Text
                    ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ	Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.
Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D^AGOSTINI
25
Башня из кубиков
т
D3AGOST1NI

занимательные «ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №25, 2013 РОССИЯ ГОЛОВОЛОМКИ КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D^AGOSTINI В этом выпуске: издатель, учредитель, редакция ООС «Де Агостини % Россия ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 105 066, г. Москва. ул Александра Лукьянова, д.3( стр 1 Письма читателей поданному адресу не принимаются. ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николаск Скилакис ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ: Любовь Мартынова Свидетельство с регистрации средства массовой информации в Федеральной службе по надзору в сфере связи информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор} ПИ №ФС77 43310 от 2fi. 12.2010 < Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, ааходитс на сайт www.deagustini.ru По остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной дгорячеи линии» в России. С 8-800-200-02-01 Телефон горячей яинии для читателей Москвы: с 8-495-660-02-02 АДРКД1 ЯПИСЕЕГ ЧИТАТЕЛЕЙ: Россия, 170100. г Тверь, почтамт, й/я 245, чДе Агостини», «Занимательные головоломки» РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ОСЮ «Бурда Дистрибьюшен Сервисна» УКРАИНА ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ОСЮ «Де Агостини Паблмшинг*, Украина ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 01ОЗЛ Украина, г. Киев, ул. Саксагансксго, д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР; Екатерина Клименко Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины КВ № 17502 6252Р от 01.03.2011 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ Украина, 01С33, г Киев, a/я Де Агостини > Занимательные головоломки У кража, 01033. м. Ки1В, г/с «Де Агостгнг Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua По остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной «горячей линиит в Украине: С 0-800-500-8-40 БЕЛАРУСЬ ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР ₽ РБ: ООО •Росчерк», 220037. г. Минск, ул. Авангардная, д. 48а, литер 8/*, тел /факс +375 17 2*999-260 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ. Республика Беларусь, 220040. г. Минск а/я 224. 000 Росчерк», «Де Агостини , Занимательные головоломки» КАЗАХСТАН РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОО «КГП «Бурда-Алатау-Пресс» РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА 279 руб РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 49,90 грн. 990 тенге ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ:G. Canale & С. S.p.A. Sos. Сетка 47, Sutures 11, Pantelimon - Hfov, Romania, ТИРАЖ; 68000ЭКЗ Издатель оставляет за собой право изменять последовательность номеров и их содержание. Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков. Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение. € ООО "Де Агостини», 2013 RBA Coteccionables, 2011 ISSN 2225-1782 ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 15.01.2013 Математическая вселенная За гранью понимания Когда в научной фантастике заходит речь о четвергом измерении, то больше всего будоражит воображение шанс «увидеть» то, что нс видит никто. Если бы у кого-то была воз- можность попасть в пространство с большим числом измерений, чем наше, то он мог бы проникнуть в сейф, нс открывая его, исследовать все, что находится внутри домов видеть гюдей голыми и даже рас- сматривать их внутренние органы без рентгена. Добро пожаловать в измерение N! Блистательные умы Нинын нзглзй} на геометрию Феликс Клсвн вошел в историю мате- матики нс только благодаря своей эрлангенекой про1раммс, в кото- рой он классифицировал ра 1личьыс разделы геометрии, но и как ак- тивный участник реформы школьного образования. Он считал, что нужно устранить пропасть между школой и университетом, и стал од- ним из творцов п наиболее преданных сторонников преобразований в преподавании математики в средней школе. Математика на кж'пдым Как измерить нее что угодно Первыми мерами в истории челове- чества стали меры длины, площади, объема и веса. Ключевую ролг в атом процессе сыграла математика: появилась система счисления, которая позволяла оценивать меры, находить кратные н дробные ве- личины. Весомый вклад внесла и геометрия: вычисление плогц гдей и объемов требовало знания определенных методов. Но эти методы нельзя было бы применить на практике, если бы не существовал не- кий эталон, с которым можно было сравнивать результаты измерений. Математически» вадачкм учимеот Генри Э. ни Задачи с линиями и точками интерес- ны многим. Вотсамая нзвесгная из них: нужно посадить дсвятг дере- вьев так, чтобы они образовали дсся гь рядов по три дерева в каждом Авторство этой задачи приписывается сэр Исааку Ньютону. Эти за- дачи — головоломки в прямом смысле слова, поскольку никому еще нс удалось найти удачный общий способ их решения. Они требуют проницательности, находчивости и терпения. Головоломки Пашня из кубикон Эта головоломка — любопытный вариант куби- ков сома, придуманных Пи гом Хейном. Элементы башни имеют нео- бычную форму, благодаря чему решать ее будет еще интереснее. Кроме того, и сочетания цветов, и собранная башня на воде гавкс очень кра- сивы. Чтобы собрать башню, понадобятся терпение и пространствен ное воображение. Можно перейпрат ь варианты и надеяться наудачу, а можно попробовать найти решение пу гем логических рассуждений
Понятие измерения во все времена играло очень важную роль в математике и физике. Все, связанное с измерениями, неизменно вызывает большой интгр( с, о чем свидетельствует множество научно-фантастических рассказов о разномерных вселенных. На многих tdarrmix oc-iuxa- го тпангм/го архшн, xmopa ’нгяонио Гауди но-кно yq/гдеть нрехт лю&тытной формы, хлк, нлпри игр, на доме Ьлльо t, Блри tour. Старый продет,ю юн нл л Ltrocmpaifua. Этот иного- рлнник хороши имютюн математикам — ашв хри- оолингичыйттршя, ана лог куда ft чпяырехиериом проапрлнгтне Давайте попробуем понять, как изменяют- ся геометрические фш урн в зависимости от числа измерении пространства, в ко- тором они «аходято, Это будет намного проще сделать на примере пространств, где число изме- рении нс больше грех. Определение измерения в математике длительное время было связано с понятием координат точки. Однако появление «аномальных» кривых, например кривой Пеано или кривой Гильберта, заставило ученых пере- смотреть и дополнить зто определение. Тем нс менее. ua<viAHO представить многомерные при- странст ва довольно сложно. Математики разрабо- тали сложные приемы, которые помогают пред- ставить основные геометрические фигуры в таких пространствах, Флатландия «Флатландия» (Flatland, A Romance of Many Dimensions) — один из наиболее популярных на- учно фантастических романов в математических кругах и среди широкой аудитории, Б нем расска- зывается о приключениях двумерного квадрата, который совершает путешествие в одномерный и трехмерный мир, что напоминает путешествие Гулливера в страну лилипутов и великанов. Роман был впервые опубликован в 188-1 году. Автор ро- Измереиие N За гранью понимания мана — Эдвин Э. Эббогт. ан1ли ^.нский пропо- ведник и любитель математики. Его целью было не столько изложение основ i соме грин, сколько критика общественного уегрояе.ва. Однако по- пулярность романа в научных кругах оказалась столь не кика. что в статьях, писнященныл пробле- мам измерений, термин «Флатландия» исиоль- з) етея для обозначь пня двумерных пространств, подобно тому как мир, в котором мы живем, обо- значается 3D. Как правило, koi да речь идет о геометрических фигурах в мноюме'рш I к прол грагетвах, к их на- званиям добавляют приставку «гмпер». Говорят о гиперплоскости, гиперсфере, гиперкубе и так далее. Изобразить их в трех измерениях невоз- можно. но существуют приемы, с помощью кото- рых можно прсде ганить некоторые гео- метрические свойства таких фигур. Подобные приемы достаточно сложны, но их суть можно понять на примере «Флат- ландин», к которой мы будем обращаться до- вольно часто. Напри- мер, чтобы флатландец понял, sin такие сфс ра (для него она будет i ипереферой), можно показать ему попереч- ные сечения сферы в его < Эдвин Эыюшгн Эбботт сфирмузиртьи понятие «з- мерения не первым. Он дяже не был Hpotpea uoH иьиым литенытиком, но, jerf*. ни- кто другой, смокни твоваз росту nonyi чрности этой те мы средн пиюй широкой .lydumopitu. В его ромике (Hit pUiVHKe и шириэлемл «O-iojAKii первого издания) рм t кллываешея оо уднвигнел г-н ых нриняшченаях квидратл в двумерном мире, который подозрительно «я- поминает внкторнлш кое общество времен Эбботтл.
