Text
                    УДК 519.6
ББК 22.194
П85
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ря-
ряды. В 3 т. Т. 1. Элементарные функции. — 2-е изд., исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2002. - 632 с. - ISBN 5-9221-0323-7.
Книга содержит неопределенные и определенные (в том числе кратные) интегралы,
конечные суммы, ряды и произведения с элементарными функциями. Она является наибо-
наиболее полным справочным руководством, включает результаты, изложенные в аналогичных
изданиях, а также в научной литературе.
Книга предназначена для широкого круга специалистов в различных областях знаний,
а также для студентов вузов.
Первое издание — 1981 г.
Библиогр. 37 назв.
ISBN 5-9221-0323-7 (Т. 1)
ISBN 5-9221-0322-9	© ФИЗМАТЛИТ, 2002


ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................................................... 20 Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ....................... 21 1.1. Введение. ................................................. 21 1.1.1. Предварительные сведения ...................................... 21 1.1.2. Основные интегралы .......................................... 21 1.1.3. Общие формулы ............................................ 22 1.2. Степенная и алгебраические функции ............................ 22 1.2.1. Введение ................................................. 22 1.2.2. Интегралы вида J хр(ахг + ЬL dx ................................. 24 Г хт dx 1.2.3. Интегралы вида ..................................... 25 ) хп ±ап f xp dx 1.2.4. Интегралы вида ..................................... 26 Г dx 1.2.5. Интегралы вида .................................... 27 Г ( х + а\ч 1.2.6. Интегралы вида (ж + с)р I J dx .............................. 28 f xp dx 1.2.7. Интегралы вида ................................. 30 J (ж + ар(х + by 1.2.8. Интегралы вида J Я(ж, ах2 + Ьх + с) da; ............................. 31 1.2.9. Интегралы вида J R(x + d, ax2 + bx + с) da; .......................... 33 f xm dx 1.2.10. Интегралы вида — — ................................... 35 J (x2 ± aA)n f dx 1.2.11. Интегралы вида —— .................................. 37 f x±m dx 1.2.12. Интегралы вида -— —- ................................... 38 f x±m dx f x±m dx 1.2.13. Интегралы вида — —, ..................... 39 1.2.14. Интегралы вида J Я(ж, аж2^ + bxk + с) da; ........................... 41 1.2.15. Интегралы вида J R(x1'2, ах + b) dx .............................. 41 1.2.16. Интегралы вида J Я(ж1/2, ж2 ± a2) dx .............................. 43 1.2.17. Интегралы вида J ж±т(аж + 6)п+1/2 с!ж ............................. 43 Г хт dx 1.2.18. Интегралы вида ................................. 44 Г dx 1.2.19. Интегралы вида гу^- ............................... 45 1.2.20. Интегралы вида J Я(ж, л/ах + b , л/сх + d) da; ........................ 45 1.2.21. Интегралы вида Я(ж, у/ах + b ) da; ............................... 47
Оглавление Интегралы вида R[x, (ax + b)p'n] dx .............................. 47 Интегралы вида \ R\ ж, П 1 dx .............................. 48 J \ V сх + d ' Интегралы вида J R{x1'n, ж2 ± а2) da; .............................. 49 Ж Интегралы вида J R(y/x — а , л/ж — 6 , у/х — с) dx ....................... 49 а со Интегралы вида j R(y/x — а , л/ж — 6 , \/ж — с) dx ...................... 51 ж а Интегралы вида J R(y/a — ж , л/ж — 6 , у/х — с) dx ....................... 52 ж Ж Интегралы вида J R(y/a — ж , у/х — 6 , у/х — с) dx ....................... 54 Ь ъ Интегралы вида J R(y/a — х , \/fe — ж , л/ж — с ) rfa; ....................... 55 X X Интегралы вида J R(y/a — х , у/Ь — х , л/ж — с ) rfa; ....................... 56 с с Интегралы вида J R(y/a — ж , л/б — ж , л/с — ж ) rfcc ....................... 58 аз ж Интегралы вида j R(\/a — х , -\/Ь — ж , i/c — ж ) da; ..................... 59 X Интегралы вида J R(y/x — а , л/ж — 6 , л/х — с , л/х -— d) dx ................. 61 а а Интегралы вида J R(y/a ¦— ж , л/ж — 6 , л/х — с , л/ж -— d) dx ................. 62 аз ж Интегралы вида J R(y/a ¦— ж , л/х -— Ъ , \/ж — с , \/ж -— d) dx ................. 64 Ь ь Интегралы вида J R(y/a —¦ х , л/6 — ж , л/ж — с , л/ж — d) dx ................. 65 ж 33 Интегралы вида J R(y/a —¦ х , л/b — х , \/ж — с , д/ж — d) da; ................. 67 с с Интегралы вида J R(y/a —¦ х , \/6 — ж , \/с — ж , д/ж — d) da; ................. 69 ж 33 Интегралы вида J R(y/a —¦ х , \/6 — ж , у/с —¦ х , л/х —¦ d) dx ................. 70 d d Интегралы вида J R{\/a — ж , л/b — ж , у/с — ж , Vd — ж ) da; ................. 72 аз Интегралы вида /жт(ж2 ± a2)n+1/2 da; ............................. 74 Г (ж2±а2)-+1/2 Интегралы вида da; ............................... 75 J хт Г жт die Интегралы вида ................................. 76 J (ж2 ± ai)n+1/2 Г da; Интегралы вида —ттг ............................... 77 F J жто(ж2±а2)те+1/2 Г dx Г с!ж Интегралы вида , , , ................. 78 J (ж + 6)тел/ж2±а2 J (ж2±62)у/ж2±а2 Интегралы вида /жт(а2 - ж2)те+1/2 dx ............................. 79 1.2.22. 1.2.23. 1.2.24. 1.2.25. 1.2.26. 1.2.27. 1.2.28. 1.2.29. 1.2.30. 1.2.31. 1.2.32. 1.2.33. 1.2.34. 1.2.35. 1.2.36. 1.2.37. 1.2.38. 1.2.39. 1.2.40. 1.2.41. 1.2.42. 1.2.43. 1.2.44. 1.2.45. 1.2.46.
Оглавление 5 Г (а2~ж2)п+1/2 Интегралы вида da; ............................... 80 J хт Г жт с!ж Интегралы вида — 2 +1/2 ................................. 81 Г с^ж Интегралы вида 2\п+1/2 ••••••••••••••••••••••••••••••• 82 Г с^ж Интегралы вида , , ,п ......................... 82 J (хт ±Ьт)п(аа - ж2)п+1/2 Интегралы вида J х±т(ах2 + 6ж + c)n+1/2 do; ......................... 83 Интегралы вида ^——¦— ; ............................. 85 J (ах2 + 6ж + с)п+1/2 Интегралы вида J R(x + р, «ж2 + 6ж + с) dx .......................... 86 Интегралы вида J /(ж, уж2 — ж + 1) dx ............................. 88 ж Интегралы вида J Я(ж, ух2 + «2 , V ж2 -{- b2 ) dx ....................... 89 о со Интегралы вида j Я(ж, у ж2 + а2 , уж2 + б2 ) с!ж ....................... 90 ж X Интегралы вида J Я(ж, ух2 + а2 , уж2 ~~ b2 ) dx ....................... 91 ь о© Интегралы вида j R(x, ух2 + а2 , уж2 — Ь2 ) с!ж ....................... 92 ж ж ^ Интегралы вида J R(x, ух2 + а2 , V б2 — ж2 ) с!ж ....................... 93 о Ь Интегралы вида J Я(ж, уж2 + а2 , \/б2 — ж2 ) dx ....................... 94 ж X Интегралы вида J Я(ж, ух2 — а2 , уж2 ¦— b2 ) dx ....................... 95 а оо Интегралы вида j R(x, ух2 — а2 , уж2 — b2 ) dec ....................... 96 ж а Интегралы вида J Я(ж, у а2 — ж2 , уж2 -— Ь2) dx ....................... 97 ж ж Интегралы вида J Я(ж, у а2 — ж2 , уж2 — b2 ) dx ....................... 98 ъ ж Интегралы вида J Я(ж, у а2 — ж2 , у б2 — ж2 ) dx ....................... 99 о ь Интегралы вида J Я(ж, у а2 — ж2 , у б2 — ж2 ) dx ....................... 100 X Интегралы вида J Я| ж, у(ж2 + р2)(ж2 + р2) j dx ...................... 101 Интегралы вида J Я(ж, уж3 + 1) dx 1) ............................. 102 Интегралы вида J Я(ж, уж3 — 1) dx ) ............................. 103 Интегралы вида J Я(ж, у 1 — ж3 ) dx 3) ............................. 104 Интегралы вида J Я(ж, уж4 + 1) dx ............................... 105 Интегралы вида J Я(ж, у ±ж4 =р 1) dx .............................. 106 Интегралы вида j /(ж, уж + ж4 ) dx ............................... 107 Интегралы вида J Я(ж, уж — ж4 ) dx ............................... 107 Интегралы вида J Я(ж, \/хА + 262ж2 + а4 ) dx ......................... 108 1.2.47. 1.2.48. 1.2.49. 1.2.50. 1.2.51. 1.2.52. 1.2.53. 1.2.54. 1.2.55. 1.2.56. 1.2.57. 1.2.58. 1.2.59. 1.2.60. 1.2.61. 1.2.62. 1.2.63. 1.2.64. 1.2.65. 1.2.66. 1.2.67. 1.2.68. 1.2.69. 1.2.70. 1.2.71. 1.2.72. 1.2.73. 1.2.74. 1.2.75.
6 Оглавление 1.2.76. Интегралы вида J Я(ж, \Дс6 + 1) dx ............................... 109 1.2.77. Интегралы вида J Я(ж, y/l - ж6 ) da; ............................... 109 1.2.78. Интегралы вида J Я(ж, уж2 dz I) dx ............................... 110 1.2.79. Интегралы вида Я(ж, \/ж2 ± l)da;, /я(ж, \/l - х2 ) йж .................. 110 1.2.80. Интегралы вида J Я( ^±(ж - а) , у/(х -b))dx ........................ Ill 1.2.81. Интегралы вида J Я( \J xA + 1) daj ................................. 112 1.3. Показательная функция ...................................... 112 1.3.1. Интегралы вида J f{eax) dx ..................................... 112 1.3.2. Интегралы вида J/(ж, еаш)с1ж ................................... 112 1.3.3. Интегралы вида J /(ж, е~а ж ) dx ................................. 114 1.4. Гиперболические функции. .................................... 115 1.4.1. Введение ................................................. 115 1.4.2. Интегралы вида shp xdx^J chp x dx ............................... 115 1.4.3. Интегралы вида J shp x chg ж da; ................................... 116 Г shp x Г ch9 ж 1.4.4. Интегралы вида б?ж, dx ............................... 117 J ch^ x J shp ж Г с!ж 1.4.5. Интегралы вида .................................... 119 J shp x chg ж 1.4.6. Интегралы вида Шржйж,] cthp ж йж ............................... 120 1.4.7. Интегралы вида J R(sh ж, ch ж, th ж, cth ж) dx .......................... 120 1.4.8. Интегралы вида J R(sh (аж + 6), ch (еж -f d)) с!ж ......................... 124 1.4.9. Интегралы вида shp ж< > dxA chp ж< У dx .................... 124 J [ ch ax J J [ ch аж J 1.4.10. Интегралы вида J R(sh2ax1ch2ax1ysh2ax)dx ....................... 125 1.4.11. Интегралы вида J R(sh 2аж, ch 2аж, Vch 2аж ) dx ....................... 126 1.4.12. Интегралы вида J R(sh x, ch ж, \/« + 6 sh ж ) dx ......................... 126 1.4.13. Интегралы вида J R(sh x, ch ж, л/Ь ch ж — a ) с?ж ......................... 127 1.4.14. Интегралы вида J jR(sh ж, ch ж, л/Ь ch ж — a ) dx ......................... 127 1.4.15. Интегралы вида J R(sh ж, ch ж, у/а — b ch ж ) cfж ......................... 128 1.4.16. Интегралы вида J jR(sh ж, ch ж, л/« + b ch ж ) dx ......................... 129 1.4.17. Интегралы вида j K(sh ж, ch ж, у a2 sh2 ж dz fe2 , у b2 — a2 sh2 ж , л/a2 ch2 ж ± б2 , y/b2 - a2 ch2 ж ) с!ж ..................... 130 1.4.18. Интегралы вида J jR(sh ж, ch ж, %/« sh ж + 6 ch ж ) dx ...................... 130 1.4.19. Интегралы вида Vth ж с!ж, J л/cth ж с!ж ............................. 131 Г f sh ж 1ч 1.4.20. Интегралы вида жр< > dx ................................. 131 J I ch ж j Г 1 f sh ж 1 g 1.4.21. Интегралы вида —< > dx ................................. 132 J xP { ch ж j Г f th ж 1 m 1.4.22. Интегралы вида жр^ > dx ................................ 133 J [ cth ж J 1.4.23. Интегралы вида J xr shp ж chg ж с!ж ................................ 133 Г жр Г жр 1.4.24. Интегралы вида dx, dx .............................. 134 J sh9 ж J chg ж
Оглавление 7 1.4.25. Интегралы вида \ Щ хр Л^ Ж >, а + 6< S \) dx ...................... 135 J V I h J [ h J / >, а + 6< ch ж J [ ch x 1.4.26. Интегралы вида \(Ьх + c)±ni S > dx ............................ 135 J [ ch аж J 1.4.27. Интегралы вида J Я(ж, eax, shbx, chbx) dx ........................... 136 1.5. Тригонометрические функции .................................. 137 1.5.1. Введение ................................................. 137 1.5.2. Интегралы вида J slnp ж da; ...................................... 138 1.5.3. Интегралы вида J cosp ж с?ж ...................................... 139 1.5.4. Интегралы вида J slnp x cosg x dx .................................. 140 Г sinp x 1.5.5. Интегралы вида dx ..................................... 141 J cos*? x Г cosg ж 1.5.6. Интегралы вида йж ..................................... 143 J sinp x Г о*ж 1.5.7. Интегралы вида ................................... 144 J sinp x cos*? x 1.5.8. Интегралы вида tgp xdx,j ctgp x dx ............................... 145 1.5.9. Интегралы вида J R(sin x, cos ж, tgx, ctga;) о*ж .......................... 145 Я sin (ож + Ь) sin (еж + d) 1 f , . , . > йж, sin (аж + 6) х х cos (ex + d) dx . 149 cos (аж + b) cos (еж + d) J J 1.5.11. Интегралы вида j sinp ж sin аж с!ж ................................. 150 1.5.12. Интегралы вида] Бтржсо8ажа|ж ................................. 150 1.5.13. Интегралы вида j cosp ж sin аж dx ................................. 151 1.5.14. Интегралы вида] cosp ж cos аж dx ................................. 151 1.5.15. Интегралы вида < > < > dx .......................... 152 J [ cos ж J [ cos пж J 1.5.16. Интегралы вида J Ji!(sin аж, cos аж, л/sin 2аж ) а*ж ........................ 153 1.5.17. Интегралы вида J R(sin ах, cos ах, ycos2ax ) dx ....................... 154 1.5.18. Интегралы вида j Ji!(sin аж, cos аж, у/— cos 2аж ) а*ж ...................... 156 1.5.19. Интегралы вида j K(sin ж, cos ж, у/a dz 6 sin x) dx ....................... 157 1.5.20. Интегралы вида j K(sin ж, cos ж, у/a dz 6 cos x) dx ....................... 158 1.5.21. Интегралы вида j K(sin ж, cos ж, л/а + b sin ж + с cos x) dx .................. 160 1.5.22. Интегралы вида J R(yl — к2 sin2 x) dx ............................. 161 1.5.23. Интегралы вида J Я(8тж, yl — le2 sin2 ж ) о*ж ......................... 161 1.5.24. Интегралы вида J Я(со8ж, у 1 — к2 sin2 x) dx ......................... 162 1.5.25. Интегралы вида J sinm x cosn ж у A — 1г2 sin2 x)p dx ..................... 164 Г sinm ж / 1.5.26. Интегралы вида у 1 — 1г2 sin2 ж а*ж ........................... 165 J cosn ж Г sinp ж cos"? ж 1.5.27. Интегралы вида —, dж ............................. 166 J д/A - ^2 sin2 ж)^ Г sinp ж с!ж Г cosp ж о*ж 1.5.28. Интегралы вида г, г ......... 168 J cos*? ж ^/A _ к2 sin2 ж)*- J sin^ ж y/(i - к2 sin2 х)г VI1 — k sm • si 1.5.30. Интегралы вида - ....................... 170 1.5.29. Интегралы вида ^^ ^; с!ж ............................. 169 J sinm ж cosn ж ж cosn ж ^
8 Оглавление 1.5.31. Интегралы вида J R(sin х, cos ж, yl — р2 sin2 ж , yl — q2 sin2 ж ) dx ............ 170 г (а + sin ж)р 1.5.32. Интегралы вида / dx ............................... 171 (а + sin ж) V 1 — fc2 sin2 ж г A _|_ a sin2 ж)р 1.5.33. Интегралы вида \ =^=- Aж ............................... 172 J \Д - к2 sin2 ж 1.5.34. Интегралы вида f dx ............................... 173 J у 1 — к2 sin2 ж 1.5.35. Интегралы вида — с?ж ............................... 174 J л/l - fc2 sin2 ж 1.5.36. Интегралы вида j K(sin ж, cos ж, yl — р2 sin2 ж ) с!ж ...................... 176 1.5.37. Интегралы вида J R(sm ж, cos ж, yl + p2 sin2 ж ) dx ...................... 176 1.5.38. Интегралы вида J R(sm ж, cos ж, \/a2 sin2 ж — 1) dx ...................... 177 1.5.39. Интегралы вида /(tg аз) da;,J /(ctgаз) da; ............................ 178 Г Гвтж!9 1.5.40. Интегралы вида жр< > da; ................................. 179 J [ cos ж J Г 1 f sin ж 1 q 1.5.41. Интегралы вида —< > da; ................................. 180 J xP {cos ж J 1.5.42. Интегралы вида \ xp I \ dx ................................. 182 J I ctg ж J 1.5.43. Интегралы вида J xr sinp ж cos*7 ж с!ж ............................... 182 f жр с^ж 1.5.44. Интегралы вида — ....................................... 183 J sing ж Г жр о!ж 1.5.45. Интегралы вида ....................................... 184 J cos*? ж 1.5.46. Интегралы вида J Я(жр, sin ж, cos ж, а + 6 sin ж + с cos ж) dx ................. 185 Г ж sin ж cosn ж 1.5.47. Интегралы вида —, dx ............................. 185 J V(l - к2 sin2 ж)^ 1.5.48. Интегралы вида (ж + 6)±ni SmaX \dx ............................ 185 J [ cos ax J 1.5.49. Интегралы вида J eax sinp ж cos*1 a; da; ............................... 186 1.5.50. Интегралы вида \eax\ gX \ dx ................................ 188 J Ictg ж J 1.5.51. Интегралы вида J R(x, eax, sin bx, cos баз) dx .......................... 188 Hsh (аж + b) } m f sin (еж + d) 1 n ) A < ) A dx .................... 189 ch (ax + b) j [ cos (еж + d) J f _ f в!пж2 1 \ xp { 0 } J у cos ж^ J 1.5.53. Интегралы вида жр< 2 > dx ................................. 192 1.6. Логарифмическая: функция .................................... 193 1.6.1. Интегралы вида J xp In*1 ж dx .................................... 193 Г жр dx 1.6.2. Интегралы вида ....................................... 194 J In*3' 1 ж 1.6.3. Интегралы вида J (ж + aL In ж с!ж .................................. 194 Г жта1пж 1.6.4. Интегралы вида — j- dx ................................. 195 J (а2 ± ж2)п/2 1.6.5. Интегралы вида J xp In (аж + 6) da; ................................. 195 1.6.6. Интегралы вида ж т In dx ................................ J ж — а 196
Оглавление 209 1.6.7. Интегралы вида J ж In (ж2 db a2) dx ............................... 196 1.6.8. Интегралы вида J х±т In (ж + \/х2 ± а2 ) с!ж .......................... 198 1.6.9. Интегралы вида ^ - In (ж + \/ж2 ib 1) dx, f 1пр(ж + \J x1 ±\)dx .......... 199 1.6.10. Интегралы вида J /(ж, In ж, еаж, sin ж, cos ж, ...) о*ж ...................... 199 Г 1п(аж + b) In (еж + d) 1.6.11. Интегралы вида — da; ........................... 201 J fx + g 1.7. Обратные тригонометрические функции .......................... 202 1.7.1. Введение ................................................. 202 1.7.2. Интегралы вида < arcsm\x/a) I dx ............................... 203 J [ arccos (ж/а) j 1.7.3. Интегралы вида f Ж±"{ аГС8'П {х/п) ) dx 203 J [ arccos (x/a) J 1.7.4. Интегралы вида f(l ± ж)±«+1/2 ( arcsm ж 1 dx ......................... 204 J [ arccos x J 1.7.5. Интегралы вида f x^(l - ж2}д+1/2 f arcsin ж lr ^ ....................... 205 J [ arccos x J 1.7.6. Интегралы вида xp\ arcsecWa) 1 da, ............................ 207 J [ arccosec (ж/а) J 1.7.7. Интегралы вида \{х ± 1)±п+1/2( агсзесж ) ^ ........................ 209 J I arccosec ж J 1.7.8. Интегралы вида L™^2 - l)±n+1^{ Ж€5есх X dx .................... J ^ arccosec ж J 1.7.9. Интегралы вида f xp\ агс^(ж/а) I ^ .............................. 211 J [arcctg(x/a) J 1.7.10. Интегралы вида [>(ж2 + a2L arctS (ж/«) Г da, ...................... 212 J [arcctg^/a) J 1.8. Обратные гиперболические функции ............................. 214 Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .......................... 215 2.1. Введение. ................................................. 215 2.1.1. Предварительные сведения ...................................... 215 2.1.2. Общие формулы ............................................ 216 2.2. Степенная ж алгебраическая: функции ............................ 222 2.2.1. Введение ................................................. 222 2.2.2. Интегралы общего вида ........................................ 222 2.2.3. Интегралы от (ж*4 Т «м)р и (а** - х^)р .............................. 237 2.2.4. Интегралы от ха(а^ ± х^)р ..................................... 237 2.2.5. Интегралы от (aM ± жм)рF1/ =р ж17) ................................ 239 з 2.2.6. Интегралы от Y\ (ak ± ^)pfe ..................................... 241 fe=i з 2.2.7. Интегралы от f\ (а^к ± х^к)Рк .................................. 244 k=i п 2.2.8. Интегралы от f\ (а^к ± х^к)Рк , п ^ 4 .............................. 245 fe=i 2.2.9. Интегралы от жа(аж2 + Ьх + с)рЛ(ж) ............................... 247 2.2.10. Интегралы от жа(аж4 + 26ж2 + с)рА(х) ............................. 251 2.2.11. Интегралы, содержащие А{\/ах2 + баз + с) ........................... 252 2.2.12. Интегралы, содержащие разности алгебраических функций ................ 255
10 Оглавление 2.3. Показательная функция ...................................... 256 2.3.1. Введение ................................................. 256 2.3.2. Интегралы общего вида ........................................ 256 2.3.3. Интегралы от хае~рх ......................................... 259 2.3.4. Интегралы от (ж ± а)ре~рх ..................................... 260 2.3.5. Интегралы от (хп ± ап)ре^рх .................................... 260 2.3.6. Интегралы от ха(х ± а)ре^рх .................................... 261 2.3.7. Интегралы от жа(ж2 ± а2)ре^рх и ха(а2 - х2)е^рх ...................... 262 2.3.8. Интегралы от ха Y\(a^k ± х^к)Рке^рх .............................. 264 к 2.3.9. Интегралы от ха(л/х7Т^ + ахр + hz^)pe^px .......................... 265 2.3.10. Интегралы от ха(\/х2 + z2 + ах + 6^)ре^рж ......................... 265 2.3.11. Интегралы от жа[(л/аж^ + 6 ± -\/сж^ + rf)^ ± (у/ах» + 6 =F л/сж17 + с!)р]е^рж ..... 266 2.3.12. Интегралы от xa(eqx + z)Ae^pa; .................................. 269 2.3.13. Интегралы от xa(eqx - z)xe^px .................................. 271 2.3.14. Интегралы от (ae^qx + beqx + c)/^) ............................. 274 2.3.15. Интегралы от Л(ж)е"рж2т<|Ж .................................... 276 2.3.16. Интегралы от A(x)e^px^q/x .................................... 277 2.3.17. Интегралы от Л(ж)е~ь^2±«2 -рх ................................ 278 2.3.18. Интегралы от eg^f(x) ....................................... 279 2.3.19. Интегралы, содерж:ащие разности алгебраической и показательной функций ..... 279 2.4. Гиперболические функции. .................................... 281 2.4.1. Введение ................................................. 281 2.4.2. Интегралы общего вида ........................................ 282 Г sh bx I a 2.4.3. Интегралы от А(х)< > .................................... 283 П( sh b^x I < >...................................... 284 Ich6fcxj 2.4.5. Интегралы от А(х) flfshbkX\ .................................. 286 11 [ сЬб^ж J 2.4.6. Интегралы от (а + 6 chn 6ж + с shnbx)pTJ\ B11Cfcii; L ..................... 287 Y [сЬс^-ж j 2.4.7. Интегралы от Л(ж)(а + 6chn 6ж + cshn 6ж)р FT I S С|гЖ I .................. 290 2.4.8. Интегралы от A(x)chbx I , > ............................ 291 2.4.9. Интегралы, содержащие Шаж^Ьаж и разности гиперболических и алгебраических функций ..................................................... 291 2.4.10. Интегралы от хае~рх\Ьх 1 .................................. 292 { ch bx j 2.4.11. Интегралы от е~~~рх и гиперболических функций ....................... 293 2.4.12. Интегралы от А (ж), е^рх и гиперболических функций .................... 294 2.4.13. Интегралы от ха(ех + а)ре~рх{ShbX\ ............................. 295 [ ch bx J {b 4- sh ax 1 °" } ............................... 296 6 + ch ax j 2.4.15. Интегралы от жае^аж2"сж(811бЖ1 ................................ 296 [ ch bx J iI So СХЖ I 2.4.16. Интегралы от А(ж) ехр (-р\/ж2 + z2 ) \ ........................ 298 I ch ax J
Оглавление 11 2.4.17. Интегралы от жае/(ж)(8Ь6Ж1 ................................... 298 1 ch 6ж J f sh bx I 2.4.18. Интегралы от /(ж)ехр < > .................................. 298 [ ch bx j I 2" 2.4.19. Интегралы от А(х)е~рх { "Л ?Х } ......................... 299 + bx + с 1 + 6ж + с J 1 2.4.20. Интегралы от Л(ж)е/(ж) { ""Г"' ^ " п ^ .......................... 301 ch [cx/(a — ж )] 2.4.21. Интегралы, содерж:ащие Л(ж), е^*^ж% 8Ь^(ж), сЬ^(ж) ..................... 302 2.4.22. Интегралы, содерж:ащие разности Л(ж),е~~рж, I > ................... 303 [ ch 6ж J 2.5. Тригонометрические функции .................................. 305 2.5.1. Введение ................................................. 305 2.5.2. Интегралы общего вида ........................................ 306 2.5.3. Интегралы от ха \ ШП \ ..................................... 312 [ cos bx j 2.5.4. Интегралы от хт\ ШПХ \ ..................................... 314 [ cos ж j 2.5.5. Интегралы от (ж + z)^ < > .................................. 315 [cos bxJ 2.5.6. Интегралыот(ж2±а2)^(81п6ЖГ,(а2^Ж2)^(81п6ЖГ .................. 315 [ cos bx J [ cos bx J 2.5.7. Интегралы от ж«(ж±а)^(81п6Ж },ж«(а^ж)^(8Ы 6Ж1 ................... 316 [cos bxJ [cos bxJ 2.5.8. Интегралы от жа(ж2^а2)^(81п6Ж1,Ж«(а2^ж2)^(81п6Ж1 ................ 318 [ cos bx J [ cos bx J 2.5.9. Интегралы от —-^—-— I X \ ................................ 319 (ж2 + z2)P [соБбж j xm ( slnbx 1 l 2.5.10. Интегралы от — \ \ .................... 320 апжп + an-ixn г + . . . + ао [ cos bx J 2.5.11. Интегралы от жа(\/ж2 ± z2 + аж + 6^I/Л(ж)^ I ................... 323 [ J 2.5.12. Интегралы от П ( Sin а*Ж Г* ( sin ^ж Г" ? ГТ sinMfe а&ж cos-fe 6fca. ........... 324 AfcA [ cos akx J [ cos bkx J AfcA 2.5.13. Интегралы от xa sin^ а ж cos17 6ж .................................. 327 xa 2.5.14. Интегралы от — sin'" a ж cos17 Ьж ............................... 331 x1 db z1 2.5.15. Интегралы от ха О sin'" а^ж cos17 b^x .............................. 333 к sin еж p 2.5.16. Интегралы, содержащие I a + b{ > I .......................... 334 V I cos ex J/ 2.5.17. Интегралы, содержащие (a cos ж + b sin ж + с)р ......................... 340 2.5.18. Интегралы, содержащие (acos2 ж + 6sin2 ж + c)^n ...................... 342 2.5.19. Интегралы, содержащие (acos2 ж + bsin2 ж + сI'2 ...................... 344 . ч f sin ax 1 M f sin (Ьж + с) 1 v , . f sin аж 1 M f cos Fж + с) ) " 2.5.20. Интегралы от Л (ж) <^ \ { , А ,Л(х)< \ { ) {).... 348 [ cos ax J [ cos (bx + с) J [ cos аж J [ sin Fж + с) J Г з1п(ажр + 6жд + с) ] 2.5.21. Интегралы от < х ; ^ ............................... 349 1соз(ажр + bxq + c) J _, Г sin ажр sin 6ж 1 _, Г sin ажр cos bx I 2.5.22. Интегралы отжа Ь ж 1 . ^ ................... 349 I cos axp cos 6ж I I cos axp sin 6ж I
12 Оглавление 2.5.23. Интегралы от А(х){ 8Ш ^Х + &^ I ............................... 351 [ cos (ах + Ь/х) J _, f sin (а/ж) sin bx I _, f sin (а/ж) cos 6ж 1 2.5.24. Интегралы отжа )' { >, % { , ' \ \ ................. 352 [ cos (а/ж) cos bx J [ cos (а/ж) sin bx J Г sin (су а2 ± ж2 ) sin Ьх\ \ sin (су а2 ± ж2 ) cos bx ] 2.5.25. Интегралы от А (ж) I V , ; М(ЖН , }..... 352 \/| / / 9 I 9 \ L I ^ ' I / / 9 I 9 \ • L I ^ cos (с v «¦ ± xz ) cos ож J ^ cos (су az ± xz ) sin ож j Г tg аж 1 2.5.26. Интегралы, содержащие < > ................................ 354 { ctg аж J 2.5.27. Интегралы, содержащие тригонометрические функции от тригонометрических функ- функций ......................................................... 356 2.5.28. Интегралы, содержащие ха и тригонометрические функции от тригонометрических функций ..................................................... 357 2.5.29. Интегралы, содержащие разности тригонометрических и алгебраических функций . 358 Г sin bx I n 2.5.30. Интегралы от е^рх { \ ................................... 361 [cos ож J 2.5.31. Интегралы от хае^рх\ smbx\ .................................. 362 [cos bxJ 2.5.32. Интегралы от А(х)е^рх{ ШП Ы 1 ................................. 363 [cos bx j Sin ОТ I r* Г GiTi hk 'T* 1 cos аж {Sin ОТ i J \ 1xaepxmn^axcos1Jbx ............. 364 cos аж J [cos bx J 2.5.34. Интегралы от хаR(eax){ smbx\ ................................. 365 [cos bxJ 2.5.35. Интегралы от /(ж, еаж, sin bx, cos баз) ............................... 366 2.5.36. Интегралы, содержащие е~аа;2™сж J X 1 .......................... 367 [ cos bx J _ _ / Г sin bx 1 2.5.37. Интегралы от хае рх q/x< } ............................... 368 [cos bxJ 2.5.38. Интегралы, содержащие е~а^х , ea^, I I ....................... 368 [ cos 6ж J 2.5.39. Интегралы, содержащие ел(х' ml > ........................... 370 [ cos Ьж J 2.5.40. Интегралы, содержащие показательную функцию от показательной и тригонометри- f sin bx I ческих функций и< > ......................................... 370 [ cos bx J 2.5.41. Интегралы, содержащие А(х),е^х\1 9 ,-, >................ 371 I cos (аж + bx + с) J 2.5.42. Интегралы от Л(ж)е^раЧ Sm >^ } ......................... 373 1 cos \/аж2 + 6ж + с 2.5.43. Интегралы от А(х)е^хЧ 7/2 2 ......................... 375 cos [сх/(х ±. а )\ 2.5.44. Интегралы, содерж;ащие показательную и тригонометрические функции от тригоно- тригонометрических функций ............................................. 376 2.5.45. Интегралы, содержащие разности функций А(х), е^рх,< > ............. 378 [ cos bx J е ( sin bkX \ Vk j~j Г sh a^x \ ^k f cos b^x \ Vk * l< |-r f shafcxlMfe f sin6fea; 1 fe n f sh а^-ж l f cos bkx \ 2.5.46. Интегралы от > < } , Ц< } < . , } ........ 380 ^[chai^J [соэб^ж] у [hJ {bj о c лп тл а П f shafc« 1 Mfe f sinbkx 1 ^ !-| f shafea? 1 Mfe f cos6fc« 1 2.5.47. Интегралы от ж > < > ,ж < > < > .... 381 LkL [chakX) [созб^ж] жкж {chakX) [ sin б^ж j {sin еж 1 > ..................... 382 _ cos ex J
Оглавление 13 2.5.49. Интегралы, содержащие А(х)(а + bch2 x)vI > ..................... 384 [cos еж J 2.5.50. Интегралы, содержащие A(x)(ch ах ± cos bx)"'11 > .................. 384 [cos ex J 2 2 —1 f ^ ^*^ 1 f ^^ ^ 2.5.51. Интегралы, содержащие (ж -f z ) { > < /, I ch аж J I cos 6ж I }() 385 [ ch ax J [ sin bx J 2.5.52. Интегралы, содержащие А(х), зпбж, сЬбж, sin ax , cos bx ................. 387 [ sh (v a2 — ж2 ) sin 6ж 1 [ sh (\fa2 ¦— x2 ) cos 6ж ] 2.5.53. Интегралы от А (ж) { ; М(ЖМ , > ....... 388 У ch (v a2 — ж2 ) cos bx J [ ch (ya2 — ж2 ) sin 6ж J 2.5.54. Интегралы, содержащие тригонометрические функции от гиперболических функций 389 2.5.55. Интегралы, содержащие гиперболические функции от тригонометрических функций 390 2.5.56. Интегралы, содержащие е^рж, эЬаж, сЬаж, sinbx, cosbx .................. 391 2.5.57. Интегралы, содержащие е*^х\ яЬаж, сЬаж, sinte, cos bx .................. 392 2.6. Логарифмическая функция .................................... 393 2.6.1. Введение ................................................. 393 2.6.2. Интегралы общего вида ........................................ 393 2.6.3. Интегралы от ха \па ж ......................................... 397 ха 2.6.4. Интегралы от 1пст ж ................................... 398 (х^^а^)Р ха 2.6.5. Интегралы от \па ж ................................... 399 (а^-х^)Р ха In*7 ж 2.6.6. Интегралы от ..................................... 402 ах1 + bx + с 2.6.7. Интегралы от ха(а2 - ж2) Inn ж ................................... 404 2.6.8. Интегралы от А(х) 1пте ж ....................................... 404 2.6.9. Интегралы от ха 1пп(аж + Ь) ..................................... 406 2.6.10. Интегралы от жа(аж + 6)^ 1пп (еж + d) .............................. 408 2.6.11. Интегралы от жа(аж2 + Ъ)& In (еж + d) .............................. 413 2.6.12. Интегралы от жа(а1Ж + 6i)/3(a2aj + 62O 1пте(сж + d) ..................... 414 2.6.13. Интегралы от ха \пп .................................... 416 еж + d 2.6.14. Интегралы от А(х) In (аж2 + bx + с) ............................... 418 Р(х) 2.6.15. Интегралы от А(х) In ..................................... 420 Q(x) 2.6.16. Интегралы от А(х)\па(л/ах^ + bz^ + cxv) ........................... 420 2.6.17. Интегралы, содержащие А(х) и .............................. 424 1пп ж А(х~) 1пте ж 2.6.18. Интегралы от —^ ...................................... 428 lnm ж + a 2.6.19. Интегралы от произведений логарифмов ............................ 429 2.6.20. Интегралы, содержащие In In ж ................................... 430 2.6.21. Интегралы от хае^рх^ \пп х .................................... 431 2.6.22. Интегралы от xaeax2+bx±1 lnn x ................................. 431 2.6.23. Интегралы от хае^рх In B + bx) ................................. 432 2.6.24. Интегралы от А(х)е~рх In (ах2 + bx + с) ............................ 433 2.6.25. Интегралы от е~рх \п А(х) ..................................... 434 2.6.26. Интегралы от R(ex) In ж ....................................... 434 2.6.27. Интегралы, содержащие жа,е~~рж и ......................... 435 1пп(ж + а) 2.6.28. Интегралы от ха In (a + be~px) .................................. 435 2.6.29. Интегралы от ха R(sh ж, ch ж) In ж ................................. 435
14 Оглавление 2.6.30. Интегралы от A(x)R(shx, сЬж) In А(х) ............................. 436 2.6.31. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию от гиперболических функций . 437 N f sin bx [ cos bx 2.6.32. Интегралы от Л (ж К t } lnn x ................................. 438 2.6.33. Интегралы от А(х)< > In A(x) ............................... 439 [cos bxJ Г sin bx 1 2.6.34. Интегралы, содержащие In < > ............................... 440 [ cos bx j Г cifi fjnr* I 2.6.35. Интегралы, содержащие Inn < > .............................. 444 [cos bxJ 2.6.36. Интегралы от A(x, sin ж, cos ж) In (a cos ж + 6 sin ж + с) .................... 444 a\ cos ж + 6i sin ж + ci 2.6.37. Интегралы, содержащие In ....................... 446 «2 cos ж + 62 sin ж + C2 2.6.38. Интегралы, содержащие In (a cos2 ж + b sin2 ж + с) ....................... 447 2.6.39. Интегралы, содержащие In A{igx) ................................ 448 2.6.40. Интегралы, содержащие показательную, логарифмическую, гиперболические и триго- тригонометрические функции ........................................... 450 2.7. Обратные тригонометрические функции .......................... 451 2.7.1. Введение ................................................. 451 2.7.2. Интегралы общего вида ........................................ 451 Г arcsin bx I 2.7.3. Интегралы, содержащие < > ............................... 455 [ arccos bx J 2.7.4. Интегралы от А (ж), < > .................................. 455 [ arcctg ж J arctg 6a \ arcctg bx , 2.7.5. Интегралы от А(х), е~^х, ( arctg 6ж 1 .............................. 457 [ arcctg bx J w ч f sin ax 1 I arctff bx I 2.7.6. Интегралы от Л(ж), <^ >, < +1 ? ......................... 458 [ cos ax J I arcctg 6ж J 2.7.7. Интегралы, содержащие arctg ax и логарифмическую функцию .............. 459 Г arctg fix) 1 2.7.8. Интегралы, содерж:ащие < >.............................. 459 [arcctg/(ж)] / Г arctg ж 1 \ 2.7.9. Интегралы, содержащие /< > I ............................. 460 V [ arcctg ж J / 2.8. Обратные гиперболические функции ............................. 461 Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ................................ 462 3.1. Двойные интегралы ......................................... 462 3.1.1. Введение ................................................. 462 3.1.2. Общие формулы; интегралы от алгебраических функций ................... 463 3.1.3. Интегралы, содержащие показательную функцию ....................... 464 3.1.4. Интегралы, содержащие гиперболические функции ...................... 468 3.1.5. Интегралы, содержащие тригонометрические функции .................... 469 3.1.6. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию ..................... 474 3.1.7. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции ..................................................... 474 3.2. Тройные интегралы .......................................... 475 3.2.1. Введение ................................................. 475 3.2.2. Общие формулы; интегралы от алгебраических функций ................... 477 3.2.3. Интегралы, содержащие показательную, гиперболические и тригонометрические функ- функции ......................................................... 478 3.3. Многомерные интегралы ...................................... 479 3.3.1. Введение ................................................. 479 3.3.2. Интегралы по области х\ + х\ + . . . + х\ ^ г2 ......................... 479
Оглавление 15 a 2 3.3.3. Интегралы по области — 1 Ь • • • Н — ^ 1 ...................... 481 «1 «2 On 3.3.4. Интегралы по области xi ^ О, Х2 ^ 0, . . . , хп ^ 0,Ж1 + Ж2 + • . • + жп ^ а ........ 483 ь ъ 3.3.5. Интегралы вида J*. . . J /(x) dx ................................... 485 Глава 4. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ 4.1. Введение. ............... 4.1.1. Суммы вида ^(±1)кР{к) . . . . Ef±l)fe — ......................................... 490 ks f±l) 4.1.3. Суммы вида V -^ ^-— ....................................... 490 ^ (к + а) f±l) 4.1.4. Суммы вида \"^ ................................... 491 ^^ (к + а)(к + Ь) (il) 4.1.5. Суммы вида \"^ ............................... 491 У ^ (к + а)(к + Ь)(к + с) р( L\ 4.1.6. Суммы вида ^J —т~т и ДРУгие ................................... 492 4.1.7. Суммы вида ^J akx ...................................... 493 4.1.8. Суммы вида ]T(±l)fc - ...................................... 494 Ln J 4.2. Биномиальные коэффициенты .................................. 495 4.2.1. Суммы вида V(±l)fe | fe ) ..................................... 495 \Ьк/ 4.2.2. Суммы вида \^ ак[ 1 ....................................... 496 \Cfe/ 4.2.3. Суммы вида V ак ( к )хк ...................................... 499 ^ Чел/ 4.2.4. Суммы вида \J ад. ( J ...................................... 500 4.2.5. Суммы вида y(±l)fefafe)fCfe ) ................................. 501 'bk\fdk /bk\fdk ^fc 4.2.6. Суммы вида V ак ( Ьк ) ( dk ) ................................... 506 4.2.7. Суммы вида / a^ I I I J ж ^ \ckj\ekj Ьк .................................. 507 -i 4.2.8. Суммы вида VaJ M M .................................. 509 bk\fdk\ffk 4.2.9. Суммы вида У" аМ ) ( ) ( ) ............................... 511 ^^ \ckj\ek)\gk) 4.2.10. Суммы вида VoJ fc J ( fe ] ( fc J ............................. 513 ^^ \Ck/ \ek/ \gk/ 4.3. Гиперболические функции. .................................... 514 4.3.1. Суммы вида / од, я > ................................. 514 ^^ { ch (А;ж + a) j 4.3.2. Суммы, содержащие sech ж и th ж ................................. 515
16 Оглавление 4.4. Тригонометрические функции .................................. 515 лл 1 гл V^ \ s'm(kx + a) 1 С1С 4.4.1. Суммы вида > ск^< > ................................. 515 ^^ [ cos (кх + a) J ^ fsinfcx1 4.4.2. Суммы вида Л a^<f > .................................... 517 z—' [ cos кх J 4.4.3. Суммы вида /а^< > ................................... 518 ^-^ [ cos ЬкХ ) v^ Г sinkx )l ( sin ку)т 4.4.4. Суммы вида > ад.< >< > ............................. 519 z-^ [ cos Дгж J [ cos ky J 4.4.5. Разные суммы, содержащие sin ж, cos ж .............................. 520 4.4.6. Суммы, содержащие sec ж, cosecx ................................. 521 4.4.7. Суммы, содержащие tga&, ctga^ .................................. 522 4.4.8. Суммы, содержащие логарифмы .................................. 523 4.4.9. Суммы, содержащие арктангенсы .................................. 524 Глава 5. РЯДЫ. .............................................. 525 5.1. Числовые ряды ............................................. 525 5.1.1. Введение ................................................. 525 5.1.2. Ряды вида V - }— .......................................... 526 ^^ ks E(±l)fc -± Ч— ........................................ 526 (к + a)s 5.1.4. Ряды вида \"^ ........................................ 527 Е( — ~\_\к ......................................... 528 кп + те 5.1.6. Ряды вида V (i }^}\ t i4 ..................................... 528 5.1.7. Ряды вида > —-^ ....................................... 529 ^^ к(кп + те) ................................... 530 Ь те) (±1)к 5.1.9. Ряды вида V ¦ ................................... 531 ^^ Bк + 1)(^п + те) 5.1.8. Ряды вида Т,,кА(к'п 5.1.10. Ряды вида V ^ .................................. 532 ^ (Зк + /)(Лп + т) 5.1.11. Ряды вида 5] ^.^t^ ^ ч .................................. 532 ^^ Dfe + /)(А;п + те) 5.1.12. Ряды вида ^ ,к, , ^ , г .................................. 533 ^^ EА; + 1)(кп + те) 5.1.13. Ряды вида V ^ .................................. 533 Z^ (пк + 1)(к + ) 5.1.14. Ряды вида ? ,,, ^^ ^ ч .................................. 534 ^^ (8А; + 1)(кп + те) 5.1.15. Ряды вида V ^ ............................. 534 ^ (ка + Ъ)(ка + с)(ка + d) 5.1.16. Ряды вида Y, ТУТ Т^Щг " 7 ............................. 535 ?—J к{кть\ + mi)(«Ti2 + шч) 5.1.17. Ряды вида ? ,, , iU, ^^ w, г .......................... 536 /^ (к + \)(кп\ + )(k + )
Оглавление 17 fdzl)^ 5.1.18. Ряды вида V - - ........................ 538 Z^ Bk + т)(кт + т1)(кп2 + ш2) 5.1.19. Ряды вида V - - .......................... 540 Z^ Ck + m)Ck + mi)Cife + m2) /ii \fc 5.1.20. Ряды вида У^ .......................... 540 ^ Dfc + )Dfc + )Djfe + ) 5.1.21. Ряды вида V Ц^ ............... 541 /-^1 [кп\ + m\)(kni + m2)(kn% + тз)(/еп4 + 7714) fdzl)^ 5.1.22. Ряды вида V - - .................... 543 /-^1 (kni + т\)(кП2 + ГП2) • • • (kns + ТЛ5) 5.1.23. Ряды вида ^ ^^ ^^ т—— -, г = 6, 7, 8, 9 ............ 545 5.1.24. Ряды вида V ^ }- ........................... 546 ^ (k + ai)(k + a2) . . . (k + an) 5.1.25. Ряды вида E (fc2 ± a2), 548 5.1.26. Ряды вида }^ 2—^- .................................. 550 fdbl)^ 5.1.27. Ряды вида Л — ™ ...................................... 552 5.1.28. Ряды вида ^ .................................. 552 5.1.29. Ряды вида V 6П ——— ....................................... 553 ^^ 1 ± а1п 5.1.30. Ряды вида ^ ^| ........................................... 553 5.1.31. Ряды вида \J — ........................................... 554 N(k) 5.1.32. Ряды вида \J a^ I /J &m J .................................... 554 5.2. Степенные ряды ............................................ 554 5.2.1. Введение ................................................. 554 5.2.2. Ряды вида ^ Р(к)хк ......................................... 555 хк 5.2.3. Ряды вида \J ........................................ 555 (к + a)s 5.2.4. Ряды вида V -^ — хк ....................................... 556 ^-^ пк + т хк 5.2.5. Ряды вида > ................................... 557 5.2.6. Ряды вида V у- ¦ V / ¦ -, j > 2 ................. 559 z-^ (kni + mi)(kn2 + ГП2) . • . («%' + wij) 5.2.7. Ряды вида V ^'^ V ^'^ .............................. 560 5.2.8. Ряды вида V ^ xfe ................................ 561 5.2.9. Ряды вида V хк ...................................... 562 ^^ (к + m)! 5.2.10. Ряды вида ? ___^__ я* 563 5.2.11. Ряды вида Е^?^^ 564 2 А. П. Прудников и др., т. 1
18 Оглавление 5.2.12. Ряды вида V — ч , Qfc — хк ........................ 565 ^ Г(ка + Ь)Г(кс + d)T(ke + /) 5.2.14. Ряды вида ^g/(fca + fe)r(fcC + rf)x^ 567 ГAее + /) 5.2.15. Ряды вида > afc^ — ж1" ............................. 567 ^ kF(ke + f)F(kg + h) 5.2.16. Ряды вида > аи ж ........................ 568 5.2.17. Ряды вида V afc j V ^"^ )a;fc ................................. 568 5.2.18. Разные ряды вида \^а^жй ........... ....................... 569 5.3. Ряды с показательной ж гиперболическими функциями ............... 570 5.3.1. Ряды вида > оь—: ...................................... 570 ' -J рПКТТ -Х- 1 5.3.2. Ряды вида ^afcg(fca+6J ....................................... 571 5.3.3. Ряды, содержащие sha^a? и сЬа^ж ................................ 571 5.3.4. Ряды вида ^J an cosech bnx ..................................... 572 5.3.5. Ряды вида ^J ak cosech ктт ...................................... 572 5.3.6. Ряды вида \^ «те sech 6na; ....................................... 573 5.3.7. Ряды вида \J a^ sech 6д.тг ....................................... 573 5.3.8. Ряды вида \J a^ th b^ ......................................... 574 5.3.9. Ряды вида \J a^ cth кж ........................................ 574 5.4. Тригонометрические ряды ..................................... 575 5.4.1. Введение ................................................. 575 (±l)k ( sinkx 1 ^1 } 575 E(±l)k ( sinkx ^1 ks {coskx ^ (±l)fe ( sin(kx + b)) 5.4.3. Ряды вида V-^ ^l ) {} .............................. 576 ^-^ (k + a)s { cos (Агж -' 5.4.4. Ряды вида V ^ {¦"***} 577 Z-^ («ni + ГП1)(КП2 + Wl2j [ COS kx J 5.4.5. Ряды вида V ^ \ s'm kx X ................................ 578 5.4.6. Ряды вида V ак{Ш^ ^'l ' 'Г } .................................. 579 sin ( ^cosBfc + 1)ж , 5.4.7. Ряды вида V — I Sm Ж I ...................................... 581 ^-^ Аи! [ cos kx J х—ч 1 f sin (А;ж + a) 1 5.4.8. Ряды вида Y^jzl )t , \\ .................................. 582 ^^ k\ { cos (А;ж + a) J r f sin kx (A; + a)s ( coskx Er f sin kx 1 ~ ^< } .................................. 583 (A; + a)s ( k J x-^ rk ( sin (Лж + a) 1 5.4.10. Ряды вида У2тт\ ,, M ................................. 584 ^^ k\ { cos(kx + a) J \ J sin kx \ cos kx 5.4.12.РядывидаУо^е~ьГтЬ I .................................. 585 /-^1 I cos ^ж J 5.4.11. Ряды вида V afcga(fc) .................................. 585 Z—J { cos /гж J , f sin i
Оглавление 19 5.4.13. Ряды вида \^ akrk I sm ж I .................................. 586 zJ { cos кх J 5.4.14. Ряды вида > < > ................................. 586 L^ \±qmn {cosnx j 5.4.15. Ряды вида \J a^ О sin kxj Т\СОБ^У1 .............................. 587 5.4.16. Разные ряды, содержащие тригонометрические функции .................. 589 5.5. Ряды с логарифмической и обратными тригонометрическими функциями . 590 5.5.1. Ряды вида \J a^ In 6^ ......................................... 590 5.5.2. Ряды вида ^J ak arctg b^ ....................................... 592 5.6. Кратные ряды .............................................. 592 Глава 6. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ..................................... 594 6.1. Конечные произведения ...................................... 594 6.1.1. Степенная и алгебраические функции ............................... 594 6.1.2. Тригонометрические функции .................................... 594 6.2. Бесконечные произведения .................................... 595 6.2.1. Степенная и алгебраические функции ............................... 595 6.2.2. Произведения, содержащие A ± хп)т ............................... 596 6.2.3. Показательная функция ........................................ 597 6.2.4. Тригонометрические функции .................................... 597 Приложение I. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА .................................... 598 1.1. Тригонометрические функции .................................. 598 1.2. Гиперболические функции ..................................... 604 1.3. Обратные тригонометрические функции .......................... 606 1.4. Обратные гиперболические функции ............................. 608 1.5. Биномиальные коэффициенты .................................. 609 1.6. Символ Похгаммера (а)& ...................................... 610 Приложение II. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА .................................... 611 11.1. Гамма-функция T(z) ......................................... 611 11.2. Функция ф{г) .............................................. 611 П.З. Функция /3(z) .............................................. 612 11.4. Дзета-функция Римана C(z) .•...••...•••..•••...•....•••...•.. 613 11.5. Многочлены Бернулли Вп(х) .................................. 613 11.6. Числа Бернулли Вп ......................................... 613 11.7. Многочлены Эйлера Еп(х) .................................... 614 П.8. Числа Эйлера Еп ........................................... 614 Приложение III. ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ Vi И V± ..................... 615 Список литературы ............................................... 618 Указатель обозначений функций и постоянных ............................. 621 "Указатель обозначений символов ...................................... 627 Указатель разложения некоторых функций в ряды........................... 628 Указатель интегральных представлений некоторых специальных функций через элементар- элементарные ......................................................... 631 2*
ПРЕДИСЛОВИЕ Книга содержит неопределенные и определенные (в том числе кратные) интегралы, конечные суммы, ряды и произведения с элементарными функциями. Она написана с целью удовлетворения запросов широкого круга специалистов в различных областях знаний и включает результаты, изложенные в аналогичных изданиях, а также в научной и периоди- периодической литературе, опубликованной в последнее время. Ряд результатов публикуется впер- впервые. Отметим, что, интерпретируя некоторые интегралы и ряды как обобщенные функции, интегральные преобразования обобщенных функций или рассматривая их регуляризации, молено придать им смысл в более широкой области изменения параметров. Достаточно подробное оглавление позволяет ознакомиться с содержанием книги и отра- отражает ее отличие от ранее выпущенных справочных руководств в этой области математиче- математического анализа. Найти вполне оптимальную систему упорядочения материала книги вряд ли представ- представляется возможным, но мы надеемся, что с помощью оглавления читатель сумеет отыскать нужные формулы. Применяемые обозначения, как правило, общеприняты в математической литературе и приводятся в указателях в конце книги. При ссылках запись вида 5.1.4.3 обозначает формулу 3 из пункта 5.1.4; к, I, т, п = 0, 1, 2, . . . , если не указаны другие условия. Для компактности изложения в ряде формул используется сокращенная запись. Напри- Например, формула 1 а_1 J Ш-CSIII X I ^ _ 7Г / j 1 I _ 1 ^ ] (« + l)/2l ^ 1 f ""^ — 9 I 1 П Г "r /— ж I 1 4- /9 I 0 представляет собой сокращенную запись двух формул: hraarcsina;da; = — A--=Г I [Rea > -1] J la \ а/ж I 1 + a/2 J / V V L a/2 (берется только верхний знак и верхнее выражение в фигурных скобках) и "-1 arccos х dx = ^- Г [(° + Ч^] № « > 0] (берется только нижний знак и нижнее выражение в фигурных скобках). Следует также отметить, что для некоторых интегралов имеется несколько различных представлений, которые записываются под разными номерами, но без повторения левой части. Книга содержит три приложения, которые могут быть использованы при вычислении рядов и интегралов, а также при приведении их к виду, содержащемуся в книге. При составлении настоящего справочного руководства использованы литературные ис- источники, список которых приводится в конце книги. Мы будем весьма признательны всем читателям, которые обратят наше внимание на неизбежные в работе такого объема недосмотры.
Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1.1. ВВЕДЕНИЕ 1.1.1. Предварительные сведения. В этой главе содержатся неопределенные интегралы от элементарных функций; постоя- постоянная интегрирования для краткости опущена. Например, вместо sin х dx = — cos x + С sin ж dx = — cos ж. В ряде формул, где при интегрировании возникает логарифм абсолютной величины, знак абсолютной величины для простоты опущен. Некоторые формулы при определенных значениях параметров теряют смысл. Если эти значения следуют из структуры формулы, то соответствующие разъяснения опускаются. Выражения для интеграла при этих значениях параметров, как правило, даются в после- последующих формулах. Ниже используются следующие обозначения: х, t, з, и, v — независимые переменные; f,g — функции; Р, Q, Pi, Qi — многочлены; Р R = — — рациональная функция; Q а, 6, с, d — действительные числа; р, q, r, a, A, jn, и — комплексные числа; к, 1,т,п = О, 1, 2, 3, ... В случаях, когда имеются ограничения на значения параметров, делаются специальные оговорки. 1.1.2. Основные интегралы. 1. 2. { ж dx = А + 1 dx = In |ж|. sir 4. | ax dx = 5. 8. 11 14. 15. In a sin x dx = — cos ж. dx = tgx. 9. ex dx = ex. 6. cos ж dx = sin x. sin x [a > 0, a^ 1]. cosz ж ¦ dx = secx. 7. 10. = — CtgiE. ¦ dx = — соэесж. . tg ж <^ж = — In 12. ctgx dx = In 13. da; = ln dx cos ж dx = ln = — arctg — a a [а^О].
22 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.1.3 16. 17. 18. 19. dx х^ \fa л/х — а dx 2°ТГ dx ^+ dx 2 ГШ 1 . - = — In а 2а [а^О]. . х = arcsin — а = Arsh — = In |ж + л/х2 + а2 _ = Arch — = In 2 а 21. 22.} dx sh2 ж = — cth ж. 23. 26. ch2 ж dx = thsc. 24. Шж йж = In ch ж. 25. cth ж dx = In | япж 27. [— =2 arctge". J сЬж 1.1.3. Общие формулы. . [(а/(ж) + %(ж))с!ж = а \f{x)dx + b \g{x)da 2. dx dx [интегрирование по частям]. 4. [интегрирование подстановкой; х = g(y)]. 1.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.2.1. Введение. В этом пункте кратко изложены некоторые сведения общего характера, которые могут быть использованы при вычислении неопределенных интегралов. 1. Если Pi (ж) и Qi(x) — произвольные многочлены, то их отношение может быть представлено в виде где Р2(х), Р(х), Q(x) — многочлены, причем степень Р{х) меньше степени Q(x). Пусть а*, г = 1, . . . , т, — корни многочлена Q(x), n% — соответствующие кратности корней. Тогда Р(х) А ? А ? Ajm) где к (щ - k)l P(x) Q(x) (х - аг)п' Если гц = 1 для всех г, то Q(x) где При объединении пар слагаемых, соответствующих комплексно сопряженным корням, * ЛХ + В 2 , , , получаются дроби вида 2 | и—j—, где трехчлен ж + ох + с имеет действительные ж2 + 6ж + с коэффициенты. Поэтому вычисление интеграла ^ „ Г dx Г Аж + В рациональных дробей: т ^7 ^^ ; г • dx сводится к интегрированию ¦ dx.
1.2.1] 1.2. Степенная и алгебраические функции 23 2. Интегралы вида xp(axr + b)q dx (р, g, r — рациональные числа) выражаются в виде конечной комбинации элементарных функций только в следующих случаях: а) q — целое число; б) (р + 1)/г — целое число; тогда f xp(axr + b)q dx = ^ hip+1)/r^(at + b)q dt [t = xr]; в) h q — целое число; тогда г Жи (л т -\- п\ пт — I \ t fit \т — т \ г I V t J I / / CLX ~~\~ О \ / (XX "T~ О \ \ 3. Интегралы вида ЯI ж, I — J , I — J , . . . j dx, где p, q . . . — рациональные , „ „ ax + b m числа, приводятся к интегралам от рациональных функции подстановкой = t , где сх + а m — общий знаменатель дробей р, q, ... Г Ri(x) + _Я2(ж)-\/Р(ж) 4. Интегралы вида / = dx, где Ri, R2, R3, R4 — рациональные функции, а Р(х) — многочлен 3-й или 4-й степени с действительными коэффициентами и простыми корнями, приводятся к виду г I г> / \ J 1 V / j 1 — I J1L5\^/ CJ/X ~t™ I (JjJb j где l, R(x)=(-^^ '^J~ Rl(x)-Rl(x)P(x) Эллиптический интеграл — dx при помощи замен переменных, которые указаны J у/Р(х) ниже, может быть приведен к форме, содержащей рациональные функции от эллиптических функций Якоби. Интегралы от эллиптических функций Якоби см. в [24]. 1) Пусть Р(х) = <2о(ж2±а2)(ж2±62). Тогда интеграл dx может быть представ- — ' \/Р(х) J dx f dx Выраж:ение уР(ж) мож:но записать (после вынесения множителя у|ао|) одним из следующих шести способов: - ж2) где а2, Ъ2 — действительные числа, р2 и р2 — комплексно сопряженные числа. 2 Аг + А2 sn2 и . ч В первых пяти случаях подстановка ж = — и ^ м ^ К , где sn и — эл- В\ + i?2 sn2 и липтический синус Якоби и А\, А2, В\, В2 — некоторые постоянные, приводит интегралы к виду Re(snu)du, где R§ — рациональная функция. В шестом случае следует использовать замену х = @ ^ и ^ 2К). где Вг + В2 сп и спи — эллиптический косинус Якоби и А\, Ai^ B±, B2 — некоторые постоянные.
24 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.2 2) Пусть Р(х) = ао(ж + a\){x + аг)(ж + аз), где все а« различны. Интеграл может быть представлен в виде линейной комбинации трех интегралов: dx Г х dx Г dx ¦ dx /Р(х) J у/Р{х) Выражение y/P(x) можно записать (после вынесения множителя \/|ао|) одним из следующих пяти способов: \/{х — а)(х — Ь)(х — с) , \/(а — х)(х ~~ Ь)(х — с) , \/(а — ж)F — ж)(ж — с) , где а, 6, с, 6i, 62 действительны и а > b > с. В первых трех случаях к интегралам от эллиптических функций Якоби приводит подстановка Ь А2 sn2 и //Л ^ г^ч ж = sn2 и (*) где /ti, A2, ^1, ?»2 — некоторые постоянные. Если два корня многочлена Р(х) комплекс- комплексны, то следует сделать замену - А2 спи ,_ X = сп 2К). (**) 3) Пусть Р(х) = ао(х + а\)(х + аг)(ж + аз)(ж + «4), где все пг различны. Интеграл - dx может быть представлен в виде линейной комбинации четырех интегралов: /Р(х) dx P(x) х dx х dx dx Выраж:ение уР(х) можно записать (после вынесения множ:ителя у|ао|) одним из следующих шести способов: у (ж — а)(ж — Ь){х — с){х — d) , у (а — ж)(ж — Ь)(х — с)(х — d) , (а - х)(Ъ - х)(х - с)(х - d) , ^{х - а){х - Ь)[(х - ЬгJ где а, 6, с, d, 61, 62, 6з5 ^4 действительны иа>6>с>A. В первых трех случаях следует сделать замену (*), а в остальных — замену (**). 1.2.2. Интегралы вида \хр{ахг + ЪL dx . t Г р/ г , u\q j xp+1{axr + b)q qrb Г V( r u^q-i , 1. x (ax + о) аж = 1 x (ax + 0) ax. x (ax +b) , gr + r + p+lf p r ,+1^ )rb J 2. 3. 4. 5. 6. l)rb ¦l)rb p+1 (ax p + + 6)g gra f p+r/ 1 ^nj-p (« dx. (g + l)ra (g + l)ra , — ^ ( (a/ + 6)g+1 (gr + r + p + l)a L с/ж. 7. / аж + b) dx = J
1.2.3] 1.2. Степенная и алгебраические функции 25 8. 9. 10. 12. 13. 14. хр dx (ахг + Ь (g - l)r -р- (q - l)rb(axr (g - l)ra(axr -1 xr~1dx (axr + by ~ (q - l)ra(axr + da; 1 ^г (g - l)rb J (axr p — r + 1 Г xp^r dx )ra J (axr + bL^1 xr^dx 1 (g - l)ra J (аж (g - ажг + b ra p + (g — l)r — 1 = — In \axr + 6|. xP(axrjrb) I с!ж 1 . ж(ажг + 6) rfe ' rfa; xP~r(axr + 6)" axr + 6 1. 1.2.8. Интегралы вида dx 2. xmdx xn ±an i / 2 о 7Г In ( ж — 2аж cos тг + а ) + -^—г /^ sin тг arctg 2ife + l ж — a cos тг 2n fc=0 2n In dx 2n+l In ж + а / 2 тг In ( x — 2ax cos тг + a + . 2/s + 1 ж-acos 2 ra + 1 . 2k+ 1 asm тг 3. 4. dx ¦In H ¦In cos — In 1 ж — 2аж cos ha ) — ' П V 71 . кж sin — arctg ж — a cos (ктт/п) a sin (кж/п) 2k- тг In ж + 2аж cos тг + а | — .ST 2k + 1 sin тг arctg ¦ ж + a cos ¦
26 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.4 к о. 2 в [ т2 жт Хт€ Bп г 1 п + 1 2 1ж а2п+1 ( 1 + 1)а2п^ш ,2n^m^l ^ 1 \^ па2""*71 ^-^ fc=O 2п + 1)а2п-т V^ лл„ (т + > (т + 1)B о 2пЛ 1 ^^^ (т 4 In ж + а 1)BА; + 1 2п + 1 * + 1К ¦1 )BА; + - 1)BА; 2п ^ In ш 2 arc g 2ife + l lj X асоо ^^ тг тг arc g ^ 2fe + 1 2n 2Jfe + 1 a sin тг — 7Г + + n - •') "I)]- 7- J J^ 1 in |* + a|] os In I ж — 2ax cos у П H 7 > cos In I ж — 2ax cos ha I — 22nml Z^ у J ^ от 7 sin aretg,, , na2"- ^ n asin(for/n Г жтс1ж 1 " J 2п+1 2n+i - B + lJ«w П x - acos(kw/n) aretg ,, , \ 1 ^ m ^ 2(n - 1) . asin(for/n) 1 / 2^о 2fc + l 2\ In ж + 2ax cos тг + a + V 2 + l / 1.2.4. Интегралы вида xpdx xp (q - l)(x + a)*-1 + g — 1 J (ж - a)'' 2. [ Ж fe =1жлф(^^, 1, Л) [ЕеЛ>0;Ж<а]. } х+а а \ а J о 3- о л^1dx x ( a\
1.2.5] 1.2. Степенная и алгебраические функции 27 5. xmdx ^ m\ (-a)k(x + a)m к J m — q — к ¦ если к = m — q -\- 1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взять 6. \^^: = -±(Пк (ж + а)^ ^ \ к J (q - к - 1)(ж + а)**-*-1' если к = q — 1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взять 7. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 16. 17. 19. 21. 22. 1. 2. dx (ж + а)п (п - 1)(ж + а)п^г' х dx 1 ж2 dx 1 8. х + а а = 1п (п - 2а а)п (п ^ (п - 2)(х + а)п~2 (п - 1 (ж + а)п ~~ (п - 4)(ж + а) ¦ + За За2 ж + а ^ m — к к=0 (п — 3)(ж + а)п 3 (п — ! Ь (-а)т1п|ж + а . (п - х dx = ж —а1п|ж ж + а ж3 а*ж ж3 аж2 ж + а ~~ 3 2 14. ж + а = аж + а 1п а ж^а In |ж + а|. (ж + аJ (ж + аJ ж + а ж3 dx х2 fe=l а fcfcafc~^m~fc m — к i 1п | (ж + аJ 2 ж2 а*ж 2а ж + а 2 (ж + аK ~ ж + а 2(ж + аJ ж б?ж За а 18. - In |ж Л 1 Л х dx a . . = ж ; 2а In ж + а . (ж + аJ 20. ж + а ж dx (ж + аK ~ ж + а ' 2(ж + аJ" 1 а (ж + аK ж + а 2(ж + аJ — За In ж + а 1.2.5. Интегралы вида dx (р - 1(ж + а)^^1 (р - 1)а а)? * (q - 1)а dx
28 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.6 3. dx то+п-2 т + п — 2Л к ) (га — к — если к = га — 1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взять ж + а 1 In га — 1 4. 5. 6. 7. 8. 9. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. dx dx А; V & 1 аТ1 ж x + a ж + ау п —1 а In n •In х + а dx 2а2 J ж(ж + а)п' (-1)т , х + а dx х(х + а) а dx ж + а 1 1 10. dx 1 а2ж 2аж2 а3 ж2(ж + а) х + а 2 ж + а ж In ж + а ж(ж + аJ а\ж + а а da _ 1 / 1 а2 \ ж + а " ж а ж2(ж + аJ dx 1 2. In г(гт 1 ж 2ж2 а ж + а 1 1 ж(ж + аK а2(ж + а) 2а(ж + аJ а3 dx 12 ж ж + а ж2(ж + аK 2а2(ж + а) /1т» 1 Г Ч ж3(ж + а) 4 а 6 ¦а 2(ж + аJ ж 2ж2 а 1.2.6. Интегралы вида (ж + с) ж + a ж + Ъ 2. ж ж + a ж + 6 q(b — а) + р(Ь + а) Т а)" »-1 ж + а ж + b ж + 6 dx. _ (ж + а)9+1 дF - а) + а + b Г /ж + аY
1.2.6] 1.2. Степенная и алгебраические функции 29 4. 5. 6. 7. (ж ¦ о*ж = — - \р-1 g^lj (ж + 6)9-1 dx. о'ж = ж + а (ж + с)р \х + 6 (ж- (* + <* (ж- Ж + а\р+1 (р dx = 2)F - аJ(ж -| (а. + с)р-х Z + bl-i ж + а (ж + с)? \х + 6 + (Р - 3) 8. 9. 10. 11. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. ж + с V ж + b ж + а ж + 6 с/ж = п-к\\Ь- с - 1 (ж + — 1 In |ж + 6| + ж + а ж + 6 ж + b In ж + с ^ (п- к)(п - к - 1) (ж + 6) ^_fc_1 + п(ж + а) — ггF — a) In (a^6)fe+1 4 ж+о ;—h ж + гг(а — b) In |ж + 6|. 12. ж+o (а - 6)(ж - bin |ж + 61) Ж "у" О ж+а —р——гг ж(ж + 6) = — + (а - 6) (— - bx + b2 In |ж + Ь\ О V а = - In 6 а-Ъ In ж + Ъ . ж + а\2 (а - бJ . ч , . dx = ж — —г h 2(а — 6) In |ж + 6|. ж + 6 ж + 6 = —±2(a^ Ь)х + (а - 6) Р f 2 | ж + о (а - 36) In |ж + 6| I. 2( Х- ж+ 1 /ж + а ж \ ж + 6 Х + ^ ж + о ж +¦ о dx = 3 (а - ЬJ 6(ж + 6) (а - 6 ж 2 6(а — 6J 2 + l I ж + 6 + (а - 6)[(а - 36)(ж + 6) - 26(а - 26) In \x + 6|]. 2 ¦In а б2" -1) 1п|ж Bа - Ь)х + (а - бJ In \x + 61. = ^- + Bа - 6)^- + (а - 6J(ж - 6In \x + 6|). ж2 ( + а) da; = — + Bа^6)— + (а ^ бJ f — ^ 6ж + б2 In |ж + 6| ). Ж +¦ 0 4 о V ^ (ж + аJ ж(ж + 6) dx = ж + — (а In |ж| — (а — 6) In |ж + 6|).
80 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.7 i ж + a a — b „ ,. 23. I — dx = h In \x + b\. с + bI x + о 24. ж 25. \x ж + a 6(a — b) (x + bJ ~ x + 6 2 ж + а ж2 , 26. ж + а а — b a . In { + b) b2 (а- 26Iп b2(a~b) x + b x + b — 6Bа — 36) In 1. 2. 1.2.7. Интегралы вида х хр dx 1 I x* - [(p^r)a + (p^gN] жfc йж р^г dx (ж + аУ(х - (p- l)ab dx (ж + а) m"~1 / ixm + p+fc + l r-m — k — l / j , \~-л (-—I) v-^ (p\ I m -\- n — к — I — 1 - > ;!: > III / -j b(<r -\- n\k ' ^ \ 1 / \ n 1 fe=l V 7 L 1=0 x w — 1 / - \ m. F- a) fc=0 m + n~k~l — 2 I ##i» — i /I" — "•/ nQ L 2 + (-1 3. 4. 5. 6. rfa; 7. (*- (ж- (Ж- Ьа)^(ж dx rn 2- О*Ж Ь а)(ж - (r- -l)(a ffe) 1 (-l)m (b-a) n+k fm + { 1 In ш a — 6 X +? n 1 ж X 1 + l- + + a) (x k- n m a tin-'* -k-2\ -1 J 1 - A; + a)m + * - 1 С a) (b q (r- / I { П + 1 n - 1 (-1) -a) _l_ r _ A; i-2 - 1 1 m + l 2 1 -6)J f J (x + -At )(b- a) (m A (t 4- a' dx f v A- aX -i \m —1 a)m + n - 1 dx я(х + Ь ' + fe)r" n —fe —1 In Ж Ж ),„ Ж ж + + + + а 0 а b
1.2.8] 1.2. Степенная и алгебраические функции 31 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. ж dx (а In (ж + а)(х + b) a — b х2 dx 1 (ж + а)(х + 6) а — b dx F21п|ж dx = —In ж + — — ab a (a — b) 1 а + b , dx абж -1 — a In | ж In | ж + а • 1 b(a - b) 7Y In ж + а 1п|ж ¦ In x х dx ж а*ж —6 (a - b)* a (a — bJ a2 (a - bY x - x - x - x - - a b& - a In In In \x + a\ b — lab In dx ж(ж + а)(ж + ЬJ аЪ2 1 In 1 (а - ЬK In ж + а + ¦In 21)- In ж + b х dx ¦аJ(ж- ж2 dx (а- a + b (a - 6K In ж + 6 b) (а-Ь)* In ж + 6 1.2.8. Интегралы вида Я(ж, ах2 + 6ж + с) dx. [Г Bаж + Ъ)(ах2 + Ъх + с)п - пF2 - 4ас) ( 1 )" dx . 2. 3. 4. 5. 6. (аж2 + bx + c)n da _ (аж2 + &ж + с) n + l + xmdx (vn 1 1СЖ'пг — "^ - m + 2) Г (аж2 + bx + с)те а*ж аBп - ш + 3) Г (аж2 + Ьх + с)" Г(аж + &ж + с(т — 1) ¦ а|ж. (ах2 + 6ж + с)п Bп -т- 1)а(аж2 + Ьх + сO1 (п — т)Ь 1 dx Bп — т — 1)а J (аж2 + Ьх + с)те Bгг — m — 1)а J (аж2 + Ьх + с)п * 23 ж2пс1ж 6 Г ж2пс1ж (ах2 + 6ж + с)п а j (аж2 + Ьх + с)*1™1 а J (аж2 + Ьх + с)те а J (аж2 + Ьх + с)п * ж а*ж 1 & f dx (ах2 + - с)п 2(п — 1)а(аж2 + Ьх + с)та^1 2а J (аж2 + 6ж + с)п *
32 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.8 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Ьх + 2е Bга - 3N (га - 1)F2 - 4ас)(ах2 + 6ж + с)" (га - 1)F2 - Aac) J (ах2 + 6ж + с)"' da; х dx (b2 ~~ 2ас)Bах + b) ~~ b(b2 - Aac) (ax2 + bx + с)те 2(ra - I)a2F2 - 4ac)(ax2 + Ьж + с)*1 2Bn - 3)F2 - 2ac) - 2(ra - 1)F2 - 4ac) rfa; 2(n-l)a(b2 -4ac) 1 жга( с)те (ш - (т + га — 2N (т — 1)е с!ж dx (т + 2п — 3)а Ьх + с)п (ш — Ъх + с)п' х(ах2 + Ьх + с)п 1 " 2(п - 1)с(ах2 dx 2с J (ах2 1 - с)п с (ах2 dx (п - 1)F2 - 4ас)(аж2 + Ьх + с)"-1 (п - 1)F2 - 4ас) J (аж2 + Ьх + с)"-1" 6 v^ 2fcBw - l)Bn - 3) . . . Bп - 2k - 1)ак 2n - - 2) . . . (n - A; - 1)Dас - (га — 1)!Dас — 62)п~ 2аж + b — \/b2 — 4ас da 2ах + 1 а(р - q) arctg - 2аж + b [b2 - 4ac > 0]. [b2 - Aac < 0]. \b2 = 4acl. In x — p x ~~ q где р, q — действительные корни многочлена аж + Ьх + с. da; 2аж + 6 2а 17. 18. 19. (ax2 + bx + cJ Dac — 62)(аж2 + dx 2ax + 6 dx с) 4ac — b2 J аж2 + 6ж + с (аж2 + Ьх + сK 2Dас — 62)(аж2 + Ьх + сJ ЗаBаж + 6) ¦ + 6a2 Dас - b2 ж da; аж2 + bx + с 2а 1 2 = — In lax + 6ж + с -In arctg 20. ж2 dx ax2 + &ж + с a 2a2 In lax + 6ж + с + 2 + 6ж + с [Ъ2 >4ас], [4ас> б2]. 2а2 + bx + с
1.2.9] 1.2. Степенная и алгебраические функции 33 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. х3 dx ах2 + ож + с 2а2 " 2а 6ж + 2с Ь2 - ас Л 2 _ , bib2 - Зас) Н т-;— In аж + Ьх + с - l ; 2а3 dx dx ах2 + Ьх + с (аж2 + Ьх + сJ (Ь2 — 4ас)(аж2 + Ьх + с) Ь2 — 4ас J аж2 + Ьх + с * ж2 с/ж ^ 62)ж - 2с (аж2 + Ьх + сJ аE2 — 4ае)(аж2 + 6ж + с) &2 — 4ас J аж2 + Ьх + с с/ж ж с/ж (аж2 + 6ж + сJ ^Ь2) = —In ж(аж2 + 6ж + с) 2с |аж2 + Ьх + с 2 2аж + b + V62 ^ 4ас arctg - [б2 > 4ас]5 [б2 < 4ас]. dx dx ж(аж2 еж 2с2 |аж2 + Ьх + с 2с2ж2 2с3 |аж2 + Ьх + с ¦ сJ 2с(аж2 + 6ж + с) 2с2 In 2с2 V б2 - 4ас У j аж2 + Ьх + с * с + 6ж х2(ах2 + 6ж + сJ с2Dас — 62)(аж2 + Ьх + с) с2ж(аж2 + 6ж + с) с3 |аж2 + Ьх + с б2 — 4ас V с3 ' dx с У j аж2 + 6ж- dx ж3(аж2 + сJ Збж — с 362 - 2ас dx 9ab dx 2с2ж2(аж2 + Ьх + с) с2 J ж(аж2 + Ьх + сJ 2с2 J (аж2 + Ьх + сJ * 1.2.9. Интегралы вида Я(ж + d, аж2 + 6ж + с) dж. г 1 Г L (ж + d)m^2 + bx + с)те dж = ^ ^ I (ж + d)m(аж2 + Ьх + с)те+1 + 7 (rn + 2п (m + n)Bad - Ъ) Ux ¦ 6ж + с)п dж — f 1 - (m - l)(ad2 - 6d + с) (ж + d)TO~2^2 + bx + c)n dж . J J 2. (аж2 2n(ad2 - (т — 2п — 1)(ж (аж2 + bx + i га — 2п — 1 3 А. П. Прудников и др., т. 1 (ж + d)r п(Ь - 2ad) Г (аж2 + bx + сO1^1 аж - — ; ¦ т—— - аж. m — 2п — 1 (ж + d)r
34 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.9 ~ (m-l)(ad2 ~ . ow. o JX {(ах + Ъх + с) J Цах + Ьх + с) J ) (m - n - 2)(b — 2ad) ^—, - -^— dx + (m — 2n - S)a ^—, ^ ^- dx . 1 A }] (x + d)m^ K ) J (ж + d)^2 J _ (аж2 + bx + с)п n(b — 2ad) Г (ах2 + bx + c)n 1 o f (аж2 + bx + c)r ra — 1 J (ж + dO71™1 ¦ / 2.1 , \n упХ -\- OX -j- CJ , 2 iii \n i i i л i 5. dx = (ad — bd + c) In ж + a + ' (аж + & — ad) 2,(a<^ ~ bd + С)П (аж + Ьж ¦ L fe=o (OnИ -— h\(Onv Л- h\ A~ (Ann — Л2>1 fi» 4- Л>|т+1 (аж2 + 6ж + c)n 2(n — l)Dac — b2)(ad2 — bd + с) (аж2 + 5ж + c)n х 2(m^2fi + 4)a (ж + d)m+1 + (n - l)(n - 2)Dac - b2)(ad2 - bd + с) (ажЧЬ + с)™-2 " 4Bra-3)a 2(m - n + 2) 1 Г (ж + d)m dx (n - l)Dac - &2) (n - l)(ad2 - bd + c) J J (аж2 + kc + e)^1 (ж + d)m dж (n - l)(n - 2)Dae - b2)(ad2 - bd + c) J (аж2 • 1 Г 7. 8. 9. (га — 2n + l)a [(аж2 + 6ж + с)те 1 + (га — n)Bad — 6) -™—-—— —^ — (га. — l)(ad2 — bd + с) Bах + 6)(ж + d)m (п - 1)Dас - fe2) L (аж2 + 6ж + с)^^1 - 2(ш-2п + 3)а 7—^—г^ ^—r^(fe^2ad)ml/ о , ч J (ах2 + bx + с)Пм1 J (аж2 + ож + с)п" dж —1 (ж + d)m(o^2 + 6ж + c)n (m - l)(ad2 - bd + c) x 7 г tz—7: г ™ + (m + n - 2)F - 2ad) x L(ж + d)w^1(aж2 + feж + c)n^1 l A ; dж , ч Г dж -; 2 Г \ h (w + 2п — 3)а ю. - х 11. 2(ad2 - bd + c) [(n - l)(x + d)m(aж2 + bx + сO1™ , . Г dж ?тг + 2n — 3 Г dж ^ ^J J (ж+ d)m(ax2+ 6ж + с)п n-1 J (ж + d)то(aж2 1 (ra + ra - l)Bad- fe) 1 Г dж [1 (ж + d)m^2 + 6ж + с)" ^W ^^ ^a [ad2 - bd + с = 0].
1.2.10] 1.2. Степенная и алгебраические функции 35 12. 13. f J (x I J (x + + dx d){ax2 + bx d)(ax2 + bx 1 2(ad2 - 2ac bd + ad2 1 2(acf2 l-b 1 - 6d + с ->Ь 1 — 6cf + — Aac\ \ г [2(?г-1)(аж2 + dx 2a In (ж + аJ аж2 + bx + 2аж + 2аж + 6 - V 2аж + & + л/ bx -Ь Г J (ж с 6 кгс| 1 \ 1 1 dx + с!)(аж2 + Aac Aac bx + [62 4 [62 4 ас < ас > 1 0], 0]. 14. dx (ж + dJ(ax2 1 1 ¦In : - bd + с [ж + d 2(ad2 - bd + с) |аж2 + 6ж + c| " -6rf + c) - Bad-62) f ^ж 1.2.10. Интегралы вида тт (It 1. [ / f i d^ =± xmdx m - 2n + 3 Г жт dx (ж2 ± a2)^ 2(n - 1)а2(ж2 ± a2)n~ (ж2 ± a2)^^1' 2. 3. 4. 5. (m-l)a2 (га - 2n + 1)(ж2 ± a2)^-1 ^ ra - In + 1 J (ж2 ± a2)" ' 1 xm~2dx 1 dx x2n (x2 + a2)n 2(n-l)a2 [{x2 + a2)^1 Y^ Bn - 2m - 3)Bn - 2ra - 5) . . . Bn - 2ra - 2A; - 1) 1 + ^ 2fc(n-2)(n-3)...(fi-ife-l) a2fc(x2 + a2)""fc xm 2m-2n+i Bn - 2ra - 3)Bn - 2ra - 5) . . . C - 2ra)(l - 2m) 6. (ж2 - a2)n 2{n - l)a2 [(ж2 - а2)^1 ^ k Bn - 2m - 3)Bn - 2m - 5) . . . Bn - 2m - 2k - 7. ,/ пчп+1 -T\iJC2 ж2т+1сгж 2m^2n+i Bn - 2m - 3)Bn - 2m - 5) ... C - 2ra)(l - 2m) 2^^1(n-l)! x ^2k-l\aJ 2 а 2k (п - га + А; - 1)(ж2 ± a2)^ з*
86 8. 9. 10. 11. Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.10 2(±а2 x2mdx T1 -2fc»2m-2*-1 п-т-2 ж2±а2 Х2±а2 L^y^> 2m-2k-l k=0 ж arctg ~~ ж — а [п ^ т - ж + а 2что , _2 , 2 т-к 2 I (Та2)™ In jar2 ± а х2т dx х 2т+1 12. 13. (ж2±а2J 2а2(ж2±а2) 2 с!ж - A - 2те)а2т~3 х arctg — а х + а dx (ж2 ± а2)^ 2(п - 1)а2(ж2 ± а2)^1 2(п - 1)а2 J (ж2 ± а2У к Bга-1)Bп-3) ...Bп-2к- {х2±а2)п . - 2) . . . (n - fe)a^ + (±1) 9П-1ГИ_ ж — а ¦ + arctg п ж ж ж а + — а а 14. 15. 16. 17. 19. 21. dx ж2 ± a2 all 1 arCtga (ж2±а2J 2а2(а2±ж2) 2a3 (ж2 ± а2K 4а2(ж2 ± а2J + 8а4(ж2 ± а2) + 8а5 arctg - 1{ ж — а ж + а ж2 ± а2 2 1 2,2 = - In ж ± а 2 ж arctg — а ж + а ж — а 2 2 ж с/ж (ж2±а2J 2(ж2±а2 20. а arctg — а ж2 ± а2 3 — In ж + а ж — а 22. ж2 с/ж 1 ж — arctg - la a (ж2±а2J 2(ж2±а2) ' | J_ 4а In ж — а ж + а
1.2.11] 1.2. Степенная и алгебраические функции 37 23. 24. ж3 dx = ±- -\п ж2±а2|. (ж2±а2J 2(ж2±а2) 2 ж dж (ж2±а2J = Х 2(х2 ± а2) ] За ^ За ж — arctg - А (Л х + а ж — а 1. 2. 1.2.11. Интегралы вида dж 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. dx (ж2 ± = Т хт(х2±а2J' 1 -3 Bт- 1)а2ж ±1 Bт - 1)а2 dx Bт + 2п - 1)(ж2 ± а2O1 Л (=pl)fcBm + 2п - 1)Bт + 2п - 3) . . . Bт + 2п - 2k - ^ Bт - 1)Bт - 3) . . . Bт - 2k + l)a2fc т Bп - 1)Bп + 1) . . . Bп + 2т - 3) [см. 1.2.10]. 1 т + п — 1 :±а2)^ 1 ± а2)^ та2 J x2m^1(x2±a2)n° ч^b/m + n-l^ 1 /ж'гЬа2^1 А; ) к — п + 1 V ж ±1 ж(ж2±а2)те п —1 ~" 2 ^ " : а2)п -1 а2 J (±1)к 2а2п \х2±а2\' dx ж2т(ж2 ±а2) с/ж dx х2т{х2±а2J «* / Bfe + l)a2(w^ (Tl) т arctg- k=0 , - 1 X + С (Tl) fe+1 k=Q п-1 \х2±а2\' 2а2т+3 1 2 arctg In ill Ж Ж ж а а а 10. 11. 12.
38 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.12 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. dx ж4(ж2±а2) 1 11 а4ж а5 arctg - -In х — а ж + а 1 П ж(ж2 ± а2J ~ 2а2(а2 ± ж2) + 2а4 П |ж2 ± а2\' dx х arctg — а х2(х2±а2J а4х 2а4(ж2±а2) 2а5 х + а ж3(ж2±а2J 2а4ж2 2а4(ж2 ± а2) ^ а6 1 -±-?-± ж4(ж2±а2J За4ж3 а6ж 2а6(ж2±а2) 2а7 ж arctg — а х + а х — а ,w 9 ,—^Т = 9 , L9 In |ж + 6| - - In (ж + а ) + - arctg - I. ¦6)(ж2 + а2) а2 + Ь2 I 2 а а1 а2- 1п|ж + Ь\ ¦In 2а(а - Ь) In | 1.2.12. Интегралы вида т j m + 1 (ж3 + а3)^ 3(п - 1)а3(ж3 + а3)" 3(п - 1)а3 тт^2 (т - 2Ь; xmdx 3 (га - 3n + l)(a m j_ «,wi —2 dj Ubdj Jb 3 ж3 + a3 ra — 2 с!ж ж3 + а х з ' m - Зп + 1 J (ж3 + а3)п ' Зтг-4 ж с!ж 3a2(n- 1) J (ж3 + а3)' ж а'ж fT3 _|_ a3)n~l ' dx х dx ufl ж аж ~т~ t = — ln- 6a 1 2ж - а w^ arctS /=-• 1 2ж - а —— arete =—. х2 dx 1 з,з ^^—- = - In ж + а хЛ + аЛ 3 х3 dx а . х2 — ах + а2 = ж + - In ж3 + а3 dx 1 ж(ж3 + а3) За3 dx In (ж + аJ ж3 1 2ж - а — arctg —. ж3 + а3 6а4 1 2ж - а —=¦ arete =—. dx — ах + az 1 ln (ж + аJ ж3(ж3 + а3) 2а3ж2 6а5 ж2 — ах + а2 а 1 2ж - а —^ arctg ¦ а^З
1.2.18] 1.2. Степенная и алгебраические функции 39 13. 14. 15. 17. 18. dx 1 (ж3 + а3J За3(ж3 + а3 х dx ж2 In- {x + af 2ж — а 9а5 ж2 — аж + а2 1 (ж3 + а3J За3(ж3 + а3 ж с/ж 1 + а3J dx 18а4 16. In ж2 — ах + а2 (ж + аJ dx arctg ¦ 1 2ж - а а^З За3ж(ж3 (ж3 + а3J За3(ж3Н 4 2 (ж + аJ За6ж 9а7 ж2 — аж + а2 За6 In с/ж ж3(ж3 + а3J 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 11. 12. 13. За3ж2(ж3 + а3) 1.2.13. Интегралы вида хт dx , xm+[ ln 6а6ж2 18а8 ж2 - ах + а x±mdx (ж4 ± a4)n ' J (аж4 - , An — т — 5 + с)п ' xmdx (ж4 ± а4)те 4(га - 1)а4(ж4 ± а4)" А(п - 1)а4 J (ж4 ± а4)п~г' (ж4 ± а4)п (т - An + 1)(ж4 ± а4)^1 т - An + 1 J (ж4 ± а4)п ' xmdx хт^л ж4 ± а4 dx .-3 ж4 ± а4 — 5 жто(ж4 ±а4)п , 1 (т - 1)а4 а4 жт(ж4 dx И\п- In- arctg ж4 ±а4 ж с/ж ж4±а4 xz dx I 4а3 4а2 ж2 + а2 1 . Ж2^1 In In + а2 аГС § ^—In 4а ж4 ± а4 4 а*ж ж2(ж4±а4 = - In ж4 ± а4 + —- arctg - 2а а dx 1 ж4 In ¦ ж(ж4±а4) 4а4 |ж4 ± а4 1 1 Г x2dx J ж4 ± а4 In ж3(ж4±а4) хш dx _ (ж4±а4J ~ 4а4(а4±ж4) ± Аа4 З-m \ xmdx J х4 ±а4 ж3 + а3 2ж — а arctg : 5 2ж — а —-=¦ arctg —. а4)п "
40 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.13 14. 15. 16. 17. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. dx 3 , ж2 + аж^2 + а2 ¦ In ¦ 3 ах\ arctg - 16а7^2 ж2 - аж^2 + а2 8а7^2 а2 - х (х4±а4J 4а4(а4±ж4) х dx 16а7 In х + а ж — а ^т arctg - 8а7 а (х4±а4J 4а4(а4±ж4) х dx ¦ In ¦ 1 л х2 - ахл/2 + а2 — In — arctg — (ж4±а4J 4а4(ж4±а4) 26. (ж4±а4J 4(ж4±а4) dx 18. 16а5 dx ¦In ж — а ж + а arctg — а In - 4а4(а4±ж4) 4а8 |ж4 ± а' ж2(ж4±а4J а8х 4а8(ж4±а4 (ах4 + 6ж2 + с)п (т - An + 1)а(аж4 + Ьх2 + с)п \ III — ОIС I JL UJL la J dx (т - An + 1)а J (аж4 + &ж2 + c)n (m - An + l)a J (аж4 + ож2 + с)п " 1 Г xm^4dx с Г xm^4dx b 2 а J (аж4 + Ьх2 + сO1 а J (аж4 + Ьх2 + с)п а } (ах4 + 6ж2 + с)п ' dx _ abx3 + (б2 - 2ас)ж (An - 7)ab 2(n- l)cF2 - (аж4 2(п ~~ 1)(Ь2 ~~ Аас) + 2ас - Ь2 2(п-1)с(Ь2- 2(п — 1)еF2 — 4ас) dx (аж4 с/ж xm(ax4 + bx2 + c)n (m - bx2 dx m + An — 5 (т - 1)с J жт™2(аж4 • dx 2a c)n (m - l)c J жт~4(аж с/ж dx dx 1 2ax2 + b - л/b2 - Aac J 2аж2 + b + л/Ь2 - Aac а х2 + 2ж У с/ a cos (а/2) + \/ с/ а sin — In ¦ Л [62>4ac]. 4 v а3с sin а L 2 ж2 — 2ж у/с/a cos (а/2) + у/с/а a x2 - y/c/a ¦ 2 cos — arctg . 2 2x^fc/asin(a b < 4ac; cos a = — а'ж abx3 + (б2 — 2ае)ж (аж4 + 6ж2 + сJ ~ 2сF2 - 4ас)(аж4 + ож2 + с) б2 — бас Г dx ab 2c(b2 - Aac) J аж4 + 6ж2 + с 2еF2 - 4ас) J аж4 + Ьх2 + с' х dx
1.2.15] 1.2. Степенная и алгебраические функции 41 27. 28. 29. 30. ж dx ах4 + 6ж2 + с 2л/Ь2 - Аас In 2аж2 + 6 - V62 ~~ 4ас 2аж2 + 6 + V62 - 4ас 1 2аж2 + 6 arctg - /Аас - Ь2 /Аас - Ь2 х dx 6 + V62 — Аас dx 2аж2 + b + V62 - 4ac 6 — V62 — 4ac Г с!ж б2 — Аас J 2аж2 + 6 — \/Ь2 - Аас х dx \b2 > 4acl. \b2 < 4acl. [b2 > 4ac]. ia) - 6/Da))V2 у] Х2 _ 2(^/c/(Aa) - Ь/Dа)I/2ж ж dx la) - 6/Dа)I/2ж + 2%/с/Dа) 4acl. 1.2.14. Интегралы вида аж21г + bxk + с) (m 2. 3. 4. 5. 6. 6^ Г п + 1 J +к{ах2к O1-1 dx - c) т-2к/ 2k x f хт~2к(ах2к c)n dx - (т + nfe — к + 1N (га + 2пк ¦ ^ [ xm~k(ax2k a J c)n da;. хт+1{ах1к + Ъхк + с)п т + 2пк + 1 x [ xm(ax2k + bxk + c)"^1 dx + —, [ xm+k(ax2k + bxk + c)" da;. J m + 2nk + 1 J (аж2|г + bxk + c)n (m - 2nk + 1)а( (га- — 2nfe + 1)а с!ж (т - nfe - А; + 1N с)те (т - —1 1N Г ж а J (ах2к ; с!ж (т + гг!г — к — 1N жт(аж2|г + Ьхк + с)п (т - + Ьхк + с)п^х 2пк — 2^ — I (т - 1.2.15. Интегралы вида /^(ж1 , аж + 6) с^ж. 1. [ж" dx akbn~kxk
42 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.15 2. i^±^dx = 2 xrn^l/2 к=0 n-k к 3. 4. 5. 6. dx - 2m + 1" 2m+ 1 (ax±b)n (n- 1)а(аж±. 2 f t2m+2dt vTT + 2(n - l)a J (ax ± Ъ)п^г' an J dx (t2 ± b/a)n ax±b dx b_ ^ Bт^2к + 1)ак+г \ aj J x1/2(ax±b)' dx хт+г/2(ах ± b)n ^ Bm - l)bxm^/2(ax ± Bm + 2 га — 3)a dx 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. = ax db b a 1/2 Bm- 1N J xri /axx1/2 2arctg(T) 61/2 - (axI/2 ± 6)n ате In ax±6 x1/2dx За2 3\1/2 In 1/2 61/2 - (axI/2 dx 2аж3/2 ± (аж ± bJ а2(аж±6) 1/2 6V2 + (axI/2 ax \i/2 i- 6V2 _ (axI/2 dx = ±- x1/2(ax±b) (abI/2 In аж у/2 61/2 + (ажI/2 dx x3/2(ax±b) с!ж (ПТ + 1,42 'ТЫ ,1/2 - (axI/2 In 1/2 б1/2 - (ахI/2 Ь1/2 + (ажI/2 V2 ±6) (a с!ж —Заж =р 26 ж3/2(аж±6J = 62ж1/2(аж±б) 21" /аж л1/2 arctg(Tj . Ь1'2 - {ахI'2 6V2 CM.1.2.10]. dt
1.2.17] 1.2. Степенная и алгебраические функции 43 1.2.16. Интегралы вида R(x ' , ж ± a )dx. Условие: а > 0. ж m+l/2 ¦ dx = ж2±а2 ¦ а*ж = 2m- ж2 ± а2 2m + 3/2 ^^ 4т - 4к + 1 к=0 1 . х -\- а — \/2ах ¦ In ¦ x2 + a2 2V2a ж + a + у2аж V2a ж - a ж2 + а2 In 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1. I xm(ax + b)n^4'zdx = ^ J 2. [(^ + 6)»+^=^ 3. х m+3/2 4n - 2т - 7 x m + l/2 2(п^1)а2(ж2±а2)" 4(п^1)а2 J (ж2 ± а2)п~ 2 т_1/2 2 1 ж" ¦ с!ж. -1 ж2±а2 ¦ da;. р1/2 2m-2fc+l/2 arctg ж + а — 1 /а Ja Ух ж + а + \f2ax \/х — у/а г- Га у a arctg 4 / — . V х 1.2.17. Интегралы вида ж т(ах + Ь)п+ ' dx. k=0 2mb Bт + 3) Г т-1 Ж { a J , .' (аж + 6)п+1/2 , (ах- 4. dx = ^т к=0 )а Пах- 2(т-1)Ь ¦ dx. 5. 6. 7. 8. 10. I ж^(аж- 6) п+1/2 Bп Bп - чп^1/2 ¦ dx = (аж (ax dx = — ¦ 2 (аж + 6K/2 E^2т)а т-1Nжто™1 + 2(т-1)Ь ¦ dx. UX. 9. I x(ax + b) ' dx = — i/2 л„ - А ^+ 21 5 11. ж (аж ^|(аж + 6K/2. ах + Ъ) Ь3 3/2 Ь)л'\
44 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.18 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18 19. in 21. i •> 3. 4. 5 7 8. 9. 11. 12. Г (аж - fbK/2< [ж(аж + 6K/ !¦'<• !*¦<• j Г ( J J 1* (аж J (* (аж J J 1.2.18. Г т f J (ax Л [ ж™ ( 4 * + *>• ж + *)*" ж2 + 6I/2 + бK/2 ж + бK/2 ж2 + 6K/2 ж3 iaj = dx = /^ о*ж — dx — dx 2 5a с (аж + 6M/2 2 Гаж + 6 2 Г а3 [ 2 I а4 [ 2(ax- 2 3 (аж 26 4 46 (аж (аж ( \2Ъ 7 (аж + 6 9 (аж + 6 11 ^bf^~ + 6I/Я ж - аж + 6K/2 + Ь)Б/2 6ж L Г Интегралы вида - J dx -6)n+1/ dx 2(ax a J (ажЧ f T2 J (аж 4 Г ж3 J (аж4 Г d J (аж 4 Г т J (аж г * J (аж - 6I/2 dx -ьу/2 dx - 6I/2 ж - 6K/2 2с1ж + бK/2 3dx + бK/2 2 6 2 Bn + 6I m + l 2 a ^ a3 a4 a 2 a3 2 a4 E 2 г4 /2 (с In- - 1)а то Е 16^ IX + 5 (аж + Г L Г 7 2 >ж- ^аж - 2 2 1)а(аж -ж-(аж 2т - 2 1/2 бJ 2 5j(t K ¦1" { + 26( I За 1 26 а \ , ,\5/2 IX + 6) 7 . 26(аж + 6) 6 7 ' 5 36(аж + бJ 9 ' /21п (аж + 6I (аж + 6I 1/2 Г dx ж(аж + 6I/2" 2 Р /2 а Г 86 J ж(ая _L l^^^"/2 _i_ l2 f (ах + бK/2 J X xmdx (ах + + 6)п в Г 6, J 6(аж 3 бK 36(аж f бJ f6K 5 10. ЩаХ Ь(ах lj\ Ti-f-1/2 —"^ (— 1) " ^ 2т - 2п - '< -1/2- /2 2т6 Bт + 1)а G)(а, + 6Г ЖAЖ (ах + Ъу/2 + 6) 21 j(ax -f 6J + 62(аж - (* ж а*ж J (аж + 6K/2 + бJ Ь\(аХ + 362(аж - (аж + 6) . 362(аж + 6) 631 ( .5/2 7 5 J 1аж /2 _ 51/2 /2 + fel/2 [Ь>0], (аж + бI/2 с!ж J _l_ 6I/2 * [ б?Ж J ж(аж + 6)!/2' 12 1 (аЖ + ЬK/2 Jx ,9 ал. Ь2 J ж гк + Лк)ах Г жт^1а1ж J (аж + бI/2 * "\ 2(аж - 26) 1/2 За2 (аж 1 ) • 1/2 1 J ^ 2(аж + 26) а2(аж + 6)!/2' 1 + 6)V2* + 6) + б3 1 (аж + 6)!/2-
1.2.20] 1.2. Степенная и алгебраические функции 45 1. 1.2.19. Интегралы вида dx dx хт(ах + 6)п+1/2* Bга хт(ах + 6)п+!/2 (т _ 1)хт^1(ах + Ь)п+г/2 2(га - 1) 2. = 7= „ ^2 —- 2™ Г тЫ 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Bп- = 2ат dx b; см. 1.2.ю1. ж(аж dx ж(аж dx (ах + 6I/2 Bт - 3)а жт(аж + 6I/2 (т- 1 2(га - 1N J хт^г(ах + ЬI/2 " In (аж -бI/2 а ж 26 dx dx Заж - 26 462ж2 2 6) 1/2 За^ Г 862 J ж(аж + бK/2 6(аж + - ^6 х(ах За ж2(аж + бK/2 62ж(аж + ЬI/2 262 J ж(аж + ЬI/2 " dx 5а 463 у (аж dx 6) 1/2 c-d\, .1 2 \(ах + 6) а L ..I J 1.2.20. Интегралы вида Я(ж, ^аж + 6 , Vex + d) dx. (т + п + 2)с Bm + l)(ad- 6c) 2. = (ex + a1) п + З/2 ' 2(m + n + 2)c Jv™ ' 6j (сж + ^ h l)Bra - 1) ... Bт - 2k + 3)(ad - . (m + n + 2)(m 2)cfe fe+i m!! Bn + l)Bn- 1) . . . Bn- x (еж + d)n"fc+1/2 + + n + 1) . . . (n - k + l) m\\n\\(ad - bc)m+n+2 — f" 6)(сж
46 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.20 4. 5. (аж + 6)т+1/2 Bm + l)(ad^6c) f (аж + 6)" (ra-ra + l)c ^ + d)n~1/2 2(m-ra + l)c J (еж + d)n' 2 (аж + 6)m+3/2 2(n - m - 2)a f (аж + 6)m+1/2 dx. Bn-l)(ad-bc) Bn - l)(ad - 6c) J (еж + d)»-V2 -( | h\m+%/2 П\^2 (n-m- 2)(n -m-S)...(n-m-k- 1Jк+1ак ™1аЖ+ j ^ Bn^l)Bn^3)...Bn^2Jfe^l)(ad^' 1 [n ^ m + 2]. 6. 7. dx (аж Bm - l)(ad - 2c(m + n — 1) Bm - l)(ad - 6c) J (аж + 6)т™1/2(сж + djn+1/2 • (m + n - l)(m + n - 2) . . . (m + n - k)(^2)k+1ck x - Ьс)к+г (еж + d)n™1/2 Z_^ Bm - l)Bm - 3) ... Bm -2k- l)(ad - 6c)fe ж + Ь)™-*^ (m-1)!! (m + n - l)(m + n - 2) . . . (n - ^) 1 8. 9. 10. 11. ^ Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2k - l)(ad - 6c)n+fc+1 (еж + d)n^k^ dx 2 y/[ax + 6) (еж + d) 2 ln 6) In л/- 6) 1 е(аж + 6) + а(сж + d) ^^ arcsm ^ р^ -^ '- i—ас \ad — bc\ dx [ac > 0; ж >max(-6/a, -d/c)]. [ac > 0; ж < max(-6/a, —d/c)}. [ac < 0]. (ж — p) <у/(аж + b)(cx + d) ¦In (cp + d)(ax + b) - ж -p| [(ap + 6)(cp + d) > 0; (cp + с!)(аж + 6) > 0; (ар + Ь)(сж + d) > 0]. 12. 13. ¦In ж -p| 0? (CP + d)(ax + 6) < 0, (ар + 6)(сж + d) < 0]. . (cp + d)(ax + 6) + (ap + 6) (еж + d) ,, , — bc\\x — p\ 0].
1.2.22] 1.2. Степенная и алгебраические функции 47 14. Ал/ах + Ъ + By/ сх + d А ¦ dx = аА2 - сВ2 В ( „ Г у/сх + d п Г у/ах + Ь v^ n^fc Г fe_i i —=- \ р dx + > р ж v аж + 6 с?ж ) I х — р /-^ I у J F fe=i J 7 аА2 - сВА X J ж ~~ ; 15. .,„ I У ах + 6 у — 1о. ах = Ау/ах + о 6Л2 - dB2 /ах + 6 + In /аж ¦ 2 arctg и Р = п^сж + d dж [аЛ2 - сБ2 [ар + b > 0], [ар + b < 0]. 0]. аж + b 17. ¦ dx = 0:7a ¦ х — aS — I III ¦2а _|_ §2С V \""^ ' + b + 8 у/сх + d dx у/(ax + 6) (еж + d) 1.2.21. Интегралы вида Я(ж, \/аж + b ) с?ж. t= . [ - п + 1)а" (пр + п + 1)а 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ж + bI/n dx = bI/ndx= f ч ( (ra + l)a (га — : (m-l)nb J хт~г dt (ax 1 ax. (аж + бI/" (win + n — 1)а 1 / . ч 1 —1 /эт Ч ""' (тп + п — 1)а J (аж m+1 т - к dж -(аж + 6) l-1/n " (п-1)а 1.2.22. Интегралы ви д а [ R[x, (ax + b)p/n] dx. (ran + п + р)а" 7ч (mn + п + р)а
48 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.23 2. = -(ая + ЬI+р/пх га(га — 1) . . . (га — А; + 1) у ~ (гпп + р + п)(тп + р) . . . (ran + п + р — fe 3. 4. | (аж ¦ (аж - 7т+1 (ax + 6I+"/" V -Ak-L——Ux + 6Г"*. 5. 6. (ж - ¦ dx = (аж + ЬI+р/п [(га-2)п-р]а Г (аж + b)p/n (т - 1)(аа + 6) (ж - а)т~г (т - 1)п(аа + b) J (ж - J 7. 8. "V i\fe G?г "~ P "" ^п) (mfl ~ P — 3n) ... (ran — p — fife) afc 1 1 -^ ' (m - l)(ra- 2) . . . (ra- fe)nfc™1(aa + 6) (ж _ а) T%( T} ^L 1 I G) ^L TTi _ 1 ) /| m ~ С (П Hf* -4- h) JL/ I ij \^ J_ j * e * I JL/ f^ # # ?/ J_ I CJ/ I 1 \Jj el/ jp U I ~ n"l-1(m-l)!(aa + 6)m J ж-а _ m —1 _ M (аж + 6jl-m+P/n р/п (га — 1)п — р (аж f-1 dy аа + Ь [аа + 6 = 0]. 1 = ±1, ±2, ...; см. 1.2.3 . / ax ~4~ fe 1.2.23. Интегралы вида I Rl ж, Xl :—; \ dx. 1. ж, еж + d ex + d n(ad^bc) { J~adtn + Ъс п[а~ dx = —^ R\ т г- ?/ — J ac(tn - 1) Vе J (^п - 1) а(сх / i i \ р/та i i / i i \ p/n . . ax + 6 \ , аж + b ( ax + о \ 2. I ( — I dж = ( —; ) + а \ еж + d 3. | ж аж = 1 (ах + Ъ ; J t»-i а(сж + а) ; см. 1.2.3. (ra + l)ac (ad - bc)p + mn(ad + 6c) г /~™ ' ^xp/n р/п (ra + l)nac l^ сж + « (ra- + l)ac . Г 4. ж J \сх n (aж + 6)(cж + d) /аж- 2ас \сж р/те (ad - 6с)р + (ad p/n
1.2.25] 1.2. Степенная и алгебраические функции 49 5. (ж — а)т+1 \сх ах + b р/п , Аах + 6)(еж + d) /аж + 6\р/те «ж = л + (ж — а)т \сх + а/ 1 /«ж^6\р/п „Г 1 (ах + Ъ^р/п Л = -1 т(аа + 6)(са + d)' (ж — а)т \сх + d) J (ж — а)т^1 \сх + d ~п(т — l)(ad + 6с + 2аса) + p(ad — 6с) тп(аа + 6)(са + d) — (гм — 2)ас dx, В = D = 6. dx = n I т(аа + 1?)(са + d) * 'п Г t13^1 (а\р^п Г s13™1 d? — ш — 1 Jt"-1 \с/ Je"-1 п „lc(ax + b) а(сх + d) ; см. 1.2.3 . 1. 2. 3. 4. 5. 1.2.24. Интегралы вида f Я(ж1/п, ж2 ± a2) da;. Bm - S)n - р Г жр/п da; (ж2 ± а2)т ~ 2(т - 1)а2(ж2 ± а2 2(т - 1)а2п J (ж2 ± а2 Bтп — Зп — р)Bтп — 5гг — р) . . . Bтп — 2пк + п — р) (in — 1)(га — 2) . . . (т — fe)n.fc™1(±2a2)fc 1 ^ (n-p)Cn-p)...Bmn-3n-p) f жр/п (?тг — 1)!(±2а2п)т^1 i-fe Г жр^п с!ж j ж2 ± а2 ' р/п — 1 (ж2 ± а2) р — п с!ж _ ±пж1тр/п 1 жР/п(ж2±а2) (п — р)а2 а2 ж2±а2 dx 1±а2)' 1 ^/ . 4Л + 1 fe=O sin ртг In 4/ж2/п — 2(ажI/п cos тг + а2/п 1/п 1/п х ' — а ' cos ¦ рж arctg 2п 2п [р = 1, 2, . . . , п- 1; а > 0]. 6. ^p/n-l f ^n+p-l wnp/n-l J tn + 1 tn-l 2 \t = (x/aI/n; p = ±1, ±2, . . . ; а >0; см. 1.2.з]. X 1.2.25. Интегралы вида R{s/x — а , у/х — b , \/ х — с) dx. а Условие: х > а > Ъ > с. „г . /х - а \Ь- с Обозначения: (р = arcsin \j , к = 1. 2. dx х — b 2 — а){х — Ъ){х — с) х dx у/(х — а)(х — Ь)(х — с) by/a — с 4 А. П. Прудников и др., т. 1 ¦F(V)fc). [а(а-Ь)П(^, 1, , к)].
