2>c_b_1/2jx 1 1 [Rea, Re 6, Re (c-a), Re (cf - b) > 0]. a —l/i \c —a —l/i \—b uz j и A — u) A — гхгу) е aw о [Rea, Re(c- a) > 0]. ,/ x Яс-3/2 b —1/^ 4—1/2/^ \c —6 —3/2 ««го i /o fT-% \ \ j j и ' v A — и) ' A — v) 7 e ch By A — u)z ) du dv 00 [Re b > 0; Re c, Re (c - 6) > 1/2]. A - u)c"b-V^ - vH' x [с с 1 6, c~ 6, a, c - aj и и vz X A - iiw)™aei^^ dudv [Re 6, Re (c - 6), Rea, Re (cf - a) > 0]. r c i 52. 2i(a, a;, 6; c; w, z) = Г , , [a, a , с — a — a j x(l-uw) bevzdudv [Rea, Rea', Re(c-a-a') > 0]. Г C Iff c-3 2 a-1 -1 2 е^а^З 2 53. 2г(а, 6; с; w, z) = Г i /о -i /о ^C 3 va гA — и) 1/2A — v)c a 3/2 x I a, c-a - 1/2, 1/2 1 JJ о о X A - uvwyb ch B^A - u)z ) du dv [Rea > 0; Rec, Re (c - a) > 1/2]. 54. F^\a, 6i, . . . , bn; a, . . . , cn; zi, . . . , zn) = Г (Cn) (bn), (cn ^ bn)
7.2.4] 7.2. Основные свойства гипергеометрических функций 381 1 1 x 00 [Rebi, ..., Re6n, Re (ci - 6i), . . . , Re (cn - fcn) > 0]. 55. F^,n)(ai, • • • , fln, &i, • • • , 6те; с; zi, . . . , zn) = Г х [a, ... , an, с — ai — . . . — anj -ui-...-«n^o [Reai, ..., Rean, Re(c-ai -...-an) >0; |arg(l-*i)|, ..., |arg(l-sn)| < тг]. 56. ^V,bi,--.,6n;c;,1>...,,n) = X f wj1. . . U^i [Re6i, . . . , Re6n, Re (c — 6i — . . . — 6n) > 0]. 57. F?°(a> bi, . . . , 6n; c; Zl, . . . , zn) = r[ C 1 f «"^(l - uH-^1 x X A - uztyhl . . . A - uznybn du [Re с > Re а > 0; |arg(l-zi)|, . .., |arg(l^zn)| < тг]. Представления через функциир]?д((ор); (^g)j z): 58. Fi(a, 6, bf; c; w, 0) = Fi(a, 6, 0; с; го, z) = 2^i(a, 6; c; w). 59. Fi(a, 6, 6;; c; 0, z) = Fi(a, 0, bf; с; го, z) = 2-^1 (a, &'; c; z). C' C^a^ f, 2Fi(a, 6; с -Ь'; гу). с — a, c — b J 61. Fi(a, b, bf; c; z, z) = 2Fi(a, 6 + 6'; c; z). 63. Fi(a, b, bf; b + bf; w, z) = A - z)^a2Fi fa, 6; 1 - z 64. F2(a, 6, б'; с, с; го, 0) = F2(a, 6, 0; с, с'; го, z) = 2Fi(a, 6; с; го). 65. F2(a, 6, 6;; c, c;; 0, z) = F2(a, 0, 6;; с, с;; го, z) = 2Fi(a, 6;; c; z). 68e ^/. , . ...... ^_n wr..PjWMa + l)/2,M-M2(l-^ с/2, (с + 1)/2, с /л /О /'л _L 69. F2(a, 6, 6'; 26, 26'; z, z) = A - zya41 6 + 1/2, 6 + 1/2, 70. F2(a, 6, 6': 6, с; го, z) = A — w)~a 2F1 ( a, I/: c; I. \ 1-го/ 71. F2(a1 b, br; a, a; го, z) = A - го)~ьA - z)~b' 2Fi ( 6, 6'; a; — 72. Рз(а, а\ 6, 6;; с; го, 0) = Fg(a, 0, 6, 6'; с; го, z) = Fs(a, a , 6, 0; с; го, z) = = 2Fi(a, b; c; w). 73. Fs(a, a , 6, 6;; c; 0, z) = ^з@, a , 6, 6;; с; го, z) = F3(a, a;, 0, bf; с; го, z) = = 2Ft(af, 6'; c; z). 74. F3 fa, a', 6, 6;; c; z, -iL-
382 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.1 Гс, б' — а , с— а — Ь— а'Л /1 — 6', l + a' + a^c, l + a' + б^е; 1 —; Lo,c^a^a,,e^o^aJ \ 1+а^о,1+а+а+о^с Гс, а'-fc', с-а-Ь-6'1 A-а, l+b'+a-c, l+b'+fc-c; 1-; XI, , ii/ 3^2 I i,i/ / 1 i i/ , i , [а , с —a — b , c — b — b \ \ 1 + 6^а,1+о+6 + а^с Гс, а' + а + 6 — с, У + а + 6 — с] а/ + 6; + а + 6 — с, a, b z^c(l^z)c^bx l /l + e ^ a ^ 6 ^ a' ^ 6;, 1 — a, 1 — 6; 1 — J \ 1 + c —a —6 —a', 1 + c —a —6 —6' 76. Fs(a, с — a, 6, с — 6; с; ад, z) = A — z)a+ С2^1(«, 6; с; -ш + z — wz). 77. F4(a, b; c, c;; w, 0) = 2Fi(a, Ь; с; w). 78. F4(a, 6; c, c#; 0, z) = 2Fi(a, 6; c; z). 79. F4(a, 6; 6,6; w, z) = A - w - z)~a ; 6; 80. F4 (a, a + i; c, i; w, z ) = \{ a, a + |; c; A i; c; 81. F4(a, 6; с, с'; z, z) = 4F3 82. F4(a, 6; a, 6; z5 z) = —= a, 6, (c + c/-l)/2, (c + c;)/2 с, с , с + с — 1; 4z 83. F^ia, b: с, с: z, —z) = 4F3 c/2, , c; -4 85. F4(a, 6; с, a + Ь —с+1; w(l — z), z(l — w)) = 2Fi(a, 6; с; wJFi(a, b; a + Ь —c+1; z). 86. Fzi(a, с + с — a — 1; с, с'; гоA — z), z(l — w)) = 2Fi(a, с + c; — a — 1; с; го) х x 2Fi(a, с + c; — a — 1; c;; z). A- wf{l^ z)a 87. F4 (a, 6; a, 6; 88. F4 [a, 6; 6, 6; 1 — wi = (l-w)a{l-z)a2F1 a, 1 + a — 6 6; wz 89. F4 a, 6; 1 + a - 6, b; 90. Ф2F, 6'; 6 + 6#; го, z) = ez iFiF; 6 + 6;; го - z). 91. Ф2(а; a, a; w, z) = T(a)(wz = (l~z)a2Fi a, 6; l + a-6; -- 1 — го )A^a)/2ew+z 92. с, с , с 7.3. ФУНКЦИИ iF0(a; z) И 2Fi(a, b; c; z) 7.3.1. Представления iFo(a; z) и 2Fi(a, 6; c; z). 1. iF0(a; z) = A - ^)^a. r-i / \ r-i / i \ «6(a — c)F — c) 2. 2Fi(a, 6; c; z) 2Fi(-a, -6; -c; z) H ^ ^ ^<^ г2A^с2) x 2Fi(l - a, 1 - 6; 2 - c; z) 2Fi(l + a, 1 + 6; 2 + c; z) = 1.
7.3.1] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 383 2Fi(a, 6; с; z) 3 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A-*Гв2*(а,с-Ь;с; — A - z)M^6 2Ft(c - о, с - 6; с; z) г[С' C~a~6l 2Fi(a, 6; 0 + 6-c+1; 1 - z) \_c — а, с — 6J L а, Ь J x 2Fi(c-a, c-6; c-a-6 + 1; 1-я) [|arg(l-z)| < тг] "с, 6- al / 1> (-z) a 2F1 I a, 1 - с + a; 1-6 +a; - 6, с — aj \ 6; - а, с — 6 с, 6 — a ГГ'~ -|(l-z)-« 2Fx a, c-6; a - 6 + 1; —^- | + ,6, с — aj V 1 — .c а; 6 а r|C^-u-« ,e -- а, с — 6 <тг] x 2^1 [ o, 1 + a - c; a + 6 - с + 1; 1 ) + «=—" (l-c) x 2-^1 (с — a, 1 — a; 1 + с — a — 6; 1 [|arg(l - z)|, |argz| < тг] х 2-^1@, 6 — к; с — m; z) [Re (с — а) > га] [c - 2a - F - a)z]^1[a(z - 1) 2Ft(a + 1, 6; c; z) + + (c — a) 2-Fi(a — 1, 6; c; z)] (a - Ь)~г[а 2^i(a + 1, 6; c; z) - 6 2Fi(a, 6 + 1; c; z)] (c - a - 6)^x[a(z - 1) 2Fi(a + 1, 6; c; z) + + (c — 6) 2-Fi(a, 6 — 1; c; z)] [a - (c - 6)z]^1[a(l - z) 2Fi(a + 1, b; c; z) - - zc^x{c- a)(c- 6) 2Fi(a, 6; c + 1; z)] A + a- с)^х[а 2Fi(a + 1, 6; c; z) - (c - 1) 2Fi(a, 6; с- [F - a)(l - z^Kc - a) 2Fi(a - 1, 6; c; z) + + F- c) 2Fi(o, 6-1; c; z)] [c(l - z)]^x[c 2Fi(a^ 1, 6; c; z) + F - e)z 2Fi(a, 6; с + + i; ^)] [a - 1 - (c - 6 - l)z][(a - c) 2Fi(a - 1, 6; c; z) + + (c - 1)A - z) 2Fi(a, 6; с - 1; z)]
384 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.1 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 а а а а а а а а а а 6 6 сг- 6 6 6 6 6 6 6 С с тег -f b b 6 + а + 6 а + а + 6 а + 6 2 те 1 — тег ь +¦ тег 1 2 [^ С1 A = = A 6z Г1 A -1 - (т -а) -*) (-1) A + A A + (а A — A- "*) тег, о ( ln(l а, « -1п( ы, [а + -.) A- 2Fi(a, 6; с; z) - Bс - а - 6 - l)zpx[(c - 1)A - z) 2Fi(a, — 1; z) — с^г(с — а)(с — 6)z 2^1@, 6; + l)!z m m+l(l — 6)m+l x lim [Гт1(с) 2Fi(a — m — 1, 6 — m - ^a 2Fi ( к z \ \ z-lj n (a)n ^ „\~a~n xx x 2Fi(—те, 6 — а — те; 1 — а — те a — 6)те — 6)n x 2Fi (—те, 1 — 6; 1 + a - )n , х 2F1 | —те, а; 1 + а — 6; )n(l - zYa^n х x 2Fi (-те, 1-6; 1 - a- n; -a 2F, 1 — ft) ft 6 A -^-т*^ (а~т)к(Ь~т)к k^o к\A-т)к Г +6 1 °° ( ) (b) [a — тег, 6 — тег] J^ k\{k + тег)! - z) - ф(к + 1) - ф(к + тег + 1) + ф(а + А;) 4 [|arg(l-«)l < тг; |1 Aг!J ^?1" j V^ v) Vl l^^)](l^^)fc [|arg(l-z)|<7r; |1 тег, 6 + rU + 6 L а, mlV W^6)^ (i -)* тег] ^~** к\{\ — тгь)к + ТТ11/ 1\т\Г^ (« +'"^)feF + тег b \ ~-^ к\(т + к)\ x(l^z)k[lп(l^z)^ф(k + l)^ - ф(к + тег + 1) + ф(а + к + тег) + г/>F + к + [|arg(l-z)| < тг; 1 z)/2 | / о 1_ l-v7!77" V а ' " ' а 2' 2 ^ 2 ^ 11^ гГ1/2(у/Г^+л/^I^2ах < 2FiBa - 1, а + 6 - 1; 2а + 26 - 2; 2\/z2 6; с- с + 1; z)] - 1; с; z)] ; 1- z) = -Ъ\ - ) = z / i-J" z)^5 x -t/?F + A;) -z|<l -z\<\] )k m)
7.3.1] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 385 2Fi(a, 6; c; 2) 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 .»_¦ а + Ь~ 2 a + b--\{-> „З/2-о-Ь/ [|arg(-z)|, arg(l-z)\ < тг; Re >/l - z > 0] + 6 _ 1 1 - лД^^ 2, 26; a + 6+™; = Ж, 0 < Ж 2F1[2a, a-6+-; a + 6+^; , l yl — x 2FiBa, a + b; 2a + 26; 2^2 - ^ + 2z) ( -г)|, | arg A - Г(а + 6 + 3/2)/ Z4-Ba+2b+l)/4 Г(а +6 + 3/2) ^ж^-Bа+2Ь+1)/4 2a + 1 a + 6 a + 6 Г 2 V 2 /в 6 \2 2' -zI/2 X 5 (--г)|, |arg(l - , —1/2 —а —Ь, /Z Ч1 = ж, 0 < ж < 1] A - 2x) = x, 0 < 4гA Л_ > ' 2 ' 2 а а + 1 а + 6 + 1 a + b ~ 5 а + 6; 13 А. П. Прудников, Т. 3
386 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.1 50 51 52 53 54 55 57 58 59 60 61 62 ??€> 64 а а а а а а а а а а а b b b b b b b b 6 6 и 6 a a a a a a a a a + + + 2 + 2 с 6 о 6 2 6 6 6 6 ь 6 6 h 26 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 _l_ 9 rffl r(! ] zF- ] жF (I A ... Г(а Г(а Г(о ( Г(о n t + 6 , + 6 2 - a) L -a) X z)~' 1 + — z ± V Ы -Ы x ?- 1 - 6 6 — \ — с + 1\ 2 )(* x V 2 ' V 2 ' L^(o-b)/2 x i a a tN. to z ЕР ( а ~^~ -a Л« I)- x2 x 2^1 (a -1)( Z)(b-° -1)(-Ж)F-° /ЯГ[в"а4 <-2)г(Ь-а-1 К [ + 2)( х)(ь- [аР-ь 1 • /2 (а 2Fi{a, г)A-а-Ь 2 2 1 а а + 1 ' 2 , а — b + )/2(i z [| ')/2A-а J л 'z + 1\ 2Vz / VI - z/ -o-1)/2q ^1 + ж\ Vl - x) a 2' 6; c; z) [|argz , [|arg(-^|, (а-Ь)/2-1 а i a- . 9rt 9», _i_ v_6pb_a /1 - arg(l - z)| < ) р-ь y1_ [z = (Л arg» 2' 4(^-1 = (a -1) <: !A 2.) arg (г — 1)| < 7г] г = ж, 0 < х < 1] arg A — г)| < 7г] ^ = ж, 0 < х < 1] (i-*)V iz ^~"J h,JJ 1-х 4л/" "l - z) Щ z $ (-oo, 0)] f ж^ -a/ ж, — сю < ж < 0] \1/2 —Ь х 1 - v^J 2-v^ <• i + A] i-Jj [|argz| <7г] /1 + ж\1 ll-JJ ж, —сю < )) ж < 0]
7.3.1] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 387 2Fi(a, b; c; z) 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 26 1 - a a + 1 1 2 ' 2 ' 2' 4( o + l , , 1 2' 2 ' 2' B-z)* nl/2-6 X P 7 [ 1 1 2F1 a,a-6+-; 6+-; 1 - V1 - a-b-1/2 Ы/2 26-a Re >0| 226 r\b_+1/2]z-b(l- x x /тг a arg(l=F«)| r(a + ^rF + ^)(z-1)Aa6)/4 l/2-a-b l/2-a-6/ /-4 а-Ь-1/2У VZ > [\arg\ [z = x, 0 < x < 1] + X P a + b — 1 Z-\ p6 —a |argz ' Im; *' llm; -Г[а+- x p; a+b— 1 [z = ж, —00 < ж < 0] 13*
388 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.1 2F1 (а, 6; с; 78 79 80 -2 ГЬ-2 а а а а-\- т [z = х,,0 < ж < 1] X х [In (-z) + 2ф(к + 1) - г/>(а + к) - ф{с - а - k)}z к '-z)\ < тт; \z\ > 1; с - а ^ О, ±1, ±2, . . .] а + га, с — а + те + 1) + ф(к + 1) - ф(а + к + те) - t/?(c - а - те - 81 а а + то а+то+1 + 1 ; тг; И > 1; с-а^О, ±1, ±2, . . .] (a)k+m(n + l-l)\ __k + ¦ Ы - га) — ф(а + А; + га) — 1/^A + 1 — I (-*)| <тг; \z\ S 1] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 те Ь k — то — а 1-а те \ — + 11 x cos Bа arcsin -Z) = {l-z)e-\\-2z) c 1 + с - a -z)) а- 2 ' 1 — с I?. ; с; 4z(l- 2 ' 2 -; с; а + с - 1, с ; 1-а 1-а 1-а 1-а <тг] [z = x, 1 Ba — cos [Bа — 1) arcsin л/z] sin [Bа — 1) arcsin
7.3.1] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 389 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 1 ПК 106 107 108 a a a a a a a a a a a a a a 2 2 2 3 3 a a a a a a a b — a — a — a — a — a 1 + 2 1 9 -1 1 9 1 1 2 1 2 + 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 с с с 3 2 с с с с с 2а 1 2а *?/7 1 1 1 2 3 2 4а+ 5 6 Г(с) /- z 1-aU -(а+с-: Г(с) / х 1-а VI- - (а + с- 1 2(а^ 1)л/Г Г(ф^2 2(а- 1)(а- - г(с)ж-2 2(о- 1)(а- х Р V 2 1 +v7!^7^ 2с-1Г(с)(-г х ^"-с (с-2о-1/2)- хA-г) Гл. I О L2/ 1 z ( 2 U + vr^i 1 2Bа- 1)ф A^9z)a/ -*) - 22 л -2I1 [а + с- /1 -2) U 1ЯГ.еA " I \ - (lit У -с)/2A. с)A-с)У2 [A-х)- L 2а -1 A-а)(У 2 •f л/Т^ ч 2а -i + A Г [A - v 2Fi(a, 6; с; z) /2ff z V/apa-ea ^_J p_e A ^2z) [|arg(-^)|, /2 [f ж V/2 P2^cn |_Vl-aJ ЕA^2ж) [; [2(а — 1) arcsin \fz"\ ¦i) {(a + c^3)I -3 + 2z(l~a)]P12rac(l- xc/2^2 - 1 1 {[a + c-3 + / 2x) - (a + c-3)P2^c( VT^^ 1, c, 2^™^ 2Fi|2a, 2a- c + 1; A)- ,*(*,, с - 2c ^)(C)/2"a4"-CcP- [|argz, (l-aj)^)/2 x /21 [^ = : 2c™1/2zAc)/4 -^1/a(^) -2)]j/2aB-3/)-3 \2o-l -.) -Vi)-] ^I-2а-A + лЯI а а 1 4а Н~ о 2 1 3' 3 ' 2' 6 ' ^2z)^ arg(l- -2Ж}- у = ж, 0 < э2^сA 2 -2,)} 2жA — а' 1^2ж)} = ж, 0 < i с; 2' arg A-2 с, -оо<; [ ж < 1] 'z; I<т] ] Х с < 1] hy/z) )|<7Г] с < 0] [V = 4(y-i)] (l-9zJ J
390 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.1 2Fi(g, 6; с; z) 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 а За 2 а За 2 а За 2 а 1-За а 1-За а З-За 4а + 5 4а+ 2 3 3 2 4а 1 2 I- 1 2 3 2 З' 3 2' 3 6' / 1 1 1 _^r^ V 6 6 2 (z-4K 6' 3 '2' 12 3 тI У - 3K Л 1 6, с™ 6) V z ^Ь-п,с-Ь-п) ( 1 _ 2 1-c(l-z)c~b-1(c- l)Bz(c- 1, 6-c + l) l^i j: (^:^b(i - г)-*-1 - (;:^)т х (l^z)^TO 2Fi(l, 6^m; с; z) | = ~ ' z -V • - 1 A + 6-с)т 2Fi(l, 6; с- 771; z) 6 — 771 m Ь-т- 1 A - ^)т+1 „ ^ 6#(z, 1, h) (m-lJK-sI"™- то,—2 / L 1 ч ^ F — m + l)fe : - 1 k / b + k-m-l A-zf [т = 1, 2, 3, . . . ; m-6^1, 2, 3, . . .] ' - 1
7.3.1] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 391 2Fi(a, b; c; z) 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 1 --m m n m + те 1 n — — 2 — + 1 те Bm- 1)!! A- Bm)!! Bm-!)!!(&-1)! Bi-i)H ( 1м fm-n-1 / 1 1 м (m — 1)! J ^ (m — те — A; — 1)! (m-n-l)\zy ^ (m — J« — 1)! (n-1)! (m - n)k [m > n\ \m < те1 7 (ra- / ji-n ifc! n — l / e\ • 1 \ Г El 2wikm\ Г -, / exp I J In 1 - z1/n k=o [1 < n < m] x exp _ zl/n) E fe=i /n I -2 sin 2wkm ( л /„ 2жк cos In 1- 2z1/n cos + \ n ¦ arctg ¦ [m, те = 1, 2, 3, . . . ; x A - (n)m 1 1, те; n+-; z (l/2)n n- l)\zn \~\ 1-z 2n-l m-l A/2) ¦s/z Arth л/z - ^ ^—^ nm - m — к m-l - 1 (m-l)! [n = 1, 2, 3, ...] ln(l-z) [m = 2, 3, 4, . ..] (Л-1)! / z ^ (l/2)fc
392 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.1 2Fi(g, 6; с; z) 138 139 140 141 142 143 144 —п ¦—п —п --те b b b b 145 146 147 148 149 150 sin \fz + 2m ^ 1 /1- m-3/2 Z ¦ m — 2 (_l)m^1arcsinA/^ - ~ V T^z ? WTl (l^l j [m = 1, 2, 3, . . . fc=O 2: = ? (c)fcfc! ~ (c)n (C)n n I i -2n-2 (C)n п!ГA-6)( ^)w. [)9 = 6 - с - n] [a = —те — 6, [3 = b — с — те] [/3 = -n - 6] _ ч-F+п+3)/2 2n + 2 - x (F + 2n - 2n + 2 - -2n- -2n- п!ГA -i Bn + 1) fn+l !)} F + 2n "!r(i-b), .„, [z = ж, 1 < ж < oo] <тг] ^+n+1 f 1 ^ -) + (b + 2n + l)P^n (l-- XT/ \ T [z = ж, 1 < ж < oo] Bn)! Bn)! [|arg(l-z)|<7r] Л _ 1Л ^ 1 2B6- l)n [z = ж, 1 < ж < oo] ")/2-1 \pb+n (i-- 2 z <7Г]
7.3.1] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 393 151 152 153 154 155 1 Kfl 157 158 159 1 fift 161 162 163 164 165 166 1 ?*ff 1 ИЯ 169 a —n ¦—n ¦—n —те —n —n —n ¦—n ¦—n —n —n —те -n —те —n b 6 6 6 6 b и b 6 6 и 6 b b m 1 ^2 ~ П 1 2 — 71 1 1 b b ь b с 26 26 и -6 о h — те — n -n — n 2 1 2 со I cm 7П 4 -1- 3 2 1 2 1 - те — те — те 1 2 1 2 1 1 ' 2 + 1 1 2те 1 2 2те ГA-6) !_ь 2B6-1)ПЖ ^ + РЬЬ+2Я (l - ^ n!2-2nzn A / F+1/2)п п V ( +i)« L (jb j J (b)n ^n\2y^ J n!(l - z)n A / A^26^2n)n n \ nl „(n-i)/2 22та+!A/2 - b - n)< Bn + 1)! B-26Jп+1л/ЬГ Bте)! b^n r (l-2feJn ^ Bn)! / (— 1) те! (h «wo те! П b^n /- (l-6)n 2П С 2A - 6)n+lv/^ ¦* ТП, n ¦> -L 2, n / Jo 13, n — ^ (ТП + l)(n + l)/m, n j (-l)n2n/(/n Л (l-z)n т fl + z" Tl+1 ^ VI -Z, ( i\n \^n ~\~ 1)' rBn+3/2)v * i3 I 1 ( 1) Dn)! A-) 2^1@, 6; ;)] !) /z + 1\ 'i + ,\ ,i-J >n + lVl - ^ /^b — n — 1 ( — °2n+l I —) 4/ 2n L)(n + 2)(n- = (to + 1)/, , 0 — lj ^"l, n n P2n{y z c; z) ГрЬ+n Л 2 1Л-1 v1 ^ [z = ж, |л. f 1\ 6 (Z - -ь/'/*-1'\ -(l + z + nzH )]A-г)"+1}, 7lj n+i + z(ti + 71 + 1 " ( 1 ^l^1/2 X P2n + 1 r) )+ 1 < 1 2 Ml - z J\ 1 2 f 1\ fz J z — / z 1)toj I1 f/ ж < 00' [n^l] / 1 771-|-1, П ? Z) J
394 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.1 2Fi(g, 6; с; z) 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 71+1 71+1 П + 1 71+1 71+1 3 П+2 3 + 3 П+2 тг + 2 1 2 1 3 2 1 - 2п 1 2 1 71 2 п! 1 + z A- z -1 C/2)n4/i 2n+l A- c)z1~c(z- l)n+c . 1 m — n / ч 771+1 ^ G1 — m)k - с - n, n + 1) (m)nzm^1 fe=0 k\ Xz^l -m- 7i)fc /1 - Z 2n C/2)n (n + l)v^
7.3.2] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 395 2Fi(a, b; c; z) 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 n 2" n  n  n  n 2 n 2 n 2 n  n 2 n  n " n " n  2(n n 2" n + 1 2 1-n 2 1-n 2 1-n 2 1-n 1-n 2 1-n 1-n 1 n 2 (-l)"nl 6-П/2 / — гтт-Ь,, ( A - 2Ь)п [AC — ljn ( i)n nl ( > 2-(l/2)n 1 \ 7.3.2. Частные значения 2^i(a, Ь; с; z). (См. также 7.3.3 при замене z на —z). 2Fi(a, 6; с; z) 2 2 1 — z + у z arcsin у z 1 ( arcsin yfz 2 16 - [B - 7z - 3z2 /1 Z 5 L /. . _ O\ arcsin л 128z2 - C - lOz - 8z2
396 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.2 8 9 10 11 12 1 Ч 1 л 15 16 17 18 19 20 *>*? *?Ч 24 25 26 27 *>я 29 30 32 33 34 а 1 2 1 2 1 2 -1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ? 2 1 2 b 1 2 1 1 1 1 1 1 1 :i ?, 3 2 3 2 со | см 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Б 2 Б 2 Б I _ 2 5 2 с 4 1 2 3 2 2 5 2 О 7 2 4 1 2 1 2 5 2 3 7 2 1 2 1 3 2 5 2 3 7 2 4 1 2 3 2 2 3 2Fi(a, 6; с; z) 32 Г-dVi 4~ 1 1 Ч~^\ \С( \/~~ \ (Ч ЧЧ~ 1 ^Ч 1 1 ^ ~3\тг|/ /77 \] 1 - V^ Arth v^ 1 Г Arth /г 1 2 L v^ J ^ t1 " (X " *K/2] 3 [ 2Arthv^l 8z[ лД J 8 Г 5 1 15z2 [l "j 2 J 5 Г о Arth л/^1 ol o/i ^w v 9 i Q~ I *3~z 48z2 L yfz J |Q OQ-v 1 Ч^-v2 ЯП -v^/2l t5o^ L J A — 2z)(l — z) ' 2 — K(-\/z ) — 2,zT3(\/z ) 7Г 4 — [K(\/z") -f- A — 2z)D(\/z"I Зтг 3 farcsinv^ , o , q r] 8z [ V^ ( ")V ~J Г/1 | ~\TC( rZ \ o/i ~ i ~2\ тл/ /77 \1 j-. Г • у» -1 32z2 Iх } лД 1 32 105ttz2 fl - z)™1 Г"^ 4 " 4i/~Vi "^ Artb i Г~\ 2 2 4 I A °~\ Artnyz 4 L v^ J 3 Г Arth -Jz 1 fl I Q«/1 ~\ V 1 I 9 ~ 16z L л/z J 15z2 l J 5 Г Arth /z 1 32z2 Г "" ^^ " ~ v^ J -^-3 [D + 3z)(l - zM/2 - 4 + 7z] — C3 12z -f- 8z ) fl z) ' 3 2 \(o A~\\?( /~\ ~(r7 4.~\t'\( /~W I — C3 4z)fl z) ' 3 — [4K(\/^) + A - 8jz)D(v^I 9tt ffo 1 9 ~ q~2\t->/ /77 \ /1 4~^"К"^ //Г-^" ^1
7.3.2] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 397 2Fi(a, 6; c; z) 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 3 3 -T 3 3 7 2 -i 4 2 -i 4 2 -- 4 2 -- 4 2 -- 4 2 5 Г 48^ [ 3-z-lGz2+8z" [2B^z + 2z2)] -{8-bz- 5z2 + 8z3 16 i E - 30z + 40z2 - 16z3) A - z -^-A - z)^2 [A5 - 41* + 24z2) 15тгA — zj [G - 32 525?rz2 [2(l + 4z^24z: [(8 + 9z + 16z2 -- - 2z A9 - 44z + 24z2) Щу/z)] .- 16z + 16z2)D(^)] -(l-24z)K(v^)] J)D(^) - D + 5z™24z2)] 35 - 105z3) Jz Arth Jz ' 16 — A6 - 72z + 90z2 - 35z3 128z 3A + 3z + 15z2 ™ 768z2 1 [ l+ж ^ — In h 2 arctg x + V2 arctg 8ж[ 1ж В В -3-W0z-10bz< - 3 - lOz + 105zJ 1 + ж 2 In -^ In 1 2 In In^ 12а; [ 1 - ж 1 + ж + ж + 2^ arctg 1 - ж2 J [х = z г [х = L
398 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.2 a b 2Fi(g, 6; с; z) 60 61 1 5 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 1 3 73 2 5 13 "б" 6 5 11 4 3 7 3 11 12 — A^ж6) In — 6ж6 Збж7 1 ' \ 1- 1 + ж 1 1 in 2 in ж 2 1 + ж + ж 20ж 2 ^ Зх/2ж] ^ + л/3 arctg 2 1 - ж2 J [* = * ] - (л/5 - 1) In [l - (л/5 - 1)| + ж2 2A0 arctg 4+(л/5 +1)ж - -41пA-х) [х = . 50ж6 + 2A0 + 2л/5 )х/2 arctg ^ [A - 1/2 \/5 ) In 1)- + ж2] - arctg- 4- (V5 - 1)ж = B - _ 4In A - = z1'*] 1 Г 1 + ж 1 — In h 2 arctg x 4 [ 1 - ж J ¦]} 3 /3" — д / — 2V z г — средний действительный корень уравнения г — г -\ * — = О 3 V 3 I — In (l+ж+ж2)™ 21пA-ж)+2\/3 arctg ™ In A + ж+ж2)- In A-оО + л/ arctg 3 Г 1 + ж 1/9 1 + 2!/2ж + — In —— - 2 arctg a - 2"г/2 1„ , о1/9 „ , 8ж3 Юж2 arctg 1-ж2 -2A0- 4-(ч/б -1)ж - 2A0 +2л/5I/2 arctg- 7 7 5ж5 50ж7 A-ж5) In A- ¦ 51пA - ж) - - V5In^
7.3.2] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 399 2Fi(a, 6; c; z) A0 + 2у/5I/2ж 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 5 2 3 7 2 4 1 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 1 ~2 2 5 2 3 7 2 4 1 2 1 3 2 5 2 [D - llz + 15z2) K(y/z) - 75ttz 1 In1 1-V* jlj [2A -, ¦» [8 - 20z + 15z2 - 8A - гM/2] тгA- 7Г 3 3ttz 15 16^2 32 157Г B 1 Г 1 4 [(8 - 13z + 3z2) D x arcsln y/z ¦ 2B - i 2 [Г^
400 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.2 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 119 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 a 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 tol h 1 2 I 2 1 2 1 2 1 2 2 1 9 2 1 2 6 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 Q -D CO CO CO 3 7 2 tO| -s 7 2 V 7 2 7 2 7 2 4 4 4 4 с 3 7 2 4 1 ~2 1 3 2 2 3 7 2 4 1 ~2 1 3 2 2 5 2 7 2 4 1 2 1 3 2 2 5 2 3 4 1 ~2 1 3 2 2 JL[2_BH 5 Г 16z2 [ 2^i(a, 6; c; 2) -,)v^l] ч Arth yfz 1 3A ")C 1 ") ^[D + *)(l-*K/'-4 + 5z] — A - z)^2 [C - z)K(A/z") - 2zB - z)T>(y/z)] 3 4 5 [3arcsir 8z2 L v^ 32 j. 157TZ2 ^ 8 1 Г 5 - 3z - D-3z)(l 4 з Г 2 15тг 15 — A-2;)^ 5 45ttz 32 re i 75™* ^ ' A-92)A- — A6 - 242 1 ГЗЗ-402 48 [ A - 8 ^ -— (л^)] 2\ /-1 \—5/2 >z 1 \ — ") Arth -y/z 1 ^ Arth yfz 1 — З2] ' V~z 1-sJ ox Arth л/z h4z + 3z2)VT^7J ,)-/» 3 [A5 - llz + 4z2) K(v^) - z B3 - 23z + 8z2) Щу/z)] + Sz2)(l-z)-^ 2 [2C - 2z)?L(^fz:) + C - 13z + 8z2) D(v^)] -2)-/2 [B + 3« 8z2)D(/i:) A 4z)K(-v/z)] 7z + 8z2) T>(yfz) - 4A + z)K(yfz)] zyb + 18z2^5z3)(l^z)/2 + 15z2 f iKArthv^] zK v^ J 5*2)A-*Гб/2
7.3.2] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 401 2Fi(a, 6; c; z) 128 129 130 131 2 4 2 4 2 3 132 133 134 135 136 137 138 139 140 5 4 5 4 - 1 141 4 5 13 13 7 I 11 T 1 2 3 2 5 3 14 (л/5 + 1) In [l - (л/5 - 1)| + ж2] - 4 — -2\/5I/2 arctg 4+(л/5 -(л/5 +1) In [1- - 1 - + ж^ + 5 Г 1- ln ¦ «In 8ж5 I 1- 4 - (л/5 - 1)ж -1/2 i 1 ; In — 21/2ж 1 - л/2 arctg - . - ж2] 3 Г 1 + ж -—г- In 2 arctg ж 4ж3 1 — х 16ж7 1 1 ^х^) |lnii^-2arctgJ| 1 — ж In A - ж3) - 3 In A - ж) - 2\/3 arctg 2 + ж 3V2, ^j I In A - ж5) - 5 In A - ж) - л/5 In ¦ 5ж 4 — 9 5^ 25ж9 f 4+(л/5 +1)ж 5) (in A - ж5) - 5 In A - ж) - [ж =
402 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.2 142 143 144 1 лк 1 AR 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 a b I > 5 i 6 8 i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 5 2 i 5 2 3 2 2 2 2 i » 2 1 2 1 2 1 2 с 11 6 17 6 15 8 1 2 1 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 5 1 2 2 2 5 2 3 7 2 4 1 2 1 2 3 2 2Fi(a, 6; с; z) 2A0 + 2 ^I/2агс^A0 + 2^I/2ж v5) arCtS 4^(л^^1)ж 2A0 2\/5I/2arct A0-2л/5I/2ж J 5 1 + ж 1 + ж + ж2 г- Зх/2ж 1 О/у>5 1 /v. I /v. _|_ /T.Z 1 Т»^ JL xj «A/ I JL «д^ JL tJL/ | vU JL «X* I -цд eg Г -| д, 2 ж + ж2 3^/2ж 6ж® Збж11 1 + ж 1 + ж + ж2 1 — ж2 яС /¦*» I I "I /у» "I "ж Л. / JU гуъ [ гъъ idi "I /у» Л \3 iAj |^ А «X/ А ^н^ * чау I еду А еДу A z)^2 arcsin i/z v/z(l-z) z1//6l ¦1 3z3/2 arcsin y/l 1 [ж^г ] \/г arcsin y7^ "j J -Iln(l-z) " arcsin Л J z2 5 Г ,3/2 arcsin-х/г о 1 3z2 L"v ^; л/^ " ' ^J ^[zCz^2)^2(l^zJln(l^z)] -^ [6A - zK In (i-z) + Gz- 15z2 + llz3] 2( г Л 3 [ArthV^ 1 « L л/г J 4A + л/l-z)™2 5 Г ^ Arth-v/г] 2z2 [ " л/г J 2 г i z3 L J (I-*) 2 (l^z) 2 2 2 14z 3z2 ^ 1 ~ 1 4 ' ^ 2+z+3Vi- arcsin i/z i/z(l^z) 15z3/2 arcsin i/z л/Т^^ - arcsin \fz
7.3.2] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 403 1 (\A 165 166 167 168 169 170 171 172 1 74 174 1 7K 176 1 77 178 179 1 ЯП 181 182 183 184 185 186 187 188 1 AQ a 1 1 1 1 I 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 2 2 2 3 3 3 3 3 0 3 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 2 7 2 с 5 2 3 7 2 4 1 2 1 2 3 2 2 3 7 2 4 1 2 1 2 3 2 2 to | сл 7 2 4 1 2 1 2 3 2 2 5 2 3 4 9 to 3 | arcsin yfz 2z |_, 2 /z(l^z) z + ln(l~ 5 3 z 3, 2z2 [ 1 Jf[*B-*) + 5 A _ gz _ 9z2 + I C _|_ 6^ _ z2) 3 l ; — C z) A z 3 2 г 3z L 4 Г 2 5 Г Arth xfz z2 L V^ ^ [8 " 4z " z2 8 [" 8 Г ' 8 [ 2 2Fi(a, 6; c; z) /1-z ^_.^ /_ z !(l-2)ln(l-2)] A - z)^3 ~ -¦ ]_ J "I 2 z 1 *1 3j ^8л/Г^^] о о 105z3/2 arcsin -%/z 1 92- zx, | low arcsin ул. 3 arcsin д/z I Z+ ^z{\ - z) J 3 f ,_! Г arcsin у^ 5 8z2^ L v 3 arcsin y/ t(z + 2) z - 1 0 9~ i E - 60z - 90z2 + 20z3 - 3z4) A - z)^5 I — /{5 _|_ j_5z 5z 5 f 15 lOz -\- 15 l 2 г /i \—5/2 5^iA) — C5 3z)(l a 5 4 2A - z) 2Z I"" 8 7 Г 15z3 L ^ _|_ 2; j A z~) 3z ) A z)~ /v -1 1 -3/2 _ 2 _ 3Z 8 4z 3z2j 2 Arth •y/z" 1 лД J
404 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.2 a b 2Fi(g, 6; с; z) 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2 2 2 3 (i-*) 48 + 87z - 38z2 + 8z3 + 105 1A-*Г2[A- 3 Г _ ч-1/2 _ 2 L л/г 32 3ttz2 [D - - 15z2) A - 3/1 ¦-2 = /T=z 4r [4 - 3z - D - z)VT^^] = 8A [C - zG
7.3.2] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 405 217 91 Л 91 Q 221 222 223 224 225 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 a 3 2 3 CM 3 CM 3 2 - 3 2 ? 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 9 со I cm to | 00 3 2 2 со I cm со I cm 3 9 2 2 2 2 6 5 2 Б 2 5 2 Б см 3 3 3 3 3 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 с 2 *? 7 2 1 1 2 1 2 5 2 7 2 4 1 2 1 2 1 2 5 2 3 4 1 2 1 2 1 2 5 2 3 7 2 1 2 1 2 1 4 М ^ Зтг 16 37TZ 5/3 2z2 Vv^ 32 j. 3ttz2 ^ A - 14z (l + 5z)( - (8 + 8^ -U-z) A 3 Г Ц 8z [A- 15 ГЗ 16z2 [l Ь \^~ (l — 16z A + 6z)( 1^A~ — A- 15тг \ - E - 2г 5 16 fi 15ttz V 32 15ttz2 A - 18z (l + 7z)( — A6 + 16 l -(8-4i 8 1 \(s 16* L( -B-z) 5 ГЗ 32z2 [ A-z)- 4 A-^)- 4 A + *)A ) 2 2; _ — 2 2К(\/г Гтс/"Л/Z arc ^35z2)(l^ |_ 2 A — - z zJ _ z - z Az~ — 48/ 1 — z zyA ')(l ~ ) г)"8/2 ' ) I "sin /~? \fz - z)^5 z)-7'2 Arth Vz 1 z2)(l z ) A — \ --9/2 [A5 + [(9-- -2[(i + "MD ^63z2)(l^ 24z - . + z^ f 8z A - ™2z A- 4 3 4 4- "*) ч-Б -6z2 + 2)A- 3z2) z)-5/2 + 3z2 zJ f Hz 4  z J z) 34z- 2 z)KD z)"e z3)(l -3A + -61z2- -3C + 2Fi(a, 6; c; z) + z\G(\fz I ; IV jj у v ;j /i" 1 = J /2-s] In 1 2 z2) Щл/z) - 2z A9 + 6z - z2) D(v^)] г) - C + 7z - 2z2) D(v^)] /T\ 9/1 r 1 /zj z^l z + ./T\ (q Qy \/Z) [Q 6Z z2)D(v^)] -2z2)D(v^)] - z)"9/2 -3 „Arth^ л Arth v/z ] "} Vi J 1чГг , о , г3/2 arcsin VI1 л/1 - -г | —)у 1 _ ^ агс- in -y/z
406 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.2 245 246 247 9/|В 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 а 2 2 2 9 2 2 2 2 to to 2 2 2 2 2 to to to 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 9 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 2 7 9 7 2 7 2 7 2 7 2 2 7 2 3 3 3 3 3 с 3 2 5 2 3 7 2 4 1 1 2 1 3 2 3 7 2 4 5 1 9 1 2 1 3 2 5 2 3 4 1 2 1 2 1 3 2 5 2 A- 3 Az 2 z2 15 41 5 2z2 8 z3 (i- 4 1 "i 8 5z3 A - A - A4 A- 3 16z 4 A-z) [ " [l-z г s Ш -lbz- ^6z + J + 3z) /3- V 1- -20z~ I") 2 [ 16 16 -2z)(l ~z)^3 16 h -[ L - 2z \~i ibz *2)( 2 _____ ^ 2z z \z 90z ( 16 16- -z) 1" >- 2Fi(a, b; c; z) l + 2z ^(l-z) 1 ~~ z 11 "csin -y/i" zY z J 2-5z3)(l^z)^5 l^z)^4 zy7/2 11-) 8 (i i T^) -3 "L 2_20г3 + г4)A-г)-в 5z)(l z)/2] 4- 5z 1 l^zK/2J 170^ fi^q-2 40~3 10^ 1 A~\Z arcsmVz f 83z + 6z2 + 15 - arcsin v^z s J , -- , ^1 + AZ 1 ^^ 1 ,— — arcsin y/z лА(ТL 2:)
7.3.2] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 407 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 ? 5 2 5 2 5 9 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 5 2 6 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 ? 5 2 5 2 3 3 3 3 со со 3 7 9 7 2 с 7 2 4 1 2 1 2 1 со I cm 5 2 3 7 2 1 2 1 2 1 3 2 2 3 7 2 4 1 1 2 1 3 2 2 7 2 4 1 9 1 2 15 (i з Г z3 L (i-*)~ A - z)~ 32 (l + 3z) A — z)~ 96 (l-s)~ 32z 1 5 A - C + 2 3 v 3 9тг 16 a 5 ГЗз 32 A 3ttz2A (l-2Lz 1 - (8 + 2 8 v 4 5 hfi A - 24z z)^1 3 2z Z 1 oinh i-z ' "lnA 49 704r L 32 + 247z 4 -4 -3 [81 + 28г- 3 + Ш-4 )(l-s)-3 z)~2 [3 4z 4z + 8z2) A - z)^4 [C + 10z z) [E + 3z)I -z)^2[2(l 2, ^z)^1[D^3, - 105z2 - 35z 4z + 3z2) A - L^z)^4 !lvT/23- v^ A- (8^12z + 3z2 - 144z2 - 64z + 8^A-,) 2Fi(a, 3-4z -.] 6; c; z) arcsin y/z 2553z2 260z3 + 20z4 - 40z2 4z3 4 4z2 + 15A + 1 2 Z 1 /1-2 0/1 + 3z2)K(^ c(v^)-(i + 0K(v^)-(8 3) (l^z)^6 5z 1 )(l-2)-3/2] 3\ /-1 \ —13/ -315E - 105A + 2z)J z / arcsin V^ 1 D^j „ . arcsin д/z arcsin i/z V*(i-«). o_ arcsin v^ Л/гA~г) -I )-8z(l + z)D(v^)] - 7z)D(-^)] 2
408 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.2 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 Qf|7 309 310 311 312 q-i q Q1 Л 315 316 317 318 319 320 321 322 a 5 2 5 2 5 ? Ю I CM 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 k^ 5 2 Q 3 3 3 3 Q Q 3 3 3 3 3 3 b 7 2 7 2 7 ? 7 7 2 4 4 4 4 4 4 Л Q 3 3 3 3 Q Q 3 7 7 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 с 1 3 2 2 3 4 1 2 1 2 1 3 2 2 3 7 2 1 2 1 2 1 3 2 2 5 2 7 2 4 1 9 9 1 3 2 2 5 2 4 15тг — C -|- 4/ 3 16 45?rz 32 15ttz2 A - 27z — f 3 + 4' 3 — A6 + — C + 5/ 3 B4 + 24 v - F~zN 6 5 [3' 48z^ [3 (l-z)~ 64 A-*)" fi4 (l + 4zH A — z) 64 9 3 64z^ 15 A - 28z (l + 15z — E + 1' 5 - D + 3. 4 -| ~ E + z" 5 2 ¦- fg . 5z3 L z)-«[A5 уW|_ z) 2)-4 [8A -,)-3[B -)[( - 189z2 - tz + 35z 72z + 18г у)П z}~ ir-zy1 ^rth-x/z 6 r V [б4 + 60 L h2:2)(l^ 5A1 + A-z)^4 г /y\ " 1 1 г - 210z2 - + 15z2 + b + 15,2) z)(l - z)~ — 20z + 15 + 74z + 9/2 + Z)K( 8- 13z -105z3) П 2;) П 2,\ 3-8z A- 7z + 27^ zTb lOz) + 3 Q ~ I - 140г3 - *3)A" A-,) z\~ 9/2 Z ) A — 2Fi(a, 6; c; z) 39z2)K (v^) - z D3 + 82z+ 3z2)D (д/^)] v^) - (l + 14^ + z2) Щу/z)] o«2\ тл/ /~Z \ A q«\1i/'/' /Z" \1 + z J IV^ j ( ^J (У2 JJ (i-,)-7 (l-z)-»/2 -—9/2 ^3z2l -K J 2 3 °~2) z3/2arCsin^l iz2 + 15A5 + 40z + 8z2) x V 1-* J /9 1 ой-, 1 o~2\ arcsln yz 1 arcsln /z 1 "~ VZ(X^Z) -1 arcsin fz 1 -7^4)(l-2) 2)"e -11/2 . %\ ^5/2 g
7.3.2] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 409 323 324 325 326 327 328 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 a 3 3 3 3 3 3 Q 7 2 7 2 7 9 7 2 7 ? 7 2 V 2 7 2 V ? ?, ? 7 2 7 2 2 7 2 4 4 4 4 6 4 4 4 4 4 4 Л 7 2 7 2 7 9 7 2 7 ? 7 2 V 2 7 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 с 1 1 2 1 3 2 2 5 2 7 2 1 2 1 2 1 3 2 2 5 2 3 4 1 ^2 2 1 3 2 2 5 2 3 1 2 1 9 1 3 2 (I-*) 128 A-z) 6 1 9Я (l + 6z + , A - z)^5 128 (l + z)(l- A - z)^4 128z 5 128z2 2Fi(a, 6; c; z) 128 3968z 26223z2 14702z3 1— -1 - 280z4 - 315C5 + 84z + 24z2) z3/ 2 arcsin y/z 1 /1 _ z [l28 + 1779z + 1518z2 + 40z3 + + 105E+ 20z + 8z2) J- z - arcsin л/z 0 / o\ arcsin л/z" 114 1 114.~ 1 4 ~ 1 I^ii 1 10 .v 1 Q~zi v [ ^/z(l^z) L , п.. | o.2 «/-, 1O- o. 24 arcsin^i ч q / o\ arcsin л/z о 1 \ { ' JzJl^z) - E - 160z - 1440z2 - 1280z3 - 128z4) A ~~ z)^15/2 1F + 90, 2 17Г — A5 + 4 15 v 75тг — E -\- 2z) 5 v ; 225ttz 32 fl 75tt*2A A - 36z - (l + 21z + +120.»+ ie,»)(i-*)-»/» )™6 [A5 + 113z + 113z2 + 15z3) K(y/z) - - 2z B3 + 82z + 23z2) Щу/z)] Q2; i. $z 1 A z\~ ' Уъ [C9 + 74z + 15z2) K(v/z") - C + 82z + 43z2) T>(y/z)] 1 — z) ' - z)[2(l - 6z - 19z2)D(^) - A - 34z - 15z2)K(V^)] ^z)^3[D llz + 15z2)K(v^) (8 23z + 23z2)D(v/z")] 378z2 - 420z3 - 63z4)A - z)^8 35z2 + 7z3) A-z)^7 — A6 + 120z + 90z2 + 5z3) A - z)^13/2 16 l ; ~ (З ~f- lOz 3 l 8 - E + 3z) 5 K } - F + z)( 6 V A (l^z)^8 ОСИ 13628z4 / -i \ 7 A-z) 7 9C|3 (l + 9z + < A-^r6 256 _i_ 3z j A z) + z2)(l-z)-11'2 A_z)-5 Г 2 „ 256 10240z 99021z2 102592z3 П5Г105 1 -7°- ! П6-2 i 16~3) z3/2arcsin^ Ц 256 + 5175z + 8132z2 + 1452z3 + I -1 + 35C5 + 210z + 168z2 + 16z3) J- - arcsin -\fz ?z2 + z3)(l^z) Vl^z J 7C3+104z + 28z2) +5E + 90z+120z2+16z3) - L v resin y/z ] /z(l-z)\
410 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.3 349 350 351 352 а 4 4 4 4 b 4 4 4 4 с 2 5 2 3 7 2 з 3 256z JC + *)(l 5 „ 768z2 ^ ^)(l-,)-e Г5 l + 68z + — z)~5 z)^4|~3(l 6z 2Fi(a 36^- A + 24z2 + , b; c; - 18z 16z3) *) -72z2- 16z3 arcsin yfz Vz(l-z) )- \ 3 J ircsinv^ 1 ~16z + 92z2 7.3.8. Представления2^1(а, b; c; — z). (См. также 7.3.1 при замене z на —z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 О 11 a a a a a a a те га 2 m 3 га 4 a a 1 1 2 + + 1 2 1 2 — a 1 1 1 1 a a a с 1 2 со I cm 1 2 1 2 3 2 3 2 7i ra 2 + m 3 ra 4 A + z) a cos Ba arctg A + zI/2^ . Urt (ел -| \ /~ L\ H^ZCl — 1 j-y ^ 1 Г, / — H V 1 1 л- 1 s 1 [(/n^ 1 r 4(o-l)^(l + ^) ' ' _™г-т/пПу\_ те z--' [ то _m/n/ (-l)m те" 1 2 + \^ cos BJb + fc=o L L - 2 sin |"BA; + 1 |ml(^)/Bl(-i 2F1 (a, 6 - 1) arctg \/^] ^ "a те J [1-(-I)»] Ь i)ZL?Zll in |i_ те ^ Trmi +^ J arctg n -I 1 - \fe —1^ —A; ^—-' ra — kn [(m-i)/a] (_1)к_1г ^ ra - 2fc — cos % ¦> (— 1J z fc^l m ~ 4k Зтятт 4 -k ¦ m^-m/2 | Ш „-m/3 ¦ те ^-m/4 2 1/4 1 ч/^ Ч- z^/4 2 ; с; ;J« It In- (- -2z Z1! ' ^Z1 sin Г r sin cos + _z) ] hz1/-) + !/- cos [BЛ + lsin[BJfe + 1)ti /ncos[Bfc + l [ra, n - 1 ТП7Г r- arctg у ^ -1 ~ 2 гтетг z 4 arCtgv^ Ш7Г In Гл/I 4 ln Vz 1 Зттг 1 2C°" 4 Ы "I ;BЛ+1 те -/w] 1 OT/n]J, , 2, 3, . cos 2 ^л/З '""Mn ( zl/4 V^ + (л/^ + 21 г2/"}- . . ; га ^ n] 1 b(l-«)J I ^4l + l)]
7.3.4] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 411 7.3.4. Частные значения 2^i(a, b\ c; —z). (См. также 7.3.2 при замене z на —z.) a b 2i?i(a, b; c; — z) - 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 1 I 1 - 1 - 1 - 1 1 1 2 2 \ x 3 5 4 4 3 5 4 4 5 1 4 » 1 4 5- 1 6 - 1 - 1 7 6 13 5 4 9 4 11 7 4 11 4 11 ~6~ 17 13 15 Iff . ax . 1 — аж i a L 2 arctg - ¦ -In -62 arctg 1 + аж + ж2 6ж — In , о = B - л/2 )!/2, 6 = B + V^)V2] 1 12ж 7 72ж7' 4 arctg ж + 2 arctg - х 14 arctg x + 2 arctg —^-^ - 3~1/2 In ¦ x 4 arc 8ж 5 П - 2 arctg - 3 Г Г 1 - < о In — 16ж3 1 [ 1 [x = . [x = . 16ж3 I L 1 - 6ж + ж2 1 + аж + ж2 - 2 arctg - 6 2 arctg ¦ -In- 1 1 — ах + H [x = ^/8, a = B-^I/2, 6 = B- Arsh -y/z —zr In (л/1 + Z ^^ arctg v^ 2^/2A + z)^3/2 [(vThFI +1I/2 - Зл/2 32ж7 5 12ж5 11 " 55 ln ir — 2 arctg - [х = ¦ + 2 arctg + 4 arctg ж ¦ + x arctg - Збж11 x (ж6 + 1) х ¦ + 2 arctg ж H 1 [ж = **/«] 16xs аж 1 + аж + ж2] Г , 6ж 2 arctg + In ¦—- - a 2 arctg : + In 1-х2 1 - ах + ' 1 -ж2 1 + 6ж + ж2 1 - 6ж + ж2 [x = z1/8, а = B - V2 I/2, b = B + л/2 I/2] 7 Г Г ах 1 — ах + х2] Г 6ж < а 2 arctff + In +62 arete 16ж7\ L 1-ж2 1 + аж + ж2] [ В1-: -In . — 6ж + ж^ ¦ iT6 ж2 [ж = z1/8, а = B - V2 I/2, 6 = B + л/2 I/2]
412 17 а 1 b 1 с 3 2 Гл. 7. ln(Vz + 1 лАA- Гипергеометрические функции 2i?i(a, 6; с; -z) /1 + z ) Arsh V^ fz) Л/^A + ^) [7.3.5 7.3.5. Значения 2Fi(a, 6; с; 1). 1. 2Fi(a, с; с; 1) = iF0(a; 1) = О 2. 2Fi(a, 6; с; 1) = Г с, с — а — b с — а, с — 6 3. 2F1{1, т; щ 1) = -± -^— \^1 ¦+ ТТЪ ТЪ j I 4. 2F1(-n, b; с; 1) = ^-=-^ 7.3.6. Значения 2^1(а, 6; с; —1). 1. 2Fi(a, 6; а ^6; -1) = [Re a < 0]. [Re(c-a-b) > 0]. [n > Z + m]. Г (а/2 - 6)Г [(а + 1)/2] 2Г [(а + 1)/2 - 6]Г (а/2 + 1) 2. 2Fi(a, 6; 1 + а - 6; -1) = 3. 2Fi(a,ft; 2 + а™6; -1) = - 6-1 A + а)/2, 1 + а/2 - b П 2+a~h 1_г[ 2+а~Ь ' '¦ " A + а)/2, 1 + а/2^ 4. 2Fi(a, 6; 3 + а - 6; -1) = 2*A-Ь)B-Ь)\ [A + а)/2, l + a/2^6J З + а-6 ] ( а(а + 1)„Г 3 + а™6 а/2, [4-1 Л 4- 1 1 а + b \ [a + 1,6+1^0, -1, -2, . . .] 6. A - a) 2Fi(l, а; 2 - 6; -1) + A - 6) 2Fi(l, 6; 2 - а; -1) = 21-а"ьг[ о ' , 1 [2- а, 2~ 6 ^0, -1, -2, . ..]• 7. 2F1(l,a;-a-n;-l) = 2-n-2e-2r[1 а' " а] + I ^(-1) fc (a)fe [n = -l, 0, 1, 2, ...]. 8. 2Fi(l, a; ^a + щ -1) = 2п~ (l-o)fc 9. 2Fi(l, а; а + 1; -1) = аC(а). Ю. 2Fl (l, ™ + /; ™ + / + 1; -1) = (-1)'™±»i{ - 2 ^ cos ГBЛг + 1)^^1 In [sin BA; [те = 2, 3, 4, ...]. Til Г 7Г 1П7Г — cosec 2 n [n = 2, 3, 4, . . . ; ш = 1, 2, . . . , n - 1; Z = 0, 1, 2, . . .]. 11. 2Fi(l, m; m + 1; -1) = (-l)"^^ In2+ ^ t^ 12. 2Fi(l, a; a + 2; -1) = 2a(a + 1H(a) - a - 1. 13. 2Fi(l, a; a + 3; -1) = 2a(a + l)(a + 2)/9(a) - a2 - la/2 - 3.