мире, то есть на плоскости. Фла1 ландец увидит точку (когда, сфера коснсгея плоскости, на кото- рой он живет), после чего она превратится в ряд концентрических окружное гей. Эти окружно- сти будут увеличиваться в размерах, а затем сно- ва станут уменьшаться, пока опять нс превратят- Измерение и координаты Допустим, дана прямая, на которой мы отметим точку н обозначим се О. Затем установим шка- лу измерений. Нс обязательно использовать еди- ницу длины, предусмотренную Международ ной системой единиц, то есть мегр; достаточно определись некую upon (вольную единицу дли- ны. Выберем произвольную гочкл Р, лежащею на этой прям он. Если pact тояние между О и Р рав- но, например, 1 единицам го блд^м говорить, что точка Р имеет координату Ч. Обозначим это гак. Р (-11. Если некая точка, например Q, расположена слева отточки О, то будем говорить, что она име- ет отрицательную координате Q(-3). Опре улить положение (очки на плоскосш можно аналогичным образом. Единственная раз- ница будет заключаться в том чю нам понадобятся две координаты: горизонтальная и вертикальная. Как и в предыдущем случж будем считать числа на горизонтальной оси справа от начала коорди- нат положительными, слева от начала координат на тон же оси — отрицательными. Положительными координатами вертикальной оси будем считать те. Л Увидеть сферу so Флаи- гандни невогин/жно, Оди./ко можноувидеть ее след — окр/жншть. нвтарля ио- чпепенно увеикчивлется, а миги и уменыи.и пня и т- чезвегн еа&ш. ▼ ALimeMumitt Phn Сшнг- ipm предложил ш.гной при чер и- черною ирисчпрлн- етвл: движение члопей eewiunedii чожно пред- , тмишь в up tnpam шве. что располагаются выше начала ы юрдинат, оз рп- цатедьными — те, что располагаются ниже. В трехмерном прос грлнетве к этому добавится еще одна ось координат, перпендикулярная пло- скости, определяемой двумя другими осями. Ко- ординаты на ней будут обозначаться так же, как и а предыдущих двух елл чаях. С помощью трех координат мы сможем однозначно задать положение точки в пространстве. Мы видим, что существует прямая зависимость межд,’числом измерений пространс тва и числом координат, необходимых для определения положения точки в этом про- странстве. Если, например, дана точка Р (3, -1), то мы знаем, что эта точка находится на плоско- сти, а если речь ид<т о точке Q (-1,3, 2. 8, -1 +), то она расположена в пятимерном прост ранитве. На основе этого факта можно дать опреде ление понятию измерения в пространстве. Подобное определение было корректным в течение длитель- ного времени и до сих пор применимо в некото- рых контекстах. Однако, как мы увидим чуть поз- же, в свое время зто определение потребова лось серьс то пересмотреть, В такой трактовке исчезают все психологи- ческие и ли философские неудобства, связанные с понятием четвертого измерения: это всего лишь одно из многих измерений, которое может иметь пространство. Когда математики (и не только Когда не существует высших измерений Мы склонны полагать, что для нашего про- странственного мышления нет ничего слож- нее, чем вообразить высшие измерения. Однако иногда намного труднее представить, что подобных высших измерений не существу- ет. Классическим пример: чтобы объяснить, как расширяется Вселенная, обычно проводят ана- логию с раздувающимся воздушным шариком. Для этого нужно представить, что наша Вселенная имеет два измерения. Всё, что в ней находится, даже галактики, будет расширяться подобно тому, как расширяется поверхность воздушного шарика. На этом примере нетруд- но понять, как галактики отдаляются друг от друга. Трудности возникают, когда нужно объ- яснить, что точно так же расширяется и само пространство, ведьмы предполагаем, что ша- рик-Вселенная находится в неком трехмерном пространстве, которого в действительности не существует. А,./Л. 4WM.U)'4J Зл.1Я1ь илмертин. Ииоу^ум еоатиегги тмытг> десчшь KaopthtHti т, tttiojNj члющ иг на. юмггше ру но Wmf и t коры Mtf КЛЖ^вй nf^LiU и дога лгадеш они* ведь многомерные пространства нспользу- ются во многих других дисциплинах) работают с «-мерными пространствами, они нс задумыва- ются о том, как могло бы выглядеть путешествие по этому прос гранству, Вместо этого ученые ра- ботают с четко определенной алгебраической структурой
За гргнью понимания Бесконечное число измерений Если вам когда ннбудь доведется участвовать в споре о многомерных пространствах, вы мо- жете произвести сильнейший эффект, упо- мянув пространства с бесконечным числом измерений. Сначала сделаем небольшое от- ступление н расскажем о понятии многочлена. Многочленом от переменной л' с вещественны- ми коэффициентами называют выражение вида ,г0 + Л].?1 + г/;л~ + л,л'3 +... + <г„л", в котором л, — вещественные числа. Например, 2 + 5.Г-3.1Л 6-2л + 5л-’-6лл, За1 V являюп н многочленами. Наивысшая степень, в которую возводится неизвестная, называет- ся степенью многочлена. Так, первый многочлен в нашем примере имеет степень 2, второй являет- ся мног очленом 5-Й степени, третий — многочле- ном 6-й степени Эти многочлены можно представить с по- мощью системы координат; первой координа- той будет слагаемое, нс содержащее л, второй координатой — коэффициент слагаемого с к, третьей координатой — коэффициент слагаемо- го с № и гак далее Если какой-то показатель сте- пени отсутствует, еоотстствующая координа- та будет равняться нулю. Три приведенных выше примера можно представить с помощью коорди- нат следующим образом: Многочлен Координаты 2 + 5х - Зх2 (2, 5. -3) 6 - 2х + 5х3 - 6x5 (6, -2, 0, 5, 0, -6) Зх2-х6 (0, 0, 3, 0, 0, 0, -1) С помощью этой системы координат мы мо- жем выразить любой многочлен любой степени. Нужно лишь добавить в обозначение многоточие после последней запятой: (2, 5, -3,...). Ранее мы установили связь между числом из- мерений пространства и количеством коирдп- нат. Получаемся, чго пространство многочленов будет иметь бесконечно большое число измерс ний. К счастью, мы живем в эпоху свободомыс- лия — никто не отправит нас на костер зато что мы выскажем столь смелую гипотезу. Джордано Бруно повезло меньше. Кривая Гильберта Ранее мы установили, чго количество измере- ний пространства определяется числом 1 оорди- нат. необходимых, чтобы задать положение точки в этом пространстве. Так, определить положение точки в одномерном пространстве можно с помо- щью всего одного числа. Мы у же показали, как эго сделать, на примере прямой. Однако согласно это- му критерию кривая на плоскости также являет- ся одномерным пространством Если мы обозна- чим на ней начало отсчета, то сможем определить координату любой точки этой кривой. Измерить расстояние от начала координат до искомой точ- ки будет непросто, однако в теории это всегда можно сделать. Р Q •— * V СтрЛННЫГ ^Н*урЫ, JW- шггэтшнденвдде wj различных олыгтгн еонременшж укк, чожм астргнтто в рмйтых таких хрт?