50 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.25 dx ,*)- (Ь — с) у/а — с 4. 5. dx [Ь-с)у/а-с dx (х — р)у{х — а)(х — Ь)(х — с) 2 6. (Ь — р)(о> — р)л/а — с dx F-а)П U, \ Ъ — р а — су (ж — Ь)(х — с) \рфа]. — а)(х — ЪK(х — сK 2 ¦ [Bа -Ь- с)Е(<р, к) - 2(а - b)F(<p, к) + 2 7. 8. 9. ю. 11. [ / JV(*- а f / JV(*- а X \ 1 JV(«- а X 1 1 JV(* а X Г / х - а Ь)(х- а)(х — х - с «к*- ж - а -ЬK(х х —- а И- с) ч d с) Ь) - с) 2(а — (ж — а)(х — с) , A;) (х — а)(х — с) ^ ^ х-Ъ (ж 7Гс) b — с , к) - Е(<р, к)}. (ж — Ъ)(х — сK dx = 6-с , к) - , *)] - 2 (х — Ъ)(х — с) 12. 13. 14. \\ X г а ж Г. / /(х / 1 (х ж — 6 — а)(ж — ж — с — а)(ж — -а)(ж- с)з бK da; = 2 ^(^/ ife) -2- а — с у (х — Ъ)(х — с) dx = — Е((р, к). , ife) - (а - b)F(y?, k)] (ж - а)(х - с)
1.2.26] 1.2. Степенная и алгебраические функции 51 15. п){Х С) [(а + с - 2b)E((pJ k) - (а - b)F(<p, к)] + (а-с) (Ь-с) [х — а)(х — с) х — b 16. , A;)] 1. 2. со Г , 1.2.26. Интегралы вида Я(уж — а , л/х — b , уж — с) dx. Условие: ж ^ а > b > с. _ . 1а- с Ib- с Обозначения: (р = arcsin \ , к = \ . \ х — с У а — с со dx 2 — а)(х — Ъ){х — с) Va — с dx 2 , к). х — b а — 6 у (ж — а)(ж — с) [х > а]. 3. dx %/(ж-а)(ж-&K(ж-с) (а-Ь)(Ь-с) 2 2 ч / F(y, fc) (ж — 6)(ж — с) 4. dx 5. dx x [(a - b)F((p, ife) - (a + 6 - 2c)E((p, к)] + 2x - a- (a - \x > a . 6. , к) ^ (a ^ b)F(tp, к)} x — b (а — Ь)(а — с) у (ж — а)(ж — с) [ж > о]. 7. х [Bа - b - с)Е((р, к) - 2(а - b)F((^, A;)] - (а-6)(Ь-с) у (ж- [ж > а]. 4*
52 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.27 8. dx х [(a - b)Ba -Ъ- c)F(<p, к) - 2(a2 + б2 + с2 - ab - ас - Ьс)Е(<р, к)} ¦ 2[х(а + 6 - 2с) - a(a - с) - 6F - с)] 9. 10. dx (а - bJ(a - с)(ft - с)у/(х - а)(х - Ь)(х - с) 2 [х > а]. (ж - р)у/(х - а)(х - 6)(ж - с) (р - с)у/а - с [ \ а - с' 11. 12. 13. 14. 15. ж — с (ж — аK(ж 2 (ж — аK(ж ж — с (ж — а)(ж - ж — а (ж^6K(ж ж — 6 (ж — а)(х - х ~~ а -Ъ) тр С -с) -бK -с) dx = 2\Ja — с а — 6 , Л)- 2(а — с) а — 6 у (ж — а)(х — с) dx = а — с - с , k)-E(<p, х — b (х — а)(х — с) [х > а], [х > а]. dx= v E(y, ife)-2- dx = а — 6 2\/а — с а — 6 у (ж — 6)(ж — с) с!ж = , 2V'а ~~ с [F(<p, k)-E(<p, k)] + 2^j 2(a-ft) ж — 6)(ж — с) Е(<р, к) - (х - Ь)(х - сK ^ b - с ^v" "' (b - с)^а х а 1.2.27. Интегралы вида R(y/a — х , \/х — b , \/х — с) dx. F(<p, к). Условие: a > ж J^ b > с. ^г . I а — х I a — b Обозначения: (р = arcsin \l г , л = 1. 2. 3. dx а-Ь ' 2 \/(а — х)(х — Ъ)(х — с) л/а — ж dx 2c F(^, ife) + 2-л/а-сЕ((р1 к). dx у/(а — ж)(ж — 6K(ж — с) (а — 6)Va — « " (а^6)F^с) {a-b)(b-c)\ x-b {а-х)(х-с) [ж > ft].
1.2.27] 1.2. Степенная и алгебраические функции 53 4. 5. dx dx (b — с) у/а — с 2 ,*)" » — с)(а — с) V ж — с (а — ж)(ж — Ь) (ж-р)у(а - ж)(ж - &)(ж - с) (a-pJVfl- _ / а — & . П [ ^>, , А; 6. (а - х)(х - ЬK(х - сK 2 (а -Ь)(Ь- сJ1/^^ [(& - c)F(y?, ife) - 2Bа - & - с)Е((р, к)] + ^ 6^ с + х) (а ~ Ъ)(Ь ~ с)(а ~ с) У (х ~ Ь)(х - с) [х > Ь]. 7. (ж — Ъ)(х — с) dx = Чу/a- c[F((p, к) - Е(<р, к)]. 8. 9. Ю. 11. 12. 13. 14. (а — ж)(ж — Ь) (а — ж)(ж — с) dx = Чу/а — с Е((р, к). den. = i к) - t h) 2\/а — с а-ж 2y/a - с dx = (ж — Ь)(х — сK 6 — с ж — 6 (а — ж)(ж — сK ж — с 2\/а — аж = г- (а — ж)(ж — бK ^—^ dx = -у/а= х — с 3 2 /(а —ж)(ж —с) J± J\ J- [x > b]. , A;)- , A;)-- 2 (a - x)(x - b) 2 (а-х)(х-с) х — b , k)^2(b^c)F(ip, к)}^ 2 п п [х > 6]. 15. 16. Щ х — о —— dx = -V^cKfl + с - ЧЬ)Е(<р, k) + (b^ c)F(<p, к)] - о 2а-b- c)E(<p, k)-(b- c)F(<p, к)] + 2 3
54 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.28 X 1.2.28. Интегралы вида R(\fa — ж , V' х — Ь , \/х — с) dx. ъ Условие: а ^ х > b > с. „r . (a-c)(x-b) . la-b Обозначения: 99 = arcsin 4 / -7 тт^ г , к = 1. (а — ж)(ж — Ъ)(х — с) л/а — с ПЧ>, к). 2. х dx у/(а — х)(х — Ь)(х — с) [(Ь-с)Щ<р, , к)]. 3. dx (а - жK(ж - 6)(ж - с) (а - 6)^а - ж — 6 а — 6 у (а — ж)(ж — с) ж < а . 4. dx 5. х [{Ь - c)F(<p, к)-Bb-а- с)Е(ц>, к)} + 2 ж — b (а — Ь)(а — с) у (а — ж)(ж — с) [ж < а]. 6. dx (ж — р)у/(а — ж)(ж — Ь)(х — с) (с — p)(b — р)уа — с (с - » к + {b~p)F(Lp, к)\ [рф Ь] 7. (ж — Ь)(х — с) 8. (а — ж)(ж — с) dx = ч 2F - с) . ч (а-х)(х , к) v 7 F(<p, А;) — 2- ' v /v -ь) 9. (а — х)(х — Ь) - 2 (а-х)(х-Ь) 10. х — b (а — жK(ж — с) dx = — ¦Е(<р, к)+ 2 х — b (а — х)(х — с) [ж < а]. 11. dx = - с) (а — Ь)^/а — с 2хПГ^Ъ х — Ъ а — Ъ у (а — х)(х — с) [х < а].
1.2.29] 1.2. Степенная и алгебраические функции 55 12. 13. (а — ж)(ж — сK [F(<p,k)-E(<p,k)]. (х — Ъ)(х ~~ сK dx = —^ Е((р, к) F((p, к). Ь-с 14# 15. 16. х — о ЧМ СА dx = t^3^ра -ь- c)E(<p, k)-(b- c)F((p, k)] о. ж о Па V *)] + /(ft *)] + — х)(х - х)(х -ъ) -ь) (а - x)(x - b) 0 1.2.29. Интегралы вида R(y/a — x , V& — ж , V^ — с) dx. X Условие: a > b > x ^ с n« ¦ l(a-c)(b-x) , Обозначения: 9? = arcsin 4/ -^ ^7^ ™ , A; = 1. dx (Ь — с) (а — ж) 2 \J(cl — x)(b — x){x — c) , k). 2. ж dx y/(a - x)(b - x)(x - с) у/а- с [{Ь-с)П{<р, к\ 3. 4. 5. dx ¦sf(a - жK(& - ж)(ж - с) (ft - b)s/a - с dx (a — x)(b — x){x — cK (b — c)y/a — , k). , k)-E{V, dx y/(a-xf(b-x)(x-cf (Ь-с)(а-Ь)у/(а-сK x [(ft - b)F(tp, к) + B6 - a - c)E((p, к)] 2 b — x b ~ cy (a — x)(x — c) [x > c]. b — x (b — c)(a — с) у (a — ж)(ж — с) [х > с]. 6. dx (p - x)yf(a - x)(b - x)(x - c)
56 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.30 n 7. 8. 9. 10. 11. 12. a-x f ( л (b-x)(x-c) — - dx = 2л/а - с Е((р, к) - 2\ ~ '- (Ь — х)(х — с) V а — х (а — ж)(ж — с) dx = J к) , fc) ^ (Ь-х)(х-с) ж-с , 2V« - с . N 2 da; = — ^- E(y?, A;) F(y?, A;). (a — xK(b — x) (b — x)(x — dx = dx = а — b 2 /а — с , k) - (Ь — с) у/а — с F(tp, к) - \а С Е{<р, к) + 2°-^ 13. 14. (а — ж)(ж — сK dx = b — х (а — х)(х — с) (а — ж)(ж — с) [х > с]. 5 A;)] (Ь-х)(х-с) а — х 15. и — ж , к)] ¦ 16. dx = ±y/^— 2a^b^ c)E(<p, k)] 1. 1.2.30. Интегралы вида R(y/a — х , yb — x, у/х — с) dx. с Условие: а > Ъ ^ ж > с. Обозначения: ip = arcsln \j ^ ^ , к = X dx b — с V о, — с 2 у/(а — х){Ъ — х){х — с) л/а — с
1.2.30] 1.2. Степенная и алгебраические функции 57 2. 3. 4. ж dx 2а у/(а — x)(b — ж)(ж — с) Va — с dx у/(а - хK(Ъ - ж)(ж - с) (а - Ь)у/а - с dx 2 , k) - 2у/а - сЕ(<р, к). E(ip,k)- (а — Ь)(а — с) (Ь — х)(х — с) 5. у/(а - х)(Ь - жK(ж - с) (Ь - с)у/а - с 2\/а — с Е{<р, к) dx (а — ж)(ж — с) b — х у/(а — хK(Ь — хK(х — с) 2 == [(а - b)F(<p, k)^(a + b^ 2c)E(<p, к)] ¦ (а — оI^ — с)уа — с 2[а2 + б2 - ас - be - х(а + Ъ - 2с)] I x - с (а — х)(Ь — ж) 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. dx (р-х)у/(а-x)(b-х)(х-с) (р-с)у/а-с \ р-с » — х)(х — с] dx = 2у/а — с Е((р, к). (а — х)(х — с) (а — х)(Ь — х) dx = (а — хK(Ъ — х) (а — хN(х — с) 1 к) - Е((р, к)}. 2у/а - с р/ п 2 Е(, к) [х < Ь]. [х < 6]. \рфс]. а — b 2 2 (Ь - х)(х - с) [F(<p, k)-E(<p, k)] + a — b V a — x 2 Hb-x){x-c) 2 (а - х)(х - с) V 13. 14. (а — ж)(Ь — жK 2\/а — с = 2^—— + ь _ о 2 (a-x)(x-c) [х < 6].
58 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.31 15. 16. ^—^ dx = ^V^^[Bb ^а^ с)Е(<р, к) + (а - b)F(<p, к)} - о — х «5 - ^V(a - х)(Ь- х)(х - с). dx = -Va^c[Ba -b- c)E(<p, k) - 2{a - b)F(tp, к)] - - с). 1.2.31. Интегралы вида R(y/a — ж , у/ b — ж , у/с —¦ ж ) dx. X Условие: а > b > с > х. _ . 1с- х . la-b Уоозначения: ш = arcsin \\ , к = 1. 2. 3. 4. 5. b — х 2 ж dx > — х)(с — ж) v а ~ с , к). , Aj) + (а — . - 2 о — х •^(а — жK(& — ж)(с — ж) (а — Ъ)\/а — с [F(<p, k)-E((p,k)] + dx da; - с) 2 (а — b)y/a — i а — с у (а — х)(Ь — х) , к). 6. х [(а + 6 - 2c)?J(^, А;) - 2F - e)F(<^, A;)] + dx 2(c — 6) (р - - х)(с - х) (р- Ь)(р- с)л/а - (р — 6)i/a — с {а-х)(Ь-х) ' F(<p, к) [рфс]. 7. 8. 9. [ / ж f / jV(a С Г / а — ж -Ж)(с- 6 — ж - х)(с- с — х х) х) dx = , к) - E{<fi, к)] b — х (a — x)(b — x) b — x
1.2.32] 1.2. Степенная и алгебраические функции 59 10. il 11. 12. 13. 14# 15. 16. (а — жK(с — х) а — с у (а — х)(Ъ — х) dx = г— Е(<р, к) - а Ь 2(Ь-С) F(V,k)-2' C-X (a — b)y/a — с (а — х){Ь — х) (а — х)(Ь — жK а — Ъ а - х j 2V« - с ( ч ах = —; ^(^5 к). (Ь — жK(с — ж) Ь-с ¦ Bс - а - Ь)Е(<р, к)] + - (а + 26 - 2с - «5 о — ж и Ж - a - c)E((p, к) - (b- c)F((p, к)] 2 , (а-х)(с-х) \a-b- c)E((p, k)-(b- c)F((p, к)] + 1.2.32. Интегралы вида Щл/а — ж , л/Ь — х , л/с — х ) dx. — сю Условие: а > Ъ > с ^ х. ^г . Iа - с t /a-b Обозначения: (р = arcsin \ , к = 1. 2. 3. 4. dx (а - х)(Ь - х)(с- х) у/а- с dx 2 F(<p, к). dx 2\/a — с ¦[F(<p, к)-Е(ч>, к)]. 2 2 F(tp, к) - (а — Ь)у/а — с b — су (а — х)(Ь — ж) dx у/{а — х){Ъ — х)(с — жK (с — b)y/a — с Ъ — х b — су (а — ж)(с — ж) [ж < с].
60 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.32 5. 6. dx а - х)(Ь - х)(с - х) dx nU ^, * ) - F(<p, к) I. у' а-с' ' п х [(а + b - 2с)Е(<р, к) - 2F - c)F{(p, к)] - а-Ь)(Ь-с)\ (а^ 7. dx 8. х [F - c)Ff>, А;) - (а + b - 2с)Е(<р, к)} + dx 2F + с -2х) F - 9. х [B6 - а - с)Е((р, k)-(b- c)F((p, к)] + с dx 6 — х F — с)(а — с) у (а — х)(с — х) 2 х [F - с)(а + 6 - 2c)F((p, к) - 2(с2 + а2 + б2 - аЪ - ас - Ьс)Е((р, к)] ¦ 2[с(а - с) + Ь(а - 6) - жBа - с - 6)] 10. 11. 12. (а (а 6^ с — -жK а — X (с- X (ь- X х) х) dx = dx = (а — 6)(а — с)F — сJу(а^: 2 а ~ b (Ь — х)(с — жK 9 k) _ , к) - 13. 14. 15. (а а — — жK1 Ь- — ж)(| с — ж (с-ж) ж с-х)* X dx = ±v^—^(^, А;)_ (а — Ь)у/а — с о - с 2(а — с) 6 — ж 6 — с у (а — ж)(с — ж) а — 6 Ъ-с 2 /а — с 6 — с у (а — ж)F — ж) , k)-E{<p, к)]+ 2, 6 — Ж (а — ж)F — жK dx = [ж < с]. [ж < с]. [ж < с]. [х < с]. (а — ж)(е — ж) (а — ж)F — ж) [х < с].
1.2.38] 1.2. Степенная и алгебраические функции 61 X 1.2.33. Интегралы вида R(y/x — а , V' х — Ь , \/х — с , ^ж — d) dx. Условие: x>a>b>c>d. Обозначения: ш = arcsln a (b^c)(a^d) 1. 2. — a)(x — b)(x — c)(x — d) \/ia — x dx — с) (ж — d) 2 F(<P, *)¦ \J(x — a)(x — b)(x — c)(x — d) 3. dx ж у (ж — а)(х — Ь)(х — с)(х ~~ d) aby/(a — c)(b — d) (а-Ь)Щ<р, j-Z, k) +bF(V, k)\. aF(<fi, к) \. 4. dx (p — x)^/(x — a)(x — b)(x — c)(x — d) (p — a)(p — b)^/(a — c)(b — d) 5. 6. 7. 8. Г л а X г X г а ж Г. / / fr / /(Ж / / (х 1 X -b)(x X — а)(х X — а)(х X — а ^с)(ж^ ~Ь ^с)(ж^ — с - Ь)(х - -d d) d) d) j 2(Q - b) dx = — —^— dx = dx = if a — d ' b^d , k (ж — а)(ж — b)(x — с) V(o-c)(b-d) <^Ж = (a - - c)F(<p, k) I 9. 10. (ж — b)(x — с)'л(х — d) (b-c)(c-d) 2(a - b) (b-c)y/(a-c)(b-d) F(<p, k) - 2 (x-a)(x-d) с — dy (x — b)(x — c)
62 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.34 11. 12. dx = 2 /(ж — а)(ж — с) (х - Ь){х - с)(х - df c-d\ b-d K*' ' c-dV (x-b)(x-d)' х — b (х — а)(х — с)(х — dK (a — d)(c — d) у (ж — b)(x — d) 2(а - Ь) 13. 14. 15. 16. 17. x — b (x — a)(x — cK(x — d) dx = 2 b-d _ 2(b - c) (x-a)(x-d) c-d\l a-c W' ' (a-c)(c-d)\j {x - b){x - c) ' (х — а)(х — ЬK(х — d) а — i (ж — а)(ж — 6)(ж — dK ж — d {x — a)(x — bK(x — c) dx = a — dy (x — b)(x — d) = 2y/(a-c)(b-d) 2(c - d) (a-b)(b-c) yv' (b-c)y/(a-c)(b-d) , к). (x — a)(x — b)(x — cK dx = 2 lb- b — с V а — с [F(V,k)-E{V,k)]+ a — с у (ж — &)(ж — с) a 1.2.84. Интегралы вида R(ya — x , ух — b , ух-~~с , уж — d) с!ж. 1. 2. Условие: a>x^6>c>d. Обозначения: (р = arcsln , а х dx /(а-ж)(ж-Ь)(ж-с)(ж-<0 dx 7 к = (a-b)(c-d) (cb — ж)(ж — b)(x — c)(x — d) \f(a — c)(b — d) dx F(<p, k). (a — ж)(ж — b)(x — c)(x — d) ad'\J{a — c)(b — d) (d-a)n\<p, , k)
1.2.34] 1.2. Степенная и алгебраические функции 63 4. dx (р — х)у/(а — х)(х — Ъ)(х — с){х — d) (р — а)(р — d)^J{a — c)(b — d) \рфа]. 5. 6. 7. 8. 9. ж — 6 (a — ж)(ж — с)(ж — d) dx = г л ж а г Ь а Г / / (« / /(а / Ж — ж)(ж ж — ж)(ж а — с -Ь)(х -d -Ь)(х — X -d) -с)' ^/(a^c)(b^d) dx = ' b^d" - c)F{<p, dx = / 6^ a . П ш, :,k]. V'bd' f b-cV (x-b)(x-d) [х > Ь]. 10. 11. 12. da; = (ж — Ь)(х — с)(ж — dK с ~ dy b — k) - E(V, A)]. (a — ж)(ж — сK(ж — d) 13. х — b (а — ж)(ж — е)(ж — с — dy а ~~ с dx = 2 (a-x)(x-b) 1/ / w j\ a-сУ ж-с ж-d 2F - с) , к). 14. (а — ж)(ж — bK(x — d) a-b\b-d a-bV (x-b)(x-d)
64 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.35 15. 16. {а - ж)(ж - Ъ){х - (a - x)(x - dx = a-d]/ b-d 2(а - d) (a-b)y/(a-c){b-d) , k) - 17. 2yf(a~c)(b~d) 2F -d) l(a-x)(x-c) —r— E{<p, k) + j- 7V77 "T4 7- VV7Z ^ Iх > 4- dx = \a-b){b-c)\ (x-b)(x-d) ж — d (a — x)(x — b)(x — cK b — с V a — с 4c ~d) l(a-x)(x-b) J (a^c)(b^c) у (ж-с)(ж-<0 " 1.2.85. Интегралы вида R{\/a — х , V^ — 6 , V^ — с , Va; — d) dx. Условие: a^x>b>c~: Обозначения: ш = arcsln (а-Ь)(ж-с) , А; = 1. 2. 3. 4. у (а — ж)(ж — b)(x — с)(ж — d) Ж б?Ж \/(a — ж)(ж — 6)(ж — с) (ж — d) ж у (а — ж)(ж — Ь)(х — с)(ж — i (a-b)(c-d) , A). у (а - с)F - , fc)|- (ж - р)у/(а - ж)(ж - Ь)(ж - с)(ж - d) F - р)(р - с)^/(а - с)(Ь - rf) 5. 6. 7. (ж — b)(x — с) (ж — ж — 6 (о - ж)(ж - 6)(ж - d) ,f(a~c)(b~d) „_ 2F-с) (С_Ь)П(^^-4,Л П(^, 5—^, ife) -F{<p,k)\. , ife) I о?ж = — , , П( ср, , А; .
1.2.36] 1.2. Степенная и алгебраические функции 65 8. 9. 10. li. х — d (а-х)(х-Ъ)(х-с) dx = (a — жK(ж — Ь)(х ~~ с) y/{a-c)(b-d) dx = b-c)nl<p, \ > k)\. О у Gj С , k) - E{V, k)] 2 (x-b)(x-d) dж = ' a — by (a — ж)(ж — с) 2(a - rf) dx = , , x-b f 2 b-d^, J4 2 (x-b)(x-d) 12. L/y ^t w -p-dx = - J E(<p,k) + -J) ^ {. (a — х)л{х — с)(ж — d) a — а у а — с a — d у (а — ж)(ж — с) 6 13. 14. (a — ж)(ж — сK(ж — d) c^dVtt^< к) - E(<p, k)]. (a - ж)(ж - с)(ж - dж = 15. (a — d)(c — d)^(a — c)F — d) x [(a — c)(b — d)E((p1 к) — (a — d)(b — 2F - c) dж = (a - xK{x - 6)(ж - d) (a-b)y/(a-c)(b-d) F(<p,k)- 2(a-c) \(x-b)(x-d) 16. 2V(a-c)(b-ri) (a - b)(a - d) ^l^' 'v/ ' (a - b)(a - d) V (a - ж)(ж - с) 2 [x < a]. 17. _ а - с _ с - d / (а - ж)(ж - 6) 6d? (ж ^ с)(ж ^ d) J" 1. (a — ж)(ж — b)(x — сK ь 1.2.36. Интегралы вида R(y/a ~~ x , V& — ж , V^ — с , ^/х — d) dx. X Условие: a>6>ж^:c>d. Обозначения: (р = arcsln ( ь dж (а-с)F-ж) , (b-c)(a-d) F — с)(а — ж) у (а — с)F — d) '(а — х)(Ь — ж)(ж — с) (ж — d) 5 А. П. Прудников и др., т. 1
66 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.36 2. 3. 4. х dx \J(cl — x)(b — х)(х — с) (ж — d) (Ь-а)П(<р, -—-, к , к)\. dx (а — х)(Ь — ж)(ж — с)(х — d) ab\J (ci — c)(l? — d) ,к)\. dx (р — х)у/(а — х)(Ь — х){х — с)(х — d) (р — сь)(р — b)-\/(a — c)(b — d) ¦ L x/P lm k\ +{p-b)F{^1 к) 5. 6. 7. 8. 9. Г ж Ь f ь г X ъ Г. / / F- / / / (а- / а х)(х ж)(ж ж ж)F ж — х -с)(х -с)(х — с — х)(х -d -d) -d) -d) 2{a-b) ( b- с х П Ш, , к . ip, , к — F((p, к) dx = (b-a)n(<p, -—-, к) +(a-c)F(<p, k)\. (а — x)(b — ж)(ж — с) (b ~ a)U L, ^^, к ) + (a - V a-c § dx = - х)(х - сK(ж - d) (Ъ- с)у/(а- c)(b- d) y/(a-c)(b-d) 2{a - c) I (b - x){x - d) 10. 11. 12. • — ж)(ж — с) (ж — dy b — х dx = 2 fa-с , . 2(a - d) (b - x)(x - c) {^J } (b-d)(c-d)V (a-x)(x-d)' dx = (a — xK(x — c)(x — d) a — d V cl — b — x (a — x)(x — cK(x — d) dx = 2 b-d _, 1Ч 2 Hb-x){x-d) ~j V ^(^j ^) H ji 7 V7 V a^cvti^c c^dy(a™ ж)(ж — с)
1.2.37] 1.2. Степенная и алгебраические функции 67 13. b — х dx = (а - х)(х - с){х - d)s (а - d)(c - d)y/(a - с)(Ь - d) х [(а - с)(Ь - d)E(tp, k)- (a- b)(c - d)F(cpJ к)] - 2 (Ь-х)(х-с) с — dy (а — х)(х — d) 14. (а — хK(Ъ — х)(х ~~ d) dx = 15. 16. 17. (а — x)(b — х)(х — x — d (а ~~ b)(a — d) dx = ¦E{y,k)- 2(c - d) (a-d)v/{a-c){b-d) F{tp, к). 2 I'a — с 2 / (b — x)(x — c) dx = 7i/ E(cp, k). {a — xK(b — x)(x — c) a — by a — с dx = (a — x)(b — x){x — cK b — с V a — 2 (b-x)(x-d) b — с у (a — x)(x — c) x 1.2.37. Интегралы вида R{\/a ~~ x , л/b — x , ^/x — с , л/х — d) dx. Условие: a>b^x>c>d. 1. 2. 3. 4. Обозначения: ip = arcsln X dx \/(a — x)(b — x){x — c)(x — d) x dx y/(a — x)(b ~~ x)(x — c){x ~~ d) dx x^{a — x)(b — x)(x — c)(x — d) — d) F(<p, к). (a - c){b - d) (c-d)U(<p, V cdy/(a-c)(b-d) dx (p — x)y/(a — x)(b — x)(x — c)(x — d) (p — c)(p — d)y/(a — c)(b — d) (b-c)(p-d) ' (b-d)(p-c) ,k\+(p-c)F(<p,k)\ \рфс\ [x > c]. , k)\ 5*
68 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.37 X 5-Iv с Чу с X - и 9-lv с as 4 с с ж с ж с ж -1 с -I- с / а^ (Ь — ж)(ж — / ь- (а — ж)(ж — 1 (а — х)(Ь ~~ 1 о- / V (Ь-х)(х- 1 ь у (а~жK(ж / ь- у (а — ж)(ж - / / / V(a-x)(b- / У (а~жK(& ж с) (ж™ ж с)(х- с х)(х- d ж)(ж — ж — ж -с)(ж- — ж -с) (ж — ж - с)(х - ~~ с — с ^жK(ж — с - ж)(ж - ^d — х){х d) d) d) с) -d -d - п — — - о dx — ч/(« dx — dx \ \ ;j3 dx d) dX 2 dx d) x (a dx 2 ~c)(b~ 2 ~c)(b~ 2(c~ 2 fa 2 / c-d)j jb^d l\a-c d) d) d) [ь- 'b- ', — b- Г/7 [i (a-d)(c x [(a- . 2\/(a - 2 l 2 a-dV 2 ПГ- - с - 6 6 -[(d-c)I г [(d - C)] -d) L v TTi (/ — 111 ^ с , , — f» 2 -c)F-< )(b-d) . i) c)(b-d) ~ c Fi.. -d ? —- d П | ip C к ) I (b t ю Ь~С k\ F(m k) / k)-E(<p,k)] + 2 j(a-x)(x-c) fe-cy (b-x)(x-d) к). E(- !¦)} 1 2 f^1 ^''"N ' a-cY(a- X I)E((p, к) - (a^b)(c^ ¦ FW, к) а/; a — о у (а — 2 l(a-x)(x ' 'a-6VF-*)(* 2(o-rf) /F- i)F((p [ [x ¦ x)(x - ¦ ж)(ж - ¦ x)(x - ~ C) ж)(ж- 1 * J' k)] Arj. <6]. -c) -d)' , fc)]. — -c) a — b V а — (a — b)(a — с) у (а — ж)(ж — d)
1.2.38] 1.2. Степенная и алгебраические функции 69 17. х — d dx = (а - x)(b - x)s(x -с) F - c)^(a^ ¦E(<p, к)' 2F -d) (a-x)(x-c) (a - b)(b - c) v^' ; (a - b)(b - c) у (Ь - ж)(ж - d) с 1.2.88. Интегралы вида R{-\/a — х , Vb — ж , Vc — ж , V^ — d) dx. Условие: аУЪУсУх^ Обозначения: ю = arcsln (с ^0F^ ж (a-b)(c-d) 1. 2. — х)(с — х)(х — d) х dx F{<p, к). у/(а — х)(Ь — х)(с — х)(х — d) \J/(а — c)(b — d) 3. dx ху{а — x)(b ~~ ж)(с — х)(х ~~ d) 4. dx 5. (b — x)(c — x)(x — d) dx = y/(a-c)(b-d) [x < b]. , к) у (р — ж)у (а — х)(Ь — х)(с — х)(х — d) (р — Ь)(р — с)у{а — с){Ъ — d) b) 1 х <(с-Ь)П\<р, т, ^ (, A; +{p^c)F{(p, k)\ \рфс]. (a- b)F{<p, к) |. 6. 7. 8. 9. Ъ-х 2F^ с) . dx = — . , П ср, (a - ж)(с - ж)(ж - d) (а — х)(Ъ — х){х — d) ж — d (а — х)(Ь — х)(с — ж) .-d) 2F - с) ' ft-d' , к] — F(<p, k)\. (с - (fe - , 2 /а^с «ж = 1/- ; Е((р, к).
70 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.39 10. 11. dx = » — х)(с — х){х — dK с — dy b — d , к) - E(<p, к)] 2 (a-x)(c-x) b — x 12. (a — xK(c — x)(x — d) b — x dx = dx = ¦E(<p,k)- 2 c-d^ (b-x){x-d) 2(a - b) [x > d]. (a ~ х)(Ъ ~ x) ' (a - x)(c - x)(x - d)s (a - d)(c - d)y/(a - c)(b - d) x[(b-c)(a-d)F(<p, k)-(a-c)(b-d)E(<p, 2F -d) (a-x)(c-x) a-d)(c-d)V (b-x)(x-d) [x > d\. 13. (a — xK(b — ж)(ж — d) 14. 15. (a - x)(b - х)'л(х -d) a-by b-d ЧЬ -с) 2 \(c-x)(x-d) (a-b)y/(a-c)(b-d) a - d\J (a - x)(b - x) ' dx = 16. 17. (a — x)(b — x){x — (a — xK(b — x)(c — x) dx = (a — x)(c — x) \b-x)(x-d) dx = 2 lb-> ж — d (а — x)(b — хK(с — х) —by а —с dx = 2 (c-x)(x-d) a-сУ а-ж fe-ж 2у/(а - c)(b - d) (a-b)(b-c) 2(o - d) , к). 1.2.39. Интегралы вида R(y/a — x , V& — ж , Vc — ж , ^ж — d) dx. Условие: a>b>c^x>d. _ . (a-c)(x-d) , (a-b)(c-d) Обозначения: <p = arcsin ^/ ^ -(™ ™ , к = W ) ^7 -( . !/ (c — d)(a - x) у (a — c)F — d) 1. у/(a — x)(b — x)(c — ж)(ж — d) \/(a ~ ) к).
1.2.39] 1.2. Степенная и алгебраические функции 71 2. 3. 4. х dx у/(а, — х)(Ь — х){с — х){х — d) y/(a-c)(b-d) d~c 1 k)\. dx x\f(a — x)(b — х)(с — х)(х — d) 2 ad\J (a — c)F — d) dx (p — x)y/[a — x)(b — x)(c — x)(x — d) (p — a)(p — (d — c)(p — a) 5. 6. 7. 8. 9. 10. (b — x)(c — x)(x — d) b — x (a — x)(c — x)(x — d) (a — ж)F — x)(x — d) x — d dx = <" (a_c)(p_d)' 2(a-d) <p, , к . dx = y/(a-c)(b-d) dx = 2 ~ у/{а-с){Ь-Щ (a - _ 2 ia-c 2(a-b) \(x-d)(c-x) dx — - \ i - ; hi(ip, k) dx = b-cMb-d 2(a - d) (b - x)(c - xf(x -d) (c - d)y/{a-c)[b-d) {b-c){b-d)\ (a-x)(b-x) ' F(<p, k) - y/(a-c)(b-d) а-с \(b-x)(x- (b-c)(c-d)V (a-x)(c-x) \x < c]. 11. 12. 13. b — x (a — xK(c — x)(x — d) a — d\/ a — b — x (a — x)(c — xK(x — d) dx = dx = с — a V a —- с k) _ E{V, к)] 2 (b-x)(x-d) (a — b)(a — d) E(<p, k)- c — dV (a — x)(c — x) 2F-c) (a-b)y/(a-c)(b-d) [x < c]. F{<p, к).
72 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.40 14. (а — х)(Ь — жK(ж — d) 15. 16. dx = 2 a-b\b-d 2 Ib- (а-х){Ь-х) ' dx = (a — xK(b — x)(c — x) a — by a — с (а — х)(Ъ — жK(с — ж) dx = , к) - 2(а - d) F(<p,k)- 2 (c-x)(x-d) b — с у (а — x)(b — x) 17. х — d dx = -2 b-d 2 \(b-x)(x-d) (a^x)(b^x)(c^xf b^cM a^c l^' ; b ^ cV (a - x)(c - x) ' 1. 2. 1.2.40. Интегралы вида R(ya — x , v b — ж , у/с — ж , yd — х ) dsc. ж Условие: a>b>c>d>x. . \(a-c)(d-x) l(b-c)(a-d) Обозначения: (р = arcsin л ™ -~~~z ™ , к = д / ™ ™ут -г™ . F(<p, к). > — ж)(с — x)(d — ж) ж dx — d) {а — х)(Ъ — х){с — x){d — х) (a-c)(b-d) 3. dx х^/(а — x)(b — ж)(с — x)(d — ж) cdy/(a-c)(b-d) ,*) ¦ 4. dx (р — х)у/(а — х){Ъ — х)(с — x)(d — ж) (р — с)(р — d)yj(a — c)(b — d) 5. F — ж)(е — ж)(с? — ж) dx = ^_^ (a - c)(b - d)
1.2.40] 1.2. Степенная и алгебраические функции 73 6. 7. 8. 9. b — ж (а — х)(с — x)(d — х) dx = c-d)Tl(<p, V , k)\. г h X d Г i\ X d f / / (a / / С -x)(b d ~X){b a — x — x)(d — x) ~~ X -X)(c-x)- — x 2(c — d) 2(c-d) „/ ad . II \ (р. , к \ а, - с a-d , к — Flip, к) \. жK(с — x){d — х) dx = 2 (a-x)(d-x) 10. v^' b- с 11. 12. 13. b — x (a — x)(c — x)(d — x) b — x dx = a — dy a — ' , 2 Ib-d dx = (a — ж)(с — xK(d — x) с — dy a — 2(c-d) dx = (a - х)ЦЬ - x)(d -x) (a - .-d) (b~x)(d~x) (a — b)(a — d) У (a — x)(c — ж) 14. 15. 16. dx = l^' j 2F - c) (a-x)(d-x) d-ж 2 b-d (a — ж)^(Ь — x)(c — x) b — a 2 (b-x)(d-x) 74/7 W (• a - H (a - ж)(с — ж) d — x (a — x)(b — жK(с — ж) 2y/(a-c)(b-d) dx = —, tvj-, ;— E(ip, к) - (a-b)(b-c) 2(c - d) F(<p,k)- 2 (a-x)(d-x) a — by (b — x)(c — x)
74 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.41 17. d — ж (а — х)(Ь — х)(с — жK Ь^ 1.2.41. Интегралы вида [ жт(ж2 ± a2)n+1/2 dx. dx = 2п + 2т + 2 х ж + - 3) . . . Bш - 2fe 22кх2т~2к~1 ¦ (Tl)" а2таBт-1)И Г 2 2 +1/2 v, I i\/« I ^\ /^ I o\ vA ^а / 2m(n + m + l)(n + m) . . . (n + 2) т\(т A;/ 5 1' <г> I Ж 6. 2(п + 1) 2(п- x \{x •l)Bn-l)...Bn-2fc + 3) n-l)...(n-ife + 1) а2те+2Bп а (ж ± а )п ж + (ж2 ± аА 7. 2(w + 1) feB77i-l)Bm-3)...Bm-2ife + l) 2fc 2m- 2кт(т -1) . . .(т- k + 1) , ^ixwa2-Bm^l)?? 1 2 о I / 2 i 2\l/2 i J- / 2 i 2\l/2 i а i 8. I (ж ± а ) ' dx = - x(x ± a ) f ± — 1п 2 i 2\l/2 zbaO 9. 10. ! ± а2I/2 dx = - ж(ж2 ± а2K/2 Т — х(х2 ± а2I/2 - - Ы |ж + (ж2 ± а2I/2 4 8 8 11. х3(х2 ± а2I/2 dx = - (х2 ± а2M/2 Т — (х2 ± а2K/2. 5 3 12. ± a2K/2 dx = - x(x2 ± a2K/2 ± - а2Ж(Ж2 ± a2I/2 + - a4 In \x + (x2 ± a2I'2 2±a2f/2dx=-{x2±a2f'2 13. \x{x2±a2f/2dx=-{x2±a 5
1.2.42] 1.2. Степенная и алгебраические функции 75 14. f x2(x2 ± a2f/2 dx = ^ x(x2 ± a2f/2 T fj х(х2 ± а 2 ± а2K/2 «- / 2 i 2\1/2 " 1 , / 2 | 2\1 ^—х{х ±a)f :f—1п|ж + (ж ±а) 15. [ ж3(ж2 ± а2K/2 dx = ± (х2 ± а2O/2 Т у О*2 ± «2M 1 (ж2 ± а2)п+1/2 1.2.42. Интегралы вида 1 ^ dx. ¦ dx. (т — | \n-l/2 т — 1 i 2хп+3/2 ж2- ---т Bт^1)а2 1 ^ (zpl)fc2fe(m - п - 2)(т ^n^3)...(m^n^Jfe^l) 1 fc=i + Bт - 3)Bт - 5) ... Bт - 2k - 1)а2к Х2т^2к- '2т(т — п — 2)(т — га — 3) . . . (—ге)(—п - 1) Г, 2 , 2чп+1/2 a2mf2m^l)!! nx ±a ) < V J х2±а2\к [т > п + 2]. ^0 [Bп - '' ±aI/2dx. ± a2)n+3/2 ^ fc Bn - 2m + l)Bn - 2m + 3) . . . Bn - 2m + 2A; - 1) ' - 1) . . . (m - A; + 1)а2*ж2т-2*+2 + Bn - 2m + 3)Bn - 2m + 5) . . . Bn + 1) Г (ж2 ± a2)n+1/2 dx. ¦ dx = ( .n2 1, /ж2 + а2 — а /ж2 + а2 + а а 8. 9.
76 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.43 10. (х2±а2I'2 2ж2 + 2а' In I (ж itt ) 1 / 2 | 2\3/2 | 2/ 2 , 2\1/2 3 11. I dx = - (х ± а ) ' ± а (х ± а ) ' q= a - Ж О In Ж arccos 12. 13. 14. 15. dx = — (Ж2±а2K/2 , 3 ± 2 а 1п о I In x + (ж ± а 2 ,2x1/2 ж arccos к=0 ¦In х + уж2 ± а2 т2п+4 ¦ с!ж = =р- 1. 2. 3. 4. 1.2.43. Интегралы вида = ±- /О/п iUa>2 4~ Л2\п —1/2 О-п 1 ^2 ~L Л2\п™1/2 ' Жт' *?Т1 ТП *? Г гп'ГП Arm / 2 _j_ 2\n 1/2 ~~^ /*l 1 \ 2 I / 2 _J_ 2,\n- 1-1/2* (ш-2п)(ж2±а2)«-1/2 ^ ж2тос1ж ж2т+11/ж2±а2 (х2±а2)п+1/2 Bп- 1)а2 Bn - 3)Bга - 5) . . . Bn - 2А; - 1) (ж2 ± а2)п~ (±l)n2n(n -т- 1)(п - т - 2) . . . (-т + 1)(-т) Г ж2т dx а2пBп-1)П J y/x* ± а2 5. 6. — {±1) а к [n ^ m + 1]. /ж2 ± a2 /ж2 ± a2 2m m —1 (Tl)fcBm - 1)Bт - 3) . . . Bт - 2к - 7. (ж2 ± а2 _ 1)а2
1.2.44] 1.2. Степенная и алгебраические функции 77 8. 9. 10. x2m+1dx (ж2 ±а2)п+1/2 k=0 dx (ж2 ± а2)п' = ± Bra -2k- l)(x2 ± а2)п^к^/2 ' 2n - 2 Г dx ¦± ¦ — f- 1)«2J Bn _ 1)а2(ж2 ± a2)^1/2 Bn - l)a2 J (ж2 ± a2)n ±x{x2±a2I'2 X (x2±a2)n+1/2 11. 12. 13. 15. 16. 17. 19. 20. Ж2±. (±1)^ \ , Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2A; - 1) а2*(ж2 ± a2)r' n-1 ж dx (x2 ± a2)^ = ln ж + (ж ±а ) 2ч1/2 14. (ж2±а2I/2 = (ж2±а2I/2. a Y ж + (ж ±а ж3с1ж (ж2±а2K/2 ж с/ж (ж2±а2K/2 ж3 б?ж = - (ж ± а ж 2 , 2x3/2 2/ 2 , 2x1/2 = 18. (ж2±а2K/2 1п х2 ± 2а2 /^.2 4- л2\3/2 /«.2 4- /,2^1/2 1.2.44. Интегралы вида ж + (ж ±a dx 1. 2. 3. 4. 5. хт(х2±а2)п+1/2 = ± 1 2п - 2 Bп - 1)а2хт~1(х2 ± а2) — 1 т + Bп - =Ь a2 Bп - 1)а2 с!ж 2п - 1 (ттг — dx 2jfe - 2m (ж2 d= a2)n 771 + 72 — 1 ж2 ± a2 dx ж(ж2 ± а2)те (±1) fc+1 Bn - 2k - I)a2k+2{x2 ± a2)*-*-i (±1) n + l In
78 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.45 6. 8. 9. 10. 11. dx In х(х2±а2I/2 а 7. dx _ (x2±a2)^2 пХ I Ж it U I JL xs(x2±a2I/2 = T ^2^2 + ^з In In а2I'2 ж(ж2±а2K/2 ±a2(x2±a2I/2 аз dx x a *os — ж p2 _|_ п2\г/2 X ж2(ж2 ± а2K/2 а4ж(ж2 ± а2I/2 ' dx ж3(ж2±а2K/2 = 3 ± 3 In '2а2ж2(ж2±а2I/2 2а4(ж2 ± a2)V2 2a5 1. 1.2.45. Интегралы вида dx - (ж + b)n\/x2±a2 J (ж2 ± ± а2 -Bп-3)б[- -4 J (ж + bO1^1 (ж + b)n~Wx2±a2 + ^ J (ж + Ь)п~2л/х2±а2 dx 2. 3. 4. 5. 6. 8. dx (х + b)Vx2 + а2 da: I ¦In ¦In а2 - 6ж - ж + 6 а2 + Ъх + ^F2 -а2)(ж2 -а2 ж + 6 [Ь2>а2 /а2 - б2 1 arctg - а2 + 6ж с!ж 1 / ж — а (х + a)V^2 - а2 а da; 7. 1 х + а (ж - a)V^2 - а2 И ж (r»1 _|_ |i2\m/^,2 i n2\n+l/2 9(<т -— "\\(n% -— I dU \ U I I «JU | 1* I ? Z«l|##l/ ill LI/ Bm - 3)a2 - Bn + 4m - 6I' m + n — 2 9. (m — 1)(«2 — 62N2 J (ж (ж2 + 62)(ж2 + a2)n+1/2 BП _ i)(a2 - 62)а2(ж2 + a2)n^
1.2.46] 1.2. Степенная и алгебраические функции 79 Dга - 3)а2 - Bга - 2)Ъ2 dx Bп - 1)(а2 - 62)а2 J (ж2 + 62)(ж2 + а2)»^ 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. dx (ж2 (ж2 (ж2 (ж2 + 62)V Ъх/ dx dx dx ^Ь2)л/ bx/ 1 Ж2 + ж2- w^ 1 ^^ 1 а2 а2 а2 "а2" б2 ¦In Bга - 1)(а2 - 62)а2 J (ж2 + &2)(ж2 + а2)п х\/Ъ2 — а2 + 6V^2 + а2 I arctg ¦ — b2 1 26V^ 1 -In /ж2 + б2 ж^а2 + b2 ~~ b\Jх2 + а2 [б2>а2] Га2>621 ¦In ¦In xxja2 + b2 + bxjx2 — a2 I x\/b2 — a2 — b\/x2 — a2 arctg - bx/x2 — a2 ' а^ж2 - b2 bx/x2 — a2 bx/a2 — b2 xx/a2 — b2 1.2.46. Интегралы вида [жт(а2~ж2)те [a2>62] Га2>621 +1/2 dx. xn+l/2 » m + 2n + 2 m + 2n + : (a2 - ж2)п+1/2 dx. m/ 2 2\n —1/2 i ж (a — x ) ' dx. 2n + 2m + 2 ^ Bm - l)Bm - 3) ... Bm — 2Aj + 1) ^ 2fc(m + n)(m + ra - 1) . . . (rra + ra - A; + 1) 2m(m + n + l)(m + n) . . . (n + 2) l) a /2 (a — ж 2 22 _ж2чп+Л + 3/2> 5. 6. 7. / 2 2\n+l/2 i 1/2 2\n4 x(a — x ) ' dx = (a — ж ) in + Л (a2 - ХГ ?*f J(a2 x (а2-ж2)п- Bn - ife !!a2n+2 l)!!a / 2 2\l/2 i ж / 2 2\l/2 , a (a — ж ) 7 аж = ^ (a — ж ) 7 H arcsin ¦ 2 2 a\
80 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 1. 2. Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.47 2/ 2 2\l/2 i х /г» 2 2\/ 2 2\1/2 ж (а — ж ) ; ах = — Bж — а )(а — ж ) ' ¦ 8 жЗ(а2_ж2^1/2^_ dx = - (а2 - х2M/2 - - (а2 - * 5 о а ~8~ 2x3/2 'а2^ж2K/2«*ж=^ dx = - J (8ж4 - / 2 2\1/2 , ^а • ж ¦ (а — ж ) 7 Н arcsin —г. 8 п\ За4)(а2 - (а2 - Ж2K/2 dx = \ (а2 - Ж2O/2 - - (а2 - х2M/2. 7 5 1 (а2 - ж2)п+1/2 1.2.47. Интегралы вида | -^ dx. (а2 - Ж2)п+1/2 (а2 - Ж2)та - (lj (а2 - Ж2)те с2т^ ^ Bm-3)Bm-5)...Bm-2fe-: 2m(m ^n^ 2)(m - n - 3) . . . (-n){-n - 1) ff 2 _ 2 2mBl)!! J1 ¦ /Л2 ^2\n + l/2 n 2fc 5. 6. Ж (а2 _ ж2)^' / 2 2\п- I ft Ж I + (а2 - ж2 Г fa2 _____ ж2I/2 7. ^ ^ с/ж = (а2 - (а -х2I/2 -а 1п 8. 9. Ю. | (^ ~ ж2^/2 da- = I (а2 - ж2K/2 + а2(а2 - ж2I/2 - а3 1п ж о 11. |^ ^ с!ж = ^^(а2^ж X2 X 2\3/2 "Ж / 2 ^\1/2 О1Л • ; (а — ж ) ; arcsin 2 2 а ,
1.2.48] 1.2. Степенная и алгебраические функции 81 (а2 -х2K/2 12- ' х» dX~~ 2x* (a2 -x2f'2 3 , 2 _ 2,1/2 . За 1. 1.2.48. Интегралы вида xmdx (а2 - ?п — г-2 с/ж (а2 - х2)п+г/2 Bп - 1)(а2 - х2)п~ хт+1 2п — т — 2 Г хт dx тт~г ( 3. 2n-l J (а2 ™ж2)те/2- ^Т/2- (ш- 1)а2 Г хт~2 dx [т~2п){а2 -х2)^1/2 т ~ 2п J (а2 - х2)п+г^ (п2 г»2\п-\-1/2 ~ / j о« 9°^ 1~~ I fc / 7^2 ^2\n-fc-l/2 " 4. x2mdx _ x2m+1Va2 -x2 - т - 1)(га - т - 2) . . . (п - т - к) а :a2 - ж2)те ^ Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2ife - 1) (a2 - ж2)^ 2n(n — m — l)(n — rn — 2) . . . f^m + 1)(—rr; 6. 7. 8. x2mdx (а2 - ж2) 2m- n — m — к 771 + 1]. 2to i / 2 _____ 2\l/2 (а2 ^ X Ж 2w г —1 9. [а2 - Bm - l)Bra - 3) ... Bm - 2ife + ^ 2fc(m-l)(m-2),..(m^) ж(а2^ж2I/2 In- 1 2 + а 2тт\ 10. 11. 12. 14. 15. (a2 - ж2)теа2 ^ Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2A; - 1) (a2 1 ^ 1 /п-1л a2n ^ 2k x dx x к /la^a;2 1 (а2 - ж2)те+!/2 Bп - 1)(а2 - ж2)те ж dx ж2 с!ж = arcsin -—. 13. а J- / 2 2\3/2 2/ 2 2\l/2 = - (а -жO -а (а -жO. 6 А. П. Прудников и др., т. 1
82 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.49 16. 18. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. dx (а2 ^ж2K/2 а2(а2-х2у/2' ж2 dx х (а2-х2у/2' («2^ж2K/2 (а2 ^ж2)!/2 1.2.49. Интегралы вида dx 1 Г х dx ¦ • J (a* - х*)*> ж f x3 dx ca lR" J (а2 - ж2K/2 = (а 2oa - _ж2I/2- Bra-l) ¦ + ¦ - 2 - 1)а2 (т - — Г )«2 J 2n - — f- -ij dx с/ж Ь2 _ ж2\п + 1/2 а2п+2т 21^ 2ш - 2k - 1 ; fc=O dx i -i \ / 2 2 \ "г — fe —1/2 m + n —l\/a—ж4 7 ^ Bn -2k- I)a2k+2(a2 - In dx x(a2 - x2I/2 а 1П dx 1 a + tf-x2I'2 x 2 2\l/2 a - ж ) 7 (А Л\1 (а -х ) 2а2ж2 1 2x1/2 1_ | } 2a3 a + (о2 - а2(а2-ж2)!/2 аз 2ж2 - а2 a + (a2 - ж2I/2 ж2(а2 ^ж2 2а4(а2 - ж2I^ 2а5 In 1.2.50. Интегралы вида (хт±Ьт)п(аа -х2)п 1. 2. 3. 4. (х + b)nVa2 - ж2 (га - 1)F2 - а2) [(ж + б)-^1 с/ж / Лч Г с!ж Bга- 1)а dx -(п-1) J (ж- dx (х + 6)V«2 - ж2 V«2 - б2 1 ¦In Ъх + а2 + -ж2) /Ь2 - а2 arcctg а2 + Ъх [6=-а]. [а2>Ь2]. Га3<Ьа1.
1.2.51] 1.2. Степенная и алгебраические функции 83 5. 6. 7. 8. 1 . а2 + bx ¦ arcsin ¦ л/b2 - а2 а|ж + 6| dx 1 I a — x (x + a)\/a2 — x2 dx dx a \j a + x 1 la + x [a2<62]. [a > 0]. [a > 0]. - x2)m(a2 - ж2)^+!/2 2(m - l)(a2 - Bm - 3)a2 - 2Bm + n - 3N2 + 2(m-l)(a2 - dx (б2 - ж2) т + п — 2 (ш - 1)(а2 - 9. О2 - ж2)(а2 - ж2)^+!/2 Bп - 1)(а2 - 62)а2(а2 - ж2)" Dп - 3)а2 - 2(п - 1N2 f dx + ¦ Bп - 1)(а2 - 62)а2 J (б2 - х2)(а2 - х2)" 10. 11. 12. 13. dx ¦In Bп - 1)(а2 - 62)а2 J (б2 - ж2)(а2 - \x\fa2 — Ь2 + б^л2 — х2 (b2 - x2)Va2 -x2 Ъл/а2 - b2 1 x\/b2 — a2 ¦ arctg - /ж2 - Ь2 Ьл/а2 — x2 1 . xVb2 - a2 ¦ arcsin ¦ dx a\fb2 — x2 1 ж^«2 + b2 ¦ arctg ¦ a2 + б2 [a2>62]. [а2<621. 1.2.51. Интегралы вида ж±ГГ1(аж2 + bx + c)n+1/2 da;. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 6* Обозначение: X = ax + bx + c. xm^lXn+3/2 dx = 2(ш + 2п + 2)а 2а dx. 4(п + 1)а (т + 2п + 2)а rn-1/2 4(п + 1)а п 2n + l)Bn-l)...Bn-2fc / 4ac — b \ ^rn-k-i\ Bn + l) ( 4ac — о \ dx 2)a (m + 2)a «3/2 ¦In X1/2' [a > 0].
84 Гл.1. Неопределенные интегралы [1.2.51 2ах + 6 1/2 Ь2 — 4ас . 2аж + 6 г 2 п 7. = X ' Л ==- arcsin , \а < 0; Ъ2 > 4ас . 4a 8/H V62 4 L J 8. [ЖХ1/2^=—Х3/2^— J За 2а о Г 2vi/2 i баж - 56 з/2 , 562 - 4ас Г 1/2 , 9. ж X 7 da; = — X 7 Н —^— \Х ' dx. J 24а2 16а2 J 10 I г3 X^2.ir - 48aV ~ 42аЬх + 35&2 ~ 32аС X3/2 10. [ ж A dz - 24(J X • уп+1/2 -, d \ 11. Bп -2то + 5N [ Хп Bпт + 4)а Г Х 2(rn-l)c J ж-^1 ' (m-l)c yn|l/2 i p p yn-1/2 12. |^ -dx=^ '-+b\xn-1'*dx + clZ -dx. 2 + 12J J 13. h Г ^п+1/2 J ж^2 2(m^2fi^3)a Г (аж2 + 6ж)п+1/2 B2 + 3Nj тг da; ,K ," X1/2 , X1/2 f da; 6 f da; 15. ^ h •Г XV2 ' 2 J a;XV2- 16. — dx = h a fXdx / 1 6 \ 1/2 /а 62\ Г dx J 3 V22 47 ,A f (аж2 + 6жI/2 л 2 2 18. ^ —'- dx = -777—^ (аж J x3 Збж3 20. vl/2 A2ac - 62N X' + 16a 4 3Dac + 62) Г о'ж 36c 36 , 2 , u/2 62 f dx T (aX + ЬХ) + J J^ dX 2X 22. [4! (Л 23. | v""" ^; с!ж= (a- — (аж^ + бжI^ + ^^ X J A 3(а6ж + 2ас + 62) 1/2 Заб f da; 3Dac + 62) f dx Tc +^JXI^ + 2&\, 2 . , ,i/2 . Заб
1.2.52] 1.2. Степенная и алгебраические функции 85 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 14. 15. 17. 18. 19. 20. 21. 1.2.52. Интегралы вида Обозначение: X = ах2 + Ъх + с. xmdx xm^ x±mdx (ах2 + 6ж + е Bт ^2п^ 1N Г хт^г dx (m - (m - 2n)aXn-V2 2(m-2n)a J Xn+V2 (m - 2n)a 2Bn - m - 1) f хт~г dx 2c f хт~г dx f n-l/2 5 ' dx 1 f/ Bn- 1N то~2с1ж 6 x dx dx l Ж С 1 Ж з^" Af: Bn — l)aXn™1/2 2a J 2Bаж + 6) 2n-l)Dac- 2Bаж + 6) ^^2 ^n^l/2 * )a Г da; c- 52) J X—V2- Bn - l)Dac - X n-1 dx ¦In Arsh ¦ + X1/2 2аж + 6 = ^^ In Bаж + b) \/a XV2 - а dx 2a I X1/2' 13. 62 - 16ac Bп-1)Dас-. 8fc(n-l)(n-2)...(n-Jfe) afcXfc 1 2n - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2ife - 1) ' Dac - 62)fcJ* [a > 0]. [a < 0; 62 > 4ac]. [a < 0; b2 > 4ac]. [a > 0; b2 = 4ac]. 362 — 4ac XV2 Dас - 24a3 16. ж - 26c 1 2аж — 36 4a2 563 - 12a6c 16a3 _ 2Fж + 2с) 8a2 XV2- 1/2 A XV2- X3/2 aDac - 62)ж2 + 6A0ac - 362)ж + c(8ac - 362) 36 dx 2(ш-1)с 1 6 dx 2а2 I XV2- Bп + т - 2)а (in — l)c dx dx dx 2с)Хп+1/2 2 1 dx хт(ах2 Bт Bm + 2n^ 1N
86 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.53 dx хХ1/2 ¦In 1 . , 2с + hx —j= Arsh — - Vе жу 4ае — б2 ¦In 2с 1 2c ¦ arctg / — с 1 2\/bx + аж2 bx dx \ dx dx ex 2c J xX1/2' 2( 1 . 2a\ Ъх2 + Ь2х) (ах ч1/2 ) ' dx 1 x^X1/2 \ 2cx2 dx _ 2 ~ 5 а 2с dx 4а dx _ 2(abx - 2ac + 62) If dx |(аж2 + 6жI cF2 -4ac)XV2 dx _ 2 ( 1 4a 8а2ж ж(аж2 + 6жK/2 3 \ bx b2 b3 1 СЖ c2Dac-62) J XV2 2c2 1 2a 8a2 bx2 b2x 63 1 [с > 0]. [с > 0]. [с > 0; б2 < 4ас]. [с > 0; Ь2 = 4ас]. [с < 0]. [с < 0; б2 > 4ас]. [с = 0; 6^0]. 56 2с2ж - 52ас)ж 2 -4ас) 1562 - 12ас f dx 8с3 dx 8a 16a2 64a3 128а4ж 562ж2 1 1.2.53. Интегралы вида \ R(x + p, аж + 6ж + с) а*ж. 1. Обозначение: X = ах + Ьж + с. Г dx (X (m _ l)(ap2 - 6р + С)(Ж Bт + 2п ~~ 3)(Ь - 2ар) Г 2(m- с) J (ж (m + 2n - 2)a (w — l)(ap2 — bp + c) J (ж +
1.2.58] 1.2. Степенная и алгебраические функции 87 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. -2 Bт + 2n — 1)F — 2ар)(ж - + dx (ж Bгс - 1)(ар2 - 6р + с)Хп-] i f_ - bp + с J (ж - ¦ + а*ж - 2ар) [ар2 - 6р + с = 0; 6 - 2ар ^ 0]. - Ъ -1 ар- Ь- 2ар [ар2 - Ьр + с = О]. ¦ dx = (ж + р)т (га — 1)(ар2 — 6р + с)(ж + р)г 2(т-1)(ар2 -Ър + с) J (ж +р)т х Bn — m + 4)a c) J (ж Bn - - 2ар)J (ж ¦ ? ~~ Ьр + с = 0; b ~~ 2ар ф 0] vn+l/2 vn+1/2 Li P х а„-Х b^2ap [ vn^ ж + р - dx = 2п + 1 Н , / 9 » ч dx + (ар - Ьр + с) F + 2аж)с1ж ж + р dx. (ж + р)п (п - 1)(ж + р)п^г 2(п - 1) J (ж + р)п X1/2 ^ж Г ах + 6 — ар ж + р (ж + р)п (n — 1)(ар2 — 6р + с) (ж + dx х " Bn^3)(fe^2ap) ~ 2(п - 1)(ар2 -Ьр + с) (п — 2) а Г dx (ж + р)"™1^1/2 (п — 1)(ар2 — Ьр + с) J (ж + р)п™2 2(п- 1)а ^ l)Bap-6) Г dt [ар2 - Ьр + с = 0; 2ар - 6 ф 0] 1 1 dx [а + F - 2ap)t + (ар2 - bp + c)t2]x/2 1 t = х In Ь- 2ар ж + р 2(ар2 ^ 2(ар2 ^ ¦In [ар2 - 6р + с > 0]. » — 2ар (Ьр^ар2 -сI/2 ж + р » — 2ар)х — Ьр + 2с [ар2 - 6р + с > 0]. [ар2 - 6р + с < 0; б2 > 4ас] [ар2 - 6р + с = 0].
88 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.54 17. dx dx dx 18. ¦Iwn? )t2 + {p2 + p2)][(aa2 + 6a + c)t2 + a/32 + 6/3 + c]1/2 It = ; а и C определяются из системы уравнений 6(a + /3) + 2с — 2ap2 = 0, a/5 + р2 = О L a - ж J (аж + /3) dx _ а Г dn 2/3a - aft Г A - аи2)" rfv 19. э + гл2)"- 2а J (р + с — 62/4а — apv2)n [ 2а) 1.2.54. Интегралы вида /(ж, ^ж2 — ж + 1) dx. Условие: ж > 1. Обозначение: у? = arcsln ¦ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. /ж2 - ж + 1 dx = -\f( —}-e( —\\ [х 2 1]. ж(ж — 1) 2ж - 1 V ж2 - ж + 1 dx Bж - 9Bж - IK ' 2 2ж- 1
1.2.55] 1.2. Степенная и алгебраические функции 10. 11. dx = ' 2 ) 2Bж - 1) ж(ж — 1) 1)ж] ж2 — ж + 1 12. ж(ж , 1 _/ dx = .. Е arccos ^27 V Fa 27 I 2B ¦A-л/3)ж / жA + ж)" 1.2.55. Интегралы вида Я(ж, ^ж2 + а2 , л/х2 + Ь2 ) dx. Условия: х > О, а > b > 0. Обозначения: у? = aretg —, к = 1. 2. 3. 4. ж2с1ж /ж2 + а2 dx а2(а2 - 5. 6. 7. 8. dx х dx 1 2 2 тгт- [а Е((р7 к) — b F[(p, к)} — ,, k) - Е(<р, к)]. [ж > 0]. [х > 0].
90 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.56 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Ж2 + 62 dx = a[F((p, к) - E((p, к)] + xa jx2 + b2 ж2 + а2 dx = — [F((p, к) - аЕ((р, к)] + ж ж2 + b2 ' /ж2 + а2 Ж2 + 62 т2 + b2 1 а2 — , 9 ,—трг^ ах = — Ь((р, к) [х2 + аА)л а а1 + а*)(х2 + Ь2) dx = ^ [2b2F(if, к) - (а2 + Ь2)Е(^, к)] 5 dx - F arccos -— ч5/ 2Ja(a + 1) L V (ж +V«J + (а + 1)ж 2(а ¦ +§(.¦+.¦+^1^. =Ь FI arccos dx 1 Ж д/CL ) {0L ~~т~ JL JЖ (ж^-^аJ + (а + 1)ж' 2(а + 1) х, а > 0; 0 ^ х ^ \/а i/а С х < оо Ft arccos ЕJ + (а + 1)ж ' 2(а 16. 17. 18. =F FI arccos ¦ dx (ж- у^J^(а (а + 1)ж' 2(а с, а > 0; < ^ ^ [ Va ^ ж < оо ж > 0; с= \/а2 + б2 ]. 1 FBarctg / дЖ р(ж + а) ' 2 [Ж>0; р2 = 62 + с2; д2 = F + аJ + dx 2 arctg (а — ж) оо 1.2.56. Интегралы вида R(x, Условия: ж ^ 0, а > b > 0. ж Обозначения: ^> = arctg — k = а рж ' 21 [а > ж > 0; р2 = F - аJ + с2; д2 = б2 + с2]. ~b2)dx. 1. 2. ¦E(<p,k) [х > 0].
1.2.57] 1.2. Степенная и алгебраические функции 91 dx (р - 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11- 12. dx dx а62(а2 - ab2(a2 ^ х2 dx ^w[(a2 [а2Е((р, k) -b2F(Vl к)]. х dx ж2 + а2 ж2 + б2 ж2 + Ъ2 ж2 а dx , А;). [F{<p,k)-E{<p,k]\- (a2 - 62)ж а а2 , А;) - т^ Е(<^, А;) + т^-х б2 Ь2ж ж2 + а2 = - [F((p, к) - Е(<р, к)] + -4 ж 1.2.57. Интегралы вида R(x, Vx2 + a2 , 1/ж2 — Ь2 ) dx. ь Условие: ж > 6 > 0. Обозначения: ю = arccos —. k = —, ж' V«2 + b2 1. 2. 3. dx /a2 + i , к) - , к) + ^ , A;)]. [х > 0]. [ж > 0].
92 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.58 4. 5. 6. 7. 8. 9. dx (р - р(р - Ъ2)л/а2 + Ъ2 dx 1 x dx , fe) - B(v> fc)] ¦b2 [а2- ¦x^b2 dx = - b2 b2 , к) - Е(ц>, к)] + -у/(ж2 + а2)(ж2 - б2). , k). 1 х 11. 12. - б2 1. 2. 3. Условие: х ^ b > 0. Обозначения: <р = arcsln * СХЭ с!ж da; ¦, А; = ¦[(а2 dx E(<p, k). M 1 ж V x2 + , к) - b2F(tp, к)} + х2 + а2-Ь2 г^г- Зж oo 1.2.58. Интегралы вида R(x, л/х2 + a2 , Va?2 — b2 ) с!ж. -b'Fi^k)]--^,
1.2.59] 1.2. Степенная и алгебраические функции 93 4. 5. 6. 7. 8. I X со I X со J X CO г ж CO Г — аж Е2+а2K(а ж2 dx Е2+а2K(а с!ж ж dx dx .2 _ 62) ,2 _ Ь2) г _ 62)з ! _ 62K a2 + b2 я(р, л). .[F(^5^)^?;(^5^)] a2){x2 -b2) 9. , к) , fe)- 2 + a2)(x2 - b2) /а2 + Ь2 [ж > 6]. [x > 6]. :2 V X2 — Ь2 1 /Т2 _ К2 11. I —4/ —т——- dx = х2 V х1 + а2 12. ж2 + а2 2 + Ь2 а2 р "F F ж2 + а2 ' _ 1,2 a? Jo? + fe2 F(<p,k). X 1.2.59. Интегралы вида Я(ж, ^ж2 + а2 , л/b2 — ж2 ) <ia Условие: 6 > ж > 0. Обозначения: ср = arcsln —... _ _ b V ж2 + а2 , А; = /а2 + б2 1. dx F(<p, к). 2. 3. dx (р - pF{<p, к)
94 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.60 4. dx 5. 6. 7. 1 х dx /а2 + б2 1 ,k)-E(<p,k)] + E(<p, к) [ж < b]. 8. 2 + 62K L V ; V ; V Л Ъ2(а2 [ж < Ь]. 9. E(<p, к) - Xi ж2 + а2 ' 10. (b2 - ж2K 0 f Л2 (а2 + Ь2)х [х < Ь]. 11. dx = л/а2 + b2 [F((p, к) - E{ip, к)] + Ж4 12. - ж2 + /а2 + F(<p, к). 13. 1 Ъ2 -х2) dx = "Va , к) - (а2 - Ь2)Е((р, к)] + о 1.2.60. Интегралы вида Я(ж, ^ж2 + а2 , \/b2 — ж2 ) dx. X Условие: b > х ^ 0. ж b Обозначения: (р = arccos —, к = о 1. b y« 1 , к). 2. , к) -
1.2.61] 1.2. Степенная и алгебраические функции 95 3. 4. 5. 6. 7. 8. dx [a2F{tp, k) ~ {a2 dx (р - -, к dx -ж2) {р^Ь2)л/а2 + b2 \ b2-pJ 1 „, ,ч х [Ь2-х2 1 б2 ^ж2 /а2 + б2 ]Е(^,к). ж /б2 — ж2 а2 + б2 V ж2 + а2 ж2 V б2 - х2 , A;) - ?J(^, A;)] Ь2х , Ь2-х2 , ж2 + а2 i[F{<p,k)-E(<p,k)]. Ю. 4т 1 /б2^ ж2 V х2 + а2 с!ж = , к) 11. 12. dx = /а2 + б2 62~; ж / oz — ж dx = - 3 Va2 + Ь2 [a2F((^, А;) + 2F2 - a2)E(ip, к)} ¦ ж 1.2.61. Интегралы вида R(x, Vx2 — а2 , ^ж2 — b2 ) dx. 1. 2. 3. Условие: ж > а > 6 > 0. Обозначение: ш = arcsln > х dx dx /ж2 -а2 х2 ~~ Ь2 ' - +Ж1 /ж2^а2 ж2 - Ь2 ' 1 /^2 - а2 х2л/(х2 -а2)(х2 -Ъ2) аЬ2[ \ а) \ aj\ a^x V ж 2^62 " [х > 0]. [ж > 0].
96 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.62 4. 5. 6. dx (р - 7 dx х2 dx а ( Ь 9. 10. 12. 13. 14. а2)(ж2 - б2) da?= | [(а =F F arcsin OG 1.2.62. Интегралы вида Я(ж, Условие: ж ^ a > b > 0. Обозначение: у? = arcsin а/ж. 1.
1.2.68] 1.2. Степенная и алгебраические функции 97 2. F ш, — \ — Е\ (х>. — 1 . V а V « 4. 5. 6. 7. 8. с!ж -а2K(ж2 - а2K(ж a(b2 -a2) \ \ a/ x V x1 - a? '' a/ + ж(о2- 9. 4,1 & = ^v, - 10. dx = T2\ Ь2 11. | -г 2 12. ж2-62 1.2.63. Интегралы вида Я(ж, va^ Условие: а > х ^ b > 0. Обозначения: (р = arcsln ¦, А; = 1. 3. 2. \х > а . ж > а . = аЕ((р, к). dx = 47^(^л)- х 7 А. П. Прудников и др., т. 1
98 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.64 4. 5. 6. 7. 8. dx (x2^p)y/(a2^x2)(x2^b2) a{a2~p) \ ^ ~ V a2^62 аЬ2(а2 - Ь2) , к) - а2Е(^, к) х2 dx а2 - Ь2 aF((p, к) - аЕ(<р, к) + a^ а2 — х2 . х а2 — х2 а б2 ' JV(-2^2) ^b2 12 V 2i^ б2 V х2 — Ь2 10. 11. dx = aE(ip, k) F(<^, A;). az-a;z a ж2Ь2- ж2 , A;) - E((p, k)] + ¦ {а2 -х2){х2 -b2) 1J*. \/yo, — x )\X — о ) dx = — [{а ~т J 3 ж ж 1.2.64. Интегралы вида R(x, л/а2 — х2 , ^ж2 — б2 ) dx. Условие: а ^ ж > b > 0. Q< IX I/ Обозначения: <z? = arcsln ^4/^ г- , ж V a — b2 ft & 1. 2. ж dx у (a2 - ж2)(ж2 - б2) dx 4. (p - ж2)^(«2-ж2)(ж2-62) - b2) -']+<>-»¦)''(«• . *)} [ж > 6]. [ж > 6]. [х > 6].
1.2.65] 1.2. Степенная и алгебраические функции 99 5. 6. dx x dx а(а2 - b2) 1 (9 L9 \ [x < a]. a x Ix2 -b2 \x < a . 7. dx = a[F{<p, k) - Е(^р, к)] + -vV^ 8. ^ хл V x* - < 9. — 1 J a 10. x2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1у/(а2^ж2 а ж 11- (a2 — ж2K x \ a2 — x2 a [x < a]. 12. I ^/(a2 -ж2)(ж2 -b2) dx = - [(a2 + Ь2)Е((р, к) - 2b2F((p, k)] + x2 - a2 - b2 X 1.2.65. Интегралы вида R(x, л/а2 — x2 , \/b2 — x2 ) dx. Условие: a > b ^ ж > 0. x Обозначение: Lp = arcsln —. b 1. 1 = — F 2. Г / 6\ = a\F\ ш. — — E 2) L V aJ 3. ар V^' p ' а [рфЪ]. . / 6\ _ 62-a;2 5. x dx {a2 -x2)s(b2 -x2) ±^LeL,±)-x\ 1 a
100 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.66 6. 7. dx I \ /9 ab2' V" a) b2(a2~b2)\aE{ip"a)^X\lw^2 x2 dx 1 Г /а2^ж2 / b ~~2 ЙП 12 2 -flE^ ~ [ж < 6]. [ж < b]. 8. [а4 + б4 - (а2 + Ь2)х2]х aj a2b2(a2-> 6]. 9. yr с!ж = aEl <p, -). b2 — x2 \ a 10. 11. (б2 — ж2K Ib2^: b2 I \' ' aj \" ' a b\ a2~b2 [ж < 6]. 12. Г2Ш (а2 — ж2K = -\F[<p, -)- а[ \ а) Ь\ х Ib2 ^х2 ) + ) \ г2 aJ а V а — ж2 13. dx = = - (а +6 )?7(у?, - 1 -(а - 3 \ а ж /7 о 94/L9 «м -\/{а2 - х2){Ь2 - ж2). а I \ 6 о 1.2.66. Интегралы вида R(x, \/а2 — ж2 , \/b2 ~~ х2 ) dx. Условие: a > b > x ^ 0. Обозначение: ш = arcsln — ЬУ a2 -x2 1. dx 2. =a\F[<p, -)-Е\(р, - 2) V о.) V « б2 ^ 3. dx 1 lF^b4^/l ' ^b2-,2 1 b2-x2 4. (р -
1.2.67] 1.2. Степенная и алгебраические функции 101 5. dx -x2) 6. х2 dx f Ь\ 1 / b\ [х > 0]. 10. 7^*dx = l\FL!L)-EL!L)l (а2 — ж2K а\_ \ а) \ а11 11. dx = —a [x > 0]. 12. a2 - x2){b2 - x2) dx = ^ \(a2 + Ь2)е(<р, -) - 3 L \ aj f 1.2.67. Интегралы вида Я1ж, х2 — рр 1 / (р — рJ _ Обозначения: ш = arccos — —, к = —\ —— , рир — комплексно сопряженные х2 + рр 2 У рр 1. 2. х dx = E(<p,k). 3. р2)(х2 + р2) 4. x2dx 1 - рJл/р~Р 2х(х2 — р~р) рр
102 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.68 5. (ж — рр) dx , к) - Е((р, к)] + 2х(х2 — рр) 6. 7. Л 8. (ж2 — ррJ dx (р-; [(ж2 + р2)(ж2 + р2) 1 ,к). 1.2.68. Интегралы вида R(x, л/х3 + 1) dx г). Условие: ж ^ — 1. Уоозначения: ср = -, к = sin — = 12 12 2 1. 2. 3. 4. 5. я" 2 „ ^^^^ «ж = ж с!ж 2п- 1 ГТ л/з -1 , к). ¦ dx = -уж3 + 1. 3 dx cos ж с/ж = A + pi sin2 ж)-\/1 - ib2 sin2 ж J _ ^з см. 1.5.33.12-14] . 6. 7. 8. — /ч /ч = F(w, к) Н — arcsln (A; sin ш). dx 4 ж2 + 2 - х)См. также 1.2.73.
1.2.69] 1.2. Степенная и алгебраические функции 103 1.2.69. Интегралы вида Я(ж, Уж3 — 1) dx ). У Условие: х > 1. Обозначения: <р = arccos ж ^ 1 ~ Уз f . 7г = arccos —, « = sin — = ж^1 + Уз 12 1. /ж3-1 2- гЗ _ 4. dx {x - l)Vx3 - 1 [х > 1]. 5. 2(УЗ -2) л/З - 6. (g-l)rfa; _ 2B-л/3) Уж3 -1 2 - к с2 - 2ж - 2 У27 , А;). 7. (ж - 8. (x-l)dx 2 + • (ж - 1 + л/3Jл/ж3 - 9. (ж2 + ж + 1)с1ж _ 1 (ж- 1 + УЗJУж3 - 1 ~ УЗ 10. (ж2 + ж 11. (ж — 1) dx 2 +УЗ F 2^ УЗ 2(ж-1)(>/3 У27 l<^' j УЗ (УЗ ^1 + ж) 12. [(ж - 1 + УЗJ - 4УЗр2(ж - 1)]Уж3 -1 13. [(ж - 1 + УЗJ - 4УЗр2(ж - 1)]Уж3 -Т х)См. также 1.2.73.
104 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.70 1.2.70. Интегралы вида Я(ж, \fl — ж3 ) dx ). Условие: ж ^ 1. _ ж - 1 + л/3 , л/3 - 1 + ж . . 5тг У 2 Обозначения: ш = arccos =-, ф = arccos —= , к = sin — = ж^1^Уз у^ + 1^ж 12 2 жтс1ж _ -2хт~2л/1-х3 2(т-2) 1. 2. 4. 5. 6. + 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 2т- 1 dx 2т - 1 1 3. dx — оо 1 ж2 /1-ж3 dx -1 pi, cos ж dx A + pi sin2 х)л/\ — к2 sin2 ж Pi = (p-1- 4л/3(р-1) ' -l) Lp-i-v: 1, 1 + л/З; см. 1.5.33.12-14 . (ж - 1 - л/3)л/1 - ж3 dx 5 A;) + — arcsln (A; sin ф). ¦ж + 1 ^ 1- -^=-[F(y>, *) - 2Я(?, *)] dx ж л/1 - ж3 I" J ( --oo X r J ( — oo 1 r 1 (x X X I J ( — oo 1 f >- >- _ 1 I >- (x 1 1 (Ж (x . - (Ж- (Ж 1 2 2 + - — ¦ + Ж — 1) X + 1) 1) ^ж ^yr^^ ^ж dx 2v + i; /^ _ xs l)dx \dx E(ip,k)- 6 ~'kl ' 4' с2 - 2ж - 2 -2 ^27 -2 , *) " E(V, к)}. ,k)- 1 Е(ф,к). [(ж - 1 - УЗJ + 4УЗр2(ж - х)См. также 1.2.74.
1.2.71] 1.2. Степенная и алгебраические функции 105 16. (ж - 1 - лДJ dx — ос 1 [(ж - 1 - УзJ + 4УЗр2(ж - 1)]У1-ж3 р I 17. Vl-ж3 с/ж = - 5 - 2жл/1-ж3]. 18. х dx F I arccos¦ ¦y/S)x -\ - ж) [ж < 1]. 1.2.71. Интегралы вида R(x, Уж4 + 1) dx. Обозначения: ip = arccos — , ф = arctg (I + л/2) , к = X т J- I J- т Ж J -1)- 1. xndx xn /ж4 + 1 п - 1 /ж4 + 1 - п-3 ^ 1 J Уж4 + 1 ¦ dx. i dx 1 _ / 2. I , = — F[ arccos 3. 4. 2 * у— 1 + ж2' 2 1 „/ У2~ rfa; , к) [х <: 1]. [я > 1]. ж< 1]. i x dx 1, / 2 r^i \ 5. I / 4 =2 ^ + ^ + ^" 6. 7. 8. 10. 11. 12. 7 . = 5—— h-F arccos -—¦—-, ^^ - К arccos -—¦—-, -— /ж4 + 1 ж2 + 1 2 \ 1 + ж2 2 / \ 1 + ж2 2 / 1]. ж dx жУж4 +1 1 Ж2^1 - - F ( arccos — + ?J arccos — ) [ж ^ 1]. Ж -|- 1 ^ / \ X -\- L Z ж2 - 1 У2 = 2^Ж4 9. 1 2 Уж4 + 1 + 1 dx (ж2 -жУ2 +1)Уж4 (ж2 - хл/2 + 1) У2 ЗУ2 +4 ж(ж2 ¦ 3^2 -¦ , к) [« ? 1]. 1]. 1].
106 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.72 13. 14. 15. 16. (rr.2 Vs./9 I ' x2 dx х2 dx : + l 1 ' 2 у/2\ 1 ] " 4 х\/х4 + 1 1 ^4 2(ж4 - \/2\ ж(ж2-1) 2(ж2 л/2 [0 ^С х < 1]. [x > 1]. 1]. 1]. 17. ' [« > У- 18. ж4 + 1 dx 1 2 \ 2 г/2\ / л/2 J4y + 1 ж4 -1 1.2.72. Интегралы вида R(x, \/±ж4 =р 1) ^ж- Обозначения: у? = arccosl/ж, t/> = агссозж. 1. 2. 3. 4. 5. 6. J 1 ж f J 1 as r J 1 1 J ж 1 r J X 1 f x2dx s/xA -1 ж4^ Уж^Т ж2йж xUx V2 ' Г' 2 ' 2 2 , лД\ 1 „( , ^2 ф, — Fi ф, 2 / /2 V 2 3^2 Г' 2 1]. 1]. [ж > 1]. [х > 1]. [х > 1]. 1]. < 1]. [х < 1]. < 1].
1.2.74] 1.2. Степенная и алгебраические функции 107 1.2.73. Интегралы вида /(ж, Уж + ж4 ) dx. У Условие: ж ^ 0 или х ^ — 1. Обозначения: ш = arccos , k = sin — = ' 12 2 1. ж4 , xdx 1, 2ж2 + 1 + 2Уж4 + ж 2. I — = — In 3. 4. 2^УЗ / 3 + 2УЗ . • П ф, , А; . , /г) - V3 ?J(y?, к). da; -1 - cos ж dx J A + pi sin2 ж) у 1 — к2 sin2 ж J -; р^О, -1, *~ ; см. 1.5.33.12-14 . 5. 6. 7. (x + 1)^ж4 + ж л/3 (ж dx Уз Г 2 + Уз .... . = F(^>, A;) H arcsin (A; sin ip) |. 1.2.74. Интегралы вида R(x, \/х — ж4 ) dx. У Условие: 0 ^ ж ^ 1. Обозначения: у? = arccos 1. 2. I , = - arctg , 2 1 + V3 3. 4. /ж — ж4 2 i /ж-ж4 A- УЗ)Уж^ж4 1 ¦ - ж4 УЗ ж - ж ¦ 5 А;). -л/3 +1 F(y), Л)- 5. 6. 2Уж - ж4 A + pi sin2 ж) у 1 — ^2 sin2 ж J 3, 1, + ; см. 1.5.33.12-14 . (ж - 1)Уж - ж4 УЗ (ж - 1)(УЗж - ж + 1) dx ^3 Г_, 2^УЗ . = F(<p, А;) Н arcsin (A; sin ш)\. 6 L ^ '
108 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.75 7. dx 1.2.75. Интегралы вида Л(ж, л/х4 + 2Ь2х2 + а4 ) dx. Условия: а > Ъ > 0, х ^ 0. Обозначения: (р = arccos 1. 2. dx dx а2ж(ж2 + а2) ж с!ж (ж2 + а2J^ж4 + 262ж2 + а4 4а(а2 - б2) 4. 5. 6. 7. 8. 9. ж с!ж (ж2 - а2 2ж2 + а4 2(а2 - а4 а4) 4а(а2 + б2) (ж2 + а2 а2 - 2а(а2 - Ъ2) (ж2 + а2J dx [(ж2 + а2J- ж2 dx 1 2а 2(а4^64) v^? ; 4а(а2^62) (ж2 + а2Jс1ж 12. (а2 [х > 0]. Е(<р, к) [х > а]. 2(а 2 _ Ь62) (а2 (ж2 -6 ж + 2) (ж о5 2 !) ж V 2 ¦а2) '(X* + 262Ж2 + а4) -а2) 2(а2 - б2) х(х2 — а2) (ж2 + а2 х F arctg а].
1.2.77] 1.2. Степенная и алгебраические функции 109 1.2.76. Интегралы вида Я(ж, Vx6 + 1) d. A- Обозначения: <р = arecos V3 , -0 = arccos 1-л/3 А; = sin— = 1. 3. 4. 5. 6. 7. dx 1 2 V3 J /ж^П). k.) dx = -In (ж3 ¦ dx = ¦1 + л/З З-л/3 6 , к) ,*)-^-Я(у>, Ж5 2 {?ж = -уж6 + 1. /ж6 + 1 dx (х- р2 + 1 - — 1 — л/3 pi, 2(Р2 ¦ 1(ф, pi, A;) ¦ПО, -pi, A;) - 2p2(p2 ?5 Р2, А;) > >, p, A;)= [ cos (p d(p dx 4^3 A + psin2 if)y/l - lc2sin 2™ V3 =^; ж > 0; рт^О; pi = -; см. 1.2.50 . 1, ж4 + 2 --In 1 — 9-%/V6 4- 1 1.2.77. Интегралы вида R(x, \/l — ж6 ) dsc. У Условие: 0 ^ ж ^ 1. Обозначения: <р = arccos . тг , A;i = sin — = 12 1. 3. 4. 5, ф I: I- [¦ Г = arccos с!ж ^1 _ же ж2 х3 А _ Ж6 ж4 V3 -1 5тг V 2 + ''C2 = SmT2= 2" , fa). аж = — arcsin (ж ). — 1 — л/3 , fa)+ ^3^(^, fa). , Л0 --^-?(?>, М-
110 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.78 6. 7. 8. ^=^=- С?Ж = VI — Ж6 . dx (х - Р)у/1 - х6 2 dx di dt x\/l — 6 \t = x1; см. 1.2.70 и 1.2.741. 1 ж4 + 2 - 2V1 - ж6 8 П х4 + 2 + 2л/1 - ж6 1.2.78. Интегралы вида Я(ж, vж2 ± 1J 1 R(r \/т2 + 1 ) dr — A — COS (fJ ^TT-iI/2 — 1) cos (p + \/3 + 1 1 — cos (p 2 + cos (p — 2k2 sin2 < A — cos (pJ-\fl — k2 sin2 (p dtp ! + l + лД -1 ,|, — 1) с!ж = ! + l + лД - cos (p + • — cos (p ; k = X 2 + cos ш — 2k2 sin2 cz? sin y? = —5 A — cos <^J у 1 — й;2 sin2 <^ |/ж2 - 1 + 1 - \/3 f л/2 + л/З : cos w = э ш —-; к = V ж -1+1 + V 3 * 1.2.79. Интегралы вида Д(ж, ^ж2 ± 1) dx, Д(ж, \/l — ж2 ) < Обозначения: (р = arccos ni w = arccos 1 + V^2 - 1 Л = arccos vl-ж2. 1 2. 4. 5. J Л 0 ж 1< ж [ 4 0 ^ Ж f ь ж г с!ж dx У(х* + х2 dx 1/{х* + dx 1K 1)8 1)8 [x > 0]. [ж > О]. [ж > 0]. [ж > 0]. > 1].
1.2.80] 1.2. Степенная и алгебраические функции 111 6. 7. 8. 9. dx 4// 2 I \3 V \х ~ 1) dx ж2 Ьх2 - 1 = Е[ф bVi-lrUVi-h л/2/ 2 V л/2/ 1 + V^2— 1 х2 dx -е(ф — K V V2 11. 12. 13. 14. 15. dx / 1 \ 2 F(Л, ^^ 3 V V^/ 3 а [ж > 1]. [ж > 1]. [ж > 1]. [ж > 1]. [О < ж ^ 1]. [О < х ^ 1]. [О < х ^ 1]. [О < х ^ 1]. [О < х ^ 1]. - л/1 - х2 dx л/2 [О < ж ^ 1]. 1.2.80. Интегралы вида R( \/it(x — а) , ^(ж — 6)) dx. ^ а-Ъ-2у/(х-а)(х-Ъ) 4/4(а Обозначения: 9? = arccos ; ;/ ¦ ; ¦ •, ф = arccos ¦ ' 2у/{х-а){х-Ь) - 6) 1. dx 2. 3. (ж~а)(ж~&) dx dx 2Bх ~a~ [х > а > Ь]. [ж > а > Ь]. ;'7f [а ^ х > Ь].
112 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.2.81 4. dx а - х)(х - b)f 1.2.81. Интегралы вида R(Vx4 + 1) dx. 1. dx 1, = - In /ж4 + 1 4 ^ж4 + 1 - ж 2 1 arctg 2. ж л/ж4 + 1 dx = - ж2 л/ж4 + 1 Н — F ( arccos .. J 3 3^2 V ^ж4 1.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 1.3.1. Интегралы вида \f(eax)dx. 2. 3. I eaxdx= ^eax. а 4. 1Г dx = ^у 1 6 5. 6. 7. 8. 1 / b = —7^arcts(e V: ¦In- dx /b + ceax 2 с — еаху/—Ьс 1 , \/b + ceax — л/b —— In ¦ arctg ¦ /b + ceax 1.3.2. Интегралы вида /(ж, eax) dx. xxeaxdx=^xxeax -^ a a 1 eax 1 Г(Л, л/2 [а ^ ж > Ь]. [Ь> 0; [6> 0; [6с > 0]. [fee < 0]. [6 > 0]. [Ь < 0]. [Re Л > 0]. [Re a > 0].
1.3.2] 1.3. Показательная функция 113 ( Л\п П^1 к A-n-1 -as , _ l^1/ a А-1 ^<хх j о. ж е ах — г-тт г гт jz гт ж е ах -\- J (Л)(Л 1)A Л) J (п-Л)(п-Л- 1)...A- Л) X (-1)л(аж)* Ai)(lAfc) [Rea>0]" 6. [ Ж-в- <te = в- [^ + V (-1)» j l a f^ 7. \xea* dx = ea* [ - - ЛУ 8. fasV" dx = eax (— - Щ + 4r ]. а or or 9. | P(x)eax dx = -— V^ -—^— ™^™^ P(x)i гДе Р(ж) — многочлен степени т. k=0 10. [Жп/2е"аж da: = Bп - 1)!!у^2^па^п/2 er аХ G ^ Bп^2к^1)\1[ 1 ; ax n^1 k — 1 n — 1 i i I S j ax V^ fl fl T-1- / \ 11. CtX = —e > -: Г7 : ; : : h -; r" -^1 [ax). 1 гпП / -J I rn Inn 9l 1П h\r»n — K I ггъ 1\| x 7 tJL/ lit/ J- I I I D j?™i I * » » Iff/ Д; I e-C/ I # ?/ _1_ I * 12. 'e" Ж со / ч , i v^ (аж) ^^ к\к ' k=i 14. I dx = - El (-аж) [а > 0]. eax /тг 15. I ^^ dx = w— erfl (^/аж) [а > 0]. /ж V ct 16. —=- <^ж = д/— erf (y/ax) [a > 0]. v ж V a , е^аж 2 _ , > 17. I —^— с!ж = —e - 2фш erf (y/ax) [a > 0]. Ж ' \/ Ж T -n-i/2 -ax , _ (-2)пап^1/27тг — e^ax ^ Bn - 2k - 3)l\(-2ax)k (t2f} 1 \If лг.п—1/2 / .v Г2т7 1V [a > 0]. CO ^_ p --ax r~~ 19. —=r- с!ж = л/— erfc (у^аж) [а > 0]. J у x у а X Г еаж еаж Г еаж еаж аеах а2 20. —— ^ж = h a EI (аж). 21. —— с?ж = 1 EI (аж). 22. 24. ^ = 6е^а6Е1 (ax + ab). J х + 6 а 8 А. П. Прудников и др., т. 1
114 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.3.3 t2eax dx ax — ab — х + b а2 25. — = е + be Ei (ax + ab). еах (JT еах , е ^ e~ab 26. е ™ = ^^ + ae~ab Ei (аж + ab). J (ж + бJ ж + b Г reax dr beax 27. j + Aа6)вЕ(аЯ! + а6). )х + (а&2Ь^аЬEi 29. е. 9 = — [еа EI (-а + ix) - е^а EI (а + ix)]. J х2 + а2 2а 30. — = - [e а Ei(a + ix) + ea EI (-a + гж)]. J ж -\- а Л 31. I I dXo = - lm[eia Ei (x-ia)]. 32. | X? ^ = Re [eia Ei (ж - га)]. Г еж _ 1 33. dx = EI (ж) - С - In х [х > 0]. J ^ о 1.3.3. Интегралы вида /(ж, е а х )dx. X X . L~a2x2dx= ^ erf (ах). 2. f е^ ^ж = ^ erfi (аж). 1 о о 3 1 —ax i v r / \ . I e dx = —— еггс(аж). f 2n -a2x2 Ж2П^" ZiC* Zi \?itb — Zilb — IJlIICiitl/ J i, n \ / \ / ^rr erf (аж). e ж - — 2^' 7 Г -аж2 1 -аж2 Г 2 -а2ж2 1 -а2ж2 V^ • J 2а ' J ~ 2а2 + 4а3 l j" е"~аш 2а (р- 1)хР^г ^ р- 1 2а2Г(п- Г о 2 ОТ +12 Г р™аЖ .же йж = —j—е • 10- йж = -7 гт т г| с?ж. J 2а2 J хр (р - 1)ж^ -а2ж2 П / 1 \ 11 | : л^. ± Р~а2х2 Х^( 1\кг п k + 1\п2к™2к~2п~ 2Г(га- + ~™7Г7—Гч^— EI
1.4.2] Ц. Гиперболические функции 115 2 2 „2,^2 13. 1 e dx = ^ Ei(-aV). 14. ^6 X Л JL О • ill s^~/ I щ-^ \Jj dU , \t = VZ(x + — ),*>o\. 18. (ж^а)пе c {x b) ^ж = ХлГ) Ш \tke f dt [t = c(x - 6), с ф 0]. f n -а2Ж2 + ЬЖ 1 Ъ2/Dа2)\^ (П\ ( Ь \П~к Г fc _t2 Г 6 1 JL cf # X С CieL ^^ ______ ? m * * I ___ - I I/ с СХб L — CXsl/ "™" —— J an+1 ^\к/\2а/ J L 2«J ш /~ Г / A\ / h\ 1 20. е~~а ж "" /ж ^|ж = e a erf I дж H I + e"~ a erf I аж \ — e a + e~~ [Re 62 > 0]. 1.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.4.1. Введение. Интегралы вида Л^Ьж, сЬж, 1Ьж, сШж^ж, где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональных функций при помощи следующих формул: fn/1 , , , ч, Г„/^2^1 t2 + l t2 - 1 t2 + l\dt 1. Я(зЬж5 сеж, th ж, с!Ьж) ах = Я| — , — , — -, — I — [t = е ]. j \ "^ / 2. R(sh ж, ch2 ж) ch ж с/ж = Я(?, 1 + t2) dt [t = sh ж]. Г 2 Г 2 3. R(sh ж, ch ж) sh ж dx = ^(t — 1, ?) d? [t = ch ж]. J J 4J?ff Ъ 'г r»f Ь тЛ /7'г — I /? i ¦/• i \f • J l ' ) J V */ !^^2 1.4.2. Интегралы вида 8пржс1ж, сЬржс1ж. 8пж]р, \ { <ehx\v^ Г ch ж I р^1ГГ8Ьж]р™ . I char/ ^ J fc=o 2m^2fe + l\ A; / [ sh Bm - 2k - эпж] _,__ [спж] „ ffshжl2J^ 1 4' 5. N }dx = { k 6. J M ch ж Г I sh ж Г 1 ch ж 8*
116 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1АЗ 7. 8. 9. 10. 11. sh ж 1 _ 3 f ch ж 1 1 f ch Зж 1 f ch ж " Т4{ h j + ЩЪЗ j~T 1 f спЗж!3 1 I О rl Of"8 I ~C I O g% -С ^Y9 I J ^ oil X J О ^ oil OX J sh Ж 1 3 1 u о . 1 u и " " u u > аж = - ж =p -- sh 2ж Н sh 4ж = ™ ж ^ - sh ж eh ж + ™ < ch ж J 8 4 62 8 8 I чп т I 1 Г sh ж 1 Г ch ж 1 ch, shx ch ж {sh ж сЬж p-1 dx. 1 ГсЬж! dx = < , > x 2m — 1 [ вЬж J впж] m , 1ГсЬж1ГГзЬж1 ch x dx = 2m 1 shx { сЬж J fc_i Bm - l)Bm - 3) ... Bm - 2^ + 1) J sh ж 2fc(m - l)(m - 2) ... (m - /г) \ ch ж ln th2 Bm)!! I arctg sh ж f' 12. 13. 14. ch ж A ch ж — 1 2 П ch ж + 1 2 arctg еж 1 ch ж j fcthxl tha; J ch ж da; = =Fx Ksh ж 1 . if cth ж 1 f cth ж 1 ^ dx = --i , > + < , >. сЬж] 3[шж] [ th ж J 1.4.8. Интегралы вида shp ж ch*1 ж с!ж. ,.|, 1. | shp ж ch*7 x dx = 2. 3. 4. 5. 6. 7. shp ж ch9 2 x dx. a ^a sh^^ ж ch? p+1 p+1 hp+1 x chq+1 p + 1 shp+1 Р + д + 2[8Ьр+2жс^жс1ж. P + 1 J ap ж chg+2 x dx. shnxch^1 , 1 ГзЬж1п+1 > dx =:: \ / chn жзЬж] n + 1 1 ch ж J
1.4.4] Ц. Гиперболические функции 117 chp ж sh n х j 2n + p\chxj \\s\\x \ , - 3) . . . Bп - 2А; + 1) Г сЬж" E -^ Bп + р - 2)Bп + р - 4) . . . Bп + р - 2k) \ sh ж _ eta [р^ ™2, -4, ..., -2п]. Bгс + р)Bп + р - 2) . . . (р + 2) J \ ch ж J , ,' shp ж ch2n+1 ж], 1 f sh ж 1 р Г f ch ж 1 п ^ Bп + р - 1)Bп + р - 3) . . . Bп + р - 2^ + 1) \ sh ж j [р ^ -1, -з, . . . , -Bп- 1П Г, , , i сЬ(а + Ь)ж сЬ(а~6)ж .. Г, . . I . _ 10. зЬажсЬожаж= — -*¦ 1 Т\- -Ч* l^hax chax dx = — сЬ2аж. J 2(а + о) 2{а — о) J 4а Г Г sh ж chp ж 1 , 1 Г ch ж 1 р+1 г2 l2 , ж 1 12. , lV }dx = 1 } 13. \shxchxdx = 1 J \ ch ж shp ж j p + 1 \ sh ж J J 8 32 Ksh2 ж ch3 ж 1 f If ch2 ж sh3 ж 1 2 f sh3 ж 1 ch ж sh ж J 5 [ sh ж ch ж J 15 [ ch ж J ЯзЬ2жсЬ4ж1 , ж 1 , , 1 , 1 2 , } dx = =p sh2x±—зЬ4жН g ch2 ж sh4 ж j ^16 64 64 192 16. sh3 ж ch3 ж dx = — sh6 ж Н— sh4 x = — ch6 ж ch4 ж. J 6 4 6 4 Г f sh3 x ch4 ж 1 _ 1 J sh x \2 ^ 2 J sh2 x ch5 ж _ ch3 ж sh4 ж J Ж ~ 7 f ch ж J T 35 \ ch2 ж sh5 ж 1 Я -л i ! ill j сЬ(а + 6 + с)ж ch(—a + b + c)x 19. sh аж sh ож sh еж ож = 20. sh ax sh 6ж ch еж dx = 4(а + b + с) 4(-а + 6 + е) ch (а — & + с)х ch (а + b — с)х 4(а — 6 + с) 4(а + b — с) sh (а + b + с)ж sh (—а + b + с)ж 4(а + 6 + с) 4(-а + 6 + е) sh (а — b + е)ж sh (а + b — с)х 4(а — 6 + с) 4(а + 6 — с) 21. sh аж ch bx ch еж о?ж = ^"^ ! Г I ^ч^ ~ ™™тт—"IT! ^ч*^ + ч 22. ch аж ch 6ж ch еж da; = 4(а + 6 + е) 4(-а + 6 + с) ch (а — & + с)х ch (а + b — с)х 4(а — 6 + с) 4(а + b — с) sh (а + Ъ + с)ж sh (—а + Ъ + с)ж sh (a — b + с)ж sh (a + b — c)x 1 л л тл- Г shp ж Г chg ж 1.4.4. Интегралы вида ———аж, —г-=—ах. J ch9 x J shp ж Г shp ж . 1 sh13^1 x p — 1 Г shp^2 ж 1. —r-z— dx = J h9 rzdx =31гт; ch9 ж р — g ch11 ж p — g J ch9 ж
118 2. 3. 5. 6. 7. Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.4.4 1 shp+1 ж p-g 9-1 8Ьрж dx. 1 shp 1 ж р — 1 Г ! ^Т ch^1 ж + g- I J \ 'сЬ?ж , 1 eh*7™1 ж q-1 ¦dx = 1 ч shp ж q — р shp г ж ' g — р , ^Т shP ж + р - 1 J shp a 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. p - 1 ch" х р - 1 sh"-1 х р - 1 J shp~2 ж dx. shp dx = ± 2п-1\сЬж/ [\ sh ж / К (±l)fcBw - р - 2)Bп - р - 4) . . . Bп - р - 2к) ( ch ж Bп - 3)Bп - 5) . . . Bп - 2А; - 1) \ ,пB^^р^2)Bп^р^4)...(^ ¦ (±l)r ch ж f dx. chp ж sh ,-2те-1_ ^2п^1 ' Ж ch ж -2п shx j п Х ' ' ^)fcBn-p- l)Bn-p-3)...Bn-p-2ife + l) f сЬж fe=i •(±1) n Bn - р - l)Bn - р - 3) . . . C - p)(l - p) f / shp ж ch^1 ж chp ж sh™1 ж sh2m ж ch 1 ж ch m x sh™ x sh m+ ж ch ж сЬ2т+1ж8Ь^ж (Tl) m+k 2Aj — 1 I ch ж 2nn\ 2fc-l dx. (Ti)r arctg sh ж fe = l I сЬж I m+fc /m\ ГсЬж rfe , ЧШ1 f сЬж 1 € V к / | sh ж | [|shx|J sh2m+4ch™2n; ch2m+1 x sh™2n ; sh2m+1xch-2rl- ch2m+1xsh-2n- n + k ;-2n + l\k n\2fe-2n+l m+k to кфп m\ 1 ch x 1 chx 1 fc=O зЬж ch~p x ch ж sh^p ж shp x ch™p™2 chp ж sh^p^2 с!ж = — [n ^ ra]. [n > m]. p — 1 [ 1 ж , dx = ^. л x I p + 1 [ cth ж
1.4.5] . Гиперболические функции 119 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 30. 31. 1. 2. 3. 4. -1 зпж ch ch x sh sh ж ch" ch2 ж sh" sh3 ж ch" ch ж sh" sh4 ж ch" ch4 ж sh" зпж ch™" ch ж sh™" sh2 ж ch" ch2 ж sh" sh ж ch" ch3 ж sh" sh4 ж ch" ch4 ж sh впж ch ch x sh -3 / -3 sh2 ж ch ch ж sh" sh3 ж ch" ch3 ж sh" sh4 ж ch" ch ж sh sh ж ch™ ch x sh sh3 ж ch ch ж sh sh4 ж ch" ch ж sh" ж -3 -4 с!ж = In dx dx hub — dx dx dx = dx dx ¦ arctg sh x ln|th(a;/2)| {ch x 1 J спж 1 бпж| J fshsl [ eh ж J - ch2 ж =F In 1 J япж 3 I ch ж _ J СПЖ 1 \ sh ж J f tha; 1 \ cth ж j \ sh ж j \ sh ж J 3 1 = =F— Ж H вЬ2ж : ^2 4 If tha; I2 2 1 cth ж J " arctg sh ж 1 ln|th(x/2)|J- ch x sh™ ж с/ж = ± — 1 f sh ж ch ~2 x f Л 2 .IJ thX I 2 \ cth ж j 1 f sh ж ch™ f tha; 1 \ cth ж J 1 J arctg sh ж 1 + 2\ln|th(a;/2)| J" -In ch ж 1 j * dx dx dx 2 [ ch x sh 1 |спж1 ™3 I ch т I ^= I h 1 tha; cth ж J \ 29. 3[8Пж| thж cth ж 1 3 J arctg sh ж 1 iT2\ln\th(x/2)\j- ch2 ж sh 4 ж cth ж I 1.4.5. Интегралы вида Г dx dx _ sh^ch9x' 1 p shp ж chg ж (p- l)shp™^< 1 (g-l)shp™^chg™^ " ж + g-2f da; p- 1 J shpa;c q-2 - 1 dx зЬржсЬ9™2ж" dx sh2m ж ch2n ж 2m - 2k - 1 - n — к 2m^2k\ k I th ж + ( —1) In th ж . J v ; V m J ' кфт sh 2m ж ch 1 ; fc f | shin -2m+2fe-l 2w - 2k + 1 I спж j arctg sh ж
120 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1А6 6. 7. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. sh m ж ch ; ^ 2m ~~ 2k + 2 \ ch ж J ! . , i i о I ish ж ch ж 1 f ch ж 1 = In tha; . 8. < , _i , _2 } dx = ±< , > ± < • ',''}• sh ж ch ж J I ch ж sh ж J I sh ж J I arctg sh ж J sh™1 x ch™3 ж 1 _ lfth-ж!2 ch a;sh~3 a; / 2 [cthж/ J tha; 1 1 cth ж Г f ch ж 1 . 1 f ch a; I -1 -4 f "ж :=: 1 Г ^1 — < > ch ж sh ж J [ sh ж J 3 [ sh ж J In I th(x/2)| 1 arctg sh ж J * sh2 ж ch2 ж 8п™2жсп™3ж] , (sha;l~ 1[8ЬжсЬ™2ж1 3f arctg sh ж 1 . О . Q > С|Ж = ^ < . > <_ .О > <_ .....>. x sh^3 ж I U1 J' J sh™2 ж ch™4 ж . 1 Г sh ж ch ж . _2 , -4 г dx = ^z—\ _i . _з ch ж sh ж J 3 I ch ж sh ж -2 2 | ch ж sh™ ж 8 3 J 2\ln|th(a?/2)| J dx cth2 x - 21n|tha;|. 2 ' ' sh ж ch ж ch ж sh ж dx с!ж = }"' 1 f сг!ж] 3_ 1 f сЬж зЬ™2ж] _ 5 f In th(a;/2)| J 3 1 2\зЬжсЬ 2ж/ 2 \ arctg sh ж J * sh ж ch ж 1.4.6. Интегралы вида thp a; da;, cthpж<iж. > dx = \ ( cth ж J p — \\ cth ж J tha; cth ж ^ tha; l2n+1 dx = -Y -, tha; V cth ж J tha; cth ж cth ж j fe=i th ж 1 f ch ж 1 > dx = In < 1 >. cth ж I I sh ж J ch ж 1 J ch ж 1 sh ж j \ sh ж J 3. < J [ cth ж f сЬж 1 /tha;\ < , >. [ cth ж J 1.4.7. Интегралы вида Д(вЬж, спж, th ж, cth a;) dx. В chx + Cshx dx = (а + b ch ж + с sh ж)п Be - Cb + (Ac - Co) ch ж + (АЬ - Bo) sh ж (n- 1)(Ла- 1 -1 (n^l)(a2^62 + c2) - (n - 2)(АЬ - Ба) ch ж - (п - 2)(Ас - Со) sh ж (a + b ch x + с sh dx
1.4.7] . Гиперболические функции 121 2. (ВЪ- 4 Be — Cb — С a ch x — Ba sh ж (n — l)a(a + bch x + cshx)n ' [a ' (n — l)a: (га - 1)! -fc-l)!afe (a 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Bchx + Cshx dx = — - b2 — c2 Bb-Cc In (tt + О СП Ж + С SO X) + b2 -с2 x + I A ~~ a- A + Bchx + Cshx а + 6сЬж±6эЬж "A (B- a 2a2 dx 2a С±В МА b2 -. (сЬж =р sh ж) Н- dx ± a 2а2 In (a + 6ch ж zb bshx) [ab Ф 0]. F — a) th — + с — ^^^^^^^^^ aretg — b2 > a2 + c2; a^ 6]. Vа2 - б2 ¦In- (а - 6) th - - с + V«2 - б2 + с2 с2 (а _ ft) th - - с - V«2 - б2 + с2 1 / ж = — 1п( а + cth — с V 2 (ach ж (a- 6)th(x/2) + c dx _ 1 Г ? + 6sh^)TC ~ (а2 - б2)"/2 J Т^ dx chn I ж + Arth - а dx shn ( ж + Arth ^ 0 [62 = a2 + c2] a> aft. A+B chx a ch x + 6 sh ж + /а2 - б2 aretg sh ж + Arth — а a2 -b A /b2 - a2 -In 2 (Ca - Б6) In ch ж + Arth - J + (Ba - Cb)x \ a x + Arth — th- 2 Х 2 (С6 - Ва)ж + (БЬ - Ca) In sh (ж + Arth - 1 ГБ + С B~C ^2x a I 2 1 \B^C a 2 - Ae" [a = ¦ e2x + Леж с!ж ath b + Va2 + b2 a + 6 sh x ¦In- ath- - 6^ ¦ ж л a th — — о t Arth 2 Va2 + I?2 V«2 + 62
Гл. 1. Неопределенные интегралы [1А7 где 23. где 24. 25. b + a ch x [b2 > a2; x < 0]. [б2 > a2; ж > 0]. [a2>62]. + b2 ch x + c2 sh x J «i + 61 dx = Ло In 61 ch ж + a sh ж «2 + &2 ch ж + C2 sh ж д Г dx + A ch ж : ЭЬЖ + 62 ch x + C2 sh x ' ai 61 В a2 Cl С b Cl С b 1 ai Л 2 Cl ai Л c2 bi В at a2 bi 62 2 61 62 Cl C2 2 Cl c2 at a2 at 61 tt2 62 2 61 ci 62 C2 2 «2 C2 ai «2 В b2 с c2 bt 62 л a2 В 62 Cl c2 Л a2 at bt a2 b2 + 61 ci 62 c2 ci at c2 a2 «1 61 CX 2 ^2 2 + bi ci 62 C2 2 Ф ct at C2 «2 Ach2 x+ 2Bshxchx + Csh2 x dx = • {[4Bb - (A + C)(a + c)]x a ch2 ж + 26 sh ж ch ж + с sh2 ж 462 ~~ (a + cJ + [(Л + GN - B(a + c)] In (a ch2 ж + 26 sh x ch ж + с sh2 ж) + ~ f 2Bb(a - c) + (Ca - 1 ¦In- 2V62 — ac с th ж + 6 + V62 — ac 1 cth ж + 6 ¦ arctg - + 6 В chx + Cshx x (а + (а + 6ch ж) dx = - L4 In dx = th- ¦6 In а + 6 sh ж ¦ (Са - ЛЬ) > ас], [Ь2 <ас], dx а + bshx
1.4.7] . Гиперболические функции 123 а + ВЬ)\п th- (АЬ- Ва) In а + & ch ж sh ж а + Ь ch ж 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. В ch ж + С sh ж (I ± ch ж) . . . Ш(ж/2) I2 2 Ш|\сШ(ж/2)||+ 4 \cth(<c/2)J ¦In с + Вспж ch ж (а + (Аа + С&) arctg sh ж + (АЪ - С a) In а + 6 sh ж Вспж ch ж (а + 6ch ж) dx а + b sh ж y/a(b — а) = —\А arctg sh ж — G In а [_ arctg li/ 1 thsc I а + b ch ж спж сЬж - (ЛЬ - Ва) dx а + 6 sh ж с!ж 1 а + 6 ch ж J * [6/а > 1]. ^^=^=- Arth H/l th ж ) [0 < 6/а < 1] или [6/а < 0; sh2 ж < -a/b]. [6/а < 0; sh2 ж > -а/б]. [а = Ь]. [а = —6; sh2 ж ^ ll. / Arcth Wl thx /а(а - Ь) IV а = — th ж а _ 1 Г Arth (л/2 th ж) 1 ~ ал/2 \ Arcth (л/2 th ж) J 1 / / / 6 , . arctg 4 / — I 1 Н— cth ж \V V a [6/а < -1]. t Arth ( 4/1 + - cth ж /а(а + 6) \V а Arcth ( i/l H— cth ж = —— Arcth (л/2 cth ж) ал/2 = — cth ж [-1 < 6/а < 0; ch2 ж > -а/b]. [6/а > 0] или [-1 < 6/а < 0; ch2 ж < -a/b]. [а = 6]. [а = —6]. + H Г I "Ж = [ сЬж J 1 Та)[ 1 (а + Ы \ V 1 ch ж J f 1 I СП "Т* а + 6^ , [ ch ж а + 6 th2 ж ж + 4/ — arctg I 4/ — th ж V а V у а 1 I b X -\ ; /^аб — 6 th ж] /^аб + 6 th ж] [ab > 0; a + 6^0]. [ab < 0; a + 6^ 0]. = — ж H 2a 4a [a + 6 =
124 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.4.8 1.4.8. Интегралы вида LR(sh (аж + 6), ch (еж + d)) dж. sh (аж + b) sh (еж + d) 1 ch (аж + b) ch (еж + d) j = —( г sh [(a + c)x + b + d] =p ~~7 г sh [(a — с)ж -\- b — d]. z(a "}~ c) 2(a — c) 2. sh (аж + b) ch (еж + d) dx = = —; г ch [(a + c)x + b + d] + —; r- ch [(a - с)ж + 6 - d]. Ksh(ax + бЬЬГаж + d) 1 , ж , /f I4 1 , , , ch (аж + b) ch (аж + d) j 2 4a Г ж 1 4. sh (аж + 6) ch (аж + d) dж = — sh (b — d) -\ ch Bаж + b + d). . . Л тж Г . p f sh аж 1 Г р (sh аж 1 1.4.9. Интегралы вида sir ж< > аж, сЬ^ж< > аж. J [ ch аж J J [ ch аж J p ГсЬаж] Г , p-i f ch (a — 1)ж 1 . 1 x< -p sr ж< > аж . I shaa; I I I shfa^ 1)ж o I 1P ГзЬаж) 1 Г р ГсЬаж) 2. I chp x{ ~ I сЬаж 1 1 Г p f ch аж 1 f i P-i Г sh (a - l)x 1 , 1 > а^ж = сЬрж< , >+p chp ж< 1 ; ; S йж . ] р + а[ [яЬаж] J [сЬ(а^1)ж] J f \ 3 i , « . — . , . 2^ 1 Г 1 f sh ж [P*-2,-4,...,-2n]. 4. | ch2nx\ > dж = (±l)n J "Ait" J> ?|ж . [ ch ж J J [ ch ж ^ k4n2Dn2 - 22) . . . [4n2 - Bfc - 2J] ^ j shx) ix) 5. a; = sha; p+1 \ch(p + l)x } + 1)ж , h [Bn + IJ - I2][Bn + IJ - 32].. . [Bn + IJ - Bfc - lJ] Г f sha;l2*+>>+1 1 '( } BЛ + 1)! Jlchx/ И' \" Г ok r» 1 P+1 Г f sh^chBn + lbl , (±1)пГ8Ьж1? '" ' "У 4-1) I = TTl h I .n+k \{2n + IJ - I2][Bn + IJ - 32] . . . [Bn + IJ - Bk - IJ] (Shx\2k+p+1 k = l 9. I / «h Bn + 1)» sh-1 Ж 1 ^ к sh Bn - 2Й)Ж " i I ^j| с277, -f- 1)ж ch~~ ж I ^ 2?2 2ife / fc=O i , oxi Bn + 1)жсЬ ж I \-^/ \fc ch Bn — 2k)x , чте1 Г спж 1 10. N v ; л \dx = 2j (=р1Г— -^—+ (zpl) b\{ , . . 1 л сЬBп + 1)ж8Ьм1ж I P ' 2n-2k x^ J \\shx\j
1.4.10] Ц. Гиперболические функции 125 11. \sh2nx J 12. \ch2nx 13. 15. 16. chx sh ж спж l. OV? (=bl)fc fshBn-2fc-l)s) > da; = 2 > < ) { У j ^ 2n-2k- l\chBn-2fc- l)x j (±l)h l j 14. !1 ch x J arcsin th ж J 21n^ У СПЖ J f sh ж 1 ~ in th \ сЬж j dx = — 18. 19. 20. 21. эпж 1 eh ж j — i ^3 17. |сп2ж<ГГ^ dx = -^ir"r-2"} + { J cth ж 1 1 tha; j f ch ж si 2 1 shx ch™2 ж 1 f ch ж sh 2 ж ' In | th(?c/2)| 1 arcsin th ж J* x сЬЗж ch™1 ж ch Зж ch 2 ж ЛсЬаП ±Jln|th(a:/2)n \ sh ж J X arcsin th ж J _ J cth ж \ tha; 4 fcha;\3 }¦ — n\shx 23. ch ж Г f sh Зж ch 1 ж 1 . . 2 , f ch ж 1 22. , , _! > с!ж = 2sh ж T In , , У J [спЗжзп x) { 8пж|] _ If thx I2 ~ ^2 | cth ж} + 1.4.10. Интегралы вида \ R(sh2axJ ch2ax, ysh2ax) dx. Условие: а ж > 0. Обозначение: ш = arccos ¦ — sh.2ax 1. 2. 4. 5. 6. da; = — a -2~7 ^)}+1a /sh 2аж da; X /sh2ax 2a ' V2 J' ch ax dx 1 / 1 \ ~ 2a V ' л/2 У ^K"'7f)-F(?'w)]- [A + sh 2ажJ - 4р2 sh 2ax]Vsh2ax ~ 2а V ' Р ' V2 ) '
126 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.4.11 1.4.11. Интегралы вида R(sh2ax7 ch2ax, Vch2ax) dx. Условие: ах > 0. Обозначение: <р = arcsln 1. vch2ax dx = ал/2 2. 4. 5. 6. 7. /ch 2ax dx сЬ2аж — 1 ch2ax 3'7f)-2?(^7f TTf 2 — V' F ' ^2 3. /ch2аж -W.,4 /ch 2аж 1 r AT^— -.1 = — [УсЬ2аж — 1]. sh2 2аж dx л/ch 2аж th 2аж dx Vch 2аж F{ (f, За' 1.4.12. Интегралы вида R(sh ж, спж, л/а + bshx ) о'ж. Условия: а, 6 > 0, ж > Ж1. /а2 + б2 — а — 6 sh ж . Обозначения: (р = arccos /а2 + Ь2 + а + 6 sh ж ' а + \/а2 + б2 . . а , xi = — Arsh —. + 62 6 1. 2. 3. 4. 5. 6. ch2 ж с!ж = ^а2 + b2 [F((p, к) - 2Е(ср, к)] + E{(p, k)- 26 ch xy/a + 6sh x . _ /aq — bp , . I q(a + b sh ж) dx = 2\ / ^! Arcth ¦ ' v 7 a + л/a2 + 62 V«2 + 62 — a — b sh ж V« + b sh ж 6 V«2 + 62 + а + b sh ж ch ж [bshx > 0; (ag - bp)/q > 0]. ag — bp bp — aq [bshx < 0; (aq - bp)jq > 0]. [(aq-bp)/q < 0]. л/а + 6 sh ж а*ж /a2 + b2 (л/a2 + 62 - a; ¦E(<p,k)- chx\/a -^ bshx /a2 + b2 ^a a2 + b2 -(a + bshxJ'
1.4.14] 1.4- Гиперболические функции 127 7. dx fa2jrb2 , A;). 8. ch ж dx Zi / 1 1 = -л/a + osha:. 9. ch2 E(<p, k). Г cth ж ^ж 2 . . /. b 10. — = ^^ Arcthi/l + - J л/a + bshx л/а V a 11. 12. 9 I h =¦ ArthJl + - fa V a arctgi/^| 1+ -shx V V a [bshx > 0; a > 0]. [bshx < 0; a > 0]. [a < 0]. 1.4.13. Интегралы вида Д (sh ж, ch ж, Vb ch ж — a) dx. Условия: b > a > 0, ж > 0. la + b „ • /Ь(сЬж-1) , Обозначения: Lp = arcsin \ -1 , k = -а dx = (b- bchx - a , k) - 2 26 , k) _ Voch ж — а 2. - a dx ch ж < sh ж oil л Сал Zi r /7 ; /z -, 6. = - [ybchx ^ a — vb — a j J у о ch ж — а о о 7. л/F ch ж - аK - (b - a)F(y, fe)]. Ь KTl J 1.4.14. Интегралы вида R (sh ж, ch ж, Vb ch ж — a ) d ж. Условия: a > о > 0, ж > жь _ . bchx - а . I 2b a Уоозначения: ср = arcsin 4 / —7 г ? ^ = 1/ ? ^i = Arch —. у 6(сЬж — 1) V а + b b — а с!ж = ^2 2 cth — л/bchx — а . А
128 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1А15 2. dx \/b ch ж — а л/а + 6 3. V6 ch ж — а а — b 4. 5. dx (ch ж + 1)-^6спж — a \J a + 6 dx (ch ж — 1)-^6спж — a a — b , А;) - #(<р, А;) 2^6 ch ж - а 6. 7. dx (ch x ¦ [(a + 2b)F(<p, k)-(a + ЗЬ)Е(<р, к)] л/bсЬж-а / a + 36 \ + 6 1 (ch ж — ' -а 3(a - 6JV/« + Ca - 6)(a 1.4.15. Интегралы вида R(sh x, ch ж, V« — 6 ch ж ) dx. Условия: a>6>0, 0<ж<Ж1. „ . . / a — b ch x . fa — b A . a Обозначения: cz? = arcsin \ — , к = \ , x\ = Arch —. V a — b V a + b b 1. Va-bchx dx = 2Va ,k)-E(<p,k)\. th f '• 2. dx Va — 6 ch ж V« + 6 , A;). 3. « — b ch ж = ™vtt — бспж . 4. \/a — b ch x сп2жс1ж 36у a , к) - F(<p, к). « + 6 6. 7. 8. dx 26 ¦П a — 6 ch ж ay a + 6 da 1 A + — 6ch ж dx к ). th — Va — 6 ch x . 2 , k)-bF(ip, k)]- th — л/a — 6 ch ж ¦ [2a + 46 + (a ¦
1.4.16] Ц. Гиперболические функции 129 9. dx (а — b — ар2 + bp2 chx)\fa — bchx (a — b)y/a + b Щ<Р, Р2, *)• 1.4.16. Интегралы вида R(sh ж, ch ж, У'a + bchx) dx. Условия: a > b > 0, ж > 0. Обозначения: Lp = arcsln I th — 1, к = V 2 / 1. dx = 2VaTb[F((p, к) - Е(<р, к)] + 2th -\/a + bchx . 2. I dx = va + b Е(ш. к). ch x + 1 3. 4. 5. p + g ch x . Л I aq ~ bp д . dx = 2а Arcth ag — Arth dx \/a + b ch g(a + bchx) bp — aq , A;). 6. [(aq-bp)/q>0]. /а + 6 ch ж = — (л/а + 6ch x — \/a + b ). 7. ch ж F((p, к) 2 . ж th , Л;) Ч— th -Va 8. ch ж — 1 V а + 2[, ж dx = - th —¦ vo- о 2 , А;) . 9. 10. ¦\/а + 6 ch ж th 362 Iftch - - _ ^- А х1 L b . = 2у« Arcth 4/1 Ч— ch ж . 6 ch ж V а th ^ 2 11- л/а + Ъ ch ж [F((p, к) - Е((р, к)]. 12. 13. ¦ l)i/a + бсЬж a ^ ft с/ж 1 Я(р, k)- а — b)\/a + b F(<p, k). ¦[b{bb-a)F{<p, к)- S(a-bJy/a + (a^36)(a + fe)?J(^, k)] + 6(а-Ь) /a + b ch ж . 9 А. П. Прудников и др., т. 1
130 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1А17 14. A + ch ж) dx bchx , р\к). 1.4.17. Интегралы вида R(sh ж, ch ж, у a2 sh2 ж ± б2 , v б2 — a2 sh2 ж , у a2 ch2 ж ± б2 , уб2 — а2 ch2 ж ) с!ж. 1. 2. J вЬж г = \n спж] sh ж J V sh2 ж — а2 1 Г 1 Г sh ж 1 , 3. < } dx = J у а2 ^ sh2 ж I c" ж J Г sh ж 1 , I arcsln [(ch х)/л/а2 + 1 < } dx = < г/ , ч / i arcsin [{shx)/a\ 4. 5. 6. 7. 1 f sh ж 1 Vch2 ж + a2 I ch ж J sh ж yW х-а2 1 ch ж J 1 = In [< + Vch ж - a2 V I sh x J - ch2 ж Г sh ж 1 f Г \cha:J \ arcsln [(sh ж)/ О/а] 1 - = F(arcsln th ж, vl — 1г2 ) ¦ ife2 sh2 ж [sh2 ж < a2]. [сЬ2ж > a2]. [ж > 0; к2 < 1]. 8. = = F(arcsln tha;, k) h2x [ж > 0; к2 < ll. 9. 10. 11. x = F [ arcsln • thaj 2ж^^2 dx = F(arcsln эесЬж, к) %/sh2 ж + к2 = F (arcsln \ — к2 Обозначения: ср = arccos - а2 1.4.18. Интегралы вида i?(sh ж, спж, ^<18Ьж + 6ch ж ) с!ж. Условия: b > а > 0, ж > жь Va sh ж + 6 ch ж , Ж1 = — Arsh • /b2 - a2 1. Vashx - dx = M J -\ ); к2 < l]. [ж > 0; к2 < 1]. ж > 0; к1 < 1 . 2. — а2) F ш. —^ — 2Е\ ш. —^ -\ \ . L V л/2/ V V2/J Vashx + bchx 7f)-
1.4.20] Ц. Гиперболические функции 131 dx \/{а sh ж + Ь ch жK I (л/b2 — a2 + a sh ж + b ch ж) dx 4/ 4 / _?_ _ (аэЬж + бсЬжK У62^а2 V 'л/2 1.4.19. Интегралы вида Vths с/ж, Vcthlr с!ж. 1. л/tha; с/ж = Arth лЛЬж — arctg Ушж . 2. усйГж с/ж = Arcth Vcth ж — arctg Vcth ж . Г ( бЬж 1 9 1.4.20. Интегралы вида \ xpI , > с/ж. J i ch ж J \ ch ж J g 1 ж sh ж j g2 \ ch ж J \ ch ж / 1 9-2 ch ж J 2. ж 2ra\ жт+1 n . f sh x X 4. I ж< . > dx = [ сЬж J - 2k fc Bn + l)Bn - 1) . . . Bn - 2A; dx. fc=O -1 ГвЬж!2 2k+1n(n - 1) . . . (n - k) 2n — 2k X chx j f ! Ч2П+1 - П «fey i4 / I , i\ 5* lX\chx] = ^TT ^ Bn + l)Bn - 1) . . . Bn - 2k + 1) .BП-1)!! ж2 6 ю Г sh ж 1 . „ГсЬж] 2n-2ife _ 1J ch ж dx. г^ ж2/г ГсЬж] ^c^ ж 1сЬЖГЖ = ^+^BА {ch ж 1 f sh ж 1 sh ж J [ ch ж J shx 9*
132 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.4.21 Г 11. ж J /¦ ! л 2 т, 2 12. ж< }- dic=-sh2x сЬ2ж=р— J |_ ch ж J 4 8 4 4 ' 4 14. \х2Г Х\ 1 dax j 15 hci i rfx^!!: } \chxj 4 fchxil п!\Д ж"^2^1 Г 1 fsh3^] (shxY\ T \shxf\~ T ^ (n - 2A; - 1)! [3^+2 \ ch Зж J T \ ch x j J' Г fshxl3 _ 3 fshxl _ Jfsh3a;l 3 ГсЬж! ^ ]Ж\Ь/ 4\Ь/ 3 ТЖ+ f* Г \chaj аЖ" ±з Jsh*\__< > 2 \сЬж/ 18\сЬЗж/' Г 1 Г sh ж 1 9 1.4.21. Интегралы вида —< > dx. J xp { ch ж J 1 ГзЬж1д _ 1 fshx!g g fsh^^cha;! * ^|Ь} Ж™ ^A)Р1|Ь/ ~ ( 1)( 2)^2 \ h^1 ж sh ж J [ 1 fshail _ ^2 BA; 4 жBп-1)! 1 J chi ж 1 Bn- l)!\shia; J ' shl ж 1 fc=O Bп)\\сЫх)° , 2n _,_ I вП 1» Г 4. I — < ж I сЬж
1.4.23] 1.4- Гиперболические функции 133 ж2 1 ch ж J 22пж \ п п-1 k /2n\ [ch Bn — 2k) x . . ч .. (j [—^—- - Bn -2fc)shi k=0 х1 1 ch ж I 21п 1 J k=o Х 1ж\сЬBп^2^ + 1)ж/ BП 2к + 1\вЫBп^2к + J ж [ ch ж J [ chi ж J о ^л Г ch ж - 1 . . . . _ ^^ Г 1 Г sh ж 1 . 1 Г sh ж I f chi ж 10. ах = chi ж — In ж — С. 11. —^-s , } dx = < 1 У + \ , Jж Jж^[chжJ ж^сЬж]^ shi ж о 1.4.22. Интегралы вида жр< > dx. I cth ж I 2 2. |жр< ^ k=0 In ., n — 1 n f i \ 2fc —2n p+1 IS ^^ \shx 2n+1 Г с!ж = \ xp { Л } [cth ж] . Г J Шж l2n+1 Г Л Шж 1 4. жр< , > с!ж = \ xp { Л } dx J \1Ь] J [th ] л 2fc —2n n / , n 2fc —2п aO f p_ijcha;l ^ ife/ L \sha;J J \shx j 1.4.28. Интегралы вида жг shp ж chg ж dsc. . f жг shp ж ch^ ж da; = 7—^7 [(p + д)жг shp+1 ж eh9 ж - J (p + gJL — гжг"х shp ж chg ж + r(r + 1) жг™2 shp ж ch9 ж dx + + rp f жг sh13^1 ж eh9™1 ж Aж + (q - l)(p + g) f жг shp ж chg ж dx]. = j^^ [(p + д)жг sh^1 ж ch^+1 ж - shp ж chg x + r(r — 1) жг™ shp ж chg ж dx — \xr^ shp^ жсЬ9^ ж da? — (p — l)(p + g) xr shp^ ж chg ж dx]. 2. j^^ [( — гжг rq k=0 4. l:B^ch2m+la,sh-na, J k=0
134 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.4.24 5. хр{ J [ ch ж s. , fsha^ch^2' ~те гг — 1 \ sh ж J р Г р_1 (chxl~n — lj \hj \sha:j Г ch ж 1 J arctg sh x J arctg sh x 1 \lnth(as/2)J- Г x f x 1.4.24. Интегралы вида -г-—dx, —--—dx. J sh9 x J ch9 x гdx, sh9 x J ch9 x _ р fcha;sh~g+1 ± (q-l)(q-2) 5 ch2» 2n - 2k\ сЬж J 1 j dx. I chx 2nBn - 2) . . . Bn - 2fc + 2) 1/"" 1 *\ ^j aJ ^ #1 X ™| / ^ь -i \ f I Г* f 1 *\ -*- I oil X I I . / -.чпЛ^1" -1/11 J oil л I xp I ch ж J 9. (shx\ -q+2 1 Г (q- 1)(д-2)жР+1\сЬж/ ^ (q-l)xP{ • I ch ж J ' xj - 1 J a;p 1 fsha!]-9+2 (qr - l)(qr - 2) J х?+2 \ chx J кфп/2 \x\ < тг; те ^ 1]. 10 1 г.. / i\n1 2[ l" j J 1 < тг/2]. da; ctha; 2nn In |ж —
1.4.26] . Гиперболические функции 135 ?j Bк)\Bк -п- Bх) 12. dx tha; хп ch2 ж (п + 1)! 1п 13. 14. х dx x dx = V- 2fe + l E 15. I ж 16. 17. f sh ж 1 f cth ж (^ th ж f I sh ж I 1 Г sh ж 1 . ж f ch ж sh 2 ж 1 1 f sh ж ^ ft Т — ШС < > ^С < 2 1 sh ж ch™ х I 2 1 ch ж X chx Г sh ж 1 ~ т~^х{Тх} ¦ ж[сЬжзЬ3ж] 1 Г sh ж 1 2 f cth ж Т6[сЬж/ +3Ж' 1. 2. 3. 4. Г / Г sh ж 1.4.25. Интегралы вида R\ хр' < J \ жр ch ж dx 1 I sh ж I \ >, а + 6< > 1 а*ж. хр sh ж с!ж (qr — 1N J (а + бзЬж)^ р Г ж13" с!ж х dx 1 ± ch ж ж sh ж d; (q- t\i(x/2) (q - 1)Ъ } (а KcthtS} ж f th (ж/2) ] chxil \cth(a;/2)/' Г /¦ -1 "ч 1.4.26. Интегралы вида \(Ьх + с) п< , >( J [ ch аж J „f sh* ch* (bx + c) i }dx= ——- ch— \t I } X ch ax J ате+! \ b } \ ^n f ch* I sh* dt Ж| < 7Г]. <7Г]. < тг/2]. [- t = La bx + cl 2. 3. 4. (bx- (bx- (bx- . J зЬаж \ сЬаж v2 Г зЬаж 1 \ ch аж J 1 ch аж j < 1 , -( а l а ч f ch аж 1 6 f sh аж 1 [ sh аж J а [ ch аж J ,2 , 262] f сЬаж 1 2&(&ж + с) f с) Н -N > ^— L\ У. а J Is"аж J a [ ch аж J bx (bx + cJ + 662]ГсЬаж1 36 (bx + cJ + ¦ ch аж (ож + с)п
136 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.4.27 ап~г ( Л ас Г 1 f shtl , , ас Г 1 Г chtl , \ г с i = — ch — —< % }dt-sh—\ —< , > dt \ — t = bx + c\. bn \ b]tn\cht) b)tn\shtj J U J Г 1 ( shax] . 1 . ac f shi (аж + ac/b) 1 1 . ac f chi (аж + ac/b) 6. < , da; = -ch-- , t1{ } ~ t ^^r\ , ) ,,[ Joж + c[chажJ о о [ chi (аж + ac/b) J о о { shi (аж + ac/b) = \ e~ac/b EI (аж + ac/b) т Л еас/Ь EI f ^аж - 2b 2b \ ¦ 1 J sh аж 1 1 Jshaxl at 1 (chax . Fж + сJ \ ch аж J ЬFж + с) \ ch аж j b } bx -\- c\shax . ^ ,' sh аж 1 . 1 (shax} :—~ * = ^^foffo 4- J I а ГсЬаж] а2 Г 1 ГэЬаж , . 1. [e 2. 1.4.27. Интегралы вида й(ж, еах, shbx, chbx) dx. ax / sh (bx + c) \ _ eax Г (sh(bx + c)\_ f ch Fx + c)\ — 2 L2 ^ I I-» /I» \ I I U /1^ \ i о Г ^аж Г яЬ(аж + с) 3. е < , ; J \ ch (аж + с) + с) j 1 1 с . 1 > dx = - же =Ь —« J 2 4а 4. [ жреаж | ^ ^ | ^ = И жре(а+Ь^ dx T | f ЖРе(^Ь)ж dx [ см. 1.3.2]. 5. [ж^1е^аж(8^Ж1а1ж = i [(а - ЬГа1(а, ах - bx) =F (а + byaj(a, ax + bx)] J I ch bx J 2 0 Г Г l Re а > -6, 8 = i 6. [ xa^1e^axl^b1X\dx = ^[(а^ЬуаГ(а, ах - bx) T (« + ЬуаГ(а, ах + bx)] J [ ch bx J 2 7 , sh bx 2a(a2 + 362)l ( shbx' (a2 -b2J \\ chbx ^ 2 4a6 . 26Ca2 + 62I f ch bx ' 8. ж e J 2 axfshbx\, e Г 2 e < Ыж аж a2 - 2 аж az — oz 6ж^- е 2 a6 6Ca + 6)l f c 6ж 1 a2 - b2 [ X ^a2-b2X+ (a2-b2J \{shbxj' 2 1 1Ь] 4 V 22 6 11. I -^eaa4 ,° Ыж= ^ [EI (аж + Ьж) =F EI (аж ^ ж [ ch ож J 2 12. I -е^ах\ \ , \dx = [Е1Fж^аж)тЕ1(^аж^6жI [а х I ch ox I 2
1.5.1] 1.5. Тригонометрические функции 137 X 13. [ - е^ах sh bx dx = - In ^-Ь^ + - [El Fж - аж) - El (-аж - bx)] [a > \b\]. x 2 a-b 2 о * J ж \ ch ax J 2 as 15. [ i е±ж sh ж dx = ±i [El (±2x) - С - In Bx)]. J ж 2 о I _L лд. I Oil Ubie I , JL ift I б л V dx :=z ж \ ch ax j 2 -.o i - -аж Г shax 1 18. I —5" e < > «,«, — ^| ж^ [ сЬаж J 2ж [2ж I Жб!ж Ж 1 , 19. —р = ^ th аж -In ch ax\. 1 ch аж а аг 1 20. liJ^l ж [ ch ax J ^ i х dx 2 21. cost — спаж а2 sin о [ / ах t\ 1 6» = arctg I th — ctg - j; Ьф 2жк; к = 0, ±1, ±2, . . . . 22. ""^/^ с!ж = cost^chаж a2 sin (t/2) Г { ах t\ ( ах t\ 1 0 = 4arctg I th — ctg - J; ф = 4arctg cth — ctg - I; t Ф 2жк: к = 0, ±1, ±2, .... L V 4 4/ V 4 4/ J 1.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.5.1. Введение. Интегралы вида R(sinx, cos ж, tgж5 ctgж)dж, где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональных функций при помощи следующих формул: I I гъ ( G1T1 ОТ31 f*f\C /Т* 4" СТ ПГ* Г*4" СУ 'Т9 1 /I 'Т* "~~" 1 r™i I ™-™-™_________. ________________________ „______________________. _________________________ I „______________________. i.^n(Bmx,cosx,tgx,agx)ax-^ni1 + t2,1 + t3,1_t3 ^ \ x + ^ Если i?(sinaj, cos ж) = ^Я(^з1пж5 cos ж), то 2. ^(sin ж, cos ж) а*ж = — Д(\/1 — t2 , t) [t = cosa;]. J J V1 ~~ t2 Если i?(sinaj, cos ж) = —R(sinx, —cos ж), то 3. .Rfsln ж, cos ж) а*ж = R(t, v 1 — t2 ) —, ft = sin ж].