7.3.6] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, b; c; z) 413 14. aFl(i,a;a + 4;-l 15. 2FiB, a; b; -1) - (a _|_ ь _ з) 2Fi(l, a - 1; 6-1; -1) = 16. 2FiB, a; a + 1; -1) = a(a - l)/3(a - 1) - a/2. 17. aFaC-n, a; 6; -1) = ^Р,*6'«->-"> C) {b) 2A - a) [Re F-a) > 1]. 18. = (b)n [0 < Reft < Rea - n + 1]. [Re6 > 0; Rea < 1-n]. 19. 2Fi(-n, -ra; 1 - m; -1) = (-1)" n! (m-1)! (m-n-l)! fe=0 20. 21. 22. (-n, m; 1 + m; -1) = (ra + n)! ; -m; -1) = - [to > n]. [m = 1, 2, 3, . ..]. f_ «„ 9- 1. „I1» — О71/ [e = 0 при 2тг ^ пг; е = 1 при 2те = этг + 1, т + 2, . . . , 2то + 1]. 23 24 25 26 27 *>я 29 30 31 32 00 00 34 qc oO 36 37 38 a 1 6 1 4 1 4 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 3 4 3 6 1 b 1 1 1 1 1 1 X 1 1 1 1 1 X 1 1 X 1 1 1 С 13 5 4 9 4 4 3 7 3 10 3 3 2 5 2 7 2 5 3 8 3 11 У 7 4 11 A 6 2 2Fi(a, 6; c; -1) —^— [тгл/З - 6л/3 In B + л/3) - ЗлД] 54 L v ; J л/2 тг -f- 2 In A -f- v 2 ) 8 L J 5л/2 г i тт -f- 2 In A -f- v2 ) 2v2 16 L J — (тг + л/3 In 2) 9 v ; - C™21п2^3\/3тг) 7л/3 162 к 7Г 4 3 -(*-2) 5 - (Зтг - 8) О 2л/3 (тг - л/3 1п2) 9 5л/3 /— ^^ D0тг - 40л/3 In 2 - 39л/3 ) 81 -7Г О ]rt ( ~\ 1 л/^ \ 7Т Z ill IX "j" Л/ Л } \ 7л/2 / \ I Зтг — 6 In A -|- v 2 ) — 2v 2 j П6Г г г- 1 — 5тг - 5V3 In B + V3 ) - 3 18 L v ; J In 2
414 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.7 39 40 41 42 а 1 1 1 1 b 1 1 1 2 с 3 4 5 3 4 In 2 - 2 - (8 In 2- — C1n2- 3 2A-In 2) 5) -2) 2Fi(a, b; c; -1) 7.3.7. Значения 2Fi a, 6; c; -I. 1. 2Fi [a, 6; c; - J = 2a 2Fi(a, с - 6; с; -1) 2. 2Fi a, 6; a+b+l-m 1 ' 2У = 26~1I [Re (b- a) > -1]. F + Jfe)/2 1 a, b 2 ' 2 5. 2Fi ( a, 6; 6. 7. 2Fi (a, -a; b; - 1 = -*-?- 8. 2Fi ( a, 1 - a; 6; - I = 21м6^тг (<*+ «0/2 (а + 6)/2 6 1+rf fe , F-o + l)/2j |_(a + 6 + l)/2, F-a)/2_| J" 6 1 [l + b-a)/2y 9. 2Fi (a, 2-a; 6; - ) = '2Ь-Ца-1)\ L(o + 6)/2-l, (l + 6-o)/2j [(a + b - l)/2, F - a)/2j j ' 10. 2Fj (a, 3-a; 6; |j = /тгГ(Ь) f 6-2 2 а - 1)(а -2)\ Г[F - а + 1)/2] Г[(а + 6)/2 - -о)/2]Г[(о + Ь-3)/2];- 11. 2Fi(a, 4-a; 6; -J = 26 - а - 3 Г[(а + 6)/2 - 2] Г[F - a + l)/2] Г[(а + fe - 3)/2] Г[F - a)/2] J " 4F - 3) "•^i|a,5-a;6;-J = 26_B(o_1)(V_2)(a_3)(a_4) 2F-3J - (a-2)(a-3) Г[(а + b)/2 - 2] Г[F - a + l)/2] Г[(а + 6 - 5)/2] Г[F - a)/2} j ' 13. 2Fi ( a, 6 a; 6; 2 J _ 2b_e^ _ ^^ _ ^ _ ^ _ ^ _ g) 462 - 2a6 - a2 + 13a - 226 + 20 462 + 2a6 - a2 - a - 346 + 62 14. 2^1 I 1, а; \ -—; - 11 (a + 6)/2 - 3] Г[F - a + l)/2] Г[(а + 6 - 5)/2] Г[F - a)/2] J ' = x A — a)m-i
7.3.8] 7.3. Функции iFo(a; z) и 2 Ft (a, 6; с; z) 415 (a-m)/2l (a-m)k _2~k 15. 2Fi 1, a; 16. 2Fi IT. 2Fi 18. 2Fi 19. 2Fi 20. 2Fi 21. 2Fi 22. 2Fi 23. 2Fi 24. 2Fi 25. 2Fi 2 ; 2 [m = 1, 2, 3, . ..]. [m = 0, 1, 2, . . .]. I a, a; a + 1; — 1 = 2aa/3(a). \ 2/ l, 1; b; l, 2; 6; I l, 3; 6; 1, 4; 6; i 1 2, 2; 6; - 2, 3; 6; i 1 2, 4; 6; - 2 = 2(ft-lH(ft-l). = 2(ft-l)[l-2(ft-2)/3(ft-l)]. = (ft - 1)[7 - 26 + 4F - 2)(ft - 3)/3F - 1)]. = I (ft - 1) [262 - 156 + 29 - 4F - 2)(ft - 3)(ft - 4)/3(ft - 1)]. = ^—^ [293 - 2086 + 5062 - 463 + + 8F - 2)(ft - 3)(ft - 4)(ft - 5)/3F - 1)]. = 4F - 1)[3 - 6 + F - 2)Bft - 5)/3F - 1)]. = 2F - l)(ft - 2) [7 - 26 + 4F - 3J/3F - 2)]. = - (ft - l)(ft - 2) [462 - 326 + 65 - 4F - 3)(ft - 4)Bft - 7)/3(ft - 2)]. 6 f 3, 3; 6; - J = 2F - l)(ft - 2)(ft - 3) [7 - 26 + 2B62 - 146 + 25)^F - 3)]. 26 27 28 29 30 31 32 a 1 3 1 1 1 1 1 1 b со 1 to 4 3 4 4 5 5 с 1 2 2 2 3 2 3 2Fi(a, 6; 3^4 3 /1 8тг2 \3 8^2 3 14/3 8/3 15/2 11/3 c; 1/2) ) 33 34 35 36 37 38 39 a 1 2 2 2 2 3 3 6 5 2 3 4 4 3 3 с 4 1 1 1 3 1 2 2Fi(a, b; c; 1/2) 5/2 12 32 80 20/3 104 20 7.3.8. Значения 2Fi(-n, 6; c; 2). 1. 2Fi(-ra, a; 2a - 1; 2) = = 7JFr(a~ 2I 2" 3. 2Fi(~n5 a; 2a + 1; 2) = a + (n-l)/2 a+ 1/2 Hdfr[n/2 a + n/2 n/2
416 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.3.9 4. 2Fi(-ra, a; -2ra - 2; 2) = 22n+2^^ 5. 2Fi(-ra, a; -2ra - 1; 2) = 2 n4 (а + п а + 1 n+2 2 /n+1 V27n+1 Bra- 6. 2F1(-n>a;-2n;2) = 2a»7^L'ra + 1 7. 2Fi(—ra, a; 1; 2) = (—l)n 2Fi(—n1 1 — a; 1 — a — ra; —1). 8. 2Fi(-ra, 1; rra; 2) = 2 m | (- 9. 2Fi(-ra, 1; -2ra - 1; 2) = i! m-2 (-1)* Bn fc=O 2zn+± - 1. 10. 2Fi(-ra, 1; ^2n; 2) = -^ 11. 2Fi(-ra, 2; ^2n - 2; 2) = -^ !(ra + 1)?22п+1 2n 12. (-n5 2; ™2n - 1; 2) = -3- 2 1 7.3.9. Значения 2Fi(a, 6; c; z0) при z0 / ±1, 2 . 3 ' 3 ' 6 / [ 2/3, a . aFl ( a, [Re a < 2]. 2Fi(a, 6; c; -8) 8 9 10 11 In 3 2 2 n 3 -|-2n 1 n — — — 3 2 1 те 6 " 2 7i 2n-l 7i 6 2n- 1 7i (-5/6)n + (n/3 ^ 3/4)(-l/2)n_i 2(-l/6)n + (-l/2)n 2(l/6)n- 1 (l/3)nB/3)n [те = 2, 3, 4, ...] [n = 1,2,3, ...] [n = 1, 2, 3, V ; C/2)n (_l)[(" + l)/2]32n-[n/2]-l i/2 (l/6)n/2 2тг- \n+l_ + 3 5 • 33n+2 Bте + 3)Bте + 12. 2jP 13. 2Fi ( 2, a; 14. 2JP 2' 2 ' '" 5 - a 1 2 ' ^2 Cn — числа Фибоначчи . a+ 1/2
7.3.9] 7.3. Функции iF0(q; z) и 2Fi(g, ft; с; z) 417 15 F I +-• --2 • --^ 2 ' 2 2' 2 '3 29. CO. 9\2a [4/3, 3/2-2al 8/ L 4/3-2a J' 2a + 3 l-V^^ 9-а/2^гГ Ba + 3)/4 ;J=2 ^Г[ л_ /3 2a+ 5 1- 17. 2F, ^-, a; -j-; ^ = 22-а/2/-ГгГ Ba + 5)/4 1_ Г Ba + 5)/4 V 1 L(a + l)/4(a + 2)/4j [a/4, (a + 3)/4j J" ^ / 14 18. aF^+ / 1-a 4a+ 5 1\ 9-a^r[ Da + 2)/3 19. 2F1^a;;J=2 ^ Г^ on F (n ^—^ 4a + 7 _1\ I!Vi f [ Da + 4)/3 1 Г Da + 4)/3 24 3 ' 6 ' 8J~ 2a-l Г [a, Ba + 5)/6j [a +1/2, (a + l)/3 / 2-a 2a + 5, 4 - 3^2 \ _ B\a/2 Г Ba + 5)/6 22. 2FX ^a, ^-, -g-, ^^J - [z) ^Г[(а + 3)/6(а + 23. 2Fl(a,i^;^±Z;4-3^U О О О / a - 1 1 [a/2, (« + 5)/6j [(a + l)/2, (a + 2)/6 24. 2JP 9^ р Л 9 Ч. 3 п 2~^ З3п/2 г[4/3, З/2-a 25. 2Fx \а, 2 - За, - - а, —г~ J = 22a_iy- Г[ 4/3 _ д 1-а За+ 5 1 /3\а/2 [2/3, (За + 5)/б1 26. 2^(а, -1-, -g-, д)=[) Г[ j 27 Л„1 on- 4 «• Л ч-аг[2/3-а, 4/3-а] 27. 2^^а,1-2а, --а, - J = 3 Г[ ^ 4/3 _ 2а J- oo Ff * „. о„^7т2-М 26" (GТ2)/4Jи 28. 2Fx (-n, --п,2п+-г-)=^ A/2)" 34. 2Fi fa, 1 - 2a; a + 2; i ) = j ^ ) (a + 1). 14 А. П. Прудников, Т. З [аф\/2]. ,2„ + 4)/3 1 Г р„+4,/3 ^
418 Гл. 7. Гипергеометрические функции [ 7.3.9 2a + 1 i1 9/9 9^ /2 + 72\° ,- Г Bа + 3)/4 37. 2^(а, ^±^; a + |; 2л^ - 2) = [Г Bа + 5)/4 1 Г Bа + 5)/4 V | L(a + i)/4(a + 2)/4j L 4а + 2 8\ /3\2а ^^Г Dа + 2)/3 39. -, т + 1, -J=2 3 ^ 40. 2Fl(a,a+±;4a-l; ^U 22-ea32a^F (зг[ 4a ~ 2 7 1 -гГ 4? " X H V 2 9/ I La, 3a-l/2j [«+ V2, 3a - lj J An 2 / (/)n/2 ---12V2-iej = ^-5-j ^ Г[(а + 4)/6, (а 43. ^U^^U^-ieW^V^rr Ba + 2)/3 44. 2a/3 + l 1 _ Г 2а/3 + 1 a/2 + 1, (a + 3)/б] ~ L(a + l)/2, a/6 + 1 45. 2Fi ( a, 2a - -; 4a - 3; 12^2 - 16 j = -I [a/2, Ca-l)/2 47. 2Fi f-2n, n + i; n + 1; ™) = 3n. 48. 2^1 ( —n, —; пг; 4 J = Я(п, ?n), mS{n1 m) = (n + m)S{n1 m + 1) — nS(n -1, m + 1), f 2n, n + |) = ^SW^SW , ^B^ + 1, n + 2) = 0, 5Bn, n) = 35 V 2/ E/6)nG/6)n SBn + 1, n) = ^5n + 2, 5Bn5 n + 1) = 1, 5Bn + 1, n + 1) = -1, n n ) 5Bn + l, n + 2) = 0, SBn, n + 3) = ~2n + l' "v— • ->••.-;-"> "v—, ¦• i -y- 2Bn + l)Bn Un + 3)= o"+,2oW SBn, n + 4) = 2Bn + 3)' v ' ' ' 4Bn + l)Bn + 3)Bn 5(n + 2)(n + 3) 8Bn + l)Bn + 3)Bn + 5)Bn + 7)'
7.4.1] 7.4- Функция 3F2(ai,a2, аз] bi,b2',z) 419 5Bn + l, n + 5) = 49. 2Fi I -2rc, -; n + 2; 4 1 = n + 1. 7.4. ФУНКЦИЯ 3F2(al9 a2, a3; 1ц, b2; z) 7.4.1. Представления 3^2@1, a2, аз; 6i, 62; z). 1 2 3 4 5 6 7 я 9 10 11 a\ a a a a a a 1 1 a a a a2 6 6 6 6 6 6 a 1 1 a + a a 1 9 аз с с с с с с 6 и b 1 2 6 61 d а — а — а + а + 1 + а 2 те 1 1 1 Ь а + 6+1 2 6 с е d d d 6 + 1 1 + а - с с 6^а | 1 2 ' Х 2 6 2а+6-с+1 1 1^2 X X X 1 ^ A - FЫ (d) 2Fi( о 1 + 0 1 b^c A (а - (а- п 2Fi Г2 ¦{[ 3^ i- [(d + (d-i c)fc t -[ь z)- с — 1)( 2(c x [ a, — л -5 :; с a* 2i аз 1 ь 1 /г С, ;jF2(ai, a2, аз; d -+- e -— b ¦— с 1 — a 2 — 1, 6, c; d, e e - 6 - c)(l + e =)]3F2(a-l, 6, (d- c)(l + d- de(l - a) 6cz (a — 1) d x 2Fi(fc 2FiF, c; a1; z) x з^2(а, ^i(a, c; a + 1; /a a + 1 2 I 9 ' 9 ' 1 + a 6, 1 r p, /„ i [2-^1 (ft 1? 2J \(a-2, 6-2; (b 6 + 1 3 2\з' 3 ' a + 6 + 1 6 - 2 ' 2 x 2Fi fa, 1 l2a / -z) 3F2 2a, J \ 2a + 6- c+ 1; 6] ¦] z c; - с ¦x + b, *) + 6 с - ь - a V J 9 с 1 , 62; z x ) e(l z a) + (d - 6) x d, e + 1; z) + 3 2{a d+1, ; d+ A; l,c + a1 — 1 1 + a - c] a + — d 2J r, ft a — c; 1 • n 9* -r ^ 2 f 2 3 ' L-z v ) a; 6; I -6,2a X, I/, e + 1; z 1; d + 1 1, d- 1 c- 4z A — z 1 • •H 1, Z) -1]- (c- 1) 1)F- 1 27z (l-4z x 2 — с + 1; J ; ; 6 \2 )^ K Z [ + 1 J J ) / ') 14*
420 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.1 а2 62 , а2, аз; 6i, 62; z) 12 13 14 15 16 17 2а 18 19 20 21 . f*. a b a b a b 1 6 2 22 23 24 25 а+6-1 а + 6 a- 1 a a ~2 2a а + 6 - 6- 1 6 + 1 6 + а + 6 + 1 - b + 1 2 -A- 1 + 2Ь 2^11 М+ 26-2а; 6 + 1; x 2Fi 6, 2a- 6; 6 + 1; 1 - i 1 3 A-z) 2Fi (a + 1, 6+™; a- 6+™; z (i-z)-2b-S a - 1 -6-1; 6, a - 6 + 1; 2 a+ 26- 1 2а+ 26 + 1 2а+ 26 + 3 1 , 1 , ; а -\ , 6 Н ; 6 6 2 2 27z2 а + 6 а + 6 + 1 a 6 — 1 a + 6 ~2' 2 ' ^~ ; z X а 6 + 1 а + 6 -, ; ; 2 2 2 а 6 а + 6 - 1 а - 1 6-1 а + 6 - 1 6 + 1 а + 6 + 1 -; 2 a 6 а + 6 а + 6 а + 6 - а 6 а а 6 а+6+1 a 6 а + 6 а + 6 + 1 а 6 а+6+1 = 2Fl (a, 6; а + 6 + 1 1 - VI - z 2 2 a 6 a + 6 + 1 2"' 2' 2 ' ^ /a + 1 6 + 1 a + 6 + 1 X 2Fi , ; ; z 1 2 ' 2 ' 2 a 6 а + 6+1 а +6 а-6 2Fi 2 ' 2' 2 ' 'a + 1 6 a + 6 ~2~J 2' 2
7.4.1] 7.4- Функция 3F2(ai,a2, аз] bi,b2',z) 421 26 27 28 29 30 31 32 33 34 ai a a a a a a a 771 j 1 1 a2 6 a + a + a + a + n 1 771 1 1 ,4 1 3 1 3 1 3 a + a + 2 a a a a a 13 6 + 1 2 + 1 + + со | to со | to со 1 to со 1 to 2 + 3 1 n 61 a + 6 + 1 a + 6 3a 2 3a+ 1 2 1 3 2 3 4 3 m J m + 1 тг + 2 a + 2 a + 3a 3a 2 n n n b 6 + 1 2 + 1 2 со | to 4 3 5 3 +i + 2 6 a-b a a-b ^ ^a + b~ a + 1 a-*I 2Ж + 1 , Л + V1 ЗжCа - Зж2Cа + e-2^ тп nj - In + 1 mn {fl — 771 3^2(« F (° 2 1 ^ X 2 /a + 1 V 2 6 a - 6 - 1 ? V a + 6 a, a E)a + [fl x(l 2 -l)Ca- /зЛ xln [l z-m/j x In 11 ^ n - p = Г zn [^ [(n + 1)!]2 Bn+l )!(-z)»+ i, a, i b- 2 1 i г (-> Yb 2' 2 -2 , аз; 6i, 62; f 1 a + 6 /a 6 + 1 \2' 2 ' i' 2 /a 6 + 1 \2' 2 ' 6 a + 6 - 1 2' 2 а + 6 + l 2 [4A- [4A- же J J J o ./o\l —3a - же27гг/3) -2) з Л Z-l E fe=0 - feZ" 0,1, H С.ф (^ ; /1 f2wik слр I ^ л ^ a + 2 г) a + 2 ; z •)' a + + X + ^ 2wikm^ CXp I V J i B-Kik слр I k > [771 2, . . . , pi < m) In A — z' n —1 д. )]- тг $ + 2 6 _i_ 1 )x 6 + 1 2 z — [x = . [ж = > X f :(p + m —1 Л "¦) ¦¦•) ¦ Л '~) 27ж] 27ж] si/3l lm, 1I} т1
422 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 36 37 38 «l а2 аз 1 3+i $~' 2 2 --те а 2а + те ^те i n+1 6l &2 ^ 2 2 ft -Ь — 2 я. 2 1 1 3F2(ai, a2, «з; 6i, 62; z) ^ (n + fc)!(^z)fc 1 ^ ch arcsin л/z ^ J 1 . 1 1 z V cos arcsin i/z / Г n! ca(v/r_12 7.4.2. Частные значения 3F2(ai, a2, аз; Обозначения: /\ ^ Гтг/ \l2 [K(x)--D(x)]2l i, 62; z). 1-Ж2 х [2A - 2х2) В(х) - A - Зж2) К(ж)]2|5 1 - а\ 62 3F2(ai, O2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2 1 1  2 1 1  2 1 1  2 1 1  2 1 1 1 1  2 1 1  2 1 1  2 1 1  2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 3 3 2 2 5 2 2 3 5 2 2 3 2 2 2 5 i [4A - z ^ [4B i [4A - z) + 2A + 2z)il>2(z) - zil>3(z)] ^ 9z2) ^i(z) - 2D - 19z^ 18z2) z) + 2A + 2z)tM^) + C - z)^s( [4A- z + 3z2) i/;2(z) - 4A- 4z + 3z2) ф 16 [2G - 22z + 6z - 12B - ~~ z + Зл/z arcsin л/z - ~ 3z)i/;3(z)] С1"- - Li2(- - 3 _L2-15Z-B-14Z-3* 15z3/2 arcsin v ^ 1 1 2 2 1 1 '2 2 -- - 1 -- - 1 2 - 5 5 2 2 -ЫA3 8z L - Зтг - 2zG + 3A + 4z) 32 45ttz 8A - (l + 14z + z2)] I - 4^ - z2) Arth %fz + 2A + 2 - 16 15tt
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 423 «2 «3 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1  2 1 1 2 2 1 1  2 1 1  2 1 1  2 1 1  2 1 1  2 1 1  2 1 1 2 2 1 1  2 2 2 2 1 1 -- - 2 2 2 -i I 2 2 2 -I I 2 2 2 -i 1 2 2 2 -- - 2 2 2 — - - 2 2 2 -- - 2 -- - 2 3 3 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 3 3 1 1 1 5 2 I • 5 5 - 3 2 3 3 1 1 1 » 2 1 2 1 3 3 3 2 2 ^ 2 2 ^ з 2 2 2 [A6 + 83z + 6z2) C + 4z) arcsin y/I - 16 - 120z] 128 [A5 + 74z + 39z2) K(y/z) - z D3 + 82z + 3z2 16 z z) + 2гф2(г) — — i/^3(z) 2 1 - [4A - z)^i(z) - A - 4z)t/»2(z) - z^3(z)l 3 — [8A - z + 3z2) i/J(z) - 8A - 4z + 3z2) фф) - z(l - [8A - z)tbi(z) + 4A + 2z)ib2(z) - C + 2z)t/?3(z)] 9 — [4A + z - 2z2) ^i(z) - 2B - 7z - 4z2) t/?2(z) - zG + -^- [2A3 -7z- 6z2) i^i(z) - A1 - 56z - 12z2) i/;2(z) - 675zL l ; V ; l ; V ; D + 15z) + 3V1 - z 45тг 1 - [2A - D + z + 9z2 32z3/2 2 [Зл/z +3A - z) ArthVz" +Li2(\/z) - 3z2) A [D + 2z + 9z2) л/l- z - 4 + 15z3/2 arcsin y^ 45z l 7 9 128z3/2 1 60z2 64 12 - A - 4z + 3z2) Arth л/z - - 2A ^2z)[Li^ - C2 - 29z - 18z2) л/Т^ - 1ЪлД (З - 4z) i zG1 ~~ 46z ~~ 9z2) Щу/z) ~~ 2A5 + 14z - 21z2 - [4C- 10z+ 8z2) i/>i(z) + 2zA3- 16z)i 15тг] - zG - i [2E - 8z) [8A + llz - 12z - 2D + llz - 48z2) i/>2(z 1 Г arcsin 1 з 17^ 2л/1 - z 16 — [32A - i - 2(l + 4z + 6z2) (z) - 2A - 16z)i/>2(z) - C + 8z)il>3(z)
424 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 «3 , «2, Q3; fei, b2; z) 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 1 1 ~2 2 1 1 ~2 2 -- - 3 -- - 3 1 1 '2 2 1 1 2 2 -i - з 2 2 -i i з 2 2 1 1 2 2 -- - 3 -\\ • -1 1 з 2 2 -5 1 ' 1 1 ^2 2 --11 -- 1 --11 -- 1 --11 --11 --11 -- 1 -- 1 -- 1 - -- 1 - -- 1 - -- 1 - 2 3 3 3 i I 2 1 - -- 1 - - 2 - 3 - 2 - 3 2 * 2 I > ^[B + 3, + ieO 16 2025z (I-*) 4тг [8A + 11 z - 12z2) [(8 - - 2A - 9z + 8z2) t/^ф) (z) - 2A9 - 49z - 48z2) 16 128z 1 1 Г arcsin a/z - |3 ^^ 128z3/2 64z A1- 15z3/2 - A - 16z + 15z2) Arth ¦15*3/2-5(l-< 512z3/2 - 12A- v^ Arthv^) - -ln(l -. о Z Arth - л/z Ibz 2E - z)^fz Arth -2z+ ^ -\n(l-z) z 1 4z~ 4 Г 6 + 25z - 2C + 14z - 2z 45z2 L \ Г Л*.+-к FZ — A5 + lOz^z2) 5z [ 16 Г 225z2 L + Arth^ 41n(l-z) - 30z In 1 + y/T^ -13 + Z+2A + 5z)In(l-,) -15B + 5z)ln- 1-z ^[Зтг - 2C - + 4zB -
7.4.2] 7.4- Функция 3F2(ai,a2, аз] bi,b2',z) 425 67 68 «о 70 72 73 74 75 76 77 7й 79 ЯП 81 82 84 85 86 Я7 88 8» 90 91 92 oi 1 2 1 2 1 2 1 ~2 1 2 1 ~2 1 ~2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ~2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 «2 1 1 1 1 1 1 i 1 1 ][ | 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 «3 3 3 T> 3 2 со I cm 3 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 to 5 2 5 2 3 q 3 3 3 2 3 2 3 2 2 2 Б 2 Ю | CM 1 2 3 2 5 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 _ 2 3 2 9 2 3 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 9 3 Б 2 3 3 3 q 3 1 2 3 2 2 3 3 2 2 3 9 3 3 2 9 2 Б 2 1 2 1 'Л 1 [* 8 r 45-7TZ L 32z3/2 it» 64 i 2 ' 5z [ 1 Г i ¦ lOz [ 8 225z2 3 [ ( 1 [3™ 3 I 1- 2 ГЦ 9z[ "E- 15тг + 20z 16 3z 3F2(au a2, a3; bu 62; z) •>-) /1 " „агс81пл^] л/Z - (8 + 92 - 2z2) л/1 - ^ - 15v^ arcsin л/2 ] 128 r/ 94 , ^4 2257rz" " ^ ^ V ~- 2z A9 + 6z - z2) ЩлД)} (l-y/z Arth л/2) - 1 In A - 2) z J + iin 4B3- 13z + 1-2) 4z 1 4^ __ A - 2) + 32 + E - 3z)V^ Arth л/z 4 Arth /zl z Vz J iu [ q^2\ Л ~ no 1 7K-v fifl In 2 J 1 U/r Arth ^/r" J 1 z \ ~^^ [2C + 4z + 8z2) л/T^z" - 6 - 5z] 1 Г 3 L 2 \ _ 9z L 4 г ^ 45z^ l 4 27ttz 8 135ttz 16 675?rz2 1 r 8 Г ' 1 Г — 2- 6z L 3 [ 32z [ fl — 6z 2 — A — 7Г 4 r Зтг L 1 f ][ / j -f- 5z v [157Г -[8A5 5z)(l B-. 1 5z -\- 4lZ z~) \{ (\/~Z \ Arth /zl VI J \z\\I\ z J g/2] J q /i «v\?/"/ /" ^ 1 9~/ ч«-Л 1 W /" M Я/"Ч c)v\\C(+Py\ А(Ч 1 ^-r 4- йг2^ ТП^/у" "ll 1 1 r -U 4r2^ TC(+/T \ Rr (94 94r -U kr2^ ПЛ/Г^ - 60тг + 75ttz] — z) — 5л/2 Arth л/2 ] Arth y/z 1 ¦} v^ J 1 ' J , 2ч Arth i/z 1 v ^ J 1 — 2z)K(\/z") — 2C — 4z)D(\/z" I A -f- 4z)I3('\/z"I
426 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 94 95 96 97 98 99 100 101 102 104 105 1 Пп 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 oi 1 2 1 2 1 2 1 ^2 1 ~2 1 ^2 1 ~2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ~2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ~2 1 2 1 2 1 1 ~2 1 a2 3 2 3 2 3 о 4 to | 3 2 со 1 см 3 2 3 2 3 ?, 2 3 2 со I cm 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 9 со I cm 3 2 3 9 3 to I to со 1 см «3 3 2 3 2 3 о 4 to | 3 2 со I cm 3 2 3 2 2 Я 2 2 2 2 2 2 5 2 b to | сд 5 2 5 9 5 9 5 2 to | сд bi 1 2 1 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 Б 2 5 2 3 1 2 1 9 1 2 1 2 1 1 1 2 62 5 2 3 1 2 3 2 3 3 1 1 Б 2 3 1 5 2 3 Б 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3^2(^1, «22, «з; 6i, 625 2) 3 [1 + z —2z2 arcsin \fz 1 16 r/ 15ttz A — z)" 1 4 0 [8A + z - 2z2) ^i(z) - 2D + z - 8z2) ф2(г) + z(l - 4z)t/?3(z)] i [16A - z)^i(z) - 2E - 8z)^2(z) + C - 4z)il>3(z)] J~- [F - llz + 8z2) фф) - 2C - 7z + 4z2) фф) + zC - 2z)^s(z)] Г0/1 01^ [ Q-,2\ /, /^\ 1(\(^ 4" 1 ~2\ / /„\ | 225z L v ; v ; (l - 5z + 3z2) A - z)^2 - Ъл/z Arth л/z — B, 9z 4- 6z j fl z)~~~ ' 2 3 Г Arth -\/z" 1 8z [ \ ] °" ) ^ J ^[B + Z + 2^)vf=7-2] 3 Г /- arcsin y/z~\ 16z [ " v^ J 8 0 Г//1 1 », й~^\ ТЛ( . /~Z\ @ 9.~\TC( . /^"\1 15ttz 9 64z3/2l- V- V- V- /ic f „ | я~2\ /Я U | -I r /~Z ъггъгАхъ rZ 1 a 64 Г/9Г1 1 «I*?-, 1 Q~^\"K"/" /^ \ 1 Ктг [^OU 1 _5Oa 1 Oa j 14.^Y^ J 107Г — z F1 — llz + 6z ) D(yz ) I _ C 30z -f- 40z 16z 1 fl z')~ 3 V M — A - z)^2 [C - 13z + 8z2) K(y/z) - 2z E - 14z + 8z2) T>(y/z)] Зтг 4 — A - zY1 [E - 8z)K(y/z) - A + 12z - 16z2) В(^)] 16 r , ox Гд^Ч 17~ 1 41 ~2 1 fi"^^ i/m f ~\ I + 2z A5 - 50z + 32z2) i/>2(z) - z A0 - 27z + 16z2) фф)] ^ ^ Г4/"_1 17~ I 1fi~2\ / /^\ 1 0/1 1 oo» q_i~2\ / ,o/^,\ 18 -^A3-16г)^з(«)] [4B + 3z + 16z2) ^2B) - 4B - 3z + 16z2) ^i(z) - 45z L v ; v n . IK )w, f \] ^[4G - 16z)i/?i(z) - 4A - 162)^2B) + C - 16z)^3(z)]
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 427 «2 «3 62 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 1 3  2 1 3 2 2 1 3 2 2 3 2 2 5 2 5 2 -- - 3 2 2 -i ^ 3 -i ^ 3 2 2 1 2 2 1 3 '2 2 1 3 '2 2 I 2 2 -- - 3 -- - 3 -- - 3 -I » 3 2 2 1 3 2 2 1 3  2 3 -- - 3 1 2 2 1 -I 2 2 -- 2 - 2 2 -т 2 т 2 2 2 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 5 2 2 - 1 - 2 1 1 1 I 2 2 2 2 "- 2 5 5 2 2 1 1 - 1 - 1 3 2 3 3 1 1 2 2 1 2 1 3 2 2 1 з 2 1 1 3 1 2 - 3 [4C + 13* - 16z2) фг(г) - 4C + 7z - 16z2) ' 16 675z [2B9 - 34z + - 4G - 23 - (8 - 56z + 75z2 - 30z3) 8 D 3 32; 2 15z 4тг [(8 - 252 - [D^5z 2тг 3 n+21z-30z2 64z /l - - [D - Arth 15z3/2} — [l + 3* + ^ In A - *) - 3z3/2 Arth 5z L * -^-2 [D + 2z + 9z 1 Г 2 ^ - 4 1 Г 2 -2 + 9z In A - *) + E - 9z)V^ Arth y^ I 15* I " 16 31 - C1 + 8z - 9z2) л/Г^^ + 30 In 225z2 - C - 27z + 32z2 - 12z3) A - - B - 15* + 20z2 - 8z3) A - z Arth -у/*" 4 Г 2 - * - 4z2 + 8z3 15z2 Зтг [2C- 102 - * A7 - 43z + 24z2) D(>/* )]
428 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 145 1 Аи 1 А7 148 149 150 151 152 1 КЧ 154 1 55 156 157 158 159 160 161 162 1 НН 164 165 166 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ^2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ~2 1 2 1 2 1 ~2 1 2 1 2 а2 2 2 9 2 2 2 2 2 2 5 5 2 5 VI 5 5 5 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 аз 5 2 5 2 5 2 2 5 2 3 3 3 1 5 2 5 2 5 2 5 5 5 ?, 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 bi 1 3 2 3 2 Б 2 3 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 9 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 62 3 3 2 о 3 3 1 1 3 2 Б 2 1 2 I 3 2 3 1 2 2 3 3 2 2 3 2 8 IY14 45ttz LV" 1 Г 6 L 4 г 45z2 К~ 1 Г/ 20z L 64 п 675тг22 [1 32 L 3 Г1 + 128z [ 3F2(ai,a2,a3; 6b 62; z) 9z 26z2)D(-x/z) B2 13z)K(V^)] Arth /z 1 r _l_ io72\ д - ol Arth /z 8 "\/ Z Z 5w 2A5+ 4z 6z2)K(v/z)+ z C1 + 19z 99z + 120z2 - 45z3) A - z)^3 - 45^ Arth y, 8z + 144z2 - 45z3) A - z)^5/2 2\ / ч-2 Arth^/zl "\/Z J 36^ _ 45^2 Arth /-? 1 1-z l " " \/z \ - (9 - 144z + 280z2 - 224z3 + 64z4) A - z)~7/2 2 — A — z) Этт - (9 - 602 9 l 4 27тг 16A - z)~ 135ttz (l^z)^3 36 A - z)™2 54 & I(q — 69z Hr 84z — 32z ) K(-\/z") — L V / - z C3 - 153z + 176z2 + 80z2 - 32z3) A - z)^5/2 У2 [2G - 26z + 16z2) K(y/z) - - (l + 41z - 112z2 \(f\ 7~ 44~2 1 f\A~^\T\(,fZ\ (q on« [4(9 70z + 186z2 186z3 + 64z4)^i(z) + + 2D4 - 249z + 324z2 - 128z3) ztjj2(z) - - C3 - 142z + 170z2 [4A3 72z + 126z2 64z3) tjji(z) + + 2A + 66z - 204z2 + 128z3) t/?2(z) - D3 - llOz 2 ( , Этт1 ^ 2A -z)~ 135z - (9 - 262 9 v 4 27тг 16 rri 135?rz LV" A-z)^1 81 ^2 [(9 - 27z + 16z2) K(y/z) - 2z A2 - 29z + [4B + 15z 66z2 + 64z3) ^i(^) 24*2)D(^)] /I] -64z3)D(v/z)] + 64z3) D(v^)] + 32z2)K(V^)] ^64z3)z^3(z)] + 64z2)z^3(z)] 16z2)D(A/z)] - 2D - 3z - 84z2 + 128z3) ip2(z) + z (l - 50z + 64z2) фз(г)] -\- 16/2 ) A — z) ' j)™1 [A3 - 16z)K(v/z ) + A - 30z + 32z2) D( + 16z)K(v/z) 2A z +16z2)D(V^)] [4A9 74z + 64z2) tpi{z) + л/г)] + 2A + lOOz - 128z2) i/J(z) + C ~~ 58z + 64z2) ^з(^)]
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 429 «2 «3 62 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 15 5  2 2 15 5 2 2 2 1 5 1 2 2 I « 2 2 I « 2 2 i ^ 1 5 ~2 2 2 2 1 5  2 1 5  2 2 2 ^-3 3 -- 3 3 2 --3 3 2 1 ~2 1 ^2 1 ~2 1 2 1 ^2 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 - 1 1 1 1 - 1 - 9 13 405z 32 2025, [2C + 2z + 64z2) ip2(z) - 2C - 22z + 64z2) фг{ - [4A1 + 21z - 32z2) фф) - E9 + Mz - 128z2) 1 - C - 42z + 73z2 - 55z3 + 15z4) A - z) - (8 - 88z + 175z2 - 140z3 + 40z4) A - -33z + 40z2 - 15z3 Arth лД — A2 - 75z + 100z2 - 40z3) 12 l } X~* [B4-131*+ 159* 127Г - z G4 - 295z + 333z2 ~~ - (8 - 40z + 51z2 - 20z3) A - 8 [2F^17z + 10 67Г - 73z — A2 - 3 /1 _ \^1 ^} [A7 - 20z)K(v/i") + B - 39z + 40z — [F4 - 607z + 1095z2 - 825z3 + 225z4) A - z)^4 - 225-s/z Arth — [C2 - 165z + 200z2 - 75z3) A - z)™3 - 7Б-Д Arth yfl\ ЗА — F4 - 512z + lOOOz2 - 792z3 + 225z4 64 — [A19 - 519z + 609z2^ 225z3)(l^z 128 L — C2 - 152z + 192z2 - 75z3) A - z)^5 3 _) yz J ,^ , __~393z2+225z3) (I~z;r2~(l~18z + 225z^ — [E5 - 134z + 75z2) A - z)^2 + 3C - l-_; 64 [ л/z Arth, 2562 3 l-z 2Ч Г 1 + ж2) 2 arctg x + 2 In - A - ж2) I In + л/2 arctg 5 f 1/2 1-х 4\ 1-х2 - 2 arctg x
430 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 «3 , «2, Q3; fei, 62; z) 190 191 192 I I 1 - 1 - 1 193 - - 1 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 - 1 9 15 8 ~8~ 7 4 6 3 7 5 6 3 5 13 3 T 5 7 4 4 7 9 4 4 5 4 4 5 3 3 4 11 з Т in ln 1 ~ж " 1^21/^ж + ж -1 - ln A - ж) - - ln (l + ж + ж2) - 3™1/2 arctg ж X [3 2 + x х/ж~ Г 1 + V^ 1 H ln ln 3 L l-y/x 2 i /о Л/Зж 1 1 + 31/2 arctg M> [ж = 1 — ж J J /Ж\3/2 ^Зж ж+2 + Ы -«*em+ + — [2A + ж3/2) In A + у/Б) + 2(l - ж3/2) In A - 18 54ж , /i 24 Я/2 1 1 "~ V^ + - In A + ж + ж2) - ж3/2 In У— Х ; 1 + л/^ + l - ж3/2)' In [A + v^ + x)(l - 1 - 27 x arctg - 1 -ж 27 —- (l - ж2) in ^^ + 2A ж arctg 14 2 + Jx~ 9ж3 7 [ж = . - 2 15 32ж5 1 3z" ж- 1 ¦ 2A + ж2J arctg ж - 4ж -z1/4 [In A-ж3) -31пA-ж)] + ¦ ¦ arctg - зж2 L*" ^ •" ; ""'Vi *^/J ' ж2л/з ""^г + ж — - In (l + ж + ж2) - In A - ж) + 31/2 arctg In , 1. Н— In 2 9ж5/2 1-х/ж 2 1-х/ж+ж 1/2 3 ' arctg [х = \/Зж » I 1 111 2 2 2 111 2 2 2 111 2 2 2 1 2 3 11 13 ~8~ У 11 15 ~8~ ~8~ 1 1 1 2 1 3 15 2A- ™A^ж2) In 1 + ж arctg — arctg ж 1 — crA Чп- 21 Г 1/2/ 4, [ 2/Ж J 2-V2 A + ж4) 2 arctg In 32ж7\ l M &1ж2 ФФ) - A - ж4) | In ii5 _ 2 arctg ж — [8A - г)фг{г) - 4B - Al z
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 431 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 oi 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 о 2 1 ? 2 1 2 1 2 1 2 1 2 I 2 1 2 1 2 1 2 2 «2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 9 2 1 ? 2 1 2 1 2 1 2 1 2 I 2 1 2 1 2 1 2 2 «3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 3 § о ico I cm to to 2 2 2 2 CM CM bl 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 5 2 b 2 3 1 1 1 to to 3 1 1 1 1 3 2 со | см 6 2 5 2 62 2 3 3 3 2 2 5 2 3 2 5 2 3 5 2 3 3 1 2 3 2 3 3 1 3 2 5 2 3 со I cm Ю | CM 3 5 2 3-^2(^1) ^2 ? ^З? Oi, 625 Z) Фз (z) ^ [2B - 5z)^2(z) - 4A - z)^(z) + 13^з(*)] 32 [A - 4z)t/?2(z) - 2A - z)^i(z) + 27z — л/1 — z + y/z arcsin y/z — 1 z L J 3 ^ A ^Аг*Ь^ j ! v/T[lj2(v/ D-Li2(-^)]} —- h ~~ 9z + 6z3/2 arcsin y/z - 2A - Az)y/1 - z~\ 4 4 Г2 j- / 2y^ \ 1 3 |"^ ^ 1 /1 1 0 \ arcsin y/z g 9ttz l 9 ^A ^)Arthv^ o ! 1 + z[Li2( /I)-Этт] V^)-Li2(-v^)]} -^2 [D + 11 z)\/T^z~ + 3C + 2z)y/z~ arcsin v^ - 4 - 18z] 1ч(Ч I 1П" I Ч~"*}ТС( v/~~\ (\A~( ZI7TZ 1 H~ z JJL3 (у z J — Iztt — ЛЧжz — [2D — z)%l>2(z) — 8A — z)ipi(z) — гфз(г)] — [2A — z)ipi(z) — B — 5z)^>2(^) — %%Фз(%)} [8A - z)i/>i(z) - 2A - 7z)il>2(z) - F + 5z)i/?3(z)] A - z)^1 j- ^ ^_ 1 7Г 1 / arcsin y/z 1 \ 2\ y/z ' V/T^^ J 3 Г o arcsin лД / 1 8z I ' ^"^ V^ v 1 -J — [B + 3z)K(A/z") - D + z)D(A/z")] 1 ы2ц_у л j ы2^ у-*'/ 1 ^-/vrtn \ 4y z 3 f .xArthV^ /r . / 8z [_ y/z —^- [B + z)^fY^^ - 2 + Зг3/2 arcsin 1бгз/2 l~v~ <¦ "•'I '4v~) 12 ГА I)-Li2(-VI)]}
432 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 «з , «2, Q3; fei, 62; z) 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 - 2 - - 3 ~~ ~~ 3 - - 3 - - 3 - - 3 - - 3 - - 3 - - 3 2 I I 3 2 2 11 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 2 1 2 1 3 3 3 2 2 * 2 2 i * 2 2 2 3 3 3 1 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 - - 2 2 I • —- [8 - (8 - 5z)Vl - 2 - 3C - 2z)^ arcsin A3-5z)D(v^)] arcsin ^ - A + v^)/2 In fz1/4 + — [4-4/1 Arth V^ - 1 - - A - Sz) In A - z) 3 [
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 433 «2 «3 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 1 1 1 1 -11 2 -11 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - 2 ™ 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 I i 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 -1 1 - 1 - 2 1 - 1 3 2 3 - 1 - - 1 - 2 2 ~ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 - 1 - -1 1 2 5 2 2 3 2 2 2 3 3 3 » 2 2 2 2 2 5 2 1 1 1 2 1 3 2 2 л/г 6z In ¦^ fll - A1 ^ + 3B + Sz) In 3 Г arcsin y/z > 4 ^ [Зтг - + 4A + z)T>(y/z)] - A - «) Arth ^™ 2 + 3z - B + z2 L 16 12тг + 9тг^ - 8C + bz)K{y/z) Arth yfz rth-v^l л/г J + Ы2(-л/г)] z)T>(y/z)] — \l + -\n(l-z) 3z [ z z L * 8 Г 7T 4D" 9z2 L 1 Г 1 9z- 12 In 1 + a/1^ 3 [i — 3z 4 97Г 16 [Зтг^4К(л/^)^4A^: [8C - z)K(y/z) - 16zB - z)T>(y/z) - 12тг + 9ttz] 27ttz2 1 Г 1 Arth. 4 U- I 2z 8z A-^)- 2 ~[4(l^3z + z2)^ -[2(l + 2z)^2W- z)tjj1(z) -4B + z] 2zE - 2z)il>2(z) - zB -
434 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 <22 «3 , «2, Q3; fei, b2; z) 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 3 2 3 2 - - 2 2 2 - - 3 2 2 - - 2 - - 3 2 1 2 i - з - - 3 - - 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 2 1 3 5 5 2 2 5 2 3 3 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 - 2 5 5 2 2 1 1 2 2 1 3 3 2 3 5 2 5 з 2 S[4A- ) - 4A - - 4A - *)V>i(*) - 2A 4z 8 3ttz 9 - A - z) ^™ [D - z)y/l - z z2 L 64 12 6_ 9z [2C }-2 I-1 [4C - 10z + 6z2 - 2z ( ) A6 - llz + 4z2) 2z2) tjj3(z)] [2A+ 6z^ 4z2) ^ 4z+ 2z2) [4D + z+ 4z2) tfj2(z) ^8B^ z+ 2z2) фф) - 2z(l [4A - - 2A - - 2A + 2z)i/>2(z) - 2z)tfj3(z)] — [2A + 2z)i 32 — [G - 4г)^2(г) - 4A - *)i/.i(z) " C - Z7T [(8 - г [2B - -z(U-9z + 3z2 [B - 3z 3 [ arcsin i/z 1 — 3z 3z) Arth Arth y/~z ' Arih-Jz J Sz \l-z 2 /1 - ¦ -4 2 Г 11 — v^ Arth yfl - 1 - - In A - z)\
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 435 «2 «3 62 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 I 2 2 2 I 2 I - 2 - - 2 - - 2 - - 2 - 2 1 2 1 2 1 2 I 2 - 2 I 2 2 I 2 2 1 2 1 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 ! • 1 2 1 2 i - з ^ 2 3 - * 3 1 ^ 2 3 3 2 2 5 2 2 » 3 2 3 3 1 1 1 5 2 Зтг 8A-z) [F- [B- ^) ^ z A1 - 5z + 2z -D-: 1Г 2-2 Arth -y^ 3 [ + 4 64 /1 - Z ¦7Г - F + ; ¦ - 2 Z < 7TZ ^ A6 - 8z + 10z2 - 3z3) + J ¦ [4(9 - 28z + 15z2 - 15z3 + 4z4) tpi(z) ¦ 36 + 2z E0 - 24z + 27z2 - 8z3) i/>2(z) - - z B4 - 19z + 14z2 - 4z3) фз(г)] — A - z)^3 [(9 - 3z + 2z2) K(-v/J) - z A5 - llz + 4z2) . [4D - 15z + 12z2 - 4z3) фф) + 18 27z + 2A + 21z - 21z2 + 8z3) xjJ{z) - z A0 - llz + 4z2) ¦[8B ^9z2 +4z3) ipi{z) - - 4D - 6z - 15z2 + 8z3) tjj2(z) + 2z (l - 8z - ^-A - z) [2B - z)K(Vi) + A - 7z + 4z2) 16A ~ "Г1 [A + 2*)K(Vz-) - B - 3z + 4z2) iYTTZ ^ -^— [4B - 7z + 4z2) i/)i(z) + 2z(ll - [8B - z + 8z2) ^2(z) - 16A - 2z + 4z2) — [2E 12тг - (8 - 8z 67Г -[B4 + 13z + 14z2 -3z3) - 2z B5 - 9z + llz2 - 3z3) Щу/z)] [A2 - 7z + 3z2) K(y/z) - z A9 - 17z + 6z2) Щу/z)]
436 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 а\ „2 «3 Ъ\ 62 , «2, Q3; fei, b2; z) 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 з х ' 1 5 з 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 ¦ 5 1 ' 5 5- 1 I 6 6 » 2 2 2 2 4 (i-*) Зтг [E - 3z)K(y/z~) + 2A - 5z + 3z2 — F4 + 72z2 - 40z3 + 9z4) | [E5 ~31z + 33,»- ^) — C2 - 40z + 32z2 - 9z3) 1 2 - з 2 7 3 3 ¦ arctg ¦ - 2 -z I In (!- L _ 2 arctg ZV4 9 4 9 11 15 1 I ж 15 Г 1 I —- 4ж - 2A +ж2) arctg ж - (l - ж2) In [x = _VS] 24 1A0 - 4V 2\/5 I/2ж arctg 11 13 15 17 35 Г / оч Г 1 + ж + ж2 1 + ж] --^Ых-A-х2) In- ^^+21П1 - - 2л/3 A + ж2) arctg ¦ 63 16ж9 8ж A - ж2) In + 2/2 In l ; [ 1 + ж ж2) arctg х + 2^1/2 arctg ——- : + ж^ 111 111 i 2 2 I 3 2 arcsin i/z arcsin л/z 1 — z arcsin \/z
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 437 «2 «3 62 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 Ill 111 111 111 111 111 111 111 1 1 3 1 2 1 3- 2 i 3- 2 i 3- 2 11- 2 i » 2 11- 2 11- 2 ¦ ¦ i 112 1 2 1 2 112 11- 2 - 2 2 3 2 2 2 2 5 2 3 5 2 3 3 4 4 1 1 2 2 1 2 1 5 2 2 1 2 2 2 - 2 - 3 2 - 2 2 3 i * 3 3 2 3 » 3 2 ^ 3 2 3 3 1 1 2 2 1 3 2 2 i 2 2 1 /1я . r- 1^2z . о л- — I 2\/ arcsin у z arcsin у z — z-1U2(z) 3 / 2 a- A - — arcsin yz —2 + 24/ arcsin < ln(l-z) arcsin \f z — 7 *-* / / -1- — z i— "" I "\/ arcsin yz — [A + z) U2(z) - 3z - 2A ~~ z) In A - z)] ^ [A + 2zf U2{z) - 4z - ^fz2 + 3A - z2) In ( 1 -I- 9r + B+ *)(!-*; r- 3 9 r- arcsin s/z —6 arcsin у z 1 / 1 2 ,- 1-Z — II H arcsin -\/z — 2\l arcsin \/z z \ z
438 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 377 чтя 379 380 qo-i 382 384 385 387 9QQ 390 nm 392 qnq one 396 398 400 401 oi 1 1 1 1 i 1 1 1 i 1 i 1 1 1 1 i i 1 i 1 1 1 a2 1 1 1 1 i 1 1 1 i 1 i 1 1 5 4 ?, з 2 to 3 w to _ 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 a3 5 2 Б 2 f> 2 5 2 Б 2 Б 2 Б 2 Б 2 3 *э 3 3 4 7 4 2 2 3 to 3 ю to _ 2 3 2 Л 2 3 2 3 2 3 2 bi 1 2 3 2 2 2 9 2 2 3 1 2 3 2 2 9 2 2 •Л 1 Я 1 2 1 2 1 2 ?, 9 2 5 2 ю | см 3 62 3 3 2 2 3 9 3 7 2 3 2 9 2 5 2 4 5 Б 2 1 ?, 9 Б 2 о ?, 5 2 3 Б 2 3 2C A - 1 Г з L 2 3 4 3z 4 3z2 9z2 16 3z2 A- A- M 3 4z 3 4z3 2 8 г (l - 2 Г z L 3 Г z L 4 Z 7TZ 6[ z\ H TTZ 9 2z3 12 z^ 7TZX + z) Г iz [ > з 2 l-z -[- Г 1 r Г [ г fl-v ~zy2 4 4 1 l-z Г , [ [2z + [6z + v 2 A -f- - Q% _|_ jj A - 2 — z l-z Г2C- iv^V z 3F2(ai, 1 1 Чг '(I-*)] Г 2-, 1 ] In (Л у z ' \  1 + лД^ 1 In 9 у 1 9л/1 Г 9r In 1 } 1 '\ - z + B у 1 In 4 Z + (D ^Jy -, ч arcsin х 1 I f4 *^~^ |П/1 у z >] ""\/z(l-z) \ z2 + 2A - z2) 1пA - 3z2 + 2z3 +6(l-z3 %/\ — z ) ' — 1 J '¦^ j M 2;) — zz Arth д/^ 1 " ^ j 2г) 6 + z z \ 2 J arcsln yfz 1] \/^ [4К(д/ /2 L 2 [2^ 1 z) — 4D(-\/z") — тг1 z + 2л/г arcsin -\/z - ,)K(VI)-16,DU J + 1 V 4-1 z — z /z" "^J )ln lv - 2 rz) «з; Ьи 62; z) J 2 J 1 /71 V ^ J 2 J arcsin л/г I J 1 a-*)] 4 — 4тг — ttz] =
7.4.2] 7.4- Функция , аз] bi,b2',z) 439 402 403 404 405 406 лат 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 oi 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 «2 3 2 3 2 со 1 см 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 oto | со to I со о 2 3 2 со 1 см 3 2 to | оо со 1 см 3 2 2 2 2 2 2 2 2 «з 2 2 2 2 9 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 г О 2 5 2 3 3 3 з з 2 2 2 2 5 2 to I ел 5 2 1 2 1 2 1 2 2 о 1 2 1 2 1 to to 3 3 1 2 1 2 I 2 2 2 1 2 3 2 5 2 3 1 2 1 2 1 2 62 1 2 5 2 3 3 0 1 2 2 3 2 3 3 7 2 1 2 2 Ь 2 2 5 2 3 3 3 3 1 2 3 2 3 16 Г 7TZ2 ^ ^^ A-*)~3 Г 2 Г 2z [- - 2 ГЗ-z З , I In (Л z [1 — z z 6 Г Arth^/i 1 z [ \/г ^ 8 \а z aJ\— 2 4 a, 4V I 1 /о , оо7 i 1Чг2 - 1 О Т O«3Z -f- -LoZ 3z f (l~zM/2 4 Г 3' 3z2 L "A - ^ ~~ 2' Гоtv/ /" 3ttz L" U' g 3?rz 1 л Id г 37TZ2 [i7T *~ ~ 3z2 V " "V 8 Г ' """ 2 v )\ 3A — z) 2 1 Q I "" ^ OZ 1 \ 2~z 0 2z[(l^zK/2 " 3 TArthv^z" 1- 4z [ л/^ 1 1 [3 2 ^ — — arcsin -\/z + z U 1 1 o arcsin y^ z f ^A-^) 3/1 . 2 r- — — arcsin уz ~~ z \z ^n{z)^z\ A-)[б|г„ (l^z)^3 Г z [^ 3F2(ai,a2,a3; 61, 62; z) /r ( 2^ V \l+/i 2 \ / ~^~ 2 - 3z ^ ^(l^z) ")] - arcsin y/z % J ln(l-^)-l] ^4z 1 zK/2 I 2 ) — 2zD(i/z ) — 7Г + ttz] ( o arcsin д/z ^ + 17z2 - 2z3 + 15B + bz)J- "^~ arcsin Vll -« J -ra i 0^2 2 ^ 5z Vz(l-z) in yfz ] о/*з 4~Wi )/2 arcsin y/z 1 L arcsin2 V^" 0 -j" ZoZ Z -f- 010 -j" Z4tZ -f- OZ 2 / ^ " \1-Z 2\ / * • ^1 у 1 - z J arcsin V^ iC~6z~z2)(l~zr2]
440 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 «з 2, Q3; 2; z) 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 - 3 2 - 2 - 5 2 5 2 5 2 5 з 2 ъ- з - 3 - 3 - 3 3 3 3 3 2 2 i * 1 1 2 2 I 2 2 5 2 2 - (9 + 180z + 190z2 + 4z3 - (9 + 39z - zA + z3) A - 9l M 2 L l-8z-8z2l 2 9* 4 4A ~ ~"~ (  1-2* 1 9wz 8A -z)-1 [2A- [4K(y/z) - - тгA - zJ ™ 7Г + 7TZ] 16 [8K(-v/z) -4тг - ttz] 24 + 480z + 440z2 - z3 + 2z4 + 24 + 84z - 5z2 +2z3 + 15D+ 3 32 + 85z - 16z2 + 4z3 - 15E + 2z)J arcsin 23- 12z + 4z2 +3C + 2z) -A - z)-3 [A + 5, + 2z2) К(у^) - 2C + 52)D(v^)]
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 441 452 454 455 456 457 458 45» 460 4tii 462 лач 4H4 465 zffifi /ffi7 Ada 469 470 471 472 473 474 ATK 476 477 AT Л a\ 3 2 3 2 3 2 со I cm 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 со I cm 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 «2 3 2 3 2 3 2 со I cm 3 9 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 со I cm 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 «3 3 2 3 2 3 2 со I cm 3 9 3 tol 3 2 3 2 3 2 2 9 2 2 2 2 9 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 Ю | CM 5 2 5 2 6i 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ?, 2 3 1 ?, 1 2 1 2 1 2 1 ][ Б 2 5 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 i 1 1 9 2 Б 2 3 1 2 3 ?, 3 3 1 •л 1 Б 2 3 1 5 2 q Б 2 з 3 1 2 1 2 3 i 2 3 9 з^М«1, «2, «з; ^ь ^25 г) 4 — A — z) л [A — 3 z) D (\/~z ) -Ь 2zК(\/~z ) 1 7Г 3 Г arcsin \fz , . , . о /ol z [ лД ">" J 16A — zi^1 [C о~)К(\/"~") F 5~)D(v/~)l 4 L v / J 2 z A — ^)"[6i/'2(^) — 4i/ji(z) — 'фз(г)] 16 [*01 (z) — '02(^I z 32 [t/?2\Z) — i/'3(z)| Z (l -f- 14z -f- 9z ) A — z) -B + lU + 2Z2)(l-Z)-7/2 3 [Arth v'z 1 - 2z ] z[ ^ " A^JJ 4 Г 6-9z + 2z21 z2 Г A - zfl^ J A - z)™3 r/f> ( ^^ f ^2\ -c^/ /Г\ „/к i <з„\т^( /ГМ 7Г 3 1" arcsin i/z 1 — 2z ] 2z [ sfz A - zK/2J 8A — z)" _^^ L^ ^/ \sr ~) \ ^) iv^jj 9 4<гз/2 \-"Л v " 2^v " > 2{- v " ^J 12 г ^^ ^ ^i —г- 2 — 2vl — 2; — л/z arcsin vz Z2 L J 64 [тг - B + z)K(v/z ) + 3zD(v/^)l 7TZ A -f- 18z -|- 16z ) A — z\ 1 A(l - z)-* [C + 26, + 19,2) K(v^) - 2, E + 18, + ,2) D(^)] ±A _ г)-з [A + 7z)K(v^) + A - 7z - 2z*) D(Vi)] Г4 (ч ^^ 17" I "»'^т/?1/'"»Л I (l^z)^3, 2 6 HdV0 ^~ ~2^l i'ji (~\ ^(A A~ 4^\ ihnf "\ 1 (l-z;r2 + z(l - 2z)i/>3(z)] 3
442 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 479 480 481 482 483 АЛЛ 485 486 488 ляа лап 491 492 AQ4 АпА 495 Add AQT 498 499 500 501 503 504 oi 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 to 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 9 3 2 3 2 3 2 3 2 а2 3 2 3 2 'Л 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 9 2 9 2 2 2 'Л 2 2 2 «з 5 2 5 2 3 3 3 Q 3 3 3 Q Q 2 2 2 9 2 9 9 2 2 5 9 5 2 5 2 2 2 2 3 I 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 9 Б 2 1 9 1 2 1 2 2 1 Б 2 3 1 9 1 2 1 2 1 1 62 3 3 I 2 1 'Л Б 2 1 2 5 2 2 Б 2 Б 2 1 9 1 Б 2 1 5 2 3 3 3 1 9 1 1 3 4A 3? (и 3z 2i/>i (z h22zH -[2B К25г2 ^2 Сz) -f- 3 (x - (8 + 72z + 27z2 ~2z3) A _ (i 4 l 3 4z A - A- 3 8z ,4 4z ( 162 ti- till - 3A ? z 1 (< 4 v 3 4z ? 6 z 16 2 (H ! _ ( 2 4 z2 A - 8A 4 ~h 13/ Г Arth 4тг 2тг 2 2z \fz [(8 + [D + [arcsin л/г 1 V 7Г г (л v ¦ 3 Г' 3/2 [] 4 _ g^; _|_ — z)~ 4z Г 3^ id- 4 + 10, Г Arth i ^ Г 4 Г " L V [^ h25zH 2 + 21, Г2 — 5 - ZYA Зтг 3?rz z 2л/^ - z h 3z ) ( 2 Го 1 v 1 2 + г2 z z 7-1 h35z2 ^ -f- 12 - z) 1x [2C -[D ^ j /"]_ %\ 1 — 4z — z A-zK 31z + 10z2 5z z2)K l-5z + A-zM/ z)K(v^) > arcsin \/ \[z T \n( * Py \ 62z + 39z2 - 5z + 6z2 ai,a2,a3; bu 62; z) 01 \—9/2 z) J (a /z) z\ z) Wz)\ г2] 2J 2D(Vi)l J 1 + 1 fzJT^) J 3 z ПA i 2 1 1 Z + 3z3) A- 2 ) A z)~" ^2 1 -h 14z + 7z2 7z + z2)l 1 ]\ 2 :) 2 J -9/2 ) К(л/г) « A7 + 30z + z2) D(v^)]
7.4.2] 7.4- Функция 3F2(ai,a2, аз] bi,b2',z) 443 «2 «3 62 , «2, Q3; 61, fe2; z) 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 2 5- 2 2 3 2 3 2 3 2 3 - 2 2 3 5 5 2 2 * - 3 2 2 3 2 5 з 13 ^ з 2 2 1 1 2 2 - 1 - 2 - 3 1 2 1 3 2 2 3- 3 2 3 1 2 1 2 i 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 _2 64 16 ¦15F + 37z + 20z2 (l + 13z + 10z2)(l^z) |г_ .- , _— , ^ , ~2 + llz + 6z' ^A6 + 72z + 18z2^z3)A^ 3 16z" 1 ^C + 96z- 32z3 9?rv 16A™. [C + 46z [4A + 8z - z A1 + 82z + 35z2) [C - 7z + 12z2) K(y/z) - F - 17z + 19z2) ] 36 -[4(9- - 24z3 2z E3 + 237z + 27z2 - 2z3) t/j2(z) - z C3 + 83z - 10z2 - z3) 18 - 2A - 30z - 18z2 + 2z3) i/>2(z) - z A4 + 2z - z2) ' - [4D - 9z + 12z2 + 2z3) ^2(z) - - 8B - 6z + 6z2 + z3) tbt(z) - 2z (l + z + z2) •¦ + 2A + lOz - 2z2) ф2(г) ^ A + 3z - [16A - z - z2) ^i(z) - 8B - 3z - 2z2) i/,2(z) - 4z2 16A ^ zy1 ?z [2E - 2z)^2(z) - 4B - z^tiz) - B - z) A + 39z + 95z2 + 25z3) A - z) - (8 + 136z + 159z2 + 12z3) A 8 4 A-- A A A 127Г -*) 67Г -*) Зтг - ^) -4 -3 [B4 + 181z + 166z2 + 13z3) - z G4 + 259z + 52z2 - z3) Щу/zj] [4C + 8z + z2) K(v^) - z C1 + 18z - z2) T>(y/z)] [G + z)K(v^) - B + 7z - z2) D 64 64 + 2622z + 6219z2 + 1490z3 15C0 + 295z + 328z2 + 40z3) J—^ + 21z + 33z2 + 5z3) A -
444 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 «3 , «2, Q3; fei, 62; z) 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5- 2 2 2 « 2 2 2 ™ 2 2 2- 2 2 2- 2 2 2 5 2 2 2 ^ 2 2 2- 2 2 2- - 2 5 2 2 3 1 2 - 3 1 - 1 - - B + 17z + 5z2) A - зA-*)- 64z B - 9z + 72z2 + 40z3^ arcsin ^ о ¦ on- ¦ ™..2 — F4 + 512z + 360z2 + 8z3 + z4) A - - 2 + 29z + 78z' z L(i-^J ^ 1 o , - arcsin2 лД - B - 3z)(l - z 12 12 + 76z +17z2 + 3A2 + 21 z + 2z2) J — [3 In A - z) + z C - 6z + Hz2) A - ! 3 2
7.4.2] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 445 «2 «3 62 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 2 5- 2 2 2 2 2 2 I 5- 2 - - 2 - - 2 - - 2 - - 2 - - 2 - - 2 - - 2 - - 2 - - 2 " 2 * ^ з 2 5 3 5 з - 3 2 3 3 3 3 5 5 2 2 1 2 1 - 1 3 2 3 3 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3 2 3 2 - 1 1 1 1 3 1 2 29 + 72z + 4z2 + 3A + lSz + 16 i C о -{2 + 39z + 56z2 + 8z3) A - z A - C + 35z + 25z2 + z3) A - z) 4 Г 2 - 7z + 8z2 - 8z3 3^2 L (lO/2 Зтг 8A - 9ttz [F + 53z + 60z2 + 9z3) К(л/г) - ^ A9 + 82z + 27z2) Щу/z)] [B - 3z + 9z - D - llz + 15z ¦ -2 64A - zY1 - 7TZ - B - 3z 16 A-z) 16 + 744z + 2040z2 + 659z3 + 6z + 15(8 + 88z + 115z2 + 10z3)(l^z)^6 16+180z+117z2+2z3+15D + 13z+4z2) J—^— arcsin 42 + 61z + 2z2 + 3B + 21z 128 + 3165z + 5886z2 + 1216z 15D5 + 320z + 296z2 + 32z3) J—^ 128z - (9 + 504z + 1864z2 + 1024z3 + 64
446 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.2 580 581 582 KflQ 584 585 586 588 589 кол CQ1 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 «0*2 oi 5 ?, 5 2 5 2 5 2 b 9 5 ? 5 ? 2 f» 2 b 2 5 2 2 5 2 5 2 5 2 b 2 5 9 5 2 5 ?, 5 2 5 2 5 2 5 2 «2 5 5 2 5 2 5 2 b 9 5 ? 5 ? 2 f» 2 b 2 5 2 2 5 2 5 2 5 2 b 2 5 9 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 «3 5 5 2 5 2 5 2 b b ? 5 ? 2 f» 2 b 2 5 2 2 2 5 2 5 2 3 3 3 3 3 3 3 n bi l ?, i 2 2 1 2 1 1 1 2 2 3 2 9 2 3 3 I ? 1 9 1 9, 1 1 1 1 3 2 b2 1 3 2 2 Q 1 2 Q 2 2 9 з 3 5 I ? 1 3 2 2 1 2 2 3 2 Этт [[° ' -1- - (9 + 138z + 152z24 4A"z)~6rfi« 1 166 277Г Ll ' 16A-z)^4 r , [°C 11 27ttz rv" ^ ~~ z' \л(ч i ^ч- 3F2(ai,a2,a3; + 663z2 + 341z3 - 2z A8 - 16zs) A - z)-11 z + 181z2 + 24z3) + ( z + z z j - 6l , 62; Z) ¦f 24z4)K(V^) + 261z + 320z2 + 41z3) D(v^)] /2 IVZ J "T" 1 - 52z - 259z2 - 74z3) D(v^)] C - 14z - 13z2 - 24z3) K(y/z)] ~57z2 -72z3 -2z4)t/?i(z) + + 2z A7+ 174z + 126г2 Этт [[ ' ' ^ ~~ Z' \Л(Л А 1 fi~ -2A-84* A — z)"^4 27z L"^ -4D- 12 1 9 — (9 + 22z + 4z ) A — 9 4^ ~ Z' 1^G 1 14- 277Г K< ' И- 16A-z)™3 j-. 27ttz ^ A — z)"^4 27 L l A A ^ 3 ^ j fofo 4^ 27z L"v^ *" 16A-^^rir i-i 256A-a2)"* 817Г2Ж4 И1 - C + 204z + 938z2 Л - (8 + 248z + 643z2 Л 8 - -53z2 +6z3)K(v 114z2 llz3)^ - 225z2 - 7z3) ф2 О I ] ljJ\y -2z3)t/»2(z) - z A2 + 74z + 26z2 - 7z3) ^з(з)] Ъ) z B7+ 82z+ 19z2) Щу/z)] 1{Z) (z) - z D7 + 71z - 13z2) ^з(^)] z-9z2 - 28z3) *l>2(z) + 2z A - 14z - 2z2) фз(г)] a /o z) ' + 3z2)K(^)^ 6z2)K(v^) B ) Vl\ ) i- + 6zA3 + 2, h llz2) t/?2(z) 4( i/?i(z) 2G 10^ 2ж2)В(ж) A - 700z3 + 75z4) A - 248z3 + 8z4)A - - C + 57z + 85z2 + 15z3) A - z)™6 — A2 + I59z + I36z^ (Л y\ ~~® + 8z3)(l-z) + 663z2 + 243z3 -2zD1 - (8 + 56z + 39z2 + 2z3) A - z)™11/2 ^ ~~ z' fh° i fi7~ i 67Г U ' ^ ' — C + lOz + 3z ) A — 3 46z2+3z3)K(V^ z) (l + 30z + 17z2)D(v^)] 5z + llz2) "D(\/z)] z)*l>2(z) - A + 16z - 2z2) фз&)] 1 4z + 6z2) ф\(z) Зж2)К(ж)]2 [ж = 2™i/:"(l - Vl - ^I/:"] _z)-13/2 1/2 +- yz j Jtv^yz j + 320z + 261z2 + 18z3) D(v^)] 0 z C5+ 82z+ llz2) D(-v/J)]
7.4.2] 7.4- Функция 3F2(ai,a2, аз] bi,b2',z) 447 603 604 605 606 RU7 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 oi 5 2 5 ?, 2 2 tO | СЛ 5 2 5 9 5 2 Ю | CM 5 2 5 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 «2 5 2 5 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 з 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 bi 3 2 2 1 ?, 1 2 1 2 I 2 1 1 1 3 2 3 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 Я 1 3 2 2 1 3 9 2 3 2 2 2 1 2 1 9 2 2 2 2 2 1 12 A A A to | i— 1 l (i (i (i (i (i 1 2 ¦A2 -г) Этт - z) 64 -*) 64 B + - F4 + 9z -C2 -*) 64 B + -A6 -z) 512 - z) 3F2(ai,a2,a3; bu b + 21z + 2z2)(l- zY9/2 [/in | ой« | Q~2\ ту-/ /U \ o(-\ | + 15D0 + 680z + 1563z2 + 680z3 z + 126z2 + 70z3 + 5z4) A - zY7 -6 r + 15B0 + 115z + 88z 33z + 40z2 + 5z3) A - zY6 + 1024z + 1864z2 + 504z3 + 9z4) A - + 9z2 + z3)(l^z)^ + 184z + 96z2 + 3z3) A - zY11/2 \ KQ I inn* I KQ^ i o(o I QO~ I K 5, + z»)(l-,)- + 18* + Z2)A-*)-9/2 no i on «on» i ТГ» Q7Q ~2 | /jri i л + 15B25+ 2600z+ 4584z2+ 1536z3 -6 r ^fifi I 4OKI ~ i К*1О|1~-2 1 |R<RQ~3 I + 15G5 + 370z + 232z2 + 20z + 48z2 + 20z3 + z4) A - z)~7 -*) 512 B + 3A-. A 1 4 — о г док ) ARIA'- I ДТ^^-2 I ^ДД-^ 1 + 3(9 + 504z + 1864z2 + 15z + 12z2 + z3) A-z)^6 )-Б \(л t o^ t oGn^2 ( ciQ^3 ( aA_± bl2z |_V" ' "~ ' """" ' """" ' ™ - z) 256 D + ^ '111 iRQ~ I «3(R~2 /-j 1Ол, f7f>. 256 z L 2; 2;) 18z + 5z2)D(A/z)] + 1690z4 + ! 4fl~4'l / Z irr—i .^1 пл/il V 1 — z j -z)^13/2 ^2 oJJ arcsin^ t4z3 + 2912z4 + I f\A~ \ / ii^ir^ci 1 1 fi~^^l / IFfT1! Х0^4~3 1 64~4) 1"" ; ^(i-^j ^ arcsin -/z - 1 + 162z + 624z2 + 160z3 + 152z2 + 16z3) x arcsin x/z 1 V*A-«)J 2 3> arcsin VI 16" J y/t{l-z) ]
448 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.3 7.4.3. Частные значенияз^(а1, аг, аз; bi, 62; — z). (См. также 7.4.2.) &1 &2 i, 62; —2 - - 1 - - 1 9 11 9 13 8 У 9 15 bx Ч Г h- 2(аж2 - 6) arctg + 2(бж2 + а) arctg '¦ + (Ьж2 - а) In г + 6Ж + Х1 + (аж2 + b) Ы * + аж + ^ х ' 1 - Ьх + ж2 v ; 1 - аж + хл 96ж7 [а = B - л/2 I/2, 6 = B + л/2 J1/2, ж = z1/8] / 4 ч ах / а \ Ьх {*Х< - 6) arctg —- + 2F^ + а) arctg — 1 — ах - — (bx4 — a) In — (аж4 + b) In — 1 + bx + ж2 1 + аж + ж2 __ [а = B - л/2 )х/2, 6 = B + л/2 )х/2, ж = а | A + ж6) In 1 — ах + ж2 - 2A - ж6) arctg [а = B^л/2I/2,6 = B + л^2I/2,ж = , ЗУ2Ж — ж 4 arctg \/ж + 2 arctg - 1 Г 31/2ж — < In A - ж + ж2) - 2 In A + ж) - 2\/3 arctg Ь 6ж I ° In 1 Г q /о Г ^^ i ж3/2 4 arctg 9ж2 [ [ In + 2 arctg - ¦In- 1 — \/Зж + ж 1 + л/Зж + ж arctg 4 4 4 4 + ж -2A - ж2) arctg *V3] 15 2х - 21/2ж 1 + 2л/2 (ж4 - 2ж2 - 1) arctg + 8ж ^ 1 ж / Г ^ 4 3 6 10 * 2 4 4 11 3 "б" 11 13 ,^г Г. z) H =- in ' V2 [ — 2 arctg - 5 9ж [1 Зх/2ж1 In A + ж) In A - ж + ж2) + л/3 arctg - ._ .^ 3^1/2ln ~ х+х + 2 arctg ^—+4 arctg у, 18ж5/2 + 2 arctg h4 arctg i/ж 1 —ж 1 ^ Г Г 1 1 /iT9 1 'Т* /iT9 1 ™< а A + ж2) In + 2A - ж2) arctg - 32ж5\ L1 ^ 1-бж + ж2 V } &1-ж2] ^Ь [A + ж2) In 1 + ах + х2 + 2A _ Ж2} arctg а«^1 1 L 1 — аж + ж2 1 -— ж2 j J [а = B- л/2I/2, 6 = B , ж = 11 12 - - 1 11 15 21 / < 64ж7\ аж +6) In 1 Ч 1- - 6ж + х' — 2 arctg - Зл/З /л \ Г 1 + ах + ж < - (Ьж - а) in ¦—- - 2 arctg ^~ L 1 — «ж + ж2 1 - [а = B^л/2I/2, 6 = B + = = z1/8] arctg ж [4z = 27ж2A-
7.4.4] 7.4- Функция 3F2(ai,a2, аз] bi,b2',z) 449 «2 Q2, «з; 13 14 15 16 17 2 3- i 4 * 1 4 - 1 - 3 3 2 2 I 2 4 7 2ж 9 4 4 11 13 15 17 15 2^4 ~ 35 63 35 ____ 2 : = z1/4] -16ж + A - ж2) о In 1 + аж 1 + Ьж- + 2A +ж2) a arctg ¦ 1 — ах + ж2 ах ' 1 - 6ж + ж2 [а = B - л/2 )х/2, 6 = B + л/2 )х/2, ж = 7.4.4. Значения 3-^2(^1, «,2, «з; 6i, 62; 1). . а, 6, с; 1 I ц*, 1- з^2 . 1=11, d, e Ч JT 9 е — а, е — 6, с; 1 . а, 6, с; 1 , 2. з^2 . 1=1 d, e a, 3f2 [Re(d + e-a- 6-с), Re (d - с) > 0]. — а, е — a, s; 1 6 + s, с + s [s = d + e — а — 6 — с; Re a. Re 5 > 0]. d,e,l-a,c-6 I _, /6, 1 + 6-d, 1 + 6-е; 1N 3. 3F2( a' 6' C' X I = Г1 ~7 "' ^ "~7 " " I 3F2( "' " " "  " " " "' " 1 + l I, e / Lrf^6? e^&. 1 + 6-a, cj3 V l + 6-a,l + 6-c ' ¦ d,e,l-a,6-c 1 /c, 1 + c-d, 1 + c-e; 1 . — c, e — c, 1 + с — a, oj \ 1 + c — a, 1 + c — о 4. a, 6, c; 1^ Ге-а-Ь,е] / a, 6, d - с; 1 \d, 1 + a + 6 — e , e e — a, e — а + 6^е, d, e, [Re(d + e - a- 6- с) > 0]. ^a — fe^c e — a, e — 6, a, 6, c; 1 d,e [Re(d + e - a- 6- c), Re(l + c- e) > 0]. l + a-d, 1 + 6-d, l + c-d5d, el a,6,c,l + e-d,2-d J x 3F2 x 3F2 7. 1 + a — d,l + 6 — d, 1 + c — d;l\ Fl + a — d, 1 + c — dl / a, c, e — 6; 1 1+1 Ч jT 9 I 1 + e — a, I — a J [1 — tt,l + a. + c — aj Yl + ft + c — a, ( [Re (d + e - a - 6 - c), Re A + 6 - d) > 0] a, 6, c; l\ Fl + a — d, 1 + 6 — d, 1 + c — d, d, e d, e / [ a, 6, c, 1 + e — d, 2 — d 1 + a-d, 1 + 6-d, 1 + c-d; l\ |T,[ 1 + a-d, 1 + 6-d, 1 + c-d, e 1 + e - d, 2 - d о, 1-f a — d, l + a. + 6 + c — d — e; 1 l + a + 6 — d, 1 + a + c — d a, a + 6, a + c; 1 + Г ' ' ' ' I x [l — d, l + a + 6 — d, 1 + a + c — d, e — aj [Re (d + e - a - 6 - c), Re (e - a) > 0]. L + a - d)r(l -a-c) \ a + 1, 1 + a-d ) ГA + 6- с)ГA - 6 - d) 15 А. П. Прудников, Т. 3
450 Гл. 7. Гипергеометрические функции [ 7.4.4 6, 6 + а, b + d] 1\ Г а + 1,6 + 1 LT Л =Г I 6 + 1, 1 + 6 — су Lo,-+-I>, 1 — с, 1 — < а + 6 If 6 /а + 6, а + с5а;1\ а _а ~~ d, b - с] \ ГF + d)F(c - 6) 3 2\ 1 + a-d, 1 + а J + Г(а + c)r(d - a) а + 6, b + d,b; 1\\ , Г c + d -с) , a + c, c; l\\ Г a + 1, 6 + 1, с + 1, d + 1 + Г(с + d)r(a -d) [Re(a + 6 + c + cf) < 2]. g ^ /a, 6, c; 1\ = r\d~ b~ ci dl F( -n, 6, c; 1 \ d, a — n ) \_d^b,d^cj \t + b + с — d, a — n [a ^ 0, -1, -2, . . . ; Re (d - 6 - c) > n]. /a, 6, c; 1\ \d, d-6-cl Г 6с d, a-1/ L^ — b, c? — cj L (a-l)(l + 6 + c-d)_ [а ф 0, -1, -2, . . . ; Re (d - 6 - c) > 1]. а + 1, d у { [b, d — а, a — ' а _ /6, 6 - d+ 1, 6 - а; 1 ГF - с + l)r(d - 6)F -а) V Ь - а + 1, 6 - с + 1 , а, 6, с; 1 \ [l + a + 6 + c^d, 1 + c^d, d, d — а — b 12. 3^2 . . . . = 1 — dj [l + a + с — d, 1 + 6 + с — d, d — a, d — a + с — d + 1, 6 + с — d + 1, 1; 1 I 3 d^e^ll a, 6, с . [Re(d~a-fe) > 0]. a, 6, c; 1 "\ __|r,[a + l, a-6-c-n ( ~ ^ A;!(a - n)k [Re a > те + 1; Re (a - 6 - с) > n - 1]. лл r-, i a, 6, c; 1 \ [1—c, 6+ml A + 6 —a)n /l —m, 6, 1 + 6— a+ n; 1 14. 3^2 1 . . 1=11 . . . I 7 ГТ771 г- 3^2 1 , , I.» (m —1)!A— a)n \ 1+6-a, 1 + 6-с [Re с < т ¦— n]. [Rec< 1-n]. a-n,ft [а ф b, с ф 1, Rec < 2]. . a, 6,c; 1 \ 1 Га(а + 1) [2-с,2 + 6] , 6F + 1) a + 2, 6 + 2/ a^6 [a^6^ 1 [ 2 + 6^c J a-6 [a t^ 6- 1, 6, 6 + 1, с t^ 1, 2, 3; Rec < 4]. a, 6, c; 1 \^ Г c + 1/2, (a + 6 + l)/2, (l-a-6)/2 + c 1 + 6 + l)/2, 2c) ^ [(a + l)/2, F + l)/2, A - a)/2 + c, A - 6)/2 + c\ a, 6, c; 1 ^ /= Г. . i , . 1.1 [IUBc-a-b)>-l]. f Г а/2 + 1-б-с 1 Г (а + 1)/2-6-с 11 \ [a/2 -c,{a + l)/2, a/2 + 1 - 6J [(a + l)/2 - c, a/2, (a + l)/2 -b\\
7.4.4] 7.4- Функция 3F2(ai,a2, аз] bi,b2',z) 451 [Re (a -2b- 2c) > -1]. on „/ a, 6, c; 1 \ V^r ГГ l + a-Ь, I + a - c, l + a/2-b-c 1 ZiU. Ч Г 9 I I = I \l + a-6, 1 + a-c/ 2a [A + «)/2, 1 + a/2 - 6, l + a/2-c, 1 + a - 6 - cj [Re (a -2b -2c) > -2]. a, 6, c] 1 \ 1 2 + a — 6, 2 + a — с " 3 2lv2 + a-6, 2 + a-c/ 2F-l)(c-l) [ a, 2 + a™6™e -Ы a/2>2 + a/2-b-c 1_ [(a+l)/2, E + a)/2-6-cll rR r - 2fe-2 ^>-4l [ [l + a/2-6, l + a/2™cj [C + a)/2-b, C + a)/2-c\ J L l j J" c, /a, « - n, 6; l\ _ (a- n)F- a)n(n - l)!r[c, c^ a^ 6 + l] ^ A - a)k(c - a)fe a — n + 1, с / (a— b)(l— a)n(c — a)n \_ c~ a, c— b J ^-^ k\(b — a + 1)д. [Re(a + b- c) < 1]. . a, 1 — a, 6;1\ ~i^2b ^ [ c, 1 + 26 — с S. З.Г2 ( 1 = 2 7Г1 [d = 1 + 6 - (а + с)/2, Re 6 > 0]. с - 6, с - 6 + 1/2, 2с - 2а - 6; / q, q, + 1/2, 6i 1 \ a4.c__5 2c, 2c — 2a — 6 ¦ 24. 3F2 =4Г | x \ с, с+1/2 / [6, 4c — 2a — x 3F2 25. = Г C? ^~ a ~ 2FiBa, 6; 2c™ 6; -1) [0 < Re6 < 2 Re (c - a)]. /l,q,6;'l\ a6B + a + 6^c-a-) /2,a + l,6 + l;l \ c, d J cd[ab — (c — l)(d — 1)] \ c + 1, d + 1 [Re(a + 6-c™d) < -2]. a6 — (c — l)(d — 1) 27. 31 " (l + a-c)(l + 6-c) i L a' 6 1, a, 6; 1\ c-1 f^fc-1, l + c-a-6l 2, с / (a —1)F —1) [ L с — a, c — b [a, 6, с ^ 1; Re (c - a - b) > -1]. 2q F Л, a, 6; 1\ 2(c^2J f Гс - 2, 2 + с - a - b] _ \ ' 3 4 3, с 7 (a^2JF^2J \ [ c-a, c^6 J J (a ¦ [a, 6, c^l, 2; Re (c - a - b) > -2]. 30. 3F2f -— j = -x^ (ф^ ^ + k — m — a, —ra — о/ 2 ^^ (—a — m)k{~b — m)k A + m + 2a)m(l + m + 26)m [™a - b - m, 1/2 - a - m, 1/2 - b - m\ [Re (a + 6) < ~m - 1/2; m = -2, -1, 0, 1, . . .]• 31. 3f2( ^'^.U-^A + arm,)fc^! + frm)fc + тг (m — 2а)т(тя — 26)m(m — a — 6)m Г 1 — a, 1 — 6, 2m — a — b — 1/2 1 + 22w+1(m-a-6^1/2)m L1/2 + m - a, 1/2 + m - 6, 2m - a - б] [Re (a + 6) < m - 1/2; m = 2, 3, 4, . . .]. 32. 3F2( \а'Ь''*)=-^-[<ф(Ь)-ф(а)] [Ъфа]. \1 + a, 1 + о/ о^а 33. = а2ф'(а) [b = a]. 15*
452 Гл. 7. Гипергеометрические функции [ 7.4.4 35. 2 + а, 2 + 2,e,i;l\ (аJFJ(а+6-1) 2 + а,2 + 6/ (о—6—1)з 3,а,6;1\ (а-1)»(Ь-1K j= (a-6-l)8 2(а- 6) [Ь ? а-1, а, а + 1]. а+6—1 (а - 6)(а + 6 - 3) [Ъфа-1,а,а+1]. [Ь ф а - 1, а, а + 1]. а, 6-1 39. s 40. = F - 1)ф'{Ь - 1) Л, 1, а; Л о, о 42. =2(Ь-2) + 2(Ъ-1Jф'(Ь) 43. = 2F - 1)[1 - (Ъ - 2)ф'(Ь - 1)] 44. з [Re(a-2b)>-2]. I; ReF-o)>0]. [о = 1; Re Ь > 1]. [а — 2J 45. = 2F - 2J^#F - 2) - 2F - 1) а, 6, (а + 6)/2; [а^ 1, 2; Re F-а) > -1]. [a = l;Re6>0]. [а = 2; Re b > 1]. [а/1,2; Re(b-a)>0]. [а = 2; Re 6 > 2]. 4fi 50. 3F2 51. 3F2 52. 3F2 DO. 3JT2 54. 3F2 a, a +1, &; l a + 2, a + 3 a + 3, 1-6 2|a-o [Re6<2]- (l-6)(l-2a2)} [6/1, 2, 3; Re 6 < 4]. a, a/2, 6, 1 a/2, 1 -f- a — 6 a+ 3/2, a + 2 a, a —- ra, a — 7г; 1 a —m-\-l, a —n-\-lJ A — a)n-i sin a?r 2 + a — b о-Ы-1,1-6,0/2 + 1 (« + l)/2, a/2-6 + 1, a/2- 6 + l a-6 + 1 n!(n — a) [m = n, a / 1, 0, -1, -2, . . .; Re a < 2].