дос ни- ков. хдд, U C,l Ibfl/ufop Д mn. «Л- twcmpaifuu fftrf видите кар- шину/^л-т « 2? поисках четвертого а. гмерешцг^, где он вон. ют га одну ил евомх нлвхачшщх идей. Давид Гильберт (1862— 19ч 3) в короткой ста- тье всего на двух страницах описал кривую, ко- торая обладает удивительным свойством: она мо- жет полностью заполнись собой квалрат и при этом нс будет пересекать себя нн в одной точке. До него кривую с похожими свойствами описал Пс ано (1858—1932,). Обе эти кривые заставляют серьезно пересмотре lb понятие шмереиия про- странства. Рассмотрим как строится кривая Гиль- берта. Сначала нужно разделить квадрат на четы- ре равные части. Затем нужно соединить центры малых квадратов отрезками так, как показано на рисунке на следующей странице. На этом первом шаге мы получим кривую Нп, сбразичанную тре- мя отрезками. Теперь уменьшим кривую в разме- рах так, чтобы вся она поместилась в одном из че- тырех малых квадратов, и повернем ее. Соединим чс гыре копии полученных кривых отре ikjmh вы- делены красным цветом на следующем рисунке п получим кривую Н1. Снова уменьшим в разме- рах эту новую кривую, построим четыре сс копии, развернем их и расположим каждую в малом ква- драте. Соединим полученные копии кривой от- резками (выделены красным цветом) и получим кривую Н,. Кривая Hi строится аналогичным образом. Повторяя эти действия до бесконечности, мы Измерением EZZi
н3 Н4 получим кривую Гильберта. Доказано, что эта не- прерывная кривая (иными словами, кривая, кото- рую можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги) полностью «заполняет» квадрат. С одной стороны, любая точка квадрата имеет две координаты, так как расположена на плоско- сти. С другой стороны, все точки квадрата будут принадлежать кривой Гильберта, следовательно, будут имс гъ только одну координату. Это ставит под сомнение тот факт, что количество измере- ний пространства определяется числом коорди- нат, необходимых, чтобы задать положение точ- ки в этом пространстве. То, что ранее казалось очевидным, оказалось неожиданно сложным. Первое, более абстракт- ное определение понятию измерения дал Пуан- каре в 1912 году. Его определение является рекур- сивным и звучит так: «Множество (замкнутое и связное) имеет п измерений, если его можно разделить на две части (также замкнутые и связ- А Поэтапное построение кривой Гильберта, подробно описанное в тексте. Возмож- ность заполнить плоскость одной кривой привела к то- му, что определение измере- ния было пересмотрено. ныс) множеством, которое имеет п - 1 измере- ний». Если не останавливаться подробно на том, что означают топологические термины «зам- кнутое» и «связное», то определение Пуанка- ре можно понять следующим образом: допустим, что точка имеет ноль измерений. Прямая имеет одно измерение, так как ее можно разделить по- полам точкой, которая имеет 1 — 1 — 0 измере- ний. Плоскость имеет два измерения, так как ее можно разделить пополам прямой, которая име- ет 2 - 1 = 1 измерение, и так далее. Это опреде- ление не выполняется для двустороннего конуса: он имеет дна измерения, но его можно разделить пополам точкой, которая имеет ноль измерений. Определение Пуанкаре последовательно «шли- фовали» Ян Брауэр (1881—1966), Павел Уры- сон (1898—1924) и Карл Менгер (1902—1985), пока нс была получена современная формулиров- ка. Она изобилует топологическими терминами и слишком сложна, чтобы привести се здесь. От точки к гиперкубу Аналог куба очень просто пред- ставить в любом измерении. Начнем сточки (1) и переместим ее на единицу вправо. Получим отрезок единичной длины (2>. Переместим этот отрезок на единицу в перпендикуляр- ном направлении и получим квадрат, «плоский куб» (3). Если теперь мы переместим квадрат вверх перпенди кулярно плоскости страницы, получим куб (4), который можно изобразить на плоскости с помощью наклонных линий. С помощью аналогичных наклонных линий можно построить гиперкуб, или четырехмерный куб (5). Для этого нужно построить квадрат на каждой стороне правильного восьмиугольника. Число измерений Объект Вершины Ребра Грани Объемы Гиперобъемы 0 Точка 1 1 Отрезок 2 1 2 Квадрат 4 4 1 3 Куб 8 12 6 1 4 Гиперкуб 16 32 24 8 1
За гранью понимания THE HSHLY МЛЮРАТЕЬ SEQUEL ТО THE SMASH КГ АЛИЙ Я/М LWf’W- w jpMmtr.m fief t?o ure it &i iff w пые * пецэф* фекты, В филыиг « Куп 2.- /и* Zfpou РКП ibHiiWmrjt anyrr/pit цёиринтпи вторые vfwwprcwpwxj fitrjfipKyfa. Они WMfirym tfbrtrparnwi и < JrtAyWJWHX rnprVW*рМ1ЛХ кочнаш через vnnstpmm u, шере мне, так jcik « пи w m.v noth mrpeziifom различные рнасн&гтн. ет. I k> если pа «ведка Флатландии заподозрит.1 uo кто-то может путешествовать в третье измерение, то сможет обнаружить злоумышленника. Напри- мер, если мы положим на с гол пар}' перчаток и за- хотим наложить одну на другую так, чтобы они полностью совпадали, то это можно бхдет сделать только одним способом: приподнять одну перчат- ку, повернуть ее и положить поверх другой. Та- кой поворот можно ирон 1 вести только в третьем измерении. 11оэтому господин Спммстрпкс дол- жен быть очень осторожен при переходе в третье измерение: если он подпрыгнет от радости и со- вершит пируэт, то вернется во Флатландию пере- вернутым. что невозможно без выхода в третье измерение. Именно так его и обнаружит матема- тическая разведка Флатландии. CUBE z: HYPERCUBE Th*« rt mar* to «н*г Mart C«A »*m> Ограбление в другом измерении Ко1да в научной фантастике заходит речь о чет- вертом измерении, то больше всего будоражит воображение возможность «увидеть» то, что нс может увидеть никто. Если бы у кого-то была возможность попасть в пространство с большим чис сом измерений, чем наше, то он мог бы про- никнуть в сейф, не открывая его, взять оттуда все деньги и скрыться, нс оставив следов. Он moi бы исследовать все, что находится вну три домов, ви- деть людей голыми и даже рассматривать нх вну- тренние органы без рентгена. Чтобы понять, как это возможно, перенесемся в мир с меньшим числом измерений, чем наш, — во Фхатландию. Представим, что в пей находится некое закрытое помещение. Это может быть квадраг со стальны- ми стенами, внутри которого храни гея что-то ценное. У одного из жи- телей Флатландии, госпо- дина Симмстрикса, есть машина, с помощью кото- рой можно путешествовать в третье измерение, которое по очевидным причинам недоступно для флат чанд- цсв. Как-то ночью госпо- дин Симметрнкс восполь- зовался машиной и попал в третье измерение. Он ока- зался над квадратом сейфом, взял все ценное, что там нахо- дилось, и вернулся в двумерное пространство. Проще нс быва- ▼ Миф о пещере — зто и- гплфорл чеювечеекого i (ще< твоыни ч. Сое ы. ия Диэдд eiiououtpM органов weenie чы иожеиувидеть шит бюдные тени гюдшн- wu ре.