138 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.2 Если R(sinx, cos ж) = Я(—sina;, ^совж), то 4. R(sin ж, cos x) dx = RI , 1.5.2. Интегралы вида sinpa;da;. Г . р , 1 . p-i , р — 1 Г . р-- sin^ х ах = smK ж cos ж Н smF J p p J . Jsln2n: dt If 1. siir x ax = smK J p Г 2n , COS Ж Г 2та 1 2. sin2" ж da; = - —— | sin2 ж ' х dx. 2п (n^ l)(n-2)...(n-A;) 2nn\ 3. 1 /2n 1 n k=0 2n\ sinBn - 2n-2k I. [sin2n+ COS Ж . 2n " ж аж = sin ж - 5. 6. Г. jsi 1. {si }. fsi L. ("si 2. [sin6 = > I Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2k - 1) cos Bn — 2Дг + 1)ж cob2*+1 x. 7. I sin x dx = ^ cos ж. 8.1 sin2 ж da; = — — sin 2ж -\— ж = sin ж cos ж -\— ж. 1 4 1 9. | sin x dx = — cos Зж — — cos x = - cos ж — cos x. 10. | sin x dx = — sin 2ж Н sin 4ж = — sin ж cos ж — — sin ж cos ж Н— ж. 8 4 o2 8 4 8 11. I sin x dx = — — cos ж + — cos Зж — -— cos 5ж = — — sin ж cos ж + -— cos ж — — cos x. 48 80 15 12. | sln° ж da; = — ж sin 2ж Н sin 4ж sin бж = 1.5 5.3 5 . 5 = sin ж cos ж sin ж cos ж sin ж cos ж H ж. 13. 14. 15. 16. 17. da; со: slnp x (p — 1) i dx P — dx COS Ж 2ra — 1 cos ж ^ Bra - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2A; - 2n cosec ж¦ dx sin ж dx = ln n-l k = l X g2 ¦In t - S 2 = ln 1 — cos ж = ln 1 + COS X = -In 1 — cos ж = -ctgx. 18. 1 COS Ж 1 2 sin2 ж 2 ' 1 + COS X X '~2
1.5.3] 1.5. Тригонометрические функции 139 19. 20. 21. 1. 2. dx sin4 x dx sin5 ж dx sin6 x COS Ж COS Ж 4 sin4 ж cos ж 5 sin5 ж 2 3 3 cos ж 8 sin2 ж 4 з 15C S 1 3ct 4 5 € з X ^ 2 gx 1.5.8. Интегралы вида \cospxdx. cosp x dx = — sin ж cospMl ж Н cosp~2 ж dx. J P P J fcos2n; Sin Ж I 2n-l ' x dx = —— I cos ж + 3. 2n 2n Bn- l)Bra-3)...Bra-2fc- 2n\ sinBn - 2k)x 2«n! JcoS2"+1 x dx = SHIS I 2я — cos 2fe+1ra(ra - 1) . . . (та - к) Bга - l)Bn - 3) . . . Bn - 2A; - 1) cos2"** 5. 6. 7. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 2n sin Bn - cos x dx = sin x. 8. cos2 x dx = - sin 2ж Н = — sin ж cos ж Н— ж. J J 4 z> Л Л з , 1 . 3 . . 1.з cos ж аж = — sin ож Н— sin ж = sin ж sin ж. JlZi 4 о cos x dx = - x + — sin 2ж Н sin 4ж = — ж Н— sin ж cos ж + — sin ж cos ж. 8 4 32 8 8 4 ,5 5 1 4 4314 cos ж аж = - sin ж + — sin Зж Н sin 5ж = — sin ж sin ж Н— cos ж sin ж. 48' 80' 15 6, 5 15 . п 3., 1 . „ cos х dx = — ж Н sin 2ж -\ sin 4ж -\ sin 6ж = 16 64 64 192 5,5. 5. з,1. 5 = — ж Н sin ж cos ж Н sin ж cos х Л— sin ж cos ж. 16 16 24 6 dx sin x cosp ж (р — 1) cosp' dx sin ж p-2f dx ~г x p — 1 J cosp™2 ж 9fcf<n 1U« O^ f« L\ Zl I ft» \-l\ll Zil . . . 1 ft. Hi I : + dx cos2n+i x n-l 2ra V^ Bra-l)^ n - 5) . . . Bn - 2ife - x\ + 2n—2k—l - sec ж . ^ln dx = ln 7Г X I+ 2" = ln 1 + sin x 1 — sin ж
140 Гл.1. Неопределенные интегралы [1.5.4 dx Г dx I sin x 1 ^ 18 + cos2 ж J cos3 ж 2 cos2 ж ' 2 dx sin ж 1 . о 1п 7Г Ж 4 + 2 Г ^ж sin ж 3 sin ж 3 J ^s^ = 4cos4 ж + 8 ^s^ + 8 х тг + (х тг g\2 + I/ |* Г dx sin ж 43 4 1 5 23 21. — = — + -- tg3 ж + - tg ж = - tg5 ж + - tg3 х + tg ж. J cos6 ж 5 cos5 ж 15 5 5 3 1.5.4. Интегралы вида sinp ж cosg ж dx. Л Г • р д » Sin13™1 ЖСО8д+1 Ж р-1 Г . р_2 д+2 , 1. siir ж cos х dx = sirr ж cos ж dx. J q+1 p+1J sin15 scos9+1 ж 0-lf . p_2 q , 2. = 1 sirr ж cos ж ож. + +J 1 f • — sir ¦ g j P + i " p+T^lsir slnp+1 ж cosg+1 ж p+g + 2. . № q , 4. = 1 sin ж cos ж ож. Sill* ' Ж COS' Ж g-1 f . „+2 g^2 » 4. = sirr ж cos жаж. +1 P+1J P+1 slnp+1 ж cos9™1 ж g — 1 5. = 1 + sir > + g p + < > + g + 2 f . p g+2 g + 1 J sinp+1 x cos9+1 ж|р + д + 2,.р g+z 1 ' "'^F ж cos ж аж. g + i ;lsir 3. [sir Slnp iCCOS9 х/ . 2 9-1 \ . (P-1)(9-1) Г • p-2 <j-2 , 7. = sin ж + ¦r^?—w ^ sirr жсоэ^ xdx. p + q V P + g- 2/ (p + g)(p + g2) J - 1)Bп - 3) . . . Bп - ^ Bn + p - 2)Bn + p - 4) . . . Bn + p - 2A;) 'ln-l)\\ f ю Ц: т г- smF ж аж \р Ф —2, —4, . . . , —2nl. + р — 2) . . . (р + 2) J 9. sinp ж cos2n+1 x dx = 2те соч т* [р^-1, -3, ..., -Bп + 1)]. 10. cosp ж sln2n х dx = 1 - 1)Bп - 3) . . . Bп - ^ Bп + р - 2)Bп + р - 4) . . . Bп + р - 2ife) ^ ^ ; г cosp xdx \рф -2. -А. .... -2п]. n + p2)(p + 2) J iP^ ' ' J 11. [ J 12. sin ж cosp ж с!ж = cosp+ x J + 1 p + 1
1.5.5] 1.5. Тригонометрические функции 141 г 1 13. sinp ж cos x dx = sinp+1 x \p Ф —1]- J p + 1 Г 2 3 1/1 1 \ 15. sin ж cos x dx = I — sin 5ж -\— sin Зж — 2 sin ж J = sin3 x ( 2 2\ sin3 ж /5 . 2 cos ж H— = sin ж 1. 5 V 3/ 5 V3 cos3 ж. 16. sin x cos x dx = 1 sin 2x sin 4ж sin 6ж. J 16 64 64 192 17. sin3 ж cos2 x dx = — I — cos 5ж cos Зж — 2 cos ж J = ~~ cos5 ж 18. sin3 ж cos3 x dx = — ( — cos 6ж cos 2ж ). J 32 \6 2 / Г 1 f *? 4 \ 19. sin3 x cos4 x dx = — cos3 ж I sin2 x + sin4 x j. 20. sin4 ж cos2 x dx = — x sin 2ж sin 4ж -\ sin 6ж. J 16 64 64 192 Г ¦ 1 /2 3 \ 21. sin4 ж cos3 x dx = ~~ sin3 xl —I— cos2 ж — cos4 ж 1. Г 4 11 22. sin x cos x dx = ж sin 4ж -\ sin Sx. J Iz8 128 1024 23. sin ax sin bx sin еж dx = 1 [cos (a — b + с)ж cos F + с — а)ж cos (a + b — c)x cos (a + b + с)ж] 24. sin аж cos bx cos еж <ia? = 1 [cos (a + b + с)ж cos F + с — а)ж cos (a + 6 — с)ж cos (a + с — b)x~\ 4[ a + 6 + с 25. I cos ax sin 6ж sin ex dx = 4- sin (a + 6 — с)ж sin (a + с — 6)ж sin (a + b + с)ж sin F + с — a) 26. cos аж cos bx cos еж <ix = [sin (a + b + с)ж sin(a + c6)a? 4 [ a + 6 + e 6 + c^a a + c^6 a + b — с Г sln x 1.5.5. Интегралы вида dx. J cos^ x Г sinp ж , sin13™1 ж p-1 f slnp™2 ж . 1. dx = г — + dx. cos*? ж (p — q) cos*?^1 x p — q J cosg ж sin x pg + 2 f sinp x (q — 1) 91 1 J ^2 sin13™1 ж p-1 f 3. = 7 ? [q — 1) cos9 l x q — 1 j x . — dx. — 1 j cos*? A x
142 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.5 . sinpai 4. =—п— dx = , 2п х sec ж 5. 2п Bп - р - 1)Bп - р - 3) . . . C - р)A - р) (* sin* sinF ж cos2n ж X dx = 2га - 1 п-1 Bп - р - 2)Bп - р - 4) . . . Bп - р - 2m+l 1 I hill Л 1 6. г—^— da = - fc=O Bга - p - 2)Bra - p - 4) . . . (-p + 2)(-p) f . slnp x dx. [n ^ m]. k) n-k [n > m]. 8. cosin ж " x I sin ж У» cosg ж (g — 1) cos9 ж * 10. — с!ж = ж p + 11. — In I cos x 12. cos2fc ж — In I cos x . 13. 14. 16. 17. 18. 20. 22. 24. 26. 27. COS Ж sin ж . d cos ж fe=l = — In I cos ж - 1 ln 15. /тг ж tgU+2 sin2 ж COS Ж dx = — sin ж + In 7Г X 4 + 2 sin3 ж . sin2 ж . , 1 2 i аж = In I cos x = — cos ж — In COS Ж sin4 x 1.3 • , , аж = sin ж — sin x + In о COS Ж sir ж dx = — (p — 1) sinp ж dx. tg ( ^ + ^ к i 2 -г 4 19. sin ж , 1 — dx = • dx = ter ж — ж. 21. cosz ж X dx = cos x -\ sin ж 1 3 — аж = tg ж Н— sin ж cos ж ж. cos2 ж 2 2 23. COS Ж sin ж dx = sin2 ж . sin ж — dx = 2 2 cos2 ж 2 7Г Ж 4 + 2 25. 1 1 2 r— = - tg ж. 2 cos2 ж 2 ln 2 cos2 ж sin x 1 sin ж — аж = — , sin ж - - In 2 cos2 ж 2 , X tgB • dx = 3 cos3 28. sin ж 1 — dx = — tg cos4 ж 3
1.5.6] 1.5. Тригонометрические функции 143 29. 1. 2. 3. 4. sin3 ж , 1 1 dx = Ь cos ж 3 cos3 ж 1.5.6. Интегралы вида 5. 6. 30. dx. 1 з = - tg х - tg ж + ж. 3 ¦ dx = sin^ ж o-l f eosg™2 ж slnp ж (я ~ P) s'mP 1 x 4 — P g-p + 2 «9+1. (p — 1) sinp 1 ж p — 1 J slnp 2 ж cos9™1 ж g-1 [ cosg~2 ж dx. dx. ¦ dx = —- In cosec2n ж + ^ - P ^ 1) B^ - P - 3) • ¦ ¦ BП - P - 2k Bn^p^ l)Brc - p - 3) . . . C - p)(l - p) f cosp ж Г cos J sir dx = - SP+1 ж + 2n^ 1 Bra - p - 2)Bra - p - 4) . . . Bn - p - : Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2ife - 1) 2n-2fc-i C 1) + ( , ) ш/п\ l)m( J in | cosp ж da;. [m ^C n]. 7. 8. 10. 11. 12. 13. 15. 17. 18. m — к ln к \к fe=l 2ife-l • 2k i sin ж In ln J sir [m > n]. (p- . . . COS Ж ... 14. dx = In sin x ¦ dx = cos ж + In , cos3 ж . cos2 ж 16. dx = h In cos4 x 1 з — ож = - cos ж + cos ж + In — (p — 1) cosp 2 ж с!ж.
144 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.7 19. 21. 23. 25. 27. 29. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 11. 13. 15. 16. 18. COS Ж _ 1 ах = sin2 cos3 sin2 X X X cos ж sin3 cos3 sin3 X X X cos ж • 4 sin cos3 X X 20. ¦ dx = — ctg ж — ж. . . 1 аж = — sin ж , cos ж . 1 . 3 22. I ~— dx = — ctg ж sin ж cos ж ж. sin x 2 2 аж = — - 1 2 sin х 24. cos ж I " 2 sin2 ж ~ 2 . 1 dx = о In dx = — . 1 dx = 2 sin2 x 1 28. sin ж Зз1п3ж 1.5.7. Интегралы вида -1 30. , cos ж , 1 cos ж 3 . 26. I 5— dx = к cos ж In \пл ж 2 sin'2 ж 2 _ г з 3 cos4 ж . 1 з 7— аж = ctg ж + ctg ж + ж. sin ж 3 sinp ж cos*1 ж sinp ж cos^ ж (р — 1) sinp * ж cos9 ж р—1 J slnp 2 ж cos*? ж" д-2 f dx (q - ljsin* — 1 J slnp ж cos*?™2 ж [см. также 1.5.4]. n-l 2k-2m dx n-\-n 2n+l x Z-, \ k k=0 кфт dx Jm+l ж cos ж ^ Bт -2к + 2) sin2 ~2то = -?¦ 1 sin""* ж cos ж ^ Bт - 2/г + 1) sin2 j m -I «Ж v~^ 1 ln sin ж cos2m+1 ж ^ Bт — 2ife -f- 2) cos2 dx x~^ 1 sin ж cos2m ж ^^ Bm — : fe=i l с!ж sin ж cos ж = In I tga:|. 10 •ь dx ln -In sin ж cosz ж cos ж t - g 2 sin ж cos3 ж 2 cos2 ж с!ж ¦1п^ж|. 12. 1 1 = ln sin ж cos ж , 7Г Ж , . *в1 4 + 2 'I- 3\ 1 sin ж cos4 ж cos ж 3 cos3 ж dx -In 14. sin2 ж cos3 ж \ 2 cos2 ж 2 у sin ж ' 2 3. ^ In sin ж cosz ж 7Г Х^ с/ж 8 1 8 + _ о:= 5 ctg2ж. 17. sin ж cos4 ж 3 sin ж cos*5 ж 3 sin3 ж cos ж 2 sin2 ж + In | tg ж . dx 1 1 sin3 ж cos2 ж 3\ 3. со8ж\281п2ж 2 у 2
1.5.9] 1.5. Тригонометрические функции 145 19. 20. 21. 22. 23. 24. dx 2 cos 2ж sin ж cos*3 ж sin3 ж cos4 ж sin4 x cos ж sin4 ж cos2 ж sin4 x cos3 ж Ь 2 In | tg ж . 1 COS Ж sin ж ¦In ¦I" ж ж 2 + 4 3 cos ж sin3 ж 3 2 1 sin ж sin ж Зз!п3ж 2 cos2 ж 2 «in Ж 7Г 2 + 4 . 4 Ж 4 = ^8 CtS 2Ж - о Ctg3 2Ж- sin ж cos4 ж о 1.5.8. Интегралы вида tgpж<iж, \ctgpxdx. ctg ж J tga;l ^ ctgxj . \2n+l ctgx) - 1 [ ctg ж ?t IЬ ?л?ъ "у 1Л* ! tga: 1P' ctg ж/ I [ ctg ж J f tga; dx. {| cos ж 1 I sin ж J \n+fc 2k \ k / I si }¦ 5. 7. 8. 9. ctg ж }f PAG O* 1 f I +ГУ О* 1 f \ €J гш ^Ж = =р1п^ . L 6. N 5 \ dx = ^s I gi?i лр I 1 I г*4"it o^ 1 I /^4"it o^ I olll Jy J J I Llg Jy J I LLg X "" ^2 с?ж = -j=r [In (sin ж + cos x — Vsin 2ж ) + arcsin (sin ж — cos ж)]. = —=- — In , h 2 arcter . y/2 L2 l + ^2tg^+tgж &l^tgжJ 1.5.9. Интегралы вида Я(зтж, совж, tgж, ctgж) с?ж. А + В cos ж + С sin ж . 7 : г— dx = (а ~\~ о cos ж + с sin х)п (Вс - СЬ) + (Ас - С a) cos ж - (АЬ - Во) sin x 1 (?г^1)(а2 ^62 ^< (п - 1)(а2 - Ь2 - с2) (га - 1)(Ла - ВЬ- Сс) - (га - 2)[(ЛЬ - - (Лс - Са) sin ж] (а + Ъ cos ж + с sin ж)"^1 [п; 2, а2 dx 21 2. G6 — Вс + С a cos ж — Ва sin ж (га — 1)а(а + & cos ж + с sin ж)п х (—с cos х + Ъ sin ж) А а (п — 1)а2 Bга — 1)!! ~ (п — к — \)\ак (а + 6cos ж + csina;)n~fe 10 А. П. Прудников и др., т. 1
146 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.9 А + В cos ж + С sin ж . Вс — СЬ , , . ч da; = — — In (а + о cos ж + с sin ж) ¦ а + Ъ cos ж + с sin ж — а) f 4 В6 + Gс + [А- ,о , о а dx с!ж (а + 6 cos ж + с sin ж)п J [а + г cos (ж — а)]п dx 2 b2 + с2 у J а + 6 cos ж + с sin ж " [6 = г cos а, с = г sin а]. а + b cos ж + с sin ж ^/а2 — Ъ2 — с W arctg a-b)tg-+c Va2 - b2 - Ж ¦In- (а - 6) tg - + с - V62 + с2 ^ а2 _ 6) tg ^ + с = ilnfa с V с + (а - b) tg - (a cos x + 6 sin X)n A + В cos ж + С sin ж sinn ^ + arctg а [а = 6]. [см. 1.5.2]. dx = а cos ж+ 6 sin ж """ а2 + б2 — In sin ж + arctg - + sin ж | 1 аж = —— а cos ж + b sin ж [ cos ж ^ж 1а sin ж — 6 cos ж (а cos ж + 6 sin жJ а2 + б2 acoss + fesinaj' dx 2 a + bsinx Ja2 - b2 arctg ж a ^ 2" + /a2 - 62 7==lntg^^ + arctgi)|. In (a cos x + b sin ж) [a2>62]. -i a tg h 6 — V&2 — a2 -In- ^ ^ж а + 6 cos ж ^а2 _ ^2 ж 2 V«2 - b2 tg - arctg - а + b /b2 - a2 tg - + a + b ¦In- /fe2 - «2 "" V^2 - a2 tg | - a - b [a2>62]. [a2<62]. A + В cos ж + С sin ж A ±з!пж)п dx = — 2n^l -2'n-2^tg ,2fc + l ^E 4T2 2k+ 1 ± T2fc + 1 П - 1 A; 4T2 2Jfe + 1 В П — 1 A ± 81ПЖ)П 18. = ±Cx + (Л т C) tg ( - =F - ) ± В In A ± sin ж)
1.5.9] 1.5. Тригонометрические функции 147 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 32. 33. А + В cos ж + С sin ж . 1 ; аж = ± у±Bк + 1) ? = ±Вж ± (А =р В) tg±:L ^ т С In (I ± cos ж) ± С 1 n — 1 A ± cosa;)" бвтж С a — Ah 1 А + В cos ж + G sin ж . Л . ж В . — ах = — In tg In sin ж (а + о sin ж) а 2 а sin ж А + В cos ж + С sin ж sin ж (а + b cos ж) = ^[(Да-В6Iп48| + (Д6-ВаIп: ^ j Л + В cos ж + С sin ж Л ± В sin ж A ± cos ж) 2 А + В cos ж + С sin ж cos ж (а + 6 sin ж) = д2^&2 \(Аа - СЪ) In tg Cj + |^ - (Л6 - Са) In ¦ A + В cos ж + С sin ж cos ж A ± sin ж) osmx С а + 6 cos ж * ±i a + b sin ж A + В cos ж + С sin ж cos ж (а + b cos ж) & cos ж А л (ж х , *_, . = — In tg - + - + — In a \ 4 2 / a cos ж ± sign a . f sin ж 1 a + b{ } { cos ж J а / J а + 6 cos ж * ->4 a J sign а Arth а + 6 f tg ж a I cte ж = ±- sign а '—а(а -|- о) Arcth a + b ( tgж 1 \ а \ctgжJy cos ж J 6 b ( sin ж 1 2 о - < -1; ^ \ > —r\ a I cos ж J 6 {sin ж 1 COS Ж J 1 + dx 1- sin ж I 2 I ctg ж tgx ¦ Jsi ice sin ж COS Ж 2а(а Bа + 6) cos ж b sin ж cos ж а*ж 6 sin ж cos ж , f sin ж 1 . f sin ж 1 a + b{ } a + bl } . { cos ж J [ cos ж J а*ж 1 + {sin ж V COS Ж J -^arctgf^*^ ctg ж sin ж cos ж 1 + {sin ж 1 COS Ж J 10*
148 34. 35. Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.9 dx (а + 6 sin2 жK Spa 11/ 2 3 3+ ~2 + ~4 ) arctg(ptga) 3+4-4 36. 37. 38. где 39. 40. р2 р4 у 1 + р2 tg2 ж рл рч 1 tg2 ж р2 р2 2ptgж *>ol. а I з 2 3 2qtgx [q2 = —1 — b/a > 0; sin2 ж < — a/b; при sin2 ж > —a/b следует Arth (q tg ж) заменить на Arcth (q tg ж)]. (а + b cos2 жK 8ра3 pctgж 1 Г/ 2 3 \ 3 + -г- + -т arctg (p ctg ж) p2 p4y р2 р4 у 1 + р2 ctg2 ж \ р2 р- 2 1 2 1 ctg x pi pi 2p ctg ж A + p2 ctg2 ж) = l+_ >0 . 8да3 i 2 Н J ) Arth (</ C^g Ж) " с/ctg ж 2q ctg ж A + В cos ж + С sin ж b\ cos ж + a sin ж) (a2 + &2 cos ж + C2 sin ж Г с/ж (l-^ctg2*)*] = —1 — 6/а > 0; cos2 ж < —а/Ь; при cos2 ж > —а/Ь следует Arth (q ctg ж) заменить на Arcth (q ctg ж)]. л 1 ai + &i cos ж + ci sin ж ¦ dx = Aq In — ; ; h «2 + b2 cos ж + C2 sin ж dx b\ cos ж + ci sin ж J fl2 + 62 cos ж + С2 sin ж ' ЛВС at 61 ci Я-2 62 C2 в bi a2 G Cl A аг bi b2 с Cl В bi Cl c2 A ai Oi a2 61 62 2 61 b2 Cl c2 2 ci ai c2 a2 CLl bl d2 b2 2 61 ci 62 C2 2 С C2 at a2 В b2 с c2 bi b2 A a2 A a2 Cl C2 В b2 bi a2 bi ci b2 c2 dx Ci CL\ C2 «22 «1 «2 6l 62 2 ci ai C2 Cl2 2 6l 62 Cl C2 ; см. 1.5.9.5 . a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж 2 2^ж- ¦ arctg ¦ Б [b2 >4ac]. [62 < 4ac].
1.5.10] 1.5. Тригонометрические функции 149 41. 42. где = 4acl. 1 2ctgж + b A cos2 ж + 2 В sin ж cos ж + С sin2 ж a cos2 ж + 26 sin ж cos ж + с sin2 ж 462 + (а — сJ + [(А — С)Ь — В (а — с)] In (а cos2 ж + 2b sin ж cos ж + е sin2 ж) + + [2(А + С)Ъ2 - 2ВЬ(а + с) + (аС - Ас)(а - c)]f(x)}, с tg ж + b — л/b2 — ас ¦In 2\fb2 — ас ctgж + 6 + - arctg [Ь2 > ас], <ас , ctgж + Ъ 43. (a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 жJ b cos 2ж + (с — а) sin 2ж Dас — б2)(а cos2 x + b sin ж cos ж + с sin2 ж) 2(а + с) Г dж 4ас — б2 J a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж 44. 45. 46. 47. 48. 49. = 16а За2} tgxdx + а а2 + 1 - dx = Bа cos ж + b sin жL i [ж — a In (a cos ж + sin ж)]. [Ь2 ф 4ас]. [б2 = 4ас1. 1 + а2 ж tg ж + а а*ж а2 + tg2 ж ~ а2 ~~ 1 ~ (а2 - 1)а 1 + а2 1 In sin (ж + arctg а), arctg ^^. dx 1 а2 - tg2 ж а2 + 1 2(а2 + 1)а In tgsc — а dx ж 1 = - + -sin2aj. 50. -Ы2х 2 ' 4 tga; + a tg In (a2 cos2 ж + sin2 ж) 2A- а2) 1. 2. 3 1.5.10. Интегралы вида х cos (еж + d) dsc. sin (аж + cos (аж + 6) j """ "^ а \ sin (аж + 6) sin (аж + 6) sin (еж + d) 1 1 sin (аж + 6) sin (еж + d) . 1 f cos (аж + b) dx = =p — { ; cos (аж + b) cos (еж ¦ } + d) 1 г > аж, sin (аж + oj Н™ ct) J J sin [(a + c)x + 6 + < cos (аж + 6) cos (еж + d) J sin (аж + b) cos (еж + d) dж = — 4. sin (аж + b) sin (аж + d) ; ; ) J cos (аж + о) cos (аж + d) 1 " 2(a-c) LV ; ' J^ 2(a4 cos [(a — c)x + 6 — d] cos [(a + с)ж + 6 + d] 2(a - c) 2(a + c) ' _ x ^tu j\^- sin Bаж + 6 + d) 5. I sin (аж + b) cos (аж + d) dж = — sin (b — d) — d)TA 4a cos Bаж + b + d) 4a '
150 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.11 1.5.11. Интегралы вида sinp ж sin ax dx. 1 Г . р • j -в^жсоваж р Г . р_1 ( . 1. smF ж sin аж аж = 1 smF ж cos (a — 1)ж dx. J р + а P + ttJ з!пржсо8аж psinpml ж sin (а — 1)ж — -, г-т г sinp ж sin (а — 2)ж dx. 3. sinp ж sin 2nx dx = b^-2,-4, ...,-2n]. 4. sinp a; sin Bn + 1)ж da; = Bn + 1) <^ sinp+1 x dx + f 2fc J Г Г -i 1 5. sinp ж sin (p + 1)ж dx = — sinp ж slnpx. J P !-.)<•-;"--'(?-'• Г -1 Г 6. sinp ж sin (p + J L Г sin аж . f cos (а — t)x . Г sin (а — 2)x . 7. dx = 2 ^—^—— аж + — dx. J sinp ж J sinp ж J sinp ж г • о n • /«mi i\ p • /o i 8. dx = 2 > ^- ^. 9. — dx = 2 > h ж. sin ж ^^ 2fe — 1 I sin ж ^^ 2k fe=i fe=i ,'sin2ic 2 Гз1п2ж , . 10. I —-— ax = ^t ^yi—• 11- —ц— dx = 2 in sin ж smn ж (n — 1) sinn ^ ж J sin2 ж 12. | ^^^ = ж + 81п2ж. 13. Г 51ПЗж da? = з ln J i sin ж 14. 1 —5— dx = ^3cter ж — Ax. ж - 4 cos ж. 1.5.12. Интегралы вида sinp ж cosaa; dx. Л Г . p , 81пржз1паж р Г . p-i . / 1X , 1. smF ж cos ax dx = smF ж sin (a — 1)ж dx. J p+a P+aJ l ; sinp ж sin аж psinp p(p — 1) Г . „^2 / ox , — -. ™-7 г smF ж cos (а — 2)ж dx. Г Г 3. sinp ж cos 2тгж dx = sinp ж dx + \4 1)fc4^2Dn2^22)...[4n2^Bfc^2J] fcin2fc+Pxdx k=i Г . © / \ sinp+1 ж 4. smF ж cos Bra + 1)ж аж = h J P + l , ^, 1,fc[Bn + lJ^l2][Bn + lJ^32]...[Bn + lJ^Bfc^lJ] . 2k+p+1 2k + p + l) [p ф -1, -3, -5, . . . , -Bn + 1)].
1.5.14] 1.5. Тригонометрические функции 151 Г -l 1 5. sinp ж cos (p + 1)ж dx = — sinp ж соэрж. 6. sinp 1 ж cos (р + 1) ( ж J dx = sinp ж sin p ( ж 1. J L V2 /J Р V2 У 7. 8. dx = 2 sm^ ж cos BA; - 9. \C°s{2n + 1)xdx = ' 2/г - 1 . cos 2 А; ж ¦In ж tg2 ¦In dx = 2 cos ж + In ж tg- 11. 13. , , _ . cos 2ж cos ж 3 dx = — ctg ж — 2ж. 12. ^— dx = « In 1 ~т^ж 2sin^ ж 2 . - 3) sinn~3 ж (n - 1) sin" ж " 14. ¦ dx = ^2 sin ж + In I sin ж 15. dx = —- 2 sin ж — 4 In I sin ж 1.5.13. Интегралы вида cosp ж этаж с/ж. cosp ж cos аж р Г „__i cos ж sin (а — 1)ж dx. 1. cosp ж sin ax dx = — - + a 2. cosp ж зт2пж с/ж = (—1) П-1 ,. 9, п0.\ п f COSp+2 ; I P + 2 2k+p+2 fe=l [рф-2, -4, ..., -2n]. 3. cosp ж sin Bn + 1)ж dx = (^1)та^ p+i k iBn + IJ - I2][Bn + 1)^- 32] . . . [Bn + IJ - Bfe - IJ] Bk)lBk + p + 1) Г -l 1 4. cosp ж sin (p + 1)ж с/ж = соз^жсоэрж. [рф -1, -3, -5, ..., -Bn + l)]. 5. sin ax cosp ж _ Г sin (a - 1)ж Г sin (a - 2)ж = 2 rJ— dx — — dx. cosp ж 6. ¦' sin B« + 1)« rfa. = 7. 9. — dx = —2 In I cos ж 1 cos^ ж (^l)^+i In | СО8Ж dx = 10. ,' sin Зж . 2 i i 11. dx = 2 sin ж + In cos ж cosTi ж 12. dx = cosn ж 4 (n — 2) 1 (n — 3) cosn™3 ж (n — 1) cos"™1 ж COS Ж . 2 cos2 ж 1.5.14. Интегралы вида cosp ж соэаж с/ж. 1. cosp ж cos аж dx = p + a cosp ж cos (а — 1)ж dx.
152 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.15 г J г 2. cosp Г г dx = (™1)та< cosp x dx + - 2^) .[4n2 - Bk - 2J] LoS2k+pxdx\ f J f 3. cosp f Г )xdx = (~1)теBв + 1I cosp+1 «L J [Bn + IJ - I2][Bn + IJ - 32] . . . [Bn + IJ - Bk - IJ] BAj + 1)! f -l i 4. cosp ж cos (р + 1)ж dx = — cosp ж slnpx. J P X COS' ,2fe+p+l 5» 6. 7. 8. 10. 12. cos аж COSp X uX ^= zl cos (a — 1)ж Г cos (a — 2)ж -l)x . Г i 7 dx — ~гх J cosp ж n^k sin BA; — 1)ж } 2k^l +(^ dx. cos Bn + 1)ж cos ж cos2x 1 Ж — In tg sin x 2 cos2 ж in ж — 3 In /тг 3 2ln -( (ж tg \4 + ж x\ 4 + 2 ) 9. 13. 7Г Ж 4 + 2 с!ж = 2ж — tgж. 11. | dx = я!п2ж — ж. cos ж dx = 4ж — Stgx. COS*5 Ж — 1 1. 2. i с ic тл- | ¦ sinai sinna; , 1.5.15. Интегралы вида < > < > dx. cos ж I cos nx slnm ж dx ¦ dx = 2n- (-1Г 2n 2Bn (A; — n)n x . [A; + n + 1 ж sin In 2m+l I hill X 3. dx = In fe=l Ж X cos2 ж — sin2 ~2n tg n + к x n — к An 4. (^1)*и In кж ¦In tg 4Bn 4Bn n2m+1 J cos Bn - In |^(-1) cos" кж ¦In cos ж —sin [то ^ 2n]. [to ^ n]. [?71 < 7l]. [to ^ n]. 2 ^7Г [га ^ тг].
1.5.16] 1.5. Тригонометрические функции 153 6. 7. sinTO ж dx 1 2n An ж I In 2n + l x Ж 8n 2 [m < 2n]. cos2m+1 x dx 2n .2 .2 sm ж — sm , cos m x dx 1 , . 8. -r—т-—~—~ = -——-< In ж кж \ (x кж + )t( [m <C n]. [m ^ n]. 9. 10. 11. 2m+l s i In x kir + 2 4r I f —< II ^ In I sin ж| + yj(—1) ¦In • 2 -2 sm ж — sm dx= ^y(^l)fccosm^tl7rm cos nx n 2n An к + i ж [m ^ n]. [m ^ n]. 1.5.16. Интегралы вида R(smax, cosax, Vsin2ax) dx. Обозначение: ip = arcsln - 2 sin ax 1 + sin ax + cos ax { CO! 1. | sin ; 2ж<! } dx = cos ж 2n+l ¦ rft _ 2 t = t = 2. sin cosec x n —m —1 tg ж 1/2 E n-m-l ctgx 3. 81пт+1/ж к J 2m - An + Ak + 1 [ tg ж sin ж J Г r^—— f sin ж 1 . If cos x 1 /—.—-— 4. vsinis < > ax = =F —"S Wsinzsc J [ cos ж J 2 1 sin ж J m--2n+2fe cos ж J I sm ж t = f tgx 11/2' \ ctg x J I tgc [n ^ m + 1]. '} • + — [In (sin x + cos ж ± vsln2a?) + arcsin (sin x — cos ж)]. 5. ^ж = лД / ^\ /sin 2аж а V ' V^/'
154 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.17 1 sin, J 81ПП + 1/22ж\сО8ж/ 2то+1 4т - }3/2 п — то — 1 ^ V ^ ^ ГА-.« 1 2m-n + 2fc Ctg Ж [n ^ m + 1]. Г 1 f Sin ж] . 1 г, / / ч / чп 7. , < > ах = — In (sinж + cosж =F v sin2ж ) + arcsin (sinx — cosж) . J л/sin 2ж [cos ж j 2 ft Г 1 f SeC Ж l2m+l 8. -rjr < > dx = J 8шп+1/22ж lcosec« J f , л 1/2 то+п r = ±2i/2-nf tga; 1 y^ fm + n\ 1 j t \ ctg x J ^ V A; / 4m + 2n - 4k + 1 \ c ga; ctg ж 2m+n-2fe 9. 10. ' cos ж . ±2ro sin x ax = 8т2т+1ж8тп+1/22ж 12. 1 , tg±lxdX,ln =2-+1/2 m-\-n fc >/ 4m + In T 21 - 4k + Г tg 13. 14. 15. 1fi 16. 17. 18. COS2-+1 ж sfnn+1/2 2ж sinaxdx A . i/2 v^ /m + n\ g ^ V к ) 4k ± 21 - In + Г ( 1\ F[ ip, = \F[ ip, = ) E[ <p, = )\ + cosax)\/sm2ax aL\ v 2 / V v2/J 1\ ( 1 \\ ) — E[ <p, —= )\. sinaxdx л/2 A — з!паж + cosax)\/sin2ax 9, 1 \ у 2 / г/2]. v^ p/ 1 \ = л 1 99, —^- J. v 2 / A -si A- 1\ v 2 / \ л/2/ — E =ЩгЕ( 1) _ F( 1 a L V л/2/ V \/2 r, /tgаж 7Г/2]. A + sin аж + cos аж) dx [1 — ссшаж + A — 2r2) sin ax]ysm2ax л/2 „ / 2 I \ = U[(p, r , ^^ 1. o /2 ^ 1. л/2/ 1.5.17. Интегралы вида Л^таж, соваж, Vcos2ax) dx. Условие: 0 < аж ^ тг/4. Обозначение: ^ = arcsin (л/2 sinaa;). f 1 Г 1. i?(sin аж, соэаж, л/cos 2аж ) а1ж = — i?(sin t, cost, л/l — 2 sin2 t) dt [t = ax; см. 1.5.36].
1.5.17] 1.5. Тригонометрические функции 155 2. v cos 2ax dx = J О Е Г п+1/2 f sin ж 1 . Vcos 2ж fees ж] 3. cos + ' 2х{ \dx = ^^7 -\ \ J [cos ж] 2(п + 1) I sinsc J x cos" 2ж -2fc 2k+1n(n - 1)... (n - к) .„ Bn + l)!! (-1Г f arcsin(v^sina!) coe2x 4. K 5. 6. f sin ж 1 , 1 / r cos ж ] 1 < > dx = =F^vcos2a: < >H I cos ж] 2 I sin ж] 2^ 2^2 In cos ж - dx = \F[ <p, —^ — E[ <p, —^ -\— tgажуcos2ax . со82аж « L V л/2/ \ л/2/J « da? /cos 2аж Bn _ 3)Bn - 5) . . . Bn - 2k - 3) ^2 dx = E \(p, - , _ , , ^, _ а \ л/2 / ал/2 \ л/2 14. fc+1
156 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.18 15. dx 1 / 2 1 \ A - 2r2 sin2 ax)y/cos2ax алД \ лД J о 16. ¦ dx cos4 axycos2ax о у/2 J 3a V л/2/ ЗасоБ3аж cos2as. 17. f_^= = J-FL 1 j-H^L 1 , . J у cos3 2аж ay 2 \ у 2 у a \ V2 J ay cos 2аж о X f sin2 ax . зш2аж 18. — dж = ^=^= - J у cos3 2аж 2ау cos 2аж о 1.5.18. Интегралы вида Я(з1паж5 соваж, у/— cos 2аж ) dx. Условие: тг/4 ^ ах < тг/2. Обозначение: у? = arcsln (y2 соэаж). 1. R(sln аж, cos аж, у/— со8 2аж ) dж = — i?(sln t, cos t, у 2 sin2 t — 1) dt [t = ax; см. 1.5.38]. тг/Bа) 2. у/- cos2аж dж = —^ 2E| у?, -^ ) - F J ал/2 L V л/Г L V y/2 тг/Bо) J V^ cos 2аж ал/2 \ лД)' X тг/Bа f si - j sin ax dx 1 / 1 ™ cos 2аж а^2 \ л/2 / ' /Ba) cos26^d^ 1 Г / J_ [ ) /Ba) 5- J ^^=^fK^^'-s^'^ii- Г ctg2 6 Г ctg2aжdж 1 Г ^Z 1\ ^/ 1\] 1 . , - = —— \2E [ер, —= \- F [ер, —=)\ J y/-co8 2ax алД[ \ лД) \ y/2 J \ a it/Ba) Г cos4 аж dж 1 [5 _./ 1 \ _./ 1 M 1 . / Г. t = =¦ - El cp, —^ -3Fl<p, —= Л з1п2аж^со8 2аж. J xf- cos 2аж Зау2 L2 V л/2/ V v2/J 12а X тг/Bа) f ^Ж v^J П i / «— В. —^ =з- = ?/ <р, —=г 1 ctg ажу — cos 2аж . J sin ажу —cos 2аж а \ у 2 / а ж т/B< тг/Bа) A - 2r2 cos2 аж)л/^ cos 2аж а
1.5.19] 1.5. Тригонометрические функции 157 10 тг/Bа) J sir dx -2 1 у/2 cos ax . 2 За sin3 ax F sin аж + 1)\/— cos 2ax . т/Bо) • J тг/Bо) 12 - cos3 2аж ал/2 cos2 аж а*ж 1 12e(<p, -^1 -Flip, ->)| - у/2 j \ ay/-cos2ax ' г ^^=_ ^ ^? J V^ cos3 2ах ал/2 \ ' ^2 / 2ал/— cos 2аж X 1.5.19. Интегралы вида 7?(sin ж, cos ж, \/а ± 6 sin x ) с/ж. Обозначения: 99 = arcsln тт/2 1 — sin ж 5 -0 = arcsln . t /6A-sina;) . Va b sin ж с?ж = 2\/a , A;) 2. T/2 dx \/a + 6 sin x y/a + 6 4. 5. 6» 7. 8. 9. , А; = a>&>0; -J 0 < \a\ < 6; — arcsin — < x < — . а > 6 > 0; < ж < - . 2 2J 0 < Iа < b] — arcsin — < x < — . sin ж а*ж i/а + 6 sin ж E((p,k)- 2а ¦Ffo»,*) a>6>0; -- " fe fo < |a| < 6; - arcsin - < ж < —1. tt/2 sin2 ж dx y/a + 6 sin ж E((p, k) 2Bа2 362 -^'"' ¦ ЗЬ2у^ 1 \ 4а„/,1\] 2 ^r- cos ж-^а + 6 sin ж а > b > 0; -— < ж < —1. 2 2J 36 тг/2 tg2ж< -1 л/а + 6 sin ж ^а + 6 F(<p,k)- (а — 6)i/a + Ъ 6 — a sin ж |0 < |а| < Ь; - arcsin - < ж < —I. L о 2 J Е(<р, k) + (а2 — 62) cos ж / J—: Г ъ ^Л V а + о sin ж 0 < 6 < а; < ж < — . 10. 6 — а sin ж о — а sin ж / . г а тг] ^^ -гт Vfl + о sin ж 0 < а < 6; -arcsin - < ж < — . (а2 — б2) cos ж L b 2 J
158 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.20 тг/2 B — р2 + р2 sin х)\/а + 6 sin ж V« + тг/2 (а + 6 — т/2 1 — sin х dx 1 + sin ж у/а + Ъ sin ж 11. 12. 13. 14. 15. 16. [A ± sinахГ J dx ТГ ТГ] О < b < щ ^ х < —\. 2 2J 6 sin ж \ / а О < |а| < 6; — arcsin — < ж < — I. —^-г\-у/а + ЬЕ(<р, A;)+tg( j-|)Va + 6sinaj} fl"° I \4Г/ ТГ тг/2 —2b cos ж \/(а + b sin жK (а2 — &2)Va- + 6 sin ж (а — Ь)\/а + ¦Е{<р,к) 0<6<о; -- ft — o, \f a + ft sin ж [о < |а| < 6; - arcsin - < ж < —1. 17. sin a^)fe+ Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2fe - 1) 2n _ 2)Bn - 4) . . . Bn - 2A; - 2) - VI T sin аж 1.5.20. Интегралы вида 7?(sin ж, cos ж, s/a ± 6 cos ж ) dx. ^r . b(l- cos ж) . . Обозначения: (р = arcsin \j —^— L—- , -0 = arcsin ¦, k = x 1. Va + 6 cos ж dsc = 2\/a -\- b EI —, A; J M 0 3. V«- — b cos ж с?ж = 2ya^b Е(ф, к) — 2&81ПЖ « — ^ cos ж о . Г /а- & cos ж 2(а - 6) „/, 2ар 4. д/ с^ж = ГТ W? ^^ JVl + Pcosx (l + )V^T5 V (а + 6)A о 5. dx \/a + b cos ж ^л + b V 2 ' [a > 6 > 0; 0 ^ x ^ тг]. > 0; 0 ^ ж < arccos I . b, [a > 6 > 0; 0 ^ ж ^ тг]. [a > 6 > 0; 0 ^ x ^ тг].
1.5.20] 1.5. Тригонометрические функции 159 6. 7. 8. 9. 10. 11. 13. dx \/ а — 6 cos x x/a + 6 cos x dx ft + ocoss arccos ( b [a > b > 0; 0 ^ ж ^ тг]. [a > b > 0; 0 ^ ж ^ тг]. 6>|а|>0;0^ж< arccos j 1 . cos x dx л/a — b cos x Ьл/а + b cos ж dx {(b - а)Щф, k2, k) + uFO), k)} [a > b > 0; 0 ^ x ^ тг]. \/ a + 6 cos x 3b2 ya- 2 — sin хл/а + b cos ж [а > 6 > 0; 0 ^ ж ^ тг]. Зо -\ sin ж л/а + 6 cos ж 6^|а|>0;0^ж< arccos ( J . oo I V b, ¦ {Ba2 + b2)F{tj), k) - 2a(a + Ь)Е(ф, к)} 2 36 \/a — b cos x 2 . a + 6 cos x sinx^z [a > 6 > 0; 0 ^ ж < тг]. л П 14. (l±cosax)n+1/2d^ = ±Vl T cos аж V(^l)n f ^Ъ^ 15. 16. 17. 18. 19. dx B — p2 + p2 cos ж) V<i + 6 cos ж i/a + 6 \2' [a > 6 > 0; 0 < ж < тг]. dx (a + b — p2b + p26cos x)y/a + 6 cos ж (a ^( 2 1 П \<p, p , — V ^ . arccos | 6 1 — cos ж 2 ж a, / : A\f CL + 0 -. ( X . — tg — v a + 6 cos ж i? I —, к 1 + cos ж s/a + 6 cos ж«^о2 а — b \2 (а - 6)Va [o > 6 > 0; 0 < ж < тг]. 26 sin ж 2 ' '7 " ^^ ^а + 6со8ж [а > 6 > 0; 0 ^ ж ^ тг]. a2 - 62 26 sin ж Г / а \ , ТЗ о / =¦ 6 ^> а > 0; 0 ^ ж < arccos -- . б2 - а2 V« + 6 cos ж L V b; '
160 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.21 20. 21. dx (а — b cos жK (а — b)y/a + b Е(ф, к) dx = ±- A ± cos аж)п+!/2 па2пA + cos ах)п+г/2 п — 2 ,п ;?jBn-2)Bn-4)...Bn-2A:-: [а > b > 0; 0 ^ х ^ тг]. ,п + 1 ± Bгс-1)!! I V2 + Vl T cos аж Bп)!! T cos аж 1.5.21. Интегралы вида i?(sln ж, cos ж, V« + b sin ж + с cos ж ) dx. _^ . i УЬ2 + с2 — 6 sin ж — с cos ж Обозначения: ш = arcsin4/ 1 , к = 2л/Ь2 + с2 г^2 ' /W . Va 6 sin ж + с cos ж da; = 2у а + л/b2 + с2 у а [о< с2 < а; Ж1 - тг ^ ж < 2. 3. 4. 0 < |а| < v б2 + с2 ; Ж1 — arccos /б2 + с2 Ж < dx _ 2 Va + & sin ж + с cos ж ^/а _|_ Vfe2 + с2 , к) 0 < у б2 с2 < а; Ж1 — тг ^ ж < =- F(K(p1 к) 0 < |а| < V^2 + с2 ; Ж1 — arccos I - 1 ^ х < х\ . 5. sin ж с!ж Va + Ь sin ж + с cos ж 2с + с2 б2 о V/а + Ь sin ж + с cos ж 0 < а < уР + с2 ; Ж1 — arccos ( — 2 [ х Ж < Ж1 . Г F cos ж — с sin ж) dx _ у :—: 6. ~^^^^^=^^^^== = 2у a + о sin ж + с cos ж . J у а + 6 sin ж + с cos ж 7. /б2 + с2 + Ъ sin ж + с cos ж / ' / 9 9 . ч t о?ж = 2у а + л/b2 + с2 F(y>, к) - у а + 6 sin ж + с cos ж ¦а*ж = 2^ 2(а - V&2 + с2 ; \/а + V&2 + с2 8. /б2 + с2 + 6 sin ж + с cos ж Va + Ь sin ж + с cos ж , А;) [о < Vb2 + с2 < а; жх - тг ^С х < хг]. L J с2 #(<р, А;) Ж < Ж1 . 0 < \а\ < у б2 + с2 ; Ж1 — arccos ( —
1.5.23] 1.5. Тригонометрические функции 161 1.5.22. Интегралы вида Я(у 1 — k2 sin2 ж ) dx. Условие: 0 < к2 < 1. Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж . 1. \Andx = —-B-k2) iAn-2dAk2) \An-4d + n J п J п 9 Г dx к2 sin ж cos ж (га — 2)B — J An+1 (га — 1)A — ^2)АП (г, Г Г 2 3. A dx = ?/(ж, А;). 4. A3 dx = — B^^2)?/(ж, к) — — Fix, к)-\- — Дягажсояж. J J 3 3 3 Г dx r-i/ i\ Г с^ж 1 ,-./ , ч ^2 sin ж cos ж 5. — = F(x, Л). в. — = —-— Е(х, к) - A v ' r J Д3 1-fc2 v ' ' 1-fe2 L 1.5.23. Интегралы вида LR(sin ж, у 1 — 1г2 sin2 ж ) с!ж. Условие: 0 < /с2 < 1. 1. Обозначение: А = у 1 — 1г2 sin2 ж . sin х dx — cos x p — 3 (р - 2)A - ' sin ж dx v^ 2l(n — 1)(га — 2) . . . (га — I — 1) ¦1 1 _________________ — ___ ЛАП /М Ж, _шшшшш„ Х / Х / \ / ^» * о., i 1 — — COS Ж > _ -jz о. ' 21 ' ' ж с!ж (p 2(р^1Iг2^р + 2 Г slnp 2 х dx р^З (* sinp 4 ж dx Г a i A cos ж 1 — Аг . ,. А ч 5. A sin х dx = г-™— In (A; cos ж + А). J ? Ак Г А 1 — к2 2к2 -— 1 6. A sin2 х dx = sin ж cos ж -\ —^— F(ж, к) -\ г^— Е(х, к). J о ok ok т Гл .з , 2Jb2 sin2 ж + 3ife2 - 1 А 3Jfe4 -— 2jfe2 -— 1 7. Asm x dx = — A cos ж + A cos ж Н Hk2 Hks Г A . 4 , 3ife2 sin2 ж + 4ifc2 - 1 A . 8. Asm x dx = A sin ж cos ж — J 15A;2 4 k2 1) Глз. i 2k<2 sin2 x + 3Jfe2 - 5 . 3A — ife2J , /f 9. A sin x dx = A cos ж —— In (k cos ж + A). J 8 ok Г A3 . 2 , 3ife2 sin2 ж + 4Jb2 -6 A . 10. A sin x dx = A sin ж cos ж + J 15 ^ fA3.3 , 8ife4sm^ + 2Jc2EJfe2 ^ 7) sin2 ж + 15ife4 — 22jfe2 + 3 A 11. A sin x dx = L-T% A cos ж - J 48J2 11 А. П. Прудников и др., т. 1 1 n лх In (fe cos ж + A).
16. 20. 162 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.24 „л fslnnxdx sinn~3x А п^2 1 + к2 Г stnn~2 ж , п^З Г sinn~4 ж , 1 2 I — /\ ГТ1Ч т -4- I п т I п т "* J Д " (п-1)^Асо8Ж+п_1 у J Д dx (n-l)H Д dX- ГsInжdж 1 . А — к cos ж 1. ,. АХ 1. ,. 13. = —In- = -т\п(ксоЕХ + А) = ^т1п(А - J А 2к А + к cos x A; A; v fsln2xdx 1 , ч 1 ( х Г sin3 ж dx A cos ж 1 + А;2. ,. АЧ 15. г = — ~^~~ 1° (я cos ж + А). I /\ oi?^ *??•« f sin ж dж А3 A- sin2 x dx 1 „, , ч 1 „, , ч 1 sin ж cos ж , Adx 1, A + cos x . . /f A4 21. = ^-ln™rJ h ^1п(^созж +A). 1 sin x 2 Д ^ cos ж 22. I ^^ = A - k2)F(x, к) - Е(х, к) - Actga. 1 sin ж ,—«,«, A cos ж 1 — к2 . А + cos ж 23. ^^ = -о ¦ 2 +—л—1п^ • sir ж 2 smz ж 4 А — cos ж sin4 ж 3 24. I ^^ = - [-Actg3 ж + (к2 - 3)Actgx + 2A - k2)F(x, к) + (к2 - 2)Е(х, к)}. 25. Asinnx А / ч/ A cos ж (n-2)(l + i dx (n-3)ife2 Г dx Asinn^2x n-1 J Asinn" 27- л 2 = л& da = F(a, A;) - Е(х, к) - Actgx. (п — 1) sinn 1 ж п — 1 , dx 1 . А + cos ж . А + cos ж 26. I -—; = In = In ; . A sin ж 2 А — cos х sin x dx г1 « ~^2 ¦ A sin2 ж Г dж A cos ж 1 + к2 А + cos ж 28. о— = о— — In — . J A sin*5 ж 2 sin2 x 4 А — cos ж 29. f —^j— = i [-A ctg3 x - АBк2 + 3) ctg ж + (Jfe2 + 2)F(x, A;) - 2(к2 + 1)^(ж, А;)]. J A sin4 ж 3 1.5.24. Интегралы вида Д(созж, у 1 — ^2 sin2 ж ) dx. Условие: 0 < к2 < 1. Обозначение: А = у 1 — Is2 sin2 ж . Г cos ж dx sin ж р — 3 [* cos ж dж (р-2)АР^2 р-2 cos ж dж . v-v 2Z(^
1.5.24] 1.5. Тригонометрические функции 163 f a i 4. A cos x dx = J k21 8ш 2|+1 21 A sin x 2k arcsin (k sin ж). 5. A cos2 x dx = — sin ж cos ж —~ ^(ж, A;) -\ —^— E(x, k). J О OK, OK fA з , 2Jfe2 cos2 ж + 2k2 +1 A . 4k2-1 . /f . ч 6. A cos x ax = — A sin ж Н ——arcsin («sin ж). J Oft Oft 7. I A cos x ax = A . A sin ж cos ж + 8. A cos ж dx = О I дЗ 2 , 9. I A cos x dx = JL о Asm ж Н arcsin (A; sin ж). О ft л . Asm ж cos ж™ 10. I A3 cos3 ж dx = (' j 15Jfe2 13. 14. 16. 20. 21. 22. A A sin ж = 48fc2 f cosn ж dx cosn ж л . n - 2 2Jb2 - 1 f cosn~2 ж , 11. = 7 rrrrAsin ж H ——— dx + J A ( l)k2 1 k2 J A 16fc3 arcsin (A; sin ж). 7rrrr (n — l)k2 — 1 k2 n-31-ife2 f cosn~4 ж , H —r^— dx. n — 1 ^2 J A Г cos x dx 1 . /, . \ 1 A; sin ж 12. — = — arcsin (A; sin ж) = — arctg ———. cos2 x dx 1 1 ,-./ ,x 1 = — E(x, k) - -^ dx A sin ж 2/c2 — 1 F(x, k). 15. совж^ж sin ж . 1 . 1 . . sin ж cos ж = ^ F(x, fc) - -^ E(x, k) + . ^^ ( cos3 x dx 1 —A;2 sin ж 1 . /, . \ 17. J — = p^ + — arcsin (A; sin ж) ж dx 2 — k2 2A — k2 Adx + ^E(a!)jk) + - k2 л A + у/1 - k2 sin ж , /t ч In , h к arcsin (A; sin ж). Д /k2 sin ж l ; Д _ cosz ж A dx A sin ж cos3 x 2 cos2 ж 4-/L - ¦In- /1 — k2 sin ж д _ ^i _ Jfe2 sin 11*
164 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.25 Adx 23. 1ж 3 , k) + ^—^ E(x, . cf ж 1 . A — л/l — ^2 sin x 24. I = ^=^=- In ^=^= . A cos ж 2л/1-к2 A + VI ^ k2 sin ж г/т 1 1 I с!ж A sin ж 2fe2 — 1 A — Vl — ^2 sin ж A cos3 ж 2A ^F) cos2 ж 4A — ife2K/2 A + Vl - P sin ж' dx 27. 28. A cos4 ж о (-L ) L J daj A sin ж /\ рлсП /тр i /ins 1 1 I 1 йл s /^i^G^"""""-^ Or1 ~ - 1) Г Jfe2) 1.5.25. Интегралы вида sinm ж cosn xy A — ^2 sin2 x)p dx. Условие: 0 < к2 < 1. Обозначение: А = у 1 — Is2 sin2 ж . r— ( m^2 ж cosn ж da - (m - 3) f Ap sinm^4 ж cosn ж d»}. 1. f Ap sinm ж cosn ж dx = 7 r— (Ap+2 sinm^3 ж cosn+1 ж J (m + + )fe2 I 2. (га + и + \ г + [(п + р _ l)jfc2 _ (m + n _ 2)A - к2)] Ар sinm ж cosn^2 х dx + J + (n - 3)A - Jfe2) Ap sinm ж cosn^4 ж dx У [т + п + рфЪ]. 3. I Ар sin ж cosn ж dx = ^^ п \ Ар cosn^2 ж sir f l)fe2 (п + р + 1^ п ж га — 1 4. Ар sinm 5. |*Apsin3; — — -7-^- ^^м ^Р cosn™2 ж sin ж с^ж. л Гдр • т з , (т + р + l)fc2 sin2 ж - [(р - ш + l)fc2 + т + 1] р+2 . т_х 6. AF sin ж cos ж аж = ^ rj1 г^ ^Д^^ sin ж + + ——z —г^ —- Ар sinm^2 ж cos ж {?ж. Г А3 7. A sin ж cos х dx = —^. J ЗР Г 2ife2 cos2 ж + 1 — Jb2 A — Jb2J 8. A sin ж cos2 x dx = — A cos ж + In (k cos ж + A). J Oft OK
1.5.26] 1.5. Тригонометрические функции 165 , А . з , 9. I A sin ж cos ж ах = 15 А;4 Д. 10. (Asm ж cos x ax = л A cos ж™ A - 16fc5 Mfccoss 11. Asm ж cos ж аж = 1 A . 1 . /, . ч A sin ж Н arcsin bin ж). 8k2 Sk6 - o , л . -z 2 , 3fe2 cos2 ж - 2fe2 + 1 . 12. I Asm ж cos x ax = — A sin ж cos ж — 15Ar 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. A sin2 ж cos3 x dx = Asina; 2k2 - 1 J-D tb arcsin (k sin ж). * . з , 3fe4 sin4 ж — к2 sin2 x — 2 Asm ж cos ж б(ж = ^ -. , A. л .3 2 , Asm ж cos x ax = A sin4 x cos x dx = ^ A A cos ж + - 3 A . 1 . /, . ч A sin ж Н — arcsin (A; sin ж). Лил A sin ж cos ж йж = A3 sin ж cos2 x dx = A sin ж cos x dx = A A cos x + ; In (k cos ж + A). ж - 3 A sin ж 1.5.26. Интегралы вида Условие: 0 < А; < 1. 48k2 у 1 — к2 sin2 ж dx. cosn ж 16kd 16fc3 arcsin («sin ж). Обозначение: А = у 1 — ,fc2 sin2 ж . 1. 2. 3. 5. 6. cos ж 8ШЖ cos3 ж sin ж ГЛ , л VI- к2 , А = Atgжdж =-А+ In- A dx = A; In (A; cos ж + А). cos ж cos ж А А;2 А - I - 2 cos2 ж 4V1 - к2 А ах = 3A-fc» A sin ж 2jfe2 ^ 1 cos ж • 2 1 2A; arcsin (A; sin ж) -\ In ¦ - A:2 sir , A - Vl - к2 sir p = Atg2xdx = I
166 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.27 к arcsin (к sin ж). 13. 16. 17. 18. 20. ^,ь — 4k — 1 . /, . ч Vl — к2 . А + \J\ — к2 sin ж Н 7з arcsin (A; sin ж) -\ In ¦ ой Л f*f\Q Пр* I 11 — /\ 11. | Ас?ж = A ctg ж йж = А + - In -. sin ж J 2 1 + А ,' cos2 ж . . A cos ж 12. Ас1ж = 2k 1/} A ч 1 . A + cos x In (A; cos ж + A) + - In . K ' 2 A-cosa; Adx = ife2 sin2 ж- Sk2 л 1, A+ -In 2 1 - A In. 2 1 + A ^ . , cos ж А . ^2fe sin x + 5fe + 1 . 14. I A dx = — A cos ж - iin ж 8k2 2 A — cos x ln (k cos ж f cos ж A . A . /1 . \ 15. —«—A ax = A; arcsin (A; sin ж). J in ж sin ж Adx = = -Actgx + A - k2)F(x, к) ^ к). sin ж A dx = 2 sin ж A 2 sin2 ж In 2к 1 + A arcsin (A; sin ж). cos ж Ас1ж = cos ж 5— 2 sin x A 1-A' In 19. sin4 ж A + cos ж A — cos ж — A; ln (A; cos x + A). dx. * 1.5.27. Интегралы вида Условие: 0 < к2 < 1. Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж . sinp ж cos9 ж б?ж ^,fc2 slnp+1 ж cosg+1 ж р — q — B — к2)(р — г + 3) 4. 6. slnp ж cosg ж sinp ж cosg ж 1 Г = J-2 J 1 Г sln p™2 А;2 — 1 Г sinp ж cosg^2 ж dx I fsln^cos^2 1 sin ж cos ж dx А^ = (r-2)ife2Ar-2' sin ж cos2 x dx cos ж A 1 — A;2 4- sin ж cos x dx A_ "A;2*
1.5.27] 1.5. Тригонометрические функции 167 smxcos3xdx=_ I {k2coa,x_2 + 2k2)^ ok fslnxcos^^ 3 - 51г2 + 2fe2 sin2 ж . 3^-6^+3, ,. лч 8. J = — cos xA — In (k cos x + A). .' sin x cos x dx A sin x arcsln (k sin x 10- sin2 ж cos2 ж с^ж A sin ж cos ж 2 — к2„, , ч 2А;2 — 2 Д Г sin ж cos ж dx 2к cos ж + 21с ™ 3 л . 4Jfe — 3 . ,, . ч 11. = 7^ A sin ж Н т^—arcsin («sin ж). J Za o«J o«J f sin2 ж cos4 ж dx 3k2 cos2 ж + 31г2 — 4 . . 12. — = — Asm ж cos ж + 9J^4-m2+8 3jfe4 ^ 13Jfe2 + 8 + 15fce ^Ж' > I5jfe6 13. 14. = A cos х = In (к cos x + А). 1 А 8к4 8к5 v ; sin3 х cos3 ж dx _ Зк4 sin4 ж - Eк4 - Ак2) sin2 x - Шк2 +8 А ~~ 15Jb6 sin3 ж cos4 ж dж _ 8fe4 sin4 ж - 2jfe2 Gife2 - 5) sin2 ж + 3fe4 - 22Jfe2 + 15 g + 17. = A sin ж Н arcsin (k sin ж). 1 A 8k4 8k5 K } .' sin4 x cos2 ж dx $k2 cos2 ж — 21c2 — 4 . 18. I — = — A sin x cos x + k4 + 7Jb2 - 8 „, , ч 2ife4 + 3Jb2 - 8 , sin4 ж cos3 JL«J • . . 6k2 ~~ 5 . /f . ч A sin ж + wk7 arcsin (A; sin ж). slnm ж cosn — 1 Г sinm 2 ж cosn ж с!ж n-1 f sinm ж cosn 2 x dx Jb2 J A k2 J Г sin ж cos ж da? 1 Г sin x cos2 ж dx cos ж 1 . / _ 21. — = —г-. 22. — = —— - — In гг J A3 k2A J A3 k2A к3 v sin ж cos3 x dx к2 sin2 ж + к2 — 2 sin x cos4 x dx к2 sin2 x + 2k2 - 3 3A - Г sin2 x cos x dx sin ж 1 . .. . ч 25. — = —г— — arcsin bin ж). J А3 к2А к3 f sin2 x cos2 ж dж 2 — к2^, 1Ч 2 _.. I4 sin ж cos ж 26- F{k)E(k) +
168 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.28 27. 28. 29. 30. A3 к2 sin2 ж + 2k2 - 3 . sin ж — - 3 A3 k4A sin ж cos ж dx —к sin ж + 3 2k4A 2кБ arcsin (« sin ж). ¦ In (к cos ж + A). A3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 1.5.28. Интегралы вида Условие: 0 < к2 < 1. Обозначение: А = у 1 — 1г2 sin2 ж . smp ж с!ж sinp+1 ж ¦ sin ж — arcsin (A; sin ж). ip ж с!ж cos* ж x/(l^ k2sm2x)r cos*? ж Ar - к2) Ъ)к жДг~2 2 Г sinp Г sir J COS*5 cos9 ж dx sinp ж Ar (p- 1) sl p^ q - 2 + (p x cos*1 ж с!ж (р — g + r — ' з1пр^2 ж Ar p - 1 cos ж dж sln2m ж sin ж с!ж (m + n-l-1) COS Ж sin ж dx ~ J dx A ¦In 2n - 2/ - 1 V A COS2 Ж А sin ж dx Г . —= |tga:(l cos3 ж А sin ж dx cos4 ж А Jfe2 - A;2 si (g- 1)A — Г sinp ж с!ж J cos*?™4 ж Ar" cos9 ж dx с Аг" sin- /COS Ж\2 A 2A ~k2) cos2 ж 4A cos2 ж - 1 + к2 In- A^ Vl^7!2 ¦A. 1 . A + \/l — к2 sin ж 1 . /, . ч . . In . — arcsin (A; sin ж). cos ж А 2л/1 - ^2 A - Vl^2 sin ж к sin2 ж с!ж cos2 ж А ¦ dx = A """ 1 - к2 A sin ж ^ж — 1 cos3 ж А 2A-^2)со82ж 4A — In A + i/l — к2 sin ж A — \/l — Aj2 sin ж sin3 х dx A cos ж А 1с2 2л/1 — sin3 ж с!ж А ¦In- /l^fe2 A - x/1 - к2 cos2 ж А A^Р)со8ж А; cos ж + А).
1.5.29] 1.5. Тригонометрические функции 169 14. 15. 16. 18. 19. 21. 23. 25. 26. sin4 x dx cos ж А cos x dx sin ж А cos2 x dx sin ж А cos4 ж dx sin ж А cos ж dx sin ж А cos3 ж с!ж sin2 x A A sin ж 2k2 Ч dx 1 . 1 - A ctg ж — = - In . Б А 2 1+A 1 . A — cos x 1 . -In- Ьт] 2 A + cos ж /г A cos ж 1 A + cos ж 2k2 + 2 П A - cos ж + 2k2 ¦1 17. arcsln (k sin ж). cos3 ж с!ж А 1 1 1 + A — = — In -. sin ж А к2 2 1 - A — 1 2к3 In (A; cos ж + A). 20. ctg2 ж dx = —A ctg ж — ?7(ж, к). 1 sin ж A cos ж sin3 ж А n dx dx л А — — arcsin (k sin ж). 22. 1 — к2 А + cos x 4 A — cos ж * cos ж dx sin3 ж А 2 sin2 x 4 1 - A ' 2 sin2 ж tffn~3 ж 24. fi? J si cos x dx sin ж A ¦ dx — ' X n — 1 cos2 ж га — 1 Tb JL 1. 1.5.29. Интегралы вида Условие: 0 < к2 < 1. значение: А = V A dx 1 , 1 - А А sin ж cosn ж Обозначение: А = у 1 — ,fc2 sin2 ж . ¦In- sin ж cos ж Adx - cos ж sin ж cosz ж Ас!ж 3. 4 5. 6. 7. 8. 9. 10. ) sin ж cos3 ж Г Adz ) sin ж cos4 ж ¦ ) sin2 ж cos ж • 2 2 | sin ж cos2 ж Г A dx ] sin2 ж cos3 ж Г Adz ) sin3 ж cos ж f Adx ) sin3 ж cos2 ж sin4 х cos ж COS Ж A 1, ~ In . 2 A — cos ж 1 1 2 cos2 ж ~ 2 П 1 - A 1Д+^—¦ 2 А — cos ж 2 sin3 ж -A. 3sln3 х
170 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.30 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.5.30. Интегралы вида "Условие: 0 < к < 1. Обозначение: А = у 1 — «fc2 sin2 ж . dx dx slnm ж cosn xy/(l - к2 sin2 x)r A sin ж cos ж dx A sin ж cos2 ж ^ж ,, ч dx 1. 1-Д = (tga + ctga;) — = -In- •In А + л/1 - к2 A 1 А — cos ж — ^2)созж 2 А + cos ж dx = (ctgж + 2tgж + tg х, — A sin ж cos3 ж I д А J А 1 1 +А 2- - - In з + dx 2A ^P) cos2 ж 2 1-Д ' 4A - - 3)з1п2ж - %k2 + 4 1 A + cos ж In- /т^ ¦ А- л/l^W A sin ж cos4 x dx -A- -In- 1 ¦In 2 А — cos ж А — \/1 — к2 sin ж Asm ж cos ж sin ж 2 л/1 — ^2 А + л/1 — ^2 sin ж с/ж A sin2 ж cos2 ж "ctg Ж Jfe2^2 A sin2 ж cos3 ж 2A — fc2) sin ж cos2 ж ^А- 4A- In- I Ж A sin3 ж cos ж 2 sin2 ж 2л/1 — ^2 А — л/1 — ^2 А — у 1 — ^2 sin ж 1„1 + А 1-A dx jfe2 A sin3 ж cos2 ж 2A — к2) sin2 ж cos ж A sin4 ж cos ж Зз!п3ж А — cos ж А + cos ж * А — л/1 — «fc2 sin ж 2^1 — к2 А + y/l — k2 sin ж 1.5.31. Интегралы вида i?(sln ж, cos ж, у 1 — р2 sin2 ж , yl — д2 sin2 ж ) с!ж. - < ж ^ тг/2. 1 — р2 sin ж Условия: 0 < р2 < д2 < 1, 0 < ж ^ тг/2. Обозначение: ш = arcsln ¦ у 1 — р2 sin2 ж 1. 2. — р2 sin2 ж)A — д2 sin2 ж) \/l — р2 te2 ж с?ж — р2 sin2 ж)A — q2 sin2 ж) y 1 — q2 sin2 ; 3. sin2 ж dx /Г^2 - р2 sin2 ж)A - q2 sin2 жK A ~~ Ч2){Ч2 - V 1 A - g2)i/(l - р2 sin2 ж)A - q2 sin2 ж)
1.5.32] 1.5. Тригонометрические функции 171 — р2 sin2 жKA — q2 sin2 ж) 1 — о2 sin ж у 1 — рл sin ж 1 + (р2г2 — р2 ~~ г2) sin2 ж у 1 — q2 sin2 ж Г j /J, —I— sin Ж ) 1.5.82. Интегралы вида dx J у 1 — k2 sin2 ж Условие: 0 < А; < 1. Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж . а + f Ж) d L \(а + sin ЖГ3 cos ЖА + 2BР - 2. 3. 4. f dx = t—L— + (p - 2)A + к2 - 6а2к2) dx dx - aBp - 5)A + к2 - 2a2k2) x - (p - 3)A - a2)(l - a2k2) l,To прир = -1, -2, ... kz dx = aF(x. к) -\ In —— dx = A (a + sin жJ A dx _ 1 (a + sina?)nA ~ (n - 1)A - a2)(l - a2k2) a A — к cos ж cos ж А (a + sins)n-2A dx da; ~(п~3)Г (a + sin ж) А dx a \ a2 1 ¦In- A cos ж (a + smsJA~(l-a2)(l-a2fc2)[ a + sin ж (a + sin ж) А 2 f (fl + sin ж) dx „2 f (a + sin жJ I — "г" n5
172 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.33 i dx 1 Г A cos х 2A - а2)A - а2к2) [ (а - ЗаA + к2 - 2а2к2) [ dx Ч9Л - (па2к2 - к2 - 1) f 7 ^—- + 2ak2F(x, к)}. 1 ;J (а + sin жJ A v ;J (а + sin ж) A v ;J A А " J J A±8тЖ)«-2А (П 2JA J 9- Г rfa; _ 1 Г A-A:2) A cos ж /-1 I • \O Л о /-1 I О \O ~Г /-I i • \ о I (lib sin жJ A 3A -- Дг2J [^ (lib sin жJ (lib sin ж) + A - 3Jfe2)(l - k2)F(Xj k)-(l- 5k2)E(Xl к)]. i dx 1 Г fe A COS Ж , .. 2x I (l±jfesina;)nA = Bn - 1)A - A;2) [ (lihina;)n + (n - l)(b - к ) x dx / ч Г <^ж / ч 2B 3) + (" - 2) Г с!ж fe A cos ж 1 J (lib A; sin ж) A = A + f с/ж _ 1 Г k{l-k2)Acosx ' J (lib A; sin жJ A ~ 3A - fe2J [ A±^1J ± М5ГЛ)АСШЖ - 2A - k*)F(x, к) + E - ^2)?;(Ж, ife)l. J it К Sill Ж J Г A + аз1пж) , 1.5.33. Интегралы вида ах J VI - ife2 sin2 ж Условие: 0 < к < 1. Обозначение: А = у 1 — ^2 sin2 ж . Г A + a sin2 х)р 1 Г 2/1 , .2 чР-2Л . 1. — ах = ~ гт^7 а A + а sm ж) A sin ж cos ж J А Bр^ 1)к2 I Bр - 2)C^2 + ife2a + a) f С1 + а™ ^ dx - Bр - 3)Cfe2 + 2aife2 + 2а + а2) х х ^ }- dx + 2(р - 2)(а + 1)(А; + а) ^ '- dx . _ fl + asin ж, л , а \ . ч a , ч 2. с!ж = A + j^)F(x, к) - — Е(х, к). J A V к / к п Г A +a sin2 жJ , а2 л . 3. I — — dx = —Asm ж cos ж + 2а . B + ^2)а21 л/ [2а с, А;) — — ' , rfж 1 Г A sin ж cos ж 4. 2(п - 1)A + а){а + fe2) [(I + asm2 х)п Bп - 3)(а2 + 2а + 2afc2 + ЗГ) - Bп - 4)(к2а + а + Зк2) \ .*** + Bп - J A + asin ж ПД A + asin2 ж)п~1А 2 f dx
1.5.34] 1.5. Тригонометрические функции 173 5. 6 7. 8. 9. 10. JL JL m dx = П(ж, —а, к). а2 А sin ж cos ж asin2a; 2)F{x к) + а#(ж А;) + (а2 + 2а + 2ак2 + 31Ь2) - (a + kA)F{x, к) + aE(x, к) + (a2 + 2a + 2аАГ + ЗАГ )П(ж, -a, A;) . sin ж dx 1 . \/l + йА- \/к2 + a cos ж а - л/к2 + а [a>-*'j. ¦2a + ife2l 1 - Jfe2 J hl< a < -A;2!. ¦In- ^(k2 + а)cosx ~~ V^( [а < -1; 0 ^ sin2 ж < -1/а]. sin ж ds A . — sin2 ж)A A — ^2)созж sin ж dx COS Ж 1 + z ; cos ж dx a sin2 ж) А 13. 14. 1 A + \/—{k2 + a) sin ж In V; l L B ) A /B ) r 9 9 # n [a < -k2; 0 ^C sin2 ж < -I/a 1. L J cos ж с!ж А ' 1.5.84. Интегралы вида Условие: 0 < к2 < 1 Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж . ¦ rfaj = -— у 1 ~ пег.- 2Bр - A sin ж dx-(p- — dx + Bp - 5)a(l - 2fc2 + a2ife2) - (p — 3)A — «2)A — k2a2) —— dx аж + [p ^ 1; a2 ^ 1, -A - 2. аж = аг(ж, А;) + — arcsin (A; sin ж). o i1 (а + сояжJ 3. I — ax = + A;2 - 1 К , A;) + — E(x, k) -\—— arcsin (A; sin ж). К К
174 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.35 i dx I [A sin ж 4. (а + cosх)пА (п - 1)A - а2)A - к2 + а2к2) [(а + cosж) - Bп - 3)A - 2к2 + 2а2к2)а 1 А ; - (п - 2)Bк2 - 1 - 6а2*2) - Dп - .\ 1Л (a + cosa;)n-1A 1 [ sin ж А 5. Bга - 1)аA - 2Jb2 + 2a2ife2) [(а (п ^ 1)A ^ 2^2 + 6а2^2) f 7^Ж 2B 3)ife2 f d X v A ;J (аН- ¦ созж)п^1А dx 1 A±созж)А sin ж v ; v ; dx A ± cos ж Ы/л/1 - к2) А к2 sin х cos ж A =р cos kifx^fl — k2) ki A л/1-А:2 =F Л «in rr _|_ ?;(ж, А;). JL 8. 7—: rx = -г -П(ж, -~2 -, A; (a + cos ж) A a2 — 1 \ 1 ! . v 1 — а2 А + k\fl + А;2а2 — fe2 sin ж ¦ In ¦ — а2 А — A;v 1 + к2а2 — к2 sin x [ dx 1 Г sin ж А * J (a + cos жJ А ~ A^а2)A^ к2 + а2к2) [а + cos x ~ J (а + cos ж) A J A Г /7о™ 1 Г Л «in о™ 10. (а + cos жKА 2A - а2)A - к2 + а2Jfe2) [ (а + cos ж) о /ч о?2 , л» 2»2\ [ "Ж /о#2 1 л 2»2\ — оаA — 2к + za « ) 7 ^ТТ" ~~ (^^ — 1 — Ьа к ) J (а + cos жJ А 1.5.85. Интегралы вида — dx. 7чл (a + cos ж) A Условие: 0 < A;2 < 1. Обозначение: А = yl — fe2 sin2 ж . л/l ^ ^2 sin2 ж / о\ /о , /1 2 ,2 /1 2;2\ (О- "f" tg Ж! — (р — 2) B + 6а — к — 6а к ) I ^-^ f Bр — 5)аB + 2а2 — к2 — 6а2к - (p - 3)A + a2)(l + a2 - fcV)
1.5.35] 1.5. Тригонометрические функции 175 2. 3. 4. А (a + tgxJ А dx = aF(x, к) + — г In Л ' 2уТ^Р A (п ~~ 1)A + а2)A + а2 - к2а2) А + Bп - 3)аB + 2а2 - к2 ~~ 2к2а2) х (a + tg x)n~1 cos2 ж 7 —— (n — 2)B + 6a —A; — 6A; a ) -r- + Dn- 10)a(l-Jfe da; (а + l, aV-1, -1/A- 5. 6. 7. ¦F(a, A;)- П ж, ¦In- + а2 ~ k2a2 - Vl + a2 A" а / а" —^П ж, ¦In- a2 A cos ж + a Va2 + 1 - ^2 - к2 )y/l + a2 - A;2 sin2 ж [a > 1]. da; 8. (а + tgжJA A + а2)A + а2 - к2а2) [(а + tga) cos2 ж 2^2^ Г ^ Wi^i^ Г « + tg я? (а + 1ёж)А 1 (а + tgжJ dx . (a + tgжKA 2A + а2)A + а2 - к2а2) [(а + tgжJ cos2 ж + ЗаB + 2а2 — 1г2 — 2к2а2 (а + tgжJA - B +6a2 -к2 -6k2a2) dx (a , A;) . 9. ¦ dx = -; г-; + Bр - 2)B - За - к2 + 3^2а) ^^1 - Bр - 3)[1 - 4а + За2 + Bа - I tg») p-i ¦ dx - 10. 11. dx - 2(р - 2)аA - а)A - а + А;2а) :, А;) - т^^(ж, А;). ¦ da; . (a + tg2x)A o-l v ' ' o(l-o)
176 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.36 1.5.36. Интегралы вида LR(sIn ж, cos ж, у 1 — р2 sin2 ж ) dx. Условие: р > 1. Обозначение: (р = arcsln (ps'mx). 1. 1 \/l ~~ р2 sin2 ж dx = рЕ [ <р, ~~ ) - Р Flip, - I. 2. 3. с/ж 1 у^1 - р2 sin2 ж Р {?ж (l-r2sin2a;)\/l-p2sin2a; P Для вычисления интегралов вида Я (sin ж, cos ж, у 1 — р2 sin2 ж ) dx при р > 1 можно пользоваться формулами пп. 1.5.22—1.5.30, произведя в них следующие замены [5]: ,±y, 3) к ¦ р. 1.5.37. Интегралы вида LR(sin ж, соэж, у 1 + р2 sin2 ж ) с!ж. Обозначение: (р = arcsln р2 sin ж 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. \/l + p2 sin2 х 1 + р2 sin2 x dx = 1 + (р2 — г2р2 — г2) sin2 х dx I у 1 + р2 sin2 ж sin ж dx V1 + р2 sin2 ж Р = — In ( о sin ж + \ 1 + р2 sin ж . + р2 sin2 ж — cos ж sin ж у 1 + р2 sin ж dx cos a;\/l + p2 sin2 ж 2-y/l + p2 i/l + p2 sin2 ж — tga; с/ yl + p2 sin2 ж — ctg ж dx p2 sin2 ж 1 1 — yl + p2 sin2 x 2 ]_ _|_ ^/l + p2 sin2 ж Для вычисления интегралов вида Л (sin ж, cos ж, у 1 + р2 sin2 ж ) с!ж мож:но также поль- пользоваться формулами пп. 1.5.22—1.5.30, произведя в них следующие замены [5]: 1) к2 -+ -р2; 2) F(ж, А;) -^ 3) Е(х, к) е(<р, - р2 sin2 ж
1.5.38] 1.5. Тригонометрические функции 177 4) — In (k cos ж + А) —^ — arcsin k } p PCOS X 5) — aresln (A; sin ж) —>• — In (psin ж + l/l + р2 sin2 ж ). /с р v 1.5.38. Интегралы вида Lft(sin ж, cos ж, у a2 sin2 ж — 1) dx. Условие: а > 1. Обозначение: <р = arcsin ¦ 1. \/a2 sin2 ж — 1 с!ж = — F V a J 2. 4. 5. 6. 7. 8. 9. dx 7а2 sin2 ж - cos ж с/ж = у a2 sin2 ж — 1 а 1 / у'а2 — 1 \ о Г 8™ж ^ж У =- = — У* I у?, ). *>¦ —f11^^^ = • 1 а \ a J J Ja2 sin2 x_1 a 1 . , / о . 9 \ = — In (asm ж + у а sin ж — 1). а sin ж у a2 sin2 ж — 1 = - arctg 1 V о? sin2 ж — 1 ¦In- /а2 — 1 sin ж + у а2 sin2 ж — 1 cos ж у a2 sin2 ж — 1 2y «2 — 1 -^a2 — 1 sin ж — ya2 sin2 ж — 1 dx 1 /а? — 1 + у а2 sin2 ж — 1 = — arcsin - ¦ 1 -\/a2 — 1 — ya2 sir 1 у a2 sin2 ж — 1 ctg ж ^ж у a2 sin2 ж — 1 Для вычисления интегралов вида Д^шж, cos ж, у a2 sin2 ж — 1) dx (а2 > 1) мож- asin ж но также воспользоваться формулами пп. 1.5.22-1.5.30. Для этого надо произвести в них следующие замены [5]: Fix, к) -+ ia 2) Я(ж, A;) -+-(p, (V, а \ a J \ а 3) — In (A; cos ж + А) —^ — -т-; 4) — arcsin (A; sin ж) —^ -^—\п(а sin ж + у a2 sin2 ж — 1); /С %Qj К " ^ч 1, А — cos ж 1 cos ж 5) — In — у arctg —. ;2 А + созж г Ja2 sin2 ж - 1 6) 1 ¦In 1 А + у/1 — к2 sin ж ' А - л/1 - к2 sin ж 2iVa2 - 1 ¦In- /а2 — 1 sin ж + у а2 sin2 ж — 1 - 1 sin ж - sin2 ж - 1 - In ^ arcsin ; 2 1 + А г a sin ж 2л/1 - ¦In А + i/l - к2 ¦In- /a2 - 1 + \/a2 sin2 ж - 1 /a2 - 1 - л/a2 sin2 ж - 1 ' 9) оставшиеся А —у iya2 sin2 ж — 1; 10) к —у а; 11) умножить полученные равенства на г. 12 А. П. Прудников и др., т. 1
178 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.39 1.5.39. Интегралы вида \f(tgx)dx, \f(dgx)dx. {tg х 1 >. ctgaj 1. R(sm2 ж, cos2 ж, tgsc, ctga;, ya2 db b2 tg2 x) dx = 2. i?(sln2 ж, cos2 ж, tgsc, ctga;, \/a2 =b ^2 c^g2 ж ) с!ж = = \R г, -, г, Va2±b2r'2 г . [a2 dx = (а2 - b2)k^a — Ь arctg arcctg 4. [a2 - b2t2{x)]n+1/2t{x) dx = ±Va2^ - 2k + 1 5. t(x) dx ' 2 ч n-l In ¦ /a2 + b2 ^ ^fa2 ^ЬЧ2(х = ±- - 2(a2 - (b2 ^а2)п+г/2 arctg b2 - arcctg 6. 7. 8. 9. t(x) dx = ±- 1 n-l L2+2 /«,\ ¦/ ¦-' l)(a2 ± 2(a2 In- /a2 + б2 ^ у/а2^ dx 1 V^2 - «2 t(x) ± у^а2 = arctg - aA 'a2 - b2 t(x) a2 ^b2 ^a2 + b42{x) [a2 < b2] \a2 > b2] dx /a2 + b2 л/a2 + b2 t(x) arctg -^- arcctg - a2 + b2 t(x)
1.5.40] 1.5. Тригонометрические функции 179 10. 11. 12. 13. 14. 15. dx ¦In- /а2 + b2 t(x) ± ^b2 2л/а2 + б2 л/а2 + б2 t{x) T у/а2 4- 62f2i arctg - 1 /b2 - a2 arcctg ¦ 2л/a2 - b2 ¦In- /a2 ~~ b2 ¦In- /a2 + 62 /a2 + 62 arctg arcctg /a2 + 62 1 1.5.40. Интегралы вида J Я I PiSmXY dx. { cos ж J p\ sin ж 1 xp J sin ж 1 . ж < > dx = - < > x J [ cos ж J 4 1 cos x J f COS Ж 1 1 O-l f qx\ . N a I sin ж J J q ] 9-2 2. 3. x 4. xn 5. 6. 7. 12* COS Ж sin ж cos ж г+fc fc=O x ¦ 1Л Г m f sinBn- 2^- \ cos Bn — 2A; sin (ж [a2<62l. ;}dx. n 1 cos ж = Bn f cos ж l ^( ,k x2n 2k (sinxY] y.Xsinxi +^^ ^ Bn-2ife)!\cosarjJ' Bn + l)Bn - 1) . . . Bn - 2k + 1) Bn)!! 2 - r . л 2n-2k f . \ 2n-2k-l -\ 1 j sin ж 1 J sin ж 1 j cos ж 1 — 2A; \ cos ж J X cos ж J 1 sin ж /J
180 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.41 о fiT = , , Sin Ж . Sin Ж 9. I x{ > dx = < COS Ж I I COS X 10. 11 [1 f sin ж 1 i г =F • 2n - 2k + 1 [cosж j }J COS Ж 1 1 sin ж J , 2n-2fc sin ж r cos ж j co Isi cos ж J { cos ж 2 Г о f sin ж 1 „ /9 x f sin ж 1 , о ч f cos ж I . ж3<^ }dx = (Зж2 -6)^ 1Т(ж3^6ж)^ L J [ cos ж J [ cos ж J I sin ж J 12. U» 81ПЖ1. dx = 2(n + 1) ± 13. [^8ШЖ\2ЙЖ = ^Т^ ¦ cos ж I 4 4 I — сов2ж. 8 = тт1т-^)81п2жт1СО82ж- 14. ж2^ } dx J [ cos ж J ,r Г з[в1пж12 ж4 /ж3 Зж\ о /Зж2 3\ 15. ж < > с!ж = — =F sin 2х =р cos 2ж. J [совж/ 8^V4 8/ V8 16/ | ГС / Т I si _ п! 4 СО8Ж sin ж ^ _ I I "'ПЖ . d Sin Ж 17. I ж<» ^с?ж = -jl cos ж I 4 1 cos ж 18. Г u_i ( этаж 1 , 1 f г 1 Г/ 19. жр < >аж=-< > (гс J \ cos аж j 2 \ 1 J LV Г gin Зж 1 \со83ж/Т if sin Зж 1 3 J cos ж 1 ж J cos Зж 1 Зб\созЗж/ 4 1 sin ж / 1 , iax) T (^* . 0 J' , iax)] [Re// < 1; ж > 0]. С(ж, 1.5.41. Интегралы Г 1 Гв1п J xp X co Г 1 Гв1пж1 J p X cos ж J (p — вида —< > dx. J Xp (COS Ж J 1 Jslnir1g q 1)жр^1 \ cos ж J (p — l)(p — 2)жр^2 J sin ж I9™ r cos ж 1 \ cos ж J 1 sin ж J
1.5.41] 1.5. Тригонометрические функции 181 g(g-l) Г 1 fsin^r-2^ g^ [W^sl' (p- l)(p- 2) J жР~2 [cos ж/ (p- l)(p- 2) J жр-2 \cos ж/ f 1 f sin ж 1 _ 1 f sin ж 1 . 1 f 1 f cos ж 1 . 2. —< >dx = —-/ г 7< >± -< > dx. J xp [ cos ж J (p — ljxP^1 [ cos ж J p — 1 J ж?3™1 I sin ж J 1 J sin x 1 1 j cos ж 1 (p — 1)жр^1 \ cos ж J (p — l)(p — 2)жр^2 I sin ж / 1 f 1 I sin ж , dx. (p - l)(p - 2) J жР [cosж \n+l f 1 [sins] (-l)w+1 [ ^(-l^Hl)!^^ ]ж2п[со8ж/ жBп-1)![ ^ ж2|й+1 I sin x) k=0 (-1У fe=O x2k [созж/] Bn-l)!\si(a;)/' f 1 fsinajl , (^l)n+1 Г ^4 (^l)k+1Bk)\ fcosx} J ж2п+1 [cos ж] жBп)! |_ ^^ ж I sin ж J . (-!)"["(») Bn)! ж \ cos ж J \ m } 22m 22m+1 ^v ' \ к ) l ' J 7. I I/ sin x \2m+1 ds = A. V^/^i n-+^2^ + 1M si Bm - 2Л + 1) ж 1 xf° ж2 [ cos ж J I m / 22' / ж ^) (Т) [C0SBT2fc)a: f 1 f sin ж] , ,1 v^ 9. —< > йж = ± > J ж2 [cosж J 22та ^ 2m+ 1 k x M f sinBm-2A; + l)a;l f2 _ 2fe ^ Г d Bm - 2fe + 1)ж 11 [x \ cos Bm - 2k + l)x J T Ш [si Bm - 2A? + 1)ж J J * OG з1(ж) 1 f 1 f sin ж I . Г в1(ж) 1 v 7 V 11 I J V И rp ----- J > с1(ж)/* * J ж [cosx) [с1(ж)/* fsmж , _. , ч ^совж . _ . . ч 12. da; = Si (ж). 13. dx = С + In ж - ci (ж). J ж J ж о о ж2 [cos ж) ж [cos ж) [ si (ж) f 1 J sin ж 1 1 J sin ж 1 1 r cos ж l 1 J si (ж) J ж3 [cos ж/ 2ж2 [cos ж/ 2ж I sin ж / 2 \ ci (ж) 16. I i{ 8ШЖ 1 dx = ^1п|ж|т^ с!Bж). J ж [ cos ж j 2 2 17 Г llslnx\dx^ 3 f 81(ж) 1 1| J ж [cos ж/ 4 [с1(ж)/ 4 \ ci (Зж) /
182 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.42 Г t-ж V С < > I ctg ж j B2fe~1 - 1) | ч 1.5.42. Интегралы вида I хрI "ь*~ > dx. . x'tgxdx = 2. j^t^ g(i)" [cm. 1.5.44, 1.5.45]. 4. \4^Jп+\ у±^(пугх}2к-2п r\ \ctgx/ ^Q2n-2k\kJ I sin ж/ l ; J \ctgx -2ndx [c. 1.5.44, 1.5.45]. Г Г tg Ж 1 Г tgiC 1 ( COS Ж 1 Ж2 5. \x< G > с!ж = ±ж< & f+ln< . > - —. J [ctg ж] I ctg ж] ( sins j 2 1.5.48. Интегралы вида \ xr s'mp x cos4 x dx. Г 1 1. xr slnp ж cosg ж dx = у г^- [(р + д)жг sinp+1 ж cos9™1 ж + + гж smF ж cos ж — r(r — 1) \ x smF ж cos ж аж — — rp ж7*™1 sin33™1 ж cos9™1 ж dsc + (g — l)(p + g) жг slnp ж cos9™2 ж dx]. 2. =t — [—(p + q)xr slnp™ ж cosg+ ж + (p + gJ L 1) xr ж7"^1 sin13^1 ж cos9^1 x dx + (p — l)(p + g) жг sl ( ) sinp ж cosg x dx rg 7"^1 i13^1 9^1 d + i о • P q i Г Р+1 9 — 1 3. ж smK ж cos x ax = ж sirr ж cos ж — J + L — sinp+ ж cosg™ ж rf~ + (g — 1) ж slnp ж cos9™ 1 Г 4. = Г—ж sin13™1 ж cosg+1 ж + sin13™1 ж cosg+1 x dx + Р + Ч1 J + (p — 1) ж slnp™ ж cos9 Г „sin ж . жг^/ \kfm>\ I xp dx 5. жр Aж=> (-l)fc( , ^т^ см. 1.5.45. J созпж ^ \ k J I cosn^2k x k=0 Г „81п2т+1ж , v^, xfc/m\ Г жр sin ж 6. жр с*ж = > (-1I, ™г™™^ж см. 1.5.46. J cos^ ж ^l ; V к J J cos«^2fc ж L J w Г „ sin ж . жр Р Г ж15 7. жр dx = т ч i ?-— i— dx см. 1.5.45 . J cosn ж (га — 1) cos71^1 ж п, — 1 j cos"^1 ж л 2тт) ''7г л- п „COS Ж . v^/ \к(ш\\х, 8. жр с?ж = > (-1I, I от—^~ см. 1.5.44. J slnn ж f^nK } \ к ) ] slnnfe х [ J
1.5.44] 1.5. Тригонометрические функции 183 dx = fe=O -l)k(m) f XPCOSX 4 \k)\ sln^2fe : с?ж „ COS X 11. sin ж ж cos ж . sin ж (n — 1) slnn * ж n — 1 J slnn г x ,p-i In Г ж sin ж 12. — dx J cos2 ж -In [см. 1.5.46]. [ см. 1.5.44]. ж жл 1.5.44. Интегралы вида Г жр ^ж хр~г[рБт ж + (q — 2)ж cos ж] д —2 Г хр dx р(р — 1) ( хр~2 dx ¦ - 2) J sin9 ж 3. 4. 5. x dx ж cos ж 1 9^2 (g - I)sin9~^ (g - l)(g - 2) sin9 ж g-1 > - 2) . . . Bn- 2A; + 2)[sina; + Bn- ^ Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2A; + 3)Bn - 2k + l)Bn - 2ife) sin2n" 6. - 1) . . . Bn- Bn - 2ife - 1)жсозж] ^ 2nBn - 2) ... Bn - 2k + 2)Bn - 2ife)Bn - 2& - 1) sln2nfc ж Bn- 1)!! Г xdx + 2теп! sin ж 7. xp sing ж g-2 f dx p(p + 1) c,:nq — 2 „ "¦" q-l) xp sin9 ж (q - l)(q - 2) J xp+2 sin9 ж BA;)!BA;-n) кфп/2 ctgs ^ + (n !Bfc -n-1) io.