7.4.4] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 453 55. =0 56. а, а, а; 1 1, 1 m ф п, а ф 1, О, -1, -2, . . . ; Rea < 2; га, п = 1, 2, 3, . . .]. 3S^~ [Rea < 2/3]. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 3F2 3F2 3F2 3F2 3^2 а, а + 1/3, а+ 2/3; 1 2/3, 4/3 а, а + 1/3, а+ 2/3; 1 4/3, 5/3 [Re а < 0]. [Re a < 1/3]. A-За)B-За) з-За/2 cos (За + 2) — 1, а, -а; 1 \ 1 тга =- + — ctgaTr. 1 + а, 1 — a/ z z [о^ 1/3; Re a < 2/3]. 1, a, 1 — a; 1 1 + a, 2 - a 1, a, a; 1 2 +a, 2 +a 1, a, a + 1/2; 1 - а) ctgaTr. 1-2а = (а + IJ [2а V(а) - 2а - 1]. 2, a, a + 1/2; 1 a+ 3/2, a + 2 69. 70. 3, a, a; 1 "\ a2(a a + 2, a + 2 -2a /1/2, 1, a; l\ = 7Г Г 1 - a, 2 - a ' 3 2\3/2,2-а/ 4 [3/2-a, 3/2 ^ a /1/2, 1/2, о; 1 Ч C + 2а)/4, C - 2а)/4 73. 74. 75. 76. 1? ш' ' п; ! ) = тп V 1, п + 1/ т ~ п ^ k- 1, mfn7 m/n-\-l\ 1 ^ m(m m/n + 1, m/n + l + 1 1-1 п/ кп 2, 771+ 1 1,1, m/n + I; l\ m + : 2, w/n + 1 + 1/ т + nl ~ n [Re a < 1]. [Re a < 1]. [га > п]. [I = 0, 1, 2, . . . ; га = 1, 2, . . . , п - 1; п = 2, 3, 4, . . .].
454 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.4 77 1-7 f 1/2, 1, 1; 1 \ n^sf x i, 77' sF2' n/9 (n « ^^ I (n-1) |ln2- 78. 79. Q^ (klf 2; 1 ¦l)/2 2(n - 3) 11п2- *-'?^i (•-»-' [n = 3, 4, 5, . ..]. [те = 2, 3, 4, . ..]. [те = 4, 5, 6, . ..]. ол т? i ~n? a' ^5 ^Л (c "" a)n(d — a)n (-n, a, a + 6 — c — d — n + 1; 1 Oil. 3^2 , I — -T^—73т 3^21 , c, rf / (c)n(d)n \ a —c —n + 1, a —a —n + 1 81. = 82. = (a)n(c + d — a — 6)n -n, с — a, d -— a; 1 1 — a. — n, e + d — ft — b (c)n(d)n I — ft — 6)n f —n, d — ft, d — 6; 1 —n, 1 — с — n, 1 — d — n; 1 1 — a — n, 1 — 6 — n 84. = (-] 83 — ( i)n \Uj/n\l//n (c)n(d)n vn (d — a)n(d — 6)n „ ('~ni 1 ~ d ~~ nJ a + b — c — d — n + 1; (c)n(d)n \ a —d —n + 1, b —d —n + 1 85 = (с^а)та 3Jp2 f ~n» a' rf ~ 6' X (c)n 3 2 \d, a- c-n + 1 86 = (?^^L6)n F f-n,d-b,l-c-n; 1 87. 3F2 88. (c)n(d)n °^ ^ ^1 - 6 - n, a-c — —n, a, 6; 1 \ (c — ft) c, (c)n(c - a- b)n' -Щ a, b; 1 \ = (c^a^l)n(c^b)n Г + , 2 + a + b — с — n/ (c)n(c — a — b — l)n [ (c — a — 89. 3F2 -n'a'6;1 =0 \a — 1,0 — m J 90. = R 91. = R[(a - I + n)(l + ra) + m(b - a - m) ГУ 92. = —[ra(ra — 1)F — ra + n)F — ra + n 4 z! . = 1, 2, 3, . . . , n- 1]. [I + m = n]. [I + m = n + 1]. x (a — I — m + n + 1) + 2lm(b — ra + n)(a — Z — ra + n + 1)] [Z + m = n + 2], 93. 3F2 —n, a, b; 1 a + I, 6 + ra - a)r, 1 — /, a, 1 + a ^ 6 ^ w; l — ra, 6, 1 + 6 — a — Z; 1 [a 7^ 0, -1, . . . , -n - Z - 1; 6 7^ 0, -1, . . . , -n - m - 1; a + 6 7^ 1 - Z, 2 - Z, . . . , m - 1]. ал jp ( ~n" a' 6; г \ w!(l + a - b)m 94. 3^2. , , =7^™^—m 1^ ra = 0, 1, 2, ..., n . \l + a, 6-ra/ (l + a)n(l-b)m л- П-а Г'A + a — Ь)п + 1 -1 г л 95. =— 7^ I ^ II [m = n + l]. 96. 3F2 -n, a, b; 1 \ = f 1 l-a-n, 1-b-n) \0 0 J A - a - n)m(l - b - n)rt
7.4.4] 7.4- Функция 3F2(ai,a2, аз] bi,b2',z) 455 п Г n = 0, 2, 4, . . . т = —, < 2 In = 1, 3, 5, . . . —гг, а, 6; 1 \ Bа — 6 — 2п)(^а)пF — 2а)п 1 + 2a - n7 1 - a + bj Ba- 6)(-2a)n(l + b - a)n -n, a, b; 1 \ A + a)n(l + a/2 - b)n 1 + a + n, 1 + a - 6/ ~ A + a/2)n(l + a - 6)n ' -n, a, 6;1 100. л, Zl ^-2га, (а 2а, A+ 6-70/2/ \ 0 j (A - 6)/2)т(а - -п, а, 6; 1 \ _ ((а + 1)/2)п(F + 1)/2)п n /n = 0, 2, 4, ... a ф 0, m = —, < 2 \n = 1, 3, 5, ... 101. 3F2( wjn^ , (a - n)/2, A + a — n) Ю2. = Bfe ~ a + l)n 2Fl(_n; 2b; 26 - a + 1; -1) [о ф 0, -1, -2, . . .]. A - a)n -n, a, 1-a; Л 22n+1 fa + b\ fb-a 104 3F2( 3 ' b,a-m 105. b, l-b-2n J (ЬJп V 2 уп V 2 -т, 1, 2-6; а/2,6 )~^ (Ь)п 106. 3i 107# . p. i ~п» а' «+ 1/2; 1 109. 3F2 110. 3F2 111. 3F2 [m = 1, 2, 3, . . . ; Z = 1, 2, 3, . . . или I = -n, -n - 1, -n - 2, . . .]. -n, 2, 2; 1\ _ A - a)B - a)(a - n - 3) 1, а / (п + а — 1)(тг + а ™ 2)(п + а — 3) * —п, —тг, т; 1\ _ Bтг)! /—Уг, —Уг, ш + 1; 1 1, m + 1 / (n!J \ m + 2, —2n -n, -n, 1; 1\ piJ /-n, -n, m-l;l 3^2 — 2n, m / Bn)! \ 1, m 119 ^ /"-n/2, (l-n)/2, a; 1\ B6 - a)n 112. 3F2 = 2i?i(^n5 a; 26 - a; -1). \ o, 6 +1/2 / B6)n /-n/2, A - n)/2, a; l\ = w B6 - 2a - l)nB6 + n - l)w ' 3 Ч 6, 3/2 + a^6^n J = [n 2m a + 1, 1/2-m У (l/2)(l 2) L 2a)n 2- a-n)/2, l + (a-n)/2y l ; (-a)n'
456 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.4 117. 3F2 118. 3F2 119. =2n 120. 3F2 121. 3F2 122. 3F2 -ra/2, A - n)/2, a; 1 + a — n)/3, B + a — n)/ = 2_w(Bq-2n)/3)w A - a)n -n, :; 1- 2a + n -n/2, A - n)/2, -m; l\ o^n _, ( -n, -n, m + 1; -1 = 2 3^21 1, —m — n J \ 1, ^n — ra 3F2I n! \ 1/2 — n, — n — m -n/3, A - n)/3, B - n)/3; 1\ = (a - l/3)n Ff_ n !-!!_ a, a+ 1/3 / Ca-l)n 2 1 \ 2' 2 ' _ m\ /4- 1 \ / 1 = 2-^1 I —w, л ; 2 — n — 2a; (-n, 2 - 2n - 2a; "n; 3 -2n/3, A ~~ 2n)/3, B - 2n)/3; a, 1/2™ n a; 4). 123 124 125 126 127 128 129 130 131 1 4*) !..ZJ?,U! 133 134 135 136 137 138 139 140 141 1 g 1 8 1 g 1 8 1 g 1 8 1 Q О 1 6 1 6 1 6 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 «2 1 3 8 1 2 5 8 3 4 7 8 1 1 3 2 3 5 6 1 4 1 4 3 g 1 2 1 2 1 2 1 2 5 8 3 4 «3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 61 5 4 9 8 9 g 9 8 9 g 9 8 9 Q О 7 6 7 6 7 6 5 4 5 I 5 4 5 4 — 4 3 2 9 I 5 4 5 I 62 9 g 11 3 2 13 8 7 4 15 8 2 4 3 5 3 11 6 5 4 5 4 11 g 3 2 — 2 9 4 5 2 13 8 7 4 5л/2 . Гтг 7Г 32 L 3V2 40 K A -f- 48 3~ / (тт 4л/3 (тг 27 5л/3 24 16^2 -Cf2, 16 Ч 1 -(тг + 2 4l 3 10 5 12 ^ + — Bтг + 2 5л/2 7Г 24 L Зтг "в" 3-^2(tti, fl-2 5 СЕ.З5 ^i, 62; 1) -л/2 1п2 + 21пA + л/2)] 2л/2 In A +л/2)] л/2 )тг + 4 In 2 + 2л/2 In A + л/2 )] + л/2)тг + л/2 1п2 + 21пA + л/2)] v2 )тг л/2)тг + 81п2 + 2л/2 1пA + %/2)] + 2\/3 in 2) -|- -у з In 2) /1\ \4/ i j = 1, 07483307... 4/ ^ - 1)тг^л/2 1п2 + 21пA + л/2)] In 2) 2 In 2 — 1) 2 In 2 - 2) 4 In 2 — 7) - л/2 1п2 + 21n(l + л/2I
7.4.4] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 457 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 1 КЧ J.Oo 1 КЛ JLO44 155 156 1 КТ JLO 1 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 ai 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 3 1 3 1 loo 1 3 1 3 1 3 1 3 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 «2 3 4 3 4 7 8 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 loo 2 3 5 6 1 1 X 1 2 5 8 3 4 7 8 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 «3 1 1 1 1 1 3 2 3 2 7 I 7 4 1 1 i i i i 1 1 5 3 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 5 _ 4 7 4 5 4 5 4 2 5 4 9 4 5 4 9 4 4 3 4 3 4 3 5 3 4 4 3 4 3 11 8 11 8 11 8 11 8 11 8 1 1 3 2 3 2 3 2 2 62 11 T 9 4 15 8 2 9 4 5 2 5 2 11 T 11 T 3 5 3 8 loo 7 3 11 6 2 8 3 3 2 13 8 7 4 15 8 2 1 3 2 3 2 3 2 5 2 2 3-^2(^1, «25 ^3; 61, 625 1) 7 (Зтг 2) 48 15 16 7 /2 Г/1 I </о\-т. л/о1г|О О Ir» /1 1 л/^* M 1 i -\- vZITT vZloZ Z Ш 1 1 -\- v Z 1 40 7Г 6 ^(тг + 61п2~6) 6 D -f- тг -f- 2 In 2) 20 -F-тг-21п2) 4 (Зтг -f- 4) 72 35 A4 — Зтг) 144 — (тг - 4л/3 In 2 + Зл/3 In 3) 2тг ЗУ^ 5л/3 72 ^" 4л/3 9 v" Ю^З г- 1 7Г Л/ Я In *"* J 27 v" л/3 л- -^—(тг + Зл/3 1пЗ) 5л/3 -[(л/2 - 1)тг + 41п2 - 2^2 1пA + л/2I 4LV ; \ /j — (v 2 — 1) тг 16 Зл/2 г л- , ^Ч1 Гтг 1 л/0* In *"*• *? In 1 1 1 л/*) 11 17Г "Т" V Z ill ^ Z Ю IX ~т" v Z II 8 21-\/2г о. /^)} 32 10 1 л /1\ —^Г4 ( - ) = 1, 39320393... 4тг3 \4/ 4 тг тг 2 2 ТГ ~8~ 3 (тг 8) 16 4 / тг) тг
458 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.4 169 170 171 172 173 174 175 1 7fi ни 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 1 Oft JL if О «1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 8 5 Q О 2 3 2 3 «2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 8 2 3 3 4 3 4 3 4 7 g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 8 1 1 X «3 1 1 3 2 2 2 5 2 3 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 5 4 со I cm 7 4 7 4 2 7 2 1 1 1 4 3 bi 5 2 7 2 1 1 5 2 1 1 3 2 3 9 ico I cm 3 2 7 4 3 2 3 2 5 о "Чсо I см 9 4 2 3 2 5 2 3 2 5 2 13 Y 13 Q о 5 3 5 3 5 2 7 2 5 2 3 5 2 7 2 4 9 2 13 8 5 3 7 4 11 T 5 2 15 2 5 2 3 9 4 5 2 2 11 T 11 T 3 9 2 15 g 2 2 7 3 3-^2(^1, «25 ^3; 61, 625 1) 9 — (тг — 8) 16 225 / _ 256X 256 V 9/ — BG + 1) 2тг 40 Этт 9 8 A8G + 13) 32тг 356 75^ 7 128тг -[(\/2 - 1)тг ^41n2 + 2\/2 In A + л/2)] 4 — (тг + 4л/з In 2 - Зл/З In 3) ^Gг~21п2) 4 7 — (Зтг — 6 In 2 — 2) 20 3 — (тг — 21п2 — 1) 2 — [A + л/2)тг - 4 In 2 - 2л/2 In A + л/2)] 2 In 2 3B In 2 - 1) 16 In 2 - 10 ^-(8-тг -21n2) 12 5 — E — тг — 2 In 2) 2 -Or-2) 7Г 7 fg _|_ Зтг 6 In 2) 60 — G — Зтг + 6 In 2) 10 -(l + 21n2) 77 60 35 — [тг — 2 л/2 In A + v 2 I 16 -[81n2 - (л/2 - 1)тг - 2л/2 In A + л/2)] о 3 |п з л/3 4л/3 9 v" v "
7.4.4] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 459 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 «l 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 з 4 3 4 4 5 5 6 7 g 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 «2 3 4 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 «3 1 1 1 1 5 4 5 4 з 2 3 2 6 5 7 6 1 9 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 8 5 I 5 4 4 3 11 g 3 9 z 3 2 bi 11 T 7 4 7 4 2 7 4 9 4 7 4 5 2 9 5 11 6 15 g 15 Y 3 2 3 2 2 2 to | сд 3 7 2 4 5 2 2 9 4 7 3 2 2 2 b2 11 T 15 g 2 11 T 9 4 11 T 5 2 11 4 11 5 13 6 2 17 ~8~ 2 5 2 2 3 to | сд 3 7 2 4 5 17 Y 9 4 3 3 19 g 2 to | сд 3-^*2(^1» a2, «3; &i5 ^25 1) 441 (тг -|- 2тг — 16) 32 21^2, /- , /-„ Г-тг л/о ]п о oinh 1 л/о \1 7Т V -" III Zi ли III 1 X jf" v *** I 5F1п2^тг) 2 -A81п2-3тг - 2) 6 — D — тг) 8 — A0-Зтг) 16l ; з -D-тг + 21п2) 21 — B — тг -f- 2 In 2) 4 12 / / ~^\ — 5 -тгу2 + л/5 5 V V У (Q — -j{- -у 3 ) 12 ^[8 In 2 - A + лД)ж + 2\/2 In A + л/2)] 63 — [8 — A Н~ V 2 )тг] 16 тг2 4 ^GГ~2) 2 2 о 9(тг-3) ч о 25 6 9 2 8 о ™B0тг2 - 197) 3 9 -[16 - A + л/2 W - 81п2 - 2л/2 In A + л/2)] 2 5 -(8 - тг - 6 In 2) 2 — A5-27Г- 12 In 2) 32 - 2тгл/3 - 181пЗ — [16-3(V^ - 1)тг-241п2 + 6л/2 In A +л/2)] ]_8 4 In 2 6A-In 2)
460 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.5 225 226 227 228 *>*>€! ZfZf О* 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 1 1 1 1 i X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 «2 1 1 1 1 i X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 «3 3 2 3 9 A 3 2 13 g 5 3 5 3 7 4 7 4 15 2 5 2 5 2 3 3 4 4 5 3 2 2 bi 2 5 9 A 3 2 9 zi 8 3 2 11 T 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 7 2 3 7 2 21 8 3 3 11 4 3 23 3 7 2 7 2 4 5 5 5 6 3 3 3-^2@1, a.2, «з; &i5 62; 1) 5 — ( 6 In 2) 6 6- 12 In 2 — A7-24 In 2) 3 l ; 13 — [16 - 5(\/2 - 1)тг -40 In 2 + lOv^ in A + л/2)} 5л/3 12 -D + тгл/З -91пЗ) -^(8 + Зтг ^ 18 In 2) — G + бтг - 36 In 2) 9 — [32 + 7A + лД)ж - 112 In 2 - 28л/2 In A + лД)] 1 о 10 — D-31п2) — A2 In 2 - 7) 9 9 4 ю I со 22 9 14 9 125 ~48~ ^A6™5тг) 7Г 2 о — тг — 4 3 1. 7.4.5. Значения з^2(«15 «2, «з; &i? ^2; —1)- а, а + 3F2 2. 3F2 3. 3F2 а, 6, с; -1 1+ а — cf, 1 + ci a + 6, 1-c-d = Г с-Ь 1 /6, a + 6, ,l-b-d\sF2\ 1 + 6-c, + 1, 6 + 1, с l + c-6, 1 + c / [a + 6, a + c,l a - 6, 1 + a - c] ^ /" 1/2, 6, c; 1 — d\ _1 + a, 1 + a - 1, a, 6; -1 \ _ (-1)" . — 2n — a, 1 — 2n — b y va/2 + l, (а + 1)/2У 1-a, 1-6 , а, 6; - — fl)fc(l — 2 72 — 6)fe ¦ n — a)n(l + n — b)n [Re (a+ 6) ^C 1/2-2n].
7.4.5] 7.4- Функция 3Fi{a\,a2,a3]b\,b2]z) 461 [ п ^ + —— > — У ( —l) —-, Г—-f ГТ l + 4n^a^oj A— а)пA— b)n J j^-J A— а)д.A— b)k [n = 1, 2, 3, . . . ; Re (а + 6) ^ 1/2 + 2n]. \a + 1,0 + 1/ a — b к [n < m]. ,^а,а/2 + 1,Ь; -1\ = у^ Г 1 + а^6 1 а/2, 1 + а^6 ) 2а [1 + а/2, (а + 1)/2 - b\' 8. 3F2(^ + 1^2;f 1) =|B—-bcoea.) [Re a < 1/3]. 9- 3 V4t M = ^^ 2/3, 4/3 / 3A — 3a 1/3, a + 2/3; -l\ 4 12. 1 + a, 1 — a / 2 2 sin атг n,a,a/2 + l;l^ (a + l)n 17. 3^2 — а/2, 1 + а + гг —п. а, ^а — тг; —1\ 2(а + п) _. , ч , -i 1 I = -^—; " 2Fi(-n, а; а + 1; -1). а + 1, 1 —а —71 / 2а+ п —тг, —п, га; —1\ 9п с, [^п/^ч A ~ n)/2, — 7п; 1, 1 — тп — п / \ 1, ^?тг — п 20. = 22n 71! \ 1/2 — 7i, ^m — 71 —тг, —71, ^п; —1\ 9п с, /'~^/2, A — п)/2, п + 1; 1 1,1 /= 3 Ч 1,1 -п, -п-1/2, 1/2; -1\ _ 2п + 1 / 13 1/2 - п, 3/2 у ~ п + 1 2 J V "' 2' 2' ~ 23. 4/3,5/3 ) 3A-3о)B-3о) L . — v- - —^ з_ [Re а < -1/3]. . 3F2[ 1>а'а; '1)=-+22a-1V^^ 1~п — а, 1 — а/ 2 тга
462 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.5 26. 0/2,C-0/2 + *)/4, F-г)/4 1* 1 _ »• -1 \ =0,539222... ^--«¦¦¦ 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 АЛ 49 43 44 АК 46 47 48 AQ 44 if ai 1 6 1 6 1 6 1 4 1 4 1 1 4 1 I 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 4 1 4 1 3 1 з 1 3 1 3 1 3 1 3 1 loo «2 1 Ч со | toe 5 6 1 2 1 1 2 3 4 3 I 3 4 1 1 1 1 -i 1 1 tol 2 _ 3 2 3 2 3 5 6 1 i i «3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 7 4 7 4 i i 1 i i 1 1 1 5 loo 6i 7 6 7 6 7 6 5 4 5 4 3 2 5 4 5 4 7 4 5 4 2 5 4 9 5 4 9 4 4 loo 4 3 4 3 5 3 4 3 4 3 4 loo 4 3 5 3 11 ~6~ 3 2 5 9 7 4 11 T 9 4 2 9 4 5 5 2 11 4 11 4 3 2 5 _ 3 8 3 7 3 11 2 8 loo 3 -[C- ^3)тг-31п2 + ^-[C-^3O1 + 3102 4 5л/3 |д f 2 -f- v 3) 36 — f(v2 — 1)тг — 2v2 In ( 4 20 —— [2л/2 + A-л/2)тг z!4 2л/2 7 л/2 [2v2 Зтг -Ь 18 In 96 15v^ro /^ _|O|n/ [^V^ 7Г + ^1П( — [21пA + ^) + тг- r fK * Г_ л/о In О I O 1^ 7Г v -" Ш ^j ~t~ -" 1П и Зл/2 40 LV ; ^[C^V2).^6^ 7 л/2 72 Ш\/2 r~ F2(ai, a2, л/З In B + л/З In B 4 1 + л/2)] 2 +201n(l + 21n(l + '1 + v2 I 1 + л/2)] V^ In 2] A + л/2)] + 41n(l + + 61n(l + « /1 1 */o О7Г ' ±*±у? ~t~ loin ii ~T~ V ^ 288 /л/З Л ^-r-2j' + l112 4 — In 2 3 5л/3 54 x"v " 4л/3 Cv3 ~~ 2тг + 4V3 27 — [(л/З ™3)тг + л/3 1п( 27U ; l 7Г 2v? 5л/3 /— 72 l j In 9^ > 111 Z I In 2) 2 + V3)] аз; 6i, 62J ~1) -VE)] V2)] y/2)] V2)] 1 J
7.4.5] 7.4- Функция ,a2, аз] bi,b2',z) 463 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 оо 66 67 оо О «7 70 71 72 73 74 75 76 77 аг 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 ? 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 5 6 7 8 1 1 1 «2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 аз 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 5 4 2 7 2 1 4 3 1 1 5 4 5 4 3 2 3 6 5 7 6 9 8 1 1 1 з _ 2 5 2 9 2 3 3 2 7 4 3 2 3 2 2 5 2 3 9 4 3 2 5 2 5 3 5 3 7 4 2 7 4 9 4 7 4 5 9 11 6 15 У 2 2 3 ь2 з _ 2 2 9 2 5 3 7 4 5 3 2 2 5 2 3 9 4 5 2 3 9 2 2 7 3 2 11 4 9 4 11 4 5 2 11 X 11 13 — 6 17 — 8 2 3 3 3-^2(&1? ft2 5 Я-3) ^1, 62? ~1) G 9 — C6757Г- 10976) 576 V ; 1 ,- -[C- 2\/3)тг + 61п21 3 -[A - л/2 )тг - 2л/2 In A + лД)] 4 -[2 + A - 2^)^ + 4л/2 In A + л/2 )] 4 — Г-7Г — 4In A + v2 I 8 - -In2 2 3A-In 2) 10- 2тг -4 In 2 — [12(л/2 - 1) + 3B + лД)тг - 8л/2] 5 л/2 II О OV Z / /Г ZUy Z -р t:V Z Ш Z -р ID 1П 11 -p V Z II 16 _ /^j- 2 + 2 In 2) — A57Г-32) 120V ; 2л/3 г- /__ O-./Q In Q\ l 7Г Z V О Ш Z 1 3 4л/3 9 v Зл/З r^j- 2 In A + л/2 ) v2 In 2l 2 7\/2 IzlV Z -p О7Г DV Z 1П Z О 1П 11 -p у Z II 15%Д о /^ 8 v" 35л/2 ГЧ-тг Юл/^ I filnh I л/^^l O7T ' IU v Zi "т~ О III 1 1- ~T"~ v ^j 1 32 L \ n Зл/2 Г/1 I ^/n»"\_ /I1./0 /I In M I л/^>М I I Z ~t" vZITT ^tA/Z ft 1П I 1 ~p v Z 1 I 8 21 ^[A - л/2)тг -2 + 2V2 ln(l +V2)] 12 — ГтгE0 + Юл/5 I/2 - 251 25 35 6 63 /—1/0 — [tt^I _|_ д/2 J1/2 — 4] 8 2 -(тг2 + 12- 24 In 2) 12- 16 In 2
464 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.4.6 78 79 80 O1 О JL 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 Q7 if I 98 аг 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 2 «2 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 4 2 «3 1 5 4 5 4 4 3 4 _ 2 3 2 3 2 5 3 ю I co 7 4 7 4 2 5 2 5 2 3 4 5 9 A 2 6i 4 2 9 4 9 a 7 q «3 2 2 5 9 A 3 2 8 3 2 11 T 3 2 3 2 2 2 9 4 3 4 9 4 3 7 3 3 5 2 7 9 A 3 7 2 8 3 3 11 T 3 3 7 2 7 2 4 5 6 11 4 3 3-^2(^1, «2 5 Я-3) ^1 , 62? ~1) -F3-бтг2) 4 [тг -4л/2 + л/2 1п2 + 21пA + л/2)] — [2л/2 тг + 21п2 + л/2 In A +л/2) - 15] 4\/3 3 4л/3тг + 16 In 2 ^32 2 бтг - 15 In 2 - 5 бтг - 18 10 (Зтг 6 In 2 5) 3 — Bтг^3г/3) 12 5 г- -Bл/3 тг ^8 In 2 - 5) 7л/2 [Зтг — 4л/2 + Зл/2 In 2 — 6 In A + л/2 I 18 - — [13 + 2 In 2 + \/2 In A + лД )] о -(тг2 +24In2 - 24) F In 2 + 8 Зтг) 18 ^(Зтг + 12 In 2 - 17) 9 v ; 3 4 -A21п2 - 5) 9 35 48 35л/2 \Л In A 1 \/r) \ тг! i/j. in 1 | | yj А \ 7Г1 32 2 — -41п2 3 7.4.6. Значения 3^2(^1, а2, ^з; &i? ^2; -2 /1/2,1/2,1/2; -1/4\ = тг^ 3 2V 3/2, 3/2 у 10' при zo / ±1. 3. 4. 3F2 5. 3F2 3/2, 3/2 а, 1-а, За-1; -1/8 2а, а+ 1/2 Га/2, а + 1/211 2 [ За/2 J/ -п, а, 2 - а; 3/4^ _ (D - а)/3)п(B + а)/3)г 3/2, -Зп- 1 -п, а, 2 - За; 3/4 1/2, -Зп B/3)nD/3)n (а)пA - а)п A/3)пB/3)п'
7.5.1] 7.5. Функция 4 F3 (ai, a 2, аз, fl4; 6i, 62, fes; z) 465 6. -n, a, 3a + ra - 1; 3/4 Ca - l)/2, 3a/2 7. 3F2 8. 3F2 9. 3F2 F(9 - Ca-l)n ' (a)m/m\ \ A={ -(a)m/m\ [n = 3ra + l], 0 [n = 3m + 2]. -n, a, 3a+ n; 3/4 \ _ f l\ n!(a + l)w/3 3a/2, Ca + l)/2 J ~ \ 0 J (n/3)!Ca + l)n -n, a, a+ 1/2; 4/3\ _ fl] (l/3)mB/3) n = 3, 6, 9, . . n^3, 6, 9, .. / / = ] (/)(/) 2a, B + 2a - n)/3 / \ 0 J (B + 2a)/3)m((l - 2a)/3)r n = 3m, m = 1, 2, 3, . . n 7^3, 6, 9, ... —n, a, 3a + n; 3/2 3a/2, Ca + l)/2 J ~ 2Г(п/3 + 1)ГA - a - ra/3)Ca)n '" 1 3 3# '2' ' 2' 2' . /E" I О -2)], FC^: 24 16 -1)], 2 / 24 11. 3F2A, 1, 1; 2, 2; z) = i LI2(z) = Ф(*); Ф ( - л/5 -1 2 1 + Ф +3 Н 2 / V5 -1 1 ф л/5-1 л/5 +1 [тг2 о /л/5 -1 1п 10 п 7.5. ФУНКЦИЯ 4F3(ai, а2, а3, а4; bi9 62, Ь3; z) 7.5.1. Представления 4^3(^1, a2, аз, ла] bi, 62, 63; z). 6i 62 а + 1 6 + 1 е о + 1 6 + 1 с + 1 Ь(о-е) аб (а, с, d; a + 1, , с, F —a)(c —a) e(a^6) d; 6 + 1, e + 1; z) 2Fi(c, d; c+1; z) + a, d; a+1; z)+ 2FiF, d; 6 + 1; z) с а + 6 —с а + 6 а + 6+1 а + 6 A - x)a 2Fi(o, с, а + 6; ж) х x 2Fi(a, a + 6 — с; а + 6; ж) [Ж2 = ±z(x - 1)] 1+a-6 1+ 2 +a- с
466 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.5.1 > Q2> Q3> «4; 61, 62, 63; а + 6 а+6+1 2 2 а + 6 а а + - 10 11 12 1 1 —ha а 2 2 —n a 1 — а 2а -\- п —те — п —те 13 —те — п —п 1 п 2 1 2 2а а + 1 1 + а - 6 - с; 1 + а - 6, 4z 1 + а - с; - а + Ъ - -с + 1 2F1 ( а, 6; с; A-^J X х 2F1 ( а, 6; а + 6 — с + 1; 1 - л/1 - - [2FiBa, 26, 2с; + 2FiBa, 26; 2с; -л/г)] 2с- 1 2Bа- 1)BЬ — х [2FiBa-l, 26-1; 2с-1; y/z)- - 2FiBa- I, 26- 1; 2с-1; -л 26 2а- -26+1 3 ' а + 2 а 1 ——, - + 1; 6+ -, 3 ' 3 ' 2' а- 6 + 1; 27z2 D-*)* 2Fi( а, а+ -; 6; 3 1 - л/Т^ P2a-l(Vl-Z - V3^) X X P2a-l(Vl- 2: 6 2а- -6 + ] 2п 2те (Ь)пBа-Ь /1- z - 1 2n 2 - 2n {An- х 1 ^z + 1 X Р2п + 1 ^ - 1
7.5.3] 7.5. Функция 4 F3 (ai, a 2, аз, fl4; 6i, 62, 63; z) 467 7.5.2. Частные значения 4Fs(ai, 0,2, «з, 04; 6i, 62, 63; z). 1 2 3 4 5 «1 «2 «3 «4 I I » 1 4 2 4 5 1 1 5 4 4 113 3 * 5 2 2 3 3 2 2 2 2 61 62 63 5 3 7 4 2 4 r- 2 » 4 4 2 I 4 2 I 5 3 3 3 111 4^з(сЫ» a2, «35 «45 61, 62, 63; z) -z-3'4{(l + z1^f\n{l + z1^) - A г1/4J1пA г1/4)] 2^lnA + v^) + 2"/4A+*1/я)ь;!:1/4+2*1/41-A-)+ + 2(l-21/2)arctg2l/4_4zl/4 I^[13+ T" ^(l + 2^)v/l^arcsin^ - Aarcsin2 ^] ^[s«(^/._ 4) to (l-,i/») + L + г2/3F + 4г1/3 _ 22/3} ,n A _ z) _ -2V3,(^/3+4)arctg||^] (l-z)(^3 + llz2 + llz + l) 7.5.3. Значения 4-^з(а1, а25 аз, 04; &i, 62, 63; 1). а, 6, с, d; 1 а6ГA - d) 1. 2 F 1 а^ «/2 + 1, 6, с; 1 \ ГA + а)/2, 1 + а - 6, 1 + а - с, A + а)/2 - 6 - с] 4 ча/2, 1 + а - 6, 1 + а- с/ [1 + а, A + а)/2 - 6, A + а)/2 - с, 1 + а - 6 - с\ [Re (а-26-2с) > -1]. ф[с) _. i 1, а, 6, с: 1 . 3. 4F3 ' ' ' ' 1 =-а6с 4. = iа 01 а о 5- =~f(«) 6. 4F3 1, a, 6, c; 1 7. 4F3 х {г 8. 4F3 9. 4F3 Ю. 4F3 3 - а, 3 - 6, 3 - с/ 2(а - 1)F - 1)(с - 1) 3- а, 3-6, 3-е, 4-а-6- 3 — а — 65 3 — п — с, 3 — 6 — с 1, а, 6, с; 1 -B-а)B-6)B-с) + а - с) w 2, 2 + а - 6, 2 + а - с) (а - 1)F - 1)(с - 1) а + 1)/2, 1 + а-6, 1 + а-с, (а + 5)/2 - 6 - с а, (а + 3)/2 - 6, (а + 3)/2 -с, 2 + а-6-с 1, 1, а, 6; 1\ а — п — 2, 2, а - п ]-} [афЬ, Ьфс} афс]. [с = а, а^ 6]. [с = 6 = о]. 4]. [Re (a- 26- 2c) > -5]. a, 2a + 1, a+ 3/2, b; 1 [ф(а> — п — 1) — ф(а -— 1) — i/?B — 6) — С] [Re b < 2-те]. а3 2 = — В(а, 1— 6){^ (а)— ф A + а— 6) + [t/>(a)— t/>(l + a — 6)] } [Re 6 < 3]. [Re6<0]. a + 1/2, a + 2, 2 + 2a - bj 22а+г [3/2 + a, l + a-6, 2 + a-6 2 +a, 1 - 6, 2 +2a- 6
468 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.5.3 /а, а+ 1/2, 6, 6 + 1/2; 1 * 4 3\1/2, а-6 + 1/2, а-Ь + 1 _o_2a_lTj2a-26 + ll Г_Г 1/2-26 Г(а + 1/2) = 2а 3/2, а-6 + 3/2, а-6+1/ Bа - 1)BЬ - 1) [а^ . а, а+ 1/2, 6, 6 + 1/2; 1 \ = 2^2а Г 2а - 26 + 2 1 * 4 3/2 6 + 3/2 6+1/ B 1)BЬ 1) [26 + 3/2] 1, 1, а, 6; 1 \ _ аA + а - 6) j Х (±±1 - bj ] [Re (a - 26) > -3]. а, а + 1/4, а + 1/2, а + 3/4; 1 6i, 62, 63 П—1 / —4 —2 /2—2 —1 га + 4а (А; — 4а) 2 + 2 ' cos тг V ^ [вектор 6i, 62 ? 63 состоит из тех трех компонент вектора A + то)/4, B + то)/4, C + то)/4, D + те)/4, которые не равны 1; п = 0, 1, 2, 3; Re a < то/4]. 15. 4i "^ 17. =7СC)/8 18. 4F3 ( J1' f' 6' q X ) = О [Л + / + m = 0, 1, 2, . . . , n - 1]. \a — A;, 6 — /, с — m/ 19. = n! - a)k(l - b)i(l - c) ' 6' c; X ^ T(l + ao)i(l + Qc)m г 1 = n!/ + m = 0, 1, 2, . . . , то . a + 1, 6 - /, с - m/ A + a)n(l - 6)/(l - c) 21. 4F3 a — n + 1, 0 — n + 1, c + n — n(n - l)(n + с - a - l)(ra + с - 6 - 1) _, / 2 - n, a + 1, 6 + 1, c; 1 (a - n + 1)F - n + l)(c + n - l)(c + n) \a - n + 2, 6-n + 2, c + n 22 F- ( 4 3 -а - п, а + 6 + 1/2, а + с + 1/2у -га, 26, 2с; _, )n (a + l/2)n(a + 6 + c^fi + l/2Jn ^l j (a + 6 + l/2)(a + c+l/2)(l/2a6c) 3 2 \-2a - 2n, a + 6 + с / -n, 2c, с - 6 + 1/2; 1 ^ _ 3 2 U 2Ч F ( ^n, a, 6, c; 1 * 4 3V(-w)/2, (l + a-n)/2, 6 + с + 1/2 -n, 26, 2c; 1 \ ~ (l-a)n 3 2 U + с + 1/2, 2c - a + 1 = (l/2 + 6 + c^a)n /-n, b-c + 1/2, c-6 + 1/2; 1 * ~ (l) 3 2 -га, а, а/2 + 1, 6; 1" а/2, 1 + а — 6, с _ (с - 26 - 1)п /-га, а - 26 - 1, (а + 1)/2 - 6, -6 - 1; (c)n V (a-l)/2-6, l + a-Ь, c-26-1
7.5.3] 7.5. Функция 4F3(at, п2, а%, 0,4; bi,b2]b%; z) 469 c+l,l + a-6 -n, a, 1 - a, 6; 1 \ ((a + с - l)/2)w((c - a)/2)wB6)w / " 4 3 VI " *> " "> c, 1 + 26 - C>/ F)nF + l/2)n(c)n -ra, 1 + 6- (a + c)/2, 6+(l + a-c)/2, 1 - с - n; 1 X 4 3 V C - a - c)/2 - n, 1 + (a - e)/2 - ra, 1 + 2b - с ( -n, a, a/2 + 1, 6; 1 \ A + a)n((l + a)/2 - b)n 29. 4^3 ~~ а/2, 1 + а + п, 1 + а - 6/ (A + а)/2)пA + а - 6)„ * ,)= (а-26-1)п F f-n, (а + 1)/2, а - 26 + га - 1; 1 (-26-1)„ 3 . -n, a, a/2 + 1, 6; 1 * 4 3lva/2, l + a-6, 2 + 26-n 31 = (а - 26 - 1)п(-6 - 1)п(а - 26 + 2тг - 1) ~ A + а-6)п(-26-1)п(а-26-1) / -га, а,а + 1/2, 6; 1 \ Bа-6)пF-п) о Л • д г ч I I '^=- \2а, F - гг + 1)/2, F - га)/2 + 1/ A - 6)пF + га) -га, а, а + 1/2, 6; 1 \ _ A + 2а - 6)п 35. чз 2а + 1, F-га)/2, F-га + 1)/2/ A - 6)п -га, а, а + 1/2, 6; 1 \ _ A + 2а - 6 2а + 1, F - га + 1)/2, F - га)/2 + 1/ ~ A - 6)п( -га, а, 6, -1/2 - а - 6 - га; 1\ _ Bа + 1)пB6 + 1)п(а - . -n, a, a + 1/2, 6; 1 \ _ A + 2a - 6)nBa - 6 - n)(b - n) * 4 3\2a + l, F-n + l)/2, F-n)/2 + iy ~ A - 6)nBa - 6 + ra)F + n) ' -a - n, -6 - n5 a + 6 + 1/2 J (a + l)nF + l)nBa + 26 + l)n ' 9?i „. -n, a, 6, 1/2-a-6-n; 1 \ Ba + l)nB6)n(a + 6) 3T. 4F3 38. 4F3 39. 4F3 40. 4F3 -n!l-6-n,a + 6 + 1/2/ (a + l)nF)nBa + 26)n " -n, a, 6, 1/2 - a - 6 - n; 1 \ Ba)nB6)n(a + 6)n 1-a-n, 1-6-n, a + 6± 1/2 У (a)nF)nBa + 26 - A T l)/2)n * -n, a, 6, 3/2 - a - 6 - n; 1 \ _ Ba)nB6)n(a + 6)nBa + 26-1) 1-a-n, 1-6-n, a + 6 + 1/2/ (a)nF)nBa + 26 - l)nBa + 26 + In - 1)" -n, a, 6, 3/2 - a - 6 - n; 1 \ Ba)nB6 - l)n(a + 6 - l)n 1-a-n, 2-6- n5a + 6- 1/2/ (a)nF - l)nBa + 26 - 2)n ' —n, a, 6, 5/2 — a — 6 — n; 1 2-a-n,2-6-n,a + 6- 1/2 y Ba - l)nB6 - l)n(a + 6 - l)nBa + 26-3) (а - 1)„F - 1)пBа + 26 - 3)пBа + 26 + 2п - 3)' „ /-га, 1 + га, а, а + 1/2; 1\ 1 Г A - 6)n+i F - 2а - l)n+i 41. 4^3 I _ I 1/2, 6, 2а-6 +2 / 2(а-6 + 1) |_Bа-6 + 2)„ F)п —га, 2 + га, а, а + 1/2; 1" 3/2, 6, 2а-6 + 2 A-6)п+2 F-2а-1)п+2" 2(га + 1)(а - 6 + 1)A - 2а) [Bа - 6 + 2)п F)п —п, 1, 1, а; 1 2, 6, 1 + а — 6 — wy 1)--0(а-6-гаI. (K) 44 F/-n,l,a,2-a;l\ n + 2 f [(n + 1)!]2 1 * 3\n + 3a + l3a) 2(n + l)(laJ \ C - o)n(l +o)n l ;J'
470 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.5.3 [га = 2, 3, 4, . . . , п + 3]. _ /-п, 1, 1, 2га + п-1; 1\ 2(т-1J г// ч ., Ч1 46. 4F3 1=7 Ь " гШга + га)--0(т-1) . V 2, т, т у (n + l)B + 2)L^1 ; ^1 л 1, 3/2, 3/2 Ж""? I ff С/ • S %J ft ff в/ « S %J щ -JL. I I f С ] JL. I f ft JL « #1/ JL ft 1С* -1_ « f|> JL » JL э# 4-ГЗ| л л л J ~~" л 4JI 1 1 1 1 -n, -3/4, -1/4, 5/8; l\ _ n!(l/2 + n)n-i -3/8, 1/2, 1/2-n ) ~ 2Bn)! " -n, -1/4, 1/4, 9/8; l\ _ n!(l/2 + n)n -n, -n, -n, 2, -n, + C^1 -n, - 2,2 1/2- 1, 1/2 ; n, 1/2 ,1/2 Ь l)![(n + l)! (n + 1) 2 -n; 1\ J" 51. 4F3 52. 4F3 1/8, 3/2, 1/2 -n J Bn- -n, 1/2, 1, 1; 1 \ _ 1 - 2n 1/2, 3/2, 3/2 - n/ ~ l + 2n" . -n/2, A - n)/2, a, 6; 1 \ _ (a)n „ /-n, a - 2c - n + 1, 2c - a - 6; 1 4 3 vc, с + 1/2, a + 6-2e-n + l/ ~ Bc)n 3 \ ! ~ a ~ ni a + & ~ 2c ~ w + x '-n/2, (l-n)/2, a, 6; 1\ = (c--o)n „/ -n, 2a, a + 6; 1 * 4 3l 1 + 6 + 1/2/ () 3 2 c, 1 — с — n, a + 6 + 1/2/ (c)n \2a + 26, a — с — n + 1 / -n/2, (l-n)/2, a, a + 1/2; 1\ B6 - 2a)n _/ -n, 2a, с - 1/2 I :=:: о fo 6, 6 + 1/2, с у B6)п \2а^26^^ + !? 2l -n/2, (l-n)/2, a, 6; 1\ _ n! [a(l/2 + 6)m 6A/2 + a) * 4 3| 1/2-m, a + 1, 6 + 1 )~ (a-6)(l/2)m [ A + 26)n A + 2a)n [те/2 <С т ^ n]. 57. 4F3( -"A (l-")/2, a, 6; 1 \_ (a)n+1 - (b)n+1 58' -n, (a + b + l)/2, (a + b)/2 + 1) (a - b)(a + b + l)n " -n/2, A - n)/2, a, -a; 1\ _ F + a)n + F - a)n 1/2, 6,1-6-n У 2F)n 2п~3Гп+ 4^ [n = 3, 4, 5, . ..]. 1/2, -(n + l)/2, -(n + l)/2 у n + 1 -n/3, A - n)/3, B - n)/3, a; 1 6, 6 + 1/3, 6 + 2/3 C6~3a)n / -n, a, 3a-36 + 1; 3/4 C6)n 3 2\Ca-36-n + l)/2, Ca^36-n)/2 /1/2,1, A + 0/2, A-0/2; Л , nqc-,n9 61- 4^3 „,„ /о, л/о /о л/о 1=1,095402... V 3/2. C + «)/2, C- г)/2 / di p Л/2- !' B + 0Л, B-0/4; Л , nfioo71Qo 62- 44 3/2,F + 0/4,F-0/4 J=1'06337193-
7.5.3] 7.5. Функция 4 F3 (ai, a 2, аз, a>4; 6i, 62, fes; z) 471 Ои 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 си t7 JL 92 93 at 1 4 1 4 1 4 1 — 4 1 _ 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 4 1 4 1 4 4 1 4 1 I 1 4 1 4 1 4 1 л ч- 1 4 1 _ 4 1 з 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 «2 1 4 1 2 1 2 1 — 2 1 _ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 о А _ 2 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 1 2 «з 1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 X 1 2 1 2 ?14 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 4 7 4 1 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 о А 7 4 7 _ 4 1 1 1 7 loo 1 2 1 6i 5 4 5 4 5 4 3 2 3 2 7 4 9 4 5 4 5 4 3 2 2 5 4 9 4 5 f 4 2 5 I 7 4 9 4 5 4 2 5 4 5 4 4 з 4 3 5 3 4 ico 3 2 3 2 62 5 4 3 2 7 4 7 4 9 I 9 4 5 2 3 2 2 2 9 з _ 2 5 2 7 4 2 9 4 7 I 9 4 5 2 2 9 /i 4 2 5 2 3 2 5 3 2 5 Ico 3 2 3 2 63 5 4 7 4 5 2 9 4 11 4 5 2 11 T 2 5 2 9 4 5 2 11 T 11 T 2 9 4 11 4 5 2 5 2 11 T Ю | CM 5 11 T 11 4 2 2 7 3 10 3 3 2 3 2 4-^з(а1) а2 5 Ct3, tt4; 61, 62, 63; 1) B )-l/2 /]_\ Г2 1 1 (тг2 1 16CM 128 ^ \4JK } 3 -In 2 2 3 (\ -(- 8 In 2 тг) 10 5 ™D1п2-тг + 2) 8 7 , G -f~ 6 In 2 Зтг) 12 3 — D In 2 Зтг + 8) 4 7 -A0-Зтг) тг I 1 5 10 — A — In 2) 3 17- 2тг - 14 In 2 7 (Зтг + 9 In 2 2) 90 7 , ^(Зтг + 12 In 2- 16) 12v ; тг - 3 In 2 с -(тг - 12 In 2+ 6) 4 35 — A3- 18 In 2) 18V ; ^-Bтг-1п2~2) 10l } 3 _(утг -1- 4 In 2 22) 8 -(Зтг+ 6 In 2 - 13) 4 -(тг + 121n2 -6) 5 4тг + 18 In 2- 24 7 — (9 In 2 - 2) 27V } 7 — (8 + 9 In 2 - Зтг) — B\/3 тг - 48 In 2 + 27 In 3) -(тгл/З - 31n3) 2 2л/3 /— /— ((У\/Ч 1 тг Ч-ч/Ч In Ч\ l^V «3 ~т~ ТГ о V о Ш о J 3 7\/3 /— 90 тг / тг2 \ I _|_ \yi^ 2 1 4 \ 12 / 7 _ t( 3) 8
472 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.5.3 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 ill JL J. JL 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 at 1 2 1 2 1 9 A 1 2 1 2 1 2 1 toi i 1 2 1 2 1 9 A 1 2 1 9 A 1 2 1 _ 2 1 2 1 2 2 3 4 3 4 3 I 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 «2 1 2 1 2 2 4 3 4 3 _ 4 3 4 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 «3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 3 2 1 3 4 1 1 5 4 1 5 /i 4 5 4 4 3 4 3 3 2 3 2 a4 1 1 1 1 1 1 5 4 5 4 5 4 1 5 4 5 7 4 5 2 7 I 9 4 4 i i 5 4 3 2 3 2 7 6 3 7 4 3 9 Zj 5 3 3 2 5 3 6i 5 2 2 3 2 3 2 7 4 2 Я toi ( 7 4 9 4 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 5 4 5 3 11 4 7 4 7 I 7 4 11 2 2 2 7 3 2 2 62 5 2 5 2 5 3 I 2 5 2 7 4 9 4 5 toi - 2 2 9 4 2 3 9 4 2 2 11 4 2 2 9 4 2 9 4 9 4 7 g _ 3 2 5 2 5 2 5 2 2 2 5 2 11 T 9 4 5 2 11 T 5 9 A 9 4 5 9 z 11 T 7 2 11 T 3 7 3 11 4 9 4 5 2 5 2 13 5 2 11 T 5 9 z 3 2 8 3 4F3(ai, a2, «3,a4; 6b 62, 63; 1) 27 о C2 Зтг ) 64 9 -C - 4 In 2) ttv^ + 81n2-91n3 3(тг-41п2) бтг - 30 In 2 + 3 7 -Fтг-421п2 - 11) 5V ; 5 -GГ-1П2-2) 15, — (тг-3) 2 l ; 21, — (Зтг + 4 In 2 - 12) iA2-7T2) 1 _ (tj- -f- 8 In 2 — 8) 3 10тг + 501п2-65 7 — C6 In 2 — Зтг — 8) 45 10 ? 7 — (8 — 2тг — In 2) 6 8 5 12(ln3- 1) 3З . 73 /1OQ 1OT fi-тг^ I тгЗ\ i jl^q JLZ7T O7T "T" 7Г 1 256 15C In 2-2) 24In2 -Зтг - 6 15 — D — тг — In 2) 2 35 — C In 3 H~ 4 In 2 — 6) 2 90- 15тг-601п2 ^D^3тг^Э1п2) 9 24 - 6л/3 тг + 48 In 2 - 54 In 3 20 (\ v3 тг) 9 ( 2 \ 16 In 2 G V тг J — G + л/3 тг - 16 In 2 + 9 In 3) 4
7.5.4] 7.5. Функция 4 F3 (ai, a 2, аз, fl4; 6i, bi, fes; z) 473 122 123 124 125 126 127 at 1 1 1 1 1 1 «2 1 1 1 1 1 1 «з 3 2 1 1 5 7 9 2 ?14 7 I 1 1 5 7 9 2 6i 2 3 5 2 2 2 b2 to I сд 3 5 3 4 5 bS 11 T 3 5 3 4 5 4F3(ai, a2, «з, a4; &i, &2, 63; 1) -A0 - Зтг) 8A0-тг2) ^(бЗОтг2 - 1) 27 32 4 25 21n2 + l- 1BG + 1I 7Г J 361n2 + 27- -A8G + 13) 64 Г 275 8 1 100 In 2 H B5G + 19) 1225 L 3 тг J , d; -1 \ ^fl+a-6, 1 + a-cl /l + a/2-rf, 6, c; I :=:: * 3 -*z I . — c, 1 + a — d J 11-}-а,1-{-а--Ь-—с} \l + a/2, 1 + a — 2. 4F3 3. 4F3 7.5.4. Значения 4F3(ai, 02, аз, a4; 61, 62, 63; —1)- a, 6, c, d; -1 \ _Г1+а-6, 1 + a-cl _, (l + a/2-d, b, c; 1 1 + a -6, 1 + a a, a/2 + 1, 6, c; —1 a/2, 1 + a — 6, 1, a, 6, c; -1 a + 1, * = 1, с 1 — с = abc a - 6, 1 + a - с [Re (a-26-2c) > -1]. F-a)(c-a) ¦ 4. = 5. = —p (a) a-6f 4 (a - a, 2a+ 1, a+ 3/2, b; -1 _ 2 + 2a - 6, 2 + a a + l/2, a + 2, 2 + 2a-6 1,3/2, a, fe; -1\ _ Г2-а,2-Ь [афЬ, Ьфс, афс]. [c = a, аф b]. [c = b = a]. [Re b < 1/2]. 8. 4F3 9. 4F3 10. 4F3 11. 4F3 12. 4F3 13. 4F3 14. 4F3 15. 4F3 1, 3/2, a, 1 - a; -l\ _ тгаA - a) 1/2, 1 + a, 2 — a J sin атг /1/2, 1, a, 1 - a; -l\ _ тгаA - а) ) V 3/2, 1 + a, 2™ a ) ~~ A - 2aJ —n, a, a/2 + 1, 6; —1 \ _ A + a)n [cosecaTr — 1]. a/2, 1 + a - 6, 1 + a + nj A + a - fe)n ' -n, 1, a, 1 - a; -l\ 22n+2a(l - a)n\(n + 1)! n + 2, a + 1, 2-a/ Bn + l)![Bn + IJ - A - 2aJ]" -n, 1, a,2^a; -l\ = (n + 2)aBa) Г n+3, a+ 1, 3- a/ 2(n + l)(l-aJ —n/2, 1 + a, 1 — a — n 1, 1, 1 /1/2, 1, (l + t)/2, A-i) I Q/9 /Q I ^#Nl /9 /Q » \ "/ 1 v ~r~ ill \ — n2 + 7n + 4). = 0, 94477614...
474 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.5.4 IT. 4F3 1, 1, 1 + г, 1 - г; -1 2, 2 + г, 2 - г = 0, 847134... 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 а\ 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 4 3 4 3 4 5 6 1 «2 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 2 2 3 2 3 со | to 1 2 2 3 3 4 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 «3 3 4 3 4 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 1 1 «4 1 1 1 1 1 3 2 3 2 7 4 1 1 1 7 3 1 1 1 1 5 4 1 5 4 7 4 <ю 1 см 4 3 5 4 3 2 3 2 7 6 1 6i 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 4 3 4 3 5 3 4 3 to | сд 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 2 3 2 3 2 5 3 7 4 4 4 11 6 3 ъ2 3 2 7 4 со 1 см 7 4 2 7 4 2 to | сд 3 2 5 3 2 со | сд to | сд 5 3 7 4 2 7 4 2 2 2 3 2 2 2 9 4 2 3 7 4 5 2 2 2 5 2 ito | сд 5 2 11 т 2 2 7 3 10 to | сд 2 2 5 2 9 4 to | сд, 9 4 11 4 7 2 7 3 9 4 5 2 5 2 13 6 3 4F3(ai, а2,«з, «45 6i, 62, 63; -1) о -(>/2 - 1)тг — [(8>/2 - 7)тг - 2 - 30л/2 In A + лД)} - [BлД - 3)тг + 2 In 2 + 4лД In A + лД)] 6 /2 — [2л/2 In 2 - ж + 6 In A + лД)} 4 — [5 In 2 -f- Bл/2 3)тг -4- 4 л/2 In A -4- л/2 ) 31 5 — [4 - A + лД )тг + 16 In A + л/2 )] — [12 - C- 2л/2)тг - 101п2 + 4л/2 In A +л/2)] — [3C - 2л/2)тг - 16 + 18>/2 In A + лД)] ( >fi\ 2 In 2 - 1 - — ж \ 2 ) 4 In 9 V3 4 -C- л/Зтг+ 21п2) 3 — A61п2-3) 601 ; — A27Г-7Г3 ^64) 128l ; 8 In 2 -j~ 2A — л/3 )тг -[A - 2л/2)тг + 21п2 + 4^ In A +л/2)] 3A - 2л/2 )тг + 12л/2 In A + лД) - 3 -[4 - A - 2лД)тг + 2л/2 In A + л/2 )] 4 -[16 + A - 6л/2)тг - 61п2 - 12л/2 In A + лД)] — [8 + 3C - л/2 )тг - 15 In 2 + 6^2 In A + лД)] 45 — E-61п2) 12 - 16 In 2 15[2- In2 - л/2 In A +л/2)] 6 + 3(л/2 - 1)тг - 91п2 + 6л/2 In A +л/2) — [Bv^ - 1)тг - 8 + 4л/2 In A + л/2 )] ГЧл^Ч л^Ч In ^ In Г*7* 1 л/ч М [О V О V О ill Zi ill ^Zi "T" V «3 JJ 3 4CCC) + 24in2^20)
7.6.2] 7. 6. Функция 5 F4 (ai,. . . , as; 6i, • • • , &4; z) 475 45 46 47 48 49 50 а\ 1 1 1 1 1 1 «2 1 1 1 1 1 1 аз 5 4 5 4 4 3 4 Q dco | см 3 2 «4 3 2 7 4 3 2 5 Q 5 3 7 4 2 2 2 7 2 2 ь2 9 4 9 4 7 3 8 5 2 Ь 2 5 2 11 4 5 2 3 8 3 11 Т 4^3( 15 35л/2[<э 18 ^ 12[41п2^ A - 160 In 2^ 110 15 — [2B- л/3)тг 4 -[21п2-3(\/2 а\, а.2, аз, а45 ^1 ? + 4лЯ 1пA + л/2) - /2 6 In A +л/2)] \/3)тг-5] -г о in z — 1 j - 1)тг - 4 + 6л/2 In Ь2, Ь3; -1) -12] A + V2)] 2. '.5.5. Значения 4-^3(^1, о>2, аз, 04; &i, 62, 63; 20) при zo 7^ '-п/2, A - п)/2, 1/3 - п, B2 - 9п)/21; -27\ _ (^8)та 5/6, 4/3, A - 9п)/21 ) ~~ 1-9п' l, 1, 1, 1; C-л/5)/2 2,2,2 =Ы- 3 - 6. ФУНКЦИЯ 5^4(ai, ..., a5; 6i, ..., b4; z) 6.1. Частные значения sF^ai, . . . , ав; 6i, . . . , 64; ±2;). 1 2 4 1 «2 2 1 аз 4 1 а4 3 а5 1 3 н со I см 2 62 7 4 2 Ьз 2 4 9 4 4 5 м yi{z + h 5F4(a )Li2(z) 1, . . . , «5; 61 1) arctg z1/4 - ,..., 64; *) I 1 + г1/4 S'. 1 3. 1/4, 1/2, 3/4, 1, 1; -z 3/2, 7/4, 25 9/4 Г x \2(z L - 1) arctg -Din- fz + %74z + 1 /z - {Viz + 1 -10arctg^+5z 1[l-ln(l + ^)]. 1. 5F4 = Г 2. 5F4 3. 5F4 7.6.2. Значения 5^4@1, . . . , a^; 61, . . . , 64; 1). a, 6, c, d, e; 1 l + a/2-e, 6, c, d; 1 l + a/2, Ь+c+d-a, 1 + a-eJ' п, п ^ 1/2, 6, c, d] 1 2a, e, e + 1/2, 6 + c + d^2e + _ Г2е, 2e - b - c, 2e - b - d, 2e - с - dl / 2e - 2a, 6, c, d; 1 ~ [2e - b, 2e - c, 2e - d, 2e - b - с - d\4 3\2e - b, 2e - c, 2e - d a, a/2 + 1, 6, c, d; 1 a/2, 1 + a - 6, 1 + a - c, 1 + a - d
476 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.6.2 1 + а-Ь, 1 + а^е, 1 + a^d, l + a^&^e^d] , . . Re (a — b — с — d) > —1]. 1 + а, 1 + а-б-с, l + a-6-d, 1 + a-c-dJ 1, a, 6, e, d; 1 1Ф abcd\ (b _ а^с _ a}(d _ ^ + (a - b)(c - b)(d - b) + (a - c)(b - c)(d - с) + ф{<1) (a — d)(b — d)(c ~~ d) fa, b, c, d не совпадают между собой], = a2be ^ ^ф(а) + L( &) ( J (a —6)(a —с) (a — bJ(b — c) (a — cJ(c — b)_ [a = d, a ^ 6, 6 ^ с, с ^ a], [a = d, b = с, а ф 6], a) — ф(Ь) — (a — Ь)ф'(а) + — ф"(а) [a = с = d, а Ф b], f ^ = —^ (a) [a = 6 = с = d]. 5 5FJ 1, a, a+ 1/2, 6, 6 + 1/2; 1 \l/2 —- a — n, 1 -— a — n, 1/2 —- 6 — n, 1 —- b — n Ln/2J /o \ /m\ r-i . / i\m i г -1 ii l - ^a, l - . -2a-26-2n \ Da + 2nJnD6 + 2nJn L1/2 ~ 2a ~ 2n^ г/2 ~ 2b ~ 2n\ Ba + n)n(^b + n)n j [Re (a+ 6) < 1/4-n]. 1, a, a+ 1/2, 6, 6 + 1/2; 1 \ _ 1/2 + n^a, 1 + n^a, 1/2 + n^6, l + n^6y /1 О \ /1 OI\ L ' \ / J Aft П \ {Л О1Л A + 2п2а26Jп 12a,126 1 / 0FA + 2n - 4aJn(l + 2n - 46Jn 4 L1 + 4w - 2a - 2bl I 24n(l/2 + 2n - 2a - 26Jn x Г -] [Re (a + 6) < те + 1/4, n = 1, 2, 3, . . .]• 7. 5F /I Hi 1% U> X 8. = — ctga7r+ ^ _ +^ [6 = a]. + a, 1 — a, l + o, 1 — о J A{az — ол) А 2 2 t жа ж a 1 — ctg an + . 2 h - 4 4 81п2атг 2 1, a, a, 1 — a, 1 — a; 1 \ тга2A — аJ ГтгA — 2a) 1 + a, 1 + a, 2 - a, 2 - a J ~ A - 2aK [ sin2 атг 7Г [a = 1/2]. 11- l + a, 1 + a, о — а, Л — a J 4A — a) /1/2, 1/2, 1, a, 1-a; 1\ тгаA - а) 2, 2, 1 + a, 3 — a J 6A — a
7.6.2] 7. 6. Функция 5 F4 (ai,. . . , as; 6i, • • • , &4; z) 477 14. 5F4 15. 5F4 16. 5F4 IT. 5F4 18. 5F4 19. 5F4 20. 5F4 —n, a, 6, c, d; 1 1 + a — 6, 1 + a — c, 1 + a — d, 1 + a + в —n, a, a + 1/2, b, c; 1 F - rc)/2, A + 6 - rc)/2, d, 1 + 2a + с - d —n, a/2, 1 + a — 5 — c, d; 1 1 + a ^ 6, 1 + a^c, d — a/2 — n A + 2a - 6)n / -n, 2a, d - c, 1 + 2a - d; 1 4 3 A — b)n \ 1 + Aa — o, a, 1 + za + с — a — ra, a, a + 1/2, 6, c; 1 2a, F + c)/2, F + с + l)/2, 1 + 2a - 6 - (c)n(c + 2& - 2a)n _ ^ ( -ra, b/2, (b + l)/2, b + с - 2a, ra + с + 2b - 2a; 1 c + n, 1 - с - ra, 6 + c/2 - a, 6 + (c + l)/2 - a _ (l + a)n(l + a-6-c)n " F + c)nF + c^2a)n° —7i, a, a/2 + 1, 6, c; 1 a/2, 1 + a ^ 6, 1 + a^c, l + a + nj A + a — 6)n(l + a — c)n ' -n, 1/2 -ra, -1/4, 1/4, 9/8; 1/4 -ra, 3/4 -ra, 1/8, 3/2 2,1 + г/2, 1 + г/2, 1 - г/2, 1 - г/2; 2 + г/2, 2 + г/2, 2 - г/2, 2 - г/2 2, 1 + г, 1 + г, 1-г, 1 - г; 2 + г, 2 + г, 2 - г, 2 - г = 0 |=1, 289128... = 1, 588468... !n = 1, 2, 3, . ..]. 91 Л JL 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 аг 1 8 4 1 _ 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3 1 00 г 4 1 _ 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 «3 5 1 00 г 4 3 4 1 2 3 4 _ 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 ]_ а4 7 1 00 г 4 3 4 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 «5 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 4 7 4 7 4 7 4 6i 9 8 г 0 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 3 2 3 2 7 2 2 5 4 5 4 3 2 2 62 11 8 г 0 4 5 4 3 2 3 2 2 3 2 7 4 2 7 4 2 2 9 4 7 4 2 2 9 4 Ьз 13 8 г 0 4 7 _ 4 3 2 7 4 7 4 2 2 5 2 2 9 4 9 4 5 2 5 2 5 2 9 4 5 2 64 15 8 г 0 4 7 _ 4 7 4 7 4 2 11 4 2 11 т 9 4 11 т 5 2 11 т 11 т 11 т 11 4 11 т 5F4(ai, . . . , ав; fc»i, . . . , 64; 1) 35тт 32B +л/2) /тг / 1 \ 512V2 W ; 9тг . — (тг - 2) 32 v ; Зтг 8 1,014678... 6 In 2 — 7Г 7 ^A441п2^27тг^2) ™B21п2^47г™ 1) 5V ; 7 ^E41п2^9тг - 7) 15 5 — (8 In 2 — тг — 2) 2 7 A08 In 2 — Этт — 44) 18 541п2-3тг - 27 7 3 7 , ^D+ 12 In 2 -Зтг) 20V ; ^A9- 18 In 2) 45V ; 7 — (86 - 72 In 2 - 9тг) 54 7 -F7 — 9тг — 54 In 2) 9
478 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.6.3 38 39 40 41 42 Л Q 4о 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 к к оо 56 57 О1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 1 ICM 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 _ 2 2 3 3 4 3 4 1 1 «2 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 2 1 1 ICM 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 «з 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ICM 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?14 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 ICM 5 2 1 1 1 1 1 5 4 1 5 4 5 4 ч со 1 <м 3 «5 3 2 3 2 3 2 3 2 7 4 1 2 1 5 2 5 4 5 4 5 4 5 4 3 2 7 4 4 3 3 2 со 1 см ч со 1 <м 3 6i 5 4 5 4 7 4 2 2 3 2 Б » |см 3 2 3 2 3 2 7 4 2 2 2 5 3 7 4 2 Q «5 5 2 2 &2 7 4 2 2 9 4 9 4 3 2 Б » |см 3 2 7 4 2 2 9 4 2 9 4 2 2 9 4 Q «5 5 2 2 6з 2 5 2 9 4 5 2 5 2 3 2 Б > ICM 7 2 2 9 4 9 4 5 2 5 2 5 2 2 9 4 5 2 <э О 3 4 ь4 5 2 11 4 5 2 11 т 11 4 3 2 Б > ICM 7 2 9 4 11 т 5 2 11 т 5 2 11 — 4 7 3 5 2 11 т О 3 4 5^4@.1, ... , «55 ^1} • • • » ^45 1) 3 -(Зтг - 141п2 + 2) 7 — (9тг — 72 In 2 + 26) 30 -B6 -тг- 32 In 2) ™A04-9тг - 108 In 2) 7 ^B7тг + 144 In 2- 182) 18 ТГ 2 о 48 27 л 9 _GГ4+30^-384) 25 о (9тг2 -64) 576v ; 5тг 50 In 2 + 20 7 -(Зтг - 96 In 2 + 58) 6 135- 150 In 2 7D7-Зтг-54 In 2) ™(84-5тг2 -48 In 2) 7 -A2тг + 66 In 2 — 83) 3 — B7 — 3v 3 тг — тт ) 27 15тг + 150 In 2 — 150 35 — (Зтг -24 In 2 - 26) (тг + Лоитг ozo) 45 72тг4 + 12тг2 - 828 -^Dтг2 -33) 16V ; 7.6.8. Значения 5-^4(^1, . . . , as; 6i, . . . , 64; —1)- 1, а, 6, с, d; —1 1. 5-^4 1 ' I =—1я [1я см. в 7.6.2.4, где следует заменить ф(х) на /3(х)]. \а+ 1, о+ 1, с+ 1, а + 1/ / 1, а, а, —а, — а; —1 \ тга 7r2a2cosa7r 1 \1 + а, 1 + а, 1 — а, 1 — a/ 4slna7r 4sln2 аж 2 /1/2, 1/2, 1, а, 1-а; -1\ _ тгаA - а) Г 2 1 - 2а , / 5 Л 3/2, 3/2, 1 +а, 2-a J ~ ~ A - 2аK [coseca7r ~ ^^^а^ ^^^ \^2у [а: 4. 5F4 5. 5F4 6. 5F4 A - 2а) а(а - 2) 1, 1, 1, а, 2 — а; —] 2, 2, 1 + а, 3 - a J ~~ 12(а - IL 1/2, 1/2, 1, A + 0/2, A-0/2; -1 3/2, 3/2, C + 0/2, C-0/2 1/2, 1/2, 1, B + 0/4, B-0/4; -1 3/2, 3/2, F + 0/4, F-0/4 а , 2/, ч2 67ГA - а 6 + тг A — а) sin атг = 0, 980248... = 0, 986580...