ныиь ти. .1на иаичко, быть иожет, трехиерные ибьекты, ttomopiM иывидци, на, л ио и де/емии в /ед- иые тени четыре.хмерных ебьектов. Тени и призраки Представим, что позади группы людей находит- ся источник света, а впереди них — стена на ко- торую проецируются их тени. Также представим, что по какой-то причине эти люди мог ут видеть только сооствснные тени и с гышать свои голоса (поэтому они будут считать, что эти голоса также принадлежат теням). Это напоминает миф о пе- щере Платона Этот миф. помимо философской ценности, также имеет интересную геометриче- ски ю трактовку, связанную с нашей т смой. Она за- ключается вво 1можности каким-то оОразом ощу- щать фигуры из других, высших измерений. Если мы хотим показать жителю Флатландии. что такое трехмерный куб. то можем сделать это с помощью центральной проекции. Измерение N tfcfcl
Он увидит квадрат внутри другого квадрата, что позволит получить более или менее точное представление о том, что такое куб в 3D. ней и поперечные сечения подобны призракам четырехмерных объектов, обитающим в трех из- мерениях, Также существует множество спекуля- тивной ненаучной литературы, в которой показы- вается, как существа из «потустороннего мира» Нечто похожее на этот рисунок увидим и мы, если нам покажут центральную проекцию гипер- куба (четырехмерного куба) в 3D Проекции те- появляются в нашем пространстве. Иногда по- добные киш и содержат любопытные геометри- ческие подробности. Развертки Изучать геометрические тепа, которые могут существовать только в про- странстве с большим числом измерений, чем наше, можно с помощью их разверток. Ня пример, если мы хотим объяснить жителям Флатландии, что такое куб, мож- но показать им развертку куба на плоскости и объяснить, как нужно согнуть ее, чтобы полу- чить объемный куб Им будет непросто понять наши объяснения, так как некоторые преобразования (например, сгиб на 90°) можно выполнить только в 3D. Если кто-то почувствовал свое превосходство над жителями Флатландии, его будет нетрудно спустить г небес на землю: достаточно показать ему развертку четырехмерного гиперкуба, которая выглядит при- близительно гак, как показано на рисунке ниже ЭТО IUM0 I Никто из нас некогда не видел самого себя в трех измерениях. Фотографии, фильмы, портреты, отражения в зеркалах — это лишь плоские изображения нашего тела. Только если в будущем технологии голографии достигнут достаточного уровня, мы впервые сможем увидеть себя в трех измерениях. Разумеется, первое впечатление будет подобно тому, что мы испытываем, когда впервые слышим свой голос в записи, I Любое пространство накладывает опре- деленные геометрические ограничения. Доказательством этому может служить тот факт, что в нашем трехмерном мире всего пять правильных многогранников. В четырех- мерном пространстве существует уже шесть правильных геометрических тел (гипертел). Казалось бы, все указывает на то, что с ростом числа измерений количество правильных геометрических тел будет возрастать, но это не так в пятимерном пространстве их всего три. I Эдвин Эбботт Эбботт подписал свог. роман псевдонимом A Square ( Квадрат) Это двойная игра слов: псевдоним содержит отсылку к име- ни главного героя романа а также означает «„А“ в квадрате», что указывает на две буквы А в фамилии автора — Edwin Abbott Abbott
Феликс Клейн вошел в историю математики благодаря своей эрлангенской программе, В КОТОРОЙ он классифицировал различные разделы геометрии и устранил разногласия между ПРИКЛАДНОЙ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ. с?) Феликс Е дспн родился 25 апре- ля 1849 года в Дюссельдорфе в семье высокопоставленно- го прусского чиновника. В ранние годы его образованием занималась мать. В 1857 году он поступает в гим- назию в Дюссельдорфе, где получает среднее образование. В 16 лет Феликс поступает в Боннский университет, ни у видев, что недостаточно подготов- лен в некоторых разделах математики, особенно в интегральном исчислении, в 1869 году переводится в Гёттингенский университет, где в течение года посещает курс Альфреда Клебша. Клейн никогда нс следовал общепринятой учебной программе, сам прокла- дывая себе дорогу в соответствии со своими на- учными интересами. Инакомыслящий математик Во время пребывания в Берлине в 1 году Клейн практически нс- посещает занятия, но ре- гулярно встречается с двумя видными математи- ками; Отто Штольцем, который в то время уже преподавал, но переехал в Берлин, чтобы продол- жить обучение, и Софусом Ли. С последним он работал невероятно плодотворно, так как имен- но Ли первым понял всю важность новой тео- рии Эвариста Галуа. Позднее Ли сыграл важней- шую роль в будущих работах Клейна по теории групп. По рекомендации Клебша Клейн получил должность ординарного профессора математики В Эрлангснском университете, где впервые высту- пил со своей знаменитой эрлангенской програм- мой. Клейн преподавал математику в Мюнхене (1875—1880),Лейпциге(1880—1886) к Геттин- гене (1886—1913), В 1882 году он перенес нерв- ный срыв вследствие тяжелого заболевания, что Новый взгляд на геометрию Феликс Клейн положило конец его научной карьере. Он умер в Гёттингене в 1925 году. Эолангенская программа Известная всем нам геометрия Евкли- да изучает определенные объекты (точ- ки, прямые, плоскости, углы и т. д.), а так- же их преобразования. К этим объек гам можно применять различные виды симме- трии, параллельный перенос, поворот, уве- личивать и уменьшать их. Некоторые из этих преобразований могут выполняться в обе сто- роны в том смысле, что если о дно преобразова- ние переводит точку А в точку В, то существует Л A iei т.чгцпй if к ори- jhhiliohoi те идей К tetm,i приетеи л тому, что у не- го пижшлиеь лгви, тники и недобрвжсААтСАИ, upt веего в Бер. tit не. HetMomp.v нл о г геноеть его «л ыЛг в члтечлтику, нлходц trieo те, кто нлгыеыА его теории беесмъи ценными. ▼ Hi ртунке нок. т ыл A-i/ирптм построении бу- ты екн К teiimi, у которой earn. толъко одн.г еторон.1. Буты ти Кееннл — один из е.емыхиюытных ujmtMA- тнчееких объектов. но тин- ный в честь тюгв ненецкого ученого- Эта буты 1ка не имеет внутренней и нлрум. - ной, торон, поэтому в нее неги г.ч Kioittii, жидтк тк преобразование, переводящее точку В в точку А.