184 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.45 X2 (JX k=l , x dx . . . ^ n ( x dx sin ж + ж cos ж 1 ( x dx 12. 1^-5— = — #ctga; + ln sin ж. 13. ^^— = r^i 1— 2 sin ж 2 sin ж * 14. x dx x cos ж 1.5.45. Интегралы вида - - ж ctg ж + - In хр dx 1. 2. 4. 5. 6. 7. х- p dx — (q — 2)x sin ж] q^2 COS*? Ж (9- 2Г^ 1 J COSg" p(p -1) da; cosz ж x dx cos2n ж [|ж| < тг/2; р > 0]. [p > 1; |ж| < тг/2]. - 2Jn. . . Bn - ^ Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2A; + l)Bn - 2fe + l)Bn ¦ (ж tg# + In ж dx cos2n+i ж 1 l)Bn - 1) . . . Bn - - 2fe - 1)ж81пж ^ 2n + 1 ^ 2wBn - 2) . . . Bra - 2ife + 2)Bn - )S^n^/lc Ж Bn-l)!! - 2)жр+1 cos^™2 ж dx dx dx J(n^l)! In ж + - 1 J xp cos*?™2 x (qr - l)(g - 2) J жр+2 cos*?^2 ж ' ^2fc^n+l [|Ж|<тг/2]„ 8. da; tga; жта cosz ж (n <7г/2]. 9. 11. 12. ж da; ^2fc cos ж ^ Bк + 2)BкI J соэ^ж ж cf ж ж sin ж — cos ж 1 Г ж cf ж ж^ж , —-— = ж tg ж + in | cos ж COS Ж 2 cos2 ж 2 cos ж * ж dж ж sin ж 12 2 . , — = 1— ж tg ж Н— In cos ж . cos4 ж 3 cos*5 ж 6 cos^ ж 3 3
1.5.48] 1.5. Тригонометрические функции 185 1. 2. 3. 5. 6. 8. 9. 1.5.46. Интегралы вида Я(жр, sin ж, созж, а + bsinx + ссовж) dx. xpcosxdx xp v f хр~г dx (а + bs\nx)q хр sin х dx (a + bco®x)q (</ —1N(а + (q - l)b(a + ftsi xp (q — 1N J (а + бзтж)^ p f хр~г dx _xdx_ lisins + (tg[(ir- \ctg[Gr^ licosx ж cos x dx -2x)/4] 1 -2*)/4]J 2 In (q — l)b ] (а fcos[Gr-2*)/4n \sin[Gr-2aO/4] J sin (ж/2)/' tg [Bж — тг)/4] 1 (lisina:J ~ T 1 ± sin ж + \ctg[B» - тг)/4] /' ж sin ж с?ж —^-1 (x/2) x dx a2 + tgж — а (a2 + 1)A + а ж sin ж + cos ж [(аж — 6) sin ж + (а + 6ж) cos ж]2 Ь[(ах — b) sin ж + (а + bx) cos ж] * cos2 х dx tg ж [a cos ж + (аж + 6) sin ж]2 а[а + (аж + Ъ) tg ж] Ж8ШтЖСО8ПЖ 1.5.47. Интегралы вида Условие: 0 < А; < 1. Обозначение: А = у 1 — k2 sin2 ж . ж sin ж cos ж . ж А 1 _. <Ь = -_ + _я(ж 3. ж sin ж cos3 ж 1 — ife2 2 — 5 9k4 ж sin ж 1 [3(A2 - ж sin ж cos ж - A;2 sin ж cos x]. ж 1 _ Г ж sin3 ж cos ж . 2 — fe2 sin2 ж 1 ,._. 1Ч _. . Ч1 7. j ^ da; = ж ^ -^ [Е(Ж, fc) + F(x, к)]. Г ж sin ж cos3 ж . к2 sin2 ж + к2 — 2 1 — к2^, . ч 1 _, . ч аз = ж 1И™л ' м— ^(ж' ^) + Т4 ^(ж? ^)- 1.5.48. Интегралы вида (ж + 6) п\ > dx. J I cos аж j >/2] /-,\2fc 1. (ж + . Гятаж! ж=п!Г ^ fc/l\ (ж + fe)-2fc r cos а [cosaxj a [ ^ \«y (^ — 2A;)! lsina (n-2ife-l)!
186 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.49 Г/ . ч f sin аж 1 . 1 , . ч г cos аж ] if sin аж 1 2 (т + Ьк > /7 т —- 1С— (т 4- h)i 1-4 I > J [ cos аж J а I sin аж J a1 { cos аж J IV .^Jsinaa;] 1 Г .2 2 1 r cos аж 1 2 . .f sin аж 1 J \ cos аж J a \_ а2_|1зтаж/ a2 \ cos аж J . Г/ , ,,3(smax\ ж + 6 Г/ Lx2 бТгсоэаж! 3 Г/ ч2 2] [sina 4. (ж+ 6) < Иж = т (ж + 6) -N . ^ + — (ж + Ь) -N J [ cos аж J a [ a2 J I sin аж J a2 [ a J I cos a Г 1 fsmaжl n( Г 1 fsintl Г 1 fcostl \ 5. 7 -—— < > аж = a cos ao — < > at =F sin ao — < . > dt I (x + b)n \cosax) \ Jtn{cost) J tn {sint J / [t = а(ж 4 f if з!паж 1 ir^ (A; — 1)! . h\~k( \n-k-if cos [тг(^ — A;)/2 — аж] 1 6- J (ж + 6)п\СО8аж Jto = Ъ (n-1)! (Ж+ j (^aj \8т[тг(п-А;)/2-аж]/ cos (ab + Tin/2) 1 . . / . ч Г sin (об + nn/2) ; > ± si (a6 + ax){ ) ; С1(ао + аж)< ' . ч > ± si (ao + аж) - i 1 Г sin аж 1 . . f si (аж + ab) 1 , . _ f ci (аж + ab) 7. r< >d^ = cosa6< . , ,{ >±sma6J v ; ж + 6 \ cos аж J \ ci (аж + ab) j \ si (аж + aft) J Г 1 fsinaжl . 1 f sin аж 1 . Г 1 f cos аж l . 8. 7 7T^\ > dx = 7< f±« ri f dx. J (ж + оJ [ cos аж J x + ft [ cos аж J J ж + ft I sin аж J Г 1 ^таж! 1 ^таж! a r cos аж l J (ж + bK X cos аж j 2(ж + bJ \ созаж j 2(ж + b) 1 sin аж J Г sin (об + nn/2) 11 [ cos (ab + ?m/2) J J 1 I sin аж , * ax. 2 J ж + b 1 cos аж 1 1 -sinaaj rfa; = 7 [cosabsi (аб + аж) — sinabci (аб + аж) — si (аж)]. о 7гтsinaaj rfa; = 7 ж(ж + о) о ж 1.5.49. Интегралы вида еаж sinp ж cosg ж а'ж. Г if 1. еах sinp ж cosg х dx = — -; г^- < еах sinp ж cos9™1 ж [a cos ж + (р + a) sin ж] — j а -г ^р -г Q) ^ — ра еаж sin33™1 ж cos9™1 ж dx + (а — 1)(р + q) eax sinp ж cos9™2 ж а*ж >. 2. = — т — < еах sin13^1 ж cosg ж [a sin ж — (р + a) cos ж] + а2 + (р + gJ [ еах sin13™1 ж cos9™1 ж а*ж + (р — 1)(р + q) eax sinp™2 ж cos9 x dx\. + да 3. = ^r T77<eaa;sinp™ ж cos9™ ж fa sin ж cos ж + gsin ж~рео82ж1 + a2 + (p + gJ ' - q(q — 1) еаж sinp ж cosg ж а*ж + р(р — 1) еах sinp ж cos9 ж а*ж >. 4. = —т г ^~<eaaJsinp ж cos9 ж(ав!пж cos ж + gsin ж^рсоэ ж)+ а2 + (р + qJ { + д(д — 1) еах sinp™2 ж cos9™2 ж а*ж — (д — р)(р + а — 1) еаж sinp™2 ж cos9 ж а*ж >. 5. = -^ гтг < еах sin13™1 ж cos9™1 ж(а sin ж cos ж + a sin2 ж — р cos2 ж) + а2 + (р + дJ [ + ~(~ ~ 1) е<1Х sinp™2 ж cos*1™2 ж а*ж + (д — р)(р + д — 1) еах sinp ж cos*1™2
1.5.49] 1.5. Тригонометрические функции 187 Р f • 1 Л Р I f I \ f • 1 \ р—1 , пт i —"-«- I a nv sm ож ро „^ cos ож sin ож 3- е \ к } dx= еах{ \ Т 2 , 2,2 еаж^ . Н > + J [ cos ож J а2+р2сИ [ cos ож J а2+р2о2 [ sm ож J [eostej _l_ J v* ' I л У а2+р262 J \ cos 6ж ^ ^ Bn)!62fee^ ^ Bn - 2k)\[a2 + BnJ62][a2 + Bn - 2J62] . . . [a2 + Bn - cos 6ж X / sin ^ж sin 6ж j \ cos 6ж f . i ч 2n-2fc /¦ , ч /¦ . j ч 2n —2fe —1 sm ож , ,4,1 cos ож sm ox x \a{ \ T 2п-2Ш l J l [ cos 6ж J [si Bп)!62пеаж [a2 + BnJ62][a2 + Bn - 2J62] . . . [a2 + 462]a" 8. BП)^ ^y]fcf 9. fe(f I cos bx t Bn - 2k + l)![a2 + Bn + lJ62][a2 + Bn - 1J62] . . . [a2 + Bn - 2k + 1J62] {sin 6ж 1 f cos 6ж 1 f sin 6ж 1 и f T (^n- 2k + l)b< , >< > cos 6ж J [ sm bx ) { cos ож J x a io. =e-l^—+ 2k + l42,n_k k=0 . ax . „„. ^^ . . eax Г f sin 6ж 1 . f cos 6ж 11 sin bx | ^ = ^_ Г f sin Ьж | cos Ьж 11 cos bx J a2 + b1 l l cos ож J { sin ож J J . еаш si J [совбж] 2a a2+462\2 ) 13. I еаш sin 6ж cos еж dx = eax [asin F + c)x — F + c) cos F + c)x asm F — с)ж — (b — с) cos F — е)ж! a2 + F + eJ + a2 + F^cJ j * A [ ax . 2 , j еаж Г 14. e sin ож cos еж а ж = —— 2 J 4 [ a cos B6 + c)x + B6 + c) sin B6 + с)ж a cos B6 - с)ж + B6 - с) sin B6 - с)ж] a2 + B6 + сJ а2 + B6 - сJ j 2 , eax Г asin 6ж — 6cos 6ж P ax Г 15. eax sin 6ж cos2 еж dx = 2 J 4 |_ a2 + 62 asin F + 2с)ж — F + 2c) cos F + 2с)ж asm F — 2с)ж — F — 2c) cos F — 2е)ж1 + a2 + F +2cJ + a2 + F-2eJ J ax (slnbx X^P j e<lx \ Г8т6ж1^р \ cos 6ж j (p — l)(p — 2N2 [ \соз6ж/ cos 6ж I I sin 6ж I a + (p - 2) 6 I ax I sin 6ж I . , H l f + 7 7T7 ^\I2 e 1 и ( dx sm ож J [ cos ож J J (p — l)(p — 2)o2 J [ cos 6ж J
188 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.50 _ Г _а.2( sin аа;1 , %/ж _а2 /4 Г Im erf (ж — га/2) 1 ' J [созаж] 2 [Re erf (ж - га/2) J " г ( +¦ 1 ^ 1.5.50. Интегралы вида еаж< > da;. J [ ctg г f ж I ctg с 2. fe( \dX=\ }T J [ ctg ж J a [ ctg ж J a 3. \е\\\х ±е1 J I ctg ж J a I ctg ж 1.5.51. Интегралы вида Я(ж, еаж5 sin &ж, cos bx) dx. b Обозначения: sin if = ¦, cos <p = /a2 + b2 [ p ax(s'mbx^ j xpeax Г J sin bx 1 J cos bxY\ J [ cos bx J a2 + b2 \_ \cosbx j \mnbx)\ - P \хр^геах \a(SlnbX X zpb(COSbxX] a2 + b2 J [ \cosbx) [slnte/J _ xpeax ( sin (bx + <p) 1 p Г p_i аж f sin (bx + <p) 1 ~ л/а2 + Ъ2\ cos Fж + <p))~ л/a^TW J ^ 6 [ cos Fж + у?) J dx. ibx J J da;. 3. ж е аж<^ >с!ж=-< >[(а + г'6) 7(А, аж + гбж) =р (а ~ *^) т(^> аж ~ *^ж)] J [cos Ьж J 2 [1J о l~ , I —1 \ dx = -[ l \[(a + i6)^AF(A, аж + *6ж) =F (a - ^ГЛГ(А, ах - ibx)]. J 2 [1J 4. I xel1 J [cos bx Г nax(smbx\ = ^ () f ( ) | JX e [&/ Ж 6 ^ (^ + l)!B + 62)fc/2t(te + Jb)J Г asBfsin6a;l , еаж Г/ а2 - 62 \ f sin 6ж 1 / lab \ (cos 6ж 11 6. жеаж i dx = ая- 2 2 W T Ь--—^ И. J [ b J 2 + 62 2 + 62 [ b J 2 + b2 J { 6 j J i dx = ая- 2 2 W T Ь--—^ И. [ cos bx J a2 + 62 [ \ a2 + 62 / [ cos bx J \ a2 + b2 J { sin 6ж j J „, f 2 aJsinkl , e Г 2 2(a2~62) 2a(a2 - 362I f sin bx 1 J \6J 2 + fe2f 2 + Ь2 B + Ь2) Л/ 4ab 26Ca2-62I f cosbx 2 + fe2 J\ (a2 + 62J J\sin6a;J' 8. \4S^X + c)\ cos Fж + с) v k-i (n + 1)п . . . (п — к + 2) п-к+i Г sin (^ж + с + /гу?) 1 . I же < \, _ { У dx = cos (bx + c) }1 аж J sin (bx a2 + 62 e \ cos Fж + с + 2y?) J "
1.5.52] 1.5. Тригонометрические функции 189 10. [ - eix sin xdx = Si Bж) + г [С + In Bж) - d Bx)]. sh (ax + 6) I I sin (еж + a) I i ) / } i } ch (аж + Г . / 1. sh аж J N f si [ co sin (еж + d) 1 , v ]" ; > dx= cos (еж + d) J a2 + c2 f ! 2. ch J 1 J sin (еж + d) 1 . cos (ex + d) J a2 + e2 ch(ax + b) sh cos (ex + d) sin (еж + d) ax. cos (еж + d) -5——~ sh(a a2 + c2 sin (еж + d) cos (еж + d) Г . f sin ж 1 . 1 . f sin x 1 1 . f cos ж ] 3. sha;< >аж = -сЬж< >=F^si^< f. J [ cos ж J 2 [ cos ж J 2 I sin ж J sin ж 1 1 . f cos ж l >=р-сЬж< >. cos ж J 2 I sin ж J Г . 4. спж J 5. /2m fc=O cos (еж + d) sin (еж + d) cos (еж + d) sin (еж + d) 22m+2n-2 Z_j Z_^ Bm ~~ 2jJa2 + Bn - 2JcJe2 x {Bm - 2j)ash[Bm - 2j)(ax + 6)] cos [Bra - 2ife)(ca; + d)] + + Bn- 2ife)cch[Bm^ 2j)(a» + 6)] sin [Bra - d)]}. 6. f sh2m (аж + 6) sin2n+1 (еж + d) dx = ( /^J ( 2W ) V 7— J 22m+in \ m J ^ Bn x - 2k + l)c )j+kBm\Bn 22m+2n-l ^ ^ Bm _ 2iJa2 + Bn _ 2Jb + l)^2 ^ ^ 2j)(aa; + 6)] sin [Bn - 2k + l)(ca; + d)] - - Bra - 2fe + l)cch [Bm - 2^)(аж + 6)] cos [Bn ~~ 2k + 1)(еж + d)]}. 7. 12т+1(аж + 6) sin2' x ch [Bm — 2j + 1)( x {Bm - 2j ¦ d) dx = i=o g g Bm _ 2i + xVJ + Bn - ^ 2j + l)(ax + 6)] cos [Bn - 2k)(cx + d)] Bn- 2ife)csh[Bw^ 2j + l)(ax + 6)] sin [Bra - d)]}.
190 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.52 J " " (-ir+fcBm.+ 1)Bn + 22m+2n Z^ Z^ Bm _ 2j + lJa2 + Bra - 2ife + lJc2 ~ x {Bm - 2j + l)ach[Bm - 2j + l)(ax + 6)] sin [Bn - 2fc + l)(ca; + d)] - - Bra - 2fe + l)csh [Bm - 2j + 1)(аж + b)} cos [Bra - 2k + 1)(сж + d)]}. q 9 1 ahzm (' n t 4- h\ rc\Q.zn (n'v 4- A\ rl t — v ^f \ """ If *"" \ r» _\_ X '" 7 \ ' \ J / Y x sh [Bm - 2j)(ax + b)] ^ Bm-2j)a 2n" к m — l n — 1 i V V. , + 2n^2 Z^ Z^ i=o fe=o x cospn- 2k)(cx + d)] + Bn- 2fe)ech[Bm~ 2j)(ax + b)] sin [Bn - 2k)(cx + d)]}. /2m\ 10. J 8Ь2т(аж + b) со82п+1(сж + d)dx = ^^ J У ,Л fe, /^ x (-1) Bn- / 2 \ i x sin [Bn - 2fe + 1)(сж + d)] — — 2m+2«~1 Z-j Z^ Bm _ 2jJa2 + Bn - 2ife + lJc2 x {Bm- 2j)ash[Bm^ 2j)(a» + 6)] cos [Bra - 2^ + l)(cx + d)] + + Bn -2k + l)cch [Bm - 2j)(aa + 6)] sin [Bn - 2k + 1)(еж + d)]}. 11. I зЬ^ТГ1^А(аж + b) coszn(cx + d) dx = x '" 7 У \ ^ / x J 22m+2n ^ Bm — 2j + l)o m n — 1 v rh \(e)m 9i* -J- 1 V/rr 4- Л^1 4- 'v™ ' »n - 22m+2n-i ^^ Bm - 2j + lJa2 + Bn - 2^Jc2 x {Bm- 2j + l)ach[Bm- 2j + 1)(аж + 6)] cos [Bn - 2A;)(ca; + d)] + + Bn - 2fe)csh [Bm - 2j + 1)(аж + b)\ sin [Bn - : 12. f sh2m+1 (ax + b) cos2n+1 (еж + d) dx = 22m+2n z_j Z_^ Bm - 2j + lJa2 + Bra - 2ife + lJc2 x {Bm- 2j + l)ach[Bm- 2j + l)(ax + &)] cos [Bn - 2^ + l)(cx + d)] + + Bra - 2fe + l)csh [Bm - 2j + 1)(аж + 6)] sin [Bn - 2k + l)(cx + d)]}.
1.5.52] 1.5. Тригонометрические функции 191 Bт\ Bпл /2п\ Bтл 1 т-1 х sin [Bn - 2ft) (ex + d)] + ^U X) f2 ' J о'-ь sh К2™ - 2j)(ax + 6)] + 3=0 v J; (_l)n —1^1 ^)\ . x cos[Bn^ 2A;)(c» + d)] + Bra - 2fe)cch[Bm^ 2j)(a<c + 6)] sin [Bra - 2А;)(сж + d)]}. '2m + Г b) sin (еж + dj to _ o2m+2n ^ B _ 2 . 1)a x i=o v J ; i J\k, x x {Bto- 2j + l)ash[Bm - 2j + l)(ax + 6)] cos [Bn - 2Jc)(cx + d)] + + Bn - 2k)cch [Bm - 2j + l)(ax + 6)] sin [Bra - 2^)(сж + d)]}. 1 / \^ _ {_l)k/2m\/2n + l\ xro-Jf2n 2fr I \)(rr I rfli I (~1^" V'V Vi/V fc / M /J г2^2" ^ ^ Bm^2iJa2 + Bn^2fe + lJc2 1 \?illL ?ij 1A oil llZiiib ZjJ llUiJb T^ "/I olil lIZill» Zift/ T^ 1 II СЛ n^ /I - Bn - 2ife + l)ech [Bm - 2j)(ax + b)} cos [Bn - 2k + 1)(еж + d)]}. 16. f ch2m+1 (аж + b) sin2n+1 (еж v-"- - 2i + !Ja2 + Bn ~ 2k + !Jc2 x {Bm- 2j + l)ash[Bm- 2j + 1)(аж + 6)] sin [Bn - 2ife + l)(cx + d)] - - Bn - 2A: + l)cch [Bm - 2j + 1)(аж + b)] cos [Bn - 2ife + 1)(сж + d)]}. Bm\ Bn\ Bm\ Г I / I / V / n^1 17. сЬ2т(аЖ + Ь) COS2" (СЖ + d) dx = Ш2т+2тГ Ж + 2m+2n-l E ^ fc=o /2n\ Bm\ I / m^1 I ' / x sin [Bn - 2k){cx + d)] + ?п+2„_1 ^ V J 7 sh i=o '2m ^ III i 74 X ^ e E Bm2;)y+Bn2fc)c x cos[Bn- 2A;)(ca; + d)] + Bn - 2fe)cch[Bm- 2j)(ax + b)] sin [Bn - 2А;)(сж + d)]}.
192 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.5.53 '2га\ /2m + l\ ^ ~ Bт - 2i + !)а Х '2т + 1\/2га т п — 1 1 . | 1 , х sh [Bт - 2j + 1)(ах + 6)] + , „ _ ^^ V J У V j ^ Bm - 2j + 1Jа2 + Bп - 2кJс2 х {Bт- 2j + l)ash[Bm - 2j + 1)(аж + 6)] cos [Bга - 2^)(сж + d)] + + Bn - 2fc)cch [Bm - 2j + 1)(аж + b)] sin [Bn - 2k){cx + d)]}. 2m\ /2ra + l 19. |сп2тта(аж + 6) cos2n+1 (cs + d) dx = ^? ^ 2m\ / \ +^^t e e Bm _ 2;)/a/+ Bn x cos [Bn - 2^ + 1)(сж + d)] + Bn -2k + l)cch [Bm - 2j)(aa? + 6)] sin [Bn - 2fc + 1)(сж + d)]}. 20. f ch2m+1 (аж + b) cos2n+1 (еж + d) dx = 2m + Mi k 22m+2n Z^ zL^ Bm - 2j + lJa2 + Bn - 2ife + lJc2 x {Bm- 2j + l)ash[Bm- 2j + 1)(аж + 6)] cos [Bn - 2Jfe + l)(cx + d)] + + Bra - 2^ + l)cch [Bm - 2j + 1)(аж + b)] sin [Bra - 2fc + 1)(сж + d)]}. 1.5.58. Интегралы вида жр< 2 J [cosж < [co 2 {sin ж i , Sin Ж cos ж" xn < \ . /^/8(ж2)] Г |шЖ2) 1/со8ж21 \ dx = \ — < о >• 4. ж< о > da; = q=-< 2/- J У2[С(ж2)] J [созж2/ ^2[81пж2/ 2 1 1 J sin ж2 1 х ( cos ж2 1 Гтг \ С(ж ) cos ж J 2 [ sin ж / V 2 ] 8(ж2) si sin ж2 1 . ж2 f cos ж2] 1Г8тж21 Г 1 [шж2] , if si (ж2) 2 Мж = Т { 2 М < 2 Г- 7. — < 2Г^Ж=™\ 2 cos ж J 2 [ sin ж j 2 [ cos ж j J ж [ cos ж J 2 1 ci (ж ) l/sina;2 1 J sin ж2 1 ж [ cos ж J 8. I — < 2}dx = --< 2f±v27T^ 2 xl [cosж J ж [cosж J I S(x ) 9- I < '2,^,4 МЖ = 1/^: СШ Z^ 1 ^.r/o_ , «Л2 ..-¦ - >± &J/Da)] cos (аж2 + bx + c) I """ V 2a | w" 4a | С[Bаж + bf/{4a)] 4ac — 62 j С[Bаж
1.6.1] 1.6. Логарифмическая функция 193 1.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1.6.1. Интегралы вида \xp\nqxdx. g(a;)ria; = a;lng(a0- f Ж^(^ ds. J g(x) . f /(ж) 1пте ж& = F(aj) lnn x - n [ ^^ In*1 ж йж Lf(^) = f f(x) dx). J J ж L J J 1пдж^ж = ^!^!^^^±1 |>ln*+1*da;. g+1 g+lJ 5. p + 1 F + в. Жр In" a, dx = ^— ^(-l)*(n + l)n(n - 1) . . . (n - fc + 1) ' [P Ф -1]. J n -h i fc=Q ^p -t- ij 8. | ^ d« = li (xp+1) [P/-1]. 9. =ln|Ing| + V (P+1J In*». ^^ A;! A; fe=i 9 f lng ж , lng ж g f In91 ж , 10. daj = -7 : 7 H — dx p, -g / 1 . J жр (p-l)ajP-1 p-lj ж?7 LF' ?7^ J Г1пдж , 1пд+1ж 11. dx = . J ж g + 1 пж -1 ^ (n + l)n...(n-A; + lI n^fc dx = 7 7> 7 Vm -In ж m^l. то ( + 1)т1^ (l)fc+1 L ^ J . ilnq xdx = xlnq x - ql In9 ж da; [g^ -1]. n . ПппжAж = ж^(-1Iг(^)^!1пте"/гж. 15. П 13. ilnq xdx = xlnq x 14 J k=o 16. In2 x dx = x In2 ж — 2ж In ж + 2ж. 17. In3 x dx = x In3 ж — Зж In2 ж + 6ж In ж — 6ж. J 18. \xp\nxdx = J 19. 20. p + 1 (p + 1J (p + 1K (p + lLJ Г In ж , In2 ж Г In ж . In ж 1 21. dx = . 22. \—T-dx = . J ж 2 J xA xx f In ж , In ж 1 f In2 ж , In3 ж 23. ^ 24 d ж3 2x2 Ax2 J ж 3 ^ Г In2 ж , In2 ж 2 In ж 2 П?Ъ Г In2 ж , In2 ж In ж 1 25. —— dx = . 26. —— с!ж = —- J ж3 ж2 ж ж ж J ж3 2ж2 2ж2 4ж2 13 А. П. Прудников и др., т. 1
194 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.6.2 Г хр dx 1.6.2. Интегралы вида —-—. fxpdx _ ^xp+1 р+1 Г хр dx ' ] \nq х (q-l)\nq~x x q-ljli^^x' ^_ 1 «ду %Jb елу &JL/ ^к л I f # €/ | JL I I f f с/ | JL I | » / TTJj ~T~ X \ ^9 1 ri / , ~, _ ч / ГТ / . ч , "Z T. i 7 ., \ i П I Ж I. ' J I l ;" In ж J жр In9 ж (g — 1)жР In9™1 ж ^ — 1 -' 1пте ж ~ пжт~1 ]~ (n - l)(n - 2) ... (n - A;) Inn^fc ж + 6. с!ж Г dx l|I| 8 \ 1.6.8. Интегралы вида \{x + aL\nxdx. . \{x + a)m\nxdx= ^—{x + a)m+1\nx ж m — k fe+1 Г 1 ж2 3. (ж + a) In ж da; = — (ж + 2ах) In ж — ах —. 4. (ж + аJ In ж da; = - (ж3 + Заж2 + За2ж) In ж а2ж. J о У Л 5. (ж + а) In ж аж = — [(ж + а) ^а]1пж За^ж^ з а ж. , lnn ж с!ж ж lnn ж (ж + а)т (т — 1)а(ж + аO71^1 (т — 1)а J (ж + а)^1 m - 2 f 1пте 1пжс1ж (m-l)aj (ж + a (ж + аJ ж + а а ж + а In ж dx In ж 1 1 + + (ж + аK 2(ж + аJ 2а(ж + а) 2а2 ж + а" In ж 1 Г ж . ^: (-l)fe /n-2\ / ж xfc «я \ / . \ ^„ -I 1 / ^\ „ ^ j 111 п- In т3 Нnf* т* —I— л? / т I JL JL JL еду \Л qJLj « « еду L4/ ™~ I еду i 8. = In ж • In h Li2 . ж + а а \ а { , In ж da; In ж у» 12. =2[Aпж-2)(ж + аI/2+2(^аI/2агс1ё(^^) 1 [а < 0].
1.6.5] 1.6. Логарифмическая функция 195 хт In ж 1.6.4. Интегралы вида I ^^~—^ ,п dx. Условие: а > 0. (а2±х2)п/2 1. In ж . 1, ж 1 _ _ / гж . ах = — In ж • arctg Im L12 ( — I. х2 + а а Гж1пж . 1 т . / ж 2- ^5 о «Ж — 7 Ll2 of ¦ о" J ж2 + а2 4 V а > 2 о ж In х а / ж \ а / ж \ ж 3. | — dx = СЬ I 2 arctg — 1 СЬ 1 тг — 2 arctg — I + ж In а — a In a • arctg —. ж2 + а2 2 V а У 2 V а I а 4. 5. 6. 7. ^2 + а2 In ж ж2-а2 ж In ж 2а In ж • In ж — а ж + а т . I Ж \ т • / *^ ¦Li2 - I - Li2 I -- V а I \ а j л. I и; \ ± 1/2 2\ 1 2 аж = — — Li2 II 21^— in а • In (а — ж ) — In а - 24" In ж а . х 1 / .ж - аж = In — arcsin — СЬ ( 2 arcsin — а 2 In ж а ж 1 / ж ¦ dx = In — • arccos 1— СЬ ( тг — 2 arccos — 1пЖ л 1Т. Г, 1 / Г^П 9\2l ,1,2 , аж = — Li2 =Ь^7 (ж — Vж^ ± а2 ) Н— In ¦ /ж2 ± а2 2 I а2 1 М ^ 2 4 1.6.5. Интегралы вида \ xp In (ax + 6) с/ж. . [/(жIпте( J 2a ^ [t = ах + 6]. Г _i ха аха+1 ( -ах\ 2. ж In (аж + о) dx = — In (аж + b) -\ 7 — 2Ft I 1, а; а + 1; ^^ . J а а (а + 1N \ 6 у 3. [жт1п(аж + 6)а1ж = —^— (хт+1 + (-1)т^хт) Ш (аж + Ъ) + J w +1 V am+1 У T,fe —1 • Г 1 4. In (аж + b) dx = — (аж + b) In (аж + b) — x. J a f 1 / i4i 1 Z' 2 Ь2\ , , I4 1 /Ж2 6ж\ 5. ж In (аж + о) аж = - I ж I In (аж + о) I I. J ? \ о, J А у z а у 6. [ ж2 In (аж + Ъ) dx = - ( ж3 + — ) In (аж + Ь) J 3 \ а у 1/ж3 6ж2 Гж • • 1п(аж In (аж + 6) а 3 V 3 2а а2 dx 8. |'п(аа; + 6)^ = (р — 1)жр^1 р — 1 J (аж + — 1 In (аж + 6) 1 9. 10. 13* ж" In (аж + 6) ж 772—1 Хт^г dx = In |6| • In |ж| — Lb m — 1 —ax In l /_ ^^ k\ax = In \x\ - In (аж + b) ~~ a 6 In |ж| с/ж аж + 6 [аб^О].
196 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.6.6 11. 12. 13. = 1п|Ь|1п|ж In2 lax Е- fe=i 1п(аж —^— fe2 ¦ dx = — In x ~~ I 1— 1 In (аж + b). b \x b ' \ах\ ,'1п(аж + 6) , . /ж + с\ Га(ж + с) 14. I —-—; dx = In F — ас) In ( J — L12 ' 15. X + С In (ж + а) а'ж = — arctg ¦ с еж ас — b (ж + bJ + с2 2с 1 2c 2с о + 2<р) - ^- С12(тг - 2с х + 6 0 t + ^- С12(тг - 2^0) 2с 6 а — 61 = -, tgcp= . С С 1.6.6. Интегралы вида \х т In с!ж. м ж + а 1 In аж = ж — а 2а Г хр 2. ¦ + ж — а р + 1 J ж2 - а: In (ж - а) + ^— V 3. 1 In с!ж = (ж + a) In (ж + а) — (ж — а) In (ж — а) = ж In Ь a In (ж2 — а2). 'ж — а ж — а 4. I ж In ах = — (х — а ) In Ь аж. ж — а 2 ж — а е ,21ж + а 131 5. |ж In dx = - х In ж — а 3 13,/2 2ч, -a In (ж ^а)Н З 6. \x*in?L^Ldx = х — а 4 _ , 1 ж + а 7. In dx = ж4™ а4, ж + а аж3 а3ж In 1 h -r—. жт ж — а (m — 1)жт™1 х — а 1 ж — а y^ I ~~ (~1) k=i m-fc-l ж о , 1 . а + ж , т./ж\ ( х 8. I — In dx = L12 I — ^ L12 \а 9. 10. |-^ln 1 . ж + а dx = — In xz x — a x 1 . ж — а 1 In а 1.6.7. Интегралы вида ж т In (ж2 ± а2) с!ж. . f x2n In |x2 ± а2| dx = —^ j ' ' 2n x2n+1 In |х2 ± а2\ - 2 2k+1 ¦х2к+1\+
1.6.7] 1.6. Логарифмическая функция 197 { Oil T -1) 2a arctg- -¦- I П. 2. lx2n+1ln\x2±a2\dx = Г г 2п [ж 2п- 3. I In ж2 ± a2 dx = x ln |ж2 ± a21 - 2ж ¦ 2n- 2 . 2i ±а|- ж 2a arctg — а In 4. fa;ln|a:2±a2|da; = - [(ж2 ± a2) ln |ж2 ± a2 к Г 2 i i 2 i 2 i 1 3 i i 2 i 2 2 5. ж 1п|ж ±a dx = — ж In |ж ±a — — ? J о У -i 2a arctg — 3la3ln 6. | х3 In |ж2 ± a2\dx = i L4 - а4) In |ж2 ± а2| - ^ ± а2ж21. 7. |^4^dx = Bт - Bm - 1)а2 2k Bm - l)a21 8. 9. 10. п|ж2±а2| 2тх2 2ma2 \п J2 k=i In ж2 ± а2 dx = In ж + — Lb ( =F = ln a • ln ж Li2 I T^7 2 V a1 лл . ln\x2 ±a2\ 1 2 , 2, 11. L dx = In ж ± a ln ж ж + a ж — a 12. 13. 14. 15. ж3 2a2 ж2 a2 1 - Li2 2ж 2 arctg — а - Ы2(ж) + + - In2(l + ж2) - ln A - ж) ln A + ж2). . 2 ln a ж 1 , / 2 2\ ^1TT /a + гж - rfa» = arete: 1 ln 4(ж + a ) arete Im L12 a a 2a a a V 2a (ж + a) In [(ж + aJ + b2 (ж + aJ + c2 2 Ll2 I (ж + aJ + c2 I " 4 ¦
198 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.6.8 16. >-y)lni-yT^F riyj1_y/1_ --С12(тг-20) 1 „, bd (a^cJ + 62 + d2J ' 2d(a - с) x + с tgi] = 1 + e cos B(9 - 2<^) - л/1 - e2 1.6.8. Интегралы вида \x m In (ж + Vr± 1. J /(ж) In (ж + Va;2 + a? ) <fa = -2a In a J / (^j) (t2 _ A 2at t2 -1' a + Vx2 + a2 2. -4a / 2/B/-2) Jy2(y-2J ; a >0 . ¦In z dz tA + 1 5 a > 0|. . \xpln(x + Vx2±a2)dx= In (x + V^2 ± a2 ) — J l ; p + 1 l ; p + 1 J . In (ж + \/ж2 ± a2 ) dx = ж In (ж + V^^a2") — л/х2 ± a2 . г . /ж2 a2\ . ж . . ж In (ж + ^ж2 ± а2 ) dx = ( — ± — ] In (ж + ^ж2 ± а2 ) ^ж2 ± а2 . . ж2 In (ж + ^ж2 ± а2 ) dx = ^- In (ж J о =Ь а2 ) - . 2\3/2 2 j± ^ 7. f ж3 In (ж + V^2 ±a2)dx= (—- —) In (ж + V^2 ± a2 ) - J \ 4 32 / з 16 Ч — а 32 8. 9. п(ж _ In (ж =Ь а2 dx (р - 1)хР-г р - 1 In (ж + V^2 ± а2 ) , In (ж + V^2 ± a2 ) Vx2 ± а2 J k Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2fe - 1) /a\2w (=Fl)n In а + v xz + a + 2T72 Ж p2 _ n2 arctg -
1.6.10] 1.6. Логарифмическая функция 199 ' In (ж + л/х2 ±а2) 1 г^——т; 10. I — г—— dx = — In (ж + уж2 ± а2 л/х2 ± а2 Bп - 1Jп Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2A; - 11. 12. In (ж ,ll2 dx = In a • In ж ± - In 2 [±x/a > 1]. Bк)ПBк ^ IK \а ,' In (ж + л/х2 — а2 ) . . . . 1,2 13. | —1 ^ dx = In |а| • In \x\ + - In ж z! 14. п(ж —^ dx = In (ж + л/х2 ± a2 ) 1 In In (ж + Vx2 ± a2 ) _ In (ж + ^ж2 ± а2 arctg ¦ ± a2 ж а [\x\> 1.6.9. И нтегралы вида - In (ж + ух2 ± 1) dx, 1пр(ж + ух2 ± 1' J ух2 ±1 J dx. 1. 2. 3. 4 2 In (ж + л/х2 ± 1) с!ж = In (ж + 1/ж2±1) - р^ р 2Х In (ж + ^ж2 ± 1) с!ж = i 1п2(ж ¦ In (ж + л/х2 ± 1) с!ж = ^ж2±1 In (ж + л/х2 ± 1) - ж. . f 1пр(ж + ^ж2 ±1) dx = ж 1пр(ж + ^ж2 ± 1) - - рл/х2 ± 1 \пр~г(х + ^ж ±1 г 1 [-/2] . 1пп(ж + Vx2±l)dx = ^ (п + 1)п . . . (п - 2А; J п + 1 с2=Ы)^ [п/2] 6. 1п2(ж + ^ж2 ± 1) dx = ж 1п2(ж + ^ж2 ± 1) — 2л/х2 ± 1 In (ж + ^ж2 ± 1) + 2х. 1.6.10. Интегралы вида /(ж, In ж, еаш, sin ж, cos ж, . . .) dx. 1. ха~ е~ах In ж с!ж = a~(Xry(a1 ax) In ж — а~~ ха 2^2@., а; а + 1, а + 1; —ах) X 2. е In ж с?ж = — [EI (—ах) — е In ж — In а — С]. J a [a, Re а > 0].
200 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.6.10 . [ е^ах In х dx = - [е^ах In x - El (-ax)] J а [Re а > 0]. 4. | - e^ax In x dx = - [(C + In ажJ + (B) - 2 In ж El (-аж)] + V f XL, к \fc+l ж 5. [ e~ax In (ж + 6) dx = - [In 6 - e~ax In (ж + b) - eab Ei (-аб) + eab El (-аж - ab)]. j а о J tt О ж 7. f In (&2 - ж2)е~аж dx = - {2 In b - e~ax In (b2 - x2) - j а ° - е^а6[Е1 (аЬ) - EI (аб - аж)] - еаЬ[Е1 (-аЬ) - EI (-аб - аж)]}. ж Г. Г sin аж 1 . . 1 Г Г ci (аж) 1 . г cos аж]1 lflna + Cl 8. 1пж< >dx = ±—\< ; :>—1пж< >\ < >. J [соваж] а I (si (аж) J ismaxJJ a [ тг/2 J I 1 1 /i \ (cos ах 1 . 1 г • / i \ аж = =р— In (о — х)< > ± — lei (ab — ах) — a I sin аж J a , . Ч1 Г cos аб 1 1 г_. , . ч _ , . Ч1 Г sin аб 1 1 Г In 6 1 -ci(ab)H . . Г + ^ Si a6^ ^Ь SI (ab)}\ .} + -{ n b [smabj a [cosabj a( 0 J 10. f - In A + ажп) ^ж = -i Ы2(^ажте). J ж n о / ^( - -ж 2 у 2 12. |1 J 14. In (cos ж) а*ж = — Ы2(^е2гж) — ж In 2 ж2. 15. = 2J(-1) —— 16. \llnSinX\dx = -Xln2T1-l Ch^ \. J [In cos ж] 2 [ С12(тг — 2ж) j о a 17. In (cos a — cos ж) dx = СЬBа) — СЬ(ж + a) — СЬ(ж — a) — (ж — a) In 2. ж ж I i / • i • \ i •?•/ —i(x-\-a)\ • т • / —i(x — о.-4-7г)\ . In (sin a + sin ж) аж = —г Li2(e l ;) -«Li2(e l ) + <тг]. < тг/2]. 18. In (sin а ia) + i U2(ei{a-ir)) - ж In 2 + - ж(ж - тг).
1.6.11] 1.6. Логарифмическая функция 201 X 19. In (cos a + cos ж) dx = СЬ (тг + а — ж) + СЬ (тг — а — ж) — ж In 2. о ж Г 111 20. ln(tga; + tga) ^ж = -ж In cos а С12Bж + 2а) + - С12Bа) С12(тг - 2ж). J л л л 21 22 ж . Г 1о A + 81пасо8ж)а*ж = ж In sin2 - - 77 In tg2 - - С12Bж) + С12Bж - 2rj) + Cl2Bf|) о [tgrj = sin «/(tg (a/2) + cosaj)]. -С12Bж) -C12Bcj) - 2ш In а [tgu; = asinaj/(l — а cos a;)]. - - [U2{^e2i{^x)) - Li2(-e2i<p) - x(x - 2<p)] Ь/а; M ^ тг/2; |y> - x\ ^ тг/2]. о 23. fin (acosx + bsinx) dx = ж In ж 24. fl 25. = (тг - 2<9) In [(I + л/l - а2 )/а] + 2ж In (а/2) - - Ь(в - ж) + L(tt/2- 2ж) тг/2; = х In а — Ь[тг/2 + ж — arcsln A/а)] + Ь[тг/2 — х — arcsln A/а)] [|ж| < тг/2; а| sin ж| < 1; а > 0]. 26. I ^- dx = 1 — a2 sin 2ж ^^^^ — In 2 + L@ — arccos а) — L@ + arccos а) — L(w/2 — 2 arccos а) 4аVI — «2 L^ J - а2 ; 0 < ж < тг/2; |а| < ll. 28. 29. sin In ж 1 . х , . > аж = — iri cos In ж J 2 n —1 27. I <J ""ж *" *" 1> с!ж = — (sin In ж =F cos In ж) dx (In x + a) Z_S 1 ~~Г~ = ^ПХ У^ —7 г 7 — \Jj I I & I # & 1 I , , , I 16 A/ ¦Н(жеа). In ж + а fe=i = е^аИ(жеа). 1.6.11. Интегралы вида ln (aX dx. 1. 2. ¦dx = \nx In2(l - ж) + 2 ln A - ж) LI 2A - ж) - 2 LI 3A - ж) + 2 LI 3A). 1 + Ж) dx = In ж 1п2A + ж) - - 1п3A + ж) - Ж о 1 + ж 1 + ж ' In Ж In A - ж) т • / ч , т • / \ 3. I dx = Ь1з(ж) — In ж Ь12(ж).
202 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.1 4. 5. 6. In2 Ж In A- ж) LI 2 LI - 2 LI 1 - ж = -6Li4fo) (^) ^3 In2 ж LI 2(ж) - In3 ж In A - ж). + 2 In A - ж) Li 3(ж) - In ж Li 3A - ж) + LI 3A) In :— L V1 — + 2 In ж In A - ж) Li 2A - ж) + — 1п2A - ж)[6 In2 ж + 4 In x In A - ж) - 1п2A - ж) - 2тг2]. 8. In A — ж) In A — ах) - Li3(l - 1 —аж\ т . / 1 — аж -Li Li3(l/a) + Li3(l) + In A - ax)[U2(l/a) - LI2(ж)] + + In A - x)[U2(l - ax) - Li2(l/a) + тг2/6] + i Inaln2(l - ж). Г In (ax + 6) In (еж + d) . . f 9. —^ / /# ; с!ж = In ^ J + /f x + g/f df-cg + In bf-ag In In In у + fin A - y) In A - %)^ df - eg bf - ag J у [h = (c/a)(bf - ag)/(df - eg); у = a(fx + g)/(ag - bf); ag - bf ф 0; eg - df ф 0]. 10. 11. 12. = In LI 2 (y) + In In In - - bf) bf - ag iln ^vrln2i/+ fln2/ln(l-2/)^ 2 ag- - 6/ J I/ In 2/ - - df ф 0]. = In C/ LI2(z) + In a/ In (df) (df) a(cg-df) Inz - I In 2 In Inz I In a(cg^df) df - eg 2 df ^ eg In2 z - df ф о]. J = - In - In2 v + - In3 v z а о cg-df [v = a(fx + g)/g; ag - bf = 0; eg - df = 0]. 1.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.7.1. Введение. Интегралы от обратных тригонометрических функций сводятся к интегралам от триго- тригонометрических функций при помощи следующих формул: Г ? ( \ arcsin х 1 \ j , Г х (\ sin t 1 Л ( cos 11 », Г Г sin t 11 1. f ж, < >]dx = ±\f[< ?, t]< > dt \x = < > • J \ [агесозж// J VlcostJ /\slntj L Icost/J Ictgi/J in х 1 \ j , Г х (\ sin t 1 Л ( cos 11 », >]dx = ±\f[< ?, t]< > dt озж// J VlcostJ /\slntj Г / jarctg^n fjftgtl p У \ ' \a,rcctgx f) Г Vlctg*/' / arctg(a;/a) iаrcctg(ж/a) coet sini 3
1.7.3] 1.7. Обратные тригонометрические функции 203 ( f (ж), 1 J J .Z'f slot 1 /costl \/cost \ ,. < >,< ?, t I < > dt V\cost/' \slnt J ' /\sint/ ч Г arcsin ж 1 Н г1 [ arccos ж J fsint ,/ v f arcsin ж 1 . _. f(x)\ \dx = F(x [ arccos ж J arcsin (ж/а) I _ I arcsin (ж/а) > fi T — T < [cost F(a0 = J/0r)da: arccos (ж/а) {/ / \ arcsin (ж/а) Я arcsin (x/a) 1 r arccos (x/a) j arcsin (x/a) \n~ (x/a) arcsin arccos (x/a) arcsin (ж/ arccos (ж/ arcsin (ж/aj [ arccos (x/a) j a) I2 a)/ ± arcsin arccos (ж/ arcsin (x/a) arccos (x/a) arcsin (x/a) arccos (x/a) arcsin (x/a) arccos (x/a) ln J arcsin (x/a) [ arccos (x/a) arcsin (x/a) 1 жте+1 / arcsin (x/a) dx = ж ± arcsin (x/a) arccos (x/a) arcsin !ж//а! arccos (ж/а) Г 1.7.8. Интегралы вида ж J аж = аж. arccos (x/a) arcsin (x/a) arccos (x/a) xn+1 / ra + l\ те+1 а*ж с!ж = arccos (x/a) 2n+1 ( arcsin (ж/а) Bn + lJ 2n+ij arcsin (ж/а) ' + 1 \ arccos (x/a) 2n \~^ 2k+1n(n — l)...(n — k) arccos (ж/а) 2п+2 _ аж — - 1)Bп - 3) . . . Bга - 2k - arcsin (ж/а) ± rt2n+l 2n + 2 [ arccos (ж/а) J^ Bra + l)Bra - 1) . . . Bra - 2k - Bra + l)!! Bга + 2Jn+!(fi + 1)! arcsin (ж/а) arccos (ж/а)
204 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.4 4. 5. 6. arcsln (x/a) 1 /ж2 a2 \ J arcsln (x/a) 1 ж arccos (ж/a) J \ 2 4 / [ arccos (ж/a) J 4 arcsln (x/a) \ . x arccos (x/a) J 3 3j arcsln (ж/а) 1 /ж4 За4\ J arcsln (ж/а) arccos (ж/а)/ \4 32 J \ arccos (x/a) arcsln (x/a) xn \ arccos (x/a) arcsln (x/a) dx = arcsln (ж/а) а1ж J_ f ж2п \ ж2п \ arccos (x/a) (n — 1)жтет1 [ arccos (x/a) J n-1 I <г>п-1л arcsln (x/a) Bn - 1)ж2те™1 \ arccos (ж/а) ' Bn-l)Bn-2) [« Bn-: l l arccos (ж/а) Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2k - 1) 2k(n - 2)(n - 3) . . . (n - к - 1) x I - k ж Bn-3)!! 9. 1 f arcsln (ж/а) 1 . 1 ^ dx = — ж2п+1 ^ arccos (ж/а) / 9 9~ Г -1 уа2 — ж2 | 1 2пж2п [ arccos a {n i). In (x/a) 1 os (ж/а) j In 2nBn-l) [а2ж2п 10. 11. ix2n{ arcsln (x/a) 2n+1 Ife^i ^2n ~ ^2n - 5) . . . Bn - 2A; - 1) 2пж2п \ arccos (x/a) J 2na2n ^ 2n — 2k — n-1 A; —fc —1/2 1 f arcsln (ж/ ж \ arccos (ж/ a)/ с!ж = J arcsln (x/a) 1 [ arccos (x/a) / , arcsln (x/a) \ . . a" = 1пж< : ;, : > ±ln- =F 2Im LI 2 [ г 12. 13. 14. 15. BA; - 1)!! 2fc + l 2ж 7Г f 0 ' 11 In ж ¦ arctg ¦ ±2Im Li- ж ж + га + iy a2 1. arcsln ж . 1 _.. , ч . аж = - Cl 2 B arcsin ж) + arcsin ж In 2ж. Ж zl 1 J arcsln (x/a) 1 if arcsln (x/a) 1 1 ж2 \ arccos (ж/а) J ж \ arccos (ж/а) J а 1 J arcsln (ж/а) 1 1 J arcsln (ж/а) 1 ж3 \ arccos (x/a) J 2ж2 \ arccos (x/a) J 2а2ж pt >i тл- f/i i \±n+i/2 f arcsln ж 1 .7.4. Интегралы вида A ± ж) ; < > б!ж. J [ arccos ж J inx\dx = -J— A + ж)"+з/2 f arcsin x | ± os ж J 2n + 3 [ arccos ж J 9n+^, /1 o> ? - (-1) +1/2 агсипх ж = arccos ж I 2n + 3
1.7.5] 1.7. Обратные тригонометрические функции 205 2. [A - ж J п+1/2 2_ _ +8/а Г arcsin* 2п + 3 [ arccos ж ± 3. resin ж 1 A + ж)те+1/2 X arccos ж j 2 n + 1\ j Bп- Г х \2п^ J arcsin x 1 ^/1 — ж + ж)"-1/2 \ arccos ж J T Bn - l)Bn - 2J™ V Bп - 3)Bп - 5) . ¦ ¦ Bп - 2fc - 1) n-2-fcn ^ . , ^ Bп - 4)Bгс - 6) . . . Bгг - 2k - 2) l j ' Bfi-3)!! 1 ± 4. 1 {arcsin ж 1 arccos ж J Bn-2)!! °' /TTx A — ж)п+1/2 \ arccos ж 2 I arcsin ж Bп^ arccos ж j ^ Bn - l)Bn - 2J^ y.2 Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2k - 1) n^2^fcf ^ Bn-4)Bn-6)...Bn-2ife-2) l Bn-2)!! ° n_2 ^2 - 5. 6. 7. 8. бJ 2 /F-а)A-ж) ¦ arctg л i }- ° ж arcsin ж Ь) ал/а2 - Ь2 arcsin ж 1 - ж) с+ 1ж [с > -1]. [с < -1]. А< 1.7.5. Интегралы вида жрA — х2)ч+1^2\ J [ arccos ж ^ Интегралы этого пункта выражаются через элементарные функции в следующих слу- случаях: 1) р, г = 0, 1, 2, . ..; q = -1, 0, 1, 2, . ..; 2) г = 1; р = 0, 1, 2, . . . ; д = -1, -2, . . . ; 3) р= -2, -4, ...; 4)р = 0, 9 = -1- 2. _ж2 +1/2f arcsin я:" м^ X arccos x [ arccos ж 2ra + 3 \ arccos ж/ 2n + 3 ' \ к к ) 2к + I'
206 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.5 3. 4. 5. 6. 7. {arcsln ж 1 . > dx arccos ж J arccos ж 2n - m + 4 Г A - ж2)п+1/2 Г arcsln ж J dx. га- 1 \га/2- 1 к ] 2k — m + 2 то In |ж dx. Если к = га/2 — 1, то соответствующий член в сумме следует заменить на 1 / п + 1 8. иг — 1 2)n x/2 J arcsln ж 1 %~2 X arccos ж / Если к = т/2 — 1, то соответствующий член в сумме следует заменить на (-1) 9. 10. 11. 12. 13. 14. т/2-1 га- 1 \т/2- 1 In |ж Ж [ dx = 2n fc=0 п + 1 1 arcsin ж arccos х + =р )те 1^2 J arcsln ж 1 \ arccos ж J A — ж2K/2 [arccosж arcsln ж A — ж2)п+1/2 [arccosж ¦1 } dx = ; j arcsin ж arccos ж -ij (i-ж2
1.7.6] 1.7. Обратные тригонометрические функции 207 arccos ж J J A — ж2)п+1/2 X arccos ж J Bга — m)(l — ж2)"™1/2 \ arccos ж 1 f xm^1 dx m —1 f жт"~ I arcsin ж 2тг — m J A — ж2)п 2n — m j A — ж2)п+1/2 \ arccos ж . «, , arcsin ж 1 ж J arcsin ж 1 1"- I (i _ ж2\п+1/2 i i dx = 7777 777^ _9\n-i /9 l r ^ 1 Г жт 1 а*ж m-1 f xm 2 ( arcsin ж 1 T 2ra - 1 J A - x2)n ~~ 2n - 1 J A - ж2)«/2 \ arccos ж J Ж" I JL I 1ЛХ \^LJJ.JLA *AJ I . -1- 1 Sl^UJL V/Slll Ж I , J- • • I /_ n \ — i i in i f t*X 7 ~^ ^ T~7~Z n \ „ i /o i f ^J^ COS Ж I arcsin i I 1 I arcsin ж ^mfi _ ^2\n+l/2 } ягггпч - I ~~ (m _ If о*ж 2п + тп^2Г 1 f arcsin ж m - 1 J ж"^! - ж2)те m-1 J жт™2A - ж2)п+1/2 [arccosж f 1 f arcsin ж 1 _ 1 f arcsin ж 1 18. j- < > аж = 7- < > =p а*ж. а*ж f 1 f arcsin ж , . + ^^ ox^ i/n } dx. 2ra - 1 A - x2)n \ x(l- ж2)«/2 arccos ж arcsin ж 1 . I arcsin ж 1 . > с!ж = ж^ \ ± arccos ж J [ arccos ж J arccos ж arcsin ж Г' , i \ f / arcsm ж i c*° • 2fc i аж , , ч v-^ / x h arcsin ж 20. : = In (arcsin ж)+> (-1) ^ arccos ж fc=0 -i ^ * тж f pf arcsec (ж/а) 1 1.7.6. Интегралы вида ж < > аж. J [ arccosec (ж/а) J 1. \ x arcsec ™аж= arcsec — =p , =¦ < > < J « p + 1 a ^ p + 1 j V^2 - a2 LU/2J x Гтг/2 arcsec — «^ J 2. | ж arccosec — аж = arccosec — ± a P+1 а р+ 0 , J> < arccosec — -я"/2. /a)J 2ra + 1 \ arccosec (ж/с 2fc + 2-i 2п-Уж2-а2 Г уГ Bга - 1)Bга - 3) . . . Bга - 2А; - 1) /а\2fc+2l 2nBn + l) [ + ^ Bга - 2)Bга - 4) ... Bга - 2А; - 2) \ж J JT arcsec (ж/а) 1^1 \ arccosec (ж/a) J 2j „2n+i J arcsec (ж/а) arccosec (ж/а) 2raBra - 2) . . . Bга - 2A;) ^а ж ^ Bга - 1)Bга - 3) . . . Bга - 2А; -
208 5. 6. 7. Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.6 arcsec (ж/ 2п + 2 \ arccosec (ж X2n{ , arcsec (x/a) o< { у/ i < arccosec (ж/a) J 2_ arcsec (ж/а) arccosec (ж/а) dx = — arcsec (x/a) Bn — 1)х2п~г [ arccosec (x/a) ^2 \fc ± ¦ IZllI/ JL J I* <yL " 1 f arcsec (x/a) arccosec (x/a) 2k + l\ к ж2 - а2 Г y^ Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2fe - 1) /ж\ пJаж2те [ + ^ Bn - 2)Bn - 4) . . . Bn - 2A; - 2) \а/ arcsec (x/a) arccosec (x/a) 1 J arcsec (x/a) 1 2пж2п \ arccosec (ж/а) J arcsec (x/a) arccosec (ж/a) J 2J Bn — 1)!! f arcsec (x/a Bn)U2n 1 arccosec (x/a ж ж arccosec — dx = ж arccosec — ± а In а а О^ ""Г9 'Т* | ж arcsec — dx = — arcsec — q= -уж2 — а2 а 2 а 2 2 Jb j el/ db , iJb / ^ ж arccosec ~аж= — arccosec -±-уж - а 2 а 2 < arccosec — < x I тг/2 < arcsec — < —-тг/2 I a i тг 2 ж , ж ж аж / п 7z , а 1 , / ^ ж arccosec — аж = — arccosec — ± —ух1 — а1 ± — In ж + ух1 — а 3 6 б1 ж j тг/2 < arccosec — < < -тг/2 I а I 0 2fc + l Bife-l)!! /а\ 1 ж , тг , . а — arcsec — dx = — In x\-\ \- ж а 2 ' ж [0 < arcsec (ж/а) < тг/2]. [—тг/2 < arccosec (ж/а) < тг/2]. . . < arcsec — < /2J а I тг 1 ж _ 1 ж —г- arccosec — аж = arccosec — а ж а ж I тг/2 < arccosec — < -tt/2 J а I 0 —тг arcsec — аж = arcsec — ±  rp I у ^ arccosec — dx = arccosec — "f а 2ж2 а 4аж2 ж Гтг/2 < arccosec — < а 1 0 19
1.7.8] 1.7. Обратные тригонометрические функции 209 1.7.7. Интегралы вида [(ж =Ы)±п+1/2{ агс8есж X dx. I arccosec ж J f arcsec ж 1 ж Условие: 0 < \ \ < —. I arccosec ж J 2 arccosec ж 2n + 3 arccosec ж 2. агс8есж arccosec ж 2n + 3 arccosec ж 1 J arcsec ж 1 x + l)n+1/2 larccosecx J 2 j arcsec ж 1 arccosecx J X^ Bn - 1) (ж + 1)те™1/2 \ arccosec ж J j arcsec ж 1 )те™1/2 \ arccosec ж J 4. J arcsec ж J (ж — l)n+1/2 I arccosec ж Bn — 1)(ж — 2n-l?jJ (|/2 + 2)^ г arcsec ж 1 "jn-i/2 \ arccosec ж / fe=0 arccosec ж \ dXm J 1.7.8. Интегралы вида [ жт(ж2 - 1)±п+1/2| ., г arcsec ж 1 ж Условие: 0 < < > < —. I arccosec ж J 2 тж f m/ 2 .ЧП+1/2Г arcsec ж I1 Интегралы |ж (ж — 1) ^ _ > ах при целых т, п, I с помощью подста- j J sin 2/ 1 2n+2 J cos у 1 ^Bn+m+3^ arccosec ж ау. г arcsec ж 1 i новок |/ = < > сводятся к интегралам вида \ у < } < > I arccosec ж J J Icos I/ J I sm У J Результат выражается в виде комбинации элементарных функций в следующих случаях [18]: 1) I > 1, п^-1, т^-2п-3; 2I = 1, п < -1, m^-2n™3; 3) I = 1, m — нечетное, m ^ ^2n — 3; 4) m = — 1, п = — 1. ff arcsec» I ,2 1)П Jl arccosec ж/ +1/2 ^ ^ (ж2 - 1)"+1/2 2(n + 1) )"+1/2ж f arcsec ж i + 1) 1 arccosec ж/ 1 j arccosec ж агсзесж агссо8есж 1 2 _ vn-1/2 /1Ж j , 2. Ж )dx = arccosec ж J агс8есж arccosec ж m + 2n + 2 fc=O тп-2/ 2 A; / m^2Jb^l n+i/2( arcsec ж 2_ +1/2r I arccosec ж > с!ж. 14 А. П. Прудников и др., т. 1
210 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.8 3. arccosee ж 2п + 3 I arccosee ж n+1 (ж2-1)п+1/2 г arcsecж 1 _ (ж2 - l)n+3/2 r агезесж l / (га — 1)жт^1 I arccosee ж 1 Г (ж2-1)п+1/2 г J жт 1 arccosee ж га —1 2к — га + 1 га — + 4 Г (ж2 — i)n+1/2 r arcsec ж ] . ¦z Чу { \dx. 1 J xm~A I arccosec ж J (га - +1/2( агенесж 1 (^l)n т^1 I arccosee ж/ га-1 2п 7. 8. (ж2 - 1)те ra — 1 (ж2-1)п+1/2 г arcsec ж к/ 2k - m + (ж2 - l)n™1/2 r arcsec ж arccosec ж - r arcsec ж 1 < > ax. I arccosec ж J j агезееж 1 _ (ж2 - 1)те+1/2 f агезесж 1 1 arccosee ж / 2п + 1 1 arccosee ж / — 1 f arcsec ж ] . If arcsec ж ] 2 r^ r arcsec ж 1 J 2 1 arccosee ж J I arccosee ж J ж I arccosee ж ( arcsec ж 1 . 1 rn_1 , o r arcsec ж 1 ^< > с!ж = —ж vж2 — 1 < > i L arccosee ж J ra I arccosee ж J g f x f агезесж 1 J (ж2 - 1)^+1/2 1 arccosec ж J arccosec ж J Bn - 1)(ж2 - m(m — 1) ra — 1 J arcsec ж 1 n — 1)(ж2 — l)n^1/2 X arccosec ж 1 ' 2 r arcsec ж 1 1 ^ arccosee ж J ± . arccosec ж 2n-l In- C2^l 10. 11. 12. 13. 14. 15. 1 r arcsec ж l , x2 — i)n+i/2 [ arccosec ж J жт(ж2 - 1) (m - I m - 1 J xm(x2 -l)n m-1 J жте^2(ж2 - 1) arcsec ж 1 , \/ж2 — 1 r arcsec ж r arcsec ж l I arccosec ж J T 1 j arcsec ж 1 ™ 1)те+1/2\ arccoSec ж J 1 j arcsec ж 1 a^2 _ i \ arccosec ж / [m — 1 arccosec ж m-2 } J a;Vr — 1 f arcsec ж l . ^^^ i > dx = C2 _ ]_ I arccosec ж J (ra — 1Jжт^1 га — ж2 — 1 ( arcsec ж arccosec ж 2 I * J агс8есж i ^ 1 J xm~2-^x2 — 1 I arccosec ж 1 ж r arcsec ж l /ж2 — 1 I arccosec ж i = yx2 — ¦{, - r arcsec ж 1 . ^ ^=р1пж. I arccosec ж J (ж2 - 1) - IK/2 I 1 j arcsec ж 1 — i)n+i/2 \ arccosec ж J } — l)^1/2 1 arccosec ж i ± 2ra - 1 J (ж2 - (ж2 — IK/2 I arccosec ж - Brc - 1)(ж2 - l)n^V2 I arccosec ж. с!ж 2n — 2 Г 1 j arcsec ж 1 2n — 1 J (ж2 — lO1^1/2 1 arccosec ж J ж r arcsec ж 1 . 1 . x — 1 { \ ± — In . Ж2 _ -^ [ arccosec ж J 2 ж + 1
1.7.9] 1.7. Обратные тригонометрические функции 211 Г хт с arcsec ж 1 хт~г ( arcsec ж 1 J (ж2 — l)n+!/2 \ arccosec ж / Bга — гаг)(ж2 — lO1^1/2 X arccosec ж X 1 Г xm~2dx m- (ж2 - 1)те 2п - m J (ж2 - 1) 1 Г хт 2 г arcsec ж 1 rra J (ж2 — \)п+1/2 \ arccosec ж / arcsec ж 1 1 _ х г arcsec ж 1 ~ ^B1)B l)^1/2 I / г arcsec ж 1 ^-1/2 I arccosec ж/ т~2 arccosec ж X 2п — 1 J (ж2 — 1)п гаг — 1 Г хт^2 ( arcsec ж 1 + 2га- 1 J (ж2 - 1)«/2 1 arccosec x) , - Г arcsec ж 1 _ 1 г arcsec ж 1 . 18. I —^-^ -ч.. , , /о ^ Г«ж = ^7^ 7Т7"^ 1Хэт 1/91 f± ' I arccosec ж J Bга — 1)(ж2 — I)™-1/2 I arccosec ж J ж(ж2 — 1)п+1/2 \ arccosec ж J Bга — 1)(ж2 — 1)п~ 1 Г dx fir arcsec ж l . 2n — 1 J ж(ж2 — 1)те J ж(ж2 — 1)тет1/2 1 arccosec ж X ^ л f 1 f arcsec ж l . .If arcsec ж l 2 19. — < > dx = ±-< > . J жуж2 -- 1 I arccosec ж J 2 I arccosec ж J 1.7.9. Интегралы вида \ xpI \ , \ \ dx. J { arcctg (ж/а) J f „Г arctg (ж/а) 1 . жр+1 f arctg (ж/а) 1 a f жр+1 dx 1. жр< \ . ч > с/ж = < \ . ч > =F —^ T- J [ arcctg (ж/а) J p + 1 [ arcctg (ж/а) J p + lj x2 + a2 2n Г arctg (ж/а) 1 ж2п+1 Г arctj \ arcctg (ж/а) J 2ra + 1 \ arcctg (ж/ la)) arctg (ж/а) 1 ж2те+2 J arctg (ж/а) 1 arcctg (ж/а)/ 2n + 2 \ arcctg (ж/а) J 2fe-l 4. f f arCtg (;/a\ } dx = x\ &rCtg (;/a\ U - In (x2 + a2) J \ t (/)/ \ t (/) J ^ 2 v ; arcctg (ж/а)/ \ arcctg (ж/а) J ^ 2 [J arctg (ж/а) 1 ж2 + a2 f arctg (ж/ J [ t (/) j 1 arcctg (ж/а) j 2 [ arcctg (ж/ 6. [2 а) "I 1 i \ ? -\- — ax. а) j 2 3 [ arcctg (ж/а) J 6 6 [ arcctg (ж/а) J 4V ; \ arcctg (ж/а) J 12 4 1 J arctg (ж/а) 1 —if arctg (ж/а) 1 a f б?ж 8 \—{ ar€tg ^^a^ 1 dx = -1 { aFCtg ^X^a^ 1 ± а J xn X arcctg (ж/а) J (ra — 1)жп^1 \ arcctg (ж/а) j ra —1 9 \ —I arctg ^Ж//а^ 1 йж = ! f arctS (ж/а) i 1 ж2п \ arcctg (ж/а) j Bra - 1)ж2п^х \ arcctg (ж/а) / 2 i 2 " г_1. ж +а Lln- 10# | 1 f arctg (ж/а) I ^ = 1 f arctg (ж/а) ^± c2n+1 \ arcctg (ж/а) J 2nx2n \ arcctg (ж/а) ,/-,4nf arctg (ж/а) 11 l } \ arcctg (ж/а) J J' \ arcctg (ж/ 14*
212 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.10 2к+1 13. j- 16- I - 1 W / N ж [ arcctg (ж/а) 17. is. 2 ( In ж2 [ arcctg (ж/а) ж3 [ arcctg (ж/а) arcctg (ж/а)/ 2а ж2 + а2 * 2 \ж2 а2 у \ arcctg (ж/а) J 2аж * J (ж + бJ \ arcctg (ж/а) | Г а — 6ж а(ж + 6) ./° cx + d lcl 1 _ 2 2 [tg 99 = ad —¦ be; tgO = ax -\- b]. dx. 1.7.10. Интегралы вида [жр(ж2 + a2)q I ^\ J [ arcctg (ж/а) Интегралы этого пункта выражаются через элементарные функции в следующих слу чаях [18]: 1)р, г = 1, 2, 3, ...и(/< -р/2-1; 2) г = 1, р — четное; 3) г = 1, 2, р — нечетное, </ = —1, 0, 1, 2, ...; 4) р = 0, д = -1. f { 2. arcctg (ж/а) g (ж/а) 1 ^ 1 arccte (ж/а) Г ^ V А; X arcctg (ж/а) к=0 Жв arctg (s/а 2m + 1/\ arcctg (ж/а) 2 2fc A; 3. arcctg (ж/а) 2т+4 a2m+4 arctg (ж/а) 2[ т + 1 ' т + 2 ' (m + l)(m + 2) J \ arcctg (ж/а) J \
1.7.10] 1.7. Обратные тригонометрические функции 213 2т + 3 3 т 2fe 2m,^2fc + l аж _ а х~^/ -\fctt ж + 2)Bт + 3) ^ 2(га ¦ а2)те Г arctg (ж/а) , а*ж = arcctg (ж/а) Oil С^ US-L I tX/ / (Jj I I Ж Л f # €/ | \AJ tAy Ж Л <UL> i i V \ 1 €ЛУ у /п\ Г l' ^ J arcctg (ж/а) Если fc = (га — l)/2, ^ = 0, 1, ..., гг, то соответствующие слагаемые в суммах заменя- заменяются на а п^гг' k) a X arcctg (ж/а) 5# , - /arctg (ж/а) \^_ ж—1 / (ж2 + а2)те [ arcctg (ж/а) / 2(п - 1)(ж2 + а2O1™1 [ arcctg (ж/а) а Г хт^г dx га —1 Г жто^2 / arctg (ж/а) 2(n-l) J (ж2 + а2)п + 2(n-l) J (ж2 + а2)" \ arcctg (ж/а) 6. I _ 1 ., Iarctg(ж/а) 1 dx = _. ^ * ., , Iarctg{х':\ \ ± х/а) 1 (ж/а)/ (ж2 + а2)те [ arcctg (ж/а) J 2(n - 1)а2(ж2 + а2)"^1 [ arcctg (a 1 2n-3 f 1 / arctg (ж/а) 1 2 -1- а2)"™1 \ arcctg (ж/а) / 4(п- 1Jа(ж2 + а2)те™1 + Bп - 2)а2 J (ж -dx = x2 + ал)п а "^ Bfi-2Jb-2)!!Bn^3)!! ж 1 Bn - 3)!! а [^ Bп - 2)!!Bп - 2к - 1)!! а2Л;(ж2 + а2)^ + 2а2^^! Bп - 2)!! а ^4 B?г - 3)!!B?г - 2fe - 2)!! 2 ^ Bn^2)!!Bn-2ife 8. (ж2 + а2)п X arcctg^/a) 1 [ arctg (ж/а) U B^3)f? , ± ± 2(n-l) \ arcctg (ж/а) j [Bn - 2)!!а2"-2 (ж2 + 02)^ Bn-3)Bra-5)...Bn-2fc-l) . жп / arctg (ж/а) ж2 + а2 X arcctg (ж/а) ^ Bn - 4)Bn - 6) . . . Bn - 2k - 2) \ а _ | n^2J arctg (ж/а) 1 2 f xn 2 / arctg (ж/а) . [ arcctg (ж/а) J J xA + a2 [arcctg (ж/а) 10 | ^ f arctg (ж/а) 1 ,a. = ±(-l)wa2w-1f arctg (ж/а) ж2 + а2 [ arcctg (ж/а) j 2 [arcctg (ж/а) 1 arcctg (ж/а) J ^l j 2^ — 1 +^ 2fe - 1 J ж2 + а2 ^ 6 \ / ; j k=1 k=1 j ^2w+1 ( arctg (ж/а) Ьж= If arctg (ж/а) ]^(_ir*fl^V ж2 + a2 [arcctg (ж/а) J Ж 2 \ arcctg (ж/а) J ^l } к f 1 12. j 2^ж , ж f arctgCx/a) 1 2 ^ Jfe J ж2 + a2 ^ l j J ж2 + a2 \ arcctg^/a) J 1 / arctg (ж/а) lda. = ±J/ arctg (ж/ ж2 + а2 \ arcctg (ж/а) / 2а \ arcctg (ж/ /а) I2 /а) J
214 Гл. 1. Неопределенные интегралы [1.7.10 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. ж J arctg (х/а) 1 1 \/ж2 + a2 J arctg (х/а) 1 ж2 + а2 \ arcctg (ж/а) j 2 2а \ arcctg (х/а) / а + ix\ _ . fa — i —^ -Li2 —^ + а2 [ arcctg (ж/а) ^ arcctg (ж/а) ж = xl 2а J V 2а а Г In (ж2 + а2) , 1 ¦ dx. О 8 \1п(ж2 + а2) /' [ arcctg ( /a) 1 т« ж/а) J 2 J arctg (ж/ а 1 / ^ж = /а)] ж2 + а2 ( arcctg (ж/ = ^аж 1 2 2xf arctg (х/а) ~~ 2 2^Х п }\ arcctg (ж/а 1 / arctg (ж/а) 1 da.= (ж2 + а2J \ arcctg (х/а) ) х ( arctg (ж/а) 2 [ arcctg (ж/а) J arctg (х/а) - а2 X arcctg (ж/а) х/а) 1 2 (ж/а)/ 2а2(ж2 + а2) \ arcctg (х/а) ± 1 J arctg (х/а) 1 4а3 \ arcctg (х/а) / ± ¦ arctg (х/а) arcctg ( arctg^/а) arcctg (х/а) 1 J arctg (х/а) х/а) 1 х/а) / t2 + а2 х тт. /а + ^ arctg а Im Li 2 2а а \ 2а 4-1 жа I О 2 . 2\ In (ж + а ) J 1 Г arctg (ж/а) 1 г ж2 + а2 [ arcctg (ж/а) J (г + 1)а \ arcctg (х/а) 1 J arctg (х/а) 1 1 J arctg (ж/а) ж2 + а2 \ arcctg (ж/а) / а \ ж Г arctg (х/а) ?jf ?р == —J- ] dx = arcctg (ж/а) J /а2 - ж2 1 arcctg (ж/а) ¦/ arctg (х/а) [ arcctg (х/а) х arctg ж : а arcsln h ¦ а /- f arctg [\/2ж(а2 - ж2) ) ' ] arcctg /2ж(а2 - arctg ж ¦ а*ж = [а > Ц. [6 > а]. 1.8. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Неопределенные интегралы от обратных гиперболических функций вычисляются по формулам раздела 1.6 после следующих замен: Arsh ж = In (ж + v ж2 + 1), Arch ж = ± In (ж + \/ж2 — 1 ^ Arth ж = - In 2 1-ж 1 ж + 1 Arcth ж = — In 2 ж — 1 Arsech ж = ±1п(- + 4/47^1 1 Arcosech ж = In ( ь ж [ж > 1], [\*\ < У, [0 < ж ^ 1], [ж > 0].
Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. ВВЕДЕНИЕ 2.1.1. Предварительные сведения. В этой главе содержатся определенные интегралы от элементарных функций. Интегра- Интегралы, у которых один или оба предела интегрирования являются переменными, в случаях, когда подынтегральная функция от них не зависит (в частности, интегралы от иррацио- иррациональных функций, сводящиеся к эллиптическим интегралам), помещены в главе 1. Указанные в формулах условия сходимости интегралов обеспечивают их существование либо в обычном смысле, либо как несобственных интегралов, либо в смысле главного значения [20]. В начале соответствующих разделов помещены интегралы общего вида, зависящие от не- нескольких параметров и позволяющие получать более общие результаты, чем содержащиеся в последующих пунктах. Эти интегралы выражаются через функции Vj , Vj, приведенные в приложении III; параметры, входящие в них, указаны в каждой формуле в фигурных скобках. В качестве примера вычислим интеграл L dx ¦ x2 (bx + c) = / [а, Ь, О 0]. В силу формулы 2.2.2.5, vr, с 1 а" где у = —, г = 2, р = -, р = 0. Пусть, например, \у\ ^ 1 (с ^ аЬ)\ тогда / = —^- Vt . Подставляя значения г, /3 и р в параметры Е^, и, аз, 6з, сз, z функции V{~ и учитывая, что р = 2, q = 1, получаем '{a + ft)/2> ,A + « + Л) 1, ДB, 1 + h), ДA, (а + А)/2); (-j ft!2 4 ДB, 1 + ft), а/2 ; +2;v Таким образом, a xa dx = ^/згГ «/2 1 рЛ a. g + i. a2b2 ^F^^(bx + c) 2c V L(l + «)/2j 4 2' 2 ' C2 а/2 г [Кеа>0,а>0, <7T .
216 Гл. 2. Определенные интегралы [2.1.2 Функции Ух+ + У2+ и V\ B формуле 2.2.2.5 аналитически продолжают друг друга, поэтому полученная формула справедлива не только при ab 1, но и при arg ab < тг. Подставив, в частности, в эту формулу а = 1 и используя соотношения ГA/2) = (a, fe; fe; 2) = A - получим dx /a2 - x2 (bx + c) 2c 2.1.2. Общие формулы. Некоторые свойства определенного интеграла: Ь a b 1. /(ж) с/ж = — f(x) dx. 2. /(ж) dx = /(ж) da? + /(ж) dsc. Формула Ньютона-Лейбница: 3. 4. Интегрирование подстановкой: Ь C ]f(g(t))g'(t)dt [a = g(a), b = g(f3), g(t), gf(t) непрерывны, g1 (t) ф 0 и a < x = g(t) < b при а < t < /3]. Интегрирование по частям: b b . f(x)g'(x) dx = f{x)g(x)\ha - g(x)f(x) dx. Теоремы о среднем: ь ъ 6. b ? 7. f(x)g(x) dx = f(a) g(x) dx ь =f(b)jg(x)dx 8. ь i 9. \f{x)g{x)dx = f{a) [f непрерывна на [a, b], g(x) > 0, о ^ ? ^ 6]. [/ ^ 0, монотонна и не возрастает; а ^ ? ^ 6]. [/ ^ 0, монотонна и не убывает; а ^ ? ^ 6]. + /(&) U(x)dx [/ монотонна; а ^ ? ^ 6]. 10. = Л ^(ж) dx + в\ g(x) dx [Л ^ /(а + 0), J5 ^С /F — 0), если / монотонно убывает; А ^ /(а + 0), I? ^ /F — 0), если / монотонно возрастает; о ^ ? ^ 6].
2.1.2] 2.1. Введение 217 Дифференцирование интеграла по параметру: ъ ь 11. i 12. 13. —\f(x)dx = -Ha). Некоторые формулы замены переменной: 14. 15. ad — bc-\-(b — а)х 16. dx. dx 17. I /(ж) dx = [/(ж) + f{-x)] dx = O о 18. A + жJ" = 2\f(x)dx о a a a Г f If 19. /(ж) daj = f(a - x) dx = - [/(ж) + /(a - ж)] dx. oo о 2a a 20. /(ж) с!ж = [/(ж) + /Ba - ж)] dx = О о о a 21. =2 [/(ж) da о Лт21 г/т* Г / 1 — ii^ х ) их _ \ f I L У [/Bо-з) = -/(*)]. [fBa-x) = f(x)\. dy О 23. J/(x, — а , V о — ж , 1 о 7Г/2 4(Ь^а) (i + 2/2: 2/2K ¦ dy. 24. 25. 26. F — a) /[a+ F™ a) sin y?5 V6 — a sin y?, V& — a cos y?] sin 2ip dip. о оо = F - а) J / О а + by I (b — а)у jb — a 1 + 2/
218 Гл. 2. Определенные интегралы [2.1.2 27. /(ж, -^ж2 - с2 28. ydy О < с ^ а < 6, а = -,Р = \COS (f J COSZ (f /3 а + с ' 6 + с [О < с ^С а < 6, cost* = с/а, cost? = с/6]. 29. [/(ж, 30. 31. ) ^ж = 2с f/(- 2су dy [-с ^ а < b ^ с, а = а^г{с- \/с2 -а2), /3 = Ь^- \/^2 - с2 I. V /(с sin (ji9, с cos (f) cos у cf^? [—с ^ сь < 6 ^ c, sin it = а/с, sin г? = 6/c]. [/(ж, r) = Re F(z), z = r(cos x + г sin ж), ^(г) аналитична при |z| ^ r]. 32. 33. Xg(x, Г) 7Г dx=- [F(re-a) - F@)] x(x2 + a2 (ж, г) = ImFf»; см. 2.1.2.31]. [см. 2.1.2.31]. [см. 2.1.2.31]. + \/х2 + у т/2 36. /(ж) с!ж = J х о о ){ г \dx { cos ж J 8Г. [ЛМ_лм,ж = [/@)_/(+оо)]1п1 о 38. [р, g > 0; /(ж) непрерывна на [0, оо), /(+оо) = lim /(ж) — конечная величина]. оо Г Г 1 Р? Я > 0; /(ж) непрерывна на [0, сю), и существует ж"~1/(ж) о*ж, Д > 0 . L J J т/2 39. [/(x)-/Bx)]ctga;da; = /@)ln2 40. f(x)e {ax о [a > 0].
2.1.2] 2.1. Введение 219 ж±1/2/ 41. «¦ 43. 44. 45. - f - + - 46. 47. 48. ac)/a f f J ^e^2 dy [a = 1 или г; a > 0]. [A; = 0 или 1; a, b > 0]. ^) dx = [a, b > 0]. ab)sf{y a} b> 0; 6 = ж V а ж — f ( ж Н I arete x dx х \ xj 1 , /ж а ж V а ж О, а > 0]. оо 4 J ж f [ х -\— I dx. 1 гр I р / х \а 1 Jхр а\л , па Г 1 - / — + — In х dx = - / х \а хр J p j х па Г 1 Jхр а / + / p j х \ а о dx [а, р > 0]. In ж с!ж = 0. а, 6 > 0; аж = =ру Г1РИ[ 50. 51. 52. 53. 54. оо a J [а, Ь > 0]. ~^\ )dx = abffiy^dy a, 6 > 0; 8 = 2 , , У + ab [a, b > 0]. T ; = |— f(x)dx [ab > 0]. -оо — оо со оо /(ashж + бсЬж) sh ж dx = 2а /#(sgn6Vfe2 — a2 ch ж) sh2 ж dx.
220 Гл. 2. Определенные интегралы [2.1.2 56 57. 58. 59 60. 61 Ь+Bп + 1)тг а + Bп Ь+(п+1/2)тг а + (п + 1/2)тг г х - /(аж + бл/l + ж2 ) с/ж. J л/1 + ж2 -оо 6 + 27ГП . /(sin ж, cos ж) dx = /(sin ж, cos ж) с/ж. а+2тгп I + / Q1 И ОГ> fbf\Q SY* 1 /I ОТ* I I 1 Olll el/ • L-Uu tJL/ J fJ>«J^ » + 1/2)* /((^l)n+1 совж, (^1)та sin ж) ^ж + 1/2)тг /(sin ж, cos ж) dx = /(sin ж, — cos ж) с/ж. -1/2)тг О -3/2)тг 7г/2 /(sin ж, cos ж) с/ж = /(— sin ж, — cos ж) с/ж. + 1)тг О + 2)тг тг/2 /(sin ж, cos ж) dx = /(— sin ж, cos ж) dx. Bп + 3/2)тг О птг тг/2 62. a;/(sin ж) <ix = ттп f(sinx)dx Bп+1)тт 2п + 1/2)тг 2п + 3/2)тг Bп+1)тг Bп+2)тг о тг/2 63. тг/2 7г/2 64. /(sin ж, cos ж) с/ж = /(cos ж, sin ж) с/ж. 65. = /(ж, dx 66. 67. /(вт2ж) cos ж dx = /(cos2 ж) cos ж с/ж. о о 7г/2 7Г Г 1 Г 68. /(sin2 ж, cos2 x) dx = — /(sin2 ж, cos2 ж) dx. тг/2 70. f(sin2x.cos2x)cosa~2xcosaxdx=- f\ J 2 J J Vl [п = 0, ±1, ±2, ... ]. (-*) = /(*)]. с/ж
2.1.2] 2.1. Введение 221 тг/2 ж 71. f [f(eix cos ж) + f(e^ix cos ж)] dx = - l[f(eix cos x) + /(е^*ж cos ж)] dx = О 7Г 0 = - /(егж cos ж) dx = тг/ I — I / ( ) аналитична при |z| ^ 1 . 72. т/2 . . тг . (е*ж cos ж) + f(e^tx cos ж) a2 cos2 ж + б2 sin2 ж 2 J a2 cos2 ж + б2 sin2 ж о о 2 J а2 cos2 ж + б2 sin2 ж ab аналИТИЧНа ПРИ Z ^ 1 • 7Г - J/(a t- 2U{x+v~tx) (i -bcos ж) dx=ж[Па+ь)+/(a)] о [ |6| < 1; f(z) аналитична в \z — a\ ^ 1]. [ |6| < 1; /B) аналитична в |z — a\ ^ 1]. tt/2 76. /(sin ж, cos ж) <^ж = [/(sin ж, cos ж) + /(sin ж, — cos ж)] dx. о о Г Г • J J о о тг тг 78. f /(п)(со8ж)8т2пж^ж = Bга- 1)!! [ /(cosж) cosnx dx. о о тг тг Г • 2 J . /(sin ж, cos ж) dx = [/(sin ж, cos ж) + /(— sin ж, cos ж)] dx. -ж/2 0 ж/2 тг/2 . /(созж)с1ж = 2 f(cosx) -тг/2 0 2тг тг 82. /(sin ж, cos ж) с/ж = [/(sin ж, cos ж) + /(— sin ж, cos ж)] dx. о о тг/2 83. = [/(sinж, со8ж) + /(з1пж, — созж) + /(™ sin ж, О тг/2 л / • \.*ф/* \.jfs/» Ч . л / • , — cos ж) о
222 Гл.2. Определенные интегралы [2.2.1 2тг 2тт 84. /(a sin ж + 6 cos ж) dx = f(Va2 + б2 sin ж) dx. 85. 86. 87. * QQ О «7* * 91. •tfZi. 93. 94. 95. 96. 0 = 2 оо /(sin ж) J x 0 7/(sin ж) 2 0 оо J x 0 CO f /(sin ж) T J л 0 CO Г /(sin ж) J Ж2 _|_ Z2 0 CO /(cos ж) 2 _i_ 2 0 7Г 0 dx = с!ж = COS Ж ж da - oo Г xf(sinx) cos ж24 0 6 г -z2 ]/(Ж)[?(Ж)]А1п a f /(ж) ln i J a 6 |/(жIпп; a 1 J /(ж) In (s 0 *(x)c Ых-- 1П7ГЖ /^ + тт/2 Г i j 0 T" 0 sh2z 2z sh z z X dr a x ng(x = f j ) dx = 62 (sir sin (sir sin 7Г/2 J 0 т/2 r J J 0 0 cos ж) с?ж. ix) ax X /(Sin Ж) 2 sin ж ' Г J 0 oo f ^ J 0 i dx \ n \) /(sin ж) л ch2 z — cos2 ж (cos ж) cos ж с?ж ch z — cos ж тт/2 f 1 1 Г /(sin ж) sin ж cos25 ж if 2 2 0 ь / л \n f a -y[/(x)[gr(x)]Adx A=0* a ь \xxf(x)dx\x=0. a 1/2 + a) /(ж) In (sinTra;) dx 0 A (—x) = -fix); 5 = [f(l — x) = af(x)]. 2.2. СТЕПЕННАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 2.2.1. Введение. Интегралы от степенной и алгебраических функций представляют собой широкий класс интегралов, к которым с помощью замен переменных сводятся многие интегралы, содержа- содержащие различные элементарные и специальные функции. 2.2.2. Интегралы общего вида. В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интегралы содержа- содержащие степенную и алгебраические функции. Некоторые частные случаи этих интегралов,
2.2.2] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 223 соответствующие конкретным значениям входящих в них параметров, приведены в после- последующих пунктах. Интегралы общего вида представляются с помощью функций Vj , Vj, j = = 1, 2, 3, . . ., помещенных в приложении III. Конкретные значения параметров, входящих в эти функции, приводятся в фигурных скобках после каждого интеграла. Значения инте- интегралов этого пункта при \у\ = 1 получаются предельным переходом при \у\ —^ 1. Кроме того, г = р/g, где р и q — взаимно простые натуральные числа, если не указаны другие условия. min(l,y) s = rj + Q; + 7 — l, it = 7 -— /i — 1, ai =rj + o:, 6i = l-—/3 + j, ci = 7 + rj + a, «3 = 1 — 7 + /i, 63 = (a + h)/r, c3 = /3 + (a + /i)/r, z = yp l [Re a > 0 и Re 7 > 0 (при 0 < у < 1), или Re /3 > 0 (при у > 1), или Re (/3 + 7) > 1 (ПРИ У = 1)] • 2. max A, у) г -—1/ \1г Г2 =гГ[ ц-г-^ц-Л-а-^^-Л ' Й2 =Г[ /3-j,i-a + r(l-p + j) J' t = h, v = j-\-a — 1 — r(l — /3 + j), 02 = 1^7 + ^, 62 = 1^/3 + г^хA — 7 — a + /1), C2 = 1 + r^x(l — 7 — а + /1), «4 = 1 — 7 — 0 + r(l — /3 + j), 64 = 1 — /3 + j, C4 = 1 — а + r(l — /3 + j), z = yp [Re (a + 7 + r/3) < 1 + г и Re /3 > 0 (при 0 < у < 1), или R > 0 (при у > 1), или Re (C + 7) > 1 (при у = 1)]. 3. I жа 1A — жг) 1(ж — |/O 1 с!ж = V^ + F2" У f Г/3,7,1-7-а-^1 i^+.irf /3, 7, ^"'(T + a-l- L J ^ Г[ s = rj + а + 7 - 1, t = h, a\ = а + rj, 61 = 1 - /3 + j, ci = 7 + a + rj, a2 = 1-7 + h, b2 = 1-/3 + rml(l - 7 - a + /1), c2 = 1 + г~гA - j - a + /i), z = |/p у [0 < 1/ < 1; Re^, Re 7 > 0]. 4. 1 Er = -r'^>7j ^ и = j — h — 1, v = 7 +a — r(l-/3 + j) — 1, a3 = 1 —7 + /1, 63 = (a + h)/r, c3 = /3 + (a + /i)/r, «4 = 1 — 0 — 7 + r(l — /3 + j), 64 = 1 — /3 + j, C4 = 1 — a + r(l — /3 + j), z = 2 1 f [y > 1; Re^, Re7 > 0]. 5. I жа"!A - xr)l3^1(y + x)p^1dx = < x 2 Ll2/| ^ J' [|2/l > 1] a, l — p — a — rjl 1 1/3, r (a + p — /i — 1), 1 — p + /1
224 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.2 1Г/3 (а г fti = 1 - О» I fly 11 ~т~ <Ь J 0 |5 s = rj-\-a-\-p— \^ t = h, и = p — h — 1, a\ = rj -\- a, ol + rj + p, a2 = 1 — p + h, &2 = 1 — P + rml(l — p — a + /iM [|argy| < тг; Re a, Re/3 > 0]. -l , Vi + VV" [It/I ^ 11, dx = i _ _ u ' J' i/i + V2 [|i/| > l] =Г i-.,_i-p 1 - G, 1 - p - o- - (a + /1) 1 — cr + j, a — r(l ^ cr + j), 1 ^ p ^ a + r(l — cr + j) о ftp» л i /""V j /~% I g # f% § /°% I jhs f§ 1 /~% [ /""V I T9 I 1 /"V I >Q 1 /^s -& ffp* si [ /~\i ^ — I j —|— ?j/ —|— jy ± 5 L — /1 j Li — jj ± § & j и — jj ^r t-л J- # I ± О П^ «/ / 5 ^*1 — ' J >^ ^* 5 61 = 1 — cr + j, ci = p + a + rj, a2 = 1 — p + /1, 62 = 1 — cr + r^ A + h — a — p), C2 = l + r A + Л- — a — p), аз = 1 — p + /1, 63 = (a + h)/r, сз = о* + (a + h)/r, [ I argy| < тг; Re а > 0; Re (a + ar + p) < 1 + r]. r3+ + V4+ [0<y^l], 7. ж"^-/)^1 2/ - 8. P — J J Г\ Г J Г \ Г = rj + a-l, t = h, u = -h-l, ai = l-P + j,a,2 = l-P + (l + h- a)/r, 62 = 1 + A + Л - a)/r, a3 = (a + /i)/r, 63 = P + (a + /i)/r, z = yp 1 [Re a > 0 и Re^ > 0 (при у ф 1), или Re^ > 1 (при у = 1)]. _ГЧР-1 ^ _fv3+ + V4+ [о < у ^ 1], ^ l + h - a г \ г г J [ I — р J s = ск + rj — 1, t = hj и = —/i — 1, ^ = 0 — 1 — гA — р), ai = 1 - р + j, a2 = 1 - р + A - а + h)/r, 62 = 1 + A - а + /i)/r, 9. ж° о а3 = (а + /i)/r, 63 = р + (а + ^)/г? а4 = 1 - р + j, z = (-1)д|/р [2/ > 0; Re a > 0; Re (a + гр) < 1 + г]. da; [0 < у < i],
2.2.2] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 225 i=o [y > 1], [0 < Rea < 1 + r]. 10. dx , J> + a, l-<r-2a-2jr <T + 2a-2ft\ [ft-g/2, 1/2-ft V 2r l-a/2-h (l-g)/2 + /t, -1/2 -ft Ь5 = А , s = a/2 +a г V ' г у [l + /i- o-J и = «т/2 — /i, ai = jr + a, &i = a + j> + a, c\ = 1 — /3 + j, rfi = 1 + a/2 + j> + a, ;i = A + a)/2 + jr + a, a2 = /i - cj/2, 62 = <r/2 + /i, c2 = 1 - ^ + B/i - 2a - a)/Br), d2 = 1/2 + /i, e2 = 1 + B/i - 2a - <r)/Br), a3 = A - <r)/2 + h, b3 = A + a)/2 + /i, c3 = 1 - /3 + B/i - 2a - a + l)/Br), d3 = 3/2 + h, e3 = 1 + Bh - 2a - a + l)/Br), «4 = /i — cr/2, 64 = A — <j)/2 + /1, C4 = (a + h)/r, d4 = 1 — cr + /1, e4 = < тг; Rea, ReC > 0]. 11. ^(l-/)^^ 0 I _,_ IT7 1 r - J ^5 v;+ + Ve , 2a + 2jr, ^a/2 - a - jr 1 — cr + h 1/2-h, h^a/2 -1/2-h, A-a) Л s = a/2 + a + jr, t = h, u = a/2 - h, ui = (a - l)/2 - h, сц = jr + a, 61 = 1/2 + jr + a, ci = 1-^+j, rfi = Ц-сг/2 + jr + a, ei = l-cr/2 + jr + a, a2 = h-a/2, b2 = (l-cr)/2 + /i, c2 = 1 - /3 + BЛ - 2a - a)/Br), d2 = 1 - a + /1, e2 = 1 + B/i - 2a - a)/Br), a4 = h - a/2, 64 = <t/2 + h, c4 = (a + h)/r, d4 = 1/2 + h, e4 = /3 + (a + h)/r, a5 = A + <j)/2 + h, 65 = A - <r)/2 + /1, c5 = Ba + 2/i + l)/Br), rf5 = 3/2 + /1, e5 = /3 + Ba + 2/i + l)/Br), z = (^ argt/| < тг; Rea, Re/3 > 0]. 12. l- j,jr-\-a, -2jr-2a-a В 2r <r-l + 2a-2h -(т/2, 1/2-h 15 А. П. Прудников и др., т. 1
226 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.2 ,1 — /9 — л Г г г ) |_1-<t + 1- p + j, a + r(p-j- 1), 2r(l-p +j) -2а-<т s = cr/2 + a + jr, t = /i, ti = 1/2 + h, u = a/2 - h, v = a/2 + а - r(l - p + j), ai = а + jr, bi = a + a + jr, ci = 1 — p + j, rfi = 1 + cr/2 + а + jr, i = A + <t)/2 + a + jr,a,2 = h- <т/2, b2 = a/2 + h, c2 = 1 - p + B/i - <j - 2a)/Br), rf2 = 1/2 + Л, e2 = 1 + BЛ - o- - 2a)/Br), a3 = A - <т)/2 + Л, 53 = A + <r)/2 + h, сз = 1 - p + B/i - a - 2a + l)/Br), rf3 = 3/2 + Л, e3 = 1 + B/i - <r - 2a + l)/Br), a,4 = h- cr/2, 1L = A - <t)/2 + /i, c4 = (a + /i)/r, d4 = 1 - <r + /i, e4 = p + (a + /i)/r, a6 = r(l - p + j) - a - a/2, 66 = r(l - p + j) - a + A - a)/2, = l-p +j, rf6 = l^a + r(l^p + j), e6 = l^cj^a + r(l^p + i), z = (^l)9+p| 13. ха^г о ¦ dx = ->v*+ Vf + Vf = (-I)' | argy| < n; Rea > 0; Re (a + pr + cr/2) < r]. v7+ ro < « < n, a + Jr? ^°" ~~ 2o — 2jr 1 — cr — а — jr 2r -ctg 2r 2r 2r l-a/2-h ~a)/A--f-tij —1/-^ — "- -ст - 2a + 2r(l + j), а - s = <j/2 + a + jr, t = h,ti = 1/2 + /i, и = <j/2 - h, v = a/2 + a - r(l + j), ai = a + jr, 6i = cr + a + jr, a = 1 + j, rfi = 1 + cr/2 + a + jr, et = A + cr)/2 + a + jr, a2 = h - a/2, fe2 = o-/2 + /i, C2 = 1 + B/i - 2a - o-)/Br), d2 = 1/2 + /i, e2 = c2, a3 = A - <r)/2 + h, bs = A + <t)/2 + /i, c3 = 1 + B/i - 2a - G + l)/Br), d3 = 3/2 + h, e3 = c3, a4 = h — a/2, 64 = A — сг)/2 + Л,, С4 = (a + h)/r, d^ = 1 — a + /1, 64 = C4, «6 = r(l + j) - a - <r/2, 66 = r(l + j) - a + A - a)/2, c6 = 1 + j, d6 = 1 - a + r(l + j), ), m = 2p или 2p+ 1, z = (^ [|/, Re a > 0; Re (a + tr/2) < r]. 14. I x~ о V8~ + Vf + Vtо 1 - a - a J E+= v . 2a 7-aJ I I + 7 -a -cr/2 J + 7 - cr - 2a 1 J 7 а-7/2,7-^- a- G- si = a + <j/2, s2 = 0, s3 = 1/2, s5 = a + (a - j)/2, s6 = a + (a - 7 - l)/2, S7 = cr/2, ai = a, &i = cr + a, ci = 7/2, rfi = A + 7)/2, ei = 1 + cr/2 + a, /1 = A + a)/2 + a, g-i = 1 + 7, a2 = -<r/2, 62 = cj/25 c2 = G - <r)/2 - a,
2.2.2] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 227 rf2 = A + 7 - о-)/2 - а, е2 = 1/2, /2 = 1 + 7_а- с/2, ^2 = 1 - а - с/2, а3 = A - <т)/2, Ьз = A + <т)/2, сз = A + 7 - <г)/2 - а, d3 = 1 + G - ^)/2 - а, е3 = 3/2, /з = C - с)/2 - а + 7, gs = C - с)/2 - а, а5 = G - ^)/2 - а, Ь5 = A + 7 - ^)/2 - "> с5 = т/2, db = -т/2, е5 = 1 - а + 7/2, /5 = 1-<т-а + 7/2, ^5 = 1/2, а6 = A + 7 - <^)/2 - а, Ьб = 1 - а + G - ^) А с6 = A + 7) A d6 = A - 7) А е6 = C + 7)/2 - а, /б = C + 7)/2 - ст - а, ^Гв = 3/2, а7 = -а/2, Ь7 = A - с)/2, 15. х о с7 = a, d7 = а - 7, е7 = 1 - а, /7 = 1 + а - 7/2, g = A - 7)/2 + а, * = 2/ [|argy| < тг; Re а > 0; Re Bа + а - 7) < 0]. + у/1-\-Х)^ ~^(т - 2а - 1, а+ 1/2 1/2-а-с т, G-ст)/2^а 2а + <т - 1, G - с + 1)/2 - а ^"--2 -' 1^^а + 7/2 ]' I iс\ \ ( I 1 \ /О О 1 /О / 1 \ /О I /О ai = a, 6i = а + a, ci = —7/2, ^i — 7 A ei = 1 + сг/2 + а, Д = A + с)/2 + а, gl = 1/2, а2 = а + 1/2, 62 = с + а + 1/2, с2 = A - 7) A <fe = A + 7)/2, е2 = C + с)/2 + а, /2 = 1 + с/2 + a, g2 = 3/2, а3 = -с/2, 63 = с/2, с3 = G - <т)/2 - а, d3 = -G + <т)/2 - а, е3 = 1/2, /3 = 1 - а - c/2, g-3 = A - с)/2 - а, а4 = A - с)/2, Ь4 = A + с)/2, с4 = A + 7 - с)/2 - a, d4 = A - 7 - ^)/2 - », е4 = 3/2, J4 = C — с)/2 — a, g = 1 — с/2 — а, ав = G ~~ °")/2 — ск, &5 = A + 7 ~~ °*)/2 ~~ tt5 с5 = 7/2, d5 = A + 7) А е5 = 1 + 7/2 - а, /5 = 1 - а - а + 7 A ^5 = 1 + 7, а6 = -с/2, 66 = A - с)/2, с6 = a, d6 = а + 1/2, е6 = 1 - с, /6 = 1 + а - 7 А [|argy| < тг; Re а > 0; Re Bа + а - у) > 0]. /2/ + ж ?, а + jr, 1 — а — 2а — 2jr Р - j, I - с - а - jr EJ = 2<х^2 V с + 2а - 2fe - / а + 2а - 2h - 2г l-c + 2/i 1 - с)/2 + h, 1/2 - h A-<т)/2-Л - с/2 + fc, -1/2 - /1 a3 = 1 e3 = 1 -с/2- r v • г ...... ,,в = (с-1)/2 + а+^г,* = Л, = /i + 1/2, и = (с — 1)/2 — Л,, ai = а + jr, 61 = а + а + jr, ci = 1 — /3 + j, A + с)/2 + а + jr, ei = c/2 + а + jr, а2 = A - ff)/2 + /1, Ь2 = A + c)/2 + Л, 1-^ + A-с-2а + 2h)/Br), d2 = 1/2 + /г, e2 = 1 + A - a - 2a + 2h)/Br), - a/2 + /i, fe3 = 1 + c/2 + /l, c3 = 1 - /3 + B - с - 2a + 2/i)/Br), d3 = 3/2 + h, + B - a - 2a + 2Л)/Bг), a4 = A - c)/2 + /1, 64 = 1 - c/2 + h, c4 = (a + h)/r, i4 = 1 - cr + /1, e4 = /3 + (a + h)/r, z = {-yf argy| < тг; Re a, Re/3 > 0]. 15*
228 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.2 dx = {е}-2* fV + x { Vf + V6 "/3, 2a + 2jr, A - с Ы > 1] -a- jr В 2r y* |_1-* + й Г 1/2-h, (l-cr)/2 + A - cr)/2 - h 2/i + l\^[^l/2-/i, l-cr/2 + Л -O-/2-/1 27 s = (cr - l)/2 + a + jr, t = /i, w = (a - l)/2 - h, m = a/2 - 1 - /i, ai = a + jr, 6i = 1/2 + a + jr, ci = 1 - /3 + j, di = A - <r)/2 + a + jr, ei = A + a)/2 + a + jr, a2 = A - <j)/2 + Л, 62 = 1 - cj/2 + Л, С2 = 1 - )9 + A - o- - 2a + 2/i)/Br), d2 = 1 - a + Л, e2 = 1 + A - a ^ 2a + 2li)/Br), a4 = A - <r)/2 + h, b4 = A + a)/2 + /i,c4 = (a + /i)/r, , e4 = /3 + (a + /i)/r, a5 = 1-<t/2 + /i, 65 = 1 + <t/2 + /i, c5 = B 18. = 3/2 +Л, e5 =/3 + Ba + 2/i + l)/Br), z = (-|/)p > [|arg3/| < тг; Rea, Re/5 > 0]. 02/1 > 1] •V7~ ^+ = 2<T+2a+2irrri - P + j, 1 - <t - 2a - 2jr, a +jrj L 1 - p, 1 - a - a - jr J' cr + 2a - 2Л - 1>\г,[A - a)/2 + /i, 1/2 (l-a)/2-h 2r -,1-p- 2a-2Л- -a/2-h 1-СГ + 2Л] _ /a + /i p + j, a — r(l — p + j), 1 — . j) -2a 8 = (a - l)/2 + a + jr, t = /1, ti = 1/2 + h, и = (a - l)/2 - /i, v = (cr — l)/2 + a — r(l — p + j), ai = a + jr, 61 = cr + a + jr, ci = 1 — p + j, di = A + <t)/2 + a + jr, ei = a/2 + a + jr, a2 = A - <r)/2 + /i, 62 = A + <r)/2 + h, C2 = l^p+(l^{j^2a + 2/i)/Br), d2 = 1/2 + /i, e2 = 1 + A - о- - 2a + 2/i)/Br), a3 = 1 - <т/2 + Л, 63 = 1 + <т/2 + Л, c3 = 1 - p + B - o- - 2a + 2h)/Br), d3 = 3/2 + /1, e3 = 1 + B - cj - 2a + 2/i)/Br), a4 = A - c)/2 + /1, 64 = 1 - a/2 + /1, c4 = (a + Л)/г, d,4 = 1 — cr + h, e4 = p + (a + /i)/r, ae = A — cr)/2 — a + r(l — p + j), b6 = 1- a/2 - a + r(l - p + j), c6 = 1 - p + j, d6 = 1 - a + r(l - p + j), e6 = 1 - cr - a + r(l - p + j), z = (~l)q+p [ I arg t/1 < тг; Re а > 0; Re Ba + 2rp + a - 1) < r]. 19. A - v8- + vf irj^ [l — cr — 2a — 2rj, a + rj 1 — a — a — r j 1-<т-2а
2.2.2] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 229 ¦ = ^Vctg 2 - cr - 2a- 2r 7Г I I -a/2 + h, -1/2™ h ^a/2^h I- a + 2h j), a- s = (<т - l)/2 + a + j>, t = /i, ti = /i + 1/2, u={a - l)/2 - /i, v = (cr - l)/2 + a - r(l + j), ai = a + jr, &i = cr + a + jr, ci = 1 + j, di = A + (t)/2 + a + rj, ei = <j/2 + a + rj, a2 = A - <т)/2 + Л, b2 = (a + l)/2 + Л, c2 = e2 = 1 + A - <r - 2a + 2/i)/Br), rf2 = 1/2 + h, a3 = 1 - <r/2 + /i, 63 = 1 + a/2 + h, c3 = e3 = 1 + B - <r - 2a + 2h)/Br), ds = 3/2 + /i, a4 = A - a)/2 + /1, 64 = 1 - cj/2 + /1, c4 = e4 = (a + /i)/r, d4 = 1 - a + fc, a6 = A - <r)/2 - a + r(l + j), 66 = 1 - <^/2 - a + r(l + j), c6 = 1 + j, rf6 = l-a + r(l +j), e6 = l-<r-a + r(l +j), z = (-y)p\ [\argy\ < тг; 0<Rea<r + (l- Re<r)/2]. 20. ж (л/У A + Ы > 1] |i^8+=2CT+2"^B(a, l-<r-2a), [a + (a - l)/2, 7 - 2a - cr + 1 ^i+o = 2 v 2-G-2a 7 - a - G + l)/2, 2-2a- 8i = (a- l)/2 + a, s2 = 0, s3 = 1/2, s5 = (cr - l)/2, s6 = (<r - 7 - l)/2 + a, s7 = (a - 7)/2 + a - 1, ai = a, 61 = cr + a, ci = 7/2, di = A + 7J/2, ei = A + cr)/2 + a, /1 = cj/2 + a, gl = 1 + 7, a2 = A - cr)/2, &2 = A + cr)/2, c2 = A - a + 7)/2 - a, d2 = 1 + G - cr)/2 - a, e2 = 1/2, /2 = C - cr)/2 - a + 7, gr2 = C - cr)/2 - a, a3 = 1 - cr/2, 63 = 1 + cr/2, сз = 1 + G - cr)/2 - a, d3 = C + 7 - cr)/2 - a, e3 = 3/2, /3 = 2 + 7^a^ a/2, g-3 = 2 - a - cr/2, a5 = A - cr)/2, 65 = 1 - cr/2, c5 = a, d5 = a - 7, e5 = 1 - a, /5 = 1 + a - 7/2, 5Гб = A — 7)/2 + a, a6 = A - a + 7)/2 - a, 66 = 1 + G - cr)/2 - a, c6 = 7/2, d6 = -7/2, e6 = 1 + 7/2 - a, /6 = 1 - a - a + 7/2, #6 = 1/2, a7 = 1 + G - (t)/2 - a, b7 = C + 7 - <r)/2 - a, c7 = A + 7)/2, d7 = A - 7)/2, 21. Z 0 - a - a, /7 = C + 7)/2 -<*,g7 = 3/2, z = [ I argyl < тг; Re а > 0; Re Ba + a ~~ 7 - 1) < 0]. - da? = V+ + V = -2<7+2a+17 В (а + |, -<т - 2a Y о-- 1,A + 7 -<т)/2- a
230 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.2 2а, 7/2 - а 22. Е9 =2a+a 7B(a - 7/2, 1 - a - 2a+ 7), Sl = (o- _ i)/2 + a, s2 = <t/2 + a, s3 = 0, s4 = 1/2, s5 = (a - l)/2, = (cr - 1 - 7)/2 + a, ai = a, 61 = <j + a, ci = 7/2, di = -7/2, ei = A + a)/2 + a, Д = a/2 + a, g! = 1/2, a2 = a + 1/2, b2 = a + a + 1/2, c2 = A - 7)/2, d2 = G + l)/2, e2 = 1 + cj/2 + a, /2 = (<r + l)/2 + a, g2 = 3/2, a3 = A - (r)/2, Ьз = A + a)/2, c3 = A - a + 7)/2 - a, d3 = A - <r - 7)/2 - a, e3 = 1/2, /з = C - <r)/2 - a, #3 = 1 - a/2 - a, a4 = 1 - <r/2, 64 = 1 + a/2, c4 = 1 + G - <j)/2 - a, d4 = 1 - G + a)/2 - a, e4 = 3/2, /4 = 2 - a/2 - a, #4 = C - a)/2 - a, a5 = A - <r)/2, 65 = 1 - <r/2, e5 = a, d5 = « + 1/2, e5 = 1 + 7/2 + a, /5 = 1 - 7/2 + a, #5 = 1 - a, a6 = A - a + 7)/2 - a, be = 1 - {a - 7)/2 - a, c6 = 7/2, d6 = G + l)/2, e6 = 1 + 7, /6 = 1 + 7/2 - a, g6 = 1 - (j - a + 7/2, z = y> [|arg2/| < тг; Rea > 0; ReBa + cr -7 - 1) < 0]. F+ + V9+ + F+ s" + VJ- + Vio [|y| > 1] ^+ = 2a+2a^7 В (a, 1 - a - 2a), E$ = 22"+<т^7^1 В (a + (a - l)/2, 2 + 7 - 2a - a), iq = 2 а В (a + cr/2 — 1, 3 + 7 — 2a — <r), Eg =2 В (a, 1 + 7 — 2a), Eg = 2a+2a-'r-1 В (a - G + l)/2, 2 - cr - 2a + 7), ^ = ^2a+2a^7^27 В (a - 7/2 - 1, 3 + 7 - <t - 2a), 81 = (a- l)/2 + a, s2 = 0, s3 = 1/2, s5 = (a - l)/2, s6 = a + (o- - 7)/2 - 1, s7 = a + {a - 7 - 3)/2, ai = a, 61 = a + a, ci = A + 7)/2, di = 1 + 7/2, ei = A + (t)/2 + a, /1 = <j/2 + a, #i = 1 + 7, a2 = A - <r)/2, b2 = A + <r)/2, c2 = 1 + G - a)/2 - a, d2 = C + 7 - <r)/2 - a, e2 = 1/2, /2 = C - <r)/2 - a, ?2 = C _ a)/2 + 7 - a, a3 = 1 - cr/2, 63 = 1 + cj/2, c3 = C + 7 - <r)/2 - a, * = 2 + G ~~ a)/2 - a, e3 = 3/2, /3 = 2 - a/2 ~~ a, ^3 = 2 + 7 - a/2 - a, a5 = A - cr)/2, 65 = 1 ~~ a/2, c5 = a, d5 = a - 7? e5 = 1 - a, /5 = A - 7)/2 + a, gb = a- 7/2, a6 = 1 + G - <r)/2 - a, b6 = C + 7 - <r)/2 - a, c6 = A + 7)/2, de = A - 7)/2, e6 = C + 7)/2 - a - G, /6 = 1/2, ge = C + 7)/2 - a, «7 = C - <j + 7)/2 - a, 67 = 2 + G - a)/2 - a, c7 = 1 + 7/2, d7 = 1 - 7/2, e7 = 2^cr^a + 7/2, Д = 3/2, g-7 = 2 + 7/2 - a, z = 1/} [ I arg?/| < тг; Re a > 0; Re Ba + <r — 7) < 1]. 23. x (у/У /y + x, В = 2Л -x)(y + x) - a - 2a), E$ = ™2сг+2а+17В(а + 1/2, -a - 2a), "ffQ В (o- + 2a - 1, 1 - a + G - a)/2), 2, C + 7 - a)/2 - a), Eg" = 2^2а+1 В Bа, A + 7)/2 - a), E1™ = 22a+CT~2l~1 В (a - G + l)/2, 2 + 7 - a - 2a), Sl = (a - l)/2 + a, s2 = <j/2 + a, s3 = 0, s4 = 1/2, s5 = (a - l)/2, s6 = a + (о- - 7)/2 - 1, ai = a, bi = a + G, ci = A + 7)/2, di = A - 7)/2, ei = A + G)/2 + a, /1 = a/2 + a, gi = 1/2, a2 = a + 1/2, b2 = a + a + 1/2, c2 = 1 + 7/2, d2 = 1 - 7/2, e2 = 1 + a/2 + a, /2 = (a + l)/2 + a, g-2 = 3/2, аз = A - <7)/2, 63 = A + a)/2, c3 = 1 + G - <т)/2 - a, d3 = 1 - G + cj)/2 - a, ез = 1/2, /3 = C ~~ a)/2 -a,g3 = l-a/2-a,a4 = l- a/2, b4 = 1 + a/2, c4 = C + 7 - a)/2 - a, d4 = C - 7 - cj)/2 - a, e4 = 3/2, f4 = 2-a/2- a, #4 = C - <7)/2 - a, a5 = A - o-)/2, 65 = 1 - a/2, c5 = a, d5 = a + 1/2, e5 = 1 - <7, /б = A - 7)/2 + а, йГб = A + 7)/2 + a, a6 = 1 + G - a)/2 - a,
2.2.2] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 231 66 = C + 7 - <т)/2 - а, се = A + 7)/2, * = 1 + т/2, е6 = C + 7)/2 ~~ а, /6 = C + 7)/2- а - ex, ?6 = 1 + 7, z = у} [|argy| < тг; ReBa + <т - 7) < 1; Re« > 0]. *1 у2 + 2ху cos 7 + х2 {V12 Ы > 1] ¦ dx ^^ [|argj/| < тг; Re а, Re/9 > 0; | —у| < тг; г > 0 произвольное]. _ \ V+ + у+ [\у\^1], у2 + 2xycosj + x2 [ V12 + V13 [Ы > 1] sin 7 г sin 7 |_ ^ ~~ Р [ | arg|/| < тг; Re а > 0; Re (а + гр) < г + 2; \j\ < тг; г > 0 произвольное]. J 1 — хг у2 + 2ж|/ cos 7 + ; о sin [(a + lr)n] y r [0 < j/ ^ 1], в_Р_|г_я МУ /« + / \ g.n r \ r J [У > 1], [0 < Re а < r + 2; | —у| < тг; г > 0 произвольное]. I/+ л— | .. а — ± v -*- ! V -•- i "^ У j __ I П4 Г у 1 f [|з/1 > Ч \-Cii4 -- —2 тг(—сгJij -^15 ^2 <tf Г|—сг Н™ 2т (/ -|- 1 — ^)j5 [ | argt/| < тг; Re a > 0; Re Bа + <хг) < 2; | —у| < тг; г > 0 произвольное]. 28. |Ж^^ ^d!B = J Vii + Vxt {B+ = -2ст+2(а-2)/гтгA - аJ;, ??+ = _2"+2(а-2)/'>-1Г[1 - ff + 2r-x(/ + 1 - a)], E{4 = _2ст+2(а-2)/г-17г, Ей = 2'+4a-V'rr-1, z = 2-2/ry, h = -a} [ I arg|/| < тг; Re a > 0; Re Bа + егт) < 2 + r/2; | —у| < тг; г > 0 произвольное]. 29 | argy| < тг; 0 < Re а < 2r + 2; | —у|, |A| < тг; г > 0 произвольное].