7.7.2] У. У. Функция 479 7 о о 9 10 11 12 13 14 15 oi 1 4 1 I 1 4 1 4 1 2 1 2 2 3 1 1 «2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 «з 3 4 1 2 3 4 3 4 1 3 2 1 1 1 ?14 3 4 3 I 1 1 5 2 3 2 1 3 2 3 «5 1 i 1 1 1 5 2 9 4 4 3 3 2 3 6i 5 4 5 4 5 4 3 2 3 2 5 4 5 3 5 2 2 b2 5 4 3 2 3 2 7 4 3 2 2 2 5 2 2 63 7 4 3 2 7 4 2 7 2 2 2 3 4 64 7 4 7 I 2 9 4 7 2 3 7 3 3 4 5F4(ai, . . . , a5; fei, . . . , 64; -1) 0,99339507... j[v2 ln(l + V2) - GJ -[D\/2 - 3)тг - 21n2 - 4л/2 In A + л/2)] ^— [35тг - 72 In A + лД) + 2 - 2 In 2] 25 A8G- 11) 144l } 16/4 \ — ( ! 1 5 U у 2 — A2л/3 7Г-54-7Г2) 27 828-4321n2-576G АB7Г2 _ 15) 16 7.6.4. Значения sF^ai, . . . , as; 61, . . . , 64; z®) при zo / ±1. -n, a, a/3 + 1, 6, 1 - 6; 1/4 \ _ ((a + l)/2)n(a/2 ¦ a/3, a + 2n + 1, (a - 6)/2 + 1, (a + 6 + l)/2/ ((a - 6)/2 + l)n((a + 6 + l)/2)n * /-n, a, 2a/3 + l, 6, a - 6 + 1/2; 4\ _ 1 + (-1)та 2^nyi!(a + l)n/2 \2a/3, a + n/2 + 1, 26, 2a ^ 26 + l) ~ 2 (n/2)!F + l/2)n/2(a - 6 + l)n/2 7.7. ФУНКЦИЯ 6F5(ai, ..., a6; 61, ..., b5; z) 7.7.1. Представления qF^{u\1 . . . , ae; 6i, . . . , 65; a, a + 1/3, a + 2/3, 6, 6 + 1/3, 6 + 2/3; z [a, 1/3, 2/3, c,e+1/3, с+ 2/3 7.7.2. Значения 6F5(ai, . . . , a6; 61, . . . , b5; 1). *», 3*. Зс, / 1, 3/2, a, a, 1 - a, 1 - a; 1 \ = aa(l-a)» , _ , _ \l/2,l + a,l + a,2-a,2-a/ 1 - 2a L^ l ; ^l л 2, 2, a, a, 2 - a, 2 - a; 1 \ тга2B - аJ Г тгA - а) 6F5 6F5 -n, a, a + 1/3, a + 2/3, 6,6 + 1/2; 1 c, d, B6 - n)/3, A + 26 - ra)/3, B + 26 - n)/3y Ca - 26 + l)n /-n, 3a, с - d + 1/2, d - с + 1/2; 1/4\ A - 26)n 3\ c, d, 3a -26 + 1 / -n, a, a + 1/3, a + 2/3, 6, 6 + 1/2; 1 Ca + l)/2, 3a/2 + 1, B6 - n)/3, A + 26 - n)/3, B + 26 - n)/3/ ~ A - 26), -n, 1, a, 2 - a, 6, 2 - 6; 1 \_ (n + 2)!n! [ aB - a) 3/2]. n + 2, a + 1, 3 - a, 6 + 1, 3 - bj 2F - a)(a + 6 - 2) [F - 1JF + l)nC - 6)n 6B-6) 1 (n + 2)B-a)B-6)ab 2(n (a - 1JF - IJ ' -n, 1- ra/3, a, 6, 1- 2a- 26- n, 1/2- a- 6- n; 1 —n/3, 1— 2a^ n, 1— 26^ n, 1— a— b— n, a+ 6+ 1/2 -n/2, A - ra)/2, a, a + 1/3, a + 2/3, 6; 1 F - n)/3, A + 6 - n)/3, B + 6 - n)/3, c, 3a - с + 3/2
480 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.7.3 A + За-6)„ „ /-п, За, с-1/2, 1 + За-с; 4 — 4^3 A-Ь)„ \1 + За-Ь, 2с-1, 2 +6а-2с 1,3/2, A + 0/2, A + 0/2, A-0/2, A-0/2; Л _, 17,Q44 1/2, C + 0/2,C + 0/2, C-ОА C-г)/2 ) ~ ' 1, 3/2, B + 0/4, B + 0/4, B - 0/4, B - 0/4; 1\ 1/2,F + 0/4,F + 0/4,F-0/4,F-0/4 J-1'077536- 1 1 3 3 1 3- 1 5 5 7 7- Л V г 4' 4' 4' 1; 2' 2' 4' 4' 4' 4' V " § /1 3 3 3 9 5 Л 32 / 8 11. eF5 ^-, 1, -, -, -, i, ^ 2, 2, 2, 3, 1J = у ^1 - - 7.7.3. Значения 6^5(^1, • • • , «е; &i, • • • , ^5; — 1)- _, / 1/2, 1, а, а, 1 - а, 1 - а; -1 \ тга2A - аJ Г А тгA - 2а) 1 1. 6^5 ( / 1 = —Г"^ гг- 4 - 4cosec а7г +—^-5 cos атг \3/2, 1 + а, 1 + а, 2-а, 2 - а/ A - 2аL [ sin2 атг J 5 [а ^1/2 1, 3/2, а, а, 1 - а, 1 - а; -1 \ _ тг2а2A - аJ cos атг J 2 атг I" * 1/2]. 1/2, 1 + а, 1 + а, 2 - а5 2 - а J " A - 2а) sin2 атг 2, 2, а, а, 2 - а, 2 - а; -1 \ тта2B^аJГ 1, 1 +а, 1 + а, 3 — а, 3 — а/ 4A — а) [ fa,a + 1/3, а + 2/3, За - 1/3, За, За + 1/3; -1 * 6 5\ 1/3, 2/3, 2а5 2а + 1/3, 2а + 2/3 _, / 2, 2, а, а, 2 - а, 2 - а; -1 \ тта2B^аJГ тгA - а) 1 . \1, 1 +а, 1 + а, 3 — а, 3 — а/ 4A — а) [ sm а7Г J 9a - 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 5/4; -1\ 4 /3 ]=2Г U Г((За + 1)/2)Г(9а/2) Г[2/3, За, За + 1/3] 6 5/4; -Л=2Г-4^ i/4,1,1,1,1 ; V4, 7.8. ФУНКЦИЯ 7^6(ai, ..., а7; bi, ..., be; z) 7.8.1. Значения 7^б(«1, • • • , «75 &i, • • • , бе; 1). L. 7 -^6 [ ' / ' ' ' ' ? «/ 5 \а/2, 1 + а —6, 1 + а — с, 1 + а — а1, 1 + а — е, 1 + а — /у 1 + а — 6, 1 + а — с, 1 + а — а1, 1 + а — /, 1 + а — 6 — с — а1, = Г| 1 + а, 1 + а — о — с, 1 + а — о — а, 1 + а — с — а, 1 + а — 6 — с — /, 1 + а — 6 — а1 — /, 1 + а — с — а1 — / [е = 2а- 6- с- а1- / + 1]. • 1, а, а, а, 1 — а, 1 — а, 1 — а; 1 \1 + а, 1 + а, 1 + а, 2 — а, 2 — а, 2 — а - ЗтгA - 2а) cosec2 атг + тг2A - 2аJ Т"^" I [a ^ 1/2]. = Я^ A — 1а)ь 6 ч у 3. = [a = 1/2]. 960 l / J / 1/2, 1/2, 1, a, a, 1 - a, 1 - a; 1 \ _ тга2A - aJ * 7 6\3/2, 3/2, 1 + a, 1 + a, 2- a, 2- a) ~~ A - 2aM X x [2ttA - 2a) - 6 ctg атг + тгA - 2a) cosec2 атг] [а 7^ 1/2]. 5- = Wo [a =1/2]-
7.9.1] 7.9. Функции sFjjai,. . . , as; fri, ¦ • • , 67; z) n 9-^8 (fli? • • • , «э; 61, • • • , bg; z) 481 _, / 1, 3/2, 3/2, a, a, 1 - a, 1 - a; 1 \ тта2A - 2aJ 6. 7/Vf ! — 7. 7F6 1/2, 1/2, 1 + а, 1 + а, 2 - а, 2 - а/ 1 - 2а х [2 ctg атг + тгA — 2а) cosec2 атг] [а ф 1/2]. 1, а, а, а, 2 - а, 2 - а, 2 - а; 1 \ _ а3B - аK 1 + a, 1 + a, 1 + a, 3 - a, 3 - a, 3 - a/ 16A - aN x 1*8 - Зтг2A - af cosec2 атг + ЗтгA - a) ctg атг + 2тг3A - af cosa7T 1 [a ф ц. / 1, 1, 1, a, a, 2 - a, 2 - a; 1 \ _ a2B - aJ 7 6 , 2, 1 + a, 1 + a, 3-a, 3-a/ 12A - aN X x [2тг2A - aJ ^12^ 9тгA - a) ctg атг + Зтт2A - aJ cosec2 атг] [а ф 1]. , —га, a, a/2 + 1, 6, c, d, 2a — 6 — с — d + n + 1; 1 11. 7-Г6 1 , , _ A + a)n(l + a - b - c)w(l + a - 6 - d)n(l + a - с - d)n ~ A + a - 6)n(l + a - c)n(l + a - d)n(l + a - 6 - с - d)n ' . -n, a, a/2 + 1, 6, b + 1/2, a - 26, 2a - 26 + n + 1; 1 7 6 va/2, 1 + a - 6, 1/2 + a - 6, 1 + 26, 26 - a - ra, 1 + a + ra _ A + а)„A + 2а -46)„ . -n, 1,3/2, a, 1-a, 6, 1-6; 1 * 7 6lvl/2, n + 2, 1 + a, 2-a, 1 + 6, 2-. (-l)nn!(n + I)!a6, Wi LX Г Г -га - a ] Г -n - 6 = -™—-—ту2 —r-(l — a)(l -— oj < I — I '1/4, 1/4, 1/4, 3/4, 3/4, 3/4, 1; l\ = 27тг _ ^2 5/4, 5/4, 5/4, 7/4, 7/4, 7/4 J 256l Ж h 7.8.2. Значения 7^б(а1, . . . , a^] 6i, . . . , &65 —1)- /1, 3/2, 3/2, a, a, 1 - a, 1 - a; -1 \ _ a2(l - aJ * 7 \l/2, 1/2, 1 + a, 1 + a, 2-a, 2 - a J ~ 1 - 2a X x [4/3(a) - (l-2a)(^'(a)+^/(l-a)) - 2тг cosec атг] [а ^ 1/2]. ,1, 1, 1, a, a, 2-a, 2-a; -1^ _ a2B - aJ Zi. 7Г - 2, 2, 1 + a, 1 + a, 3 - a, 3 - a) 12A - aN x [tt2A - aJ + 12 - 9ttA - a) cosec атг + Зтг2A - aJ cos а7Г 1 [a ^ 1]. L sin aTiJ 31тг6 '1, 3/2, 3/2, A + i)/2, A + i)/2, A - t)/2, A - t)/2; -1 1/2, 1/2, C + г)/2, C + г)/2, C - г)/2, C - г)/2 /1, 3/2, 3/2, B + i)/4, B + i)/4, B - i)/4, B - i)/4; -1 ' 7 6 V 1/2, 1/2, F + i)/4, F + i)/4, F - t)/4, F - i)/4 6 7F6f1/4' 1/4' 3/4' 3/4' X' 3/2' 3/2; i-0 961977 7 6 V 1/2, 1/2, 5/4, 5/4, 7/4, 7/4 J ~ U' 9biy77- 7.9. ФУНКЦИИ 8^т(о1, ..., a8; bi, ..., Ьт; z) И 9F8(ai, ..., a9; bi, ..., b8; 7.9.1. Значения 8-^V(flij • • • ? ^g; 6i, . . . , 67; ±1). 2, 2, a, a, a, 2 — a, 2 — a, 2 — a; ±1 vl, 1 + a, 1 + a, 1 + a, 3 — a, 3 — a, 3^ay 16 А. П. Прудников, Т. З
482 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.9.2 B-af ГГ ctgan 1 тгA - a) f 1 1 тг2A - аJ Г 2 cos атг 11 а — IK L\coseca7r/ sin2 атг \ cos атг/ sin3 атг \ 1 + cos2 атг j J ~Щ 1, 3/2, 3/2, 3/2, а, а, 1 - а, 1 - а; -1 \ _ тга2A - аJ 7.9.2. Значения gFs(ai, . . . , ag; 6i, . . . , 6g; 1). 1, 3/2, 3/2, a, a, a, 1 ~~ a, 1 - a, 1 - a; 1 \ _ тга3A - aK vl/2, 1/2, 1 + a, 1 + a, 1 + a, 2 - a, 2 - a, 2 - a) ~ A - 2aK x [тгA — 2a) cosec2 an + тг2A — 2aJ cosec2 атг ctga?r — 2ctga?r] [а Ф 1/2]. 2. 9F8 -n, 1, 3/2, 3/2, 3/2, a, 1 - a, 6, 1 - 6; 1 1/2, 1/2, 1/2, n +2, 1 +a, 2^ a, 1 + 6, 2^6 _ n!(n + l)! Ba - - 1) 3. 1. b + l)nB-6)n 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 3/4, 3/4, 3/4, 3/4, 1; l\ _ 27rr 3 _ 2 5/4, 5/4, 5/4, 5/4, 7/4, 7/4, 7/4, 7/4 J ~~ 512 ^ ^ 7.10. ФУНКЦИЯ ,+iFq(oi, ..., aq+1; bu ..., bq; z) 7.10.1. Значения q+iFq(all . . . , aq+1] bi, . . . , 6g; z). a, 6i, . . . , bq; о с7 4. 9+1F, 5 С7 • 9+1 " Я 6 i i F *-*• 9+1 9 [(9-l)/2] 1, a); A(g, a) 1, a, . . . , a; z a + 1, . . . , a + 1 1, m, . . . , m; z A - x)a 1 + qx =a Ф z' ^' a)" T . g .-x)«+1z =-fr- =-friz см. в 7.10.1.2]. , i); (k~lq+l)/q fc_i / m - A; z ^ . 21/f ч z1/gslnBl7r/g) h - > sln^(fe + lWarctg ^ ^^»» -^ + i q ?-f 9 i i "У 2cos^(ife+lOrln f z2/q-2z1/q cos —+ 1V- q j-^ qK \ q J q In 7. 8. , l, ¦--, l; 2, . .., 2 9. 1, 1, . .. , 1, 2, . . . , 2; z 3, ... . .., 3 = i(q - n, q) [I(q, n) см. в 7.10.1.9].
7.10.2] 7.10. Функция ;6i, . . . jbq;z) 483 10. 2, 2, . . . , 2; z\ 1 ( ^V+1 1 _ ^ (k + l)(~zY 1, ...,1 )~z\dz) i-z~2^f h^z)k+2 ' > / V 7 fe=O l ; 1. lim 2. 7.10.2. Значения 9+iFg(ai, . . . , ag+i; 6i, . . . , 6g; ±1). , 62, • • • , 6g, "~"C a, 6i, &2, • • • = rh - n^ с = \ Ffe - ak) - aq+i; Re с > 0 . Rea < ^2 пк, rife = 0, 1, 2, . . . ; 6fc + nfc ^ 0, -1, -2, . . . при k = 1, 2, . . . , q; bk — bi ^ 1 — rife, 2 - nfe, . . . , n/ - 1 при /г, I = 1, 2, . . . , q; k ф l\. 3. 4. q+iFq 5. L, bi, ..., 6g; ±1 »1 + 1, • • • , bq + 1 1, a, a, &i, . . . , 6^-2; =Ы a + 1, a + 1, bi + 1, ..., 6g^2 i; k, I = 1, 2, . .., g; fe ^ /, = 2, 3, 4, ... = 1, 2, 3, ... 9-2 9-2 9-2 [6fc ^ 6|5 fe, / = 1, 2, . . . , ^ - 2; Aj # /; q ^ 2]. 1, a, a, a, 61, ... , Ьд^з; ±1 a + 1, a + 1, a + 1, 61 + 1, . . . , 6g^3 + : 9-3 9-3 9-3 Е fe=i 9-3 n» + 6. q+iFq a, 6, . . ., 6; 1 6 + 1, ..., 6 + 1 j; fc, Z = l, 2, ..., g-3; fc^Z, 9-1 + 6- aj [Rea < q; q = 1, 2, 3, 16*
484 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.10.2 7. о+- ,а + 1, ..., a + iy (9-1)! ^-^(а) J LU = 1,2,3, /а, 2, 2, ..., 2; l\ (-l)gF - 1)(Ь - 2) ^ fc fe!(a - l)fc o(fc) О. a+l-^al | I = -, ГГ7 w 7 Г У.\ *-) 1 Г Г"' *-}q [Re (a -b) < -q- 1; q ^ 1]. — T? 01 fl * 1 \ I CT i — S i I I О i — fl I 9. o+l-^o , , I :=: ; ч—T-, ч x FT \^ g_i, С / (°"g-l — 5g)n@g^l)n g X П (ai fe к I С = Sq - (Jq^l - П + 1, Sk = ^jP ttj, <Jk = ^ bj, ГГЦ = ^ Ukj TOQ = 0, q = 2, 3, 4, . . ¦ L 1 10. ,+i ai — 7ii, • • • , aq — nq 9 fe-1 11. = Я — s(tti ^ 72i + 72 Пк(пк - fe=i i=o L j=o Z-l fe=i i=o z=fe+i L ^ 0, -1, -2, . . . ; j = 1, 2, . . . , q; в = ]Г njy R = n\ f\ ^^; a0 = -n; n0 = 0; 14 / -n, a, . . . , a; 1 \ ( , 13. g+i^g I = b(g, n), \a- 1, . . . , a - 1/ n7- = 1, 2, 3, . . . при j = 1, 2, . . . , q . 3 5(g, n) = 0 [д = 0, 1, 2, ..., n - 1] (n + 1, n) = A - a)^^^^ + l)! ^l - a - ^) , (n + 2, n) = ^~24 (n + 2)'[12(a + ^ - !)(a - 1) + ^C^ + 1)], (a - l)S(q, n) = (a + n- l)S(q - 1, n) - nS{q - 1, ra - 1), 5(g, 0) = 1. -gn-1, a, ..., a; 1\ Г. ,n (-a - gn)nlg Г n [a)qn+1 = A) A) ЛА /-gn-1, a, ..., a; 1\ Г. , 14. g + lFJ = (-1) a — 72, . . . , a — 72 / [ A — a)n J |_ (a — n)qn~\ 5g I, —72, . . . , —72, 1; 1 \ n\(a — 1) ^—\ Sq -n-1, ..., -n-l,aj (n + l)^-1 ^ (n - k + l)!(n - A; + a)' -n, A(g + 1, a), A(g, 6); 1 \ _ А (-п)л(а)дЛ!+л(Ь)дЛ! 16. 2g + 2F2g + 1| A/?ja+l)jA(9+lj6_ -n, A(g + 1, a), A(g, 6); l\ _ A + a - b)n 18 F / -n, A(g + 1, a), A(g, 6); 1 \ = (a - 6)n • 2g+2 2+l^ ^ -n, 1,2,2, ...,2;
7.10.2] 7.10. Функция ;fei, . . . ,bq\z) 485 + 1]. In + 2 — 20. 2q 21. 22. Iq=0 In+3 = = 2, 3, 4, . . . , 2)!]2Bn 12 -n, 1, 3/2, 3/2, ..., 3/2; 1 -n, 1 - n/2, 1 - n/2, . . . , 1 - n/2; -n/2, -n/2, . . . , -n/2 2n + l)Bn + 3). (-n)k [q = n, n + 2, n + 4, . . . ; n = 1, 3, 5, . '-n, 1/2-n, l-n/2, l-n/2, . . . , l-n/2; ±l\ _ [J g = 2, 4, 6, .. . 9+1 ** f 1/2, -n/2, -n/2, . . . , -n/2 J ~ ° [U + n = 2, 4, 6, . . . ^-n, -1/2-n, l-n/2, l-n/2, . . . , l-n/2; ±Л_ 0 Г Г Ч = 2, 4, 6, . . . 3/2, -n/2, -n/2, . . . , -n/2 J ~ [\ q + n = 2, 4, 6, . . 1 -n, l-n/2, l-n/2, ..., l-n/2; -n/2, -n/2, . . . , ^n/2 25. 26. 27. /A(g, -n), 1; 1\ _ 2" 4 ' ; J ч k=i -n, 2, 2, ...,2; -1\ 1 i,i,...,1 у n + i 1, 1, ..., 1; 1" 2fc-l g = n + 2/ + l; / = 0, ±1, ±2, . .. 9 = 2/ + 1; / = 0, 1, 2, ... 52 = — = 1, 64493407..., 4 54 = — = 1, 08232323..., 6 S6 = — = 1, 01734306..., = 2,3,4, ...], [q = 1,2,3, ...], 53 = 1, 20205690..., 55 = 1, 03692776..., 57 = 1, 00834928..., 59 = 1, 00200839..., 28. x" 93555 1, 1, ..., 1; -1 2, ..., 2 = 1, 00099458. Ti =ln2 = 0, 69314718..., T3 = 0, 90154268..., T5 =0, 97211977..., T2 = — =0, 82246703..., JL.Z T4 = ^ = 0,94703283..., 31тгь 30240 = 0, 98555109...,
486 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.10.2 Т7 = 0, 99259382..., Т9 = 0, 99809430..., Т8 = Т10 = = 0, 99623300..., 7Чтг1 0O4Z05U Bg - 2fc - l)!B7rJfc = 0, 99903951... 30. 3i--iF"(\^7,43,:::;31;±1)=J(*'n)' J(q, n) = ±{-lLn - A) ± k=o 32. q+iFq o, о, . . . . . . , о y ~n, g) , n) см. в 7.10.2.31]. a-"' 7"Bn /"A) = j =0, 78539816..., /"B) = G = 0, 91596559..., 3 J"C) = ^ = °5 96894615..., /"D) /"E) /"F) /"G) /"(8) = 0, 99984999..., 0, 98894455..., ^^ = 0, 99615783..., 15оо 0, 99868522..., = 0, 99955451..., Щпу. /+B) = — = 1, 23370055..., 8 /+C) = |(C) = 1, 05179979..., 8 /+D) = ^ = 1,01467803..., /+E) = l, 00452376..., /+F) = ^ = 1,00144708..., /+G) = l, 00047155..., /+(8) = 161280 = 1, 00015518..., 8257536 /-A0) = 0, 99998316..., = °' 99994968..., /+(9) = 1, 00005135..., /+A0) = О-1 1 = 1, 00001704...
7.11.1] 7.11. Функции Куммера \Р\{щ b; z) и Трикоми Ф(а, b; z) 487 34. 36. A(q, ( LI/2, V 5/2, A.1/2, I 5/2 f 1.1/2, V 3/2,. 2<?+n • • • i — n E A k q-n 1/2; П . 5/2 )¦ 1/2; -1> ,5/2 J 3/2, 5/2, [q/2] ...,5/2 у n n 1 Bg - 2fe (q-2k- K(Q-k)- - 2)\^ l)!Bfe)!J g" / fc=O ^ -zfc I 2 3 . f Aj-l\2n-fe А; у 47 37. 1,1/2, ...,1/2,3/2, ...,3/2; 1 , n) см. в 7.10.2.44]. (-D^3-7- 9-2 / Д ч fe=O V * -!Vfc- J 39. 1, 1/2, ..., 1/2, 3/2, ..., 3/2; -1 5/2, ... ...,5/2 = C(q-n, q) [C(q, n) см. в 7.10.2.38]. 7.11. ФУНКЦИИ КУММЕРА гРг{щ Ъ; z) И ТРИКОМИ Ф(о, Ь; z) 7.11.1. Представления о^о(^) и iFi(a; 6; z). . 0F0(z) = ez. 2 3 4 5 6 a a a a a a b b b a 2a 2a-n ez z~~ ez л 6/2 a - a - a; Mp (! l 2 Ь; -г) iFi( »-l/2 ^J 2 n a; 6; , X Ba f a + A; [P = b/2 -n)kk\ - a, 2a = — X b-i] -(I)
488 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.11.2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 а а а те те те 1 1 2 —те —те —те —те b 2а + те а — те b т те + 1 b т т b 2те 1 2 3 2 rH)(tI/a~V/a?- (-1)пте! а„п„1г A^а)пС n ^ "' 6-1 / д \n^ f^fl^b « /, (п — II \dz ) C ^ (m-2)!(l-m)n 1_m[m^ (-1)тете! Г z ^p (-l)fezfc zn c 2^ д.; F- l)^1"bea!7F- 1, z) L fc=o fe!J / im Г m—3 1 A/ lib 1 aj 1 С 7 (Ь)п П 'rl""z fz/2 ff f ^ 1 f2«V /тг n+l/^ \o/ (-1)тете! /_ 2Bте+1)!лД 2n+1 V^ iFi(a; 6; z) [-n)k{2a-l)k ( \\ [2a + n)kk\ V " 2) >-l, z)] (l+n-m)fc^ ^^ fc!B-m)fc " ^ 24 (m-2)(m-l) fe!J ' /a+*-l/2 B) (!-»)* ( .)*] fc!B-m)fc "[nJ<TO] [m = 1, 2, 3, ...] [m -2, 3, 4, ...] ; 2-6; *) = Г Отметим, что при некоторых других значениях параметров а и 6 функция iFi(a; 6; z) может быть выражена через указанные в п. 7.11.1-2 функции с помощью рекуррентных формул 20. aiFi(a + l; 6; z) = (z + 2a - 6) iFi(a; 6; z) + F - a) iFi(a - 1; 6; z). 22. aiFi(a + l; 6 + 1; z) = (a — 6) iFi(a; 6 + 1; z) + 6iFi(a; 6; z). 7.11.2. Частные значения iFi(a; 6; z). iFi(a; 6; z) 2 1 1 2 e~ - Vtt - \e -\ \ — erfi 2 2 C- 16z 4 4z-4z 2,- ff Г -I / -C + 6z + 12z2 - 8z3)x — erfi (v^) - C + 4z - 4z2)e; 64z2 [2 у z ^ег/2 [2A + 102 - 422)/0 @ - D + 52 + 622 - 423)/! (J (l-22)e*
7.11.2] 7.11. Функции Куммера \Р\{щ b; z) и Трикоми Ф(а, b; z) 489 10 11 12 1 Ч 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 47 О 1 38 а 1 2 1 — 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 _ 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 Z 2 2 2 2 9 Z 2 6 1 3 2 2 5 2 3 7 2 4 1 1 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 1 1 2 1 2 5 2 3 7 2 4 1 ~2 1 2 1 3 2 5 ICM 3 gZ/2 г / _ V 1 /тГ —./— qy г € Z' \ If) L 3 Г1 + 4z [ 2 Ае^/2 г 3z L 15 [1 32z2 [2 5z2 l-2z- 1 /тГ -\ — ez 2 у z 3 Г1 Г 2z [2 V 2z^2(ez 5 ГЗ _ 4z2 L2 V 3zBe2 A — 4z - A -|- 2z)e ez/2 ГA_ L ez/2 Г/о L 3 Г €.Z — 2z [ ie«/27i z 15 L* 8z2 Г 1 -4z- 1 + Z + - 4i+x -L 2 L 3 г 1 4zP 2z^2[l^ iFi(a; 6; z) ~ 1 2/ i i\fz ) /^\ /z\1 j j- I j ^2/ V 2/J 2z рк 1 V z { ) J V 2 / V 2 /-1 ^«5 1 Д^ | Д~2\ / p-r.fi f /~~ \ (^ 1 r*~\/^'Z Г / Z \ / Z\~\ z(l + 2z)/nl I D + 3z + 2z2)/i [ j L V 2 f V 2 / J ezerf {лД) erf (y/~z ) 1) ^ezerf(v^)-l] z J -1-z) Fiv 1 '— ez erf (л/z) - 3 - 2z ^ J _ 2 — 2z — z2) 4z )ez z ^z)lJ^)+zh(^\\ V 2 / V 2 / J ^) +/l (f)l v 2' V 2 ^ J 1 /тг 1 — 4 / — erfi (\/~z ) 2 V z J (-) \2/ 3 + 23 /^crflf ^0 W ertnvzn ^ V ^ J 2z2 - z3/2E + 2z)v/7rezerf (л/z) •/^^ /0 1 o«U2prfr/r\ 2 + 2z pr z f ( ^—^ 2 V * J 1 — 2z /тГ 1 2 У z { }\ (l^z)ez\
490 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.11.2 Ост 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 a 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 3 3 3 3 3 3 3 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 4 6 7 2 4 1 1 2 1 3 2 2 3 7 2 4 1 2 1 2 1 3 2 2 5 2 7 2 4 1 2 1 2 1 3 2 2 5 2 3 4 1 2 15 Г 8z2 L 6z~3[2 1 зC- 1 ~ C -f- 3 з е ~~ C + 3 rz/2 4 / ez/ 5 [J: 4z2 \_z 4 gz / z2 I [2_ 2 [ 1 Г 4 [ + 1B + 2 2 — [l 16z L -A5 15 V ?A6 15 е A5 15 1 ~ E + 5 4 ? 15^C 4l2 12 [ iFi(a; 6; *) 3~2z /? ] 2 V z J + z~B~z)ez] 18z^36z2^8z3)ez 12z + 4z2)ez [C + 6. + 2.2)/0 (|) + 2.B + z)h (J)] 2z)ez [C + 2г)/о(|)+A + 2^A)] 2 [./о (|) - A - z)h (|)] > /тГ I - 4 / — erfi (\/~z ) — C — 2z)ez ) у z I Г /^\ /2\1 z/n 1 l D z~)I\ I I L \2/ V2/J 12z - 13z2 - 2z3 - ^C5 + 28z + 4z2)i/^ ez erf (yfz)\ 2 у z J 1 1 9z + 2z2 H—A5 + 20z + 4z2)-\/ttz ez erf (л/z) 2 J 2z H—C + 12z + 4z2)a ¦— ez erf (xfz) 2 у z J z)ez 2 у 2 J 1 /тГ 1 2 у 2 J 2-2z + z2)ez -2] - 120z - 360z2 - 160z3 - 16z4)ez + 90z + 60z2 + 8z3)ez 1 [A5 + 45z + 28z2 + 4z3)/0 (-) + ^B3 + 24z + 4z2)/i (-\] + 20z + 4z }€Z 1 [A5 + 18z + 4z2)/0 (-) + C + 14z + 4z2)/i (-}] 2z)ez /2 [2.B + .)/„(§)- A-2,- 2s2)/! (|)] /2[D-3. + 2.3)л(|НA-2.)/о(|)] Ofi ~ 1|->P\~ Р»*^~3 /1~ /'^I^i 1 ЧТЧ~1 1ПЧ~ I Q~3\ /ZT ~z „„r / /77 \ yuZ iOOZ OZZ ^tZ l «ЗАО "T" «31 oZt IUoZ "T~ oZ ly 7Г 6 6П 1 у Z 1 2 J
7.11.4] 7.11. Функции Куммера \Р\{щ b; z) и Трикоми Ф(а, b; z) 491 66 67 68 69 70 71 72 а 4 4 4 4 4 4 4 6 1 2 1 3 2 2 5 2 3 7 2 1 I 1 -F 1 3 5 64z 24 + 87z + 40z2 + 4z3 + 18z + 9z2 + z3)ez 33 + 28z + 4z2 + i(l{ + 6z + z2K Г 9 1 3 + 16z + 4z2 - -C L 2 (о й„ I io ~2 | \F\{_a] 6; z) + -A05 + 210z + 84 3 + 90z + 60z2 + 8z3) ^18z^36z2^8z3)^ з^ F* z r\ iz V z e 1 J У|е*егГ(^)] /- ezerf (v^)| -3 + 4z + 4z2 7 1 2 3 4 .11. a a a a a 3. П ре д став л ения iFi(a; b; —z). b a + 1 a + 2 1 2 3 2 iFi(a; 6; -z) az""a'y(a, z) 2-0-1/2 _ ГA a)e~z/2{D2a i( v/2z) + ,D2a liVlz)] 2 — a — l y ГA a)e^z/2[D2a г( л/2г) D2a 2(\/2z)] 7.11.4. Представления и частные значения Ф(а, 6; z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 а а а а а а а а а п 1 -п 1-71 2 1 2 1 6 6 6 6 а 2а 1 2 3 2 2 6 6 6 3 2 1 2 1 r[l!a-JlFl(a!b! ^-ьФA + а-6,2-Ь; z^b/2e,/2^^(z) егГA-а, z) 7r-l/2j2l/2-ae^/2/Ce_i/ = z1'2""a exp h 2 [2 1 B — a) z^2 1 / z \ z C *-*-ла\2) 1 / d " (n- 1)B- 6)n_i V^^, z1~bezr(b- 1, z) (-l)nn!L5;-1(«) -e*Ei(-z) Ф(а, 6; г) ,) + r[6e1]^lFlA + 2(f) = «f«+ 1I^) f*i) / ' a-b; 2-6; г) [х- = 6/2 - a, 2/t = b - 1]
492 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.12.2 7.12. ФУНКЦИИ 2F2(ai, а2; Ьи Ъ2; z) Ш qFq(aij ..., aq; bly ..., bq; z) 7.12.1. Представления 2-^2(^1, Q>2] &i, 62; z). 1 2 3 4 5 а at а а а 1 1 1 2 «2 6 6 6 а а а bi «-1 а + те а + 1 6 1 2 3 2 62 с 6 + 1 6 + 1 + 2а^6 b iFiF; с; z) («)п р (а _ 5)n Il а а — b ±V" F- 1)Bа- — [iFi(a; 6 az 2а ^1 [V ^ i 1 (« tF;6 6 + 1 fe)(i 'erfi(, 2/^2@.1, a2; 6z -l)c l ' _ч , v™^ (a + ' ^ 2^ L, л] 1 1-Г] 1] bi, 62; 2) c + l; z) —¦ b)k-i , , J (a)fc A a "' 1 (a; a + 1; z) /2, l/2 + а-Ь yZj . *I 11 }J 7. 2F2A, a; a + 1, 6; z) + 6-1 2F2A, a; a + 1, 2 + a - b; -z) = a-b + l 7.12.2. Частные значения 2^2(^1, ^25 bi, 62; iFi(a-6 + l; a -6 + 2; z) iFiF-l; 6; -2;). 62 1, 62; z) 2 -i 1 ^^ 1 2 1 — [A + 2z)ez - 2^z3/2 erfi (y/I) - 1] 9 erfi 3 5z] erfi -- 1 2 - 2 1 A {3 -e'/» [C ^6z + 2z »)/0 (|) + 2zB - z)h (|)] } ^)y^erfi(v^)] -1 - A5- 18z + 4z2: J- [в - E - 2^)ez - 1C - 12* 8z L 2 10 11 12 13 14 -- 1 3 3 1 2 I 2 5 2 - 3 — \ 45z I 10z^ _ Uz D 9 X A5 20z + 4г2)Л/тт1 erfi (л/i) 4 + 20г h^+'-
7.12.2] 7.12. Функции 2 и qFq{a1, . . . , aq; . ,bq;z) 493 15 16 17 18 19 20 91 22 23 24 26 97 28 9Q 30 €»1 on 33 34 35 36 37 38 39 ai 1 2 1 ~2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ^2 1 2 1 2 1 2 «2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 b ? 5 2 5 2 5 2 5 2 3 3 3 3 3 3 2 bi 1 2 1 2 1 1 1 1 3 2 5 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 I ? i 3 2 3 to 3 2 1 2 _ 2 1 1 1 1 3 2 1 3 1 ,4 2 5 ? 3 о 3 3 1 2 i 3 2 9 3 ,4 2 3 2 9 1 2 1 ,4 2 2 с 2 2 1 — \2,ez 3v 2L ez/2 2 Lx If 1 _ 3ez -f- — 4 [ 2 2ег/2 г 15z 2 15z2 1 20z2 8 225z2 [zG Ьо 3LV ; ez/2 3 L 1 -[3e* -4V 3L ez/2 г 9 Ll 4ez/ 45z [4C ez/2 г 3 L H2el+i ez/2 г 9 L^ 4ez/2 г 45z Ll -[2D- z)c 8 — [4е'г 5v 4 ez/2 r /I 4A i Г 16 [13ez + ez/2 r D 4 Ь о Г A + If 1 _ 5ez 4- — 8 L 2 2^2@-1-. ^2; bi, 625 2) 'ttz erfi A/^ )] - z- 2z2)ez - 2-s/^z5/2 erfi (y/z)] 3z)/0 ( - ) + 3z/i ( - J \2/ \2/J /tF 1 M Qz) a erfi (\fz ) V z J bz)l® M + {Z z + 6z)IlKl)\ z3/2 2 « \/TTZ n I О "T" • Z ¦ 1Эл J С 1 v ( 15 Ч~ 20z 12z ) erfi [\/z J <°z/2 f4O 1 ^r 34,2 + 12,3)/oQ + / 9ч /z \ I I + zC1 + 22z^12z2)/i (-)И' 3Z -8л/тг!егй(х/г)] V2/J j /z\ /z\i /7Г2 csrfi {\fz I / z \ / z \ 1 16z2)/i (-)] /Z\ /Z\l 4* /7т- / f,rfi ( /~Z\ у сгп (v' * ) f Z\ /Z\l ' °\2/ X \2/J /z\ /z\i j °V2/ { } X V2/J iz - ХЬл/тгх erfi(y/z)] ( z \ / 2: \ i ^^ ) -*0|J 1 ( ** 1 1 0 3 /tF -(l-lOzJ^-erfi^) V 2 / V 2 ^ -1 1 /it 1 40 "''Ij"'2 fi 1*?' г+ 60; у -i C — 10z)a — erfi (л/z)
494 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.12.2 40 41 42 43 44 лк *±о 46 47 48 49 50 К1 О JL 52 53 54 55 56 57 58 ОУ 60 61 62 ОС» 64 65 1 1 ~2 1 2 1 2 1 9 А 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 9 ,.;*, 1 2 1 2 1 2 «2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 3 3 о 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 5 2 3 1 1 1 3 2 ю | см 3 1 3 2 3 2 3 2 1 1 1 _ 2 2 ь2 2 5 2 2 3 2 5 2 3 3 3 1 з 2 5 2 3 3 3 3 3 2 3 2 2 о 1 3 2 2 2 2 2 -4V 64z [2 х ^_ — [\/тгг erfi z 2 Г z/ \ г 2z L — {з + е* 2 г z2 L 8 г zj< 9z2 Г6 — [B + 2 L 1 Г 1 _ gz _|_ _ 2 L 2 3 Г z 1 с 8z [ 2ег/ г 2 М 3z2 L «1 /О ^ h ( сГТ I6™ e е^/2 (з + 1 Г /тГ 3 LV z 6 Г9/- / 3 L ' ^ez/2 _ 9z L ezl \(л 4 L _ _ / 8 [2 V z ez/2 г Л \ 3 Г 32z L 1 ГЗ /тГ — — \ — € 4 I 2 V z 2F2(ai, a2; Ьь 62; z) 5ж)/0 (?)_(!-5^A)] Ь 12z ™ 20z2)i/^ erfi (v^) - A - 10z)ez V« J i\fz\ -\- 1 — ezl - A + 2z)ez + 2^z3/2 erfi (v^)] 2 |^A - z)/0 ^-J + zh \^-jj 1 1 - 2z /тГ 1 2 У z ;J /2 [A ^ 2*)/i (-) - C - 2z)/0 (-)] } z Fk 1 )ez C - 2z)x — erfi {л/z) - 1 + 3z 2 V 2: J 2 [C - 6z + 2z2)/0 (-) + 2zB - z)h (-)] - 6 + 9z| V 2 / V 2 /-1 /~7г" 1 /- erfi(v^) V 2; J - 2z Гк 1 2 У z }\ (z\ , M (ZW \ 9 / ^49/ j'jg2 x _|_ x/ji z 1 erfi (\/~z ) J "i~ 216 "i~ it) -p azj ern 1 -\/z ) Г (z\ /z\i1 z/2 |^F -Sz- 2z2)/0 (^-J + zE + 2z)/i (^-Jj j / z \ / z \ 1 1 i (\/z~) -f- ez J k2> h\2)\ / z\ / z\~\ 2\j(Z\ @ M- ^M \2 / \ 2/-1 1 3rfi A/^) + E + 2z)ez J Z) 1Q \ J 1 A-i 1 1 1 l — QzHF 1 J 2 V ^ J 1 rfi Сл/z") -f- ez J :§)-ч§)]
7.12.2] 7.12. Функции 2 и qFq{a1, . . . , aq; fei, . . . ,bq;z) 495 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 аг 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 «2 3 1 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 о q со 1 см < '6 2 3 2 3 2 2 ю I см 5 2 5 2 5 2 5 2 ю | см 5 2 5 Z 5 2 5 2 3 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 5 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 со 1 см со 1 см to to | со 2 3 1 2 62 5 2 2 3 3 1 2 2 5 2 3 2 ю | см 3 3 3 3 1 2 3 9. со to t 3 2 2 to со 3 3 2 2^2(«1, «2 5 &1, ^2 5 г) 3 [l + 6z /F^, /-^ ^] 4 / СГГ1 \ \/ a, ) G 16z L 2 V z J z -^{1 + z - ez - z[C + In {-z) - Ei (z)]} -^{1 + 2z - ez + A - z)[C + In (-z) - Ei (z)]} 1 + 2z + 2v/7tz A + z)ez erf (y/z) z о Г 1 у / _.  J- 4/6 erf ("\/z ) z L 2 У z K ;J A[3 + Z-C-2^] ~z {?Z/2 [/0 (f) " h AI " Xl l[l-.-e- + ^erii(^)] j_{2-z-2e*/2[(l-*)Jo(§)+*/i(§)]} ^[EiW-z-C-ln(-z)] 3 -[3 + 2z + 2v/^B + z)ez erf (y^)] 3z —^-[C -— 4z + 4z2)ez — 3 + z] 3 [ V z J 3z ^;;[;";;;)j)+,/i(f)]_1} i[2e^/0(|)-2-,] ° I ~ 1 '^7rZ /к | о-Л~з f / /T\ 2 L 2 J
496 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.12.2 «21 «22 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 1 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 - 2 2 3- 2 2 ^ 2 i 3 5 2 5 2 5 2 5 2 i 3 5 з 5 2 2 2 1 2 2 I 2 2 1 1 1 * 2 3 3 3 1 2 1 - 2 2 I з 1 2 1 1 2^ 3 [A o (f)-(l §)- C- B [C- (з- 20z2 |) + zG + 55z + 32z2 2 1 2 3 Г1-; 8^ [2B 10z + 2z2)h (J
7.12.2] 7.12. Функции 2 и qFq{a1, . . . , aq; fei, . . . ,bq;z) 497 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 1 ЧЧ 134 135 136 137 138 139 140 141 142 аг 3 2 3 2 to I со to I со 2 2 2 2 2 2 2 to to to to 2 2 2 2 2 2 2 CM CM 5 2 5 2 «2 3 3 со со 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 5 2 5 CM Ю I CM 5 2 b 2 3 3 со со 5 2 5 1 1 to to 1 2 1 1 1 1 3 1 9 1 1 2 1 2 1 1 3 2 3 2 3 1 2 1 1 1 1 2 1 62 2 5 2 2 5 2 1 1 3 2 Ю | CM 3 3 1 9 1 3 2 3 1 3 2 Q 3 2 3 3 1 1 3 2 5 1 2 1 D + — A + 2, - 2 + 7z -\ 2 L (l + 3z + z 1 Г 4 f + 2Z Ч 3 [l + 4z 8z [ 2 T [A ~~ ^ ~ Z z2 i[3 + 36z- 3 VfF+ 3 2ег/2 г з[2 + г + ii2+e 8L 2 — 13 + 21 16 L 9 ez/2 Г CO 1 9 L( 7, + ; ,)/o ( -2,»- > 2 /F hz2)e fC + b28z2 27z + + 2^ */2[г + 32z -2г + 2^2(^1, a2; 61, 62; 2) >z2)/0 (-) + zE + 2z)/i (-)} y/z) - A -6z -4z2)ez ^ТГ^ /q lfi 2ч z r/ /~\\ +¦ 8z + 4z2)i/¦— ezerf(i/z) ez erf (x/i") — 1 + 2z *-i] In(-*)-Ei(*)] + 4z3 +2F + 24z + 15z2 + 2z3)A/?fz ez erf {лД)\ F + 9z + 2z2)s/'kz ez erf {sfz)] 22z2 + 4z3)/0 (-) + z(ll + lSz + 4z2)/i (-)l z Г+223+/^ 2Z+f2Z-1 2 V z л (?)-B-*)/„(?)]} 2 J + г3)ег 2 V z J 20z2 +8z3)x — ezerf (л/z) - 1 + 8z + 4z2 + 392z2 + 160z3 + 16z4)ez 108z + 168z2 + 72z3 +8z4)/0 (*) + + 4zF + 27z + 16z2 + 2z3)/i (-)
498 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.12.2 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 аг to I ел 5 9 to i ел ю | см 5 9 to I ел ю | см 5 2 5 9 ю | см to I ел 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 «2 to i ел 5 9 ю | ел ю | см 5 9 ю I ел 3 3 3 3 3 3 3 со со 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 н 1 2 1 9 1 2 1 3 9 со 1 см 1 ?, 1 2 1 9 1 2 1 1 1 3 2 3 2 2 1 9 1 2 1 1 1 1 со I см 2 2 со I см 2 3 со | см 2 3 1 1 3 9 2 1 3 2 2 to to | со 2 1 2 1 со I см 2 5 2 2 5 2 9 [(9 + 52z + 4ег/2 г 9z И" ' "Л 9 L [(9 + 14z О ~ /1 I - 3 + 60*+ 80 3 [ .2 + 8z3)c 44z2 + 8^ - + 4,Vo 2 ^2 (a ^3)/о (¦ /z\ + 24г2 + 4г3)/0 + 4г2)/о( )/o (|) H ,2 + 25,3 iF + 84z + 123z2 +44z - 6 + 3Qz + 17z2+2z3 + 6 -F + 39z + 28 6 [A2 + 84* 12 [ -F + 24z + 15 6 [A2 + 392 — |9 + llz + 2 12 L -F + 9z + 2z2 6 — 32 + 351z4 42 ,2 + 4,3)e + 107z2 - ,' + 2,»)c + 26z2 + z2 + -C 2 + ^2)/o(- -386z2 + + -B25 + 1 Г — 16 + 69z + 16 L iD + 32z + 38 4 1 Г 64 [55 + W2Z ^ 4 (Л 1 Я ~ — Г 23 + 24z + 32 L 4 64z~ [ + Z + 36z2 +4z z2 + 12z3 + 2^ ! + 4z4 2 f40z3 4z3)/0 + 27z- z\ 2 / 108z3 H lOOOz • + if + г4)е 1 2 2 + z3K + 104z2 H 4z2 + i(c zz 9 1 4z2 - -(] h96,3 L, «2 5 6 D -y E z - 20z - 36z ( Z) +zA5 + 20z4 1 + lOz AH ( + ^C0 \-75z + + 4z2)/i ( I)] 2 _ 8^3)/i (|)] /ZX1 XV2/J -4^2)/i(|)] 1)] + 180z + 183z2 + -i + ozz + 36z2+4z3) + 4zi)I0{^) + -i I — 1 + Ь 24z2 H + 6z + ^8z4 + ¦f 872z2 75 + 17C z + 392zs / 7l XV7C ) + 66z L - lOz + 52z2 - 28z2 ~z{25 + 73z zA9 + 22z -4z3)^/| e 2z2)/1(Z) + 224z3 + z + 76z2 + + 160,3 + X zerf (д/г) - 4z )y/izz ezerf(-\/z)\ 1 + 36г2 + 4г3)/1©1 + 4^2)/i(|)] z erf A/2) i J 1 L6z )v/7rz ez erf A/z ) j 8z3)v/^ezerf(A/z') 16z4)W- ezerf (y/z)\ 1 ez erf (y/z) ezerf(yfz~)j
7.18.1] 7.13. Функция оFi F;; 499 7.12.3. Представления; 'l, 1, a; — z\ a г, аз; С + In z - 1 2, 2, а + 1 ) " (a- \)z 7.12.4. Представления gFq((a,j); а-1 ); z). 2. t a — 1, . . . , a — 1 П ^ П Многочлен Rq(z) удовлетворяет рекуррентному соотношению Rq+1(z) = {z + a- l)Rq(z) + z^Rq{z), R0(z) = 1, az Ri(z) = z + a-l, R2(z) = (z + a - IJ + z, R3(z) = (z + a - if + 3z( , ..., 2; ^ \Я+1к^ a - 1) + d f d /о = ez, /i = (z + l)ez, /2 = (z2 + 3z + l)ez, /3 = (z3 + 6z2 + 7z + l)ez, h = 25z2 /5 = 15z4 + 65z3 + 90z2 /e = - 21z5 + 140z4 + 350z3 + 301z2 + 63z /7 = (z7 + 28z6 + 266z5 + 1050z4 + 1701z3 + 966z2 + 127z + l)ez. 7.13. ФУНКЦИЯ oiMb; z) 7.13.1. Представления и частные значения oFi(b; 1 2 3 4 5 а 7 8 9 b 5 ^2 3 ~2 1 9 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 г(фA-ь)/ Н-)с Л 4 \ cos2Vz +: sm2y/z 3 —3/2/ • 8 45 -б/2 Л 32 \ 105 Г 3 64z3 [2лД 2Jb iB 2y/z sin ^ 2VI-: L 4 ^ E — о2 f 2у^СО82^) г 45 г™ sin 2 VI- - A5-42H08 2^ I rF)^A)/ A+5ZJ€ сЬ2^ - 2 сЬ2у^ sh2-y/z 8 45 ^5/2 / 32Z V 105 Г 64z3 [( oi^iF; z) \fz sh2v/z 2ch2Vz -8Ь2л/^) i „ 1 „u о f~Z ^.v. о /77 /~ 3 ^_ 1
500 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.14.1 Другие функции вида qFi I — ± щ z \ также являются элементарными и выражаются \2 У через вышеуказанные с помощью рекуррентных формул 10. 0FiF + 2; z) = ^-^[0*1F; z) - 0Fi(fc + 1; z)]. 11. -1; z) = ; z) fe ^ 0FiF + 1; z). При Ъ ф — ±п функция oFi(b; z) через элементарные функции не выражается. 12. oFl(b; z) + 13. o^iF; -^)-c 14. 0FlF; -,) -ьу "A-6) ,14. ФУНКЦИЯ iF2(o; bi, Ь2; z) ,14.1. Представления iF2(a; 61, 62; z). 1 2 3 4 5 6 7 8 Q 1 О 11 12 13 a a a a a a a a a 1 2 3 2 1 1 61 a™ a — a — a — a + a + L U 3 2 2 1 2 1 I 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 1 0 n 62 6 2a 2 2a - 1 2a 2a + 1 2a™ 1 2a 2a+ 1 b b 2n 1 h Г ГГбЬ1^6 /b-i( L 2 2 / 1 a - 1 Г 2 "И 2Г(«-- (§: r( т^2 / i 1 1 /2 I 1 <Х —|— — 1 II — V 21Л 1 r2(a+i)(i! тA-6)г , , -*! — b\z Sin О7Г 7T(fe - 1)F - 2) sin Ьж z2 1 ^ {Bn)l}2 " ii^2(ci; 615 Ъч\ z 1 a - 1 6 ^^ J ) Ы /e_,/aw_/e . a- 1 1\/Zx2^2a ' ) *a — \l1\z) ~^~ Z2 1 ' ~ I 177/ «--3/2v-2-J ' a —1/2 \^/ I-2a[/2_1/2(,)_/2+i/2 X3/2B(!) ч z2) IV 1\,гчЗ-2а/2 w] ¦(.^)(?) \2/ a + l/2V^/ a-l/2lzJ («)] 14. 1F2[a; a^ i 2a - 1; z) + iF2 ( a - 1; a+ -, 2a - 1; z , 1 \ 2
7.14.2] 7.14- Функция 1F2(a; bi,b2; z) 501 15. 1F2 (а; а - -, 2а - 1; z J + iF2 ( а - 1; а - -, 2а - 1; 2 ) = 16. XF2 ( а; а - |, 2а - 1; iF2 ( a — 1; a , 2a — 1; z (i2a — 2 IT. 1F2 U; а - |, 2а - 3; zj + ^^ iF2 U - 2; а - |, 2а - 3; z) = - f) /а-5/2 18. iF2 (а; а-^,2а-3; z) + —Ц- iF2 (а - 2; а - i 2а - 4; z ] = V 2 «1 V 2 19. XF2 ( 5; &? з - 6; z) + B6 - 3) xF2 Q; 6, 3 - b; z) = 2тг ,.. sin бтг 20. 1/ 3sln бтг 7.14.2. Частные значения iF2(a; 61, Ь2; z). Обозначение: U(z) = i J /0Bt) rft = /0Bz) + |[/0B^)LiBz) - /iBz)L0B )]. 61 62 iF2(a; 61, 9 10 11 ch2z-2zshiBz) Io{2z) - 4z2U(z) + 2zhBz) -\ch2z+ - 2z shi Bz) 2 2z l ; - 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2/oB,) ¦ - 8z2U(z) 5 2 т 3 7 2 - 4 3 Lf2,')«h2.-(l-2.»)^ ; V ; 2z 16z2 2 shi C + 4z2)I0Bz) - C - 35z4 - 3z^ + 2z4) ^^ - C - z2 - 2z4) ch 2z - 4z5 shi Bz) C0 + 9z2 + 4z4 + 16g6O1^ - 2A5 ~~ 3z2 - 4z4)/0Bz) - 32z6l/(z)l 1 1 i 3- 2 1 2 A - 2z2)/02(z) + 2z2/2(z) + 2zlo(z)h(z) i[/oBz) + 2z/iBz) + A - 4z2)l7(z)] i[C ^ 4z2)/2(z) - A - 4z2)/2(z) + 4zI0(z)h(z)]
502 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.14.2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 а 1 ^2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6i 1 1 1 1 3 2 2 3 2 3 3 ? 2 2 2 2 2 2 5 2 Ь ю | см 2 3 3 3 ь2 5 2 3 V 2 4 3 2 2 5 2 3 7 4 2 2 3 2 4 5 2 з 7 2 4 3 7 9 4 з^[A + 4 Г 15 [ V 5 rro 256 4 4 35z4 1 Г з L 3 Га 32z2 L 2 fA 5 Г I2gz4 ^ 2 Г 5 [2C-2 1 [f* I 1 и 2 ^ ' 4 Г 45 [ V" 5 rro 384z4 LV" 4 Hf 105z4^ ^ 9 Г- 128z2 f 1 ГГ15 20z2 [( 15 Г 256z4 [ 3 Г Q Г \(V 225z2 [( 1 1715 96z4 LA5 16 [-2 525z4 L" 4,2)/c 12Z2 - г2 Н sh2z 2z -u- н„2)^ -4.24 *2)'o2( 9^.2 _ 24Z2 iF2(a; 6i, fe2; ^2) Bz) - 2z(l - 4z2)/iBz) - A - о 2 4 '?(*) -) 1 ( i - ) z2 ( + 48z4 64z6)l7(z) (9 16 z h2,<)/oW/lW- -2z2(l-5z2+424)/2B) , n о-2^ыBгI 2 j 0^2x^1 Bz) , /o 4^2xfr/ J 2z 1 4~4Wh-~ f- 4-41Sh2Z ! "jiZ Jiof-^zJ — @— Z + \AZ — OZ z) - 4A - z2)I2(z) - C ~~ 4z2) -16z4)l7(z) C 4z2)/0Bz)- ^ o^4 /2(z) (л,) (О | л, ^^ ) Z2 -4.a№)] 2 /0(z)/i(^)] 1") z \ 4)/oBz) + + 2,(9-8,2 + 16^)/1BZ)] -(8-322 + б24-8г6)/2(г)] 22)shiBz)] + 222E-4г2)[/(г)| 4z3C 2z2)shiBz) e hBz) z 4 -2zE^4z2)/iBz)] 4C-2.2)^ ro(z)h(z) z } + 16z4)/0Bz) (9 36z2 144z4 + 64z6)l7(z) 3 + 48г2 16z4)/^(z) + A2 15z2 + 40z2 -3z2- -ш- > + 56z + 180z [45 + 7 о 4 8ЫB^) o o 2 . Z -16z4)«7(z)^G-4z2)/oBz) о 4xSh2z 2 о 4^ 1 ^ ^ 2z (" ' 5" "" )€ 4 6xJlBz) ^(8 + llz2^4z4)/oBz) 2 16z4)/^(z) C1 + 48z2 2 2 + 240z4 64z6)C/(z) D5 + 6z2 - 16z4)/^(z) ~~ C0 + 71z2 + 68z — 16z )I\ \z) — z 40z4 + 16z6)/f(z) ,-A-2, 24shZ2zl° ) 2z J 2D+ 9z2 4Z4I lB*I h2z + z j + z2C5 + 56z2 - 16z4)l7(z)j 16z4)/2(z) 48z2 16z4)/0Bz) - 2zE1 + 56z2 - 16z4)/iBz)j 75 + 64z2 - 16z4)/0(z)/i(z)j
7.14.2] 7.14- Функция 1F2(a; bi,b2; z) 503 iF2(a; bi, 62; 34 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 7 7 2 2 I 4 2 25 1 - 5 4 1 3 2 2 5 2 3 7 2 4 3 2 ™ 2 5 2 3 7 2 4 2 2 2 2 - 2 5 2 5 2 1024z4 L - A5 + 12z2 -^ - B1 + 16z2 - 4z4) ch2z] 2z J 112z4 1225z4 C15 + 420z2 + 336z4 - Uz6)U(z) - A23 + 72z2 - 16z4)/0Bz) - - 2(96 + 117z2 + 80z4 - 2A05 + 122z2 + 104z4 - C89 + 324z2 + 192z4 - - 2B10 + 173z2 + 92z4 - 16z6) U(z) 3 8z2 ° ч/о2(г)„адвд+A„г2)%1 о [ z z ^4 [(9 - 8z2 + 16z4)C/(z) - (9 + 4z2)/0Bz) + 2z(9 - 4z2)/!Bz)] ^j[2zD^z2)/0(z) I$(z) - (8 - z2 + 2z4)/2(z)] shiBz) 2z 2U(z)- hBz) 2C™z2)/oBz)^F + z2+4z4 r2/ . Io(z)h(z) — [A + 4z2)t/(z) - /0Bz) - 2zhBz)] + 8z4l7(z) ^[C ™ 4z2)/0Bz) - 2zC + 4z2)/!Bz) - C - 8z2 - 16z4)t/(z)] ^[z2(l + 4z2)/2(z) + D - 3z2 - 4z4)/2(z) - 4z(l + z2)/0(z)/1(z)] 16z2 1 2z
504 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.14.2 КС 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 84 а 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6i 2 [Г 5 3 3 3 7 2 '/ 2 4 со | см 1 4 1 о, 1 - 1 2 1 2 I 2 1 2 1 ? 3 4 5 4 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 7 4 2 62 7 2 4 3 7 2 4 7 2 4 4 7 4 3 4 1 3 2 2 5 2 3 7 2 4 5 4 7 4 3 - 2 5 2 3 '/ 2 4 9 4 2 1/^2@.; 6i, 62; z ) 45 Г sh2z ] а Г т /о \ 1 /о 3 ^" ) (^ | ")/п|г>"'| | "E 1 4){/('*'1 5^4 |^v- ~~ "^ f z Х" ' ;*uv^ v" ' v-v-yj О 9 9 9 9 9 ¦* 0 I ¦*•' J ¦» 1 \ % ) !YQ I ^4~2 I 1fi~44rr/ ч /0 ! 4~2ч тп(г>„\ ^~G 1 4~2чг /o^l 16 [o~2/o ^Jw2/ ч 0@ 4-2 Ow4v,2/.\ ^/n 4~2w /^\r /^\] О ^Q 1 A~ 1 О "^ "\ ^ C. 1 0 ~^ "\ ^-.u o~ f7lr*~\ ^16 Г / f )/ ( ) Z ohc 1 1 1 ~2 | 4~4\r2/_\ л(-\ с | 7~2 | о~4ч 01 J 1 ч J — ,f^- [erfi (v^I)- erf (л/2г)] 1 ' 8z у 2z 1 + 4/—[e z erf (v2z ) — e"~ z erfi (v 2z )] V 2 1 + 7tzL0Bz) 7Г ][ _l j^i f2z) 2 1 2z2 Зтг [zLnBz) — LiBz)l 4z2 -^ [C + 4z2) ch 2z - 6z sh 2z - 3 + 2z2] —-j-[8z2 - 6ttzL0Bz) + ЗтгB + z2)LiBz)] -^ [2zA5 + 4z2) sh 2z - 3E + 8z2) ch 2z + 15 - 6z2 + 2z4] 4z" _ / Ге erf (v2z ) -f- e"~ erfi (v2z I 4 V 2z J_ /il [e2- erf (v^)-ej8 erfi (v^I)] 16z V 2z 7Г — Lq Bz) 4z —^[ch2z - 1] 3-7Г Li Bz) 8z2 ^^ A - 2z2 - ch 2z + 2z sh 2z) 2z4 [3ttzL0Bz) - 3ttLiBz) - 4z2l 16z -^ [C + 4z2) ch 2z - %z sh 2z - 3 + 2z2 - 2z4] 4zb 15 /тГ / 15 / \ f erf (\/r> " \ 1 r» rrf! /л /о — \1 ^[/oB*)-1]
7.14.2] 7.14- Функция 1F2(a; bi,b2; z) 505 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 а 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 со I смс 6 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6i 62 2 * 2 2 3 2 I 2 2 4 5 5 2 2 - 3 2 5 7 2 2 - 4 2 со со to | -я со 3 4 7 7 2 2 I 4 2 4 4 1 1 2 2 2 1 2 1 5 2 2 2 * 1 7 2 2 - 4 2 1 1 1 2 2 1 3 2 1-^2@4 fc»i, fc»2; z ) 3 Tsh2z 2z2 [ 2z г\ 1 z4 z 5 L 0 osh2z 21 8z4 Г° ° 2z J ±\2I0Bz)-h1{2z)-z2] h ELoBz) -'} JL[ch2z-l-2z2} ^[3.LlB,)-8,2] -^ [2z sh 2z - ch 2z + 1 - 2z2 - 2z4] 4z" z4 5 Lsh2z 2z4 Г 2z * J 2z2] *-\lhBz)-2-z2\ 16z4 [4zLu(^ ) 9 4z2j — [4/0Bz) - 4 - 4z2 - z4] ch2z + 2zsh2z /0Bz) + 2z/iBz) 2IQ{2z)--hBz) 3 Г Оя,2ч8Ь2^ o 1 2z2 [^ ' "" ^ 2z ° " J 2 Г o 2,/iBz) o 1 Z2 [ " ^ - и — j 15 Г 2 2 sh2z1 °^ 1 ~2"iтп(^~\ fm 1 7~2>i ¦*¦ ^ ' z \_ z J 52j[2./1B*)-/oB«) + t/(,)] z \ " z \ 15 fro 1 °-2), 4 LlJ I 0^ л foBz) (9 4z2)(/(z) 18z/iBz)]
506 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.14.2 iF2(a; fei, fe2; Ill 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 2 2 2 2 2 5 2 5 5 2 * 4 2 3 3 3 I 7 2 - 4 4 1 2 1 1 2 1 2 i 3 7 2 - 4 - 8z/0(z)/!(z)] -Io(z)h(z) z ^4 [C - 4z2)C/(z) - 3/0Bz) + 6z/!Bz)] - z2/02(z) - D - z2)/2(z)] 6 \h{2z) 45 32z4 71 z)^C + 4z2)l7(z) + 2z/iBz)] /1(z)^z2/o2(z) + B + z2)/12(z) 225 ch2z + 5 C + ! I - (9 + < 15 2^ 16 z^ 1 + 2z2 + tfz2L1Bz) + ^z ch2z + z sh2z • + 2D+; ¦G + 2z2)/2(z)j г[тгA + 2z2)LiBz) - 7tzL0Bz) + 4z2] - [3 - 3A + 2z2) ch 2z + 2zC + 2z2) sh 2z] -ГотггC + z2)L0Bz) - тгF + 5z2)LiBz) - 8z2] -^ [A5 + 27z2 + 4z4) ch 2z - 2zA5 + 7z2) sh 2z - 15 + 3z2] /oBz) + z/iBz) 1 -
7.14.2] 7.14- Функция 1F2(a; bi,b2; z) 507 136 137 1 ЧЯ 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 1 КП 151 152 153 154 155 156 157 158 159 а 2 2 2 2 to to to to 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 Ю | CM ю I см &1 1 1 ]_ 1 to | со to | со to | со to | со 3 ? 5 2 5 5 2 Ь 2 3 q 3 7 2 7 4 1 2 1 1 2 1 2 1 2 62 ю I см 3 7 2 4 3 2 5 2 3 7 2 4 5 2 3 7 2 4 3 7 2 4 7 2 4 4 1 2 1 3 2 2 3 1-^2 (a; bi, i>2; z ) Ц I 4~2) ch ^" 2 L , _2)'1Bг) т (о Л 2 z2 [V ' ~ ; 2: "V ^;J z 2V ^; 15 \(n 4~2ч i ^ /n 16~2)Sh2Zl 6 \a i -2u-r^-i n i 4-2i7l^l z4 L ^ J 1 9 A + 2zz) ch 2z - 1 - 2z sh 2z 2z4 15 [л 2 ,, у 2w 322,4 -^ [2zC + z2) sh 2z - C + 5z2) ch 2z + 3 - z2} ^[l-Ch2z + ZSh2z] 45тг 64z4 -^ [A + z2) ch 2z - 2z sh 2z - 1 + z2] 4[l^/oBz)+z/1Bz)] 15 |"o <jsh2z "j !Mi + /0B*)-H/lBJ 225 7г Зтг —- [z sh 2z - 2 ch 2z + 2 + 2z2] 36 2 ^ [C + 4Z2) ch 2z + 10z sh 2z] о 3 2z Z+ у S 1 Г 2 /iBzI 3 |^ o(-~) ( - J ^ J 2C+ 4z2) Г /iB^)l 3z2 [ u ~~ z \