кв^. ция I Может случиться так, ч г о результатом двух по- следовательно примененных прсобраюнанпй бу- дет третье преобразование. Когда множес гво пре- образований обладает подобными свойствами (также должны выполняться несколько доиолнп- тельных условий, которые нс представляют инте- реса в контексте нашего обсуждения), то говорят, что тто множество образует группу преобразова- ний. Эти преобразования могут изменять свой- ства геометрических объектов или остав гять их неизменными. Допустим что мы применили па- раллельный перенос к окру кности. J (г н гр окруж- ности окажс гея в дрт гой точке, не совпадающей с се изначальным центром. Если мы уменьшим размер окружности, го изменится ее радиус. Од- нако все эти преобразования оставляют иннари- Клейн и преподавание математики «... б течение долгого периода в университетах культивировалась ис- ключительно высокая наука без внимания к тому, что, собственно, нужно школе; об установлении связи между университетским преподаванием и школьной математикой никто не заботился. Но к каким последствиям привела такая практика? Вступая в высшую школу, молодой студент ока- зывается лицом клицу с такими задачами, которые совершенно не напо- минают ему того, чем он до сих пор занимался...» Это цитата из введения книги «Элементарная математика сточки зрения высшей», которую Феликс Клейн написал в 1908 году. В ней он выразил озабоченность тем положе- нием дел, которое сложилось в преподавании того времени. Он считал, что нужно устранить пропасть между школой и университетом, и стал одним из творцов и наиболее преданных сторонников преобразований в препо- давании математики в средней школе. T«opt ни.ч Клейна «т -.V- члют. v прлеотой, причем не только е штеилтиче- екой точки iptHii.y. Cnpdtw иитраженл так на илкае- иа.ч конутеурлт. v К 1ейна. опт ывающа ч группу i н чинную i кривой К нгйна четвертого порядка (.wio литым (неизменным) соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Феликс Клейн заметил, что именно свой ства. которые инвари- антны геометрическим преобразованиям, яв- ляются определяющн ми для разных разде- лов геометрии. Клейн предложил наиболее общее и абстрактное определение геоме- трии как тары (X; (J). где X — множество объектов, a G — груп- па преобразований, при менимых к этим объектам. В эту систему укладывались все извсс тные разделы геометрии (евклидова, проективная, гиперболи- ческая и другие). Кроме этого, кллссифика- Клейна открывала путь к новым разделам геометрии, так как множество X может быть обра- онлно любыми геометрическими объектами. Эти идеи Клейн изложил в 1872 году в своем высту- плении в городе Эрланген с докладом под назва- нием «Сравнительное обозрение новейших гео- метрических и_следований». Со временем этот доклад стал нанес ген в математической среде как ярлангенская программа. HuHrfaHuimb, кипюро-ч иптыяаени ч уравнением X т + у1г + zJx - Oj. Н-tpn- i упке iaeea — < чин тура 1- Фергннома, и чюрамнга- щ.гл ktijp/fijiky Клгйгсл, kvtfHJpd-!V ойлмЬюя patinu- KhLVU lUMMOtf/HfH, ,i MiikMf ytfutiittnr топи . гя lf« U aM/r - бркшчпкп, чн своАсглнлмн. ЭТО M4ITEPK4I0 Если теорема носит имя математика, то можно суверенностью сказать, зту теорему открыл кто-то другой. Феликс Клейн В математике тема может считаться закрытой лишь тогда, когда она становится интуитивно очевидной. Феликс Клейн По статистике, скандинавские математики предпочитают работать ночью, математики Южной Европы больше любят работать днем. Клейн работал днем и ночью. Один из его учеников как-то пожаловался, что от занятий математикой у него развилась бессонница. (Не можете заснуть? — ответил Клейн. — Принимайте хлорал!» Этот неудачный совет, возможно, объясняет причину серьезного нервного заболевания Клейна.
Система мер отражает не только уровень haymi ю-технического развития, НО И СТЕПЕНЬ ОРГАНИЗАЦИИ ОБЩЕСТВА. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЕДИНОЙ УНИВЕРСАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МЕР И ВЕСОВ ХАРАКТЕРНО ДЛЯ ВЫСОКОРАЗВИТОГО ОБЩЕСТВА. Системы единиц Как измерить все что угодно ► С момента ырожде- HU V IfUtJIt ш. Wifни человек чувствовал потребности в в ко шчественно w измерении окружающих предметов, их длины и веса. Со epc уснем нодойная практик.! стала повседневной. Она восходит ко времена и Древней Вави- лонии и Древнего Египта. Эта картина XI 7/ вгкд под названием ^Измерители »*, преднолож и тельно нап нсан - ноя голландским художником Хендриком ван Боленом, и ыюешрирует известный лфори I V рн некого поэта Го- рация: Всему есть мера». А Я /SS9 НА MfJftdy- нар&дном конгреае была принята единица массы килограмм, равная мшее цилиндра н.1 пл.ггпннонри- дневосо сТыава, который Хранится в Международном дюро игр и весов в городе Севр дли» Парижа. Броме много, каждой стране, подписавшей соглашение, были предостав- лены точные копни этого эталон*. 3 России две копни иеждумародногн эталона хранятся во ВНИИ метро- логии имени Мендс сеева. Первые меры и веса известны с древнейших времен Для межевания земель н обмена то- варами требовались способы измерений. Именно поэтому первыми мерами в истории че- ловечества стали меры длины, площади, объема и веса- Разумеется, ключевую роль в этом про цессе сыграла математика: благодаря арифметике появилась система счисления, которая позволяла оценивать меры, находить кратные и дробные ве- личины. Весомый вклад внесла и геометрия: вы- числение площадей и объемов требовало знания определенных методов, порой удивительно про- стых и одновременно гениальных. По мери науч но-техничсского прогресса эти методы усложня- лись. Вне зависимости от способа и >мерелий, эти методы нельзя было бы применить па практике» если бы нс существовал некий эталон, с которым можно было бы сравнивать результаты измерений. Меры и веса Математики открыли простые формулы для вы- числения площадей и объемов, но на протяже- нии многих веков остро стояла проблема выбора единиц измерения. Изначально использовались миры, связанные с частями тела человека: напри- мер, ширина пальца или расстояние оз запястья до локтя. Большие расстояния измерялись в ша гах. В некоторых случаях, например при меже- вании земельных участков, использовались жер- ди определенной длины. Для измерения ВСЗД применялись сосуды определенного объема — бочки, ведра, штофы. Единицы измерения от- личались нс только в разных странах, но даже и hhv три одной страны. Так, в Российской импе- рии существовало более 10 различных саженей: казенная (213 см), тородовая (28-1 см), трубная (187 см) и другие. Разнообразие мер и весов при обрело такой размах, чти в XVIII веке во Фран- ции был опубликован справочник местных мер и весов объемом свыше двухсот страниц. Это приводило к нуганине и открывало простор мошенникам. Все изменилось с появлением со- временной науки, где требовались более точные единиць: измерения. Все аги обстоятельства при- вели к тому, что в бурные времена Великой Фран- цузской революции была создана единая система мер. Новая революционная система базирова- лась на двух основных принципах: наличии эта- лона длины и применении десятичной системы счисления. Благодаря этому стало возможным введение не только универсального эталона дли- ны, но также кратных и дробных единиц. 73