232 Гл.2. Определенные интегралы [2.2.2 30. 1 ^о^1 У^ ш I Агг, — ) ?Г2 " 3 I *18 i 9 1\У\ ^ 1]? Еп = ^Г , w \у ,Еп = 1 12 2rsin37 [P + (a + l)/r\y ' 18 2г [|argy| < тт; Re a, Re/3 > 0; | —у| < тг; г > 0 произвольное]. A + хг)р~г , IUU Vi"? + VA + ' dj; = —о \ -L — №114 1 JL:i1 Ч — о А I V 1 2sin37 2rsin37 ' n " ' 1 п[1-р-(а-/-1)/г У" I-/» J ' 13 2 sin2 7' "ie 2r'L I-P [ | arg|/| < тг; Re a > 0; Re (a + pr) < r + 4; | —у| < тг; г > 0 произвольное]. oo 32. — — — — = - (ysinj)~2U + 17* [cm. 2.2.2.26], 0 (a + Ir — 1) cos [7@ + /r — 2)] a+|r^4 2 sin2 7^1 sin [(a +/г)тг] I cos G - I7) ctg f °^ тг ) i/1^3 1 [0 < 3/ ^ 1], V r /I i=o A - a + r + rl) cos [7@ - r - rl - 2)] a^r^rl^4 2 sin2 7 ^-^1 sin \(a — r — rl)w] (/ + l)cosG/ + 27)ctg (^±1 Лу-'-4\ [у > 1], [0 < Re о; < г + 4; | —у| < тг; г > 0 произвольное]. 33 Г д;"-! (l + vTT^r dx = f V + V + V + V J \ 9o-+2(a-2)/r-l 9a+2(a-2)/r-l 9o-+2(a-2)/r-l 9a+2(a-2)/r-l —2 (-*hiy-\ E+ = . 2 aT\-<r + 2r~\l + 1 - a)], ^ 7 ry2 sin7 2(hy\ 2 sin^ 7 ry2 sin7 = 2a+2(a-4)/r-\(-aJi, E+ = -2ст+2^-4)/'-1GГ-1Г[-<7 + 2^A + 1 - a)], E = ™_r+2{a-2)/r-2 2 ? = ff 2,+2(a-2)/r-l -2 sin 7 rsin 7 ?2-0 = -2"+2(a-4)/p-27ra, ??2"i = 2"+2^-4^r-1ar-\ z = 2~2'ry, h = -A [ | arg^/l < тг; Re a > 0; Re Ba + от) < 4; | —у| < тт; г > 0 произвольное].
2.2.2] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 233 34. х° о ¦ 2xycosj + ж2J ^14 = —г^—* sin 7 + УГ6 + V2o + V2 г sin 7 Е7Л = — J14 — Г^~~ sin 7 ^15 — Г^ ' г sin 7 - a)], , h = 1 - o- 35. [ | arg 2/| < тг; Re a > 0; Re Ba + err) < r + 8; | —у| < тг; г > 0 произвольное]. 2a;rcosA + x2r)(y2 I arg 2/| < тг; 0 < Re a < 2r + 4; [-y|, |A| < тг; г > 0 произвольное]. 36. xa~1dx 2rJ(l/2 + 2iC|/cos7 + ж2) (—1L/ + 1) cos (AI + 2A) — =BsIn2A) 1U1 + Ul [см. 2.2.2.35], 4 sin2 A sin2 7 \~J sin [(а + 1г)ж] x [8in[7^r)] - (a + Ir - 1) cos [7(« + /r - 2)]] »«-• ^ rsin[(a-/-lOr/r] ^ (^l)lIcos(AI^ A) со si Si 4sin2 Asm2 7 \_ sin [(a — Ir — г)тт l)cos[7(< °° (-l)'[(a + l)/r - 1] cos [Ar-X(a + I - 2r)] 1/ ч г / \i Sin Г7(а — /Г — Г — 1I1 a-r-lr-4 x I (a - Zr - r - 1) cos [7@; - /r - r - 2)] ^-^ : ^ U/ + sin 7 J E- 1=0 r sin [(a + 1)тг/г] sin 7 I arg2/| < тг; 0 < Re a < 4(r + 1); | —у I, |A| < тг; г > 0 произвольное]. min A, y) 37. a-l/! _r4/3^llV^ + Л/У^Х) /У~х ¦ dx = [0 < |s/| s= 1], [\у\ > 1] {Е+ = (-iy2->+2a+2jr(l - /З),- В (a + jr, 7 + a + jr), Eg" = 27-2/lr-1G - 2Л)Ь В (/3, г'1 (а + ft)),
234 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.2 Её = 2-2Лг-1(-7 - Щн В (/3, г^(а + 7 + Л)), s = а + j> + G - 1)/2, гг = G - 1)/2 - h, гц = -A + 7)/2 - /i, ai = а + jr, 6i = а + 7 + J^, ci = 1 — /3 + j5 di = a + 7/2 + jr, ei = a + G + l)/2 + jr, a4 = 1 - 7/2 + Л, 64 = A - 7)/2 + /i, c4 = (a + /i)/r, d4 = 1 - 7 + h, e4 = ^ + (a + /i)/r, a5 = 1 + 7/2 + Л, 65 = A + 7)/2 + /1, c5 = (a + 7 + h)/r, d5 = 1 + 7 + Л, e5 = /3 + (a + 7 + /i)/r, z = 2/p} [|/, Re a, Re (a + 7) > 0 и Re^ > 1/2 (при t/ = 1), или Re/3 > 0 (при у > 1)]. 38. - (у/у - л/У - х ] /У Vf ^G - Щи В (/3, 1 - /3 - г~х(а + Л)), (^7 - 2Л)Л В (/3, 1 - /3 - г^(а + 7 + Л)), - /3), В (а - гA - /3 + j), 7 + а - гA - /3 + j)), гг = G - 1)/2 -h,m = -A + 7)/2 - Л, v = а + G - 1)/2 - гA - ^ + j), а4 = 1 - 7/2 + /i, &4 = A - 7)/2 + /i5 с4 = (а + /i)/r, rf4 = 1 - 7 + h, е4 = Д + (а + /i)/r5 «5 = 1 + 7/2 + ^, Ьб = A + 7)/2 + Л, с5 = (а + 7 + Л)/г, rf5 = l + 7 + ^, е5=/3 + (о; + 7 + Л)/г, а6 = 1 - т/2 - а + гA - ^ + j), 66 = A - 7)/2 - а + гA - ^ + j), с6 = 1 - /3 + j, d6 = 1 - а + гA - /3 + j), е6 = 1 — Т ™" « + ^A "" /^ + j), ^ = 2/Р} [У> 0]. V* v7- . в E5 = ( (-7 - - p , p A - p)j В (a - r(l - p + j), 7 + « - r(l - p + j)), s = G - l)/2 + a + jr, м = G - l)/2 - /1, ui = -A + 7)/2 - h, v = a + G - l)/2 - r(l - p + i), ai = a + jr, bi = 7 + a + jr, a = l- p + j, di = 7/2 + a + jr, ei = G + l)/2 + a + jr, a4 = 1 - 7/2 + h, b4 = A - 7)/2 + h, C4 = {a + /i)/r, d4 = 1 — 7 + /1, e4 = p + (a + /i)/r, as = 1 + 7/2 + h, 65 = A + 7)/2 + h, c5 = (a + 7 + /i)/r5 rf5 = l + 7 + ^, e5 = p+(a + 7 + ^)M ae = 1 - 7/2 - a + r(l - p + j), 66 = A - 7)/2 - a + r(l - p + j), c6 = 1 - p + j, (l- , e6 = l-7- [Re a, Re (а+ 7) > 0]. 40. л/У ~ х ¦Vr [о< \y\^i], Ы > 1] = " ctg r >7Л/ = ^2" 4-7-2ft)hCtgfa + 7 + fe7r B (Q _ r(i + 1}> 7 + a _ r(i + 1)}) s = a + G - l)/2 + jr, и = G - l)/2 - h, щ = -A + 7)/2 - /i,
2.2.2] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 235 v = ('у - 1)/2 + а - r(j + 1), сы = а + jr, 6i = 7 + « + J>, ci = 1 + j, = 7/2 + a + jr, ei = G + l)/2 + a + jr, a4 = 1 - 7/2 + Л, 64 = A - 7)/2 + Л, c4 = e4 = 1/2, d4 = 1 - 7 + /i, a5 = 1 + 7/2 + h, b5 = A + 7)/2 + /1, c5 = e5 = 1/2, d5 = 1 + 7 + h, a6 = 1 - 7/2 - a + r(l + j), be = (l-7)/2-a + r(l +j), се = 1 + j, d6 = l-a + r(l+j), e6 = 1 - 7 - a + r(l +j), z = |/p I [Re a, Re (a + 7) > 0]. 41. (i ly-v I ^8 + V9 + V10 + Vtl " В (a, 7 + a), E% = 27+<T+2a В (a + a/2, a + 7 + a/: У+^+га-!^ B (a + C. _ iy2l 7 + a + (a ¦ 9a + 2a+7 г + 7, -a - 2a - 271 — a — a J [ 1 ~ G ~ a ~ 7 J si = a + G - l)/2, s5 = a + G + a - l)/2, s6 = a + G + a)/2 - 1, s7 = G - l)/2, s8 = -A + 7)/2, ai = a, 61 = 7 + a, ci = -a/2, di = A - a)/2, ei = 7/2 + a, /1 = G + l)/2 + a, g"i = 1 - a, «5 = 1 — о — G + a)/2, 65 = A — 7 — a)/2 — a, C5 = a/2, ds = —a/2, e5 = 1 - a - a/2, /5 = l^7^a- a/2, #5 = 1/2, a6 = C - a - 7)/2 - a, b6 = 1 - G + a)/2 - a, се = A - a)/2, d6 = A + a)/2, e6 = C - a)/2 - a, /6 = C - a)/2 - 7 - a, ?6 = 3/2, a7 = 1 - 7/2, 67 = A - 7)A c7 = a + a, d7 = a, e7 = 1 + a/2 + a, /7 = A + a)/2 + a, #7 = 1 - 7, a8 = 1 + 7/2, &8 = A + 7)/2, eg = a + a + 7, dg = a + 7, eg = 1 + a/2 + a + 7, г/ 42. (V о /8 = A + a)/2 + a + 7, g-8 = 1 + 7, z = -1 + д/l/ - X O + (^/y - y/y - Ж O [Re a, Re (a+ 7) > 0]. (л/ж = 27+2a В (a, 7 + a), E? = 27+2a+V В (a + 1/2, 7 + a + 1/2), В (a + ct/2, 7 + a + a/2), tf9" = -fa,r [2a + 27, ^a - 7 - a/2 8l = a + G - l)/2, s2 = a + 7/2, s5 = a + (<r + 7 - l)/2, s6 = G - l)/2, s7 = -A + 7)/2, ai = a, 61 = a + 7, ci = -cr/2, di = a/2, ei = 7/2 + a, /1 = G + l)/2 + a, gl = 1/2, a2 = a + 1/2, 62 = a + 7 + 1/2, C2 = A - <r)/2, d2 = (a + l)/2, e2 = a + G + l)/2, /2 = a + 1 + 7/2, g-2 = 3/2, a5 = 1 - G + a)/2 - a, ft5 = A - 7 - cj)/2 - a, e5 = -a/2, d5 = A - a)/2, e5 = 1 - a - a/2, /6 = i-7-a- a/2, #5 = 1 - a, a6 = 1 - 7/2, Ь6 = A- 7)/2, c6 = a, d6 = a + 1/2, e6 = 1 - 7, /e = 1 + a/2 + a, g-6 = 1 - a/2 + a, a7 = 1 + 7/2, 67 = A + 7)A c7 = a + 7, ^7 = a + 7 + 1/2, e7 = 1 + a/2 + a + 7, /7 = 1 - a/2 + a + 7, 7» * = -2/ 43. [Rea, Re (a+ 7) > 0]. ¦Vi"
236 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.2 44 -Cig — Zi О 1 (i j J ^T *-*¦)•) ¦*-J$ — ^ *-* Eg = 21+2а+а~2а В (a + (j/2 - 1, 7 + a + a/2 - 1), tj1Q = z d (a, 1 — d — Za), Ь1г = I В (a + 7, 1 — a — lot — ^7), si = a + G - l)/2, s5 = a + G + <j)/2 - 1, s6 = a + G + o" - 3)/2, «7 = G ~~ l)/2, s8 = -A + 7)/2, ai = a, 61 = a + 7, ci = 1 - c/2, di = A - a)/2, ei = 7/2 + a, /1 = G + l)/2 + a, 54 = 1 - <r, a5 = C - 7 - <j)/2 - a, 65 = 1 - G + <t)/2 - a, c5 = A + <r)/2, d5 = A - <r)/2, e5 = C - a)/2 - a, /5 = C - o-)/2 - 7 - a, g-5 = 1/2, a6 = 2 - G + a)/2 - a, b6 = C - 7 - <r)/2 - a, c6 = 1 + a/2, d6 = 1 - o-/2, e6 = 2 - cj/2 - a, /6 = 2 - d/2 - a - 7, #6 = 3/2, a7 = 1 - 7/2, 67 = A ~~ 7)/2, c7 = a + a, d7 = a, e7 = A + <r)/2 + a, /7 = a/2 + a, g-7 = 1 - 7, «8 = 1 + 7/2, b8 = A + 7)/2, c8 = <r + a + 7, dg = ol + 7, e8 = 1 + 7, /8 = A + a)/2 + a + 7, gg = cr/2 + a + 7, z = —2/} [Re a, Re (a+ 7) > 0]. (a, 7 +a), = 27+2a+ V В (а + 1/2, 7 +a+ 1/2), Ег = 27+2CT+2tt^1 В (а + (.г - l)/2, a + 7 + (o- " = 27a+1 В Ba, A - a)/2 - a), Em = 21~2a~^ В Ba + 27, A - a)/2 ~а~7), si = a + G - l)/2, s2 = a + 7/2, s5 = a + G + <r)/2 - 1, s6 = G - !)/25 S7 = -A + 7)/2, ai = a, 61 = a + 7, ci = A - cr)/2, di = A + a)/2, ei = a + 7/2, /1 = G + l)/2 + a, gl = 1/2, a2 = a + 1/2, fe2 = 7 + a + 1/2, C2 = 1 - a/2, d2 = 1 + (т/2, e2 = a + G + l)/2, /2 = a + 1 + 7/2, g2 = 3/2, a5 = C - 7 - (j)/2 - a, 65 = 1 - G + ^)/2 - a, c5 = A - o-)/2, = 1 - <t/2, e5 = C - a)/2 - a, /5 = C - a)/2 - a - 7, g5 = 1 - a, a6 = 1 - 7/2, fee = A - 7)/2, c6 = a, d6 = a + 1/2, e6 = 1 - 7, /6 = A + <r)/2 + a, ^6 = A - <j)/2 + a, a7 = 1 + 7/2, b7 = A + 7)/2, c7 = a + 7, d7 = a + 7 + !/2, e7 = 1 + 7, /7 = A + (t)/2 + a + 7, g-7 = A - <r)/2 + a + 7, z = -y} [Re a, Re (a+ 7) > 0]. у 45. [ж1 о «-1 (л/17 + •(л/У ~ Vl/^ A + 2ж cos 7 + ж2 - dx = U2 = г -A-2/J' 46. A + 2ж cos 7 + %2J\/у — х A + 2(a-Z- -2(a + 0/1 [Re a, Re (a + Л) > 0; | —y| < тг; г > 0 произвольное]. dx = 2~1(i/sra7)™2fy2 - 0<l/^; см. 2.2.2.45 \-2*-i^r| A-I Л — Zt ' 18 A + 2(a-/-' -rl [Re a, Re (а + Л) > 0; | —у| < тг; г > 0 произвольное].
2.2.4] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 237 2.2.3. Интегралы от (жм ^ ам)р и (ам ^ ; а Г / 1 1 \( V _ M\/3-l j _ -1 /*(/3 —1) + 1 р л _?_ J V м о о Г/ 2 2^-1/2, 2„Г°" 1N" 2. (а — ж ) 7 ах = тга 2Bга)!! о /2 2\те i 2п+1 3. (а — ж ) ах = а у; о Bп + 1)!! 4. I (ж^ - а^1 dx = д-1^^-1^1 В A - /3 - 5. 6. ,М _|_ ^М^ Р ^х = ^ z №Р g A/|Х, р — бЬ _ тг !^2таBп - 3I? x2 + z2)« ~ 2 Z Bn-2)!! о 2.2.4. Интегралы от ха(а(л zb x^)p. х + а с/ж J Уж (ж + а) о 4. 5. e- 7. = /п /о =ln(l + >/2), h = а{л/2 -1), /2 = у [а, /1, Re/З > 0]. [а > 0]. [а > 0]. [а, /х > 0; 0 < Re^ < 1 - 1/fj]. , > 0; fi\argz\ < тг; ft Rep > 1]. [Rez > 0; n = 1, 2, 3, ... ]. [a, Re a > 0]. [a > 0]. [a > 0]. [a, Re a > 0]. [a > 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. [a, Re a > 0]. [a > 0],
238 Гл.2. Определенные интегралы [2.2.4 1-т 2(n 8. арГ1 В ( ^, Q f 2m, 2 2^-1/2. 7ra2w+2wBm - 1)!!Bn - 1)!! 9. ж (а — ж ) 7 аж = ]_ ... ,— 4t — [а, /х, Rea, Re/3 > 0]. [а > 0 . L J о а 10. L2m+1(a2-x2)n- о 11. 12. тг/2 a dx = 13. (a5 a) ' J (x+"l| = В (Q + 1, /3 15. x + 1 а > 0; S = [а > 0; 0 < Re a < 1]. [а, Re а > 0]. [Re а, Re/З > -1]. [0 < Re а < 1]. 16. —dx = J +1 x +1 : a sinaTr 17. 18. 19. (жп + 1)г (p/n-l)\(m-l-p/n)\ ; — (m — l)ln m-1 / n sin (pn/n) [m, n, p = 1, 2, 3, . . . ; mn > p; p/n нецелое], ra, n, p = 1, 2, 3, . . . ; тете > p; p/n целое I. , sin [(a - ^)тг/2] „ . dx = p7 ^; ;. В (a sin [(a +/3)тг/2] l 20. 21. 1 - dx = фШ + 1) - ^(a + 1) dx = irctgair 0; Re a, Re^ > -1]. [Rea, Re^ > -1]. [0<Rea<l].
2.2.5] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 239 22. 23. 24. 25. 1 — х //-I/ dx = za рВ(а, р - а) dx = dx x + z sin атг Г жа dx _i 26. = ^7гаа ctg атг J ж а 27. 28. 29. 30. 1r \x - а\р dx = (a- р/2)ж cos(p7r/2) В(а, р- а) | argz| < тг; О < Re a < Rep]. [largzl < тг; О < Rea < 1]. [а > 0; 0 < Re а < 1]. [а > 0; 0 < Re а < Rep < 1]. т^с!ж = / ,, ,П (ж - а)п (п - I)!sina7r 11 k=1 -а ~ } П (а - А;) [а > 0; 0 < Rea < n; n = 1, 3, 5, . . . ]. 11 |ж x — а {sgn ж [0 < UrgzI < тг; 0 < Re а < Rep]. а Ч 5 ^ 1та = 0; 0<Rea< 1. I 1 J 2.2.5. Интегралы от (ам±/)р(Г т/ Условия: а, 6, с, d — действительные числа. ь 1. [(ж - а)а^(Ь - xf-1 dx = (b^ а)а+^г В (а, [Re a, Re/3 > 0]. * 3. Ж^ (fe- a)" 7 а{ас + d){hc + d)a 0; Re a > 0]. 0; Rea>0]. J (еж n\ B(fc + 1, к) > 0; Re/3 > 0]. ь - J f>(bc +d)(ac
240 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.5 в. 7. 8. 9. а + х (а2 - ж2)т _ m\2m+1 ¦ dx = Bт + 1)!! — л/d — асJ [0 < Re/3 < 2, p ф 1]. [d > |ac| > 0]. (d + icx)r dx = n(d2 + а2 10. | dx = ±ж sgn |/(|/2 — а2 ж - I/ 11. 12. 13. 14. -{*„"} dx = ln- /a - x (x + y) Va + 2/ 2 ln^±^±i 2 / a arctg , /a — x (x — y) y/y ~~ а у У ~ а [m = 0, ±1, ±2, ... ]. [—oo < |/ < —а или а < у < oo]. [-a < у < a]. [0 < a < 1/]. [a > 0; | argy| < тг]. [у > а > 0]. 15. 1 dж = ± sgn у (у2 — a2) 1^2 arccos I ) — 16. a + у а2 — y2 / 0 J [-—00 < у < -—а или а < у < оо]. [-а < t/ < а]. 20. 21. [cd > 0; ad 1 /ж + z (ж + a) ^z — а dx ¦In /z + V^ - /z — \/ z — a [0 ^ к < 1]. с; Re^ > 1]. [a, z > 0]. Bп-3)!!2/тг (ж2 2(п - I)z2n(z2 + у2) (п - I)!2«z2«(z2 + у2)
2.2.6] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 241 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. оо (^l)^1 дп dx [у, Rez > 0; п = 2, 3, 4, ... ]. ( (ж2 + z2)(x + |/)те (п - 1)! о^1 [z2 + у2 V 2z dx ¦In- -У) [Rez > 0; |argt/| < тг, n = 1, 2, 3, . . . ]. [Rez > 0; | arg3/1 < тг]. dx -y2 ¦ arctg • = У VVV ¦2 _ ¦ In I/ [Rez, Ret/ > 0; | arg (z2 - t/2)| < тг; z ф у]. [z = у; Ret/ > 0]. [Rez, Ret/ > 0; | arg (y2 - z2)\ < тг; z ф у]. (a2x2 + 62)(е2ж4 + d2) " 2(«4d2 + 64c2) [б I"" d ] \/ 2J [a> 6' c' d > °]' (ж , r2 >0; 0< |0i| < тг, 0< \02\ < тг; 0; = e exp [eiwp - i(p - /3)@i + 03)] э,-/3) П, ^2 > 0; p > C] гз = yr2 + r\ + 2riF2 cos @i — 6>2), гз sin 0з = r2 sin @2 — 0i), -1, если 0 < 0i < тг, 0 < 6>2 < тг r3 cos 0з = ri+r2 cos @2™0i); |03| < тг; e = 30. 31. 32. 1, если — тг < 0i < 0, -—тг < 02 < [a, 6 > 0; Re (/i + i/) > 1]. = 0 (a + * = 0 [об < 0; Re(/i + v) > 1]. [Re a, Re 6 > 0; Re (/i + i/) > 1]. 2.2.6. Интегралы от j l(ak^x)Pk. k=i Условия: a, 6, c, d — действительные числа. ь f г, / n c(a-b) x 2Fi a, ^7; a + /3; -^——~^ \ ac + о 16 А. П. Прудников и др., т. 1 ^^~г(ае 4- г/17 R Гг> Я) X [Re a, Re^ > 0; | arg (d + cb)/(d + ca)\ < тг].
242 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.6 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. у-а\Р\у-Ь\а [Re a, Re /3 > 0; у < a < 6 или a < b < у]. Ь-у х 2Fi( 1, 2-а-/3; 2-/3; В (а, /3JFi 1, /3; а +/3; \ Ь-у / [Re a, Re C > 0; у < а < b или о < 6 < у]. 4(а, р -1) х [Rea, Re/3 > 0; /3 ф 1; a < у < b]. 6-а \ а —1 | — а\ «ж 6 — ж / ж — у sin атг Ь- 2/ тг I / у — а \а I cos аж ( f ) + 1 Ь-у — 1 ) [0<Rea<2;t/<a<6 или а < b < у]. [0 < Re a < 2; a < 2/ < b]. х - у ¦ dx = sin атт(Ь — у) a-y b- у (еж (be (сж + d)n [0 < Re a < 1; у < a < b или о < 6 < у]. [0 < Rea < 1; a < у < b]. (b - a)"**3 ^ /n\ В (a + Jfe, P + n - A;) ^\k) (bc + d)k(ac + rf)n^fe : + d) > 0; Rea, Re/3 > 0]. [c ^ 0; ac + d, be + d > 0], /1 = —о Vflc + d — V6c + d) , /2 = —т 2c2 l ; ' 2c2 2c2 2c2 /3 = тг(б^аJ y^ (n- fc=O 12. 1)!1 (,2+V1 ' 13. [m, n, p = 0, 1, 2, . . . ]. га — A; [m = 0, 1, 2, . . . ; n = -1, 0, 1, 2, . . . ].
2.2.6] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 243 14. 15. 16. 17. 18. (ex , (g + A;, m-fc d) > 0; Re a > 0]. CLX — Q> Z D [Oi.. _ Г(а-1)ГC/2-а) 2^? i, p; a + /3; -- |argz| < тг; a, Re a, Re/3 > 0]. dx = ±- /ж(а — ж) (ж ± с) у/с(с =Ь а) ж"™1 dx /а — ж ж + а [y > a; 0 < Re a < 3/2]. a, c > 0 . с > a > 0 [a, Rea> 0], , /3/4 = а/4тг/2, /б/4 = ^а/4[тг/2 - 20. ||4^)±1/2^L = TZL± «2 + Ж/ Ж — у 2 У + а ±1/2 I/ / а \ arccos I 1 [—оо < у < —а или а < у < ею]. 21. 22. 23. 24. 25. 26. i ±1/2 a + 1/a2 - y2 [-а < у < а]. (еж 6с + d)(ac > 0, Re/3 > 0]. argz|, |argy| < ж; Re а > 3]. + zYx dx = z~xya~p В (a, p + Л - a) 2Fi (а, Л; р + Л; 1 - ^ В (a, a) |argz|, |argt/| < тг; 0 < Re a < Re(p + A)]. [Re a > 0; |argy| < тг]. = ttz Х(-у)а г В (а, 1 - a + A) 2Fi (a, A; 1 + A; 1 + - [|arg(-3/)| < тг; 0 < Re a < 1 + Re A]. 16*
244 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.7 27. 28. = ™тг ctg (a — Х)жуа (z + у) ¦— В (а, А — а) х z 1, 1 - А; 1 + а - Л; 2/ [2/ > 0; 0 < Rea < 1 + ReA]. xa~1dx [(х + г)(я — Г I [|argz|, |argy| < тг; Rea > 1]. la — i/zJ 1. 2.2.7. Интегралы от II (a^fe =t жм^j fe. k=i Условия: a, 6, c, <i — действительные числа. п. Ira - dx = 0т(Ь7 а) /1 - ж2 0o(bj a) = F((fij b)^ 0iF, а) = F{ip, b) -— E(ip, b) -\- a Bm + lHm+iF, a) - 2mF2 + 1I 1-a2 , a) — Bm — lN2<9m^iF, a) = 0_iF, a) = Bm + lN26 ч , b)] + &a 6, a) - 2mF2 + lH_m(ft, a) + Bm - lHi_mF, a) = 2' 2 3. A * 5. 7. 8. 9. a + x\ dx -a2 2acos(/37r/2) с!ж = Bm [0< a < fe < 1; m = 0, ±1, ±2, . . . ], л/Ь2 — a2 1 = arcsm , /-, 2 » 6v 1 — a j [m = 1, 2, 3, ... ] [m = 1, 2, 3, ... ]. [a, Rea, Re/3 > 0]. [|Re/3| < 1; a > 0]. [d > \ac\ > 0]. an — xn dx -,-n-l n ф те+1 ~~ а ^ к [г, Rea > 0; |zar| < 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. [n = 1, 2, 3, ... ]. 6/x sin xa~1dx Зтг 2/' ,а-5/3 (ж + |/)(ж2/3 + |/2/3) 8 A — 4cos2 an) sin атг 3jLi 6 [0 < Rea < 5/i]. [|argt/| < тг; О < Rea < 5/3]. 1 - ж2
2.2.8] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 245 10. xmdx {x2 + z2){x±y)n ~^fc г^к (Т1)Г (п-к-1)\ дуп~к~г [z^+ у Re z > 0; argj/l < 7Г, n = 0, 1, 2, . . . t/ > 0, те = 1, 3, 5, ... п. 12. 13. 14. ж — у sm атг sm (а +/х)тг [t/ > 0; 0 < Rea < 1; 0 < Re (a + /i) < 1]. - 1 dx = dx = 7Г Sin (/!7г/А) xx ~ x^x J A[cos (jwtt/A) + cos (атг/А)] ХЛ — X л / X = 1п ,-A<Rea</i + Rea<A]. [0 < ^ < A], 117Г 15. (ж - I) (ж — 1) с!ж = тгГА ctg Атг + /i ctg /Х7Г — (/x + A) ctg (/i + А)тг] — 1 16. = 2GT/XCtg^7T - 1) n 2.2.8. Интегралы от f\ (аГ ± жМ|е)Р|г, п > 4. Условия: а, 6, с, rf — действительные числа. Re(/x + A)|, |ReA|, |Re/x| < 1]. [A = -/x; |Re/i| < 1]. Fc + d)a(ac + d)n-kto 0; m ^C те; Rea, ReC > 0]. 2. (x-y)\x-< i2) (cirf2 — e2cfi) slnaTT [ Fci + di)a Fc2 + с12)а J [dd2 Ф c2di; (acj + dj)(bcj + dj) > 0, j = 1, 2; 0 < Re a < 1]. 1 тг sgn B/ — c) ctg атг \y - c\2a~r[(y - a)(b - у)]г~а [r = 0 или 1; а<у<6; а < с < b; 0<2Rea<l + r]. (ж - у)\х - с ||/-с|2а r[(|/ - a)F - 1/)]1 a [r = 0 или 1; a<i/<6; a < с < b; 0<Rea<(l + r)/2].
246 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.8 5. ха (а — х) A — их) рA — vx) dx = аа+ В (а1 /3)Fi(a7 р, А, а + /3; иа, va) о [ | arg и| < тг или а|it| < 1; | arg v| < тг или a\v\ < 1; а, Re a, Re /3 > 0]. 6. dx = = A 1[а1ф(а1/Х) + . . . + апф(ап/Х) - аоф(ао/Х)} [a0 = a\ + a2 + • . - + an; A, Re oli > 0; г = 0, 1, 2, . . . , n]. 7. 8. 9. 10. 11. /-(n)/2 + . . . + xa~1/n - n/" 1 - x dx = :tg; dx = nlnn [Re a > 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. 7Г 1 + x + ж2 + . . . + x2m+2 2m + 3 & 2Bw + 3)" x2m+2 ¦ ^Ж = ^т ~^т Ctg — 2) 2) ' хп~гAх 1)Bж + 1) . . . (пх к dx = а° -a-/3, р, А, [п = 1, 2, 3, ... ]. -а; гг/а, v/a) [а > 0; | argit| < тг или |и| < а; | argv| < тг или \v\ < а; 0 < Re Д < Re (А + р -— а) + 1]. 12. (Ах + В) ci — Лс/i Л In qr In C3CI2 [p = i, q = i, r = C2CI3 — > €2/^2 > - 2/"(j/v - l)ctgi/7r - [y > 0; Re/x|, О]. 7Г J ¦")l<i]- 14. x — у x — 1-2/ L тг In 2/ - 2B/M -^ 1) ctg /Х7Г [y >0; y (сх + rf)n4 dn \n dx = ж ^ BА;-1)!!Bп-2А;-1)!! п-1 - V, >• 71к [cd > 0]. [Rez >0].
2.2.9] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 247 Вг){А2х2 + В2) . . . (Л>-1Ж2 + Bn_i) - B1c1)(A2d1 - В2сг) . . . 7г f 2 1 - B2c2) • • ¦ . . . (cndi — dnci) + . . . . . . (cnd2 — dnc2) 2dn^B2cn)...(. in — d2cn) . . . (cn-idn — dn-\cn > 0; Cidj Ф Cjdi; г, j = 1, 2, 3, . . . , n; n = 2, 3, 4, . . 18. ¦ dx = In [Pn(x) = In= Мп ' п = . . . + An-!, Qn(x) = Boxn + Bis"-1 + . . . + Bn; все корни С^п(ж) лежат в верхней полуплоскости], z 0 0 B2 0 B4 .. B3 .. 0 .. 0 0 . вп , А« = Bi B3 B5 ... 0 Bo B2 B4 . . . 0 0 Bi B3 . . . 0 0 0 0 Мг = До, Ai = Bi; М2 = ^Ло + АгВоВ^1, А2 = Bi; М3 = -Л0В2 + ЛхВо - BoBi^2B3m1, А3 = В0В3 ~~ ВгВ2; М4 = A0(^BiB4 + В2В3) - B0B3Ai + B0BiA2 + BoB^M3(BoB3 - BiB2), А4 = BqB3 + B1B4 — ВхВ2Вз. 19. cfж = etc 1)т etc 1. 2.2.9. Интегралы от ха(ах2 + bx + c)pA(x). Условия: a, b1 с — действительные числа. Z ^л, . fe sin 7A: ctg7 + C0S7A! ж2 + 2x cos 7 + : a + k [n>m + l]. [Re a > 0; Ы < тг]. 2. ¦ dx = [6 + с + (a - 2 + e)y/cy/a + 2& + c]22^°^e^Fr(a - 3 + e) J (a + 2b + c) (о + с + усул + ^^ + с] ^I^Q; — o/il + ej с, a + 26 + с > 0; а < (у/с + %/а + 26 + с 2; Rea>3-?, e =
248 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.9 (ах2 + 2Ьх ¦ dx = • + с + а-°Г(а + 1/2 ^ d) | (а + 2& + с) 1/2 О с, а + 26 + с > 0; а < (д/с + л/а + 26 + с J; Re а > ст; /3 = \ " L 1а- 4. 4х = -а/2 sin [7 — ct arctg [sin 7A/ + cos 7) sh [7 — a Arth ] х A + х COS7J dx ^—v/ чд 6. 7. dx = fc=O Trsln @:7) sin 7 sin (an) + bx + c)p Г |argy| < тг; 0 < Rea < 1; |-у| < тг 1 |argy| < тг; 0 < Re а < 1 [ |-yI < тг; Rea > 0]. [0 < |7| < тг; | Rea| < 1]. a a 1 b2\ 2 2 2 ac/ [a > 0; 62 < ac; 0 < Re a < 2 Re p]. X<*-1 8. I -—:—^ — dx = B (a, 2p - a)(a2 - b2 9. ¦аJ -Ь2]р x 2F1 ж"dx [6 < a; 0 < Re a < 2 Rep]. (ax2 + bx + = In /0 = , h = [а, с > 0; Re a > 2n - 1; 6 > -y/ac], a-1 = a-3 a-3/2j' 10. 11. 12. ж m+2fe + l/2 ) 7 [а, с > 0; 0 -l; n = 1, 2, 3, ... при б2 < ас и n = 1, 3, 5, . . . при 62 > ac]. (-1)' - b2 arcctg ¦ /ос^б2 [62 <ac]. 1 6 + V&2 - ac \ ¦In- 1 [ac< 6^1.
2.2.9] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 249 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Bга-1)! [ас = б2], [а, 6, с > 0; 0 ^ т + к ^ п - 1; п = 1, 2, 3, . . . ]. х dx (-1) п —1 ап-2 2(га - 1)! дсп^2 \(ас - б2K/2 ( 1 \Ti —I on —2 Ъ b arcctg In- ас — б2 л/ас — Ъ2 'ас 1 2(п-1)! Яс» V(б2 - асK/2 А11 6 + л/Ь2 - ас л/ас - Ь2 [ас>Ь2]„ Гас<621. " 2(п- da; [ас = б2], [а, 6, с > 0; п = 2, 3, 4, . . . ]. - 26ж + с)п (га —1)! ^сп" 1 1 . Ъ ¦ arcctg ¦ (п - 1)! дсп~г п — 1 а Bга- l)^2" In- -ас ш b [ас>621. [ас<621. [ас = б2], [а, 6, с > 0; п = 1, 2, 3, . . . ]. Ь) т+г _ (-2) п—1 on—1 Bп - 1)!! ^а^ dx + Ь) [m + 2ife = 2п - 1], [а, 6, с > 0; п = 1, 2, 3, . . . ]. 1 2П - 1)! дсп (ж2 + 2 ж 1/ cos 7 + 1/2)р — (а — 1)| cos7| - ¦ь) [а, 6, с > 0; п = 1, 2, 3, . . . ]. а а\ „ [а а 1 2 2 -1 3 2 ; 2' COS 7 )} 24. 25. 26. с!ж :=:::: ж2 + 2 а; 2/ cos 7 + У2 Trsln [(I — 0O] (ж2 + 2ху cos 7 + У2J dx = 2 J2 Ч2~' Р 2~; 2' |arg2/| < тг; 0 < |-у) < тг; 0 < Re а < 2 Rep]. [| arg 2/| < тг; 0 < |7| < тг; 0 < Rea < 2; а^ 1]. [0 < |7| < тг]. 7r{sin [A — аO] — A — a) sin 7 cos [B — аO]} 2у4^а sin3 7 sin атг [| arg 2/| < тг; 0 < |7| < тг; 0 < Re а < 4; а ф 1, 2, 3].
250 Гл.2. Определенные интегралы [2.2.9 со 27. Г ^- J (ж2 + 2ж|/соз о со 28. ' XdX о О (ж2 + 2хуcos7 + 2/2K _ 27^ %3 sin 7 ч - sin 27 sin3 7 ' — 7 cos 7 I2 sin3 7 - sin 27 4ysln3 7 dx = Г х2 dx 27 sin 27 J (ж2 + 2Жусо87 + г/2J = 4j/Sin37 [° < _ 7r{3sln[(l - 0O] -3A - a) sin 7 cos [B- 0O] - A - а)B - a) sin2 7 sin [C - 0O]} I arg I/1 < тг; 0 < |7| < тг; 0 < Re a < 6; а ф 1, 2, 3, 4, 5]. 127 — 8 sin 27 + sin 47 9 sin 7 + sin З7 — 127 cos 7 °^ 32|/5 sin5 7 ' 1^ 32i/4 sin5 7 ' 27B + cos 27) — 3 sin 27 9 sin 7 + sin З7 — 127 cos 7 2^ 16t/3 sin5 7 ' 3^ 32|/2 sin5 7 ' I27 — 8 sin 27 + sin 47 4 ~~ 32|/sln57 ' 157 — sin7cos7A5 + 10sin 7 + 8sm 7) ^0 = z 7 ¦ 48y" sin 7 15 sin 7 — I57 cos 7^5 sin3 7^2 sin5 7 48|/6 sin7 7 ' = 2p - 2a + 1 =p 1; Re a > A ± l)/2; Re (p - a) > (=pl - l)/2; у > 0; 6 > -у]. = 7.(±3-3)/2 У о / 1±3 1±3 х В р-а+ —г—, а- 2 ' 2 [/3 = 2р^2а + 1±3; Re a > (l±3)/2; Re (р - а) > (=рЗ - 1)/2; 3/, 6 + у > 0]. 35. аж2 + 2bx + с а(^ — 2/) sinaTr a"/2 sin атг sh у? о |"о < Rea < 1; 0 < ас < b2; ab > 0; ay = b - \/b2 - ас , az = 6 + \Л2 - «с, ^ = Arch (|6|/
2.2.10] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 251 36. 37. 38. г 2 ^п [0 < Rea < 1; ас > b2; ф = arccos (b/y/ac) 1. L J a(t/ + z) sin атг 0 < Re a < 1; ac < 0; az = 6 + yb2 — ac , ay = —b + yb2 — ac . 7rsh[(l-a^c"/2-1 ctg атг = ctg атг = г a(z — I/) a"/2 sh 99 [0 < Re a < 1; b2 > ac > 0; ab < 0; ay = -b — \/b2 - ac , az = -b 39. 40. 41. dx _ 1. g(r%/c + gc- hb) (gx + h)\Jax2 + 26ж + с r h(rx/a + gb - ha) -, /1, a > 0; с ^ 0; 6 > -yfac\ r = ^ah2 - 2bgh + e^r2 > oj. 42. = — arccos 1 - r I gh(y/ac + 6) 43. 44. hyfa , h, a > 0; с > 0; 6 > V«c; r = \/-ah2 + 2feg-/i - eg2 > oj. [a/12 - 26g-/i + eg-2 =0; o, g-, /1 > 0; с > 0; g-6 - /ia ^ 0]. (аж2 (^l)m7ran-m-V - l)\\Bn -2k- 3)!!(ас - [а > 0; ас > б2; m = 0, 1, 2, . . . , 2п - 2; п = 1, 2, 3, . . . ]. 45. с)п Bп - 2)!!(ас - б2)^ а > 0; ас > Ь2; п = 1, 2, 3, .... 2.2.10. Интегралы от жа(аж4 + 2&ж2 + с)рА(х). Условия: а, 6, с — действительные числа. 1 1. 3. 4. ж4±ж2 + 1 2-У2 (аж4 + 26ж2 + с)^ 2 о о оо ж с!ж —• 2- f 2±1 J 1 ОО 1[, яо/а' 2 I (аж2 + 2&ж ж4±ж2 ¦ б?ж = аж4 + 26ж2 + с [см. 2.2.9.7]. [а, с > 0; Ь2 > ас],
252 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.11 2у/2с(Ъ + у/ас) /о = 1 . b + y/b2 - ас h = ^ /wn In — , h = 2y/b2 - ac [c > 0; b > -y/ac], 5. хл о 2y/2a{b + ^ac) p-1/21 1. 2. 3. 2.2.11. Интегралы, содержащие А{\/ах2 + Ъх + с). оо ж""^ _ 2Ск^х/^1^^а^х/гГ a/2, i/ - a ж dx [c> 0; Rep > 1/2]. [Rez > 0; 0 < Re a < Rei/]. n(n — m — 2)! xa dx + z2 (m + l)(m + 3) . . . Bn - m - 1) [Rez > 0; m = 0, 1, 2, . . . , n - 2; n = 2, 3, 4, . . . ]. [Rez > 0; 0 < Re a < ±Rei/]. 4. 5. 6. 7. 8. + x)n (n — m — l)(w — m + 1) . . . (n + m + 1) [Rez > 0; m = 0, 1, 2, . . . , n - 2; n = 2, 3, 4, . . . ]. ГBа)ГA/ - а)Г^1A + a + i/) )T^1(l + 2i/ - a) xm dx [ | arg z | < тг; 0 < Re a < Re v\. nzm"n+12"mBm + l)!(n - m - 2)![(m + n + I)!]™1 2nBz)m"n+1m!Bn -2m- 3)![Bn -m- I)!] [|argz| < тг; m = 0, 1, 2, . . . , n- 2; n = 2, 3, 4, . . . ]. dx /x2 - b2 (x + V^2 - 62 )" i/ ; |argz| < тг; 0 < Re а < Re i/1 [|6| ^ a; Re i/ > 0].
2.2.11] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 253 9. xa~1dx 2 i 2 I \ v 2 2. 2 X у + Z а и — a\ „ (\ {v — /1/- ОП I/ + 1 , 1 [Re у, Rez > 0; 0 < Re а < Rei/]. 10. /ж2 + z2 A/ж2 + z2 + г/)" [Rez > 0; \arg(y/z + l)\ < тг; 0<Rea<Rei/ 11. 12. 13. /ж2 + z2 {л/х2 + z2 + zI xmdx [Re z > 0; 0 < Re a < Re v + 1]. n(n-m -1)! ¦ ~~ m — l)Bn — m + 1) . . . (rn + 1) [Rez > 0; m = 0, 1, 2, . . . , n - 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. 14. 15. 16. 17. 18. ж2 + z2 та^г(\/т2 = 2-aza-v-1B[a, 4- + z2 = /"Vb U i/, a; [Rez > 0; | arg (y + 1)| < тг; 0 < Re a < Re i/ + 1]. 1 — a ± 1/л [Re z > 0; 0<Rea<l±Rei/]. dx = (n — m)(n — m + 2) . . . (n + m) [Rez > 0; m = 0, 1, 2, . . . , n - 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. xa dx /2x + z (x 7za^I/^1/2B(a, 2i/-2a + l) [|argz| < тг; 0 < Re a < Re v + 1/2]. xm dx л/z2 ,-m-l)! |argz| < тг; m = 0, 1, 2, . . . , n - 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. [ж + z + 1/ + 2y/y(x + z) ] " da; = x + I, а.)ъЬ\ I i/ + 1 - a, i/ + -; 2i/ + 1 - a; 1 - - V ^ z^ |argz|, | arg 2/|, |arg(t//z)| < тг; 0 < Re a < Rei/ + 1/2]
254 Гл. 2. Определенные интегралы [2.2.11 19. 20. 21. xa dx ¦ + 2z (x + z + л/х2 _ I [|argz| < тг; 0 < Re а < Re ?/+ 1/2]. хт dx 2z (ж ^)те Bn - 2m - l)Bra - 2m + 1) . . . Bra + 2m + 1) [|argz| < тт; m = 0, 1, 2, . . . , n- 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. /x + ж2/ + 2 + 2y/xy(x + z) ] v dx = ' В ( 2а, - + и - а\ 2Fi I а + -, v + -; а + i/ + -; 1 - [|argz|, | argj/l < тг; 0 < Re a < Re v + 1/2]. 22. = 2 z 2 ' ' 2 ' f ' z [ |t/| < |z|; | argz| < тг; 0 < Re a < Re v + 1]. 23. = 2~ ln/ В (a, ^-a 1 + i/; 24. ¦ [(z + Vtt — x Y + (z — V« — ж I/] « a-l/2 v ; 1^1/ 2 ' < 1; | argz| < тг; 0 < Re a < Re i/ + 1]. [a, Re a > 0; z2 ? [q, a]]. a 25. f tX<* [(a + Va2 - ж2 )" + (a - Va2 -ж2)"] dx = Ba)a+l/^1 В (-, i/ + -^ J Va2 - ж2 U ;i JJ li V2 2/ [a, Re a, Re (a + 2v) > 0]. 26. ¦ dx = , Ret/ > 0; 0 < Re a < Re v + 2]. 27. + z2)(^2|/2 + z2) (Vx2 + z2 [Re |/, Rez > 0; 0 < Re a < Re v + 2].
2.2.12] 2.2. Степенная и алгебраическая функции 255 28. \и = v - \/v2 - 1 , 2vyz = с2 + t/2 + z2; с, Rez, Key > oj. 2.2.12. Интегралы, содержащие разности алгебраических функ- функций. 1. 2. 3. 4. 1-х 1 — хЛ dx = С + 1пЛ ф\ — ) V А/ ^ \ dx = тг ctg атг = ^(<т) - ф(а) | arg Л| < тг; Rea, Re (a - А) > 0]. [|argz| < тг; Rea, Re a > 0]. [|argz| < тг; 0 < Rea < 1]. [|argz| < тг; Rea, Re a > 0]. 5. ж [(ж + z)F — хи \dx = z н В (a, 1 — a — p) 6. (ж + z)px -dx = Ka-l \ aA-1' Ж ЛЖ i г Ыж = In A 1 — ж 1 — жл о 8. J dx = [|argz| < тг; Rea > 0; 1 < Re (a + p) < 2]. — ф(р — <т)] [| argz| < тг; Rep > 0; Rep > Rea]. [|argA| < тг; Rea, Re (Aa - A) > 0]. у > 0 или | arg 2/| < тг " 1 dz xy у dz ж / sin ai (^ cos сктг 0 < Rea < 1, У > 0 a \\(T _i_ riNl7™1f/i _ tI^™1 4- Гт 4- rtl/3™1fn — tI^1] fir — Bа)^+1~г R Г/9 ^ да I I I «X/ I U/ I I IL*/ %Aj J I I eJL/ j CX1 J I IL*/ еАУ I CJy «X/ 1 X^ СД/ I I J I LJ) _ /I 0 1 J 10 11. 12. [a, Re^, Re 7 > 0].  В (a, /3) [a, 6, Rea, Re/3 > 0]. /1 - x2^ (a - (a + еж) a(x + ay^x"-1 + &(^ = 2 = a'ln- В (a, p) [a, 6, с > 0; Rep < 0]. [a, b, Rea, Rep > 0].
256 Гл.2. Определенные интегралы [2.3.1 14. рх) \ qxj о оо 15. I zr 1 =0 Га, в произвольные]. О оо 16. Г|[1 + — 1 -и + — 1 I —= У V / J а /3 \а 0J а р [а, /3, Re у, Re z > 0; Re/x, Re i/ < 0]. 2.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 2.3.1. Введение. В этом разделе содержатся интегралы, в подынтегральные выражения которых входит показательная функция. Одним из способов вычисления таких интегралов является сведе- сведение их с помощью замены переменной к интегралам, содержащим степенную и алгебраи- алгебраические функции. Кроме того, некоторые интегралы, содержащие показательную функцию, могут быть получены из других интегралов с помощью предельного перехода по параметру; например, если = /(а, о то при соответствующих условиях \ (р(х)е~рх dx = lim I ( 1 + — ) ф(х) dx = lim [aap/(а, —ар)]. 0 0 2.3.2. Интегралы общего вида. В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интегралы, содержа- содержащие степенную, алгебраические и показательную функции. Некоторые частные случаи этих интегралов, соответствующие конкретным значениям входящих в них параметров, приведе- приведены в последующих пунктах. Интегралы общего вида представляются с помощью функций Vj, j = 1, 2, 3, . . . , помещенных в приложении III. Конкретные значения параметров, входящих в эти функции, приводятся в фигурных скобках после каждого интеграла. Кроме того, г = p/q, где р и q — взаимно простые натуральные числа, если не указаны другие условия. ° {#26 = г^1 В (/3, (а + h)/r), и = а + r(f3 ~~ 1) + h, а = (а + h)/r, b = /3 + (а + h)/r, z = {-sy/p)p} [y, Rea, ReC > 0]. оо 2. У {^26 = г В A3, 1 - /3 - (а + /i)/r), ?J27 = (-1)J'A - /3),Т[а - r(l - /3 + j)], и = a + r(f3 — 1) + h7 ui = rj, t>i = r(l — /3 + j) — a, a = (a + h)/r, b = p + (a + /i)/r, ai = 1 - /3 + j, fti = 1 - a + r(l - /3 + j), 2 = (-st//p)p} [y, Re/3 > 0; Re s > 0 (или Res = 0, Re (a + r/3) < r + 1)]. CO Г a-1 r r -1 3. xa (yr + жг)р e sa; с!ж = Vbe + V27 J 0 tt "*" О Г
2.8.2] 2.3. Показательная функция 257 и = а + г(р — 1) + /г, tii = rj, vi = r(l — p + j) — а, а = (a + h)/r, b = p+(a + h)/r, at = l-p + j, ft! = l^a + r(l~p + j), z = (~l)p+ [Re a > 0; r|argt/| < ?r; Re s > 0 (или Res = 0, Re (a + rp) < r + 1)]. 4. V2 7Г j , Vl = r(l + j) - a, a = b = (a + h)/r, аг = 1 + j, fti = 1 - a + r(l + j), z = (-sy/p)p > [y, Re a > 0; Re 5 > 0 (или Re s = 0, Re a < r + 1)]. 5. о- [i-a/2, 1/2- j,a-r(j- a/2) а + h \ r r и\ = jr7 U2 = (j + l/2)r, и = а + rcr/2 + /&, vi = (j — a /2)r — a, V2 = [j + A — cr)/2]r — a, ai=j- a /2, fti = j + o-/2, ci = 1 - a + (j - <r/2)r, di = j + 1/2, a2 = A - <r)/2 + j, b2 = A + cr)/2 + j, c2 = 1 - a + [j + A - cr)/2]r, d2 = 3/2 + j, a3 = (a + /i)/r, [Re a > 0; r|argy| < тт; Re s > 0 (или Res = 0, Re (a + err/2) < 1)]. 6. E30 = ?_2-'(«+'0/-i в f 1 + 2 (a + h), -a- - ^±±) , Ul = rj, u = a + ra/2 + h, vt = r(j - (j/2) - a, ai = j - cr/2, ftx = A - cr)/2 +: ci = 1 - a + r(j - cr/2M di = 1 - o- + j, a3 = (a + /i)/r, &з = (a + /i)/r + 1/2, c3 = 1 + a/2 + (a + /i)/r, d3 = 1 - <т/2 + (a + /i)/r, z = (^l)p [Re a > 0; r|argy| < тг; Re s > 0 (или Res = 0, Re (a + err/2) < 1)]. 7. j, 1/2-j, a-r(j ?-30 — r \ r r = rj, ui = r(j + 1/2), u = r(a- l)/2 + a + Л, «i = [A - (r)/2 + j> - a, 17 А. П. Прудников и др., т. 1
258 Гл. 2. Определенные интегралы [2.3.2 ci = 1 c2 = 1 2 = A - (т/2 + j)r ~~ а, «1 = A - <т)/2 + j, 6i = A + а)/2 + j, а + г[A-<т)/2 +j], di = 1/2 +j, a2 = l-c/2 +j, 62 = 1 + a/2 + j, a + r(l - <j/2 + j), d2 = 3/2 + j, a3 = (a + /i)/r, &з = cr + (a + /i)/r, <t)/2 + (a + Л)/г, rf3 = aj2 + (a + /i)/r, z = (^l)p [Re a > 0; r|argi/| < тг; Re s > 0 (или Res = 0, Re(a + <rr/2) < r/2 + 1)]. 2 В ^- (а ^ ( Л), — = rj, и = г(<т-1)/2 + а + Л, vi = r[(l-<r)/2 + j]-a, ai = (l-o-)/2+j, 6i = l-a/2 + j, ci = 1 - a + r[(l - <r)/2 + j], di = 1 - o- + j, a3 = (a + /i)/r, 63 = 1/2 + (a + /i)/r, + (a + Л)/г, d3 = A - <t)/2 + (a + /i)/r, z = {^l)p+q{sy/p) [Re a > 0; r|argy| < тг; Re s > 0 (или Res = 0, Re(a + <jr/2) < r/2 + 1)]. 9. и = -- r sin 7 — dx = U, /2r {-II sin[7((g + Q/r- 1)] I! sm[(a + IOr/r] sin 7 [Re a > 0; I7I, 2r\argy\ < тг; Re s > 0 (или Re s = 0, Re a < 2r + 1)]. 10. (x2r + 2(xy)r cos 7 + y2 U sin [(a + 1)ж/г] ^ „ f4/cosG/-7) - 2 sin2 7 2r2 sin2 7^ I! [Re a > 0; | -y |, 2r|argt/| < тг и Re s > 0 (или Res = 0, Re а < 4r + 1); U см. 2.3.2.9]. 11. r/2_ + Vf-^f + (l/r/ - л/г/г-^Г]е"вя da = Узе -В 7 r \ г г и = г(а - 1)/2 + а + Л,, а3 = (а + /i)/r, b3 = a + (а + Л)/г, i = ст/2 + (а + /i)/r, d3 = (о- + 1)/2 + (а + /i)/r, z = (-si//p)p I [у, Re a, Re (¦ 0].
2.8.3] 2.3. Показательная функция 259 12. ¦ (xr/2 - sx dx = V2* V*t [a - r{\ - a jC/30 — 2l-2(a+h)/r = (a 13. г \ 2 г ' 2 г i = rj, г*2 = r(a + j), ад = r(d — l)/2 + a + /i, vi = r[(l — cr)/2 + j] — a, v2 = r[(l + a)/2 + j] - a, ai = A - <r)/2 + j, fti = 1 - ^j/2 + j, -a + r[(l-(r)/2 +j], di = l^cj + i, a2 = A + cj)/2 + j, 62 = 1 + a/2 + j, c2 = 1 - a + r[(l + a)/2 + j], rf2 = 1 + a + j, a3 = 1/2 + (a + /i)/r5 a)/2 + (a + /i)/r, d3 = A - <r)/2 + (a + [y > 0, Re s > 0 (или Re s = 0, Re (a ± <rr/2) < 1 + r/2)]. - ) ; Rea, Rea, Res > 0|, -(а + Л)/г Л 14. жа~ о 9-1 i=o 'Л A(p, 1 + /i) 1; z A(p, l-a + rj), A(g, 1 + j) 1* [0 < r < 1], [r > 1]. 2.3.8. Интегралы от хае 00 1. \xa 0 00 2. f xne 0 dx = nlp^1 ^px dx = 3. A(g, 1 + (a + /i)/r), A(p, 1 + h) a I I V [Rea, Rep > 0] или [0 < Rea < 1, Rep = 0]. [Rep > 0]. [Rep>0]. 0 7+гоо 7 . [ x —1 —-pz dz = Р>0 p<o ; Rea < 1; 7 > 0 17*
260 Гл.2. Определенные интегралы [2.3.4 2.3.4. Интегралы от (ж±а)ре"рж. со г 1. (ж - af~xe~vx dx = р~0е~раГ@) [а > 0; НеД, Rep > 0 или @ < ЕеД < 1, Rep = 0)]. G P 2. [ G P dx = pp 1epzr(l-p,pz) [Rep>0; |argz| < тг]. J [X ~Т Z)p о со 3. [ ^——dx = -epzW{-pz) [Rep>0]. J x -\- z о со 4. dx = ^+pepzEI(^pz) [Rep^O; |arg^| < тг]. о --co гсхэ 2.3.5. Интегралы от (хп ± an)pe^px. Условие: а > 0. Г е~рж /тГ 5. dx = J— epz ericiJpz) [|argz| < тг; Rep > 0]. J Уж + ^ у P о CO 6. I ^ /2 dx = -^=r -2^pepzerfc(Vp^) [|argz| < тг; Rep ^ 0]. J (Ж + Z) I y Z 0 со 7. f ^^dx = -e^pl/ El (py) [y, Rep>0]. J ж - у о [Rep > 0; t/ ^ 0, Imy = 0]. 1. |(а2-ж2)'3-1е-ра:с/Ж = 2'3-1/2^:Г(/3)(р/аI/2-/3//3_1/2(ар) [Re/3 > 0] 2. [(а-ж)/3е"ржс1ж = (-р)"/3е"ар7(Д, -ар) [Re/3 > 0]. о 3 1 / ^ 2\р~ 1дШ j / т~1 //Э\/(Г1 / \ \ О — ± / А т / \\ Гт-& /is. /^1 I [а -— х ) е ах = у'71"-'- \Р)\^а/^) Jp—i/2(Q"*) [Rep > OJ. — а 4. (ж — а ) е рх dx = —=-Г(/3) ( — 1 Kp-i/2(ap) [Re/3, Rep > 0]. J V71" V V ) 1/2-/3 [e = ±1; Re^ > 0, ± Re (iA) < 0 (или 0 < Re^ < 1, Re (iA) = 0)]
2.3.6] 2.3. Показательная функция 261 6. 7. о 8. 9. - dx = dx = — e 1/2-p -р)(^) [Н1/2_р(р^)-У1/2_р(рг)] [Re г, Rep > 0]. [Л, Rez > 0; 0 < Rep < 1]. [Rez > 0; ImA = 0]. [Re z2 > 0; Im Л = 0]. [Re z3 > 0; Im Л = Ol. V2 4 2.3.6. Интегралы от ха(х±а)ре рх. Условие: а > 0. 1. lxa^1(a-xf^1e^pxdx = B(aJ/3)aa+f3^11F1(a; a + /3; -ap) [Rea, Re/3 > 0]. 0 a 2. IV-^a - жH8"^185 dx = y^F(a)(a/p)a^1/2e^ap/2Ia^1/2(ap/2) [Rea > 0]. 3. 4. dx= 'ж (ж + a) 2i/a 5. 6. I жа-х(ж - af^e-** dx = Г(/3)аа+/3^1е^арФ(/5, a + /3; ap) [Re/3, Rep > 0]. [^-) [Rea,ReP>0]. 7. /ж — a x 9. + px dx = erfc (д/ор) [R-eP > 0]. a, a + 1 — p; pz) [Re a, Rep > 0; | argz| < тг]. 10. I x"-1 (x + z)"-^-"" dx = -j=rr(a)(p/zI/2-aepz/2Ka^1/2(pz/2) 0 [Re a, Rep > 0; | argz| < тг]. 11. [Rep > 0; | arg z\ < «].
262 Гл. 2. Определенные интегралы [2.3.7 -1/2 in, I a — I/ , \±l/2-a -рж j n,a J V P/ l г/ \ рг/2 12. ж (ж + z) 7 e F йж = 2 < _xj2 \Y(a)ep 7 „«. I BP) Z~ Re a, Rep > 0; < тг; <5 = 13. 14. 15. ж + z ж + е~рж da: = F(a)za~lepzV{l - a, pz) [\argz\ < тг; Re a, Rep > 0 (или Rep = 0, 0 < Re a < 2)]. n ' dx = (-l)n+1znepz El (-pz) + У^(к - l)\(-z)n^kp^k [Rep > 0]. [Rep > 0; |arg^| < тг]. 16. 17. 18. x - у l; a; ~ ctga?re py [y, Re a, Rep >0;a^ 1]. =F )(РУ\ -V2 V 2 ) [y, Re a, Rep > 0]. eAziF!(cj; p + (j; -A(z~2/))^ ffA>°l; L\ A < 0 j ' 19. 2тгЛ2 B/ Re |/, Rez > 0, Re (p + tr) > 1 . - J, 2 - p - a; \X\(y + z)) [Re y, Rez > 0; Re(p + <r) > 1; <5 = cr, 0 = у при Л<0, 5 = p, в = у при Л > 0]. 2.3.7. Интегралы от ха(х2 ± а2)ре^рх и ха(а2 - х2)е^рх. Условие: a > 0. о - 2 ? 2' 2' 2 ' P' 4 i 1 ^2_2^ ; ^ [Re a, Re/3 > 0]. 3.
2.8.7] 2.3. Показательная функция 263 ~'в /з, 2 ' 2' 2 ^р' 4 (a + 2/3-2)iF2(l-/3; 2-/3-?, ^ ° 4. 5. 6. 7. 8. n + 1/ 2 2\/3 —1 — рж i / i\n + (x -a f e dx = (-1) 2' 2 к' 4 1/2-0 IX [Re/3, Rep > 0]. , Rep > 0]. X n-3/2 \п—1 on—1 [Rep >0; n = 1, 2, 3, ... ]. [Rep > 0; n = 2, 3, 4, ... ]. a I — a 2' 2 ¦p; р p 1+a_2p [Re z. Re a > 0, Rep ^ 0; если Rep = 0, то добавляется условие Re (a — 2p) < 1]. 9. X J-U. х {za^2[eipz+7rai/2rB - a, ipz) + е-*р*-™/2ГB _ ^ [Re a, Rep, Re z > 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. n-l X то --рж / i \m+n —I9I —n 11. ^^^™—^r™ dx = -, -r-t — sin (pz)(l/2 — C(pz))]} [Rep, Rez > 0; к = 0, 1, 2, . . . ; n = 1, 2, 3, . . . ]. n —1 X 12. 13. ¦1)! dpm\zdz/ X {z^1[sln (pz) cl (pz) — cos (pz) si (pz)]} [Rep, Rez > 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. dx = [/ \ / sin I pz — I cl (pz) — cos I pz ¦ —J si (pz) [m/2] [Rep, Rez > 0]. [Rep, Rez > 0].
264 Гл.2. Определенные интегралы [2.3.8 15. 2sIna7T m -px q,™^1 Ж (еру+ cosaire~py) [у, Rea, Rep > 0]. xz — yz I 0 K = 1 [y, Rep>0]. о + 2 cl (py) sin ( py — ) - 2 si (py) cos ( py - fe=i [y, Rep>0]. °°F7 xa~1eiXx 17. — — dx = 7riza^2e г/2 [j, Rez > 0; A < 0; 0 < Rea < 2]. J x + z — oo — i-y 2.3.8. Интегралы от xa I |(ajUfe dz x^k)Pke~~~px. к 1. жат1(а - xf^ix + ^)"ре^рж dx = В (a, f3)z^paa+C^41(a, p, a + /3; -а/г, ар) о [a, Rea, Re^ > 0; |arg(l + a/z)| < тг]. OG 2. f Z4^ + ZyaBx + z)^1/2e"pa; da; = z~1/2epz/2r(a)[D^a(^)]2 о [a, Rea, Rep > 0; | argz| < тг]. 7 3. I „3 , 2xi X2 + жз dx = 2 jci(pM) sin \P2/ 2~ ) +€OS (P2/ ^ + sgnysi(p|y|) sin Uj/- ^J ^cos f pj/- ^J - (~l)mepy Ei(-py)i [Rep > 0; Imy = 0]. f A > 0 Re 1/, Re z > 0; Re <r > -1; I I A < 0, у ф z [{х<:ь«—¦'¦•¦¦¦¦]¦ oo —«7 f 7 6. f ^^ | GZ > 1; A, 7, Rezfe > 0; A; = 1, 2, . . . , n; Rea > -1; Re ( a + V afc ) < 1 . [ I Re z < 0 J V ^ / J
2.8.10] 2.3. Показательная функция 265 Т. П ixTke~tXX dx = X, j, Rez, Rezk > 0; к = 1, 2, . . . , n; Re ( a + ^ ak j < 2; Re a > -11. fe=i 2.3.9. Интегралы от xa(\/x ± z + ажм /xTz±y/x)U ^px dx = 22r 2. Z- 0 2' 2 ' ' ^ ' ' ^ 2' J [r = 0 или 1/2; Rea, Rep > 0; | argz| < тг v-1 a + —— I x l-i/ 3 2 ' 2 ' 2 x 2F2( 2r + ^, 2r - a, 2 ^; ^ + 2r, 1 + 2r - ^ - a; 1 + J/ /ж + z 4. ж(ж + z) [r = 0 или 1/2; Rep, Re Ba + i/ =p i/) > 0; | argz| < тг], [Rea, Rep > 0; |argz| < тг]. da; = v 2 z epz i^i/4 ( -т- ) [Rep > 0; | argz| < тг], 2.3.10. Интегралы от z2 + ax + -2г a + ^^2r r [ «, Г - (tt ± I/) /2 Z 1 (a ± i/ - 2r) x a±i/l=Fi/ — a p2/ "i/? +Г 2~' 2 +r; ^^ [r = 0 или 1/2; Rea, Rep, Re z > 0].
266 Гл. 2. Определенные интегралы [2.3.11 2. 3. [J-v{pz)-3-v{pz]\ [Rep, Rez > 0]. i /7ГЧЗ/2 dx=\2) * pz У_ ^YJ'-iwKt) , Re z > 0]. 4. x"'1- 0 ± *)" ^ ^dx = (^I-2r2a^-1za^-2rr\.a a 1 1 + a + i/zbi/ 3 ^ 1 _ 2r. _ »2z2 2r 2r - i/ - a - p1"a^I/(±2:i/Irr(i/ + a - 1) X 3 i/ + a 5 - - 2r, 1 - —, + a - Ar) x 5. 1. xa о C2 + Z2 2.3.11. Интегралы от ж° zl zl zl 4 [r = 0 или 1/2; Rep, Re2, Re (a + v =p i/) > 0]. ^ и _J_ v ьл Т^ — Ж + ж^ + (а - х)г eTvx dx = а, i/ + а X 2^2 1 «, a 2. L"- o ha, — + a + l — 2r; —ap ) [r = 0 или 1/2; a, Re a, Re (a + v) > 0]. Zi Zi a "" х Y — (^ х — \/а — ж (a ж jr Г. ! Л/Л2 _ T2 W2 _ /_ 1 px dx = (а2 - [г = 0 или 1/2; см. 2.3.11.3]. 3. Ж о а-i (а (a2 - ж2)^ - 2г
2.8.11] 2.3. Показательная функция 267 + а ,— а2р2 •; — „+ce !_2r 1+а+„_2г Г(а ZJ lilt' Я I L 2 - 2r a + 3 -2r; 4. xa 2 ' 2 r ^' 2' 2 2 - [r = 0 или 1/2; a, Re a, Re (a + i/) > 0]. 2, Г - a - 1 — 2cii x 2F2 ( a, - + a; 1 + a-r--, l + a+--r; -ap /2~ar( a -r-^-\ x A • - - a; -ap ) + I/ 1 + I/ + -, ^^ +r;l + i/, l + + (-1I-2га"|/2|'рг//2"вгГа + | - A x X 2^2 ( r - -, — hr; I-!/, l + r---a; -ap ) [r = 0 или 1/2; a, Rep > 0]. 5. ж na^l (Vх + « — a У - (^1 a - Vх - a Y -p >2 - a2)r ' — VХл — < (ж2 -a2 dx [r = 0 или 1/2; см. 2.3.11.7]. 6. a - y/x^a)u]e~px dx = l-J Bay/2Kl//2(ap) [a, Rep > 0]. (fY* j л / /уъ jL _____ j^s ~~\ 1 _„_ I ___ I 1 I /v^ ___ л / /уъ j?t _____ /*w —^ 1 '. ix- ^^ rr™ e F dx = (x2-a2)r = 22>-aa° 2r-a-2 l-2rna ¦ - a)/2, r- (i/ + a)/2 1-a i/ + a a2p2 Г' + ~~2 Г' 4 a 3 3 + a ' " V Vr+I/~ar(a ^ i/ ^ 2r) x (-lI^2r2I/a^2l/p2r"I/"ar(a + !/ - 2r) x
268 Гл. 2. Определенные интегралы [2.3.11 х 2F3( г- -, и 1 — и v + а 1 — i/ — а а2р2 2 ' 2 ^ ' 4 [г = 0 или 1/2; a, Rep > 0]. 8. 9. (ж + \/х2 — а2 У + (ж — у/х2 — а2 )и с их — / / 9 9 ж уж — а (ж + /2ра,| /ж2-а2I/ + (ж-^ж2-^)" _? — ) [а, Rep > 0]. 2 y""/*-v*v 2 / = 2а1/А:1/(ар) [а, Rep > 0]. . [[(ж + ^ж2 -а2 У - {х-л/х2 -а2У]е^рх dx = 2p~1vau Ки(ар) 10. [[(ж [а, Rep > 0]. 11. ж~ о = ег \ х (х - a)r la=z [г = 0 или 1/2; Rep > 0; |argz| < тг; см. 2.3.11.4]. 12. 13. ж" о [Rep > 0; |argz| < тг]. и/2 ^ ij ух ух а 14. ж о ^г (ж + z + л/а^ (д>1 <22)г \a=z [г = 0 или 1/2; Rep > 0; |argz| < тг; см. 2.3.12.7]. —т е рж ^ж = сю 1 — у хл — ал 15. 16. (ж2-а2)^ la=z [г = 0 или 1/2; Rep > 0; | argz| < тг; см. 2.3.12.7]. [Rep, Re^ > 0]. Р dx = 2z о [Rep, Re^ > 0]. 17. жс о (х + 2z)\/x2 + 2гж + с2 -л/z2 -с2))
2.8.12] 2.3. Показательная функция 269 [Re a, Reр > 0; | arg z\ < тг]. 1. 2.3.12. Интегралы от xa(eqx-\-z) e оо . Г (а) ^ (k + l)n-i(- [Reg, Re(p + gn) > 0; |z| ^ 1; z ф -1, Re a > 0, или z = -1, Re а > n; n = 1, 2, 3, . . . ]. , хе рх , In 2 2. т —т^ dx = — 3. 4. 5. . rfx = f_i)n-1p-2n-1B2n - 1)тг2п] 7. 2 \g 2n+l [Re a, Reg, Re (p + g) > 0]. [Re a > 0; цф О]. [Reg, Re(p + g) > 0]. [9 7*0]. 9. 10. eqx ^?g 7*0]. ¦ с?ж = (~l)n—— [z p p В (—p, p + p)l = С/рте = (—l)n — {z p p В (—p, p + p)[ln z + ф{—р) — Ф(р + p)]} [|argz| < тг; -Rep < Rep < 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. 11. 12. 13. (ex + z)m (m — l)\ dpn [ | argz| < тг; -m < Rep < 0; m = 1, 2, 3, . . . ]. m —1 ^ n —то —1 arg z\ <тг; m = 1, 2, . . . , n — 1; n = 2, 3, 4, ...]. = 2mz m тте—n—1
270 Гл. 2. Определенные интегралы [2.3.12 fe=l fe=l 2 ^ h 2 In 2 ) [|argz| < тг; ra = 1, 2, . . . , n; n = 1, 2, 3, . . . ]. ^ (n — m — 1)! x то 1 n--'m--l Z + 2V— - V i- / .v <1 L 1 / v L 14. argz| < тг; m = 0, 1, 2, . . . , n- 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. 15. — / ^m^m-n-e/3 (m~l)! у 1 _ 3 2 argz| < тг; m = 1, 2, . . . , n; n = 1, 2, 3, . . . ; e = 16. = z (n — m — 1) 17. n —то —1 1 % -v 1 о 7Г < тг; m = 0, 1, 2, . . . , n - 1; n = 1, 2, 3, . . . ; e = 3' :з1х x 7*-7#*-Г±- k=l fe=l z|<tt; ra = 0, 1, 2, . . . , n + 1 - e; n = e-l, 1, 2, ...; e = -3 1 2 18. (ex + z)n (n-1)! то — 1 n — m + 1 \ 2 то — 1 n — ?7i-1 argz| < tt; m = 1, 2, 3, . . . , n- 1; n = 2, 3, 4, . . . ]. 19. dx = 2mzm n 20. (ex [ | argz| < тг; га = 1, 2, . . . , n; n = 1, 2, 3, . . . ]. .- l)!!(n-m- 1)!
2.8.18] 2.3. Показательная функция 271 2 m n-m-1 -I V"^ -L \~~"^ 1 ^2 |argz| < тг; m = 0, 1, 2, . . . , n- 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. 21. (е^ + г)" - In г (n-1)! m —1 „ n — m — l „ \ / 2 m —1 то. —1 1 n —то —1 -, \ 3 V "Л 1 V ~Л 1 •m —1 _, n — m — l / ^ JL2 / -^ L2 fe=l k=l argz| < тг; m = 1, 2, . . . , n - 1; n = 2, 3, 4, . . . ]. _ ото m_n-i/2Bn-2m-l)!!(m-l)! ' = 2 Z ; ; ^rv: — X m — 1 ., n — m k=l k=l 2 2 3" " m—1 ^ n—m -1 ) < тг; m = 1, 2, . . . , n; n = 1, 2, 3, . . . ]. 23. + <*±ш^ fe=l l ; fe=l n-m-1 fe=l 4~'" ~' k=l fe=l |argz| < тг; m = 0, 1, 2, . . . , n - 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. 2.3.18. Интегралы от х° In 2 1. (e* - ¦ с?ж = [Rep<2, 2. - еа)к[фA [0 < a < In2]. A;! -p +A;) + ln(ea - 1)] +^;(l + p) [a > In2].
272 Гл.2. Определенные интегралы [2.3.13 5. О хех ln(V2 - 1)] = g - Ьп2(^ - 1), /(b^1) = ? - ^ln2(V5 -2). e- [Re(p + p) > 0; Rep < n + 1; n = 0, 1, 2, . . . ]. 7. I -—^^tt^— d# = -, Bn - l)!!Bm - 2n - 1)!! x I (ex _ iy/2-n 2т^гт\ же"тж Bm^ l)!!2n^m^1 о / m _, m — n — 1 1 \ x(ln2^Vxv 7 + ^ У^ t) [n = 0, 1,2, ...,m-l; m = l,2,3, ...]. fc=l k=l oo жеж 0 = 0или1]. 11. (еж - 1)D+е)/з-п 2(m!) 0 12. 7 rZm d* = -3-r\n ^ ?'f 1 (m - n)! x J (еж - 1)D+е)/з-п 2 [гтг + 2/3 - e/3jl ; 0 = 0,1,2,...,™, e = o™i]. [n = 0, 1, 2, . . . , m + e; e = 0 или 1].
2.3.13] 2.3. Показательная функция 273 со х2е^тх _ жBп - 1)!!Bга - 2п - 1)!! (е. _ i)i/2-n ^Г^! х О ><V + >J^-4>: лПгЧч7+ 2>J^^r->:f-21n2 [п = 0, 1, 2, . . . , m]. (ех - l)V2-n о [п = 0, 1, 2, . . . , т - 1; т = 1, 2, 3, +n_12+m Bn-2m-3)!l 2 ffm n —m —1 1 2 ~ е , , — m х J-O» (ex - l)V2-n 0 [п = 0, 1, 2, . . . , то]. 19. 0 Bп-1)!!(т-п-1)!Г f.(l) - 1)!! j m —n —1 fc=i fc i n—n—1 то k=l k=l i m — n — 1 1 fe l ( о 18 А. П. Прудников и др., т. 1
274 Гл.2. Определенные интегралы [2.3.14 21. dx = n z, a, " + 1 q [m = 0, 1, 2, n - 1; n = 1, 2, 3]. [Re(p/g) > -1; |arg(l-s)| < тг, Re a > 0] или [|z| ^ 1, г ^ 1, Rea >0] или [z = 1, Re a > 1]. 22. [Rea>l; л-п-1ли(п)(Р -lin = 1,2,3,... 25. 27. 28- _ 6 Z) = Г(а)[Ф(г, о - 1, p + 2) - (p + 1)Ф(г, о, р + 2)] [Rea> 0; Rep > -2; |arg(l - z)| < тг]. р + 2)] [Rea > 2; Rep > -2]. 29. ^_ dx = 22n-\2n\B2n\ ( i n+m-l (ri-l)! [n = 1,2,3,...]. [a > 0; -1 < Rep < 0; m = 1, 3, 5, . . . , n = 0, 1, 2, . . . , а ф 1 (или Tn = 1, 3, 5, . . . , га < n + 1, n = 1, 2, 3, . . . , о = 1)]. 2.3.14. Интегралы от (ae^qx + beqx + с)^1 f(z) Условие: j — действительное число. Т 8 [Rea>0]. 3.
2.3.14] 2.3. Показательная функция 275 5. 6. ^ Г(а) Г A + ix)n - A - ix)n , г 8. ^^ '- ^ J—dx = J +1 е7ГЖ +1 2n+1i п + 1 п + 1 В п+1 [n = 1, 2, 3, ... ]. г , [Rea > 1; |arg(l-z)| < тг]. [Rea>l]. [n = 1,2,3,...]. п = 1, 2, 3, ... . L J 9. Ю } су 2ж^ V2tt/J gz^^1 J [Reg, Rez >0; n = 1, 2, 3, ... ]. [Reg, Rez>0]. 12. 13. [-каем<о]. 14. ж J ех + 1 = — ж . 3 4г б 1 dx x п = 1, 2, 3, ...; Rep > — 1 — Re (i/^ + ^i2 + • • • + ^ifc)? символ J]* означает, что k-R член /ti\ ... содерж;ит { слагаемых, которые отличаются наборами индексов г\, %2, • • ., г д., взятых из Vie/ множ:ества г^1, 2, ...,?г. 17. dx еж — 1 = - In (sin /1тг) [0 < Re /i < 1]. 18*
276 Гл.2. Определенные интегралы [2.3.15 со — таз 1 т 1 •п в — 1 , , ^г^ 1 18. ех _ О Г е е Ж 19. ж с!ж = т, [0 < Reju < 1]. J ех 1 sin /1тг о ех — 1 sin /1тг 20- J х2П (в«-1)а da; = ^ " 1)Bя")а"|^2„| [п = 1, 2, 3, ... ]. О со 2еш -е~ж +2 _ 2тг2 о со хех dx 2тг J arctg F/а) 1 J огеж — (а2 ± о1) л/ех — 1 ао [ in A + о/а) J о ln(c/ a)ll } О [а, 6, с, d > 0; max (a, 6) < max (с, rf)]. со со 24. ^^ = 1,1719536194... 25. —^ =—=0,3118211319... о о [0 < ReW9) < 1; 0 2n + I)!sin7 28. I ^^ = >^2^^ 1Ь\<тг}. 29 — oo со Г dx '"у -5 о = ^ [ 1т1 < тг; а> 0]. J а2еж + е^ж + 2а cos 7 а sin 7 —00 Г ж da? 7lna г. 1 30. -j—— —— = —. 7<тг;а>0. J а2ех + е™ж + 2а cos 7 asm 7 —00 2.3.15. Интегралы от А(х)е . [Re/3, Rep > 0] или [Re^, Reg > 0, Rep = 0] или [Rep = Reg = 0, Imp ф 0, 0 < ReC < 2]. 00 P 2. 0 3 . J ж«-1е-^2-^ dcK = Г(а)Bр)-а/2 ехр [g2 0 [ ] [ [Re a, Rep > 0] или [Re a, Reg > 0, Rep = 0] или [0 < Rea < 2, Rep = Reg = 0, Imp ф 0].
2.3.16] 2.3. Показательная функция 277 4. 5. dx = -J — ехр 2Vp erfc = -Jl exp (|- 2У P 8P [Rep > 0] или [Rep = 0, Imp^O, Reg > 0]. М [Rep > 0] или [Rep = 0, Imp^O, Req^O]. 8P 7. j x e p « dx 0 oo 8n — px -—qx j же dx = — oo [Rep > 0] или [Rep = 0, Imp ф 0, Reg > 0]. т?^1ехР( 7Z )erfc p dqn [Rep > 0] или [Rep = 0, Reg > 0]. I Я \ exp — = 1 /1 /v% I 11. f e J 12. 13. ~px2~qxdx = V 4p [Rep>0]. - 4pqb + a(g2 + 2p)] exp I f f 4p [Rep > 0]. 2.3.16. Интегралы от А(х)е рх q/x. 1. 2. 3. 4. 5. P pz+q/z \x-q/xr dx = ^ [Rep, Reg > 0]. [Rep, Reg > 0]. [Rep, Reg > 0]. [Rep, Re g ^ 0; | argz| < тг]. [i/, g, Rep > 0].
278 Гл. 2. Определенные интегралы [2.3.17 6. е о 7. i(\x-ii/x) «•? _ , X о 7+ioo f J 8. | ж" Lepx q/x dx = 2wi (-) 3aB^fpq) 7 —too 2.3.17. Интегралы от A(x)e~b^x a ™f 00 1 [Ax, A > 0]. [A > 0; ц ^ 0]. [p, g, 7 > 0; Rea < 1]. 1. /x — a - exp — a2 — рж) <ix = 2a Г 1 2 1 — exp (-аур2 - 62 ) erfc (z-) exp (a s± = у a(p i л/р2 ~~ ^2) 5 R-e ^5 erfc(z+) + 6) > 0 . 2. 3. 4. JL /I/O 9 \I ^ J^ i ^-f- 4// 9 9Xo exP l^PVa; —a — рж] аж — i / Л1/4 o .—x/^. o ij/(ж2 - a2K V 7Г \ A J \ A . = a(p± yV - b2 ); Re 6, Re (p + 6) > o]. V^ — ft (ж + a) (ж + ftJ^ (ж2 - a: exp —^^— /2 — a2 — px) dx = 2\ — epa erfc (z~) erfc (z+) f a 4 = a(p± л/р2 - b2 ); Re 6, Re (p + 6) > o]. exp {—bVx1 — aA — px) ax = [4 = a(p±^p2 ™fe2); Re6, Re (p + 6) > 0; Re/3 < 1/4]. ¦ [(ж + i/ж2 — ft2 Y exp F1/ж2 — ft2 ) + (ж — у/ж2 — a2 )v exp (^&V^2 — a2 )] 5. , x '2 2 6. 7. [Re (p ± 6) > 0]. . = aF± л/62 -p2); Rea, Re b, Re (p + b) > 0 . - exp (^&^ж2 + ft2 — рж) dx = < — exp (— — p2 p2 ) erfc (^_) exp {a\fb2 — p2 ) erfc z+ = aF± \Jb2 -p2); Rea, Re 6, Re (p + 6) > 0 .
2.8.19] 2.3. Показательная функция 279 8. 9. ехр (-Ьл/х2 + а2 - рх) /2 аЪ е , , с , х ч — dx = 2\ — е erfc (z+) erfc (z-) z\ = a(b± \fb2 -p2); Re a, Re b, Re (p + b) > oj. (а- ) ехр z\ = а(Ь± л/Ь2 -р2); Rea, Re6, Re (p + b) > 0; Re/3 < 1/4]. 10. l(\/x2 + а2 + xfehx + (л/ж2 + а2 - xf e^bx]e^c^ = 2a"(c + bf/2{c - Ь)~и/2К„(ау/с2 - b2 ) [Rea, Re (с ± 6) > 0]. 2.3.18. Интегралы от eg{x)f(x). kk 2. 0 00 3. \ e^peX dx = -Ei(-p) 0 4. 5. Г xe 00 »• J dx = = -C. (A2 + lJ - I - In p i, Rea, Rep > 0]. [Rep>0]. [A > 0]. [/i, Rep>0]. 1. 2.3.19. Интегралы, содержащие разности алгебраической и пока- показательной функций. fre1~x~r хр \dx #/ ч , г г, Rep > 0]. 1 — жг 1 — ж 7 ж — In г 2. (е1 1-1/* жA — ж) 3. — = — In г [Rep > 0]. [г > 0]. 4. dx = C.
280 Гл. 2. Определенные интегралы [2.3.19 5. Ы dx = Г(а)р оо э. [ х^[е^х - (ж + 1УР] dx = ф(р) I — = ln ' 1 + qx J x p 8- 1 + х р [Rep ^0; -n < Rea < 1 - п]. [Rep > 0]. [Rep > 0; | argg| < тг]. [Rep > 0; |argz| < тг]. [/i, Rep > 0; fi\argq\ < тг]. 10. 11. 13. рх A i, Re o", Rep > 0; fi\argq\ < тг]. ^х - 1 12. di 1 , тг — = — In —. ж 2 4 x 2 17. 18. 19. [Rep>0]. [Rep > 0]. [Rep > 0]. [Rep, Reg > 0]. [Rep>0]. dx ^r«j_ _ ^r _ g^p\np^ (p_ r^g \n q^ ^ ^p)r \nr x [Rep, Reg, Rer > 0]. 20. (p-9)e-~ + — (e -ropa! - e~mqx ) I — =plnp-9ln9-(p-9)fl + ln — I ж \ m [m, Rep, Reg, Rer > 0].
2.4.1] 2.4¦ Гиперболические функции 281 со Я в qX в ГХ \ —пх — 1 е р dx = ip(q + р) — In (r + р) [Re (q + p), Re (г + р) > 0]. е ж - 1 ж / о 22. о 23. 1^еж^^ м^ж Ч— = 1пВ(р, g) [Rep, о со 24. [ (се Д+ Ь+Те-^ " сеР'У ^Te-"') Ч = с + ++ h '" ? [Rep, Re, > 0]. о со е рпж _ е gnx е ртж _ g gmx \ ^ ч , Ш ^г = (д — р) In— то, n, Rep, Reg > 0 . га гаг / ж2 п о 26. о х ^ (—l)fc+m(p + Vix + Ui2 + . . . + i/^O1™1 In (p + ui± + i/j2 + . . . + uik) О ^. т ^. щ Rep > 0; Rep > — Re (yix + ^«2 + . . . + Щк)', символ Yl* означает, что к-й член суммы содержит ( слагаемых, которые отличаются наборами индексов *i, *2, •••,*&, взятых из \к' множ:ества г = 1, 2, . . . , п . 27. е ,^РЖЧ (жг + |/г)ст] ж \r g/ q r о [г, </, Rep, Re<j > 0; г| argу| < тг]. со 28. (е^рхЯ - е^кхГ)— — _2 5^ [r? gRe/i, Rep > 0]. 29 7 ^ lnG//3) Xnia/pp) ini^P/a) 1/я 1 7 ; A = у ; J ; a, 6, p>0; 0 < C < a1^ <7 . 1п(т//5) J 2.4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.4.1. Введение. Этот раздел содержит интегралы, в подынтегральные выражения которых входят ги- гиперболические функции. Для их вычисления можно использовать следующие свойства. Ин- Интегралы, содержащие гиперболические функции, могут быть преобразованы к интегралам от показательной или тригонометрических функций, если воспользоваться соответствую- соответствующими формулами, приведенными в приложении I. Интегралы, содержащие функции shn bx и chn bx, сводятся к интегралам от функций shbkx и chbkx, если использовать формулы для степеней гиперболических функций (см. приложение I). В ряде случаев интегралы от гиперболических функций с помощью замены переменной сводятся к интегралам от алгебраических и других функций. Например,
282 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.2 а а 1 Г If 1 Г (f(x) ch2 bx dx = — ip(x) dx -\— (p(x)e2bx dx -\— (p{x)e^2bx dx = а Г J 0 ж) cos 0 ibx dx = 2 а Г J 0 0 - сЬ26ж) dx = 0 ch ab И " J 1 В разделе «Гиперболические функции» а, 6, с — комплексные числа. 2.4.2. Интегралы общего вида. В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интегралы, содер- содержащие гиперболические, а также степенную, алгебраические и показательную функции. Некоторые частные случаи этих интегралов, соответствующие конкретным значениям вхо- входящих в них параметров, приведены в последующих пунктах. Интегралы общего вида представляются с помощью функций Vj , Vj, j = 1, 2, 3, . . . , помещенных в приложе- приложении III. Конкретные значения параметров, входящих в эти функции, приводятся в фигурных скобках после каждого интеграла. В п. 2.4.2 приняты следующие обозначения: г = p/q, где р и q — взаимно простые натуральные числа, если не указаны другие условия: 1, если взят sh6x, _ I (^l)Ln/2J+ ^ с. _ О, если взят chbx; если взят , если взят chbx; 1/2, если взят shn 6ж, га = 1, 3, 5, ..., 1={ 0, если взят shnbx, п = 2, 4, 6, ..., С = О, если взят chn bx, n = l, 2, 3, ...; ^ + 7 + h = у (п ~~ 2к). w = a + 2r(/3 - 1), ai = ?, - x2r /2 2 2n rr(l/2 + 27 + /i)' = /3 + С ci = 1/2 + 27 + /i, z = F/pJp| [y, Re^ > 0; Re a > -<5n; |arg6| < тг] /^i2r __ Ж2г \" f sh &Ж 1 П f \ X ch bx j J dx — a/Br), i/ + a/Br)" = (i/ + l)/2 + С ei = 1/2 + 27 + /i, z = [t/ > 0; Re a > -n?, Re a > -n5 - 2r Re v\ \ arg 6| < тг] /22-n-l -а/Bг) r[(n/2)!]2 \2r 2r/
2.4.3] 2.4- Гиперболические функции 283 [г = 1/2] ,u = -a/Br), Vl = 2(Л 2(п - [Re s > 0; Re a > —-Sri; arg 6 произволен при г > 1/2 (n| Re 6| < Re s при г = 1/2)]. . , o „ ,, ч f shte 1 CT 2.4.8. Интегралы от Л(ж)< % , > . [ ch 6ж J Обозначение: <5 = 1. shea? dx = /а ^ = |^1Г(«)С(«) = 2с-*Г(а) f; --1- fe=0 2 7Г /4 = 2. ch еж dx = Ja [Re с > 0; Re а > 1], [см. 5.1.4]. [Re а, Re с > 0], a, i) - С (a, | 7ГЛЗ J [cm. 5.1.4]. [Re с > 0; Re a > 28], I^<5Г(а)С(а - 1), j 2n —2n —l/i ol —2n\l- i2n+l = 7Г С A ^ 2 J dx 4. 5. 6. 7. (a2-*2)** о [n = l,2, ...] [Re с > 0]. Br- l)!!s- Br)!!2c 2a [r = [n/2], 5 = n- 2r; Re с > 0; n = 2, 3, 4, . . . ]. ; /3 + 1; ab) =F iFi(l; /3 + 1; -ab)] [a, Re/3 > 0; |arg6| < тг]. [a, Re/3 > 0; |arg6| < тг].
284 Гл. 2. Определенные интегралы [2.4.4 8. x=^aa+^-1B(a, /3)[1F1(a; a + /3; об) Т =F iFi(a; a + /3; -aft)] [а, ЕеД > 0; Rea > -5; | arg6| < тг]. Г а-i/ .«-i . ж (а-ж) J (chbx) ^/a\ Vft/ sh(aft)/2\ /aft ch (aft/2) J 7 \2 —; —; — 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 1 (shbx\ 7Г /7 2 f ab — < , , > rfa; = —Vb /+i/4 ж dx 7T /ftz = !-• (ж2 + z2) ch X [a, Re a > 0; |arg6| < тг]. 2.4.4. Интегралы от О к Обозначение: S = < >. = 2i^2i(^l)n/2~ sh bkX 1 J * 1. shbx 7Г ЬТГ [a, Re/3 > 0; Re a > -S; |arg6| < тг]. О [а, Re/3 > 0; |arg6| < тг]. [а > 0; |arg6| < тг]. [Rez >0]. [bz = тг; Rez > 0]. [26z = тг; Rez > 0]. [46z = тг; Rez > 0]. [Rez > 0]. [bz = тг; Rez > 0]. [2bz = w; Rez > 0]. [4bz = тг; Rez > 0]. <7Г]. [Re с > |Re6|].
2.4.4] 2.4- Гиперболические функции 285 2. sh2 bx . с — тгЬсЬк (Ьтг/с) sh еж 2с2 Rec> [Rec>|Re6|]. 4. chbx —; ch еж 2c 2c chncx , 37г ь1 )! coSec[67r/Bc)] Re(i/c > Re6 . nRec> |Re6|; A= 6. ^1 bx ch^1 bx dx = ^- В (%, 1- zo 2 [b>0; 0 < Re^ < 2 - Rei/]. L/sin[b7r/Ba)] i-i/ ь Wi-" ь 2 2а/ V 2 2а [a>0; -* 8. sh17" о > / ^ f[/( < > dx = ± ^< : ') \chbxj 4а2Л/ж \sin[67r/Ba za la [а > 0; -б < Re {иа) < -| Re Ь\/а]. f sh ax ( sh 6ж 1 . тг / атг бтг \ Г sin Fт 9. — ^ U^= — cos— +cos— { l J Ь [ ch ож J 2с \ с { . / с / [sin(a7r/c) со Г (shaxshbx^ dx тг f sin [атг/BсI sin [6тг/BсI 1 г , , ч /f . Ч1 10. N } =-{ '.; : Lr 7Д (^ > cos(a7r/c)+ cosFtt/c) J [сЬажсЬбж/сЬсж с \ cos [атг/Bс)] cos [6тг/Bс)] J L l ; ; V / л . shaxchbx . 1 11. | dx = — ch еж 4е 4с /\ 4с 2Trsin (атг/с) 4c / cos (атг/с) + cos Fтг/с) 12. вЬаж shcx -^ сЬ2сж 2c2 cos [атг/Bе)] [Re О |Rea| + |Re6|]. Зс-а-Ьл 4с [Rec > |Rea| + |Re6|]. [Re с > |Rea|].
286 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.5 2.4.5. Интегралы от А(х) ГТ < > Обозначение: S = < >. оо , Г (а) f х2п+а (shbx} , тг <92п+?Т бтг 2. — i lt }dx = — _уо , tg— о oo Г sh2 bx . 1 . Ьж 3. — dx = In cos — J ж sh еж 2 с о I -'aml J sh 6ж , ch еж I ch bx Rea > lite с 1 - >l S; Re с > [Re с > 2 Re6|] Re6|] [Re а > -5; Re с > |Re6|]. 5. f ^?L dx = In tg (Ь+Л Л [Rec>|Re6|]. J xchcx \ Ac J о 7 2п+5 Л 7ж2п+5(8Ь6Ж1 тг д2п+5 Ьж Г fl 6. —¦ < , , > dx = — 0f0 , , sec— Rec > Re 6 ; <5 = ^ J chcx [chbx j 2c db2n+s 2c L \o о 7. Z^ dx = Г(а) 5](^l)fc{[cBfe + 1) - &Па + [cBJb + 1) + 6]^"} [Re а > 0; Re с > |Re6|]. oo { shbx , тг ^2 Ьж ( Ьж Ъж\ 8. ж—ц dx = —-sin —I 2csin 6ttcos— 2Rec> Re6. J ch^ ex 4c3 2c \ 2c 2c/ о СХЭ 9. \ ^—dx = 2^аBа - l)a~aF(a)((a) [Rea > -1; Rea > 0]. J so ax о oo 10. IV-1 J^^=^f //4 i [Rec> 0; Rea >1; см. 5.1.4]. J сЬ2сж ca f-; BA; + I)" L J о k=0 11. hcch/iaa;shaa;da; = -^^-Г, ^\ , [о > 0; Re/x < 0]. о oo f a_x сЬсж , 2Г(а) ^ 1 12. жа г^ dx= ^^> —, г T Rea>2; см. 5.1.4 . J зп2сж с" ^{2к + 1)а^г L J 0 fe"™° oo ( shaxshbx f lt cos \(a — 6)тг/BсI . 13. dx=^ln ^ ( ') Rec> Rea J жвЬсж 2 cos [(a + 6)тг/Bс)] о
2.4.6] 2.4- Гиперболические функции 287 Г sh2 ах ch Ьх . 1, 14. dx = -\n J h 4 1 + cos (Ьж/с) xshcx 4 cos Bатг/с) + cos (отг/с) (shaxchbx . 1. cos \Ьж/Bс)} + sin law/Bc)} 15. dx=-\n') \ J h 2 xchcx 2 cos[fe7r/Bc)] — sin[a7r/Bc)] 16. 17. shk Rec> Rea Rec> Rea + [Rez >0; Re с > Re 6 . = (-1) —cos h(-l) sin In I 2 cos— > V sin 2n с пж с \ с J пж ^ п — к с [cz = жп; Rec > |Reb|; Re z > 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. Ъж b Ъж с Ъж . ( 18. = cos 1 sin — In I 2 cos 2 с ж с \ 2c 19. =csln— -cos — In ctg ( 7Г 2c ж 2c \ Ac 20. 21. 22. J о • bz , ^ • к Uk 1 ^ bz + ^;r^ ax = — 2 sin —- + — sin bz — ch oz in tg x2 + z2 ch (тгжIz) 2 2 4 ж chk 2 ^ + z1 shcx 1c — 2cz ll (^l)fc cos (Ькж ^ ^ -^ cz + кж = w:Rec> Re 6. = w;Rec> Re fell. [z > 0; z\Reb\ < тг]. >0; Re с > Re fe . 23. = — cos — - 1 + sin — In tg ( ж 2 2c 2c \ 4c [2cz = тг; Re с > I Re 61]. 24" chbx ж2 + z2 ch ex -ехр — п + - тг -гб + - In A + etb7r/c 1 L c V 2 / J L 7r [i&7r/Bc)] , 2c бтг с бтг 2с . Ьж . (b + c 25. = — cos cos 1 sin — In tg тг тг 2c 2 с тг с \ 4c 2c бтг , / k\ , бтг 26. = —cos — In 2 cos — + 6 sin — ж 2c V 2c / 2c 2.4.6. Интегралы от (а + bchn bx + cshn bx)p\ a ch bx dx [cz = тг(?г + 1/2); Re с > |Reb|]. \cz = ж: Re с > Re 6 1. [2cz = тг; Rec > I Re 61]. 1 J * [а > 0; Re, < 1; |arg6| < .]. 2. bdix 2 V^z ™ «z ¦^^^=- arctg — - a2 a + b
288 Гл. 2. Определенные интегралы [2А6 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. = а dx а + b sh ж — i •In а + Ъ + ¦In а + Ъ а + Ь - л/а2 + Ь2 7Г &7Г /6 ;аж = —. cosec — sh - Arch а а + спсж су«2 - 1 с Vе тг Ъж fb \ —^=^=- cosec — sin - arccos а сл/l-a2 с \c J dx = жЬ 1 + ch ex с2 sin (бтг/с) ch bx [0 < |6| ¦ [b = a]. [аб^О]. [a > 1; Rec > |Re6|]. [-1 < a < 1; Rec > |Reb|]. [Rec > |Re6|]. (a + chcsc)* ch 6ж у a с у 2 ^7^ sec — cy2 c ¦b/c, «/-, I/ ch 6ж а*ж тг[6 sin ? cos (bt/c) — с cos t sin (fet/c)] c2 sin3 t sin (Ъж/с) "-1 ф^1)с2 + Ь2 п{ . Ь b (cost + спежJ [a ? [-1, 1]; Re(i/±6/c) > 0]. [-1 < a < 1; Rec > 2|Reb|]. [2 Re с > |Re6|; \t\ < тг]. [Re i/ > 0; Re(i/c) > Re с + |Reb|]. 13. 14. . тг sin Г6(тг — t)/cl ж — t dx = ^—-—Ц-^- cos r с sin t sin (Ъж/с) csint [Rec > |Re6|; 0 < т < тг; 0 < t < тг]. shax shbx dx 15. тг / 26тг 2атг\ iif cos cos x ch аж ch bx J cos t + ch еж с sin t \ с с J sin [а(ж — t)/c] sin [Ь(ж + t)/c] — sin [а(ж + t)/c] sin [6(тг — t)/c] ] cos [а(тг — t)/c] cos [6(тг + t)/c] — cos [а(тг + t)/c] cos [6(тг — t)/c] J [0 < |t| < tt; Rec > |Rea| + |Reb|; тг Re с > |Re(ct)|]. 2тг shax shbx 1 = ± ch ax ch 6ж j 1 + ch ex c2 [cos B6тг/с) — cos Bатг/с)] x 6 16. sin (атг/с) cos cos (атг/с) sin sh (ex/2) sh 6: cost + спеж 2c cos Fтг/с) sin (t/2) os (Ъж/с) 1 J cos (атг/с) sin (Ъж/с) 11 In (Ьж/с) J \ sin (атг/с) cos (бтг/c) J J тг sin (bt/c) [Rec > | Rea| + |Im6|]. [Rec> 2|Re6|; 0 < \t\ < тг].
2.4.6] 2.4- Гиперболические функции 289 , sh(cx/2)shbx . жЬ 17. —±—Ц^ dx = 1 + ch ex 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. dx = с2 cos (Ьж/с) бтг sin (bt/c) (cosi + ch-сжJ с2 sin t sin (Ьж/с) 6 ch ж + с sh ex Jb2 - c2 6 + с 2 л/b2 - с2 arctg - /с2 - б2 ¦In » + с + Vc2 - б2 6 + с - Vc2 - б2 ж ( b shax shbx 1 dx ch ax ch bx j ch 2ax + ch 2bx 4(a2 — Ь2) ( а [Rec> 2|Re6|]. [Re с > | Re6|; |t| < тг]. [\Ь\>\с\]. [0 < |6| < с]. [Ь = с]. [Re a, Re 6 > 0]. dx /a2 - 62 + c2 In a + 6 ¦ a + b + с — у а2 — b2 + c2 2(a - 6) c(a — 6 — c) 2 62 = a2 + c2; c(a-fe-c) <0]. л/b2 -a2 - c2 =¦ arctg —r- h етг a + 6 + c [62 > a2 + c2, s = 0 при F - a)(a + 6 + c)>0; e = 1 при (b - a)(o + 6 + c) < 0, a < 6 + c; e = -1 при (b - a)(a + b + c) < 0, a > b + c]. [Rec> |Refe|]. ¦ сЬсЖсЬбж , Ж &7Г . I iy . , 26. о ^ж = — sec — ch - In A ¦ 1 + ch2 ex 2слД 2c I - l 27. 28. тг / . 6тг\ 1 6t — ах = — I sh 2^ sin — sh — sh2 t + ch2 ex с V 2c / с тг бтг = _Sec— + ch2 ex 2cy/2 30. 31. dx 6 ch2 x + с sh2 ж ¦In с — \/—bc [2Rec> |Re6|]. [Rec> |Re6|]. [2Rec> |Re6|]. [6c > 0]. [fee < 0]. 19 А. П. Прудников и др., т. 1
290 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.7 2.4.7. Интегралы от А(х)(а + bchn Ъх + cshn bx)p П { ^°кХ V ^ [сЬс^ж J а Г ж с!ж тгу 2 . а . 1. = —;—г^ arcsin th — \а > 0 . J sh(a;/2)>/cha-cha; sh (а/2) 2 L J о со 2. ' /' = Ja [Rea>0; |t|< тг], J cos ? + ch ж о '2 ' 2тгУ] " slnt ^l ; к- tin2 - 2l(I)}, J3 = ^-Ц (^ - t2), J5 = -^ (тг2 - t2)G7r2 - 3t2). \2/ 3sint 15 sin t sin t ^ CO _- Г xa~ fsh (ж/2) 1 «22а^з f sin (?/2) cos (атг/2) 1 J cost + chx\ch(^/2)j \ cos (t/2) sin (атг/2) J x [Re а > 0; \t\ < тг]. CO Г ж sh &ж тг . ^2 бтг / . Ъж &тг\ 4. аж = — sin — с sin отг cos — Re с > Re 6 1. J 1 + ch ex с3 с \ с с J о 5- 1Г1 + СЬсЖТ^Ж = ^2Й^6^Г1г/+?^^ [Re(,c)>|Re6|]. 0 со Г жсЬ(ж/2)с!ж _ 4 Гтг /w + t\ /тг - ¦ J cos t + ch ж ~ cos (t/2) [ \ 4 j ~ \ 4 о [t 7^ 7rBife + 1); fc = 0, ±1, ±2, ... ]. [Reс > 0; \t\ < тг], _ 2Bn + l)! ^ (^l)^^1 sinkt t ^ff^2^f2\ In — т.—To—:—г 7 tt>—П ? ^o — ~~t:—:—r5 ii — jr»^Ti~t~Zi O"ST| J" fa m/ iU Z Ti ~f~ Jl -^-^ *--*-* -*¦ ii —ihv СП ОЖ 7Г6 8. I ^^^-—ГТ7 ——; г dx = . 7 - J (cost о (ж2 + z2)(cos t + ch еж) 2z(cos cz + cos t) стг ^ Г ехр [^1Ьтг[Bк + 1)тг - *]/(тгс)] ехр [^{Ьтт[Bк + 1)тг + *]/(тгс)] 1 ^hi^\ c2z2- [7rBife + 1) - t]2 c2z2 - [7rBJfe + 1) + t]2 J [Re с ^ |Refe|; |t| < тг; Re z > 0]. [2 Re c> |Re6|]. Х П+ fCX hb d ^^ ^J^ fsec — ( 10. Г Х fCX Shbx dx = ^^ ^J^ fsec — ch (- In A + ^2 ))} [Rec>\ Reb|].