508 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.14.2 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 1 7П 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 а 5 2 ю I см 5 2 5 2 ю | см 5 2 ю | см 5 2 5 2 5 2 5 см ю | см ю | см ю | см Ю I CMI 0 2 ю | см 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 6i 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 со | см со I см 3 to | со to 3 2 2 2 2 2 3 3 3 7 2 7 2 4 1 2 7 2 4 1 3 2 2 3 7 2 4 со 1 см 2 Q 7 2 4 2 3 7 2 4 3 7 4 7 2 4 4 1 2 1-^2 (a; bi, i>2; ^ ) 5 IV Ч 1 fi~2 I o~44sh2* ГЧ 1 °~2Wh°~l 9 Г / (e?9's\ 1 C0 1 <"*7"*2 I 4"'^) 6E 1 *"*"*2)/пB~н 3 ° 3 ° 1 4 Г 2/ ч 1,ч,ч / 2чЛ2(^I з L ^ z2 \ -^ [2zD + z2)/0(z)/i(z) - 2z2/^(z) - (8 + 3z2)/2(z)] 1 3z 1 T/iBz) o 1 3 [ z " J 2 Г о гч^С2^) /o J 8z4 p i — )c — ЗС1 2z J ZiOi 1 a, IIQIAa,) 10 I OZ I z4 L ^ J 3z2 -^[C + 4z2)/0Bz) - m(z) - 6z/iBz)] ^ [D + z2)ll{z) + z2/02(z) - 4zI0(z)h(z)} ^[/12(z) + /o2(z)^^/o(z)/1(z)j ?-[3U{z)-3IoBz) + 2zh{2z)] ^I1(z)[zI0(z)-2h(z)] 75 Г shiBz) sh2z 1 3 ^ 1 ch ^" 16z4 L" 2z z -"^^j 15 Г ^iBz)l z4 [ ° " z J — [8 + 36z2 + 16ttz2LiBz) + ?rzA5 + 4z2)LnBz)l 8
7.14.2] 7.14- Функция 1F2(a; bi,b2; z) 509 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 1 см 195 196 197 198 199 200 201 202 *?пч 204 205 206 207 208 209 а 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Q 3 3 3 3 со со 3 3 Q 3 3 3 3 3 3 bi 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ]_ 1 3 2 3 2 3 Я 3 3 2 2 2 2 5 2 Ь 2 5 7 2 7 2 1 со 1 см 2 ю | см 7 2 4 1 со 1 см 2 5 2 '/ 2 4 со 1 см 2 ю I см 7 2 4 2 5 2 7 2 4 7 2 V 2 4 7 2 4 1/^2@.; 6i, &2J z ) — [2B + z ) ch 2z + 7z sh 2z] 4 — [16 + 8z2 + 12ttzL0Bz) + тгC + 4z2)LiBz)] 16 ch2z + - sh2z 2 Го~2 1 o^4 о „,/q | о~2\т /"o~\ | -тг/Л i 7~2 i /|~4\T /o~\l 64z4 -^ [2zA5 + 10z2 + 2z4) sh 2z - 5C + 6z2 + 2z4) ch 2z + 15] i[B + z2)/oBz) + 3z/1Bz)] I0Bz) + -h{2z) 3 Г о sh 2z о 1 32z2 L 2z V ; J z4L ~ ~ z " ~~ J 1 Г 7Г 2\/\ / \1 1 Г sh2z 1 Q 1 A1" 4 L 2г J ^_[4T,L0B.) + 8,2 - .A - 4,2)LlB,)] 15 о О О 128z4 —- [C + 6z2 + 2z4) ch 2z - 2zC + 2z2) sh 2z ~~ 3] 1 Г JiBz)l 2 [ °^A'^ z J 3 Г 2 sh2^1 1Я 2 | ^ ^ 9 15 [ о 2 о о о 2 sh2z] 4 '" ' " j^ui^^j ^A 1 ^ ) 32z2 L 4z^ ^ ] vK—)\ ГЧ~2 Атт "J г,(^ "\ 1 тг^Ч 1 4~2W -, Iе* ~Х\ -^[zB + z2) sh2z - A + 2z2) ch2z + 1] 225 г тг 2 i 128z4 Uz^3 ' " ^ u^"^ ^ l^^ J 45 ^2 16z6^ 1 - )c — -- J
510 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.14.2 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 а 3 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 ь- | см 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 ь- 1 см 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 to | -я 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 &1 4 1 1 ? 1 ? 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 5 2 2 4 1 9 1 3 ? 2 5 2 3 4 1 3 2 2 5 2 3 4 3 2 2 5 2 з 4 2 2 3 4 5 2 3 iF2(a; 6i, fe2; ^2) 18 2 z — [3E + 16z2) ch 2z + 2zC3 + 4z2) sh 2z] — [A5 + 44z2)/0Bz) + 2zB3 + 4z2)/iBz)] — [A5 + 4z2) ch 2z + 18z sh 2z] 1 Г 2 ^ 2 /iBz)l 15 [ ; z J Z + у S p/ic 1 q-,2 | 4«4w /o«1 Qhn I 1 1 ~2 1 4-4'\ "^ ' 5z |_ z J -^ [A5 + 22z2)ll{z) + 18z2/!2(z) + 2zB3 + 4z2)/0(z)/i(z)] — [A5 + 4z2)/0Bz) + 16z/iBz)] 15 ^ [A5 + 4z2)/2(z) + C + 4z2)/2(z) + 28z/0(z)/i(z)] /oB,) + |/lB,) ^ \aJ2(-\ A i~2\ -^1 (z) /-, л _2 \ -^0 (z)Il(z)~\ 15 L ° ^2 " z J ^ [(8 + 5z2 + 2z4)/2(z) + 2z2(l + z2)/2(z) - 4zB + z2)I0(z)h(z)] 1 Г o o 2 sh2^1 15 L h^ !-(-'-) z j 15 L " °^"^ z J 1 Г sh2z 1 5 L z J 2 [ 2 hBz) 2 0 1 15z2 [ " z U "" J 2 [/л ( ^ 2 4^/iBz) o/o 2^r /o J 5z4 [ " " z u "" J 15 ^ ul-j il-j ! ( I - j ^ j 5 ГЫ-} ' ° z j Г4~ Г- /-Ч Г, /~Л I o-,2i-2/ \ /-1 o^2\r2/ \1 2 L Ov^z-'lv'4'/ ' z^ ^0 \*) \l ^^ /il\^/J ^ [4z(l + z2)/0(z)/1(z) - z2li(z) - D + 3z2)/2(z)] 3 Г oJ2 sh2zl 10z2 L "" 2z J 5z2 [ u ^ ^ z \
7.14.2] 7.14- Функция 1F2(a; bi,b2; z) 511 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 а 7 2 7 2 7 2 7 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6i 5 2 3 3 4 I ? 1 2 1 2 1 2 1 2 1 9 1 1 1 1 1 1 1 со | см со | см 3 со I см со I см 2 2 2 ь2 4 3 4 4 1 ? 1 со I см 2 5 2 3 7 2 1 3 2 2 5 2 3 7 со 1 см 2 5 3 7 2 5 2 3 1F2 (a; bi, i>2; z ) 6 Г ^ о_ о oJ2 /!Bz)] 5z4 [-A 1 - и(-~) (- 1 ^ ) ^ J 8 \т2(~} I2(~\ *4i о«2ч7о(^)^1(^I ^ [z2li(z) + B + z2)/i2(z) - Szlo(z)h(z)] 48 Г 2 Io(z)h(z) 2 9 2 1 5z4 [^v^ ; z ^oi*-/ "jn^/j — [24 + 174z2 + 8z4 + ttz2G1 + 4z2)LiBz) + —A05 + 68z2)L0Bz)j — [6D + 5z2) ch 2z + zE7 + 4z2) sh 2z] — [96 + 112z2 + тгA5 + 52z2)LiBz) + 2ttzD5 + 4z2)L0Bz)] — [2F + z2) ch 2z + llz sh 2z] ^^[wC + 18z2 + 8z4)LiBz) - 3ttzA - 12z2)L0Bz) + 68z2 + 16z4] ch2z + - sh2z 3 [8~2 I 3^~4 °7г~C I 3~2 4~4)Ь1(О~) 1 128z4 L"" ' """ """\" ' "^ ~*" /^uv—; -[F + 7z2)/0Bz) + z(ll + z2)/iBz)l 6 1 Г 2 o 2 sh2^1 96 L " z J 6 64z2 L ~ " 2z "" "\ /0Bz) + ^/iBz) 11D 1 O-,2 | i^w4\ /о | -10^2 i|3^4\ 1 ^^ — [бб + 8z2 + тгB3 + 4z2)LiBz) + —A5 + 44z2)L0Bz)j 1 Г 2 sh2z o 1 24 r- 2z Jc"^^I 1 [sSh2z ! ch-~l 5 2 2 4 2 4 1 9-*lBz) 1 Г 2 2xsh2^l 32z2 [I ! - )c — -I — ) 2^ J i[f/lB,) + /oB,)]
512 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.14.3 iF2(a; 6Ь b2; z2) 260 261 262 263 264 265 266 2 I 2 5 5 2 2 5 з 2 5 7 2 2 3 3 3 - 2 7 7 2 2 128z2 1 15 [б + 8z2 - — C - 20z2)L0Bz) - тгA - 4z2)LiBz)' - 2?rzC - 4z2)L0Bz) + тгC + ^['o^-a-*2)- z j * [3!^?-C-4*»)ch2*l , ,„ C^4z2)ch2z, 32z4 L 2z V ; J r^ [^C - 4z2)L0Bz) - тгA - 4z2)LxBz) - 6 + 8z2 7.14.8. Представления iF2(a; bi, 62; —z). 2. i , 6, 2 - 6; -,) - 1; - + 6, - -6; ' 2 ' 2 "'2 sln26?r 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a a a a 1 1 1 1 1 1 a + 1 1 2 3 2 6 6 6 6 6 Q О 2 62 a + 1 a + 1 с 6 ' + 3 2^6 3^6 6 i^2(ct; 6i, 625 —z ) 21^2aaz^2a[rBa)cosa7r^CBz, 2a)] -21™2aaza[rBa- l)cosa?r + SBz, 2a- 1)] 24-*-cF - l)(c - l)z2-b-ceb+c-3, b-cBz) «r>5-26^2-26/L i\2e /ro«v\ 2 Z @ - 1) 526-3,0(^2:) - - r2F)z2b[sin 67ryoBz) + cos бтг J0Bz)] TB6)BzIm26I72&-iD^, 0) 7r(fe^l)[E26-2B^) + ctg67rJ26^2Bz)] = тгF — 1) sin2fe7r -A - 6)B - 6)[E3^26Bz) - ctg67rJ3^26Bz)] = _ тгA-Ь)B-6)[л (o->) j (o^ z sln267r ^^-TF)Hb_]l/2Bz)
7.15.1] 7.15. Функция 2Fs(ai, Q2; 61, 62, 63; z) 513 7.14.4. Частные значения li^a; fc»i, 62; ^ 62 iF2(a; 61, 62; -z 1 5 CBz) ^S B.) 4 4 1 - 2-s/^z[sin2zCBz) -cos2zSBz)} = 1 - л/2тгг C/3/2D;z, О) [sin2zCBz) - cos2z5B^)] д/2 - y/Tr[cos2zCBz) + 8in2zSBz)]} 8^72 15 7.15. ФУНКЦИЯ 2F3(ai, a2; bu b2j b3; z) 7.15.1. Представления 2^з(«1, «25 6i, 62, &з; - -b; z = 1F1 (a + 6- 1; 1F1 (a - 6 + 1; 3-26; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ai a 6 a a a a a a a a 71 + 1 71 — 71 6 a2 + 2 + 2 + 2 1 ~ 2 + n a + b 2a 1 2 3 2 1 6 62 a + 6 2 6 6 2a 2a 6 2 a + 2a- b 2a 2a 63 6 + 1 2 -6 + + + 2 + 1 2 1 2 • 1 1F1 (a; a 0F1 (б; | 1 Г 26~ 2 UBa- chy^ 0F1 x Ыр1 v^ U l = Г Г2a - Bn-l)! ( V L(b)nJ L 2F3(ai, + 6; 2y/z) ) 0F1 (l4 l)v^J / 1 f72 1 V V 2' / 1 2/ 2 \2n —1 a% 61, 62, 63 1F1 (a; a + 6 -2a- 6; -) = x h-i {* :l)/2 X T 1 o, 1 T 2 ' " 2 2 ' " - ) =Г|2а- Д /20-1/2 (/ ' z ' ~~~~a sh л/ r 6-1 / 0 ^\ Ln ( WZ) ^)/2а-ь(л^) ; 2^ ) ± г) Z X X ha-3/2 (Vz) 17 А. П. Прудников, Т. З
514 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.16.2 i, 62? 12 - 2n -2n Bп)! Dп + 1 7 1 2 3 4 5 6 7 .15.2. ttl <22 1 3 4 4 1 2 1 2 3 5 4 4 3 5 4 4 1 1 5 7 4 4 Частные 6i 62 63 1 1 1 2 2 3 5 3 4 4 2 5 3 7 4 2 4 i » 2 2 2 1 3- 3- 2 2 3 2 2 2 » 2 5- 2 2 значения 2^?з(«1, «2; &i5 62, &з; 2;). 2-^"з(<21, С12? 01, 02, О35 Z) См д/ Z /q yy Z J 3 / 4/ / 4/ —— erf ( y/4zj erfi f л/Жг) + + ^Dz)/4 [e^ erfi f #il) - e2^ erf f ^)] V?r L \ / V /J - [chi B-x/z) ™ In B-ч/г) - С] 2 z 7.15.3. Представления и частные значения «2; 6i, 62, Ьз; — 1 2 3 ai ^те те 2 1 a2 2 1 1 2 те 9-n 1 1 2 3 2 62 9-n — те 2 3 2 Ьз 3 2 1 2 2F3(ai, 0 Bте + 2)! Dте + 4)! v " v^v x [— sin 1/ Bn)! " X / f /* ,2; 61, 62j ^3j ™"^) /j^n+3/2 x z Y2n+5/2 W~z) + + СОБл/z J2n + 5/2 (V^)] J ) - COS л/z Yn + 1/2 {Vz]\ - ci B\/Jz)] 7.16. ФУНКЦИИ ВИДА 0Fq((bq); z), q = 2, 3, ... 7.16.1. Частные значения о-^гС&ъ Ьг; г). 1 4Л ii 61 1 3 ? 3 4 3 62 со | to 4 3 5 3 H- 1 г 3y L 2 г 3l/2 L 0^2F1, 62; *) [3/ = 3^ + 2е-/2сов(^|)] / 1/ 7Г \ 1 2/ 2 2//2 ?Qg j Yo ~h I V 2 3 / J g2/ 2e 2//2 j»Qg j уз — j V 2 3/J 7.16.2. Представления и частные значения oFs(bi, 62, 635 z) 1. 0F3 fi a, a+i; z) +^^0F3 f§, a + i a + 1; z) = 0^ Ba;
7.16.3] 7.16. Функции вида oFq((bq); z), q = 2, 3, . . . 515 62 63 6i 6з Ьз 2а 2а- 1 2а + 1 1 1 з , []Ffc-l) —0F3Fi-l, 62-1, 63 -1; *) dz 61 Г2Bа) BV/^I 2а [ber2amlB/) + bei2a^i(l/)] ГBа^1)ГBа)(|)^4ах х [ber2a-2B/)bei2a_2B/) - ber 2а_2(з/) bei2a-2B/)] x [Ьег2аB/)Ьег2а(у) + bei2a(y) bel 2a(y)] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 1 n n — те — — n — m — l 2 2 (-l)'(n-l)! t(l/2)n] i {n-k)lzk fc=O — (ch ж + cos ж) ber(t) = - [JoO d [n = 1, 2, 3, fo(x) + /0(ж) [t = —jp: 8 у z (sh ж + sin ж) (ch ж — cos ж) {beii(y)[berC/) - bei C/)] - ? -\/ Z ^л/z 2-\/z 1 X r-rrfsh z -— sin ж) 64z3/4l ; -beri(j/)[ber(j/) 7.16.3. Представления и частные значения oi 1. 0F3 2, fe; ^ -, a, 2 - a; -; 'Ba-l; C - 2a; 17*
516 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.16.4 У = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 а 1 71 2 1 2а 3 — а 1 те 2 Bа; Bа; - ГBа) ^ГBа) B () 3Bа-1) + Sin sin 2аж тгA-о)B-о) sln2a?r [J2-2a(y)ha-2(y) ber (ж) — 2 viz [beri(ж) + beii(ж)] — 4\/z bel (x) = ber (ж) — ж berf (x) ¦— Ay/z bel (ж) ch у cos t/ ber(ж) 1 4v/4i [sh |/ cos t/ + ch t/ sin i/] -bel'(ж) ж sht/sint/ 64z3/2 [bei (ж) — x bei ;(ж) + Ay/z ber (ж)] - [ch у sin у — shy cos у] 7.16.4. Представления oF^bi, 62, 63, 64; 2) и o^g-i 1. 2. 1234 -, -, -, -; z = О D О О / О 2тг I exp I у cos — I cos I y sin 5 I V 5 / V 5 4тг . 4тг exp [ 2/ cos — J cos I y sin — 5 / \ 5 q q ; ; * =- [у = 7.17. ФУНКЦИИ ВИДА pF0(-w, (aP-i); ^), p = 2, 3, ... 7 1 2 3 .17.1. —те —те 11 редставления 2 «2 a t + 1 (a)n(-z)ni/ 1 /F 1/B 2b6 F0(^n, a; "i (-n; 1 - Z) Mn+1/2 *)- 2F0(oi, a2; z) a — те; —z"" ) =
7.18.3] 7.18. Разные гипергеометрические функции 517 л к «1 «2 e-l/Bz 1+^ 2 2Fo(ai, a2; z ) / 1\ 1 /i\ / • \ ) / Ж e~l/(%z) Н\У | q= ) V Z n + 1/2 I 2z / ГГ 0 < argz ^ Зтг/2 11 [l-тг/2 <argz ^OjJ 7.17.2. Представления ~n, a; —z). 1 2 3 4 —те -—те те 2 —те «2 те n + 1 1 - те 2 2 «к-,» 2 1 2™nzn/ 71 + 1 *.-е) V г е [7-"-i/^ ( l) J f l )} [z(n + l) = -l 7.17.3. Представления 3Fo(~n, ai, «2; ^). 1,^1 = 1. 7.18. РАЗНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 7.18.1. П ре д став л ения \Fq(a\ (bq); z). ml ; z == |ГП + 1 У171/ Я .fe=O 21гтг q i— AKTT . ZIC7T yfc = VI = cos h i sin g g 2. 1; n, 61, 62,63; ^) = (n- x 0F3Fi - n + 1, 62 - n + 1, 63 - n + 1; z) - Y^ ПA - 6i)fc^™ k=l1=1 7.18.2. Представления 3Fs(ai5 аг, аз; 61, . . . , og; 2;). , 1 + 3a — 6, ,4 -k n = 1, 2, 3, . . .]. 1 2 , 6 b + 1 За За l + 3a-6 3a - 6 \ - p (h л * 7.18.8. Представления 4.Fi(—n, ai, аг, аз; 6; z). -За- 6; -8t CL\ U2 Я3 CI4 4Fi(ai, 02, аз, «4; 6; —^ — те2а + те a a -j— -—те 1 + Ti a 1 — a 2г (-l)»(n!J2-2»(-*)»L-2-2» ^J L"a Ja+n (a-Vi>) J_a+n+1 (z- + J-a-n (z-1/2) ¦ 2г 2-v/z sin an
518 Гл. 7. Гипергеометрические функции [7.18.3 3 4 5 ai — те те 2 те 2 2 1 1 a2 + те — те 2 — те 2 аз а 1 + тг 2 3 + те 2 а4 2 1 + 2 + а те 2 те 2 6 3 2 1 2 3 2 4z(n + 1 X J-a l) У < *3/4(П + 4F1 (ai, a2, [j + )A — a) sin аж L + n + 2 (^^1/2) ^ •/- Г _1/4 Г . / 1 + cos 1 аз, «4; „и 7ГП\ 2 J — - тгте 2 Ь /„ 7Г? ~2 ) ! X /2) Л^п^2 (Z^1/2)j ( ^г/2\ + 1/2 ^ J + Лг+3/2 yz J ¦ г\ , v "I ™ 1 J—n — 3/2 \z ) / V 7 J
Глава 8. G-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА И Я-ФУНКЦИЯ ФОКСА 8.1. ВВЕДЕНИЕ В этой главе излагаются свойства Gr-функции Мейера и //-функции Фокса и приводится таблица преобразований Меллина, объединенная с таблицей представлений через G- и //-функции, для широкого класса элементарных и специальных функций. Эти функции /(ж) обладают тем свойством, что их преобразования Меллина со /*(«) = \xs-1f{x)dx A) о выражаются в виде отношения произведений гамма-функций где dj, 6fc, ci, dm — комплексные, a Oj, /9д., 71, Sm — положительные постоянные. В неко- некоторых случаях значениям f*(s) из таблицы 8.4 соответствуют функции /(ж), для которых интеграл A) расходится, но сходится один из интегралов *(8)x~ads = /(ж), L где L = L^oo или L+oo, L^(L+) — левая (правая) петля (см. 8.2); для обозначения этого соответствия используется символ /(ж) <— /*(s). Указатель частных случаев ^-функции Мейера и //-функции Фокса позволяет находить их выражения через элементарные и специальные функции. Использование преобразования Меллина дает возможность вычислять интегралы от произведения функций, входящих в таблицу 8.4. Пусть интеграл приведен к виду dx тогда в силу формулы 8.4.1.2 его преобразование Меллина /*(s) равно произведению преобразований Меллина /*(s), /2 (s) функций fi(x), /2(ж) и, следовательно, также имеет вид B). Воспользовавшись формулой обратного преобразования Меллина 7+гсхэ 1 f * —8 2ni J 7^*00 и формулой 2.2.1.7, можно найти значение /(?). Пример. Вычислим интеграл ^ /@ = о Он представляет собой свертку (для преобразований Меллина) функций Согласно формулам 8.4.3.1, 8.4.1.5, 8.4.3.2 fi{s) — Г(—s), Re(s) < 0. Преобразование Меллина /*(s) интеграла 1{з) имеет вид /*(s) = Г(а + s)r(-s), -Rea < Res = 7 < 0.
520 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.2.1 Воспользовавшись теперь формулами 8.4.2.5, 8.4.1.7 или 2.2.1.7, получим a-1-x-x/t , _ dx = Г(а) Rea, Отметим также, что таблица 8.4 может быть расширена с помощью формул из раздела 7.3- 18, так как каждой из функций pFq((ap); (bq); z) таблицы 7.3-18 формула 8.4.51.1 ставит в соответствие функцию f*(s) вида B). 8.2. G-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА G™ (z 8.2.1. Определение и обозначения. С-функция Мейера порядка (in, n, p, q), где формулой ы \ = (Ья) определяетя — fr + 8, . . . , Ьт + 8, 1 — tti — 8, . . . , 1 — пп — S 1 + S, . . . , ар + S, 1 - Ьт+1 - 8, . . . , l-bq - 8 ? ds; интеграл сходится, если выполнено одно из следующих условий: 1) L = Lioo; с* > 0, 2) L = Lioo; с* argz\ < с ж; arg z| = с*тг, (д — рO < — Re /x; 3) L = L^oo] p < g, 0 < \z\ < оо или р = д, = 1, Re/i < 0; или р = д, с* 0, 4) L = L+oo; здесь > д, 0 < Р + q < оо или р = д, или р = д, с* ^ 0, |z| = I, Re/x < 0; •1, 7 = lim Re s. Контур Ь-оо (L+oo) представляет собой левую (правую) петлю, которая расположена в некоторой горизонтальной полосе, начинается в точке ^оо + щ\ (+оо + i(pi), оставляет все полюса подынтегральной функции вида s = — bj — к, j = 1, 2, . . . , га, слева, а все полюса вида s = l — a/ + A;,/ = l,2, ...,n,fe = 0,l,2, ... — справа от контура и оканчивается в точке — оо + i(f2 (+оо + i^>2)> где ip\ < ^2- Контур Ljqq начинается в точке 7 ~~ ^о0 и оканчивается в точке 7 + *оо5 разделяя указанные полюса так же, как и L±oo. Если в определении Gr-функции под знаком интеграла имеются только сомножите- сомножители с параметрами bk (или только с а&), то в этом случае используется обозначение ~17П ' I соответственно 8.2.2. Основные свойства. 1. G-функция симметрична по параметрам ai, ..., ап из (ap), an+i5 . . . , ар из (ар), 6i, . . . , &m из (&g) и 6m+i, . . . , bq из Fg) в отдельности. 2. Представление в виде комбинации обобщенных гипергеометриче- гипергеометрических функций: к) \ _ 7 .. — Ьт+1, \ v' (=0 при выполнении условий 1), 3) или 2), 3) из 8.2.1. 3. [р ^ q; условия 1)-3) и bj - Ьк ф 0, ±1, ±2, . . . ; j ф к; j, к = 1, 2, . . . , т]. (Л$g О/]_ • » # # * tt jg ^ть j -*- I ?^Х *жk j * * * 1 -*- I ^ттъ ^к •к — Ьт+1, • • • j ttfc — 6g, 1 + ате+1 —- afe, ... , 1 + ftp — С
8.2.2] 8.2. G'-функция Мейера 521 . + (Ьд)-ал; IzU . + (ар)г — ак [р ^ <?5 условия 1), 2), 4) и a,j — ак ф О, ±1, ±2, . . . ; j ф к; j, к = 1, 2, . . . , п]. ОДеСЬ lfl.pl — flfc = tti — пк , . . . , Лк^ 1 — flfcj fl-fc + l — flfc, . . . , ftp — Qjk И 1 [111 — flfc5 •••) @>m — O-feJ =::: = r(ai - afe) . . . r(afc^i - afe)r(afe+i - afe) . . . Г(ат - afc) (компонента ak - ak отсутствует). Случаи, когда среди разностей bj — bkl clj — ak есть целые числа, приводят к более сложным выражениям. Разложения в суммы (j-функций: sin (an+i — Ьк)ж ... sin (ap — Ък)ж 5. G™qn ( z (ар) ] _ ^m + n^ п^р у^ Ш ^—^ sir . * . Sin x e 7ri(m+n —p — Sin (ttfe ^ fem+lOT . . . SJn (flfc — Ьц)тг — oi)tt . * . sin x e —i; / ] p —m —n+1 , (ар)'к [множители sin (bk — Ьк)тт и sin (ад. — «й)тг отсутствуют], fe-l, 6fc + l, • • • , bq. 7. Функция аналитична по z в секторе |argz| < с*тт. При с* > 0, р = функции, удовлетворяющие условиям 3) и 4), аналитически продолжают друг друга через окружность z = 1 в этом секторе. В случае с* ^ 0 сектор аналитичности отсутствует, но при р = q две указанные аналитические при \z\ < 1 и \z\ > 1 функции имеют один и тот же предел при z —У 1 вдоль луча argz = 0, если Re/i < 0, с* = 0. При \z\ > 1, р = q, с* = 1 для выделения главной ветви функции проводят разрез (—оо, — !)• Если > 1,р = дис* > 1, то при 0 ^ arg z ^ 2тг в проведении разреза необходимости нет. Формулы понижения порядка и вырождения: . Gpq 9/nfTTi . (jp, 10. Hm 11. Hm 12- Hm |bi|-»oo 13. Hm I A — /-iin, n — 1 _^ (dp) (%) \] _ (flp) . , ap _<-fm, n — 1 /-ym-1, n (Ья-i) 14. Gwpq I z 15. Формулы симметрии и сдвига: (ар) + a (Ь,) J~"P" V (bq) + a [arg(l/z) = -argz]. — Г*™
522 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.2.2 Соотношения специального вида: 16. G™" i z 17. Gpq 18. 19. a, {ap~i) (bq-г), п±1 ( 1ur,m-\-i,n-i (ap_i), a a± /, Fq_i) &±I5 (Op-i) F^i), b Л, Op) A(k,b1),...,A(k,bq) Соотношения между смежными функциями: 20. 21. (ap ^ 22. G" 23. Jpq i + = G™\z — 1, Q-2, . . . , ap (aP-i), dp — 1 (ap_i), m —1, n a2, • • • , aP-i — A;, [те, те ^ 1]. [1 ^ n ^ p- 1]. [1 ^ n ^p- 1]. • , <xp_i Формулы связи с функциями аргумента ze гж: 24. 25. 26. G 27. = 1 UW.'G» , П I —«7Г WLlU-r.» о-гЪт+1тгпт+\,п [ zeiw r^m, те-} (bq) (ap) - 1]. (ap) 0, 1/2, a + i&, a — ib, (ap—2) \ 0, F9-2), 1/2 ¦ iG™ali<nl ze%7X 1/2, (Ь,_2), 0 --гаж Ьж rim, n — 1 а + ib, (ap-2), a — ib a — гб, (ap_2), a + i6
8.2.2] 8.2. G'-функция Мейера 523 28. 29. G"n F,) К) (Ья) m+n — q П sir , (ag), sin(Fm)' - 6Л)тГ 8т(ан-Ьк)тг \z Здесь sin ((bmy - bh)w = f\ sin (bk - bh)w. on кфН Формулы дифференцирования: (ap) I _ ^^-l^m^ + l , <?+2 I V / V 0, ±1, ±2, ...; -a, (op) F,), \-a фд ahl (bq), ah arg l-(-l TP+l,qf+l 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. (bq), F, - - k, (ap) dzk d^ dzk ~dz ~dz (ap) (bq) (ap) (bq) = (^l)kza^ ^pq CL\ — k, CL2, . . . (aP-i), aP — к (M — 1, tt2, • • • , d {b4 bi + k, 62, • • • , bq <7Г . [m > 1]. [те ^ g^ 1]. 41 ^^ (%) (bq) (I, 61), ..., A(I, 6g), A(r, A;) [I, r = 1, 2, . . .; с*, д см. в 8.2.1]
524 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.2.2 \(l, ai), ..., A(I, ap), A(r, 1 - k) i(r, 1), A(I, 61), . . . , A(I, 6q) [I, r = 1, 2, . . .; c*, /1 см. в 8.2.1]. Дифференцирование (^-функции по параметрам в общем случае не приводит к G- функциям. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция , имеет вид 42. [(_ (Ья) 3=1 х ' к=1 Это уравнение порядка max(p, g) имеет две (z = 0, оо при р ф q) или три (z = = 0, ^x)m+n^g, 00 при р = q) особые точки. Если р < g (р > д), то z = 0 (z = 00) — правильная, a z = 00 (z = 0) — неправильная или существенно особая точка; если р = д, то все три особые точки правильные. 43. u = ul{z) = e(m+n^1)bfe [А; = 1, 2, . . . , q- bj - bk ф 0, ±1, ±2, . . . ; j ф к; j, к = 1, 2, . . . , q]. 44. .1 = u)[z) = R<?(z) = 45. u = ul(z) Zl bhj bj, (aq) bhj bj, (bq) 46. t* = ^(z) = <Mz) я [j = l, 2, ..., q; эфк]. [фч 7^0, ±1, ±2, ...]. №9 = 0, ±1, ±2, ...]• где функция СдлС-2? д) мо^^ет быть представлена формулами 47. 48. Здесь cogh = 1, соотношениями Cl2h = ЩФ2 + bh), jCj2h = ЩФ2 +bh zi) J^ TV/ Г^П^^ I'1 = 0, j = 1, 2, . . ., а остальные коэффициенты Cjqh определяются bh), bh) - -2) - bh - q + 2) bh + + 3) 3) ) 6Л - g + 4) 3) - g + 4) (9-3)! (9-4)! 9-2 X Cj + fe-, + 1,,,/» + (-1)" где Д — разностный оператор 7.2.3.74-75.
8.2.2] 8.2. G'-функция Мейера 525 49. R(x) = f\(x + 1 ~~ aj), Q(x) = f\(x ^ bj), 3=1 причем справедливы соотношения 3=1 q, hf k\ = 0, 1, 2,...]. Функция <pq(z) совпадает с правыми частями любой из соответствующих формул 8.2.2.53—56, приведенных ниже. ФуНКЦИИ ?qh(z, фц) И (fq(z) В ОСОбоЙ ТОЧКв Z = (_1)ш + п~9 имеюТ5 вообще ГОВОрЯ, соответственно степенную (при Иефд < 0; фч ф —1, —2, . . .) и степенно-логарифмическую особенности с возможным разрывом при переходе через окружность \z\ = 1 (когда т + п ^ ^ q), а все функции Щ4^ (z) в этой точке непрерывны. Обозначим через u^(z) систему, получаемую из uk(z) одновременной заменой местами z и z , m, fi, p, q, (ftp), (fe9) и и, in, (/, р, 1 — Fg), I — {о>р) соответственно. Тогда функции u°k(z), k = 1, 2, . . . , q; uf(z),k = 1, 2, . . . , р; R$(z),j = = 1, 2, . . . , q, j ф h, и Сд/г(^5 ^g) (ПРИ Фч Ф 0, ±1, ±2? • • •) или (fq(z) (при ^ = = 0, ±1, ±2, . . .) образуют три фундаментальные системы решений дифференциального уравнения 8.2.2.42 соответственно в окрестностях особых точек z = 0 при р ^. q, z = оо при p^qmz = (^i)m+n^^ ПрИ р = д. В случае р = q это уравнение инвариантно при указанной выше замене местами переменных, a q + 1 его решений гс О / \ со / \ и tfcfc(z) или ик (z), или 53-57). ), ?qh(z, фч), ^g(z) связаны между собой формулами 8.2.2.5 (или 8.2.2.6, или 8.2.2.50, Представления функции С" в окрестности особой точки z = (—1)г имеют различный вид в зависимости от положения z (внутри или вне окружности \z\ = 1) и от величины фд: 50. Gmn(- ^а<^ « — П sln(afc - sin^Tr ^ sm((bmy-bh)ir LV7"V ' т [|arg(l-zi)| < тг; фч фО, ±1, ±2, ..., Сд/г(^) см. нас. 623]. где sin ((Ьщ)' — Ьн)тг = О sin (bk — 6/г)тг; в частности, формула 8.2.2.50 сводится к соотношениям (аа 51. G ¦тп 7Г \q-m-n г Ч п sm{{bmy-bh)ir - 6,)тг 52. (Ь.) К) 0, ±1, ±2, ...]. П 8in(ah-bk)ir = m+l sin(ah - (an)f)w /_^ 3=1 ah, aj} (bq) \z\ > 1; 0, ±1, ±2, a при целых ^д она принимает вид
526 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.2.2 53. Ggq' I Z ^ = E m 1-1 z h \.i k=0 / -t\l -(-1) 7Г l m-\-n — q — l 7Г m = /; | = 0, 1, 2, ...; |„| < 1]. 54. G h=l fc=O q П 8т(ал-(ап)')тг ls**v~>v«^ -/ = /; / = 0, 1, 2, ...; |„| > 1; |arg(l-z2)| < тг; z2 = (-1)« 55. G" E ^ i=o ^,o} 56. Ggq' I Z (bq) (-l)'^^, -I) In A - Zi) + (^lI! [^- = -/; I = 1, 2, ...; \z\ < 1]. 9 X i (/-1)!^2 afe(l-^2 - z2)j + (-l)'^^, -0 In A - j=o [l 4j [^ = -'5 / = 1,2, ...; Функция Cg^(z) представима в любой из следующих форм: 7+гоо f i=o (t - !? ^1 [0 < 7 < 1], < 1], 7+ioo t — Z\ ¦ dt [0 < 7 < 1; zi справа от G — ico, 7 + гею)]. 57. -щ где функции R-fJ(z) определяются равенством 8.2.2.44. Остальные коэффициенты и функции имеют представления o>n+i — bhj • • • , aq — bh7 — bq + k - aq)k 7+гоо 1- _ ln(l-t)- , Q dt
8.2.2] 8.2. G'-функция Мейера 527 [О < 7 < 1; zi справа от G — гоо, j + гоо); Re F^ — dj) > —(I ± 1)/2 — 1; j = 1, 2, . . . , q; 6/j, — -a^O, -1, -2, ..., -(/±0/2], l2^ *j — Zl \l — ekqh\l — Zl "Y — гоо [О < 7 < 1; Re (bh - a,j) > -(I ± 0/2 -1; j = 1,2, ..., q; bh- a5 ф 0, -1, -2, . . . , -(/ ± 0/2], причем ^(z, t/>g), efh (z, /), c*g/l, djg/l получаются из ?qh(z, фч), Ofh(z, I), cjqh, dkqh одновременной заменой местами z и z~ , га и n, a^ и 1 — bh, bh и 1 — ah- Функции 0qh(z, I) являются непрерывными в точке z = (—l)m n ч. Значение G-функции в указанной точке выражается равенством q _l_ _ m О Sin (ttfc — bh)il 58. n-q)bhwi k = n [m + n> q\ Кефч > О], причем его правая часть лишь в частных случаях приводится к отношениям произведений гамма-функций. Если выполняются условия l-q+l Ц [h = l,2,...,q], fe=l x fe=l где Я(ж) имют вид 8.2.2.49, то в формуле 8.2.2.53 (соответственно 8.2.2.54) второе слагае- слагаемое, содержащее логарифмический член, отсутствует. Если же выполняется соотношение (,qh(z, I) = 0, то Oqh(zj I) = 0 (а если (,^h(zj 0 — 0, то 0~h (z, I) = 0) и формула 8.2.2.55 (соответственно 8.2.2.56) не содержит логарифмического члена. Для выполнения последних требований необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соответственно условия 3=1 Если 0, то функция = 1,2, ..., аналитична в секторе | argz\ < (га + + п — д)тг, а правые части формул 8.2.2.51-52, 53-54, 55-56 соответственно аналитически продолжают друг друга через окружность \z\ = 1. Если, кроме того, т + п — р ^ 2, то точки z = =Ы при любом фд не являются особыми, если им приписывать аргументы жк, к = = 0, =Ы, ±2, . . ., где |&| < т + n — q. Тогда коэффициенты при Gqqq- и G^-функциях из формул 8.2.2.51-52 обращаются в нуль, т.е. sln(afe - kbhwik = n^ sm((bm)f - i q = 0 [|А;| < m + п - q; к = 0, ±1, ±2, . . .], ^ ЪкOГ = 0 sm(ah - PI -n- g; Jfe = 0, ±1, ±2, . . .]. Если argz| < 7Г, то в особой точке z = — 1 функция G« (Ья) при Re^g > 0 непрерывна, при Кефч = 0, фч ф 0 ограничена, при t/>g = 0, вообще говоря, имеет логарифмическую особенность (см. 8.2.2.53-56), а при Retpq < 0 имеет степенную особенность порядка —фч, к которой при целых фд может добавляться и логарифмическая особенность, причем справедливо равенство q г х . , чп m П sinK -6*.W 59. Mm \(л -L~\-1>*nmnl * (ая) z->-l
528 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.3.1 Если га + га — q ^ 0, то функция -imn является кусочно аналитической функцией от z с разрывом на окружности \z\ = 1. Если га + га — q = 0, то эта функция в особой точке z = 1 при Иефч > 0 непрерывна, при Кефя = 0, фч ф 0 ограничена, при фч = 0, гага ф 0, вообще говоря, имеет логарифмическую особенность, а при Re фч < О допускает степенную особенность порядка —фц1 к которой при целых фд может добавляться и логарифмическая особенность. При этом асимптотика функции GJ —>• 1 зависит от способа подхода z к 1 (извне или изнутри круга \z\ справедливы равенства 60. Mm Z-H-1 при z —> 1). В частности, sln(Fm); - , я 61. lim | '[l.oo) ^ sin (а/г - (an);Or Относительно других свойств и приложений 6г-функции Мейера см. [1, 11, 13, 46]. 8.3. М^ФУНКЩИЯ ФОКСА 8.3.1. Определение и обозначения. //-функция Фокса порядка (га, га, р, q), где 0 ^ га- формулой 1 Г (ai, Ai), . . . , (ap, Ap) _ определяется 1. я: ттТПП g, Bq) , P П h J ^^ П П i = n+l i = m+l Ai? Б,- >0, г = 1, 2, ...,p, j = l, 2, ..., q, [ap, Ap] = (ai, Ai), . . . , (ap, Ap), [6g, Bg] = Fi, Bi), . . . , (bq, Bq). Интеграл сходится, если выполнено одно из следующих условий: 1) L = Lioo; a* > О, 2) L = Lioo; a* ^ 0, argz| < а*ж/2; argz\ = а*тг/2, 7Д < — Re/x; 3) L = L^oo; A > 0, 0 < z < 00 или А = 0, 0 < \z\ < /3 или А = 0, а* ^ О, = /3, Re/x < 0; 4) L = L+oo; A < 0, 0 < \z\ < 00 или А = 0, \z\ > Р или А = 0, а* ^ 0, \z\ = /3, Re/x здесь Е Е с = га- + га — П Аз АЗ П М = 3=1 3=1 Контур L~oo (L+oo) представляет собой левую (правую) петлю, которая расположена в некоторой горизонтальной полосе, начинается в точке ^oo + i<pi (+oo + iy?i), оставляет
8.3.2] 8.3. Н~ Функция Фокса [аР1Лр] [Ья,Вд] 529 все полюса функций T(bj + Bjs), j = 1, 2, . . . , га, слева, а функций ГA — clj — Ajs), j = = 1, 2, . . . , n, — справа от контура, и оканчивается в точке ™оо + щч (+оо + i(fi2), где (р% < < (f2- Контур Lioo начинается в точке 7 ~~ *оо и оканчивается в 7 + ъсю, разделяя указанные полюса так же, как и L±oo- 8.3.2. Основные свойства. 1. Н-функция симметрична по парам (ai, Ai), • • • , (сь-п, Ап) из [ар, Ар], (ап+1, An-f-i, . . • . . . , (ар, Ар)) из [ар, Ар], FЬ Вг), . . . , Fт, Бш) из [bq, Bq] и Fm+i, Bm+i), . . . , (bq, Bq) из [6g, Bq] в отдельности. 2. Я, •0,n [ар, = 0 при выполнении условий 1), 3) или 2), 3) из 8.3.1. 3. Представление в виде ряда: т [ар, Ар] ______ г = 1 k=0 Ц ГA - i [А ^ 0; условия 1)-3) и Bk(bj + I) ф Bj(bk + s), j ф к; j, к = 1, 2, . . . , m; I, s = 0, 1,2,.. .]. qq J~[ ГA — dj -— A — di ¦ 4. я: [ap, Ap] I _ v П m П (-1)* g .=n+i [A ^ 0; условия 1), 2), 4) и Ak(l - a3- + l) Ф A3(l - ak + s), j ф к; j, к = 1, 2, . . . , щ I, s = = 0, 1, 2, . ..]. 5. Функция Яр [ap, Ap] аналитична по z в секторе | arg z .Еслиа* А = = 0 , то функции, удовлетворяющие условиям 3), 4), аналитически продолжают друг друга через окружность z = j3 в этом секторе. В случае а* ^ 0 сектор аналитичности отсутствует, но, если А = 0, то две указанные аналитические при \z\ < f3 и \z\ > C функции имеют один и тот же предел при z —У /3 вдоль луча arg z = 0, когда а* = 0, Re /i < 0. Формулы понижения порядка, симметрии и сдвига: в. 7. т 8. [ар, Ар] [bq-i, B [ftp, Л.р\ [ъя,вя] ар, Л i, Аг) j-m, n —1 (а2, А2), . . . , (аР5 Ар) [bq-u Вд-г] - ар, Ар [ар + а Ар, Ар] К, Bg] Соотношения специального вида: (a, A), [ap_i, Лр-i] 9ит-~ I у 10. g-i, B9_i], (azb/, A) / -i\l rjTO + l, П —1 = l^1) HP,q [Ор_1, / F, В), l, J5) _______ I [ap_i, Ap-i], (a, A) (a±/, A), [bq-i, Bq (b±l, Б), [ap_i, Л [6,_i, B,_i], F, Б)
530 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.3.2 (а, Л), [ар^2, Лр_2], (а±/, Л) | _ (a, Л), [bq-i, Вд-г] — ( II f[m~ljn 7 - \-Ч rip-iiq-i \z 1 « тттп 1A. Hpq I Z [ap, A,] | = Ш] [Ья, Вя Mkp, kq (•'-*)' (а ± I, А), [ар_2, , ар), Л , 6,), В, Соотношения между смежными функциями: 13. {ЬгАг - aiBi + Bi)#™ ), (а2, Л2), • • • , (ар, Ар) я, В„] ¦АЖ [ар, Ар] ), F2, [гм, те ^ 1]. 14. Я^п U i-ra —I, n ~ ^p-l>q-l Формулы дифференцирования: 15 ^^ <f za H а тттп JP+1,< — 1, п р-1, д-1 )> («2, . (-G, 1), [ap, Л L тттп I _ —о- [up, я: n —a (ai — А;, Л1), (a2, Л2), • • • , (ap, Лр) [n ^ 1; cr = Л1 для fc > 1]. 17 mn cr г л i [ap, Ap\ [Ья,вд] [ap, Лр] ), F2, 18 jlo. dz* in [6„ ^g [ap, Л, (cz + d)' 20. П(^-СЛ^ЯрТ rjr'm, n-\ [т ^ 1; а = В\ для fe > 1]. @, a), [ap, Ap} [bq, Bq], (k, a) W > 0]. [ap, Лр] **р+г, q+r 1 (cz + d)° [ap, Лр], A-A;, A, a), [&g, Бд] [cr > 0]. [сг — a, cr], [ttp, Лр] [6q, Bg], [cr - a + 1, > 0].
8.4.1] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 531 Представления через G-функцию Мейера: 21. т 22. ЯГ z z [up, [Ья, ч Ар] ^ pq I (ap) A(fcp, % [Ai, . . . , Ар, Bi, . . . , Bq > 0— рациональные величины]. Здесь к — наименьшее общее кратное всех знаменателей величин А\, . . . , АР7 ?>i, . . . , Bqi ki = kAi, i = l,2,...,p,lj = kBj, j = 1, 2, . . . , q, p q m n i=i i=i [a*5 с*, /3, /i, А см. в 8.3.1]. Другие свойства //-функции и ее приложения см. в книгах [50, 61]. 8.4. ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МЕЛЛИНА И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ И СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ G-ФУНКЦИЮ МЕЙЕРА И М-ФУНКЦИЮ ФОКСА В этом разделе приведены формулы преобразования Меллина оо /*(e) = \xa~1f(x)dx о для различных элементарных и специальных функций /(ж), для которых f*(s) имеет вид I I т^Т Г7^—vFTJ F5 \ ' лз'1 вк, O|, JJm > 0. A1 r(ci + Cls)T(dm - Dms) j, к, I, m В левом столбце таблиц указаны функции /(ж), в правом — их преобразования Меллина f*(s). Символ /(ж) ^^ f*(s) означает, что существует интеграл f*(s)x^s ds, 2711 L Г s-1 равный /(ж), причем интеграл ж f(x)dx в классическом смысле расходится; опреде- о ление преобразования Меллина в смысле теории обобщенных функций см., например, в [36]. Контуры L±oo представляют собой петли (см. 8.2.1), разделяющие плоскость s на области D и D (D слева, а D справа от L-t©©)- Условия представимости функций /(ж) через G-функцию Мейера (//-функцию Фокса), указанные в правом столбце, могут быть ослаблены; см. 8.2.1, 8.2.4A)-B)(8.3.1, 8.3.2). 8.4.1. Формулы общего вида.
532 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.2 8.4.2. Степенная и алгебраическая функции. Обозначения: Аг = тт~1/2^/2I-2г, А2 = 22г^ иг^г\ А3 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 хи xv A (X A 1 11 A xc X h L 1 L (v H(\-x) G\\(x\ H(x 1) - Gi\ (x V - x)* = Г@)в\[ + *)-' = - 1 /^n I Гж — ж \ o, 0, x ^p - Ж I/ (• (¦ 1/2 1/2 + 1 + 1 0 /5 0 1 - 0 ) J Г(р)соб(Р7т/2) ' ж)+ + - Лп {(З - sin 7' 7Г sin77rF( Г — 1 Sin С77Г Goo - 1 7Г n -i —1 - ttG^ 1 ж V (тг + ] (n + 1 2n - ^(-l)fc™^fc/B fe = l rll ( - u\x 0 ^ 1 0 J ' /1 + x ±1) (x V 7O т 1™ ( x \ :7ГГ )~] n+ 1 0, г ( 0, < и, < L, (n -I 1 / ")/2, 1 ) ) ) ) -') < ™P, A C1 - P -til Z' 7 J f \ 0,] 0,] - + 3)/ - + 3)/ = Bn- Bn - - 2r -+ y ± ^)/ [r -p)/2 \ )/2 / /3, 7 \ 0, 7 / L/2 \ L/2 ) Bn + 2) \ Bтг + 2)/ Ы) J ,;/2) = 0, 1/2] r[ s + u ' [s + v + l rr—•¦ Li - i/ - sj Г s - 1 1 Г (P) J «, 1 тгГ Le + 1/2, 7Г Г(р) cos (ртг/ 7Г sin77rT(l — sin aw 4s s 7Г [|Re<7|<l; L* + l/2, -тгГ s + Г[в, 1 - «] + г + r[s + ( Г V s Л\Г 1 1 s] — s 1/2- Г r[ @,- — s 1/2- [He (s + 1/ [HC (S [Res, [Re /3 > 0; Re 5 < [0 < Re 1 [o< [e + (l-p)/2, A + [0 < Re 5 < S, 1 -)9 - S 1 s + 7, 1 - 7 - sj [0 < Re s < 1 - 1~S,1~CT~5] Re<j)<Res < A,' 1 _ j + Cn + l), n(n + l)" (n + 2тг + T ^ 9. ' 3)Bn + 2)~1, (n- x Bn + 2)" [0 < Re 5 < n(n 1) , 2тгBп + 1) [0 < Res < 2теBп 1-1/ V 9 9 L [-Re(i/=F^)/2 < Res < г + 1/) > 0] + 1/) < 0] Re Д > 0] С 1 - Re C} s < Rep] Re s < 1] p)/2-*J Re p < 1] Re,e < 1] L^Retr)]  — s -l)x -1 - s 1 1 + 1)™1] 1 J -Rei//2]
8.4.2] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 533 13 14 15 16  Т 17 18 19 20 21 22 ( (ж2 + И 2 _|_ f (ж2 + A-5 (ж - A-5 — (ж- — A + V Ьж ±у^У 1 + ж)г 21 ( ^ „11 22 sm 7 -ЖСОБ7 !жсов7 +1 2ж cos 7 + 0+ [A + л l-r±i/ 0, 1/2 и V (о, i), @, 1), 11 ( \ ( \ \ /i—^y _ -(-1)^A-^ / \ + LV - (-1Jг 4 С02Гж 2 22 |^ж ] ( or [ГУТ (-1Jг (^1 / 22 V or [G^ + LVV МJг (V \ / 4 q Ct oo I Ж *-o ^-* 22 1 ] ( I _ (i/ + l)/2, i 0, i/ {y/x -Vi~ V-r- v/2 ), 1/2 VT' л- Л (^ + 2)/4,i 0, I//2 x + 1 + V л V /^ + 1 - ^/ L - r + ?//4 ), 1/2 y/x\~p = 2P (-i)'VT^ f ^v^ - (- 3/ ^n 22 - AA 1 ~ 1 - 0, ] "ж //A — ж^ -II y/x - 1 Гж V C+21 1/2, A /2, 1-r (-7Л, ж; J - //2 + 1 - [r = 3T)T 1-Г + [r = —^^ 1 — y/x ,/4+1- [r = / «A/ -L 1 -r- [r sin — P/2, A -/2 + H{x- )/4, E- -0/2 J 7/т) А 7/t) / 2,7/тг) \ ) = 0,1/2] = "/2 \ У = 0, 1/2] I/ - )"]- / J = 0, 1/2] - )> / J v/A \ ) = 0, 1/2] -ГA-р)х "P)/2 \ ) 1) = 20/4 \ J 1 = 0, 1] fs, s + 1/2, r =F i//2- si 1 L s-r=F^/2 + l J [0 < Res < rTRei//2] sin Gs- 7) sin 7 [0 < Res < 2; |7| < тг] cosGs)T[s, 1-е] [0 < Res < 1; |7| < тг] (s — 1) cos Gs — 27) sin 7 — sin Gs — 7] 2 sin3 7 sin stt [0 < Res < 4; |7| < тг] Г __i_ 1 2 U + (^ + l)/2, s + i//2 + 1 - 2r J [Res > 0, -Re 1/] Гг + ,/2-в,г-,/2-.1 L 1-е, 1/2-e J [Res < r- |Rei/|/2] Л r[ s,s + u/2 1 3 [e + A/ + 2)/4, e + i//4 + 1 - 2r J [Res > 0, -Rei//2] Гг + v/Al — s, r — j^/4- si 3 L 1-е, 1/2-s J [Res < r- Re 1/1/4] 2^sin —ГA-/э)г[ s,p/2-s 2 [5 + A^р)/2,1/2 — s [0 < Res < Rep/2 < 1/2] 2^з/2 /^г Г 5 + 1/2,A 20/4 s 1 [s + E - 20/4, A + 0/2 - s J [-1/2 < Res < A-20/4]
534 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.4 8.4.3. Показательная функция. o-V* -, xk n+1, n+1, 0 -re, 1 — те, О, 1- 1, С С 71 + 1, 1 - С n + 1, 1 - с, О —n, c, 1 — n, с Г(в) Г(-в) T(s) Г(-8) [Re s > 0] [Re s < 0] [-n - 1 < Res < -n] [n < Re s < n + 1] sincTr ~ Ls + 1-с, с-sj "" ГA - 5) [с - любое; s = -A; G D+, fc = 0, 1, 2, . . .] , или sincTr L^ + c, 1-е-s\ Г(в + 1) [c - любое; s = fc G D^, fc = 0, 1, 2, . . .] sin стг L i] () [с —любое; 5 = — k G G D~, k = 0, 1, 2, . . . , 71; s = -k E D+, fc = = 71 + 1, 71 + 2, . . .] sin стг [s + c, 1-— c--sj F(s + 1) [c —любое; s = k E D+, fc = = 0, 1, 2, . . . , 71; s = A;Gl>~,A! = 7i + l, 71 + + 2,...] 8.4.4. Гиперболические функции. 3/2 nl-n 3/2 Обозначения: Л4 = — , Лб sin бтг 1 2 Г sh2y Ich2y Г sh (s I \ ^} = / G\i [x \ ) ( g2J \x i + 5/2 ) = ) 1 - с — 5/2- , 1 + 5/2, 5/2 ™ С 5/2- с — ё / L ) с, A-5)/2/ 2, A + 6)/2\ ) < Л41 = 0, А4Т = 0, л5 X ^ - = 0 Г L 1 [ L 1 (п г - е + S + , 2, [с , 2, [ .«4 D' при 11 п п 1 — любое; s • ••] Ч'- 5 1 2 ^ 1 — любое; ¦••] ( 1] (fc) - 7 ~~ ^ + 1? b - 1 — любое; fc G ,D+, fc при 7i = 2, 7i = 1, 3, 5, -5/2 5 2 = -5/2 1 — s 2 ' s = 5/2 ( 2 Vn-2fc s + 7 — 7 — s, 7 = A — = 1, 2 4, 6, .. 1 + 5 2 -fcG 2 + fcG \ 2s ) X 1/2 + ( — l)n ,3,.. , s = 1 J .1 J D~, к = 1 7 - sj ) /4; e = . ; s = -1/2 G
8.4.5] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 535 4 к о *г о 7 8 chn = 2- SO r-hn СП = 2" е- \/х — с [с = 0 при п = 1, 3, "n I 1 при те = 2 W2/ 1 1 [с = 0 при те = 1, 3, -( ")прип = 2 п/ /B-) sh J_ = I Gii ( 2ж 2 21^ 5, 4 5, 4 1, 1, f X \ . . . ; с = 1 или с = ,6,...] L . . . ; с = 1 или с = ,6,...] о) ;¦¦) G D~ eD+ [(г 5 х Г = 7 ?! X G при 21 о ( 2 J к \n-2kj г[ Ls - 6 + 1, 6- s, [6 D+, А; = 1, 2, 3 с=1ите = 2, 4 в остальных случаях] 1 — 1)/ fc 0 г L^ + + к = 0 G D' G D^ [(г 5 = fe G D+ G D" 1 Г. 2 L 1 Г, 2 L при i-l)/ \ ^ X G j при 2 /п\ ( 2 U/ U- 7^5 7 + 1/2, s + 6-7 1 — любое; 7 = A G D~, fe = 1 "*" при п = 2, 4, 6 п = 1, 3, 5, ...] 2] , 9 \ " ill i V/fe/ \n^2fc/ Г о Г [s + 1/2, s + 6, ] [Ь D", Aj = 1, 2, 3, с = 1ите = 2, 4 в остальных случаях] 5 + 1 5, 1 - -Л V] S X 1/2 7^ 1 " 6, . \ 1 2к) , 1 + 2, 3 2s X — о Ф1- ¦ ¦ ¦; 6, . [-1 [0 1 -s\ — любое; s = s = 0 G . .; s = 0 G -2s X 1 7-6-eJ -l)n) /4; s = , . . . ; s = s = 1/2 G - J - любое; s = s = 0 G ..; s = 0 G < Re s < 0] < Re s < 1] 8.4.5. Тригонометрические функции. Обозначение: S = ;}¦ 1 2 Q О 4 5 sin2v^=V^Gj§ cob2^=V5FG5S J sln2\/« 1 y— [ cos %/x J fsln2^^1/2| ] СО8 2Ж™1/2 | ~ V / —™: v 7Г Стоп 1 V 20^ f sin2-\/^" 1 13 ^ V (¦ vlO r02 Ж сс a 8 1/2, 0 / 0, 1/2 / (x Г S/2, (l-S)/2 J 1 - 8/2, (l + 5)/2 \ L-oo 8 2-^ 1 ^rh+1/2i L 1-е J ^r[l/2e-J j- Г s + 8/2 l{8 + \)/2- ь Г <f/2 - s V^r[e + (<J + l)/2 Г s _(_ a _(_ 1? s [s^/2^ [И [0< 1 [-5/2 < "I jj [-1/2 < + 5/2 1 )/2- s\ к G D+, fe = 0 R,es| < Res < Res < Res < , 1, 2, :i/2] :i/2] :i/2] :*/2] ...]