На jHivit гра/мре, нзготнов- 1енний примерно в /81)0 го- ду, ouenpim икдены i цены введения новой десятичной гшмсуы во Франции, а также предещавяоны ра »- шчныемеры и веса, которые шноаъинъигнь до всеобщего принятия метрича кой (де- сяти чной) t пегое ны. Для всех нородов и на все времена Французская академия наук постановила ис- пользовать в качестве эталона длины одну деся- ткмиллионную расстояния от северного полюса до экватора (по меридиане- Парижа). Эта единица измерения получила название метр. В I"4)] году комитет ученых приступил к решению непро- стой задачи — измерению расстояния от Дюн- керка на севере Франции до Барселоны. Работы велись в течение шести лет. Спустя еще ува года, в июне 1~^9-го, французские власти предстани- п новую, метрическую систему единиц под де- визом «Д ся всех народов, на все времена». И - начальпо эта система распространилась по всей Европе усилиями армии 1 Етполеона; именно по этой причине его заклятые враги англичане отка зывались принимать се. Тем не менее, во Фран- ции метрическая система была официально при- нята лишь 8 мая 1870 гоуа. Международная система единиц (СИ) Поскольку эталоном измерений служила вообра- жаемая линия, в 1889 году на I Генеральной кон- ференции по мерам и весам в Париже было при пято новое определение метра как «расстояния, измеренного при температуре 0 “С между дну мя парал тельными отметками на эталоне из пла- тиноири упеного сплава, хранящегося в пави- льоне де Ьретейль в Севре». На XI Генераль- выпеком памятных почто- вых марок во et ем Mftpt. ной конференции по мерам и весам в 1960 году, чтобы еще больше повысить точность эталона, метр получил новое определение. Тогда же был принят стандарт, который впервые получил на- )<шшс Международной системы единиц (Cl 1). Метр стал определяться как «1 650^63,73 дли- ны волны в вакууме излучения, соответствую- щего переходу между уровнями 2р10 и 5d$ ато- ма крнитоиа-86 при температуре тройной точки аюга (-2КГС)». Чтобы сделать определение ме- тра более точным и универсальным, в 1983 было принято новое определение, которое использует- ся и сейчас: «Метр — это длина пути, проходи- мого све том в ваку уме за 1 /299 79? 458 секунды >, Это определение требует аналогичной точно- сти для эталона времени, который был опреде- лен на основе астрономических циклов. По од- ному из определений эталон времени равнялся 1/31 556926 тропического года, однако из-за от- сутствия периодичности этих циклов впослед- ствии был пересмотрен. Сегодня единица времени секунда определяется как «91926317~0 перио- дов излучения, соответствующего переходу меж- ду двумя сверхтонкими уровнями основного со- стояния атома цезия-133». ▼ О яляеностн единой для всего чеаонечества системы мер и весов лвшЬтеиатнуют пышные торжества по ау- члю ее годовщины. Помп ио прочего. они ишровиждлготся Величина Наимено- вание Обозна- чение Длина Метр м Масса Килограмм кг Время Секунда с Сила электри- Ампер А ческого тока Термодинамичес- кая температура Кельвин К Количество вещества Моль моль Сила света Кандела кд Australia 7с
Как измерить все что угодно Эталон массы был своеобразным «гадким утенком» по двум причинам: во-первых, он по-прежнему определялся на основе прототипа, который хранится в Париже. Во-вторых, на мо- мент его принятия было неудобно использовать столь малую величину, как грамм, поэтому бы- ло принято решение применять кратную вели чину — килограмм. Таким образом, единица из- мерения массы является единственной из всех основных единиц СП, которая содержит деся- тичную приставку. ф £ ° ё пз * ш X ф У t s X с Название числа Название числа С О (Россия, США) (Европа) 10м йотта и септиллион квадриллион । ю21 зетта 3 секстиллион тысяча триллионов (триллиард) ш ю18 экса э квинтиллион триллион Z X ю’5 пета п квадриллион тысяча биллионов (биллиард) 1- ю’2 тера т триллион биллион 109 гига г биллион (миллиард) миллиард 106 мега м миллион 103 кило к тысяча 102 гекто г сто 10’ дека Да десять 10 1 деци Д одна десятая 1 10 2 санти с одна сотая 1X1 10 3 милли м одна тысячная Z5 10* микро мк одна миллионная X 10 9 нано н одна миллиардная 10 12 ПИКО п одна триллионная одна биллионная о 10 15 фемто ф одна квадриллионная одна биллиардная ч 10 18 атто а одна квинтиллионная одна триллионная 10'2’ зепто 3 одна секстиллионная одна триллиардная 10 24 йокто И одна септиллионная одна квадриллионная < tww де третей tfr g Севре — ЬОЧЧуНЛ близ Парижа» где эта- лоны метра и кнлогрлмма. Они были приняты на Н Генеря имей конференции по черам it иеым» которая ггролидн ы вишмнце Фран- ция й ДОДОдеду. Эталоны выполнены hj маатюншря- дневаго т<ш#аг благодаря чему они меньше подвержены изменениям при перепадах темне рлтуры. Приставки СИ Приставки используются для формирования крат- ных и дольных величин основных единиц измере- ния. До недавнего времени было достаточно знать лишь самые используемые из них: «дека*», «гек- то-» или «кило-» для кратных величин и «де- ци*», «Санти-» п «милли-» для дольных. Однако сегодня повсеместно встречаются такие выраже- ния, как «нанотсхиилогии», которые изучают объ- екты длиной порядка нескольких нанометров, или «суперкомпьютер производительностью один )то мою В сентябре 1999 года NASA был запущен космический аппарат Mars Climate Orbiter, который должен был доставить к Марсу ме- теорологический спутник и вывести его на орбиту на высоте 200 км Однако из за ошибки в расчетах аппарат прошел над поверхностью Марса всего в 60 километрах и мгновенно сгорел в атмосфере. Выяснилось что в NASA использовали британские единицы изме- рения, а в модуле управления применялась метрическая система. Ошибка обошлась при- мерно в 125 миллионов долларов 75 Ст темы единиц