2.4.9] 2.4- Гиперболические функции 291 11. 12. ах = Г(а) 2(а2 - б2)"/2 |_\а - 6 /2 7 — а/2п сю 7 ' — у (-1)» Ъ ch ж + с sh ж ~ 2те( ' П ' 2 [Re а, Refe > 0, Re а > -2; см. 5.1.4]. Ь, с > О]. 2.4.8. Интегралы от Л(ж Условие: а > 0. sh л/а2 — x2 ch л/а2 — x2 ch (cv а2 — ж2 2(Ь2 а /¦ , Г chfeo; I sh (сл/а2 - ж _ " J (а2 - ж2K/4 \ ch (cVa2 - х2 ) J = (f a 3. \fa2 — x2 ch (cVa2 — x2 ) ch bx dx = - b)]/ /±1/4 . . ch (c\/a2 ~~ x2 ) 4. —, —- ch 6ж с!ж = K/r(n2 — t2) - с)] /_1/4 [| (V^T^ + с)] . 2.4.9. Интегралы, содержащие thax,cthax и разности гиперболиче- гиперболических и алгебраических функций. [Re а > 0; -1 < Re a < 0]. 2. 3. 4. = 21-аа-аB1-а-1)Г(а)С(а ^1 1 I I cthax — 1 J Ьж = а > 0; Re a > ж ch ex о f ch k - 1 . . Ьтг 5. ах = — In cos — J жяпеж 2с о 6- [Rep > 1]. [с > 0]. [Re с > |Re6|]. [Re a, Re 6 > 0]. 19*
292 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.10 7. .4.10. Интегралы от х е < { cm. —t>x I " OJL е < ch bx vx (sh bx 1 о 7 2. e J о 3. {chbx J 1 ( b) p2 - b2 { p j — p(p 1 f 262 1 j— { 2 Л — 4b2) {p - 26 j [n/2] [Rep>|Re6|]. Rep>2Re6|. [2a = 1 - (^1)те; Rep > n|Re6|]. Г / 1 4. e"psBshI/~16a;daj = г^^б^1 В [ i/, -^- H ^ J \ 2b 2 о 5 7, 5. j e 0 Г е 6. -— dx = In J ch еж [Rei/, Re6 > 0; Rep > Re(i/6-6)]. 2 [Rep > n| Re6|; n = 1, 2, 3, . . . ]. [Rep > -n|Rec|], 2тс 8. 1 fea? dx = - In 2 In 2 p-b [Rep>|Reb|] г —рх -| А А2 9. sh2tec^ = --lnWl - J ж 2 У р2 о f ch bx 11. px shn bx dx = 2^nml V f ^ V к J (p - [Rep > 2|Re6|]. [Rep > n| Re6|] L IJ
2.4.11] 2.4- Гиперболические функции 293 12. ¦ shn bx dx = II [Rep > n| Re b\] m ^ щ m, n = 1, 2, 3, . . . ], In [P2 - 4(n - Inp, ,2n+l h i Bn - 2fc p-b{2n-2k 2 p^2b 4' 13. 14. 15. x Г(а)С[а, 2c rift- in+2 p + 36 4 p + 6 8 p2 - 362 ' [Re a > 1; Rep > -|Rec|]. [Rec > 0]. shea: dx = -[ — ) 7 [Rec > 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. 16. x chcx = 21-2"с-"Г(а)[с(а, 7 + ^ V С 4 4c 3 , P 17. ж0 18. 19. chcx chcx ¦ dx = 2n+2 ch еж ссЬ[атг/Bс) [Re а > 0; Rep > -|Rec|]. [Re a, Rec > 0; a/ 1]. [Rec > 0]. [a, Rec > 0]. 2.4.11. Интегралы от e рх и гиперболических функций. со 6 ртг Ж = —Z 777 Ctff — 2. 3. 4. [Rep > |Re6|]. [Rep > |Re6|]. [Rep > Rei/|Re6|]. [c, Rep > 0]. о Г 5. e J о rf» = 2^k(c
294 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.12 _r~.sh6a; 1 ж Ьж t , ^nX shpx . 1 — In2 7. I e —о dx = ch рж р [2Rec>|Re6|]. [Rep>0]. 2.4.12. Интегралы от Л(х), е~рх и гиперболических функций. "№ b.X}dx = ^- [Ik(ap + ab) T h(ap - об)] I СII OX J А [к = О или 1; a, Rep > 0; | arg b\ < тг]. 1. 2. 3. 4. 5. 6. \ xe~px cthpxdx = -r-[ 1 J P V 4 о СХЭ 7. - e~px shaxshbxdx = - In ^r 7^ ^ J ж 4 p2 — (a + bJ 0 [Rep > |Re6|; |argz| < тг]. , ^ 4c 4c 4с 4с 4с ¦•? [Rep > 0; Re a > -1]. [c, Rep>0]. [c, Rep > 0; Re a > 1]. [Rep > 0]. [Rep > | Rea| + |Re6|]. 8. ^р 0 a, 4 shax shbx dx = 4 4 Re p > Re a + ^ 6 • 4 (p — bJ -a2 4 (p — aJ — b2 4 p2 — (a — bJ [Rep > I Real + I Re 61; p2 + a2 ^ b2}. L J 00 9. I -e~pxshaxchbxdx = - In )P + a(o ~ f o J x 4 (p — aJ — b2 0 2 psin@7r/ 12. \- J лth ж сЬрж 2 2л/2 [Rep>|Re6|]. [ReP>0]. [Rep>0].
2.4.13] 2.4- Гиперболические функции 295 2.4.18. Интегралы от ха(ех + а)ре~рх{ ^Ы \. { ch bx J 2. Г еах - 1 \ ch bx J 26 2asm(bw/a)\cos(bw/a) Г ж ch bx . 4. dx = J аж 1 2a2sln2(&7r/a) 2b2 6. 7. 8. 10. ^1 sh2 6 eax + 1 1 . / а бтг -ln(—tg— 4 \Ьтг & a dx = --In ( -;—sin еаш - 1 4 \2Ьж a J t 2а2 sin (Ьтг/а) = 2n sh bx ' 2a Re a > |°|; Re a > |Re6| [Rea>|Re6|] L IJ Rea> Re 6 L IJ [Reo > 2|Re6|]. L in Rea>2Re6|. l i и [Rea>|Re6|]. [max(Rea, Rec) > |Re6|]. 26 \ 1 J ^ c2Bk-2\J^ [Re {mc - 6) > 0; Re [(m - 2)c - 6] > 0; { ^O^^t ¦ tf = ± si + Ь)Г(Р - о - 6) т Г(а - Ь)Г(р - a + b)], ж J cos атг sin бтг 1 sin (a — 6)тг sin (a + Ь)ж \ sin an cos бтг J'
296 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.14 ± ж Г. . J cos аж sin Ьж 1 J sin аж cos Ъж 11 sin (а — 6)?rsln (а + 6)тг |_ \ sin атг cos бтг J \ cosaTrsIn Ьж J J' /п = ^у [(п - 1 - а)/±_! - 6/^] [п = 2, 3, 4, . . . ]. о ^ 1 а тж « -рж f b + shaa? I a 2.4.14. Интегралы от х е < } . [ 6 + eh аж J г Г /9 -I —раз/ 1 1 \i/ —1 I • / 1/тггт-1/ \ I г/ —1/2 /~\i/ — l/2/ I \ 1. е (сп ж — сп а) ах =—ъ\ — е Т(у)ш ' aQ _1y2(cha) а то [a, Rei/ > 0; Rep > | Re i/ - 1|]. Г е™рж 1 Г1 ^ f-l)fee^afe1 2. — —— dx = ——\- + 2p\ 2 J2 [a > 0; Rep > -1; см. 5.2.5]. J сЬж + cha sha[p Р — к2 J о dx = \ + 2p\ 2 J2 сЬж + cha sha[p _ Р — к2 fe1 7 е^рж 2 ^ sinafe 3. dx = > [Rep > -1; а ф ±2жп; см. 5.4.3]. спж- cos a sin а ^-^ р + ак ч_1 i / 2а + аж 4. аж = — (sin а sin атг) cos х J ch рж + cos а \Р/ L V 2 / о X СA-а, ^Г-^) -cos( ^Ц-— )C(l-a, ^r^) [Re«, Rep > 0; \а\ < тг]. V 27Г/ \2/\ 27r/J ею Г ж"™1е™рж . 2Г(а) v^ sin afe 5. rfa; = ^^ > т, r- Rea, Rep > 0; a 7^ ±2тгп; см. 5.4.3 . J сЬрж^сова раша^ (Н1)а а к—0 6. \x2n+1-, C-^dx = In [Rep>0], J ch рж — cos a о * - ^ - ^) , /„ = 2Bn + l)!p-2"+2 ? g^ [см. 5.4.2]. 7. — ¦ —dx=-[- + — Rep>0; a < тг . J (спрж + cosaJ p\sma 1 + cosa/ о oo Г / \ 8. e~px(chcx-l)" dx = 2"I/c В f --i/, 2i/ + l j [Rec > 0; 2 Ret/ > -1; Rep > Re(ci/)]. 9. I u в rfg = - u^6u (ch Ьж - e^2iab) [a, 1 sh ж + sh a sh 07Г ch a 2.4.15. Интегралы от хае^ах^сх{ ^\Х 1. 1 ch 6ж J T "-i -a^/sh6a:\ . BaT^F/ /52\[n / 6 \ / b \] . ж e < >dx = -—'- Г(а)ехр ( — )\D-a [-—= =F D^a[ ^^ J [chfexj 2 \8a/ [ V y/2a J \\/2a J J Re a > 0; Rea>~<| 2- J6 ich6xlfe = T2\/aeXPUH ^^"^ [К"а>0]. 0
2.4.15] 2.4- Гиперболические функции 297 3. Г x J 2n+se-a*2 [ Sh ЬХ ) dx = (-l)n+sis^2-2n-1-sa—1/2-s/2 [chbx) 4. [R.e>0]. 5. I -e~ax2 shbxdx = — erf J x 2i [Rea>0]. L J { \dx=-[ — ) 6. I x1/2e^ax Г*ГГ Ux=^l — \ 3/2 b2\\T fb2\ т (Ъ2 — /Tl/4 — +/±3/4 — Reo>0. 1/2 aX 1/2*aX =Fexp [Rea>0]. 9. d \сЬ6ж/ 2Bа)а/2 10. \ xe < J 1 [^ ( = л / — s (с — 6) exp 4a erfc 4 [ z - eibz erf z A + ± e~lhz erf ъеа, Re z > 0; 6 = 12. (Tax i г/л ch[Bn ^[1 , a [2 f ~ax2~c 13. e J 2 + c2\ f sh[bc/Ba)] 4a / [ ch [bc/Ba)\ [Re a > 0]. Rea>0.
298 Гл. 2. Определенные интегралы [2А16 2.4.16. Интегралы от А(х) ехр (-руж2 + z2 )< >. [ ch аж J 2. ехр pvn ( ) ch = Ja /р2 - b2 ) [Rep > |Refe|; Re z > 0]. [Re a > -1; Re z > 0; Rep > |Reb|], J4 = 3. x (p2 - а-l exP (^ /ж2 + z2 = Ia (p2 - 62K/2 [Re a, Rez > 0; Rep > |Re6|], ), h = »2X3/2 L ¦ z2 ) f sh &ж 1 x2 + \chbxf = bs f? Rez > 0; Rep > |Reb|; S = 2.4.17. Интегралы от ж"е < rfx = u[e"t/2So,i/s -ax3 j йЬбж) ^ _ Z Глтгг/2о /„лЗтгг/2 \chbx j )TS0,i/s(z)] a~1/2; Re a > oj. =F fc 3)/4 exp(^2v/g(p p + b)] [Rep > |Re6|; Re q > 0]. })/4exp(^2%/g(p^6))T [Aj = 1 или 3; Rep > |Re6|; Re q > 0]. , x. (shbx] , ,_.. .v.fsint ехр(аж™е )< > аж = =р Г(а — о) < Fl ;\сЬ6ж/ ^' l ;i\cost -/ ч Г sh 6ж 1 2.4.18. Интегралы от /(ж)ехр< >. [ ch ож J 1. е Обозначение: S = со -ash, ( I}- 1 ch 6ж о dx = ±| [Jb(a) ^ Jb(a)] ^ - [Еь(о) + Уь(о)] = 65Я^,, ь(а) [Re a > 0; b нецелое].
2.4.19] 2.4- Гиперболические функции 299 1 ch bx 3. | ch - — a J ж d x = oo I. fe^achiE ch 6ж с/ж = /Сь 5. e^achxshbxshxdx= -Кь(а) J a о ~асьж chbx Га /а\ у 2тг V 2 / /ch ж о I ^асьж chbxshx 8. I е у — ах = Кь(а) /ch ж у ch ж — 1 9. о sinpTr 10. e^asha;" о dx I тта 2 V ~2~ - J 11. е о -осЬж-рж i 1 г / \ аж — ж1„(а) CO 12. J e—- 13. 14. ^ гас x px ^^ _____ ^^g Ржг/ JLjr^/ T / |^ 2.4.19. Интегралы от А(х)е Обозначение: <5 = :}¦ 6ж sh Va . /— ; ch Vax2 + bx 1. ¦ ch (ел/а2 - ж2 [Re a > 0]. [Re a > 0]. [Re a > 0]. [Re a > 0]. [a, b > 0]. [Re a > 0]. [Re a > 0]. [Re a > 0]. [Re a > 0]. [Re a > 0]. [Re a > 0]. |Rep| < 1; а > 0]. [±Re(ia) < 0]. 2z± = ^/c2 + p2 ±c; а, с > oj.
300 Гл. 2. Определенные интегралы [2А1Э 2. - ch (с\/ах — ж2 ) dx = же ар'2 /о I — \/р2 + с2 1 V2 / [а, с > 0]. 7^\ Иг — -a ) dx ~ п1+?гп? ^ 1 4. 5. 6. e^px J sh(cVx2 -a2 ж + а | ch (су ж2 — а2 ) ж с 2 [е = 0 или 1; а > 0; Rep > |Rec|]. exp (^ [а > 0; Rep > |Ree|]. 1 сп I / аж = \ — pyn I fi \ / Tl f 2 V p2-c2 Pl VP [а > 0; Rep > |Rec|]. dx = /ж — а (ж + a) ch (су ж2 — a2 ) I fl\/c \ 2 , -a, ±1/4B-) [z± = a(p± y7^^2); a > 0; Rep > |Rec|]. erfc B-) z± = a(p± \/p2 - c2 ); a > 0; Rep > | Rec|j. 9. 10. I— /9 уж уж2 — а |;z± = a(p± \/p2 - c2 ); a > 0; Rep > |Ree|]. ¦ ch (с\/ж2 - a2)dx = ^_ K1/4(z+)K1/4(z-) 2z± = a(p± \Jp2 - c2 ); a > 0; Rep > |Rec|]. ¦ ch (суж2 - a2 ) dx = a?p? (p2 - . (ж Н~ уж a j =p (ж уж а ) —pxj -— \- » - - / 1 1 __ 1 ' 9 9 e 1 1 / /9 9 - ' ax — /хл - az [e = 0 или 1; a > 0; Rep > | Rec|]. oil I ty л CX I = a"|l^=^l T!^1^) \Kv{a^p2~c2) [a > 0; Rep > | Rec|]. 12 p -— с sh(b\ ch( p -— с dx _ 13. I e "~si: 0 Jl/4B- с!ж = p2 - b2 Zyi ±ib). Rez > o; Rep > |Reb|l. J [Rep > | Reb|; | argz| < тг].
2.4.20] 2.4- Гиперболические функции 301 14 рх ch (h\/r2 \ Г ~*~ V —- ехп \-(п- \/п2 - h2 ) [Rep > |Re6|; |argz| < тг]. 15. < . + я I ch Fv ж2 + xz ) dx = exp - (p - [Rep > |Re6|; |argz| < тг]. 16. ch (б^ж2 + xz ] ); 2 Re a > -Я; Rep > |Re6|; \a,rgz\ < тг]. 17. ж + z) \ ch (б^ж2 + xz ) тг pz dx = —^ ep erfc(z Jerfc(z_ (z_)| z| = z(p± л/р2 -b2); Rep > |Re6|; |argz| < тг]. 18. fx + z o( ^VP2~b2 ) [Rep>|Re6|; |args|<7r]. 19. 4^3/4^^^ ch (bVx2 + xz) = z(p± \fp2 - b2); Rep > |Re6|; |argz| < тг!. 20. — + ж + Уж2 + xz I q= I — + ж — Va;2 e F" x _ ,z \2 -b \P-b , ч ff-r» i -л [сж/(а2 — ж2I 2.4.20. Интегралы от А(х)еп } { ') 2 2^ 1 ch [сх/(а — х )] Обозначение: <5 = [Rep > I Re6|; | argz| < тг]. 1. sh 1 [сЖ/(а2 - Ml/4- l/4-a/2, ±1/4 а2Ь2 - с2 - 2ab [Re а > -5; 2ab > с > 0; а > 0].
302 Гл. 2. Определенные интегралы [2.4.21 2. - ехр - b \ J sh[cx/(x2 -a2)] a x2 -a2J \ch[cx/(x2 -а2)] a-l exp dx = - а2с2 + 6]1/4 х 4-а/2, ±1/4 [Re а < 1 + 5; 6 > ас > 0; а > 0]. 3. - ехр Ж2 + а2\ j sh[cx/(x2^a2)] dx = 4. - ехр - b \ i sh[cx/(x2 + z2)] /2аЬ- ^4а262 -с2 , ±1/4 ( ch[cx/(x2 ЖС X 2а [Re a < 1 + <5; 2а6 > с > 0; а > 0]. exp Q/2-l/4,±l/4 [-5 < Re a < 1 + 5; 6, c, Rez > 0]. 5. о x Г Mi/4- +c2 l/4-a/2, ±1/4 ^а/2-1/4, ±l/4 [-5 < Re a < 1 + 5; 6, c, Re z > 0]. 2.4.21. Интегралы, содержащие A(x)J e^x\ shg(x), chg(x). oo Ь){/-1 [Rep>|Rea|]. л [ ^px ( sha[x] 1 1. I e p V с«ж = [ ch a[x\ J ep - ch a p(e2P - 2beP ch a + 62) [ ep - 6 ch {bsh a 1 ep — 6 ch a j [Rep > In 6+ | Rea|; b > 1]. 3. le—2{t^ I ch ex dx = 1 / тГ 62 f she A [chCf 4(c2^a2)' }i/2 1 a + с 1 , 2C = - In Дс; Re a > | Re c| . 2 a^c J
2.4.22] 2.4- Гиперболические функции 303 4. \ ch (bx + c/x) exD (P-b)(q-c) J{p-b)(q-c) \ f sh d \ s = tfq2 - c2 5 Rep > | Re 6|; Reg > |Ree| . f sh bx 1 2.4.22. Интегралы, содержащие разности А(х), е рж, < >. [ ch bx J [Rep > |Rea|]. 1. e p dx = - In 1 - о СХЭ 0 3. = -p In ¦ — a a p + a in 2 p- a [Rep > | Rea|]. [Rep> 1], 2 "A p - 1' _ 1 ~ ^2 = « In ( 1 2 + ^ln 2 \ р2 J 2 р — -? ¦р-1 -р 5. е в. 7. ж shx V 2 о 8. ж" о (л ^XS2 о r(n-l)/2 ch ж + cos (тж/п) sin (тж/п) ^ Ьшг П [Rep>0]. [Rep > 0]. [Rep>0]. [Re a > 1; Rep > -2]. ; + 2)/(rn), A;/(rn) 1 9. | xn sh ж = Jn, т Jl = 2 m —1 , тж x-^ m — к m -— k • = 2, m + n = 1, 3, 5, . . . • = 1, m + n = 2, 4, 6, . . . If» '"¦ — x 4 3 v^4 ^^ "~ = Т717Г > --- 60 2 ^ J h4 k=l
304 Гл.2. Определенные интегралы [2.4.22 СО _-. 10. х —~ dx = ттг тг + > (—1) —г-^—• СП X о со и. ,.„1 + (-1Г«-ага* ch2 ж о т — к 7тж 3 \-^ / х^т^« — 1 , и-, 4 « т — 1 fc=i Г е echbx , 1, с5 13. dx=-\n — Rea > 0; Rec > Reb . J x 2 a1 о 7 e~ax - e~cx 1 c2 - b2 14. chbxdx = -ln^: — [Rea, Rec > |Reb|]. J ж 2 a2 — b1 о CO г e^ax — e^cx b c2 — b2 с c + 6 a a + 6 15. shbxdx= -In— -^ + -In г-77 In г [Reo, Rec> | Re6|]. J x2 2a2-b22c-b2a-b о f (i_ e~ax)(l — р^(а+1)ж) 17. Ui ^V^ }-dx = 2aln2 [Rea > -1]. J x sh x 18. oo f 1/ ^6ж ^cxshax\ a c2 - а2 с . - ae — e аж = — In 1— In ) \ J 2 b2 2 ae e аж = In1Ina x \ x J 2 b2 2c — a [Reb > 0; Re с > |Rea|]. CO 1 2csin[a7r/Bc)l 1 v^, Л а2 [а < 2(п + 1)с; а < 2пс]. со 20. ch ж — cos (тж/п) х о г(п —1)/2 -1) sin In sln(m7r/n) ^ l } [_ _ , . fr = 2, m + n = 1, 3, 5, .. Rea, Re 6 > -1; < L [r = 1, m + n = 2, 4, 6, . . ^ж ттг е аш sin (тж/п) -eJL. 6 t?T 2n сЬж + cos (тж/п) J ж = tg — ln(rn) + 2 g (-1) sm — *1пГ[ (a + Jfc)/(pn) = 1, m + n = 2, 4, 6, ...
2.5.1] 2.5. Тригонометрические функции 305 22. [ е^рхСЪаХСЪЬХ dx = In [Rep > | Rea|, |Reb|], J xn 1 . p2 — b2 _ p . p2 — a2 b . » — 6 a1w + a 23. e p dx = Jn [Rep>l], J xn 0 j li P+l P ж -, Pi P+l j J=ln J = 1ln J = 24. e ^ shxcte = - In — Rep > 2 . J x2 4 p2 о CO 0 , «,*. z shcx — ce^hx shax . ас % h2 — a2 ch . h + a ab . 6 26. cfe = — In — + — In —In x2 2 b2 - c2 ' 2 h-a 2Ь-с [Re6> | Rec|; Re Л > |Rea|]. no I 1 ch ax — ch 6ж 1 [J In cos [6тг/Bс)] — In cos [an/Bc)] 0 x emcx _ e(m^2)cx 2 [\ In sin [6тг/Bс)] - In sin [пЖ/Bc)] c2Bk-2Xf -b2 f 0 11 П c2Bife~2AJ~a2 + \ In (a/6) J J ч , , ч (A = 1/2, m = 1, 3, 5, ... a < (m- 2)c; 6 < (m - 2)c; < 7 1 ; ' l ; ' 1 A = 0, m = 2, 4, 6, ... CO Г -ax ~bx 1 1 1 Г / 6 \ / a \1 28. (e — e ) cth ex dx = 1— \ф\ — — ф[ — [Re a, Re b > 0]. J b а с I \2cJ \2c/J о 2.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.5.1. Введение. В этом разделе содержатся интегралы, в подынтегральные выражения которых входят тригонометрические функции. Для их вычисления можно использовать следующие свойст- свойства. Интегралы, содержащие тригонометрические функции, могут быть преобразованы к ин- интегралам от показательной или гиперболических функций, если воспользоваться соответ- соответствующими формулами, приведенными в приложении I. Интегралы, содержащие функции sinn bx и cos" bx, сводятся к интегралам от функций sin kbx и coskbx, если использовать формулы для степеней тригонометрических функций (см. приложение I). В ряде случаев интегралы от тригонометрических функций с помощью замены переменной сводятся к ин- интегралам от алгебраических и других функций. Например, а а а а (р(х) sin2 bx dx = - I ip(x) dx--{ (p(x)e2ibx dx - - I (f(x)e^2ibx dx = 0 0 0 0 a a sin ab f M ,2 ., , 1 f / w-, o, u If 2 /атозтяЛ dx = — (p(x)sh tbx dx = — \ <p(x)(l — co^2bx) dx = — x ш\ г J 2j^v b J "V b J л/1-х2 0 0 0 [ab ^ tt/2]. 20 А. П. Прудников и др., т. 1
306 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.2 2.5.2. Интегралы общего вида. В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интегралы, содержа- содержащие тригонометрические, а также степенную, алгебраические, показательную и гиперболи- гиперболические функции. Некоторые частные случаи этих интегралов, соответствующие конкретным значениям входящих в них параметров, приведены в последующих пунктах. Интегра- Интегралы общего вида представляются с помощью функций Vj, j = 1, 2, 3, . . . , помещенных в приложении III. Конкретные значения параметров, входящих в эти функции, приводятся в фигурных скобках после каждого интеграла. В п. 2.5.2 приняты следующие обозначения: г = p/q, где р и q — взаимно простые натуральные числа, если не указаны другие условия; ~ _ I 1, если взят sinox, _ I ( —1) , если взят smox, [0, если взят cosbx; [ 1, если взят cosbx; 1/2, если взят slnn bx, в = 1, 3, 5, ..., 7 = { 0, если взят slnn bx, n = 2, 4, 6, . . . , 0, если взят cosn &ж, n = 1, 2, 3, ...; С = г'1 (а/2 + 7 + h), b = by(n - 2к)/2. у Л I а-1/ 2г 2гч/3^1 Г Sin6iC 1 1. ж (у - ж f < } dx = о аг = С, bi = /3 + С, ci = 1/2 + 27 + /i, z = (-Ь2/р2 [у, Re^ > 0; Re a > -8щ | arg 6| < тг] I cos ож ^ У ^n B(/3, 1-^-0 о ^о-п^Г/3, 1-Ь2" V2 = 2r(l — j3 + j) — a, di = (,, bi = p + ?, ci = 1/2 + 27 + Л,, «2 = 1 — / = 1^7^ a/2 + r(l - P + j), c2 = A - a)/2 + 7 + r(l - /3 + j), z = (-1 [y, 6, Re/3 > 0; Re (a + 2r/3) < A - (^l)n)/2 + 2r a-l/ 2r , 2rxp^l f Sir 3. 0 V2 = 2r(l — p + j) — a, ai = ^, 61 = p + ?, ci = 1/2 + 27 + h, 0,2 = 1 — p + j, 62 = 1^7^«/2 + r(l^p + j), c2 = (l^a)/2 + 7 + r(l^p + i), z = (^l)p+<?62pp": [6 > 0; 2r| arg 2/| < тг; Re a > -<5n; Re (a + 2rp) < A - (™l)n)/2 + 2
2.5.2] 2.5. Тригонометрические функции 307 4- 1 + (-!)%.„.! «-2 rA/2 F [l-a2 Г[ 62 и = а - 2r, v2 = 2r(l + j) - a, ai = 1/2 + 27 + /1, «2 = 1 - 7 + К1 + J) - «/2? Ь2 = A - «)/2 + 7 + r(l + j), z = {Л2/р2)А [у, Ъ > 0; Rea > -?n; Rea < A - (-1)п)/2 + 2г]. 5. r[(n/2)\}2 sinGro-/2) )fflв(|, 1 - g - in[(q + rg)/Br)] /a _ _ j« sinGro-/2) V2^' 2^ и = a + 2r(cr — 1), V2 = 2r(l — <j + j) — a, ai = ^, 61 = cr + ?, = 1/2 + 27 + /1, a2 = 1 - (T + j, b2 = 1 - 7 - a/2 + r(l - a + j), c2 = A - a)/2 + 7 + A - [1/, 6, Re<j > 0; Re a > -5щ Re (a + 2ra) < A - (™l)n)/2 + 2r]. 0 = V35 + V3 а/Bг), 2p-j/-a/r] J -I/)/2, -1/2 -J, 1- n = a + r(i/ — 2p), г;2 = ^Bp — i/ + 2j) - a, v3 = rBp + 1 — 1/ + 2j) — a, ai = 1/ + ^, = ?, ci = 1 - p + i//2 + C, dt = A + i/)/2 - p + ?, ei = 1/2 + 27 + Л, a2 = p - i//2 + j, b2 = ^/2 + p + j, c2 = 1/2 + j, d2 = 1 - 7 + r(p - *V2 + i) ^ a/2, e2 = A - a)/2 + 7 + r(p - и/2 + j), a3 = p + A - i/)/2 + j, 63 = A + i/)/2 + p + j, сз = 3/2 + j, d3 = d2 + r/2, e3 = e2 + r/2, z = (-I)p+gF/pJp [6 > 0; 2r|argy| < тт; -<Уп < Rea < 2rp - r Re и + A - (-l)n)/2]. 7. х о л = v35 + smbx}n \cosbxj 2p^n^l^a/rf \l r p = 0,1/2, LF ' 7 J' ~ ^/2 - a/Br), tt/r -p-i//2 + a/Br) 20*
308 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.2 35 = ( } ~2 1 — ^ Ч- J, e2 и = а + г(и - 2р), v2 = гBр - и + 2j) - a, ai = С, &i = С + V2, = 1 - р - I//2 + ^, di = 1 - р + I//2 - ^, ei = 1/2 + 27 + Л, а2 = р - i//2 + b2 = Р + A - */)/2 + j, е2 = 1 - i/ + j, d2 = 1 - 7 + r(p - и/2 + j) - a/2, e2 = A - a)/2 + 7 + Kp - i//2 + j), z = (~l)p+q(b/pfp [6 > 0; 2r|argj/| < тг; -Sn < Rea < 2rp - r Re и + A - (-l)n)/2]. I sin bx\n \ COS ЬХ j 22 fei = i/ + ?, ci = v/2 + ?, di = (y + l)/2 + ?, ei = 1/2 + 2j + h, z = (-1 [y > 0; Re a > —n<5»; Re a > — n5 — 2r Re v\ | arg 6| < тг]. oo _ , _ , _ 9. У , A + i/)/2 - a/Br), A - i/)/2 - a/Br) } Г r[{n/2)\]2 [ 1-a/r 2_n_2t+1 l,e2 J [ v ~ Ah ез 6i = ? + 1/2, ci = A - i/)/2 + C, di = A + i/)/2 + C, ei = 1/2 + 27 + Л,, a2 = A + i^)/2 + j, 62 = 1 + v/2 + j, c2 = 1 + у + j, аз = A - *0/2 + j, 63 = 1 - ^/2 + j, e3 = 1 - v + j, is = 1^7 + ^[(l^^)/2 + j]^a/2, e3 = A - a)/2 + 7 + r[(l - i/)/2 + j], [t/, fe > 0; Rea < r(l - |Rei/|) + A - (-1)те)/2]. 7 x^ (sinbxy J x2r + 2(xy)r cos /3 + y2r \ cos bx J Ж ~ ° = Vsb + V^39 - г + (^1Г o-n-ie-2r+a ^^? sin [0(a - r)/r] 2 r[(n/2)!]2 sln/3slnGra/r) 1 7T3/2 ;r, ^39 = -2"n^™-, и = a - 2r, V! = 27 + 21, v2 = r(l + I) - a, r sinp sinp 1 = /3B7 + 21 + a - г)г~г, bi = B7 + 21 + а)тг/г5 ct = 1/2 + 27 + I, 4 = 1 + 1- a/r, fi = 7 + a/2 - r(l + I)/2, gi = A - a)/2 + 7 + r(l + . [y, b > 0; |Д| < тг; -те<5 < Rea < 2r + A - (-l)n)/2; r > 0 произвольное].
2.5.2] 2.5. Тригонометрические функции 309 со Г 01-1 е-зх2г { Smbx Y e \cos6x/ o-n-i -а/Bг) n\ / а 27 [r = 1/2] 27 •¦ - - —2p [Res > 0; Re a > —<$n; arg 6 произволен (при г > 1/2); 6 > 0 (при г < 1/2); n| Im6| < Res (при г = 1/2)]. + (-1)П п_1 а/Bг) 2 [ V4 2г и = а/Bг), vi = 2(Л + 7), «2 = 2rj - а, tp = 26(n - 2fc)s1/Br), 1/2 + 27 + h, 6i = 1 + ?, а2 = 1 - 7 + rj - а/2, Ь2 = A - а)/2 + 7 \ *\ [6, Re,>0; Rea 13. 1 cos ox — с [(m-l)/2] x V i //о \ l/2-a/Br) a/2 2 " [(m/2)!]2 ^ ~\kJ\n-2kJ [г ф \(г = 1 см. 2.5.13.20-21); с = 1 при п = 2, 4, 6, . . . ; с = 0 при п = 1, 3, 5, . . . ], п- 2А; i=o
310 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.2 A(q, J ai = 7 + a/2 + r(j + p), bi = A + a)/2 - 7 + r(j + p), a(m - 21) f 2 V iip+» [a, b > 0; — Sn — arm — 2с < Re a < 0 (при га + п = 2, 4, 6, . . .), или — ёп — arm — 2с < Re а < max A, г) (при га + п = 1, 3, 5, ...)]. S1nn X I da: = 7@, 0, 1) [см. 2.5.2.13]. cos bx — с J sin ах л п cos bx — с fe=0 " "" 1=0 ,ff,r) = 21—* V ef?) V r(.||——-I x —-се 1; z Ь ci), A(g, -^ r/i! r [1/2+ p + ^, 1/2 + 27 + Л, XiF2p+2g( Л^ i „ , ^ л/^ 1/2 + р + ^5 д(р; 1 + /l)j Д(р? i/2 + 27 + /i) {!}J^^ 5 T^^ = 1/2 + 2p + j, bi = 1 - 7 - a/2 + r(p + j), ci = A - a)/2 + 7 + r(p + j), — 21 f 71 — 2к\Г ( 1чр+д ,2g ^2p ^ 6—-— ,z = (^l)p^9^9p pq \ A J a, 6 > 0; ^2c - <5n - arm < Re a < f ^ '— + + r с = 1 при n = 2, 4, 6, . . . ; с = 0 при тг = 1, 3, 5, ... Т, i da = J@, 0, 1) [cm. 2.5.2.15]. cos 6ж — с j
2.5.2] 2.5. Тригонометрические функции 311 17. sinbx 1 } cosbx 1 ( . | } ax = 1 icr [r > 0], и = / ОТ w | ¦ cos I h I arctg — ] x \ 2 s A .-2k ( x Г z= Ib = 2 x Г a) arctg ^1 x (,2 + a2 7 + {ol- при z < 1, при |z| > 1 [a, Re s > 0; Re a > —or — <5n; 6 — произвольное (при г > 1), | Im b\n < Re s (при г = 1) и 6 > 0 (при г < 1)] или [Re s = 0; a, 6 > 0; -от — c5n < Re a < max (r, 1) (при г ф 1) или — err — Sn < Re a < 0 (при г = 1)]. ¦ rv —1 — ЧТГ T' Sill 18. ж е cosa/1 19. a —1 —-sx X cos Ьж j [I(o-) см. 2.5.2.17]. = J(^)|CT=1, (a-/r)/2 x fe n - 2k х/ж v^ /^ ^т Е ?( хГ 2 2«[(n/2)!]2 [a, 6 > 0; Rea<r<T + (l- (-l)n)/2 и Re s > 0 (или Re 5 = 0 и Re a > -r - nS)].
312 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.3 20. ж е J 21. ___ Г Sill ЬХ 1 П , w ч1 cosax < > dx = J(a)\ \cosbxj v Jl<J=0 dx = K(a)\ Л \chbx см. 2.5.2.19 . L J [г > 0], L J E /г=0 n-2/fc а - х /ч r4 llmncTT 7r /cjtt f ^ a\ - cos — + larctg - x \ 2 j > 1 [c — произвольное нецелое; a, Re s > 0; Re a > ^crr — en; b — произвольное (при г > 1) или п + | Re 6| < Re s (при г = 1)]. 22. f /-^"^ cos ажг| ^ ^ Г dx = К((т)\а=0 [см. 2.5.2.21]. 2.5.8. Интегралы от ж < > . { cos ox J Обозначение: S = < >. (a + l)/2l тт/2 1. 2. тг/2 О. X J О Г . 2 L «/2 + 1 J Rea>-1. [Л = 1 при 71 = 1, 3, 5, . . . ; Л = тг/2 при тг = 2, 4, 6, . . . ]. 7^ (m-2ife -
2.5.3] 2.5. Тригонометрические функции 313 Г sin ж 1 , 4- J —dX=2l О 7Г Г m Г sinna? 1 5. \x < } dx J { cos пж J -1)! т- S + 1 — m + 6. I аГ ~sin" о 7. ж cos x dx = ЖЧ1Т1 'Г8 И' Т* OIII tAy L4/еду [Rea > 2-n; n = 2, 3, 4, . . . ]. 2Bn)!! * О тгк 8. ж sin" х dx = о I "ТО \ "^ 9. ж созпжаж = — у. J U Г» = 0, 2, 4, . . . , COS^-TT 10. 11 12. а^1Гз1п&ж1 Г(а) Г sin (а7г/2) \ cos Ъх ) ba \cos(a7r/2) Sin Ьх . 7Г ж [n, / = 1, 2, 3, . . . ]. [6 > 0; ^5 < Rea < 1]. [b > 0]. [Im6 = 0]. ею 13. ж" sinn bx dx = /а; n [Imb = 0; -n < Rea < 2Л; n = 1, 2, 3, . . . ; Л = A - (-l)n)/4], при a / -2(X + k), k = 0, 1,2,.. ., I-2\-2k,n = lim /a,n при a —>> ^2A — 2k, ^ h/2-m,2l = ( —1) [(m ,-21 \Ь\ m-l/2 Bm-l)H^ [0 ^ m ^ 2/- 1], [m = l, 2, ...,2Z], Sgn 6, /-3/2, 2 = о /-1/2, 3 =
314 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.4 /о, Bm+i)/Bn+i) = 2Bm-4"-1)/Bn+1)B(Bm + l)/Dn + 2), Bm + l)/Dn + 2)) [6 > 0], 2-"Ьготг [("^/21f_n[(«-i)/2]+i »!(» - 2jT m'n т!Т(ттг/2) ^ l ; j\(n - j)! [ft > 0, T(x) = cos ж при п = 11 - 1; Т(ж) = sin ж при n = 2/, / = 1, 2, 3, . . . ], ttI&j B/ - 3)!! _ я-blbl ^B^-5)!! /а>2 = -2"ar(a)|b|"acos(a7r/2) [-2 < Rea < 0], /a,3 = 2~2|6|~QC - 3"a)sin(a7r/2)r(a)sgn6 [-3 < Rea < 1], /o,3 = "Г Sgnfe, /-1,3 = T ЫпЗ, /_2,3 = - 7Г6|6|. 14. | /-1 cos2n+1 bx dx = [6 > 0; 0 < Rea < 1]. 2.5.4. Интегралы от ж тт/4 1. /7г\^Г 4m 4mA [т = 2, 3, 4, ... ]. ж/4 J f sin ж 1 о < } { COS Ж J тг/4 3. 4. 5. в. к-г /2_к 2 B[n/2]-l)H B[п/2])Н [п = 1, 2, 3, ... ]. тт/2 0 тг/2 1 I fe = l т/2 0 7Г/2
2.5.6] 2.5. Тригонометрические функции 315 8. —?— dx = ^4 J COS X о 2.5.5. Интегралы от (х + z)^ I \ cos bx Обозначение: S = , ;}¦ [a, Re/3 > 0; |arg6| < тг]. CO 2. ж-af , Мж = ^/1 / , о /о f [a, 6>0; 0< Re/3 < 1]. J [cosfexj &^ [cos(a6 + /37r/2) J 3-р sin (ртг/2 + CO Г 1 (sinbx\ ПГ Г . , х Г sinoz 1 . . Г cos bz 11 4. -< f > с!ж = 4/—г cos6z =р smbz ± 2C(bz)< , > — 2S(bz)< f > J уж + z { cos ож J у 26 |_ I cos "z J I sm ®z J J о [6 > 0; |arg^| < тг]. CO f 1 f sin bx 1 . , /, x f sin 6z 1 /f 4fcos6zl 5. ^ , >^ = ±ciFz)^ f ^si(fez)^ . , } 6>0; arg^<7r. J ж + z I cos bx J [ cos 02: J [ sin oz J CO f 1 f sin 6ж 1 . . f cos by 1 r ,. ч , f sin 6t/1 j ж-у( cos bx J [ sin 6|/ J [ cos 6|/ J 0 2.5.6. Интегралы от (я:2 ± а2)"/""^ Г, (а2 - x2)"( [ COS ОЖ J [ a-a!Y-1(8in^}da! = ^f^V/V(/3)(H^1/2,(ab,) ' {cosbxj 2 \bj У '{Jf3-i/2(ab) COS ОЖ [a, Re/3 > 0; |arg6| < тг]. 2. L2 - «у-1! si J {cosbxj 2 \bj {Y1/2 .l3(ab) J [a, 6 > 0; 0 < Re/3 < 1]. CO - J [6, Rep, Rez > 0]. [6, Rep,
316 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.7 5. [ 82Ш ЬХ2 dx = ^- [e^bz Ei (fez) - ebz Ei (-bz)] [6, Re* >0]. J x + z 2z о cosbx , 7re~bz ABmfc)!B6z) + ^)m+idg=BgJm+im!E kl{m-k)l [6,Re*>0]. fe° 7. — dx = — [cos by Si (fey) — sin by ci (by)] [b, у > 0]. 0 Г cos bx ж 8- J ^—2dx = -^smby lb,v>o]. [6, У > 0]. [6, Rez > 0]. 0 0 T l2n + 1 & (l)"^1 I Bn+l)bz -\- Z A I fc"~u B+1)Ь ^*1 (^t Л^^ Ei 13. 15. со 0 со Г 2 J 0 со л 2п- ж2 И 0 &ж z2 4. fe=i 7Г / 4 г 7Г 22n+lz Обозначение: 1. f х-^а - xf-1! Sinf I da, = (-i)^-^-^-1 В (а, /3) x J |[ cos bx J 11. [jE^da-A_e-^) [6,Re,>0]. J X Z 4Z 6, L о к .г о «/ , xiifsintel a XMfsin6x1 2.5.7. Интегралы от ж (ж±а)^< >, х (а — ху { >. [cos 6ж J [ cos 6ж j е: 5 = < >. О X [iFi(a; а + /3; iab) =F iFi(a; а + /3; -tab)] [a, Re/3 > 0; Rea > -6; |arg6| < тг]. ~2~ f а-1/ ча™1[81п6ж1 ^- / tt Л "^l/2 f sin (ttfe/2) 1 2. ж (а — ж) < > с!ж = V71" ( т ) 1 / i / \ г J [созбж] \Ь/ [cos(a6/2)J о [a > 0; Re a > -5; | arg 6| < тг].
2.5.7] 2.5. Тригонометрические функции 317 1 J sin bx 1 /x(a- x) I cos bx J ' 4. 3-i (sir 1 cos bx I - а -/3 - 25 а + /3 + 1 а + р + 25 1 5 a2b2 /3 3-/3 3 ; '2-at-p 3-a-p a2b x 2l2- 5. ж (ж - a) dx = ±-— - 2 \bJ a6\ f cos (аб/2) 1 2 /I sin(ab/2) / 6. dx = E(a + S, p — a — S)b z a + 1 „ 1 ^! + 2' b2z2 i . ? 3 3 + p '' 2' 2' 2 ' 7. x + z \cosbx J dx = 2 ' 4 [b > 0; Re a > -5; Re (a - p) < 1; | argz| < тг]. ГA — a, —ibz) + e ГA — a, *oz)J [6 > 0; |argz| < тг; -5 < Re a < 2]. [Ь>0; 9. V 2 (si [о- = 0 или 1; Ь > 0; | argz| < тг]
318 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.8 со Г ж" f sin bx I , a_i (sin by] ,2_а „, ч Г sin (атг/2) 1 10. < ^da; =-тгг/ ctgaTr^ > - 6 %Г(а - 2I ) ' { } х J ж — у { cos ож J [ cos by J ( cos (атг/2) J fcos(air/2)l J,.3-« , а. Ь 0 2y2 a ' 2' 2' 2' )Tb ^"VUnianWt^X' 2' 1 2' , 2/ > 0; -5 < Re а < 2]. 11. J x2"[(/3 + ix)"" т (/3 - «)"i 0 [b, Re/3 > 0; 0 sC 2n < Ret/]. 12. I x2n+1[{p + ix)~u ±(p- ixy{ ШП^Ж 1 J ^ 1 dx = [COS 0Ж J о )\ 1522ЪCl2 [b, ReC > 0; ^2 - S < 2n < Re v - 1]. 2.5.8. Интегралы от Ж-(Ж2 - a2f f Skl h* V xa(a2 - х'Г ( ^ f V [ cos bx J [ cos bx J Обозначение: <5 = >. a-i, 2 2^_1/ (созбЛ 2 0 x iF2(^—; 2 +<5; ^ + ^^; ^^^) 'a> Re^ >0; Rea > ~S; 'arg6' < ^^ о f /2 2^1/sinb] ^ ^+1/2() J [cGskcJ 2 \bj {Щ+1/2(аЬ) J 2/3 [а, Re/3 > 0; |arg6| < тг]. a2b2 3. fa:(a!aY{ J [ cos bx , и ' 2 '" ' 2" 4 [a, 6, Re^ > 0; Re (a + 2Д) < 3]. 4. l2 yil™b* )^ (^Y"/\lY j-/3-i/2(ab) [a, 6 > 0; 0 < Re^ < 1/2]. 6. 7r^^OJi/2-/3 z sin ртг [ z [a, b > 0; 0 < Re^ < 3/2].
2.5.9] 2.5. Тригонометрические функции 319 со 7 Г ^^ f slnbx X dx _ ±?L a-2 f tg (атг/2) sin 6f/ 1 _ J ж2 — у2 \ cos &ж / 2 \ ctg (атг/2) cos by J CO Г ж J sin bx 1 J (tt/2)cos&|/ 1 J ж2 — y2 X cos 6ж J \ sin by Si (by) — cos by ci (by) f о о ха Г sin bx I n 2.5.9. Интегралы от Обозначение: S = 1. ха (ж2 + 2' -1 ' Z2)P ( sin bx 1 1 cos bx j i jJ^P — °t F1 / 1 \ J L\ ~T~ t? I I ?X — А О) \ iF(a+i f+ г Rez 2 > 0; ^5< ^ h2z2 a ' 2 + Re a < ] \ , ) l L + 2 Re p] ¦ жа 1 J sin bx 1 wza 2 ( cos (an/2) 1 ¦2 + z2 \ cos 6ж J X^ 2 \sin(a7r/2)J \ ch 6z ^ CO 0 [6, Rez > 0; Re p > n]. 4 7 Ж2П+' (Sin^|ix^f ir+g0F BzI/2-' д2П+1 \b'-1/2K J (ж2 + ^)Н6 ]dx~{ ^ V(){lZ) db*»+i[b KP- ( ) ] V(p) 0 Г (l 6, Re z > 0; Re p > те + 5/2; 5 = ^ , 7 ж hinbx\J _ (-i)\_TO / a \ 2n_1+, ^Ьг. J (ж2 + ^2)-\со8бж/С|Ж^ (m1)! ""U^/ 6 0 [6, Rez > 0; 7i = 0, 1, 2, ..., m- 1; m = 1, 2, 3, ... ]. Г ж2+5 f sin foci _ l + e-bz ^bz Г _Г1 J (ж + z j ^ cos bx J 4z L 10 0 7. о 1 «Л^ uiii f еду ,, 8. , o , „ч„ с?ж = 0 [6, Rez > 0; m = 2, 3, 4, ... ].
320 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.10 со х sin bx . тг ^.hz — -dx = —e [b,Rez>0]. о со f sin bx . тг Г e~bz , , Л . 10. —г-г r-77 da = —т 1 B + bz) \b. Rez > 0]. I rnlrnA _|_ y?\A Q <y4 */ 0 о 12. | ж cos 6^ж = _1 [e^b^ EI (fez) + ehz Ei (-62?)] [6, Rez>0]. x -\- z A 0 4 >-i/2,3/2-p(*&2)] [6, Rez > 0; Re p > 1/2]. 14. I >2 2—^ж = 22та+1 2^(-l) I , |e 0 " 2 о Г" ^^л dx = A {2IC + ln (ЬгI - te""Z Ei (bz) + e"Z Ei (~6г)]> [Ь, Re*>0]. 2bz - bfc6ZEi[Bfc2n-lN,] [b,ReZ>0]. жт (s'mbxI 2.5.10. Интегралы от < > . anxn + an^1xn^1 + . . . + a0 [ cos bx J CO х2к~1+8 fsmbx] ^ Г 1-5 , тг fi x2n + z2n\cosbx ) [ ' 2 ' ' B ' 2n' 10 о со 2. — ^< > rfa; = =p—z + те \^ exp [ —bz sin : — J x2n + z2n \cosbx} 2n _ V 2n 0 |m0 1 MCOS^1 тг < > /\sint/ 21 + X Bfc + 1 - S)w + fez cos 2l + X тг; 6 > 0; 0 ^ Jfe < те + -; |argz| < —; <5 = ' X 2n v 7 2n ' ' " 2' ' ° ' 2ri Ю f a;fe sin bx 1 , » 1 3. — -dx = Ik \b > 0; arg^ < - , J ж4 + z4 I » s 1 , h 0
2.5.10] 2.5. Тригонометрические функции 321 4. 5. 6. х cos bx т тг^2 ( bz\( bz . bz Ji±i = . о_г1 ехр — cos —= =p sin —= x sin 6ж — — x -У аж = V У ехр — ovsin — sm ?11 \ П / dx = h + by cos — П [6, у > 0; 0 ^ k < n]. Ь, у > 0; k = -1, 0, 1, 2, 3], I_1 = -^(e-»»+ cos б?/ -2), /i±i = ^T P cos fe2/ Si Fy) - 2sin by ci Fy) T eb!/ Ei (-by) ± e'"* Ei (by)], 7. dx = Jfc [6, з/>0; ife = 0, 1, 2, 3], x^r I2 cos 6|/ ci ^ +2 sin 6|/ Si Ei ^ ± eby Ei (^ 8. (x - z) dx = - (e±lz - 1) z 9. = — (cos у — 1) I/ 10. f^l^rf^f e-*+*(±z^ sin A-b+{°\y cos A-b [±1тг>0]. [z = у] Imy = 0]. , Key x \±zlTl(A+sin A^b^- A^ cos A^b) + < >|/(Л+cos Л^б - A^ sin A^6) | = л/z4 + 2/2 ±z2; 6, Rez, Rej/ > o]. Г сх + d Г sin bx 1 , / x Г f cos bq 1 cq - d f sin 6g 11 12. — < > rfa; = тгехр (—b\/p — q2) c< > + / < > J x2 + 2дж + p [ cos ож J LI sin bq J д/ p — q2 [ cos og J J — oo /,«,« = 1,2,3,...]. 14 7 " J [/, m, n = 1, 2, 3, ... ]. 21 А. П. Прудников и др., т. 1
322 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.10 "• хт sin bx dx db с2ж + ex1 ± :=:: " [6, с > 0], h = (^"^^(e0 - cos 6c) ± [e^bc El Fc) - ebc El (-fee) - 2 sin 6c ci Fc) + 2 cos 6c SI Fc)]}, /2 = 2^2 [e6c El (-6c) - e^bc El Fc) + 2 ci Fc) sin 6c - 2 SI Fc) cos 6c] ± тг(е^5с + cos 6c). ifi I XmSmbx 16. , . n n n .—г «ж = [a, 6, с > 0], cos I 6 - sin I 6 7Г 2Ve4 - a4 h = t л exp -b\l I sin I b\ COS [ 6 ¦ sin ( 6 J [a, 6, с > 0], 1 / //.2 - cos 1 . I lc*-a* ¦ Sin 04 1 ( \c*-a* X — COS 0 4 1 . I, lc*-a* ¦ Sin 04 18. 1 1 1 f sin 6ж 1 . 7Г ^hz f sin flH , , 7 \F^—^^7 i—^—гП , Ыж = -е l и)[Ъ> 0; Rez > Imo . (ж — aJ + zJ (ж + а)^ + ^2] [ cos bx J z [cosaoj 19. (ж — aJ _b,fsina6| Re2>|Ima|]. I cosa6 J 20. sin 6ж с!ж Bn)! 22^ 21. cos 6ж dx (ж2 + 12)(ж2 + З2) . . . [ж2 + Bп + IJ Bn + l)! 22те^ [ь > о].
2.5.11] 2.5. Тригонометрические функции 323 2.5.11. Интегралы от ха(л/х2 ± z2 + ах + bz)v А(х) Обозначение : 5 = < >. ;}¦ 1 I xa { } I > dx - JL. I «?. / о ON 1 if U"*/ (ж2 + z2jr [ cosbx J \1 — 2r i 1 — а — v-гл/ i ) b Г(а+ i/- cos [(a + i/)tt/2] sin [(a + ^)тг/2] a + i/ 3 — a — i/ 62z2 sin[(a + i/)/2 - 2r] cos [(a + u)/2 - 2r] к/ , 2r - V - a - V - a - 6] E)/2 J ^' 2'1 +22Г; [r = 0 или 1/2; b, Rez > 0; -Я < Re a < - Re v + 2r + 1]. 2. ж о 3. a_i ^v ^'" + z2 + z)ly/2 a J sin bx X cos 6ж r.2 j_ y2 /ж' + z- 1 /2л/а + ^ 4- z2 4- + z1 1 cos 6ж J V 26 6? Re2: >0; Rea > ™5]" b, Rez > 0; 5 = . . a_i A/ж2 + z2 + ж) ( sm к ) 4. ж -—г—г гт—^< , > dx = B + 2)г [б/ 2 \ 2 5. a + 1 2 ' г+<5гГа + J, r - (a + г/- a -\- S — is . , a + i/ 1 — I/ ^ I^f^q; -, + z2 + ж)" Г sin bx л b2z v -\- ol b2 z2 + z2 [r = 0 или 1/2; 6, Rez > 0; -5 < Re a < - Re v + 2r + 1]. coste k±l/4+i//2 | [6, Rez > 0; Re i/ < 3/2]. Sin (IS7T/ COS (lSTT/ [6, Rez > 0; |Rei/| < 1]. 21*
324 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.12 Г (ж + z + \/х2 + 2xz У + (x + z- \/х2 + 2xz )и Г sin ЬхЛ _ \/х2 + 2xz I cos 6ж / v Г J COS (bz — 7Г1//2) ~~ ^Z sm{bz - жи/2) j'Jl/K ' [cos( [b > 0; |Rei/| < 1; \argz\ < тг]. 8. (ж + — ж2 ж2 Y + (ж — 9. (ж + Y ( sin bx \ { cos bx j {cosec (г/тг/2) sec(i/7r/2) — a2 )l/ + (ж — ^ж2 — a2 У f sin 6ж , < >йж = I cos bx . Г J cos (i/tt/2) \ т / i \ / sin C1771"/^) [\sin(W2)J "ia)T\cc [a > 0; |argfe|<7r]. cos (i/tt/2 J f (ж + \/x2 — a2Y + (ж — ^ж2 — a2 I17 f sin 6ж 1 , ж 10. ^ / x = ^< , } dx = - — ^B 2) I cos bx J 2 /ж(ж2 — a2) X |j4 ^ ±l/4-i//2 о к 10 тж П f sintt^ I 2.5.12. Интегралы от < > 11 [cosaj^J тг/4 1. 2ж 1 ^ > , а, 6>0; Rei/ ^±1/44-^/2 ^T V z [a, 6 > 0; |Rei/| < 3/2]. [-1/2 < Re/i < 0]. 2- 3. 4. о 7Г s2n+l J dx = о tt/4 2Bп)!! 8 2Ж , 1„/771 + 1 г—;—n^— dx = - В ( , соз2г/+"г+2ж 2 \ 2 ' [Re/i > -1]. [Rei/ > -1]. 0 tt/4 Г slnm x cos^1/2 2ж _ (m - l)!!Bn - 1)!! / тг/2, m = 0, 2, 4, . . . , t) # I (%X — \ г»п«2п4-т4-1 «, («v, _i_ On ill I 1 m — 1 4 е! J LUO л {III ~f~ /jlbjl. I 1, ##?/ — JL 5 О j «J j . . • 0 tt/2 [п = 1, 2, 3, ... ]. . Г sin» J 0 7Г/2 n!! \тг/2, п = 0, 2, 4, ... 7. [п = 2, 4, ...].
2.5.12] 2.5. Тригонометрические функции 325 8. = тг/2 [п = 1, 3, 5, ... ]. 9. cos ж v ; ^ 2к - 1 о к^г тг/2 11 I • Д-1 I Sin Ь- l j о- 11. sin^ ж< , > ах = 2 Г sin (бтг/2) 1 6 Г /х 1 Гсо8Fтг/2I \cosFtt/2) j + 2 [l + (/x + 6)/2, l + (/x-b)/2_|\sinF7r/2) J X тг/2 12. о тт/2 13. sin ч cos (/jtt/2) J 2n + 5\( к к л Г I I L -т)UJ L Ю о 14. =0 [ш > те; 8 = | Х 15 \ / Bп - 2т- 1)!!Bт + 2п + 1)!! \ 2т о 1)?2-1 f 2п + 1)!! \ [т ^ те; S = (п - 1)!2теBт - 2п - - 1)!!Bп - 1)!! f 2п 1 )!! [2m + 2n + lJ ¦1): 771 > Щ S = тг/2 17. cos17™ ж sin 6ж с!ж = 7г&2~ X sF2^, ^, i; 1 + ^,1 + ^; lj [Rei,>0; |arg6| < тг]. Т _, . 1 I Г*ОЧ Т* Ч1П I 17 —I— 1 1 Ф Н Т* ~~ — J V тг/2 18. о тг/2 д..! 19. cosn ж sin mx dx = ^J —^г ^-ту гут^ + i 0 i=0 {п-]).{т п).. - n - 2j)\\ [A; = min (ra, n), в = 2 при т-те = 41 + 2>0; 9 = 1 при т-те = 21 + 1>0; ^ = 0 при 771 — п = 41 ^ 0 или т — те < 0]. тт/2 Г 1 20. cosn ж sin nx dx = J о 2n+1 ^^ 7 i=1
326 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.12 тг/2 21. 22. 23. 24. 25. 26. Г cosu~1xsin тг/2 / cos17 a;cos(i/ + l)xdx = 0 / Г п! Г 1 cosn х cos тж с/ж = -. г-тт г-т { / J (п-т)!!(п + т)!!\тг/2, .>0; |аг8&|<тг]. [Rei/>0]. о тт/2 п — гаг = 1, 3, 5, . . . , га- m = 0, 2, 4, ... = В га! (т — га) (гаг — га + 2) . . . (?га + га) те < га; В = 0, если га — п четно; В = ±1, если га — п = 4/ ± 1, 1 = 0, 1, 2, ...]. тт/2 [ sin/i~1a;cosI/a;da; = - В (-, -) J A \ A A / о тг/2 тга sina7r [RejLi, Re i/ > 0]. [a > 0]. т/2 28. 29. sin" cos (/i + 1/)ж J 2 [ cosec (дтг/2) dx= B(Ai, Re i/ > 0; Re/z > - Re i/ > 0; Re/x > - 30. 31. 32. 33. 35. 36. sin пж cos шж ax = 0 = 7Г [ slnm жсо8п x dx = J [?г ^ f?i или те > тег; га + n = 2k\. [n > га; га + 7i = 2A; - 1, fc = 1, 2, 3, . . . ]. [m + n = 0,2,4, ...]. dx= 34. sin2rax cosi 2k - = a_i J sin bx 1 \ cos bx J , {ц-Ь fsinF7r/2) 1 \cosFtt/2) J [Re/j, > 0; | arg6| < тг].
2.5.13] 2.5. Тригонометрические функции 327 / п f sin Bга + 1)ж 1 . _ Г . п Г sin Bгм + na^ l ; }dx = 2 sinn a^ l / »_ Г • п f sin Bга + 1)ж 1 . _ Г . п Г sin Bгм + 1)ж 1 . 37. sinna^ l ; }dx = 2 sinn a^ l ; ^rfx [см. 2.5.12.13-16]. J [ cos2ina? J J I coszfTiic J о о 38. sln2n ж cos 2mx dx = -—^ ( J \n>m]. о 39. =0 [n < то]. 7T/2 Г n fslnma?! . r / xm+ni Г n fsinmjcl . 40. cos ж }dx= 1=f(™1) cos ж > dx см. 2.5.12.19-25 . J [ cos mx J J [ cos mx J о о At 1 n » , (-1)П81П67Г / 6 + П 6 + П 41. j cos ^eoskccte = 2n(n + M 2F1I -n, —; 1 —; -1 ( ; 1; 0 [6^0, ±1, ±2, ...]. 7T cosn x cos mx dx = 0 [ra + n = 1, 3, 5, . . . или то > n, m + n = 2, 4, 6, . . . ]. 42 0 43. (m + n)(Z — 1)! лл Г • m n , [l + (^l)m][l + (^l)n] D/m|l 44. sin ж cos ж dx = —^^BI J 2 a 2.5.13. Интегралы от xa s!nM ax cos17 bx. ж/4 sin'* ж . 7г 1 .//x + l\ ж т:^с1ж = /3 —— Re/x>-l. cos^1» 4/i 2/iM\ 2 / 0 тг/4 Г slnn x 2. жЖ J cosn+2 ж 4+ 2 4 тг/4 тг/4 Г о sin ж In 2 тг тг Г о sin ж , 1 , ,. , ,. „ _ . 3. ж — dx = 1 . 4. ж — Жс = - 1 п2 1 h G . J cos3 ж 2 4 16 J cos4 ж 3 V 4 216 о о тг/4 , ж dx 5. о тг/2 6. tt/2 [^! тг fl О тт/2 Г . 2п , 1 Г 2Bп)!! 8. ж sin ~ — ~ л~ — | — В. ж sir о
328 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.13 о тг/2 тг/2 Г 2 COS Ж 7Г2 Г з COS Ж ЗТГ 7Г3 10. ж —ц—dx = 4G . 11. ж —s—с!ж = —In 2 . J sin ж 4 J sin*5 ж 2 16 о о 12. ж cosn ж sin ж с!ж = г—; г \ J (га + 1)!!(га + 1)\тг/2, га = 1, 3, 5, . . . 7г/2 о тг/2 ~м~ Г г cos ж ] м-1 Г sin ж 1 м тг 13. ж . ^ i с1ж = ±^ — 0<±Re/x<l. J I Sin Ж J [COS Ж] 2/iCOS (/А7Г/2) тг/2 / 1/( Г . n 2m-l , B(n/2, Ш + 1/2) П-1 Г ,n^2 2m^l , 14. ж sin ж cos x dx = —\1 Lv^ H ж sin ж cos ж dx J 2Bm + n-l) 2m + n-l J о о [m, n = 1, 2, 3, ... ]. 15. r(y) ^ f/ 2-+1 l ; Г I/ + 6 + 1 )/2 Г((iz-fe + l /2 0 [Re i/ > 0; -1 - Re i/ < Re 6 < 1 + Rei/]. 16. Ж81пм ^Г( )/1 J о /x L M/2 + 1 J xn l^(^l)n B[(n 2 B[(п- U 7Г Г ein т> 18. cos ж о 2n + m- 1) \ 2 ' 1Q Г • 2n-l rn j J о 7Г I "^ I • 2п —1 тге —2 i г -1 л о Н ж sin ж cos ж аж ?n, n = 1, 2, 3, ... 2п + m — 1 J о оо ж" slnn аж slnm 6ж с!ж = /^'т, 20 о fe=o E Ь 7 + а/2, Л - 7 + A + а)/2; 2Л + 1/2; t) + 2Л - 1} + ^^^ лГА + 7 + а/2 1 ¦B7- Ш1Г1а^а{п-2кТаТ\ г/ 7Ч/ при 0 < t < 1,
2.5.18] 2.5. Тригонометрические функции 329 AM(t) = • (l + a)/2; 27 + l/2; Г1) xb^a(m~2iyar\ * + при t > 1, + A - 7 + A - a)/2, 7 - A + A - a)/2, A + 7 - a/2 A+ 7 +a/2 Л = -> 7 = -; a, 6 > 0; —m —¦ n < Re a < 0 (—«г-—те < Re a < 1, 4 ' ' 4 если одно из чисел m, n нечетно или если m, ?г нечетны и a ^ 6); тп, п = 1, 2, 3, . . . ; .Li i,_ a + b 11 тг . . . 1_\ = -тт(а, 6); z /2, 1 Г1 е-ъ ] г2, 1 /л fi ч п 1, О I ""^ ^"J 5 0 L "^ J5 [Ь Ф 2«], 1 a . 2a + 6 6 . |4a2 - б2 'i = "Г in — 77 + "Г in — I^i = a In 2 [6 = 2a]; 1-2,1 7Г 1^2 = ~ fl2 [6 ^ 2a]; J^2 = — mln (a, 6); a. — 6 аб , о, + 6 In 2 |a-6| L ^ /!'22 = a2 In 2 [b = a]; /!'32 = - ?ra2C6 - a) [a ^ 6], а]; /03' Х = i In а, 6^ За]; ;a], J!.5!1 = - Ca - b) [a ^6^ 3a], 7^=0 [6 ^ 3a]; , 1 kfri / i\ /__^ = — а [6 = am, m ^ n, m = 1, 2, 3, ... оо 21. f Z slnn ax cosm 6ж da; = J«'m, = V 7Г 2 x[n/2] + k_ ife!(n-A;)! x — m — n —a [(m/2)!] {l-a)/2\' (m-202fe2'
330 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.13 Bkl{t) = a~a(n - 2к)~аГ х {2Fi(A + а/2, Л + A + а)/2; 2Л + 1/2; *) - 1 + 2Л} при 0 < t < 1, Л+A-а)/2 + BA-l)Dt)A[&(m~2l)]~aF «/2, A + а)/2 - Л; 1/2; Г1) + при t > 1, ^ Л = ; а, 6 > 0; —n < Re а < 0 (—n < Re а < 1, если m шли п нечетно); т, и = 1, 2, 3, . . . ; 2а], J^1 = О [6>2а]; Jq'2 = ^ [а < 26], Jq>2 = -k [a = 26], 4 8 Tl,2 Ж г о,п j2,2 2а — 6 2,2 ^Л г /, Jo :=: — [а > 2oj; J_]_ = ж [а ^ о], J—1 = [а ^ I Jo  73,1 16 тЗ, 1 /l г .], 4Л = ~Т^ [6 = За], 4Д=0 [6>3а]; 9а2 - --In (а + &K(За-&) а, 6^ За], /i'j1 = ^^ а [6 = а], Ji'i1 = - (In 3 - 2 In 2)а [6 = За]; 3, 1 ^ /o 2 i 2ч = ^ (За - Ь ) 3,1 = ' 2 = - Jl'2 =0 [6 ^ За]; J*>z = - [26 < о], /03'2 = 4тг [26 = о], J03'2 = ^- [а<26<3а], 4' =^^ [26 = За], Jo' =^ [26>3а]; 32 8 31n3 16 9a2 - a2 - 462 a, 26 ф За], J\2= 31n3 + 21n2Q [26 = а]> J!'12 = 5(ln3^1n2)a [26 = За]; ^'22 = ^ (За2 - 262) [26 ^ a], j!'22 = ?- [6а2 + (За - 26J] [а ^С 26 <С За],
2.5.14] 2.5. Тригонометрические функции 331 о J^2 = — тга2 [26 ^ За], 0 72i,i Bj - 3)!! тга [(ап-Ь)/Bа)] -^a^ [b = a- k = 1,2,3]. 22. V 2 ', о [д > 1, i/ > 0; д = 2fc/BZ + 1), i/ = 2m/Bn + 1)]. 23. ха 1 cosn ax cosm bx dx = л/ж о X k=O k\(n-k)\ 2^ l\(m-l)\Ckl{t) 4 (п - t = (m - f' ^2~; 2' *"/ ПРИ t > lj [a, b > О; О < Re а < 1; га, тг = 1, 2, 3, . . . , кроме случая, когда тип четны одновременно]. ж" 2.5.14. Интегралы от 2 —- s!nM аж cos1' 6ж. со Г жа^ 1. — slnn аж sin bx dx = la ь \a = 1, 2; a, 6, Re z > 01, J ж2 + z2 о /_ -^\Aj —1 C1^6 ) 6 [fc = l, 2, ...], S!l aZ€ Щ — li Zi • • -\i
332 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.14 Г2к ( —1) 7Г azu ~2az\2k Л ~2azi Т2к (~1) Я" ,. ~2az\2k -.i *2,Bfc-i)a = 22fc+1 e 1A-e ) -1-е J, h,2ka = 22fc+1 [A-е ) - 1J, -4feaz ,2fc б Sh CLZ. f ж 2. — slnn ax cos Ьж dx = J™ ь [a = 1, 2; a, 6, Re z > 0]. J ж^ + z2 r2fc-l _ (-1) 7Г r/-, ^2ezx2fc^l -.i r, _ 1 J2,Bfc^l)a^ ^fe LI1 - 6 i - Х] [Л - 1, J, ...j, о ) Ж \p2az( (-1) 7Г -2агч2Л-1 -2аг г, _ - „ i уп V1 ~ e J 6 L« - ¦•¦> ^> •••]» [« — 1, J, . . .J, j2fc _ -2az j2k _ (^^^ -4feaz ,2fc 3. —г cosn ax sin 6ж dx = Ia ь [a, 6, Re г > 0], } хл + zl 0 ^ Ё (") ['аг Ei ^2laz^ - e"laz Ei i- i2,(n+2)a /^ -oz/-| | —2az\n r ^ r/i , ~2az\n -• i M«+4« = ^Ie (! + e ) ' 72,"" = ^fiKHe ) -1], /2, (n-i)« = ^ ch аг[A + e-2az)n-1 - 1], /2,3no = I eaz chn аг [n = 1, 2, 3, ... ]. Г i 4. — cosn ax cos bx dx = h [a, 6, Re 2; > 01, J Ж2 + Z2 0 /^ —-2azf-\ , -2az\n j- ^ —az/-i , —2az\n (^+i)« = ^TT^e A + e )' I(n+i)a = ^TT^e (l + e ), — 2az\n , -2az -,i ) +e 1] [n = 1, 2, 3, ... ]. oo [x cosn ax ( sin anx 1 . тг , ,*! п Г cos any 1 n-n-i с 5. — — ^ &=--!/ cos ay< . ^}-2 ёж J x1 — у2 [созатгж] 2 [ sin any J о те = 1, 2, 3, . . .; a > 0; 8 = j f 1 sin bx . 7Г sh 6z 6. -^-j ^^ dx = — — 0 < b < a; Rez> 0 . J x2 + z2 8ш1аж 2z sh az о 7 ±1 ¦ и ик _ Ж Sin 0Ж _ 7Г „U-iSnOZ 7. ^ о dx = ^^ z — 0 < 6 < a; Re z > 0 . J ж2 + z2 cosax 2 ch az о
2.5.15] 2.5. Тригонометрические функции 333 х cos bx . ж ch bz dx = ж2 + z2 sin аж 2 shaz 8. — dx = - — 0 < b < a; Re z > 0 . 0 1 cos bx ж ж2 + z2 соваж 2z ch az 9. | — dx = [0 < b < a; Re z > 0]. о f 1 sin 6ж . 7Г sin2Ft//2) 10. — dx = .l У1 J 0<6<a;y>0. J x1 — у1 зшаж у sin ay 0 00 -1 Г x sin 6ж . . 11. — dx = 0 0<6<a;y>0. J xA ~ yA есшаж о 2.5.15. Интегралы от xa ||sinM а^ж cos17 bkX. k Обозначение: 8 = < >. A^п)/2 f] sin ЬЛж daj = 0 6fc > 0; 60 7 7 7г г i 2. ж^п^1[]81п&й;жс1ж = ^f]6fc 6fe >0; b0 > ^] 6 J . 0 k=Q fc=0 3. xa sin ax sin bx sin ex dx = Ia [—3 < Re a < 1; a ^ 6 ^ с ^ О, исключая a = 6 ^ с = 0], sin (^) [-(a + 6 + c)"a + (a - b + c)"a + (a + b - Cya - e\a - b - с\~а] [а ф 0, —1, —2; e = sgn (a — b — c), e = 0 при о = 6 + с], a + 6-c, . a - 6 - с in (a + о — c) H in a — о — с f {a + b cf {a b + cf + e(a b cJ /_2 = — [(a + 6 + cf - (a + 6 - cf - (a - b + cf + e(a - 6 - cJ]. oo a —1 FT f-f I Sin cX 4. ж II sin a7-ж I I со8 0^ж< . > dx = cos 4 ж [A ^ - a - m)/2 1 3 3 1. I ^i ^m^i ' *¦"' 2' 2' ""¦' 2' C2' '"' C2 ' C2' *"' 2 ' 2 ' 2' *¦"' 2' 2' ""¦' 2' C2 TO fl [ai, . . . , am, 6i, . . . , 6n, С > 0; С > ai + • • • + am + 6i + . . . + bn] —m — <S < Rea < 1].
334 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.16 5. ж' о — т+21 sin а,-ж I I cosbkXi > dx 11 1 cos ?х I = 0 i, . . . , am, 6i, . . . , 6n, С > 0; С > «l + • • • + «то + Ь\ + . . . + bn; oo 6. ж^^1 О sin ajX О cos bkX sin ^x dx = — жаг . . . пщ^1 7 7 1 П . — FT 7. I —т I I cosPfe пкХ sin bx sin ж dx = — „ ж2 А А 2 о oi, . . . , am, 6i, . . . , bni С > 0; С 7Г k=l b > ^ ^ а^р^; а^, pfc > 0 . k=i J 2.5.16. Интегралы, содержащие (а Обозначение: S = < >. a 1. (cos ж — cos aI7™1 cos bx dx = у7г/2 sln17™1^2 ar(i/)P6_1T2l/(cosa) 2. 3. 4. 5. 1/2)ж , ж dx = ^^ dx = —^ Pn у cos ж — cos a у 2 [b, Rei/ > 0; 0 < а < тг]. [a > 0]. т/2 dx 1 b arccos — а2 — b2 -In b + x/b2 - a2 = I/a [6 = а]. 1 + sin x J 1 + cos x 2 о о тг/2 1 — a cos 2пж m . тт —- cos x cos тж ож = тг/2 тг/2 sin ж е!ж Г cos x dx тг 7. тт/2 Г cosn ж sin nx sin 2ж , тг 8. dx = — , . J 1^2acos2x + a2 4a I \ 2 о 2т+2 - 2 ( , J а \кп/ + 2^т^ т < 1; п = 1, 2, 3, . . . ]. tt/2 9. 1 — 2асоз2ж + а2 жсоз/Зж _ (^1)теттA^аJта^1 f 1 ; /3 < l-2n .
2.5.16] 2.5. Тригонометрические функции 335 тг/2 dx 1 (а+ 6cos жJ а2 — Ъ2 \\/а2 — b2 a a 1 Ь2~а2\а Jb2 - a2 т/2 10. 11. 12. ж/2 Г sln2m x cosM x cos/Зж . 13. т- —^-dx = b Ь - arccos \а> In- [b > a > 0]. 2п-1 |а| < 1; /3 < 2п (-1)татгA - а) 2т\ Bп - k^ I - 2 = 2п - 2т - /z - 2; \а\ < 1; /i > -1]. " 14. 15. 16. 17. 19. 21. J 0 тг/2 J 0 тт/2 1 Ж 1 -COSS — sin ж — cos ж тг 2 Ж COS Ж «*Ж 71 1 + 2а sin ж + а2 2i т/2 0 тт/2 о тг/2 ж б!ж 1 + sin ж ж cos ж с!ж 1 + sin ж 1 — cos ж т/2 = 1п2. 18. х dx ж = In 2. 1 + cos ж 2 тг/2 20. 1 I ± cos ж [(!::>:}]¦ , cos nx . тг 22. dx = а + b cos ж /a2 - б2 — б2 — [a > 6 > 0]. 23. cos a — cos ж аж = [а/0], 24. = —7ГП sinn ж : COS Ж [п = 2, 3, 4, ... ].
336 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.16 25. а + Ъ cos х Ъ2^{ 4Ъ2 I 2 n + 1-21 б2 Л = тгЬ^2(а - V'а2 - Ь2 ) при п = 2k + 2, Л = -In при п = 2k + 1, 0 < |6| ^ а . Ъ а — Ъ 26. sin nx sin ж dx тг ±n_i 2 1 — 2а cos х + а2 2 27. 28. cos nx cos ж (a + Ж ±п —1 ^ +1 Ж ~ 2~а |а2 -1| _ тг(а2^62)^/2 / а " (l-M)n Ч^^ a> 29. Я Ж :=::: fe=O 772 + fl — 1 30. 31. 32. 33. 34. A - 2acosx + a2)n+1 dx = 2п\ атетг 71 / 1 - аг 7Г A — 2a cos ж + a )n cos тпж dx = 0 п\ ( п — к к ) V 772 + к cos nx dx жа 1 — 2a cos ж + a2 11 — a2 sin nx — a sin (n + 1)ж 1 — 2a cos ж + a2 dx = 0 > 1 : = 2n + m - 2, |o| < 1 1 + а2 [Т1 < 77lJ. [п ^ 77l]. [{!::::}]¦ 35. dx (a + 6 cos жJ (a2^62K/2 36. 37. + а2)п II — а2 2те^1 I 1 1^1 А; 38. (a 71 = 771 — 1 71 = 771
2.5.16] 2.5. Тригонометрические функции 337 2п+1—6 Г cos ж J sm2nx 1 J 1 + (a + 6 sin жJ \ cos Bn + 1)ж J о г / ( e\ \ \ I—i г /1 / " = T^sln I 2n+ ^ > J arctg J- tg I - arccos W — L = a2 _ fe2 _ i + y/(«2 ^52^ XJ +4a2. о > 0; n = 1, 2, 3, . . . 1. 7T 81пжз1пржс1ж тгар"" c""p 40. 41. 42. (a2 - [0 < a ^ c; a2 < 6c; p = 1, 2, . . . ]. (a M x^2 vVtt2 — ft2 [a > |6|; Re и > 0]. (a Bn - 2A; - l)!!Bife - 1)!! /a 43. . sin(n + 1/2)ж тг , , 44. I , ' ; dx = -^ Pn(cosa) a — b 1 + M 2 ; a 2 ' 2 ' 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. i/cos a — cos ж dx 2 :K =Ь b cos ж ^ж^= 1 р2/Гь /3 — cos ж 4vtt \ 4 y [a > |6| > 0]. [|a| < 1; Re// > 0]. [a > 0]. [a > 6 > 0]. dx V 1 dz 2a cos ж + а sin ж с?ж y/l dz 2a cos ж + a2 = 2K(a) 2 [{!:!;:}]¦ — 2a cos ж • = = - [K(a) - E(a)] - a2 a + 1 (a - y/a2 - b2 ) aibcosa; 2%/а2 - Ь2 [a > b > 0]. 22 А. П. Прудников и др., т. 1
338 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.16 52. 53. 55. 56. 57. ж sin ж dx тг а + \/а2 — Ъ2 = — in - а + бсоэж b 2(a — b) ж — sin ж . ж cos ж ^ж = 2. 54. 1 — cos ж I I + sin ж Ж Sin Ж б?Ж 7Г 1 — 2а cos ж + а2 а ± ) (а + 6 cos ж) тг / 1 ¦ аж = — 6 \а - 6 Ja2 - Ъ2 ж е/ж 1 — cos ж = 4тг1п2. 58. ж о 2тг (а + b cos ж)' , 2тг 2(а - Ь) ¦ dx = —- In ¦ v 7 а + л/а2 - Ъ2 59. о 2тг 61. dx 2тг 60 fe)! J о 2тг (к\J(п - к)\ A - 2na 63. 1 — 2а cos ж + а2 ж = [|а о 2тг 64. о 2тг = 0 65. о 2тг cos Bn + 1)ж J a + b sin ж sin Bn + 1)ж 1 dx (-1)п+52тг(а - л/а2 - b2 Jn+s 66. о 2тг cos 2пж I a + 6 sin ж sin (пж/2) sin (ж/2) 1 /а2 - b2 dx cos (пж/2) cos (ж/2) j 1 — 2a cos ж + a^ = 0 67. Ьо. sin(n-l/2)a;sin(aj/2) . тгат dx = [а > \Ь\ > 0]. [{!::::}]¦ [0 < |Ь| < о]. [0 < |6| < о]. «| > 1. . = 0, ±1, ±2, ... ]. 1 — 2a cos ж + a2 1 + a [m = n — 1 при |a| < 1; m = — n при |a| > 1; n = 1, 2, 3, . . . ]. cos (га — 1/2)ж cos (ж/2) тга" аж :=::: 1 — 2a cos ж + a2 1 - a| = n ¦— 1 при |a| < 1; 77i = — n при |a| > 1; n = 1, 2, 3, . . . ].
2.5.16] 2.5. Тригонометрические функции 339 69. с + cos ж 4 , - dx = , К (а — Ь cos жK/2 b\/a + Ъ 26 а + 6с а + 6 I a — b Е 26 а + 6 , ж sin ж . . 2тг . а + л/а2 — Ь2 70. dx = ±—In ¦ а ±6 cos ж 6 2(а ± 6) [а > b > 0]. [а > |6| > 0]. о 2тг 71. | ——¦ dx = а± о cos ж 2тг /а2 - б2 п[(а + ^а2 - б2 )п - (а - Va2 - б2 )n] In ^л i х cos пж . 2тг 72. —— dx = о 2тг а ± 6 cos ж ^а2 _ 52 а - л/а2 - б2 /а + 6 + v а - 6 [а > |6| > 0]. [а > |6| > 0]. 73. ж sin ж da? 2тг 1 — 2а cos ж + а2 а о 2тг 74. 1 — 2а cos ж + а2 1 — а2 ы ±1 п —1 _^fc д. ±1\ . V^ а — а п — к _„ I _i 81ПЖ 7Г 75. ж —г^ -— dx = 2л/а2 - б2 76. со 77. Jx-S о схэ 78. [ж 79. = 0 . тг 1 — а п тг 1 + о-2о[ч+1 — 2а cos ж + а2 2 A — а2)A — а) - 2 _ [Ь] 2 A^ 80. 81. sin (mx/2) dx = 0. ! 81П2Ж 1 [|а|<|6|]. [0 < а < 1; 6/0, 1, 2, .. . ]. [а > 1; 6/0, 1, 2, ... ]. L-,^ Г 8111(^/2I 4а \ cos (/хтг/2) / 82. х И +sgn(a2 -1) f tga 1 - а2)те+1 [sin ж/ 1 + a dx = 211-a2 1 22*
340 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.17 83. | ж 84. tga; a + bcoskx 2\fa2 — b2 = 0 [к = 2, 4; \a\ > [к = 2, 4; \a\ < 85. ¦—- dж = 1 — 2a cos ж + a2 1 - а 2m-l 2m , ,k 86. A - 2a cos ж + а2)" 1 + а da; = -E (-1)* ГГ m + 1/2 1 4kak A;! [1/2 + m, ^ jfej A + а тгп! 87. 88. 89. 90. 2«+1Bm + n- x Bm + 2k - 1)!! 2Fi ( m + n ~~ к + 3/2, i/; 7Г 1 + aeTcz .-k)\ 4a 1 — 2a cos еж + a2 ж2 - a2) 1 - — dx Trasin cy 1 — 2a cos ex + а2 ж2 — |/2 |/|1 — a21A — 2a cos cy + a2) [c, 2/ > 0; H ^ 1]. cos bx dx - 2a cos еж + а2 ж2 + z - a2) 1 - 6, c, ReO 0; cos 6ж dж 1 — 2a cos ex + а2 ж2 — |/ - a21 sin % + 2a±F+c)/c sin cy 1 — 2a cos cy + a2 91. 92. e h'c ж sin 6ж dx ж е z .-2acoEcx + a2 x2 + z2 ~ 2 A - ae^cz)(l - aecz) b, с, у > 0; c, 6, Rez > 0; ж sin 6ж dж 7Г a±6//c — cos by 1 — 2асозсж + а2 ж2 — у2 2|1 — a2| 1 — 2a cos cy + a2 \a , 1 — cos аж . sin ay 93. —; -dx = 7T 1. x(x-y) у — oo 2.5.17. Интегралы, содержащие (a cos ж + 6sln ж + c)p. In cos ж + tg a sin ж cos ж tg a b,c,y>O;t a, [a > 0; Imy = 0]. [a > 0].
2.5.17] 2.5. Тригонометрические функции 341 тг/2 2. cos ж + tg a sin ж sin ж dx /тг . . = т + fl In т/4 Г Л cos ж + В sin ж Л6 — Ва (а + 6) Ла + ВЪ ж ' J acosx + bsmx Ж = 2(а2 + б2) ° 2а2 + а2 + Ъ2 ~4 о тт/4 cos х — sin х тг G ж ; аж = -7 2 J cos ж + sin ж 4 о тг/4 [а > 0]. [Ъф-а]. 4. 2 т/4 5. 6. 8. 0 тг/2 9. f ж cos ж + sin ж I cos ж 8 (тг/4 — ж) da? cos ж — sin ж cos ж тг/4 ж tg ж dsc тг тг = тг тг . = In 2 4 8 In 2 cos x + sin ж cos ж 4 8 о тг/4 ж dx 1 а- In — а2 + б2 4 (а2 + 62)(а- тг/2 [а, 6 > 0]. cos ж =р sin ж cos ж ± sin ж 1 о 10. (cos ж ± sin ж) sin ж 4 т/2 11. х dx (a cos ж + Ъ sin ж) vsln2ic / I—— arctg I J -у - arctg I \/ — - 1 I - arctg - [a, b > 0]. 7Г/2 12. 13. x dx о tt/2 о тг/2 (sin ж + cos ж) vsin 2ж x dx 1/6 тга (a cos x + 6 sin жJ а2 + б2 \ а 26 14. 0 2tt (a cos ж + bsl - dx = [а, 6 > 0]. [а, 6, Re/x, Re i/ > 0]. 15. (a cos ж + 6 sin x)n dx = 0 2тг 16. dx 2 (n)!! 2тг sgn a 52 17. 18. I x о = 0. -n-l/2 • n sinn ж(соз ax + sin аж) dx = тгл/2 iA Bn-l)H^; -l)*B)(n-2fc + a) n-1/2 [a > n].
342 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.18 2.5.18. Интегралы, содержащие (acos2 ж + 6sln2 ж + с) п. тт/4 1. 2. ж sin ж dx (a2 cos2 ж + Ъ2 sin2 ж)\/cos 2ж ТГ . / ТГ arCCOS 6 \ ТГ . / ТГ = — In cos 1 In sin I — 2 J ¦ In sin I h тт/2 dx (a2 cos2 ж + b2 sin2 ж)п = /n ж ( 5 3 3 5 т/2 3. 4. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. о 7Г/2 (а2 cos2 ж + b2 sin2 ж)те+! V п У Ba6Jn+1 - с!ж = B(/i, v) (a2 cos2 ж + b2 sin2 т/2 cosp+2n ж cos рж dx (a2 cos2 ж + b2 sin2 ж)те+1 2n~ k\ fp + k - 1 тг/2 с!ж тг . а + b In ¦ a2 cos2 ж + Ь2 sin2 ж а2 — б2 26 т/2 COS /1Ж COSF Ж о— dx = о тг/2 a2 cos2 ж + b2 sin2 ж 2а(а + 6)** sin их cosM ж sin ж a2 cos2 ж + &2 sin2 ж 2Ь(а + т/2 in • bk тг/2 ж sin ж с!ж а2 cos2 ж — b2 sin2 ж Ьх/а2 г/2 о тг/2 1 - b2 sin2 ж 2л/Г A cos2 х + В sin2 ж (а2 cos2 ж + &2 sin2 жJ 4ab\ a2 + Ъ2) arccos bЛ 2 J a2 + 62 = 1]. [a, b > 0], [а, Ъ > 0]. [а, 6, RejLi, Ret/ > 0]. [а, Ь > 0; р > -2п- 1]. [а, 6 > 0]. [а, b > 0; /i > -1]. [а, 6, /i > 0]. [а, 6 > 0; А; = 1 или 2]. [а, 6 > 0]. [а, Ь > 0].
2.5.18] 2.5. Тригонометрические функции 343 тг/2 13. I Ж ТГ ¦ ах = —- -1 О тг/2 A + 6 sin2 жJ 26 1 + 6 14. 15. dx = о тг/2 О тт/2 (a2 cos2 ж + б2 sin2 жJ ж cos3 ж dx sin ж(а2 cos2 ж + б2 sin2 жJ 2а62(а 4а3(а , 2 cos ж A — а2 + sin2 х) , ж2 4 ^л sin [BА; + 1) arcsin а] 1Ь. ж - - - — ах = - — + у -г— ¦ ттт J (а2 — cos2 жJ 4а2 а ^^ Bk + IJ о fc=0 7Г , ж sin ж dx ж b 17. I —— — = -р=- arctg у - а + 6 cos2 ж ^* у - 18. 19. 20. ж dx a2 cos2 ж + б2 sin2 ж 2а6 ж з!п2ж dx 2тг . а + Ь In ¦ а2 cos2 ж + б2 sin2 ж а2 — Ь2 2а [6 > -1]. [а, Ь > 0]. [а, Ь > 0]. [а, Ь > 0]. > -Ь> 0]. [а, Ь > 0]. [а, Ь > 0]. 21. ж с!ж а2 - cos2 ж - 1 о 22. =0 ж cos ж dx 23. 24. 25. 26. . sin [BА; + 1) arccos а] а1 - cos^ ж /TZr^fo ¦dx = тг1п[4A-а2)] = 2тг In [2A - а2 + ал/а2 - 1)] ! -1 ^а ж2з1п2ж . 2 ¦ аж = тг (а2 — cos2 жJ а(а2 - о- I 2 1 — а2 + Bа2 — 1) sin2 ж 27. | ж^ г^ ^^ dx = 28. 29. ж о (а2 — cos2 жJ = 2тг1п[2A-а2 + \а 2 cos ж (а2 — 1 — sin2 ж) (а2 — cos2 жJ тг . 1 — а тг . ^^ 1П 1П а 1 + а И > Il- Ilia > 1].
344 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.19 , 1 sin ж cos 2mx cosn х . ж Ъ2 30. _ , о dx = ж a2 cos2 х + б2 sin2 х 2а (а + ЪJ [а, 6 > 0; тг = 2га или 2т — 1]. 31. с/ж a2 cos2 ж + b2 sin2 ж cos 2ж [а, 6 > 0], /i'° = 32. 2аЪ Ь2 + а2 ' dx rl, 1 _ rl,2 _ 2а а2 + б2 ' 26 а2 + б2 " b a 2 \ ж2 + z2 а2 cos2 ж + б2 sin2 ж 4z(l?2 sh2 2 — а2 ch2 z) \a b $h2z ) [a, b,Rez > 0; thz ^ a/6]. 33. 34. (ж2 + z2)(a2 cos2 ж + b2 sin2 ж) ~ 2F2 sh2 z - a2 ch2 z) \b + a (a2 cos2 ж + b2 sin2 ж)т ж = /, к, I [а, b, Rez > 0]. [а, Ъ > 0], ri,o _ ,1,-1 Ji — Ji r3,-l _ 1-2, 0 ______ 1-3, 0 26(а + 6)' 1, 2 2а(а- rl,0 _ rl,-l _ ^ Q + & тЗ,0 _ 1-3,-1 _ 4ab3' i2 — J2 — 16 r3,o ______ ,3,-i ______ n_ 3a + b i5i _ i. 2 ______ jtt_ 3 " 3 " 16 a365 ' 3 " 3 ~ 16 a +36 16 16 a5 i,o _ ?_ 4' ^32 5,o _ ,5,-1 _____ тг 4 ~ 4 ~ 32 5a2 3;0 _ ,3,-1 _ ' 4' ~ 4> ^ 1,1 _ i,2 _ ^ a^ ' 4 ~ 4 ^32 i>3 _- ri>4 _ 14 — Ч гЗ а765 тг а2 + 562 г3,1 _ з, 2 _ тг а2 + 62 32 = IT = — 4 32 аЧ5 1 A — cos ж) cos ж а*ж ж (а2 cos2 ж + б2 sin2 x)m sin ж г° - JL г2 _ JL 1 1 О L ' 1 О I L ' о тг a2 + 62 2a a+ 6' i-U " io — — г2 ______ ТГ ж0 ______ ТГ 2 ~ 4а36' 3 ~ 16 2 _ тг 4 ~ 32 тг а2 + 362 16 32 4 _ тг а2 + 562 "' /4^32 [a, b > 0], 2.5.19. Интегралы, содержащие (acos ж + bsin ж + с) / . 1. ЬШ X \ f ^ Cf ?H fbf^G.*" /V3 riim,^ , a cos2 ж — sin2 ж 2tga In тг - 2a \а > 0].
2.5.19] 2.5. Тригонометрические функции 345 2. 3. 4. ж sin ж dx cos2 х у tg2 а cos2 x — sin2 x 4 cos а A - cos а) х sin ж d ж = = cos2 жг/sin2 а — sin2 ж ^ cos а тг о а sin - [а > 0]. [0 < а < тг/2]. ж sin ж с!ж A — sin2 b sin2 ж) у sin2 а — sin2 ж /о L Г-t • 2l • 2 \-1 1 = B cos 6 v 1 — sin 6 sin а) тг In -1 1 COS 6+ лЛ - Sin 6 Sin a тг In 2 cos a cos2 F/2) тт/2 ж cos ж с!ж тг / у si sin ж — sin а тг/4 о. 7. 8. тг/2 Г 2 X cos х у cos2 ж + k2 sin2 j + sin2 x = 2V1 - к2 - 2E(ife) + K(ife) — Дг2 sin2 x ¦к/2 10. тг/2 12. =г с!ж = V1 — fe2 sin2 ж k Г/2 dx = л/1 - ^2 cos2 ж к dx = i [7Г _ 2E(ife)] к2 L l л [а > 0 . < тг/2]. [0 < к < 1]. [0 < к < 1]. 0 < к < 1; Л' = VI- [0 ^C к < 1]. [0 < к < 1]. [o < fc < i]. L J
346 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.19 . / sin ж 1 2 / 2 f sin ж 1 2 \ dx lo. < > 1 — а о = 2(kry2S(sin 2/3^1 - A;'2 sin2 /3 )~1/2 [| - Ж(к)ЕЦЗ, k')-E(k)F(P, kf) + K(fc)F(/3, A;')] а2 = 1 - kf2 sin2 $ } , у г Г 1 ^ 0 < А; < 1; к' = VI - ife2 ; 5 = ^ 20 21 22. 23. 24. 25. 26. f J n Г J 0 CO P I 0 CO f I 0 oo 0 CO л I ft OO I 0 5 с с?ж A:2 sin2 x sin ж sin ж x у 1 "Eg Ж / x у sin ж I ж I / 1 ж ж у ж 1 к2 sin2 / 1 L 1+{й 1 с ж ж f ein т 1 \ COS Ж J Г sinrsc " 1 [ cos rx j • X cos x J 2\ 4 ^ cos rx j 2K(k) (-l)nnn 1 Ik lnl 2 [2 I 2X-V2 1 A "K / -1/2 1 V2 \ -A; + k 0 sin ж cos" ж 7Г 16. sin пх{\/1 - к2 cos2 х )±г dx = 0 [0 < к <С 1; п = 2, 4, 6, . . . ]. о 17. =| bF2(tI, \, 1; i + |, i-|; fc2) [o<*^i; n = i,3, 5, ...]. 18. о 7r(n-3)!!fc" f - = \ . cosn«(Vl - ife2cos2 ж)±Х с!ж = 0 [0 < к < 1; п = 1, 3, 5, . . . ]. [0 < к < 1; n = 2, 4, 6, . . . ]. [0 < к < 1]. [0 < к < 1]. 1; r = l, 2]. 28. 7 ^^ Л^= fn 0 < ife < 1; kf = Vl~k2 , J ж^1-^281п2ж L J /i = /2 = fc[E(fe)^fc/2K(^)], /3 = /4 = 3^^[B - 3^2)ife/2K(ife) - 2(ife/2 - k2)E(k)].
2.5.19] 2.5. Тригонометрические функции 347 со Г sin ж cosn ж 29. — = dx = Jn [О < k < 1], J жу 1 — k2 cos2 ж о Ji = J2 = AT2 [K(ife) - E(fc)], ^4 2 - 2A + к2)Щк)]. 30. - sir о , 2\ -V2 31. -si: J ж \l cos x 0 \r = 1, 2; 0 < к < 1; &' = лЛ - ^2 ] • CO Г Gin ПГ* f*r\G 1» 1 32. зз. / -—- = da; = _i J жу 1 — к2 cos2 2ж 4« о CO / , Q, [1.3 L , f sin2a;\' 34. — sin ж cos ж 1 + < > J ж II cos 2ж J о v 35. Г fnxtsx=dx = -^ [K(fc) - E(fc)] J ж\/1 — fe2 sin2 x * 0 36 i sIn2жtgж Г J \ жу 1 — fe2 cos2 ж 1 Л J ж в у \cos2^J J k2{ Е(к)-Щк) J [0 < к < 1]. 38. о if sin a;tgs [/ 2[со8Ж12\ / < о Jy' I ~ < Л _ x^ /^ /ox H -1 - Л 1 „:_ ™, j I < 4 , ,v 1M . ж I cos ж tg (ж/2) J \ I sin x - 2(k'2 - k2)E(k)] \0<k<l; kf = [0< к < 1]. 41- /i » t9 ^=^[B-^)E(fe)-2d- J жу1-к sin 2ж о/с
348 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.20 4- + *Лп(-, _4-, к)^к2ж(к)] h2 z J V2 sh2 z' / l ;J [Re^ > 0; 0 < к < 1]. = -cth^nf -, —«—, A; ) [0 < A; < 1; Re z > 0]. z 2 sh'z / 43 44 f J 0 CO f J 0 oo f - X' + k2 1 + X sin2 z2 da )Vi sin i X -k2 с dx 1 1z sin2^ 2.5.20. Интегралы от sin аж I I cos (ox + с) I cos аж j \ sin (bx + c) j , N f sin ax 1 ^ f sin (bx + c) 1 ^ \ cos аж J \ cos (bx + c) j ' dx = c{slnt[#i(t - ас) - [х -j- z) о фх(^) = t" cost + si (t), Ф2(?) = t^sint - cl(t) [t = c(z + а); а, с > 0; | arg z| < тг]. Г x dx о» л г / -i 2. 7 - = In cos а [0 < а < тг/2]. J cos x cos (а — ж) sin а о , f . n_x r , ., , Trcos[rn(a - 4. sin ж cos [ra(a — ж)] ax = ^ — 2n-inB тг cos [ra(a — тг/2)] n — m - 2 ' 2 [n ^ ra; ra, n = 1, 2, 3, . . . ]. 2тг •3m Г г , ., ( 41I/fsinraa,l , 2?ri3m 2 ,2ч1//2 Г sin cm I m 5. а + «6cos (а — ж) 1 < > dx = 7 ч—(а + 6 ) 7 < >Р^, (с) J [cosma^J (l + i/)m ч 7 [coscm j v ; coscm [c = а/\/а2 2tt Г 6. [а+ 6 cos (с- ж)]1/( о 0 7# | Xa^l/Sln(te + C) 8. I ^ = Г sin (c + W2) 1 [6 > 0; 0 < Rea < 1]. | l ;\cos(c + a7r/2) J L J a 1 sin (жа/2 — bx) ж |/ 0 / [у, 6>0; 0<а<2]. /
2.5.22] 2.5. Тригонометрические функции 349 0 г о-! тж f sin (ажр + 6жд + с) 1 2.5.21. Интегралы от < . _ „ ; >. F \ cos (ажр + Ъхч + е) J 1. ха sin (аж2 - 2аж) dx = {SI (а) - тг[G2(а) + S2(a)]} [а = 0 или 1; а > 0]. J A а оо 2. - sin (аж2 - 2аж) а*ж = - si (а) + — [1 - G(а) - 5(а)] [а > 0]. J ж 2 2 1 . sin (аж2 + 26ж) | 1 ГтГ ( Ь2 62\ 3. < о >аж = -W — cos — q= sin — fo > 01. 1 1 ___/_..2 , oL..4 r 2 V 2a I a ^ a / L J 4. - sin (аж2 =F 2аж) dx = -\-- Сл(а) - S\a) =F С (а) Т 5(а) [а > 0]. J ж 2 [2 J о 5. Los (ж3 Т ах) dx = ^f { -J-1/8iC! + ^ } [« > 0; с = 2(а о оо f Г sin (аЖр + Ьа,') 1 1 ^ (-Ь)^ -(*,+!)/„Г( kq±±\ f sin с J isCa^ + bx")/ p^ *! V P \ 2P 1 тг; а, 6, p, g > 0 . J 2 1 Г sin (ax + 26ж + c) f /Trfsindl Г тг ас - б2 1 7. < 9 } dx = а — < } \d=-^ ; а >0 . J I cos (аж + 2&ж + с) I V а Icos rf J [4 a J — oo oo 8. smaV\x\ s^nx dx = ж(стауЩ +е <»л/1ЙТ 1 [a > 0; Imt/ = 0]. J x — у V / — oo a ( sin ажр sin bx 1 a f з!пажр cos &ж 1 2.5.22. Интегралы от х { v , >, ж < „ , >. [ cos аж cos bx J [ cos аж sin bx J Обозначение: S = < >. Г f _ о . . . _ Л ~ У _ о . . _ 4 f t'l Ь X- J 1coSax2fSm6:Brfa;-V2a И sin [Ь2/DаI Г \4a ) ± \ coslb2/Ua)} Г\4а 0 [a, b > 0]. 2. [ cos аж 0 b _(e+1)/2 /a-hl\fcos[(l-aOr/4]l F/«±3 a±± 13 5 fe4 \ 2 V 2 ylsin[(l-aOr/4]J V 4 ' 4 ' 2' 4' 4' 64a2 J j a + з\ ( cos [A + а)тг/4] j /5 + a 3 + a 3 5 7 6^\ 2 J\I[(l + )/4] J2 3V 4 ' 4 ; 2' 4' 45 642 J ^12 V 2 Д sin [A + а)тг/4] J " a \ 4 ' 4 '2' 4' 4' 64a2/ [a, b > 0; -1 -25 < Re a < 2]. f ^1/2[81паж21 ... тг /6 / . b2 b2 \ (b2 \ 3. ж ; < 2 sm^da; = T-i - sin-±cos- Jim - a, 6 > 0 . J [ cos аж J 4 V a \ 8a 8a J i \ 8a J о
350 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.22 И sin аж2 1 , , 1 /7/ б2 б2 2 > cos bx dx = — а — cos — =р sin — cos ax J 2 у 2а \ 4a 4a о [a, b > 0]. е Г а_х Г Бтаж2 1 5. ж < 2 cosoa? ax J [ cos ax J ~J^_ /a\fsin(a7r/4)l Ff2 + a a. 1 1 3 2 V 2 / \ cos (атг/4) J 2 64 Л 4 ' 4' 2' 4? 4' 64а2/ Ь2 а/2_! /а ч/со8(атг/4I /а 2 + а#3 3 5_ б [а, 6 > 0; -25 < Re a < 2]. 6. ж ' < 2 r cosfea? а*ж = =F^ J [ cos аж J 2 Па 1 cos с о 7. 8a 8V2 \a cos[F2 -тга)/(8а)] 2 [c = (б2 ^ тга)/(8а)] 0] sin [(б2 + тга)/(8а)] 8. —г- sin аж2 cos bx dx = — \S\ — ] — С ( — 1 + \/тга sin J ж2 2 |_ \4a/ \4a/ 4a J о oo . ИЗ 3 • I Л I l Г А7 sin а ж sin ox \ ж о \ /ч /ч у 6 ( ч зз > йж = —\\— Л/з с + «>-1/з(с) Т ^i/з(с) cosa ж cos6jcJ 6а V За [ тг ; о со Г Г * I» 1 / Г ( rf 10. ж^1у^2 sin Bа^ж ) sin cxl , >а1ж = 4/^ ~- к J [costej у 2(с ~ ^) Llcos^ а); а, 6 > 0]. [а, 6 > 0]. [a, b > 0]. >аK/2; а, 6 > о]. J [smrf 11. c>6>0; a>0; d = ——, /i = 6 [с = b > 0; a > 0]. f si — 1/2 / /—\ I B111 v<b i 12. ж ; smBa\fx) coscxi } dx = cos 6ж J e>6>G; a>0; d = ——, h = 6 13. 1 /F|lcos[a7Bc) [с = 6 > 0; а > 0].
2.5.28] 2.5. Тригонометрические функции 351 14. I ж^1/2соз /о /~\- (smbx\ I / ж , , i . ,ч 2ауж smcs< >аж=-4/^ г-(cos а dz sin а) V ; I f ne IW I 9 A/ 9(r* h\ X ' (cos /i db sin h) 15. 16. I ж о 17. / / , = =р — 4 / — cos — ± sin — 4? I 2 2 с > 6 > 0; а > 0; d= ——, /г = —— Ъ + • = с > 0; а > 0]. -1/2 /о ^\ f S1Tlbx\ j 1 со8Bауж)созсж^ ^ с!ж = -., _, , ,, [соэбж J 2 Y 2(c + 6) 1 cos rf) (cos /i =F sin h) + 0; а > 0; d= 1 /тГ/ а2 .а2 = 7 А/ ~ cos T^ T sm 77" 4 V с V 2с 2с [6 = с > 0; а > 0]. ., . f sin (аж + b/x) 2.5.28. Интегралы от A(x){ x ' ' [ cc Обозначение: S = 1. 2. t{ аж + а/ж) ж2 + 1 1 cos (аж + а/ж) к cos (ax + Ь/х) [4/х = -1 - 2а - 28, 4i/ = 3 + 2а - 2<f; а > 0; -l<Rea< 2]. sin (аж — а/ж) . , ,. „, /1^ж2 \соз(аж-а/ж) [ Х^ТУ^' 3. sin (аж + а/ж) sin (аж — а/ж) 1 а*ж тг Г sin (—2а) cos (аж + а/ж) cos (аж — а/ж) j 1 ^ ж2 4 \ ехр (—2а) [Re а > -1; а > 0]. [а > 0]. сх-) /о \Х \сов(аж + 6/ж) J Х^^\а) \ sec (атг/2) cosec (атг/2) - Г 1/2{8т(аж + 1 о. ж < . J [ cos (аж + о . /тг" Г sine 1 dx = * — < > у а [ cos с J 6. ж о 7. -3/2/ sin (аж + Ь/х) cos (аж + 6/ж) тГ Г sine 1 — < } о { cos с J О — Ь/х) а/2 зт(атг/2) 1 . 3os(a7r/2) j J Г _i/2f вт(аж-Ь/ж) о. Ж < , i / \ J [ cos (аж — Ь/х) о 9. ж" о sin (аж - Ь/х) ±JaBVab)} [а, 6 > 0; |Rea| < 1]. [с = 2л/аЬ + тг/4; о, 6 > о]. [с = 2л/а6 + тг/4; а, 6 > ol. [a, b > 0; I Rea| < 1]. [a, 6 > 0]. [a, b > 0].
352 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.24 10. ж sin (ах — Ь/хJ cos (ax — Ь/хJ dx = —а — 26 V 2 [a, b > 0]. 11. sin (ах ~~ Ь/х) х2 + z2 { cos (аж - b/x) ж х-1 2 а, 6, Re^ > 0; ? = tt, sin (а/ж) sin bx 1 а f sin (а/ж) cos 6ж 1 2.5.24. Интегралы от ж< , , ( >, х < , ' \ >. \ cos (а/ж) cos bx J [ cos (а/ж) sin ож J с» f а-i f sin (а/ж) sin 6ж 1 L. ж < > J [ cos (а/ж) созож J sin (с ¦2тг~ ab > 0; | Re a < CO Г 1 f sin (а/ж) sin 6ж 1 . . f J ж [ cos (а/ж) cos 6ж j 2 о oo ^___ 3. ж 7 < ; : ^ж = ±-4/— sinBVab)-cosBVab)±e J [ cos (а/ж) соэбж J 2 у 26 0 4. ж" о Sin (а/ж) Sin &Ж 1 cos (а/ж) соэбж J 1 Гп~ r . -4/— 2 у 2а sin Bva6) — cos Bva6) ± e S = [a, 6 > 0]. [a, b > 0]. [a, 6 > 0]. со Г a_i Г cos (a/x) sin 6ж 1 J [ sin (a/x) cos ож J = -(-) 4 16/ а)а/2 cos (an/2) ± 2ж^г sma7rKaB\/ab)] [a, 6 > 0; I Rea| < 1]. a f -1/2 f cos (а/ж) sin 6ж 1 1 Гп" . , ^-гч , ГТ\^ -2V^6i 6. ж ; < , , ч , ? dx = -\ — [sin Bva6)+cos Bva6)±e J [ sin (а/ж) соз&ж J 2 у 26 о со 7. I ж^: о sin (a/x) cos 6ж J 2 у 2а sin (сл/а2 ± ж2 ) sin 6ж 1 [a, 6 > 0]. [a, b > 0]. 2.5.25. Интегралы от Л(ж) sin (сл/а2 ± ж2 ) cos 6ж ] cos (cva ± ж2 ) sin 6ж j i (сл/а2 ± ж2 ) cos 6ж j ' 1. sin (cs/a2 — x2 ) cos bx dx = ^^=^^ J\ (a\/b2 + c2 ) J 2 у62 + c2 2. (a2 - ж2K/4 - cos bxdx = -A — J1/4 - (V c2 6)] - 6)] J1/4 [| 1/4 [a > 0]. ¦«] [a > 0].