536 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.5 10 11 12 13 14 15 fsin2x [cos2x^1/2 sin By/x + 7тг) cos 1-5/2, -а, E + 1)/2 1-а 7 + A-*)/2 О, 1/2, 7 + A cos Bx~1/2 +7тг) 1, 1/2, A + Я)/2-7 7 sin Bл/ж + уж) — — л/ж cos Bл/ж + 771") = 7 / 2 7 Sin —-=¦ + J7T О, 1/2, 7- 1 /2 — cos -— + 7^ | = l/Ж \ л/Ж 1/2, 1, -7 cosn л/ж — с [с = 0 при 71 = 1, 3, 5, . . . ; с = 1 или с : = ci = 2~п ( П J при те = 2, 4,6,.. .] \п/2) J . „ 1 cos с л/ж [с = 0 при 71 = 1, 3, 5, . . . ; с = 1 или с : при те = 2, 4, 6, . . .] те/2 1 (ж S з (ж sin 7) J f а-e, <У/2-в [в = 5/2 +fe G i^, Aj = 0, 1, 2, в, в+ 1/2 [0 < Res < 1/2] -s, 1/2- s 7> 7+ — [-1/2 < Re* < 0] [в = -fe, -1/2 - к Е D+, к = 0, 1, 2, . . .] [в = к, 1/2 + к E D~, к = 0, 1, 2, . . .] [-п/2 < Re в < Т; 7 = A - МП /4] [О < Re s < 1/2 при с = 0 и с = ci; -1 < < Re s < 0 при с = 1] fc=o ¦1/2 [-7 < Res < те/2; у = A - (-1)* l2s Г -в 1 Г [-1/2 < Re s < 0 при с = 0 и с = ci; 0< < Re s < 1 при с = 1] [|7| < тг/2; Res > -A ±1)/2] [ COS75
8.4.6] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 537 1 R 17 1 Q JLo 19 Ofl zu 21 22 23 ж cos 7J ^ 1sin7) 1 _ 1 cos (ж" sin 7) [ / A (( о 3/7 /о Sin 1 3V I cos f 3 -v" ^ V 1 cos C y/x / x Gq6 1 ж V e X 1 о 4/F~ cosz у4ж V 1 / = ^/2^: G04^ j sh 2 v4x sin 2 л/4ж | ch 2 \/4x cos 2 у4ж / v /~tlO I <J04 1 5/ j sh2 y/4/x sin 2 1 ch 2 yj4/x cos S |sh2v/4^cos2 ^ shz у 4/ж cos^ / \ 1/ 1 - ,l),((l + «)/2, l + <5)/2, 7/тг) / \ I — / / ^ 0, 1/3, 2/3, A )\ ^ ") j 4тг3/2 Х 5 112 5 1 V 6' 3' 3' 6' }- /2, 1/4, 3/4, A r 2, 1/4, 3/4, A- ^5/2, 1/4, 3/4, ( У ™5)/2 ) ¦-i \ i-s 2 J \ -5)/2) 3 w \ -5)/2 J l + 5)/2 \ 5/2 \ 1/4, 3/4, 0, 1/2, E/2 / J v 4/ж J 4 3/4, 1/2, 1,1- ^5/2 I =ргг s)l8in75l + 1 V S)\ ( { COS7S J [1 T| < тг/2; Res < A ±l)/2] лД Г s, s + 1/3, s + 2/3 2 |_e + (i-?)/ 4^-3/2 1 6' ( 1 r/ I < s + 1/4, s Г [l/4 — e, 2 [s = -S/2 , Г Г[5 + 1/4, б [s = 5/2 +V^r 5 1 z, (I + о)/* 1 2 3' 3' + 3/4, s + s + 5/2 »/4- e, A- - A; G D+, 5/2 ^s + 3/4, s + 1 3 4'5 4 [s = -1/4-A;, -3/4:-к Е D+, г 1 .4 ±\/2ж3 Г 1 sH—, s [s = 1/4 +/5, 3/4 8. 3 4 4 + 1, s + 1 - + k E D~, , 1 ) с [Res > -J/3] 5 0 6' 2 [Res > -5/6] 5/21 / [Res > -5/4] 1 f J)/2- sj к = 0, 1, 2, ...] 1 E + l)/2j ife = 0, 1, 2, ...] 5 ife = 0, 1, 2, ...] 5 8 — , s 2 2 J к = 0, 1, 2, . . .] 1 2 3 4 5 3.4.6. Логарифмическая 1пжЯA — ж) = — G 1пжЯ(ж — 1) = G%t 1ппжЯA^ж) = ЫпхН(х- 1) = n! ЫA + «) = Сй(« 15 ( (* G°. 1, 1, ( f 1 f 1 fl 1 0 1, 0, 3,0 0 fl I 1 функция ;) ) 0, . . . , 0 / i::::i) -rf s [5 + 1 [l-s, (-1Гп!Г Г[в+1- ,s + lj s2 -8 1 1 [5 + lj [Res [Res [Res : [Res 3] f-l<Re > < > 0 < 0] 0] ] 0] 0]
538 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.6 In ( 1 + - х ¦¦Gi\lx -x\ = In 1 X О, 1 О, О 1, 0, 1/2 О, 1, 1/2 О, О, 1/2 In [ 1 + J^ ^±fe/(n+1) fc=i 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ln(l+ In ж ж - 1 In ж x-y у In ж О, О О, О ж + 1 In х х + у In ж In2 ж ж + 1 О, О О, О ж In у г У О, О, 1/2 О, О, 1/2 О, 1/2 О, 1/2 In (l + 2ж±х cos 7 1 + л/ж 1-у/Х 1/2, 1 1/2, О [г = 0, 1/2] тгГ тгГ тгГ е+1/2,1/2-е,1-е е, е, 1 — е + 1/2,е+1,1/2- А(п + 1, (п [0 < Re s < 1] [-1 <Re 5 < 0] [0 < Re 5 < 1] (n + 1, - + (n + 1M), A ( n + 1, (n + l е + 1/2, 1/2- -(п + I) < Res < О О < Res < (n + 1)™1 :п + 1, Bп + 1)е), -Bn+ I)™1 < Res < 0 0 < Res < Bn + l)^ T[s, s, 1 - s, 1 - s] [0 < Re s < 1] 1-е] х х ( Г[е, 1 - е] - [0 < Re s < 1] х I lny — тгГ Г[е, 2- е] х (in у - Г[е + 1/2, 1/2-. [у > 0; 0 < Re e < 1] е, е, 1 — е, 1 — . s + 1/2, 1/2- з _ 4[s, 1-е] х е, 1 - . .е + 1/2, 1/2- sj [у > 0; 0 < Re s < 1] S в, 1-в в+ 1/2, 1/2- i [у > 0; 0 < Re e < 2] 2Г[е, е, е, 1 - е, 1 - е, 1 - е] - - 7r2r[s, 1-е] [0 < Res < 1] -1 < Res О < Re e < [|Res| ТГГ ItI < тг, s + 1/2, 1/2- s V}] ¦ 1, 1 - e (~тгJг Ts +1/2, e + r, 1/2 - в, г - e 20F -r, 1/2+ r - s [-1/2 < Res < r]
8.4.7] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 539 20 21 22 23 24 25 26 /Т+~х ±1 [г = 0, 1/2] In у/х In- in- In2(v^ In -33 Ж у/х 1, 1 О, 1/2 1/2, 1 0, 0 1, 1, 1/2 1, 0, 0 О, 1,1 0,0,1/2 1,1,1 1,0,1/2 О, 1, 1/2 О, О, О х Г 2 Ll- в, 1/2-. 2 Le + 1/2, в + 1 j, s + 1/2 - r, 2r - s, 1/2 + r - s s + 1/2, 1-е [0 < Res < r + 1/2] [Re s < 0] [Re s > 0] [-1 < Res < 0] [0 < Re 5 < 1] [-KReKO] [0 < Re s < 1] s + l, —s, —s, —s l/2-в, 1-е x/w Г s, s, s, 1 — "T" [ 8.4.7. Обратные тригонометрические функции. Обозначение: S = ;}¦ arcsin-\ arccos-\ arcsin ж 1/2 агссозж^1/2 x 1 = arcsin ¦ arctg y/x = arccos _ = arcsin 4 arctg —=: = arccos ч(«5-1)/2 Г sin (^arccos^/ж) I _ 1 cos (i/ arccosi/ж ) J 4 0, 1/2 1/2, 1 0, 0 1/2, 1 1/2, 0 1/2, 1 0, 1/2 2 1 0J U + l 2 ' [Res > -(l±l)/4] 2\0J I 1-. ' ^ 1/2 - s, -5 1 - s, 1 - s [Res < (l±l)/4] lrp + l/2, 1/2-e, -i 1 — s [-1/2 < Res < 0] in- (г) ^X x Г 2, 1/2- . f- 1 [0 < Res < 1/2] 1 s? s + « -1/ + S [Re s > 0]
540 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.8 sin I v arccos ж cos (i/ arccos ж" 1/2, 5 sin [i/ arctg V35 J I cos (v arctg i = T Г(-1/) 8/2, {1-5)/2 sin ( и arctg ж 1/2 | cos f i/arctg ж"'2 = +: 2 o —f I//2-s, 1 - i//2-. [Re s > 0] 5 ?/ 1 — I/ - —, S, 2 2 2 [-5/2 < Res < -Rei//2] ( ) [0 < Res < (<5-Rei/)/2] 8.4.8. Обратные гиперболические функции. 1 /i/\i-2r Г cos (г - 1//2)тг 1 s A\ Обозначения: Л6 = —j= (- < . ) 7/о( к <5 = \ }. л/ж V2/ [ sin (г — и/2)ж j [0J 1 2 3 4 5 A + ^Гг A + ^Гг = Лз^ (l-x)^f- (ж — i)Y =^ 11 — ж ^ < J sh \y Arsh y/x j 1 ch (i/ Arsh -\/ж"] G\l(x V 1 + I//2 -5/2,A- ( ( 1 sh (i/Arsh ж 1 / ch (i/Arshx" \ V -*21 f 22 1 } = - r, 1 -5)/2 /O \ \ l-r-S/2, A .. /o .. /o w fsh f и Arth -1)/2J V 1 ch (и Arth v V r / [ ch fi/Arth / / i/ \ 8 I sh (i/Arth [2\ 1 « ch (i/Arth [2\/ж Г ^П / I/"'— 11 I 2 G22 \x L -1 V 122 V Vi — + 5^ (l + x 1 1 ., 1 + 1/ 5 1 2' — _ + ж ж ж ж i/ )~ — 2 1//2 [г [г )} J > 1/2, — \ 1 1 / 14 -г \ ) = 0, 1/2] "') = 0,1/2] = -1//2 J 1 1 -5+1/ \ J L + о \ Iff! / у— у/к ( +л/^ [Rei/ [' [' „ i/ 2 ' Г X > + 5/2 , i//2 + r - t A + 5)/2 ?, r — i//2 — si ^ 8 J [-5/2 < Res < r - + i//2, s - i//2, r S Г ) Г[ \ S ) г / г s - -1/2 1 + A + д ) / А [| Re 1/|/2 /2 s + 1/2, з rl + v-8 s, z 1-е, [Re s < ( и J 5 8 S+ 2' 2 2 ' + 5/2- — r < Res < /21 [Res > l-u-8 2 - - s 12-5- 1 + 5 2 , ^5/2 < Res < 5/2 Re i/|/2] s r + 5/2] Re i/1/2] - s Rei/|)/2] - s ^~Re i/]
8.4.11] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 541 8 1 2 .4.9 Lin Lin . Полилогарифм Li 1, 1, n(x). 1, ... 0, ... 0, 1, . 0, 0, . , 1 , о • •, ) :) .i-r[., -.] [0 < < Re* Re* < < 0] 1] 8.4.10. Функция Ф(ж, s, v). 1 2 3 4 5 6 7 8 Ф( / *\ ф( (i (X (x A ж, ' 1 ч ж 1-J f \ -*Y- -i) -i)' -*) те, v) — | П- = Gn'+1 \ 5 715 V 1 = ^n+1 «,!,«) 1 Ж ' ^ФA-х / + Ф^" -1 / n + iy* п + 1(Ж 1 ) = Fi ,l,t,) = 1 - ,!,«) = 1 ж ' - гы 0, 1- 0, -v 1,H 1, V, -G22( )) 22 \ -r(v)G G20(x 22 v V -1, o, o, too V 1, V 1, г 1 0 1, 1, + ь X + _ 1 V 0 1, 0 1, 1 - V v + V + ,0 y v + V \ j ) ) ) (-i)n rfs + (s 4 T>)r ^r Г(«) Г(«)Г Г(«)Г г»г Г(«)Г T[s, 1 - s] (s — vj [о 1, -5] v)n [-1 < L+:::+.] [Rev r^v - s, -v - [ -s, 1 - v - 5 [Re v > - Г-s, 1 - v - s" [ 1-е, 1-е . [Rev > -1; v Г s + 1, s + [Rev > -1; v < Res < 1; Res Re s < 0; Re s > ] [0 < Re 5 < 1 < Rev] -Rev] l,Rev] [-1, -Rev < Res < 0] > -1; v ф 0; Re 1 1; v ф0; Re(s + 1 Ф 0; Res < 0, 1 - I + l] ^0; Res > -1, - s > 0] v) <0] - Rev] -Ren] 8.4.11. Интегральная показательная функцияЕ1(я Ei(-a;) =-G\l(x 1 1 0, 0 1, 1 0 0 о, о е х Ei (ж) = —тг О, 1/2 О, 0, 1/2 1, 1 1 1, 1, 1/2 1, 1/2 Ei \-2y/x I Ei [2у/х ) = О, 1 О, 0, 0, 1/2 -Г -Г s, s 1 T(s) — s, — s . — s -r[s, s, 1 - 5] Г s, s, 1 — s [e + 1/2, 1/2 -8 -r[s + 1, -s, -s] -,rf р 5, S, S, 1 - S 2 Le + 1, 1/2- s [Re s > 0] [Re s < 0] [0 < Re s < 1] [0 < Re s < 1] [-1 < Res < 0] [-KRee <0] [0 < Re s < 1]
542 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.12 ) \у/х J 1, 1, 1, 1/2 1, О —5, —5, — S 5 + 1/2, 1- [-1 < Res < О] 8.4.12. Интегральные синусы Si (ж), si (ж) и косинус с!(ж). Обозначение: 6 = ;}¦ 1 2 3 4 5 6 7 8 S Si si ci ( I f I { { i ( / \ B si ci si ci 2v 2 V V B B = sin 2 CO > { x / о 1»- 1 у ^ 1 ' iT J = "Г Сз1 2 л/ж) 1 уж j j " 2 K A \ f соэ2у/ж 1 1 э1п2у/ж J / I 1 - 2 1 - 2 т „-—1/2\ / со5Bж^1/2)) з!пBж^1/2) J / / 12 I G42 x V 1 + 2 1 + 2 11 ж / \ L3 ^ coo *{* 1 - 0 ) - i B-х 5 5 2 л/ж . / CI ^ 5 5 , 1 1/2,0 1/2, 1 0 1 ,0 ) 0, 1/2, 0 1 0, 0, 1 0, 5/2 -S/2, 1 1 M 2 1-8 2 ' ) 2 "l >r- 1 Vх J 1 + 5 2 ' 35 2 1/2 , A- ,(*- 7Г3/2 2 5 2 5 i 1 2' \ J ) -<s)/2; H)/2 ") x \ 5 2 J 3/2 X 2 5 \ 1 1 2 / 2 [l 2 [s 2 L -irr[ у^рГ ^^™ L 2s л/*7 Г Г 2 L -^1 т3/2г 2 -г- Р Т 2 Г + 1/2, -в" - S, 1 - 5. , 1/2-в 1 + 1, s + lj S, 5 + 1/2 5 + 1, 1 — . 5,5 5 + 1,1/2- «s, s + S + 1, A + \ {л i г\ / — s, 5/ s + E + l) г 1-5 = -: _ v^ 2. 1=- .]- 5/2 8)/2- /2 1 2-sJ 2 — s 0 1 S + о | 35 5 е 4- 1 — г» т^ А е 1 5+ 2 5 . 5+ 2J ^ 2 ' 2 1-й 2 5 + 2 ^ [-1/2 n/tFjJs + 1/2- 2s [ 1 - s . [-1/2 < Res ^ГГ1/2-5] » L 5 +1 J [0 < Re s < V^r\s + 1/ 2s [ 1 - 5 [0 < Re s ~^7 [1/2-e [0 < Re 1 _ -s\ " [0 < Re 1 = [-1 < Re -5 1 + 5 2 ' 2 — e L 1 — e < 0] 1/2] J < 1] ] s < 1] s < 1] s < 0] 1 2 -l)/2 < Res < 1/21 1-5 5, 2 1,1 s 2 < Res < A - 5 <5)/2]
8.4.14] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 543 10 11 12 {:: \ si ? ci О, , 1/2 со8Bж^1/2 ± S1[^]± COsBx^1^2) 1 / 2 1, C±1)/4, 1/2 C±1)/4 О, 1 О, О, О, 1/2 1, 1, 1, 1/2 1, 0 -rf-,- + i, 2 ' ~~2 [О < Res < 1/2] х Г 1 2 ' '2 '2 [-1/2 < Res < 0] 1 Г 1 Г s, s, s Н—, — s 2 [О < Re s < 1] [-1 < Res < 0] 8.4.13. Интегральные гиперболические синус shi (ж) и косинус сЫ(ж). shi 2 cos С7Г Г3/2 2 COS С7Г shi shi chi chi 1, с 1/2, 0,0, с 1/2, 1, 1, 1 - с 0, 1-е 1/2, О, О 1/2, 1, 1 О 1 О, 0, 1/2 1,1,1/2 О rS/2 s + 1/2, -s 2CQSC7T Ls + C? 1 ^ С — S, 1 — S, 1 — sj [с ф 1/2 — любое; s = -1/2 - A; G D+, s = = О G D~, А; = О, 1, 2, . . .] r3/2 s, 1/2- . 2 cos стг Ls + l?s + l?s~~c + l5c"~"sJ [с ф 1/2 — любое; s = = 1/2 + к G D~, s = О G ?>+, А; = 0, 1, 2, . . .] s + 1/2 —s 1 - s, 1 - s s, 1/2- s 2 " I s + 1, s + 1 2s [ 1 [-1/2 < Res s, s ¦1, 1/2- . 2s [ s + 1 [0 < Res < 1/2] 2s у/тг ГГ ^«5 -s 2 [s + 1/2, 1 - sj 2s [0 < Re s < 1] [-1 < Res < 0] 8.4.14. Интегралы вероятности erf (ж), erfc (ж) и егй(ж). Обозначение: Aj = . erf 1 1/2, 0 [-1/2 < Res < 0]
544 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 _L J. 1 *> JLZf erfc (, J erf 1 erfc f erf I erfc V е"жег е^г/х ex erfc erf fv V evfft \ v ei i I *¦ л er ^г / Gl2v 0, 1/2 J 'л/ж) 1 -/2 J f (*^)=*<?й(* 1/2 \ 1/2, 0 У erf -— = iGji ж VvW V 1/2, 1 \ 1/2 У 1/2 \ 0, 1/2 J -fc ( —— J = - G\\(x \%/x J ж V 1/2, 1 \ 1/2 У J \ J л /~il2 1 = A7Gl3i(x 1/2, 1, с \ 1/2, 1/4, 3/4, 0, с / ж/ V V xj / 1/2, 1/4, 3/4, 1, 1-е \ 0, 1/2, 1-е J \ / / \ /o /Y.l/4 1 prfr f л/о ^1/4 \ V ? JL I el 1С \y ? JL I — 9 / - жлД G24l x 1/2, 1 \ 1/4, 1/2, 3/4, 0 ) 4 IT\ / 4 /4Л V ж/ еГ \f ш/ i 13/ 1/4, 1/2, 3/4, 1 \ 1/2, 0 / 1 л/тг = =F 1 ir\s L гг\° L G D4 Л7Г G D" i жлД i тгл/2 r[s'; г s _ - 1 L ± 1 л/ж s + 1/2 1 - + 1/2 s - s,s + 1 _s + c, , s = s + 1 , s = г г L I + 1 f 1/2 s + l <- 1/2- s + 1 rG 1/2 - s 1/2 f 1 1 1 2' 2 — s, s + 1-е 2 1 , si J = 4)[{  = J J J -] H 1/2, -e, - e,l/4- ^ 1/2-л 0, 1/2 + fc G s + 1 1 3 7' s + 7' 4 4 #1/2- 0, -1/2- к G 1 —, s 4' 1/2, 1 + -, s + 2 s + 1, 1 - 1/4- e, s + l, -r(.+ -1/2 < Re^ [Re Res < J > 0 s >0] "}] "JO < Res < 1/211 A Res<0 jj [o< Res| < Res| < Res < 1/2] 1/2] 1/2] [-1/2 < Res < 0] 1/2- s -«,3/4- юбое; s = D~' * = 1 2 s — с + любое; t D+, fc = 3 1 4' 2 s [-1/4 < 1/2-s, 1-s [-1/2 < =S-l/2 = 0, 1, 1, c- i = 1/2 = 0, 1, 1 s j Res < 3/4- Res < 1 d -k G 2,...] - s + fc G 2,...] 1/2] J 1/4] 8.4.15. Интегралы Ф рене л я S(x) ж С(х). Обозначение: 5 = < >. 1 2 SB^2 С Bу^ Ci 2 13 ^ж 3/4, 1 1/4, о, о, 1/4 J 3/4 J 2 [l- 2 [l- h3/4, -s ' s, 3/4- s. 1-1/4, -5 s, 1/4- s. 2s L3/4- [-3/4 < ~ 2s [1/4- [-1/4 < /41 - «J Res < Res < со] CO]
8.4.15] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 545 3 4 5 6 7 8 9 10 \c(; is( \c( 1 1 2 | . i 5 2\/^) J 2 13V 1 (l + 25)/4, 0, C- 2Ж^/2) J _lGll/ 2 31 \ B 0 5 Bд/ж) 1 _ СBч/ж)/ = ^(ж 1 o, 5Bж-1/2)| сBж-^)| = _ iG02/ 2 31V B 0 [ COS 2л/X J 1 sin cos I sin I cos ± = (/*-1/2)L(J fcos hx^1^ ±{ ) ; \ sio BЖ^/2Л = ±\ — G\\(x V 2 3iv + l)/4, B + B±l)/4, B + l)/4, 1, B \ sin2i/aJ" J / c\ t \ 1 Л BТ1)/4 л / )] / 2 ч if ш B±1)/4, B±1)/4 ± I cos АЛ» I 1 Isin2v/s J L2 = B,r)-3/2G?^; Bж/2) 1 [1 BX-1/2) 1 L2 V J ' / / i /o\ \ j cos [2x 1'2) 1 \ sin Ba;-1/2) J -СB>/^) к BТ1)/4 BТ1)/4 / 9 М ч 1 + Г1 /2 B±1)/4 _м)/4) 1)/4, 1 \ У ±1)/4 \ ) 'B^) = \ 0, 1/2 J = 1/2, 1 \ 0, 1/2 ) \ 1 1/2, 1 J 2 Ll-e, 1рГ S,( 2 [s + 1 -г s's 2 L^ + l 1 Г A + 2 [s + A ±7ГГ[ ±—г[ \/2 L 1 BтгK/2 Х xr[s 1 BтгK/2 Х Г X S - l + 25)/45 A + 25)/4 l + 25)/4- s + (l + 2c ~~ 2s Is + A + 25) (l + 25)/4 = — ri 2s [(I 25)/4- s, + 25)/4, 1 i p["( 2s [s s + C - 25) 1/2 [B5- s + -s 1 -s\ l + 25)/4- s\ -A + 25)/4 < Res < 0] 5 j = + (l + 25)/4j [0 < Res < (l + 25)/4] [0 < Res < 3/4] ~s 1 + A + 25)/4j [-3/4 < Res < 0] /4, (l + 25)/4- si - s 1- s 3)/4 < Res < (l + 5)/4] /4, C-25)/4- el 1/2, s + 1 J [-A + 5)/4 < Re s < C - 25)/4] 1 1 + 25 3-25 1 + 25 1 4 ' 4 8\ [0 < Res < A + 25)/4] 1 3-25 1 S' 2 "' 4 j -A + 25)/4 < Res < 0] 18 А. П. Прудников, Т. З
546 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.16 I I 3 I =Н ' 4' 2' 4' 2 8.4.16. Неполные гамма-функции 7(|Л х) и Г(^, ж). Обозначения: As = 2й ' пГ(у) Лд = :—-, г—, Лю = sin (у — с)тг 7A/, ж) = Г(|/, ж) 1 i/, О 1 О, I/ 7 [у, 2гух J — 7 (^5 —2г 2i\ 1= ~ , i//2, О ( \ ±e^iv7X " '-1 i 8 - i/ -, 1 - exj(i/, x) = is, с v, 0, с + ^5 - 1- s , S+ I/ s + 1 [- Re i/ < Re s < 0] [Res >0, — Re v\ — Re v < Re s < Res > 0, - Л1 < Re i/11 Res < 0, Re v )\ J + l, 1- s - Re i//2 < Re s < 1 - Re vj s + 1, 1 - s [Re i//2 - 1 < Re s < Re i//2] s + 1, 1 - (8 + v)/2- s\ [0, (S - Re i/ - l)/2 < Re s < 1 - Re i//2] л9г -e, A + ^- s + 1™ E + i/)/2, 1-eJ [Rei//2- 1 < Res < 0, A + 1 + 1/, 1 — 1/ — s + c, 1 — с — s, 1 — s J [c t^ i/ — любое; s = — i/ — к G G D+, s = 1 - i/ + A: G ?>~, & = 0, 1, 2, . . .]
8.4.16] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 547 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 / е 'х "у I 1/ ежГA/, ж i xGf2 ± = у eiv«/2-2 = Г (i/, 2iV "' W л 1 1 Y Г'32 X Cj24 f X { 2 2 JL ^, / ЛцСЦ| = -i/ nfi I (J (¦ \ 2г /^ ;( b2i Ж 1% (. \ f X \ 1 1 ¦rMO!i -)оа(. 1 / ^i/J 1 + 1/ 2 ' l + i/ 2 ' Vх J 2г^) ± ^ Г (i/, 2 0, 1/2, A 2г \ T^i/, 1/2, 1, A + 5- i/, 1 0, i//2, ( - 1/, 1, 1 - 1/, 1 - (¦ (• i/, 0 1 - " ) 0, i/ / 1,1 \ 1 — = Лю x i/ 1 l-S 2' 2 = Лю x 1 2 ' " 5J/Z 2i \ [1 + 5-. i/)/2 v + l)/2 b + oo с J ) :¦') "") i/ / •) ' 2 / о \ 1 2 / /2) /)/2 \ ) / ,J Л9Г^ G D~ е-Г 1 ГA- 1 А10Г A10T s + 1 s + 1, s , s = и - •Mr[- ¦ 1/) I s + - 1 [ г 1 s + - iRei/- ЛюхГ L, s + [0,E ЛюГ [(Rei/ - Rei/ - f 1 — 1/, 1/ — s 1 + 1 — с, с — s J \c ф v — любое; s = j - 1 - /г G jD+, к = 0, 1, fi/, l-i/-el 1 — s J [- Re и < Re s < 1 - -l — i/, 1/ — si [Re 1/ - 1 < Re s s + 1/, 1 — 1/ — s] [0, -Rei/ < Res < 1 1 — 1/, —s, v — s] [Rei/ - 1 < Res < 0, 0 1 e I 2 ' 2' 2 — 1/ 1/ 2 1 * 2 i---e E - l)/2 < Res < A-Б — 1/ 1/ 1/ + 1 ell 2 2 2 1/ 1 — 5 2 2 5 + 1^ 2 l)/2 < Res < A-S)/2, 1 ( l + i/ - 5 1 + 5 2' 5 2 2 ^ +fe G 2,...] Re i/] < Rei/; - Rei/] Rei/] f s, )/2] 72] — 1/ 5 l)/2 < Re s < A + 5 - Re i/)/2] 5 — 1/ 1 + 1/ — 5 2 ' 2 - 5 - l)/2 < Re e < 0, A + Re 1/ Г [ i/ ( i/ + l s + 1 [0, -Rei/ < Res < 1 - s, s 2 -5)/2] Rei/] 18*
548 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.18 [Rei/ - 1 < Res < 0, Re v 1, 1 - и/2, A - и)/2, 1-й 8.4.17. Обобщенные интегралы Ф ренел я S(x, и) и С(х, и). Обозначения: А\ъ = 21/™1^тг , 8 = < >. Л12Г 5, S + ¦ 2 ' — v А12Т 1 + 8 - и 2 [О, -F + Re i/)/2 < Re s < 1 - Re i//2] -b(l + <J-i/)/2j [Re i//2 - 1 < Re s < 0, (<J + Re i/)/2] 8.4.18. Функция параболического ци л и н д pa Du(x). _ о1//2+1 f cos(i/tt/2) 1 тг3/2 fcoseccTri Обозначения: Ai3 = 2 ; ^ <^ . ; . ( \,А14= О1//2Г,/ ^1 Ь [ sin (|/7г/2) J 21//2Г(—I/) I seccTr J 15 = [Re s < 0] [0 < Re 5 < -Rei//2] [Re i//2 < Res < 0] , 5 + 1/2, (!/ /2, [0 < Re 5 < (Rei/ + l)/2]
8.4.19] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 549 10 11 12 13 14 15 16 ± Dv (- Ж21 ±Du[- {1-8I2,8/2 , 1 — <5/2 1 + i//2, с A -8)/2, 8/2, с 2~\] ь+оо A1AG\\[ x 2, 1 - 6/2, 1-е - v /2, 1-е Du О, 1/4, 1/2, 3/4 Du 1/4, 1/2, 3/4, 1 1 + I//2, A - i/)/2 0, 1/4, 1/2, 3/4 1 _па/ 1/4, 1/2, 3/4, 1 ¦Й!Ь 1/2 n- 1/2, 0 3/2 -n, 1 1/2 1-5/2- e - l)/2 < Re 5 < (Re 1/ + l)/2] / [-(Re 1/ + l)/2 < Re e < A - <5)/2] s + c, 1 — с — 5, I — J/2 — с ф {1 ¦— 8)/2 — любое; s = (8 -— 1)/2 -— к ? D+, s = -1//2 + A; G ?>~, А; = 0, 1, 2, . . .] f 1 - <5/2, s + 1 - с, с - . [с ^ A - 5)/2 - любое; s = A - 5)/2 + A; G ED",s = i//2 - A; G 1^+, А; = 0, 1, 2, . . .] 1 1 3 I/ S, SH , 8 -\ , 8 -\ , S 4 2 4 2 [О < Res < -Rei//2] i/113 [Rei//2 < Res < 0] , в+ 1/4, в+ 1/2, s + 3/41 ж~ [ e + (l-i/)/2, e + l + iz/2 J [Re s > 0] -s, 1/4- в, 1/2- s, 3/4-s 20F ^ [ 1 + i//2 - в, A - i/)/2 - в [Re в < 0] (-1)п2тгг fs + n - 1/2, 1/2 - el [(те-I)!]2 [ 1-s j [1/2 - n < Re 8 < 1/2; n = 1, 2, 3, . . .] (-1)п2тгг \s + 1/2, n - 1/2 - s )] [-1/2 < Re s < n - 1/2; n = 1, 2, 3, . . .] 8.4.19. Функция Бессе л я Jy{x). _ л 2 f cos [(/x + i/) Обозначения: t4i6 = ^^< 7 ( ¦$}••-{;}¦
550 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.19 5+v и \-6+v \-v inx~1/2\j (± s: COS X 5 + 1 - i з : 4' 4 2 2 ' 2 f Sin (л/ж +/17Г) 1 < ; ^_ ; > Ju (v ж) = [ COS (л/Ж + /Х7Г) J 1/4, 3/4, sin (ж ' + /1тг COS (ж/2 + jttTT ^22 1 ¦— и и 4' 4 -M,l+-,^ P 2 2 sin л/ж Jj/ (\/ж) _j/ ("v/ж") = л- 2i/=f 1 = — л/2 sin 7Г x 2 + 1 2 + 1 i/ i/ l — i/ "' ^' 2 1 \ , 1 / 1 ± COS —=J — V г- 2i/=p 1 = —V2 sin тг x 4 1/I + 1/ s + ¦ 5 + i/ Г 2 ' 4 '4 i+^-. +i/ 2 ' 2 -E + Rei/)/2 < Res < 1/4] 1 I' 3 S + i 1+5- i/ 2 2^J [ - 1/4 < Re 5 < (Re 6 + i/)/2] 1/ 2' 3 s, — 4 i/ + l 2 2 [-Rei//2 < Res < 1/4] i/ 1 + 1/ s, s 2 2 1 + 5-i/ 1-5 + i/ [-1/4 < Res < Re 1//2] Л7 . 2i/=pl — V^ sin тг x x Г l + i/ i/ 2 + 1 s H , s , s 2 2 4 2 + 1 1/ l + i/ s H , 1 s. 4 2 2 [Re i//2, -A + Re i/)/2 < Re s < B + l)/4] x Г 11 + 1/ e + 1- ^5 s, s 2 2 1/ + 1 2 + 1 2 4 [(±1 - 2)/4 < Re s < - Re i//2, (Re 1/ + l)/2]
8.4.19] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 551 9 10 11 12 13 14 15 16 1 7 JL 1 1 Я JLO 19 j2(^) = _LGii J (\/x) J (\/x) = j ( 1 \ j ( ! 1 — X G11 (x\ ° ~ V^ 13V i/ J f — 1 J f— 1 ruf / л/тг \ 1 2 L V 1/2 \ v, -i/, 0 / 1 - i/, 1 + i/, 1 \ 1/2 J 1 пг1( V* 13 v 1/2 \ 0, -i/, v J \ _ у 1, l + i/, 1- i/ \ 1/2 / _ -1/2,-1/2,1/2-1/ У ^\ _ с / З/2-i/, l/2 + i/, 3/2 \ i ; о, i 2 ft + i/ /i + i/ 2 ' 2 ' \ /1- I/ I/ - /Lt I 2 ' 2 / "„^ 2 ,1- f 2 ' "-1 1 M"7 i 1 ^ ~ ^ \ 2 ' 2 / 2 COS 1/7Г 21 / 2 / 1 \ 2 / 2 COS 1/7Г л/тг 24 v 1/2, 0 \ i/, -i/, 0, 0 / 1 \ fx J Сж421 X J—v (\/^) «^i/ (л/ж' 1 - i/, l + i/, 1, 1 \ 1/2, 1 У J — 2 sin i/тг ^20 / 1/2 \ v, -i/, 0 / — К fr[ ^r[ 1 r[ ^ L 1 ГГ v^ L — r[ 1 + 1/ - 8, 1 - S. 5 + 1/2, I/ [- Re i/< Re s< 1/21 [-l/2<Res<Rei/] S [0<Res<l/2] 1 + 1/- S, 1 - I/- Sj S + I/ + 1, 5-I/ + 1J [-1/2 < Res < 0] e + iz-1/2, 1-е 1 3/2-e, 1/2 + iz-sJ [1/2-Re i/ < Res < 1] 5 + 3/2, 5 + I/ + 1/2J [-1 < Res < Re i/ - 1/2] Г ,. ^ + i/ +2^ ' 2 s, 1 - s 2 и — ц, и — и 1 ! ell e 1 ~т~ S , X "Т" S 2 2. [- Re (/i + i/)/2 < Re s < 1/2] 1 2' ^ s 2 u, — i/ и -— и с lie! 11 г> ¦ 1, г» -\- 1 2 2. [-1/2 < Re s < Re (/i + i/)/2] 2 COS 1/7Г n [ 5 + 1/, 8 — V, 1/2 — S ] L s, 1 - s, 1 - s J [| Rei/ < Res < 1/2] 2 COS 1/7Г n [s + 1/2, V -— S, — I/ — s] 2 sin i/7i у Л/7Г j. о _|_ 1 о _|_ I _ e [- 1/2 < Res < - - Re i/|] Г s -\-1/, s — i/ 1 -Г [| Rei/| < Res < 1]
552 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.20 20 21 22 f—W2f—V - sin итг G31 f x i/, 1 - i/, 1,1 1/2 = ^16^24 2' 2 /Lt + I/ /Z — 1/ 2 2 I/-// J Jv _ 2' 2 sin итт [ i/ — s, — v — , [-1 < Res < -|Rei/[ E ,1 s 2 s+, s ,1 2 2 2 1 — d и — v s H , 1 + s, 2 2 1 s Res < 1/2] J + !^^ /1 + V д + i/ 2 2 ¦ 1, s - 1-5 [-1/2 < Res < -|Re(/x + i/)|/2] 8.4.20. Функция Неймана Yu(x). Обозначения: А17 = K /o—-—, о = < 7Г5/2 I 0 у 1 - u/f, C + iz) -I//2, C + i/)/2 yfx у 1 3 I' 4' 5 + i/ 5 — i/ 2 ' 2 ' ' — и — 1 1 — 5 — 1/ 1 — < s + i//2, s - i//2 [|Rei/|/2 < Res < 3/4] i//2- s, -1//2- , (i/ + 3)/2, -(i [-3/4 < Res < -|Rei/|/2] 5 + i/ 5 — i/ s + ¦ r-iz-1 3-5 + 1 3 1 ¦ s, s 4 4 /| -8)/2 < Res < 1/4]
8.4.20] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 553 Ш х-VI / 1 -1/2 ( J v I r~ os ж ; j \ л/ж s: cos ж и + 1 3 ' 4' 4' ( /-\ , [cos л/ж 1 , ^, [ sin л/ж J [ COS л/Ж [sin л/ж 1/4, 3/4 A - и - S)/2, (S - и)/2 sin ж cos ж" G°A x i--, 4' 1 — v 1 -\-1/ -\- S v — 5 ^"' 2 >1 + ~ 4 cos л/ж 4' 3 I l + i/ 1- i/-<* (У-, 2 ' 2 ' 2 sin ж COS X^ sin ж COS 1/7Г тг2л/2 l " / ! X ^1" 1/4, (i/ - 3/4 1 3 H—, 5 H—, 4 4 4 2 6-1/ 2 3 s -\ 5 - i/- , s 2 2 [-1/4 < Re s < (S - I Re i/|)/2] l + i/ l-i/-6 12 3 2 + iz/2 [(Re 1/ + ? - l)/2, - Re i//2 < Re s < 3/4] ^2 l, 1/4-e, 1//2- 5 3/4^5 [-3/4 < Re s < A - S - Re i/)/2, Re i//2] 1 - i/ - 2 5 + i//2, 1/4- 5, 3/4^ s [(Re 1/ + ? - l)/2, - Re i//2 < Re 5 < 1/4] cosi/tt s + 1/4, s + 3/4, i//2 - s, 2Д [ ()/ A + i/)/2 - s, A - 1/ - E)/2 - s [-1/4 < Re s < A - 5 - Re i/)/2, Re i//2]
554 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.20 9 10 11 JL J. 12 13 14 15 16 17 18 j j = (\/~X ) ( — ( — 1 = ¦ ( ] +2 w l z— ( i i 1 л/т7 Y (*/ \Y(_ j 1/ ^ 1 - J i )Y (л ) ^V 11 (* \ 1С / L \ _ Gil -v - \ i H 1 22 I 3 + i/ - 3 + 3- 2 — l 1 ^24 M 12(x \ /x) 111 ?- У w / .'( Уя) r24 I * / 1 f- l)/2 1) /2 ' 1 ( X \ - ^ CQ2( 31 ^ 1, f X \ 1/2 / 0. i/. l-i/, 1 1/2 fa V , 4*, - 0, -i/, л= с/ 1,1 + i/, 1 1/2,3/2- _ , о 1/2, 1/2,- ^x ) ~ X 1 2 "^ 2' r» 0, 1/2 i/ + 1, 1 I \ 42^ o, 1, 0, 1/2, (/x + i/)/2, / _i_ W \ ) = 2 ' 2' ' 1 /i + ^ + 2 ' i/ - 1/2 i/, —i/ — -i/, 3/2 4/- 1 3 2' 2 +I/ , -i/ - 1, -i/, 2, i/ 1/2 i/- 1+ 2 1 4- ^ + 2 -J J 1/2 У + ^ 3 \ 1 -i) + 2 \ )/2 1 41 A / / i Ф i ! л/тг 1 лАг 1 л/тг 1 л/тг 1 1 1 л/^ т т Г г г Г Г г г 5,5 + 1/ г [5 + 1/2, 1 + I/-5J [0, -Rei/ rf ^S'"^5 1 [S + i/ + l,l/2-sJ [-1 < Re .e-i/-l/2,l-i/-e,3/2+i/ [0, Re и < [ s + 1/2, -i/-s,-s L 5 +l-i/, e+ 1/4-3/2,-1 [-1/2 < Res [5 + i/ + 1/2, 5 + 1/2, 1/2- L 5, I/ + 3/2- 5, 3/2- 5 [-1/2, -1/2-Rei/ < Г5 + 1/2, 1/2- 5, 1/2 + 1/- L 5 +1/+ 3/2, 5 + 3/2, -^ [-1/2 < Res < 1/2 Г S + P + 1, 5 + 1, 1-5 1 [5 + 1/2, 2 + i/ - s, 2- sj [-1, -1 - Rei/ Г S + l, 1 — S, l + i/ — 5 1 [s + 2, s + i/ + 2, 1/2-ej [-1 < Re 5 < S+ 2 ' " ' 2 "' /1 — b> -— 1 3 + 2/ — p s + , . 2 2 1 - - s, 1 - s 2 11 + V U, — V 11 ell 1 -r 5,1 2 ' ' 2 [(|Rei/|-Re/i)/2< S 2' ' 2 S' 3 + i/ — /x /x + i- S+ 2 ' " ' 2 JX - i/ u-I/ /X-1/-1 S "Г 1, 2 2 [-1/2 < Res < (Re/x < Res s < 0, 1 Res < /2— i/ - < 0, - -1 J Res < "'1 » J + Rei/, < Res 1, Re^ s, — s Res < - s -Rei, <1] Rei/] 1/2] ] -3 J Re^] 1/2] 1/2] <1] ' + 1] 1/2] 'l)/2]
8.4.20] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 555 19 20 21 22 23 24 25 Ju {у/х) Y~v {у/х) + J-u {у/х) x пь- 1/2 и, -и, 0 \у/х л/х 1 - I/, 1 + I/, 1 1/2 2 fJb — I/ V — /i /Lt + 2 ' 2 ' 2 —= G42 ж 1 - 1 2' 2 ' Jv{y/x~) Y^v 2 ' 2 ' 2 sin2i/7r 7Г5/2 sin2i/7r 7Г5/2 1/2 0, i/, 1, 1 - i/, 1 + i/ 1/2 = A17GH x 2 ь + i/ /x - i/ ~2 ' 2 ' /i + s - i/, s + Rei/|<Re5<l] /i- I/ 2 ' 1 [(|Rei/| - Re/Lfc)/2, Re (д - i/)/2 < Re s < 1] t + ь> ¦ — s, - 2 V — jJL [-1 < Res < (Re/x- |Rei/|)/2, Re (i/ - /i)/2] sln2i/7r sin2i/7r Г 1 Г[+ 1 [|Rei/| < Res < 1/2] [-1/2 < Res <- |Rei/|] A17V (J, -\- V fl — I/ 2 ' ^ 2 ' 2 is — fj, 1 2 2 1 , S, 1 - . 2 [Re(/x- i/) -Re/x)/2 < Re s < 1/2]
556 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.20 26 28 29 30 31 - J = AitGJI 2( /~\ 2 ( ~/= ) \Vx ) I V \ ! 2' i „ у Ш= 2 = ~^=" ^42 У (л/ж) У = V7T V / 1 \ У_„ -— У VvW 2 03 ~ л/тт 42 4 Vi/2-, (Л^) 2 = "Г11' ^24 + ~^=" ^2 + _ / X { 1, 1 1 2 + - 2 "Г ' 1/2 — u1 ] -^=G\\(x (л/х') =z 2 ^3( 1/2 0, u, - ( ! > rv —= \л/^ ) (x { 1, 1 1/2 1 t .) — и 2 ' 2 ' ' 2 J / Д/2-i/ \ + ,-i/, l/2-i/ / Gii(x 1/2 N 13 V i/, -i/, о / i \ l +1/, - +1/ \ r i -1/, i +1/, i \ 1/2 / 1/2, 1/2 \ + 0, i/, -i/, 1/2 / ,1 + iz, 1/2 U ,1/2 У < X { ' 2 1 4 / A 1 0 1 — \ 4 = 1 4 1, 1 - i/, 1 + i/ \ 1/2 J ii + - i/, i/ — —, — I 4 4/ \ \ til -, I/ , U I 1 4 4 / s + 1/2, s + 1, (/i + i/)/2 - s, О - ?/)/2 - s, (i/ - /a)/2 - s 1 J [-1/2 < Res < Re(u-n)/2, (Re/x- 2 r 1/2 1/2 2 [ — г \/5F 2 [ -i-Г + - Rei/|)/2] s, s -j- I/, s — i/ I s + 1/2, s + 1/2-i/, ]+^rrS + ^,l/2-s] + i/-e J v^ Li + i/-e, i-sj [|Rei/| < Res < 1/2] [ -s, iz-s, -^-s s + i/ + 1/2, 1/2- s, -i 1 Г s + 1/2, i/ - s 1 - i/ - s J л/тг Ls + 1, s + iz + lj [-1/2 < Res < -|Rei/|] s, s -{- u, s -— и 1 + .s + 1/2, s + 1/2, 1/2- s\ + — г[ 5'Х/2^ 1 i/tF [I™7"? 1 + 1/ — SJ [|Rei/ < Res < 1/2] — s, i/ — s, —i/ — s 1 .s + 1/2, 1/2- s, 1/2- s\ 1 Г s + 1/2, -s 1 + 7^ [e + l-i/, e + l + i/J [-1/2 < Res < -|Rei/|] г 1 1 1- S — — , S -^ — U. S -\- I/ — — 4 4 4 1 3 + .11 . 1 1 S+-, ^7— S, I — S 5 5 3 s, i/ — s, —h ^ — s L4 4 4 J [1/4, |l/4-Rei/| < Res < 1/2]
8.4.20] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 557 32 33 34 35 Y" Ш = ¦Gttlx 5 3 5 I' 4 +I/' 4 1 2' 3 5 5 4' 4' 4 " 2' 3 Л — 4 Л —\- и 4 Ui -\- V LL — U 2 ' 2 ' — A \i-\- v 1 — [I — v 2 ' 2 ' 2 "•5 2 ' 2 ' 2 2 ' ^ 2 ' 1 - - 2' 2 ' 2 COS 1/7Г 1/2 О, I/, ™2 2 „ I -1/4- s, 1/4- i/ - s, 5 + 3/4, -s, ^1/4-s] 1 Js + 1, 5 + 1/2, 1/4^5 5 + 5/4 - u, s + 3/4 + i/ [-1/2 < Re s < -1/4, -|l/4 - Re i/[ 2 /— л/тг Г S 2 1 о о J « г», г> ~r , - Р — Ц S+ 2 1-/X-Z/ ' s 2 2 А* — [(|Re/x| ; Res < 1/2] — s, 1/2- s, A- 1 и — и у —¦ и, [-1/2 < Res < -( 2 cos i/тг Rei/| < Res < 1/2]
558 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.20 38 39 40 41 42 ' 1 17 \л/« / " \л/« 2 COS 1/7Г ]_ 7Г5/2 J2 (V^) - Y$ (V 2 r Jl (±=\ - У,2 ( = "^G42r -I/ ^ ) u \ = COS 1/7Г j- Ш j, (- = -— G° л/^ 4 2 COS иж ^32 7Г5/2 24 03 1/2 x±i, И( 2 r V и ( L \ ) , i/ 0, 1, 1 - 1/2 % 1/2 )- ,1/2 + v '2)+ / ljr24l "^ \ 1/2 0,i/ — 1, 1-1/, 1 1/2, 1/2 •¦i /i + I/ j 2 ' y-/i + 2 / 1 A* + ^ / 2 ' 1/ — /1 2 1/, 1 + 1/ \ J "" ) l/2-i/ / l/2 + i/ \ J ^2 / ±1/2^1 1/2 \ -i/, 1/2 / + 1/, 1/2 \ v x ) u + v 2 ' 1 + 1/ 2 ' \ 2 COS 1/7Г 2 2 2 2 1 1 j — ? + s + s + ¦]{¦ 1 1/2, s, 1/2, — s, j 1/2, (Lt + 1/ 2 :os jd' cos i/тгГ [ (|Re [-1/2 < Res s, s + 1/, s — 1/ e+1/2-1/, 1/2 4 [|Rei/| s7 и — s, —1/ — s [-1 < Res [cm. 8 s + 1/, s — 1/ s + 1/2, 1/2-5 [| Re i/l / — s, —1/ — s 1/2 - s, 1/2- s [-1 < Res /1 + 1/ 1 2 2 ггГ| s + (^i™1/) M|+ Rei/|)/2< ¦•] <-|Rei/|] < Re s < 1] <-|Rei/|] .4.20.35-36] ] < Re s < 1] ] <-\Rbu\] - s, /2.1 + 1} Res < 1/2]
8.4.22] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 559 43 44 45 cosi/tt 23 1 - 1 2' 1 - - 1 2' /Lt + - Y^ (у/Б) Yv (у/Б) = 2 2 У — jJL jJL -\- V 1-/1 — 2 2 Jx 1 - 1 1+p 2' ' 2 2 2 2 1 + H + Г (i/M)/2« 11 - COS 1/7Г1 > [-1/2 < Res < -(|Re/x| + |Rei/|)/2] 21 2' , s 2 2 [(|Re/i| + |Rei/|)/2 < Re s < 1] /i -\- v /J, — и и - p, 2 2 2 [-1 < Res < -(|Rejx| + |Rei/|)/2] 8.4.21. Функции ГанкеляЯ^(ж)иЯ^(ж). 8.4.22. Модифицированная функция Бесселя ^(ж). r^r> л \/^ л (^1M7Г Г sec (с ^ |//2)тг Обозначения: Aig = т^ г—, Aig = -—^—< f, sin (с — 1/)тг у2 [ cosec (с — и/2)ж J А^ л г~ ( М + 17 \ а -3/2 . / , —5 Л22 = V ^ COSeC I СЖ 7Г 1 , Л23 = 7Г 7 Sin (fl + — г/)тг V 2 / cos (с — и) -W-
560 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.22 1-I//2, 1 + I//2, 1 - с- i//2 1-е- i//2 3 4 е1/(а-)/" Ш= Г shv^ 1 [ ch уж J = A19GU 1/2, с I/, — i/, С l-i/, l + i/, 1-е 1/2, 1-е 1 3 2 ' ~^' 1 + i/ — 2 ' 2 -, с / ! Л i з 2' 2 1 1 + 1/ -, 1-е sh y/x Iи 2 ' 2 , гл cosi/тг 1 3 4' 4 ?/ + 1 V U 1 — 1/ 2 ' 2' 2' 2 i/ Г| Ч SinCTT I s + - + С, Ц S, - любое; s = = -i//2 - A; G ?»+, A; = 0, 1, 2, . . .] 7Г - I' | " ' ~ ,1 ^ , 5 + 1 — С — j [c^O- любое; s = 1//2 + C-. = I//2 +A; G D~, fe = 0, 1, 2, ...] T^1 А18Г [-Rei/<Res<l/2] [-l/2<Ree<Rei/] S + U, 1/2 - 5 e, 1 - с - s, 1 + i/ - , ? и - любое; s = -i/ - A; G i^+, s = 1/2 + G D", A; = 0, 1, 2, ...] + i/ + 1, 5 + 1 — С, С — , [с ф и — любое; s = i/ + A; G i^"", s = —1/2 — - A; G D+, A; = 0, 1, 2, ...] А19Г 3 4 ~ 5 + ¦ 2 '4 ' „ c, 1 — e — s, 1 H s, 2 ' 2 + 5)/2-любое; s = -{v + 8)/2-k G D+, s = = 1/4 + A;, 3/4 + Jfe G D~, A; = 0, 1, 2, . . .] 1 3 ^ 4 + +1 + Л19Г 8-i/ , s + 1 — e, e — s \c ф (v + 8)/2 — любое; s = = (y + 5)/2 + A; G D~, s = -1/4 - A;, -3/4 - - к G D+, A; = 0, 1, 2, ...] COS I/IT 7=~ x тгл/2 x Г + H , S , 5, , 2 2 4 4 i/ l + i/ 1 5, S 2 2 [-(Re i/ + l)/2, Re i//2 < Re s < 1/4]
8.4.22] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 561 10 11 13 14 15 16 17 18 sh x J ( — J — v J-v '2( /2 / 1 V I v 1 / i ш Л X / 22 1 ^42 24/?l V xj \/7Г Стл / 4/ BVi^ j_\ •у/ж1 / — y4 f—) — A2 / 1 n 1-й Л \ ~»10 J'04 j 1 )'* '. V Ли r. ( 1 л/ж 1 )-- 1 — 1/ 1/ 2 Л ' 2 1 3 4' 4 4/^4 _ ( I//2, -x '2 4/-l - ч V ж/ и 1/ B^4^) = / V 1/ + I 2 0, 1/2, = -Jtx x 1 I/ 2' ' 2 1 — и 2 >Gl\(x 1/2 ^42 ( x V l — i/ 1/2, — /-i20^jr24 (—) = \y/x J if 4x V 11 — 1/2, 1 X COS 1/7Г Try7! I/ 1 2' 1 //2, 0, и и и 2' 2' i/ 2' -1/, 0, с 1-е ( 1/2 0, е с 1 + i/ — с 1 4— L4 1 ч— v j 1 ) . с 1 + l/ \ 2 / 1/2 ) -оо л 2 / — 1/ \ / Ь + оо ) \ -V V ) — ^ 1 COS I/ /? х Г ^г| L [ [.= Г 7Г г- X > г 1 s+ 4's + с 1 1 -1/4 < Res s4 1 + и/2- 5, [s = -v/2 - s + i//2 + 1, [. = ,/2- 1 Sj S+ 2 r> 1 " ' "*" 2 1 = -A;, -1/2- 1 ^5' 2 ~ ^ 1/ + + 2' 1 [5 = A;, 1/2- 5 + 5 + e, 1 - c- -ке D+, 8 = 1/2- г L G D~, АоПг\ [сфО е d~ , А20Г L- 5 + 5 + 1, 5 + I/ ~ [c 5 = -1/2 - 3 +c, 1 — с — — любое; 5 = к = 0, 1, 2, . 5 3 + 1 — С, 5 + — любое; 5 - к = 0, 1, 2, . 3 1/ 1 + 4' 2 °' 2 I/ 1/ + 1 е 1 2'°' 2 < (Rei/ + l)/2, -I//2 1 1/2- 5, 1 - 5J - A; G D+, А; = 0 2-5 1 5 + 1/2, 5 + 1J f к Е D~, к = 0 4- в 1 — I/ 2 J - к G D+ 2 , Jfe = 0 1/ 1- 1 1 el 2 2 + i/ 2 f A; G D~, к = 0 i/, 1/2 - 5 -5, 1 + U - 5, 1 [e ф и — любое; f- A; G D~, A; = 0 1/2, и ^ s hi, 5 + 1 — е, с фи — любое; s к G D+, А; = 0 з, 1/2- 5 5, 1 + V — 5, 1 — = -A; G D+, 5 = + 1/2, -5 I/ + 1,5 -I/ + 1, у -Rei//2] 1, 2, 1, 2, — 5, 1, 2, 1/ 1,2, -.1 5 = — 1, 2, 1 — 5 J = ^ + 1, 2, 1/2 + 1 с — s\ = A; G D~, 5 = -1/2 - 1 ¦ ¦ -1 ...] I/ — ...] ке A; G A; G
562 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.22 19 20 21 22 23 24 25 Iv-l (\Я) = A22G3 Чл/ж / 2 /" ! N g22 24 /* (v^) = / ii / I 0, с i/ — №)- / -19 I Ж 3 i/, 2 1, 1 - с / 4 I \ 1 ' 2' ^ /x + ^ / I \ 1 2J 1? Ax-i/ 2 ' 1-е j sln2i/7r r - ^3/2 1 \ Уж / sin 2i/w /п12 ( жЗ/2 ^Х 1_и(у/Б) - i ' 2 /x + i/ / 2 ' 1 2 1 Ь > 1 , c, , 2 3 -c, -, 2 M + ^ M 1 1 ' , н— v- ц 2 ¦v21 / 'm 1 8 Г \ \ 1 2 ) L + oo 1 \ 2+U ) J V - [I 9 ' \ 2 >C / b + oo 2 ' 1 с \ ,1 с ) 1/2 ^ 1 - г/, 1 1/2 + ^ 2 У — 11 2 ' -и, О) J ,-, ) 2 / А21Г G D+, л22г = -(a^ G D~, А22Г + i/)/2 s + с, 1-е - С7^^-1/2- 5 = 1 + k G I s + 3 s + -, s + 1/ 2 1 ^' 3 - sj sj 2 любое; s = J~, k = 0,' 1 2' \сф v — 1/2 — любое; 1 2 ' L 5 + С, 1 - С 11 2 + i/)/2- fc G к = 0, 1, 2, . Г 1 1 ft \ IS I S ' 2 M + ^ „ 2 1/ — д 0 1 1 2 — любое; s = = -1/2 - k, -1 - sin 2jy 7Г3/2 sin 21/ жЗ/2 л23г Trj» + ",»- ". , M + ^ . 5 1 , S 2 - l f 20R 2 S' 1 1 ^ 0, ± 1 oil 2 - 1 2 : 1/2-1/- fc G L, 2, ... 5 — с, с — s - 5 = 1/-1/2 + = 0, 1, 2, ...] 1 и 2 _ 2 — любое; s = D+; s = 1/2 + A;, 1 + к G ..] 1 1 1 ^ 1, s + 1 с = (Ax + i/)/2 -v, 1/2-5 [| Re 1/ s + 1 1 1 2 , с — s [сф{и + + A; G D ; s = = 0, 1, 2, ...] 1 < Res < 1/2] 1 [-1/2 < Res < - ft + 1/ 1 2 2 * (Ai + iO 1/2 ReH] 2 J < Res < 1/21
8.4.23] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 563 8.4.23. Функция Макдональда^(ж). „^ д 1 fcos(i/7r/2) Обозначения: А24 = 1 J cos 2^тг \ sir Kv Bv^) = i G% Kv и/2, -и/2 -Л\\=уГ*О&\х 1/2 i/, —v ,rm^)K(l\ = ^G 2x ЖЛ COS™Gl\(x V^ 1/2 / 1/2 I/, —I/ е1/BжЧ^> v^ -Gl x ch л/х J / 1 2у^ Glllx " -^Glllx 2лД 42 1-i/,1 + i/\ 1/2 ) 1/4, 3/4 E + i/ 8 — и 2 ' 2 ' l-5 + i/ l-5-i/ 5 + i/ E — i/ 4' l + 5-i/ 1 + 5 + / 4у7г x Cg2 I x 0, 1/2, i//2, -I//2 1/ 1/ 2 L2 ' 2 s + 1/, s ¦— i/ 1/2-8 COS 1/7Г Г 1 —^r U + ^.s-,,-- [Res > |Rei/|/2] [Ree<-|Rei/|/2] [Res > |Rei/|] [Ree<-|Rei/|] COS 1/7Г I 1 Г |в + -, !/-*, -I/-* Re 1/1 < Res < 1/2] -i/ — s\ -1/2 < Res < -|Rei/|] 2д/2 x Г 2л/2 s H , s H , s, s 2 2 4 4 2 2 [(|Rei/| -<5)/2 < Res < 1/4] s + 1/4, s + 3/4, E + j/)/2 - 8, [-1/4 < Re s < (<5 - | Re i/|)/2] , e [Res > 0, -Rei//2]
564 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.23 10 11 х Ки 1/2, 1-I//2, 1 + I//2 + J B\/2 ж1(//' rV4A = 2' 2' 2' 2 12 /- I I x Жу х АГ„ ( 2 4/- 1 = Л24 х ХОлп I X 6 и 1/1 + 1- -, 1 —, 1 + -, ^ 2 2 2 2 13 14 113 1 I' I' I' ^I 15 16 17 Уи {2у/2 ж1/4) /С„ J rm(^ 1/4, 3/4, 5/4, 5/4 0, 0, 1/2, 1/2 1, 1, 1/2, 1/2 1 1 и и \ -— ь> ' 2' ^' ~~2* 2 18 2 2 2 2 19 K 1/2 0,i/,-1/ iz/2 [Res < 0, Re 1//2] [Res > |Rei/|/2] - s, [Res < -|Rei/|/2] 1 r[e-l/4, s + 1/4, s + 3/4 [Res > 1/4] 1 гГ-1/4-в, 1/4-e, 3/4-8 s + 5/4 ZLr 2 [ [Res < -1/4] [0 < Re s < 3/8] [-3/8 < Res < 0] j + 1/2, s + iz/2, e-i//2l [Res > | Rei/|/2] x Г -s, 1/2 - s, i//2 - s, -I//2 - s [Res < -|Rei/|/2] 5, S + I/, 1/2 -Si 1 + iz-e J [0, -Re i/ < Res < 1/2]
8.4.23] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 565 20 21 22 23 24 25 26 27 (у/х) Kv (у/Б) = ^^ X 1, 1 - I/, 1/2 V — /Lt /Л + 2 ' 2' 2 ' + • [/_„ (v^) + ¦ (jiq Ж 1/2 i/, -i/, 0 1 +1/, 1 - I/, 1 1/2 2' 2 jy U -— fl (J — U /Lt 2 ' 2 ' 2 ' 2 A25GH I ж + 2 ' 5 1 + 2' 2 1/2 0,1/, -1 — s, i/ — s [-1/2 < Res < 0, Re v\ - i/)/2, 1/2- s, 1 - s |Rei/| -Re/x)/2 < Re s < 1/2] [-1/2 < Res < (Re/x- |Rei/|)/2] COS 1/7Г Г S + I/, S — I/, 1/2 — , /^F [ Rei/| < Res < 1/2] cosi/tt [s + 1/2, i/ — s, —i/ — s [-1/2 < Res < -|Rei/|] и - 2 ' 2 ' 2 ' , 1 Л s 5 1 , 2 -i/)/2, (| Re i/|- < Re s < 1 - . . ?// + */'" v - г + 1 , s, s, 2' 2 ' 2 2 ' ' 2 /1 — v [6/2- - 1 < Res < Re(i/ - ^)/2, (Re/x - |Rei/|)/2] r|s, s + i/, s - 1/ 2 [ s + 1/2 [Res > |Rei/|]
566 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.24 28 29 30 31 32 33 34 к: 1, l-i/, 1/2 11 1 , I/ , —I/ Н— 2 2 2 3/2, 3/2- i/, 1/2 + и 1 /1+1/ /1 — V I/ — /Л /Л + I/ 2 ' 2 ' 2 ' 2~ х G^ \х 1 I'1 ,1 + , 2 2 2 ' <v(y/i 2у/±х)Ки(у/-ъ 2 ¦ GqI ( x 0, 1/2, i//2, -i//2 /civ7 2AVlV/V=l2^=^x 1/2, 1, 1-1//2, 1 + 1//2 7Г ^ -S,I/-S,-I/-J [Ree<-|Rei/[ 1/2-8 - i/ - 1/2, 5 - i/ + 1/2, s - 1/2 [Res > 1/2, |Rei/- 1/2|] [Res < -1/2, -|Rei/ - 1/2|] I/ /i-I/ 1/-/X [Res u, — v v — u, ¦ ~~ s, —: s, " ' 2 ' ' 2 [Res < -( 2 2 2 [Res > 1 Г 1 i/ i/ Г — s, s, s, s |_ 2 2 2 [Re s < - 8.4.24. Интегральные функции Бесселя Jiu(x), Yiu(x) и Кги{х). 1 2 3 4 Ji B /? T. ( 2 > \УЖ ) Y%v By/x = 2 / 2 \-\/ж x G 2 = Ig \ / \ l /2 / Si U V j20 fO2 / q-i 1 31 \ 1 o, x i o, \ 1 o, / X V 1,1 0 1//2,- i X C + ^ u/2, -i//2 J -1//2Д + 1//2 \ 1) /2 \ ^/2,-A + ^)/2 J 1+U 3 + 1У \ 2' 2 )/2 / M 2 L Irf 2 L Ir 2 Ir 2 .,, + •72 s + 1,1 + I//2 — v/2-3,-3 s + iz/2 + 1,1- s, s + v/2-t „s + (i/ + 3)/2, 1 J.J -+W s\ 2s [1 + ^/2 [Res > 0, 1=--Lr[ "/2 sj 2s [s + u, [Res < i//2, s - v/2 f l)/2, C + i/)/2 j, —u/2 -— s, —s — A + ^)/2 — s, — s J -Rez//2] ™S 1 '2 + lJ 0, Rei//2] 1 — s J [Re s > 0] 1 i-*J [Re * < 0]
8.4.25] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 567 5 6 ' ( 2 X ) 0, i//2, — u/2 / 1,1-^/2,1 + ^/2 ^ -r s' 4 L 4 L 5 + i//2j e-i//2l s + 1 [Re s > 0] [Re s < 0] 8.4.25. Функции Струве Н1/(ж) и Li/( „^ л COSU7T . Обозначения: A2q = —, А27 = [с- —)тг, А28 = —< }. V 2 / 7Г [ COS УТг ) 31 ж) -Н A -i/)/2, 1 + I//2, 1™ i//2 (l-i/)/2, 1 + 1//2, 1- I//2 й * и -\- 1 1 ' 2 2 2 2 = Л27 X х GJJ ж , 1-е, 1 , 1+ - 2 2 2 1 + 1//2- s, 1 - i//2 - s -A + Re i/)/2 < Re s < A - Re i/)/2, 3/4] s + 1 + i//2, s + 1 - i//2 [-3/4, (Re 1/ - l)/2 < Re e < (Re 1/ + l)/2] l-i/ i/ \ — v Res < ( ' 2 ' 2 '2 A27F 2 2 [(Rei/- l)/2 < Res < -|Rei/|/2] iz + 1 l-i/ * Н 1 s 2 2 I + С, 1 — С — 5,1 S, [c ^ A/ + l)/2 — любое; s = -(v + l)/2 - A; G G D+, s = (l-i/)/2+ife G D", ife = 0, 1, 2, . . .] l-i/ 1 + и s H , 5 A21V I 2,.' 2 s + 1 — с, с — , [c^(i/ + l)/2 — любое; s = (y + l)/2 + Jc G G D", s = (y-l)/2-k G D+, ife = 0, 1, 2, . . .] I/ + 1 U 1 — 1/ » Н , s ± —, 2 2 2 l±i//2-e Re i/ л ^ 1 - Re i о .1 о ><Res< Rei/ + 1 Rei/ [ 2
568 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.26 1 —i/ i/ + 1 I/ H , s, ± 2 2 2 8.4.26. Функции Вебера Е|/(ж), Е^(ж) и Ангера Ли cos (г/тг/2) I sin (|/тг/2) у Обозначения: —, 2тг2 = 2 ' 2' 2 1 i/ i/ l + 5 — i/ О, -, --, -, 2 2 2 2 1 2' ' - + 1, 1 > 2 2 l + i/ - 5 •¦з- 1 - 2 ' 2 /i + I/ V — Ц 0 — 2 ' 2 ' Е{? 2 l + i/ - О, 1/2 О, 1/2, Z//2, -I//2 = A29Gli \x и и -. 1, 1 , 1+ ~ 2 2 2 1/2, 1 1 1 + 5 S, 2 [0 <Res < 1/2] ¦ -, 5 + 1, -S, ¦ Н [-1/2 < Res < 0] a — и 1 + i/ — 5 :!1 s, s 2 2 [0 < Res < 3/4, (Re/i + l)/2] Д Д + 1 +1S+ ' LI II — V s, s + l + i/ - 5 l + 5-i/ 2 ' 2 ^ [-3/4, -(Re 11 + l)/2 < Re s < 0] 1/2, s + i//2, 1-5, 1/2 - si [-Rei//2, 0 < Res < 1/2] 1 1/ 1, ^5, - -5, - - S + - + 1 [-1/2 < Res < 0,~Rei//2]
8.4.28] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 569 10 ± Л_„ A - 8)/2, -и/2, i//2 = A30Gl\ x ,1- 2 2 2 cos — Iu Bл/ж) -Ju Bъ/х) -Ju (-2ц/х) = sini/тг 21 G13 i/тг / 2 2cos —/„ 2 2г О, i//2, -I//2 2г и и 1,1 , 1 + - 2 2 1 + у/2 -s,l- и/2 - s [F-1)/2 < Res < 2, A-8)/2-8 + i//2, e + l-i//2 [-B + <У)/4 < Re s < A - sin 1У7Г Гз, s + I//2, 1 — . [О, ^Rei//2 < Res sin i/тг fs + 1, — s, v /2 — , I//2+1 [-1 < Res < 0, Re i//2] 8.4.27. Функции Ломмеля5М]Дж)и5й)Е/(ж). 1 2 3 4 , Bл/я") = 11 f 1 I (/x + l)/5 (/x + l)/5 1-М х 2 ' A M)/ 1-д i-m' 2 > V 1/ 2' J, ^/2 / i/ \ 1 + 1 I / ;2, -i//2 J i _i_ \ / 31 [ 1 + ?//2 - s, 1 - [—A + Re /i)/2 < Re s [S + A - М)/25 С/1 L 5 + 1 + ^/25 s ~ [-3/4, (Re/x- ^32r[s+i±^ [-A + R«m)/2, Г 1 —/i [(Re^-l)/2< -l)/2< Re^j/2 ^i//2^s j < (l-Re/x)/2, 3/4] + l)/2- si Ы-1//2 J Res < (l + Re/i)/2] i/ 1-^ 1 < Res < A — Re/i)/2] -i if i/ Re s < (Re/i + l)/2, Rei/|/2] 8.4.28. Функции Кельвина Ьег|/(ж), Ье11/(ж), кег1/(ж) и Обозначение: <5 = < >. 4 2+и и s, Ц s, 4 '4 [з = -1//4- - fe, -(i/ + 2)/4 - к Е D+, к = О, 1, 2, . .
570 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.28 Ьег„ bei,, х СШ \х и 2- и 2 4' 4 2 l-i/ 2 ber D Щ 1 bei D Щ ] ber bei Ux 0, 1/2, = ttGSJ I x 2 2 er;D^)l _ ei'D^) J ^T71 2^ 1 1 3-25 4 ' I' ~4' 4 3 5 4 ' I' I' 4 i/ i/ i i + ^' ~' ' 2' 2 17 I/ 1 1 — 1 , 1+ -, -, 1, 2 2 2 2 1 — и и и + 2 s, s 4 4 2 + -и , - + i/ ¦ 2 2 [a = v/± 0, 1, 2, ...] ', k = s +{1-8)/2 1/2- 5, 1 - s, 1 - 5/2- , [s = E - l)/2 -ke D+, к = 0, 1, 2, тгГ ¦f 1/2, 5 + 1, S + 1-5/2J s = A - 5)/2 + к G D~, A; = 0, 1, 2, „3/4 - s, 5/4 - e, A + 25)/4 - s J [s = -A + 25)/4 -ke D+, к = 0, 1, 2, (l + 25)/4- s i + 3/4, 5 + 5/4, s + A + 28)/A s = (l + 25)/4 + fc G D~, к = 0, 1, 2, . 1 5 = 2 1 i/ + 1 v Л , - + 1 - s, 1 - s, 2 2 1 - i/ s, i 2 2 [s = ~v/2 - к G D+, fe = 0, 1, 2, . . i/ h 1, s + 1, s + -, 2 2 1 - и и + 1 S H , 8 2 2 = 1//2 + Aj G D", fe = 0, 1, 2, ..
8.4.28] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 571 10 11 12 13 beii bei' berj, B г 1 1 , о — — , — , '44 ЬеМ2А/-) , ei, 2 ei^ B er^ B 1 - l-2i/-25 ±ЪеЦ 2П-) x V ж, 2i/=p A ' 26-2i/ 3 5 4 ' 4' 4 ker 1 1 kei,/ D ^) j 4X xGf keri/ keii/ I xG ж 2 1/ t/ + 2 1/ 2 — i/ 1/ + I' 4 ' ~I' 4 ' 2 = ±- x 4 1 , , 1+ -, 4 4 4 5 + v ker D \fx) 1 kei D^ж) j о, i, i^, ^ 2 22 1 + 25-21/ 3 5 л S'7^S'7^^^ 4 4 4 ¦ = -Bi/ =p l)/4 - A; G ?>+, ife = 0, 1, 2, Г3/2 2i/=p l + 25-2i/ 5 e 4 [s = Bi/=p l)/4 + ife G D~, A; = 0, 1, 2, 1/ 1/ + 2 1/ 4' 4 4' t -\ + i/ i/ + 5 , 1 s 2 ' 2 1 4 Г 2 — i/ 4 i/ — — 8 i 4 5 + 1- [Res > |Rei/|/4] 1/ + 2 s, s, .4 2 ' 2 2 - 1/ [Res < -|Rei/|/4] r\ 8 + 1/2, 8 + (l 4 [ 1-8/2-8 [Re s > 0]
572 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.29 14 15 16 17 18 кег kei 1 2' i Г sinCi/?r/4) 1 , 4—v < > keiv 4va; 1 cos Ci/7t/4) j l ; J cos (Зх/тг/4) i sin Ci/tt/4) Т1гзо / = TiG04^x i/ 4' / sin (Зг/тг/4) \ / tcosCW4)/ker4l \sinC^7r/4) 4 40 I Ж \ 1 + ker I B #4sc) + kei I B У ^8v^F 04 ¦ Y k) 1 ± Bi,( + 2 4 ± \ kei^ I J V 1 4 o, 4' 25 = I, + 5 2 ' 2 2- 4 N 2 - 4 2- i/ 2 5 2 ) = 5 — и 4 ' -28-и 4 )= i/ V25 + v 4 i/ ~*2 -keif G4n ж -, 1, 1--, 1 + - ±-Г 4 [Re s < 0] i/ i/ + 2 7, s + ——, 4 4 2 + 25 + 1/ [Re s > - Re 1//4, (Re v - 2<*)/4] s, [Re 5 < Re i//4, B5 - Re i/)/4] 1 Г 1 i/ i/ L 2' 2' 2 [Res > |Rei/|/2] 1 Г 1 v и Г — s, 5, 5, s L 2 '2 '2 [Res < -|Rei/|/2] 8.4.29. Функции Э й р и AI (ж) и BI (ж).