Измерение диаметре Солнца Найти примерный диаметр Солнца можно с помощью простого экспери- мента. Для этого понадобится монета, линейка и лист картона (лучше чер- ного цвета). Также нужно знать, что расстояние от Земли до Солнца равно 149000000 километров. В картоне * нужно проделать небольшое отвер- о стие (размером в 2—3 миллиметра) g и расположить его поверх монеты так, чтобы диаметр проекции Солнца был равен диаметру монеты. Полу- чим два подобных треугольника, для которых будет выполняться соотношение D/149 600000 = d/a, откуда диаметр Солнца равен D = (d/a) 149 600000. Ответ будет вы- ражен в километрах, если d и а будут выражены в одних и тех же единицах. терафлоп», го есть способный выполнять трилли- он математических операций в секунду. Научная форма записи Результаты некоторых измерений слишком ве- лики, чтобы их можно было выр.1 шть чс-р з ос- новные единицы СИ. Например, масса Земли равна 5 980 000 000000 000 000 000 000 кг. Дру гне же величины могут быть . тишком ма- лы. Например, масса электрона составляет 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 кг. Такая запись очень неудобна при вычислениях. Чтобы справиться с подобными неудобствами, используется так называемая пау пая форма запи- си, в которой величины выражаются через поло- л тельные или отрицательные степени 10. Чтобы узиагь показатель степени, достаточно подечн тать число ну лен: 2000 = 2-10’, 700000 = 7- 105, 0.001 = 1 • 103. Попробуем записать массу Земли и электрона. Масса Земли = 5 980 • 1021 кг Масса электрона = 0,911 • 1О'30 кг. В десятичной системе (впрочем, как п в любой другой) вещественное число можно представить в нормализованной, или стандартной, записи. В этой записи слева от запятой должно с юя1ь чис- ло от 1 (включительно до 10 (не включительно). Пример Масса Земли = 5,98 • 1024 кг Масса электрона = 9,1 J -1051 кт. ЭТО HJM0 Рост Римском империи привел к тому, чти в качестве стандартной меры длины стало ис- пользоваться количество шагов, необходимое для прохождения определенного расстоя- ния. Шаги считали г тысячах — гт..Ilia pasum (в переводе с латыни ^тысяча шагов»), откуда происходит термин «миля». Ярд был введен в XII веке английским королем f енрихо'* г и равнялся расстоянию от кенчика королевского носа до кончика указательного пальца вытянутой руки. В нашей системе мер до сих пор сохранились средневаковые анахронизмы. Что любопытно для измерения объема нефти, самой ценной жидкости после воды, используется баррель, который равен примерно 159 литрам. А. Пайи w нефтяного блр- p&t.H, сущее шву ют и другие единицы, которые «г входят в СП, но по-прежнему ис- пользуются в специализиро- ванных иол.гсш-чх. Напри мер, млею драгоценных камней намерхгше.ч вметричес ких MpamaXg tuaa оптических систем — в диоптриях. В letbfKOM хозяйстве длч ишеренпл площади широко при меняется шлк.гя единица измерения, как гектар. Эта фирма записи, помимо очевидною удоб- ства. также позволяет вести речь о порядке вели- чины, который прямо связан с количеством ну- лей В ЗАПИСИ ЧИСЛА, ГО ССТЬ С НОКАЗАТСЛСМ степени В НОРМАЛИЗОВАННОМ ЗАПИСИ. ДоИуСТИМ, ВАМ ЗАДА- ЛИ каверзный вопрос: сколько лигров человече- ской крови во всем мире? Если вы ответите «сто миллионов»» то есть 10s, го ошибетесь на 2 по- рядка, так как ну]ем оы строги подсчета нсiруд- но определить, что реальное значение примерно равно 20 миллиардам, 2 * 10н>. Показатель степе- ни в вашем ответе равен 8. реальный показатель степени равен 10. Таким образом, вы ошиблись на 2 порядка.
Лучшее от Генри Э. Дьюдени Задачи с точками и пиниями Пр гвило на правило, правило на правило, тут hi иного и там немного. Книга Исаия, глава 28, стих 10 Задачи с линиями и точ- ками интересны для мно1 их. Самая извест- ная из них, которая привс дсна здесь, звучит так: нуж- но посаднзь девять деревьев так, чтобы они образовали десять рядов по три дерева в каждом. Авторство этой задачи приписывается сэ- ру Исааку Ньютону. Однако первая подборка та- ких головоломок, по моему мнению, содержится в редкой книжице из моей библиотеки авюрства Джона Джексона, которая была издана в 1821 го- ду и носит название «Развлечения для ума для зимних вечеров». Автор приводит десять задач, в которых нужно посадить деревья в несколько рядов по определенным правилам. Такие головоломки всегда вы отвали множе- ство затруднений. Это головоломки в прямом смысле слова, поскольку никому еще не удалось найти удачный общий способ их решения. Они требуют проницательности, находчивости и тер пения. Порой вам поможет то, что зовется уда- чей. Быть может, когда-нибудь некий гений най- дет ключ к этой загадке. Не будем забывать, что деревья следует считать точками, поскольку ес- ли они будут достаточно велики, то можно будет по ошибке посчи- тать некоторые ряды прямыми, хотя в действительности они не будут яв- ляться таковыми. 1. Король и его замки кшда-то в стародавние времена жил могущественный король, который отличался эксцентричными идеями в архитектуре Он считал, что в сим- метричных фигурах заключена ве- ликая сила, и в доказательство сво- их слов всегда приводил в пример пчел, кот ирыс строят соты в форме шестиугольников. Он ре- шил возвести в своей стране десять замков и сое- динить их укрепленным.! стенами гак, чтобы по- лучилось пять линий по четыре замка в каждой. Королевский архитектор представил предвари- тельный план расположения замков (см. рисунок справа). Но монарх указал, что каждый замок мо- жет быть атакован извне, и повелел изменить план так. чтобы защитить макепмалт нос число замков 9 <?<?<? 9 9 ФеесеФФС- Е Q *2 t е д--- -- от нападения огородив их укрепленными стена- ми. Архитектор ответил что расположить замки таким образом невозмож но: крепостной стеной не получится защити гь длжс один замок, который Король желал использовать в качестве своей рези- денции. Однако Fro Велпчес гво поспешил объяс- нить архитек гору, как это можно сделать. Как же построить десять замков и огородить их крепост- ными стенами так, чтобы выполнить все требо- вания короля? Напомню, что должно получить- ся пять прямых линий по четыре замка в каждой. 2. Лимоны и груши На рисунке изображен план дома, вокруг кото- рого растет 51 дерево: 10 лимонных деревьев, К) груш, остальные — дубы. Лимон- ные деревья посажены тик, что обра- зуют пять прямых линий по четыре дерева в каждой. Груши гоже посажены так, что< >б- разуютпять прямых линий по четыре дерева в каждой. Суть задачи — ука- зать. где именно растут 10 лимонных деревьев, а где — 10 груш. Есть еще одно условие- они посажены так, что на северной и восточной сторонах участка число деревьев наименьшее. Разумеется, когда вы будете опре- делять. где растут 10 лимонных дере- вьев или 10 груш, учитывать остальные деревья между ними нс нужно. Другими словами, четы- ре дерева могут располагаться в линию так, что между ними будут находиться другие деревья (или д<*м), и это будет соответствовать условиям задачи. 11, наконец, последняя, очень простая голово- ломка. 3. Десять мон*эт Положите десять монет на лист бумаги или кар- тона, как показано на рисунке, по пять в каждом ряду. Уберите чет ырс монеты, не сдвигая остальных, и снова положите их на лист гак, чтобы десять мо- нет образовали пять прямых линий по че- тыре монеты в каж- дой. Сделать это не- сложно, но нужно определить, сколь ки ми способами можно решить головоломку, счи- тая оба начальных ряда одинаковыми. 47