2.5.25] 2.5. Тригонометрические функции 353 о ,' cos (с\/а2 - ж2 ) ж ( rryr-—г-. 3. I ,—- cos bx dx = — Jo(a\/b2 + с2 ) cos (с\/а2 — х2 5. Va2 — х2 cos (cV«2 — ж2 ) cos bx dx = 6. 7. 8. 9. 10. 2 b2 + с2 cos bx dx = \/b J_i/4 ¦ sin ex dx = — sin cy - c)] J1/4 [| 2 + у2 7ГС _Ь = — e 2 2 + |/2 sin (су ж2 + у2 cos bx dx = — JQ(yVc2 — b2 2 3/2 /- г 2/ ^^-^^ ] rw V6 J-i/4 - (C - VC2 - 62 ) J1/4 - I sin (с^ж2 + у2 ) cos 6ж тг е аЬ sin {c^Jy2 — a2 ] JLJL. ¦ ¦ t uX — — [а > 0]. )] [a > 0]. [с, У > 0]. [6 > у > 0]. с > b > 0 6 > с > 0 ; 2/>о . /|/2 - а2 12. [с > b > 0; у > 0]. [6 > с > 0; а, |/ > 0; а ^ 2/]- [6 > с > 0; а = у > 0]. 13. |ж 5 cos у2 ) Г sin 6ж 1 тг ^аЬ ^ ^< }dx = е cos (cV2/ -1/2 ж2 + a2 lcostej I/2 ) / Sin 6Ж 6 > с > 0; a, |/ > 0; ё = 15. + у2 - cos bx dx = Ko(yyb2 — c2 [с > 6 > 0; у > 0]. [6 > с > 0; у > 0], [с > 6 > 0; у > 0]. 23 А. П. Прудников и др., т. 1
354 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.26 I tff лх I 2.5.26. Интегралы, содержащие < >. [ ctgax J е: S = < >. Обозначение: 2 1 t mxdx= x ^ [ Ж ) V (^1)" Г Г0, 2, 4, ' J g 4 lln4/^m-2A;-l L 11, 3, 5, о fc=o l i , , , tt/4 3. 0 7Г 1 7Г , G 5. жtgm xdx = /m, 1 T/kxix-V 4. j ж tgxdx- 2^ о fc=1 f n , 1/тгч" 2 ^ (Bk) x ctff ж яж =: I I у \n = 12 3 1 о •T T 7Г G 6. x ctgx da? = — In 2 H . J 8 2 о tt/2 9. ж tga; с!ж = — In 2. 10. ж tga; с!ж = ^тг In 2. 11. ж о 12- jtg о сов2ж 2 8 о тг/2 _г Г и Г gin 2ж1 . . тгя f sin (шг/2) 1 J [2] 2 [ cos (/17г/2) j [n = 1,2,3, ...]. 0 7Г/2
2.5.26] 2.5. Тригонометрические функции 355 15. [ gTJ J [ J I sin с 0 tg"(»/2) _ 1 U[(M + 2)/3] - 2±i "з 0 Т [2c = (/1 + 1/)тг; Re/i < 1; Re (/л - ^[(/, + 2)/3] 1 + cos (/тг/п) sin ж О ! 1 — fc-1 fc/ — 1) sin — тг r0 ;;г / ( 1) sin 7Г h/> I I w 2nsin(/7r/n) ^l ; n l\ 2n J *\ In [l + n = 1, 3, 5, . . . ]. to ! n^^^ / i\fe-i • kl \ .(n + m-k 18. = —^-r-—-^ > (-1) sin — 7т\ф\ tt/2 19. 0 n sin (/тг/п) ^ l ; n L V n / V n [/ + n = 0, 2, 4, ...; m = 1, 2, 3, ... ]. i/2 f sin i/ж I , f cos (дтг/2) 1 . x ^cos17^^ \dx = \ . / 7/o( ^B(/x + i/-l, l-/x) [cosi/a^J [ sin (/iTr/2) J [Reju < l + <5; Re(/i + i/) > 1]. / . ctga^cos^™ ж sin их dx = тг/2 [Rei/>0]. 20 о 21. ' 22. cos 2x 4 о tt/2 _^ 2 dx=^j sm^ 2/icos(/i7r/2) о тт/2 23. о xdx 321/Зтг2 25. [ y J у tg2 a — tg2 ж (tg2 b ~~ tg2 ж) cos2 ж 6 - tg2 a COS 6 7Г i . a + arctg - - [0 < a < b < тг/2]. у sin (о — a) sin (b + a) ^ Г tsr^ о.ж 7Г 26- 2 , 2dx= ^ 7 7^thflaz [a, Rez >0; |Re/i| < 1]. J ж2 + z2 2zcos(fi7T/2) 0 27. , Ж2 о 23* x ( tgax 1 + z2 \ ctg аж J 2 [cthazj
Bга)! > = 1, 2, 3, ...]. 356 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.27 со о Г -2n 2n-l n-l2 — 1 2п-1 28. ж sin ж cos Bn — 1)х tga; ^ж = ( —1) —;—гт™2 тг| .Вгп J Bn)l со ж^п sin2m ж cos 2тж tg ж dx = 0 [п = 1, 2, 3, . . . , 2т + 1]. о со ж~те sin2™1 ж cos 2тж tg ж dx = 0 [п = 1, 2, 3, .. . , 2т]. 29 о 30 о 2.5.27. Интегралы, содержащие тригонометрические функции от тригонометрических функций. Обозначение: S = тг/2 sin (a sin ж) sin Bп + 1)ж 1 . тг _ . ч Г| / v ? dx = - J2n+5(a) arga<?r. cos (asm ж) cos 2nx J 2 о r/2 If ab yfcosF7r/2) 6 \1 - ^2/ \sinFTr/2) о '<5 +1 6 + <5 <f - fe a2\ , ,4i^Afcos( 2 ' 2 ' 2 2. f {81п[аШ8ЖЦШ86жс1ж=1(т^) { J [ cos (a cos ж) J b \1 — b2 J { x Г f sin (a cos ж) 1 . тг Г Г sin (птг/2) 1 _ / ч Г cos (птг/2) 1 _ / , 3. < , , >cosnxdx=—\< , ' \ >Jn(a) =F \ / / ч ?Ете(а J \ cos (a cos ж)/ 2 [\ cos (гатг/2) j 1 ; ^ \ sin (гатг/2) j l ' о тг/2 Г f sin (птг sin ж) cos ж 1 , . 1 _ , ч (=pl)n+1 4. ж< ; ; > dx = ±—Jn(n7r) + ^»L^ п = 1, 2, 3, ... . J [ sin [пж cos ж) sin ж J 2n 2n о тг/2 5. sin (ztga; — их) sin17™ ж dx = 0 [Rei/> 0; | argz| < тг]. 6. [Rei/ > -1 тт/2 0 [Re^ > -1; |argz| < тг; 7 + ?/ ф -2, -4, -6, ... ]. 7. cos (z tg ж + их) cos17 ж с!ж = 2^1/^1же^г [Ret/> —1; | argz| < тг]. о ж/2 8. cos (z tg ж — i/ж) cos17 ж с!ж = —-;—г с zz17 [Re v > 1; | arg г| < тг]. о тг/2 I Г*ОЧ НГ IT 9. siп(?гtgж + их) : dx = — [Rei/> 0; п = 1, 2, 3, . . . ]. J sin ж 2 о тг/2 10. cos(z tga; — 2х) dx = Trze z [| argz| < тг]. J 0
2.5.28] 2.5. Тригонометрические функции 357 тг Г , ч Г sin Ъх 1 . бтг Г sin Fтг/2) 1 , ч 11. sin (a sin ж) < , >te = 2cos—^ ; ' s0)i, а 6>0. J [созбж] 2 [cosFtt/2) j v 7 о тг Г , ч Г sin bx I . . Ьж Г sin Fтг/2) 1 . ч 12. cos (а sin ж)^ . Ыж = -2б8ш—< l/f 7. ; }s^! b(a) [b > 0. J [сов&ж] 2 [cosF7r/2)j о тг sin (а sin ж) sin пж\ , _ м ^. ^^тг 7 , , 13. N . dx=iTi J [ cos (asmж) cosns J 2 о 14. ,, ^cos( о 7Г . к Г f sin (a cos ж) 1 fsin(n7r/2) 1 7 . , J [ cos (a cos ж) J [ cos (тгтг/2) J о (г/ж —a sin ж) I . fEI/(a)l ^^ Г / ч , т / ч 16. 7 ; > аж = тг< , ч г- 17. cos (пж — asm ж) аж = 7rJn(a). (их — asinx)) [J^ajj J о " о тг Г Г sin (a cos ж) 1 18. < ; ; > вттгжа'ж = 0. J [ cos (a cos ж) J — 7Г ТГ Г f sin (a cos ж) 1 19. ^ ) М J [cos (a cos ж)] sin (птг/ cos (птт / 2.5.28. Интегралы, содержащие жа и тригонометрические функции от тригонометрических функций. тг/2 х{ sin(atSx) Ъж = ±^е"а[С + 1пBа)те2аЕ1(^2а)] [а > 0]. |чсо8(о^ж^ж J 4 о тг/2 2. ж cos (a tg ж) . Х = -^- Ei(-a) [a > 0]. J 8ш2ж 4 о тг/2 3. ж sin (а^^ж)^^— = тг [а > 0]. о тг 4. ж cos (пж cos ж) sin х dx = So, птг- о тг Г In 5. ж sin (пп cos ж) sin ж dx = — [(^l)n — Jo{nn)\ [n = 1, 2, 3, . . . ]. J ТЬ о оо 6. \ -sm(atgx)\ г \dx = - A - е^а) [а > 0]. J ж {cos ж J 2 о со 7. [±si J ж о
358 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.29 8. [^(atg^tg^^ О 0 T 1 f sin3 ж 1 тг f 41 10. — cos(atga;)< 2 > dx =—(l-a)e a< > [a > 0]. J ж [sin жtgжJ 16 [1J о oo 11. жз1п(о^2ж)^ = ~~ [exP i^a thz) — e^a] [a, Rez>0]. J x -\- z A о CO 12. I cos (a tg2 ж) cos ж — - = —[chzexp (—ath z) — e ashz] [a, Rez>0]. о f cosfater2 ж) с?ж тг /14 13. ж V^f " 2 , 2 = о uo exp(-ath^) [a, Rez>0]. J 8ш2ж ж2 + z2 2sh2z о CO 14. ж cos (atg2 ж) tgж^ 2™ = —-—[e^a chz — exp (—ath z) shz] [a, Rez>0]. J Ж "г" Z А СП Z 0 со Г / 2 ч , 2fc ^Ж _ 7Г j. fe , . _ _a^ J Ж2 + Z2 2 0 [Jfe = 1 или 2; a, Re z > 0]. 2.5.29. Интегралы, содержащие разности тригонометрических и алгебраических функций. a 1. dx = С + In (afe) - cl (a6) [a, b > 0]. о а Я1 \ ctg х ) dx = In [а > 0]. ж J sin a о Г 1 — cosn ж . жт Bт\ Г Г^ + 3. аж = ш, = J ж2 4- V rn J L L 2 о п-1 1 ^ I п/ I У, I 4. [ !a) 0 fc"™° [6 > 0; -2 < Re a < 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. 5. l—(^^\ ^^\ a/4 о [6 > 0; 0 < Rea < 1; п = 1, 2, 3, . . . ]. жп — slnn ж 6. ^т^ dx = Jn [n = l, 2, 3, ...], J ^ 2. ("I) (J("fc) , Л = Т, ./2=3, 3, ^3 ^, ^4
2.5.29] 2.5. Тригонометрические функции 359 со со Г /cos ж — 1 1 \ dx С 3 Г /sin ж 1 \ dx * J V ^ + 2A +ж)у "ж" = ? ~ 4* * J \^ TT^JV= ~ • о о со 9. [(ш8Ж ^—]— = -С [k = l, 2]. J V 1 + ж*у ж L ' J о со 10. с1гж— = —. о 1 Ка\ dx тг Гехр(—аI созаж±со8- ——5- = -i f [a > 0]. ж/1±ж2 2[ sma j о 12. rfln2+ J соз2ж 8 2 о тг/2 тг/2 .„ f l-sdga; тг Г 4ж2 cos ж + (тг - х)х 2l o 13. 9 с?ж = —. 14. — dx = тг In 2. J sin ж 4 J sin ж о о а со Г 1 — cos Ъх . Г cos bx t _, . , . ч 15. с!ж - dx = С + In (ab) [а, 6 > 0 . J ж J ж о а со Г cos ах — cos bx . ,6 16. dx = In - a, b > 0 . J ж а о _ Гсозажсоэбж тт., ч . 17. dx = -(b-a) [о, 6>0]. J ж 2 о со ,о Г cosn ах - cosn 6ж . Г 1 + (-1)п (п - 1)!!] . Ъ 18. dx= 1 -± '— ~ тг^ In - а, 6 > 0; п = 1, 2, 3, . . . . J ж I 2 nil \ а о чЛ 7 sln2n аж - sin2n 6ж , Bп-1)!!. Ъ 19. с/ж = -±-, —^- In - а, 6 > 0; п = 1, 2, 3, . . . . J ж Bn)!! a L J о со Г a sin 6ж — 6 sin аж , , , а 20. dx = ab In - а, 6 > 0 . J ж2 & о со Г cos ах — cos bx . 1 Г . , ч . , ч . . ,. ч 21. т г аж = — ci (az) cos az + si (az) sin az — ci (oz) cos bz — J ж(ж + ^) z[ l ; l ; l ; 0 — si (bz) sin 6z + In — [a, b > 0; | arg z| < тг]. 23. о 0 cos аж ± sin аж
360 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.29 24. о 1 _ У ^Ж 2 _ К 1 з 5 з 23 27 8 47 Л J 13 ^ ln310' Л1927Г' J8 280 11201п3' ^ ок f34sina^ . 2 , In2 25. sin ax ax = [а ^ 0]. J ж 2 о со Г / I ax dx fexp(—a)l 26. (cosaa;±cos-)—¦—- = ж< Fl J} [a > 0. J V ж/ 1 ± ж2 [ sin а J о тг/4 ^_ Г sin ж —ж cos ж 1 Г л/2 — 1 /- . /-Ч1 27. . с1ж = ——2 7г-л/2 1пA + л/2) . J (ш2жK/2 2%/2 L 2 J о тг/4 Jo> I I — — Ж I tiff Ж — ctff Ж :=:: in А. I L V 2 / J cos 2ж 4 о °р 1 п п Г п 1 29. — Л аь cos bhX dx = -> ftfclnfet. \bk > 0, )> at = 0 . J ж ^ ^ I k^i \ CO Г cosn аж cos (anx) — cosn Ьж cos (bnx) , о-там ^ «¦JO. c/x* :=:: A — L J In — J ж а 0 [a, 6 > 0; n = 1, 2, 3, ... ]. CO 31 f (sinx- ], /з=| [b = l]\ = f B ~ Ь2) [6<2], /з2 = -^ [6 = 2], 24 |4^&2| 6 |6-2| 6 /5 = — b(b3 - 12b + 16) [b ^ / = ^ A926 - 8063 + 3064 - 6е)
2.5.30] 2.5. Тригонометрические функции 361 32. (sin ж — ж cosa?)n = Jl > 0], ], 4=0 4=0 2.5.30. Интегралы от е -рж f sinbx 1 n [ cos ox J [n/2] Bk [n/2] fe=i J42=0 Л = 1/2, n = 1, 3, 5, . . . A = 0, n = 2, 4, 6, ... )l 1 J J 5 |argp| < 7г . 2. i. je sin . 3. I e px sln^ x dx = о 4. Те— E1ППЖЬЖ = J [ cos nx J о тгт 5. e^px mnn x dx = nip о [p2 + Bife (p2 + 4A2)(p2 + 4(A + IJ) . . . (p2 + 4(A + k - I A = 1/2, n = 1, 3, 5, ... A = 0, n = 2, 4, 6, ... /' ' 2 argp| < 7Г . [Re и > -1]. [n/2] fe=o 7r(m+l/2) 6. A = 1/2, n = 1, 3, 5, ... A = 0, 7i = 2, 4, 6, ... [n/2] argp| < 7Г tt/2 3=0 A = 1/2, 7i = 1, 3, 5, ... A = 0, 7i = 2, 4, 6, ... ; |argp| < 7Г
362 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.31 7. [п/2] dx = Ап\е-р*/2 Ц [р2 + Bk + 2АJ]-1 x il + 6 D + 2A)! + 4А2][р2 + BА + 2J]„..[р2 + (^: = р, А = 0, п = 2, 4, 6, ... | \0 8. ^юж Г sin bx . f e^px sin2 bxdx = 2Ь2р~г(р2 + 462)^X [ReP>|Im6|]. [Rep > 2|Im6|]. [n/2] 10. I e~px slnn bx dx = bnp1~2Xnl fl [p2 + Ь2Bк + 2AJ] fe=0 . = 1/2, n = 1, 3, 5, 11. [Rep > n|Im6|; n = 1, 2, 3, . . . ]. 1 sir 2.5.31. Интегралы от хае~рх< *"*" к [cos bx J Обозначение: S = >. 1 + p2 Г n J о da? = ( —1 n rf / х_д 1 + ep 1) -— p т ; dpn V 1 + P2 3. /2 Г(а) 5. ke J 0 ; Re a > -8; Rep 2k+5
2.5.32] 2.5. Тригонометрические функции 363 со 6. f xne^px sinbxdx = In Т . Ь r b /_i=arctg-, /о = т^—о p ft2 + p2 246p(p2 - fe2) [Rep > |Im6|; п = -1, 0, 1, 2, 3, 4], 2pb 2feCp2 - ft2) (p2 + 62J F2+p2K 00 7. жпе cosbx dx = Jn P_ , = P2-b2 f = 2p(p2 - 3fe2) + fe2' J F2+p2J' 2 F2+p2K ' J4 = ^ - 10P262 [Rep>|Imb|], 8. I x~3/2e~px sin bx dx = \[Ък { о оо п-1/2 ^pX/sIn6 I cos bx 9. b2 + p2 1 2 Rep> Im6. L IJ 10. cos Ьж dx = 11. l + ( 1) 2-np-ap(a) slnn bxdx = I%i : = a arctg [6(n — 2A;)/p]; Re a > —5; Rep > n| Im 6|]. [Rep > n| Im&|; ттг^тг; m, ?г = 1, 2, 3, •••], 2.5.82. Интегралы от А(х) Обозначение: S = е"рш< sin ж 1 [ cos &ж J {/0[a(p - i6)] T /o[a(p + i [a, Rep > 0; | arg6| < тг] 2. ^ \dx=l_ a3ih[a(p - ib)} T h[a(p + гб)]} cos bx J 2 [a, Rep > 0; |arg6| < тг]
364 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.33 ^е s , 4^ni -п-1 = (-1) op ° 1 r-n-2fe-l 2py - cos рж dx = —г- е — j cos рж dx = — —г е sin pi/ [Rep > |Im6|; \argz\ < тг]. [p > 0; | argz\ < tt/4]. fo, P > 0]. О тт/2 егрж s!nM ж cos17 ж о*ж = 2 M v 1x 0 P^ M^ ^. 1+ P^ , -;-i) 2.5.33. Интегралы от /ер тг/2 sin аж 1 M f sin bx 1 ^ >< > cos ax J \ cos 6ж J ' [Re/x, Re 1/ > -1]. s!nM аж cos17 6ж. f ei(M+l/)a; sln^^1 , i/) = s!nM х ж cos17 1 ж dx = отгг(р-1/)/2 ^p fl — IS + + 1; 1 + рж sin^™1 ж cos x dx = (/i2+p2)B /i + ip /i — " \ cos bx ¦ exp 2 ' 2 ' b + ip + [Re/л, Re i/ > 0]. , Rei/ > 0]. [Re/x > 0]. 5. e , 1 \. dx = — \ф sin еж 2сг \ [п/2] ip 2c 2a n + 1 c — b — ip - 2c > — ip + па % 2a a, 6, Rep > 0; <5 = [6, Rep > 0; с ф 0]. [Rep>0].
2.5.34] 2.5. Тригонометрические функции 365 0]. 8. — е~рх sin аж sin Ъх dx = - In ^ ; ~т^ [Rep>|Ima| + Im6|l. J ж 4 р2 + (а — бJ о со Г 1 ^юж , , a 2pb b 2pa 9. -е ^ sin аж sin ож йж = -arctg — — + - arctg — J ж2 2 р2 + а2 — Ь2 2 р2 о2 + б2 - а2 оо 10. J I в""" sin ax cos te dx = \ arctg 2°Р р2 +_ fl2 2.5.34. Интегралы от xaR(eax)\ , L [ cos bx J Обозначение: S = < >. 2. 3. 4. 5. sin bx 26 2ash(b7r/a) "™1 fstntel 1 1 t eax _ I \cosbx J sin bx x cos bx ж . бтг 1 = —cth 2a a 26 7. 2a2sh2F7r/a) o 1 /f^ 2a2shF?r/2) [Re a > -5; Re a > |Imb|]. Rea> Imfel. L IJ [Rea>l-E; Re a > |Imb|]. [Rea>|Im6|]. L IJ [Reo>|Im6|]. L IJ [Rea>2|lm6|]. [Reo>|Im6|]. L IJ [Rea > 0; Rep > |Im6|; Re^ > -S]
366 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.35 Г sin bx . 1 9. dx = J ax cx а — ib dx = rW )ф( ax - ecx 2г(а-с)\_ \а-с J \a- с -ф max (Re a, Re с > |Im6 . х2пв\пЬх 7r/Bc)] _ j_/o\_ = 0, 1; 6, c> 0; ' ' ' ' b2 + c2Bk-2XJ A = 1/2, m = 1, 3, 5, . . . Л = 0, m = 2, 4, 6, . . . Г cos атт sh бтг 1 sin2 атт ch2 бтг + cos2 аж sh2 бтг \ sin атт ch бтг /' . .Г cosaTrsh^TT I J sin атг ch Ъж 11 \ sin (^атг) ch бтг J \ cos атт sh бтг J J ' sin2 аж ch2 Ьж + cos2 аж sh2 бтг In=^[(n-l-a)lti 2.5.85. Интегралы от /(ж, еах, sin Ьж, cos Ьж). со 1. е™ж sgn (sin ж) dx = — th —. [n = 2, 3, 4, ... 2. cth cth p ~\~ О Ли [Rep со . J [2 Rep > Rei/|Imb|]. " ж ( b a2 cos2 ж + b2 sin2 ж о 7Г/2 r [a,6>0]. 7. I eipx cos^1 x{a2ei dx = p + /*-i/ + l)/2, (^ + /хТР + 1)/2) с = max (a, 6); Re ц > 0;
2.5.36] 2.5. Тригонометрические функции 367 8. [ (а + cos xfeinx dx = , 2ж ч (а2 - l)^2/^ f 7 Q ^ [а > 1]. J (i/ + l)n \v«2 — 1 / л „ лл „ ^аж2_сж Г sin 6ж 1 2.5.36. Интегралы, содержащие е < >. I cos ож J Обозначение: S = 1. \е^ах { }dx = J— e^° '^a)i L /v v /J [Reo>0]. J [совбж J |; A" ' л ' 0 о Jbf. Ц «Ay 1U -\ , /-U/Oy „I* I | „ 11*11 „ ' V ' Г) ' [Rea > 0; Re a > -S]. „ f _• i Л _ / l / i 2 \ / i 2 \ -1/2 —ate 3. ж ' e < > dx = —W— exp M+i/4 — Rea > 0 . J Icosfexj 2 V 2a F\ 8a / ± 7 \ 8a J L J о oo 4. [x1/2e-a°2 0 [Rea > 0]. J [cos bx 0 Rea > 0; S = . oo L I o Г 1 -аЖ2 7Г / 6 \ 6. — e sin bx dx = — erf ( ^_ J [Re a > 0]. J ж 2 о 7. |же-2со8б^х=А + ^^ехр(-?)егг(^) [Rea > 0]. 0 8. L il\ J [cos bxJ о = 7J- < exp ^— ^ erfc ^^ T exp ^— ^ erfc —^ )\ Rea > 0 . a-i ^ax2^cxf sin 6ж Л T a-i ^ax2^cxf sin 6ж 1 , гГ(а) 9. же ^ f > б?ж = ——^7 exp J \со8&ж/ 2Bа)а/2 F J \/ () \ 8a о ibc\ ^ ( V X exp — U>-a ^ Texp -—- D^a ^ Rea > 0; Rea > -Я . 10. же cx < , > с/ж = 4 / — < (с + ib) exp — erfc ( — J [costej 8а\/«1 L 4a J V 2i/a о
368 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.37 11. ж J о 12. 2 ^аж fsinbx < f < > ах z2\cosbx) 4 ± ebz erf ах = — z e ^e erf zJ a 4 L ± cosBn + l)xseca; 2л/а 2 ch bz 00 . f J 13. f xe~ax2 tgcxdx = -\ — y^( J а у a ^^ о fe=1 1-2ссо8Ж 2.5.37. Интегралы от х°е-г>«-ч/«[АпЬ*\. (cos bx J Обозначение: <5 = ;}¦ I COS ОЖ /п Г Ot I A exp exp 2. 3 о. 4. \-«/2i > cos ож J [Re a > 0]. [Re(c2/«)>0]. Rea>0; H > 1 [Ь, Reg > 0; Rea < 1]. [Rep> \lmb\; Req > 0]. ; Re g }] = л/р2 + 62 ±p; Rep > |Im6|; Re g > o]. -а/ж2 а^/ш f Sin &Ж 1 2.5.88. Интегралы, содержащие е ' , e v , < >. [cos bx J Обозначение : <5 = < >. F(a)fsin(aff/2I „Л_« l^a. a^ 6« lcos(a7r/2)/°^4 2' 2 ' 4 I't) [6,Rea>0;Rea<l].
2.5.38] 2.5. Тригонометрические функции 369 3. 4. со Г —2 0 со J 0 со |Vpv 0 cos bx dx — x i > dx = < CO .=0 7Г 2 *!B*4 fe=0 J f Гр + 1)/2] /|6-3/2{|sin,l r> —1 / /jL _i_ I \ 1 L J T Re а > 0]. Rea> 0]. о-т*/4 6. ж e < / dx = ^ — 4 / — U/i/4 I — I i • f i У1/4 I — I \ f J I cos bx J 2 у 6 I \86/ I sin с J \8o/ I coscJJ 0 тг/8; 6, Rep > 0]. -pVZ [i I2 fi 7. smbxdx = тг - - C(^) + тг - - 5(z) [z = p2/D^); ^5 Rep>0] j ж L2 J L2 J о 0 f cos bx . 9. t= dx = 8. |^_^ = /F)-1 + /(^)^ [с. 2.6.38.9]. j егтг^^! 8тг2 J e27Tv^ _ l 64 \2 тг тг2/ о со Г ж2сов2тгж . 1/^55 12. — dx = 1 j е2п^ _ 1 256 V 7Г 7Г2 о со Г ж^шфгж/2) _ Г7 _ 87 35 105 J е27г^^1 16 ~ + О со . ж3со8(тгж/2) , 8 7 35 873 14. п I l} dx = ^— + — + + Зтг ' тг2 ' 2тт3 ' 16тт4° о 15. Г с"" 3(Sinf )^ = ^И450 1/3(ге8"'/4)Те-"Ч 1/3(ze-3^4)} J [ cosoa? J 2o L ' J 0 Г.. *,, ,очЗ/2..-1/2. Rea>0] 24 А. П. Прудников и др., т. 1
370 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.39 Т1 А(х) Г s"m ^х i 2.5.89. Интегралы, содержащие е 1 ; и < >. I cos ох I Обозначение: -й- 1. ¦ехр 1 b Z1 + X1 I I COS СЖ Ма/2_1/4, X Ma/2-i/4,±i/4(b — vb2 - c2z2 ) [6, с, Rez > 0; -S < Rea < 1 + S]. 2. z2)cosbxdx = pz 3. xa~ о 4. жа" о 5. jx О 6. + z2 p2 + < Sin Ьж с!ж = Ja - b2 ) [6, Rep, Rez > 0]. [6, Rep, Rez > 0; Rea > -1], + [6, Rea, Rep, Rez> 0], exp (— b\/x2 + z2 ) < , f sin Ьж 1 = L{ , > dx ¦¦ p2 _U r2 ^ cos 5Ж j /ж2 + z2 + 2.5.40. Интегралы, содержащие показательную функцию от „ Г sin bx I показательной и тригонометрических функции и < >. I cos bx J 1. ехр (ах — е Г Sin 6ж 1 , ._. ,, ч . f Sin 09 1 I \dx = \Г(а + гЬ)\\ Т } { cos bx J [ cos (p J T(z) 1 = argT(a + гб), argT(z) = -г In —^^; Rea > | Im6| lr(z)l J 7Г/2 2. xez sln x собх dx =—[ch z - h(z) ж [|argz| < тг] [|argz| < тг]
2.5.41] 2.5. Тригонометрические функции 371 тг 4. же2СО8Ж sin ж dx = — [h{z) — e^z] [| argz| < тг]. о . [ eizcosx cos nxdx = inirJn(z) [|arg*| < тг]. 5 о 6. ег* cos ж sin" ж dx = утг ( — j Г( — ) JA/_i)/2(^) [Rei/ > 0; | argz| < тг]. о 7. о 7Г 8. {e — e zsmш } dx = 2tt[Ji/(z) + iEI/(z)] [| argz| < тг]. о 14. е tg2 д. 9. z ;—; r = 2тг 7 e aJo{kyb2 + c2 ) [a, 6, с > 0]. J 1 — exp (—a — го cos ж — icsmx) ~ 10. ei{nx~zsinx) ^x _ 2qiJn{z) [ | argz| < тг; n = 0, ±1, ±2, . . . ]. a oo oo / L \ 11. e-{px-zsmx) dx _ _ +2^ — — Jkl — 1 [Rep > 0; |argz| < тг]. о fe=i 7Г/2 0 [Re 7, Re/j, > 0]. 13. 2те+2 fc?rct = ^ '- I ^2 \ \k=) f5 ^ = 1, 2, 3, ... . о oo ж cos2 ж 2 о [ sin (аж2 + 6ж + с) 2.5.41. Интегралы, содержащие Л{х), е ^х , < 2 +i I cos {ax + bx + с) Г 1 1 Обозначение: S = . __ . _ чЬж + с) 1 , 1 / Г sine I r cosci\ ож + с) J р2 + о2 \ [ cos с J I sin с J J о ' sinalx cos Fa 1 f ep - 1 f sin a 1 ? б?ж = —г-г r<^ „ > [a, Rep>0]. j p(e2p — 2ep cos a + 1) ^ e — cos a J 2. о oo r cos a[x] j p{e2p — 2bep cos a + &2) \ ep — b cos a J о [a > 0; 6^1; Rep > In 6]. 24*
372 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.41 l-XJ су 4. \e-p*fsinbx J \cos6x2 о 5. ж 26 1 cos z [z = p2/Db); b, Rep > 0]. \/2b J) f!2 I COS OX [6, Rep > 0; Re a > -25]. sin с cose t ¦тг/8; 6, Rep > Ol. 26 8. 9. Г 10. \ xe J 0 ; 6, Rep > 0]. ; 6, Rep > Ol. sin Fж2 < I smbx2smpx\ p П ( p > о?ж = 4 / exp —iL- f 4V263 F V 26 [b > 0; Re a > — S; |argp| < тг/4]. [6 > 0; |argp| < тг/4]. 11. [ x2e^px[sln (bx2 ± px) ± cos Fж2 ± px)] dx = F - p2) exp (-^r [b > 0; |argp| < тг/4]. Г ^a 12. e a J Л = 1 / 7Г _ад [n f sin сЛ 1 _ f COS cA 1 1 2 V « + c2 [I cos Cy^ J I sm c^ J J л/ж ^ал( Sin D 1 T^^W e 1 cos D J V2 ±аI/2, 2D = arctg (с/а) - Лс; 6 > 0; Rea > | Imc| . J B f з!пFж + с/ж) 1 ^ \ cos (bx + с/ж) J e^2rs cos Г 8Ш d 1 \cosd/ 2rs8in(A + B), r = t/p2 + b2 , e = v7^2 + с2 , 2Л = arctg (b/p), 2B = arctg (c/q); Rep > | Im6|; Reg > | Imc|l. 14# Г x-s/2e J -s/2e-px-q/x f sin Fж + с/ж) f sin Fж + с/ж) 1 \ cos (bx + с/ж) J sin / cos / [/ = В + 2r5sln(/l + Б), r, s, Л, Я см. 2.5.41.13; Rep > |Im6|; Req > |1тс|].
2.5.42] 2.5. Тригонометрические функции 373 sm (qx cos (qx (п-2к)Ш ^ + г)\, ( 1\"/? > ах = а / — ехр + r) J \ 2а/ V « n^2^\ 2fc^ -Jsln/il 4а 16. е^{ах +ЬаН sin (px2 + gx + r cos (рж + дж + г dx = a(b2 - Aac) - (aq2 - 2bpq + 4cp2) 4(a2+p2) sin |~1 p p(q2 — Apr) — (b2p — 2abq + 4a2r) cos 2 a 4(a2 + p2) [Re a > 0]. 17. sin ex cos ex3 2.5.42. Интегралы от А(х)е Обозначение: ='-{!}• cos Vаж2 + 6ж + с j 1. /ж у а1 — x2 2. — cos (cv аж — ж2 ) ax = тге ; Jo ( — < J \/a.T — ж2 ^2 3. 4. dx = hz± = c± \fc2 - p2 ; а, с > о]. j [а, с > 0]. [A; = 0 или 1; а > 0; Rep > | Imc|]. 5. 6. sin (сл/х2 — a2) dx = 7Г С 2 л/^Т^2 - cos (cv ж2 — a2 ) с/ж = * / — /ж - a l ; V 2 V p^ + с рУ1/2 exp (-aVp2 + c2 ) [a > 0; Rep > |Imc|]. 2^2 exP(^aVp2 + c2) [a > 0; Rep > |Imc|]. cos (cv ж2 — a2 ) 2±V2 s + 77 \z± = a(\/p2 + c2 dip); a > 0; Rep > |Imc|l.
374 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.42 7. 8. 9. 10. ж - a (ж + a) | cos (с ^ж2 — a2 ) J \/2a dx = /_ е Perfc(z+K v ;> sin (с^ж2 — a2 cos (с^ж2 — a2 ^ = a(x/p2 + c2 dip); a > 0; Rep > |Imc|]. с2 dip); a > 0; Rep > | Ime|j. уж уж2 — а2 z± = - (^/j^Tc2" ± c); a > 0; Rep > | Imc|l. ¦e px cos (с^ж2 — a2 ) dx = [m = 0 или 1; a > 0; Rep > | Im c|]. sin (с^ж2 — a2 ' cos (с^ж2 — a2 /< iiiT^faVp2 + c2 ) [d = i/arctg (c/p); a > 0; Rep > | Imc|]. [ cos a J 12. sin (б^ж2 + z2 x2 + z2 1 cos (б^ж2 + z2 dx = 4 ^ [1 J1/4(,+ ) |Jl/4^-) T { Y1/4(Z+) kz± = г{л/Ь2 +р2 ±6); Rez > 0; Rep > |Im6|l. 13. e^pxsmFVx2 + : о 14. [Rep > |Im6|; |arg^| < тг]. exp |-- (%/p2 + b2 -p)J [Rep > |Im6|; |argz| < тг]. 1 --^ (^P2 + ft2 ~ P) [Rep > |Im6|; |argz| < тг]. J.O. Л A ' cos [by хл + xi Z±=2l ±р); 2Rea > -<5; Rep > jlmfcj; |argz| < тг]. -1
2.5.48] 2.5. Тригонометрические функции 375 17. г< , > dx = —= ер erfc (z+){ ж + *) 1 cos (б^ж2 + ж*) I >/i l 4 1 4 = ^i ). Rep> z| < тг L CO 18. \ ^ ** cos (Ъл/х2 + xz)dx = epz/2K0 (-x/p2 + 62 ) J Vxvx +z v2 ; [Rep > |Im6|; |argz| < тг]. 1O f/ 2 . х 19. \{x +xz) J r^ cos (byx1 + xz ) ); Rep> г\<*]. СО 20. - (—Ь ж + ^ж2 + xz ) =р (—h ж — \/х2 + xz) J уж2 + xz LV2 / \2 / J x e [d = is arctg (b/p); Rep > | Im 6|; | argz| < тг]. 2.5.43. Интегралы от A(x)e ™ Обозначение: <5 = ;}¦ cos [cx/(x ±a )] 1. sin [сж/(а2 — ж2)] а2 — ж2 J 1 cos [сж/(а2 — ж2)] с2 I 2 2. - exp - 262 + c2 +2a& b \ J з1п[сж/(ж2 - а2)] q/2-1/4, ±1/4 [а, 6, с > 0; Re а > -5]. x2 — a2 J | cos [сж/(ж2 — a2)] dx = 4-а/2, ±1/4 [а, 6, с > 0; Re а < 1 + 5]. 3. - exp da; = +2abf/A x
376 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.44 xz + zz V ж^г/ I cos еж/ ж + z 0 /4a262 + c2 + 2a6 1 / V4a262 + c2 - 2a6' I Ml/4-a/2,±l/4l [a, b, с > 0; Re a < 1 + 5; sin [сж/(ж2 + z2)] 2 5. 7 exp ^ J V2 + 2 V X Mi/4_Q/2)±i/4 r~? pi/4-a/2,±l/4 ^ \ AZ J \ AZ [6, c, Rez > 0; -5 < Re a < 2 X Mi/4_a/2)±i/4 )Mi/4- 2 '2z6- 2z j-4*-<*/*,=4*y 2z [b, c, Rez > 0; -S < Re a < 1 + 5]. 2.5.44. Интегралы, содержащие показательную и тригонометриче- тригонометрические функции от тригонометрических функций. Обозначение: 8 = >. cos (z sin ж)] [ — si(—r 0 tt/2 2 1 z cos ж I "*" V'-' "iAi •"/ I j J *-"***¦ \^/ i r - i . e < / . ч Г dx = 1 f argz < тг . zcosa, f sin (z sin ж) 1 f2shl(z) \ cos (zsin ж) J sin (zsin ж) sin nx COS (zsin ж) J \ 7Г о Г zcosa; f sin (z sin x) SIH ПХ 1 . 7TZ 3. \ezcosx\ . M^ = VT argz| <тг; n = 1, 2, 3, ... . J [ cos (zsm ж) cos nx J 2n! о 4. ez cos ж cos (z sin ж + bx) dx = z^b sin {Ъж)^{Ъ1 z) [ \ arg z, | arg 6| < тг]. о 7Г 5. Ге2со8шсо8(^81пж + ж/2)с1ж = J- erf (v^) [|argz| < тг]. 0 os bx+cos ex) Г Sin (Z Sin 6ж) Sm (z Sm Cx) 1 ^ = ТГ ул ^(&+C)fc Г 0 1 \cos(zsin&x)cos(zsincx) J Ж ~~ 2 ^ ГA + 6А;)ГA + ck) \ тг J 7. о
2.5.44] 2.5. Тригонометрические функции 377 О 2СО8Ж / • ^SlnZfгЖ V^ 8. е cos B sin ж) dx = ж > - J v ; sins ^ Bife- 0 fc™° 9. 0 7T 10. \ez 0 11. Sin Ж) COS Ж + С ^| < тг]. [|argz| < тг]. |argz| < тг; \c\ > 1]. sin bx 12. о 13. I e 1 — 2a cos bx + a2 1 — a cos 6ж 2a 1) . тг (IT = — 2 a z (IT = > - 2a cos 6ж + a2 2 ^ T(kb + 1) fe=i v ' [ | arg2:| < тг; argz| < tt; 1]. 1]. pacoSx + bsinx(sl \ c cos (p cos ж + q sin ж + nx) = (^iM7r[(p - bf Г асо8Ж + Ь51пЖ в J ^n/2[(A + iB)n/2In(VC - iD ) Т (Л - iB)n/2/n(VC + Ш )] [(p - 6J + (g + aJ > 0; Л = a2 - b2 + p2 - g2, В = 2(a6 + pg), cos (o cos ж — asm ж + nx) — i n\ cxj 1 Г 1 Г !^—i k n 15. — ea cos x sin (a sin ж) cos nx dx = — ea — \^ J ж 2 [ ^ k\ 2n\ T г»-1 к 16. — ea cos x cos (a sin ж) sin nx dx = — ^J — H J Ж L аП. 0 fc=0 17. -, J x 0 sin (asm ж + пж) аж = — e 2 1 \ COS (fi J [y? = narctg (b/a)\. [a > 0]. [a > 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. [a > 0]. 18. 19. 20. sin (a sin еж) — у2 \ cos (a sin еж) > аж — ± у е _г a cos ac е cos (a sin ас) \ же sin (a sin ac) J 2 же f sin (a sin еж + bx) \ ж S-i ———^< v /\dx = T-z ж2 + z2 { cos asinca; + bx) а, с, у > 0; 5 = a, 6, c, Rez > 0; <5 = sin (a sin сж +еж) I , ж (ж2 + z2) sin еж [ cos (a sin еж + еж) dx = w^rzz le<1 - exP (ae " - a, c, Re г > 0; 5 =
378 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.45 ГХГ) a cos еж sin(as'mcx) ТГ г а / -сгм 1 L А г» — \Ра _____ PYn (пр cz\\ \п r Dp у \ о о оо а cos еж О sin (a sin еж) , тг ^о ^ " dx = о ~ х1 — у1 sin еж 2у sin су «л е sin ^usinca;; , vi г а а cos су / . м г л1 22- I „3.,а L- da;= о..„:-„. [~е +е "cos (а sin су)] [о, с, »>0]. i ж 1 — eacosciE Cos (a sin еж) . тг г а , CZ41 23- 2^ 2 : dx = —— [еа - exp ae^cz [а, с, Rez>0]. 1 х2 + z2 sin еж 2shcz о ею о>| Г ж 1 - еасозсжсо8(а81псж) тг acoscy . . . , . . 24. — dx = е ff sin (a sin су) а, с, у > 0 . J ж^ у2 sin еж 2 sin су I/2 sin еж 2 sin су о со р а cos еж 25. — sin (а sin еж) tg 1 еж dx = ±—th 1 cz[exp (ae™cz) — еа] [а, с, Rez>0]. о 26. 2 о [i/ = 1/2 - /i или I/ = 1 - 2/Lt; p, Re д > 0]. тг/2 27. е cos х cos [2ptgж — (i/ + 1)ж] с!ж = Г( р 7 е sin — J 2 \ 2/ 2 0 [Rei/ < 0; р > 0]. 2.5.45. Интегралы, содержащие разности функций А(ж), е рх, J sin 6ж 1 \ cos 6ж J со Г 1 — е^ах 1. sin bx dx = In [Re a, 6 > 0], ° r a b bf a2 h = arctg -, h = a arctg - + - In 1 + —¦ о a 2 \ b1 о Г 1 е 1 / a\ 2. совбж^ж = -In I 1 + —I [Reo, 6>0]. } x 2 \ b J 3. I I — -) cosbxdx = lnb^ -ЩгЬ)^-ф(-гЬ)\ [b > 0]. J \еж - 1 ж/ 2 о со 4. e F аж = - In Ц Rep > Imo . J ж 2 V P о 0 p 2 V P: a2 5. e p dx = a arctg In 1 + — Rep > Imo . 6. e px dx = In [Rep > 0], J & о /i = p™1 — arcctgp, /2 = 2™1 In A + p™2) + parcctgp — 1, /3 = 2™ [—p In A + p~ ) + A — p ) arcctg p — p].
2.5.45] 2.5. Тригонометрические функции 379 1 — cos ах а 1 . 1 — е [а > 0]. 8. 9. 10. 11. - I rJ.T, = ех - 1 х ) cos аж-е az \ . / az \ ~7f;smv71"y dx = — In ¦ ¦ cos bx dx = ~~ In — - 2 b2 + a2 [а > 0; | argz| < тг/4]. [Re а > 0; Re с > |Imb|]. [Re а, Re с > |1тЬ|]. 12. I sin bx dx = — In "±1O —^ + earctg a arctg — [Rea, Rec > I Imbl]. 2 o2 + a2 c a 1O f 1/ -ьж ^сжз1па 13. — I ae — e } x \ x а а. а2 + с2 а da? = — In \- с arctg а 2 b2 с 14. 1 — cos ax x[e2ncx _ е2(п^1 • dx = — ] 2Csh[fl7r/Bc) [Re b > 0; Re с > |Ima|]. 2 . ^nX cos аж — cos bx . 15. e аж = /« [о, с > 0; n = 1, 2, 3, . . . ]. [Rep > | Ima|, 2 + 62 1 , h = - In 2 p , p2 + a2 6 a In г, I2 = - in + 6 arctg a arctg -. 2 p2 + a2 2 p2 + 62 p p p2 + 6 i -юж sm ж - ж cos ж . 16. | e p dx = Jn [Rep>0], Ji = arcetgp ^у, J2 = l-parcctgp, J3 = - [(p2 + 1) arcctgp - p]. 17. 18. sin аж . ас . а2 + /i2 . /i . 6 аж= — In ^r -17 + ch arcctg ab arcctg - 2 c2 + b2 а с [Re b > |Imc|; Re/i > |Imo|]. 1 - йж = — 1 Г f In ch [Ьтг/Bс)] - In ch [атг/Bс)] ' 2 [I In sh [6тг/Bс)] - In sh [а7г/Bс)] _ - E m- a = 1/2, m = i, 3,5,... 10 1 ^рж 2ж cos ж - sin ж . р / 4 19. I e F sm x dx = ^ In I 1 -\—- [Rep>0].
380 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.46 со Г _~.ъ 2ж cos ж — sin ж , л/тг , -1Ч 20. е j sin a? da; = ^— A-е ). J ж 2 о п _ . . т, тт Г sha^ 1 Mfe Г sin 6*. ж 1 "fc "гт- Г яЬа^ж 1 Mt f cos6fc 2.5.4b. Интегралы от ¦ ¦ < >< г > I I i fi- i fife v «-/v ^ ^ fe Г 1 1 Обозначение: S = ^р}11 П \<? + B^ + 2AJ62] sh[a7r/B6)]j 1=1 Л = 1/2, n = 1, 3, 5, . . . are 61, arera < тг: , 1 ! A = 0, n = 2, 4, 6, ... 2e f^da.= ^Lth^L [Rec>|Im6|]. J shcx 2c 2c L IJ о 7r6cthF7r/c) — с г I-. V—f-t [Rec>|Im6|]. Г sin bx , i Г . /с — ib\ ./с + г6\1 ж . Ьж 4. da; = — Ш I - ф[ —— th— Rec> Im6 . J сЬсж 2cl\ 4c J ^\ 4c )\ 2c 2c L IJ о CO Г cos bx _ ж , бтг 5. ax = — sech— Ree> Imfel. J сЬсж 2c 2c о (n — 1)! [ cosech [Ъж/{2с;1 J _ sech[67r/Bc)] J ) k=i X = 1/2, n = 1, 3, 5, . . . те Rec > Im 61: , 171 Л = 0, n = 2, 4, 6, . . . CO f sh ax ( sin 6ж 1 ж г , , , , . 41_i Г sh Fтг/с) 1 8. — < > da; = — ch (Ьтг/с) + cos (атг/с) < . l V, + J зЬсж [совбж] 2c (sin (атг/с) J о CO _ Г ch ax . . . тг sh(&7r/e) 9. — 81п6жAж = — \ ; ; rT Rec> Reo+ Im6 . J shcx 2c ch (Ьж/с) + cos (атг/с) о k -l Г J sh ax sin bx 1 da; ж ( sin [атг/Bс)] sh [6тг/Bс)] 1 / Ьж аж\ J [спажсозож] chcx с [ cos [атг/Bс)] ch [ott/Bc)J J \ с с J о [Rec > | Rea| ¦ со Г J sh аж cos bx 1 dx 1 J 1 J \ chax sin bx J спеж \ о
2.5.47] 2.5. Тригонометрические функции 381 1 о 13. 14. ., LCc-e- + СО Г J sin аж sin bx J \ cos ax cos 6ж 0 oo J shcx ы"' 0 CO f shcx sin 6ж . I п т ib\ 1 in ) * 27Г[СО8(С | dx | спеж 2c[ch 2c2 ch V 4c J M ^/c)+ch(Wc)]- 7Г Jsh[a7r/Bc)]sh c\ch[a7r/Bc)]ch 7Г sh (a7r/c) (air/с) + ch (Ьтг/с) [6тг/BсI ^Зс-а + , 4c [Ьтг/Bс)] [Ьтг/Bс)] 1 ib\ /Зс + а ) ^ V V 4c ¦/с)} [ReC> 1 / . атг . бтг J V c c [Re с > [Re с > |Rea| + v1 J |Ima| + |Ima| + [Re с > Im6|]. Imb|]. Ini6|]. Im6|]. -ik f i f-i ( s'mbx 1 15. sh аж< >dx = J [ cos ож J 0 fsh[ft7r/Ba)]l Г (y + 6)/2 1/1 — ^ ib\ (l-v ib 7Г \сЬ[6тг/Bа)]/ [(l + S ^u)/2j \ 2 2aJ \ 2 2a [Re и > -6; Re [О - l)a] < -|Imb|]. 16. sh ажспаж< f > dx = J [ cos ож J о _ b ГсЬ[6тг/Bа)]1 Г (и + ё)/2 Л f ib - ua\ f ib + va\ ~ 4a2^tt \ sh [б7г/Bа)] J [(l + J-i/)/2j \ 2a J \ 2a J [Re i/ > -5; Re(i/a) < -|Imb|]. -г- 1 Г, fthaall . . . 1 7Г fcosech[67r/Ba)]l 17. 1 - «{ , \\smbxdx = T 1 , г, // м Г 6, Rea>0. J [ [ cth аж J J b 2a i cth[o7r/ Ba)J J o r .- тж «TT f shafc^ 1 Mfe f 81п6^ьж 1 ^ 2.5.47. Интегралы от ж I I < > < > , ^¦¦¦[сЬа^ж] [cosOfca?J I Обозначение: <5 = <J >. 1 / ib\~\ A 1 / гб a, — I 1 H I TCa? ^1 [Re a > 1 - 8] Re с > |Imfe|]. oo ГЖ2П+ fslntel , , xn 7Г ^2n + 1™<5 кж Г П 2. i > dx = (-1) — o o , , . th— Rec > Im6 ; <5 = «I J зЬсж [ cos ож J 2c cFfc»^n+1^d 2c L 10 о 3. ]^L^dx = lXnchbJL [Rec>2|Im6|]. I xshcx 2 с о
382 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.48 . ха г Г sin Ъх 1 . 4. I — < \dx = СП СХ { COS OX J isr(a) Dc)" 5. СП СЖ I COS OX I 4с sech — 2c ±С а -С «, 4с [Re а > -8; Re с > |1тЬ|]. 1' Re с > |Im6|; S = о Г sin Ъх , Г /6тг\1 тг 6. ах = 2 arete exp — о со 7. ж —ц dx = —г- cosech — [ бтг ch 2с sh — J ch еж 4е3 2е \ 2с 2с о 8. cos Ъх ж shaxsin&x Ьж — 4а О аж . бтг 7Г I — In ch 2c f sin аж sin b . if. , 10. с?ж = - In ch I J жэпеж 2[ V 2c 0 со Г ch bx sin2 ax 1 ch Bатг/с) + cos (Ъж/с) JL JL # I (JL Ju — ™~°" 111 , / \ J ж sh еж 4 l + cos(o7r/c) о shaxcosbx 1 ch [6тг/Bс)] + sin [атг/Bс)] 12. I ; ax = — In ¦ [Re с > |Im6|]. [2 Re с > |Im6|]. [6, Re а > 0]. [Re с > | Rea| + |Imb|]. [Rec > |Ima| ж ch еж 13. 2 ch \Ъж/{2с)] - sin [аж/{2c)] sh[67r/Bc)] dx = arctg f77(t жтеж ch[a7r/Bc)j [Re с > |Re6| + |Ima|] [Rec > | Rea| [Rec > |Ima| 1. 2. 3. 4. 5. 2.5.48. Интегралы, содержащие А(х)(а + &ch x) a СОвбж /тГ ГA - I/) „„-1/2,1 ч : г— аХ = а P., 1 /o(ch tt) . 7Г , бтг (Ь , . \ аж = —^^^^ cosech — sin — Arch а сЬсж c\/a? - 1 с \c / . 6ТГ . \Ъ д . , cth — sin - Arch ( — a с [с К sin еж СО8СЖ ж „Ьж (Ь \ —. cosech — sh - arccos a c\/l - а2 с \с J cosbx dx = тгб 1 + ch еж с2 sh (Ъж/с) [а > 0; Rei/ < 1]. [а > 1; Rec > |Imb|]. [а < -1; Rec > |Im6|]. < а < 1; Rec > |Im6|]. [Rec > |Imfe|].
2.5.48] 2.5. Тригонометрические функции 383 со cos bx еж1с 2 и/2 \u-ib/c\ Ы/с( a "\ dx = (a — 1 i \(J,, i I —, [6, Re(ci/) > 0; a ? [-1, 1]]. b. ;: J {a + chcx 0 f COS Ьх Ж , 67Г „ , ч 7. — dx = —— sech — Pib/0-1/2@) -1 < о < 1; Rec > 2|Imb . J у a + ch еж су 2 с о CO —— гг ch еж dx = В \v -\ , 1/ „чо n . ,o [Rei/ > 0; Re Ос) > Re с + |Im6|]. со Г xs'mbx ж 2 Ьп ( Ьж Ьтт\ 9. dx = — cosech — отг ch csh — [Rec > | Imb ]. J 1 + СПСЖ С6 С \ С С J 0 X 2те+5 fslntel , (-l)^" д2п+5 Г , . ^^, гб Re(i/c) ; Hsh aa; sin 6x 1 с!ж тг / . 26тг 2атг\^ > = ch cos x ch ax cos bx J cos t + ch еж с sin t\ с с J 0 sin [а(тг — t)/с] sh [6(тг + t)/c] — sin [а(тг + t)/c] sh [6(тг — t)/c] 1 cos [а(тт — t)/с] ch [6(тг + t)/c] — cos [а(ж + t)/c] ch [6(тг — t)/c] J [0 < |t| < тг; Rec > |Rea| + |Imb|; тг Re с > |Re(ct)|]. sh ax sin bx 1 б?ж 2тг 12. — k ch ax cosbx J 1 + сЬсж e2[ch B6тг/с) — cos Bатг/с)] f sin (атг/с) ch (Ьтт/с) 1 f cos (атг/с) sh (biz/c) 11 . ) /(uk /(Kal '/ /^^ /W Rec> Rea [ cos (атг/с) sh (oTT/c) J [ sin (атг/с) ch (отг/с) J J о X со f sh еж sin 6ж . тт . bt . Ьж . . . 13. ^ж = — ch — cosech — 6, с > 0, 0 < \t\ < тг . J cos t + ch еж с с с о со Г ch еж cos bx . ж . bt . Ьж . , 14. dx = sh — ctgt cosech— [6, с > 0; 0 < ? < тг . J cos t + ch еж с с с о со Г ch еж cos bx . жЪ . бтг . 15. dx = — cosech — 6, с > 01. J 1 + ch еж e2 с о со Г sh (cx/2) sin bx . тг sh (М/с) Ш /¦ Ч rfg= о WJ» / /• ^/оч Rec>2 Im6; 0< t < тг . J cost + сЬсж 2ech (бтг/с) sin (t/2) о со f sh (еж/2) sin 6ж , тгб 17. V^ rfg = [Rec>2|Im6|]. J 1 + сЬсж с2 ch (бтг/с) о Г 8Ьсжз1п6ж . b7rsh(&t/e) . , 18. \- ^^^ чо ^ = о ¦ ^ и // / ч Rec> Im6; t <тг. J (cost + chc«J с2 smtsh (Ъж/с) о
384 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.49 cosbx . же d . же dx = h 2( + t) dx = (ж2 + z2)(cos t + ch еж) 2z(cos cz + cos t) о en ^ ( exp [^6тг[B^ + 1)тг - *]/(тгс)] ехр [-Ьтт[Bк + 1)тг + shJ^f e2z2- [тгBА; + 1) - t]2 c2z2-[TrBife + l [Re с ^ |Im6|; |t| < тг; Re z > 0]. 2.5.49. Интегралы, содержащие Л(ж)(а + 6ch2 xY I {COS СЖ Г cos 6ж . тг . бтг . 61n(l + v2) 1. s ax = =¦ cosech — sin 2 Re с > Im6]. J 1 + сЬ2сж 2с^2 2с с L и 0 о f chcx l j ж ,к 61n(l + v^) ro T Lll 2. ^ cos к аж = — seen — cos Rec> Imbl. J 1 + сЬ2сж 2c^2 2c с L IJ о cosbx . тг { . . b7r\~ . bt d h2th f cosbx . тг { . . b7r\ . bt 3. —t> о dx = —\sh2tsh— sin— 2Rec> Imb. J sh21 + ch2 еж с V 2c у с L IJ о oo f cos bx . тг . Ьтт _ / i Л \ 4. z^^fe = — sech — Pib/Bc)-i/2(ch2t) [Rec>|Im6|]. J Vsh2t + ch2cx 2c 2c 1/2 ДГ^ 1/2 kn 5- 0 6. ^ smbxdx = ( — l) -= „, o ,., sech — cos [2 Re с > |Imb|]. ^smbxdx = ( l) = „, o ,., sech cos 1 + ch2 еж l ; 2c^2 ^&2n+1 L 2c 2c 0 [Rec > |Im6|]. 2.5.50. Интегралы, содержащие Л(ж)(сЬаж ± cos 6ж)^ < >. [ cos еж J oo Hshaxsmbx^ dx тг J 61 ch ax cos 6ж J ch 2аж + cos 2bx 4(a2 + 62)\aJ о 2. -r^: : 7Z7^ dx = сЬ2аж + соз2ож (а2 + о2)а/2 V a о [6, Re a > 0; Re a > -2]. Г sin nx , тг 3. ^^ ^dx=— n = l, 2, 3, ... . J ж(сЬж + cos х) 4 о Г ж sin 6ж . 6 Ь2 + 2с2 6 4. — — — dx = — - arctg - 6у = 2тг; 6, Rec > 0 . J хЛ — у1 ch еж — cos bx 2с о^ + с1 с о Г ж sin 6ж . 6 Г ^6е^ 1 5. ^г -— dx = ± arctg- + < 2 ,2ч-1 г PI/ = Щ t/, Rec > 0 . J ж2 у2 ch еж =р cos bx с у Ъс(с + Ъ ) J о sin 6ж . 6 ^г -— dx = ± arctg- + < 2 ,2ч ж2 — у2 ch еж =р cos bx с у Ъс(с + Ъ )
2.5.51] 2.5. Тригонометрические функции 385 со f ж ch ax sin bx . b 6. \ —z j -— ^-—<ix = - у6 = тг; 6, Reo >0. J x2 — у2 d\2ax — cos2hx 2a(a2 + о2) о 2.5.51. Интегралы, содержащие (ж2 + z2)^1^ > < >, [ ch ax ) { cos bx J /2 2\—1 I D11 "Л I f COS &Ж 1 (Ж +Z ) < f 1 • L Г' [ ch аж J [ sin ож J , 1 sin bx j тг же ~bz о [Re с > | Im 6|; Re z > 0; cz ф тгп]. 1 ; 2 ^^ n - к fe=i ln [ 3. = --ch — + ^sh — In ( 2ch— ) [cz = тг; Rec > |Im6|]. 2 с тг с \ 2c J [cz = тгп; Rec > |Im6|; Re z > 0; n = 1, 2, 3, . ch + sh In ( 2ch ) 2 с тг с \ 2c J ,Ьж 2с ,Ьж ( Ьж\ 4. = с sh ch — arete; sh — = 2c тг 2c B\ 2cJ = ^[eb^2c)arctge"^/Bc) -e"^/Bc)arctgeb-/Bc)] [2c^ тг; Rec> 5. = ^ ce-*«™ + ^^ sh ^ In chN/DC)] + l тг 4c ch[67r/Dc)]-l , бтг 1 cch — arete: —^ \4cz = тг; Ree> Imfel. 4c S y^ Sh [6ir/Dc)] J 2 + г2 chcx о sinbx 2f fc (fe + 1/2Jе-"г - (fc ^( ' 7T2(/fc [Rec > |Im6|; Rez > 0; cz ф тт(тг + 1/2)]. 7. = —2 sh 1 sh 2 ch — arctg th — \cz = тт; Re с > Im 611. 2c 2 с с 4c ~ ^2 6 v^ ПсЬ[1?7г/Dс)] -1/л/2 — ^2 ch — arctg —r= [4cz = тг; Re с > | Im 6|]. ж cosbx тге z 2 \~^ (— 1) ke ж'с x2 + z2 shcx 2slncz ^ 7T2k2 — c2z2 о fc=1 [Re с > | Im 6|; Re z > 0; cz ф irn]. ~ ^2 12c€ €Vn^ 6 ' ~ ~ ^^c S V ~ 2 2 € V 11. = 2 sh — arctg (е^б7Г/Bсм _| e^b7T/Bc) — 1 = — ch 1 + sh — arctg sh — 2c 2 2 2c 2c 2c [2cz = тг; Rec > |Im6|]. 25 А. П. Прудников и др., т. 1
386 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.51 т 12' Т2 J «^ 0 13. 14. 15. 1 coste, + z2 ch еж (-1)п се~Ьж/Bс) * тгBгг + 1) jj 2с бтг = — ch тг 2с -^(п + 1/2)тг1 С J ~г ( л\к \^ ^ ' ~Ъкж/с -ок-п еЪж'с arctg (e^b7T/ 2с . Ьж . , — ch — In A + + 1/2ft ттЦк \b+-\n L тг ' i 1 тгBтг /Bс)) - е е-2б7г/сч + 1/2J-с^2 [Rec > |Im6|; Rez > A + е-6^)] + Ff« I 1 [cz = ж(п + -"/с arctg (еь-/Bс)) [cz [2cz 0; сг 1; п- 1/2); = тг; = тг; ф тг(п 4 f 2; -е Rec > Rec > Re c> -1/2)]. _bw/c Im6|]. Im6|]. Im6|]. тг 4c бтг сЬ[6тг/Dс)] + 1/^2 ch — In —— —— [4cz = w;Rec> Imfe. тг 4с сЬ[6тг/Dс)]-1/л/2 oo Г th ax sin bx , . . Ьтг 2a , к , / , k\ 17. — dx = b ch sh — In 2 sh — \2az = тг; 6, Re z > 0 . J ж2 + z2 2a тг 2a \ 2a J о 18. = -— ebz + ^^ In cth—+ ^ch 6z arctg ehz [4az = тг; 6, Rez > 0]. 2z z 2 z Г icthaa?cos&ic . . ^bz . . . . ^26z\ 19. dx = ^bze ^ch6zln(l^e ) [2az = ж; b, Rez > 0]. J Ж "Г Z 0 20. = ^e6z +ch6zln cth — + 2 sh bz arctg ebz [Aaz = тг; b, Re z = 0]. oo f cth аж sin 6ж . 2а , к, . бтг 21. — dx = — sh — In cth — \2az = тг; 6, Re ^ > 0 . J x2 + z2 тг 2а 4а о Г жсШажеоз&ж . тг ^bz . . . . bz . . ^fez 22. dx = ^2+-e + ch 6z In cth h2sh6zarctge J ж + z 2 2 о [Aaz = тг; 6, Rez > 0]. oo Г 1 J sh аж cos bx 1 rfaj тг e~ J sin az 1 J 2 + 2 X h i b j h 2z sin cz \ cos az j о J ж2 + z2 X ch аж sin bx j shcx 1^exp(-fe67r/c)/sin(afe7r/c 1 j /sin(afe7r/c)\ , f 0 1 \CoS(akw/c)j + {7rBcz2y1) [Rec > | Rea| + |Im6|; Re ^ > 0; c^ тгп]. 1 / 6тг\ Г . . f sin (аж/с) 1 f cos (атг/с) 11 2 V C/L [cos (атг/с)] [ sin (атг/с) J J с f ch (Ьтг/с) sin (атг/с) 1 , Г / &тг\ атг / 26тг\1 + — { ,;. 7, ( ) 7/Нп 1 + 2ехр cos—+ехр 2тг [ sh (Ьж/с) cos (атг/с) J |_ \ cj с \C/J с Г sh (Ьж/с) cos (атг/с) 1 sin (атг/с) Т-{ А, / ч • / / М arctgl 7 j тг [ ch (отг/с) sin (аж/с) J exp (отг/с) + cos (атг/с) = 7г; Rec> Rea
2.5.52] 2.5. Тригонометрические функции 387 / Ьп\ ( sin[a7r/Bc)] 25. = ±сехр )i г V/ ч с (ch [Ьтг/Bс)] cos [атг/Bс)] 1 ch [Ьтг/Bс)] + sin [an/Bc)] Tn\sh[b7T/Bc)]sin[a7T/Bc)] J П n\sh[b7T/Bc)]sin[a7T/Bc)] J П ch [Ьтг/Bс)] - sin [атг/Bс)] + 2с f sh [Ьтг/Bс)] sin [an/Bс)] 1 cos [атт/BсI г , —\ U\h По \\ По М Г arCtg u га / Д М 2cz = *¦; Re с > Re а + Iin 6 . тг [ ch [67r/Bc)j cos [an/Bc)] J sh[&?r/Bc)j 1 J sh ax sin bx 1 \ x2 + z2 \ ch аж cos 5ж J ch ex sin [air/Bc)] \ J cos [air/Bc)] + \sin[a7r/BC)] с f sh Ьтг/Bс) sin атг/Bс)П i Г ( Ьп\ атг / 2Ьж\ T—S // м г V/ п 1 + 2ехр cos Ьехр эт\сЬ Ьтг/Bс) cos атг/Bс) J [ Vе/ с V с У с Г ch [6тг/BсI cos [атг/BсI 1 Г sin (атг/с) тг X 2 sh [6тг/Bс)] sin [аж/Bc)] J [ 1 + ехр (^бтг/е) cos (атг/с) \ ехр (^6тг/с) [2cz = тг; Re с > |Rea| + |Im6|]. f 1 11 \ ехр (^6тг/с) J J Г ж J sh аж sin bx 1 с!ж J ж2 + z1 \ ch аж cos bx J sh еж о J sin az 1 2 ^>/ 1\fe ^ exP (^кЬтт/с) ( sin (актт/с) 1 \cosaz/ ^^ n2k2 — c2z2 \ cos (актт/с) j [Re с > | Rea| + |Imb|; Rez > 0; c^ тгп]. J 2slncz\cosaz/ ^ 2c V C/L lcos(a7r/c)J [ sin (атг/с) J 2[1J 1 f sh (Ьтг/с) sin (атг/с) 1 . Г о / Ьж\ аж ( 2Ьж\Л =Fxi ,;, '[ ) '\\\n\l + 2exv[ cos—+ ехр 2 [ ch (Ьтг/с) cos (атг/с) j [ Vе/ c \C/J ch (Ьтг/с) cos (атг/с) 1 sin (атг/с) . . ,), ' [ . ; ;(> arctg / ч , / ГТ cz = tt; Re О Rea + Im6 . sh (Ьтг/с) sin (атг/с) j ехр (Ьтг/с) + cos (атг/с) 0 1 fee " 2 \si cos [an/Bc)] sh [6тг/Bс)] 1 ch [Ьтг/Bс)] + sin [an/Bc)] sin [атг/Bс)] ch [Ьтг/Bс)] J ch [Ьтг/Bс)] - sin [атг/Bс)] ." sin [an/Bc)] ch [6тг/Bс)] ] cos [an/Bc)] T { /L , , L ч Г arctg L /Л /; 2Cz = тг; Re с > Re a + | Im 6 . 1 cos атг/Bс) sh 6тг/Bс) j sh 6тг/Bс) 30. Ж [(rh Vch2 ж — 1 ch бтг + cos vn [b, Re i/ > 0]. 2.5.52. Интегралы, содержащие ^(ж), эЬбж, епбж, этаж2, 2 жп J sin тгж" 1. — < 2 МЖ = /n , J зптгж [ совтгж J 0 /+ = — /+ = — /- = - г = ^^г 1 4тт' 3 16тг' Х 8' 3 1 25*
388 Гл. 2. Определенные интегралы [2.5.53 2. ж Г sin тгж 1 1 2 ch тгж [ cos тгж 1 Г 1 { { >=. 8 [ 2тг J 8y2 Г sin bx Г sin ax 1 . . тг _ бтг I sin [6 тг 3. —¦ < 2 } dx = ± — cosech — < ., 2 J впсж {cosax J 2c 2c cos [6 тг о L1 /Dc2)] /Dc2)] J \ch(bVBc)) [атг = с2; а, 6, Rec > 0]. fcosfexfsinax 1 ^ 4. — < 2 \ dx = J h [ J c 0 — < 2 chcx [cosax ехр А 6тг1 Г sin dk I 2/ с J \ cos rffc J " атг2 —— с тг 6 c2/ 1\ = -r--r + —[k + -] ; a, 6, Re c> 0 |. 4 4a a J 9 Г cos bx ( sin аж 1 , тг . бтг Г Г cos <i 1 1 5. — < 2 \dx = — sech ¦— N . Т~7 J ch еж [ cos ax j 2c 2c |Д sin a J y2 Г з!п&ж Г sin тгж2 1 1 bj sin [тг/4 + 62/Dтг)] 2 2 oo _ Г sh 6ж Г зштгж 1 . . 1 7. — < 2 ? <ia? = zb- J shTTX i costtx J 2 ¦ ch 6ж f sin тгж 8. I — \ 2 b cosec - sIn[62/DTr)] 2 I cos F/2)-cos [67 Dтг)] ch тгж I cos тгж cos[62/Dtt)] sin[62/DTr)] [d = 62тг/Dс2), атг = с2; а, Ь > 0]. [6 > 0]. [|Re6| < тг]. ЦЯеЬКтг]. - 1 9. 1 + 2 ch Bхж/лД) I cos тгж = ± I 4 ch ^^ — 2 J cos d 1 \ sincf j ^^3 1 ; 12 4тг 1 4 [a > 0]. J sh (Va2 — x2 ) sin bx 1 2.5.53. Интегралы от Л(х)< , >, I ch (va — ж2 ) cos bx I A(x) ch (Vft2 — x2 ) sin 6ж j 1. sh (cva2 — x2 ) cos bx dx = о 2 = тга2с 4 тгас 3. = — . Jii [0 < 6 < c; a > 0]. [6 = с > 0; a > 0]. [0 < с < 6; a > 0].
2.5.54] 2.5. Тригонометрические функции 389 . ' sh (c\/a2 - x2) ж /тгс га ( , N, , «, 4. ! -т^; ^o/, ; COS^flb = -i/^r- Jl/4 - F- V62 - C2) Ji/4 - I L z! (;2 _ ж2K/4 5. 6. 7. 8. ch (c\Ja? — x2 - cos bx dx = — /o(aVc2 — fe2 7Г 2° [a > 0]. [0 < 6 < с; а > 0]. [6 = с > 0; a > 0]. [0 < с < 6; a > 0]. ch (а2 - ж2K/4 \3/2 a 9. Va2 — ж2 ch (cVa2 — ж2 ) cos bx dx = 10. 11. 2(c2 - 2 жа Io(aVc2 -b2) - MaVb2 - ac2\/c2 — b2 h(aVc2 -i [a < 6 < с; а > 0]. [c = 6 > 0; a > 0]. [0 < с < 6; a > 0]. ,' ch (c-\/a2 — x2 ) 3/2 2.5.54. Интегралы, содержащие тригонометрические функции от гиперболических функций. со 1. cos (ach ж) с!ж = Уо(а) 2. 3. [Ima = 0]. [Ima = 0; \Re(i\ < 1]. cos bx fslnfacha?)] . тг3//2 /^a eh ж [соз(асЬж) J 4 V 2 f sin 6ж f sin (ash ж) 4. < ) л \ J УзЬж [cos (ashж) о dx = г /тга r = ^2 ? ~2~ [ ^J ±1/4+i5/2\^/ ~ [a, 6 > 0]. [a, 6 > 0J.
390 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.55 со Г совбж f sin (ashж) 1 . 5. < ; \ > dx = J yshx [cos (ashж) J о 1 1жа г /' a \ / a \ /' a \ / a M ['±1/4-г6/2 ^ J ^±l/4+i6/2 ^ J + J±l/4+i6/2 ^ 2"J ^±1/4^*6/2 (^J j К & > °1 • 2.5.55. Интегралы, содержащие гиперболические функции от тригонометрических функций. тг/2 cos ж I / 2 о тг/2 О тг/2 sin Bп + 1)ж 1 ( i\n7r cos Bn + 1)ж J 2 J 2 \aj V 2 / М/2 о тг/2 Г ГзЬ(асо8жI созбж /тг\3/2 >— /а\г /а\ 1 ch (a cos ж) I / ~ = V 2/ i±i/4+b/2 ^J i±i/4-6/2 ^J [a, 6 > 0]. о тг/2 5. ch (a cos ж) cos (c sin x) dx = — Jo (Vc2 — a2 ) [а, с > 0]. о 6. ch (a sin ж) cosnx dx = {—l)n' — тг/та(а). о 7. ch (a cos ж) sinM ж dx = v^" I — j ГI 1 /M/2(a) [Re a > 0; Re/i > —1]. 8. ж ch (a cos ж) sin ж dx = — sha [а Ф 0]. J a о CO Г sh (a sin ж) . i\n-i ^ra2"™1 L , a2 1 9. — sin ж 8т2тгж cos (a cos ж) dx = (—1) —7 гт 1 H 7 r J ж 8Bn — 1)! |_ 2nBn + 1)J [a > 0]. CO Г V, ( " \ 1п — 1 Г 2 1 10. — sin ж cos Bn — l)x cos (a cos ж) dx = (^1)те™1 —-; — 1 - о [а > 0]. -- I sh (a sin ж) / х 11. | — cos ж соз2ггж cos (a cos ж) dx = о BAj Ч-1)! + 8Bп-1)! [ 2п(п i-^?^t [»>o]. f ch (a sin bx) f sin (a cos bx) 1 . тг f cos (a cos by) 1 . . . . ч 12. h- ^{ ) J\dx = T7r\ • / / sh asmfet/ a, 6, y>0. J ж2 — |/2 [ cos (a cos ож) J 22/ [ sin (a cos by) J 0
2.5.56] 2.5. Тригонометрические функции 391 оо ж sh (a sin bx) ( sin (а cos bx) ] , ( si X co cos (а cos bx) j и тг Г Г cos (a cos by) 1 ,.,,ч Г 1 11 = =F77 И • / L \ Г ch (а sin б?/) - < > а, 6, у > 0 . 2 [ [ sm (а cos оу) J [а cos 6y J J схэ f 2 x Г ch (а sin 2a;) J sin Bа cos ж) I тг J sin а11 J б2 cos2 ж + с2 sin2 ж ) cos Bа cos2 ж) [ 26с \ cos d) о к } [d = 2аф + с); а, Ь, с > 0]. оо Г sin (а sh ж) / 1 \ , тг 15. sm (ach ж) аж = — sm а Га > 01. J shx 2 о 2.5.56. Интегралы, содержащие е™рж, shax, сках, slnbx, cosbx. ^.n-r f sh еж sin еж 1 , ю f 2c 1 e p < da;=-p—^< 2 > [Rep > | Rec| + | Imc|]. о oo f ^vx ( shcx cos ex 1 , c(p2 q= 2c2) 2. e p ^ 1 . 1с1ж = XF. ^A . ; Rep> Rec|+ Imc| . f sin 6ж 1 z< } dx = {COS ОЖ J -fic-ib)/Bc) 1 Г (р-Мс + г6)/Bс) J+ [ Rep > \Re(fic)\ + |Im6|; Re/x > -1 - ?, <5 = | X о oo Г _rTsink , тг , бтг 1 5. e da; = —cth 6, Re с > 0 . J shcx 2c 2c b о oo , shaa;sin6a; . b ж shB67r/c) 6. —dx = ^— ' \ I ) 2c ch B6тг/с) — cos Bатг/с) [b > 0; Re с > |Rea|]. тг sin(a<77r/c) f ch (b ecx ± 1 ^ 2(a2 + b2) ac ch B6тг/с) - cos Bатг/с) о a = \ j>; 6 > 0; Re с > |Rea||. ch аж sin Ьж & тг sh (&сгтг/с) Jcos(a?r/c) ecx ± 1 2(a2 + b2) ^ ac ch B6тг/с) - cos Bатг/с о {cos (aTi 1 <т = <{ }¦; 6 > 0; Rec > |Rea||.
392 Гл.2. Определенные интегралы [2.5.57 2.5.57. Интегралы, содержащие е ' , shax, спаж, sinbx, cosbx. со Г ^РХ2 ( shcxslnbx} , 1 /тГ / с2 -Ъ2\ ( sin[bc/Bp)l I 1. \е рх i \dx = -J- exp { '.)/; i Rep > 0 . J [спсжсозож] 2 у p \ Ap J [ cos [oc/Bp)J J о CO Г 2 -ю2 f sh сж sin сж) . 1 / 7г Г Г sin d 1 . c2 ( cos d 11 r 9 ,, v i 2. ж2е рж { иж= / J Л±^ . И [d = c2 Bр ; Rep>0 . J [ ch сж cos сж J 4 у F L L cos " J P I sm « J J о . -1/2 vjshcssincxb ^ /^ t /c2\ Jcos[c2/Dp) + 7r/4] 3. I ж ' e p { , > йж = 77774/- i-1/41 t" H . г 2 //. ч /л sin [с /Dр) + 7T/4J [Rep>0]. 4. пт" I ^J-1 i-'b^ 0111 i/bt/ I л/ /1 I ^ — ijc 1 I 1 Sin u I COS CL I J [зпсжсоэож] Ар6/1 \ Ар J [ [cosdj [ sm a J 0 [d = 6c/Bp); Rep > 0]. CO ^__ Г ^„Ж2 f сЬеж sin сж 1 . с /тГ / с2 . . с2\ 5. же < > аж = —4/ — I cos — ± sm — [Rep > 0]. J [япсжсовсж] 4р у р \ 2р 2р/ о со Г 2 Г -1/2 -и2 Г ch сж sin сж 1 . . тг Гс т (с2 \ I cos [с /Dр) — тг/4] о. ж е < > аж = ± к/л\ ~~ с/1/41 — Is 2 0 ' [Rep>0]. 7. ж™2е™рж shpic2 соэбж dx = W— exp I I erfc I J [6, Rep > 0]. -рЖ2 1 Г sin 6ж 1 , фг Г рс2 Ifsindl 0 6c2 9. \ x ' e px (shcx ±81псж)с1ж = —a — /1/4 — < 2 > [Rep > 0]. J 4y2p \8pJ I sh[c /(8p)] 10. 0 00 11. е™асЬш sh (ж/2) sin 6ж с!ж = Im К'х^+гьС0') [a, 6 > 0]. 0 CO 12. f е^асЬжсЬ(ж/2)соз6жAж = Re K1/2+ib{a) [a, b > 0]. 13. е^рж sh — )dx = 7rec p\0d 2cp, ^ + 03( 2cp, ^ J \СПС~СО8Ж/ [ \ 27Г/ V *7 0 [Rec, Rep > 0],
2.6.2] 2.6. Логарифмическая функция 393 2.6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 2.6.1. Введение. В этом разделе содержатся интегралы, в подынтегральные выражения которых входит логарифмическая функция. С помощью замены переменной они могут быть преобразованы к интегралам от показательной и степенной функций. Некоторые интегралы от логарифмов молено получить путем дифференцирования по параметру. Например, CXJ CXJ f Z lnn(l + х) dx = f хпех(ех - l)^1 dx = y dx р=0 [-п < Rea < 0]. р=0 2.6.2. Интегралы общего вида. В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интегралы, содер- содержащие логарифмическую, а также степенную, алгебраические, показательную и триго- тригонометрические функции. Некоторые частные случаи этих интегралов, соответствующие конкретным значениям входящих в них параметров, приведены в последующих пунктах. Значения параметров, входящих в интегралы общего вида, приводятся в фигурных скобках после каждого интеграла; г = p/q, где р и q — взаимно простые натуральные числа, если не указаны другие условия. у In (еж + d) 1. In \cx — d\ dx = p-i ,.а + гв — г 2. dya^r-r- OL-h-1 A d\H , /3 =F— X2 r J\ cyj - I 7Г с , > I — Хз + кСУ/ [\cy\>\d\]. l Если r > 0 — произвольное, то р = q = оо и Xj — 1? j — 1? 2, 3; если r > 0 — рациональное ( /) (r = p/q), то q+2 q (h X2 — h-P),(a- Rea, Re/5 > 0; arg (еж + d)\ < тг при 0 < ж < у с, d > О }]¦ 3. In |сж — d\ dx =
394 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.2 \n{dx 4. In \cx — d\ p-i 0 < Re^ < 1-Rea/r; > dx = -,i-p- | arg (еж + d)\ < тг при ж > у с, cf > О cy\h -— 1 i \d) Ж (—l)h(l — cosec [(r — rp — а + гЛ,)тг] 1 /cy\rh ctg [(r - rp - a + г/1)тг] JvT/ -,1-р-- lnd [|cy|<|d|]. 5. = ?|r(p-i) A-PM-I)h f cosec [(a + гЛ)тг] 1 /d 1 cr ^-^ h + 1 \ r < Если r > 0 — произвольное, то р = q = oo и %j = 1, j = 1, 2, 3, 4; если r > 0 — рациональное (r = p/q), то 1, (Л + 1)/р, А(д, (а- X2 — l, Д(д, 1-/9 + Л), (l-/» + /i)9-1-ap-1; . _1 _i A(q, h + 1), 1 + A - p + h)q - ap l, 1, A(q, 1 - p + A + h - a)r^1), (h + l)/p; z^1 cyy Re a > 0, Re (a + rp) < r; r| arg y\ < тг; f | arg (еж + d)\ < тг при 0 < ж < со I с, d > 0 6. In (еж + d) dx = — rrf ^^ h + h=0 cy\h 2 ( c /i=0 1 / cosec [(r + гЛ, — а)ж] 1 /cy\r \ [( )] ~j) ctg[(r + rh - а)ж] j\ d ж а^г аж у cte In d r r X2 ¦
2.6.2] 2.6. Логарифмическая функция 395 cosec [(a + гк)тт] 1 / d V ctg [(a + гк)ж] j \cy J h^a \f d\h тг if — Ctg 7Г T— X4 - — ттг^2уа^г ctg r In (cy) — 2тг cosec — тг [ Icyl > d]. r [ r J {Если r > 0 — произвольное, то р = q = 00 и %j = 1, j = 1, 2, 3, 4; если r > 0 — рациональное (г = p/q), то Xi = 2*i(l, (ft + l)p-1; 1 + (ft + l)p"x; г), X2 = 2-Fi(l, (r + r/i — a)p-1; 1 + (r + rft — a)^; z), Xi = 2^1A, (a + rh)p^; 1 + (a + rft)?; г), X4 = 2FXA, (ft + I)?; 1 + (ft + l)p-x; г), г = (тсу/d)"} ' \ e, d > 0 [p = 0, 1/2], 8. J,- 0 / Up 2 I i (гЛ/2 + V*r + У)" P»» («я-«0 (ЖГ + Г)" \bcx-d\ -\-rv/2-pr+l Р^З 91' + 2('г + а + 1)/г / dr ^ ft + 1 U, i 1 — 2p / i т/2 — то ^" ~г ^ 7Г1 — J V / J cosec [r(l — i/)/! X\ ctg[r(l-i/)/2 2r -a-ri//2 <)~1 J cosec [Bp — i//2 X 1 ctg[Bp-i//2- ,ч a q-1 , -|\h//-i \ / d Yh d a+riy/2^Pr^i X \cy) X4+ сУ у к У п 1 V r -\- v v 2 I — / dX — LJ p ^Л!C/2- \ 1 — 2p 1 \/ 2p)h{r{l-v)/2 2 + hr — а]ж 1 / су \rh + hr-a\<ir j\~d) X2 + ("l)hBp + /i)r — a]? f /i)r — а]тг '2U2P-U, h(a + rh) 1-1 r+2(a- - r J i/r Vp r + a J -v/2)h{2p + v Л(слх\3 + j\d J X ВI —, 2p — и /2)h / cosec (a - 1 t ( 4- 1 Ur + Л- V С2/У В ( —, 2p- i/ - I r _v)/2)h + hr-a] /2)h ) 1 /Ч 2a\ rj - rhOГ 1 \l-2p 2a\ — x r /
396 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.2 2p~?/~ — ) + ф(- г J \г - и - - г 1Ы > \d\]. 2aN r J \ r , l Если r > 0 — произвольное, то p = q = oo и Xj — 1> i — 1? 2, 3, 4, 5; если r > 0 — рациональное (г = p/q), то Х2 — Х4 — Х5 = ; , | - 2р + A A(g5 Л + 1), 1 + (J(l - i/) + Лг - а) ^ P —; z , 1 A(g, 1 - г/ + /i), A(g, 1 + /г), 1 + (а + rh)- Rea > 0; d J f I are (еж -f d)| < тт при ж > О i/r) < 2rp; r argy < 7г; ^ ' [ с, d > 0 }]¦ oo -rpff pr-r«/2-a-ll 1JK ¦ In (же? + с) i 2рг — 2а 10. p = 0 или 1/2; Re a > 0; Re Ba + vr) < 2rp; r\ arg y\ < тг; i (ex + d) In \cx — d\ dx = h=0 2r(l - 2p) rv + 2pr — 2a arg (еж + d)\ < тг при ж > 0 с, d > 0
2.6.3] 2.6. Логарифмическая функция 397 Г cosec (a + hr)w I f dr s\ ^2 _а/Гтп/а\ Г i i , //аМ х< Л , / И X2 + r s ' Г — fine - Ins + ё — . [ ctg (а + пг)ж ) \ cr J Vr/L Vr/J < Если г > 0 — произвольное, то р = д = оо и %i =%2 = 1; если г > 0 — рациональное (г = p/q), то ^ 1 + (h + 1)р-\ А(д5 1 + A + Л - а)^1) J ' Ы Re а, Res > 0; с, \ / | arg (еж + d)\ < тг при ж > 0 11 О JJ* 11. I жа 1з1п6жг<| | , [> б?ж = (/(<5) о р-1 s (d\a+rS Г.1(^l)hf cosec (a + 2/ir + Sг) 7Г V ^ ¦OГ}( — су ^-^ /i!(<5 + 1/2)h(а + 2Лх + <5г) [ ctg (а + 2/ir + ёг)ж j \2ег ^ — ос/г / (х\ j*$ — (х Г /О\ / Н г- Г ( — cos тг 2r In с - 2 In 6 + i/> [ — 1 + (tg 2r2 \r/ 2r I \r / \ 2r . i Если r > 0 — произвольное, тор = д = оои%1 =Х2 = 15 если r > 0 — рациональное (r = p/Bq)), то . A / 1 1 ., , ч\д/ -, /i + l-a X2 = p 1 + (a + h + гс5)р^\ A(g, /i + 1), A(g, /i + 6 + 1/2) I' •=<-<№)'} cj \2g [_ ^ , f | ащ(сж + d)\ < 7Г при ж > 0 11 — r<5 < Re a < r; b > 0; < > ' I c, d > 0 J J 12. Тж-1сО8^A1п;сж+^Ьж=^) J [ ln|c»-d| J о 2.6.3. Интегралы от ха 1пст ж. [U(S) см. в 2.6.2.11]. 5=1 ж ln°" — с!ж = a a a Г(сг + 1) [a, Re a > 0; о l 2. о l . [жа^11ппжс1ж = (-lO1^^71^1^! [Rea>0].
398 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.4 , a In A + bx) — 6 In A + ах) а 3. ах = аи in -— xz [a, b > 0]. о 2.6.4. Интегралы от a-l 1. ж" ж о ??0 к\(а Е 2 1 г" In т 3. I dx = /м -L ~т~ Ж^ [a, /i, Re а > 0; Re a > -1]. [/1, Rep > 0; /i| argz| < тг]. [/i, Re а > 0], 4. /i2 cos2(?r//i) * [/i, Rea > 0; n = 1, 2, 3, . . . ], Ja,n = *, 21 х,2/-1 = J^/2'2I=(^) i r3M/4,2 _ 252/x6 61/ttV 2 127 /тг 401 д 5- та"! lnn т *, Rea > 0; n = 1, 2, 3, . . . ], »1--^ гЗ/х/2,1 _ 7Г /i2 i-n/x, l y—-1-; 12 ^-^ A^2 fe=i 2 ( " 2^ ' 1 7тг4 120 7тг4 ЗО/i5
2.6.5] 2.6. Логарифмическая функция 399 a-1in i / а \п 6. I * HL^ da = - ' ^ ['"-'<¦ >-t)\ > 0; /Lfc| argz| < тг; 0 < Re a < ц Re p]. 7. 1 In ж dx = 1 In 9. In ж В ( —, p /i In z + ^ ^ - ^ I P [/i > 0; fj,\ argz| < тг; 0 < Re a < fi Re p]. m-l /X In Z — ^J ——— 7Г Ctg ::i:i tb fli ft fJj > 0; ц\ argz| < тг; 0 < Re a < jura; m = 1, 2, 3, . . . ]. 771 — 1 (m - l)!/i2 2«l/2 —m 2m - 1 |argz| < тг; m = 1, 2, 3, . . . ]. 10. | f 11П'Ж с!ж = (ж^ + z^)^ 11. 12. 13. 14. ire 15. 16. ¦dx = 2 ^ /x . > 0; fi\ argz\ < тг; 0 < Re a < fi Re p]. l,.x^,li [|i, Rep>0]. ¦da? = 0 dx = — + z^ /i c?ftn sin (an/fi) [fJL > 0]. [/* > o]. > 0; /i|arg2;| < тг; 0 < Re a < fj]. + z^ sin (an/ 2 2 «ТГ In z — 2тг/1 In z ctg 1—— 2 а7Г 1 + cos ¦ In — dx = 0 sin2 (аж > 0; /i|arg;z| < тг; О < Re а < /i]. [z > 0; а - д < 2]. 1. 2.6.5. Интегралы от 7 жа^11ппж , а^^г) дп dx = /i dan fa a BIB,— [a, /i, Re a, Re^ > 0 (Re^ > -тг при a = 1)].
400 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.5 а Р пг ( 1 \ к 2 1 а — 1/и, и\т 1 п «^ I / -i\n I a + tiTO \ "^ / "^ \ \ -*-J г л1 . \х (ег^ — ar ) In — dx = ( —1) га! а р > I O—-—;ч .1 а, ц > 0 . J v ; а 1 ; ^ V к ) (а + /ifc)n+1 L J 771 ( 1 \k ( о [a, /i, Re a > 0; Re <r > — то — 1]. 4. —: ——dx= В [p, - /ilna + ^ - )^ф [P+- [a, д, Re а, Re^ > 0 (Re/З > -1 при а = 1)]. Г таЧ In2 т «L III X 5. 7 ——- ax = [a, /i, Re a, Re^ > 0 (Re/3 > ^2 при a = 1)]. 1 6. — In" ^dx= l t, j У f—г [к| >1; /x>0; о к=1 Г ж" - 1 .^.i / а . 7. In — da? = Г(сг + l)/i {I <т + 1, — J [Re а, Re<j > О]. J 1 — x^ x \ /iy о 1 8. f Ж 1пст i с!ж = Г(G + l)^"^"^^ + 1) [/x, Rea > 0]. H, П tCX, П —П —1 1 = M 9. Inn xdx = /"'n, /"'n = -Д n iA(n) I — I [u, Rea > 0; n = 1, 2, 3, ... I, 0 "«^-irri-^i [» = i,2,3,...: 4 fe=i i, 1 , Tk-m, 1 _ 2M2' i Г n^1 r(n+l)/z,3 _ J- L\^__J___ Я" I r(n+l/2)/z,3 _ J- o^ ^^ x 4 I 63
2.6.5] 2.6. Логарифмическая функция 401 10. 11. 1-х* \n2n~1xdx = 12. 1 - 1п2 )!/i^2n^1B2n+1 - 1)СBп 13. > 0; п = 1, 2, 3, . . . ]. > 0; 7i = 1, 2, 3, . . . ]. [/х > 0; n = 1, 2, 3, ... ]. [pt, Rea > 0; 7i = 1, 2, 3, . . . ], ' п — к — 1 тг2 jfe2" б" /M/2,1_ ж(п "'2 - " '2 - 2 J' гг — к Bnf 2/л- 2m+l /I 4 15/i5 , 2m / о \2 _ / ^ \ — 1 I -Мпп; /1 У /1 ctg — [О < Rea < /ига; тг ^ га; то, тг = 1, 2, 3, . . . ]. 15. 16. - 1 27Г) ' П4 [/х > 0]. dx = , ж08 In ж , тгг/а"м 17. дж = — / ctg тг . атг - /х In j/ ctg sin (атг//х) i, у > 0; 0 < Rea j,, у > 0; 0 < Rea < /i]. is. О7Г \ 2 2 1 fl J i, t/ > 0; 0 < Rea < /i]. 26 А. П. Прудников и др., т. 1
402 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.6 ха 1па ж 2.6.6. Интегралы от ах1 + ох + с (а + бJ Г In ж , тг , G г 2. —г——- dx = — In a о > 0 . J ж2 + а2 4а а о 1 3. I —, г 1па -dx= у ' > f , х1 — lux cos 7 + a x sm7 ^ [a + Aj — 1) о [a > 1; 0 < 7 < 2тг; Re a > 0; Re <j > -1]. l 4. — dx = 19 Oi^ ж2 — 2аж cos 7 + a2 oan { sin атг о [a > 0; 0 < 7 < 2тг; Rea > 0]. l In2 ж , 7G - 2тг)G^ тг) x2 — 2жсо87 + 1 6sin7 о 4 ^ Г In ж , 7G 2тг)G тг) 5. — TTdx= a - " [0<7<2тг]. J x2 — 2жсо87 + 1 6sin7 6- 2 ж2 — о Ж 1П Ж _ fe, n J ж2±ж1 о /+'1 = -0, 7813024129 . . . , /°'1 = -1,17195361935 . . . , /+'1 = -0,15766014915 . . . , /i'г = -0, 3118211319 . . . , 9. 10. 11. 12. f ^ ~ } x ¦— 2i о i Г (ж + , J ж 2, 0 l J-~'i 0 0 1 ж"" J 1 0 ж"аIп x cos 7 - x ) In 71 ж1пж^ 1 1» i 1 + (a -j - j0,2 8тг . ж л тг sin [G — тг)а] f Ь 1 sin 7 sin атг 2 sln7sina7r l ; ^ }" пж | с!ж i'( \ 1 - ж У 1 — ж ^r v^; dx тг2 1 - ж 6 — 1) In x ж In ж I i J f0,2 Ю7Г + 27rctga7r 7 / // \ -1 [аG^тг)]} [0 < 7 < 2тг; | Rea| < 1]. [0 < 7 < 2тг; | Rea| < 1]. [Rea>0].
2.6.6] 2.6. Логарифмическая функция 403 13. 14. ire 15. 16. ж(ж — z) In dx = (z) |arg(l - z)\ < тг, Re о- > -1] или [z = 1, Re «т > 0]. ^ 1 ГТГ2 /l\ 1 2 ;г da = - — - Li2 I - I - - In у x(x-y) у [ 3 \2/y 2 dx = - Li3 I - - - In j/ + — In 2/ 2/ [ V2// 6 3 1пте x dx = /„ [У [Imo = lmb = 0], /o = а — 6 ' ¦In /i = 2(a-6) (In2 \a\ — In2 |6| + A sgn а) [Л = 0 при ab > 0; Л = тг2 при аб < 0], /2 = 3(а - 6) Aп3 [В = In |а/6| при а, 6 > 0; Б = In (ab2) при а > 0, b < 0; Б = - In (а26) при а < 0, 6 > 0; В = 2 In |Ь/а| при а, 6 < 0]. 17. 18. х2 — 2ах cos 7 + «2 sin 7 ^«n [а > 0; 0 < 7 < 2тг, 0 < Rea < 2]. dU 111 «I/ , П Uj ?|^p == ж2 — 2аж cos 7 + a2 sln7sln2a7r 19. 20. 21. x {In a sin an sin [(a — 1)G — тг)] + 7 sin атг cos [(a — 1)G — тг)] + тг sin [7@ — 1)]} [a > 0; 0 < 7 < 2тг; 0 < Re a < 2, a ф 1]. In ж (тг — 7) In a ж2 — 2аж cos 7 + «2 a sin 7 ж2 — 2ж cos 7 + 1 х1 — 2ж cos 7 dx = 2тг sin Г L sin 7 sin атг 22. 23. In2 ж ж2 — 2аж cos 7 + о2 a sin 7 = О c2 + 6ж + 1 [a > 0; 0 < 7 < 2тг]. ¦ {тг ctg атг - G - тг) ctg [0G - тг)]} [0 < 7 < 2тг; |Rea| < 1]. [аG — 7г)] — • [0 < 7 < 2тг; |Rea| < 1]. [a > 0; 0 < 7 < 2тг]. |6| < 2; ?г = 1, 2, 3, . . . ]. 26*
404 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.7 2.6.7. Интегралы от ха(а — х ) 1пта ж. 1 1/п —1/ 2 2\—1/n i I. ж (a — ж j In о 2 ^-i/n^^ 21na^7rctg[7r/Bn)]p^ 1 1 8a1/^cos[7r/Bn)] \ 2n ' 2n [a >0; n = 2, 3, 4, ... ]. [n/2] 3. | flnx dx = Аа /2 2 a > 0; jB = тг/2, r = 0 при n = 1, 3, 5, . . . ; В = 1, r = 1 при n = 2, 4, 6, . . . ]. -1) In 2 + In a+ (^1) Jfe [a > 0; Л = тг/2 при m = 0, 2, 4, . . . ; A = 1 при m = 1, 3, 5, . . . ]. а 1. Ж У W 2 — ж2 In ж с!ж = = Аа m+i(m-l)!! (m + 2)!! [a > 0; Л = тг/2 при m = 0, 2, 4, . . . ; A = 1 при m = 1, 3, 5, . . . ]. [a > 0; jB = тг/2, r = 0 при n = 1, 3, 5, . . . ; В = 1, r = 1 при n = 2, 4, 6, . . . ]. тт In2 т fw — 1 VI , «?, III X m yill LJ.. 6. , ^ dx = Aa ± tt^ [a > 0; Л = тг/2 при m = 0, 2, 4, . . . ; A = l при m = 1, 3, 5, . . . ]. 7. 1. In Ж dx = In 2 . 8 2 2.6.8. Интегралы от Л(ж) lnn ж. 6 1пжс1ж 1 т^ / \/Ь2 — а2 26 1п(а6) [0 < а < 6]. 2. In ж dx 1 I / a /а2 + . Г In ж с!ж 1 [„/йЛ, / , v тгт;г. 3. / = — К ( - J In (ab) К J ^f(a2 -х2)(Ь2 -х2) 2&L \Ы 2 . f 1 + ж , , 1 тг2 Г 1±а? , , 3±1 2 4. In ж ах = 1 . *>а д In ж dx = — тг . J 1 — ж о J 1ТЖ ^ • о о [a, Rez > 0]. [0 < а < 6].
2.6.8] 2.6. Логарифмическая функция 405 6. In х (ж2 + - dx = ¦In- 2zVz2 + 1 я + л/z2 + 1 [Rez >0]. 7. 2 In ж dx A-ж2)A + ж4) 16B +л/2)' [О < Rep < 1]. 9. х1" i ¦ In ж dx = ±- 10. In ж dx 15. \n(zy) K [±Rei/ < 0; /x > 0]. [* > 2/ > 0]. \1 —2r an /x a//x, 2r- i/ - 2a//x" [r = 0 или 1/2; /i > 0; ft Re (±i/ - t/)/2 < Re a < fir - fi Re i//2]. ¦Inx dx = \ol/fi + (i/ =F l/)/2, 2r — i/ — 2a/fi] [r = 0 или 1/2; /i > 0; /i Re (±i/ - v)/2 < Re a < fir - fi Re i//2]. n / _2в/мг Г2а//х, [r = 0 или 1/2; /z > 0; 0 < Re a < =F/i Re i//2 + fir]. [r = 0 или 1/2; /i > 0; 0 < Re a < fir =p /1 Re i//2]. [r = 0 или 1/2; /i, Re a, Re (a + fiv) > 0].
406 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.9 16. /X, 1 — 2r I > [г = 0 или 1/2; /i, Re a, Re (a + jxi/) > 0]. it. [r = 0 или 1/2; jla, Re a, Re (a + /л/) > О]. is. f 21n2 [r = 0 или 1/2; /i, Re a, Re (a + [lv) > 0]. 2.6.9. Интегралы от ж" 1пп(аж + 6). а ¦* ос — 1 1 / 1^ \ j о; — iri / с\ \ о ( |_ 1 \\ J а п г n/i\fc i/i\п 1 5. хп~г In (а + ж) dx = — (^lO1™1 \j -——*¦ h In а -\ — In 4 Jo n L k=1 k 2 J [a > 0; Re a > 0 (Re a > -n при о = 1)]. [a > 0; Re a > 0 (Re a > -1 при a = 1)]. In 41 [a>0]. 4. жга о . lxa^1lnn(a^x)dx = aaj—[a^B(aJ /3 + 1)] ^=0 [a > 0]. [a. Re a > 0 (Re a > —n при a = 1)]. 6. ^lnn(l^ J ж о a 7. ж"^1 In (a - x)dx = a~1aa[lna - С - ф(а + 1)] [a, Rea > 0 (Rea > -1 при a = 1)]. 8. ¦In 2.
2.6.9] 2.6. Логарифмическая функция 407 9. 11. In (I ± ж) 1/2 тг2 _ 1пA-ж) J In2 2 тг2 In 2. 12. [ж"1п2(а + ж)dx = ааа^1BAпа - С)[1п2 - /3(а + 1)] + In2 а + 2а V J I ^ ^ *(<* + *) J [а > 0; Re а > 0 (Re а > -2 при а = 1)]. а 13. f ж"1п2(а - ж) с!ж = ааа{[1п а - С - -0A + а)]2 + тг2/6 - ^'A + а)} [а > 0; Re а > 0 (Re а > -2 при а = 1)]. 15. 16. о п+1 + 17. I" In [ж] da; = ln(n!). i J l ; 18 19. = аа V i ______ ln 20. x~n~1\n{x + a)dx = а со J lna+ In4 21 { asm an { cos аж 22. [а > 0; Re а < 0]. [а > 0; Re а < 0]. [а > 0]. [-1 < Re а < 0]. [а > 0]. 23. f Z1п2(ж + a) dx = а~гаа ll (С + - - In a) [In 2 J 1 V ft / 00 f 24. f ж"1п2(ж -a)dx = ^а^аа\ [С + ф(-а) - In a] 2 -а) - In a]2 + — [а > 0; Re a < 0]. [а > 0; Re a < 0].
408 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.10 2.6.10. Интегралы от ха(ах + ЬI3 1пп(сж + d). [а > 0; Re а > 0 (Re а > —п при о = 1)]. 2- 1п"(а+x)dx=(-1)n [Re/3 > 0 для 1ппA -ж)]. Ф(Р)} - аа 5- Г In (а + ж) In 2 2ч 6. — dx = In Bа ) Q, "т" Ж Z 7. [а > 0; Re а > 0 (Re а > -1 при а = 1)]. [а>0; рф\\. [а > 0]. [a > 0]. 8- In2 2 9- 72 11. 9 24 k)(ln a [а > 0; Re а > 0 (Re а > -2 при а = 1)]. 1П2A + 2) "
2.6.10] 2.6. Логарифмическая функция 409 15. .-х) 16. A-я) 0-1 ¦ In A + ж) dx = - 3F2A, 1, 1; 2, /3 + 1; -1) [Re/3 >0]. 17. х)р 2)" 2) + 2C)" 18. ¦ dx = a 1 p x ¦fc) + (C + ^B + fc))' 20. - '¦" '• [Re/3 >0]. 22. ж /ж 1 + ж 4 -;— T—t- dx = d a^B{a, f3 + lJFi (p, a; a + /3 + 1; -^ [a, Re a > 0, | arg (еж + d)\ < тг при 24. a 25. [^(a' 26. (I _ [a, Re a > 0, | arg (ex + d)| < тг при 0 ^ ж ^ a, |ae| < \d\]. -1 lnn(a -x)dx = a" ^ [a^B(a, /3)] [a, Re/3 > 0; Rea>0(Rea>-n при a = 1)].  In (a — ж) dx = aa B(a, /3)[ln a + i^(/3) — ^(a + /3)] [a, Re/3 > 0; Re a > 0 (Re a > -1 при a = 1)].
410 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.10 28. 29. а .Г -1(a-*)/3-1ln"( = а В(/3, а){[ф(/3) — Ф{Р + о) + In a] + ф'(/3) — ф'(/3 + о)} [а, Re/З > 0; Re а > 0 (Re а > -2 при а = 1)]. — р, а; а + /3; —- ^I а / Jp=o [а, Re а, Re^ > 0; | arg (еж + rf)| < тг при 0 ^ ж ^ а]. а а ["(а - ж)^ In (еж + d) dx = f ж^ In (ас + d - ex) dx. 30. [in 31. 1 + ж dx In2 2 тг2 2 1-я 2 12 [ ха-г(а - xf'1 In (еж + d) dж = аа+/3^1В(а, /3) 1 + cd аа В(а + 1, /3) з-^Ъ(ск + 1, 1, 1; 2, O + /3 + 1; —ac/d) [a, Re a, Re/З > 0; | arg (еж + d)\ < тг при 0^ ж ^ а]. In d 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. )х /а + о ах а 2/г 7=^ = т=г arccos V о /ж а — ж л/а In (а -ex) 1 + л/1 - с ^J y = с!ж = 2тг In h тг In а dx = тга In - л/d + ас /ж л/1 — [о > 0; 0 < 6 ^ 1]. [0 < с ^ 1]. [а, 6, с > 0]. [0 < с < 1]. ж л/1 — ж ^(р^а Р - а V ас [Re (а ¦— р) < 0; | arg (еж + d)| < тг при а ^ ж < ею]. d ас (Р)* ^(p-a + k)k!\ ас/ [' ^ р [Re (а — р) < 0; | arg (еж + d)| < тг при а ^ ж < ос, |d| < |ас
2.6.10] 2.6. Логарифмическая функция 411 40. 41. (еж + d)p д/Зп d ас /3=0 42. {ex + p — a [Re (a — p) < 0; a > 0, | arg (еж + d)\ < тг при a ^ ж < oo]. (In a - CJFi ( p, p - a; 1 + p - a; -— ) - (p-a ф(р-а [Re {a -— p) < 0; a > 0, | arg {ex -}- d)\ < ж при а ^ ж < oo, |d| < |ac|]. oo 43. ха~г{х — а) 1пп(ж — a) dx = a"'1— [a B(/3, 1 — ex. — /3)] [a, Re/3 > 0; Re (a + /3) < 1]. oo p 44. ж (ж — a) In (ж — а) с!ж = a B(/3, 1 — о — /5) [In a, ¦ 45. жа 1 a_i 1п2(ж — a) dx = = aa+^1B(l^a^/35 [a, Re/3 > 0; Re(a + /3) < 1]. - a - /3) + In a]2 + ф'(/3) + ^A - « - /3)} [a, Re/3 > 0; Re(a + /3) < 1]. 46. x [(acf B(/3, 1 - a - /3 - pJF1{~p1 1 - a - p - p; l^a-p; -d/(ac))]p=0 [a, Re/3 > 0; Re (a + /3) < 1; | arg (еж + d)| < тг при а ^ ж < oo]. oo 47. f /^(ж - af^1 In (еж + d) dx = = aa+/3mlB(/3, 1 - a - p)[\n {ас) + ф{1 - a) - фA - a - /3)] + + dcaa+/3B(^, 2 - a - /3KF2B - a - ^, 1, 1; 2, 2 - a; -d/(ac)) [a, Re/3 < 0; Re (a + /3) < 1; | arg (еж + d)\ < ж при а ^ ж < oo]. 48. 49. d) d!B = (-1)" (I (cx (a, P - a)} [Re a, Re {p ¦— a) > 0; | arg (еж + d)\ < тг при 0 ^ ж < oo]. - а)] [Re a, Re {p ¦— a) > 0; | arg (еж + d)| < тг при 0 ^ ж < oo].
412 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.10 СХ —L JCX — L 50. | In (ex + d)dx = [In d - С - фA - a)} 51. 52. 53. сх + d CL)" 54e j У+ЖУ^ = -^(Р) о 55. [0 < Rea < 1; |arg(caj + d)| < тг при 0 < ж < оо]. [0 < Re a < 1; | arg (еж + d)\ < тт при 0 ^ ж < оо]. [Rep > 0]. 'B(q!, p — Qj){['0(p) — Ф(р — Си) + In tt] — ф (р) -\- ф (р — С*0} [ | arg а\ < тг; Re (а - р) < 0; Re а > 0 (Re а > -2 при а = 1)]. [Rep > 0]. ) + р^/#(р+1) [Rep > 0]. 56. /4 Ш 1Ж +4Dj с!Ж = аа~рВ(а, р - а) х Р 57. 58. [Re (а — р) < 0; | arg а|, | arg 6| < тг; Re а > 0 (Re а > —1 при 6 = 1)]. ,1,1; 2,р+1; 1-а)] [Re р > 0; | arg а\ < тг]. (ах + i ¦1пп(сж + d)dx = 59 t j:— [a ki{ct, p + а ¦— ct) 2-i4i{o щ ® + р; I — аа/(ocj)Jp=o [Re (а — а) < 0, Re а > 0; | arg (еж + d) \, | arg (аж + 6) | < тг при 0 ^ ж < оо]. жа^1(ж — а) In (х + а) dx = = аа+^т1{В(/3, 1 — а — /3)[1п а + ^A — а) — -0A — а — /3)] + В(/3, 2^a^^KF2B^a^^, 1, 1; 2 - а, 2; -1)} [а, Re/5 > 0; Re(a + /5) < 1]. О О # I / v 111 | С^ JL/ ""у" О/ | Сл«Х/ —— I ™"™" J U JL/1 Lx « С/ ~~""~ Lx | \ III Сл "~~" 11/ I С/ "~~" LX | "~Г" + -г- [Re (a - <j) < 0, Rea > 0; |1 - od/Fc)| < 1; | arg (еж + d)\, \ arg (ax + 6)| < тг при 0 ^ ж < оо].
2.6.111 2.6. Логарифмическая функция 413 , In (еж + d) . 2тг . ^ad + 61. I —p^7 ~~ dx = In / ( b) ax + b) v a 62. x [ I arg (еж + d)|, | arg (ax + b)\ < ж при 0 ^ ж < oo]. Ы(СХ+^ dx = na-^%-1^2 ( In ^— т (аж + bJ ¦ In la — ж| , тг , , , ч 63. | —^-r. l- dx = —= In (a + b) | arg (еж + d) |, | arg (аж + b) | < тг при 0 ^ ж < ос]. [а, b > 0]. 2.6.11. Интегралы от ха(ах2 + 6)^ In (еж + d). а Г In (с2 + аж) 1 а Г 1 2 2 1. —™г т-^- аж = - arctg — In с + - In (а + с ) J с2 + х2 с с I 2 1пA ± ж) тг [а, с > 0]. Г In (еж + d) , тг . d + Vd2 — а2 с2 Г ж dж . . . 4. I —^z^^^^ аж = — in h — [а > 0; 6 = arcsin (ac/d); d > а A A J Sin Ж 5. Г In (a dz ж) . тг . а . _ 6. / ; dж = - In - ± 2G J а2 - ж2 2 2 _ . In (еж + 1) тг2 1 2/ ч 7. I —, , _- аж = ^— arccos (ас) жл/а2 - ж2 8а 2а а, d > 0; ас^ б!; йг = Arch — . d -J [а > 0]. [а > 0; |ас| ^ 1]. 8. | х—, dx = — [Tr(d — Vd2 — а2с2 ) + 2Vd2 — а2е2 arcsin (ас/d) + 2аеAп d — 1)] р2 Ус 9. = — Tr + 2Va2c2 - d2 In ¦ 2с 2ac(ln d — 1) [d > o|c|; a > 0]. [0 < d ^ a|c|; a > 0]. Gl _ f 1п(ж-1) _ тг1пЗ 11. In (еж + d) (ах + Ъ)л hc~ad\a a b 1 / с 6с d \ b ln rf dx = [be ф ad; | arg (еж + d)\ < тг при 0 ^ ж < ею].
414 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.12 13. 14. 15. a2d 1п|1±ж (lnd+1) = -\n2±G. 4 [6с = ad] | arg (еж + d)\ < тг при 0 ^ ж < ею]. 1п(аж ¦ J a 2 , 2 'dX = T 2 + с2 о 113 3 aV 11. Ь Ь + ас тг / а2с2 + — I In — In In ( 1 — 2c ас 6 — ас 2 ' 2' 2' 2' 2' + тг In b I [Re с > 0; I arg (аж + 6) I < тг при ж > 0]. 16. ж о In F +жJ zo , ж In сх + rfl . 17. ^^ -ттг1 dx = 1п(а + 6)± In а + b nd d2 2cz c2z2 m d [a, 6 > 0]. [d, Rez > 0; Imc = 0]. 2.6.12. Интегралы от ха(агх + 6i)/3(a2aJ + 62O 1пте(сж + d). Ь|Я-у| J I A U I \U XI b-y L, а; 1 + а; -г [a < у < 6; 0 < Rea < 1]. о i i' x - a \ i i л /l ЛпF-а) + ^(а + 1) + С-: 2. I [ \n x — y\dx = 7та(Ь — a)— ^^ . о — ж / sin атг ^тг^ Ьтг Q, . fa- a) F-J/) 2F1 1, a; 2 + a; -- sin атт a + 1 In |ж — 2/| , . 6 - a 1 cf ж = тг In v [Re a = 0, а ф 0; a < у < b]. [a < у < b]. о l f 5. ln(H J о a 6. ж"™1( 0 a f - 7- J ( 0 = 2 in 2 [a. Re a, Re/3 > 0; | arg (еж + d)\ < тг при 0 ^ x ^ a].
2.6.12] 2.6. Логарифмическая функция 415 , a; a + /3; -^) [In а [а, Re а. Re /3 > 0; |ос| < d; | arg (еж + rf)| < тг при 0 ^ ж ^ а]. f р, а; а + /3; — ~г ) [а, Re а, Re^ > 0; | arg (еж + d)| < тг при 0 ^ ж ^ а] о та~г(а — т) О». J/ l (Л J/ J (еж 10. i51-g.^.A+gAdx = 11. ж2IпA (а2 + ж2)(а2ж2 ¦ da? = [a, Re a, Re/3 > 0; |ac| < |d|; | arg (еж + d)\ < ж при 0 ^ ж ^ а]. 1 f 1 \a + b. / L4 In 6 lnal 41n2 ¦ln(a + feb^^^J+^^2. [a, 6 > 0; а ф b]. [a > 0]. ln aj , 1 + р - а - /3) 2Fi f p, 1 + р - а - /3; 1 + р - а; [Re (р - а - )9) > -1; Re/З > 0; | arg (еж + d)\ < ж при а ^ ж < оо] , I + р - а - a-/9)|2Fi(p, 1 + p- a - /3; 1 + p - a; x ac / 14. ^0 (l + p^ajfc^! [Re (a + )9 - p) < 1; a, Re^ > 0; \ac\ > \d\; | arg (еж + d)\ < ж при а ^ ж < оо] ч/з-i 1пп(еж + A) (еж + ¦ d ж = , 1 + р - a - /3) 2Fi p, 1 + р - a - /3; 1 + р - a; — [Re (а + /3 — р) < 1; Re/З > 0; | arg (еж + d)\ < ж при а ^ ж < оо]. dx = a ,l + p^a^^)x
416 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.13 х J 2Fi(p, 1 + р-а-0\ 1 + р-а; ] [In (ас) + ф{р)] - _q-/3+ _а+ k=0 ¦p-a)kKl \ ас [Re (а + /3 - p) < 1; a, Re^ > 0; \d\ < \ac\; | arg (еж + d)\ < ж при а ^ ж < оо]. 16. [Ееа > 0; Re (а - а - р) < 0; | arg(aa: + 6)|, а; ст + р; 1 - - )| < тг при 0 ^ ж < оо]. 17. , а; сг + р; 1 X Re (a - а - р) < 0; Re а > 0; 1 ad be I < 1; I arg (еж + d) I, I arg (аж + 6) I < тг при 0 ^ ж < оо . J 18. In (ж + 2а) dx = ак+а^р2а^р(а + р - l)fc x х Г ["' [In Bа) - а - *) - Л(а + Р - I) [к = 0 или 1; Re а > 0, Re (а - р) < -fe; jargaj < тг]. 19. h) 2тг In 1 b \ У da Vd(bg-ah) IV h 20. I ^'"^ + d) dX = 2^ (ax + b)(gx + h) """ 6g" — а/i I V «rf I V ad тг In d bh (yah + yfbg) [bg ф ah; a, 6, e, d, g, h > 0]. Ttlnd 1-х2 1пA 1 (ax + bJ {bx + aJ ab(a2 - b2) °a In 1 + : a/i; a, 6, c, d, g, h > 0]. [o^ 6; a, 6 > 0]. 2.6.13. Интегралы от ха ln? . I Ж + 6с1ж 1,26 1. I In = — In — ж + a x 2 a ь ах + b ex + d' 2. In с + ж dx тг / .6a = — F arcsin -, — 6 V со [0 < a < b]. [\b\ < \c\, a < b].