8.4.29] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 573 10 11 12 .2/3 e^2Ai |(^1 2/3 G? .2/3 1/3, 1 1/6 5/6 0,2/3 1/3, 1 1/6 sh v^ 1 1 B/3I/6 4тг 5/12, 11/12 35 + 2 5 5 ™ 3<5 1-5 6 ' 2' 6 ' 2 x Gi ж 4тг > 5 1 + 35 17 12' 12 2' 6 ' 2 B/3I/e 1/12, 7/12, 1/4, -1/12 4тг3/2 Y/~W П/12, 5/12, 3/4, 13/12 X (jr4n X 2/3 1/6, 1/2, -1/6 Gl? U 5/6, 1/2, 7/6 1/3 1 Г-s, 2/3-. : 5/6-s 1 Г 2 1 Г с s + — — s ' 3' 6 [Re s < 0] [0 < Res < 1/6] B/3I/6 4тг х Г [-1/6 < Res < 0] 5 + 2 ё 1 7 , S Ч , 5, — 5 6 ' 2' 12 '12 S, 8 6 2 < Res < 1/12 ¦'-{:}] 4тг х Г 1 7 35 + 2 5 , 8 Ч , 5, — 12 12 6 2 35 + 1 5 + 1 i-1/12 < Res < 5/2, 5 = B/3I/6 \s + 1/12, a + 7/12, * + 1/4 4тг3/2 13/12-в [Res > -1/12] B/3I/6 Г1/12 - s, 7/12 - s, 1/4 - s 4тг3/2 2тг3/2Ш 5 + 13/12 [Res < 1/12] 1/6, s + 1/2, 1/3- s 7/6-в [-1/6 < Res < 1/3] 1 Ts + 1/3, 1/6- s, 1/2-s 2тг3/2 ^12 L s + 7/6 [-1/3 < Res < 1/6]
574 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.29 13 1/6, 2/3 3i/ + 2 v 2-3i/ v 6 ' ~2* 6 ' ~~2 14 4 - 6 1/3, 5/6 2тг3/2 ^/12 15 16 17 Ai^ 5/6 0,1/3,2/3 1,1/3,2/3 1/6 1/6, 2/3 3v + 2 i/ 2 - 3i/ i/ 6 ' 2' 6 ' 2 18 4 — 3t/ 6 1/3, 5/6 4 + 3i/ i/ 6 ' 2" 19 20 21 Bi ( 2тг G24 I Ж Bl 2тг 1/6, 2/3 0, 1/3, 1/6, 2/3 2/3, 1, 1/3, 5/6 1/3, 5/6 5/6, 1/3 0, 2/3, 1/3 2тг3/2 1 5 s. s 3 ' 6 [-Rei//2 < Res < 1/3] 1 5 3' 6' 25/331/3^3/2 ' ' 2 [-1/3 < Res < Re i//2] s, s + 1/3, s + 2/3] 1 Г-s, 1/3-s, 2/3-^ 25/331/3^3/2 [ 5/6-s [Re s > 0] "] [Re s < 0] , s + -, 2 2 2 - 3v и , s 6 2 [Res > |Rei/|/2] 1/ s» ^ ~ e» s, s L 6 3 2-3i/ и [Res < -|Rei/|/2] 2тг в, e + 1/3 ^Т7бГ 1 2 5 1 L 6 3 6 3 [s = -k, -k - 1/3 G D+, fe = 0, 1, 2, . . .] 2тг 3i/6 11 = fc, 1/3 + Jfe G D~, к = 0, 1, 2, . . .] s + 2/3, 1/6-si ? + 1/3, 2/3- s J [0 < Res < 1/6]
8.4.30] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 575 22 23 24 25 26 2/3 1/3, 1, 2/3 1/6, 2/3 -y22 Ж24 1 2 6' 3 2 + 3i/ 2-3i/ + 6 ' 6 / 1 2 6' 3 Si/ + 2 2 —Si/ 6 ' 6 ' ~^' 2" Gil Ix 3' 6 A-Si/ 4 +Si/ \ 4-3i/ з' 6 ai и и 1 + -, 1 — 2 2 2/3 1/2, -1/6, 1/6 1/2, 7/6, 5/6 1/3 1 [s + 1/6, -s, 2/3-s s + 2/3, 1/3-s [-1/6 < Res < 0] x I/ ?/1 5 A-Si/ 4 + 3i/ s Л , s , 5, . 2 2 3 6 2-3i/ Ц 5, 1 2 2 1 5 5, 6 3 6 |Rei/|/2 < Res < 1/3] 1 5 v v з's б' ^ ~5' ^^ l-3i/ 1 + —,.- 1 5 3' 6' 3' ^ 6' 6 1+ 2' S + 1^ 2-3i/ [-1/3 < Res < —| Rei/|/2] 1 ^[s + 1/2, s- 1/6, 1/3-e 5/6- s [1/6 < Res < 1/3] 3, 1/2-e, -1/6- s + 5/6 [-1/3 < Res < -1/6] 8.4.30. Многочлены ЛежандраР„(ж). Обозначения: Л3з = ГA/2 + n - I)
576 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.30 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 р Рп Рп A Рп Рп Рп Рп A (х (х \х ) Bх-1)Н(х- 1) = / \ " \1 + (y/Z)H(l-x) = ^20 / \ (-^)я(ж-1) _ ^02 "2 (л/ж) Я(ж- 1) - 1 ; г*02 / — ^22 1 f —) ЯA-ж) \ л/ж' / = ^22 - ж)?^1^2Р (\/Т - (-1)'А33С?20 -l)e+-1/2Pn(\fl + IV - (-1)'Л G02 22 -l)^/2Fn(i^ = ^34^ =G = ( ж^ ж ) 1 ж = ( X V ж (ж (ж V / V г^ 02 / 22 1 22 8(. 1, 1 — ni — те, те 0, 0 1,1 J 22^ \ п + 1 / г, _|_1 / t-T -L / —п, —те ^ 0, A-п)/2, 1- 0, 1/2 1/2, 1 - те/2, (те4- 0, 1/2 1/2, 1 - те/2, (те4- ') = -1, е + (те4- 0, 0 L^i = с ) 1/2+ е, 1/2 -п/2, A + -1, 1/2 + 0. 0 0 / hn/2 \ / ¦1)/2 / hn/2 \ ¦1)/2 / 1 У + е \ п)/2 У п-/ \ Г Г Г (? г г г г л Г -., - 1 = _1 + те — s, —те — s J "те + 1 — s, —те — si 1 - s, 1 - s J ~ =г[-;_7](-^ 1 [s, те + 1 - s, те + 1 - si Г1 г!J [ 1-s J Т1 Г 1-1 "I / -1 -(п!J11„,д|1 s](l [0< в, в+ 1/2 1 _ ^ Г'" s + e ^1 /1 [Res > -е; / = n/2] -s, l/2-s 1 .l + n/2- s, (l-n)/2-eJ Г е - s 1 / ~ [1 + ^/2 - sj \ [Res < е; 1 = '-те/2- s, (n + l)/2- s 1/2 - s, 1 - s n/2] _ [l-e-sj V2 [Res < -те/2; I = n/2] "s - те/2, s + (те + l)/2l / = s + 1/2, s + 1 J =r[/;r_2e]('+^ [Res > те/2; 1 = n/2] 33r[s + l/2+t-Vl-sJ = Г П 's ^ 1 [s + 1/2 + n - IJ [Re s > 0; 1 = n/2] Л L s + e + 1/2, l + n/2 - s Л г[1/2-е-П /1 = A334l + n/2^sJl24 [Res < 1/2-e; 1 = [те/2]; 34Г ^ 5' L 1- s, 1-s = Лз4Г[1/2+1-"аП Res < 1/2 + 1 -те; I = [те/2]; Re,<0 [Res < -те] [Re s > те] S)n Re s < те + 1] \ ¦\- e - sj ; 2e = те - 21] 1 \ +?Jl ; 2e = те - 21] -), ; 2e = те - 21] -a ; 2e = n - 21] Д - 5)i ; 2e = те - 21] 1 = J ~e + s) 2e = n- 21] 1= 2e = n - 2fl
8.4.31] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 577 13 14 15 16 17 18 19 в+ 1/2, ? + 1/2 (п + 1)/2, -те/2 О, О 0,1/2 —»= A -n)/2, l + n/2 -те/2, (те + 1)/2 те/2, A -п)/2 + п)/2, -те/2 1/2, -те О, О те! л/ж A-те)/2, A-те)/2 -те/2, (те + 1)/2 + (те + 1)/2, s - те/2 1 г +? + • [Re s > те/2; I = [те/2]; 2е = п - 21] 2п Is, (n + l)/2 -s, 1 + те/2 -j те! л/ж 1 — s те!^ L ' 2 [О < Re s < 1/2 + те - I; 1 = [п/2]] 2п |"s, s + 1/2, (l + 7i)/2- , те!^~ Г ¦  2 -JV 2 [-е < Res < (те + 1)/2; I = [те/2]; 2е = те - s - те/2, s + (те + 1)/2 + 1 + П/2, в + A-п)/2 ГГ -п/2-з, (п 1 + те/2 - s, A - те)/2- [Re 5 > те/2] 1 [s, 1/2 - s, те + 1 - s [Res < -те/2] те!у^ [О < Res < 1/2] Ti + 1 те 1 + п з Н , s , s 2 2 2 1-71 sH 1 Г те 1 + Ti 1 / 1-n Г \s\ x H J ,s\ x sH 2' 2 J V 2 [те/2 < Res < (n + l)/2J 8.4.31. Многочлены Чебышева 1-го родаГп(ж). Обозначения : Л35 = I — I у'ж , Л36 = (—1) I —- 1 у'к . 1 2 A (ж \-1/2пр /о 1\ __ — «*/^_|_ J п\^Ж — J-J — — л/тг G20 f ж - 22 v 1/2-те, 0, 1/2 /^ ^22 (x V 1/2 +те \ ; 0, 1/2 \ те, —те / = Д4 «. -71 + 1/2- - те — \~Ч ?, s 1/2 r " Г[ - s, s, 1 n ny/: + s 1 T 1/2 s + 1/2 s + те + " ~ 71 — S__ Г 1/2 Г -]= 1 f1 ^ -/2]U"'> [Re г — si [Res < s"> 0] 1/2] 19 А. П. Прудников, Т. З
578 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.31 3 4 к 6 7 8 9 10 11 {х-1Г+^ТпBХ-1 Г™ ^02 1/2 /2 \ *^/+ п 1 /1-я;' П \1 + жу 22п~1 г Bте-1)! A^ж);1/2тте(^) / rzz л/тГ Стоо I Ж {х-1)+ in Н^ (ж- 1)^1/2Тп (у/х~) + / 22 V (л Г1/^ f ! % 11 Ж J _|_ J fj, I че^1/2т / rr- X)+ n у 20 / _ (-1) Л35С22 | = (-!)'Л 0 = (¦ \ / tl2 22 = ( 0 )- г 6 ( 0 ) = / - ( f \ ] 1/2 +те, 1/2- те \ 0, 1/2 У /z: r20f f Л/Ж ix22l Ж 0, 1/2 \ те, —те / ^Ж V 1 - те, 1/2- те \ 0, 1/2 J l + n)/2, (l-n)/2 \ , 1/2 / i02(x r22v 0, 1/2 \ те/2, -те/2 / l + 7l)/2, A -7l)/2 \ , 1/2 / -22 ^ 2/1 I 0, 1/2 \ те/2, -те/2 / \- 11 \ 0, 1/2 / 1 | x J ?22 * V те/2, -те/2 / ^- Г1/2 + 71 - S, 1/2- 71- Sl 1 ч 1 /*? ч ri/2-n-s]/l \ [Res < 1/2-те] у— fs — те, s + те! L 5 + 1/2, S J ~ Г s - те 1 = л/тг Г (s)n [Res > те] [s + l/2jl )n L J 22n^x Is, те- s, те + 1/2-sl Bn-l)! [ 1/2-s J ^2ti — 1 /1 \ Ff 1 I 1 = I [S, 71 — S] 1 SI [0 < Re 5 < те; n = 1, 2, 3, . . .] ^Г=[в + (п + 1)/2+в1BA те)/2] = Г '^s + e П] = (-1) V^T^ + ^ + i^2j x /1 \ x 1-+е-з) V2 Л [Re s > -e; I = [те/2]; 2е = те - 21] ^- [ 1/2- s, 1 - s 1 ~ [l + n/2- s, 1 - те/2 - s\ ~ г i /2 _j_ e _ 5l = (-lI^ Г^ + ^/2 _ s J (s + e), [Re s < 1/2 + e; 1 = [те/2]; 2е = те - 21] /ГГрГС1^^/2™ 5, (l + 7l)/2-el _ L 1/2- s, 1 - s J ГA-п)/2- sl /1 \ = Л/^Г[ 1-е-* JU+e"Vi [Re e < A - n)/2; I = [те/2]; 2e = n - 21] Гв-„/2,, + п/21 L s, s + 1/2 J Г s-те/2 1 = л/тг Г (s + e)i Ls + 1/2- ej [Re s > те/2; 1 = [те/2]; 2е = n - 21] ГГ 5, 1/2 + 1- s 1 35 [e + l/2 + n-Z, 1/2- s\ ~~ [Re s > 0; I = [те/2]; 2e = n - 21] Л35Г ' , = L s + e, l + n/2- s J = A36r[l + n/2-ee](e + e)l [Re s < 1/2 - e; / = [те/2]; 2е = тг - 21]
8.4.32] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 579 12 13 1 Л 15 16 17 (х- A- A + A + (х- A- 1) х) х) х) 1) х) е-1/2 ,-1/2 -п/2г 2п^ (п- 2те" (п- -1/2п + J G02( 6 22v ^n Ну / 1 12 1)! 22 г-Г/ 1 21 1},^22 \ (8ж2 г- ^02 22 /т2 - ( 1/2 1/2 X I G20 22 1 \ Л Iх 1 0, -?¦ с + Iх 1 0, -8ж4 (т V 1/ о, -8ж4 ж2 + 2е- , 0 ) = / (г V 1 -п/2 1/2 -п/2 1/2 -1) = 2 + 2f 1/2 ) 1 = \ ±1,1/2-1 \ ) /2 + е,е \ - п/2, п/2 J A -n)/2 \ ) A -п)/2 \ J г, 1/2-2n \ У 0, 1/2 \ — An, An J Г1/2 + 1 - те - s, 1/2 + 1 - si 36 [ 1- s, 1/2- 5 J ~ Г1/2 + /-п-в] /1 \ ~ ЛзбГ[ 1-5 J \2 /z [Re s < 1/2 + 1 - те; 1 = [те/2]; 2е = те - 21] Г s + те/2, s- те/2 1 Л36Г = [s + в, s + е + 1/2j Г 5-те/2 j 36 Ь + ? + 1/2Г +S^ [Re s > те/2; 1 = [те/2]; 2s = те - 21] 2n^ |"s, те/2 - s, (те + l)/2 - si (n-1)! L 1/2-в J 2n^ r\ i ](г ) (те- 1)! h' П °J V2 ")t [0 < Re 5 < те - - I; I = [те/2]; 2е = те - 21; те = 1, 2, 3, . . .] 2п~г Гв, в+ 1/2, n/2-el (n-1)! L e + (l-n)/2 J (n-1)! L 2 J V 2 Jt [-e < Re s < n/2; I = [те/2]; 2s = n - 21] ^- Г1/2 - 2n - s, 1/2 + 2те - si L 1 - s, 1/2- s J ~ [1/2-2n- el /1 \ = ^ Г[ 1- s J \2 ~ SJn [Res < 1/2- 2n] r Is - 2n, s + 2nl L в, в+ 1/2 J = y^r\S~2n](sJn [Res>2«] [s +1/2J 8.4.82. Многочлены Чебышева 2-го рода!7те(ж). Обозначения: Л37 = —-—V^ ? -4з8 + 1V Г A ( W(n + 1-\ Г 2-) ^,Дзв = (-1) 1^-*) V^F. 1 2 3 A (x (x - i);/2t - i)+/2t = M2.-l) = Л G20(x 3/2 +те, -1/2-те \ 0, -1/2 / Jn {I ~ 0 = 02 / - 37 22 (^ 3/2, 2 \ - те, те + 2 / /nB«-l) = -1/2-те, 3/2 +те \ 0, -1/2 ) Г 8, 8-1/2 [s + те + 3/2, 5 - те - 71 Г S [s + те + Г -1/2 - s, -1 - s 37 [l + те - s, -1 - те - [-1/2 = (-1)тел37г| +^ ГЗ/2 + те- 5, -1/2- 37 [ 1-е, 3/2-в Г-1/2-n- - 1/2] «J/^J \z / n [Re s > 0] .]= -el _JB + .)n [Res < -1/2] - n -— si I(i-). [Res < -1/2-те] 19*
580 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.32 4 к о 6 7 8 9 10 11 12 (l-*I/2t/ (--l)- \ж / / 22 v 3/2, 2 \ те + 2, -те / _п_2 г Л-жЧ п \1 + х) Г12 U — tj"99 I Ж Bп + 1)! V -те- 1, -те- 1/2\ 0, -1/2 ) A-х)^2ип(у/Б) = -A G20(x v (те + 3)/2, (l-n)/2 \ 0, 1/2 ) 1I/2U ( М - = M7Gll(x V 1, 3/2 \ - те/2, 1 + те/2 / (Ж^1)У21/те(у^) = / 22 V C + п)/2, A-те)/2 \ 0, 1/2 ) (*-*)+2^« ("У = - A G™[x 22 V 1, 3/2 \ - те/2, 1 + те/2 / A - x)?+^1/2Un (л/Г^) = (-1)'Аз8 X V 1 о, -1/2 ; (x~l)?^1/2Un( fl^) = + \V ж ) / 22 ^ж 1/2 + s, 1 + s \ те/2 + 1, -те/2 / (ж _ i)eml/2|7 ^л/ж - ll — + п v / 1/2 +Z + 2e, -1/2-I \ -1/2,0 ) г^ yi 5 + те + 21 Л37Г[ s + 3/2, 5 + 2 J ~ [ s - п 1 = Л37Г [ 5 + 3/2 J(S + 2)n [Re S > nl 1 fs, те + 2 - 5, те + 3/2 - s] те!C/2)те [ 3/2-5 J 1 /3 \ ГГс П 1 1 cl I о n!C/2)n L V2 Уп [0 < Re 5 < n + 2] Г 5, 5 + 1/2 1 5 + (те + 3)/2 s + (l-n)/2 = ^1УЛ^Г{3 + ^п + %у2\ X /1 \ [Re s > -e; 1 = [те/2]; 2е = те - 21] Г -1/2- в, -в 1 [l + те/2 - 5, -те/2 - s\ ~ t Ге-1/2-в] = (-1) Аз7^^1 + п^2_ s^(s + e + l)i [Re 5 < е - 1/2; 1 = [те/2]; 2е = п - 21] Л Г-(те + 1)/2-5, (п + 1)/2-*1 = Г (те + 1)/2 8\ A \ = Л37Г{ 1-е- JU+e"Vi [Re в < -(те + 1)/2; 1 = [те/2]; 2е = п - 21] г' 1 - те/2 I = Аз7Г[з + 3/2 - е\ ^ + ? + Х^ [Re 5 > те/2; 1 = [те/2]; 2е = п - 21] Аз8Г[в + 1/2 + п-Гз/2-в] = Г 5 1 /3 \ 38 [e + l/2 + n-/J \2~Ji [Re s > 0; 1 = [те/2]; 2е = те - 21] Гв + 1 + п/2,1/2-е—1 L s + e + l, l + n/2- s J = ^з8г[1/2^в^51A + е + 5)| [l + те/2 - sj [Re 5 < 1/2 - e; I = [те/2]; 2e = n - 21] [1/2 + 1 — те — 5, 3/2 + 1 — si 39 [ 1 - s, 3/2 - s J ~~ = -4з9Г П S f - - sj [Re s < 1/2 + 1 - те; I = [те/2]; 2е = n - 21]
8.4.32] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 581 1 3 14 15 1 fi 1 7 18 1 Q 20 21 A A X Bx- X A X (x — ж - (я + e_1/2{/ / fi—Л _ + П\Уж / / 22 V 1 + e, 1/2 + e \ -те/2, l + n/2 / v_n/2-l,7 / 1 \ nwi + aJ 2n / те! TI \ -те/2, -(п + 1)/2 \ 0, -1/2 / ( 1—ж—\ ) Lt4V^ + iJ 2n 21/ ~ nf 22 \ -те/2, A-п)/2 \ 0, 1/2 / n! \ 0, -те- 1 \ 0. -1 / /2 ! / 2i + l \ n\2Vx2 + x) 1 G21^ -те/2, l-n/2 \ -те/2, l + n/2 J l)(z-l)^Vn(8z2-8z + l) = / -271-3/2, 2те + 5/2 \ 0, -1/2 J 1/2 г /ж2 -8ж + 8\ )A Ж)+ Ln 1 2 I \ x / = Л37С20 (x 22 ^ 2ч _. /ж2 + \ 2ж 5/2, 3 \ 2те + 4, -2n J / = 2(те + 1)^22 x те + 3, 1 - те \ те + 2, -те у /ж2 + 1\ - = V 2x у / 22 v 1 - те, 3 + п \ -71, 2 + те / Ь2 /х2 + 2х + 2\ L)«+2 "V 2(^ + 1) J 1 ^12 /^ = Goo Ж Bn + l)! 22 \ 0, 2п 2 \ о, -1 у те! Г 5 + 1 + 7l/2, S - 7l/2 1 L + e + 1, _ ЛздГг [Re 5 > i , те/2 + 1 = — Г\з, 1 те! L [0 < Re s < 1 + те 2« п! [-е< 1 г[ п!Г[ 1 = ^! [ 1 Г те! x(s^ Л37Г = А = А3* 2(те + -2(п 2(те + 1 {2пЛ " s s _|_ 1/2 2n г те! Г + е' Res < те/2 s, 1 - s, 2- 2- ? ГГ« 1 «К 1 [S, 1 ЗД те s + - + 1, 2 s - 1 „ г 71 \ Г-2те-3/2 L 1- fs - 2те, s -\ [ s + 5/2, L5 + 5/2J x Г 5 + 1)Г 1 1) 4 Г П^ 1)T [те + 1 -2(n + 1 Bте + 1) 5 + 6 + 1/2J s^n/2 L1 + ?+ ч + ? + 1/2J a/2; 1 = [те/2]; 2е = те - s, (n + 3)/2- si 3/2-5 J { + n-l-8\(--8\ V2 J i -I; 1 = [те/2]; 2е = те l + n/2- si -n)/2 J те 1 /1-n I 1 el I 2 'X 5Ц 2 ' + 1; / = [те/2]; 2е = те f те — si J 2-s)n [0<Res n те i s , Ц s 2 2 hi-те/2 j те те 1 у , 1 H S X 2 2 J -21] -21] л "Л -21] <1] [те/2 < Res < те/2 + 1] s, 3/2- s J ~ -3/2-el /3 \ 1-* J V2 72n+1 [Res < -2n- -2те + 41 , + з J (s + 3Jn+1 [Res n + 2, s — те 1 + 3, e + l-nj ~ 1 + 2)(s — n) s, -2 - те- s 1 = — s, —1 — те — s J 1 ' (s _|_ n _(_ 2)(s - те) [Res < -2 - s, 3 + 2те- si 2-s J Tfs 1 el B eJ [0 < Re 3/2] > 2n] >nj -n] »<1]
582 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.34 -Г[з — те, те + 1 — з] х х (з + 1 — теJп+1 [те < Re s < те + 1] 8.4.33. Многочлены ЛагерраЬ^(ж) 1 2 4 5 6 -а __] А п\ ) IXLX ( п (^ Ьп(х) /х Т ( 1~"п 1 = Г(А + п = Г(А + те 4- 1 Gn/ те! 12V 1 i 2 ж/ те! (™1)П ^2С те! ж / те! / 12 ^ / - l)GSi { ж V —те — А 0, -А if. ч 1, А А + i(. —те 0, 11 ^ 0 ж 1, ) + i п + ) 1, 1 гг + те - 0, А те 1 1 t-Г) •7) ) Г(А + те Г(А + те 1 [з, те! L = — 1 г|- n! L 1 1 Га, те! L те! Г[ Г + 1)Г L [ + 1)Г L 1 + теЧ 1 + А rW(i f А + те s + A г(-*H 1 - s s + 1 5 + S = -Л- - з + А + 1 + 1 те + 1 -ке А + 1 = Л G J ^^)n J V + l) 1 те! J 1 , 1 + -s r(.) г! Л- ife = к = .] 0, 1, 2, 0 , 1,2, [Res [Res [Res [Res < >0] <o] >0] o] 8.4.34. Многочлены ЭрмитаЯп(ж) 1 2 3 4 / i \[тг/2] г~ | f~i — I — A. I "\/ 7Г WI ijr Hn ( — ) = / V -(¦ те/2 + 1 \ e, 1/2 -e J Ь + оо •(¦ -те/2 1/2 + e \ 0, 1/2 J (¦ 1, 1/2 \ (n + l)/2 / (_l)[n/2] = e+ife G "[,;¦ + ,fe = 0,1,2, .. у^те!Г ?~S D^,k = 0, 1, 2, [Res > -e; 1 = ,1/2-sl -n)/2-eJ ~ [Res < e; 1 = .; e = 1 . .; e = = [n/2] [n/2]; [3 = n/2 -[ 2 J = n/2-[ ; 2s = n 2e = n - n/2]] [* = n/2]] -21] -21]
8.4.35] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 583 8.4.35. Многочлены Гегенбауэра С^( Обозначения: А ГA-2А) BЛ)теГ(Л , A4i = (^l)nBA)n = 1 п!ГA/2-А)' 42 п!(А + 1/2)пГBА)' Л47 = п!(А + га!Г(А)' И ^48 — ГA - А) п!Г(А)' 1 2 3 4 5 6 I A - ж)+ ( А /~*2 (ж — 1)_|_ < / ^чА —1/2. (ж — 1)_|_ ' ( - A G€ A - ж)+ < ^1 -|- л; 1 = A4iG^ /1 . \А —1/2, A + ж) ' ( (Л 4- /тЛ~п~2А = ^42^2^ 7^Bж- 1) = °( 2 И» V А + те 0, 1/2 7Л (- - А- п \х J / 7^Bж- 1) = / г • \ 1 2 +Л =i(|-0- / = -А40<^22 I V 7^Bж + 1) = / 1 - - А 2 \х J = A41Gi / -у х\ п \1 + х) А { 1-2А 1 0, - - 2 1 1 2' 2 -А ж А + — те 1 + W'2 А ж А + — те 1 — те, — 2 А (ж 1/2 2А- 1 — те, — 2 А -А^те \ I / 1/2, 2А \ , 2А + те / \ J 1/2, 2А \ , те + 2А ) + А + п | J + А, 2А \ f те, —те ) ¦— X — те \ / Ат Г s, s s + A + те + ( 1 \п 4 Г 40 \ / п Г 1/2-А-в [l + 71 - S, 1 = (-1)пл40г[ L [Res < Ат Г г 1 ^+те+А- 2 1 — sj г 1 = АадГ 2 ~ П L [Res < 1/2 -A + 5 1 2 1 1 —, s ~\ те — А 2 2 J = "I 1 ^ s + A + те Н— [Res > 0; Re A > -1/2] , 1-2A- s 1 — 2A — те — s J 1/2^A^SlBA + s)n 1 + те — s J 1/2-Re A; Re A > -1/2] 1 I ' 2 1 -+A-s = 2 -J -eA~iG+A"*)n -те- Re A; Re A > -1/2] . „Г s — те, s + те + 2А 1 Ала 1 = L^ + A + l/2, S + 2AJ = Amv\ А41Г s, - + A +те- 2 l_ 2 Г i S^U l(s + 2A) -A + 1/2J1 [Res > те; Re A > -1/2] -s, А —те —s 2 A-s = 1 /1 \ = А41Г s, A - 71 - si 1 - + A - s 1 [0 Fs + 2A + w, 41 [ = А41Г s — те |"s, те + 2А- [ АЧ = Л42Г[5, те + < Res < 1/2-71- Re A] 5-те, 1/2- A-sj 5 + 2A J ~ i-A-в] (s + 2A)n [те < Res < 1/2- Re A] s, те + A + 1/2 - si -1/2-в J 2\-8](l + \-s) V^ / n [0 < Re s < те + 2 Re A]
584 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.35 8 Q У 1 П J.U 11 12 13 14 A ' A (ж A /1 1 ™ \ -*)+n-2A<tf( 02 ^^п^2Лг Ж L, (- 22Л X <^22 f 22 V -ж)^1/2С = А4 1)Л-1/2с + = 1/9 — 1)_1_~ С = /14 -Ж)Л^1/2С + J- "Г « - \1 — Ж/ / / L 1 1-2А 1 0,-- V ' 2 ^л /ж + 1\ I 1 ж 1-2А- o,i-. 2 ,А ( 1 + Ж ^ 'п ^ 1-ж|; -lO1-^ ГA/ -1п!(А + 1/ X 1-2А- 0, 1/2- n(v^) = / I I /~*20 I 3*^22 I ^ V \ А 0 д/ 1 \ _ П 1 у— J л /~*02 / /140^22 1 ж ^ (\/ж) = / 22 \ 1 Af — 1- Л G20 (х 22 V — А - 71 \ '2- 2), те, А 1 т 2 А, + 2 1 2 А, - 1 те, - 2 1 ' 2 " -А) гГ(А 1/2 те + 2 А + те/2 п А + те/2 -А - А- - А 1 1 1/2 , А + 1 1/2 , А + \ -те \ } ) -га \ ) J - га \ \ 2 1 п/2 ) -га ч 2 / ) п/2 ) А43Г s. s ^ А 2 ]_ s + 1 - 71 - 2А, sH А-те L 2 Г „ 1/1 = (-1)»Л4зГ| . . " .. | [-4 43 (-1) 22Л^1 L« + J- ^ ^ ^ ^AJ \2 [Re s > 0; Re A < "n + 2A-s те + А + 1/2-sl 1- s, A + l/2-s J Гте + 2A - si /1 [Re s < те + 2 Re A; Re A < пУтг ГA/2- А) X Г s, 2A + те — s [s + 1/2- А-те, А + 1/2- [0 < Re s < те + 2 Re A; Re A < Л 40 Г > s; 40Г = (" -ReA А 40 Г -ReA Г [ > те/2 I Sj S 2 те + 1 1 — те s + A + , s + = -Г l)lA r\ S + ? 40 [^ + А + (те + 1)/^ /1 \ X V2 " V, ReA > -1/2; 1 = [те/2]; 2е 1/2- A- s, 1- A- a Д + те/2-s, 1-A-n/2- e. [ 1 + те/2 — s J [Res < ; ReA > -1/2; 1 = [те/2]; 2е г 1 - 7i . 1 + те и \ с с А Ь, 6 2 '2 1 = 1/2- в, 1- e j ГA - 7i)/2 - А - si /1 40 L 1 - е - s J \2 + [Res < A ; ReA > -1/2; I = [те/2]; 2е s-n/2, s + A + те/21 s + A, s + A+ 1/2 J ~ AJ ^-те/2 1(в + е [s + 1/2 + A - e\ ReA > -1/2; I = [те/2]; 2е „ \ - А- в I Jn 1/2-те] Jn 1/2-те] 1 -s\ 1/2 - те] > X [ReS> = те - 21] 1/2 + E- = n - 21] e s) )i -n)/2- = n-2Z] + A)l [Res > = те - 21]
8.4.35] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 585 15 16 17 18 19 20 21 (I-*) 1 2 1 IT х --Х-1 1/2+ е, А + е - те/2, Л + те/2 -2е, - -Л-/ 2 + е, 1/2+ е п/2, А + те/2 1 — п п — -А.1-А-- о,1-л 2 х-1 1- А ^ те/2, A-п)/2 О, 1/2 2' 2 О, - -А 2 Л 44 Г s, 1/2 + \ + l - s s + 1/2 +те- I, 1/2 + A - , S 1 f-4 ? + 1/2 + те^|] \2 [Re s > 0; I = [те/2]; 2е = n - 21] 3 + ?г/2 +A, 1/2 - e - s s + A + e, 1 + те/2 - s [Re s < 1/2 - e; I = [те/2]; 2e = n - 21] T\ + l-n-s,\ + X + l-. l-s,\+X-s 1/2 + 1 -те - . [Re a < 1/2 + I - те; 1 = [те/2]; 2е = те - 21] + A + те/2, s - те/2 1 _ + A + e, s + e + l/2j ~ [Res > re/2; / = [n/2]; 2e = re - 1 — те -те-А [Res > 0; ReA<l-?i; l = [n/2\; 2e = n - 21] 'А + те/2^ в, (n + l)/2-e] 1/2- 8, 1-8 [Res < n/2 + + Re A; Re A < 1 - те; I = [те/2]; 2е = те - 21] те ж п + 1 1 [0 < Res < ReA + n-Z; I = [те/2]; 2е = n-2Z]
586 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.36 22 *?ч 24 25 26 97 28 / п V 21/ 22 V 2А-1 Л /^^ + п \2у — Л G20 48 22 (ж- lJ^^ (- = Л48С02 / Л S~4~\ 2 = Л49С?22 / п у / 22 v Ап/2 А/ - f W A G2( К ) 50 2! ^A-n/2 A / + п ^ = (-1)таЛ50^22 У x + l) l-A-n/2, (l-n)/2 \ 0, 1/2 / Ъ ) (х \ 2А + п/2, A-n/2 \ -п/2, А + п/2 / ч -*- Ж / Г. V 2А + те/2, А-те/2 \ -те/2, А + те/2 / 2 + ж \ 2д/1 + ж у 1^Д51^2А^те \ 0, 1-2Л ) 2ж + 1 \ I ~" 2%/ж2 + ж / 1-А-те/2, А-те/2 \ А + те/2, -те/2 / 2- ж \ 1 Ч 1-2А-П, 1-Л\ 0, 1-2А / 2ж - 1 \ 2л/ж2 - ж / ( X V 1- Л- -, Л- - \ те 2те 2 АН , / 2' 2 / Гв, в+ 1/2, А + те/2-s] г те 1 / 1-п \ ' 4' Г ' WJ 2 ' ' "Н 2 ' "Л г _ <-- < Re s < те/2 + Re А; 1 = [те/2]; 2е = те - 21] Г s - n/2J s + А + те/2 1 48 [s + 2А + те/2, 5 + А - те/2] = л48г[ S^n'2 ](в + л-^) [Res > те/2; Re A > 0] л48г 1-2Л- - - в, 1+ - -Л- в 2 2 те те Ц s, 1 - А s L 2 ' 2 J [1-2Л-П/2- в] 48 L 1 + тг/2 - 5 J X х (А - | + в) [Re s < 1 - те/2 - 2 Re A; Re A > 0] \s. A - s, 2A + те - si А4вГ[ 2X-s \ = Л4дГ[5, А — в]BА — s)n [0 < Re 5 < Re A] Г те те те 1 5 + АН , s , АН s s + А- - = А,вг[в--,А + --в]х [те/2 < Re 5 < те/2 + Re A] Г s. 2A + те - s 1 ЛвоГ[, + 1_А,2А-,] Г s 1 L s + 1 — A J [Re s > 0; Re A < 1 - те] fs + A + те/2, A + те/2 - si 50 [в + Л-п/2, l + n/2- s\ -A r\X + n/2^S] fs + A П) 50 [1 + ^/2- sj V 2/n [Re s < те/2 + Re A; Re A < 1 - те] 8.4.86. Многочлены Якоби л Г(р + п + 1) Обозначения: Л51 = п\ Г(-р-а-п) = j • п!Г(-(т-п)' п!Г(р + (т + гг + 1)'
8.4.37] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 587 % 2 з 4 5 6 I 8 9 x)Pp(p,<r)Bx { X)+ n { _ л p20 ( 2 v f a) /2 + \ж / 22 v / i^Pp(P'CT)f2 (Ж j+ n i / 22 V ( ) /2 A — Ж) ^i i^n ' a 1 — — + \x / 22 V C1+ ^p^'CT)C2 +1) n = a52g122( \ n \x = Лб2б?|Цж (I + Ж] j n / 22 v n cr 1 ( A — *^)-4- ^n xA54Gl^ (Ж jJ-n-P^-lptP xA54Gf2(x p + 71 0, -cr A = j p+1, — 71, /C — СГ — 0, -a \ 1 = J X P + a P + cr X cr + те 0, -p )= 1 — 71, jC «г) Л ~ Vi + — p — с 0, -p a^ /1 + ' i VI - -p-n 0, -p о ) X + 1 V ж — -p-a -cr, 0 + 1, p + c + cr n, p + 1, + те + 1, + <J ж\ 1 _ *)- ~ nJ x\ — J ¦=. xj -p l) = 1/ — 71, — С — 71 \ ) r + l \ + 71+1 / + П + 1 \ J + 1, -те J -p-n \ J r + l \ -p- те \ J = (—l)n x — С — 11 \ = (—l)n x — сг — те \ Г [s = C^1 r 51 ^ - (-1 [ = Ak\ V = , a,As 52 [ = A52r[S А53Г Г /1 Г = ^ A64r[e s, s — cr 1 + P + 71 + 1, S-CF-Wj ~ Г s 1 U + p + w + ij [Res > 0; Re p > -1] — p — s, — p — cr — s 1 + те — s, — p — сг — те — sj )те-^51Г A + P + <^ + 5)n [1 + 71- Sj [Res < -Rep; Re p > -1] + те + <r — s, — p —¦ n —¦ si 1 + cr-s, 1-s J r_p_n_ si ^5lT^ i^5 J(l + cr-e)n [Re s < -те - Re p; Re p > -1] + P + C + 71 + 1, S — 711 + Р + СГ + 1, S + p + lJ г -i L «^ + p + 1J [Res > те; Re p > -1] , — cr — те — s, l + p + те — si 1 + p-e J ~ As2r[s, —<j — те — s](l + p — s)n [0 < Res < -те- Re <r] — 71, S + p +<T+ 71 + 1, — СГ— sl JT[s -n, -a- s}(s + p + cr + l)n [те < Re s < - Re cr] s, n+p+cr + 1-s, p + n + 1—s p + 1 — s рГ _|_ _|_ _|_ 1 I f _|_ 1 ^ [0 < Re s < 7i + 1 + Re (p + cr)] s, р + те + l — s 1 — n -— p -— <j, 1 + p — s J [s — те — p — (jj [Re s > 0; Re (p + сг) < -2те] -cr, n + 1 + p + cr-sl ^ i^n x [Re s < те +L1 + Re (p + a); Re\p + a) < -2n] 8.4.87. Функция ЛагерраЬ„(ж) [0 < Re s < 1 + Re и, и ¦ 0, 1, 2, . . .] или [Res > 0, i/ = 0, 1, 2, . .
588 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.40 2 Ф i I> + 1) G\\(x 1,1 ) 1 + 1/ / 1 + 1, 1) 2, + iM или -1, - -1 -1 - Res 1 Re i/ < < 0, i/ Res = o, < 1, 0, ^ 2,...] 8.4.38. Функция Бейтмена^(ж)- Обозначения: Л55 = -, Л56 = - sin (i/tt/2) 2sin(i/7r/2) 1 2 3 4 5 6 e"'/2fc" (! e*/2fc f^\ * V2/ fe_y (л/ж") & *-* f г ) \л/х J ) = A5bG\l(X 1-1//2 \ 0, 1 / I 0,1 \ 1 0. 1 / 0, 1 \ .. /0 1 v (л/ж) = = A57GfJx \ 1 + I//2, 1-I//2 \ 0, 1/2, 1, 1 / К Ш = _ л ^04 ( - 57 42^ 0, 0, 1/2, 1 \ -I//2, i//2 / Г s, s + 1 1 55 [s + 1 _ ul2\ Г -s, 1- s 1 55 [l-iz/2-eJ Г ^ A^qT s, s + 1, L '2 Г ^ Г s, s + 1/2, s 4 57 [s + 1 + I//2, s ^rf-'1"*'1- [1 + I//2- S, 1 A J [0 < Re s s] [Rei//2 -1,5 + 1 1 s, 1/2- si — i//2 — s J [Re s > 0] [Re s < 0] < -Rei//2] < Re s < 0] [Re s > 0] [Re s < 0] 8.4.39. Функция Л ом мел я СЛДж, z). 1 D-х/ж , 0) = / 4 \_^ /—¦ /-ill ( /^С1}Гж "/2 A i//2, 0, 1/2 / 1 - i//2, 1/2, 1 \ 1-^/2 J [-Rez//2 < L s +1/ -I//2 s, 1 — s Res < 2, i//2 2, s + 1 [-1/2, Rei//2- 1 < 1/2, 1 "'I J Res < -Rei//2] ; Rei//2] 8.4.40. Полные эллиптические интегралы К(ж), Е(ж), ~D(x). Обозначения: Л58 = ^^у А» = ^^у Лв0 = ^щ, Ав1 2Г2C/4)" 1 2 3 4 5 K( K( K(, ^( V A4 i \ 1 <¦ /T=x)H(l-i Jl- -\н(а V x ) ""rl/2K(v !(- r) = 1 1/2, 0, 0 1, 1 1/2 - G2 = — С 7) = --G 2 1/2 \ 1/2 ) 2 1 ж 1/2, 1 0, 0 ~iO2 ( 22 V 1,1 1/2, 21 (r 1/2, 0, 0 12) ) 1/2 J 1/2 \ J H 2 2 2 [ s,l/2-s,l/2-sl s + l/2,s + l/2,-sl 5 + 1 J " -,. 1 5 + 1/2, S + 1/2J ¦ -, - Ll/2-5, 1/2-sJ 5, s, 1/2- si 5 + 1/2 J [0<Res<l/2] [-l/2<Res<0] [Re s > 0] [Re s < 0] [0< Res < 1/2]
8.4.40] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 589 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 + у/х у/х + 1 К IV 7Г 20 = — Gro9 1-л/Т+~аПК ; 4 i 4^ 2 + ж^2л/ГТ1 1/2,1/2 0,0 1/2,1/2 0,0 1/2,1/2 0,0 1/2,1/2 0,0 s-vT^IK A + 2ж-2\/ж2 1 . I : ll-y/x \ 7Г 2U. A J A \/ л/х — 1 ЯA-ж)К Я(ж - 1)K л/2 Ж1^ 7Г 2" = -^ с?5| {ж 3/2, 3/2 1, 1 1/2, 1/2 О, О 3/4,3/4 0,1/2 1/2, 1 1/4, 1/4 нA-х) у/ /i-v^N = л/i + v^ чу 1 + л/^" / 2д/2 ^1§(ж Я(х-1)к/Л^1\ = 7Г 1/4, 3/4 О, О 3/4,3/4 1/2, О - ж) х хК| х1- х '1-х I = 3/4, 5/4 1/2, 1/2 ж - л/ж - 1 #(ж - 1) х х К у 2A - ж + \/ж2 - ж ) = + 1)-1/2К 3/4, 3/4 О, 1/2 /1 + ж - 3/4, 3/4 О, О 1 Гв, 1/2-8,1/2- 2 [ 1-8 4 [« + 1/2, s + 1/2 p 4 L 1 - s, 1 - [О < Re 5 < 1/2] [Re s > 0] [Res < 1/2] -^r[s,s 1-е i-e| [0<Res<l/2] -в, -1/2-. [-1 < Res < -1/2] -^["va + ri [«<*-< V2] w 2 [s + 3/4, s + 3/4 тггГ -a, 1/2-8 2 U/4- s, s + 1/4 S, S 2л/2 ' U + 3/4, s- _ji_rri/4-e, l/4-el 2л/2 L 1- e, 1/2-e J г + 1/2, e + 1/21 2 U + 5/4, S + 3/4J L/4^ s, 1/4- s 2 " | 1 - s, 1/2- s 1-s [Re s > 0] [Re s < 0] [Re s > 0] [Res < 1/4] [Res > -1/2] [Res < 1/4] [0<Res<l/4]
590 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.40 19 -1/2 х К /1 + ж — /1 + X + - = Л58 G 3/4, 3/4 о, о 20 21 у/у/1 + /ТТх -1 /1 + ж + 1 1/4, 1/4 О, О уУ 1 + ж + х К 22 1/2 1/4, 1/4 О, О . + ж — 23 хк 3/4, 3/4 О, О 5/4, 5/4 1/2, 1/2 24 VI + ж A JCV I JL 25 л/VI + х - VI + ж 26 27 xKh/- Ж ГК ¦К ^^ + 1 I л/Т^х +1 1/4, 1/4 О, О 3/4, 3/4 1/2, 1/2 1/2, 1/2 О, О 1/2, 1/2 О, О s, s, 1/4- . s + 3/4 [О < Res < 1/4] л59г s, s, 3/4- s в+ 1/4 [0<ReS<3/4] [О < Re s < 3/4] [0<ReS<l/4] s + 1/2, s + 1/2, -1/4- si s + 5/4 J [-1/2 < Res < -1/4] ЧЗ/4-..3/4-. [0<Res<3/4] ¦ 1/2, s + 1/2, 1/4- si s + 3/4 J [-1/2 < Res < 1/4] 7Г Г S, 1/2- S 2" U + l/2, 1- . s, s s + 1/2, e- Res < 1/2] [Res
8.4.40] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 591 28 29 on 31 32 чч ЧА 35 36 37 38 39 40 Я(ж-1) у/х + л/ж - 1 (/1— 1) (V + х ) A + жГ1/4к A + Ж)-^К к* № к ^у к |;v - 1 п 1 + ж \г^х /7Г\A±1)/2^ V 2 / /7Г\A±1)/2 V2"/ Ж ЯA-ж)Е(\/ Я(ж-1)е( \ 1 с)К Л 1 (v (v "? - 2 _____ л ж - л ) = V / д / :( 2 - 1 /тг 4 - v /тг 4 )/4 F1) _1 X 2^ /ж + тг 2 2л^ Г7 ж2 \/1 + х 1 2 v^ll ~+~х - - ( 2 гт^ 2гЯ 1 2\/'2 1 + ж \л/Г^ 1 2%/2 J ъ \ I j 31 21 L V -F, /4 _ ТГ ~ 2 Л = I 2 J G + o21 JT2__ T" -a V ( V 0 I / ' \ 2( ,{ - x с — 1 / ^ V" + Ж + л/^ 12 (r 22 V 1/2, 1/2 \ 0, 0 / \ 1/2, 1/2 \ 0, 0 / ij \ ж 3/2, 3/2 \ 1,1 ) •¦)- 21 ( 12 V 1 3/4, 3/4 \ 0, 1/2 У 1- 12/ 1/4, 3/4 \ 0, 0 / 1/2, 1/2, 1/2 \ 0, 0, 0 J 1,1,1 \ 1/2, 1/2, 1/2 / 1/2,1/2 \ ,0 J 1/2,1/2 J —) (¦ 1/2,3/2 \ 0,1 J 0,1 \ -1/2, i/2; 2 2 L 4 2Г| 1 2v^ 1 2л/2 4 л^ 4 L 1 r[ 4 L 4 1 ¦1/2-s, 1/2-«] . 1-s, 1-s J S,l/2-M/2-Sj 5 + 1, S + 1, -1/2- 5 + 3/2 Г[ ^ + 3/4 J [5,1/4-5,3/4-5] rL 1- J гЬ, 1/2-s, 1/2- L 1 - s, 1 - Гя + 1/2, s + 1/2, Ч - + 1,.- 1/2;!'s3/2"s] -l/2,e + l/2,l-ej s J s, -1/2- s, 1/2 -i 1 — 5 [(-1 =p 5 - 1/2, s + 1/2, -* 5 + 1 [Res < 1/2] [0<Res<l/2] J [-1 < Res < -1/2] [0<Res<l/4] [0<Res<l/4] s, 1/2- si J [0 < Res < 1/2] s + 1/2, -si fl J [-1/2 < Res < 0] [0 < Res < 1/2] [l/2<Res<l] 1 J l)/2 < Res < +1/2] 1 [+1/2 < Res < (l±l)/2] ¦ ... + i 1 „5+1/2, S+3/2J " ^s,l^s 1 „1/2-5, 3/2- S\ [Re s > 0] [Re s < 0]
592 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.41 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 /1 + ж 1 /Т+ж -Е -Е 1/2,1/2 0,1 -1/2,1/2 0,0 х Е 2(l- VT^ 1/2, 3/4 - 1/2, 1/2 х Е -у/х-1)\ = 1/4, 5/4 0, 1/2 у/л/1 + X ~ х Е 2тг 4-1/2 /Г+~ж -1 Г2A/4) ¦Е Gi2 ж -1/4, 3/4 О, О - \/л/1 + х -1 | У 2тг Г2A/4) ЯA-ж) / 2^~? 1/4, 1/4 - 1/2, 1/2 ¦Е 1 - v/1 - Ж \ 1 + \Л - Ж = ^G^[x 1/2, 1/2 - 1, 1 Я(Я5- 1) -Е 2^ж2^ж л/х + л/ж — ; 7Г 2" — — ^22 -1/2, 3/2 О, О D(i^) = iGjl D ж / 2 -1/2, 1/2 О, -1 1, 2 1/2, 3/2 5, 5 + 1, 1/2 -. 5, 1/2- s, 3/2 тг Гв- 1/2, s + 1/21 2 ' " ' [О < Res < 1/2] [О < Res < 1/2] [Res > 1/2] ^г[3/4-, -1/4-1 [Res<^1/4] 2 L 1- в, 1/2- 5 J 2тг Гв, [ Г2A/4) ^ s, 1/4- s [О < Res < 1/4] 2тг [в+ 1/2, s - 1/2, 3/4^ s Г2A/4) 5 + 1/4 тгГ 2 [в+ 1/2, S + 1/2J тг ГЗ/2-в, -1/2-5 1- 5, 1-5 [1/2 < Res < 3/4] [Re 5 > 1] [Res < -1/2] [0<Res<l/2] [-l/2<Res<0] 8.4.41. Функции Лежандра 1-го рода Pjf(x) и Ри(х). Обозначения: . . (-/х - I/)' /W = " ^ Г(-/х- I/)'
3.4.41] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 593 и) , 2м+1тг . sin i/тг Лея = л72 = тЗ/2 -1/2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 — M + |/)Г( i ^ -\L-V) A хГ^/2Р^Bх 1)- { х)+ и { ) — 22 V 1 - /i/2 + i/, -ft/2 - i/ \ ft/2, -ft/2 / (х-1)~^/2Р^(--1) = = С5§| (х АА 1 1, /x + 1 \ 1 /i-^i + zi + i/ ; (ж-1)+'х/2Р^Bж-1) = / 221 1 /i/2, -ft/2 / /2 \ A — ж) г Р^1 1 — — 1 I — V ж ) / 22 V 1 1 /X \ |1-^/2рЛ2я!_1) = 22/ = Л.62^22 1 ж i,/9 ^##/9 / |1-ж|^/2Р^ (^--1^=^62^22^ \Ж / V !/+!,-!/ / |1-ж^^2Р^Bж-1) = / z-y20 / 22 V 1-/X/2 + I/, -/x/2-i/ \ + /х/2, ^/i/2 / / 1 - /x/2 + i/, -/i/2 - i/ \ /i/2, -/x/2 / |1^ж|^м/2рм f--l)=G^fa; V ж ) 22\ 02 / i/ + l,-i/ / 1,1-ft \ i/ + 1, -i/ / A + х)^/2 PjfBx + 1) = / 63 22 ^ ft/2-i/, 1 + 1/ + /X/2 \ -/x/2, /x/2 / /2 \ A + х)^'2Р^ ( hi) = ^ \ж / = Д63^21/ V /x + 1, 1 \ i/ + 1, -i/ / A + х)-"/2Р^Bж + 1) = / 64 22^ l + i/-/x/2, -i/-/x/2 \ 1 ГA -/х-± */)ГA т 1 - M Г s +/i/2, s-ft/2 Le + i/ + l-/x/2, s-i/-ft/2 ~F |y) [Res > Re/x|/2; Re/x < 1] Л -."М-- 1 [l + i/- /x — s, — i/ — ft — sJ [Re ft < 1; Res < 0, -Re/x] r|"/x/2-i/-e, l + /x/2 + i/-el [Res < l + Re(/x/2 + i/), Re (/x/2- - i/); Reft < 1] fs — i/, 5 + 1/ + 11 r » Ls + 1- ft, s + lj [Re /x < 1; Re s > Re 1/, -1 - Re 1/] л62г e + |,*-J,l + i/-J -*, - i/- - -el [|Re/x|/2 < Res < 1 + + Re [u - /i/2), - Re A/ + ft/2)] A62F[s + 1/ + 1, e - 1/, -e, -/x - s] [Re 1/, -1 - Re 1/ < Re s < 0, - Re /x] [e + l + i/-/x/2, e-i/-/x/2 + _[/x/2-i/- s, l + i/ + /x/2-e] + Г 7 7 L 1 - /x/2- s, l + ft/2 - s j [Reft < 1; |Re/x|/2 < Re s < l + Re(/x/2 + + i/),Re(Ai/2-i/)] r|"e + i/ + l, e -i/j + Ls + 1, s + 1 - /xj + Г1 ^ ' [l + 1/ - s, -1/ - sj [Re /x < 1; Re 1/, -1 - Re 1/ < Re s < 0, Re /x] г s _ M 1 + l/_^_s ЛвзГ 2 ' 2 [ l-ft/2-s [Reft/2 < Res < 1 + + Re A/ - ft/2), - Re A/ + /x/2)] fs + 1/+ 1, 5 — 1/, —/x — si [ 5 + 1 J [Re 1/, -1 - Re и < Re s < - Re /x] А64Г MM 1/ l + i/+^ 5 2 ' 2 ^ S' ^25 2 [Re/i/2 < Res < Re (/x/2-1/), 1 + Re (/x/2+i/)]
594 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.41 12 13 14 I/ +1, -I/ 1 + ж и и 1 + 1/- -, 1 + I/ + - _? ?2 2 2 ' 2 ж + 1 2' 2 15 1 + X 2 ' ,t,-S 2 16 -Р^ 1 - 6ж 17 ;i +3/0/2, -м/2, м/2 -1 + 6ж - ж2 -жJ COS /А7Г Г 1/2 + /1 2^2 [1/2 — 18 жJ 19 X G?99 I X ~~ /i/2, /i/2 - ж -^ .. /-1 + бж-ж2 ¦у/тг sin f s — г/, s + г/ + 1, —si [Re i/, -1 - Re и < Re s < 0] , 1/ — 8, i/ — . 2 2 2 -t- [Rej^/2 < Res < - Re i/ - |Rejx|/2] s - /i/2, s + /a/2, -/i/2 - и - , s + 1 + i/ - /a/2 [|Re/x|/2 < Res < - Re (/i/2 + i/)] хГ [Re /i/2 < Re s < - Re (i/ + /i/2); Re i/ > -1] l l/2 —/xj хГГ e-M [s + (l [Re jla/2 < Re s < A - 3 Re /x)/2; Re /x > -1/2] cos/itt _гГ 1/2 + j ¦ Д il 1 X Г 5 + -, S - -, 1 2' 2' 2 Re/i|/2 < Res , (l-3Re/x)/2] 2 2 1 2 ' 2 [Re/i/2 < Res < (l + Re/i)/2; Re/x < 1/2] у/тг Sin /Х7Г
8.4.41] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 595 20 21 22 23 24 25 26 27 -/x/2, /х/2 1 - /х /х _М 2 ' 2 1-ji-i и — j 2 {1 X), Гг : АббСЦ Ж 1 + /A — V [I + V + » /x/2, 1-м-">1 + ^ 2 2 l-fi/2, (l-/x)/2 2 2 2 < 1/2; |Re/x|/2 < Res < A + 3Re/x)/2] [Re s > 0; Re /i < 1] -i/;/2-e, i + i//2-ej [Res < Re/i/2; Re/x < 1] "(l + /x + i/)/2-e, (/x-i/)/2-el 1- e, 1/2-e J [Re /x < 1; Re s < A + Re (/x + i/))/2, Re (/x - l-/x/2, s + (l-Ax)/2j [Re/x < 1; Res > Ret//2, -(l + Rei/)/2] 1 1 + I/-/X j, s H—, s, 2 2 [0 < Re 8 < [1 + Re (i/ - /x)]/2, - Re (/x + i/)/2] 1 + и и \ , 8 , 2 2 /x 1 — /x — 8. 2 2 [Re i//2, -A + Re v)/2 < Re s < - Re /x/2] 1-е, 1/2-e [Re /i < 1; 0 < Re s < A + Re (/x + ()/2] i//2-e [Re i//2, -A + Re i/)/2 < Re 5 < < Re/i/2; Re/x < 1]
596 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.41 28 = AQ7G22 x 1 — и и г, Ц г /X /X 2' 2 29 [г = 0, 1/2] 2 ' 2 l + 30 31 2' 2 ! \ [г = 0, 1/2] /1 = ^69^1° Ж и 1 — и 2 7J 2 l + 2' 2 33 и 1 — 2 . 2 34 J 2 COS/ХТГ Г /Х+1/2 3/2 L"^17 "~ М? 1 + i/ — 35 sm(/i - i/)tt x I/ 1 +2^^' i/ 1 + z/ ^' 2 + ?1 I/ + 1 I/ j , г Н s, г . 2 2 2 [Re /х/2 < Re s < r + A + Re ?/)/2, r - Re и/2] Ъ> Ь> + 1 II ' , 5 Н , Т 2 2 2 5 + 1 Г [Re i//2, -(Re i/ + 1)/2 < Re s < г - Re i//2] 5-/X/2, -I//2-5, (l-z/)/2-5l l-/x/2-e J [Re /x/2 < Res < -Rei//2] e, e [0 < Re 5 < - Re (y + А69Г +- i^/2 + 1 - jLA, e + (l-1/)/2-1 [Re /x < 1/2; Re s > Re i//2, -A + Re i/)/2] 1 + I//2- e, A -i/)/2-a "Re/x < 1/2; Re 5 < Re(^-i//2), Re (д 2) + 1/2] cos/iTT^r ^ + 1/2 7Г3/2 [-1/ - /X, 1 + U - t _ Г I/ +1 I/ 1/ XI 5 Н , 3 , —/X 5, 2 2 Р 2 - /х - s [Re i//2, -(I + Re и)/2 < < Re s < - Re (jx + i//2), 1/2 + Re (i//2 - /x)] f /xj I < sin (/x — i/)tt x хГГ * - I//2, „ - «//2 - * L (l)/2 A^/2J + sin (/x + 1/)тгГ
8.4.41] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 597 37 38 39 40 41 2 ' 2 + x 2V/TT^ t-1/2 Г(-/х-1/) 1 + 2ж G^K* i/, 1/2 2y ж2 + ж r-V2 (-М - I/) GII х 3/2 , Fi/ + 5)/4 1-ж .р2„Ч cos2i/tt 2тг3/2 xG |1±\/»J^ 2l/_! ч ¦* I. 6i/ + 5)/4, A0i/ + 7)/4 5)/4, A0i/ + 7)/4 _ «. -2i/ TBi/ + 3/2) 2ТГ5/2 COS 1/7Г xGiiU 7)/4, + sin is it G 22 5)/4 + l IOiz [^ < 1/2; Rei//2, -(l + Rei/)/2 < Re 5 < < 1/2 + Re (/x + i//2), Re (/z - i//2)] ^ Г(-^- v) x Г : — /1, -—I/ — 5, 1/2 — f J [Re /i < Re s < 1/2, - Re i/] x Г 2 ' 2' 2 [Re i//2; -A + Re i/)/2 < Re s < - Re (д + ^/2)] 3/2 + 2, x Г _-l-3i/, -i/J 4, -A0i/-3)/4-el 4, C-2i/)/4-e J ' [A + 2 Re i/)/4 < Re s < -C + -10Rei/)/4; Rei/ > -3 ' " cos2i/7r Г 2i/ + 3/2 " 2тг3/2 Г| -i/, -l-3i/ 4 4 [Re i/ < -1/3; -(l + 2Rei/)/4, (l + 2Rei/)/4 < Res < -(l + 6Rei/)/4, -C + 10Rei/)/4] x Г + A0i/ + 7)/4, E + 2i/)/4 - s . [Re i/ > -3/4; -A + 2 Re i/)/4 < Re s < -A + + 6 Re u)/4] rBi/ 2тг5/2< x Г S 1/7Г I , -C s + Fi/ + 5)/4, C - 2i/)/4 - s 2t/ + 1 61/ + 1 ¦ sin i/тгГ 4 ' 4 [-3/4 < Re i/ < -1/3; | Re Bi/ + l)|/4 < < Re s < -A + 6 Re i/)/4, -C + 10 Re i/)/4]
598 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.41 42 \ = ) I/ + 5/4, О, 1/4 43 5/4, i/ О, 1/4 + COSIU+- 4 44 45 46 47 48 49 50 51 -Vl-ж = /х/2, - x-l/2 _31 I ^33 1 х -i/, l + i/, 1/2 -А*, 0, а* 1 + /х, 1, 1 - ах l + i/, -i/, 1/2 -i/, i/ + l, 1/2 О, ~ax, А* ж 1, 1 + /х, 1 - /х 1/2, l + i/, -1/ I/, -I/, 1/2 -//,0, /х О, l/2 + i/, l/2-i/ х Г s, sH—, — i/ s, —и — L 4' 4 [О < Res < -1/4- Rei/] 1П I I/ H I 7Г X 4 хГ й' i/ + 1, 3/4- + COS ( I/ H ) 7Г X 4, x Г s + 1/4, -v - s ¦i/+ 5/4, l-eJ -I < Rei/ < -1/4; 0 < Re s < -1/4- Re i/] ¦Ax/2, e-Ax/2 [Res > I Re^l/2] \/7Г Л71Г Л72Г 1 + I//2- e, (l-i/)/2-e [Res < A- |Re/x|)/2] s — /i, 1 + i/ — s, 1/2 — s, —i/ — . 1-s, 1 - ax- s [Re ax < Re s < - Re i/, 1 + Re i/] 5 + i/ + 1, S + 1/2, S ™ ?/, —fJb — S 5 + 1, S + l-AX [Re i/, -1 - Re i/ < Re s < - Re ax] 3, -I/ - S, 1 + I/ - 5, 1/2 - S 1 + A* — s, 1 — ax — s [0 < Re s < - Re i/, 1 + Re v\ 3-i/, s + i/ + 1, s + 1/2, -^ s + ax + 1, s — /i + l [Re i/, -1-Rei/ < Res < 0] 5 —AX, 1/2—5, l + i/ — 5, 1 — i/ — sl 1 — s, 1 — a* — 5 J [ReAx < Res < 1 - |Rei/|, 1/2] 1 11 1 1 S+2'5+2^M [0, |Rei/| - 1/2 < Res < 1/2-Re ax]
8.4.42] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 599 52 53 54 55 56 /1 + х 1 1 О, - + */, v 2 1 1 1 ± • + At, 1, — /i 1 x v, 3 3±2 4 4 11 1 4 4 P 4 - л/х)Р1/(л/1 + х +л/ж) О, О, О, 1/2 Ри 1/2, 1, 1, -«, - - I/ - 5, [Re ц ±1/2 < Re s < 1/2 - Re i/, 3/2 + Re i/] ¦ X , i 1 1=FX SH , 5—1/, S+I/-+-1, Д — 2 1=F1 2 [Re i/, -1 - Rei/ < Res < A=F l)/2 - Re/i] x Г 111 7' s + 7 ~ ^' 7 4 4 4 3p 3 s H -— =F ^j 7 - M - s 4 4 1T2 -1/4, RejLA- 1/4 < < Re s < 1/4, A =p 2)/4 - Re u] s, 1 — s, 2 i/ 1 — i/ S' 2 [0 < Re 5 < A + Re i/)/2, - Re i//2] 1/ + 1 1/ +++1 7 -,.+1, [Re i//2, -A + Re i/)/2 < Re s < 0] 8.4.42. Функции Лежандра 2-го рода<3^(ж)и< Обозначения: 2 1), 7Г COSeC /17T тг cosec /хтг (-ах - i/)' 2Г(>- /х sln/i7r ГA - /х + I/)'
600 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.42 - cos /хтгГ(/х + и л/2 ГA - /х + и)' (/х + i/ = A74Gf2 х 2 ' 2 1, 1± I/ + 1, sin i/тг sin (/x — i/)tt 2тг sin/i7r 2' 2 2 sin /17Г 2' 2 2' 2 1 + ж 2' 2 ж + 1 ж- 1 A75Gf2 i/- - 2 _ 2 ' 2 Л74Г s + /i/2, s - /i/2, 1/ + 1 =F /x/2 - s e + i/ + l±jx/2 [|Re/x|/2 < Res < 1 + Re A/ =F s + i/ + 1, =F/x — s, —5 У + 1-8 [-1 - Re i/ < Re s < 0, =F Re /x] sin i/TT sin (/i — i/)tt 27TSin /17Г Д Д 1 7Г — - i/ - s, — + 1/ + 1 - s 2 2 J 2sin^7r x Г — - i/ - s, 1 + г/ + — - s 2 2 1+--S, 1---S 2 2 - -ctg/хттГ 2 2 5---I/, 5-- + I/ + 1 2 2 [Re/z < 1; /x 7^ -1, -2, . . . , |Re/ix|/2 < < Re s < Re (/x/2 - 1/), 1 + Re (/x/2 + 1/)] 5 +/i/2, e-jx/2 + 1/ + 1 + /x/2, s + 1/ + 1 - /x/2j [Re 1/ > -1; Res > |Re/x|/2] 1 + /x/2 - s, 1^/1/2 - [Re i/ > -1; Res < - Re г/ - |Re/x|/2]
8.4.42] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 601 6 7 я о Q if 10 11 \i-xuQ4(-r VI х {Gil U 1 V / \ "" \ 1 + ж 1 A* P 2"' ~ 2 ж I, /X 1-ж|/ / x G%%\ x /1 / x Gil \x \ / XG2\ /л \Vp)pb(X \ +Ж) 4^^ 21 / x \ / v ^21 I X Goo 1 1 \ x Gil (x AA 1 / x O21 ( 22 v -G V -ж\ ft ft 2"' " 11 LL \ - — X -J— и — — \ , 2 2 + / JL4 /1 \ \ '+2'1 + I/ 'I /J 2ГA + 1/)ГA-/х + 1/) Х Ax/2-i/, -ax/2-1/ \ /x/2, —/i/2 / f sin (д — i/)tt 2'1 + I/ 2 j + / + COS /Х7Г X Ж A* 2 —1\ +1/ 1 + 1/ /i /i 2 ' 2 M f 'I /J f sin (/x —i/)tt 76 S —I X [ sin (/x + i/)tt M 1+ +M \ 2' 2 + / + COS /Х7Г X Ж 1 + _ (L 2 4 [ /*/2- / 22^ /i /i M/2- /x/2, - 21 f ж 22 v /i 9 ' 9 11 '2 / J = A77JcOSM7rX 1/, -/l/2 - I/ \ ,M/2 / /2-1/, -/x/2-i/ \1 /2, -,x/2 Л |- 77|COS/i7TX 1/, -/x/2-i/ \ _ -/x/2 У -/x/2-i/, /x/2-i/ \1 /2, -м/2 Л f ^75 j Г I + г S+2' ^ + i/ + l+^, U LL 1/ — s. 2 2 1 . ^ 1 ^ 1 H s, 1 2 2 > -1; Re/x|/2 < Res < г e-|,l + I/+J- [2i/ ф -2, -3, -4, ..., ГР /x w f sin(/x-i/Or r \sin(/x + i/)tt + cos тггГ е [l- [/x^O, ±1, ±2, . < -Rei/- |Re/x|/2] Г /X /XI 76 [S + 2 , 5 2 j X 4, / sin (/x - 1/)тг ГГ [ sin (/x + i/)tt [ s 6 — — 2 e + i/ + l-^ у — s _s _ + 1 J -Rei/- Re/x|/2] [•+?¦ s, 1 + t/ — — — s\ 2 J Re/x|/2 < Res < 1 + 1 ¦ -+U 1 .l + /x/2-eJ + 5™^/2 11 - /x/2 — s J J • • ? Re/xl/2 < Res < Ll/2 — I/ — 5 1 + Г -/x/2- 1/ - s 11 Ls + i [/a 7^ 0, ±1, ±2, . < — Re v — Re/x 1/2] Л77Г Г1 + 1/- ^ -e, 1 / Л * X < COS /Х7Г1 I 1 ~ V L -1- Г О J- h -1-1/. [/x 7^ 0 + Rei/ - L 'I™ , ±1, ±2, ...; ЛпГ[. + |,.-|]х f [! + ^ x < cos/хтгГ I L s^ L - + /1, [/x ф 0, ±1, ±2, . . . , + Rei/ - Re/,|/2] / —- fJL/Z + 1 J J • • 5 Re/xl/2 < Res < -Ax/2 1 /2-J/ Re/x|/2 < Res < 1 + -/x/2-i/ J /x/2-ell /2-1/ Л Re/x|/2 < Res < 1 +
602 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.42 12 1-х» - 6ж + ж2 cosec (dz/i — 1/4)тг х /х/2, -/х/2 Л 13 1-х» -1 + 6ж - ж /i/2, -/ 3/х)/2, /2, /х/2 /х)/2 14 7Г Sin /17Г М ' 2 Sin flTT 1- li-v и - о,!2 ' 2 2 - COS /Х7Г X 1 — и — i/ 15 -, 1+ ¦ 1 — i/ i/ . 2 . '2 [г = 0, 1/2] 16 0l ^^ 2' 2 1 -Г- -, 1-Г+ - 2 2 I/ + 1 I/ 2 7 2 [г = 0, 1/2] -478 sin (di/x — 1/4)тг xrf х Г ¦ V2 COS /Х7Г X /i l-3/i ~ 2"' 2 [-1/2 < Re/i < 1/4; |Rejx|/2 < Res R)/2, (l-3Re/x)/2] Ctg ( ±/i - - j Ж X x Г + [-1/2 < Re/i < 1/4; |Re/i|/2 < Re s -Re/x)/2, (l-3Re/z)/2] sin(i/ - /i)tt < A- в-/х/2, A-3/х)/2-в < A - 7T Sin/ITT [i-v x Г 2 2 1 1- s? g ^ S + COS /Х7Г X 1 2 ' 2 [Re/i < 1; /x ^ 0, -1, -2, . . .; 0 < Res < < A + Re (fi + i/))/2, Re (/x - i/)/2] s + 1 H r |Re/i|/2 < Res < (Re и + l)/2 + r] v -\- 1 /1 /i s H , r H s, r s 2 2 2 Rez/)/2 <Re5<r-
8.4.42] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 603 17 18 19 20 21 1 + ж = Л80 х 2 ' 2 ' V 2 + COS (/1 + V 2 ' 2 = ^80 X 2 ' ^ 2 . — и + cos (/i + и)ж x 1 — 1/ I/ 1 + /1 2"' ~2"' 2 1 — /i — I/ \ + [L — V 2 /i + г 1 - v /1 U + cos (/i + i/)tt x x Г u, v I — S — —, 5, 2 2 2 |Re//|/2 < Res < -Rei//2] ^80 1 [A — 1/ 5, S H , 5, 2 2 tt — 1/ и — и + 1+ ^^^ /i + I/ + COS (fl + 1/)тГ X х Г 2 2 ЛН1Г 5 + l + ^^ [0 < Res < -( l + i/ ReM|)/2] 2 2 2 J + ¦ [| Re/x| < Res < (l + Rei/)/2] 1 1 + 1/ + Д —, — — s. 2' 2 2 ' 2 1 + V- fJL [0 < Res < A + Rei/- |Re/x|)/2] )/ / [Re 1/ > -3/2; Re s > |Rejx|/2]
604 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.42 22 ж - 1 11 U 23 xGlUx A- i/)/2-jx, 1 + 1//2- ц 24 25 2 + ж 1/2, 2ж + 1 2\/ж2 + ж 1+ 2 "^ 1+ 2 +i l + i/ i/ 2 ' 26 27 -I/, 1/2 2ж 2л/х2 + ж A84Gl22 х 2 ' 2 28 29 2 л/1 ^ 1/2, 2ж - 1 2л/х2 ¦— х l + i/ I/ 2 ' 2 '2+^ (Ах - i/)/2 - в, -(ах + i/)/2 - . 1/2- s, 1 - s [Re i/ > -3/2; Re a < -(Re и + | Re /x|)/2] х Г [Re /х < 1/2; -A + Re i/)/2 < Re s < 1/2 + -/x, s -ax, 1/2- si [|Re/x| < Res < 1/2] i/ + 1 i/ -Re i/)/2 < Res < -Rei//2- |Re^|] ? + ax, s — fj,, v + 1 — s] | ReA*| < Res < 1 + Rei/] i/ + 1 i/ + 1 s H 5 Ь /x — s, 2 2 А84Г „ 2 ' 2 (l + Rei/)/2 < Res < l/2 + Rei//2- | в + /х, в -/x + 1/2,5 + , + [Re i/ > -3/2; Re s > | Re /x|] Ax — i//2 — s, — ax — i//2 — . A — i/)/2 — в, 1 + 1//2-* . [Re i/ > -3/2; Re s < - Re i//2 - | Re /л|]
8.4.42] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 605 30 31 32 33 34 35 36 у/х 1 - ж 1- ~i22 , ^22 1 x -A0i/ + 3)/4, -Fi/ + Ж \4ж1/4 ¦'(M + i/a) x G\\ \x 4/i + 1 1 - 4/x G33I X 1/2, -1/, l + i/ 0, +|i, dbjti 1/2, 1 + i/, -i 1/4- i/, 5/4 + 1/, 3/4 1/4, 1/4 +д, 1/4-/x 3/4, 3/4-/x, 8/4+- j 3/4 + i/, 1/4, -1/4- 4 COS 1/7Г x Г f cos2i/7r 1 COS 1/7Г s + Bi/ + l)/4, (lOi/ + 7)/4 - s 2i/ + 5)/4-S 4 4 Ю1/ + З 3-2i/ 4 4 [-2/3 < Re 1/ < -1/4; |1 + 2 Re i/|/4 < Re s < G + 10 Re i/)/4, E + 6 Re t/)/4] П-2.--1Х 4тг3/2 x Г 10i/ 4 7 4 62/+ 5 4 4 [-2/3 < Re 1/ < -1/4; |1 + 2 Re i/|/4 < Re 5 < G + 10 Re i/)/4, E + 6 Re i/)/4] COS/17T x Г s + D/x , C s + E + 4/i)/8 ± 2/x, D/x + 7)/8 - Н5ТГ1 <Re|i<CTl)-1; + 4Re/x)/8 < Res < 3/8 + A/2 + 2) Re ft] Л74 fs, 5 =p /x, 1/2 — s, 1 -A + s + 1/+ 1, 1 =|= jx — s [0, ±Re^ < Res < 1/2, 1 + Re v\ A74 [-1/2, -1 - Re 1/ < Re s < 0, + Re u] x, s + - - /x, 4"S' 1/ H s 4 3 5 H— 4 - 1/4 < Res < Re и + 3/4] 3 1 1 4' 4 '4 j-^-e [-3/4-Re 1/ < Re* < 1/4- |Re/ij]
606 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.42 37 /i + i Ж 3/4, 5/4 1/4, 1/4 i/, l/4-i/ /i, 1/4- i/ 38 40 41 42 43 44 ^83 nl3 3 3 3 —, — — и,, —\- и, 4' 4 F 4 Р 11 3 —, I/, —Ь 4 4 4 -1 + 2 3 3 + 2 — i/, —, v Л 4 4 4 11 1 ^5 —1_ ^ ^ 4 4 4 i/ + C±2)/4, -1/4, 1/4 +А» 1 13 41 '•-4-" 41 3 3 1 3 4 4 Р 4 1 1 y, —, 1/ 4 4 -г/, 1/2,1 + 1/ 0, /1, —fj, 1, 1 - /х, 1 +/ 1 + г/, 1/2, -I 4 + -, 4 1 s 4 1 s + - — и Re s < 1/4] в+ 1/4, 1/4- 5, л/2тг 5/4 + и - s, 1 + 7, 4 1/4 — лх — s 1/4- i/ - s [-1/4 < Res < 1/4- |Re/i|] 1 1 4 ' 4 5 + 2 ¦ + 1/ — s 3 + 2 Re /x| - 1/4 < Re s < E ± 2)/4 + Re v\ 3 + 2 3 3 , — — s, — - 4 4 4 4 ^ 5 + 2 h у — s 4 [-C±2)/4-Rei/ < Res < 3/4^ |Re/x|] ; - 1/4, s + /x + 3/4, s-/x-l/4, ; + 1/4, 5/4 + i/^s s + iz + 3/4 - Re jw < Re s ~< 5/4 + Re v\ 3 1 5 вз+1/+4'4"в'4- 5, 4 [1/4, 1/4 + Re /x, ^3 h v — s 4 [-3/4- Re и < Res < < 1/4, 5/4 + Re /x, 1/4 - Re /x] S, S + /LX, S - /X, l + I/ - SJ в + 1/2, 8 + 1/ + 1 \ [|Re^| < Res < 1 + Re 1/] s + 1/ + 1, — s, /x — s, —/x — si 1/2- s, l + i/ - s J [-1-Rei/ < Res < -|
8.4.43] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 607 45 46 47 48 49 50 51 1/2, i/ + I, -v 0, -/х, ц 1 + ж ' 1, 1 + fJL, l-t 1/2, -i/, i/ + /1 + ж 1 1± 1 ¦ — J/, —, 2 2 О, /x, -/х ^±i ж 1 1 -, О, Т^ ~" IS* 1 1 i/, 0, - + i/ \ 1 2 1 '  "^2+" 1? 1 + |1, -^ -I/, 1/2, -1/ т 2л/2 гAТ1)/2 3/4, l/4-i/, 5/4 + г/ 1/4, 1/4 ±/i, 1/4 =р/х s, s — /х, s + /x, 1/2 — , s + iz + 1, s — v [|Re/x| < Res < 1/2] s + 1/2, —5, --/i — s, /i — si 1 + I/ — 5, —I/ — 5 J [-1/2 < Res < -|Re/x|] s, s + pt, s - /x, C ± l)/2 + i/ - , s + 1/2, s + A ± l)/2 + i/ [| Re /i < Re s < C ± l)/2 + Re i/] i- s, 1/2 - /x- . 1 ±1/2 + 1/ - s [- Re i/ =F 1/2 - 1 < Re 5 < 1/2 - | Re /x|] _л r [|l/2 + Re/x| < Res < 3/2 +Re i/] 1 2^s, l + i/- s J [-1 < Re i/ < Res < 0, 1 + Re/z, -Re/^] хГ e + l/4, s±/i +1/4, 1/4 - L s + i/ + 5/4, З/4 + i/- 5 3/4±|х- в 1/4, -l/4TRe/x < Res <l/4, 3/4 +Re i/] 8.4.43. Функция УиттекераМР)(Г(ж). (См. также 8.4.45) Обозначения: [-1/2 - Re cr < Re s < + Re p; 2cf ф -J- 1 Q *3 1 =FP, l/2 + o--. s + cj + 1/2 < Re s < Re <j + 1/2; 2G^-1, -2, -3, . . .]