Решения 1. Существует множество способов построить замки так, чтобы они распо- лагались в пять рядов по четыре замка в каждом. На рисунке показан единствен- ный способ оасположения замков, при котором крепостными стенами от на- падения извне защищены два замка (это число является максимально возмож- ным). Нетрудно видеть, что подобраться к этим замкам нельзя никак иначе, кроме как через крепостные стены. 2. Задачу можно было бы решить не- сколькими способами, если бы она не содержала условие, что число груш и лимонных деревьев на северной и вос- точной сторонах участка должно быть минимальным. On симальное располо- жение показано на рисунке. Лимонные деревья, груши и дубы обозначены бук- вами С, Р и А соответственно. Лимонные деревья соединены пунктиром, груши — сплошными линиями. Можно заметить, что лимонные деревья и груши высаже- ны в пять рядов по четыре дерева. Это единственно возможное расположение, при котором на северной и восточной сторонах участка находится всего лишь по одному дереву. Это число и будет минимально возможным. з. Существует ровно 2400 вариантов. Можно выбрать три любые монеты с од- ной стороны и еще одну монету с другой Ниже приведены четыре примера. Три монеты из верхнего ряда можно выбрать десятью способами, одну монету из нижнего ряда — пятью способами. Таким образом, в сумме мы получим 50 способов. Но мы также можем выбрать три монеты из нижнего ряда и одну — из верхнего. Число способов в этом случае также будет равняться пятидесяти. Таким образом, существует 100 способов вы- брать четыре монеты. Выбранные монеты можно расположить 24 способами — это число всех возможных перестановок че- тырех монет. Таким образом, общее число решений равно 24 • 100 = 2 400 решений. Во всех приведенных головоломках нужно расположить 10 точек в пял ь рядов по четыре точки в каждом. Рассмо- трим общий случай подобных задач. Су- ществует всего шесть основных решений, которые показаны на рисунках ниже. Из соображений удобства их называю, «звезда», «дротик», «циркуль», «воронка», «ножницы» и «ключ». Читатель легко заметит что любую из этих фигур можно искривлять бесконечным множеством способов, при этом принципиальное рас- положение точек не изменится. В задаче «Король и его замки» архи- тектор привел решение «звезда», а ко- Звезда Дротик Циркуль Воронка Ножницы Ключ роль — решение «циркуль». В задаче «Лимоны и груши» лимонные деревья высажены в форме воронки, а груши — в форме доотика. Все решения голово- ломки «Десят I монет» — это «ножни- цы». Итак, мы привели примеры для всех решений, кроме «ключа». На неполной шахматной доске раз- мером 7x7 клеток можно расположить 10 пешек тремя различными спосо- бами, но все они будут представлять собой «дротик». В задаче о грушевых и лимонных деревьях представлен еще один способ расположения пешек на такой доске, а поиск остальных решений мы оставляем читателям. На обычной шахматной доскг размером 8x8 клеток пешки можно расположить в фирме во- ронки, которая будет симметрична отно- сительно диагонали доски. Наименьшая доска, на которой можно расположить фигуры в форме звезды, имеет размеры 9x7. «Ключ» потребует размеров доски 11x7, «ножницы» — 11x9, «циркуль» — 17 х 12. По крайней мере, это наилучшие результаты, которые мне удалось полу- чити на скорую руку. Вероятно, их можно улучшить, но мне так не кажется. Если мы разделим шахматную до'ку на две части диагональной зиг югообраз- ной линией так, что в одной части оста- нется 36 клеток, а в другой — 28, то смо- жем расположить три фигуры в большей части и одну — в меньшей (все фигуры будут представлять собой «дротик»), при этом не будет конфликтов (то есть точки будут занимать 40 различных клеток). Их также можно расположить и другими слое збами, неделя доску на части. Наи- меньшая квадратная доска, на которой можно расположить шесть одинаковых фй1уртак, чтобы линии никаких двух фигур не пересекались, имеет размеры 14 х 14. Наименьшая до< ка, в которой можно расположит! одну из указанных фигур внутри другой так, чтобы их линии не пересекались, имеет размеры 14x12.
Цель головоломки «Башня из кубиков» — разобрать башню и снова собрать ее на поде гавке. Чтобы решить ее, понадобятся терпение и пространственное воображение. Можно перебирать варианты и надеяться на удачу, а можно попробовать найти решение путем логических рассуждений. Оригинальная версия классической головоломки Башня из кубиков Этот рисунок, на кото- ром и чюрюмна i ооранная головоломка « Башня л» куонков», можно ttcno.tbse- вашь е качестве инструк- ции. Он поможет нонять как нужно рмн&ложкть зле, центы го шво ломки относительно друг друга. «Б“ ня из ку биков» — эти прекрасный вариант кубиков со- ма, придуманных 11итом Хейном (1905—1996). \v6in и сома считаются самой известной голо- С увеличением числа кубиков ана лизировать элементы головоломки все сложнее. В составных частях «Башни из кубиков» каждый маленький кубик сдвинут относительно сосуде ici о только по горнаонталн, то есть в одном направлении. На рисунке ы иже показаны элементы «Башни из кубиков» рядом с аналогичными элементами кубиков сома которые выделены зеленым цветом. воломкой такого типа. В новой версии элементы головоломки имеют необычную форму, благодаря чем} решать ее будет еще интереснее. Кроме того, и сочетания цветов, и собранная башня на под- ставке очень красивы. Поликубы со смещением «Башня из кубиков», так же как и кубики сома и другие похожие головоломки, сое гои г из но- ликубов — фигур, образованных путем соеди- нения нескольких ку бикиь одинакового ра. мера. Тем нс менее, «Башня и s ку биков» — совершен- но особая головолог ка, гак как в каж уом элемен- те кубики соединяются не полными гранями, а со смещением. Создагсль «Башни макубиков», несомненно, взял за основу кубики сома, так как составные ча- сти обеих головоломок совпадают: один элемент головоломки состоит из грех > У’Ьиков. а Шесть — из четырех. Чтобы л\ чше представать, каку ю фир- му имею г элементы «Башни иiкубиков», будет интересно й осмо треть, как изменились элементы кубиков сома в этой новой головоломке. 77
Решение На рисунках показан алгоритм решения головоломки «Башня из кубиков». 2. Расположите элемент 2 справа от предыдущего.
х
DQAGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ Пропустили выпуск любимой коллекции? © Просто закажите его на сайте Я www.deagostigi.ru Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40