2.6.18] 2.6. Логарифмическая функция 417 3. In" dx = aBni)nBn j - 4. xn a — ж n ¦ 5. In a + ж dx тг2 a — x x 4 [а > О]. [а > О]. [а^О]. 5# ln F^ ж = ~ ~ 2 1-4- т Hi* тт 1 П 1 - ж V ~ 12" ~ 6 (>/Б-1)/2 J 1 — ж ж тг2 3 о . -1/2, 9. ж ; ш а — &ж л/а — ж = 2тг In ctg тг — arcsin 6 Г. b + ж da; тг .а 10. In / = — arcsin ^ J b /2 2 Ь - x хл/а2 - ж2 11. 12. dx = 2аГ((т (-1)* [-1 ^ b ^ 1; а > 0]. [О < а ^ Ь]. [Re а > 0]. /2 а - х (а2 - ж2 а-х Jo? - ж2 14. xa 1 In dx = и/? I 1 ж-a a Г1 2 +C + ln4 15. In I 16. ж 17. ж + a ^ж тг ж — a ж 4 ¦ dx = A;! [Re<j > -1; Rep < 1; a > 0]. [Rea <1, афО] а> 0]. [a > 0]. ж — a n — . dx = 2аГ(о- ^ [о > 0; п = 2, 3, 4, ... ]. [Re а > 1; а > 0]. 18. In о- ж + а da; [a > 0; Rep < 1; Re (cr + 2p) > 1]. 27 А. П. Прудников и др., т. 1
418 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.14 19. In 20. 21. I ж08 In 22. ж + п dx ж - а х/х2 - а2 ~ 2 ex + о a sin an ex + d , n(da — ba cos an) ex — b x + a dx = acQ sin сгж x — a 7П2 О7Г tg — 23. In x + a ж — a 7Г2 ~2 24. f In x + a dx n x x + a 6 25. f In 26. 27. I In x — b x - у dx = 0 x(x2 + z2) 2.6.14. Интегралы от A(x)ln(ax Обозначение: к' = л/l — к2 , 0 < А; < 1. ' In (а + 6ж2) In а 2. I ——;—, ч» dx = [a > 0]. [6, c, d > 0; 0 < Re a < 1]. [6, c, rf > 0; 0 < Re a < 1]. [a > 0; | Rea| < 1, a ^ 0]. [a > 0]. [a > 0]. [3/ < a < Ь или у > 6 > a]. [a < у < 6]. [a, Re^ > 0]. 3. c{c + d) b Га [b be — ad . a + 6 с . c + cl ,2 , , о 24/т arctgW- + . . ., In 2-In ad2 + be2 \ \ b У a b(c + d) a d с a + л/a2 - b2 (а + Ьх)у/1 — x2 ¦ dx = ¦In- /a2 - 62 a [a, b, c, d> 0]. [a, 6 > 0; a 7^ 6]. 4. 5. In A - JfeV) da = B - к2)Щк) - B - In Jfe')E(A:). In A - ^2ж2) dx = k~2(l + ife/2 - к'2 In ^)K(fe) _ B - In ^)E(ife). 6. )dx = = ь ^к _ 7ГK , -А;2ж2) k K ' 2 l ;
2.6.14] 2.6. Логарифмическая функция 419 7. Ml* = !ln^K<*>-iK<*'>- 8. 9. ._ ., x_ 0 1 = —- {(^2 + lljfc2 - 6k4 + 3Jfc/2 ln k')K(k) + [2 - lOJfe2 - 3A - 2k2) ln ife']E(A;)}. l 10. [ ,.lnA~.fc2a;2)^^ = ^ [(k2 - 2)K(Jfe) + B + ln fc')E(fc)]. 11. 0 1 12. [ж 0 2 - k2x2)dx к2 13. 14. 15. In (a + In 6 c + = —— [B + ln A;')E(ife) - A + k'2 + k'2 In k')K(k)}. - 2 + ln ^)К(^) + B - In к')Щк)]. [a, 6, c, rf > 0]. [a, 6, c, d > 0]. /a с с ad . a b d d be b ln ^1 In (ж2 + z2) dx = ^^ [ln Bz2) - A - a) sin ^ /3 - B - a)cos — A 16. [0 < Re a < 1 при z ф 1] -2 < Re a < 1 при з = 1; Re z > 0]. JL i • /X \/t — X dx ж2 arccos2 b x=~6 2 — dx = 2тг In IJ + a 18. Тж-11пA + 26ж + ж2)с1ж=27ГШ8(ааГСШ8б) 19. I ln (a2 - ж2) = - In (z2 — oo 1/2 20. 27* dx [0 < 26 < a ^ 1; c = 1 + 26-a]. [-1 < 6 ^ 1; -l<Rea< 0]. [a, Rez > 0; -1 < 6 ^ 1]. [n = 1,2,3, ...],
420 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.15 2.6.15. Интегралы от А(х) In ¦ 1 п -\- 2. 3. ж _i / атг ) аж = тга etc; [Re а > -1, а ^ 0]. [-1 < Re а < 0]. . Г In (Ж ± Ж) 7Г Г Ж In (Ж ± Ж) 7Г G 4. — —- dx = — C ± 1) In 2. 5. dx = —In 2 ±—. J 1 + 2 8 l ; J 1 + 4 16 4 6. 1 + ж2 In (ж ± ж 1) 1 + ж4 7. 1 + ж4 16 16 (а + жJ = 1п2а A - аж)A + ах2) dx 1 — - arctg л/а In (I + а) 10. 11. 12. 13. J1" о со Г J J 0 со I 0 со Г I In In ха A л т 2 i ж2- ж2- = — ал 2 -а2 0 (х- ,2J 1ж = с!ж ж — faJ f бJ (о У + 1 С2 С2 г- — 7=г си ь + аж2 2^/а 0J7T ±7Г 7 asIn(aTr) [Re а > -1; а > 0], [а = 0; а > 0]. [а > 0]. [а, 6^0]. [0 < а < ±у < Ь]. [±у ? [а, 6]; 0 < а < Ь]. ь (а2 + c2)a/2cos fa arctg-] [0 < Rea < 1; а, 6, с > 0]. i a-i i a + 2а6ж + ж . 2тга [cos (a arccos 6) — 1 14. | ж In — dx = ^ (a + xJ ct sin an 1K i ! A + x)(x + a ) dx 2 15. | In ^ /v '- — = In a (ж + aJ x | Rea| < 1; -1 < b <C 1; a > 0]. [a > 0]. 2.6.16. Интегралы от А(х) \па(у/ах^ + bz^ + ex17). 1. In (V^2 ^ С2 + Ж) dx — ^— ( 7ГЛ 1 I arccos c + ip I In с H— L (arccos a-\- (p) ¦ V 2 / 2 = I arccos с 1 2 cos y? =
2.6.16] 2.6. Логарифмическая функция 421 2. = (arccosc — тг/2) In с a 3. xa In (v a2 — ж2 + a) с!ж = о п. v.Ot-1 ex ( /— Г /о 1 i 1 a X 2 L(a + 1)/2J ttJ [a = c< 1]. [a, Re a > 0]. 4. ж" 0 . 2M)r dx = i/=0 5. /х» + ¦ln( [r = 0 или 1/2; a, /i, Re a > 0; /л\ arg z| < тг]. a^\k — 1 x a 3. (V^ а 7. [in (Уж2 + а2 +ж)с!ж = а[1 - лД +1пA + л/2) + In а] о 2 -к)к — In a 1 — ' [a, /i, Re a > 0; fi\a,rgz\ < тг]. In BzM/2) - /i^^ (a In a - 1) 2 J [a, /I, Re a > 0; jLt|argz| < тг]. [a > 0]. 8. 9. 10. In [\Jx2 + a2 + ж) V^2 + a2 x = i In A + л/2 )[ln A + \/2 ) + 2 In а] - 1) In п + л/9 In [а > 0]. [а > 0]. f In (ах + л/1 — 62ж2 ) с!ж тг . _ rtr/arcsina\ _ _ /тг — arcslna\ 0 ln 2L(arcsIn b) =р [2ЬG) — L(arcsln 6 + 7) + b(arcsln b 1 ln b — 7)] > л/l + c2 - a2
422 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.16 13. 1пA± In A; ~2~ +*|-И -А:2ж2 4 w 8 l ^ ; l ; \о < к < 1; к' = у/l-к2]. < к <1; kf = y/l-к2]. 15. . 1 + ay/1 — x2 dx In = тг arcsin a 16. In 1 + ал/1 — ж2 а* ж - ал/1 - ж2" ж2 + ^2 а + z\/T^ - а^ - л/1 - 17. ж In : + л/1 - Ж2 • - х/1 - х2 dx тг 18. 19. In 1-х2 4 da; ' a-byf(l-x2)(a2 -x2) л/1-х2 — тг In 20. VaF^Wx2 - xy/l^b2 dx 1 2, In = - arcsin b а — x x 2 1/2 |а| < 1; Rez > О]. \а\ < 1; О < & < 1]. [а > 0; |6| ^ 1]. 21. 22. 23. п In (ж + v ж2 — а2 ) dx = I In a + (n-2)!! [а > 0; Re а а > 0; В = ж/2 при п = 1, 3, 5, . . . ; В = 1 при п = 2, 4, 6, . . . ]. [а > 0]. 1п(а + \/ж2 + а2)—¦ = -[2-л/2 + In A + V2 ) + In а] ж2 а 24. 25. [Re/3 < 1/2; Re (a + /3) > 0]. -1) ж2 - 1 4 26- [a > 0].
2.6.16] 2.6. Логарифмическая функция 423 27 сю . f xk(x2 - а2)а^(х ± л/х2 -a2I7 In (ж ± л/х2 ~a2)dx = 2k] —j [А; = 0 или 1; а, Re а > 0; Re Bа ± i/) < 1 - А;]. 28. Llnz + 2/ЗМ -2- J - (l=FlOrctg (— J [/x >O, 0 < Rea < /i/2, /i|argz| < тг]. 29. | жа —^—, ^ж = 2 а/мВ( —, /ilnz±7rtg 30. [fi > 0, /i|argz| < тг; 0 < Re а < /х/2, z 7^ 1 (|2 Re а| < д при z = 1)]. In (л/х^ + 1 ± жм/2) с/ж _ , тг2 31. [ Z In 32. 9 , х2 + ± -dx = тг 2G 2z nZ+ T" > 0; -/i<2Rea< 0]. [Rez > 0]. \п{л 0 34. ж"- о [Re а < 1; Re (a + 2a) > 0]. 35. 36. ^2^2р^2р^4 - In УЖ_ + ^_ ±^ ^ = ? 1- В(р-1, p-1) [Rez>0; Rep>l]. p-1 ^^ In - В 2 ' rtW Г . V^ + z2 + a dx .a 37. In . = . = тг arcsin — J V2 + z2 - a2 Vx2 + z2 ^ [Rez > 0; Rep > 1]. [0 < a < |z|; Rez > 0]. 38. а^{1п {a2 + b2 + ж2 + ^/[ж2 + (a + 6J][ж2 + (a - 6J] } - In Bab)} dx = ab [a/2, C-a)/2, C - a)/2 r[ l-a/2 fe2 + a2 [0<Rea<l].
424 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.17 39. • + z*y х = j- / „^ zfl) - 2ф(и - 2- 1^ - 2гI J [г = 0 или 1/2; /1 > 0; 2 Re а > /х Re (±i/ - i/); Re (//t/ + 2а) < 2jur; /i| argz| < тг]. 40. In /i ( j ± x) dx = x Ulnz 2 /x ^, г т у - ii 2 fi 2 + м"Г -1(l-2r)l • = 0 или 1/2; jtt > 0; Re Ba ± fiu) < 2r/j; /x| arg z| < тг; Re a > 0 B Re a > -ц при 2 = 1)]. 41. | / nX оч. [(^ж2 + z2 + ж)" In (^ж2 + z2 + ж) + Ж I If! Iv 7*2 __L- y5"^ 'T* ll Hi* I 111 I у tJL/ jP /6 eiL/ I CI/eiL' p-1 в X 2 ¦ r; rv 2 [fc = 0 или 1; Rez > 0; 2 Re p > к + 1 + |Rei/|]. 42. ^ [(^ж2 + 2z2 + ж)" In (^ж2 + 2z2 + ж) + + (-l)k(Vx2 + 2z2 - xf In (^ж2 + 2z2 - x)] dx = u-2k + 2p 2p-u-2k Р-1 4 ) T \ 4 [k = 0 или 1; Rez > 0; 2 Re p > 2A; + | Reu\]. 2.6.17. Интегралы, содержащие А(х) и —-—. In ж 1. (жр - ж7 J1 с!ж /3 = In Мпж 7 , Re7 > -1]. [nRea > -1; n = 1, 2, 3, . . . ]. 3- l^f r^ = bj. ж2 + 1 In ж 4
2.6.17] 2.6. Логарифмическая функция 425 4. dx ж2 — 1 In ж = — In (cos ртг) |Re/3| < 1/2]. 5. ТР _ Т7 JT /9 + 1 ж^ «?/ «?/ \JbJu - L/ jp JL Ж"^ A - сж)п In ж ~~ 7 + 1 _ ¦ А; — 1 \ k ¦, с In- 7 + * da; Ins c| < 1; Re^, Re7 > -1]. /i > 0; Re^, Re7 > -1]. 7. "™1 -ж da; , / атт\ —^ = In tg 1 + 1 In ж 1 с/ж . 7Г = In — 1 In ж 2 > 0; 0 < Re a < 1]. > 0]. 10. 11. 12. 3=0 X In [a + 7(wi — j) + Р{п — A;)] [Rea > max @, — riRe/3, -mRe7, — те Re /3 — mRe7J]. ^(n-A;) + aN 7 [Rea > max@, - nRe/3)]. da; in ж [Rea > max@, -Re/3, -Re7, -Re/3 - Re7)]. x — 1 dx о i 14. Гж° о 15. _ In 2 (ж2 + 1Iпж ~ ~2~' y*P 1 ||ж7 11 dx x^ — 1 In ж (ж — 1) di 13. ж ж + 1 (ж2 + 1Iпж > 0; Rea > max@, -Re/3, -Re7, -Re/3-Re7)]. 1 + 2ж cos (тж/п) + ж2 In ж sin (тж/п) ^ x In Г 2n ' Jfe + 1 p rp ' 2n ' 2n ^к + 2 rkl 2n ' 2i rp p 2n ' 2n [m < те; r = 1 при m + n = 2Z-l, r = 2 при m + n = 2/, / = 1, 2, 3, . . . ]. 16. i — 1 = 1пГ тж [7 [Re/3, Re7 > -1].
17. 18. Ji- Jiff*' { х 0 1 -1 - м _ (ж 1 1 *-1){х ж — 1 т/3 1 > Ж — 1 у '-1I J I dx ' ж In ж dx ж In ж 426 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.17 = 1пВ(/3, 7) [Re/3, Re7 > 0]. i/З [д, Re/3 > 0]. Я1 жд \ : + dx = -<ф(Я) [Reg > 0]. In ж 1 — ж у о 20. Т [(м-1)^-1) _ I + J_l _^_ = ,„гЫ [м > о]. J [ ж2 ж ж^_|(ж-1Iпж 1 оо О1 Г^-ж7 с!ж / /3 + 1 \ / /3 + 1 \ 21. = ± In sin тг —In cos тг q= J ж"±1 In ж V 2ц J V 2^ J о =pln (sln^^TT ) +ln (cos^^tt ] [/x > 0; Re^, Key > -1]. \ 111 J \ 2/i / CO 22. ^ 24. In A + ex) dx = > -— In — + In —¦ Re a, Re C > 0; с < 1 . 1 In ж v ; f^k в + к в l.m.i j /id. I Ж —Ту aX — I— II 7 I — -L j I , J X In ж 0 fc=O x ^(-1)^ Ш ) [a + (n - Л)/3 + (m - jO] In (a + (n - k)fi + (m - j) [Re a > max @, —n Re b, —m Re7, —n Re/3 — m Re 7)]. 26. In ж 0 = a In a - (a + /3) In (a + /3) - (a + 7) In (a + 7) + (a + /3 + 7) In (a + /3 + 7) [Re a, Re(a + /3), Re (a+ 7), Re (a + /3 + 7) > 0]. 27. [ (Ж ^2 Ж7) с!ж = B7 + 1) In B7 + 1) - 2G + /3 + 1) In G + /3 + 1) + B0 + 1) In B/3 + 1) j ю ж 0 [Re7, Re/3 > -1/2]. 28. [In2 ж A-ж) о
2.6.17] 2.6. Логарифмическая функция 427 1 30. Jlz"^ - г) + *«"> - р) + хр-х(Р - д)]^ = о = p(q — г) Inp + q(r — p) In q + r(p — q) In r [p, q, r > 0]. i f Г TP T9-l „.^-l 32# ~ I ~ I ± |_ " J UP - Я)(Р - r)(P - s) (q~ p)(q - r)(q - s) (r- p)(r - q)(r - s) о ж3™1 1 dx 1 Г p2 Inp (s — p)(s — q)(s — r)\ In2 ж 2 [(p — q)(p — r)(p — s) q2lnq r2lnr s2 In s 1 + 1 77^ 77 7 + 7 77^ 77 7 + 7 Г? 77^ 7 [Pj q, r, s > 0 . (q - Р){Я - Г)КЧ - 8) {г - p)(r - q)(r -8) (8- p)(s - q)(s - r)\ 32. о l 33. о l 34. [жа[г^+ ; ' " |-^ = -1пГ(а)+ (а-- ) Ina ^ а+ 1пл/2ж [Rea>0]. о 0 36e i |"j_+sC-a01 dx _ 1пBтг) In ж 2A™ ж)] ж In ж 2 о 37. f( 1 +l±?!)^ = ln2-1. j упж 1 —- хг J In x о 1 1 \ p_i] dx A \, 1пBтг Г, , ,ж1пж + 1-ж . . 4 39. In A + x) ц dx = In —. J Ж In2 Ж 7Г 0 схэ 40. J x- In A + ,-) [(p + a)." - (, + a),' + *^f] ?. = _Q ln (tg g ctg g) 0 [p + a, 9+ a < 0; p, 9 > 0]. 42. l i J1 0 l p i II 0 f Л 1 L \ у я xlnx \ о 1 1 'г* 4- f / + 21 1
428 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.18 xq -I q dx q3 [<? > 0]. 11 45. ] — Ju 111 «X/ 2.6.18. Интегралы от г/т In x + a In ж + a 2- K"e"a Ei a, Re a>0, n = l, 3, 5, ... a, Rea > 0, n = 1, 2, 3, . . . 4. In ж + а2 а оап 5. [sin aa ci (aa) — cos aa si (aa)l + cos aa ci (aa) [a, Re а > 0]. [а, Re а > 0]. 7. 8. 9. 10. 11. =iLD-7r) О7Г /xln2 [a/x = тг]. [тг + 2 In {y/2 ^ 1)] с!ж тг т-л, . V(l) ^ =_ n^ ж + а2 1 ^ ж2 a г а + Дгтг а>0; Rea<l. In ж dx I In2 ж + а2 1 — ж2 4 12. =1B-тг) 13. -тг + 21п(л/2 -1)] [2о = тг]. [4а = тг].
2.6.19] 2.6. Логарифмическая функция 429 15. In x dx 0 2 | O\O 1 n x + aA)A 1 — a Г In A - жм) da; тг . _ 16. —^-s = - - In Г J жAп2ж + а2) а Ы In (afi) - " ( In hi [Re а > 0]. [Re а > 0]. [а, ц > 0]. 2.6.19. Интегралы от произведений логарифмов. 1. I In ж In A ± ж) dx = 2 ±— тг - A ± 1) In 2. 2. f жп1пж1пA±ж)с1ж = ¦ + т - ife/ 24 ¦In 2. 3. = / n = 1, 2, 3, . . . ], Im,n = 4. 2 1 5. 6. ч dx - In A - &жм)— X X 1 /¦ (сг +1) . v ; L ^„2*Md* a + 2 (Ь) > 0; Reo- > -1; \b\ < 1]. 7. In" - In A - 2bx^ cos7 + Ь2ж^)— = ^2Т{а + : 0 8. I ж" In ж In- b cos 9. | In ж In - а (ж — 1)(ж — a) (a — 1) sin2 aw dx In a а (ж — 1)(ж — а) 6(а — 1) 2 , 1 2 ч ¦a 1J2 k = l [fj, > 0; Rea > -1; |6| < 1].  + 1) In a — 2ж(аа~1 — 1) ctg an] [a > 0; a ^ 1; 0 < Rea < 2; a ф 1]. [a>0,a^ 1]. 10. 1п|1±ж (ж + аJ 1 /, 2 In a - 0 [a > 0].
430 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.20 In х dx 2 2 7r f In ж . , 2ч, ^ / \па\ 12. —г- In A + аж ) da; = тг^а 1 J ж2 V 2 У , , , х + а , Д Л а 13. In ж In — аж = тг о ^ а + In —r х2 + б2 V & [Re а > 0]. [а, Ь > 0]. , . . а + 2Ьх + х dx . b 14. I In ж In — — = 2тг In a arcsin — a1 — 2bx + xl x a 15. dx 2тг ж2 b [а, 6, с > 0]. 16. 17. ^ = — [ас(а +с) + а3 In а + с3 In с-(а3 + с3) In (а + с) Ж4 О [а, с > 0]. ас) In F + ас) -6 In Ъ- ас] 2.6.20. Интегралы, содержащие In In ж. [а, Ь, с > 0]. [1тЛ = 0]. о K=1 i 2. Г In In — _^_ = ^Cln2- J ж 1 + ж о г In к ~к~' 3. In In - ¦ J x о dx 4. In In - ¦ dx ж 1 + 2ж cos 7 5. In In J ж 1 + ж2 + ж4 о 2 + ж4 2n 7Г7Г27Г аж = tg In — x2n 2n + 2 &2n + 2 r n/r 6. ж In In — In -аж = а J ж ж о i 7. In In - - [r = 2 при n = 2/, r = 1 при n = 2/ - 1, / = 1, 2, 3, . . . ]. (G + 1)[^(G + 1) ^ In a] [Re a > 0; Re a > -1]. \fe+i 2)г/1пA/ж) _L_ lnBfc + l) + 21n2
2.6.22] 2.6. Логарифмическая функция 431 2.6.21. Интегралы от хае^рх1Л 1пп х. ^)) [/х, Rea, Rep>0]. о fi\da 2. I /^e"^' Inxdx = /i^2p^a/Mr(a//i)[^(a//i) -lnp] [/x, Rea, Rep > 0]. о CO 3. xne~pxlnxdx = ^гг(У"^ -С-lnp] [Rep > 0]. Г _ 1 4. e р{В1пжЖс = -- (C + lnp) [Rep>0]. J P о 0 5. lxn-^e->-lnxdx=v^- Г 2> -— -C-lnDp) [Rep > 0] fe=l 6. J ^=rlnxdx = ~J::lG + lnDp)] [Rep>0]. о [/x, Rea, Rep > 0]. °° / I -I JU.Q A / / Ql \ / ft \ ft I Ж G lo X dx ^^ U T) Г 1 1 \ ib I I In T) ~\~ + ЦФ\ — I - lnpU> I — I +Ф' i — H [/x, Rea, Rep > 0]. 2.6.22. Интегралы от xaeax + ж lnn x. о [Rea, Rep > 0] или [Rea > 0, Rep = 0, Reg > 0] или [0 < Rea < 2, Rep = Reg = 0, Imp ф 0]. 2. fe . I xa-1e-px2-2qx\nxdx = -2"ар"а/2Г(аIпрФ(а/2, 1/2; _9 -(a+i)/a /a + 1\ ^ ((a + 1)/2)„ф((а + l)/2 + fc) 2P I 2 jjj C/2)fcfc! [Rea, Rep > 0] или [Rea > 0, Rep = 0, Reg > 0] или [0 < Rea < 2, Rep = Reg = 0, Imp ф 0]. oo Г / 2 -.4 ™рЖ2+2дЖ1 , 1 , g /7Г , 2/ чм , r/ / ^м 4. ж(рж — дж — L)e In ж ax = 1 л — exp (q /pj[l + erf (q/\/p )\ J 4p 4p у р [Rep > 0].
432 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.23 со п / (Л \ П О.-—1 —рх-—а/х % п j oil . ж е ' In х dx = 21 —— \да о со 5. [ xa~1e~px~q/xlnxdx = ^ о 7Г а/2 [Rep, Req > 0]. sin атт \_\р со а/2 6. xne n —px — q/x g In х dx = fe=O [Rep, Reg > 0; a^O, ±1, ±2, ... ]. 2 й*!<*- x [In2 g - In2 p - 2 In цф(к + n + 2) + ф2(к + n + 2) - ф2(к + 1) + 1) - ^(A; + n + 2)] + p^ k=0 7. с!ж q x p " (n - ЩФ(п - A; + 1) - lnp] [Rep, Reg > 0; n = -1, 0, 1, 2, ... ]. [Rep, Reg > 0]. . 7 j 9. [Rep, Reg > 0]. [Rep, Reg > 0]. 2.6.28. Интегралы от xae^px ln B + bx). l 1. жеж ln A — ж) с?ж = 1 — e. о CO p -рж -i 2. ln Fж - аб) dx = - Е12(^ар) - ln (аб) El (^ j x 2 [a, b, Rep > 0]. ¦\nn(a- . [ xa^e^px In (a+ bx) J , 1-p + a; -y [Re p > 0; | arg (a + баз) | < тг при ж ^ 0; Re a > 0 (Re a > — n при a = 1)]. 7Г dx= (y b b/ asman u; a + 1; о / [Rep > 0; | arg (a + bx)\ < ж при x ^ 0; Re a > 0 (Re a > -1 при a = 1)].
2.6.24] 2.6. Логарифмическая функция 433 5. })dx= а — Ьх\) p Rep > О; |arg(a/ft)| < тг a, b > О 6. f — In A + Ьх) dx = \ fin2 f + 2С In f + С2 + 7. е~рж In (ж + а + 6) [ + ) dx = A + In а In b) In (а + b) + x + а ж + 6 + e~(a+6)p{Et (-ар) El (-Ьр) + [1 - In (aft)] El (-ap - bp)} [a, 6, Rep > 0]. 8. f -v J 0 x In X X + a — a dx = — [shl (ap) ch (ap) — chi (ap) sh (ap)] 2.6.24. Интегралы от A(x)e px In (ax2 + bx + c). [a, Rep > 0]. 1. 2. i г / mj -ар/2 [тг Л. (ъар\ ( а \ (ар In [ж(а - ж)] da = тге р/ - Yo —- + In — - С /0 ( — ¦ In (ж2 — a2) dx = — ( С + In ¦ [a, Rep > 0]. [a, Rep > 0]. a + b 3. I —— In [(ж - a)(x - b)] dx = EI (-ap) EI (-ftp) - In (aft) EI (-ap - bp) [a, 6, Rep > 0]. = ep(a+b){EI (-ap) EI (-ftp) - In (aft) EI (-ap - bp)} [Re p > 0; | arg (a + b) | < тг]. [Re a, Rep > 0]. 4. 1 x + a + b 5. e px In (ж + a ) dx = — [In a — cl (ap) cos ap — si (ap) sin ap] J P о 6. e In In (ж2 -а2 dx = -[2\na- eap EI (^ap) - e^ap EI (ap)} 7. \|Imo| > OJJ [Re a, Rep > 0]. CO 8. In ll — а2ж2| dж = EI ( — ) EI ( J ж Va/ V a о [a, Rep > 0]. 28 А. П. Прудников и др., т. 1
434 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.25 2.6.25. Интегралы от е рх\пА(х). 2. 3. 4. = - [К0(ар) + In ае~ар] e~px In (^T^ + л/x^i) dx = — [Ко(ар) + In Bа)е~ар] + ^)dx=±[ePz^Koipz/2). + Vx-ib)dx = — [Н0Fр) - Y0(bp) + In V26] [a, Rep > 0]. [а, Rep > 0]. [Rep > 0; \argz\ < тг]. [6, Rep > 0]. 5. e~px In (Vx2 + z2 + ж) dx = — [Ho(pz) - У0 lnz 6. | xne~px In (V^2 + z2 + 7. + - In 2 ТГ J [Rep, Rez> 0]. 8. 9. 2 +2zx In (V^2 = - [epz K0(pz) + In z] = ? In [Rep, Rez > 0]. [Rep > 0; |arg^| < тг]. 1. 2. 3. 2.6.26. Интегралы от R(ex)lnx. In ж _i dx = a Г(а) ex In ж cos 7 + 1 2 sin 7 [Rep, Rez > 0]. l-Ka^l]. (a) - ln(ife + n)] [Rea > 0; n = 1, 2, 3, ... ]. G1пBтг) - тг1птг + тт1п cos- + 2тг In г( П + 7) \ ш 7 I 2 V 2 / J [0 < 7 < тг]. n- 1)! J ex In ж С 1, тг
2.6.29] 2.6. Логарифмическая функция 435 2.6.27. Интегралы, содержащие жа, е 1 1. 2. 3. 4. 6. о—рх л» In ж пп(ж + а) [Re а, Re/9 > 0; | argp| < тг]. k=Q V*TTZ = Z [ЧР, « - 1) - А(р, /3 - 1)] 11 о?ж ж) J ж In2 Ж + 7Г2 2.6.28. Интегралы от ж" In (a + be px). о со 2. жп1пA - , J о со 3. fln(l±e~Q о B. n+2 (п + 2)(п- С(п + 2) = -1пГ — + ^ 2тг 4 Г . 4. In J о — 4z б?ж а . p = In In — + b а + b q 2.6.29. Интегралы от xaR(shx, ch ж) In ж. [Re a, Re^, Rep > 0]. [Reg > 0]. [Reg >0]. [Rep > 0]. [a > 0; n = 0, 2, 4, ... ]. [a > 0; n = 1, 3, 5, ... ]. ln 2тг [a, Rez > 0]. [o + 6, pg > 0]. 1. тг тж . 2тг тг In ж da; = —tg In h - 2n & 2n г п / \k-i • (-1) sin ктж . _ Г(п — (^l)r,fc)r In Г l v ,/ Л n L kr/Bn) [r = 1 при m + n = 2/-l, r = 2 при те + п = 21; I = 1, 2, 3, . . . ]. , сЬпгж . . тг . /2тг\ ттгтг 2. I — In x ax = — In — sec h chnx 2n \ r I 2n [r = 1 при m + n = 2/ - 1, r = 2 при m + n = 21, i = 1, 2, 3, . . . ]. 28*
436 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.30 3. dx = dx ch ax 2а [Re а > 0]. 4. — da; = J уж ch x о 5. —5— аж = in С. J eh2 ж 4 о / 1 \^ \ } /2Дг [In Bk + 1) + In4 + С]. , In ж 6. ^ж 7. ch x + с In ж 2 ch2 ж - (Z? 7Г f f Ж -\- W \ (Ж — ^ \ 1 = , In тг Н , In I — In \(p = arccos c]. xfl^ x/T^ L V 2тг ) V 2тг Л W J жк 2V 3 Vk . a^-iOichx - x^hx f x 8. I ж 2 1пжа^ж = 2Г(а) ch x , 2n B?г + 1) ch ж — ж яЬж . . . .. 10. | ж —о In ж б?ж = — I тг ch ж о со 11. ж о сх 12. f ж о 2n-i — аж sh2 ax 2п—1 2пе""аш sh аж — аж sh2 аж In ж а*ж = ( — . оn 2аж ch аж — Bп + 1) sh аж . , А , ,. 13. ж ^ In ж da; = — — sh3 аж а\а 7 о со 14. | ж о 2п 2аж sh аж — Bп + 1) ch аж ch3 аж i n^i аж ch аж ^ nsh аж , . 15. х о 1пжс?ж = sh аж -) \Вп а/ 16. 2.6.30. Интегралы от A(x)R(shx, спж) In A(x). 1. 2. (а + 6ж2) 2тг ^ dx = —In Г ch еж с с + [Re а > 0]. [а > 0; п = 1, 2, 3, . . . ]. [а > 0; п = 1, 2, 3, ... ]. [а > 0; п = 1, 2, 3, ... ]. [а > 0; п = 1, 2, 3, . . . ]. [а > 0; п = 2, 4, 6, . . . ]. [а > 0; п = 1, 3, 5, . . . ]. ж с In sh еж с , / с _\ ^Ф жл/Ь J [а, 6, с > 0]. [Ь, с > 0].
2.6.31] 2.6. Логарифмическая функция 437 3. chcx —о sh еж . /1 , 4с2 2\ . In Ц т х ) dx = V 2 ) л 1 сЬсж 1 4. —ц In sh еж \ тг = ^ [kV2 - 4 + 2^2 In A + л/2 )] 5. sh (тгж\/б) \п(а + Ьх )dx = \ - In Г ГеЬеж + сжзпсж /4с 2\ , 4с 6. —5 In Ц — х I dx = —In 2 J ж2 ch еж \ жг J тг о 7. ch ex + ж2 ch2 еж In 2 \ [с > 0]. [с > 0]. This о [а, 6 > 0]. [с > 0]. [с > 0]. Р"РЖ у т _|_ л/т2 — о2 1 — sh (ov ж2 — а1 ) In аж = — In In ^ 2 р — о [а > 0; Rep > |Reb|]. 9. л/х2 + 2^ sh (буж2 + 2^ж ) In zp р + 6 ^^ — dx = е р In K0(z\fp2 - b2 p-b [Rep > |Re6|; |arg^| < тг]. 2.6.31. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию от гиперболических функций. 1. е^рж1п(8паж)с!ж = ^^ о 2. +^(^) -c р \2aJ — [ln2+ — + ф(п) + С Ina 2п о 3. е^рж о \n(chax)dx = -\р( — ) - - р[ \2а/ р dx 4. | ж In ch ж с!ж = 0. 5. In ch ж = 0. J IX о оо 6. I Inch ж—— = —In 2. 7. In thxdx = -ж2/S. 1 сЬ2ж 2 8 [а, Rep > 0]. [а > 0; n = 1, 2, 3, ... ]. [а, Rep > 0]. 8. I xa 1\nthxdx = a sin (атг/2) [Re а > 0]. 9. In = In 2. 2 ^= спж 2
438 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.32 со 1П Г a_i. cha^ + shft /2\a тга+1 Ю. ж In- —dx = -[-) —— тгт- х " ch ax — sh b \a J asIn(a7r/2) С(-"» ^^ ) -С(-а, —ПГ™ I +С(-а, ,„ ) -С(-а, [Re а > 0; 26 > тг]. 2.6.32. Интегралы от А(х){8тЬ,Х\\ппх. { cos bx J # fЬГ(а) ( \ dan [ l ; \ cos (атг/2) Г > 0; jH < Re а < lj. пте Ж dx = Г a_1(smbx^\. . Г(а) Г sin (атг/2) 1 г ., ч _ , тг Ti атг] 2. ж Ч , >1пжс1ж=^^^ ) 7. ; >U(a) - lnbzb - tgT J \со8&ж/ ba \cos(a7r/2) J L^1 ; 2 & 2 J о ¦*{-.'} b > 0; { ^ J> < Re а < 11. 3. ж 0 4. 0 i a-i f sin ^ж 1 i 2 , Г(а) f sin (атг/2) 1 f г . / ч _ _ . тг Ti атг]5 5- ' X < • >Ы ХаХ-~Ь^\со8(атг/2)]\[Ф{а)~1пЬ±21ё ~Y\ тг2 fsm(an/., K K ,,. n. , -, .Rea r v y 4 \cos(a7r/2) CO 6. Г-11 0; \ } I 0 j Ж 0 7. ^1пжс1ж = [C + lnB6)-l] [6>0]. J ж z о со 8. \^^t~—Un(ax) J Ж2 + Z1 { COS 6Ж J z, 0 [6, Rez > 0; | arga| < тг]. CO Г 1 f x sin k] . , ч . 9. — -< }ln(ax)dx = J x2 — у2 у cos bx J 0 тг (±i-i)/2 \.( cos by 2 [I sm by CO fcos ax —cos ^ж i i i a Г^ 11 / i \ i 10. In ж rf» = In т С + - In (ab) [a, b > 0]. J ж 6 [_ 2 ' о
2.6.38] 2.6. Логарифмическая функция 439 Г cos ах — cos 6ж , , ж г, , ч, ^ ч , , , ,, 11. In х dx = - [(а - 6)(С - 1) + a In а - 6 In 6] j x 2 о [a, b > 0]. 2.6.88. Интегралы от А(х){ >\пА(х). I cos bx J 1. sin bx In (a — x) dx = — {In a — sin a6 SI (aft) — cos aft[ci (aft) — С — In 6]} о oo 2. f ^^^ In A + аж) da? = i [si2 f-^ + ci2 f- J x 2 [ \aj \a о r 3. sin 6ж In о oo f 4. cos bx In 0 , cos bx . 5. In X X X X + а — a + а — с dx = —- sin aft ft 1 Г7Г [a, b > 0]. [a, b > 0]. [а, 6 > 0]. ж + a dx = ^ I — (cos ftc — cos aft) + cos 6c SI Fc) + cos ab SI (aft) — — sin 6c ci Fc) — sin ab ci (aft) ж — a а|ж = — ж si (aft) 6. I cos bx In (a2 - x2) dx = ci Baft) — С — In — — Si Baft) aj 6 7. ¦ In (a2 - x2) dx = — Yo(ab) Jo(ab) ( С + In — Г sinfta , 2ч j п. f ft 8. In A + ax ) dx = ^тг Ei — J ж V /о 9. 10. COSftiE In A + ax ) dx = 7Г 6 Ei — + v6 L V « exp 0 11. cos 6ж In ( 1 J V о 12. 13. j da; = ^ A - J b x2 2 , _2 ^2™ da; = — [1 — cos (by)] ¦ dx = — ( ft 14. ж sin 6ж In ¦ [a, b, с > 0]. [a > 0, 6 > 0]. [a, b > 0]. [a, 6 > 0]. [a, b > 0]. [a > 0, b ^ 0]. [6, Rez > 0]. [6, Re^ > 0]. [6, 2/ > 0]. [6, Re a, Re с > 0]. [6, Re a, Re с > 0].
440 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.34 . sinbx . a2 + x2g2 \ ( ab\ _ ('ab 15. ln-r Sizdx = ж Ei ^— - Ei x a1 + о 16. sin bx In • о 17. сJ 2тг ^ , 2тг ^a6 . с!ж = —e sin Fc 6 18. г*оч Лт* 19. _ 1 y> 2ф{к) + %к^ -2 In F/2) ~ 4^ fe(Jfe!J 2.6.34. Интегралы, содержащие In < , >. I cos bx J [6, g, h,Rea> 0]. [6, Re a > 0; |Imc| ^ Re a]. Lo(bz)]} [b, Rez > 0]. [6, Rez > 0]. [6 > 0]. V CBfc) 7Г/4 о 7Г/4 3. о tt/4 sin ж cos ж 128 7Г ' ТГ 7Г 8" ^32 G —• 2 / Г sinn ж . f sin ж 1 . 4. т^ In < > da; J cosn+2 ж [ cos ж J | 4 Iln4/ | 7Г/4 5. cos17 2ж sin 2ж In sin ж 1) + In 2] о 7Г/4 Г 1 6. cos17™1 2ж tg2ж In cos ж dx = —7 ^ j3(y) 0 7. о тг/2 7г/2 8. InJ 8ШЖ I da; = --1п2. 9. ж In J I cos ж] 2 J о о \ COS Ж J 16 Re а > [Re i/ > 0]. [Re и > 0]. [Re a > 0].
2.6.34] 2.6. Логарифмическая функция 441 тг/2 ю. 11. о тг/2 ±7-1 м Г sin ж 1 In < У dx [ cos ж J и/2 1)/2 /3(и) [Re/x > 0]. 12. ( cos ж] [cos ж [A = 1, если n = 1, 3, 5, . . .; A = тг/2, если n = 0, 2, 4, . . . ]. {sin ж 1 . f sir In cos ж J [со: , , sin ж . sin ж , . 13. \ i In Idx = \n2-1. , cos ж I I cos ж о 0 тг/2 0 cos ж J I sin ж [Re/x > -2]. . = -2, -1, 0, 1, 2, ... ], 8 v ' n 2 nil [А = ж/2, r = 0, В = 2 In 2, если n = 2, 4, 6, . . . ; A = 1, r = 1/2, В = 0, если n = 1, 3, 5, . . . ]. тг/2 Г „_i ,,_! , fsina;! , \ (и v 16. sin^ ж cos ж1п< >аж=-В™,™ [ cos x J 4 12 2 о tt/2 (и/2) j 17. 18. т/2 о 7Г/2 Г Г sin ж . . 19. xl In J I cos ж J l sin x о 7Г/2 . . 1 ., / v \ In cos x dx = -- ф [ — ] 4 \2/ {Sin Ж 1 . 7Г f 1 1 }dx = - — < f л,п \ cos ж J 4n [ (—1) J Г Re/j, > 0, Re i/ > -2 ' I Re i/ > 0, Re/x > —2 /J * [Rei/>0]. [n = 1, 2, 3, ... ]. 20. cos17 1 ж sin г/ж sin ж In cos ж dx = 2 v 2?r[C + t^(^) — \/v — In 4] [i/> 0]. о 7Г/2 - 7—: ГТ ^ln^ \dx= J (asm ж + осозжJ [cosxj a2 + о2 о sin ж I . 1 йж = In [a > 0; 6^0, Im6 = 0].
442 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.34 тг/2 22. 23. 1 sin ж 1 . тг dx = 1 Г& т/2 о тт/2 a2 slnz ж + b2 cos2 ж [ cos ж J 2ab \ a + b \ a з!п2ж (asm2 ж + 6cos2 жJ [cosж J 2F — a) \ a" 2 • 2 i 2 2 a sin ж — о cos j а, Ь>0. а, 6>0. 0 тг/2 25. 26. 27. 28. 30. 32. \/l - cos ж] 2 smM 1 ж In sin x dx = —V^1 Г о ж sln^™1 ж In sin x dx = В ( —, — J 2 V2' 2 ) + i A =f 1) In A - /3(/х) [0 < к < 1]. [Re/i >0]. [Re// > 0]. о 7ГП ( 8ШЖ \dx = -— In 2. 29. [ж2 In sin ж Лж = -— In 2 - - (C). I COS Ж J A J о 2i о 2 2 ^ ж In | sin x\ dx = In 2. 31. з!п о } sin \Bn + 1)ж] In sin x dx 2 / n1 1 (In 2 - 2 V ТГ 33. f cos [Bn + 1)ж] In sin ж dx = 0. J 34. cos 2пж In sin ж с!ж = J 2n 7Г 35. sinM ж cos /if ж J In sin ж б?ж = — 2™мтг In 2 [n = 1, 2, 3, . . . ]. [/i > —1]. 36. 37. 38. fsin2n 2ж cos 2ж In sin ж с!ж = ~~ - тг Bn-l)!! тг . л/а2 — б2 In 7 In «2 - b2 a + V«2 - 1 } а > 0, а > b]. In совож] dx = In [n = l, 2; y? = sgn(l-|a|), |a| ф 1]
2.6.34] 2.6. Логарифмическая функция 443 39. cos ж In sin x dx тг 1 — 2a cos x + a2 2a I- |a| ф\; ip = sgn(l - 40. COS Ж f Sin (ж/2) 1 7Г r/ 241 /-, фч о 1 + ф i rtl In < ; ' ; } dx = —: — A + a ) In A qp « ) - 2a In 2 \ (/2)/ 2|l2|Ll / v ^ ; j о 2тг ; ; } dx = : cos (ж/2)/ 2a|l~a2 L. I " " , 2 1П 1 А МЖ = 0 J 1^2асозж + а2 1со8ож1 о 2тг 42. cos2(a?/2) In sin (ж/2) тг 1 — 2a cos ж + a2 2a a - 1 ¦In 2 43. 45. V 1 + sin2 - 44 Г Sin3 ; 3 - , . , In 2 - 1 In sin x dx = . sin ж In о 46. In о sin аж cosax . л dx ж , = — In ¦ 47. In о OG cosbx sin аж cosax ж2 + z2 2z "* 2 а*ж A dz 1)тг2 тга = 48. In | cos аж аж = — (о In 2 — a) [a, Rez > 0]. [а, у > 0]. [a, b > 0]. о 49. CO°S Жо In I cos ax\ dx = — [ch 6z In A + e 2az) - e 6zln2] [0 < 6 < 2a; Rez > 0]. J ж2 + z2 2z 0 50. cosbx xn{x2 + z2) In dx = /« [a, b, Rez > 0], /2 = - 2 " ТГ __я In 2 - az - ch bz In A + e~2a*)]. 51. 52. I —In 1 sin bx In cos аж dx = тг In A + e az)z sh &z — z +ttz e z In 2 [0 ^ b < 2a; Re z > 0]. - 2 53. 1 f ж sin bx 1 ~{ \ + z2 [ cos &ж J sh 6z z^ ch bz In 1 [Rez > 0; 0 < b < 1].
444 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.35 со Г 1 Г ж sin bx I _ , ч . Г sh bz I . , ^Z4 54. — -< MnB - 2совж)йж = =Ftt4 _i , , > In A - e ) J ж2 + z1 { cos bx j [ 2: ch bz J 0 [Re^ > 0; 0 < 6 < 1]. I о 1 y\ h Hf9 I 2.6.35. Интегралы, содержащие lnn < >. [ cos ож J 1. tg x ln2n cos 2ж dx = 2n+1 Byi)!(Bn +1) [n = 1, 2, 3, . . . ]. 0 2. f tg ж ln2n+1 cos 2ж dx = \72Л, тг2п+21B2 0 7Г/4 f 1 52n + 2 • 0 т/4 3 4(n + l) 1 2 0 тг/4 / Г . u-i /7T \ n. f (-I)n2^1n!((n + 15 r.7 t r±» I sill Zi«i/ Lg I ZE. Л I 111 sill ZiX ИЛ — \ -, (n\ ( [rlc /Л ^> UJ. J v 4 / \ A p \Av 0 v 17тг4 5. 1п2Bзтж)с1ж= . 6. ж In2B sin ж) с!ж = 25 920' 7* ' "x >О8Ж [ "" 2 V" ~ ' 12 0 tt/2 8. 0 tt/2 9. 0 7r/2 10. I ж In B sin x) dx = ж Li4 I - I + ^r . Г ж 2/ 24 8 "v 7 2880 0 7Г/2 7T 7тг' ix = — / Г 1 Г 11. In2 B sin ж) In B cos ж) с!ж = - тгС(З). 12. ж2 In2Bsin ж) dx ^гт^. J 8 J z40 о о 2.6.36. Интегралы от Л(х, sin ж, cos ж) In (a cos ж + &sln ж + с). ж/2 тг/2 1. f ln(l±sina;)da; = --ln2ib2G. 2. f In A ± cos ж) dx = -- In 2 ± 2G. о тг/2 _i Г i Л Г sina; 1 \ Г sina; 1 . тг2 1 2 Г1 П 3. In 1 + а > < > dx = arccos а а < 1 . J \ i cos x j J { cos ж j 8 2 0 Г sina; 1 \ Г sina; 1 > < > i cos x j J { cos ж j
2.6.36] 2.6. Логарифмическая функция 445 тг/2 Г cos ж In (I ± a cos x) . 4. I \ L dx = 1 — or cos^ ж 1 I _ / тг \ arccos a . L ( тг — arccos a 1 — l=Fl а + л/а2 ~~ Ь2 ал/1 - a2 L V2 5. In (а ± 6 cos x) dx = ж In о Г с/ж 6. In A + Ъ cos х) = тг arcsln b J cos ж О со 7. [ Ж Sm bX2 In A ± cos x) dx = ~ж sh bz In A ± e^z) - - eThz In 2 J ж + z 2 о 8. ln(l±cosx)dx = - 2 ± - e~bz In 2 тг 9. In (a — 2a& cos x + b ) dx = 2тг In [a, 6 > 0]. [6, Re г > 0]. [6, Rez > 0]. sin (ж/2) I . , 2ч i i жа ) ' { } \n(l - 2acosx + a ) dx = ± — cos (ж/2)/ 1 ; 2 о 11. = 7rln|a| ±тг/Bа) Л" 1 In A — 2a cos x + a2) dx 2тг 12. l-26cosx | X — ¦\n(l-ab±l) \b\<l 4 13. ±г 7ГП 14. Г In (a In а -Ь 2 — 2a6 cos x + b2) dx = 2жп In 0 7ТП 15. cosmx In A — 2a cos ж + a2) dx = a J m о [{ Г f sin ж sin шж 1 , , 2x , 7ГП / , bm+1 b771^1 16. i > ln(l - 2a cos ж + a ) dx = ± J [ cos ж cos mx J 2 \ m + 1 m-1 о 17, ". [ cos{(m- 1/2)ж]1пA — 2a cos ж + а ) с!ж = 0 о 2тт 18. I { "'" ^'"( ""ж '^ Нп A - 2а cos ж + а") йж = 0 J { cos (ж/2) cosf-гж J о > 1
446 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.37 19. sin(a/a)sin[(n-l/2)a;] 1 . (л o , 2ч , Г,ЬП , . ' г/ . ; ; > In A — 2а cos х + а Ыж = тг± cos (ж/2) cos [(п^ 1/2)ж] J v ; [ п 6= < 1 а| 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. In A - 2а cos ж + а2) 2 Ж 2 = - In A - ае z) = — In (\a\ - sgnae^z) |а| ^ 1; Re z > 0]. \a\ ^ 1; Re^ > 0]. = ^ 1п(|а| - 8gnae~z) - sgn F ^ |о| ^ 1; Re^ > 0]. \а\ > 1; Re z > 0]. [6 > 0; |a| < 1]. [b > °; CO°S Жо ln A - 2a cos ж + a2) dx = — < ch bz ln A - ae z) x2 + z2 z [ — sh [zF - к < 1; b, Rez > 0]. 7г Г z I a ^^ sh [zF — k)] — sh 6z ln \a > 1; 6, Rez > 0]. tt/4 ln (cos ж ± sin ж) с!ж = In2±—G. 8 2 о 2тг f 1п(а о 2.6.37. Интегралы, содержащие In = 2тг1п[(а + л/а2 - Ъ2 - с2 )/2] ai cos ж + &i sin ж + < 0,2 COS Ж + &2 Sin Ж + С2 тг/2 Г 1. ш J 1пж с!ж . Ь = тг arcsin — а — о sin ж sin ж а г/2 2. 3. . а + b cos x dx b ln =тг arcsin- а — о cos x cos ж а [|6h [jfeK|a|]. о тг/2 cos ж ,1 + 6 cos x . тг , 1|а&+ л/A — а2)A — б2) In dx = , ln ¦ ™ а2 cos2 ж l-focosx 2ал/1 - а2 1 - ab + д/A - а2)A - б2) [0 < 6 < а < 1].
2.6.38] 2.6. Логарифмическая функция 447 , . 1 + sin x dx 2 4. I In = arccos a 1 + a sin ж sin ж 5. sin Bга - о 2тг Г 6. СО8?71ж1п 1 — 2a cos x + a dx = (-1) n 2тга±Bп+1) 2тг dx = — (na a2 m 2тг ±ш/п о 2тг 7. ctg-ln ж 1 + 2a cos ж + а 2 1 + 2а cos nx + а2 = 0 [{!:!;: [Ima = 0]. 8. In 1 + sin ж dx 7Г2 1 — sin ж x 2 9. In cos ж + sin x cos ж — sin ж dx 7Г2 10. In 1 — 2а cos bx + a dx 1 — 2а cos еж + а2 ж ff '^a<1 LI \a\ > 1 или a = -1 2.6.38. Интегралы, содержащие In (acos2 ж + 6sin2 ж + с). Обозначение: k! = \/l — к2 , 0 < к < 1. тг/2 . f In A + bsln2 ж) dx = (~г' п\ A - 2~n~2) ((n + 2) 2. < > In A + b sin ж) ^ж = — In q= - J \со8ж/ l ; 2 V 2^2 т/2 In A — а2 cos2 ж) - о тг/2 4. I In (а2 cos2 ж + Ъ2 sin2 ж) б?ж = ж In In / -62 + л/1-а2 r n • L , 2 J Sin Ж 5. ж sin ж cos ж II —« i Л, = _L [37r| fc'3A " j5111 fe') | ± B2fe'2 + Qk4 - 3fe'2 In k')K(k) T =F B- - D - In A')E(fc)] + 7rfc-
448 Гл. 2. Определенные интегралы [2.6.39 тг/2 Г 1 /l + sin G9COS2 ж\ . . 1 + sin (ф/2) 6. In Г-?1 ^МЖ = 7Г1П- 1 — sin (p cos2 ж cos ((p/2) [\<p\ <тг/2]. 7. -1/2 dx = 8. sinn ж cos1 х i _ l2 J sins) \ < > In [ cos x ) I - к /1'Г1 = /If = B^ k2)K(k) - B ^ In к')Щк), J*'0 = /11' =lnA;'K(A;), к /i' ml = /i'° = 1'0 = /31' -1 = kf~2[(k2 [2 - - B -1пА;') fe2 - 2 + ( \ \ In Jb;)Щк) + B - In кг)Щк)], з1'0 = /31' -1 = kf~2[(k2 - 2)K(fc) + B + In кг)Щк)}, '2 ±^{ /33'0 = /33' ^ = ^ B + In ^) k2 + I ^ I In Jfe'Wfc) - B + In ife#)E(ife)l. 9. I In (a2 cos2 ex + b2 sin2 сж)^ = — [In (a ch cz + b sh zc) — zc] [a, 6, c, Rez > 0]. x -\- z z tg (ж/2) In (sin2 ж + F cos2 ж) 1 2(kfK/2 10. — ^2 cos2 ж оо Г 1 f to-r 1 1 -1-1 J О ^ I J J ж [ sin ж J (sin2 ж + к' cos2 ж) л^ _ 1 }n 2(VkI K Vl — к2 cos2 ж 2 1 t/2 , In (sin ж + \/sin2 ж — sin2 ^>) 12. dx = 1 — a2 cos2 ж 1 arctS /l_a2 ylnsinV + -ln- 1 + Vl - a2 a2 + 1/I - a2 cos2 y? j [|a| < 1; 0 < y> < тг/2]. 2.6.89. Интегралы, содержащие lnA(tgx). тг/4 тг/4 1. lntgicrfa; = —G. 2. в!п2ж In tgx с!ж = —— In 2. o. 0 тг/4 Intgx cos2a? 7Г2 8 '
2.6.39] 2.6. Логарифмическая функция 449 тг/4 4. cos 2ж 4а (тг =F arcsin a) о ж/4 , cos 2ж In tg ж . ж 5. ^— dx = — 1 ± asm2 2ж тг/4 6. ln(l±tg<E)da; = -1 о ж/4 sin \/Щ tt/4 7. In tg т±ж)^— = ± —. 8. In 4 /si с!ж i71" Ьк2ж ~ 16' о tt/4 9. Г | (n + l)Bn 7Г/4 [ 10. lntg(^±^)(lntg^Jn J V 4 / SI = ±- ¦Bn)!CBn- 0 тг/4 11. ,1-2" 0 7Г/4 , sin 2slntga; . 1 12. n . o „ rfg = = о 7Г/4 13. 1 — a2 sin2 2ж sin 4ж In tg ж dx [L(arcsln a) — arcsln a In 2] (sin2 (p + tg2 v sin2 2ж)%/з1п2 2ж — sin2 < 2 ж cos2 f sin г; + у 1 — cos2 у? cos2 v 2 sin^slnv 7Г/2 14. f In tgжdж = 0. о ¦In + sin v) [0 < 9? < тг/2; 0 < v < тг/2]. 15. cosa 1 ж cos (a + 1)ж In tga; с!ж = — J Zifl 0 тг/2 16. cos*^1 ж ctg ж sin (a + l)x In tg ж с!ж = — [С + ф(а + 1)] о тг/2 17. Г tg»ln tg(aj/2)(ln со8ж)пс1ж = (-1)п^12^п^2п!((гг + 2, 1/2). [а > 0]. [а > -1]. о тг/2 18. In tg ж y/l - k2 sin2 ж [0 < fc < 1]. 29 А. П. Прудников и др., т. 1
450 Гл.2. Определенные интегралы [2.6.40 19. 21. j In tgX о 22. In о 23. 1 - ж = ^1п2 + С 20. I ж In | о ax ж ~x ~ T | dx = 0. [Re*>0]. cth az K6,Re.>0]. 2.6.40. Интегралы, содержащие показательную, логарифмическую, гиперболические и тригонометрические функции. vx[smbx\, , 1 i n [Rep > |Im6|]. 2. 2 p с = a arctg —; Re p > I Im 61; Re a > < P I 0 3. 4. ^ \nxdx = - arctg - [c + - In (p2 + 62 ж p [ 2 [Rep > | Im 6|]. 7Г 1 [Ь, Reg > 0]. OO 5. sin bx In A ¦ со 3. [ sir 26 7. 8. 9. 262 26sh(fe7r/a) [ch(fe7r/a) [6, Re a > 0]. [6, Re a > 0]. [6, Rea> 0]. [6, Re a > 0].
2.7.2] 2.7. Обратные тригонометрические функции 451 10. 11. 12. ch x ch x + sin a спж — sin a ^—~ —"" спж + cosc (ch — -chafe) b sh бтг \ 2 у dx = ж shab 6сЬFтг/2) dx = f ,^, 4(chcfe^ chafe) feh(fe) о 13. I e о 14. Чп^ тг 15. feacosa;[ln [b > 0; | Rea| < тг]. [b > 0; 2|Rea| < тг]. [b > 0; | Rea|, |Rec| < тг]. [Rep>0]. [Rep > 0]. [a > 0]. 16. 17. -l)dx = zrctg[-)Kob 2ax sin (буж2 + 2аж ) In а + x + dx = [Rep > |Imfe|]. [Rep>|Im6|]. oo 18. [а,-1е-{8!п(/Ь1па!)Л J [ cos (oln ж) J sin F In ж) 1 . ,_.. ,v, f sin are; Г(а + ife) ) ; }dx = \r(a + ib)\< ) { cos (Ып ж)/ ' l ;i\cos Re а > | Im 6|; arg Г(ж) = -i In ^ |г(ж) 2.7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.7.1. Введение. В этом разделе содержатся интегралы, в подынтегральные выражения которых входят обратные тригонометрические функции. Они могут быть преобразованы к интегралам от логарифмической функции и от степенных функций, если воспользоваться соответствую- соответствующими формулами, приведенными в приложении I. В ряде случаев интегралы от обратных тригонометрических функций с помощью замены переменной сводятся к интегралам от тригонометрических функций. Например, 1 1 тг/2 arcsin ж dx = —г In (ix + л/t — х2 ) dx = ж cos ж dx. oo о 2.7.2. Интегралы общего вида. В этом пункте помещены формулы, которые позволяют находить интегралы, содержа- содержащие обратные тригонометрические, а также степенную, алгебраические и тригонометриче- тригонометрические функции. Некоторые частные случаи этих интегралов, соответствующие конкретным значениям входящих в них параметров, приведены в последующих пунктах. Интегралы общего вида представляются с помощью функций Vj, j = 1, 2, 3, . . ., помещенных в при- приложении III. Конкретные значения параметров, входящих в эти функции, приводятся 29*
452 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.2 в фигурных скобках после каждого интеграла. В п. 2.7.2 приняты следующие обозначения: г = p/q, где р и q — взаимно простые натуральные числа, если не указаны другие условия; с. I 1, если взят sin6x, О, если взят соз&ж; 7 = I (—l n/2] + fc 1, 1/2, если взят slnn bx, n = l,3, 5, ..., О, если взят slnn bx, n = 2, 4, 6, . . . , 0, если взят cosn bx, n = l, 2, 3, ...; если взят , если взят соэбж; Л f a^ifsin6a^l . /ж\_ r/ 1. ж < > arcsin ( — 1 ах = На ry o , a_i f slnbx 1 n /ж . 2. | ж < > arccos I — I аж = [ COS ОЖ J \ I/ 1, t/q, A(^5 1/2 + а/Bг) 1/2 + h) ft) [3/, b > 0; Re а > -rcr - [cm. 2.7.2.1]. 3. x a_i f sinb 1 n Г 81П&Ж 1 • fVY j r/ \ { > arcsin I — с!ж = J(cr) [ cos 6ж J V ж / ^ r
2.7.2] 2.7. Обратные тригонометрические функции 453 ГA/2 /2 + 27 + /i), A(p5 l + [C = 1 - 7 + jr + (г - а)/2; у, 6 > 0; Re a < О]. со 4. ж0^1! Sm ,Ж > arccos (-Y dx = J(a)L=o [см. 2.7.2.3]. J [ cos bx) \x/ У У f • l Л п Г /\Г1 a_i I sin ож I / ж \ . ,w м < > sm i/arccos I — 1 аж = /v(<j)L=i, j [ \yj J 5. ж J [а/Bг) + (i/ + 1 + а)/2, а/Bг) + A + а - и)/2\' 35 \2 у2г\ 2) 2«"!г [e + (l + a + t/)/2, C + (l + o--t/)/2, 27 « = а + г((Т - 1), ai = С, 61 = С + 1/2, ci = ?, + A + <т + i/)/2, di = | + A + о- - г/)/2, ei = 27 + 1/2 + h, z = (-Ь2/р2)р\ [у, Ь > 0; Re а > —6п]. у 6. [ж^1^2" - ж2Т1/2( 8ШбЖ Fcos Larccos f^Yl с!ж = K(a)|CT=0 [см. 2.7.2.5]. J [costej [ \У 1 _ Г а^1(81п&ж1п . г fy\rl j r/ \i 7. \ x < > sin i/ arccos I — J \ dx = L(cr)L=i, J [ cos 6ж J L V x J J 1-T -а/Г 1 n-"/2-e/Br),l-i//2-a/Br)J' 1/2 + h\' 6 = 7T U I I , (l/2)j L1 - «2, 1 - 62, e2j __ 3/2 (T^l^n-cr (^1)J a + r(cr — 1), г;2 = ^A — cr + 2j) — a, V3 = rB — cr + 2j) — a, ai = ? — i^/2, ^/2, ci = A + <t)/2 + ?, di = ^j/2 + C, ei = 27 + l/2 + /i, a2 = A - и - a)/2 + j, 62 = (l + i/-o-)/2 + j, c2 = l/2 + i, rf2 = i-7-a/2 + r[(l-<7)/2 + j], e2 = 7 + A - a)/2 + r[(l ^ a)/2 + j], a3 = 1 - (<т + i/)/2 + j,
454 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.2 ез = 7 + A - а)/2 + гA - <т/2 + j), * = ("* [2/, 6 > 0; Re а < гA - <т)]. 8. - 2/2r)-1/2{ Sin^ Г [ cos ox J cos [^arccos (^Yl с/ж = L(<r L V x / J [см. 2.7.2.7]. a-1/ 2r 2r\i//2 I sm "ж I • I x 9. ж (ж +2/ ) i Г sin i/arctg [ - J [cos6a?J [_ V 2/ о (T)/2_QBr) j-i 2 v "тг = rBj — 1/) — a, V3 = rBj + 1 — 1/) — a, ai = cr/2 + ^5 6i = A — сг)/2 + ^, //2 + C, di = (l + i/)/2 + ?, ei = 27 + 1/2 +/1, а2 = (с - i/)/2 + j, i-7-a/2+r(j-i//2), c2 = (l- 2 + j, c3=3/2 + j, d3 = l-7-a/2 - a)/2 + 7 + r[j + A ^, У > 0; -n? - 1 _ (^i pp^2p J 1 r Re v . 10. + ^/2 Г 8 [совбж i/arctg ( — | \ dx = Mia) L=o [см. 2.7.2.9]. \y) J Г _2€ ) , 27 i v2 = rBj + <r - i/) - a, a2 = 1/2 + ? - u)/2 = A + a + i/)/2 + 62 = A + a ~~ u)/2 c2 = 1/2 [6, |/ > 0; -n<f < Re a < A - (~l)n)/2 + ra - r Re i/].
2.7.4] 2.7. Обратные тригонометрические функции 455 12. \ха^{х2г+ у2гу/2{Ш1"^ \ cosli/arctgf^) \ dx = N (а) \а=0 [см. 2.7.2.11]. J Icos ^x J L V ж / J о _ f arcsln bx 2.7.8. Интегралы, содержащие < ,. [ arccos bx J l 1. arcsln (el(px) dx = sgn (cos cp) arcsln (y^l — sin (p ) — cos <p + ^/2 sin tp cos [B(p + тг)/4] + о + г{Aп y/l + sin (p + -\/sm (p ) + sin y? — \J2 sin cp sin [Btp + тг)/4]} [0 ^ (p ^ тг]. l 1 2. жа"Ч ^da = —N ^Т^Г Г ' 7 Rea>-1 J \агссо8ж/ 2aLlOJ V^ L1 + «/2JJ L U о Г ж f arcsln йж 1 . тг I In л/t — k2 I 3. ^< f }dx = T^\ , / ,ч > 0 < fe < 1 . J ^(i _ я.2)(! _ рж2) \ arcCoS А^ж J ^2^1 In A + A;) j L J 0 ^ ^ l 4. е^рж arcsln x dx = — [Io(p) — ^o(p) — e™P] [ I argp| < к]- о l 5. же~рж arcsln x dx = —- f/o(p) — Ьо(р) + pLi(p) — pli(p) — A + p)e~p] -\— J 2p2 p о [|argp| < тг]. l f . / \ f arcsln ж 1 . 1 г/ чп т / m 6. sin (пх7т)< } dx = =F— (=Fl) - Joinn)] n = 1, 2, 3, . . . . J [arccosж J 2n о l Г f arcsin т 1 f тг/21 7. 1пж< Ыж = ±B-In 2) - { ' У J [ arccos ж J [ 0 J о Г arccos ж _ ^ Bife — 1)!! In BJb + 2) 1 k=o ' + l Г ax ( arcsin ж], ,7гГГсЬа1г/ч] 9. e < > dx = dz— < ^a } — Io(a) [а Ф 0 . J [ arccos ж J aLleJ J l 10. ch ax arccos ж с?ж = — sh а [а ф 0]. J а -i i ii. < . ч > arccosжаж — — < > [п — i, -4, о, ... j. -1 д / ч Г агс1жж 1 г 2.7.4. Интегралы от Л(ж), < ? [ arcctg ж J 1. 1^аГС*8(е1Ж)Ьх=^-С°^ ^ arcctg (ег1рх) | 4 2 dz — — In ; h sin y? In B cos (p) — (p cos y? | [ 1^1 < 7r/2]- Л \Jt JL Sin <^i?
456 Гл. 2. Определенные интегралы [2.7.4 2. | arctg2 ж dx = — + - In 2 - G. 3. Ua-ifarctg^/ [ arcctg (ж/ a) 1 , aa Г , \ > dx = — тг /a)i 4a L a > 0; Rea> - 4. I — arctg (ж/а) dx = G. пП( arctg (ж/а) \ arcctg (ж/а) 5. ! x ?Hi*<-»' со 6. arcctgn x dx = In [(n l)/2] (_i)fc [n = 2, 3, 4, ... ], -1Г 1 (-l)kir2kB 7. 8. arctg bx 71 i = — In 2a 2a cos (атг/2) 'l + a2b2' a Г ж Г arctg bx 1 J Va2 - ж2 I arcctg 6ж j йж = — I 46 2) [0 < ipRea < 1]. [a, Re 6 > 0]. [a, Re 6 > 0]. 10. ж arctg 6ж . тг I _ / 1 + a262 - dx = , arcctg by — arctg ^ /a2 - ж2 (ж2 - у2) 2^/у2 - a2 ii i ж arctg ж , 11. I , . .^— г™ аж = 7(а, с, /с2 — ж2 (ж2 — у2) [0 < а < t/; Re 6 > 0]. [0 < а ^ с < у], = ^^5 7A, л/27 л/3) = -^. . arctgn 6ж 12. —r-s—— dx = In [6, Rez > 0],
2.7.5] 2.7. Обратные тригонометрические функции 457 13. g Ж ^ . da = = уж (x + ^) v ^ Az L 6 [arctg f arctg ax — arctg bx , тг . a 15. dx = - In T J ж 2 6 7 тг 16. arcctg ax arcctg bx dx = — In J 2 о CO 1(, Г arctg аж - arctg bx I 21 « 17. 2 2 arcctg ex dx = - ж In— J ж 2 b - arctg (v 2bz — 1) — arctg bz] [b > 0; \argz\ < тг]. [6, Rez > 0]. [a, b > 0]. [a, b > 0]. [a, 6, с > 0]. 18. arcsln ax arctg 6ж . Ьж . а + i/а.2 + — dx = — In 2 2 In1 1 In 2 aVa2 + b2 2 6 + V^2 + б2 arete — 2 &а 20. arctg аж arctg 6ж тг (а + 6)а+ -2 dx = -ln aabb ( 1 arctg х) dx = —. ж2 \ ж ) 4 а [a, b > 0]. [о,6>0]. 2.7.5. Интегралы от А(ж), е^рж, / arctSЬж l ; \ arcctg bx 1. 2. arctff6ж 7 7rf0l.lr arcctg bx j 2p 7 arcctg bx 6, Rep>0. а(а + l)sin(a7r/2) X жЪ~~~а fa 1 2acos(Q:7r/2) X 2\2"' 2' 2' ^5 ^tW 2 4&2 b, Rep>0; Rea > -1 . 4 \ re о. же J arcctg bx - x — — х 2
458 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.6 СО /„ 4. j х е . j х 2acos(a7r/2) 12' 2 ' b2 1 „ 3 3 — a K ! r_ 0; Rea > -1]. 2b { 2 Г ЛГ " 2' 2 ' 1 о {x* , aretgte . тт^^/счс —тгб.с с 1 i /л \ i 6. ™ daj = - 1пГ( I —In H 1пBтг) 6, Re c> 0 . 1 icx-l c\ \2ттЬ/ 2тгЬ 2ттЬ 2ттЬ 2 l n L' J _ = I 8 oo 9. g J \тг ж о oo oo 10. —-^ dx = - 1пГ(—— ) - 1пГ( - -In 6, Re с > 0 . J shc« с [ \2тгЬ/ \ 2тгЬ / 2 с J о о а/ \ f sin аж 1 I arctg&a: 2.7.6. Интегралы от А(х), { > я Обозначение: S = Г a^tf smbx\ . \ x < > arctg аж аж = J [cos bx J _ irbsa-a-s ( sin (атг/2) 1 ~ 2(a + <5) \cos(a7r/2)J 1 о -1 (a + 8 а + ё 1 ^\ 2 ' 2 2' 4a2/ + Ь—^- Г(а)\ Sm а7Г/; M < Rea < 1; a, b > 0]. 2 [cos (атг/2) J CO 2. Ж arctg аж а'ж = - — Ei ( J [a, 6 > 0]. J ж 2 V a/ о CO 3. sin bx arcctg аж dx = — A — e ' ) [a, b > 0]. J 2o о oo Г 1 Г ^b/a fb\ b/a ( bX\ 4. cos bx arcctg ax dx = —\e ' Ei I — ) — e ' Ei [a, 6 > 0]. 26 V a / V a / e I a-i Г sin&x 1 a 5. ж < > arctg — a% = 1 cos bx J ж
2.7.8] 2.7. Обратные тригонометрические функции 459 b5aa+87T ( sin(a7r/2) 1 ~г (а + 6 C0S(Q7r/2) 6. cos bx arete; -- аж = - i 7. 8. sin еж a _ 7Г . d + 1 + V^2 — 1 arctg — ax = — In ^^^ coscic + rf ж с e"ac + d + v^2 - . 2 ^ 2g sin ж + с2 cos2 ж ж со К 2 1 \ dx — arctg cos bx) — = С + In b Ж X J X Ж X Х 3 1 а 3~а a2l} [-(J < Re a < 2; a, b > 0]. [a, 6 > 0]. [a, с > 0; d > 1]. [a, b, с > 0]. [6 > 0]. 2.7.7. Интегралы, содержащие arctgaa? и логарифмическую функцию. [\ , In 2 7Г2 7Г 1. In ж arctg ж аж = ——\- — — —. J Z 4o 4 о °° 2fe х х 3. f In71 жAп х + п) arctg ж da = (^2)"nw!B"n - l)((n + 1). о со 4. — In A + а2ж2) arctg bx dx = — [a6+ (а2 - б2) In (а+ 6) + 62 In &^ а2 In а] [а, 6 > 0]. -"•3/4)" «-"¦ arcctg/(ж) 1. | sin ож arctg — dx = — e v oo 2. f Z arctg (ae^x)dx = 2^а^1аГ(а)Ф(-а2, a + 1, 1/2) 3. -r-—- arctg —¦ dx = - In A + ae cz) x2 + z2 Х + асовеж 2 [a, 6, c> 0]. [a, Re a > 0]. [a > -ecz].
460 Гл.2. Определенные интегралы [2.7.9 Г/ 1х \ 4- Г^2 2 arctS (* J \№ — X J F(X, *){ J} [0 < fc < 1]. Г СО8П Ж a Sin Ж . 7Г . г/ ч/ x2n^li 6. arete с/ж = In (I - а)A + а) п = 0, 1; а > 0 . sin ж 1-асозж 2 о тг/2 ! J arctg(a^l - Р81п2ж) | dx ж ( F(arctga, \ arcctg (a \/l - k2 sin2 ж ) J yj\ - k2 sin2 ж 2 I F(arcctg (ал/l - k2 , A;)). [О < к < 1]. 2.7.9. Интегралы, содержащие /(< >). V 1 arcctg x)J no sin (i/ arcctg ж + с) cos (i/ arcctg ж + с) Г f sin (p/2 + c) 1 /p\ f cos (p/2 + c) 1 /p\l [\ cos (p/2 + c) J y+1/2\2J \sin(p/2 + c)J "+1/2 V2/J [Rep > 0; Re i/ > -1]. sin (f arctg ж) 1 C(^) , 1 Ct1') ^ + WЛ 1)^=2(^1)- У [Rei/>1]- 0 sin (i/arete аж) . Civ, a) 1 1 ^Р^1)& = ^ЧМ [Rea>0;Re,>l]. 0 (х _|_ iW2 4. p™ e рж созбж cos (j/arctg J уж 0 [6, Rep>0]. 5 [(ж2 _i_ 2)^^/2(ж2 + Z2)^I//2/ sinbarctg(^/l/)]sin[l/arctg(^/^)] I J \ cos [//arctg (ж/2/)] cos [i/arctg (ж/z)] J о sin Bp arctg [a sin А/(ж + a cos A)]) 1 ж2 + 2аж cos A + a2)p \ cos Bp arctg [a sin А/(ж + a cos A)]) J о *' 2p - a)<! cosF- Л\\ > [0 < Rea < 2Rep; a > 0; 0 ^ Л < .].
2.7.9] 2.7. Обратные тригонометрические функции 461 2.8. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Интегралы, содержащие обратные гиперболические функции, сводятся к интегралам, содержащим гиперболические функции, с помощью подстановок вида у = Arsh ж, у = = Arch ж, у = Arth ж, у = Arcth ж. Кроме того, они могут быть сведены к интегралам от логарифмической, степенной и дру- других функций, если воспользоваться формулами, приведенными в приложении I. Полученные таким образом интегралы отнесены в соответствующие разделы. Например, с помощью формулы ch {у Arsh х) = - 1(\/х2 + 1 + xf + (л/х2 + 1 + х)~и] получаем жс^1е^ржсп(|/Аг8пж;Мж = [Rea, Rep > 0].
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.1.1. Введение. В этом разделе помещены двойные интегралы и указаны некоторые способы их приве- приведения к одномерным интегралам. Кроме того, указаны различные системы координат на плоскости, которые могут быть использованы при вычислении двойных интегралов. Отметим, что основным способом вычисления двойных интегралов является сведение Г Г их к повторным [20]. Например, для вычисления двойного интеграла /(ж, у) dx dy его G можно свести к одному или нескольким повторным Ь Х2(у) b х2(у) Ъ Х2(у) f{x,y)dxdy=\l /(ж, y)dx\ dy = I dy f(x,y)dx, a xi(y) a xi(y) a x\(y) ИЛИ /9У2(ж) /3 y2(x) /3 y2(x) f(x,y)dydx=\l f(x,y)dy)dx=\dx f(x,y)dy; aVl(x) ol j/i(aj) ol 2/i (ж) при этом сначала вычисляются внутренние интегралы. В частности, если G — треугольник, ограничнный прямыми ц = 0,|/ = жиж = а(а > 0), то ах а а Г /( \ Г /( \ /(ж, y)dxdy = ( /(ж, у) dx I dx = ( /(ж, у) dx I dy. g оо о у Кроме того, часто используется метод замены переменых интегрирования [20]. Пусть задано взаимно однозначное отображение ж = х(и, v), у = у(и7 v), области Г плоскости переменных и, v на область 6г плоскости переменных ж, у, причем а) ж, у как функции и, v непрерывны в Г вместе с первыми частными производными; б) якобиан дх/ди dx/dv ду/ди dy/dv Тогда справедлива следующая формула: ИГ Г /(ж, у) dx dy = f[x(u, v), у (и, v)]\A\dudv. G Г Приведем некоторые системы координат на плоскости (dl — элемент длины, dS — элемент площади) [16]. 1) Полярные координаты: х = и cos v, у = и sin v, 0:$Jii<oo, 0^v< 2тг (обычно используются обозначения и = р, v = у?), dl2 = dii2 + и2 dv2, dS = ududv. 2) Обобщенные полярные координаты: х = аи cos v, у = bu sin г;, а, 6 > 0, 0 ^ и < оо, 0 ^ г; < 2тт, А = /0 в Г.
3.1.2] 3.1. Двойные интегралы 463 &%?ус\?ус\сус%?у су *гу &у с% су try dl = (a cos v + b sin v) du +F — a )ixsin 2v du dv + (a + sin v + b cos v)u dv , dS = abu du dv. 3) Эллиптические координаты (х, у > 0): а? - b2 \ ' У [ Ь2-а2 0^6 < а , --6 < и < оо, —а < v < -—6 , 2 1 ^ — ^ 2 ^ — ^ 2 dl = — diz — dt> , dS = — du dv. 4:y/—(u + a2)(u + 62)(v + а2) (г; + b2) 4) Вырожденные эллиптические координаты: x = ch ix cos v, |/ = sh гх sin t;, 0 ^ и < oo, 0 ^ v < 2?r, dl2 = (ch2 гх — cos2 v)(du2 + dv2), dS = (ch2 гх — cos2 v) du dv. 5) Параболические координаты: x = и -— v , |/ = 2гхг;, — oo < гх < oo, 0 ^ v < oo, dl2 = 4(ti2 + v2)(du2 + dv2), dS = 4(tx2 + v2) dudv. 6) Биполярные координаты: sh и sin f ch гх + cos v ' ch гх + cos t;' — oo < и < oo, 0 ^ г; < 2тт, > dS = (chw + cos г?)^ (спи + 3.1.2. Общие формулы; интегралы от алгебраических функций. В этом пункте предполагается, что все рассматриваемые интегралы существуют; a, b > 0. JJ ¦-v-/[(=r+(fл<¦* 0 (f )"+(бГ^1 [a, p,p,q> 0]. 1 2. \l f(ax + /3|/ + 7) dx dy = 2 f л/l - t2 f(t^/a2 + p2 + 7) dt [a +/3 t^ 0; a, /3,7 — действительные числа]. 3. И f(x + y)dxdy= I /(*) dt. 11 1 4. f f /(sy)(l - x)a^ya(l - yf-1 dx dy = B(a, /9) f f(t)(l - 11 /(sy)(l - x)a^ya(l - yf-1 dx dy = B(a, /9) f f(t)(l - t)^^1 dt 00 0 [Re a, Re/3 > 0]. 1 1 5. J J^-y-^l - ^-^(l - yy-*-\l - xyzy dxdy = 7, 7 [Re7 > Rea > 0; Re7 > Re^ > 0; |arg(l - z)\ < тг].
464 Гл. 3. Кратные интегралы [3.1.3 в. 7. 8. 9. A - 10. = гГ'^' Fi(a, /3, /3#5 75 w, = гГ'м' : dx dy = [Re/9, Re/3', Re G-/3-/3') > О] vy)^a dx dy = ;, ReG-/3 -ДО > О] dx dy = 7, 7 [Rep, Re/3', Reft - p), ReG'-/3') > 0]. *1'-?-1 dx dy — UX — V|/)«+^™7-7/ + l У» 7 J [Re a, Re^, Re G - a), Re(jf - C) > O]. [p, g, Re a, Re/3 > 0]. 11. xy ab ¦dxdy= ——r /ж2 + I/2 12. da? dy 1 - a L 7Г In A ¦ fa = 11. 3.1.3. Интегралы, содержащие показательную функцию. Условие: a, 6, р, g > 0. сю оо 1. f I f(ax + by)e~px~qy dxdy ¦¦ о о оо оо pq(bp - aq) [о© 00 aq J f{x)e-px/adx-bp^ f(y)e-qv/b dy I. 2- 0 0 00 сю + 3. | | f(xy)e 4. dt. 0 0 00 00 xy 1 dx dy =
8.1.3] 3.1. Двойные интегралы 465 5. )*e-r*-*vdxdy = у + Л + 2) Fi[ -Л, /x + 1; I/ + 2; ^— P [Re/i, Re i/, Re (д + i/+ Л + 2) > 0]. [Re/i, Re 2/ > 0]. [Re i/ > 0]. 16. 17. 18. 19. 30 А. П. Прудников и др., т. 1
466 Гл. 3. Кратные интегралы [3.1.3 20. I/4 1/ /g\ 2^2 ГE/4)р^/4 /1 / /? 21. 2/(ж + уI 1/4 1 dx dy = 4>/2 Н /1/ _ /? [V2 V 22. (ж ^ е 1 dx dy = 23. ХУ 0 О со со (X 24. о о со сю 1 dx dy = 25. о о со со 26. о о со со Аху 27. 'dxdy= 1 dx dy = - Y0(y/pq)]. ¦In р + q + о о со со g _ 28. О О со со 29. О О со со 30. 31. 32. J J 0 0 со со Г Г (V J J 0 0 со со + т У2 е рх чу dx dy = -px-qy ^^ ^ _ -px-qy ^^ ^ _ P+ 2аж|/ + у2 1 dx dy = n3/2 [O-l].
8.1.3] 3.1. Двойные интегралы 467 33. о о со оо 34. -px-qy-x О О оо оо 35. у dxdy = ~e xv j i t-i/ \ -v/2 и/2 — 1 pq/21Xr y dxdy = Y(v)p ' q ' eP4/ W-u/2,(i-u о о OO CO 36. 37. y,e-px-qy-x2y dxdy= ^ 2-u-S/2pBu- o-px-qy-x [-1/2 < i/ < 0]. о о oo oo 38. ye 39. -px-qy-x у dxdy = - о о со oo } dx dy = — (cot. — ¦ ajjlac — b ) ' [a > 0; ac > b2]. 40. 41. xnyne~(X2^axy+y-)/l2(l-a2)] ^ dy = ^^ _ ^(n+D/2^ о о oo oo 42. о о oo oo — e I/ -px-qy-(x/y) 43. о о oo oo /x у pq 44. о о CO CO л/У . rf = [|arga| < тг/4]. 4, 0 О CO CO . 46. о о oo oo 47. dx dy = о о 7 7 — q sh I u Arch ¦ 48. aj d = /Z ln |arga| ^тг/4; а ф 0]. Л [|Rei/|<l]. 9 >«]• 30*
468 Гл. 3. Кратные интегралы [3.1.4 49 -px-qy-xy/(x+y) dxdv- О О со со 50. о о со со х + у 2pq(p + q + IK/2 ' 51 0 0 со со {ХУ){2 dx dy = 53. о о со со 54. о о со со 55. p<7 - а2 l/ ± 2 V ± 2 V л/vq 56. О О со со 57. _ [Rej/>-l/2J. [р, > а2]. 3.1.4. Интегралы, содержащие гиперболические функции. Условие: а, 6, с, р, g > 0. со со 1. /;(asha? + 6ch x shy + cch ж chy) ch ж dx dy —-co —-oo c2 - a2 - b2 lim 2. „ chxchy dxdy ln(l + \/2) A — fe2 shx shy)у sh x shy A — sh ж)A — shj/) ch ж ch i/ rfx d|/ ~ sh2 У) 2 . [7 yd2 J J у ch v у ch x — v =E(k)-(l-k2)K(k).
8.1.5] 3.1. Двойные интегралы 469 к оо 5. о о оо оо ch жусп ж-f - 2A - 6. P + q о о оо оо 7. о о оо оо 8. ch e~v*-4v dx dy = 4pg — о о оо сю 9. f [ — (ch ЛШ - 1)е~рх~чу dx dy = -2 arcsln2 J J xy oo 4Dpg - 1)^3/2 arcsln 10. О О оо оо sh y/xy e px qy dx dy = 4 1 arcsin 11. [pq > 1/4]. 2y/pq 9 Г = - |1 - Dpq - 1I/2 arcsln И > 1/4]. 12. о о oo oo 13. ch(ay/x2 /ж2 + |/2 • е рх qy dx dy = ¦ e^px^qy dx dy = •In pg — a\fp2 + q2 — a2 pq + aJp2 + q2 -a2 ¦In p2 + pg + q2 + (p + g) q2 — a2 — a2 3.1.5. Интегралы, содержащие тригонометрические функции. Условия: а, 6, с, р, q > 0; к2 < 1. тг 2тг 1 Ир /(а sin ж sin у + bcosx sin у + с cos у) sin у dx dy = 2тг f{t\/a2 + b2 + с2) dt 0 0 _i функция /(t) непрерывна при |t| < \/а2 + б2 + с2 . 7Г 7Г о Г Г j.// , 6COS|/-C\ rfxrfy 2?TSgnC ^^ r Г9\ 2. /I actgж —ту — = /(sgncvc2 — a2 — b2 ) J J у sin ж sin у / sin ж sin у ус2 — a2 — б2 с2 > a2 + 62; lim f(t) = 0 . L t^ + oo J OO 7Г 3. /;(acos ж shy + 6chy) shy dx dy = ¦ /(sgn Ьл/b2 — a2 ) b2 > a2; lim f(t) = 0 . t> + oo OO 27Г 4. /'[(a sin ж + 6 cos ж) shy + cchy] shy dx dy = /(sgn г-\Л?2 — a2 — J J v c2 — a2 — 62 л/с2 - a2 - c2 > a2 + 62; lim f(t) = 01.
470 Гл. 3. Кратные интегралы [3.1.5 Ир /(a cos ж sh t/ + bchy) sin ж sh у dx dy = 2 /(sgn feVb2 — a2 ch y) sh у dy 0 0 Or -| 62 > a2; lim /(*) = 0 . тг/2 тг/2 Г Г 7Г2 6. cos Ba sin ж sin у) dx dy = —Jq(®)- о о 7Г 7Г 7. 4 — a2(l — cosa;)(l — cosy) 2a \a 7Г/2 [a > 1]. f f 2 / В. cos ж у 1 — sin2 ж sin2 у dx dy = —К j I. о о ж/2 тт/2 9. f f cos2 ж cos2 yy/l - sin2 ж sin2 у dxdy= — 20K2( —J - 9тг2К~2 f — J . о о ж/2 тг/2 10. 11. 12. о о тг/2 тг/2 in у у 1 — й;2 sin2 ж si ж sin у О О ж/2 7г/2 cosy о о тг/2 7г/2 13. 1 - к2 sin2 у у 1 — fe2 sin2 ж sin2 |/ dx dy sin2 у dx dy = K(Jc). " о о тг/2 у ¦и- \/l — sin2 ж cos2 у ctgydxdy ж о о тг/2 тг/2 15. 16. sin у dx dy О О ж/2 тг/2 sin2 a sin2 ж sin2 у с!ж dy - kf sin2 x — k\ sin2 у 1 + \/l — гК __ L2 _ /i __ L2 __ L2 fcl V -1 ^1 ^2 хК' - fcf + ^1 - k\ - k\ *!<!]. тг/2 тг/2 17. 18. cos2 ж а*ж < о о тг/2 7г/2 у 1 — sin2 ж sin2 |/ cos2 х cos2 у dx dy I LT^2 sin2 ж cos2|/ 2
3.1.5] 3.1. Двойные интегралы 471 7Г/2У Г Г sin 2y dxdy A — к2 sin2 y)yl — к2 sin2 х 4А; rfsc rf2/ _ ^2(<Р, А;) 20. — к2 sin2 ж)A — к2 sin 21. тт/2 2/ dx dy In2 ж)A — к2 sin2 i/) 2 [fe2 cos2 ж + A — к2) cos2 i/] с!ж (% ж ~ k2 sin2 x)[l ~ A ~ k2) sin2 у] ~~2' 0 0 7Г/2 7Г/2 p p [>2 __2 _ i /-j |Л2\ лл„2 22. '¦Шт — fe2 sin2 |/ о о * ir/2y о о тг/2 fi/1 _ f2Sj 24. J fi/1 f2Sj^ sin2y dxdy = ^{B - fc2)K(fc) - [2 + ^ In A - , , /1 — к2 sin2 ж 25 о о Г f /1-A;2 sin2 ж f , 7Г 4 / о— sin г/ аж dy = —. J J V 1 - к2 sin2 у У У 2л/Т^ f 26. /2тг/2 sin x) A + sin I/) da? c% sin ж sin у 1 — 1г2 sin ж sin у о о 27. f f г/д/l - |/2 sin2 x dx dy = i [A + ^2)E(^) - A - A;2)K(A;)]. 0 о 1 тг/2 1 тг/2 Г Г / 1 f f I тг2 28. yl — |/2 sin2 x dx dy = G + —. 29. у cos2 x + i/2 sin2 x dx dy = — JJV 2JJV 8 о о к ч> Я i j/v/l - у2 sin2 x dxdy = = | [A + A2)B(v>, fc) - A - A;2)F(^, A) - A - 31. 33 35 j J 0 k r J 0 f J 0 к p J n J 0 тг/2 Г J 0 I 0 7Г/2 0 7l 1 ycos У Vi- y2 sin2 x dx - y2 sin2 x ~y2 dm dxdy 2 x + y2 sin2 аж а г/ ¦ |/2 sin2 x • 2 sin (f ay j, jqi b\C(l 7Г2 ж 4 :E(A;) A- > - cos <p + 1 34 f f - J J \ 0 0^ i 2\|Z-/jL\ dxdy /I — y2 sin 1 ?> P Г 36 f- J J • 0 0 2 ж У* - 2G зж ay 1 — cos (/? у2 sin2 ж sm У
472 Гл. 3. Кратные интегралы [3.1.5 37. - 1) ctg о о к у 38. i ydxdy = E(^, k)-(l- k2)F{ip, k) + (Jl-k*sin*<p - 1) Vl-^sin^a; у dx dy A — a2 sin2 ж) у 1 — у2 sin2 ж к*/2 39. = (к2 -а2)П(^, а2, k) + E((p, к) - F(tp, к) + (yjl - к2 sin2 <р - l)ctg<p. I/ с!ж с/у 0 о 1 у 40. 41. A — а2 sin2 ж) у 1 — г/ I/ ^ж y = (к2 - аГ)П(тг/2, а2, к) - Ж(к) + E(fc). 1 — I/2 sin2 ж A — a2 sin2 ж) у 1 — у2 sin2 ж = A — а )П(у?, а , 1) — а П(у?, a , 0) + A — cos у?)/ sin у? — In (tg <p + sec у?). /2 J J 2 О О оо оо 42. - |/2sln2 ж cos ax cos fey dx dy = — о о OO OQ 43. e рж ^ sin (ж + у) dx dy = о о оо оо 44. e px qy cos (ж + у) dx dy = рд -1 о о оо оо 45. | | e px qy cos (жу) dx dy = sin (pg) cl (pq) — cos (pq) si (pq). 1 о о оо оо 46. о о оо оо 47. о о оо оо /х + у 1 /ж + у рж^д;у . Ху in F чу sin dx dy = a — e^p^9l/cos^^ 48. о о оо оо sin {x^fy ) dx dy = . /— — тгрер д erfc (p-\/q ). 49. e-p*-™ cos (Жл/у) с!ж dy = ^pep q El (^p2g). о о оо оо 50. *-'» sin (yv^)dx dy = О О оо оо э jl. Ill/ e h111 iyV ^J' j «л at/ — А/ о P
8.1.5] 3.1. Двойные интегралы 473 52. 53. 54. 55. 56. dxdy = пу1Л {pq + a) 3/2. 0 0 oo oo yne~px~qy sin y/^y dxdy = о о со со о о CO OO dy = — ep g erfc (p-^/q ). о о oo oo _ e px qy sin Bxfaxy) dx dy = ^ a у v p V РЧ - — e-px-qy sin {xy/jj)dxdy = -ep2qEi(-p2q). 57- 58. 59. 60. 61. 62. 63. о о со со e sm {2xfaxy ) аж at/ = /27 vv^/ ^рд + 0 0 oo oo 0 0 oo oo 1 2 e~px~qy cos (x-^/y) dx dy = жep q v2/ cos л/ху dx dy = 2тгBn)lqn 0 0 CO CO „n-l/2 o px qy cog ^2^/axy ) dx dy = —== о о CO CO cos2y2a|/ с!ж dy = тг( 0 0 oo oo 2Е /pg + a2 x-l/2e-ap/(pqr+l) -K /pg + a2 64. o2)/4K lib 65. — xy / sin Jx^ dx dy = 2tt In l + — + 4
474 Гл. 3. Кратные интегралы [3.1.6 66. I I e О ~ — y(a-\-ib cos ж + icsin ж) dx dy = 2тг «2 + б2 + с2 67. —(cos J J xy о о со со Г f 68. cos о о px qy dx dy = ^2 Arsh2 dx dy = 4pg + 1 69. 1 4 1 Arsh Dpq + 1) 70. Arsh 3.1.6. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию. Условие: а, р, g > 0. о о со со 2. о о CO CO 3. 1 РЧ q Inp — ping pg(p - q) 4. 2p(Inp — ln g) ¦ 5. yx-ya ln у 11 1 ' dxdy = X(qep, a). 6. f f exyln{xy) dx dy = f xx dx. 3.1.7. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции. Условие: р, q > 0. со со „-px-qy,,_ 2дAпд^1пр) + тгр ' dx dy = о о CO CO 2. Jjarctgyfe— 0 0 3. I I Arsh - e~px~qy dx dy = ¦ln P + g + у p2 P\fp2 + ^2 P + 9 ~~ vV+?
3.2.1] 3.2. Тройные интегралы 475 3.2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.2.1. Введение. В этом разделе помещены тройные интегралы и указаны некоторые способы их при- приведения к одномерным интегралам. Кроме того, указаны различные системы координат в пространстве, которые могут быть использованы при вычислении тройных интегралов. Отметим, что основным способом вычисления тройных интегралов является сведение их к повторным [20], которые находят путем последовательного интегрирования по каждой из переменных в отдельности. Кроме того, часто используется метод замены переменных интегрирования. Пусть за- задано взаимно однозначное отображение ж = х(и, v, го), у = у(и, г?, го), z = z(u, v, w) области О пространства переменных и, г?, го на область V пространства переменных ж, г/, z, причем а) ж, у, z как функции и, v, го непрерывны в О вместе со всеми первыми частными производными; б) якобиан дх/ди дх/dv dx/dw ду/ди ду/dv dy/dw dz/ди dz/dv dz/dw Тогда справедлива следующая формула: Г Г Г /(ж, у, z) dx dy dz = f[x(u, v, го), у (и, v, го), z(u, v1 го)]|А| du dv dw. v n 3. Некоторые системы координат в пространстве (dl — элемент длины, dS — элемент площади, dV — элемент объема) [16]. 1) Цилиндрические координаты: х = ucosv, у = гл sin г;, z = го, 0 ^ и < оо, 0 ^ v < 2тт, ^оо < го < оо, ,,2 j 2 , 2 i 2 . i 2 dl = du + и dv + dw , dS2 = (и du dvJ + (du dwJ + (u dv dwJ, dV = ududv dw (обычно используются обозначения и = р, v = <p,w = z). 2) Сферические координаты: x = и cos v sin го, у = и sin v sin го, z = и cos го, 0 ^ и < оо, 0 $^ v <С 2тт, 0 ^ го ^ тт, dl = du + и sin го dv + и dw , dS = (и sin wdudv) -^(ududw) + (и sin wdvdw) , dl/ = и sin го rfix dv dw (обычно используются обозначения и = р, г» = <?>, го = t/>). 3) Обобщенные сферические координаты: ж = агх cos г? sin го, у = bu sin v sin го, z = си cos го, 0 ^ и < оо, 0 ^ v < 2тт, 0 ^ го ^J тт, til/ = abcu2 sin го с1г^ dv dw. 3') х = аи cosTO v slnn го, у = bu sinm г? sinn го, z = си cosn го, dV = abcmnu cosm™ vsinTO~ г? cosn™ го sin n~ wdudvdw.
476 Гл. 3. Кратные интегралы [3.2.1 4) Эллипсоидальные координаты: 2= (и + a2)(v + a2)(w + а2) 2= (и + b2)(v + 62)(w + Ь2) Х ~~ (Ъ2 - а2)(е2 - а2) ' ^ ~ (а2 - 62)(с2 - Ь2) 2 _ (ti + c2)(v + c2)(w + c2) Z О ^ с2 < б2 < а2, ^а2 < го < -b2 < v < -с2 < и < оо, l2 dl2 = - [/х(гх)(гл — v)(u — го) du2 — fi(v)(u — v)(v — w) dv2 + fi(w)(u — w)(v — w) dw2], 2 dS2 = — [—/jl(u)ijl(v)(u — vJ(u — w)(v — w)(dudvJ + 16 + fi(u)(i(w)(u — v)(u — w) (v — w)(du dw) — — fi(v)fj,(w)(u — v)(u ~~ w)(v — wJ(dv dwJ], dV = — у —-fi(u)fi(v)fi(w) (u — v)(u — w)(v — го) du dv dw, 8 5) Вырожденные эллипсоидальные «вытянутые» координаты: х = sh и cos v sin w, у = sh и sin г» sin го, z = ch u cos го, dl = (sh и + sin w)(du + dw ) + sh ixsin го dv , dS2 = (sh2 и + sin2 w) sh2 и, sin2 w(du2 + dw2) dv2 + (sh2 и + sin2 wJ (du dwJ, dy = (sh ii + sin w) sh г* sin w dti dv dw. 6) Вырожденные эллипсоидальные «сплюснутые» координаты: ж = ch гх cos v sin w, у = chu sin v sin w, z = shu cos w, 0 ^ w < oo, 0 ^ v < 2?r, 0 ^ w ^ 7Г, dl2 = (sh2 n + cos2 w) (dii,2 + dw2) + sh2 и sin2 w dv2, dS2 = (sh2 и + cos2 w) ch2 wsln2 w(du2 + dw2) dv2 + (sh2 и + cos2 w)(du dwJ, dV = (sh2 г^ + cos2 w) ch и sin w c/гх dv dw. 7) Сферо-конические координаты: 2 _ u(v + a2)(w + a2) 2 _ u(v + 62)(w + 62) 2 _ Ж — - - —гт - , у — т—т , Z - (ft — О )CL (О — ft H dl = — X(v)u(v — w) dv + X(w)u(v — w) dw , 4 I u J 52 = — [-X(v)(v - w)(dudvJ + A(w)(v - w)(dudwf - X(v)X(w)u2(v - wJ(dvdwJ], 1 dV = — \J—uX(v)X(w) (v — w) du dv dw, о X(t) = [i(t + a2)(t + 62)n\ Парабоидальные координаты: x = 2uw cos г?, у = 2г1,го sin г?, z = и -— го , 0^г*<оо, 0^г?< 2тт, 0 ^ го < оо, dl = 4[(и + го )(сш + aw ) + u w dv j, d52 = 16[(гг2 + w2)u2w2(du2 + dw2) dv2 + (u2 + w2J du2 dw2], dV = S(u + го )uw dudv dw.
3.2.2] 3.2. Тройные интегралы 477 9) Тороидальные координаты: sh и cos v shu sin v sin го -, У = ch и — cos w ' ch и — cos го ' ch и — cos w ' 0 $J и < oo, 0 ^ v < 2тт, ^тг ^ го ^ тг, dl2 (dti2 + sh2 и dv2 + dw2), (спи — coswI dS2 = — -r [sh2 u(du2 + dw2) dv2 + du2 dw2}, (chu — coswL sh n. rfV = -г-. r^ rfix dv dw. (chu — coswL 10) Биполярные координаты: sin и cos v sin гл sin v sh го , У = , У = , а, , ch w — cos г* ch го — cos и ch w — cos г* O^ii,<7r5 0^f< 2тт, ™oo < го < oo, df = 2 22 2 (dti + sl (спгу — cos иI dS2 = — r^r [sin2 u(du2 + dw2) dv2 + dii2 dv2], (ch го — cos uL dV = 7—¦ r^ du dv dw. (chw — cosu)d 3.2.2. Общие формулы; интегралы от алгебраических функций. Условие: а, 6, с, р, д, г, а, /3, 7 > 0. 1. о [при условии, что интеграл справа сходится абсолютно]. ¦P/q а а —аз a — x — y 000 0 4. [при условии, что интеграл справа сходится абсолютно]. xyz dx dy dz —9" ~T~ ITT "T —9" az bz cz 2 1 2 2 Г «ОС ,2 2, С 2 2, fl , 2,2, H oc in-r + c a In —V a b In — . 5. dx dy dz = 8(a2 - 62)F2 - c2)(c2 - a2) [ 6 а3Г4A/4) 48^-^
478 Гл. 3. Кратные интегралы [3.2.3 л Г Г Г dxdydz 4 з/ 2 . ,2 , 2x^1/2 6. —f = - тгг (а + о + с ) ; JJJ ^( J + ( ЬJ + ( J 3 _ Г Г Г dxdydz 2жаЪс _/ . V«2 — с2 Iа2 — Ъ2 7. = F — ; л/х2 + y2 + z2 Va2 - с2 \ a 'Vo^-i [a > b > c]. i i i xvz . . . 1 2,2 2 db + be + ca 8. У dcr.dydr. = —n2h2r2 ^x2 + 2/2 + z2 " 15 3.2.8. Интегралы, содержащие показательную, гиперболические и тригонометрические функции. Условие: а, 6, с, р, д, г > 0. y2^(z^aJ dxdydz = 3/2 Г / \ (V/2 ILL L f !^) erf oooooo 2. 0 0 0 [Re и > -2]. /3/3/3 о ГГГ ch ж ch у ch z da; c% dz „2/M JJJ A ~~ sh x sh i/ sh z) ^A - sh2 ж) A - sh2 y){\ - sh2 z) [a = In (>/2 - 1), C = In (л/2 + 1)]. OG 2ТГ 7Г 4. /{[(a cos |/ + b sin i/) sin x + с ch ж] sh z + rf ch z} sh2 z sin ж dx dy dz = 0 0 0 oo = 4тг f /(sgn dVd2 -a2 - b2 - c2 ch t) sh2 t dt [d2 > a2 + 62 + c2; lim /(*) = ol. J L t^ + oo j 7Г 7Г 7Г 5. f f f <fa<fy<** = 4?rA8 + 12^2 - 10V3 - 7^6 )K2[B - V3 )(y/s - л/2 )]. J J J 3 — cos ж cos |/ — cos z 0 0 0 6. 7T 7Г 7Г 7Г 3 — cos ж cos у — cos ж cos z — cos i/ cos z V 12 0 0 0 7Г 7Г 7Г 7. 47гК( 1 — cos ж cos у cos z \ 2 0 0 0
3.3.2] 3.3. Многомерные интегралы 479 3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.3.1. Введение. Обозначения: х = (х±, ж2, • • • , хп), а = (ai, . . . , an), x2 = ж? + х\ + . . + 122Ж2 + . . . + а„жп, cfx = = л/х\ + ж2. п , ах = ж2 , . . dxn. Замена переменных (сферические координаты): xi = pcos (р, Х2 = р sin (fi cos у>2, ж3 = р sin (/?i sin *^2 cos срз, Хп-1 = xn = p sin <pi sin v?2 • • . sin <^n^2 sin y?n^i, 0 ^ p < 00, 0 ^ <^fc ^ 7Г, A; = 1, 2, . . . , n - 2, 0 ^ y?n_i < 2тг, rfV = p71^1 sinn^2 <pi sinn^3 (f2 n^3 sin 99^-2 rfp d(pi dcf2 . • . dipn~\ — элемент объема. При х ^ 1 можно использовать формулу /(x)dx = 7Г 7Г = (^1)п • • • /(cos 0i, sin 0i cos 02, sin 0i sin 02 cos 0з, ... о о . . . , sin 0i sin 02 ... sin 6n-i cos 0n) sinn 0\ sin^1 02 ... sin2 0n-i sin 0n < dx2 . . . Г Г 1. vixi) dx\ J J a a a X XI Xn-l Xn X 2. f dxi f с!ж2 . . . [ dxn f /(*) dt = — f жп)с1жп I f(t)dt= ^ 3. О ж2 -2n)! ¦1)! 3.3.2. Интегралы по области x\ + x\ + . . . + ж2 ^ r2. 2. J ... j /(ax) dx = ,п + 1ч J (^ " *2)(n)/2/(|a|t) Л Г ) м- 2тг(п~1)/2 Г 7 /(x2, ax)dx= —^ ^ It^dt /(t2, 4. I... I /(ax + rfx = [Imafe = 0; к = 1, 2, . . . , n]. ¦ b)(r2 — j.2\Brn + n-l)/2 ^^
480 Гл. 3. Кратные интегралы [3.3.2 5. ••• /(х , ах, bx)dx = x2<r2 dt f du f vn~3f(t 2 . 2 . 2 |a|?, 6. U 1 C = rab, 7 =  dy J g(\*\t){t - t2)^ 8. 9. • • • dx = (n-i)/2 00 r2/. , • л n OO j- —7— П e^(t+iu)a;feFfc(a^)da^ fe=i ^__ [t > 0 — произвольный параметр]. l p t^1 dt ei|a|tti(l - ii2)(n^3)/2dti. 10. ... | (ax; X2<1 Г(п/2) + Г 2m . _ Bm - 1)!! тг"/2 11. Г.. f(axJm+1 rfx = 0. 12. f... 2 '-... + anx2)m(bxJ1dx = ft ftc У = 0 14. ••• (axJ 21 2m + 1 n/2)' [m + 1, n/2 + m «•I- (axJ /, n/2 + m — i/ + 1, r" 2 \ m [m > 1; 0<i/<m + n/2; 6fc > 0, к = 1, 2, . . . , n]. 16. ••• eaxdx=B7r)n/"|a n/2 ~n/2
3.3.3] 3.3. Многомерные интегралы 481 17. [ • • • fA - х2)реах dx = Bп)п/22рГ(р + 1)|аГр-"/2/р+п/2(|а|). 18. |... 19. f... (Va/A^x2) dx = J(a, n) X2<1 rBm+l)/2 /m+±\ J^/m^(m--\ _k J(a, 2m+ 1)= *,; ' e- m + 2 ? (?) jrn-k X г  h(i) - MI)]}=<-')"^ty-•"'— (I) 2 ^aEt(^a)]}, J(a, 2) = тге^а[1 + ae^a EI (-a)], ¦/(«, 3) = Пр e^a/2 [Ba + 1) ATx (|) - Ba + 3)^0 (f )]. I I '¦ ir it I - О О >. / я!--» 1 \ / О * I n I i ?k\J % 1***1 11 i^vJo Ujhdjh tlJL f ч I I # I/ J С t*?/ ^ ^ [Imafe = 0, к = 1, 2, . . . , n]. 3.3.3. Интегралы по области — 1 —Ь • • • H '^— ^ 1. d\ 0,2 0>n Условие: r, a*., 6^, ад., /3fe, г/д. > 0, A; = 1, 2, . . . , n. °° " -1/2 1 / n ,2 чп/2-p-l X У0 *0 '""" г n 52 to = /_] ~; 1/0 = 0, если 6i, 62, • • • , &n принадлежат области интегрирования; в противном б2 б2 Ь2 1 случае у о — положительный корень уравнения г- -\ г- + . . . -\ — = 1 . 2/0 + а{ уо + а| 2/0 + «n J Г Г _ Г и* 2. 31 А. П. Прудников и др., т. 1
482 Гл. 3. Кратные интегралы [3.3.3 3. ¦...+ П1/ь —1 afefc 4. = Г [t\ = 1, t2 = +СЮ, —СЮ ¦ = 0, t2 = 1, uk > О при О: dx 5. ртг п/2 Г(р 00 при О: (/) (/) (/) + (x2/a2f2 + . . . + (хп/апHп ^ 1; А; = 1, 2, . . . , п]. п/2-Р п п [О < р < те/2; 2/о см. в 3.3.3.1]. V 1 2 • n / ^_-j_ 6. = r dx _ 7. , ^/«2, • • • , ^n/oin + U2/OL2 + . . . + J/n/ttn J M — П^1 [e = 1, —00 < 1/1, . . . , i/n < 00, fj, > l/i/ai + u2jot2 + . . . + un/an при О: ж + ж + . . . + х%п ^ 1] или . . . + i/n/'an и i/i, . . . , un > 0 при О: ж + ж^2 + . . . + ж"та ^ 1]. хх \ ^1 1 _|_ Tai 4- та2 -4- 4- татг , V2/0L2, • • • , ^п/«п, /3, (/3 + 2)/2 [/3 = ilai, • • ¦ , vn/an, /3/2l _ /3, (/3 + l)/2 J ^/«2 + • • • + Vn/oLn]- 8.
3.3.4] 3.3. Многомерные интегралы 483 3.3.4. Интегралы по области sci j? О, Ж2 ^ О, . . . , жп ^ О, . • - + хп ^ а. j_ c e«(*+n/) dy ^ 2тг 2. n fe=i i [а > 0; t> 0 — произвольный параметр]. (ах k=i du [a > 0; t > 0 — произвольный параметр]. 4. fe ^ 0, A; = 1, 2, . . . , n; 6 > 0]. 5. Щ <fe~1 sci^O, ж2^0, ..., жта^0 6. i^n, к = 1, 2, . . . , ii — 1; sn = /in]. X2 + • • • + XnJ \X2 + Жз + • • • + Xn X4 + • • • + Xn\ ( X ... Fn_i П Г f] t;fc-x(i - tk^-^Fk-^tk)dtk [при условии, что интеграл в правой части равенства сходится; • • • + "п, Imi/fe = 0, А; = 1, 2, . . . , n]. 0-1 О-2 • • • ®>п [а* >0, г = 1, 2, ..., п]. + ...+ «2 «тг (ж) = (ж - а\){х - п2) • • • (ж - on)J. 31*
484 Гл. 3. Кратные интегралы [3.3.4 9. 10. 11. 12. 13. 14. к к 5^ Am + ^ ат + А;, п = 1 т=1 к fe + 1 m=l m=l к xk = = 1, 2, ..., 71 . = г 1/1, i/2, ... n n wife + ^ I/fc + 1 Lfe=i • - • u П=У2 = --- = У1=0 а2}2 . . . + «f }2/ь г = 1, 2, . . . , t; i/, > 0, j = 1, 2, . . . , n] = Г l , l/2 , • • • , У\ + ^2 + • • • + Уп - М+ 1, (ЬхГ (c0 CO 2 + ... + i/n + m+l 1/1, 1/2 , ... - 1/2 + • • • + b [ад., I/fe» M» ^1 + n О Х1к^ die = 1 > 0]. dx • • • xn(l — ах) (n+l)/2 7Г |-r 1/2 > 0, к = 1, 2, . . . , n]. = Г (ах + b)» + . . . + I^n - , [afe, 6, i/o, i/, nvh — l > 0; i/0 + i/i + . . . + i/n > M; A; = 1, 2, . . . , n]. = Г Щ + [ад., 6, i/Q, ffe > 0; i/Q + i^i ^n = fJ>", к = 1, 2, . . . , n].
3.3.5] 3.3. Многомерные интегралы 485 15. =(-l)mrf 4>."i. •••."» |х L^o + v\ + • • • + Уп — /i + га, /xj { 1 + (fl* + Ь)*Г"*} dt [ад., 6, i/q, i^fe, /i > 0; i/o + "l + • • • + ^n < /л; A; = 1, 2, . . . , n]. 16. 17. f • • • f eax dx = V ^ (eafe - 1) [у?(ж) = (ж - oi)(a; - аг) . . . (ж - ап)]. ь ь 3.3.5. Интегралы вида . . . /(х) rfx. оо . J . . . а а оо оо . . . хп)х\/пх \/пх\/п п)х\х\ ) " CO CO 4-Ж2 + --. + ж«) 1/n 2/n (n — l)/n f Г . . . . оо оо 3. — со —оо Г( —-— j Vaift2 . . . ата о [ofe > 0, A; = 1, 2, . . . , n; r = 6?/ai + ^/«2 + • . • + Ъ2п/ап]. CO CO I I J- h ?~Т —-I 4. ... т г~ е^ Х I I Х1к^ ^х = I (ао + ax)^ 11 й 0 0 fc™1 оо п kj Ьд., i/, ft > 0 и либо ао > 0, либо ао = 0 и i/i + 1/2 + • • • + vn > /j].
486 Гл. 3. Кратные интегралы [3.3.5 оо оо 5. Vn, Ц, fe=l по оо со 6. _ - 4 1//XI, [ад., /х, г/д. > О, А; = 1, 2, . . . , те]. те к=1 11 Mfe afe > 0, A; = 1, 2, . . . , n]. CO CO 7. —/2 , Rei/>0]. CO CO 8. o2 + (x - aJ]("+1)/2[<?2 + (x - bJ]("-1)/2 — оо --оо 9. -co -co / nx 1/2 положительно определенная квадратичная форма, aij = A = det Q = det (ai;7-), В = det оо со 10. 1 1 11. Г.. [/(Ж1Ж2...ЖП)A- О О = -rL= Bff)n/2e-(n+1)/e [a > 0]. Vn + 1 1 dx = = Г [при условии, что интеграл в правой части сходится абсолютно].
8.8.5] 3.3. Многомерные интегралы 487 12. 13. 14. [Re a, Re/3 > 0; Re z > max(-l/n, -Rea/(n- 1), 2 nCfl + 1) -Xn) ^Х^ — . - 1))]. 15. 3/OS * # • X fi — ]_ x\xl...x /1 «X/ *~) E 2 2 2 ж...хк (n + 1H + 2) ^ (n - ? + i)(ra - A; + 2) 0; |arg(l - z)\ < тг]. ¦ 1)тг(п' 3/2)'
Глава 4. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ 4.1. ВВЕДЕНИЕ В этой главе помещены некоторые конечные суммы, содержащие различные элемен- элементарные функции. Отметим, что для вычисления конечной суммы ^ пк можно ввести вспомогательную сумму ^а/гЖ (или привести данную сумму к такой форме), записав ее в виде обобщенного гипергеометрического ряда и получить ответ в виде обобщенной гипергеометрической функции. Иногда может оказаться полезной следующая формула замены индекса суммирования: J2 ак= Y1 а*-*> k = Tl\ к = П —712 в ч