608 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.44 pja Biy/x) 1/2 +о-, 1/2- а, 1/2, 1 / 2г \ / 2г \ _ Р> \л/й/ Р> \ л/ж / 1/2-<7, 1/2+ <7, 0, 1/2 Р? -Р s + <t + 1/2, p -— Sj —p ¦— , 1/2 + ex - s, -s, 1/2- s [-1/2- Recr < Res < -|Rep|] s + p, s — p, 1/2 + cj — s e, e + 1/2, 5 +a+ 1/2 [|Rep| < Res 8.4.44. Функция У иттекера WP) о-(ж). (См. также 8.4.46) Обозначения: 1 -1/2 1-р 1/2 + сг, l/2-o- Wp = A95GH(x 1 + р, 1-р 1/2, 1, 1/2+ G, 1/2 ^ 0, 1/2, 1/2- <т, 1/2 1/2, 1, 1/2+ О-, 1/2 -а 0, 1/2, 1/2- а, 1/2 - Pi P 1 + Р, 1-Р 1/2, 1, 1/2+ G, 1/2 -а s + cj + 1/2, s + l/2-cr] e+1-p J [Res > |Re<r| - 1/2] 1/2 + сг- s, 1/2-cr- el 1-Р-8 J [Res < 1/2 - |Recr|] ^94r|s+i-Cr, S+^ -p— S [|Reo-| - 1/2 < Res < -Rep] Л94Г I s — p, cr — s, her — . [Rep < Res < 1/2 - |Re<r[ s H , s + 1, s H h cr, — p — s 1 e + l-p, - + er-s [-1/2, -1/2- Recr < Res < -Rep] 1 1 s — p. — — s, 1 — s, h cr — s F' 2 ' '2 1 s + «tH—, 1 — p —¦ s [Re p < Re s < 1/2, Re cr + 1/2] i, S -p, s + 1- p [Res > |Recr| - 1/2] p-8, a — s 2 1 — p — s [Res < 1/2- |Re<r|] p- s 1 1 •-, s+1, s + ^+cr, s + ^^cj, I Re cr|- 1/2 < Re s < - Re p]
8.4.46] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 609 10 \уж у V < _ 14/ о, \/^ / 1/2, = 1/2 + ct, 1/2 ^ст \ J s 1 - P 1 s 2 — s 1 2 [Rep 1 < — s, Res 1 2 < + CT — Sj 1/2 - | Rea\] 8.4.45. Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера iFi(a; 6; ж). (См. также 8.4.43) Обозначения: Л97 = 2a Н а; 6; - а; 6; 0, 1™ 6 1, b а [О < Re s < Re a; b ф О, -1, -2, . . .] [- Re a < Re s < 0; 6 ^ О, -1, -2, . . .] а+5 6 1+6 hi, s, s 2 2 2 J [О < Res < (l-? + Rea)/2, (l + ReF-a))/2] Л97Г 1 + a- <f 1 s H , — s, s 2 2 6 6 + 1 a + S s -\—, s ~\ , 1 2' 2 2 -Rea- l)/2, (Re (a - 6) - l)/2 < Re s < 0] ГГ ь U-.»- [b — a] L Ь — s [0 < Re s < Re F - a); 6^0, -1, -2, . . .] -a, -e Г 6 U L6^aJ L [Re (a - 6) < Re s < 0; 6^0, -1, -2, . . .] 8.4.46. Вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми Ф(а, 6; ж). (См. также 8.4.44) Обозначения: 1 2а^ь 5 Л99 = ,— _,, V-,, ;—- Г(а)Г(а-6 :}¦ 2"°ГГЬ /тг а {;}¦ (а, 6; ж) = 1-а 0, 1- , s + 1 — 6, а ¦— s] [0, Re 6^ 1 < Res < Rea] 20 А. П. Прудников, Т. 3
610 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.46 6; -) =A98Gll[x 1, b а Ф (а, Ь] -2iy/x) ± Ф (а, 6; 2г = A99GfJx (l-a)/2,l-a/2 л/ж/ = /199^42 1-6/2, 8 + 1 6 + 1 6 8 2 ' 2 ' 2' ~ 2 a + 1 a 2 ' 2 (а, 6; - 1 + 8 — а 8 + а 2 ' 2~~ 11 0, -, 2 2 6 , 1- - 2 a, 6; —) ± 1 2' ' 1 - 6 ' 2 <5 + 1 a + 2 8 b + a 6; ж) = a bi — x 6; - 1 + а- I =GfJx 0, 1 - 6 1, 6 6 — а (a5 b. — а — 6 а — 6 2 ' 2 6 1-6 1-8 2 2 8 2~' 2 Л98Г[5 + а, -в, 1 -6- в] [- Re a < Re s < О, 1 - Re 6] AmV 1-Я 1-6 6 s H , s H , s + 1 , 2 ' 2 ' 2' о 1 s 2 1 + a a s. . 2 2 [(Re 6 - l)/2, E - l)/2 < Re s < Re a/2] a + 1 a 1 - 8 s + ¦ Л99Г 2<5'^2' 2 1-6 2-6 — " i 2 2 Re a/2 < Re s < A - Re 6)/2, A - 1 1-6 6 2' ^ 2 ' ^ 2' A - <5 + a)/2 - s [0, (Re 6- l)/2 < Res < A - < 1 - <f + a 1 Re a)/2] АддГ 1 - 8 + 1 2 1-6 6 8, 1 . 2 5 - Re a - l)/2 < Re в < 0, A - Re 6)/2] s, s + 1 — 6 s + a + 1 - 6 — 5, 1 — 6 — S 1+a-b-s [Res > 0, Re 6- 1] [Res < 0, 1-Re6] 6 1-6 1-8 1 , H , s H 2 2 2 1 — a — 6 a ¦— b [(Re 6 - l)/2, E - l)/2 < Re s < 1/2]
8.4.47] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 611 10 11 12 13 14 ) 6/2, F а + 6)/2, (Ь-а)/2 (а; 6; -2-у/ж ) Ф (а, 6; 2л/ж) = 1 - а, 1 + а- 6 o,in,i-, 2 2 2 а; Ь; ^Л Ф fa, 6; 6O2,6/2,6 а, 6 — а х Ф (а, 6; 2л/ж) = —= х а — 6 + 1, 1 — а О, A-Ь)/2, 1-6/2, 1-, 2 \ / 2 е -/v» ф( Ь-о, 6; —— ) Ф (а, 6; —— 1 = а, 6 — tt -6/2- 5, A - 6)/2- 5, + 1 - с5/2, A - а - 6)/2 - s, Б2Г 1 + (а-6)/2- s [-1/2 < Re 8 < A - Re 6)/2, A ¦ j, 8 + A - 6)/2, в + 1 - 6/2, а - в] s + a-6 + 1, 6-s J [О, (Re 6 - 1)/2 < Re s < Re a] - а, —s, 6 6 s, 1 , 2 2 s + 6, 1 + а — 6 — s [- Re a < Re в < 0, A - Re 6)/2] s - 6 + 1 s + 1 — а [Re в > 0, (Re Ь - 1)/2, Re 6 - 1] 1-6 6 s, s, 1 s, '2 2 + a-6-s, 1-Ь-8 1 — а — 5 [Re в < 0, 1 - Re 6, A - Re 6)/2] 8.4.47. Функция о^(&; ж). (См. также 8.4.19, 8.4.22) 2Ь+с-2 Обозначение: В3 = —г 0FiF; -l О, 1-6 1, 6 3 - 6 - с 6 + с 2 ' 2^ О, 2-6-с, 1-6, 1-е М f • М - 4ж/ ° 1 \ 4ж/ 1, 6 + с - 1, 6, с F +с- 1)/2, F + с)/2 Г з 1 ГF)Г [0<Res<(l + 2Re6)/4] [6-sJ ГF)г[ ^Г:М [-A + 2 Re 6)/4 < Res < 0] s, F + с - 1)/2 - s, F + с)/2 - el 6 + С— 1 — 5,6- 5, С — 5 J [0 < Res < (Re F +с) - 1)/2] 6 + C-1, 5 + 6, 5 + С [(l-ReF + c))/2 < Res < 0] 20*
612 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.49 8.4.48. Функция iF2(a; 6i, 62; ж). Обозначение: В4 = Г ' 1 2 iF2(a; iF2U; 61, 61, 62; -ж) = i -j 62; -^\ = / X V 1-е \ 0, 1 - 61, 1 - 62 / / 1 1 h h \ 31\\a ) Г s, a — s L61 — s, 62 ~ [0 < Re. -a)/2; 61, fe2 ^( J54r[ s + a'^5 [s + bi, s + [-Re a, Re (a < 0; 61, 62 7^ 0, - ..] ? < Re ), -1, 62 J -6i- -1, -2 a, 1/4 + -2, . ..] -62)/2- • • *J Re F1 1/4 < + 62 - Res < 8.4.49. Гипергеометрическая функция Гаусса 2fi(a, ft; с; ж). Обозначения: в, = ГF-с («О» r(i - 6) (c)« ' ГA-а) Г(а - с + 1) в гГ с 1 в гГ с 1 в г[с'са [а, о, с — а, с — 6J [а, с — oj [2a с,2о-с ¦1/2, 1/2-a + b a 32a^F В17 = a + 6=pl/2, 1/2™ a + b 2a - (l±l)/2 6 + 1/2, 1/2 +a-b 2b-a -багГ 4а+ 2/3 ¦a-1)' 2ГD/3^а)Г(За^1)' , _ 1 ^ [4a+ 2/3] = 6a J' ГA/3-а)Г(За)' ^r[a + 6 + l/2, a + 6 + 1/2] : L 2«5 2b -r\a + b- 2a + S,2b + l A — 2a — 26) cos (a — 6)тг ^/тт Г с7 с 2е™1 [а, 6, с — а, с — 6J ' 1528 = тг cos (а + 6)тг 1 ^[с, а + 6 - с- а, 6 , (а , О = {;}¦ (с-Я)„ 1 + О — С] [Re F - с) > п - 1; Re s > 0]
8.4.49] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 613 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (ж- (ж- A- A- (ж- A- (х- иA V Н(х 1) 1) х) х) 1) ж) 1) - - b — c — n тр ( , 2^1 1 -П + V 02 / = (-l)nB5G22\^ b — C — n тр / + 2^1 (-71, --(-1ГВ5О°21(а V b^c^n2Fi f те + V = BbG\l(x — Ъ Тр I JL , 2г 1 I —те, 01 -b2jPl / п 5. + V ' ' о ^02 — ?>бЬ22 + &2^1 f-n, 6; + V _ / 1\пв q20 ~К ) 6 22 Ь ( + V — 1 ) 6 ж) 2^1 (а, с + те _ , i\n d /-J20 7 22 6; с; - с 1 + < 6; с; х) 1 + 6 6; с; - 6 — те — те, с; 1 1 _ 20 ( с; ж ж — L \ 1 - 0, с; ж ж — (х V 1 - 0, 1 с; 1 - с; ж) ( \ 1 - о, 1) iF\ ( о, с + те; с; — \ ж — 1 ; гВ G02 7 22 1\ = с/ з — 6 — те, 6, 2с - 6 - те \ 2с - 26 - те / = — с, 1 — с — те \ ™) = , 1 + 6-с-теЛ 6 ) х ) 1 — 6, с — 6 \ 0, те + с — 6 / "\ _ 1/ -с — те, 1 — 6 \ 1-е / ^ _ 1/ -с — те, 1 — 6 \ 1-е / х ) 1 + 6, 6 +с \ 6 + с + те, 26 / = -с — те, 1 — а \ 1-е / )- (х у 1, с \ с + те, а / в5г[ - + 2с-6- [ 5 + 2с - 6 - те, - 6 + те — с — 5 1 + те + 26-2с-5 _ = (-1)ПМ14-6+Г2ЬС< [ 1 + те + ЛЬ — . = о 1 2c- sj х A + 6 — 2с — s)n [Re F - с) > те - 1; Re s < п Г s + 1 — с, с — 6 — s 1 [s + 1 -— с -— те, 1 — 5 j [Re F- с) > те- 1; Res „Г s — те, 1 + те — 6 — 5 I55I Ls + 1 + б-с-те, 1 - 6 - п Г s — те [s + 1 + 6— с— те [Re F - с) > п - (-1)пв6г s'1 + Г J 1 ~ 6 [s + 1 - 6J [Re 5 > 0; 5 + 1 — С, 6 — S (— 1) Bq I [s + 1 — с — те, 1 — s = Я6г[6^5](с-5 [l — s J [Res < Г s, с -i- n — s 1 -^6 Г = Ls + 1 - 6, с - sj Г s 1 ~ 6 [s + l-6j [Re 6 < 1 - fs + 6 + c + те, -6 - si 6 [s + Hc, 1-26-sj -Ввг[ ™6^5 l(e + [l - 26 - sj [Re s < - Re 6; Г s, с + n — s 1 [s + 1 — а, с — sJ Г s 1 = В7Г[5 + 1-а]^^ [Re a < 1 - Г s -\- с -{- n, —s 1 [s + c, 1 — a — s J = БтГг -^ i [1 — a — s J [Re a < 1 + Re F - c-e)n < Re (c - = 8} ](l-6-s - 1; Res > -n-s] = Re 6 < 1 - 1 = J )n Re 6 < 1 - - те; Re s > b + c) n Re 6 < 1 - -S)n ~ n\ Re s > n — те; Re s < c)] &)] )n те] те] те] 0] те] 0] - о]
614 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.49 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (ж-1) 2Fi(a, 2F1 (a v A + ж) A + ж) A + ж) = A + ж) 2-Fi(a, -с- (-1 — с — -|- 6; с а+6- а+о- — а 2 ( V \ те о /^2 1 J-58 t-J"*" п тр ( V : (-1) —ж) — с; _2Л ж/ ~ С 2 Fi ( 2 2 1 | Fi(o, 6 ""а 2 6; с х 2Fi 2^1 (о, 2F1 fa V 6; с ( F\ (a, V / СШж а, с + те^ с of 1-е 0. 1 а, с -}- п; с / 22 V гГ с Ь15 La,6J 2i = г с ( [a, 6J я., 6; cj —ж 2 1*^ 1 + а 0, 1- ( (а, 6; с; - ч г(х Ч 1 + а а, 6 ; 2а + 6 + -2а-26 0, -2а- 6; 2а + 6 + 1 — а, а - а, 6, а + ж)ЯA-ж) + ж~аГ ( а, 1 + 1-ж) с; 1 - = #1 а - с; 1 + 22 V 1^22 1 х V i а X \ I — ж-1/ — те, 1 + а — с\ -с У 1 - = 1-ж/ 1 — с — те, —те \ 0, -а- те / \(х \ а, \ 0,1-с У V а, 6 У ) = -с, 1 + 6- с \ У 1 \ 1 гг жУ + 6 - с, а + 6 \ У 1; -ж) = 1 — а — 6, 1 - 2а \ 1 - 2а - 26 У 1 \ 1* ) = х у f6 + I, a+ 26 \ 26 + 1 У Г с,1-6 1 X _с-а, l + a-6J 1\ ж 1 ?; жГ - а, 1 - 6 \ 0, 1-е У 1-а,1-6 \ 0,с —а —6 / ,1 + а + о — с \ , 6 У Г Г ф Б Ф Б ф Б < Б Ф Г Г 5,с + те-5 1 81 — [s + 1 + a — с, с ¦— s\ = В8П S 1(с-в)„ [s + 1 + а - cJ [Re (а- с) > те - 1; Res > ( Г s,c + n-s 1 [s — те, 1 + а + те — sj -Г-1)пБ-г[ с + тг^5 1A-в) [l + a + те — sj [Re s < те + Re с; Re (а - с) > те - Г 1 Г h 1 [а, б] L с- в J [0 < Res < Re a, Re 6; с^ 0, -1, -2, . Г с 1 Ts + a, s + 6, -sj [a,b\ [ s + c J [- Re a, - Re 6 < Re 5 < 0; с 0, -1, -2, ...] fs, с — a — s« с — 6 — si 9r L C-8 J [0 < Res < Re(c- a), Re (c - 6); с о, -l, -2, ...; fs + a, s + 6, c — a — 6 — si L s+a+6 J [- Re a, - Re 6 < Re s < Re (c - a - 6); с 0, -1, -2, . ..] Г 2a + 6 + 1 - s, L a + b-3,2a-s} [0<ReS 2a + 26-s J 2Rea, Re(a + 6); 2a + 6 ф -1, -2, -3, . [s + a, s + 6, s + a +26 + 1, a - si 10r L s + a + 6 + l, s + a + 26 J [- Re a, - Re 6 < Re s < Re a; 2a + 6 -1, -2, -3, . ..] Гс, 1 — Ь1 Г s, a- s j L a J U + l™6, c- sj [Re (c - a - 6) > -1; 0 < Re s < Re a; 1 6, с фО, -1, -2, ...] ВцГ[з, s + c — а — 6, а — s, 6 — s ф Б - [Re(a + 6- с), 0 < Res < Re a, Re 6; с 0, -1, -2, . ..] цГ[в + a, s + 6, —s, с — a — 6 — s] [- Re a, - Re 6 < Re s < 0, Re (с - а 6); c^O, -1, -2, . . : 1] •] Ф Ф < Ф — Ф —
8.4.49] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 615 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 A-ж)! 2Fi(a, 6; с; 1-х) = с — а, с — 6 О, с - а - 6 а, 6; с; 1 = жу (ж- l)+~12Fi(a, 6; с; 1-ж) = с, а + 6 а, 6 = Г(с)<?§2 с — а, с — Ь О, с - а - 6 а, 6; с; 1 - - ) = ж у с, а + i а, 6 а, 6; с; а, 6; с; 1 - а, 1 + 6 - с О, 1 - с 1 + ж 1 — а, с — а О, с- а- 6 1 4ж а, а-\ : с: ' 2' ' A + ж 1 — 2а, с — 2а О, 1 - с 1 4ж 2 + 2а - 2с, 1 + 2а - с О, 1-е а, Ь; а 1 2' A-х) 3±1 1 2а, - + b - а 2 '2 О, 1± а- 6 2 - а, 1/2 + 6- а О, 2Fi а, 6; 26; ±- 1 + а-26, 1/2 +а- 6 О, 1/2-6 Г(с)Г s, s + с — а — 6 s + с — a, s + с — 6J [Re 5 > 0, Re (a + b - с); Re с > 0] 1 — с — s, 1 — о — 6 — si 1 — a — s, 1 — 6 — s J [Re с > 0; Re 5 < 1 - Re с, 1 - Re (a + 6)] 1 + а — с — 5, 1 + 6 — с — , Г(с)Г Г(с)Г L 1-5, l + a + 6-c-, [Re с > 0; Re s < l + Re(a-c), 1 + Re F - с)] Г(с)Г s + a, s + 6 + c, 5 + a + i [Re с > 0; Re s > - Re a, - Re b] , a-s, c-b-s 0 < Re s < Re a, Re (c - 6); сф О, -1, -2, . . .] s -+¦ с — a [0, Re(a + + 6 - c) < Re s < Re а; с ^ 0, -1, -2, . . .] [Re (c - 2a) > 5, 2а- s s + с — 2а, с — , > 0; 0 < Res < 2 Re а; с ф 0, -1, -2, . . .] s, 2с- 2а- 1 - i 5 + 1 + 2а — с, с ¦— s \ [Re Bа- с) > -1; 0 < < Re 5 < 2 Re (с - а) - 1; с ф 0, -1, -2, . . .] 5, 2а- A±1)/2- 5 1 + 6-O + 1/2, а+ 6 +1/2- 5J [Re (b - а) > -1/2; 0<Re5<2Rea- - A ± 1)/2; а + 6 + 1/2 ^ 0, -1, -2, . . .] s, a — s 5 + 6- a + 1/2, 6 + 1/2- sj [Re F - a) > -1/2; 0 < Re s < Re a; 6 + 1/2^0, -1, -2, ...] В17Г s, 26 — a — s a- 6 + 1/2, 6 + 1/2-5 [Re (a-6) > -1/2; 0 < < Res < ReB6-a); 6 + 1/2 ф 0, -1, -2, . . .]
616 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.49 34 37 38 39 40 41 /T+x) a2Fi(a,6; а + 1; 2 у 1-a-b 1 - а, z О, 1-a-b, а,6;а а а 2' 2' a b ~2* 2' 3' 2' (ж-3K 5/6- а, 2 -За О, -1/2 1 3 A + ЭжJ 3' 2' A-ЗжK 2 -За, 5/2- За О, 7/6-2а 3'2' C+4ж)г а- 1/3, 2 - За О, -1/2 1 3 а, 2 - За, 5/2 - За О, 7/3 - 4а 5 27ж2 б' D + ж' 5/6-а, 1-За О, 1/3-4а 5 27ж ' A + 4жK 1 -За, 2/3 +а О, 1/6-2а 5_ 27ж2A + ж) 6' (8 + 9жJ 1/2- За, 1 - За О, 1/3-4а 2ь~1а s, а — s, Г | "' ~ '" 2 а + 6 — s, 2 а + 1-8 [О < Res < Re а, Re (а + 6)/2] а 6 ~2' S 2' + ? + 1, в19г В20Г В21Г а2 ' 2 ^ [- Re а/2, - Re 6/2 < Re s < Re а/2] s, а + 1/6- s, За - 1 - si 3/2-e J [О < Re s < Re а + 1/6, 3 Re a - 1] s, s+ 7/6-2а, За- 1 - . s + 5/2-3a [0, 2 Re a - 7/6 < Re s < 3 Re a - 1] 5, 4/3 — a — s, 3a — 1 — , 3/2- s [0 < Re s < 4/3 - Re a, 3 Re a - 1] s, s+ 7/3-4a, 3a- 1 - . 5+ 5/2-3a [0, 4 Re a - 7/3 < Re 5 < 3 Re a - 1] 3, a + 1/6 - 5, 3a - si 4a+ 2/3-5 J [0 < Re s < Re a + 1/6, 3 Re a] 5, s + 1/6 - 2a, 3a - s s + a + 2/3 [0, 2 Re a - 1/6 < Re s < 3 Re a] s, 3a + 1/2 - s, 3a- s 4a+ 2/3-5 [0 < Re s < 3 Re a]
8.4.49] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 617 42 43 44 45 46 47 48 49 1 5 27A + ж) = B21Gl\\x ж(9 + 8жJ 1 -2а, 2/3 +2а 1/2 ,жJ а, = ?22<322 (ж 2Fi а, 6 Fi а, 6; . 27A + ж) 2/3 +а, 1 -За О, 1/2 1ш (8 + 9жJ 2' 27ж2A + ж 1-а, 1/2-а 2а, 1/3 а + 6+i; -я)] = 1 - 2а, 1 - 26, 1- а- 6 О, 1/2-а- 6, 1-2а-2Ь а, 6; а + 6 Н ; 2 ж 1, 1/2 +а + 6, 2а+ 26 2а, 26, а + 6 1 + 1 : + Ь+-}-х) 2Fi А 1-2а-6, -26, О, а-Ь-6, а, 6; i;-W 1 — а — 6 — ё 1-2а-26-< 1 + 1 2' ж/-Ча+' 2 1 1> 2' жу 1 2а+ 5, 26 + 1, 2а+ 26+ 2Fi ( а, 6; а + 6 Н—; —ж J x ' 1 1 3 х 2Fi j — — а, 6; а — 6; —ж ) = О,\-а-Ь,а + Ь-\ s + а, s + а + 1/2, 2а - . s + 2a + 2/3 [- Re a < Re s < 2 Re a] s, 1/3 — a — 5, 3a — , 1/2- s [0 < Re s < 1/3 - Re a, 3 Re a] s + 2a, s + 1/3, a - . s + 1/2 - a [-1/3, -2 Re a < Res < Re a] s, 2a — s, 26 — s, a + 6 — , a + 6 + 1/2 - s, 2a + 26 - [0 < Re s < 2 Re a, 2 Re 6, Re (a + b)} s + 2a, s + 26, s + a + 6, -si s + a + 6 + 1/2, s + 2a + 26 J 2 Re a, -2 Re 6, - Re (a + b) < Re s < 0] В24П [0 < Res -s, 26 + 1-s, 5 + 1/2-5 , 2Reb + l, - a + 6 + 5, -s 1 -a + 6 + 5 +- [-2Rea~ -5, -2 Re 6 - 1, - Re (a + 6) - S < Re s < 0] В25Г 1 1  ~S' 2 +a~ + a + 6 - 5, 1 2+6-a-. — — a — 6 — . 2 [0 < Res < 1/2- | Re (a- 6)|]
618 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.49 50 а, 6; ft - 1 2' 1 1 , 3 Г. а, о; а — о: = 2 2 2 х ' 2 Е>, ft — i 2 -, - + а - 6, - + 6 - а 2 2 2 51 ^25^33 I ж а, 6; с; 1 — (л/1 + ж а, 6; с; 1 — (-x/l 1 — а, 1 — 6, 1 + ft — с, i526^44 О, 1 - С, 1 , 2 1 + 6- < 52 а, 6; с; 1 — а, 6; с; 1 — ¦ 1, с, с/2, (с + а, 6, с — а, с — 6 53 а, 6; 1+а+6- ( X 2^1 I «, 6; с; „ — а — 6 1 -а, 1-6, А О, 1 - с, 1 - а - 6, 54 ft, 6; 1 + а + 6— с; 2 с — а — i/ж — \/1 + х 55 х 2^1 ( а, 6; с; = ^27^44 I ^ 2Fi (о, 6; у/х — ¦ 1, с, а + 6, 1 + а + 6-с а+6 а+6+1 а' о, —-—, >-.1-=*щ'- = B28G33 х 1 - о, 1 - 6, 1 - а + 6 О, 1 - а- 6, 2 1 - а- i 1 1 s+ -, s + ^ + а-б, 1 2 S+2" s+--а-6 2 [|Re(a- 6)| - 1/2 < Res < 0] s, a— Sj 6-— s, с— a— s, с-— 6-— si с- s, c/2 - s, (c + l)/2- s J [0 < Res < Re a, Re 6, Re (c - a), Re (c - 6)] [ < Res s + a, s + 6, s + с — a, s + c, s + c/2, S + С — 6, —5 s + (c + l)/2 [-Re a, -Re 6, Re (a - c), Re F - « ; o] ft + 6 S, ft -— S, 0 -— S, S, 2 с — s, ft + 6 — s, ft + 6 + 1 В27Г l + a + 6-- с — , [0 < Re s < Re a, Re 6, Re (a + 6)/2] ; + c, s + a + 6, s+l+a+6-c ¦Re a, -Re 6, -Re(a + 6)/2 < Re s s, a -— s, 6 — s, (a + 6)/2 — s a + 6-s, (a+ 6 + l)/2 - s [0 < Re s < Re a, Re 6, Re (a + 6)/2]
8.4.50] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 619 56 а, о; -6+1 у/х — у/1 + Ж 1, а+ 6, (а + 6 + 1)/2 а, 6, (а + Ь)/2 s + а, s + 6, s + (а + Ь)/2, -si s + а + б, s + (a + 6 + l)/2 J [-Re a, -Re 6, -Re(a + 6)/2 < Re s < 0] 8.4.50. Функция 3F2(ai, a2, аз; 6i, 62; x). Обозначения: 2a - 6 - 1 2a-26-2, -6-1 I' B _ a, a—6—c+1 = 25Г| C' 2a, 2a - c- За 1 2 3 4 5 6 3F2(a! - В G1 - 29 3 3^2 I «l, «2, «: (l + жJ^1 3F2(c = ^зо^зз ж v A + жJЬ+1зF2 a- 1 / 31 [ = ВзоОзз ^ (л/1 + ж - 1)аз 1 + a-c = B3lG1?( 33^ (\/l + Ж — y/x^ 1 + a-c; / 6i, 625 —ж) — 3 I x 1 - ai, 1 0, 1 - 61 j; 01, 02; — I Ж / = 1?29^зз 1 a i, 2a —2, 6; a — 1 6 + 2, 4 + 26- 5 0, - + 6-a, 2 A (a, 2a-2, 6; , 2a-6- 1; - 2 + 26, а + 1 6, 2а - 2, а / — а2 5 1 — аз | 1 - Ь2 / = 1, 6Ь 62 \ «1, а2, аз / ,2о-6-1;-ж) = 3 \ 2а, - + 6- а \ 2 + Ь- 2а I / 1 \ Ж/ ~ 1 \ ?- -, 2а + 6 \ 2 1 + 6+^ J F2 a, 6, c; l + a-6, V 1+^A-лЯ ж а/2 + 1, (а а, 6, с n / 3F2 (^a, 6, с; 1 + 2(ж - л/ж" l2 a2 -Ь 1)/2, 6 +с \ 1 + а - 6, -Ь,1 + --Л 2 Ь- с / fs, ai — L &i Г 5 + Ol, L s [" 5, —1 a-b [0 < Re 5 ^зо Г 5 + 6, 5 + a 5 + a - [-Re 6, 2 531Ll-6- s, a2 ™~ 5, аз — 51 - 5, 62 - 5 J [0 < Re 5 < Re a,j, s + 02, 5 + аз, —5 + 6i, 5 + 62 Re aj < Re 5 < 0, -6-5, 2a - 26 - 3 s, 2 1 6 — 5 2 2a - 6- 1 - s j = 1 J j = 3- < -Re 6- 1, 2 Re (a- s + 2a-2, 1 2' 1 f 6+-, -26-1- 2 5 + 2a + - 2 Re a < Re s < a 1 — a 5, 2 2 -5, 1 — с — 5 1 - 6- С- 5 [-Re a < Res < -Re a/2, "l - 5, S + L r [0, Re F + -,s + l + --6- a a 5 + Ц С с- а/2) - 1 < Re s b -21 s, 1, 2, 1, 2, 5, -(.)- Ie6- - Re F + _ c s < 3] 3] 3] 1 Reo/2]
620 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.51 7 8 9 (8 * с lTl I с, 2 | = B32GH _ ж^A±1)/2^4 2 _ 8ж^A±1)/2^ 2 41 / — +^33^44 1 26 + 6 + <5 2а - X А /•• ^Ж 1 ' A + хH 1 + 5-2а, - -а- 5 + с-2а, 1 + 6 5 + с — 6 — 2а 1 гр ( { Q / 1 ) 3^2 1 а, а+ - V 3 1 27ж2 л 1 + 5-За, - -6 0, 2а, 2 - 26 3 --2а-6,Ь + 6- 25+ 26-6а - 1 ч ( 1 + 4ж) 3^2 а-, а + V 1 27ж Т 2' A + 4жK ( X \ 1 + 5 — За, 8 -— а - 0, 25-а- -, 1- 5 -За- 1, За-26+ 2 -За-1 2 ,ь, ) )- -За \ 1 ) з' J 2 ь, \ 1 J ^32 -*, ^3S [0 -6) +5 -6) г 5, 2a — 5 — s, a + 5 s, а- --в, c-8, 1 + 2а — с — 5 — s, с — 6 — s [0 < Re s < 2 Re а - 5, Re Bа - с) Re (с - 6)] + 1- г 2 s, 3a — 5 — 5, 2a + 5 5, 2a s, 26- 1 - s, 3 1 i 6 — — — «s, За — 6 — о + 1 — s 9 6а -26 + 2 - 25 - s < Re s < 3 Re а - 5, Re 6 - 1/2, Re (За - + 1-5] ззГ Г 2 s,s + 25-a , s + 1-6, s + 5-a ,5 + 26+5- 3a-1, s + 6 + 5 — За , За — 5 — s 2 s +За-26+ 2-5 [0, ReCa- + 1/2 - 5, Re 6 - 1 < Re a < 3 Re a - 5] 8.4.51. Разные функции гипергеометрического типа. 1 q Fp\®>l 5 tt2 5 • • • ) dp? Lai, a2 1 0 61, .. - ai, 1 - fc .,6,; ^ X ..., 1 -«) = -ap \ l-bq J Г к 2) Lai 0< = 1 q = , a2, x Res 2, . P + - . . . , ap. X rf S'ai^ [6i - s, 62 < min s, Re a j . . , g и либо L, Res < 1 4^ 1) 1 2 S, . . . , bq , Ькф0, - о = p — ] Reff> s 1 -1, -2, , 4 = P k=i • • • ) либо ')]
8.4.51] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 621 2 3 4 5 6 7 8 9 (l-a:)"" {х^1)с~ J^(x) = H^B^ ("> V2 / и V2 #p(-a;; E(p; ar pq у i / F3 a, V 3 \a, Q rrlO 02 * i), ( M) = / : q; bk : at, . . 61, .. = Hmn X а',Ь,Ь',с; 1- 3v a +b' а',Ь,Ь',с; 1- a; + 6; a;, 6;, @, 1), (- u L3 X V 2 *l + ")/2- Ш ж \ О 1- WA+i) @,1) en 11 |_ v"' -*-/' ж\ qp>i (x . , ap \ _ (ai, 1), ... F1, 1), ... [0 ^ m ж/ с — а, с — 6 \ 1 Ж/ с — а, с — 6 \ с -— а — b ) 1 \ 1 \ I/-1/2, /х) ЬЛ,1) / +¦ A, l) , - А - 1/, /х) 1 1 I ai,. . . , ар у , («р, 1) ^ д, 0 ^ те ^ р или ^ > р — 1; s = —-/е G i^ , s = a,j + + fc G D~, A; = 0, 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . , p; -^ — 00-1 при знаке соответствия ^— I Г(с)г[ S+,a 'j + 6 ' s + c^a^6 1 [s + a +o,s + c — a, s + c — 0] [Res > -Rea', -Re6;, Re(a + 6-c); Re с > 0] p/ чр Г 1 - a' - 6' - s, 1 + a - с - s, [ l--a/--s, l--fe/--s, 1 ±1, 1 "*" [Rec>0;Ree<l- l+a+6^c^s j — Re @/ + bf), 1 + Re (a — c), 1 + Re (b — c)] r[ S ] [\fi\ < 1; Res > [1 + 1/ — /is J > 0 или fi = l; 0 < Re s < 3/4 + Re v/2] [l - i//2 - s, 3/2 + i/ - /x(l + i/)/2 - fie] [|/x| < 1; -(Re 1/ + l)/2 < Re s < A - - Re i/)/2 или /i = l; -(Re 1/ + l)/2 < Re s < < 3/4, A - Rei/)/2] Г и и s H hA, 1 Л - s 2 2 1 V s 1 +A + 1/ Га+П L 2 * v 2^ ' j [|/x| < 1; - Re (i//2 + A) < Re s < < 1 - Re (i//2 + А) или /i = 1; - Re (v/2 + A) < < Re s < 3/4, 1 - Re (v/2 + A)] \_ и — p~~~ s [p > 1/2; 0 < Res < < 1 или p = 1/2; 0 < Res < 1, Re/x/2] Г S + ab 5 + a2' •••, s + ap, -s [ S + 01, . . . , S + Og J r — min Re ar < Re s < 0 и либо 1) L 0 ^ q ^ p либо 2)g = p + 1, Res > h 4 1 / P q \ 1 \r=l fc = l / J P s + 61, . . . , s + bm, 1 — ai — s, ... [ s + an+i, ..., s + ap, 1—6m+i—s, ... . . . , 1 - an - s . . . , 1 - 6g - s 1 - — min Re bk < Re s < 1 — max Re a,j и
622 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.51 10 ЛА(х)НA - х) + Т>вA/х)Н(х - 1) [А = 0], [А <0] [A = A^D^B^C] 1 ^1 ? • • • 5 1 feg) CL\ , ... , tty4 ) ^1 , ... _ ПЛ' B — U B + C, A+D I x • •• , со, •• • , 1 — do [А, В, С, D = 0,1,2, ... 11 Я" (ai, Ai), . . . , (ftp, Ap) [0 ^C m ^C p, 0 ^C n ^ </] либо 1) 2(ra + те) > p + q, либо 2) 2(ra + n) = -Re ¦j=i fe=i p либо — 6j) > 0 «-::::::::::р, Я = P ~^ 1, [2(ra + те) < p + q; s = —b^ — - I e D+, к = 1, 2, . . . , m; s = 1 - ftj + I G G D~, j = 1, 2, . . . , те; I = 0, 1, 2, . . . ; при знаках соответствия <— (когда q > р, ж > 0 или д = р,0<ж<1)и > 0 или q = р, ж > 1I -. + (а),(Ь)-»" - + (с), (d) - в ь+а (когда q < p, ж S ~Ь ?11 , ••• , S -f СЬД, 01 — 5, ... S + Cl, . . . , S + СО, rfl — S, ... . . . , do — s —¦ min Re a,- < Res < min Re бд, и либо 1) Л + В > С + D, либо 2) Л + В = С + D, ^ 2, A Res < 1/2- Re i/, А В С D либо 3) Л = С, в = D, Re i/ < 0 или [А + Б • s = —djl G ,D+, j = 1, 2, . . . , Л; s bk + I e D~, к = 1, 2, . . . , В; I = 0, 1, 2, . . .: при знаках соответствия ^—^° (когда А > 0, ж > 0 или А = 0, 0<ж<1)и ^° (когда А < 0, х > 0 или А = 0, ж > 1)] В\3 + 01, . . . , -вт^ + бтте, 1 — ai — s, . . . , 1 — an — Ans 3, .7 = 1, 2, . . . , р; 5fc >0, к = 1, 2, ... 1 - Reft,- q] — min < Re s < min и либо 1) a* > 0, либо 2) a* = 0, A Res p <? - 1 + Re ( У^. a,- - У^. о*. 1 I или
8.4.52] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 623 г * U* <0; s =- 1~аз+1 ~ А ¦ при знаках > 0, ж > 0 (когда А < 0 п я к=1 Ьк+1 -, j=l, 2,..., соответствия или А , х > 0 р ? > р i=i = 0, 0 или А = га п; ¦<—- < > р д , 2, ..., 1-0, 1, 2 (когда ж < /3) я>/3)| .- ? я тп; s , . . ., А > I' + oo и 4-— . Здесь 1 к=1 8.4.52. Указатель частных случаев С-функции Мейера и //-функции Фокса. Ниже приведены номера пунктов и формул раздела 8.4, содержащих частные случаи (^-функции Мейера G™qn{z) и //-функции Фокса H™qn(z) при соответствующих значениях Г7г, тг, р, q. Поскольку G™q (z) преобразуется в G^^l(z) при замене z на 1/z, то указываются только номера формул, где р ^ q (т ^ п при р = q). Соответствующие формулы, где р > q (т < тг, р = </), мож:но найти в соседних строках. В столбце «тип» отмечены расположение и знаки при s в гамма-функциях, находящихся в правых частях формул. Значения га, п, р, g и тип связаны между собой: тип означают количество знаков + и — у s в числителе, а q — mmp — n — количество знаков -и + у^в знаменателе. Полужирным шрифтом набраны номера наиболее общих соотношений данного типа. В заключение перечислены частные случаи //-функции Фокса. Тип (+) / i \ С) (+-) / 1 \ (-) ++ (++-) С:) 772 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 п 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 р 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 A 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Номера формул 3.1,3 2.1-2, 3-4 2.5, 11 5.1-3, 11-12; 19.1; 47.1 23.1; 29.1 3.5 3.3; 4.7; 14.1, 5; 16.1, 11; 18.7; 43.1; 45.1, 5 11.1; 14.2; 16.2; 18.1; 23.3; 29.3; 44.1; 46.7 11.3; 14.7; 16.13; 18.3; 23.5; 29.5; 44.3; 46.1 2.6-8, 10, 21-23; 6.18; 8.5; 40.26; 41.15-16, 18-19, 35, 38 43; 42.12-13, 23, 30, 32; 49.19, 28-32 2.17-20; 6.1-2, 22; 7.1-2, 5-6; 8.3-4; 10.5-8; 30.1-4, 6-13 31.1-4, 6-13, 16-17; 32.1-4, 6-13, 18-21; 35.1-4, 8-9, 23-24, 27-28; 36.1-4, 8-9; 40.3-4, 7-8, 12-17, 27-28; 43-44, 47-48; 41.1-4, 7-8, 20-23, 26-27, 32-33, 44-45; 21-22, 28-29; 49.1-12, 22-25 , 40-41, , 16-17; 11-20, 39-40, 42.4-6,
624 Гл. 8. G-функция Мейера и Н-функция Фокса [8.4.52 Тип (Г") (++- (++ + (+ + +-} (+-- (+-" /+ + -- (--- (++ ::~ + + + т 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 3 3 1 2 1 2 2 1 2 3 3 3 п 1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 1 0 0 1 0 1 2 2 0 0 0 р 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 0 0 2 2 2 2 2 0 1 2 q 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Номера формул 2.12-13; 6.5; 7.3-4, 7-8; 8.1-2; 30.5, 14-15, 18-19; 31.5, 14-15; 32.5, 14-15, 16-17, 22-23; 35.5-7, 21-22, 25-26; 36.5-7; 40.1-2, 5-6, 10-11, 18-25, 29-32, 35-38, 41-42, 45-46, 49-50; 41.9-14, 28-31, 36-37; 42.1-2, 8-11, 15-16, 24-27; 49.13-16, 26-27, 35-44 2.9; 6.11; 10.3-4; 40.9; 41.5-6, 17, 24-25, 34, 39, 42; 42.7, 31; 49.20-21 4.1, 3-4; 22.1 12.1; 13.3; 15.1-3, 7; 19.9, 11, 13; 25.1; 26.7; 27.1; 48.1 5.5, 7, 9; 12.3-5; 13.5; 15.5; 16.5, 7; 19.19; 20.1, 9, 19; 24.1 22.23; 23.19, 23; 25.7; 26.9; 29.11, 25 23.27, 29; 24.5; 29.15 12.9; 15.9; 16.17; 20.23, 35, 39; 21.1; 25.3; 27.3 3.7; 16.9; 18.9; 22.5 11.4; 18.5; 29.21 6.8 6.13; 41.54; 42.19-20,33-34, 51 51.2-3 6.23-26; 40.33-34; 41.46-53; 42.35-50; 49.17-18, 33-34, 45-50, 55-56; 50.1-2, 3-6 5.20; 22.11; 28.3, 5 23.15 13.1; 22.15-17, 19; 25.5 29.19 12.7; 19.7, 17, 21; 20.11, 13, 15; 45.3 19.3, 15; 43.3; 47.3 22.9, 25; 23.7, 21; 29.7, 13, 23 5.19; 23.9, 11, 13; 28.13, 15; 29.9 5.17 20.5, 21, 37, 40; 24.3; 46.9
8.4.52] 8.4- Таблица преобразований Меллина элементарных и специальных функций 625 Тип (+-+~) (++++) С-—) С--) (+ + + + +) //-функция т 3 3 4 4 4 4 1 2 1 2 4 4 5 га га п 1 2 0 0 1 1 0 0 2 2 0 0 0 п п Р 2 2 0 2 2 4 1 1 3 3 1 3 0 q р q 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 Q Q Номера формул 11.7; 14.11; 23.25; 44.5; 46.11 16.15; 20.7, 25, 42; 23.33; 28.17 18.13; 23.31; 29.17; 12.11; 15.11; 16.19; 41.55-56; 49.51-54; 28.7, 9 5.22; 22.13; 28.1 14.9; 22.7, 21 19.5; 20.3, 17; 26.1, 23.17; 28.11 20.44 5.18 6.3, 4, 9-10; 9.1; 10 51.1, 8^10 2.14-16; 5.15-16; 6 26.5; 46.3 44.7; 46.13 18.11; 44.9; 46.5 50.7-9 3 .1 17; 51.4-7, 9-11 Поскольку G-функция Мейера является частным случаем /^-функции Фокса, то каждая из формул таблицы 8.4 дает соответствующие частные значения //"-функции.
Приложение I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ, РЯДОВ, ПРОИЗВЕДЕНИЙ И ОПЕРАЦИИ С НИМИ 1.1. ВВЕДЕНИЕ В этом приложении содержатся некоторые сведения о сходимости несобственных ин- интегралов, рядов и произведений, а также формулы различных операций с интегралами и рядами, которые могут быть полезны при вычислениях. Как известно, универсальных признаков сходимости, дающих в применении к любому несобственному интегралу или ряду исчерпывающую информацию, не существует. Все признаки сходимости имеют вполне определенные сферы применения. Для описания поведения функции <р(х) в терминах известной функции ф(х) использу- используются следующие символы, определяющие отношения порядка. Пусть на некотором множестве В заданы функции (р и ф переменной ж ? В и точка а (конечная или бесконечная) — предельная для множества В. Формулы <р(х) ~ Ф(х) (р(х) = о(ф(х)) <р(х) = ОШх)) (х- (х- (х- -> а, ->¦ а, -> а, Ж X X е е е в), в), в) означают соответственно, что: 1) существует lim . , { =1, х ? В: х^а ф(х) 2) существует lim . , { = О, х G В: х^а ф(х) 3) существует постоянная М > 0, не зависящая от ж Е В, такая, что |у?(ж)| < М\ф{х)\ при х —> а, х (Е В. Например, sin х ~ х (ж —> 0); —- = о( — ) (х —> со); cos ж = = ОA) (ж—юо). Для любой последовательности действительных чисел ж д., А; = 1, 2, ..., множество всех ее частичных пределов (конечных и бесконечных) имеет как наибольший так и наименьший элементы. Наибольший элемент множества частичных пределов называется верхним преде- пределом последовательности и обозначается lim ж д., наименьший элемент — нижним пределом fc-->oo и обозначается Mm ж д.. Например, если хи = (—1) , то lim жд. = —1, Mm xu = 1. Относительно доказательств и примеров см., например, [9, 16, 19, 24, 26]. 1.2. СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ И ОПЕРАЦИИ С НИМИ 1.2.1. Интегралы по неограниченным кривым. Ряд математических и прикладных задач приводит к интегралам по неограниченным кривым, когда контур интегрирования имеет бесконечную длину. Пусть задана комплексная функция f{z), z ? С, где С — некоторая простая кусочно гладкая ориентированная неограниченная кривая; под кривой понимается множество точек на расширенной плоскости, которое можно представить как образ отрезка а ^ t ^ b действительной оси при соответствующем отображении z = z(t) [9]. Рассмотрим сначала случай, когда кривая С имеет одним своим концом точку а и другой ее конец уходит в бесконечность. Обозначим через Ci часть кривой С, длина которой отсчитывается от конца а. Пусть f(z) не имеет на С особых точек, т. е. точек z5 где f(z)
1.2.2] 1.2. Сходимость интегралов и операции с ними 627 обращается в бесконечность, и интегрируема на всех d. Если существует конечный предел lim [ f{z)dz= \f{z)dz, ct с то он называется значением несобственного интеграла от функции f(z) по неограниченному контуру С. В этом случае говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся. Отметим, что если длина I каждого конечного участка Ci кривой С, лежащей внутри круга радиуса R с центром в точке а, имеет оценку I = O(R) при г —у оо, а функция f(z) интегрируема на Ci и \f{z)\ ^ B\z\~ ~~ , 8 > О, В — постоянная, для больших \z\, то интеграл \f{z)dz сходится. Если оба конца кривой С уходят в бесконечность, то несобственный интеграл по С определяется по формуле \f{z)dz= J f{z)dz- J f(z)dz, где Са и Са — части кривой С, на которые она разбивается произвольной точкой а, причем конец кривой С а уходит в бесконечность в направлении ориентации кривой С, а конец кривой С а уходит в бесконечность против ориентации кривой С. В частности, если кривая С совпадает с осью Ох и функция /(ж) интегрируема в любом интервале (а, 6), ^оо < а < Ь < сю, то со Ь /(ж) dx = lim f(x)dx. Если этот предел не существует или бесконечен, но существует конечный предел а оо lim f(x)dx= f(x)dx, а^-оо J J oo — a —oo r» то он называется главным значением несобственного интеграла /(ж) dx и обозначается тем же символом. 1.2.2. Признаки сходимости интегралов с бесконечными предела- пределами от неотрицательных функций. Рассмотрим интеграл оо \f(x)dx, /(ж) > 0, а > ^оо, A) а где функция /(ж) интегрируема в любом интервале (а, 6), а < b < оо. Если в интеграле A) а = ^оо, то этот интеграл можно разбить на сумму двух интегралов в пределах от ^оо до О и от 0 до оо и исследовать сходимость каждого из них в отдельности. Приведем некоторые признаки сходимости интеграла A). 1. Если , v /(ж) = о(х~1-5) , <5>0, ж^оо, то интеграл A) сходится. Если /(ж) ^ —, с > 0, х —у оо, то интеграл A) расходится. Если /(ж) = О (х^11п^1^х х) , Л > 0, ж—> оо, то интеграл A) сходится. 2. Признак Коши. Пусть Дж) ^ ^Л х—^°°-
628 Прил.1. Некоторые свойства интегралов, рядов, произведений [1.2.2 Если Л > 0 и (р(х) ^ с < оо, то интеграл A) сходится. Если А ^ 1 и ^(ж) ^ с > 0, то интеграл A) расходится. 3. Если при любом 6, а < b < оо, ъ /(ж) dx ^ М < оо, где М — постоянная, то интеграл A) сходится. оо 4. Если /(ж) ^ ^(ж), то из сходимости интеграла g(x) dx следует сходимость интегра - "* оо а г» л а A), а из расходимости интеграла A) следует расходимость интеграла g(x)dx. 5. Пусть существует предел а lim = с, 0 ^ е ^ оо. оо х^°° g\x) Если с < оо и интеграл g(x) dx сходится, то и интеграл A) сходится. Если с > 0 и оо ^ л а интеграл g(x) dx расходится, то и интеграл A) расходится. а 6. Пусть /(ж) — дифференцируемая функция. Если /'(ж) то интеграл сходится. Если ;/ х iim>0, ж^оо /(Ж) то интеграл A) расходится. 7. Пусть а > 0, а ^(ж) — дифференцируемая функция, такая, что lim <p(x) = оо. Если х>оо то интеграл A) сходится. Если а > 1 и lim У v / < оо, то интеграл A) расходится. 8. Пусть <р(х) — дифференцируемая возрастающая на [а, оо) функция, такая, что а ^ ж < <р(х). Тогда интеграл A) сходится, если X—^OQ J \X J и расходится, если ; lim ^ 9. Если /(ж) дифференцируема и существует такая дифференцируемая функция g(x) < < 0, что / ±( \ ( \м Ш У > О, аз—»-оо J \^) то интеграл A) сходится. Если Б5Г <**)*('»' < о, QQ Ж^ОО j\X) Г 1 и интеграл —^^ б?ж расходится, то расходится и интеграл A). J gix) а 10. Пусть /(ж) и (f(x) — дифференцируемые функции и
1.2.3] 1.2. Сходимость интегралов и операции с ними 629 = р + оA), ж —> оо, где Р — постоянная, (р(х) < 0, ж > а. Тогда интеграл A) сходится при /3 > — 1 и расходится при /3 < —1. 11. Пусть /(ж) — дифференцируемая функция и Тогда интеграл A) сходится, если с < 0, а > — 1 или с < — 1, а = — 1. Интеграл A) расходится, если с > 0 и а — любое, или а < -1ис — любое, или же с > —1 и а = —1. 12. Пусть /(ж) и ip(x) — дифференцируемые функции и /(ж) ж ж где а — постоянная, (р(х) < 0, ж > а. Тогда интеграл A) сходится при а > — 1 и расходится при а < — 1. 13. Пусть /(ж) и <р(х) — дифференцируемые функции и /'(ж) _ v^ 1 , ?>(ж) ,, , ,1U \п(х) Ло(ж) = ж, А^(ж) = ж In In . . . 1п^ж, <р(х) < 0, х > а. к раз Тогда интеграл A) сходится при а > -1и расходится при а < — 1. 14. Пусть /(ж) > 0 — дифференцируемая функция и для некоторого а > 0 существует Km [Г(х)/'(Ж)] =-/3^0. Тогда интеграл A) сходится при /3 > 0 и расходится при /3 < 0. 1.2.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными предела- пределами от произвольных функций. сю 1. Если сходится интеграл |/(ж)| dx, то сходится и интеграл (aO<*»>, B) который в этом случае называют абсолютно сходящимся. оо Если интеграл B) сходится, но интеграл \f(x)\dx расходится, то интеграл B) назы- а вается условно сходящимся. оо Относительно сходимости интегралов |/(ж)| dx см. 1.2.2. а 2. Пусть Дж) = ^^ [1 + О(ж^е)] , ж^оо, ?>0. Если Re Л > 0 и |^(ж)| ^ с < оо, то интеграл B) абсолютно сходится. 3. Признак Абеля. Если интеграл B) сходится, а функция g(x) монотонна и ограниченна на [а, оо), то интеграл оо jf(x)g(x)dx C) СХОДИТСЯ. 4. Признак Дирихле. Если в каждом конечном интервале (а, 6), а < Ъ < оо,
630 Прил.1. Некоторые свойства интегралов, рядов, произведений [1.2.4 I dx М, где М не зависит от 6, а функция g(x) монотонно стремится к нулю при ж —у оо, то интеграл C) сходится. 5. Пусть 7, A > 0 и /(ж) = ж" cos hx1 \l g(x) = cos cxx 1 + 0 где Si, E*2 > Re a + 1. Тогда интеграл (З) сходится при Re a < maxG. Л) — 1 (если j ф X или b ф с) или же при Re а < —1 (если j = А и Ъ = с). 1.2.4. Интегралы от неограниченных функций по ограниченным кривым. Определение несобственного интеграла для случая, когда подынтегральная функция в некоторых точках контура интегрирования обращается в бесконечность, достаточно дать лишь в случае одной особенности, так как интеграл с несколькими особенностями можно разбить на сумму конечного числа интегралов с одной особой точкой. Пусть z = а — единственная особая точка функции f(z), z G С, где С — некоторая простая гладкая ограниченная кривая. Если существует конечный предел {z)dz+ f(z)dz\, с -с с» J где С\ С" — части кривой С, оставшиеся после удаления из С некоторой малой окрестности точки a, a ?i, ?2 — длины удаленных частей С, отсчитываемые от точки а, то он называется несобственным интегралом от f(z) по контуру С (с особенностью в точке а). Если предел не существует или бесконечен при ei, si стремящихся к нулю независимо друг от друга (т. е. интеграл расходится), но существует конечный предел при ei, €2 —У О, связанных дополнительным условием, что удаленная окрестность точки а находится внутри круга радиуса е с центром в точке а, то этот предел называется главным значением несобственного интеграла и обозначается тем же символом. Пусть, в частности, С совпадает с отрезком [а, Ь] оси Ох, функция /(ж) задана в интервале [а, 6), интегрируема на любом отрезке [а, 6 — ?], ? > 0, но неограничена при ж —у 6 — 0. Если существует конечный предел Ь-е Ь lim /(ж) dx = /(ж) dx, а а то он называется несобственным интегралом от функции /(ж) на [а, Ь]. В этом случае говорят, что интеграл сходится. Если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся. Аналогично определяется понятие сходимости несобственного интеграла в случае, когда функция /(ж) неограниченна при ж —у а + 0. Пусть функция /(ж) имеет в интервале (а, Ь) только одну особую точку с, а < с < 6, в которой она неограниченна. Сходящийся несобственный интеграл от а до Ъ определяется равенством \ f{x)dx+ \ f(x)dx\, J J J О ?2^« а С+Е2 же этот предел не существует или бесконечен, при е\ = 62 —У 0, то он называется главным значением несобственного интеграла /(ж) dx а и обозначается тем же символом. О где ?i, €2 > 0. Если же этот предел не существует или бесконечен, но существует предел ь
1.2.5] 1.2. Сходимость интегралов и операции с ними 631 1.2.5. Признаки сходимости интегралов от неотрицательных не- неограниченных функций. Пусть неотрицательная функция /(ж) интегрируема на любом отрезке [а, с], а < с < Ъ и /(ж) —у оо при ж —у 6^0. Рассмотрим несобственный интеграл ь jf(x)dx, f(xItO. D) а 1. Если при некотором S > 0 f[x) = О (F - ж)**) х —> b - 0, то интеграл D) сходится. Если /(Ж)~-^-, ж —>Ь-О, О — Ж где М > 0 — постоянная, то интеграл D) расходится. Если Г ill 1 /(ж) = oUb- ху1 In"* F - ж) , ж —> 6 - 0, А > 0, то интеграл D) расходится. 2. Пусть (р(х) > 0. Если Mm ^>o b x^b^O f{x) и интеграл (f(x)dx сходится, то и интеграл D) сходится. Если lim ^-f < оо ь ж^6^о /(ж) и интеграл у?(ж) dx расходится, то и интеграл D) расходится. а 3. Если /(ж) дифференцируема и существует такая дифференцируемая функция g(x) < < 0, что (?( \ ( \м (f(Xg(x)) >Q; то интеграл D) сходится. Если п^ (*«>*(«»' < о, /(ж) и интеграл —-.—г расходится, то расходится и интеграл D). J §\Х) а 4. Если /(ж) дифференцируема и lim > —1, то интеграл D) сходится. Если Нт < —1, то интеграл D) расходится. 5. Если /(ж) и (р(х) дифференцируемы и где у5 постоянная, <р{х) > 0, а ^С ж < 6, то интеграл D) сходится при /3 < — 1 и расходится при /3 > — 1. 6. Если /(ж) дифференцируема и ^ = с(Ь-х)аA + оA)), ж —>Ь-О,
632 Прил. I. Некоторые свойства интегралов, рядов, произведений [1.2.6 где с — постоянная, то интеграл D) сходится при а = — 1, с < 1 или при — ] и расходится при а = — 1, с > 1 или при а < —1, с > 0. 7. Если /(ж) и у?(ж) дифференцируемы и A + оA)), ж —>&-¦ 6 — ж b — x <p(x) b — x где /3 постоянная, а <р(х) не меняет знака в [а, 6), то интеграл D) сходится при /3 < < —1, ^?(ж) > 0 или при /3 > —1, (р(х) < 0 и расходится при /3 > —1, ^(ж) > 0 или при /3 < —1, ^>(ж) < 0. 1.2.6. Равномерная сходимость функций и интегралов, зависящих от параметра. 1. Пусть функция /(?, ж) определена при t G D, ж ? A, a to — предельная точка D. Если для любого ж Е А существует предел lim /(t, ж) = <^(ж) t—ytg и для любого ? > 0 найдется такое не зависящее от ж число ё? > 0, что при |t — ?о| < <^е неравенство \f(t, х) ~~ <р(х)\ < е выполняется сразу для всех ж Е А, то говорят, что /(?, ж) стремится к (р{х) при t —> to равномерно относительно ж в А. 2. Пусть функция /(?, ж) задана при всех ж ^ а и всех t из некоторой области в D и при каждом t E D существует интеграл сю j f(t, ж) с/ж. E) а Если для любого е > 0 найдется такое не зависящее от t число а? ^ а, что при всех с > ае неравенство г t, x) dx < выполняется для всех значений t E D, то интеграл называют равномерно сходящимся относительно t в области D. 3. Критерий Коши. Интеграл E) равномерно сходится в области D тогда и только тогда, когда для любого ? > 0 существует не зависящее от t число а? ^ а, такое, что неравенство f(t, ж) dx < е выполняется одновременно для всех t E D, лишь только а" > а ^ а?. 4. Пусть функция /(?, ж) задана для всех ж? [а, 6), ^оо<а<5<оо,и?из некоторой области D, и при каждом t E D существует интеграл (собственный или несобственный) ъ J/(t, ж) с/ж. F) а Е